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ANALES

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eultad de Ciencias

DE ZARAGOZA

19]

Se publican por trimestres, en los meses de Marzo, Junio, Septiembre y Diciembre

AÑO 1. ==duNnio. == Num. 2

SUMARIO

Matemaática.—Nota sobre tracciones racionales. .: producido y en-la duración del fenómeno. A. (ire- =F. Correa.—Punto notable asociado á un punto 5? gorio Rocasolano.

de una cónica. M. Stuyvaerf.—Sobre dos integrales Historia Natural.—Ornitología de Aragón. £L.

definidas. C. Pompeía.—Cuestiones propuestas. Navás. S. J.—Teruelitas del Museo de Historia Na- Mecanica.—Algunas observaciones sobre la teoría. $/> tural de Zaragoza. P. Ferrando.

de centros de gravedad. J. Hatzidakis. 91) Meteorología.—Estudio preliminar del clima de . Rísica.—Sobre algunos fenómenos de polarización- - ( $ Zaragoza. G. Silván.—Observaciones meteorológi-

—E. Terradas. ¿ ) cas del 2.* trimestre. /. A. Izquierdo. Química.—Influencia de la forma de las masas lí- ¿/ Bibliografía. Publicaciones recibidas. quidas que fermentan, en la cantidad de alcohol ** Crónica

DI

España. . . 1 año S pesetas.

po Precio de suscrip ción . Extranjero. 1 íd. 10 francos.

TADOS

La correspondencia administrativa á D. ANTONIO SANZ, D. Alfonso 1, 20, librería

ZARAGOZA

ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO DE EMILIO CASAÑAL, Coso, 100 ¿1907

hal ll ” :

E PA 7 DIRECTOR

2D. PAULINO SAVIRÓN,

SECRETARIO DE REDACCIÓN

- ALVAREZ Y UDE ass Gases) eel e aranicOs E Geometria escri tría de la posición. í E, ARÉVALO: Y CARRETERO (oso — Auxiliar de Historia Natural. -BOZAL Y OBEJERO (EDUARDO). —Auxiliar. de Física. á : AGCAOA CALAMITA Y ALVAREZ. (GONZALO). — Catedrático de Quina! orgánica. FERRANDO Y MÁS (PEDRO).—Catedrático de Historia natural. O GALÁN Y RUIZ (GABRIEL), —Catedrático' de Astronomía. y Cosmografía. 6. DE GALDEANO a — Catedrático de Cálculo infinitesimal. >

%

LAFIGUERA Y: LEZCANO «Cas) —Auxiliar ES Geometria. LOBO Y GÓMEZ (RUPERTO).—Auxiliar de Química. : MARCO Y MONTÓN (JUAN): —Auxiliar de Mecánica y Astronomía. á RIUS Y CASAS (JOSÉ). — Catedrático de. Análisis matemático, HE y 2.0 -SAVIRÓN E CARAVANTES oa — Catedrático de as

-sis químico.

vis

Ñ ce métrica. : YOLDI Y BEREAU (FRANCISCO). —Auxiliar de Química.

—AÑALES DE LA FACULIAD DE CNC

DE ZARAGOZ

AÑO 1 JUNIO DE 1907 NÚM. 2

Nota sobre fracciones irracionales.

Las fracciones de que vamos á ocuparnos, son aquellas que á lo más tienen dos radicales en su denominador, suponiendo tam- bién-que son del mismo grado y que los factores que puedan afec- tarles, están bajo dichos signos, ya que en caso contrario se co- noce el procedimiento para conseguirlo.

1.2 Veamos de transformar la expresión

en otra que no contenga:radicales en su denominador. Sabido es que

y si se hace ahora

m mM

IN VEO Ly.

se transforma la igualdad anterior en

mM m 3 mM

x-Yv=Wx— 17 3 (Y X=,

m= 1

Luego si se multiplican los dos términos de la expresión pro- puesta por el factor polinomio que indica el signo sumatorio, se tendrá

M M n—m sl V

m m E A Y yn —=1 Xm>—mn : (17 la ?

que es la transformación que se busca.

ES

En el caso de que sea Y = 1 será

M MIER mo A de PEN n—1

dando origen á una expresión análoga, si en lugar de suponer Y igual á 1 sesupusiera X = 1. 2.2 La expresión

M mo mo » Vx + YY se transforma análogamente, pero hay que tener en cuenta que m sea par Ó impar, pues en el primer caso

m m

m=_n Es = == =(x+y) y (e De a a n ==

y en el segundo m m PE PLD ARD O A n= Siguiendo la misma marcha que antes, será cuando sea 11 par,

m

M = M Ni ( 151 y Yn=1 Xm>—n2 AL n=1

Por

y cuando sea Mimpar,

M os m M = Y y (= 12 yYn=1 Xm>=—n. Vx + Vy n=1 y 3.2 Bueno será hacer constar que cuando en el denominador

no entre más que un radical, se puede hacer uso de las transfor- maciones halladas, ya que si el denominador es

UFVY,

será

m m m m

UF (Y =/0* + Y =/X +VY,

haciendo para simplificar

U” a EX

4.2 Tomemos como ejemplo la transformación de la fracción

ey pai

irracional expresada por el segundo miembro de la igualdad M MM Vas uy) — h siendo M4, a, b y hh constantes, = la variable independiente y no conteniendo el denominador más que un solo radical. Dividiendo por / ambos términos de la fracción y haciendo

a D == y li hi h fácilmente hallaremos que M 1 Y (3) Y h om DA UP ql y aplicando la transformación del primer párrafo de o dinóito das a Upe + qq.

mi

y también

m-— Nh

n=m 7 (s) MN (Pp2+9) a) = SÓ A ds a e TU 5.2 Hagamos ahora una aplicación de la transformación del ejemplo anterior á la integral expresada por el segundo miembro

de la igualdad W = fo (<=) de

4

Óó sea UH pb MR n= Y PA ed

poniendo al mismo tiempo el signo integral bajo el signo suma- torio.

A fin de efectuar la integración con más facilidad, cambiemos de variable, haciendo

Ps 19 =É, de donde

O E y así tendremos ahora que

m=mn m—n

MM E — A m O A

n=1

Haciendo uso de la integración por partes

m—n 2mM—Nn 2m—n 10m eS m 3 A mo aia ED O A 2mMm—N 3MN :m—nN 12 m E mM A SPOT O a 3m—n ám—n y im—n 3, m m 4, m PS m ¡=D a e DS e Dl

Efectuando una serie de substituciones se hallará el desarrollo de la integral propuesta, el cual podrá expresarse abreviadamen- te por el segundo miembro de la igualdad

m— Nh

(WENN A 6 (1 +1)m—n (a — 1)! m CE ¡AS Ls (2M=mM) (3m—MN)...((a +1) m — 1) 1

04=

conviniendo en que para a = 1, se considere como no existien- do (u. — 1)!

Substituyendo esta integral en el valor de W, deshaciendo lue- go el cambio de variable y reemplazando p y q por sus valores hallaremos finalmente

y M de

Vaz + b—h a (+1) mn M V NW (1) mn" a ah == la Qm—n) (¿m—=n)...((.41)m—n) o e

Es claro que hemos podido llegar á este resultado, por haber hecho uso de la transformación indicada al principio de esta nota.

F. CORREA,

Catedrático del Instituto de Zaragoza. Zaragoza, $ Abril 1907.

===

PUNTO NOTABLE ASOCIADO A UN PUNTO DE UNA CÓNICA

Es conocido el teorema siguiente: «Si desde dos puntos 4, B se trazan las tangentes (reales ó imaginarias) á una cónica I', los cuatro puntos de contacto y los dos puntos 4, BL están en una misma cónica» (%).

Recíprocamente, sean P, O los puntos de contacto de las tan- gentes trazadas desde Ay toda cónica que pase por 4P0O corta á la cónica l' en otros dos puntos y pasa por la intersección de las tangentes trazadas á l' en estos dos últimos puntos. Propiedad que resulta inmediatamente del teorema directo y del hecho de que cinco puntos bastan para determinar una cónica.

En particular, el círculo circunscrito al triángulo 4P0O corta á T' en dos puntos 4, V y pasa por el punto S intersección de las tangentes á l' en M y NV; en ese círculo el punto 4 es diametral- mente opuesto al de encuentro de las normales en P y O. Si estos últimos puntos se acercan indefinidamente el uno al otro, el límite del círculo circunscrito al triángulo 4PO es el que tiene por diá- metro el radio de curvatura en el punto 4 de la cónica l'. Tene- mos así el teorema:

El círculo que tiene por diámetro el radio de curvatura en un punto de una cónica U', corta además á la curva en dos pun- tos M, N y pasa por el punto S polo de la recta MN respecto de la cónica Il. ñ

A todo punto A de la cónica corresponde, pues, un cierto pun- to S del plano. Sea

ax? +2hxwv + by? —-2y=0 (1) la ecuación de la cónica I' referida á la tangente y la normal en 4. z 1 z ¿ E El radio de curvatura es al el círculo descrito sobre este radio de curvatura como diámetro tiene por ecuación

ax? + ay —v=0. (2)

() Véase p. ej : H. MANDART.—Cours de Gréométrie anulytique, Namur 1901, p. 451. Si P,Q son los puntos de contacto de las tangentes que pasan por 4,y R,S los de las que pasan por B, el haz 4. PQRS...es proyectivo con la serie de sus polos, y como ésta es precisamente sección del haz:'B. PQRS... con la secante PQ, esos dos

haces son proyectivos y engendran una cónica que contiene los seis puntos dichos. > NAT

A RES Restando las (1) y (2) se obtiene y l(a— b) y — 2hx +1] = 0. Como y = 0 representa la tangente común en 4 (a=0b) y —2hx+1=0, (3)

representa la recta que une los otros dos puntos M, V comunes al círculo y á la cónica. Sea (1”, y”) el polo S de esa recta MV, dado por consiguiente por las ecuaciones :

hx! ay =1=0

ax! — hy = 0)

(4)

De estas dos rectas determinantes de S, la primera pasa por el centro de curvatura en Á y es perpendicular á la segunda en el punto S estudiado; la segunda es la simétrica, con relación á la normal, de la recta ax +»hy=0, es decir, del diámetro de la cóni- ca P' que pasa por 4.

Luego: sí se traza, en un punto A de una cónica, la recta simétrica del diámetro en este punto respecto de la normal, esa recta pasa por el punto S correspondiente al punto A; además el segmento AS es la proyección ortogonal del radio de curvatura en A. :

La primera de las rectas (4), que pasa por S y por el centro de curvatura, encuentra al eje de las x, es decir, á la tangente en 4, en el mismo punto C que el diámetro

ha + by—= 1 =0,

conjugado con la normal. De esta advertencia y del teorema pre- cedente se deduce una construcción sencilla del punto S y del cen- tro de curvatura en 4 (*).

Como cuestiones que se refieren á lo estudiado señalamos al lector las dos siguientes:

1.2 Buscar el lugar del punto S cuando 4 describe una elípse, una hipérbola ó una parábola.

2,? Estudiar en general la correspondencia entre los pun-

tos A y S. M. STUYVAERT. Por la traducción, Gand (Belgique).

G. SILVÁN.

(*) Esa cunstrucción, por ser dicho punto C polo de la normal en 4, es un caso particular de la construcción más general indicada en la Geometría de la Posición de D. Eduardo Torroja, p. 687, problema 2.2 —N. T.

Sobre dos integrales definidas.

Se cita ordinariamente, en los tratados clásicos, las integrales

1 pi log x log x Al = / 2 dx, 13) = 22 do, e dll =p te como ejemplo de integrales definidas cuyo cálculo exige el des- arrollo en serie de la función afectada del signo integral; además, esto supone conocida la suma de la serie

00

E] DE al 1

ni”

Pero el cálculo de las integrales 4 y £ puede hacerse directa- mente, por el método de los residuos, y aplicarse á la sumación de la serie S,.

He aquí este cálculo.

Se parte de la función de variable compleja

log <

ios

que se integra, en el sentido directo, á lo largo del contorno de un semicírculo situado encima del eje real, que tiene como centro el punto y =0 y como diámetro el segmento comprendido entre los puntos — 1 y +1, salvando el punto y = 0 por medio de una se- micircunferencia (Y) de ra- dio e y el punto +1 por me- dio de un cuadrante de cír- culo (c) de radio 1, de ma- nera que los dos puntos y=0 y y=>+1l queden fuera del contorno de inte- gración.

Designando por (I') el contorno así definido, se tiene

j=l LEs=0 10

CAEN TS

puesto que en el interior y sobre el contorno (1), la función

= 72 =

es holomorfa. Se hace, para fijar las ideas, el convenio siguiente sobre la determinación del logaritmo: log z es real cuando z es real y posttivo.

Supuesto así, volvamos á la igualdad (1). El contorno (1) se compone:

1.) Del segmento — 1,—+ 2.2) Dela semicircunferencia (4).

3.) Del segmento + e, 1=+7.

4.%) Del cuadrante de circunferencia (c). 5.) Por último, del contorno (G).

1.2 Sobre el segmento — 1, —., se tiene

— dy,

tiende á cero al mismo tiempo que el radio « del semicírculo £. [Tisserand et Painlevé: Exercices sur le Calcul ¿nfinitésimal, pág. 443].

3. Sobre el segmento + ., 1 — se tiene pn—Y log xv a = | >— dx. OS

4. La integral OS 3

1 = 1y Ll

./ (Cc)

tiende también hacia cero al mismo tiempo que el radio 7 del cuadrante (c). [Tisserand et Painlevé: loc. czt.]. 5.2 Por último, la integral /, puede escribirse

'T COSO +sen6

LO OR z = de = | ——————----—_——— Ja laz |, 1 cos 0 —ísen 0 poniendo s = ce” y observando que sobre (G) se verifica : = 1. Pasando ahora, al límite, haciendo «=0 y q =0, se tendrá

también 7 =0 y la integral (1) será

Y AE

“T o cos 6-7 sen 0 dx — - 0d l=x , 1=cos—7senó Separemos, en la primera y en la última integral, las partes reales de las imaginarias. Se obtiene, tomando las partes reales, en (1),

| “log x

EN a LN log x eS pa dx + |

+ z dx 7 | ads. 0 - 2 (

)

Ñ : : CANTES Como la última integral es igual á — se deduce

pa (241 log x | log x n? y JU 7 E (2) i DE dx A o dx : Observemos, ahora, que : - ios Es Ñ ¡OSA E) 0 vr log x ÍÑ == 38 da ll Lar a o 2] 1 a? dl , y

on 2 u log Y 1 log x 2 | -— du =->| El dx, Jo 1=u 2), 1=x poniendo = 1? como variable de sumación; luego

2) 2 yl log v

log x 1 (log ac dx | == dy = | 2d o 1=x Jo l+x 2), 1=xw j de donde e > 1 log x ,- log x 3 | a] ae. Se EE ce De las ecuaciones (2) y (3) sale enseguida, e) NEL > peca A A E 0 ES Di le de 112 De la primera integral se deduce fácilmente a Ce S Dl 6 1 ME

resultado que se obtiene, además, siguiendo otros caminos.

C. PomMPEIU, Maestro de Conferencias en la Universidad de Jassy.

Algunas observaciones sobre la Teoría. de centros de gravedad

1. Generalización de las fórmulas de Guldín y de Pappus.

a) Si una curva plana 10 homogénea [u =s (x,y)] gira alre- dedor de un eje situado en su plano, se tendrá, designando por 1%; la masa de la superficie engendrada,

D | vyds.

a

Por otra parte, se tiene, para la ordenada Y, del centro de gra- vedad de la curva considerada,

b M-Y, = 1 oyds, 6)

a

u

designando por Mo la masa de la curva. De cuyas expresiones se deduce

Mo = Me: 21 Y.

La masa (ó el peso) de una superficie de revolución, es ¿gual á la masa (ó el peso) de la curva meridiana que la engendra, multiplicada por la circunferencia descrita por el centro de gra- vedad de la curva.

b) Si un área plana gira alrededor de un eje situado en su plano y su densidad es de la forma w = s(x), el volumen engen- drado tendrá la masa

1) Mo = Ez / Dl =9y1 23 do.

Ja Por otra parte, la ordenada Y, del centro de gravedad del área, es dada por la expresión

b MY, => / (yy) de, (5)

A siendo Ms la masa del área dada. Se tendrá por consiguiente M,= Ms. 21 Y...

(*) Véase Graindorge.—Mecánica analitica.—París, 1883, tomo I, cap. VI. (*) Vease Graindorge.—Mecánica analitica —Paris, 1888, tomo I, cap. VI.

La masa (ó el peso) de un volumen de revolución es igual á la masa (6 el peso) del área que lo engendra, multiplicada por la circunferencia descrita por el centro de gravedad del área.

Haciendo en (a) y (0), w = const, se tienen los teoremas de Guldín y de Pappus.

La generalización de los teoremas (4) y (b) para un ángulo de rotación ¿< 27 y más generalmente, para la rodadura sobre una desarrollable, se hará evidentemente de la misma manera que para los teoremas de Guldín y de Pappus (+).

2. Sobre una propiedad de los centros de gravedad.

Designando por w la densidad de una figura no homogénea, se tienen las fórmulas

MX,=|[ vado, MY,=[ _uydo, MZ,=[_uedo, (£) IF) IF)

Pa

M=|/

vdo. pe IP) (5

Supongamos que la densidad sea de la forma = 1 Mm = Ax +ByW3WC2” es decir, ¿nversamente proporcional 4 la distancia del punto ú

un plano fijo. Se tendrá

[0 | c ) S NEAR CASAN

donde se representa la extensión (longitud, área ó volumen) de la figura. Por tanto:

M

1 Ax+By+C2" es igual á la extensión de la figura, multiplicada por el factor

1

C tant lecir,¿gual á la masa de la mis constante ae A decir ¡gua amasa de la misma 1

figura supuesta homogénea y de una densidad ARABE EZ.

La masa de toda figura, cuya densidad es w =

(*) Se atribuye á menudo, pero yo creo ser falso, el teorema relativo á los vo- lúmenesá Guldín. Pappus en su colección (ed Hultsch. V. II, p. 682, Bezol 1877), lo anuncia claramente. (Ver tambien: Cantor, Geschichte der Mathematik, I, p. 421).

(**) Ruiz Castizo.—Mecánica racional. Tomo 1.”, fascículo 1., Cap. IV.—Madrid, 1907. —Graindorge.—Mecánica anatílica —Tomo I.

a

¿gual á la densidad de la figura primitiva en el ces:tro de grave- dad. La misma proposición subsiste para los pesos.

3. Sobre el diámetro «baricéntrico».

La proposición que dice «sz un sólido tiene un diámetro, sobre él está el centro de gravedad» no es más que un caso especial de la siguiente:

«Sí un sólido tiene un diámetro baricéntrico, tendrá su centro de gravedad sobre este diámetro.»

Designamos por diámetro baricéntrico, una recta sobre la cual se encuentran los centros de gravedad de las secciones pa- ralelas á un plano fijo. Porque, llamando « el área de una cual- quiera de dichas secciones, se tendrá (tomado el diámetro ba- ricéntrico para eje de las X):

VY, =X (e + 9) Ax cos 5%, VZ, = Y (e $0) Ax cos by,

!

siendo u, $, y infinitamente pequeños, y como Y (e + 0) Ax cos 08 <BY (e + a) dx cos 6, donde B representa la mayor de las $, y lim (BY (e + a) Ax cos 9] = evidentemente, se concluye. A=0 y 2 =0 Cee

El diámetro geométrico no es más que un caso especial del diámetro baricéntrico; basta que los centros de gravedad vengan . á ser centros de simetría.

Se demuestra de la misma manera que: sz las secciones para- lelas á un plano fijo, de un sólido cualquiera, tienen sus centros

de gravedad sobre una línea plana, el centro de gravedad del sólido se encuentra sobre el plano de esta línea.

4. Centro de gravedad de volúmenes de revolución.

Las fórmulas:

70) Pb V="| Viá= 3) dx, VX,=="| (y2— y) xdx, a

a

a e

se transforman de la manera siguiente en coordenadas polares:

, od V= 27 || sen 0.d2.d6. = Sl - Js e,*) sen 6 cos 6d0,

y ES VX, = 21 IB sen 0 cos bdedh = +] 7 lt. — 2,4) sen 0 cos 640

)

“4

en las que, el elemento de superficie que engendra el de volumen está formado en coordenadas polares, es decir, que la superficie que engendra el volumen ha sido dividida en elementos, por las curvas « = const y 6 = const. Estas fórmulas pueden ser útiles, cuando la ecuación del ecuador está dada en coordenadas pola- res, y son más sencillas que las obtenidas expresando simple- mente las (1) en coordenadas polares, es decir, reemplazando é y por ¿cos 6 y ¿sen0.

5. «Centro de pesos, «no» de gravedad».

El término comunmente empleado, de «centro de gravedad», no es muy exacto. Este punto es el centro de fuerzas paralelas supuestas aplicadas á los distintos puntos de la figura, es pues el centro de los pesos de estos puntos, 6 también el centro del peso total de la figura. La gravedad, no es el peso de la figura, sino la ¿dea abstracta de la fuerza de atracción de la Tierra. Además los griegos antiguos decían ya x=svteov fusove (y MO xevrgov Basvrzo<) y es del mismo modo como decimos aun hoy los griegos modernos.

N. J. HatziDAkKIS, Athenes. Por la traducción, Juan Marco MonTÓN.

0 o

CUESTIONES PROPUESTAS.

