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ARCHIV

der

MATHEMATIK und PHYSIK

mit besonderer Kücksicht

auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren

Unterrichtsanstalten.

Gegründet von

i. k. 6 r 1 n e r t^

fortgesetzt Ton

R. H • p p e^

Dr. ph. Prof. an d. üaiT. Berlin.

Zweite Reihe.

Erster Teil.

Leipzig. C. A. Eoeh's Verlagsbachhandlang,

J. SoBf baieh.

1884.

16J

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luhalts-Verzeifihniss

An tntn Teils.

liAt>Un41iiii(. ]

Arithiaetlk, Algelint and reine AdkItsIs ohne Intefralrechnung.

I. Mechioiich-gntphitcbe LOsnng der knbiacben und

biqaidratiachca GlcrchangeD. Von Carl Barll

IV. GrandiOge la einer combmato riechen Darstellung

dei hotleren DiSfrcntialquotienlen laiammengaieUter

Functionen, Von Juliui Vollen

V. Ueber allgemeine and ablolate Fermutalionan. Von P. Seelhoff

V. Otweis (Qr den ron Herrn Dr. Sanio mitgeEetltcn Sati, brtroEFend die combinuloriiche Definition der Zahl f. Von Seelhoff

V. Darttcllaae der Zahl < ala unendliobw Prodnct. Von Johann Herne*

V. Beweil Rkr den in T. LXX. 8. 314 etgebenen Ana-

dmek der Zahl a. Von Tb. Sanio

XV IL Die AnflAanng dreigliedriger Gleich nngen nach Gaaii. Von A. U. Neil

Inte gnlre oli nun g .

V. iBWgrsli^x. '...tiiiiif:. Vi,n Simon Spiticr

	P IV	y	■
	H.II.	1M»y
^H^	Zanti iDm Aariilic: „iDlegrotion einiger pirtiellct DifferBnü«IgleicbunBen iweitcr Ordnong-. Von
	F. Vilji	1.	10»
^H
^^M -9 XLX.	Ferdinand Malier	n.	161
	Bail OekingliHua	IV.	397
^H^	riktere ftlr die Kegelichnitte, w» nn die QleLchangen d«raelbcn in trinirtriiehei) Linien coordinateo ge-
	geben lind. Von A. Ehierl	I.	%\
^^1	Die Seetionicurren. Von E. Oakinghin» . .	I.	8T
^H	Ueber einen geomftritchen Ort. Von Emil Hain	I.	9«
^^1
	Seelhoft	I.	9«
^^1	KrauDnungBritdiai iler Ellipie. Von Staramer .	1.	107
^H	Debcr ein Cur.ogrnphon. Von Emil Pirani .	u.	US
^^p	Zur elemeniar-geumciriichen Kegelgchniiulehre.
	Von Karl I-anetmann	n.	13«
^H vni.	Eigeaacharien der Pnnkte mit reciprokan Dreicek*- coordinaUn und deren Anwendung auf dai Drei-
	eck. Von Hax Groiner	IL
^H	Zar PoUrittUtheorie des Drsiacitei. Von Emil
	Hain	II.	930
^^1	Benerknng lu einer Drei eekuuTgabe. Von Hein-
^H	rich Simon	II.	21S
	chnngen in der Geometrie. Von Tb. Sanio . .	m.	33B
^H
	beaebHeben aind. Von Leopold Klug ....	III.	399
^H
	bOachel. Von Leopold Klag	IIL	30«
^H	Eine VerallgcQieiDerung der Sktie con Faacal nnd Brianchon and dna Problem von CaiEÜIon. Von R.
	Sporer	m. i	33S 1

aan. stiu. XVllt. üobcr die Lng« dtf S(^h»ci]>unKls in Vivrcok.

Von Btoll m. 33*

Geometrie des Rsiiniea.

II. UbW ein Problem der Carreathoonr. Von R.

Hoppe 1. *8

IX. Ein Prablem über berührende Kngeln. Von K.

Hoppe II, US

XIV. Bedingungen einer CnnalSäehe nebst elni);cn Be- merkungen an Canalfllchan. Von ß. Hupjje . IIL SSCl

Heebantk.

V. Einfachtr Beweii d<t BxiBMn» einea Mliiulpnnkli

paralloUr Krftft«. Von R. Hoppe t. IL]

Optik.

XIII. Beleiichlungs-Cmisirnctionen für FUclien, Jercn ta einer Achav nurmikle ScIiniitD ahnlieh und Ahnlich liegend sind, bei orthogonaler und bei perspeetivi- icher Darsiellung. Von JoBof Basal». . . III. 256

LltterftrlBohe Beriebt«.

I. Kromann (Nalnrerk.). Wondi (Logik). Tu io r (krit. Bemk.). Cohen (Prine. Inf. Melh.). Spitzer (Diff. Gl.). Liaaner (Elektroniül.). Kareis (ZWchr.). Uppenborn (Kai. Elaktr.) N. Areb. (X). 11. Köatler (eb. Geoni.). Glin.er (el, Geom.). Clnus»Pii (Phj-s.). Spiekcr (Geom.). Brockmnnn (Comp.), Finger (Mech.). Schubert (Aufg.). Hnrmb u. Kalliua (Bccbb.), Jansen (phji. Aufg.). Barde^ {geg. SinramJ. Benoist (Eat. Log.). GrcTe (Sil. Log.). Bex (&it. Log.). Mittag-LefDer (Acta 3.). Bull. See. U. de Fr. (XI.). IIL Schobloch (0 u. /* F.). Raaechlc (graph. Aufl.). Gnlopin- Bchaub (Approx.). Qenoecbi (Menabrea — r F.). Dellwi);

VI

(qndr. n. knb. Gl.)- Weyr (proj. Geom.). Frans Meyer (Apol.)- Kamm eil (align. ct. — th. err.). Fuhrmann (Kegschn.). Tamchyna (Beisp. Kegschn.). BOklen (anal. Q.). Fesch ka (darst. G.). Marx (darst. G.).

IV. Bierens de Haan (Girard — Steria -> Spinoza). Mailly ^Ac. Brux,). Heller (Gesch. Phys. IIJ. Fischer (Kepler). Lukas (Farr.). Geer (Sncll). Boncompagni (Bull. XVI.). Günther (Geophys.). Wen« (m. Geogr.). Vodnsek (Plan.). Peters Fixst.). Becker (Sonne). V;ilcntiner (Korn.). Lnndcn- bergcr (Erdb.). Littrow (Kai. 84). Koppen (Ztschr. I.).

Bcrichtigungon im LXX. Teile.

Seite 66 Zeile 4 v. ob. hinzazaffigen (15 a)

68 „ 8 V. ant. statt (14) setze (loa) 102 „ 2 „ „ „ die „ der

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'tl: MtrhaBitch-fmphiirlie LfMung »

I Mechanisch-Graphische Lösunj? der kubischen lind hiiinadratischfin Gleichungen.

Carl BartI,

r Lsnclcsbürgerschulc iii llortlicrg (

E i D I e i t 0 n g.

L&Est man bei geometrischen Constractionen nur die gegenseitigen

nittpnnkU! von Geraiipu and Kreisen, und Rreiscu uiitproinandoi

I üulässitt geltCD (weil Güradc und Ercis die einzigen Gebilde sind,

« Bich nach ihrer Definition graphisch in coolinuo „genau" darslullon

HSCn), 80 sind die auf Ermittlung solcher Puultto gestützten Auf-

Bben mit ansschliessticber Anwendung des Zirkels und Lineals gc-

- Schon Descartea stellte in seiner 1G37 erschieneneu aualy-

hellen Geometrie für das Kriterium solcher in dieses Gebiet gc-

Ulrigen Anfgaben die Bedinjrung anf, dass es miiglich sein müsse.

Hie Construction , unter zu Grundelegnng eines Massstabes, auf die

uemcntaren der vier Grnndrechnungsoperatiouen , sowie jeuor des

poadratwurzelzeicbens zurückführen zu können.

Biescr Bedingung wird Genüge geleistet bei Aufgaben Itcr,

hter oder auch ^"ten Ordnung dann, wenn Letztere in solche 2ter

rdnung zerfallen, also die betreffende Bestimmnngsgleidinng 2"Gra-

i sich in lauter Gleichungen 2teu Grades spaiten lasst*). Hierzu

*) DitK mOiicD letbftTeritftDdlicb aolcbe idn, deren C 1, oder h(k«h«lens Qnadratwunicln enibultcii.

[ ätdh. i. lUU. u. eilt*. ». Biilu. T'.ll I.

Barlli Methaniith-graphisehr l.6$iiny

k'^bOren z. B acbon die Elomeutaraufg&beD der CoDEtmction gemein- ■ BBmor ConstTDctioD gemeinsamer ErcistangeDtcn nud Jene vou ha- '. rühri^nden Kreiaco an drei Geraden — mit 4 Lösungen — ; dano die sogonanutf ebene Berührungsanfgabe für Kreise — mit 8 Lö- SUDgeu. Ans dem Gebiete der neueren GeoDietric sind hieber zu I rechueu die CoUinoalionsanfgaben derVerieiebnung von Kegelaehnitts-

^^^ linten aus 5 gegebenen Umfangabeatinimnngsstlickeii,wenu darunter ^^^piS Paare getrennter Pnnkte nnd Tangenten vorkommen mit 4 LG- ^^H -rangen etc. etc.

^

Aber jenes oben cbarakterisirto Gebiet der mit auascblicsBlicher Anwendung des Zirkels und Lineals za lüsendcu Aufgaben scblicsst U manches nahe liegende, interessante, historische Problem aus (wie 8. B. die Trisection des Winkels, das grapbiscbe Cubik Wurzelziehen ans Streken und die damit 2 usamme ab äugenden Aufgaben aus der St«reometrie, Normalenprobk-me für Kegelschnitte u. a. w.

Die Vorteile der Ueberstcbtlichkeit und Unmittelbarkeit jeder goten graphischen Lösaug, gegenüber jener des Cakuls, lassen selbst den bedeutenden und wesentlichen Nachteil, der auch bei den besten Zeicheninstrumcntcn und deren sorgfilltigsten Behandlung auftreton- deu unvermoindlichen Fehler noeb immer in den üintergruud treten. Dieser Nachteil bat daher nur eine Aneiferung der Constroction zur Folge, die graphischen Motbodeu zu verbessern und zu vereinfachen. Hieher gehören auch die Bestrebungen der Mechaniker, Instrumente herzuslellon mit denen sieh wenigstens annähernd so einfach und nomitt«lbar' wie der Kreis mittelst des Zirkels, nnu auch die Kegel- schnittslinieu graphisch verzeichnen Hessen (man bat solche Instm- mente wohl nicht ganz riebtig mit dem Namen „Kcgelscbnittszirket" bezeichnet). Würden solch vollkommene Instrumente erfunden, so hätte man nun allerdings jenes Gebiet von Aufgaben, die sieh nach raathematisch genauen Principien lösen lassen — als bedeutend er- weitert anzuaebcu. Die Anforderungen aber, die man in Bezug auf Einfachheit, Genauigkeit und Verwendbarkeit für die verschiedensten Achsen Verhältnisse der zu beschreibenden Kegelschnitte au solche In- strumente zu stellen hal, sind viel zu grosse, als dass sie so leicht zu erfüllen wären ; und in der Tat hat sich auch bis jetzl noch koinea der vorgeschlagenen mocbaniacheu Hilfsmittel als für eine allgemeine Einführung brauchbar erwiesen, obwohl ein ziemlich vollkommener EUipsograpb . als für eine geschlossene Curvo geltend, die meiste Aussicht hiezn hatte.

Das Dedürfuiss einer graphischen Lösung der für die praktischen [.Zwecke mit genügender GenDuigkett zu constmLrcnden Aufgaben I dritter und vierter Ordnung macht sich immer noch fühlbar; dass

dtf kubüclitn und biquadratiithtn Cltirhuageii,

diese aber durcli eino racohaDiaclie ßescliruibuiig der Kegelschnitte EU orrBJcben sein wird, köunto wobl noch laogc oin Wauscb der L Constnictcaro blcibt-n.

Aufstellung des Grundvcrfahripus.

Fübrt man uebst dem Linöal uDij Zirkel iJocEi deu recUton Wiukcl koder eiuon starren Wiubt'l Uberbaupt) als uoutB Couslractionsvelikcl »in, BO moss hicmit scboo die Mö<;licbt(uit eiucr grapliiscbeu Uuband- Himg von Aufgaben liobcrL'i Ordnung gebotcu sein. Deim, vtTwcndet 1 eiLcn ruchten Winkel auf der Zcicbeiicbeuf in der Weise, dass 1 ibn Bolauge verschiebt bis gleiclizoitig der uiue Schoukcl durch ^ines FiipuDlkt K gebe, der Scheitel auf einer Leitgeraden LL siuh Ibefindel, während der andere Scheukel einen Gruudkreis A' berilhrl, l«o ilLsst sich der Effect diüsca Anlegens eines rechten Winkels an die Vgenaanten Graudfactorcu in zweierlei Weise intcrpretireo. Es bilden dich die TangeDtenschenkcl der „angelegtcu" rechton Winkel die Itier gemcinschaftlicben Tangenten zwiscben dem Grundkreis A' und Ider durch Leitgerade L als Scheitel langen te und Fixpuukt F als , Brennpunkt gegebenen Furabet- oder oa repräsautiren die Lagen der Scheitelpunkte der rechten Winkel auf der Loitgcradeu L die Dnrcb- sohnittspunkle derselben mit der durch den Gruudkreis K und den Fixpunkt /' als Mittelpunkt der Lotstrahleu gegebenen, bekannt(.in Kreigfugspunktscurve ; (solche Tangenten au K beziehungsweise Schnitt- punkte auf L küuuen begrcittichor Weise paarig imagiuAr werden). -Seide Erklärungen aber verificiren die eingangs gemavbto Behauptung.

Die vorhin cbaraktensirte mcchaniBchc Verwendung des rechten IFinkels Eur graphischen Lüsung vou Aufgaben kann nur dann einen ' ftraktuchea Wert erlangen , wenn in Folge der Einfachheit und üu- mittolbarkeit der Methoden das Resultat mit jenem gewünschten Grad von Genauigkeit erhalten wird, welcher einem Bolchen nicht iiacb- ' iteht, der bei den „nach mathematisch genauen" Priucipico gelösteu Aufgaben erreicht wird. Dass dies möglich ist, llisst sich obue An- h Btellang vou Berechnungen über die Genauigkeitsverhailiiisse selbst Ike! solchen F&Uen, welche eine für die Anwendung dos Grandvcr- {ahräOB ziemlich ungünstige gegenseitige Lage der Grundfactoren auf- weisen , durch Ausführung von Beispielen einfach und praktisch zei- la der Tat sind die Elementaropcrationen, aus denen sieb das Grundverfabren dos „Anlegens eines rechten Winkels" znsammen- I WtKt, sowohl einzeln, wie im Zusammenhange, als racchanischo Opc- 1 genommen, leicht genuu ans/urnlinn

yhü^hf U'u

^

Der rechte Winkel steht uns jederzeit zur Verfügung in eioem geprüften DrciecUBwinkd, welcher also die WinkelSäche der Zeichen- ebene deckt, oder indem mau einen rechten Winkel an ein Lineal anlegt, wodnroh eich ein solcher mit freigelusBener Winkelfläche ergibt Die passendste Form für vorliegenden Zweck kann aber leicht her- gestellt werden, indem man anf einem Blatte gat transparenten Bans- papicrs sich ein geuanea rechtwinkliges Achsenkreuz verzeichnet, dessen Schnittpunkt durch ein Punktringelchen sch.arf markirt ist. In diesem primitiven Instramcntc, das man beliebig anf dem Zeichen- blatt verschieben kann, hat man alle vier Quadranten des Aclisen- kreazes als ,^roiB" rechte Winkel zur Verfügung. — Im Grondver- fahren bat man nun zunächst als Elemcntaroporation das Anlegen des eineu Winkel Schenkels an den Fixpunkt F — die primitivste Zeichen Operation ; dann jene Bedingung der Berührnng des zweiten Schenkels an den Grundkreis A', welche als Anlegen des Lineals an einen Punkt berührend au einen Kreis betracLtet werden mnss. Diese letztere, in der Praxis von den Constructoureii nicht mit Unrecht stillschweigend als zulüssig anerkannte und häufig angewendete Elc- mentaropcration ist nichts anderes als die duale Ojieration zur Schnitt- bestimmong einer Geraden mit einem Kreise, nnd sollte deshalb wohl gebilligt werden*). Endlich als dritte Elomontaroperation muss an- gcsebea werden die Erfüllung der Bedingung, duss der Scheitelpunkt anf der Leitgoradcn LL sich befinde — allerdings eine neue mecba- nischc Operation, welche aber mit „guten" rechten Winkeln (die man wohl ebenso berechtigtigt ist voraus zu setzen, als „gute" Lineale, gute Zirkel), am besten jedoch mit dem früher erwähnten, „ver- schiebbaren" Achsenkreuz mit der gewünschten Prücision gewiss leicht ausgeführt werden kann. Uebrigeus ist das „Aulef;en" des rechten Winkel an die Grundfactoren immer noch eine einfacliöre, weniger Uebung erforderliche Operatiou als jene (auch zu den mechanischen Oporationea zu recbneude) des Ablesens an einem Hecfaenschieber bei gegenteiliger Schieberstellong oder jene beim Gebrauche der graphi- schen Bochentafeln vorkommenden.

*) Hieher gebOrt noch das Anlegco ein Kreiie, dem danl gegenüber der Schaiii zwei< wieder lu den primitiTRtcn Zci eben Operationen genannten Operndotion ta cnncbendc Einwurf, wenn der Pankl and Krcin , rcipeutive dm b(

:8 Lineals hcrObrend an iwei r Kreise steht, welch' Ictwerc gehört. Der den orsteren der dess dieselben Dnaieber werden, Anlegen ein«>

Linenta in nnhe aneinander );elegen sind . triSt guni in di'rselben Weise auch den allgemein lulaseigen dnalen Verfahren der Schnittbestlmmnng , wenn die aehneideode Gernde eine dem Ereisradiiia nahe gleiche Entteriitiog vum Mittel- pnnkt dea Kreises besitzt oder besieh angfweiic die beidea SuhnitlbreiM lehr naha nneinander liegende Mittetpankte mit wonig rersehlcdon langen Hadjeo ■nfwdHn.

drr kuhitrhcn und biguai/ratiiilira Gleichiiyr». q

Wie spater gezeigt werden soll, besitzt das besprochene Grand- ^ verfnliroD aucb Modificationen, wdcho für den Fall oincr (für üossl'U I Auwi'uduDg) DngUnstigcD Lage der Gnindraütoreo , die Gonauigkeit ) Resultats zu erhöhen im Staude sind ~ ein Erlteriuin, das jedo F. mm Kraphiachen Calcul gut verwendbare Methode beattzeu soll.

Erwoitcrang des Gruudverfahrena.

Kinc naho licgcude Em'eitcrnng für das bi9 nnQ bcsprochcno t GrundrorfahrsD autor Voraasaetzuug obiger Grund factoren hesteht [ darin, dass man die Leitgcrade LL durch einen Leitkrcia Lt ersetzt. ['Dies niDss couscqucntcrweise gestattet sein, weil ein Kreis, so gut ^Viß die gerade Linie, als sebarf za zeichnendes Gebilde anzusehea I kt. W&lircnd also der eint; Schenkel des „angelegten" rechten Win- V kels durch den Fixpunkt ^geht, befindo sich der Scheitel anf dem " OmfaDRe des Loitkrcises Lt und berühre der andere Schenkel den Gruudkreis K. Die Tangentcnschenkd der möglichen Winkellagen Fopr&Bcnliren nou hier die gemcitiscbaftlichen Tangenten zwischen !■ dem Grnudkreis und jenem Kegelschnitte, der den Fiipnukt F zu dnem Brennpunkt and dun dnrch F gehenden Durchmesser von Lt zur Uaaptachse hat, Liei;t F innerhalb des Kreises Lt, so ist dieser Kegelschnitt eiue Ellipse ; für F ausserhalb gelegen —eine Hyperbel, gibt dann stets eiuen zu F bezüglich des Mittelpunktes von L/, 1 qriDmetrisch golegeneu Punkt F', der in derselben Weise wie F als Fiipnnkt verwendet werden kann und nun dieselben Taugt u ton - schenkeliagen wie F liefert. — Die zweite Interpretation des erwei- terten Verfahreus ist aach wieder jener des Grundverfahrons analog. Es bilden n&nilicb hier die aur dem Lcitkrcis Lt erhaltenen Lagen Scheitelpunkte der an die Grundfactoren angelegten rechten Winkel F. die Schnittpunkte von /.j, mit der durch den Grundkreis E und Fix- ' paukt F als Mittelpunkt der Lotstrahlen gegebenen Kreiafusspunkts- I enrre.

Es ist nun für das ursprüngliche und urweiterto Verfahren die I' Frage sehr nahe liegend, ob vielleicht durch Aswcnduug eines bc- f tiebig verschiebbaren starreu Winkels cp (in derselben Weise wio bis l'^ctzt der rechte Winkel benutzt wurde) sich nun Aufgaben von einem ThOheren Grade als die für das bisherige Verfahren angedeuteten — (graphisch behandeln iiessun.

Diese Frage beantwortet sich sofort als vcrnoiueud. weuu mau ^'iiacii8}eheDde, einfache Betrachtung anstellt.

In Fig. 1. sei eiuo beliebige Leitearve Lc gegeben, auf welcher k Bidi der Scheitel -b' des Winkels 9 bewege, während der eine Schenkel

BnrtI: MtchaiUKh-graph'icht LHiwiif

Stets durdi dnn Pixpunkl Fg<>bG, und der andere in einem boUebigeu ' IHomeDto der Bewegung die Lage TT aogenomincn hatte. Denkt maa sieb auf alle mögtictien Lagen des zweiten der genannten Bcbenkel RD9 F die Per])ODdikel FB gefiUll, so lElsst sicL der gooraetrischo Ort der Punkte R sofort angeben. Wäbrond der Bewegung des Winkel« tp bcacbreibfu nämlich die Strahlen FS nnd FR zu einander con- grucDto StrablenbQschel am /■' als Träger. Da ferner die Slrocken FS uud FR für alle homologen Punkte der Lt und der in Rede

\ Btehendon Cnrrc der R in dem constanteu VerbaitnisBo ■■ ateben , BO müssen die Punkte R eine zu Lc ähnlicbe Ctirve durchlaufOD, deren boniologeu Funkte gegen jene der Lc um /' als Centmm in

der Winbelgrösse (90" — ip) verdreht ersclieiucn. Das Aohnlicbkaits-

verbiLltuiss von l.c zur Carve der R ist

^

1

Es können

demnach die Logen der freien Schenkel TT auch erhalten werden . in jenen eines beweglichen rechten Winkels, dessen einer Schenkel Biets durch F geht, während der Scheitel die der Lage nach oben uäber definirle, zu Lc ähnliche Curve der R durchläuft.

Dies Ergebniss für unsere mechauischeD Verfahren angcweudet, in welchen statt der allgemeinen Leitcurve Lc entweder Leitgerade oder -Kreis vorliegen, bat es also hier die Bedeutung des Ersatzes eines allgemeinen Winkels ^ durch einen rechten, wenn nnr Leit- gerade respeclive Kreis „entsprechend" geändert werden. Diese Aenderung geschieht in dem Uebergange auf ein ähnliches Gebilde im VerbiÜtniBsc 1 : sin 9 bezüglich des Fiipnnktes F als Centrnm, und uachheriger Verdrehung um dasselbe in der Winkelgrösse (90— gi) nach der Seite , wubin das Perpendikel aus F aaf eine der Lagen des freien Schenkels vou qs fällt, unter f immer den spitzen von den boi S auftretenden Nebenwinkeln vorstanden.

Umgekehrt lässt sich aber das hier gewonnene Resultat recht gut fttr eine Hilfsmethode hei unseren mochaniscbon Verfahren verwertcu.

Denken wir uns, dosB Leitgerade respectivc Leitkrcis, dann Fix-

punlit nnd Gnindkreis in einer für das „Anlegen" eines rechten Win-

I kels »erhältnissmässig ungüDstigeu gegenseitigen Lage gegeben seion,

SO kann man stets die Anwendung des rechten Winkels durch jene

eines beliebigen Winkels ip ersetzen, für welchen die neuen Loil-

1 factoren gegen K und /' günstiger gelogen sind. Die neuen Leit-

I factoren für v ergeben sieb aus jenen für den rechten Winkel nach

[ der bereits oben aufgestellten Regel mit reciprokem Aehnlicbkeit«-

1* verbal toiss nnd entgegengesetztem Drehnngssinu. Dabei kann der

^Winkel ip in seiuer zweckmassigslen Form als das auf einem gut

Innsfiarcutra Bauspapiere rerzeichneto , schiofwinkclige , mit der Neiguiig V vorseheno Acbsoukreiu zur AnsfübraDg der ineclianischeu Tenahren benatzt werden.

Mau ersieht indes leicht , dass die besprochono Modificirang der [ IiOitfactoreD sich aaF den, anub dnrcb unser Kesultat gewonnenen,

bekanntes Sntz stfltüt, daas ffir ciuon Kogolscbuitt der geometrische \ Ort der Fasspnnktc der aas einem Brcnnimnkte auf dessen Tangenten

inlar constantem Winkel gcaogonen Strahlen oin Kreis, respeotive für

tae Parabel oino Gerade (Tangente) ist.

Wenn nnn auch eine solche Modificirnng der gegebenen Leit- toren bebufs Anwendung eines Winkes rp aus GenauigkeitsrUck- P^BCblen sieb selten als gar so notwendig herausstellen wird*), so ist ! doch als ein bedontonder Wert der niecbaDisclieu Verfabron an- I naoben, nenn sie wie die anderen auf raatbcniatisch genaue Prin- I cipien basirbaren graphischen Methoden, Modiücationen tur Vcrbeese- [ rung der Genauigkeit des zu erzielenden Rosnltatfis anfweiscn.

Zorn Schlüsse mag noch auf eine weitere Consequenz hingewiesen rden, die sich aus dem Grnnd verfahren ableiten lUast. Eracizt man [ nAmlich von den bisher gegebenen Grundfactoren anch den Fixpunkl 1 J' durch einen Fixkreis Fk, so dass noch Grundkreis und Lcitgerado I oder Kreis als Grundfactoren gegeben sind, so wird entsprechend I 'dem früheren der rechte Winkel an dieselben nun so „auEulcgen" I aetn, doss, wahrend seine Scheitel sich auf der Leitgeradon oder dem I Leitkrcis befindet, seine beiden Schenkel Tangenten an Fi und AT , Bcio milBsen. Die sieb ergebenden fragen des Scheitels des rechten [Winkels auf den Leitfactoron müssen demnach angesehen werden als ■ die Durchschnittspunktc der letzteren mit einer Art Fusspunktscurve, I die sich aus Fixkrcis Ft und Grundkrcis A' in der Weise ableitet, I für jede Taugente des einen dieser Kreise, die Fusspunkte der ' biezu senkri^chten Tangenten des andern Kreises Punkte der Cnrvo I bilden. Diese Art der Verallgemeinerung dos Grund Verfahrens in- I volvirt m der Tat die Behandlung von Aufgaben ton einem häliercn I als dem vierten Grade.

') Die Botrurhlungca der Lftgcn- uud GrDssenvcrhAltniiic ilcr Qi'unil- OD anior Itüchsichl nuf die Gcnauigkeil de» durch unsere mcclinui sehen hron sa enicienilcn Rc.^ullnlca tlthrcn tn einem für dtcielbcn rceht gBii> I Ergcbniu. Wahrend znweilea der eins Scbonkcl dca ,iiti geleimten" m Winkels wegen tu ichiefer Neigang lur Lcitgurndeu die Lagt dci teil kuf denelben nicht prSci« genug angibt, etactat diesfln Mangel aofort nücrc, Duf rhu senkreclitu Suheiikci. Die ungflnstigsta gtcilun); Khcint retm dt^r Fi\|<iinkt selir nnlio der Leili^raden, beaiehungiwtJBe g^'XeitkreiB* i» Hces" kummi.

Da das hier gesetzte Ziel nnr in einer graphischen Dchandlang

der kubischen und biquadratieclirii GleicbuDgon besteht, so genügt

hiczQ die Anwoniiuug des ursprünglichen Grund Verfahrens, wobei nur

eine Leitgerado als Leitfactor gugubcn ist, iu aasreichonder Woise,

c.go dass es nicht notwendig wird, Tou dem ausführlich besprochenen

I erweiterten Verfahren oder der zom Schlüsse angedeuteten CooBeiiueuE

I in der Folge einen Gebranch zu machen.

Bßmcrknngon zur Behandlungsart do

Tben

^

Die Inangriffnahme des gestellten Problems erheischt vor Allem ' die Auffindung jener Beziehungen, welche zwischen den Bestimmnngs- stUckcu der Lagen- und Grössonverhaltuisse anseror Grundfactoreu und den mittelst der Anwendung des mechanischen Grund Verfahrens erzielten Resultate, analytisch ausgedrückt, bestehen, um jene ein- facbsteu auswählen zu können, die zu einem Vergleiche mit den zu lösenden Gleichungen sich ara besten eignen. Aus solchen Vergloi- diungen sind die nötigen Daten iiur Vcrzeichnnug der Grundfactoreu abzuleiten, auf welche das mechanische Verfahren angewendet , die verlangte Läsung der ursprünglich gegebenen Gleichungen erhalten werden muss.

Wenn nun durch diese Methode im Principe jedes Problem 3t«r und 4t«r Ordnung bebandelt werden kann, nachdum bloss die hiezu nötigen analytischen Gleichungen aufzustellen sind, so wird man auch bei den zumeist elegautcreu synthetischen Lüsuugen von Construc- tionsanfgaben , die in letzter Linie auf die gemeinschaftlichen Tan- genten zweier Kegelschnitte basirt sind, für die graphische liebaiid- lung den rechten Winkel gemäss dem Grundverfahren in Anwendung hringen können. Man hat dann im Allgemeinen das System besagter Uilfskegclschuiltc in ein solches cüllinear verwandtes über zu fuhren wo einem der Kegelschnitte ein Kreis entspricht (der dann als Grund- kreis A' zur Geltung kommt) und von der dem anderen verwandten Curvc die Hauptachsen (beziehungsweise Brennpunkte) anzugeben sein werden. Die gemeinsamen Tungeuten zwischen Kreis und dem letzt geuauuteu Kegelschnitt sind dann in das ursprüngliche System zurückzuführen. Häufig gelingt durch zweckentsprechende Wahl vou Collincationsachse und Ceutrnm eine derartige Ausführuug dieser Transformation, dass, während dem einen der ursprünglichen Kegel- schnitte im neuen System ein Kreis entspricht , dem andern eine ' Parabel boniolüg ist, wodurch dauu die Ermittlung der gemeinsamen Tangeuteu im ersteu System auf das „Aulegen" eines rechten Winkels au t'iipuukt. Leitgerade und Gruudkreia im zweiten System zurück- geführt erscheint.

Ala ein Meher gehöriges Buispii?! möge die graphiacho Bestim- I mang von yy, uuler ij eine Iwlicbiyc reelle Zahl oder eine Strecke ver*CaDdei), im Folgenden etwas Däbcr bcsprucheu werden

Tragi man in Fig. 2. Of = 1 und OF = y anf die Achsen auf, ond wäre mau im Stande den Linienzug FGHf anzugeben, der bei G nnd // rechte Winkel aufweist, so erhielte man in der Streclie 0/f sofort die V?- GH stellt aber nichts anderes vor ala eine go- rnuinaamc Tangeute jener zwei Parabeln, die in O ihren gemein- schaftlichen Sclieite! haben und deren Achsen respectite Brennpunkte in Ox, Oy, resp. f, F sich befinden. GH steht nämlich gleichzeitig anf den Strahlen (?/■' und ///'senkrecht, welche man aus den Brenn- punkten zu den Schnittpunktun der crstcrcn mit den Scheiteltangenten der Parabeln ziehen kann. Denkt mau sich eine der Parabeln, z. B. jene mit dem Brennpunkt f, sehr genau construirt, so könnte mit Hilfe derselben und durch „Anlegen" eines rechten Winkels, dessen rfuer Schenke! durch /' gehe, während der Scheitel auf der Oj; sich befinde und der andere Schenkel die l'arabel berühre, sofort die Lage der gemeinsamen TangenU; GH und damit OH ^ -[/ y erhallen wer- den. Bei Benutzung einer schon vorhandenen, sehr genau verzcich- neteu Parabel, deren Abstand dos Brenupuüktes vom Scheitel als Constructiouscinheit genommen werden muss, lasst sich auf diese Wüse für beliebige Werte von y unmittelbar die -^y mit einer fUr B graphische Rechnen ausreichenden Genauigkeit heralelleu. Gra- phische Metboden seligen ja oft Curven hühorer Ordnung voraus, die erst mühsam construirt werden mUsseu, wahrend hier nur eine au Terzeichnete Parabel verlangt wird.

Die oben defiuirte Lage der GH kann auch noch Weise aufgefasst werden.

. anderer

Sind F und / die Träger zweier congruenter Strahl eubaschel, deren homologo Strahlen zu einander parallel laufen, so werden die- selben durch Oj- und Oy in projccti vi sehen Funktrciheu geschnitten, , deren Erzeuguiss eine glcicliseiügc Hyperbel ist, die Ox und Oy zu Asymptoten hal, und derou reelle Achse, den Winkel FOf halbirend, die Länge 2o ^ Vi'j besitzt. Die Lage der Geraden GH bildet uuu auch eine Tangente an diese Ufperbel und nach früher auch eine solche der oben bezeichneten Parabeln. Ersetzt man die dass GH Parabel taugen tc sein mnss, durch jene des rechtun Winkels ganz iu derselben Weise wie früher, wobei also Jetzt die gleichseitige Hyperbel von dem einen Winkel seh oakel bo- rflbrt werden muss, so erhält man iu demselben die i^age von GH

10

rll: Utrhaititch-gra/ihUc/ie LOnatt/

Diid damit yp. Dass auch hier wioiler jede vorliegoodc gicirhsuiligo Hyperbel zweckmässig »orwondet worden kann, ist sGlbstvcrBt4Ddlicb ; die Achse derselben rcpräsuntirt dann die Strecke ySj^, woniDS sich

die MaBselabciubeit ^nm Messen von Vy ableitet.

Wie sich die Bestimmung der gemeinsamen KeeelschniUstaDgento GH in beiden besprocheacn Anffassungen zurUckfübron lILssl auf jene zwisL'beu einem Kreis und einen Kegelschnitt nnrdc schon für den allgemeinen Fall erörtert — Die Durchführnng derselben in dorn vorliegeudeu , wo die gegebenen KcgelschniltQ eine besonders gün- stige gegensoitige Lage -besitzen , kann weiter keine Scbwiorigkeit«n bieten.

Wird die Bestimmung der Hauptachsen (respcctive Brennpunkte) jenes KcgelBcbnitts des transformirtcn Systems, fttr welchen eben diu gemeinsamen Tangenten mit dem Kreise durch „WiDkclaulegoa" er- halten werden, umsUlndlicb , so leidet bierunter die Gcnanigkeit des SchluBsrcsultates wesentlich. Dies wird schon in unscrm spociollea Fall bei EmittUnng von GH merklicL fublbar.

Nachdem die zur Ausführung von solchen Kegelschnitts- Trans- formationen nötigen Constructionen längst zu üou bekannten gehören, das Problem des graphischen Kubikwurzelzichcus aber später ohne- bin durch zweck massigere Verfahren gelöst wird, so kann die con- Blructive Durchführung eines hJehcr gehörigen Beispieles demnach fügüch unterbleiben.

Behandlung der kubischen GIcichuugeu.

Schneidet man die zwischen einem Kreise nud einer Parabel möglichen vier Tangenten durch eine beliebige Transversale, so re- prtLseutLreu die Strecken von einem gegebenen Punkte derselben bis ZQ den erhaltenen Schnittpunkten mit den erstcren die vier Wurzeln einer bi quadratischen Gleichung, die sich zur Berechnung jener Strecken ans den Tangentenbcdingnugen unter Voraussetzung der die GrCsse und Lage des Kreises gegen Parabel und Transrereale be- stimmenden Dimensionen anfstellen lAsst. Kreis, dann Schoitelan- gente nnd Brennpunkt der Parabel bilden beziehungsweise Grund- kreis, Leitgerado und Fiipnnkt für Anwendung des Grundverfahrens, wobei also die Tangente nsebenkel der rechten Winkel jene gemein' samen CurTontangcnten darstellen werden,

Soll nun aber durch einen solchen Tnuisvcrsalschnitt die Lösung kubischen Gleichungen erzielt werden, so ist entweder eine jener gemeinschaftlichen Tangenten selbst als die bekannte Trau-

•ItT kub

und biiun

-aliithtn Glrithvngin.

n

ale dor übrigen drei z\i nehmen, oder aber allgeineiuei eine be-

[ bebig ßelegte Transversale mit den vier gemeiusehaftlichon Tangdoten

[.so schBeideo, von welchen jedoch c^ine, als durch die speciello Lage

r Grondfoctoren bekannt oder gegeben vorausgesetzt werden musR.

^ Der dieser letzteren entsprechende Wnr/elwert auf der Transversaleo

ist ODn gleichfalls bekannt ond rcprüsentiren die den übrigen cnt-

spnxhenden, solche einer kubiseheu Gleichung. Znm vorliegenden

Zwecke werden nur jene Transversalen brauchbar sein, für vvelcho

die aufgcsU'lllon Oleicbungeu der SuUnittpnnkto Coefficienten der Uo*

bekannten aufweisen , die sieb in einfachst möglicher Form ans den

[ Grössen- und Lageudimensionen der Gruudfactorcn zusammensetzen.

1 Per Spielranm in der Wald bei der Lage der Grnndfactorcn und

I Transversalen ist wohl bedeutend und ISsst sich von vorneherein auf

I die Existenz von mehr als einer Löaungsmcthode einer Gleichung

V ichlicsEcn, so dass man für oincu Specialfall mit Rücksicht anf Ein-

. fachhcit und Genauigkeit wird auswählen können.

In der Theorie der kubischen Gleichungen bildet die Lösung der t>eiaeii kubischen Gleichung

. = 0, d. i

. v«

len AnsgangEpnnkl für jene der redacirten ; bei der graphischen Be- undlnng ergiebt sich die Methode des Kubikwurzelzichcns als ein I ipociellor Fall der Lösung der allgemeinen kubischen Gleichung oder I jjulirect aus joner der reducirten. Die vollständigen Gleichungen T'kAunen sofort in ihrer gegebenen Form zur Behandlung gelangen, J 9line dass es nötig wird, wie dies bei der Aulfdsnng in gewöhnlicher f Tireiae zn geschehen pflegt , dieselben vorher auf redueirte zn trana- f Jormireo.

Die allgemoiuBte Form der vollständigen kuhischen Glcichnngea Ige durch

[.iJKrfEestcllt sein , wobei unter a, b and e nicht blos die numerischen fferte dor Coofdcicuten , sondern auch ihre Qualiliitswcrte miteinbo- rffen Ecia sollen. Bekanntlich hat diese Gleichung, je nachdem E.4er CuefticientcQ- Ausdruck

I (3fi-

«')

(9c-

»»)	<o
	- 0
'.')	>o

iit, beziehungsweise 1 reelle und '2 imaginflre, dann 3 reelle, darunter 2 gleiche oder 3 reelle von einander verschiedene Wurzeln (irru- daciblcr Fall). Diese Unterscheidung wird jedoch bei der graphischen

'll Mfrl

r /,rt.1

Bcbandtong im Allgemeinen die Mothoile nicht bcoinitiisscn. Alle knbiacticn Glpiclinngcn besitzen wenigalcns eine reelle Wurzel nnil muBB (iiesclljc stets Uarch das mechaniBchc Verfahren erlialtcn werden kßnnen, wfthrend die beiden anderen, wenn reell — auch direcl, woun imaginär — aber dnrcb Lüsnng einer weiteren Aufgabe von der 2tcn Ordnung sich ergeben muasen. In dem Falle zweier glei- cher Wnrielu, lasBen sich ilbrifrena die Werte der Wnrzoln rational durch die Coefßcieuten ausdrücken. Unter Vorausset/unp, dass obiger Dc'tcrminaulenauBdrnck verschwindet, wird aUo die gleiche Wurzel

9c— oJ

yi -^ ys = — i ■ und die davon vcrachiedeuo dritte Wurzel

Ltefuru diese Ausdrucke die uubeatinimtc Korni S i ^° >Bt dies oin Zeichen vom Vurhandenseiu dreier gleicher Wurzeln, dcreu Bestehen also au die Bedingungen geknüpft ist, dass

'Jit = ab und '.ib — n'

wird, womit dag Ulei<-|jnngspoIym>m in innen volbtilndigen Kubas Übergebt, und die gleiche Wurzel den Wert

Bohufa Aufstellung; der analjlischeii Auadrllcke für die Trans- versaUchnilto wird fnlgunde Wahl des Ai.baenaystema zweckeutspre- cbcnd sein.

Wir haben nach früher eine gemeinBchafllidie K reis- Parabel - Tangente als bekannt voranszuaetzcn und nehmen dieaelbo (Fig, 3.) gleich zur ji Acbsr, tvübrend wir den zum Berubruugapuukt des Kreises gehörigen Durchmesser als Lage der j- Achse wählen. Der Fixpuiikt /*, darauf bezogen, hätte die Coordinaten c QJtd f, und dit! Leitgerade L muss in der Hübe f über dem Ursprung die y Achse Rubneidun, ist aber sonst iu der unabhängigen Neigung tp gegen die X Achse vorauBZUseUeii. Der Kreisradius sei mit r bezeichnet.

Eine uubegtimmtc Kreist an geute

der kvhisrhen und biquadratischc.n Gleichungen.

13

mit den Achscnabschnittcn n und m, hat sich mit dem ans F darauf errichteten Lote

m n \n m/

anf der Leitgeraden L

y — tgq).«— /•= 0

bedingungsweise in einem Punkte zu schneiden. Dies ist sofort in dem Verschwinden der Resultante dieses Gleichungssystems, also in

— 1

n	911
1	— 1	e f
m	n	n m
1,	— tg<p.	-f

1,	n m	— n
n m	-1,
1,	-tg<p,	-f

0

ausgedrückt Nach leichter Reduction und Auswertung der Deter-

a minante findet man für — die Gleichung

n

- + tg<P, /— n

- tgg) — 1, e

n

= (e — /'tg<p + ntg<3P)-+«tg94-/'— n = 0

Daraus und aus der Bedingung, dass n und m einer Ereistangento angehören, ergeben sich (zur Elimination von m) die beiden Werte

für - in m

2 — ..2

n /-|-ctg(p — n n

m ftg (p — e — n tg 9> 2m

Ordnet man die letzte Gleichstellung nach n, so ergibt sich zunächst eine Bedingung hiefür in

n3---(/'--e.Ctg«y'+2r.ctgqp)n3-fr(2/'ctg<p+2«~r).n-fr>j(/--«ctg9)-»0 (1)

71

Eine zweite rcsultirt durch Einführung der beiden Werte von - in

m

die Tangeutengleichung

y + x n «= 0

und erscheint nach Ordnung für n in der zweifachen Form

n»-(j(+ictg9+/-— «tg?.)''+[!c(/l;lg(P+fl-|-j.(/-eclgv)]=0 )

(2)

Niniiiit man daher obigo Gleichung (1) am beaton mit erstcrer der Ictül^D (2) zuBammen miil elimiatrt daraus u, so muss sich als Aus- (Iraclf für die drei gcmciDscLafüichen Taogenten zvriscbeu Grundkreis und Parabel {„LL, F") orgebco.

Ee wird nnn nicht nötig die Eliminatiou für deu all gern einston Fall durcbzufUbrea , weil für z weck ciiUprccli Code Trausversalschnitto dio A^iBdrUckc durch einfache Substitutioucn erhalten werden können. Solche Transversalen , für welche vorausaicbtlicb bemerkenswerte Ausdrucke sich ergeben dQrften, eotuimmt man aus ilen TangentcD- gleichuugeu (2J. Diese liefern für dio Scbnittgeraden

a: = 0, «-2r und (/-ectg<p)), + (/ctg<p + e)jr = 0

bezichongewoise dio Werte für das zu eliminirondo « in

„ =. j,, " " „ "'"' n = (i,-|-irelg(p-|-/'— eclgip);

hicvon wollen wir im Allgemeinen jedoch nur vom ersten , das ist dum Schnitt der •/ Achse Gebrauch machen und die letzteren nur für spcciclle Lagen von F und L später inr Anwendung bringen.

Die Gleicbung für die Schnittpunkte der gemeinschaftlichen Kreis- Tarabel -Tangenten (oder Taugenten-Schenkel der „angelegten" rechten Winkel) mit der y Achse ist demnach, obige (1) in y geschrieben;

y3_f/_ectgg-+2rctg7>)y'-fr(2/0t«9>-|-2c-r)y-f(/'-fCtgqp)r'-O (I)

Vergleicht man dieselbe mit der vollsUlDdigen kubischen, so er- geben sich zur Borechnnng der Grässen r. ctgrr, e und f nur die drei Gleichnugen

a = — {/— cctg9-f 2rctg9i) 6-.r(2^ctg» + 2<!-r) e = r«(/-«ctgv)

wobei also eine Unbekannte noch willkürlich anzunehmen bleibt. Als dieae wird offenbar der Grundkrcisradius r zu wählen sein, und man findet ans der orsteu und dritten den Wert von

wodurch sich zur Bestimmung ' die Beziehungen herleiten

9 den beiden letzten

drr jtvJiurAtn anJ biguadralüehiH GltUiungtit.

2r>e-(e + ar>)/ - (6 + pV (g)

(« + i'-')« + 2r*/-2rc (g')

t dieselben nach •- und / anfzolÖBen, kann man bemerken, dass 1 F(t, f) einfacher ergibt ans äem Schaitt der beiden darch die Gleicbaogcn rcpräsenürton , aufeinander Bcnkrcchten Ge- raden g und ^. Diese selbst werden am rascheglea durch ihre lAchsenacbnitte g,,^ und gt.^' zu verzeichnen sein. Um gleich für alle Paile die Ausdrücke zuBammenzustellon , hat man für die redacirten I« — 0 und fUr die einen kubischen Gleichungen a = 0 und 6 '^ 0 ; eetieu; :iussordem dürfte es in den meisten Füllen vorteilhaft ein, den Grundkroisradius r gleich der Conatmctionsoinhcit zn wfth- wofUr die Ausdrücke noch angegeben werden mctgcti.

A. VollBt&udige kub. Gloicbangon. r allgemein nnd r = l

r obigen Wert v ctgv —

1 ctgip kann I

] demnach einfahren

woraus man sogleich erkennt, dass die Leitgcrade L entweder pa- rallel läuft zn den bozOglicb den Coonlinatenachsen ^nr Geradeo g zu TeRcichneedcn symmetrischen Linien oder aber auf jenen der Lfienulen g' scnkrecbt steht

G. Redncirte kab. Gleichungen, r allgemein und r — 1

C. Reine kub. Gleichungen oder y = V —

r •■* 1 1

< = ö 1 Hu •="— ~ Ot ^ ä- 3h =~

ctgrp 1

^

N ^

Das gaD/.e VcrfahrCD zur grapliisclicD Lösung von kubischen Gleichungen bestebt zuerst in der Verzeichnung der Grundfactoren, an welche dann der rechte Winkel „anzulegen" ist, dessen Tangenten- Schenkel anf der y Acbsc die verlangten Wnrzelwcrtc ahBChaeidct.

Nach zweckmässiger Wahl in der Grösse des Gruudkreises wird man den Fixpunkt F durch den Schnitt der bcidt^n Geraden g und g' darstellen. Von den letzteren verzeichnet mau zuerst die, einfachere Ausdrücke der Äclisenschnitte aufweisende g', während g durch den Funkt gz auf g' senkrecbt zu fuhren ist und F bestimmt. Wird dessen Ordinate auf der y Achse irgendwie übertragen, so ist durch den erhaltenen Punkt (ji Adiaenschnitt) die Lcit.gerado nach der oben näher angegebenen Richtung ?.u fuhren, oder man kann auch den T Acbsenschnitt der letztem bestimmen, wenn man die Grösse gt auf der X Achse vom Absei ssenpnnkt e des Punktes F nach der dem Vorzeichen von ^i entgegengesetzten Richtung abträgt Die Con- struction der Ausdrücke wird selbst bei allgemeinen r, die nicht in Masszahlen ausgedruckt zu werden brauchen, verh&ltnissm&ssig eiu- fach und soll deshalb bier.nieht weiter darauf eingegangen werden. Ergehen sich die Grundfactoron in einer fUr die Anwendnng des mechanischen Verfahrens ungünstigen Lage, so kann dieselbe bei Aendernng des Wertes von r stets leicht behoben werden, was als Vorzug der Methode bezeichnet werden muss.

Schleifende, ungenaue Schnitte der Tangentenschenkel mit der 1/ Achse werden eintreten hei estrem kleinen oder grossen Wurzel- werten (in Bezug auf die Grösse von r genommen). Um in solchen Fallen die Schnittpunkte genauer zu erhalten, wird man im ersteren den scharf bestimmten Berührungspunkt des Tauge ntenscbenkels und Gmndkreises mit dem Punkte i = 2r verbinden und hiczu die Pa- rallele durch den Kreismittclpnnkt ziehen, welche nun unter sehr günstigem Winkel die y Achse im verlaugten Punkte trifft. Im zwei- ten Falle — bei grossen Wurzelwerten — verzeiohne inan sich den zum Coordinaten Ursprung bezüglich des Tangentenschenkels symme- triEch gelegenen Punkt und hat dann durch denselben anf dessen Verbindnngslinie mit dem x Achsen Schnittpunkt des Tangenten sehen-

biquarlraiiieh'i Gleirhwif/tn.

17

kela eine Seil krcylite zu errichten. Diese wird unn in einem doppelt I grossen 'Winkel als eben der Tangentenschenkd mit der 5 Achse

Mnschiiesst, die letztere im verlangten Puukte tretTeu. Sollte aelbat

ä^iesßr Winkel für die Genauigkeit des Schnittes noch zu klein sein,

1 ist er nach demsciben Vcrfahroa weiter zu verdoppeln n. s, f.

Zur CoDstruction TOn V— c soll noch bemerkt werden. dasB bei F|rrosscn Radieanden die Wahl von r = l unzwcckmassig wird, und ■ als beliebig grosse ganze Zahl zu nehmen ist, wodurch ein ge- naueres Resultat erzielt worden kann. Die Fixpnnkte F für sllmmt- lichc Werte dos Kadicanden von — !» bis -f «) liegen alle auf einem

reise, der über die Punkte ^ ^ .> und r = 2r, als Dnrclimcüscr- iden, beschrieben werden kann. Gleichzeitig wird man hier stets graphische Frohe über die Richtigkeit des Resultates durch-

1 (Fig. 4), Man hat behufs dessen den Punkt y =^ V — e mit = 4-' 2" verbinden und hiezu durch den Pankt y=-J-c &e Parallele bis zur ^ Achse zu zichon. Diese wird die Strecke -yc' daselbst abschneiden. Bei richtiger Conslraction wird I letztere Parallele lotrecht stehen auf der Verbiuduugsliuie dieses

= — y c* mit dem Punkte y = V— c.

Ein Tcrfabren für das graphische Kubikwnrzel ziehen, bei welcbeni EOr beliebige Werte dos Kadicanden immer derselbe Fixpunkt für das mGelianiscbe ,,WinkelanIegcu" zur Benntzung kommt, soll später indirect aus der Lösung einer reducirten Gleichung abgeleitet werden.

Darstellung der imaginären Wn

zclw

Einer wesentlichen Ergänzung bedarf vorstehende Lösungsmethode äsmi, wenn die gcgeboae kubische Gleichung nur eine reelle Wnrzet hat, indem es sich um die Darstellung der beiden (Ihrigen imaginären Warzoln handeln wird. Das Kriterium dieses Falles wurde schon 1 angegeben nud hiezu bemerkt, daaa letztere Aufgabe nur mehr ! solche 2tcr Ordnung ist, den reellen Wnrzelwert, der immer I das mechanische Verfahren gefunden worden kann, als bekannt perftUBsetzeod, Werde derselbe mit ir, bezeichnet, so ist das Glci- Ümogspolynom durch (j/ — i'',) teilbar, und der Quotient der Division t dio betreffende Gleichung 2ten Grades, deren Wurzeln die fehlen- 1 der kubischen sind. Man hat also:

u^Sk ToranssetzongsgomOss

Muh-IR

h-^aphiieke /O.

sein musE. Die Wurzeln der quadratischen Gleichung, deren Ooeffl cionten wir mit

wj + a = 2a and (2ipiO+6)

beitcicbnon wotlea, finden sieb als coinplexe Zahlen, in Punkten do>^ Ebene darecslellt, in welchen der Kreis aus dem UrBprung als Mittel- imnlct mit dem Radius ß beacbricben von der dnreb den Punk j =■ — o zur X AcbBf gc/ogeneu Parallelon güatbiiittcn wird. Ii Fig. 3. ist das BoiBpiel der grapbiscbeo Lösung von

»'— y*+5j( — 33 = 0

darcbgcführt und wnrdc nach Verzeichnung von F und L (bei dai Annahme YOn r -= 2) die reelle Wurzel i/-, -^ -J- 3 erhalten. Somit iat

Für reducirte Gleichungen wird

; ^-ITV-IO

Für die reinen kubiscbon oiv\

lie Kubikwnr/.el ist dann

U. b. die Punkte i-'i, ic», rcj, welcbe die gleicbnamiKeu Wurzolwcrta daratcUon, sind die Pankte der Dreiteilung des Kreises mit < Radias n', ans O. In Fig. 4. kamen sie gleichfalls zur Verzoichnniig

Eine zweite Methode der Darstellung imaginärer Wurzelwertei die mebr wissenscbaftlicbes Interesse bat, soll an (lomsclbcn > chungsbeispiele der obigen Fig. 3. nun in Fig, 5- durcb geführt wor- den. Man gelangt bioza durch folgende Betrachtungen.

Nachdem durcb das mochanisi^be Verfahren aus S, L und i'' der reelle Wurzelwert, also Punkt 'c, abgeleitet wnrdo, hat man zi denken, dass die noch fehlenden Werte in den Schnittpunkten deS' imaginären Tangent^npaares zwischen Grnndkreis und Paraind [LPy mit der transversalen y Achse repräsentirt sind. Dieses heisst mit' anderen Worten, sncht man zuerst den reellen Conti ugcnzp unkt dieser Gonjagirten Tangenten, so sind die Punkte, welche die imaginärea Wnrzclwerte darstellen, die beiden imaginären Doppelpunkte jener Pnnkteinvolntion, die auf der y Achse durcb eine Strahlen iuvolutioa erzeugt wird, welche für jenen Contingenzpuukt als Träger in Bezug auf einen der Kegelschnitte (Kreis oder Parabel) gegeben orscheintj

U"d bigiindrririK>irn IrUiehuniita.

m

: imaginären Doppolpuukte aber ersetzen eich dorch reelle der ViÜbrne. die xa beiden Seiten dos Trikgers (y Achse) als Miltelpankte von rechtwinkligen Strahlen Involutionen anftreten, die zor Paoktc- iavolntion perspectivisch liegen. Es kommt also znaftchBt darauf an jenen reellen Contingcnzpnnkt der beiden imaginären gcmciaGamen LiK«iB-ParabeltanRcnten — wir wollen ihn mit la bezeichnen — aus Hfem bekannten Coutiugenzpunkt ir, abzuleiten. H. Behufs dessen suche mau den Schnittpunkt /' der homologen ^fecrOhniugspuuktsverhiu düngen) OT und OpTp, so ist derselbe der Btobnittpaukt jener beiden ge mein seh aftli eben Kreis -Parabel- See an ten, n|le als Collinealionsacbsen sowohl zu k-, als auch u als Ccntra einer ^boUinear verwandten Zuordnung von Kreis und Parabel genommen Knrdon können. Es muss daher die gemeinsame Polare jip des Hpsnkles /" in Bezug auf Kreis und Parabel jenen Punkt u cnLhalten, ^Debt man eine jener gemeinschaftlichen Kreis-Parabel-Sccaiiten durch Kit läereu Richtung AX-,^ durch die Gegcnacbso uAX^ bestimmt ist ^nelcho eine Kreistangonte zu dem dem unendlich fernen Punkte u^ ^Har Parabel entsprechenden Kreispuukte u sein muss), so schneidet KBe&elbo die vorhandenen Kreis tangeuten der c, in ä und 6'. Vor- Bnlcbnet man sieh die aus den letztern Punkten noch möglichen Kmeiton Kreistangenten und ordnet nun die Berührungspunkte > und q ^Wciehungswciso jenen Tp und Op zu, so müssen sich die Strahlen Hb^, *pT, sowie qOp auf der Polaren pp im fraglichen Contingenz- Hnnkte u scbueiden; tp ist nämlich der dem Kreispunkte s homologe HPm&belpnnkt und fällt hier zufällig mit dem Parabel scheitet zusammen. B Nachdem ca gefunden ist, gibt das rechtwinklig entsprechende ^Ulrablenpaar der Involution d. i. tooK, all' die beiden ontsprechonden l^nokte R und II', über welche als Durch messerenden der Kreis x ■M verzeichnen kommt. Ein zweites Punktepaar würde gleiclifalls Bänen solchen Kreis liefero, der wie x jene iraagioär ersetzenden, ^Kellea Punkte der Ebene enthalten mtlsstc. Einfacher werden die- Hplben aas dem Involutionscentrum J abgeleitet, da sie im Schnitte ^Bh Kreises k mit der Senkrcchleu irjJf^ durch J geführt, gleicti- ^KUs sich ergeben müssen. Das luvolutionsceulrum J aber bestimmt ^BA durch den Strahl Jici, wolcher dem durch u znr i/ Achse parallel ^Bpmgenen Strahl der Involution homolog ist; der Punkt i anf der ^pAdiee gelegen — ist der Pol dieses Strahles als Polare bezüglich des

^V Ko erhaltenen Paukte wj und u'^ sind die Träger jener rechl- ^HiBkligCn, zur Pnukteinvolution perspectivisch liegenden Strablen- ^■ffOlution, und zugleich die graphische Darstellung der compleieu ^nertfi der noch fehlenden imaginären Wurzeln unserer gegebenen nilbisclien Gleichung.

rll: J/wAat.

ifaphisfhe ifiiu

Du vorslcliendc Torfabroa kann aach in dem Pallo angewendet werden, wean ilio kubische GloidmnR drei reelle Wnrzela bat nnd einer oder zwei dieser Werie sich dorch das mocbanische Verfahren ungenau ergeben würden.

Man kann jedoch in oinom solchen Falle tat genaueren Bestitn- mnng einer der Wurzeln eine ans der Theorie der kubischen, fUr redncirte Gleichungen golleodo Relation benutzen. Verlegt man näm- lich den Ursprung O, d. i. den Anfangspunkt der Zählung am die

Grösse

(-i)

nach 0\ so werden bekannUich für den neuen An-

fangspunkt O' die Wurzelwerte zu solchen einer reducirteu Gleichung nnd fllr diese gilt der Satz, dass die algebraische Summe je zweier Wurzelu gleich ist dem Etitgcgenge setzten der dritten. Sind also xwei von den Warzelwerten genau, eo lässt sich darnach der dritte, unsichere corrigiren.

isvcrsalscLnitto für speeielle Lagen iler Grnndfactoren.

Obwohl im Vorstehenden das Probieni der mrcliani seh -graphischen Lösung der kubischen Gleichungen im Allgemeinen and Specicllen durcbgefQbrt erscheint, sollen hier doch noch einige Trauaversal- schnitte hervorgehoben werden, welche bei besonderen Logen von L und F gegen Ä' bemerkenswerte Resullatc liefern, die sich zwar weniger fttr vollständige, aber recht gut für reducirlc kubische Glei- chungen verwenden lassen.

Lässt man die Leitgerade L mit der y Achse zusammenfallen, Go ist in obige Gleichung (1)

ctg(p = 0 einzuführen, wodurch sie übergebt in

(ic „ 2r)«' -\--iryn — rH = 0 (2)

zusammen zu nehmen ist, nm die unbestimmte Grösse n zu elimiuiren. Dies kann wieder im Besonderen geschehen für j: = 0 und x = 2r,

welche beziehungsweise liefern « = y und n = - - Darnach werden

die Ausdrücke für den y Achsenschnitt, respectlve den der parallelen

Kreis langentc

und mit

yS_/j,i^r(2«-r)j,-|-/r» = 0

(4) (5)

hibiiBhen und biquudratUthtn Glekh«n

21

t crstcrom lasset) sich Oleichangen behandela vud der Farm

jj — aj/' + by-i-c =^0

y^-\-aif'±by — c = 0 t lotzterero die anter die Grappen

y^ + ay* — *!/ ± c ^= 0

^Srigen bei beliebiger Variation der Vorzoichen von a and r. wi sind aber nntcr a, h und c mir die Dumeriacbeo Werte der fficienten verstandcD, GleiclizeitigQ Äendernng dar Vorzeichen 1 (^ in die entgegengesetzten and diu Beibebaltnng des on b involrirt nur den Uebergang zu einer Gleichung mit I Dumeriscb gleichen aber eutgegenge setzt bezeichneten Wurzeln r nrBprflnglicbeD.

Die Vergleiche der allgemeinen Formen mit (4) and (5) ergeben lationen, ans denen sich die Dcstimmungsgröasen r, e und f leicht rcb die bekanuten Coefficionteii a, b und c reell ausdrücken lassen. I möge jedoch nur darauf hingewiesen werden, da die Ausführung ler keine Schwierigkeiten bietet. Uebrigeus lassen sich diese He- tato nicht so zweckmässig anwenden, als Jene, welche sieb bei der moineD Lage von L ergaben. Diese Bemerkung gilt übrigens t far die wenigoD noch später zu entwickelnden allgemeinem Fälle.

Specialisirt man die Äbscisse des Fixpnnktes F auf c — =, so

Igibt sich für den Ausdruck (5) die rcducirtc kubische Gleichung

y"-r*y+y "0 (11)

die (Ar unaem Zweck sofort verwendbar ist.

Die Auadrttckc für andere Transversal schnitte leiten sich ans dem ElimiuatiuDsrcaaltat von n ans obigen Gleichungen (3) und (2) ab. DasBHlhe ist dargestellt In:

2.,

'in,

— r*!t

t durch dnc Determinante niedrigerer Ordnung ausgedrflckt in

\r(f+.j) (cx+fi/)-,i2c~r) 2rj |

Barth Mechanitrh-graphüehe LStuny

r y — 0 bekommt man die Schnitte nät der x Achse in der Glei- l'chung:

.a_2^(2c — r)j:»+-,[(2a-r)'— /«]»;+ 2^,/» = 0

[ Transformirt man dioBclbe TOn x auf - ij, so folgt die eiafachcre

-2(2<:-r).)'-iy»-(2«-r)']ij + 2(^'-0 (6)

I Die Wurzeln i) sind dann die Ordinaten in den x Ächsenachnilt- f punkten bis zu der durch den Urspraug gehenden Geraden

kann wieder dienen allgcmcino Gleichungen von il*±a)j* — bi]±,e — 0 wobei beliebige Variation der Vorzeichen von a und o

j Der Aosdrack ( [ der Form

\, zn bebandeln, gestattet ist.

Setzt man in (6) wieder Abscisse t I redncirte Gleit Lang

so erbalt man die

-/■' '?+/''■ = 0 und f) =

I also für die tr- Acbse;

■s — 4/-'z-f 8/»r = 0

»

Ea mag noch der Ausdruck für die Schnittpnukto einer Trans- [ versalen aufgesti.'llt werden, die darcb den Mittelpunkt des Kreises . gehend, senkrecht steht auf des letzteren VerbindungsünJc mit dem I Fiipnokto F; eine solche ist in Fig. 6. verzeichnet.

Die anf der Transversalen vom Mittelpunkt des Kreises ah An- faugspunkt o zu zählenden, durch die Tangenten abKesehnitteucn Strec-kou seien mit t bezeichnet, der Neigungswinkel der Transver- salen zur X Achse mit n, die Strecke nF mit « und das TrauBVcr- salenetück vom Mittelpunkt des Kreises bis zur y Achse mit t. Dann sind in obige Determinante folgende Substitntionen einzuführen: y — isinn, r — f = /8ino, /'=(!CObo i = r4-icoso, .■j-+/tf-r[f + 3C0So) Hebt man die Factorcn r weg und zieht die dritte von der ersten Colonne ab, so wird:

SCOS« ?'-(-IC0BO

8Sina-|-3C0Sa 2isinai

r-j-iCOSO ==0

2i sin «1

lUr iubücirn und hiijuadratisehen (ihickun^tn, 23

D achlieaslich noch

" coso , so folgt dio totzto Form und ihre Auswcrtuug iu

0 . l+i =,!i-|.((_2,tg«)=»-.»»+**l=0 (7)

ms (, t und a iJlBst sich sofort wieder

r = lC03o, /=aCOBa, c = r— /Bin o ircb Constraction hcrsteHen.

Der Ansdrnck (7) kann wieder mit der allgemeinen Form

0 verglielieii werden nud liefert sowie a nnd ( roell durch a, b

■ beliebige Tontoicben von a an

immer aogebbaren Winkel . tad e ausgedruckt.

Zorn Uebergang anf eine redncirte Gleicbung hat man wieder i{7)

t-=2»tga oder r = Saalnn = 2(r — «) d.i. e = ö I specialisiren nnd erhält damit:

'z + sH = 0

(IV)

Br Anwendung dieser Gloichang durfte sieb die Aoordnung in Fig. 7. welche aas Fig. 6. durch Rechtsdrebnng um den Winkel 6-}-tt) entstanden isL In Fig. 7. ist also die y Achse TransTCraale. F'Ucgt aof dor -j- Achse, während eine Kreistangente von x Achsen- ) als Leitgerade L aoftritt. Bei der Construction wird man [und 2m auf die Achsen von O aus auftragen, um in der Yerbin- ilinio der erbaltcnon Punkte die Leitgerade L darzustellen. An Mibe ist der Grnndkreis K berührend (aus dem Mittelpunkte O) I beschrelbeo. F hcöndet sich im Abstände s vom Mittelpunkte.

Dio bis jetzt erhaltenen reducirten Gleichungen haben als charak- teristisches Merkmal den negativen Coefficicnten der ersten Potenz der Unbekannten. Damit sind also alle Fülle erledigt, die nuter die Vorm

-pj, j

= 0

gebfircn, wobei dio doppelten Vorzeichen des letzten Teiles gleichen aber entgegengesetzt bezeichneten Wurzeln entsprechen. Da den

tiarll: Hei^hatiiich-gra/ihiiche Lffrung

absoluten Werten von p und q keine Schrankeii gesetzt sind, eo ist aach der Fall mit ^wei gleichen, nnd der irrcduciMe mit drei ver- schiedenen reellen Wn^^eln milein begriffen. Die erhaltenen GIcichnn- guD haben anch das Gumeinsamc der vorausnisetzonden Bedingung, dass die Abscisse von F d. i.

zu nehmen ist

Werden unsere RcsnJtatc der obigen Form, die als gegebene, aufzulösende Gleiclioug gut, gegenüber gestellt, so bekommt man fUr die Conatruction der Grnndfactoren folgende Wert« der hieza nOtigen

Dimensionen, und zwar

bei (11) y'-r",+^ - 0,	r = Vp,	'-,
bel(in) ,>-/i,+/>r-0,	/->>.
bcidV) •■-A + A-O,	• -Vp.	t = ^

Eine zweite besondere Lage der Grundfactoren geht aus der allgemeinen liervor, indem man F in dio x Acbae versetzt. Darnach ist in Gleichung (1) da8/=ü zu setzen, wodurch sie übei^eht in

«ctgT=0 '(8)

in II mit obiger Glei-

„»_(2r-e)ctg9n.»+r(2e-r)n-r

Diese haben wir wieder behnfs Elimination ^

cbung (ä) zusammenzuhalten.

Die eiiifachaten hervorzuhebenden Transversal schnitte sind auch hier wieder

für z = 0, wodurch n = y

:omnit. Damit werden aus (81 die folgenden:

-(2r-B)cIg9i.* + r(2e-r)y— r*cctgv = 0

B'Pff*+-

-r»y — -tgip =

(9) (10)

Von diesen ist jedoch nur erstere (9) verwendbar zur Bebandiniig der vollständigen Gleichungen von der Form

y' — aj' — iy — c = 0

m FfiUo boi positivem i sind nur bodingnngewoiau zu lösen Es mass iiamlicii uamoriBcb genommen

c>ab

, damit das r ans dem Vergleicho der CoefficieutCDaasdrücko sieb rgeben kann. Die Ausdrücke fUr r, e und ctgip durcb a, b und c Dberhaopt weniger einfach zu construiron nnd das erste allge- dne Verfabren vorznziohen.

Bei Specialiairung von u — 2r folgt ans (9) :

^s+3r»y-är3etBip=^U (V)

l bei Jener von c — 5 ans (10);

yS + 3r'j-2r»tgq.=^0 (VI)

1 redocirten GIcicbnngcn sind für complemenläro Winkel <p ein- ' gleicb, so dass für o = 2r nad einem bestimmten tp aaf der

t Acbse dieselben Wnrzelworte erscheinen als für rs ~- .j und dem

iFiiilicl (90— (p) anf dor parallelen Tangente z = 3i'. Ea braucht Icmnacb aar der Ausdnirk (V) vceitera berdckaicbtigt zu werden.

Derselbe löst nun die rcdacirtou Glcicbtingeu von der Form

a ]>, und erbiilt man beim Vergleiebe mit 2rä

L charakt<'ristiscb poaitivr > sofort:

'Vi- '^--T-Wi

I Gleichungen dieser Gruppe haben bekanntlich bei beliebigen merischen Werten von p nod q stet« eine reelle und zwei Imagi- ( Warzeln.

Von Interesse ist die Ausnutzung der Gloicbnng (V) zur Aof- ' eines besonderen, indirectcn Verfahrens des Kubikwurzel- diriis aas i?iuer beliebigen reellen Grösse, das gegenüber dem bc- ) oben dnrchge führten zweckmässige Constructions vorteile gewährt

Graphisches Kubikwarzclz

' Einfachheit der Ableitung des Verfahrens können wir im {enden den Grnndkreisradius r = 1 setzen nnd erhalten damit

j3_|_3y_2ctg<p = 0 (V)

- 1 1: AttfJlamj-'t-ft'tfTapAmi

wird. Lüacn wir diese Glcichong trigooumclmcli auf iiml nennen den erstea Ililfswinkel j;, den zwcitou »^i, so folgt bei uuBorun Coeffi- cientcD p und q nach b(>kaaiitQa Formeln:

ctg U' = (/ ctg .j

und die reelle Wurzel

<■; =2etg2VJ Setzen wir ip iu der Form

ctg| = :

unter i oino beliebige reelle Zahl vorstanden, Torans, so können wir V, sehr leicht durch ilaa mechnniscbe Verfahren erhalten und kennen ' also damit si. Darnacli ist in

die verlangte Kabikwurzol gefunden.

Es ist demnach nar nOUg die Constraction so anzuordnen, dAss man bei coustantem Gruudkreis nnd aaverändertera Fixpuakt für beliebig viele gegebene Zahlen oder Strecken z sowohl die Wurzel- werte einfach änden, als auch gleichzeitig am Besultato eine gra- jiliische Genanigkeitsprobc anstellen kann. Diesen Zweck dürft« das Arrangemeut in Fig. 8. erfQllon.

. An den Grnndkreis, mit dem Radius r = 1 beschrieben, zieheu wir liui-cli di^ii Scheitel O die Achse der u oder wie sie iu der Figur be/eichiict wurde, als jene der Vi und durch den scharf inarkirten, höclisleu Punkt H die zur x Achse parallele Horizontalachso der i. O und n sind die Atifatigs- Zähl punkte für die bezetchnetou Grössou ihrer Achsen. Nun trage man auf der obern Horizontal -Achse von ff aus -|-i nach rechts und, zum Zwecke der später durchgeführten

I Probe, dasselbe von 0 aus auf der y Achse nach abwärts auf. Her- nach lege man die Taugente durch den ersteren Pankt -\-s au den

1 Kreis, so ist damit sofort der oben definirte Winkel rp bestimmt.

l'Ea ist also nur die Leilgorade L durch O parallel zur letzten Tan-

I sente zu ziehen. Zeichnet mau überdies an den Grundkreis noch

I die parallele ewoito Tangente, so schneidet dicso offenbar — von H ans gerechnet links auf der Achse ab. Nnn „legen" wir durch F

tiibocAen und hiijuaiiraliiehiH GUichangen.

m

■M L niid K den rechten Winkel „an", so erhalten wir (inrcb den F-Tugcntcnscbenkol aof dar y Achso sofort in O"-, die Slrccko Utj = ZctgStfi markirt Worden scliliosalich zur VorbindangsHaie "'j/ VAe paraUelen Tangenten an drn Kreis gezogen, so liofeni diese die

ctgt^f = t/s nnd

-tgtj' — y\

auf der y Achse. Die

idpankte der Strecken Bind mit ihren Werten fOr den Anfangs- lihlpnnkt O benannt, daher übigc Bezeichnung der y Achse. Behufs r Genauigkeitsprobe hat man den Punkt Vs mit dem Kreismittcl- l.pnnkt o EQ verbinden und hiczu die Parallele darcb den nntern

ziehen, welche

-n

pBnkt i (der y Achse) sowohl, als jenen

laf der x Achse die Strecken Vs* und 1/ j, von O aus gerechnet, ichneiden müasen. Ist das Resultat genau, so muss die Verbin- ingslinie (Vi, yi*) auf diesen eben gezogenen Parallelen nun aach man senkrecht stehen. Die Parallele, die man dann durch den

/-j zur obbenannten Verbindungslinie zieht, wird anf der

- markiren, von dessen Uebemnstimmnng mit jenem der ^orizODtalachse man sich zu Uborzcogon bat. Da dorcb dieses Probe- jfahren auf der x Achse die Qaadrato der Kubikwurzeln erhalten , so ist dieselbe in der Figur darnach bezeichnet worden. Jene Punkte der Ebene, welche die noch fehlenden coroplexen ►iWerie der Kubikwurzeln darstellen, liegen bekanntlich für alle -f« '. den beiden Strahlen, welche mit der -^-y Achse als dritten dio K3&r«itci]ang dos vollen Winkels um O bilden und zwar in einer Ent- I O gleich dem rooilcn Werte von y s, Sind dio gegebenen Werte von t numerisch sehr gross oder sehr SO wird auch ip sehr kloin und L fUr das „Anlegen" des

bebten Winkels ungünstig ausfallen. Man hat dann statt e nur -,s

bntrageu, nnU>r n eine beliebige ratiouale. ganze oder gebrochene Uli ]> 1 veratandeu und erhält bei güustiger Wahl von n immer i Verhältnisse für dio Ausführung der Construction, Die daraus tli&Itene Wurzel ist dann der nte Teil von y"!. Aber auch bei ffertAH von =, die sehr nahe der Eiubcit sind, wird eben 9 sehr ) »n 90° und das Verfahren wieder unsicher, und wird man, um B BUBzuweichen, den Coeflicionton " < 1 zu nehmen haben,

Barlli UtelMiäfi-gtapliüeAl Lfnny

Anmerkung. Uit dorn grapfaiBchcn Knbikifiirzelzifhen sind dio. Lösungen m&acher Anf^abon ans der Stereometrie ver- knüpft: so die TcrwandlangoQ tod Polyedern ia intiEtltS- gleicbe Würfel, das verallgemeinerte Deli'sche Problem der Bcstimmuiig einer Dimension Jenes fraglichen Körpers, Kelche r bei beliebig normirEem luhattsverhaltuiss einem gegebenen KOrper ähnlich sei, n. a. w.

Ans den Tafeln folgert man loicht die oäheruDgs weisen trigonometrischen Tangenten der Ccnirininkcl einer 7, 11 and 13 Teilung des Kreisumfaiißes mit naolistcbend aogQ- gcbcnen linearen Fehlem der TeilangsschneD :

Mg-^ = y2 bei einem Sebneniehler von +707

,i;360 _ ,/l __ J_

'^"' 11 ~ y 3i ■' '■ •' " 645

3ßO_|/l _J_

« 11 Ig j3 — ^ f ■• •' " " 234

Die Rndicanden sind eben für die Anwendung bei beliebigen Kreisen ohne Voraussetzung eines Massslabes leicht lierzu- stellou.

Bei den vollständigen kubischen Gleichungen wurde noch auf nnL'n besonderen Trans versalscbnttt hin);«wiesen, der dort durch die ■Gleichung

:r(e4-/ctg7i)+y(/-fCtgv) - 1

Jtharakterisirt ist uud für n als 8ubstitutionswert in (1) ergab: R — /— ectg9>-f-y+3;ctgqt.

Für unsere Specialisirung, wo F auf der j At-lisc liegt, hat man fer die Transversale, da jetzt / = 0 ist, die Gleichung

y =*tg(p . i. aber nusero Leitgerade L selbst.

Nennen wir die Strecken, die auf derselben durch die Scheitol- ninkte der anzulegenden rechten Winkel ^ gezählt vom Ursprung - markirt werden, z, so bat man zun&chst zu setzeu

rfrr tubiac/ien

i lilguiidra

I Gliichangen.

FOr die folgenden Belrachtungen wollen wir die biEherigc posi- tiin mit der ncgativou Seite der x Achse vertaastlion, habnn also in Äfger Gleichung (8) das -f-r durch — r lu ereelzen, wodui'di sie rgeht iu

.»+(2r+P)ctgip«*-r(2e + r)n-

= 0

8')

Entwicki^lt man von dem Substitationsresaltate dor Grosso n nnr B Teile mit s\ su lassen sie sich iu den Ausdruck zuEammoii ziehen

Iroraus man die weitere Bedingung

latnimmt, für welche der Ausdruck des TraiiSTcrsalschijitU's sieb in Iner redncirton kubischen Gleichung darstellen wird. Darnach ist t {&') xa sotZGB fQr

ü — reosf ^ sin tp

Nach leichten Reductioucn folgt der einfache Ausdruck

z'^-3rh+2rHo&<p = 0*) (VII)

f mit der allgemeinen Form

prerglichcn für r und q> die Werte

*) Kfirier als durch alle dicac SpccUlial rangen crhtlt at»a diesen Ans-

rack dnrch die Anffnasung, diiis die Strecken i nichti naderc« sind oli die

nveeloten für die Pnnkte der durch Grundkrei« und Fixpnnkt F gcge-

KrcisTusEpnnklscurve bctogen auf ein Folnrcoordiimtcnijslcm. Dia

Etotaracbw dc»elbcn verbindeE den Kreisniittel])ankt mit F dim Mitlelpunki

r LotMrfthlcn, and ävi Pol des SjBtema iet der Sclmitipunki dieser Geraden

Dil dem Krciac. FOr ein rechtwinkliges AchsenayatDm mit dem Pol dca obi-

» 8y>t«mi nl» Ursprung und der Polarachso als positiver Seite der x Achte

B Gloichuni; der Kreisruaspunkucurve bekanntlich

ntu durch tJc^u^gang auf das Tolarij'Mco] (i, tp) die Polurglcicbnog — II oUger übereinatiiDDicnd — sich in

»' — 3r»Ä + 233cOS9 — 0

liefert. Darana erkouaen «vir aber sofort die Einscbränkung in den

Werten der Coufßcicnten durch die Qediagang

(!)"=

wenn Pin Winkel ip möglicb sein soll. Obiger Ausdruck (VII) ei^et sieb daber Bosscblicsfilicb zur Bcbandlung des irrcduciblen Fallei der roducirten kubiBchen GleichuogeD. In Folge des oinfacben Zn- sammoubaiigea diuses Falles mit der „Dreiteilung des Wiukda" kann die erhaltene Gleicbuug (VII) mit Vorteil zur llehandlung diearts Problems ansgeoutzt werden.

cction des Winkels.

Sotxt man wieder den Graudkreisradius r ^^ 1 Kinkel a = 180— 2(p ein, so geht (VII) über in

-3.+ 2

(vn'j

{—e) ist dann, wie aus Fig. 9. orsiebüich, nichts anderes als der Gontrivriukcl dos Gruudkreises, der über jouea Bogen aufsteht, dm die Leitgerado mit der Neigung <p von diesem Kreise abschneidet Darnach sind die Wurzeln dieser Gleichung nach der bekanatea tri gono metrisch 00 Lösung

, = — cbord

'360-fo'

chord A

= chord

(^")

Wir erbalten demnach dircct von einem Winkel « die Sehuen seines dritten Teiles, des Drittels seines Eüplementea nnd des am einen ganzen Umfang vormehrtou Winkels — für den Grnndkreis. Da alle drei Wurzeln der reducirten kubischen Gleichung in diesem Falle reell sein mUssen, so kann fUr den nngauatigen Fall einer sich ungenan ergebenden Wurzel, dieselbe nach der algebraischen Summe der beiden anderen corrigirt werden.

Verlängert man den schiefen Schenkel von a über den Mittel- punkt hinaus, so crhitit man von der positiven x Achse an gerechnet den Winkel 180 — n, der nun ebenso behandelt werden kann, wie früher n, so dass der zugehörige Winkel (p jetzt in (90+ (p) über- ging. Dann erhalten wir auf der neuen Leitgeraden L', welche den Endpunkt des Winkel-Sthonkels (180—«) mit O verbindet, offenbar sofort durch „Äulegen" des rechten Winkels die Wurzelwerto der Gleichung (VII') für diesen Winkel in

.{^)

rt)

g'= — chord

1 weitere Eigenadiaftoii diT Figur nachzuweisen, dcuke man

ni Hatbkreist' dos Grundkrcisofl nu9 den Endpunkten sci-

i DureLmoBScrs liio erfaalteucn Wurzolwcrte f und t' als Seimen

Kfgotrageii, so müssen foli^cude Paare dieser Werte als (reelitwink-

fß) Supplemeutarsebnen sicli znsammoufQgen, nümlicli

cbord läO

und cberd i^

' DQd l>

H-9 d (120+1)

d(l20^°)

, dif^ Winkel, welche dann diese Snpplementarselmeu mit dora rcbmesser bilden, müssen dann bezteliuii;^swcisc sein

(-3

Da aber in unserer Figur die beiden Leitgeraden L and L' anf- nnder senkrecht stehen, ferner von O aus auf donaciben, vormöge I roecbaniBChcu Verfabreus, die in Kode stobenden Wnrzelwerte I den gl eich bezeichneten Punkten gerechnet, abgesclinitleii er- sten werden, so müssen umgekehrt die von F ausgelionden Scheu- et der „angelegten" rcehten Winkel zwischen den rechtwinkligen '^Itgoradeiiaeliseu L und L' Strecken gleich dem Durchmesser des mndltreiBes aufweisen, das heisst, man hat

tttd die Winkel in den entstandenen rechtwinkligen Dreiecken, deren

Uheten di<t besagten Wurzelwerte sind uud deren Hypotenuse 8tfl{

Egloich 3r vom Gnindkreisc ist, müssen die in der Figur eing(ia

I Worte haben, wclcho ans obiger ZusammonBtcUmtg 1

; :sl, die Ndgangeit

Ans don Dreiecken

(/', O, be zk'b Uli es\v eise "■,. ir^. "■[,,

ptitnehm™ wir mit Rßcksictit, dass q> = 90—

dur aus F auBgt'Lpudcn Scheakel der .^ugclegleii" recbtt'n Wiukel j üur X Acbso, dio in der Figur piugezeiclmet worden. Die m i parallel gi'zugcucu Eruisdurcliraesser vt-rbiudcu die BürührDugepunktal paraJtoler TaDgL'nteasclcuknl und sind zagloicb Tcilangslitiicii fOr dio| Triaection der Winkel

(18Ü — o) und (3G0 + n), dann (360— n) und (ItW+o), endlich (540— d), r

Ton denen w und >'■' die Sehnen ihrer dritten Teile sind. Das Ver- ] fahron bietet gewiss ausreichend viele Geiiaaiijkeits proben.

Die Anordnungen in Fig. 10 und II sind für die Trisection be- liebig verändern eil er a und ihrer Sopplemcnti- getroffen, wenn zn gleich sämmtliche Teiluogshuien direct durch das „Winkel anlegen' sich ergeben aollen. Dazu bedarf es dreier Leitgeraden durch O, Dio erste L, geht parallel zum schiefen Schenkel dea gegebenen Winkels; die beiden anderen L^, L^ bcdchungsweiso durch die End- pDukte pt, P3 eines zu Z., iiarallelcn Kreis du rcbinessers.

Zu den Verfahruni^sweisen des graphischen EubikwurzelzieheBg ond der Trisection des Winkels mügu die Bemerkung gestattet sein,, dass nach verzeichneten Grundfactoren zur oiccbanischcn Lösung der Aufgabe der Gebrauch des Zirkels entfallt und lediglich nur „Winkel- anlegen" und Parallel Verschiebungen augewendet werden, was zur Raschheit der Ausführung beiträgt.

Dass sich, sowie aus den letzten reducirten Glcichnngen (V) und (VII) ancb ans den frUliercn (II) bis (IV), Constructionsvcrfahrcu für das Knhikwurzelziehen und die Trisection dos Winkels ableiten Hes- sen, zeigen die Ausdrücke der trigonometrischen Losung jener Glei' chungcn. Eben daraus wird mau aber auch erkennen, dass dio diesen AnsdrKckcn folgenden Constructioneu niemals so einfach. die oben durchgeführten sich gestalten können, weshalb deren Auf- stellung nur ein müssiges Unternehmen wäre.

rkun

Eine Trisection *

^ 120» führt zur 9 To

Anme lung des Kreisumfangs.

Nützt man ferner cino altere, bekannte Constrnction der nähe- rangawcisen Verzeichnung eines regulären 11 Eckes aus einer Seite, welche auf die 6 Teilung dos Winkels von 60^ basirt ist, entsprechend

4fr tubild'tn unc/ bigua-lralii/J,c'i Glnchungen. 33

aas und nmfortnt dieselbe, so ergibt sich die in Fig. 12. dargestellte nftheniiigswoiBe Toilmig des Krcisumfangoa in 11 gleiche Teilo. —

' mit 2 2mn gegebenen Kreise conccntriscli beschriebene E ist

mndkreis, F Fiipnnkt und L Leitgerado, welch letztere die ver- ä Sebue des Centriwinkcls von "5" ist. „Legt" man an diese indfactoren den rechten Winkel „an", so trifft dessen Tangenten- iiciikel den unter 30" gezogenen Kreisdarchmesscr in 6 und die irbindungsliaic ÖF schneidet auf dem Kreise vom Anfangapnnkto A bechnet den angenäherten Uten Teil dea Kreisumfanges ab. Eino Bfacbe Berechnung ergab einen linearen Sehnenfeliler der Näherung

(-4)

Sieht man in obiger Fig. 9. die beiden Leitgeraden L und Lj I reell twin kl iges Achscupaar der Ebene an, so ist F ein beliebiger pikt in einem Quadranten, und in der Figur ist die Ldsung fol-

r planime Irischer Aufgago gegeben:

^Durcfa einen gegebenen Punkt sind drei Gerade so zu ziehen, I sie innerhalb rechtwinkliger Achsen gleiche Strecken tou der ) der doppelten Entfernung dos Puuktes vom Achsenmittelpunkt isen."

Dio Halbimngspnnkto jener Strecken liegen anf einem Kreise, r ans O, durch F gehend, beschrieben wird. Verbindet man einen Fselboii mit O, so ergibt sich durch Betrachtung der Winkel, dio I rechtwinkligen Dreieck auftreten, das aus den Achsen und [reffenden Strecke gebildet wird, der Znsarameubang unserer jftbe mit jener der Trisection dos Winkels LOF.

Zn den Fig. lü und 11 kann mau noch die Bemerkungen machen, t sich die Tangenten schenke! der obern und untern rechten Winkel i Anwendung von L, b ezi eh nngs weise mit den Fiipunktscbenkeln ■ rechten Winkel bei den Benutzungen von L^ und ij rcspoctive k den Punkten w nnd v schneiden, welche aof dem Kreisdurchmesser r Neigung a gegen die x Achse ~~ liegen müssen. Diese Be- ^ng kann als Genau igk ei tscontrolle des Verfahrens dienen. Es 1 genügen dieselbe an Fig. 10. und Punkt u nachzuweisen.

Durch Anwendung der Leitgeraden ij ist der Winkel (l'oi) in r Linie (2'o} halbirt worden. Zu letzterer ist der Fiipunktscheukel r an Li, F, K „angelegten" rechten Winkel parallel, somit hat man

)( II Ol' II Fii und wegen ÖF= ob auch iiT = Vt

Barth Mteinn-x^-^raphiirkl LOmaj

Wkl. («Ol') " WU. H'ot). alBo Wkl, iuox) - 3.Wkl. {2W) oder die Linie uo mass mit dorn Schenkel Bi> des gegebenen Winkels I zasammonfallcD, d. b. der durch don Fixpimktfcbenkol des i Winkels bei Änweudnag von L-^ auf der Tangente in 3' erhaltetto I Pnukt „u" auf Bo liegeu.

Man kann demnach die zweiten Teilongslinien aticb i oder 1', 1 ableiten durch die Parallelen zn FSi, \'0 resp. Fr. lO, aber damit werden oben die Teilungstinien nicht von eiiuindor au- abh&ngig erhalten wie bei Anwendong von Z., und L^

Mit nnseren Hilfsmitteln sind wir auch im Stande die Werte der I Kubikwurzel einer gogebenea complcxen Zahl darzasteUen. Es ist 1 dies in Fig. 13. durcbgcfübrl.

Es sei eine complexe Zahl

P = j' + «-

gegeben und der Punkt der Ebene, weicher sie reprisentirt, gliaeli 1 bezeichnet. Dann kommt die Aufgabe der DaretcIluDg der Knbilc- I warzcln aas Uieaer Zahl darauf hinaus, zwischen dem Anfangapnnkte 1 y =^ -{- I and dem Punkte P gebrochene l^inienzügo mit 2 Ecken to f einzuschalten, dass die drei aofeinanderfolgendeu Dreiecke, welche 1 respcctive von den Seiten des Linienzages nnd den Verbindnngs- J strahlen der Ecken sowie der Punkte (4*1) und /' mit dem Mittel- punkte 0 gebildet werden, einander ähnlich sind. Hichei sind di« I Seiten des Linicnznges xu einander, sowie jene VerbinduugBStrahlen I einander homolog. Der erste Eckpunkt eines solchen Linicnzug» I

— von -|- 1 gerechnet

stellt dann V V — p„ ;i,, pj, der zweite 1 Eb isl müglich diese Bedingung der Linien- | Züge auf (In^ifache Weise zu erfüllen, die den drei Wurzolwerten ] eutsprccheu. Was zonächBt die MitleipunktsslraLlen anbelangt, aof I denen die diesclbt-D darstclleuden Punkte liegeu müssen, so wird f durch jene der Werte p,, p,' der Winkel yuP=^ tp in drei Teile 1 geteilt, wie üb der Bedingung entspricht. Um die Strahlen für die ] beiden andern Werte zu erhalten siud die dritten Teile des einmaligen ]

nnd zweimal genommenen Umfangs d.

2Jt

nnd -^ zweimal nach-

einander i Punkte VC

1 ^ und ö- anzufügeu. Die EnlferHungen der fraglichen 1 O ergeben sich aber als

VOP— Oji, = Opf ^ 0;»a und '^ OP^ = Op,' - O^

OP=Vr¥^

1. b. sind anf den Ereiaen der Pnnkte p„ p,' gelegen.

dir Jcubitcken und higiiadralüdien Gltirhungrn-

Sucht m&D dieselben Worzelwerte ^nr conjogirten Zahl

I P, so erkennt man sofort, dass sich aaiib zu jedom der frUhoron ■ 'Werte ein conjogirter findet, d. b. za jedem Eckpunkt der LinicuzUgo l'tiD ihm aynunotriGchcr bezüglich der y Achse als Sjmtnetrale.

Dookt man sich die beiden conjugirten Zahlen i> und /" als

dicanden fQr die WnrzelausdrUcke der Cardanischcu Anflösungs-

roel einer kabiacben Gleichnng, so müssen znr Bildung der reellen

Ifiuaeln dieser Gleichung bekanntlich die einander conjngtrten Ku-

[wurzelwcrto för P mit jenen für /" zusammen genommen werdcn-

BOHes gibt die doppelten reellen Grössentcilo solcher Wcrtepaarc. Wir

■fcOoDcn aber die Wurzeln einer solchen Gleichung direct durch nnser

lechaniBches Verfahren erhalten, indum wir den Kreis durch p„ p„

iTffl als Qrnndkreia, F in der Distanz 0J-'-= 20p, •= 20A als Fix-

k^nkt und die durch A zum Strahle OP parallel gezogene L als

eitgerade nehmen, worauf die mit den durch ^„ p^ und 713 erhalto-

I Werte Aii-i, Air^ und Aw^ Übereinstimmen, Dieser Fall kauu

fAben als ein Beispiel für die gegenseitige Prüfung der Fundamental-

IfCoastractioncn dos Kubikwnrzclziebens und der Triaection dea Win-

qIs gelten.

Mau könnte t

luch jede reducirte kubische Gleichung

1 beliebigen Vorzeichen und numerischen Werten von p und q. tborhaapt durch die Construction der Cardanischeu Formel lösen und ptette Qor die Enbikwurzeln aus den Worten der Unbekannten von

-(r-

'.'■j-qx

I bestimmen nud die drei Worte der ersten mit joneu der zweiten Ftnlaprecbend zusammen zu uebmcn. Diu beiden reellen geben aocb m'^ rueilo Wurzel der kubischen Gleichung. Um anch die imaginären

1 erhalte» , dürfen nur jene comple?:en Werte der Kubikwurzeln iBBammengofaBBt werden, deren Prodnct gleich jfnem der reellen [Verte ist. Auch dieee Untereachuug kauu bekannter Massen gra- ■ phiscfa vorgenommen werden.

Aber sowol letxt erwähnte Antlüsungaart, als etwa jene der CoD-

LftTDCtion der WanelanBdriicke , wiesle sich aus einer trigonometri-

l-:*chen Läsuug der knbiscben Gleichungen ergeben , empfehlen sich

l weniger, als jene im Texte dorcbgefohrten , die eiufacher znm Ziele

fahren.

■(/: Mtchatiürh-graphitehf LSmng

Bebaudlang der biquadratit

1 Gle

ngeD-

Sollen wir durch TraDsvorEalschctUe von dcD virr gern eins ehaft- lichon Kreis-Parabel-Tangenten die Wurzolwortc einer bi quadratisch an GleichoDg crbaltco, so könnea wir ciu AcbscnaystDin in Bezog auf Gniudkreis und Fiipoukt gam; ebenso wie bei deu knbiBchen Glei- chungen wäbtcu, wobei wir dicBolbe Bezeichnung der Oräaseu bei- behalten, und nur der Leitgeradeu L haben wir eiue allgcmeiuo, durch koina Bedingung eingeschränkte Lage zn geben. Die Lagenverhält- uisBC der Grundfactoreu zeigt darnach (Fig. 14.). in welcher L anf der y Achse -\-k abschneidet und unter tp gegen die x Achse geneigt ist. Ihre GIcichuug wird

y~xigtf — k — 0.

Damit ändert sieb die dritte Zeile der bei den kubiaclien Glei- chungen aufgestellten Bediaguugsdetermiuante auf

-tgT.

und die Determinante geht über i

(-^)

_1 ^^k-n-^e

Da der Bedingung einer KreisUugeute gemäss

sein innas, und wir kürzebalber (k — f) = d nennen wollen, so ergibt die Answertnng von

die nach n geordnete Gleichung, die wir wogen Beibelialtang dea t AchBonachnittes gleich in y schreiben wollen :

?+2r

+l!rlg» + «

chrn und lirjuadralischri Gltichungen.

''+^'- 2rtg, + ö *

2rtgiji + d''^ 2rtgg' + a

= 0

(vni)

tehuFs ßoliandluiig der voilslÄndigen biquailratischen Gleicbnng

ffolcher wieder anter n, A, c und ij Dicht dio numerischen, Bon- I aach die Q^aMtittswertG der Coefficienton verstanden Bein sollou, , die k't^turu den eutsprecbenden von (VIIl) gleichzasetzen I crliäll Tier Gleiuhangcu für die b Grössen r, 6, g^, c und f, iDbei wir wieder r willkürlich annehmen können. Das erhaltene ll»icbnDgasfst«m ist ohne Schwierigkeiten aufzulösen und ergibt {eade rationalon Werte der obigen Bestimmaugsgrüssen :

-Ad

Dud tg tp

2(rf-r')

pfthrcnd c und / wieder darch die Gleichungen

1 d&rgtelleu lassen.

'jr-Kc+or')«.

-2rV

Ig)

Id einem coacreleo Falle wird man nacli Annahme von r wieder

IsKcfast F{e,f) dnrch den Schnitt der beiden anf einander stehen-

, durch (g) und (g') repräaentirteu Geraden g und g' besliaimcD.

lieranf sucht man ö und tindet k ^f-\-d, durch welchen Punkt der

f Achse — wie aus tg ip ersichtlich — die Leitgerade L parallel,

ipectivG senkreobt zu den symmetrischen Linien der g beziehangs-

B g' für die Coordinatouacbsen als Symmetralen, zu legen sein

Irtrd. Die Geradon g und g' werden aber am einfachsten durch ihre

^setiachnittpiiulcte augegeben, wobei zu beachten ist, dass sie auf-

landor senkrecht Btcheu. Die Werte für diese Acbsouabsclinitte

rilen noch für volistäudigo and reducirte Gleichungen, bei allge-

Winem r and fllr r ^ 1 im Folgenden angeführt werden:

,	Vüiistä	digt	b	.[uad	Gl	üichnngon.
	7- allgemei			und		r= 1
•M		l'i+I	%	S» =	id-	c + öri
Q	2rc e + ar			a't-	d^	7i

38 Bartl: hltchanisch'graphischt Lotung

3d— (& + 1) 3rf~(& + l)

B. Bcducirte biqnad. Gleichungon.

3rf — r»(& + r«) 3<i — r»(6 + r«)

3J — (ft + l) 3€^~-(& + l)

2(if— 1)

c

Nachdem im Allgomeinen die Anffindang der reellen Wurzeln durch das mechanische Verfahren ermöglicht ist, werde noch zur Vervollständigung jene der imaginären Wurzeln besprochen. Das Vorhandensein von solchen, wollen wir consequenterweiso auch graphisch ermitteln. Zu dem Zwecke Ycrzcichne mau sich separat eine mö^rlichst genaue Parabel 1\ die für Untersuchung beliebig vieler Fälle genttgt. Aus den gegebenen Gleichungen leite man die Grundfactoren her, und aus diesen übertrage man den Grundkreis K ähnlich so in die Figur der Parabel P nach A;, wie er gegenüber joner durch Leitgeraden L und Fixpunkt F bekannter Massen ge- gebenen Parabel im Systeme der Grundfactoren gelegen ist Ein Blick auf k und P belehrt uns, ob 4 reelle oder 1 Paar oder 2 Paare imaginärer Tangenten zwischen diesen Gebilden gemeinschaftlich zu legen möglich sind. Dem entspricht dann auch das Vorhandensein eben solcher Wurzeln der betrefifeuden biquadratischen Gleichung.

Ist ein Paar imaginärer Wurzeln vorhanden, so ist ihre Auf- suchung bekanntlich eine Aufgabe 2ter Ordnung.

Es sei das Trinom

d. i. dem Producte der Wurzelfactoren der erhaltenen reellen Wur- zeln w^ und t/^s, wobei also

■d, SO ist daa gugebone Gldichangspolyiiom dart-h diesca Trinom iSibu und der Qootient wird einfach

k in Folgo der Voraussetzung dann

„(a-,n}^f-m^ und rf = a[(4-n)-w((i-m)]

rden rnuss. Der gleich Null gesetzte Quotiout liefert aafgclöst die

hlcnden imaginären Wurzeln — wie es bei deu kubiaclieu Giei-

uigeu der Fall war oud durcbgcfUbrI wurde. Man kann aber

ganz in derselben Weiao wie dort — die Ermittlung der

igiDäron Wurzeln auf jene der imaginären Doppcilpuukte einer auf

Tranaversalen yO auftretenden Punkte in volution xnrückfübren,

lobei im Allgemeinen der Contingenzpunkt der reoUen Tangenten

^t mehr auf der Trausversalou zu liegen kommt Die Anführung

a Beispieles kann wegen der vüUigen Gleichförmigkeit mit jenem

. den kubischen Gleichungen erledigten Falle hier fUglich nnter-

leiben.

Sind nun 2 Paare imaginärer und zwar ungleiche Wurzeln vor- I ist diea der einzige Fall, der sich direct nicht behandeln

1 wird der Ermittlung eines solchen Wurzcipaares durch die 1 aufzustellenden Gleicbuugeu für u und v, die sich aus dom Iwtitutionsresultate von y = u^iv nach Trennung der reellen und ginärcn Teile ergeben ~- jedenfalls das Zurückgehen auf die be- Wlfi kubische Roaolvente vorziehen. Nennen wir die Wurzeln der jitert'a >„ a, uud ig, so läast sich die reelle dnrch daa mecbauische rfabreu tindou, woraus sich die beiden iraagiiiäreu hekaantermassen Zur Aufstellung der Wurzelwerte der biquadra tischen Gloi- ing sind die Quadratwurzeln aus obigen Werten nach dem Schema

-y»i-y»t+v^

mmeoKunehnieii , wobei entweder die oberen oder dia unteren

iiea dos letzten Teiles gelten, wenn der Coofficient der ersten

tttnz der Unbekaouten jeuer aas der gegebenen vollständigen biqua-

ntiscbeu Gleichnng abgeleiteten reducirten eutweder positiv oder

. negativ ist.

Sind die beiden Paare der imaginären Wurzeln aber gleich, so t deren Aufsuchung eiue Aufgabe :^ter Ordung, die apäter noch 1 berührt wird.

^ iiarll: Urchanuch-sra/ilnicht LBiu

Noch besonders za besprechen sind d

Fälle mit gleichen Wnrzeln.

Durch diu Behandlung dieser Fälle far hiquadratiscbe GleicbuDgcu Bind offenbar auch jene der kubischen erledigt, von denen betri'ffen- den Ortes nur das analytische Kennzeichen ihres Vorhaudcnaeins an- gegeben wurde.

Hat die gegebene biqnadratiacLe Gleicbnn-^

1) ein Paar gleicher Wnrzein, bo berührt der Grundkreis die Parabel (LF) nur einmal nach Iter Ordnung.

2) Für 2 Paare gleicher Wurzeln, die «) reell oder ß) intaginOr sein können, wird die Parabel vom Gruudkreis doppelt berührt and zwar in reellen rcsp. imaginären Punkten *).

3) Der Grundkroig wird zum Oscolationskrcls der Parabel, wenn die gegebene Gleichung drei gleiche Wurzeln besitzt.

4) Endlich ist K Osculatious kreis im Scheitel der Parabel, wenn die betreffende biquadra tische Gleicbung vier gleiche Wurzeln auf- weist A' geht dann am Scheitel mit der Parabel eine Berührung dritter Ordnung ein.

Die CoDBtatiruug dieser Fälle wird auf graphischem Wege natur- geraäas etwas nnsicher, da Parabel und Kreis Berührungen Iter, 2tcr und 3ter Ordnung eingehen werden. IlitT wird dann in be- stimmter Weise das analytische Kriterium für die Gleicbungseoeffi- cieuten den Fall entacbcideu , und dann die graphische Darslellung die Auffindung der Wurzeln leicht ermöglichen.

Unter Voransaetzung der Normalform

wo unter a, 6, e und d auch die Vorzeichen einbegriffen sind, be- stehen für das Eintreten der einzelnen Fälle folgende analytische Kriterien für die Coefficienteo, denen gleich die entaprecb enden Be- merkungen über die graphische Bestimmung der Wurüelwerte au- geschlossen werden mögen:

•) Itl «Ml einer Kreiilsngenlu eine Gerade io allgemtiner Lnge al* TrniJi- Tcriole gigi'boD. so ist ilcr Fall von 3 Fasrvn gleii^ber reeller Wurzeln iLuch mCglich, wenn die Tntngvertalc mit einer dci' 3 Dingonnlen dee vo1Ulli>- digea ViErsrils ous äea gemeinsamen Kreis- Parabel-Tungentcn zusammenrallen iTllrdc. In unaecm Fülle kOnnen gleiche WarielpaHrii nur fSr doppelte Be- rOliniDg von Eceii and Parabel

I All 1\

dtr L-ubiscIirn und biqiiaiira

Ad 1). Eiü Paar gleicher Wurzeln ist vorliauden für die Er- fUlang der Bedinguug

6c — ab (■ld-\-)>ac -4=) &(ui—be \ IGd — ac 6ad — hc 8b<l—3o^

Sind die beiden angleichen Wurzeln imaginär', 80 ist deren Be- mmung dio bekannte Aufgabe zweiter Ordnang,

Ad 2). Bcatobon die Worzoln aua zwei Paaren glcieLcn, reellen r imagioäreu Werttn, so müssen dio Gleicliungon stattfinden:

die Auffindung der Wurzeln reduclrt sich auf eine Aufgabe tveiter Ordnung. Ihro Werte eracheiudu in den Formen:

' wi.s=..'a,4 = K-''±V3^^'«^] =i[--'±)/<^(^"^)]-

ifOnns man sogloicL die Bedingung fQr das Reell- oder Imagiuär- bIs eotnimmt.

iu der graphischen Dai-stclJuDg muss dann der Kreie der Parabel

^ppelt borUlircud einhe scb rieben , also der Mittelpunkt auf der Pa-

»lach 88 gelegen sein. Sei p der llalbporameter der Parahcl, gleich

r doppelten EntferiiDiig des Fiipuuktes von der Leitgeraden, dann

r Gmndkreisradius, so muss

f&r reelle Wurzeln r >• p „ imaginäre „ r < 2'

In beiden Fällen findet mau die immer reelle Sohne der Be-

liraDgepiiiLkte zwiseheu Kreis und Parabel, indem mau in der Ent-

nung p vom Kreismittelpuukt (ßcgen den Parabel scheitd biu ge-

iuj eine Parallele zur Scheitel tauge nte L zieht. Der Fol dieser

Ane bezüglich Parabel oder Kreia ist auf der Parabelachsc gelegen

^d zugleich Schnittpunkt der reellen oder imaginären gemeinscbaft-

icbeu Tangenteu in den Berühruugspuukton. Um ihn zn erhaiteu,

ir vom Brennpunkt F die Kutfernung bis zum Krois-

^ttdpnnkt in enlgegcugeaetztor Ricbtuug auf die Parabelachse zu

Die Scbnitipunkte der gemoinschaf Hieben Taugenten auf

' trSBSVerBaien •/ Achse stellcu jeder eiu Paar gleicher Wurzeln

Deren Auffindung ist in dem Falle, als sie Imaginär sind, schon

i^ Gelegenheit der Darstellung der imaginären Wurzeln der knbi-

t OekfaM^a 9t*>0t vvriea. ÜMar Tocm

gleich die TCriasglea der gegebtaem liqa>dntäKkeB Gkic^ng

Ad 3}. Die Gieiefca^ 4lca Gndei bestzt drei ^öAe Wanib, wem ibre CoeflSdenteB fie Bedmgvag erftUea:

t 10» — 3a* 12e — a« 13if

bio gldelK! Wurzel «-„i

, kAl dun de* Wert: 3 3a*e — «6*— 2fa

od nebt aüt der fieiun , UKMchen Wand im «nfacfcaa 7imim auüümiR dsrdi die Belttion:

Da dch die Wnnela aas dea CoefEdentea der Gleicfcaag ntioaat dant^en, ao kOanen selbe auf etafacltem Wege obne das necbaitMche Verfabren ermittelt werden.

Der GrgndkreU K (Flg. 15.) ist ia dieMin FtHe OscolatioBskreia dor Parxb«.'] F, L, also »ein Uittelpaukt » der KrOmmiuiesmittelpvnkt einra Parabel panktea di.-u«D Krarnmutigsratiias r iK'ksuiiit ist. Sdiueidet man mit der Grösse fr ans o oacli der cutgegengesolztou Seite der I'ariibplacbse auf der Directrix DD Jor Parttbel deu Paukt JU ab Idi-r itof itL-r t'igtii nicht ansdr^cldich bezetcbnct ist), so erhUt man In tJJV die Parabelnomiale fOr den KrümmnngsmiH*'l{.nnkt t> nnd im Schnitt« 1' mit dem Kreise A' den betreffenden Beriihnings- (resp. Schnitt-) Punkt des Osculätionakreises und der Parabtl- Die Tao- gvntc in P repräsenUrt drei gern eiu^chafti ich o Kreis-Parabt-'l-Tanyoutcn und Hchuihdet anf der ji Achse vom Ursprung geuommen die drei- fo«be Wurzel u-i.,,, ab, Ilie Warzel Tr, bestimmt sich darans am vtafacbsten mit Hilfe obiger lielatioa.

Die nach folgender Bemerkaag ermittelte 4te gemeinscbafUiche Kreis -Pantbd-Tangeutc mag zur GeDaaif^keitscoutrolle des bisher Er- haltenen dienen. Der Grundkrois A' nnd die Parabel /', L sind za- ciuonder colUnear verwandt für die Tangente im OBcalationspnnktc P

' dtr hiliiieheii will biipiailrali^clien O'leidiiiiigtt.

Hb Colliueationsachsir und eiu nocli unbestimnitps Centrnm, dai aber in diesem Folio bckauntlicli aof licr ColliucntionsacliBe gelegen sein mnss. Äosserdem liegt ca auf oinem VerwandlschafUstrahl. Der dem OscolationBp unkte P des Kreises diamotrat gegen überliegeudo Punkt u ist mit dem aueodlicii cntferuten Punkt homolog, mithin sclitieidet die durch u auf die Leitgerado L errichtete Senkrechte auf der Tangente von f das fragliche ColliueatioDBcentrum w ab. Durch u Usst sich die letzte gemeiitschaftliuha Eruis-Paraboltangentc genau mman nnd schneidet auf der y Achee u!^ ab.

Ad 4), DiT finsserstc Fall von vier gleichen Wurzeln tritt ein, n das Gleichungspolynoni eiuo voUstäudige 4te Potenz des Wurzel- tors ist, alao die Cocfficieuteu die Bedinggogen erßtlleu:

86 = 3a', 16c = »bei die Wurzel seibat den Wert

■©■

Der Grundkreis K berührt die Parabel : Ster OrdnoDg und hat den Radius

. Scheitel nacb

Uirorid die I.eitgerado L, als Scheitoltaiigcnte, die vier gcmein- laftliclien Kreis-Parabel-TangenU'Q reprüsontirl und auf der i/ Achse > WuTzelwert le abscbiicidct.

Auf eine wesentliche Erweiterung der in vorliegender Arbeit IgcfOhrteii Lüsuugamethoiicn höherer Gleichungen soll im Folgen- 1 noch aufmerksam gemacht nerdeu.

Bis jetzt sind hauptsächlich jeue Gleichungen 3ten und 4tcn idcs hervorgehoben worden, deren Coefficienten der Potenzen der [flumcu in ZahleuwcrtüU gegeben waren. Hei der analjtischen idinng von Aufgaben 3ter und 4ter Ordnung gelangt mau aber frtolchen Gleichnogeu dea onl sprechen den Grades deren Coefticienteu } AoBdrücke von der Iten bis 3ten respectlve Iten bis 4ten Di- laion sich aas den Angabsatrecken darstellen.

Die entwickelten Lttaungsmethoden können aber auch fttr solche, s homogene Ausdrücke enthaltenen Gleichungen unverändert aagewendet werden. Es ergibt sieb dieses leicht ans der Betrachtung

pi(.- Mtrham.

l-yra/tA.'.

^

der AüBilracke für die GrondfactcirEn e, f, k (n^spoctivo d) und ctg^^ welche bei wirklicher Wahl von r als Strecke, mit Rücksicht ilcr DimeusioDCu der GleichnngBcoefticienton darchaas homogooe Aosdritcke der ersten, bezicbnngs weise nullten Dimension werden, sowie aus dem Umstände, dass bei der gaozen Ableitnng; die eingeführten Grossen sowohl Angabsstrecken einer Aufgabe 3ter oder 4ter Ordnuiig, aU auch solche bedeuten können, die mit Zugmudetegong einer H stabeinheit, die gegebenen Zableuwert^> einer Gleichung solchen GradM repräsentircn. Die Ansdrttcke für die Grnndfai'.toren setzen sich den GleicbuMgscocffieienteu rational zasamineu, sind also ciDdeotig bestimmbar, nachdem die Coeffidcnten aus den Angabs strecken der Aufgabe hergestellt worden.

Darnach kann man also die analytische Losung jeder Aofg&be 3ter oder 4ler Ordnung constructiv ausfuhren. Dies iet in der Tat in der vorstehenden Abhandlung mit den beiden Fundamenlalproble- men — der „Triseclion dos Winkels" und des „graphischen Knbik' Wurzelziehens" (welches ja geometrisch aufgcfasst gleich ist derVer- Wandlung eines Parallel epipeds in einen volumgleiehen Würfel) — in der einfachsten Weise durchgeführt worden. Der gleiche Weg dOrfte noch für manche von derlei Aufgaben der passendste seiti. Im Allgomoinen muss man jedoch zugestehen, Jass diese Blethode häufig an einer Umständlichkeit nnd geringen Ucbersichtlichkcit leiden wird. Eine befriedigende, rein geometrische Lösung der Aufgaben 3tcr und 4 ter Ordnung vermögen nnr die Lehren der neueren Geo- metrie zu liefern, mit deren Ausführungen mau das in vorlicgcudür Arbeit angewendete, mcehaniscLo Verfahren vereinen kann.

Eine auf rein geometrische Entwicklnngeo basirte Lösung des behandelten Hauptproblemes hat in genialer Weise Chasles in seiner Abhandlung „Constructiou des racines des fquations du troisi^me et (inatri^me degre" veröffentlicht im Journal des mathematiqucs, publi6 par Lionviüu t. XX. pag. 329 geliefert. Er führte die Aufgabe anf jene der Bestimmung der Schnittpunkte eines gezeichnet vorliegenden Kegelschnittes mit eiuem audcren. durch fonf Pnnkte gegebenen, zurUck.

Auch Dr. Herrn. Kortüm weist auf eine Lösung der kubischen und biquadratischen Gleichungen mittelst Constmetion hin. Es ge- ecbieht dies in seinen „zwei Abhaudlungeu über geometrische Auf- gaben dritten nnd vierten Grades" (Bonn 1S69), worin die Aufgabe gelöst wurde, die Bestimmung der Durch seh nittspunkto zweier, durcih je 5 Punkte gegebener Kegelschnitte zurückzuführen auf jene zwischen einem Kreise und einem ein für allemal gezeichnet vorliegendeu Kegelschnitte. In den Lüsungsmethodeu vorstehender Arbeit ist der unbedingt notwendige Kegelschnitt stets eine Parabel, die dann durch

) angewendete, mechaniBcliQ Grondvorführen ersetzt wurde. Dies t «l^b cbpii deu für die praktiBchen Zwecke ziemlich dirci:len Weg, der mit ßerllckBiclitigniiK der beschriebenen Hilfsconstruclionen auch ioimcr snarciclicnd genaue R''sullatc liefern wird.

2. Will mau das in Torlieiiender Arbeit angewendete mecha- nlscbo Vorfaiirun mittelst des rechten Winkels niehl als zulässig gelten lassen, so ist doch in der ganzen Durchführung auch schon ! Lösung mittolat oiuer einfachen Hilfscurve mit inbegriffen.

Es wnrde schon bei Aufstellung jenes Grnndverfahreus bemerkt, 9 der durch dasselbe auf der Leitgeraden erhaltene Scheitelpunkt I beweglichen rechten Winkels eben nichts anderes ist als der rcliBchnitt jener Geraden mit der Kreisfnsspunktscnrve , die durch I Gmudkreis K und Fixpunkt F als StrablenmittelpunkC gegeben fchcint

Das in der Nähe jenes fraglichen Schnittpunktes verlaufende rvenstück kann mit grosser Schärfe, also der Funkt selbst aus- iehend genau ermittelt werden und ist dann in der anseinander- Hclitcn Weise xnr Bestimtonng der fraglichen Wuriselwerte der go- 1 Gleichung entsprechend auszunützen.

45 Hoppe: Ueber ein JPh>hlem der Curventheone.

n.

Ueber ein Problem der Curventheorie.

Von

R. Hoppe.

Das Problem, am welches es sich handelt, lautet folgeudermassen.

Zwischen den Winkeln, welche die Tangente, Haaptnormale und Binormale einer gesnchtcn Curve mit irgendwelchen festen Geraden bilden, ist eine Relation gegeben; man soll, bei willkürlich bleiben- dem, beliebig zu ergänzendem Bogenclement, den entwickelten analy- tischen Ausdruck der Curve linden.

Die Relation kann eine primitive oder eine Dififerentialgleichung sein; dagegen darf sie das Bogenelement nicht enthalten, weil sonst 2 Relationen zur Bestimmung erfordert würden.

Die Aufgabe ist dann gelöst, wenn die Richtungscosinus der Tan- gente /, g, h als Functionen eines Parameters bekannt sind, indem alsdann für beliebiges Bogenelement ds die Werte der Coordinaten

x^f/ds) y=/^2«; z^^fhds daraus hervorgehen.

Die Lösung ist leicht und bekannt erstens, wenn nur die Nei- gung einer der 3 begleitenden Axen, d. h. der Tangente, Haupt- oder Binormale, gegen 2 feste Gerade in der Relation vorkommt, weil dann ihre Richtung vollständig bestimmt ist; zweitens, wenn die be- stimmende Relation sich nur auf eine feste Gerade bezieht

Seien bezeichnet die Richtungscosinus der

Tangente durch /, g, h

Hanptuorntale „ /', g', h' Binormalc ., /, m, n

jnt man die festo Gerade zur x Axe, so ist f;egebon dio allgo- ine Relation:

/'+/'» + '*=!

: der besoDÖPrn Aufgabe ontsprecliendc F(/./\ 0=0 I eine beliebig gewählte

>darch /. /'. t als Fnnctiont'n des Parameters rp bestimmt sind , wenn F liuear oder rein (jnadratiscb, so wie auch iu niancbon a Fällen, dar^testollt wcrdon können. Kennt man dann entweder Oller /, m, n oder />/', i, so kann man, wie in T. LVI. l 59 gezeigt, leicht/, 5, h finden.

Die Dächsto Erweiterang der Aufgabe würde sein, wenn beide ücnkel der durch Relation verbundenen Winkel verschieden sind.

