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ARCHIV
der
MATHEMATIK und PHYSIK
mit besonderer Bücksiebt
auf die BedUrfhisse der Lehrer m höheren
Unterrichtsanstalten.
Gegründet von
J. A. 6 r H B e r t,
fortgesetzt von
R. H 0 p p ft
Neunundftinfzigster Teil.
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Leipzig,
C. A. Koch's Verlagsbucbhandlung,
J. Seagbusch.
1876.
162466
Inhalts -Verzeichniss
des HeHiMiflfHifiigstei Teils«
JüderAbliwidliiBg. lUft 8«ii«.
Methode und Primeipieii.
VI. Uebcr die Bolle der Erfahrung in den exacten Wissenschaften. Von J. Hoftel. Uebersetfet Ton Felix Müller I. 65
Arithmetik, Alfehra und reine Analysis ohne Inteirralreehniuif •
XI. Frodnct eintr nnendlichen Factorenreihe. Von
G. Dobinski I. »8
XIII. Das allgemeine Zerlegungsproblen der Deler-
minauten. ' Von Siegmund Günther .... II. 190
XIV. Studien zu Fürttenau's neuer Methode der Dar> Stellung und Berechnung der WurEelo algebraischer Gleichungen durch Determinanten der Coefficienten.
Von Hans Naegelsbach 11. 147
XVI. Ueber kubische Gleichungen. Von Eduard
Liebrecht IL «17
XXIIL Beitrag lur Theorie der Unterdeterminanten. Von
F. Hosa . IV. 387
XXIV. Ueber UnterdeteroMnanten einer adjungirten Deter- minante. Von F. Hoia IV. 401
XXV. Ueber das Multiplicationstheorem zweier Deter- minanten nten Grades. Von F. Hosa . . . . . IV. 403
n
JMderAbhandlQDg. Heft. Seit«.
Integralrechnanf.
XVI. Ueber einige besiimmte Integrale. Von Edoard
Liebrecht IL 218
XIX. Beitrag zur mechanischen Quadratur. Von Li-
gowski III. 329
XIX. Note Aber lineare Differentialgleichungen. Von
Simon Spitzer . III. 334
Cleometrle der Ebene.
IL CuDstroction der Dnrchsehnittspnnkte tod Geradeo mit Kegelschnittslinien. Von Gustaf Ad. V.
Peschka L 18
III. Beiträge zur Lösung einiger -bekannten geome- trischen Aufgaben. Von Mendthal I. 39
VIII. Bemerkung ther Symmetriekcgelschnitto des Drei- ecks. Von Emil Hain L 83
IX. Beziehungen eines Dreiecks zu einer Geraden. Von
Emil Hain L 87
XVIII. Ueber den Feuerbach'schen Kreis. Von Emil
Hain IIL 328
XIX. Beitrag zur Theorie der Cissoide. Von Karl
Zahradnik III. 335
XX. Theorie der Kardioide. Von Karl Zahradnik IV. 337 XXL Pol und Polare des Dreiecks. Von Max Grein er IV. 351 XXII. Les poljgones rayonn^s et les polygones ^toil^.
Far Georges Dostor IV. 375
XXVII. Ueber eine Classe irrationaler Symmetriepunkte des
Dreiecks. Von Emil Hain • IV. 415
XXVIII. Allgemeine Beziehungen der Symmetriepnnkte eines
Dreiecks. Von Emil Hain IV. 420
XXX. Eine geometrische Aufgabe. Von Eduard Lieb- recht IV. 445
XXX. Eine Quadratur. Von Karl Zahradnik ... IV. 448
Geometrie des Baumes.
I. Ueber den Znsammenhang gewisser Sfttze, welche sich auf geschlossene Reihen geometrischer Gebil'Je beziehen. Von F. August L 1
m
•ttdMAbhMdluff. Htft S«iU.
IV. Propri^t^ noufelles dea poly^dret r^uliers con-
Texet. Par Georges Dostor I. SO
V. Ein Theorem Aber die conforme Abbildoog der
Fliehen auf Ebenen. Von B. Hoppe I. 59
VII. Der KOrperinhalt des senkrechten Cylinders ond Kegels in der absolute^ Geometrie. Von A. Ton
Frank I. 76
XVIL Principien der Flichentheorie. Von B. Hoppe . III. 2S5 XX VL Beispiel der Bestimmung einer Fliehe ans der
Indicatrix der Normale. Von B. Hoppe . . • IV. 407 XXIX. Untersnchnng Ober die biniren lateralen Geraden.
Von F. E. Thieme IV. 4S6
XI. Hohe des Schwerpunkts eines Pyramidenstutzes, dessen Dichtigkeit Ton der untern bis zur obem Fliehe sich progressiT Terindert Von F. E.
Thieme L 101
XV. Beitrag zur Kenntniss Ton der Bewegung eines schweren Punktes auf Botationsflichen mit Tcrti* caler Axe. Von Theodor Bertram .... II. 193
Physik.
XL Ein Beitrag zur Messung der elektromotorischen
Krifte Ton Stromquellen. Von Kfllp I. 103
XI. Ueber das Verhiltniss Ton Stromstirken einer Kette
zu einem einzigen Elemente. Von Kfllp ... L 106
XL Ueber das Verhiltniss eines kleinplattigen Ele- mentes zu einer Kette Ton grossplattigen Elementen. Von Kfllp L 108
XL üeber die Bestimmung des Leitungswiderstandes
der Metalle. Von Kfllp L 109
XL Zur Theorie des Maximums der Stromstirke. Von
Kfllp L 111
XII. Ueber die Abhingigkeit zwischen Magnetismus und
Hirte des Stahles. Von Ch. Buths IL -113
Amfgaliea, X Uebnngsaufgaben. Von Emil Hain ...... I. 93
IV
Litterarisehe Berichte.
CCXXXIII. Thomae (Th. best. Int. — Diff. Gl. 4* 0.). Moroff (geom. Grondbegr.). Enneper (eil. Fct.). Rrnse (eb. Geom.). Cremona (g^om. proj.). Hochheim (parab. Cv. S. O.).
CCXXXIV. Hess (Polyg. — Polycd.). J. A. Serret (Trig.). Klin- genfcld (darst. Geom.). Steiner (graph. Zus. d. Kr&fte). Popper (Loftballon). Einbeck (Locomot). Moennich (soheinb. Orts&nd.). Stark (Axenänd. d. Erde), von Mil- ler-Hanonfels (Kometen). Mohn (Meteor.). Howe (Ur- krftfte). Härder (Molec, Ges.). Hirn (th. d. 1. chal.). Scheffler (Wftrmeth ). Thal^n (Erdmagn. — Spectr.). Reg. Soc. sc. Upsal. (Acta YIII. IX.). Catalan et Man- sion (NottT. Corr. I. 4. 5. 6.). CCXXXV. Sater (Gesch. d. M*). Boncompagni (Bull. YIII. 7 bis 12.)* Scheffler (Nat Ges.). . Mansion (Lc^oos). H6hr (Ar.). Matthes (Ster.). Nagel (Aufg.). Stegmann (Ster.). B rem i kor (6st. Log). Dick mann (Dcterm.). Hatten- dorff (Riemann part. Diffgl.). Weber (Abelsche Fct). Strcisslcr («larst. Geom.). Günther (Einfl. d. Himmkp.).
CCXXXVI. Ganther (Z. d. math. bist. F.). Stüssi (Zinsr). Rosen- berger (Buchst. R.). Schurig (Geom.). Nagel (Ster.). Hu gel (reg. Pol.). Renshaw (Kcgschn.). Baff (phys. Mech.). Recknage4 (Exp. Phys.). Trappe (Pliys.).
Druckfehler.
S. 351. Z. 10 y. oben statt
351. 353. 353.
354. 355. 355. 356. 359.
132. 132. 133. 138. 139. 142. 144. 144. 146. 339. 355. 355.
5 - unten
6 - oben
10 - unten
11 - -
2 - oben
13 - unten
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18 - oben 20 - -
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letzten auf S. 357, überall l statt b zu setzen. 358. Z. 1 V. unten statt Conductoren lies Conductor In der zugehörigen Fig. 2. dem A^ diametral gegentlber am inneren Kreise fehlt A^'.
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S. 61. Z. 9 V. oben statt pq-^-im lies pq — im 100. - 2 - unten - Dobidecki - Dobiiiski 217. - 8 - oben - geometrischen - goniometrischen
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218. am Ende
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I.
Ueber den Zasammenhang gewisser Sfttze^ welche sich auf geschlossene Reihen geometrischer
Gebilde beziehen.
Von F, AuguaU
Der elementarste von der Art von Sätzen, mit welchen sich die folgende Untersachnng beschäftigt, ist der, dass, wenn zwei Seiten eines (der Lage nach) veränderlichen Dreiecks, welches einem nn- vcränderlichen Kreise eingeschrieben ist, je einen unveränderlichen und dem ersten concentrischen Kreis berühren, die dritte Seite einen dritten jenen ebenfalls concentrischen Kreis berührt.
Bei weitem weniger elementar ist der Poncelet'sche Satz: (Poncelet, Trait6 des propri6t6s projectives des figures pg. 361): Wenn zwei Seiten eines einem festen Kreise eingeschriebenen verän- derlichen Dreiecks je einen von zwei unveränderlichen Kreisen be- rühren, die mit dem ersten Kreise derselben Kreisschaar augehören, so berührt auch die dritte Seite stets einen unveränderlichen Kreis derselben Schaar.
Beide Sätze lassen eine Erweiterung auf Polygone zu, und man gelangt durch eine einfache Betrachtung endlich zu dem interessanten Satze:
Wenn ein Polygon zugleich einem festen Kreise ein- und einem andern umgeschrieben ist, so lassen sich denselben Kreisen unzählig viele Polygone von derselben Seitenzahl in derselben Weise ein- und umschreiben. Die beiden Kreise können bekanntlich auch durch zwei beliebige Kegelschnitte ersetzt werden.
TtULUL 1
erster Gattuug fabrteu, wie dies Jacobi and Clcbach nachgewiesen haben. (Jacobi, Uober die Aawcudung der elliptiscbeu Traussccn- deoten auf ein Problem der Elemeiitargeonietrit', Grelle Bd. III; Clebsch, über eiueu Satz vou Steiner etc., Crello Bd. 63),
ObscboD bierdurcb der Zusamineutiaiig jener Theoreme aufjjedeckt ist, bleibt es doch wüusdienswert , diesen Zusanitnonbang ancb in geumetrisehcr Weise klar zu Ic^cn, alsu eintn Satz aufzufinden, aus welchom sich die genannten Theoreme durch inüglicbst einfache geometrische Betrachtuugen ableiten lassen. Biese Erwägung veran- lasste mich zu der foigeudeu Arbeit Als einen geeigneten Aasgaugs- punkt habe ich den Satz vou deu Stciner'sebeu Polygonen in etwas erweiterter Form erkannt. Die Uutersuthung führte mich zugleich auf einige analoge Sützc für rüunilicbe Gebilde, die, soviel mir be- kannt ist, noch nicht anderweitig vcrÖlTentlich sind. Wie mir nach Vollendung dieser Arbeit bekannt wurde, sind die Stcincr'schcn Polygone von ücrru Boeklund in den Academicschriften von Land geometrisch behandelt; doch ist mir die Arbeit selbst bisher nicht zu Gesicht gekommen. Um eine gewisse Uebersicht auch über diejenigen Schlicssungstheoremo zu geben, die weniger einfachen Charakters sind, also nicht ohne WciUtcs aus den in der folf^endcn Arbeit be- bandelten hergeleitet werden können, bemerke ich, dass Clebsch im 63sten Baud des Journals fUr reine und angewandte Mathematik einen derartigen Satz für algebraische Cnrven beliebigen Goscblcchts auf- gestellt hat Herr Darbonx hat einen Scblieasungssatz veröffent- licht, bei welchem es sich um Polygone handelt, die einer von drei Gonfocalen Flächen zweiten Grades eingeschrieben und zugleich den beiden andern umschrieben sind. Ausserdem hat Herr Darboux iu seiner Abhandlung: Sur une classe remarquable de eourbes et de Burfaces etc. (Mein, de Bordeaux t. IX 1873 Note II pg. 123 ff.) in ausführlicher Weise das Poncelet'ache Theorem und eine Reihe von Erweiterungen desselben bebandelt, und zwar mit Hilfe einer sehr einfachen und interessanten Methode. Herr Felii Klein in
auf gexchloatiene Reihen geometrischer Gebilde hezielteiu 3
München hat die Güte gehabt, mich auf einen Schliossnugssatz für geodätische Polygone auf Flüchen zweiten Grades aufmerksam zu machen. Auch der im vorigen Teile (LVIII) pg. 216. publicirte Lehr- satz, eine gewisse Raumcurve sechsten Grades betreffend, gehdrt dem Gebiet der Schliessungstheoreme an.
I. Torbetrachtmigeii.
Wenn ich in diesen Vorbetrachtungen etwas weiter zurückgreife, als es dem Gcometer von Fach nötig erscheinen möchte, so geschieht dies in der Ueberzeugung, dass, je weiter die mathematischen Disci- plinen aus einander gehen, das Bedürfniss um so grösser ist, durch einleitende Betrachtungen das Verständniss von Specialuntersuchungen zu erleichtern.
1. ' lieber Flächen zweiten Grades und gewisse auf ihnen befindliche
Linien.
Bekanntlich liegen auf jedem einfachen (einschaligen) Hyperboloid zwei Schaarcn von Geraden (Geueratrices). Jede Gerade der einen Schaar schneidet jede Gerade der andern Schaar, ist aber windschief zu einer Geraden derselben Schaar. Jede Tangentialebene schneidet das Hyperboloid in zwei Geraden, die verschiedenen Schaaren ange- hören und sich im Berührungspunkte schneiden. Umgekehrt ist jede durch eine Generatrix gelegte Ebene eine Tangentialebene des Hyper- boloids. Auch die übrigen Arten von Flächen zweiten Grades ent- halten in sich gerade Linien, dieselben sind aber imaginär, und können sowol durch die Kechnuug, als auch durch die v. Stand t'schen geomc- triachen Beobachtungen in ihrer Bedeutung erkannt werden. (Vgl. V. Stau dt Beiträge zur Geometrie der Lage. Nürnberg 1856 — 60 und F. August Untersuchungen über das Imaginäre in der Geometrie. Berlin 1872 Programm der Friedrichs Realschule).
Der Durchschnitt zweier Flächen zweiten Grades ist eine Raum- curve vierten Grades R^-y eine solche heisst erster Art im Gegensatz za den Raumcurven vierten Grades zweiter Art, durch die nur eine Fläche zweiten Grades gelegt werden kann, und welche mit zwei windschiefen Geraden zusammen den Durchschnitt jener Fläche mit einer Fläche dritten Grades bildet. Im folgenden ist nur von den Kaumcurven erster Art die Rede. Durch eine solche R^ lässt sich eine Schaar von Flächen zweiten Grades legen, unter denen im all- gemeinen vier Kegel sind, und zwar geht durch jeden Punkt it des Baumes, der nicht auf R^ liegt, eine solche Fläche. Die Tangential- ebene in n schneidet diese Fläche in zwei (reellen oder imaginären) Geraden, deren jede die R^ zweimal schneidet. Man verbinde irgend
auf gesehlotsene Reihen geometriicher Gebilde beziehen, 5
die Ebene e schneidet, jede Tangente dieses Kegelschnittes entspricht also zweier Geraden von /i aus verschiedenen Schaaren. Irgend einer andern Geraden der Ebene e entspricht ein nicht aufgelöster Kegel- schnitt auf ff\ dessen Ebene durch n geht. Einem beliebigen Kegel- schnitt Ä"'* auf /i entspricht ein Kegelschnitt A'*, welcher den Kegel- schnitt T'^ in zwei (reellen oder imaginären) Punkten berührt, da ja der Kegelschnitt K^ den Kegelschnitt r*, in welchem der Berüh- rungskegcl von 71 die Fläche f^ berührt, in zwei Punkten schneidet. Umgekehrt entsprechen jedem Kegelschnitte K'^ in «, welcher T'* doppelt berührt, zwei Kegelschnitte K^^ und K^^ auf /j, während einem andern Kegelschnitte Z^' der Ebene c, welcher T'^ nicht dop- pelt berührt, eine Raumcurve vierten Grades auf /i entspricht, deren Eine konische Secantenschaar durch n geht, und umgekehrt Jeder andern Raumcurve vierten Grades auf /« entspricht dagegen in e eine ebene Curve vierten Grades, welche r'* viermal berührt, und welche ausserdem zwei Doppelpunkte hat, weil durch n zwei Secanten von -R4 hindurchgehen. Eine weitere Fortsetzung dieser Betrachtungen ist fär unsere Zwecke entbehrlich.
b. Wenn man den Projectionspol n im Speciellen auf /j selber wählt, und wenn man die völlig unbestimmte Projection von 7t ausser Acht Ifisst, so wird die Abbildung von /j in e ein- und eindeutig d. h. es entspricht jedem Punkte « in /g ein Punkt «' in «, und nmgekehrt Die Punkte, welcho dem Pol it unendlich nahe sind, projiciren sich in die Punkte der Geraden, in welcher die Tangential- ebene von /i in n die Bildebene e schneidet. Die beiden Generatriccs Ö, und G^ der Fläche /i, welche durch tc gehen, projiciren sich in zwei Punkte y^ und y,'» ^^^® übrigen Generatrices der ersten Schaar in Gerade durch y^', die der zweiten Schaar in Gerade durch y/. Die säramtlichen ebenen Schnitte von /i, welche durch n gehen, pro- jiciren sich als die sämmtlichen Geraden in ^ und umgekehrt Jedem ebenen Schnitt von /i, der nicht durch tt geht, entspricht ein Kegel- schnitt durch y/ und y2. Jedem Kegelschnitt in «, der durch yj' und ys' geht, entspricht in f^ umgekehrt wieder ein Kegelschnitt, da y, und der projicirende Kegel ausserdem die Geraden G^ und G^ gemein haben.
Einer Raumcurve vierten Grades R^ auf ff entspricht im All- gemeinen in e eine ebene Curve vierten Grades, welche in y^ und y<' Doppelpunkte hat, und umgekehrt, jeder ebenen Curve vierten Grades i?^' in e, welche in y^' und y^' Doppelpunkte hat, entspricht in/j eine Raumcurve It^-y denn der projicirende Kegel 7tR^\ welcher vier- ten Grades ist, schneidet /^ im Ganzen in einer Curve achten Grades, von der sich aber die beiden Doppelgeraden G^ und G^ abtrennen, 80 dass als nicht singulärer Bestandteil eine Raumcurve vierten Grades
Bicb in ähnliclie und paarweise übulieliliegonile Itcgel sc Loiltc mit parallcteD Asymptoten {also auch mit parallelen Axcu). Ist noch spccielter n ein Nabelpuukt von /"j, so werden y^' und y^' die Kreis- Itunkte von e, und die silramtlicheu ebenen Scbnitte von /( projicircn sieb in die sämmtlichen Krei^io von e und umgckclirt. Ist eudüch /*, eine Kugel, so ist jeder Fuulit n: derselben als Nabelpuukt anzusehen, und weun man von ibm aus die Kugel auf eine Ebene c projicirt, woIcIiQ der Taugen tialebcno in n parallel ist, so erliält mau die bo- Itanntc stcrcographiscbe Prejcctiou, in der sieb jeder Kugel k reis wieder als ein Kreis abbildet. — eine Projection, welche bekanntlich die wichtige Eigenschaft der Cunformität besitzt.
3, Nol't-eniligt Punkte bei Iläteheln von Carvcn ilritten Gradi:».
Eine ebene Curvc dritten Grades C^ ist durch neun ihrer Punkte im Allgemeinen eindeutig bestimmt. Durch acht beliebige Punkte lassen sich unendlich viele sulehe Curven legen; diese bilden «iueu cbeuen Curvcübüacbcl drilteu Grades. Irgend zwei dieser Curven haben aber noch einen neunten Punkt gemein, und durch diesen mOsseo alle Curven des IlUscbels hindurchgehen. Die neun Durch- Bchuittspunkte zweier Curven dritten Grades, oder die neun Funda- mcutatpnnktc eines Büschels von Curven dritten Grades können also nicht willkürlich gewählt werden; sondern nur acht sind beliebig, der neunte (notwendige) ist durch die acht Übrigen bestimmt.
Ordnet man nun die sechs Durclischnittspnnktc einer ebenen Curvc Cj' und eines Kegelschnittes A,' in drei Paare o,'o,', [i^'ß^' und )',Vi't 80 schneidet jede der drei Verbindungslinien Ä B'b jo eines Punktpaares die CV noch in einem Punkte, bezüglich in f^'ßa'y^', die in einer Geraden liegen. Denn durch die nenn Punkte n'ß'y' geht erstens die Cnrve C^', zweitens die drei Geraden A'li'f/y die zusammen eine anfgelüstc Curvc dritten Grade.« bilden ; also sind jene neun Punkte die Fundamental punkte eines Buscbela von Curven dritten Grades. Durch jedeu Punkt i' der Ebene lässt sich eine diesem Büschel zagcbörige Curve legen. Wflhit man nun S' auf AT,', so muss die Curvc, da sie sieben Punkte mit K^' gemein hat, aUe
tKuf ge*chlo3sen§ Reihen geometrischer Gebilde hexiehen* ^
Punkte von K^ enthalten, also aufgelöst sein in K^ nnd eine Gerade, welche natürlich durch die drei Punkte a^'ß^'y^! hindurchgeht.
Statt des Kegelschnittes K^' kann man nun auch zwei Gerade wählen, welche die Q' in »/ft'y/ ^^^ ^tßtYt schneiden, so dass man deu specielleren Satz erhält:
Verbindet man die Schnittpunkte zweier Sccanteu einer C3' paar- weise durch die drei Geraden o^'a^'^ ßiß%\ yi)t\ so liegen die dritten Schnittpunkte dieser drei Geraden mit Cg', nämlich «s'/?aVs' wieder in einer Geraden.
Dieser Satz lässt noch mannigfache Spccialisirungen zu, die namentlich dadurch gewonnen werden können, dass man einige der betrachteten Punkte unendlich nahe rücken, also die Secanten in Tangeuten tibergehen lässt Er bildet den Ausgangspunkt für die Betrachtung der Steinerschen Polygone.
II. Die Steinerschen Polygone in weiterem Sinne.
Man kann dem zuletzt erwähnten Satze auch folgende Fassung geben:
Verbindet man einen festen Punkt k* einer ebenen Curve dritten Grades C,' mit einem veränderlichen «' derselben Curve durch eine Gerade, welche Q' noch in ß' schneidet, zieht von ß' nach einem festen Curvenpunkto ft', der dritte Durchsclmittspunkt sei y', von y' nach einem festen Curveupunkte v\ der dritte Durchschuittspunkt dieser Geraden sei 6', dann ist der dritte Durchschnittspunkt der veränderlichen Geraden a'd' mit C3' ein fester Punkt p', den man üuden kann, indem man den dritten Durchschnittspunkt c' von l!v' bestimmt, nnd alsdann den dritten Durchschuittspunkt von a^'i <ler eben q' ist
Die vier Seiten des veränderlichen, der C3' eingeschriebenen ein- fachen Vierecks a'ß'y'6' gehen also je durch einen festen Punkt der Curve C3'. — Setzt man nun von 6' die Construction in analoger Weise fort, zieht also von 6' eine Gerade nach einem festen Curveu- punkte t', nennt den dritten Schnittpunkt s\ und von e' eine Gerade nach dem festen Curvenpunkte v\ deren dritter Schnittpunkt f ist, so geht auch die veränderliche Gerade a'i^ durch einen festen Curven- punkt g>'. Man hat also ein Sechseck, welches mit dem Viereck analoge Eigenschaften besitzt, und kann in derselben Weise zu einem Achteck, Zehneck, und allgemein zu einem 2n Eck übergehu, so dass man folgenden Satz aussprechen kann:
8 August: üeber den Zusammenhang gewisser Sätze, welche su^
Wenn man einer ebenen Curve Q' ein veränderliches 2n Eck einschreibt, dessen Seiton alle bis anf eine als dritte Schnittpunkte mit der Gurve einen festen Punkt haben, also ebene Strahlbüschel beschreiben, so h^t auch die letzte als dritten Schnittpunkt mit der Gurve einen festen Punkt, dessen Lage man constructiv aus derjenigen der übrigen bestimmen kann, ohne das ver- änderliche 2n Eck selbst zu construiren.
Dass der Satz auf Polygone mit gerader Seitenzahl beschränkt ist, ist leicht zu erkennen. Denn verbindet man die festen Curven- punktc A.' und ft' mit dem beweglichen Curvenpunkte ß' und verbindet die dritten Schnittpunkte a'y' dieser beiden Geraden, so kann der dritte Schnittpunkt J' von a'y' mit C^' folgeudermassen gefunden werden: Die Verbindungslinie von A' und ft' hat als dritten Schnitt- punkt mit Cg' den festen Punkt <p', die Tangente in dem veränder- lichen Punkte ß' schneidet C^' noch in dem veränderlichen Punkte ß^ und die Gerade «p'/^o' schneidet C^' zum dritten Mal in dem gesuchten Punkte I'. Der Punkt |' aber ist veränderlich; er könnte nur fest sein und mit <p' zusammenfallen, wenn dies ein Doppelpunkt von C^ wäre, also mit k' oder ft' zusammenfiele, in welchem Falle der Satz überhaupt illusorisch würde.
In der oben mitgeteilten allgemeinen Form ist der Satz bei Steiner und bei Glebsch nickt ausgesprochen, vielmehr sind gleich speciellere Fälle ins Auge gcfasst, die sich aus ihm ohne Weiteres ergeben Während nämlich das Zusammenfallen zweier aufeinander folgender der festen Punkte AV'v'... eiufach einem Ausfall beider gleichkommen würde, kann man offenbar zwei nicht aufeinander fol- gende, soweit man sie beliebig wählen darf, zusammenfallen lassen. So hat nun Steiner besonders den Fall behandelt, wo die Punkte abwechselnd mit k' und ft' zusammenfallen, bis auf den letzten, der durch die übrigen bestimmt ist, also im Allgemeinen nicht mit ft' zusammenfallen wird. Man kann nun aber fragen, wie A' und fi' liegen müssen, damit der letzte Punkt von selbst mit ^' zusammen- falle. Dieses Problem hängt natürlich auch von der Seitenzahl 2n ab, seine Lösung liefert die eigentlichen Steiner sehen Polygone, deren Seiten abwechselnd durch zwei feste Curvenpunkte k' und ft' hindurchgehen, während ihre Eckpunkte veränderliche Punkte der C^' sind, deren einen man willkürlich wählen kann.
III. Geschlossene veränderliehe Polygrone, welche Baumcurven vierten Grades und erster Art eingreschrieben sind.
Einer Raumcurve R^ sei ein Viereck mit den Eckpunkten aßy^ eingeschrieben. Man projicire die Figur von einem beliebigen Punkte
mf/* getcktöMsene Reihen geometrischer Gebilde beziehen^ 9
n der Raumcnrve ans auf eine beliebige Ebene «, (welche nicht dnrch Ä geht). Dann projicirt sich R^ in eine ebene Curve C^\ die Punkte ußy6 in die vier Curvenpunkte a^ß'y'6\ und wir bezeichnen wie oben den dritten Durchschnittspunkt von C^'
mit aß' durch k\ mit /5'/ durch ^', mit y 6' durch v', mit Ä'a' durch p',
dann ist ^' so zu construiren, wie es oben augegeben war. Lassen wir nun das Viereck aßyd sich dadurch verändern, dass
aß stets die Gerade nV schneidet, ßy stets die Gerade n^k\ yö stets die Gerade nv'j
80 bleiben fi'v' fest, also nach n auch p', und die Gerade Sa schneidet stets die Gerade tcj»'. Die einzelnen Seiten des Vierecks beschreiben also Secantenschaaren der Raumcurve i?^ (siehe oben I, 1.)* Wir sind somit auf einen Satz geführt, der sich wieder auf Sechsecke, Achtecke, und allgemein 2» £cko übertragen lässt, und dann folgender- massen ausgesprochen werden kann:
Wenn jede der Seiten eines veränderlichen, einer Raumcurve Jt^ eingeschriebenen 2n Ecks, bis auf eine einer Secantcnschaar angehört, also ein Hyperboloid beschreibt, so ist dasselbe mit dier letzten Seite der Fall.
Bemerkung. Verbindet man die Eckpunkte eines der Raum- curve Ri eingeschriebenen 2n Ecks aßyd . . . mit dem Scheitel eines der vier Kegel zweiten Grades, welcher durch R^ gehe, so schneidet jede dieser Verbindungslinien die R^ noch einmal. Diese zweiten Schnit^unkte seien bezüglich «iftyi^i... Die Seiten des durch sie bestimmten Polygons und die entsprechenden Seiten des Polygons aßyö; also beispielsweise aß und a^ßi gehören conjngirten Secanten- schaaren an, da sie paai-weise in einer Ebene liegen. Wir erhalten demgemäss zu dem eben besprochenen Satze den folgenden
Zaaatz. Wenn jede Seite eines veränderlichen 2n- Ecks, welches einer R^ eingeschrieben ist, einer Secan- tenschaar von 774 angehört, so kann man derselben R^ auch eine Schaar von 2n Ecken einschreiben, deren Sei- ten der Reihe nach denjenigen Secantenschaaren an- gehören, welche denen der ersteren Polygone bezüglich conjagirt sind.
10 Augntt: Ueber den Zusammenhang gewisser Sätze, weiche sich
In Bezug auf die SpecialisiruDgen des Hauptsatzes kann natürlich die Analogie mit den Sätzen über die S t ei ne^r sehen Polygone aach verfolgt werden. Lässt man also etwa zwei unmittelbar aufeinander folgende Seiten des Polygons zusammenfallen, so ist es so gut, als üele ein Eckpunkt und zwei Seiten ganz aus dem Polygon heraus. Dagegen können zwei nicht uumittelbar aufeinander folgende Seiten derselben Si cantenschaar angehören. Man könnte namentlich die erste, dritte, bis (2n — l)to Seite des Polygons aus derselben Scbaar wählen, und die zweite, vierte, bis (2» — 2)te aus einer zweiten Schaar; dann wird die letzte (2w)to Gerade im Allgemeinen einer dritten Schaar angehören, die aber bei besonderer Wahl der beiden ersten Schaaren mit der zweiten derselben identisch werden kann, so dass man ein der R^ eingeschriebenes 2u Eck erhält, dessen Seiten ab- wechselnd je einer von zwei Sccantenschaaren angehören. Noch specieller können diese beiden Schaaren conjugirte Secautenschaaren werden, also demselben Hyperboloide angehören. Es existirt also folgender speciellero Satz:
Wenn sich auf einem Hyperboloide eine Raumcurve vierten Grades R^ befindet von der Beschaffenheit, dass ihr ein geschlossenes 2n Eck eingeschiieben werden kann, dessen Seiten abwechselnd je einer der beiden Schaaren von Generatrices des Hyperboloids augehören, so lassen sich derselben 7?^ unzählige geschlossene 2u- Ecke derselben Art einschreiben, und zwar kann jeder Punkt der 7^4 als erster Eckpunkt gewählt werden.
Die Frage, wie die betreffenden Secautenschaaren in jedem Falle gewählt werden müssen, kann natürlich leicht auf die analoge Frage für die ebenen Curven dritten Grades roducirt werden, die in den Arbeiten von Steiner und Clebsch erledigt sind.
Man kann nun danach fragen, ob die eben behandelte Eigenschaft der Raumcurven vierten Grades sich abermals auf andere Gebilde übertragen lässt. Eine solche Uebertraguug könnte etwa durch Pro- jection der Figur von einem beliebigen Punkte n auf eine beliebige Ebene e geschehen. Man würde dadurch auf einen Satz über ebene Curven vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten geführt werden, der aber nicht einfach genug ist, um ein besonderes Interesse zu erregen; der vielmehr um einen treffenden Ausdruck Steiners zu gebrauchen, eine blosse Carricatur der einfacheren Sätze sein würde*).
Ein Fall aber ist es, der besondere Beachtung verdient, und mit dem wir uns im folgenden beschäftigen werden.
•) Steiner, Systcmatis^'hc Entwirkclungen, pg. 270 unten.
auf geschlossene Reihen geometrischer Gebilde beziehen, \\
IT. Der Poneeletsche Satz.
Wählt man nämlich als Projcctionspol n den Scheitel eines der Tier Kegel, welche durch A4 hindarchgehn, und als Bildedene «, der bequemeren Ausdruoksweise wegen, obwohl dies an sich nicht nötig wäre, die durch die drei Scheitel der drei andern Kegel gelegte Ebene, die bekanntlich die gemeinschaftliche Polarebene des Punktes n für alle Flächen /j ist, welche durch Jt^ hindurchgehen, so projicirt sich irgend eine Secanteuschaar von R^ in die Schaar der Tangenten des- jenigen Kegelschnittes L^^ in welchem das von der Secanteuschaar beschriebene Hyperboloid ä, die Ebene e schneidet; conjugirte Se- canteuschaareu projiciren sich in dieselbe Tangentenschaar (1, 1 und 2), nicht conjugirte in verschiedene; die sämmtlichen Kegelschnitte J^' gehen durch die vier Schnittpunkte von J?^ mit e, bilden also in e einen Kegelschnittbüschel. R^ selber projicirt sich in einen Kegel- schnitt IC^ der ebenfalls jenem Büschel angehört. Schreibt man nun der R^ ein Viereck c(ßy6 ein, so wird, wie wir gesehn haben, wenn ^9^ ßy^ y^^ Secantenschaaren beschreiben, auch da eine solche be- schreiben, und das veränderliche Viereck aßyS projicirt sich in ein veränderliches Viereck a'/3'y'd', welches dem Kegelschnitt K^* ein- geschrieben ist, während jede seiner Seiten einen Kegelschnitt der Schaar L'^ berührt. Das Analogo gilt für 2n Ecke. Hierdurch erhält man eiueu Satz, der sich von dem erweiterten Poncel et sehen scheinbar noch dadurch unterscheidet, dass das Polygon eine gerade Seitenzahl hat. Da aber der Kegelschnitt Ä^' auch zur Schaar L/ gehört, 80 können wir die eine Seite des Vierecks z. B. y'ö' so wäh- len, dass sie K2 berührt, so dass also y' und ö' zusammenfallen, und das Viereck aß'yö* in ein Dreieck übergeht, oder, um es anders auszudrücken, wir können die Gerade y6 so wählen, dass sie durch n geht, also die konische Secanteuschaar durch n beschreibt, und können die verschwindende Seite in der projicirten Figur unberück- sichtigt lassen. Ebenso können wir von einem 2w Eck zum (2n — 1) Eck übergehen. Um aber gar keinen Unterschied in der Betrachtung der 2n Ecke und der (2n — 1) Ecke nötig zu haben, können wir die Seiten des ebenen Polygons abwechselnd verschwindend und nicht verschwindend wählen, d. h. das Baumpolygon aus Secanten beliebiger Scbaaren altemirend mit Secanten der konischen Schaar zusammen- setzen. Wir sind somit auf den erweiterten Ponceletschen Satz ge- führt, den wir folgendermassen aussprechen können:
Wenn sich in einer Ebene e ein Kegelschnittbüschol V befindet, und einem ihm angehörigen Kegelschnitte K^ ein veränderliches Dreieck, respective n Eck ein- geschrieben ist, dessen Seiten bis auf eine je einen der
12 August: üeber den Zusammenhang gewisser Sätze, welche sich
Kegelschnitte des Büschels umhüllen, so umhüllt auch die letzte einen Kegelschnitt des Büschels.
Insbesondere können die Seiten alle denselben Kegelschnitt be- rühren, so dass man folgenden Zusatz erhalt:
Wenn in der Ebene e zwei Kegelschnitte so liegen, dass sich ein Polygon zugleich dem einen ein- und dem andern umschreiben lässt, so haben unendlich viele Po- lygone dieselbe Beziehung zu diesen Kegelschnitten und man kann als ersten Eckpunkt eines solchen Polygons jeden Punkt des ersten Kegelschnittes wählen. (Damit das Polygon reell werde, müssen sich aber von jenem Punkte reelle Tangenten an den zweiten Kegelschnitt legen lassen.)
Dass man in der Tat die hier in Frage kommenden ebenen Ge- bilde als gegeben betrachten und daraus die räumlichen Gebilde (R^ und den Punkt n) bestimmen kann, und zwar mit einer gewissen Willkürlichkeit, das bedarf wohl keines genaueren Nachweises. Da- gegen ist der zuletzt ausgesprochene Satz noch nicht vollständig erwiesen. Bekanntlich wird nämlich jede Gerade einer Ebene von zwei Kegelschnitten eines in dieser Ebene befindlichen Büschels be- rührt. Wenn also sämmtliche Seiten eines dem Kegelschnitte K^' eingeschriebenen Polygons bis auf die letzte beständig einen zweiten Kegelschnitt L^' berühren, so berührt die letzte beständig einen Kegelschnitt derselben Schaar, während sie in jeder besondern Lage noch einen zweiten berührt, welcher sich indess mit dieser Lage ändert. Denkt man sich also das Polygon in irgend einer besondern Lage gezeichnet, und findet man, dass die letzte Seite den Kegel- schnitt Z^' berührt, aber ausserdem noch einen zweiten Kegelschnitt der Schaar L^^^ so ist noch zu untersuchen, ob bei der Veränderung des Polygons Xg,©' oder ob L^' unverändert von der letzten Seite berührt wird. Wir nehmen deshalb im Räume einen beliebigen Punkt 7t an, legen durch K^' einen Kegel, der n zum Scheitel hat, und durch Z»j' ein Hyperboloid A«, welches als Pol von e den Punkt ir hat, und nennen den Durchschnitt des Hyperboloids und des Kegels R^. Da die Seiten aß\ ß'y' etc. sämmtlich X,' berühren, so sind die Ebenen naß' etc. Tangentialebenen von h^^ enthalten also sämmt- lich je zwei Generatrices coujugirter Schaaren von ä,. Die eine dieser Generatrices in der Ebene naß' schneide R^ in den Punkten «gjjj (deren Projectionen natürlich a' und ß' sind); die derselben Schaar angehörigo Generatrix in der Ebene nß'y* schneidet R^ in zwei Punkten, deren Projectionen ß' und y' sind, aber der erste dieser Punkte muss von ß^ verschieden sein, weil die einer nicht konischen Schaar angehörigen Generatrices gegen einander windschief
auf geschlossene Reihen geometrischer Gebilde beziehen, 13
sind; wir nennen diesen Punkt /J^, so dass also ßiß^ die Oeneratrix des Kegels ist, welche durch ß' geht Denken wir uns diese Be- trachtung fortgesetzt und die Punkte ßtß^^ yiy% auch verbunden, so erhalten wir ein veränderliches geschlossenes 2n Eck f'iOißißi..,^i^f^ dessen Seiten abwechselnd 2 Secantenschaaren angehören, nämlich der konischen und der einen Schaar des Hyperboloids ^21 durch Projec- tion der Figur auf die Ebene e erhalten wir ein veränderliches ge- schlossenes 2n Eck, das dem Kegelschnitt L^' umschrieben, dem Kegelschnitt K^' eiDgeschrieben ist, wodurch auch der zweite der oben ausgesprochenen Sätze bewiesen istr Schliesslich sei zu diesem Beweise bemerkt, dass das hier gewählte räumliche Polygon die über- sichtlichste Anordnung hat, dass man aber allgemeiner ein Polygon hätte zu Hülfe nehmen können, dessen Seiten teils der einen Secanten- schaar auf A«, U^\\s der conjugirton, teils endlich der konischen Schaar angehören, wenn nur die Anzahl aller eine gerade ist, die zwischen n und 2n liegt
T. Der Steinersehe Sati Aber die Kreisreilieii
nebst Erweitemngren.
Aus dem Ponceletschen Satze lassen sich nun noch einige andere Sätze herleiten, in denen der Stein ersehe Satz über die Kreisreihen als ein speciellcr Fall enthalten ist
Haben wir nämlich ein Hyperboloid, oder da es hier auf die Realität der Generatrices nicht ankommt, eine beliebige Fläche zweiten Grades f^^ und auf derselben eine Raumcurve Jl^, und projiciren wir die /?4 wieder von einem der vier Kegelscheitel n aus auf die Ebene «, welche durch die drei andern Kegelscheitel geht, so sei die Pro- jection von Jl^ wie oben der (doppelt zu denkende) Kegelschnitt Ä^', der Durchschnitt von f^ mit e sei Xj', so dass L^' der Berührungs- kegelschnitt des Tangen tenkegcis von n au /^ ist, und es gehen wie- der sowohl K2 als L/ durch die Schnittpunkte von R^ mit e. Ins- besondere können K^' und L^' so liegen, dass ein veränderliches n Eck a'ß'y' ,., zugleich dem Kegelschnitt K^^ umschrieben und dem Kegel- schnitt Ijf' eingeschrieben ist (also gerade umgekehrt wie oben). Legt man alsdann durch n und jede der Seiten dieses n Ecks Ebenen, so erhält man eine veränderliche körperliche Ecke mit dem Scheitel JT, deren Seitenebenen die Ji^ doppelt berühren, und deren Kauten durch L^' gehen, also Tangenten an/, sind. Da nun die Tangente einer Fläche auch jeden ebenen Schnitt berührt, dessen Ebene durch sie hindurchgeht, und da ebenso jeder ebene Schnitt einer Fläche, dessen Ebene eine beliebige auf der Fläche befindliche Curve berührt, selbst diese Curve in demselben Punkte berührt, so schneiden die
Raumcurve li^ befiudet, von der Art, dass iu ciuer der vier Scbaarcu von ebenen Schnitten der Fladie, welche die Äj doppelt beröhreu, eine geschlossene Reibe von ft Schnitten besteht, deren jeder die beiden Nachbar- achnitte berührt, so bleibt die Reihe geschlossen, wie man auch den ersten Schnitt der Scbaar wählt Die Ver- bindungslinie der beiden Berührungspunkte jedes Kegel- schnitts mit J?4, sowie die gemeinsame Tangente zweier einander berührender Schnitte einer Schaar, schueiden sich iu dem Punkte n, durch welchen die Ebenen der be- trachteten Scbaar von Scbuittcn hindurchgehen.
Im besondern kann die A4 sich auch iu zwei Kcgclschultle anf- Idscn, für die dann derselbe Satz gilt, nur dass von duu vier Sebeitela « der durch ilj gehenden Kegel zwei unbestimmt werden, dass also nar zwei Schaaren eigentlicher Kegelschnitte auf /i existiroii, welche jene beiden Kegelschnitte beidbreu.
Projicirt man uuu die in diesem Satze auftretenden Gebilde von irgend einem Punkte p aus wieder auf eilte bcliebii;c Ebene, so er- hält man mit Rücksicht auf die in der Einleitung besprochenen Eigeu- echaften folgende Satze:
1. Wenn man den Pol q beliebig w&hlt
Eiuc ebene Curve vierten Grades C\' mit zwei Doi>pel- pnnkton, welche auch durch zwei Kegelschnitte ersetzt werden kann, wird von einem Kegelschnitte viermal be- rührt Es giebt vier Schaaren von Kegelschnitten, die sowohl C/ als jenen Kegelschnitt doppelt berühren, und zwar geht die Verbindungslinie der BerUbrnngspunkto eines der Kegelschnitte einer Schaar mit C^' stets durch einen festen Punkt n'. Irgend zwei Kegelschnitte einer solchen Schaar, welche sich gegenseitig berühren, ha- ben als gemeinsame Tangente eine Gerade, die eben- falls dnrch n' gebt, und der Ort des BerUbrnngspnoktea i{st ein Kegelschnitt Wenn eine geschlossene Reihe von
atr/* geschlossene Reihen geometrischer Gebilde beziehen. 15
fl Kegelschnitten in einer solchen Schaar existirt, von denen jeder die beiden Nachbarkegelschnitte berührt, so bleibt dieRciho geschlossen, wie man auch den ersten Kegelscchuitt aus der Schaar wählen mag.
2. Wenn man q auf/s wählt.
Eine ebene Curve vierten Grades mit zwei Doppel- poukten, welche auch aus 2 Kegelschnitten bestehen kann, wird von vier Schaaren von Kegelschnitten, welche durch die zwei Doppelpunkte gehen, doppelt berührt. Die Yerbinduugslinie der beiden Berührungspunkte geht für alle Kegelschnitte einer Schaar durch einen festen Punkt n\ Irgend zwei Kegelschnitte einer Schaar, die sich gegenseitig berühren, haben als gemeinsame Tangente eine Gerade, die ebenfalls durch n* geht, und der Be- rührungspunkt liegt auf einem festen Kegelschnitte, der auch durch die Doppelpunkte von i?^ hindurchgeht. Wenn eine geschlossene Reihe von n solchen Kegel- schnitten existirt, von denen jeder die beiden Nachbar- kegelschnitte berührt, so bleibt die Reihe geschlossen, wie man auch den ersten Kegelschnitt aus der Schaar wählen mag.
Da alle Kreise einer Ebene charakterisirt sind als Kegelschnitte, welche durch die imagiuären Kreispunkto der Ebene gehen, so ent- hält dieser Satz als speciellen Fall den Satz von Steiner über die zwei Kreise berührenden Kreisreihen in sich.
3. Wählt man endlich noch specieller als Projectionspol q einen Paukt auf 7^4, so wird die Protection von E^ eiue Curve dritten Grades C^' uud eine unbestimmte Gerade, deren zwei Schnittpunkte mit Cg' die Doppelpunkte vertreten, und wenn man nun die Gerade, auf welche es weiter nicht ankommt^ ausser Betracht lässt, so erhält man einen Satz für beliebige Curven dritten Grades, der sich fol- gendermassen aussprechen lässt
Durch zwei beliebige Punkte a'ß' einer ebenen Curve dritten Grades C^' gehen vier Schaaren von Kegelschnit- ten, welche dieselbe doppelt berühren. Die Verbindungs- linie der beiden Berührungspunkte jedes Kegelschnittes einer Schaar geht durch einen festen Punkt n\ der auf C3' liegt, die gemeinschaftliche Tangente zweier sich berührender Kegelschnitte dieser Schaar geht durch denselben Punkt n'\ der Ort der Berührungspunkte ist ein Kegelschnitt, der auch durch die zwei Punkte a'ß'
woüu nß = u.2ff, also |3 = -.2ji ist, wo « und n ganze Zahlen sind; dann bedeutet n die Anzahl der Glieder einer geschloBseuen Reihe t» die Anzahl der Umläufe. Nun ist aber ci = jr — ^ = 2w— y^— 2n— . woraus man erkennt, dass wenn man aus der Scbaar der Kreise, denen die geachloaseuen Reihen angehören, zwei Parallelkreise wählt, es auch in der einen Scliaor der Kreise, weiche diese Imiiloii Parallel- kreise berühren, geschlossene R<;ilien giebt, die n, Glieder entlialtcu
u, u 1 und sich nach a^ Umläufen schliessen und zwar ist — -J-- .~ -.
Projieirt man nun die Figur von irgend einem Kugelpnnkte 9 siereographisch , d. h. auf eine Ebene parallel der Tangentialebene in ff, so werden alle Eugolkreisc iu Kreise projinirt, nnd mau erhält den Stcincr'scbeu Satz, zn dessen vollstäudigcm Beweise noch der leicht ZB fuhrende Nachweis gehört, dass irgend zwei (einander nicht schneidende) Ereiso der Ebene stei'eograplnsch iu zwei parallele und gleiche Kugelkreisc projicirt werden können. Aus der oben gemach- ten Bemerkung kann mau dann folgern, dass, wenn in einer Scliaar von Kreisen, die irgend zwoi Kreise berObreu, gOBChlossene Reihen
avf geschlossene Reihen tjeometrischer Gebilde beziehen J 7
existiren, auch der grösste und kleinste Kreis dieser Schaar von einer Schaar von Blreiscn berührt wird, in welcher geschlossene Reihen
existiren, und es besteht die Relation - + = ^ in derselben Be-
n 71-1 J
deutung wie oben. Es bedarf dann nur noch weniger Betrachtungen,
um zu dem St ein er scheu Satze über Kugelreihen zu gelangen, der
folgendermassen ausgesprochen werden kann:
Irgend drei Kugeln werden von vier Schaaren von Kugeln berührt, und alle Kugeln einer dieser Schaaren werden von einer zweiten Schaar von Kugeln berührt, zu der jene drei Kugeln gehören. (Die gemeinschaftliche Enveloppe beider Schaaren ist eine merkwürdige Fläche vierten Grades, die zu den Darbouxschen Cycliden ge- hört.) Wenn in einer von zwei derartig conjugirten Ku- gelschaaren geschlossene Reihen von n Gliedern mit u umlaufen existiren, deren jedes Glied die beiden Nach- barglieder berührt, so existiren ebenso in der andern Schaar geschlossene Reihen von n^ Gliedern und u^ Um- läufen, und es ist wieder:
Berlin im August 1875.
An die vorstehende Abhandlung schliesst sich der in N. XVIII. des vorigen Teiles bereits mitgeteilte
„Lehrsatz, eine gre wisse Baumcurre sechsten Grades betreffend.'^
Bei der Anordnung ist es übersehen worden, dass er zu derselben in Beziehung steht.
D. Red.
T«U LIX.
Dieser Anforderung wird jedoch nicht iiniDor durch die wirkliche Verzeichnung des Kegelschnittes selbst GciiOgo geleistet werden, wenn man mitunter auch ohue besonderen Zeitaufwand eine hinreichende Zalil von Punkten, welche dem Kegelechnitte angehören, au^ndcn, und durch eine continuirlichc Curve verbinden könnte.
•) Uebcr die LOiung vorbriciihm-wn Problcmcs finden giKh untrr Anderm •nch gcditgcne Abhnndlungcn in den Silin n^^herii'htrn der k, fc. Akademie der Wi>»enlcll»ftcn in Wien, und iwsr »on Herrn HudolT Niemtschik , Band LIX: Ucbcr die Construction der Dun-)uehnilli)innkte von Kreinrn und Kegel* »chnittilinten. [l'n* Prindp der LOtung i»t: Dureh den Kcgnlschnill wird ein« FUrhe S. Grade« und durch den Kreii eine Kugel derart gelegt, dara beide Fliehen sich nach Kreiien ■ehneiden, welche ihrerBeit» die gegebenen Gurren in deren eigenen Schnitlpunkten treffen]; ferner von Herrn Rudolf Slaudigl, Band LVIII: Ucbcr die Durebtührnng verHchic-dcner, dio Curvon S. GmdM betreffenden Conitmrtionen mit Hilfe von Kegel- und Cyllnderfllrbcn; — und von Herrn E. Kuulny; Ücber die Condroction dci Durchleb niites einer Qe- raden mit den KegelachnilUlinien. [Anaendung der Parnllel- und Central- Projection eine» Kreises].
von GeraJen mit KfgeUvhnittsh'uien. 19
Obwohl man die Genauigkeit dnrch die Anzahl der zu verhindeu- deii Carvenpuukte steigern kann, so wird denn doch andrerseits die Deutlichkeit und Uebersichtlichkeit der Zeichnung durch viele Hilfs- coDstructionen mitunter in einer Weise geschädigt, dass sich das ünzweckmässige einer solchen Bestimmungsart nicht verkennen lässt.
Es soll nun in folgendem eine Reihe geometrischer Constructionen angeföhrt werden, welche die directe Bestimmung der gemein* sameu Punkte einer Geraden und eines Kegelschnittes auf einfache Weise ermöglichen.
1. £s sind die Durchschnittspunkte d^ und tl^ einer Geraden / mit einer durch ihre Axen AA' und Bß' ge- gebenen Ellipse zu bestimmen.
a) Die Lösung des gestellten Problems kann entweder auf rein analytischem oder auch auf synthetischem Wege erfolgen, und müssteu beide Lösnngsweisen selbstverständlich zu gleichem Resultate führen.
Wält man (Fig. 1.) die grosse Axc ^1^1' der Ellipse als Abscis- senaxe und die kleine Axc BB' derselben, als Ordinatenr.xe, so ist bekanntlich die Mittolpunks-Gleichung der Ellipse:
aV+Ä*^*=-«**^ I)
wobei a= OA und b = OB ist.
Beschreibt man ferner über der grossen Axo als Durchmesser, einen Kreis K, so ist dessen Gleichung:
F2+a:2 = a* H)
Obige Gleichungen können auch in. folgender Form gebracht werden :
yt ^ *'^(a2-^*) I)
F*=-a« — Ä« II)
Durch Division beider erhält man: -- = ,^ oder:
y^ b^
l=\ ..III)
d. h. y^die zu den nämlichen Abscissen gehörigen Ordinaten r und y
2*
von Geraden mit KegelschnituUnien, 21
Macht man OE » OB und verbindet den Schnittpunkt m der Geraden / mit der Ellipsenaxe BB' mit dem Punkte E^ zieht man femer durch Ä die Gerade -4 A/ parallel zu mE^ so verhält sich, wegen Aehnlichkeit der Dreiecke mOE und MOAi
mO : MO ^ EOiAO ^hxa
Verbindet man nun den Schnittpunkt S der Geraden / mit der Axe AA' mit Af, so werden die drei Geradon 05, mS und AfS alle zu 03/ parallelen Geraden in dem Verhältnisse MCimO => aib teilen.