1. Demostrar la convergencia de la serie doble

OVv (m-+m)! n' . -LÍ oe mi! (m + E 2)

m—1 n—1

£L. Orlando.

2. Dos vasos Á y 4' cuyas capacidades respectivas son V y V' contienen: el primero una mezcla de a litros de vino y b litros de agua, y el segundo una mezcla de a' litros de vino y 0” litros de agua. Se trasvasa de A' á A una cantidad de líquido suficiente para llenar 4; luego se llena de modo análogo 4' por medio de A;. y en fin se llena otra vez 4'por medio de 4'. Hallar las fórmulas que expresan entonces las cantidades de vino y de agua conteni- das en cada vaso (**). y

J. Gilet.

3. Se dan en un plano un ángulo XCY y un punto 4. Por los

puntos 4 y Cse hacen pasar dos circunferencias; sean además Ey F, G y H, los puntos en que cortan respectivamente á los lados del ángulo. Sobre CE y CH se construye el paralelógramo ECHP; sobre CF y CG se construye el paralelógramo FCGO. Esto sentado: 1.” la recta PO es perpendicular á la recta de Sim- son, relativa á los datos, es decir, correspondiente al punto 4yá los triángulos ECH ó6 GCH, 2.* pasa por el punto de intersección de las cuerdas EF y GH (***).

E. Catalán.

() Cuestión 117 propuesta en la Revista Trimestral de Matemáticas, V, 1905, p. 192.

(*) Cuestión 159 propuesta en El Progreso Matemático (1) IV, 1894, p. 68. Cuestión 119 propuesta en la Revista Trimestral de Matemáticas, V, 1905, p. 192

(*) Cuestión 182 propuesta en El Progreso Matemático (1), IV, 1891, p. 158. Cuestión 123 propuesta en la Revista Trimestral de Matemáticas, V. 1905, p. 247.

SO PEE

Sobre algunos fenómenos de polarización.

En un estudio anterior (*) describimos el campo del microscopio petrográfico armado de polarizador, analizador y lente de Amici, cuando concentrada la luz por el condensador en un punto de la platina, se disponen en esta sucesivamente una lámina de cuarzo dextrogira ó levogira, una lámina de mica de un cuarto, un medio ó un octavo de longitud de onda y otra lámina de cuarzo del mismo espesor y signo que la primera. Seguía á la descripción de las cur- vas de brillantez y obscuridad, la explicación aproximada de algunos casos previamente descritos. Nos proponemos ahora explicar algunos más, completar ciertas fórmulas y rectificar algún error que pasó inadvertido.

En el estudio á que nos referimos antes, suponíamos conocida por el lector la teoría electro magnética de la polarización rotatoria; en el presente trabajo, supondremos al lector novicio en ella.

No sabemos que en castellano se halle en letras de molde expli- cación alguna de tan notable teoría, por esto no dudamos que ha de reportar alguna utilidad el exponerla, siquiera sea en lo que el autor conceptúa necesario para la inteligencia de la aplicación que de la misma hace á los fenómenos á que alude el título del presente estudio.

II

Supondremos que la luz (**) puede estar representada por un vec-

(*) Anal2s de la Sociedad Española de Física y Química, tomo V, núm. 44, y Revista de la Academia de Ciencias, tomo V, núm. 7.

(**) No sabemos lo que es la Luz, ni lo que es la Electricidad, pero si pudiéramos afir- mar que una cosa y otra no son distintas, indudablemente habriamos adelantado mucho. Sería un bello ideal el referir las distintas formas de la energía á una sola, á la Electrici- dad, por ejemplo. Antiguamente se quería referir todo á la hipótesis mecánica. Aun hoy ciertos cultivadores de la Filosofía Natural, como Ludwig Boltzmann, asientan las hipó- tesis modernas de la Electricidad sobre bases mecánicas y viceversa, otros, explican la Mecánica, partiendo de bases eléctricas. Los primeros imaginan modelos y símiles mecá- nicos de los fenómenos eléctricos y magnéticos, los segundos modelos electromagnéticos de los fenómenos mecánicos. La misma termodinámica parece entrar de lleno en el sendero descubierto por Gibbs, y buscar interpretación de sus fórmulas en modelos mecánicos. Mas la ciencia adelanta muy despacio en estos derroteros. Muchos se contentan con mode- los matemáticos de los fenómenos, modelos matemáticos que condensan en un sistema de ecuaciones diferenciales. Tal procedimiento es llamado «fenomenológico». En la mayor

tor. Así como al propagarse una onda en la superficie de un lago, conocida vectorialmente en todo instante la distancia de un punto geométrico que figure la posición de una partícula líquida en reposo á las diversas posiciones de la misma partícula cuando se propa- ga la perturbación, se puede decir que se conoce mecánicamente el movimiento ó deformación de la superficie y por tanto la propagación del movimiento ondulatorio, así en todo fenómeno luminoso el cono- cimiento del vector luz localizado en un punto del espacio dará idea de la propagación. Antiguamente era el vector luz la distancia de la molécula de éter en reposo á la molécula apartada de su posición de equilíbrio. En la teoría que vamos á exponer este vector tiene signifi- cación eléctrica.

TFT Entre una masa lnoeneucal q y otra q localizadas en dos puntos situados á una distancia 7 actúa una fuerza

P= == e (1)

atractiva ó repulsiva según que q y q' tengan distinto ó igual signo; K es aquí una constante. Si hacemos X' = 1, las dimensiones de gy

son Z'2M'*77'. Definida la unidad de cantidad de electricidad como «aquella que actuando sobre otra igual, áun cm. la repele con la fuerza de una dina», se llama unidad electrostática de cantidad de electricidad Intensidad electrostática 1 se llama á la cantidad de electricidad que pasa en la unidad de tiempo, por una sección cual- quiera de un conductor que pone en comunicación dos masas eléctri- cas de distinto signo y sus dimensiones serán Z 44M 277! La in- tensidad magnética se define como la eléctrica.

Colocada una serie de masas laoensricas!| Q1) 2 Qa->- - en el inte- rior de una superficie S, se llama «flujo al través de la misma», á la

expresión

en que 7,, 7,...... son las distancias de un punto de la superficie S á

parte de tratados de leoria electromagnética de la luz se sigue este camino. Se parte de las ecuaciones de Maxwell-Hertz, como á priori, por inducción, buscando en la experien- cia la comprobación de la hipótesis de que el éter es tal, que en él, el campo de fuerzas eléctricas y magnéticas satisface las ecuaeiones citadas, como en Mecanica racional, se establece que el campo de fuerza está regido por las ecuaciones de Lagrange por ejemplo. Estúdiase así la propagación de ondas electromagnéticas en diversos medios y se hace la hipótesis de que las ondas electromagnéticas son ondas luminosas.

7

los diversos puntos donde se hallan localizadas Jas masas q, 9,..... A US son los ángulos que la normal á la superficie S en el punto considerado, forma con las direcciones de 7,, 7,..... La expre- sión anterior vale 47*g; en efecto, llamando du al ángulo sólido bajo el cual se ve desde un punto donde se halla localizada una masa q el elemento 45, será

p> E cos adS = lg = q Jus = YqO'= 47g). Llamaremos fuerza linaenérica €n Un punto á la que se ejerce so- bre la unidad de masa ó cantidad localizada en este punto y represen- taremos por |E la A enotica . Así, la expresión del flujo eléctrico, por ejemplo, se podrá escribir, llamando E, á la proyección sobre la nor- mal á la superficie de la resultante de.las fuerzas eléctricas en un punto,

— | YE, cosa, dS == | E,dS = 4r%g. (2)

Se conoce con el nombre de hoja magnética á una superficie en cuya normal se halla dispuesto un pequeño imán ó imán elemental, en que la distancia de los polos tiene un valor determinado, y por ejemplo, igual para todos los puntos, distancia que podemos lla- mar d. (Fig. 1).

El potencial de uno de estos imanes elementales en un punto P, será, puesto que el potencial de las acciones eléctrica ó magnética de

Y dr = = llamando Y al de la hoja,

A

una masa q es W = 1

y

r

q 2] A 40) 7 ruY!

pS es d V a [£ q yr SS y, atendiendo á la pequeñez de d, si llamamos 2. Yrála distancia del punto medio del imán ele- á mental á P, y a al ángulo que la dirección de E y forma con la normal e av= > d cos a.

y si la masa + q del imán elemental la supo- nemos distribuída en la superficie a, y la — q en lab con densidad superficial 5 tal que q = 2dS, tendremos, lla- mando vw al ángulo sólido bajo el cual se ve desde P el elemento 5,

Fig. 1

VEZ lado =3d0 *

siendo Q el ángulo sólido bajo el cual se ve desde P el contorno de

la hoja. a hoja z

pe E

Consideraremos como positivo el ángulo sólido, cuando el pun- to P se halle delante de la cara —. Así, en la figura 2 el ángulo en P,

Q y en £, del otro lado de la hoja pero muy cerca de P,, se puede decir que es — (47 — Q). Así, pues, el potencial en P, será Qod, y el potencial en P, será (4r — Q)3d. De fondo el trabajo realizado al pasar la masa magnética unidad de P,á P,, trabajo que se mide por la diferencia de los valo- res del potencial en las posiciones final é inicial, será

4rod

Si imaginamos materializado el contorno de la hoja por un hilo por el que circula una corriente de inten- sidad determinada Y, se ha comprobado que la acción de la hoja y de la corriente sobre un polo magnético unidad, son proporcionales, si se tiene

jdi=Y

siendo / un factor de proporcionalidad. Si suponemos / = 1, definire- mos electromagnéticamente la intensidad Y, por la expresión Y = do. Las dimensiones de Y son £ [dim de q] LEE, y si la Y magnética

tiene por dimensiones EN ds suponiendo igual á la unidad el coeficiente X' de la fórmula (1) de las acciones magnéticas, las di-

o 7 2 Va E 41 S mensiones de Y serán L ? M4 77”. Recordando las de /, se tiene

o . =il . que el cociente > tiene por dimensiones L 7, es decir, las de una

y velocidad, que expresada numéricamente en el ets, CATSNES 3.10% ó sea la velocidad de la luz.

Por lo que anteriormente hemos dicho, el trabajo realizado al atravesar el polo magnético unidad la hoja, ó al hacerle recorrer una curva cerrada que atraviese una sola vez la hoja, vale 415d, ó si se trata de un circuito recorrido por una coriente eléctrica Y = de y - cuya forma sea la del contorno de la hoja, el trabajo vendrá expresa-

do por 41 Y ó E siendo C la velocidad de la luz 3.10".

IV

Aunque la intensidad en diferentes secciones de un conductor sea la misma, la cantidad de electricidad por unidad de superficie normal que en la unidad de tiempo pasa por los distintos elementos 4S de una sección cualquiera, es diferente, como es diferente la velocidad del agua en los distintos filetes fluídos que atraviesan la sección de un tubo en el que corre aquel líquido. Llamando a, f, y, álos ángu- los que la normal á un elemento 4S de sección del conductor forma

_= 83 =

con tres ejes coordenados, y /.. Do I_¿á las proyecciones del vector que en un punto de la sección representa la intensidad por unidad de superficie normal, se tendrá

== la. cos o + Y, cos $ + /, cos y) dS (3)

Imaginemos un conductor en for- ma de anillo (Fig. 3), por el que cir- cula una coriente / Si el polo magné- tico unidad recorre la curva 45C, el trabajo realizado al recorrerle una vez tiene por expresión /A cos <dl, siendo dl un elemento de la curva ABC y + el ángulo que la dirección de H forma con la tangente á la curva ABC en un punto cualquiera de la misma. Pero, porlo dicho en el párra- fo anterior,

(q)

Fig. 3

E cos cdi =4n= - lu. cos 2 + /,y cos $6 +/, cos 7)d5,

estando la segunda integral referida á una superficie cuyo contorno

es, por ejemplo, 4BC, en lo cual no hay inconveniente, ya que como la

curva ABC envuelve por completo al conductor 20S, en los puntos

de la superficie que no pertenezcan al conductor, /. = /y =L¿=0. Por el teorema de Stokes,

lr cos: d/= AEe de Ha MH; ¡el 3 Hy Ho / ll E 22) 008 + SS e +) cos Y + e on ) cos | dS

y, por consiguiente,

jue cos a + /y cos É + /. cos y) dS = alza UA ME NE DEE ne AISO ) eos 2 + (5, = eos tE — 3) eos y Jas

refiriéndose las dos integrales á la misma superficie. Ahora bien, la fór- mula anterior es independiente de la magnitud de esta superficie luego

dx 07 e Hs Ay a o EN Ar Ye ¿nd e Y

SY LESS vectorialmente se escriben generalmente las tres ecuaciones simbóli- camente así

= = curl 4 (4)

Si no hubiera corriente en el conductor POS, aparecería en virtud del trabajo realizado al hacer recorrer al polo unidad la curva 4 BC. Desde luego, la suma de los dos trabajos tiene que ser nula por el principio de la conservación de la energía. En cuanto al trabajo reali-

zado al describir el polo la curva 40B vale 4z z. y si se tratara

de una masa magnética q, valdría

4 Y TQ E .

En cuanto al trabajo realizado al recorrer /POSR, la cantidad de electricidad /£, valdrá evidentemente ///L cos e'dl', siendo d/' un elemento del conductor /*05S/? supuesto, por un momento, lineal, y «' el ángulo que la fuerza eléctrica £ en un punto del conductor forma con la tangente al mismo.

Luego It le cos <dl' + 47 YY =0 ; E de donde 5 47 7 a E = av — — 4 Cos 7

dl

M y como z es la intensidad magnética, llamándola /, se tendrá, em-

pleando notaciones análogas á las anteriores,

dr M 2 = eurl E = ¿L. (5)

y

Se supone en Física que los cuerpos están impregnados de éter en el que pululan un sin fin de partículas cargadas de electricidad que se denominan electrones. Estos se mueven de muy distinta ma- nera en los distintos cuerpos, y precisamente esa diversidad de mo- vimientos los distingue en sus cualidades.

La intensidad de la corriente, se compone así de dos partes: La

NS

corriente en el éter, y las corrientes debidas al movimiento ó trans- porte de los electrones.

Veamos como podemos concebir la primera intensidad ó intensi- dad de corriente en el éter.

Supongamos dos conductores electrizados 4 y B el uno con elec- tricidad vitrea y el otro con electricidad resinosa en la misma canti- dad. Cuando, por medio de un hilo metálico, ponemos en comunica- ción 4 y B, ocurre algo que decimos es el paso de la electricidad positiva de 4 por el hilo, y neutralización de la de 5. Esto responde á cierto modo de concebir la electricidad, como si en 4 tuviéramos un cierto nivel de agua y en £B otro inferior, y por medio de un tubo estableciéramos la comunicación entre 4 y B. A esta manera de con- cebir la electricidad, substituíremos otra que nos será de gran utilidad. Imaginaremos que el estado eléctrico de .4 es como el de un fluído comprimido, el de £ como el de un fluído sometido á expansión. Al poner en comunicación A y BL por medio del hilo (suponemos 4 y LB en el éter) el fluído comprimido de 4 tiende á marcharse y el de Bá acrecentarse con el que circula por el hilo. Mas en vez de acumular- se el fluído en B y disminuir la cantidad del de 4, supondremos que todo el que va á B vuelve á 4 por el éter, pero, por efecto del mo- vimiento, desaparecen la presión en 4 y la expansión en 5. Ello sería algo así como si por medio de dos máquinas eleváramos en una un cubo con agua y bajáramos otro en la otra el mismo número de metros respecto del nivel en que primitivamente estaban, y que por medio de un tubo estableciéramos comunicación entre los mismos. El agua del más alto pasaría al mas bajo, mas suponiendo que este no puede contener sino la capacidad primera, rebosaría; imaginemos ahora que esta agua que rebosa se echa al primer cubo, y que mien- tras la circulación se verifica, los dos cubos vuelven á su posición primera de modo que no pase agua del uno al otro.

La cantidad de electricidad que en la unidad de tiempo pasará por la unidad de superficie normal en el éter será mucho menor que la correspondiente en el hilo conductor, atendido á que por una super- ficie pequeña pasa en el mismo tiempo la misma cantidad de electri- cidad, aunque en sentido contrario, que pasa al través de una super- ficie indefinidamente grande en el éter.

Con esto no nos será difícil definir la intensidad de corriente en el éter. Consideremos una superficie cerrada que envuelva al conductor A y noal £2. La cantidad de electricidad que pasa al través de esta superficie es cero, y está constituída por dos partes, la que pasa por el hilo y la que no pasa por él. Llamemos / á la intensidad por uni-

Sh dad de superficie normal en el hilo correspondiente al trozo de su- perficie interceptada por él, y PS á la expresión análoga correspon- % :

— $6 — diente al resto de la superficie; será q Ly, = di siendo q la cantidad de clectricidad que pasa al través del hilo por

unidad de superficie normal. Pero por (2) y ads = Ng

as

e T En

lt estando; la primera integral limitada á la porción de superficie inter- ceptada por el conductor; la segunda se refiere á toda la superficie. Pero

Cc Sc

Pas aS+/15,45=0 en que la segunda integral se refiere á toda la superficie menos la porción interceptada por el conductor. Pero como esta es pequeña, podemos escribir en vez de la sugunda integral (7 dS en que se en-

tiende que hace referencia á toda la superficie, en cuyo caso:

En y de 1, as=| 08 y por tanto En 4 Ve AMOS y en lenguaje vectorial, sencillamente

yy ETA

dr I (6) e Si, en vez de considerar dos masas eléctricas 4 y B, hubiésemos considerado dos masas magnéticas y el circuito formado por las líneas de fuerza del interior del imán que constituyen y las del exte- rior en el éter, hubiéramos obtenido análogamente

Mm a

df, = cn (7)

vI

Las dos expresiones anteriores de la intensidad se refieren al caso de propagación en el éter. Como vamos á estudiar la propagación en un medio que presenta la polarización rotatoria, admitiremos como ya hemos dicho la existencia de electrones. Estos tendrán en los

cuerpos, objeto de nuestro estudio un movimiento especial. Admiti- remos, por ejemplo, que el movimiento de un electrón en un cuerpo que presenta la polarización rotatoria natural se puede imaginar des- compuesto en dos: uno que llamaremos lato y que consistirá en un movimiento de oscilación rectilíneo, y otro movimiento de rotación alrededor de un eje que podrá, por ejemplo, coincidir con la recta en que se mueve en el movimiento lato; más claro, como el movimiento de un punto que se mueve en una circunferencia cuyo centro está animado de un movimiento rectilíneo de oscilación según una recta normal al plano del círculo. Llamaremos S á la variable que define el movimiento lato y 7 y 7 á las que definen el movimiento circular (7 el radio y « el ángulo polar). El movimiento circular se supondrá en el mismo sentido para los electrones todos.

Para expresar las fuerzas que actúan sobre el electrón, veamos el trabajo realizado por él mismo al haber girado, en un movimiento cir-

cular, 27 exactamente. Para un corrimiento //s* + rd? en su trayec- toría, se tiene como expresión del trabajo, suponiendo dirigido el eje de las según el eje de giro, y llamando e á la cargo eléctrica del electrón,

daT =e [Eds — Eyr sen ado + Ezr cos ada].

Por el teorema de Maclauría

US

E JE, E 12y = Py <P 00 a == == an dy d3 IE; DE: E, = LP +r.cos u + y sen a L

siendo 4%, £”. los valores de Ly y Ez en el centro del círculo que correspondería al movimiento en su circunferencia. Luego por una

z ; ds Ñ rotación de 27, poniendo —— =tg o, será

vado.

T=e ¡2 to o Es Ja" |

por tanto, para una dirección cualquiera Ss Y ; T= e2r1 tg o [E + 3 coto curl Él y, como 217 tg v es el camino recorrido proyectado según el eje de

giro, la expresión de la fuerza que sobre el electrón actúa será, vec- torialmente, por unidad de masa, y en la dirección del movimiento lato

Y E += Cot y curl E

— 88 que escribiremos aproximadamente ER curl £.

Esta es la fuerza eléctrica que actúa sobre la masa eléctrica uno del electrón, pero á los electrones se les asigna también masa mecá- nica, que llamaremos por ejemplo 72. Y así resultan sometidos á las fuerzas mecánicas provinientes de la resistencia que puede ofrecerles el medio, y aún se admite, para explicar el movimiento de oscilación calificado de movimiento lato, una fuerza atractiva dirigida hacía el

centro de oscilación y proporcional á la distancia al mismo ó sea, escogiendo S convenientemente, á S. Así, pues, la ecuación del movi- miento lato, será :

=elE.+f url E).

En esta ecuación se ha dado al coeficiente de resistencia propor- cional á la velocidad la forma ¿fe? para indicar que, cualquiera que sea €, representa una fuerza de idéntica dirección. Lo mismo puede

decirse del coeficiente de proporcionalidad de distancia 2. Se le da

esta forma, llamando á 5 coeficiente de vibración propia, por comodi- dad en la discusión de la dispersión rotatoria. Eo Si admitimos que ses una función periódica de la forma e' 7 ES) con un período 7, y ponemos para simplificar Ro 1120 yA a == = == =p dq” dre?” 27

resulta de la ecuación anterior

a 2 lan

2

La intensidad de corriente ó cantidad de electricidad que en la unidad de tiempo pasa por unidad de sección normal en una sucesión de electrones que se mueven describiendo las trayectorías que le co- rresponden, proyectada sobre la dirección de s, será, si hay en la unidad de volumen /V electrones de masa e, V' de masa €/.....

el á ds

Por tanto, la intensidad total, suma de la corriente en el éter y de

1 2T (*) Para comodidad se introduce la forma imaginaria e , pero en todo caso debe entenderse que en cualquier valor en que intervenga 2 y que, por tanto, sea una cantidad imaginaria, fisicamente solo vale de ella la parte real.