Zur Orifntirung besclircibea wir um einen feslen Punkt O mit : Linienein ticit als Radius eine Kngel nnd ziehen die Radien OT, , OB, OX. 0^f in den Richtniigen der Tangente, Hauptnormale, bDrmalc und der 2 festen Geraden, deren Ebene wir zur ny Ebeno %A deren erslero wir zur b- Axo nehmen

Die gegeliene Relation denken wir aufgelöst durch Darstellung der 2 Winkel, welche zwei der 3 ersten Geraden mit je einer der _ 3 letzten bilden, als Punctionon eines Parameters. Die Combination gibt 3 verschiedene Aufgaben mit folgenden respcctiven Daten:

conalatit

variabel

XM^ o: XM^ a- XM = a

TU ^ R; C0SA"7- =/; MH = i

HB ^R, cos XB - 1-, MH = 1 TB =. R; COS XT =-/; MB = ^

In allen 3 FflUcn bat man ein sphärisches Viereck mit 4 gcge- I Seiten. Das fUnfto BestimmungaatUck mnss durch die Varia- nsgCMt^ci, also durch Differcntialrelationen ersetzt werdoD.

Wir beginnen mit der Bestimmung des Vierecks

oo«J/r=-/' ud ATT-

nnbekuiiL Trigt raui boT il«>in (wo ootig vcriingnten) HonBal- bogen XAf den Qoadranteo Xr = R ab in»d rieht IT, rH, w wird

(I)

DDd man bat			»/■-y»'-".
Mnlliplinrt m	an mit	i und beachtet, dass
	A» = l	-/'	-s'i -"=//■+»•
	m»=l	—3*	— 3*
ist, BO erhält	man:
(1-	= ±Vl-/>-!7'Vl-,--,-'
3»	3		11 -»V
i/	-fr	,±Vl-/«-3>Vi-s"-j>

Dies ist die DiffereatialgleicliDDg fOr den Fall, «o XA/ — R ist wo also M mit F zusammenfällt, so dass f and ?' gegeben sind. Ihre Integration ergibt g, und nachher Gl. {2) /'; h ond A' sind so- dann nach Gl. (1} bekannt, und durch die Werte von f, g, i ist die Aofgabe gclüst.

Um von diesem Specialfall anf «lie allgemeine Aufgabe aber- zogelien, wo i statt g' gegeben ist, betrachten wir die sphärischen Dreiecke

KMB, rXT, MXT, TMH

in welchen folgende Winkel sich aber XY zu 3R ergänzen:

XMT+ TMH-{- HMT = 2R

In Dreieck MXT nnd YXT hat man:

a>a{MXT) worans: aoBserdem:

cos XMT I Dreieck TMH:

Vi — /""sino Vi — /*

cosgj =^/co9o+jsino f—cosacostp /"sipg— gcosc

asinq»

sintp

. in Dreieck ¥MH:

cos TMfl cotJicotip

1 Problm dtr CuTiienlhf

Vi -/'-

sin TMH —

siürlsiatp

[ findet nach Gl. (5) mit Äuweudnng vod Gl, (4) f ^ Bin neos (l+l (/cos ot-l-^ain«) (/sind— (/COS n) CO

-ff* y-sin*i — {/"cos tt-f-ff sin et)*I

l — l/costt+gsia»)'

hitituirt man diesen Ausdruck füT g' iu Gl. (3), so geht aic iu i^Jemfjc Glcichuug übcj-, deren Integration die erste der 3 Aufgaben Sie ist demnach stets eine gewöhnliche Diffcreutialgleichung i Ordnung, deren Cocfficienten von beiden Variabein f, g abhängen.

Das Vorzeichen der Qnadratwur/.eln muss in dem Sinae doppelt eiben, daaa die Lösung sich über beide Vorzeichen erstreckt Da '~. keine gegebene Gröfiso auf die z Axe bezieht, so besteht die 8 2 symmetrischen Zweigen zu beiden Seiten der i^ Ebeno.

Die Lösuug der ersten Aufgabe liefert zugleich die der zweiten:

I braocbt nur die Tangente mit der Biuoimalo zu vcrtauscheu,

l beide in reciprokor Beziehung stehen. Es ist also nur t, m fUr

Wg zu aubstituiren, während f\ g' anvcründert bleiben, Einen Vor-

elebeuwcchsel erleiden nur k, h', n, die uicht vorkommen.

Bei der dritten Aufgabe ist in Gl. (3) nur für g' der Wert

g' = yr-ff»-m*

I sabstiluiren, so dass sie lautet;

"f^^i

^ daan m als Function von / gegeben, so erhält man durch Inte- ion ff, also die fertige Lösung für den Fall a^R, wo Jlf in

In der allgemeinen Aufgabe lil. ist f» statt m gegebeu. Die für I erste Aufgabe eoustruirte Figur nebst der trigonometrischen •bnung passt volikommen auch hier. Die Binormalo tritt an die

*fl

50 Hoppe: Ueber ein Problem der Curventheorie.

Stelle der Hauptnormalc, also in der Figur Ji an die Stelle von H^ und in Gl. (6) m und fi an die Stelle von g' und A.

Fassen wir die Resultate zusammen, so hat sich folgendos er- gehen.

Sind die 2 Winkel, welche 2 begleitende Axen einer Curve ein- zeln mit 2 festen Geraden hildcn, gegehone Functionen von einander, so hängt die Darstellung der Curve von der Integration einer Glei- chung der Form

ah, wo t/; eine algebraische Function bezeichnet, die im allgemeinen 3 irrationale Quadratwurzeln, zum Teil in einer vierten involvirt, enthält, während im Falle, wo die 2 festen Geradon normal zu ein- ander sind, nur 2 irrationale, nicht involvirtc Quadratwurzeln vor- kommen.

Die drei, den Combinationen der 3 begleitenden Axen entspre- chenden Aufgaben lassen sich wieder als Specialfällo einer allgemei- nem Aufgabe betrachten, indem man statt der 2 begleitenden Axen zwei mit dem begleitenden Axensystem fest verbundene Gerade als Schenkel der gegebenen Winkel annimmt. Auch diese allgemeinere Aufgabe würde sich durch Substitution auf die Aufgabe I. zurück- führen lassen, worauf ich hier nicht eingehe.

Khlert: Untert'Ckcidungschardktere der KetjeUchnitte etc. 51

m.

Ueber die Bestimmung der TJntersclieidungs-

charaktere für die Kegelschnitte, Avenn die

Gleichungen derselbcm in triinetriachen

Liniencoordinaten gegeben sind.

Von

A. Ehler!

In Salmon's „Analytische Geometrie der Kegclscbnitto" Artikel 318, Aufgabe 5 findet sich die Methode angedeutet, nach welcher man für eine in trimetrischen Liniencoordinatxin gegebene Kegel- Bchnittsgleichung die Unterscheidungscharaktere für die Ellipse, Hyperbel und Parabel feststellen kann. Dieselbe Methode dient aber auch, wie in der folgenden Darstellung gezeigt werden soll, zu einer sehr einfachen Ableitung der Bedingungen , unter welchen die allgemeine Gleichung zweiten Grades

ein Punktepaar, einen Kreis und eine gleichseitige Hyperbel reprä- sentirt

Bezeichnen s^ , s^ und s^ die Seitenstrecken des Fuudamental- dreiecks, so stellt die Gleichung:

fttr constante tu und variabole |« die Gleichung des j*., dagegen für constante ii und variabele xi die Gleichung der Geraden £• dar.

4*

'}2 Ehlt rt: Vntfrscheidungucharakiert drr Ktgthchnitte

Soll der Puukt

«l^l + 02?2 + ff3?3 = 0

auf der Cone

■

-^= «n5l'+«2«^2' + «33V+2<'23M3+-Sl-^^J+2«,,t,.^ = 0

liegen, so niüssen die beiden von ihm ausgehenden Tangenten zu- sammenfallen d. h. die beiden Wurzeln der in Bezug auf ^^il^ quadratischen Gleichung:

tS («ii«2* + «»«1* — 2flf,f04Cf,)

^3

w

b

-|- 2 '} {a^a^a^ — «S3«i«2 "f" ^'z\^^ — «,««^03) + ("ä^3"~I~«3:j'*ä"~" -a^ajffj) == 0

welche durch Elimination von ^^ ^^^ jenen beiden Gleichungen ent- steht, müssen gleich sein. Dies ist aber der Fall, wenn die Be- dingung :

(«22"33 — «23*)<^1^+ («SS^^n " «31*>'«2^+ («11«22 — «'l2*)<^3* + 2(ff31«11 — «11«S3)«2«3 + 2(cri2«23 — «2««3l)«S«l + 2(«23^31 — «SS««^''!«» = Ö

erfüllt ist, wie sich nach einigen Umformungen leicht ergiebt.

Bezeichnen nun -4,,, ^122, J33, J23, VI3, und -l,o die auf die rc- spoctiven Elemente a,,, «o*, «^j, «^s« «31 ^"^ f'12 bezogenen Minoren Ofier Unterdeterminanten der Determinante

«11?	«121	«31
«121	^'221	«23
«31'	«23»	«33

SO kann jene Bedingung, unter welcher der Punkt

«IM + «2^2 + «3?3 = ^

auf dem Kegelschnitt 2^ = 0 liegt, in der bequemeren Form:

Ij ^lii«i* + vl^ff-- + -t33f«j'4-2-l2sag0r3+--l3l«J«l + 2.4,äftl«2 =0

«largestellt werden, welches die bekannte Gleichung desselben Kegelschnitts in trimetrischen Punktcoordinaten ist.

Soll der Punkt !

I

«lll + «2l2+«3^S ^' 0

zoglcicb auf ilor uDcndlkli fernen Gurailco der Ebeuc, fUr welche j' = l und ;' = 1 i3l, liegen, so nm§s

1 erhält also darch Elimination von a^ ans dmi beiden Glei- I 1) und 2) die quadratische Gieiclinng;

lestimmnng der bL'ideu Punkte, welche zngleich dem Engel schnitt fco Qod der unendlich forneu Geraden der Ebene angehören.

I beiden Schnittpunkte sind folglich reell, imaginär odor fallen ben Punkt zusammen, je nach dem die beiden Wurzeln juner

rttisclieu Gleichung 3) rettl, imngiullr oder einander gleich sind, ^ je nachdem

1 — J,,, + Jj,) — U„ + .4„ — 2.4„) (vl„ + /tjj - 2.-Lj:,) > 0. < 0 oder = 0 ist. pie Grösse:

l'sicli aber umformen in

-[J„'+vl„'+J«'+2V+2^ä,'+2VI

s'. -^31'. A^\ -^ai'! ^i* "^'^ ^"^ '^'*' roBiJectivRii Elemente L jlji, Agg, ^j3, -Jai und Aj^ beKOgcnon Minoren der Ilelerminauie {Rangierten Systems

Nach bekannten Sätzen uns der Theorie der Dclcrminanten

54 Ehlerti üntencheidungscharakUre der Kegelschnitte

^\\ = «11 • ^ ^m' = «iS • ^

A^ ^ a^.J ^3i' = «3, . ^f

Daher ist jcno Grösse:

(^S3~^a3-^81+^l2)'-Ull+^33-2^Sl)W« + ^8S-2i4,,)

« — -^(«1, + cTj, + «33 + 2a23 + 2a8i + 2ffi2) and es ergiebt sich:

Die allgemeine Gleichung in trimetrischen Liniencoordinaten Z^O stellt

1) eine Hyperbel dar, wenn die Discriminante der gegebenen Gleichung und die Coefficicntensummo entgegengesetzte Vor- zeichen haben;

2) eine Ellipse dar, wenn die Discriminante der gegebenen Gleichung und die Goofficientensummo dieselben Vorzeichen besitzen.

Die beiden Schnittpunkte des Kegelschnitts 27 « 0 mit der an- endlich entfernten Geraden der Ebene fallen in einen Punkt zu- sammen, wenn

^(«11 + ««« + «33 + 2«23 + 2031 + 2ai2) = 0

d. h. wenn entweder

«11 + «M + «33 + 2(^23 + 2cr3^ + 2«,2 = 0

oder wenn

-^ « 0 ist

Da die unendlich entfernte Gerade der Ebene für alle Parallelen derselben Ebene Tangente ist, so muss die allgemeine Gleichung des Kegelschnitts 27 « 0, wenn dieselbe eine Parabel repräsentiren soll, durch die Coordinaten der unendlich entfernten Geraden, fttr welche

\- = 1 und r = 1 ist, erfüllt werden, d. h. es muss

?3 *3

«11 + «23 + «33 + 2o23 + 203, + 20^^ = 0 SCiU.

Die allgemeine Gleichung 27 =* 0 stellt daher eine Parabel dar, wenn die Coeffieicntensumme der Gleichung den Wert Null hat.

Eine homogene Gleichung zweiten Grades in trimetrischen Linien- coordinaten kann überhaupt nur eine Hyperbel, Ellipse, Parabel oder ein Punktepaar repräsentiren. Geht man aber von der Gleichung eines Punktcpaares in trimetrischen Liniencoordinaten

(«l'Sl + ««'«2+«3'«3).(«r^l + «2"f2 + «3"f3) = 0

Jiir Irimetrischt Coordinaten. 55

rar votsprochcndcu Glcicbang in trimetrischen PanktcooFdloatun Qber, BU Brbnit man bekanudcli das Quadrat der Gleichung dor l'erbui- clongsgoradcii jener beiden Punkte oj' nod a,". Dies ist der aualy- tbcho Aasdrack für die geometrische Wahrheit, dass durch ein nicht tasammeu fallend es Punktepaar stets eine Gerolde bestimmt ist. oder dass von solcLeu Punkten, dio in der Verbindungsgoraden jenes Punklcpaftrcs liegen, dio beiden an die Corvc d. h. an das Pnnkte- paar genogeneu Tangeuten znsamnienfaileu. Das Pnnktepaar Mein also gleichzeitig ein anderes geomelrisches Gebilde, nämlich seine Verbin dimgsgerade, dar. In diesem Sinne ist es gestattet, von den Dnrcliseliniltspnuktcn eines Punktepaares mit der unendlich eut- fenile-n Gerüden der Ebene zu sprechen. Es sind dio b«iJßn zn- sammenfallenden Punkte, in denen die zweimal gerechuela Vor- biDduugsgerado die unendlicli entfernte Gerade der Ebene schneidet, Dieser Schnittpunkt ist in der Tat der einzige Pankt auf der nu- «lidlich fernen Geraden, vun wekben aus die beiden Tangenten an das Pnnktepaar zaeammeufallon.

Das Zusammenfallen der beiden Schnittpunkte kann aber nur Bater der Bedingung ^/ « 0 etattfindeu, denn jenes andere Kriterium

gfll, wie schon angezeigt wurde, nur für die Parabel.

Es Bleut daher die aügemoino Gleichung i -= 0 ein Punkte- paar dar, wenn die Discriminante der Gleichung den Wert Null bat. Für die tri metrischen Coordinaton des Schnittpunktes dieses Pankte- paares (d h. seiner Vorbindnngsgeraden) mit der unendlich ont- fcruteu Geraden der Ebene bat man daher ans der Gleichung Z)

o^ "" ' a, -4,14-^33 — 2^31

Daher ist die Gleichung dieses DnrcbschnittBponktea

M'lai + -*!«- -In - As)l3 = tl ■iSiose Gleichung kann aber aucb in den beiden Formen

Ehltrl: Unltrirlieidtingfc^arakltn der Ktffrl>chniaii

(A„ — A„— 2J„){, + (Au + ^3, — ^ss - ^„)J,

geachriebeti werden, da die früher bewieaenc Idvalität (Att + Ats — 2A,^){A3, + A„-2A^,) — Mm + ''« — -^M — -^i»'*

durch cykliscbe VerUnschuiig der Indiens die drei Identitäten :,

-2Ati){A^3 + A„-2A„) — (Aa+As^~A^—Äjt)*

- 2Ag^) (Ai, + A„ — 2A,t) - (^j, + A^^ — A„ — J„)<

- 2A,t) IA„ + ^„ - 2Af^) ~ {^,i( + ^„ - .1^, — -Jj,)»

, «aS, «sä dea Schnitt-

nach sich Kieht

Dass die drei gefoDdcncu Gleicliungcn nirklicb den Dnrch- schnittsputikt der Verbindungsgeradeu des Fnaktcpaares £ ^ 0 mit der anendlieb entferaten Geraden der ICbeuc darstellen, kann direct beatÄtigt werden.

Für die trimetriacben Coordinaten : punktea einer beliebigen Geraden

«,«, + (i,iEi,-f-aa*s = 0

mit der oncndlicb entfernten Geraden der Ebene

bat man:

T,£:i,S;a3S = (tVs — «3'():(<Vi — i^'s) ^ ("i'i — -Vi)

Ist die Gerade m die Verbindnngsgorade der beiden Punkte «/ 'und r<", so ist bekanntlicb:

ax\a^:a^-= («-»'«a"— «i"*»') : («3'ai"—'s"'i') : ('/^»"— »"i"''^')

nnd man erhält daher die Gleichung des SchuittpnuktcH der Ver- bind ungageraden der beiden Pnnktn j,' nnd /," mit der unendlich fernen Geraden der Ebene in der Form:

"iR^'*!"— '^"i'i')<s^{»;i'a-,"— ri"i>-j')«s]Ei

Dieae Gleichung kann also nur durch einen conatautcn Factor von jeder der drei vorhin angeführten Formen z, B, von

verschieden sein, wenn 2: = 0 ein Paiikiopaar darstellt; d. h. wenn die FanctioQ

mUsch sein soll mit der FQDctioQ

ter dieser Voraoasctzang mnss aber

"m = 2'e'''»"'i' "31 = (*s'»i"+i3"»'i')»3*i

"m = 2»-3Vj"»a* ",s = (^■]'i,"+!r,"ä:.')ai«s

, und man findet dnnii iiftcl einigen UmförmaDgen die Minoren

t. — t'.	V	-z,"lj	)•.,".,"
!.--(',	^t'	— Ij"l,	)''/'i'
i.--(«i	Ij'	-I,"l	■>'.,v
,--(>.	«l"	— V*i	li'/V	-I,	V>i'v,
	V	— *l"«»	)(«.V	— <r.	VKVi
,= -(x,V	-«»"^a	)(«,v,"	-*3	»■'KV.
k diesen Werten erg	ebt sith abe
,+^-^„	~ Jj, ^
*i«iB«.V-»."^i')»>	-(','',	— ;«	"'.■)•.] X
B..V-.."-	-'.')«j-	-(',V'	-»,	'..■>,]
„+^-2J.	-
Wllf^'t"-'-	''.')'.-	-(',V'	-'1	',')•,] X
C(',V-'	"-	'.').,-	-(«■.V	-^t	'.'W

»(+-^1»— '*!. — -^M =

Sie drei Coeßicientea i+-^i— -^»3 — -^H' ^ii + ^'33-2ylj, und j 1 also den Factor

58 Ehltrt: Untertchtidungschardktere ritr KtgthchnitU

gemeinsam ond es stellen daher in der Tat die beiden Glcicliuugeii:

Ms3 + ^j, — /I3J — ^„) Ji -f (.4,, + ^sj — 2ylj,)f j 4-Us, + .4„ - ^„ - ^»)?, = 0

and,

S {«r(^«'ii"-Xm"xi').«-(xi'x,''-xt"x/)«']Jt| =0 1,1, m

denselben Pankt dar.

Alle Kreise derselben Ebene haben, wie bekannt, mit der un- endlich entfernten Geraden der Ebene dieselben zwei imaginären Punkte gemeinsam. Darum ist ein Kreis auch durch drei endliche Punkte völlig bestimmt, während ein Kegelschnitt im Allgemeinen erst durch fttuf Punkte festgesetzt ist. Man kann dalier Kreise als solche Kegelschnitte (speciellcr als solche Ellipsen) betrachten, welche durch gewisse zwei feste imaginäre Punkte auf der unendlich ent- fernten Geraden der Ebene gehen.

Bezeichnen A^ , A^ und A.j^ die den Seiteustrecken «j, s^ und #3 respective gegenflberliegeuden Innenwinkel des Fuudameutaldreiecks, so findet man (Salmon: Analytische Geometrie der Kegelschnitte, Artikel 164 Aufgabe 8) für die trimetrischeu Coordinaten jener bei- den festen Punkte (der sogeuaunteu imagiuäreu Kroispunkte im Un- endlicheu)

Ci)' ar

~ ; 00 w *=' — COS A^ + 1 sin A^ " «-; = — cos -1, — / sin A^ und

(?r ar

VoDv/f *= — cos A^ — 2* sin A^ -*■ ^-„ «= — cos .1. -f" * si^ A

^3 ^3

Daher

«1 — cos^l^ + tsin Jjj _ . .

i) — cos ^i| — tsin^i] •* •*

(?r

X

— cos^l,— tsiu^ljf

' oj, , =r -- _ . \- .\- V= — COS-U-f-ZsiU-lo

(•) — COS -rlj -f- i sni yi, -* ' •*

^2

für Irimtlriiehc Coordinatra.

Will niELn daher dio Bedingungen aafstcllcn, ontcr wötchon die allgemeine GlcicLang £ = 0 einen Kreis darEtellt, bo hat man nnr auszudrucken, daas dieser Kegel sulinitt durch jene beiden festen Paukte geben soll. Dio beiden Durclischnittspankl« eines jcrdcu Kegelschnitts mit der unendlich entfernten Geraden der Ebene wurden aber durch die Gleichung 3) bestimmt. Ist nun dieser Kegelschnitt ein Krois, so muss folglich

SUm+^s.

-Jjj)^

M„ + .433-2Jjj).,

(-■■» + ^»-2J8,V,

(f)	{")"
	+V'
(f)	(")"
" (f)'	■ (f)"

(J 4- vi — 2 -1 U — "-i"» --'s U» + ^l3a — 2.4h)V ,

Diese beiden Bedingungen bilden also das Kriterium für den , können aber noch symmetrischer ansgodriickt werden, wenn I berücksichtigt, dass für das Fnndamentaldreieck die Kelation

'i'"!"*»*^''3' "^ 'itfyCO&A^ gilt.

Ans \) folgt daiiD:

Ju+^3s

■-'i+'-ä

1 ce ist also, mit Rücksicht auf 11}

Aa — Mi-\- -Ali) .

A^^-\-Ax — 2A3l

IHe ftUgemeinii Kegelschnlttsgieichung in trimetriacheu Linieu- ntiuaten X>^u reprSeentirt also einen Kreis, wenn die beiden

Kkttrt: DRtrrecifiJMngteliaralrir- A„-}-A„ — 2Äjf jrj

A3a+An — 2Asj ^ ^

Att + A33 — 2A^ „^ Att-\- Aj, — 2Au >,

- -■J»+-^ — 2^M _ Asi+A„—2Aa.

Au+Ab—2Au

constans erfüllt sinii

Dieseu Bcdiii);aiigeii win) g«DElgt, veau z. ß EammtlicliG Minoren

,, A„. Axi, Jj^ .l„ uiiil As\ <l<^a Weil Nnli habcu. <1. h. w.;iin

eallgt>mciDe Gieicbung S^Q ein zasanmienfalluiidt;! Panktv-

p&ar darstellL Es iunn Aakvi Avr Pookt &!s ia doti Kreisen gehörig

oder &ls eine specielle Art des Kretscä bt'trachtei werden.

Die beideu reellen ünrchscimutspankte einer glt^icliseiligen Hyperbel mit der uiit-ntlUcb i-nlfiTDli-n Grtradeu der Eboni: liegte Stets in iwd zu einander rochlvinkligen RichtoDgen. da die mptolcu einer gleichsettigcD Hyperbel normal ni einander ünd- pic Scbuittponkte von irgend iwei zu einander n'cbturinkligen Qe- idon derselben Ehfne sind aber stets faartnonisch conjogin in dm keiden festen imagin&rea Rreispaukten im L'iKadlichen. oder mit an- 1 Worten: Alle Paare oonmil in einander stehender Geraden Beiben Eben« bilden auf der iincodlicb (rutfenilea Geraden dieser bvnc eine lovolntion von Pnnktefiaaren , deren Dopjieliiaiikte die tid«D inia^lren Kreispankte in Unendlichen sind.

Soll aUo die BodinguDii aufgestellt werden, onter veJdnr die

9 all^nin'nfi KegelschniUügleadtnpg X = 0 eine gleichseitiga

Bjpeit"! ii4r:t'-llt, so hat man nar aiial}'ttsck avstadrtlckeit^ dass die

I Dnrdtsrbaittspvnktc des Ke^lscbnÜts mit der snendlicb eat-

lea Genden der Ebene, welche durch die Glt-khnag 3] bestimat

Fwirdeii, harmonisdi coajagin äind in den beiden tmaginlm Knift>

I im dkendlichcn.

Die Giekbsagra dieser beiden festen Paskte sind aber nacb dem &1kher Bemerkten:

;{ — ooG^ 4-«nvlt)|, -)-*,( — cBsJ, — tsii>J,^j4-<5?i = 0

•,{ — cos-t, — iiinJ,)|,+»,( — co£Jj-t-täii.l,}l,-j-i9b = 0 es ist daker die Uleicbme irgend ctoc« Ponktee auf der Ter- iradea dieser beiden Paukte d. h a«f d«r unetidlidi eat- Genden der Ebene:

/Br Irmflrist^t CoardinatfH. gl'

+ »,) — wsvf, - i9injl, + A,(— coayl, + .'siii.'l,l|£, +*u(l + i)i*j=0

tatin ist aber ilie Gleichung (Ich Punktes, welcher mit dem norigcn , tii Drzug auf das imajiinäre Krtispunktepaar im Unendlichen, roontscli coujngirtes Puuktcjiaar bildet:

g'l — coMj + mnA^ — 1 , (— cos^, — isiii^,j [ ^, I +»il ~ cosji, — i'sin/t, — 1 . (— coayl, + isin/t,} |{,

u bat also für

netrischuii Coordinatcn dieses lelzten Punkte-

Ji* _ , _ — cos^j-f-(9in>4, -|-i.(— os-^i — isin^i) Xf '■' ~ — coB/1, — isiir4,~f-A.(— cosj1,-|-t8in^i)

*X_ _ j- — cosjI^ + äin-jj — A . (— cosjj, — isiuii,)

Ij" " *~ — COB^, — iSinJ, — i.( — COSjii -|~ 'BlDvIi)

Dipsea Punktepanr ist natürlich für jedes roolle A, welches von il VLTSi-hiedcu '\iX, Imaginär, dagegeü stets reell, wonu

M-'-" "■ '	'•-HS
»oinmen wird, wo ^ irjjond eine r	eell.' Zahl liedentct.
SclKt man der Kür/e halber:
— C0S/lg + ."8illvli, = M	- C0SA3 — <8in/ls -
— co8^, — »ain^, = P	— C09/1, + äinjl, =

i den bcideu Gloichungcn

p+m

•KQ

I ParamplLT A diminirea nnd erhalt daun eine Relation, welcher s trimctrischcu CoordinatcuverhäUnisso q' und g" irgend zweier anf fier snondlich entfernten Geradun der Ebene gelegenen Punkte, die I dtm beiden imaginären Kreispuukten im Unendlichen liarmonisch jOnjogirt sind, geullgen mUssen. Man findet durch Elimination von Ldifl Gleichung:

M~ P£ _ Ftj'—M Qq'— N ^ Uq"— N

{MQ-^-rX) , {q'+ q") — 2rQqq"-~ 'iMN = 0

62 Ehltrt: Unlerseheidungscharahtere drr Kegelschnitte

Nun ist aber

MQ + FN^ (— cosA^ 4- isinA^) (— cos/li + ismA^) + (— COß-^i — isiuAi) (— COSA2 — /Sintis) =« 2cos(^i -f A^) = — 2cos^3

PQ = ( — cos^i — tsiuA^) (— C08^, + »8in-4i) == 1 MN=> ( — cos yij ~t" *sini42) ( — cos^^. — mnA^) = 1

and man erhält folglich die Relation:

welche die Coordinatenverhältnisse von irgend zwei Punkten x,' und x" zu erfüllen haben, die, auf der unendlich entfernten Geradon der Ebene gelegen, zu den beiden imaginären Kreispunkten im Unend- lichen harmonisch conjugirt sind.

Soll also der Kegelschnitt 27 = 0 die unendlich entfernte Gerade der Ebene in zwei solchen Punkten schneiden, d. h. soll der Kegel, schnitt eine gleichseitige Hyperbel sein, so müssen die beiden aus

der Gleichung 3) sich ergebenden Werte von - der vorigen Bedin- gt

gung genügen. Durch Substitution der Ausdrücke:

X, ' X^ 2(i423 -f- ^31 — ^38 — -4, 2)^2

V "*■ V '^ (^11 + ^433 - 2^31}«, "'

V ^" (^22 + ^38- 2^123) V

V • V *" (^n + ^38-2^3l)*i»

erhält man die Bedingungsgleichung

2«i«2^0Sil8('^28 -f- -^31 — ^33 — -^12) + »,«(il,2 + ^ - 2^23) + «i«Un + ^ - 2il3i) «= 0

oder

— 2«]«2A8 COS-^S -{- 2tf]«2 C08^3(-^23+ -^31 — ^33)

+ VU22 + ^33 - 2^23) +VUn + ^33 — 2^31) = 0

Berücksichtigt man die aus dem Fundamentaldreieck sich ergebenden Relationen

*1*4"*2* — ^^^ ^^ 2«j«2COS-<43 «2*-|-*3* — *1* '^ 2«2*3C0S-4j «3* -f- 8^ — *2^ == 2*3*1 COSyl,

SO nimmt diese Gleichung die Form an:

fir Iriatlrische Coordinaltit. 63

— 2f ,»g^, C0a^3 + »,*J„ + «i"^« + «3*^3»

+ (*!* — V~*8*M*» + (»S*~*3^— <l*)jl31 ■= 0

oder

''lj'l»+ ■^ft*»* + -^ 's*" 2/l2S«2*3 COB^i — 2'431«3«iCOS^t — 2^,,ftl«(C0S^S = 0

Eine darcli die allgcmciue Gleichung Z = 0 in trimetrischcn Liniencoordinaten dargestellte Hyperbel ist also glcichBOitig, wenn die Hinorcn der DiscrimiuaDto die Bedingung

■^ll'l» 4" -^»t»!* "I~ ^33*3* — 2j<33*j»3 COS^i

oder

S Ann* ^ 2S ArnnxiCOBÄm

k.t.m k.l.ta

crfailcD.

Frankfurt a. Oder im Decerabcr 1883.

()4 Völlers: Combinatorische Darstellung

IV.

Grundzüge zu einer coinbinatorischen

Darstellung der höheren DifFerentialquotienten

zusammengesetzter Functionen.

Von

Herrn Julius Völlers

in Oldcnbni'g.

Da bei verwickeltercn analytischen Operationen — z. B. der Entwickclung einer zusammen(?csetztcn Function in eine Reihe and der Snmmirnng der Kettenbrüche — nicht selten combinatorische Anordnungen auf ein leicht zu übersehendes Verfahren führen, so suchte ich auch bei der Entwickelung der höheren Differentialquoti- enten zusammengesetzter Functionen eine derartige Hülfe zu finden und gelangte zu dem in nachfolgender Skizze angegebenen Resultate, das wohl nicht ohne alles wissenschaftliche Interesse und auch von einigem praktischen Nutzen sein dürfte.

Als Ausgangspunkt für meine Untersuchung benutzte ich die Formel von U. Meyer*)

wenn

indem ich zunächst das combinatorische Gesetz, dem die mehrfachen Differentiationen der Potenzen von S unterworfen sind, ermittelte.

♦) Gruncrts Archiv T. IX. S. 96.

Soelit man von DB^ ausgebend ß'S' durch aufeinander folgi'ndo Pifforontialionou nnd bezeichnet in dem Ilesultate

n^&i = 3e»D'e+ iss ds d*& + giüö)^

Ö rail 0, D9 mit 1, D^% mit 2, so erhall man, wenn man vorlänfig vi>n den nuraerisclu'n Coefficienton ahsiobt, fulgPiidim SL^hema fOr dio einzt'lDoii Suniniaiidcn dor obigen Kutwiekolun;^

t ist dies die dritto (.'omliinalionscliissv der Klemt-nri« \ SUT QuerBuniine 'A.

In disreclbeu Weise crgiebt sieh für

0^8* = 40^i>*l9-|-480=/JÖD'Ö + ;i«©»(/J-e)* -f l4-IÖ(ßö)« + 24{/)0)* I SeLuina:

0004 0013 0022 0112 Uli

^Icbos die vierte ConibinationBclasse der Elcmcnlo U, 1, 2, \ Rrsninme 4 ist

BetrachUit man ferner noch den ÜifTcrentialqnotionton

+ 36oe'{z)S)»/)»e + i:io©(ß0)* ;

> findet man folgende Anordnung,

tiOiXM

oaji3

00022 00112

01111

idche dor fllnft«n ComhinationscIaEBO der Elemente 0, 1, 2, 3, 4, r Qoeriiimme 4 gleich kummt.

Durch Anweadong derartiger Untersnchungcu auf beliebige Dif- mDtialqnotienten der Potenzen von 6, deren woitläußgo Entwicke-

lung aber bei der Leichtigkeit, mit welcher dieselbe auafQhriiftr ist.4 hier unturbleihen mag, goiangt man zu fulgciidem Satze:

Enlwickelt mau von DB, D©", I)S^ u. a. w. ausgehnid die auf. 1 eioauder folgeodcD DiffcrcDtialquütieutcD, und suhliosst mau vorläufig I die Bivb bicrhei ergobeudoii nu muri scheu CoeflicicDtcu von der Bc- trachtUDg aus, so sind die einzelnen Summaudeu ciocr beliebij^n J Eutwickeluug (ZJ"®™) iu dvt Weise zusammeugesrttt, doss aie, wenn 1 mau » mit 0, D@ mit 1, />"& mit '2, D^9 mit 3 u. b. f bezDlchnut, | die cinzelueu Coinj)le»ioDen dertt-j-l Elemcute 0, 1. 1' ... zur Qaor- tomme n und zur rnlen Com biuatiou Belasse ropräseutiren.

Vergleicht man nun die lieiduii DifforeutialquoticuteD 4-1440<Z}ö)»Ü«e-i-24[Z>9j*

mit einander, so findet man. dass die Anzahl der Snmmaudcii in bei- den Heihcn gleich ist, und die Producic der einzelnen Differential- quotienteu (wobei Ö als Oter angesehen worden mag) in der letztou sich voa denen der ersten nur durch den Factor & unterscheidew, — was einer Classenänderang einer gegebenen Anzahl von Klementen za einer gegebenen Quersumme entspricht, — dass dagegen dio ns- moriscben CoefÜcientou scheinbar ganz verschieden sind.

In maucben Recbnungeu sind nun dio Combinationscomplexionen von ibren Permnlations- oder Yersetzungszableu begleitet; schneidet man auch bier dieselben versuchsweise aus, so urgiebt sich :

D«©* = 4e3iJ*e-f la. 4 s*d8 ö»8

+ G. 6, ©«(fl»9)ä+12, V2. öl/i9)Sßiift-i-24(/je)'

-j-6. 10. e^(Z)»e]' + 30. 12, islHD&yn'G -f 5. 24 H(D&)*.

Man sieht, dass die rechten Seiten der beiden Gleichungen nnn- raebr gewisse numoriscbe Coefficientou gemeinschaftlich haben, nftm- lich die Zahlen 1, 4. G. 12. 24, die, wie man sich leicht überzeugt, jedem vierten DifferentiaUiuotienten irgend einer Potenz von 9 zu- kommen, nachdem man aus den sieb anfangs ergehenden Coerficienten dio dem entsprechcuden Differentialquotieüteuproducto /ugchörigen Versetzungszablen ansgeschiodon hat. Durch weitere Verblei dt ungen wird mau finden, dass jedem Differentialquotienteu einer Potenz von

mh AoMchcidnng der VorBetznngBzahlen gewiaso CoofficiDnten mmeu, die man nnnmchr allein ins Angc zu fassen hat.

Dm die gcnaimtcu Coeftiricntcn anf die einfachste Art und Wisibb fSr eine gewisse Anzahl nnfstcigeiuler Differi'utialqDotieutcii zn or- uittclu, criunerc mau sich, dass /J"©"" nie mehr Summaudcn enthalt t VB"; man folglich nur 0"Ö" filr h = 1, 3, 3, 4 u. s. w. zu •^oen braucht.

I Hau c^Blwickplo nun aus D9 D&* durch Multipltcalion mit Ö 1 Aeudcmng der Vcraetzungszalilen, aus D3* durch Differentiation " , dann in derselhcn Weise aus D*BK Ö*Ö* und aus D^&^ 0»«\ I fahre ao fort.

^ Msn erhält so nach AussoDdcruni; der Vorsctzuugszahlen für dio nlen DiSercntialijuotienton folgende Cooffideuten:

1. 4. e.

. 24.

1. 5. 10. 20. 30. 60. 120.

1. 6. 15. 2f). 30. 60. 90. 120. l&X aSO. 720.

1. 7. 21. 35. 42. 105. I40. 210, 210. 120. 630. 810. 12(50.

2520. r>04U.

Hau bemerkt leicht, dasB die ersten Coefßcientcn iu joder Reihe <Jie anfsteigenden Binoraialcoeföcienten der dem KugohOrigen Dif- fcrentialquotienten entsprechenden Potenzen sind; die anderen da- gegen sind scheinbar ganz regellos gebildet. Durch wiederholte Ver-

Sache gelang «

mir jedoch, dieselben auf folgende Form zu bringen, mtcn Binomialcoefficicnten der nten Potenz be-

{2)„ (2),

(3)„ (3), (3l,.(2),

W)o {4)> (*)i (4J.-(3), {4),.{3),.(2),

(B)o (5)i (S), (5)i-(*). (5)j-Ws (5),.(4),.(3), (ö),.(4),.(3),,(2),

(6)o (6), (6), (6)3 (6),.(5), (6),.(5), (6V(4), (6),, (5), .(4),

(6),.(5),.(4), (6),.{5),.(4),.(3), (6),,(5),.(4)..(3),.(2),

(7)o (7), (7), (7)s (7),.(6), (7)i.(6), (7),.C6)3 (7W5),.{7),.(6),.(5),.

(7),.(6),.(6), (7),.(6),.(4), (7),.(6),.{5),.{4), (7),,(6),.l5),.(4),.

(7M6),.(5),.(4),.f3), (7),.(6),.(5),.(4),.(3),.(2),

(}3 Völlers: Combinatorixche DartttUung

In diesem Schema stehen zunächst alle aafsteigenden Binomi- alcoefficienten der dem betreffenden Differentialquoticnteu entspre- chenden Potenz ; dann der Binomialcoefdcient der genannten Potenz, welcher den Index 1 besitzt, vereinigt mit allen möglichen aufstei- genden Binomialcoefficienten der vorhergehenden Potenz von dem- jenigen mit dem Index 1 beginnend; dann der Binomialcoflicient der höchsten Potenz mit dem Index 2 vereinigt mit den aafsteigen- den Coefficieuten der zweithöchsten Potenz von demjenigen mit dem Index 2 beginnend. Nachdem in entsprechender Weise alle Binionen erschöpft sind, werden die Ternionen hergestellt; zunächst das Pro- duct der Binomialcoefücienteu der höchsten und zweithöchsten Po- tenz mit dem Index 1 voreinigt mit den aufsteigenden Binomial- cx)efiicienten der dritthöchsten Potenz, von demjenigen mit dem Index 1 beginnend; dann das Product aus dem Binomialcoefficienten der höchsten Potenz mit dem Index 1 in den Cocfticientcn der zweit- höchsten Potenz, welcher den Index *J besitzt, vereinigt mit allen Coefticienten der vierthöchsten Potenz von demjenigen mit dem Iu- dex 2 beginnend; uud so in entsprechender \V(>ise fort. Da es nach diesen Erörterungen keine Schwierigkeiten haben dürfte, wenn nur die Indic(»s der zu einer der obigen Eutwickelungsreihen gehörigen Binomialcoefticieuten-Complexiouen' bckanntj sind, diese selbst nie- derzuscheiben, so gentigt es, vorläufig nur die Indices zu betrachten, welche folgenderinassen sehr leicht zu finden sind. Nimmt man den speciellen Fall, wo die Indices zum 7ten Difforentialquotientcn der Potenzen von ö gehörigen Binomialcoefticienteu gefunden werden sollen, so ist der erste Null; zur Ermittelung der übrigen schreibe man die Indices der aufsteigenden; Binomialcoefticienten von der 7ten bis zur 2ten Potenz herunter, jedesmal mit dem Index 1 be- ginnend unter einander, wie folgendes Schema aiigiebt:

123

12:^

12

12

1

1

Man combinire nun die Elemente der ersten Reihe zur ersten

Classe; man erhält

1. 2. 3,

dann das erste Element 1 der ersten Reihe mit denen der zweiten Reihe, das 2te mit denen der dritten, das dritte mit denen der vierten, indem mau nur gutgeorduete (^omplexionen ziilässt, zur zweiten Classe; dies giobt

f combinjre mau dii.> Elcmciitü 11 dcrbi'idcu ersten Reih on mit denen der dritten, die Elemente 12 der bcidoii er§len Reihen mit d«n Elouiemen der 4te-u Reibe, wobei wiederum nnr gutgeordneto Complexioneu zugelasscu ncrdcn; man erhält;

111. 112. 122.

Darauf combinire mau wiedenira die Elemontü Ul der drei ersten Reilicu mit deujonigeii der vierten Reilie, and fahre in entsprecben-

Weise fort. Man Sndct nocb

1111. 1112

um null

Wie mau in anderen Fallen verfährt, wird man leicht einsehen; oor 80 viel sei hier noch bemerkt: Zu ungeraden Potenzen gehören,

wenn man die Indiccs von 1 an rechnet ., . dagegen zu einer

geraden ,^ aufsteigende Potenzen, Um das vorhergehende Schema aUgomein herzustellen, hat man daher, wenn der gesuchte Differen- tial quotient von Ö nugerade ist, « — 1 durch 2 zu dividircn, darauf

die Zahlen von 1 bis — ^— 2 mal, darunter die Zahlen von l bis

1 ^ — ll zweimal, dann die von 1 bis [—5— —2) zweimal hin-

ZBSchreihen. nnd so fortzufahren, bis die Eutwicketung mit 2 aof- etnanderfolgendeu die Einheit entbaltouden Reihen scbliesst.

Boi geraden Differentialquoticnteu schreibe man dagegen einmal die Zablen von 1 bis ^ hin, dann zweimal ^ — 1 a. b. f , wie bei den ungeraden Differentialquotionten.

Nachdem nunmehr die Entwickelung aller einzelnen zur Bcrcch- Bong einos höheren Differcntialquoticnten von 9 erforderlichen Rech- aangi:n erörtert ist, dürfte es nötig sein, die Gesammtont wickelang u einem Bcispiete klar zu machen. Bevor ich jedoch dazu schreite, will ich noch einige Regeln über die Entwickolnng der nten Combt- natioDBClasse der Elemente 012. ..." zur yuersurame n hier oin- fOgen, da dieselbe nicht gut als allgemein bekannt vorausgesetzt Herdeu dürfte.

VolUr

Uandett es ttcli om die HpntcUiB!! dw «tenCAmbinstiDindanO' äer geunatro Ek-meaU zur Qacrsomni? •>, so cntwifkele man uacb cnanilcT die CombinatioaBcIassen der Eleineote 1 bis n zur Qaer- niinn»; n. tt-Uv- der crsteo Classe (n — llmal, iler 2tcn (h— 2)mal, der dritl^n (u ~ 3} mal das Eiemetit 0 ?or miil fahn- so fort bis zur ntea Claese, welche (n— n) oder 0 mal das Element 0 orbalt. Ala Beispiel folge hier die acht« Combliiationsclasse der Elemente 0 bu 6 ZOT QuerBümme 9.

00000008	00001124
00000017	00001133
O0QOai26	OU001223
00000035	00002222
000000«	000111 U
00000116	00011123
00000126	00011222
00000134	00111113
00000224	00111122
00000233	01111112
00001115	miiiii

Zar leichten and sicheren ConstructioD der einzelnen Combi- nationsciasseii der Elemente 1 bis ti dienen folgende Regeln, welche ■ich anf die Herleitnog einer CombiaationscIaEso aus' der Torh«i> gebenden zn einerlei Qoersnmme beziehen.

1) Jeder Comiileiiou der gegebenen Classe mit UGborgchiLDg de- rer, die am Ende zwei oder mehrere gleiche Elemente haben, MtzQ mau 1 Tor, nnd vertanschc die letzte Zahl der Complexion mit der ihr im natOrlichen Zahlensystem vorhergehenden. Dies gieht die mit 1 anfangenden Com[ilcxionon (die Ordnnng 1) der abzuleitondea Classe.

2) In den so gefundenen Compleiioneu der Ordnung 1 (mit Ueber- gehting (ierjcuigen Complcxioneu . welche entweder zwei oder mehr gleiche Anfangs- oder zwei oder mehr gleiche Eudcicmente, eins oder beides zusammen, haben) vertausche mau die erste Zahl mit der nächstfolgenden, die letzte hingegen mit der nächstvorb ergeh enden im natUrUcben Zahlensystem.

3) Ebenso leitet man die Ordnnng 3 aus der Ordnnng 2 ab. wenn man die Vorschrift (d) auf die Ordnung 2, wie vorher am wendet, und ebenso die zugehörigen Anfangs- nnd Endelemente den umzuwandelnden Compleiioneii vertauscht. Und ao für die übrige'

Ordnungen, soviel deren das Hauptgt-Betz der Gombiuationen , das- |LUonigc Al'T gatcn Ordnung znlüsst.

^^^H^ach diesen Kegeln lüBsen sicli alle CombinationsdasBeu zu einer ^^^B)l)4!nea Qucrsammo gsmz mechaniscb ableiten.

" Es soll nunmehr D^Q" i;efundcn werden. Mam schreibe, am

besten untereinander die achte Combinationsclasse der Elemente 0 bis 6 zur QuerBomme S bin, wie es das Schema a. angiebt; schreibe

demselben die Vereetznngszahlen, welche mittelst der Formel jä^ — gefunden werden, worin in!^=1.2.3...m, und worin n die Anzahl der Klemeate der betreffenden Complesion, «, ß u. s, w. dagegen in denselben vorkommende Anzahlen gleicher Elemente bezeichnen (Schema b.]; ferner schreibe man das Schema der aufsteigenden Binomialceefficienten . welches in diesem Falle mit 1. 2. 3. 4. be- ginnt an (Schema c), uud endlich entwickele man bieraas das Schema der combiiiirteu Binomialcoefficienten (Schema d,).

Schema a.	Schema
00000008	S! 71
ümiuüon	81 61
OÜ000026	8! 6!
OÜOOÜOS.'i	8! 61
00000044	8! 612!
01X00116	8! 5! 2!
000()Ö125	8! 5!
00000134	8! 5!
00000224	8! 5!2!
00000233	8! 5!21
OOOOIllö	8!

Schema c. 1234

Schema d.

irr^.?

72

Voller ti Combinatorische Darstellung

Schema a.	Schema b. Schema c. Schema d
00001124	8! 4! 2!	112
00001133	8!	113
4!2!2!
00001223	8! 4! 2!	122
00002222	8! 4! 4!	222
00011114	8! 3! 4!	1111
00011123	8! 3! 3!	1112
00011222	8!	1122
31213!
00111113	8! 2! 5!	Hill
00111122	8! 2! 4! 2!	11112
01111112	8! 6!	111111
11111111	8! 8!	1111111

Ersetzt man nun in dem Schema a. und d. die Indices durch die zugehörigen Differentialquotienten resp. Binomialcoefficientcn, schreibt nach Unterdrückung des Schemas c. die auf einer Zeile stehenden Grössen als Factoren zusammen und verbindet die so erhaltenen Producte zu einer Summe, so hat man Z>®6^ vollständig entwickelt:

71

D«e8 « ^ (8)o SW^&

8!

+ g-j(8)i &^D&D^S

8!

6!

8!

+ gf^(8), e^{D^&y^

8!

+ 5T2!(^)^(^^* 0'\^ö)'^^'ö

der hohem DifferentialguoUenlen. 73

. 8!

+ 51(8)1(7), e»jD©/)»e/?sö +|i(8),(7)« e^DBD^eo*»

+ 5r^(8),(6), Ö6(D»Ö)«Z>*© + 5f^(8),(6)8 ©»Z)»e(Z)*Ö)»

+ iTf! (8)i(7)i(6). e*(De)^D^e

+ jf^j (8),(7),(6), e*{De)*D»»DiS + 4j-|r2! (8)1(7)1(6)« ©*(i>©)«(ö»«)» + JT^(8),(7),(5), ©«ße(ö»©)*/?»© + 4ril(8),(6),(4), ©«(/)»©)*

+ 3-fr! (8),(7),(6),(5), e\De)*D^e

4- 3-?^(8),(7),(6),(5), e»{ß©)»2)««ß»© + ärHs! (8)i(7),(6),(4), ©»(I>©)«(iD»»)» + 2iT] (8)i(7)i(6)i(5)i(4), ©*(r>©)»/)»vv + 2!lf2! (8)i(7)i(6)i(5)i(4)« ©*(D©)*( O«»)* + |l (8)i(7),(6).(5),(4),(3), ©(i)©)«Z)»© + |J(8),(7),(6),(5),(4),(3),(2), (/?©)»

Um ao8 den angegebenen scbematischcn Anordnungen von 77*©" diejenigen von Z)*©' herzolciten, bat man nnr dem Scbema a. eine 0 vorzascbreiben, ond das Schema b. den so erhaltenen Complexionen in a. gem&ss zn ändern; um ZT*©' zo erhalten, lasse man in dem Schema a. die letzte Combinationsciasse der Zahlen von 1 bis 8 fort, ebenso die dieser entsprechenden Complexionen in d., streiche ferner in dem Schema a. in den Übrigen Complexionen die erste Noll und ver- ändere in entsprechender Weise die Versetznngszahlen; in derselben

Wdso kaan man aus ilca Anordnuiig'.'ti jD*8* Jurivircn u. s. f.

;r0' Jic Scliciniibi f

Nach dicsoii Erürlcruagcii knnii icli nuumHir zur Lösung der oben itugGgebcucn Auft''ibc sdirciten. Handelt es sich um die Auf- findung der 8ten derivirton Function /"(a-). worin

Go ist nach der obon gcnauiitcn Formel

Mau findet dem gern Hss

f. -[C,8«],,

also gloicL der obigen Entwickeinng von D^B'', jedoch soll nach aos^ geführter Ditferentiation q gleich Nnll werden, und, wie man bemerkt ist alsdann 6 = 0, D8 = <p'r, D*8 = tp"x u. b. w. oder kurz

In dem obigen Schema a. verschwinden alls Glieder bis aof c letzte, welches keine Kult enthält, also auch kein 9; ferner ist

wie aus den augefuhrteu Regolu hervorgeht, erhalt man ala Schema die nach Wcglassnng der Nullen zurllckbletbeudc 7 le CombinationB- elasse der Zahlen 1 bis 8 in Verbindung mit den ans d. eutnomnie- nen ihr zogehörigen Werten und den zu O^Ö' in der 7ten Closso der Zahlen von 1 bis 8 gehörigen Tersetzungszahlou.

Um es kurz zn machen, die Scboraala von D'***" geben, wenn man alle Nullen in a. wt'gljisst, dann die den so cnlslaudouen Com- pleKionen in a. entsprechenden Vers etzungsza bleu in b. schreibt, da- gegen c. und d. durchaus nicht ändert, ohne Weiteres alle Werte von üt, oder die geaaramte Entwickelung für f''(x).

Die Schemata für /'(x) sind demgemäsB:

der höhfrn Dijff'frenliahjuotietUcn,

75

Schema a.	Schema b.	Schema c.	Schema d.
8	1!	1234	0
17	2!	123	1
26	1>!	123	2
35	21	12	3
44	2! 21	12	4
116	3! 21	1	11
125	3!	1	12
134	31		13
224	31 21		22
233	31 21		23
1115	41 31		111
1124	4! 21		112
1133	41 2121		113
1223	4! 21		122
2222	41 41		222
11114	51 41		1111
11123	51 31		1112
11222	51 2131		1122
111113	61 51		11111
111122	6! 412!		11112
1111112	71 61		111111
11111111	81		1111111

81

76

Völlers: Combfnatörische Darstellung

Aas dieser Darstellnng erhält man unmittelbar den Wert von fHx), wenn man für 1, 2, 3 u. s. w. im ersten Schema «p'x, <p"«, tp'^x u. 8. w. setzt, im üebrigen wie vorher bei der Entwickelang von jy^S^ verfährt und den einzelnen zusammengehörigen Combi-

' uationsclassen ans a, b und d - t beischreibt.

n!

Man erhält so

f^x^ l\(S)o(p^xF'fj

+ 2HS\(p^x(p^x + 2 ! {S)i(p^xxp^x + 2! (8)s(p»x(p6*

+ 2 + 3 + 3

^2» 3

+

\

"2!

(8)i(7),(<p»x)*g>«a;

(8)i(7),ip»«g»*fr(|)*« (8),(7),g)»a;9>'*9'*»

(8),(6),((]P«»)V*.«:

(8),(6)s(.?*a;)((p»a:)

s^^ü

4!

+ 3-; (8)i(7),(6),(.p'«)='9'*« 4!

3!

»1

+ 0,'2in^^'M6)3(^'^)'(^'^)'^ 1^^

+ +

2

4 2

4

(8),(7)2(5)2<p'ar(g)2x)2<p3a;

(8)8(6)2(4)j(<p«aj)

2-^^4

'1^

+ J-; Wi(7)i{6)i(o)j((3P'^)VW

5!

+ 5 ; (8)|(7),(0)i(5)o(7/a-)37''^'P'^

3!

5! 2!3!

+ orä i (8)i(7)i(6),(4)2(<p'x)2(qp2^)»

5!

tler hohem DIffereutiaUjuotitnten, 77

+ jrii (Ö)i(7),(6),(5)i(4),((p':c)ngp*x)2

+ 6i(«)i(7)i(6),(5),(4),(3),((p':c)6<p^ [^

Weitere Beispiele za gebeu wird nicht nötig sein, da das ge- gebene hinreicht, nm alle Einzelheiten der Rechnung erkennen zu lassen. Ich will nur noch bemerken, dass die Entwickelnng der Schemata für sich durchaus nicht erforderlich ist, sondern dass man es bei einiger Uebuug leicht dahin bringen kann selbst den 20 ton Differentialquotienten ohne Weiteres niederzuschreiben; andererseits kann man aber die Werte einer gegebenen q>{x) oder Fy direct in die Schemata einsetzen und so Specialformeln für die höhereu Dif- ferentialquotienten erlangen. Wie sich die Formeln in jedem einzel- nen auf die höheren Differentialquotienten bezüglichen Falle, unter anderem auch zur Ermittelung der höheren Diffetentialquotienten in- verser Functionen, benutzen zu lassen, dieses zu erörtern, würde sich für diese Skizze allzusehr ausdehnen, daher unterlasse ich die Be- handlung dieser Fragen hier, und will nur noch ein paar Anwen- dungen geben, welche jedenfalls geeignet sein werden, die praktische Brauchbarkeit der obigen Entwickelungen ausser Zweifel zu stellen.

A. Differentiirt man die Reihe l + e'+e^*-!- ,.. e^ p mal nach X uud setzt nach der Differentiation x =^ 0, so erhält man

Setzt man hierin e* — y, so hat man

man findet leicht

Mittelst der gegebenen Werte und der berechneten Schemata für die höheren Differentialquotienten kann man nun den Wert lP-\'2P-\' ...ttT für jede beliebige ganze positive Zahl finden. Hier mögen die Berechnungen für /7» 2, 3 und 8 folgen.

Die Schemata für den zweiten Differentialquotienten sind

78 VnUert: Combmatoritehf. Darstellung

a b c d

2 1! 1 0

Daraus findet man, weil das Schema a. immer 1 ist l»4-2»+3«4---»»-l!(2)o(n+l), + ||(2),(n4-l).

Die Schemata für den dritten Differeutialquoticnten sind

3	1!	1	0
12	2!	1	1
11	31 3!		11

Man erhält daraus

lä+2»+3»+ ... n»= l!(3)o(n + l),+2!(3),(n+l)3 + |](3),(2),(n+l)4 =. („ + l),-j.6(„+l)s + 6(»+l), ■n(n+l)\*

m^)-

Die Schemata fUr den achten Differeutialquoticnten sind bereits angegeben.

Man erhält daraus

18-1-28 + 3»+ ...+»8

|i(8),(7),

2

+ 2 l!(8)„(n+l),+ < + 2

Wi j 1+3! (8),(7),|

(SjsMn+l)»^- < Ol /(»+^)*

'-+21(8)^' '; '

+ 2! (8)*<6)3

(irr höhfrn Diff'erentialquotleuten. «70

li (8), (7), (6), 1+ 1-, (8).(7).(6), I |-;(8).(7M6),(5),

+ 1+ ärk (8>.(7),(6)3f (» + 1)5+ ]+ \ ; (8),(7),(6),(f,), [ (n f 1)„

4! ... _ „ I r n,

3!

+ 2! (8)i(7),(5), 1 l+äii!(8),(7),(6),(4),

+ 41 (8)2(6)8(4), /

fj(8),(7),(6),(5),(4), )

/4r^(8),a),(6),(5),(4),)

+ { ^ (8)i(7),(6)i(5),(4),(3), } (n + D«

+ 1] (8),(7),(6),(5),(4),(3),(2),(r,+ 1),.

B. Differcntiirt *) man Fix, mehrmals nach einander, so erhält man die Gleichungen:

DFlx = - F*lx

X

IßFlx « \\F'*lx— F'te}

Z)3Fte=. -jjF^/x — 3F"te + 2/"te| u. 8. w. welche das allgemeine Bildungsgesetz erkennen lassen

D^Flx = \ %F^lx — l^F^-^Vx-^-lJF^-^lx — . . .}

worin /^, 2i a. s. w. von x anabhängig sind.

Zu ihrer Bestimmung dient die speciellc Annahme Fy == c^y ; Fix = 7^^^ es entsteht dann

woraus man erkennt, dass l^=^\

♦) Siehe ,.SchIömilch , Uebunjrsbiioli zur Iiölieron Annlysis.*' III. Aufl. S. 55.

80

VolltTf: C«ml>iHn'i>rische DartUlluni/

l+2 + 3 + 4+...(n— 1) 1.2+1.3+1.4+ ...+l(/j — 1) + 2.3+2.4 ... +2(n-l) + 3.4 +3(w — 1)

n. 9. w. sind, oder es sind ^, Z^, /, die sogeoanotcn FacultiltCDCoef- ficionten vom n ten Grade. Die directe. Suminiruug derselben ist sehr amständlich ; mau wird daher ein Mittel suchen, dieselben auf andere Weise zu erhalten. Eine sehr bequeme Art bietet hierzu der Ver- gleich mit der auf combiuatorischeu Wege hergestellten Formel. Handelt es sicii um die Entwickelung der Facultätencooflficienten des neunten Grades, so giebt die obige Formel

D^lr = ^AIqF^Ij- - liF^lj-+ . . . +/«^^^l

oder auch

Andererseits hat man

DHx = ^lF'lr-\- ^} r-lx+ ^'^ F^Ur+-^^F*U

+ y?FH. + ^ F^l. + ^ F-'U + ^ F*kr+ ^ F^lx Durch Verjjileichung dieser beiden Reihen erhält man

r)!Z4 — xn/ßj 6!/3 = — a;»ü;;; 7 ! /^ -= x'^ ^ ; 8!Z, = — «»üi;

9 I/o = a;»I/9.

Man entwickelt nunmehr die Schemata für den nennten Diffe« reutialquotienten.

Schema a.	Schema b.	Schema c.	Schema d.
9	1!	1234	0
18	2!	1234	1
27	2!	123	2
3G	2!	123	3
45	2!	12	4

der kökem DißirentiaiquoUenUn*

81

Schema a.	Schoma b.	Schema c	Schema d.
117	3! 2:	12	11
126	3!	1	12
135	3!	1	13
144	3! 2!		14
225	3! 2!		22
234	3!		23
333	3! 3!		33
1116	4! 3l		111
1125	4! 2!		112
1134	4! 2!		113
1224	4! 2!		122
1233	4! 2!		123
2223	4! 3!		222
11115	5! 4!		1111
11124	5! 3!		1112
11133	5! 3! 2!		1113
11223	5! 2! 2!		1122
12222	5! 4!		1222
111114	61 51		Hill
111123 111999	6! 4! 6!		11112 11199

3! 3!

Avck. 4. Math. «. Fky«. S.

Teil L

"i ^"

82

Voller 9: Comhinaiorisehe Darstellung

Schema a. 1111113

1111122

11111112

111111111

Schema b.

7_! 61

71 5! 2!

8! 7!

9! 9!

Schema c.

Schema d. 111111

111112

1111111

11111111

Nun ist nach Einsetzung der Differentialquotienten und Bino-

(— 1)»-H« — 1)1 mialcoefficienten in die Schemata, wegen q>*^x «

öl- Jj(8!)l!(9)o

X

{0!7!)2!(9), + U!6!12!(9),

^* X» \ 4-{2I5!}2!(9)8

+ {3!4!}2!(9)«

{0!0!61}|j(9),(8),

+ {0!1!5!}3!(9W8), + {0!2!4!}3!(9)i(8)s

+ j0!3!3!}||(9),(8)4

+ {1!1I4I|||(9),(7), + {1!2!31}3!(9),(7)3 + {2!2!2!}||(9)8(6)»

{0!0!0!5!}||(9)x(8)i(7),

4-{0!0!lU!}|j(9),(8),(7),

4!

Ö8 = -ö

.9

+ {0!0!2!3!}2j(9)i(8)4(7)s

ö*-»-l9

4!

+ {0!l!l!3!}2i(9M8),(6),

4!

+ |0!l!2!2!}2i(9)i(8),(6)8

4!

+ |1!1!1!2!|3J(9),(7),(5)

J.-<fcr /.Men, Ü'fftrfMinliuolieiittn.

{0!0!0!0M!|Jj(9),(8),{7M6), I + !0! Ol 0! 1! 3!| U (9),(R),{7),{6),

+ iOIOIO!2!2!i3^^j(9),C8),(7),(6)8 \ I +(0! 0! 1! 1! 2\\~m,[2,U7),(h)t + |0!lIl!llllj|j(9),(8W6W4),

p)! 0! 0! 0! Ol 3I| ||(9),t8),(7),(6),(ö),

-t-10!Ü!0!O!l!2!||^j(9),(8),(7),(6),(5),

I -l-10!0!0!l!l!l!!3j~(9),(8),(7),(6),(4),

i 10!0!0!0!0!012!g-j (9),(8M7),(6)i(5Mi), + |0!0!0I-O!0!l!l!I^,{9),(8),(7M6V5),(4), j

J = — ^!0!0!OIO!0!OIOH!1 ||(9),(8),(7),(6),(5),(4),(3),

~I010!0!010[010!0!0!|||(9),(8),(7),(6),(5M4),(3).(2),

I 1>edoatet, wie man leicht erkennen wird, 0! (amgesprocben B Facnttät) ebeDEO wie 1 1 l.

Die gegebenon BezichuDgen zwischen den Werten von V und l

len erkennen, dass die in den EJammern BtehcndeD Fautoren der

P«rti< von (7 der Reihe nach ll^! ^-^i ^-^ ^- b. w. sind. 3Ian

Ut nach Ansfabrung der angedeutelcn Operationen

c40320; f, = 109584; (6-118124; ij = 67284; ii = 22449-,

-453fi; i, = 546; fj = 36; i^ = 1.

Diese BerechnnDg ist noch einer bedcnt^nden Vereinfachung

zeriegt man nämlich die fOr l!/,; 2\L,\ 31^ n. §, w. er-

aaeo Werte wieder in drei Schemata a,' b', d', worin wicdemm

I b' die Versetz nngs zahlen zom Schema a'. ond in d' die Indicet

f BinomialcoefficientcD-Compleiionen kommen; dagegen in a' die

t den Binzelnen Reiben der Entwickclang von l!^; 2tl, n. t. w.

84 Völlers: Combinatorische Danidtung

onthaltenen Facaltäten-ComplexioneD, wobei man das Aosnifiuigs- zoichen fortlässt, so erhält man folgende Schemata, in denen die einzelnen Classen den Werten von ll/g; 2!^ a. s. w. entsprechen:

Schema a'. Schema b'. Schema a'. Schema b'. Schema d'.

gl 8 1! 00000001 Y\

91 07 2! 00000000 g]

16 2!

25 2!

34 ; 21

3» 006 |j

015 3 !

024 3!

31

033

114

123 31

3!

222

0005

0014

0023

0113

0122

1112

00004

0	1111111
1	11111111
2
3
4
11
12
13

2! 14

31

2! 22

23

3! 33

4!

3! 111

4!

2! 112

4!

2l 113

4!

2! 122

4!

2l 123

41

3"! 222

5!

4! 1111

51 00013 g^ 1112

kenift &'. Svhoma b'. Schema a'. ScLcina b'. Scliema d'.

IXAXU	SlTi
00113	5! 2121
01111	51 4!
900003	61 61
J00012	61 4!
JOOlll	61

5!2l

1U3 1123

im

Hill

Ulis 11138 111111 111112

I Die Scbomata b'. nnd d'. sind gans dieselben wie bei der Be-

tnnng von /'^; das erste Schema a'. eutstebt aus dem S>;hi-maa.

, dass raan jedes Element in demselben um die EiDheit ver-

Oassolbe lässt sicli jedoch von dem Schema a. gan^ naab-

gig darEtellen , dadurch dass man die vorher angegebenen Regeln

f die Dcrivatiou einer CombinationBclasBe ana der vorhergehenden

r Weise abändert, dnss an den Stellen von 1, 2, 3 n. a. w. 0,

(S, 3 u. 3. w. iritt. nnd dann von der ersten ClasBe (fi) aosgeht.

bsh'erst&ndlich ist in den so erhaltenen Complcxionen die Qner.

me keineswegs mehr immer dieselbe. Da jedoch ^i^ Elemonto

rster Linie Ordnungszahlen sind, so kann man den Zahlen Ü, 1.

. einen nm die Einheit grosseren nnmcrischen Wert bei'

, wodorcb die Quersumme wieder 9 wird, und spricht sodann

i FordeninK für das Schema a'. folgondermassen ans: Es sollen

i Bufeinander folgenden Combinatiou Belassen der Elemente 0. 1. 2,

3 zur Quersumme 9 berechnet worden, wobei den Elementen

. 8 bei der Berechnang der Quersumme einem die Einheit

lerer numerischer Wert beigelegt werden soll, was man kurz

et: es sollen die sämmtlichen Combinalionsclassen der EIc-

, 1, 2 bis 8 zur Quersumme 9 für den Zeiger L 23456

^1 gebildet werden. Oemgemäss ergiebt sich folgendes combi- letz: Bildet man s&mmtliche Combi oationsciassen der

'71

86 Völlers: CombinatortMche Darstellung ete.

2 3

Elemente 0, 1, 2, 3 ... 8 zur Qaersnmme 9 für den Zeiger | ^ c

A p. a '7 Q q\y Schreibt dieselben als Schema a., schreibt in b. die

Versetznngszahlen an, entwickelt in d. die Gomplexionen der Indices der Binomialcoefficieuten (wie vorher); ersetzt dann die Elemente des ersten Schemas dnrch die den Elementen entsprechenden Facnl- täten, ersetzt die Indices in d. dnrch die zugehörigen Binomial- coefficienten, bildet ans den sich entsprechenden Werten in a^ b^ d Prodncte, und yerbindet die zu den einzelnen Glassen gehörigen Prodncte zu einer Snmme; so sind die so entstandenen Werte der einzelnen Glassen gleich l!^; 2\lj n. s. w. Die YeraUgemeine- ning dieser ganz independenten Berechnung der Facoltätencof&cienten überlasse ich dem Leser.

Miscellcn.

Die SeettonBcnrreii. r Formet Jfsiaü—R' ^aainlU+tp) + Jt^-'h5ia(U+2<p]— . .-=0

JBt eine Anweadang za aof die Teilnng eines Winketa in n Teile. i ist nicht nötig , die Abschnitte ^ = Pi ^= p« = pa der Äbflcis- Mchse gleich a zo Betzen. Lassen wir also m Punkte in einen lammenfalleD, so gehen von einem Carvenpnakte m Strahlen nach mselben, nnd es ist U= £B = m9. Setzen wir nan unserer Änf- 3 gein&sa fest, dass

mS = 2R — ngo , so geht obige Formel über in pBinng» — M<iÄ"-iaiii(n — l)qa + m(^^ja=Ä"~i'sin(n— 2)?>-— 0

Hieriti ist m ganz willkOrlich za nehmen , in Folge dessen die eichnng zur Anvrendong eine ziemliche Ansdehnnng besitze. Im krliegenden Falle wird der za teilende Winkel i;- durch ^R — m8 teilt, woraus bei passender Wahl von m aus dem Winkel S

r geflachte y = - vermittelst der Curve sich leicht ergibt

Bemerkt raan, dass man über n frei verfügen kann, und setz

• 1 Torans, so resnllirt aus den obigen Formeln

gg MUceüm.

me— 2E — <p 2R— g>

e

m

Der zn teilende Winkel ^ ist 2R— 9, 80 dass m an die Stelle von n tritt, in Folge dessen

e — ^ ist. m

Gorven dieser Art haben die Eigenschaft, dass eine durch den Anfangspunkt gezogene Gerade die Cnnre in m Punkten schneidet, deren Radienvectorensnmme gleich Null ist

Setzen wir z. B. m = 3, so ist

Ä»— 3a*Ä + 2a»C0S9> —0

die Trisectionscnnre in Polarcoordinaten , welcher wir schon frfiher bei der gleichseitigen Hyperbel begegnet sind.

Diese Cnrve besitzt einen Knotenpunkt, durch welchen 2 Tan- genten hindurchgehen, welche mit der ^- Achse bezüglich die Winkel

n 2

ö^» ^n bilden. Die mit S bezeichneten Winkel sind der Reihe nach

|R— Q-, ^R"""?' ~Q» was auch aus den Wurzeln

Ä, =:2ac08(|R — ig)),

Ä, -2acos(|R + ig)),

Es — 2a cos ^9 bewahrheitet wird.

Gehen wir auf die erste Formel zurück und setzen

ü=2e — 2R — 3g),

so rcsaltirt ans der betreffenden Gurvengleichung

JR'sinSg) — 2i^8in2g)-f a'sing) =» 0

die bekannte Hyperbel

oX« ~ a« ■" ^•

3/ 3

Im Anschluss an diese Aufgabe, worin die Trisection auf einen Kegelschnitt zurückgeführt ist, setzen wir überhaupt auch für die

Bbrigen Falle m ^ 2 i-oraus, und die Toilnngscnrve hat die Torein- factite Gleicbang

R»3innip-2«R8in(n — l)?> + a>siii(n — 2)7> —0, ria

2R-2e .^ 9 = 18t.

Die Wurzeln dieser quadratecben Gleicbang crgobon sich aas -sinnip = ain(i» — l)ip± ysin(n — 1)71* — sinii9Bin(« -2)?. 1.

-sinnqj ;= sin (n — l)(ji ± Sin ip,

du8 die GleicboDg auch wie folgt geschriebmi werden kann:

/„ «<p n — 2 \/,. . nq> . n— 2 \ „

\R cosf-a. cos^-tpj yJi Sin Y -" 8'" -^ VJ = 0

raus die Gleichungen

Ä, — (. -

rrorgeben, welche auch auf anderm Wege abgeleitet werden künuen

I Polargleichongen der Sectionscarrcn zeichnen sicU durch ) Einfachheit ans und umfassen alle FUllo. Die Untersuchnng en bietet mancheB Interessante. Setzt man z. B. n -^ 6 fest,

f die TrisecUon y = ■ „ ■ zurückkommt, so existiren den

mein für ü, und It^ gemILss die Gleichungen

-ho TOD einander unabhängig sind Die letztere ist die Triacctions-

För n = 5 erhalt man eine Gleichung (n — l)ten Grades von r Form

I die X Functionen von x sind, welche ebenfalls den 4. Grad t Oberschrei tun. Analoges gilt für die übrigen Fülle, die oft 1 mehrere Curvengleichungen charakterisirl werden können. E. OekinghauB.

90 Aliscellen.

2.

iBtegratioB tlmtr JHffereatiAlgrleiehmBgr*

Um die Gleichuog

y(4) « ^'-y (1)

za intcgriren, diffcrentiire ich dieselbe einmal, und erhalte hiedarch

(2) (3)

Y*=xY (4)

Das Integral dieser Gleichang ist

e" 4 [/i, Ci <^"i~ + ^ Qe^« + (13 Cb «^.« + ^4 Q d^*«]* (5)

Setzt man nun	,(ä) - xy"
so erhält man	y'-y

vorausgesetzt, dass C^ C^ Ca C^ willkürliche, blos an die

Q + Q + ft+Q-0 (6)

gebundene Constante sind, und dass f^ ^9 fis ^4 die 4 Wnrzeln der Gleichung

^* = 1 (7)

sind. (Siebe meine Vorlesungen über lineare Differentialgleichungen, Seite 103).

Setzt man nun in die Gleichung (5) fttr Y seinen in (3) stehen- den Wert, so erhält man

0 und hieraus folgt durch Integration

(8)

0

/' _ ^[e'^*^ — 1 — ti^ux "I

e ^ [ jIjjV ^ ^^**^ "l" ****)]''"

0

CO

+ IIZC3 I e 4 1 — ij^i 1- q>iu) + xrlf{u)\du

0

00

+ l'<C^/\-l^^^^^^^-ji^^-^^^+<p(u)-\-x^(u)yu

(9)

und in dieser Glcichaog bodcnten ip(u] und \!>(n) einetwoilcu noch nnbcstinimte FnactioDeu von u. Wird diese Gleichung zweimal nach X differentiirt, so gelangt man nieder zur Gleichung (8) znrilck. Nun soll aber der in (9) stehende Wert vou y der Gleichung (1) «eutlgen. pX>amit dies stattlinde, raUssen die Functionen <p(u) und i^(iO ent- [ireehend gewählt werden,

Ich schreibe nun die Gleichnnj; (9) kurz auf folgende Weieo: y = Si^cJ^e- ll*^" ~,^7 ""^ + T(«) + ^*(.o}'» (10) I^rentiin man diOBelbe, 80 erh&lt man:

y"— SfiC / iiite~^ .ef"du t<« — SuC fn*a*e~ T . «""'(iü

I werden diese Werte in die Gleichung (1), d. i. in

y'*'—xy-\-j/ = 0 (ef&hrt, SS erhält man:

f—xs'-\-y

g"" — 1 — fiUX

+ 9>(u) + i!«.(u) da

r nach gehörig vorgenommener Redaction

■ Uaat «ich stets ip(w) so wählen, auf dass nachstehende Gleicliung

92 MitctlUn,

= -tf"T ^ (12)

flu

identisch stattfindet; man kann sich hiervon durch Differentiation leicht Qherzeagcn, denn differentiirt man die Gleichung (12), so er- hält man:

^e 4|^aVe"«-x.-~- + -^ + g)(i*)J

«• «^•*' — 1 _«• j[4*aare»«« — ^(«^«* — 1)

= M?« 4 • 6 4 • f«

flu ^Hr

nnd hieraus folgt nach vorgenommener Roduction eine Identitftt, falls man

setzt, es ist somit:

/-^T • • «."•** — 1 , e^"« — l — tttia; ,J.

_ ••• ci"«* — 1 « — e 4 .

ferner

0

und schliesslich:

y4)_^y'_y « (Q + C^ + Ca + C,)

Nun ist vermöge der Gleichung (6)

C, + C^ + (h + C^--0 (6)

^(u) bleibt vollständig willkürlich, man kann daher dasselbe beliebig auuebmon, somit kann man das Integral der Gleichung (1) folgen- dermasscu schreiben:

0 0

+ fisCay e 4 1^ -^-jj^^ fi3«u*J./u

0

+ »»i^/V 'Cp""~\ji^^*'" - ,»4 V]rfu+ Qx (10)

nd hier bedeuten, wie schon einmal gesagt, C, Cj fi) C\ C,, will- "Irlictie, blos ao die Bedingung

C, + C,-t-ft+C, =0 (G)

jfebDndcne Constantp, und fi, (i^ fa ^( liic 4 Wurzdn der Glciclinng

Ein particuläres Integral der Gleichung (1) ist

(7)

Ut man daher in die Gleicbong (1)

y = xj Z,ia (12)

) erhält man zur Bestimmung von Z die Gleichung ^

a;Z*+ iZ"— x*Z = 0 (13)

) Integral dieser Gleichung ist somit:

I ftlhrt man die hier angezeigte Operation dnrch, so gelangt mau t folgendem Integral der Gleicbong (13)

\

M

Fahrt man ia die Gleichung (13) statt der Variablen « eine neue Variable J ein, mittelst der Sobstitutiou

I der Gleichung:

Fftbei Ci C^ (% C« und f 1 f4 f3 f 4 die frilbcr angezeigte Bedeutung

•PZ c*Z d.

Du Integral dieser Gleichung ist somit:

-^cv/>V|

vi- 1 _ ^..^f-i - ^.^i ^ ft'.n

^uVf c,»-Ve Vj J

C, C^ a Ci and fi, fi, ^3 fi« haben gen^a dio frOher angeteigtol Beileatung. Simon Spitzer.

Ueber einen frcometrlseken Ort>

P, Q snen zwei Pookte in der Ebene des SreieckB ABC. AE werde von BC, BQ, C'Q beKiebnngsneise in Pa, ^t, At getroffisB.! A' liege zu Pa bezüglich A^At barmonisch.

Wir conatrniren A', indem wir die Punkte A, C der durch P^I gehenden Geraden BC mit At, Ar TSrhinden. Die Vcrbindangsgerode I der Punkte

(BAb, CAt), (BAc, CAb) trifft AP in A'.

Nun ist:

iBAi, CAr) = Q

Wir haben also die t'oordinateu des ScbnittponkteE der Geraden

[Q, (BA,, CAi,)'], Al'a zn bOBtimmen.

FUr P^papbpc, Q = ((a5tg« (trimetriscbe PnnklcoordiiuiteiL J betOglich des Fuudamentaldreiecks ABC) erhalten wir:

APa = 0	Ft -Pi
BQ~-q,	0 q„
CQ = g»	-qa 0
J» =p«5a	pbqc VQ'
Je =pi9a	ptqb V'»
04» = p» g*	-pcqn 0
BAe ^pcQi	0 -piqo
BAr) =pipcqa	pi^5<: pt'li
Jnngagcrade diesps	Punklcs mit (J lial die Form

piqe+pcqi, —pcqa

Dieselbe trifft AP^ io

jä'= ^ipcqa pi,(pbqc + pcqit)

FOr P^ J, das Inkroiscentram, bokomm

>er Ort der Funkte Q, für welche i idea liegen, ist die Cnrve:

diesem Falle die A' in c

	2i.	«. + 1. i.+i.
	I.+I.	2j. I.+I.
	>. + »	*o+at 2i-(
_	-2r,.,[ii.	'-£ax,]-0
Gerade		t«+w+;f« = i)

t die Harmonikale von J. Der Kegelschnitt

Sdvcüt sich auf den Punkt J. Denn nehmen wir an, irgend ein )Uer Pankt «, ^, )•, liege auf S, so dass

I ist aach

^•ff»

-^(1 + «.)'- erdem liegt J auf S. Es müasten also die in eint

ttf dem Kegelschnitte S liegen.

2;(14.p,){l + y,)^ü

r Geraden liegenden Punkte

■ "■r »■

96 MuceOen.

Durch Projection erhalten wir den allgemeinen Satz:

P, Q seien zwei Punkte in der Ebene eines Dreiecks ABC AP werde von jöC, BQ, CQ, bzhw. in Pa^ -4*, Ac getroffen. A! sei der zu Pa bezüglich AhAc vierte harmonische Punkt. Dann liegen die A* für alle Punkte Q, welche auf der Harmonikaien von P liegen, in einer Geraden. Emil Hain.

Wien, Februar 1884.

4.

Geometrische Aufgabe nebst LOsung.

Ein Dreieck zu construiren aus einem Winkel o, der Winkel- halbirenden tu und der durch die Wiukelspitze gehenden Mittel- linie ia*

Auflösung. Für die Seiten und Winkel des DreiedLS ist die ge- bräuchliche Bezeichnung o, 6, e und o, jS, y angewandt

Es ist

4i* c* cos^Q

a* = 6*+c* — 2&CC0SO

0 «.6« + c« — 4/«»+25ccostt 0 =(& + c)* — 4<a* — 4^sin«^

(2) (6+c)« = 4<a*+4*c8in«2

Setzt man diesen Ausdruck für (6-|-c)' in (1; ein, so erhält man

oder

O u

ttf .if?'\-hcicf%\vl^^ = fcV C0S*2

ft.»C* — «a* tg«^ . ^ = ««» . «a* SeC*^

tg»| +)/<aV^+4*a».««*8ec5

da das Vorzeichen ( — ) für y hier nicht zu verwerten ist.

Werden die auf a durch t„ gebildete» Abscliuillo n, um] % %

Dt, BD ist

«.l/'-VäH

t man sich dann um dae Dreieck einen Kroia beechricbon and i zur Periphorio verlüngert, und nennt man die Vorlflngornng «■,

-a„-f|/(.«tg*|

mach zeichne man den gegebenen Wiulicl « mit der halbirendcn 1 construire die Veriängerung x von («. Verlängert man dann X. und beschreibt über x als Sebne einen Kreisbogen, welcher

Winkel .j als Peripbcriowinkel fasst, so schneidet der Bogen, in wel- chem der Scheitel liegt, einen Schenkel u entweder iu 2 Punkten, oder berührt ihn, oder er hat keinen Punkt mit ihm gemein. Ver- bindet man im ersten Falle einen der beiden Punkte mit dem End- ponkte von ta und zieht die Untc bis zum andern Schenkel aus, eo ist das Dreieck, welches so entsteht, das verlangte. Der andere Pnnkt giebl dasselbe Dreieck in umgeschlagener Lage. Fttr den Fall der Berllhmug erh&lt man ein einziges gleichschenkligeB Dreieck, im dritten Falle ist die LOsnag omnögtich. P. Scelboff.

tTelwr alUemelne und ubsolate PcnnutAtionen.

Lehrsatz. Bezeichnet man die Anzahl der allgemeinen Per- IktiODeo fBr n Elemente mit A, so ist

F, = (n — l){«.-3+/'»-j)

Der Beweis wird in der Weiäe geführt, dass n t derselben fftr n— 1 to ran sge setzt , seine GUltigkeit for n Vertauscht man nämlich das erste Element a mit einem f, so ist die Permutationszahi für die n — 2 übrigen Eie- ->i die Gruppe ist charakterisirt dnrcb die Stellang r ... a ... ao Weiterhill r durch eins der öbrigea n — 2 Elemente, z. B.

98

iUi^rlU;

durch «, so sind fUr die foleeuden Pormutationcn zwoi Fälle za onCer-' scheiden. Ersteus muss a mit r deiyeuigen Platz tauscheD, welchen di(?s Drsprüuglicli eiugcuommeD hatto und a musa demnach so l&Dgo auf Bcioen urBprltn glichen Platz znrDckkebren, so dass also dia Gruppü der sich hieran anschliessenden PormutatioueD charaktcrisirt ist durch a ... u ... r ...; die Aozahl dieser Permulationcii fQr die n — 3 übrigen Elemente ist /'„_i. Zweitens tritt u für r in die erst« Stelle and r für u iu alle (u — 2) Permutationon , die im Eiogango BUgeftlhrt wurden. Beide Fälle znsammcu IJefi-m niithiu i'^-a -}- /"(,_ Permntationen , oud da » der Ec[)rilseu(ant der (n — 2} übrigen Elo mente ist, so ist die Gesammtzahl derselben (I'n^a + Pn-iHn — ^ aber nach der Voraussetzung I'„~i. Recbuel man die ersteu P^-i Permnlaliouen hinzu, so ergeben sich für den Inbegriff s&mtntlich)^ Perm ata lioneu, welche durch den Platztausch tou a und « eiugeJeitet sind, /'n-i'f* ^H-i Perm utatio neu uud da a mit n — 1 Elementen nach- einander vertauscht werden muss, um alle Permutationen zu kommeit, so ist

Nun ist für die 4 Elemente a, /; r, rf der obiger Auseinandersetzung entsprechend,

Gang diT VcrsetzuDgcDf

I.C.b.d\I\

.a.b.d\^

-a.d.L \ '

= il\ + P^>.2 = P^

Da nun (P, + /',).2 — /J, ist, so folgt für siimmtlichu Permntationt wenn man noch a mit c und il vurtaascht

und ganz allgemein

;'„=(/'„_3-|-P,_j)(«-l).

Zweiter Lehrsatz. /'■ ^ 11.R.-1.

Beweis. Ana dem ersten Satze folgt

i'„ = n /■p-i + n , P„-i — /•„ -s — P-- 1

Aber die 3 Glieder «n-s— P»-!— /*»-i oder (n -l)/'„_i-/V_i sind gleich

onJ lelzto Aoadniük wiedor — +|(n— S)/*,-! — /V-»|. mit dieser Rcdaction fort, so erhält man fUr ein gradeB >

(n— l)A-a- /'„-i = S/'g — r, = 0

nnd fUr ein nrigcraiies ii

(n— 1)/'— 2 — i-« 1 — 2P, — P^ = 0 j\Iso ist

Fahrt man schliosBÜch

Anmerkung. Verfiitirt mau umgekehrt, indem r gCwOhuliuhen Perm Dta^lnUDSvcrfah reu uachweiast, d.tss

l)/"— l + {"-l)/'H-i

ist, so folgt bierans

Dritter Lehrsatz. Nennt man die Permntationäformen, bei «eichen kein Element in seiner ursprüDglieheu Stellung st"ht, ah- aolute und bezeichnet die Anzahl dieser Formen für n Elemente mit P'h, so ist

eweis. Der BoweiB wird, wie bei dem erstou Satze, durch dm SchloBS von n — 1 auf n geführt. Vertauscht mau uamlich dae erste Element a mit einum der Ubrigi;u p, so ist die Pcrmutations- zahl für diu « — 2 Elemente J'^-s- Die Grupi« dieser P'ormen ist charaklerisirt durch die Stellung ?..,«... Ersetzt man dann ji durch eins der übrigen »—2 Elemente v, dann sind ?.woi Fälle tu nutersc beiden. Erstens tritt f au die ursprdugliche Stelle von v nod man erhält 1"'h-3 Permntationen der « — 3 übrigen Elemente; die Pormeügruppc ist charakterisirt durch u ... a...g ... Zweitens tritt p in die erstgoaauuton J"'h~i Permntationen überall an die Stelle TOD c, diu Gruppe ist bezeichnet durch o .,.«.. , Für beide Fälle hat man demnach /'"h-»+^"'i.-s Permutationeu und da v die n— 2 Ubrigeu Elemi-ute reprasenlirt, welche uacb nnd nach mit g zu ver- tauschen sind, so ist die Gesammtzabl dieser Permulationen (ii~2}. IP'h-i-\- I'\-2) oder nach der Voraussetzung = /'"b— i. Man hat also als lubegrilf sämmtliuhcr Permutationeu, welche durch die Vcr- tauscbnug von o und g einguleitel wurde, i"',-3-f-i*''„_i und für Bämutlicbe Permatationeu, die dadurch erhalten werden, dass a überhaupt mit n— 1 Elementen nach nnd nach zu tauschen bat, ist

k.

/". - iu-inr:.,+F;

■1)

M

'1

XOO MisceUen,

Fttr r^n crgiebt sich aber, wenn die Elemente or, ^, y, d sind, folgender Gang der Yersetzangeu

. . . . } P^^

y,ci,d.ß\P\ )

Da nun also

{P\+P\)2^P% go ist weiter

allgemein

Viertor Lehrsatz. P«» = nP«„-i + (— 1)"

Durch ein Verfahren, wie bei dem Beweise des 2ten Lehrsatzes lässt sich nachweisen, dass für ein grados n

(n — l)P«H-.2— P«»~i - ZP\—P\ « + 1 and für ein angrades n

(n — l)P«H-2~ P«H-i = 2P\'-'P^^ = — 1 ist, und man hat also

pa^ - nP%-i +• (n— l)P%-2-/'«n-l = nP«„_i + (~ l)n

Fünfter Lehrsatz. /'«„ « "• (2!"" 3! + 4! + -^'"-^)**n!) Beweis. Pn — P«- - «(i'«-i - i'^n-i) + (— 1)— ^

« n{(n- 1) (Pn-2- i'«n-2)+(-l)''-2} +(- 1)^^ « n(n - 1) (P„-2 -P«n-2) + (- 1)'*-^ n + (- 1)«-1 = n(n-l){(n-2)(PH-3-P«n-3) + (-l)— 3}

+ (-l)»»-2„+(— 1)"-1 =:n(n— l)(n-2)(P,*-^ — P«K-3) + n(n-l)(— r)--»

+ (-l)--2„ + (-!)«-!

P^— pa^ = n(n-l)(n — 2) . . . (n— Ä;+l)(Pn-k— P^—k)

+ n (n-1) . . . (n - H- -) (-!)•-* + ... +(-l)«-2n+(-l)«-^

Für Ä = n — 1 ist also

)

Mificellen. IQJ

A— /*% = n(n— 1) ... 2 — «(n — 1) ... 3 + »(n — 1) ... 4— ...

+ (-l)'-2«+(-l)»-l

Mithin

Anmerkung. ^— ist also

-Ml

and für n=:oo ist

_ = _ oder ^ = 0.

Der Beweis der letzten Formel, welche den von Herrn Th. Sanio znerst aufgestellten Satz enthält, ist nach einer Mitteilung desselben ausser von mir, in ähnlicher Weise auch von Herrn 0. Hermes ge- führt worden. Der Beweis, dass

p pa^ 11 1 1

— -— — 1— "^4- --: 4- f— 1)*-2 1 Lf— 1)»-1±-

ist, wurde bereits, wie ich hinterher gefunden habe, von Nie Bemoulli I.

gegeben; man sehe hierüber Montmort: Essai d'analyse sur les jeux

Pn—P^n de hazard, Paris 1713. 2ter Theil. 5 ist nämlich der Aus-

druck für die Wahrscheinlichkeit, unter allen Permutationsformen aus n Elementen eine zu treffen, bei welcher mindestens 1 Element in seiner ursprünglichen Stellung ist. Bei Montmort handelt es sich um das Spiel „Treize'S bei welchem man von 13 Whistkarten einer Farbe die einzelnen umschlägt und der Reihe nach aufzählt: As, Zwei, Drei u. s. w. Das Spiel ist entschieden, wenn die aufgeschlagene Karte mit der ausgesprochenen Bezeichnung übereinstimmt — üeber den Satz des Herrn Sanio sehe man: Grunerts Archiv, T. LXX. p. 224.

P. Seelhoff.

I

BenelK fllr den von Herrn Dr. Simio mitgeteilten 8utz, betreffend die comblnatorlsclie Defliiftion der Zahl e.

Zo dem im 3ten Hefte dcB Archivs, Teil LXS. 8. 224, Herrn Dr. Sanio mitgeteilten Satze, hotreffend die cotnbin&tttriache BcönitioQ der Zabl e, erlaube ich mir. folgenden Beweis zn geben leb bezeichne hierbei die Anzabl der absoluten Permntatiunen von t, Elementen mit A'", die Anzahl sämmtlirher Fermntationon mit iV.

Handelt es sich beispielsweise nm A'%, so seien die Elemobtö 1, 2, 3, 4, 5 und dieses ihre ursprungliche Stolloiig. Dann kann man. zum Zwecke der Permutation das erste Element iu die 2te, 3te, 4te ond IJte Stelle setzen und erbält 4 Gmppeo, welche hierdurch cha- rakterisirt sind.

Setzt mau für jede einzelne Gruiipe jedes der übrigen ElemcntSi an die Spitze, so findet mau für die Anzabl der Permulatiou einer Gruppe 24-9. nümlicb 2, wenn das Element an der Spitze ist, iU' dessen Stelle sieb (1) befimtot, nnd im Ganzen 9 fllr die 3 andern Kiemente, wenn diese an der Spitze stehen. Es ist also aus den 4 Gruppen

iV-s - (2+9).4 - (iV,+Jf-J.4.

Allgemi

1 erhält man

insbesondere ist Oder

N«n= iN\-2 + N-'n-l)(n-l);

- 1 . ■■( — I

= (1.3-1). 4 + 1 M(1.3-l).4 + l).5-

iV%-=<...(((1.3-l).4-f-l)6-I) .-.)« + (— D" Löst mau die Klammeru durcb Multiplieation auf, so ist Af''K=l-3.4.5.,.« — 4.5.6. ..n+5, 6... «+...(— l)"-> « + (—!)■ ■

^"-L,.! . L . -1,«.

r, + (-ir

1

= - nnd lim ttt = e

Darsti^lluug di-r Ziibl c uls unendliclits l'ruiluct.

Hie

Wie sich Däoh Wallis ; I läast*), nilnilicb:

. eines unendlichen Productos

	2.2	4.4	6.6 ...
	l.b	3.0	5.7 ..."
1-0	3-8	45	264.1855 ...

2~ 0.1.2.9.44.21 =• 1 und Bind die Nnilcn i

r vollständigeren Ana- logie halber zugesetzt, indem dann jeder Factor des Zahlers ab- wcchsflnd um 1 grösser oder kleiner, ata der entsprechende Factor des Kenners wird. Das HildunfiSgesetz lanlet: „die Summe je zweier ' auf einander folgenden Factoreu des Neuners, mit der Stellenzahl des tcm von ihnen multiplicirt, liefert den folgenden Factor, also:

(0+ 1}.2 - 2 (1+ 2). 3= 9 (2+ 9). 4= 44 (9+44).5 = 265

ais. Da der dritte Factor im Nenner, nämlich: 2 identisch

iet oud (1 + 2) = 4 — 1, ao wird der vierte Factor im

laer nach dem vorhin auijegebeneu Bildnngsgesetze: 4.3—1,3 =

-4 + 1 = ;t und der vierte Factor im Zähler: 8 = 4--3 — 4 =

-1) = 4,2 = dem vierfachen 3ion Factor des Nenners.

I Femer wird, da (2 + 9) = (3 — 1) + (4,3- 4 + 1) = 3.5 — 5 + 1 f der fünfte Factor des Nenners = 3.4.5 — 4.5 + 5 — 1, also der } Factor im Zähler, der ja um 1 grösser sein soll, =5(4.3 jl+1) = 5.9 = dem fünffachen 4ten Factor des Nenners.

[ Ebenso wird dor sechste Factor drs Nenners, da (9 + 44) =

P5—4 + l) + (3. 4. 5 — 4.5+5 — 1) =3.4.6 — 4.6+6 — 1 ist,

»Form; 3.4.56 — 4.56+5,6 — 6+1 erhalten und der sechete

tor des Zahiers = dem sechsfachen 5ten Factor des Nenners

•) VBl.CBUchy; ;Ugcb

.' Anulyüis Neunte Note-

• '}

104 MücelUn.

Ohne Weiteres lässt sich durch den Schlass von n auf ib-4~1 dasselbe für die ntcn Faetoren des Zählers nnd Kenners darton.

Brechen wir daher den doppelten Wert des unendlichen Pro-

ductes s

1.2.3.8.45.264.1855 ...

* ^ 1.1.2.9.44.265.1854 ...

beim nten Factor ab, so hebt sich ans Zähler nnd Nenner jeder frühere Factor bis auf den letzten heraus und bleibt im Zähler das Prodnct 1.2.3 ... n, im Nenner nur der nte Factor:

iV'=3.4.5.6 ... n — 4.5.6 ... n-|-5.6 ... n ... ^wi^

und der reciproke Wert des Productes nämlich:

N 1 1.1 . 1

i~"1.2 1.2.3"'" 1.2.3.4 • ^1.2.3 ... n

wird für « -=» 00 in den Wert - übergehn, denn

liefert f ür « ■= — 1 die Formel :

6 ^ ^^1.2 1.2.3^1.2.3.4 •••

Anmerkung 1. Es mnss daher auch N die Anzahl der ab- soluten Permutationen zu irgend einer Grundstellung bei n Elementen sein*), was aus folgendem erhellt.

Um die Vorstellung zu fixiron, wollen wir vier Elemente a, *, <?, €l annehmen und zwei Anzahlen IV und IV' unterscheiden. Die erste gebe an, wie oft wir a, Z», c, d zur Grundstellung abcd^ die zweite, wie oft wir ar, i, c, il zu derselben Grundstellung ahcd absolut pcrmutiren können (d. h. so, dass kein Element mit der Grundstel- lung einen Platz gemeinsam hat}.

Was nun die zweite Anzahl betrifft, so kann x vier Stellen ein- nehmen.

Steht es unter a, so kommen jetzt die absoluten Permutationon von den 3 Elementen &, c, d zur Grundstellung Icd in Betracht, ihrer Anzahl nach ///.

*) Vgl. Combinatorische Definition der Zahl e Yon Th. Sanio. Grunert's Arch. T. LXX. pag. 224.

Mitctihn. lOä

Steht es aber antor b, rcsp. c otlcr rl, so kommen jedesmal dio

absoluten Pernnutationen von deu 3 Eleraenlen 5, c, d zo einer Grund-

stellnng von 3 Elementen in Betracht, deren eines a ist, also nicht

unter i, e, d enthalten ist Duhcr werden dann jedesmal Ol' abso-

^^ Inte Permutationen gewonnen und dies gescbieht 3 mal.

^b^ Soweit wird also IV' — IU+ 3 . ///', während /F = 3 . ///' iat, ^^HjK jetzt, wenn statt x das Element a eintritt, die erste Grnppe fort- ^Hplt-, also ist auch IV -- UI+IV. Analog ist V=i.IV', also ^^bch V-=4.(i//-{-ir).

^^P mithin wird allgemein die Anzahl der absoluten Permutationen ^^"bei (n + l) Elementen = der «facihoa Samrae der Anzahlen der ab- soluten Penn ntationon bei Ti nnd n—1 Elementen, und wir erkennen lue Uebe rein Stimmung mit dem ohc-n für die Factoren des Nenners 1 Bildungsgesetz.

merkun

Eb gilt dio Formel:

/1.1.2.&.44.265.1854 ..Al.S.S.S. U-2. 3, 8. 45. 264, 1855 .')

worin j — V— 1.

Königsberg i. P. d. 4ten November 1683.

Beweis fBr deu in T. LXX. S. 224 ^e^ebenen Ausdruck der ZabI e:

Die Anzahl derjenigen Permutationen von n Elementen, welche mit 1er Anfaugsstdlung 133 ... a k Plätze und nicht mehr ge- einsam haben, möge durch nt bezeichnet werden.

In Folge dessen bezeichnet no dio Anzahl der Permntationen, Uebe mit der Anfangs Stellung keinen Platz gemein haben, also ■ gbsolutcn Permutationen der Anfangsstellang, welche Herr kelhoff anaföbrlicber durch P',. bezeichuet hat, mithin ist

P"„ nnd 71« = 1.

106 MiscelUn,

wodurch also nt auf einfache Weise von der Anzahl der absolaten Permutationen einer geringeren Zahl von Elementen abhängig ge- macht ist.

Nun handelt es sich um die Bestimmung dos Grenzwerts des Verhältnisses

\ (n! = 1.2.3 ... n) für n = oo. n!

Zuvörderst folgt aus den obigen Formeln, dass:

''a ^^*"~^)o ?« _L. (>t — 2)o ng 1 _ (n — 3)o

n\ '^ (n— 1)1* n] ^ 1.2 (n— 2)!* • n! "" 1.2'3 (li— 3)! ^- ^- '^•

Der Wert von - . ist jedenfalls < 1 , und man findet durch einige

Versuche, dass dieser Wert oscillirt, wobei aber die Schwankungen mit wachseudcm n immer kleiner werden. Man dürfte also annehmen, dass ein bestimmter Grenzwert vorhanden sein wird (dieser Punkt

ist die einzige Schwäche des Beweises); wir wollen ihn durch - be- zeichnen, setzen also

Dann wird

,. nA 1 _ hm -^ = - für n = 00. n I X

n I (n — 1) ! (n — 2) ! x

und man hat demnach:

n, 11 »2 1 1 7i3 1 1

hm — , = 7 . -, hm -, == z-x - hm , = :r~k{' 6 • - u. s. w.

Nun ist offenbar

*'o + '*! H~ ^ + • • • + *'M =- w ! , mithin

n !

Geht mau im Zähler nicht bis /i,», sondern nur bis w» und lässt k und 71 beide ins Unendliche wachsen, jedoch derart, dass n — k eben- falls noch unendlich bleibt, so wird auch dann

lim - "t -^ i-'**^i - • •-'t !^ « 1 weil sich sehr leicht zeigen lässt, dass der Rest

«!

sich dem Werte Null nähert.

1 aufgestellten Worle vou nt,, «, u. b. i: V '1^1.2^ 1.2.3 +

and dalior

' = '+r+r2+ro+'

.it der bebaaptetc Lrbrsat2 bewiesen ist.

Ich erlaube mir noch die Bemerkung, tiass icb ilie mir von dun Herren Hermes und Sodboff frcnndlichst mitgeteilten Beweise, was Fru eilt barkeil der Methode nnbelanyt, dem moinigeu vorziehe, weil dnrch jene auch der abb roch enden fimvoIlstaTidigeQ) Espoiioutial- n-ihc eine cinobinatorischo Bodentung abgcwounou wird.

Königsberg.

Tb. Sanii

Krttmnmnasrndius der Ellipse.

Da auf nnsern Realgj'mnasien die Differentialrechnung nicht mehr rieben werden soll, und es anderseits doch — sdion mit Rücksicht ( die Astronomie — wünschenswert erscheint, dass niiacre Schüler ■ Bestimmang des Krümmmigsradius in einem gegebenen Pnukt der pSpse kenuen lernen, so habe ich versucht, diese Bestiuimung ohne ! der DifTereutinIrechuung dnrcLzn fuhren und zwei nicht allzn tändlicbe Methoden t'i'fnndeii. Zu der ersten derselben gab mir nnlaasnug die hubscbe Eutwichelung in T. LXX. N. II, dieses

Sind Ä' — 0 und E = Q die Gleichungen des Kreises und > Ellipse, so erhält man bekanntlich die beiden Paare gemcin- ftftlicber Sehneu durch die Bedingung

S-\-kE = p.q (I)

i p und q lineare Ausdrucke aind.

Wenn der Kreis mit der Ellipse drei zusammenfallende Punkte mein haben soll, so wird die eine Sehne zur Tangente in dem ge-

108 MUcelUn.

meinschaftlichsn Punkt «', y\ und die andere Sehne verbindet diesen Punkt mit dem vierten Durchschnittspunkt, daher

p «= a*yy'-|- i'^xx' — a*6*, q = y — y' — n(x — sc').

Sind noch |, 97, q die Mittelpunktscoordinaten und der Radius des Erümmungskreises, so wird (I) zu

[(y - 17)*+ (« — f)« — p«] + A[a V + **a:« - a»i»2]

^ (a^yy'+ h^xx' — a^b^) [j/ — nx — (y' — jjx)]

Hieraus, wenn u eine noch zu bestimmende Constante bezeichnet:

1 4. ;ia« - ua^y'

0 — b^x'-^aYn 1-1- Ai»« — wÄVn

2£ = tt(&2a?'(y'— n«') — a«&»n).

Die zweite Gleichung liefert

b^x'

n

ahf

also den Satz, auf welchen die angefahrte Abhandlung Bezug nimmt; die erste und dritte Gl. liefern dann:

^ ?6i~' ^-^^ ~ä^

darauf erhält man ans den beiden letzten Gleichungen:

i- — -i — , n- ^r— -

Dann ist endlich

ia^y'^ + b^x'^)^

p2 = (,,-y')8 + (S-a:r =

a^""

IL Man verlegt den Anfangspunkt der Coordinaten in den Punkt x\ y' und hat dann die Gleichungen:

Da der Mittelpunkt des Kreises auf der Normalen im Anfangs- punkt liegt und der Kreis durch diesen Punkt geht, so hat man zur Bestimmung von |, 17 die Gleichungen

daraus

Substituirt man diese Werte in die Gleichung dos Kreises, eliini- L y' zniacbon dieser Gleicliung und der der Klliiisc nud substimirt leder den dadurch crhalloneii Ausdruck für y \a die Gleichuug der Uipse, so erhält man nach Division durch z':

mit die Gleichnng znm dritten ma!e durch x ^=0 befriedigt werde,

^*'"{' ± v)'+ *"'^" {' i^)' !^

^r±b*0

0,

woraus man sofort den bekannten Aaadrnck für g erhält nnd zu- glcid) erkünnt, dass das untere Vorzeichen gewählt werden inusa. Prof. Dr. Stammor. DüasDldorf, Anfang Deccmber t883.

Zusatz zora Aufeatze: ,,Inte^ation einiger partieller Differentialglelcbnniren zweiter Ordnnng". •)

Die dort behandelten Gleichungen können noch allgomoiu ^t werden, wie folgt;

he-

t

tiell differeutürt:

1. Die partiolle DiSerontiaiglcicbnng :

^+h

'+f<',y.r)

Br

ÜDe partielle Difforentialglcichung eriter Ordnung fUr r, die integrirt werden kann, sobald o, a^ b, b^ gegeben sind.

•) Archiv T. LXX. SeiU 319,

Cr »r^ €^ c^ er i

,- =- r<«f--— ^ r— ^ = «r-|

c:> er cjp o- Cr ^ '

rr 1 c/ . 1 r/ 1 c/'-fr nr % .

C»p f rx * / Cp / Cr Cx ' cp ' ' ^^

t:\wf partielle Difierenialzleichnog erster OrdniiLg for r. die integrirt werden kaDD. fobald /* gegeben ist

3, Die partielle Differentialgleichong :

M^(aq+Y)f(T,p,r)

wo a eine Constante, Y eine Function Ton y ist, giebt nach x par- tiell differentiirt:

mit « dividirt nnd statt x, ^ die Grössen t, p als neue nnabhängigo Variabein eingeführt:

ap"*''-^'^/- Bx V ap"" V drXdx'^dp'')

Die Integration obiger Differeutialgleicbnngen ist hierdurch aof die Integration gewöhnlicher Differcutialgleicbuugen zuückgcfübrt, — weshalb dieselben ans dem Standpunkte der partiellen Differential- glcichangen als gelöst zu betrachten sind.

Klanscnbnrg (Ungarn) 1883 November.

F. Vdlyi.

Einfocilor Ilem-I

der K^iisluiiz einlas MlU«)puukts piii-itllcler Ki-arte.

Auä zwei glekligoricbtetuii Kräftun ;i, /j, die auf zvfoi fest ver- bniiilcDC Punkte A, II wirke», resnKirt aacb dem GcBctxo des Ifebuls Pinp gldcbgoricliletp Kraft p + Vt wclthe dip Gorade An in oinem I'uDktu /' Dach dem Verhiiltiiiss

Ab:Db = q:p

schnoi<]et. Der PuDbt b ist also nn abhängig von der gemeinsamen Itichtuiig und beisat anf Grund ditsfr Eieonschaft der Miticlpuukt icr parullelfn Krafti' p, 5. Ansp + i; nnd einer gleichgericlitetcn

Buf C wirkenden dritten Kraft r rosullirt ebenso oiiic Kraft p + g + c,

Brelchc diL' Gerade bC in c nach dem Verhültniss

^EUt Der Punkt e ist unabbängig vun der Kiehtung der Kräfte, ^HTch ihn geht stets die RcBultaiite vou p-\-ij und r, folglich aucb ^MB p. q, r; es iiit demnach c in gleichem Sinne der Mittelpunkt von ^B, q, r. Mit diesem System ISsi^t sich eine vierte gleichgerichtete ^praft inssmmßDsi?tzcn , n. s. f. Nach jeder HinzufUgung erhält man ^Bse gleichgerichtete ßesultante aller Kräfte und einen Mittelpunkt. ^Hb hat sich ergeben:

H Aus Jedem System gleicbgeTichtetcn Erafto, die auf beHtimmtc ^^st verbundcDO Puukt« ntrken, resultirt eine glcicbgerichlete Kraft gleich der Summe aller jeuer KräflP, die immer durch deüselbeu Puukt, den Mittelpunkt des Systems, geht, wie sich auch die gemein- same lUcbtuDg ändern möge.

H. Solcher Mittelpunkte kann es nicht mehr als einen geben; denn ^■Ute es znei, und man nühuic die Krlll'te iu einer vud der Verbin- ^npngslioie beider verschiedenen Richtung, so würde die Resnltaute Hb« Systems, sofern sie durch den einen Punkt gienge. nicht durch Hbu andern geben kOnnen; oder mit andern Werten, es wurden zwei Htfftlte, die in verschiedenen geraden Linien wirken, einander gleich- ^Mrkciid sein mtlssen.

r Der vorsteheude Beweis ist mir mündlich mitgeteilt wordeu, mit der Aussage dass er langst bekannt sei, Dennoch acheint er allen oder den metsteu Verfassern von Schulbüchern, in welchen der Satz gelehrt wird, unbekannt gewesen la sein, da von lä solchen Lehr- bAchcru, die ich kenne, einige weit umatäudüchur unzureichende Be- gründungen geben, die übrigen auf jeden Beweis verzichten.

112 Miscellen.

So leicht nun auch der Weg za entdecken ist, auf dem man hier so schnell nnd ohne viele Yoraassetznngen zum Ziele gelangt, so hielt ich es doch nicht für unwert ihn ans Licht zu ziehen, um für die Zukunft zur Beseitigung einer Lücke in den elementaren Lehrbüchern der Physik und Mechanik beizutragen.

Gegenwärtige Mitteilung möge die Stelle eines für gleichen Zweck

unter gleichem Titel geschriebenen früheren Aufsatzes einnehmen,

den ich hiermit zurückziehe.

R. Hoppe.

; Dtbtr tun dir iio^rapiait

VI. üeber ein Curvographon.

Herrn Emillo Plranl.

Man bat in letzter Zeit sich vielfach bemUbt das VerstäDilniBs der höheren Geometrie zu erleichtern dadurch, dasB man die behaii- dtttten Gebilde als Müdello vorfulirtc. Die Hilfsmittel, die dadarch entstanden sind, haben wesentlich den Zweck, Gebilde dreier Dimen- ftioneo, deren Vorgtollnng in der Tat Schwierigkeiten darbietet, wirk- Ueb rauinlicb vorznfubren. Diese ihre Anf^abo erfQllen sie jedoch meist äossorst einseitig. Sie stellen gewöhnlich eine hcslimmto nn- veränderlicbe Form des betreffenden Gebildes dar, und ihre Anschau* lichkeit nird in nicht geringem Grade durch die Gefahr beeinträchtigt, den ßeschaner zo dem Gedanken xa verleiten, dass jene Form die lig mögliche sei, oder ihn wenigstens daran zu gewöhnen mit dem iffendeu Namen immer einen nnverändcrlicheo Begriff zn ver- iJen. Und ea ist dies in der Tat eine Wirkung, die (ast unver- »dlich ist bei jedem, der jenen Gebieten neu ist, also für diejen^cn ftlr welche die Modelle wescntlicb bestimmt sind. Eine oin- "rige Claase von Modellen ist nur bekannt, welche diesen Uebelstand nicht mit sieb führen. Es sind dies die Modelle für abwickelbare Flärheu, die schon seit längerer Zeit in verachiodonen Formen vor- banden sind. Die einen sind in Holz und Seidenfaden, die anderen in Eisen ausgeführt; beide gestatten die Darstellong einer ganzen Schaar von Flächen und zeigen auch einige Uebergaiigsformon. Ein Hauptmerkmal der erzeugten Flächen tragen sie deutlich an sich: die gradon Linien. Aehnücben Reichtum an Formen zeigen die- iemigen Modelle, welche aus den Kreisschnitten zusammengesetzt sind.

I, lUtk, K. Phfi. 1. Bflihe, Teil 1, t

114

Pirant! Utber (fn Cttrvographon.

Docb bei ihnen alten ist noch ein grosser Mangel vorhanden; jedes einzelne Modell vermag nur FltLcheu derselbeD Art darzastcUen, wenn ancb von Terachicdcncn DimenBioncn, und man bedarf daher für jede Art eines besonderen Modells. Abgesehen von der KiDseitigkoit des Systems, welche darin liegt, macht dieser Umstand die Anschaffung Eolcbcr Anschauungsmittel äusserst bostspielig. Sie zeigen jedoch schon einen grossen Fortschritt insofern als sie wenigstens die Starr- heit der früheren Modelle (in Gyps, Holz etc.) aufgegeben haben und dass sie wenigstens cino Eigcnsi^haft (Schoar der Geraden, Krcis- scbnitte) an allen den erzeugten Gebilden zeigen.

Es war nnn mein Bestreben ein System zn finden, welches et gestattete, die Form nnd womöglich die Eigenschaften von möglichst Violen, zunächst ebenen Curvon zn veranschaulichen.

Die ResnltAte sind im Folgenden mitgeteilt; doch möchte ich der specielleu Besprechnng die allgemeinen Vorzüge der Methode

vorausschicken.

Die Modelle, die wohl Corvographen genannt werden können, lassen sich aus einer geringen Anzahl von Elementen zusammen' stellen, und zwar ohne jegliche Muhe. Die Elemente sind Doppel- schienen und einfach gestaltete TerbindungsstOcke ^ erstere entsprechen den graden Linien, letztere den Schnittpunkten derselben, oder festen Punkten auf ihnen.

Die Curvcn werden alle als geometrische Orte construirt, dabrä aber contiuuirlich beschrieben.

Die Curvographeu sind zunächst für Blei oder Kreide eingerichtet, doch lässt sich leicht Tinte oder Farbe statt dessen einführen, in manchen Fällen sogar Ziehfeder.

Jede geometrische aus graden Linien bestehende Figur kann mit ihnen als um feste Punkte beweglich angesehen werden und zor Dar- stellung von Cnrven benutzt werden; es wird sich nur natürlich darom handeln möglichst einfache nnd ergiebige Combinationen zu wählen.

Die Wahl der Doppelschienen, stall des einfachen Prisraonpaares, das ja auch jede andere Bewegung als die gewünschte verliindern würde, ist geschehen, weil dadurch die Mitte zwischen den beiden Schienen die Gerade darstellt, nnd somit die in den Lflufem ange- brachten Stifte sich mit grosser Genauigkeit im Schnittpunkte zweier Geraden befinden.

Was die beschreibbarcn Cnrven selbst anbetrifft, so ist nur für die ElUpse ein Apparat vorhanden, welcher es ermöglicht« mit Boldicr

V'tcb4r ein Curvographon

115

mdnheit EUipBeo aller Dimensionen darznstellen. Es ist. dies der Ellipsen Zirkel, welcher nach den neoeren kinomatischea ßozcich- aangen als oscillirendo Krenzschleifonknrbel b(?ZBichuct werden kann,

AoBserdem bat Peancollier in den Nonvellcs Ännales eine Combination seiner Elemente angegeben, wotcho es gestattet Cissoiden zu beschreiben; doch ist sie wie alle Pean cell ier' sehen Modelle ein Stabwerk, d. h. bestehend ans Stäben von bestimmter, zu berech- nender Länge, welche nur drehbar aber vollkommen nuverschieb- bar mit einander verbunden sind. Dazn kommt, dass die Stäbe in gar keinem directen Zusammenhang mit der beschriebenen Curve stehen i dass daher aus der Construction nicht die geringste ErläDte- nrng der Curve gezogen werden kaun.

Eben in den betonten Punkten scheinen mir Vorzüge der nenen MetLode zu liegen: dasa erstenB eine beschränkte Anzahl von Ele- menten, etwa 6 Schienenpaare und die dazu nOtigcn Verbindangs- stOcke, zur Zusammenstellung aller Modelle, nnd znr Beschreibung »ller der vielen Cnrven genügen; zweitens dass die Construction die

Kitehnngsart und die Eigenschafton der Cnrven erläutert. So zeigt: X Fig. 1. Leitlinie und erzeugenden Strahlenbüschel dnroh die -„„. Sei

^^ Am

U. Fig. 2. Leitkreis nnd Strahlenbüschel.

ma. Fig. 3. zeigt den Zusammenhang der oscillatoriachen Be- mit der Rotationsbewegung.

Ulb. Fig. 4. eignet sich ebenso wie l. und IL um den Begriff Cnrvcnschaarcn und Parallel cnrven zn erklltren, man braucht anr mehrere Stifttrliger auf einmal anzubringen.

Auch der Begriff einer UmbOllDngscnrvc lässt sicli daran erklären.

IV. Fig. 5. zeigt Directrii, Durchmesser und Tangente; dazn t&eit sich leicht der Radinsvector, obgleich zur Construction Uber- flUuig, anbringen und dadurch zeigen, dass die Tangoute den Wiukel mischen Durchmesser nnd Radinsvector halbirt; auch die Begriffe von Snbtangonte nnd leicht anch von Snbnormale lassen sich erklären

Va. Fig. 6. l&sst den Begriff einer Fnsspnnkfcun'e verdeutlichen 1 an der Cissoide selbst wie an der grossen Anzahl anderer ^ 1 Cnrven, die sich bescbreiben lassen.

I

I

^^H verbn ^H fach

VIII. Fig. 10. giebt Pine Cnrve Iten Grades mit WeDdppnakt«!! ond einer Spitze.

Vn. Fig. 9. die Lcmniskato ddiI FasspDDktcurven der Hyperbeln. Ebenso die der Ellipse.

VI. Fig. a die Hyperbel als geometrischen Ort Es zeigt tri« die Tauf^Dte den Winkel zirischeu beiden BrennstrahleD halbirt

IX. Fig. 11. Corden verschiedener Grade (ausgehend von einer' 3len Grades) mit Wendepunkten nnd Asymptoten.

Tb. Fig. 7. Ciasoide und verwandte Curveu nach anderer Coa- Btmction.

AoBser diesen zahlreichen Beispielen von fast allen bei Cnrveo vorkommenden SingalaritäteD bieten vor allen Dingen die Ourro- graphen ein dentlicbes Bild von dem Einflüsse der Parameter auf die Form der Curven nnd von dem Zuaammenbaog derselben nach Familien,

Ausser den beschriebenen Cnrven lassen sieb dnrcb oft dnßidien Zusammenatellnngcn Cnrvon meist transcendenter Natur erzengen, dls jedoch nnr dnrch sehr complicirte Formeln wiederzugeben sind.

Gebt man endlich zum Gebiete der synthetischen Geometrie Uber^ so lassen sich darans sehr \1e1e SlLt;!e, nie der Desargues'scbe, dia. allgomeiuc Constniction der Kegelschnitte aus projecti vi sehen Strablen- bUschcln etc. durch wirklich bewegliche Figuren verdeutlichen.

leb mochte noch bemerken, dass die beschränkte Anzahl der zalässigen Abbildungen mir die genauere Bescbreibnug der Constnifr- tionseinzelnheitcn sowie die Verdeutlichung der erzeugten Curven unmöglich gemacht haben.

I. Couchoide.

Erzeug nn gaarl : Wird ein Büschel von Geraden B von einer Go- raden G dnrchschuitteu und trägt man auf jeder Geraden to vom Schnittpunkt mit G ans eine gleiche Strecke e nach beides Seiten ab, so gehören die gewonnenen Punkte einer Concboide an.