Fällt man daher von den Schnittpunkten D^ und D^ des Kreises JTmit der Geraden MS Senkrechte auf AA\ so wird:
Z>jOi : rf|Oi = /JjOj, : d^O^ =» ilfO :mO = a:b
Da nun die Punkte </| und il^ der Gleichung III) genügen, so ge- hören sie offenbar der Ellipse an, und sind somit Schnittpunkte der Geraden / mit derselben.
b) Geht die Gerade / (Fig. 2.) durch den Mittelpunkt der Ellipse, so braucht man bloss durch deren Schnittpunkt m mit dem über der grossen Axe beschriebenen Kreise K eine Parallele zu AA\ und durch ihren Schnittpunkt n mit dem über der kleinen Axe verzeichneten Kreise K eine Senkrechte zu AA^ zu ziehen, um in dem Schnittpunkte dieser beiden Geraden einen Punkt N der entsprechenden Kreissecante ONy resp. Dj^D^ zu erhalten.
In Folge der Aehnlichkeit der Dreiecke Nn m und onO verhält
sich:
No: no =» mOinO = a:b.
Verbindet man nun O mit iV, und fällt von den Durchschnitts- pimkten D^ und D^ der Geradon ON mit K eine Senkrechte auf AA\ so ist:
d. h. die Punkte d^ und d^ der Geraden l gehören dieser als auch gleichzeitig der Ellipse an, sind somit die Schnittpunkte der ersteren mit der Ellipse *).
*) ad b) Geht / (Fig. 2.) durch den Mittelpunkt der Ellipse, so ist be- kanntlich die Gleichung der letzteren:
aV+**«* = «*** I)
Die Gleichung der Geraden / hingegen:
y = aj.tgff.
, j^- a'siii'« + 6'«ia*«
rf,o — rf,o ■= yP+ä* = -r^— "^ — ■
y a* si u'n -f fc* cos *« G'iiiÄäe .Ifr dunhjjefOhrten ConMrnrlioii ist;
mp == No = aima aiid Oo =fi,coso, also
NO = yiw^+'Öö^ = yä»sin*ir+T»cös»n.
Aus Vtll) Tulgt:
dl 0 : n = i : y^'"siD=(<4^"*cös*o ;
unrt ivf il DO = a imil 0« = ft. i»I :
0(/, : OD, = On ; OA', wTaut rrhcllt, dass rf, der gcsDchu Schnittpunkt »ei.
von Geraden mit KegeUchniUslinien. 23
Punkte rf, die schiefe Projectioa jener Kreistangente ist, welche nach der Umlegung in die Bildebene durch d^p^ repräsentirt erscheint, und dass die gegebene Gerade / als die schiefe Projection einer in der Kreisebene liegenden Geraden zu betrachten sei.
Um die Letztere gleichfalls in der in die Bildebene gebrachten Lage darzustellen, hat man bloss zu beachten, dass der in der Bild- fl&chtrace E^ gelegene Punkt ö der Geraden / sich selbst entspricht, und dass der Punkt p , als der Schnittpunkt der Geraden l mit dp die schiefe Projection eines Punktes pq sei, welcher sich nach der Uinlegung in der Geraden ei^pQ yorfindeu muss.
Die Verbindungslinie der schiefen Projection d irgend eines Punktes der Ehene E mit dem um deren Bildflächtrace Et umgelegten Punkte d^ wird bekanntlich der „Tcilstral'' genannt, und entspricht dem- selben für alle Punkte der nämlichen Ebene E die gleiche Richtung, oder mit anderen Worten, die Teilstralen aller Punkte einer Ebene sind untereinander parallel.
Bezeichnen wir daher mit pq den um Eh in die Bildebene ge- drehten Punkt py so muss pp^ parallel zu dclQ sein. «
Die Gerade dp^, resp. Iq repräsentirt somit die um die Bildfläch- trace Eh umgelegte Gerade, deren schiefe Projection l ist:
Die schiefen Projectionen di und rf^ ^^^ Punkte r^^ und rf2^ welche /q mit dem Kreise Kq gemein hat, werden offenbar die Schnitt- punkte der Geraden / mit der Ellipse abcd darstellen, und sind die- selben nach dem Vorigen einfach zu bestimmen, wenn man d^^d^ parallel zu tl^^ii^ parallel zu dQd zieht.
Das Verfahren bleibt dasselbe, wenn anstatt conju-
girter Durchmesser die Axen der Ellipse ab und cd (FigA.) gegeben sind.
Es ist diessfalls <?o^ <^cr in die Bildebene umgelegte Kreisdurch- messer, dessen schiefe Projection die Ellipsenaxe cd repräsentirt. Hiemach wird der Teilstral dd^ senkrecht zur Bildflächtrace Eh der Kreisebene sein.
Nebenbei sei bemerkt, dass das hier rein constructiv erlangte Resultat Tollkommen mit dem vorher auf analytischem Wege gefun- denen fibereinstimmt
Denn, da dp parallel zu d^pQ und parallel zu ab^ und ebenso
ddffO parallel zu pp^r ist, wird offenbar pr = dO gleich der kleinen Halbaxe ^, und p^r ^ d^O^ gleich der grossen Halbaxe a sein. Hier-
andererseits F^M= AB+FiM, auch FtM= NM,
d. Ii. jedem einzelnen Punkte der Hyperbel entspricht die Eigcntümlicbkoit, einen gleichen Abstand von einem fixp|n Punkte Ff und von einem feste« Kreise K zu besitzen.
Der fixe Punkt F^ ist auch diessfalls der eine Brennpunkt der Hyperbel, der M,tlelpunkt des festen Kreises K fiUlt mit dem zweiten Brcnnpunlit F, zusammen , und der Radius dieses Kreises K ist der reellen Hyperbelaxe AB = '2a gleich.
y) Für die Parabel wird der feste Kreis Ä in eine fixe Ge- rade L (Fig. öc) Dbergehcn, wodurch nnmittclhar der bckanuten
) Slciiipr, Sjntli etil die Gconipln<
von Geraden mit Kegelschnitttlinien. 25
Eigenschaft der Parabel, dass jeder ihrer Punkte il/von einem fixen Punkte (dem Brennpunkte F derselben) und von einer festen Geraden, der Leitlinie X, gleich weit abstehen, ent- Bprochon wird.
Behufs Ausführung der folgenden Constructionen wird es noch nötig sein, die nachstehende Aufgabe zu lösen:
„Durch zwei Punkte F^ und F^ sind an einen gegebe- nen Kreis K berührende Kreise zu führen (Fig. 6.)"
Da der zu suchende Kreis K^ resp. K^ durch F^ und F^ gehen muss, wird dessen Mittelpunkt in eine Gerade / fallen, welche durch den Halbirungspunkt n der Strecke F^F^ geht, und auf derselben senkrecht steht
Legt man nun durch F^ und F^ einen beliebigen Kreis JTo, der den gegebenen Kreis K m D und E schneidet, und bestimmt man den Schnittpnnkt P der Verbindungsgeraden DE mit F^F^^ so gilt in Bezug auf das Vorliegende der bekannte Satz:
PD.PE^ PF^.PF^ IX)
Zieht man weiters an den gegebenen Kreis K die Tangenten P/?, und Pi^„ so ist offenbar:
PB^^^~PB^^= PD,PE^ PF^.PF^ X)
Aus der letzteren Relation folgt, dass Pl)^ und PB^ auch als die Tangenten eines Kreises angesehen werden können, welcher durch F, und -Pj geht Die Berührung dieses Kreises K^ resp. K^ mit den Tangenten PB^ resp. PB^ muss sonach gleichfalls in B^ resp. B^ stattfinden, woraus unmittelbar folgt, dass die Kreise, welche PB^ und PB^ in i?i resp. B^ berühren und durch F^ und F^ gehen, gleich- zeitig eine Berührung mit dem gegebenen Kreise K eingehen müssen. Die Mittelpunkte d^ und d^ der zu suchenden Kreise K^ und K^ liegen sonach einerseits auf l und andrerseits in den Verbindungs- geradcu F^By und F^B^^ welche letztere selbstverständlich zu den gemeinschaftlichen Tangenten PB^ und PB^ senkrecht stehen.
3. Es ist eine Gerade l (Fig. 7.) und eine Ellipse durch ihre Axen, oder, was gleichbedeutend ist, durch die Brennpunkte und die Länge der grossen Axe gegeben, man soll die Schnittpunkte derersteren mit der letzteren direct bestimmen.
Beschreibt man aus dem Brennpunkte Fj als Mittelpunkt, mit einem der grossen Axe AB ^ 2a gleichen Radius einen Kreis JST, so
26 Peschka: Constrttction der Üurchschnittspttukfe
haben, wie bereits gezeigt ^urdo, alle Punkte der gegebenen Ellipse die Eigenschaft, von diesem Kreise und einem festen Punkte F^ (dem zweiten Brennpunkt) gleich weit abzustehen. Man kann hiernach die einzelneu Punkte der Ellipse als Mittelpunkte von Kreisen ansehen, welche den Kreis K berühren unil durch den Punkt F^ gehen.
Unter diesen Kreisen werden nun jene aufzufinden sein, deren Mittelpunkte gleichzeitig auf der Geraden l liegen. Besagte Kreise werden nun aber überdiess noch durch einen zweiten Punkt F^ gehen müssen, welcher mit F^ verbunden, einer zur Geraden / Senkrechten entspricht, und von l den gleichen Abstand, wie F^ besitzt
Hiermit ist die vorliegende Aufgabe auf die vorhergehende zu- rückgeführt
Legt man nämlich durch F^ und F^ einen beliebigen Kreis J^, so wird derselbe den Kreis K in den Punkten D und E schneiden, während F^ F^ und DE sich in P treffen werden. Zieht man von P die Tangenten an K und verbindet F^ mit deren Berührungspunkten B^ und i^s, so erhält man in d^ und d^ die gesuchten Kreismittel- puukte. Nachdem nun d^F^^=^ <h^i und d^F^'^^ d^B^ ist, werden die Punkte d^ und d^ als Punkte der Ellipse und der Geraden l gleichzeitig die Schnittpunkte der letzteren mit der Ellipse reprä- sentiren.
Soll die Aufgabe möglich sein, d. h. soll die Gerade l die Ellipse wirklich schneiden, so müssen, wie aus den angestellten Betrachtungen folgt, die durch die Punkte F^ und F^ geführten Kreise K^ und iTs, welche den Kreis K zu berühren haben, wirklich vor- handen sein. Dieser Fall tritt offenbar nur dann ein, wenn F^ innerhalb der Kreislinie K liegt Hierin wird also das Kennzeichen für das wirkliche Vorhandensein der Schnittpunkte einer Geraden mit einer Ellipse liegen.
4. Eine Hyperbel ist durch ihre Axen, resp. durch die Brennpunkte F^ und F^ (Fig. 8.) uud die Länge der reellen Axe gegeben; man soll die Schnittpunkte d^ uud rZg einer gegebenen Geraden / mit der Hyperbel direct construiren.
Beschreibt man aus dem einen Brennpunkte F, mit einen, der reellen Axe gleichen Radius einen Kreis K^ so haben alle Punkte der Hyperbel die Eigenschaft, von diesem Kreise K und dem zweiten Brennpunkte F^ der Hyperbel gleich weit abzustehen. Alle Punkte der Hyperbel sind demnach Mittelpunkte von Kreisen, welche durch Ff geben und den festen Kreis K berühren.
von Geraden mit Kegelschnitulinien, 27
Unter allen diesen Punkten werden auch hier jene Mittelpunkte tt} and (tf festzustellen sein, welche einerseits in der Geraden l lie- gen, andrerseits aber Kreisen entsprechen, welche ausserdem, dass sie dorch F^ gehen, noch durch einen zweiten Punkt Fj, welcher in Bezog auf die Gerade / symmetrisch zu F^ liegt, geführt sind. Die oben ausgesprochene Aufgabe redncirt sich demgemäss auf die:
„Durch zwei Punkte F^ und F^ ist ein Kreis K^ resp. K^ zu legen, welcher den Kreis Ä' berührt."
Legt man wieder, wie in den beiden vorher besprochenen Auf- gaben durch F^ und F^ einen beliebigen Kreis Kq, welcher K in D nnd E schneidet, und zieht man vom Durchschnitte P der Geraden DE und F^F^ Tangenten PB^ und PB^ an den festen Kreis K, so erhält man die gewünschten Kreismittelpunkte <f| und d^ als Schuitt- ponktc der Geraden l mit den Verbindungslinien B^F^ und B^F^ der Berührungspunkte B^ und B2 mit dem Centrum des Kreises K,
Da aber fi^F^ » d^B^ und il^F^ = d^B^ ist, so sind d^ und ti^ die gesuchten Hyperbelpnnkte, welche zugleich der Geraden l ange- hören, also die Schnittpunkte der ersteren mit der letzten sind.
Diese Schnittpunkte d^ und d^ sind offenbar nur dann reell, wenn sich die zugehörigen beiührendon Kreise wirklich construiren lassen, nämlich dann, wenn der Punkt ^3 ausserhalb des Kreises iT fällt.
Fällt der Punkt F3 zufällig in die Peripherie des Kreises JT, so ist constructiv bloss ein Kreis möglich, nämlich jener, der durch F^ geht und den Kreis K in F^ berührt
Es hat denmach auch die Gerade / mit der Hyperbel bloss einen Punkt <2| gemein, d. h. die Gerade / gpht diessfalls in eine Tan- gente an die Hyperbel im Punkte d^ über.
Das hier Erwähnte gilt selbstverständlich auch in Bezug auf die Ellipse.
5. Es ist eine Parabel durch die Directionslinie D nnd den Brennpunkt F^ (Fig. 9.), sowie eine Gerade / ge- geben; man soll die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel direct construiren.
Jeder einzelne Punkt der Parabel hat bekanntlich von dem Brenn- punkte F^ und der Leitlinie (Brennpunktspolare) D einen gleichen Abstand, d. h. die Parabelpunkte repräsentiren die Mit- telpunkte von Kreisen, welche durch F, gehen und D berühren.
von Geraden mit KegehchnUtsUmen. 29
Ebene B projicirt, und die Resultate dieser Projection durch K^ und iTj dargestellt, so werden diese Letzteren, wie bekannt, gleichfalls als irgend welche Kegelschnitte bildlich repräsentirt erscheinen.
BeU^chtet mau die Projectionen m^^ und m^ irgend eines Punktes m des Kegelschnittes /T, und legt man durch die beiden Projections-
stralen C^mmy^ und C^mm^ eine Ebene P, so wird die Projections-
cbene B von derselben in der Geraden m^m^ geschnitten. Die ge- nannte Ebene P enthält aber auch die Verbindungslinie der beiden
Projectionscentra Q und Q, welche Gerade CjCg die Projectiousebeue B in S schneidet Aus dem Gesagteu geht hervor, dass auch die
Gerade m^m^ durch den Punkt S gehen muss.
Nennen wir der Kürze halber die Punkte Wj und m,, welche Projectionen eines und desselben Punktes m der Kegelschnittsebene IC oder des Kegelschnittes Ä^ selbst sind, „entsprechende Punkte", so lässt sich behaupten, dass sich die sämmtlichen Yerbin- dungsstraleu entsprechender Punkte in einem und dem- 8 elben Punkte <S schneiden werden, und zwar in jenem, welcher mit dem Burchschnittspunkte der Yerbindungsgeraden beider Pro- jectionsoentra mit der Bildebene B zusammenfällt«
Femer schneidet die Ebene E des im Räume befindlichen Kegel- schnittes K die Projectionsebene B nach einer Geraden «.
Projicirt man nun irgend eine Gerade l der letztbenannten Ebene £, indem man C\ und C^ als Projectionscentra voraussetzt, gleich- falls auf die Ebene B^ so müssen sich beide Projectionen l^ und l^ in einem Punkte t der Geraden s schneiden, welcher Punkt gleich- zeitig der Schnittpunkt der erwähnten Geraden l mit der Bildebene B ist, und mit jenem der Projectionen l^ und l^ zusammenfallen muss.
Kennen wir analog der früheren Bezeichnung, Gerade /, und l^, welche Projectionen einer und derselben Geraden l in der Ebene E des Kegelschnittes K sind, „entsprechende Gerade", so folgt, dass die Schnittpunkte aller entsprechenden Geraden aufeiner und derselben Geraden, und zwar in der Trace s ihrer Ebene E auf der Projectionsebene B liegen müBsen.
Zieht man demnach in den entsprechenden Punkten m^ und m^ der Kegelschnitte K^ und K^ Tangenten an letztere, so werden sich dieselben in einem Punkte t der Geraden « begegnen müssen, nach- dem dieselben die Projectionen der Tangente an den Kegelschnitt K im Punkte m, also entsprechende Gerade sind.
KegelBchnittes K, durch oiuc Gerade l,, so werden sich dicso beiden Geradeu in einem PuuktG r der ßildflllcbtrace « jener Ebene E schneidon, in welcher der Kegelschnitt ^, dessen centrale Pro jectionon Ä'j nnd Kt sind, liegt. Einen zweiten Punkt u crbUt man als Srbuitt der entsprechenden Geraden bij/j, und m^Pf Durch die Punkte r nnd u ist nun die Gerade «, d. i. die Traco der Ebene des gegebenen KegelBchnittcB, votlstiiudig bestimmt.
Wäre beispielsweise die eine Curve, etwa der Kegelschnitt /IT, nicht wirklich gezeichnet, und sollt« man jenen ibni angc- hOrigen Punkt n, finden, welcher dem Punkte a^ des Kreises K^ ent- spricht, so hat man vor Allem bloss zu bedenken, dass o, auf dem Strale Sa, liegen niuss. Zieht man weiters etwa die Gi'rade a,m,, 80 wird die eutsprechendc Gerade a,>nj einerseits durch m, .nnd andrerseits dnrch d^n Punkt t gehen, in welch' Letzterem die Ge- rade otvi, die Trace t schneidet. Der Schnitt von m^t und OfS be- stimmt demnach den gesuchten Punkt oi.
Diesen allgemeinen Entwickeln ngen zufolge wird ea nun keinen weiteren Schwierigkeiten unterliegen, folgende Aufgaben zu Iflsen.
Ein Kegelschnitt (Ellipse Fig. 12.}, welcher durch twei Tangenten und drei seiner Punkte' bestimmt ist,
von Geraden mit KeyeUchnituUnien. 31
Dod eine Gerade sind gegeben; man soll die Schnitt- punkte dieser Geraden mit dem Kegelschnitte dircct construircn.
Die beiden Tangenten seien «j* und t^^ die drei gegebenen Punkte seien a^byc^^ und der hiedurch bestimmte Kegelschnitt sei kurz mit K^ bezeichnet Die gegebene Gerade sei l^.
Wird nun den beiden Tangenten t^^ und t^ ein Kreis K^ ein- geschrieben, so kann derselbe ebenso wie K^ als die Projection irgend emes im Räume befindlichen Kegelschnittes K angesehen werden. Die den Punkten a^b^c^ entsprechenden Punkte (tib^c^ erhält man als Schnittpunkte der Geraden a^ «S, b^ S und c^ S mit dem Kreise JT^, wenn S den Schnittpunkt der beiden Tangenten t^^ und t^^ darstellt
Als Schnitte der entsprechenden Geraden a^b^^ und a^b^ ergibt sich a und als jenen von a^ci und a^c^ erhält man /?, welche Punkte mit einander verbunden, dem Gesagten zufolge die Trace s der Kegel- schnittsebene E bestimmou. Suchen wir nun die der gegebenen Ge- raden li eutsprechende Gerade l^. Der Punkt y, in welchem l^ die Trace s schneidet, liegt selbstverständlich auch in Z^; femer begegnen sich Z, und 04 c, im Punkte /„ weshalb, wenn man /j mit S verbindet, der dem Punkte /i eutsprechende Punkt in /g gefunden wird. Man erhält sonach die Gerade /g durch die Verbindungslinie der Punkte y und /j. Diese Gerade l^ schneidet den Kreis K^ in tlg^ und d^K Letztbezeichnete Punkte sind nun offenbar jene, welche den Schnitt- punkten der Geraden ^ mit dem durch *i', <i^, Oj, *i und cj gege- benen Kegelschnitte K^^ entsprechen, und welche man unmittelbar in di^ und nf]^ findet, wenn man die Ycrbinduiigsgoraden Sd^^ und Sd^^ bis zum Schnitte rZ,* und r/j* mit der Geraden Zj verlängert.
Auf ganz gleiche Weise kann die Aufgabe auch dann gelöst wer- den, wenn etwa anstatt der Punkte b^ und q die Berüh- rungspunkte p^^ und pi^ der Tangenten t^^ und fj^ mit dem Kegelschnitte K^ und ausserdem ein Punkt o^ der Curve gegeben sind, indem es offenbar ganz gleichgiltig ist, welche Lage die in Fig. 12. gewählten Punkte a^b^ und Ci gegen einander haben, daher man anstandslos, ohne eine Aenderung in der Lösung des Pro- blemes herbeizufQhren, auch jene von aj, />,^ und p^^ annehmen kann.
Auch in dem Falle lässt sich die Aufgabe leicht durchführen, resp. auf die vorhergehende reduciren, wenn der Kegelschnitt durch 5 Punkte aib^c^tti und e^ gegeben ist, indem sich mit Hilfe des Pascal'schen Satzes, „dass die 3 Schnittpunkte der Gegenseiten eines dem Kegelschnitte eingeschriebenen Sechseckes auf einer Geraden liegen'^ ^^ ^^^^ diesen Punk- ten die Tangenten des Kegelschnittes leicht construiren lassen.
welcher den Taugcoten f,' und ',' eingeschrieben ist. Der Schnitt der beide» letzteren erfolge in S. Vermöge der demselben beigelegten Bedentuug, lassen sich nun mit ZabilfoDahme der Geraden o^iS und li^S die den Funkten n, uud h^ eutsp rechen den Punkte a, und &j im Kreise Kg auffinden.
Die Verbiiiduogsgerade a^^i i°^ die Tangente t,^ schneiden sich in p, , welchem Punkte auf a^hi der Punkt p^ entspricht, und zieht man von dem so erhaltenen Punkte p^ an den Kieis K^ eine Tan- gente (j*, so wird dieselbe offenbar entsprechend der Tangente t,' sein. Nun schneiden sich die Geraden a,£, und a^b^ in a, während sich die Tangeuten t,' nnd ig° im Punkte ß begegnen; es wird daher aß resp. » den geometrischen Ort der Schnittpunkte aller Paare entsprechender Geraden (die Trace der Kegelschnitts- ebene E) ropräsentiren.
Um nnn die Schnittpunkte d,* nnd d,* der Geraden t^ mit f, anfza6nden, ermittle man die derselben entsprechende Gerade ^ ein- fach dadurch, dass man zvei Punkte der letzteren aufsucht. Der eine Punkt y ergibt sich als Schnittpunkt von ', mit der Trace t;
ton öeraden mit KtgtUchnituUnUn, 33
der Kwdte Pookt r^ hingegen wird sich als deijenige Punkt der Ge- raden If ergeben, welcher zugleich in o^^ liegt und dem Punkte r^ (Schnittpunkt von a^b^ und l^) entspricht.
Die Schnittpunkte von r^y resp. /^ mit K^ sind somit d^ und d^ welch' letzteren in dem Kegelschnitte K^ die verlangten Schnittpunkte d^ und d^^ entsprechen.
Dass die L()sung der gestellten Aufgabe ganz unabhängig von der Lage der Punkte a^ und b^ sei, ist selbstverständlich. Dieselben können daher, ohne dass eine Aenderung der Construction hiemit verbunden wäre, auch in die Berührungspunkte von je zwei der gegebenen 3 Tangenten ttbergehen.
Dies berücksichtigt, lässt sich auch folgende Aufgabe auf die eben besprochene zurückfahren:
8. Es soll der Durchschnitt einer Geraden l^ mit einem durch 5 Tangenton ty^h^tt^tx^t^^ gegebenen Kegel- schnitte iT] direct gesucht werden.
Nach dem Brianchon' sehen Satze lassen sich sdir einfach die Berührungspunkte dieser Tangeuten bestimmen.
Der genannte Satz lautet: ),Die Verbindungslinien der gegenüberliegenden Eckpunkte eines dem Kegelschnitte umschriebenen Sechseckes schneiden sich in einem ein- zigen Punkte." Das Fünfeck Ä^B^C^D^E^ (Fig. 15.), welches durch die gegebenen 5 Tangenten gebildet wird, kann uämlich als ein Brianchon'sches Sechseck, in welchem zwei Seiten in eine zu- sammenfallen, angesehen werden.
Sei oj^ d^ Berührungspunkt von i^ resp. Ä^B^^ so ist dieser Punkt als der sechste Eckpunkt des gegebenen Polygons, und Ä^ii^ sowie B^a^ als zwei verschiedene Seiten desselben aufzufassen. Es sind sodann J^ und B|, A^ und C\, D^ und a^^ offenbar als gegen- flberli^ende Punkte des Sechseckes zu betra(^ten, welchen Punkten nrit einander verbunden der gemeinschaftliche Schnittpunkt M^ ent- spricht. Verbindet man daher B^ mit E^ und A^ mit C|, so erhält man den Berührungspunkt a^ als Schnittpunkt der Geraden M^D^ mit A^ B^ resp. t^. Ein zweiter Berührungspunkt kann auf die gleiche Weise leicht aufgefunden und somit die gestellte Aufgabe, bezü^ch der Bestimmung des Durchschnittes in der Form, wie unter Auf- gabe 7) besprochen, durchgeführt werden.
9. Eine Gerade l^ (Fig. 16.) ist gegeben, und eine Hy- perbel ist durch zwei conjugirte Durchmesser A^B^ und
T«aux. 9
von Geraden mit KegeUchnüulinten. 35
Da die boiden Büschel d und e in Bezng anfeinander projectivisch sind, so werden es auch die genannten Pnnktreihen sein.
Nun sind jene Punkte cL^ und d^ der Geraden 7, in welchen je zwei entsprechende Stralen der Büschel d und e zusammentreffen, einerseits Punkte des Kegelschnittes und andrerseits Doppelpunkte der Punktreihen A^B^C^ und A^B^C^. Um letztgenannte Doppel- punkte d^ und d^ zu finden, verbindet man (Standigl, Neuere Geo- metrie, Seite 140.) A^Bj^C^ und A^B^C^ mit irgend einem Punkte M eines beliebig gewählten Kreises JT, und bestimmt die zweiten Schnitt- punkte fXtßiYi ^^^ <>^s^sy« dieser Verbindungsstralen mit dem Kreise K, Verbindet man weiter den Schnittpunkt a der Geraden aißf und a^ßi mit jenem p von a^y^ und a^Yi dui'ch eine Gr^ude ö^d^ und zieht man S^ M und f^^ 3/, so wird / von diesen letztbezeichneten Ge- raden in den verlangten -Punkten d^ und d^ des durch abcde gege- benen Kegelschnittes getroffen.
Es ist der Schnitt einer durch ihre Axen gegebenen Ellipse mit einem Kreise zu construiren, dessen Mittel- punkt mit dem Mittelpunkte der Ellipse zusammenfällt.
Verzeichnet man über der grossen und kleinen Axe der Ellipse die Kreise K und k (Fig. 18.) *) und zieht man durch den Mittel- punkt O beliebige Transversalen , von denen jede die ^beiden Kreise in zwei Punkten or| und y,, a^ und y^ • • • schneidet; fällt man ferner von ajo, . . . Senkrechte zu AB^ und führt durch yj, y2 • • • Paral- lele zu AB^ so schneiden sich je zwei dieser Geraden in Punkten AA^s • • • der Ellipse.
Beschreibt man nun über der Differenz der Halbaxen der Ellipse, also über der Geraden AE als Durchmesser einen Halbkreis, so wird von demselben der gegebene Kreis K^ in einem Punkte p geschnitten.
Das Dreieck ApE ist bei p offenbar rechtwinklig. Dreht man dasselbe um den Mittelpunkt O, so wird es endlich auch eine Lage ''lAh annehmen, in welcher die beiden Katheten desselben parallel zu den Axen der Ellipse laufen, wobei also P^^ P^ . . . Punkte der Ellipse vorstellen werden.
Nachdem aber der Punkt p bei seiner Drehung um O den Kreis Kx beschreibt, so werden P^P^ , , , auch auf dem Kreise K^ liegen, hiemach also die Schnittpunkte des Kreises K mit der Ellipse ABCD bestimmen. Soll das Dreieck ApE die genannte Lage einnehmen,
*) Standigl, SitauDgsberichte der k. k. Akademie der Wiasenscbaften in Wien.
8*
36 Peschka: Constructton der Durehschnittspunkte
80 muss pE II ABj oder was dasselbe ist, es muss ^ cti yj P^ « ^ ^^P^ folglich auch ^ a^OA = ^ AEp werden. Trägt man also den letzt- bezeichneten Winkel von AO aus auf, so erhält man eine Transver- sale a^Oy für welche der EUipsenpnnkt P^ gleichzeitig auf K^ liegt. Die anderen drei Schnittpunkte PiP^P^ sind zu P^ in Bezug auf die Ellipseuaxen symmetrisch gelegen.
Auch auf eine einfache empirische Weise lassen sich die Schnittpunkte einer Ellipse E mit einer beliebigen Curve C (Fig. 19.) auffinden.
Ist beispielsweise die Ellipse E durch ihre Axen AB und CD gegeben, so kann man einzelne ihrer Punkte auf folgende Weise be- stimmen:
Trägt man nämlich mittelst eines Papierstreifens die Länge der grossen Halbaxe AO von einem Punkte p aus auf und wiederholt das Gleiche von demselben Punkte p mit der kleinen Halbaxe OC, rerschiebt man ferner den Papierstreifen auf der Zeichnungsfläche
in der Weise, dass die Halbaxendifferenz ab mit ihren Endpunkten stets auf den Axenrichtungen liegt, so beschreibt der Punkt p die Ellipse E. Ist nun C die vorerwähnte beliebige Curve, so hat man den Papierstreifen in jene Lagen zu bringen, in welchen der Punkt a auf CD, der Punkt b a,uf AB und p auf der Curve C liegt. Die dem Punkte p entsprechenden Curvenpunkte D^D^ . . , sind die gesuchten Schnittpunkte der beiden Curvcn untereinander.
Brunn, den 24. December 1874.
Aufgabe. Eine Ellipse ist durch zwei conjugirte Durchmesser gegeben-, es sind die Schnittpunkte dieser Ellipse mit einer Geraden L zu finden, welche zu dem einen der beiden Durchmesser ab parallel läuft
Um vorstehendes Problem zu lösen, dQrfte es zweckmässsig er- scheinen, folgende Bemerkungen vorauszuschicken.
Sind tj und t^ (Fig. I.) zwei aus C projicirte perspecUvischo Punktreihen, d ihr Schnittpunkt, t^^ und u^ ihre Gegenpunkte, so gilt iür jedes Paar entsprechender Punkte a^ und a^ bekanntlich die Relation:
von Geraden mit KegeUchnituUnien. 37
^^^ Oder
Dieses Prodact ist coDStant and wird die projectivische Potenz genannt
Denkt man sich die Reihe t^ um ihren Schnittpunkt d mit der Reihe t^ so lange gedreht, bis sie mit der letzteren zusammenfallt, 80 erhält man zwei aufeinander liegende projectivische Punktreihen, welche in dem Schnittpunkte d^d^ ihrer Träger i^t^ einen Doppel- punkt besitzen.
Wird durch C ein Stral so gezogen, dass er mit ^ und t^ gleiche Winkel einschliesst, so schneidet derselbe die Träger t^ und t^ in zi?ei entsprechenden Punkten d^^d^^y welche nach der Drohung zu- sammenfallen, also den zweiten Doppelpunkt repräsentiren.
Aus dem gleichschenkligen Dreiecke Cv^d^ folgt, dass Cv^^d^v^ und da auch Cv^ ==* <^«h wird: d^^v^^ d^u^ d. h. der eine Doppel- punkt d^ ist vom Fluchtpunkte t*x ebenso weit als der zweite Doppel- punkt d^ ?om anderen Fluchtpunkte v^ entfernt, oder: die Doppel- punkte liegen zu den Fluchtpunkten sjrmmetriscb.
Die vorher unter a) angeführte Relation auf den Punkt d^^d^^ Obertragen, lautet sonach : % rf,^ X «'s^^* = "i oj X »jOj ■=■ ^d^y^v^d^.
Nachdem aber die Punkte €l^ und d^^ nach vollbrachter Drehung ZQsammenfallen, ist: t^^d^^ ^u^d^^ und ebenso v^d^ ^ v^d^-^ ^% wird daher auch:
Sind somit bei zwei aufeinanderliegenden Punktreihen die Flucht- pirokte und ein Paar entsprechender Punkte gegeben, so lassen sich die Doppelpunkte leicht finden.
Dieses der zu lösenden Aufgabe zu Grunde gelegt, wollen wir a und 6 (Fig. II.) als die Scheitel zweier projectivischer Stralen- büschel annehmen, von welchen sich je zwei entsprechende Stralen in einem Punkte der Ellipse schneiden. Diese Stralenbttschel geben im Schnitte mit der Geraden L zwei aufeinander liegende projectivische Punktreihen, deren Doppelpunkte offenbar die Schnittpunkte der Ge- raden L mit der Ellipse liefern werden. Es handelt sich sonach blos um die Ermittelung der bezeichneten Doppelpunkte, um die gestellte Au^be als gelöst betrachten zu können.
Der Stral ab schneidet die Gerade L im Unendlichen, während
Mendthal: Betträge zur Lösung einiger bekannten geom. Aufgaben- 39
m.
fieiti%e znr Losung einiger bekannten geometrischen
Aufgaben.
Von Mendthal,
Yorbemcrkung. Bekanntlich wird jede durch einen beliebigen Pol P gelegte Secante durch dessen Polare und den Kreisumfang bannonlsch geteilt, und man kann in jeder solchen Zusammenstellung den Pol als Projectionsmittelpunkt, die Polare als Projectionsaxe und die zu beiden Seiten der letzteren gelegenen Umfangspunkte je emen z. B. a oder b^ (Fig. 1.) als harmonisches Bild des anderen, z. B. Ton oj oder b betrachten. Auch kann man ebenso z. B. von einer beliebigen Linie p^ c ihr harmonisches Bild p^ Cj, von Punkt tl^ das harmonische Bild Punkt dy u. s. w. entwerfen.
Diese Umbildung lässt sich für die anschauliche Behandlung einiger Aufgaben und Lehrsätze zweckmässig verwenden, wofür diese Zeilen einige Beispiele liefern sollen.
1. Aufgabe. Durch gegebene Punkte o, b und c sollen die Seiten eines in den Kreis K eingeschriebenen Dreiecks gelegt werden:
Auflösung. Verbindet man die Punkte a — b^F^ durch eine ge- rade Linie und wählt den Punkt, dessen Entfernung von seiner Polare PiPf durch a — b halbirt wird, als Projectionsmittelpunkt — d. h. den Punkt P, für welchen a— ft die Linie gleicher Potenzen mit Kreis K darstellt — so werden die harmonischen Bilder von a und b auf den enteprechendeu Richtungen Fa und Fb sich unendlich weit entfernen, und diejenigen aller Linien, welche a oder b berühren, entsprechend parallel zu Fa oder Pb erscheinen.
Mtndthali Beiträge zur Lösung einiger bekannten geom, A^fgahen, 41
Das harmonische Bild OißiYi des Dreiecks aßy wird demnach ein bei Oj rechtwinkeliges sein, dessen Seite y^ß^ ein Durchmesser des Kreises Je ist
Die vorliegende Aufgabe wird demnach darauf zurflckgeffthrt, durch zwei gegebene Punkte die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks zu legen, dessen Hypotenuse der Durchmesser eines ge- gebenen Kreises ist.
Um die Figur nicht zu überladen, werden in Figur 4. nur die harmonischen Bilder a^ik) — ^^ und c^ der Punkte abc gezeichnet. £m Halbkreis über b^<^ schneide den gegebenen Kreis in den Punkten Oj und a^ deren jeder ein harmonisches Bild ck^/^i/i und n^ß%yt des za findenden Dreiecks aßy darstellt.
Man ersieht zugleich in welchen Fällen zwei, eine oder keine Lösung möglich ist
Bemerkung. Diese Auflösung gilt auch dann, wenn nur einer der gegebenen Punkte innerhalb des Kreises k liegt
3. Aufgabe. Die vorhergeheudcn Aufgaben für den Fall zu lösen, wenn die Punkte a, b und c ausserhalb des gegebenen Kreises k hegen, ihre Verbindungslinien aber denselben schneiden.
Auflösung, ttßy (Fig. 5.) sei das gesuchte Dreieck, in dessen Seiten die Punkte a, b und e liegen sollen. Die Polare von a sei TPPi ui^d p ihr Schnittpunkt mit bc,
Constmirt man nun einen Projectionsmittelpunkt Pj, für welchen ap die Linien gleicher Potenzen mit dem Kreise k ist, so wird das harmonische Bild dieser Figur folgende Eigenschaften besitzen. Die Bilder der in a sich vereinigenden Linien werden parallel der Linie Pia^ ebenso die Bilder der in p sich vereinigenden Linien parallel P^p.
Da die Linie ppi die Berührungspunkte trifft, welche den von a an den Kreis k gezogenen Tangenten angehören, die harmonischen Bilder dieser Tangenten aber einander parallel werden, so trifft das harmonische Bild der Linie pp^ den Mittelpunkt des Kreises Ar, die beiden Systeme paralleler Bilder stehen auf einander senkrecht und es wird aus den gegebenen Stücken nach ihrer harmonischen Um- bildung in Bezug auf den Projectionsmittelpunkt P| sich das Schema Figur 6. darstellen.
Die Punkte b^ und c^ sind die harmonischen Bilder der Punkte i und e\ das harmonische Bild et, /?, y^ des zu suchenden Dreiecks ist %o zu zeichnen, dass die Seite
Wird hiebei nun einer der Schenkel des Winkels Pba, (Fig. 7.) z. B. Pb parallel der Liuie ab, und gewinnt die Lage P/'j, wahrend der Schenkel Pa in die Lage i'o gelangt, eo würde auch das ont- sprcchende barmonischo Bild a^yt der Dreieckseite uy parallel zn Pbf oder ab worden.
Für diesen Fall aber wird die Dreieckscite ay in die Linie ay, übergehen, glcicbfalls als solche parallel der Linie ab werden aud die Aufgabe darauf zurückgeführt sein, ein in den Kreis k eingeschriebenes Dreieck zu zeichuen, dessen Seiten
aß durch Punkt e ßff durch Punkt o geben, während ay^ parallel ob wird.
Der Punkt o lässt sich nach der gegebenen Horleituiig bestiranion oder auch ohne Constrnction des Punktes P finden, da aus der Gleich- heit der Winkel aPo — bPb^ — abP sich das Rochteck ao X ab gleich der Potenz des Punktes a für den Kreis k ergicht
Mendihali Beiträge zur Lösung einiger bekannten geom. Aufgaben. 43
Dieses Gesetz folgt andrerseits auch aus der Gleichheit der Winkel
aoß =» jJy«« = aylf
and ist Ton Giordano Ottajano für die Lösnng der hier behandelten Aufgaben (Memorie della societä italiana, Verona. 4. Band) benutzt worden, indem er ganz in derselben Weise noch einen der anderen beiden Punkte in unendliche Entfernung verlegt und dadurch die Auf- gabe erhält, ein Dreieck in einen Kreis zu beschreiben, dessen eine Seite einen der Lage nach gegebenen Punkt berührt, während die beiden anderen Seiten gegebenen Linien parallel gerichtet sind. Den- selben Gang der Lösung benutzt er für das einzuschreibende Vieleck, dessen Seiten gegebene Punkte berühren sollen.
£s lassen sich aber noch weitere Folgerungen ziehen, indem auch für jede andere Lage des Winkels aP6, z. B. für a^Pb^ aus der Gleichheit der Winkel a^Po^ b^Pb^ ^^ a^b^P die Gleichheit des Rechtodui o^o X <>s^s ^i^ ^^^ Potenz des Punktes o, für den Kreis k sich ergiebt
Es lässt sich ausserdem sehr leicht nachweisen, sei es unter Her- anziehung der obigen Betrachtungen, sei es durch nachträglichen Be- weis vorhergegangener Annahme, dass dieses Gesetz für alle Lagen der Punkte abc, innerhalb oder ausserhalb des Kreises, volle Geltung hat, so dass man im Stande ist, jede der hier vorgetragenen Lösungen unmittelbar oder mittelbar für jedwede Lage der Punkte abc anzu- wenden, nachdem man dieselben mit Hilfe des Punktes c entsprechend vorbereitet hat
4. Aufgabe. Es sind in der Ebene eines Kreises k beliebig viele Punkte gegeben; man soll ein in den Kreis beschriebenes Vieleck zeichnen, in dessen Seiten je einer jener Punkt« liegt.
Auflösung. In Figur 8. seien z. B. a, ä, c, rf, e, / die gegebenen Punkte; die entsprechenden Eckpunkte des zu zeichnenden Vielecks seien oi, ftc, pd, etc bezeichnet, je nachdem sie durch die auszuführende Construction mit a und J, b und c, c und d etc. durch die Vielecks- Beiten zu verbinden sind.
Nach den vorher entwickelten Gesetzen lassen sich nun die Punkte a und b längs ihrer Verbindungslinie so verschieben, dass a in eine beliebige ausserhalb des Kreises gelegene Linie mn fällt; diese neue Lage der beiden Punkte werde mit a^ und b' bezeichnet. In der- selben Weise lässt sich aus der Verbindung von *' mit c der erstere Tunkt gleichfalls in die Linie mn verlegen und werde daselbst mit \ bezeichnet, während die zweite Lage c des Punktes c mit d ver-
neo kano.
Construirt man nan den Punkt P, für welchen mn die Linie gleicher Potenzen mit Kreis k ist, und zieht Figur 9. die Liuien l^a^, Fbi,Pci, Pdi, femer, entsprechend aneinanderschliessend , im Kreise k des genaunten Linien parallele Sehnen, so worden diese unabhängig Tom Anfangspunkte ihrer Yerzetebnung, paarweise Je einen Bogen von gleichbleibender Länge umochliessen und deshalb zwischen An- fangs- und Endpunkt dieser Verzeichnungen einen Kreisbogen von gleichbleibender Länge ergeben, wo auch immer mit der Verzeich- nung begonnen wird, welcher entweder eine, oder — wie hier — zwei Vieleckseitcn umfassen mnss, je nachdem eine ungerade oder gerado Anzahl von Punkten gegeben war.
Für ersteren Fall bat man von dem ausserhalb mn gebliebenen Pnnkt eine Secanto durch den Kreis k zu legen, so dasa ihr inner- halb des letzteren gelegener Teil gleich der Sehne des Schlussbogena wird,
FUr den anderen Fall hat man Ober der Verbindungslinie der beiden ausserhalb mn gcblieboncn Punkte einen Kreisbogen zu zeich- nen, welcher den erwähnten Schlnssbogen im Kreise k zu einem Voll- kreisB ergänzt Die Schnittpunkte dieses zweiten ßogens mit Kreis k bilden dann Eckpunkte des gesuchten Vielecks, oder vielmehr ein harmonisches Bild derselben in Bezug auf den Projectionsraittelpunkt P. Selbstveratandlich wird auch fOr die ausserhalb mn verbliebenen Punkte deren Verlegung oder harmonische Uehcrtragung zur Ans- fQbrung der eben erwähnten CoDstmction zu verwenden sein. Die Richtigkeit des Verfahrens findet ihre Darlegung in den vorangegan- genen Betrachtungen.
Man kaun aber noch nach einer anderen Uethode bei der LO- sang dieser Aufgabe verfaliren.
Seien a, b, c, d (Fig. 10.) die gegebenen Punkte. Verbindet man a mit b, c mit d nnd verlegt beide Punktenpaare, ab nach b^by, ed nach e,(f, und zwar so, dass b^ und c^ auf einnDdcrfallen, go fallen auch die entsprechenden beiden Vielcckseitcn anfeinander und a, und
Mendthal: Beiträge xur Lösung einiger bekemniin geom. Aufgaben, 45
dl sind als zwei unmittelbar Mntereinanderfolgende Punkte für die Verzeichnung des Vielecks zu betrachten. Demnach wird der Punkt bc ausfallen und an Stelle der beiden Punkte ab und cd Punkt e^d^ treten.
Man wird bei einer ungeraden Zahl von Punkten zuletzt noch drei ttbrig behalten, und damit nach einer der angegebenen Methoden die verlangte Figur anfertigen können.
Bei einer geraden Anzahl von Punkten werden nur noch zwei Qbrig bleiben, deren Verbindungslinie unmittelbar einen der verlangten Eckpunkte ergiebt
Wenn in Fig. 11. durch abed vier ttbrig gebliebene Punkte, durch a&, bc^ cd und ad die vier Eckpunkte eines durch jene vier Punkte bestimmbaren Kreisvierecks bezeichnet werden, so ersiebt man ohne Weiteres aus der Figur, wie nach Ausschluss der Punkte b und c die Verbindung von a^ und rfj, welche aus der Verschiebung von b nach 5j und von c nach c^ aus den Punkten a und d sich entwickeln, unmittelbar der Eckpunkt %^j, gleichbedeutend mit ady gewonnen wird.
Bemerkung. Mit der hier angewendeten harmonischen Projec- tionsmethode lassen sich einfache Beweise für geometrische Lehrsätze herleiten, ohne das Gebiet der ebenen oder elementaren Geometrie za verlassen. Zur Erläuterung diene folgendes Beispiel.
Der bekannte Satz über das Pascalsche Sechseck ergiebt sich in einfachster Weise nach der angeführten Methode, wenn die Verbin- dnngslinie von Schnittpunkten zugeordneter Seiten ausserhalb des Kreises fällt
Da aber die Mittellinie zvdschen Pol und Polare stets ausserhalb des Kreises fällt, so erscheint zunächst das in Rede stehende Ver- fahren dann unbrauchbar, wenn die erwähnte Verbindungslinie den Kreis schneidet Aber auch ftlr diesen Fall ergiebt sich in der er- wähnten Richtung ein sehr einfacher Beweis.
abcdef (Fig. 12.) sei ein Kreissechseck. Es soll bewiesen wer- den, dass der Schnittpunkt von af und c^^ in einer Geraden mit den 8chmt^)unkten ab — de und bc — ef liege.
Der Schnittpunkt von ab und ef liege in «, der von bc und de in 0; sucht man denjenigen Punkt P, für welchen aß die Linie gleicher Potenzen mit Kreis k darstellt, und entwirft aus P als Pro- jectioQsmittelpunkt das harmonische Bild der ganzen Figur, so ent- steht das Schema Fig. 13., worin die gleichen Bezeichnungen bei- behalten sind. bpt^Pt wird ein Parallelogramm, adp^ und cfp^ sind
eelben in glcichcD Entfernungen einen beliebigen Punkt /' als Pro- jectJonsmittelpunkt aud eine Linie pp, als Projectionsaxe , entwirft darauf ein harmoDiscboa Bild der ganzen Figur, so entsteht das Schema Fig. lö., worin die Bilder gleiche Bezeichnung mit ihren Gegenständen erhalt«n haben.
In dieser Figur sind also die Linien AB, AA^, BBi, ferner die Punkte ab nnd endlich die Richtung der Linie aß gegeben; der Punkt Y '^^ >''"> B" ^u zeichnen, dasa tiß jiarallel ihrer gegebeneu lUchtnng wird. Dieses folgt eiufach daraus, dass die Bilder der Punkte C und c in unendliche Eutferuong gefallen sind.
Zieht man aa^ und ££, parallel zu AA^ oder BB,, femer die Linien a&, und £a,, so wird ßi nnd «, bestimmt; deshalb wird ßiß sich von «, a nm eine bekannte Lauge unterscheiden. Nennt man diesen Unterschied ä, so wird d,o =: i-|-</, wenn ßiß ^ x gesetzt wird. Nennt man ferner die Lauge ß,ßi = n, die Länge njo = m nnd die Teile der Linie j-j'i nach den Bezeichunugeu der Figur, so wird man aus
nach beliebigen elementaren Methoden z constmircu und damit a, ß nnd Y bestimmen können, welche als harmonische Bilder ohne Wei- teres zu den entsprechenden gesuchten Pnnkton der ursprOnglichen Figur ftlhren.
2. AoflOsnug. (Fig. 16.) Uan ziehe inaerhalb eines gegebenen Winkels ABC durch den festen Punkt p eine Linie, welche die Schenkel des Winkels in a und c schneide. Zieht man aus p parallel zn den Schenkeln des Winkels pn uud py und lisst diese beiden Längen sowie By und Ba ihrer Grösse nach unveräudert, während der Winkel ABC sich beliebig Öffnet oder scbliesst, so werden a, c nnd p in einer geraden Linie bleiben.
Hat man nun ein belicbigeB Vieleck ABCD. .. (Fig. 17.) nnd
Mendthal: Beitr&je zur Lösumj einiger bekannten geom- Au/gaben, 47
för jeden Winkel einen gegebenen Punkt ppiP^^y zieht die Paral- lelen pb^ und pl^^ piCi und />iC2, |>2^i ^^^ p««^ . • • und verändert noD die Winkel beliebig, während die Lungen der Vieleckseiteu, der Parallelen und die Lage ihrer Fusspunkte auf den Seiten unverändert bleiben, so werden bp c, cpi rf, dp^ c ... je in einer Geraden bleiben.
Man wird also den ganzen Vieleckzug längs einer geraden Linie 80 auftragen können, dass die Punkte bpcp^dp^e , , , in derselben liegen, wenn man auf die Beibehaltung ihrer Entfernungen verzichtet, während die übrigen Längen, bb^^ h^B^ Bb^^ h^c , . . unverändert er- scheinen. (Fig. 18.)
Man wird aber auch in der neuen Lage durch jeden beliebigen anderen Liuienzug h^^pc^p^d^p^e^ . . . dieselben Punkte mit einander verbinden, welche durch ein gleiches Verfahren in der ursprünglichen Figur sich ergeben hätten.
Wendet man nun auf das System bpcp^dp^e ... die harmonische Projection an, indem man wieder in gleichen Entfernungen zu beiden Seiten der Linie pp^pz . • • den Projectionsmittelpunkt und die Pro- jectionsaxe legt, so erhält man nebenstehendes Schema Fig. 19., in welchem die harmonischen Bilder der um ppip^ . . . sich drehenden Linien als in bestimmter Hichtung liegende Parallelen erscheinen.
Man ersieht ferner, dass die Schnittpunkte ^3, Va' . . . in einer Linie mit C liegen, dass man also an Stelle der Linien jBC, CD eine einzige Linie B^D^ setzen und durch die beiden Richtungen ijXs ^^^ ys<^ die Abhängigkeit der Punkte b^ und e^ von einander damit festhalten kann.
Die Herstellung der ursprünglichen Figur würde demnach die Verringerung derselben um eine Vielcckseite und um einen Punkt p gestatten. Man würde nunmehr auch in der ursprünglichen Figur diese Reduction vornehmen können, nachdem man durch die harmo- nische üebcrtragung den Gang und die Richtigkeit derselben er- fahren hat
Wendet man nun die zu Fig. 17. und 18. gehörigen Entwicke- Inngen auf die vorliegende Aufgabe an, nämlich durch drei gegebene Punkte die Seiten eines in ein gegebenes Dreieck eingeschriebenen Breiecks zu legen, so werden also darin AB^ BC^ CD die drei Seiten dos gegebenen Dreiecks darstellen, während in DE eine einfache Wiederholung der Seite AB anzunehmen ist, die mit dieser gleiche Länge hat.
Beijenige Zug b^c^d^e^^ der darin für ^63 und De^ gleiche Län- gen ergiebt, löst die Aufgabe.
Mendlhal: Beiträge zur Lösung einiger bekannten geom, Aufgaben. 49
6. Aufgabe. In ein gegebenes Vieleck ein anderes zn beschreiben, dessen Seiten je einen gegebenen Punkt berühren.
Auflösung. Diese ist bereits in der vorhergehenden Auflösung mit enthalten.
Die Yerlegnng der Punkte p in eine gerade Linie, die Reducirung derselben auf zwei und dio endliche einfache Lösung fOr den Rest der Figur erfolgt in der beschriebenen Weise.
Es erhellt aber bei Verfolgung dieser Lösung sofort, dass die erwähnten Reductionen sich auch an einzelnen Abteilungen des ge- gebenen Vielecks vornehmen lassen, wie überhaupt hier ein grösseres Gewicht auf die Darstellung des Systems, als auf dessen Anwendung gefalle ist, wobei sich noch mehrfache Kürzungen finden dürften.
Schlussbemerkung. Es konnte selbstverständlich nicht die Ab- sicht sein, vorhandene zum Teil sehr schöne Lösungen der hier be- handelten Aufgaben verdunkeln zu wollen, sondern nur die zweck- mässige Verwendung der harmonischen Projection an diesen Aufgaben zu erläutern.