O AL

la corriente debida á los electrones es

IT — e o A De modo que an E e => E E + f curl 7 (S bis) habiendo puesto, para simplificar,

5 > Not'

E= 3er» Bee ; f= Y —=

ER peso

y haciendo caso omiso del coeficiente de resistencia del medio /? cuyo interés se limita al estudio de la dispersión. De modo que la ecuación (4) puede escribirse EQU A e

JE curl E curl 4. (8)

m m

Del mismo modo la expresión de / se compondrá de /. más la par- te correspondiente á la existencia y movimiento de los electrones.

Al moverse los electrones según hélices, forman como una co- rriente en un solenoide, y en el interior de este solenoide la intensi-

m

dad magnética es algo más que la intensidad en el éter /.. Evaluemos la intensidad en el interior de un solenoide. Sea un punto del eje com- 3

prendido entre dos espiras consecutivas, y supongamos que hay | V espiras en Ja unidad de longitud. Podemos substituir á las corrientes en los circuitos, hojas magnéticas que produzcan el mismo efecto. El polo magnético /? que se encuentra entre dos hojas próximas, es de- cir entre dos caras próximas cargadas con electricidades contrarias, (figura) sufre una acción igual á la del doble de una de las caras puesto que una le repele hacia la derecha, la +, y otra la atrae hacia

==E —= + = + — + =“||—-= =+||== = + E + aro tot poa a ls a la a EN=ÉS = + + + 4 + : = 321111 +8 A

la derecha, y en cuanto á la acción del resto del solenoide ó resto de las hojas magnéticas no tiene, podemos suponer, influencia: en las intermedias, por anularse la de la cara +- con la de la — que está jun- to á ella y en las finales porque las supondremos suficientemente ale- jadas para hacer caso omiso de su efecto. Un disco circular cargado con densidad magnética superficial 5 ejerce sobre un polo magnético unidad colocado á una distancia p del mismo una acción, que encon-

OE

traremos integrando las acciones de los clementos superficiales pro- yectadas según la perpendicular del punto al disco, perpendicular que supondremos pasa por el centro del disco.

Será

"0

Ss p cos a = fido = 20 Pr

siendo Q el ángulo sólido bajo el cual se ve desde P el contorno del disco. Para p = 0, la acción es » < 27, y la de dos discos con cantida- des magnéticas de distinto signo é inmediatos, 470.

Ahora bien, la equivalencia entre circuitos y hojas, exige en este

caso que 3

o =NV7 siendo 7 la corriente en las espiras en unidades electromagnéticas. Para evaluar 7 consideremos que si 7' representa el tiempo que tarda el electrón e en recorrer una espira, en un segundo la proyección del electrón sobre un plano normal al eje de la hélice que describe

1 ; s : h pasa Veces por un mismo punto, de modo que la intensidad en él en |

unidades electrostáticas será -. Y como en el tiempo 7 el electrón se e

1 mueve en la dirección del eje de la hélice 277 tg u, la velocidad del y

; o AS S z mismo en esta dirección, que hemos llamado e? será

ds 2x71tg 04 E 12 ds : e : y como nos/es conocido en función X y sus derivadas, 1 dscot o

a DE

y, por lo tanto, en unidades electrostáticas, , t ds a VU =CCOoto_ :a4T7. E de

La acción, pues, en un punto del eje del solenoide, será,

3 2 2 pe ds MO 41 ¿IN o SR Admitiendo que la fuerza en un punto que no está en el eje difiere poco de la fuerza en el eje, el producto de la fuerza por la superficie

normal representará el flujo,

OE EE

pero, observando que hay N'/» solenoides en la unidad de volumen, el flujo total á través de la unidad de superficie normal, teniendo en cuenta todas las clases de electrones, valdrá

Sr ds N==Y 7 cot ue NV =. C IET

Esta expresión, flujo por unidad de superficie normal, hay que considerarla añadida al flujo por unidad de superficie normal en el éter, que es evidentemente A. Luego

m m mel 3) 3) IN o o O fo A =. (7 bis)

«Para el cálculo de /V, ó para el de =. haremos caso omiso del

término en /' en la expresión hallada para es, de modo que escri- biremos aproximadamente

o 0

paa 47 (1 — 5)

Y así,

Y la ecuación (5) se transformará en la

134 YE

VII

Las fórmulas 6 bis y 7 bis, las hemos deducido en la hipótesis de

— m

medios isótropos. Para medios cristalinos admitiremos para / y / ex- presiones de las cuales las anteriores sean un caso particular. Lo más elemental será generalizar la expresión de / por ejemplo, en la si- guiente forma

A la ==

Ez d£

NE DE DE JE € E € A Y — z == 3F c0000 pr culo a Curly a carlo 4

0H

d DE, Ez e, A a curia E cuy, E Tr carl: =- 75d

dz lla = Es Ey E e ñ Sy +, > a cur). +1 an y a cur]; ps

indicando los puntos suspensivos potencias de « y / superiores á la primera. Suponiendo en primera A que omitimos estas potencias, y que Y, =% ==: =£ Li == == =f,=0, suposición esta última que no está del todo conforme con los resulta- dos experimentales, pero que hacemos aquí para simplificar, quedan como fórmulas generalizadas

IEEE MEE E E dz Lg = $ 57 T S7 > += Sy So =- f cura dE

Ez JE Ez JE tr ly =+, a + $ 7 + 56 07 +. curly 7

De Es JE, JE da Lo SE dE |< ES A +. Curl; E

Si se tratara de cuerpos desprovistos de polarización rotatoria, bastará hacer f = 0 en las fórmulas anteriores para tener las co- rrespondientes.

Las fórmulas que acabamos de escribir pueden simplificarse en los términos que no tienen /. En efecto, en un cristal que no presen- ta la polarización rotatoria, el trabajo 7” debido á una corriente / en un tiempo dí recorriendo una curva cerrada cualquiera / en el eris- tal, vale

T'=dit |(L ¿Es + LlyEy + T.E2) dl.

Si el cristal es transparente, al cabo del período correspondiente al fenómeno luminoso, recobra el cristal su primitivo estado. Luego el trabajo anterior ó variación de la energía debido á la circulación de la corriente / en el interior del cristal, debe ser la diferencial exacta de una cierta función / que defina la energía eléctrica. Luego

a

Tx Ex + Ly Ey + Lo Ez = : Í YA SN E; di

y por tanto

OS

De modo que el determinante

es simétrico. Siendo asi, se podrá escribir

Ex Ey. Ez dz TI dh e A pe

VA AM JEs Ey % ES Ez Az II apio Ey dy DES DEy a Es de ym Eo OS AEREAS 1 I — M= Sn ls, Ed +=, Ey +, E 4-2 Ey Ex +2, Ez Ex +2, Ez Ey)

la forma cuadrática Il se podrá transformar mediante un cambio de coordenadas en la forma simplificada

1 [- e > y, por tanto, refiriendo las componentes de / al mismo sistema, y po- niendo en vez de ly: ly l2 Ex Ey Bz, La, Ly, La, Ex, Ey, Ez, ya que no ha de haber lugar 4 confusión por referirnos en adelante siempre al nuevo sistema,

- Es J

dl la = 8) > + f cur. d DE, s JE

de ly=<, a ES curly E (10) — DBEz : dl

An lo = E, 7 +.f curl, a]

En cuanto á la fórmula 7 bis, cambiando los ejes será de la misma forma

A Na

A AN 3,

da ly = SE Si (11) m )H; VE

aos al

EA

Las fórmulas 4 y 5, 10 y 11, dan, definitivamente, las ecuaciones que ligan los vectores E y 4

1

o Siñ e carlo =- = curly AH | a J e Curly = cur), 33 Ben + e Curl: On cur, 4 ss E ] A — Es E E ar > e = — cur)y H a =F - -— curl, VIII

Eliminando en las fórmulas anteriores Hz, Hy, Hz, y poniendo

e Ha ==") + € Ey = 0, E Do= w,

2 2 0? Df e ea ==. C C == E = Y =E 5

3 E 3 3

se tiene, suponiendo en los términos que tienen f por factor y ya que

la diferencia entre <,, <,, <, es prácticamente pequeña y / es también una constante pequeña, que podemos sin error apreciable substituir

los valores de e,, e,, e, por su medio aritmético <

yu A e) [ du pa hoz) AS y? E ==]

== = 4ANuA — (4) a

af? Ja dy del 20 ls y

du Dj du dU dU Y pw du =bAu — a 10) ec | 9 [ = ] (13

af? dy e las dla de 43)

du UN ») [ du, y ' e] ¡UA y? E 2] =CcAu a ya ]

af A E A 1 E

Tales son las ecuaciones que definen el campo del vector 4, Y, 1, en un medio que presente los caracteres que hemos ido definiendo. Ahora bien, la hipótesis electromagnética de la luz aplicada á este

Pa O a

caso, consistirá en suponer, por ejemplo, que 4 7, 10, son las tres componentes del vector luz.

IX

Admitamos que el vector luz puede definirse por una vibración. Es decir, supongamos que sean

eo ealdS Me, y = parte real de Ne's, 10 = parte real de Te" M=MLEiM, N=N+ÍN, U=P+:P'

1 ( Ma + de sa =| F= 5 n+r+p=1 V T

Ó, lo que es igual, estudiemos la propagación por ondas planas en un

medio cristalino dotado de la polarización rotatoria. Para un instante

determinado í = const., el lugar geométrico de los puntos en que el

vector luz tiene la misma dirección y módulo, es un plano cuya nor-

mal tiene por cosenus directores 722, 12, fp.

Como es fácil ver, el segmento de normal comprendido entre dos posiciones del plano correspondientes á los tiempos / = const, ¿ = const. + 7,es V7, luego V representa la velocidad del plano ú onda plana según la normal.”

La solución particular indicada más arriba, ¿en qué condiciones es aceptable? Substituyamos los valores supuestos 2, v, 1, en las ecuaciones (13), y hallaremos las siguientes condiciones, en que para simplificar se ha escrito 911 V =

(V?— a) M= —=m(amM+buN +cpI) +2 (Mn — VE) (V2==b)N=— n(amM+bnN +cpll) +5 (Mp — Tm) ) (14) (12=c) 1 =— p(amM+0buN +cpID) +5(Vm— Mn) )

En la propagación por ondas planas que estamos estudiando, estas son transversales, es decir que, en cada instante, el vector 41, 7,10 es normal á la dirección de la normal á la onda plana, 12, 2, p. En efecto, diferenciando las tres primeras de las (12), la primera respecto áx,la.segunda respeeto á y, y la tercera respecto á <, se obtiene

PA 7 JU JW [++ 2] =0.

o=

T

AY OS : ES JU JU, IW a Si suponemos inicialmente - + S ES SE 0, en todo instante Ja dy El

Ju JU Pí0) IE

Mm + Nn + Ip = 0. (15)

= (0, de modo que

Oo

Observando que las ecuaciones (14) y (15) son lineales en M4, V, Il y amM +bnN + cpll, se tiene eliminando estas cantidades,

Va ¿op —= ¿sn m |=.0 —= ¿5p V*b ¿om n ¿on — ¿om = ¡0 P —= mM = —= 1/0 0 Ó bien, mM (Vb) (Vo + (V?-0 (Va) +p(V? a) yaaa (16)

En esta fórmula s es una constante pequeña. Si es cero, se tiene la ecuación que da para valores de 72,2%, Pp, los dos correspondientes de Y en el caso de cristales sin polarización rotatoría. En el caso que estamos indicando, también para cada valor de 772, 2, p, hay dos valo- res de V, lo que quiere decir que, dada una normal hay dos ondas planas que se propagan según ella con velocidades dadas por

2128 (b+c) Em (a+c)+ p (a Eb) + (AFBECAABFAS siendo A=m*(b=0, B=w%w*(c— a), C=Pp? (a —b).

Si suponemos 4 >> b >C, Á y C son positivas y 5 negativa. Así es que dentro de la raíz cuadrada hay cantidades positivas tan solo, de modo que no hay dirección ninguna de la normal para que los valores de "son iguales. Pero hay dos en que la diferencia es mínima. Estas direcciones se llaman ejes ópticos. Si designamos por 0? y e? las dos raíces de J'?, como s es muy pequeña, la diferencia 0? — e? es un mínimo cuando

A+EB=C=0 AB=0. Los valores de /2, 2, fp, para estas direcciones, serán so a=w y, b=é€ mi = 2 = 0, 2 = o a=c a=cC

y los valores de V?

Sis = 0, los dos valores de Y correspondientes á las direcciones de los ejes ópticos son iguales. Al valor o de Y correspondiente á una onda plana, corresponderá un valor de z, otro de v y 70, y lo mismo al valor e. Suponiendo al vector localizado en un punto, vea- mos cuales son las trayectorías del extremo del vector correspondién- tes á las dos raíces 0? y e? de la ecuación en /?. Sea y el módulo del

vector luz en el caso de la onda correspondiente al valor o y 7” el módulo correspondiente al valor e.

La solución admitida para 21, U, w, es, 1 = parte real de Ye? = M cos « — M' sen e Uv = NV cos. — WN” sen e w= cosa =P seno

con las condiciones (14) y (15). Pero esta última (15), se puede desdo- blar en

mM +n"N +pP =0, mM H+n1"N'+ pP'= 0;

además, se puede escoger el origen de tiempo de tal modo que,

MM + NN +PP'=0,

, )

MNP EA

y de este modo, las tres direcciones cuyos cosenos son 2 EN Ne : h , , TRA m,n, p son tres direcciones perpendiculares entre sí.

La trayectoria del extremo del vector luz es así una elipse, cuyos ejes tienen por direcciones las dos primeras direcciones anteriores. Proyectando en efecto los valores de 2, v, 10, según estas dos direc- ciones y la de la normal á la onda, se vé que esta última preyección es cero, y que eliminando + entre las dos primeras, se tiene una elip- se referida á sus ejes.

En virtud de la ortogonalidad mutua entre los ejes de la elipse trayectoria del extremo del vector luz y la normal á la onda, se tendrá

A A NA M Pu=Nr

1 ) 1

y AS Y 7 de donde, y por las ecuaciones (14), separando en ellas la parte real y la imaginaria,

(Ma == =mlam M-=bnN+cpP) |

(1: = b=5 z) N==nm(amM+buNz+cpP)) (17)

á ¿=0L)P= —= plamM+bunN+cp P)

AOS a

(v: amo) M=>—m(amM' +bn W +cp P”)

[7 pl) = n(amM +buN +cpP)) (18)

(vo: 2)P'== plamM' +bn WN +cpP")|

De las (17), multiplicando por M, NV, P, respectivamente y suman- do, resulta

7 NN? Pp? pl y (a 0 a )= >.

Análogamente, de las (18)

MELONES Pr y y (0 a FO +0) => : a >

y añadiendo las dos últimas, puesto que

ME AU en + a 1— yw? = mum +Qp, ete.,

242 —a (14 p2) —= bm 3] p) = Cc (mM 3H) = 5 > + 2

v Y

Si designamos á - por XK, y por Ko si se trata del valor correspon- diente al valor o de V y K, a' e de V, puesto que por (16),

a +p)+b(p* +11) +c (nm? + 14) = 07 + e?,

/ 1 L

(0] zan — | =0*%-— e? G E Lo l= 1 2 [40 + E a (404 E o y añadiendo estas dos

(Ko + Ke) (1 + Ko Ke) = 0.

1 : Por tanto, XK) = — Ke 6 Ko = — a Esto significa que las dos

e elipses correspondientes á los dos valores de V, ó coinciden ó están, por decirlo así, cruzadas. En todo caso descritas en sentido contrario. Pero si hubiéramos supuesto s ='0, hubiéramos hallado que las elipses degeneran en dos rectas perpendiculares, luego por continui-

sl LENA 1 dad admitiremos como solución única XK. = — 73% e Para aquellos puntos para los que 0?” — e* = + 25 que son los ejes

ópticos, K, = + 1, K¿= + 1 y las elipses se convierten en círculos.

00

Los dos valores 0? y e? de V? que da la fórmula (16), se pueden escribir introduciendo los ángulos gy y 2” que la normal á la onda forma con los ejes ópticos, del siguiente modo (*)

%*=a+c+(a—c)cos geos g' + /(a—c)? sen? y sen? gas 19) 2?*=a+c+(a—c) cos g cos g' — (a —c) sen? y sen? y” + 4 y además 26 25K,=-= K =(a—c) sen g sen 2'-F/(a—c) sen? y sen? ' 45? (20) 'Si el cristal fuera de tal naturaleza que =, ==, por ejemplo, los ejes

ópticos se confunden en la dirección única del eje v. En este caso, £ = g'. Las aplicaciones que más adelante se hacen de la teoría co- rresponden á la propagación de una onda plana en un cuarzo tallado en placa y normalmente á su eje óptico; el cuarzo es de los cristales para los que == <,. Sea £ el ángulo que la normal á la onda forma con la dirección del eje óptico. Dada la normal se propagan dos ondas,

cuyas velocidades vienen dadas por las fórmnlas

20?” =a +c + (a — c) cos” y + (a — c) sen* y + 40,

%=a+c+(a—c)eos? y — la —c) sen' g + da, y además 26 26 Ko = = EE (a—c) sen? g + (a —c) sen! y + do?. e

Supondremos también que la normal á la onda plana forma un ángulo pequeño con la dirección del eje del cristal. Es decir, nos limi- taremos á estudiar la propagación por ondas planas en la próximi- dad del eje.

Xx

Se llama superficie de onda á la envolvente de todas las ondas planas en un instante determinado, que un segundo antes pasaban por un punto que es su centro. Con lo dicho hay elementos suficien- tes para deducir su ecuación, que desde luego es complicada. Nos- otros introducimos aquí la noción de superficie de onda para poder hablar de la construcción de las normales á las ondas refractadas si

(*) Dejamos que el lector se ejercite en deducir estas fórmulas.

= 00) =

se nos da la normal de la onda incidente. Si una onda plana incide en la superficie plana de separación de dos medios, aire y cuarzo por ejemplo, escogeremos un punto 4 en la superficie límite de separa- ción, por el cual pase la onda incidente en un instante dado. La mis- ma onda, al cabo de un segundo, será tangente á la superficie de onda cuyo centro es el punto considerado, superficie de onda en el medio aire, por ejemplo. Imaginemos este plano tangente á la super- ficie de ondas dicha. La onda plana en el aire se refractará parcial- mente también. Para construir las ondas planas refractadas, desde la recta de intersección del plano anterior con la separación del aire y cuarzo, tracemos los planos tangentes á la superficie de onda en el cuarzo cuyo centro corresponda al punto 4. Habrá en general cuatro planos tangentes, pero solo dos representarán ondas refractadas. Las normales desde el centro á estas dos ondas son las direcciones de propagación según la normal de las ondas planas que en el cuarzo engendra la onda luminosa que propagándose en el aire se encuen- tra con la superficie del cuarzo. Las amplitudes de los vectores luz en el cuarzo correspondientes á las dos ondas, son funciones de la ampli- tud y ángulo de incidencia de la onda plana incidente, pero nosotros prescindiremos de las modificaciones que la amplitud, y aun la natu- raleza de la vibración, experimentan al atravesar la superficie de se- paración aire-cuarzo. Además, como estudiamos la propagación en la proximidad de la normal á la placa, vamos á suponer que las dos nor- males anteriores difieren poco, ó mejor que son una misma, de modo que las dos ondas planas son las correspondientes á una misma nor- mal, y por tanto las velocidades con que se propagan según la nor- mal serán O y €. Y llamando / al camino que recorren, Y al ángulo de refracción y / al espesor, h

cos y”

y la diferencia de fase al salir del cuarzo, en los valores de 4, 7, 10, correspondientes á 0 y e valdrá,

IA El 1) Teosgle ov

ó bien en virtud de las fórmulas del párrafo anterior, suponiendo a — Cc pequeño, y quedándonos con los términos de segundo grado en sen Y,

ae ( +> E sen? g) (a — Cc) sen' g + 47? =

5 1 AS = = a 2 S (21) q a ¿| 14 3 sen s|

— 101 — Para la dirección del eje 27 ST

== ha AG AB siendo la longitud de onda en el vacío 1 = C7.