Zusammenstellung (siehe Fig. 1): Die Gorade G wird durch einen Doppelstab 6. 6 dargestellt, derselbe besteht ans zwei dSnnen mög- lichst nobiegsamcn StahlBtäbeii (am geeignetsten dazu habe ich so- genannten Bohrstahl gefunden), dio dnrch zv^ei Messing-Quen tacke verbunden sind. Letztere sind, wie aus der Fignr ersicbilicb, zwei- fach dnrcbbobrt, um die St&bchen darcbzulassen, an denen aie durch

Pitaai: f«b>r «i'a Anagraphan.

kleine Set(«iiEcbranbeii befestigt iind. Unten tragen gic nocb einen Dom, vtnnittclst dessen sie an der Untfiriage fuBtgeheftet werden bfinnen. (QnerstUck mit Dorn (a)).

Der Büschel wird durch einen Doppelstab 1. 2. 3. 4 dargestellt. Derselbe ist dnrch einen mit seitlicher Hohirlnne versehenen Dorn iFortn il) gezwungen stets durch den Pnakt 1 zu geben. In 3 ist oin QneritUck befestigt, welches statt des Dornes wie 5 ond 6 einen Schraabenkopf nnterbalb trägt (Form h), welcher ihn zwingt auf b. 6 lu bleiben. In der constanten Entfernung c sind 2 und 4 befestigt, «elcbe in der Mitte Bleisliftein lagen nach Art der Crayons d'artistea tngen. (Stifttrager Form e). Von ihnen wird die Cmro beacbrieben.

Verschiedene Formen: Je nach der Länge der Strecke c, and je nach der Lage des Bltscbelcentrums 1 ergeben sich vermittelst dieser Zusammenstellung sehr verschiedenartige Cnrven.

let die Entfernung b des Busch clccntrnms von der Geraden G grosser als e, so sind der innere Bowobl wie der äussere Zweig aemlich flach.

Je mehr sieb e der Länge b näbert, desto entscbiedener wird die Spitze des inn«r«n Zweiges, desto gewölbter der äussere.

Wird e grösser wie fi, so bildet der innere Zweig eiao Schleife.

Wird £ sehr klein, so wird die Schleife immer grösser und zwar goifllbt an der von G allgewendeten Seite, flach au der zngewende- l«n, — ebenso wächst die Wölbung des ansseren Zweiges.

Bis Bcfaliesslich, wenn & — 0, d. b. wenn das Centmm auf O !i(gt, innerer and äusserer Zweig in einen Kreis übergehen. Q der Tat bat die Concboido die Gleicbang

b und e die angeführten Bedentnngen haben. Wird b i^hr klein, jrird die Formel

*V = »'(f* — if*)

** + !/*= <^' 1 Kreis.

I Wird e sehr gross, also - sehr klein, so wfthlo i

und - als

e)"ß)'-('H(^)

IV -('+») (1-1')

also wiederam i

Firanii VAer e.

1 Kreis mit sehr grossem Radius « n. Kardioidb

ErzcagODgsart : Wird die Leitgerade der Coachoide durch ciaen Kreis, der dnrch das Bosch elceatrom gebt, ersetzt, und wählt e ^ 2r, so erhält man die Kardioide.

ZasammcD stell DU g (Fig. 2) : Der Bflachel wird wieder dnrdi einen Doppelstab 4. 5. 1. 3 dargestellt DieseQ zwingt wieder ein Dom 5 (Form il) stets durch den einen festen Paukt zu gehe». Wiedemm sind 3 nnd 4 Stiftträger (Form e). Statt aber durch die Leitgorade geleitet za werden wird ona das feste Siücli mit Schraubenkopf (Form 6) dnrch einen beliebig zu stellenden Radias 6 (Fori zwangen eine Kreisbahn zn beschreiben. Dabei mass 1. 5 =■ 1. 2 sein, d. h. 5 und 2 auf demselben Kreis liegen.

Verschiedene Formen : Ist wieder c die Strecke 2. 3 resp, ■0 entsteht fUr c => 2r bekanntlich eine Epicfkloide.

FQt e>-2r wird die Spitze flacher, nod flacher, nnd die(}arTö nähert sich einem Kreise am das ßuscbelcentram.

Wird e <; 2r, Bo geht die Spitze in eine Schleife innerhalb des Leitkroises über, nnd zwar wächst diese, während der anssenliegende Teil sich dem Kreise nähert, bis für sehr kleines c beide Zweige in den Leitkreis übergehen.

In der Tat ist die Gleichung der Kardioide

p = c + 2rC0SO

Also für e =^ 2r die eigentliche Kardioide: D — 2r(l + coso) eine Curve mit der Schleife nnd zwar fUr sehr kleines

e '^ 2i-co9n

Variablen

Für (r<

; der Kreis

. h. der Leitkreis.

Für c > r die verflachte Curve und zwar je grösser e, d. h. je Jeiner -, desto mehr sich dem Kreise om das Büscbeicentram

Pirani: Vther em Curtograpkon. Hf)

m. Ellipse.

I. Erzengnngsart (Fig. 3): Eine Gerade dreht sich um eineu ihrer Punkt«. Durch einen bestimmten Pankt derselben geht stete ciuo VßTticale, darch einen anderen eine Horizontale. Der Schnittpoukt Bscr beiden beacbreibt eine Ellipse.

Zusammen Stellung: Die sich drohende Gorado wird am besten rch einen flachen Holzstreifea dargestellt. Derselbe trägt durch berstacke mit Dom (Form a) die Doppelstabe 2, 5.

Von denselben wird einer horizontal, einer vertical geführt durch Parallelogramme 44"5"2" nnd 44'5'2'. Der Stifttrügur gleitet besten auf dem horizontalen nnd wird geführt durch den verti- alen Doppcl Stab.

n. Erzeugungsart (Fig. 4): Eine Strecke a bewegt sieb mit ihren Endpunkten auf den Coordinatenaxen, jeder Punkt der Strecke be- t eine Ellipse.

Znsanimenstellong : Die Coordinatenasen sind festgeheftete Dop-

Die Strecke a wird durch zwei festgeschraubte QuorstUcke

\ auf einem Doppelstabe abgegrenzt. Dieselben haben Schrauben-

Ipfe (Form 6), welche nur ein Gleiten längs der Coordinaton ge-

bitten. Der beschreibende Punkt ist durch einen Stiftträger 2,

welcher durch Seitenschrauben festgehalten wird, dargestellt.

Verschiedene Formen: Ist b die Strecke auf a vom boschrei- mdan Punkte bis zur }' Aie, so ist die Gleichung der beschricbe- I Ellipsen

,,i + ,^ -,«— i

Fillt der Punkt ausserhalb ' I die Gleichung

t + r. '

über die Y Axe hinaus.

Die Punkte der Strecke a geben Ellipsen, die vom mittleren E'all

&=,^, welcher einen Kreis darstellt, sich nach der X As.e resp.

y Aie hin immer mehr verflachen bis zu einer Strecke 2a in den- selben. Diese alle werden von der Cnrre

nmhUtlL

Die Punkte auf der Vorlängeruüg der Strecke a geben Schaaren

docB fachrt» wied« di» bödn Sbvckn a« nrf X

is dea Falle, Stm der

nektvtsUigen Dreiedi tter ■ ib Hjpoteiae

CoordinsIesu&Bgspuikt gduoda nuiiilo

IT. P»r»beL (Tig. 5.)

Bn pBnkl i' bewegt lick m, dm MiM Eat- fafUBg vom Brennimalil und von der Leitlinie ttets gjeidi iM. Um

din za «rrricbeo wird am den Brennpankt eiae Gende gedr«liC; da wo sie die' Leitgerade trifft, wird ein Lot auf letztere enichtet, da zweites Lot wird in der jedesmaligen Uitte der Strecke iwiscbea Breanpankt and Leitlinie crricfatet. Der Dnrcbsdimtt beider Lote giebt Punkte der Parabel.

Zosammenstfllang: Ein Doppelstab 1. 2. 3 dreht rieb am daa DonutOck I (Form a). Die beiden Verticsleo sind die Leitlinie und di* Scheiteltangente.

In 2 nnd 3 befinden sich doppelte Qaerstflcke (Form /), die kaa twei QnerBtQcken (Form b) bestehen, welche aenkrecht aof einander dnrch eine Schraube befestigt sind, welche anten einen Scbraabenkopf (wie Form b), oben oino Hntter besitzt

Das eine bei 3 tr&gt 3. 4 fest, w&brend es sich anf der Leitlinie bewegen kann. Das zweite bei 2 trflgt 2. 4 fest ond gleitet auf

Ertteres wird dnrch 1. 2. 3 geleitet, letzteres durch die Scbeitel- tADiente.

In 4 befindet steh der Stiftträger, welcher auf dem Durchmesser 3. 4 gleitet und durch die Tangente 2. 4 geleitet wird.

VerachicdcDc Formen: Nimmt man die Scheit et langonte nicht in der halben Eutfennog zwischen Brennpankt nnd Directrix, so geben sich Corren von der Form

worin p die Dntrcmiing Brennpunkt bis Scheitel ist, q die Entfernung Scheitel bis Dircctrii.

/».Von.-.- a,Ur ,i^ Cur«,.g>-aphon. 121

V. CiesoidB. (Fig. 6.)

I. ErzcDgDnpart ; Die Ciseoido ist bekanntlich die FasspQQkt- carre der Parabel, wenn maa deti Schcitelpniikt zum Pol nimmt.

Nna vitLre es aber zu umstdndlich und coinplicirt, zugleich Pa- rabel, Ihre Tangenten und die Fusspuukto zu conslruiren. Man kommt leichter znm Ziel, neiiD man bedenkt, dass wenn der Brenn- pnokt Pol ist, die FnaspunktcurTe durch die Seh eitel tan goute dar- gestellt wird. Diese Eigenschaft gestattet uilmlich die Tangenten einer Parabel zu zeichnen ohne die Parabel selbst za haben, und aaa braucht man nur noch vom Scheitel ans Lote auf jene Tangen- t«D zn Allen.

Zusammenstellung : Die Verticale ist die Scheiteltangente. 1 der Scheitel, 1' der Brennpunkt der Parabel. 1. 4 und l'. 3 werden dorch die Stocke l" nnd 2 parallel geführt. 1'. 3 trftgt in 3 die Tangente durch das Doppelsttlck 3 (Form/), welches auf l'. 3 ver- schiebbar ist und dnrch die Scheiteltangeote geleitet wird. 1. 4 ist also Lot vom Scheitel auf die Tangente, so dasg 4 (Stiftträger Form o) die Ciseoide beschreibt.

VerBchiedene Formen: Die Gleichung der eigen llichea Cisaoido ist, wenn p die Brennseite der Parabel;

^'+ä'*(p + ^) = 0

Die Corve besitzt im Scheitel eine Spitze. Wählt man einen anderen Punkt der Abscisscnaxe als Pol, so wird die Corve noBcnt- lich audors.

Sei p die Brennweite-, m die Polwcile von der Scheiteltangente iy Axe) aus.

FOt grosses posilivea in liegt die Curve ganz auf der Seite des Brenopunktes (positive) nnd zeigt keino Singularitäten.

Bei m =: p gebt sie In die ¥ Axe über.

Wird m<CPt 80 bildet die Curve eine Spitze im Scheitel nnd Q&hert sich der Cissoide.

Für n» — 0 erreicht sie diese.

Unmittelbar danach bildet sie eine Schleife, die mit zunehmenden negativen m wachst.

Wählt man einen Punkt der 7 Aie y = n als Pol, so hat die Cmre ausser fär n = 0 eine Schleife, die vom übrigen Teil durch die F Axe getrennt wird.

I

I

Liegt der Pol beliebig, bo hat die CttTre. wonn jener negstivi AbscisBc bat. eine Schleife, soost eineo Umkebrpnokt.

II. ErzPDgDDgaart (Fig. 7): Bewegt sieb der Endpankt des glelcb e {(iRiaehten Schenkels eines rechten Winkels aof einer Geraden <7, wibreod der zweite Schenkel durch einen festen Pnnkt gebt, welcber von G am c entfernt ist, so bescbrcibt der Halbinmgspnnkt ersten Schenkels eine Ciesoide

Znaammcn^lellnng: Die AnsfiUiniDg ist sehr einfach. Die Hori- zonlslo ist die Leitlinie. 1. *2. 4 ist der rechte Winkel, gebildet Kwei Doppelstaben und einem Doppel iioerstOck (Form /) In 4 bd- tindet sieh ein festes Qncrstflck (Form b). üas dnrch die Leitlinie gfffllhtl ffird. Eiu Dorn 1 zwingt den uweiten Schenkel stets durch denselben Pnnkt zu gehen. Ein Stiftträger 3 beschreibt die Cissoide.

Verschiedene Formen : Auch hier lassen sieh durch andere Wahl der Lage von 3, durch ändert Stellung von 1 oder gar darcb Wahl eines anderen als eines rechten Winkels (was ja das Doppelstttck gestattet) diß verschiedensten Formen erhalten.

VI. Hyperbel. (Fig. 8.)

Erzengnngsart : Die Ilyperbet ist bekanntlich der Ort der dio Pnokto P, fUr welche die Differenz der Entfernnng von zwei festen Funkten (F, F, Brennpunkte) s'cts constant (2a reelle Äse) ist.

Bcsi^hreibt man also nni einen Brennpunkt F^ einen Ereis mit Radios 2a und zieht PF,, PF^, so mnss, wenn B der Schnittpunkt »on PFt mit dem Kreis ist, PB = PF^ sein, d. h, BPF ein gleich-

achenkii^'DB Dreieck.

Um dies hervorzubringen benutzt man dio Eigenschaft der Tan« Eonte den Winkel zu balbircn, den beide Radienvectoren einBcbliesson, Mau erhalt ja alle Tangenten an einer Hyperbel, wenn man e rechten Winkel zwingt mit dem Scheitel den Kreis mit Radius < den Mittelpunkt der Hyperbel zu beschreiben, wührend ein Schenkel' stets durch F geht, der zweite Schenkel giebt dann die Tangenten.

Der Pnnkt, wo sieb die Tangente nnd der entsprechende Radina- vector schneiden, ist Punkt der Hyperbel.

Znsammenstellung: Der Mittelpunkt der Hyperbel ist 3'. Der Leitkreia wird durch den Hoizatreifen 1 boachrieben, der den Scheitel des rechten Winkels 3. 6. 7 trägt. Ein Schenkel dieses letzteren gebt stets durch den Brennpunkt 3, der andere stellt die Tangenten

^^ral

lenkt den Stiftlräger 7, der die Hyperbel beBchreibt. Der Träger gleitet anf dem Radiasvector 4. 5. 7, welcher durch die .llelfttiining 5. 4. 3, 3' Stets zu 1 parallel gcbalton wird.

Tn. LemniBkate.

ErzcngnngBart : Die Lemniskata kann ala Fnsspunktcni-ve der gleichseitigen Hyperbel angesehen werden, wenn der Mittelpunkt als Pol genommen wird.

Wie bei der Cissoide, ao branuht man aocb hier nnr die Tan- genten der Hyperbel zu haben. Man erhjLlt dieselben, wenn der Scheitel eines rechten Winkels sich anf dem Leitkreis bewegt, wah- rend ein Schenkel durch den Brennpunkt F geht; der zweite Schenkel stellt dann die jedesmalige Tangente dar.

Fällt man nan darauf vom Mittelpunkt Af des Leitkreises Lote, ^hOren die Fusaponkte der Lemniskate an.

ZuGammenstellung : Der RadiuB 4 beschreibt den Leitkreis und führt das Doppelqnerstück 3 (Form /), weiches Scheitel dos rechten Winkels ist. Von letzterem geht ciu Schenkel stets durch den Brcnn- pnnkt 5, der andere Schenkel trägt gleitend den Stifttrttger 6, welcher durch das Lot 1. 2 geleitet wird. Das Lot 1. 2 wird darcb die, parallele Fahrung 1. 3. 2'. 2 stets 3. 5 parallel gehalten.

Verschiedene Formen : Die Lemniskate erhält man t'Ur MF^ a-^ 2 a der ßadins des Leitkreises ist. Ihre Gleichung ist

I atei

II P"

Wird MF kleiner, so nähern sich die Wendetangonten der Y Äxo. Die Cnrre ist dann Fnaspunktcurro einer beliebigen Hyperbel und t die allgemeinere Gleichung

{** + !'*)' = ax* — hy*

a nnd b die Aien der Hyperbel sind.

Wird MF = ndetangenten

d. b. liegt F anf dem Leitkreis, dann fallen die und die Curve geht iu zwei Kreise Ober

Wird endlich MF<la, so ist die Gurre Fnaspunktcurvo einer ^ee mit den Axen a und b nnd hat die Gleichnng

Sie hat keiuen Doppclpunkt roebr, soudern ilie Form ( dur kloineii Aie oingedrücktc-D Ellipee.

Fur a = h gebt sie in den Kreis über.

Fasspunktcurvcn der Hyperbel im AllgeinciucD. Mau erhoJt «e, woim maa statt des Mittelpuuktea bc^liebigu Punkte als Pole wOtilt.

Ihre allgemeine Gleichung ist:

[:r(flr-m)+sCy-'')]' = a\x-nk) -b\T-n)

Man kann den Pol auf der X Axc, anf der Y Axe, anf dem I.dtkreise (m'-f-n* «^ a*) aud endlich ganz beliebig wUhlen.

In allen diesen Falten bat diu enUlehendo Cnrve Schleifenform Bolango die Absdsse des Pols kleiner als a. Und zwar liegt der. Doppelpunkt im Pol.

Liegt die Abscisse des Pols zwischen a und der Brennweita, u hat die Corvo eine Spitze.

Liegt P auf der Abscissenaxe und ist die Polweite gleich der Brennweite, so onteteht der Kreis.

Ist die AbsciSBo grösser als die Brennweite, so entsteht eine Cnrve von KardioidiBcher Gestalt ebne Doppelpunkte nnd mit zwei Wendepunkten.

Vin. Die Curve «V = (a+«)'(a-«). (Fig. 10.)

Erzeugungsart: Ein rechter Winkel bewegt sieb mit dem Scheitel auf einem Kreise, wahrend seine Scbenkel den Coordinatenaxeo parallel bleiben. Die Schnittpunkte des horizonlaleu Schenkels mit der 7 Axe werden mit einem Endpunkt des horizontalen Darch- messers dos Kreises yerbanden. Diese Verbind nngsgerade trifft Aea verticalen Schenkel des rechten Winkels im Punkte der Cnrve.

ZnaammouBtellung ; Der Scheitel des rechtou Winkels ist 5,

Der verticale Schenkel 7. 5 wird durch die Parallel filhmng 3, 5. 1'. 1 der Leitgerade 6. 3 parallel gehalten.

Der horizontale 5. 6 hobt das Stflck 6, welches mit zwei Scbraa- benkOpfen versehen ist und auf der Leitlinie gleitet Dieses wie- derum hebt die 2. 6, welche den Stiftträger 7 leitet, welcher auf b. 7 gleitet.

' Ueher ein Curvographon, '

TencMedeae Formen; Die Cnrve hat eine Blatlform mit einer Spitze im Pol.

Wälilt man irgend einen auderon Paukt als den Durcbsühaitt der X Äze mit dem Leitkreiao zum Pol, so bildet die Curvc eine Sctileire.

IX. Die Cnrve aj*

. W(2a-

^)- (Fig. 11.)

Erzengungsart: Zieht man im Endpunkt eines borizontalen Durch- i eines Kreises die Taiigcute und durch den gegen flberliegen- den Sehnen; fttlit auf den Scbuittpankten der Sehnen mit dem Kreise Senkrechte, and legt durch die S^^hnittpnuktG der Sehnen mit der fegten Tangente Horizontale, so schneiden die letztgenanutcn jene Senkrechten in Punkten der Cnrve.

Zusammeustcllutig: Die Sehnen werden dnrch 4. 6. 6 dargestellt. Das Doppelstück G gleitet auf der Tangente gelenkt von der Sehno und trfigt die horizontale 6. 7. Letztore lenkt den Stifttrager 7, welcher auf 7. ö gleitet. Der Radius 2 fahrt 5. Die PÄrallelführung 3. 3'. 4'. 5 hält 5. 7 vertical. Die Cnn'e wird von 7 beschrichen.

Verschiedene Formen: Die Cnrve hat zwei Zweige, welche von der Tangente im Pol asymptotisch herUhrt werden. Beide babeu fOr e <- |n (a Badius des Leilkreises) einen Wendepunkt.

Auch hier kann durch andere Wahl des Poles eine grosso Man- oig&ltigkeit von Curveu erhalten werden.

Liegt zunächst der Pol ausserhalb des Kreises und zwar reit einer Äbsciase ]> a, so ist die Curve symmetrisch und geschlossen Qod zwar blattartig.

Ist die Abacisse < a , so berührt die Carvc stets zweimal ftsymptoliscb die Verticale durch den Pol.

Und zwar hat, wenn der Pol auf dem Kreise liegt, die Cnrve nur einen Zweig; wenn er innerhalb des Kreises liegt, zwei Zweige, die den Pol umfassen; wenn er ausserhalb des Kreises liegt (aber mit AbscisBC <^ «), zwei getrennte Zweige, einen oberhalb, einen unterhalb des Pols.

Eigenschaften der Punkte mit reciproken Dreieckaeoordinaten und deren Anwendung i das Dreieck.

Von

Max Grelner.

VeraciiaSt man sich zu eiuem durch die DreieckBcoordinateD ß, y bestimmten Punkte p denjenigen Pankt ;>', der die reciproken

Coordioaten -■ ö' - besitzt, so entspricht darcb diese Anordnnnit

jedem Punkte p der Ebene des Dreiecke, der nicht auf einer Seita doBselbcn liegt, ein und nur ein Puukt p'.

Sind nim die Seiten des FundamenUtldreiecks durch die Glei- chnngcn:

A ^«coBti+yBine, — J, — 0 ß ^ a; coa t, -)- y Bin (, — J, = 0 C = icOB*j-}-s6int3 — a, = 0

gegeben, so haben die Verbindangslinien der Punkte p und p' mit der Ecke a des Dreiecks, worin die Seiten B nnd C stOBBes, die Gleichungen:

ap = BY — Cß''0 ap'^ Bß—Cy =0

welche dadurch auf die Normalform gebracht werden, dass t mit den AuadrUcken:

^co8 «))*+(}• sin*,

Vlß COB t,~y C0B(3)*+ (ßsin f, — j'ain f,)*

diWdirt; da aber beide Ausdrücke einander gleich sind, bo hat man für die Geraden, welche die Winliel der beiden Verbindungslinien ap und ap' halbiren, die Gleichungen:

oder; Dnd

(BY-Cß)-i-{Bß-Cy)=0 ißY-Cß)-(Bß-Cy)=0

ß+C^

worana sich ergibt, dass die Ecktranaveraalen ap UDd ap' mit den Seiten B und C gleiche Winkel ei tisch Hessen. Da aber jedem Paukte p nor ein Pnnkt p' entspricht, ao folgt:

„Werden von den Ecken eint'a Dreiecks ans Transversalen dnrch „einen beliebigen Punkt p ^ «, j3, y gezogen, so schneiden sieb auch „diejenigen Transveraaien , welche von denselben Ecken und onter „derselben Neigung gegen die entsprechenden Win kclhalbi read cn des

„Dreiecks gezogen werden, in einem und demselben Punkte p'^ - .

•'?■?■

dessen Coordinaten reciprok sind zu dunjeiiigeu des gegebenen

„Punktes p." (1)

Sind Pf nnd p^, pj uad p,' die Fusspunkto'der von den Punkten p und p' anf die Seiten B und C gefällten Lote, so ist im Krcis- viereck pp^ap^ der Winkel pap^ •= ppjPj; da aber nach (1) Wkl. papi " p'apf' und pp, Benkreclit auf ap^ steht, so ist auch p,pj senkrecht anf ap'-, weshalb folgt:

„Fällt man von einem Punkte p Lote anf die Seiten eines Drei- „ecks und verbindet die Fusspunktu derselben, so schneiden sich die „von deu Eokeu diis Dreiecks auf die enlsprecbenden Seiten des „FnsBponktdroiecks geßUten Senkrechten in einem und demselben „Paukte p', dessen Coordinaten reciprok aiud zu denjcnigeu des „Punktes p." (2)

Denkt man sich durch die Fusspunkte p,, pi, p^ der vom Punkte p anf die Dreiecksaciten gefällten Lote einen Kreis gelegt, welcher die Seiten noch in den Punkten p,', p,', pj' trifft, nud errichtet in pt' and py Lote auf den Seiten B nnd C, die sich iu p' schneiden, so folgt aus dem Kreisviorcckpjpj'pjpa', dass Wkl. pj'p,pj-'P3'p»'l'i

er: Elgeiiiehaflta dtr Punktt m'l rKl'praktn Dr^irdltoorJiitalta.

und daher auch Wk!.;)pjpj^p'p,'pj'; in dem Kreisviereck p'p,'

ist aber Wkl, p'pi'pt' '= p'°Pa'' "nd *'0'' femor pp^ senkrecht agf apj Steht, SO sind auch ap' und p,pj zu einander senkrecht gleicher Weise ergibt sich, dass die iu p,' und p,' auf den Seiten Ä nnd B erriuhteten Lote sich in einem Punktes schneiden, welcher der Senkrechten angehört, die von c auf p,'p,' gefällt werden kann; so- mit folt't nach (2);

„Fililt man von einem beliebigen Punkte p Lote auf die Seitea „des Dreiecks nud legt durch die so crbaitencn Fnaspunkte einoD „Kreis, so trifft derselbe die Dreieckssciten in noch drei Punkten,' „welche die Fussponkte der Seitennormalcn desjenigen Punktes p' sind, „dessen Coordiuatcn reciprok sind zn denjenigou des Punktes p" (3)

Die Ualbiruugsperpendikel der Strecken p,;i,', pjPi, PiPs ent- halten die Mitte der Verbindungslinie von p uud p' und treffen überdies im Mittelpunkte des genannten Kreises ; weshalb sieb ergibt:

„Die Fnsspnnkte der Seitennormalen zweier Punkte mit re<ä- „proken Coordinaten liegen stets auf einem Krcisi; , dessen Ccutrum „in der Mitte der Verbindungsstrecke der beiden Pnakte liegt." (4)

Da in den folgenden Unt^rsnchnngen die Kenntnis der Coordi- naten eiüiger Symmetrieponkte des Dreiecks erferdeHich ist, so scheint os zweckmässig zunächst hieven ErwUhnnng zu tuu.

Sind «1, «j, »3 die Langen der Seiten A, B, C des Fundemental^ dreiecks, so ergeben sich für den Schwerpunkt S dieses DreU ecks, dessen Abstände von den Dreiecksseiten sieb wie die H&bM oder wie die reciproken Werte der Seiten des Droiecks verha die Coordinaten:

1 1 1

Die dem Schwerpunkte iS entsprechende Earmonikale oder Drei- eckspolare bezüglich ABC ist die unendlich ferne Gerade, deren Gleichung somit ist:

^i + iJ*,+C#j — 0 (6)

Errichtet man über den Seiten des Dreiecks Quadrate nnd ver- längert die den Brciecksseiteu parallelen Quadratsciten bis sie siob durchschneiden, so entsteht ein Dreieck, das ähnlich nnd ähnlich- liegend mit dem gegebenen Dreieck ist. Der Aebülikhkeitspnnkt beider Dreiecke wird der Grebe'sche Punkt G frenannt. Sind nun äj, d-t, ilg die Abstände desselben von den Dreiecksaciten A, B, C, so sind seine Abstände von den Seiten des mit ABC ähnlichegl' Dreiecks beziehungsweise d^-^sj, <^H~*» '^~H's <">*' ^^ verbftlt Bich:

r«»rr Eiywtthaßat det Punkte mit Ttfiprahtn DrtiidLieeotdhun ■md d&her anch:

»,:«,:*„

.(7)

Dia dem Punkte G entsprechende konische Polaro des Dreiecks r die Gloichong:

BCm^-\- ÄC»i + ABti '

.(8)

i

^^Wwaurch, wie leicht zn erkennen ist, der dem Dreieck tunschriobene Kreis dargestellt wird. Die den Pnnktea des Umkreiaes entsproclion- den Harmonikalen gehen daher durch den Grebe'schen Pankt.

Der Mittelpunkt M des Umkreises hat von den Seiten des Drei- ecks die Abstände Äcosu-,, Äcosicj, Äcosif-j, wenn mit R der Ha- dioa defl Umkreises und mit u*,, 'p,, ic^ die Winkel des Fandamental- drctecks bezeichnet werden; drückt man die CesinuB dieser Winkel darch die Seiten des Fundainentaidreiocks aas, so findet man für d*s UmkreisceDtrom J/ die Coordinaten:

Aus den Gleichungen der Höhen des Dreiecks: ßCOStrj — CcOSiTi-'O CCOSU-J — jIcOBu', -»0 j4 COS tc, — iJcos erbfllt man für den HCbenBchuittpnnkt ^ die Coordinaten:

■) ■ (9)

•il-

* + ''i'+'s*)' 'iCii'-

Der Mittelpunkt J des dem Dreieck einbeschriebeneu Kreises und die Mittelpunkte J, , J^, J^ der anbescb riebe neu Kreise haben lon den Dreiecksseiten je drei gleiche Abstände, weshalb man hat :

Jsi. I, 1 ^,= — 1,1,1 J, = l, — 1, 1 J-j = 1, i, — 1 . 11)

Die dem Inkreiscentmm J entsprechende konische Polare des B hat die Gleichung:

BC-{-AC-\-AB = 0

Betrachtet man nun den Mittelpunkt cj dieses Kegelschnitts als den Po! der nuendlich fernen Geraden {Ax^-^ U»i-\-C>f = 0) bezUg- M dieses Kegelschnittes, so ergeben sich für jenen Tunkt (i die ^ Coordinaten :

= — »,-1-11,+«,, *,— «,+«3i "1+"! — "a ■ (12)

134 Gr.

■r: Eigtmchaftiii dtr Pwiktr mil •

proten UrtitckicoardmaU».

Dieser Psnkt Q lUsst sich aach aof folgende Weise conatrnirea:

Man verbindet die Mitten der Dreiecksseiten mit den Mittel- punkten J, , ■/, , J^ der ontflprcchendun Ankreise des Dreiecks , » treffen sich diese VerbinUnugslinicn im Pnnktc Q; denn die Mittea

m,, m,, ntg der Drcicckasciten haben die Coordinaten :

mj ^ 0, »3, *,; my = «j, 0, ij ; f?ii = »», »i, 0

nnd die Yerbindungslinien mj^,, mt-Zi, (n,J, besitzen daher die Gld- cbungon:

m,y, = .!(»»— »g)+B., — C«i — 0;

m,J3 = ^», — fi»s + C {»,—#,) =0 durch deren Auflösung sich ebenfalls die Coordinatcn von Q ergeben. Setzt mau der EUize halber:

— »i+'i+'s ""i; «1 —'»+•» = "»; «1+*»— 'a = "B

so bat der BerUhningspankt des Inkreises mit der Droieckaseite A vou den Endpunkten dieser Seite di(> Entfernnngcn ju, nnd )«^ während derselbe von den Dreieckssciten A, B, C bcziebongBweisa die Abstände:

0. }ujSinu-3, ^UfSinH',

besitzt-, es sind daher die Coordinatco dieses Bcrührnngsponktes :

Ü, tl^Ig, Ujfj

nnd in gleicher Weise findet man für die Berti hrangspnnkte des In- kroiflca mit den Seiten S nnd C die Coordinaten:

Die VerbindnngsUnien dieser Pnokte mit den eutsprechenden Mittelpunkten y„ J^, J^ der Ankreise haben aber die Gleichungen:

yl(«jtij — B3U3) -f- i^'s^s ^ ^'a*» "" 0

Das Verschwinden der ans den Coefficienten von A, B und C dieser drei Gtoichnngen gebildeten Determinante beweist, dass dl« drei Verbindungslinien sich in einem nnd demselben Punkte D schneiden, dessen Coordinaten sind:

1

1

r

■: Eigentthajtm dir Punkte i

iciprektn Drtitekicoordiiia

135

^

Es folgt daher:

„Yerbiudet man die BerilbmQgspnokte des iDkreisGs niid der ,.Dreicckaseiten mit den entsprechenden Mittel pankten der Ankreise,

„so schneiden sich diese VerbinduiigElinicii in einem und demselbpii „Punkte D, dessen Seiten abstände eich nio die Radien der outspre- „chenden Ankreise, verbalten-" (14)

Die ans den Coordinaten der Punkte D, Q und S gebildete Determinante wird aber, wie leicht zu zeigen ist, identisch gleich Null, wcabalb folgt:

,Die Punkte D und Q liegen mit dem Schwerpunkte S auf einer „Qnd derselben Goraden." (15)

Da aber auch die Determinante:

I 1. 1, 1 '

ist, Bo ergibt sich:

»»> »i I

„Das Inkreiscentram J nnd der Grebe'sche Funkt O liegen mit Punkte Q auf einer und derselben Geraden." {16j

„Panktepaare mit rectprokeu Coordinaten sind nach obigen:

L ist, Bl

^^^ „Der Schwerpunkt nud der Qrehe'sehe Punkt) das Umkrcia- ^K^fX^ntrum und der Höhenscbnittpnnkt und das Pnnklcpaar D und Q; ' „wUhretid die Uittelpuukte der die Seiten ites Dreiecks bcrUhrcuden „Kreise sieb selbst zu ontsprecbendcn Punkten habeu ')".

Durch Anwendung der Sätze (1), (2), (3) und (4) auf dieae I Pnnktepaare wurde man einfache geometriacbe Beziehungen über die gegenseitige Lage deraelbcn erhalten. So würde beispielsweise die . Anwendung des Satzes (4) auf das Puoktepaar M and // die Eigen* dikfteu des Feuerbach'scben Kreises ergeben.

Bestimmt mau zu den Punkten einer durch die Gleichang

lebenen Geraden die Pnnktc mit reciproken Coordinaten, so ge- 1 ihre Coordinaten der Gleichung:

. O Vcrsl. r»*4)cr. (komabie dct K«eeiKbaii

icha/Itu drr PUnk'l

K = aBC-\- MC-\- yAB =• 0

and es folgt:

„Dnrchlänft ein Ponlct eine Gerade, bo beschreibt der Ponkt mit „den rcciprokcn CoordiDat«n einen dem Dreieck umscbriebeneD K^ld-. ..schnitt nnd amgekebrt ')" (17}

Der Kegelacboitt K wird die InTerae der Geraden K und diese die Inverse dos Eegelscbnittes K genannt. Da L als die Dreiecke-

polare eines Punktes p e

&' y

nnd der Eogelschnitt K als die B. ß, ■/ betrachtet werden kann,

konische Polare des Pnnktes p'= so folgt:

„Die Inverse der Dreiockspolare eines Punktes p ist die kouische „Polare des entsprechenden Punktes p' bezüglich des Dreieck9."(18)

Weil aber dem Schwerpunkte des Dreiecks die nnendlich ferne Gerade als Dreieckepolarc nnd dem Grebe'schen Punkte dar Umkreis des Dreiecks als konische Polare entspricht, so ergibt sich

„Der Umkreis des Dreiecks ist die Inverse der unendlich fersen „Geraden." (19j

Die zn einer Geraden L gehörige Inverse K ist daher eine Bf- porbel. Parabel oder Ellipse, je nachdem L den Umkreis des Drei- ecks schneidet, berührt oder nicht schneidet; jeder Tangeute des Umkreises cutspricht somit als inverse Linie stets eine dem Dreieck omschriebene Parabel.

Die Gerade L schneidet die entsprechende Inverse K in hOdt": stens zwei Pnukten >n, und mg und die ihnen entsprechenden Pankto IX,', m,' mit rcciprokcn Coordinalcu müssen sowohl auf L, als ancli anf K liegen; da aber der Schnittpunkt m, im allgemeinen nicht mit seinem entsprechenden Punkte m,' zusammenfallen kann, weil diese Eigenschaft nur den Punkten J, J^, J^ und J, znkQinmt, so geht hervor:

„Auf jeder Geraden befindet sich st^ts nur ein Paar von Pnnktei „mit reciproken Coordinaten, namlicb das Schulttpunktepaar dieaa „Geraden mit ihrer Inversen." (20

Aus diesem Grondc muss jede durch das lukreiscentrum durch ein AukreiBcentrnm gehende Gerade den ihr entsprechenden invoi^en Kegelschnitt in jenem Punkte berühren. Mit Rücksicht auf Satz (19) folgt noch:

1) Siehe Durigc, Carven 3

Ord,

¥

timr: EtgtHithaJlm dir /Ai'ul.

»Die nnoadlicli fernen imaginilrcn Krclspuukto sind ein Pankte- ^aar mit reciproken Coordinaten." (21)

Nachdem nun gezeigt wnrdi>, daas jeder Geraden nur ein Paar von Punkten mit reciprokon Coordinaton angehört, so frft^t os sich, welche Cnrve diese FuokU'paare beschreiben, ira Falle die Gerade sich um eioen festen Punkt p^ a, p, y dreht. Damit aber eine durch den Punkt p gehende Gerade ein Paar entsprechender Punkte,

deren Coordinaten A, B, C und ^. ■=■ seien, enthalte, muss dio ßedinguDgsgleichung bestehen:

daher erhalt man für die gesuchte Cnrve die Gleichniii;:

,F0.) = A Ä, C ] \ BC, AC, Ali\

= A*(äß-Cy) + B^i,Cy~Aa)+CHAtt~Bß)-:-(}. . .(22)

Dieser Glcichnug genügen aber sonohl die Coordinaten der Eck- punkte des Dreicciia, als auch diejenigen der Punkte />= e, fi . y

and p'i

1 l 1

ferner erhält obige Determinante :

gleiche

Reihen, sobald man statt der variabelen Coordinaten diejenigen der Ponktc J, J,, Jj oder J^ setzt; Qbcrdicg ist die Gleichung Fip)=0 nur abhängig von den Coordinaten n. ß, y des gegebenen Punkte« p, wofihalb derselbe der Erzeogungspnnkt jener Cnrve genannt wird. Es ergibt sich nun:

„Diejenigen Paare von Ponkten mit reciproken Coordinaten, „deren Vcrbindaagslinien durch einen festen Punkt p geben, liegen ,,siif einer Curve dritter Ordnung, welche die Ecken des Dreiecks, „die Mittelpunkte der vier Kreise, welche die Seiten des Dreiecks „berObren, den Erzeognngspunkt p and den ihm cnUprecheodeii „Punkt p' mit reciproken Coordinaten entfaJUt." (^)

Die Cnrve F{p) besitzt also die Eigenschaft, daas »e za Jedem ihrer Punkte auch denjenigen mit reciproken Coordinaten enthält Wttrde man d«n Ponkt p zum £rz''agnngspDnkt wählen, so erhielt« man eine lon du- lorigen ferscbiedeoe Cnne, ijje aber durch die- selben neun Punkte ginge, welche im Satz (23j erwihnt wurden.

' 138 Or«

-: Eigaaehaflin der I\inil4 mit 'taprakt» DreierJaeoerdinaltn.

HieraQB erkennt man, dasB dcrcb die Ecken des Dreiecks, darch die Mittolpankte seiner vier PerüliruDgskrfliBO und durch ein beliebiges Paar voci Punkten mit reciproken Coordinateu unzühlig viele Carvon drilt{T OrdiiQiig gt-legt werden können; da aber je zwei AiikreiBceutra miL einer Kclto des Dreiecks auf einer Goraden liegen, bo folgt:

„Dos InkreiscontFum, ein Ankrciscentmm, die beiden Ecken des „Dreicets, die nicht auf der Verbindungslinie der beiden CeDtra „liegen nnd jedes beliebige Punktepaar mit reciproken Coordinatcn ..gebfiren stets einem Kegelschnitte an." (24)

Ebenso ergibt sich:

.^e zwei Aukreiscentra, die beiden nicht auf ihrer Verbindungs- „linie liegenden Ecken dos Dreiecks nod jedes beliebige Punktepaar „mit reciproken Coordinaten liegen stets auf einem und demselbeD „Kegelachnitte" (25)

Bestimmt man zu einer beliebigen durch den Punkt p gehenden Geraden L den inversen Kegelschnitt K, so gebt derselbe nach (17) dnrt'h die Ecken des Dreiecks, enthält den dem Punkte p entspre- chenden Punkt p' und schneidet die Gerade L in einem Puuktepaar mit recipruken Coordinaten, das auch der Cnrve /'(p) angehört; daher trifft der Kegelschnitt K diese Cuirc in sechs Punkten, von denen bei der Drehung der Geraden L um den Punkt p vier Schnitt- punkte, nämlich die Ecken des Dreiecks nnd der Punkt p' unver- änderlich bleiben; somit folgt:

„Die Curve F(p) der Punktepaare mit reciproken Cootdin&tfin „lasst sich erzengen durch die projectiviscb auf eiuauder bozogeueo „Gebilde eines durch den Erze ngungap unkt p gehendeu Strahlen- „bUschi'N nnd eines Kegel achuittbUBchela, der die Ecken des Dreiecks „nud üeii l'Lu:l;t p' zu Grundpunkteu hat." (26)

Ferner ergibt sich :

„Jeder dnrch die Ecken des Dreiecks und durch den Punkt p' „gehende Kegelschnitt schneidet die Curve F(p) in noch etuem „Punktepaar mit reciproken Coordinaten , dessen Verbind angslinie „durch den Punkt p geht" (27)

Der Umkreis des Dreiecks hat mit F{p) die Ecken des Drei- ecks und ausserdem noch drei Punkte mj, m^, m^ gcmeiBSam , wel- chen nach (19) die nnendlich feruen Punkte der Curve F{p) ent- sprechen; es geben somit die Verbindungslinien pm, , prn,,pm, die Richtungen der Asymptoten der Curve F{p).

Die konische nnd die gerade Polare eines beliebigen Pnoktea u^Afi, Bg, Co bezüglich der Curve F[p) haben die Gleichungen:

Ortlntr: Bigtntdutfltn dir Punkte mit nciproken Drtückicnardinatrn. 139

F,(p) = AHBoß- r„y) + B\C„y - A„<i) + C»(vlo« - B^ß)

-\-2AB(A„ß—Ji„c) + 2ACiCf,a—Agy)-\-2BC(Boy—Caß)=i^

ftip) = A(aCo'—aä^' + 2ß.-ioSo —^yA^Co) + B(ßAt* — ßCf*+2YB„Ct, — 2aAf,Bf,) + C(j'Bo'~yV + 2"^ot'o — 2|30«6'o) =0 (28)

Setzt mau in der Gloii^haag Fjf/)) ^^ 0 statt der CoonliaatDu A^, i/^, C„ diejenigen des lakreisceutrums oder die CoorJinüteu der An- krdsceDtra ein, so ergeben sich far die TaDgentcn von F{p) in diesen H'Bt Punkten die Gleichungen:

A{ß^y)~\-B{y-«)->rC(a-ß) - 0

Aiß-r)^B{y-\-,x) + CW-\-ß)'=0

A{ß-\-v)-\-Bly-u)-C(a + P) - 0

-A(ß+y)-\-B{y+„)-\-C{u-ß) ^0

sfaeD, wie leicht zu erkennen ist, dorcb die Coordinaten a, ß, y aiBge geleistet wird; weshalb folgt:

„Die in den iMiltflponkteii der vier Berührung skroise doa Drpl-

! gezogenen Tangenten der Curve F{p) achneiden sieb im Er-

mgnngapnnkte )>." (29)

„Die von dem Erzcugnngspunkte p an die Carvo F(p) aualan- ulen Tangenten berühren diuaelbo in den Punkten J, Jj, J., Jj^"

- (30)

Setzt man in der Gleichung F,{p) = 0 statt der Coordinaten A^, f, Co diejenigen dea Punktes p' = -■ 3. -, so erhalt man für die niacbe Polare von p' die Gleichung:

BCo{ß^-'r*) + ACß{f~'a*)+ABY(c^-ß'') = 0

sowohl die Coordinaten der Eckpunkte des Dreiecks, ala 1 diejenigen des Punktes p^ tr, ß, y genügen. Mit Rücksicht ^ die Eigenschaften der Cnrven dritter Ordnung folgt nun:

„Die konische Polare des Punktes p' bezüglich der Curve F(p) X'fibrt dieselbe in diesem Punkte und schneidet sie in den Ecken

"feft Dreiecke und in dem Erzengungspnnkte 71,'", (31)

„Von dera Punkte p' gehen daher an die Curve F{p) vier Tan- ngetiXen, welche dieselbe in den Ecken des Dreiecks und im Punkte p

»b©«-llliren." (32)

IJO (^rtintn E{i)r<iiehnßen Jtr Panht m!l rici'/iroifH Dre!tdtK0OiJi<iateii.

Die Tangcnto T im Punkto p' hat nacb (28) die Gleichong: I welche anch die Form:

1

1

t-aniiininit, noraas man erkonut, ä&m diese Tangente r ausser dem f Paukte p' auch noch den durch die Coordinatcn — ,- -zy -\ be- I BtimmteD Pnukt enthält.

Will man den Schnittpunlil Jt der Tangente T mit der Carrfl /*(p) bcstiuimeu, so braucht msu nur za berück sich tigeu, dass jeder

j 1 1 j

Punkt von T durch die Coordinalen J, = - -|-

= ^+ ^3* •

C, — --{- Hl darBtelJbar ist, weshalb man die Grösse ). nur so zn \ f y*

b bostimroen liat, dass die CoordiDaten ^,, .0,, C, der Gleichung

F(p> — 0 genügen. Mau liat alsdann:

(«' + A)'(^'-

nnd findet hieraus:

Die Tangente der Cnrve F{p) Nioch in dem Punkte:

»=-(-^«^»4-«^+"^^ ä(PV'

I Punkte p' trifft die Curve

.(^V--V-

S")

(33)

Da die Curve F{p) durch die KcUen des Fundameutaldreiecks

' golit, so Bcbui'idct sie jede Seite desselben in uucb je einem Punkte

über welche maa dadurch AurschloBs erhält, dass mau in der Gloi-

chang F(p) ^ 0 der Reibe nach fUr A, B oder C Null setzt, wo-

. dnrcb mao bekommt:

By—Cß —0 Ca—Af •^ 0 Aß — Ba — ü itaalb folgt:

.J>ie Curvc f{p) scbncidet die Seiton des Droiecks in den ScLnilt- ■nnkton der Ecktransvcrsalcu dos Erzougangspunktes p.' . . (34)

Die Tangcoten in diesen SchnittpuDkten , deren Coordinat.eu (^1 ß^ T\ "• 0) Y'i "i ß, t> siod, haben liic GlcichaDgen:

_Auiß*-y*)-~Bßy»-\.Cyß» = 0 ^Ir-f' + ^fJtr'-«») - Gyn» = 0

-A„ß*+Bßu^+Cyiu*~ß*) = 0

das Verschwinden der aus den Coefficienten von A, B Qud C

(lieser Gleichungoa gebildeten Determinante ^eigt, doss diese Tan- genten sieb in einem und demselben Pankte schoeidcn. Durch Auf- lOsuDg von zwei der obigen Gleichungen ergeben sich aber für den getneinsameD Schnittpunkt gerade die Coordinaten des in {33} cr- w&bnten Pnnktes n, weshalb folgt:

„Die Tangenten der Cnrve Fip) in den drei Schnittpunkten der- „sclben mit den Dreiecksseitea und die Tangente im Punkte p' treffen „sich alle vier in einem der Curve J^(p) angehürigeu Punkte ji." (35)

Die Polare des Panktea Jt bozüglich des durch die Gloichuuij BCßy\-ACtty-\-ABaß — 0 rgestellton Kegclscbuittea hat die Gleichung:

Äf,{ßB„ + yC„)-\-Bß(yC„-l!-aÄ„)-\-Cy{«A„ + ßB„) = Q Aßy + Bay-\-Caß — 0

^^B ,4)ie Dreieckspolare des Punktes 71 ist zugleich die Kegelachnitts- ^^Kjpolare des Punktes n bezüglich der zum Pnnkto p' gehörigen ko- ^H „viscben Polare des Dreiecks." (36)

Unter den sämmtlichon konischen Polaren der Cnrve F(p) be- finden sich offenbar auch gleichseitige Hyperbeln, und 08 ist nun zu Butersnchen, welchen Punkten dioselben entsprechen. Da in der Gleichnug der gleichseitigen Hyperbel die Summe der Coefficienten von X* und y* gleich Null ist, so erhält man fUr einen Punkt it^Af^ B^, Ca, dessen konische Polaro (F,(p) — 0) eine gleichsei- tige Hyperbel sein loU, die Bedingungsgleichuog:

142 Cr,

: E'gfiwhaflrn drr PankU n

raltn Drtieehiaiardiaatni.

+('«0«— Po3)sm»(5-|-2(iio}— Coß)8inE,ainf,+2(6>— ^y)8iM,iiiw,

+ Mo|3-B„(.)c03(e,-t,)=0

Die gesuchte Ortscnrve iat also eise Gerade, welche den 7)^0, ß. y und den durch dio Coordioftten cobw, , cosir,, coshtj dargestellten Punkt, nämlich das Uralt reiseentrum des Dreiecka ent- hält; daher folgt:

„Den aämmtlicben Punkten der Geraden, welche den Pnakt p „mit dem Umkreiscenlrnm des Dreiecks verbiadet, entsprechen ti* „konische Polaren bezüglich der Curve F{p) lauter gleichseitige üf« „perbeln." (37)

„Die koniBche Polaro des Erzeaguegspunktes p bezüglich der „Curve F{p) ist daher eine gleichseitige Hyperbel, welche durch die „Ceulra der vier Berübruugskreise des Dreiecks geht and die Curve „F(|>) in p berührt; sie enthält somit alle jene Punkte, welche „EÜglich der Punktcpaare von F(p) mit reciproken Coordinaten har- „moiiisch cenjugirt zum Punkte p sind, und ihre Tangente im Paukte ,j) geht durch deu Punkt j>'," (38)

Die Dreicchspolare eines beliebigen Punktes m ^ ^g, £,, C^ ferner diejenige des Punktes p und die Polare dos Punktes m be- züglich der dem Puukte p' entsprechenden konischen Polaro des Dreiecks haben b ozi eh ungs weise die Gleichungen:

ABaCn-\-BAf,Cf,-\-CÄf,B^ = Q Aßy -\- Bu-f -\- Ctiß — 0 Ac{B^ß-\-C^r)-\-BpiA^i,-\-C^y)-\-Cy{Ä^a+B^ß) - 0

Damit sich nun dio drei genannten Geraden in einem und dem> selben Punkte schneiden, muss für die Coordinatcn des Pauktet m die Beziehnng bestehen:

-: EiglnichafUn der Punkte m

	BgCa, AaCo, A„B^
	ßy, ay aß
oder	.(B,ß+C,y), ß(A,« + C,,), ,M,. + Ä,(i)
i. b.	rip)-o

„Jed«r Pankt der Curve F(p) besitzt die Eigengchaft, daas seine

reieckapolarc nnd geioe Polare bezüglich der dem Pnnkle p' eut-

ütprecbeuden koDiscben Polare des Dreiecks sieb in einem Paukte

r naTeränderlicbeD Dreieckspolare des Erzcugnngspunktes p tref-

Die Dreieckspolaren der Punkte m^A^, B^,, c„-, m'=--.

■ =- und p'^ -p a- - haben die Gleichnogen :

ABaCf, + BA^Ct+CAf,Ba = 0 AAg+BB(,+ CCa =0 Aa + Bß+Cy = 0

raoB sich durch Elimination der Grösson A, B, c ebenfalls die (^cboDg F(p) — 0 ergibt, weshalb folgt:

„Jeder Punkt der Cnrve Fip) besitzt die Eigenschaft, (inss seine „Dreieckspolare nnd diejenige des entsprechenden Punktes mit rc- „ciproken Coordiuaten sich in einem Paukte der Dreieckspolare dee „Punktes p' treffen." (40)

Wählt man den Schwerpunkt Siea Dreiecks als Erzeugungs- ponkt, so erb&lt man eine Corve F(*), welche bemerkenswerte Auf- scUUsse über die gegenseitige Lage der wichligstea Syrametricp unkte des Dreiecks giebt.

Berücksichtigt man, dasa dem Schwerpunkte S^ -- . — . - »1 '» *i

der Grcbe'sohc Punkt G = «,, «j, «, als Punkt mit reciproken Coor- ■ 4>i>ftl«n entspricht, so ergibt sich zunächst nach (23):

„Diejenigen Punktepaare mit reciproken Coordinaten, deren Ver- bindungslinien durch den Schwerpunkt des Dreiecks gcheu, liegen ^nf einer Cnrre dritter Ordnung, welche die Ecken des Dreiecks, ^ie Centra seiner vier Bei-UhmngskroiBe , den Schwerpunkt und den |8rebo'Bchen Pnnkt enthält (41)

Die Gleichung dieser Cur?e ist:

^riS) — A*^^(Bt^—Ci,)-\-B\^C*,~A^3)-\-C*^{At — Bt^) = Q

AU8 (29) und (30) folgt:

„Hie in den Mittelpuaktcn der vier Bprülinicgskri'ise des Dr«l- „ocks geKogcncD Tanjjc-Dtcii der Curve FiS) seliiiciden aicli im SchweN „punkte" (4Q

Oder:

„Die vom Si:liwer|mukte an din Carve F(S) auslaufendeB Ti „geutcn Lerflhrou dieselbe in den Punktfu J, J,, ■/», J^" ...{•.

Aus (31) und [3:i] erg:ibt sieb:

„Die konische Polare des Grobe'schen Punktes bezQglich t „Corve FIS) berübrt dieselbe in diesem Punkte, gebt dnrch die Kckci „des Dreiecks und dnrch dessen Scbwerpunkt S" (H

„Die von dem Grebe'achen Pnnkte an die Curve FiS) gciogeati „Tangenleu biTUfarou dieüelbc iu den Ecken des Dreiecks and il „Schwerpunkte." , . (41

Zufolge (34) bat man:

„Die Curve F(S) geht durch die Mitten der DrelecksaeitCD." (46

Die Coordinaten des in (33) erwühutcs Pnuklos ji gehen Jet

«i(— «i'+'t^ + 'a*)! »sK* — «»*+'g

'.(•i*+V-

>')

wodurch aber das Centrnm M des Umkreises dargestellt wird; daht

folgt:

„Der Mitli'lpuukt des Umkreises liegt auf der Curve F[S), und „die von ibm an die Curve gezogenen Tangenten berühren dJesell „im GreLe'schon Pnnkte nnd in den Milien der Dreiecksseilen." (47i

Wie früher bemerkt wurde, ist aber das Umkreiscentrum oni der Hübenschnittpuukt ein Paar eatsprechendcr Punkte mit reciprokäl Coordinaten, das mit dem Schwerpunkte auf der sogenannten £alec sehen Goraden liegt; ebenso geht die Verbindungslinie der cntspra cbcudcu Punkti' Q und D nach (lö) durch den Schwerpunkt, wca halb sieb die bemerkenswerte Eigenschaft ergibt:

„Die folgenden IG Punkte, n.lmlich die Ecken des Dreiecks, di» „Mitten seiner Seiten , die Mittelpunkle der vier Berti hrungskrei SB „dos Dreiecks, der Schwerpunkt, der Grube'sche Punkt, das Umkreia- „centrum. der Uühensebnittpnnkt nnd die Symmetriepunktc D and „Q dos Dreiecks liegen auf einer Curve dritter Orduung, die über- „dies noch alle jene Puuktepaare mit rcciproken Coordinaten ont- „hält, deren Verbiudangslinien durch den Schwerpunkt gehen." . (18)

' r: Eiatntfhnff* •i'r PanlUt r.

Ans (37) nod (38) ergibt sieb ferner:

„Don Pnnkleo der Ealcr'achPD Geraden entspreehcu bezügiicli dei „Cnrvc F(S| als konische Polaren lauUr girichseitigc Uyporbeln „unter diesen beßndct sich aaeb die konische Polare des Schwer- „panktes. welche durch die Centra der 4 BerQlirungskreiae des Drei' „ecks gebt und die Cnrve F(S} im Schwerpunkte berührt; Bio ent- „halt alle jene Punkte, welche bezüglich der Punktepaarc mit roci- „prokcQ Coordinatcn harmonisch cunjngirt zam Schwerpunkte sind „und ihre Tangente iu diesem Punkte geht durch den Grebc'achen „Punkt." (49)

Zieht man durch den Schwerpunkt S eine beliebige Gerade, so schneidet diese die Curve f{S) stets iu einem Paare entsprecü ender Paukte m und m' ; die iu S, m nnd m an die Curve getogcuea Tangeuten achneiden dieselbe in noeb drei Punkten, welche die Tan- geotjatpunkte von S, m und m' genannt werden und bekanntlich wie- der einer Geraden angehören; da aber die Curventangcnte in S durch den Grcbe'schen Punkt gebt, so folgt:

„Zieht man in irgend einem Paar cutsprechouder Paukte der „Cnrre F(S> die Tangenten an dieselbe, so geht die Verbiudnugs- „tinio der ziigebörigeu Taugen tialpunktc stets dnrcb den Grebe'schen „Ponkt" (60)

Hit Rücksicht auf (42) ergibt sieb nnn:

„Jode Gerade, welche durch einen der vier Mittel pun hie der „Berührungsk reise des Dreiecks geht, schneidet die Cur\'e F(S) in „noch zwei Punkten, deren Tangenten dieselbe stets in einem Paar „entsprechender Punkte mit reciprokcn Coordinaten treffen." . (51)

Unter den durch das Inkreiscenlrum J gehenden Geraden be- findet sich aber besonders eine, welche die Curve I'{S) in deu Punk- ten G und Q schneidet, da diese nach (16) mit dem Pnukto J auf einer Geraden liegen; die Tangente in G trifft aber nach (47) die Curve F(S) in dem Umkreisceutrum M, und daher muss zufolge (&1) die in Q gezogene Tangente die Curve im HöbenscbmttpnDkte ff trefFen; daher folgt:

„Die Tangenten der drei einer Geraden angchörigcn Punkte J, „G und Q der Curve F(S) treffen dieselbe beziehungsweise in den „naf der Enlor'schen Geraden liegenden Puuktcn S, At nnd H . (52)

BerOcksicbtigt man, dass die konische Polare des Punktes G beiOglicb des Dreiecks der Umkreis desselben und die Drei ecks polare des Schwerpunktes die unendlich ferne Gerade ist, so folgt aus (39):

Inr „ = S	' — ys^	1,16470
für n = 4	r_yi =	1,22474
for n — 5 D- 6	r-y-2-	1,41421
für n - »	r<V3-	1,73205
für . - 12	r-ysVSMllJR	— 1,90211
fÄr n = 20	r^2V3im|R	- 2,80262

Bei UntersDctkDDg dea Falles n = 8 kann man vom Würfel gehen. Hier sind diejonigoQ Ha einer Vorklcioerang fähig, welche die Diagonalen der 6 Quadrate bilden, und zwar einzeln tod 2^3 biB 2. Diese Grenze liust sich leicht bei 4 Diagonalen gleichzeitig erreicbeD. Man dreht ein Quadrat in Bciacr Ebene um (K D&hert es seiner Gegensotto, der es parallel bleibt, bia die beide Torbindenden 8 Kanten ^ 2 werden.

Nimmt man die r und y parallel zwei Seiten dei einen QaadrkU, tetst den Abetaud der Mittelpunkte beider Quadrate, welche aof der c Aie liegen — 2a, and den Anfang der i in die Mitte zwiaohen bei- den, BO sind die Coordioaten der 6 Ecken:

1 —1 -a Damit M von allen K berührt wird, muiB sein

^» + j,. + ,»_r« das iit ffli alle K zngleich:

2 + a' = r>

Damit jede* JT f Ur t = a die 2 nächiten K für i mniB Jh,\-n — 2 sein, also

Ä.»*=- l"+(V2-l)»+(<.+a)' = 4 — 2V24-4a» = 0

AoB beiden Bedingungen ergibt sieb:

^Vi;

= V2-f VI — 1,64533

»

y3-y2 + yi = 0,08672

kleiner Wi gegenwärtiger AnordDoog der K als bei der WUrfel- stellong.

Dm nan zq DüterBnchem. ob dieser neue Wert ein Minimnra ist. erteilen wir allen K beliebige anendlich kleine Verscbiebnngen, deren CompoDeaten mit o, (J, y bezeichnet seien, so dass die Coordinsten werden :

IU Ordnang

«^	V2+?,	,+,, 5	"6 -	-ya+ft .+„
1+.,	1+0.	-«+h 6	-1+«.	-i+ß, — t-r.
2+".	P.	•+h 7	-V2+",	ß, M-r,
!+«.	-l+ß.	-a+r. 8	-1+".	i+ft -»+/.
hdieV	TBchiebnn	gen gehe Äi**	M> 4 ober in	4+(u; dann wird

f„ - a(.,-»,)+2(va-i)(ft-A)+4»(i',-ft)

,„ - 2(y 2 _ I) («, - .,) + 2((I, - ^,) + 4»(ft - ).,) h. - 2(y2-l)C..-».) + 2(fc-|l,) + 4»()',-y.) fu - 2<a,-.s) + 2(y2-l)(?.-ft) + 4a(,,-y,) Ca - 2(.j-«,) + 2(y2-l)(?,-fc) + 4»().,-y,) („ - 2(y2-l)(.,-^) + 2(f,-|J,)+4<.(?,-y,) ft, - 2(y2-l)(.,-«,) + 2(ft-(l,) + 4o().,-,,) f„ - 2(i.,-.i,) + 2(y2-l)(D,-^,l+4«(/,-).,) Bedingang

+»■+■■ -''-2+yj bestimmt alle y in den eatsprechenden o, ß, eo dasB «y. Tfißi •ft = y2ft

«h	- ', + ß.	ayc 1^1 — ß
»y.	- - y2.,	o,, -y2».
«>'«	- '.-ß.	'•yB = — "s+A
an»™	l dieser Werte crliält man:
eif =	-2(., + .,)-2(y2	+ i)(ft+C.)
to-	-2(y2+i)(»,+.	)-2(ft + «
fu-	-2(y2+i)(=,+«	) + 2(ft + ?.)
p«fi =	-2(«. + «s) + 2(y2 + l)(^ + W

Hopp t : JCin /VaAfcni iibtr lierähriailt üTufr«!".

f„ - 2(y2+])(<., + <.,) + 2{A + ft) p„ = 2(V2 + l)(«; + o,)-2{(J, + /},) p„ =2(«,4-«,)-2(y2 + J)((S, + ß,)

Die QbrigeD p, noicho zn den arsprUnglichen Qnidratseiten geh&rea, enthalten kein y and haben Dumittelbar die Werte:

«» = i(ßt-ß^)

• 4(«, -

H)

ft, = 2V2(«,-ß, + (J,-ft)

P3S = 2y2{c,-«j + j3j,-ft)

e„=^2V2(«j-«,-f-ft-i3s)

ft, = 2v2(»,-«; + A-ft) Addirt man beaondera die ä eretem und 8 letztem p, die Bich durch diei Differenzen der Indicee 1 nnd 2 nnterscbcidcn ond dnrch die Be~ zeichuangett p' ond q" kenntlich gemacht seien, so findet man:

y2ire'+(V2+i)£p" = o

Da DDn kein p negativ sein darf, so folgt, dass alle p nnll son mltSBen.

Ks fragt sich, ob alsdann eine relative Tcrschiebang , d. h. eine solche, die nicht einer Rotation des ganzen Systems gleich kommt, möglich ist. Eine Gesamtrotation Ijtsst sich dadurch ausschlieseon, dass man den ersteu Mittelpunkt fcsthtüt und dem zweiten ddp

wegnng in gegebener Ebene gestattet, also

setzt. Aas p„ -= 0 folgt dann , dasa ancb jS« -= Ü isl ; ubenso an« p^, =T 0 nnd p„, ^ 0, dass a^ and ß^ null werden.

Hierron abgesehen, sei

«t-f oi+i ^ ^4; ßk + ßt^\ == ft in dem Sinne, dass für den Index 9 immer 1 zd schreiben ist gehen die 16 Gleichungen p ^0 über in

i, ^ -(y2-M)£, tfj = - (y2+l)fs

St- — (y2-i)i, ^5 = — {y2— i)(j

«'s- (y2-l)«» i-." tV2-l)«,

3, = (y2-f l)t* 6^ = (y2 + l)fg

I

Uppi! Ein Probtm äl>rr birährfiille Kugeln.

Eümiiiirt dibd dio i, lo kommt;

't-h (1/2 + 2)1, -yzf,

»4 -»5 ya.,-(y2+2)^

h ■= *» {V2+2)»6 — ySie

»»-(, y2(, = {y2+2)ffl

i OleicbnngeD zeigen, dftsa, v>;^'nu ein i Terscbwindet , alle t 1 demiafolge ftacb gemäss den obem Gleichangcn alle ä ver ■ebwindeu. Sind dum ein a DDd ein ß noll, so sind es &1lc o nni />. Dieier Fall findet statt bei der obigen Annahme, wo

Eb bat «ich ergeben, dass für r* — 2+yi von der in Rede etehcDden Lage aus eine relative Vorschiebnog der A' unmöglich ist. Werden sie also verscboben, so diqsb r wachsen. Folglich ist r in jener Lage ein Minimam.

Bei diesem Rcenitatc lassen wir es bewenden. Soll ein kleineres r als dieses Minimnin c-iistiren, so inaas nach ifRcnd einer onillicLen Verschiebung r wieder abncljmcn und in einer dor anfänglichen nicht cougruentcn Lage denselben Wert wieder erreichen. So unwahr- scheinlich dies auch ist, da die vielen congrneutcn Lagen einander sehr nahe sind, so ist die UDmOglichkoit ans dem Voritehenden nicht zn ersehen. Kineu positiven Orund für dieselbe liefert indes folgende BetrachtoDg.

Die CoDtignratioa , von der wir aosgiengen, zeichnete eich vor allen andern dadurch aus. dass 16 Abstände K bereits ihren klein- sten Wert S halten. Daraus erhielten wir 16 Relationen zwischen den 16 Verechiebungscoinponentcn «r, ß. Da diese in 1. Ordnung homogen linear waren, so mnssten , wofern keine identischen Rela- tionen vorkamen, alle mit einer verschwinden. Bei joder andern Confignration erhält man weniger Relationen, z. B, bei der Würfel- form nnr 12. Daher bleiben einige der o, ß unabhängig variabel, mithin disponibel znr Vergrössemng der p in 2. Ordnung, d. i ^nr YuUcinerang von r, so dass ein Minimnm nicht vorkommen kann, I 16 Grossen R = 2 geworden sind.

154

: £i» Pr^bkm

rr bfTührtnftt Ku^itin-

Zm Untenachong des Falles n — 7 gehea wir vom Wlufel i Seine Diagonale sei z Axe; die yz Ebene gehe darch deren Eodni I nud durch 2 andre Würfeleckcn, Die Kagcl K am einen Endo der { Diagonale d ^ r) falle «eg; ihr zanficbst tilgen 3 Engeln (I, 2, 3], ] deren Mittelpankte ein gleicbseitiges Dreieck normal znr « Axo bil- den. Ihr gemeinsames : =^ a lässt sich durch Parallel verschiebniig ' der Ebene Tcrgrössern, bis die Kugeln zur BcrObniog gelangen, die ] Dreiecksseiten also -^ 2 werden. Die folgenden 3 Engeln (4, 5, 6) 1 liegen gleichfalls bei gemoinsamem s = — b in einem Dreieck, deasen J Sotten •= 2c, normal zur e Axe. Dann sind die Coordiuatea < Ecken:

1	0	2 y3 "	i	0 Ä-
2	1	1	i	-' -y'ä -»
3	-1	1	fi	• -93 -•■
Damit Af	von allen A	berührl wird, mnss sein
		u..	-r	: ¥ + '—

e— 0

y-0 j

damit Bicb die K in der Reihenfolge 1, 6, 2. 4, 3, 5 berttbreo:

-+<•+«•

«

damit die Polkogel 7 i rthrt wird:

1 den Dächst liegenden Engeln 4, 5, 6 bi

Addirt man die Gl. (1) (3) und inbtrabirt (4), so kommt:

Ol. (4) gibt nach Sobtraction der Ol. (2): r(r-S) =. 2

daher ist

r» — 2

Jetzt bat man nach Ol. (2);

-Ir+a)

Hoppe: Em ProUem ubtr htrükrtnde Kugtln. 155

_^_.._._(r!-)'_,-.

3 Also:

c* - 3 -^ (8)

und nach Eiotetzong des Wertes (7):

ErfUlt man 61. (1) durch

and läNt |> von gleichem Vorzeichen mit a sein, so geht Ol. (9) Aber in

3(l-«p)«(l + V) - 4(V-1)'

entwickelt lantet sie:

27p* + 18p»- 36p« + 6p + 1 = 0 one nach Division dnrch 3|p — 1:

9p»+9p*--9p — 1=0 Hieraus ergeben sich leicht die 3 tArigen Wurzeln, nnd man hat:

4 cos XV — 1 i ß Q Iß .. ^

p — ^ ; ^ = 4,6,8,16; v ■=- ^

das ist in IZahlen:

2,06418 1 ^ **" ^ —0,30541 —4,75877

Nun mnss r ein Mittel sein zwischen seinen Werten fQr Oktaeder

und Würfel, also

2<r*<3 woraus nach (10):

V3<±3p<y5

Da dem nur die erste Wurzel entspricht, so ist ausschliesslich

4co8 4v — 1 P = 3

daher nach (10)

1

156 Hoppe: Ein Problem über berührende Kugeln.

12

'*" "" 9 — (4coi4v — 1)»"" 2(2co8 4v + l)(l — co84v)

3 3 _ ys

"^ 4(3 — 4Biii'2v)8in'2v "" 48in6v8in2v ^ 28in2v das ist

Dieser Wert ist nicht nur <C V^, sondern auch kleiner als das ge- fundene Minimum für 8 Kugeln. Es fragt sich, ob er für 7 Kugeln Minimum ist.

Zunächst sind noch die Coordinaten der Mittelpunkte der K zu berechnen. Nach (10) ist

4 cos 4v — 1

V6y 3sin2v nach (7) (11)

nach (8)

c2

sfl — ^J == 2y3(cos3v — co8 7i') == 4V3sin2vco8 4v

c - 2yy3sin2vc08 4v ^ 1,34731 (14)

Von den so bestimmten Punkten aus mögen nun die K unend- lich kleine ViTschiebungeu erleiden, deren Componenten wie oben mit a, /?, y bezeichnet seien. Für jedes sich anfänglich berührende Par vor» K uehc R^ aus 4 über in 44-9- Dann ist in 1. Ordnung

ei. =-2(«,-«,) + 2V3(^,-i3i) i

?i3 = 2(ai-a3) + 2y3(/33-^,) j (15)

Qu - YZ ^^' - i^7) + 2(r - h) (Y, - y;)

951 -= 2c(a, - «5) + ^ (/J7 - ß,) + 2(r - b) {y^ - /y) 967 - 2c(«6 - a^) + 1^ (/37 - j3,) + 2(r - Ä) (y^ - y^) 9i6 = 2c(ag - a,) + 2 ^^ (ße - i?,) + 2(a + 6) (y, ~ y,)

Hoppe: Ein Problem über berührende Kugeln. |57

Pt6 = 2(c - 1) K - a,) + 2 ^ (^, - /Jj) + 2(a + 6) (y, - y«) p „ = 2(a,-«,)+ 2 ?^(^^-(3,) + 2(a+Ä)(y,-y,) 9^ - 2K-a,) + 2?y^(^,-/J,) + 2(« + 6)(y,-y^) ftj = 2(« - 1) («, - aj) + 2 ^ (/J, - ft) + 2(« + 6) (y, - 75)

P,6 - 2c(«, - «6) +2 ^(ft-|Ji)+2(a+i) {y^-n)

Die a, /7, y sind von einander abh&ngig darcti die anf alle K anzo- wendende Bedingung:

woraoB in 1. Ordnung:

2 2e

a/i - yäft ^y* = ys/'* y» - 0

ayi = — «1— y3^l *y5 = — ««6— y3^5

«y» = «$ — ysft iye = c«6 — yä /*«

Dem infolge wird nach Elimination der y

Pm = 2« («7 — ^ «5)+ y^(A — \ßb) I (16)

»w -2«0«6-«7)+y|(ft-^|J6)

Pie = - 2e («, + J «6 ) + yg (<' + -^) (A + I ft)

*n--2(«*+^,)-f3(2.+^)(A+^A) ^-2(«,+^«,)-:A (2.+ *-)(/», +,-a)

Uoppi; Ein PrMwn ibir btfUttndi Kaffdi.

--4+')(-+:".)+A('-:k».+i^.)

Uuzeicliuot man die 3 erstflo g in (Ib) durch t\ d\v S (olgvniea ia (16j tlnri'h (*, die 6 Qbrigon darch f", ao ist zufolge ihrer Werte

ä(?+')^«'+K-°+')^'-+^'-=''

folglich sind, sofern kein f uegativ sdu ItaDU, alle f null.

Nimmt mau i aDsznacbl) essen,

eine Oesamtrotation drr ganzen Figm

to ergibt sich, nachdem man alle g null t'esctzt bat, aus den Ol. <1&] sofort BQCb:

«odorcb die letzten G Gloichnigeti übergehen in

•.-(■+^)^V •.-(■+?)v'3

('+:)-

lya-

Die neben einander stehenden GleicfanugoD lasten sich offenbar ntte darch XnllsetzDng aller a aad ß vereinen.

Ans den Ol- (16) folgt dann, wie K'icht zu sehen, auch

o, — 0 and ß^ = 0.

Eb hat sich ergebi;n, das« eine relative Terschiebung der K Toa der in Rede stehenden Configuration aas fUr congtantcs r nnmöglicti ist, also ein nachseudes r verlangt. Folglieh ist der Wert (11)

Hieran niU ich noch zwei Bemerknngen koUpfen.

Nach dem Vorstehenden scheint es, dass ttberhsnpt diejenige Confignration der K dem kleinsten r entspricht, welche die gröut« mögliche Anzahl von BerUbningou enthUt

Uopp^:

« rto6/™

?. Urtihrtndt Kufffln.

159

Zwei Einbänden, die sicti durch leicbto BotrachtDog bebea, will I ich nu* nachträglich begegnen. Obfildch in den 2 antcrsucbtcu F&Hen bei jeder Vcrscbitbung alle 9 iu 1, Ordnung null sind, war cb nicht tlbcrflUssig die Unmüglicbkeit einer Vcrscbiobaog besonders zu be- weiften. Denn könnte eine VerBchiebung stattfinden, so wären die R eines Wacbgena iu 2. Ordnnng Rlhig; bei gehöriger Vorteilnng der I iDcromonie würden alle Bertlbrungen der A' aufboren, mithin eine I Verkleinerung von r zulassen. Dagegen konnte, nacbdem alle a, ß, y in ]. Ordnung null waren, eine Frage nach liöherer Ordnung nicht mehr entstehen, weil die uiudrigsto Ordnung Immer die Stelle der

I ersten einaimmt, und der Beweis für das Verschwinden anf sie an- ■wdhar wird ';

Knne Notizen bctrefTend die Fälle von 9, 10 und 11 Kugeln.

Nenn K lassen sich auf 3 parallelen Ebenen in Form dreier gleich- seitigen Dreiecke ordnen. Die mittelste Ebene ist Ae<]uator, die je 3 Kugeln aof den 2 Susaersteu berühren einander nud ausserdem sechsfach den Hittclkraoz. Im ganzen finden also 18 Beruhrungen statt. Die Figur hat 4 Symmetrieebenen , bo dass die llurechnong leicht ist Es ergibt sich:

r-V3

wie bei 8 Kogelu in Würfelform, und man hat den eigentümlichen

Eine Kngel M, die von H Eugcln A' iu Würfelform berührt wird, kann gerade noch von einer 9tca Kngel A' in andrer Anordnung be- rührt werden.

Schaltet man am Pole vom M eine iOle K ein , welche die Be- rührung des nächsten Kugelkranzes nattlrtich aofheben mnss, so fällt die Symmetrie iu Bezug anf den Aeqoator weg. Die Gleichung für r würde entwickelt von sehr hohem Grade sein. Die approiimative Lüsong ist daher leichter am ursprünglichen Gleicbungsiystem zo vollziehen; sie ergibt:

r -= 1,83397

«er Wert ist um 0,06814 kleiner als der für 12 Kugeln.

Schaltet man ebenso am andern Pole eine Ute Kugel ein, so

nl die Symmetrie in Bezng auf den Aeqoator wieder hergeEtellL

Gleichung für r wird dann einfach und gibt genau denselben

160 Hoppe: Ein ProhUm über berührende Kuyelm,

Wert als den f&r 12 Kugeln. Es z^gt sich also, dasi auf darialbea Kngel 3/11 Kugeln K in zweierlei Ordnung sich auflegen lauen, in der eben genannten und in der Ikosaed^onn mit Weg&Il einer Ecke. Bei ersterer finden nur 18, bei letzterer 25 Berflhnuigen der K unter einander statt Ist der so erhaltene Wert Ton r wirk- lich der kleinst mögliche, so ist die Analogie des Falles mit dem bei 5 Kugeln hervorgetretenen bemerkenswert. Nftmlich 6 und 12 Ka* geln sind, was man so nennen kann, einer Yollkommenen Berflhnug fähig, d. h. wo alle K^ die eine K berfihren, auch einander der Beihe nach bertthren, so dass eine Verschiebung nicht denkbar ist Liaat man nun eine Kugel K weg, so l&sst sich bei aller Yerachiebung r nicht kleiner machon. Auf 4 Kugeln, die sich gleichfalls ToUkomnien bertthren, findet der Satz keine Anwendung.

Zur Transformation der Thetafunctioneo.

Ferdinand Mailer

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In seinem bandscbriftlicbeu Kactilaasc bringt Oaass moiit ohne AbleitQDg und Bcwtis eine Reihe sehr eleganter Iteüiebuiigen zwiscbeo f unctioDen, die sieb später als idontiscb mit den Jacobi'acben Tbeta- ictionen erwiesen. Die methodische Aufstoltung dieser Bcziehnugen scfaoa wiederholt der Gegenstand vun mathemati sehen Arbeiten gewesen, besonders haben sich Herr Professor Schröter und seine Scbnlcr vielfacb mit diesem Thema beschäftigt. In der Tat ist es such Herrn Dr. Gering gelungen, eine einheitliche und zum Teil nocb erweiterte Darstellung dieser Beziehungen zu gcbca, und zwar auf Grund der luangaral-DisscrlatioD und der Habilitationsschrift »on Bcrrn Prof. Scbröier (cf. Göriug, Uebcr die Tcilwerto der Ja- cob i'scbeu ThetafunetiaBcn, Math. Annalcn VIL 1874. Pag 311 etc)-

Id ncQcrer Zeil bat nun Herr Prof. Krause in den Acta matbe- itica 3. Pag. 93 ctc eiue Kotiz veröffentlicht, in der er nacbweiit, 1 auch nnmittdbar durch die TransformationsKlcicbungen zg solchen Bezicbungeu (jclangen müsse, wenn man ciacrfteita die in ihnen auttrcienden CoeßicicnteB nach der gewöhnliclien Hotbodo durch die Wurzelwertc der Glcicbungeu bestimmt und andrerseita BelationeD zwischen diesen Coefficienten herstellt, indem man jede* Glii-d d«r tilcichangen nach Potenzen des Arguments entwickelt and die Cocfhcienten gleich bober Potenzen aof beiden Seiten nu-

ll

162

r Thtta/iine

In Folge dieser Wabrnchmnug licBS Herr Prof. Krause nlliFeiid des TorJgeQ Semesters im matiicmatiscLca Seminar nach dieser Rick- LUDg hin arbeiten . mid übernahm icb gegen Scbltus des Semetten, Dachdem für dca spedclleii Fall n = 3 die Oloiohnngen Göring S 3 (3}' Dnd (8) gefanden waren, die vollständige Dun-hfubracg dieser Uuter-' BUcboDg, nm die Anwendbarkeit dieser Methode eowobl 19r den all- gemeinen Fall, als auch für die speciellen Fälle oacbzDweigcn.

In der Tat stellte es sich auch im Laufe der Arbeit heraus, dan man auf diesem Wege niebt nur die Göring'schco Formeln erbält«' sondern eine uubcBcbr&ukto Anzahl von Beziebnngcn zwischen diesea GröBBcn aufstellen kann, dass ferner die von Göring angei^b Formeln zum Teil iu viel allgcmciucrem Siuue gelten, und daae end- lich für den allgemeinen Fall diese Meibudu viel weiter reicht; siid dabei ist diese Methode bo ausserordentlich einfach, es kommt ledig- lich darauf au , die Theta- resp. EUiiitiBchon Functionen und deren Potenzen und Producte iu nach Potcuzon des Arguments fortschr^- tcnden Boihen zu entwickeln und dann die erhaltenen Resultat« ge- schickt zu combiniren. Es ist somit das nach der Göriug'schen Ar- beit so complicirt erscheinende Problem zurllckge fahrt auf das ia neuerer Zeit so vielfach behandelte Problem die Theta- resp. Ellip- tischen Functionen uud deren Potenzeu iu Potenzreihen zu wickeln. Die Arbeiten, die hierfür besonders iu Betracht kommea, sind:

Jacobi, Darstellung der Blliptischon Functionen durch Potenz« reihen Crelle Journal LIV. 1857 (cf. auch Scheltbach. Elliptiscbi Integrale SS 93—96).

Die Arbeiten von Didon (Annales de Math^matiques 1873) von Morran Nouvelles Auuales 1870 von Hcrmite Grelle Journal 1876 und besonder! I Desire Andrä, Developpemeuts en s^ries des fone-

I tiooB elliptiqnes et de Icurs puissances. Aniudel

! de l'ßcole Normale VI. 1878. Pag. 265 etc.

Charnkterisch ist noch fUr diese Methode, dass die ncziehnngen ^wischen den transformlrlen Thetafunctionen mit dem Argument 0 unter einander von den Beziehungen zwischen diesen und den Teil- werten der Thetafunctionen voliständig nnabhäugig gefunden werden.

In der vorliegenden Arbeit ist nur erst der specidlc Fall der unpaaren Transformation behandelt, es leuchtet jedoch sofort ein, dass die hier befolgte Methode mit unwescutlicheu ModiScationea auch auf den paaren Transformationsgrad angewandt »erden kann.

w

1 drr rhtlaf»nc.

163

Ticsonderea Gewicht ist darauf gelegt, für die speciellen Fälle sämmtliche unter diesen GeBichtspunkt fallende Gaass'sche und Gö- ring'sche Belalioncn zu erbalten , und habe ich deshalb unter jeder FonncI die entsprechende Göring'schc in Klammer citirt and nur die nicht von Göring gebrachten Relationen zum Teil mit grosBea lateinisch cn Buchstaben bezeichnet.

Was specioll den Gang der Abhandlung anlangt, so sind im cr- Bten Absclmitt die Beziehnngen zwischen den trausformirten Thcta- fuDctionen fUr das Argument 0, also die sogenannten Gauss'ächen RL'lationen, anfgcstellt und im zweitun Abschnitt die Beziobungou zwischen diesen und den Teüwerten der Thelafnnctionon, und zwar befindet sich für jeden Abschnitt in S I das zu Grunde nelegte Ma- terial ZQsammengestellt , in g 2 die allgemeinen Untersnchutigüu, in § 3 die Hpeciellen Betrachtungen für n — 3, und in § 4 die für

Schliesslich möchte ich noch an dieser Stelle Herrn Prof. Krause öffentlich meinen Dank auesprechen für das Interesse, welches er dieier Arbeit stets entgegenbrachte, und für die Bereitwilligkeit, mit der or mir kq jeder Zeit die nötigen BUIfsmittel an die Hand gab.

§ 1-

FOr diese ganze Arbeit kommt nur in Betracht die Kenntnis der Theorie der Thetafunctionen und der elüptischen Functionen, soweit Jacobi sie in den ersten sechs Paragraphen seiner Äbhandinng „Theorie der elliptischen Functionen aus den Eigenschaften der Theta- rethcn abgeleitet" bringt, also die Kenntnis dee Zusammenhanges der Thetafunctionen unter einander und mit dem elliptischen Integral erster Gattung und das Additionsiheorem der Thetafunctionen und der elliptischen Functionen ; ferner die Kenntnis der drei Transfor- mation Sgl eich nngon für den unpaareu Transformationsgrad , welche die Grundlage dieser ganzen Abhandlung bilden:

I. (-1)"

... -|-ir„+iö,(v,r)#j,»-i(w,r)

•^

164 Müller: Zur TVam/ormation der Theta/unctioMH.

III. (—1) 2 ^i(v', t') = «1 V(v, t) +a:,^i--»(i;, t)I>,«(i;, t)+ ...

2

WO n irgend eine beliebige ungerade Zahl ist , femer v' = tv,

t' — — T — , wenn t ein Teiler von n, e^ — - und J eine beliebige

h '

ganze Zahl (0 incl.) <^ tj, aber ohne einen gemeinsamen Teiler mit

t und «1 zugleich ist.

(cf. Königsberger, die Transformation der elliptischen Func- tionen).

Vermehrt man in diesen Gleichungen das Argument um halbe Perioden der Einheit und des Moduls t, so folgen aus denselben un- mittelbar auch die Ausdrücke für die drei andern transformirteu Thetafuuctionen , so dass man aus diesen drei Gleichungen sofort drei Gleichungssysteme von je vier Gleichungen erhält, die man ver- einigt so schreiben kann:

A. 1) ^a,{v\ t') = a?i^«,-(t;, T) ± x^^ar^Hv, T)^i«(t;, t) + ... ...+ (—1) 2 a^i^a,(t;, r) V^v, T)

2

... + (-l)"2^ar^ll^^(t;, T)(^a."-Ht;, t)

2

3) ^-.(V', t') = X^9a -(«, t) ±ar,^a.--2(v, T)^«.«(ti, T) + ...

... + (-1) 2 a:>+i^a.(v, t)(^„.— Hv, r)

2

4) (-1) 2 ^t(v\ t') - x^&,^(v, T) +^^i"-2(v, r)^a^(v, t) + ...

2

wo die Indices a nach einander für die drei Fälle die Werte an- nehmen :

für I. «, «= 0, «, = 2, «3 -= 3 für IL of, =. 2, a, = 3, «3 = 0 für III. aj «= 3, ff, =» 0, «3 = 2

^Tind w

Müi

rr, Zur

■ Thelatun

105

ind wo im ersten Fall rechts Überall das positive Zoictien zu w&blen i«t, im iweiteu in den Ausdrucken für 9^', und &n, abwechselnd posilivcB ond negatiTos Zeichen, und du gleiches im dritten Fall in den Ausdrucken fdr 9a, and #.,,.

Man kann nun schon diese sieb nnmittelbar ergebenden Glei- ch ungssystcine zu Gründe logen uiid aus ihnen Relationen zwUcbou den Iransform irten Thetafunctionon mit dorn Argument 0 herstellen, iudem man anf beiden Seiton jedes Glied nach Potenzen von v cnt- «ickolt, nach Polonzeu von v ordnet nnd dann die Cocfficienten gleich bober Potenzen von v auf beiden Seiteu einander gleich setzt. Hie Anzahl der sieb so ergebenden Kelstionen wird um so gröaaor sein, da ausser den zu elimiiiircuden unbekannten Grössen x nur noch die Unbekannten ^„"(O, r) und 9n"{0, t') auftreten, wo man a fest gleich O, 2 oder ri aiinebmon kann, dünn mau kann ja die zweiton und liöbiTeu Ableitungen aller Thetafunctiunen durch die Tbotafuuctioiieu selbst aod die zweite Ableitung einer einzigen der drei geuauiiten Tbota- function'-n ausdrücken.

Hierbei aber tritt der Umstand erschwerend ein, dasa diese SHTCrilen Ableitungen niebt nur linear auftreten, sondern auch die Potenzen derselben. Deshalb ist es besser, man legt den Bctrach- iQDgen diese Gleichnngeii iu der Form zu Grunde, wie sie Herr Prof. Kranao für den Fall I. in seiner Kotiz, Acta matbematica 3, Pag. 9& unter (3) anhiebt. Diese Gleichnngcn folgen unmittelbar aus den obigen durch den Zusammenhang der Thetafnnctionen mit elliptischen FonctioncN und lauten für den Fall I. folgender massen:

■■,9j" + %V~^V8ii''('','t)4- ■•

= a-,ej"cn"(B, t)+x,&,"-2»a^cu"-=(u, 4)dn*(u, t)+ .,

„ + iBja&|ffj""'cu(u, t)dn*

— ir,Ö,"<''J"(», H) +Ä,#a"-"ff,*dn"-»(u, *)cn»(«, k) + ...

Mülle,-: Zur Tra,,,!,

n dtr Thelaßinftionm.

4) (-i)-ö;

wobei folgende BezicbaDgeD Btattündeo:

wenn mau notzt

ff„(U, t) = ön und 9a(0, t') — Oa.

Actmliclic, jedoch nicht so nnnloge Ausdrücke, dnssin&n sie wie die Glcicbnngdsyatemc A zds ammcn fasse u kann , ergebou sieb, Hpnit mau An uud Am umformt. Der Kurzo wegen gebe k-b sie hier nicht an, zumal man sie sehr leicht aua den GleicbungEsytemc ableiten kann.

Um nnn ans diesen Glciclinngen Relationen zwischen den trans- formirten Tbetafunctioneu za erhallen, muss man die elliptischea Pnnctioncu an, co, du, sowie die Potenzen und Prodocte derselbea nach Potenzen von u entwickeln. Es ist nun aber nach Königsberger, KUiptisebe Functionen II. Pag. 81 und 82, wenn man die Hodalit und CompJemcntarmoduln darcb die Thetafonctionen mit dem Argv ment 0 ausdrückt:

äUlM) =

cn(«) = I- "2-,+ 4", — s^l— -6! ""^^ + -

6 16V+W»,*V+16#,"

'31 »,' +-

"'"' -'-•+■' 3! ^V" - " 3,5! V '

cniw 1 ji"+"4! ,^< "2 5] -j^i

+ ...

■"""' - 1 -21" +» 31 »p " JJi 7^.

l''-'-2!"+"'ii — y —

_ ,1 8oy+u2oyy-fi2o5y ,

" 61 ».' + -

y ^ 2 y y+ff; y"^-" 31 y y

' 3.61 y "y

-- + ..

», , 3 y ■ 1 ,3y(7»,'-H».')

«.) -i-2j ^i""+"' — ys?"""

■ _L V 6iy+i64yy+i6y , "" 2.B!y y " "*"■■

4^ y 2 y 5y+2y 21 y"+" 31 öu* y „ 2 y i36e,»+244yy+i6y , "3751 y «f + ■

5 y ,. il y65Ö.M-20»B*

-Si y "^^ fi y — y — , i_ y ii»5y+i42o»,'»,'-|-8(».'

[ Ich habe hier dicEO EDlwickluugcu iiud niclt die Jacobi'schen ) gelegt, weil sie Bicli iu dieser Fonn beaficr für Dbseru L eignen; nnd ferner habe ich die Potenzen ana den einfachen

berechoet und sie nicht aas ilea loa D^sirä Aadrä gegebenen aUgtt meioen ResultatPD darcli Specialiairuiig abgolpitet, da crsl«rc8 ftlr & bisher von mir behandelten ipeciellan Fälle viel leichter ist.

Ferner sind nna uoch fur die speciellon Fälle die Prodncto j zweier dieser Aasdrücke zu bilden und ewar die Product«, fttr die Summe der Eipoiienten respoctivc = 3, 5 ... 2g+l sind, I EUrzo halber will ich jedoch auch diese hier uicht angeben, nur i möchte ich bomorkfu, dusi die Producto cii^i'u) dn''(u) den Producl cn'(u) dni'(u) gaui'. analog sind, dass man die letzteren Dumittell bekommt, wenn man bei den Aus rilclteu für diu crstercn die dtces 3 und 3 in den Zühluru vertauscht.

EudUch ist I FuncUou vou u

jch der Quotient

&=(!-'

t')

cutnickdn.

"ä"l 'St, 80 kann man diesen Quotieut nls eil L, und er wird entwickelt die Form anüehmcn

Es ]As3t sich jedoch nachweisen und stellt sich auch bei deu woiter Unter Buchungen heraus, dass alle jum+i — 0 sind, man erhält soi fQr/(u) endgültig die Form:

Die Grössen y enthalten, wie man unmittelbar erkennt, «icdi

die Unbekannten &a" ttnd Ua" und zwar in der Form ''p;— — ";

und der Potenzen von diesem Ausdruck. Wir betrachten dcshi bei der Aufstellung der Gauss'schen Relationen die i/ als ünbel und haben es so, wenn wir dann die Coufliciculon gleich bober P( tenzen von » auf beiden Seiten einander gleich setzen, mit Gldcl gen 2u tun, in denen die Unbekannten r und >/ nur linear udI was die Elimination derselben wesentlich erleichtert.

Bei den allgemeinen Betrachtungen müssen wir die GrÖssan jedoch berechnen, da dorl nicht so viele Gleichungen vorliegtin, n auch die y zu eliminircn.

Hierbei ist es dann wesentlich, dass man die verschicdcnon AI leitungon derThetafunctionen mit dem Argument 0 durch die Theti fanctlonCD mit dem Argument 0 selbst nud die ztveitc Ableitung eiui einzigen ausdrücken kann, leb will deshalb hier die Ueziehuugt ewiscben diesen Grössen zusammeastelleD, wie sie sich aus der Bq

Müll fr: Zur Tran$formation der Thelafunclioneti. IQQ

Wicklung der Gleichungen der Jacobi'schen Tabelle C. (Jacobi's ge- sammelte Werke I. Pag. 510) ergeben:

Nach der hier gewählten Bezeichnungsweiso ist *.#,"=. {>,^,"— »»»,*3&o*

<>/ - 15«'^»<>o"*-10»»*,Vo"(V+V)

+«**o<^,*s(*,»-|-4*,*,V-H»*) - -

§2.

Setzt man in den Gleichnngen Bi für die Potenzen und Producte der elliptischen Fuuctioneu und fttr/(u) die Worte ein, so nehmen dieselben, wenn mau bis znr fünften Potenz von u fortschreitet, fol- gende Gestalt an:

-hr,*3"-!'v(«*-ä*^^^^-)+*»V-*V(»*--)+.- 2) S* V(yo- •••) » »-i'Vd - ••■)+a's' V -'^8*(i-- )+ -

2 2

170 Müller: Zur 7ra»$fonnation der Thetafunctiontn.

3) öo^o"(yo~ ...) = a^,^s*(l- ...) f a-ir^s— 2^«*(1~ •.)+...

2 "2"

ar,ds"(tt«— ...) + ...!r«-sV*3"-*(»*-...)

Hieraus ergeben sich dnrch Verglcichung gleich hoher Potenzen von u folgende Gleichungen:

Aus 1)

a) yo = a^j

Aus 2)

0

2

Aus 3)

Aus 4)

a) (—1) 2 tO^O^Q - ^2^8««+l

2

b) (-1) 2%o«'Ö203(0,*+03*)-6yaV^2<^a)

2 2

C) (-1) "<O,0.{(Vn(O/+40/0g»+0s')

1 siebt Don unmittelbar, dass diese Gleichungen nicht hinreiuhen, nalley and:r zu climinircn, zumal mau ilio sich aus 2) und 3) er- lendca allftcmein garnichl bcaulzeu baun, df^on in denselben treten mcr alle Grüsson x vou x^ bis rn-n auf. Wohl aber können wir

vBit Uülfe aller sieb aus 1) und 4) ergebenden Gleichungen nach einander alle Grössen x durch Thetafunctionen mit dem Argument 0 ond die Grössen y ausdrücken , uud da die n sieb durch die Theta- fani'tiünca und jenen die zweite Ableitung einer derselben fUr das Argument 0 enthaltenden Ausdruck, darstellen lassen , so wird man jede der GrÖBsen x durch die genannten Grüsscn ausdrücken können. Da dieses spStor fUr die allgemeinen Betrachtungen bei den Teil- werten der Thetafunctionen benutzt wird, so will ich es gleich hier für die Grössen x,, zj, ^g, rmn, 'n^i nid ^h-s durcbfUbren :

^

Aus dem Taylor'acbcn und dem Leibnitz'schen Satz ergeben sich

ff„(v'. t')

ür die ^ in der Entwicklong von - Ziehungen zwischen den Gri^esen i Werte:

—,, wenn man noch die Be- < berücksichtigt, folgende

Analoge Werte erhält man in den beiden andern Fällen für

Setzt man diese Werte in die obigen Gleichungen ein, : gebeo sich fOr die Coefficienten folgende Ausdrücke :

172 Müll er; Zur Tränt formation der Tketajunetionen.

I. fttr a, — 0

«•»+1 — (—1) " t - -

-(«»(o,«+o,*)-(V+V))}

"" 12«» V O« "*o 7

- f 2( V + V) [«*( O»^ + 03«) - (V + *8*)J

- ri-.C<*(o,«+4o,*03« + 03»)

120

- (*,» + ( 10« - 6)»t*»a* + *3»)]}

II. für o, = 2

t'

t—l

, ?f tOpO^O, (3/0," ,V\

+ (<»( Oo* + (h*) - (V + *3*))}

'J

Atüller: Zur 2ran$formation der Thetafunctionen. 173

_ ?oH- V f ,, ö,;: _ „ vx _ 1 ^o ,0 ,_ „^ ,^ ,a

6«* V Oj ^, J 12 ^ "» "» "*» *» ^j

<*(o,« + o»*)-3(V+V) /„ O," *,"\ - ^ (V+ V) l<*(0o*+ o,«} - (V+V)]

III. fOr a, — 3

^ -^.

a-M+l = (—1) * < oÄ""«» —

x,-i =(-1) «.»-WU^V^""^;

, 6»o»»,

x^, - (-1) ^-^,_^g^^< ^^ _„^^ j

12«» y Oj "*, /

- ^(V-V)[«*(Oo*- o,*)-(V- V)]

- (<>o» - (10« - 6) VV + V) ] } •

174 AlülUr: Zur Transformation der ThttafuncHonmk,

§3.

In dem spcciellen Falle n = 3 können wir uns auf eins der drei Gleich ungssysteme B. beschränken z. B. auf B/, denn man be- kommt durch alle drei dieselben Gleichungen. Das System B/ nimmt aber für n => 3 folgende Form an :

= a-i^j'cnV, ifc) + a:,^,Vco(u, k) dn«(u, k)

3) öo^o*dn(u,c)^^i^-^

« 0-1 Vdn3(u, it) +x,i^3 Vdn(u, ifc) cn»(u, Ar)

4) (-i)^'o:v8u(u,c)^^;^;;>

Eutwickelt man hier nun in der angegebenen Weise und sctsEt dann die Cocfficientcu gleich hoher Potenznu von u auf beiden Seiten einander gleich, so erhält man, wenn man in den Entwicklungen bis zur fünften Potenz fortschreite^, folgende Gleichungen:

(1) yo = 'i

(2) yoVÖ2 -^iV<^0+'2^2V^0

(3) yoVÖ3-«iVöo + ^sV^3Öo

(4) (-l)2yo«Ö,03«aj,(^,^3

(5) yjV-'a^j^j'

(6) e*yo^o^Ö,03* — 2ysj^o^VÖ2

(7) <»yo^o^Ö2*Ö3-2yjVV<^3 (9) 3y, V iC2^2*( V + V)

Müller: Zur Transformatton der Iheiafunctionen.

175

(10) <Vo*o'ös08*(40»*+0,*)-<*.12y,*o'VO»OjH-24y«WOi

(11) <*yo*«»0,«Oj(0,*+408«)-<«.12y,*o»VO«*0,+24.vA''V03 =.ar,*,**8»Oo(7V-HV)-f'««»**80o(<^»''+24VV+8»3*)

t— I

(12) (-1) a <0,08{t*yo(0,« + 40,*Oj«+ O,»)

- 2üt«ys*3*( Ot* + Oj«) + 120^4^1 = - XieO^gSt-fjäC V + V)

Diese 12 Formeln, die man ja noch beliebig vermehren kann, wenn man in den Entwicklungen weiter geht, sind eine ergiebige Quelle fOr Relationen zwischen den transformirtcn Tbctafunctionen Oa *» ^a(0, t') nud 9a = ^a(0, t). Combinirt man sie nach und nach mit einander, wie es die Klammem vom angeben, so erhält man folgende Relationen:

(1, 2, 3) I »aOi = *oOo+^«0,

<-i

(1,2,4) II ^'-?t^-(-l)2*»30,

«-1

(1, 3. 4) in §-' - ^' ■= (-1) 2 t9,0.

(2, 3, 4) IV

'0 ''J

o.

o.

t-i

(-1) 2 t»oOo

(1, 2, 5, 6) V «»O,*- V - 2^(VO«»+V0,*)

(1, 3, 5, 7) VI ««O,«- V = ^^o, (VOs»- VOo*) (V-VI) VII «»Oo*+V-2*oOo(^'+^*)

O,

t—i

(1, 5, 6, 4) VIII t«0,*- V - 29,»,-^^((-l) «<0,»+V)

O,.. J-=^

(1, 5, 7, 4) IX t*0,*-9t* = 2<^,<^, ^« ((- 1) 2 tOj«-!- V)

(VIII-IX) X «»Oo*-V"27f^(VO»*-VO,*)

(1,2,5,7) XI t«0,^ + V = 2V>.(ö;+^)

182

.• Z.,r Tra.

Aas diesen drei Glcichaogcn Itaan roan, wenn man die GlJisdi IQ bestimmterweise zusamrnenfasst. sowohl das Gleich nngaeytcin {lUJ als aacli dae Gleicbnugssystem (5) herstelle». (10} hatten wir aber schon vorher direct bekommen und cbonso erhalten wir (5) namitt«!- bar, wenn wir die Gleichnugtisystcme Vi) und (3) mit einander mulü- pliciren. Ans obigen Gleichuagen folgt nnn aber, dass sie nicht nur fQr Oa " ea(0, 3i) gelten , sondern auch für 0„ — ö«(0, 3t-f-8) 0„ = flofO, Si-f-lß). Das ülek'hnngssy Stern (6) lantet folgettder- massen

(r^) (?-?:") -'■■".■

Macht man femer anch XI und XII homogen, so ergeben sich < Relationen

»a'0i*(&»'0o'+*o'0,')+9(*0n*(3,'0„*— .-'„»0,") = (E)

2Öb Od 0,0j( V 0,+ V 0„)

Endlich liefert nna noch XIII, wenn wir es homogen nucliuj die aufgelösten Gleichungen (l) und zwar für e = 3 (l), und i = J, 4 = 0 (l)j, XIII erhält so die Form:

Die Glcichungon (1) selbst erhalt man hieraus durch folgend« Verfahren;

FUr den Fall t = 3 kann man die Gleichung auch so schreib«

l'V, »aV ..V/V, V »,ViW, V

-2"; (?,-3»,0,)+4JJ-+g!, (,»chn)

Müller: Zur Transformation der Thetafunctionen. 183

Hieraas folgt nnn anmittelbar

oder

f +Vf-Vt - ^''-

'0 ' ^8 ' -2

GaDz analog ergiebt sich fttr t » 1 (l)^, so dass man erhält

V'^+Vt-V'^-o

s ' "«

(1)

l/?+l/f'-l/f=»

Mit den Gleichungssystemen (1) (2) und (3) ist nach Vorgang von Göring auch sofort (6) gefunden. Zerlegt man nämlich die Gleichnngeu (2) und (3) und beachtet die Beziehungen (1), so folgt leicht

(6)

2 ' "'S

^n+v'i-vt-o

In gleicherweise könnte man fortfahren und auch die übrigen Glei- chungen umformen.

Dieselben werden aber um so complicirter , je weiter man geht, and will ich für jetzt davon abstehen.

1

184 Müller: Zur TramfortHoiion der Thetafunctionem.

Ferner kann man auch noch die Gleichungen, die sich fllr die speciellcu Fälle t = 3, nnd ^ « 1, | « 0 ergeben, mit einander com- binirei), zumal die Gleichungen für ^ = 3 mit Hülfe von II, III md IV für / '^ 1, f = 0 umformen und umgekehrt.

Tut man dies bei den linken Seiten der Gleichungen /*, so er- hält man

(11)

und noch vier andre Gleichungen, die aber auch direct ans diesen entstehen, wenn man anders zusammenfasst.

Aus diesen Gleichungen und aus (F) folgt noch sofort

0

(G)

i^oW-^Oo^^^^)^ « 4 (jS(fo^^,0,0^

i9 6

^3

(i^oW+^O^'O^^)^ = 4ö^^V2^^^2

Bio meisten Gleichungen, die man so erhält, sind schon untor den früheren als specielle Fälle enthalten, als neue habe ich nur noch gefunden:

(D)

^2^2 ^0^3

Fassen wir jetzt Alles zusammen, so sehen wir, dass sämmtliche von Göring angegebene Relationen auch auf diesem Wege gefunden sind, und dass dieselben zum grossen Teil in erweitertem Sinne gel- ten, es bestehen nämlich die Relationen (l)g, (2), (5), (8), (9) und (10) nicht nur zwischen »'^«(0, 3t) und ^«(0, r) , sondern allgemein zwischen ^«(0, 3t+8S) und (^aiO, t), wo J die Werte 0, 1 und 2 an- nehmen kann.

Ausser iliesen Bezielt uitgen siud abi^r noch biug ganze Reihe an- r ahgplritet, von denen die meisten aueh ganz allgemein gelten SStens üQr den Fall / ^ I .

Fomeln , die Göring zwischen ^«{0. 3t) . *a(0, t) und

^a (o, ^ j angiebt, lif'gen ausserbatli des Bereiches der hier gefubrtea

Betrachtungen, ich wende mich deshalb jetzt sofort zum Fall n ^ &.

l Anch für den Fall « = 5 genügt es Zwecks Herstelluug der ie*sctien Formeln eins der Systeme B zu eiitniokelu. Ich wähle f «riedtr das System ß/, dasselbe nimmt für n — ö folgende Ge-

n''(«.t)+:r,&^iÖjäenS(u,t)dn*(«,*)

t)

Oj

-f3-j#jff^'8n(i., i)

irjÖ,^nS{«, )i-)+!rsft,»»a*s"'i". *)

\ Schreitet man auch hier hei der Entwicklnug his zur fünften leoz von u vor, so erhält man folgende 12 GteichangeD;

(1) t/o-',

(2) »o^Orfia = #,*0„a-,-fa-,#s,a<fs»0„-J^j-,J>,9/U„

(3) »„'Orfo = *a'0„?,+a--,#jä#3'n„-}-j-3ff/9sOo

(4) lOtO^a - *i*^3'= (6) tf,V. — 9»*3-,

(10) t'ffol'a^Of 0*ii f ('+ Oj')— 1 2( Vt*o*''s' OiOi*+24y4Äo**s'*

(11) i'saeo'0,*0,(0»*-HO,*)— 12(«y,»uä^a*0,'Oj-|-24y,»o*»3"0,

(12) 'VOsO»{fV+40t*03*+Os")— 20(VV'*''a(ÖB'4-03«)

+i,fr,ö,(.v/-|-4ft,^e,«-Hf,'')

Diese 12 Gleichau^oa enlliatten nur die eUiibekaniiteuyo. ys.y4t't *,, a-j, ergeben als«, weuii man liiese eliininirt, eine Menge Relationea zwischen ön(0, i') nud »=(0, t), wo ««(i), i) = O« für t = b den Werl »„(0, 5r) hat , dagegen für » =* l die fi ierscliie<]eueu Wwtt

aoiiehnien kann &a i

sten dieser Relationen sind:

-(<^'^^.

, 2, :i und 4. Die elegant-

oder

(21)

'„ + ff, »s

Diese Formeln repräscntiren uus für die spocieilen Fälle ( =■ 5 nnd r = I das Göring'sche Gleichungssystem § 4. (21). für den Fall t -^ 1 DBtUrlicb wieder eine Erweiterung der Gleicliuiigen (21), nnd (21)«.

Die übrigen Bezichnngen , die man durch die Combination der Gleichungen (1), (2), (3), (4) (5), (G), (7) erhalt, bieten sich Killti Teil zunächst in nicht sehr schöner Fonn dar; da mau sie ansserdArn alle bis auf die Fonnel, die man durch Combinatiuu t»ii (4), (5), (6) and (7) bekommt, mit Hülfe von I auf einander reduiiren kann, will ich hier nur die elegantsten derselben angeben:

■	nülUn Zur Trai.il/nrmalioa ,1fr 1 Ulahai-HoHtn . ]87 T
^^w^	B, „ ,.„,_3,v=2:-^.+2»^i^.-2„,o,(,>^:) 1
< (3. 4, 6	V, „I ,.0,-3,..=2'^;^.-2;^«+2,»,0.(^i-^.) J
( <ii-iin	'V -.•-^'••=4:'|'-C"+»-'°-(^--g) 1
(2, 3, 5.	6) V .■0,<+*a' _^^B
	-''''<i + "4)-*oft'»-"'«"+'-"'-'' '^1
(2. 3, 5,	7) VI i'n,'-|-»,' ^^H
j	- «»•"'■(o: - «M«.'"-'""'-"-""""' 1
/ (2, 3, 6,	vn >'o,M-V ^^H
'	■-^''.■".('^- '4)+^SI""-''-'-'-"''''' ^^
(4. S, 6	7) Vm 2l'(i,'O,«O,O.+3l'0„,V;,O,O,O,(,VO,'-D,'O,') S
Dl	+2l"9.0,0,0,(»,«0,"-.V",')+2i».0,0,0, ^^M
M	X(9,'0,-H»,>»,'O,-4«,'»,>0,-»,'0,) ^^^H
■	— (Oo»OiOB{2.V— 9fri*ffM*+2tf,i*) - 5*s*V0()*- ^^^H
^R*.ä	81 IX »,0.",o,|<"(0,'+f),5-(»,'-|-».')l ^^
)	-6l"V-'iOi"-6''WO.O.'o.'+6.».'(».'Oo-'>.'0,)
■j (3, 4, o	8) X «>,U,0,o,|l'(o,M-'V)-(»i'+«j')l
(	-6(».'o,VJ,-61>9,VJ„o,>tJ,>+6.V(«.'o«-V.)
(2, 3, 6	8) XI (»Oo''J,03(0,*+Oa*)
	= {V-l-*a*){*i*»t^o*-5*o*a«ü'Ji+S*<j*itJnOs+6VfJ<0»)
	-6».'o,o.(V.H*.'o.')
, (2. 4, 6	8) Xtl ».a.O,o,l.'(20,'-0,')-(5V+2e.')l
- - 6(»VOD*t'»OnM-6'VOu*0,,-f6»„ei(,VO«— 'Vo)
1(3,4, 7	8) XIII (&nOoW/>3|'3(2o,*-03*)— (2V+593*)!
f	= 6e»Vo*0,»Os— 6^VOo''-'i+6*n*»(V03— VOo)
/ (3. 4, 6	8) XIV i9,»,0.0,0,li>(20,'-0,<)+(7V+».')l
\	= 3(*<Jo»Oj03»(2i',S-V)— S'M^'Oo'Og
\	+31»,9,0,0,>(2V+3».<)+6».»A(VO,-»,'0.)
\lH,7	») XV i»„9,0,0,0,|l'(2O,<-0,')+(V+7V)l
	3t»Oo»C»,*tt3(V+2#3*)+9"',V30o»o, ^_
b	+3t*off303 OjVSÖjS-äVH-fi^oöjöjC*,!^",— vo«) ^^^1

188

, Ar 3-m../.r,

JTttlofiinfiioiifn.

f(i, 6. 6. »} XVI 2t*VO,*Oa{0/-2fV)*2(»*,=Oo",0,(t^*+fli*>

\ (4, R, 7, 8) XTII 2t».V'V,"3'(0„*— 2«/)+2[».V'*ö"»f>«W+fli^ -f 3<*»g*»s 0„ Of Oj ( 0,*-f 05*)-f 6<"»,» OflO,* Oj«{»,*4-4 V)

Aus diesen Rotationen, die zum Teil schon sehr dnfftch sitd crhäJt man noch eine Reihe anderer, wenn maD sie mit Hälfe de Gleichung I umformt. Macht man durch wiederholte Anneudnog voi I die Gleichungen U , III nnd IV homogen in Bezug auf die ^, s ergeben sich folgende elegante Beziehungen

Hieraas folgen unmittelbar durch Division je zweier Gleicbanga die Formeln

und somit nach (A)

(G) 29a"Oa*— 2»u"V-

Vo.»

Ergänzt man feruer die linkeu Seiten der Glcii:hnuguii V. VI I zum Quadrat, so erhält man folgendu guhr schöne Beziehungen

(B) (»i'-iO,»)» = -2 ij'y (»a'Ofl'-^n'tJyi-ajio,»)

Ans (B) nnd (G) küuntc i ziehuDgen herleiten, ich verscfaiobe dies jedoch snf später.

noch liue Reihe VOD ]

Man liat aorait scUou eiiio gnnzo Reiho num Teil solir eleganter ft«lalioneu, unter alleu diesen brtiiKlcn sieb ausser in 1 keine von Goring angegebene. Solchü erhftli man erst, wenn man die »vc- inellen Fälle t =^ b und c ^= 1, £ ^ 0 mit einander combinirt, cUuu aber er^ebeu aie sieb meist in sehr einfacher Weise, wie folgt:

Ich will za diesem Zwecke die Formeln, welche sich ans den obigen für t = 5 ergeben, mit einem Strich bezeichnen, und die fUr ( := 1, I -= 0 mit zweien.

Addirt man I' und 1", so erhält man. weuu man richtig zu- sammenfasst, {I7)j . subtrahirl man beide Gleicbungen, so (17),; und mnltiplicirt man I' mit y'i nnd I" mit ö, so ergibt sich addcndo (I7)i nnd subtrahende (n)^:

f <1I*

■ (v'öOa^-!^s){Vö«o-J^o) (»»-yöo,) = 4VA

■ Mit dem Gleiubungssystem (17) hat mau anch sofort (16K ^ Bp je zwei Gleichungen von (17) mit einander multiplidrt.

m (V— f'n')C''(('-'*(i')(V— V) = iß^u'W

■ (»$'-•'>%*) (»o'"äü„») {»,'—6'-',") = Iti^o'^i^Oj» V Uultiplicirt man I' und I", so folgt

Diese Gleiuhang eutblUt sämmtliche Formeln (15) in sich. Man kann sie nämlicb auch schreiben

1 Ei^nzt man die Klammern «o, dass man resp. I' und I" darauf tenden kann, so erhält man unmittelbar die Gleichnng H^O,, iu

•Jber Weise erhält man, wenn man die Glieder, in denen die Ani- ' ^t^fOt, nnd \0jO;^ vorkommen, /usammenfasst, {lb)f anil

t Mulog 115),:

^H 190		liii nclalitirlitwn.	1
^H Ersetzt	man ferner in (E) zwei der Klammern durch AiwdrfidcoH
^^H mit der dritt^'n uaub (F), so folgt die	Wichtige Ri-Iatioii
^^1	»»"oOsO, = Wt+'*Pp)'	".0.
^H uder nach G
■ (U) i6»..M.0A0. - "'"-JK*^"-^
	(ff^Os— ffsC,)
^ ffjo»;
^H	■2ft^' 0.«— 2»„' Ou" -2 »/ 0	« = (ltiVj'"^s'*oOA'»
^H Maltiiilicirl mau (B)' mit (B)", bo ergibt sich unmittelbar
^H (a) (9)	(V-V){50,»-ffs') -	(»i'-».")(».'-60.")
	= (V— On'HV— Si^o	) - 2(V".'-».Oj'-»i	•0.1
^H	[ituidmng entbalt ferner noch das Gleiubangasystem	(T|
^^H man erhalt dieses daraus nur mit Hülfe von der Glcidmng
^^H Es laDtut	a^i = !>„' + V.
	(ff3'-o,»j'-(eo'-o„v =	. «),-( V-'V) J	■
	(V-^a)*— (V-O,*)« =	40."(»,>-l),») 1	■
^H	(.V-V)'+lV-"o')' =	lOAV-o,") 1	■
	(5rv-V)'-(5«o*-ö<i*)	■ _ 4e,>(50,"-9,") 1
	(5o,*-e,*)«-(50,*-v)	= 4ffo*(5öu*— V) T	^
	:,^./_,f^«)i^.(5o„»-9„»)	- 4»,>(50,>-V)	^
^H G	khuugssystemc (8) (9) und (U) liefern ans sofort	...J
^H	-",'HV— 50,*) = (V—	°Q')(V--i'V)	1
	M9s»-Os'')(50,''-V) =	(lßeoe,9aö„'J,o»)i	1
^^H and oben«» (B) and (14) die beiden	Sleichungseyettimo J	J
		(4eo9,ös}t 1	■
	(1«) V-'V = K^	(40„0,0,)i 1 (49o»i*s)* ■	■
^H nnd	oo»-^.' ■= y 0-	(40,0,0,)> 1	1

aiatltr: XuT r.a

.hr ntla/ufta

5(-,»-#,* - y ^^ (4ö,ö7)7j(

Mit den Gleichungen (18) und (19) sind dann aln>r iiach GüriiiK Kh die Systeme (20) nnd {S2) uumitlulbiu- gofuiidru.

Zum Schluss möchte ich noch eine andere SctireiliweiHC dor He- Islionen (31) anfDhreii, welche iius uii mittelbar zu einer von Gauss BUgeKebenen, von Göring aber nicht, erwähnten Formel fuhrt. FosHt

^^man die Glieder in den Formeln (21) in beatimmter Weise zusam-

^^uien, 80 nimmt dieses System die Form an

(L) Kh—'\0,)=f\(»^O.j—»^0^); Oa(3-„»a— 5''>«Öa) = *»(*ü"ii"*a"u)

ond hieraus folgt unmittelbar

(N) atH»o^i—o«Vi) = o,»(*„tfj— sOgüj)

#s*(*o«*+'^Oj) = ".,»(ö„d,-|-50oO,)

Hit UDife von (K) liefen uns femer (L) folgendes GleichungB- Bystem:

0«» (0,05—0,0»)*= leffoffjöjöoOA »>

(O^Oj— *,»,)• = 16»off,»,0„0,0, -*,

(Mi+O«0.)* = 16M.*.Oo OjOa ^"

(*,»,— 50, OJ« = 16*<,»,ffaOöO,'^^l

( V.— 50.0,)* = 1G»,»,»J OA'^ ^

1

192 Müller: Zur Transformation der ThetajHHCiiom^n.

Eine dieser Gleichangen giebt Gaass an (cf. Gauss Werke II 475), jedoch moss dort ein Versehen vorliegen, denn er giebt als Wert von ^o^«"f"^o^t ^^^^ welchen wir für ^o^t+S^o^« haben.

Es ergeben sich also auch für den Fall n = 5 alle von Göring und Gauss angegebenen Formel nach unsrer Methode und ausserdem noch eine ganze Reihe andrer eleganter Beziehungen.

Nach diesen Ausführungen wird es einleuchten, wie lohnend der hier eingeschlagene Weg ist, um Relationen zwischen den transfor- mirten Thetafunctionen aufzustellen, und offenbar erhält man für jeden Wert von n eine ganze Reihe von Beziehungen. Jedoch will ich für jetzt hier abbrechen, indem ich hoffe, dass es mir gelungen ist, die Fruchtbarkeit dieser Methode nach dieser Richtung hin nach- zuweisen.