Wenn aber andrerseits z. B. fUr die geradlinigen Aufgaben die Steinersche Lösung bedeutend eleganter erscheint , so bedarf es, um dahin zu gelangen, eines allerdings genialen aber immerhin eignen Lehrgebäudes über die Abhängigkeit geometrischer Gestalten.
Dasselbe gilt von den Göpelschen Entwickelungen , Grelle J. f. d. r. u. a. M. Band 36. Seite 317 u. ff., während Poncelet zu imagi- nären Vorstellungen im Zusammenhango mit der Lehre von den Kegel- schnitten und stereometrischen Projectionen greift, dagegen der hier gewählte Weg das Gebiet der elementaren ebenen reinen Geometrie nicht verlässt Aber auch für die Behandlung der Kegelschnitte dürfte der hier eingeschlagene Gang sich eignen, da jeder harmonische Pro- jectionsmittelpunkt als harmonisches Bild eines Kreises denselben Kreis wieder liefert, wenn als Projectionsaxe die Polare des Punktes gewählt wird; dagegen die beliebig audere Lage der Axe als harmo- nische Bilder eines Kreises die verschiedenen Kegelschnitte ergiebt nnd die Behandlung deijenigen Aufgaben gestattet, welche in den genannten Göpelschen Untersuchungen enthalten sind. Vielleicht ge- währt eine geschäftsfreiere spätere Zeit eine nähere Entwickelung dahinreichender Gedanken.
Königsberg im Winter 1874 zu 1875.
ttüUX.
Do »ton PfopTÜU* nouvtUes des palliares rigulkrt convexe»» 5l
■ •
di^e COAI^ oompris entre les denx plana OAC et OA/, est la moiti6 de l'ane de ces parties; donc on a le diMre CO AI = — •
D est Evident d'aiUenrs que Tangle ÄCl = ^ ^ -.
Cela pos^, projetons sor la face ACO chacone des trois aotres &ees C/0, AIO et ACI da t6tra^dre lACO, noiis obtenons l'^galit^
ACO « CIO . cos ACI+AIO . cos OA, ou
ACO « CIO . cos - + AIO . cos - . attenda que la face ACI est perpendicolaire sor la face ACO.
Mais noiis avons
le triangle ACO = ir.AC
n le triangle CIO =:{r,CI*=- ^r.AC cos -
et le triangle AIO = ^p . 4/ = ^p . ^Csin — .
II Tient donCy en substituant et en divisant par iAC^
r ^ r cos*-+p8in —cos — ?
7t 7t
&]8ant passer rcos'~ dans le premier membre et divisant par sin-t on tronve la relation.
a^ , 7t 7t
(I) rsin — -=* pcos —
qoieiiste entre le rayonrde la sph^re inscrite et le rayon 9 de la Sphäre tangente aux arStes.
Appliqnons cette formnle aox cinq poly^dres r^goliers convexes; notts t^rtiuiions les r^sultats suiTants:
T^traHre, tt = 3, m = 3; rsin60^== pcosÖO»; rV3 — p. Hexa^dre, n — 4, m =» 3; r8in45<> = pcosöcy^; r^2 « q. Octa^dre, n=r3, m — 4; rsinGO^ — pcos45<>; ry3 = pV2.
Dod^ca^dre, n«5, m — 3, rsin36««pcos6(^; rVlO— 2V5 — 2p. Icosa^dre, n — 3, w«5; r sin 60® «p cos 360; 2rV3 — p(y5+l)-
4*
Dostor: Propn€t€8 nouveäes des poUfhdres r€guliers convexee, 53
Octft^dre, n = 3, m«4; R-=^ryS.
Dod^caÄdre, » « 3, m = 3; i2(y5-fl) — ry3(10 — 2V5).
Icosa^dre, n = 3, t» = 5; Ä(y5 + 1) ==^3(10— 2 V 5).
Oneo conclut que, si dcQx poly^dres conjagu^s (Fhexa^dre et Toctafedre, ou le dod^ca^dro et l'icosaMro) soiit inscrits dans ane memo Sphäre, ils seront anssi circonscrits k une meme Sphäre, et r^ciproqueraent
4. Relation entre les rayous R, r et q des trols sph^rea« Faisons le produit des deox ^galit^s (U) et (I), nous aurons la ro- lation remarquable
2>-r 27t
(IV) i?rsin — = p^sin — •
qni, 6taDt appliqa^e aux cinq poly^dres r^galiers convexes, donne:
Tara^dre, Rrsinl20^ =- ^«8inl200, Rr = q^. Hexa^dre, ÄrsinOO» « p28iul200, 2Rr = g^ys, Octaödre, Rrsinl20^ =- p2sin900, Rr^S = 2q^.
Dod^ca^dre, i?r sin 72« = ^'-^810120^ RrVlO-{-2yb = 29V 3. Icosaödre, Rrsml2Q^ «= p» sin 72^, 27iVy3 = Q'^ViO+2y/6.
Nous voyons par ces valeurs que:
Dans le t6traödro regulier, le rayon de la Sphäre tangente aux six aretes est nioyen proportionnel entre le rayon de la sph^re iuscrito et celui de la Sphäre cir- coüscrite;
Dans rhexaödre et rocta^drc reguliers, qui sont in- scrits dans la memo sphere, Ics rayons de deux sph^res tangentes aux aretes sont entre eux dans le rapport de 2 ä v3.
Dans le dod^ca^dre et ricosaedro reguliers, qui^ont inscrits dans la meine sphere, les rayons des deux sphe- res tangentes aux aretes sont entre eux dans le rapport
de yiö+2V5 ä 2V3.
5. Relations partieuH^rcs entre les rayous R, r et g des trols sph^res. Les valeurs trouv6es aux n^ 1, 2 et 3 pour ces rayons permettent de verifier les 6galites suivantes:
Hexa^dre, R^ ^ g^-^r^-,
r — 9- doDC il vieDt la Tsleur connue (T) sin<.= -
LeB inclinusons mutaellos des facea, dacs les poly^dres regulier« convexea, soot ainsi
T6tr*6dre, sinn = -^, co86crt = y3, 2« — 7O031'43",6.
Octaftdre, sin« = 1/3, sfco — ys, 2it = 109»28' 16",4.
Dod^caidre, ain« — -7— , cot« = iCVö— 1),
y 10— 2y5
20 = 116« 33' 54"^.
Icosaödre, bid« — -^^, taDger=J(y6+l)», 2o-.13ö''ll' 22",75.
7. ExpresBlon des rajons S, r tt ff des troU sphtres en raleor de l'artte a et de rineUnaiiei mataelle 2o des bces. Le triaagle rectangle OCI nons fonrnit Is valenr
r—OC-" CltViS OIC = C/tang«;
Dos ton Propri/tit nouvelles de* poljfhdres r^guliers eonv^^es. 55
et, comme on a par le triangle rectaogle ACI
CI =- AIcotACI — ^ cot -•
il nons viendra
(Vn) 2r — acot - tang «.
MuIüplioDB cette dgalitä membre k membre par (UI), nons aurons
n
(VU) 2R = a tang - tang a.
m
Enfin dans ccs deux expressions rempla^ons r et R par leurs Talenrs qae foomissent (1) et (II), nous obtiendrons
n cot —
^ cosa n
C08-
(IX) 2p « a tangtf.
cos— m
Ces expressions nous permettcnt de calcoler les valenrt des rayons des trois sph^res; elles sont:
T^tra^dre, r — j^aye, p =» Jay2, Ä =■ Jaye.
Hexa^dre, r^^a^ p = i^V^i ^ ^ ^«1/3. Octa^dre, r — » iay6, p = i«, Ä =« i«y2.
Dod^ca^dre, r«JaJ/?^=^J^,p=MV6+l)^Ä=ia^
Icosa^dre, r«~y3(y5-fl)*, p-HV^+l), Ä-WlO-f-2y5-
8. Expressions direrses du Tolnme d'nn poly<ftdre regulier eon« lexe. Soit N le nombre des üaces du poly^dre. Cbacone de ces faces sera la base d'une pyramide r^gnli^re ayant son sommet au centre 0 du polyMre.
Le triangle ABC est Tun des n triangles dont se compose la hce ayant son centre en C. La surface de cette face sera donc
n.ABC^ ^AB.CI'^cia.gi cot— « tna*cot-.
2rtsiig — coto,
2ÄCot-coto,
n cos- 2 (f — - cot«
tirtflB des relaÜoDB (VI), (711) et (IX); ello so changcra doDs 1« snwantei
(XIII) r " i JV»r»taiig - cot»«,
DoMtor: Propri€t€s nouvelles des polghdrea riguUers convexes» 57
(XIV) V = jAnie^cot« - cot» ~ COt«a,
(XV) V^lNno^ tang - sin 2o cos a.
n
Enfin nous pouvons oxprimer V exclusivemont cn valeur de Ä, r et Q.
En effet, pnisqae les trianglcs rectangles OAI et OC/ donnent a = ^UB = 2yÄ»— ^«, C/« V^~r^ il viendra encore
(XVI) V^ iiVnr V(iü«— ^^)(p2— r2).
9. Appliquons ces formales aux cinq polyödres reguliers con- Texes; nous obtenons pour leurs voiumes les expressions suivantes:
T6trafedre: r=~aV2 = Sr^yS
|
8 j -3« |
-|äV3. |
|
|
Hexa^dre: |
F— a» |
= 8r» |
|
— 2p V 2 |
= |äV3- |
|
|
Octaödre: |
F= ia V 2 |
= 4rV3 |
|
= |»Y2 |
10 |
|
|
Dod^ca^dre: |
^— 3-r»f390— I74y5 |
|
|
= i(.Vl5(Vö-l)» |
=. jÄV3(10+2y5). |
|
|
Icosaödre: |
r=^a»(i+y5)« 5 |
-3VV3(y5-l)* 2 |
|
-J2e»(y5-i) |
- 3i2VlO+2>/5- |
10. Supposons que l'hexaödre regulier et Tocta^dre r6galiers soient inscrits dans la meme spMro; leurs voiumes seront entre eux
comme les quantit^s ^y 3 et ^ ou cömme 2 est ä y3; or nous
savons (n^ 4) que les rayons des sph^res tangentes aux aretes de ces deux poly^dres sont dans le memo rapport. Donc
Lorsqne l'hexa^dre et Tocta^dre reguliers sont in- Bcrits dans la meme sph^re leurs voiumes sont entre eux
Hoppe: Ein Theorem iOter d, conforme Abbildung d. Flächen auf Ebenen, 59
V.
Ein Theorem Aber die coBforme AbbUdnng der Flächen
anf Ebenen.
Von
B. Hoppe.
Das Endziel des gegenwärtigen Anfsaizes ist folgendes Ergebniss:
Kann man auf einer reellen Fläche eine stetige Schar imaginärer Linien analytisch darstellen, deren Bogen- element constant null ist, so ist die Aufgabe der confor- men Abbildung eben dieser Fläche auf der Ebene gelöst
Seien u, r die rechtwinkligen Coordinaten des Punkts auf der Ebene, in welchem der Punkt mit den rechtwinkligen Coordinaten jc, 3f, 2 nach Aehnlichkeit der Flächenelemente abgebildet werden soll. Der Ort des Punktes (xyz) braucht allein durch die Relation
pdx'\'qdy-\-rB» « 0 (1)
bestimmt zu sein, wo j9, g, r die Richtungscosinus seiner Normale bezeichnen und als Functionen zweier der 3 Grössen x, ^, z gegeben sind. Die Aufgabe der Abbildung besteht darin, x, y, z als Func- tionen yon «, V darzustellen, welche den 2 Gleichungen
dx dx ^^dy dy ^^Bz dz
©■+ ©•+ ©■- ©■+ {ty+ m <«
genügen. Erstere drflckt aus, dass das Element der gegebenen Fläche, waches in dem rechteckigen Elemente dudv abgebildet wird, selbst
dtr Flächen auf Ehtntn, 61
folglich ist
fi» :== J- r
Setzt man diesen Wert in die Gl. (5) (6), roaltiplicirt sie der Reibe
nach mit
— », t, 1, —l
so giebt die Summe der ersten und dritten: die Summe der zweiten und vierten:
v+'''(-s-s)-'«+*"(^-i)
Beide Gleichungen sind identisch.
Betrachtet man u, v jetzt als Functionen von x, y^ so hat man folgende Relationen zwischen den alten und neuen Differential- quotienten :
dx ^dy ^dx ^dy dv ^ 8v , du ^du du du dv dv dy dx dy dx
und Gl. (7) geht über in
(M ± tr) gy = (q^+r») g^ (8)
Ist nun
/(«» y) =* const. (9)
das Integral der Gleichung
Ipq ± tr) dx+ (q*+r^ dy ^ 0 (10)
80 ist die allgemeinste Auflösung der Gl. (8)
u+w = F{f(x,y)) (11)
Vermöge Gl. (1) lässt sich Gl. (10) auch schreiben:
±^irdx = r(qdz — rdy) oder ^idx » qdz — rdy
Ausserdem ist
— pdx = qdy-^-rdz
Die Summe der Quadrate beider Gleichungen giebt:
(p« — 1)8x2 ^ ^g2^r^)^Sy*^dz^)
Difs giebt nach (11) die AbbUdnngBrelatioii:
-<^')
welcbe fOr F(k) —• x nnter dem Namen „stereogtaphische Projection" bekaont ist
Als ein zweites Beispiel roögä die Cnrve
der Flächen auf Ebenen, 63
dioien, deren Bogeuelement nnll ist Sie erzeugt die EegelflAche
Setzt mau eine Function von u-\-%v^ z. B. (ii-|-^)^ für e, to erhält mau als Abbildungsrelation:
9
In beiden Beispielen, welche aus bekannten Abbildungen ent- nommen waren, war es leicht nach Aufstellung der Erzeugenden die reelle Fl&che zu finden, der sie angehört Wollte man einen gleichen Weg in weiterm Umfange einschlagen, d. h. erst eine Curve suchen, deren Bogeuelement null ist, dann eine von ihr erzeugte Fl&che als reell bestinmien, um schliesslich deren Abbildung auf der Ebene nach dem vorstehenden Satze zu erhalten, so würde sich zeigen, dass sich die Lösung der ersten Aufgabe sofort in voller Allgemeinheit darbietet, die Hauptschwierigkeit dagegen in der zweiten liegt. Aus
ergiebt sich nämlich:
a(a;+»y).a(aj— ty)- — a««
eme Gleichung, die man in folgende drei zerlegen kann:
8(a;-f-»y) = dv d{x — iy) ■=» — tt*9t? dz ■=» udv
Um sie zu integriren hat man zu unterscheiden, jenachdem u constant ist oder nicht Im ersten Fall erhält man:
x-\-%y — 1> \
X — iy z^ a — c*t> > (14)
wo o, &, c beliebige complexe Constanten sind, und die erste Glei- chung, die nur v definirt, keine Constante zu haben braucht
Ist u variabel, so kann man qti f^ ^ setzen; dann kommt:
dargestellten Geraden nicht ia sich begreift.
Hoüel: lieber die Äoüe der Erjahrung in den exacten tVissenschaften, ^5
VI.
lieber die Bolle der Erfahrung in den exacten
Wissensehaften.
Von
M. /. Hoüel^
Professor der Mathematik in Bordeaux.
▲ «« der Zprary Jadnoty Ceskyeh Mathsmfttikn, 1875.
Mit Bewilligung des YerfasBen übersetzt
von
Br. Felix Mtlllev.
Crest daiifl e« m^iie reonsil (VArekiT der Kathunfttik) qa*a pftm , il y a dooie ans le premier traTail qae j*aie frit snr oa sajet, et qai contenftit le germe des id^es qae j*fti depais d^ve- lopp^B et ^eUirciea. (Lettre de M. J. Hoflei.)
Die Mehrzahl der Erscheinungen, welche wir mit unsem Augen wahrnehmen, ist einer exacten Bestimmung nicht fähig; und wenn sich diese Erscheinungen wiederholen, so haben wir kein Mittel, uns ihrer vollkommenen Identität zu vergewissern. Doch gibt es einige, — und dies sind natürlich die einfachsten, — deren Bestimmung mit hinreichender Annäherung und Sicherheit möglich ist, so dass die Vngewissheit, welche wir bestehen lassen, für uns ohne Nachteil ist.
Ist eine exacte Yergleichung möglich, so können wir zum Stu- dium der Gresetze für die Beziehung einer Erscheinung zu einer anderen schreiten-, und sind diese Gesetze einfach genug, so dass es ims gelingt, sie zu erkeimen, so bildet ihre Gesammtheit den Gtegen- Btand einer exacten Wissenschaft
TeULDL 5
66 Boüel: Üebtr dU Rolle der Erfahrung in den exaelen WüientctaJIeH,
Der Ban einer solchen Wlssenachaft setzt sieb im Wesentlichen ans zwei getrennten Teilen zusammen: der eine, welcher auf der Beobachtung und der Erfahrung beruht, besteht darin, Tatsachen xn sammeln und daraas dnrcb Induction die Gesetze und die Principicn zn gewinnen, welche der Wissenschaft als Grundlage dienen soUcn; der andere Teil, der nur ein Zweig der allgemeinen Logik ist, be- Bcbllftigt sich damit, diese Grundprincipien mit einander zu combiniren, am daraus die Darstellung der beobachteten Tatsachen zu gewinnen and überdies neue Tatsachen vorherzusagen.
Die Beobachtung der Tatsachen kann, im Allgemeinen, nicbt mit strenger Sicherheit statthaben, und ist niemals eine vollständige. Nichts kann nns also a priori die Ueberzengnng gewähren, dass die Gesetze, welche die Induction lieferte, alle wahr, noch dass sie alle hinreichend sein werden.
Man wird ihre Unrichtigkeit erkennen, wenn sie durch logisches Verfahren miteinander verbunden, auf widersprechende Folgerungen fahren, oder wenn die neuen Tatsachen, welche sie vorhersehen lassen, in Widerspruch mit der objectiven Wirklichkeit stehen.
Andrerseits kann es geschehen, dass die angenommenen Gesetze nicbt alle verschieden und unabhängig voneinander sind, und dass ein^e derselben einen Teil der Folgerungen ausmachen, welche man dnrdi Combination der andern gewinnen kann.
So sieht man, welche Rolle bei der Begrandnng der Principiea demjenigen Teile der Wissenschaft zukommt, der sich nur mit der Combination der Friucipien beschäftigt, ganz abgesehen von ihrem experimentellen Ursprung und von den Beziehnngeu, welche ihre Folgerungen zu den wirklichen Tatsachen haben. Dieser Teil der Wissenschaft hat festzustellen : erstens, ob die Principien untereinander verträglich sind, nnd dann, ob sie nicht auf eine geringere Anzahl zurdckgefllhrt werden kOnnen. Eine Wiasenschaft, welche auf Prin- cipien gegründet ist, die diesen Bedingungen genügen, ist absolut wahr, vom rationellen und vom abstracten Gesichtspunkt ans, selbst wenn sie sich mit den wirklichen Tatsachen, welche sie darzustellen bestimmt war, nicht in Uebereio Stimmung befinden sollte. In diesem Falle mnss man sich an den experimentellen und inductiven Teil halten nnd die fundamentalen Hn>othcsen ändern. Der rein logische Teil ist, obwohl nnanwendbar geworden, doch unanfechtbar.
Dieser logische Teil der exacten Wissenschaften macht das ans, WM man Mathematik im eigentlichen Sinne des Wortes nennt. Die Mathematik zeri&llt ihrerseits wieder in die reine Mathematik, welche die logischen Theorien enthftit, die auf das Stadium all»
fiberseki wm Ftlix MüUer. ' 67
Classen Ton Tatsachen ohne Unterschied anwendbar sind, nnd in die angewandte Mathematik, welche von der Anwendung dieser allgemeiaen Theorien auf besondere Classen von Tatsachen und von den besonderen Methoden handelt , welche sich am besten für jede dieser Classen eignen.
n.
Man nennt ein Verfahren, welches eine Erscheinung in eine andre überführt, eine Operation, so dass also einer Folge von Erscheinungen eine Combination (Verknüpfung)*) von Operationen entspricht.
Um die Logik auf die Combination der Operationen anwenden zu können, ist es keineswegs nötig, die Realität der Operationen und die Art und Weise, wie sie sich vollziehen, zu kennen. Es genügt, gewisse abstracto Eigenschaften dieser Operationen festgestellt zu haben, die man combinatorische Eigenschaften nennen könnte**). Man kann eine abstracte Theorie der Operationen aus- bilden, welche einzig auf die Betrachtung dieser Eigenschaften ge- grOndet ist. Eine solche Theorie würde die gewöhnliche Algebra als besonderen Fall umfassen ***).
Da die Zahl das Gesetz ist, nach dem eine Grösse durch Addition ans gleichen Einheiten gebildet wird, so ist die Arithmetik nichts Anderes als die abstracto Theorie der Combination derartiger Ope- rationen.
Die Operationen können einfache sein, wie es die Grundopera-
*) 8. E. Schröder, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipiig 1873, I, ISO. D. Ü.
^ Um ein Beispiel lu geben, so beruht die Theorie der algebraischen MaltipUcttion ganz und gar auf den Eigenschaften, welche durch folgende Gleichungen ausgedrückt werden:
1 «. Für a^a', b = b' ist o . 5 = a', b' (Eindeutigkeit) ;
2®. (a -|- 6) c = o . c -f 6 . c (Distributive Eii^enschoft) ;
3 <*. a,b z=zb,a (CoraroutntiTe Eigenschaft) ;
4^. (a . 6) . c = a . (6 . c) (Associative Eigenschaft) ;
5®. 0X0 = 0;
6«. aXI =«. (Üeber die Elementarroraussetzungen , aus denen sich alle Fundamental- gesetie der Operationsverknfipfung folgern lassen, siehe Schröder, L c. p. SS5. D. Ü.)
*^ VgL K Schröder, Ueber die formalen Elemente der absoluten Algebra, Stuttgart 1874. D. Ü.
bination meiBtens nach speciellen Gesetzcu far jeden besonderen F&U Tor sieb gebt, ohne dass man sie allgenieineu Verfahrangaarten unter- werfen kann.
Die zusammengesetzten Operationen lassen sich im Allgemelaen auf einfache zurückfahren. Diese Zerlegung der Operationen in ihrs Elemente ist es, welche die sogen, analytischen Theorien (die analytische Geometrie, die analytische Mechanik, cti.-.l kennzeichnet Synthetische Theorien dagegen nennt man solche, auf die man nnmittelbar die znaammengesetztcu Operationen anwenden kann.
Der wesentliche Unterschied zwischen den analytischen und den synthetischen Theorien besteht also darin, dass die Operationen in den ersteren einfache Eigenschaften haben, welche an die Stelle meh- rerer combinirter Operationen allgemeine Verfahrungs arten zn setzen gestatten, und welche gesctzmässig zusammenhängende nnd dirccte Methoden für die Lösung der Probleme Hefern. In den synthetischen Theorien dagegen verbietet die Verwickelung und die grössere Ver- schiedenheit der Operationen die Bildung einfacher Begeln für ihre Anwendung, nnd die Lösung ist, obwohl sie weniger Zwischenglieder erfordert, gewöhnlich das Keanltat eines Umhcrtappeus, das Uebnng abkürzen kann, weit mehr als allgemeine Methoden.
Die GrAssen (Qnanta)*) lassen sich einteilen in discrete oder namorische nnd in concrete oder stetige Grössen.
Die discreten Grössen lassen sich zusammensetzen ans Ele- menten, welche als identisch angesehen werden in Bczng auf die- jenige Eigenschaft, nach der die Gattung der Einheit, welche zu- gleich die Gattung der Grösse ist, benannt wird. Die discroto Grösse wird gebildet durch Wioderholnng oder Vervielfältigung der Einheit. Das Gesetz, nach dem diese Operation vor sich geht, heisst eine Zahl. Eine discrete Grösse ist vollkommen bekannt, wenn ihre Gattung und ihre Zahl gegeben sind.
*) Beitininite, darcli ein Merkmal oder ilarch eine Gi T«ila Biner Manalgfalligkoii, Kieaann, Ucbcr die H/iiuthcBi BKtris IQ Oruod« liegcD, p. 3. D. Ü.
übersetzt pon Felix Müller. 69
Die mathematische Theorie der discreten Grössen beschäftigt sich nar mit den Zahlen, durch welche sie dargestellt werden, ohne Rflcksicht auf ihre Gattung. Da die Zahlen mit vollkommener Ge- nauigkeit definirt und untereinander verglichen werden können, so bietet sich ihre Theorie unmittelbar mit aller Strenge dar, und die Arithmetik der ganzen Zahlbn bildet den einfachsten Zweig der reinen Mathematik.
Wir wollen es hier nicht unternehmen zu prüfen, welchen Anteil die Erfahrung an der Ausbildung der Arithmetik, der elementaren wie der höheren, hat. Wir wollen hier nur bemerken, dass, wenn auch die Erfahrung, — d. h. die Prüfung der aus einzelnen Beispielen durch Rechnung erhaltenen Resultate, — häufig ein mächtiges Hülfs- mittel für die inductive Untersuchung der verborgensten Eigenschaften der Zahlen gewesen ist, sie dennoch, als Basis der Priucipien und der Beweise, eine sehr eingeschränkte Rolle spielt, wenn sie über- haupt sich hier irgendwie einmischt*).
Die concreten Grössen werden durch einen stetigen üebergang von der einen zur andern (durch Addition) gebildet. Sie werden so angesehen, als besässen sie von Natur in allen ihren Teilen dieselben Eigenschaften, nämlich die, welche ihre Benennung ausdrückt
Diejenigen concreten Grössen, welche sich unserer sinnlichen Wahruchmung darbieten, können nicht mit vollkommener Genauigkeit bestimmt uud mit eiiiaudor verglichen werden, wie die discreten Grössen es konnten; und dieses liegt teils an der Unbestimmtheit ihrer Grenzen, teils an der Unvollkomnienheit unserer Sinne und unserer Bcobachtungsmittel. Man kann sie also nicht direct einer mathematischen Theorie unterwerfen, und ist gezwungen, ihr Studium durch das idealer Grössen zu ersetzen. Letztere werden durch die- jenigen Eigenschaften definirt, deren Existenz in den materiellen Ob- jecten annähernd festzustellen unsere mehr oder weniger groben Bcobachtungsmittel gestatten.
So rauss dem Studium der Ausdehnung der reellen Körper, deren Gestalt weder vollständig bestimmt noch vollständig beobachtet werden kann, ein abstractes Studium idealer Körper vorhergehen, idealer Ge- bilde, welche mit Hülfe eines vollkommen exacten Mass Verfahrens streng bestimmt sind. Dieses letztere Studium wird von selbst zurück- geführt auf das Studium solcher Figuren, denen eine oder zwei ihrer Dimensionen genommen sind, und schliesslich auf die Betrachtung eines Punktes, der jeder Ausdehnung haar ist
*) Man vergleiche, was Schröder Über den Anteil der Erfahrung an der Aosbildong der Arithmetik sagt, I. c. p. 72, 99, 112 u. 113. D. Ü.
Btracte Mechanik, wolcbo den HypothescD der Geometrie gowisse andere hinzufügt, die mehr oder weniger direct durch die Errshmng veranlasst sind. So operirt sie mit geomctriachcu Körpern, indem sio den Eigenschaften derselben die Idee der'MasBo hinzufügt, und die Körper den Ursachen der Bevfegung unterwirft, die man Erfifte nonnt; und diese Kräfte werden durch die Wirkung deüuirt, welche sie v^rmGge der zugestandenen Gesetze ausüben oder auszuüben streben. Don verschiedenen Zweigen der Physik der reelicn Körper entsprechen besondere Zweige der abstracten Mechanik, welche sich auf neue Hypothesen stützen, die man so wählt, dass eine Behandlung nach mathematischen Metboden ermöglicht wird, und dass man daraus Kcsultate herleiten kann, welche den darzustellenden ErschciauD(Een möglichst nahe kommen.
Es ist für diese rationellen und abstracten Wissenschaften von wesentlicher Bedeutung, dass man die Hypothesen, an und für sich, — welche a priori wesentlich willkürlich gewählt werden können und nur der Bedingung unterworfen sind, sich einander nicht zu wider- sprechen, — unterscheidet von dem Werte der Hypothesen, unter dem Gesichtspunkte ihrer Anwendungen. Jede abatracte Wissenschaft, welche auf widerspruchslose Hypothesen gegründet und in Ueberein- stimmung mit den Regeln der Logik entwickelt ist, ist in sich ab- solut wahr. Aber sie kann sehr wohl keine Beziehung zu den natürlichen Erscheinungen haben und sich als falsch erweisen, wenn man sie unter dem Gesichtspunkte ihrer physikalischen Wahrheit prflft. Dieses wird eintreten, wenn die Hypothesen irrtümlich oder unvoll- ständig gewählt worden sind, sei es in Folge einer Inductiou, die aaf zo ungenaue oder zu beschränkte Beobachtungen gegründet wurde, sei es in Folge unerlaubter Vereinfachungen, die man gemacht hat, um die mathematische Behandlung der Erscheinungen zu erleichtern.
Wir wollen nna nicht länger bei diesen allgemeinen Betrach- tungen anf halten and uns darauf beschränken, deren Anwendungen auf die einfochste der physikalischen Wissenschaften : anf das Studium der Körper hinsichtlich der Ausdehnung, d. h. anf die Geometrie za entwickeln.
IV. HingicfaÜich der Ausdehnung unterscheidet sich ein Körper vom andern nur durch seine Grenzen. Das Studium der Ansdehnnng wird sich also ausschliesslich auf die Grenzen der Körper richten müssen. Zwei Körper, welche dieselben Grenzen haben, sind, vom geometri- schen Gesichtspunkt ans, identisch.
Übtrtetxt von Felix Müller, 71
Ebenso wie man die Form eines materiellen Körpers erkennen würde, wenn man die Hülle^ die ihn omfasst, davon losmachen könnte, ohne ihn umzugestalten, so wird man den idealen Körper als von einer HQlle ohne Dicke nmgeben und die Materie des Körpers von dieser Hülle losgelöst oder als nicht vorhanden annehmen. ]5iese Hülle oder Oberfläche ist es, welche, im eigentlichen Sinne des Wortes, den geometrischen Körper bildet. Aehnlich wird das Stu- diom eines Bestandteils der Oberfläche sich zurückführen lassen auf das Studium der Grenzen ihrer Teile, oder der Linien, und das Stadium der Linien auf das ihrer Grenzen, d. h. der Punkte.
Die Geometrie ist vor Allem auf die Hypothese von der Existenz eines unbeweglichen und unbegrenzten Raumes gegründet, in welchem man einen Ort, den ein Körper in einem gegebenen Zeitmoment ein- nimmt, eindeutig bestimmen kann, und in welchem die geometrischen Körper sich fortbewegen lassen, ohne irgend eine von den Eigen* Schäften, welche dem physikalischen Begriffe der Festigkeit entspre- chen, zu verlieren. Man nimmt an, dass zwei feste Körper, welche, an jeder für sich, mit einem dritten zusammenfallen können, auch miteinander zusammenfallen können, in welchen Teil des Baumes man anch den einen oder den andern versetzt
Die Eigenschaft der Unveränderlichkeit der Figuren, welche wir zum Anfangspunkt genommen haben, kann, ebenso wenig wie die der Unbeweglichkeit des Baumes, eine strenge Definition zulassen. Wir können, in der Tat, nur relative Aenderungen der Figur und relative Fortbewegungen wahrnehmen. Alles was wir in Bezug auf die absolute Identität eines Ortes und einer Form behaupten, ist einzig auf die Identität unserer sinnlichen Wahrnehmungen gegründet Die Hypothese von der Unveränderlichkeit der Figur kann folglich nicht auf Erfahrungen beruhen, die uns befähigen, der Wirklichkeit imendlich nahe zu kommen, und die eine objective Gewissheit bieten. Wir nehmen diese Hypothese an, weil sie uns mit unsem physiologi- schen Eindrücken übereinstimmend erscheint, und weil sie auf die einfachste Weise die Erscheinungen erklärt, welche auf unsre Sinne einwirken.
Diese Hypothese brauchtnicht von vom herein in ihrem vollen Um- &ng angenommen zu werden, und das Studium der Geometrie zeigt, dass ihr voller Inbegriff sich als eine Folge aus gewissen passend gewählten besonderen Fällen ergibt.
Wird der Begriff der Unveränderlichkeit der Form zugestanden, 80 gibt uns die Erfahrung selbst den Begriff der Möglichkeit der Yer- Bchiebnng eines unveränderlichen Körpers im Baume, wie wir ihn kennen, an die Hand; ebenso wie eine ebene oder sphärische Figur
übersetzt von Felix Müller, 73
Ans der Erfahrnng wissen wir, dass es eine Fläche gibt, welche durch Umklappen auf sich selbst zu liegen kommt, welche also eine gerade Linie, mit der sie 2 Punkte gemeinsam hat, ganz und gar enthält*). Diese Fläche ist die Ebene.
Dieses sind die fundamentalen Hypothesen, auf welche die ersten 2ß Sätze Euklid's sich stützen, und welche zum Beweise für die Existenz der Parallelen führen. Man könnte das Studium der Geo- metrie verfolgen, ohne eine neue Hypothese zuzulassen; und die Ar- beiten von Lobatchefsky und J. Bolyai haben gezeigt, dass die obigen Hypothesen ganz allein genügen, eine voUsändigo Geometrie aufzu- bauen, welche diejenige als besonderen Fall umfasst, die uns die Er- fahrung als die mit den wirklichen Eigenschaften der Ausdehnung am meisten Obereinstimmende zeigt
Diese allgemeine Geometrie kann bis an's Ende entwickelt wer- den, ohne dass uns etwas zwingt, einem gewissen Parameter, d. h. einer in den meisten Massbestimmungen vorkoninienden Con- stante, einen bestimmten Wert beizulegen. Sie ist, fjr.nz unabhängig Ton dieser Bestimmung, absolut wahr; und wenn uus die Erfahrung einen Raum lieferte, in welchem die fundamentalen Massbestimmungen filr einen andern Wert dieses Parameters ausser Kuli bewahrheitet würden, so wären für diesen Raum alle erhaltenen Folgerungen rich- tig. So hat Herr Beltrami gezeigt, dass die ebene Geometrie von LübiitcLefsky und Bolyai ihre volle Verwirklichung iindet auf den Oberflächen mit constanter negativer Krümmung**).
Um aber eine mit der Erfahrung möglichst vollständige üeber- einstimmung zu erhalten, ist man darauf geführt, unter allen Werten, welche der in Frage stehende Paranittor ***) aimchinen kann, den Wert Null zu wählen, der sich zugleich lüs derjenige eigibt, welcher dem einfachsten und am leichtesten zu behandelnden Falle entspricht. Man
•) Man hat einen Bewiis für diese Kigenschnft ßcgebon, indem man von der Definition einer Ebene aU Ort einer Geraden , tlic auf den beiden Sehen- kein eines WinkeU gleitet, aasging. Siebe V. Valeriani, -Giomale di Matema- tiche. t VH, p. 376.
**) Saggio di interpretazione della Geometria non - eaclidea. Giornalo di Matematiche VI, p. 285.
•••) Dieter Parameter kann nicht allein negatire Werte annehmen, welche der Geometrie von Lobatchcfskj oder der hyperbolischen Geometrie, wie man sie in letzter Zeit genannt hat, (Siehe Klein, Math. Ann. t IV, p. 577) «ntsprechcn wflrden, sondern auch positive Werte, wie in der elliptischen
Geometrie, wo die Linien kfirzesten Abstnndes sich in mehr als einem Pankto
treffen können.
metrie. Diese Wafcl des Parameters enispricbt, in ihrer elementaren Form, der Hypothese einer einzigen Richtung fOr den Parallel tsmas.
Bis zu welchem Punkte war diese Wahl durch die Erfahrnng be- dingt? Das wnsste man vor den neueren Untersuchungen von Logendrc und Lobatchefsky nicht mit Bestimmtheit Man wusste hereits, dass die schärfsten Beobachtungen bisher keine Differenz mit der euklidi- schen Geometrie ergeben hatten. Aher erst diese beiden Geometer bewiesen, dass wenn die UcbereiDstimmung für Figuren von grossen Dimensionen stattfindet, sie nmsomehr iür Figuren kleinerer Dimen- sionen stattfinden mass, und ihre Scblttsso haben der experimentellen Voriiication der enklidischen Hrpothcse einen Wert und eine Bedeu- tung gegeben, die unvergleichlich höher sind als das, was man Ana- loges fUr die anderun physikalischen Wissenschaften erhalten kann.
So konnte, wie man weiss, die Erfahrnng zu den ersten Erfindern der Geometrie nicht sprechen. Sie sttttzcn sich, ebenso wie beut noch sehr viele moderne Mathematiker, hei ihren Beweisen auf Evi- denz-GrOnde, auf Anschaunngs-Grttnde, um Schlosse za umgehen. Sie vermehren lieber die Zahl der Axiome und vermeiden die PrOfung dos Axioms, .weil es „evident" ist. Die euklidische Hypothese ist zn dem geworden, was man Evidenz (Anachanung) nennt; sie ist be- rechtigt, den beiden Hülfemitteln des Erkennens, der Erfahrung und der logischen Behandlung, als vermittelndes Dritte beizutreten, and an der Fruchtbarkeit der einen wie an der Sicherheit der andern Teil zn nehmen. Für uns ist die Anschauung nichts anderes als eine Erfohmng, die so oft wiederholt ist, dass die Macht der Gewohnheit uns das Bewusstsein davon geraubt bat, und deren Resultate, dorch das Gedächtniss bewahrt, uns jedesmal, wenn wir darauf zurfickkom- men wollen, einer tatallcblichen Reproduction aberhehen. Es ist ans nnmflglich, ihre Wesenheit zuzugeben, da es so bequem ist, sich auf sie zu berufen, wenn die sicheren Gründe fehlen.
Man hat bemerkt, indem man teils nach einer geometrischen Construction, teils nach den Angaben eines geübten Auges urteilt, dass wenn man eine zu einer Geraden parallele Linie um einen ihrer Punkte noch so wenig dreht, ein Treffen heider Linien stattfindet. Das hat genügt, diese Tatsache unter die Principien aufnehmen zu lassen, und man hat sie daselbst behalten, weil alle ihre Folgerungen sich jederzeit in Uebereinstimmung gezeigt haben mit den verscbie- densten Erfahmngeh des Lebens und mit den genauesten wissen- BchafUichen Messungen.
Somit scheint nni festgestellt zn sein, 'dass die Geometrie, wie
Mberseta von Felix Müller. 75
die Mechanik, die Optik, die Theorie der Wärme und der Electricität ins zwei Teilen besteht: 1) ans einem physikalischen Teile, der zwar beschränkter ist als in den übrigen Wissenschaften, in den aber die fundamentalen Hypothesen Aber die Eigenschaften des Baumes gehören; er umfasst zugleich die Anwendungen dieser Wissenschaft . aaf das Studium der Natur, auf praktische Astronomie, Geodäsie, Topographie etc.; 2) aus einem theoretischen und abstracteu Teile, der die Hypothesen, die der physikalische Teil geliefert hat, welcher Art sie auch immer seien, in's Werk setzt; er allein hat An- spruch auf den Namen „cxacte Wissenschaft'S Diesem Teile allein kommt die mathematische Gewisshoit zu, die sich nur auf die Ueberoinstimmung der Hypothesen mit ihren Folgerungen, und keines- wegs auf den Wert der Hypothesen selbst bezieht. Die Prüfung der Hypothesen gehört ausschliesslich dem physikalischen Teile an, den dieselben in die cxacte Wissenschaft einzuführen und dann ihre Rich- tigkeit, sei CS direct, sei es nach ihren Folgerungen, zu ermessen hat
VII.
D«r Körperinbalt des senbrechteD Cylinclers and Kegels in d«r absoluten Geometrie.
Herrn A. v. Frank. Profctlor an iler Gewrttioscliulc in
Das VerfaLreu in der absoluten Geomctm: den Baumhihalt ciucs Körpers zu finden, ist dcmjeniacn ganz ähnlich, wclchta iu der ana- lytisubun euklidiscbou Gcometrio oingcschlagon wird; nur mit dem Uiitcrselkicde, ias& dio uuunillicli iiahi^u pni'allclcu Ebenen die dns Körperclemeut begrenzen, in dor absoluten Geometrie iu Flächen gleichen Abatandcs Übergeben.
Um die hier notwendigen Fläch cnbc Stimmungen vornehmen zu köuneu, musa mau sich erinnern: dass der Flüchenraum irgend einer, in der FlÄche gleichen Abstandcs = h liegenden Figur, zu dem Flüchcnraume d<ir Projection derselben anf die zugehörige Ebene ein constautca VerhilltuiBs be itzt, welches, wenn wir mit /' den Flileheu- raum der Figur, mit /jenen der Projection bczoichucn, durch die Gleichung
r-^^.
ausgedruckt ist*).
*) pag. 76. Ark. 64. der abs. Gcum. t. Friirhnur.
in der absoluten Geometrie, 77
Bei der vorliegenden Aofgabe werden wir beide Körper von kreis- förmigem Querschnitt voraussetzen ; der Flächenraum eines Kreises Tom Halbmesser «= r ist aber nach Art 59 des angeführten Werkes gleich
«Ä:«(«* + «~*— 2) 2)
mid auf Grundlage dieser und der Formel 1) wollen wir die Lösung der Aufgabe bewerkstelligen.
I. Cylinderinhalt.
Den Cylindor denken wir uns nach oben von einer zur ebenen Basis zugehörigen Fläche gleichen Abstandcs = h begrenzt Die den Cylinder erzeugende Gerade steht in jedem Augenblick senkrecht auf der Basis, daher, wenn wir im Abstände x und x-^dx von denselben Flächen gleichen Abstandes legen, wir Querschnittsfiguren erhalten, deren Projection stets der Basiskreis ist. Bezeichnen wir mit r den Halbmesser der Basis, mit/' die Fläche der Querschnittsfigur, end- Uch mit dp das zwischen den Flächen gleichen Abstandes enthaltene Körperelement, so haben wir sofort
dp = f'dx 3)
Der Flächeuraum der kreisförmigen Basis ist nach 2)
wA;«(e* + r»— 2) nach 1) ist aber:
ü+rs-2)f*-
/'^«fe«V«*-t-« *-2>/r "t* ] 4)
daher:
/ ?
dp = nlc^
CF+e"»"-2)(-
Die Integration zwischen den Grenzen 0 und h giebt sofort als Cylin- deriohalt:
p = !±*(eI-|-rF-2)(aV_,-7 + |) (I)
Durch Einführung der hyperbolischen Functionen erhält man etwas compendiösero Formeln,
Es wird dann:
p=-^(2Cogj^-2)(2@m^+^) oder auch:
p-«*»(«oä"^-i)(©h,^+^) (D
tin der abtohtttn Geometrk, 79
dp^2nk*((i0^^^-l\(i0f^*^dx 9)
Nan ist aber:
go§*^«=6:oS^e;os|--®m^@inJ 10)
^ Vereinfachimg führen wir folgende Bezeichnungen ein:
(So«>^ffo»*^— l=a
H) ©inj = i
Durch Benotzong dieser Schreihkürzung, und unter gleichzeitiger Be- rücksichtigung der Werte 8) und 10) erhalten wir Gleichung 9) in folgender Form:
b
do^j^Va-b^ . ®in| — «oS'^lcto
Durch die Integration des vorstehenden Ausdruckes zwischen den Grenzen 0 und k^ wird der Körperinhalt des Kegels gefunden; zeigen wir vorläufig diese Integration nur an, so haben wir:
=¥{«»»E/K-ft/"S'"'s+"
h h
-Si.rv„-rp/e..|<i«'if-. /«..-If }
• A
Die Auswertung dieser 3 Integrale ist nun sehr einfoch; man erhAlt nach einigen Reductionen, und weil
ya—b* - (Soi^jem^
ist, den Wert:
Ol iler aWblMi O^owutrU. 81
Um zo zeigen wie man ans den Fonneln der absolntei G^me«- trie jene der enklidischen erhält, wollen wir in Gleichung (11) f&r die Charakteristik des Raumes k^ den die euklidische Geometrie spe- daUsirenden Wert
h = unendlich gross
einl&hren, mttssen jedoch vorher die hyperbolischen Functionen in Reihen entwickeln. Es ist bekanntlich:
Sin« — « + 3j + g-j + ...
«o&«-l + 2j + jj + ... Gleichung (11) wird mit diesen Werten:
Kflrzt man durch # und k ab und hebt h heraus, wobei man zu* ^eich auch gleichen Nenner stellt, so kommt:
V+m^+"7 V^+3!ifc»+-7 warn man mit k^ im Zähler hinein multiplicirt, so hat man:
, . „, K3-I+-) 0+2^+-) " K2-I +-) (^+3&)
(^+2iī+"7 V+31P+-7
oder auch:
^21^-^3!^2!3!ifc*^- 8! 2! 2!3!ifc»
xik>A
P w^ Jgh
V + 2IP+ ••■~Jr + 3!Ä;«+ ••)
Führt man die hier angezeigten Operationen aus und bemerkt zugleich, das für 2; »od der Nenner gleich 1 wird, im Zähler alle Glieder verschieden, welche k cuthalten, so erhält man:
P-?(^-*«)
UlhO.
daher:
die bekannte Formel für den Cabikinhalt des aenkrectiteii der caklidischen Oeometrie.
Die Gleichung (It) l&SBt sich noch in einer anderen Form dar- stellen.
Der Neigangsninkel a, wetuben die Erzengeudu mit der Basis oinsctalic«st, war nach Gleichaiig 7)
®in;
Nun ist aber:
smu — . — —
®in^" )/lio9»jaoä»~l
Bin« 16)
Bezeichnen wir endlich mit 9 den halben Winkel au der Spitze des Kegels, so ist:
C08V =
t.fSoil 17)
Die Werte 16) nnd 17) eingesetzt bringen die Gleichnis (II) auf die Form:
p — nfc-(»C08ip— A) (II')
weUher Aosdntck dadurch bemerkenswert ist, dass derselbe keine bjrperboliscben Functionen enthält
j^atii.* Bmnm-kung Über J^mmetnekegdtckmHe i/«t l>r€itekM. 83
vm.
Bemerkung Aber Symmetriekegebeluiltte des Dreiecks.
Von Emil Hain.
I.
Ist r« der Abstand eines Punktes X von der Seite BC des Drei- ecks ABC'j so ist X ein Symmetriepunkt dieses Dreiecks, wenn atu «ine Dach b nnd e syromt* trische Function der Seiten a, 6, c ist und n, xe durch cyklische Yertanschung aus xa erhalten werden.
Liegt irgend eine Reihe von Punkten X so, dass die Normalen ^rselben der Relation:
(iiTa'{-biXh'\-CiXc = 0
Oeuflge leisten, wo o^^ic^ constant sind, so liegen die Punkte X auf einer Geraden. Sie heisst eine Symmetriegerade des Dreiecks, wenn h eine nach b und c symmetrische Function der abc ist und &i, e^ *u^h cyklische Ycrtauschung aus oj erhalten werden.
Liegt hingegen eine Reihe von Punkten X so, dass man hat:
99at9^'^guxi*'{-gceXc'^'{'2ghe!nare'\'2geasresra'\'2gakXaXh — 0
^0 die gaa und gbe constant sind; so liegen die Punkte X im Allge- mdnen auf einem Kegelschnitt. Er heisst ein Symmetriekegelschnitt ^es Dreiecks, wenn gaa und gbe nach b und e symmetrische Func- ^onen der aic sind und durch cyklische Yertanschung aus einander erblten werden.
Ist der Punkt JT, dessen Normalen paphpe sind, ein Symmetrie- ^^'i so nennen wir ihn den Symmetriepunkt pa- Ebenso heisst die °y^etriegerade, deren Gleichung:
Hain: Bemtrhmg Mber l^mm€iri«kegeJscknüU d«s Drnteks* 85
Wegen ^ ^ 1, 0, 0 ist aber Sa ^ 1, I» — Ic » 0; somit gma = lm^ ^ ««. ^^ » 0. Demnach ist die Form jedes dorn Dreieck polar ent- sprechenden E^elschnitts: (^, 0).
in.
Sind P und Q Symmetriepnnkte des Dreiecks nnd treffen die Geraden PA nnd QA die BC in Pa nnd Qa, so liegen die Punkte P^Qa anf einem Symmetriekegelschnitt.
Um mittelst dieses Satzes, der ans dem Camot'schen Theorem hergeleitet werden kann nnd zuerst Ton Steiner angestellt wurde, die Gleichung dieses Kegelschnitts zu finden; setzen wir P^po, Q = qa» Es ist dann:
Pa^O, ph^ pe Qc^O, qbi qe
Nach Einfiüimng dieser Werte in die allgemeine Form (gaaj gu) er- halten wir:
giihpb^'\-gccpc^'\'^gbephpe — 0
ghbqb^ '\'geeqc^'\'^gheqibqc — 0
woraus:
flr» ^ 2pcqe 2ycgcPflgo
ghe^ Pbqe '\-ptqk'^ Pnqaiphqe-^Peqi»)
gee 2y6g6 ^paqaphqh
ghe pbqs '•\-pcqb "^ Paqaiphqc-i-peqh)
Biese Gleichungen berechtigen zur Annahme, dass:
ghk =■ ^p€ qepnqa , gcc = 2pa qapb qb^ gbe = ^ paqa{pbqe "{-pc qb)
Die Form des Symmetriekegelschnitts ist dann:
{2pb qbpe qe , — pa qa ( P6 2c -f- pc Jft)]
Ihre Richtigkeit wird durch Einsetzen der flbrigen Werte für die Punkte PaOa bestätigt.
Es entspricht also jedem System zweier Symmetriepunkte des Dreiecks ein Symmetriekcgelschoitt, welcher durch die Schnittpunkte der Ecktransyersalen der beiden Punkte mit den Gegenseiten geht
Hain: Bezi^ung^n wiu DreMct mu einer Geradmu 87
IX.
Beilehiiiigm eines Dreiecks zu einer Geraden«
Von
Emil Hain,
I.
Trifft eine Gerade die Seiten BC des Dreiecks ABC in Ä\ so bilden die (reraden ÄÄ' ein Dreieck, dessen Flächeninhalt gegeben ist durch den Ausdruck:
4Fi7aoj«
WO ahcF Seiten nnd Fläche des Urdreiecks bezeichnen, nnd
die Gleichung der Geraden A*B'C' in trimetrischen Punktcoordinaten ist, das Dreieck ABC zum Fnndamentaldreieck gewält.
Man findet zunächst:
AA'=0 b^ c, BB'iSOi 0 ci CC'=ai bi 0. Das von drei Geraden
gebildete Dreieck hat zum Flächeninhalt O den Ausdruck:
abcFJ*
O -
Jßd^J^
Hain: Bezukungen eitles Dreieeks tu nner Geradm.
89
Sonacb ist lff'C" =
— e<ii abi — Äöj
boi — bc^
abi — ba^ cb^
— bCj CQi'-^ac^
Cb^ '^COi
Die Werte dieser Determinanten sind:
bica^bi^^abi^i — ^ ^1 <*i) c (ab^ Ci -{-b ü| Oj — ca^bi)
Sie werden dnrch cyklische Vertauschung aus einander erhalten. Ist öj eine Symmetricgerado des Dreiecks, so ist auch o(Ä<?iai + €€1^ bi — ab^c^) nach b und c symmetrisch. Die A*\ das sind die Mitten der AA% liegen also in einer Geraden. Sie ist zugleich diejenige, in wacher nach Gauss die Mitten der Diagonalen eines Viorseits liegen. Wir wollen sie deshalb die Gaussische Gerade der A^ in Bezug auf das Dreieck ABC nennen.
Es kann gefragt werden: von welcher Geraden a^ ist die Gaussi- Bcbe Gerade eine gegebene a'7
Dann hat man das System der Gleichungen:
abciC^-^acaib^ — a^b^Ci = a' — b^Ci<ii'-\^bcaib^'{'babiCj = b' •^cbc^<ii — <^aibi'\^cabiCi = c'
woraus:
h<fi
«1 =
— 6« +bc &' + cb — <?« c'
(a5'+Äo')(a(?'+<?a')
= 2abe(bc'+eb') = be'+cb'
Die Harmonikale des Punktes bc'-\-cb' ist: (oä'-}-*«') (ac'4- <?«')• Somit ist die Gaussische Gerade der Harmonikaien des Punktes biZ+eb' die Gerade o'.