Cuando en una dirección se propagan dos vibraciones circulares, en que el movimiento circular tiene lugar en distinto sentido en todo momento, la resultante es una vibración rectilínea. Pero si una de las vibraciones circulares sufre un retardo 2,, la vibración rectilínea re-

: : Jl ca sultante ha experimentado una rotación de 7 %- Aplicándolo al cuar-

ZO, si suponemos que se propaga una onda de luz polarizada rectilí- neamente (Ó sea en que el vector 41, v, v, tiene una dirección fija) cuya normal coincide con el eje, al salir del cuarzo, el plano de polariza-

; yO 1 ción habrá girado > Do

XI

Lo que sucede, pues, al incidir una onda plana en una lámina de cuarzo, onda plana cuya polarización supondremos elíptica para estudiar el caso mas general, es lo siguiente. La vibración elíptica de la onda incidente se descompone en dos vibraciones elípticas dextro- gira una y levogira la otra, cuyos ejes tienen direcciones función del ángulo que forma la normal á las ondas planas refractadas con el eje, ángulo que hemos llamado £. Además la razón de los ejes AX, ó Ko es también función de 2. Dado por tanto £, conoceremos las com- ponentes respecto de un eje coordenado de las vibraciones elípticas, expresando que la suma de las referentes á las dos ondas refractadas es igual á lo componente sobre el mismo eje de la vibración elíptica incidente. Como £ es pequeño supondremos que representamos las vibraciones en el plano normal á la placa de cuarzo, y que hacemos caso omiso de la componente en esta dirección ó sea de 2, si la nor- mal á la placa la consideramos, como hasta aquí, confundida con el eje x.

La vibración elíptica primitiva la podemos suponer dada por sus componentes sobre los ejes

Ú da , ositiva A sn levogira en que B ga y S1 es Meer representa un vibración idextrogira z

Aunque venga en forma imaginaria téngase siempre presente que se quiere expresar la parte real de £ y 7.

— 102 —-

Llamemos £,, 7, y £,, 1, 4 las componentes de las dos vibraciones elípticas en el cuarzo, que desde luego serán de la forma

, ¿74 , ¿51 E ==, cos Be, 11 ==—dic, senfe .,

271 a ¿Th 2 =C, cos Be, q =7C, cos Pe >,

NY

Tr he y en que (3 es menor que, y ata Según que, por ejemplo, sea

la placa liocrozir, - Una placa se llama así según que la rotación del plano de polarización (*) para una onda que se propague por el eje sea hacia la [Hacia - Si llamamos «' al ángulo que el eje mayor de la elipse primitiva que representaremos simbólicamente por (£, 7) for- ma con el eje mayor de (£,, 7,,), por ejemplo, se tendrá,

Cc, cos Y + c, sen $ = cos o cos Y + 7 sen a! sen P'

c, sen$ — Cc, cos B = cos a' cos B' + 7 sen a! eos P'

ó bien,

Cc, = cos a! cos ($ — 8”) + 7 sen a! sen (Pp +8”,

C, = cos Y sen ($ —$') — Z sen a' cos (8 +).

Al recorrer la placa las dos ondas polarizadas elípticamente, su- fre una respecto de la otra un retraso . Así es que si llamamos y al - ángulo que forma el eje mayor de (¿,, 7,,) con la dirección «exclusiva» del analizador (**), la componente útil del vector v, 1, al salir del analizador será, representando por « cierta constante cuyo significado es fácil ver,

pN (c, cos ff + c,senfpe )00s7 —| ¡(rio e ,

|

—7(c,senfB—c,cos Be '”) sen y

Esto representa un movimiento oscilatorio de la forma 4 cos 1/ + 5 sen 7/. Este movimiento puede representar el de un punto atraído por un centro en función de la distancia, sin velocidad inicial. La

(*) Llamaremos plano de polarización á un plano paralelo al eje y normal á o, w, cuando este es rectilíneo.

(**) Un analizador es un sistema de cristales que mo permite el paso de más ondas lu- minosas que aquellas en que el vector y, v, 4, liene componente según cierta dirección, que llamaremos «exclusiva». Naturalmente al salir del analizador, de la vibración de Y, 9, 10, solo es útil la componente sobre la dirección exclusiva. Esta dirección la suponemos per- pendicular al eje del cuarzo.

103 —

energía de este movimiento, suma de la potencial y cinética, vale A? + B?. Análogamente, definiremos como energía Z en la variación del vector luz á la expresión 4? + £5”. Para obtener 4? + B? multi- plicaremos = por su expresión conjugada, obtenida cambiando 7 en — 7. Resulta así, si C', y c”, son las O conjugadas de C, y (

e . Z=|c,c', cos? BFc,c,sen?B+(c,c”,e” e )senf cosB|cos? y E in —i0 ; E fc, c", sen? BC, cy cost B=(c,c'¿e”" +c",c,e )senf cosflsen? y —1i(c,c ge” —c',c,e "”) sen y C08 7, y como

c,c',=cos%4' cos? (8 — P”) + sen? a! sen*(B +8") c.c',=cos 0! sen? (8—(2) +sen? a cos*(B+-P”)

c,c',=cos%a' sen (9 —f8') cos (8—P") — sen” a! sen (8+f')cos (B+B”) +7 sen a! cos a! cos 2/9" c',c,=co0s*a/ sen (Bf) cos (8 —f') — sen?a'sen (8-8) cos(BP”) — ¡sen 4' cos o'cos 28", se tendrá

_(cos*a! cos? P” + sen? a' sen? P' —sen2a' cos28' sen 2f sen 5/> cos 2/2 —[cos?a' sen2(8—8") — sena sen2(P +8 ¡cos?a' sen” 2" +sen?a' cos? 9! +sen29'c0s2 acoso,

I[cos? a! sen2(¿—f) —sen?o! sen2 (8-8) sen2 sen? 5/2 * |

9

)] sen28sen?3/»

+

ísen2a'cos2f8'+-2 [cos?a'sen2(8 — 8") —sen?o'sen2(8 +$”)]) 2

Sy sen y Cos y = e 5/2 008 5/2 — 2 sen 2a/ cos 22" sen? 2/2 ) Z de

NY

= cos? B' cos? (y —a') + sen? P' sen” (y — a) + eos 28” > [sen28sen2(y—0) sen3/20083/.—(cos2a'cos2ysen*294sen21' sen27)sen*0/»] +sen 28" cos 28 [cos 2, sen 28 sen? 3/» — sen 2, sen 3/2 c0s 0/2] = 2. [eos (y, — a/) cos 3/2 + sen (7 — o!) sen 2f sen 5/2)” + cos? (y +0”) cos? 28 sen” 2/ | —+sen2(8' cos28 (cos2ysen2fPsen? 3/2 —sen2; sen 2/2 c0s2/»). (29)

= sen” 2' + cos 2

ATT

Aplicaremos la teoría anterior al caso indicado en el párrafo 1 Un polarizador, aparato igual á un analizador, nos dará ondas lumi- nosas en que 2, U, 1, tiene una dirección fija. La luz, polarizada rec- tilíneamente al atravesar la primera lámina de cuarzo, se descompon- drá en dos vibraciones elípticas que, habida en cuenta su diferencia de fase, al salir del cuarzo formarán una vibración elíptica. Esta atravesará la lámina de mica que sigue al cuarzo. La mica es un cris- tal birrefringente en cuyo seno se propaga la luz según leyes que se deducen de las explicadas en los párrafos anteriores, anulando la constante que caracteriza la polarización rotatoria, por ejemplo f. Nosotros admitiremos aproximadamente, que descompuesta la vibra- ción elíptica que llega á la lámina de mica en sus componentes según dos direcciones determinadas, el efecto de la lámina es dar á una res-

a - IA ; pecto de la otra un retardo en camino recorrido de E A Ó 3 ), Según

que la mica interpuesta sea de las que se llaman de un cuarto de onda ó un medio de onda. En rigor esto no tiene lugar sino para las ondas que se propagan de tal modo, que la normal coincide con la perpendicular á la lámina de mica. El espesor / de esta, necesario para ello, vendrá dado por

Al a Ir e AA

siendo O y e las velocidades normales de las ondas refractadas en la mica, y en la dirección de la perpendicular á la placa. Al salir de la mica la vibración elíptica así modificada, se convierte en otras dos vibraciones elípticas al entrar en el segundo cuarzo. Al emerger solo son útiles las componentes de la vibración sobre la dirección «exelu- siva» del analizador.

Sean:

in 9 07 o e, la vibración al entrar en el primer cuarzo la onda plana que

emerge del polarizador formando con el eje del microscopio un ángulo determinado, ¿96 = Ko;

a, el ángulo que la vibración del vector luz á la salida del pola- rizador forma con la dirección del eje mayor de una de las elipses en el cuarzo que simbólicamente, como en uno de los párrafos anterio- res, representaremos por JS uN b

7, el ángulo que el vector luz que emerge del polarizador, forma con una de las direcciones de que se habló en la mica;

= 100 =

/, el ángulo que la dirección exclusiva del analizador forma con el eje mayor (Es O

0, el ángulo que forma el eje ma- yor de la elipse que define el movi- miento vibratorio del vector luz, á la salida de la mica con la dirección principal en ésta á que se refirió >.

Las dos vibraciones elípticas en el primer cuarzo, en que se descompone la rectilínea que emerge del polariza- dor, serán, según lo dicho en el pá-

rrafo anterior, ((9'

= (0) (64=61) ¿,=[cosa cosB +7 sena sen 6] cose”!

ó abreviadamente

ld ARA y T 3 = G, cos f el?! 1 == [cos o. cos f +7 sen o. sen $) 7 sen fe". =—G, ¿sen fe”! ¿2 = [cos a sen f — 7 sen 2.08 8] sen fe'**= (7, sen Pei?!

7) = [cos a sen $ — / sen 9. cos (2) 7 cos Pet =7c0s B G, ei”!

Esta última experimenta al atravesar el cuarzo, como ya hemos

dicho, un retraso e *”. Designaremos por £,, 1, á las vibraciones así

modificadas, es decir, en vez de (7, se entenderá G,e *”. Así, pues,

y según las dos direcciones señaladas de la mica, habrá las dos vi- braciones (s, es una constante de fase) ve 2)| e

e 6 =- .) cgi (a am 12) sen (y E p- E E :) E (a +12) cos (y — a)| es

que definen una vibración elíptica.

z ; 1 En la mica, experimenta /" un retraso. Supongamos la de y onda,

Fse convierte en Fe "=F”. Así, representando por /? la amplitud de la vibración 4, por / su fase y.por A” y 1 la amplitud y fase de la vibración FF”,

E =Rev e *t F= Peli gir

— 106 —

Para poder aplicar la fórmula hallada en el párrafo anterior, co- rrespondiente á la entrada y propagación de una onda polarizada elípticamente al través de un cuarzo, hace falta conocer la relación entre los ejes de la elipse y la posición del eje mayor de ésta. Elimi- nando el tiempo entre los valores de 4 y F', se tiene la ecuación de la elipse. La posición y razón de los ejes de la misma se hallarán por las fórmulas siguientes (*):

1220 =c0s (1 —/)fg2 25, sen 28' = sen (/ —/) sen 25, contado 6 en sentido contrario del de las agujas de un reloj, ó sentido positivo. Se supone siempre p< = ¿

Llamando <, á una nueva constante de fase, las componentes según los ejes de la vibración elíptica á la salida de la mica, serán

Ar iltit+te = GB

HG sen pe EE.

Respecto de G debemos observar, que representada por G? la ener- gía del movimiento vibratorio, como debe conservarse integra la que tenía la vibración á la salida del polarizador, G = 1.

La vibración elíptica últimamente considerada se descompondrá en dos, como antes la lineal, de modo que llamando (=, 4), (=, 4)J4 las componentes de las vibraciones levogiras ó dextrogiras, según sus ejes, por ser el segundo cuarzo enteramente igual al primero en espesor y signo,

=M, cospirits, HA, =—1M, senpel Ts), =, = Ma sen pe Ts») H, =1¿M, cos per ES), en donde poniendo a' =utfy + 0, M, = cos a! cos ($ — 2”) + 7 sen o sen (B + f') M, = cos a' sen (8 = E) — / sen 9' ecos (8 + 2) :

La (=,, A,) experimenta un retraso qe de modo que al salir del

(*) El lector puede deducir estas fórmulas, que se encuentran en algunos tralados de Geometría analitica ó de Mecánica.

OA

cuarzo se habrá convertido en (=,, /7,) en que las rayas superiores indican que 1/, se supone substituída por 1/» e

— 010) Por fin, de las vibraciones elípticas =,, H, y (=,», H,), no quedan de este, la intensidad es, según vimos al final del párrafo anterior, Z=sen P' +c0s28 Xx

más que sus componentes sobre el analizador, de modo que al salir

[cos (y. == =0) cos 0/2 + sen (y —0 = y — 1) sen 2 + cos? (y + 0 + y +0) cos? 28 sen? 2/,

f sen 9/2]?)

el | + sen 28' cos 28 [cos 27 sen 28 sen 23/2 — sen 2, sen 3/» cos 0/»]

UN

media onda.

Vamos á aplicar las fórmulas anteriores al caso de ser la mica de Se tendrá, como ya se ha dicho,

Mr = 1 LE A cosj + 1Rsenj =

]

¿ 30 cos a. cos B + y Sena sen2% +

y ; ¡eos (y + 2) la cosasen* Pe "” —- Sena sen 989 | Z do DO 0. .=10 — y Coso sen 28 +sena sen? P + y Cos o sen 2Be La sen a cos? fe '? R cos] =

sen (y + 2),

=| eos uv. cos? $ + cos sen” (3 cos» —

2

sen /. sen2/8 sen »]eos (aa) 1 Z S Ñ ++ [sena sent $4 coso sen28-+seno+ sena cos? f cos > |sen(y+a)

que escribiremos abreviadamente

R cos / =[1] cos (y + 2) + (2] sen (y +2),

— 108 — KR sen =

1 1 0 8 28 ; B coso y E send sen 28 —cosa sen”(3 sen 09 Seno Sen 2% cos a]eos (+2) +

1 1 |- a Lost: sen28+- y ES sen 2f eos » sen o. cos? (3 sen >] sen (y +2),

ó abreviadamente Ke sen/ = [8] cos (y + a) +[4] sen (y +2): de donde

rey [Bl eos (+0 + [4] sen (y + 5% — [1] cos (y +2) + [2] sen (y + a)

r*=[(1)cos(y+2)+[2]sen(y+2)]'Y4-[13]c0s (y +2)+14]sen (y +2)]". Análogamente

KR” cos 1 = [1] sen (y + 2) — [2] cos v +4) >

R' sen /' = [8] sen (y + 2) ] eos (y +4)

y, por tanto,

ae (8] sen an a) — [4] eos (y +0) [1] sen (y + 2) — [2] cos (y +2)

R?=[[1]sen(y+a)=[2]eos(y+ a) ]'+[[3]sen(y+2)=[4eos(y+a)]".

Para el centro del campo ó para ondas propagándose en la direc- ción del eje del cuarzo, $ = 45". Para otros puntos $ = 45 +A, sien- do A una cantidad negativa. Desarrollando los senos y cosenos de (3 en función de A

AL AS n sen $= (1 pS 2312.34 Eta ) sen2f= 1— 21? ho

¡a 1 4 sen? = Si + DA E 3 A? O 0069 )

3 1 A 008 E= ¿(IA a ora

4 cos28 == 24 q 8...

3 cost = 3] 1 247 e ERA |

1 Cos” 1S = 4A? — - [NS

= 109 ==

Consideremos por ejemplo el caso en que y =90, y —u=090. Quedándonos con los términos de segundo grado en A

ol KR cos / =-, sen» [1 + 24 sen 20 tg 9), —24?],

R senj = — sen?3/, [1 — 2A sen 2a cot 2/, — 24”), R'cos / = +eos*3/, [1 - 24 tg?3/, cos 2a],

1 R'sen/ = — ¿sen »[1— 24 cos 20), de donde te] == tg O — 2A sen Yu [ter 5/2 + cot 21) j=- + +24 sen 2%, tg/= — tg 3), [1 + 24 cos 2 [1 + tg?9/2)]), l= — 0/, — 2A cos 2a tg 3/», I=/= —2 (cos 24 tg 5/2 + sen 20) A, R = + sen - E

R' = + cos E

de esta doble determinación de signos tomaremos KR = sen 9/», R' = c08 5/2, tg a === = cot 0/2 = te (90 — 5/2); cs = 90 — 9/2 tg 26 = cos (1 — /) tg 25 = tg (180 — 5), 0 = 90 — 0/2.

MO

La determinación de signos al extraer la raíz cuadrada, así como el número de semicircunferencias que deben añadirse á un arco cuya tangente se conoce para determinar el arco, los obtenemos fácilmente observando lo que ocurre en la propagación de la onda cuya normal coincide con el eje del cuarzo. Al salir, en efecto, del primer cuarzo, la dirección del vector v, 1 ha girado 5/2 como rotación del plano de polarización, y como la dirección principal (1) de la mica se supone á 90% de la dirección exclusiva del polarizador, el ángulo que la direc- ción de Y, w al entrar en la mica forma con la principal de esta vale 90 — 5/2. Pero como á la componente de 7, 10 sobre la otra dirección principal componente FF le ocurre el retraso e '”, se cambia la com- ponente F' por — FF, es decir que el vector luz v, w se cambia por su simétrico respecto de la dirección principal de la mica (1). Así se comprende que si 5/2 es < 90%”, — F tenga que ser positivo, y 0 valga (90 — 3/2). Los valores de / y 7 se han determinado con estas condi- ciones también

sen2(8"” = sen (1—/) sen25 = — 2seno (cos 21 tg 2/2 + sen 22)A £'=— Asens (cos2u ty 5/2 -- sen29) =— 24 sen2/» sen (20 + 3/2).

Substituyendo en la expresión de la intensidad será

Z=4N sen” 3/2 sen” (22 + 5/2) + 4A? sen? 5/2 sen? (20. + 9/9) + + 8 A? sen 3/2 sen (22 + 5/2) [— eos 2a sen? 2/2 + sen 24 sen 2/2 c0s 5/2]

= (2 sen » sen 20)? A?.

Hay, pues, dos direcciones con obscuridad correspondientes á

T

9» es decir coincidiendo con las direcciones exclusivas

del polarizador y analizador. Para A= 0, Z =0, lo cual era de espe- rar, puesto que la vibración rectilínea que entra en el primer cuarzo es desviada por este un cierto ángulo »/2. Cambia la mica, como hemos dicho, esta desviación por la simétrica respecto á la dirección principal (1), y al atravesar el segundo cuarzo del mismo signo que el primero pasa á tener el vector luz v, 10, la misma dirección que el polarizador, y por tanto normal al analizador. Luego la onda central no pasa al través del sistema.

La suma de las intensidades en dos direcciones perpendiculares, por ejemplo, la exclusiva del analizador y su perpendicular, siendo ambas normales al eje del cuarzo, ha de ser igual á 1, luego la inten- sidad en el caso de ser paralelas las secciones exclusivas del polari- zador y analizador será

a = 0,1 4 =

Z=1-— (2 sen o sen 20)? A”,

IÓ

Para el caso en que y = 45, y — 4 = 900,

á 90— 5 o JR cos = Cos os 0/2 —2A cos (45 + 2d) sen */», : NA z E 2 KK sen =— Cos 3301 sen»/2—24 sen 0/2 C08)/2c0s(45420.) , 90/= 5 q a Ed R'cos/ = sen=——C08S 0/2 — 24 sen (49 + 20) sen” 5/9, 2 . 90— 5 AAA a o R' sen / =— sen —— sen 9/2 —24sen9/a cos 2/» sen (45420),

pa)

, sen 9/2 sen (45 —- 20.) N2

O A J - ANN cos (45 — Yo l=—9/,— 24 sen can! 6 s (45 — 3/,) 1 j 4 sen 0/» (00 bl) == —- 4=—— sen (90 — 5/9 J COS » ; , 9 UH 0 , 90 — 10) OS on O o 905 A 90 —5 TO NS f” =— 2 sen 9/ sen (20 + 3/2), y, por tanto, Z =1— (1sen*3/» cos 20)? A?.

Si hubiéramos supuesto y —%=0, Z = (4 sen”o/2 cos 20.)* A”.

La figura indica las direcciones suce- sivas de 7, w, en el caso considerado.

Se comprende desde luego que para una posición cualquiera del polarizador y analizador, si la dirección (1) de la mica biseca el ángulo de las exclusivas de ellos, habrá en el centro del campo intensidad 1. Porque el primer cuarzo gira la dirección de y 1, de un ángulo 9/, siendo como ya sabemos 3 en este caso la diferencia de fase de las dos vibracio- Fig. 6 nes circulares que se propagan según el eje. Supongamos levogiro el cuarzo. El giro es hacia la izquierda. Al salir de la mica la diree-

= 112 —

ción de v 10 es simétrica de la primera respecto de la dirección prin- cipal 1, luego al salir del segundo cuarzo por el nuevo giro hacia la izquierda de -- que experimenta 7 1, coincidirá su dirección con la exclusiva del analizador. Y por tanto la vibración no se reduce. Su- cede lo contrario, como es consiguiente, con el polarizador y analiza-

dor dispuestos de modo que sus direcciones exclusivas sean una misma.

XIV

Consideraremos en este párrafo el caso de que la mica interpuesta

1 sea de e onda. Desde luego, la vibración X será la misma, y la F se

— 11 convertirá en F"= Fe? .Como F= Fe ”, —¿F' =F', luego F" =F', y por tanto llamando A” y !” á los valores correspon- dientes de 4” y / del caso anterior

R”" cos” +1R" sen1” == | cos 1 + ¿2 sen /] R" cos 1” =— R' sen l

Re" sen /” = RR" cos /.

0 Con objeto de deducir de aquí Doa los valores de 1” y /?”, estudiare- mos como en casos anteriores la modificación de la vibración de la <A onda que se propaga según el eje el | del cuarzo.