Abschnitt II.

§ 1.

Um die Beziehungen zwischen den Toilwerten der Thetafunctionen und den transformirten Thetafanc- tionen für das Argument 0 aufzustellen, müssen wir nur noch den drei Gleichungssystemen A eine dritte Form geben. Sucht mau die n verschiedenen Wurzeln der rechten Seite, so ergiebt sich un- mittelbar , dass man die Gleichung A4) für den Fall t ^ n auch so schreiben kann:

M-l M-l

(

wobei

c =^

M— 1

^1

M-l

2

ist.

?'»•■(!)

Analog erhält man für den Fall t =- 1

wobei

-*«>)*.* (a-„^'))

Müller: Zur Transformation der Thetafunctionen, ^93

c =

^1

n-1

M^'--^

ist.

Diese Formeln ergeben sich auch als spccielle Fälle aas den von Herrn Prof. Königsberger angegebenen (siehe Königsberger Elliptische Functionen II Pag. 95 oder Transformation der ellipti- schen Functionen § 24).

Vermehrt man jetzt wieder um halbe Perioden von 1 und r, so folgen fOr < » n die drei Gleichungssysteme

r

2) 4>«.(nv,nT) = 5-1

3) ^osCnv, wt) =-

tt-1

4) (-1) * ^i{«t;,nT) =

WO die Indices a der Reihe nach wieder dieselben Werte annehmen wie bei A, und wo überall das negative Zeichen gültig ist ausser in den Fällen, wo bei A abwechselndes Zeichen zu nehmen ist, dann muss man hier das positive Zeichen wählen.

Ganz analoge Formeln erhält man für den Fall < = 1, nur tritt

Überall an Stelle von - rechts h und links natürlich an Stelle

n n

von ^a{«v,nT), ^alv, ); wir wollen diese Gleichungen hier

nicht angeben, sie jedoch mit F" bezeichnen.

Aich. 4. Kftth. ■. PliTi. 2. B«i]ie, Teil I. 13

194 Maller: Zur Tranaformßtion der Thetafuntstiönen.

§. 2.

Für die allgemeinen Betrachtangen sowohl wie für die speciellen Fälle wollen wir hier überall Ton vorne herein die Fälle t = n und t » 1 nnterscheiden, erstere liefern nns die Beziehungen für die Teilwerte der reellen Periode , nnd letztere die für die Teil- werte der imaginären Periode.

Bestimmt man zunächst die Coefficienten der Grleichungssysteme A durch die Wurzelwerte der Gleichungen, wie sie sich unmittelbar durch Yergleichung der Gleichungssysteme A und F ergeben, so er- hält man für den Fall t = n:

H-l

2

8

a

also

2

(-1) .cm,%) = (- 1) ^-n n» ^x

n-1

-. = - 4'-'(;Hi) ■ ^-f^y-i^-m--'' fe')

~^'f^''^ *"^"'

M-3

w-3 "2

Mülltri Zur Traniformation der Thetafitnctionen, 195

(-1) ' ^Ä

»="-*• »-1

••••••(*?>'('M^')-Mi?)

^a* A=l*=2

*■■('>■•©

*«»?* ^^,^Ä\ »=1 t-2

o.fve)'°tT-^'-'Q--(¥M^').-

■■v(^Öv('?)-v("£')

wo flberall die Summe nach h und k zu nehmen ist, und für jeden

w— 1 Wert von ä, k alle ganzzahligen Werte von ä+I bis — ö- durch- laufen mnss; dasselbe gilt von den folgenden Ausdrücken

'=? - '-« '- Afa v(-0...».f-^X-)vC-±i)-.

-».<¥M!)».'(^)-v(^')

; Zur Traif/ormalion dir Thelafum

V .=,« vg)..v('-^')v(y^') ...

•■>.f7')v('!^)..>.'(^i?)

Ganz analoge AusdrOcko erhält man fOr den Fall t ^ 1, nor

tritt überall

1 Stelle V

Setzt man nun iu diesen Forrocln für die Coefticicntea x, die in Abschnitt I, S'2. gofundeneu Werte ein, so kann man jede dieser Som rosp, Producto der Teilwerte der Thctafunctionen durch die trans- formirteu Thetafnnctiouen nud jenen die zweiten Ableitungeu d«^ selben enthaltenden Ausdruck darstellen. Der Ausdruck für x^ liefert 80 nichts Neues, wohl aber alle übrigea von f^jj ab. Mau erh&lt

~i so folgende merkwürdigen Relatioueo zwiscbeu diesen Grössen:

a) durch den Cocfficieuten o'b+i.

)für	dio imagin	äre Porio	do.
		.(.	--^)	(-!)"•'	-' "A
	.(..	'-^)	»,»,
		.(.	^-^^)	(-in	'».Ol
	.(..	'--^0"	V.
		■('•	'-^)	(-1)-!	-' 0.0,
	■('	'^)-	».*.

Malltr: Zv Trant/onnalion lifr Thrla/andionen. J97

Diese drei Gloicbungon sotzcu uns in den Staod, sämmtlicho von Herrn Dr. Göriug für den allKemcinen Fall abgeleiteten De- zichnngcn Ewisflifiii ilen Tci!wcrt(vi ili'r imugioären Periode uiid dcu sformirten Thetafnnctionon herzustellen, wenn wir nur die Gloi- [ hinzaEiehen

29,(i, r)9,(y. t)K(^, T)!y^{u; r) = ■\&j»3&,{2a-, t)

Anch Herr Dr. Göriag hat dieselbe benutzt und gieht aio g 1 (19) \ sie folgt unmittelbar aus der ersten Gleichung der Jacobi'schen ibcUe A (Jacobi'a Werke 1 507}

^n man *-=ir— ^, j=x — ö+ö, « = ^-)-ö ""^ « — ic sotzt.'^ Giebt man x der Reihe nai:h die Werte ^^- ■ 2 ^^iJ, — und mnltiplicirt alle diese Gleichungen, so folgt

Es ist nuu aber, weuu ^ eine gerade Zahl bezeichnet,

I rieh analog den Oöring'Bcheu Betrachtungen für den speciellen I £ = 0 § 0 I leicht nachweisen lässt.

[ lat dagegen — s— eine ungerade ZabI, so erhält der let^ite Factor Form e "

Han müBste demnach im Folgenden zwischen diesen zwei Fällen

^

198 Müller: Zur Transformation der Thetafunetinne^*

unterscheiden, setzt man jedoch jetzt - — - =- r, so ergiebt «eh

n — 1 • sowohl, wenn — s— gerade ist, als auch, wenn es ungerade ist,

H-l I»— 1

2 2~ (H-UMw-l)

denn der letzte Factor nimmt dann in beiden Fällen die Form

Fflr den spcciellen Wert $ « 0 fällt diese Gleichung mit der Göring'schen § 9 I (5) zusammen.

Setzt man dies in der früheren Gleichung ein, so folgt

W— 1 l»--l M— 1

M— 1 2 2 2

wo

ist; diese Formel schliesst wieder als speciellen Fall die Göring'sche § 9 I (6) in sich.

Nach den früheren Gleichungen können wir nun aber jedes der in der letzten Gleichung auftretenden Producte durch jedes andere ausdrücken, eliminirt man mithin zwei derselben, so bekommt man einen Ausdruck für das dritte Product und somit auch sofort die entsprechendou WiTte der anderen Producte ausgedrückt in Theta- functionen mit dem Argument 0.

Eliminiren wir z. B. die Producte der Teilwerte ^^ ^^^ ^st so erhalten wir die Relation

H-l

n-l . («+l).(n-

- - TltX

2 -* e

oder

H-l n-3

«4-1. M—l 2

/" 2«

ä\,K ..+«, - VI J; ^^ i^

wobei ^ , ^^^

Oa « *a(0, r), ^a « ^«(0, nT+SJ)

ist.

Müller: Zur Drantformtiiion der Ihetafunctionen,

199

IkGt dieser Relation sind aber sofort anch die folgenden ge- funden:

n— 1 ^

n-l H-1 ^ J»i-H).(n-~1) "2

(—1) * 2 2 e

8^

oder

«-1

n-l _.,(nfl).(n-l) "2 (_1) 4 /^'^ 24

M-S

A.,(..,n.+8|)«(^o^^)^(^^^^^^

2 ^e ^ ^* ^«(*^' '*^+^) "^^ r ^(40,0,0,

8i

oder

.Jn-H).(n>l) "2-^

24 77* «»«(Ar, WT+8J)

wii-

w— 1

•tri ^(H + l).(tt-l) -^

2 2« "' "

24 II* ^,(Är, nr+8J) « [/ ^ (40oO,03)|

oder

^,.^(n-H).(«»-l) V 1 /«•.

6 24 H ^^(Är, nr+8S) = [/ ^

OoOi

A,

Diese Gleichungen repräsentiren uns für den speciellen Fall £ — 0 genau die Gleichungssysteme von Göring § 9 2. (16) und (17),

wenn wir beachten, dass unser ^o = ^o(0, nT-|-8|) und O« =» ^a(0, t),

und dass n = a bei Göring, dagegen jenes n

n~l .

ist.

ß) fttr die reelle Periode.

Verfährt man in analoger Weise , wie für < = 1, für « == n , so erhalt man unmittelbar die Göring'schcn Gioichnngen § 9 3. (23) und (24):

H-l

w-l »— 1 ' 2

2 2 Dk^,

(23)

Hl')-V

»0 (40oO,Os)f

200 Müller: Zur Tramformation der JlietafuHciioMn.

(23)

M-l

2 f*'^U'V r^^(-4öoö,o;)i

"-^ ••

2 ^*»3\„, *j=|/*, (40„o,0,){ oder, wenn man

setzt

n-l

Ä^ (J, r) = V„B

H-l

^<-)~Vl^.-

(24)

N-l

1

Combinirt man diese Resultate noch mit denen der imaginären Periode, so ergeben sich ohne weiteres auch die Gleichungen (25) (26) und (27).

Wir haben damit nach unsrer Methode nicht nur sämmtliche Göring'schen Formeln für den allgemeinen Fall, dass n eine un- gerade Zahl ist, gefunden, sondern auch noch wenigstens für die imaginäre Periode bedeutende Erweiterungen dieser Resultate.

Unsre Methode reicht jedoch noch viel weiter, wir erhalten völlig neue Relationen, wenn wir nun auch die Ausdrücke für die übrigen Coefficienten vergleichen, und zwar zunächst

b) die für die Coefficienten x^ und xn-\.

Müller: Zw Transformation der Thetafunctionen.

201

«) Fflr die imaginäre Periode ergeben sich so folgende Benehnngen:

X'"'('=^)

s

2:«

1

2

'•■<''-^

■■•.<'^

6*9

k- >l (•^" - ¥) + (<».*+».*)-: V+V)))

••-1 a •/ . ^ — C'S \

2h

'-<^'-^)

• '.<'^0

= 65?5?!l'(-^'-ä-')-("»*-»-''-«'«'-<'''')l

Ganz ähnliche Ausdrücke ergeben sich für die Summen der Pro-

3

ducte der Quotienten zu je —^ , wie sie in den dritten Werten

für die Coefficienten «, und ar«-i enthalten sind. Da man diese je- doch direct aus den obigen erhält, wenn man respectivc mit

U^ — f-~^ oder n* ^ ^_gt maltiplicirt und dieie Pro-

19*

"^

202 AlülUr: Zur Trans/ormfltion der Tketafunctiontn,

ducte rechts nach a) durch die transformirten ThetafanctioDen mit dem Argument 0 ausdrückt, so will ich sie hier nicht noch spedeH angeben.

ß) In gleicher Weise folgen fflr die reelle Periode fol- gende Relationen:

jv©

1

n-l

••<*)

9

■*■■(')

--65;^?|?.("f-^l-("'<"''+''-*'-"''+»''')l

n—

' i

=-6w{5("5:"-^')+(-''''*+''>''-<'"'+*''0!

■MI)

In diesen letzten sechs Gleichungen ist überall Oa ==• ^a(0, nx) und ^a = M^, t), während in b)«) 0« = ^« (^0, ^ -^ j und ^a — <^a(0, t) ist.

; Zur Tran^fo,-,»

II Sf^ ThtlaJ-uactiomn.

203

Diese Formeln finden sieb nicht mohr in iler Güring'acbeu Ab- faandlDDg, wohl aber gelangt man Jurclt Specialiairuog der von Herrn Dr. Herstowski in seiner Inangural - Dissertation § 3 (6) — (17) auf-

Lgestelllea Relationen zn ganz ahnlicbeu, Jedocb nicht mit diesen lestischcD Formeln. Es sind dies die schon von Herrn Prof. Kron-

i'ecker angegebenen Fonncin. — lu obigen Gleichungen tritt ausser den Teilwerten der Thetafunctionen und den trausformirten Theta- foDctioncn noch jener die zweiten Ableitungen derselben enthaltende Ansdmck auf. Diesen zn entfernen ist im Allgemeinen nicht mög- lich, wenigstens nicht anf dem hier eingeschlagen en Wege; fUr die Bpeciellen Fälle jedoch können wir obige Summen rational durch die trausformirten Thetafunctionen allein ausdrUckeu, da wir dann

,Oa"

»«"

- durch diese Grössen darstellen können. Z. B. ist

^-i	'(0,3i) •(0, 3i)	V(0. « 9.(0, '		■äwa"."
fflr n-5
9,(0, 5.)	»."(0, >)	1 ^ 15"	|2»(t).	'+o.')-(»

.')!-

Können wir nun aucli die einzelnen Summen nicht allein durch tThetafunctionen mit dem Argument Ü ausdrücken, so küunen wir l>doch Relationen zwischen diesen Summen aufstellen, in denen ausser- lidein nur noch Tbetafnuctionen mit dem Argument U auftreten. Ich tirill mich hier auf die der reellen Periode und anf die der imagi- nären PeTiode beschränken, in denen die Teilwerte derselben zwd Thetafunctionen vorkommen, und auf solche zwischen der reollen und imaginären Periode unter einander, für die ein gleiches statt b»t. Offenbar kann mau auch zwischen allen ttbrigeu Relationen aufstellen, ' ins unmittelbar klar ist, nenn man bedenkt, dass die Gleichungen Bstehen

' fa(0,nt)

B*}_V(0,th__/ i

-^)

V(Ü,nT)_V(0,i ff..(Ö, «I) »0(0, t — «V*»* — V). et«- Man üudet so durch Elimination der zweiten Ableitungen fol- mde Beziehungen:

1

!»'(0/+'V)-(9/-|-V)I

204 Müller: Zur Trantformation der Thttafwieiiamn.

O. -.^^0,nT) und ^««^«(0,t) ist; ferner

2:»

wo

ist.

Um nun Beziehungen zwischen den Summen der Teilwerte der reellen und imaginären Periode für J= 0 herzustellen, müssen wir

T

noch in den Gleichungen für die imaginäre Periode statt - x ein- führen; dann nehmen die in denselben auftretenden Ausdrücke die Form an, es wird

^. U^, T j — -^.(ÄT, wr), Oa « .^„(0, t) und &a = ^VO, nx)

MülUr: Znr Tta>,^/ormaa„n ,U, nelafyKihn,». 305

Es iBt dann also "a der imaginären Periode ^eich, i*a der re- i Pcriodo und fta der imaginären Periode gleich, '-'a der reellen. tauscht man deshalb iu den Ausdrilckeu der imaginllron Pcriodo

jt und »« und eliminirt dann >• ö~ ^ a" ^ ^** erhält mau

-"6 f«(0.*+o«*) + (V+V)}

1 analog fUr die andern Sammen. c) Geben irir jetüt noch einen Schritt weiter und nnterBuchen, welche Relationen sich ans der VcrgleichnnB der Ausdrücke fUr die Coefficionten «3 und a-«-» ergeben, so erhalten wir

o) für die imaginäre Po

od».

■"»,•»,' (8n'^.i), "»,7''" 6>^ V"« "". -qC".'".'-"».'».')}

.■('■^)v(^-3)

k _l_ \i_(V _ »•"V_ '°t'+°i')^3(»,'+»,'

■5lölW+4'V'V+ ".")- IV+ (1* - 6)V»i'

^

206 Müller: Zur Transformrtion der Thetu/unelionen.

^.

i_ I 1 /o;' v\* V+V/o»" K\ -i2(^o*<V-»W)}

**3M8»*Vo, "#,V"f' 12«» V«i "*♦,/

- iVv+V)[(Oo*+o,*)-(V+V)]

- 1^ C^^"* + *0o*0,* + 0,8) _ (V + (10« - 6)do**.*+ *.")]}

J_Li Z'^*". VV, V-V/^s" V\

.v*»M«"'v^» "'^s/"'' 6«* VO3" "^»y

- j^2 (*o* - V) [.W- ö**) - (V - V)]

- 1^ [(Oo'* - 40o*0,«+0,«) - (»,« - (10,.-6)*o*<^,* + V)]}

Ganz analoge Formeln ergeben sich fttr die Summe der Prodncte

je -^ - nach den dritten Ausdrücken für die Coefficienten a-j and xn-

1

Müller: Zur Tnw/onnatlon dtr Tti'la/vuclionrn. 207

dieselben anterBcboideu sieb von den obigen nur durcli dio Fautorea vor den gcwaudeueu Klammem und eutstobcu aus ilincu eiiifacli

durch Mulliplication mit Tlt,— , - sn: ''•'sp- ^i> — ^ Tsr-

In ollen obigen Gleicbuugen ist die Sommo nacb h und k- zu Dpbmeu von 1 bis -~^- und zwar muas i- für jeden Wert von h alle Werte von A + l bis ,, durclilaufen; ferner bodeutot überall o, ,'^Yo, ^~\ *<■ *'.(0, t).

ß) Anch die Beziehungen für die reolle Periodik haben pine ganz ähnlichD Form, und will ich mich deshalb damit begnügen, die zwei ersten anzugeben :

- i5(»'°t"'.'- W)) !_)_^/' V »."V

_ i.'(0,'+0j')-3(»i'+».')/' fV' i/"\ -i5(».'+V)l"'(0,'+o,')-«,,'+V)]

Diese Formell! oder auch iheen ahnliche habe ich uirgoDds ge- den. .heqf man dieselben nun wieder als Aasgangagleichangen an

U%Urr. y.UT Tvn.

I ittT 'Hulnf^ntlf^Kn.

Groade, 90 baitn man aus ihnen wieder eine Menge Relationen Iwr- Iclten, irelcbo die Beziehungen zwischen diesen Sammen untpr sich und zwischen diesen und den früheren Summen angeben.

Diese alte aufzustellen, wtirde jedoch zu weit fahren, und will ich hier nnr je eine für die reelle und imaginäre Periode TorfUma, um zu zeigen, wie sich dieselben gestatten. Es ist 2. B.

, ».■C)vO <KC)

_1 _) »'1°.'+ "3') — (».'+"»')/• O," »i"\

~ ».'»1' r 12t' V ö, ~ », )

- i2 (V +».') ["'(0,'+.o.') - (e.M- ».*)]

- j|(,[»'(V-6o."V+ ".•)-<».'-6»,'V+V)] (

~ »(,*»/ t 12;i' V 0, " *, /

- i-2(V+V)[(Oo*+o.')-(V+V)]

- i^[{0o*-60o*0,*+0,«) - (V-6W+ V)] }

Hier treten also schon in diese Beziebnagen die zweiten Ab> leitungen der Thetafunctioneu ein. Nimmt man aber noch die frUbersB Sunimuu hinzu, so kaun mau dieselben auch hieraus eliminiron bekomnit dann rationale Beziehungen zwischen zweien dieser letzteren Suromen, einer der früheren und den trausformirten Thetafanctionen mit dem Argument 0. Man kann die zweiten AbleituagoD aber aacli allein durch eiuc oder mehrere der frUlieren Sammea eliniiniren und so rationale Beziehungen zwischen einer von diesen Summen und einer oder mehreren der früheren herstellen.

In gleicher Weise könnte man nun weiter gehen nnd die Coef-

ßcienten j:^ und ««--ä. ^s und 3:„_;, . . . auf zweifache Weise ru

drOcken, und wtlrde so zu Snmmeu von Prodacten za Je 3 oder j

g , «u je 4 oder je — ,, - ,

. der Quotienten der Teilwerte ge-

H

langen inmor ausgedrilekt diin^li die Thctafunctioneu für die Niill-

werte des Aipunents und zunUr.bst durclt Potenzen von (* y. "^i

da mitn diese nber stets mit Hülfe der frttheren nnd der gleichartigen Souimen eliminircn Icanu, vpird mau alle Sammen, zu denen raau gelangt, rational durch alle gleichartigen und niederen Sammen und die traoHfünnirten Thetufunctionen ausdrücken können.

Fassen wir sctiliesslich Alles zasammen, so ergiobt sich : -1

1) Allgemein kann man nur die Producte der —5— veradiicde-

nen Toilwerlo der Thelafunctionen durch die Thelafunctioncn sclbit mit dem At^nment 0 ausdrucken.

2) Rationale Beziehungen zwisclien gleichartigen Summen, nur in Thctafnnctionen mit dem Argumente ausgedrückt, kann man lediglich für die Summen, welche mau aus den Coefticientcn j-, und ir„^i er- halt, anfätellen.

3) Ailo höheren Summen kann man durch alle niederen Summen

UDd die Thetüfiiuctiouon für das Argument 0 rational darstellen, Üierhoi können auch Summen gleich hohen Grades auftrftten, jedoch nicht au9 schliesslich.

§ :i.

ion Bpceielleu Fall ti = 3 erhalten wir die wichtigsten tnctn nnmittclbar dnrch Special isirung der allgenioiiicn, und zwar Bimt hier nur die erste Reibe der allgemeinen Untcrsnchnngon in trocht, die sich auf die Coefticienten a-, und ?h+i ^ a-j beziehen.

' Specialisirt man so die Formeln | 2. &}„,, so folgen fbnngen IDr die imagiolre Periode

210 Müller: Zur Transformation der ThttafunetUmui.

§ 2. (ll)l-4.

.'•V, 3.+8B - vif^{^y

wobei

Oa =-^«(0, 3t + 8?) und «-« =» ^«(0, r)

ist. Für («0 sind diese Gleichungen mit den ersten vier Gleichungen Göring § 2. (11) identisch.

In gleicher Weise folgen aus § 2. a)^) fflr n « 3.

•■*.)-y3(«^)»

(11)5-8

i

Zu diesen Gleichungen gelangt man für diesen speciellen Fall 7t = 3 auch , wenn man statt der Jacobi'schen Gleichungen Tabelle (A), welche ja bei den allgemeinen Betrachtungen hinzugezogen sind, die der Tabelle (C) zu Hülfe nimmt. Setzt man dort in den Glei-

chungeu 6, 4 und 2 « = y == ^ resp. = ö- und eliminirt dann

nach den Gleichungen für die Quotienten der Producte der Teil- werte , welche sich in dem Fall 7» = 3 auf Quotienten zweier ein.

(T — 8?\

so ergeben sich zunächst die auch nicht ganz unsymmetrischen For- meln:

y — Ic ^i(t, 3t) = O^ ^^^^^^^ _ Ö^^O^^)k

''•' _ OglOsJ^

e 3 ^q{x, 3t) — Oo (p-^^^^^ --ö^^0^^)\

"^1 \i Oc^O^jOl

e 3 ^j(t, 3t) = ^^^ . (Ih^Sf^^iJ— O^^Os^)^

e 3 ^3(t, 3t) = ^j^. . (^^20-3« — O^^O^^)^

^u<

: Ahnlicha Formeln fur die reelle Periode. Mit Hülfe der Glei- chüDgen dhscbnitt I. § 3. (G) roduciren sie sich unminelbaj- aDf die obigen.

Mit dem GleiehungaByatem (11) sind nnn aber auch sofort die Systemi^ (8) und (10) gofuudea, sie entstehen ja ohne weiteres durch Multiplication der Gleichung für i*,(t, 3r) resp. S,(J, r) mit den flbrigen Gleicbungcn derselben Periode; ferner folgt auch unmittelbar (Q), denu

i[zt inaD in dem Ausdruck für >'^,(^, t) fUr t ^, so erhält man

woraus sofort klar ist, daas die Beziehung Btattüudet m ».(^ 0 =.Y3«"^>.('.3r).

Auch das Gleichnngs System (5) kann man als eiue Folgerung des Sjatems (II) ansehen; denn büdet man ffo.''''o(*.3r)-i-»3.*3(t,3i) ao ergiebt sich uach Göriug § S. (1), die Beziehung

(5), »0 . »„(T, 3t) -f- a-j . *3(r, 3t) = », . 9,(1, 3r)

dDd eheuso ei^iebt sich nach g 3. (D^

(5). 0,.*,(%)+o,.&,(^) = 0„.Vi)

Uultiplicirt man femer GOriug § 2. (ö), mit 9-|^(t, 3t) nud setzt i Werte nach § 2 (8) ein, su kommt

(7) VV'Vä'^+VVV'T'^iÄ = »,* V»Q^iOf,t\

i eine analoge Formol erhält man, wenn man § 2. (b)^ mit ^iHi) Itjplicirt and nnch (10) einsetzt:

Hiermit sind aber s&mmtliebe für uus iu Betracht kommende GOring'Bcben Beziehungen fOr » =- 3 getiindeu.

Für den speciellcnFall't = 5 kommen von den allgenicinon I in Betracht, welche sich auf dio Coefficicnteu 1, X, und x„-i = Xf beziehen, und es folgen die ersten der

Cröring'achea Formolu wieder einfach durch Specialisimng dei

gemeinen und zwar

8) der, welche wir durch x^j^ =x^ mit Hälfe des JacobJ'Mbco'

GleichungBsysteines (A) erhielten. FUr dun Epccicileii Fall n '^ 5 hätten wir auch statt dessen die Jaeohi'ecbe Tabelle (B) binznäebca k9nne.n, es ergeben sich auch danu ganz einfache Be^tiehungen 4ha- lich denen , welche wir bei w = 3 aBgegeben halten ; jedoch da dieselben auch ans den dnrch Spccialisiruiig der allgemcineD Bultirenden erhalten kann, wenn mau sie durch das Gleicbungssystem- Abschnitt I. g 4. <M) umfermt, und da die letzteren noch etwas m- facber sind, will ich mich hier beguagen diese auzugebeu. Sie lantCD fQlgendermaBseu :

a) fßr die imaginäre Periode:

Göring g 4. (12) und (8), nach (13J

Göring S 4. (9)

= , . . nach Absehnitt I. § 4.

4«''-öo(r, 5t+8E>%(2t, Ör+Sf)

>s(r, 5r+80f^(2t, .Sr+S?)

(18), und (3),

/0,0.

n

a«)3 und fS]

1 ^r, l/^ {40oO,a);

{lö), und

Müller: Zur Transformation der Tlicta/unc/ionen. 213

ß) fttr die reelle Periode. Asy ii\s- m - v^l/^*^« m.hh)'.

= yöcie^sVsOoO«^»)*

4*o(i)VI) = )/| (^^$1 = 50o^-*«^ (19), uud (5^),

= |/of^^(16»oV30oO,03)*

4*,(iWI) = K§ (1|$?S = V-SO,»» (19)3. und (5>0,

4Vi)*3(!) = j/f (i^:^ = ^^3-V 09), und (5^),

Ferner folgen noch anmittelbar durch Vergloichung der reellen und imaginären Periode für ^ = 0 unter einander

«•i(i)*i(|) V5e»"»i(t, 5t)»,(2t, 5t) (6)

«•o(i)*6(!) = ^«""(^C*. 5»)*o(2t, 5r)

*»(i)*»(|) = ö^e»<^*j(r, 5r)*g(2r, 5r)

*o*s

*3(l)*»(?) = ^-qC^^U^, 5r)»3(2r, 5r)

'0*^2

Hier bedeutet überall ^a ^o(0, r) und O« ^o(0, 5r), ebenso oben in ß), während in a) Oa allgemein gleich 0^a(0, ör+gf) ist.

Ferner folgen aus der Form der obigen Gleichungen, welche Göring unter (3) und (5) angiebt, die zwischen (5*) und (5*») ange- gebenen Formeln:

\(h ^Wh ^) - 0,2+.'-'>i>o(r, 5r)^oC2r, 5t)

~^(i ^)VS, ^) - 0,*-^-e^"^2(T, 5t)^,(2t, 5t)

^s(i, r)Hh ^) - Og^-e'^'V^, 5t)^3(2t, 5t)

I

Hiermit Bind säniniUiche udb inlero3Eir<>D<l«u Formclo, die QBrin^ in § 4. angicbt, auf uiiBerm Wege gefundcu.

b} Wir geheu deülialb jl^M dazu Über die Formeln xu belracbUtt, welche sich durch den Coefticionton j-, ererben. Dieac kAunt«]! wfr nun auch anniiltclbttr durch Special isiraiig aus den allgv^rnciucn ab-

ldt«n, oud ea wtlrdeu sich jedeufalls dio Ausdrucke für ^ärtj — ri sehr gut dazu eigneo. um analog dem im t'alguiiden eingescblaijei Verfahren die einzeluen Teilwertc zu berci'liiieu-, ich habe dies je- doch schon ansgpfubrt, boTor ich die allgemeiueu Utitersuehaogen anstellte, und dabei hauptsächlich die Glcichuagen Abscliuilt I. { i, (2) und (3) bf^autzt, aUo üleichnogen, welche fOr deu allgemeinea FaU uicht anwcnilbar sind. Die Resultate müssen ja schlieaslid» dieselben sein, wenigstens muss man sie mit Hülfe der fUr n <= & zwischen den trau a form irteu Thetafuuctiouea aufgestellten Beziehitngea auf einander roduciren känuen. Mein Verfahren war nuu folgendes;

a) für die reelle Periode.

Zunächst combinirte ich jene Gleichangon (2) und (3) und niinirte daraus den Coefficieuten r^ — man köuntc allerdings Aach. eine dieser Gleichungen zu Grunde legen, jedoch bietet die Combi- uaüon den Vorzng, daas die Resultate dann von vorn herein sym-- metrischer werden — ; hierdurch crgiebt sich zwischen iz^ vad ^ dio Bolatiou

oder nach Abschnitt 1. $ 4. (H)

Setzt man hierin für x^ und x, die Wurzelwerte ein, so folgt VaXoJ^u I /V I /'V\

oder wenn man für *„*(i)*o'{S) nach a) seinen Wert einsetat,

Würde man diesen Ausdruck qnadriren und i^'li)^«*!^)-!^!^^)*!^!} auf beiden Seiten subtrahiren, so würde man auch für die DifTereu V(i)*i''(|'— *i*(it*o'<i) einen Wert in transformirten Thetafunctifr

Mülltr: Zur Tra

.ßrm

- ■ll,.laf«.,cAia,.»,.

215

Ben erhalten und somit auch exwn Auadmck fflr die einzelnen Glie- der. Diese Differen/ erbftll man aber noch leichter durch die Gtei- cbnng a. der Jacobi'schen Tabelle (C), wenn man j' — i, y = 5 aets'.t, Uan bekommt so unmitlolbar

V(i)»i '(!)-»! "(iJVd) = V», *(»,)».(!)

^ysv

.An» diesen beiden Oleichnngon orgiebt sich n sabstrahendo

[littelbar addendo

I...,

oder nenn man die Klammer mit [lülfe der Gleicbungssystemc Göring § 4 (18) und (19) nrnformt

In gleicher Weise erhalt man ans den GleichnngsBystemen II. und m. _ _

Vli)».'(ll)-»Ai)V(ll - V».-(?'^^gig^)t

oder

UDd _

/»,,&,,% OnO^,\i| /9,,7l /Äo* 1 /V\ I

V(!)»,'(!)+v<!)V(!) - [-'-\-'^yVö.W-ö.+Vu;)i

A.V,o.o,''.\!

|/^{^/g+^^¥±^^^•^

Um nun die Worte der eiiinelJKHi Teilwerto xa erliRltcn, rieli« wir die schon im allgemeinen Fall benutzte fllcichutig hinxu:

2»g(A r)»,(r, r)»s(j-, i)&s(a-. t) - »„».»^9,(2^, t).

Giebt man a den Wert 1; und quadriri, so folgt eine GloidiMg. <l man auch an acbroibou kann

eine ganz analoge Formel, die hieraus cntstubt, nonii man nor i Argumcnto i und J veriousclit. erjjielii sifh, wenu man x dfiti Wc l giebt, Setzt man in diesen Gleirbungen links ilii) obnii gefoDdrai Werte ein, so folgt nnmittelbnr

oder

X IVC^i'-Vl-'VC."— »«'ITys.'sO.CV-Vll X l»u"(Oo"— VJ+VC*.'-"!')" y 5 V.( V-Cs')!

UiDraus ergeben sieh nun unmittelbar nach (Inn Trllliercii Gli diungcn aacli die Werte für die übri[;eu Teilwerte and zwar ist

IS:::*:!=!<»A»..'m"..'^!

_()^f+|/|±y5yv<|^

^(l/5-K^'±y5y.w)(|/f+)/:^'±v.yiv

IV(g,'-o,')+8,'|.V-o,')-J:y6»ii°.(0.'— 9.')!' (W-o.'J-VCV— ''o')±t''"'.".('''.'-"".')TX

Müller: Zur Transformation der Theta/unctionen. 217

(K^*-K¥±V6ys-.>i.)*

oder

°" 5.8 (40oO,Os)J Oji

, , {V(V-Q»»)-»o*(Oo'-»o*)±V5fr,0,(d,»-0,«)|«

^(*s*(V-0»»)+MV-0»*)±y5«^oOo(Oo''-»««))X

2** 10(1)„| — 5V*0*«*3J'("0OjO8)«öl

(^f+^^±v5yw)'

oder

= 5.8(40,0,0,)! o,«

^ {»o«(Oo«-^o»H-»,«(V-0»»)±y5»30,(^3»-0,«)}«

/}) In gleicherweise ergeben sich für die imaginäre Pe- riode folgende Relationen:

Ich will dieselben hier nur in der letzten Form angeben und zwar folgende Bezeichnungen einfahren

0,»(50,»-*,«)-0,*(*,»-50,»)±*oÖo(5<^o*-*o*) resp. => A' od. A' Oo»(50o»-V^f-<',•(50,»-<^8»)±»,0,(*,«-50,«) resp. = B' od. O"

O^Hb0t'-»/y\-0,ti9,*-b0,*)±»fia(b0f'-»a*) resp. - C od. C"

wobd fOr A', B' und C das obere Zeichen gilt und für A", K' nnd C" das untere.

Wir erhalten so folgende einfache Gleichnngen:

14'

MülUt: Z«r Ttamformalioi, .itr Thttat«nclioa,a

-2r"..V(', 5.)»,'l2., 6.) = }}/°^ ,"^ C"

lOJ IIa »UM ■" ■■" ■''

äV''"e„'0(r, 5t) =

1 iio„Oin.^yi^ OJ ^'* 8 (4^0*^*3); öoiÄ'.C'

Sfte^^n&.iOd, ftr) =^

1 (4Q,|0,Oj)V Oji fl^ 8 (4^o»,9g){ ff,ä -4'. C"

äV"tf3'0(i, 5t)

1 (40uO,0;,]V OgS _C''* ' 5 (49„ff,*Ji 0,1 ^',Ä'

Ghdz analoge AuadrQcke erbalt man für 0a(2t, &<)< dieselbe unterscheiden sich von dioseu nur dadurch, dass, wo hier X' sto dort S" Btehen inuss and uingclti.'lirt.

Von allen diesen UeKiohnngün , welche wir streng nach t Methode erlialton haben, findet sieb bei Göriog keine einzige, und i ist auch dos scbliesslicbe Resultat fOr die einzelnen Toilwerte bei ihal ein anderes als das iinsrigc. Jedenfalls aber wird man unsere Ans* drücke auf eine der vii-r von Göriag anaejrebcncn verschiedene! Formen reducireu können. Jedoch wUrdo es sehr uDiständlich seiq auf diese Weiee ans unsrcii Gleichungen die GOring'scIion absulei^ ten; ich versuchte daher, ob ich nicht dudurch, dass ich i Gleich nngssys lernen r dorn Arfjnmeut x bestimmte Worte beil^te^fl direct die ßeniQhungou Ucrieitcu kOnnte, die GOriug in § ^ augiebt,^ jedoch waren alle diese Bemühungen ohne Erfolg; ich fand dabei! aber, dnss man mit Hülfe der in a) aufgestellten Relationen sehrJ einfach aus den Furmola der Jacobi'schen Tabelle (C) diese Be-J Ziehungen erbfllt, wie folgt:

! Setzt man iq der fünfzehnten Gleichung der Jacubi'sclicu Tabull« ^ * = t, y = i, BO nimmt sie die Gestalt an

l:ae«ffAa)^t?)=^oa)ffo{n.ö3«)*a{n+»,(i)*,(!).ö,(i)»,(;)

Setzen wir rechts für die Producte »«(iJ-fl'nd) die Werte ein, i orgiebt sich

i9s(;jVI) =

^V^"

'Ji&,0o0;0,)j(,-r,+ ybOj)

nach Abschnitt I. S 4. (U)

Setzt man x =■ l, g = t, so folgt ganz analog

(5), 4#o(ä)*afi) = (V^Oa-\-l>o)(VbO,~<f,)

(C)n (5), nnil C), und :

In gleicher Weise ergeben sich <C)« (b% und (5)u.

. 2r

Setzt mau für tr und ^ resp. r und , , so orbolt man ganz ftoalog die Relationen für die imaginflre Periode § 5. (3).

Nacbdem es so gclnngeu ist auf einem von Gering abwoicben- deii Wege, ohne Hülfe der Schrßter'schen Arbeiten, die Gleichnngen herzustellen, von denen Gilring ausgebt, um die einzelnen Teilwcrto ^lein dnrcb die transformirteii Tbi^tafuiictionen aniizudrilclceu, künnen wir im übrigen seinen sehr hübschen Entwicklungen folgen nrnj be- kommen so ganz elementar fünf i-erBehiedone Darstell angen für die Teilwerte. Zu diesen kommt nnn noch als sechste die, welche wir streng nach unsrer Methode erhatten hüben.

Nachdem ich nnn nachgewiesen habe, dass auch tUr die sfKici- ellen Fälle m = 3 und n = ö ansre Methode nach jeder Richtung hin brauchbar ist. will ich für Jetzt die Arbeit hier abscfaliesaeu. Offenbar wird sie auch für höhere Fälle « =■ 7 etc. ansreicbend sein. Ja ja immer eine grosse Menge Beittmmnngsgleiehungcn ünr Ver- ngiing stehen.

220 Aiiscellen.

XL

Miscellen.

1.

Zur Polarittttstheorie des Dreiseites.

J sei das Inkreiscentrum des Axeudreiccks ABC. AJ treffe BC in Ja. Q^qaqoqc sei ein beliebiger Punkt in der Dreicckebenc. AQ treffe BC in Qa. Qt Qc schneide AJa in «. H' liege zu Ja be- züglich ^1^ harmonisch.

Wir liudon:

Qb ^ qa 0 qc

Qc = 2rt qb 0

Qft^ir ^ — qbqc qcqa qaqb

AJ= 0 1—1

?l ^ <7fl 56 4* 2c <za <zfr qc qb qc

Verbinden wir die Punkte B^ C mit A und ?l ; so trifft die Ver- bindungsgerado der Schnittpunkte

(BA, C«), (/^W, C^)

die AJa in 81'. Es ist:

BA=z 0 0 1

C8l^ — //ft«7c (Za (Z& + <Zc <Zrt 0

CA= 0 1 0

i^^ — 565c 0 qaqo + qcqa

MUcellen.

OOl

Somit erhalten wir:

(BA^ C^) ^ 5a g& + qc qa qb qc 0

(ÄÄ, CA) ^ 5a g* + qc qa 0 ^6 qc

Die Verbindangsgerade dieser Paukte hat die Form:

— qpqc qaqb-{-qeqa qaqh-^-qcqa

Sie trifft die AJa in

V ^^qaqb-^-^qcqa qbqc qbqe

Die %' liegen in einer Geraden, wenn

2ga56 + 25c3a übqc qbqc

A ■= ^cqa 2qbqe']-2qaqb qcqa

qaqb qaqb 2qcqa'\-2qhqc

Man findet:

A==

^qbqe-^r^qcqa-^^qaqb qbqc qbqc

^qbqc^^qeqa-^^qaqb '^qbqc^-^qaqb qcqa

2qbqc£qbqc

2qbqc'j'2qcqa'\'2qaqb

II qc

1 2qc + 2q

1 g«

1 qe

= 2q^qc£qbqc \ 0 qc-\'2qa

qaqb

qa

2qa + 2qb

qb I

qa-qb ! 0 qa — qc 2qa'\-qb •

5*1— 5c 25a + 56

Die Cimre

XaXbXc^Xa^XhXc =^ 0

zerfUlt in die Geraden

ar<, «= 0, flfj = 0, arc =» 0,

die Axe& des CoordiBttensystenw«

2dra = 0, die Harmoaikale ¥pn J ond in den Kegelschnitt

ü

2qeqar\'2qbqc

224 MUceüen,

Die oben gefundene Constrnction lässt sich flbrigens auch ohse Kegclschnittsbetrachtangen begrQuden; die betreffenden (Jedankei unterscheiden sich nur wenig von denen, die zu der von Herrn Jack- witz gegebenen Lösung fahren.

Berlin, April 1884.

Heinrich Simon.

ifllf Diffr^rtnlmlahiehui

Ueber Projeetivität und partielle Differentialgleichungen in der Geometrie.

Das Funiiaraent der Geometrie in ihrem rationellen Aufban bildeä seit Steinpf („SystematiBcbc Eulwickelung der Alibäiigigkeit geome- triBcher Geatalten") die Bcgritfe der Projeetivität der Puuktreihen tnid dLT StrahlbUschel. Will man diese Begriffe mit Steiuer geomc- trbch definireit, so geBchieht das bekauotlieli mit Hilfe der auf reiner Aüselinunng benilieuden VorBtellungen der Perspeetivitftt und Con- gTQeuz. (Mau vcrachicbt eiu Gebilde, zum Beispiel eine Panktreihe, ohne Vcrändernng der Form ihres Trägers und der gegenseitigeu Ij&ic ihrer Elemente; eiDe derartige Verschiebung iuvolvirt den Be- griff der Coogrueuz). Uie aoalytiBcho Geometrie ennöglicht eine in gowisser Hinsicht directere Delinitiou der Projectivitftl.

Seien x aud | die Abstände zweier entaprech ender Puukto I\ tl der beiden Puuktrciben von zwei bestimmten. Übrigens beliebigen Puuklen 11, 0' derselben, welche keineswegs enlsprecheude Punkte zu sein brauchen, ao sind die Punktreihen dann projectivisch , wenn 1 deu Abstiluden j-, J eine liueare Relalion

„ _ A,-f fiji

Uckt man durch AuflöauDg dieser Gleichung nach :r letzteres E ans, 30 erhült man ftlr x eine Fnnction von derselben Form;

226 Sanio: Vtbtt FrojttlivuSl u«rf ,mrlirlU

aaeh Jnrcb VerscLicbuug der Coordiuat«uatifaDgspunkt« 0, 0' a ibrra Trägern wird ilio allgentctno Form liiescr Itclution nir-ht v( ftndort

Ich will Duu Bofnrt zur analytisch-^eomotrischeii Definition i]< Projectivitat geradliulger StrablbUscIip] abergetieti, da die I jectiTität der StrahlbUflclid die Basis dur folgeodi'n Bctracbluugu bildeo wird.

Spieu 0, 0' die Mittel)) unkte der bcideu Strablbüschel, a u zwei beliebige Auritugsricbtungea , vod welchea aus mati die Winki z&blt, und welche lieineawogs eolsprechcDde Strahlen zu aeiu bn eben. ;>, II aber zwei eutsprecbende Strahlen. Beieicbnet m nun die trigonouietrisebeu Tangen tou der Winkel {i»pi, (a' respectivc dureh t und t, sü siud die Stmhlbüacbel dann perspe^il viseh, wenn zwischen i uud t eine lineare R"laIion

Aainerhnng. Hier Heise lidh itio Theorio drr Dop}icNei'hkllnirae oi ihrer hcionilEni Fftlle, nlio nampntlich der hRrmoniiphcn Tcilun)-. unechlictsa Will nian nllliliill die Gleichung der l'mjetüvitHt durrh rnnre Piiuprebendi StrlhUn auidrOcken, so ist aus der Anishl ,i1er CDeMciciiCen klar, daai de Pnnre cnispTccbender Slrahloti gegeben sein massen. um die CoeMcieDleo ll Qloichung lu bestimmen. Nennl man die trigonomctr>Bi.'hen Tangenten dorWinkl welche iliese Strnhlen mit zwei hcliebigea AnfHngsrJrhlungen bilden, reipeeiii II 'i> 'i ""'' *'i' 't< 'i< ■""! 'l"" vierte Paar wieder (, r, lo findet man d Gleichang der Pruiectiyilll üifiiri in der Formt

Darch ümfcirmang Tcrmiltelst der beltaanten Delerminnnli^nBBne redverrt aldj diese Oleiebnng tat die Dbemschend einfuche Form:

<l-'3 '.-(» 'l-»3 »»-

Di« Function auf jeder Seite des GI«ichhoit«»eichens i petverhEllnisB oder iinharm unisehe Function,

Vier Paare entsprechender Struhlen zweier p«r«pi haben also gleiches DoppelvcrbUtniss.

tcher Strnblbtltcbe

227

^^M D:ß.rr„lmhjU,dnns^n m der Gtomelric.

^^H Diesü Relation besitzt analog der für Puaktreihun geltenden die

^^Hp&wttnligi) Kigeusi'.haft , iJass bei Vera ade rung der Aiit'atigsrich-

HH^cn a, a\ vun wi-iclico aus mau diu Wiiikol rocbuet, die lineure

' ' ?^orm bestehen bleibt; es ist dicaas, wie man leicht sieht, eine Folge

iUt so Qberaua einfachen [rationalen und in Beziehung auf jeden der

beiden Bestandteiii; linoareu] Form des Additioiistheorems der Fnno-

tiou Cangt-tiS, wodurch sich dicHc vor den Functionen siuiis und eo-

sinus auszeichnet; der innere Grund dafür, dass die projectivische

11 (.jSMciehniit: der StrahlbQschel gerade durch die Function tanaens dar-

^^■^Ilt wird. Uehrigeus kann man sieh bei dieser Darstellung an

^^^Hlu der Tangente ancb einer allgemeinem Fuuctiüu bedienen,

^^^fclio ttn Wesentlii'heii denselben Charakter hat.

^^H Buiiubl iDHii .lir Winki-l ^cie& Stri>hlbüa('lii.'ls »ai ^^rofctimg, 80 Onilerii sicli ilit Witip dir ( uiul r, Uml □

i+i'f

i+y-

i: Subsiiiudun

'i-t.

jchc Kuii

rri;icbt

l

^^Bblnng, auf weHip man die Winkel bMicht. Errlcbh't nwii nun In irgen<1

^^^Bm Panktu der Anfflnu^arichtang; aat ihr c-iiir S(-nkrci.'hte. welcbc riin ilen

^^Krtlin p, Pf Pt. P, in >!en Funkten P. F^, P^, P, gus.liuiticu wir.l, «u ^^^t tlKT, dius du i)opp«lyorhattDi89

" A-'a

^»^a

ninl. Mun hnt daher VcranUiaang, äen rechter Hand stehenden Äuidrnck ■U tlB( Doppelvcrh&llniis der rler Punkte der Trunsvcrinlc ta definircn. Da nach 'lfm Vorigeo der Wert dieses Duppelverhlltnisaes von der Anfsngirich- lang a — der Normnie der TransrersHle — unabhängig iit. »ci Ut klar, daat fdr alle DiOgliehon durch du* StrnblhQschel (_p, p,, fi,. p^) geleglun Tram- «crMlen dm Doppel verMl in ie« denselbc-n Wert bchill. ]}aniit int die Gmud- l»g« für die Lehre »im der iteciprocii« der Punklreibtii und Situhlbüschcl Begeben. — Ua bei der n I Ige niei ii cn Ulitcrsachung des CurrelnlUiiisbegriffei die harmoiittcbcn Verh»1tiiiB9n wie die «ogennnnlcn „mrtrischcii Bolalloncn" abcrhaapt. »0 liel ich arhe . niiht von Bclhsl und angcEucht ,in dm Geiiehta- feld dci Beuhiichters treten", gu gcichichi ihrer ia dem Fulgendrn keine Er-

iri'Jlr Hirf partittit

Sei BAZ ein bt^liubigctr Winkol i, nail man si-,hiieii]e ifie 8(;h< dcssclbeu durch cidö Gcradu liZ, welche mit der Richtung AB einm

bestimmten Winkel k bildet; alsdann ist das Verbältoiss -^r wu

Function des Winkels :, welche ausserdem nnr noch von tÜPin con- Staaten Winkel x abhUiiirt. Man könnte sie etwa als „schiefe T»n- gente des Winkels :^' bezeichnen , da sie von der trigonoDielriscbea Taiigeiile sieb dodorch unterscheidet, dass der von beiden Vorhilt- uisslinien eingeschlossene Winkel anstatt eines rechten ein schiefi^ iift

Bezeicbnen wir diese Fnncl ) findet sich leicht

I fllr den Augi-ubick durch vU),

tg^

. Bin*- «PC»)

1 + cos H. ■!>(»)

Vernittelst der letztem Formel kann das Additionstheorciu der trig. TangeiUo in das Additionstheorem der Function <p tranaformiit werden. Man erhält:

tC-) + <P(») +2 cos K . ipf:) (pM

<P(« + ") =

Diese Formel hat, da x coustaut ist, im Wesentlichen deuselboo Charakter als diejeui^je für Ig(i4-«).

Man kaun nun in der Detinitionsgleichtiug der projcctiviBckei Beziehung zweier StraliIhDse.liel an Stelle der trigonometriscboo Tan- geuten die Function tp einführen, wobei die beiden den Taugeuleu d«i Winkel (ap) und («'p) eutaprocli enden Functionen auf zwei »er' schiedeno Paramctcrwiukel «, «, bezogen wcrdeu dUrfon.

Nach diesen Bemerkungen über die Definition des Begrjfib der Projectivität soll nun eine ganz beliebige Conviatiou zweier Ponitta p, n der Ebene ius Auge gi^fasst werden. (Ich beschränke mieh bier auf die Betrachtung der Corretatioueii gleichartiger lülemoiitA ln> der Ebene).

Die Coordinaten der Punkte l\ H seien, auf dasselbe rechtwink- lige Co ordinalen System bezogen, respectivo r, y und |, »j.

Eiue solche Corrclatiou wird analytisch durch zwei Gleichnngea definirtj man denke sich auB diesen ^ und t] als Foiictiunen von and 1/ dargestellt, es sei

85 i^+S.lj

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<"! =1

für ''S' '"' ^^'

81 ,'1. .

„tecta« ' "»"' '

■l^'^ , 1, Ucouuane ''^^ * lassen, '"^^^ ^

SSO Sanini Urbrr ProJKlii'ltai w<l panitlU

zweiter Ordnnng zavor durch dieselben Ililfsmitle) featgcslellt worden sind.

Da die SfLtzc, Din welche es sich handelt, und welcbo dem Fol- genden zur Grundlage dienen, sehr bekannt sind, so wird ea gen, sie bier einfach anzugeben:

1, Die Durchschnittspuuhte entsprechender Strahlen zweier pro-

jectiviBcher Strahlbllsehel liegen auf einem Kegf^lschnitl, welcher auch, durch die Mittelpunkte der Strahlbüschel hindurchgeht.

2. Wenn die beiden StrahlbQschel einen Strahl gemeinscbaftlich haben, welcher in diesem Falle die Verbindungslinie ihrer Mittd- punkte ist, so wird die Schnittcurve eine gerade Linie (man sa^ die Strahlbüschel liegen perspectiviach) oder, wie man die Sachs auch anlTaascn darf, ein Lintcnpaar. indem die Verbin duugBlinie dcc Mittelpunkte als die zweite Gerade des Paares anzusehen ist.

Ein dritter Satz, welcher ebenfalls eine allgemeine Eigenschafi der pro jecti vi sehen StrahlbilHchel aasspricht und ebenso, wie die bei'< den vorigen, zu den Fundamental Sätzen der Steiner'scheu Geometrid gehört, folgt aus Formeln, welche das Ergebnis! einer Transformatioi der Gleichmig der pcrjecli vi scheu Beziehung siud; diese Formeln sind für die allgemeine Theorie der Correlationen von Wichtigkeit und masaeii daher entwickelt werden.

Znr Abkürznng mag

8l Bj,-

gesetzt werden.

Die Fundame ntalformel I. lantet auf diese Weise:

i, -|- bft

^°" <-,+..,/■

Die Winkel, deren trigonometrischo Tangenten ( und t sind, be ziehen sich beide auf eine und dieselbe Anfangsrichtung, die Rieb tung der Abscissenaxc des ( 'oordinatensyatems. Da nach dem FrUheni durch die Einführung beliebiger anderer Anfangsrichlungen an Stell« dieser die lineare Form der Gleichung sich nicht ändert, so I sehr nahe, durch Einführung passender neuer Anfangsrichtungen di Oleichangen zu vereinfachen, was dem Begriff einer Coordinatftn trausformation entspricht.

Dxfftrtn lialg U ithungm

231

Seien rcsp. h and Jt die Tangenten der Winkel, welche die bei- den neuen Anfangsrichtungen mit drr nrsprliDglichen , der Riebtang der Abscissenaxe bilden, nud r' , r' die TuiigeDtcn der neaen ver- änderlichen Winkel, so wird Termügo dos AdditionBtheorems der Fanc- tioD Lingens

und die Subatitation dieser AnsdrUcke liefert die Gleichung der Pn) jccÜTillLt ia der nenon Form, welche aasserdem nach den Variahcln.4 (' und t' geordnet werden mag. Dieselbe lantet:

+ [«(a, — Ao,) — (fi,-fci,)]l'-f «(o.-f-to,) — (i, + t6,) = 0

Man wird sich also die Aufgabe gtellen, zwei der Coefficieaten dieser Gleichung durch geeignete Verfügung über k and x zam VerBcbwin- ilen ZD bringen.

Es ist zu erwarten, dass dieses für die Coefficieuteii von t'i' und von t' zugleich, oder für die Coeflicienten von t't' und x' zugleich im Aügemeinen nicht möglich sein wird, ebenso wenig fQr das con- Bt&ute Glied und einen der Coeflicienten von (' und r', weil in allen diesen Fällen eine der Variabeln i' und r' von der andern nnab- bäp^ig werden und in eiue Coustante degeneriren würde.

Führt man die Rechnung dennoch für einen dieser Fälle durch, etwa fflr den ernten, setzt also die Coefßcienten von ('r' und r' gleich Noll, so folgt ans den Gleichangeu

^^roch

Elimination von

■i,-fia, + *(i,-}-iÄ,) =0 ; die Gleichung

(a,i,— Vi)(l+'t») = 0.

Das Nullselzcu des zweiten Factors dieser Gleicbung führt lO einer fQr jede Stelle des Gebiets vorbandenen Lösung , welche aber ima- ginär ist. Sic lautet:

__<h — ''h _ °i + '°a * bj—ii,^ l/i+'h '

'Worin ( die beiden Werte dor V — 1 bezeichnet; erfüllt man aber die Gleichung dadurch, dass man den ersten Factor derselben gleich Null ■eUt, also festsetzt, daas sich

|uu, jo nach der Walil tiei Anfanfsriclitungon unter den »tasdgtto I Paaren.

I Eb ist zioQilicU gloicligliltig welche Uicser beiden Formen rata I wählt, da sich beide mit gleiubor Leichti|[kL'it anwenden lassen; I wünscht man aber, dass die gewählten Anfangarichtungen zagleicb t zwei onts]) rechen dß Strahlen sein sollen, also t' •» 0, t' = 0 ent- I spreche, was eine sehr natürliche Festaetzniig ist, so wird dieselbe I nur durch die zweite Fürm erfüllt, welche in sofern einen Vorzug 1 besitzt nud daher als die Sormalform der Gküchunj; der Projcctifitit I Kweier Strahlbüschcl angesehen werden darf.

I Seien nun t', (' irgend zwei entsprechende Werte der Variabelu,

I so geht aus der Form der Gleichung

[ Bt'^ et' = 0

I sofort hervor, dass — r', —t' ebenfalls entap rechende Worte sein

I müssen.

I Wir haben demnach einen dritten Fundamental satz der Steiner-

& schon Gbonielrie, welcher lautet:

I Zwei projectivischc Strahlbüschel besitzeu ein Paar entsprecbende I rechte Winkel; jedem Paar zu dem einem Schenkel dos rechten Win- I kols — nnd demnach auch /n dem andern — symmetrisch Hegender FStrahlen entspricht in dem andern Büschel ein Paar zu deu Schea- r kein seines rechten Winke's ehenfalls symmetnsch liegender Strahlen.

Dieser Satz in seiner allgomeinen Anwendung auf Correlationea

mag hier kor/ als „Priinip der Winkclsynimclrie", die Schenkel dfer

rechten Winkel als „Symmetrieaxcn" beüeicbnet werden. Wir sehen in

dem Vorstehenden eine het^oudcre Eigenschaft des rechten

Winkels, wodurch derselbe sich vor andern Winkeln auszeichnet.

Paare entsprechender gleich er Winkel giebt es bei projecüvi-

' sehen Strahlbüscbeln unendlich viele, aber nur die Schenkel des

I Paares entsprechender rechter Winkel besitzen die genannte Sym-

I metriceigonBcbaft .

Die Axen der Winkelsyraraetrie haben noch eine andere Syni- I metrieeigenschaft. Wir betrachtoten bisher nur die Richtungen [ entsprechender Elemente ih, <la; jetxt soll anch das Verb iUlniss ihrer I (nnendlich kleinen) Laugen ins Anj-o gefassl worden.

Die Gleichung

,l(3- = di^ + dlj"

I ist, wenn man da constant sein lässt, dio Gleichung eines am II Lttli Uittclpniikt mit dt als Kadius beschriebenen Kreises. Die

D'-fftttatlahßeichunsen in der Gfomctrie. 235

8pr«clifinle Cnrve dos oodtni Gtbiets erbftll man dadurch, dass man in dieser Glekhaug vermittelst der Formeln

rf| = a^dx-^-a^äs, dij = birix-^-b^di/

die lacremcnte tli, riij durch die lucrcmente d:c, dy ersetzt

So wird:

Das ist aber die Gloichung einer Ellipse, deren Mittelpunkt S* ist. [Man kanu leicht nachweisen, dasa die rechte Seite der Glei- chung due positive Form ist].

TrsDsformirt man dieselbe anf die Haaptaxen, indem man dx = uCOBo—DBinu tlij = usinfl+ucoao

so bestimmt, dass in der neuen Gleichung der Cocfticiont «ir verschwindet, so erhält man:

die

\

also dieselbe Formel, welche vorbin für die Winkel-Symmetrieaxcn des Punktes P (gefunden wurde.

Da für das andere Gebiet das Entsprechende gilt, 1 merkwUrdiiien der Differentialgeometrie angohörigen

so bat man Satz:

Wenn man das Element ilo nm 77 als Mittelpunkt einen Kreis

schreiben lässt, ao beschreibt das Element dt ura J'als Mittelpunkt

Allgemeinen eine Ellipse, deren Hauptaxen mit den Symmetrio-

der projectivischeii Beziehung zusammenfallen; das Gleiche gilt

dem andern Gebiet.

Eine besonders merkwürdige Gruppe der Correlationen wird durch

h jenigen gebildet, welchen die Eigenschaft der Conformität er der Äehnlichkeit in den kleinsten Teilen zukommt.

I

^^^1 Die Bediugungsgleiohnugcn der Conforniilüt ergeben sich unge- H^Wfnngen aus den zur Bestimmung der Symmetrieaxen dienenden For-

fncln. wenn man deu Fall in Betrachtung zieht, in welchem dieselben

nnbcBtimmt werden.

Setzt man den Zähler und Nenner der Formel

236 Sanio: üeber Projectivität und partielle

gleich Null, so folgt aas diescD Gleichungen, wenn man sie in der Form

aufschreibt, alsdann ins Quadrat erhebt und addirt, dass

sein muss, also, wenn man nur reelle Werte der Variabelen zoläast

Die Gombination dieser Gleichung mit der frühern orgiebt:

Hieraus folgt mit Berücksichtigung der Bedingung

Oj a^ -|- bi bj^ ■*» 0, dass

Oj ■■ c^i, Oj =■ — Bbi

sein muss, wenn e die positive oder negative Einheit bezoichnet, welches die bekannten Bedingungen der Conformität sind. Man sieht, dass, wenn sie erfüllt sind, auch die andere Formel:

tg2a, = -,_^~-,-_^--,_— ,

den unbestimmten Wert jj erhält, wie es sein muss.

Je nachdem man « = + 1 o^^r f = — 1 nimmt, erhält man Zwei Arten der Conformität, deren charakteristisclicr Unterschied durch die Benutzung zweier Formeln gefunden werden kann, welche aus denen für tg2ö und tg2a) folgen und hier nur angegeben werden mögen. Man findet:

tg(2cö + 2o)

2ia^~b^)(b,+a^)

{a,-b,)^-{b, + a^y'

Setzt man hierin

a, = Äo, 02 = — &|, so folgt

tg(2co — 2o) = Const,

tg(2» + 2o)«8

0)

Uiffrrtnlialgltichuntitii m dtr deuuutrit.

lOrans man leicht scliliesst., dass die roDgruenten Strahl bü schal i jom DreliDugSEiuau darchlaufcD wcrijea; setzt man aber

tg(2ü3-ai.)-B,

tg(2u + 2o)==ConBt,

■or&ns hervorgeht, dass ja diesem Falle die coDgroeotOD Strahl- illlBrJiel in cntgcgcugosi-tztem Drohangssiune durcblaufeD werden.

Die Eigenschaft der Conformilät im Allgemeinen kommt, wie Igt, nor einer bestimmten Claase von Correlationen zu, welche irch die simultanen partiellen DiSerontialgleichoDgen

charaUerisirt wird ; mau darf aber behaupten , dasa im Allgemeineo jede CoirelatioQ in einzelnen Punkten des Gebiets den Gleicbnngen der Conformität geuügen wird.

Solehe Punkte darf man mit Keebt Conformitätspnnkte

IfuennoQ, da iii ihrer Nähe die entsprechenden Elemente cougmcnte Bflscbel beschreiben . nnd demnach an diesen Stellen Aebniichkcit I den kleinsten Teilen stattfindet.

Die Ergebnisse der Betrachtungen über Conformitiit können znm K^wecke der Anwendung kurz in folgenden Salz zusammengefasst

Au allen denjenigen Stellen des P- und fl-Gebietca einer. Cor- elatiun, an welchen die beiden Uleichnngen

tder die buiden Gleichungen

hx 3y hy äe

füllt werden, während die Functionaldetermioante

8J Sj7 I 3» ö»

Sa nie: Urbtr Pr-'Jnlifitil unrl partitltt

1 weder verschwindet, uoch uncDdlidi wird, sind die BaBclwl, voll deii Ricbtutigoii Qiitsprorhcuder Elemente rU, ile bescbncbea werden, conjirueut, uuii zwar im erst-'n Falle von Kleicliera, im zveitoi aber vom eiitgegcDgesotztem DrehuuK^sina.

Die BeilQQtnng der Fnnrtionalileterminaute ror die richtige Al^ grenZDDg der Giltigkoitsspliftre des so eben auajresprocbeiiPU

•- der projectivischeu Beziehungeti Ubcrliaufit wird durch die fol- > gendo Uoberlefping deutlich werden.

Die fuudameutalc Formel

ti+A^t ' "x +V ■ in welcher sieb das Gesetz der Projectivität ausspricht, gilt je<l«i- falls uur unter der Voran ssotzmi g , dasB die partiellen Difforeiilial- quotientCD u,. uj, &„ £g au den betreffeuden Sielleri des Gebiets einen bestimmten Wert besitzen und nicht fa gleicher Zeit verscbwinden.

Geschiebl das Letztere, so Ußnnen je nach den hesondora Um- ständen maunigraltiife uudere Relationen au die Stelle der linc«r«ii Beziehungen treten.

Der einfachste Fall wird der sein, dass nur die ersten partiellen DiffurentiaI(iuoIicnteu verscb winden, während die /.weilen

dx* ^ '^" ftrSjf "" "" au dieser Stelle endlich bleiben.

Man bat alsdauu nach dem TaylorVben Li-lirsalz: rfS = K<.„,ie»-|-2aj,<tr^y + n„.V) rft) = l(Ji,<fit»-|-2i,trfirdy-j-i„ V)- und daher durch Division folgende nicht lineare Beziehung zwisi-hon ( uud t:

II,, -}^2oi, •^aai*

Die Curve, welche durch die Schnittpunkte entsprechender Strabisu

' gebildet wird, ist In diesem Falle natürlich kein Kegelschuitt, vi<^-

mebr eine Curve drilUT Ordnung. Die Mittelpunkte der Strahl-

bascbcl sind hier uieht, wie bei den Kegelschuilteu beliebige, Bondeni

uharaktoristische Punkte der Cnrve.

Dieses ist ein Duispiel unter vielen-, mau siebt leicht, dass Cor- rolationen gedacht wcrdoQ können, welche für ein bestimmtes Paar

Digermtialghirkungen in der Gemattrie. 239

zoBammengehOri|i:eT Punkte- i'", /J" Stralilbüschel von licliebig fesl- gesctztcr BescLafTeDhi^it HcftTii.

Aber auch liei endlich bleibpurten crsloii Difffrenlialiiiiütieiilen t eiu Auanabmcfall denkbar, welcher frt'iUch, wi'uu mau will, noch Hiter das ailgomeiue GeseU d(^r Projcctivität aubsurairt werden kann.

Wenn aidi nilmlicli

1 .n einoCouBtante. rae beiden, im Uebrigcu wesentlich von einander verschiedenen FAlle haben das mit einander gemein , dass die FuncUonaldetermi- tiante verschwindet.

Da ferner nach ■ K^etermi u ante n

■ bekaiinlcri EiHftiscbaft diT Funetienal-

8£ 8., 8i' 8i		8i 8, 8S- 8S
Sä 8.1 8,' 8,		8» 8, 8'(' 8.J

I 80 entspricht dem Nullwerden der Functionaldelerrainanle des en (iebiotes ein Unendlich werden der des andern ; daher werden de Ffillc zu berftcksichtigen sein.

Man darf also den Satz aussprechen:

Das Gesell! der Projeitivltfit der Correlationen erleidet nur au Iblcbeu Stellen des Gebietes eine weäeutiicho ModißcatioD oder eine Sknsnahme an welchen die Fanctionaldeterminaute

81 8.	8,
8S	8, s

Mtweder verschwindet, oder unbestimmt, oder unendlich wird.

Die Fuüctionaldeterminante, durch deren Verschwinden oder Un- idlichwerden für jede Correlation gewisse charakteristische Curven itimmt werddn, deren Punkte, wie wir gesehen haben, von allen ] eine Ausnahme machen, hat noch eine andere geometrische ^nschaft, nelcbe leicht nachweisbar, auch aas der Theorie der 'nactionaldelerminanten bekannt ist und daher hier nur angegeben rden soll:

' Prejirn'piiai und paHlttU

Wenn tlO nnd HSl ' bezeicbnen, so ist

FlächcDeleninilr

3ä Sx	s
SS	s,
»,■	s.»

ü(e (jic-lil also Jas Vcrliültiiiss oiilsprochwmlcr

8i	8, 8>
Sä 8»	8,

I die Fnüctionaldutormin

' Flächendemeiitc ao.

so hat tnan diu aonlytisch^ BcdiugUDg der Fiac Lcnglcichhcit

Es ist durcL die bisherigen Betrachtungen — allerdings zum Teil nur andcatucgswoisc — zn zeigen versncht wonlcu. nie der Begriff der Correlatioa, wenn man ilin mit den primitivsten analytiachcn Uilfsraittclu bearbeite!, sofort auf den Bouriff der Projectlvität der Strabibüachcl , das Fundament der ueotni Geometrie, fiihrl, untl wie eine eboLso cinfacbe Untersuchung der Projectivitat auf den Ile^riff und die analytischen Bediugangen zweier besonderer Clasaen ron Correlationeu — dorcr'der Conformitat und der Fl fleh engl eich heil ' binluitet, deren genauere Erforsehung eine interessante Aufgabe der lutegralrechuang bildet. So haben die synthetische und die DiBic- rentialgeometrie — scheinbar die am weitesten vou einaud^r ab- stoheudcn Zweige geometrischer Forschong — eine gerne inscbaiüichc Wurzel. Man könnte einwenden, dasa mit dem blossen Anfiaucbeu des Begriffs der ProjcctivitAt als einer linearen Relution zwigcb«a trigonometrischen Tangenten gewisser Winke! bei StrahlbBschelu, fOr die reine Geuraetrie wenig gewonnen sei; aber auch die geonielri- acfaen Eigenschaften dieser Gebilde ergeben sieb nicht minder ein- fach, wofür die vorhergehenden Skizzen obeufalls bereite Beiapido bieten. Der Satz von der Winkcisymmetrie spricht sicher ciao cbaraktoristiBcbe und ftlr die Anwendung höchst wichtige Eigenacbaft projectiviacber Strahlbüschel ans, und der Bogriff der Conformititts- punkte erweist sieb als sehr ntltzhch für die geometrische Constrnc- tion der Correlationen. Er allein genllgt beispielsweise, um die Ver- wandtschaft der Collineation auf die einfachste Weise zu can- struireu.

seltio isL buhnunt.licli durch dio Gleichungen

g + gjte+a^

delinirbar. Man orkeniit aus diesem sofort, dass die Punkte oiu- auder K^geuseiti^ eindeutig <<uts]in!('li(-ii , und dass G^ratlt'ii (iiradi^ ■«n<l Kcgelsuhiiiiteu Kegelacliuitlfl putsprptlicn.

Sucht man unu die beiden Allen ■ üUelBt drr Gloichaugoii

1 (.'aiifoniiitillsjmiiktcii \

il man auch ohne DurciifQlimng ilnr Uorlinung sofort, dass r nur zwei in Jedem Gebitt eiistiren, nämlicli von jeder Art einer.

1 dieselben reapeutive dnrdi A , 11 nnd A , B bemcbnct, ■Obci die zu A, A gehörigen StralilbQschel die von gleiehero, die I U, B gehörigen diejenigen von eutgegengeaetztoin Drehungs- hin sein mögen. Da A, A und ebenso B, B cutsiireeheude miete sind, so sind auch A/t, AD entsprechende Strahlen (OA. natOrtich desgleichen). Hieraus wird die bestehend {gegebene kekaonte) Coustruction outsprecliender Punkte ohne weitere erklä- nde Worte veraländlich sein.

Es ist zweckmässig , im Anschluss an diese Coustruction ftlr die

•Jden Gebiete zwei verschiodeue Coordinaten Systeme einzu-

Wilhlt mau nämlich die Mitte M von ^^ als Coordinatjju-

Bfiuigspunkt des J'-Gebiets, MA als x Axe, Jli r als j/ Äxe nnd macht

) Entsprechen dl.' in dem auderu Gebiet, so uehuioii, wenn mau

AB = 2c, Aß^2y

tstt, die ßleicliiingon der Collineation die höchst einfache Gestalt

Die gofandeDe Constniction vpranlasst zu der Frage nach der Natnr derjenigen Correlaiion, weiche entsU^ht, wem» man die c<w- gruentea SlrahlbüBchelpaari' beide von derseltieu Alf tieia lässt. Man erkennt laofort, dass die Verwandlacliaft iler AebiiUchkoit sultirt, welche, bekanntlich ein sptdcUer Fall der Cullincatiün , Standpunkt« dieser CoDBtmctiou als ein AuBnaltmefall erscheint

Bleiben wir indessen liei der Collination,

Nachdem die (onfarmitlltspunklo in Betrachtang gczngeu woj sind, also diejenigen Punkte, fur welche die Symmetrieaxen onb«- sUmmt werden und daher jede hindurch gelegte Linie als Sy mmetrie- 0X0 angescbon i\'erden darf, ist es uaturgeinUss die nächste Aufgabe, die Symmetrie axen jedes beliebigen andern PankteB anfeosacliaa, Diese Aufgabe findet durch folgendt; Sätze ihre vollständigo Erledi- gung:

1, Der geometrische Ort aller Punkte, deren Symmetrieaxes constante Richtung haben, ist eine gleichseiUgo Hyperbel, welcbd durch die beiden ConformiUitspunkte des Gebiets hindurchgeht nnd die Mitte der Verbindungslinie der CoDformitätspuiikte zti ihrem Mit

, telpunkt hat. Die Asymptoten der Hyperbel geben die Symmetrie- axennchtungon.

2. Dieser gleichseitigen Hyperbel entspricht in dem audoru Ge- biet ein Kreis, welcher durch die Coufnrmitütspnnkte des Gebiets hindurchgeht; die Symmetriea^ien aller Punkte dieses Kreises geben durch zwei fest«; Punkte hindurch . welche ebenfalls auf dem Kreise liegen-, es sind ndmlich die Funkt«, in welchen der Kreis von dl im Halb irungsp unkte der Verbindungslinie der Confonnitatapnnkt* crrichtjjton Senkrechten geschnitten wird.

Also entspricht der Schaar der durch A , B gehenden Kroiaa des /7-Gebiets in dorn andern Gebiete eine Schar concentrischei durch A, li gehender gleichseitiger Hyperbeln, uud der Schar coli' cculrischer, durch A, B gebender gleichseitiger Hyiiorbcln eine Schaar durch A^ II gehender EroiBC.

Um die Symmetricaxen eines beliebigen Pniiktea i' zn finden, hat man also durch A , li und P einen Kreis zu legen und Fnukte ■/, A' zn bestimmen, in welchen der Kreis von der im

Vißirfnti«l.}U,ch„«geH in d,.r GeomttrU. 243

ponkl von AB errichtetf^n Senkrechten (;eBchnitteu wird; dann sind die Verbindungstinicu PJ und PK dio Symmetrieaxon des Punktes f.

Der Beweis dieser Sätze ist leicLti icb ni5i?lite densclkm ilber- (coben, ebenso ihre Anwendniig zui- Prodactton interessanter Winkel- «igpDScIiaflen der gloictiseitigcii Hyperbel, weil es nickt in meiner Abatckt liegt, hier eine vollständige Theorie der Collineatiou zn geben, Boadcrn nur an einem iateressanten Beispiel zu Keigi^n, wie die Anwendung des allgemeinen Princips der Projectivitüt und seiner nAchsten Conse(|uonzen die geoine Irischen Eigenschaften jeder bo- sondem Correlatiunsart offenbar werden Inssl.

Sucht man die znsamnienfallendea Punkte der beiden Systeme oder, wie ninn zu sagen pflogt, die sich selbst entsprechenden Punkte, indem man in die ursprfluglichen. auf ein Coordinatensystem be- zogenen Gleichungen Aar Colliueation

5 = »■, I) = y

sufastituirt, so erhält man fflr n oder y durch Elimination einer dieaer beiden Unbekannten eine Gleichung dritten Grades, wie ebenfalls ohne DurchfQlirung der Rechnung ersichtlich ist.

Es kann daher im AllgemeiueQ nicht mehr als drei sich selbst entsprechende Punkte geben , und einer derselben muss stets reell sein.

Bisher sind die beiden Punkte P, i7 als Punkte einer Ebene geduckt worden; jetzt wollen wir uns zwei Ebenen anf einander lie- gend und in einer derselben den Punkt i\ in der andern den Punkt n beündtich denken. Das ursprüngliche Coordinatensystem verwan- Ae\i sich dem entsprechend in zwei auf einander fallende, jedes mit seiner Ebene in fester Verbindung stehend. Ich will diese Ebenen kurz als die P-Ebenc und die /I-Ebene he/.ciehncn.

Wenn nun dio H-Ebcnc auf der /'-Ebeuo anf irgend eine Weise verschoben wird, so wird dadurch der Abstand entsprechender Punkte /', U eiu anderer als vorher-, dio früher sich selbst ent- aprechenden Punkte werden jetzt voraussichtlich nicht mehr auf einander fallen (dafUr freilich andere}. Mau wird also zugeben tnAsseu , dass die Correlatiun durch die geometrischo Operation der Terscbiebung eine andere geworden ist, wenn auch das Priucip der Aeudernug, vom Standpunkte der geometrischen Aiischannng be- n trachtet, einfacher ist, als alle andern, welche man denken ki^nnte.

1 erkennt aber nach den bekfiuuieu Gesetzen der Coordinaten- IsformalioQ sehr teicht, dass der analytische Charakter der all-

genteinon Gleicliunfcen der CoUineation durcii die Verschiebung der Ebenen keine Verändern ng orleidol.

Daber werden auch bei der neuen Correlation Geradon Efcnid» und Kegelschnitten Kegelschnitte entsprechen.

tlm es kurz aus/u diH cken :

Der allgemeine Charakter der Cottineation bleibt dnrcb Prebung und Verachiehnng der beiden Systeme gegen einander unverändert

Dieser letztere Satz bringt gewisserinasscn die geometrischa üntersudiQiig iler CoUineation in Fluss; c9 wird der syoth«4ucbcs Geometrie, indem sie sich der vorbin aufgestellten StLtee — auch nur eines Teils derselben — bemächtigt, leicht, die Colliae»tioa im Allgemeinen und die Bpeciellou Füllo deraelbon als Instrumeiit handhaben, welches die interessanteren Eigenschaften zum MiudesteR der Curvon Iter und 2tor Ordnung offenbar werden UUst.

Die CoUineation [welche, wie oben gezeigt wnrde, zwei congruenter Strahibuscliel besitzt] besitzt auch zwei Paare congni- enler Punktreibeu,

Man tiudct diesen Satz^ indem man das fi-Gebiet so versohifl dass die Confurmilätspuukte .1, Ä auf einander lallen nnd das aaA Paar B, B mit .1 in eine gerade Linie fällt (was Übrigens : zweierlei Weise bewerkstelligt werden kann).

Bei dieser Lage der Systeme giebt es unendlich viele sich entsprechende Punkte, nSmlicb die Pankto derjenigen Geraden, wcicbi senkrecht durch die Jlitte von BB hindurchgeht Bringt man oai wieder Alles auf seinen urspranglicheu Platz zurOck, so wird du zuletzt genannte Gerade zwar in zwei Punktreihen deplacirt, wdclH aber ihre Gestalt nicht ändern, also congment bleiben.

Hieraus ergiebt sich leicht die folgende Coustructiou dor coiH groenten Punktreibeu,

Man bilde deu halben Unterschied der Distanzen Ali und AB und verlängere die kürzere , verkürze die längere auf beiden Seitea nin ihn. Uio in den so gefundcueu Punkten auf Ail und AB er- ricbt«teton Senkrechten bilden die beiden Paare entsprechender con- gruentcr Punktreihen,

Die so eben skiüzirte Betrachtungsweise giebt ein Beispiel d4 Verfahrens, welches in der syntlietischen Geometrie in ihnl "Weise häutig wiederkelirt ; man darf dasselbe wohl als „eine Uebi Setzung des Priucips der Coürdinateutransformation in das Gi tiiscbe" bezeichnen.

Diffirciitiali/Iekhungen in der Genmofri«.

245

Soviel über das Instrumeut Botbst; aan noch ein Wort ülor die AiiwoiidiiQg ilcssdbeu. DtT Kwin ist ciu Kegüi schnitt-, uach ilom Frühem muas dalier eiucra jcdtn Kreiso des einen Gebietes ein Kegelscbuitt des andern entsprechen. Ueberdies schneiden sich nach clcm Fund amental priocij) dar ProjectiTität sämmtliche Paare ent- sprechender Stralilen, welche von einem Paar entsprechender Punkte /*, IJ ausgeben, anf einem Kegelschnitt; man wird daher Sfttzo vom Kreise in solche, welche sich auf Kegelschnitte heKieheu, Irans- formircn kßuuon.

Mau sieht, wie die Analysis in ihrer iirimitivsten Ge- stalt, wenn man will, der Geometrie sehr annehmbare Grundlagen für ihre wciloru Speculationen zu liefern im Stande ist.

Sind wir darum hercchtigt, die synthetische Geometrie als einen blossen appendix der analytischen zu betrachten? Dieses wäre schon iu Anbetracht der RivalitAt, welche zwischen beiden Disci])Iinen ge- herrscht hat, «nd der die Wissenschall der Geometrie wesentliche Fortschritte vordankt, ein Unrecht; al)er es wäre anch abaard, da die analytische Geometrie, wie sclion aus ihrem Begriff hervorgeht, wesentlich geometrischer Hilfsrailtcl nie entbehren kano. Kher köuDte man das Umgekehrte behaupten , da eiu umfangreicher Teil der Geometrie, die Geometrie der Lage, ganz ohne Auwendnng arith metrischer Ililfsbegrille aufgebaut werden kann ; aber auch diese Behauptung wäre gewagt, da die Hilfsmittel, welche die Analysis der Geometrie bietet, sehr wesentliche sind. Mau hat zuweilen die Frage aufgeworfen : ob man die Geometrie auf analytischem oder auf cou- struclivem Wege behandeln solle? Diese Frageatellang ist verkehrt; man kann sie aber meines Erachten« verbessern, indem man sie so forranlirt:

Was soll in der Geometrie auf analytischcju und was anf con- slrnctivem Wege behandelt werden? —

Die Untersuchnag der geometrischen Verwandtschaften gilt mit Recht als eines der brauchbarsten Hilfsmittel geometrischer Specn- latiou; ja, sie wird geradezu als das Fundament der Geometrie be- zeichnet. Die einfachsten Correlationen von nor einer Dimension, also namentlich die pro jccti vischen Punklreihen und Strahl btlschel, haben diese fundamentale Bedeutung unzweifelhaft; aber alle andern, — sogar die ColHneation — zeigen hiusiclitlicli ihrer Anwendung einer von jener wesentlich verschiedenen Charakter; sie dienen zur ■Tfansformation einfacher geometrischer Sätze iu andere von grösserer mplication und — wenn die S&tze . \oii welchen man ausging, tri- sn — auch von grösserem Intoresae, Eine Ausnahme macliL die einfachste der reciproken Verwandtschaften, diejenige

246

; Utbtr Proß.

in.f parlUOtiy

Aar rouiprokcu Polaren iimcrbalb des eigcntliclicn G<MetB ilirar AS Wendung in so fern, als die dutvb ihre AnwcnduDg nisulUrcndus Tlieorcnie nicht coniplicirter (aber auch nicht i'iufacher) Bind al» dii^eDigeu, uus welchen sie hergeleitet wurden, und deosD aü t dem Princip der Dualität entsprechen; triviale S&tze küntiei durdt sie nicht in int«roBBantoro transformirt werden.

Der Begriff der Correlation ist eines der goistreichsten Frodacte goü metrischer Ginbildungskralt; jcilo beatimiut« Correlation darf ob eini? Maschine unfgefaast werden, welche zunächst zur Prodoctios [man wUrde für gowöhnlidi sagen: zur Entdeckung] geometrischer Sat7« bestimmt ist, schliesslich aber — indem sich der antike Begriff des geometrischen Lehrsatzes erweitert — selbst als Object dsr Betraehtong dienen kann.

An mürku ng. Diis Bilil iler „Mnscliine" sriieint mir \o ■ojern nopiMeDd, ab dadurch ilic Aufmcrksniiikeit suf L>iiic Eigen IDmlich kell bin* gelcDkl winl, welche lognr der g«iaaiiiiion Muthenstik in bedeaunden Qnuh eigen ist und den denkenden Geigern der HnUieniiitik (von denen natftrrBh nllcln di» Rede sein knnn) in un;;erechlen nber nicht gnm angerechtfartSj^. Angriffen die IlendliBbe grgeliGn Iibi. Ani Woltoaten ist hierin wohl der FbUi^' ■ojih SchopenhkDer gcj^angen. welcher die Mnthcmatik xwnr an einer S(dl( seincj Hauptwcrkct (,Die Welt nli Wille und Vometinng-) elni> Winen fcin l&uT . Bbor bei nndern Gelegenheiten mit einet ^wiisrn Incon^octM all einen Gegenntiinrl heneichnet, welcher für den wahren Denker nur *oi geringem Intereiee sein k^nn. Er «lützl aicli dabei auf gele^atliehe ürMÜt von Mutbemutlkorn . weUlie einesteils humoriatiiich gedacht, andorntcUi treffend, alier onvullBttiidiK und iwar nphorietiseb hiDgeworren wunen, deren Autoren acliwcrlieh luii der AuiTBBSiingSchopenbaucr't in ilicscm ftttiklt einTentHndca sein wOrdcn. Aber der Angriff hat dennoch einen Ksni, vi eher Borüeksichtigiini; venlicnt und von Seho[>eahaner aellut willig und iln lieh treffend diireh seinen Vergleich de« Hathemaciken mit , einer Kita welche mit ihrem eigenem SchivnnK spielt" ehnrakteriüirt worden i>t.

Uie Theoreme der Mathematik — wie ResnlMte prodDciiren Denkcm: (tberhsapt — tragen hantig den Charakter de« KanMlichen, Gcmaehten m Scbati. wahrend die andere Seite an ihnen, dne Natürliche. Beobachtcie, Qt- wordene sich dem Blick des obernni-b liehen Beobachters verbirgt and Atim leieht Bbersehen wird. Bei den interexsnnteren Maschinen — diesen wnU' derbnren Gebilden durch Anoinanderketiung von Nalur nnd Menschengeiti — Teihlll es sich ahnlich ; iiucb hier übernimmt die Kun» so lu tagen dti Heroldsuml. Da nnn die Kunst, die Willkür sieb gewisaennBjisen bei de-Br- Bndattg einer Correlniion Concentrin, um hernach der Beobachtung, d« planmiaalgen Anwendung Plan »n machen, ao iii6ehle der TeTmiDim »ehine' fflr ein derartiges Gebilde etwa» für siuh baWn ; auch in sofern, all wir dadurch das KünMlIehe, welcheB nun einmal in geometrischen Uatir- snchungen liegt, offen eingvstohen, und nun die Aufgabe an dm henntriK

DiffertHUalglikhangiu i» lUr Geomcirie. 247

f

^^^B „allgemeiiie Masl^hillelJleIlro der GeuDietrio" -, aber der ßogrifT

^^Hbt sßluheu ist (iamit uoch Diobt erschöpft; tleuD es giebt noch

p«5e zweite Reihe von Hilfsmitteln, walcbe deu Charakter der Ma-

scliiae ebeaso aD sich tragen und mit jcneu ersteru zasainmeu erst

ein tianzes bilden. Ich meine die Coordinatensyaterao.

Dass ein Parallolisinns zwischen Oorrolationen und Coordinatcn- systemen existirt, wird sofort klar, wenn man sie analogisch — durch ffleicbnngcn — definirt.

I Sie Gleichungen

I ffleicbi

I'

^HbB man X, y die Coordinaten eines Punktos P, £, ij diejenigen ^Bpn andern Punktes Tl sein litaat — beide anf daaselbo fnn- ^oimcntalo Coordinatenaystem bczogoo — stellen eine Cor- relation dar; diPselben bpiden Gleichungen, wenn mau i, y und 5, ij boidu auf duDscIbon Punkt /' liojiieht, alsdann aber nur das eine Coordinaten paar, etwa t, y. ^.ugteicb anf das fundamentale Coor- dioatimsyat^m beziehen kann, cbarakteristrcn ein neues Coordi- Qateusystcm, in welchem i,, ij die Coordinaten (Parameter) dos Fnubtes 1' 3iud.

Auch diese Zusammen Ordnung von Correlationen nnd Coordi- naten Systemen ist eine kilnstlicho, wie aus dem Umstände her- vorgeht, dass sie von der BcscbafTenheit des fundamentalen Coor- dinatensystems , dessen mau sich bei der analytischen Definition der Correlationen und Courdinalensysteme bedieut, wesentlich abhängt; 8o dass einer andern Wahl des letztern ein anderer Modus der Zu- sammen ordnnug ents)ircchen wird.

dai NatOrliche, wulcbes ebenfalls ilarin liegt, aubusuchen und von üeni erstera begrifflich zn trennen.

Sollte e< wohl gaai inriUig sein, dais der geniale erste Ertlnder der- krtigec ,Miachinen" ein berühmter Ingenieur gewesen in. PoDcelel, der Er> Hader der Trnnsronnalionainetboden der CeatiBlprojection und der reciproken Polaren mius wohl all der eigentliche ScliO|>fer der Idee der Transfarmnlion geometriicber 8lt(e durch Carrelationen angeGehen werden, n-cnn nuuh MObitu Verdienste um die Feitsteliang des Bllgemeinen BegriSs der Correlatioo anbe- ilreitbar ist.

Dais der Erliader der Coordinatensyetime ein grosierPhiloioph gewesen Jst, eriehcinl mir ebenfalls beieichnend ; der erste Zweck diuet Er- findaog oor. Ordnang in das Cbaoi lu bringen, die Methode an die Stelle

Wiaei lu aetien.

tL

248

Sat.

: Utitr Pr-j.

u«d parüriU

Es cntflU^ht ijalier die Frugc oach dem oinfaclision nntcnsysloni , damit man dasselbe als fandamcntalcs wählen kiitiDe Icli zweifrlu kaum, ilass sioh das älteste von olle», dos Cnrti^ios' auch als das einfachste, das natHrliclic erweiseu wird. Winkol der Coordinatonaxcn ist zwar f&r viele BetracbtuDf^ßn olms Itolang; wo rs aber auf denselben ankommt, wird sieb sicher dtt rechte Winkel empfehlen — wofür di« oben entwickelten Sj"i inetrieeigen Schäften iler ])rojecti vi sehen StralilbUschcl schou «loen Beleg abgeben darftcn. Das Cartcsina'sche System der rechtwinkligen Coordinatcn soll also hier als das faudameutale Coordinatensystcm gedacht werden.

Unter dieser Voraussetzung gewinnt die Frage einen hoBtinuntm

Welches Coortlinatcnsysteni ist das UerVoi aoation parallele?

vandlschaft der C'olli-

Anmerkang. Dieser Gegrnstnnd verlnnijl nllcrJin^s eine prioci^ielli ünteraachung, wobei auch die gerntlc Linie luvCrderet als unbeknnnl ungeaOB- meo werden muiB.

Denkt man sich nuf f. beliebiger Ciirvcn — di" Oi den de — die AhBcisaencBi-TD diniteniinrnngspuukt beliebig in GmnU eines iibiioUit

er beliebigen krunimi?D OberSAchc ein 8ji innlenriirvrti — und eine sie nlle darfhiehnei«' - gpgpbcn, nuf welcher lrWl»rn oinn den Coor- 'äblt, sK bedürf mnn nur noch em gsnmvn. uniusdchnbHrcn Fud

dieser Claeho nniilytilche Geometrie treiben i,a kCnnen. Die WirkungHphAr« de» nnnlyliechen Vm'rnhrirns selieint hier weiter in gehen sU die BlfUfliven, Eine GIcichnng crsien Grnde« iwiaehen r and g cbamkterislrt rin« CuTve, welche miin nh ^Curro erElcr Ordnung" beieiehDen kann. Die Ton geraden Linien gellenden SStie der reinen Geometrie der Lage werden ■ auf die 10 eben delinirten „Curicn erster Ordnung" «usdehnen Inssen, m bei*

IipicUwei$e der ber&hmte Snti von DeaurgneB: „die SchniEEpnnkie entspreehen- ilor Soiten iiveier pcrspeelivischer Dnüoeko liegen auf einer Gemden", man nberiill nnslnit der geraden Linie die „Cnrve erster Ordnung" lubmHtlin. Dleicr Satz ist nUnilich nur An geumcIriEehe Bild einer Idcniitll iwiicbei Coordlnatcn. wclehe nus der linearen BeithaSenheil der GJeiehangen folgt, Ich muBB daranf veratchten, dieBU nn sich inierestnnten B<;trncbtiingen hier weiter tn führen nnd wollte nur die Magllchkelt einer fundementnlen ÜqUt- ■»•ihung der Coo rdinetenityt lerne . um Aas NntOrlichc zu erkennen nnd dit Ftuehtburkeit derartiger Bei rnchtnngen [ilonsibel mBchen; sie tr lie KU Ende führt . noiwcndigei' Weise mii den metnphygisehei aber die Naiur des KanmeB (die sogenannte nbsolute oder Micht-EnUidiMhf Geometrie) in Zusanimenhiing. und werden nieli dergleichen Spei;lilBtilinBli wenn mnn sich eine müglichsl gründliche Einsicht in dat CoordiaitteitprilHfi| verschnSen will, knnm entbehren laascn.

I fimlo das folgende, welclics hier der Kürze wegen für den »blick als „projectivisehrs Cuordinatcnaystom" bezeichnet wer-

Seieo r, y die Coordinaten vuu P in Beziehung auf das funda- mentale Coord inatcusy stein , ABC ein beliebiges Dreieck, und durch C KU AB eine Parallele gdogL; luau xiolie durch P vou A und li ans gerade Linien, welche auf der zuerst gcnanuWn Parallele die Schnitt;! unkte S, H bestimmen, setze, wenn D, E zwei boliebigo ^^^akte anf den Drcieckaseitou AC, BC sind,

^Wbeti ^Khlini

^" Es

CS

= £,

t betrachte |, *? als die Coordiuateu des Punktes P in dem neuen dinatcnsj'stem.

mit 1

< durch Glei-

Es lässt sich nämlich zeigen, dasa |, - cbungen von der Ferm

\crbunden siud, und ilnss durch passende Wahl des Dreiecks ABC nnd der Grossen CD. VE den Cocffieienten jener Gleichungen be- liebig gegebene Werte eiloilt werden können, l'nser System besitzt daher den gehörigen Grad der Allgeuicinheit-, nmu kann ihm noch andere Gestalten geben, welche aber nicht wesentlich allgemeiner sein

, DiT einfachste Bcims der übigcji Bclmiipiung ilOrfle

iW der Conttiiiclidn folgt, t1ii«B far tlic Funkle der Gerulcn AB A\c inaten f, »j unemlÜrh worikn, und dnis (Qt die Punkte der Geraden AC, 0 nnd fOr dia Punkte lior Gcrnden SC. i; = n wird. Ea musa daher,

= Ö die Gleichung der Geraden AC

*!' + *!*+* = ■"— 0 ., I, £ und ij. durcli i iinJ g aiisgedrllikt,

beGlimmi^n sind.

'^

250 Samio: Udttr Pn^'eetmiii und parUdU

Transformirt man ein projectivischos Coordinatensystem in dB anderes ebenfalls projectivisches, so behalten die TranaionDatioiia- formeln dieselbe Gestalt, wi6 oben.

Diese Art von Ck)ordinatensystemen will ich daza benntieB, za zeigen, wie eine und dieselbe auf GrOssenverhältnisse bezflgliche Be- merkung, wenn man sie auf verschiedene Coordlnatensysteme an- wendet, zu verschiedenen Eigenschaften einer nnd derselben Gurre fuhren kann.

Wenn man ein rechtwinkliges Coordinatensystem in ein anderes ebenfalls rechtwinkliges transformirt, so mag dieses „einer Trans- formation innerhalb des Gebiets der rechtwinkligen Coordlnaten- systeme'^ genannt werden.

Man kann durch Transformation innerhalb des Gebiets des recht- winkligen Coordinatensysteme die CocfGcientcn der linearen Glieder nnd des bilinearon Gliedes der allgemeinen Kegelschnittgleiciiung zum Verschwinden bringen, wodurch die Gleichung die ein&cho Form erhält:

Alsdann fahrt die algebraische Bemerkung, dass

( — «).( — x) ^» X,X

»

ist, bekanntlich auf die Eigenschaften der Hauptaxen des Kegel- Schnitts.

Lässt man den Punkt P in die Unendlichkeit rüeken, so wird ABH^ ein Parallelogramm, und daher

6'S+ CH = AB.

Also mnss in diesem Falle für gewisse constantc Werte ä:, iL-,, k^

sein.

Für unendlich entfernte Punkte P wird aber

I = - - - . flp : w «= : . M>.

Daher muss:

y

sein; eine Gleichung, welche unabhängig Ton dem Wert- nur dann

X

erfüllt werden kann, wenn tp und rp Constanten sind.

nif-

251

L

^^^HfwinkligcD Parol iel-Coord in ateii Systeme mit gcgoboneni Axcq- f, frinlc«! , so fiihrl das auf den Begriff und die Eigeiifiebaften der con- iugirtcu Durcbiriesser.

Wir wollen nun dieselhen Ueherlogungen für die projcctiviBchoD CoordinstOQ Systeme anstellen.

ZanSchBt ist klar, dass, woun man diu Gleichung einer boliebi- geo, urBprünglich auf Cartesius'scbo Coordinaten bezogenen Corre ii projectmscbe Coordinaton transformirt, der Grad der Gleichung sieb nicht ändert.

Also wird, wenn jetzt ^, j; projectiviacfie Coordinaten sind, auch tu diesen

^^*+2i)|jj-l-Cij*+2/)|-|-2Eij+F= 0 die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts.

Durch Transformation innerhalb dos Gebietes der projectivi sehen CoordiDatrnsysti'ino kann nmn (sogar auf unendlich viele Arten) wiederum die Coeflicienteu der beidou linearca Glieder and des bili- uearen Gliedes zum Verschwinden bringen; jedenfalls ist, wünu x und n projectivischc Coordinaten sind, die Gleichung

die eines Kegelschnittes,

Es ist klar, das^, wenn a-, y dieser Gleichung Genüge leisten, die drei Wertepaare

es ebenfalls tun. Man tiudet daher zu jedem Punkte P des Kegel- schnitts drei andere, welche diesem Kegelschnitt ebenfalls angeboren. Sei zur Abkürzung

CX = X, CY = V Ifflaetzt, and

lio drei andern Punkte gefunden werden, indem man Y in cutgegengcselztor Richtung von C aus auftrügt 3 obigen Combiuationen durchmacht.

252

Sanioi Ueber ProjectivitSt und partUlh

Sei wieder das Coordiuationsdreieck -4/?6' gegeben, and seien

/', Q zwei beliebige Punkte der Ebene, ihre projectivischen Coonli-

natcii rospcctive

X Y

CD * CD uud

CD ' CD

(die Puukte /), E brauchen nicht gezoiclinct zu werden) so können die CoDstaiiteu üT, L der Gleichung

im Allgemeinen so bestimmt werden, dass die Coordinatcn der Ponkte J\ Q derselben genügen.

Man erhält nämlich die Bedingungsgleichungen

1

CD^

K . ^«2 + /-» . >^»,j

CE

ir '

'%<t

K ^ - 4- r _ - « 1 CD^^ CE^ »

aus welchen K und L berechenbar ist.

Eine Ausnahme bildet der Fall, dass sich

X: Y^ X' : Y'

\ erhält, weil dann die Determinautc der beiden Gleichungen ver j*" . schwindet. [Man kann sagen, die Coefficienten Ä', L werden ii*--^ , diesem Falle unendlich gross]. Alsdann liegen die Punkte P, Q uno ^^ C in einer Geraden.

Construirt mau zu /* nach dem Vorigen die drei andern Punktc^-^^^^ I\, /o, /\j und ebenso zu Q die Punkte (i^, (2^, (^j^, so hat man "^^ Puukte, welche auf eine m Kegelschnitt liegen.

In dem Ausnahmefall degenerirt der Kegelschnitt, auf welchemX die Punkte I*J\ I\P-^^ UQ^ Q^Q^ liegen, in zwei Gerade, deren Schnittpunkt die Spitze C des Coordinationsdreiecks ist.

Das führt auf die Bemerkung (welche sich auch schon früher hätte nmohen lassen), dass jede vier zusammengehörigen Punkte y*, 7*1, 7'^, 7'., die Eigenschaft haben, dass die Verbindungslinie von P und I\ durch den Punkt 6^ geht,* desgleichen die Verbindungslinie von J\ und 7^^.

-^i

0

DifftrintialgUic

^^^m Damit ist die schüne geomotrische Eigensdiaft lies Coordiuäten- ^^^pecks anfgp-dcckt :

^^^ Constrairt man zu irgend einem Punkte P der Ebene auf die bekaniilc W^ise die i-.ngdiörigeu Ponkl« /"„ P^, P^, so ist das Coor- dinatendreieck ABC das Diagonaldreieck des volUtJliid'geu Vierecks, welclies die Punkte P, P„ P^, P^ zu Ecken hat-

Icli verfolge diese Betrachtungen, welche, wie man sieht, mitten in die syntlietisclic Geometrie hinoinführeu, nicht weiter, da ich nur zoigea wollte, wie eine und dieselbe analytiscbc rtemerkung. auf ver- scliiedcne Goordinalensys lerne in Anwendung gebracht, indem man von einer bestimmten Eigouschaft einer Curvenart ausgebt, zu an- dern EigouBchaften derBell>ou Curvenart fObrcn mnss; woraus hervorgeht, dass die Coordiuatcnsystcmo iu analoger Weise wie die Correlatiouen zur Transformation geometrischer LelirsStze gebraucht werden künnea.

Dabei herrscht im Allgemeinen der Unterschied, dass die An- wendung der Correlationeu von bekannten Eigenschaften bestimmter Curvenarten auf analoge Eigenschaften anderer Curvenarten zu ficbliessen erlaubt, während die Anwendung der Coordinateu Systeme an& bokannteu Eigcuschafteu bestimmter Curvenarten einen Schluas auf andere Eigenscbaften derselben (.'urvonarlen verstattet. Beide ]iarallel zur Anwendung gebracht, können erst eine roll- stUndige und planvolle Darstellung der Ueomctrio und vielleicht des georaetriacheu Deukcns Überhaupt ermöglichen, wflhreud die Anwen- dung des Corrclationsbegriffefi allein immer noch eine Lücke lässt, die dann durch heterogene und scheinbar willkflrliche Betrachtungen ausgefüllt werden mnss.

Vielleicht könnte man die Bewegung der geometrischen Specu- lation dadurch treffend ctirakterisiren, dass nmn sie unter zwei Ideen sobsumirte: die Idee der Coordinaiion und die Idee der Transfor- mation. Beide kommen sowohl bei den Correlationeu. als auch hei den C'oordinatensj'steuien iu Betracht, die eine vornehmlich beim Aufbati, die andere beim Gebrauch derselben.

Annerknng- Die Anwenilnng der Coordinalensy Kerne ist koiricäwcga an die Anweuiliini; des Caicula in der Geometrie gtbundon \ dieielbcn tiiul etieiiio wiL' diu CorrelHtionen Hiirsmittel gcomelrischt.' r Arl, iind ninn konnte aivh beider Anen von HitfsmiUela auch auf CDnstruL'tircia Wege bl- äimcn (Bciipiel: Die sogenannte „Steincr'achc DamprinaBchino'); nber c> ist hDchit «WDckmiMig, Huf die analytisehea Hiirsmittcl nicht la venichten l *iolineht beide Methoden — jede in der Wciie, welche ihrem Chitrakler am i^lWHBa «ai^ehi — neboo dnandsr tm Anwendniig sn bringen und doreb

254

: ütber PfojtelSinlät Kiuf iiarlitWt

MuQ hat den Coordinatcn Systemen zam Vorwurf gcmactit , dasa durch siß Bin fremdes Klemont in die Betrachtang dor geometrisches Gebildo hiue in getragen werdi-. Dieses mag iu Bcziehnng anf manch« Auwendungeu sehr gut treffend sein, während es mir. allgemein a gtsaprocheu, ein schiefes Urteil zu »ein scheint. Allerdings liefert) die Gleicbnug einer Cnrve iu Beziehung auf ein hestimmlcs Coor- dinatensystem nur eine Anschauungsweise deraelbeu. eutsprecbend dem Anblick, welchen dieeo Curve dem Beohachter, dfr sie von einem Standorte aus betrachtete, gewahrten würde. Denkt man sfcft aber im Fluge alle mäglicben oder ilocb alle cbarakteristi-< sehen CoordiDatousystemo dai-auf angewandt, so hOrt die Anschaih nngsweise auf, eine einseitige isii sein.

Es ist allerdings der Vorteil des Geometers, vo er auf seinen Gebiete arbeitet, deu Standpunkt rascb wechseluzu kennen; woranl die Anfgabß entspringt, der analytischeu CoordinatontransformiL' tiun geometrische Gesichtspunkte abzugewinnen, sie wo mi ganz in eine geometrische Coordiuatentransformation zu verwandelnj

ihr kansÜDiea — weil nRlQrlichsi — Ineinandergreifen nur dem einfftcIltMl Vftg» die GeomcirU enUtolien in iaist^n. Dpthalb iit — um zwei »tcrwnrke eriten Knngea neben unander zu stellen — Steiner'n Melhcde fmchl b»rer uli dicjenigu v. Siaodt'ii.

Die Annlyiit Uga den Gmuil, die gcomelri«cbe BetmcblDng sieh ConiequeiiHn — dai wird im Allgemeinen die zweckm&fsigtte Tellon Arbeit sein; oder, wenn die Aiiwendong üinea Vergleichs versuitel isl: Uli Annlysis sei dos grobe GcBehOB, ilio tynlhetisehe Geumeliie Jus kleine C wcbr; es niiDml Hieb scltanm dub, wenn unter Anwendung von anuJytiaeben Kuust^jiScn unil Verbirgungen den Cooidiiiiilonsysteu: Hineit Theorem bewieaen wird, welches ur>t>rflii|;lieh durili Geometrie entilccK wurde, und dcHcn Bc«Bi» nuf geometrisolieiu Wege nBlurgemia» von StMtei geht. Uvlicrhaupl sind nicht einzelne Sitze dus DttInrgemAisc Zielobjcct d Analyiiii; eher sebun Systeme von Sftlien. Diu goumeirische Uethode li ■iut eine Geveh windigkeit der Bewegung, warin die Analytii mit dar Qm roetrie nicht Torteilhaft conenn-ircn kann, selbst wenn sie nuch >o viele AB leihen bei der Ictitem — in Geetnlt kQiisiliehcr CotfrdinnieusykCeini Ongcgen vermag die Anulyeis von ihrem erhrihenen Standpunkle aut weil Gebiete im Gitnion mit einem Bliek zu abersphauen und Methoden ■ gründen, zu dsren Auebeutuug nneh ji'Jer Rielitung hin eio weder Ben nueh bcaondeie» Geschick bcsitit; diese Ausheatung ist »her eine wiehtil Anfgsbc, und keinecwegs die leiebtcre, kein blasa-^s AnhAngsel; > die Aufgabe de» Geometcrs dareb die Hilfe der AnoljBJB eine wescnlllefa leid lere n>ird, go wird dafSr das Gebiet seiner ForacboDg ein wcsontlicb reichtn Sil wenn n Hilf die Hilfsmillei der rein geometriachan ADSchiiuuiig aiigcwica

m

Diffrr*utial/jhichumir\

'I cftr GinmttrU.

255

was allerdings mit jeder licsotidcra Art von Coordinalensystemen uur fOr eint] gewisse Gruppe von (Jatersuchuiigon gelingt. Fflr iüiiboh Oebiot ist dann das Coordinatenaystem ein uatQiliches , für jedes andere ein melr oder weniger künstliches.

EnUprechond den oben begonnenen Untersuch ungon über die DilTcrentJalgeotnetrie der Correlatioupo und parallel denselben muss eine .^Igemeinc geometrische Maschinenlehre" die Differentialgeome- trie der Coordiuateu Systeme untersuchen, was 2n ebenso ciufaL^ien, alB an sieb mcrkwUriligen Resultaten führt, worauf aber liier nicht eingegangen werden soll.

Dass in dem Vorigen überhaupt die Koordinaten gyateme bcrUhrt worden sind, geschah deshalb, weil dadurch die Correlationen ah notwendigor Teil eines Ganzen auch vom logischen Standpunkte be- Imcbtet an Bedeutung gewinnen und nicht mehr als ciu zufalligea Erzeugikiss geometrischer Speculation angesehen werden kJtnncn.

Das Fuudamentalgeset/ der iirojeclivischen Beziehung bei Cor- rclationeit fahrt zu gauz andern Gruppen partieller Difforeutial- gl«ichuugen, als die in dem Vorigen erwUbnten.

Wir wissen, dass die geradlinigen VerlUngerungcn entaprechen- <der, von den Punkten h", U ausgehender Elemente sich im Allge- ^äuiaen auf einem Kegelschuitt treffen, welcher durch die Punkte /', ^^^■bd urch geht.

^^^Sfan kann nun die Bedingungen aufsuchen, unter welchen der ^K^lsclinitt eine specielle Gestalt erhält. Diese Untersuchung ist

ebenfalls überaus einfach vermittelst der Cartesius'schen Coordinaten

dorchfulirbar.

Scieu /'ä, IIS die geradlinigen Verlängerungen zweier entspre- chender Klomente, u, i< die Coordinaten ihres Schnittpunktes S, so Jwbon wir nach den früheren Bezeichnungen

Wenn muD angt, dub rechtwinklige CoardinDlonij'Sleiii, \a MmiiicUi i'pisüD man einiMi beliebigen KegeUchniU durch eine Gleichung dantelll, habe liichtü mit ileoi KpgeUchiittc selbst xii tan. so ist ijas im AII- Etmrincn richtig; et wini nber niirichtig. wann, nnchclem darch eine leichte TtKnifatniBlion ilto Jlauiitjiiien entdeckt norden sind . der Kegelschnitt auf ■liue nix CuonlinutcDnxcn bezogen ttlrä; denn die Unnjitaxen «ind doch lieber nirhl etwiis dem Kegelsehniit Fremdes. Die Transforniation niusi mit LteAoge gefasil werden ; sie muss gleich bd in ICrlindung von Coordinat«n- iHtsgubcnder Fnc

1

250

Santo: Ueber Projectivtial und partUUe

h^ + h^

wonn

«1+««*

r — y n — X

X ==

V — Kl

n

ZU substituiren ist.

Also wird die Gleichung der Schnittcurve :

Ordnet man die Gleichung nach ihren Yariabeln u, r, so werden die Glieder der höchsten Dimension:

von welchen allein bekanntlich die Form des Kegelschnitts abhängt Transformirt man diesen Ausdruck durch Drehung des Coordinatcn- Systems, also vermittelst der Formeln

u = u'co8i9- — f'sin^ t7 = w'sin -^ -f- ''''^^8 ^

auf die Hauptaxeurichtungen , so bestimmt sich der Winkel ^ darch die Gleichung:

^2 — «1

tg2^ = /=n „ •

und die Glieder zweiter Dimension der transformirten Kegelschnitts- gleichuug werden :

h—^H I ^^1+«

+

ha fli

*>

cos2/^+ ^^^sin2^

u u

+

,y — rt cosJiA — \; smJ^

V V .

Sei das Verhältuiss der Hauptiixen durch /.- bezeichnet, wobei k für die P^llipse reell gesetzt wird, also für die Hyperbel rein ima- ginär.

Man hat also:

h — fH + (^'1 + ^2) ^QS 2^*^ + (h •— «1) s"^ ^^ __ ,2 ^1 — ^s — ('^1 + «ä) cos 2^ — (Z>2 — rti) sin 2(f

Der besondere Wert Ä:^ = + 1 giebt den Kreis, der Wert k^ = —\ die gleichseitige Hyperbel, der Wert

die Parabel.

k' = Null oder Unendlich

ItHßtrenliatgltichungfn in dfr Geomtlrle. ^57

Ibn findet bierans fOr die Correlation leicht folgende Resultate; Wenn der Kegelscbaiit ein Kreis werden soll, so muss ; s<

ü; soll c

e gleicLseitige Hyperbel worden, so moas le Parabel werden, so muss

Verlaugt mau endlich Kegel seh oitte, deren Ascnverbältuiss durch eine gegcboue Zahl k dargestellt wird, bo muss für lüpse die Glei- L-liaDg erfuill wenleri:

^

^at n,) + Va»+ »,} _ iw-jy

erkung. Die Combination d«r b«idon oWn gefandciiün Oleicbungen

(t,-n,l'+(i| + a,l' _ /y ^y (4,-0,)" U"+M

sine Inlcrenianle Aafgnbc iler lategmlrocbnung. welche Jai Prulilroi ' eonformen AbKCiehnungrn nie »prcii-lUn Fall in «ich «nth&ll. Verlangt % nämltirh, da« tfundit conalont tvxa BoUen. su gi«bL dni iw«I lin* are ^Ite DiScrentin Igle ich angen mit i;uiiiitHnun CocFtivIcnti;!!. Die geometrische nBg itei Problem» ist dirse: Correlilionen zu tindrn, deren Si'hniltrurven enU|] rechender Strahlbaachel mtl nKenparellele Kegelschnitte werden. mND die Axenrichlnngcn d<!r KcgeUchniile mit den Coardinatenaxen- ideiitiseh werden, wodurch der Chamkur des Problem« keine Arn- IBBB erlridet, so werden diu Differentialgleichungen diese :

8j Bi 8| 8, 8. "TS» _ &"§' 8j_8E

258 Santo.- Oeber ProjttlhUat und pariteOe

Die erste dieser Gleichungen, welche angiebt, wann der KegelscbDlU ein Krois wird, kann auf reelle Weise nur dadurch erfüllt werden, daes man

& ^ ay " ^

,:+^=o

Bflter; das sind aber die Bed ingangen der ersten Art der ConformiUt. (Congruente StrahlbUBchel mit gleichem Drehungasimi).

Dagegen ist die zweite Oleichnng, die Bedingung für die gloicti' settige Hyperbel, nur eine der beideu Bedingungen fttr die Con- formität zweiter Art.

Eine andere Aufgabe von fundamentaler Bedcntang besteht darin, die analytische Bedingung dafür aufzusuchen , dasB die SchDittcurra anstatt eines Kegolschuittes eine gerade Linie wird.

Da wir wissen , dass in diesem Falle die Gerade PH die Rieh- tnngeu eines Paares entaprcchcDder Strahlen angiebt, so ist die Anf- lOsuDg leicht. £s folgt nämlich ans dem so eben Gesagten, dass in diesem Falle

ein Paar entsiir	ochciider Werte t, i sind, und daher
meutalgleichung
durch die Substitutiou dieser Werte erfüllt werden musB
Das giebt:
a-<^)	-.1	+(i-»)	-.1	=

welches die gesuchte Bedingung der Liaearit&t der Scbuittcnrve ist.

Alle partiellen Differentialgleichungen, r.a welchen wir gelangt sind, können in zweifacher Weise zur Anwendung kommen. Ent^ weder handelt es sich um die Untersuchung einer gegebenen Cor- relatioQ, wo dann die partiellen Differeutiaigleichuugen algebraische Gleichungen werden, durch welche in dem i'-Gebiete und dem ent- sprechend in dem IT-Gebiete Cnrven charakterisirt werden, deren Punkten die betreffenden Eigenschaften zukommen; oderman sucht I besondere Arten von Correlationeo , welche einer oder zweien d«r

lAfftrtnlialiiUithuHgui i:

parli«llen DifferettliuIgleichuDgi'ti Überall Genüge leisten, was eine Anfgabe der Integralrechnung ist.

die Bedingung der LiDearität der Schuittcurve , mag in dem zu- letzt gcuanuten Sinne in Betracht ge/.ogen werden. Dieselbe be- sitzt dio Eigenscbaft, sich auf eine abbängigt'' Variabele bringen zu lassen.

SetJtt man nElmlicb

so täsat sich Alles durch t und desaea partielle Differentialqnotienten ausdrücken, und die partielle Differeutialgleichung nimmt, wie mau leicht sieht, die sebr einfache Gestalt an:

Diese Gleichung besitzt die LOsung:

> and b Constanten sind. Man kann dieselbe bekanntlich nach I Princip der Variation der Constanton verallgemeiuern, indem

Man crh&lt dadurch in auserm Falle:

Die geometrische Deutung dieser Resultate ist leicht. Betrachten r zimächst den einfacheren Fall, von welchem wir ausgegangen, 1 b Constante sind.

sagt ans, daas die Correlation die Eigenschaft haben moss, jedes Paar entsprechender Punkte I\ 11 mit cineoi festen Punkte C, deBHen CoordinaLen a, b sind, in einer geraden Linie liegt. Dadurcb alloi» iat aber die Corretation noch nicht beBtimmt, und die Ver- vollständigung iat im Allgemeinen in unser Belieben gestelK; kann das geonielrisch so ausdrücken, dass man sagt: es darf ein« beliebige Curveuscbaar; welche nur von einem Parameter abhAngt (d. i. deren Individuen dnrch die Werte dieses Parameters bestimmt sind), hinzogefUgt werden.

Wir wollen nun die allgemeine LOaung ins Auge fassen, die Stelle doa Ponktes C tritt eine beliebige Curve:

A = v(b). Wir haben jetztr

Da - die trigonomfitrische Tangente der im Punkt« («, i) -.

jene Curve gelegten Tangente ist, so sehen wir ohne Weitere«, an die Stolle der dnrcb den Punkt C gehenden Geraden hier dit Tangenten der Cnrve treten.

Wir Icünnen diese Betrachtungen zu folgendem );eometriBcheD

Theorem zu summen fassen :

Wenn mau eine beliehigc, nur von einem Paramtiter abhän- gende Curvenschaar und ausserdem eine einzelne Curve C hat , and wenn man aus diesen Elementen eiue Correlation in der Weisß con- atrulrt, dass man Tangenton an die Curve C legt und irgend xmei der Schnittpunkte einer Tangente mit einer Curve der Schaar als eutaprecbende Punkte der Correlation auffasat, so bat die Correlatio» im Allgemeinen die Kigeuschaft, dass die entsprechenden Strahlen der zu /', /7 gehörigen Strahl bflsehel sich, hinreichend verläugert, auf eiuer Geraden schneiden. An die Stelle der Curve C kann, wenn mau will, auch ein Punkt c treten. Ausuahmefällo, in welchen die Schnittcurve keine Gerade wird, sind denkbar und raDssen hei Jeder besondern Wahl , welche man trifft, besonders Mtf- gesucbt werden.

[, Bi sei nocb bemerkt, ilasi diese CUsae von ComlaÜODcn e lieh aeltut entiprecheode Pankte bctiut. wel^be HHC

Digereniialglrichiingen ia der Geomtbii.

261

So bat die iDtegmlrochDUDg vermöge der GinfocliBten Beü'acti- lUBgCQ zD eiDCm geometrischen TLcurüm von allcrilingB bcdcutendur Comiilicatiou , aber aacli von Uberrasclend grosser AUgeraeinbeit gefftbrt.

Die Existenz vou Ausnahmefällen, welche überhaupt eine cha- rakteristische Eigcntämlichkßit der Theoreme von die§cr Art bildei, kann meines Eracbtens dos Interesse, welches sie gewahren, nicht vrrmindurn ; eher könnte sie dasselbe erhöben, indem das Aut'sußhen dieser Ausnahmefälle seinerseits einen Leitfaden für die Untersuchung d«r betreffenden Clasae von Correlationeu an die Ilaud giebt.

Ich werde einen speciellen Fall, welcher sich als ein solcher Ausnahmeiall erweisen wird, in Betracht ziehen, was auf ein be- kanntes Theorem aus der Lehre vuu den Kogelscbnitten and den pntsprechenden Satz für hübore algebraische Curveti i'Qhreu wird.