Die Gaussische Gorade der Harmonikaien des Punktes b'{-e ist die Harmonikale des Inkreiscentrums. Die unendlich entfernte Ge- rade entspricht sich selbst als ihrer Gaussischen (Geraden.
construirt man die Harmonik^en eines Punktes P in Bezog nnf die BD erhaltenen drei neuen Dreiecke; so bilden diese ein Dreieck mit dem Flächeninhalte 9, so dass:
9 —7
9f(2:o,ya)»nnpa
wenn P^pa oad £0^x0 — 0 die Gleichung der Geraden A'B'C ist. Zorn Beweise dieser Formel constrairen wir die Harmonikale von P in Bezug aof das Dreieck AB'C. Wir ziehen also die Ge- raden PA, PB', PC' and verlängern dieselben bis za ihren Gogen- aeiten in diesem Dreieck. PA treffe B'C in Aa, PB' die AB in C«, PC die AC' in £.. Ferner treffe A^Ba die AB in c;', A„Cm die ^C in £■'. Es ist dann Ba'Ca die Harmonikale von i* in Bezog anf das Dreieck AB'C Wir erbalten:
|
^' = 0 |
"i |
-». |
|
3' = -c' |
0 |
<h |
|
c- = i. |
— a |
0 |
|
'A =0 |
J». |
— P» |
|
'B's-.,p, |
"iPc+OlP« |
— c,pt |
|
■C' = -a,p, |
-»iP. |
«iP«+*iP» |
|
A. = i,pt+c,J)c |
— Ojp» |
— "iP* |
|
B. = c,p.+b,p, |
0 |
+.%P. |
|
C. = »iP.+«iP. |
+«iPi |
0 |
SO ist:
jlaBaS ffl,pip« pe(*+4iP0 — P*(ajPa + S,i>l)
j*aC» = Qiptpc — Pe(o,pa+CiP«) P*(«+Cil'e)
Ferner trifft Ja fifl die .^J' in C^' und .i4a d die ..!£ in £a. Dann ist: B«'= i+c,pe 0 —<HPt
Ca'm i+*ip» — «iP* 0
B,'Ca,'^a,ptpt pe(«+6iP») P»(« + C,pe)
Nun haben wir die Formel ftlr 4> in I. zu benflUen.
Bainx Bvtidmngem eme$ Dreiecke «u emtr Gtradtn*
91
d
Die Bechmimg gibt:
3€»ilp,
^•S
«l)a[aiPa -^öpa + C^rft+^^Pc — 2apa) ^Oj^a]
Hieraas folgt:
Die Determinante ^ kann nur dann Null werden, wenn *»JS»jpa-*0 d. h. wenn P aaf der Geraden a^ selbst liegt Die Ba'Ce! fallen dann mit der o^ zusammen.
Ist die Gerade a^ die Harmonikale des Punktes pa, ist also n, z=p^p^; 80 ergibt sich:
4^
243FiIapa
i7(4ip6+ 4c|i« — 6apa)
Ist P das Inkreiscentrum, so sind für den Fall 46-|-4c = 5a zwei der Harmonikaien einander parallel.
IV.
Trifft eine Gerade die Seiten BC des Dreiecks ABC in A\ und constmirt man von einem Punkt P in Bezug auf die neu so ent- Btandenen Dreiecke AB'C die Harmonikaien BdCa^ so treffen die ^iCa die BC in Punkten einer Geraden. Dieser Satz, der von Cayley herrtthrt, wird bewiesen, wenn wir den Schnittpunkt ^ der ^iQj mit BC suchen. Es ist:
|
BtlCa^ OtPhpe |
Pd^ + hPh) |
Phi^ + C^pe) |
|
BC=1 |
0 |
0 |
|
^ = 0 |
Pb{s + Cipe) |
— pe{i+hPh) |
|
Bi = '-pa(i+Cipe) |
0 |
Peii + Oipa) |
|
Q =pa(i+biPh) |
—pbii + thpa) |
0 |
|
^lOt=phpe(B + aiPa) |
PcPa(B + b^pb) |
Papb(t + €tpc) |
Daraus geht hervor, dass die B^C^ eine Symmetriegerado des Drei-
ecks ist and die A^ in einer Geraden liegen. Die Harmomliale von P in Bezug luif das Urdreieck ABC trifft die Oerade a^ in dem Paukte
Es li^ sonach auch der Schnittpankt der Harmonikalen von P in Bezog anf das Urdreieck mit der oj in der Geraden der A,. In dieser Fassang, welche eine symmetrische Eigenschaft der Harmoni- kalen aller Dreiecke ans einer Geraden hegreift, hat Cayley obiges Satz bewiesen. Deshalh wollen wir die Gerade der At die Cayl^- Bche Gerade des Fnnktes pa bezflglich der Geraden a^ nennen.
Ist Ol =ptpc d. h. die Earmonikale von pa, so ftllt die Cayle;- scbe Gerade mit ihr zusammen. Die Harmonikale ^es Pnnktes entspricht sich also selbst als ihrer Caylßy'scfacn Geraden.
Man kann fragen; fOr welche a^ ist die Cayley'sche Gerade be- züglich eini-B Punktes pa eine gegebene a'? Es ist dann:
ipaptpiOt-h Pi*P*h + J"*l''!*<'l = •*' Ptpa'Oj + ipapiptii + pc'paO^ — *' Pa'ptOi + papt'hj +2paptFeCi— c'
a Pi'pe pbPt'
b' "ipaptpc pt'pa
"' P'Pi* 2pop»pe
= ptpe (3 a'pa — b'pt — c'pc)
Für welche o, bezfiglich des Punktes pa ist also die Cayley'sche Ge- rade die Harmouikale des lukreiscentrums ? Hier ist:
«' — 1, Ol — J>»pe(3|>o— p»— Pe)
Die Cayley'Bche Gerade der o, bezüglich des Punktes pa ist: piptUt + OjPq), wenn (} =- Soipa- Ist nun a^ seihet die Cayley'scbe Gerade der a, bezüglich desselben Punktes, so ist:
"t^PtPcit+'hP'), • = io,Pa <hPa — P'PtPtit+OjPa) , «1 = Sotp, — ittlpa
Die Cayley'scbe Gerade der Cayley'Bcben Geraden der o, bezttg- lieh des Punktes p« hat also die Form:
P»P«(5e+o,pa).
Wien, December 1875.
Bain: UAtmgiomfyahm. 98
X. üebnngsavfgabeiu
Von
Bmil Hain.
1. 8fttxe ttber Breleeke mit einer Mittelseite«
Ist im Dreieck ABC die eine Seite BC » a eine solche Function der beiden andern Seiten b und c, dass a ein Mittelwert zwischen diesen Seiten ist; so kann die Seite a die Mittelseite dieses Dreiecks geBannt werden. Die gewöhnlichsten Fälle sind dann:
|
2a |
— Ä + c |
|
a». |
^bc |
|
2 a |
Eis DreiedE, in welchem die Mittelseite einer dieser Functionen ent- ■pncht, faeisse bzhw. arithmetisch-, geometrisch-, harmonisch-propor- tional. Für solche Arten von Dreiecken gelten dann verschiedene Beziehimgen, deren einfachere hier folgen und Ton welchen die meisten ^e Umkehmng zulassen.
1. Die Höhe auf die Mittelseite eines arithmetisch-proportionalen Dreiecks ist das harmonische Mittel der andern Höhen.
2. Der Inkreisradius eines arithmetisch-proportionalen Dreiecks iit tf eich dem Drittel der Höhe auf die Mittelseite.
3. Die^ Inkreisradien zweier flächengleicher arithmetisch-propor- tionalen Dreiecke verhalten sich umgekehrt wie die Mittelseiten.
94 Batn: Üel>ung»<iu/yah€H.
4. Die Flächen zweier arithmetisch-proportionalen Tangenten- dreiecke eines Kreises verhalten sich so wie die Mittelseiten.
5. Der Radius des die Mittelseite eines arithmetisch-proportio- nalen Dreiecks von Aussen berührenden Ankreises ist gleich der Hohe auf die Mittelseite.
6. Das von den Summen je zweier Seiten eines arithmetisch- proportionalen Dreiecks als Seiten gebildete Dreieck ist ebenfalls arith metisch-proportional.
7. Werden die Seiten eines arithmetisch-proportionalen Dreiecks um gleich viel verlängert oder verkürzt; so ist auch das aus dieseu Seiten gebildete Dreieck arithmetisch-proportional.
8. In einem anthmetisch-proportioiialen Dreieck ist nie das doppelte Rechteck aus den die Mittelseite umschliessenden Seiten gleich der siebenfachen Summe der Quadrate dieser beiden Seiten.
9. Ist in einem Dreieck auf eine Seite die Höhe gezogen und ist sie arithmetische Mittelseite für die so entstandenen Teildreiecke, so sind die beiden andern Seiten gleich laug.
4
10. Wenn der Sinus eines Winkels in einem beliebigen Dreieck sich verhält zu seinem Cosinus wie das dreifache Rechteck aus der Gegenseite und aus dem Umkreisradius zum Rechteck aus den beiden andern Seiten; so ist das Höhenfusspunktdreieck dieses Dreiecks arithmetisch-proportional
11. Sind in einem Viereck die beiden Diagonalen gezogen, und sind für die so entstandenen Dreiecke, deren gemeinsame Spitze im Diagonalschnittpunkt liegt, die Seiten des Vierecks arithmetische Mittelseiten; so ist das Viereck ein Kreistangcnteuviereck.
12. Die Höhe auf die Mittelseite eines geometrisch-proportionalen Dreiecks ist die mittiere Proportionale der beiden andern Höhen.
13. Haben zwei geometrisch -proportionale Dreiecke gleichen Flächeninhalt, so verhalten sich ihre Umkreisradien ebenso wie die Würfel ihrer Mittelseiten.
14 Haben zwei geometrisch-proportionale Sehnendreiecke eines Kreises gleichen Flächeninhalt, so sind ihre Mittelseiten gleich lang.
15. Sind zwei geometrisch-proportionale Dreiecke einem und demselben Kreise eingeschrieben, so verhalten sich ihre Flächen- inhalte wie die Würfel ihrer Mittelseiten.
16. Haben zwei geometrisch-propoitionale Dreiecke die Mittd- Seite und deren Gegenwinkel gleich, so sind die Summen der Quadrate der andern Seiten in beiden Dreiecken gleich.
Bain: üthungtaufgohen. 95
17. Wenn i^ einem Viereck die Diagonalen gezogen sind, so atstehen vier Dreiecke, wovon jedes eine Seite des Vierecks enth<> Sind diese Dreiecke in Bezog anf die Viereckseiten geometrisch- proportional, dann sind die Rechtecke aus den Cregenseiten des Vier- edcs einander gleich.
18. Die Höhe auf die Mittelseite eines harmonisch-proportionalen Dreiecks ist das arithmetische Mittel ans den beiden andern Höhen.
19. Haben zwei harmonisch-proportionale fl&chengleiche Dreiecke die Gegenwinkel der Mittelseiten gleich, so verhalten sich diese um- gekehrt wie die Summen der beiden andern Seiten.
20. Die Quadrate der Mittelstiten zweier flächengleicher harmo- nisch-proportionalen Sehnendreiecke eines Kreises verhalten sich um- gekehrt wie die Summen der beiden andern Seiten.
21. Ist das Quadrat einer Seite eines Dreiecks das arithmetische Ifittel aus den Quadraten der beiden andern Seiten, so ist das aus den Summen je zweier Seiten dieses Dreiecks als Seiten gebUdete Dreieck harmonisch-proportional.
22. Sind in einem Viereck die beiden Diagonalen gezogen und ist in jedem der vier Dreiecke, deren gemeinschaftliche Spitze im Diagonalcnschnittpunkt liegt, die Viereckseite harmonische Mittelseite; 80 sind die Summen je zweier reciproken Gegenseiten einander gleich.
23. Nur im gleichseitigen Dreieck ist jede Seite das arithmetische, geometrische oder harmonische Mittel der beiden andern Seiten.
24. Ist eine Seite eines Dreiecks sowol die mittlere Proportio- nale als auch das arithmetische Mittel der beiden andern; so ist das Qoadrat der Mittelseite das arithmetische Mittel der Quadrate der beiden andern Seiten und das Dreieck ist gleichschenklig.
25. Ist die Mittelseite eines geometrisch-proportionalen Dreiecks auch harmonische Mittelscite, so ist das Dreieck auch arithmetisch- proportional.
26. Liegt die Mittelseite eines arithmetisch-proportionalen Drei- ecks einem Winkel von 60^ gegenüber, so ist das Dreieck gleichseitig.
27. Haben zwei flächengleiche Dreiecke, das eine arithmetisch-, das andere geometrisch-proportional, eine und dieselbe Mittelseite; so ist das sechsfache Rechteck aus dem Inkreisradius des ersten und ans dem Umkreisradius des zweiten Dreiecks gleich dem Quadrat der Mittdseite.
28. Zerlegt jede Diagonale eines Vierecks dasselbe in je zwei
95 Bain: ütbtngBaufyaheH,
Dreiecke, bo dass die Diagonalen arithmetiache, geometrische oder harmonische Mittelseiten bilden, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
29. Es gibt keinen Punkt in der Ebene eines gleichseitigen Vierecks, dessen Verbindnngsgeraden mit den Ecken Dreiecke hilden, die in Bezug auf die Qaadratseiten arithmetisch, geometrisch oder harmonisch-proportional wären.
2. Sftlaie Aber die TransTersaleK, welche die Seiten eines Dr^teeks
in drei gleiche Teile teilen.
Auf den Seiten i?, C des Dreiecks ABC seien die Pnnkte Ae and
1 a
Ai 80 gelegen, dass BAe » AeAh »* AhC « ^BC -» =• Für die
Transversalen AAc nnd AAh gelten ausser den bereits im ArchiT (LV. 331. LVn. 324.) mitgeteilten Beziehungen noch folgende:
1. Die Schwerpunkte der Dreiecke AhBeCa und AcBaCb fiallen mit dem Schwerpunkt des Urdreiecks zusammen.
2. Die Paare der Geraden AcBe und AhCb schneiden sich im Schwerpunkt des Urdreiecks.
3. Die Paare der Geraden BaCb und CaBe^ als auch die Paare der AhCa nnd AcBn schneiden sich in drei solchen Punkten, die als Ecken ein Dreieck bilden, dessen Schworpunkt mit dem des Urdreiecks zusammenfällt.
4. Wird eine Seite eines Dreiecks in drei gleiche Teile geteilt und jeder Teilungspunkt mit dem Gregeneck verbunden; so ist das Rechteck aus dem Umkreisradius des ganzen und aus dem des mitt- leren der drei so entstandenen Dreiecke gleich dem Rechteck aus dem Umkreisradius der beiden andern Teildreiecke.
5. Sind p, potf, Qaay Qah die Inkreisradien der Dreiecke ABC^ ABAey AAc Ab ^ ACAh\ so ist:
1 + ^-1 = 2:(i+i)
6. Sind «, tac^ taa, tob die Paralleltransversalen (Archiv LVU. 438.) der Dreiecke ABC^ ABAc^ AAcAh^ ACAh\ so ist:
7. Zieht man durch die Ecken eines Dreiecks zu den Oegenseiten Gemde, welche diese in drei gleiche Teile teilen und bildet aas je
tiain: Üebungtau/ge^eh, 9 f
drei abwechselnden Transrersalen ein Dreieck; so verhält sich der n&cheninhalt jedes dieser beiden Dreiecke zu dem des Urdreiecks wie 7:9.
8» Die Dreiteilongspnnkte (Abj Äc) der Seiten eines Dreiecks Hegen in einer Ellipse, deren Gleichong:
22a^Xa^ — bHabxaXb = 0
wo xa die Normale eines Punktes auf die Seite BC ist.
8. Tersehiedene Breleeksfttze.
1. Aus den Summen je zweier Seiten eines Dreiecks als Seiten kann immer ein anderes Dreieck gebildet werden. Sind a, by e die Seiten des ersten Dreiecks, also h'\-Cy <?+«> a-^-b die des zweiten,
so ist der Flächeninhalt des letzteren = '^ahc(a-^b-^c).
2. Sind o, 5, c die Seiten eines Dreiecks, so kann immer ein
Dreieck mit den Seiten VaA-j-ao, Vic+ca, ^ca-^-ah construirt wer- den. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist die Hälfte von dem Flächeninhalte des Dreiecks mit den Seiten a+i, *+<?, c+a.
3. Sind o, 6, c die Seiten eines Dreiecks, so kann immer ein Dreieck construirt werden, dessen Seiten V^^+c*, Vc*+a*, l/a*+ft* nnd. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist — \ VaV+ft'c'+cV.
4. Sind r und q Um- und Inkreisradius des Dreiecks mit den Seiten a, A, c; ^' der Inkreisradius mit den Seiten o-f"*» *"l~<^> ^"^^ 80 ist ^' = V2r(?.
5. Wird auf der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ausser- halb (innerhalb) desselben eine Seitoechte errichtet, so ist der dop- pelte Abstand des Gegenecks der Basis von dieser Normalen gleich der Summe (Differenz) der Abstände der andern Ecken von derselben Geraden.
Wien, October 1875.
WH ut. 1
98 kUceilen.
XL Hiscellen.
1.
Prodaet einer unendliehen Factorenreilie«
Im Folgeodai wird bewieseD, dass
4 H
[tangar].Vtaug2a;.>/tang4a;.ytang8fl5 . . . =« [2sina;]* (I)
Setzt man in der identischen Gleichung
28in*a tanga = . ^ ' ^ sin 2«
der Reihe nach:
a « a;, 2af, 4a;, . . . 2«-1|b
80 erhält man:
tanga? = -.
2 sin'«
sin 2a;
'^t0iXLg2x = 8in2x.-7==
y sin 4a:
* / V2
y tang4a: « y sin 4a; . 4
y sin 8a;
-1 2^-2 ^^
ytang(2--ia;) ■= y8in(2"-ia;).^j^
ysin(2"a;)
MsceÜen, 99
and nach Multiplication dieser n Gleichungen:
4 8 ___ g**-^
[tangx].l/tang2x.ytang4cYtangac . . . l/tang(2**-iiir)
2.V2.y2.y2 . . . y2.[8ingp _ 2. 2*. 2^2^ ... 2^'*~\[sina?3»
^* 2**""^ 2**""'^
y8in(2^a;) V8in(2"aj)
^ 2 ^ ^ . [sinxY _ _[28in^]2_
"~ 2^-^ "" 2*»2^'^
y8in(2"a;) y2 8in (2»»a;)
das ist: (II)
, * 8^—- - f-ll^ [28ina:]»
[tanga:].ytang2x.ytang4«.ytang8x . . . ytang(2"-ia;) — ^^:ii
ysin(2«^ Der Nenner dieses Ausdrucks lÄsst sich in folgender Reihe entwickeln:
gn— 1 2^
ysin(2»»x) =y{l— [C08(2*a;)]2j
=* 1 - ^ [C08(2^x)y + ^"^ f ,2 ' [C08(2»a:)]^-. . . (a)
welche converglrt, wofern nur x nicht von der Form
hn
für ganze Zahlen Jfc, ä ist. Für n = oo verschwinden alle Tenne ausser dem ersten; daher hat ohiger Nenner den Grenzwert 1, und es resultirt die zu beweisende Gleichung (I).
Formel (I) kann man auf andere Art dircct erhalten. Setzt man:
4 8
[tangir].ytang2x.ytang4a:.ytaug8x ...=•/ so ist
logtanga;+ilogtang2aj-}-ilogtang4a5+ilogtang8a:4- . . . = logJ
Durch Substitution von w = 2«, 4a;, 8x, 16a;, 32ic ... in eine bekannte Formel:
logtangö = — 2[co82r-|-Jcos3M?+lco85M?+}co87MT+ . . .]
7*
iÖO MiiCMÜtn.
erhält man die Gleichungen:
logtang« « — 2[co8 2a; + icos6«+icosl0«-f-!co8l4fl;+ . . .] ilogtang2iB «= — [co8 4x+ Jco8l2«-|-4co820a;+ico828«-|- • • •]
Jlogtang4a: = — J[co8 8x + Jco824a;+lco840r+5c08Ö6«-|" • • •] ilogtangS« «= — J^[cosl6it-|-Jco848a:+ico8 80a;+ . . .]
und durch Addition
log«7 = — 2[co82fl;-|-^co84a;4-ico86fl:-f ^C088x4-ico8l0a;-j~ • • •] Und weil
21og[28inx] =— 2[co82fl:+icO84ar4-ic086x4-ic088fl!+ . . •]
80 ergieht sich:
logJ« 21og[28in«] = log[28in«]* woraus:
J«[28ina:]*
was in beweisen war.
Durch Substitution der Werte
1
**°^* ^ cotg* wird hieraus:
4 8
[cotg«].ycotg2x.ycotg4r.Vcotg8j- . . . =- [Jcosecx]* (HI) Die Formeln (I) und (III) lassen sich auch schreiben:
4 8
Vtang2r.>'tang4x.Vtang^ . . . = 28in2x; (lY)
4 S
Vcotg2jr,ycotg4x.> cotgöjr , . . = icosee2x (V)
O. Dobiciecki,
T<rrlintker m Warechan.
* • " J
MisceUen, lOl
2.
H5he des Sehwerpuiktes eines Pyramidenstatzes, dessen Biehtisrkeit Ton der antem bis znr obem Flllehe sieh progrressi? yerllndert.
Es ist von mir in dem Archiv Teil 58. Seite 185 etc. ein Aufsatz Aber Grenzwertrechnnng erschienen, welche auf höheren Bildungs- anstalten die Integralrechnung teilweise ersetzt; mit dieser Rechnuug soll obige Aufgabe gelöst werdeu.
Es sei g die Grundfläche einer Pyramide, h ihre Höhe ; man teile die letztere von der Spitze an in n gleiche Teile, lege durch jeden Teilpunkt eine Ebene, parallel zur Grundfläche und stelle auf jede
Dnrchschnittsfigur ein Prisma von der Höhe -h\ der Rauminhalt des ssten Prismas ist:
Die Dichtigkeit d^ Pyramide sei an der Spitze d^^ an der Grund- fläche ^, so ist die Dichtigkeit des a;ten Prismas
dx-do+lid^-do)
folglich das Gewicht des betreffenden Prismas :
Nimmt man hiervon den Grenzwert der Summe von a; = m bis a; » n, so ist das Gewicht des Stutzes von der Höhe (l \h%
Multiplicirt man das Gewicht des Prismas Pz mit dem Abstände
desselben von der Grundfläche, d. i. (l JA, so erhält man das
Moment desselben in Beziehung auf g :
fic' x^ x^ ac*
Nimmt man hiervon den Grenzwert der Summe, so ist das Moment des Pyramidenstutzes:
-\[^-'S)3^^^-^^
• _•
lOß
• •
• ••
• ••
• •
MisceUen.
Die Höhe des Schwerpunktes über der Grundfläche g ist
5-#
G
d. L
5 —
Hebt man den Bruch mit (l )^ä, setzt f 1 Ja = Aj
ordnet, so ergiebt sich:
und
8
Bezeichnet d^ die Dichtigkeit an der obern Fläche des Stutzes, so ist
m rfj « do + -K— ^), oder d^ —
Wenn man diesen
1 —
Wert von d^ einträgt, so erhält man:
n
S =
2
5
m'
Nun ist aber -^
n'
9'
daher
?=K?.'»
trägt man dies ein, so ist:
zig+^V99i + ^gx)^d^-hl(^9 + ^V9ffi + ^9i)htd^
(9 + ^V99i + ^9i)di + (3g+2Vgg,+g,)d,
Setzt man in S die Dichtigkeit gleichförmig, also rf^ « i/g, so ergiebt sich als Schwerpunkt des Pyramidenstutzes
denselben Ausdruck erhält man, wenn man den Unterschied der
MiaceHen. lOg
Momente der ganzen Pyramide und dos abgeschnittenen Stflckes durch den Banminhalt des Stutzes dividirt
Wird gi » 0, so ist die Höhe des Schwerpunktes über der Grund- fläche:
^^b^V'^d^T^'
ein Aasdruck, der in § 9 des angeführten Aufsatzes gefunden worden ist
Plauen i/V. den 16. Dec. 1875.
F. K Thieme.
3.
Etil Beitrag mr Messniig tor elektrometoriseheB Erftfte Ton
Stromquellen*
a) Absolute Messungen.
Die Wirksamkeit einer Stromquelle häugt ab von der elektro- motorischen Kraft und von dem Widerstände in der Quelle selbst Das Ohm'sche Gesetz gibt Mittel an die Hand, diese Stücke auf be- stimmte Masse zurückzuführen und ihre absoluten Werte darnach auszumitteln. Die absolut^ Werte der elektromotorischen Kraft E und des Widerstandes W einer Stromquelle ergeben sich durch Com- bination der Resultate einer hinreichenden Anzahl von Versuchen, die man auf verschiedene Arten einleiten kann. Das Verfahren, wel- ches ich einhalte zur Messung der elektromotorischen Kraft £, besteht in Nachstehendem.
Bezeichnet S die Stromstärke , W den Widerstand im Elektro- motor und E die elektromotorische Kraft der Quelle, so besteht wenn kein Neusilberdraht weiter eingeschaltet ist, die Relation:
Wird nun ein Neusilberdraht von der Länge l eingeschaltet, welcher
S die Stromstärke iS auf - herabbringt, so hat man für diesen Fall die
Gleichung:
^«_Jl_ 11
Aus 11. entsteht: und mit Hülfe von I:
104 Mücellen,
E-^Sl — nE oder:
E =
n— 1
Wird nun n «= 2 so ist £ = Ä J IV, d. h. die elcktromotorisclie Kraft E ist gleich dem Prodocte der Stromstärke S bei keiner wei- teren Drahteinschaltung und der Länge l des Neusilberdrahtes, der
die Stromstärke iS auf » zurückbringt
In der Physik von KOlp Band m Seite 349 wird E bestimmt durch die Gleichung:
in welcher S und S^ die Stromstärken bei zwei yerschiedenen Lei- tungswiderständen bedeuten; dieselbe geht in E^SA über, wenn 1 — 0; iS| »> |/S und für /j » 2 gesetzt wird.
In der Gleichung: E » SJ wird der numerische Wert durch die £inheiten, welche der Stromstärke und dem Widerstände zu Grande liegen, festgestellt
Ein Zinkeisenelement A gab bei keiner weiteren Drahteinscbal- tung eine Ablenkung von 64^ 15\ um eine Ablenkung von 46^ an der Tangentenbussole zu erhalten, welcher Winkel dem halben Tangenten- wert von 64^ 15' nahezu entspricht, so musste ein 1,3 Meter langer Keusüberdraht eingeschaltet werden, in diesem Falle ist:
E — tg64* 15 X 1,3 = 2,e95;
d. h« die betreffende Kraft ist 2^695 mal grösser als digenige, wache bei dem Leitungswiderstande eines Keusilberdrahtes von einem Meter Länge und 1,5 Millimeter Dicke eine Ablenkung von 45^ an der Bussole hervorbringt
b) Relative Messungen.
Handelt e« sich um das Terhältiüss iw«ier StroroquelleB , so ist Iblgondes TeriüunNi nuiukahen, Ftr die rm Stn>»queüea bestehe
\
ftr Quoüi? .4:
'•"*w-t-# ^^*-* n.
Müctlkn, J05
und
^^w^ ni.
fE&r Quelle Bi
IV.
wenn S and S^ die Stromstärken bei keiner weiteren Drahteinschal- tnng, E und E^ die elektromotorischen Kräfte, und l und /^ die- jenigen Drahtlängen bedeuten, welche ihre Stromstärke auf den nten Teil zorackführen.
Aus I. und II. erhält mau:
inalog ans HL und lY.:
E — 7 . V.
n — 1
£, - ^V VI.
* n — 1
WO durch DiTision von V. und VI.:
^ = -^ vn
hervorgeht; d. h. die elektromotorischen Kräfte zweier Stromquellen sind direct proportional den Producten aus den Stromstärken bei keinen weiteren Drahteinschaltungen und denjenigen Drahtlängen, welche im Stande sind ihre Stromstärken auf den nten Teil der ur- sprünglichen Stärken zurückzubringen.
Wird /S => iS| dann entsteht ans Vn.:
E^ l_
E.'^l,
d. h. die elektromotorischen Kräfte verhalten sich wie die eingeschal- teten Drahtlängen, welche die Nadel von einer gleichen Ablenkung auf eine geringere Ablenkung zurückzubringen im Stande sind; ein Verfahren was Wheatstone einhielt bei der relativen Messung der elektromotorischen Kräfte von Stromquellen. (Siehe Physik von Külp Band UI Seite 350).
Das obige Zinkeisenelement A verglich ich mit einem anderen B das bei keiner weiteren Drahteinschaltung eine Ablenkung von 70^ 15' an der Tangentenbussole zeigte. Um nun eine Ablenkung von 54^ 15' zu erhalten, welcher Winkel dem halben Tangentenwert von 70^15' sehr nahe entspricht, so musste ein 1,10 Meter langer Draht einge- geschaltet werden, es besteht die Gleichung:
106 MUcelkn.
E^ _ tg64 X 1,3 2,695
El "" tg700 15' X 1,1 "" 3,063
£ : £i = 1 : 1,13.
oder:
Da bei meiner Tangentenbussole nur auf ^ Grad genau abgelesen werden kann, so nahm ich bei dem Element A nicht 46^ 2', sondern 46® und bei dem zweiten Element B nicht 54® 19' , sondern nur 54® 15'. Kttlp.
4.
lieber das Terhältniss der Stromstttrken einer Kette lu einem
einzisren Elemente«
a) Gleich starke Becher.
Für eine Kette von N gleich starken Elementen besteht der Aus- druck:
Ne
und für ein Element der «achstehende:
-i- II.
Wird die Stromstärke S der Kette auf - durch eine Drahtläiige i gedämpft, so wird:
- ^^ m
n Nw-\'g-\~l
erhalten. Die Gleichungen I. und n. liefern:
iVfl(n— 1) ö =
und für n « 2:
^= l
5 = ^ IV.
zieht man schliesslich II. in Betracht, so bokommt man:
Ä:«=» N{w-\-g):l V.
d. h. die Stromstärke einer Kette verhält sich zur Stromstärke oines Elementes wie das Product aus der Zahl der Becher der Kette in den Gesammtleitungswiderstand — Dämpfungslänge — eines Ele* jnentes zur Dämpfungslänge der Kette.
Mucdlm. 107
Sind in obiger Proportion alle Grössen bis anf / bekannt, so kann die Dämpfdngsläuge durch Rechnung gefunden werden, rtian hat:
Zwei gleich starke Zinkeiseneleroonte gaben das Nachstehende:
tg70 2.118
tg65^30'"" 190
1,252 = 1,242.
oder:
Dass die Elemente auch wirklich gleich waren, ergibt sich wie
folgt:
118 ^ W'\-g oder:
w — 118—4-1 = 74,
da 44 der Widerstand in der Tangoutonbussolc, ebenso ist:
190 = 210+44 oder: , iü = 73,
woraus die Stärkegleichheit der Elemente hervorgeht.
b) Ungleich starke Becher.
Sind die Elemente, welche zu einer Kette verbunden werden, un- gleich, so ist die Rechnung für zwei Elemente, folgende. Es bestehen fSir diesen Fall die Gleichungen:
s = -r^-nr I.
w-Y-w^-Yg und:
, « -^ II.
Bringt man die Stromstärke 8 auf - herab, so ist:
£ ^ ?lt_^[_„ III
aus I. und III. wird wieder:
(JK + A\)(n-1)
woraus für n == 2:
«= /
5 = -^-'+-^ IV.
108 Mücelien.
hervorgeht, und endlich anter Berücksichtignng von n.:
S (E+E^).(w+g)
E.l
V.
sich ergibt; d. h. die Stromstärke der Kette verhält sich zur Strom- stärke dos Vergleichelementes wie das Product ans der Summe der elektromotorischen Kräfte der Elemente in den Gesammtleitungswider- stand — DämpfungsläDgo — des Vergleichelementes zum Producte aus der Dämpfungslänge der Kette in die elektromotorische Kraft des Yergleichelementes.
In dem Ausdrucke Y. kann man auch fOr die elektromotorischen Kräfte die Producte der Stromstärken bei keinen weiteren Drahtein- schaltungen in ihre Widerstände — Dämpfungslängen — setzen, wo- durch derselbe in folgenden übergeht:
S _{Ws-^W^$^)W
s " Wsl '
Für eine grössere Anzahl als zwei Elemente, wird die Rechnung auf eine gleiche Weise geführt.
Die experimentelle Bestätigung der Gleichung: Y b) behalte ich mir vor. Külp.
5.
lieber das YerhUltniss eines kleinplattlgen Elementes zu einer
Kette von grossplattigen Elementen.
Die Relation für das kleinplattige Element ist:
und die betreffende für die Kette von N gleich starken Elementen, die folgende:
^-N^T— «•
s
Durch eine Drahtlänge Z, wird S auf - gestillt, wodurch man erhält:
^•-■j,-^^- m.
MUedUn, 109
Die GleichaBgen TL. und IIL geben den Aosdrnck:
S j .
der für f»B 2 in:
B-^ IV.
übergeht, worans anter Zuziehung von I. die Proportion:
eatsteht, d. h. die Stromstärke eines kleinplattigen Elementes yer- bfilt sich zur Stromstärke einer Kette von grossplattigen Elementen, wie die Dämpfnngslänge der Kette zum Prodncte aus der Zahl der Becher in den Gesammtleitungswiderstand — ' Dämpfungslänge des kleinplattigen Elementes.
Für zwei gleich starke Elemente zur Kette verbunden und einem kleinplattigen Elemente von nur halb so grossen Platten, erhielt ich das folgende Kesultat:
tg5l0 30^ 232
tg660 45' ""2X212 oder:
0,540 « 0,547.
Da die verschiedenen Untersuchungen alle nach demselben Prin- cipe ausgeführt werden, so ist es am Platze das Verfahren zu be- nennen, und schlage vor dasselbe mit dem Namen „galvanische Dämpfungsmethode^^ zu belegen. Külp.
6.
lieber die BesÜmmmiig des LeitmiigswiderstaBdeB der Metalle.
Der Leitungswiderstand der Metalle kann auch mit Hülfe der figalvanischen Dämpfhngsmethode'^ ausgeführt werden. Man hat in diesem Falle die Gleichungen:
a^^ T
«nd
8 B
n "■ W+x+X °*
wo jc den Leitungswiderstand des eingeschalteten Drahtes, von ge« gebener Länge, dessen Widerstand bestimmt werden soll, uid l die-
1 10 ^isrelUn.
jenige Länge Neusilberdraht — Znschusslfinge — bezeichnet, welche man noch hinzufügen muss, um die Stromstürke S auf — vollständig
herabzudrücken. — Die Länge des einzuschaltenden Drahtes muss marn jedoch so wählen, dass durch dieselbe S allein nicht schon
S Sf
— oder gar kleiner als - wird. Da die Widerstände der Metalle
n n
mit Kupfer als gutem Leiter verglichen weräen, so richtet man sich am besten bei der Wahl der einzuschaltenden Länge nach dem schlech- testen Leiter. Wird zwischen den Gleichungen I. und II. E eliminirt, so ist:
und für n = 2:
d. h. der Widerstand des betreffenden Metalls ist gleich der Däm- pfungslänge des Elementes — da W^ w-\-g^l — weniger der Draht- länge k — Zuschusslänge — welche noch eingeschaltet wurde, um S
auf 2 genau zurückzuführen. Wenn die Zuschusslänge A = 0, so ist a; = W d. h. gleich der Dämpfungsläuge selbst
Für einen zweiten Draht von anderem Material, aber von gleicher Länge und gleichem Querschnitt hat man analog:
folglich :
Werden die Differenzen {W—k) und (TT— A^) die Leitungs- factoren der entsprechenden Metalle genannt, dann ist das Verhält- niss ihrer Widerstände gleich demjenigen ihrer Leitungsfactoren.
Als Beleg mag folgender Versuch dienen. Nachdem 150 die Dämpfungslänge des vorhandenen Zinkeisenelements, das eine Ab- lenkung von 61^30' gab, gefunden, so wurde ein Kupferdraht und Eisendraht von gleicher Länge und gleichem Querschnitte nach ein- ander eingeschaltet, um die Zuschussläugen 141 und 95 zu finden; man hat hiernach:
X _ 150 -141 1
x\ "" 150—95 ^ 6,11'
d. h. die specifischen Loitungswiderstände — Leitungsfactoren — meiner Drähte verhielten sich wie : 1 : 6,11.
Wird die Leituogfähigkeit des Kupfers gleich 100 gesetzt, so ist
die des Eisens in diesem Falle 16,36 *).
Kttlp.
6. Zur Theorie des Maximums der Stromstärke.
Der Wert der grössten Stromstärke ist:
E
S
2VWG
wo man fOr TF, die Dämpfungslänge des Elementes weniger dem Widerstaade in der Tangentenbassole setzen kann, es ist nun:
2V(l-g)G
Wird G^ — > ^ ist femer g sehr klein, und kann gegen l vernachlässigt
werden, so ist:
E
d. h. das Maximum der Stromstärke ist in diesem Fall gleich der elektromotischen Kraft dividirt durch die doppelte Dämpfungslänge.
F^ einen anderen Maximalwert besteht analog die Gleichung:
und hieraus:
S:Si « El^xEJL,
d. h. die beiden Maximalwerte stehen alsdann in einem zusammen- gesetzten Verhältnisse, im directen Verhältnisse ihrer elektromotori- schen Kräfte und zugleich im umgekehrten Verhältnisse ihrer Däm- pfoDgslängcn.
Für £ = JBi ist:
*) Um üic VeiBDche bequem antf&hreo sn könnoo, so fertigt Herr Mecha- niker Waiblcr in DArmstadt einen Rbeostaten mit Feder und Zfthler für die ganzen ümdrehnngen an, der zu empfehlen ist; auch sind bei demselben em- pfindlicbo Tangentenbnssolen zn haben, die den nöUgen Grad der Feinheit betiuen.
112 MitcdUn.
d. h. die Stromstärken der beiden Maximalwerte verhalten sich um- gekehrt wie die Dämpfungslängen.
Wird 1 = 1^^ 80 ist:
d h. die Stromstärken der beiden Maximalwerte stehen im directen Verhältnisse ihrer elektromotorischen Kräfte, und endlich wenn S^S^^ so wird:
d. h. die elektromotorischen Kräfte verhalten sich gerade so wie ihre
Dämpfungslängen.
KOlp.
Rutht: üeber die Abhängigkeit zwischen Magnetismus und Härte etc. 1J3
xn.
Ueber die Abhängigkeit zwischen Hagnetisrnns und
Härte des Stahles.
Von
Herrn Dr. Ch. Ruths,
Lehrer an der Gewerbeschule zu Dortmand.
I.
Die bekannte Eigenschaft des Stahles, durch Anlassen zu ver- Bchiedenen Oxydationsfarben bequem in verschiedenen Härtegraden dargestellt werden zu können, bietet uns ein Mittel dar, den Einflnss der H&rte oder der dieselbe bedingenden Molecularkräfte auf den Magnetismus der Körper (zunächst des Stahles) einigermassen stu- diren zu können — eine Untersuchung, welche mit Rücksicht auf die magnetische Moleculardrehuugs-Theorle nicht ohne Interesse sein wird. Zwar haben wir in der Oxydatiousfarbe des angelassenen Stahles kein scharfes Kennzeichen über die Härte einer Stahlmasse; halten wir dieselbe aber in Ermangelung eines besseren einfachen Prüfungs-Mit- tels einmal fest, so wird man innerhalb gewisser Grenzen — insbe- sondere, wenn es sich um Vergleichuug von Stahlmassen handelt, deren Dimensionen nicht allzusehr von einander abweichen — die Oxydatiousfarbe als ein sicheres Moment zur Beurteilung «ler relativen Härte betrachten können.
Die Resultate nun, welche bis jetzt von verschiedenen Beobach- tern bezüglich der Grösse der Magnetismen verschieden harter Stahl- stäbe erhalten wnrden, sind, soweit mir bekannt, kurz folgende:
a) Inducirter (temporärer) Magnetismus. Alle Be- obachter stimmen hier in dem Satze überein, dass bei übrigens gleichen
TtU LIX. 9
114 Ituths: Üeher die Abhängigkeit
Verhältnissen ein weicherer Stab eine grössere Menge Magnetismus temporär annehme, als ein härterer Stab. — Ich werde in der Folge hierauf, sowie auf einige spcciellc Andeutungen verschiedener Physiker wieder zurückkommen.
b) Remanentcr (permanenter) Magnetismus. Hier sind die Ansichten geteilt; ich teile deshalb die Resultate der verschie- denen Exerimentoren kurz mit:
Coulomb*) fand für einen bei HS?® C. gehärteten Stahl- stab (Länge == 162 mm., Breite = 14 mm., Dicke —
5 mm.), dass derselbe durch Anlassen zu Temperaturen von 15® bis 1250® C. successive mehr die Fähigkeit, Magnetis- mus zurückzuhalten (Coercitivkraft) verliere, woraus folgen würde, dass ein weicherer Stab weniger permanenten Magne- tismus annehmen könne, als ein härterer. Ein cylindrisches Stahlstück (Länge = 336 mm., Dicke = 4 mm.) gab je- doch gerade das entgegengesetzte Resultat. Doch sollen dann stets im Innern des Stabes ausser dem Indifferenz- punkt in der Mitte noch zwei solche zu beiden Seiten auf- treten, welche dann, wenn das Verhältniss von Länge zu Durchmesser unter 30, mit dem Indifferenzpunkte in der Mitte zusammenfielen.
Das Resultat, dass ein weicher Stab weniger Magnetismus zu- rückhalten könne, als ein härterer, geht auch aus den Versuchen folgender Beobachter hervor:
Müller**): Versuche mit Stäben von 167 mm. Länge und
6 mm. Dicke.
Plticker***): Versuche mit harten und angelassenen Stahl- knöpfen von 14 mm. Länge, 8 mm. Durchmesser, welche von Magneten abgerissen worden waren.
Wiedemannt): Versuche mit Stäben von 220 Länge und 13,5 mm. Dicke.
Diesen Beobachtern stehen aber entgegen:
Hansteentt), der auf Grund von Versuchen mit Stahlstäben von 43 Lin. Länge, 1,1 Lin. Dicke dem weichen Stahle grössere Coercitivkraft zuschreibt, als dem harten Stahle.
*) Vergl. Biot, Trait^ de Physique, Tome III, pag. 108 etc. •*) Pogg. Ann. Bd. 85. S. 157. ) Pogg. Ann. Bd. 94. S. 28. t) Pogg. Aon. Bd. 106. S. 169 etc. tt) Pogg* Ann. Bd. 3. S. 286.
zwischen Magnetismus und Barte des Stahles. 115
Lamont*) tritt gleichfalls für diese Ansicht in entschiedener Weise ein, Vorsuche mit Stäben von 81,2 Lin. Länge, 1,5 Lin. Breite nnd Dicke mitteilend.
Die hiemach stattfindenden Widersprüche in den Angaben ver- schiedener Beobachter einesteils, andernteils aber die oben berührte Wichtigkeit des Gegeiistaudos mit Rücksicht auf die magnetische Drehungstheoric, veraulassteu mich, in dieser Beziehung eigene um- fassende Versuchsreihen mit Stahlstäben von den verschiedensten Dimeusionen anzustellen, indem ich stets solche von gleichen Dimen- sionen aber ungleicher Hürte der Einwirkung gleicher inducirender Kräfte unterwarf und beziehentlich inducirten und remaneuten Magnc- tismos untersuchte.
n.
Bei der Auswahl des von mir angewandten Materiales musste ich zuvörderst in Rücksicht ziehen, dass bei sehr langen Stahlstäben eine gleichmässigc Härtung mechanisch fast nicht err(dcht werden kann, wodurch dann in der Regel durch die mangelnde Structurhomogeneität auch eine uugleichmässige Verteilung des Magnetismus im Innern der Stäbe stattfindet. Ich habe daher bei meinen meiste a Versuchsreihen englischen Stahldraht verwandt, der in zahlreichen Dickeuverhältnissen im Handel vorkommt, und indem ich über eine Länge der einzelnen Stäbe von 120 mm. nicht hinaus ging, suchte ich vielmehr die ver- schiedenen Aeuderungen des Axcnverhältnisscs (Länge zu Dicke) durch Aaswahl verschiedener Dicken zu erreichen. — Ich teile indessen, aus den von mir an ca. 50 Stahlstäbeu angestellten Versuchsreihen nur die Beobachtungen an einem Satz von 120 Stäben mit, weil die flbrigeu im Wesentlichen doch nur die später gezogenen Folgerungen bestätigen. Von diesen 120 mm. langen Stäben gebe ich in der fol- genden Tabelle die Dimensionen etc.
|
Nr. |
Gewicht in |
Radius |
Volumen in |
Axen-Verh. |
|
mgr. |
in mm. |
cub. mm. |
approx. |
|
|
I. |
1990 |
0,85 |
272 |
70 |
|
IL |
4310 |
1,20 |
542 |
50 |
|
UL |
6220 |
1,45 |
792 |
40 |
|
IV. |
10550 |
1,90 |
1360 |
30 |
|
V. |
17500 |
2,45 |
2261 |
25 |
|
VL |
25650 |
2,95 |
3279 |
20 |
*) Hdbch. d. Magn. S. 849, S50, 258, 953, 883.
116 Rutha: Ueber die Abhängigkeit
Von jeder solchen Dimension (jeder Nummer) lies« ich 3 Stäbe verfertigen, die aus demselben Drahtstücke genommen wnrden and bei deren Auswahl, soviel äusserlich erkennbar, auf möglichste Homo- gcneität gesehen wurde. Sämmtliche Stahlstücke wurden nun in der bekannten Weise vollkommen (glashart) gehärtet, sodann von jeder Dimension ein Stück durch nicht zu schnelles einmaliges Er- hitzen im Sandbade und nachheriges langsames Abkühlen zur Oxyd.- Farbe „dunkelgelb" und ein desgl. zur Oxyd.-Farbe „dunkelblau" gleichmässig angelassen. Da zu gleicher Oxydati ous-Farbe bei der- selben Stahlsorte und übrigens gleichmässiger Behandlung wohl der gleiche Molccularzustand vorausgesetzt werden darf, so sehe ich auch bei einer später vorzunehmenden Vergleichung meiner Versuchsrosul- tate die Stahlstücke derselben Oxyd.-Farbe als von gleicher Strudur an. Hiergegen könnte man zwar noch einwenden, dass, insbesondere bei dickeren Stäben, durch die Operation des Härtens und Anlassens nur die Oberfläche eine bezügliche Veränderung erleidet, während der innerste Kern weich bleibt; da aber nach den bekannten Ver- suchen von V. Feilitzsch auch der Magnetismus eines Stabes sich zuvörderst in den äussersten Schichten ansammelt und erst mit wach- senden inducirten Kräften (mit der Annäherung an das Maximum) in das Innere eindringt, so wird doch dieser Umstand bei den folgend mitgeteilten Versuchsresultaten, wo die dickeren Stäbe von ihrem Maximum noch weiter entfernt sind, die gezogenen Schlussfolgerungen wohl kaum wesentlich beeinträchtigen.
III.
Die Magnetisirung der vorbeschriebenen 120 mm. langen Stäbe geschah zuvörderst mittelst einer Spirale von 2a = 120 mm. Länge, r = 9 mm. mittl. Radius und n = 320 Windungen tibersponnenen Kupferdrahtes. Ein dieselbe durchfliessender Strom von der Inten- sität i übt nach W. Weber*) auf einen in ihrer Axe liegenden, von der Mitte um b entfernten Punkt eines inducirten Stabes eine elektro- magnetische Scheidungskraft aus:
Die mittlere Wirkung auf einen symmetrisch gegen die Mitte in die Spirale eingebrachten Stab von der Länge = 21 wird daher sein:
^ =ä:/[('+,-=^.r+('+<JTs?r']-»
♦) ElcktrcKlyn. Mnssbcst. S. 546.
xmUchen Magnetismus und Bähe des Stahles. X17
oder nach AasfÜhrung der Integration and Einführung der speciellen
Werte:
Jr== 31,1.»,
welcher Wert jedoch ^vährend der Dicke der Stäbe nur ein annä- hender ist Die Stromstärke i wurde mittelst einer Tangentenbassole in der gewöimlichen Weise, in Erdkraft ausgedrückt, ermittelt.
Das in den Stäben inducirte Moment wurde mit Hülfe einer Bassole bestimmt, welche aus einer an einen Coconfaden aufgehängten 15 mm. langen parallelepipediscben Nadel bestand, auf welcher der Länge nach ein 80 mm. langer dünner Messingzeiger aufsass. Dieser spielte über einem in ^ Grade geteilten Kreise mit Spiegelunterlage sodass man man mit Hülfe der Lupe ^^ mit Sicherheit schätzen konnte. Diese Bussolo wurde auf Null gestellt und in der Ost -West -Linie senkrecht zur Richtung des magnetischen Meridianes die obengenannte Spirale in die constante Entfernung R^ von derselben gebracht Ein durch die Spirale geleiteter Strom verursachte eine Ablenkung, die aber durch einen von der Nord-Süd-Seito genäherten harten, knneu Magneten also compensirt wurde, dass die Nadel abermals anf Null einstand. Hierauf wurde der zu magnetisirende Stahlstab in die Spirale eingeschoben und die nunmehr erfolgte Ablenkung der Bassolen-Nadel abermals auf Null zurückgeführt, jedoch durch einen in der Ost-West-Linie senkrecht zum magnetischen Meridian von der entgegengesetzten Seite her der Nadel genäherten Compensations- Magneten, dessen magnetisches Moment M (in Erdkraft ausgedrückt), Bowie dessen Polabstände D (Entfernung der Wirkungs-Centren des freien Magnetismus von der Mitte des Stabes) vorher vermittelst Ab- lenknngs-Beobachtung ermittelt worden waren. Ist nun R die Ent- fernung der Mitte dieses Magneten von der Bussole, R^ diejenige der Mitte der zu messenden Stahlstäbe vom Momente M' (zugleich der Mitte der Spirale) und D' die Polabständo der letzteren, so besteht für den Fall, dass sich die Wirkungen der beiden Magneto auf die Nadel aufheben, die Relation:
2MR 2M'R'
{R^—D^)" (R'^ — D'^y
woraus das unbekannte Af' , in dem bekannten Moment M des Com- pensationsmagneten ausgedrückt, resultirt:
^ " R' (ä2 — Z)V -^
Betreffs der Magnetisirung der Stäbe füge ich noch hinzu, dass dieselben in fester Lage in die Mitte der Spirale eingebracht wurden,
118 Ruths: üeber die Abhängigkeit
worin sie ca. 1 Minnte verblieben, wäbrend dessen das indacirte Mo- ment auf die vorbeschriebene Weise gemessen wurde. Die Induction wurde nun nicht durch Stromunterbrechuug aufgehoben, indem ich die Wirkung des beim Ocfifnen in der Spirale statttindcnden Extra- stromes auf die Quantität des zurückbleil^enden Magnetismus vermei- den wollte; ich zog es vielmehr vor, den betr. Stab möglichst ohne Erschtttterung aus der Spirale nach derselben Seite auszuziehen.
Nach jedem solchen Versuche wurde selbstredend controlirt, ob die Stromstärke unverändert geblieben war, und ob der an der Nord- Süd-Seite genäherte Hülfs-Magnet noch die Wirkung der Spirale auf die Bussole paralysirte.
Nachdem dergestalt sämmtliche Stäbe bei derselben Stromstärke geprüft waren, wurde der Strom unterbrochen, sämmtliche Magnete entfernt und nun zur Messung des remanenten magnetischen Momentes der Stäbe geschritten. — Zu dem Endo wurden die vorher inducirtcn Stäbe in der Nord-Süd-Linie in die constante Entfernung E^ von der Mitte der Bussole gebracht. Die hierdurch bewirkte Ablenkung wurde hierauf durch den, schon bei der Bestimmung der inducirten Magne- tismen verwendeten Maassmagneten (Compensationsmagneten von Mo- ment M) durch Annähern desselben an die Bussole in die Entfernung R in der Nord-Süd-Stellung auf Null zurückgeführt Unter Zugrunde- legung dieses hat man, wenn D resp. Z>' wie oben die Polabstände des Maassmagneten (M) resp. des zu messenden Magneten (3f' ) be- zeichnen, die Relation:
M M'
(R^+D^)i^ {R'^+D'^)i
woraus :
,,, [R'^+ Z)'«li
Nach Vollendung dieser Versuchsreihe wurde eine zweite iuducirende Kraft in gleicher Weise, wie vorher, angewandt, ohne dass die Stäbe zuerst durch entgegengesetzte Ströme entmagnetisirt worden wären.
In dieser Weise bestimmte ich für mehrere aufsteigende Strom- stärken die inducirten und remanenten Magnetismen der einzelnen Stäbe. Zuletzt unternahm ich noch eine Magnetisirung mittelst eines Elektromagneten mit zwei aufrechtstehenden Schenkeln, welche letz- teren innerhalb der Grenzen von 3 — ca. 40 cm. vermittelst eines eisernen Ankers, worauf sie aufsassen, einander beliebig genähert und von einander entfernt werden konnten. Bei der Magnetisirung wurden diese Schenkel stets in eine solche Entfernung von einander gebracht, dass die zu magnetisirenden Stahlstäbe ca. 5 — 10 mm. auf Beiden
tmischen Magnetismus und MSrte des Stahles» X19
auflagen. Nach dem Aufsetzen der Stäbe wurden dieselben mittelst eines gewöhnlichen Stahlmagneten nach der Methode des einfachen Striches behandelt und hierauf ohne Erschütterung mit beiden Polen zugleich von dem Elektromagneten über einem vorher untergelegten Eartenblattc abgeschoben. Dieses Verfahren wurde mehrmals wieder- holt, bis ein erneutes Aufsetzen den remanenten Magnetismus nicht weiter yermehrte.