Wi El vector v 1, desviado de su: e Lol posición paralela á la exclusiva 3 del polarizador, un ángulo 5/2 al atravesar el primer cuarzo, se des- compone en dos al entrar en la UA mica, en la forma que la figura in- dica. Al salir de la mica se tiene la vibración elíptica que representa la elipse dibujada. Evidentemente,

Fig. 7 5 = — (90 — 3/»). Además R = cos (90% — 3/2), 2?” =— cos »/» . Con esto queda determinado /”, pues tenemos /” =— R'”, y por tanto

cos 1” = sen /

sen /” = — cos /.

113 —=

Si suponemos / = /' + 90 se satisfacen las dos ecuaciones ante- riores. En consecuencia, inmediatamente podemos escribir

_ 2sen 9o ( silo 9/2 Ea 90. cos 0/2

1=j=I= +90 =

Si queremos hallar los términos de segundo grado en A en la ex- presión de la intensidad, es necesario conocer la expresión de tg 5 hasta el término en A”. Partiendo de las expresiones de R y 2” en que entran los términos en A?

RR”? sen?o/, — 4A* sen*o/, cos*2a,

(20? =(=R") = cos*0/, + 44? sen*o/, cos*2a,

se tiene R" 2 cos? 20. tg o ==> = -- cot jp ——— y] R 2 A cos”0/, é inmediatamente G = — (90 — 9/,) — 4 cos*2a tg 5/, A? z — 4A sen 9/, sen (27. 0/.) ta 20 = tg 25 cos (1 — /)= - -— E COS 0 y por tanto : — 24 sen 9/, sen (20 4 9/,) Ca 1 » Cos 5 Además 2 sen” (20. 8/.) sen 23 = — [1 — Ea = 1%) sen 20 = cos” o/, 4A? sen 0/, = sen» — ————2 [sen? (20. + 5/2) + eos > eos? 20] » COS 0/2, y pcr tanto 89 2 sen 9/, 2 (9 S 29, =90 — 9/, oa A? [sen? (24. + 5/,) + cos 5 cos*2J)].

En consecuennia, resulta para la intensidad Z

1

Z= al sen*3)-4A sen » sen?3/, cos 24 — SÁ” cos*20.sen” 0/, C08 5.

dd ] Para el centro del campo la intensidad vale -, sen*o. Esto era de

esperar, pues girando el segundo cuarzo 9/, á los dos vectores v ww

dirigidos según los ejes de la elipse que figura la vibración al salir de

la mica, la intensidad sobre el analizador y cuya dirección exclusiva 4

e s

coincide con la (1) de la mica, será la correspondiente al vector pro- yección de AB y CB ó sea, será de la forma d

Dri 97 É AB cos 9/, cos 7 + CB sen 9/, sen E.

y como 465 = sen o/, y BC= cos 2/,

le 271 1 2 2rL pie A o 5 Ed 9 sen 0cos T 5 sen 7» sen 7

4

y la intensidad de una vibración rectilínea de esta naturaleza es des- 27É

ana

de luego la suma de los cuadrados de los coeficientes de cos 9T

SY d , 1 25 sen —,-,.€s decir -7'sen” o TS 2

XV

La intensidad Z del párrafo anterior, se anula para todos los valores de » de la forma 3 = 2K'7, siendo XK un número cualquiera. Esto da en el campo un sistema de círculos concéntricos. Para puntos próximos al centro del campo, nos podemos valer de la fórmula aproximada

1

Z)= mal seno + 44 sen 0 sen*o/, cos 20.

que se anula para cos 0/, + 4A sen 0/, cos 22 =0, que corresponde á un valor de A (A es negativo como ya sabemos),

— Cot.0/» cos2a '

T 4 T

— (> — 7) para puntos comprendidos dentro del círculo ¿ = z, ha-

Para valores de a comprendidos entre -- y — - ó entre z — — y

brá valores de A que satisfarán la anterior igualdad, es decir puntos en sombra que formarán como dos manchas á cada lado del centro bisecadas por la dirección exclusiva del polarizador. No habrá valores

. . ., T , U de A que satisfagan la anterior ecuación para a > qé <= - Ó no

z y = (> =- Sl á menos que estén fuera

comprendidos entre 7 —

= 150

del círculo 4 = 7, pues para estos valores cos 24 es negativo. Desde luego para los valores de « que anulen al coseno de su duplo, y con las direcciones límites anteriores, no hay anulación de la intensidad. Habrá por consiguiente cuatro manchas, pero aquellas cuya línea de unión es paralela á la sección exclusiva del polarizador serán mucho mayores, porque la variación de 2 es mucho más lenta cuanto más cerca del centro nos encontremos. (Véase el valor de 3 en función

del ángulo de incidencia). Para las dos manchas primeramente des- eritas, es decir para valores de « comprendidos entre + - ==> sus simétricos respecto á la sección exclusiva del analizador, se ten- drá que al aumentar a disminuye el cos 24 y por lo tanto aumenta el quebrado. Suponiendo que la variación de A es mucho más lenta que la de 3, esto obliga á buscar los puntos que satisfacen la ecuación anterior más cerca del círculo ¿ = 7 aunque sin salir del mismo. Se comprende, que por estar las otras dos manchas más allá del círculo 3 = 1, la influencia del término en A? se hará sentir mucho más que en el caso de las otras manchas, y precisamente el término en A? es máximo para los puntos que corresponden á estas manchas, al revés de lo que ocurre con las otras donde es negativo, y representa por lo tanto disminución de Z. Así se comprende que no se hayan obser- vado.

Para puntos más alejados del centro, en los que A? tenga impor- tancia, la intensidad se anula siempre que

COS 0/, 2 cos 3/, — sen 0/,

A cos Yu =

Ó bien 1 Cos 0/,

A cosa = — 2 cos o/, + sen 9/,

pues los dos valores indicados de A cos a son las raíces de la ecua- ción de segundo grado Z = 0. Llamando .x, al primer valor y x, al segundo, he aquí una serie de valores de Á cos «. que permitirán for- mar idea de la variación de la misma

o=0 23 = 09 Xx. = —0,5

a = 2 0,5088 — 0,4913 p= ue 0,517 — 0,4853 5 =80 0,538 — 0,467 S = 201 0,602 — 0,425 5 = 802 3,101 — 0,271 5 = 909 (92) — 0,25

o = 1209 — 0,683 — 0,183

== MINS

5 = 1600 — 0,106 — 0,0729 2 = 1800 0 0

2 = 2000 0,0729 0,106 > = 2500 0,205 1,164 5 = 2700 0,25 co ¿=280 : 0,264 88

5 = 360 0,5 — 0,5

Las dos funciones .x, y *, admiten el perívdo 2z,

Fig. 8

No nos proponemos un estudio profundo de estas funciones 1, y Y, sino solamente ver la variación de las mismas aproximadamente. Las figuras 8, 9 y 10 construídas tomando como base los valores prece- dentes servirán para dar idea. ;

Fig. 9

Ahora bien, A es una cantidad pequeña y negativa. Admitiremos que en su variación es una curva de las que vamos á estudiar para las que Z = 0, es muy pequeña. Así dividiendo las ordenadas de las curvas anteriores por A, encontraremos los valores de cos 24.

A

Admitimos para Á el valor 0,3, por ejemplo (*). Para obtener valores reales para a, solo podremos aprovechar la región de las curvas anteriores alrededor del valor 5 = 7, entre dos ordenadas menores que 0,3. Fijémonos en r,. Para los valores de » << ó menores que 31, 5r, etc., pero mayores que el valor de 2 que corresponde á la ordenada 0,3, valor que corresponderá aproximadamente á 3 = 140 6 140 + K2r, cos 24 adquiere valores positivos que van disminu- yendo hasta anularse partiendo del valor 1 que alcanza para 3 = 140

6 140 +2Kz. Luego a varía de 0 ¿q ó — - yderárx — - 6 — (= a) Para la otra región de la derecha de z, hasta el punto

Fig 10

cuya ordenada es 0.3, que corresponde aproximadamente á 3 = 320", cos 24 es negativo, y varía de 0 á 1, de este modo la curva acaba

Te

de formar como un óvalo pues < varía así de + -- ár— mi y de — Zi T : : E á—= (> = =) La distancia del centro al punto donde la curva corta

á la dirección exclusiva del polarizador expresada en 2es 5 = 140, en cambio al punto donde corta á la exclusiva del analizador es a = 820). y La A cos 2a. correspondiente á , es análoga, tiene también la for- ma de un óvalo, pero aun cuando pasa por los puntos en que el óvalo (*) Como Z ha de ser siempre positiva, la fórmula anterior para Z solo vale dentro del

cireulo A = y para el que Z es siempre positiva El valor 0,3 está en el interior de este 0 - cfreulo.

= 118 =

primero corta á las direcciones á 45” de las exclusivas del polariza- dor y analizador, corta á la primera de estas más cerca del centro, para puntos que corresponderán 45 = 50” aproximadamente, y á la segunda más cerca también para puntos que corresponderán á ¿=280" aproximadamente 6 40=50 +4 2K7 y 2 = 230 | 27 K respectiva- mente.

El aumento que A experimenta al alejarnos del centro, hace que los puntos en que los dos óvalos cortan á la dirección exclusiva del analizador estén más alejados del centro más de lo que hemos dicho.

Las dos curvas descritas se confunden en la experiencia, y el campo aparece formado por una serie de circunferencias y óÓvalos

que parecen elipses bitangentes á ellas. La teoría da pues, acertada cuenta del fenómeno.

XVI

Los valores de Z en los párrafos anteriores no sirven para ciertos valores especiales de 5, para los cuales son ilícitos los desarrollos en serie. Mas es fácil ver, que para los valores 3 = 7,0 = 2x, los valores que se obtienen para Z no difieren de los que dan las fórmulas en- contradas en que estos valores se hallaban exceptuados.

EsTeEBAN TERRADAS,

Catedrático de Acústica y Óptica de Barcelona,

— o

— 119 —

INFLUENCIA

de la forma de las masas líquidas que fermentan, en la cantidad de alcohol

producido y en la duración del fenómeno

Nuestras investigaciones hacia este objeto de indudable interés para el estudio de las industrias donde se realizan fermentaciones de masas líquidas, comenzaron observando el trabajo de una raza del saccharomoyces ellysozdeus (levadura) sometiéndole, primero á una vida casi exclusivamente aerobia y después á condiciones de vida casi exclusivamente anaerobia. Para estas experiencias utilizamos como caldo de cultivo agua de furallons azucarada al 10 por 100 con sacarosa y adicionada de un pequeña cantidad de fosfato ácido de amonio.

1.2 ExPERIENCIA. En seis placas Petri colocamos caldo de cul- tivo esterilizado, formando una capa de 2 mm. de espesor, sem- brando después en cada una de ellas, una pequeñísima cantidad de la raza de S. ellipsordeus en cultivo puro, que nos sirve para este estudio: las placas fueron cubiertas de modo imperfecto y colocadas en una estufa á temperatura de 27”, teniendo cuidado de agitar alguna vez y con las debidas precauciones durante la fermentación del caldo sembrado. Al cabo de 86 horas, el azúcar había sido completamente desdoblado; en el líquido que fermentó no encontramos más que 0%,6 de alcohol, habiéndose producido un enorme depósito de levadura que resultó en peso muy próxima- mente 0,3 gramos por 10 c. c. de líquido. Conviene recordar ahora que la cantidad teórica de alcohol que se produce por la fermen- tación de un líquido azucarado al 10 por 100 de sacarosa ó su equivalente 10,5 por 100 de glucosa, es tal que podría obtenerse líquido alcohólico de 6%,7 y por la enorme diferencia entre la ri- queza en alcohol encontrada y la teórica, nos encontramos frente á un caso de fermentación alcohólica, en la que por las condicio- nes en que se ha operado, solamente una insignificante cantidad de materia fermentescible produjo alcohol.

En esta experiencia, la levadura ha hecho vida aerobia y si- multáneamente un resto de vida anaerobia representada por la pequeña cantidad de alcohol encontrado que fué producido indu- dablemente por la levadura depositada en el fondo de la placa á la que no llegó el oxígeno necesario para su completa vida aero-

— 120 —

bia. El desdoblamiento de la glucosa en esta experiencia podrá representarse muy aproximadamente por la igualdad:

CAENO NAO 6 COL NERO

2.* EXPERIENCIA. Dispusimos de varios tubos de vidrio de 0,25 metros de longitud por 0,015 m. de diámetro, extrangulados en la parte superior y llenos hasta muy cerca de la parte más estrecha de la región extrangulada con caldo de cultivo idéntico al emplea- do en la experiencia anterior, se sembraron con la misma raza de S. ellipsoídeus en plena actividad y cerrados con tapón de algo- dón se colocaron en la estufa á temperatura de 27”. Hasta 42 días después de hecha la siembra, no fué desdoblado el azúcar en su totalidad; analizado el líquido fermentado encontramos una rique- za en alcohol de 6%,3 y una pequeñísima cantidad de levadura.

En esta experiencia, el fermento ha hecho una vida casi exclu- sivamente anaerobia, no teniendo más vida aerobia que la repre- sentada por la pequeñísima cantidad de levadura depositada de- duciendo de ésta la que se sembró.

La aplicación del resultado de estas experiencias á la fabrica- ción del alcohol, nos enseña que en un mismo mosto sembrado con una misma levadura, la cantidad de alcohol producido, será tanto mayor cuanto más se favorezca la vida anaerobia de la levadura, y el tiempo de duración del fenómeno de fermentación tanto menor, cuanto más se favorezca la vida aerobia.

Airear un mosto no es más que favorecer la vida aerobia del fermento, y por esto, la aireación que tanto se recomienda y mus chas veces se practica sobre todo en vinicultura, aumenta la velo=- cidad de la fermentación y en algunós casos realiza la conti- nuación del fenómeno si por determinadas causas se hubiera pa- ralizado. :

El caso de preparación de levaduras ó la obtención de pe d cuba puede considerarse dentro de ciertos límites, como inverso al de la fabricación del alcohol; en él debe procurarse obtener sobre todo depósito de levadura en buenas condiciones de vigor, favoreciendo en lo posible la vida aerobia del microbio.

Refiriendo ahora exclusivamente la aplicación de estos hechos á la vinicultura, realizamos las siguientes experiencias:

1.* En un vaso de vidrio cubierto con un disco de cartón, pu- simos mosto de uva estirilizado (riqueza en glucosa 18 por 100) formando una capa de 0,06 m. de diámetro por 0,08 de altura (caso de los lagares).

2." Enun frasco de vidrio cerrado con un tapón de algodón colocamos del mismo mosto que en la experiencia anterior for- mando una capa de 0,053 m. de diámetro por 003 de altura.

121 —

3.2 En un frasco de vidrio cerrado con un copo de algodón, pusimos del mismo mosto que en el anterior formando una capa de 0,06 m. de diámetro por 0,08 m. de altura (caso de los tinos ó conos).

Sembrados estos mostos con levadura pura de la misma edad y llevados á la estufa á temperatura de 27%, encontramos los si- guientes resultados medios de repetidas experiencias análogas:

Primer caso. Terminada la fermentación al cabo de 11 días, riqueza alcohólica resultante, 10%, 1 0),

Segundo caso. Desdoblado el azúcar á los nueve días de he- cha la siembra: grado alcohólico del líquido, 92,9.

Tercer caso. Después de 12 días de fermentación y sin conte- ner el líquido cantidad apreciable de glucosa, su grado alcohólico era 107,8.

Deducimos de estas experiencias que para conseguir el mejor rendimiento en alcohol de un mosto destinado á la fermentación, debe disponerse de modo que forme en las vasijas donde fermenta cilindros cuya base sea menor que su altura, libres en lo posible de la acción del aire, y dentro de las condiciones que exigen los fenómenos de vida que en el transcurso de la fermentación se realizan.

En cuanto al tiempo de duración del fenómeno hay alguna dife- rencia en menos entre el deducido de estas experiencias, donde la masa que fermenta es pequeña, y el deducido en la práctica de la fermentación, donde las masas de mosto puestas á fermentar son enormemente mayores.

ANTONIO GREGORIO ROCASOLANO.

(1) El grado alcohólico á producir en un mosto de riqueza 18 por 100 con gluco- so, es teóricamente 110,5.

ORNITOLOGÍA DE ARAGÓN

POR EL: R. P. LONGINOS NAYVÁS, $. ].

(CONTINUACIÓN)

2.* FamiLia ESTÚRNIDOS

Alas con diez rémiges primarias, la primera muy corta. Cola con 12 timoneras. Pico deprimido, con el borde liso ó un diente plano en el extremo, sin vibrisas, con aberturas nasales patentes. Tarso cubierto posteriormente por dos placas. Huevos azules.

9. GÉNERO STURNUS L.

Plumas de la cabeza estrechas y alargadas. Pico largo como la cabeza; abertura nasales al descubierto delante de las plumas de la frente. Alas largas y puntiagudas, la primera rémige de 1—2 centm. de largo, la segunda la más larga. Reflejos metá- licos.

12. Sturnus vulgaris L. Estornino.—Región superior pardo obscura, inferior negra con manchitas blancas. Reflejos metálicos muy intensos. Ala 12—13 ecm.; cola 6—7 em.; pico 22 — 25 mm.

eSturnus vulgaris. Estormido Funes p. 1905. Nostratibus 7o7- do. Circa Cesaraugustam vulgatissimus: prostat in foro venalis». Asso.

Aragón (Mus. Univ.); Zaragoza (Mus. Col. Salv.).

-13. Sturnus unicolor Temm.—De color uniforme negro par- dusco, con brillo de carbón, con débiles reflejos purpúreos, las cobijas de las alas más rojas de púrpura; tarsos y dedos amarillos.

Citado de varias localidades de España, por Arévalo; no lo he visto de Aragón, donde debe de encontrarse.

10. GÉNERO PASTOR Tenmm.

Plumaje rosado, cabeza con moño en los adultos. Patas fuertes, con el dedo mediano de la longitud del tarso. Alas largas y pun- tiagudas, cola corta.

14. Pastor roseus L. Astornimo pastor. — Cabeza y cuello hasta el buche negros, con reflejos purpúreos. Alas con sus cobi-

= 12

(95,

jas, y cola con las suyas negras con reflejos acerados. Ala 28 —31 centímetros; cola 7 em.; pico 17 — 20 mm.

Citado del mediodía de España y de Cataluña; si existe, debe de ser raro en Aragón.

3.2 FAMILIA ORIÓLIDOS

Diez rémiges primarias, la primera bien desarrollada, la ter- cera la más larga. Doce timoneras. Tarsos cortos, cubiertos por detrás con dos placas. Pico con vibrisas; aberturas nasales des- cubiertas.

11. GÉNerRO ORIOLUS L.

Caracteres de la familia. Comprende en Europa una sola especie.

15. Orivlus galbula L. Oropéndola.-- Colores muy distintos en ambos sexos, S' adulto de un amarillo de oro casi en su totali- dad, brida, occipucio y rémiges negras, Y adulta verde olivácea, con matices de amarillo en la nuca y más en el obispillo. Región inferior de un blanco sucio, con rasgos longitudinales negros. Ré- miges pardas. Ala 15 — 16 cm.; cola 8—9 cm.; pico 23 — 26 mm.

<Oriolus Galbula. Hispanis Oropéndola: nostratibus 7ur/ol, et Papajfigo. Habitat Ceesaraugustee, Osce. Femina a mare adeo diversa, ut minus peritis facile imponat ad novam speciem con- stituendam. Caput et dorsum virescentia: pectus et abdomen palli- da striis fuscis. Remiges fusce. Oropygium flavum. Rectrices e fusco virescentes apicibus flavis, exceptis duabus intermediis. Pe- des plumbei». Asso.

Aragón (Mus. Univ., Col. Salv.).

N. B. Aplicando con rigor extremo la ley de prioridad, de- biera cambiarse el nombre técnico de esta especie, apellidada por Linneo Coraciías oriolus (Syst. Nat. Ed. X, 1758) y más tarde Oriolus galbula (Syst. Nat. Ed. XII, 1766). Si conservamos el nombre específico primitivo y el genérico posterior incurriremos en la tautología Orzolus orzolus, á no ser que variásemos el nom- bre genérico y consiguientemente el de la familia, diciendo, por ejemplo, Oríus, y de él Orídos. Lo preferible por más sencillo parece conservar los dos nombres, asímismo linneanos, Orzolus galbula, con que es designada esta especie en casi todos los autores.

4,2% FamiLra FRINGÍLIDOS

Son los más propiamente llamados Con¿rrostros. Pico fuerte y cónico; mandíbula superior frecuentemente arqueada; aberturas

— 124 —

nasales patentes, cercanas á la base. Nueve rémiges primarias, por ser exigua y apenas visible la primera. Nidos al descubierto, á veces en agujeros. Huevos casi siempre punteados ó mancha- dos, rara vez de un solo color. Granívoros é insectívoros.

Es familia numerosísima en especies é individuos.

12. GÉNERO PYONORHINUS () NavAs (=Coccothraustes PALL., NOM. SPEC.)

Pico enormemente grueso y robusto, ancho y alto en la base; la anchura de la mandíbula inferior es próximamente igual á la altura del pico. Cola corta, cuadrada. Las tres pri- meras rémiges (prescindiendo de la abortiva) casi iguales en longitud, la cuarta más corta y mucho más las sigientes, escotadas en el lado externo del ápice. (Fig. 7.*). -

16. Pyenorhinus eoccothraustes L. Picogordo, Piñonero. —Color general pardo rojizo claro; brida, barba, garganta, rémi- ges negras; pescuezo y lados del cuello grisáceos. Región inferior leonada, colores más vivos en la Q. Ala 10 cm.; cola 53 — 57 mm.,; pico 19 — 22 mm.