Eine der am häutigsten untersuchten Curveugruppeu ist ein KegelgcbuittbOscbel , das Ensemble der Kegelschnitte , welche durch vier gegebene Punkt« hindurchgehen. Dasselbe wird, wenn

Fix, p) = 0, G{x, s) = 0

die Gleicbnngeu zweier seiner Kegelschnitte sind, durch die Gleichung

g(*, y)

Fix, y)

— P

^stellt, wo p der die einzelueu Kegelschnitte des BUscbcls cha- teiisitende Parameter ist.

Versteht man aber unter /'=0, ff = 0 die Gleichungen be-

Uger anderer Cnrven , so cbarakterisirt die Gleichung t.^;i eiu

bliebiges Curvcnbüschel.

Wir wollen ein solches auf folgende Weise zur Construction einer 'elation benutzen :

Seien <i, A irgend zwei der Mittelpunkte des Uuschels (nämlich der gemeinschaftlichen Sohnittpnnkte s&mmtlicher Curven), so werde durch diese Punkte eine Gerade — also eine gemeinschaftliche Sehne

'

«De Cnrvc bnden; maa findet »to, indem man an die C-Cnrre und Je ein Curve der CurreDschaar die gemeinBchBillicbe Tangente conHrnirl. Dioc« \i in 10 frtn eine besondere Eigengchnfi, all Carrelationen im Allgemeinen wi« mir heiapielsweite bei der CoUineBiioo guEehen liHben, nar eine endlich AanU <Mb m^I CDtapiechendar FnnhM bceitEeo.

262

Sa»,

; Uibtr Pr^JeelieiCä

rl partUlU

dos Büschels — gelegt nnd auf dieser ein Pnnkt C legt man durch C eine beliebige Gerade, so solleD zwei der Schnitt' paukte der letztem mit einer Curve des BUscIiels zwei entsprechend« Pnnkte P, TI sein.

Die Definition ist freilich in so fern noch nicht ganz bestimal als noch nicht gesagt ist, welche der Schnittpunkte gemeint «er den. Für die hier r.a machende Anwendung gcnllgt es, festznsetzeE das» es diejenigen Pnnkte sein soIIcd, welche, wenn sieh die Gerad« CPn in der Richtung nach CAk bin dreht, in dem Moment di Zusammenfallens beider Linien respectivc mit A, A idcotiseh

Diese Correlation soll in der Nitho der Punkte .1, A, welchi als Mittelpunkte entsprechender Strahlbaschel anfzufasscn sind, unter sucht werden.

Seien r-j-tj^ir. y-\-<l!i die Cuordinaten eines Pnuktes in der N&ha von A und i-\-tli, »?-|-''»? die des entsprechenden Punktos in der Nähe von A, so haben wir, weil nach der Definition der Gleichaugen (7 — 0, F= 0 für die Coordinaten der Mittelpunkt« -I, A erfaiU aein mügaeu:

Sü

SC,

DT-'i + s;;''*'

			8F , , BF .	K-'S + el'"
«0	dass	also	zwischen den trigonometrischen Tangente
dl	-.	dio 1	ineare Beziehung herrscht;
			o'W+e'(»)	■ o'm+a\r,).i

F'{^)-\-F'{y).l F'(E) + F'{.,).i

Die beiden TangentcnbQschel st^heu demnach i Beziehung, und es gilt jedenfalls der Satz;

Jodes GnrvenbUschel hat die Eigenschaft, da!>s die in zwei Uitlel-I punkten des Büschels an jede seiner Curven gelegten TaugentoiLl sich auf einem Kegelschnitt (reffen. Ausgenommen ist uatorlich derf Fall , dass die Determinante der Functionen F. f? für die Coordi-| nat«n einCE der Punkte A, A oder beider entweder verschwindet oder unstetig wird.

Da die Correlation, mit welcher wir nns hier beschfiftigen , i die Claase dotjenigeu gehört, für welche oben das allgemeine Theore gefunden wurde, dasB die geradlinigen Verlüngernngen entaprec

d:s,„

ialgltichvngtn in der GtoaittrU.

2113

Strahlen zweier Bllscbel sieb auf einer Gcradeo schaciden, so niüeate der vorhin gonauntc Kegclscbnltt iu Gerade dogeneriron, wenn die Punkte A, k keine Ansnabnicpmiltte wären. Man erkennt aber leiclit, dasa sie wirklieb als Ansnahmep unkte aufgofasst werden müssen; der Umstand, dass der Funkt C, der duch fDr die Constractiou der CorretaÜün selir wesentlicli war. ans den letzten Betrachtungen ganz iierausgegangeu ist, deutet scliuu darauf hin. Wir haben dabor Ver- anlassung, das Verhalten der zu dun Punkten^, A gehörigen Strahl ■ baachel genauer ta nutersucheu.

Wenn sie perspoctivische Lago haben sollten, so müBstc unter den ancndliuh vielen Paaren cutsprochendor Strahlen eines sein, wclgbes, hinreichend verlängert, zusammentiele; oder, was dasselbe ist: eine Cnrve des BOschels mUssto diu Uerado j4A doppolt, näm- lieh in den Punkten A und A berühren.

I

^^BünoiQsetzt. Es roüsat« also für die Coordiuateu x, y and f , ^^^onkte A nnd Ä die Gioichoug bestehen:

Die Gleichang r projectivischeu BeziehuDg mtisslo datier ertUilt werden,

'%-'■

(!-,)0'W + (,-y)e'(,), (I-

>-)o'(l)+(>i-»)e'(i)i

Die weitere Untersuclinng wird am einfacbsten, wenn man nach der bekannten Metliode die Fnnctioncn F, G doreb Einfbbrung einer dritten Variabel!! , !«elebe beriiacb gleich 1 gesetzt wird , homogen und von den Sätzen über homogene Fanctionea Uebraneb macht.

Van erhält aqf diese Weise die Identitäten

1 das Entsprechende für \, t\. nnd £ = 1 ; anch ist

9M

i u : Uelier Projtclivilät und p

]}» nnn nach der VontOBSotzang Fix, g) ■= i Sü folgt, dass man

setzen darf, und Analoges gilt für ?, t;.

Die Sobstitution dieser Ansdrllcko in die linke Seite der frag- Hühen GleicbuDg liefert:

!/'(*) + l/'{y)+ '/'{'), ^/'U)+y/''('j) + £/'(S):. da t °^ ( ^ 1 zn setzen ist, so darf man auch schreiben:

sind nun die Functionen F und O speciell vom zweiten Gnde* i ist bekanntlich

and die vorstehende Determinante erhält daher in diesem Falle wirk- lich den Wert Null, wfthrend sie für andere Fnnctionsformen im Allgemeinen nicht verschwindet.

i der Theorie dtir Kegelschnitte be-

i.

Wir haben demnach den i kannten Satz bewiesen:

Wenn das CurvenbUachel ein Kegel schuittbUschel ist, so schneiden sich die entsprechenden Tangenten der beiden Tangentenbüschcl «nf einer Geradon.

Wenn nur eine der beiden Functionen F, O vom zweiten, andere vom ersten Grade ist, so bedeutet dieses eine Grnppe von Kegelschnitten, welche einander ähnlich sind, gleiche Hauptaxes- richtiuigen haben und ausserdem durch zwei gegebene Punkt« hin- durchgehen. Auch für diese gilt der so eben bewiesene Satz.

Vergleichen wir die drei letzten Theoreme mit einander, so er- scheint das zweite als eine Ausnahme des ersten, das dritte als eane Ananabme des zweiten und daher der Hauptregel entsprechend.

Die Kegelschnitte bilden hier einen Gegensatz zu den böbcm Cnrven; ein solcher Gegensatz trat auch gleich am Anfange hervor, indem bei der Unteraachung entsprechender StrahlhBscbel sich seigte, dass hierbei ~ vom Standpunkte der Correlation betrachtet ProjectivitAt und demnach der Kegelschnitt die Regel, jede andere

w

Diß'trtntiitlgltichangrn in der Geomilrit. 26ä

BexieboDg xwigchen StrahlböBcheln und demnach jode aiidero Schnitt- curvc die Ausnahmt* hildct. Ob diese Botrachtangs weise die natflriicho ist, wage ich freilich vor der Hand nicht zu ent- scheiden.

Ich möchte damit diese einfachen Betrachtungen sohliesscu; ich ticahsichtigtc damit vornehmlicli, in Erinnerung zu hringen, wie mau mit den alteren Hilfsmitteln der Analysia nnd vor Allen vermitlelst der Cart«siua'9chen Coordinaten ohne grosso Rerlinung der ayulhfti- schea Geometrie doch erhebliche Dienste leisten kann. Damit soll den gegenwärtig iu der analytischen Geometrie mit so (äroBsem Er- folge angowandton homogenen Coordinatensystemeu keineswegs zu nahe getreteu werden; aber die rechtwinkligen Coordinatcu sind durchaus nicbt fttr die Geometrie veraltet ; sie siml für dieselbe viel- mehr uach wie vor als fuadamoiitales Coordinatonsysteni von grösster Wichtigkeit, ebenso wie fUr die Mechanik und aas denselhen Gründen.

Ausserdem gioht es Gobii-lü in der Geometrie, für welche sie rocht eigentlich geschaffen sind und vor jedem andern Coordinateu- sfstem den Vorzug verdienen. (Beispiel: die Entwickelung der Syra- metrieeigen Schäften der Kegelschnitte).

Dass sie nicht Überall hingehören, ist ohne Weiteres zuzu- geben, aber dasselbe gilt von allen andern Coordiualensystemen, auoh von den trilinearen.

Eine anf fundamentalen Princij>ien begründete und dabei doch mOglichsl detaillirto vergleichende Kritik der verschiedenen Coor- dinationsmcthodcu (Coordinatensysteme und Corrolationen) , verbun- den mit Probeu ihrer Leistungsfähigkeit dürfte die sowohl dem phi- losophischen als dem speciell geomeLrischen Interesse entsprechendste Einleitung ia die ffissenscbaftliche Geometrie — analytische sowohl, Als anch synthetische — sein. Vielleicht würde eine derartige Kritik ancb aus xureicheuden Gründen beurteilen Ichran, was iu der Geo- metrie sich naturgemässer durch Calcul und was natnrgemässer dorcb synthetisch-geometrische Betrachtung machen lässt.

Anmerkang. Wenn eine gemlsclitc Darslelluui; uns hU „nystcmloK' weniger xuHgl, bo hiit iIbi seinen guten Grand ilann, dius bei dcrsctigen Dnr- Blellungen — fllltrdinija mit Auanrihm* des Stein cr'ichcn Meisterwerke» — woW selwn in der Auswahl ricieen . wn« «uf cljc eine oder dio iindcre Art ku luiadelD ist. piincipiell verfahren wird.

Bataia: tirlueckliinyi-Conirmctu>'itn

BeldiichtuiißS-OonHtruotionen für Flächen, deren

zti oiner Achse norinah» Schnitte ähnlich

lind jihnlich liegend sind, bei orthogonaler iind

bei per8[tectivi8cher Darstelhing.

Herrn Josef BazaU,

Mnlhcmiilik und lUr darslelUndi;!! Gecmtlrif ni Obcrrcalacbale in der Jo»cf»udi in WUn.

der nlTentllrb«

Reteachl unKs-CoiiNtructlonen Kr FIKcheii, deren ta elD«r J iiormiik' Scliulttc ahullrli und ahnllvli liegend sind, bei ^ewShalichei PHrstrllnns durch Grund- und Aurrlss.

Die Flilcheu , deren Bcluuchtnugs - Conatructioneii <iicser Abhandtncg sind, werden ilurch zwei SyaUune ^ Curven oharakteriBirt; die durch eine bestimmte Gerade A [Taf. ' Fig, L] gehenden Schnitte 3/, M^, 3/, ... lassen siel) auf 9 iu zu dieser Geraden normalen Kichtangen projicircn, während i KU derselben normalen Schnitte J' durch Controlprojectionen Pnnklon dieser Goraden A in einander übergehen. Wir i Professor Schlesinger*) die ersteron Linien Seitenlinien, die leto ForralinJen und die Gerade A Scheitelgerade der Fläche.

*) Joier Schleiinger „Die dnrBtfUvadc Geometrie im Sinne der n imetri«'. S. 3S9, Wien.

: Bileuclituiii/s-Coa,

2t; 7

In Fig. 1. der Tafel VI. sind ans von einer derartigen Flftche die febeitclgeradc A, eini? Formlinie I' und eine Seitenlinie M gegeben. I die IsopboteD der dadurch bestimmten Fläche für eine gegebene lichtatrahlcnrichtnng l darzustellen, werden wir die IsopboteDpunktQ izolner Seitenlinien derselben constrniren und sie dann entsprecbenil irbinden. Sollen beiapielsneise die in der Seitenlinie A/, liegenden Isophotenpunkte bestimmt werden . so suche man die Lagen K der- jenigen Ebenen auf. welche die gegebene Fläcbo in diesen Punkten horOhren. Diese Ebenen müssen sILmmtlich zu der im Punkte », an /' geführten Tangeute /, parallel sein und mit der Lichtstrali len- rtchtuug ( Winkel cinachliessen, deren Sinus respcctivo 0, O^l, 0-2, 0-3 ... Ü-9, 1 Bind.

Um diese Ebenen möglichst einfach zn erhalten, legen wir in einer Uilfsügur la durch einen in der verticalon Projectionsebenc liegenden Punkt S einen Lichtstrahl l und constniircn zehn Rota- tionskegol mit dem geraeinscbaftlichen Scheite! S und der gemein- samen Achse l, denen die BeleuchtangsstArken 0,01, 02, 0 Jl ... 0'9, I entaprecben. Klappt man die horizontal projicirondo Ebene von l. welche wir in der Folge wegen ihrer grossen Wichtigkeit Lichtrissebene nennen wollen, um /' in die horizontale Projections- ebene nm [A", h' senkr. r, S% senkr. l', S'S = S'S", Snh'], trägt dann auf der zu Z,, normalen Geraden jS^ lü eine beliebige Strecke zehnmal auf und projicirt die dadurch entstandenen Punkte in der . Richtung l^ auf den aus .% mit dem Radius S^iö geführten Halb- reis jI-0, so scbliesseu die dnrch den Scheitel S^ und die Punktreihe ( gehenden Strahlen mit l» Winkel ein, deren Sinus respective 0, , 0'3, ü'3 ... Ü'J, 1 sind. Durch Rotation dieses Büschels Sk , Lichtstrahl l entstehen die oben genannten Kegel. Zieht nun durch S eine zu (, [Fig, I.] parallele Gerade und legt I dieselbe an die itebu Kegel BerQhrungsebeucn ü, so müssen I denselben die durch die gesuchten Isophoteu punkte der Seiten- Die M, gebenden Berühr nngsebe neu der gegebenen Fläche parallel

Damit die einzelnen Der Uhruiigs ebenen des KegolbÜBcbels leicht ] genan constmirt werden können, wurde derselbe durch eine reh S' [Fig. la] gehende und auf l normal stehende Ebene jnniif, , seukr. /„] geschnitten und der Schnitt, welcher aus concen- Bcheu Kreisen besteht, deren Radien eich im Lichtrisse auf S'O^ l^ben, am die Traco <«« in die Grund rissebcne umgelegt [S'O, — ..]. Einer dieser Kreise scbrnmpll in den Pnnkt 0^ zusam- 3D, während ein anderer unendlich gross wird; sowohl diese Kreise c zugehörigen Kegel wollen wir mit den Zoigcm 0, 1, 2,

8 Bazala: Btlturhtiiigf-Conniniflinnm,

3 ... 10 bexeicbneD. Nun liat mao von der faurizontaleii , n [Fig. 1.] imralleten Geraden S<l [Fig. la] den DurcbBchBitlspunkt mit der Ebene muo zu bestiramen ood von demselben Tangcnteu i die CO ncen Irischen Kreise zu fuhren, durch welche dann die la h Btimmenden BerQbrungscbenen K der Kegel geben innssea.

Weit Jie <Ien cinwlnon Seitenlinien <lf„ Wj, M„ ... der gegeben« Flftcho enteprccbendon , durch S nach den ßicbtBngPB t,, r^ ^ . zu führenden Geraden sUmmtlicti horizontal sind, bestimmen trir 4 horizontale Projection D' [Fig. lu] des DnrchscbniLtes /) der dan S gehenden hori2ontalcn Ebene mit der Ebene mmi de« Krei btteehels [.SiiD« ] ?'. fl|,D' ||mn] und die Umlegnng />, dcflsellM [S'o = S'Do. »D, Jm«]. Wird nnn S',!' parallel zu t, [Fig. 1 geführt, so ergibt sich schon in der Geraden Ü' [Fig. la] der Paule it' und durch Führung der xn 1' giarallelen Geraden il'H-, in dtrr Oe raden Z), die Uinklappung (/, lies Durchstosspunktes tl. Uaa kiai unmittelbar f', erhalten, wenn man einfflrailemal oS gleich d«r Eit femune des Punktes S' von der Geraden D' maclil nnü anstfttt dnrcfc S* durch den Punkt S die Parallelen zu den Tangenten von P iJHit..

Die durch i/, au den Kreisbilschel geführten Tangenten scbncida die Ilorizonialtracc mn in den Punkten h, 4, 3, ä, 1, u, 1, 2, 3, <J i». Nun denlieu wir uns die llilfsfigur la mit der Ilauptügiir i vereinigt, dass ü' auf A\ mn auf ran und der ßaumpunkt 5 in dii Scheitelgerade A zu liegen kommt. ^^ erden dann durch die PimU reihe mn die zn t, parallelen Horizontal traten der durch S gehen den Ebenen Si geführt"), so liefern dieselben auf Mj eine Punkt reihe, welche, mit S verbunden, die Schuiltgeraden der Ebenen I mit der Ebene der Seitenlinie .1/, liefert, so dass dann diese Geradel die Richtungen der Tangenten 7", vorstellen, welche jW, in den gs suchten I so p boten punkten liemhrei].

Nun denken wir uns die Seitenlinie M, sammt dem Bttschd 5.1// auf die Ebene M in der lUchtnog n, a projicirt, was oin&«b durch die blosse Projection der Punktreibo -V,' auf M' geschieht. Projicirt man BChliesslich dieses Gebilde M in der zur ProjccCiouSr auhsG i, normalen Richtung n'x auf die zn a-j parallele Gerade Sx^ so ergeben sich in der Hilfstigur durch den Bttschel .S".r die Rieh- tungen der verticalen Projeetionen T" der an M r.v. führenden Tan- genten. Ist M" eine beliebig gezogene Cnrve, deren EntstehoBg»' gesetz nicht bekannt ist, so ist es am zweckmüssigsten, ibreEvohtW £" zu zeichnen, in der Nebenfigur aber statt des Büschels Ü'it dM' Normalbüschel S„Z2 desselben dadurch zn construircn, dass man S'i

■) BJ*hrere der

nicht tlkrgectallt, weil

in folgenden Farnllelprojcctionea ainil in dci ] e bloB der Brkiirung wegen «ngeflUirt wetzen.

ala: Btlrue/ilungi-Con.

26S)

eÖQftlralleinal nach S'S„ anftrigt niid die Punktreibe S'x am 90" nach st dreht, daa hciBst, in der Itichtnng 3-/ [Fig. 1., S'f = S'x] auf die Gerade S's projicirt. AsBlatt aber die Puuktreibe mn zuerst in der Rtchlnag «j, a,' auf A/j', von hier in der Kichtnng a^'a' auf M,'. dann in der Richtung a'x auf S'x und schliesslich in der Rich- tuug irj auf S't zu projicireu, kaun mau iu der Hilfstigur die Punkt- reihc nm sofort in der aus der Hauptfigur sicli ergebenden Bichtuug e^f auf den Träger S's projicireu. Werden dann zu den Strahlen des Buarbels S^i parallele Tangenten an die Evolutt.' h^' gezogen, so treffen dieselben jl/" iu den gesuchten Berührungspunkten (4)", (3)", (2)", (1)", (0)" der Tangenten T". Damit man in der Hilfsfigur nicht Punkte auf den Träger S's projicirc, welche man bei M" nicht anwenden kann , ist es zweckmässig , durch S„ zwei Strahlen S„c zu fahren, welche zu den Normalen der Endpunkte der Cnrve ü/" pa- rallel sind; dann braucht mau nur die zwischen die beiden si':h er- gebenden Punkte : zu liegen kommenden Punkte der Reihe zu cou- stmiren. Projicirt man nun die auf A/" constniirten Punkte zuerst □ach M\ von hier nach A/,' in der Richtuug a'cr,' uud zuletzt in den Äufriss, su ist eine Gruppe von Isophoteupunkten dargestellt. Von den Punkten der Selb ata chatten grenze muss man wegen der Cou- atmctioD des Scblagschatteus auch die unsichtbaren Projectioneu dar- stellen.

Der in der Nebcnligur zu <l,o, normale Strahl des Büschels </, liefert bei obiger C'oustructiou diejenigen Punkte der Seitenlinie 3/„ welchen ein Maximum der Beleuchtungsstärke zukommt. Es ist leicht einzusehen, dass mau durch ünterteüuug der Scala S^IO Puukte einer beliebigen Beleuchtungsstärke erhalteu und auch zu jedem Punkte der gegebenen Fläche durch Ausführung obiger Constructiou in umgekehrter Aufeinanderfolge der Beleuchtungsstärke bestimmen kann.

Damit man bei der Behandlung einer Seitenlinie die von der früheren herrührenden Pnnktreihen mn, sa, At" und M' auaradiren künne, ohne dass dadurch die ganze Figur uugenau wird, ist es not- wendig , vorerst diejenigen Linien , auf welche unsere Coustruction gegründet ist, mit Tusche ganz duuu auszuziehen. Die ganze Arbeit wird bedeutend vereinfacht, wenn mau die Constructionen der Iso- pbotenpunktc auf allen Seitenlinien J/„ jl/„ deuou dieselbe Tangcn- tenrichtuug ', , f. entspricht, unmittelbar nach einander veminiiiit, «eil man dann für dieselben nur eine Punktreihe mn darzustellen braucht, welche für die Seitenlinie J/, iu der Richtung e^/ auf den Träger xn zu projicireu ist.

Die in der Mobentigor durch >/, /u ftlhrenden Tangenten treten

270 ß«'" '"■ Üeinu-tinauj-GiB'lruclianr-i. ]

immer paarweiao auf; wcdu daher «j, mit einem der äcs KreisbQschels uud der Geraden ü, . z. B. mit dem Paukte c^ zusammenfällt, so ergehen sicli bei di.'iu betretTendoii Kreise xwei n- saroroenfalleQde Tangenten t„. Führt mau dann parallel kd 6«^ f" [Fig. 1.] Taugen f,,, so bekommt man dadurch die dem Pnoloa fi» euteprethendcu Seil^nliuiea M^ uud kanu uacli dem allgemeia« Verfahren ihre Isophoteupuuljte darslülleu Die Du|ipt'itangimte t, liefert dabei immer zwei zusammen falloudo IsüphuU'npuukle V. dass die iu diesen Doppelpunkten an die Seitenlinie der Fläche ge- lUbrteu Tauneuten a., auch Isaphoteutaugenlcu sind. Man bekomnt sie am eiufauhsten, weun man die Taugente [t;)]"« der Seitenlinie M. Kieht uud ihren iu A" liegenden Schnittpunkt « uarkirL

Construirt mau die Isophoteupunkte , welchen zu a-, normdt Tangenten t^ [Fig. 1.] entsprechen, su sind dieBclbe» /.ugleich Piioktll der Verticalcontour , für welche die zugehörigen t'üutourtangentaa« welche auch Tangenten der Aufrissiaophoten sind, sich auf die »bea angewandte Art ergeben. Von der gröBsten Wichtigkeit fOr < Zeichnen der Isophoteu sind auch diu beiden in der Fläehenkante it liegenden Kciheu von Isophotenpaukteu.

Bei der zu /' normalen Tangoute (« von I'', durch derea I rtlhruugsqunkl a« diejenige Seitenlinie Af, gehen muss, in wdet der Lichtpol 10 liegt, führt das allgemeine Verfahren zu ketn«m I sullate. Da jedüch die zn suchendeu Gerahruugsebeuen duu Kef bUachel iu denjenigen Erzcugeuden berObren, welche iu der Lidilf rissebeue liegen, so ergeben sieb Punkte ihrer zu m» parallde Horizontaltraceu im Durchscbuitle der Geraden l' mit dem BOscbt S^„. Die Richtung, in welcher diese Punktreihe l' auf S't jicircn ist , erhält man in der Haupttigur iu «4/ durch den 1 Schnittspunkt 1?, von t^ mit l'.

Wenn die beleuchtete Flüche eine Uorizoulalcoutour besitzt, Bind die Isophotenpuukte dcrst-lbeu fUr das Zeichen der GrundriH isophoteu sehr nutwendig. Da die zugehörigen Beruh rnngseben« s&mintlich vertical sind, haben wir durch 'S eine verticale Gerade zi fahren, welche die Ebene m«(i in S' trifft, ans welchem Punkte < Tangenten des Kreishüschcls zu ziehen sind. In diesem Falle eis geben sich die Horizontaltraceu dadurch am einfachsten, diese Tangenten durch Zurückführung ihrer in D, liegenden Pankl in den Raum aufdreht. Der Büschel S'D' stellt dann die horiUMt taleii Projectionen dieser Tangenten und daher auch die geauch Tracen vor, deren Richtungen, welche allein für die weitere Constnct notwendig sind, man aber einfacher in dem Büschel Süj crhi Die nach diesen Richtungen au die llorizontaluoutouren zu aiebesc

ula: Brltiu^hlangt-Cinm

271

{enten liefeni Isoiiliotenpunltta and im Grnndriase auch Isophoteo- m. Um abpr iliese CoDtouren nicht vorerst zeichnoD zu kann man die Taagentcn an die ihr ähnliche Formlinii? F f iä«hen, die BertlbungBpnnkt« mittelst des Aehnlichkcitspunktes A' Bbcrtragen und zuletzt die verticalen Projectioneu bestimmen.

Hat man eine für das Zeichnen der Isophoton hiorejchondo An- zahl von Punkteu constniii-L, sü kann man aucb einfach durch actaiefo Projection der construirlen Punkte der Selbstschatteugrenze erholteu.

Ist M" vom zweiten Grade oder eine andere Cur^e, deren Tan- genten- oder Normalen-CoDStruction bekannt iat, so wird man nicht die Evolute E" coustruiren, soaderu die Normalen oder Tangt^nteu von durch die Hilfsfigur gegebeneu Richtungen bestimmen, lu letz- terem Falle ist unsere Conatruction ein wenig dahin abzuändern, daaa durch dieselbe in der Hilfsfigur statt des Normal bOscbels S,,: der ^^ftOgentenbOschet S"x resultirt.

Iteleuclitun^s-Cunstruetloueu nirFlBcheu, deren zu einer Achse noroiale Schnitte BlmlUli und Blinlich liegend sind, bei uxouometri»

K scher Darstellung.

Bei axonometriBcher Darstellung ist eine Fläche d'?r im vorigen graphen charakl^risirtcn Art durch die Bitdor der Scheitetgeradon BC [Taf. VI., Fig. 2.1, einer Form linie /"und einer Seitenlinie, durch den Durch stosspuukt A von BC mit der Ebene P und den Neigungs- winkel V der letzteren gegen die Bildebene vollkommen bestimmt. In anserer Figur wnrdc angenommen, dass sämmtliche Seitenlinien Halb- cllipseu sind, weiche durch die von .1 gleich weit eDtfcruton gemcin- scbafllichen Scheitel B und C geben, so dass durch diese Bedingung dio Annahme einer gegebenen Seitenlinie eutfäUt Wir wollen zei- gen, wie man in einem solchen Falle für eine gegebene Lichtstrahlen - richtung I, l' die Coustruction des vorigen Paragraphen am einfach- stea ausfUbren kann.

Wird eine Halbellipse Af geführt, deren Bild eiu Halbkreis ist, 80 lassen sich alle Seitonlinien auf dieselbe parallel prujicircu. In der Nebenügur 5ia führen wir durch einen Punkt 5, S' einen Licht- strahl /. l'. welcher die zu P [Fig. 2] parallele Grundebene der Nebenfigur in h trilllnud drehen dann diese Ebene um die zum Bilde S8' normale Achse x so lange, bis sie den Neigungswinkel v zurQck- legt nnd somit zur Bildebene parallel wird, wobei h und l' in die (A) und C^) kommen [bh^lx, An{A) sonkr. a-, o(/.) -- S'A„

Ba.

; BrUwhtvny'-Ci'n'lnujHentB,

(A}ä'(Z')]. Wird S'S^ normal za S'h, nnd SS^ parallel zu m gefllbrt; 80 ergibt sich m R^' die wahre Lange der Projicirenden SS' mau kann dann in der umgeklappten Gmodebene das ganze in der Figur la constniirte ebene Syetem mno aaf die dort ereichU>c4)e i darstellen {S'S„ Bcnkr. iV), S'S„ = S'Si, ü^ih), S^m sciAi, SJik\ u. a. w., [i»i), (£)]. Die Geraden (ß,) und (fn){n) dieses Systemcs werden in die ursprOoKliche Lage der Grondebena nad Dy und mn anfgedrcht, indom man («}'i normal zu x zieht und d Gerade öo, uud die zu ihr parallele m» fahrt, woratif in der 1 ügur die Geraden r, mn nnd {m){u) pnrallel zn den gleicbnamiget Geraden der Hilfsligur zn ziehen sind.

Um nuu die in irgend einer Seitenlinie M^ liegenden Isophotew punkte zu erhalten, ziehen wir in der llaupl6gnr die Tangenta t^ welche die Richtung de» die gegebene KlUchc nach M, berBbrend Cylinders angibt, und bestinimen die Lage (f-i)ß, in welche dieselbe tritt, wenn mau die Ebene f um die Achse r in eitic lur Bild^iene parallele Lage dreht. Fuhrt man zu dieser Geraden in der Nebea- tignr eine Parallele dureh (8), so ergibt sich der Pnnkt (i^i), ata welchen man an deu KreisbUschcl die Tangenten ziehen kann, def^ Schnittpunkte mit (m)(") markirt werden. Für die weitere Coft »truction denken wir uus die UilfBtigur bo in die Hauptfigur gelegl dosa S' auf A und ä in die Scheitelgerade AB zu liegen komtnt, und dass sieb die Geraden r, m u und (m) (n) paarweise decken. WcA wir an!), wie ira vorigen Paragraphen, wieder die Seitenlinie M, a ihren [sophotenpuukteu und din durch dieselben gebenden TaDgantei der Seitenlinie auf M projicirt denken, haben wir die PauktreibD (ni)(n) in der Richtung (fi)fi) auf die Gerade «in, von hier in d lUcbtung i«!*!, auf den Träger .V,' und von hier iu der Richtung a aof die Gerade x zn projiciren. Der Uttschel ^ gibt dann scbon diu Richtungen an , nach welchen an M Taiigenttii zu fahren sind, Um die Richtungen der entsprechenden Normalen zu bekommen, faa^ man diesen Büschel S.c noch um 90" zn drehen, d. b. die PnnJctreib«- X in der Hichtuug aB auf den Träger HC zu projicircu. Diese vi« Parallclprojectiouen kann mau aber in eiue einzige vereinigen, dere« Richtung sich iu Cjß ergibt, und aus welcher in der Uilfslignr < Funklreihe : resulürt. Wird S'S nach &'Sh aufgetragen, so kaoa man zu dem Bttschel S,^ parallele Radien in der Uaupttigur i nm die Puuktreihe M zu erhalten , welche schliesslich iu der Ricb^ tuiig an, auf die Seitenlinie jT/j projicirt wird. Weil iu der Hil&- ligur r/, in einem der concentrischen Kreise angenommen wurde, ep> gibt sich ancb eine Isophotontangento i-,.

Alle oben gemachten Bemerkungen Ober das Maximum dap RelenchtnngBstärkc auf einer Sealenlinie, die Auffindung der T

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lisrBfldebena normal stebenden ßerahrungsobenen erbdlt, welche i^^ gcsnchlPD Isophoteniiunkten der Contoor cutsprechen. Ziebt n:^^ zum Strahlo c^ in der Hanpltigur an P eine {larallele Tangente a^^ I so ergibt sich durch ihren Berührungspunkt a- diejenige Seiteuli^ I der Flache, in welcher der gesuchte Contoar-Isophoteopunkt 5 lief^- I muss. Um an diese Seiteulinic die za ta^ parallele Tangente constrniren , denken wir uns dieselbe auf die Linie 4V/ in der Ri^^ long a^a projicirt und ziehen an letztere die zu tn parallele T^^" gent« \^\<s, so dass dann die durch den sieb ergebenden Punkt a ((I5 parallel geführte Gerade 1^ die geBucbte Isophoten- und C-onto^c:^ tangeute ist. Der Coutour- und Isopholenpunkt 5 ergibt sich dui""* Fuhruug der zu an^ parallelen Geraden tö!5. Aus den sich so ^M gebenden Isophoten punkten und Isophoten taugen tcu kann man sofcyr' die Fläcbencontonr zeichnen.

Soll der ScblagsehnttCD der hebandeltJi'n Flache auf eine durcli den Punkt C parallel zur Ebene /* gebenden Grundebene cunstruirl werden , so prujiuirc njan vorerst die coustruirteti Punkte o der Sei bstsc hatten grenze auf diese Ebene, indem man Co' parallel zu M,' und (f' pai-allol zu AB fahrt. Wird dann durch den Pankl o der Selbstschattengrcnzo ein Lichtstrahl l und dnrcb «' seine Projectioo l' geführt, so ergibt sich im Schnittpunkte beider der Schlagscbattea- pnnkt 03.

IteleuchtungB-t'onstructlauen fUr FISehen, deren in einer Aehse ^Bjjpfttle Schnitte ähnlich und Shnllch liegend sind, bei perspeetlvf» B^H iteber Darstellang.

^»' Bei der in Fig. 3. perspectiv isch dargestellten Fläche iat fl der Angpuukt, SlSl^ die Distanz, fiv die Fluchtlinie der Form- linien /', von «eichen das Bild einer gegeben ist, a der Flncblpunkt der Scbeitelgeraden [Sin senkr. jiv, SiSl„ scnkr. Üt, Sl^u senkr. Sl^nlaAB, M das Bild einer Seitenlinie und l der Fluchtpunkt der parallelen Lichtstahlcn.

Die Teilungspunkte in und ta , welche beziehungsweise den Rich- tungen n und a zukommen, erhält mau, wenn man die Strecken ni2g und aSl^ beziehungsweise nach ^t^ und o'« auftrugt, während sich dnrck Ftthrung der Geraden «1 in 1' der Fluchtpunkt ergibt, welcher den Projectioncn der Lichtstrahlen auf die Grundebene P . ontfipricht.

ßaiaU: Dtltuthl,mf,s-Co,.tlr«elioHe». 275

In derBil&figDT, wclclio ilassolbo Projoctionaceatniin besitet. als

die Hauptfiguren, führen wir wieder durch eiueu betieliigcn Punkt

^, S' eiiien Licbtstralit /. /', wckhrr die Grundebene .S'u« im Punkte

A trifft, und drcLcu analog der axouomctriscbcii DaratoUmig dieao

Kbe&o nm die /n ihrür flnchtlinic fiv parallele Gerade 7, wolwi

die aiugelegte Gerade {i') parallol tu i„k' wird, dit^ ncnc Lage (A)

ilea Puuktea h ergibt sich durch dun Strahl i,-,h(h). Um iu der nm-

gtjegten Graudebonc den bekannten Kreiabttscbcl couBtruireti zu

töuncu. niflssr-ii wir diy projicireude HS' aucli in eine zar Bilduheuti

Mf^llüle Lage bringen, indem wir S'['S] normal zu itv uud den

■Strahl Äio führen. Wird (m)(fi) nornul zu il') gezogen uud S'[ßJ

lach s'Sy atit'getrsgou, so kann mau auf mehr erwähnte Art den

^>%iBl)üacbu] summt de-u Gebilden (/>,) und ( :) darstellen. Auch

''^' iKirsijectivi scher Darstellung werden wir die Gerade (m) (w) in

••''ö Raum anfdrehen und zwar dadurch, daas wir («v parallel zu

'"*) (f*j fuhren und durch den sich bo ergebenden Flnchlpunkt v

Uie Gerade S'mv ziehen, worauf in der Hiiuptligur durch den in

«^r C runde Itcue /' liegenden Punkt .-1 der ScheJtoIgeradon die

"ßi-ailen (m)(n) und ran perapectiviscb |iar&llel zu den gleichuamigeu

'^^■" Bilfsligur gefuhrt worden.

Um nach diesen Vorarbeiten die Isopiioteupuukte irgend einer

^***it«iilinie 3f, zu erhalten, führen wir wieder zuerst die ihr ent-

si>x-echende Tangente i^ mit dorn Fluchtpunkte t,, deren Umklappuug

^**iSl die Richtung u ij haben muss. Wird in der Ililfsügur der

*-*~alil (€)(i/i) nach dieser Richtuuggezogen, sokauu mau ans dem sich

*'8«fcenden Punkte (lij) die Kroistangenten fuhren und ihre in (nO(ii)

^tEenden Sdiiiittpunkte markiren. Zielt mau dann iu der Haupt-

KUf dureh den iu mn und (, liegenden Schnitt]iuukt cj den Strahl

^ '^1 80 ergibt sich in (b,) die ümlegnng von r,, wobei x die Dre-

^"»eMcliao ist. Die Punklreihe (m)(n) der Hilfafigur soll nun auf

***aiider folgend nach den Richtungen («,)e, , ^,0, und n^u auf die

'^''adeu projicirt werden, welche sftramtlich durch den Punkt S'

^Qödieb parallel zu den durch Ä gehenden Geraden nm, M,' uud

' der Hauptfigur zu führen würen. Statt dessen kann man aber

<3er Hilfafigur die resultircnde Puuktreihe J/'(i auch diroct aus

, **** zur Bildebene paralicien Punktreihe (m){n) durch Parallclpro-

*^tion nach der Richtung f,a [Hauptfigur] erhalten; der Fluchtpunkt

* dieser Projectionsrichtuug muss in der Fiuclitliiiic fnp, der dnrch

., ^^ Oeradeu (m)(n) und M' gehenden Ebene liegen. Dieao Flucht-

- ^'Sc bat man durch den Fluchtpunkt ^ einfUrallema! parallel zu

'^i <n) zu fuhren, worauf mau mittelst der Fluchtlinie fiß der ge-

^'^■^«nen Seitenlinie Af an dieselbe die zu den Strahlen des Büschels

^ ■*" ' parallelen Tangenten führen kann , indem mau diesen BUschel

'•'^h die Gerade im schneidet und aus den Schnittpunkten die Tau-

ala: ntlrHfhfui<ij<-Conttrvel{o>

■Tgenten an M ziebl. Die BerUhrugspuukte deracllicn werdeo sctili* aa-

I licL in der UicLtung an^g auf die SeitonÜDin M, mit Bonutzuug ^t^Kor Collineatiouaaclise AB [irojicirt [(1)bj3, ßa, 1 ...].

Zieht man aos dem FlDchtpuiikt« r eine Tangente t, an P^ ^

gibt dereu BorUliruiigspunkt a^ die Seitenlinie M^ au, in welcher *iii

Lirbtpol liegt. Um die Isopliotonpunkto derselben zu erhaB- *«"• schneide nmii aualog dem Vorgänge dos §.2, den Büschel S^ dt-^rch die Gorade (/'), jirojii'ire die sich ergebenden Punkte ans t„ anf ^len Träger /' und von hier in der Richtung «lUt/ij auf die Gerade -^'■ Die Strahlon dos Baschels SM- liefern dann in bekannter Weiso *•*"

Isophoteupuukte. Die beiden auf einander folgenden Projectic^ i»eii der Punktreibe {l') durch eine einzige zu ersetzen, ist hier n. rS*^"! zweckmässig, weil mau die dazu orf orderliehen Uilfsliiiiett nnr *'^' dieser einBn goileuliuie anwenden kCiinte.

Wird aus dem Fluchtpunkte a an die gegebene Seitcnliuie «^^ ^"^ Tangente ok gezogen, so inuss durch den BerOhrungspunkt k *^- ^*' jouige Formliuie gehen, in welcher die gegebene Flache von eit» ^'J" zur Scheitelgeradcn parallelen Cy lind er berührt wird; wir wollen ^diP Isopbotenpunkte derselben bestimmen. Die aus dem Funkte S' mjm- "^ dem KreisbUschel sich ergebeudo Punktreihe (/J,) gibt mit tÄ-^^"^"" Scheitel (S) die umgelegten Richtungen derjenigen Tangenten, wet *^^^ nach den Vorgängen der früheren Paragraphen an P zu fahren si *-^^ Zieht mau somit zu den Strahlen dos Büschels (@)(/>i} durchi '

parallele Gerade, so schneiden dieselben die Huuhtlinie fiv in c^ Fluchtpunkten 5, 6, 6, 5 ... der genannten TangcnU-n, aus welet» diese zu ziehen sind. Die sich dadurch ergebenden Berührung spnn**-^" [5], [6], [6] ... werden scldiesalich aus dem durch den Projectio*^^ strahl ka bestimmten Prujectionscentrum « in die oben erwähBT** Formlinie mit Benutzung der t'oUineationsachse jiv projicirt C"[^3*^^ "

^^H Wir wollen noch aufuhreu, wie man Punkte und Tangouten (• '^^tc

^^^B FlUchencontour am einfachat(>n erhiUt Um diejenigen Cüutourimnlfc' .

^^V iu bekommen, welche mit dein Punkte ;j der gegebenen Seiteulic»

^^^^ iu derselben Fornilinio liegen, deukon wir uns einou die gogcb& '^ ~ ^

^^f Fläche nach dieser Linie berührenden Kegel mit dem Scheitel _^ä(

I Zur Construction der durch a gebenden Tangeuten dieser Fortnlii» ^^1,

I wenden wir die CoUinoation derselben zur Linie P an, wobei fiv J ^^j»t

L CoUineationsachse und «, das Collincationscentrum ist; dann t-rgi. •^-^]^

^^m sich der zu a collineare Pnnkt [o] durch die collinearen Gerad^^^^

^^b pay und <iy[öj. Aus [u] werden nun an /' die Tangenleu [^}[t-^^^:^

^^^L und [<i][n]d geführt, dauu die ihnen colline^r entsprechenden ^^^L'Ond od gezogen und schliesslich die BerUbrnngsp unkte [I^ und [t- ^^^^1 ftuB (, nach I und II projicirt.

r

Bazala: UfUud,l.,..,i..Ql«i'lr«c'i<,^fn. 277

Die in dtT perspectivisclieu Contour der Fläche liegenden Iso- phoUinpoukte kann man durch Conslructiou der Isophoteu des durch dicKo iu der Bildebene liegende Linie und da§ Ange bestimmten Kegels bei Anwendung zweier Frojectionsebeneu erbalten; dech ist (tili Ansfühmug derselben zu umständlich. Um die Isophoton genau zeichnen /.u können, wird man lieber von jeder derselben einen der Contonr nahe liegenden Ponkt des verdeckton Fläehcntoilas berück- sicJitigen.

Der Schlagschatten, wekhen die dargestellte Fläche anf die Grnndcbene /' wirft, wird auf die im Paragraph 2 angegebene Art construirt.

Beleachtuufs-Cuustructlouen fllr FlHchen, welche uns zwei auf ^^iander normiil stehenden ParullelHjstemen cong-ruenler ebener ^Hfe Corren bestehen.

^^pWenn bei den Flächen, welche Gogcnstund diosor Abhandlung

■. tfnd, die ScUeitelgerade sich in unendliclicr Entfernung Iwfindet, so

mtlBsen, wie sich leicht beweisen lasst. alle Seitenlinien Q congruent

und parallel sein, und die Formlinien P fallen ebenfalls congruent ans.

In diesem Falle lassen sich die Isop boten punkte desjenigen Cur- Tenaystemea leichter darstellen, welches zu einer Projcctiönsebene parallel ist [Fig. 4.], wobei es zweckmässig ist, in der auf mehr- erwäbute Art hergestellte» Nebenfigur 4a den Scbnilt g der zur Lichtstrahlenrichtung normalen Ebene »iti'> mit einer durch S parallel Zorn zweiton Curvensysteme Q der gegebenen Fläche gelegton Ebene xa bestimmen. Die in der dnrch S gehenden Horizontal ebene liegen- den Tracen D und Sp \S'p' | Q'. S"p' ||z] der beiden genannten £beuen schneiden sich in einem Punkte p [p', p'p" seukr. x], so «lass g' und g" dio Projectionen der gesuchten Schnittgeraden sind; ihre um «m nragelegto Lage g, ergibt sich durch Führung der zu l' parallelen Geraden 71'^,.

nWird in der Hauptfigur au die gegebene Curve Q eine Tangente lefQhrt, und will man die Isopbotenpnnktc der durch den sich er- endcu Berührungspunkt 'i^ gehenden Hori/ontalcnrve coustrairon, fahre man in der Uilfslignr durch S eine zu t, parallele Gerade. Diese trifft die horizontale Projectiousebene und die Ebene mnu ro- spective in deu Punkten i; nud li. Bestimmt man nun dnrch Füh- rung der zn p"p, parallelen Geraden '/"//, die umgelegte Lage rf„ so kann aus diesem Punkte die Pnnktreihe m» hergestellt werdun. Weil der Büschel hj'mn die Horizontal tracen dei^jenigen lu 1, pa-

278 liaiala: hclrurhlua;r-Cu'<'lniPtioHtil. ^^^^^^^M

raUelcu Ebenen augibt, wolchon die BelcucbtnngsBtarkon 0, Ol, OS entsprechen, sind au ilcn Strablcn üessciben an P parallele Tau* güDlsD za ziehen.

Da wir als Ciirve P eiue Parabel mit dorn BrniiuimiiJcte F Bild der Diredrix r angeuomraeu haben, bekommt man die betreflenileB GcrQhrnDgspnDkte am einfachstcii ., wenn man zn den Strnhl(>D ilofl letztgenannten BUsebela aus F Kurmale zieht and ans den sich da- durch in r ergebenden Schnittpunkten Parallele zur Parabelaebaa führt. Um die auf /*' coustruirten Punkte iu die üurch a, geJieod« Ilorizontalcurve der gogebeneu Flache zu projidren, tragen wir «i£ ' jedem der zur Parabelachse parallelen Strahlen das StUck a'a,' auf und projicircn die erhaltenen tiruiulriss-lBophnteupunklo schüeesijcll in den Aufriss, Weil in der Hanpttigur der l'onkt '', in dorn Kreise 9 angenommen wurde, ergibt sich auch eine Uopboten taugen te !„.

Um die Lichtpole der gegebeneu Flüche zu urhalten, ziofao loi an Q" eine zu g" parallele Tangeute l^", durch deren Benthmngs- ponkt dann diejeuigo Horizontal cur ve 1\ geführt wird, in welcher dio Licbtpole liegen; in der Hilfstigur ergibt sich durch f, der horizon- tale Durchstosspunkt A, und der in g, liegende unendlich ferne Pnnkt tl,, BO dass die Tangenten des KreishQBchels parallel xn ^, werden.

Die in der Horizontalcoutour liegenden Isophoteupunktc werden anf dio im §. 1. angegebene Art heBtimmt, Ee ist aach wichtig, den beiden das darznstellcndo FlflchonstUck begreuzendeu Ilorizoiital- curvon die Isophotenpunkte darzustellen.

Behufs der Couetraclioo der in der Verticalconlonr liegend) Isophotenpunkte führen wir in der Hilfshgur S'i, normal in x, ytr- schafl'en uns dann ans i/^ die Puiiktreihc mn und projicircn diCM normal auf dio Achse x; der Buschel S"x gibt dann die Bichttingen der durch die Isophotenpunkte gehenden Contonrtangenteu an. Weil die Contonr zur Curve Q" congruont und parallel ist, kann man di« betreffenden Berührnogspunkte auch in Q" niarkiren ; durch diese Punkte werden dann Gerade parallel zn ^ geführt, anf i\'elchcn n schiicaBlicb die Strecke a"a^" aufzutragen hat.

Um dio Isophotenpunkte der beiden Greozscbnitte Ü nud (^ construiren, machen wir bei der Parabel /' diu Subtangente i Punktes a' doppelt so gross, als die Abscisse, ao dass dann aa' tind aos' die diesen Cnrveu enteprechenden Tangenten sind. Wird eu (,' in der llilfafignr eine Parallele geführt, ao ergibt sich der Punkt i^ aus welchem dio Tangenten an den Kroisbüschel zu zeichnen stod. Ihre in m» sich ergebenden Schnittpunkte sollten hiorasf in der Richtung tg auf die Traco g' und von hier iu der zu x noi

Haznla: ßeleuchfungs' Consiructionen. 279

RichtoDg auf den Träger x projicirt werden; statt dessen kann man die resultirende Projectionsrichtnng e^x in der Hauptfigur bestimmen, wenn man dnrch den Endpunkt von Q! die Geraden mn und x pa- rallel zu den gleichnamigen der Hilfsfigur führt. Der sich dann in dieser Figur ergebende Büschel S*'x gibt die Richtungen der an Q!* zu führenden Tangenten. Bezüglich des Grenzschnittes Q5 erhält man die resultirende Projectionsrichtnng durch Führung der zur Parabeltangente 005' parallelen Geraden ae^ in erpc.

Die Durchführung der Constructionen dieses Paragraphen bei axonometrischer oder bei perspectivischer Darstellung kann keine weiteren Schwierigkeiten bereiten.

Bedingung einer Canalfläche neltat einigen Bemerkungen an CanalMiiehen.

R. Hoppe.

Eine Canalfiächo wird von einer Linie erzengt, die bei ihrei Variation mit einem Parameter sich parallel bleibt. Dorcli diesfl Entstehung ist zunächst die Canaläache dcfinirt.

Ferner ist dadurch ihr einfachster analytischer Ausdruck geben. Denn derselbe geht ans den Gleichungen einer Parallele mit einer beliebigen Linie (Leitlinie) hervor, indem man die darin oDt- haltcnon 2 specitischen Constanten in beliebiger Abhängigkeit - einander oder von einem Parameter variiren tässt.

Die gemeinsame Kormalebcne aller Parallele» schneidet dio CanalHäcbe in einer Linie, die zugleich Krümniungslinic und, woü sie in alleu ihren Punkten den Normalschnitt itarstellt, auch Karzesta ist. Die andre von jedem Punkte auBgoheudo Krömmungslinie ist die erzeugende Parallele, die zugleifh geodätische Parallele nnd Par- allele im Baume ist Nimmt mau also den normalen Querschnitt nnd die erzeugende Parallele zu Parameterlinien, so sind die Para" meter zugleich die der KrtlmmungsliDien und orthogonai geod&tischa.

Ist der Querschnitt der CanalHiichc gerade, so ist die FltUihe abwickelbar, und unigekelii't ist jede Abwickelbare ein Speci&Ifall einer Caualflöche. Nun iat die analytische Bedingung, unter welcher 3 beliebig gegebene Flache abwickelbar ist, bekannt und sehr ein*

Dies bietet Anlass die aualoj^e BeitJnguDg für dio allgcmeinore jenschaft zu suchen, für dio iiünilicb, üass etuc beliebig gegebene Iche Canaläscbe soi.

B«zQglich auf Placbcn wende icli folgende Bezeichnungen an, _ ■ die beliebigen Paranicl«r u, v ist das Linienclemcnt d» ausgu- drUckt durch

and ( ist der Cocfücicnt des Fla eben eloments

ferner sind p, g, r die RichtnngscoBinns der Normale, und

'■§„"

.-"+■

F-r-i,

9«"

-;'gj,+ .--

Bezüglich auf Curven sind/, j, A; /', j;', h'\ l, m, » die Kich- tongBcoainus der Tangeute, Ilauptnormalc und Binormale, St und 3* die Contingenzwinkel der Tangeute nnU Krflmmungsaxe , und be- zeichnet der Accent die Differentiation nach i.

■(. 1. Bedingung einer CanalfUcho für Parameter

der KrümninngBlinicu.

I Sind u, e die Parameter der Krürnnrnngslinion, und r, dio KrUrn- Bgalinie v •= const, so ist

-^■ = V.öi.i etc. I längs tj dilTerentiirt gibt*):

1_ Se B^ 1 / 1 ?>: S^- _ 1' ß«^ 0? , ,. \

1 / 1 d^.d^\

1 d'-.d^X

k«, lugleii'b Kürzeste, so' ist bekauntlidi

5o

1 CS folgt nur wciti-r, daes

Sr, =

) Hoppe, Fllcbenlhcorie II, Gl. (GJ.

282

Hoppe: Bedingung einer CantUfiäche

ist. Differentiirt man die Gleichung /i'^^p längs «j*), so komnit

Edx

e

^ * - Ott

dx

Nach Multiplication mit g- gibt die Summe der Analogen:

(^a^+^8^ + ^*^^)^^^

0

- - / 9^	1	dx dx
^'^> 3.	1	¥uP d'v
• > «	-y«	• 09
• • •		• • •

aud zwar ist die Grösse

nicht null, daher d^^ » 0, das heisst «^ eben. Hiermit ist der Satz bewiesen :

Eine Krümmungslinie, die zugleich Kürzeste ist, ist oben.

Die zweite Schar Krümmuugslinieu , u » const, ist dann geodä- tisch parallel. Da sie aber die Ebene von s^ zur gemeinsamen Nor- malebcne hat, so ist sie auch im Räume parallel; folglich ist die Fläche eine Canaltiäche.

Notwendige und ausreichende Bedingung einer Canalfläche ist also, dass ihre Krümmuugslinien orthogonal geodätisch sind, unter gegenwärtiger Voraussetzung über die Parameter ausgedrückt durch

de ^ ov

Die Anwendung dieses Kriteriums setzt die Kenntniss der Krüm- muDgslinien der gegebenen Fläche voraus, da e den Multiplicator der Differentialgleichung der Krümmungslinien zum Factor hat, wenn man von beliebigen Parametern ausgeht. Zur Herleitung der gesuchten ' Bedingung ohne Hülfe der Krümmungslinien bieten sich zwei Wege dar. Die Form der Resultate ist verschieden. Beide sind nicht einfach.

*) Ebenda Gl. (19).

t 2. Erste Mothodi>. Die Variation Bvcrhilltiiiaae der crBtcn und zweiten Ilaoptkrilni-

giTitiiigsrichtung p- = i-, und i^j sind bestimmt durch die Gloicbungeo : « + (*.+fci)/ + '--.i-iS'-0 (2) fH- (ti 4- 't»)F+ 1, ii o — 0 (a) Rus nach Differcutiation lllngs der FläcUo in boliobiger Richtung

und Elimination von Bk, -.

Setzt man zur ÄbkQrzung so sind die Gi'i)s§oa

|{i-, — 1,)0*, (4)

^ + ''

d.>

Bit^btuugscosinuE der zwcilcu tlauptkrtLmmangsri(.'htuug, also anch ilur ersten rauptnormak'bi'HC. Bleibt deren Steilnng in erster llaupt- krflmmungsrichtnng uuverändcrl, mithin A ete. constaut, so ist die genannte Ebene gemeinsame Normalebene der zweiten Scbar KrUm- mnngsünien für alle Pnuklc der ersten nnd schneidet die Fläche in ihrer ersten Krüramungslimc; diese ist eben, und der Schnitt KQrze- ste, folglich die FIdcbe Caualfläche. AuHreicbendc Bedingnngen der Canalfläche sind daher die 3 analogen Gleichungen ;

SA , , Sa ^

Es bleibt die Aufgabe, sie auf eine, vom Coordinatensystem nnab- bÜDgige Gleichung zurück zufuhren. Zunächst kann man sie durcli ein neues System dreier Gleichungen vortreten, das man crhtUt, in- dem man nach Ausfflhrnng der Differentiation und Mnltii>lication mit

&t dx 2Ä5-. ^Äg-. Bp die Aialogeu addirt. Die Summen ergeben bzhw,;

3e ,

p-+<^ + *.)g-„ +

t,t, I 2

ßf

ä)+K^ + '.K

/-

R 1,8»+ 'St;/

2^4 B*f99:

Die letzte Glekhung ist nrndi (3) Ton selbst crfoDt Mnlüplicirt man Gl. t6) mit k^ und addiit sie za GL (o)« so kommt mit Berflck- sichtiguDg TOD Gi. (2):

^-(s + ^^)<''+*^>=o

(7)

Es soll nun bewiesen werden, dnss GL (6) sckon allein identisch ist mit Gl. ;7). mithin aach mit Gl. (3).

Man kann nimlich Gl. (6) nach MnItiidieatioD mit Ij — ü^ aoch schreiben :

wo znr AbkOrznng gesetzt ist

'" "" au + *' Bc ' '^ Ä Vau + *» ar ,^

und zwar findet man nach Ausfahriiog der Differentiation:

5 -= j^, 1 Jft+ *. A + 23/ ( /+ 1-^) l 90 tiass Gl. (8) abergeht in

Nun ist

Ä« + (fc, - A,) (/+ «=,5) = « + (*j + *,) /+*.*! ff -= 0 (9)

nebst einiyfn Bfmfrkwigen an Canaljiärhen. 2Öi

(f+h9)'-'^'g	^f»-eg = -t*
daher bleibt nur:
Ä'i -[- ^2-^1 ~	-2'^pt^M
Aus Gl. (9) erbält man:
1 2	f+h9	f+h9
Ä» f+k^ (f	4-k,g)(f+k^)	t*

daher wird die Gleichung:

übereinstimmend mit Gl. (7), und diese ist die gesuchte einzige Be- dingung der Canalfläche. Alle darin vorkommenden Grössen worden auf bekannte Weise aus den gegebenen Flächengleichungen gefunden, und zwar M nach Gl. (4).

§. 3. Zweite Methode.

Die Eigenschaft einer Canalflftche ist dadurch vollständig be- dingt, dass sie eine abwickelbare Mittelpunktsfläche hat. Bezeichnet man die auf die erste Mittelpunktsfläche bezüglichen Grössen mit dem Index 1, so lautet die Bedingung:

Der zugehörige HauptkrQmmungsradius der Urfläche sei q^. Die 4 Coefficienten in den Formeln

vollen wir durch folgende Abkürzungen ersetzen:

dann lautet die quadratische Gleichung, welche pj als Hauptkrüm- mungsradius bestimmt:

ad = ßy

so dass wir setzen können:

y «« tfo ; ö =z aß

Fernere Abkürzungen seien:

V

286

Hoppe: Bedingung einer Canalflädie

2i,

2*

2ft

de		1			80
Bit	e •	2^ =-	au	/
28/ _ 3«			1 Jf 9e
8»t 8f'	1		! 2;r^— 5- , cu ov	9
! de !			^ .\
8w * ! 1	•	2i =	i
Sg .				Sg
9u ^				du *
1 dv du	e	•	1 1 1 2v =	^df dg dv du	e
"4'		f			Sg dv		f

Die Gleichungen der ersten Mittelpnnktsfläcbe

geben differentiirt :

dxi 8t* '

""du + ^dv^'^^^

dx-, / dx

(8x , „dx\ , ,

woraus :

Pi']

das ist

du

«e + ßf

/),<,< ■= (f — to) I ; etc.

^ "f+ßg .

(11)

(12)

Differentiirt man die Gl. (11) aufs neue mit Anwendung der, den Gl. (10) gleichbedeutenden Formeln

multiplicirt mit Gl. (12) und addirt die Analogen, so ergibt sich:

nebitt einigen Bemerkungen an Canalflachen. 287

(13)

r[««x+«/}a+^)+^«v]+(ff-^°--+ t«)'*

BezeichDen p,], p^i die Hauptkrümmangsradien der ersten Mittel- pnnktsfläche, so ist

und nach Einsetzung der Werte, und zwar mit Benutzung der 2 Aus- drücke für F| findet man:

Daher ist die gesuchte Bedingung der Canalflftche:

§. 4. Allgemeine Gleichung der Canalflftche und Ausdruck ihrer Hauptkrümmungen.

Die Gleichungen einer Parallelen s mit der Leitlinie sq sind: « « a?o + ^[/o'cos (^0 + <?) — ^) «» (^0 + <?)] ; etc.

und zwar bedeuten (7, c die Polarcoordinaten des Punktes der Nor- malebene Yon sq, durch welchen s geht, in dieser £bene. Der An- fang der e liegt in einer beliebig zu wählenden Parallele im Abstände C von ««. Führen wir dafür die ebenen rechtwinkligen Coordinaten

£ B> Ccosc, iy «■ Csinc

ein und setzen zur Abkürzung

288 Hoppe: Bedingunif einer Canaffläckt

SO wird

aJ«av, + £F-i^L; etc. (17)

Beschreibt nan unabhängig von sq der Punkt (^ij) in seiner Ebete die Linie a, so erzeugt die Parallele (17) eine Cymalflftche, ond die 61. (17) sind der allgemeine Ausdruck einer solchen in den Para- metern 0 =» M und 8q '^ V,

Die Differentiation der Werte (16) nach Tq ergibt:

F' = — /ocos^o; L' - — /osin^o d»)

und die Constante im KrQmmungswinkel r von <r sei bestimmt dareh

cosT = n- ; sinr — -^i Setzt man Qberdies zur Abkürzung

so erh&It man aus Gl. (17) die partiellen Differentialquotienten:

vX

g-- == /^cosT — Lsinr -=- /o'co8(^o+^)"~^)8»n(^o+^^

9« R ^,

ä,; = ^« .,' (20)

woraus :

e=.V /-O; ^ = <»; < = f , (21)

7) = — - Fsinr — XcosT -= — /o'sin(dQ+T) — ^cos(^oH-^) und nach neuer Differentiation:

d^x /o'siu (1% + T) + /o cos U\ + r) \

8«*			0'
	= -	-/o	C08 (^0 + ^)
8»»	^'	Ä *./*	+/.^{?)

(22)

also aus der Definitionsgleichung berechnet:

0 *o

nebst einigen Beuierkiiinjeu an Ckiual flächen.

2H9

Die Werte vod e, f^ F zeigen, wie scheu bekannt war, dass die Parameter orthogonal geodätisch sind und den Krüinmuugslinien ent- sprechen. Wegen letzterer Eigenschaft sind nun die Hauptkrümraungs-

radien

e , g R

9i ==

E

9$- ä

8in(^o + ^)

(24)

Die vorstehenden Formeln sind sowol für allgemeinen Gebrauch bei Untersuchung von Canalflächon, als auch für die folgenden speciellen Bemerkungen entwickelt worden.

§.5. Bemerkung an der zweiten Mittelpunktsfläche

der Canalfläche.

Die erste Mittelpunktsfläche

bietet keine Frage zur Untersuchung dar, weil sie sich unmittelbar als die von der Evolute des Querschnitts a erzeugte Canalfläche mit gemeinsamer Leitlinie «o darstellt.

Die Gleichung der zweiten Mittelpunktsfläche ist:

1 I ^«:t r 1 „-^sinT+i'CosT

= ^o+«[^'-

COS^/i

Fsmt-^Lcosz sin (1^0+^) .

-V

L — sin/^o

Fsinr -|- LcosT sin(^ü+r)

, Fsinr-f-LcosT

+'0 - 8iü(^+;;;)~

, ,, , . Fsin^o — ^ cos 1*^0 . .Fsinr + LcosT

sin{&o + T)

='«-^-^^^r^+'«'f-^o'+^^^('''"+^^^

hat also die Form:

wo

U «=

«o'cos {^Q -j- t) — J cost — jg^si^iiT

(25)

(26)

gesetzt ist. Hiemach stellt (x^t/iH) einen Punkt auf der Krümmungs- axe dar, der wenn LT mit a variirt, die Krttmmungsaxe durchläuft,

Anh. d. Xftth. n. PhjB. 2. S«ihe. Teil I.

19

die ihrerseits bei variirentlem lo die abwickelbare MlttBlpDoklaftSdH et-xengt. Es bat sicli der Satz crgebfra, den icli noch nicht i sprechen gefandcn babu:

Die der paralleleu Schar KrümmungBlinieD enl sprechende MittelponktsfUche der Canalflftcbe der Ort der gemeinsamen Krümmungsaxe jener Paralle leii, mithin die Einbülleude der ErUmmangsaxca ihre GratliDie.

Der Ansdruck (26} von li, der den Absland des Pnnlctes (z^h^ von der Sclimicguagsebcne der Leitlinie darstellt, kann weitere Ve Wendung ündcu. wenn es sich um die eDtsprcchcnden Punkte auf beidi Flachen handelt. Er ist noch abhängig von der willkürlichen Leit linic; dagegen ist die Grösse

welclie die Strecke vom Coincidenz paukt der KrUinmuiigsaxc bis zui Funkte ix^st^t) ausdrückt, davon unabhängig. Gebt man also vo der Gratliuie aus, so bezeichnet (3T) das Stück, welches die der Ui flache enteprecheude KUr/.este auf der Abwickelbaren von der Tai gento abschneidet.

i. 6. Bemerkung über asymptotische Linien der CanalfUche in einem Specialfalle.

Die ÜifTorentialgleicbung der asymptotischen Linien wird nach (33) auf der Caualfiächc:

?!'! _ Küa(»^+T) ^^

Ist die Leitliuie ein Kreis vom Radius r, so kann man das constanl #0 null setzen und erhält:

Sei auch der QacrschniLt ein Kreis vom Radius n. Dann bat i { ^= a Bin I : ff = ot

I

nebst einigen Bemerkungen an Canalflächen.

\ t	0 8 90 » a^Cösint)* 1 — sm^T
und die GlcichuDg wird:
{	fl, 1 ^^^f

291

(28)

I>a elliptische FunctioDen erster Gattung in der Geometrie nur selten vorkommen, so verdient wol der vorliegende Fall derart uotirt zn werden.

19^

202

Klug' Ptrsp^-ctirixchf Oi'eiecke

XV.

Pers])octivische Dreiecke die einem Kegelschnitt

einbeachrieben sind.

Von

L Klug.

In dem TOtcu Teile dieses Archiv's p. 446 haben wir gezeigt, wi(i iiiaii Punktreihoii coustruirt , die mit zwei oder drei projectivi- siheii Pmiktreihen iiivolutorisch liegen. Von diesen Coustructioncn ausgehend sind wir im Stande Dreiecke zu linden, welche mit zvei oder drei, einem Kegelschnitt einbeschriebenen Dreiecken zugleich perspectiviscli liegen und dem Kegelschnitt einbeschrieben sind.

1.

Ks seien A^ //, ^'j , A^ D^ (.'^ zwei demselben Kegelschnitt eiiJ " heKchrichene Dreiecke, wir wollen ein mit den gegebenen perspectiv: Mches Dnaeck construiren, welches dem Kegelschnitt einbeschrieben is

Zu dem Kiide construiren wir eine Punktreihe, welche mit dei2::^S durch J,//|C', , A^JKC^ Punkte bestimmten projectivischen Punktr^:^' reih«Mi A^ Ii^C\ ..., A^B^C^ ... zugleich involutorisch liegt; die "'^^' jiMiigcu Kh*mente dieser neuen Punktreihe , welche den -4, /?, C^ '^^ l'iinklen ])n)jectivisch entsprechen, sind die Eckpunkte des gewünschte] hrciccks.

n

Wir wissen (70. T., p. 44G), dass es unendlich viele Punktreihei^^ ^ gibt, die mit A^li^C\ ..., A^B^C'^ ... zugleich involutorisch liegen -' ' iniil dasH dieselben erst dadurch vollkommen bestimmt sind,

.H'

initn Ktgrl'rhiii

mibetchriibtn

1 den zu conatruireuden Punktreihen ein Element annehmen, . einem hoBtimmten Elemente der gegebenen Fnnktreiheu eut- when SoIL Darnns folgt: liass wir einen Eckpunkt des gewünschten ) beliebig annehmen künnen auf dem KegolüchnitL

Ist D ein beliebiger Punkt des Kegelachnitts , dann sind unter 1 nnondlieli vielen Pnnktreihen , welche mit /l, il, C, ..., -ljiJ,f'j - . . zugleich invoIutorlBch liegen, drei vorlianden, welche zur Bestini- mang der perspecti vischen Dreiecke dienen. Den Punkt D können wir nStnlich als dem Punkte A^, oder B„ oder C, entsprechend be- trachten und in diesen drei Fallen mit A, resp. li', C" bezeichnen; die mit ^,ß, (,', ,.., ^,iJ, C, ... jnvolutorischen Punktreihen ABC..., A'U'C ..., Ä'lf'C" ... bestimmen drei Dreiecke ABC, A'b'C', jT lt'C\ welche einen gemeinsamen Eckpunkt D haben, dem Kegel- scliiiitt einbeschrichcn sind und mit den Dreiecken -4, ü, C',, A^B^i\ perspecti visch liegen.

Sechs Punkte zn dreien in zwei Gruppen verteilt, bestimmen

. ml aecbserlei Art projectivische Puuktreihen. Don Punkten ^j ß, C,

ueti n&mlich die Punkte -4^iJ,C,, B^V^A^, C\AtB^, C',ö,^»,

,, A^C^Bf entsprechen, wir üuden daher sechsmal unendlich viele

■n, welche mit den gegebenen involutorisch Hegen, Dies in

i^t gezogen, können wir sagen: wenn A,B^Cf, A^B^C^ zwei dom-

Iwn Kogolsuhnitt cinbescbricbcne Dreiecke sind. D ein beliebiger

ibbt des Kegelschnitts ist, dauu kauu man ^mal 6 sol::he Dreiecke

truiren, die D zum gemeinsamen Eckpunkt haben, dem Kegei-

Bitt cinbesch riebe u sind nud mit den gegebenen zwei Dreiecken

;>ectivi9ch liegen.

Unter den unendlich vielen Dreiecken die mit zwei demselben lelschnitt «in beschriebenen Dreiecken perspectiv! seh sind, gibt es I solche, welche mit einem oder anderen der gegebenen Dreiecke - oder dreierlei Art perspcetiviach liegen. Um diese zu be- umeu, müssen wir wissen, dass die Verbindungslinien p, q, r, der ttoppelpunkte der projectivischen Punktreiben A,B,C\ ,.., ,ljB,(",; ^,B,Ci . , BiCsAj ...; A,BjC\ ,.., C'j-4,iJ, .... welche die lPa8C«rschen Lisii^u der einfachen Sechsecke A^ Cj B^, A, C, B^, A, B^B,, Ä,t',C,.1,. .4, .^^fl, W,t',ti sind, durch donaclbeu U Punkt gehen, tiiMt dass sich die Verbinduugsliuieu p', 7, r' der Doppelpunkte der projectivischen Punktroihcn -4, i*,C,, C^BtA^ ...; A,BjC\ ..., A,CfB^; AjBfC, ..., B^A^C^ ... als Pascal'scho Linien der einfachen Sflthsecke A,AjBj, C^C^B^, A^B^B,, ,4,C, C'jvl,C,ifi, Ä,6',Jj in ^ImMibm tf Paaiäe achneiden. Werdan die Kckpnaktc des Dreiacka

294 Äiuff: Ptr,picti„i.cK. Drtieclct m

A^ B, C„ gdcr Ai B^ C, ans einem beliebigen SchDitlpnukto von z ÜLT GDrailtiii pi/i p'q'r' auf den Kegclscboitt projicirt, so sind lU» Projectiunen die Eckpunkte von Dreiecken, welche mit den gcgeboiei' nnf Äwci- oder dreierlei Art perspectiviscli tief;eD. Projidrt mM eins der gegebenen Dreiecke ans den Pnakten U oder ü', iuai wird die ProjectJon mit diesem auf einerlei, mit dem andcron dtr gegebenen Dreiecke auf dreierlei, wenn nicht ans den Schul ttpuolctoi U, ü' aber bloss auf zweierlei Art perspectiv! ach liegen.

Bezeicbuoii wir die Projeclion der Punkte A^ ö, C, vom Schnitt paukte Ip, r') der Geraden ji, r' anf den Kegolschuitt mit ASC^ dann wird AHC Dreieck aowol mit A^Bif.'^ als aneU mit B^AfCf perspectivisch liegen, der Schnittpunkt der Projcclioiisslralileu AA^ BBf, CCt befindet sich auf ;i, der Schuitipunkt der Projection»- strahloD Aü^, BA^, CC^ befindet sich auf r', da (p, r') anf p und i liegt. Diese zwei Schnittpunkte liegen auch auf C(.', Gflraden nn sind wie aus AB^A^B Viereck ersichtlich conjugirte Punkte di Kegelschnitts. — Es gibt 18 solche Dreiecke, welche mit oinem di gegebenen Dreiecke auf zweierlei, mit dem anderen auf einerlei A perspectivisch liegen, da pur, p'i/r Geraden sich ausser in Vt noch in 9 Punkten schneiden, und die Projei'tionen der zwei gi gebenen Dreiecke aus diesen 9 Pnnkteu anf den) Kegelscbuilt I Dreiecke liefern.

'A.

Wcuü wir dieProjeclioneuder.!,Ä,C'j Punkte aus (/auf den schnitt mit E^F^G^ bezeichnen, dann ist das Dreieck f^F, &, ai dreierlei Art perspectivisch mit A^B^C,; die Geraden i^.l,, ^ß G,C, trefteii sich in /•„ die £,C„ /i^),, «, /(j Geraden in Q, enc lieh £,/:(„ /'.C„ G^A^ Geraden in Ä,, nud es liegen /V <^, Ä, b( zicbnngsweise auf den Geraden p, q, r. Sind ebenso E^'F^' G, di Projectiouen der A^ B, C, Punkte auf U' »uf dem Kegelschnitt, ist E^'Ff Gf' Dreieck auf dreierlei Art perspectivisch mit A^B^Cf die Geraden E^' C;, F^'B^, G^'A^ treffen sich in i','; i;,V Gt'Bt iu Q,' endlich i^'Äj, F^' A^^ Gj'c; in R^', und l'ii '■It'i Wi' beziehungsweise auf p', </, r'. Ist ferner die Projecti« des Dreiecks A^B^C^ aus U und U' auf den Kegelschuitl E^F^G^ Ef'Ft'G,', dann sind tj /;<?,, E^'Ff'G,' Dreiecke mit ^jö,C; einerlei, mit -1,^,C, auf dreierlei Art perspectivisch; die Projcctions ceutren, welche diesen Lagen entsprechen, bezeichnen wir mit P,( n,/*!' Q,'Jlj' je nachdem dieselben anf den Geraden pqrp'q'i^ liegen.

Es können daher vier Dreiecke dem Kegelschnitt ein beschrieben werden, welche mit einem der gegebenen auf einerlei mit dem i

• KtgtUrimll «»btlchntbCH imd. 20Ö

^^^kn ftuf dreierlei Art perapoutiviscii liegen. Von diesen vier Drei-

^^^feen siiiil »olclie zwei, welche tlie Projoctionon t'iuea der gegebenen

^Bkeieclte bilden, also E^F^G^, E^F^'Gj' oder t'iJ'iff,, E,'F^'G,'

I zu einander pcrspectiviscb , das Projcctionacentrum ist in beiden

Fällen der Pol dor VU' Geraden. U, (/' Pnnkto sind uilmlicb con-

jDgirt, und es wird die Seite t',iV dt>s Dreieck b A^E^ E^' •lurch den

PqI der Geraden ü V gehen, da ü und U' auf /Ijt.» beziehnugs-

wcise AfEj' liegen.

Die oben mit 1\ ... Ji^' bezeichneten Projectionacentren haben eine besondere Lage: Die Punkte P^Q^Jf,, P^'Q^Rt, wie auch r, ... R,' liegen anf je einer Geraden, welche durch den Pol 7" der VV Geraden geben. Dies folgt daraus, dass PjOa^j. daher anch Pi'Qs'Rt, PjQ, i?,, J\'QiR,' auf je einer Geraden liegen, ferner dass die Verhindungsgcraden der P^ Qj ßg Paukte mit jedem der Punkte P^'Q^'R^' dnreh T gehen.

Nachdem die Schnittpunkte der Gegenseiten der einfachen Sechs- ecke fjCj^; Htd^A^, E^U^F^ AiC^C't, Kj-lgFa C^OfB^ die Pnnkte i'„ Qa, R^ sind, fallen die Paacarschen Linien der benannten einfaeheu Secbseuke in P^Q^R^ Geraden, nachdem femer die Pascal- schen Linien der EflljA^diG^C^, ?V^a"i'''a'''*''-'i einfachen Sechs- ecke IP^P^', TP, Qj' Geraden sind, so ist misero Böbanptung bc- wieBen-

BozUgiich der Panktparo RtR^', AA'. ^»Qa' ™d P^Qt, Q^R-, HfPf endlich P^Äj', Q^P*', Ü3Q3' ist zu bemerken, dass dieselben eine InToIution bildeu , da die erste , zweite und dritte Puuktgruppe die Projeetiou der £,£.»', PgP»', ''^0^' involutorischer Punktpare ist aus den B^, A^, Cj Punkten auf Pjf^j Gerade. Ebenso bilden P, ... R^' Pnnkte anf dreierlei Art eine Itivolntion.

Die sechs Punkte t'j, f.'j, F^, jS^, G^, A^ haben abgesehen von der dreifocbon i>erspcclivischen Lage der Dreiecke K, Fj, G», A^ B^ t\ noch die Eigenschaft, dass die drei Pascal'scheu Linien der EtCtFj^BiGiAi, K^n^FjA^G^Ci, E^A^FiCsG.B^ ein&cben Sechs- ecke, wie aus den Mbcren ersichtlich, zusammenfallen in die P^Q^ Gerade. Bei einem anderen Pasearsehen Sochaocke schneiden sich die drei PascBl'sehen Linien, welche solchen einfachen Sechsecken entsprechen, in einem Slciner'schen Punkte. Im gegenwärtigen Falle können wir Jeden Punkt der P^t^t Geraden als einen Steiuer'schen nennen, bezüglich des in Betracht gezogenen Sechsecks, und es wird der Schnittpunkt S.^ der Pascal'scbon Linien der E^tC^F^A^G^Ui, EftifF,CiG.tAt, FjAtF^B^GsC^ einfachen Sechsecke, als zu allen Funkten der P»(2» Geraden conjugirt, der Pol von /',Ci^ sein, — Wir können auch anf eine andere Art zeigen, dass der Schnitt-

x:.,

I'trtfitrliintrhr tfrfiirkt

pDnkt der Paecal'sctien Linien der lebtbeDannb.'n Sechseelw von /^Qj ist; dieselben sind nAtnlich alsVerbindangslinien der Dop* IK-lpunkte vmi A.',F,<7, ..., Ä^BjCf ...; Jh^V^i ■■< ^-^Äf KfFf(i\..., Ji.CfAj . . . involatomcbea Pnnktreibeu die PoUren i\, Qt, R, Puukton.

Die einfachen Sechsecko f;,*f,ff,'ß,F,M,, E^Ci^\ö,0, E^'C^Gi'üiFj'Aj haben dieselbe Kigenschaft als i^r,F,B,ff|J, nftmlicb: vom ersten Sechsecke fallen drd PasuaIVbL' Lioien in r,Q Geraden, ffährcad sich drei in S, schneiden; von den anderen tut SodiBecken fallen drei Pascal'achc Linton in J\ (j|, wahrend sich ifi anderen drei im S, Punkte treffen. Es ist ferner leicht ersicbüicl dass sich £^<S', VW Punkte in einer Geraden befinden, denn dia Punkte Bind conjagiil zu T.

Die bisherigen Betrachtuni^en können wir iti eiucm Satz » semmengefaset, so aossprecben:

„Wenn einem Kegelschnitt 7.woi Dreiecke einbeschrieben üiu „dann kann man nnendlich viele Dreiecke dem Kegelschnitt einseht „welche mit den gegebenen zQgleich perspcclivisch liegen; 6 „tS Dreiecke, welche denselben gemoinsameu Eckpunkt habou, d« „Kegelschnitt einbescitrieben und mit den i^egebeuen Dreiecken per „spectiviscb sind; es gibt ferner 18 dem Kegelschnitt einbc schrieben „Dreiecke, welche mit einen» der (regebenen Dreiecke auf cinurle „mit dem anderen auf zweierlei Art perspectiviBch sind. Adsaq „diesen sind noch 4 besondere Dreiecke vorhanden, welche mit „dnem der gegebenen Dreiecke anf einerlei, mit dem anderen i „dreierlei Art perspeclivisch sind Von diesen vier besoudem Drei „ecken sind zweimal genommen zwei selbst perspectivisch , du 1 ,gec1ionscentrum , welches diesen Lagen entspricht, ist ein und ( „selbe Punkt. Die Zahl der Projectionscentreu , welche der „Bpectiviaubeu Lage dieser vier und der gegebenen zwei Drei« „enteprcchen, ist H, wovon 2 Punkte solche zwei Steiner'schc g lOOgirte Pnnkte sind, welche zu den, durch dio Eckpunkte der \ „gcbcnen Dreiecke bestimmten Pascarschcn Scchsucken peh&reu, dii „Übrigen 12 liegen im je Ü auf zwei Geraden und bildet „Goraden auf dreierlei Art luvolntienen. Der Schuitipunkt. die „zwei Geraden f^lll einerseits mit dem Projectionieenlrum i „welches dio [lerspcctivischc Lage der vier besonderen Dreiecko 1 „stimmt, andrerseits bildet er mit den erwähnten Stciner'scben E „ein Tripel bezuglieh des Kegelschnitts".

Unlcrsnchea wir in wie fern sich liieser Satz ändert, weuu die gogebeneu Dreiocko A, 13y C, , /U Ö^. Q auf drerlei Art perspectiviscli sind, nämlich wenn: J,^j, tf,i(j, C, C,; -1i6'„ i*i^„ Ci/t,; A^B^ jO,Cj^ ''i'^i Goraden sich btixiobungaweiso in /', Q, A Punkten scbaeiden oder kürzer ausgrdrUclil. wenn A,B,Cj in Rilohsicht auf die Beilio der ontaprochGudon Punkte mit A^HtCj, CtA^Of, B^C'iA^ perspectiv tscli ist und cÜp Projectimiaeentron hcüiehnngswcisc /', Q, R Bind.

Wenn die Polaren von l\ Q, R mit p, q^ r hezeichnot werden, dsuin ist ans dem frllhcreu bckanul, dass sich diese Polaren nla Pfts- cal'scho Linien der .1, £■,;(,.■!,(;, ZIj, A^ü^B^C^C^Aj, AiA^B^B^CiC^ einlachen Sechsecke in cinora gewisseu S Punkte schneiden, welcher der Pol ist von den in eine » Gerade fallenden Paacal'schcn Linien der einfachen Sechsecke AyUiUyA^(\C^, A,CtB,B^CiAt, A,BjB,

C, C, By.

Es seien nnn ABC die Projectiooen der yl, H, C, Punkte aus einem beliebigen P, Pnnkte der * Geraden, ao wird ABC Dreieck mit -^,C,i/„ B^AgC^, CiH^A^ perspectivischo Lage haben; die Pro- icctionscentren /'j, Q^, B^ liegen auf«. Nachdem .iZfC Dreieck die Projoction von A^B^C^ ist aus einem P» Punkte der n Geraden, so wird J5C Dreieck auch mit /l, Ü, C„ B,CjAj, 6', J, B, perspectivi- »cke Lage haben und die Projectionscentren sind P,, Ö], B,; ABC Dreieck i;t daher auf dreierlei Art perspecttvisch mit den gegebenen Dreiecken. — Die erhaltenen Projectionscentren P, Ö, B„ PiQ^Rj bilden auf dreierlei Art Invelutioncn , weil dio Projectiuu der A^ A^, üj Ä„ C, C, wie auch .1, C„ B, J,. C, B^, endlich J, B„ P, (.',. ^',^4, invoIntoriEcho Punkigruppen ans .1 beziehungsweise Ü, C auf dio Gerade* die Punktparc P,/;, Q,(^,, Ä,«,; P.Pj,, p, (ij, Q,P,i Q, P„ Ä, «,. /', Ä, sind.

Es sei zweitens ^jP^tf» die ProjectiüU der AfBfCi Paukte aus {p, (} nuf den Kegelschnitt, dann wird B^F^Gf Droicck, da (/>. ») auf • Hegt, mit ,1, W,f,, A^ ü^C^ auf dreierlei, da {p. ») auch auf p liegt mit ^fü^C'} n<H:b auf einerlei Art purspcctivisch sein, nämlich: K,FtG^ Dreieck ist mit den Dreiecken J,i/,C„ vl,fji/„ B^A^C^, CjBtA, und .4, Ä, C,, i/, C, j,, C\Afät perspectiviach. Die Drei- ccbe .-l,P,c\, AjB^C^ l''t^i('i ^ii*! daher parwciso perspecdviscb, Bud es bilden die Projectionscentren, weiche dieser Lage entsprechen, ein Polardieicck; zw vi Projectiousccutreu sind aber /' und [p, *), daher wird das dritte Coutmm ti sciu, da .S zu den orstercn zwei Pnnktcu conjugirl ist. Daraus schliesscn wir, daas J-^ P, G^ dio Pro-

KUg^ P>r,

iviidit Drtitckt

ji-rtion der Eckponktt^ des Dreiecks AtHjC^ aus S nnf den Kegd ai'liniU, dabt'r von (p, ■) Qiiab)iAiigig ist, irckhc EiBeiisrhaft wir * so aussiirechcn kOniien: daaa die Prujcctioii des llmccke A,B,( aus doQ Punkten Ip, *), (5, *), (r. i) mn und dasselbe fc', /*,<>', Drei

eck ist.

Man kann noch ein so merkwürdiges Dreieck /.', /", (7, finda, indem man jl,i*,C', aus 5, oder aber A^B^C^ Dreieck aus (p, Oller (•;, *) endlich (r, «) Punkte anf den Ecgalscliiütt prqjicirL

Dio zwei Dreiecke £, /'iC,, l^F^d^ siud &uf dreierlei Art pi spoctiviscb nämlith: ^;,f',G, mit K,K(;.. Uj/i',^», fjOg^idi* Projüclionscentrco sind beüiehungs weise /', Q, Ä. Dies ist eraicbtlich, daas sieb J, f„ -1, Z'^, /J, Fi ... C^y, Gerade im Pole J von «, und ^1,^,. H, ü,, C, C'j (ierado im Punkte /' scliueideu, dabor K^ Ki, F, F^. G, (7, Gorade dnrcli /' gehen ; obcneo wird der ^efubrt für die zwei anderen iierspectiviscbeu Lagen.

Das Resultat dieser Untersucbung lautet:

„Wunii zwei demselben Kegelschnitt einbescbriebeue Dreiecke an „dreierlei Art perspectiviscli siud, dann kann mau unondlich rieli „Dreiecke dem Kegelschnitt ciuscbreiben, welche mit den gcgebcael „auf einerlei, und uuendlich viele, welche auf dreierlei An ] „spectivisch sind. Die Projoctiouacentreu , welche zu jedem diese ,,Ictzteren Dreiecke geboren, liegen auf einer i Geraden und bildei ^eiuo Involution ; diese " Gerade enthalt auch die Projcctionecentrei ..welche aus der perspcctivtschen Lage der gegebenen Dreiecke c „stammen. Mau kann aber noch zwei besoudoro Drei eck« d „Kegelscbwitt eiuschreibeu, welche mit eiuem der gegebenes „dreierlei, mit dem andereu anf viererlei Art (lers^iectivisch sind, 1 ,,dtC30 sind die Projectionen der gegebeuen Dreiecke aus dem P „ilor » Geraden auf den Kegclschaitt. Diese zwei besonderen Di „ecke siud mit einauder auf dreierlei Art {lerspectiviachi die Pro ,Jcctiou3coiitreii , welche zn dieseu Lagen gehören, Fallen mit i „Projectionacentren insammon, durch welche die perspectivischo La „der gegebenen Dreiecke bestimmt ist."

Zu bemerken ist noch: wenn diu gugebeueu Dreiecke auf vii .\rt pcrsppctivisch siud, wie z. B. in der frtlhcrou Figur £|i^(% Afä^C,,. erhalton wir keine wesentlich verscbiedeue Figur.

Kehrcu wir nun m der, von den früheren Construetiouen sich 1 geboudeu beslinimten Aufgabe zurück, welche so lautet : es sind drei de

selben KegelBchuitt eiiibcscbriebi'iie Dreiecko A^B^C^^ A^BjC^, A^H^C^ gegeben, man coustriüre nin Viereck, welches dem Kegol- schnitl einbeBchriebon ist und mit ilein gogebonen perspfctiviBch liegt.

Wir conBtrniron (70. Teil p. 447) die Verbindniigsgerado tier Doppel pn niete der perspecti vischen Punktreihen -4, ßjC, ..., A^li^C^ ... und J,i*,6', ,.., A^Bj^C^ ..., welche die Pascal'ache Linie der AiC^IljAjCfBt, .rljCai;, JjC'ii^a ciijt'nchen Sechsecke ai ml, die Pro - joctiou der Punkte AjBjC, vom Schnittpunkte dieser Geraden auf den Kegelschnitt, bilden die Eckpunkte des gewünschten Dreiecke.

Die Pankte ^,fl,C,, A.B^C^ wie anch A,Ii,C^, A.^B.,C^ ho- ■tiinmen anf sechserlei Art projectivische Punktreihen, dann hat diu

Bibc im Allgpineiiien 36 Lüsungcn. Jei besonderer Lage der gegebenen Dreiecke ändert sich die An- der Lösungen. Füllt iitlmlicb von den Doppelpunkten der seebs ersten projectivischen Pnnktrcihen irgend einer, oder zwei, mit irgend einem oder zwei znsantmen gehörigen Doppelpunkten der sechs an- deren projeetiviEcben Punktreihen zusammen, dann liefern im ersten Falle diese heBondern FunktreiltLii kein Dreieck, im zweiten Falle aber bestimmen die PnoUtreiheu unendlich viele Dreiecke, welche mit den gegebenen i»ersi»octivi8cb liegen. In diesem letzteren Falle sind 6 besondere Drefccke vorhanden, welche mit einem der gegebenen Dreiecke auf dreierlei, mit den beiden anderen auf einerlei Art per- spectivisch sind. Um dies einzusehen, setzen wir voraus, da8Sj4,ä,C,,.., A^B^Cj .., und .4,ii,C.'j ..., A^B^C^ .... projecti vischen Puutt- rttihen dieselben Duppiilpunkte hnhcn, welche daher auch Doppel- punkte sind der A^liiCi ..., A^B^t\ ... projeclivischeu Punktreibcu. Die Verbiudingsünie dieser Doppelpuukte ist die gemeinsame Pascal- sche Linie der A,CsB,A,C\B^, ,1, tgä, .-I3C, i(s> ^IjCgifj Jafj^a einfachen Sechsecke. Auf dieser Pnscal'schön Linie liegen <%, 5,, jS, drei Steiner'sche Puukte, welche aus den drei aufgesch riebe neu Sechsecken entstammen, wenn man dieselben als vollständige Sechs- ecke betrachtel. Werden nun i. B. die Dreiecke A,üfC\, .4iÖ,C', ans •% auf den Kegelschnitt projicirt, so bekommen wir zwei solche' Dreiecke, von welcben das crsle mit A^B^C^^ AaB„C', anf einerlei mit AfJlfCj anf dreierlei, das zweite mit A^ütCi und A^B^Cn suf ^^meriei, mit Aj B, C\ auf dreierlei Art perspeclivisch ist.

^^B.Wir können daher sagen:

^^r „Wenn einem Kegelschnitt drei Dreiecke einbo seh rieben sind, 80 kOuuen im Allgemeiueu 36 Dreiecke dem Kegelschnitt cinbo- schriebeu werden, welche mit den gegebenen perspectiv! seh sind,

i^Uden die Eckpunkte des einen Dreieck» mii den Eckpunkten eines

j^Waen

300

; Frr<p

iBttfhf Oni'ckt

der zwei anderen xwei solche Secliseckc, von dcsson Seilet) kriM die Seiten der Dreiecke fallt, von welchen aber zwei Pascal' Linien in derselben c Geraden Itogen. dann kann man dem Kcgid- schuitt nueudlic^L viele Dreieebc einbescbreiben , weJchi' niit ilco ge- gebenen t)orspectiviscli siiid. In diesem Falle kann mau sechs be- sondere Dreiecke finden , welche die Projectiouen von den gegobcnon Dreiecken ans gewissen Punkten der h Geraden sind; die«« bi (leren Dreiecke sind mit einem lier ((egebenon auf dreierliii, nrit itet Qbrigcn zwei anf einerlei Art iierspectivisch."

6.

Wir wollen jetxt die Frage beantwarten : wie man uinvm Ki^el- schnitt ein Ureicck einbeacbreiben kann, dass mit dem im KegdschiitU einbescbriebenou .^J/(J C,*Dreiock auf zwei-, drei- oder viererim Art Iierspectivisch ist und einen A Punkt des Kegelschnittes tum Erk-

punkt hat.

a) Die erste Aufgabe kaun mau nur dano Irtsen. wenn die Eck- punkte des Dreiecks nnd der gegebene Punkt haiinonisdi '. dann aber hat die Aufgabe uiienillich viele Lfisuugon. Sind «. B. /(, C, Punkte durch .1.1, barmunisch getrennt nnd i/t' fernere Pnitlil». des Kegelschnittes, welche ebenlalU durch X.l, hannoniwA getronit sind, dftim ist AMC Dreieck mit A^b,t\ auf zweierlei Art {i spectivisch.

b) Um die xweite .\nfgahe zu löseu, bcüeichnon wir die (beksimt- lich in derselben Geraden liegenden) Schnittpunkte der Tangenten i Ay B, C, Punkten mit den gegenOher liegenden Seilen lies DreioekS' A,H,C\ reap. mit Q, Ö»«,, den gemeinsamen Punkt von AA,, Q^Q, Geraden mit /',, euillich die Projcctiou von ii,, C, aus /', anf de» Kegelschnitt mit B resp. C. Die Pascal'snhen Linien der BfB,t/A<\0 und AAiBCjCB, ciufacbeu Secbseuke liegen in derselben P,Q,QtQt Geraden, da diu Pascal'sche Linie des erslerun Suchsecks y,/', ist und durch den Schuittpunkt i'j vun ü.l,, CB, geJtt, währnwl j des zweiten l\ und /', Punkte vi-rhimlet und zugleich den t punkt /'j »on BCj, Aü^ eutbillt. Ebenso kann man beweisen, die Pascal'schoQ Linien der t'iCiCMjifjÖ, AC,BB,C'Aj wie AjAiABjCiC ABjBAjCC, einfachen Sechsecke in /', i t /"li «j <3s <i Gerade fallen und in Aubctiacht des zweiten und vierten Sccksock^ C^B, CA, Gorade durch /",, BA^ und C^, Gorade durch i'g gohoA,' Die Lage der BC Punkte ist daher derart bestimmt, dass AJlCl)Ht% eck mit .li^it-', auf dreierlei Art perspectiv isch Hegt

-/.> ei->rm KfJrUhni" "ÜA.ii-lirMfn ninH. 301

c) Die dritte Aufgabe kann man nur unter der Bcdingans lOsen, (lass — wie bei a) — ein Eckpunkt dos Dreiecks z. B. y1, vor» ö, t^ durch deu gegebenen A Punkt harmonisch getrennt ist. l^tlliTt man dabe' die uuter b) gegebene t'onstruction durch, so er- HAXx. mau BC Punkte, und ^ BC Dreieck wird mit ^, fl, C,. B^C^Ä^, C7^ ^^ , a, , Aj C, Äi perflpectivisch liegen. Bezciebnet man die Pro- j ectSonscenlren, welche diesen Lagen entsprechen, mit l'^P^P^Jl, die Schnittpunkt« von ÄiC,, C,A„ ,-1, iJ, mit Pj /'s/'s Gerade resp, mit '^a *^%^ dnnn folgt in Anbetracht der Vierecke B,C,JiC, A,Jl,AC', -*-»<^'j^», dasa /',<i,ß, 1\Q„R, PsQsH Polanlroiecke sind, und dass '^■t^lit allein W, C, nud HC durch AA^ harmonisch getrennt sind, »«3om auch A^C,, BA durch fif, , sowie v!,ßj, AC durch /JC,, ' e letztere Eigenschaft /nr einfachen Coostructiün der BC Punkte Q kann. Mau beniorkl auch, dass AÜCA, B^ C, Punkte auf dem pelschnitt I\ 1\ J'j Qj t/, y„ aber auf der Polare vou H auf viererlei InTolntioncu bilden.

Stande folgende Auf-

Mittelst dieser Coiistmctioncu sind wir i ■ B&^<?n zu lösen:

„Auf einer Geraden (oder Kegelschnitt) sind A,B,C\ ^Punkte BOK^hen, man bestimme /V, C Punkte derart, dass die sechs Puukte ** -^C AfBf C, auf zwei-, drei- oder viererlei Art InTolutionen bilden

liie erste und dritte Aufgabe kann nur dann geläst werden, weuii J •'* gegebenen Punkte harmonisch liegen, Ist vi .d, vou B,C\ har- VJiotiisi'h gelreunt, dann eulapreclion alle Punktpare, welche A, j4, V'K'monisch tronubij (uud beim Kegelschnitt auf demselben liegen) " Anten, diejenigen zwei Punkte B resp. C aber, welche A^^ B, ' C^t uod v<„ C^ von liy harmonisch trennen, der dritten Aufgabe.

Xj%a die zweite Aufgabe zu lüsen , projicirt man die gegebenen

"^Ut^', wenn dieselben auf einer Goraden liegen, auf einen Kegel-

■^""it-l aus einem beliebigen 0 Punkte desselben nach At'Iii'Cy'A'

aoa ^^^iij ^, ,,, j^^j^ j^gg A'B'C, yl.'JUj'C,' Dreiecke auf drei-

fc ^5 Art pers|>ectivi8ch liegen sollen, die Projectioueu BC, der B'c'

O auf die Gerade sind die gowOnschten Pnukte.

"Venu wir in der letüteren Construction keine Rücksicht auf die ^'^lung der gegebenen Punkte nehmen, dann hat die Aufgabe vier iigen. Um die gegenseitige Lage dieser vier Punktpaare zu cr- ollen wir folgende Bezeichnungen einführen. ^^h

302 Ä/upr Ari^icc'iWVAf /Jim«!»

Die gegebenen vier Puukte A, B, C, D beatimmen vier Dreiecln und wir beKQichnen mit a. b, c, d iliejonigpii Geraden, die Seiten der BCD, CDA, DAß, BAC Dreiecke die Tangenten ia den gegenüber liegenden Eckpunkten schneiden. Aof jeder der G« raden a, I,, c, d liegen secbs involulorische Pankte, wovon dnn dii Schnittpunkte der Seiten des zur Geraden gehörigen Dreiecks s die übrigen drei aber die Frojectionen der Eckpunkt« des Dreieckl ans dein vierten Punkt auf die Gerade; dio erBtereii drei Ponktfl 7.. Q. auf d, d. l. die Scliuittpunkle von BC. CA, AB mit d nennet wir Da, D^, Dy, dio anderen drei, d. h, die Schnittpunkte von DX, DB, DC mit •' nennen wir Da. Di. O^. Es wird daher nach dteaei Bezeichnung By der Schnittiiunkt von h mit AD (oder auch mit de» Tangente in C), Ca aber von AC mit c sein.

Bevor wir die guwUnschtcn lier Pnuktpoare conatruireu , wollalt wir zeigen, dass ABCD Viereck und a//cd Vierseit ein gemdnsamai- Diagonal drcieck Xl'JS haben, wo A', r. Z reap. auf AB, AC, Ali Geraden liegen. XYZ ist nämlich das Diagonaldrcieck de^jenij Viorseits, welches den Kegciscbuill in ABCD Punkten bertkhrt i es werden daher die Schnittpunkte der Taugeuten in B und A raü den Geradon AC res]), nn, d. h. D^ und Ca durch X Punkt i YZ Gerade harmonisch getrennt ; ebenso C^ und />g Puukte. Daraus folgt, dasä sieb CaCß == e und D^D^ ^ d Geraden auf YZ schnd* den. Ebenso wird bewiesen, ditös die Schnittpunkte der Kbrigea^ Seiten des Vierscits auf den Seiten dca XYZ Dreiecks liegen, dieser Eigenschaft des genannten Vierscits ist leicht ersichtlicb, die so bezeichneten Punktejtare Ac, Ca wie auch Dy, Cj dnnA Ecken und Seiten des Diaguualdreiockg XYZ harmonisch ( sind.

Wir ivenden uns jetzt zur Construction der gewünscbten Punkte pare und bezeichnen die Frojectionen der B, C Punkte aus Da an den Kegelschnitt mit f.'iF^, ans Ad mit £;,F,; die Projectioncu i A, D Punkte aus t'i mit E.^F, aua Bc mit FtEf

Aus dem Früheren ist bekannt, dass ABC, DEtF^; DBC, AE^F^ BAD, CE^F^; CAD, Bf^E^ Dreiecke auf dreierlei Art porspoctiTise) sind, oder was dasselbe ist, die bemchneten Punktgruppen dreierlei Art Involutionen bilden. Nachdem D,, Ad und C, U Fonkti durch Z, XY harmonisch getrennt sind, so worden sich die Oeradei CDa, BAd Wie auch CAi, BD« auf XY Gerade, der Polare von ^ achneiden; diese Schnittpunkte sind conjugirt zu z, daher CB mu i-ji.'], wie auch CB, EtF, Geraden durch Z gehen.

die einem Kegelschnitt einbeschrieben sind. 303

Ebenso wie wir jetzt bewiesen haben, dass l\Ei Punktpar die Projection von E^F^ ist aus Z auf den Kegelschnitt, kann man zeigen, E^F^ die Projection von E2F2 aus Z\ E^F^ die Projection von -Ej-P, aus F; E^F^ die Projection von Ej^F^ aus -^etc. oder in Worte gefasst, dass die Projection eines dieser Punktpare aus XYZ auf den Kegelschnitt die übrigen Punktpare sind.

Das Resultat dieser Untersuchung können wir so aussprechen:

„Wenn einem Kegelschnitt ein Viereck einbeschrieben ist, so kann man vier Punktpare construiren, von denen jede mit den ge- gebenen vier Eckpunkten auf dreierlei Art Involutionen bilden; die Projectionen eines jeden dieser Punktpare aus den Eckpunkten des zum Viereck gehörigen Diagonaldreiecks auf dem Kegelschnitt, sind die tkbrigen drei Punktpare/'

Einige Sätze über ilas Viereck iimi KegelHcbnittbüsehel.

L. Klug.

1. BekanoUicti liegen die Mmjvgirten Puukto zu allen Punkt dncr Ooradou bozUgltch eines Vierecks auf oiu^m EegelscbuiU; 6t aelbe geht ilurcl dio Eckpiiukte des Diagoualilreiecks , weil die conjugirt siuii zu deu Sctinittiiuukli'ii der Geraden mit den Sedll dosDiagoualdreiucka, nud trifft ausserdem die Seilen des Vioreclro dciijoiiiKen Pankteii , welebc zu den Schoittpunkteu dur Seiten n den Geraden coujugirt, daher durch die Eckj)iiukte des Vierecl harmoDiBCli getreDot sind. Vorbindet mau von diesen letzten Schnittpunkten zwei solche die auf den Gegenseiteu Hegen, so treA ajch die drei Verbindungsgcraden in demaelben Punkte, woldior dl Pol dar angenommenen Geraden bezüglich des Kegelsehnilts ist. Di Schnittpunkte des KegclEcbuitts mit der Geraden sind Uuj)i>eli>iiukl derjenigen luvolation , welche die Sparen der Vioreckssi'itou auf da Geraden bestimmen. Geht die Gerade durch einen Diagoiialpmik des Vierecks, so zerfallt der Kegelsciinitt in zwei Gerade, WOTOI eine von der angenommenen durch zwei Vierckseiteu barmomseb gv trennt ist, die andere aber die Übrigen zwei Diagonal punkte vorbindet geht die Gorade dnrch einen Eckpunkt des Vierecks, so berUhK s den entsprechenden Kegelschnitt in diesem Punkte.

Im Folgenden wollen wir die Kckpankte des Vierecks mit AOCt die Diagonalpnnkte auf den Seiten HC, CA, AH mit XYZ, *

uuJ Kt,i

305

DiUpnnkte den angenommenen g Geraden dqiI der Bd. CA, AB. , BD, CD Seiten roit P<iR P, Q, R„ dte ihnen conjugirteu Punkte

»'O'Ä'/'i'Q/ff,'. den Sdmittpunkt der /"/*,', Q.'Q,', Ä'Ä,' Ge- 1 mit G, endlich den zu g geHirigen 1"Q' . . . Xi'Z Kegelschnitt

, bCKCichneu.

2. Nennt man die Schnittpunkte der P'P,'. Q'Q,', R'R,' Ge- raden mit g heziebungs weise /"o, y„. R^- "iäün gehe« die Geraden ijJF, Ofll', Äflif durch denselben G' Punkt, welcher conjugirt ist üu G heiügiich des Viereck».

Nachdem Bänilicb diu Punkte i'', F\\ Q„ üj'; R\ R' , durch G, (I harmonisch getrennt sind, so schneiden sicli P„X, iitji\ RoZ Geraden in einem Puultte, welcher von G durch die Seiten des Vier- ecks ebenfalls harmonisch gutreunt ist, d. h. in dem zu G conjugirten Punkte.

3. Schneidet ein dem Viereck ABCD amschriehener Kegelschnitt E die Gerade g iu E, E, . dann geht die Verbindnngslinie der 2U K, K^ bezdglich des Vierecks conjugirten Punkte darch G.

E, Kj ist ein outsp rechend es Puuktpar derjenigen involatori- schen Punktreihe PP, mj, /(ffj . . . , in welchen die Gegenseiten des Vieracks g schneiden. Constmirt mau iu dem iuvoluturischen Strahl- bQschel XU'Px QQi'-''^i) diejenigen Strahlen XP' ..., XK\ XB,', welche von den ersteren durch A, B harniuniscb getrennt sind, so bildeu dieselben *) ebenfalls ein involuturisches StrahlbQschel XiP'r^ Q'di'E'fli'). Dieses Slrahlbüscliol schneidet den Kegel- schnitt y in einer involutorischeu Punktruihe P' P,' tt' li,' E' E,' . . . nnd es wird daher die Gerade E'Ei' durch den Schnittpunkt (r von P'P,', (l'Qi gehen. — Aeudcrt sich E im Büschel {ABCD), so be- schreibt EEi die involutorischo Punklreihe auf ;/ und /v"/;,' Gerade ein Struhlbltschel um G; die iuvolutorische Puoktreihe £, Ki ..., das StrahlbUschel E'Ey . . . , wie anch die Spuren desselben in g, sind zu einander projectivisch **).

4. Wenn E' der conjugirte Punkt von E bezüglich des Vierecks ABCD und Xi'Z das Diagonaldreieek des Letzteren ist, so liegt der conjugirte Puukt E" von E bezüglich des Vierecks E'XYX auf dem, durch ABCDE Punkte gehenden Kegelschnitt E nnd E'E" berührt E in E".

*) StinilL I. BeiuSgD 1. G. d

306

Klug: Einigt Satir

Die Tangenten ans E' zum EegelBclinitt E werden in K and ia einem anderen E" Punkte berühren; die Polare Schnittpunktes der Geraden EE", XZ ist E'Y, daber die Pnnkto £, £", durch E'\,XZ Geraden liariuonisch getreiuit Etienso wi bewiesen, dass E, £." Pnnkle durch E'X. YZ wie auch K'Z, J harmonisch getrennt und also E" der zu K bezüglich des Vierecki E'XYZ conjugirte Pankt ist.

5. Werden zq den Schnittpunkten einer Geraden mit den Sntn eines Vierecks zuerst die conjugirten Punkte constniirt. dann di< jenigen, welche von den genannten Schnittpunkten hannonisi'h gl trennt Bind, durch die gefundenen conjugirten and Diagonnlpnnkte, gehen die VerbindungEliuien der auf den Gegenseiten liegendi Punkte, die wir zuletzt erhalten haben, durch denselben Pnnkt.

Bezeichnet mau die Schnittpunkte der 3 Geraden aud der Vier eckaeiten, wie früher, mit PÜRP^Q^R^, die conjugirten Pankte Aet selben mit P'Q' ... R,' die conjugirten von /*, Q ... Ä, bozflgUdl der Vierecke P'XYZ, Q'XYZ, . . . n\xrz mit P", Q'\ . . . Ä,", dai sind P"Q:" ... Rj" diejenigen Punkte, deren Lagcnverhältnisu d Satz ausspricht. P" muss uämlich, da sich /' auf Seite F'X i Vierecks P'XYZ befindet, auf derselben Seite liegen und von 1 durch P\ X harmonisch getrennt sein. Man construirt diese auf eine einfache Art. Nachdem P\ /',' Puukte durch 9, G har monisch getreuut siud, so schneiden sich die Geraden W,, fP" wie auch GP, P,P,' in P" resp. P,"; die Strahlen <J(PlQ^tt^PQa Bclmeiden daher die cntäpreebonden Viereckseiton in P"(i'R'P"Q^"B^ Punkten. Es ist ferner aus der, auf den Viereckseiton liegende harmonischen Punklgruppc leicht ersichtlich, dass P"P", (X'Q' /("Ä," Geraden beziehungsweise durch P|,=(/'/'i, i"/*,'), Qo^((}q^ Q'Qi')- Rt)^(RRj, R'R,') gehen. BctrachUt man 1 monischen Strahlen P„{P'P''XP), (^(«'ö"rQ), n^{n'R"Zft) die L g eineu gemeiusamen Strahl haben, und deren entsiirecheiide Strablei Po^\ <A>ft'. J'df- w'*' auch P„X, (^i; R^Z durch G resp. O' (S^ gehen, so folgt, dass sich P„P"Pj", Q^ifq,". R^^'R" Goraden i dentjenigeu W« Punkte treffen, welcher von 7 durch G, ü, harnio niacb getrennt ist-

6. Schneidet der durch ABCD Eckpunkte eines Vierocks, destas Diagonal punkte ATZ sind, gelegte E Hegelachnitt eine g Gerade A", i;,, und sind E'Ej die conjugirten Punkte von E, £, beEflgUcb J^XFZ resp. i,','ATZVierecko, dann gehen EE^, ICE^', £,"'£," Gfr rade durch denselben E^ Fuukt, EE,", Jy,A", E'Ej' durch tfj Sf, and G sind conjugirt bcsUgUch des Kegelschnittes E.

I Die Tangenten in den E, E" and E, £," Eckpunkten des dem tfllschnilt E cinbeBcbriebenen F.Ejl-f'E," Vierecks schneiden bicIi I (4) ia ß' resp. Ki'. Daraus folgt, dass EE,, E'E,', E"k," 1 -B£,", E,E", £'£.',' Geraden dnrch denselben ß^, resp. U Punkt . welche beza^ticL E conjugirt sind. G steilt den von uns in Froheren mit demselben Buchstaben bezeichneten Punkt dar, weil G von to ^ {j(, K'/J,') durch E', K,' Punkte hannoniBch ge- trennt ist.

7. Schneidet der, durch ABCD Eckpunkte eines Vierecks ge- legte Eegelschnilt E eine g Gei'adc in E, £', und sind K', K,' ihre conjugirten Punkte bezOglich des Vierecks, dann gebt die Gerade, welche den Schnittpnnkt E^ von A'fi,' mit dem Pole der E'E^' Ge- raden verbindet, bei Aenderuug des Kegelschnitts E im BQsche {AUCD), durch denselben G' Pnnkt.

Diese Verbindungsgerade ist die Polare desjenigen Punktes (?, wolhor E', A'i' von Eg harinouiBoh trennt, nnd diese Polare geht bei Aeudemng des Kegelschnitts im Büschel (ABCD), durch den ?.u G conjugirten Punkt 6".

8. Umschreibt man dem Viereck ABCD, dessen Diagoualen- |iaukte XYZ sind, einen Kegelschnitt E, welcher eine Gerade g iu ü, E, trifft, constmirt zu diesen Schnittpunkten die coujugirte K\ /■;,' bczQgiich des Vierecks ABCD, wie auch E", E," bezüglich der Vierecke E'XYZ resp. Ej'XYZ, dauu gebt die Verbindungsgerado E"E," der zoletzt gefundenen Punkte, bei Aouderung des Kegel- SCbnittB im Büschel ABCD dureh denselben Punkt.

Bezeichnet man den zum Scbuittpuukt von EE,", h\E", d. h. G bezüglich ABCD Vierecks conjugirten Punkt mit G, ao werden ff, d" Punkte nicht nur dnrch E. sondern auch durch EE^, E"E" Geraden harmonisch getrennt. Bei Aenderung des Kceclschnitts K, im BOscbel {ABCD), wird sich daher E"E," Gerade um denjenigen Pnnkt Jrebtu , welcher von g = EE, Geraden durch <;, (?' harmo- oiscb getrennt ist, ond den wir iu (6) mit '.'„ bezeichnet haben.

Anmerkung. Die zwei letzten Sätze siud die Veraltgera oinernngen von (2) und (5). Denn degenerirt E in die Geraden AD, BC, dann faUeu Et,EEtE'Ei'E,"E," Fankte, ia J'aJ'PiP'P,'l'"i\", der Pol Ton E'E,' iu X.

9. Ist Xrz das Diagonaldreieck des Vierecks ABCD, der cou- jugirte Punkt von E bezüglich dieses Vierecks E', bezüglich des

Klug: Ei«ist Satit

Vierecks E'Xl'Z aber E", dann ist der geometrisch« Ort des Punktes, wenn /; oiue Gerade g beacbreiM, das Erxeagnise i involatorischen StrahtbQschels mit ein cm zu ihm (lersiiectivis Strablbuscbel I. Ordnung, welches bd allgemeiner Lage der GeUU eine Cuire III. Ordnung ist. die durch die Eckpunkte des angcnonune neu Vierecks geht.

Benutzt man di<j tVaheren Bezeichnungen, gü isl ersichtli^, da die Punkte KK, b(?i Aeuderung des £ Kegelschnittes ans O dnr oin involutorischcB StrahlbUscbel, K"Ki" Punkte aus (fo durchs einfaches StrablbQschel projicirt werden ; die Spuren E,, des l Büschels auf g sind aber nach (3) und (6) projectivlsch cntspriKheBi mit der involBlorischcu Punktreihe fcl,', . . ., daher aucU beide fi projeptivisch sind. Nach (6) schneiden dB, GK-^ Gerade den £ Gf,E"Ii," in den Punkten E,", £", daher ist das Erzeugnis« der <^ w&bnteu BQschel der geometrische Ort der Punkte K" oder E^ Die Schnittpunkte des ^ erüaderticheu £ Kegelscbnitts im (AßCD) tnit dum eutsiiruchcnden Strahle G„Ea des zu Üun | jectiviachon Strahl bUacbels 6'» erzcogtii dasselbe Gebilde, ist das gefuuduuc involutorischu und einfachu StiahlbOschd t gemeiner Lage. Die Punkte ABfL)<!(!„ liegen auf dieser Cun» III. Ordnung und G ist bekanntlich Duppelpuukt derselben. Wikbrend daher dio zu den E Punkten der g Geraden conjugirten Punkt« £' einen Kegelskjbnitt y boschroibon , welcher der Geraden g nach d Steiner'scben Verwandtsdiaft untepricht *), bosebroibeii die fPonk» eine Curve III. Ordnung.

10. Ürebt sieb die Gerade g der Ebene des Vierecks jtüCS am einen fixen (j Punkt derselben, so beschreiben die nach Steiner'schen Verwandtschaft cntsprechonden / ein mit dtan Stnhl- bQBcbel V projoctivischos Kogelscbnittbaschel \y].

Nouni man Jeu /u V conjugirten Punkt bozOglicb dos Viere« 17', so gehen bekanntlich die den Strahlen des Bflschols U uadl Steiner'schen Verwandtschaft 6nts]irecbendeu Kegelschnitte durch und die Diagonalpunkte des Vierecks. Die Spurpuukte des BBsdii' U auf der AU Geraden sind projectivisch zu den Schnittpunkten d selben Geraden mit den entsprechenden Kegulschnttien , da je n entsprechende Punkte durch A, B harmonisch getrennt sind.

11. Dreht sich eine Gerade g um einen fixen U Pankt t Ebene eines Vierecks ADCD, so liegen die Doppolpunkte derjenlg

•) UoT^ge. Gurren III. Orduiing |). lai

Übtr dm i'arcrk und KfgrhfhmUblhchrl. 309

hvolntionen, nelclux duruh die Spureu der Vieröckaetten auf den Iwwoglichcn Goraden erzeugt werden, auf einer Curve 111. Ordnung, welchi- durch die Eck- aud Diagonalpunkte des Vierecks, so wie doreb den zu U conjugirten ü' Punkt geht.

Diese Doji pul punkte sind nämlich die Schnittpunkte der Geraden 7 tnit den eutsprecli enden Kegelschuitten y des QSschelB (U'XYZ). Geht g durch deu A Eckpunkt des Vierecks, se berabrt g den ent- spreclienden Kegelschnitt des Büschels in A, welcher Funkt daher auf der Curve III. Ordnung Hegt. Die Dingo nalpunkto XYZ geben Je oineo Doppelpunkt auf den Geraden UX, U¥, UZ, endlich werden t's U' die Doppelpunkte der auf UU' Geraden erzeugten Involu- tloDen sein.

12, Dreht sich die Gerade g um einen U Punkt, so wird der (JoTcli j und das Viereck ABCD nach (1) bestimmte U Punkt eine Corve in. Ordnung beschreiben, welche durch die Eckpunkte dos Vierecks uud den zu U bczliglich des W XYZ Vierecks conjugirtcn ^" Punkt, endlich durch die Diagonalpunkte des letzteren Vierecks B«ht. JCl'Zsind. wie frilher, Diagonalpunkte von ABCIi Viereck) '^ V aind conjugirte Punkte.

Die Pole eines beliebigen Strahles g, im Büschel U liezüglich

•***sjenigeuKegel3chnittbllschol3 [y], welcher dem Strahlbüschol f/nach

•■öt Steiner'scben Verwandtschaft entspricht, liegen auf einem Kegel-

**^hrütt t,. Ist u, die Polare des Punktes V bezüglich jenes yi Kegel-

**^öitte8 im BUschel \y], welcher der y, Geraden entspricht, so wird

*ae»- Pqi jer Geraden y, bezüglich fi sowohl auf nt als auf t, liegen

5***^*4 daher eines der Schnittpunkte dieser Linien sein. Dieser Pol

'^^ aber der zum Strahle g< des fiilschels L' gehöriger G Punkt, Bei

'^^Tidernug der Strahlen g, im Büschel (;, beaclireibt I-, einen Kegel-

^*^*> »ittbuschel [*], dessen Grundpunkte die Diagonalpnukto des Vier-

?*^fes ü'Xi'Z und der zu (/ bezüglich dieses Vierecks conjugirte U"

■^^'»»ikt ist; ebenso beschreibt «< ein StrahlbUschel mit dem Mittel-

^*>»ikt Ü". Beide Büschel sind projectivisch zu dem Büschel Ü,

?^i»er ist der geometrische Ort der Punkte fi das Erzeugniss der

^^Iscbel [/:] und //" d. h. eine Curve III. Ordnung. Nachdem hier

^^«- Mittelpunkt IJ" des Strahlbflschels zugleich Grundpunkt des

■^^seelachöittbüschels ist, wird (/" ein Doppelpunkt der Curve sein.