Bezüglich der in die obigen Formeln für die magnetischen Mo- mente eingeführten Polabstände Z>' der untersuchten Stäbe (Entfer- nungen der Wirkungs- Centren Ton der Mitte der Stäbe) füge ich noch Folgendes hinzu : Wenn wir annehmen, dass für Stäbe der glei- chen Dimensionen mit zunehmender iuducirender Kraft die einzelnen Teile der Stäbe ganz in gleichen Verhältnissen an Magnetismus zu- nehmenl, so können wir eben für diesen Fall die Polabstände Z>' als constant annehmen, sonach uns mit einer einmaligen Bestimmung dieser Grössen für den remanenten Magnetismus begnügen, um bei den inducirten Magnetismen sodann die gleichen Werte einzuführen. Von dieser Annahme ausgehend habe ich für die gleiche Dimension nach dem Ablenkungsvcrfahren D' nur einmal, nachdem die grösste Stromstärke eingewirkt hatte, für annähernd die Entfernungen R^ be- stimmt und die also gefundenen Werte in die obigen Formeln ein- geführt Ich habe diese Abkürzung der Beobachtungen hauptsächlich deshalb eintreten lassen , weil bei der jedesmaligen Bestimmung von jy die Zeitdauer meiner Versuche in solcher Weise würde verlängert worden sein, dass es mir Ermüdung halber nicht möglich gewesen wäre, alle Versuchsreihen für einen Satz zusammengehöriger Stäbe ohne Zeitunterbrechung vornehmen zu können. Eine jede derartige Unterbrechung würde aber — wohl deshalb, weil das remanento Moment der Stäbe schon nach einigen Stunden abgenommen hat — einen Bruch in der Folge der Beobachtungsreihen herbeigeführt haben. Aus diesem Grunde sind mir z. B. die sämmtlichen Werte der magne- tischen Momente bei grösserer Stromstärke für die in IV. aufgeführten parallolepipedischen Stahlstärke unbrauchbar geworden. (Ich habe dort nur die ersten und die mittelst des Elektromagneten erhaltenen End- werte angeftlhrt).
rv.
In der folgenden Tabelle I. gebe ich eine Reihe von inducirten Momenten der vorgenannten Stäbe, welche unter Einwirkung der in der gleichen Horizontalreihe in der ersten Vertical-Columtie befind- Hchen magnetischen Scheidungskräfte dem im Früheren Bemerkten gemäss erhalten wurden. In Tabelle II. gebe ich eine Reihe von
120
RutfiMi üeber die Abhängigkeit
remanenten Momenten, die nach Einwirkung der in der ersten Co- lumue verzeichneten magnetischen Scheidungskräfte in den St&ben zurückbleiben. Die magnetischen Schciduugskräfte sind in der Hori- zontalcomponente H der erdmagnetischen Kraft, die magnetischen Momente in Millionen dieser Kraft ausgedrückt. — Zur Erläuterung
TmbeUe I.
|
Magneti- sche Schei- dungs- kraft. |
I. Radius — 0,85 mm. Axen-Verh. = 70 |
n. Radius = 1,20 mm. Axen-Verh. — 50 |
ni. Radius »1,45 mm. Axen-Verh. =40 |
||||||
|
Glas- hart. |
Gelb. |
Blaa. 1 |
Glas- hart. |
Gelb. |
Blau. |
Glas- hart. |
Gelb. |
Blau. |
|
|
300 489 712 1468 |
1,40 1,64 1,84 2,16 |
1,76 1,88 1,96 2,16 |
1,84 1,92 2,04 2,16 1 |
3,41 3,85 4,01 |4,25 |
3,64 3,92 4,22 4,32 |
3,69 4,00 4,21 4,32 |
2,37 3,41 4,29 5,76 |
5,24 5,88 6,23 6,68 |
5,52 6,21 6,92 6,89 |
TabeUe II.
|
Magneti- sche |
I. Radius = 0,85 mm. |
U. Radius =1,20 mm. |
III. Radius — 1,45 mm. |
||||||
|
Schei- * |
Axen-Verh. — 70 |
Axen-Verh. —50 |
Axen-Verh. «= 40 |
||||||
|
dungs- kraft |
Glas- hart. |
Gelb. |
Blau. |
Glas- hart. |
Gelb. |
Blau. |
^hiX ««>»>• |
EU«. |
|
|
204 |
0,333 |
0,600 j 0,652 |
0,891 1,091 |
1,091 |
0,365 |
1,535 |
1,817 |
||
|
300 |
0,454 |
0,640 |
0,689 |
1,091 |
1,204 |
1,204 |
0,747 |
1,762 |
2485 |
|
378 |
0,488 |
0,660 |
0,703 |
1,108 |
1,256, < |
1,256 |
1,025 |
1,823 |
2,247 |
|
489 |
0,520 |
0,675 |
0,716 |
1,145 |
1,306 |
1,306' |
1,381 |
1,852 |
2,333 |
|
712 |
0,538 |
0,679 |
0,729 |
1,172 |
1,330 |
1,330 |
1,747 |
1,898 |
2,400 |
|
1011 |
0,542 |
0,681 |
0,735 |
1,182 |
1,337 |
1,337 |
1,962 |
1,981 |
2,423 |
|
1468 |
0,545 0,683 |
0,740 |
1,196 |
1,346 |
1,346 |
2,042 |
2,057 |
2,456 |
|
|
Behandlung mit Elektroinagn. |
0,712 |
0,918 |
0,963 |
1,483 |
1,593 |
1,593 |
2,422 |
2,562 |
2,922 |
|
Nach demÄn- lassen und er- oenter Mag- netisining. |
1,056 |
— |
— |
— |
— |
— |
3,056 |
— |
\
atfischen Magnetumus und Härte dts SitMhU»,
121
der letzten Horizontalreihe der Tabelle II. sei noch bemerkt, dass ich zur Controlirnng der Versuche ztilctzt noch ein Anlassen der glas- harten und gelben Stäbe zur Ox.*Farbe dunkelblau unternahm und dieselben hierauf mittelst des Elektromagneten von Neuem magnetisirte.
Iidiclrte MagneHsmeiu
|
IV. |
V. |
VI. |
||||||
|
Radius»« 1,90 muL |
Radius —2,45 mm. |
Radius = 2,95 mm. |
||||||
|
Axen-Verh.«30 |
Axen-Verh. — 25 |
Axen-Verh. — 20 |
||||||
|
Olat- kart |
Gelb. |
BUn. |
Glas- hart. |
Golb. |
Bhiu. |
Glatt- hart. • |
Gelb. |
Blau. |
|
5,92 |
6,97 |
6,73 5,45 |
10,20 |
10,61 |
8,32 j 10,91 |
12,36 |
||
|
6,91 |
7,83 ; 7,51 |
7,52 |
11,89 |
12,02 |
11,15 |
13,68 |
15,32 |
|
|
7,69 |
8,28 |
8,65 |
9,2^ |
13,05 |
13.68 |
13,27 |
15,73 |
18,28 |
|
8,98 |
9,03 |
9,27 |
j 10,69 |
14,52 |
14,92 |
15,65 |
18,56 |
19,09 |
Remanente Ma^netlsinen.
|
IV. |
V. |
VI. |
||||||
|
Radius = 1,90 mm. |
Radius — 2,45 mm. |
Radius — 2,9.) mm. |
||||||
|
Axen-Verh. « 30 |
Axen-Verh. «25 |
Axen-Verh.— 20 |
||||||
|
ST ö^i^. |
Blau. |
Glas- hart. t |
Gelb. |
Blau. |
GUs- hart. ! |
Gelb. |
Blan. |
|
|
1,245 |
1,456 : 1,851 0,865 11,781 2,086 |
1,246 |
1,483 |
1,537 |
||||
|
1,819 |
1,606 2,306 11,717 ;2,212' 2,602 |
2,084 |
2,002 |
1,995 |
||||
|
2,084 |
1,716 |
2,508 |
'2,508 |
2,375 |
2,834 |
2,838 |
2,317 |
2,125 |
|
2^ |
1,791 |
2,617 |
3,351 |
2,507 1 2,941 |
3,600 |
2,508 |
2,230 |
|
|
2,561 |
1,888 |
2,733 |
4,383 |
2,526 |
3,010 |
4,751 |
2,617 |
2,306 |
|
2,733 |
1,969 2,800 |
4,870 |
2,562 |
3,029 |
5,283 |
2,675 |
2,336 |
|
|
2,835 |
2,006 ' 2,875 |
5,142 |
2,588 |
3,172 |
5,430 |
2,693 |
2,380 |
|
|
3,352 |
2,858 |
3,370 |
6,073 |
3,515 |
4,390 |
6,823 |
3,969 |
3,790 |
|
2,563 |
2,322 |
— |
— |
— |
122
RuthMi üeber dU Abhanffigkeä
Um die Einsicht in die weiter anten gezogenen Folgerungen ans den soeben mitgeteilten Versuchen zu erleichtem, gebe ich femer in Tabelle III. und lY. die Quotienten, welche man erhält, wenn man das Prodüct aus der magu. Scheiduugskraft und den in II. gegebenen Volumen der Stäbe in die verzeichneten magnetischen Momente divi-
TabeUe
|
Magneti- sche Schei- |
I. Radius = 0,85 mm. |
n. Badius»l,20mm. |
III. Radius » 1,45 mm. |
||||||
|
dungs- kraft. |
01m- hart. |
a«ib. |
Blau. 1 |
OlM- hart. |
0«lb. |
BUq. |
Glas- hart. |
Oelb. |
BUn. |
|
300 489 712 1468 |
17,2 12,3 9,5 5,4 |
21,6 14,1 10,1 5,4 |
22,6 14,2 10,5 5,4 |
21,0 14,5 10,4 5,3 |
22,4 14,7 10,9 5,4 |
22,7 .15,0 10,9 5,4 |
10,0 8,8 7,6 4,9 |
22,1 15,2 11,0 5,7 |
23,3 16,0 12,3 5,9 |
Talb«Ue
|
Magneti- sche Schei- |
I. Radius «0,85 mm. |
n. Radius -> 1,20 mm. |
in. • Radius = 1,45 mm. |
||||||
|
dungs- kraft. |
Glas- hart. |
Gelb. |
Blan. |
Olu- bart. |
Gelb. |
BUo. 1 |
Glas- hart. 1 |
0«lb. ! Bk«. 1 |
|
|
204 300 378 489 712 1011 1468 |
6,0 5,5 4,7 3,9 2,7 1,9 1,3 2600 |
10,8 7,8 6,4 5,0 3,5 2,5 1,7 3370 |
11,7 8,4 6,8 5,4 3,7 2,6 1,8 3530 |
8,1 6,7 5,4 4,3 3,0 2,1 1,6 2730 |
9,9 7,4 6,1 5,0 3,4 2,4 1,7 2940 |
9,9 7,4 6,1 5,0 3,4 2,4 1,7 2940 |
2,2 3,1 3,4 3,5 3,1 2,4 1,7 3050 |
9,5 7,4 6,0 4,7 3,3 2,5 1,8 3230 |
11,2 9,1 7,5 6,0 4,2 3,0 2,1 3680 |
zwtMi^en Magnetitmus und Härte dt» Stahles,
123
dirt Bei Tabelle III. liegen die Momente der Tabelle I., bei Ta- belle IV. diejenigen der Tabelle II. zn Grande. In der letzten Hori- zoutalreibe der Tabelle IV. sind einfach nur die Quotienten aus den Volnmeu in die, in der vorletzten Horizontalreihe der Tabelle II. verzeichneten Momente gegeben.
OL
|
rv. Radius = 1,90 mm. |
v. Radius = 2,45 mm. 1 |
VI. Radius »2,95 mm. |
||||||
|
Glu. hart |
a<d>. |
Blan. |
Glan- liurt. t |
1 Qelb, |
1 BUo. ! 1 i |
OUa- bart. |
Gelb. |
BUa. |
|
14,ft 10,4 7,9 4,5 |
17,1 11,7 8,5 4,5 |
16,5 11,3 8,9 4,6 |
8,05 6,8 5,7 3,2 |
15,0 10,8 8,1 4,4 |
15,6 30,9 8,5 4,5 |
9,7 6,9 5,7 3,2 |
11,1 8,5 6,7 3,8 |
12,5 9,5 7,8 3,9 |
!¥•
|
IV. Badius=.l,90mm. |
V. Radius =-= 2,45 mm. |
VI. Badins = 2,95 mm. |
||||||
|
OIu- Uri. |
0«lb. |
Blau. 1 |
Glas- hart. |
Gelb. |
Blon. 1 |
aut- htrt. |
G«lb. |
BUn. |
|
4,4 4,4 4,0 3,4 2,6 2,0 1,4 2460 |
5,2 3,9 3,3 2,7 1,9 1,4 1,0 2100 |
6,6 5,6 4,8 3,9 2,8 2,0 1,4 2490 |
1,9 2,5 2,9 3,0 2,7 2,1 1,5 2670 |
3,9 3,2 2,7 2,2 1,5 1,1 0,7 1550 |
4,5 3,8 3,3 2,6 1,8 1,3 0,9 1940 |
1,8 2,1 2,2 2,2 2,0 1,5 1,1 2080 |
2,2 2,0 1,8 1,5 1,1 0,8 0,5 1210 |
2,3 2,0 1,7 1,3 0,9 0,7 0,4 1180 |
124 Ruths: üeber die Abhängigkeit
Von meinen zahlreichen weiteren Versuchen teile ich nur noch folgende mit, weil sich dieselben auf Stäbe von sehr bedeutendem Querschnitt beziehen. Die in Rede stehenden Stäbe waren 4 parallel- opipedischc Stahlstflcke aus englischem Guss-Stahl von den Dimen- sionen: Länge «» 57,5 mm.. Breite « 12 mm., Dicke « 0,5 mm. Dire resp. Härten waren: Glashart, hellgelb, kirschrot und blau.
a) Diese Stäbe wurden zuerst mittelst eines Stahlmagneten (Moment = 1060000 H) nach der Methode des einfachen Striches behandelt Eine hierauf erfolgte Messung der remanenten Magnetis- n^n ergab, in Maassmagnet {M= 1110000 H) ausgedrückt, die Werte:
Glashart Gelb Rot Blau
0,180 0,215 0,221 0,239
b) Die Stäbe wurden nunmehr mittelst einer gleicblan^en Spi- rale bei aufsteigenden Stromstärken ii) derselben Weise wie die an- geführten cylindrischen Stäbe maguetisirt. Unter Anwendung von Stromstärken, die Ablenkungen von 31,3**, 55,4^ und 64,7^ an der Tangenteilbussole entsprachen, fand ich die inducirten magnetischen Momente genannter 4 Stahlstttcke, zu denen ich noch ein ausgegltihtes weiches Eisenstück von gleicher Grösse hinzufügte:
fanden sich:
|
Glashart |
Gelb |
Rot |
Blau |
w. Eisen |
|
1,619 M |
1,933 |
1,975 |
2,178 |
2,639 |
|
3,612 |
4,208 |
4,091 |
4,585 |
5,645 |
|
4,661 |
5,445 |
5,532 |
5,946 |
6,835 |
|
lach derlnductiou remanenten Momente der4Sta |
||||
|
Glashart |
Gelb |
Rot |
Blau |
|
|
0,211 M |
0,239 |
0,248 |
0,279 |
|
|
0,435 |
0,406 |
0,406 |
0,381 |
|
|
0,657 |
0,564 |
0,551 |
0,500 |
c) Nach Behandlung mittelst des Elektromagneten ergaben sich endlich die remanenten Momente:
Glashart Gelb Rot Blau
2,328 3f 1,572 1,460 1,110
V.
Der Discussion meiner Versurhsresultate muss ich vorausschicken, (jass — ^ie direct einleuchtend und auch durch Versuche leicht er- kennbar — einesteils die ursprüngliche moleculare Beschaffenheit, die
zwischen Magnetismu» und Barte des Stahles, 125
wohl in der Regel für irgend zwei im Handel vorkommende Stahl- stäbe keine gleiche sein wird, andern teils aher, selbst wenn das letztere der Fall wäre, die nur angenäherte gleiche Molecnlarbeschaf- fenbeit der Stäbe gleicher änsseriicher Härte oder gleicher Oxyd.- Farbe (s. U.) die Ergebnisse der Magnetisirung in solcher Weise beeinflassen, dass man durchaus nicht diejenige Präcision der Resul- tate wie z. B. bei der Magnetisirung weichen Eisens erwarten darf. Es werden daher — insbesondere bei geringeren magnetischen Schei- dnngskräften sowie bei den remanenten Magnetismen, wo die Cohä- sionskräfte einen bedeutenderen Einfluss äussern mflssen — hin und wieder die Stäbe Abweichungen von der mittelst violer Versuche fest- gestellten Regel zeigen, und weiter auch nur annähernd eine exact mathematisch ausdi'ückbare Beziehung zu einander erkennen lassen. Dies berücksichtigend habe ich die in III. erörterte einfache Versuchs- Methode fOr hinreichend genau gehalten und ferner die folgenden Schlussfolgerungen von diesem Gesichtspunkte aus gezogen.
Fassen wir nun zunächst die inducirten Magnetismen ins Auge, so lassen sich folgende Schlüsse ziehen:
1) Zunächst zeigt die Betrachtung der Verticalreihen der Tab. I. Q. ni. den schon von Wiedemann *) ausgesprochenen Satz, dass sich die von aufsteigenden inducirenden Kräften in einem Stahlstabe zum ^ten Male inducirten magnetischen Momente einem Grenzwerte — dem Maximum — nähern. Femer zeigen die Horizontalreihen der Tab. I., sowie die unter IV b. mitgeteilten Versuche, dass bei Stäben gleicher Dicke die gleiche inducirende Kraft in einem weicheren Stahl- stabe ein stärkeres Moment inducirt, als in einem härteren Stabe, was auch aus den Angaben von Barlow**), Müller***) und Wie- demann t), wenn auch nicht in so evidenter Weise, wie aus den niitgeteiltcu Versuchen hervorgeht
2) Tab. L zeigt, dass die weichen Stäbe sich ihrem Maximum &n inducirtem Magnetismus anfangs rascher nähern, als die harten Stäbe, dass aber umgekehrt bei vorgeschrittener Magnetisirung die harten Stäbe rascher wachsen, als die weicheren Stäbe. Beide scheinen Ar dünnere Stäbe ein und denselben Grenzwert zu erreichen, sodass &I80 für diese das magnetische Maximum von der Härte unabhängig wäre.
♦) Pogg. Ann. Bd. C. S. 239. und Bd. CVI. S. 297. ♦•) Gilb. Ann. Bd. LXXIII. S 230. ) Pogg. Ann. Bd. LXXXV. S. 157. t) Pogg. Ann. Bd. CVI. S. 170.
126 Rutht: lieber die Abhängigkeit
3) Die Betrachtang der in ein und derselben Horizontalrdhe stehenden Werte der Tab. III. zeigt für dünne Stäbe, die ihrem Maxi- mum bereits nahe gerückt sind (bei der magn. Schcidnngskraft 1468), nahezu eine Coustauz dieser Werte, während man bei Vergleichnng verschiedener Dicken der gleichen Härte und bei der gleichen schon bedeutenderen Scheidungskraft eine Abnahme der verzeichneten Werte gewahrt. Es folgt hieraus, dass die magn. Momente der ihrem Maxi- mum nahe gerückten dünneren Stäbe bei gleicher inducireuder Kraft den Querschnitten der Stäbe (die im Yerhältuiss der eingeführton Volumen stehen) annähernd proportional sind. Für dickere Stäbe sinkt indessen das Verhältniss der Momente unter dasjenige der Quer- schnitte herab-, möglicherweise gilt jedoch der gezogene Schluss auch für das (hier nicht erreichte) Maximum der dickeren Stäbe.
4) Ueber den Einfluss der Länge der Stahlstäbe auf deren in- ducirtes magn. Moment habe ich in lY. keine Resultate mitgeteilt, weil ich in dieser Beziehung aus Mangel einer genügend grossen An- zahl von Versuchen einen entscheidenden Schluss nicht ziehen kann. Es liegen mir jedoch über das Läugen-Verhältniss 1:2 Versuche vor, wonach im Maximum der Erregung bei gleicher inducireuder Kraft die magnetischen Momente sich bei dünneren Stäben wie deren Län- gen verhalten. — Die Gültigkeit dieses Schlusses auch für andere Längenverhältnisse vorausgesetzt, würde demnach aus 3) u. 4) folgen, dass bei dünneren Stäben das Maximum der magn. Erregung annähcmd dem Volumen proportional sei.
5) Dividiren wir die in Tab. I. verzeichneten Momente der Stäbe I. und IL, welche mittelst der stärksten magn. Scheidungskraft (1468 H) erhalten wurden (wo dieselben ihrem Maximum nahe waren \ durch die in II. gegebenen Gewichte (= 1990 resp. 4310 mgr.», so erhalttm wir im Mittel den Wert 1010. Führen wir für die Ilori- zontalcomponente H der erdmagn. Kraft deren (experimentell be- stimmten) absoluten Wert = 1,92 ein, so wäre hiernach das Maximom magnetischer Erregung der Masseueinheit des Stahles in absolutem Maasse ungefähr = 1010.1,92 == 1960, ein Wert, der hinter dem von V. Walte nhofen*) für Eisen gefundenen Maximalwert (2100) zurück- bleibt. Vergl. auch die Versuche mit den parallelepipedischen Stahl- stücken und dem weichen Eisenstück in IV b.
Gehen wir nun zur Betrachtung der remanenten Magnetis- men über, so ergeben sich auf Grund der Tab. II. und IV. die folgenden Schlussfolgerungen:
*) PogS- Ann. Bd. CXXXVIL 8. 526.
ntischen Magnetismus und Härte des SttdiUs, 127
1) Tab. n. lebrt, dass die nach Aufhebung der ersten induciren- dcn Wirkungen in den einzelnen Stahlstäben zurückbleibenden Mo- mente sich einem Grenzwerte (Maximum) nähern, was bei weichen Stäben eher als bei harten Stäben geschieht Femer lässt sich aus der aufj&nglichen Zunahme der Werte der harten Stäbe III., Y. und TL in Tab. IV. folgern, dass die remanenten Momente anfangs rascher wachsen, als die bezüglichen inducirenden Kräfte. (Dieselben Schlüsse hat bereits Wiedemann*) gezogen).
2) Was nun die Grösse der von den yerschiedeneu Stahlhärten zmUckbehaltenen Magnetismen anbelangt, so werden bei schwächeren iDdocireudeu Wirkungen (s. Tab. ü.) die weichen Stäbe stärker rema- nent magnetisch als die harten; da aber, wie eben bemerkt, die ersteren ihrem Grenzwerte bereits nahe gerückt sind, während die l^zteren noch stärker anwachsen, so tritt, jedoch nur bei dickeren Stäben, der Fall ein, dass mit wachsenden inducirenden Kräften der remanente Magnetismus der harten Stäbe dei^enigen der weichen &berholt Ob dies geschieht, hängt nach meinen Versuchen von dem Axen-Ycrhältniss (Yerhältniss von Länge zu Dicke) der betreffenden Stäbe ab, und tritt dann ein, wenn das letztere unter dem Wert 30-40 liegt Uebertrifft also die Länge der Stahlstäbe deren Durch- messer um das 30— 40 fache, so werden mit unseren Magnetisirungs- mitteln die weichen Stahlstäbe stärker remanent magnetisch als die harten, ist jenes Yerhältniss geringer, dann ist die Sache umgekehrt. Mit Evidenz geht dies aus den in der letzten Horizontalrcihe der Tab. n. mitgeteilten Resultaten des Anlassens der glasharten Stäbe L, in. und lY. hervor ♦*). — Mit dieser Tatsache sind femer die in I. erwähnten Widersprüche der Angaben verschiedener Experimen- tatoren aufgeklärt, indem sich aus den angegebenen Dimensionen der betreffenden Stäbe leicht berechnen lässt, dass die Resultate jener Beobachter mit dem Yorhergehenden in Einklang stehen.
4) Fasson wir die Werte der letzten Horizontalreihen der Tab. lY. ioB Auge, so bemerkt man mit zunehmender Dicke bei den glasharten Stäben anfangs annähernd eine Constanz, bei den angelassenen Stäben aber ein bedeutendes Sinken der verzeichneten Werte. Hieraus folgt, <ias8 nur für dünne und harte Stäbe der gleichen Länge das rema- nente magn. Moment bei vorgeschrittener Magnetisirung den Yolumen oder Querschnitten proportional sei, während aber für grossere Dicken ond weiche Stäbe das Yerhältniss der remanenten Momente weit unter dassjenige der Querschnitte herabsinkt.
•) Pogg. Ann. Bd. CVI. n. C.
**) Eine Bildung von Folgepnnkten, wie dieselbe Coulomb beobAchtete (•. I.)r konnte ich bei meinen Stäben nicht wahrnehmen.
128 RnthMi lieber die Abhängigkeit
VI.
Anknüpfend an I. will ich die Hauptmomente meiner Yersuchs- resultate nochmals knrz zusammenfassen:
Da die Magnetisirungs-Curven *) für die indncirten Magne- tismen der weichen Stäbe stets über demjenigen der harten Stäbe verlaufen, und schliesslich bei dünnen Stäben nahezu den gleichen Wert erreichen, müssen wir schliessen, dass die Molecular-Kräfte, welche die Härte eines Stahlstabes bedingen, die Grösse des durch eine magnetisircnde Kraft indncirten magn. Momentes herabmindern. Diese Herabminderung ist relativ bedeutender bei geringeren magneti- sirenden Kräften, sowie, in Uobereinstimmung mit den Gohäsions- erscheinungen (Elasticität uud Härte), bedeutender bei harten und dicken Stäben. — Bei dünnen Stäben, die ihrem Maximum nahe gerückt sind, treten diese Einflüsse jedoch mehr zurück, sodass ein Unterschied zwischen weichen und harten Stäben dann nicht mehr zu bestehen scheint; in diesem Falle können auch die indncirten Mo- mente annähernd dem Volumen proportional gesetzt werden. Ob dies Letztere auch für dicke Stäbe Gültigkeit hat, ist eine offene Frage, deren experimentelle Beantwortung wegen der Schwierigkeit das Maximum der magn. Erregung zu erreichen immerhin in Frage ge- stellt erscheint.
Der nach geschehener Induction in den Stahlstäben zurück- bleibende (remanente) Magnetismus zeigt ein wesentlich anderes Verhalten als der inducirte Magnetismus:
Hier verlaufen nämlich die Magnetisirungs-Curven der weichen Stäbe anfangs zwar auch über deiyenigcn der harten Stäbe, mit zu- nehmender iuducirender Kraft überholen aber umgekehrt bei den Stäben, deren Länge ihre Dicke weniger als ungefähr 30 mal tiber- trifft (deren Axenverhältniss unter 30), die harten Stäbe die weichen. Es folgt hieraus, dass die remanenteu Magnetismen zum Teil von denselben Factoren, wie die iuducirten Magnetismen, abhängen (wie denn ein remaneutcr Magnetismus ja auch eine vorhergegangene In- duction voraussetzt); eine demgemässe l i ebereiustimmuug zeigt sich jedoch nur bei dünneren Stäben, deren Axenverhältniss grösser als ungefähr 30, sowie bei schwächeren inducirenden Wirkungen, in welchen Fällen dann, wie bei den indncirten Magnetismen, die weichen Stäbe stärker bleiben, als die harten (hierher gehören die Versuche von Hansteen und Lamont, s. L). Bei dickeren Stäben und grösseren
*) Die magn. Scheidungskrftftc mis Abscisscn, die rnngn. Momente als Ordinaten aufgofaset.
zwiMchen Magnetismus und Härte des Stahies, t2d
indocirendeo Kräften tritt aber der Einflass der voransgegangeuen Indaction, resp. gewisser Factoren, von welchen dieselbe abhängt, eatschieden zurück, sodass nunmehr die harten Stäbe stärker bleiben, als die weichen (hierher sind die Versuchsresultatc von Cpulomb, Müller, Plücker und Wiedemanu zu rechnen, vergl. L). Aus dem Vorangegangenen mflsseu wir den interessanten Schluss ziehen, dass der remanente Magnetismus des Stahles von bestimmten, mit den Härte- verhiltoissen zusammenhängenden Factoren abhängig sei, welche, wenigstens fUr stärkere inducirende Wirkungen, zum Teil von dem rorher indncirten Magnetismus nicht beeinflusst würden, sondern in ^gener Weise von den Dimensionen der Stahlstäbe abhängig wären.
In weiterer Verfolgung dieses letzteren Schlusses habe ich noch uniassendere Versuche angestellt und hoffe, demnächst dieselben mit interessanten Schlüssen auf das Wesen der auch oben in Betracht kommenden sog. Coercitivkraft vorlegen zu können.
Dortmund» im Mai 1875. •
'•^lix.
9
jaO Gialker
, /to a/fyf>,ri^ ZerUfunfsprMc. </- Delerminänten.
xni.
Bas allgemeine Zerlegungsproblem der Determinaiiteiu
Von
Siegmund Gü.nther. ^
§. 1. Kaum war die Determinante als selbstständiges combina- torisches Symbol jin die Wissenschaft eingeführt, so begannen auch schon die Versuche, die praktische Berechnung solcher Formen durch Zerlegung derselben in andere von weniger Elementen zu erleichtern. So entstanden jene freilich durch inductives Tatonneraent gewonnenen Sätze von Laplace^), deren Gesammtheit die Nachwelt, wenn auch etwas uneigentlich, mit dem Namen des Laplace 'sehen Zerlegungs- theore'mes belegt hat Allgemeinere Untersuchungen über die Zer- fällnng einer Determinante in Aggregate von Minoren-Producten hat später Cauchy*) angestellt, und solbstvorstäudlich hat auch Jacobi in seiner fundamentalen Abhandlung den Gegenstand berührt ^). Er begnügte sich sogar nicht mit der Behandlung des einfacheren durch Laplace's Vorarbeiten bereits eiuigcrmasscn aufgehellten Falles, welcher die gegebene Form in eine Reihe von Producten aus je zwei Determinantenfactoren entwickeln lehrt, sondern Hess die Anzahl dieser Factoren ganz unbestimmt. Allein obwol Jacobi' s Beweise der hier in Frage kommenden Lehrsätze völlig einwurfsfrei genannt werden mlüssen, so kann von seiner Behandlungsweise doch mit Fug das behauptet werden, was man den Deductionen der alten griechi- schen Geometer nachzusagen pflegt: es wird die Ueberzeugung von der Wahrheit des Behaupteten erzwungen, ein Einblick in das eigent- liche Wesen der Sache aber nicht gewährt. Zum grossen Teile trägt daran Jacobi 's abgekürzte Schreibweise die Schuld; denn wenn bei irgend einer Gelegenheit das quadratische Arrangement der Elemente
Gäniktr: l)as atlgtmeine ZerlegungsprobUni der Deferminanfen, 131
gebieterisch gefordert wird, so ist diess sicherlich hier der Fall. Ge- wisse Specialfälle ^) finden sich bei Jacobi allerdings eingehender discutirt vor; allein besonders für die praktische Ausfuhrung solcher Zerlegungen giebt er so gut; wie gar keine Anhaltspunkte.
Man kann auch nicht sagen, dass seit seiner Zeit wesentliche Fortschritte gemacht worden seien. Für die Mehrzahl der vorhan- denen Lehrbücher bot die Materie, als nicht mehr den eigentlichen Elementen angehörig, keine Veranlassung zu Reformverauchen , und da man die sicheren Tatsachen besass, bekümmerte man sich auch sonst wenig um die Grundlagen. Nur das Baltzer'sche Werk^) macht auch hier, wie in anderen Fragen, eine Ausnahme; indes war auch ihm noch eine zu grosso Küi*ze geboten, um Anfängern leicht verständlich zu sein. Der Zweck dieser Abhandlung ist nun zunächst der, die Laplace*sche Methode in umfassender Weise zu discutiren und mit möglichst einfachen Hülfsmitteln einen Beweis für dieselbe zu erbringen. Jedoch glauben wir so auch noch einen weiter über das unmittelbar gesteckte didaktische Ziel hinausgreifenden Zweck zu erreichen, indem wir auf Grund eines neuen Satzes ein einfaches und naturgemässes Verfahren zur wirklichen Bildung der einzelnen Aggre- gat-Glieder gewinnen.
«
I^ Laplace, Hcchcrchcs 8ur le calcul integral et sar lo Systeme du moode, M^m. de l'acad. des scicnees, anqec 1792. IL S. 304.
2) Cauchy, Memoire sur les fonctions qui ne pcuvcnt obtoiiir que dcax Taleurs Egales et de signes contraires pnr suite des transformations opdr^es eotre les variables <iia'elles rcnferment, Joiini. de l'ccole polyt., Tome X. S. lOl ff.
3) Jacobi, De roruiationc et proprictutibus Detcrminantiuni} Journal f. d. reine u. nngcw. Mathem., 23. Band. S. 293.
4) Ibid. S. 294 ff.
5) Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, Leipzig 1S57. §. 4, L (Entsprech?nd in den späteren Auflagen).
§. 2. Die Aufgabe, welche wir uns zunächst stellen, wird also folgendermassen zu formuliren sein:
Gegeben ist eine Determinante nten Grades
J =
fl«jj . . . flM,n
dieselbe soll in ein Aggregat von zweigliedrigen Pro- docten umgewandelt werden, deren beide Factoren be-
9*
132 Günther: Das allgemeine Zerlegungsproblem der Determinanten,
Züglich Unterdeterminanten vom Grade p«n) und (n — p) sind.
Biese Aufgabe zerlegt sich folgerichtig in zwei Teile: Es soll nämlich erstens eine allgemeine Methode angegeben werden, nach welcher diese Zerlegung praktisch vorgenommen werden kann, ohne dass das Uebersehen irgend eines Gliedes möglich wäre; natürlich müssen wir zu diesem Zwecke die Anzahl der vorkommenden Ent- wickelungs-Glieder a priori anzugeben im Stande sein. Zweitens ist das Ergebniss der Zerlegung in Gestalt einer independenten Formel hinzustellen, in welcher als symbolische Ausdrücke lediglich die ge- wöhnlichen Summenzeichen auftreten dürfen.
Zur Erleichterung gehen wir von einer Voraussetzung aus, welche scheinbar allerdings den Charakter der Allgemeinheit alterirt. Als erstes Glied der zu bildenden Reihe soll nämlich das folgende gelteü:
I
a
i>i
a
15P
Op,!
Op^p
öp+l,p+l
«i» ♦ \,n
«MJ»+1
On,«
welchem oflfenbar das positive Vorzeichen zukommt. Dass jene Be- schränkung in Wirklichkeit nur eine scheinbare ist, kann leicht ein- gesehen werden, indes werden wir zum Schlüsse unserer Unter- suchung noch einmal speciell darauf zurückkommen.
§. 3. Bezeichnen wir in jedem der einzelnen Producte, an deren Bildung wir nunmehr herantreten, den ersten Determinantenfactor mit /, den zweiten mit //, so können wir zunächst einmal die Festsetzung machen, dass Determinante / vom p ten, Determinante n vom ^w — p)- ten Grade sein soll; ferner können wir bestimmen, dass die erste Verticalreihe von Determinante / stets den zweiten Index 1 besitzen soll, und zwar soll jede einzelne Determinante so beschaffen sein^ dass sowol die ersten als auch die zweiten Indices ohne jede Inversion von links nach rechts, beziehungsweise von oben nach unten, aufein- anderfolgen.
Unter diesen Umständen wird in einer gewissen Anzahl der Determinanten / das Element %,! den oberen Eckplatz links ein- nehmen. Wir wollen demnach bestimmen, in wie vielen Gliedern öjb Determinante / stets das nämliche Element o^,! an der bewussten Stelle aufweist; diese Anzahl sei M.
Denken wir uns die Determinante d ganz ausgerechnet, so kommt das Element a„i im Ganzen (n — 1)1 mal vor. Denken wir uub «»-
(I -
Günther: Das allgemeine Zerlegung^rohlem der Determinanten, 133
dererseita die von uns angestrebte Reihe bereits gebildet, so wird es an jenem Platze M mal erscheinen, jedesmal zunächst multiplicirt mit einer ersten ünterdeterminante von /, also mit {p — 1)! Gliedern und dann noch mit der Determinante JJ, also mit (n— jj)! Gliedern. Es besteht sonach die Identität
M
(n-D!
(p-l)!(n-p)r
und es handelt sich weiterhin nunmehr darum, diese 3f Glieder wirk- lich zu finden.
Hiezu dient der Satz:
Man bilde aus den Zahlen
2, 3, 4 ... n
sämmtliche Combinationen ohne Wiederholungen zu je (p— 1) Elementen und setze jeder einzelnen Con-plexion noch 1 vor; alsdann ist sie bezüglich die Reihe der zweiten Indices der ersten Horizbntalröihe von Deter- minante /, während die ersten Indices ausschliesslich Einheiten sind. Die Bildung der Determinanten // er- hellt dann unmittelbar.
Um die Wahrheit dieses Satzes einzusehen, genügt es zu zeigen, dass ^f dem Numerus Combinationum ohne Wiederholungen von (n— 1) zu je (p — 1) Elementen gleich ist In der Tat ergiebt sich aus der Definitionsgleichung
(n-1)! = [(^— l)(n— 2)... (n— p-f.l)].[(n— pXn— p— 1) ...3.2.1]
nnmittelb^r
1/= (»-!)'
(„_l)(„_2)...(n-H-l)_ (f-l)
= iV . C (n — 1}.
§. 4. Betrachten wir z. B. die Determinante
«171 %»Ä ^jS ^>i ^Ith
«3,1 öjj,2 ««93 ^»4 ^2l5
%il %i2 ^>8 %14 ^?5
^4M ^4fl% ^i>S ^4»i ''iJö
I « 51 ^5i8 ^5>3 %j4 ^5»6
und setzen (n —p) == 2 (also p = 3) , so haben wir die Elemente 2,
4.3
3, 4, 5 zu je zweien zu corabiniren und erhalten ^— 2=6Complexio-
134 Günther: Das allgemeine Zerlegunynproblem der Determinanttn.
nen. Wir formiren dieselben nach den bekannten Regeln der com- binatoriscbeu Analysis der Ordnung nach und bekommen , indem wir die Einheiten vorsetzen,
123 134 14 5. 12 4 13 5 12 5
Demgemäss sind die ( A/ == 6) Aggregat-Glieder, welche das Ele- ment 0^,1 an den ihm angewiesenen Platze haben, die nachstehenden :
^Ul ^1% ^i3
«2»1 ^?2 ^«'8
^i\ ^3^2 ^'a^s
»1,1 «1,2 ai,5
^ttt ^fi ^?6
^91 ^3« %?5
*
, ^2>1 ^?3 ^2>6 '
<*3n %>8 «'siS i
<^474 «4i6 «514 ^5^5 '
«4^3 ^4l4
Ö5»3 '^hii
^45» ^454 ^5i2 «5»4
;öH1 «11» «H4
I '^il ^2*2 ^»4
^311 «31« «3i4
1 «111 «li3 «1?4
I
; «2il «2?3 «2i4
I
' «Sil «318 «3i4
«1»1 «li4 «li5
«2il «2>4 «2i5
«3iJ «3l4 «3>5
^4i3 ^415 «5">8 «5i5 1
«4i2 «4i6 «5>2 «515
' «4lf «41» <*5i2 «5i8
' Ehe wir die folgenden Aggregat-Glieder ermitteln, wollen wir uns zuvor überzeugen, welches Vorzeichen jedem der ersten M Glieder zuzuteilen ist. Hiezu verhilft uns der bereits früher aufgestellte Satz«):
«
Wird eine Determinante nach den Elementen einer bestimmten Reihe in erste Unterdeterminanten zerlegt und will man wissen, welches Vorzeichen das mit o,-,* multiplicirte Glied dieser Zerlegung erhält, so unter- suche man, ob
eine gerade oder ungerade Zahl ist; im ersten Falle ist das positive, im zweiten das negative Zeichen zu neh- men. Natürlich wird vorausgesetzt, dass die Determi- nante in ihrer Normalform S±,a^^^ ... «♦•,« gegeben war.
Denken wir uns nun aus den bereits entwickelten ein beliebiges Product herausgegriffen, dessen Determinante / von der Form
Günther: Das {ülgemeine 2krlegungsprohUm der Determinanten» 135
«1,1 <h't»i «1»»« • • • ^i>»p_i ^n ^'sj»! ^»»t • • • ^»«p— 1 ^3?! ^8?«» ^1«« • • • ^'*p-.l
op^i ap^»^ Op^B^
^i"Vl
sein wird. Die mit dieser multiplicirte Determinante II enthält ein bereits an sich wolgeordnetes Diagonalglied und trägt deshalb von selbst das positive Zeichen, so dass es also lediglich auf das erste Diagonalglied
«191 • Ö2i»i • ^3»t • • • ^i«p_l
der Determinante / ankommt.
Das erste Element ist «i,,, also tritt der Factor ( — 1)^+^ vor. Dann erscheinen alle diejenigen Elemente, welche in der ursprüng- lichen Determinante / den ersten Index 2 besassen, in der neuen
Determinante 5- — mit dem zweiten Index 1, an Stelle des zweiten
Index aber ist («1— 1) zu setzen. Ebenso tritt in der hieraus ab-
32/ geleiteten Determinante x r. — an die Stelle der Indices 3 und
^ bezüglich der Index 1 und («2—2).
In dieser Weise fortschliessend erkennen wir: Das Diagonalglied
öj,l • «21«» • ^9»« • • • ^>»p_l
erscheint multiplicirt mit folgenden Factorcn:
1+1 l+«,--l H»,-2 l+»,-8 i+, -(p-i)
(-l).(-l) . (-1) . (-1) . (-1) ^
d. h. wenn wir die hier auftretenden Summen wirklich bilden, so erhalten wir das Diagonalglied von Determi- nante /in folgender Form:
[
(-1)
2 + ^--^2 .=0-1
^ »=i
X
öl,l . Oj,«! . «3«»
«P9»»-l *)•
*) Den in der eckigen Klammer befindlichen Bruch findet man , indem man von (1 + 1+ 1 + •.• + Ui»fl)) die Summe (I +2 + ... -|-/> — 0 =^
— — sobtrabirt. ücbrigens scheint das hier inductorisch abgeleitet« Theorem
136 Günther: D<u allgemeine ZerlegungsprobUm der Determinanten,
In dem von uns oben angezogenen Falle ist ein für allemal
2 + ^p^p^ _
Dagegen hat man für die 6 Complexionen zweiter Indices der ersten Diagonalen, bämUch für 1, 2, 3; 1, 2, 4; 1, 2, 5; 1, 3, 4; 1, 3, 5; 1, 4, 5 resp. die folgenden Summen S:
,j-)-,, = 2+3 = 5; «,-)-,,=» 2+4 == 6; «j+ä^ = 2+5 — 7; «i+*8 =• 3+4 = 7; «i + »2 = 3 + 5 = 8; «i + «2 =- 4+5 = 9;
soweit sind die Factoren jeder sechs Determinanten beziehongsyreise die folgenden:
3+1 6+1 7fl
(-1) = + 1; (-1) =~i; (-1) = + 1;
7-1 1 8+1 ft+1
(-1) =+1; (~1) =-1; (-1) =+1.
Als rein empirische Controlc mag noch die sonst übliche Vor- zeichenbestimmuug einen Platz finden. Die sechs Glieder sind diese:
<'lil ^»2 ^18 ^4i4 ^äir.» ^111 ^«?2 «394 Ö4»S ^5i5 5 "li| ^?« ''3'5 ^'4^3 ^ö>4> ^lU ^>3 %74 ^4^2 ^5?5i ^'m ^g^S ^375 ^4»2 ^5^5 "lU "i'ii ^i5 ^4^2 ^o»»«
Die ersten Indices sind hier wolgeorduet und es muss also die Zählang der Inversionen an den zweiten vorgenommen werden. Diese sechs Complexionen bieten deren nun bezüglich 0, 1, 2, 2, 3, 4 dar, also entsprechen ihnen die Vorzeichen +, — , +,+, — , +, wie auch wir gefunden haben.
6) Günther, Lehrbuch der Dctcrminantcnthcorie, Erlangen 1S75. S. 45.
§. 5. Die M Glieder, welche bisher betrachtet wurden und nun sowol ihrer Zusammensetzung als auch ihrem Vorzeichen nach völlig bekannt sind, besassen in ihrer Determinante 1 als erste Colonnc stets die nämliche
^1>I ^^1 ^iM • • • ^pn*
Nunmehr setzen wir fest, dass für jedes der noch übrigen Glieder die erste Colonne von Determinante / diese sein soll:
^PHiI ÖP+2?1 Ö^f3?l • • • ^nfv
bei coDseqaentcr Anwendung zur independcnten Bestimranng des Vorzeichen! jedes willkürlichen Deterniiuanten^Glicdes dienen zu kOnncn, ohne irgend eine InTersioDS'AbzfthInng.
Gßnther: Das aUgemeine Zerlegunysprohlem der Determinanten. 137
Damit ist zugleich aasgesprochen, dass Determinante / vom Grade (»—j»)» Determinante // dagegen vom Grade p sein soll.
Die Anzahl dieser noch nicht gebildeten Glieder ist leicht an- zugeben, bezeichnen wir sie durch iV, so finden wir geradeso wie oben (§. 3.)
p!(n — p — 1)1 Auch die Bildung der einzelnen Glieder ist jener früheren analog: Man bilde aus den Zahlen
2, 3, 4
n
sämmtliche Combinationen ohne Wiederholungen zu je (n—p — 1) Elementen und setze jeder einzelnen Complo- xion noch 1 vor; alsdann ist sie bezüglich die Reihe der zweiten Indices der ersten Zeile von Determinante /, während die ersten Indices ausschliesslich Einheiten sind.
Behalten wir unser bisheriges Beispiel bei, so haben wir, da
4
(n—p — 1) = 1 ist, im Ganzen :: Combinationen zu bilden und er- halten so die vier Complexionen
|
1 |
2 |
||||
|
1 |
3 |
||||
|
1 |
4 |
||||
|
1 |
5. |
||||
|
liefert uns . |
^^^ 3?!!-^ |
Determinantenproducte : |
|||
|
«H3 ^Ui %15 ! |
»1,2 «1,4 aj,5 |
||||
|
«411 «4*2 |
^2f,} ^i4 ^v5 ^353 ^394 ^3>5 «1?2 ^113 ^>5 |
1 |
*4>1 «4>3 «55J «5i3 1 |
«2^2 ^'4 ^?5 ^>2 ^3>4 ^5 ^H« ^13 ^i4 |
|
|
«411 «H4 |
«2 2 ^13 'h^b «J?2 «3»3 Ö3»6 |
• 1 |
«4J1 «4^5 ' ^5>1 ^5 '5 |
^3^2 «29» Ö2?4 ^>2 ^»3 Ö8»4 |
Auch die das Vorzeichen bestimmenden Betrachtungen reprodu- ciren sich im Wesentlichen, indem man sofort bemerkt, dass es nur wiederum auf den Charakter des ersten Diagonal-Gliedes von Deter- minante / ankommt. Da das linke obere Eck-Element diossmal nicht
y^^ 0*/.'/.*-r z^ o'o
«>';^ «-/4i-**^ c*v^i^ --
^4U:- <^h't^\ «V-U:, «-.^^
2 • iL=: -
fc#///>i( J/^'fi-yJiWfü fci/;h für di^ zuletzt gifimdeDCii (A" = 4 G:it-3£T ,^ Kin ti'it e|4 ^ ^ , ^^ ,
r I; -4 h ^-J; J; ^-1) « + i; (-1; =i-
Hi4'\U*n m\r JH/i ummt^j I{/'t»ultat/* zu^-ammen, so findfn wir si»edtll
-♦-^^ f ^^4»i''ftf« ' '^' ^ ''i-a«*i4«9jß — -^ ± «411 «578 • '2?±a,^a^<i3^
'f-Xl «4t|^'Ä'*'^ l.«l»t«»iJ»«rt»ft— ^±«i)la615•'^±«l1«<H^S^>4• |. 6. Hu(!b«n wir Jetzt don Zorlegungsprocoss durch eine all- g<iriK'lufl Form<»l darjcustelleii. Indem wir za jeder der bereits be- kiifinttm Doterminanten / die zugehörige Determinante II fügen, liuden wir
Güntktri JJan aUgemiine ZerUgungsprobiem der Dettrminantin, 139
J =
^»1 • • • ?ii»«
flu,! . . . Onn
(« = «4-1, l+2...n-p+l)
(— 1)
X
«211 ^>«i <»f?»t • • • ^f'p-l ^H ^5»! ''SiÄt • • • «3»»p-l
oj»,! Op^i apiB^
«i»^p_l
j 0^+152 ö^-»-l^...«f+l»«|-l <>p-fl)«|+l...ap-M,8,>-I <l^-fl)i, + l«*«Ap^l,H
' öp+2,2 «j> + 2,3 ...0^»+ 2^,-1 a2»+2)fi+l.**<I|y+2^t~l Oi»+2,f, + l.. .aj»+2,H
«w^ ««»3
<*•!,»,— 1 an,f,-fi . . . On^i^^i Om^,^! . . . aii,N
(f^ «^. m-t-1, m+2...p+2)
[
3„_^^_4 -(n--p)»*='-:P-l
2
(-1)
X
*=!
öp+iji fh^hh ^p\U% • • «p f ii'«.p-i
öp+2,1 ap+2,«. öpf 2,^ ••• Op+2,<^_^j
i
Op+3,1 «Pf 3^, «p+S,/, ... «Pf 8,«„_^_i fln^l ÖH5<, «H»fi . . • «Wj/^ _|
«llt «113 ••• «li<i-l «11<i+l ••• «li^t-l «l^'tfl "^ «1?H
«252 «273 ••• «2?<|-1 «2?^+l ••• «2»^-l «gi^fl ••• «2i»
«J?2 '^^3 • • • «3">'|-1 «3?^ M • • • «3?*t-l «3?'t+l • • • «31»
«P?2 «P»3 • • • «P5<. -1 «P^'i-l-l • • • «Pi<t-1 «P5<tf 1 • • • «iPJ»
Die den Sommenzeichen oben beigesetzten Klammern besagen, welche Wert« jedes einzelne s und t anzunehmen vermag *).
♦) Eine künccrc Bezeichnung der einzelnen Glieder könnte miin durch
140 Günther: Das allgemeine Zerhgungsprohhm der Determinanten.
Fragen wir schliesslich, wie gross die Anzahl der in diese Reihe eing(^ngenen Glieder sei, so' müssen wir die für M und N gefun- denen Werte addiren. Es ist
n!
wie dies denn auch aus Jacobi's allgemeiner Formel (s. o. §. 1.) sich ergeben hätte.
§. 7. Wie gleich anfangs bemerkt, galt die ganze bisher durch- geführte Untersuchung nur für den Fall, dass das erste Glied der Reihe ein bestimmtes sei. Heben wir jetzt diese Beschränkung auf, indem wir die Annahme macheu, irgend eine Unterdeterminanto pten Grades sei als Determinante / des ersten Gliedes gegeben, etwa diese:
^pl»! ^PplW« • • • ^Vpi^p
Um nun gleichwohl das bisherige Verfahren auch hier anwenden zu können, verfahren wir folgeudermassen: Wir machen diejenige Colonne, welche als zweiten Index die Zahl w^ trägt, -zur ersten, diejenige, welche den zweiten Index 1 hat, zur zweiten, die bisherige dritte zur zweiten etc., und endlich die bisherige {w^ — l)te zur frjten; dadurch multiplicirt sich die ganze Determinante mit dem Factor ( — l)«"!. Bringt man ebenso die bisherige ip^Xxi Colonne unter den nämlichen Bedingungen an die zweite Stelle, so tritt der Factor (— 1)»»-2 auf und so schreitet mau foit, bis endlich die früher |?te Colonne nun durch die u-pte ersetzt ist; der dadurch entstehende Factor ist
Anwendaog der Differentialqaotienten gewinnen, indem man z. B. statt der ersten der vier obigen Determinanten den Aasdruck
setzte; allein die Ucbersichtlichkeit würde aus dieser Sabstitation gerade keinen Vorteil ziehen.
Güniher; Den allgemeine Zerlegung$problem der Detenmnanttn» W\
«r, — 1-f-jrj— 24--. •+«•» — P Em—- n
(—1) = (-1) '=' ^
GaDz ebenso wie mit den Colonnen verfahre man nun mit den Zeilen ; hiedurch erhält mau den Factor
(— 1) «(-1)
£vk 0 —
— 1\ *=i ^
nnd die Peterminante d seihst hat folgende Gestalt angenommen:
(-1)
X
Ot^^w^ ... Öhr,, fr a»^,! ^».,2 ... «ri,»»— 1 ^f^^M'^■\-l ... Ot?,,«
<lf|,V, ... OM)» Ö»I»1 ^«,2 ... a»)fff|->l aM)fF|-fl ...^»iH
Diese Determinante besitzt allerdings nicht die von nns zn Grunde gelegte Normalform, kann aber leicht auf dieselbe redncirt werden, wenn man sie mit einer Hülfsdeterminante
a/,/ a/,// . . . ö/,j»r-/ a/,^
a;/,/ a]i,jj . . . ajjyN-j aji^
aN-l^l ay^Jiil . . . üN-hN-l aN-hN
vergleicht.