«Loxia coccothraustes. Hispanis Casca piñones. Habitat Ceesa- raugustee, circa Lituénigo». Asso.

Aragón (Mus. Univ.); Zuera (Duplá; Mus. Col. Salv.).

Fig. 7.2

13. GÉNERO LOXIA L.

Fácilmente se distingue de los demás pájaros de Europa por el pico cruzado, bajando á la derecha la punta de la mandíbula su- perior y subiendo á la izquierda la de la mandíbula inferior. Aber- turas nasales cubiertas por las vibrisas. Tarsos más cortos que el dedo mediano.

17. Loxia curvirostra L. P7co-crusado.—De un color rojo ladrillo intenso, más pardo en el dorso, más vivo en el obispillo.

Rémiges y timoneras pat-

E z AS ¿SS E y . ás. Ala 99 —102 mm.; cola ES a E 39 — 73 mm. Longitud de la Se mandíbula superior en lí- nea recta 18 — 20 mm.; al- tura de la misma en la base 7'2—8'2 mm.; anchura de la mandí- bula inferior en la base 10'8 — 11'4 mm.; altura de la misma 4 mm. «Loxia curvirostra. Habitat circa Monroy in agro Alcannicen-

si, ubi P/2erol vocatur». Asso.

Fig. 8.1

(1) Del griego Tuxyóc grueso y PLY, fLv0S, muriz; alusión al tamaño y grosor descomunal del pico.

e

El tipo (fig. 8.*, a) que tengo á la vista, de Francia (Mus. Col. Salv.) no lo he visto de España.

Var. hispana Harr. (fig. 8.*, b). Parecida en todo al tipo, pero con el pico visiblemente más delgado y largo. Longitud del pico en el $, 21 mm.; la altura de la mandíbula superior no llega á 7 mm.; anchura de la inferior 11 mm.

Águilas (Murcia); pero es creíble se extienda más en España; tal vez llegue á Aragón.

Var. balearica Hom. (Figura 8.*, c). Notable por la mandíbula superior larga y muy arqueada, la inferior corta y gruesa. Alas muy cortas.

Mallorca. A. v. Homeyer, Journ. f. Orn. 1862, p. 256. Aragón. Refiero á esta variedad un ejemplar muy deteriorado del Museo de la Facultad de Zaragoza (Fig.8.*, c) Longitud de la mandíbu- la superior en línea recta 20'8 mm.; altura en la base 7'2 mm.; longitud de la mandíbula inferior 16 mm.; anchura 11; altu- ra 48 mm.

14. GÉNeRO LIGURINUS Koch. (= Chlor¿s Cuv., NOM. SPEC.)

Plumaje verde, alas largas y cola marcadamente escotada pos- teriormente. Pico cónico, grueso y corto, mucho más corto que la cabeza. y

18. Ligurinus chloris L. Verderón.—De un verde oliváceo en el $. La Y es algo cenicienta, con la garganta y abdomen verde amarillentos. Rémiges y timoneras pardas, orilladas exte- riormente de amarillo. Ala 87—90 mm.; cola 57 mm.; pico 12— 14 mm.

«Loxia chloris. Nostratibus Verderol Funes p. 203. Habitat ubique frequens». Asso.

Zaragoza (Mus. Col. Salv.).

Var. aurantiiventris Cab. Región inferior verde amarilla, que pasa á puro amarillo de oro en el medio. Región superior de un verde vivo y amarillo de oro, con el borde de la frente del mismo color.

España (Hartet).

15. GÉNERO ACANTHIS BeEcHsTElN.

Pico fuerte, casi redondeado, con extremo puntiagudo, base como hinchada; aberturas nasales junto á la base, cubiertas por las plumas de la frente. Alas largas y agudas; primera rémige muy corta, 2 —4 largas casi iguales, la segunda ó tercera la más larga. Cola mediana, escotada en medio como medio centímetro.

O

Tasos fuertes, cubiertos por delante con escudetes y por los lados con placa entera.

19. Acanthis carduelis L. /¿/guero.— $ adulto. Pico blanque- cino, negro en la punta. Una faja roja carmesí rodea la base del pico; brida negra. Otra faja, blanca paralela á la anterior, interrumpida en el vértice, que es negro, lo mismo que la nuca. Lo restante pardo rojizo; pecho y vientre blanquecinos. Rémiges y timoneras negras, algunas blancas en la punta; las rémiges me- dianas en medio de un amarillo vivo; formando ancha faja. Ala 79 — 84 mm.; cola 50 mm.

La Y se distingue por su tamaño algo menor, faja de la cara roja pálida, anaranjada, más estrecha por debajo, collar blanco sucio, rojizo. Ala 76 — 78 mm.

<Fringilla carduelis. X¿/guero. Funes p. 197. Nostratibus Car- delina Marcuello p. 254. Ubique frequens». Asso.

Zaragoza (Mus. Col. Salv., Colección Peñaranda, etc.).

20. Acanthis spinus L. Sol/tar¿o.—Color general verde acei- tunado manchado de negro y ceniza. Parte superior de la cabeza pardo negruzca. Rémiges segunda y tercera con una línea fina amarilla externa, la cuarta y siguientes pintadas de amarillo en la base. Timoneras negruzcas, orilladas de amarillo. $ Cuello y pecho amarillo vivo. Q más cenicienta; pecho y .abdomen con manchas alargadas pardas. Ala 73 — 75 mm.; cola 45 — 49 mm.; pico 10 mm.

Castilla, Cataluña, etc. (Arévalo). No lo he visto de Aragón.

21. Acanthis cannabina L. Chorlito, Pardillo —Pico pardus- co, tarsos pardos. E. Parte superior de la cabeza de un rojo car- mesí vivo, el cual se extiende por todo el pecho hasta el abdomen; lo restante de la cabeza gris plomizo; lomo rojo de orín. Rémiges y timoneras pardo negruzcas, orilladas de blanco. Q. Cabeza y cuello de un tinte pardo ó gris amarillento, con el tallo de las plumas más obscuro que las barbas; lomo pardo rojizo; garganta y parte superior del pecho pardo amarillento claro con manchas pardo negruzcas dispuestas longitudinalmente. Ala 82 —- 82 mm.

«Fringilla cannabina. Nostratibus Pajarel. Ceesaraugustee, et. alibi frequens». Asso.

Casi toda Europa. Se tiene en domesticidad. :

22. Meanthis tlavirostris L. Pajarel.—Pico amarillo. Parte superior de la cabeza, nuca y cuello con manchas pardas y rojizas longitudinales; obispillo rojo (GS) ó rojizo (?). Cara y garganta rojo amarillentas, con manchitas pardas á los lados del cuello. Pecho y costado sin manchas pardas. Región superior parda, con borde de las plumas rojizo. Abdomen blanco amarillento. Rémiges y h

q

a

timoneras negras, con listas blancas. Ala 76 - 8l mm.; cola 64 — 66 mm.; pico 8 — 9 mm.

Ave de paso que se ha citado de varios sitios de España.

23. Acanthis citrinella L. Verdaza.—Tinte dominante ver- de amarillento. Estrías grisáceas en el lomo. Rémiges y timone- ras pardas, orladas de verde amarillento. Q más pardusca. Pico córneo pardusco. Ala 76 mm.; cola 530 — 53 mm.; pico S'9 mm.

Varias regiones de España (Arévalo). Zaragoza.

Clave de las especies del Género ACANTHIS

1. Pico rodeado en la base de una ancha faja de plumas de rojo carmesí interrumpida en la brida. . . . . . carduelis L —Sin faja anular roja en la cabeza. . ... 2 2. Color dominante el amarillo verdoso, sin medias 6 ban das rojas. Pico córneo pardusco, más claro por debajo.

citrinella L. —Color vario, con algún tinte amarillo ó manchas rojas. . 3

3. Pico amarillo, obispillo rojo rosado (S*) ó más pardo (+). flavirostris L. —Pico pardusco y obispillo de otro color, no rojo... . 4 4. $ Roja la parte superior de la cabeza y buena parte del pecho, lados del cuerpo no estriados de pardo. Q Cabeza y cuello grisáceos ó parduscos; región superior del cuerpo roja pardusca. cannabina L. —Sin rojo en la cabeza y pecho. Dorso verde; flancos estriados

de negro (S'); región inferior blanquecina. . . . . Spínus L.

16. GÉNERO CHLORINDUS () Nom. NOV. (= Serinus KocH. NOM. SPEC.)

Plumaje fino, verdoso. Pico corto, hinchado, abovedado; aber- turas nasales cubiertas en parte por las plumillas de la frente. Alas medianas, obtusas, con las tres primeras rémiges casi igua- les, las más largas; cola algo larga, bastante escotada posterior- mente.

34. Chlorindus serinus L. Verderzllo.—Región superior ver- de aceitunada con manchas alargadas negras; frente y rabadilla amarillas. Región inferior amarillo-verdosa. Ala con dos bandas transversales amarillas. Cola parda, subcaudales blancas. Pico cárneo obscuro por encima, cárneo claro por debajo. Tarsos par- do-cárneos. Ala 72— 75 mm.; cola 50 — 32 mm.; pico 7 — 7'5 mm.

(1) /hog0s, verde.

128

«Fringilla mandibula inferiore albida, fronte, gula et pectore flavis. An varietas F. serini? Habitat Ceesaraugustee et circa Epi- la, ubi Gafarrón apellatur. Dorsum et rectrices e fusco et flavo mixta; uropygium flavum; abdomen albidum; remiges et rectrices fuscee. Vidi marem fronte et pectore e fusco virescentibus». Asso.

Común en España. Zaragoza!

N.B. Para Hartet el canario pertenece á la misma especie que el gafarrón. Si así fuera, podría llamarse al primero Ser/mus canarius L., y de él sería una variedad el gafarrón. Las diferen- cias entre uno y otro son muy marcadas, pudiéndose retenerse ambos como dos especies afines.

17. GÉNERO PYRRHIA () NOM. Nov. (= Pyrrhula

PALL. NOM. SPEC.)

Pico corto, en la base más ancho que alto, comprimido y arqueado por delante. Alas algo redondeadas; la primera rémige (visible) igual á la quinta; las 2— 4 las más largas. Patas fuertes. Tarsos cortos, poco más largos que el dedo medio.

25. Pyrrhia pyrrhula L. Camachuelo —Cabeza, alas y cola ne- gras con reflejos violados; una banda transversal de color de ceni- za en el ala; región superior de este color; rabadilla y subcauda- les blancas. y” Pecho rojo, con buena parte de la región inferior. Patas pardas. Ala 93 — 98 mm.; cola 68 — 72 mm.; pico 10 mm.

Var. europza Vieill. Tamaño menor. El gris de la región es algo más obscuro, el rojo de la región inferior menos vivo. Y con frecuencia más obscura, pardusca. Ala $ 81 —88'5 mm.

Ave de paso. En la época de la cría es abundante en los Piri- neos y alto Aragón, según el Sr. Castellarnau (ap. Arévalo).

(Continuará).

(1) De Tofpos, rojo.

Teruelitas del Museo de Historia Natural de la Facultad de Ciencias de Zaragoza

Por ser la Teruelita, como indica su nombre, uno de los mine- rales más genuinamente aragoneses y también por la variedad de ejemplares que de dicho mineral existen en el Museo de esta Facultad, paréceme oportuno dar noticia en este breve artículo de las particularidades más notables que á ellos se refieren.

Yacimiento.—La mayor parte fueron por mí recogidos en las excursiones que durante los veranos de 1904 y 1905, hice por los alrededores de Teruel.

Al Norte de esta población y á corta distancia de la misma, extiéndese de Este á Oeste una estrecha faja triásica, cuyas mar- gas rojas é irisadas la distinguen enseguida del mioceno que la circunda. Entre dichas margas y como producidas á expensas de la caliza de las mismas, se encuentran grandes masas yesosas muy compactas en ciertos estratos y deleznables y de aspecto sacarino en otros. Enclavados, pues, en estos yesos margosos, se hallan los cristales de Teruelita, si bien por la acción denudadora de las aguas, quedan con frecuencia libres y se les encuentra en- tonces esparcidos en los bordes de los senderos.

Aspecto y forma de los cristales.—Desde luego se reconocen dos clases distintas de cristales: unos pequeños, de caras rugo- sas, sin brillo, de color pardo rojizo como de chocolate, y que presentan siempre solamente la forma simple del romboedro obtuso. Estos alguna vez están maclados y se les encuentra con gran profusión diseminados en los yesos deleznables de as- pecto sacarino antes mencionados. Los otros son generalmente bastante grandes, de forma compuesta en la cual la predominan- te, que es el romboedro agudo, tiene sus caras muy obscuras, casi negras y bastante lustrosas. Rarísima vez este romboedro agudo se encuentra solo en el cristal, sino que, por el contrario se le observa combinado con el pinacoide básico (0001) quetrunca (hol)

“sus dos vértices culmiaantes y cuyas caras son siempre mates. Cuando existen solamente estas dos formas, el cristal puede ser confundido con un octaedro monoclínico constituído por las cua- tro caras del clinodomo (0k1l) y las cuatro de los hemiortodomos positivo y negativo, no siendo extraño por tanto que D. Amalio

5

— 130 —

Maestre (*) al describir este mineral incurriese en dicha equivoca- ción. Fué D. Francisco Quiroga (**) quien rectificó tal error deter- minando la verdadera simetría de la Teruelita. A estas dos formas simples se unen también con gran frecuencia las seis facetas de un romboedro obtuso, considerado por Quiroga como el primitivo (1011) y cuyas caras son mates como las del pinacoide y están colocadas truncando las aristas que sobre el romboedro agudo intercepta dicho pinacoide.

Estos cristales de forma combinada les he encontrado siempre en los yesos compactos y tienen una exfoliación muy manifiesta, según los planos del romboedro obtuso, siendo muy brillante y de color menos obscuro la superficie exfoliada.

Los ángulos del romboedro sencillo de los pequeños cristales no me ha sido posible medirlos por la rugosidad de sus caras pero tanto por el aspecto de ellas como por la forma del romboedro paréceme que es el mismo romboedro obtuso que se halla combi- nado con el agudo y la base en los cristales grandes.

El obtenido por exfoliación fué medido por Chaves (***) abte- niendo un ángulo de 106%12” que es precisamente el que dan Nau mann-Zirkel para la Ankerita (****).

Composición química y génesis. —Partiendo del análisis de la Teruelita que hizo D. Francisco Quiroga, hallándola constituída por el carbonato cálcico magnésico, con pequeña cantidad de hierro é indicios de manganeso y teniendo en cuenta además las circunstancias de su yacimiento, puede conjeturarse como se ha podido formar en los yesos en que se la encuentra. Estos yesos,, según la autorizada opinión de D. Daniel Cortazar (*****) y del disoluciones de bicarbonato de cal sobre las de sulfato de mag- nesia y al formarse así el sulfato de cal hidratado, natural es que también la presencia de la magnesia separada del ácido sulfú- rico y el óxido de hierro tan abundante en las rocas triásicas dieran lugar al carbonato de cal, magnesia y hierro constitutivo de la Teruelita.

Otra de las circunstancias que en el yacimiento de este mine- ral merece mencionarse, es que los cristales de forma simple se encuentren siempre en los yesos sacaroideos y deleznables que son precisamente los más puros, así como las formas combinadas

(*) Anales de minas, tomo III, pág. 261.—Geognosia, de Cataluña y Aragón

(**) Tomo ll de los Anales de la Sociedad Española de Historia natural.

(***) Tomo XX (1891) de los Anales de la Sociedad Española de Historia Natural

(xxx) Elementos de Mineralogía, pág 597.

(q4x*s) Bosquejo físico-geológico y minero de la provincia de Teruel.—Boletín de Comisión del Mapa geológico.—Tomo XII. 1885.

(19xxx) Geología de los alrededores de Albarracín, 1896.

la

= LS

se hallan con preferencia en los yesos margosos consistentes € impregnados de multitud de substancias que los impurifican. Al parecer las materias extrañas interpuestas que colorean las ma- sas yesosas, ha favorecido la aparición y desarrollo de las facetas correspondientes á las distintas formas simples que integran la compuesta de los referidos cristales.

Lugar que debe ocupar en la clasificación. —Amalio Maestre refirió la Teruelita á la Breunerita de Breithaup, pero como esta según los análisis de Stromeyer carece siempre de calcio y Quiro- ga, halló en la Teruelita una gran proporción de dicho metal se desechó enseguida tal opinión. Chaves, fijándose principalmente en el resultado de la medición goniométrica del romboedro de ex- foliación la refiere á la Ankerita de Haidinger, pero hay que tener en cuenta que la composición química esencial de esta espe- cie mineral, es una mezcla isomorfa de carbonatos cálcico y fe- rroso dominantes y sólo como subordinados y en pequeña pro- porción entran los carbonatos de magnesio y manganeso, siendo así que en la Teruelita el carbonato magnésico juntamente con el cálcico componen la mayor parte, y el ferroso se encuentra en muy pequeña cantidad. Paréceme en cambio que los caracteres de los ejemplares de que trato coinciden por completo con los que de la variedad Braunmspath 6 espato pardo de Dolomia describe Naumann-Zirkel en sus elementos de Mineralogía. Lo que sucede es que la serie isomorfa de los carbonatos romboédricos por ser tal vez una de las mejor conocidas, se ve en ella que el clásico concepto de las especies mineralógicas, tiende á ser substituído por el de tipos de la serie entre los cuales existen multud de varie- dades; dejándose el nombre de especie para los grupos de seres vivientes cuyos caracteres se conservan por generación. La deno- minación de especie es menos impropia al aplicarla á las substan- cias obtenidas en los Laboratorios, pues su composición y propie- dades físicas son más constantes que en las producidas en las complejísimas circunstancias que en la naturaleza concurren.

Diremos por tanto que la Teruelita es uno de los términos in- termedios entre los tipos Dolomita y Ankerita de la serie isomor- fa de los carbonatos romboédricos.

PEDRO FERRANDO Más.

= 132 =

ESTUDIO PRELIMINAR DEL CLIMA DE ZARAGOZA

SECUNDARIA

VAPOR ACUOSO Y CIRCULACIÓN ATMOSFÉRICA

M.—VAPOR ALUOSO

Todo el que conoce algo de Meteorología, aunque solo sea en su parte elemental, sabe la dificultad que existe para la deterrai-. nación relativamente exacta del estado higrométrico por medio del psicrómetro, instrumento que por sus múltiples causas de in- certidumbre requiere más cuidadoso y acertado empleo. Por no haber tenido, tal vez, en cuenta estas dificultades, aparecen como muy erróneas las observaciones psicrométricas de la estación me- teorológica oficial durante los años 1865 á 1881, y solo son acepta- bles las efectuadas en algunos de los años 1882 á 1894.

A esas observaciones pueden unirse las asíduas y cuidadosas del P. Blas Ainsa en los años de 1880 á 88, muy perfectas y dignas de tenerse en cuenta como la parte más principal de los datos compulsados. Con ellos hemos compuesto el cuadro VIII, inserto á continuación, y en cuya última parte figuran los valores pro- medios de la humedad relativa y tensión del vapor de agua dedu- cidos de las observaciones efectuadas á las 9 am. y 3 pm. en la estación meteorológica oficial durante los años citados. Como es- tas observaciones no dan los valores medios de la humedad y la tensión diurna, es preciso aplicarles una corrección sustractiva poco importante para la tensión, y otra algo mayor aditiva para la

a

humedad, según se desprende del examen de las observaciones sextihorarias medias.

VIMN.—Evaporación y humedad

| E HUMEDAD RELATIVA | TENSIÓN DEL VAPOR ¡LEER

Je Ela AE ls [9 sp Ea | 9 uan Ela sn ANA 2: 2[50]

A a | Enero .occcocoo ll 6| 88 | 86 | 68 | 81 | sí | 4.8| 4.9| 5.5| 5.0, 5.0 77 | 5.4 Febrer... 0... l2.4| 82 | 79 | 55 | 74 | 72 5.4 5.7) 5.9 5.7 5.7 72 | 6.2 MarzO......... [13.6] 78 | 70 | 48 | 68 | 66 || 5.9| 6.3| 6.3| 6.3. 6.2| 68 | 7.4 PU. COB Eb Na [4.9] 76 | 64 | 46 | 66 | 63 || 6.5 6.9 6.6 6.7, 6.7,1 64 | 8.3 Ma 6.2173 | 57 | 40 | 60 | 57 | 7.9| 8.0] 7.8| 8.3 8.0l| 60 [11.0 Junio da Ume| m | 56 | 37 | 56 | 55 | 9.11 9.8 8.9 9.7, 9 4/59 13.8 [uffvooao adoos 9.1 | 70 [54 | 32 | 53 | 52 [[11.0,11.5/10.1|11.1'10.9| 55 (15.0 ABOStO.coomoo o. 8.5) 68 | 55 | 33 | 50 | 51 |111.1/11.7/10.4/11.2 11.41 53 (14.3 Septiembre... 61175 165 | 42 | 61 | 61 (10.0/10.6 9.7/10.1110.11 62 (12.5 Octubre........ 3.8] 78 | 70 | 48 | 67 | 66 | 7.7| 7.9] 7.7| 7.6 7.766 | 9.3 Noviembre ..... 2.0| 85 | 81 | 61 [79 | 76 | 6.3| 6.4] 7.0| 6.5| 6.6| 77 | 7.1 Diciembre. ....[/1.3| 84 | 82 | 65 | 80 ¡ 78 | 4.9| 5.0| 5.5] 5.2| 5.1178 5.1 | ÍNO 000 Uscapos 4.8| 77 | 68 | 48 | 66 | 65 ||7.5| 7.9| 7.6| 7.7| 7.7] 66 04

Figura también al principio del cuadro la evaporación diurna media, deducida de la observación diaria en la estación oficial durante todo el período de 1865 á 94, con algunas deficiencias que no aumentarán ciertamente la inexactitud de dato tan complejo, que con la humedad relativa y la absoluta, nos permiten juzgar con relativo acierto de la sequedad ó humedad del clima.