^«sJil der veränderliche Strahl g, des Büschels Ü durch den Eck-

l*^»jakt A des Vierecks ABCD, se berührt g, deu ihm entsprechenden

^^elschnitt des Büschels [/] im Punkte .1; A ist daher als Pol

**i©Bcs Strahles ein Punkt der Curve III. Ordnung, und ebenso die

^y'TSen Eckpunkte des Vierecks. Die Mittelpunkte der degenerirten

^^elschnitle im Büschel [t] sind auch Pole der entsprechen"

310 Klug: Minige Sälxe ete,

Strahlen im Büschel L\ weshalb die Gorve m. Ordnung anch dorcli die DiagODalpnnkte des Vierecks XJ^XYZ geht

13. Die Pole eines StrahlbOschels I. Ordnung bezflglich der entsprechenden Elemente eines ihm projectivisdien Kegelschnitt- büschels liegen auf einer Gurve III. Ordnung, welche durch die Diagonalpunktc des dem Büschel einbeschriebenen Vierecks nnd durdi den, bezüglich dieses Vierecks, dem Mittelpunkt des Strahlbflschels conjugirten Punkt geht

Der Beweis dieses Satzes ist in (12) gegeben.

Ntll: Uii Au/Iöiung drtigUtdtigtr OUichwgin nach Gauii. 311

Die Auflösung dreigliedriger Gleichungen nach Gauss.

§ 1.

Um die reellen Wurzeln soklior höherer Gleichungen zu finden, dehe ans nur 3 Gliedern bestehen, liat der nnsterbliche Verfasser ■ Theoria motus eine überraschend einfache Methode entwickelt, i welcher eine Tafel der Ädditionslogarithmon zu benutzen ist. I in. Buche der Gauss'chen Werke findet sich diese Methode unter Titel: Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen idte 8ä D. B. f. abgeleitet. Auch wird dort (Seite 96 u. s. f.) ge- , wie die imaginären Wurzeln verhältuisBmäsaig leicht beatimrat rarden künnen.

Da nun diese Methode cinerseita nicht so bekannt zu sein Bcheint, wie sie es verdient, andererseits die neueren Tafeln der Additionslogaritbmen zweckmässiger angeordnet sind, als die erste von Gauss selber berechnete Tafel, wodurch auch das Verfahren zur Lösung der bozeicfaneten Gleichungen selbst entsprechend abzuändern i§t, so wollen wir uns hier nochmals damit beschäftigen.

Die allgemeine Form einer dreigliedrigen Gleichung ist

jAWin

in welcher e, f, m und n stets positive Grüssen sein sollen; dabei wird jederzeit vorausgesetzt, dass die Eiponenten m, n keinen gemein-

312 Neil: Die Auflösung dreigliedriger Gleichungen nach Gomms,

schaftlichen Toilor haben. Indem zunächst die positiven Wvmhi aufgcsacht werden sollen, hat man folgende F&lle zu nntencheideB:

Erste Form, dnrch / dividirt, gibt

Setzt man

so findet sich

also

und

- =8in«Ö, y -006*6,

/cos*ö e

a;" = c tg*ö

/••COS^HÖ

Die beiden Werte gleichgesetzt, gibt

tg2m(^.8ec2Hd = ^{'^- «;

m log tg*ö + w log sec*Ö = log k

Nach der sehr zweckmässigen Entwicklung, welche Wittstein seiner fünf- und siebenstelligen Tafel der Additionslogarithmen .ge- geben, und welche jetzt fast überall zu Grunde gelegt wird, besteht zwischeu dera Argument yi und der Funetion B der Tafel die Be- ziehung, dass wenn -4 =: loga;, B = log(a; + l) ist, also auch, wenn A «= logtg^Ö, B = logsec^ö sein rauss.

Hiernach lässt sich obige Gleichung schreiben:

mA -}- 7iB = log X

Durch einige Vcrsuchsrechnungen erhält mau gewöhnlich sehr schnell, wenn man ausserdem noch die Regula falsi anwendet, den genauem Wert von A-^ dann hat man

loge + yl loga:= ^ -

Zweite Form, durch das erste Glied dividirt, gibt

' »

Nelli Die Äußöswig dreujUedriger Gleichungen nach Gauss. 313

e»-* •= co8*ö und /aj-"*->» = sin^ö gesetzt, so wird

<*_ - = tg*ö

6

a;»»

/

= -— «^, a;" ==• 6Sec*d

tgö2H.8ecÖ2m==^- «A

^ I r, 1 1 1^ log/— logg — ^

nil -f-wü =» log iL , logx =

In beiden Fällen hat die Gleichung nur eine positive Wurzel. Dritte Form.

durch ex"* dividirt

also

05" . f3r~**

- + — — = 1

— =- 8in*ö, —= =« cos^ö,

35"»

e C08*d

^nm -a e"*8in^"H9, «"•»» = --

«•• cos 2»«ö 8in2mö.C082*»d — ^^ = i

Wird zur Linken mit cos^»»*^ dividirt und multiplicirt, so findet sich

tg^^ö.cosZ^+Änö « A

tg2«d ^ ^

oder

Da ferner so hat man

w-4 — (m-f- n) J5 = tg A.

log/+^

loga;

m-|-»

314 Neil: Die Auflösung dreiyliedriger Gleichungen nach CUnuM,

Vierte Form. Diese Gleichung kann offenbar keine positive Wurzel haben.

§ 2.

Bei der dritten Form hatten wir die Gleichung

sin 2»»»ö . cos 2»«ö = A

Schreiben wir statt dessen u =» 8in2»«ö.co8^"ö, so wird u = 0, so- wohl für 6 = 0, als für 6 » 90^; daraus folgt, dass u zwischen diesen Grenzen einen Maximalwert haben wird, der durch u^ und das zn- gehörige B durch B^ bezeichnet werden soll.

lu = 2m./sind-|-2n.ZC08d

Die Bedingung

hu

g^ = 2t*(mcotö — ntgö)

dB ^

wt . „_ m «. n

liefert

tg'öi = ''\ sin^öi = '7 1 cos^^i •=* ~~\ — daher

Für (9 = 45« «= Öo wird

1_

**2 — 2m4-n

In dem besonderen Falle, dass n^r^m wäre, fände sich ^^ — (9t

= 45^ und Wj = wg.

Betrachtet mau die Bögen B als Abscissen und die u als Ordi- naten einer Curve, so berührt diese die B Axe an beiden Enden.

Zieht man im Abstände A parallel zur Abscissenaxe die Gerade Pr\ so bilden die Abscissen der Durchschnittspunkte P, P' die Lösungen der obigen Gleichung.

Ist A gleich dem Maximalwert u^^ so hat die Gleichung (dritte Form, § 1.) 2 gleiche Wurzeln, nämlich

An.

a;»»4"=/-tg«öi « —

7/i

n

m n

Neil: Die Auflösung dreigliedrijer Gleichungen nach Gauss. \]\iy

Wenn iL > w, so hat die Gleichung koino positive Wurzel.

Dagegen hat die Gleichung stets 2 positive Wurzeln, wenn ^<Cwi-

Man erkennt , dass , wenn 7n >> n und k zwischen u^ und % liegt, beide Werte von 6 grösser sind als 45^; es liegt nämlich

•

der eine Wert zwischen 45^ und öi , also A^ zwischen 0,0 und log

„ andere „ „ 6^ „ 90» „ A^ > log ~ Ist A <; i«,, 80 ist der eine Wert von 6 < 45®, daher A^ -< 0,0

771

„ „ „ andere „ „ ö > ö^, „ A^ > log -

Ebenso zeigt sich, wenn m<Cn^ dass, wenn A zwischen u^ und ug liegt, beide Werte von" ö'<45® sind und zwar der eine Wert <C öl , der andere zwischen öj und 45® liegt. Ist A < wg , so ist der eine Wert von 6 < öj, der andere > 45®.

Die negativen Wurzeln der Gleichung bestimmt man dadurch, dass man x ^ —y setzt, und die positiven Wurzeln der umgeformten GleichuDg nach den oben gegebenen Vorschriften aufsucht.

§3. Imaginäre Wurzeln.

Dividirt man die Gleichung

X=» a:»+» + «C0S£JC**+/C0S(jp = 0

durch das erste Glied, so wird

l + ecosex-^-f-Zcos^x-*»-» « 0 Wird eine imaginäre Wurzel derselben durch

X = r(cos p + i'sinp) bezddmet und dieser Wert eingesetzt, so findet sich:

folgt

••cos«iiD»f+/r-*^»co5^sin'^i»+«)^ =0

316 Neil: Die Auflösung dreigliedriger GUidiuiigtn nach GamtM.

l*fH

eCOSBSUinQ

Dividirt man die Gleichang X = 0 durch /cosg» und setzt den obigen Wert von x ein, so wird

rM" .Bin(m+n)p-f-6CQ8er"*8inmp = 0

« cos € sin mp

rH

sin(m + n)p

Der erste Wert von r zur »ten, der andere zur mteu Potenz er- hoben, gibt

^ ^ • e*cos£"8inHp" ^ ^ • 8m(m-f- n)p"»

daraus

k ^ ' 'cosc'»'*'»* 8infiip*»8inwf"

Diese Gleichung ist in Bezug auf q aufzulösen, wobei es genügt, die zwischen den Grenzen 0 und 90^ liegenden Werte von q zu be- stimmen, da, wenn eine imaginäre Wurzel bekannt ist, aacb so- gleich noch eine zweite angegeben werden kann. Eliminirt man noch die Grösse aus den Werten für r*" und r", so findet sich

sin niQ

^ Sm riQ

§ 4.

Nacli den Ausfuhr ungeu des § 3. ergeben sich folgende Regeln zur Bestimmung der imaginären Wurzeln einer dreigliedrigen Glei- chung :

Erste Form.

In der Gl. -ST = 0 des § 3. ist zu setzen e = 0, qp = 180<^, dadurch

wird

1 , , sin(m + )*)p"'"^'* , sin mp

k ^ ' sin mp"* sin np»* ' sin «p

Zweite Form.

Setzt man £ « 180® und g) = 180^ so wird

A sinmp'^sinnp"' sinnp

Neli: Die AuflSMung dreiglitdngtr Gleichungen nach Gauss, 317

Dritte Form.

1 8in(«»-f-n)p*"+»* sin mg

T* r^S — ; «illl + M f ,

l 810 mp*M sio ng^ ^ sin ?«(»

Vierte Form.

a;m»H-f «r~-|-/=0, f«0, g) = 0

1

X

(— 1)"»+" 1. ,_—--, r»» * "

8inmp"*smnp

M )

sin mp

In allen 4 Fällen erhält man zu jedem Werte von p die beiden Wurzeln

X «= r(C0B p i *sin p).

§5.

Noch ist zu zeigen, Mfie die transcendente Gleichung

sin(f7i + n)p»"^»* 1 8inmp«»»sinMp»» "^ i,

aufgelöst werden kann. Wir setzen y an die Steile von .und stellen

uns die Aufgabe, die entsprechende Gurve zu construircn, indem die Bögen p als Abscissen betrachtet werden.

Für p «« 0 wird y « g. Entwickeln wir die Sinus nach der Form

smz =» z

so wird

fl--+-" ) \ 6 ^120 '7

sin mg

smnp" ^ n^g^ |^1 — ^ p«H g^^- p* ...

8inmp*".sinnp'

m*".n**.p"»+"

['-

f7i'-|-n*

Sin(m+n)p"»+" « (m + n)»«+* . p»»»+»« 1 — ^^-'^^ g^

y =

!»*• .n*

[1 — im»(m -f-w)p* ...]

318 Nfll: Die Auflösung dreigliedriger Gleichungen nadk GoMts,

Setzt man hier p = 0 und bezeichnet den entsprechenden Wcvt von y durch y<,

Nehmen wir von

sin(w4-*»)p*"''"** ^ ~ sinw*p»'*öin«pH

die Logarithmen und differentiiren, so wird r/v

j = y[fm-}-w)*cot(m-f-w)p — m'cotmp — n*cot«p]

und weil

cotc — ^ ^2 ^^z ...

— miiim+n)]!-] ^ 9 ••• y

f/y

Für o -= 0 wird , = 0. Die Curve schneidet also die Ordi-

clg

natenaxe iu B im Abstände AB = vo vom Anfangspunkte und eine durch ß geführte Parallele zur Abscissenaxe ist eine Tangente.

y wird = 0 für p = ■ ; dafür ist t" = 0 und auch — j==0.

'^ ^ 7n-\-n^ (lg tlg^

TT

Macht man also AC — — . -, so geht die Curve durch C, wo gleich-

zeitig AC Tangoute ist. Zwischen A und C liegt jedenfalls ein Wendepunkt, ausserdem kann C stets möglicher Weise ein Wende- punkt sein. Um darüber zu entscheiden, sind die Ordinateu der Naclibarpuuktc von C zu untersuchen. Nur dann, wenn dieselben verschiedene Vorzeichen haben , hat C die bezeichnete FJgenschafL Zu dem Zweck setzen wir

P = I + «1

m -f- n '

also

%m{m'\-n)g = 8in[yt-t-(m-|-n)a] — cos tc sin(m -f- n)a,

hier soll a einen sehr kleinen Bogen bedeuten. Dadurch wird

t AuftRtuug lirtigiitiiriytr Gleiftiungen na

(_l)»-t-.sm(m + n)n"+"

•a 1 siD ( — .

IB Vorzeichen des Zahlers enlscheiiipl über das von y, da die BOgeii f KenDer kleiiior sind als n.

Wenn (m-|-n) eine gerade Zahl, so ist y für positive und iiega- ti»e « stets positiv.

Wenn (m-f-n) eine ungerade Zahl, so crbfllt j verschiedene Vor- zeichen, je nachdem man a positiv oder negativ nimmt, daher kann nur in letzterem Falle C ein Wendepunkt sein.

I Die Curve trifft noch an mehreren Stellen mit der Absciasenaxo

zusammou; man crhült die hetrelfenden Punkte ans der Bedingung

p = — f , wo der Reihe nach A = 1, =* 2, =3 zu setzeu ist. Für I •"+"

I &lle diese Stelton ist -,■ und ; , = Ü, daher lindet iedeamal eine

Berührung mit der Abscissenaxe statt, ausserdem kOnn^n diese Punkte

n 27E 3n

auch Wendenunkte sein. Setzt man ferner o = -, = -, ^ —

... nnd auch e " "- = — -■■■ so wird für alle diese Werte y—EK, d. b. die dnrch diese Punkte der Abscisseuaxe geführten Ordinateu sind Asymptotcu der Curve. Letztere hcetcht dulior aus einer Keilio von Zwi-igen, welche dureh Asymptoten getrennt sind.

Wenn (ia-\-n) eine gerade Zahl, so liegen diese Zweige ab- wechselnd ober- nnd unterhalb der Abscissenaxe.

Ist dagegen (ni-|-») ungerade, so liegen stets beide Teile eines Zweiges zu verschiedenen Seiten der Abscissenaxe.

Um dies nachzuweisen, betrachten wir zuerst den Fall, dass (fn-|-n) eine gerade Zahl ist. Dann ^nd sl>;[s m niid » ungerade Zahlen, da sie keinen gemeinschaftlichen Teiler haben. Wir sdireiben jetzt:

fe^^^^ 8in(tn -\- njp'M-" ■ sin mg . ajn np

^^Bjj~ sinrnp^^'-sinnp"*!

^B r Binf«-Mp-+» I .

^" - [sin™p-+'.sin»p-t'J ■ «"""P ■ «••"'?

Der in [ J gesetzte Factor ist stets positiv, daher summt das Zeichen . dem des Products der beiden Sintis Qbcrein.

320 Neil: Die Auflösung dreigliedriger GlHnkvngtM nach GoMtn,

Setzt man

kn

also

kitm . mg = — , - -f-ma

knm . knm , « « . kitm^

smmp *= siD — , [-''itt^cos - ,- iwV.siD • ...

w -|- ?/ ' w -|- ?i ' m -f- »I

Den Zuwachs a stellen wir uns so klein tor, dass nur die erste Potenz zu beachten ist

kirn , knn

sin HQ = sin - -T- - -j- na cos

knm knn , knn krnn

sinmp.smnp =- sin --, - - sin , ^ma sin — -, — cos — r —

^ ^ m-\-ii m-f-n * m-f- n m -f- «

+knm knn na sin -.- - • cos — i — — &

m-f-n m -|- n

Da nun allgemein

so wird

sin«, sin y = Jcos(a; — y) — ^osCar+y) sin X . cosy = isin(.r — y) + J8in(a?-f-y),

, , h-nim — n) m — w . kn(m — ») *St = — icosÄ-7c + 4cos , — ,1 - a.sm -j

^ ' ^ 711 -\-u 2 m-\-n

(n m — n\^ m — n . m — n COS ,. • ,1 s — a sm w -, - J m + n/ 2 m-f-n

( . 7/1 — w\- 111 — « . ^ TO — n ^- = 2 <Si = — IsiUTC , I — ,-, «siu2ä — r —

* \ vi-\- n] 2 m-f- n

(37C m — n\^ m — n . „ m — n cos ,-. — r T — oSluSw -, - 2 m -f- /i/ m-f- n tu -J- n

I . ^ m — w\^ m — n . . m — n /j == 4 aS. -= — I sm 271 ,"-1 — i> «siniTT ,

* \ m-f-nj 2 m-\- n

Das zweite Glied hat, da « sehr klein, keinen Einfluss auf das Vor- zeichen der S.

Hiernach sind die Ordinaten der beiderseitigen Nachbarpunkte von C, C", C" entweder alle positiv, oder alle negativ; es können also hier keine Wendepunkte vorkommen.

Neil: Die Auflösung dreigliedrigei' Gleichungen nach Gauss. 321

§6.

Ist (rn-\-n) eine ungerade Zahl, dann ist

entweder m gerade und n ungerade oder n „ „ m „

Nehmen wir an, m sei gerade, so ist (n-f-l) gleichfalls eine ge- rade Zahl.

sin(m + w)p'"+** . sin ng

y

sin mp"» . sin np«+^

Um über das Zeichen von y zu entscheiden, braucht man nur den Zähler, den wir durch Z bezeichnen wollen, zu beachten, da der Nenner jedenfalls positiv ist.

Ausserdem lassen wir den Exp(%enten (m-|-n) weg, da er auf das Vorzeichen ohne Einfluss ist. Setzen wir noch

kn , Q «= — j-- -j- er, ^ m-f-n ' '

daher

8in(m-f-»*)^ = sin[Ar7r -}-(»»-{- n)«] = cosÄ:7rsin(m-|-w)a,

so wird

Z= C08Ä?Ä.sin(TO-i-n)a.sm«(> =• cosA;7rsin l — j- x- nah

sin(m-j-n)o

Z und also auch y erhalten entgegengesetzte Vorzeichen , wenn man dem a einmal einen positiven, das andere mal einen negativen Wert beilegt, daher sind alle in der Abscissenaxe liegenden Punkte Wende- punkte.

Setzt man noch

cosX;7rsin ( — ^ 1- na] =» Q,

80 ist, unter der Voraussetzung, dass Q positiv ist:

für positive « der Wert von y positiv „ negative a „ „ „ y negativ.

Ist dagegen Q negativ, so ist für positive a der Wert von y negativ, und für negative a der Wert von y positiv.

ikwli. d. Math. Q. Phys. 2. Raihe. TeU I. 21

322 Neil: Die Außönung dreigliedriger Gleichungen nach Gommm.

Wäro 9i gerade und m ungerade, so dürfte man in dem Ansdmek für Q nur m an die Stelle von v setzen und die gleichen SchlfiBie ziehen.

Zur Anwendung dieser Regeln soll die Gestalt der Curve für den Fall bestimmt werden, dass w = 4 und n — b sei.

Für

??

^• = 1 wird Q = — sin(^. 7r + 5aj

^ = 2 „ Q= sin (-<i TT+öa) = — sin f^H" ö*»)

Q = —sin (-Q Ä + f)«! = sinfgÄ + 5«)

„ ^==4 „ Q= sin(^ 7i;-|-5aJ = 8in fg75 + 5aj

Hat man nach diesen Andeutungen die Cune aufgezeicbnet und zieht im Abstände = , eiuc Parallele zur Abscissenaxe, so sind die

Abscissen der der Durchschnittspunkte /j, I\^ /^^ die gcsacbten Werte des Bogeus p, welche zur Berecbnung der imaginären Wurzeln erforderlich sind. In dem vorliegenden Beispiel >Yilrcw also 3 Paare imaginärer Wurzeln vorhanden, und da 7//-f-// =9 ist, 3 reelle "Wur- zeln. Hätte dagegen t einen kleineren Wert als t/(,^ so erhielte man 4 Durchschnittsi)unktc, folglich 8 imaginäre und nur eine reelle.

Erscheint die Gleichung zur Bestimmung von q in der Form

sin(//?^-/Op"**" _ 1 sin7/i(j*" .siu7<y'* K

so hat die Curve gerade die entgegengesetzte Lage. Hier ist es am einfachsten, zunächst das negative Zeichen süsser acht zu lassen und

dann den Wert von , unterhalb der Abscissenaxe aufzutragen.

§ 7.

Uebersichtlicli e Zusammenstellung der Regeln zur Auflösung der dreigliedrigen Gleichungen.

Die folgenden Vorschriitcn zeigen, wie die positiven und imagi- nären Würzten gefunden werden. Um die negativen zu bestimmen,

A'e//: Die. Außöauny dreiyliedrüjer (Jltichumjen nach Gau.ss. ii2»i

setzt man a: = — y uud sucht von der umgeformten Gleichung die positiven Wurzeln.

Werden diese mit dem negativen Vorzeichen versehen, so sind 08 Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.

lu dem Folgenden ist immer

Erste Form.

jmfM*

a;ni+»i-|-ea;'»— / = 0

mÄ + nB = log A, log x Ans der Gleichung

log ß -f- -4 n

, ^, 8in(m4-«)p'"'*'** 1 ^ ' sin w^»» . sin np*» A

sind die zwischen 0 und 90'' liegenden Werte von g zu bestimmen.

.m-fw

oder

.m

sm mg ^ sinwp

/8in(w+^0g 6sinn^

Letztere Formel entscheidet über das Vorzeichen von r, wenn (m-f-n) eine gerade Zahl.

X ■= r cos p iir sin ^.

Zweite Form.

>. I D 111 log/— logc — ^ nA-\-mB = logA, logo; = ^ —

sin(m-}-w)p'"<** 1 ^ ' sinm^"» .sinnp" "^ Ä'

daraus die Werte von g zwischen 0 und 90^.

fW-fN s=

oder

.m

^sm mp f-.

SlU/ip

/■sin(m-|-7i)p <; sin ng

X =» r cos p + trsinp

21*

324 Neil: Die Auflösung dreigliedriger Gleuhmgen naek Gtmn.

Dritte Form.

Hier sind 4 Fälle za unterscheiden: 1- T "^ ^ — m — n — ' ^'® Gleichung hat keine positive Wund,

1 (fii+n)'*+»»

^' l ^m7^~ir- 1 »' »> 1^ 2 gleiche „ Wurzel

n&mlich

oder

^ f M -- f —

n

m-f- n

3. T > ^ -^— und nicht grösser als 2«+*, 2 positive

Würze

mA-^{m + n)B^\0gk, loga; « ^^^ a) m>>n; i4i >• 0,0 und <C log -

91

^« > log„

ß) m<n; A<log-

^2>log^ und <0,0

4. V > 2»«^ w, 2 positive Wurzeln.

m^ — (m+w)^ = logA, loga; = i

• ^ ° m-f-w

a) r/i > w, ^1 < 0,0

A^ > log^

7/1

/3) w<«, ^, <log7

A^ > 0,0

sin(7?iX »»)(>♦«>»* 1 sin fiip»*» . sin 7*^»* V

daraus die Werte von q zwischen 0 und 90^.

JftU: DU Aurlä'uni/ dreiglMrüjtr Gteichangtn nach GauM.

Diese OIcichung hat keine poEitive Wurzel.

^ ' aiii(nip"' . sin HP" k darans die Werte von p zwischen 0 und W,

"'ainnj oder

/Bin(m+n)o

Zur ErlAntcruDg Jor Voracbriften des § 7. sollen aätumtliche Wurzclu iler folgenden Gleichung bestimmt werden.

a:' -|- 2(fo* — 480 - 0 (Erste Form)

c-=28, /=480, m = 4, « = 3 log! =- 7, 913 6175 4.4+3^ = 7,913 6175.

Um diese Gleichung aufzulösen, beginnt man die Arbeit am zweckmassigsten mitteist ciucr dreistelligen Tafel der Additions- logarithmea *)

A B iA-\-ZB

9.4 0 097 7.891

9.5 0.119 8.375

Der Wert von A liegt hiemach zwischen 9.4 .

1.5, man kann ihn

durch Anwendung der regnla falsi bestimmen. Nach derselben ist

*) Üer VcrCnseer kann hier beiua Tafel der füafalelligin I/ognrithmen der Ziihlen cte. empCchten, djo in Dnrmstodt im Verlag von A. Bergstr&sser 1SB3 ihienen. Seite 84 sind die Addittansloganthincii auf 3 Deeimilcn und e 69 bis 82 naf 5 DccimaleD angegeben.

326 Neil: Die Auflösung dreigliedriger Gleichungen nach Gauu,

9,6 — 9,4 : 8,375 — 7,891 == ^-9,4 : 7,914 — 7,891 0,1 : 0,484 = ^— 9,4 : 0,023

^ - 9,4+0,1. J;^- -9.4048

Wendet man jetzt eine fünfstellige Tafel der Additionslogarithmcn an, 80 ist

A B 4^1 + 3J3

9.404 0.09813 7.91039

9.405 0.09833

7.91039 )

7 91499 ( ^i<^raus genauer A -= 9,404702

Wird A noch genauer verlangt, so wende man die siebonstelligc Tafel von Wittstein*) an. Durch diese hat man

A	B	4^-f3Ä
9.4047	0.098 2705	7.913 6115
9.4048	0.098 2907	7.914 0721

Nach der Regula falsi erhält man daraus

^1 = 9 . 404 7013 + logc -=1.447 1580

. - 1 009 x>ui ^ ^^8 ^1 = 0 .'85178593

^, = M22 8841 logo-, =0.283 9531

Um die negativen Wurzeln zu erhalten, setzen wir x = — y und bekommen

^7 _ 2^y^ + 480 = 0 (Dritte Form) e = 28, / = 480, m = 4, n= 3;

V 823 543 1

^« = 4^ 33 ^^^ 6912 = ^^^'^'^^ ' A = ^-^f^ ' -'""*" = 27 = 12».

Hier sind also die Vorschriften Nro. 3, «) der dritten Form anzu- wenden.

log '" = 0,12194. /*

Daher

A^ < 0,125 und A. > 0,125

♦) Siebenstellige Gauss*schc Logarithmen von Dr. Th. Wittstein. Hannover. Hahn*schc Uofbachbandlung. 1866.

Stil: tiie AHlle^:.j drei<ilUdri,j^r GUichaugtn nacl, Oau„. 327

1 Btafonweise Anwendaug der droi-, fünf- und BicbcustGlligOD i der AdditionslogaritLincu erhält man unter ZuhtllfeDahrac der t folai die geuanutcn Worto:

J, = 0.062 9417 log/ = 2. 681 2412 llogsi — 2.7341829 lögÄ, = 0.390 5976,

log^, = 0.4112498,

yl, = 0 . 197 5072

log r'= 2.681 2412

71ogff, = 2,8787 484'

= — yi 2,.t58 0S90,

— — ,/g = — 2,577 8036

- 122,01638

Um die imagiDäron Wurzeln iv. erhaltvn, ist KuitäcLst fulgcndo Gleich uiig aufzulüSGu

_sin7e' sm4?*aia3p- Um dio Gleichung

sin 7p'

" ~' siii4p*siu3e*

DQcb den Andeutungeu dor ^ 6. aud 7. zu coustruireu *), e y =■ 0 für g = 255", = öl?" und = 77i"

p = 45».

= 60"

= 90"

1

Hiernach hestimmon sich die Btirührnngspuaktfi in der AbsciBsou- axe nnd dio ÄBjinptotün. Ferner ist % = 119.147. Die Grösse ft düB § 7. wird hier

{3h7.

+ 3„

I ■-= — 8in(i[7t-|-3((): Qx — siuC^n + Sa); (in = - 8in(lf«+3a) = 3m(?«+3a) lach erhält man die einzelnen Teile der Carve.

mit der im Abstand -.

»

iVf(/.- Die AußH>uty drfi.jUr.hi.jtr nUid.un>,tn aai-Jt Ga

AbscisBenaxe parallel gezogenen Geraden uiitsprechen ala AbeÖMBl beiläufig die Werte 58" udiI 87".

Man nimmt zuerst ^ ^ &S" nnd berechnet y , wobei man i dreistelligen *) Logarithmen den Asrang moobt. Dnrcb niehrcro Vi suche erhält man leicht 2 Grenzen, zwischen welchen der richtig« Wert von g liegt. Durch Anwendung der Regula falai and dnret stafenweisen Uoborgang zu ftlnf- und sicbcnstfilligcn Logarittuneu er- hält man meist sehr schnell den genauen Wert von f. So fittile4 man /.. B. hier

mittelst der drcistoUigen Tafel « = 57" 41'

„ p =. 57» 41' 41^" „ e = 57" 41' 41^6 ,

logco8e = 9.727 8896

log r - 0.498 5337

log sin ff = 9.926 96«

	„ fünf
„	„ sieben
wird
\on-n	= 2.681 2412„
log Bin mp	= 9.889 1425.
	2.670 8837
log Bin np	= 9.080 6477
7log.-	= 3.489 7^60
loRr	= 0.498 5337

log I- cos e ==0.226 42M logrsinp =-0.425 5001

^* I - 1.684 3159 i 2.663 7908i

Für (las letzte Wurzelpaar findet sich

f = 86" 19' 13 342", logr = 0,:i99 1866„

*« } 0.127 8113 + 1.987 4234,'.

Als zncitos Beispiel soll eine Gleichung von geradem Grado naf-i gelbst werden.

X* — 16a;— 12 = 0 (Zweite Form)

*) Die eben angeriihrio ^«teiltge LoearUbmenUiJcl des VurfuMr* e Seite 85 die Logarithmen der trigonomatriichen Fonclionco «rnf 3 I fflr j«deo Grfti] ärs QondrHnWa.

i^k

.V.H: DU Aufllii,u„;, •Iiu.jliriiri.,ir UUU-hmgen nach Ga«>s. 329

,^16 r^V2, m^l, -1 = 3; logi =■ 6..I21 Ü638

!og^= 1.578 9362.

3^ + i/ = 8.421 0638.

Man fiudel fllr A der Reihe nach die Worlu 9.'kS8; 9.438Ö7 nnd endlich

A = 9.438 5725 und mit diesem Wert

K "i = 2.732 0508,

^H Die Gleichung hat anch eine negative Wurzel; dafür ist

9*+16y— 12 ^ 0 (Erste Form)

J + 3B = 8.421,0638.

A — 8.389, A = 8.389 50

.389 5035; a^, = — j, = — 0.732 0508.

Zur Bestimmung der imaginären Wurzeln ist zunächst Gleichung aufzulösen;

- T-^f^, = 37.926 93, sin ß sin .^p" Wir seUen

Mau erhält tmd endlich

und haben

" ^ sitip~Bin 3pä - 0 fUr e = 45" und

Wegen des negativen Vorzeichens trfigt man hier j abwärts

anf nnd sieht, doss der Wert von p zwischen 60^ nnd 70" Hegt.

Wir hegiunen die Rechnung mit dem Werte 85" nnd erhalteu für p stufeuweiso die Werte 65° 54'; 65*54', 18.2" nnd endlich

e = 65" 54' 18.569"

>.e = e, «e = 197" 42' 55.707", 4:Iogr = 1.556 3021.

t uns, dosa r uegativ ist, daher

' 0.M9 99954 + 2.23fi 06598i.

330 Neil: Die Auflösung dreiyliedriyer Gleichungen nach Gomsm,

§ 10. Zum Schlüsse soll noch die Gloichuug

s» + 345a3— 12«0

aufgelöst werden. Hier setzt man s^ = ac und erhält

a:» + 345a;— 12 =- 0 (Erste Form)

c = 315, / = 12, m = 1, u = 2, log A = 4.544 9052 — 10

^1 + 2/i = 4.544 9052—10, daraus

A = 4.544 9022 — 10

loga^i = ^^^'^-+.-^ == 8.541 3607 ; x^ = 0.034 78249

Die Gleichung hat nur diese eine reelle Wurzel. Zur Bostimmung der beiden imaginären Wurzeln dienen die Gleichungen:

sinSp*^ „ /sinp

— — - . \^-j, = 285 164.1 ; r» = -^ '. ^ • x^ r(co8 g ± »sin g) sinßsin2p^ ' sin 2^' \ r -l. «?/

Wir setzen wieder

_ siu3p3 _ ^^ _ 27 _

•^ ~ sinosiirJ^o'-^' •'" " 2^ "" 4 "" ^*'^^

Für () =-- 60" wird // = 0 und für g = 1)0'^ wird // =a. Da y = — ., so ist , abwärts aufzutragen.

Wogen des sehr grossen Wertes von j kann g nur wenig kleiner sein als 90": in der Tat rindet sich

Q -= 89^^ 56' 46.871". Damit erhält man

logr =-- 1.2G8 9096„.

Die imaginären Wurzeln sind

— 0.017 3913T 19-360 1786/.

Nun sind noch die Gleichungen

;j3 = j'^ uiiti ;j3 ==, r(cos g _[: /sin g) aufzulösen.

Schreibt man

3 S

2 = v-i'i . yi,

so ist bekanntlich:

Neil: Die ÄuflÖnung dreujUedriger Gleichungen nach Gauss, 331

z

r 2kn , . . 2k7t] 3 cos -g- +»8m- ^ Vafj

Man setzt der Reihe nach k <= 0, ^* » 1, ^^ » 2 und findet

3

Äg = (cos 120« + /sin 120% « - (cos60« — /siu60% », ==» (cos 2400 + 2 sin 240% = — (co8 60<»+*sin60%

0.326 4276

52

\

— 0.163 2138 + 0.2826 946/

Die andere Gleichung für z^ gibt zunächst:

3

z = (cos Jp X /sin ^p) i/r.

Hier sind die beiden Fälle zu unterscheiden, ob r positiv oder ne- gativ ist.

I. r sei positiv.

yr « yr.y 1 Icos -^ + « sin

2te\ "3 j

Ä = yr (COS ö- + * sin -ö- I (cos Jp ± /sm ^p)

= cos

2A;;rip

+ iSin--3--^JV

In diesem Ausdruck braucht mau nur das eine Vorzeichen vor dem p beizubehalten, da, wenn eine Gleichung die Wurzel a-\-bi hat, ihr auch noch die andere a~-ht zukommt.

Hiernach kann der Wert für z in folgender Weise geschrieben werden :

z =

2/t-Ji + p , . 2/jn: + p cos — :+---!- i Sin -

3

3

3

Sctst man auch hier /j = 0, /j = 1 , /; == 2, so erhält man die 6 übrigen Wurzeln der gegebenen Gleichung.

II. r sei negativ; dann ist (— >•) eine positive Grösse

•Vj=^ V—r . V— 1 = V— -i

2^-+l , . . 2k+i

cos - ö~ ~ ^ + * sm - o -

— r 2k+i

V — r cos

Tt + « Sin - ö — ^

[cos Jp + /sin^p]

In dem Beispiel dieses Paragraplicn ist r uegativ, dahor ^ [t:üsC6(y + ip)x'Bin(6nö + if)]y=:;.

= Ccos(180''+ie) + <3in(lWJ«+ie)]v'-,

■ -[cosif±.-Bmip]y=;.

I ; =tcoa(30O»+ie)±.-8in(300''+|,e)]y-

= [co8(60<'-i(»)=F''8in60"-ip)]V-r

WerJeu die Zatileuwcrte in diese Ausdrucke eingesetzt, I ^fi - 29*58' 55.624". 6ü0-f Je — 89" 58' 55-624"i

30" 1' 4.376" und logV— r = 0,422 9699, so tindo.u sich dij 6 Wurzeln der Gleichung e*+3452»— 12 = 0 wie folgt:

0.000 8265 ± 2.648 3165»

-2.293 9222+1.323 4424.-

:2.293 0963 J 1.324 «^

SVUL Miacellen.

) Terallfemelneruii^ der Sülze Ton Pnspnl niid BriHnchon und da« Problem run CaHtlllon.

Wir können Jen Satz von Pascal auf fotgendü Art aussprechen.^

(chncidei) aicli in einem , einem Kegelacbnitt einlieschricbenen Secli-

c die erate und vierte und zweite und fünfte Seite in festen Punk-

n, so liegt der Schnittpunkt der 'i, und 6. Seite auf einer festen

geraden Linie, der Verbin du ugelt nie der heideu festen Punkte. Dieser

Satz nun Iftast folgende YeraUgemeinening zn.

Schneiden aich in einem, einem Kegelacbnitt einfaeschriebenen Sncck n— 1 Paare von GcgeusGitou in festen Punkten, so liegt der Sclinittpunkt des titen Paares von Gegensaiten aaf einer featen ge- raden Linie.

Unter Gegenseite verstehen wir zwei Seilen, welche in ihrer Reihenfolge um die Zah » verschieden sind, also z. B. die 1. und

n + 1. Seite.

Wir wollen nun diesen Sata fQr einen spedellea Fall, nämlich für n = 4 beweiacn, und wir werden sehen, dass der Beweis für den allgemeinen Fall vollständig gleich bleiben wird. Sind ^f, JV, O drei feste Punkte, und wir legen durch diese Pnnkte beliebige dem Kogel- . schnitt einbeschriebenen Achtecke derart, d&ss die 1. und 5. Seite durch M, die 2, und G, durch N und die 3. und 7. durch O gehen, so orlialten wir auf dem Kegelschnitt 8 proj. Puuklreihen A, B, C\ D, E, F, G und H.

;VM MUelleu.

Wir köiuicn liicboi die Punkte -1 und E beliebig wählcu, wollen aber zuiiilolist annelinieiu dass Punkt E, uud somit auch die Punkte /; (j\ II tost seien. Wir erhalten uun als Ort des Punktes P den Ort der Scbnitti)unkto der entsprechenden Strahlen der Büschel //, -1 ... und E, I) . . . In diesen beiden liüscheln entspricht aber wie wir sufort tinden der Strahl ///•; sich selbst, d. h. die beiden Büschel sind perspectivisch, d. b. der Ort von P ist eine gerade Linie xf/. Um zu zeigen, dass nun die Linie xif wirklich eine feste perade Linie i>>t die von der Lage der Punkte E, /', 6', H unab- hängig ist, lassen wir den Punkt -i mit einem der Schnittpunkte x oder 1/ der geraden Linie mit dem Kegelschnitt zusammenfallen. Fällt A etwa nach ^, so tinden wir, dass EI) durch A^ also durch r gehen niuss, d. h. dio i*unktü jc und t/ sind zwei Ecken der durch die Punkte J/, y und O bestimmten Dreiecke des Castillon'schen Problems, also von den festen Punkten des Achtecks unabhängig.

Aus dorn ganzen Gang des Beweises geht aber offen hervor, dass der Satz für jedes beliebige einem Kegelschnitt einbeschricbcne 2h- eck giltig ist, und dass irgend zwei Lagen der 2»/ ecke zwei Punkte /' liefern, und dass die Verbindungslinie dieser Punkte zwei Eck- punkte des Castillon'schen Vielecks durch die n—l Punkte liefert.

Dohnen wir die.se Sätze auf die Sätze von Brianchon ans, so linden wir ganz analog eine (.'onstructiun des entsprechenden Tan- gt^uton /iccks eiut'S Kegelschnitts. Der Satz, der sich in diesem Falle ergibt, lauli-t , wenn wir mit llauj)tdiagoualen die Verbindungslinien der 1. und //-j-ltcn, 2. und //-f-2ten u. s. w. Ecke des ^^tsoits ver- stehen.

Sind in einem Tangenten L'y^seit eines Kegelschnitts n — 1 Haujit- tangeuten fest, so geht die //te durch einen festen Punkt.

Weingarten, (Württ.) im Oct. 1883.

B. Sporer.

»)

l'eber die Lajure des Schwerpunkts im Viereck.

Der Beweis des im 05 ten Baude pag. dl5 von mir aufgestellten Satzes über die Lage des Schwerpunkts im Viereck hat die Ent- wickelungen des Herrn Nöggerath in demselben Bande i)ag. 218 zur Grundlage; im 2 ton lleft(^ dt's lött-n Jahrgangs von Ilolimaun's Zeit-' schritt i'nr inath. und luiturw. rnterricht habe ich einen elementaren synlhelischcn Beweis desselben Satzes gegeben; andere elementare

335 IdcrtlW™ ., „,i,+ «A+''"-'^ =,0 bestellen-

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GlelctaoS *• , i„ oeienM"«"

4) l,+''T^» — ,„^„ 123

« Sei.««'!»»'''"

336 Miscellen.

woraus

folgt. Dies mit 1) verglichen, ergiebt die Bedingangsgleichangen :

deren Addition mit Benutzung von 2) die Hülfsgleichung

liefert. In Folge dessen geben die Bedingungsgleichungcn nach der Reihe:

und die Gleichung des Schwerpunkts ist demnach: oder in anderer Form:

= - {K+«4)(fl+l» f f3 + J4)-(«i52 + «4S4)} " 0

woraus sofort folgt, dass der Schnittpunkt der Diagonalen Z), der Schnittpunkt A/ der die Gegenseiten halbiren- den Geraden und der Schwerpunkt <S in gerader Linie liegen. Weil aber identisch

«iSl + «3^3

ai+«f3 ist, so muss SD : SM =-4:1 oder SM: MD = 1:3 sein.

Beusheim, 11. Juli 1884.

Dr. Stell, Gymnasiallehrer.

Elliptische Integralfunctiouen

und ihro geonietriscbei.analj-tische und

dynamische Bedeutung.

Emil Oekinghaus.

Aus der Uüturfluchung Über die Eigenschaften der anaiytisclicu Füitictiaiion der Kcsultnutcu zwiBchen den biquadratischen tileicliaiigcu uDd ihrer Ditt'eronlialquotieiiteu sind die vorliegenden Entffickclangen borvorgegani^en. Die genauere Durclisicht dieser Functionen fahrto auf eine Grnppü von Gleicbungon , aas welchen sich die Euler'schon Iilcntiläten und damit iu Folge einer Transformation eine Reihe von Differential füruelu und Integralgleichungen orgabou, deren Anweaduag anf Geometrie fast ausuahniHlos auf elliptische Integrale und Fanc- tionen fUbrU:. Aus diesem Grunde haben wir die auftrctendeu Fur- meD elliptische lutegralfuiictiouou genannt. Indem wir diesollicu auf den Kreis, die Lemniskate und Ellipse anwandten, rosultirte eine Menge interessanter Sätze aber RcctificationsverbaUnisae, liarmoniscbe und andere geomotrisclie Beziehangeu diL'ser Curven , wclcho noch in Folge einer dynamischen Einkleidung eine bemerkenswerte mecha- nischc Bedeutiing so z. B, in der Theorie der elaaÜBcheu Cnrvc von J. Bernonlli, inderPeudoibewognngcte, gcwannou, Ucberhanpt liesseu sich diejenigen mechanischen Probleme, deren Lösung von der Inte- gration einer elliplischeu Üitfercutialgleicbung abhängt, /.wangslos in den Bereich dieser Functionen ziehen. Aus diesem Gesichtspunkte haben wir ebenfalls bostimmt« Curven 3. und i- Grades betrachtet and ausser ihren barmoniBchen Eigenscluirtou IjuKouders Uirou geo-

'- ('Ö'--(47+-('l^)'+?(.fc^)+--o,

("l^'--(-LT+'''(-a-f)'+>t-l^) + «-o.

Die gegebene Darstellung hat uds also auf die Euler'suben Iden- titäten gefQbrt, denn es resaltircD aas 3)— 7) die 5 Formen

i-j_ia,^ j. 1 f,

Szj 9zy 0zj 8xi

b) S^^Sji^B^^dJ ~ "' ÖiTj feg drg Sr^

Sa;, 6a:j 3tj, Sa;^

Si-j fea Sr, ^ e) dJ'^d^'^Bd'^Fd^ '

welchen sieb nocb die folgenden 0

B)

,3^+ ,8^+ ,B^*+ ,3J *

au ach Hessen.

Diese Formeln sind allgomcin gültig für Gleicfanugco nten Grades. Indem wir uns hier auf den 4. und 3. Grad bosebräuken, wollen wir zeigen, dass die daraus abgeleitete» Integralo fllr die Geometrio von Bedeutung sind.

Liegt nämlich eine geometrisch -analyliscbe Gleichung i. Gradea worin ausser der Variabein ir noch andere Voränderlicbe » etc. enthalten sind, so gibt die Differentiation der Gleichung

Nun folgt aber aus S)a) nach Mulliplicatiou aud Divisioa der brnmoDden mit den enteprcchenden ilx

vielubß Gleicbuug vermöge £

1 die DiffcroDtialfurtDol

11) *e^ = "

Übergeht.

Vermittelst ^ixi/) ^ 0 kaun man iu 11) das darin vurkommondo y fortschaffen, sofern der 2. Grad dieser Grösse nicht Überschritten ist und als Kosnlt&L erhält man durch Integration dieser Uiffcrontial- fmictioiien folgende Formel

^^^ J /ri) t/ tA) "V n't) "V ?(«!)

Um nun fflr gegebene Fälle die Function f(,x) gleich nieder- schreiben zu kOnnen, wühlen wir zwei h&utig auftretende Gleichungen von J (i, y) deren einer wir die folgende lypiscbe Form geben :

13) i,y»-i-2Jr,y+Jrg-=0,

worin die X bekannte Functionen von x sind.

Nftcb 11) ist also

>Const

i-£

— c.

cjuadratiscben Gleichung 13) folgt aber Tiuoen wir folgeude Integralfnncton

Ji^

dx^

^Xj^—XyX^

F342

Oekingiav: SBptÜPie tiittgrat/iinelioi

Eiüü andere Form von <*{«y) = 0 ist: I 15) X,sia<p-\-XtC0&v-\'J3 '

L das Integral 11} gebt hierfür über in

i f ±

i/ ^1 cos (p — JT, sin I

Nach Elimination ^

1 q> vermittelet 16) reanltirt

/tfa, /* da-,

Ueber die Vorzeichen werden wir später das Notwendige feat- I setzen.

Von allgemeiner ßcdentung werden diese Integrale dadurch, dasa

' man nach 8} unter dem Inte^al zeichen noch mit x und x* molti-

plicircu darf, für die andern Potenzen r'\ j', j;-', x--, bestehen für

die Constanten Idcht zu bestimmende Moditicatioueu, welche von den

Parametern der Gleichungen abhängen.

Wir fuhren sämmtliche Integralfunctiouen hier auf;

b)

J m "•

1 über 7 Integralfuuctioncu verfügen kann.

f

343

In den Änweudniigen vdrd sieb zeigen, dass die moiston Inte- grale dieser Art auf elliptische znrOckzufUliron sind. In Folge der bohou Bedeutung der letzteren werden deshalb die folgenden Eut- wickoltmgen einiges InteresBe beauspruchcu dürfen.

Die IntegralfanetloB des Kreixes.

In don fglgenden |§ wenden wir die vorigen Eutwickclnogeu an auf den Kreis, die Lemuiskate nnd die Eilipsc, nm alsdanu die Re- anltatc zn Terall gemeinem. Wir verbinden zugleich damit eine dyna- mische Betrachtung nnd Erklärung, sofern die vorkommenden Func- tionen einer solchen fähig sind.

Ein Kreis vom Radius " sei gegeben (Fig. 1.), anf dem Durch- messer oder der Verlilngerang desselben gehe durch einen Punkt D eine Secanto, welche mit der ersten DK den Winket q> uinschliesst and durch den Kreis in 2 Punkten geschnitten wird, deren Strecken von D aus gleich 3-,x, sind. Der feste Punkt D habe vom Centrum die Enfernung R. Danach hestcht die Gleichung

18) z« — 2ÄceS9.x+Ä' — «' = 0,

welche der Form 15) entspricht. Die Differentialgleichung ist also

19)

fiar,

r,+v

yiR'ii'-d.'+Ä"-.")" yijjv -(!.'+ '!'-•")"

woraus nach oiiior Transformation und Integration die Function

folgt

Um sie anf die Normalform dos oUiptisebeo latcgrala der 1. Art zQ bringe!!, sind folgende Relationen eiozofübron :

)>!((«+.)■-«■)

= (3onBt.

21)

and es resnltlrt

Yl-Z»sinf

./ Vi— Z'siniV i/ yi-

Z'siniV

344

Oikinghaw. EHif'titrhr l>lryral(ui

worin K das vdllBtiliidigo clliplischp Integral Jer 11 1

Dass die CouBtäüte = K sei . gelit ans der leiclit zu bc«(dae9dC9~^

Rolation

Jl + S 1

t«i9,igie.

R~

hervor.

Verbindet man den Punkt E mit den Schnittpunkten ilor S durch Gerade, so sind die Winkel zwischen diesen und der Secsut^ hezOglich i^,. j9j, also Feripheriewiukel zweier oatsprecfaondei Ccütriwinkel Ö|ö| als Wurzeln i

Die obige lutegralfunction stobt mit dem kiootiscbon Probta der Pundeibewoßung oder allgomoinor mit dor Bewegung eines schwe^fl rcn Punktes im verticalen Kreise in eigontdml icher Verbindung:

Die tlieorctisdic Mechanik zeigt bckantttlicli , dass die LAsuni dieser Aufgabe auf die Differentialgleiuhuiig

führt, woraus dos Integral

-/

yi^''-)-45»ain Jb' — 4j7*äin#*

folgt Hieriu bedeutet t die Zeit, welche verHieast, bis iltir itaQlti( liuho Winkel « iu d tlbergegangen ist. Von deu 3 Küllou dor ] wegnng trifft hier derjenige ein, fQr wolchoD im letzten Integral

kleiner als 1 ist. Üer Punkt beschreibt also volle Umlänfc. nun das obige Kreisiutegral i2) mit der Kreisbewegung stimmeud sein, so muss nach 21) und 25)

26)

gesetzt worden.

4ff» V

(ß+*)»" V + 4ff.sini«"

rubren wir anstatt r„ die Uesubwindigkeitsböbu h i; = 2gli ist, Bü rcsultirt aus der letzten Fonnot

/i»-|-i»+2Äcos« — 2m.

und ikrt jitoaulrüch, 4tialytiaeht vnd d^namUche Bedtuluny. 34ö

1 fiezeicbobt luan tUo Strecke vom fcaten Panbt D uach dem Ugsponkt der Bewegung mit p» und nennt sie Harmonikalc, so ist

^V'n

f Bicsü Fonm.'l gilt allgemein.

1 Dach 2-1) nud 26)

1 biurana criiäit man die Beziohnug

Die Geschwindigkuit des Punktes in der bal dor Harmonikalcu dor Bewegung.

ist iliroct prüpor- Bodcutet nun iT die Zeit des vollen Umlaufa, so ist demnach

Man bemerke aber, dass die aus 29) fotgendu FormuJ

t die quadratiscbe Gleichnng

Ä»—2Ä(A — >)+«« — 0 Ihrt, ilerou Wurzeln

R = k-«±Y(h^3y-,'

i Twigento von D au den Kreis, woraus eine einfache Coustruction I die lioidcii Strockeu Jl, und lij folgt. Die faierdnreh bestiinmteu ikte D und Ü' sind in Bezng auf den Kreis barmouiscb zugeord- t Pmikte, und die Mitte ihrer Terbiuduugsgeradeu iät von dem

0-l-!i

».- KUipIhrht iniriralfiini

tiefsten Pnnkto /.' des Kreises nm dio GesdiwiadigkeitsbübB eotfenil, Zielit man vüd dem äussern Punkt D zwei Secanten an den Srai, so achliesscn dieselben 2 Kreisbogen ein, wolebe von dem den Krei» durchlaufen de u Tankte in gleichen Zeiton zurückgelegt wurden. Jüthl mau durch dou iuuorn Puukt eine Gerade, so werden dio bierdurth bestimmten Kreisbogen ebenfalls in gleichen Zeiten beschriobeu, «elcha der halben Umlaufszeit gleichkommen.

Zwei durch den genannten Punkt gehende Gerade begreozm 2 Bogen gleicher Zeitdauer Beide Fälle sind übrige us identisch; auch die Geschwindigkeit durch die Constanz des VerhUltDisses beider Harnionikalen g : p' nach bekannten Sätzen durch

■V>-Vi'

ausgedruckt wird.

Je grösser die Geschwindigkeit des im Kreise hcmuiäiegeudon Punktes ist. um so mehr entfernt sieb der äussere Punkt vom Ceo- trum, während der onisprechcude harmonische innere Puukt sieb selben nähert und ihn für unendliche Geschwindigkeit erreicht. abnehmender Geschwindigkeit nähern sich diese zugeordneten Pnnkt» der Peripherie und fallen in der Grenzlago für die Geschwiudigkoiti' höhe h " 2i der asymptotischen Bewegung Eusammeu.

Wir werden später eine Verallgemeiuerung der vorstehendev Sätze geben, in welcher wir dio Geraden durch Eogelschnitto Wir fügen noch folgende Betrachtung bei:

Kino Secante schneide den Kreis in '2 imaginären Pnnktsa (Fig. '2), die ans 18) folgenden Wnneln sind dann

oder

indem wir sotzcn

äH*'

Die Construction dieser Ausdrücke ist der vorigen analog. Die 1 darch +s bestimmten Punkte DD' sind zugeorducto harmoniaubsl Punkte fOr den Krois. Üor obige complexe Wurzelwert erb&ll dni die gegebene Darstellung eine allgemeine geometrische Erldii

die vielleicht nen ist.

und ihre geometrische, analytische und dynamische Bedcutunij. 347

§ 3.

Die Integral fauctiouen der Lemniskate.

Durch einen Brennpunkt einer Lemniskate, deren Polargleichung

r^ «= a* cos 29

ist, legen wir eine Gerade und verbinden die 4 Schnittpunkte der Curre durch die Brennstrahlen x^x^ etc. mit dem andern Brennpunkt. (Fig. 3.)

Der Winkel zwischen der Geraden und der JC- Achse sei i/;, dann besteht folgende Gleichung

32) «* — 4c«ir»+4c3c08i(;.a; — c* =- 0.

Der Radiusvector r nach einem Schnittpunkt schliessc mit x den Winkel / ein, der Winkel zwischen den beiden Brenustrahlen xy heisse f, folgende Formeln sind dann leicht nachzuweisen

r = acos jv, cos 2(p = cosjt;*, sin^^v = y2siu(p,

y === iv + q>,

33) sinjt; ^= 8in(y — 9) = y28iu9,

X sin 9

c am/

c«

Man kann also tp durch y und demnach auch x = durch / ausdrücken, und es findet sich

34) y* = o*-f-<^*4~2flk?cosy,

ferner

8in(y — ^v) «= sin 9,

oder

ff 8in(y — iü) « -sin^v.

Wir wenden nun auf 16) die Formel 32) an und finden zunächst das Difierential

35)

tix - . dx

;rr-_:^r^_ d. 1.

oder transformirt und integrirt

36)

J y(a;* — (a — c)«)((a+c)2 — ««)

-1

348 Oekingkaui: ElUpiUcke jHiegral^neÜomtH

Die Bilduug dor Nonnalform verlangt die Snbstitotioneii

o— c . 4ck?

37) x'^ , , Z«

Demnach ist

38) ""»^y'" 4ac • «"»y* üT—

Hieraus erhält man durch Snbtraction und eine Umformung 39) y, = a*4-c* + 2aucosy,

und diese stimmt mit 34) überein.

Die Integralfunction ist demnach

V yi-Z«siniyi«'^J Vl-^^siniy,«"^ J Vi— Z'riBjri'

welche wir noch vermittelst der Landon'schen Substitution transformiren. Wir führen deshalb ein

__c 1

sin(y — ^ü) «= siujr, uud das Resultat ist

(a-j- c)'

sinjy« J y

I 1 /cos 2g)

Da aber die Kcctification der Lemuibkate auf letztere Integrale führt, so erhält man aus der folgenden Integralfunction

43) r — ^^^>- - 4- r^.^S''^'^- -+ r-=jtL=

V Vi — isiuK' '^ VI — isinJV '^^ Vi — JsiniV

den Satz:

-1- r-=jti= = '2K

'^J Vi — isinJV

na/v'^'

,n</ «ry»a

349

K Jede (larch einen Brennpunkt oincr LemniBkate gohendc Gerade leidet auf derselben 4 von den eutsprechcnden beiden Srheitel- ftn gerecbiiele Bogen »„ a, und uj,, h, ab, deren Summe «i-(-n,-^M,-|-«4 =- -IK coustant der halben Lemuiskato gleicb ist.

Entwickelt man die Gleicbang der darch einen Brennpaukt gehen- den Geraden iu Bezug auf tg J» so findet sich die Ampli luden gleichung

■M) tgjp* — acotlfI«in'' + {l + COtl()*)tgiü"— 2coti(rtgiti — 1 = 0.

Nach der Formel ist, wenn ju in absülntem Sinn genommen wird

oad also anch

45)

amu,-]-amug-|-amuj— amt(^ '^

Die elliptischen Functionen aber leiten für s discbe Reihe ab

Scbreibeu wir hierin für u der Koihe nach w, U} etc. und i direii diese Reihen , wobei wir für die Summe zweier Sinns ihr l kauutes Product setzen, und beachten ferner, dass £amu wegen 45) dnrch A -(~ ^ ^"^ "* ausgedruckt werden kaau, 30 erhält mau scbliesslicli

*6) K = i_j:-,8in2^,(>.,+ti,)sin2^.(«,+ua)äin2-^{üg+u,)

|ln ähnlicher Art fiudet man noch K'voaiip ■= n-}-8»*X (r:r^'»8^K + "t)co9^(u,+«,)aos^^.(«, + «,)...)

i{''. + '',)8i

i(p,+P,)8in(.., + P,)...

[^ Hierin ist 9 = «-■ nnd die t'onstÄnten «,, a^ sind die bckannleu fficienten der Reibe

F(v) ^ 009 — i"» sin 29 + ia, sin 4qi . . .

Antlero liiti'gmlfuMctiODUii lassen sicli nach 8) obnc Mohr »b-l leiten. Du 'lüs zwL'iiu Glied 32) d. i, dw Coefficieut von x* gldrli ' Null isl. so fülirt die liierftuf bezagliche Formel 17o) auf

V^

Ubur i 49)

V'tl— 2»sinly'J' Nacli den Metliod(>n der Intcgralrcctmuag geht diese Functioii

ist vbIo/ die Konualo i Radius r.

BreiinpuDkte auf deo entsprechend!

Mau kanu das obige lutegrul auch auf folgeude Art ileuleti:

lu einer Ellipse , + ,- = 1 Bei ein Paukt durch die Coordinali z -= «aiuip uod y^icosgp bestimmt, der Winkel zwischen di Broanstrahlcn sei Ö, der Winkel der Normalen mit der A'-Achse sei «i Das elliptische Integral E oder

/ 1/ 1 jsin^'dqp

trausformiren wir durch KinfQhraug von

cosip -- Igi^, Biu}6= - sin ^

h* r die i' r .iv

" y co9l6"|/^^_aiüie* " J yix-^^jm^Ä'

Es bedeutet also

den vom Scheitelpunkte der grossen Achse an bis ?.» jenem Punkte^] dessen Normale mit der Achse den Winkel v einsci.liesst, ^erechacteB J Bogen der Ellipse, wie bekannt ist. Hiernach kann mau das aaalogt

itffaMfih

Inteeral 49 1 der Lemniakate für die ElliiKC oiiiricbteu, wenn V -= !)■ und Z' = j—r-r^ — dem Modul dea letztem Integrals gemäss bo- siimDit wird-

Man kann übrigens auch das Integral

/

jD anderer Art für dio Ellipse benutzen, wenn man lieachtet, doss die Normale des genannten Punktes durch

r conjugii'to llalbmesaür r' durcli

bestimmt ist. Dalicr geht das lutegral

l^ttbw in

^^^ Wenn wir nun als Balbacbseu einer Ellipse ii + ^ = 1 ^^^ Bezieh nngen

A-a + c

einführen, in welchen a und c sich auf die Lcmoislcate bezieheu, und die Brenn strahlen x der letztem als Radien r' der erstem einführen, 80 bestimmen die ihnen entsprechenden conjugirtcn Radien 4 Ellipaen- pankte, deren zugehörige von der kleinen Achse an gerechneten Bogen t die Relation haben:

worin S ein Ellipsouquadraiit ist.

Diesen Fnoctioncn lassen sich noch ist daa Differential

352 Oekinghaus: Elliptische InUgralfunctionen

c-j-acosy leicht zu integriren.

Ebenso existirt ein elliptiscbes Integral 3. Art

51) - I / o^ \. / ^"»

d\t

Z^%m\f

welches sich ans 35) ergibt.

Um zu eutscheiden, ob noch Integrale 2. Art bestehen, berQck- sichtigen wir die Formel 17g) oder

dx

in welchem nnserm Beispiel gemäss c « — 4c* cos 9 und d = — c* ist Das obige Differential können wir nun nach geeigneter Transformation in die Integralfuuction

^ r dß ^ /*4c»

tibergehen lassen. Nach Einführung von \y wird hieraus

J (a + c-)(a — c)Ma* — i^ac + c^Z^sin^y^) J Ferner ist

J (a + c) [a — c)2 (a^ — 2a<; + c« Z=* sin iy^)

Wir multipliciren das vorletzte Integral mit — <?*, das letzte mit a* — 2ac-|-c^ und addireu beide, dann resultirt nach geordneter Zu- sammenstellung

yy 1--Z'^siu ly-^ d\y^ +y jA-Z^sin Wd\y^ . . . = 4 "^ ~ "^ sin t^,

oder kurz

52) A\ + K^ — A'3 — K^ = 4 . "^—^ sin t/;.

Die geometrische Deutung dieser Function ist leicht.

S 5.

Die Integralo dor entwickelten Formeln haben dio Amplitude Jy, kann uoch mchrorc von der Amplitude {v in folgender Art bo- stimmcn. Wir transformireii näiulicli die altgomciue Form

i: r - ■<'■ _r

in

1^ ^ r fj" . a

^^B J (a» — B*)V1 — ^^sini«*

^^^fe Es ist aber

^^^ — - l/l + cüaiu*— cosjn, — - r/l+eoBiir^+cosJv,

also auch

--j/l— isinicä — ^-*-

iDas letzte Integral gebt also nach Einfhhrang von x und darauf Hgter Hultiplication mit x ober in

y cosJt-Vl — jBinia' j/ 008 2^ Die Integration ergibt

tg(45" + ^p,)tg(45''-t-g'ä)tg(^'' + 'Pa)tgl450+Tj - !■ Da£ Hauptintegral 35) multipliciren wir jetzt mit »'(z* — c*) und Kbten, dasa das 2. Glied der Gleichung 32) feblt. Nach einten bmformangen roaultirt

' Sie Reduction dieses Ausdruckes anf die kanonischen Integrale t schliesslich auf folgende Form:

Zyyi-Z'sini„^rfi..= ^'y^+ii^y^

oder

54) £, + t^ — i.-, — it" JSaiuip-J-iCf. + F,— fa— Ji).

Das Addiüonstheorem fUr die Integrale Ü. Art lAsst eine

Kng der Functionen 52) und r)4) zu. Es ist bekanntlich I. >i.ih, «. piij». a. n«it., T»ii I. S3

354 Oekinghaus: ElUptUeht Iniegrtdfitnetiontm

Die Combination der letzten Integrale gibt also in Verbindug ! mit 52)

2 (sin 9, + sin «pj — sin 93 — sin <pi)

~ (8miyi+siniy, + siniy3 4-8iniy,)=4.5--l-^^^ ^sinf

oder die Relation

55) sin (pi + sin (p^ — sin 93 — sm<pi = y2 sin ^,

d. i.

28ini(ri+v,)sinJ(v2 — wJsini^Crj — »4) « sin^.

Die Ictzteu Formeln finden ihre Bestätigung durch die leicht zi

entwickelnde Gleichung

56) sing)^— y2sini/;sin<)p^— j8in9*4-"TTö"Biny4-JsinV'*=0,

woraus

£sin<p = y2sin^.

Die bisher entwickelten Integrale der 2. Art haben, wie maa

sieht, Bezug auf die Rcctitication einer die Lemniskate einscbliessen- den Ellipse mit den llalbachscu a und r, deren Bogen also mit den eutsprecheudcu Lemniskateubogen in einfachem additivem Zusammen- hang stehen.

Es lässt sich im Anschluss an die Function

J Vi — isinj'i^,- 1/ Vl — i^infv^'J Vl — isinJ^,^

+ / 7^=:^-^: = 2A',

'/ > 1 — i sin it'4

eine zweite leicht entwickeln:

;V7. / Vi — ^sin|?'ir/J?'i + / VI — Jsiu JVM*»

+ / y^-Ysinl^.'3 4^„+y Vl-isin^c/K -= 27-;+ V2 sint^,

wo E das vollständige Integral der 2. Art ist. Eine directe Herlei- tung dieser und anderer Formeln geben wir später.

Aus der Combination der Formeln

F^+F, + F, + Ft'.

2A-,

58) K, + Et + E, + 1« =. 2fc--f V 2 siii V,

/J, -(- A-, — fc-g — i.; = i (F, 4- /■, — /■', - nsoltirt noch

59) Ei + K

und

iÄ+yasinv,

welche ala Küipsen- und Lemuiskutenbogen eine gegeasoitige Tor- gleichung zulassea. FUr Jede darch ciuea Brennpnnkt cinor Lcmnis-

kate geheudc Gorade ist, wenn die Curve mil der Ellipse 'j+^j •= 1

in Verbiuiiuug gebracht wird, die Differcuz der Ellipsen bogen

~7^{Eg-^Kj und der L en in i skaten böge u AFi-\-Ff) eine conslante

Grösse. Die BrennpunktL' beider Curven fallen wie die grossen Achson anfeiuandor, und die kleine Halbachse dor Ellipse ist = r. Ihre Amplitude ist J". so dass die eiitsprei-heuden Ell ipsencoord inaton X = aam^i'; j=-ci;osii* dnrcii den eiceuinsehcn Winkel J« du- finirt sind.

ä 6-

lObgldcli die vurhorguliuudeu geometriBchen Anwendungen der

ikelteu luteKralfuuetioneu nur speciello Pillle behandelten, so

teo dieselben doch sehen die Frachtbarkeit der gegubeuou Me-

0 dass der Gedanke nahe liegt, diese Functioneu allgemein

müglicbou Fälle derart einzurichten, dass die Wodali und

IllBtanten der elliptisclien integrale uhue Zwischenrechnuug ans den

oetern der Gleidiuligeu abgeleitet werden können.

Da wir nnii die Art, wie vorhin das Beispiel der Lemniskate lodelt worden ist, für die folgenden Probleme zum Muster nehmen, tlvoUeo wir die auch später vorkommondeu Keibeuenlwickelungcn r Integrale in unserm speciellen Falle der Lemniskate znuächsl wickeln, um den Gang derselben bei der Auflösung der biijDadra- gheu Gleichungen mittelst der gouaunteu Integralfuuctioueu ächon t anzudeuten .

h Wir benatzen die bokannteu Reihen

/■•(9>) = n,ip — |a,siuiv+I«»B"'-lv— ■••1

3S8 OiLi-ghau,: mpfUchf Ur.jra!jautU„u,n

61)

Ferner erinnern wir an die Formeln

im2ip =• 2stn9 — siD^p* — isin^p* — ts'i>9' ■-■

sioSq) — SsiDv — *BiD?|* 62) AaAif ■=• 48iuq! — I0sin9i*+ jsiD^i'+isin»' ...

iiaixp = ftgiuip — SOsinv'+lösinqi*

BiD64> =^ esioy — 35iini))'+'-J- Binv'— *;?Binv' ... and benutzen endlich noch die fUr die biquadratische Gleichung

bestehoudon symmotriBclien Ri-lationeu der Wurzelpotenzen

£i a,

ea) £x^ a^+Soi —3c,

welche wir für das folgende nötig haben.

In der abgeleiteten Relation der Lemniskatenbogeu

fi-\- Ff\- f\-{- F^ — -iK

ist die Amplitude ^ an die Gleichung

64) sinn* — 83inii'Coaii'8inw^+16Biai(i»8iaf — lÖBin** — Ö

geknüpft, wie leieht zu beweisen ist

Mau bemerke aber, dass eine Wurzel if.\ negativ ist, dus ati i die Amplituden absolut geDOmmen worden, gesclirie'beu

den r

u i> + sin u» + ein «a — sinn, = 4Bii fsiue = Ssini^coBif. ^Bin«* = 128co83VBin1^'^

Das unvolUtiindige elliptiscbc Integral 1. Art hat nun folgende foi

r

■ gtomttriicht, armlijliiu'hr un'I rl'jnamiic/ir Btiieulan:/. 357

+ \a^ (2 sin n — Bin P*— i sin e^ — \ sin «'...)

66) — Joj (3 ain t> — 4 am u')

+ iaB(4«''i.— lOsinu'+jBiDP^+isinr' .,.) — Aaii.{58rae — 20sinü»+168iu(^) ... Die Fnnction

67) F, + Fj + Fa— F4

k&DD nun in folgender Art transformirt werden. Fttr F, -f- /", -j- F, Bctien wir 2A' — Fi, nnd beachten, daas oq^Ji' «= ogji — 2A'. Da wir die F reell wählen, so rnnss dementsprechend der Winkel if iuner- lialb bestimm er Grenzen geBommen werden. Derselbe ist, wie man sieht, ein Par^imeter der Hauptglcichnng 32) oder 44). YiU

^"'^/iThJ;

wir scblieBBlich das Besaltat = (<!( — «* + os— Ob ...)9iii2»Jf + V(3«4 — 8<>s + lÖ<% — 24a,o ...)co8Sv8inifi"

+ i(5a4— 35aa+12Öa„){21— 32eoa2V+32coi4H;)ai

wojiacb der Lemniskatenbogen u^ durch eine Beihe aosgodrUckt wird, deien Cofficienten darcb vollständige elliptiBche Integrale hcBtinunt sind, nnd die innerhalb der angegebenen Grenzen des Focalwiukels ^

convergirt.

in äitulicher Art Sodet man

-ig ...)sin2* 69) ' — ^,* {3*4 — 84« + 15ig . , .) coa 3* sin v*

— 1(56,— 3fti,+128A,„)(21— 32cos2V+32coB4*)sin2t/'BiDil^.

Die obigen Reiben haben wir ana dem Grande suuachal an einem einfachen Beiepiei entwickelt, um den We^ anzudeoton, auf welchem wir später bei Vcrallgemeinerang der Hethodea znr AntlüsDag der Gleichungen 3. and 4. Grades Tertnittelst dieser Functionen gelangoo werden.

Bemerkung. In { 1 leiteten wir aas der Gleichung 4. Grades und ihtem Differeatiaq«otienteii die Formel her:

(g «• - ^IS l*^r94iVi|fcXlwO

In fibnlicber Weise ändet m&n aas der k'izleu Gli^ichang die folgende

^4t«i'— 3^tgt»+2Ätgi ^"

Ms.) -"-'(8.)+^'' a,

] aa diese Relation Bcblicssen sich Doeb andere verwandte >ilJ

IntcfmirDuctioi

i der TurTen i. und 3. (iradcs.

Da die gemeinsame Betracbtang der Eigens cbafCeo der Lemai*- kat« nud «ler dorcb die Gleicboug 70) ±y* = I* — ^»+fir»— Ci + D

defiiiirteii Carrcn 4. Grades auf barmonisclie Vorbältuiasc f&brt, so wollen wir folgende Untcrsncbung hier einBCbalten. Die Scbnitt« ia JT-Achso mit der obigen Curve (Fig. i.} besümmen die Wnrz«lü a,a, etc. der Gleichung n ^ *J. Die Formol 13) findet Anwendoog auf dieselbe, wenn wir zur -V- Achse eine parallele Gerade liebeo, irelcbe , im Fall wir das obere Zeicbon wäbleu nnd also y constut

I = ^ festsetzen, in iiirea Sebuittpankten mit der Cnrre aof die Wor-

Cxeln 0,x, etc. fuhrt. Dann ist

/

y("i-oi)(«i-

J Kl,-",«».

»l)

= C^

I die iDtegralfuQcüon.

Die Bediiigungon , welche fUr die Nermelfami der eltiptiBclieof [Integrale 1. Ait eotwendig sied, ünden sidi eng

Ni?

_ y("»,^^Hi-_».i,+y(%_— ".) f'h-'j i/s— «.M'-ii- '

I nnd die Normalform wird

,,) ' (•— '^K«-

<t«il ihre geomelruche, analsUicht. und d<jaani.chi UeJculo.uj. ^§9

H. + /•„ '^kn , r ^y* _ t'

^H^ Wir wenden hierauf die Landeo'actie Sabatitution an, and dem- , flAch hat man

8in(y— ii') =■ - Bin Ju

zn setzen, wodnrch die Fanction 71) übergebt in

7-1)

Nun geht aber vorBtebender Ausdruck für a' — = 2c-' in kannte Fanction für die Lomniskate über, nnd die Kelatiou

bedingt gemäss 72) die zweite 76)

('',-«3)Ca,-aJ

Diesem harmonischen Doppelvcrhaitnias scbliosseo sich durch Fermntation die beiden folgenden

77)

(a^ — a,)(a,-a,) ^ (n, — o,) (a, - a,)

(ag — fliXa, — qj

(a,— aj)(i

identisch an. Dies zusammen fassend haben wir den Batz :

Wenn die Wurzeln axo, etc. der Cnrve 4. Grades

/ = !* — ,4i»+Ha» — G« + n

für y -= 0 in harmonischer Beziehung zu oinander stehen, dann existirt fflr jode beliebige der .X-Achse parallele Gerade j -= 6 und der da- durch bedingten Wurzeln x^x^ etc. eine Integralfnnction

^/r

dki

deren doppelte Amplitude y als Winkel zwischen i

I und dem entsprocbendon Radius einer Lemoiskale aafgcfasst i [ Juno, während in der truusformirlcn Fonction

. r #

sinj«'

a = c^2

die doppelte Amplitude o der Winkel zniscben den beides Bmoh Btrahien ist nod dio Fanction selbst 4 Lt-niniskateabögcu charskCeririi^ deren Samme stets conslaot ist. Die BodingtmgsgleichaageD zwisdm den Grössen z, f ond v sind

t«ir

^ -/{a. - g,) (tt, - «al + V fa. - o«) (a, - ■■j) (f "

.,)(:t-

:^

V(^

1») («.-«*) - tgi(^-j')

= (V2-l)'t«ty.

Die obigen barmoni sehen Doppel Verhältnisse führen zn einer I bekannten Reducento der biquadratiscben Glcicbang and zwar znr r kubischen Invariante f = 0 oder

72flD+9^J3C— 27C* — 27^'iJ — 2fi» = 0.

Sobald diese Bediognag nnter den Const&nteu der Glcicbnug er- I fallt ist, sind ihre Wurzeln bekanutlich einander harmonisch zageordn«L

Wir legen jetzt die Carvcn dritten Grades

) ±y* — «3— J*»4-iIj: — C

I den folgenden Untersnehnngen zn Omnde und worden die ans ihr I rcBaltirendo Integralfanction

"'/i

VW-'-'iK'i -«.)(',

^f

^fif.

y(ä-,-a,) (*, — «,) i^—Ot)

-(i,){j:a — o,) (a^— öj,)

= -0

IgeoinetriBch und dynamisch inton'retircii. Wir wählen zumkchst das loboro Torzeicbuü, setzou also vorans, dass die der X-Achse panül(4e I Gorade jy = + A oberhalb der Achse die Curvo in 3 durch die Ab- n i-jj^üij bostimmten Panklen /', /j/, schneidet (Fig, 5.) Bä pder Bildung der Normalfonn bat mau nuu folgeudus zu bcachton:

Im 1. Integral der Fonction fuhren wir ein

I dasselbe geht dann über iu

t gtomeb-inlif, analt/liiche wiit ilif>\ami^ejit Bfüui

/v

Wir setzen ferner

«J — «1 dann folg!

öl) ^

Inod ias Integral wird won

h*)i<h—<H~H*)

* = C«« — "ijsmv,»,

/vi.

Ebenso Ündct n

für xt-

I, = — ^»

aod OB ist das zweite IntPgr&l

£a 1	tei endlich		J	Vi	-Z'ainr,'
dUD iat	ebenfalb			'3-	-°s	= V
also	Z*^		-_^i		•»*	-(«,-
83)				?iir	* =	= col».',

80 dass die allgemeine Normalform wird:

84, f-^ä^^^ + f, ■"" + f-

J vT^it»3inqp,» ./ Vi— Z»»in9,» J l

yi-Z»Bi

-P."

Es lasst sieb leicht die geometrische Bedeatnng der Amplituden tp nachwMg«n, Die J-Achse möge die Curve iii den Punkten A^A^A^ schneiden, lieber AiA^ beschreiben wir einen Halbkreis. Tcrlänjii'm dia Ordinalen der Funkle I\t\ bis zum Durchscbnilt mit demselben nnd rieben von vi, aos nach diesen Schnittpunkten Sebm-u, dieselben Hchliessen, wie ans 81) and Ö2) hervorgeht, mit der -T-Achae die Winkel t, und ?>, ein.

Femer beschreiben wir über A^X^ einen Halbkreis, (■rrichton in J^ eine Ordinate bis zum Kreise nud verbinden iteu DarcbHchnJU mit

|^^<"

^

362 • OtkingkauMi JEÜiptitek« LUegraifmiKihMtt

X^ durch eine Sehne, welche nach 83) den Winkel ^ mit der Achie oinschliesst In der Figor ist nnr eine der zwei oongraenten Ciir?en angegeben. In der Intogralfnnction itt abo die Amplitude geometriick definirt.

Will man dieselbe auf die Lemniskate anwenden, so ist Z* — | zu setzen, woraus

85) o, — — 2 — folgt.

Die Wurzeln a^OfO^ müssen also, im Falle daas die Int^gnl- function durch Lemniskatenbogen ausgedrückt werden soll« eine stetige arithmetische Proportion bilden.

Die allgemeine Bedingungsgleichung ist hierfür das YerachwindaB der kubischen Variante

86) 2^» — 9 AB + 27C — 0.

Erfüllen die Constanten der Gurve 3. Orades 79) diese Bedingung, so ist <p der halbe Focalwinkel der Lemniskate, in welcher drei durch die oben angegebenen Amplituden bestimmten Lemniskateabogea in

der Relation

87) «1 + «« — «s zu einander stehen.

lu Bezug auf das untere Yorzeicheu geht für die Curvc die Integralfunction über in

r j^A + r -—- ..Jb.

J V— («,— tt,)(ar, — OjK«, — 03) J V— («t — a,)(aj, — a,)(aj, — 03)

+ / — — _. — ^ ». 0.

^ V— (a^s — ai)(a!s--a8)(ar3— 03)

Im 1. Integral ist einzuführen

*a ön ""~ Öj5

Xi—a^ « — 2i*, Z * « „-_-: • «1 =" oj — («8— öi)cot<ri*,

03 — flj

woraus

«' — '. . .

^1 •

-^ — ' -» cot<r «-

03— Oj

Im 2. Integral ist einzuführen

x^ — «2 =--= «2», Z' « -= ^— ? • «« « a, + (cia — a,) cos <F,«,

woraus

und ihre i/ronittrufhe, ,

SO dass die Intcgralfnaction ü))ergeht in die Normalfomi

f '^^> +/• <'^^.- +r-- ''"" --0

./ Vl~Z'*mna,* J Vi — Z'^sino,» / Vi — Z'^gin Oj*

deren Amplituden auf diu nämliche Art wio im erBton Fall durch WiDkol zwischen Krcissohnon und der ^- Achse guomctrisch dcfinirt sind.

Die AnwenduDg a ProportioD

; Lomniskato fuhrt wioder auf diu stetige

und damit aaf Leroniakatouhchgen, die iu der Kolation

ZQ oinaudor stehen.

j In Bc/ut' iiuf die Ciirvc hnmiTkeu wir, dass fUr das obere Zoichon

I diu CurTP oberhalb der Achsi- reell, unterhalb derselben iniaginair wird. KUr daa untere Zu'icben gilt das Gesagte mngoki'hrt, ao doss I die ganze Ourve beide Fälle umfasst.

S 9. Djnainlsi-Iic Ikdeufunp; der Ca

S. (iradcs.

Da die Untersuchung der Ilencgung einos schweren Pnakles auf der Ell gclo bertlache aof das Vürbtu entwickelte Inte^^Tul führt, au wollen wir eine gemeinschaftliche ßetrachtang beider Integrale Jetzt noch in Kürze voruebmeu.

Nach den behaunteo Methoden der analj'tticbeu Mocbanih betreffs des Problems des Kugclpendels «erden folgendo Differentialgleichun- gen die Lösung desselhcn geben:

... a	'liirlir latt'/rai
5? =	-»V + IN
«■+»	■+.' = r',
"" =	SS"+C,
.j»	„•^_r..

Bei Eintuhrung bekannter Polorcoordiiiaton 9 oDd >!' wirJ

'■■-'■U)+"""' Uj'

-rCOH»,

et)

ond es ist also;

c;i)"+"»*'(f)"-

oder wegen

8IUV« -j- =

■ cos 1(1 -) 1 1

91)

(S)'^

Ans der letzton DifFerentialgleichung resultirt also das Zoiüotag^

92)

/^ ain «MV

'7 K-'^M^P?

I J+ cosv)«i

cosvl«n*'

norin die Constantcn sich anf den AnfaDgszustand beziehen. Der Atiedrack untor dem Warzelzeichen oder _2»C.

IS 1/)» -|- -- i;os «1* ~ COS V ■

-i'"-"^"')

kann donh Kinfuhrnug der Wnrzoln dicsor GIcichnug anf eine Fol gcbracbt worden, welche eine Verglcichiiog mit dem Integral 84) m lasst. Diosc Form ist

94)

dCOSür

"^''J K^os*-»..Xeo.,-eo.«(ce..+iÖl^

Vermitteht der bekannten Subsbintioo (S. Schell, Theorie etcSL3&4

I' COB^^= COS(J — (COBß — COB«)siD

)

geht das Integral fUr cos^ =^ x Über iu 961

— COS«)(l

und seine Normalform ist

ilgiih-hr ,md ^gnami.ch, Btd,»lu<xg. 3G5

COS ^— COS 1^ ' COB ß — C08«'

/^

'^ß){x-^\

iwria

COB g'- cos c* *"'' ^ X + 2coBacos(J4-coBi3*

Diese GloichuDgeu sind mit dem der Gurre 3. Grades identiBcL, wenn man letzterer die Form gibt

COBO + COBjS I

Hiemach sind die AbaciBsen der 3 Schnittpunkte A^ A^A^ von Achae und Cnrve der Reihe nach gleich

tl + COSOCOsß fl Ol e

- cos.+cosr' '""'' '='"'^- *^**''^- Um den Anfungspunkt beschreiben wir mit dem Radios r = l einen Ereis, derselbe wird den 1. Punkt A^ aus-, dagegen die beiden andpm einschliesseo. Ferner ziehen wir eine die Curve in 3 Punkten schneidende, der JT-Achac parallele Gerade, die Ordinalen des 2. und 3. Punktes Tcriilngem wir bis zam Kreise, nnd die Radien dieser Schnittpunkte mögen mit der J^-Achse die Winkel V'i< "'3 etuschliessen. Endlich construiren wir noch Ober A^A^ und A^X, Halbkreise, (X^ bezeichnet den Abscissenpunkt der 1, Ordinate); im ersten verbinden wir die Schnittpunkte der Ordinalen y^, y^ nnd der Cnrve Aj durch Sehnen, welche mit der Achse die Winkel 0, und Ö3 bilden. Der Schnittpunkt der Ordinate in yl, nnd des 3, Kreises, verbunden mit A, durch eine Sehne, bestimmt den 3, Winkel o, so dass auch hier die Amplituden der Integrale geometrisch bekannt sind. Die Sache verhält sich nun so;

Während das Kogelpendel seine Bewegaug vom tiefsten Punkte ^ zum höchsten (o) vollftlhrt, geht in der auf der Ebene ilargc-

366

: jaiipu..

lititfralfumitM»

stellten Bt'wcgang der cnspreclieado Punkt vod a^ iw^ JI, also aus dcT Lage it'j(Js). wozu die Zdt f^, in die L&gc Vti*i\ *on din Zeit fj erforderlich ist, and es ist. wcdq mao die der AnpUtnde 0, entsprechendp Zeil mit i, bezeichnet, für allo dor J-Achso puil- lelo Gpraden nad die dadurch bedingten Amplituden die BoUtion

100)

allgemein gtlltif,'

, = '. + (.

'/t'

-^ = r, = ey, 30 dass die auf < X-Acbae projicirte Bowegungageschwindigkeit des CurveDponktes d Angehörigen Ordinate proportional ist.

Unserer Figur gemäss geht wcgeu der Lage der OrdtnatanaxdiM die Bewegung in der uutiTu Halbkugel vor sich, denn a liegt iwisclieii

., and (.1. liflckt aher dies« Achao über -4, tiinans. so Ik

zwischen 7c und -. und der höchste l'unltt hctiiidct sich auf der (A>ea

Ualbkugi'I. Zieht mau im Punkte {ß) eine Tangente bis xur AdiM

ao bildet dae von der A'-Ac1ibü abgoscbnittcue SlUck OC — — -j

Krherinni für diese IJewegunga Verhältnisse. Ist nämlich die scbwindigkeitsliohe im tiefsten Punkt der Bahu kleiner oder grOsaa als diese Strecke, so liegt der hiichsle Curveupiiukt in der unten beKiehnngsweise obern Halbkugial.

Es erübrigt noeb,, die geoinutrischc Uedeuluug des Mudnlus dO obigen elliptischen Integrale nachzuweisen.

Zu dem Ende beschreiben wir noch Über ^,.-1) eiueu Ualbkreif errrichtcu in ,t, die Ordinate und verbinden dan Schnittpunkt d

selben mit dem Mittelpunkt des Kruiacs. Der Radius ist

^ "^ COSn^-COS^

: Abscisaenache Z des I'uuktes .-1,

Bezug auf dou cosp'

1 -(. 2 cos tt CQB g -|- 2 coa n'

" COSB + COS^

0 ist

Z , _ l+2cosgcosg+2cosft'— CQsp^

- - cos o — i + 2co8acos^"+coa"ff"

Aus der Figur ergibt sich ferner, wenn wir

101)

womit der Ausdruck

Z = sin Jtt'

coB/J* — cos«*

" l-\-2coiacasß-i-fiQaß''

i 10.

geometriscb dc^atrt ist.

iDie so ebcD gcgobeneu Entwickeluageu fiDdeQ ebeufitlls Än- Inug auf die Bewegiug einea scliwcren Punktes im verticaleo ae, welcher Fall aua dem vorlicrgehcndeii durch die Annahme, die Bcweguug im tiefsten Punkt« der Kugel beginuo, oder ditss U ist, leielit abgeleitet werdeu kauu. Dur Puukt gebt bis a und hebrt wieder zurück, der Modulus des Integrals für diese athwin- geude Bewegung ist Z^ tiiu^o, der Winkel desselben oder u hat dcü !S|)ielraum von u bis itW". Für 2=1 liat mau die asymptoti- sche Bewegung als Grenzfall fUr die Curve B. Grades. Die Vurhält- nigge bleibeu iu diesem specielleu Falle dieselben, wie vorhin für dcu allgemeine u. Jede der X-Acbso parallele, dio Curve iu 'ä reellen Puukteu bchuoideudu Gerade bestimmt 3 Amplituden und entspre- chende Zeiten, welche durch die Relation t, = fj + 's mit einander verkuflpft sind. Die Curve wird durch die Gleichung 3. Grades

^^2)

- {i — cos et) (z"

-1).

■* — x~\-Cü%a-\-y* = 0

Wl

Ist a =■ 90", 80 ist Z* = i. Die Bewegung des Punktes gescJiiehl 1 dem Holbkrciuo und die lutegralfunction

/jiöi /• dOy f dOi

Vi — isinö,* J ^l^^a/ J Vi — iäin^'

welcher die Amplituden a als Focalwiukcl ciuer Lemniskate an- lehen werdeu kdnneu, geht Qber iu eine Kelatton <ii = "a-j-uj vun Lemniskateubogen. Die Cnrve hat dann die Gleichung

wobei wir daran erinnern, dass dieselbe wie alle übrigen aus 2 zur JT-Achse symmctriBckeu Teilen besteht, von denen aber nur cdne gezeichnet ist.

Zum Zwecke einer Verification wählen wir den Fall der uyinplo- tischen Bewegung, welche der Curre (Fig. 7.)

103) i3+ii_«;_l+j,»=0

entspricht. Für ^ = 0 sind deren Wurzeln jcj = + l und *„ -

Die Gerade sei eine Tangente, so daas die Glcichnng for dn Uaiimalwert von y " ^ öyi ^'*ß' ß'eiche Wnraeln »r >— J b dfo 3, Wurzel = — S- Die erste Kreisordiuatc . welche mit der 3,

zosaminenfüllt, hat den Wert fi^i, die Ordinale ji' im Paukte A^ ist jys, woraus die Amplituden tgö, = tgÖ3 = iV2, tga, -= yi oder tgj0j= VS — y2, tgjiii = jys folgen. Da nun das Integral

fvAi.-'M*"+°^

yi— Bin 0» ist, so gellt die Integral rnnction Über in

welche Gleichung bei Benutzung der berechneten Amplituden {«ielit brwalirheifot werden kann.

§ 11.

Die Intrgrairuneliunen der Ellipse.

Von bosDuduror Bedeutung worden die allgemeinen Eutwicke- lungen des § 1. für die Kegelschnitte, indem die ans denaelbeu wouneueii Thcureme einer Erweiterung fühig sind.

werde von einem Kreise, dessen Centnim dio Coordiuaten mv) bslM^ in 4 Punkten, deren Coordinatcn a = (i8iu»p. y = tcosgi elc. g schnitten.

, ao bestehen die Form ein -2ÄrC0S()f — n),

Ist der Radius des Kreises •

105) ßcösv " II sin ^p, /(sinilJ = iCOaqj,

r* = (i'Bin(p'-)-6'cos?i*.

Die Elimination von 91 und r aus der 1. dieser Gleichungen remtlt' telüt der beiden folgenden liefert das Schlussresultat

f

T,algl!,chr uml •Igimmücl., Bc/fUJ

Fuhrt man x = asin<p ein, ao entsteht

^a*^

Dieser Gleichung steht zur Soitc

'+2i,)^'

-..•>■

^^p Anr dicsD Gloichnng tindet die Formd 13) Anwendung, die Aus- ^TQhning gibt in geordneter Darstellung das Differential

-iR .L'ania.t)-{- -^ iL'-— iTi-a-CQSa-) — 0. 2.' = ^'+«=' — *».

108)

(te

oder tranaformirt und integrirt

^jlab.

:V'

{x»-a»)(**+-,(fi«-(fl+I)')C^»+ -i(S»-(H-l)»)

Dies hyperelliptische Integral kann durch Multiiilication mit x auf ein cUiptischeB zurückgeführt werden, welche Lösung wir nach- her in voller Allgemeinheit geben. Hier machen wir die Annahme, dass • -= fi.h'' sei, dann ist auch L = + 'iJib. Bei Kinfuhrung von ^^ aäüf gebt dos letzte Integral Aber in

Vorzeichen und die Coustante

■In

Nach einer lluCersuchuug übt: idtirt

t

370 Oehinghaus: Eüiptvtcht Jntegral/hnetionen

d(p2

110)

J Vi— Z«8in<pi« t/ Vi —

"V Vi — Z«sm<p,« t/ Vi —

Vi — ^^ sin 93« J Vi — -^* sin 94*

and beziehen'sich die Indiccs auf die entsprechenden Quadranten, wo* bei wir R(a) in 1. annehmen.

Ans der Relation

olgt, wenn die q> absolat genommen werden,

amuj — amti) — amus-f-ftnitM ■= 0. Setzt man im Anschlnss an die Ellipse den Modalns Z' =

4jR(R4-b) ^"^ ^^® Amplituden 92, 9)3, 94 als gegeben vorans, so

lassen hieraus die auf die Ellipse sich beziehenden Yerhlltnisse

a R

7* 7-, ft sich bestimmen. Es besteht nämlich die folgende Relatioo

a 2R

r cosa.8in9)-{~8^Q^<^s<P jT ^'siny* «= 2Z*Binq>* — 1.

Es sei

a 2RZ*

T cos a = a?, sm a = y^ — z — = «,

dann bat man die folgenden 3 Gleichungen

X sin <3Pi + y cos (jp, — z sin <Pi* ==« 2-Z * sin ^j* — 1, X sin gpj + y cos (jp^ — - sin 9^^ =- 2Z^ sin gjg* — 1, a: sin ^3 + y cos ^3 — z sin 93* = 2Z^ sin 93* — 1 .

Die Auflösung ergibt

f Y^j , ^\ si^Kyi— ys)8>ni(yg— y3)8ini(y3— yi)

2\b~^) sin<pi^siu(9,— g)3)+singpjj^sin(<jp3— g)j)+sin93*(<]Pi— fl'*) u. s. w.

Bemerkenswerter sind die elliptischen Integrale der 2. Art.

Gemäss den in § 1. entwickelten Formeln findet man leicht

111) £ J Vi — ^"^"sinqp* €l(p = — )/^ ^(cos «). Nach Feststellung der Vorzeichen ist die Integralfunction

iinJ ihre ^uiBttritcle, anaii/lUfhr und dgnamKh* Btiauunti. J

112) — / V 1— ^*aing.,«rfv, + y Vi — Z'ain»,» rf^i,

+ / Vi— 2'Bin ?»*-''?» + / Vi— 2»8mvY*<'9'* — "^CO

Da nun bckanDtlich ElUpaeoboges dorch Integrale dioaer Art anagq-i drückt werden, so ließt der Gedanke nahe, die obigeu Integrals] dnrcb die dazu erforderliche Bedingnüg

Ellipse ZD iden^ciren. Ans der Be«|

und > = Ä+4

mit solchen Bogen dingong

113)

folgen nun die Relationen

114) 7!-?^—', ._ViM^-+j.

wodarcb die Integrale in EUipaenbogen ttbei^ehon, wenn die Function noch nut a mnltiplicirt wird.

Demnach kann mau folgenden Satz aussprechen;

Jeder Kreis vom Halbmesser t — R-\-h, dessen Centrum A(a]t|

auf einem mit dem Radiaa R 2~~~ "™ '''"' ^''f^'P'*"'

einer Ellipse ,+ ,^ = 1 beachriebonon Kreiao Hegt, schneidet auf derselben von den entaprechenden Scheitelpunkten der kleinen Achse an gerechnete Bogen S ab, für welche die Relation

bR S, = s, + &,+S#— 4 —cos«

1 ElHpscnbogen.

115) besteht.

ä,4-& bilden zusammen e

Anf die Integral fonctlon

116) F{ip,)~F{'Pt,= F{Vi)-\-fX<PA)

t sich dae Additioostheorcm der elUptischen Integrale 1. Art mit 1 bekannten Gleichungssystemen anwenden. Erwägen wir, daM

riurrli TrnnspositioD ans dem obigon Aasilruck tiot'h die beiden (»1

Reiuli'u

bon'orgohen, unil fuhren ein

F(q,^)-F{q,^) = F{tS), nWil + Fifpi) - Fi6\ Welche mit den Formeln

cosö ^™ i:oB^,coflip,+ sin'p,siQ()ij^(ö), tiana =• cosqigcosipi — 8inq>j,siii<p4^/(a) verknüpf! sind, so bnt mau folgende symmetriscko Fnm'tion:

C08T,"— COBqOj'

1I7J

118)

119)

lÜLi) siuö = -

- toa?',8invj<^i5,)— cosiri,Biu7',^{f,) cos 9'a*^co3ip4*

008 (ps giu <p4^(qDa) — coH qo4Sin Q>g^(v*)

und in Vcrbindang mit andern bekannten RolatioDcu noch eine z»h1' reichu Menge neuer, Wir geben spiLter unter Benutzting der JAeobl> scheu Conatroction bezüglich der Addition der olliptJBcheu lotegnll eine weitere gcumctriscbc ÜurcbfKbning der bisher entwickelte Fnnctioneu ia allgemeinster Betrachtnug. Man bemerke noch iä» dl Formel 1U8) analoge Integralfunction

121)

/"Y'»"'-

■'»

Anf (lißse lif perelliptiBcbeü Integrale kommeD wir später znrDck WoniiL'iL wir die vorliiii gegebenen Funetioncu anf die Hyperi

122)

an ond setüen die »edingung a = fl + « voraus, so erlislten wir

Function

ISS) •■ ' ~

I iiÜjR

i/<,'+.>)(^"-/)

Diu Rcductiüii auf dio kauouisclic Form basirt auf

t)

2i , y = -YRs COaiö,

1 CB ist

»kann teil Methoc

woraus zunILclist 126)

Ferner ist nach bekannten Methoden

iJla siu o

1 c" = 4S», ao wird Z' = i, woraus

Setzt t

128) H - -

Demnach besteht fttr ^ = Acos^ ilie lutegralfunction

welche, wuDu 1/ Als RodiuavGctor einer Lern niskate r^ = f cusi^- m anfgefasst wird, Bogen dieser Cnrve darstellt.

Um auf Hjperliogen zn kommen, multipliciro man in 125} dmi Nenner mit i/ und beachte 121), dann wird i

130)

1+ ,

-Z^sinji

als oinc Somme von Hyperbelbogon haben.

Die geometrische Bedentnng von i>' geben wir

■Sollen diese Bogen sich anf die vorliegende Hj'pcrbol bezieben. t dnznfubren

■*-f4Ä# e"'

1

374 Oekinghaua: EUiptiseke InUgralfiMClumen

Ä —

132)

2 b

y — aC08^' — OC08 2"

Die geometrische Bedentang von 6 werden wir gleich angeben. Dem- nach ist

133) - - "^ "^ '

0t a& sina cos Tri/ 1— -• sin-g-

2^/1-^ Sil

Man verbinde einen Hyperbelpnnkt dnrch Brennstrahlcn mit den Brennpunkten, und bezeichne den Winkel, welchen ein Brennstnhl mit der Yerlängerang des andern einschliesst, mit 6, dann ist

x^ b^

134)

135)

Der Ausdruck für den Bogen

J h

bVW+?)W+cV)

gebt in Folge des obigen Wertes für y über in

,=.*-Y f-—

* / C08 ie* j/l — ?i si

— .»

136)

CM 1 / /r'

sin^e«

wonach dies bekannte Integral bezüglich seiner Amplitude eine klarere Bedeutung gewinnt.

Bezeichnet man in ähnlicher Art mit S den Winkel zwischen zwei Brennstrahlen einer Ellipse , so ist der von der grossen Achse an gerechnete Bogen durch das Integral

137)

ausgedrückt.

b^ p d\(d _

"^ / cosje»|/l — ^%inie^

und i'Ir« geomttrißei*, amiiFylurtc unrf dgnamiiieir Btdeutuny.

Wir haben diese beiden lotegrale ans deoi Grande eingefahrt, "*eil wir dieselben nachher bei einer dynanÜBchen Betraobtang nötig

Bezüglich der Ellipse ernähneD wir noch dos folgende:

Wird ein Ellipsonpanlit P, dessen Coordinaten « — nsin^, ]f=^bcosip sind, mit einem Bronnpankt f durch den Vector r ver- bnoden, nnd schliesst derselbe mit der ^-Achse den Winkel if» ein, so ist folgende Relation leicht za beweisen:

,)/Vf

-z*smtp''d<p

-''-'>/ vT.

rfj»

p" sin ^'

¥ 1~ ^Bin^'

S 13.

GeometrlHChe Darstellnng' allgemeiner Integrairnnetionen.

Von einiger Bedentung für die Geometrie und die Theorie der iqnadratisehen Gleichnugen werden die folgenden nnter allgemeinsten «chtspunktcD betrachteten Integra! föne Honen werden, indem die- selben geometrisch und analytisch anf eine grosso Menge bemerkens- werter, durch elliptische Integrale bestimmter Probleme sich anwenden

Wir fanden bei Betrachtung ' folgenden Fnnctionen

Kreis und Kegelschnitt die

')(»H-^(fi*-iÄ+.)»))(^+^(i»-(Ä-i)»))

'}S

^-|/V-i')(i/'-^j(fl'-(H+-)»))(ff'-^{o'-(ß-*)'))

Diese, sowie die nus aus ihnen dnrch Multiplication von x-^, z-' ...c* nnter dem Integralzeichen her vorgebenden andern Fnnctionen, sofern sie in den Rahmen dieser Abhandlung gehören, wordos wir im fol- gendes discutircn.

Die Integrale worden wir zunächst vermittelst der Ellipsen-

üet...yÄaM-.- ElUpU-rM Intryralfuar

traDsformircu. Nach EinfUhmiig der gegeboncn SubsÜtntioDen guH das erste Integral über in

'A?«*K<--i

'»(S<i

((«+,)._,,.,) ((ji_.)i_4.,

-')

'h"V'^:

iM-°f (i*-(Ä-*)«))(J ((Ä+.)«-6*)-»«^

Um dies Integral anf die Normalform ellipUscher Iur(.>gralc zo bringen, fuhren wir eine neue Transformation ein.

Wir bezeichnen, wie bekannt, die Entfernung dor Mittolpnnkla von Ellipao und Kreis mit /£, deren Nelgang zur X-Acbso mit n, and mit ^t^a^i^i die 4 Winkel zwiBcben R nud den Kreiaradien < den Sehnittpunkten beider Cnrven. Man bat also (Fig. H.)

^*+y'= «'+»" — 2R«coB#. also ancb

6« j/" = ,(2i{*cos9+u« — Ä» — .')

141)

X* = "j (— 2RjrC0S# — A" + R* + «').

Ftihrt man nun tliesc Ausdrücke in das obige lnti>gral ein. so 1 cinfucht sich dasselbe' ganz bedeutend, uud es resultirt Bchltcflalidi folgende interessante Integralfunction allgenieiuster Art:

a Amplituden a» folgumle leicht abzuleiteudc Gleichung

»Hd ihrt ;^am,l,Utht, am,ly.iHhe und ,tg,,a„ii»h. lJ,douti,;.j. 377

143) +2((o»Bino»-fi'co8o*){Ää-.»)-|-2jr*(o"cosö*+i»8ino»)— (i»i'}tgiff* — 2A{fi— s)8in2«lgl9+(K-ji)»(a'8iü(r'+i"(;OBo')-'.»6* = Ü

geknüpft siDd.

»Nach frUbercu Ertirlerungcn folgt taieraos tg J(&, +9, + 93 + ».) = ;^-=~ = -tg2«. voraus

144) i*i + iÖ, + iff3 + iffi = IW-a«. Fabren wir liün ModnlnB Z vennittelat

145}

4». _

ein and bcstiininou dio Vorzcichon der Integrale, so ist Aw Rulation;^

-PCiff.) = ni».) + F(i»„) + F(iff,)

ainu, +ara(t,-f ^'''"a""*"!«* = « — 2«

fdr dcu Pult gflUig, dnss die Gleichung 143} 'i positivo 9,&i&^ und 1 negative Wuniel 9i besitzt. (Siehe Fig. 8.)

Dagegen ist

unu, -)-ame*j — amu^ — amu« ^ ji — 'la wenn 2 positive d,d, und 2 negative 03 0, Wnrzola exiatircn. Endlich ist

ainui-|-aniU)-)-aniu^-|~^''^"j '^ " — ^^ wenn alle Wurzeln & poBitiv sind.

Geometrisch sind diese Moditicationea durch vorsubludenc Lagen des Kreises und der dadurch entstehenden Verschiebung der Schnitt- punkte bezQglich der Centrale leicht zu unterBcheidcn. Wie man sieht, sind zwar ilic Vurzcichoii der Integrale von diesen Lagen der Cuncu zu einander abhängig, aber sie folgen nicht den Wurzel vorzuleben der .\niplitadenglcicbuug , weshalb sie durch eine besondere geomc- i Untersuchung erst festgestellt werden mOffiten,

146}

147)

14!^)

OeliaghaHt: iLlUptifhi Jattgral/uHCi

Die Intogralc 2. Art werilou auf ähnlfche Art gofandco. luden wir an die Forme! 17)(1) orinnera , multipliciren wir 14t)) mil *• und tranBformirßD den Ausdruck

Bas Endresultat ist

160) y yf-^» sin ifti^ii^i+y Vi— z* sin iv'j*»

4-y Vi — -z*8in KaMjffj+yyi •"—zy -cos«

1 — Ä>8iuiV'^i*4

and die Vorzeichen bestimmen sich nach dem in 146} — 148) i gebenen.

Wollen wir eudlicb noch Integrale 3. Art in den Kreis der B&- tracbtnug ziehen, so erinnern wir an 17)0- DcmnacU hat man im Nenner mit ^ zu nmltipltciron und man wird oaeli uimgua loicbtem Rechnungen folgende Integralfnuction finden:

jit

^fe

"KOVi— ^*Bini*"

■'/^

(fl*+i»_,i)i_4itÄ*+4ft'R»co««<i

/;

Asiniff')yi— Z^sinJ»

arctg

Vir*-]

,i)»_4AijP

Diese von jeder specicUen Annahme nnabhSngigen lotogralfonc- tionen kOuuen auf verschiedene Weise geometrisch iulcrpretirt odw analytisch transformirt werden, wodurch die Falle mathcmatischor oder dynamischer Probleme, in welchen elliptische IntegraJe vor- kommen, mit den obigen Entwickelungen in eine nähere Beziehung treten. Die wichtigeren Verhältnisse dieser Art werden wir durch mehrere Beispiele iUustriren.

Der Integralfanctiou für die Ellipse

^/v

yi — Z»siniif* ' n'-(H— <

achliesst sich, wie ohne Weiteres erhellt, die folgende a

/7

djff

Wlalgli^ch^ uad dj/iia

. = C\ 7J =

4ÄI

Die Foimeln für die Hyperbel sind deneu der Ellipao

j£ii ..

Falls man für # aeineu SnpplementMinkel #' einfuhrt, trans- formiren sich die Functionen in diejanigen Fonncn, welche wir spättr aCtig haben.

Indem wir die Winkel, welche die KreiBradien nach den 4 Schuitt- punktou des Kreises and der Ellipao mit der verlängorten Centralo OR bilden, mit 0,0,' etc. bezeichnen, besteht die Gloichnng:

154) ((Ä— »)'(a»sinn*-(-i^coso')— aVjtgJd'*— 2c"»(n-j,)8in2ntgi»'> +2{(a*8inn*+i*co8o»)(fl*— .'j-i-aüVcosoä+fi'sintt')— a^fi^jlgifl'" — 2cVÄ+'}8iii2etgie'+((fl+*)"(a'sino*+i»coa(i*)— o'**) = U,

I Die Intagralfnncdonen fUr die Ellipse sind iii diesem Falle

'ffr.

'M

djo'

rfja'

I Integral (uuctionen für die Hyperbel dagegen sind

1

380 OekiHtfhaus: Elliptische InUgralJunctionen

In der obigen Amplitndouglcichang muss im letztem Falle — 6^ statt b^ gesetzt werden. Die Integrale 2. Art sind don soeben ge- gebenen 1. Art entsprechend. Wir wollen fftr diejenigen 3. Art noch folgende Function aufstellen:

157)

•h

und die outsprechend zweite für dieselbe Hyperbel

158)

s r <^i»' „ c

Ebenso hat man für die Ellipse

169)

= c

u. s. w.

§ 14.

Die Rcihencutwiekclungcn der elliptischen Fuuctioucn können wir auf die obigen Integrale anwenden. Wählen wir von den For- meln 146) — 148) die folgende

so ist bei Benutzung von

am« = ^^«+ 2 (iq_-i8iu^ +i ^^, sm -^, . . . j zunächst

= 21 . jj- glsm -^ -sin ^^ +si»-Vr — siu „ 1+ etc.l oder

d. i.

1

,(9,— »j+fta— **>=

.is'n«

r ttj — u, . 2jr Ui — M]

. , f/' . 2«», H,

Verbinden wir liicrnijt

.^, + e„ — #„ — ©, = ;(60''-

160) i(*»— #,|)

-2-''+nH^^'"'ä -jT «'"2 :ir""2 ":ff--) :

and dieser Formel schliessen sich noch mehrere verwandte ut.

ÜViu schon früher erwähnt, können darcl Binfahniiig der Atf^-* ilitiotiBthcoreme die obigen AusdrUclic erweitert und in gccmotrischem Sinuc gL'dontel werden. Domgemäss best«huu die beiden Relationen

r die Function etwa in folgender Fomi

I Grunde legen. Diu Vorzeichen sind den entsprechenden Lagen per Cnrvcn gemfiss zn beätiiuineu.

Alle anf die Additionsthcoremc bezüglichen Formeln zwischen den tplitnderi der Int^^grale geben auf die Ellipse oder Hyperbel be- 1 eben soriele sjmnietriache F'uactiouen zwischen den Wnmel- len der Amplitndcngleichnng.

[ So erbftit man »ift,cQsi&,— sintg,sini8^ig,^f jg,

llijff,eo8Jfl^^iff, f8inJff,cosJ9,^iÖ, i^j&jcosi ffj^l ff, fsin i »tcosi »a^jg, 162)

_ lT--Z^ntft,''giniV " 1— 2»sini»,*ainlV'

_ l-ir*8iniö,'siniV " i— .Z'sinJVsinJff,'"'

1— Z»8initf,Hm4»,» " 1— Z»flinj»,«8in"|»4*'

1 — <«i*sl«i'>4''i"''i'^>*«

^^

382 Oekinghaut: ElUptuche IniegraykncUontti

J(C) + 1

Die Division der beiden letzten Gleichangen fahrt auf

di&^ + ^i^l " sin i(&^ + ^4)

^j^t— ^i»2 sinK»^ — ^,) ^i^i — ^i*4 ■" sin i(^8 — ^4)'

welche Formeln eine geometrische Erklärung zulassen. Führen wir nämlich die folgenden Beziehungen ein

1 / 4ä« '

164) '^i» = yi-^»_^B_,)»'Aai»'

und setzen

AR*

woraus

cy

cos g> = — 7=====r- ,

ftVa» — (Ä— *)« so gebt 163) über in

165) Vi + yi ^ sinK^i— -^2)^

2/3+2/4 sin ^(^3 +"^4)*

woicho Formel sich auf den Fall bezieht, dass die Gleichung 3 posi- tive und 1 negative Wurzel besitzt.

Beachtet mau nun, dass durch Vertauschung der Indices noch 2 andere Relationen existiren, so ist die geometrische Erklärung dieser 3 Fälle diese:

Bezeichnen wir den Winkel zwischen dem 1. und 2. Kreisradius mit 2A' = i>2 — ^i und ebenso mit 2E^= ^3 4"**^* ^^^ Winkel zwischen dem 3. und 4. Radius, so ist (Fig. 8.)

2/1+2/2 sJii^

2/3+2/4 sinA

— «:^ i,ji*

beisscn die entsprechenden Sehnen zu 2E und 2K' S und S\ so ist

ferner

sinJg _ S^

sinA" ~ S'' demnach auch

^fertn

und äirr gtornttritchr, analgti--elif Hn</ dynanitrht Bnttvli

mas folgt, da£s uberti&upt die gegeDübersttthcndcn Seiten, sowie die Diagonalen eines Kreisvierecka in einem Kegelschnitt synunetriscb gegen die Acheen stehen.

Das Additioustlieoroni fUr elüptisuhe Integrale 2. Art ist be- kanntlich

E[tf)-\-E(,<(>') = i;(o) + Z' Bin (p sin v'sini).

Für die Function 150] bat man zonächst

f-<J*i) + E(i*«) = i5{(r) + Z*aini*,si[ii#,sintf, 165)

t:{^s)-\-E{^{) = E(ii)+Z*Bini*s8iniÖ4Sinö,

2ä „i/ä

~ zy - ci

also dnrch Subtrac^on, and wenn - äI/ - cos« =» C geaetut wird, 166) C= Z»8inff(sini.'>,Biniff, — sinii^jamätf*),

und dnrch Verlanschnng der Zeichen die beiden analogen

C = Ä*8inff'(— flin^tt, sin i*,-(-ain jffjBiniff«) 167)

C — Z»8in(j"(— sin}*,Bini*4-t-8ini#,Binidj), worin

sin i&, cos iir. Ji&. +Bin i», cos i^itii».

Die Verbindung der letzten Formeln ei^bt einige ncne Hymroetrische Gleichungen fQr die -1 Wnrzclu.

i In ahnlicher Weise erhlLlt man solche vermittelst der Integrale

S 15-

I

^^H Die Tolgendo geometrische Darstellnng der olliptiscben Integr»!-^ '* fonctioDcn geht von der von Jacobi gegebenen Constmction des 1 difionstheorems der elliptischen Integrale 1. Art ans.

Dieselbe als bekannt Tomossetzend, haben wir nach dem Vorher- gehenden

168)

Fi», " Fi» - Fio*

•• Kllli,lUcht l..l,.j,.,lfua.

der lilcinprc r. tXi f

Der grösspre Erois habo dcu Radius «, träte sei A, uiao wird dann habeu (Fig. 9.)

,^ - Vl"-^'mi*' . ,^ - cos i»,

r = fjt+/.)i;osiff,co8iv», + (» — Ä)sinift,Bin};f„

r = (j' + /i)C0Bä'''aC0Si.'M — (« — Ä)siu}ft55iiilff4

woraus, wenn »i negativ

*— A «— i

008j#iCOBjff,+— rTsiui*,BiDia, = co8itfjCoBjfrt-f8ini.9aainlfli-j-7

Diese Formel lässt sich in die folgcDdo Dhcrfahreu

169) ii<;osi(ff,— .V+''<:osi('''i-HN)=''(;o8ä(ft3— ö.J+/.co8i(*,-H'(>,

deren geometriscbc Kichtigkcit aus der Figur leicht uachznnoiMD ii

Wir Lttlbiren die Winkel y, und )■, durch GL-radc, wdcbo bcxtl$' lieh fUi' doH Centrnm O zwei Ceutratou 00' und Off' bcsUmmeB wovon die erste A, , die zweite Aj beissen möge- Von dem Schnitt pnnkt A derselben mit dem Kreise um O ziehen wir zum innon Kreise um O' eine Tangente [,, ebenso eine zwL'ite Tangente (t VM A ans an den tLusseni Kreis am O^, beide Kreise berahreu bcxflglid die gegenOberstcheudcn Seiten des Kreisvierecks nud nllchst für den iuneru Kreis

4«Ai

Ferner ist vermöge e

= Z'sin \if*, ■ Permutation von

171}

mitbin

(7+fe>=^*-*"''

:*»*-

Endlich kann man auch für alle 3 Perm ntatio neu der Funotioui.ii, welche sieb auf die Durcbschiiitt« der gegen Uberstehondeu Seilen Diagonalen des Eroisvierecks beziehen, allttemein die nachstohendi Relation aufstellen:

172) Z« =

(.' + !>,)'-

SO dasa mau hat

<n,<l dj,™

173)

IXt Centrale kann i

: A, : ig "■ (,» : (j* : (,*. beliebige Rlchtuag geben.

Die Hall)irungB]inien der 3 Winkel YiYiVa ^'"'^ ^° einander parallel, bezüglich senkrecht, demnach ist das VerhältniBB z. B. \

,' fOr alle Kichtungeu der CeDtialen ein conntantes, da ' constant

ist Demnach resaltirt in Beziehung auf 171) folgender Satz:

lat in ciutm Kri'iaviereck der durch 2 gegen flb erstehende Seiten gebildete Winkel ;■, durch eine Gerade jl/, ebenso der von den an- dern Seiten gcbiideto Supiilementwinkel y^ Unreh die mit il parallele N halbirt; wird ferner durch don Kroismittelpunltt eine beliebige Gerade ,lüä gezogen, die jene Geraden in O^ uud Oj schneidet, and sind letztere Punkte Contra zweier die Seiten des Vierecks entspro- cbend berUhrender Kreise; bezeichnet mau endlich die Centralen OO' und OOj mit A, und A» uud die Tangcnläu von A nach beiden

Kreisen mit c, und i:,r so ist das Verhältniss ' ~ r~t "^'"^ constanles fflr alle durch 0 gebenden Geraden.

Allgemein ist in Bezichuug auf I7a) das Verhältniss der drei durch die die Winkel y,Y»Ya halbircudcn parallelen Geraden be- alimmtüii Centralen /',/<,Ay uud damit das YcrhiiitniüS (, t (j :la der 'Tangenten an die Kreise fUr alle Fitlle constant.

It -Tane

i

Wir schreiben die Gleichung

I folgen de !■ Form

"* + *3 — »*) S'u i(*i — if» — ''3 + ff*)

IJ-t)

^^^ «sin j}-, sin ^y^ -f- h sin iy^ cos a ^ 0.

^^^K Man kann aber folgende Kelation leicht ableiten

^^H Bezic

siu j}',sini/isin j^;, = 1 Folge von

sinäj',siniji,sinij's — -co8nsiu|y"

t Beziehung

175)

sin iy'

It i»

s allgämein besteht. Es ist darin p = hcQaa. L B. nj*. a. Mb*. Tfll L

Ofkif

: Kll{,.l!,rht hl,

Wpü dip gogonflbersl^honden Seiten des Kreisvierecks gegen üt Adisen gleiche Neigung halieo, so müssen ilire winkelhalbirendeaGi raden Uberliaupt zn dreiou nnf der JT-Achsc senkrecLt stcheo, «jü reud die übrigeo dereelbeu parailet sinil. Demnach iat Acosa — p die Projection von li anf die A-Ac)ise d. i. auf die eouprecbeiid« Winkel balbirendc Gerade. Damit wird die foroere Betrachtong toi der Ellipse onabhängig, was auch auf andcnn Wege IcicJtt nacl weisen ist, and wir gelangen zu folgenden neuen Resultaten.

Wir betrachten ein Kreisvicreck, dessen Seiten und Diagonalen, wie oben angegeben, die Winkel j-, y* ft einschliesson (Fig. lU.). Geraden, welche diese Winkel (Nebenwinkel) balbiren, sind n eii- andoF parallel, bezQglich senkrecht. Dein entsprechcint Eiebcn durch den Mittelpunkt zwei auf einander senkrecht stehende Gerud*^ wovon die eine dreien jener Geraden, die andere den ftfarlgen parallel ist.

Nach Feststellung bestimmter Bezcicbuuugcii der Winkel 1 man nun

00. bi '	Pf sinixtsmi^a . - .inj,,
0O«J).,COBj)',	p. Bin hl sin ir»
co.i,, ■	.inift
CMjnCOSi,,	Pi .inii-iSinlft ■ " «iulft ■

Die Multiplication dieser ÄusdrUekc ergibt PiPafsl'tPfiP'i

= isinj'iB

i^iBinr,.