Soll z. B. in der oben betrachteten Determinante fünften Grades die Unterdeterminante
«§,2 02,8 flj?* ^4)« ^4>3 ^4>4 ^öi2 ^69S <*6i4
als Determinante / des ersten Beihengliedes erscheinen, so setze man, da der Exponent von (—1) jetzt den Wert 8 annimmt,
142 Günthtr: Das aligemwu ZtrlegungsprobUm der Determinante,
*^it% ««18 «214 ^11 ^i5
^4it ^4>S Ö414 ^1^1 ^4>Ö
^5>2 ^5>8 ^5?4 ^551 ^öiö
^1« «HS ^1?4 ^>1 «1»5
«S>2 «S»S «S>4 Hm Htb
a//,/ «//,// a//,/// a//,7r a/i,F
a///,/ a;/i,j/ a/7/,/77 ö777,/r ^IJUV
aiVyi ajv,ii aj\\jii ajv^iv a/r,F
ar,7 ar,77 «r,77/ ar,7F ar,r
entwickle diese Hülfsform genau nach den in §. 5. und 6. gegebenen Regeln und setze zum Schluss
//=-22, ///=23, ////=
7/ / = 42, // 11 = 43, // /// =
IIII^b2, 11111^53, III III ^
IV 1=12, IV 11=13, IVIU =
V 1= 38, V //^ 33, r /// —
JedenfalU wird lediglich bd einer derartigen Behandlungsweise das wichtige CoroUar der La place 'sehen Theoreme dem Aufllnger vollständig klar werden, welchem zufolge, wenn p{n—p) ein Rechteck eräüiende EleB^ente sich annulliren, die Determinante selbst als Pro- duct zweier Determinanten vom pten und (n — p)teü Grade sich dar- stellen lässt. Ist nämlich in der Determinante J das Elementen- Rechteck *)
|
24, |
//r— 21, |
/ F = 25, |
|
44, |
U IV — 41, |
// r=45, |
|
54, |
/// IV = 51, |
/// F = 55, |
|
14, |
IV IV^ 11, |
IV V — 15, |
|
34, |
V IV — 31, |
P' F =- 35. |
|
a»!,«», |
Ot^tW^ • • |
• «P.)«<^p |
0 |
0 . |
. . 0 |
||
|
ö|r,,ic, |
flij^ir, . . |
• %'»<'p |
0 |
0 . . |
. . 0 |
• |
|
|
• • • • |
""n-p-r«"» • • |
• ^*H-;»-l'*^> |
0 |
0 . |
. . 0 |
||
|
%-P'«'« |
''»„-plM't • • |
• %-F'«*j» |
0 |
0 . |
. . 0 |
||
|
rinrrt. man |
Hnrpli #>inn Pnl |
cm VATI Poihp |
iivprfj |
mar*. |
linnorp |
n wp |
Jp.hpti |
die Factoren
(-1) . (-1) ... (-1)'' . (-l)** ^ (-l)** " '...(-1) =P
entsprechen, jenes Rechteck in die untere linke Ecke des Quadrates, so resultirt
*) Die Doppclstriche der Einfassung sollen hier nicht etwa besagen^ «Iass man es mix Matrizen, somlcrn letliglicb, lium nun es mit rcehteckij^en Si'he- maten zu tun habe.
Günther: Das allgemeine Zerlegungsproblem der Determinanten, 143
^^r.
«1»"
«8,«
|
■ • • • |
^^.Omw^On^ |
• ••••• |
a«,»r,4-l |
• • • • |
|
0 0 |
...0 af„i |
•••ÖWa)!»!— 1 |
«»„»i + l |
...öp,,n |
|
0 0 • • • • |
... 0 flp,,i |
••• ^ti)!»!— 1 |
«••»«', 1 1 |
... (•V^fft • • • • |
[
= (— 1)
X
]
ai,ifj Oj,»,
OljW
^»wi ^%iw% • • • ^»«',
öll,«»! <lM)tP, • . . ^n^w
X
''"k-p'^ * • • ^»M-p*^*-^ %_yi«'i-|-l • • • '^"«-p»"
IMe hier gegebene Regel, das Vorzeichen des im gegebenen Falle allein übrig bleibenden Gliedes zu bestimmen, halten wir für neu; erst durch sie erhält der so sehr verwendbare Satz die rechte prak- tische Braachbarkeit
§. 8. Man erkennt leicht, dass die hier gegebene vollständige Discassion der Zerlegung in zweigliedrige Summen auch die mehr- gUedrige involvirt:
Soll eine Dbterminante ausgedrückt werden als eine algebraische Summe von Gliedern, deren jedes aus ADe- terminantenfactoren besteht, so führt man dies Problem direct auf das im Vorstehenden gelöste zurück.
Der Grad der ursprünglichen Determinante sei w, die Grade der Unterdeterminanten , von denen immer je h mit einander multiplicirt in der Reihe erscheinen sollen, seien bezüglich g^^ g^^ 9z " ^a? wobei natürlich
144 Günther: D(Ut allgemeine Ztrlegungsprohlem der Oeterminanten.
smn muss. Dass die Anzahl der Reihenglieder dann
n!
9i^'9t^'
9k
!
istV lässt sich durch luduction unmittelbar aus der von uns bereits bewiesenen Relation ableiten. Was dann die Zerlegung selbst angeht, so kann mau dieselbe in folgender Weise bewerkstelligen:
Man betrachte zunächst den früheren Fall gegeben und zerlege die vorgelegte Determinante in ein Aggregat, dessen Glieder bezüglich durch Multiplicatiou zweier Determinanten vom (n — gh)ten und ^/,ten Grade entstehen. Jedes einzelne dieser Glieder behandle mau ebenso; die beiden Factoren jedes Aggregat-Gliedes werden nun- mehr Determinanten vom (n -^a — <7A_i)ten und ^A-iten Grade sein. Diesen Weg conscquent fortsetzend gelangt man schliesslich dazu, die ursprüngliche Determinante in Form einer Summe darzustellen, deren einzelne Sum- manden Producte aus /^Determinanten vom resp. g^^ 9t - - - ghtGn Grade sind.
Sollen wir etwa die siebenreihige Determinante .
|
«lU «1^2 |
«H3 «1?4 «115 |
«116 |
«117 |
|
^51 ^12 |
«2i/«2i4 «Äiü |
«2i6 |
«217 |
|
%51 <h^9 |
«3i3 «8ii «310 |
«8i6 |
««17 |
|
^m «41« |
«4i8 «4i4 «4i6 |
«416 |
«417 |
|
«5»! «ölt |
«äiS «6i4 «5i5 |
«5i6 |
«6i7 |
|
«651 «6?a |
«6i8 «614 «6i5 |
«616 |
«617 |
|
«7n «718 |
«713 «7i4 «7i6 |
^*716 |
«717 |
so zerlegen, dass ä = 3, ^, = 2, ^r^ = 3, i^a = 2 würde, so müssen wir zunächst wiederum eine arbiträre Bestimmung treffen, in welchem Cyklus die ZerfäUung vor sich gehen soll. Am .naturgemässesten werden wir handeln, wenn wir nach den im Schema angegebenen Linien zerteilen (ind als erstes Glied der zu bildenden Reihe das Product
«Sld «3i4 «3i5
+
|
«111 «llt |
|
|
«211 «212 |
«4l5 «4l4 «4lö «5i3 «5>4 «5l5
«616 «6i7 «7 16 «717
gelten lassen. Alsdann ist der Charakter des Zerlegungsprocesses völlig bestimmt; ist z. B. als Determinante III die folgende
Günther: Deut allgemeine Zerleyungsproblem der Determinanten. 145
gegeben, so erkennt man sofort, dass dieselbe in der erst gebildeten Reihe in Verbindung mit der Determinante
^lif ^18 ^l?4 ^lib *Hil
^2 ^'i^ ^>4 ^»6 ^>7
^3»2 ^»8 ^>4 ^395 ^>7
^4)« ^4^3 ^4i4 ^Ith ^4M
^hi% ^18 %i4 ^6*6 ^5»7
auftritt. Handelt es sich dann darum, das Vorzeichen des Gliedes
|
^'j?« ^lib |
|
|
<H-^ «216 |
%9S ^3>4 ^3^7 ^4?3 «4^4 "497
"6id "5?4 ^hft
i ^791 ^96
a priori zu bestimmen, so ist zweierlei zu tun. Man muss vorerst das Vorzeichen des Productes aufsuchen, so lange es nur aus zwei Gliedern besteht; hier ist
also haben wir den Factor (— 1)®+' = — 1. Der Fall, in welchem die erste Colonne nicht mehr als ersten Index 1, sondern eine andere Zahl aufwiese, lässt sich sofort auf diesen zurückführen, wie wir gleich zeigen wollen.
Denn wenn wir jetzt den zweiten Teil unserer Aufgabe in Angriff nehmen, müssen wir darauf achten, dass unsere Determinante fünften Grades nicht in der Normalform gegeben ist; denken wir uns aber wieder eine Hülfsdeterminante 2 ± a/,/ au^i aiuyiu aiv^ir ar,r ein- geführt, so erhellt, dass die ersten Indices beider Determinanten die gleichen sind, und dass, um von der zweiten auf die erste zurück- zugehen, die zweiten Indices lediglich um eine Einheit vermindert werden müssen. . Wir müssen demnach eigentlich das Zeichen des Productes
a/,7 ö/,/v
ajlhll auhiu aiii^YJ ajv^ij aiY^jii a/r,r/
aVfii av^iiJ «F,ri
ermitteln; hier ist Tcnux.
10
alBO tritt drei Dete
Es unterliegt wohl keinem Zweifel, dass anch in diesem allge- meinen Falte die Vorzoieheabcstimmung an? einer independenten, aller Wahrscheinlichkeit nach freilich höchst complicirten Regel ent- nommcn werden kann. Wir begnügen uns jedoch, dies für die prak- tisch wichtigste Specialität direct nachgewiesen, im Uebrigeu aber einen Weg angedeutet zu haben, wie die Zerlegung sich factiscb be- werkstelligen IftSBt
Naegelshacht Studien zu Fäntenau*» Methode. 147
XIV.
Stadien zu Ffirstenan's neuer Methode der Darstellnng nnd Berechnung der Wurzeln algebraischer Gleichungen durch
Determinanten der CoefBcienten.
Von
Herrn Hans Naegelshach^
GymJiasialprofrssor in Zweibrücken.
Die neue Methode Fürsteuau's, von ihm hekannt gemacht in zwei Abhandlungen, Marbnrg 1860 und Marburg 1867, in weiteren Kreisen wohl bekannt geworden durch ihre Aufnahme in Dr. Günther's Lehr- buch der Determinanten, beruht darauf, dass durch Elimination aus einer unendlichen Anzahl von Gleichungen die dem absoluten Wert nach kleinste, resp. grösste Wurzel einer algebraischen Gleichung gefnnden wird als Quotient zweier Determinanten von unendlichem Grad. Durch eben solche Determinanten lassen sich dann auch die Coefficienten derjenigen Gleichung X:ten Grades darstellen, welche die h kleinsten, resp. grösstcn Wurzeln der gegebenen Gleichung zu Wur- zeln hat. Von einem Paar absolut kleinster oder grösster complexer Wurzeln lässt sich also die Summe und das Product durch solche Determinanten darstellen. Indem mau statt der unendlichen Deter- minanten solche von endlichem, allmählich wachsendem Grad nimmt, erh< man Näherungswerte für die Wurzeln. Die Annäherung beruht darauf, dass bei wachsenden Exponenten gegen eine Potenz der gröss- ten Wurzel die gleich hohen Potenzen der übrigen Wurzeln immer mehr verschwinden. Hier zeigt sich die Verwandtschaft der neuen
10*
l48 Naegelsbach: Studien zu Fürstenau^s Methode
Methode mit einer schoa von Daniel Bernoulli vorgeschlagenen, von Euler, Fourier, Stern weiter ausgebildeten Methode, nach welcher von den mittels der Newton'schen Formel zu bildenden Summe der gleichen Potenzen ausgegangen wird, und ebenfalls die Coefficienten der Gleichung bestimmt werden, welche die k grössten, resp. kleinsten Wurzeln der gegebenen Gleichung zu Wurzeln hat. Die Rechnung selbst gestaltet sich schliesslich bei beiden Methoden ganz gleich. Es soll durch diese Bemerkung keineswegs der Wert der neuen Me- thode herabgesetzt werden, sie hat ohne Zweifel ihren eignen theo- retischen Wert und in Bezug auf praktische Anwendbarkeit scheint sie einer weiteren Ausbildung fähig zu sein, die ihr den Vorzug vor jener älteren Methode verleihen dürfte.
Für den Verfasser dieser Abhandlung hat die neue Methode besonders deshalb Interesse gehabt, weil sie in nahem Zusammenhang steht mit einer Classe von symmetrischen Functionen, die er in einem Programm des Zweibrücker Gymnasiums vom Jahr 1871 ausführlich behandelt, und dann wiederholt angewandt hat in Abhandlungen, die in der Zeitschrift für Math. u. Phys. niedergelegt sind. Ist /x =» 0 die gegebene Gleichung, so sind diese Functionen nichts andres als
die Coefficienten der Entwicklung von z- nach fallenden, resp. stei-
genden Potenzen von a?, und Fürstcnau's Determinanten sind die Dar- stellungen dieser Functionen durch die Coefficienten der Gleichung. Aus diesem Zusammenhang ergibt sich eine wesentlich vereinfachte Ableitung der Methode, eine bequemere Darstellung und der genaue Ausdruck des Fehlers, den ein beliebiger Näherungswert in sich schliesst. Durch den letzteren erhält man Aufschluss über die Art, in welcher die Annäherung vor sich geht, und die Möglichkeit, Cor- recturen anzubringen, welche die Genauigkeit wesentlich vergrössem. Der letzte Punkt soll in einer folgenden Abhandlung untersucht wer- den, üeber den vorletzten Punkt ist zu bemerken, dass mein Freund, Dr. Günther, bewiesen hat, dass die aufeinanderfolgenden Näherungs- werte der Wurzeln sich als aufeinanderfolgende Näherungswerte eines unendlichen Kettenbruchs darstellen lassen. Der Schluss aber, den er daraus gezogen hat, dass nämlich die Näherungswerte abwechselnd grösser und kleiner als der wahre Wert sein müssen, ist nicht richtig. Der fragliche Eettenbruch kann auch negative Zähler enthalten, und dann verlieren seine Näherungsbrüche jene Eigenschaft.
Die Eenntniss der Fürstenau'schen Abhandlungen ist bei dem Folgenden nicht vorausgesetzt. Was von des Verfassers eignen früheren Arbeiten zur Anwendung kommt, soll, soweit es das Ver- ständniss erheischt, kurz wiederholt werden.
der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
149
Es sei
§. 1.
die gegebene Gleichung, so ist, wie bei Baltzer, Theorie und Anwen- dung der Determinanten, 4 Aufl. §. 10, 9., zu finden:
a) wobei
b)
r=a)
— «= 2: («1»'... ««).«-'••»
«^(«1 ...Cfw)
Dabei hat man auch noch
aH^ «HS...an*-^ «^«•»-i+»'
c)
(a,** ... Ofn) •== -S«!« «j* ... er««, a-f6-|-...«=r
d. h. kurz ausgedrückt: (cfi**...««) ist die Summe der Combinationen rtcr Classe mit Wiederholungen der Elemente a^.,.an gerade wie die Coefficienten von fx selbst die Summe der Combinationen ohne Wiederholungen derselben Elemente sind. Aus der Defi- nitionsgleichung ergibt sich noch unmittelbar, dass (a^^ . , , an) =^ 0 ist für r -=—1, —2, ... — (w— 1) und gleich 1 fOr r = 0.
Ganz analog ist nun auch, wie ich in dem erwähnten Programm gezeigt habe.
d)
Für die («j-»' ... «n) gilt als Definition noch immer die b), wenn man dort r negativ nimmt. Statt der c) aber hat man
e)
Man könnte also sagen, (cyi~*'... a») ist die Summe der Combinationen (— r)ter Classe mit Wiederholungen der Elemente cri...aH, doch ist der Ausdruck unverständlich ohne die beigegebene Gleichung e).
Für die («i*' . . . of«) , für die ich die Bezeichnung Divisionscoeffi- cienten vorgeschlagen habe, folgt nun aus a) und d), gültig für jedes ganze r, die identische Relation
150 Naegelsbach: Studien zu FUr.ttenaü's Methode
Eine zweite wichtige Identität, auf welcher die Resultate dieser Ab- handlung wesentiich beruhen, ist die folgende:
(««-.• |r"«n) (%-.H-«n)
... + (— !)• C* («i»^-« . . . Ofn) == («/... dn-i) '
r
Dabei bedeutet C« die Summe der Combinationen oter Classe
(«„_,.|.r"«„)
ohne Wiederholungen der ?* Elemente «„-|\fi, ofn— 14-2, ... «k. Diese Identität ist ein besonderer Fall einer allgemeineren, die ich in der Abhandlung Über die iudependente Darstellung der Bernoulli'schen Zahlen, Jahrgang 19. der Zeitschrift für Math. u. Phys. p. 220, be- nützt habe. Für den besonderen Fall gibt wohl den einfachsten Be- weis die Identität der Entwicklungen von
a; — «n-.-j 1) (^ — ft|»-»|2) ... (« — «n) , 1
Ein besonderer Fall der g) ist wieder die Relation
h) (»/... ««) = («i*" . . . «n-l) + ein («1*'""^ . . . «n)
welche sich auch leicht aus b), oder aus c) und e) ergibt, und daraus abgeleitet
.. (^1 ...«#-!'' «1+1 ... er«) —(«1 ...«ic-l*^ «jfcfi ...cr„) , ^, V
' «jk — flff- ^ * '
Einige weitere, in der Abhandlung nur zu Umformungen angewandte und zum Verständniss des Ganzen nicht wesentliche Identitäten sollen noch hier ohne Beweis zusammengestellt werden. Bezüglich des Be- weises muss ich auf das Programm verweisen. Man hat allgemein bei Determinanten nten Grades
k)
^(«1 ...««)
\ («!«• . . . «n), («/ . . . «n) ... («,»' . . . (Tn)
(cri*»»-l . . . «h), (a,^-^...a„) ... (cf/-! ... a„)
(«,"-hH . . . an), («jP-»» M . . . «h) . . . («/-»»+ 1 . . c,^)
und deshalb auch
der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
151
1)
= («102...«^)-«
(iri^^+ff-i ... an), {a^P^'^ ... »«) ... (V+»"^ ... ««)
Um aber solche Determinanten durch die Coefficienten der gegebenen Gleichung auszudrQcken, dient die Identität
m)
(a^ff-l . . . «h), («1*"^ . . . «»), («i'-i ...an) ... (of^ff-H-i . . . an), («,«-•» H . . . a„), (aj<-n+ 1 ...«„).. .
. . . («!«• . . . Cf„), («j» ...an), («1*^ . . . «n)
. . . («i--! . . . an), («i'-i . . . an), («1«'-"^ . . . a»)
(-1)
J-f f-|- . . . 9^Mh~
■ ■ ■ («!«-"+> . . . «»), («,»—+» ...«„), («j«^*» ...an) H.n—l
•\ C/05 C7j|, . . . C/w-h; — 2, C» — f) ...C7w— II— 2i C7i*— M»
.. . C/|fl— <-i, Cm — 1-{-\, «• . C/M>— «— 1, t7{0.8-|.i, . .. C7t0-.g— 1 ...CfD—t^'^ Ow—t, '" Cto—6—2, Cu -8, ».'Cw — g— 2
Die erste Determinante ist vom nten Grad und die q, s, t . . . tt, t?, w sind steigend geordnet. Die zweite Determinante ist vom {lo — q — n4- 1) ten Grad. Die Indices der C nehmen in jeder Colonne von oben nach unten je um 1 ab, und für diejenigen C, deren Indices grösser als n oder negativ werden, ist Null zu setzen. Determinanten von der Form der ersten aber von niedrigerem Grad lassen sich, ohne die Form zu verlieren, durch Ränderung leicht auf den nten Grad bringen.
Endlich lässt sich das Product zweier solcher Determinanten nten Grades in eine einzige solche Determinante, bei der aber auch die Indices in den verschiedenen Zeilen um andere Zahlen als 1 diffe- riren, verwandeln durch die Identität
152
Naegelsbach: Studien zu Färstenau^s Methode
n)
X
(a/...OfH), («/...ff«) ... (or,^..a„), icCi^..,an)
(«l»--! ... Oh), (a,»-l . . . «n) ... («i'-^ . . . «h), («1*^* . . . «~)
(«/... of„), («i*...««) ... (ofi"...«»), («i**...crH)
(«/-''...er«), (Cfi«- « . . . «n) ... (cfi''-«...«H), («!»-«...«„)
(«/-*'... a«), («1»-^...««) ... (rfi*-^...crn), (cti"'"^...«»)
(a/-*...a«), («i«-*...ffn) ... («I «'-*... flfn), (»,•*-*...««)
Diese Formeln sind sämmtlich Identitäten nnd bleiben richtig, auch wenn unter den a gleiche Werte vorkommen. Im Folgenden denken wir uns durchaus die a ihrer absoluten Grösse nach geordnet, so dass «1 die kleinste, an die grösste unter den Wurzeln der Glei- chung fx = 0 bedeutet. Bei complexen Grössen vertritt der Modul die Stelle des absoluten Wertes.
Zu den Fürsteiiau*schen Resultaten führt uuu einfach die Unter- suchung, fttr welche Werte von x die Entwicklungen a) und d) con- vergent bleiben. Man findet sofort, dass für wachsende r das Ver-
hältniss 7~7c:t--*^ sich dem an nähert, wenn a» ein einzelner ab- \a^ , ..an)
solut grösster Wert ist, und ebenso, dass ?— L— r-~~; sich dem
Wert a, nähert unter der entsprechenden Bedingung. Sind aber {ir»-i urd «H absolut gleich, so findet man für jenes Yerhältniss andere Ausdrücke, die durch Elimination die übrigen Resultate geben. Ehe wir darauf im nächsten Paragraphen eingehen, sei noch, um später Weitläufigkeiten zu vermeiden, bezüglich der Bezeichnung folgendes festgesetzt. Es ist immer
9** hx'
(x-
'€tj)(x
«i)(aJ ■a^)(x-
«2) (x ■
«s) (x
a^){x-
a^) ...(x- ■a^) ... (x •«») ... (x Ofj) . . . (ac a^)...(x «4) . . . (« • «5)...(aj-
a„-.l) c= aj»-l + 6^1 a:»»-2+ . . . Gn-i ■an~2) « a:»»-2+//iX— 3+ ...Hn-2 -an-d) = X**~^ + Ji x»*- * + ••• «^»»-8 ■«»»-4) — fl-''-*+Qja'»*-5+... Qn-4 an) «= x^-^ + KiX^-^+...Kn^i dn) — X*''-^+LiX*'-^+... Ln-2 au) — x*'-^-\' M^x*'-^ -}-,.. Mn^i.
der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
153
Die ersten Ableitungen dieser Ansdrücke mögen dann dnrch einen Accent bezeichnet werden, so dass man z. B. hat
§. 2. Ist an ein einzelner absolut grösster Wert, so nähert sich mit wachsendem r («1*'...«^) dem Wert -—r, , denn man hat
(aj''...OM)
J(ttl,..an)
... er
n-2
«,* ...ttj^-ä^
«H», an" ...a«"-2^ ««*•+*-*
r+n-1
ClrH^ ««* ... an**~^
Hier werden in der letzten Colonne alle Gljeder null für r = oo mit Ausnhanie des untersten, die Determinante reducirt sich auf J{a^,..au-i\ und man hat
a-rf H-l
(«,^ . . an) = «kH "-1 . -~7
Hieraus folgt, dass für wachsende r immer näher wird / ' i" --^ =»«»>.
In der Tat, man hat wegen («i»'...«») — «i«(«,*'-i... «„) + («/... ir»-i) für jedes ganze r identisch
1)
K*^-» . . . «h) "^ ^- + (a,r-i . . :an)
Wenn also der absolut zweitgrösste Wert rf„-i ein einzelner ist, hat man nach demselben Princip mit wachsendem r immer näher
!•)
«^«»-1
_;li
154
Naegelshack: Studien zu Fürslenaü's Methode
Ist zweitens an^i »— tfn, so hat man wieder
+»-1
_,\r-|-i»— 1
aber für r » <x> bleiben nun in der letzten Colonne die beiden letzten Glieder endlich. Entwickelt man dann die Determinante nach Partial- determinanten der beiden letzten Zeilen, so erhält man
wenn r-f-^ gerade:
H n
wenn r'\-n ungerade:
(«1*'...«»)
Ä«^.Ä-a^
{««^^»-8+««'Äi-ö+...},
oder anders geordnet wenn r gerade:
wenn r ungerade:
(_l)»-l.e„r+»-2
ha .A-.a »1 ••
'1>
(ai*'...tfii)
*«.i-^«.t
Aa « A— a
<5|
WO also Ci und c^ von r unabhängig sind.
Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Divisionscoefiicienten nähern sich also abwechselnd zwei verschiedenen Grenzen, dagegen
wird mit wachsendem r immer genauer . ^_^" ^^ . = ««*. In der
Tat, aus der Gleichung g) folgt für i « 2 und a«-! = — «h die Identität
(«j«' . . . CTh) « »»•(«i''"^ • • • «h) + (V • • • «n-2),
der Darsfellung der Wuruln algebraischer Gleichungen, IJö
demnach hat man identisch
^^ («,--« . . . a«) ^ "^ "^^ («1^-2 . . . „^)-
Ist demnach an-s absolut <C oh-2> so wird bei wachsendem r immer genauer
je nachdem r gerade oder ungerade.
2*> dr-i" J > = «■«*+(- 1)" (-^- ) .^ " Oder
Seien nun drittens die beiden grössten Wurzeln conjugirt com- plex, und zwar an «= Ä(co8y+t.sing)), an— i -= i2(cos9 — ».sin<p), on-i aber absol. <C i?, so dividiren wir wieder in der Determinante, welche («j»* . . . f/„) darstellt, die letzte Colonne mit Ä*'+~-i, und multi- pliciren dafür aussen mit dieser Grösse. £s werden wieder für r» od alle Glieder der letzten Colonne mit Ausnahme der beiden untersten Tcrschwinden. Wird sie dann nach Partialdeterminanten der beiden letzten Zeilen entwickelt, so erhält man
ha ha ..SinO)
X l^o^"^-sin(f4-l)ip+i/il?H-8 gin(^^2)g>+ ... ^«-2.-R^.8in(H-n
Hier ist ersichtlich das Yerhältniss zweier Divisionscoefficienten von r abhängig. Nun ist aber, wenn zur Abkürzung
HQ.Ii**-H\nrq> + Hin^-^s\n(r+l)q>+ ,.. = Ar und i/o.if»'-2cosr<p+iy^Ä«-«COS(r+l)g)+ ,..^ Br
gesetzt wird,
(«/li ... an) = Ä;^fir~~sin"i M'-cos2g)+/?r8in2ip),
ßr+H-2 » »t--l '^
(»i*"""^ ...««) = V — r : (^r COS Gp — Br sin g>).
'*% **»— 1 ^^^ V
156 Naegehbach: Studien zu Fümttnau^s Methode
Hieraus ergibt sich
vri r^ -- ^2/ cos 29 + ;4;: sin 2<3p j •
(«i»'-! ...er«) (ft ^-^ g x2iZcosy =» Älcos^j+lfsi^^^j^Äcosy
= Ä.+ii* (cos 2^ ^. f sin 2^) = ie» + (^Srr^:^.
Andrerseits aber ist auch
^- / r 1 \ = ^ l COS g)— -r- smoo )
also
und
Diese Werte gleichgesetzt geben
»2 I ( V^^ . . . «h) _ («1»' . . . «w)^ , -^j (0f/-g . . . ffw) (g^»' . . . gn) "*■ («1''-* ...«•)"■ («i»'-! . . . «n)« "•" ^ (g/-l . . . «n)«
und hieraus
j^^ («1*^ - » ' gn)^ — («1*'-*"^ ... ff») («1^-^ . . . gft)
und dann sofort auch
2ÄC0Sa) — (V '" gw)(V^ ... «n) — K'"*"^ ... Cfn)(gi''-^ ... «n)
Man hat also gefunden, welche Ausdrücke fttr ein unendlich wach- sendes r sich immer mehr dem R^ und 2/2. cos 9) nähern. Um auch hier wieder die Näherung controlircn zu können, gehe ich zurück auf die Identität, die für jedes r gilt Man hat aber, in Determi- nantenform und mit Hülfe der g) die Identitäten
der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen,
157
(«/■"2...««), («/-l ... Oft)
(fif/...cfn), («M-i-f-«») («i''.-«») ~»nOH-i(ax'*-i...a„)+(üri«'+l...a„-2) "" ,(ai«'-l...a„), (a/...iifM)
(«!»•...»«), (cr/+i...an-2) und
4)
(aH_i4-««) +
(flf/-l...an), («i^..«n) (ai«^-2...««), (ai''-l...an)
j(«,^-i...a»), (tfi''+^..cr,.-2)
(oi*'-^...«fH), {«l^..ß••)
Ist also «n-2 absolut > ofn-a, so wird bei wachsendem r immer genauer
3*)
(ai»-l...cifH), (crl^..a„)
=«■+(¥)
^*ii-l Ä.-^ril— «ii~2.^r
Ä'
«n-2 ^^" ^ -4r* + -Br*
4»)
(«ir-l...««), (ai'*...»n) I
158 Naegeinbach: Studien ztt Fürstenau^x Methode
2Ä.C08g)+(^'y
A'«^_2Sm^ ÄMr* + -Br*)
Bei den Ergänzungsgliedcni sind die Zähler von r abhftugig, die Nenner aber sind constant Man hat nämlich
^r*+^r* ^ £ Z yy,ft.i?2».~4-(*+.)cos(ifc — 0<p =- C,
Da femer ^a^^a^_y = -4*«-2+-ö*»«-2, hobt sich dann der Nenner ganz weg.
Sind endlich an and otm-i rein imaginär, so hat in den vorher-
n gehenden Formeln rp den Wert » Es ^^d dann mit wachsendem 9
(-l)«jÄiÄ»-a-.fliii— » + ...}
H »—1
|
immer |
mehr |
|||
|
(«l2. |
. . . «n) |
« |
Ä2.|h- ha ha |
-2 -l |
nnd
l?2«+n-l
(a,2«H ... an) = I— X"" (-l)*+M/AÄ"-«-//3Ä~-5 + ... j
=— 1 7 . ^2t f 2.
fla nn ,
n n —l
Hieraus folgt sofort Qnd
^2f-f-2 =» — -42»44 -=■ -f"'^2«f6 = ... = 2/2a+l.
Man hat demnach fttr unendliche r auch
Fttr endliche r aber hat man wie in 2)
fi\ K*" Li:.?»«) _ j I («/ ^ • • J'»i-2)
^^ («1^-« . . . «h) -"- -r (;,^r-2' . . „^-) '
bei wachsendem r also immer näher
5.) .%-"-^,=-«»+(""^^y'""V*;--^f^.
der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen, 159
Dass daneben anch die 3) und 4) ihre Gültigkeit behalten, ist selbst- verständlich.
Es lässt sich nun auch leicht angeben , welchem Werte in - den vier Fällen sich der Rest nähert, wenn dieser nicht von einer ein- zelnen absolut grössten Wurzel abhängt, sondern von einem Paar gleicher entgegengesetzter reeller Wurzeln, oder einem Paar complexer Wurzeln. Ich will hier nur die wichtigsten Fälle ausführen.
Ist erstens an ein einzelner absolut grösster Wert, und dann
«fj«-i « R.(cosip'\-i.sinfp)y iifi»-2 =» Ä.(cosy — t.sin^),
und setze ich wieder
»7o-R"~*8inrg)+«^i^~*8iJ'^(»'4*l)9+ ••• "" -^r, •/oÄ"-8co9g,-|-y^i2»»-4cos(r-|-l)y+ ... — Br,
so wird für wachsende r immer näher
^ ' K^-i ... er«) ^ ''-"*■ W 'Vl^H-a"^^ * ^ '
Ist im dritten Fall
an = Ä(cosy-f**wnv), «H-i = Ä (cos y—» sin 9), tffi-9 -» Ä'. (cos 9'+»- 8"! y')» «^»-8 — Ä'. (cos ip* — t . sin 9')>
und setzen wir noch
Qoi?"-*8inr9)'-f Qii2»»-«8in(r + l)9)'4. ... — Ar', Qoi2*-*cosry'+OiÄ"-*cos(r4.1)9'+ ... =r Br\ so kommt
3»»)
(ai'^...an), (aj^^^..,an)
(«1*^-1 ... ffn), (cfi*"...««) _^ j /Ä;y+— « 1 R.Ar^\A' r^i-- Ar A'r^%R'
|(ori''-l...aH), («i''+^..a„)
(«i«'""* ... ««), («i*" ... «h)
2Äcosy+i^^ j ga^.33«^>nv.sin9' Ä.Ä' '
160 Naeyeisbach: Studien ztt Fürstenau's Methode
Die Fälle, wo es 5 oder mehr absolut grösste Wurzeln gibt, sind hier abcrgaugen. Der wichtige Fall, wo eine Gleichung lauter con- jugirt complexe Wurzeln mit gleichen Moduln besitzt, wie es z. B. bei den aus binomischen Gleichungen hervorgehenden Gleichungen der Fall ist, wird von FUrstenau durch Veränderung der Variabein auf die vorhergehenden Fälle zurückgeführt.
§. 3.
Aus den gewonnen Resultaten lassen sich nun zunächst Schlüsse ziehen auf die Vorzeichen der Divisionscoefficienten.
Ist un eine einzelne absolut grösste, und zwar positive Wurzel, so folgt aus 1^) und 1^), dass, wenn r einmal gross genug ist, dass überhaupt die Näherung beginnt, was im Folgenden immer voraus- gesetzt sein soll, dass dann die (r// . . . «n) immer das gleiche Zeichen behalten. Dass es aber das -|- Zeichen ist folgt dann daraus, dass
für sehr grosse r («j» . . . ««) == —7, positiv ist.
Ist aber cth negativ, so folgt aus denselben Gleichungen, dass dio («i»"...««) abwechselnd positive und negative Zeicben haben, und zwar ist für sehr grosso r
a) wenn n = 2w» ist, ga^ negativ, f/„Mw-i =* | ± je nachdem
( ungerade ( ( gerade .
*• \ gerade ' ^^°*^^*^ ^«^ ...«.)=( ± je nachdem r j ^^^^^^^ ,
b) wenn « = 2m-f-l ist, ga^ positiv, ««»■+M-1 = { 4^ je nachdem
Also ist überhaupt, sobald die Näherung beginnt, ((Yj» ...««) = {± je
- . f gerade nachdem r ^ ^^^^^^j^-
Ist «w-i = — lY» so folgt aus 2»), dass («Z+^-a»,) und {a^^..,€tn) gleiche Zeichen haben. Nun ist a) für gerade r («,*" ... un) =
^ -r— T l^o«i.**"^+^Ä««""*+ ••• }; der erste Factor ist
positiv für n = 2m und n = 2^4-1} das Zeichen hängt also nur vom zweiten Factor ab. Ebenso ist
b) für ungerade r («,•• ...«„)« ^^ — hhlS" I ^1*«""^ +
M •»
-fls"«**"^"!" ••• 1» ^^^ ^™^ Factor ist immer negativ, das Zeichen
der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen. \ß\
hängt nur vom zweiten Factor ab. Man kann dann als Regel ans-
, j- / . XI., abwechselnde > „ . .
sprechen: die (crj»^... of»,) haben ^i^^pUp /Zeichen, jo nachdem
l«i«H— ^+£r,«n"-4+ ... gleiche ) ^ . . , ,
^,a„n-3+Ä3«n--ö+... Verschiedene ) ^^^"^^^ ^*^'^-
Ist itn = Ä. (cos qp-f"* -sing?) nnd «h-i = R.{cosip — i'.sin^), so folgt ans 3») , dass (a,»' . . . «h)* — («i*-^ . . . orn) (a/^^^ ...an) und («1*"""^ ... «••)* — («1*^"^ ... «*»)(«!*■ ... cr,i) immer gleiche Zeichen haben.
Da aber für r «=00 der letzte Ausdruck gleich t^ — r^ (Ar^-^-Br^)
•^ a h a ■ n »—1
wird, sieht man, dass diese Ausdrücke immer positiv sind. Für die («y/...cf„) selbst folgt daraus, dass (aj**-! ... er») und («1»'+^ . . . «n) entweder verschiedene Zeichen haben müssen, oder dem absoluten
«T -* u (ö^ir . . . «n) ^ (»1*'+^ . . . Wn) .
Wert nach 7 — z-\ : > -7—7 r se^i muss.
Aus 4^) aber lässt sich Folgendes schliessen: Ist cosg) positiv, so muss («1*'''^ . . . «w) (a/ . . . «„) — {«i*^"2 . . . «v„) (c^i»* f 1 . . . rr„) immer positiv sein. Wenn also drei aufeinanderfolgende Divisionscoefficienteu zwei Zeichenwechsel enthalten, folgt darauf wieder ein Zeichenwechsel, also kommen von da an nur Zcicbeuwechsel. Daun wird nach dem
( ti ^ f 1 a \
Vorhergehenden / ^ "•— !L absolut immer kleiner, nähert sich also
der Null oder einer endlichen Grenze, was nicht sein kann. Dem- nach können hier nie zwei Zeichenwechsel aufeinander folgen. Zu demselben Eesultat gelangt man auch so: Aus der obigen Bedingung folgt, dass, wenn einmal auf eine Zeichenfolge ein Wechsel folgt, dann notwendig wieder eine Folge kommt Es bilden also in diesem Fall die Coefficientcn im Allgemeinen Zeichenfolgen, unterbrochen von einzelnen Zeichenwechseln. Es können aber auch nicht von einem bestimmten Punkt an die Zeichen immer gleich bleiben, da man sonst
wieder zu dem Schluss käme, dass das Verhältniss / ^ "' ;- sich
einer bestimmten Grenze nähert. Diese Art des Zeichenwechsels mag eine reihenweise heissen.
Ist aber cos tp negativ , so muss («i**"* . . . «h ) («j'' ... an) — (ai*'-^...of«i) («!»'+ 1... an) immer negativ sein. Daraus folgt: Wenn zwei Zeichenfolgen nacheinander kommen, muss dann wieder eine Folge kommen, also fortan nur Folgen kommen.« Dies ist wieder nicht mög- lich, also können nie zwei Zeichenfolgen nacheinander kommen. Man kann aber auch so schliessen : Wenn nach einem Wechsel eine Zeichen- folge kommt, muss dann wieder ein Wechsel kommen. Im Allge-
162 Nacgelshac.hx Studien zu Furstenau» Methode
meinen bilden also die Zeichen Wechsel, unterbrochen dnrch ein- zelne Zeichenfolgen. Es können jedoch nicht nur Zeichenwechsel
von einem bestimmten Punkt an kommen, da sonst wieder / ^ "' ~-
sich einer bestimmten Gränze nähern würde. Diese Art des Zeichcn- wechsels mag auf- und abspringend heisseu.
Sind die beiden grössten Wurzeln rein imaginär, so folgt aus 5»), dass («i*'...or„) und (a/'^...««) immer entgegengesetzte Zeichen hab.en müssen. Demnach wechseln bei den Zeichen der Divisions- coefficienten immer einzelne Zeichenfolgen und Zeichenwechsel ab. Es bildet dieser Fall den Uebergang zwischen den beiden rorhergehen- den Fällen. Dass auch hier wieder (of/...a„)^--(a,»"-i...cr„)(«j*'+i...rfw)>0, folgt schon aus dem Gesetz der Vorzeichen. Aus 4) folgt noch, dass
(cy/- !...«„) ( «i'"+i . . . an)
mit wachsendem r immer näher
(«1*— ^ ...««) (c'i'" ••• ^**)
Aus diesem Allen geht hervor, dass sich schon allein aus dem Vorzeichen der aufeinanderfolgenden Divisionscoefticienteu entscheiden lässt, wie die absolut grösste Wurzel beschaffen ist. Abgesehen von dem Fall nämlich, wo ein Paar entgegengesetzt gleicher grösster Wurzeln vorhanden sind, hat man
eine grösste positive Wurzel, wenn die Divisionscoefticienten immer positiv sind,
eine grösste negative Wurzel, wenn sie immer abwechselnde Zeichen haben,
ein Paar grösster complexer Wurzeln, deren reeller Teil positiv, wenn die Zeichen reihenweise,
ein Paar grösster complexer Wurzeln, wenn sie auf- und ab- springend wechseln,
ein Paar grösster, rein imaginärer Wurzeln, wenn immer abwech- selnd zwei Zeichen positiv und zwei Zeichen negativ sind.
Dass dabei unter Umständen eine längere Reihe von Divisions- coefficienten entwickelt werden muss, um den Fall zu entscheiden, ist einleuchtend. Wenn z. B. ein Paar complexer Wurzeln mit posi- tivem reellen Teil vorhanden ist, aber dieser sehr klein ist gegen den imaginären Teil, so kann eine ganze Reihe von Coefticienten nur ab- wechselnd Zeichenwechsel und -Folgen zeigen bis einmal zwei Folgen nacheinander kommen. Die Betrachtung der Näherungswerte selbst aber zeigt bald, welcher Fall vorliegt.
der Darstellung der Wurzeln algehraischer Gleichungen, lß3
Die Resultate des vorigen Paragraphen lassen nun auch erkennen, in welcher Art die Annäherung in den einzelnen Fällen vor sieh geht. Allgemein ist soviel zu sagen, dass, wenn hei den für die Fehler ge- fundenen Ausdrücken r nur im Exponenten des echten Bruches vor- kommt, dessen allmähliches Verschwinden überhaupt die Ursache der Annäherung ist^ dass dann, wenn überhaupt einmal die Näheruug be- gonnen hat, auch jeder spätere Wert dem wahren Wert näher liegt als irgend ein vorhergehender. Wenn aber der Ausdruck des Fehlers auch ausserdem noch r enthält, so geschieht die Annäherung nur im Allgemeinen, und es kann recht wol ein späterer Wert vom wahren mehr differiren als ein früherer.
Ehe wir auf die einzelnen Fälle eingehen, sei noch festgesetzt, dass die durch die Formeln 1), 2), 3), 4), 5) gegebenen Näherungs- werte zur Abkürzung resp. mit a-r-i, x\-.2^ -ß*r-i, (2Äcos9))r-i, — i2*r-2 bezeichnet werden.
1- Ist an ein einzelner absolut grösstcr positiver Wert und unter den übrigen Wurzeln
a) «n-i ebenfalls ein einzelner absolut grösster positiver Wert, so bleibt Xr immer grösser als an; der Fehler wird mit wachsendem r immer kleiner.
b) Ist «n-i ein einzelner absolut grösster negativer Wert, so ist arr zu gross, wenn r gerade, zu klein, wenn r ungerade; der Fehler wird mit wachsendem r immer kleiner.
c) Sind «M-i und aH-2 ein Paar absolut grösster entgegengesetzt reeller Werte so kann xr immer grösser, oder immer kleiner, oder auch abwechselnd grösser und kleiner sein als Om. Der Fehler ist bei xr\2 kleiner als bei xr.
d) Sind «w-i und «^-2 ein Paar absolut grösster conjugirt com- plexer Werte und ist der reelle Teil positiv, so geschieht die An- näherung reihenweise ; die Fehler werden nur im Allgemeinen immer kleiner.
Ist der reelle Teil negativ, so nähern sich die Xr auf- und ab- springend dem w«, aber auch hier geschieht die Annäherung nur im Allgemeinen.
e) Sind an-i und orM-2 rein imaginär, so sind abwechselnd zwei Näherungswerte zu gross und zwei zu klein. Der Fehler wird für xr^2 kleiner als für xr.
1(54 Naegelsback: Studien zti Fürstenau*s Methode
2. Ist ttH ein einzelner absolut grösster negativer Wert, und unter den übrigen Werten
a) a„-i ein einzelner absolut grösster positiver Wert, so ist xr abwechselnd zu gross und zu klein, und zwar algebraisch zu klein, wenn r ungerade, zu gross wenn r gerade; der Fehler wird mit wachsen- dem r immer kleiner.
b) Ist «1,-1 ein einzelner absolut grösster negativer Wert, so ist Xr immer zu klein. Der Fehler nimmt ab wenn r wächst.
c) Sind ffw-i und cr„_2 ein Paar absolut grösster entgegengesetzt reeller Werte, so können die Xr immer zu gross, oder immer zu klein, oder abwechselnd zu gross und zu klein sein. Der Fehler von «r+s ist kleiner als der von Xr.
d) Sind cfM-i und «»»-2 ein Paar absolut grösster conjugirt com- plexer Werte, und ist der reelle Teil positiv, so nähern sich die xr auf- und abspringend dem «n. Ist der reelle Teil negativ, so nähern sie sich reihenweise dem «„. Der Fehler nimmt nur im Allgemeinen ab mit wachsendem r.
e) Sind «n-i und a„-2 ein Paar conjugirtcr rein imaginärer Werte, so sind abwechselnd zwei Näherungswerte zu gross und zwei zu klein. Der Fehler ist für arr+2 kleiner als für xr.
3. Sind an und cn-i ein Paar'absolut grösster entgegengesetzt reeller Werte, so betrachten wir zuerst die Reihe der geraden Nähe- rungswerte , d. h. diejenigen , für welche r = 2» ist. Ist in diesem Falle («i^« ... cf„) positiv, so sind für positive wie für negative cf„-2 die Näherungswerte immer grösser als cf„^; für ««-3 = -— <yh-2 sind sie entweder alle zu gross oder alle zu klein. Sind dagegen die (aj2» ,,, ttn) negativ, so sind für positive wie für negative «„-2 die Näherungswerte immer zu klein; für ««-3 = — «w-2 sind sie ent- weder alle zu gross oder alle zu klein. Betrachten wir dann die Reihe der ungeraden Näherungswerte, für welche r = 2«+li so sind, wenn («,2*^^ ... «„) positiv ist, die Näherungswerte bei positivem «„-2 zu gross, bei negativem zu klein; für cr„-^ = — 0^-2 entweder alle zu gross oder alle zu klein. Ist aber (aj^«!! ... an) negativ, so sind die Näherungswerte bei positivem a»_2 zu klein, bei negativem zu gross; wenn f^„-3 « — «11-2, eines von beiden.
In all diesen Fällen erhält man also bei der Reihe der sämmt- lichen Näherungswerte abwechselnd zu grosse und zu kleine nur dann immer, wenn entweder («i»". ..a«) und («i*** ^. . .»m) gleiche Zeichen haben und «w-« negativ ist, oder wenn («,**...«„) und (*^i*'+^ ... «„) ver- schiedene Zeichen haben und an -2 positiv ist. Sind crft-2 und an~3
fUr Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen. 165
ein Paar conjugirt complcxer oder rein imaginärer Werte, so zeigen die Näherungswerte ein analoges Verhalten wie in den beiden ersten FäUcn.
4. Sind €tn und or„ i ein Paar absolut grösster conjugirt com- plexer Werte, so ergibt sich aus Gleichung 3) sofort, dass, weil der Nenner des Fehlei*s immer positiv ist,
a) wenn an-2 positiv ist, Ä,-i* zu gross ist, wenn (aj«'...cf„) positiv und («,**— ^ ... «„) negativ ist; dass dagegen R\^\ zu klein ist, wenn {n^^ ...an) negativ und («i*'"^ ... «r») positiv ist Im Falle also der reelle Teil der complexen Grösse negativ ist, sind auch die Fehler für /?*r— i im Allgemeinen abwechselnd positiv und negativ, es werden aber dazwischen auch zwei zu grosse oder zwei zu kleine Werte aufeinanderfolgen. Drei zu grosse Werte könnten möglicher- weise aufeinanderfolgen, wenn die aufeinanderfolgenden Divisions- coefficienten di(^ Zeichen hätten («i**"^ . . . «m) = — , («i** ..««)= — , (flfj'^+i ...«„)=-{-? («1*"^^ ••• «^m) =^ +• I^ass es nicht der Fall sein kann, ist besonders zu beweisen. Nun hat man in diesem Fall nach
§. 3.
(cf/ ... a»)(of/H ... of„) < («1*'"^ ... ««)(«/ ^^ ••• «♦•)
folglich auch
(a^* ...an) ^^^^, (^/J"^ •" ein)
(fr/-! ...«„) -^ («i'^+l ...Uu)
Ist nun R\ \ \ zu gross, also
d. h.
(Ofi'^+l ... Cfw), (tf/+^ ... «n— 2)
>o,
so ist um so mehr
(a7+r— ^ > «-2,
(flfi»- . . . er»)
> aH-2,
(«/-i ... an) also
(ofj»* ... cf„) <; (V^i . .. (r„).c«-2, oder
! («!*' . . . cr„), («1*'+^ . . . «H-2)
j («i'^-^ . . . «m), («i*" . . . an-2)
<0,
d. h. i?V-i zu klein. Ebenso ergibt sich umgekehrt, dass immer, wenn /?> 1 zu gross ist, R^r^i zu klein ist Rr^ ist immer zu gross, also findet immer höchstens eine Zeichenfolge statt. Ebenso erledigt
sich der Fall, wo {«i''-^ . . «n) =■ +, («/... ß«)='+, («1*'+^...««)= — ? (c4''+2... «„)=—, in welchem nie Ä^-i, Rr^ und JR*r+i zugleich zu klein sein können.
166
Naegelsbach: Studien zu FUrstenau's Methode
Der Fall, wo der reelle Teil der complexen Wurzeln positi? ist, erfordert eine weitere Untersachnng. Es sei zunächst («fj'^-i ... «„) negativ, (a^** ... ein) und alle folgenden Divisionscoefficientcn bis («1»-^ ... cth) incl. positiv, («!•...««) wieder negativ. Wie wir in §. 3. gesehen haben, ist dann
(er/ ... an) ^ (a/+i ... a«) ^ '" (a^"^ ... an)'
Da aber
(a/+i ... an-'2)
für jeden Wert von r sich dem «»-2
(cri*" . . . an^2)
nähert, so ergibt sich, dass, wenn irgend einer der Werte («/+» . . . an)y («•• *«+!... «••-2)
(a^r+o-i . . . cm), K»-+«...cr„-2) (ai''+i...an), («/^^ . . . ai»-2) (aj^ . . . an), (öf/^^^ . . . ff n-2)
positiv ist, alle vorhergehenden bis
positiv sind; und dass, wenn irgend («1» -1 ... «n), («1» ... an-2)
(«l'-^ ... «„), («i»-l ... an-2)
einer negativ ist, alle folgenden bis
negativ sind. Hat man umgekehrt eine Reihe negativer Divisions- coofficienten vor sich, so dass («i**-^ ...««) positiv, (a^^ .., an) und alle folgenden bis (cj'-i ... cm) incl. negativ sind, und («,*... a«) wieder positiv ist, so ist nach §. 3. wieder
(o,»'+l ...an) K»'-f2...«n) («1»-! ...an)
(ftl*^ . . . CTh)
aber jetzt folgt aus
(cr/+i . . . Ofn)
(ai«-2 _ jy^J
(g^*--!-« . . . «w) (ai»^+«-i ... an)
> «»-2
umgekehrt, dass
negativ ist Dem-
(a/+ « . . . «n), («!••+« »^^ . . . an-2) (er,»»«-i...a„), («/♦«... «„-2) nach sind, wenn eine dieser Determinanten negativ ist, auch alle vor- horgchondon , soweit sie dieser Reihe angehören, negativ; und wenn eine derselben positiv ist, sind alle folgenden, die dieser Reihe an- gehören, positiv. Aus Beidem ergibt sich, dass, wenn der reeUe Teil der complexen Wurzeln positiv ist, die Fehler bei der Berechnung von /?r' reihenweise positiv und negativ sind. Doch könnte nach dem lUiherigcn eine solche Reihe sich auf ein einziges Glied reduciren; dass dies nicht der Fall ist, zeigt die folgende Untersuchung.
Nach §. 3. ist in diesem Fall immer
(«/-i ... an)(a^' ...an)> (a,*'-^ ... cr„)(a/+i ... a«)
demnach, wenn (fi»-2 ... «„) und (a,»—^ ...««) negativ, («/... «m) and («/***' ...«») positiv sind, ist
dfr JJar Stellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
167
Ist also
80 ist um so mehr
and wenn
ist am 80 mehr
|
(«1- |
'"^ ... « |
|
|
(«,'-' |
. .. «w) |
|
|
1 |
(«1-2 |
... an) |
|
(«1-^+' |
. . . «») |
|
|
(«,' . |
.. «n) |
|
|
(«/+1 («l' . |
. .. «n) |
|
|
(«,'-1 |
... tf») |
> a»i~2,
> «H-a,
< ««-2,
(«1*^-2 ... «r)
< «»-2,
mit andern Worten: wenn i8t, ist immer
negativ positiv, and wenn
(c/-i ... «n), («/ ... «»»-2)
(ofi»" ... a„), («i'^^ ... «H-2) das letztere negativ ist, ist immer das erstere positiv, es sind also immer wenigstens zwei aufeinanderfolgende Fehler positiv. Ist aber (ai»'-2 ... (tn) and («1*""^ ... of«) positiv, («1*^ ... «„) und («/l^^ ... ««) negativ, so ist immer noch
•
(ffj*— ^ ... ctn) ^ (cf/-^ ... ttw). (a/-2 ... a^) ^ («j»- ... «„) '
also auch noch, wenn
nm 80 mehr
and wenn
|
(«,•■-» |
... €iy/^ |
|
(«,••-2 |
... Ofn) |
|
(«.•^+' |
... <>'»») |
|
(«l-^. |
.. ««) |
|
(«/+1 |
... Off») |
> aH-2,
> crn-2,
am 80 mehr
(aj*' ... Ufn)
(«1^-2 ... „^)
< «H-a,
<C «'n-a.