En orden á la variación de esos elementos climatológicos, re- sulta de las observaciones trihorarias verificadas en 1884, que la humedad relativa durante el día, presenta la simple oscilación propia de estas regiones, con un máximo antes de amanecer y un mínimo opuesto hacia la hora de la temperatura máxima, ciclo inverso al de la temperatura diurna y perfectamente justificado por la íntima relación que por esencia tiene la temperatura con la humedad relativa. La amplitud media de esa oscilación es igual á 30, creciendo del invierno al verano y disminuyendo en orden inverso. La tensión presenta también la consabida doble oscila- ción con sus mínimos antes de amanecer y después de la máxi- temperatura, y sus dos máximos, más ó menos acercados según las estaciones y que corresponden hacia las 10" y 21", como térmi- no medio, aunque en el invierno se reunen en uno solo lo mismo que los mínimos. Esta oscilación llega á tener en el verano una amplitud de 1"".5, siendo menor en el invierno durante el cual excede poco de medio milímetro.

— 134 —

La comparación de las observaciones en iguales épocas de la estación oficial y de las Escuelas Pias, acusan una mayor hu- medad en el primer lugar, achacable tal vez á la proximidad del río, siquiera la menor confianza de aquellos resultados no permi- tan afirmarse muy resueltamente en ese sentido.

El examen de los resultados insertos en el cuadro antecedente manifiesta la importancia de las oscilaciones anuales inversas, de la humedad relativa y de la tension, que entre muy apartados lí- mites marchan en sentido contrario del invierno al verano y vice- versa. Los meses de Noviembre, Diciembre, Enero y Febrero acu- san una humedad relativa entre 70 y 85, con muchos días de 90 y 100. Por el contrario, en los meses del estío la atmósfera está relativamente seca y la humedad media no llega ni á 60.

IX.—Nebulosidad y precipitaciones

|») NEBULOSIDAD 2 E - a | | (a) | [o | ES Su | 9u-| 15» ¡211123 ¡a al [ x ll E E aaa UE | | 50,160.52. | 45 [| 10 12) 9 19 5| 12 | 64/|-6-| 6,12 18 51 59 has 139] 11/10 6] 22] 6] 33 91 21 4|12 | > 15] l[a7 [4645/34 l 11 18) 7/23 6 [29 | só] 1] 2[02[02|0,4| 47 | 53 | 57 | 48 l 9| 13| 8 || 36| 8 | 31 | 106| 1101106] 1,2! 35 | 40,| 44 34 | 11| 14 6 | 39| 9 | 32 | 102|| 0,4 | 2,4! 31 3339 | 30| 14 131 3 31] 6 [Pas [104 > 02134 1916 | 2926 [| 18) 12 1[ 18 4[35| 63] > - lo2|42 16 21/22 |25| m 13 1[ 5] 3134 | 45| 2] 02| 32) Septiembre..| 32 | 36 | 41 30. [| 121 14.4 ll 28| 6 | 37 | 113 > |> 0,1 ]|16| Octubre..... 132 | 45 | 47 | 32.1 11/15] 5 l 37| 6 | 65 | 138| 1 » 10,104! Noviembre .. 140 60 | 45 | 30 9) 12) 9[ 27 7|30 | 113 2| 4/01] > 0,2| Diciembre. .! 43 | 56 | 45 | 33 [ 9| 13| 9 | 211 5,30] 47 6 | 6/07] > | > NO a ovas - || 36 44 | 42 | 34 | 142| 155| 68 Il 316| 71 | 65 454 | 17 | 24/35/20 | 17]

El cuadro IX, que antecede, contiene los datos relativos á la nebulosidad, precipitaciones y demás accidentes atmosféricos más ó menos ligados con la humedad atmosférica, y apenas es necesaria explicación alguna, para comprender é interpretar los resultados consignados en sus columnas. Unicamente será bueno advertir, que se consideran como días despejados aquellos en que las nubes no cubrían dos décimas partes del cielo, como cubiertos por el contrario, los que no tuvieron libres de nubes ni esas dos décimas partes, y como nubosos los restantes de muy vario grado de nubosidad.

Combinados esos resultados con los de la humedad, tensión y temperatura, se ve fácilmente que Zaragoza es relativamente

húmeda en los meses de Noviembre, Diciembre y Enero, como así lo acusan también las nieblas que en ocasiones excepcionales se estacionan hasta quince y más días consecutivos. Es seco en los meses de Junio, Julio y Agosto, como lo indican la baja hume- dad relativa, gran evaporación y escasez de lluvias que no sean tormentosas. Y disfruta de un grado medio de humedad en los otros meses del otoño y primavera, más tempestuosos éstos que aquellos. En estas estaciones son en cambio más frecuentes las las lluvias, que alcanzan á 98"" en la primavera y 92”" en el otoño, de los 316"" que en total depositan las nubes durante todo el año.

Finalmente, la nebulosidad ó porción del cielo cubierto por las nubes, decrece del invierno al verano é inversamente, y es sensi- blemente más grande de día que de noche, fenómeno de carácter general en climas análogos y de nada difícil explicación.

IV.—CIRCULACIÓN ATMOSEÉRICA

Se refieren los datos que existen para el estudio de los vientos, á la dirección de éstos, observada á las 9% y 19', á su velocidad, medida por el recorrido diurno del molinete de Robinson, y á la fuerza relativa de dicho viento en cada una de las dos observa- ciones diarias.

X.—Dirección y velocidad del viento

| 1

DIAS DE VIENTO (=5|55| DÍAS DB

== = ===. 2 o | == |

Seal is

N. [NE. E. [SE.| S. [SW|W. Nwl[s52(32|5|2 |5 [95

| »PalPal ? : [e] (E)

Er ao 11 31 2] 4] 1 21 4| 14 240l10021 16 7] 51 3 FEET oa l 2 1 4] 1[ 2| 2 | 16/2963 se7| 13) 9] 4| 2 IEA DscoobodouaJSoRa don 2 2 6 1 2 1711 278|+ 972; 131 911 5 | 4 A o A A an Aaa 116 (SOT 10261 Poo 6H (6 Ma Aa e Es o ls Jnnio AA a E 6 2. | 2| 16) 2021004 10/ 10 6 | 4 ¡O IS Late 1| 2] 18/978 ss 12] 10 5| 4 IND ob ooog 00 0uenad ral 210 1| 2 | 14 271] 996 101 111 5| 5

Sepliembre...oc.o....-.| 1 3 2 8 1 2 3 1011 216 729|| 16 91 4 1 |

Octubre... cocinnccnnes 1 ala 7 1132] 1820 8% 15 9 4|3| isla a | 3 | 14/1206 053 17] 8 3| 2

aa os 21 3] 15lla1s| 9791 161 9 4 | 2

mMob(30|17|72 | 5| 21 | 30 | 179|| 256/1092 158| 111] 57 | 39

Esos datos, en los años de 1880 á 1894, nos han permitido com- poner el cuadro X, que contiene los valores de la frecuencia rela- tiva de los vientos en cada uno de los meses del año, su velocidad

— 136 —

media y máxima diurna, apreciada en kilómetros, y los días mensuales y anuales de calma, brisa, viento y viento fuerte, en que la velocidad diurna es menor, respectivamente, de 200, 400 6 600 kilómetros, ó mayor que este último número.

De su examen resultan dos consecuencias: la predominancia casi absoluta de los vientos del NW y del SE, aquellos más del doble que éstos, y la velocidad relativamente elevada y frecuen- te violencia de los vientos, que aún resulta mayor de las observa- ciones realizadas en el nuevo edificio de la Facultad, tal vez por el mejor aislamiento del Observatorio y sobre todo por su mayor altitud.

La predominancia dicha de los vientos del NW y del SE tiene su explicación en las condiciones geográficas, que hacen á la cuenca del Ebro paso fácil de las corrientes atmosféricas produ- cidas por las contrapuestas condiciones meteorológicas del Can- tábrico y el Mediterráneo, y en las condiciones topográficas que tienden, en general, á orientar los vientos del NW al SE ó vice- versa. La velocidad relativamente elevada es debida también á esa misma contraposición barométrica citada, y al aumento que una especie de caída por el plano inclinado de la cuenca pue- da producir en la velocidad inicial. Algunos días sobre todo, y en algunos de sus momentos, alcanza el viento velocidades de 15” por segundo 6 54 Km. por hora, llegando á las de 5” una cuarta parte de los días del año, como término medio, resulta- dos que claramente manifiestan el marcado carácter ventoso del clima. ; ,

El estudio de la variación diurna de la velocidad y de la direc- ción del viento, confirma las consecuencias deducidas de las ob- servaciones en otros lugares. Si mediante las observaciones del P. Blas Ainsa, calculamos las direcciones medias del viento, re- sulta el siguiente cuadrito:

XI. —Dirección media

IáA E--_———— y | | 31 | 91 | 15» | | | [A 1 Invierno... .......ooo.. | W NW. W.-¿NW. W.N. W. | 1 | 1 1 Primavera........ ... W.- SW. NW. W. NW. - W. MOTION coco. dono Une W NW NW | Otomo | W.N.W. NW. NW.

De él se desprende que predominan durante el día los vientos

a A a

del NW y que estos vientos tienden hacia el S por la tarde, osci- lación que manifiesta la influencia diaria del Sol, cuya acción po- demos expresar mediante las componentes que en cada momento del día nos dan, con la dirección media en ese día, una resultante igual á la correspondiente para ese momento. Determinadas esas componentes diurnas para las mismas horas del cuadro anterior, muestran un giro en el mismo sentido que el del Sol, según se des- prende del cuadrito siguiente:

XII. Componentes diurnas

_ — | 3) 91 151 21) | MIO o Vb ooo dones NW. N. | NE. A N. S. |

6 1 1 | 1 1 |

BUM ass SE Zi SW.| N. 7 NW.| N. a NE. S. A SE. Mera no dodo WSW. [NW.N. | E.N.E. | S.-SE |

| | OTTO conosodeo do ade w.ENWw.| N.N.W. N. y NE. | S |

La velocidad nos muestra también claramente una oscilación diurna, con su mínimo de antes del amanecer y su máximo de en- tre 9 y 15”, que se acercan tanto más al anochecer cuanto más nos aproximamos á los meses del estío, en los cuales aumenta la velocidad de los vientos nocturnos según claramente se manifies- ta en el cuadrito adjunto:

XMI.—Velocidades sextihorarias

| 3149 9h á 151 151 á 211 211.4 3» |

METIDO ado a BOdao 47 76 63 59 Primavera... .. ...m. - 60 84 75 66

WETWO ros norgompuodod 64 74 73 | 72

| teo icObb ose 46 67 A | Finalmente, para apreciar la relación de los vientos con los demás elementos meteorológicos, sirve bastante bien el cua- dro XIV, en el cual, por referirse sólo á un quinquenio, debe aten- derse más á las variaciones y correlación de los elementos clima-

tológicos, que á sus valores absolutos, no enteramente compara- bles con los obtenidos en más largo período de observación.

EE a. a pl > > Sl o a = > E = I | N. | 749.1 4.5 | 79 | 4.8 | 3.211 N 1185, 25.4 | 44 10.7. 17 O, NE. | 48.2] 41] 86 | 5.4| 5.8 (| NE. | 43.4 23.0 | 55 [11.0 | 3.0 E Z| E 47.4| 4.0 | 86 DEN OA ER 43.41 26.6 | 46 | 11.1 | 2.0 fm IC) sE. | 45.5] 5.4 | 84 | 581 6.8| SE. | 43.0 244 | 54 [11.7 | 3.213 As lada a 6.0 | s. | 4.8 26.8 | 45 | 11.2 | 3.62 E SW. | 46.6/ 6.5 | 76 | 5.5| 5.0 ||SW. | 42.7) 23.4 | 53 |-10.8 | 3.6 é =|| W. | 47.6 5.6. | 76 | 5.3. | 3.7 || W. | 44.3 20.4 | 58 | 10.1 | 2:0 IL NW. | 48.6/ 6.4 | 74 | 5.1 | 3.0 NW. | 44.7| 22.0 | 51 | 9.8 | 1.9 1! | N. | 742.8| 14.0 | 58 | 6.6 | 3.0 || N. | 45.6| 13.8 | 66 | 8.3 Ed Ñ NE. | 43.1) 13.0 | 65 ¡ 6.5| 4.2 [| NE. | 442 144 | 71 | 8.61 3.8 | E | esas] mo | 78] 47[ E. | 4.7 145| 72 | 88| 5.0/0 >)SE. | 41.4 14.9. | 66 | 7.8. | 5.8 || SE. | 4411 16.1 | 70 | 9.4 | 52123 <ys. | 38.9 14.9 | 64 | 7.2 | 6:8 || s. | «2.2 149 | 72 | 8.7 | 5.1 o 2 sw... 40.9 13.8 | 60 | 7.21 54 (sw. | 2.0 14.0| 70 | 8.3 2118 Ll w. | 42.5/12.1 | 60 | 6.3 | 3.5 || w. | 44.8] 12.5 | 67 | 7.4 | 3.1 Dinw. | 45.6 13.3 | 58 | 6.1 | 3.2 Nw. 45.0 135 | 65 | 7.4 5.0]

De su examen resulta que los vientos del cuarto cuadrante (N al W) correspondientes casi siempre con las presiones más elevadas, son secos y relativamente frescos, excepto en el invier- no que son más templados, sirviendo por eso en todo tiempo para mitigar los extremos de la temperatura. Por el contrario los del cuadrante opuesto (S al E) son húmedos, nebulosos y cáli- dos, excepto en el invierno en cuya estación son relativamente frescos acompañando casi siempre á las nieblas intensas y frías de esa estación; por tal motivo, al contrario de los del cuarto cua- drante, contribuyen á acentuar los extremos de la temperatura.

La explicación de esos hechos puede ser análoga á la de los vientos foehn y mistral, con los cuales tienen bastante parecido en su origen y desarrollo los vientos czerzo y bochorho dominan- tes en estas regiones. Unicamente varían las condiciones climato- lógicas de las comarcas que atraviesan y las condiciones del re- lieve, por lo cual son algo diversos los accidentes secundarios de estas corrientes atmosféricas, que compendian é incluyen en sus cualidades las complejidades del brusco clima zaragozano.

GRACIANO SILVÁN.

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TEOROLÓGICA

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te el primer trimestre de 1907

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pp 54 49 NO NO [|45.0|353| 16.4 | 14.1] 58 | 37 NO | N 45 49 NO NO [1[46.5 | 36.5 [18.11 147] 54 | 35 NO | NO 8) 78 NO NO. || 41.8 | 35.1 | 17.5 | 138.6] 40 | 31 NO | NO

58 33 NO | E 45.4 | 37 5 | 16.0 | 128| 45 | 20 SE | NO

41 46 SE SE 43.1 ¡30.2 | 16.1 | 14.2] 54 41 sE SE Y 55 NO SE [1346 | 26.5 | 161 | 13.2] 56 52 NO NO Y 45 SE SE So a 9 LO 6 00 NO NO 58 59 E SE 36.1 .1123.9 [113.8 | 1129 60 | 41 NO NO 67 66 NO NO 113517 [3 | 4 14 os | 59 | 40 NO NO 55 29 NO NO | 402 | 32.1 | 14.8 | 11.9] 52 | 36 ESE | SE 33 38 NO NO ll 39.5 | 32.3 | 15.8 | 12.4] 53 40 SE SE 97 60 NO NO [1418|32.4 | 15.4 | 11.9] 53 | 41 SE SE 59 53 NO NO 37.9 | 31.0 | 14.7 | 11.8] 57 | 46 NO | NO 40 26 NO NO 31.2 | 28.4 | 15.1 12 4] 52 | 51 NO | NO CO SE SE | |

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TERMÓMETRO

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Nota.—A. Temperatura del termómetro seco á las 9. B. Idem del termómetro húmedo á las 9. Cc. Idem del termómetro seco á las 15». D. Idem del termómetro húmedo á las 15*,

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BIBLIOGRAFÍA

Tratado de Mecánica racional, por D. José Ruiz-Castizo, Catedrático de la Universidad central.

Hace pocos años, los estudiantes que frecuentaban las aulas de la Facultad de Ciencias habían de servirse necesariamente en el estudio, de libros escritos en idiomas extranjeros; pero el movi- miento de publicidad iniciado, les va facilitando medios de estu- diar en nuestro propio idioma materias tan interesantes como el Análisis matemático, la Geometría, la Mecánica, la Física y la Química.

Dignas de elogio son siempre estas publicaciones, por sus no- bles y desinteresados fines y lo es entre ellas la obra del Sr. Casti- zo, aparte lo expuesto, por la superioridad de la doctrina, la nove- dad de los métodos y la elegancia en la exposición.

A reserva de ocuparnos de la obra cuando su publicación se halle terminada, que será la ocasión de hacer una crítica justa, daremos idea á los lectores de lo que el primer fascículo contiene.

En conjunto puede observarse, que la sistematización es cons- tante y bien llevada, y es nuevo y ventajoso, poner los campos vectoriales y la estática gráfica, junto con los conocimientos que generalmente se dan como introducción al estudio de la Mecánica.

Penetrando en los detalles obsérvase: Un modo curioso de pre- sentar el producto vectorial, una expresión original de los mo- mentos en coordenadas cartesianas oblícuas, con interesantes aplicaciones á ejercicios numéricos (hecho que se repite en todo el curso de la obra); la elegante manera de presentar el centro del sistema de vectores paralelos; el constante empleo de los deter- minantes que tanta elegancia presta á la exposición; la detallada reducción de los sistemas de vectores; el estudio de los sistemas focales, casi nunca incluídos en los tratados de Mecánica; los nu- merosos ejemplos de centros de gravedad, tan útiles para ejercitar á los alumnos en el desarrollo de integrales definidas; el des- arrollo que concede á la Estática gráfica, con todo lo fundamental para la práctica de las ciencias de construcción que se estudian en las Escuelas especialess; interesantes aplicaciones á la cons-

e

trucción gráfica de cónicas y cuádricas de inercia; un copioso capítulo de ejemplos de momentos de inercia; la exposición de los campos vectoriales, por primera vez expuestos en un libro espa- ñiol de Mecánica; teoremas tan interesantes como los de Green y Stokes, menos conocidos de lo que debieran serlo en nuestras Fa- cultades; su aplicación al campo Newtoniano electrostático, y al de una corriente rectilínea, y la manera original de presentar el cálculo del potencial. e

Por lo mucho bueno anotado, que contiene este fascículo, y por el carácter que se le ha dado á la vez teórico y de aplicación, es de esperar que completado forme un excelente tratado de Me- cánica racional, de utilidad indiscutible para los estudiantes de nuestras Facultades y para los que cultivan la ingeniería y la arquitectura en las Escuelas especiales.

Nuestro aplauso al Sr. Castizo, que tan alto pone con esta obra el nombre de la literatura científica en nuestra patria.

G. G.

PUBLICACIONES RECIBIDAS

Discurso leído por el Ilmo. Sr. D. José Rodríguez Carracido, el día 16 de Junio de 1907, en la sesión celebrada por la Real Academia de Cien- cias Exactas, Físicas y Naturales, con motivo de la solemne primera adjudicación al Excmo. Sr. D. José Echegaray, de la Medalla de su nombre.

Discursos leidos ante la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, en la recepción pública del Excmo. Sr. D. Gustavo Fer- nández y Rodríguez, el día 29 de Junio de 1907.

—

Extensión de enseñanza del Instituto de Córdoba.

Folleto 5.—Nociones de Aritmética y Geometría para uso de alba- ñiles, canteros y oficios similares.—PFerrer de Oleza F.

Folleto 6." (Entrega 2.*) —Estudio elemental del organismo humano. —H Pacheco E.

Journal de Sciencias Mathematiques, Physicas e Naturaes, publica- do sob os auspicios da Academia Real das Sciencias de Lisboa. Segun- da serie. Tomos l al VII, números I al XXVII.

A

Observaciones de la Estación Meteorológica de Huesca. Resumen del Año 1906.—Soler J. P. VNaturae Novitates. Números 1 al 13. 1907.

Uno Sguardo allo sviluppo delle Scienze matematiche nell evo antico. - Amodeo PF. Sumarios de publicaciones periódicas

Madrid.—-Anales de la Sociedad Española de Física y Quimica. Nú- mero 42.—Acta de la segión del día 8 de Abril. —Notes microphotogra- phiques. Cajal S. R.—Sobre la variación del magnetismo permatente con la temperatura. Cabrera Felipe B.—La termo-luminescencia de los minerales. Calafat y León J.— Algo acerca de la hidrolita. Prats Aymerich J.—Experimentos de cátedra: Comprobación de la primera ley de la caída de los cuerpos. Hausser H.—Notas alemanas de Física y de Química. Werner Meklenbwry.