177)

Die Division liefert

178) •■-"■''"■.

PiP*P<\

Ferner folgt durch MnlüpIicatJon zweier cntsprocbL'ndon Ansdrückel

= cot J)'jC0ti)'(C0tJ)'3.

FiPi _

cOBjj-a"

PiPb _

cosih", 2fP = cosiyA

??f* = sinir.^ ^^' = sinift». ^" = siniyA Die Addiüoü der unter einander stehenden Formeln ergibt J 180)

PsPs+P*Pb = **-

r

fr w

Wir hnbeu also folgenden Satz:

HalbiK man in einem Kreisviereck ilie Winltel zwisclicn den gpgennborstchondeD Seiten und den Diagonalen rfuicli GerfiJe; ziclil man ferner durcb das Cetitruin 2 Gtraiie, wclelie boziebungs weise xu dreien der erätern parallel sind, nud bezeichnet die Entteniungeu der Scheite Ipuuktsprojocti 1)110 tj der ö Wiiiki'l auf diese Geraden von C dnrch p, jn.. p^p*, p:,Püi so ist die Summe der Producle entBjirochen- «ier Projectionen , d. i. ptPa-^-Ptpi '^ PiPi+FiVn ^^ P:\Pi,-\-I»Fa ^ouBtanl {fleicli dem Quadrate des Halbmessers.

^^t Mau kann aus lld) Doppel Verhältnisse mo x. B.

Pi(Pa — Ph) _ raiPb — Pi) '

Pi(pi - P»(Pi\-

bildcn, die iu Epcdcllon FJÜIon in harmonische übergehen.

im)

fern er ist

Ans /'/+7'** =■ '^i* folgt uiter Beuutzung von 17t "7» 8in"i}^*~ "*" " cosi/,»

I

Gleicl 182)

■

sin Jj-j*

Einij'i*8in^i)'i''

sin iy^*

cosjjv^cosi/s* cos ij-s*

I Bio Iclztern Formeln lassen sich aus allgomeincrm Gesichtspnnkl y folgt ableiten.

Auf 8i^itG 169 unserer Abhandlang; Trigonometrische Anflosung t^aadratiBchcr Glciehnugtm (S. Archiv 7Un) haben wir folgende Gleichung aufgestellt:

182) COB)-»-

+( "O (a*sin9)^Ä*c08gi*J — 1 Icosj' 2B*(a''+6')(a'simp'— A'!co3ip')-f-2.<'ft'.:

-("'-^-^J«'

wofür wir schreiben

coB y* — j4 coB y* -j- ß cos )> — C = 0. I Hieraus lassen sich nuchstclieudD Relationen herstellen A-\'C .i' sin ip^ — ** COB gj* l-j-Zf " u*siii<p^+i*cos?i* \-\-B~A — C

l cot tp"

388 Oiki-ghau.: Elli,.<i.rh. /.,l.,/ral/«nni.m^

vermitMst dieser letzten Fonnel kaiiti mau aus der erat^ » e nireu, man tiudct

l + Ä-^B-i-C , 1— a-4-5— C 8K»

fl-fco3)',)a+co3)',Kl+co»j'g) , (1— coa7t)(l-CQgy,l(l— coafa)

oder

182) £=™

DioBO Formol gilt allgentein fQr Ellipse ond Hyperbel. ftiM i fOr ilio Asj'nijitoten der letztem, wenn wir hcaclitpri, dasB

o* \ ' (iV COB iYx* u. a. w. ist, man lindot dann

183) - _ ^8jy,Scos M^ , atnjy^'sigjya' •- co9iy,^ ' sinjj',*

wie oben aDgegeben.

Beide Formen 181] uiid IH'i) lassen eine Vergleichang tn.

Nach dieser Absuhweirnng keliren wir wieder zn nnBcmt Kr znrack. Wir wollen iu den Pnnkton, wo die Halbirangslinfm Winkel yt and y^ den Kreis xunächHt treffen. Tangeulon bii i Dorchactinitt mit den gonannton sonlcrccbt aufeinander Geraden (Projoctiunaachseü) ziehen und die Eotfernungen der Schnit punkte vom Ccntrum mit /*, bezüglich /'j bezeichnen

ptr. = «s, also uacli 179) ain iy^^ = ^J , femer Isl p^l'^ -= *». ffl* auch cos äy;,^ = .J ■ mithin folgt ans

184) P+%-'

der Satz, dass der dem Centrum gcgcnflberlicgendc Eckpankt d( ans p^ und p^ gebildeten Rechtecks in der Geraden liegt, welch« j« Schnittpunkte der Tangenten nud der Achsen mit einander verbindi

Die VerbältnisEo lassen sieb geometrisch noch weiter aasdohne wonu man die Entfeninngeu der Durchschnittsimukte der gegooUbe stobenden Seiton sowie der Diagonalen cinfttbrt. Dieselben

„,1 dgn„

niltelst IHU) goheu dieselben ttber in

Ot man Bezog auf die Formel

^ "■-/ ■-=^'

Bsnltirt ans dcu letzten Gleichnugen

, Für die harmonischen und polarischen Beziehungen des Kreises likfieen sich aus dem Vorstehenden nach mancherlei interessant« £r- S^Bbniase erzielen.

II Yorbiodet man nämlich die Uitio von rJIittellinie (j, so ist E J?,2+fi,2 = 2(,H

r mnacl

1 mit dein Centrnm dnrch

^ = 2V— 2<.a_j_^, oder

«3 = 4(1^« — *3) ^iTa^, Tangente von der Mitte von z zam Kreis bezeichnet, imnach ist s = 27";, oder T^ = „- Verbindet man endlich den Bo- ruhningspunkt mit den Durchschnittspnnkten u und V der gegou- libersteheuden Seiten dnrcta 11^1 "ai so ist »:i* + "j* = 27'j*+2 —=', «icmnach bilden ugcr^i ein rechtwinkliges Breieck, was auch schon ohne Rechnung klar ist.

Für x' = ßj»+7?a*— 2»* folgt analog x = 2T, ebenso y = 2'/^,

-wo 7", nml ■/', Tangenton von den Mitten der x und j an dcu Kreis Iwdenten, und ebenso folgt, wie vorher Ui^ + Vi^=:x*, «»' + V = ff*-

Die Winkel zwischen ß,ff,, üjÄ.,, yR^ßa 9*^'**° bezüglich ä, , ^„ Iftsat sich leicht nachweisen, dass dann

I >, Iwdent

I

Otkinshaaii Elli)>ti^chi tiiltyral/uii

ist Demnach ist auch

189) X«— ff» — fl,» — Bj* etc.

so dass also die /^„ 71,, /f^ anf x, y, x senlcrcclit stcheu.

Wird die Projoction von Ä, anf Ä, mit ■)., die von ß, aa[ Si mit 9, bezeichnet, so folgt ans

)B die Tangenton von U und t' an den Kroia dnrcli die Schnitt- punkte von X aud y mit dem Kreise gehen. Im Üroieclc cy> liepo also dou Seiten ryj die Winliel 8. 6^, 180" — d;, gogcntlbor.

5 16.

Die mit Hülfe der GlciohuDg 1-13) abgeleiteten Integral fniicliouco regen den Gedanken au , ku uulorsuchcn , ob die GleicUuug selbst auf ahnlicliu lutcgralfuuctionen führt, wenn die Formeln des §1. be- nutzt wordeu. Dabei haben wir aber zu bcaebtoa, dass die CodS- uicntou dieser Gleichung nicht wie bisher ganzti, sondern gebrochoue Functionen siud, diu lutcgralcoustante demnach kein voUstAndlgn Integral melir ist

In Folge der bckaunlcn Methoden erhält mau

J U

191)

Um auf die Nonnalform elliptiacher Intogralo zu kommen, setzen wir

«'.

und mau bnl

woraus durch Addition

J "I

i = ., woraus

nnd daB lotegml geht über in 193)

I sin ifiM

und bezieht sich auf oiue Ellipse mit den Halbachsen A nnd B. In derselben haben * und •«/ folgende Bedeutung;

Sclilicsst die Tangente eine strahl den bekannten Winkel & der Normale und der ^-Aubse,

ElUpseupunktes mit einem Brcou- ^in, üu ist 1^ der Winkel zwischen ie man leicht tindon wird.

Demnach bezeichnet das letzte Integral nach Irüherm einen von dem Scheitelpunkt der grossen Achse gerechneten Ellipscnbogen S, und die Snmnic S.S der hiernach bestimmten Bogen ist eine constaute Grösse und zwar ein Ellipsenbogen.

Wir betrachten noch die Integralfunctiou 157), um dieselbe für die Hyperbel einzurichten.

Fuhren wir demgem&ss in

<IW

iBeziebiiiigeti

rjSini»,»

b SO hat man die Bedingungen

) crhdJt man R aus

/EA±v^!£

Öl

1 ebenso erhält mau ans

392 Oekinghaus: ICUiptisehe IntegralJmmetiümeH

(Icu bokanntcn Ausdruck

y « YäcosJ^' (vcrgleicko 124)).

Die Winkel ^' » 9 sind demnach identisch und leicht fllr die Hyperfoelbögen zu definiren.

In Bezug auf Ellipscnbögen können die Formeln ebenso leicht combinirt und die entsprechenden Amplituden geometrisch bestinunt werden.

Wir wollen hier noch auf eine Formel aufmerksam machen, welche eine Relation darstellt zwischen den Wurzeln der Gleichang

'j^—\R jj cos«.a:8+ ^_ Lr ^^ cos o»+ 4Ä«^*8in o« + 22.) x«

— 4/2 ^^ Z, cos « . «+ ^4 (£.« — 4A« Ä« sin ««) = 0

und der grossen Halbaxe a.

Schreibt man dieselbe

x^ - Ax:^+ Bx^ — Cx + D = 0

und iKTCclinot die Invarianten A''' — iAB-\~^C mid A^D — C^, so rr- hält man durch Vcrgicichung beider den Ausdruck

194) a^A(A^ — 'iAB+SC) ^ MA^D — C'^).

Die Theorie der biquadratischeu Gleichungen zeigt, dass der- selbe durch

a^(Xi+.r2+X;j+j*4)(j'i+:'-y--^3— ^4)(^,— ^o-fj-;,— X4)(^,— X, ^a-H**) dcfinirt worden kann. Man hat also

195) l-

V

{x^j\,—j'.^XA){Xyr.^—J\^XA)(X-^X^—X^J'^)

und ebenso

(.'/iffi— .VntftXyif/a— tfiytXyiy«— gaga)

' (!fi-i-!ii+t/s-hji)<yi+st~!/3—!/i)('Ji—i/i-\s3~'y*iiSi~ih—i/3+p*)

Botraclitet man die Grössen r^x^x^Xi uud fornor VitfiHaVi f^l* SoilGn eitles Kreis Vierecks, so ist, gemäss der Gevliaril'Bclicn Formel, der Darchmesaer des umbescliriobenon Kreises im ersten Fall gleich der grossen Ilalbaclisc n, iui 2wcitou Fall gleich der kleinen Ualb- ocbse i.

Für diu Hyperbel gellen amiloge Forinelii.

^^V Einen bemerkenswerten Fall für die Anwendung der elli{)tiscLeii ^^Htegralfunctionen bietet die Gleichung der elastischen Curvi;. Ein

l'^^ümatiseher Körper, ein eleicbfömiiger gerader elaBlisthcr Draht werde an einem Ende festgehalten und am andern Ende \on einer in der LlLngenaxe wirkeuik-n Knift angegritfcu. Kach der Elastitfits- lehre besteht dann der Ausdmck

Anwendung der Functioiieu auf die ela^tlsrhe 1.'urTe.

197)

= vi%

worin g der Krürnmungslialbmesser im Punkte j-y der IJurvo bedeutet^ Die Constantc vi} hängt von dem Biegung» widerstand und der Spai nung der elastisuhnn Feder ab.

Vermittelst der Formol für den Krümmungsradius bat man

•■=(5)

) Integration fuhrt auf die Gleichung

I der»;!) oi'liüit mau ferucr duii ISogcu

B> . S-iA'f — ''» .

394 y.t.«.7*n«
l!«)b . =/y(2^^c^-,«)(2^«-C'+rt
Fahren wir m 198) ein, 80 resaltirt	S = ^'
2110) ff*= C*+2A*c	OB». 8. d. Fig. 11., 12., 13.

Dioac lutegml« könaon wir obnc Weiteres mit lieu lutcgnl- functiouuu l'i'i) iu Beziehung briugou, weuu fulgeiiile Deiiiugimgeii vorausgesetzt werden

2j«+c« = *;(«»-(Ä-,)»)

s lii'U Foriiidii

(„»_ß._,*)+2-

-Ä> — J.' + 2ff*C0S9'

daas diu EllipseuordiDaten mit den bczQglicheu dor elastischen Linie identisch sind, und dass ferner der von uns eingefilhrto Winkel ^ kein anderer als der entsprechende Tangenten winkel der genanntea Cnrvu ist. Betmchtft man demnach die beim Durchschnitt dncs Kruses und einer Ellipao entstehenden Ordiitaten als solche dcT idastischen Curve, so ist für allo Lage der beiden ei-aten Corven bd eoustantom li und » die Summe der entsprechenden Cnrvcnbogen itt dor letztem, d. i.

sofern die obigen Bedingungen 202) erfüllt sind.

Im Anschlnss bioran lässt sich ferner geniRss der Formel 199)h eine zweite Summe für die Abscisseu

bilden, die leicht £u bestimmen ist.

f "Wie man siolit ist eioe positive Grösse, dagegen kau»

'*)

positiv, iidII nnd negativ werden, und wir benierkou dabei, dass die mannigfacbCD nnd intcrossaDtcn Formen dor dastisnlien ('urvo an die

> Bedingungen 2J^ = C" geknüpft sind, welche in unserm Fall von <

> Ellipse und Kreis durch die gleicliwertigeu E-\-g = a ausgedruckt

< werden können.

Die erste Ungleiehhoit R+s'P'a fahrt auf symmetrisch gegen tlje Kraftlinie liegende Curven, während für B -)-»<;« solche auf- treten, in welchen sowohl Maximal- als auch Miidnialwerlc dorllrdi- uaten vorkommen und ^ unbegrenzt wachsen kann. Die üedinguug R-\-i ^ n führt auf ein l'iHarithmisehes lutegml.

»In analoger Weise lassen sich die IntegralfiinctioDen der Hyperbel die besprochenen Verhältnisse anwenden, lu Betreff der Curve sehe man nach : Handbuch der theor. Physik von Thomson und Tnit, deatsdie Ueberselzuug IV. S. 134, welchem auch die 3 Figuren entnommen sind.

§ 1«. .Viiiventluii;; uuf die Peudelliew

Wie wir vorbin die statische Bedeutung der Fuuclion au der elastisciieu Cnrve dargestellt haben , wollen wir jetzt die erstem auf ein dj-nauiischcs Problem, die Bowegnng eines scbworeo Punktes im

icaleu Kreis betreffend, anwenden.

Wie bekannt, fuhrt die analytische DurchfUiirung iJieser oiD ZeitiDtGgral von folgoudor Art:

A ufguljc

fvr-

1

396 Otkinghauai EllipHache Inleguüfwnttumen

Die Bewognng geht in einem vorticalen Kreise ?oin Ra^^^ i vor sich. Dieselbe beginnt im Elongationswinkol a mit der Anfangs- geschwindigkeit tq, nnd t bezeichnet die Zeit, innerhalb welcher der Punkt ans der Lage a in ^ gelangt, nnd es ist

9d^

y ÜQ* + 4^« sin \a*—ig8 sin J^

In diesem elliptischen Integral hat man die 3 F&Ue

204) Vq^ -f igs sin Jo* « 4^# zu unterscheiden.

Wir werden nun zeigen, dass unsere Integralfnnctionon der Ellipse und Hyporbel auf die eleganteste Art sich auf dieses ZeitintQgral auwondeu lassen, und dass in geometrischem Sinne die daraus er- folgenden Relationen manches Bemerkenswerte zu Tage fördern.

Die Intogralfunction der Elipse ist

205) 21 I '^^^- = 0.

n rfjfl

/ f/i— ^^'

_ ,,sini^«

Indem wir beide Integralformen 203) und 205) ideutiticiren, geht letz- tere Function über in die folgende

20G) £1=0.

Die Bediugungsgleichung ist dafür

Hieraus folgt zunächst, dass Z unabhängig von b ist und dass ferner 20b) 7ü2 + «2_2/^scoso = a^— V (Fig. b.)

Die linke Seite dieser Gleichung hat eine einfache geometrische Bedeutung. Dezeiclmen wir sie mit p*, so ist g die Entfernung des zur Amplitude a gehörigen Kreispunktes vom Ellipseumittelpunkt. Es ist also

200) g^ = «- = y,;^-

" T\r.

lud ikrr geamilrUcht, a-ialyliie!ie und di/nauiüchf llcdeui

Dreht man die Figur in verticalef EHeue so, dass die Strecke R in der Richtung der Schwere liegi, önd lässt im Kreise * den Punkt volle UmlJiufr macheu, so ist 2<1 oder W-j-» <; o d. i.

gellt 2(19) ilbfr in

Iß.

9 <ia and für die Gcsehwindigkeitsliöhe k ^

210) e' = a^ — 2Rh nnd 306} in

211) ii-lt^h — h.

Pnnkt durchläuft also die Kreisbogen PyPi und /'jP^ in glei- Zeitcn.

Man bat also folgenden allgemeinen Satz:

die Geschwindigkeit eines auf einem verticalen Kreiso sich bewegenden schweren Punktes an einer Stelle = r\ ist, und man rer- hindot diesen Punkt mit einem anter dem Ccntruro auf dem verticalen Durchmesser liegenden Punkte 0, dessen Entfernung vom Ceulrum mit R bezeichnet sei, durch die Strecke p. so schneiden diejenigen Ellipson, deren Mittelpunkte in u fallen, und deren grosse natbachseu ^bn gleicher aus der Formel

bestimmbarer Lftuge sind, auf dem Kreise Bogen ab, von welchen 2 ents|>rechende von dem Punkte in gleichen Zeiten durchlaufen wer- den. Wie also auch diese Ellipsen in ihrer Ebene am ihre« Mittel- punkt gedreht werden mögen, in allen Logen und bei veränderlichen kleinen Halbachsen innerhalb bestimmter Grenzen sind die Zeiten, welche zum Durchlauren dieser gegen Überstehen den Bogen erfordcr-

rsind, stete einander gleich. Bb ferner die Geschwindigkeit des Punktes durch r = — * - -.

and

durch

ll^vn

.Z»8in P'

> .rfami»-Vl— Z*8iai&*

-^^ ausgedrückt werden kann, so sind die Gc-

gctawindigkeiteu des Punktes an den Schniltpnnkien beider Gurren in Folge der Formel ^ = "^V ~h- T ^^^ entsprechenden Ellipscn- nrdiuaton proportional.

Verraittelsl der bekannten obigen Relationen

mul bcmerkcii liabd beiläufig, dass ftir t — IC =!• dieselbe niif » frUhpr behandelte zDrückgefUhrt wird, indem y = (cosqi ist.

FQr ilaB letzte Integral gilt die Bediugang, da«B die ( digkcitstiübo des Punktes in der tiefetou Lage kleiner als 2> ist. i Dewegung ist also die des gemoiiii-u Pendels uud man kann dieselbe in dem Punldo beginnen lassen, wo «^ — 0, also ^ ^ n ist. Der be- treffende Funkt wird also dnrch einen der Schnitt punkte des I mit dem die Ellipse nniBchliesscudeii Kreis bestimmt.

Immerhin aber ist die Zeitdauer der Bi;we^ug in den chenden durch die KlU]iaen begien/tcu Kreisbogen dieselbe.

Im Falle R+t = Gescbvfindigkeitsbölie =

n oder i'''+li!i«fiinie'' = 4j« ist, wird 2jt, das Zoiüntegral wird logarithmisch

^^*logt8(45"-

213)

und der Punkt nahcrl sich der böcbstou Stelle asyraptotiscli , ofaaa sie je KU erreiL-ben. Auch in diesem Falle gilt noch immer das oben angcgeboue Gesetü der Bugen gleicher Zeitdauer.

Wie im statischen Problem der clnstischeu Cnrve, so treten alaO ebenfalls in dem verwandten der Pcudolbuwegung die nnterschräden-

> den Merkmale in Verbindung mit dou Bedingungen W-j-.

> aof.

l''mirt mau in 21U) g " ' «|UttdraHsclio» Gleichung

<

-/( ein, so sind die Wurzeln der for B

§ 19.

Die bialipr entwickelten Resultate lassen sich erweitern,

einige Transforniationen eingeführt werden. Man wird dann tiiid«!

dass auch die llhrigcn Ellipsoubogen, was aus der vorigen DarsteHoni

nicht zu ersehen war, einer Deutung filhig sind.

Wir gehcu zunfichst von der Hyperbel ans, kürzen aber liie Be- dilnogen ab.

I Winkol ft erselzt-n wir im Folgenden ilurcli seinen Ni'bmi-

Die erste rntegralfDDction der U)-perbel ist

Ä— »>o oder « — /;>fl.

Die Fornif!, wekhe diese Fnnction mit der Pondelbnwogung vtr- knfipft, ist

215) Q*-o* = " i<^ = -2Rh.

9

nnd mit dieser Dcdingungagleicbang siebt die folgende

in Verbindung, welche ausdi'tlckt , daaa die Hyperbel vom Kreise 2 Bogen gleicher Zeitdauer abschneidet. Ebenso sind, wie bei der Ellipse, die Geschwindigkeiten in den Schuittimnkton beider Cnrven den Ordinalen derselben proportional.

In ähnlicher Art folgt ans der zweiten Integralfunction der Hyperbel

dl*' 216) '^ ■ ■ ■

die Formel 317)

iv^-

Ut

-*)»+i»

sinj*'*

i:<i

9 damit die Relation

', + ', + '. + '4 = 2'. \ 2t die volle ümlaafszeit bezeichnet. Da man letztere Formel auch so schreiben kann (,+(. = 2i-((, + g,

\ folgt nach richtiger Deutung dieses Änsdmcks, daas für diese dnreli ) boBtimmto Dewognng die beiden Kreishogcu, welche durch ge- inle Uyperbetäste begrenzt werden, in denselben Zeiten von dem dtte »irackgelegt werden.

400 üarnyAnu..- KlIiptütAi Ji,lit.j.at/iu,tU

Die G«schwi]idigkeiten in den Sclinittiiunktcu jeut den bezUglii-hen Absciaseu proportiooal. In welche Lagen alu Buch die Hjiiorliclu bei restem Mitlelpankt goljracUf werden, tnnei bcgreuüeii aio Lagen gieii:ber Zeitdauer.

Man bemerke, dass der Modulus der ersten Function kein i, dn der zweiten kein a enthalt, dass fi?ruor die vorgetragenen SUca nod für die Annahme a — A — 0, also für die AgymptoU-in Gt haben, nnd dass der Uodolns im letztem Falle in Z* — , ^r-a; übergeht. Die beiden lutcgralfanctionea fallen demnach in <>uif in- , und GS hängt die resulttrende

iw-

iiit der IWatioii

sinifr'*

yj

Dcmnacli kommen wir anf die schon &-Uber botrachtetea graUanctioiioii des Kreises zurftck, welche also uor spociello FUla sind, weil die durt durch die hnrmonischon l>nnkte des Kreisw ge xogeuon Geradeu durch Kogelschnittsliuieu ersetzt werden kannui Eine weitJJre Detraehlnnjj für diese Asymptoten ist also unnötig.

Wie wir sehen, schlössen die oben angestellten IteLracbtnaga fUr die Hyperbel ilire Asymiitotea mit ein; es liegt demnach di Frage uahe, ob l'Ur die Ellipse Olinliches zu tiiidcn sei.

Wir worden im Folgenden sehen, dass zweien sieh schnuidendd Geraden der Hyperbel 2 parallele Geraden der Ellipse znr Seit

Stelion.

Wir betrachten die folgende Integralfunction der KlUpso

wonir

e* - i' = I' v^ - im

St = 0,

Diese Gloichangcn gelten fUr alle Ellipsen mit constAutcr kleä Achse 6 und unveritndorlichcr gi-oaser o, dn let/t^rn iu dem Fora

ivT-

niclit vorkommt. Mitb-n gelten sie auch nocb f(lr eine Ellipse, iloroa grosso Äcbse uuPndlich ist. Die Curvo wird demnach zu 2 i>ftrallclen Geraden (Jegcneriren,

Die in § 18. besprot'lioiieu EllipsenverhältniBBe finden jetzt ihre Erweiterung, iudem für die vorliegende Function auch die übrigen

Eliipaonbogen vermittelst der Formel

ihre (lyuainiscbu Duduutüng iThalteii. Im L'cbrifrcn bleiben die Er- Ortemagen wie früher.

Die analoge Function der E"ii>se

ivv

t anf entsprecbeude Verbältniäse.

Hier iutoressirt ans besouders das Folgende:

Der Modnlns der Function 316) enthalt b, lüsst man dieee GrOssc k Null übergehen, so gehen, o = fx voransgesMzt, die Fnnctioni'» die betreffenden Zeiten in den Fall der Integralfunction des

Kreises Über, da ja Z- = - , ,, wird. Von den gpedellen Fällen ist also der für die uneudlieh lauge Ellipse der allgomcincrc. Dabei haben vi'.r 2 Fälle zu unterscheiden. Da der Mittelpunkt dieser lang gestreckten Ellipsen in einen beliebigen Punkt der grossen Achse gelegt werden kann, so wird » — R entweder grösser oder kleiner als b soJn. Im ersten Fall umschlicsst der Kreis wm Radius h den von b, and es ist die Formel

'. + <* = 's-', hierfür die entsprechende (Fig, 14.). Demnach werden die durch (Jio parallelen Geraden gctreuuten Aussem Kreisbogen in denselben Zeilen beschrieben. Für fi — o fallen di« Geraden und damit unsere Be- trachtungen mit den über die IntegraUuDctioneu des Kreises ange- Htelllen zasammeu. (Innerer barmouischer Punkt.)

Im zweiten Fall Ä — «>i liegen die genannten Kreise ausein- ', uad die letzte Formel gebt über in

'.+'= + '. + '4=2'-

Wird auch hier i — u, so ist /, — i„ und (, = (4. und es ist

Der Ellipsenniiltclpiiiikt wird ilana zum äDsscrn IBrinm Puiikt für die Intcgralfuucüon des Kreises.

Die Formel für die betraclitolen beiden Fälle ist

0» — J* = 2AÄ =p».

lie ilUst noch elfte Ä + - prhalt

in welcher p als Potenz anfgefasst werden kann ; pinfaelie goo metrische Constniction zu. FUr p = ans {lt-\-g)^ — b--^2hH die beidan Strecken

ii = /.— *+y(A— *)«— «»+6*.

Für bcBtimnite (k-schwindigkeitsliAheu fc in einem Kreise tna bekanntem Radius c ond für constante Ilalbacbsou £ oiuer Ellipse von beliebiger grosser Achse a beatcUen deinnacti zwei AnsdrOcke tlir die Centrale Jl beider Cnrven, welchen 2 Zeitrelationen ents)irech«d. Sehreiben wir darur die lutegralfunctioDen

-/

.fja'

vi— ^*Bini>'»

= 0. Z

/y

rij&'

- 2jr,

gO ÜKiinerkl inau sofort, dass die ubi^fe Äbloitnug mit der befcanat Jacobi'sclien Ooustruction des Additiousthcorems der elliptiscbeu Im graie in Verbindung steht. Dabei ist es wichtig zu bumcrkeu . di statt der beiden durch den Abstand '211 bestimmten Parallelen difl Ellipse eingeführt werden kann. Dreht mau also diese Ellipse in ihrer Ebene su, dass ein ^, etwa i)^,, verschwindet, so erhült ms den Innern Kreis

'Ijh

Vi— Ä»8ini^,"

<H»t_

/j-^:»Bin iV'

J Vi— if*8iuj*.,' J

fUr den äusseren

/ _ ^.__ ^ I f '^*'^^_- ,/ Vi — -Z'siui»V </ Vi— J?»sini»V

^J Vi — i;--8ini3V Das Absoliiiflied der Gleichaug 154) wird derauai-h 0, oder ist

welche Formel für -i — a: in die bekannte Relation

und ihre (feometriHche^ analtftigche und dynamische Bedeutung . 403

(Ä+«)cos(90<> — a)=Ä übergeht und die geDannte Gleichung wird zu

tgi^'' + (l-^) cotatgi^'«+(l+^- Jcot ««)tgi^'

+ ( 1 + p) cot« = 0 woraus

und noch andere Formeln sich ergeben.

Wir gehen jetzt über zu dem Additionstheorero der elliptischen Integrale 2. Art.

In § 13. haben wir eine Function dieser Art aufgestellt, welche noch für den jetzigen Fall einer kleinen Transformation bedarf. Man findet nach Ausführung der Rechnungen

218) fVl — Z^smi^'^did^^+fVl'-Z^smid^'^di^i

+ /yi — Z«si»1^8«rfiO-3 -}-/yi— ^«sinT/lö^rf Jd-^

2a — Z

c

1/ — sino

z^ *^

(/?+«)«— Ä*

Diese allgemeine Formel vereinfacht sich, wenn ^^ =0 gesetzt wird. Wie vorhin, kann man anstatt der Ellipse wieder jene Parallelen substitniren, und die nun bestehende Function

/yi-Z^sini^s^'^R =/yi-Z*8inF'^^i^2

+/ y r^^^siupi« rf i^4 — 2 4- Yj sin a

bezieht sich auf das Additionstheorem der 2. Art.

Dies Resultat lässt sich vermittelst der Amplitudengleichung und dos Additionstheorems für die Integrale 2. Art bewahrheiten.

Das letztere ist in unserer Bezeichnung

Ei^s — Ki^^ + Ei^^ Z*sini*2 8in}«i8ini*4. Aus der genannten Gleichung l&sst ach leicht das Prodact 8ini^t8ini^8^°i^4 '==''' cos a berechnen, and es ist

S6*

Kiiv, ^ /■;4»,+ /-4»j- ^.ji-tff"

Za der genannten gcom^triBchen CoTiBlrnction lassen sirh dip Winkel ti= ütfi ~ ^. % und »B leiclit feststelleii.

Eiiio Auwtiuüuug der vurliia L'nlwiukullfn Furmcln auf dun Kras erhält man dadtin^li, dass der Modulus der elliplischou Integrale glcödi 1 gOBctzt wird. Wüdnrrli ans drn ollipti§chPB Dcj'.iehuiigcn cfklomt» Irische werdon.

LoBseu V

■ alst

I tlur liitugrnit'uiicüou 1. Art

J Vi — ;?»BiniV -^ Vi— Vaini*»* •/

rfjga

Vi — Ä'änW

welche vermrigu des von der IlalbadiBo a uuabjjjinHigeu Modulus

sowohl für jede Ellipse mit hellebigpr Achse a als auch für 2 Pa- ralk'Je im (icreuzfull n ^ « e&ltig ist, Z '\a 1 (IhtrgehBU, ho h = Jt—t oder h := t — Jt. Im ersten Fall bertthreu sieb die KreiBe, deren Radien hezUgtich « und b sind, von aussen, im

ivii^ilen Fall zuuäclist, so geht die obigo For-

Betrachten wir dei mel über in

lg (-15'' + ^4')tg (45«+ ^^) tg^ih"- '■^) tg (45" + ^*) welche einfacher wird, wenn fUr i^ sein Snpi'lenient eingefQlirl wird.

Die Integralfnnctiou der 2. Art gibt fllr 2 = 1 8ini», + sini», — sini^ + sini»4 =2j/'' woran maji folgoudo Bctrochtaug knüpfen kann. (Fig.

unH ihr^

i<cir ßfle«,

40b

Mau muttiplicire die Formel mit 2* um! beadilo, däss 2«8inli'> } Schuc bezeichoet, wdc.he einen Schuitt]iuiikt des Kreises und dor i mit döin Kroiapimkt vorbindet, welcher auf dor vorläu- 1 Centrale Uü liegt.

Also ist für die inuerc BerllhruDg

j,-[-sj — (r3 + *4 = 4yÄ»9in«. ' die äussere

«i + 's+'a — «* = i^H'^Biaa'.

AoHlj-tiselie Darsteilunir elll|)tlsc)ior Intc^nilfaDutlnn*.'!! 1. and 3. Art.

In den bisher cutwickcitcn Intcgraifunctioucn waren die Anipli- uäcn der cJliptischDB Integrale durcli die Wurzeln einer biquadrati- n Glcichnu^ dutiuirt, und die Modnii ergeben sieb aas ileu Para- lietern derselben. Ihre Bestimmung aber war gewissen Ifcschriln- iDgen uuterworfen. infolge desscu die Theorie einer Ergänzung Hlarf. Demnach wäre die Frage /u beautwertee, ob es müglicb sei, ^«as den Constanten der Gleichung

1) tfi^* — ^tgip^+Btgq

den ModuIuB Z der lutegralfunctioii

91 + 0 = 0

2J

/

Vl — Z'amip,^ ' J Vi

J Vi — ^«sinqj,» 1/

yi-;?»8in^'

dtfiK

) Amplituden Wurzeln der obigen Gleichung sind, im bcstiumiun, jnd es wäre ferner nachzusehen, ob noch andere solcher Functionen jstirten.

Zn diesem Zweck betrachten wir die Gleichung l), welche wir I Anscbloss an 113) so schreiben

IS i»^ - .1 tg jfta + Ä t« i»!* _ Ctg i» -I- D - 0

1 ilue Integralfanction 1. Art

1

406 Oekingkaus: EUiptUcht ItUegralfundionen

«-0.

Die obigen Constanten der Gleichung haben nun folgende Bodcntung

2A(iZ+a)8in 2g

"^^ {R + «)»(a» sin «« + *« cos a») — a V

^ (g» sin g» + 6« cos a^XR*— s*) + 2a^(o» cos a» +&» sina«)— a«6» ^"■^ (Ä + «)«(a« sin «»+6« cos a») — a«6«

3)

2c*« (a — «) sin 2a

C

D

(Ä4-«)»(a»sin««+6«cosa«)-- a^ft*

(/? — «)»(a» sin g» + &» cos «<) — a»d» (A4- «)2(aa sin g» -f ^ cos «^) — «^*^

Die Aufgabe bestünde nun darii, die Grössen a, 5, jF2, «, sina vermittelst ABCD auszudrücken und daraus den Modulas

4) Z« - *^'

herzustellen.

Der Vergleich von A und C ergibt sofort die Relation

A R'\-H

7r — rf — woraus

R ;4-f C

H ^ A—C und eingesetzt iu 4) ergibt sich 5) Z-^ = _4(,1--C^)_

'o(vl— C)a — 4C-'

Die eigentliche Untersuchung beruht also lediglich auf der Ermitte- lung dos Verhältnisses , das allerdings noch einiger Zwischenrech- uung bedarf.

Aus der Formol für D erhält man

a- Sin a- + b- cos g- = Ä^ . ^g " ^(^p/TZrc'Sy ^ ^ ^' ^ ' ^^

4M2/) — C'^j

und ihre geometrische, analytische und dynamische Bedeufumj. 407

Hieraus folgt

sin Oh« =. oder auch

Aas def Formel A) folgt femer

a^if^ 4 sin 2a sin 2«

s

wo

Die Elimination von sin 2a in den letzten Formeln ergibt

(c2 a2\2 fA a*

Beachten wir nun, dass die Formel für B) übergeht in

B ^ ,

80 folgt bei Einführung von

die quadratische Gleichung

(J)'(4P2-2P3f4.Q2) + 2M(5)~4 = 0, deren Wurzeln

sind.

;ö (4P2 — 2PJIf + Q2 — - 3f i: y(Jl/-^4>)24.4Q2

,• Em,'ü"-hi Inl^yralTH

DiT Ausdruck M— ■l/'kaiin aber durch

I crsct/t werden, uiul «Ins vorläufige Sciilussrcsiiltal ist demnach _(A-Cl_

- ■HA^D—C^) *

(l_iJ^2))(^a-C'S)^2(Ü— 1)[^— 6')' 2{AW—C^)

= ±?

, y(.i-oa+ä-i;+/j)3

I Da liioniach bekannt ist , I fi) dcu Modttlus

I ergibt diu Substilaiiou dessetbna Ü

2(.4'— C)

' (A^D-O+liÄ+OViA-O'+il-B + W -i-{l—!i-\-D)(A+0+2lD—l)iA~ 0\

(D—l}(2(Al^+C)—BlA+C))- wolchou Ausdniok wir traiiäformiren in

{A-i-cnA-o

\^A■iD-C')[±y{A—C)^-[l—B+D)^•3~B—D) -\-2A{Ali—2C){D—l)-{- 2-(yj2— C'-)[

2{A- C){{ D-1)12UD+C)-B(A+ C ))-

I Da fitr ^ zwei Werte bcstcboii, so existireu demuacii für jede bitiua- I üratiscbc Gleichung 2 InMgralfunctioueu , wie dies ja Bchon frafaer I geomotriscb für Ellipse und Hyperbel uochgewicseu iet.

Der etwas cumiiUcirte Bau der letuten Forme) lAsBt oino 'Vereio- I fachte Form wtltisdieu, um dieselbe für gegebene Fälle in braucli- biirer Gestalt benutzen zu klliineii.

In der Formel^sinn^ ersetzen Wert, man wird dann haben

., durch dcu oben gefundoDon

4 ^

(-'■^■+?$

Q" 0«'

FQlirt man nau in

■(.■ot2o + yi + cot2B2

den obigen Anadrack für cot2(t ein, roducirto Formel

) erhält man schliesslich i

'.(l-iJ+D+VM-Oa+ä-ß + D)*)

"-^(Ä^:rc)^ßs-\-o+V(Ä-c)'+{i-ii+D\

Die elcgautostü Formel ilagegen (!«'™'"ni''i wir ht'i UouutnutiH der goniometri sehen Function

sin in

Die hieraas hen'urgehende Hclation für Z'^ •= 1 — Z' ist

Wir erholten also folgenden allgemeinen Satz :

1

410 OekingkauM: EUiptueht InUijraijunetionen

Mit jcdor biquadratischen Gleichung

tgg>*— ^tgg>»-fi^tg<)P«— Ctg<p-f D = 0 sind zwei Integralfonctionen 1. Art

J Vi — Z2 8inV «^ Vi— "za8in(p,«"^y Vi — Z2 8in<pj^

+/yr=

^^* =c

verknüpft, deren Amplituden Wurzeln der Gleichung und deren Mo- duli durch die Formel 9) bestimmt sind. Die Constante C ist ent- weder = 2K oder Null.

Vermöge dieser Darstellung kann man jede Gleichung von dem geometrischem Charakter der obigen in Beziehung bringen mit ellip- tischen Integralen, wodurch, wenn letztere wieder geometrisch oder dynamisch interpretirt werden, bemerkenswerte Relationen zwischen beiden hervorgehen.

In diesem Sinne werden wir unter andern die gegebenen Ent- wickelungen benutzen.

Setzt man

ff

J yi-Z2 8in9-' und beachtet die Formel

80 gewinnt man noch die Amplitudenfunction

^ (;

10) am 7*j 4- am u^ -\- am u^ -\- am m4 = ^rc tg - __ . y 7)

Wir geben jetzt die Integral functiouen für elliptische Integrale der 2. Art und haben demnach die (konstante der Function

2 I Vi — /^^Viu^O^ -= 2''z|/-^cos« + 2/';

zu trausformiren. Man findet:

= ('*+<^ J_ (A — 0*-i-(\-B+D+V(A-C)_^+ll—B+D)*)* ~ {A~C) Z' (Cii+2D(1 — ü + ZJ+y (^ — C)" +"(T— ß+ D)"*)

* „ * ^* — g'-Z'*

_(A+C)(A* — C*Z'*) ~ Z'(A*D — C*)

_ U" — C'-Z'')(ZJ— 1) ~ Z^iA^D—C)

M'— C')(Z''0 — 1) ^ C»+2D(I + ä+D+V(^-C)''H-(l-Ä + 0)''

^2M»n-^r;^)(i -■b-|-d-}-i/{^— c']'+rr-ä4-Dj» i lategralconstant« iat also

Id'

Z>Z'* — 1 V D

A*—0^yt

DZ*—\ )

{ZiD-l){iA-C)^-\~ll~B+D)'y

Also habeo wir folgendmi B&l?. :

t Liegt vor die Gleichunf;

^[/•^i

(^-f)t+(l-Ä+/J)2

;; vermittelst 9) bckanut and E das vollständige clliptischu &rt ist. In geonottitchen AnweodnngeD gaben diese

Oiiinghau.'^ EUipli-ehi: hle-ymlfimelmH,

Integralfanctioncn neue Satze ober diejenigen Vcrhältnisso

diu RcutiGcatiou der Ellipse borOhren, wie wir dies gleich nachwdwB

werden.

Wir fuhren hier noch an, duas die obigen Ableitungca sicli sehr- TorcinfüchoD , wenn fflr die biriuadratischcn Gleicliungeu die Keda-

cente A'D— C =• 0 besteht. Es isl dann zi = ] — ^

Die Bedingung wird för die Wurzeln durch

tgg»,tg9!, - tggjatgip, _ yfl~ ^

ausgedrückt und das Additionstheoroiii gibt

also ist auch siuipisinipa+si

Etpa + Erpi = E-f-Z^simpsSin V«.

/C'-\--2D{l-B + D-\~VlÄ—C)t+a — B+IJJ»}

Ul

-ty+^i-B+np

Für die lutegralfuuctionen 3, Art sind bczQglich der Glcichsi tdl) leicht analoge Formclu aurzuslBllcu, nnd man tiuilol, wenn s| ciell Ä-f-H =■ t geaetüt wird für die entsprechende InU'gralfunctioi!

^r — ^

J eos^'^yl — J!

.42

-iJ+o-f-l/U-Ö^+(l--ö+i

Wie wir schon früher uachgcwieses , existirou zugleich mit dej abgeleiteten Integral Tun ctionen zahlreiche Formeln Gyniuictrischcfl Charakters zwischen den Wurzeln der Gleichungen, unter wdchei^

manche, wie

"i — ~^~ " ~^~i — ~ — T etc.

eine geometrische Krklürung /ulassen.

Eine Erweiterung der Functionen lüsst sich Wege anhahneu.

Mit der in § 1. gegebenen Gleichung

jch auf fotgcudoi

ist die daran» leicht abzuleitcQiie Ifubisclii' Resolvente

8/f"^8^

+ ä-> +

ä/f

+ S

a^

3^ S-4

"0,

= yz,

IrkiiUjjft. Ihre Wurzeln stehcu mit deaen der Uanplgloiciiung Igeiidcm Zuaammciihaiig :

Sr, dr^ Stu c^4

= y-z.

e^ 0^ a^ + a^^"*^^'-

8(Cj 9z( 0i.| 3(Ej

3^ ,

Mit der crstSD treteu demuacb iu Folge von 5- Sa: + g— <(y^0 noch 3 andere Fonctionen

-/.l, =/■.■". -//£,=/-". -Af >=/-'»

auf. Gelingt es nun, 3 als Function von y zn bestimmen, so wQrde die iiocb KU erfolgcnüe Integratioii dieser und der Übrigen Ordnnngen die allgemeine AuflÖsang des Problems zur Folge haben.

Wir geben hier eine Zusammenstellung der wichtigeren Resul-

414 Oekinghausi KtUptUcke ]niegralfunciioneu

J yi — i^sin «Pi» J yi — JZ«8in g>,2 "^ J y j _ ^gin ^^s

I r ^y^

Ferner ist mit der Gleichung

cotgp* — -<lcot9^+^cotv^ — ^cotg> + Z) « 0 die Function

+ /' -^ n

^J y 1 — iläsin g>42

verknüpft, und es ist

13) ;t'2 = t^ + 2D(l^B'\^D+\(A^C)^'\-{X^B+D)^) ^2+2(1 — ii + Z>+y(/l—C)2-f(l -// + Z>)2)

Aus den Moduli folgen die Relationen

//^

r 1» ^ _

Für die kubische Gleichung

14) tg^s — ^tg(p24-iytg<3P— C-=0 gelten die Formelu

yi-;^^8in9i- ^ yi— >^2 sin 9^,2 "^t/ yi~;^2 8i,i^^2 - '

,r.. v'> ^2+^Al -B±i{A^'C)^^i:^^f)

15) >^ - = ^^-^

Bemerkung. Wird in 14) ^ -- 0 gesetzt, so besteht für die re-

ducirte Gleichung tgqp^ — Big(p — C «= 0 bei Benutzung von

C 2

tgf = .. , ■ der Ausdruck /^'- = y.cot Jf.

Ferner ist

, J Vi— l*aing.,s y ■

16) i'" -

1

ttp^t

^f

Vi — i^Bl

Lpgen wir endlich die Gleichung

cotqj* — .Icotip^ + ücotg' — (.'— 0 zu Grunde, so gilt zunächst die Function

i'S - i*2 + 2r(C*-/l+l/(.4 — C)2-fa— Ä)*)

F,> V Vi -».»Bing»»» I

17)

und noch

Vi — i-aBiTig'ii' i/ Vi — i^ainv," •/ Vi— vSsin?.,»

v'« =

^3^2(1 -üi:VM—C)<+l—B)S)

IMan kann in den obigen Gtoichangon tgip = ktgfC setzen und den AusdrticUcu für ^^ etc. für gceigneto Werte von k die Modali reiufachen, Auf Gleichungen 2. Grades kommen wir nachher boi trachtung der Schliessungacurvon zurück,

Mau bemerke noch, dasB die Aufgabe, für 4 gegebene Ampli- tudeu <p ileu Modulus derart zn bestimmen, das3 die Integral function 12} hiorfbr crfullt ist, durch das Vorstehende ihre Lösung gefunden

§ 23.

f Die gegebeue Ableitung des Wertes für den Modnltig Z aus den Bstanten der Gleichungen kQnuen wir noch in anderer Hinsicht ■werten und damit die Bedeutung der Functionen erweitern. Wie I Beispiel der Kegel schnitte zeigt, steht mit den Amplituden 9i7tTs vierte ^* durch die Function

1 kanu nun diese Function allgemeiner fassen und alle Worte I bestimmen suchen, welche den folgenden Relatlooou ent-

1

416 OekinghauMi Elliptisrhe Intetfralfitmetiomen

^1 + ^2 + ^3 -= -^1

— Fi + F, + F8-/^4.

Dio Aufgabe würde sich also zu einem Additionstheorcm gestalten mit der Forderuug, zu drei gegebenen Amplitaden g> der er'ptischen Integrale 1. Art die t/; Amplituden ihrer algebraischen Summe an- zugeben.

Die Constanten in der Formel

"* C2-f 2D(1 — Ä+I>+y(/l — C)* + (;i— B-f-D)«)'

haben die folgende Bedeutung, wenn tg9>4 = tg^ » Z gesetzt wird,

^ •= tggp, + tg<]P8-t-tggP3-HZ,

^ =- tgg),tgg)2 + tg<p2tgqP3 + tg<)P3tg(]P, + Z(tgg), + tg<p2 4-tg«P3),

(;= tg(;P,tg(y)2tg()P3+Z(tg<Pitg(JP2 + tg()P2tg<P3 + tg()P3tg<)P,),

^ = tg gp, ig (;P2 tg <;P3 ^•

Da fpifp^tp^ bekannt sind, so schreiben wir

tg<Pjtg(P2 + tg()P2tgg)3 + tggP3tgqp, -> Ä, tg gPi tg <P2 tg g)3 « r

und daher ist

A = a-|-2,

C= c + ^z, Z)= cz,

Substituiren wir diese Werte in Z'2 und schaffen durch Qua- driren die auftretenden Wurzeln fort, so resultirt nach einigen Ent- wickelungen die folgende für ip biquadratische Bodingungsgloichung

19) lg*'((j(I-s"^'')+(o-

((o-fc;;'')«- -H(.-t)(i-,

-V'-d-J)" \

-S)(I-J'X'>) j

z^iolyiiffht und ^nonffM« flfAufunp. 417 ,-)(»Z")'-Z'V((„-,)>(l-/,)-))

1 (o-4<-^'»)(l-t'Z''|-2(o-r)(l-'.)^'V+2(l— S)'i!")' \ \-(l-(H(l-P'Z'>)Z'»H-2("-«)^'")'(«-''<-Z'')-("-')(l-'"2")/

+t«*'X

+tg*X / («-4t^'>)(a«-c>2'»)+2(a-o)-Z"t_a(a-t)(l -1) V— (1— l)Z''c(a--X'>»')+2a-i)(o-»<-Z'")— (o— «)(« +(i("'-t"Z")+l-»)<-((..-t)>+(l-8)") - 0.

Um diese Formel auf das bekanutß Additionsthoorem l, Art mit

2 Amplituden anzuwcnjea, ha!)ou wir qj., = 0, also f = 0 m fl(>tzon niid die Gleieliung ]9) wird zu

lg»-(l_jW!)>-2tg,|,>(„>(l +J'Z'>) -2J(I-4)(l-6z'>))+o V- 44)-

voriD

" = tKfl + tgfp», i^tgV.tgV».

ADS dieser Gleiebung oder

tg^*(l~-;^'ätgv,'t«<p,')»— 2tgt)''((tgg>,*+tg.Pg')(l-fZ'«tgq7,-tgq^,*)

+2(l-|-Z'>)tg»,«l6»,>)+'tg.j,"-tg»,')" - 0

-^Z''))

erhalten wir

. o .j_, , . ,J(t«T,' I ig'>,l(n-J'"ie'>,'t«T.'H-2m-.g:")tg.f "ig».,\;

_w*,<+ig,,--2^ ^iT-z fig,T,rg^,!ji ;

IgT.tg*. l-_Z.lg,,>tg»,'' 9 naoli einigen Recbnangen and Umwandlungen

),

I

- tg «', == litg V, :h so geschrieben

1— Z'*tgv''tg<p,*

; können

Ilieraas läset Bicti noch ableiten

tg(f , — -J-f) =

2tgq3,tfqit

SO folfft au^

schliesslich

Igip^Jipg = tg«,, tg 9>,^(Pi = tg 0, , Vi + ii', = 201,

V» = ö, — ö,. Aur iliescm Wege sini) wir alao zd bekaunteD Rcsiiltat-en grlaoüt.

§ 24.

Ableitung einer i. IntegrairuDctioit.

Wir werden ans jetzt mit der Frage beachUftigca , ob es ansi den vorhin gefundenen nocb andere IntogmlfaDctiouon gibt den elliptischen Integralen 1. und 2. Art entsprechen.

Wie man im vorigen g gesehen hat, hängt die Existenz derselbe davon ab, darcb eine analytische Betrachtung einer geeigneten biqui dratiscbon Gleichung von goometrischer Bedeutung zunächst eiu elliptische lategralfuuctiou zu erhalten und ferner den aus den Pa- rametern der Gleichung zusammcu gesetzten Moduina durch die Ceo- Stauten der für sie substitnirtoii Gleichung i. Grades zu bestimmcB. Von den wichtigeren Gleichungsaysteuien dieser Art wählen wir hier noch die folgende Function aus, welche sich dcu rorigen ungeJEwni- gen ansehlicssL

Wir greifen nochmals auf die Gleichung 143) zurück, um dio- sclbe fUr unsern Zweck einer Transformation zu unterwerfen.

In der Function

-/

|/:-:

im

führen wir folgende Substitutionen ein

und ihre geometrische^ analytitche und dynamische Dedeutnmj, 419

4ä«

1

cosqp =

In Folge dieser Relationen gebt die Gleichnng 107) in die fol- gende über:

cosqp* 1-2-J/ -^sma.cosyH-Z:*-! -gSin«*— ^^ — ^^ ^+-gC08a* Icosg)^

20)

a^Ifls^bJk/R . . (a2+/22— ä2)2— 4Ä2a2cosa2

und ancb bier ist zu entscbeiden, ob darcb Vergleicb dieser mit der ibr identischen Gleicbung

C08 9>^ — -4cos<]p' + -ßcosgp*— (7cos<p+D — 0

R sich die Relationen -, sina etc. der ersten Gleichnng durch die

Constanten der zweiten nnd damit der Modnlus der Function

/dq> P tUp

l/ a2 — (Ä^)2 ^ ,"^ J yr^ITIä^nV

4ä« "'^ ^ bestimmen lassen.

Zn diesem Ende setzen wir

bl/R . Ä — — 2Z-j/-sina,

^^R /a2cos«a+^sinft2 (jf^^\-^^^)\ ß _ ^2- ^ -_- - - ^^ y

a^^m—d^h^A/R .

C — — -^rzi ^^1/ -sma,

2Ä» c r «

(g'+i?» — ^>)»— 4Ä2a«cos«'^^ ^ i6ÄV

Die Division von -z ergibt zunächst

4C (a2+Ä«— *«)^ 21) ;j ^-^^^^;

t7»

1

420 Oekinghaus: EUiptisrhe InfftfralfuneHonen

Ferner ist

22) -, — ' — =» H — ^ - cosa*. -Z* und A* = — ,- -sma*-Z*,

23) -^ = ^ -i cos ««^.

Aas

a«+Ä« — «8 =- a* — (Ä— *)»4-2Ä«— 2/2« folgt

also ist auch

woraus

Aus 21) folgt

-:-+?(!-)•

1--

2 a

-^« 2A* = -^

4/2 C a> /2»

-^« ' !4 "^ «* ' «'

wir setzen hierin aus 23) den Ausdruck für ^ ein, man erhött

26)

4M27) __(;«)

(K^ . 4 C/e \

Aus der letzten Formel in Verbindung mit 25) rcsultirt

n

27) cos a = — ^X^cy^ " R A—'C

1+, A+C

Dividirt man die erste der Gleichungen 22) durch cos ö^, die zweite durch sina^ und subtrahirt, so rcsultirt bei Benutzung von 25)

R (A + C) A^—AAB+HC , A^

^ - /; "~ COS a^ sin «^

Es sei

1 —

__ 2 .4-H; ~ ~ yy^ ~A~

27) folgt aber

In Folge dieser Werte gebt die üloichnng 2H) nach ciuigen Ro- dactioneii über in

A^D-C^ '"^ ' " 2tA+C)—A{l—D)t

Entwickelt man nach Potonzou von s, so erhalt man die qua- dratische Gloichuug

/ A^~iAB4-8C\

A^{ii{l~D)-A(A~a)-il-DHA'C)—^^^^^^j

■2'J)

' ~ -^- nud j^ = A^ ist, so ergibt die Änflösniig toi-

-*C^+f''){4-

= U.

lA+C^—iA^—iAB+Sn-^-SAD+AT^iBC

-\-SCD-^Afi~^ABn-\-iÜCDSA£P—C'i)

Dvmgcinäsä babcu wir den Satz:

Mit jeder bi(|uadratiechen Gleichung voa der Form

31) <:os<p* — AcQa<p'' + JScoB<p^ — Ccoatp-\-D = 0

ist die IntcgralfunctioQ

^^

J Vi — i-Binipi* y Vi — i^Bin9,i"'"t/ Vl-iSsin ^J Vi — A^aingj,"

verknüpft, deren Amplituden durch die Wurzeln der Gleichung, aud dncu Modulos dnr^ den Aiudrack in 30) bestinunt aiud.

3 OeX-i'n 7 *•>'"- Klli/ili'elif hlf^ral/»nctiain

Letzterer kann auch aus der Formel fOr Z'* ^ 1 — 2*. n&nith

i

berechnet werden.

^ (--:;)+ 11^ -(■

Feroer st^ht mit

ngf* — f amv+i'=0

3 Integralfnnclioa

^/v

t/ yl— ««Binv«'

in VorbiDdung, deren HoduloB u aas dem fttr il gegebenen Aasdnck vermittelst «'» A'* = 1, worin «'= = 1 — u» und i's = l — i^ beredinel worden kann.

Für tileicbangen dritten Grades ist za beachten, dass an cos «p* = 0, 11J4 = 90" folgt, das entsprechende Integral also zBm voll- ständigen Integral K wird.

Um die elliptischen Integralfunctionen 2. Art aufzustellen, babM wir die Couslaute der Function

sf-^l-XHia^ = 2*j/jcos<. zu Lransformiren.

Dieselbe wird vermöge A= ^'iZ -y sina darch

cot a noch cotn einführen, so erhält mas

ansgodntckt , und w< Bchlieselich

1 I /^D^ fä

Vermittelst der Kegelschnitte sind wir also durch das Von hendo in den BesitK zweier lotegralfunctionen gelangt, weldte a

ilirr gtimelrürh*. i

nü/iUht

eiDxoluü Teile der Goomotric neues Licht za werfen im Stande sind. In den folgoudcn §§ geben wir eine Anwendung derselben in goo uietriselicr und dyuamisdicr Bctracljtnng, um die eutwickc-Itou Funo9 tioneu so viel als möglich zu verwerten. Ob noch andere als C gegebenen möglieb sind, «erden wir apitter entscbeideu.

Geometrische inwendunren.

Ein Kreis vom Halbmestcr s schneide eine Ellipse in 4 Pnnktei Wir ziehen senkrucbt zur Jf-Achso dnrch dieselben Gerade bis t dem die Ellipse umscblicssenden Kreie und bezeichnen die Wink( zwischen den enlspreebenden Radien -i und der kleinen Achse mi <p. DicBolbon werden durch die Wnrzeln der folgenden Gleicbnng in welcher ß(o) die Polarcoordinaten des Kreismittelpauktes da stellen, gefnnden:

tg ,p* ((ßS — ^,2 -I- a2)2 — iflS n2 cea ai) — 4fli flä giu 2a tg gi»

34) +(2(Ää— *»+«») (fl:3 — -a + Ä*) — 4Ä«(<i2 cos ß'+J^sin na)) tg^ — 4niHaain2otgg» + (K*— .i'+ia)i_4j(24Sauo2 „ o.

Wenden wir bieranf die erste Integral fnnction an, so erhält mi

als üoduluB

35)

nnd die Function ist

Jo'i'it*gin2n^+e*((ff'->^+o^)«-

J^fläcOB^)

iJP^ sin «aj

^fvr-

Bemerkenswerter ist die Integral riiuction der 2. selbe auf die vorliegende Ellipse bezogen wird.

Art, wenn die-' Man hat nur

- zu setzen, und die Itcdingnugsgleichnng hierfür i 4a2i^„

i-n*sia2a?^i -Ti-(a*COS(

weshalb noch 33) resoltirt 37) tJv, + E<pt + Eips + Eipi

hhma^]+^R^—^+a^-b'')■^ = (i=t^

424 Oekinghaus: Eiliptucke Jntegral/unctionen

oder wenn wir die Ellipsenbogcn aEg>n = 8n einführen and die Gon- stante dorch Elimination von # transformiren

38 j 5j4-Sj+S5+S4 =- 2S+2ya^-^B^ma^—2y^'{^Jficoa€^

Setzt man

39)

|/a2- —/r^sinorJ— |/^ +^Ä2co8«2= rf,

so erhält man die Corvengleichung 4. Grades: 40)

Die algebraische Samme der Ellipsenbogen bleibt für den Fall, dass Ria) auf dieser Carve bleibt nnd s durch 36) bestimmt wird, constant

Für Gleichongen 3. Grades wählen wir den Fall der Normalen einer Parabel. Der Schnittpunkt der Normalen habe die Coordinaton R(a) in Bezug auf den Brennpunkt. Der Polarwinkel eines Nor- malen fusspunktes sei ^, vom Scheitel an gerechnet. Die bezüglicho Gleichung ist dann

41) tgJ^+fl+-cosa)tgi^- 8ina = 0.

Der Modul US der eutsprechenden Intcgralfunction

r _ i^ji , r „^^^f

J Vi — Z2siniV *^ Vi— Z^siniV ist sehr einfach, da -^'^ = - ist, also ist Z'^ = - v^-, * =-

R *"'' "*"" '"' ^ R ' ' cosia^

Führen wir i>' = IbO'^ — i)^ ein, so erhält mau

42) cotO-'^+n + ^^'^cosa) coti»"'— ^^siu« -= 0.

Der Modulus wird wegcu v'^ = , v^ =- , und die Func-

r r

tion ist

Ulf ihn: ./Mmifrr.icli'. n«n/y'n

+/

<i)l>i'

jAir^7-",mi.,"

' Will maD diese Glcicliiingcri auf liie Ptindolbi'wugunt- anweiuiuu,

' -»0 ist für die vorliegende Function "^ T oi'izifülireu , wo A

dio Gcsuhwindigkeitshfllie im ticfsteu Paukt dos Kreises vom Halb- messer « ist. Für r = A ist » — R = 2* und os ist t,+ti-i-'s = t.

1 sielit, dass das Vorhältniss ;

II

abhiingt.

i Setzen wir demnach in erlialten wir wegen r =

= 1 ^ das Vcrliälluiss — ;— -T-^ auch / = - cosi(i'= {1 +cosoi). '

I

^^B Ans dieser Gloichunjj orhaltcu wir, wenn dio v-Achso nach der ''■ pQBitiven Kichtuug der Parubel geuommen wird, als Gleichung fUr den

gfiometriacbon Ort ciinstariten Verhältnisses - die Parabel

' wiche mit dor gegebenen coul'ueal ist. Hierbei kann der Krois und die GesehwiBdigkcitshüliü des in ihm sieb bewogcuden Punktes be- liebig gewählt werden, ihr VorhElltniss niuss aber uoustant bleiben.

Dieser inneru Parabel entspricht eine pulare äussere courocali' Parabel

■■+%

als gegmelrtscher Ort der Schnittpunkte dreier cntsprechcudeu Nür- niulen der gegebenen Parabel, deren bezügliche Zeiten ' der Üe- wegnng darch die Relation t^^\-l^-\~l,J=^ 2t verknüpft sind. Da / Dsd damit der Modultis ^■<1 ist, su entspricht hekanntitcb die Bewegung dem Falle der vollen Umkreisung. Dio dorsolben Ampli- tude ^ entsprechenden 3 Parabelradlen Hrlt' haben wir schon er- -Wlhnl, die ßeJatiou r' = RR'.

426 Oekinyhausi EUiptische JnieyreU/'uncäoHen

§ 26.

Die GlcichoDg 34) im vorigen § uimmt für die ünbekaanto cos 9 folgende Gestalt an:

4 I 4^ • Hl /4Ä*(a«C08a»4-6«8ino«) (a»+Ä*— **)\

C0S9*H Y 8in«.C08<p*-|- 1 ^^ -^ — ^ —^ JCO89'

42)

4/» . ««-I-Ä«— «« , (a« »-J?»-««)» 4äV ^sina. 1 cos<pH '— 4 i— coso' — 0.

c c c c^

Auf diese Gleichung lässt sich die in § 24. entwickelte Gosinas- function anwenden, deren Modulus A« =u — =r — ^^^ aus der dort entwickelten Form oder aach ans

(l + Z'«+?^^

berechnet werden kann.

Es ist

^3 — 4^/^ + 86'=- 64 6 sin« cos a^

c

R^ aVj^ A^D - C^ = - 64 - . - sin a-* cos o^.

Wir setzen auch hier A* = ^ also Z ^ = — , fest, bezeichnen

— ö = y

und erhalten schliesslich

Vc'2 + r; ^-r-sin«^

^2+2/^ ^r-cosa^

und y wird bestimmt durch eine Gleichung 4. Grades

(a- 47?- \ /ä2 4.f?2fl2 \

^~ ^,-(a2cosa^+/Aina2) jy2_2r^-^^^^

, ^»2 47e2„2 47^2^,2

+ > T cosa ,.— sina2 ^ y

W ihre g«,^rn,chr, «»olg/i.ch, m,l .If.'»'"'":'»' B<.Uulu,..j. 427

Dio Bedontaug derselbra ist die, Jass zu jedem Punkte n{a) in der Ebene einer Ellipse 4 ilnrcb die Warzelo dicger Gleichung bestimmte, nnd aus «- := o- + If- — i?ij vier Radien beroclinet worden können, deren cutsprecbende Kreise auf der Ellipse Bogen begren- zen, welche dnrch die Formel

in Verbindnng stehen.

Als 2. Beispiel wählen wir die Gloichmi}? di^r Nurmalon der Ellipse und zwar in der leicht abzuleitenden Form

Die Anwendung der bczüglichcu Integralfanction auf diese Glei- chung würde demnach tiiie lU'latiüu zwischen den 4 ilnrch dio Nor- mal eufiissp unkte bcatimmtoD EllipsoDbogcn crgebeu, wenn wir wieder

Die ans dieser AnDahmc hervorgehende Bcdingungegleichnng wird sehr einfach

46) ?-J-.-A. ' c* Bin»* coso'

oder in Cartcsischeti Coordinaten

47) «V-c'(i'-j"), nnd hierfür iet zanäcbst

^{ , % -^''.

and femer

i"S} i: / l/l-_;iSinv'.(T- -sin« 1/ --™- - +2K. •^ ' l-i sinn'

1

428 Oekinghaus: ElUptünhe Inte'jrtUfuurtiontu

oder die algebraische Samme der EllipseDbogcn ist, im Fall i^a) auf der obigen Curve liegt, durch

2/e ,

49) Z8^— Va« cos a« — Ä« sin cfi + 25

ausgedrückt.

Bemerkt man aber, dass diese Cur\'e x^y* =» c\x^ — y^) als ein- zigen Parameter die Excentricität der Ellipse besitzt, so gewinnt man das allgemeinere Resultat:

Mit sämmtlichen confocaleu Ellipsen von der Excentricität c ist eine eigentümliche durch die Gleichung

y* «* <?*

charakterisirte Curve verknüpft, welche die Eigenschaft besitzt, dass die von jedem ihrer Punkte Il((i) zu jeder Ellipse gezogenen 4 Nor- malen entsprechende Ellipsenbogen bestimmen, deren Summe

Äi + ^*^2 + Ä, + 5^ = 2iS+ ^ ya<cosa* — Ä*8intt«

in liczug auf den entsprocliendon doppelten Ellipsenquadranten 25 um eine algebraische Grösse ditferirt.

Wir wollen noch an dieser Stelle erwähnen, dass die in I § 1. benutzte Curve 4. Grades y ^ x^ — ax^-\-hx^ — ex 4-'^, aus welcher die Resultante tgi** — yltgT'*+iytgT-+ ^^ hervorging in Folge der letztem auf die Integral function

./ Vi— Z^sinr^

führt, worin Z vermittelst 9) bestimmt werden kann. Da in den Constanten B und 7) die Grösse d durch d — y ersetzt werden muss, so erhält man für alle der X-Achse parallele die Curve in 4 Punkten schneidenden Geraden die entsprechenden obigen Functionen, in wel- chen die Amplituden t die Winkel sind, welche die Tangenten der bezüglichen Punkte mit der A'-Achse oinschliessen. Da ferner die Resultante von x^ — ax^ + hx — c — t/ = 0 und 3r^ — 2ax + A — tgt = 0

tgr^» — (a^ — -y.) tg r« — (4aV — a«/>^ — l^abc + \l>^ + 21 c^) — 2(2(?^ — 9f(/>4-27c)// — 27/y- - 0

ist, so folgt hieraus nach I 14) die Function

Die angeführten Beispiele lassen orkoanen, äaa& man mittelst der eQtwickelton Integral fuiictioncii ztt neuen Eigcusctaufteu der Curvon gelangen kann. Aucb die folgenden auf die Ecgelachnitte sich be- ziehenden Erürlernugcn werden noch einige benierkcnsnorto Resul- tate und Satze zu Tage fördern, die wir in dynamischem und geo- ntetriBcbem Siuu verwerten kOuaen.

Lassen wir die Bezeichnungen wie früher und fuhren als Unbe- kannte die Ürennatrahlon vou einem Brennpunkt nach den Sctinitt- pnnkten von Kreis und Kegelacbnitt ein, so ist die betreffende Glei- chung

50) r^.(feos<.-l)r=

+ ^6«'— 12n'-UB«+*"*coBc.«-f4^jfi*Billo"+2yV«

+a»—4n* -coso+"i4R'coa<t*-|-4fi»^Bill(<H-^.y)

—i/f-yeoBo+y'— 44* «"sinnt* — U,

worin y = ß"-J-6'— »• variabel angenommen ist

Noch einigen Rechnungeu und Transformationen erhalten wir durch Anwendung der Formeln I 13) auf obige Gleichung den Aua- droek

!>l)

I — sui o

— siuoVr'-f a

-u-

r*)«*

reichem Integral die Constantc • 1 sein muss.

kelc! Dasselbe steht mit einem amleni in der Centralbewegnng vor- neiiden Integral in eigeutUmlii-liem Zosammenhani!, was wir zeigen Volleii>

430 Otkintfhaufti EUipiucke Integralfunciiönen

Die Theorie der PlaneteubewegUDg hat bekanntlich die Be- wcgangsgleichangen

Aus den ersten beiden erhalten wir durch Multiplication mit 2ar, bez

<f(<fag+c/y2) 2m

woraus

Das 2. Kepler'sche Gesetz gibt

xtly — ytlx «- cdt^

woraus durch Qaadriren and Transformiren der Aasdrnck

und hieraus erhalten wir das bekannte Zeitintegral

/• rilr

M) /= I — -^rr

der planetarischcn Bewegung, in welchem

M C^

ist. Der Vergleich dieses mit dem noch mit r multiplicirten Integral 51) lOsst die Identität beider erkennen.

Aus der Integral function geht also zunächst die Relation

/v' V-

d. i. die Fonnel

rdr , bR Vasin« , ^

t* r; ^'^ yi -|-m

'.+'.+'.+'. -'+^K;."::"

, in welcher r die Umlanfszoit in der Ellipse liedentet.

dii

In der Central bewegung nach dem Newton'sclien GeeuU ., ist Summe der 4 vom I'erihel an gerechnete» Zeiten bis zu dou 4

Durchschnitten des Kreises und der Ellipse für alle eoncentri sehen Kreise eioe o^nstant« Grösse, welche auch dann noch nnverlLmlerl bleibt, wenn die Centra der Kreise auf einer mit der grossen AcliBO parallelen Geraden fortrücken. Hiernach ist bei 'J concontiischun Kreisen , welche 4 Ellipsenbo^en liegrenzen , die Summe dur Zeiten far die Zurücklegung dieser Strecken im 1. und :J. yuadranten nleich der im i and 4.

Dies gilt allgemein fUr Parabel und HyperbcL

Führt mau r, — ( — (^ tind j^-^t — i-i ein, so ist ((, + »») — (ij + t^j^iC', wonach die r ebeufalls vom Porihel au k<miuii»iipu siiid.

In dicEcm Sinne bildet der Ausdruck r, -f-t, als Summe der Zeiten vom Perihel bis zu den cntap rechenden beiden Schnittpunkten von Kreis und Kegelachuitt mit dem analogen Tt~)~'« vun demselhun An- fangspunkt an gerechnet zu den andern Schnittpuuktea beider Curvon eine constantc Differenz, wenn der geometriiche Ort der concentrj* sehen Kreise eine zur A'-Achse parallele Gerade ist.

I

Diese Kelationen können auch noch auf anderm Wege gof nud zwar für die Ellipse des Kepler'schcn Problems.

Die folgende Untersucbnug hasirt auf der Unrorsuchung der Gleichang I 107) oder

56)

in welcher wir ^ oder u«h o*-f ß* — <* variabel betracfcteo. I^e bekanAtes Mrthodrn ilkbnn uä da* einfädle Istegnl

1

432 OeJcinghaujt: Efiipfiache Integral fiinetionen

■f

sowie auf

Führen wir den excentrischen Winkel

sc =» a sin g>, y ^=^ h cos tp

ein, so erhalten tvir vermöge ydy-^xdx^O ans dem letzten Integral, welches wir hier nur betrachten wollen, das Flächenintegral

57) Zfydxr=^C oder

Hieraus gewinnen wir das Resultat:

Die durch die letzte Formel charakterisirte algebraische Summe der vier von den Durchschnitten eines Kreises und eines Kegelschnitts bestimmten Flächenstücke des Letztern ist für alle concentrischen Kreise constaut.

Um diese Constante zu bestimmen, bemerke man die folgende

Darstellung :

Zfydr = abZf(lQ%(p^d(p = ^^ -S/(l +C08 2<p)r/2g) = ~(2;2g)+Zsin2qp).

7 7*2

Da aber Ztp = o und i^sin-^qo = 16 4 sin^« ist, so erhält man für die Ellipse bei Benutzung von t^f =-- -

a

2/ 2

r)8) //i — //a + 1/3 — ;/4 = ■ ;x ^'" sin 2a . tg 2f^

für die Hyperbel dagegen

'>9) yi—lh + yn — Vi «= .1 /i^ sin 2« = /?2 sin 2a . sin 2^2.

Hieraus folgt also allgemein :

Schneidet ein Kreis einen Kegelschnitt in 4 Punkten, und werden die durch diese Schnittpunkte bestimmten Flacheustücke /yfZar des Ko|?(']s('hnilts mit 1/ bozoichnet, so is' die Summe y^ — yä + .Va — V^

arirf ihrr t/mmrlrärhc. OBo/y.'i«rAe iiud dyitami'chf Dftltttlun'j. 433

fDr alle concentriscben Kreise und aberhaapt conslant, wenn der geometrische Ort der Ceiilra dorsolbcu eiue gleicbaeitigo Hyporbe) /;«sin2a ■= 2r^ =• A^ ist.

Da dieser Satz alle Kegelachnitte umfasst, so gilt er auch noch für die Asymptoten der Hyperbel, woraus der neue Satz sich ergibt:

Werden '2 den Winkel 2( eiuscbliessende Geraden von einem Kreise geschnitten , dessen Centrum vom Scbnittpunlite der Geraden die Entfernung R hat, und ist der Winkel , nekhen H mit der den Winkel 2( balbirenden Geraden als JC-Achae einscliliesst, = «, wer- den ferner die 4 Schnittpunkte auf diese Achse projicirt, so ist die Summe der Dreiecke

60)

--^s + ^a-

für alle concentrischen Kreise wenn dies mit

Jj =• ß'siaSasini aid überhaupt eini- ^Üi.3in2i>'

constant^' GrösiCM

Ider Fall ist. ■ Wir fuhren uoch heilUnäg an, dass aus

's.

Bezieh UDgen

J xy aj coaip auch nach Feststellnag der Constantcn i) l«'(46-+ f ) lg (45.+ a) « (46"+ "f) « (45»+ »•)

>" + a'

2fia cos a "

-Ä' + .'

erhalten worden künuen. Die Constante kann durch Transformatioa einen sehr einfachen Ausdruck vou Tangenten gebracht werdon-

Bemerkung.

Die 4 Radien des Kreises nach den Schnittpunkten des Kegel- schnitts mögen mit den Taugenlen dieser Punkte die Winkel 6 etc. bilden, ohonsD achlieasen diese Rndii.'ii mit It(n) die bekannten Winkel 9 ein, für einen dem ersten uuenülich nahen coucenlrischen Kreis vom Radius t+iU haben \ur

«da ^ rUtgä.

434 Orkinghau^: Ellifl.^eht /-tf.,ralf«.<cl!B.,i.,

Snmmiren »ir nml Ijcni^htpn, dasB £rf* = 0 ist, so folgt

ZtgJ = 0.

Fuhren wir fertißr in 45) als Uabekannte die Taugcnt« desselben <>x<?ciitrischon Wjukc-ls. also t^^v ein, so wird mau fUr die EUipio die folgende Gleichung

152) tg^<ji'(«*— Jt*— /.»— 2Hi8in(()-f-4Ärteofla,lgJfl»ä+(2(*'— Ä*) -4n«+'iÄ<)lßi<p»-H«oCü9<.lgi.p+(*'— Ä'-«'+2msin«) =- (i

aafstollen küuneo. Ült Modulns der lutegnüfuuction

folRt ans

CS) Z' =

ß«n* COS »*+g'(»'— fl* — 6*— agjgiun)

rur die Function L'. Art setzen wir. um diu Inicgmie doreli F.lli|>si'iil)ngO!i anszadrileken Z' ■=. ' und das Resultat ist

■fV'

ni<p*('i<p =■ SKn-faVÄÄsi

Jedes Integral dieser Fanetion drQckt den znr halben oxcentri- ' sehen Anomalie gehörigen Ellipsctibogen aus. Bozeichnet man diese Bofton dnrdi S, et«, den Ellipsenqnadranton durch Ä, so ist

S,+S,+Sj + S,

W+aViKsinn

in welchem Ausdruek die Constante wie in einem früheren Beiapiet von ifain a abhlLugig ist Die Winkel ip gehen von 0 bis n.

Die BedingungBgleiclmng, welche den geometrischen Ort dcrKrcis- I centra für die Kxistenz der leljiten Function bestimmt, führt anf die IJy|)erhel

Miili/litehi- um! äyna

.rkr Hi,l,m

435

IP' Anstalt der biqn ad rauschen GlPicbuug für tgqi kann man aacli e schon früher oingeführl« Form

66) o^-fiBinv-f cc089i-(-t/flin2qj+*CO8 2gi = 0

bcnatzon. Der eutsprecbende Modulus dereclbon ist liiernacb

Ableltnn^ der S. Intc^rairuuctiuu. g 2Ö.

67) Z^ = ;; und also

J VI— J?'siuiv'

Eb Bei der Mittelpunkt eines Kreises vom Radius * nm die Strecke R von einem Brennpunkt eines Kcgelscboittcs entfernt. Dor Winkel, den dieselbe mit der ^-Achse ciaschlicsst, sei a. Die Scünitt- pnnkte der beiden Curven verbinde mau mit dem Mittelpunkt dos Kreises durch Kreisradien, welche mit der vGrllUigt>rti:n Strecke H die Winkel #, etc. einscbliessen mOgun. (Fig. 15).

Dio EiuninatioD von 41 aus den Gleicbangcn

Äcoso+j(coa{*+«) = fuhrt auf die obige Form, in welcher

pcosg) l— ecoB^i

I (Wl

a = «'+.*— f*—e*B» cos a» — 2pe/f et

6= 2A4«*sinttcosa-j-2pjfsiu((,

c = — 2Ä*«*co9(«'~2/)»eco3fr+2Ä»,

Die Derecbnung des Modulus vermittelst dieser Bestimmungen führt auf einen sehr einfachen Ausdruck, nnd zwar ist der eine

JO)

Ä+<

"" (R+.l= niul die lategralfuni'tioDou sind demoacli

(Ä-i-.)'

^ BinJ»,*

/)/r-^..Mv!/K.-

4» . ,,,

tsh'""'"'

«(Ä+.)"

Eigeatümlkli ist, daas in iiDecrni jetzigen Falle der Modalas koinem Paramoter des Kegelschnittes abliäiigt. Alleu Gattnngen do- solben , also Ellipeeu , Parabeln und Uy))erbelii , sofern sie nur In einem Brennpankt coufocal sind, genlkgl die l Intcgralfunction. demnach der feste Kreis conatsntcn Abstand von diesem Brennpunkt so kOnueu dio Kegelschnitte alle möglichen Lagen in der Kreisebene und alle möglicbeu GrösaeDverbältnissc annehmen. Sie mOss«] in einem iliror Brennpunkte zusanmienfallen.

Man wird bemerken, dass die Landen'sche Sobstitation ein« gatt Anwendung auf diesen Fall gibt. Danach ist

8in(0 — t)=painT, wo p^-

und die Function gebt ttber in

f -'^1 +r ^ij-

J Vi— p*Bint,> / Vi — p'si

rJ VI— p'siaT,*

Vi — p*«n^

in welcher die neuen Amplituden x^ etc. di« Winkel sind, welche 4 Strecke R mit den nach den 4 Schul ttpunk ton gezogenen ßreiUHl strahlen des KegelGchnitta bezäglich einsuhliessen.

^U^

^^ und ilirt geomtlruchf, analylincht umi dgnamiitkt Bedealuny. 437

Will man dngcgen dio Winkül o einfQbreo, wckhn die Bronn- Strahlen mit den ßadieu s bilden, su ist

siu{e— a) = psinö, wo p = ^.

and man erhält die analoge FuDctioa.

Der andere Wert des Modulus ist, wio nach einigon ßochnougon «rhoUt, 721 r* = 4[.gcoaa-^).C08«

'^> ^ ^ ({Ä+.)COBB-e)''-««-

wobei man eine Untersucbnng Über die Verhältnisse anstellen kann: welche aus der Gieichsetznng der beiden Moduln hervorgehen.

Interessant werden die Verhaltnisse in dem Fall, dass der KreiB" durch den genannten Brennpunkt hindurchgeht. Dio Function 2. Art geht dann in einen geometrisch leicht delinirbaren Ausdruck über,

wenn wir für sin^d den eutsprecbeuden We(t .^, worin t^tia^a^ die

bezüglichen Sehnen von dem, dorn Brennpunkt gegenüberliegenden Ereispnnkte nach den Schnittpunkten von Ercis nud Eegelschrntt einfahren. Nach Featstellnng der Vorzeichen finden wir bei der El- lipse und Parabel

ig 73) »,-|-«3+»8 — «4 = -Bino,

und bei der Hyperbel einen analogen Ausdruck.

Von den mannigfachen Formen, welche die cUititischou Integrale zur Verfügung stellen, wählen wir

und bemerken, dass in dieser und den ihr analogen andern Formen il\d durch Brc anstrahlen ersetzt werden kann. Demnach bat man ]

sini(*»+**)

»i-Pi sint(gi— ^»>

Die Formeln lassen beim Uebergang der Hyperbel in Aiymptoten eine Anwendung auf die Geometrie des Kreises zu.

Wir setzen demnach •

= 0 und führen ausserdem dio

u; KUiplUdit Inlegral/un

in der Figur 16.) angegeboneo Winkel e w folgenden Relationen bowaLrhoitcn können

Man wird \<AciA A

?! _ ^3	e, _ cosf.
04 — e»	°^ COSIg
COSEjCOSE, — cos	.,C0Bt4 COSE,
coatgcosr^ — cos	t,coa*, cosre

Diesen Bcbliesscn sich, wie man leicht finden wird, noch eine reiche Menge anderer an.

Will man noch die Bewegung eines schweren Punktes im Kraso mit den gegebenen Eni Wickelungen vergleichsweise in Betracht ziebeii, 80 geben dieBelbcn den Fall der vollslindigen Umkreisung, daZ<;i ist. Die Geschwindigkeitshöhe im tiefsten Punkte des Eroises sei A

dann ist

(ß+*)'

=^ V, woraus bei gegebenem » und A R sich be-

rechnen lässt. Die erste Intcgralfunction kann also durch die zu At Amplituden & etc. gehörigen Zeiten t otc. ersetzt werden und tut hat

76) t,+t,+i,-\-U~2t,

worin t die volle Umlanfszeit bezeichnet.

Es schneidet aber der Brennstrahl (, vom Kreise zwei dorcli liit Amplituden 9j nud d,' bestimmte Bugen ab, für welche nach früheren

ist. Dasselbe gilt vom Brennstrahl g^, den bczäglicbeu Ämplittidi @f und &f' entspricht die Relation

Ziehen wir nun die Summe beider oder

,,+,,+,,■+,,'.

von der obigen 76) ab, so resnitirt

77) t^'—h-U — '

Wie man sofort aus der Figur sieht, entspricht die Zeit i=(,'- oincm Bogen, der Kreis zwischen 9g und •',' und die Zeit r'= cutspricbt dem Bogen /wischen ff,' und ff(. Sie sind also Bog« gleicher Zeitdauer. Analoge Bogei tnng leicht auffinden.

L lassen sich bei weiterer Betracbofl

»nd ihre

Uchr. aniilsli-

m.d Hpia

,■ Bt,U

439

] kann

L&ssl man die ElliiiBO uud llyporbcl bezUglicIi lu ciii<? Uvradu Oller 2 sicli schneidende Geraden Ubergolicu, so crbält mau di<.^ be- kannten InlogralfuDctioncn des Kreiaes, deren Sätxc durcli dus Vor- icnde wiederum eine VeraUgi'iuciueruug erfulireu haben.

. 30.

Die im vorigen § angcstellto bi quadratische Gleichnug gibt iu Folge des uiDfachcn Aosdniclca des Müdulus ilirer Integral tuuution tferanlassung zur Aufstellung einer neuen Fuiietiuu, die wie fulgt, ibitdot werden kann.

Der genannte Modulus 2* = .„_, .^ hängt einzig vom Ver-

■Itniss — =ic ab. Gelingt es demnach, aua den Formeln 69) nder

■j = Sicc'sinKcostt-l sine

-^ = — 2ae*C08«* ^C08« + 2ai

rf=~sin2«, c^~^■cos■2a s TerhSltniBS x aus den ConstAnton der Gleichung ^) a+ÄHin#+icoB& + .fsin29+«co8L'9 ^ 0

\ entnickoln, so erhalten wir die gesuchte neue lutegralfunelioo. ^ Man findet leicht

hcoia-^-esiüu = ÄiESina.**

3 erste Relation für (i geht u

ir"c0BO* — ^«SCOBci

(^

fmmM^^mm-^-^

'440 Ockiaghaua: EUipli.

• Dieselbe gobt bei BcnnUniig von

cot« — cot2(i-|-yi + cot2a»

4-yj + P f

dB«*

■diHflMlMi ober ]b «b CBrids^g woftr wir Mtni^ /

ist, Bo folgt anch

'-m

Demosch geht der letzte Aosdrock bei Einftthmng dea Wertet Ar n Dach einigen Transformationen Qber in

ifomit die Anfgabe gelSst ist.

Zieht man indoMen vor, den Modalns Z* = 1 — Z'^ durch die Constanten der ans 79) hervorgehenden Gleichung

81) {«-<;+*)tgi9*4-2(6-2d)tgi*»+2(a-3e)tBiff*

f2{6+2d)tgl* + a-l-e+e - 0 oder ans

82) tgi&*- JtgJds+ütgJÖ* — Ctgiff+ö - 0 zu bestimmen, so findet man

(A—C)*a+B—D)—4A(A-i-Ci(l—B-l-D) ^

^ +iA*V{A-C)*+(l-H+D]'

{A—CiH~l+B+7D)—iC{A'\-C)a—S+D)

-j~iC*ViA-U)''-\-(l~Jl+D)* und OS ist hierfür

^^1/ Vi— Z»8mJ&i' V Vi— Z'sinjej'

^^K Zur EDtwickeluDg der Integralfanction 2. Ärl nahoa wir auf

Bf'

^y Vi -Z»8in iff»rfl# = gi^'\.,y sin «

ik, worin noch die Constanto zu bestimiDen ist. Man Üudot bei intznng dor obigen Relationen

/Vi— Ä*8ini*,».iJ9i + /yi — Z'fliniV''i9!i+ etc.

I Ml

1 erhält z. B, für

2i/,p + e» d»+r»-2eV'fl^i+^

l5tgqD" + G0tgv — 36 = 0

20V46-

Auch die neue lutogralfanctionen kanu erfolgreich auf Beiapieto wie io den früheren SS angewandt werden. Man wird manches Uober- cinstiinmende finden.

Jlnwendan^ der Integral runctlonen auf die Aufltlsunir der hubii«chen und 1)li|iiadriiti§eheD Olelehnugen.

Wir bemerken vorab, dass die Formeln in § 31. und aualog die im letzten Abschnitt aufgestellten eine Auflösung dieser Gleichungen dorch geometrische Constmction enthalten, da ja die Ausdrücke

-• j, tg2a etc. durch die Constanton der Gleichungen bestimmbar

sind, wodurch die Ijuhekaunten durch die Winkel 9 ihre geometri- sche Deutung und durch Coustmction eines Kegelschnitts und Kreises B degnitive Lösung erbaiten.

442

; Llliprii

Man kann dabei einige ModiücatioDen dtr Cunen eintntrtf lassen. Dm diß Farmclu za vi^reinfacheu, la der AtiluuuUung : Gco- mt^trische Untersuciiaogen de liaben wir eine geomotriachB Aufl6stui| der redncirten Gleichungen dicsai' Art gegcbcti, welche in bestin leicht angebbaren Fällen beiapiels weise anf eine gleichseitige Hyperbel ftlhrt, welche besonders fUr die kabische Gleichung ir*4'^-i~^ eine elegante Anwendung gestatteL

Eine UntersucliuDg, ob diese Curve Uberhanpt fftr den 3. itDi 4. Grad einer Gleichung branchbar ist, würde sieb domnacb mit de Gleichung

(^-O'+(l-:B+P-ft';.f-0H(l— af-P)*)*

6» + ' Z»(A—C}{C*+'2D{i—B+D-i-y'(A-C)*Ml—B+D)*))

KU beschäftigen habeii.

Die Substitution tg<p'=ytgV' fahrt bei der ADuahmo gleichseitigen Hyperbel, worin r, ^ — :i ist, auf die BediDgangv

gleicbung

f-l-i-Oa — ö+0)4-2(A — 6'}{D-1) -

das ist auch

dei'en Betrachtung hier indes znwoit fahren wurde.

In analoger Art kann, wie scheu frQhor erwähnt, diu Gloichwq tgip*— ^tggi' etc , dereu Modulus aua

J2'* ^ ^'+2(l-.0+O-{-yu-O'-Kl-J + Pn " C*+2Da-B+D-i-VlA-C)*+a-B-\-Dy')

bekaunt ist, durch Einführung von tgip -»ytgp so modificirt wer- dcu, dasB hierfür ein bestimmtes Z hervorgebt.

Man erhalt dann aus der letzten Formel

A{A^ — iAB + 8C)y»+ 4(1 + Z'») (A'D~ C V -\-2Z'''[2A''BD—A*C'-\-iBC* — »ACD)j/* ~iZ''{l-\-%'*)lA*D—C^)Dy+Z'*ClC'^—iBCD-i-AD*) =- 0,

woraus mau ersieht, dass j/ durch eine Gleichung 4. Grades besünunt werden muss.

Setzt man z. B. Z'* = t und eine reducirte Gloidmug 4. Gradetf voraus, bu würde die Bcdingungsgleicbnng

mf dm Lcmui skaten bogcu

Die Annahmo Z =■ 0 oder 2=1 führt auf aualogo Gleicbangen.

Die lotegraJt'anctioiicn lassen sicli nnn in folgondt'r Art zur Auf- gang der kubisciicn und bi quadratischen Glcichunguii verwunden.

Wir wollen indes hier redncirto mit reollou Wnrisoln voraus- , um anf dieselben die genannten Functioner und ihre Reihen- iritkelungen mit grüaserer Einfachheit anwenden zu könuon.

Wie wir nachgewiesen, ist für die vollständige kubische Gleichung r Modulus der hierauf bezüglichen Integralfanction J Vi — Ä'sinV* '^ Vi — Z*8ing>j* t/ Vi — Z^sin?),*"'

^^HugedrUekt. ^^P So iat

1

, I + V5

-2+y5'

für tg7>=-

igedrUekt. So i« z. B. für tgv*— itgip^+i

Ans 85) folgt aber

-f4(^C-(-B)sina(j)4-8c = 0

Aus dieser Qloiehnng lassen sich nun die bekannten Ausdrücke r symmetrischen Formeln für die Wurzolpotenzcu d. i,

2;8in2()) ■=«, i;8in29' = a» — 3oS4-3c etc.

^cht finden.

Beachtet man nun, dass in der Reihenentwicklung dos unvull- tBndigcu elliptischen Integrals 1. Art

der Wert von sio^u^ dorch eino nach ungeraden Potenznn von smj forUchroitonde Reihe diu-gustcllt werden kann, so gehl die obige Re- lation tlber in

88) ^v=oo'P+i(-o,-t-^.-fl6...)sin2?.+(- ^*-Has-K..-)8in2»M- 1

Da ftr die 3 Wurzeln drei solcher Formeln eiisliren, so pbt die Sammation derselben bei ßerUckEicfatigang der Relation der WiU'V kelsummc, d. i. von

rv-arctgj^3^

dii^ Gloithung

BEI) /•'p,+rT,~/Vs-«(,ar»:'gf£-2,— K<»i~<'4+«ä)-2^wn2<p

- (j-'-|'',i4-laB..-)-S8in2<p»...

worin wir der Untorscheidung wegen bei der Anualime von '2 posi livou und einer negativen Wnrzel der reducirten Gleichang die grale dementsprechend absolut gewählt haben.

Nnn iBt aber anch

F<f,-\-Fipj-\-F<Pi = K.

Die Snbtraction beider Ausdrucke führt demnach anf das folgende

Resultat

90) -t=P'P,)-i^-Klir«g^^-H(a,-.

+ (4*-K+K-)n-

in Folge dessen das elliptische Integral linker Hand durch bekanuu Relationen desselben und dnrch die Conatantcn der Gleichnng bc^ rouhnct werden kann.

Die Amplitude folgt dann anf bekannte Weise ans einer Formel der eUiptischen Functionen, d. i. ans

91) V\—ZHva<Pi^=-^Z'- --

1— 2gC08 -j7 +2g*C0B -

Ans der Amplitude folgt dann von selbst der Wert der e cbcnden Wurzel. Damit ist wenigstens theoretisch die Möglichkeit der Beatimniang derselben vermittelst der Integralfanctionea '

Ob^

und ihre geometrische^ ancdt/tische und dynamische Bedeutwuj. 445

gewiesen , wenn auch praktisch in Folge gewisser Convergenzbedin- gangen die Methode keine Anwendung finden sollte.

Es ist nicht gerade notwendig, dass die Gleichungen zuerst re- dncirt werden mttssen, es genttgt, durch eine Transformation eine negative und zwei positive Wurzeln zu erhalten. In Bezug auf den oben angegebenen Ausdruck fUr den Modulus kann derselbe auch nötigenfalls durch einen andern ersetzt werden.

So besitzt z. B. die Gleichung

tgg)»— 2tgg)* — 5tgg) + 6 =- 0

2 positive und 1 negative Wurzel..

Legt man die Formel

' J Vi— Z*sii

^'* ' J yi-Z*sing)^

zu Omnde, so resultirt

Z' — 1 also Z'^ 0.

Benutzt man dagegen die Formel

80 kommt

Fflr den ersten als einfachem Fall besteht demnach die Relation

und da

<Pi + <Pi — «Ps = »rc tg YH^ == arctgi (g) absolut)

so erh&lt man sofort eine Wurzel aus

2g)j«l^(y>-arctgi

nämlich

tgg)8 — cotgiarctgi «2, d. i. = — 2,

wie man leicht findet.

Um nach der entwickelten Methode die biquadratische Gleichung

92) tgg)* — >4tgg)» + J9tgg)«— Ctgg) + £)— 0

aufzulösen, transformire man dieselbe mittelst einer linearen Variation

in eine andere, in welcher 2 positive und 2 negative Wnn;eln «r- kommen. Aub der Formel

C^--2D{l-B-i-D-\-V{A~CiH(l-B^b)*)' orblLlt man dauu den Modolus der Integralfunctionen

f _ ''<»> _ . r _J'02 , f _ rfy, _

+ f , ""• =2^

t/ Vi— Z'sing.,'

94) /yi"^«8invi'rfi)0i+/v'l— Z*8m(ps»^Iv,+ /yi— ^*8iin^«d»i, + /Vi— Z*Bing).»dg>^

Nacb den gegebenen Formeln bat mau nun zuuHchst

95) Fip, = na<Pi+Jl— os+u.-OsinSgii-ff— ^*+itae... Isin2<p,a

addirt man zu dieser die ihr entsprechenden 3 andern . so resullirt nenn F und «r absoint gcuummcu wird

96) /Tpi+rtps,— F9a~f(pi = ao£9H-i{-''-)^sin2ip,

nod da so eriiillt r 97)

I (lurcb Addition oder Sabtraction die Beziehungen

nnd da K±_L bekannt isl, indem E%\xi'l<p etc. £g) ^^ arctg - »i p ans der Gloiehnng 93) berechnet werden können, so ist in

die Amplitude o gemiiss 91) bekannt, welche bekanntlich mit der FaU' damentalformel

IS «Pi cüs qDj — sin 71, sin ipg^(<i)

und ihre (geometrische, analytische und dynamische Bedeutung. 447

Wegen

ist demnach anch

E(pi-\-Etp^ — E<p^ — Eq>^ = ^0 2^(p-|-i(^ä — *i— ) -2^8102(^5

-hV(364— V6")-2^8m2(3p3... « 2Af 100)

woraus

1 1 /A^D—Ci

101)

Hieraus folgt

v—Ea singpisingp, -^^-^.

und demnach aus 98)

cos 9j cos (p^ = cos 0+ ^2 g|^ ^ -^C*^)»

Die Wnrzeln q>i g)^ gehen daher ans den beiden folgenden Gleichnngen

cos(<??j — tpi) « cos tf + -^T^j^ (^ <J + l)i 102)

C08(<JPi + qPjj) = COStf+^^g.^^Mtf--l),

hervor, und analog finden sich q>^(pi.

Anch die in § 30) angegebenen Integralfnnctioncn geben gute HOlfsmittel zur Bestimmung der Wnrzeln.

Will man die Potenzreihe

lOd) sinycosy:=^u— j^-^t.3+ 1.2.3.4,5 ^''" fQr kubische Gleichungen benutzen, so folgt durch Umkehrung

1 . « . 4+ Z2 . ^ _ , 144+36Z>+9ifc* . ^ ^ 104) 1* =- i sin 2<p + ^ sin 2tp»+ ^^^840 — ®"^ 2g)ö . . .

448 Oekinghaus: EUiptucke Integral/uneitoneH rtc

Aus folgt aber

Bin 2q>H{a — c)« + (1 — b)^) — 8in2<p«(2aÄ + 2a — 6c+ 2bc) + siu 2gD(4Ä +4ac) — 8c = 0.

Unter Yoraussetzang der Convergenz der obigen Reihe hat man

44- Z« 105) ui-ftt^— us « i2:8in2g)+-^ 2:sin2g)S

+ 3840 -5:8m 2,,^...

worin die £sm2<p*^ aus der Sinusgleicbung bestimmt werden können.

In Yerbindung mit der Relation t*j-|-«*»+**8 "" -^ erhÄlt man also t^ und damit die Amplitude q>. Diese Ableitung ist aber wegen der schwachen Convergenz dieser Reihen nur formell interessant, gleichwol besitzt sie und die vorhin gegebene immer noch einen theoretischen Wert. Wenn die Reihcnentwickelungen der elliptischen Integrale eine stärkere Convergenz besässen, so würde dies anch mit den oben abgeleiteten der Fall sein.

Lititraritehcr Btrieht I.

Litterarischer Bericht.

Methode und Principien.

Unsere Nuturcrkcantniss, Bcitrltge zn einer Theorie der Mathe- matik und Physik. Voq Dr. K. KrornnD, Boceotcn der Philosophie a. ü. Univprsitüt zu Kopcohageii. Von der Küo. Dan. Akademie der WiBseuscbafteii mit der goldneu Medaille gekrOlite Preisschrift. lus Deutsche übersetzt uatcr Mitwirkung des Verfassers von Dr. S. voa Fischer-Benzon. Kopenhagen 1883. Audr. Fred. IlOat d. Sohn, 458 S.

Das Boch zeigt zwei wertvolle Eigenschaften: es gibt ZenguisB von der vortrefflichen Gabo des Verfassers zu citcniplificiren und TOD dem ernsten Willen unparteilicijQ Kritik zu üben. Es ist seine ■it Glück und Geschick angewandte Methode, au einem Beispiel die Sntatehnng dos Triebes, die Forderungen nud Elemente der Erkennt- I aufzuweisen und zu entfalten und demeem:1sä auch immer ein tispiel zn wlihlea, in dem sich alles repriLscntirt findet, welche ihm ■Soviel Bcistimmung und das Lob erworben bat, dass man bei ihm teta deutlich sehe, was er wolle. Und die Kritik betreffend ist an- zuerkennen, dass sie seine höchato Autorität, Kant, nicht schont, seine Lehren in Zweifel zieht und sich nie auf solche beruft Doch ist er weit entfernt nnabbängig von seiner Autorität zu beobachten und zu denken: Kant's Schwächen sind auch diu seinen, und ein Fortschritt in der Auffassung wird nicht gewouucn. Wir sind daher iu dem Falle, indem wir gegen den Verfasser sprechen, im Grunde nur Kant , xa treCeu.

I Anli. d. Halb. a. Fbjw. S. Hui», Tili I. HoR 1. '

2 Uttirarüchey Btrickl I. -^^^^^^^^H

Wir begiüueu mit den Worten ant dem Titel i „Theorie dS] Matbomatik nnd Physik". WtD- kann damit gcmt-iat sninT Bedarf dio Uatlit;matlk, üio af^lbst Theorie ist, und die Phj-aik, die sicli thra Tlieoric aaabildct, noch einer Tliuorie ausser sich 'f Das bitrsse docb, ein Fnttaral um ein Futteral, ein GebuuEC nm i-iu Sehn ecken btn& Wir würden es niemandem vordeuken, wenn er dabei ai Handhabe für Uukandige dächte, wodurch mau auch ohne StniUnm der Gegiinätände über die WisseuEcliaftcii urteilen könnte. Dtxi lässt sieb auch eine mel;r auf Wahrheit gcrichtrlc Bestimmung dco* keo, wenn man anuimmt, dasa nur die Bezeichnung Tcrfctalt irt. Was die Theorie zu untersuchen Übrig lässt, ist die psychisch« fli nesis des Erkcnneus, welebes znr Theorie führt. Beide Ansle^ungt siud auch in Aubelraebl der Ausführung uicht gan» ohne Graitd.

Als Resultat einer eiuleiteudeu Hetratbiung wird der, auch i Folgenden liei behaltene, nie verbesserte Satz aufgestellt, das Ziel das Erkenn t II isstricb CS sei, ein alles umfassendes System von diilegcliLMiJ richtigen und aüecmeiiiou Behauptungen oder Urteilen zu bilde» In der Tal mögen Manche, iusbcsondere Nicbtmatbemaliker bei obCT^ flachlicher Beobachtung dessen, was die Mathematiker treiben, i die Chimflre fallen, wie sie liier dem Verfasser als Ziel des Erkeifc nens erscheint. Uoeh könnten wir wol durch den Gang der Wis: RChaftcn hinreichend belehrt sein, dass das Urteil den Krkennttüa»^ trieb nie zn befriedigen vermag, vielmehr nur eine Stufo auf des Wege der Erkeuntiiiss ist, die sich der Geist befustigt, sowol um ad derselben momeulan zn erkennen, als auch nm von ihr aus weit^ zn forschen. Schon im gemeinen Leben begegnet man h&afig Ur- teilen, die vollkommen einleuchtend nnd allgemein, und doch triviaf nnd ohne belehrenden Inhalt siud. Im grossen aber bietet t synthetische Geometrie Gelegenheit das Analoge zu beobachten, eröffnet uns ein nach uueudlicb vielen Richtungen ins uneudliclu ausgedehntes Feld, auf dem wir hciiebig viele cxacte, evidente i allgemeine Urteile bilden und in ein System bringen können, obuc in der Erkenutniss einen wcscudichcn Schritt weiter zu kommen. Wäre dann ein solches System über alle Gegenstände der Erfubniiig und des Benkens ausgedehnt, so würden wir scbliesGlich so unwissend sein wie zuvor. Die Geometrie zeigt dies mehr als irgend eine aiidra Wissouschaft, weil wir hier in gleich exacter Form die von den Zieleu. der Naturwissenschaft geleitete Forsclinng neben der ziellosen Pro- duction an Sätzen zur Vergleichnnp haben. Welche notwendige Bo- atimmung der obigen Definition, die augenscheinlich nicht intrilT^ fühlt, hätte der Verfasser an seinem eigenen hücbsl iustruitlveu Boi- Bpicle, BUS welchem er die Erkcuntnisselemente entwickelt, entdockca müssen, wenn nicht das Kant'scbe Gedankcngleis seinen Blick be-

Jlicfa« ! und

m^ik

!f.>*( /.

Er Bißlit am Wiedorbau eines he rabges tarnten Altans f fragt nach der Sicherheit anderer und zukünftiger Altann Serabstürzcn, nach den Beilingungcn der Erscheinung' and ^ Äe XD ihrer Untersnchmig errorderliclien und aus dieser «cL >endcn BogrifTe durcli, mit Vnrweilt'n beim Causalbogriff. Alle ! Acte «eiecn, nach eigener Darstellung des Verfassers, auf das gemeinsame Ziel bin, Herr der Tataache zu werden, die er anfangs leidend erlebte. Er b rauchte nur auinera Gedankengang treu v.u bleiben, um zu deliniruu: Das Ziel des Erkenntnisstriobes ist, aber die passiv erlebten Tatsachen der Sinnesempfindang Herr zu werden. Das Urtt^il ist dann das Mittel, welches trotzdem, dass es einlcucbtoDd ricliüg, allgemein und (wenn wir der Verwirklichung vorauseilen) allamfaasund ist, das Ziel verfehlen kann, wo letzteres nicht im Aage behalten wird. Hiervon ist ilas Folyeude ein sehr sprechendes Zeug- niss, Der Mangel in der Definitiuu ist nämlich kein bloss formeller, sondern er drückt wirklieh den Mangel in der Auffassung dos Pro- blems der Philosophie ans, er ist der daacruJc Mangel dus ganzen Werkes, ein beständiges Ilindornisa für deu Fortschritt der einzelnen so vortrefflich begonnenen Untersuchungen.

Gehen wir die Einleitung durch, deren 3 Abschnitte sind; das Ziel, die Mittel, die Grundbedingung und Wege des Erkonnens — so ist der Hauptgedanke des ersten bereits genannt and sein Kesiittat filr unrichtig erklärt. Von den Mitteln werden aufgewiesen: Wahr- nehmung, Gfdaohtniss, Phantasie und Vernunft. Sie werden für an- geborene Vermögen erklärt, wenn sie gleich bei der Geburt in sehr primitiver Form vorhanden sein raOchten, auch ihre Scheidung keine definitiv massgebende sei. Der Verfasser würde aber wol weiter cinrAumon, dass die Aussage: die Vermögen sind angeboren — für die Untersuchung gleichbedeutend ist mit der: ich weiss nicht, wio sie entstanden sind — so dass, wenn jemand zeigte, wie sie eiitslaii- den sein können, erstere Bebaujituiig seiner Ansicht nichts entgegen stellt. Nun hätte es aber den Zweck der gegeuwärtigen Arbeit be- deutend gefördert, wenn der Verfasser aus jenem Nichtwissen heraus- getreten wdre und versucht hätte der Bildung dt-s Vermögens der Wahrnehmung, obwol bloss rational, wo die Deobachlung fehlte, nachzuspüren. Es genügt ihm zu sagen, die Keime der Wahrnehmung tnüssten im Neugeborenen vorhanden sein, denn us würde durch Licht n. B. w, verschieden erregt. Dies ist an sich ein unberechtigter Ana- logieschluss. Der Blumenstengd , der sich nach der Sonne kehrt, das Wachs, das in der Wilrmo erweicht, zeigen auch unterschiedliche Erregung, ohne dass wir ihnen darum auch nur Sinnesempfindang znschroiben. Doch abgesehen von der Ungewissheit, ob letztere von Anfang eiislirt, so ist Sinneacmpäudung noch kein Vermögen, sondern

ri'-^hrr Btriehl I.

ein geolisclicr ZustAnd. ICrst durch Fixiruug ilor Binue'fi aoterscbiedUcb prlebtou ein eigenps UuterBchpidi-'ii hervor. Du wieder ist die Unterscheidntig toq Sinnesemplindnngen noch ksii Walime Innung. Dazwischen liegt oiac Reibe von TransfnmuttioM der Vorstellung, die nötig sind um Wäbrnehmung vou Olyedra i erzeugeil, und mit welcLc-n die Eiitstdiong von Ideen — Identitfl ßaam u. b. w. — vorbanden ist, die aU BeilininiDg aller Wahrufe muag voraUBgeben. Diese unentbehrlirben Elemente der Logik W den hier unerklärt, ihr Inhält im Dunkeln gelassen, bloss weil i Yerlasscr die Fraeu, eb das Wahrnebmtiugsvermfljicii augrbom • recht bald mit einem I'rteil absulilieBsen will und dicH UKeil für 6 ganze Leistung halt. Ander« verfllbri er mit der Caiiaalil^ Obgleieh audi hier die ganze LeiBtung in i'm Urteil, den CaaSälititt satx: Gleiche llrsnclien haben gleielii' Wirkungen — Kciejiit wirrf, i wird in[ S. Abschnitt die Entstellung der Idee ansrolirliüli beliwiilell Die Gültigkeit de» SaixcN ist Grnudbedingnng dos Erkenuens, mnt. daher vom Meitscbcn ohne Garantie für die Zukunft angononu werden. Hier ist einmal die Naturnotweudl{:keit riebtig »nfgrlk als eine, die dem erkennenden Mciisi^bcn, nicht der Sachu lUifpri ist. Dürfte mau nun die gan/e Einleitung für uiuu Orientirungi ohne den Zweck eines detinitiveu Urteils ansehen, so würde sia j allen den Punkten, auf welche sieh die Orientirong crstrerJit, cdi vortreffliche Angriffs- und Lebrniethodc darbieten; nur wOrde di notwendige Orientiruug noib lange nicht beendet sein. Gerade diH Dn Vollständigkeit zeigt aber, dass die (;onctische Uetrachtuug nur n Erhttrtnng einiger Sätüo dienen sollte.

Nach der Einleitung beginnt die Schrift unter dem Titol: apriorische Erkenutniss: Die formalen Wissen seh nften" — mit tmA Kritik der Begriffe Apriori, aoalytieche und sj^ilbetische UrteilO ersteres ist vorher erwähnt im Gegonsatx von apriorischer und an] rischer Wissenschaft, fitst nur kcuntlit^ gemacht durch Uinwoit a Uathematik und Physik und wird auch hier nicht nQbcr nntcrsocli^ BOndem bei Verbindung mit den beiden andern als gültiger I vorausgesetzt. Diese Kritik zeigt durch die unncitigeu Schwior keiten, mit denen sie sich zu ton macht, den Mangel an OricDtjruii( in ihrer Aufgabe, indem sie sogleich einen detiniliven Satz a Die erste Frage musslo sein: Wo und in welchem Sinne komraai jene Begriffe in WiasouGcliaflcn mit Zweck und Erfnlg in Anwendnugl Was dann nicht zum Zweck gehörte, war so gleichgültig als i& Krümmungen der Linien, welche zu einem Beweise ein Dreieck VOi Stellen sollen. Ajiriori heiset in exacteu Wisseiiscbniten stets, m im Erkennen einer Erfahrung vorhergeht, relativ zu dieser, dio o bestätigt. Der Verfasser aber meint ein absolutes Apriori,

"MB'^nen nicbt

' tierichl t.

b'^nen nicbt vorkommt, und dessen Bohanittuag nichts boJcutet als ünlceniilnisa der Erfahrnngi^n, ans denen dio Wissenäühaft Lcrvor- gpgangcn ist. Diese Discrepauz Uburapringt er, indera er sieb anf die Mitthematik beruft. Die Kritik wendet sich gleich anfangs auf die Definition des Gegenflalzes zwischen analytischen und synthetischen Urteilen, mit dem Resnltale dass jedes Urteil beides ist, und dass jedes Vernunft and Anschaunng zugleich bedarf. Hätte sie zuerst nach Zweck aud Erfolg dieser Schoiilung gefragt, so würde ohne die lange Untersuchung klar geworden sein, dass dieselbe an dieser Stalle überflüssig ist ; denn sie hat bei Kant nur zur ForranllruDg bestreit- barer Urteile, dem Fortschritt der Mathematik überbanpt zu nichts gedient Glücklicher weise war der Umweg keine Verleitung ;!um Ab- weg; denn nnu stellt der Verfasser die näher liegcudo Frage: Wie wird die Mathematik, wie sie factiach vorliegt (statt synthetische Erkenotniss apriori) möglich? Zuerst zeigt er, dass sie weit cntfomt ist durch reinen „Syllogismus" zustande zu kommen. Sofern hiermit nur eine verbreitete Meinung widerlegt werden soll, kann man gegen die nnfruchtbare Vorführung der syllogisti sehen Formen nichts ein- wvadeo. Nur möchte mau doch den gidegcntlich in specieller Be- ziehung getanen Ausspruch: Der Naturforseher wird in dieser Form kaum seinen Gedanken gsna wiedererkennen; denn das Selbstverstilnd- licbe wird breit hervorgehoben, nnd die eigentliche Operation heinahe wie etwas selhstverstäudliches Uhergangon — von der gan/.en Syllo- gismenlchrc gesagt sein lassen. Indes geht der Verfasser auch im folgenden Abschnitt, der von den Axiomen der Geometrie handelt, nicht über die Satzungen der formellen Logik, die er nnn einmal für die einzigen Wege des Erkennens hält, hiaaud. „Unmittelbare Bonrtoilungen" und „IndnctionsschlüsHe" sind das Einzige, was er zur Erklärung der Axiome aufbringt, worüber er sich aber mit vielen Worten ohne klares Ergebniss und mit vielen Abschweifen anslässt. Dass erstero nichts sind als Behauptungen ohne Bewusstsein des Grundes, daher auch ohne Controle, wird nicht an den Tag gelegt In letztern wird der Induction eine unrechte Bestimmung zuerteilt Der Verfasser hat keine Ahnung davon, dass die Gewissbeit durch das theoretische Gelingen bedingt ist, mit der Ansdehnung der Theorie wächst und unaniBtösalich wird, sobald die vollendete Tatsache gei- stiger and materieller Früchte, wctcho den Aufwand an Änstrengungon tausendfach überstiegen haben, so wie andrerseits die Aussichtslosig- keit ein gleich brauchbares System zu schaffen, dem Zweifel allen Boden entzogen haben. Daher hat auch der BegrilT der Hypothese bei ihm keine Stelle und wird bei Erklärung der Axiome gar nicbt geuannt Kr kennt nur die Sicherung durch den Unterbau, die uatttrlii-h immer precärer wird, je hoher man baut, da immer mehr ftthlbare Elemente hinzukommen.

lAt'rra

■ ßericM 1.

Mit so angenügender Äuffaasang des Zieles üud der MittPl i eniliirisehtfli Erkeuntnies wird nun der folgende AliBchuitt onler dem Titel der letztem angegrifl'eii und iu der Tat bei BesprecbuDg dar tvie'i (.Tsteii Tlieiiiata, welclie ziemlicb im alten Gleiso veriftnft, nichts uumie na wertes zutage (gefördert. Das dritte Thema, Gebiet desCniual- gcseties, erregt gute Erwartungen. Es bändelt sieh nm üb das Cauaalgesetz Bescbr&akungen habe. Ohne vorher sich dartllB 9;u kQmmern, welche Besclirünkun^'eii der wisscuschaftliebo Gebrauch JcB CausalbegrilTs aehon an sich enthült, dasa z, B. nicht der C ändi-run|{, somlern der GeschwindigkeitsaudcruDg Ursache zugeschrie- ben wird, bespricht der Verfasser zwei Punhti.', in welcbeu er frcnidi Ausichten xu widerlegen sucht, nfimlich erstens die, dass dio Ca salilät keine „objective" Gültigkeit habe, zweitens die. dass sie » dio auoreanischo Natur beschrankt sei. Er tritt Kant und Uill ent gegeu, aber nur mit neu erdachten Auskünften , während er die I fnugenbcit in dor Auffassung mit ibncn teilt. Die Objectivttüt bl^bt für Ihn immer eiu Jensoit ; nur meint er dem Glanben an ein soldi» dadurch zu entgehen, dass er es ais Hypothese einführt, die znr Ei kltlruQg der Idee uotweudig wäre. Znr Erklärung der ideellen Ca« salitJit also will or eine problematische gleiche Idee anwenden. Di heisst doch, den Spuk eines mythischen Kobolds durch Fictiou eins wirklichen Kobolds erklären! In solche f'onfusion und Verwirniti kanu ein aufrichtig forschendeir Geist geraten, wenn er es vei schmilbt. die Dinge, über die er arteilcn will, spcciell anzasebu und sieh damit begnügt, sie unter die Kritik vorgefasster , nncoDtro tirler Begriffe (sogen, reiner Vernunft) zu bringen. Hätte der Vciv fasser, che er an eine Frage Ubor Objectivitflt gieug, sich die Be- dingungcu der Idee der Objectivilät klar gemacht, so würde Bicb da fatale Dualismus des Gedacliten und Seienden in den blossen Unter scliiod des zeitweilig' Unvollkommenen und des angestrebten Toll kommenen aufgelöst haben. Gleich unvorbereitet tritt er an zweite Frage, ob der Mensch freien Willen, d. h. die Fähigkeit ni Causalkettcn anzufangen habe. Die entgegengesetzte Ansicht, d nämlich alte Vorgänge, einschliesslich menschliche Handinngen detcr miiiirt seien, betrachtet er ohne alle Untersuchung und Charakte sirung als eine einheitliche. Er fragt nicht danach, was dio Can salitAt eigentlich verbindet, und was sie uudetcrminirt lässL entgeht ihm also, dass die Caasalverbindung allein das Sucecdirendi berührt, mithin dio gesamte gleichzeitige Welt, bei aller Zurück fübning auf vorausgehende Zustände, nicht verbinden kann, oud dsa es gerade dieses grosse Bereich ihr gegenüber zufällig neben einandei gehender Teile ist, in welchem der Mensch frei combinircnd elni Zweckverbindung herstellt, die mit der Causulität nicht eoncurrirt, sondern stets ihrer Uülfo bedarf, eofem der Zweck auf die 'd

[crichtet ist. Da« stärkste Argument für die Wille-üBfreiheit seheint Wem Vcrfaasur die VeranlwortlicUkeit za sein. Er glaubt auch dieses Kentkrüftot zo haben, mil wie vielfacher intellectuollor Einbasse lassen r dahingestellt. Es gibt stärkere und der e:;aeten Betrachtang Bnfiher liegende Araninente, Wie will der Verfasser die Entstehung E^nes Artcfacts, z. B. einer Uhr, dnrch blosse Kräfte ohne freie \)mbinatioD orklilreu? wie den Widorspmcb bohün, den eine Wotte Id&rbietet, in der bei voilkomniener Determiiiatiou die Parteien sich ■gogenseilig besiegen müssteu? Ailgt-mciu gcfasst liegt das Haupt- »guinent für die Willens frei heit in der üeberlegenbcit, die das Wissen lern Sabject aber das Obji.'ct verleibt; diese kann logisch erweise nicht P^egenseitig , also der Wissende nicht determinirt sein. Hierbei tritt CB recht deutlich hervor, wie unzureichend die nmfängliche Definition des Erkcuntniss Zieles ist; Über einander urteilen können Gegner ohne logischen Widerspruch. Daher konnte der Verfasser bei seiner Auf- fassung die in Hede Etelieridu Frage nicht zur Entscheidnng bringen. Was iu der gesamten Betrachtung dos vorliegenden Abschnitts noch am meisten auf das Wesen der Sache gerichtet ist> ist die Ausein- andersetzung, welche zeigt, wie das Gebiet möglicher Willensacte sich mehr nnd mehr bcschrüuken lässt; nur hätte sie weiter geführt wer- den müssen, um die Erklllrungen zu erreichen, die bereits von an- dern Autoren gegeben worden sind.

Es folgen noch die Abschnitte: der Causal zusammen bang, die fahysiscbon Grundsätze, ilie physischen Lehrsätze, die physischen Srnngbegriffe , Zeit und Raum. Sie würden nur zur Wiederholung ^63 Gesagten veranlassen. Hoppe.