Dies heisst aber jetzt: wenn
(«1*-! ... flf»), (aj»- ... Of^_2) j
positiv
168 Naegelsbach; Studien zu Färstenau*s Mdhode
ist, 80 ist I ,* V , '., xi negativ, und wenn das
' I (V ••• ^n\ (a/+^ ... ftn-2), ^ '
letztere positiv ist, ist das erstere negativ. Es sind also immer wenig- stens zwei aufeinanderfolgende Fehler negativ.
Im Ganzen bat sich ergeben, dass, wenn aH-2 positiv ist, die Fehler der Rr^ bezüglich der Zeichen ganz dieselben Gesetze be- folgen, wie die («/ ... a,») selbst. Für die Fehler der (2i2co8<;p)r gilt das Nämliche, nur spielen hier die (ofj''-i ... an) und (ai»*-2 ... an) die Rolle, welche vorher die («/ ... (Xn) und (ai**—^ ... ««) spielten.
b) Ist «,1-2 negativ, so sieht man aus 3) sofort, dass der Wert Ä*r-i zu gross ist, wenn r gerade und («i** ... ß«) und (a^-^ ... On) positiv sind, oder wenn r ungerade und (er/ ... a«) und (a»*-!... ttn) negativ sind; ebenso dass R'^r-i zu klein ist, wenn r gerade und {a^ ... ctn) und (w^**""^ ... «»») negativ sind, oder wenn r ungerade, und («1»* ... oTw) und («i*""^ ... a«) positiv sind.
Daraus ergibt sich nun, dass, wenn der reelle Teil der complexen Wurzeln positiv ist, die Zeichen der Fehler im Allgemeinen Wechsel enthalten aber unterbrochen durch einzelne Folgen. Die letzteren ergeben sich dort, wo die {a^^ ... ««) das Zeichen wechseln. Haben nämlich (01**^* ... an) verschiedene Zeichen, so ist leicht zu sehen, dass die Fehler von R\-.2 und Rr^ verschiedene Zeichen haben, also eine Zeichenfolge entsteht, das Zeichen des Fehlers von -R*r-i mag ausfallen wie es will. Auch hier ist erst nachzuweisen, dass im Falle («i*'-i...aH) = — , («,»•... An) = +? (ai»'+^..o„)=-f, (ax*'+2...o„)«— , (ai»'+3 ... «n) = — , nicht R^r^i und R\^\ beide zugleich mit i?r* zu klein oder zu gross sein können. Der Beweis ist analog wie oben. Ebenso wenn («i*"-^ ... er«) = + , (cf/ ... «„) = —, (ai*"+i ... an) == — , (ai''+2 ... an) = +.
Der Fall, wo der reelle Teil negativ ist, erfordert nähere Unter- suchung. In §. 3. wurde gefunden, dass, wenn (0^^^^ ... an) und (oi»*+i ... an) gleiche Zeichen haben, dagegen {a^^ ... a„) das ent- gegengesetzte, dass dann immer
(g/ ... CCn) (ci*"*^^ ... ctn)
(cfi»— 1 ... an)^ («!*■ ... «„)
Sei nun K2.-1 . . . cr^ « 4-, (^^28...^,,) «4.^ («i2'+i...an)=-— , ...
oder
der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
169
eine Reihe von Divisionscoefficientcn , bei welchen die ausgelassenen Glieder nur Zeichcnwechsel enthalten, so hat man Ä*2«-i zu gross, und Ä^-i resp. Rht-2 zu klein. Für dazwischen liegende Näherungs- werte aber hat man, wenn
immer auch
(«^2«+a ...„„)
(a,28i«-l ...,,^)
<«n-2,
d. h. wenn
I («12* M...«^), K2.M+l...<rH-2)
>o,
ist immer auch
(«l2«+a . .. „„)^ («j2a f af 1 . . . «^.2) 1 ^ ^
oder: wenn J?S«+a zu gross ist, sind auch alle vorhergehenden N&hc- ningswcrte, die dieser Reihe angehören, zu gross. Umgekehrt aber ist, wenn
(«l2»fa...«,^)
(«j2a+a-l...cr„)
> «n-2,
immer auch
(«j2»miL_«^
> an-2,
d. h. wenn
(„^28+a-l . . . a^), {a^2s+a . . . „^^2)
<o,
ist immer auch
(«,«•+«+! . . . an), («i2a+a f 2 . . . «„^g)
<o,
oder: wenn i?*2«M-i zu klein ist, sind auch alle folgenden dieser Reihe angehörigen Näherungswerte zu klein. Das analoge Verhalten ergibt sich auf demselben Wege auch in den drei noch möglichen Fäüen, nämlich bei Perioden von Divisionscoefßcienten , welche ent- weder die Zeichen haben:
(«i2«-i...«^) = -, («i2*...«„) = -, K2«+i...«^)«+, ... («i2*-i . . . «^) = +, («,2* ...«„) =^ -|.
oder
152 Naegelsbach: Studien zu FÜrstenau*8 Methode
n)
X
(«/...«fn), («/-«h) ... (of/...««), (ai**'...«H)
(«!•'-»• II... a^), (ai^-^+i . . . «h) . . . («!'-*• *^^ . . ««), (ai«'-"+i . . . «m)
(ai-*l«-l...an), (ai-^*»-l...CfH)...(ai-«+*-^..cirH), K••-^..crH) («i-*+~-2...«^), (a,-fl"-2...an)...(<Vi-«l»-2...crH), K^-^...«^)
(ai-*...an), («i""^... er«) ... («,~<»...a«), («/...«h)
(a/. ..«„), («,«...«„) ... (al^..an), («i*'...crH) («l''-^' . . . «n), («!*■'*. ..«n) ... («i""^...««), (ai*^-<'...Cfn)
(a, *'-*...««), («,«-*... ffn) ... («/-*...«»), (ai*^"*...«n)
Diese Formeln sind sämmtlich Identitäten und bleiben richtig, auch wenn unter den a gleiche Werte vorkommen. Im Folgenden denken wir uns durchaus die et ihrer absoluten Grösse nach geordnet, so dass a^ die kleinste, an die grösste unter den Wurzeln der Glei- chung /« = 0 bedeutet. Bei complexen Grössen vortritt der Modal die Stelle des absoluten Wertes.
Zu den Fttrsteiian'schen Resultaten fübrt nun einfach die Unter- suchung, für welche Worte von x die Entwicklungen a) und d) con- vergent bleiben. Man tindet sofort, dass für wachsende r das Ver-
hältniss /—*-?" *■"; sich dem Oh nähert, wenn «m ein einzelner ab-
solut grösster Wert ist, und ebenso, dass 7-lv-i ~~\ sich dem
Wert c, nähert unter der entsprechenden Bedingung. Sind aber on-i urd on absolut gleich, so findet man für jenes Vorhältuiss andere Ausdrücke, die durch Elimination die übrigen Resultate geben. Ehe wir darauf im nächsten Paragraphen eingehen, sei noch, um später Weitläufigkeiten zu vermeiden, bezüglich der Bezeichnung folgendes festgesetzt. Es ist immer
gx «=• (a;—«i)(ic — «,)...(« — «M-i) = x^-^ + G^x*^^-^ .,, Gn-^i, hx — (« — «iXar— ffg) ... {x — an-2) « x*''^+IIiX*'-^+ . .. ^'„-2, i^ «r (« — «,) (x — «^)...(x — c'«-8) = x**-^+Ji x^-* + ,., y^_8, q^^ (x-^ai)(x—a^).,.(x-a„.4) -= ar"- -»-[- Q,a-»-5-t- ... Q^_^^ k^ « (a: — of2)(ir — 1^3) ... (x - an) =- x*'-^ + KiX*''^+ ... Kn^i^ (, — (aj— a8)(ic-04)...(a: — c/h) « a:»*-2-|.Xi x"-3^., _^^_^^
der Daratellnng der Wurzeln aigebraucher Gleichungen.
153
Die ersten Ableitangen dieser Ausdrücke mögen dann durch einen Accent bezeichnet werden, so dass man z. 6. hat
/'a^ =» (an — CTj) («n — a,) . . . («H — «n-l) -= ga^.
§. 2. Ist €tH ein einzelner absolut grösster Wert, so nähert sich mit wachsendem r (a^^...an) dem Wert —p , denn man hat
(ttl''...ffH)
J(a^...an)
»1 >
...er
H-2
«jHn-l
a,o, a,i ... a,~-2^ a/ < "-l
a^-lO, a^_ii ... «^.iH-2, a„-i*^fH-i
^(«1 . . . On)
r+n-l
r+ii-1
a••^ a«* ... ttn^^^j 1
Hier werden in der letzten Colonne alle Gljeder null für r = ao mit Ausnhame des untersten, die Determinante reducirt sich auf ^l»i...aN-i), und man hat
(ff/ . . . an) « «H»^^ «-1 . -77
Hieraus folgt, dass für wachset de r immer näher wird ; :7- — t — «h.
[Oj^ * ... «h;
In der Tat, man hat wegen (a/...aH)«-«,t(ffi''""^...cifii) + («i'"...«fn-i)
far jedes ganze r identisch
1)
(ff / . . . «h)
(a/...<y„-i)
(«/~>...<rH)"''*- + (a/--i...a„)
Wenn also der absolut zweitgrösste Wert ffn-i ein einzelner ist, hat man nach demselben Princip mit wachsendem r immer näher
1')
_Ar4H-2 /'«
'•»-1
172 Naege Isbach: Studien zu Fiirstenau* s Methode
und
(ai2r...„^_2) - ^"-2. Qoa«_2«-4+Q2a„-2'*-6 + ...'
Jo nach dem Zeichen des Bruches werden sich also die Näherungs- werte im Allgemeinen vorhalten wie im Falle a) oder b). Doch ist ein Unterschied dabei. Wenn nämlich die Annäherung reihenweise geschieht und man weiss, dass Ä^2«-i zu gross, Jtht-i zu klein ist, so kann^ man daraus, dass -R^2s+2a-i zu gross ist, nicht schliesscn, dass alle vorhergehenden Näherungswerte bis R^28-i zu gross sind, sondern nur, dass die mit ungeraden Indices zu gross sind. Ebenso lässt sich, wenn i2*2sf2a-i zu klein ist, nur schliessen, dass alle fol- genden Näherungswerte mit ungeraden Indices bis R^t-i zu klein sind, und analog für /2^2«f2a. Es können also dann zwischen ü?^2«-i und Rht—i statt eines Zeichenwechsels mehrere, oder auch nur Zeichenwechsel eintreten. Doch soll hierauf nicht weiter eingegangen werden, und ich wende mich zum Fall
d) wenn an -2 und an-z ebenfalls ein Paar absolut grösster com- plexer Wurzeln sind. Es sei dann wieder an-2 = A''(cos'p' + /8in(p')? und aw-3 == Ä'(cos(p' — isiutp'). Hier lässt sich ein festes Gesetz nicht aufstellen. Man erkennt wohl , dass , wenn cos 9 == + und co8<p' = — ist, die Annäherung im Ganzen abwechslungsweise ge- schieht, und einzelne Zeichenfolgen eintreten, wenn t bei den (aj^...an) ein Zeichenwechsel, oder befden (a^^...a„-.2) eine Zeichenfolge ein- tritt. Wenn aber ein Zeichen Wechsel der («j» . ..«»,) mit einer Zeichen- folge der (cfi** . . . «„-2) zusammentrifft, folgen zwei Zeichenfolgen auf- einander, und der Fall kann sich so compliciren, dass eine ganze Reihe von Fehlern gleiche Zeichen haben und mithin der Charakter der Annäherung ganz verwischt ist. Dasselbe Verhältniss findet statt, wenn cos<;p = — und cosq)' = -{- ist. Haben coscp und cosg)' gleiche Stichen, so findet im Ganzen die Annäherung reihenweise statt, es können aber auch ganze Reihen von Zeichenwechseln eintreten.
e) Wenn cf«-2 und a„-.s ein Paar rein imaginäre Werte sind, so findet sich, dass im Ganzen Zeichenwechsel und Zeichenfolgen ab- wechseln. Wenn jedoch für die Zeichen der (a^»^...««) ein Ueber- gang statt findet, kann eme Reihe von Folgen oder eine Reihe von Wechseln entstehen.
5) Der letzte mögliche Fall ist der, dass an und or«— 1 ein Paar coi^'ugirte rein imaginäre Werte sind. Ich untersuche hier nur die Art der Annäherung, die bei Anwendung der Formel 5) statt findet.
a) Ist an-2 positiv, so sind abwechselnd zwei Näherungswerte zu gross und zwei zu klein.
der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen, 173
b) Ist rrK-2 negativ, so ist dasselbe der Fall. Der Unterschied ist der, dass wenn (ffj*'-2... a^) und (a/-i...or„) gleiche Zeichen haben, ihnen in a) zwei zu grosse Werte entsprochen, in b) dagegen ein zu grosser und ein zu kleiner. In beiden Fällen ist der Fehler für R^T^2 kleiner als für R\.
c) Ist «w-a = — cfn-2, so verhalten sich die Näherungswerte wie in a) oder b).
d) Ist aw-2 = i2'(coS(p'+*8i"<P') und f<'w-8 = -R'(cosg?' — /sincp'), so bilden im Allgemeinen die Vorzeichen der Fehler abwechselnd Folgen und Wechsel, bei den Uebergangsstellen der («/... an-2) aber können drei oder mehr Folgen oder Wechsel aufeinander folgen. Die Annäherung findet nur im Ganzen statt.
e) Sind endlich «n-2 und cth-s ebenfalls ein Paar rein imaginäre Werte, so können die Näherungswerte entweder alle zu gross, oder alle zu klein sein, oder sie können auch abwechselnd zu gross oder zu klein sein. Der Fehler bei 72^^+2 ist kleiner als bei R\.
§. 5.
Das Resultat des vorigen Paragraphen ist nun das Folgende:
Die Näherungswerte sind immer zu gross im Falle l)a; und unter Umstünden auch in den Fällen l)c, 2)c, 3) und 5)e.
Die Näherungswerte sind immer zu klein im Falle 2)b, und unter Umständen auch in den Fällen l)c, 2)c, 3) und 5)e.
Die Näherungswerte sind abwechselnd zu gross und zu klein in den Fällen l)b und 2)a, und unter Umständen auch in den Fällen l)c, 2)c, 3) und 5)e.
Von den Näherungsweiten sind abwechselnd zwei zu gross und zwei zu klein in den Fällen l)e, 2)e, 5)a, 5)b, 5)c, unter Umständen auch in 3).
In all diesen Fällen kann man also, wenn einmal genug Nähe- rungswerte berechnet sind, um auch auf die Natur der zweitgrössten Wurzeln schliessen zu können, für jeden späteren Näherungswert a priori mit Sicherheit wissen, ob er zu gross oder zu klein ausfällt.
Wenn sich die Näherungswerte den wahren Werten reihenweise oder auf und abspringend nähern, so kommt es darauf an, ob dies Verhalten von den grössten oder von den zweitgrössten Wurzeln her- rührt. Im ersten Fall, also bei 4)a, 4)b, 4)c und 4)e lässt sich für einen Teil der Werte auch a priori bestimmen, ob sie zu groF
* «
174 Naegeläbach: Studien xu P&rsUnau^» Metftode
za klein aits&llen. Im zweiten FaU dagegen, also bei l)d, 2)d, 4}d, 5)d, nnd u. A. bei 3) kann man nor a poBteriori schliessen, ob die einzelnen Werte za gross oder zn klein sind.
Die Annäherung kann rasch, kann aber auch sehr langsam er- folgen, wenn die absolut grössteu Wurzeln nicht viel differiren. Eine raschere Annäherung lässt sich erzielen, wenn man Correcturen an- bringt, die sich aus der in jedem Fall bekannten Form der Fehler ergeben. Dies soll, wie schon gesagt, Gegenstand einer weiteren Ab- handlung sein, und sei hier einstweilen nur soviel bemerkt, dass sich dabei auch in den Fällen, wo die erste Annäherung nur einseitig ge- schieht, abwechselnd zu grosse und zu kleine Näherungswerte ergeben.
§. 6.
Um die kleinste, resp. die zwei kleinsten Wurzeln zu finden, erhält man die Formeln auf dem nämlichen Wege aus der Entwicklung
von y nach steigenden Potenzen von x. Ich stelle sie hier kurz zn-
sammen und immer gleich neben den genauen Wert den Wert, welchem sich der Ausdruck fttr grosse r nähert Man hat also:
K a»
oder »V+C-D-^f^r""""'^^.
je nachdem r gerade oder ungerade.
^^^ »«■»WM \"i ..»»^w/ c=s ff « 4- V"l "'»»w/} v^a —^n/
(ai-»^2...«„), (ai-«'-i...an); :(ai-»-2...ofn), («i-»-!...««)
«jX -»"^ «-3 /a^ la^ RA-r^ 1 — «j A^r
«•+(?)
Z'a.Sing) u4«_r + JB«-r
4«)
(«i"»— »...DTh), (Clf3-»"f ^...tt«)
(«,-»^-2 .,^^)^ (cj-»*...««)
(«,-''-^..IY«), (Clfi-»'...tf„)
(«^-»^-2...«»), (cfi-^-^..«;)
= 2ÄC0S 9+ [^) jr^~ . ^(^2_^ + ^i^^, •
lirr Dantelhng der WutuIh algtiraiirker GlnrJiangtn, \75
(«.—"...»„) - •> + (IT, —»...«„)- ^^+1,«^ *ra.4-r-.
AuB dioscu Formeln dqh kann mau auf die Vorzeichen der («1^'... itn) und anf die Art der AnnäheniDg schliessen wie im vorigen Fall. Mao erh< die nämlichf^n Resultate mit einer eiosigen Ans-
£, -r+--l
nähme. Es ist nämlich wieder (a^"...o„) = -^ fOr r = oo.
Diesmal ist aber das Vorzeichen von /"., abhängig nicht nur von «„ flondern auch von Avn Übrigen Wurzeln, und kann sowohl positiv als negativ sein. Deswegen sind, wenn n, positiv ist, die («,'"'...aR) entweder allp posisiv, oder auch alle negativ. Ebenso sind, wenn a, negativ ist, die («,-■''...0.) abwechselnd positiv nnd negativ, nuui kaun aber nicht behaupten, dass sie fOr gerade r positiv nnd fOr ungerade negativ sind, es k&uu auch umgekehrt der Fall sein. In- wiefern sich hierdurch die Gesetze der Annäherung modificiren, ist leicht zu flbersehen.
S. 7.
Anf dem nämlichen Wege erhält man nnn auch sehr einfoch die Coefficieuten der Gleichung, deren Wurzeln die 1 grössten oder die u — 1 kleinsten Wurzeln der gegebenen Gleichung sind, voransgesetzt, dass die darauf folgenden Wurzeln kleiner, resp. grosser sind. Ans der Gleichung g) nämlich folgt
{0/+-'...«,)= C («/+-»...M- C* («/+-»...«.)+...
"— .fi""» -»-(fr-"»
... (-X)'-l C («/-' ... «,.) +(<l/+*-l ... Bn-*).
Mittels dieser Gleichung erliält man wie oben, indem man in der letzten Oolonne für jedes Glied den ihm entsprechenden Wert einsetzt,
j{V...a-), («.Hl...„„)...{B,r+,
+
176
Naegehbach: Studien zu Furstenau-s Methode
(ofj'^-^ ... an) ... («/ M-1 ... a^, (tt^r^k \ 1 ^ „^) ,, (aj»+«-i _ „u)
6*) —
(ai*-i...of„), (a/...a„) ... (ai»+«-2...f „)
(«1»— l..an), («1**..««)
(ai'-+-2.a„)
zuletzt für ifc == «— 2
6«»)
(cfi»-i...a,.), (cir/. ..«„)...(«/+»-«. ..«„), (a/+'-i...a«)
(ai*—^ ... «m), (cfj»'...«M) ...
(«/+*-2...««)
a . 1 , ••• ff
(a,»-i. ..«»), (cf,*'...üf«) ... («1» **-2...o„)
C» +
Ebenso erhält man mit Hülfe der Gleichung g)
(«,-»• f»»--^.a„)= C^ («i-»'+"--2..<^„)— C^ («!-♦•+«— -3..«^) -f.
««•••««-1
...4.(_i).i-.-i c«- • K-'-^.«H)+(«n-.-n-»+»' '-1..«^.,).
«I-«H-.
7)
(al-^..ftH), («1-»+^..««) ... (a,-*-+"-'-^..«H)!
= C'»*-» +
(«j- •• .. Oh), («1-*^+^ .. ««)... (crj-» +"-»-2 .. «^)^ (^^_ . ^j-r f »i-i-l .. «^)f
(«j-*^-*..«,,), («,-»*..««)...
(a,-^+H— 2..«^)
der Darstellung der Wurxeln algebraischer Gleichungen.
177
7»)
(a^-r^Kan) ... (ai-'^+»-i..a„), (cf,-'+*+i..a„) ... («i~'^+*»-^-^.er«)
(öi~*'""^..a«), (aj-^..««) . . .
(«j-r+H-f-2..c„)
(Cfl ... «h) ... (Cfi ... On)i («1 ... a«) ... («1 ... Ow), («n— i-l-l ... ««)
^H-.-*-l _|-
n— I
— r— 1 — r
(«1 ...ttn), («1 ...ffw) . . .
(«1 ... an)
zuletzt für k = n — i — 2
(ai-*^-!. ..««)... (ai-^+"—-»...<Yn), (ai~'^^"-'-^..aM)
7b)
(cTi-*""^...«»!), (ai-''...«n) ... (ai-'^+»»~*"2...of„)
(«1-*-^..««) ... («,--+»»-*-8. ..««), (««— +1-*'+»-'-^..«^)
C^ +
«i - «^,-
(aj-»'-i...an), (ai'"'^...aH) ...
(«j-r^n— 2.. „„)
Bei all diesen Formeln wird der Fehler im Allgemeinen kleiner mit wachsendem r, nnd verschwindet ganz für unendlich grosse r, wenn dem absoluten Wert nach otn-i << tfn-i+i. Dies lässt sich allerdings aus der Form, in welcher die Fehler hier erscheinen, nicht ohne Weiteres erkennen, allein es lassen sich die Ausdrücke so um- formen, dass das Gesetz zu Tage tritt Ein ähnliches Verfahren als das, welches zur Gleichung k) führt, gibt nämlich identisch für den Fehler in der Gleichung 6»)
(a/+^-2..„^)
TftU LEL
12
178 Na eg eis back: Studien zu F&rstenau*s Methode
;(ai''-^..aw_,cf«-»4.i) ... (aj*'+*-*...an-,«»-, 1 1), («/ «*+!...«„_, cr«-,-4.i) ... («/""^...«M-i «!•-#+ 2) ... (a,»^^*-^...«,»-, «„«,^-2), (»i'^^ * > i...üf«-, a„-,f 2) ...
(gi''~^..aw--t ein) _.^ai»'<*-i...aw-«cfn), (a/4 *-l-i...g^_,- g^)
'(«/"^...«H-tCfM-i^i), (a/...a«_,f;„_,-^i) . . .
• •
wobei die Ausdrücke in der letzten Colonne des Zählers dieselbe Be- dentang haben wie in der Abhandlung über die BemouUi'schen Zahlen, Jahrgang 19. der Zeitschrift für Math. n. Phys. p. 220, nämlich
Cr2 („jr+,-8...„^^,)-(....+ (_l).-l C-l (V-.-H-) w— »-|-2 N «— lf2 H
U. 8. W.
Hieraus erhält man dann z. B., wenn unter den Werten «, ...«n^i der letzte ein einzelner absolut grösster ist, und sie alle absolut kleiner als die Werte ««-i+i ... «n sind, wenn ferner r so gross ist, dass man statt der Divisionscoefficienlen die Ausdrücke setzen kann, denen sie sich nähern, und wenn endlich zur Abktlrzung {x — «i)...(a- — «h— i)«^ und (x — «„—.-f-i) ... (ar — ffH)=*x gesetzt wird, für den Ausdruck des Fehlers
\««-f+2/
t a„ ,( x**»»— 1-1-1/ * «^ .•! ff«-i — «n-i-|-l a .,ft."0
I \ n-.,-^2 1 c^,-i-2
Für 1 = 1, ÄJ=— 1 giebt dies wieder die 1*); für « = 2, ä;« — 1 und an =» Ä(co8g?+*8i'*9)5 *'»»-i = Ä(cos^ — tsincp) gibt es die 3*). Es reducirt sich nämlich der Fehler auf
/«w~2\
V Ä )
V äür;. \ ^- -2 [Ä sin (H-n— 1)9 — «n-2 sin (r+n— 2)9>]
— -4„-2 [ä cos (r-f-n— 1)9> — «11-2 COS (r-|-w— 2)g)] } .
der Dcurstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
179
... (cf/ » •-2... a„_,a»), (cifi'^+«-i ... a„-^ : «n-if 1 ... «n-i)
(a/ » «-2... dn-^f^n-i^l) («^^+•-2 ^^ ff^__^. o„.,^2)
(«l»'+»-2 a,^,.«^)
In analoger Weise lassen sich die übrigen Ausdrücke der Fehler umformen, welche in diesem Paragraphen enthalten sind.
Noch sei bemerkt, dass es nicht nötig ist, besonders zn nnter- snehen, ob aw-, <^ ««_,>!. £s ergibt sich dies von selbst daraus, dass die Verhältnisse sich bestimmten Grenzen nähern oder nicht. Femer, dass die Identitäten ungestört bleiben, wenn auch unter den übrigen Wurzeln gleiche vorhanden sind. Endlich, dass sich, wie Fürstenau bemerkt hat, die Determinanten iten Grades zurückführen lassen auf Determinanten 2ten Grades, deren Elemente selbst Deter- minanten vom i — Iten Grad sind, indem man die Sätze von Deter- minanten adjungirter Systeme anwendet.
§. 8.
Es ist nicht notwendig, dass man beide Reihen der Divisions^ coefficienten entwickelt, denn jede der obigen Determinanten, welche die eine Art der Coefficienten enthält, lässt sich auch darstellen als eine Determinante, welche die andere Art enthält. Es lässt sich nämlich jede durch Rändern so auf den nten Grad bringen, dass sie den gemeinsamen Charakter nicht verliert und nur aussen durch eine Potenz von (ff,®...«n) oder («j-« . . . «^) multiplicirt ist Die Gleichung 1) liefert dann die gesuchte Transformation.
Es sollen hier nur die wichtigen Fälle, wo n — t =» 2, und wo » =» 2 ist, durchgeführt werden. Da sich im Folgenden die Divisions- coefficienten immer auf die sämmtlichen a beziehen, mag zur Ab- kürzung statt (V- ••*»•) W geschrieben werden. Es ist
(— n)»-2
(-«+2), (-W-3) ... (■ (-n+l), (-n+2) ... (.
(-n), (-n+1) ... (■
•1) 2)
3)
-n+2), (-2n+3), (— 2n+4) ... (-w)
|
180 |
Vo |
tgthbach; Sludit« » /SrttenaK'f if<(W< |
||
|
(0), (1), (r-n+2), (r-n+3) ... (r-1) (-1), (0), (r-«+l), (r-»+2) ... (r-2) |
||||
|
(-")-' |
(- (- |
-2), (-1), (r-n), (r— »+1) ... (r- |
-3) |
|
|
-.+1), (-.+2), (.^2.+3), (r-2,-H) ... (r |
-») |
|||
|
-n), (r-«+l) ... (.— 3)1 |
||||
|
-2^+3), (r-2»-H) ... (r-n)! |
||||
|
Qutz ebenBO ergibt sich auch |
||||
|
C^_l,,(_„ j (,....,.,-.-.('-"+1), (-»+« ...(-2) |
||||
|
(-r-2), (-r-l)l (-„)-! ,^_2,^)(^_2,^, ,,_„_,,„ |
||||
|
ind |
||||
|
(_,_!), (-r+l)j |
||||
|
(-r-2), (-rt i |
||||
|
(.,...«.)-'-' |
(1), (r-.+2), (r-n+3) ... (.—I) (0), (r-«+l), (r-»f2) ... (r-2) |
|||
|
' ' |
(-.+3), (i-2n-H), (r-2M-5) ... (r— +1) |
|||
|
Sonach üt |
||||
|
8) (-r), (-r+ (-r-1), (-r) |
(r-,), (r-.+l) ... (r-3) |
|||
|
1 (r-2»+3), (r-2,-|-4) ... (r-.,) |
||||
|
(_,-!),, _,) 1 > " -|(,_^i,, (,^-„+2) ...(,— 2) 1 (-■-2), (-r-1) |
|(r-2n-H), (r-2n4-S) ... (r-^-l)!
'(-r-l), (-r+l) 1^— r— 91 l—r)
|
(r-n+1) . |
. (r-3), (r-1) . (r-4), (r-2) |
|
(r-2n-H) . |
. (r-.), (r-,+2) |
|
(r-«+l) . |
. (r-3), (r-2) |
|
(r-2n-H) . |
. (r-n), (r-.+l) |
ehalten gebt hervor, dass die Näherungswerte fOr e 7) ergibt, der Reibe nach die n&mlichcn sind als erhalte, wenn ich das Prodnct der Wurzeln durch ftberangswerte für a,...«)) dtvidire, welche die 6) er- lie N&beningswerte fär "i + oj, welche die 7'') ergibt, die nSmlicben sind als die, welche ich erhalte, wenn
der Darstellung der Wurzeln algebrcuscher Gleichungen,
181
ich von der Summe der Wurzeln die Reihe der Näherungswerte für a,-f-«4..--f~*'M abziehe, welche die 6^) ergibt Zusammengehörend aber sind nicht zwei Werte, die demselben r entsprechen, sondern zwei Werte, die zwei aufeinanderfolgenden r entsprechen.
Ganz ähnlich ist nun weiter für t — 2
|(r), (r+1) :(r-l), (r)
(0), (-1),
(1) (0)
... (n-3), (r-fn-2), (r+^-l) ... (n— 4), (r-l-n-3), (r-\-n-2)
(-»+2), (-n+S) ... (-2), (r-1), ft;)
C«, ...«'»)■■+»(-»)»
(-r-n), (-r-n-fl) ... (-t— 3)
(_^_2„+3), (_r_2n-H) ... (-r-n)
Ebenso
i(r-l), (r) !(r-2), (r-1)
-(«1 ...«»)'-»+»(-»)»
(-r-n+1), (-r-«+2) ... ( (_^2n44), (-r-2n-f5) ... (-
—2)
und bei Yersetzang der letzten Colonne an den Anfang
t
■1), (r+l)\ -2), (r)
= (-1)»-» («1 ...«„)'+»-» (-n) X
(1), (-r- n4-2), (-r-n+3)
(0), (-r-n+1), (-r-n4-2)
... (■ ... (■
■1) ■2)
(-n-l-3), (-r-2«-|-4), (-r-2nf5) ... (-r-«+l)
Demnach ist
9)
(r), (H-l) (r-1), (r)
iC»— 1), (r) |(r-2), (r-1)
(-i)-c-
(— f— n), (-r— n+1) ... (-
■3)
und
S")
(r-1), (r+1) (r-2), (r)
(r-1), (r) (r-2), (r-1)
(D-
(-r-H-1) ... (-r-3), (-r^l)
(_r-«+l) ... (-r-3), (-r-2)
Aus diesen Gleichungen lassen sich analoge Schlttsse ziehen wie ans 8) und 8*).
182
Naegelsbach: Studien zu F^rstenau*8 Methode
§. 9.
Die Resultate des §. 7. erlauben nun auch, wie Fürstenau in seiner ersten Abhandlung gezeigt hat, Ausdrücke aufzustellen, die gegen einen der mittleren Wurzelwerte convergiren, oder gegen Summe und Product von einem Paar solcher Wurzolwerte, vorausgesetzt, dass alle übrigen absolut grösser oder kleiner sind. Von praktischem Wert dürfte nur der erste Fall sein, und für diesen will ich nur die For- meln hier aufstellen.
Es sei also absolut genommen «»-i-i <C. ««-t <1 «h-i+i, so gibt die 6»>)
10)
(«/-!. ..«r„), (a/...€tH) ...(«i»^+'-2...«^), («/+••••««)
(«j»-l...cf^), («/...«h) ... (a/+'~^..«H)
|
• |
-1 • 1 • |
• • |
• • • 1 • |
• |
r+i— 3 • • • • |
• • |
• • • |
-1 • |
...«n) • |
||
|
• 4 |
» • • • |
(«1- • • |
. .a„) |
• |
(« • • ■ |
• • |
• • • |
• |
• • |
ctn-i+Rest,
wo der Rest mit wachsendem r immer kleiner wird. Ebenso gibt aber die 6)
10»)
(«j»"...««), (V*"^— «»») ... (V^*-'»h)
|
• • |
• • • |
• • • |
On) • • |
• |
• • • • |
• • • |
-2 t • • * |
1 • |
|
• • |
• • • |
(«,r+l • • • |
...«1 • • |
• |
• |
• • • |
-1 • • • • |
«n) |
= 0H— «-{-Rest.
Die linke Seite der 10^) lässt sich mittels der Gleichungen n) und 1) auch noch verwandeln in das Verhältniss zweier Determinanten vom nten Grad mit Divisionscoefficienten als Elementen. Eine Erleich- **'nng der Rechnung gewährt dies nicht, ist aber immerhin interessant T, um auch diese Formel noch anzugeben. Man findet
der LkursUäuitg der Wurzeln algebraischer Gleuhunyen.
183
lO»») (-2),
(0) .. (»-.-3),
(-1) .. (n-.-4),
(r-t-7i— .— 2) ..(r-fn— 2) (r4-»— t— 3) ..(H-n— 3)
<(-0, (-.4-1) ..(n-2.-2), (r-f,._2,-l)..(r-|-n-f— 1)
'(-r-0, (-t—i+l) .. (-H-n-2.--2), (n— 2i-l) .. (n-<— 1)
l(_^_„-)-l), (-_r_„+2) .. (-r-,--l), (-0
..(0)
|(0), (-1),
(1) (0)
.. (n-.-2), .. (n — »■ — 3),
(r+n- (r-fn-
.—2) ..(H-n-2) •i — 3) ..(r-|-n— 3)
(-i+1), (-i+2) ..(»-2.-1), (r+n-'2i-l)..(r-\-n—i-l)
(—r-0, (— r— .-fl) .. (-r-l-n— 2e-2), (n-2.-2) .. (n—i-2)
(_r_„-|-l), (_,_„+2) .. (-r-.-l), (-.-1) .. (-1)
= «h,_, -j- Rest. Man hat also x. 6. für die dritte Wurzel einer Gleichong 5ten Grades
(-1), (0), (H-1), ('•+2), (H-3)
(-2), (-1), (r), (r-fl), (r+2) (-r-2), (-r-1), (0), (1), (2) '(-r-3), (-r-2), (-1), (0), (1) (-r-4), (-r-3), (-2), (-1), (0) I
P), (1), (H-1), (H-2), (H-3)
-1), (0), (r), (H-1), (H-2)
—2), (-r-1), (-1), (0), (1) •3), (-r-2), (-2), (-1), (0) :-»— 4), (-r-3), (-3), (-2), (-1)
wobei noch die Gleichung 1) erlaubt, alle Exponenten der Divisions- coefficienten um gleich viel zu erhöhen oder zu erniedrigen, oder auch im Zähler und Nenner um verschiedene Grössen, wenn mit der entsprechenden Potenz von C« multiplicirt wird.
= o,+Rest,
§. 10.
Um die gefundenen Ausdrucke auf die Form zu bringen, von welcher FOrstenau ausgegangen ist, wende ich die Gleichung m) an. Ich erhalte aus ihr für «=0, »=1, < = 2, ... » = n— 2, M>=r-t-n — 1
(«/... «h) = (— l)»*
0, Cq ... Cr— 2
0, 0 ... c,
184
A*«^y€/f ^flcir Sfmdtem am Fm
fkrg-^O, « — 1,<»2,
= • — 3, r = r^-« — 2, fr =r-|-« — 1
C^ Cj — Cr + l
0, 0 -Q
für 4 — 0, «■"!, ««=2,... •=»■ — 3, r = r+» — 3, «e-=r-|-» — 1
Ci, (^ Q _ G+1
^ <^ £^ Ci — <i
0, 0, 0 -. c.
I
ftr q-
— r, #«» — Ä+lt '=• — »+2,... «= — 3, r= — 2, w-
C» — If C» ... Cr'-t
— 1
10,
... Cm^l
ftr g= — r, #=— r+1, «= —
«+2,... »=—3, r=— 2, w=— 1
_. ^-r+»-2 l^-«i G»-2 ... CV-4 I
I 0, 0 ... Gi-a ; ftr 5=— r— 1, j— r-j-l, «=— n-|-2,... u— 3, r=— 2, «?—— -1
(«r"'"««)* («1-'^+^.«»);
(«i"^-'^"«»), K'-*' -..«»)
— c«-^+«^
Cw — 3) Cii— 1 ... tor^S) Cr— 1
Cn—Zj CW— 2 ... Cr— 4, G-— 9
0, 0 ... G— 2, c;
0, 0 ... CW-3, Oi-i
Diese die C enthaltenden Determinanten geben, abgesehen von Tertanschnngen in den Zeilen und Reihen, in die Gleichungen 1) bis 5) eingesetzt, die von Fürstenan zuerst g^^benen Formeln.
f. 11.
Es mögen nun noch an wenigen Beispielen die Resultate des §. 4. gezeigt werden, und zwar sollen solche gewählt werden, bei welchen sich das Gesetz der Annäherung bald erkennen lässt. Wie man bei langsamer Annäherung durch Yertauschung der Yariabehi eine raschere
der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
185
Convergenz erzielen kann, ist von Fürstenau selbst gezeigt worden. Die Berechnung der Divisionscoefficienten geschieht entweder durch einfache Division, oder bequemer mittels der Gleichung f).
Ites Beispiel: a;'~7a;+7 =0.
|
(0) «1 |
(—3) =-7-i |
|
|
(1) -0 |
(—4) —7. (-3). 7-1 7-1 |
|
|
(2) -.7.(0) = 7.1 |
(—5) —7. (-4). 7-1=— 7-1 |
|
|
(3) =7.((1)~(0))« |
— 7.1 |
(-6) =(7.(-5)-(-3)).7-i^ 6.7-2 |
|
(4) =7.((2)~(1)) = |
= 7«.l |
(-7) =(7.(-6)-(-4)).7 1^ 5.7-2 |
|
(5) =7.((3)-(2))= |
: — 7«.2 |
(-8) =(7.(-7)-(-5)).7-i=: 4.7-2 |
|
(6) «7». 8 |
(—9) =-22.7-« |
|
|
(7) - — 78.3 |
(—10) = — 17.7-3 |
|
|
(8) — 7M0 |
(—11) 13.7-3 |
|
|
(9) = — 73.29 |
(—12) = — 69.7-* |
|
|
(10) — 7*. 13 |
(—13) 52.7-4 |
|
|
(11)«— 7*. 39 |
(—14)^ 39.7-4 |
|
|
(12) «7*. 120 |
(-15) 204.7-6 |
|
|
(13)^ 7». 52 |
(—16)=— 152.7-5 |
|
|
(14) = 7M59 |
(—17) = — 113.7-5 |
|
|
(15)^ 7^484 |
(—18)^ 587. 7-0 |
|
|
(16) —7«. 211 |
( 19)=-— 435.7-« |
|
|
(17)«— 7«. 643 |
(—20) = -322.7-« |
|
|
(18) - 7«. 1961 |
(-21) = -1667.7-7 |
|
|
(19)=— 7^.854 |
(—22) 1232.7-7 |
|
|
(20) = 77. 2604 |
(—23) = — 910.7-7 |
Ans der ersten Reihe sieht man, dass «j negativ ist, ans der zweiten dass «j positiv ist Man bildet nun die Reihe der Näherangs- werte fOr <<3 nnd erhält:
(3) (2) (4) (3)
(1) _ (4)
(!) (5)
= — 2
(+)
(-)
(+)
(-)
|
(7) (6) |
21 8 |
|
|
(8) (7) |
10 3 |
|
|
(9) (8) |
= |
29 10 |
|
(10) (9) |
- |
91 29 |
= --«=-2,625 (+)
'""" n ' — ' ~~* ö^ööö ... \"~~)
2,9 (+)
W- -55 = -3,137... (-^
184
Naegelsback: Stutiien zu Furslvutu's Methode
fftrg^O, f — 1, « = 2,... tt = ii — 3, ü = r4-n — 2, to «r+ii— 1
Cfj O^ ... w+i Oj) C/j ... C/f*
0, 0 ... Q
für g=-0, f -=»1, < = 2, ... u«n — 3, r = r+H— 3, w — r-(-» — 1
^1? ^» ^A ••• ^»"+1
0, 0, 0 ... c^
wegen
— r, ««= — *»"hli '■= — n4-2,... tt= — 3, t?= — 2, w
— 1
(a,-r...«^)=(_CH)--+..-l
v^— 1» CW ... Cr— 2 (5»_2, G»-l ... Gw»
0, 0 ... C^i
für ^=— r, «=s— r+1, <=— n+2, ... u= — 3, » — — 2, «?=— 1
(tf,-^..l^,), («,-^+^..«h)
= Cm-'^+»^2
G»— 2> Cii— 1 ... Cr— 3 Cm— 9) Cm— 2 ... Cr— 4
0, 0 ... 0,-2
für 5= — f—l, *=« — H-1, <= — n-|-2,... u-=— 3, r=— 2, w— — 1
— — C«-»'+«^
Cm-2, C||-1 ... Cr-3, Cr-1
Cn— 8j CW— 2 ... Cr— 4> G-— 2
0, 0 ... Ch-2, Cn
0, 0 ... O»-«, Cm-1
Diese die C enthaltenden Determinanten geben, abgesehen von Tertanschnngen in den Zeilen nnd Reihen, in die Gleichungen 1) bis 5) eingesetzt, die von Fürstenan zuerst gegebenen Formehi.
§. 11.
Es mögen nnn noch an wenigen Beispielen die Resultate des §. 4. gezeigt werden, und zwar sollen solche gewählt werden, bei welchen sich das Gesetz der Annäherung bald erkennen lässt. Wie man bei langsamer Annäherung durch Yertauschung der Yariabeln eine raschere
der Darstellung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
185
Convergenz erzielen kann, ist von Fttrstenau selbst gezeigt worden. Die Berechnung der Divisionscoefficienten geschieht entweder durch einfache Division, oder bequemer mittels der Gleichung £)•
Ites Beispiel: x« — 7a;+7 -» 0.
|
(0)=1 |
[—3) =-7-1 |
|
|
(l)-0 |
[—4) =7. (-3). 7-1^ 7-1 |
|
|
(2) -=.7.(0)-=7.1 |
[—5) —7. (—4). 7-1— 7-1 |
|
|
(3)-7.((l)-(0))- |
— 7.1 ( |
[-6) =(7.(— 5)-(-3)).7-i=-6.7-2 |
|
(4)=7.((2)-(l))- |
7».l |
(—7) =(7.(— 6)— (— 4)).7-i^ 5.7-2 |
|
(5)=7.((3)-(2))= |
—7». 2 |
(—8) -(7. (-7)— (-5)). 7-1^ 4.7-2 |
|
(6) = 7». 8 |
(—9) = 22.7-« |
|
|
(7) -—7». 3 |
(—10)^ 17. 7-» |
|
|
(8) -7M0 |
(—11) „—13.7-3 |
|
|
(9) =. — 7». 29 |
(—12) = — 69 . 7-* |
|
|
(10) — 7*. 13 |
(—13)^ 52.7-* |
|
|
(11) 7*. 39 |
(—14)«— 39.7-* |
|
|
(12) -7*. 120 |
(-15) 204.7-5 |
|
|
(13) 7». 52 |
(—16)^ 152. 7-5 |
|
|
(14)=-.7M59 |
(—17)« — 113.7-5 |
|
|
(15) 7^484 |
(—18)^ 587.7-« |
|
|
(16)— 7«. 211 |
(—19) 435.7-» |
|
|
(17) 7«. 643 |
(—20) 322.7-« |
|
|
(18) - 7«. 1961 |
(-21) 1667.7-7 |
|
|
(19) —7^.854 |
(—22) 1232. 7-' |
|
|
(20) — 7^.2604 |
(—23)== — 910.7-7 |
Aas der ersten Reihe siebt man, dass «s negativ ist, ans der zweiten dass «i positiv ist Man bildet nnn die Reibe der Näbemngs- werte für o, nnd erhält:
— 1
(J) (2)
(1) 7
(3)
<^=-2 (4)
m 4
(ö)
(+)
(-)
(+) (-)
(T) =-"8 --2.625
(7)
(?)
(8)
(10) '(9)
= "^~ ~^ "^ ""^ ö^ööö ... 5
29 10
91
2,9
— 29 '^ — 3,137 ...
(+) (-) (+)
(-)
186
Naegthbachx Studien zu Fursteitaü's Methode
|
(11) |
39 |
|
(10) ~ |
13 |
|
(12) (11)^ |
120 39 |
|
(13) |
364 |
|
(12) |
120 |
|
(14) |
159 |
|
(13) |
52 |
|
(15) (14) |
484 159 |
(+)
— 3,076 ... (— )
= - 715; = - 3'033 ... (+)
= — To 3,057 ... (-)
-T ?^ = - 3,044 ...(+)
(16) (16)
(VI) (16)
(18) (17)
(Ü)
(18)
(20) (19)
1477 484
643 211
1961
= — 3,051 ... (— ) = — 3,0473 ... (+)
= - -?Tö- = - 3,0497 ... (-)
643
5978 1961
2604 854
—3,04844 ...(+) —3,04918 ...(—)
Die Werte uftbern sich dem wahren Wert abwechsclud von oben und unten, wie die daneben geschriebenen Vorzeichen der Fehler er- kennen lassen. Der wahre Wert liegt also zwischen den beiden letz- ten. Zugleich erkennt man, das «^ positiv sein muss. £8 wäre frei- lich noch immer möglich, dass es auch einen imaginären Teil besässe, der aber jedenfals so klein ist, dass er bei dieser Annäherung noch keinen Einflnss ttbt
Bilden wir nun ebenso die Näherungswerte fttr «,. Es ergibt sich
-3)
-4) -4)
-5) -5)
-6) -6)
-7) -7)
-8)
-?) -9)
-9)
^ = 1,166 ...
6 5
5 4
28 22
= 1 -1,2
1,25
1,27 ...
22
—10) 17
—11) 13 ^'^ • • ~^" ^^ = 1,31...
-12) -12)
69
69_
fco — IjVJj ...
—13) - 52 Hier erkennt man sofort,
—13) 52
—14) '" 39 —14) 273
X^ööö ...
2()j i,ut>ö ...
^ -1342
—16) ~ 152 ~ '-''^^ -
—16) 152
-16) -15)
-17) -17)
113
1,346 ...
-^-^ =1347 -18) - 587 ^''**' -
—18) 587 '436
436 '322
-19) -19)
1,349 ...
x^öOK/u ...
-20)
Z:20)_2254_
—21) 1667 ~ ' •■■
-21)
_16!Z_13530 —22) — 1232 "~ ^'^^'^ "•
—22) 1232
=23) = ^iÖ"" ^'^^^ •"
dass sich die Werte einseitig nähern,
der DarsUlluwf der Wurzdn cd*j%braischer Gleichungen,
187
dass also auch der letzte Wert zn klein ist. Daraus «gibt sich wie- der, dass «4 positiv ist. Was diesen Wert selbst betrifft, so hat man nach §. 7 und §. 8
(18), (19) (17), (18)
(17), (18) (16), (17)
(19), (20) (18), (19)
(—21) _ 1667 • (_20) ~ 322 ~ ' ■■•
'»«8»
(18), (19) (17), (18)
— 7.
(-22) (-21)
1232.7 1667
= — 5,173 ... •= ojBj.
Beide Werte sind algebraisch zu klein. Man würde daraus finden
(18), (19) (17), (18)
und
(17), (18) (16), (17)
(19), (20) (18), (19)
(18), (19) (17), (18)
(18)
1667 . 643
322 . 1961 " '* ' ■ ■ "° "*
(18) (19)
1232 . 7 . 1%1 1667 . 5978
= 1,69705 ... = oj
Von diesen Werten ist der zweite, also auch der erste zu gross. Man findet auch keinen zu kleinen Wert, wenn man von dem Fro- dnct «,«2 ausgeht Man hat zwar
(-20), (-19) (-21), (-20)
!(-21), (■ |(— 22), (-
■20) ■21)
(17) _ 643 ■ 7 '*(18)"~ 1961
2,2952
«1«} zu klein.
and
K- !(-
■21), (■ -22), (-
■20)!
•21)1
(■
■22), (-
■23), (■
(-23), (-
21) 22)
(18) _ 1961 ■ (19) ~ 854
2,2964 ... •=> d] (<2 zu gross.
aber die Werte von «, werden die nämlichen wie oben.
188
Satgtlihack: StuditM zm fmr.
2 tes Beispiel: x*+2x*+a3c— 1 = a
(0)-l
a) = -2(0)--2
(2)=-2(l)-3(0) = l
(3)— 2(2)-~3(lH-l(0)«5
(4)=-2(3)-3(2>fl(l)=-15
(5) 2(4)— 3(3H-1(2) = 16
(6) = 18
(8)= 160 (9)=-5 (tO)— 569 (11) - 1313
;-3)-l ^)=3(-3)=3 -5)=3(-4)+2(-3) = ll -6) =r3(-^)-|-2(^)+l(^3) = 40 -7) = 3(-6)-|-2(~o>+l(-4)=145 -8) = 3(_7)-|-2(-^)+l(— 5) « 526 ;— 9)=1908 —10) = 6921 —11) = 25105 —12) =91065 —13) =- 330326 —14) = 1198213
(12)=— 924
Hier zeigt sich sofort, dass <4 und «, ein Paar complexe Wurzeln sind, deren reeller Teil negativ ist, desgleichen dass «i positiv ist Berechne ich das letzte zuerst, so kommt
|
(-3) |
1 |
|
(-4) |
~3 |
|
(-4) |
3 |
|
(-5) |
~11 |
|
(-5) |
11 |
|
(-6) |
~40 |
|
(-6) |
40 |
|
(-7) |
"145 |
|
(-7) |
145 |
|
(-8) |
""526 |
|
(-8) |
526 |
|
(-9) |
~1908 |
|
(-9) |
1908 |
|
(-10) |
"6921 |
|
(-10) |
6921 |
|
(-11) |
"25105 |
|
(-11) |
25105 |
-12) -12) -13) -13)
= 0,33 .-
= 0,2727 ... — 0,275 ... = 0,27586 .-
= 0,275665
0,2756813
0,2756827
0,27568213
= 0,275682205
= ^^ä =0,2756822049
19065
91065 330326
(+) (-) (-) (+) (-) (-) (+) (-) (+)
-14)
Qao^26
1198213 - 0,2756822034
(-)
der Dcurattüung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
189
Die Vorzeichen der Fehler lassen wieder erkennen, dass die beiden andern Wurzeln complex mit negativem reellen Teil sind. Der letzte Näherungswert ist gewiss zu klein, der vorletzte könnte zu klein oder zu gross sein. Für die beiden Wurzeln «^ und a^ lässt sich nach §. 8 mit Hülfe der gefundnen Werte von a^ sofort ein zu grosser and ein zu kleiner Wert von R^ und 2Rcos<p angeben. Da es mir aber hier wesentlich um den Wechsel in den Vorzeichen der Fehler za tun ist, will ich die ganze Reihe hersetzen, und nur vorher noch bemerken, dass wegen 6W « — 1 hier einfach nach §. 8
und
(r)(H-l) (r-l)(r)
(r-1), (r+1) (r-2), (r)
= (-r-3)
i (r-1), (r) |(r-2), (r-1)
(D-
(-r-2)
ist.
Man hat ftbr R^
11 3
40 11
145 40
526 145
1908 526
6921 1908
25105 6921
91065 25105
330326 91065
1198213 330326
= 3,666 ...
= 3,636 ...
= 3,625
(+) -^
(-) -
and fOr 2Rcoaq>
3,6275 ... (+) —
3,62737 ... (+) — ~~ — — 2,275665 ...
3,6273659 ... (+) — 3,62736506 ...(-) —
3,62736506 ... (— ) —
7 3
25 11
91
40
330 145
1197 526
4342
1908
15750 6921
57131 25105
207235 91065
751717 330326
— 2,2727 ..