Núm. 33.—Acta de la sesión del día 6 de Mayo.—Notas de óptica. Mendizabal A.—Notes microphotographiques. Cajal S. R.—Sobre la determinación del llamado espacio perjudicial en el termómetro de aire modelo Jolly. Terradas E —Sobre la variación del magnetismo per- manente con la temperatura. Cabrera Felipe B._—Notas alemanas de Física y Química. Werner Mecklenbury-

Núm. 44.—Acta de la sesión del día 3 de Junio.—Sobre algunos fe- nómenos de polarización en luz convergente observables en láminas de cuarzo dextrogiras, superpuestas, de igual espesor, normales al eje, teniendo intercaladas láminas de mica de */,, '/a, 3/46/32. Terradas E. —Estudio sobre la valencia química. Muñoz del Castillo J., Cebrián F., Gallas E y Peset J.—Notas alemanas de Física y de Química. Werner Mecklenburyg.

Annales de la Faculté des Sciences de ll Université de Toulouse. To- mo 1X, 1907. Action d' une masse intramercurielle sur la longitude de la Lune. Saint-Blancat D.

Boletín de la Real Soc. Esp. de Historia Natwral.—T. VIT. Núms. 1-4. —Algunas «Conjugadas de la provincia de Orense». Bescansa F.— Nota sobre el origen de la Glauconia. Chaves y Pérez del Pulgar F.— Breve noticia de algunos monstruos existentes en el Gabinete de Histo- ria Natural de la Universidad de Oviedo. De las Barras F.— Tercera lista de nombres catalanes de hongos (bolets). Aranzadi T.—Lista de hongos recibidos en Noviembre de 1906, del Empalme, Martorellas, San Celedoni y Badalona Aranzadi T.—Linaria supina mostruosa. ÁAran- zadi T.—Sobre los terremotos ocurridos en Alicante el día 23 de Enero de 1907. Jiménez de Cisneros D —Excursiones á las sierras de la Hor- na, del Rollo y de Crevillente. Jiménez de Cisneros D.—Notas para la Flora catalana. Cadevall y Diars J.—El «Okapi» del Museo de Madrid. Cabrera Latorre A.—Excursión desde el valle del Tajuña a! del Tajo Fernández Navarro L.—Acción de las soluciones de HONa sobre el

6

e pas

«B. Vírgula», el «B. Eberth» y el «Bacterium coli». Turró. R.—Los vidrios violados. Esteva J.—La «Linaria supina» monstruosa de Bada- lona. Esteva J.—Nota sobre las termo-luminescencia de los minerales. Calafat y León J.—Excursiones por el Norte de la provincia de Ali- cante. Jiménez de Cisneros D. —Algunos roedores nuevos de Marrue- cos. Cabrera Latorre A.

Tomo VI. Núm. 5.—Los lobos de España .Cabrera Latorre A —La cadena ganglionar de los tentáculos en los Cefalópodos. Madrid Me- reno J,—Eine neue spanische Acmaeodera. Reitter E.—Indicación de algunos peces notables de La Coruña. Bolivar 1.—El Gault del Hondo de Piqueres. Jiménez de Cisneros. D.

Il Bollettino di Mutematica.—Núms. 1 y 2. 1907.—Sulle approssima- zioni numeriche. Vannini T.—Sulla risoluzione dei problemi geometri- ci col metodo delle equipollenze. Galvani L.—Rivista bibliografica. in memoria di Ugo Dainelli. FPrattini G.

Núms. 3 y 4. 1907.—Sulla risoluzione dei problemi geometrici col me- todo delle equipollenze. Galvani L.—Sulla divisivilita dei numeri. Ca- rollo P.—Sulla divisivilita dei numeri. Ghezzi T.—Importanza del cal- colo delle espressio ni aritmetiche. Doria (7. A.—In difesa tei teoremi sulla equivalenza delle equazioni. /ngrami G —Riduzione di un arco al primo quadrante. NVeppi Modona A. —Per ricordare le formule di Delambre Crochi L.—Rivista bibliografica.

Bulletin international de Y Académie des Sciences de Cracovie.

Nun. 1. Janvier. 1907.— Contribution á la théorie du mouvement des liquides visqueux; en particulier des problemes en deux dimensions. Smoluchowski M.—Sur la condensation de l' acétoguanamine avec des aldéhydes aromatiques. Humnicki V.—Anatomie comparée des orga- nes végétatifs des Groseilliéres (Ribes). Kudelka W:—Sur la profon- deur du temblement de terre de la Calabre du 8 Sept. 1905. Rudz- ki M. P.—La flore fossile sénonienne de Potyliez. Nowak J.

Núm. 2. Février. 1907. —Nouvelle preuve de la parenté chimique entre la matiére colorante du sang etla chlorophylle. Marchlewskt L. —Revue critique de la flore de la Galicie. VIII partie. Zapalowicz H.— Sur les rayons cathodiques secondaires. Laub J.—Boryslaw. Une mo- nographie géologique. Grzybowski J.—.Etudes sur les matiéres colo- rantes des racines de Datisca Cannabina, 11. Korczynski A. et March- lewslhi L.—Sur la préparation artificielle des sérums thérapeutiques Czajleowskt J.

Núm. 3. Mars 1907.—L' équation biharmonique etune classe remar- quable de fonctions fondamentales harmoniques. Zeremba S.—Sur la réaction du gaiac et de 1' oxihémoglobine. Bollaud A.—Sur la nature chimique et la structure de 1” amidou. Jentys E.

Núm. 4. Avril. 1907.—Revue critique de la flore de la Galicie, IX par- tie. Zapalowicz H.—Sur les microbes anaérobies dans les tissus nor- maux. Sashti St.—Sur le développement des saes limphatiques dans les membres posterieurs de la Grenouille. Mile. Gizela Goldfinger.— Sur les erreurs physiologiques dans les mesures astronomiques faites au moyen de micrometres d' occultation, Grabowski L.—Contribution

a

á 1 étude des lois du travail musculaire volontaire. Piaseclhi E.—Sur la théorie électro-magnétique de la dispersion et des 1 extinction dans les corps gazeux. Natanson L.

Comunicacóes da Conimissáo do Servico Geologico de Portugal

Tom. VI. Fase. (.—Notes sur les Oxynoticeras du Sinémurien supé- rieur du Portugal et remarques sur le genre Oxinoticeras (deux plan- ches). —Le probleme de la determination des directions optiques princi- pales d' un cristal biaxe á 1' aide d” observations stauroscopiques (une planche). Souza-Brandáo V.- Bibliographie (7.* série). Cho/fat P.

(Palermo). 11 Pitagora.—Giornale di matematica pubblicato per cura di Gaetano Fazzari.

Anno XIII. Núm. 1-2.—Sul quadrangolo piano. Amaldi 1.—Gene- ralizzazione di teoremi geometrici. Crocchi L. — Piccole Note. Di Dia G.—Relazioni tra due triangoli. Mancinelli F.—Sul' operazione di estrazione di radice «ennesima». Piccioli E.—Breve storia dell” Arit- metica e dell Algebra nei tempi antichi. —Riposte alle quistioni pro- poste.— Quistioni proposte.

Núms. 3-4-5.—Sull inutilitá dei Teoremi sulla equivalenza delle equazioni. Catania S.—Una propietá della sfera. D. Italo Amaldi.— Una dimostrazione dei teoremi di Tolomeo sul quadrilatero inscritto. Prof. Aldo Finzi.—Intorno ad una nota costruzione geometrica Prof. Aldo Finzi.—La teoria dei numeri reali esposta ai giovani del II Cor- so d” Istituto Tecnico. Prof. F. Palatini.—Sul tetraedro di ugual mo- mento. Prof. E. Piccioli.—Risoluzione d' un particolare sistema. Cu- tore E.—8u alcuni criteri di divisibilitá. Prof. E. Nannei.—Sulla multi- plicazione dei numeriinteri Prof. G Di Dia.—Proprietá e radici della equazione di 2. grado dedotte in modo semplice. Prof. L. Crocchi.— Condizione sufficiente affinché n +1 numeri interi e positivi sieno tali che la somma delle loro potenze p . esime sia la potenza p . esime di un numero intero. Prof. C. Bianca.—Osservazioni su alcune formole es- primenti il lato di un poligono regolare. Guimaraes R.—Diplomi.—Ris- poste alle quistioni proposte.—Quistioni proposte.—-Breve storia dell” Aritmetica e dell Algebra ne¡ tempi antichi.

Núnms. 6-7.—Tavola degli Elementi relativi alla base 30030 per la rapida ricerca dei fattori primi dei numeri compresi fra 30030 e 510510.. Lebon E.— Corrispondenza. Catiana S.— La teoria dei numeri reali esposta ai giovani del II Corso d” Istituto Tecnico. Palatini F.—Sulla risoluzione algebrica di una notevole categoria di problemi sui triango- li piani. Bassi A.—Nuova notazione nei problemi dell Aritmetica pra- tica.—Risposte alle quistioni proposte.—Quistioni proposte.

Múms. 8-9.—Sull area del quadrilatero convesso. Ducci E.—Una lezione sulla divisione dei numeti interi. Piccioli E.—Dimostrazione elementare del Teorema di Taylor.—Crocchi L.—Piccole note.—Sulla risoluzione algebrica di una notevole categoria di problemi sui trian- goli piani. Bassi A—Tema per concorso —Intorno un teorema di geometria. Bellatalla A.—Rreye storia dell Aritmetica e dell' Algebra nei tempi antichi.—Risposte alle quistioni proposte.—Quistioni pro- poste. '

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Memorias de la Real Soc. Esp. de Historia Natural.—Homenaje á Linneo y Memoria 1.*.—Homenaje á Linneo en el Segundo Centenario de su nacimiento 1707-1778.--Notas Micológicas (colección de datos refe- rentes á los Hongos de España). Lázaro é Ibiza B.

Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Natu- rales de Madrid.

Tomo V. Núm. 7 (Enero 1907). —Elementos de la teoría de la elastici- dad. Echegaray J. — Estudios de Síntesis mineral. Mourelo J. R.— Sobre algunos fenómenos de polarización en luz convergente, observa- bles en láminas de cuarzo dextrojiras, superpuestas, de igual espesor, normales al eje, teniendo intercaladas láminas de mica de ?/,, '/», *'s y '34. Terradas E.—Ensayo de Geometria analítica noeuclidiana. Pérez del Pulgar P. J. A.S. J.

Tomo V. Núm. 8. (Febrero 1907) —Elementos de la teoría de la elas- ticidad. Echegaray, J.—Estudios de Síntesis mineral. Mourelo J. R-— Poliedros regulares. Catalán L.—Ensayo de Geometría analítica noeu- cliniana. Pérez del Pulgar P. J. A. 8. J.

Revue d' Electrochemie et dY' Electro-métallurgie.—Juin 1907. La So- ciété Electrochimique de France.—Electrolyse par courant alternatif. Hayden J. L. R.— L'Ozone. S. B.—Sur la composition et 1 analyse du Wolfram et de la Húbnérite. Nicolardot P.—Sur la température de formation des carbures de Strontium et de Baryum. Morel Kahn.—Sur la constitutiun et les propiétés des aciers au boro.— Guillet L.—Le four électrique au laboratoire et dans 1' industrie. Minet A.—Sur les chan- gemets des bandes d' absorption des cristaux et la loi de variation de 1” amortissement du mouvement des électrons absorbants á diverses températures. Becquerel J.—Sur la theorie de Nernst et la mesure des différences de potentiel au contact de deux solutions d” electrolytes. Guyot J.—Sociétés Savantes. — Revue des Publications francaises et étrangéres.— Brevets.— Informations. — Bibliographie.=— Cote des Va- leurs. —Cours des Métaux, Minerais et Alliages.

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CRÓNICA CIENTÍFICA

El Centenario de Linneo en España. - Además de enviar á Upsala representantes suyos, la Real Sociedad Española de His- toria Natural, la Universidad y el Jardín Botánico de Madrid, y la Real Academia de Ciencias, han conmemorado especialmente el bicentenario del genio botánico, dicha R. S. E. de Historia Na- tural y la Sociedad Aragonesa de Ciencias Naturales.

La primera rinde homenaje al gran naturalista Carlos Linneo, dedicándole la mayor parte del Tomo V de sus Memorias, en cuyo volumen después de tres artículos de los Sres. Lázaro, Ro- dríguez Mourelo y Gredilla, que versan respectivamente acerca de Limneo y su obra, Las relaciones científicas de Suecia y Espa- ña, y Linneo y la Botánica en España, aparecen los autógrafos de dos de las cartas dirigidas por aquel sabio insigne á su disci- pulo Pedro Loefling cuando estudiaba la flora y fauna espa- ñola. Siguen á los autógrafos el pasaporte original de Loefling, la recomendación particular del Rector de la Universidad de Upsala, las instrucciones concretas de Linneo á su discípulo, y la repro- ducción de la interesante relación del viaje de Loefling á España, eserita por el mismo Linneo y traducida al castellano por el sabio naturalista aragonés, Ignacio Jordán de Asso.

La Sociedad Aragonesa de Ciencias Naturales, celebró el 5 de Mayo en memoria del segundo Centenario del nacimiento de Linneo brillantísima sesión pública, que fué presidida por el muy ilustre Sr. Rector de la Universidad, acompañado del excelentísi- mo Sr. Capitán general y del Sr. Vicepresidente de la Sociedad, asistiendo los Sres. Decanos de Medicina y Ciencias, Presidente de la Academia de Medicina, Sres. Director y Vicedirector del Instituto de segunda enseñanza, muchos Sres. Catedráticos de la Universidad, y socios dela Aragonesa, representaciones de diver- sos Centros y Corporaciones, y numeroso público que se asoció con entusiasmo al homenaje dispensado al eminente botánico sueco.

Además prepara esa Sociedad y dará muy pronto á luz, un her-

_moso tomo de más de 500 páginas con muchas figuras, láminas y autógrafos, en el cual se contienen, además de los trabajos leídos en la sesión antedicha, otros muchos en número de 52, que versan

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acerca de muy variados asuntos y se ocupan muy principalmente de la vida y trabajos de numerosos naturalistas españoles, que tuvieron por maestro y guía en sus estudios al ilustre sabio en cuyo loor se publica ese volumen.

Los ANALES DE LA FACULTAD DE CIENCIAS DE ZARAGOZA, se asocian muy entusiastamente á los homenajes todos que la ciencia contemporánea rinde al genio de la botánica, y felicita á las So- ciedades que de tal modo saben honrar á los creadores de la ciencia.

El premio de Echegaray fundado por la Real Academia de Ciencias de Madrid.—En honor del ilustre hombre español tan ensalzado en estos últimos tiempos, y para entregar la Medalla Echegaray al sabio con cuyo nombre se exige en fundación impe- recedera, celebró dicha R. Academia, el día 16 de Junio último solemne sesión, á la que acudieron los hombres de valer de nues- tra patria para rendir al insigne compatricio el tributo de su admiración y respeto.

El académico Sr. Carracido, en brillante discurso que la Aca- demia ha publicado, dió cuenta de la historia literaria y científica del celebrado personaje español, poniendo en realce los mereci- mientos del propagandista científico y profundo matemático, que desplegando energías incontrastables ha merecido de la España entera alabanzas á su personalidad compleja, tantas veces admi- rada por la pluralidad de sus aptitudes.

«Esta RR. Academia de Ciencias — dice al final de su discurso— por los fines de su Instituto, por gratitud al que honró y todavía honra sus publicaciones con frutos valiosísimos de la más substan- ciosa producción científica, y por rendir el merecido homenaje á quien la enaltece con su glorioso nombre, pensó que nada podía ser más grato á tán eximio cultivador de la Ciencia como tomar su nombre por divisa para estimular y premiar á los que, siguien- do su ejemplo, trabajan con ánimo resuelto en el acrecentamiento de los dominios de la verdad científica.»

«Sois desde este momento, venerado maestro, el fundador de un linaje ennoblecido por los méritos que se cifran en vuestro . nombre: linaje cuyos lares solariegos radican en la Academia, que mucho os debe por el brillante concurso que siempre prestas- téis á todas sus tareas, y cuyo blasón, aunque no haya de ser exornado con leones rampantes en campos de gules, no por esto dejará de ser ilustre teniendo escrito en el primero de sus cuarte- les el nombre de Echegaray.»

«¡Ojalá —termina—que en el árbol genealógico de la adjudica- ción de la Medalla Echegaray se inscriba cada trienio un nombre

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que rivalice por sus merecimientos con el nombre ilustre genitor! /

Tras elocuente discurso de agradecimiento y loor á la ciencia del Sr. Echegaray, pone fin á la solemnidad el Sr. Ministro de Instrucción pública con frases encomiásticas para todos, dando por abierto el concurso del premio Echegaray, que la Academia adjudicará cada tres años á cualquier persona de nuestra nación ó extranjera que se hubiese distinguido en grado eminente, á juicio de la Academia, en alguno ó algunos de los trabajos cientí- ficos que son objeto de las tareas de esta Corporación, sin excluir á los individuos de la misma ni poner género alguno de restric- ciones.

El premio consistirá en la entrega de la Medalla de oro con el busto de Echegaray, en sesión pública y solemne que tendrá lugar el 19 de Marzo del año de la adjudicación.

En 17 de Abril pasado, dejó de pertenecer á esta Facultad nuestro querido compañero D. Esteban Terradas é Illa, que des- pués de muy lucidas oposiciones pasó á desempeñar la cátedra de Acústica y Optica, en la Universidad de Barcelona.

Alumno primero y muy brillante de las Universidades de Bar- celona y Madrid, profesor auxiliar de Física en esta última, y catedrático luego de Mecánica Racional en nuestra Facultad, cuenta ya el Sr. Terradas, en su corta carrera, con muy notables triunfos, y ha realizado una labor que le promete muchos lauros en la Física, á la cual creemos ha de prestar servicios muy valio- sos que honrarán á la cieneia española.

En esta Facultad, cuyos profesores festejaron con él merecidos éxitos, deja tantos buenos amigos como compañeros, que conser- varán grato recuerdo del que, aunque ausente, sigue colaborando con nosotros en la obra científica á que dedicamos nuestros des- velos.

: Se anuncia la publicación de una revista matemática interna- cional escrita en «esperanto». El nuevo periódico, que se titulará Gazeta Matematika Internacía, abarcará todo lo que se relacione con las ciencias matemáticas, lo mismo la teoría que sus aplica- ciones, la mecánica, y teorías de la física, problemas, correspon- dencia, noticias de libros nuevos, una crónica (histórica y biográ- fica) y traducciones de artículos que hayan aparecido en otras lenguas.

El tamaño y precio dependerán del número de suscriptores. Para el primer año se dará un número de 192 páginas y su precio no excederá de fr. 12,50,

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la suscripción y envío de trabajos, dirigirse al Prof. F. ].

aes. iotterdam, Mathenesserlaan, 290. Otras dos nuevas Revistas han venido á aumentar el número ya no escaso de publicaciones italianas de esa índole. La Revista

di Scienza, órgano internacional de síntesis científica, aparecerá.

en Bolonia, dirigida por los profesores G. Bruni, A. Dionisi, F. Enriques, A. Giardina y E. Rignano, y en la que colaborarán los más eminentes autores italianos y extranjeros. Se propone tratar las cuestiones generales relativas á las varias ciencias y á sus relaciones, de un modo fácil y llano, evitando en lo posible el lenguaje técnico, para hacerlas más accesibles á personas de la más varia cultura.

Nuovi doverí, es el título del otro periódico quincenal de pro-= blemas educativos, que ve la luz pública en Palermo, y en cuya publicación interviene un grupo de profesores de las escuelas se- cundarias, cuyo objeto es agitar los problemas más graves de la educación nacional. :

Asambleas.—En Parma, tendrá lugar en el próximo Septiem- bre el primer Congreso de la «Sociedad italiana para el progreso de las Ciencias», para proceder á su constitución y á la formación de sus Estatutos y reglamento.

La nueva Sociedad abarcará en sus trabajos á todas las Cien- cias matemáticas, físicas y naturales con sus aplicaciones á la ingeniería y la agricultura, las ciencias médicas y las económicas.

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En el mismo mes, del 15 al 20, celebrará también su Asamblea anual la Deutsche Mathematiker-Vereínmigzung, dedicando la Il y III sesión á Euler, como matemático, físico y mecánico, y tra- tando en otras dos muy interesantes cuestiones matemáticas de cuya exposición están encargados varios sabios profesores alemanes.

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Los ANALES DE LA FACULTAD DE CIENCIAS publicarán, además de los sumarios de las revistas y publicaciones recibidas á cambio, una nota bibliográfica. de todas las obras de ciencias, de las cuales se en=-: vien dos ejemplares á esta Redacción.

También tendrá mucho gusto la Redacción de los AyaLes, en, pu= blicar los trabajos científicos con que la honren los hombres de cien- cia nacionales ó extranjeros, cuya colaboración admitiremos con ver- dadera complacencia haciendo tirada aparte si así lo desean mani- fiestamente.

Los antiguos suscriptores de la Revista Trimestral de Matemáti- - _ cas de Zaragoza, serán sonsiderados como suscriptores de los ANALES

de no manifestar su deseo en contra. Los que no estén conformes con ¡pel cambio pueden dey olver el número de los AyaLes á la Administra- — Ñ ay calle de D. nO 1, 20, libreria.