Logik. Eine Untersuchung der Prineipien der Erkonntniss und ier Methodeu wisaeuschaftlieher Forschung, Von Wilhelm Wundt. gwei Bände. Zweiter Band, Methoden lehre. Stuttgart 1883. Fcp- linand Enke. 620 S,

Diese Methodeulebre hat es nur mit vorgefundenem Stoff zu tun. 'Die Beb andlungs weise ist fast ausschliesslich beschreibend; die ein- zigen dabei geübten logischen Tätigkeiten sind Scheidung und Ord- niing. Der Name „Untersnuhung" ftlr das Werk ist j^änzlicb uuzu- trcffend. Es wird weder die psychische Genesis der Methoden unter- sncht, noch von irgend einem Standpunkte die Notwendigkeit der Forte ntwi ekel uug in ihrer actnelleu Gestalt ans Licht gestellt. Ein gewisses Eingehen auf Gegenstand nnd Inhalt der einzelnen Wissiui- schaften war unvermeidlich um über den Sinn der Methoden Rechea- svhaft zu geben. Eiu tieferes Eingeben würde erforderlich gewesiA' Bein, wcun die vorkommenden Urteile hinreichend motivirt en^

titl-irarucktr BrriiAl I.

sollten. Der Grand, warum der VerfaBsor, dem aageoBcboint) iler Sinn für roiforo aml mehr einheitlicb" Aiiß'>ssnng abpeog, es bd dieser indiiTercDlen Bi'ljnudlaiigswriae Leweuilcn litias, liegt wol ta der Ulierwaltitjendcu Arbeit, welche die hier zum AbschlnSs gcbncbtoi VorstadioD fUr klluftigu dcßnitivc Gestaltuiig ihm nnferlegtcn. Ei ist ancTketiuotiswert, doss hier der Logik die Beohacliloiig der aetn- ellen Quistosworko zugrundo gelegt wird, vrährcud meistens eioe- aprioriBtischc, d. h. auf cingeuurzelton, nie coulrolirlcn Gmodsibtoi bcrubeude Kritik ohue genaue Kenntniss dcts Wt'sens der Uethodea Ubsr dieselben abspricht. Die Ahscbnittc des Bnches sind: Allge- meine Methodeidclire , insbesondere die Methoden der Untersudioiigt die Formen der systcmatiscben Darstellung; von der Logik der M«t)ie> matik, die arithmetischen, die Koometrischen Methoden, der Fnti^ tionsbegriff und üd IntiniteEinaimethodii ; von der Logik der Natur- Wissenschaften, insbesondere die allgemeinun Grundlagen der Nstur- forscbnng, die Logik der Physik, der Chemie, der Biologie; von d« Logik der Geistes Wissenschaften, inshesondere die allgemcincQ Graud* lagen der Geistes wissen sebaften , die Logik der GeschichtswiBten< Schäften, die Logik der GesellachaftswiasenschafleD, die Methoden der Philosophie, Hoppe.

Kritisehi^ Bemrrkun>;en zur EinfDhrung in die Anfangsgrande der gäomätrie dcscriptivc. Von Franz TiPer, Professor an der k. bohm. tochniscben Uocbscbulo in Frag, noichsraths-Abgeordueter el Erstes Uoft. Mit einer liUiograpbirten Tafel. Wien 1883. Alfn Holder. 96 S,

Ans einem 44 Seiten langem Vorwort, welches sich in lagt Allgemeinheiten ohne Charaktcrisirung mit heBtändigen Wiederholsii' gen ergebt, ist , abgesehen von einigen Angaben Über OBtemeichiBcha Schulon, wenig mehr zu entnehmen, als dasa der Unterricht in der „gtometrie descriptive" sehr wichtig sei. Daa Vorwort betrachtet; Mongp's georactrie descriptive und die darstellende Geometrie als iwof veVschieilono Doctrincn und preist erstore als Ornndlagc alter mansch- liehen Cnitur an. Was den unterschied machen soll. orMrt i Leser nicht. Auch die Schrift selbst verweilt erst lange bei soibfltf verstund liehen Dingen, bis sie endlich bei Einteilung der Ooctnu üch etwas näher auf Besprechung des Inhalts cinlässt. Die g^ora. deacr. bat zuerst die Aufgabe die Kenntniss der darzustellenden Gegen- Btinde, welche der Darstellung vorausgehen mnss, ohne Bczu^ualiina auf di<.> Darstellung zuwege zu bringen, dann deren Darstellung, dkiiB ihre Erkominng uns der Darstellung /.n lehren; und zww teilt s die zweite Aufgabe wieder in die zwei, wirkliche und projcclirto Q^. bilde darzustellen. Von den 3 Aufgaben wird hinsichtlich der 1

Lii'tTttrifJ.f BtMi cclxxx. 9

sideraleti nar dio crato, die MorplioIogiP. besprnrhen. Dieae allein ist ea also, welclic uach Ansicht di's VnrfassiTS im hfUtigen Schitl- uutcrricbt verunuliIfLsiifit wird. Vom actucllcu LfbrviT^hri^ii ist indes nirgomU die Rede, datier der Ausdruck, kritische Bi'morkunt;en, auf dem Titel ganz gcgensUindslas. Auch scbdiit dio VnraufiSLttzuug ob- znwallcQ, als oli dio Schüler der dusonjitiveti Gcomutric dieselbe ohue alle Keuntniss diT Elemontargeonietrio bcgöanoo. Dodu dieao gibt doch ziemlich alles Nötige über die cintachcni Raumgebilde. Dar- über fehlt iudea jede Aensscruug, indem sie oiiizyln durehgogauBon und Zeichcü dafür jrcaetxt werden. Von der gan/en Schrift gilt nur: Parturiunt montes etc. Hop]ii'.

Das Priucip der liitinUcsimal - Methode und seine GescMchto, Ein Kapitel zur Grundlegung der Erkenrituisskritik. Voti Dr. Uer- tuann Uubcu, ordeutlichem Professor der Philosophie nn der Uni- veraitat Marburg. Berlin 1883, Ford DUmmler. 162 S.

Der Verfusaer apricht Über 111 philoaojibiscbo, insbesondere Logik and Matheiuatik, sowie Guscliichtc deraclbcu hetreli'endo Themata, indem er über jedes, ohue Bezugnahme anf die übrigen, sein un- raoti^'irtea Urteil abgibt. Die grosaentoils sehr boatreitbaren Drteilo sind, da aller Nachwcia fehlt, gegen Angriff allein geschützt durch Dunkelheit des Ausdrucks, welche es nicht als lohnend ersebeinen läaat, auf eine Wiederleguug einzugehen. Letzteres möchte eher der Fall sein, wenn irgendwo gesagt wäre, was unter dum auf dem Titel genannten „Princip" verstanden werden soll; denn aus den Urteilen Uber die Methoden Idast sich dies nicht outuehmcn. Da uirgeuds i'iu Korlscbritt odor systumatischa Ordnung zu entdeuken ist, so mücbto auch ein Verzeichniss der Themata zwecklos sein. Huppe,

^M Aritluiietik, AI(!;L'bi'a und reine Aualysis.

Unlorauchungen im Gebiete linearer Differeuttal-Gleichnngeu. Von Simou Spitzer, Erstes Heft.. Wiou 1SÖ4, Carl Gerutd'a S. 6Ü 8.

Das Heft besteht aus 4 Abschnitten. Im oralen wird die homo- gene lineare Differentialgleichung ~. Ordnung hergeleitet, deren Epo- ciallösungen die Wurzeln einer gegebenen kubischen Gleichung siud, Die Methode wird an einem Special falle gezeigt, dann auf die allßC- meinorcducirte Gleicbun;; in Anwendung gebracht und die Bedingung ■ttfgestellt, unter der die Differentialgleichung l. Ordnung ist. Nach

10 Liri'<ari,rl,tr Btüehl l

normitii kann man aus dem Iiit^ral einer bomogenpn linenrea <JW- i;liniig '1. Ontnutif; diejenige Gleidiunj,' 2. OrJuunf- Ömleu, d«ta SpcciallüBungen Potenzen der Rpcciallüsungcu der Urgleicliusg ttnd. Hieraus ergibt sich eine Erweiterung dor obigen U>;sultate. Der 'i. Abschuüt euthJLU Bcmt^rkangen übtr lineare Difft-reutialgleicbungeu mit Imearea Cnefüeienteu . namentlicb wen» homogene ttnrdi DiSe- routtalion und Klimiuation aus nicht bomogoneu beryorgebcn; der dritlv ubiilielie Oemorkuugeu bei gewissen niebt linearen Ce>-ßiGieiit(m. Im j. Abscbuilt sind die SpeciallÜBUngeu Ditrerent4iil^util.)uutca d(T Spcciallitsangeu (;ugebcuer Differentialtösungeu.

Skiz:ie einer TLcurio der Eleklroniütoreu und Klektroiuaacbioen. Von Juh. A. Lissner, gepruftur LebramtscaudidaL Wien 1683. Selbstverlag. Ö8 8.

Diese Skizze soll einer vollstätidigercn und umfassendcrun Be- arbeitung der Theorie der Elektrümoloren und Elektromascbiiieil vuraasgehen, welche ans den liier angedeuteten Prineipieu die sidk ergebenden Schlüsse ziolieu und zeigen wird , ob und wieweit die Resultate der Versuche mit denen der Rechnung ubereinstinunen. Üie Rechnung wird für den Kall durchgeführt, wo die Maschine in liermaneutem gleichem Gange ist, und zwar wird die vom Strome der Gesanimlschliessmig erzengte und die zur Erzeugung dCB Stromea aufgewandte Arbeit analytisch dargestellt. Aub der Kormel ergibt BJub, dasB erstere kleiner ist als letztere und zwar um den Betrag, welcher durch die Veränderung des Potentials der Elemenlu des zweitiii i':i..lij'tnrteile8 aus sich selbst infolge der Steuernng8ein(?riffu repräscntirt wird, nfimlicb um die Arbeit des Stromes in der Leitung und um die in der Leitung bemerkbare Arbeit. Es wird dann wdtff untersucht, uacb welchen Priucipion die Constant^n durch Vcrsticlie zu bestimmen sind, II.

Zeitschrift des elektrotechiiiBchcu Vereines in Wien ItcdJttirt von Josef Kareis, k. k österr. Telegraiihen-Ofticiul. Erster Jabp- gang 1883. Wien 1883. B. Spies n. Co.

Jedes der 12 Hefte des Jahrgangs enthüllt zuerst Verdnsnach- ichlen, dann Abhandlungen, denen in einigen Vurträgo vorhergobon, dann die '.) ersten Ansstellungszeituug. Die Vorträge und Abband' lungcu haben grösstenteils Vorriclitungon und Maacbineu, tcdls Pro^

■„■htr Bericht l.

11

Jcct, teils loca!, sowie die Anferlijruiig zum Gcgcastaad. Theoreüacho

Vortrflge und Aufsatzo sind: Stefan: flcktrisclic Kraft ü hortragu ii y ; D i sc h n o r: GegL'usprcchmt'thodc ; W ii ] lo u li 0 f o n : Wirkungsgrad vou Motoren; Hissiiik: tclephouische UoliCrlrugnug auf yrosae Eut- feronngen; Dvorak: üuhaltbarkcit der Thcorio der Spitzeu Wirkung der Flammen; Graafeld; Erdmagnntianins, Erdströmangcu ; Rt-i- nisch: Beweis des Joule' siOicn Gesetzes; Juci>tiior: Eiuliusa des Magnetismus auf das olcklrolytiscbc Vertiiüteu der Mutalle; Popper: physikalische GruDdlagen der elektrischen Kraftübertragung; Mach: Grundbegriffe der Elektrostatik. Uebor elektroteehuisehen üuter- richt handelt ein Aufsatz von C. G S. H,

Kalender für Elektro teohniker. Unter Mitwirkung der Herren Dr. W. A. Xippoldt und Postratb C, Grawinkel herausgegeben von F. Uppeuburn, lugeuioar, Redakteur des Cuutralblattes fUr Elektrotechnik Erster Jahrgang 168-1. Mit 173 .\ bbil düngen. Mün- chen und Leipzig 1884. R. Oldeubuurg.

Der Kalender enthalt zuerst rein mathematiBche Tabelleu uud Formolli, dann Formeln nebst Tabellen für Meehauik, Akustik, Optik, WArmelchre, Magnetismus uud Eli'ktricitüt uud für Maschinen, dann fttr Elcktrot(.'e]iuik , dann gesctzHebe liostimmuugeu. Dauu folgt der Kalender mit Ilauni für Notizen, zum Sehluss Anzeigen. Die Re- dactiou fordert zu Mittoilungou aus eigener Praxis auf.

I

Vermisclite äcbrifteii.

Archief vour Wiskuude. Drei X. AmBterdiim l«8-l. F. Sikkeu.

Der Inhalt des Bandes ist folgender.

C. L. Landre: Der mittelbare Fehler bei lieobaebtungeu' zur Bestimmung von mehr als einer Unbekaunteu. — Formeln zur Be- stimmung der Verbindung zwischen der Genauigkeit der Sterblicb- kcitstabellen und der Zahlen für Lebensversicherung. — Ein beson- derer Umstand zu beachten hei Zusammenstellung gegebener Zfthloii zur Berechnung der Storbeuswahrscbeiuliehkeit.

L. Jause läz: Fortsetzung der Beantwortung der Preisfrage ts, litt. B. 276. S. 40 ).

specieUe Raumcurve

12 LitUrmrüchtr Berkki I.

J. De Vries: lieber liucare partielle DifferciitialglcicsnugeD «5. Ordnung mit 3 Variabcln.

A. Benthcm Gz: Die Schneckenlinie, Cocblcoide.

C. Stolp: Entwickelung von Functionen durch teilweise Inte- gration.

J. Cardinaal: Einige Eigenschaften eines speciellcn Systems von Flächen 2. Ordnung. — Einige Eigenschaften von Flächen 2. Grades, die 4 gegebene Linien berühren.

H. J. Krantz: Uebor die Bestimmung der Abwickelung von ebenco Curven.

L. Van Zanten Jzn: Aufgabe (über Hauptträgsaxen eiues

Vierecks).

N. L. W. A. Gravelaar: Anwendung der Determinanten bei der Methode der kleinsten Quadrate.

F. W. Fischer: Ableitung einer Formel zur Construction der Schattenlinie eines Sonnenzeigers.

W. Kapteyn: Einiges über Integration rationaler Functionen.

- Uebcr einige Sätze aus der Detcrminatculehre.

F. J. Vau den Berg: lieber die näherungsweise Kectiticatiou des Kreisbogens (Fortsetzung). — Ueber eine unrichtige Ansicht in G. J. Verdain's Handbuch der sphärischen Trigonometrie. — Ueber eine arithmetische Aufgabe.

Es folgt ein nach Gegenständen geordnetes Register über einige mathematische Zeitschriften. H.

Atti della R. Accademia dei Lincei. Anno CCLXXX. 1882—83. Serie terza. Transuuti. Volume VII. Roma 1882.

Mathematische Artikel sind folgende im 7. Bande enthalten.

(,'. Henry: Ueber einige noch nicht herausgegebene Sätze von Ferniat.

L. Bianchi: Ueber eine Classe dreifach orthogonaler Flächen- systeme.

G. Govi: Ueber «lie Einwirkung der Temperatur auf die Schall- geschwindigkeit in der Luft und über den Wert dieser Geschwin- digkeiten nach Versuchen von G. L. Bianconi, gemacht 1740 in Bologna.

LiUerarischer Bericht I.

13

Jung: Neae Sätze zur Ergänzang der GuldiD'schen Regel nnd eine Eigenschaft der Spirale r -» ^sin^.

Brioschi: Die algebraischen Relationen zwischen den hyper- elliptischen Functionen 1. Ordnung.

Spottiswoode: Ueber die Invanauten und Covarianten einer durch quadratische Substitution transformirten Function.

Glaser: Verteilung der Masse auf der Oberfläche eines Ellip- soids, derart dass man im Innern des Körpers eine nach Grösse und Richtung gegebene constante Wirkung erhält.

Maisano: Einige Sätze über binäre Formen beliebigen Grades und deren Anwendung auf Untersuchung der mehrfachen Wurzeln der Gleichung 6. Grades.

Besso: Ueber eine hypergeometrische Differentialgleichung.

G. Morera: Ueber das Gleichgewicht der biegsamen und nicht dehnbaren Flächen.

Miithematisclie und physikalische BihlioRraphie,

UBRchlcbte der HntkeniKtlk ddiI Phjslk.

Fcrtscbrilte, die. iJ. Plyeik im J. 18bÜ. Dargcst v. d. pbyBikat. Gesollat'h zu Bfriin. 36. J. '2. Äbtb., i-utl.: Optik, Wttrmelelir«, KloctricitlttBic'hre. Red. v. Nocaeii. Berliu, G. Raimer. 17 Uk.

— daaa. 3. Abth., ontb.; Pbysik d. Erde. ßud. v. B. Scbwnlbo. Ebd, 10 Mk.

Jahrbuch üb. d. FortsobriUe d. MatbomaUk , brsg, v. C. Ohrt- maou, 13 üd. J, läöl, 2. Ilft. Berlin, G. Reimer. 5 Mk.

Sartoriua, M., die Butwichlg. d. Astronomio bei den Griechen bis Äiioiagoras u. ii^mpedokles, iu bes. AuscbluHs au Tbcophrast dargestellt. Breslau, Kuobucr. 1 Mk, 2lJ Pf.

Weisseuborii, H., diu irratiOD. Qoadralwurzelu bei ÄrdiiiiK.» des u. HoroD. Beriiü, Calvary &. Co. 3 Mk. M) Pf.

Metbode Dod Prlaclpien.

Collen, U. , das Frincip der lutiuitesimal-Metbodo u. seioa Goscbicble. Berlin, üüminlcr. 3 Mk. 6ü Pf.

Situou;, 0., Ob. e. Ruibe neuer tuatbcmatn Krt'ahniagssätzi\ m, iSchluss.J Wien, Geroid's S. 2 Mk.

Lelirbücher, Suamlongeu imil TulieUvR.

Bardoy, C., methodisch geordu. Aufgabeusamtnlg. , luobr atfl 8(100 Aufgabi^u eulb. Ober alle Theilc der Elcmeiitar-MatbomatUc. 11. All. Leipzig, Teubner. Ü Mk. 70 Pf.

Gauss, V. G., ^stell. logarithm. u. trigouomctr. Tafelu. Kloina Ausg. Halle, Strien. 1 Mk. 2b Pf.

Ueilermann, II., Sammig. gcomctr. Aufgaben. 3. Atl. E. Bädeker. 8U Pf.

Eleyer, A. , vollst gelOsto Auf-Sammlg. a. Allen Zweigen dec Rochenkunst etc. 89— lUÜ. Ilft. Stuttgart, Muer. k '2i, Pf.

LiitiraritehtT Birichl It.

Litterarischer Bericht.

11.

Lehrbücher.

Leitfaden dor obönen Georaetrio für hölicro Lotirau stalten. Von Prof. H. Küatlor, Oberlehrer am Domgymnasium zu Naamburg a. S. Mit Violen in den Text gedrackton Hulzsi^hnittcn. I, Heft. Kou- gracnz. Zweite, teilweise nragearbeitcte Auflage. Halle n. S. 1883. Lonis Ncbert. 64. S.

Von der 1. Auflage des „Leitfadens für den Unterricht in der Geometrie ao höheren Lehranstalten", dessen Identität mit dem gegen- wärtigen Buche wegen abweichenden Titels fraglicL erscheint, ist im 251. litt. Ber. S. 29 nur das 3. Heft besprochen, Jedenfalls also der Gegenstand ein anderer. Das 1. Heft bat unn dadurch eine beson- dere Wichtigkeit, dass es die Grundlegung der gcomctrisch&n Begriffe boi Anfängern enthält. Berücksichtigt man, dass der Verfasser sich die e^ös^^ii><^S'>*^^^ Kürze auferlegt hat, so muss man ancrkcnneu, dass diese mit ausserordentlicher Präcision und in vollkommen ge- nügendem Umfange ausgeführt ist: kein Wort das den Standpunkt der Anßiiiger überschreitet und keins das auf höherem Standpunkte einer Corrcction oder Ergänzung bedürfte, kein Umstand ausser Acht gelassen, der zur Bildung richtiger Vorstellungen und Begriffe Er- klärung nötig macht. In Anbetracht der tadellosen Genanigkoit und Sorgfalt, die im allgemeinen hier waltet, ist es an seiner Stelle dessen zu erw&huen, was im einzelnen gefehlt ist. Der 1. Grundsatz S. 2, besteht aus 2 Sätzen , die nicht durch „oder", sondern durch „und" za verbinden waren. Der Satz 39. war vor 38. zu stellen ; denn er

ttth. 1. lUU. 1. Fbjl. E. Baib«, T*n I. Htft 1 3

lilUrmitditr Btriclt II.

erklirt erst die Addition der Winkol. Satt 38. ist, «ia ' ptne TaDtologie; dass Summe das Ergobniss der Addi doch kein Satz über Winkel sein; was aber nicbt h&tta fe war die geometrische Darsteilang der Wiakelaninine. griff der Bicfatang oiine besondere Erklflntng aas der Bt«llaiig entlebnC wird, ist znl&ssig; dass seine Kxictstelli den Winkel, der den Unterschied der Richtung misst, nad der aeiu dnrch das Gesetz der Addition zn ciucm oxactea Begriff wird, nicbt besonders ausgesprochen ist, mag dnrcb die Kfirze der Ab- fosraug des Leitfadens, der vieles dem mündliehen Unterricht Uut, gerechtfertigt sein. Aaf eins nar kommt es unter aUea t7a- Et&nden an: dass der Gebrauch des ßt>t'riffes stets i-xact richtig ist Bnd weder zn falschen Vorstellnngen noch zu falschen veilcitet Hiergegen fehlt der dorn Parallele nsatz \A. beigeftt^ falsche Beweis. Dessen Unrichtigkeit nürdc, nie allbekannt, »ogtidieh mlage Iretfn, wenn der Begriff der Richtung di^ünirt irtn:, was bei Ansgang von verschiedenen Punkten erst auf Grund Ar^ Psralieli Satzes möglich ist. Der Begriff der Richtung ist also nnr lor Vrr- htkllung eines Betrugs im dunkeln gelassen. Dio BcrichtigiiDg Stelle ist leicht. Wo „Beweis" steht, ist statt dessen za sagen: Satz behauptet, dass mit einer Geraden von einem Punkte ftaa eine Gerade in gleicher Richtung geben kann, was sGlbstrentiDdlkh und keines Beweises fähig ist Nach Erklärung 3. ist daher ' Satz ein Grundsatz. Obgleich diese Erkl&rung nii^t battbar ist, kann es genügen, dass nach dieser Corroction weder intnitir nodi logisch ein Irrtum bcrbeigeftthrt wird. Die Anofdnang des Lelir- etoffcs ist: Linie, Winket, Dreieck, Viereck, Vieleck, Ertris, Kreis nnd Polygon, zwei Kreise. Jeder Abschnitt ist mit Uebangea reicb- licb verschen. Die Zns&tze sind von den zut Theorie notweiH&gea S&Uen getrennt. Die Boneise sind kurz angcdcalet, am ScUi ein ausftlhrlicher Beweis als Muster aufgestellt Die 2. AnAage tu scheidet sich von der ersten durch Verb esse mu gen im einselm «ad erbcblicbe Vermebrungen , ausserdem dadurch, dass die Prop4dntik weggefallen und besonders herausgegeben ist. H.

Lehrbuch der Elementar-Geometrie. Ton Dr. E. Gliiier, I^hrer der Allgemeinen Gewerbeschule und der Schnle fir BatüUad* werker in Uambnrg. Dritter Tbeil: Trigonometrio. Uit IIa Figaren ond fielen Aufgaben. Hamburg 1683. F. U. Nestler g Meile. 148 S.

Der 1 Teil, Planimetrie, und der '2. Teil, Stereo metrii-, sind in

2ö8. nnd 366. litterarischen Bericht bcsprochtn. Dvr Lxtr^aag ut

^. T«U ist folgender. In der Einleitong wird die Bedeitnnf nad kwS-

^^I

der Trigonometrie, insbesondere hinsichtlich praktischer Zwecke. dargelegt-, im I.Buch die trigonomctriscben Functionen «pitzor Winkel erklärt, ihre Rolationon und die Berechnung einiger Specialwerte ge- lehrt nud für Anwendung von Tafeln ohne Logarithmen, deren Ge- brauch hier and im 2. Buch vorauagesetzt wird, Beispiele gcgebon; im 2. Buch die theoretischen Anfgabcu für das rechtwinklige Drei- eck, das Rechteck und Hhomhus, das gleichschenklige Dreieck und rogelmäsaige Vieleck gelöst mit Begleitung numerischer Aufgaben-, im 3, Buch die Ausdehnung der FuDctioucii auf prüsscro and ncgativo Winkel gelehrt, und die Logarithmen der Functionen in Anwendung gebracht. Das 4. Buch behandelt die Relatiouea und Aufgaben am beliebigen Dreieck mit Anwendung auf Viereck und Vieleck; das 5. Buch die gonio metrischen llelaiioueu; das G Buch ist eine Samm- lung technischer Aufgaben, es setzt die Keuntuiss technischer Ans- drucksweiac, mithiu auch die der betreffenden Gcgeustäudb vuraus. Das 7. und tl. Buch behandeln das rechtwinklige und das beliebige sphäriBche Dreieck. Das Princip der Anordnung ist von selbst deut- lich und bedarf keiner Molivirung. Die Bestimmung des Buchs för Techniker bat der theoretisclicn Vullstflndigkcit keinen Abbruch ge-

Lehrbuch der Physik nebst Anleitung zum Eiperimenliren. Kttr 'r&parandcnaiiätallcu , bölierc Knaben- und Mädchenschulen, sowie fUr Stadtschulen und mehr k lässige VulksscbuleD bearbeitet von A. P. L. ClauEseu, Königlichem Seminarlehrer in Bütow. Mit 140 in den Text eingedruckten Holzschnitten. Potsdam 1883. Aug. Stein- 122 S.

Der Verfasser legt das Hauptgewicht beim physikalischen Unter- richt anf das Experimeutircn und macht Fertigkeit und Gewandtheit darin zur ersU-n Forderung für den Lehrer. Zweck des Eiperimen- tireus ist ihm die Ao schau lichkeit, die Erläuterung der Naturerschei- nungen und die Begründung der Naturgesetze. Er befürwortet die Einfachheit, beschränkt das Experimentiren nicht auf den Gebrauch Ton Apparaten, sondern gibt auch viele Versuche ans freier Hand an. Jede Andeutung derart würde man gern als einen wertvollen Beitrag auerkcuuen, wenn nur das Bcstrebeu sichtlich wäre die Ver- suche nusreicbeud zur Begründung der ganz elementaren Lehren zu machen , die hier vorgetragen werden. Dieser Gesichtspunkt scheint gsni zu fehlen: die Erscheinung muss dartun, was der Lehrer hin- einlegen will; eine Frage, was im Gegenfalle erfolgen mflsste, wird nie gestellt Es zeigt sich somit, dass eine weit notwendigere FlLhig- keit als die gonaunte, ohne welche alles Experimentireu nutzlos ist, Dicht darum, weil der Verfasser sie für Bclbstvorsi^dlich hielt, son-

Litlernriiehtr Bericht II.

dem woil sie ihm iclbst so sehr mangelt, nnter den AnfordGi-angeii \ü deo Lehrer verschwiegen worden ist; nämlich die Fähigkeit sich klar nnd beBlimmt auszudrücken und die Beziehung zwischen Theorie and Erscheionng zo beurteilen. Ein anSallendefl Beispiel ist die, ohne Zweifei einer Puhlication des Breslaner physikalischen Vereins, den der Verfasser seltsamerweise für einen wissenschaftlichen ge- halten haben ntuss, wahrend er nur für Urostnrz der wisseoschaft- licheu Gnjndlagen agitirt — entlehnte AufBtellung, die Schwerkraft sei keine Eigenschaft des Stoffes, beruhe nicht aaf Anziehung der Erde, sei vielmehr „ein Massendruck aus der Ferne", ausgeübt vom Weltall. Diese Lehre, welche den gesamten Prindpien der Natur- wissenschaft widerstreitet, indem sie Kräfte staluirt, die nicht ihren Sitz in bestimmton materiellen Objecten haben, ist keine blosse bei- ItLaßge Notiz, denn sie wird durch angeblich überzeugenden Versuch, den gefühlten Druck eines Steines auf die Hatid, unterstützt, und es wird ihr insofern wesentlich Folge gegeben, als ein wichtiger Teil der Theorie der Schwere, die Proportionalität mit der Masse, die Abh&ngigkeit von der Entfernung, die Erklärung der Schwere durch allgemeine kosmische Attractiou n. s. w. den Schülern vorenthalten bleibt, während der übrige Teil in gar keiner verstäDdlichen Gedan- kenverbindung damit steht ; denn bald soll die Schwere Ursache des Drucks, bald nicbtä wuiter als der Druck selbst oder der Druck Ur- sache der Schwere Bein. Solange ein solcher Beweis mangelnder Logik sich vorfindet, mOcbto es überflüssig sein von verfehltem Ana- dnick, der soust vorkommt, zu reden. Die meisten Sätze sind recht exact aufgestellt, gerade in Punkten wo es hiiufig nicht geschiebt, auch sind die Experimente zur Erläuterung grossonteils passend ge- wählt; nur lernt man daraus nicht erkennen, was jede beobachtete Erscheinung dartnt, und was sie nicht dartun kann: es bleibt stets der Eindruck eigenmächtiger Deutung. Die hehandeliun Gegenstände aind der lieihe nach: Mechanische Erscheinungen fester, tropfbar fiÜGsiger, luftförmiger Körper; magnetische, elektrische Erscheinan- gen, Reibungs- und Berührungselektricität; Erscheinungen des Schalles, der Wilrme, des Lichtes, Ausbreitung, Zurüukwcrfuug , Brechung, Farbenzerstreuuug; die neuesten Erfindungen. U.

Lehrbuch der Geometrie mit Uebungs- Aufgaben für höhere l^ehr- anstalten. Von Dr. Th. Spiekcr, Professor am IValgjrinnasium m Potsdam. Mit vielen in den Text gedrnekten tlolzschnittin. Sech- zehnte, verbesserte Auflage. Potsdam 16)34. Aug. Stein. 326 8.

Die 6., 6., 13, 14. und 15. Auflage sind im 217., 222., 251.. 365. und 266. litt Bericht besprochen. Die weBoutlichsten, veibesserodea

LilUrariichtr Bericht lt.

18

AflDderoDgBii sind in dor vorigen Auflajje Tollzogcn Von dor gegea- wäitigr^D Auflage crwähut das Vorwort ausser einer Arualil Ver- bcascrnngcn im einzelnen, dass die Quadratur und Rcctüication dos Kreiacs auf die Greuzmethodc gostüut sei. Auf die hiermit gegebeuo Anregung hin sei darüber bemerkt, dass der keine Schwierigkeit bietende Nachweis des Grenzwerts der ei D geschriebenen Polygon- ftOehe bei Verdoppelung der Seitenzahl recht ausführlich dargelegt ist, während über den höchst subtilen entsprechenden NachweiB für den Umfang sehr kurz hinweggegangen wird. Der angeblicbo „Be- weis" deutet im Grunde nur einen, in der Tat sinnreichen Weg an, sich dem Ziele so weit 7.n uähera, um itberbücken zu können, was eigentlich bewiesen werden mösste. Dass der hestaudig wachsende Umfang einen Grenzwert haben muss, und warum: nämlich weil er kleiner bleibt als der eonstante Kreis, und warum dieses; dass anch dieser Grenzwert nur gleich oder kleiner sein kann als der Kreis, wird nicht ausgesprochen und wUrdo noch manche Erklärung er- fordern. Dass aber der Grenzwert durch eine Linie repräsentirl wird> die im letztern Falle inoerhalb des Kreises liegt, wird als selbstver- ständlich vorausgesetzt und es ist doch, was zu beweisen bleibt. Noch kürzer wird die Annäherung von aussen abgefertigt, Überhaupt also desto weniger Erklärung gegeben, je mehr sie von der Sache gefordert wird. Wäre es nicht iustructiver, vor aller Krciamessungs- theorie den unterscheidenden Umstand zn erörtern, dass die Flächen als Teile von einander dargestellt werden können, die Linien im all- gemeinen nicht, so dass die Länge einer krummen Liuie nur dadurch bestimmbar ist, dass sie von der Sehnonsumme unendlich wenig dif- ferirt? H.

Repetitions-Compeudium über alle Zweige der Elementar-Mathe- matik. FUr Schüler der obersten Klasse der Gymnasien und Real- gymnasien, sowie für Abiturienten, Studirende und Lehrer der Mathe- matik bearbeitet von F. J. Brockmann, Oberlehrer am Kgl. Gymnasium in Cleve. Stuttgart 1S84. Ferdinand Enke. 180 S.

Das Repetitionscompendium verfolgt, Torschiodon von dem con- ticuirlich methodischen Fortschritt eines Lehrbuchs, den Zweck, dag gesamte auf den Gymnasien zu erwerheude Wissen als ein Fertiges zusammenzustellen. Es umfasst iu 5 Cnpitelu die Algebra and Arith- metik (d. i. Gleichungen and Combinatorik) , die Planimetrie, ebene Trigonometrie, Stereometrie und einiges aus der mathematischen Physik, iu der Ordnung dass die bedeutenderen Teile, die von grössler Anwendung, voransgeben, dio sporadischen Zweige nachfolgen. Die Anfänge werden teils äbergangen, teils, wie in der Trigonometrie, 4nrcb Aafatellang der Formeln erledigt. Der Vortrag tritt stets so-

19

LitltTuriicktr Btiieil U.

gleich mitten in die Theorie ein. Nach Massgabc ihrer BedefitD&g ftlr die Theorie werden alle LchrgegenstÄnde, Mcthodea und der &■ örtemng bcdaifendo Panktc recht eingeheud vgin Staudpunktc d« Lohrera oilcr reifen Schülers besprochen, dabei jedoch weniger Bekaontscbaft mit herkömmlicbon Einführnngeu als vielmehr die fireiff Oeisteecntivlchelang vorBusgi^setzt. Die Darstollnugsweise ist cinbch und 1 ei cbtv erstand! ich. Der Sioff iit in keine umfassende, erscbOpfend« Systematik eingepassl. die Bearbeitung beraht »ielmebr auf Anw^„ die gnt und ausreichend scheint, wicwo! wir darin den Urteilen dtf Leser nicht vorgreifen dürfen, U.

Elemente d<.T reinen Mechanik als Vorstudium fUr die anatftischA and angewaudte Mechanik und für die mathomatisehfi Phyaik an Uni-- versitüteu und technischen nuchschulon sowie ^lum Si-lbstantcricbL Von Dr. Jos. Finger. Professor an der k. k. technischen Hoch* schule und Doceut au der k. k. Universität /.u Wien. 1. Liefunmg. Wien 1881 Alfred Holder 128 S.

Das Werk soll in 5 oder 6 Lieferungen erscheinen. Es ist charakteristisch für die Bearbeitung, dass der empirische Ürspruog der Begriffe, um welche es sich iu den I'nDcipien der Mechanik 1 delt, enthüllt uud zur Geltuug gebracht wird. Die Wichtigkeit dei EeuDtulss dcsselbeu für die Lo^'ik der Forschung und der Didaktik ist nicht zu bestreiten. Dass dieseT Ursprung iu alle» fankteu richtig erfasst und ans Licht gestellt ist, und dass sicli darin keine blo«ae Wiedergabe fremder Ideen, sondern der eigene klare Blick des Ver- fassers kund gibt, ist anzuerkennen. Damit ist freilich der folgende Satz in der Vorrede, der im Gegenteil eine irrige Auffassung uuadnickk und einen Misgriff iu der Darstoilung erwarten lässt , nicht wol 2« vereinen. „Der auf keine Erfahrung gestutzte, uiideünirbare ttiul ganz und gar aufruchtbare ßt-grilT der absoluten Ruhe und Bcwi<^ii£ norde vom Verfasser ganz fallen gelassen, und es wird ~ des Titr B&cbeu entsprechend — eine jede Bewegung stets nur als eine rcli- tive Bcweguug betrachtet " Obgleich diesem uicbt miszuversteheDdea Grundsatz in der Bearbeitung keine Folge gegeben wird, so verdient er doch au sich eine eingebende Kritik. Undc&nirbar ist dii: abso- lute Ruhe Uberbauiit, die absolute Bewegung zunächst racksichllieta der Zeit- oder Gescbwindigkeitseinlieit, die völlig willkürlich bUibL. Von dieser Abhängigkeit ist offenbar hier nicht die Rede, nnd dor willkürliche Factor in Linien- und Zeitmass ist wegen Homogeucittt aller Gleichungen in Bezug auf dieselhon von keinem Finflass. Hl«r- von abgesehen ist die absolute Bewegung undefinirbar vom rein geo- metrischen, nur teilweise vom dynamischen Gesicblspuiikt, Dia pirischen Gesetze bestimmen die Bewegung bis anf 9 nnd^aiilmrt

Litttrariichtr BtrxcKt II.

ConsUUiten , deren 6 dio aufänglictic Lage, 3 die anfllngücho Trans- latioQ der Eörpenvcit ausdrucken, vollständig. Hieraus ergibt sich zwar eine Relativität der Itewegung, nämlich zum Anfangs ?: aatand : doch pflegt man nüter relativer Bewegung nur eine Bewegung des Teils rdativ zam Ganzen, nie aber dos Ganzen rdattv zu einem An- fang zn verstehen, und ersteres kann auch hier nur gemeint sein. Die Buwegung bestimmt sich also empirisch absolut nicht nur unter Voraussctzuug einer gegebenen Epoche, sondern auch teilweise unab- hängig davon fUr jeden Zeitpunkt, nämlich nach Unterscheidung von Translation und Uotation, bezüglich auf lotztcre, die gar keiner Will- kür unterliegt. Es wUrdu z. B. den cclataatcstcn Widerspruch gegen dio Wirklichkeit ergoben, wollte man eine als ruhend betrachtete Fundame atalaxe durch Sonnen- und Erdmittelpnukt legen; denn die Erde musste dann nach der Sonne fallen. Da hiernach die absolute Bewegung ihrem Hauptti-ile nach massgebend fUr die Theorie ist, so kann man sie auch uicht schlechthin „fallen lassen"; damit würde eine wesentliche Lücke in der Theorie verbunden sein. Ftlr jcdo conscqnentc Theorie, nicht etwa bloss für bequemen Ausdruck, is! es notwendig, von der tatsüchlicb gegebenen relativon zur absoluten Be- wegung überzugehen, und um deutlich zu sein, diesen Uebergaug ausdrücklich auszusprechen. Dabei ist zu bemerken, dass iu den Principien der Mechanik kein Aalaas vorkommt das vorausgesetzte ruhende Äienaystem zu bestimmen ; die Bestimmung bleibt der an- gewandten Mechanik vorbehalten, welche erst die dazu nötigen Beo- bacbtuugsdata dazu bringt.

Iu dem eitirten Satze der Torrede ist demnach irrig, dasa der Begriff absoluter Bewegung „auf keioe Erfahrung gestützt", und dasi er „uufrucbtbar" sei-, es ist aber auch ferner ganz unzutreffend, dass der Verfasser ihn habe „fallen lassen". Im Gegenteil vollzieht er schon aaf 2. Seite erklärtermassen den Uebergang von der relativen zur absoluten Bewegung durch die Bestimmung, dass das Fundmental- Axensystem beständig dasselbe bleiben, und nur von Ruhe und Be- weguug schlechthin die Rede sein soll , wo nicht ausdrücklich eine Relativität zu irgend einer Bewegung aogegebcn ist. Hiermit wird er in der Tat innerhalb der Grenzen des Buchs, die ja nur die reine Mechanik enthalten, also die Einführung von Datis ans der Wirk- lichkeit auBBchliessen soll , der Forderung gerecht. Denn die Ruhe des Fundamental- Azensystems ist dadurch iraplicite zur Toraussetznug gomaclit. Nun soll aber das Bnch Torsludlnm auch für die ange- wandte Mechanik sein, und, wenn dies nicht auf dem Titel stUndiy selbstverständlich kann man von der reinen Theoria verlangen, li sie sich nicht bei Anwendung auf die Wirklichkeit falsch i zeigt sich denn doch die vom Verfasser getroffene Au

21

IMitrc

Motiv der Anordnang, dio Frage, ob dieselbe notwendig oder Hin- kUrlicb sei, mit StillectineigeD zu Uliergeheo, dorchaas oDzalusüg, In der Tat ist die Vgraassotzung abaolnter Ruhe des Fnadameol^- Axensystcras notwoudig, und boL jeder Anwendung anf dio Wirt- lichkeit muss gefragt werden, ob dasBctbe wirklich ruht; denn dt- durch ist die Gültigkeit der Resultate reiner Mechanik bedingt, z. B. der Fall des Foucanit'schcn Pendele zeigt. Spat«re Beaer* knngen scheinen dos Versäumte im einzelnen nachholen zu EoUeit, doch ersetzen können sie es nicht, sie sind au unrechter Stelle gebracht undeutlich und lassen Begründung vermissen.

Dio vorliegende Lieferung erstreckt sich auf Statik und OyoKmik eines Punktes, woraus zn ersehen, dass zum obersten Eintoilongs« princip die Unterscheidung des Kraftobjectes, Punkt und Körper oder Punktsystem, gewühlt ist, während dio nächste Untoreintoilnng in Statik niid Dynamik me sonst bestehen bleibt. Der Lehrgang unterscheidet sich nicht wesentlich von dem der gewöhnlichen analytischen Mecha« uik; wie dieser schreitet er in allgemeinster Form und Auffasanng, wiowol mit Bevorzugung graphischer Darstellung fort — man m> ca denn als ein synthetisches Element ansehen, dass die Er&ft« in der Ebene den Kräften im Räume vorhergehen. Hervortretend ist dagegen die ungemeine Ausführlichkeit und Gründlichkeit der Dw- Btellnng von tiegenstäDdeu, die sich nnr wenig über die ersten An- füge erheben. Was man sonst kurz zusammcnznfassen pflegt, ist vielfach zerlegt nud ausgebreitet. Der iu der Dynamik nncntbehr-' liehe Grundsatz, dass die relative Wirkung jeder Kraft unabhängig, von der Bewegung dos Objects ist, ist zum Ausgangspunkt der Slutik gemacht und wird beständig angewaudt. Er enthält offenbar du Parallelogramm der Kräfte und die gesamte Theorie der Zusammen- setzung und Zerlegung der auf einen Pnnkt wirkenden Kräfte i einen Gedanken zusarameiigefasst , und es war leicht dieselbe sofort im ganzen daraus herzuleiten, Obwol auch hier die Begründung gans darauf beruht, so wird doch das Ziel erst nach vielen Betrachtongen erreicht. Einer Rechtfertigung bedarf dies Zuwerkegchen nicht: richtet sich nach dem besoudern fiedürfniss der Lcrnondeo. H.

Sammlimgen.

Sammlung von arithmetischen und algebraischen Fragen und Auf- gaben, verbunden mit einem systemuti scheu Aufbau der Begriffe, Formeln und Lehrsätze der Arithmetik, für höhere Schulen. Dr. Hermann Schubert, Oberlehrer an der Gelehrtenschole

LilttrariiühtT Btrithl tl

Johauneiims InHamborg. Erstes Heft: FUr mittlere Ktuscn. Zweites Heft: FUr obere KIbsscq. Potsdam 1883. Aug. Stein. 448 S.

Diese AufgabenBaramluiig zcicbDCt sich bcsonderB durch Vieiaoi- tigkeit aus. Der Umfang der OpiTatioiien, auf deren Eiuflbung sie eingerichtet ist, enlspricbt den geseizlichca AnfordcruDgcD der Schal- esaiDina. Doch sind ausser den Operutionen noch mancberlei Ge^en- stUnde in deu Erois der Uebnngen gezogen, namentlich die Algo- rithmen einschliesslich aller die Form der Schreibung nnd geordneten Aofifübrnng helreffcuden Regeln. Auch ist die auf Arithmetik be- zügliche alte Geschichte der Griechen, ROmcr und andrer Völker viel berttcksichtiet. Alle nötigen Erklärungen, Satze und Regeln sind derart aufgeführt, dass der Gebrauch eines bcaondereu Lehrbuchs bei den Uebungen eutbehrlir.h wird. Die Auswahl der Beispiele, die teils in Formel, teils in Worten und Einkleidung, woran» der For- melansatz zu finden ist, gegeben sind, ist Tortrefätch. Sie bean- Bpmchen im ganzen ziemlich viel Selbstdenkeu der Schiller. Die 7 Abschnitte sind: EiufUbrting In die arilh metische Sprache j Operationen erster, zweiter Stufe, Anwendungen der Gesetze beider (Glcichuugcu J. Grades), QuadratischcB (Gleichungen 2. Grades), die 3 Operationen 3. Stufe, Combinatorik, Kelteubrücbe, diophantischo Gleichungen und dnige Gegenstände höherer Arithmetik und Algebra. H.

^F Rechenbuch für Gymuasien, Realgymnasien, Ober- Real schulen, Bealschulcn , höhere Bürgerschulen , Seminare etc. Von Christ. Harms, Professor an der Realschule in Oldenburg, und Dr. Alb. KalliuH, Oberlehrer am KOnigstfidtischen Gymnasinm in Berlin. Zehnte AuSage, Oldenburg 1883, Gerhard Slalliug. 262 S.

Die 3, Auflage ist im 2l'4, litt, Bericht S, 35, die Gte im 251. litt. B. S, 36 besprochen, Veränderungen haben nicht stattgefunden, nur in der Sten betrcffond diu Orthographie. H.

Physikalisehe Aufgaben fur die Prima höherer Lehranstalten. Von Dr. Karl Jansen, Ordentlichem Lehrer am Realgymnasium zu Düssoldorf Freiburg im Breisgan 1883. Herder. 150 S.

Diese Sammlung von 558 Aufgaben ist zum Gebrauche der Schüler bestimmt und schllesst sich dem physikalischen Unterricht in Prima an, wie er etwa dem Lehrbuch von Münch entspricht. Die Aufgaben verlangen, mit einzelnen Ausnahmen, Ausrechnung aus Datis, die, namentlich in der Mechanik, die analytische Ausdrucksform (in Coor- dinUen u. i. w.) annendeu. &ie setzoa die idealieirte Auffassung aas

S3

Lititrarttthet Btri^t 11.

der Wirklichkeit ontDommener GegonEUndc aoil Vorgänge, i Isolining drr Kraftwirkungen Tomas, d. h, mit Äussclilusa aller Cot rccUonon. Der crato Teil umfasHt die Meubanik, in grAsalfr Ant^ dcbnung die der starren KOrptr, doch sind Stoss, Reibuug, Fluid uud Gaae gleichfalls berücksichtigt. Der zweite Teil bctrift ( Akustik, Optik. Wärme, Magnotismos und Elektricitllt. Dann folge die Re.aultate aller Aufgabcu, cndlicb eine Anzahl pbyaikalisclH Tabellen.

Zur Nacbricbt fUr Mathematiker, besonders Frcnntle meioer A gabeusommlunp. Von E. Bardey. Zeitscbr. für math. b. Dato; Uiilerricbt. Bd, XV. Heft 3. 8 S-

D(T Artikel ist Entgegnung anf Sinram'a „Erwiilerung betreffen Bardey'a Anfgabfii Sammlung", im 279. litt. Bericht S. 28. Siunai*! Schrift ist IiiTVorgiTofen Uarch die darin citirte Aeusserung Bardej*! in welcher lelKloror sieh den Anschein gibt, als wenn ausser 3 { nannten Aufgaben keine Entlehnung aus fremden Sammiongeu «att gefunden hUtte, womit Sinram indircct der Unwahrheit bescbnlilig war — und begegnet der Beschuldignug durch Aufweisung einer h reichende» Anzahl übereinstimmender Aufgaben. In Bardey'a |; wUrtiger Schrift wird die factische ücbereiu Stimmung bei keiaem dq von Sinram angeführton Beispielo bestritten, ausserdem unter IV. ( im allgemeincu die Aehnlichkeit hei sehr vielen, dann die Aafnahsi von G bcatimmtcn, und unter III- die Aufnahme anderer, nur i Zurüd£fUhruTi>; der Autorschaft von Heis auf M. Hirsch, Hiermit ist die Angelegenheit, soweit sie den Artikel im Arcliiv I trifft, erledigt. Die Frage, ob eine neue Verwendung schon b-fibe pnblictrtcr Aufgaben verwerflich sei, beschäftigt uns nicht, und i Qborliau[it kein Interesse haben, wofern der Verfasser nicht sagt o andeutet, dass er auf Originalität Anspruch macht. Auch uf S stige Angaben über das VerbUltuiss zwischen den SammluDgeo VO Bardej und Heis uud Andern gehen wir nicht ein, »erweisen dogegc auf die Würdigung, weiche der Verfasser in der ausfahrlichflrc BrochUre her.^usgcg. von den Schul in spectoren J. Klein und J. Hoff mann nuter dem Titel: „Antwort anf die .\aalassuugen Dr. Banlef*i in dem '2. Hefte der Zeitscbr, für math, n. naturw. Unlerrichl to J. C. V. UofFmauu 1883 über das von den Unterzeichneten l gegebene Recbeiibucb fUr Semiuaristeu nnij Lehrer DOueldoi 1883"- — erfahren hat. Hopp«.

iirhtf Beruht IL

Tabellen.

Tablea de logaritbines Ä sii decimales conatmitcB snr im plan

"^onveau par Adolphe Bcnoist. Doctear en droit, Metnbre de ia

8oci6t6 Matlitmaliqne de France. ScobsstelUge Logarilhmoii-Tafelu,

Nach einem aeucn Plane zu s am rncii gestellt von Adolph Bcnoist.

Paris, Ch. Delagrave (W. Hinriehaen), 391 S,

Auf dio neue Anordnung logt der Verfasser als eigne Erfindung Geiricht Die Etilrees Eiud im Haoptteil diesolbon wie bei den sie- benstelligen Tafeln von Bremiker; von den 6 Stollen der Logarithmen siad die 2 ersten der je 5 ten Zeile vorgedruckt. In den trigonome- trischen TaFelii sind die Complcmeutarfaiictioncn nicht neben einander gestellt, sondern die Winkel von 0 bis 90" durchgeführt; nnr die Logarithmen der Sinus und Tangenten sieben auf den 2 ungleich sichtbaren Seiten neben einander; die Sechstel der Minuten gehen doreb eine Zeile. Neu berechnet und hinzugefügt ist links vom Entree der Differcnzeutafelu die an tilogarith mische Differeuzeatafel, d. h. die Angabo der Differenzen der Zahlen für die Einheiten der Differenzen der Logarithmen. Die bei ßremiker unter der Zahleu- tafel beändlichc Ergänznngstafel für kleine Kreisbogen ist beibehalten.

Fünfstellige togaritbmigche nnd trigoDomctriscbe Tafeln nebst cinor grösseren Anzahl von Hilfstafeln, herausgegeben von Dr. Adel f Greve, Oberlehrer am Karls-Gymnasium zn Bernburg, Bielefeld und Leipzig IS84. Velhagen u. Klasing. 171 S.

Die Tafel ist für den Gebrauch in der Schule und im gemeinen Leben bestimmt. Sie zeichnet sich durch sehr deutlichen Druck bei massig grossen Ziffern aus und unterscheidet sich durch Augabe der Secunden-Differeuzeu und sehr viele Zugaben teils an Formeln, teils an kleineren Tafeln. Unter letztem sind zu nennen die Tafeln zur Berechnutig 12stelliger Logarithmen, Zstelliger Logarithmen nnd 8- Rtelliger Aatilogarithmen, die SstcUigen brigg'schen und natUrlioben Logarithmen der Primzahlen ■< 1000, und Violfache des Modulus, eine Factoreulafel bis lUOÜ; mehrere zur Ergänzung und Gebrauchs, erleichterung dienende Tafeln für [rigonometrische Tafeln, "stellige trigonometrische Zahlen für alle Grade, Quadrat« bis 1000, Kuben bis 10(.), 4, ö . . - 9te Potenzen bis 30, Potenzen von 2, 3, 5, Qua- dratwurzeln bia 1ÜI.I, Binorainatcocfficienten, Tstellige Producte, phy- Bikalische Tafeln, die Wirrte vieler Ausdrücke in «, n. a. m.

25 Lilttrariiehtr Bmrhl U.

ranfslellige Logarithmen -Tafeln. Voo Friedrich Wilhel Roi. Erstes Heft. Die Logarithmen der Zahlen und der gonioms triscLcn Forinelu. Zweites Hoft. Die Additions- und Sabtrsctioni-

logarithmoD der Wertio r^^. Neper'scbe Logarithmen, natBrlidtt ZahloDWGTthe der gouio metrischen Fnortionen und BogcalAng««, Sehnen und Pfeilhöhen; Potenzen- und Kreistafet; QuadrattaTd, Reciprokeotftfel ; Anhang. Stereotfp-Drnek, Stuttgart I8S4. MeUIer. 174 -f VTH S.

Das höhere Format hat der ersten Tafd den Vorteil gebracht, dass je 1000 Zahlen anf 2 Nebonseiten sUiheu. Am Schlass derselben folgen die Tstelligea Logithmcn der ersteji 1000 fünhiSngea Zahlen, danD Werto einzelner Irrationalen, logn! etc., bernonlliache Zahlea- Dio trigonometrische Tafel geht in den 6 ersten Graden durch dia Sechstel Minuten, mit Beifügung dea Entrccs in Secnnden, dann tob vorn beginnend durch die Minuten, Ihr folgt eine Tafel zum Uobcr- gang von logigj- auf logcos^, logsinz. Den Inhalt der Übrigen T» fein gibt der Titel. Ein Anhang enthält physikalische Tabellen.

Vermischte Schriften.

Acta Malhematica. Zeitschrift herausgegeben Leffler. 3. Stockholm 1Ö84. F. u. G, Beijer I Maller. Paris. A. Horman.

Der Inhalt des 3. Bandes ist folgender.

von G. Hiltag- terlin , Msjrw o.

L. Koenigsberger: Ueher die einer beliebigen Diffcrentia]- gleiiihung 1. Ordnung angehörigen selbständigen Transceo- dcatfin.

B. Poincare: Abhandlung Über die Klein'schen Gruppet

M. Krause: lieber die Transformation der elliptiacheu Func- tionen. — Ueher die Transformation der hyperelUptisclieii Functionen 1. Ordnung. — Veber den Multiplicator der hyperelliptischen Functionen 1. Ordnung.

L. Lindclöf: Eine Krage über lebenslängliche Renten.

Hj. Mellin: Eine Verallgemeinerung der Gleicbnng

Lültrariichir Btrie^t II,

Üeber gevisse darch die F Function anadrUckbare nneod- liche Prodncte,

re: Ueber die Gleichung

cüidnzl dg

-vKn,+ V + l) + t*8nV"+v+v,4v,)(n-V-i',-i', + I) + Ä].

r. Beltrami: Ucbcr die elektromagnetiscben NiveanschicbteDy:-! WC, Le Paigc: Ueber Flächen 3, Ordnung.

. Prym: Ein noncr Beweis für die Ricmann'sche Thctaformol.

- Ableitung einer allgenieioen Thetaformol,

Ia. Erazer und F. Prym: Ueber die Veraligemeinerung der Riemann'schen Th etaforme 1.

. Steon: Note über gewisse lineare Differential gl eSchungeu.

. H. Halphen: Uebor die Invarianteu der linearen Differcn- tiatgleic hangen 4. Ordnung. H.

tfialletin de la Society Mathematiqno de France, publik par les «KTitaires. Tome XI, Ännde 1882—83. Paris 1883. Äu siöge de la Boci6t^.

■ ^er 11. Band enthält folgeude Abbaudluugen.

. Lemoino: Einige WahrecheiDlichkcitsaDfgabea geometrisch

gelöst. I. Picard: Ueber die Reductiou der Anzahl der Perioden der

Aborschen Integrale, insbcsondero im Fall der Carven

2. Art.

Pouret: Ueber eine Eigentümlichkeit in Betreff zweier mate- rieller Systeme aus gleichvielcii Punkten von gleichen Massen.

JZellcr; Doppeltes Fundamental -Kalender-Problem.

rrin: Ueber den Fall der Lüsbarkeit der Gleichang 5. Grades durch Wurzelansdrilckc. — Note über die Residoa der In- varianten und Covarianten der binären Formen.

|4ppeU: Ueber gewisse Roihenentwickclnngen von Potenzen.

I^Wip^upiii

imm

Litttratitcllir Btridt II. ■■»

E. LncaB; Beweis dei Satios von Clauscn and Standt Dbor die Bcrnonlli 'scheu Zahlen,

David: tleber 2 ncuß Reih cd ausdrucke für den Bin nnd cm eines gegebenen Bogcua.

N. VanEcok; Uebor die Elliiisen beschrieben durch die Punkte, welch« HiiKirAnderlicli «a «tu «ouMiuiltw &«gm«iil gabrnmit» •ind.

, PotuearAi tTeber olpm Site us der tflgeariBCii Tbenia dv FsnettonBn. — Uetw die Fnaottoiwa 9. — Ueber & ganioa F^netianen.

Bobek: Bemerkong Aber die BtricttoBflÜols dei ^ssdialigai HTperboIoids.

D'Ocagne: Urt>er den KrflmiDnngimttleipankt.derTerfeltmiga- cirven.

Oonrsat: Üeber die Difforontialglticbangoa 4. (Ms«^, dgrea Integnje dae homogenen (UeiefaDiig 9. Qndet etftlkM. -

Perrot: Ueber du Liofer^ntem. «

Lacion L^vy: Ueher die abwickelbaren Fl&cben, welcbe durch Berechnung eines BOscbels von parallel auf eine gegeben« Curre fallenden Lichtstrahlen gebildet werden. H.

„chfT BeridU m.

Litterarischer Bericht,

UI.

Arithmetik, AJgebra und reine Analysis.

Ueber Beta- und Gamraafnnctioucu. Von Phil. Dr. J. Anton fflobloch. Halle 1884. Louis Nobert. 4". 11 S.

Der Aufsatz entbält maDDiciifachc Yersach» in der Theorie der SBler'schen Functioneu etwas neues zu ändeo. Die letzte Formel beweist, dass die Angtrcngnagon nicbt ganz ohne Erfolg waren. Die Untcrsudmog bogiuut mit dem ersten Eder'subcn Integral, das gewöhn- lich mit B bezeichnet wird, gebt abiT sehr bald unabänderlich auf den Fall aber, wo das eine der 2 -Vrgumcute eine ganze Zivhl ist. Hier ist B keine Trauacendcute mehr, sondern eine rationale Function des an- dern Arguments, die aach in Gl. (5) angegeben ist. Daher hat auch Gl. (7) , ilic wol auch in der Theorie der bestimmten Integrale kein neues Resultat vorstellen soll, keine directe Beziehung zu jenen Transcendcnten, Sie wird angeblich als Qnello neuer Sätze anfgestellt. Was daraas abgeleitet wird, ist die Gl. (11), mit welcher die Be- trachtung der U überliaoiit scliUesst. Dieses Kndergebniss ist uuu eine reine Idüntität von Producten linearer Binome, deren Factorcn alle eiuzeln auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen, bedurfte also nicht der ItecLuuug mit bestimmlen lutegnilcn. Dieselbe wird in der Form (15) mit i'Functin-i- ;i geschrieben, was eine unwesent- liche Acndernng der Schreibart ist. Zu diesem Zwocke wollte der Verfasser an bekannte Beziehungen der B und /" erinnern. Dass er aber die Gl. (13) und (14), dereit eratcre nicht einmal in Anwendung kommt, erst herleitet , überdies mit demselben ungorechtfertigton

Lilttravüehtr Siriehl HJ.

Uebergang zur Grenzt^, den Gusbs sich crtaobt, vrar jodcafolli' UborflQEsig und inconsoquoiit , da er die eigentlicbo Itelation der B und r nnmittclbar als boliannt aufstellt. Nach Ausdruck der It in J* crhüit er die Gl. (20), welche nichts weiter ist als die GaasB'icbi Relation der r nach Division üweier Werte beider Seiten der chnng, die jedoch, ubnol sie allgcniDin gilt, hi^r unr fDr ganze Zahlen a und fi bewiesen auftritt., ßis daliiu besteht also die ganze Leistnitg nur in Umschreibung selbst^ erstüDdlichür oder bcicaunler Gleicbnoges. Solche Umschreibnngcn können sehr nOtzlich sein, wenn sie dem Zwecke einir Uotcrsnchung durch veränderte AnffasBungsfonn dienen. Hier ist es aber umgekehrt: ein längerer Tranaformalioiianeg ßihrt nor zu einer Schreibweise, deren Anwendung schwerlich je rorkoi Die folgende Untersuchung' begiunt mit einer, absichtlich herbeige- zogenen, gänzlich zwecklosen Umschreibung, mit der si« fibrigest gar nichts zu tun hat. Der Verfasser nennt das Integral

/■"-'•-"*'

welches jedermann für eine F Function mit dem Factor - vueben wird, eine „Verallgemeinerung der F Function*' und bezeichnet lie als Function zweier Variabcln, trotzdem er dessen Ausdmck in V

bald findet, und der Factor - iu allen Formeln sichtlich ein onregel-

mÜSBiges Element b"düt. Von dieser caprictöseu Schreibweise abg«- sebcu ist der Uotersuchungsgang derjenige , welchem die Ilerleitong der Ganss'schen Relation den Weg zeigt, Es wird log FW durch ein bestimmtes Integral dargestellt, fUr 6 eine arithmelisebe Reihe eubstituirt, und die Summation vollzogen. Nur ist bei jener du Intervall = 1. hier beliebig. Nach Subtraction zweier AasdrOckQ derselben Form, aber beliebig verschiedener Gliederzabi gibt aidi leicht ein Fall zu erkennen, in welchem das Integral in endlicher Form darstellbar ist, indem derjenige Teil der zu integrirenden Funclion, dessen Neuner 2 binomische Factorcn hat, wegfällt. Special isirung lAsst die 'J ganzen ZaMeu p, q uubcschrSnkt und rtv dücirt nnr die 2 Irrationalen auf eine. Um sichtbar zu macheu, das« eine solche willkürlich bleibt, wollen wir im Schlüsse rgebnisa it, m schreiben p«, qv, pquv., dann lautet die G). (31):

^(r+^

„ a / -,"

Hier ist zugleich ein Fehler berichtigt, der sich durch eine Reibe von Gleichungen hinzieht und dadurch entstanden ist, dass die Mul' tiplication einer Gleichung bei einem Term vergessen worden iMt

Lititrarütjitr Btiidll JJt.

[&tl des EipononteD

- mnss stoben p -

-t

Dio gesamte Ar-

beit darf man wol für ein Specimen hallen, durcli welches der Ver- fasser seine Fertigkeit in der Behandlnng besliramter Integrale dar- tnn wollte. lu diesem Sinne wird freilich das Urleil veu aller darin enthaltencD Mystilication wenig bertlhrt. H.

Grapbisch-meebanischo Methode zur Auflösung der numerischen Gleichangcn. Von Dr. C. Renscblo, Professor an der technischen Hochschule in Stuttgart. Stuttgart 1«84. J, B. Motzler. 64 S.

Das Princip in noch ziemlich speciellcr Gestalt, wie es jedoch nach Erfahrung des Verfassers für deu Erfolg die gllostigste ist, ist folgendes. Durch liueai-e Substitution kann mau im vuraus cinea Coefücieuten der Gleichang zu Ü, zwei andre zu 1 machen. Sic laute alsdann :

^»^iic»-i^_cj«-s-j-fj3-»-a-|- , d&nn l&sst sie sich zerlegen in

Betrachtet man x, y a\s Coordinaten, so geht die eratere Gleichung aoB der der Parabel

-5ic* + <fe>-f*» + l=.0

■^^* + ''-^'-h«* + l =

dnrch Verachiebting in der i und y Richtung ohne Drehung hervor. Zeichuet mau uuu auf du iu Millimeteriiuadrate gutciltes Blatt die der zweiten Gleichung eutspreebeude Curvo und auf Paaspainer diu Parabelschar y = aj" nebst Äxeu, so geben nach gebilriger Verschie- bung des letzterem auf ersterem die Abscisaen der Schuilte der Pa- rabel a mit jener Curvo sämtliche reelle Wurzeln der Gleichung. Die besondere Zeichnung der Curve für jeden neuen Fall wird er- spart, wenn n ^ 6 ist. Bei Gleichungen 6. Grades hängt sie nur von

einem Parameter d ab; diese werden daher gelöst durch Verschie- bung einer Parabelschar auf einer einfach unendlichen Curvenachar, welche ein für allemal zu zeichnen ist und danu fUr alle Fülle aus- reicht Bei GieichoDgeu ö. Grades fällt auch d weg, und es ist statt der Curvenschar nur eine Curve zu zeichnen. Man hat dann übex- dies die Wahl, ob man lieber eine Parabel y ^ x^ auf einer Curven- schar verschieben will, indem man bei Keduction der Gleichung a = 1 macht und den Coefficienlen von x* stehe» lösst. Beide Vorteile bat nun der Ver&aser ausser Acht gelassen, es ist nicht zu verstehen

r.intrar,.(htr HrrirKi tll.

w&nini. Er rcducirt nämlich anfaogs nur cinea GleicIittiigBcoeSö' eilten auf 1, den zweiten erst nachträglich hei der Gleichung 6. Gn< des, wo es als an enth ehrlich es Auskanfta mittel erscheint. Zur Auf- lösung der Gleichung h. Grades, sagt er ausdrücklich, mQ Parahchchar aaf einer „Hyperbel schar" verschoben werden. Bei den Gleichungen niederer Grade treten weitere Vereinfachungen ein. die leicltt zu finden sind. Die ijraktischcn Fragen sind reichlich ei^ wogen und auseinandergesetzt, viele Figuren dazu in den Text ein- gelegt. Ferner werden vielerlei Modilicationeu des Vcrfalireas sptochen. Da nun für die gesamte Anwendung nur einige v individuelle Fignren errordcrt werden, die nnr in der Aasdehniuil nnd Linicneinheit variiren können, und für letztere der Verfiisser Centimeter als die sonstigste GrOsBe betrachtet, so ist der Gedailkl an die Hand gegeben, wiewol nicht an agesp rochen, die erforderIi<^m Zeichnungen gedruckt herauszi^eben , wodurch die Anwcndang d4 Verfahrens für den Einzelnen hodeuteud erleichtert und seiner Auf« nähme eine weit grössere Verbreitung verschafft sein wUrde. Note empfiehlt der VerfaBser, statt des Pauspapiers Gelatine-Pa]to zu nobmcn. H.

Theorie des approximatiuns unni&riqaes. Notions de approximatif Par Ch. Galopin-Schanb, Doctenr äs sdenc

matb^matiques (de la Faculte de Paris). Geneve 1Ö84. H. Geoi]g

Das Buch ist ^ur Delohruug vdu Studenten bestimmt, bei denen der Verfasser die Keimtniss und Beachtung der Regeln approximaüver, Rechnung sehr vermiest hat. Es macht nicht den Anspmcb roll- ständiger oder wissenarhaft lieber zn sein als seine Vorgänger, bestrebt sich aber klare nnd leicht anwendbare Regeln in logischer Ordntutf zu geben, mit denen Beispiele zur Unterstützung verbunden sind, wo OS forderlich schien. Dies sind die Gesichtspunkte laut der Vorrede In der Tat kann es bei einem Gegenstände, der für einen entwickeltei Verstand kaum etwas unbekanntes enthalten kann, nur die Klarhei dos Ausdrucks sein, was man an der Bearbeitung sucht. In dies Hinsicht leistet der Vortrag etwas ku viel in Vergeh wcigung alles zu Verständniss notwendigen. Ohne glUcklicbo Conjectar wird man nir- gends erraten, wovon der Verfasser spricht. Um welche Aufgabe < sich handelt, ist nirgends gesagt. Violleicht hat der Verfasser G» Wohnung an gewisse familiäre Redeweisen bei seinen Lesi gesetzt. In weiterem Kreise mücbto jedenfalls das Bncb von keintn Anwendung sein.

OliservatioDS rotativM ^ ane note pricödeote de M. Mcaabroa, conccrnant la s^ric de Lagrango. Par A. Geiiocuhi. Cumples RoDdos.

Das Torliegende berichtigt einen Artikel in den Comptes Rcndas von Monabroa, worin dieser zu bovreisi'D verBucht, dass die zwei Kriterien der Convergenz der Lagrauge'sclien Reihe für die Auflusnug der Gleiehang x = 1*4-/(1), aufgcBlellt von Lagrange und von Cauchy, identisch seien. Beide stimmen nur Uborcin, solange die Terme der Reihe fUr /(r) positiv sind. Sind sie es nicht, so würde man eur Anwendung der Lograngc' sehen Formel ilire absoluten Werte uehmcD und die so entstebendo Function filr/(z) snbstitairen milasen, wäh- rend die Canchy'achc Formel allgeöiein gilt. Chiö bat zuerst gezeigt, dasB die Formel von Lagranga nicht allgemein ist. Ferner erklikrt Genocchi die Behauptung für unrichtig, dass Lagrauge mit seiner Co n Fergen zregcl die notwendige Bedingung habe geben wollen, unter der die Reihe die kleinste Wurzel ausdrückt. Es liegen hier zwei Schriften von Lagrange vor: in der ersten von 1768 unterscheidet er die kleinste Wurzel nicht, während er von der Convergenz bandelt, in der zweiten von 1798 sucht er die Reihenentwickelung für die kleinste Wurzel ohne die Frage nach der Convergenz zu berühren. SchliexBlich erklitrt Genocchi den von Henabrea gegebenen Beweis, dasB die Lagrange'scbe Reihe, wenn sie convergirt, die kleinste Wurzel darstellt, für unzureichend, doch könne man ihn ergüuzon mittcUt eines Theorems von Chiö. H.

^P Inloruo alla funzione r{K) c alla serio dello Stirling che uu eeprimc il logaritmo memoria di Augolo Genocchi. Napoli 18t*3. Tipogr, d. R, Acc. d. scienze. 4". — 18 S.

Ancora la scric dello Stirling, nota dcl Prof. Angolo (ie- nocchi. Append. a. prec. mom. 4". — 6 8.

Die Schrift hat Arbeiten ans allerer Zeit vom Verfasser und von einer grossem AniabI Autoren, wcl:hc die approximativo Be- rechnung von logr(j-) untersucht haben, Euler, Gudermann, Binet. Liouville, Schaar, Poissou, Abel, Plana, Gauss, Mascheroni, Bidotio, Do GuHparis, Bourgnct, zum Gegenstand und gibt ausführliche Hcr- leitungcn und Beweise, welche die Resultate derselben in neue Ver- bindung bringen. U.

Ueber die quodratiacben und kubischen Gleichungen mit boBon- derer Berücksichtiguiig des irroducibeln Falles bei den letzteren. Von

LiHtrariichir Btiichl lll.

Professor C. HcUwig, Oberlehrer am Realgymnasium iii ErfarL Erfurt 1«84. Carl Villarct « S,

Däs Buch ist so bearbeitet, dass eiu raiissig bel^higter Sclilü<ir dtr mittleren Classcn ohne weitere Hülfe die Tlicorie daraus > kann. Die Vollständigkeit dieser Theorie geht aus dem hier folgen- den Inhalt henor: Eotstehnng der Gleichungen ^. Grades, Wumln derselben ; Rechnunpverfahren bei der Auflöanng quadratischer Glel- choDgcn; die Arten derselben, imagioArc und compleie Wurzela (Discrimiuante), Determination der Wurieln; Besümniung der Wur- zeln durch trigonometrische Functionen; Verwandlung von Aosdrllckm quadratischer Fomi in Producte von linearen Factoren ; die Waraeln d GlcichuDgcu 3. Grades, im besonderen der binomischen-, die Äafl6Bnt)| vollständiger kubisuher Gleichungen; Verein fiicbuug dor AusdrQcki fikr irrational erscheinende rationale, sowio für complen erscheinmdl reelle Wurzeln einer kubischen Gleichuug (irredudbler Fall); Born^T nnng der irrationalen Wurzeln für letztem ^ andre Metbodo ( Icituug der Wurzelformen einer kubischen Gleichung ; sllgeineiirf Betrachtung über deren Wurzeln; Auflösung der kubischen Gldciioi gen mit Hülfe trigonometrischer Functionen. Eigentümlich in dtc Behandlung ist zunächst die Vermeidung der Nenner. Da cio anc^ beim praktischen Rechnen von Nutzen sein kann, so mag sie 1 gerechtfertigt gelten. Die dadurch veranlasste Scheidung von F&Uoi ist im Grunde UborflUssig, der erste immer ausreichend! docit li man die übrigen als förderliche Zugabe ansehen. Eine ßcschr&nkuiij der mit Buchstaben bezeichneten Gegebenen auf ganze Zahlen i nicht ausgesprochen, obwol sie gewiss im Sinne des Verfassers lag) Dagegen ist die Beschränkung des Gebrauchs der Buchstaben a positive Werte stillschweigende Voraussetzung; denn \^f wird s imaginär betrachtet. Dies ist enUohieden zu misshilligen. Wenn ittt Schiller bis dahin in der Gewohnheit befangen war, den Buchsta als Zeichen für eine positive Zahl anzusehen , so setzt jedenfalls d .Lehre von deu Gleichungen den äussersten Termin von dieser G wohnheit, der Quelle unklarer Begriffe fitr spätere Zeit, abznlaseen denn das gesuchte x muss doch jeder Art Zahlen bezeichnen kOnnei Günstig für das Verstäudniss ist die Breite der Eutfaltnng des Stoff« und die Vielseitigkeit der Bctracbtuug. Unrichtig ist die auf erst« Seite stehende Behauptung, die Wurzel ciuer quadratischen Gleicfanit be&iedigc „gleichzeitig" zwei lineare GloichungcL

lAtltratüthtr Biricht 111.

Gteometrie.

Die ElemeDte der projectiviachon Gcomotrie. Von Dr. Emil o. 0. Professor kn der k. k. UiiivcrEitfit iu Wien. Krstcs Heft. Theorie der projecti Tischen Gnindgebildo erster Stufe nnd der i|nad ratischen Invoiationen. Mit 58 HolzscLnilteB. Wien 1883. Wil- helm Braumüller. 231 S.

Das Vorliegende behandelt nach einer orklärendon Einluilung: die Bestimmung der Elemente der Grundgcbilde 1. Stafe; das Doppel- rb&ltniBS; vollständige Figuren; die Sätze von Carnot und Ceva; perspectiv) sehe Raumansicht i das Reciprocitatsgesotz uud die lODteDbestimmiing in den Gruadgebildcu bCberer Stufe; perspoc- iche Qebildo; projecti vis che Gebilde; ähnliche und congrueato ibildo; couloealeprojectiviache Gebilde, Doppelclemonte ; den Kreis; lovolotionen; eine allgemeinere Antfassnng der Projeclivitilt; die ischß Projecti vit&t ; harmoniacbe Mittelpunkte eineaTripela ; Rech- igsoperationen mit Teüverhältuissen. Die folgendeu Hefte sollen Lehre von den Cnrven und Flächen 2. Grades und die von den imcurvcn 3, Grades, das letztere einen Litteratnranswcis , soweit bei der elementaren Natur des behandelten Stoffes als notwendig ihoincn sollte, enthalten. Das Ganze iat znuäcbst dazu brstimtnt, Leitfaden für die Vorlesungen des Verfassers über neuere Geo- netrie an der Wiener Universität zu dienen. Es ist indes rait oincr so musterhaften Klarheit und Leicbtfasslicbkeit abgefasst, dass es zum Gebrauch als Leitfaden in ncitcrcm Kreise und znni Solbstunter- A empfohlen werden kann. IL

r

Apolarität und rationale Curvcn. Eine systematiaebe Vorunter- Buchung zu einer allgemeinen Theorie der linearen Riume. Vou Dr. W. FranK Meyer, Privatdocent an der Universität Tübingen. Tü- ^Jingen 1S83, Franz Fuos. 406 S.

^^B Das Werk ist eine Fortbildung der Apolaritätsthcorie von Theo- ^^^p Keye. Den Gegenstand kann man ebensowel als Aasdehnung ^^wner gewissen Seite der Geometrie auf beliebig viele Diraensionen wie als algebraischo Theorie mit üntcrstlltKung und Leitung durch geometrische Begriffe auffassen. Ein Unterschied wird dadurch so wenig herbeigeführt, dass vielmehr beide Betrachtungsweisen für ein- ander unentbehrlich scheinen und erat vereinigt die Gesichtspunkte und die Abgrenzung der gesamten Theorie ergeben. Auf das Wesen der Theorie können wir hier nicht wol eingeben, weil zu viele Ein- führungen erklärt werden mUssten. Die Abfassuug des Buchs selbst, auf das wir nur Terweiscn können, iat nicht leicht verständlich i ei

35 Lüuraritcher Btrkht 111.

setzt nicht blosa allgomGinä Eoantitisse, soutlcrn auch üle B^kMUHaduR mit Reyo's Geometrie voraus, gibt demnach aber viulc Punkte kwno iinwittelbarc Erklärung, wenn gleich die Angaben im ganzen zoroicb^od sind, um den Sinn ziemlich mUbevoU hcraaszu linden. Die AbsclmMlii sind: Die rationaloQ Curven. Die ßeyoVbo Apularität und die Nom- tunen, und zwar: die Norracnrven (speciell der Ebene und des Bm- mes); die binäre biiiuadratische Form / und ihre Apolaritüts Verhält- nisse auf deu Normcnrven 2., 3. nnd 4. Ordnung; die binäre FoniL 6. Grades / und die bi<iuadrn tische Involntion und ihre ApotiriUt vorhältniaso auf den Normcunen 2., 3. und 4. Ordnung; die tnqu- dratiscbe luvolution auf der kubischen Itanmcurvo (2. Teil). Verall- geineincrungon. Als Vorgänger in der Bearbeitong wi^rdcn nach Bejni genannt: H. H. Sylvester, Smith, Gordan, Brill, Sturm, Em. Weyr, G. VeronoHo und StepbauoB, uud zwar sind die Arbeiten von Bril und St^phanos in der Zwischenzeit erschienen.

C. H. Kummoll. Alignmeut curves on any surface, wUli qMwiiri applicatiou to tho ellipsoid. flulletin of tbe Fliiloaophical Sodety of

Waahin

on VI. 123—132.

Das Motiv der Untersuchung gebt zwar aus der Laudesvenupssing hervor, doch sind die behandelten Frageu rein analytisch geomeirisetHk Bio Aufgabe isi. anfänglich sehr unbestimmt aufgestellt, die sp&tATti Bestimmung im einzelnen beruht auf blosser Ausnabl. Dem WoRv lant uach soll auf einer krummen Flächo eine Reihe von Ptinltteii angegeben werden, in denen die Normalen gegeben sind. Letzteres t) nicht zu; es ist wol nur gemeint, dass überhaupt eine gewisse Lot* rlchtung vorausgesetzt werde, die jedoch überall mit der FlädieiH normale identitidrt wird. Dagegen ist nicht ansgesproeben, was doch factisch das Gemeinsame ist, dass die Punktrciho für die Vermesfiug die Stelle der geraden Linie vertreten soll. Es werden nnn 3 FoUe; unterschieden : je nachdem mau von einem Punkte in beliebiger 1 tung fortschreitet, oder einen zweiten Punkt zum Ziele nimmt, endlich vor und zurück visirt. Hieraus solleu augeblich eine gewiBBa( Anxahl von Curven hervorgeben. Offenbar kann jede analytisch I stimmte Curvc für den einen Fall auch fUr den andern dienen, l den ersten wird allein der Normalscbnitt aufgestellt, der fUr ( zweiton nur nicht umkehrbar sein würde. Beim zweiten Falle wird ausser der Kürzesten und Loxodrome diejenige Curve genannt, l&aga welcher die Normalen durch die Sehne zwischen den zwei EudpnnktCB gehcu. Hiervon wird Anwendung auf die Fl&che 2. Grades gemocblt WO die vou deu genannten Kormalcn erzeugte Fläche ein Hypcrboloü ist, dann insbesondere auf das Ellipsoid.

LillerarUcfifr ßtriekl W. S6

C, H. Kumme 11. The tlioory of crrore practically lestcd by targct-shooting. Bull, of the Phil. Soc, of Wasliiugton V(. 138—148.

Nach dieser Thoorio biUlon die Deviatiouou der Schüsse von gleicher Wahrscbeinlichkeit nttrh allen Richtungen um den Zicliiankt EllipHen, dorm Axcn horizontal and vtTtical durch den Zielpunkt gehen. Diese KUipsen wpnlcu hier durch Sobstitution neniT Coor- diDsten auf Kreise rcducirt. Forner wird die Wahrseheinliehkeil des TrriTens einer solchen Ellipso bercehnct. Nach Reprodnctiou dessen, wfts Hcrschel hicriu in ,\uslUhruug gebracht, wird weiter unteraueht die Ellipse, bei welcher ,.d.i8 Treffen und Nichtlreffen gleiche Wuhr- «heinlichkoit hat", die Ellipse von grösstcr Wolirscheinliehkeil, und mancbo andere Fragen. II.

Analytische Georaulrie der Kegelschnitte nitch clumontBriT Me- thode für hiihere Schulen. Von W, Fuhrmann, Oberlelirer am Rcalgymnasinm auf der Burg in Eünigsberg i. Pr. Mit 27 Figuren im Test und 2 Tafeln. Berlin 1884. Winckclmann a, Sühne, 144 8.

Gegenüber zahlreichen Lehrbüchern der speciellon Coordinateo- lehre. die sich drn Titel ..Analytische Geometrie" ohne Erklärung des Wortsions fälschlich beilegen, verdient es bemerkt zu werdvo, doss das i;ej>enwiLrtigc Über den begrifflichen Unteriebied zwischen syDlbetischer und analytischer Methode eine AufHlollung inacbt, die «□I neu sein möchte, Jedenfalls aber nicht recht Überlegt ist. Nach den Anfangsworten ist sie synthetisch oder analytisch, je nachdem die Orundgehilde, relativ zu weichen alle Bestimmungen gemacht werden, zur betrachteten Figur gehören oder davon nnabhilngig sind. Dein- gemIkGR mOgsle sie iu die synthetische Obergcheu, sobald mau z. B. die .\xeu des nniersnchteu Kegelschnitts zu Coordinatenaxen nabmc. Letzterrs ist hier mit Beginn der Kegel scbniltslchrc vom V. Cap. (das TTTl. L'ap. ausgenommen) geschehen, mitbin ist der HanptteU de» Baches nach eigenem Begriff des Verfassers «ynihctiarh. Dasselbe Uneil ergibt neb nach nraprUng liebem und allein rirbtigcm Begriff In Bezng auf das Ganze, wenn man nur die Anordnung der Teile betrachtet Sie »iod: Begriff des Coordinntrosysteran und dir Punkt; dio gerade Linie; EiDfäbrang einer al^gekarzten Bezeichnung nebst ^igen AnKendungeo; d'^r Kreix; die Parabel; die KlÜfse; die Uy- perbel; die allgenuriiM Gleichung des '2. Grad«; Eig«OKhaflcu der Eegelscbnilte Tun all;;eitieinem Charakter; KigeoKbittifa dcnwlbrn, die sieb bcsobJen auf Aik KrUmmaagira'Iien und die CvmbiuatiOD von Ke;<:l«chiiill>n be/.i>b':ii. Anhang: flDlfitltz« von den Dt^ermi- tUktm Dal bau»- «ti^IK «ich aUo al« «iw ebene CoordiDatnüehre r IVB ZMptukt gmonuMMm Attweaduiiif svf die Kc^-tochütta-

39

Litten

' Btricht 111

giitz , Ann-CDduag deBscIbea und ilfr Folareuthcorio nof i sDclmDg der EigeDt^cbaften itlgcbrai scher CurveQ, Eigen schaftcn i Itaumcurvcn nnd ihrer Projeotionün, Allgemeine Theorie dor krai» nieii Piachea und Fläch oii8fstenic, uud zwar allgemeine EigentchkRel algebraischer Flächen, lineare FlILchDDsjateino 1. Stufe (Flicbeobot und deren Eigenschaften, lineare Fl&chonsysteme 2, Stufe (RjlcfccB bUndd und Flüchen netze), lineare Flieh eng jBtomo 3. Stufe. SUl Über die gemeiiischafllichen Curveii zweier und Über die gomeinsclikfl*. liehen Punkte dreier Flächen, projectiviache Erzcuguug algebraischv Flftchen, Aiiwemlnng der Polarentheüriu auf die £ntH'ii:kclDag prv- jccliviather Eigen schatten algebralHcbiT Flilcheu uud ihrer Sjrstemg^ lirujccli Tische lineare Flächensystemo fiter Stufe und Bfnunetriwiie Flach encomplcae , Eigenschaften der Uessiana und Steineriana odor der conjugirten Kcrnfliicben einer FundamentalD&che ntor OrdDang, liestimmuQg der Charaktere nnd Singularitäten einiger Fl&cbeu, vrcld» sich aus gegebenen algebraischen Flächen ableiten lassen. Tbrarif der Flächen 2. Grades, und zwar Definitionen und Fundamental" eigunscLaftou. Constrnctive Theorie der Kegel- and CylinderfliUcke« im allgemeinen, Kegel- nnd Cyliuderfiächen 2. Grades, devoloppAUt< Fluchen, welche 2 gegebenen Curvon und Flllchen unischrieben i devcloppable Flächen, wciclio 2 Curven 2. Grades umschrieben sioiL

U.

I^hrbueh der darstellcuden Geometrie. Von Dr. Walfric^ Marx, Prol'eBsor an der k. technischen Hochschule in Erster Abschnitt. Die Uetbodo der rechtwinkligen Projektionen und ihre Anwendung zur graphischen nestimmung von Punkten, Geraden, Ebenen uud der van ihnou begnmzteu Kürper, sowie zur Losung von Aufgaben Ober die gegenseitige Lage dieser Objekte. Dritte, gearbeitete und durch üeifUgnng von Aufgaben vermehrt« Auflagt), des I. Bandes von F. A. Klingcufcld's Lehrbuch der darsIeUendek Goometric. Mit 11 lithographirlen Tafeln. Nürnberg 18ffi. FViedr. Korn. 311 S.

Die 1. Auflage ist 18M erschienen, die zweite (1871) untersclüod sich nur wenig vou ihr. Ueber der Vorbereitung zur dritten iXaA Klingcnfeld 188u. Bei Bearbeitung der gegenwärtigen boabsicbtigti Marx, die Bereicherungen, welche die darstellende Geometrie in d«I letzten Decenuieji erfahren, in Aufnahme zu bringen, hielt es j«docl nicht für angemessen , jene durch blosse Zusätze nnd Aenderu im einzelnen zu berücksichtigen, sondern eine durchgehende Kro^ rnng für erforderlich. Die crBt«u zwei Capitel (Zweck und Metbod der darstellenden Geometrie, die rechtwinklige FrojecLign in,J

lAtterarischtr Bericht 111. 4(^

Tafel) sind ganz nen. Die Grenzen des Lehrstoffs des 1. Bandes sind aus dem Titel bereits ersichtlich. Die 4 folgenden Capitol be- handeln: die graphische Bestimmung von Punkten, Geraden und Ebenen durch ihre Risse in 2 Tafeln und Entscheidung ihrer gegen- aeitigen Lage; die Wahl neuer Tafeln und deren Anwendung zur Lösung von Aufgaben, in denen Entfernungen und Winkel gesucht oder gegeben sind, geometrische Ocrter im Räume ; das Drei- und das Yielkant; die Darstellung der von ebenen Flächen begrenzten Körper, die Bestimmung ihrer Risse aus gegebenen Stücken und ihrer Durch- schnitte mit Geraden, Ebenen und unter sich. 11.

Mathematische und physikalische BibliogräpBiH

Geacliloht« d»r SUthematlk und fbjgik.

Bi-ruuuIli,Diiniel, u Loonhard Euler, die Buler H * thumatiker. Huudert Jahre nach iiiroin Tode gcfüit-rt v. dof Natori forschcudeu GeaellschaFt Basel, Georg. 1 Mk. GO Pf.

DDbring, E.. u. V. DUhriag, neue Grand mittel u. Erlindiu gen zur Analyais, Algehra, Euuctieusrecboniig u. zugehCrigen ( motriß etc. Leipzig, Fues. 12 Mk.

Fortschritte, die, der AstrouomiL'. Nr. 9. 1683. Kätn, Mayei

2 Mk.

— die, der Meteorologie. Nr. 9. 1883. Ebd. 1 Mk. 20 Pf.

— die, der Physik. Nr. 7. 1882—1883. Ebd. 2 Mk. Fortschritte, die, der Physik im. J. 1879. Dargestellt ^

physikal. Gesellschaft zu Berlin. 34. J. Ked. v. Neesen. 2. Abth enth.: Oplik, Wärmelehre, Elektricitätalohre. Berlin, G. Beimi 11 Mk.

HelUr, A., Geschichte der Physik v. Aristoteles bis aaf d neueste Zeit. 2, Bd. Von DcacartCä bis anf Rob. Mayer, Eiike. 18 Mk.

Iluppo, E, Geschichte d. Elektrizität. Leipzig, Burth. 50 Pf.

Lepsius, R., die LUngcninasse der Alten. Bcrüe, Besser

3 Mk.

Rosenbcrgor, F., die Geschichte der Physik In Grandztlgei 2. ThI. Geschichte d. Physik In d. neueren Zeit. Brannachwei Viewoß it S. 8 Mk.

Metliode und Frlnel^Ien.

Rethwisch, E., der Irrthura der Schwerkraftliypothese. Kriti u. Refornitheseu. 2. Aü. Freiburg, Kiepert Ji v. B. 2 MIl

Litteraritehtr Btrkht JV.

Litterarischer Bericht,

IV.

Geschichte der Mathematik uiui I^liysik.

Alfred Girard, iavoation uouvclle cu l'algL'br«!. Ri'impressioD F Dr. D. Bicrens de Haan. L. L. D. LfiUtu 1884.

Der vollständige Titel dieses Duclis, welches liereits selten ge-

1 ist, und einer neuen Ausgobe für wert gehalten wird, lautet:

rention nouvelle eu l'algcbre, jiar Albert Girard iiiateniaticieii. Tant

f la Solution dus equatious, que pour recouuoistru lo nomhre des

s (ja'elli's re(;oiv«nt, avec plusicurs chosya qui sout necessaircB

i perfectioD de cesle divine scieuto. A Amsterdam. Chez Gnil-

mo Janssen Blaoaw. M. D C. XXiX. Wie schou der Titel ver-

hiedene Gegenstände nennt, so lassen sich auch in der Sehrift 3

) erkeuucn. Der Verfasser sagt davon iu der ücdicatioo: Diese 3

shriftcu, deren crstu nur eine kur/.e EiufUhraug iu die Arithuiottk ist,

Ihrend die beiden andern einige Neuheiten in der Algebra und Guo-

ic, nnbekatint nicht nur den Heutigen, sondern auch dun .Uten, eiit-

!n — . In der Tat ist der erste Teil betitelt: „Curapleriient Mathe-

ittiqve" und handelt vou einigen Portieu der Arithmetik. Der 2. Teil,

ämeSpocialtitel, handelt von den Wunioln, von der Ausiiehungdep Wur-

aus vielglicdrigcu Ausdrücken , der algebraischen Coastruction

ügor Aufgaben , vou geordneten Gleichungen , von einigen Sützcn,

mentlicb dann von dem bekannten Girard'schen Satze, vou den

bttvrgostelltcn Grössen in der Algebra. Der :t. Teil hat dou Titel: „De

i mesurc de la suiierfico des trianplca et poljgones apliericques,

■ovellcment invciiteo" und ist voll miu interessanten Doobachtnngou.

■letzt handelt er vou der Messung der körperlichen Wiukel zwischen

Rnen Seilenflachen. Beim Niudmek ist dafür gesorgt, dass Seiten

] Zeilen dem Original gleich sind ; die Figuren sind Facsiinllea.

»

4S LilUmriither Herithl IV.

Simon Stevin, „vande Bpicgeling der singkousl*'''«' „ molons'*, deux traitis inSdits. Reimpression par Dr. D. Bieren do Haan, 1.. L. D. Amsterdam 1881.

AoE einoni Gemisch von Bruchs tu ckt<D, welche sich in eioer Schriftensammlung der Akademie der Wissenschaften von Amgl vorfanden, hat der Uorausgeber 3 Abbandlungen, wicwol mit mancboi LUcken, zusammeugestellt und hier publicirt. Die erat«', unter dri Titet: „Dcerde Dcel der Gemeugde Stoffen vande Spicgcling de Siiigkonst. Beschreven door Simon Stevin — " euthUlt Koteulctlire, Goftangsregcln , musikalischo Akustik in Hauptstticke iinii SAtzv Erklärungen geordnet, iedoch mit Besprechung vuu mancherlei Ein- zelheiten untermiacht. Der zweite hat den Titel: „Bjvougb dw Singkonst." Von beideu ist die Authenticitfit xweifclloB. OadoIim aber findet »ich ein Werk; „Spicgeling der Siugkonst mct Anhug^. Es werden die Gründe dargflegl, wumm es demacllien Verfasser geschrieben werden mnss. Was das Veriialtniss boidur IlcarlKlOiiigeB betrifft, so vermutet der Herausgeber, das« letztere dio Alten sol, Dio letzte AbhftudluDg ist betitelt; „Sl«vin vaude Muleus. RcriTieeCrt doorden Professor Golius. 1634." Sie enthalt die Berechnung der verschieden conslrnirten MUhlen.

Benedictus do Spiuoza, „Stelkonstigo reeckouiog Tan regonboog" aad „Roockening van kansson", two nearly unknown treatiscs. Heimprcssion by Dr. Bierena de Haan. LeidEsn 1684 90+8 S.

Das Vorliegende ist eine Festschrift zum SOOj&brigeu Jnbflittm der Universität Edinburg. Die 2 Schriften vorschied eiieu Inbalta algebraische Berechnung dea Regunbogeua und Wahrscheinlichkcita- rechnung sind vereinigt, weil sie sich vereinigt vorfände". Der V er- fassor der zweiten ist zweifelhaft, doch wird sie aus angeführta» Gründen dem Spinoza zugcüch rieben. Erstere setzt das Gesetz Keflexiou und Brechung als hekaniil voraus und hetracbtot den Regentropfen als Kugel) letztere enthält ö Eragen über das Verhtll- niss der ungleichen Chancen mehrerer Spieler bei gegebenen Bedin- gungen, nebst Antworten. Die ausgeführte Rechnung folgt dann fUr die 2 ersten Fragen. H.

Uistoiro do l'Academio imperiale et royale des scioncca et bcUm lettres de Brnxriles, par ftd. Mailly, Membre de rAcadömin rojale .de Belginuc. BruicUes 18Ö3, F. Uayez, 7204-42« S.

tillerariiektr BerkKt IV.

43

Daa Werk erscheint in 3 Bänden, als Anszng aas den Uem. de

Ulc roy. do Be!g. t XXXIV. and XXXV. Es beginnt mit einer

{BnleitQDg, nelcho die Umstünde darlogl, die zur Stiftung der Sodt't^

t^rairi^ in den üsterrekbisclieu Niederlanden rulirtcu. Das 1. Bucli,

gleich der 1. Band, handelt von der Geschichte dieser Gesellschaft,

r nnd nach ihrer Erhebung zur Akademie; das 2te von den in

I Sitzunüen gelesenen oder vorgelegten Allhandlungen; das 3te

1 den Preisaufgsben. Zum Scbluss folgt ein dictiouuaJre biogra-

e Ober die Kamen, Titel, Stellung und Wirksamkeit, den Ge-

und Todestag, Ort der Gebart und des Todes der Gründer,

Ctglieder und Laureaten der Gesellschaft, Überdies aller Personen,

I Spur in ihren Anualen aufbewahrt ist, die unbekannten Zcit-

Ortsbestimmnngen zur Ergao:;ung leer gelassen. Der Act der

Ticktuug der Soci^t^ litteraire fuhrt zarUck auf deu 12. Januar

»9, die letzte Sitzung der Akademie fand statt den 12. Mai 1794.

' Verfasser hatte demnach eiu Vierteljabrhuudert Jus Licht zu

tzeu, dessen Geschichte sehr wenig bekannt, iiur von Zeitgenossen

^Llt ist. Er hat dazu Ducumentc lost sämtlich aus erster Hand,

aus den Archiven der Akademie and des Staats benutzt.

r spricht sich dahin aus, dass die Arbeiten der Akademiker von

reu Coilegen keineswegs mit gegenseitigem Lobe beurteilt sind, und

t dann weiter: „die Preisaufgabeu, von Anfang an als ein- mäch-

9 Mittel des Wetteifers betrachtet, zeigen zugleich den Geist.

Qher den Arbeiten der Gesellschaft herrschto, und die in-

lUoctnelle Bewegung, wofür ihr das Land noch den Dank schuldet.

1 es wahr ist, wie mau behauptet (augeführt ist Ad. Quetelet).

US während des letzten Teils des lt>. Jahrhunderts die Gugcbtcbto

: Wisse nscbaften in Belgien so zu sagen ganz tu der Geschichte

r Arbeiten der alten Akademie vou Brüssel liegt, so wird man mir

rzeihcQ lang gewesen zu sein: ich wollte mit deren vagen Dnrstel-

1 uud oberflächlicbeu Begriffen, die uichte lehren, eiu Endo

eben und den Menschen und Sachen die Stelle geben, auf die sie

1 Recht haben." Was die Foni. der Abfassung betrifft, laast die

obwol in zusammenhangender Erzählung, grösstenUjils die

tocumcnte reden. U.

Gescbicbt« der Physik von Aristoteles bis auf die neuest« Zeit. Augnst Heller, Profoseor in Budapest. Zwei Bande. II uid: Von Descartes bis Robert Mayer. Stuttgart 1684. Eerdlnaud 753 8.

Der 1. Band ist im 273. litt Ber. S. 1, besprechen. Die Auf- ic, die der Verfasser mit dem 2. Baude zu lüseu unternimmt, ist 6 wesentlich verschiedene. So gering der Stoff im vorausgehenden

Xa«>Twdbr fcakfr

r, M tken&kiceBd gnw tK a- 1 tUBos Mf <«■ C^^V dn BKfas hattet ■{>. a «ir I Etne Mtvafig. Wm dea Fla 4cr ParteüM^ heoA, aa i ■daiiit AeBkgnfhfederPk^Blzraliiba pcUoM n £ne wirl £b UUmtmr sd^ol A^abe der Lettfng der SekriftoL Ah i bnrickdraf der ^ kImb Etdtüai^M «a KCüdn^n fiide* äeh MninM ia i ESognpUes. !■ CoaCnnl aöt der latigri Une Alttt Ab J tpafUm TH Gamete «eil ia Ae Kriepbcfchtakd iner gar akte UageUna, dadi I «ejler vor. Im ftMwem ni»uil naa i

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der Fora^aag hcrrwpfcea «arde. So viel akeraaA d TaÜendaag fcUt, m et ar dock cia Vot nneritcaan, a

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aibeitang, der Tiellckbt aocb bage ak Aaihlifr «fieara Maja. <

eia Hsadbach der Gcstlkfcw der Pbjvfc Ar tmtmkkaxmbi I

Kepler'» Leben aad Eaidetkaagga. Toaf-Fitckat j

za doa ProgOKai der Beabckale IL Ord. n Ldpc*i

Sekatfshr 1^83—1884. Leipt« IdU. 4*. 30 S.

Kqder'i LebeugeMkickle^ seäae SdüHEnfe aad Tu«kat Mbit| der Heruagibe snaer Schriftca mllilMi di« 4 enten Absckattte 1 fidgcader BegreaniBg: Ton der G«Iiart bis zar Uebfraeddvag ■ Pttg^ dua da« LebcB ia Prag, dann ia Lint, daoa die letitea L jähre. Vit Aogabea sind reicUicb md wenka ofaae Db riafiebor Weise ao rotfetragea, dass Kepkr's AnsklileB i mite daiaas denükh eTlt«lleD. Die folgendea 6 Abs BAli«r aof wiae Arbeiten ein. Sie sind Bbencbriebea: Kephr"! (d. i die, «rekbe seine astronaaiisclieB Leistlag die Stereometrie der Fiwer, die regalirea Poljgoae sa ^ Logarithaieii, Kepler's optiscbe üntgwchmigen, die ( Fhsetfabew^nDg. Der letzte erldüit es, wie Kepler sacteasne i AmaliBie eDiptiscber Babnea fibcrgieag, die er onbags aar der Rei naag wegen den empiriscb gefuDdenea Ovalen sabstitaiite; Qaeü tfad airgeads aagcfthit. H.

William Farr. Eine biographist-h«' Skizze t Lukas in Wien- 12 S.

LÜUraritekir Berichl IV.

45

Sem Andenkon des Oeaannteu widmet der VcrfaBser diOHCu Ar- tikel (Rundsdiau d. Vcrh. XXXÜl, 1883. p, 4i)l.) wegen aciner zahircicben Schriften im inedicinisch statiatiBchea Fache. Er ist ge- büri^u 18IJ7 in Kenley, gestorben den 19. April 1883. Von seinen Schriften werden annofulirt 2 Artikel in doD Schriften der Royal Society of London nud 18 Jm Journal of Statistical Society of Lon- don. Noch mehr wird aber offenbar die Aofraerkganikeit aaf ihn gelenkt durch seine Tütigkeit in den statistischen Congresscn, welche zeigt, in wie hohem Ansehen er in fleinem Fache stand. Von 1636 an war er Mitglied der Statist. Soc. Er vertrat die engliacho Rc- ({icrang im erste» statistischen Congress in Brüssel, dann wieder in Paris, dann in Wien, ward in die Commission zar Anfstelinng eines einheitlichen Münz-, Mass- und Gewichtsayateraa gewühlt and war bei vcrscbicdcneu Veranstaltungen Berichterstatter. Seine Statistik benog sich anfangs anf England, dehnte sich aber später auf dio europai- ^IChen Uauptstaaten ans. H.

WF Uet geboorte-jaar van Willobrordus SncIlioB. Door P. van Geor. OTergedrnkt nit het Älbum der Nataur. 4 S.

Notice aar la vie et I09 travaux de Willebrord Snollins. Par P. van Geer. Eitrait dea Archive» Neerlandaiaes , t. XVIII 16 S.

Erslero Schrift hat Bezug anf den frUhern Artikel deraelboD Zeitschrift „Willobrordns Snelliüs" (s. 280. litt. Ber. S. 38) uud oat- hält die reichlichen Ergebnisse fernerer Nachforschungen des Ver- fassera, welche dessen Angaben berichtigen und vermehreji. Nach übercio stimmenden Angaben in Siegenbeck: Gcschiedenis der Leidsche boogeachool; van Ecmpen : Goacbiedenia der Lettoren en Weten- schappen in de Nederlauden; vaudurAa: Biographisch woordenboek der Nederlandcu; Poggcndorff: Biogr. Wörtcrb.; Montncla: Hist. dos Math, war die Geburt in daa Jabr 1591 gelegt. Weit auaftlbrlichere Berichte führen indes, obwol die dirccte Anssage überall fehlt, auf das Gebnrtsjahr 1581 , in welchem er bereila im Einwobnerregiater von Leiden aufgeführt iat. Er war der älteste der 3 Söhne Wille- brord, Jakob und Ueinricb von Rudolf Sn. und seiner Frau Macbteld Conieliadr, uud J^icob ist. wie feststeht, 1582 geboren. 1600 las er schou mit seinem Vater an der Universität. Letzterer wohnte an- fangs am Kirchhof, wo er viele Studenten als Kostgänger bei sich hatte, kaufte aber spUter ein eigenes Ilaus, welches Willebrord nach seinem Tode iouc hatte. Willebrord hoiratete den 1. Aug. 1608 Maria do Laughe , Tocbtor des BoigeiuaiatarB von Schoonhoven, nnd hatte 3 Kinder, Rudqlf^|||j||||g||g||H|K||^^Bm^(Jitrist), die

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tHltraruehtr B*rieht IV.

M, StuiDtchn^ider: Stadien ubET Zarkali. 2. Artikel?^ jAnzang zu der Notir (XIV. 721.) über ein aDgeJrackl^a i ctics Werk von Jbu Uaitham.

L. Rodet: liOsnngoD dor Probleme von Mydc I orientalischen Werken.

G. Uziclli; Untereach äugen ubor Paolo dal Pozzo ToBcancIli.

A. Stiatesi: Ueber «las Leben and dia Arbeiten von Sebastiano rgotti.

B. BoucoiDpagni: Ueber 3 in der Zeitsi'brJft „Giorn. dogli tdiü e carioai" gcstolite Aufgaben.

Fublicationsvoneir.bniBao im '2. i. 6. H. lü. 12. Heft.

Krd- imd Himmelskunde.

Lehrbuch der Geophysik und physikalischen Geographie K< Siegmnnd Günther. Professor am Gymnasium zu Ansba ^i BSnde. l. Band. Mit TT in den Text gednicktcn Abbildangl tgart 1884. Ferdinand Enke. 416 S

Das Interesse au uileu Fragen über die Natur der Weltkörj bat sich wol zu allen Zeiten weit über die Gciehrtenkrcise bini erstreckt, tritt aber in neneBter Zeit besonders lebhaft hervc bisher im einzelnen Über solche Fragen nachgedacht oder tou ( den Ansichten Eenatniss genommen hat, wird bei Dnrcbleaung des vorliegenden Bnchs staunen, bis za welcher Grösse einerseits dic^ Menge dieser grusstenteils ungelösten Fragen, andrerseits diu Menge der LOsQQgs versuchte und Meinungen, mitbin auch die betreffende Littcratur angewachsen ist Dies gesamte Material DberaicbtHch zn- sammengestcllt zu babon ist unstreitig eine hOchst dankenswerte Leistung. Auch wird der Erfolg des Unteruelimcns durch die be- kannte Begabung des Verfassers in popalürer Darstellung sehr unter- stützt. Doch bat das Buch nichts gemein mit den Schriften derer, welche nm der Popularität willen den Beiz des Wunderbaren vor der Belehrung bcTorzugen. Die Tendenz ist vielmehr durchweg eine wisscnschaf Hiebe. Daher sind auch die zahlreichen Kosmophantasien der Neuzeit fast nobcrUcksicbtigt geblieben : die dahin gehfirige Kr- klaruoi! dnr Schwerkraft, die der Verfasser freilich viel zu günstig bcnrteiH, wird nur Uur/, erwähnt. Trotz einiger Aehnlichkeit dieser irittUchMi Bcitj^angcii mit den ErklÄrungsversuchen der Alton

k ttnr AafettlhonM <utd «loch l«titer« ila Aoftngc eines I p« icneUnleB n brwt«ileD. Ks M s C9 Kilon Nach- n. Ak n las ftilinl üad. mit gldcber Ant- , Meiste. Ba »wjfcl kuB cber dutlier erhoben ««4m, 44 *• arf HfecH« Bcdawen bcnkmdsa Lnsntiigoo der k^MMIBreknd htfeH*k mmi. Bne geaigerde Ein- ■M «i dsf Bu Bidu Toa dem , vetcbe die i «tae ABwmdmig tob ■ T«a imuri i»»»*!«- Ml« jeder

^ GeeenvUe n Tcrtsadvc "^ der Twd Atkw. f'w Sckslea umI i

Mit lä7 in den Text « I uul tcjpiig 1883. B. Mdedmg. 397 £

r \>r£u5(T bat es Ar gBl Mnda ia 4ai Letetach 4er i:lioa tieognpfaie aflgeadne Xatkemtik is betrtcfedktea au&aaelUDeu- Diese Auskauft rirde m»a ak aaUrBclio t ;uivrkvDDCD. wna es sich z, B. i»nm kanddte, zar Vem»- i rutPTbrecbnDjjeii die in Anwcndong koawmdCB SiUe tot- < tu b>iniiening za bringen. Anders aber lautet die Moünniag. t Vfirfasser scbliesst den Gudankca gerade» am, dass die Schaler r «alhomaliaclMio Geographie ron Mathemaük die eerinB«e Kcnnl- • Wivits besitzen. anJ bcfßrwortL-t nur Oberbanpt g<^u di« (seiner ) iiach) »erbi. itet«; Schea vor der Malhcraatik die selbstTOT- |H)iUlv-4ie Sai:be, doss man ihnen diese sJthcnte Staue zuteil «erdem Hiernach lunss es als» wirklJth SchnlpUoe ohne Mathematik, "i mit inatbeutatiBcfaer Geographie geben ! In der Bearheitong

Lillrra

lichtr Bfrkht tV.

4g

sIIgcuiciD mntbematischoD LdirstolTa ist oin leitender nedaaki* fiT ZU erkennen. Zu bemerken ist eine eigen tum lieh familiäre, ;hl somlerlicli prfldse, oft bildliche Sprache. Während aber einer- seits der Vortrug gann bekannter Sftt/e aus deu Anfangsgründen den Standpunkt sehr uiedrig itu stellen scheint, ist doch andrerseits durch Auswahl, .Vnordunng, Krklüruni; und Ilericilung ao wenig für Ein- führung in ein leiiHichesVerstündniBS geschehen, dass man jeue Bei- gabe eher fOr blosse Repeiition halten möchte. Am wenfgalen aus- reichend aber ist sie zur Voibildung für das Verstünduiss der darauf folgenden mathematischen Geographie ia gegenwärtiger Abfassung, welche gleich anfangs ziemlich complicirte Raumvor stell an gen in Au- spmch nimmt. Es wäre gewiss möglich gewesen, diese Partien ein- facher und dem Anfänger zu gänzlicher zn gestalten. lu gegenwärtiger Bcarbeitnng kann das Buch uieht als Musler der Darstellung gelten. Die Abschnitte des Uauptteils sind: Mathematische Geographie, und zwar Gestalt und Grösse der Erde; Kngelbilder, und zwar die per- spectiven Projectionen, Polar- und Aetjuatorial-, Meridian-, Horizon- talprojection , die nicht perspectiv! scheu Projectioueu ; Zonenbilder; Terrainblldor; dann astronomisch-mathematische (ieograpble, und zwar die Erde im Weltraum, der Mond, Ebbe und Flui, das Pla- netensystem, die Sonne nnd das Sonnensyntcm, Kometen nnd Asteroiden, lodiakallicht, Arten der Sterne, das Weltall. Dann folgen 24 Tabellen .1 Naehtrllge. H.

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Nene exacte Methode für die Bahnhestimmuug der Planeten und Kometen nebst einer neuen Stürnngstheorie. Von M. Vodusök, Professor am b. k. Gymnasium in Laibach. Laibach IHM. Jg. v. Klein- Fed. Bamberg. 162 S.

Die Schrift ist keine blosse Mitteilung dessen, was die Erfiaduug les Verfassers an der Methode gebessert bat, sondern ein Vortrag der gesamten Lehre der Bahnbestimronng tod Anfang au, indem der 1. Abschnitt die geometrischen lloziehungcu , namentlich zwischen locentrischen und heliocontrischen Coordinaten, der zweite die Dy- kmik der Planetenbewegung behandelt Gerade Qber die Punkte Neuheit spricht das Buch nichts aus. In der Vorrede legt der iser den Fortschritt gegen die bisherigen Methoden darin, dass :ht allein die Anflösong der sogeuauuten Fundamentalgleichungen, ndrm auch die Bestimmung der darin vorkommenden Dreiock- -hftitnisse sowol bei Planeten als auch bei Kometen eine sehr ein- fache nnil elegante Gestalt angenommen habe. Das würde sich im 3. Abschnitt, Bahubestimmnng ans 3 Beobachtungen, auszuweisen haboD. Hier werden zuerst die VerhältniBse der Dreiecke zwischen

LrfltTitrUrhrr

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tritt, Nacli DoßremJuug jenes Satzes untersacht dii' Schrift not* Itcihe vruileroc Kragen. Die Gesi'liwindigkdt der Luftmnli'dllK findi sio — 'J7<J Meter, die Höho der Atnios|ihare = 4*im) Meter, d Oescliwiritligkeit vcrsL'hiedL'ncc Gase bei gleicher Temiiemtiir soll M wie die Quadratwurzeln nus dem spcctfischen Gewicht verbaltt Ferupr cntwiekelt der Verfasser «eine Ausicbt Über die Tempürati der Atmnspb.lre nii ihrer Orctizc, nach ihr bestellt die oberste Schid aus Wnssorsluir. Weil die Bcr^e aaf ihre Dasis stärker drQckeo a die I.uft von yleiclier Hohe, soll die TeiiiiieraturdiffereDZ in ihm grösser, mitbin ihre Gipfel kälter ala die umgebeade Luft sein, «« dun-b sieb die Ncbelbilduug erklärt. Gniode liiidet der VcrTasi fttr alle seine Aufslelluu);eu, (ermäge df*reT) Origiiialtlüt Itabuit letitt etwas anregendes. H.

Wie erklären sieh Erdmagnetismus und Erdbeben? Eine i Hissenscliaftlichc Studie von Hermann Gringmuth. Dresilc ltW3. E. Pierson. IG S,

Der Verfasser nimmt an, üass die Erde von gewisser Tiefe I im liquid 'n, von grösserer Tiefe an im gasförmigen Zustaudo sei, d innere Kugel aus Gas der schwersten Stotfc bestebe. Zwischen d< Gaskogel und der festen Hoblkngel soll nun cleklriscbc Spauuti stattüiiden. Dass die liiiuide Zwischen schiebt isolirend wirkt, t nicht uusgesi>reeheii , scheint aber hiernocb Voraussetzung zu fleil Ucbcr die Erzeugung des Erdmognetiaraua spricbt nur der kun Satz; „Aus den Aeuaserungen der durch die Axenrotation des G« ccutronis bcrvorgernfenen elektrischen Tätigkeit und Umlaufes ili elektrisirteu iunerirdiacheu Hussigen Masse erkläre ich dio Ersehe nangOD des Erdmagnetismns." Das Weitere bezieht sich nur auf Ul regelmttssigkeitpu Hiermit hat der Verfasser einen neue« Hot4 hingestellt; die Erklärung mag sich daraus der Leser, wenn es ihi gelingt, selbst bilden. Die niagueti scheu Pole sollen durch die ab» Inlo Kotation der Erde im ganzen bedingt sein. Dann würden a ufTenbar unabbllngig von der Entatcbung des Magnetismus zu dem selben hinzukommen. Von solchen F'eblern des Ausdrucks (wie scb« oben „Rotation des Centrunis") wollen wir gern abseben, da dio Du Btclluug sachlich soviel vermissen lüsst. Näher geht die Schrift ai Erklärung der Erdbeben ein. Sie entstehen durch KntladungeR d« genannten elektrischen Spannung; doch können manobc auch audi Ursachen babi'n. Auf Verschiedenheit der Ursachen deutet der Un sUind, dass öfters Erdbeben in der Nabe von Vulcanen stallgefaudQi haben, diu dabei ruhig blieben. Ea werden viele Fälle angeführt,

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Lillfrariichtr Berithl IV.

Erdbeben mit elektrUcticn ErschoinnDgen verbunden aurtraten. Dor Naelitrag, betreffeud die Sonncnfloekon , steht in keiner ersichtlicbou

aicbung zur ueuen Hypol.bese. U.

Aatronomt scher Kaleuder fttr 1884. Nacb dorn Muster des an Littrow'schon Kalunders LprauBgogebon von der k. k. ternwarte. Neue Folge. Dritter Jabrgang- Wien 1884. Carl Ge- rold's Sobii.

Die beiden erEten Jahrgänge sind im 271. und 2TC. litt. Bericlit, bühw. S. 33 imd 45 besprochen. Die gegenwärtigen Beilagen ent- balten: die grossen Eomcteu der Jakri! 1843, 188<.l und 1882; neue Planeten und Kometen ; Uebersicbt des Planetensystems; alphabeti- Bcbes VerzcirhnisB der Asteroiden; Verzeiclmiss der Aaleroideu nach der Zeit ihrer Entdeckung; Bahnelemontc der grossen Planeten, der Satelliten, der Asteroiden; Giibührenscala, H.

Meteorologische Zeitschrift, herausgegeben von der Deutschen Meteorologischen Gesellschaft, redigirt von Dr. W. Kuppen, Ham- burg, Seewarte. Erster Jahrgang 1884. Berlin, A. Aaher u. Co.

Von dieser neuen Zeitschrift erscheint monatlich ein lieft, ent- haltend Abhandlungen, Corrcspondenzen und Noli/en, Vcreiaanacb- richten und Bibliographie. Das I. Heft gibt einige Nachrichten Über die Gründung der Deutschen Meteore legi scheu Gesellschaft, welche am 17. November 1883 nach Vorgang und Vorbild der Oeslerreio bi- schen Geseilschaft für Meteorologie auf Anregung des Directors der Seewarte, Geh. Admir.-Rats Prof, Dr. Neumayer s'attgefundcn hat, nebeu ihr besteht, und im Anfang dieses Jahres bereits 2% Mit- glieder zahlte. Uebcr die StatuU'U und die Ordnung der Voroins- tULigkeit ündcu sieb darin keine Mitteilungen. Zwoigvereine haben sich nai-Ji einander gebildet in Magdeburg, Berlin, München und Rndolatadl. H.

Mathematische und physikalische Bibliographie.

««MhUUe dar KKttawItk «itnirilk.

Prowe, L^ Nlodufl O^enku 3. Bl Urkaadssw WeidHHuni. liMk. ,

Werr, E., tfit, i. Oeonutrie der ^taii Aegr^«-. V^ rdd'sS. fiOPf:

Alth, G. B, v^ flb. d. «btolcts Hmm^MMi n. di« «hmlo «1^; DimeiuloDeiL Wim, Hfilder. 1 lOb '^^-

DelHogshauBen, Baron N. t-, die Schwere od. dasWirksus- werden der potentiellen Energie. StDttgart, Scbwoizerbsrt 1 Hk. 60 Pf.

Flaramerion, C, das bewohnt« Wclten-AU. ABtronom. i. Philosoph. Betracht^. 2. Afl. bearb. t. A. Drechsler. Leipzig, Weber. 4 Mk.; geb. 5 Mk.

Eilling, W., Enveiterg. d. Raumbcgriffra. Mathetnat. Abhand- lung. Braansberg, lluye. 1 Hk. 60 Pf.

Schneider, G-, die piaton. Metaphysik, auf Grund d. im Plii- Ic^bns gogeb. Principien ia ihren weaentl. Zflgen dai^est Leipiig, Tenbner. 4 Mk.

Seccbi, A., die Einheit d. Natnrkrllfte. Ein Bcitr. zur Natoi^ Philosophie. Uebers. v. R. L. Schnlze. 2. Afl. 3. n. 4. Lfg. Leip- zig, Frohberg, ä 2 Mk.

Veyder-Halberg, A. Frbr. v., ab. d. Einheit aller Kraft. Eine Abbandig. Wien, Seidel <& S. & Mk.

SamnlOMgeii.

Grosse, F., Antworten n, LOagn. zn d. Rechenboch f. Semi- nare, .Mitlrlscliulon <i. <l. tnittl. Klassen hüh. Lehranstalten. Udn- ster, Nasse. 1 Mk.

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