= — 2,275
— — 2,27586 ...
3 tes Beispiel: «j^— 6«*-|-3«»— 8«« — 5a5— 2 — 0. (0)«1 (1)=6
(-)
(+) (+)
(-)
(+)
3,627358 ... (— ) — ^ - — 2,2756813 ... (-f )
= — 2,2756827 ... (— ) 2,27568213 ... (+)
== — 2,275682205 ... (-)
3,62736508 ... (+) — ^^~ 2,2756822049 ... (— )
190 Naegelsbach: StudUn zu FUrstenaü's Methode
2)=6(1)— 3(0)«33
3)-=6(2)— 8(1)+8(0)«188
4):^6(3)— 3(2)+8(l)+5(0)=xl082
5)«6(4) -3(3)+8(2>f5(l)+2(0)=6224
6)===6(5)-^3(4)+8(3)+5(2)+2(l)==35779
7)-»205664
8>»1182225
9)==6795874
10)==39065224
11)=224561400
— 5)=1.2-i
-6)-2-i.(-Ö(-5))— 5.2-2
-7)=2~i.(-5(~6)^8(-5))=9.2-3
-8)=2-i.(— 5(— 7)— 8(— 6)+3(— 5))=47.2-*
—9)«2-i.(—5(— 8)— 8(—7H-3(—6)-6{-5))«=— 487.2-6
— 10)=2-i.(~5(-9)-8(-8)+3(-7)— 6(-6)+(— 5))=2047.2-«
— ll)=2-^(-5(-10)— 8(-9)+3(-8)~6(-7)+(-6))«-2391.2-"*
—12)— 28753.2-8
— 13)=230713.2^*
—14)=— 828257.2-^0
— 15)=252361.2-"
— 16)«16100751.2-i2
Es ist soBAch «5 positiv, «i und «^ sind complcx mit negativem reellen Teil. Als Näherungswerte der 05 erhalte ich nacheinander
6 1
33 6
188
33 1082
188
6224 1082
35779 6224
= 6 (+)
« 5,5 (-)
= 5,69 ... (— )
« 5,755 ... (+)
« 5,752 ... (+)
« 5,7485 ... (+)
der DarateUung der Wurzeln algebraischer Gleichungen.
191
2^664 35779
1182225 205664
6795874 1182225
39065224 6795874
224561400 39065224
5,7481 ... (— )
5,74833 ... (— ) 5,748376 ... (+)
— 5,7483737 ... (+)
5,7483709 ...
Aus den Vorzeichen ersieht man, dass «n und «g ein Paar complexer Wurzeln sind mit positivem reellen Teil Vom letzten Wert ist nicht sicher, dass er zu klein ist
Um et] und a^ zu berechnen habe ich
|
(-6), ( |
:-5) |
16 8 |
|
|
(-7), ( |
-6) |
2* 2» |
|
|
(-7), ( (-8), ( |
-6) :-7) |
316 79 ~ 2« ~ 2« |
|
|
(-8), ( (-9), ( |
:-7) ;-8) |
6592 824 "■ 2» ^2» |
|
|
(-9), ( |
:-8) |
140960 8810 |
|
|
(-10), ( |
[-9) |
— 2»» "" 2* |
|
|
(-10), ( |
[-9) |
3025792 94556 |
|
|
(-11), ( |
[-10) |
2« "^ 2' |
|
|
(-11), ( (-12), ( |
;-io) :-ii) |
64574272 ^^ SS3S 214 |
1008973 2» |
|
(-12), ( |
[-11) |
1378369792 |
10768514 |
|
(-13), ( |
[-12) |
— 2** |
2» |
|
(-13), ( |
:-i2) |
29413614848 |
114896933 |
|
(-U), ( |
:-i3) |
218 |
210 |
|
(-14), ( |
(-13) |
: 627786694656 _ |
1226145888 |
|
l(-15), i |
(-14) |
— 2*® ~" |
2" |
|
(-15), i |
[-14) |
13399245795328 |
13085200972 |
|
(-16), |
(-15) |
^ 2*« "" |
2*^ |
192
Naegelshack: Stmtfien zm FuntemoM^M Methode.
Man hat demnach als Kahemngswerte für B*
|
2i5 |
= 0,202 ^ |
(+) |
2.1006973 |
|
79 |
10768514 |
||
|
2.79 824 |
^ 0,191 ^ |
(+) |
2.10768514 1148%933 |
|
2.824 8810 |
= 0,1870 ... |
(-) |
2.114896933 1226145888 |
|
2.8810 94556 |
= 0,1863 ^ |
(-) |
2.1226145888 13085200972 |
|
2.94556 inn«Q7Q |
=- 0^8743 ... |
(+) |
= 048739 ... (— )
0^8744 ... (— )
0487411 .-
0^87409
Hier Iftsst sich ans den Vorzeichen der Fehler anf die vorher- gehenden Wurzeln mit Sicherheit nicht schliessen. Es könnte «s positiv sein, es könnten aber anch «3 und «4 ein Paar complexer Wurzeln sein. Dass in diesem Fall der reeUe Teil positiv ist, ist nur wahrscheinlich, nicht gewiss. Fbenso ist von den beiden letzten Werten nicht mit Sicherheit zu sagen, ob sie zu gross oder zu klein sind.
Ffir 2/2 cos 9> werden die beiden letzten Näherungswerte
(-14), (-12) |(-16), (-13)
(-14), (-13) (-15), (-14)
— 0,5856559 ...
(-15), (-13) (-16), (-14)
(-15), (-14)1 i(-16), (-15)
— 0,5856556
Für «3 und «4 endlich findet man aus den letzten Werten R'* — 1,85649 ... , 2ä'cos9'« 0,83727 ... .
Beitrug zur KeuatDiss tod der Bewegung eines scliveren Punktes auf Botationsflächvn mit Tertlciiler Axe.
Theodor Bertram,
Qjmnaaiallehrer in Bielefeld.
Die folgenden Entwicklungen sollen einen Beitrag liefern zur Eenntnisx von der Bewegung eines materiellen Punktes, der gezwungen ist, sich unter dem Einfluss der Schwer- kraft auf einer Rotationsfläche zu bewegen, deren Axe verticat steht. Zunächst werden die Bewegungsglf^icbungen, soweit es möglich ist, allgemein für Rotationsflftcben mit verticaler Aie iiite- grirt werden, um dann an der Hand der so gewonnenen Resultate die Bewegung auf dem Botations-Paraboloid und -Kegel einer eingeheuderen L'ntersuchuüg zu unterwerfen.
§. 1. Bewegung auf der allgemeinen RotatloBsflKehe
x*+y*-nzy = 0.
Die Glcichuug a^*+y*— /(i)^ = 0, oder kürzer F{x,y,z)^Q^ stellt eiue auf rechtwinklige Coordinaten bezogene Rotationsflficbe dar, deren Rotatiousaxe zugleich Aie der x ist. Die Meridiancnrve hat die Gleichung r=/(i), wenn r die Abscisso in dem Coordinaten- systeme eines Meridian Schnittes bezeichnet. Die AI Entwicklung wird nicht beeinträcbtjgt, wenn wir die weglichen Punktes gleich der Einheit setzen; nehmen die Richtung der Schwerkraft derjenigen der positiv gesetzt, so sind die allgemeinen Bcwegnngsgleichut^cn i bekanntlich gegeben durch folgende Gleiclmugeu:
II 1) j.i
194 Bertram: Beitrag zur Kenntniss von der Bewegung
worin N den noch unbekannten Normalwiderstand der Fläche be- deutet und der Kürze halber r= — -—-- ^ ^ ^ .,^ ^ . ge-
setzt ist.
vm+ (r)'+ m'
Da die resultirende beschleunigende Kraft sich in jedem Moment aus der parallel der Axe der z gerichteten Schwerkraft und dem Nor- malwiderstande der Fläche zusammensetzt, welche für den Fall un- serer Rotationsflächen in ihrer Richtung immer diese Axe schneidet, so wird die Resultirende mit der Axe der z immer in einer Ebene liegen.' Für die Projection der Bewegung auf die Ebene der xy können wir somit von dem Flächenprincip Gebrauch machen. Das- selbe ergiebt
III. xilg -ydx = C.iÜ\ oder r^ .dm = C'.cft,
wenn C eine noch zu bestimmende CoDstante , und [r, od] die Polar- coordinaten für die Projection der Bahn auf die Ebene der xy be- zeichnet.
Da femer die von dem Normalwiderstande der Fläche geleistete Arbeit in jedem Momente gleich Null ist (sie steht ja senkrecht auf der Bahn des Punktes), so liefert uns das Princip der lebendi- gen Kraft ein anderes erstes Integral unserer Gleichungen 11,
wenn v die Geschwindigkeit des Punktes und C eine zweite willkür- liche Constante bezeichnet
Zur Bestimmung der Constanten C und C^ genügt die Kenntniss des Bewegungszustandes an einem bestimmten Puukte. Der Punkt A [a^, yo> ^] *of der Fläche -F == 0 habe die Coordinaten
^ =- ^; yo ="0; a!o = /Wi
und dort möge der bewegliche Punkt [3/ möge kurz ihn bezeichnen] eine Geschwindigkeit vq, in der Richtung der Taugente an den durch A laufenden Parallelkreis, besitzen, so dass, wenn auch die Zeit von dem Momente an gerechnet wird, wo ilf sich in A befindet,
^i)t=, °= "o "*• ^*'"' f°'8* *"" ^- '0 (|'),=o - ^^ (l)/=o = ^ =zf{h).VQ\ und aus IV. V =* —2gzQ'\-C^ oder C'= 2^ä+V.
Wir erhalten somit folgende zwei DifferentialgleichuDgen erster Ordnung:
eines sthuertn Piiahlei auf Raiationtß&chen mit verlicaUr Axt.
Diese verbinden wir mit der Gleichung der Fläctie '"+>■ -/W, und ilireni ersten Dilfei-entinl V. x,U+yds-n^).f{,).d,.
(x'+j')[rf.'+rfjl-y(«)vw'.<!='+.i'./m',rfi'i
oder
«•)'[(;Ä)"+@)']=«-)"n.)-.e)'+.'.A«'i
woraus, mit Rilcksicht anf IV», leicht abgeleitet wird: Durcli Einsetzen dieses Wertes in III*. Undet mftn dann
vn. „,. _ + »/7,.r.[2j(4-.)+..1-.../w' ■ Tsr ■''"■
Für das Bogendiffercntial der Bahn folgt aus IV*. und VI. mit Rück- sicht auf » = 3: ■ '
Auch der Winkel, den die Tangente an einem Pnokte der Bahn mit der Tangeute des zugehörigen ParallelkreiscH bildet, lässt sich leicht bestimmen. In dem Elemcntardreieck RPQ, sei FR ein Ele- ment der Bahncnrvc d»; PQ sei der durch P laufende Parallelkreis, und QB der durch R bestimmte Meridian irgend einer Rotations- fläche. Da in Q die Parallelkreiae und Meridiane sich : ' achneiden, so ist
da
wenn ila das Bogendifferentiat des Farallelkreiaes bezeichnet
196 Bertram: Beitrag zur Kenntnus von der Bewegung
aus III». folgt aber
da _ vq ./(h) _ vq . f(h) , ^'dt r f(z) '
also
IX. COST =
Durch die bisher gefundenen Ausdrücke ist es möglich, alle wesentlichen Elemente der Bahn durch einfache Quadraturen zu finden, sobald die Function f{z) specialisirt ist. Ist f{z) aber eine transcen- dente Function, so bieten sich der Integration zu grosse Hindemisse*, ja schon bei algebraischer Form von f(z) werden die Integrale als Argument eine Quadratwurzel aus einem Polynom 5ten und höheren Grades der Variabelen entthalten, wenn f{zY ein Binom nur vom 2ten Grade mit zwei verschiedenen Parametern ist
Die einzige Fläche, welche ein algebraisches Integral ergiebt, ist die Cylinderfläche
man findet aus VI. und VII. leicht durch Einführung der Werte
woraus ersichtlich, dass die durchlaufene Bahn bei der Abwicklung des Cylinders auf einer Ebene eine Parabel darstellt
Die Kugel
hat wegen ihrer praktischen Bedeutung für das Pendel schon aus- reichende Untersuchungen gefunden. Aber schon für diese Flüche werden jene Quadraturen elliptische Integrale. Letzteres gilt auch von dem Rotations -Paraboloide und -Kugel, wie wir im folgenden sehen werden. Die übrigen Rotationsflächen 2ten Grades führen schon zu höheren Transcendenten.
§. 2. Bewegnng auf dem Rotations-Parabolold.
Die Gleichung eines Rotations-Paraboloides dessen Rotationsaxe zur Axe der «, und dessen Scheitel zum Coordinateü- Anfang ge- nommen wird, ist
eüuf ichietren Punkits auf RnlalioinJIScIiM mit vtrlicaltr Axt- 19?
30 dasB die Fanction fU) in den FormBln des §. 1. zu ersetzen ist dnrch '}/-l€a; aUo /'{s) = [/^V Es ergiebt sich daraus fQr die
Componente der Geschwindigkeit des beweglichen Punktes genommen nach der Axe der = der Ausdruck:
= +y2a
Das doppelte Vorzeichen weist scbou daranf bin, dass die fiewegnng eine auf- und absteigende sein wird, nnd veranlasst die Bestimmung der Höhe nnd Tiefe, zwischen denen das Steigen nnd Fallen statt- findet
dz Die Geschwindigkeitacomponente -^ wird Null für die beiden
Wert«
sehen wir eüso zu, welche Richtung die Beschlconignugscompoueute ■j-i für diese beiden Werte erhalt. Es ist aber
S- + VV
'V^m
X
rm^4
worans unmittelbar folgt, dass
Wv -* ~ "■ ö" <; **' ^^ n*«l»'Jein "u ^ '^'igK
'+5
•'
/
/ f
^ . *
• -»-*
/
f '.
/
(
I
' ■ 0
f^/ y. -^-^
/
/ ' / / /,
/"
\
t^ -X^VijcAiz T
eines schweren Punktes emf Rotationsflächen mit verticaler Axe, 199
_ ParaUelkreis 2».ar,
es ist aber dieser Ausdruck constant nur für ac* =» « Const., d. h. die Meridiancune muss eine Parabel sein.
Noch eine Bemerkung über das Vorzeichen der Constanten a in der Gleichung x^-\-y^ =^ 2az möge hier Platz greifen. Dasselbe ist stillschweigend als positiv angenommen, d. h. das Paraboloid mit seiner concaren Seite nach oben gerichtet, also ganz auf der positiven Seite der 2 vorausgesetzt Sollte a <^ 0 sein, so würden nicht alle bis jetzt gemachten Schlüsse stichhaltig sein; es würde h auch negativ sein müssen. Eine einfache Zerlegung der wirkenden Kräfte (die Be- schleunigung und Centrifugalkraft) in ihre Componenten längs Flächen- normale und in der Tangentialebene zeigt aber schon für für diesen Fall, dass der bewegliche Punkt beständig fallen muss. Die Bahn würde somit sich nach unten in's Unendliche ersrecken; da besondere Eigentümlichkeiten ihr fehlen würden, so mag dieser Fall von der weiteren Untersuchung ausgeschlossen bleiben.
Zur Vereinfachung wollen wir |die beiden die Grenzebenen be- stimmenden Werte von z so bezeichnen, dass z =» y immer die obere, z = ß die untere Ebene bestimmt; so dass also
^ vo* ^ ( y wenn vq > V2^ ^ = * = f '^ ^^^ ^^ ^ ^^ •
a
Setzen wir ausserdem — 9^*9 ^^ erscheint die Formol I. in folgen- der Gestalt:
Die Zeit t ist hierdurch als ein elliptisches Integral
y der Variabelen z gegeben, deren Grenzen z sind.
/»
Führen wir folgende Substitution ein:
g— «.Ar^sinV . y— g * = ^i — 7 2«;»8 — » worin P = '
so erhalten wir, wenn 1 — Äj^sinV = A^tp gesetzt wird:
IIT ^=X ^ 2(g-a) dip
i^g Vy— « ^9
2(ß} £<'*'••: £<u5Ty av JT'^rt.rjin »»n »^ fi<%-mij
7 I T
./
Integriren wir also IlL vcn j = ;Jbiä3=x,, so erhalten wir die Zeit /,, welche vom Beginn der aaf>teigenden Bewegung Ton der unteren Grenzebene aus, bis dahin verflossen ist, wo der bewegliche Pankt bis zar Höhe a = Sj gestiegen ist, in der Formel:
IV. /. = 2l/''r- • 1 £K)-^. «Hl"-''^^-""^ j .
Es ist hierbei nnr das positive Torzeichen zn berücksichtigen, weil -. fftr die aofsteigende Bewegung positiv ist. Die Grenzen der Variabclen entsprechen sich in folgender Weise
z 0,. (p . . . u •
Eine zweite Substitution:
» = y— (y— /J)8inV,
y — ß
für welche ebenfalls k* = ^3- sein möge, transformirt U. in
V. rft -= If |_2 l/y— "; . Jrlf, d^ \ \
die entsprechenden Grenzen sind
*) nurc(;f : Theorie der clliptiMchen Functiuiieii § 22.
eines schweren Punktes auf Rotationsflächen mit verticaler Axe. 201
sin^i/;
'/
0
I 7t
0
es wächst also \l> bei abnehmenden z. Integriren wir nun von 2 = y bis 3 = Z2, so erhalten wir die Zeit ^ von Beginn der fallen- den Bewegung von der oberen Grenzebene aus, bis zu dem Mo- ment, wo der bewegliche Punkt bis zur Tiefe « = »2 ge- fallen ist, in der Formel:
VI.
u
V
^9
E{it^).
dz
Hier war das negative Vorzeichen zu berücksichtigen, weil ^ für die fallende Bewegung negativ ist. Die entsprechenden Grenzen sind
... ^
'f'i
ti<
u
0
Aus den beiden Gleichungen IV. und VI. lassen sich für die Be- wegung des Punktes wichtige Resultate herleiten.
Zunächst geben beide für die Zeit, welche der bewegliche Punkt gebraucht, einmal um von der unteren zur oberen Grenzebene zu steigen, das andere mal um von der oberen zur unteren zu fallen, denselben Wert. Denn es entsprechen diesen Fällen folgende Integrationsgrenzen
für IV. z
7
<P
7t
2
U
0
K ß
, für V. z :
7
9>
n
2 .,. M
71
2
/dip n
2f-; und weil cosa»ii/ir= cos^ =0, so folgt aus IV.,
0 wie aus VI. unmittelbar (wenn E{K) kurz durch E bezeichnet wird)
vn.
r= 2J/
y — o
2^7
,E
Wenn femer der bewegliche Punkt von irgend einer Höhe aus- gehend, nachdem er einmal die obere und einmal die untere Grenz ebene passirt, wieder zu derselben Höhe gelangt ist, d. h. wenn - alle Werte von /5 bis y einmal aufsteigend und einmal fallend durch- laufen, so wird das Argument u um 1K wachsen. Führen wir dies ein, und berücksichtigen die Relationen:
\ 1 '7?:. »-*-^Z', «- — »El -'M*: •::*? TW *— '2Ä' :^ ^i»?
IrstJW'r,*.- iii T >:^ Irr rs- Zrl* f ir^* ^-eLk-V^r H:!-!- x, 4^, nidi fA tcj- j^r,;f'^7L, ir#» l^'-i-ea L/-rz.-.i IV. ti-i VI:
d, k da% ?rt<rii^*:n oü-I Fiüen des bew-glicbea Paaktos jz«rht \$* rion\%< h M*T sieb: di*^ I>acer riü-r solchen Pe- riode; i»t 2r
Hh^f^rtUflifcü »ir Uf^b di^ Zeilen, wvl'be der beuc-^übe Pankt ^ftiffun^Ait , txhUiüX nrn \on d'/r naterea Grenzvl^ne bis zur Hübe z -= z^ 7,n %V'Aiif',n. ilüÄ aridere mA um von der oberen bis zur gleichen Ti'-f^^ z ^=^ z^ zu fülhn,
¥'ür da* nämliche z g^-ben die b^iiden angewandten Sabstitutions* fon/j''ln:
bicTans folgt nach einigen Rednctioncn
cos^ co«*t^ -= 8inV[l — Ar^sinV], oder siny =* --.- 5
durch Diflerentiation folgt
und da
, ,• sin tl; ^ cos <pr^9 «« — Ä: « -j^dtif,
_ sin tt' K
costp = Vi — 8in»<p == k' -j—, und ^9 =- ^ \
so folgt:
d(p dtif
Da die entsprechenden Grenzen go
^1 ... t/;
sind, so ist
n 2
I jft
^9 J ^
2 t|/»
n «I», 0 0
eines schweren Punktes auf Rotationußächen mit t>€rticaUr Axe, 203
d. h. «*, = Ä — u, für « = sj «= Äj. Setzen wir daher in VI. fttr m, das Argument K — Wj ein, so erhalten wir den Wert von <t, welcher der Höhe a = «j entspricht. Nun ist aber
,w«. V ,, ^y V I ,o sin amu. cos amu E(K-u) = E-E(u)+k-. ^^^
folglich
h = ^* hl
d. h. der bewegliche Punkt braucht dieselbe Zeit, ob er
, ( oberen \ ^ ^ ( f&lit ) , .
nun von der ( . ; Grenzebene J . • ♦ } bis zur
l unteren ) ( steigt )
Höhe z = 2i, oder ob er von der Höhe « *= «j bis zur f oberen \ ^ , ( steigt ) T^ o* • a
Junterenr"^"^^^^^^ (fällt J ^^« ^^^^«"'^ ''"^
Fallen geht symmetrisch in Bezug auf jede Grenzebenc
vor sich.
Gehen wir nun zur Untersuchung des Winkels w über.
Aus r^dca =» ^oV^aÄ.cÄ und r^ = 2az, folgt unmittelbar mit Rück- sicht auf den Wert von dt in H. :
• ^^^q:^l/V^/-Zlg. ^^ .
^^r a.g z y_(-,_«)(2_|3)(2_y)
Berücksichtigen wir,.dass
60 ergeben sich uns durch Anwendung der beiden oben schon ein- geführten Substitutionen:
IX. cfa,= Tj/t^I.^=-^^^^.- ""---
X — ^—^ sin V
y
Int^piren wir die Gleichung VIH. von go = 0 bis g> = <pi , so ent- spricht dies einer steigenden Bewegung des Punktes von a == /5 bis z «: 2^ , wir haben somit das positive Zeichen zu nehmen. Bei der Gleichung IX. würde dagegen das negative Zeichen zu wählen sein,
wenn wir integriren wollten zwischen den Grenzen ^> , df*
204 Bertram: Beitrat/ zur KenntnUs von der Betceguuy
die fallende Bewegung des Punktes von z = y bis 2 =» 3g entsprechen würde. Der Winkel w wird selbstverständlich immer vom Ausgangs* punkt der Bewegung an gerechnet.
a y — ß Bezeichnen wird kurz ~ 5^* und •— beziehungsweise mit
m und 7», so ist die nächste Aufgabe, die beiden Integrale
Vi 9%
i4-w>sinV * ^9' J 1+nsinV
0 0
auf die Normalform zu reduciren.
Das erste verwandelt sich durch die Identität ^ , -^=»1 — msinV
1-f-msinV'
/l dtp P^^ r ^ sinV dtp
l-|-msinV^9 J ^<P t/ lH-msin*g> ^<jp 0 0
Setzen wir m== — A;*sinam^, so wird durch Einführung von tp^^^amu^
1 d<p \_ C ^* • sin^amil . sin^omuj
i -{- m sin*9 ' ^9 ^ ^ J 1 — 1^ sin*am^ . sin^amwi* ^
/
tang amA P k^ . sin amA . cos amA . d(MnA . sin^amU] === **i "1 ^amA J 1 — ifc* sin*am-4 . sin*am«4, * ^ '
0
0
oder nach Jacobi's Bezeichnung
J l-|-msin*^ ^n^r j^mA 0
tangaw-4
Das zweite Integral wird durch folgende Identitäten reducirt:
J^.d^ l-j-nsin*i|; — (n+^sin*^ ^^
i-j-nsinV*^ l+'isin^tfr ' d'i\)
d^ 7i+Äp^ nsin*i(> rft^ "" ^/t^> n ' f-f- n sin*V; * J^
Setzen wir n = — i*sin*amÄ, und führen 1^2 ==* amu^ ein, so wird
/^/l^rft/; , '>+^* tangamjö _, ^.
1 +Tsin^ij; = ^ + "V- • JamiT'^^'^^^^'
eines schweren Punktes auf Rotationsflächen mit verticaUr Axe, 205
Nun ist I und ebenso
y—ß
m = — ^ Jc^z= — khiVL^amA 1 n = — «= — khm^amB
also I also
— a
taDg'am^ = ^ ;
y j5 — a p y — a
tSkUg^amB == -
a
y r* y — a
Es lassen sich also die Integrale von YIII. und IX. folgender- massen ausdrücken (da t = — 0^
IX'. «»2 = l/_r • -^^" . «a — f . n («s, B).
r . « y
Noch sind die Parameter A und jB zu discntiren. Aus den Substitutionen
— = — k^sin^amB. — "3^^ == — A;*sin^rtm.4
y P
geht hervor, dass A und B nicht reell sein können, weil weder
y — ß a
— - - noch — ßk^ zwischen den Grenzen 0 und —k^ liegt. Es
a y — ß
ist — p^•* stets positiv, und — zwar negativ aber dem absoluten
p y
Werte nach grösser als k^. Wir mtlssen demnach setzen
A = lA, und B = K+iB. Es ist aber leicht zu zeigen , dass B = — A sein muss. Denn
o ^ y — Ä
— sk^ und — - — - sind die negativen reciproken Werte von sinV
und sin^i/' die demselben Werte von «, nämlich ««=0, ent- sprechen; wie uumittelbar an den Substitutionsformeln ersichtlich. Für solche Werte haben wir aber oben nachgewiesen, dass die Argu- mente die Relation
erfüllen müssen. Das ist für iA und K-^iB nur dann möglich, wenn B == — A. Bezeichnen wir die constauten Coefficienten kurz, wie folgt:
20Ö Bertram: Beitrag zur Kenntniss von der Bewegung
»SO haben wir
^ wonn ^iv^araiA
, K—iA) )
XI. CO, = C'ti^ — i n(u^, K— lA) ) P
Zur weiteren Untersuchung führen wir die beiden Functionen Z(u) und S(u) ein, welche mit dem Integrale 77 durch folgende Relation verbunden sind :
n(«,a)=„^(«)+ilg|^^5. und ausserdem noch die Eigenschaften besitzen, dass
S{u—2K) «= 0(m) = e(w+2Ä); Z(-t*)=— Z(ii); Z(0) « ZCä-) = 0; Z(u) = Z(u+2K)',
Z(K-\-m) ^^Z{K-—u).
Die Gleichungen X. und XI. werden dadurch zu
- . - . , . ^Uh — iA)
«1 » [C+tZ{iA)] u,+il lg 0^7^' .pj) '
Für die Coefficienten von u^ und u, erhält man Umformungen durch die Relationen
tZ(iA) =-tang am(^, k').Jam{A, ^') + 2kTk^ + ^^^' ^'^'
eZ(ir-.^)- + Ä: Jam{A,k') 2Jr."jr' "" -^(^' ^ >•
Es ist nämlich
und
tang am (^, Ä;') . dam(A, k') == Yj^-)
■gSinomM, ArQ. cosam(^, Ä?^) l/ — aß
Jam (Ay k') V y(y — a) *
wie leicht aus Hin^am(K — iA) = gefunden wird.
Mit Rücksicht hierauf wird
eines schweren Punktes auf RoicUionußächen mit verticaUr Axe. 207
C-\-iZ{iA) = k5 •y=+2^+^^^' *'^ = C'-iZ(K-iA).
Bezeichnen mr diesen Wert kurz durch P, so werden unsere Glei- chungen X. und XI. folgende Gestalt annehmen:
X'. „,=.p.^+^.-,g^U_^J,
XI'. -^-^--^-i'^eWiui-^K-i/y
In dieser Form lassen sie unmittelbar mehrere Eigentümlichkeiten der Bahn unseres beweglichen Punktes erkennen.
Erstens nämlich ist der vom Radiusvector beschriebene Winkel Ä, wenn der bewegliche Punkt von der unteren zur oberen Grenzebene steigt, derselbe als wenn er von der oberen zur unteren fällt. Denn beide Gleichungen geben für das Argument u = K den Wert
xn. Sl^ P,K.
Lassen wir ferner das Argument um 2K wachsen, so erhalten wir mit Rücksicht auf die oben angeführten Relationen der 6-Functionen:
d. h. der Winkel © wächst in Perioden, und zwar ent- spricht der früher schon gefundenen Periode 2T der Win- kel 2Ä.
Um den Winkel zu finden, den der Radiusvector beschreibt, ein- mal wenn der bewegliche Punkt von der 1 . J Grenzebene
) fäUt ) ^.
i ateifft ( ^^ Höhe z = z^^ das andere mal wenn er von dieser
Höhe . = ., zur { °^^^°^ } Grenzebene { ^J^* } , bedienen wir
uns der oben gefundenen Relation Wi — iT— wg. Dieselbe in X'. ein- gesetzt ergiebt
dies Resultat sagt aus, dass das Wachsen des Winkels a> sym- metrisch zu jeder Grenzebene vor sich geht; der Radius- vector beschreibt in beiden eben gesuchten Fällen den- selben Winkel.
Eine zur Beurteilung der Abhängigkeit des Winkels ic vor
208 Bertram: Beitrag zur Kenntniss von der Bewegung
Zeit t sehr vorteilhafte Umformung von X'. und XI'. lässt sich leicht mit Hülfe der Relation
vornehmen; es wird dadurch
PK[^. - , ^ sin am w^. cos am f*i' », = £- [EM-k* -j^^
I Fl .1 ^(^^i — *-^) I i'^f »oSinamUj.cosami^ ^^ ^ ) 1
PK
' S(u,^K+iA) PK
oder mit Rücksicht auf IV., VI., VII., XII.
•^ I Fi-i ^K — »^) , PÄ (,„ sin am Mi.cos am 1*1 \]
In beiden Gleichungen haben wir dasselbe Glied —e, welches der
Zeit t proportional ist; dazu kommt noch ein periodisch waclisendes und abnehmendes Glied. Für w = 0, K, 2K^ .. . verschwindet das periodische Glied. Denken wir uns nun die Meridianebene des z. B. in der unteren €rrenzebene liegenden Ausgangspunktes der Bewegung gleichzeitig mit dem beweglichen Punkte, nach derselben Richtung hin,
Sl
mit der constanten Geschwindigkeit — , in Bewegung gesetzt, so wird
der bewegliche Punkt anfangs der Ebene vorauseilen, seine Geschwin- digkeit wird sich aber immer mehr verringern, so dass er bei seiner Ankunft in der oberen Grenzebene von der Meridianebene wieder eingeholt wird. Von da aus wiederholt sich symmetrisch das Um- gekehrte, der Punkt bleibt anfangs zurück, mit wachsender Geschwin- digkeit jedoch eilt er der Ebene nach, um sie in der unteren Grenz- ebene wieder zu erreichen. Das periodische Glied giebt immer den Winkel Ja an, um welchen der Radiusvector von der beweglichen Meridianebene absteht. Auch von diesem Winkel lässt sich unmittel- bar durch Vergrösserung des Argumentes um 2K und durch Anwen- dung der Relation u^ == K—u^ nachweisen, dass diese Differenzen Jca periodisch nach 2T sich wiederholen, und ihrer Grösse nach symmetrisch gegen die beiden Greuzebenen verteilt sind. Letzteres wird sofort ersichtlich durch Anwendung der Gleichung
t jcJhHrot PtutkttM a»if SotatioiußaeliM mit «trtiealir Axt.
Der Winkel t zwischen der Bahn- nnd Parallelkreistangente ei^ebt sieb ans IX. S- 1- nnmittelbar darch Einsetsen der Werte /(«) — yä^ nnd /(A) — yä^, nänüich
'"=/;
Kl'-)
-V:
iß+r-'Y
Ea wird r — 0 für m — ß nnd ■ — )■) d. h. die Bahn berflhrt die beiden den Grenzebenen cnUpreohenden Forallelkreise. Weiter er- giebt sich leicht dorch Differentiation, dass
T fQr . - ^
Der Wiuliel t ändert sieb also in fönender Weise; in der unteren Orenzebene ist er Nnlt, beim Steigen des Pnnktes wAcbst er bis zn
_ Bzt)! UTA ar Ai-n Wnpt sinr ^ ''"^? ■
r-tP
oberen Grenzebeno nimmt er wieder bis Nnll ab. W&hrend t bis jetzt oberlialb des Parallelkreisea lag, befindet er sich beim Fallen des Punkt«! inuner onterbalb desselben, erreicht wieder in der Mittel- ebene a = > Bein Maximum nnd nimmt Ton da wieder ab, bis er in der unteren Grenzebene wieder zu Nnll wird. Immer aber hat t in demselben Paraltelkreise denselben Wert, nur liegt er abwechsehid ober- nnd nntePhalb des Parallelkreises.
, wo er den Wert sinr ^ j-f, annimmt; von da bis zur
Aus dem Maximalwert sinr ^ ~XÄ ^'^'^'^^ man, dass für y » ^ T — 0 ist; wie auch natOrlicb, da der Punkt iu diesem Falle einen Parallelkreis beschreibt. Den Wert k- kann r nur annehmen, wenn ß = 0 ist; dies ist aber nnr möglich, wenn og — 0 oder A — 0; ersteres wtkrde die Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit sein, wo der Punkt auf einem Meridian sich bewegen mBsate; das zweite ebenüüls eine Bewegung auf einem Meri(Uan bedingen, da im 8d pnukt des Paraboloids eine jede Richtung der Anfangsgeschwinc mit der Tangente eines Meridians znsammen^t, der Punkt alsi immer in der verticalen Ebene desselben verbleiben muss. In 1
Fällen ist aber offenbar der Winkel * — » ■
T«a LIX. u
210
Bertram: Beitrag zur K^nntnUs von der Bewegung
Da auch die Geschwindigkeit des beweglichen Punktes für jedes z den gleichen Wert hat, wie Gleichung
zeigt, so können wir die särnrnüichen bis hierher erhaltenen Resul- tate kurz in die folgende Tabelle zusammenfassen, aus welcher die Eigentümlichkeiten der Bahn und der Bewegung des Punktes klar ersichtlich werden.
für
ist
|
a = |
ß |
«1 |
y |
^ |
ß |
«1 |
y |
|
u = |
0 |
«1 |
K |
2ä^— t*i |
2K |
2ä'+u, |
3K |
|
t — |
0 |
h. |
T |
2r— *i |
2T |
2T+t, |
3T |
|
CO — |
0 |
CO, |
Sl |
2Ä— «1 |
2Sl |
2Ä4a), |
SSI |
|
^/»=— |
0 |
+^»1 |
0 |
— ^Wi |
0 |
-f ^/Cö, |
0 |
|
T — |
0 |
h |
0 |
—^1 |
0 |
+T, |
0 |
|
V = |
Vß |
»1 |
Vy |
^1 |
Vß |
«^1 |
vy |
|
H |
/? |
|
4.K^Ui |
AK |
|
^T—t^ |
4r |
|
4Ä— o, |
4A |
|
— ^«1 |
0 |
|
—^1 |
0 |
|
»1 |
Vß |
Man liest aus dieser Tabelle sofort ab, dass die Bahn, welche der bewegliche Punkt beschreibt, periodisch aus congruenten Stücken besteht, die sich in der Weise zu einem Ganzen ver* binden, dass eine in einer Grenzebene beginnende Periode durch den Berührungspunkt mit der anderen Grenzebene in zwei symmetrische Hälften geteilt wird.
Der Winkel Sl lässt eine einfache Grenzbestimmung desselben zu mit Hülfe des sogenannten Maximum -Minimum -Theorems. Zu dem Ende gehen wir zurück auf Formel IX., welche zwischen 0 und
2 integrirt Sl giebt,
n 2
^_l/g»y Vy~« r ^^d^
Nun ist
n 2
n 2
j 1 — ^-^sin«ij; J l-^^sin«ij;
wenn R ein Wert von dii> ist, der zwischen dem grössten und klein- sten Werte von J^ liegt, welche diese Function innerhalb des Inter-
valls
2 annimmt; dies sind aber
)
( tektotrtn Panklti au/ RolatiorußäcAtH
'M
- geht dorch die Snbstitotion bId^ =
80 dass wir ftlr H folgende Grenzbestimmong erhalten;
Da a eine negative Grösse ist, ao folgt bierans, dass der Winkel einer Periode (2i3) immer grösser ist als 180**. Es werden demnach die höchsten ond tiefsten Punkte der Bahn anf den zuge- hörigen Parallelkreisen (nach Art des Foucanlt'seben Pendelversachea) ein Vorrücken im Sinne der Beivognng erleiden. Der beweg- liehe Punkt kann nur dann wieder zu seinem Ausgangspunkte zurück- kehren, wenn Sl in einem rationalen Verhältnisse zn n st£bt
§. 3. BeweroBf auf den Kotati«ukefel.
Legen wir das Coordinatensystero so, dass die Rotationsaxe znr Axe der i und die Spitze des Kegels zum Anbngspunkt der Coor- dinatea wird, so ist
a'+y* = **. tang'^
die Gleichnng des Kegels; 6 ist der Winkel zwischen Generatrir ""•* Axe.
Znnflchst sei wieder die Einschränkung auf die obere nach offene Hälfte des Kegels gemacht; da für die untere dieselbei raerkangen gelten, wie fUr das Paraboloid anf der Seite der tiven •.
Setzen wir in die betreffenden Gleichungen des S- 1^- /(«) — «. tang«, /"(.) = tangÄ, /(A) — Ä.tangd ein, so erhalten wir
212 Bertram: Beitrag zur Kenntnis« von der Bewegung
K(»-.)(^-.|"-»|')
I. 3- = TcosÄ.V%-
Das Trinom 2ten Grades «*— »^ — h^ ist gleich («— »i)(« — «t ) wenn
und zwar ist z^ ^ ä, jenachdem vq ^ Vä^^.
Bezeichnen wir also wieder
z^ mit y, h mit ft wenn üq > y/ip,
in beiden Fällen aber z^ ^^ ^9 C% ^^^ negativ, da A ^ 0 sein mnssj, so haben wir nun
Da js nicht negativ werden kann (mit Kttcksicht auf die gemachte
dz
di
dz
Einschränkung), so wird ;;^ = 0 nur für » — /3 und « = y. Bildet
dh man die Beschleunigungscomponente ^ und setzt diese Werte ein,
so findet man:
©L>°> ©)„,«>.
d. h. « «. y ist ein Maximum, « = /J ein Minimum für ». Der be- wegliche Punkt oscillirt auch hier wieder zwischen zwei Grenzebenen,
z=2 ß der unteren, « = y der oberen. Für den Fall vq =» Vhg fallen beide Ebenen zusammen, d. h. der Punkt beschreibt einen Parallel- kreis; die Umlaufszeit wird in diesem Falle r= 2^.tangA. 1/-. ist also von der Höhe abhängig.
Zur Bestimmung der Zeit t bilden wir aus II
1 z.dz
m. dt
cos*.V2^ V— («—«)(«— ft(»—y)*
und transformiren dies durch dieselben Substitutionsformeln wie in §. 2.
«nea teiwertn Ptmktti amf Ralatioiußäcken mit vtrliealer Axt. 213 C08dYsty(y— a) -^V
a = y— (y — |J)8mV, ** - ^Z^ Ä**"»*
V. ^ ^ ,^, r-(y-f)Bi°v
C08*Y2^(y— «) ^*
Hierin ist wieder das Vorzeichen entsprechend einer steigenden oder fallenden Bewegung gewählt; es sind nämlich die entsprechenden
Grenzen der Yariabeln z\ ... 9
n
2» z
ß .. . ^
2-
' ß b
Nach einigen Umformungen, analog denen in §. 2., ergiebt sich:
COSÄ.VStyCy — «)l ^9 ' '^ ^V) V. dt , /- U^ + (y—^)^ifdrif\ .
Integriren wir nun IV'. für eine steigende Bewegung, V. für eine fallende, und erinnern uns des in §. 2. benutzten Ausdruckes
r dq>
für # -7i~> so wird
VI.
^ C0B«.y2^(y— a)l ^^'^ ^L '^' -^amui Jj
coso.y2^(y— «)
Ans beiden Gleichungen folgt zunächst der gleiche Wert von r, welchen der Punkt braucht, einmal um von der unteren Grenzebene zur oberen zu steigen, das andremal um von der oberen zur unteren za fallen, nämlich
coso.y2^(y — «)
Femer ergiebt das Wachsen des Argumentes u um 2K folgende Relation :
214 Bertram: Beilrag zur Kenntniss von der Bewegung
d. h. das Steigen and Fallen ist periodisch nach 2T.
Ebenso folgt die Symmetrie in Bezug auf die Grenzebenen ganz analog §. 2. durch Anwendung der Relation % = K — Uj. Die Entwicklungen dieser Resultate mögen hier übergangen werden, da sie genau so wie in §. 2. erfolgen.
Der Winkel m bestimmt sich aus den Gleichungen r»s.tang^, r^dm = VQ.tsjigi,h,dty mit • Rücksicht auf III,
TV j -r—JiöjA— ^
^8in^.y2^ »y— («—«)(»—/?)(«- y)
Dieser Ausdruck formt sich durch die beiden Substitutionen
ß — aU^sin^fp 2.VQ.h J(pdq>
*"" 1— A?«8in«^ ^" "* "" sin^. V2^(y— «) * /?— «Ä:*$in*9*
'^ ^'^ '^^ ^ * 8in6.i/2fr(y— «) [y— (y— «»inV]^'!'
Der constante Coefficient transformirt sich leicht, mit Rücksicht auf a^.»,—— ^Ä; es wird
2,vo,h ^ 2 y^^
sin d . V2g (y — a) sin * . V y — o **'^^'
Nach einigen Umformungen erhalten wir somit
_2V^^l_l (d(p dq> )
2 V— aß dtif
sin«. V(y-«)y ■ Fl _ rzif güH^l^^"
Integriren wir die erste Gleichung für eine steigende, die zweite ftlr eine fallende Bewegung, so erhalten wir mit Rücksicht auf die in §. 2.
d(p
. 9 V ^ f wenn msinr(p)Jq>
gegebene Relation für das Integral / .^^ .
— ßh* = — Ä:*8in*am^ und — - — - =— ife*sin*amJ? gesetzt wird:
eines schweren Punktes at^f Rotationsflächen mit verticaler Axe, 215
Nun ist, wie in §. 2. schon gefunden,
JamA f y p — «
tangamg __ 1 l/y(y— «) ^.l/yfy — «) .
JamB i V — aß f — aß
somit erhalten wir:
Die Parameter A und J? haben wieder dieselben Werte wie in §. 2., es ist also: A = iA^ B = K—%A\ demnach
Hiermit die Ausdrücke für »Z(/^) und «Z(ir— tM) aus §. 2. ver- bunden und das Ganze in die Gleichungen für m eingeführt ergiebt:
Beide Gleichungen ergeben sofort für den WinkelA, welchen der Radiusvector bei der Bewegung des Punktes einmal von der unteren Grenzebene zur oberen, das andremal von der oberen zur unteren, beschreibt, denselben Wert
Ganz analog den Entwicklungen in §. 2. folgt dann durch Vermehrung des Argumentes u um 2K die Periodicität des Winkels &>,
216 Bertram: Beitrag xur KenntnuM von der Bewegung etc
indem der Periode 2T eine ebeasolche des Winkels 2Sl entspricht. Auch das Gesetz der Symmetrie für den Winkel o» in Bezog anf die beiden Grenzebenen folgt auf die frühere Weise.
Der Winkel r zwischen Bahn- und Parallelkreistangente bestimmt sich leicht zn
COST =- — /, " .== = - 1/ . a I
fsV2g(h
Die Bewegung wird nach den bis jetzt erhaltenen Resultaten, in ihrer allgemeinen Gestalt hinlänglich bestimmt sein; es gelten für dieselbe ebenfalls die am Ende des §. 2. entworfene Tabelle und daraus gezogenen Resultate.
Zum Schluss möge noch auf die Abhängigkeit der Zeit t und des Winkels m von dem Winkel 6 hingewiesen werden. Die Zeit ist unter sonst gleichen umständen umgekehrt proportional dem cos^ d. h. sie wächst mit i ; der Winkel co dagegen umgekehrt proportional dem sin^ d. h. nimmt ab bei wachsendem d. Für dasselbe ß und y ergiebt sich, dass die Bahn des beweglichen Punktes auf dem Kegel für ein grösseres d ein immer breiteres Ringstück mit immer grosse- rem Radius ausfüllt; woraus jene Abhängigkeit leicht erklärlich wird.
MtMcelUn. 217
XVI. Hiseellen.
1.
üelier kubisebe 01eiebiiii8:eii.
Bekanntlich hat eine kubische Gleichung eine oder drei reelle Wurzeln, je nachdem die Cardanische Formel in reeller oder imagi- närer Gestalt erscheint. Folgender Beweis dieses Satzes, der gewöhn- lich anf geometrischem Wege dargetan wird, dürfte sich durch Ein- fachheit empfehlen.
Die Gleichung x'-{-«a^+* = 0 hat wenigstens e ine reelle Wurzel p und ist daher mit (a:— i>)(«*+|wj+«) äquivalent
Setzen wir die Grösse, welche in der Card. Formel erscheint, 276*-}"^' ^ ^ ^öd den Ausdruck 4q — p*, welcher bei Auflösui^ der Gleichung x^-\'px'\'q =» 0 sich ergiebt, =n, so bandelt es sich hier nur um den Beweis, dass N und n gleiche Zeichen haben. Je naebdem N und n gleichzeitig positiv oder negativ sind, werden dann die beiden noch übrigen Wurzeln imaginftr oder reell sein. Aus
folgt
a « q—p*, b « — jjg
oder wegen n «— Aq — />*
N= 27gn4«-w)+4(n— 3«)« = 108(?»-273«fi-f 4n»— 36n«g + 1082«n— IO83» — 4n8— 36n»g-}-81n5« = n(4n«— Song + 81g«)
oder N «= n(2«— 9g)* = w(2p*-f■3)^ woraus die behauptete Zeichen- gleichheit von N und n sich ergiebt
Dr. Eduard Liebrecht
218 MiscelUn,
2.
lieber einlire bestimmte Integrtüe.
A.
Im Folgenden wenden wir die bekannten Kelationon an:
"=» _1 1 yg ea^-|-g-fl;r
nfi n^+a^" 2a« + 2ac«''— c-««
a^ an
e^ +e
2
3 -^»(-1)"+* _ 1 ^
ri n^+a^ 2a« a ±
^ H=«(«i)n+l(2n-l) ^
Zi (2n— l)»+a« 2 ^ _^
5. -S cosw^ — — i+i. ^
^ Sin — s^ — ^
1 111- sinj^
/cosaxdx fc ^ . ^
0
Die Relationen von 1 — 4 kann man unter Anderem dadurch finden, dass man in den unendlichen Producten fOr sinus, cosinus, tangens und cotang. das Argument imaginär nimmt, dann logaritbmisch differentürt u. s. w. Nr. 6. rührt von Laplace her.
Setzt man nun in 6. successive & » 1, 2, 3 ... in infin. und ad- dirt alle Resultate, so kommt
/ cosa«cte(^^:^+2H:^2+P+P^
""2X1+2+3 + -7 oder
Miscellen, 219
nx ctif
Durch Yertaaschnng von x und o mit resp. — ■ und — erhält man
J cosoxcfe {+~,-l "^t'^Z) - ^log (l - r ^)
n>0, a>0
and durch Differentiation nach a
.00 , ,
n
flO,
oder mit Rflcksicht auf / = «
0
/-
anc
Bin ax — :3— : die = 5 — r^ •
e^ — 1
Genau nach derselben Methode ergeben sich bei Anwendung der Formeln 2—4 noch folgende bestimmte Integrale:
/
y co8«*«te(i-i.-|;^)=»iog(i-«-")
COS«» • gH«-!. t-«x ^ - 2;, '08 -^
«2» — 1
/
und durch Differentiation noch 3 andere.
B.
Wir setzen in Formel 6. o = 1, 2, . . . n und addiren alle Re- sultate, so kommt
P dx n
I WjI^ (C0Sa;+C0s2a;+ ... cosim:) =0^^^*''"^^*''" •* *'"'**^
0 .
oder mit Berücksichtigung von 5.:
220 MiseeUen.
ging
nnd nach einigen leichten Rednctionen, wenn man noch 2b statt b nnd 2a; statt x setzt:
/<fa 8in(2» + l)g 6*-t"** sin«
yg e8>-fl— 2g- 2* «» — 1
3m»
Läset man n ins Unendliche wachsen, so ist anch
00
P dx 8in(2n
•=a) t/ **+«* Sil
+l)x ni^+1 sin« ^2*«2*-.l"
Diese Formel lässt sich direct anf folgende Weise verificiren.
Nach Dirichlet (vgl auch Schloemilch's Compend. d. höh. Analys. n 133) ist für n = OD
CD
0
nnter der Voraussetzung, dass für h^co^mf(hn) —0. Diese Vor- aussetzung trifft für unsern Fall f(x) =» .^ , # zu, und es ist daher
/8in(2yi+l)g €lx _ / 1 . 1 . 1 ™7 sin« b^+x» "" ^ V26>"*"*«+7r»"*"ft»+4;r»
0
oder mit Rücksicht auf 1.
,. /*sin(2n-|-l)a; dx n «a+l .
bm / — ^-r— ^ m — s ■" öl :5ä — ? wie oben.
^ sinac Ä*+^ 2d c*»— i
0
C.
Schon bei Abel, später bei LionviUe findet sich als specieller Fall eines sehr allgemeinen Integrals der Wert von
/
7t
cos^-^ysinay _, n
MiicaUmu 221
Wir geben hier 2 directe Entwickelnngen dieses Integrals, die erste nur unter Yoraassetzung eines ganzzahligen a, und setzen
1) /(«) » rmi^iiia
J sin^
n
mithin
n<^^'t)-f
n
a
cos^ysin(o -|- 1)^ dq>
sm^
n 2
; ^(Sina^C08^-)-C08a^SlB9>)
n n
% 2
=. / ^^ +y cos-ycoBo^dv.
0 0
Letzteres Integral lässt sich mittels partieller Integration ersetzen
n 2
durch / cos^~^^sina9)sin^c^9 und es ist daher
/ C08*»-*9)Si
n 2
/(a+l) = y liny (cos'y+sinV) - /(«)
0
also (fttr ein ganzes a) f{a) » Const nnd es bedarf znr Ennittelang ▼on Const nur eines speciellen Wertes von a z. B. » 1. Da nun
n 2
80 ist überhaupt
n 2
cos*~^^sina^rfV n
/
sin9 2
0
2. Ein anderer Weg zur Auswertung dieses Integrals, ist fol- gender:
Fttr positive (auch gebrochene) a gilt die Definitionsglei
222 MUcdUn.
/
und wenn x = (l+V — ltang9)y gesetzt wird,
ra =
/
cos^g) oder
0
und durch Tr^mung der Reellen und Imaginären 1 ) / stf^-^ «-*C08 {x tgq>)(fx ^ C08^9 cos afp Fa
0
OD
2)
/ ac«-^«-«sin(a?tg^)€to «= cos<»^8ina9 J^a
d<p
Multiplicirt man (2) mit -:: , so kommt
^ ^ ' sin^cos^'
/
n n
2 2
^ 8in(a;tang ip)dtp ri C ^^ C08*'"~^y singy
f
" ' sing)
0
Setzt man links sctangg) » ^^ so erhalt man durch Umkehrung der Integrationsordnung
/
, • OD w
^<fycos^~^y singy 1^ /^ -i -«^ Psmz.xdz (Vx^4"^)*
sing» ^^v v' (x^+Ä*)a»
oder
2 « »
/
0 0 0
wie oben abern(dt Ausdehnung der Gilügkeit auch auf gebrochene positive Werte von a,
D.
Raabe giebt in Crelle's Journal XXYIII S. 112 folgende RelaÜon: 1
/
log r{x + k)dx — ifelogife — fc+ilog(2«)
AiUeeiUn, 223
Dieselbe Gleichheit beweist Stern in seiner Schrift: Zur Theorie der Eoler'schen Integrale, und reproducirend 6. f. Meyer in seinem Werke über bestinunte Int(^[rale S. 157 und 158. Ich habe nnn ver- sucht, den Beweis auf folgende Weise zu fahren.
Nach dem bekannten Gauss'schen Fundamentalgesetze über die Gammafunctionen besteht die Gleichung:
n r\a'{'A^ Tna. n-~»+i (27r)T' ,
die ausserdem auch durch Dirichlet, Schloemilch u. A. bewiesen ist. Nehmen wir beiderseits die Logarithmen, so kommt
2 logr(a+-j = logFna— («a — i)logn-t-— g— log(2?r).
k Setzen wir nun - » a; und lassen n unendlich wachsen, so ist, nach-
dem mit - ^ dx multiplicirt worden, gemäss dem Begriffe bestimmter fi
Integrale:
/l n 1 logFxdx = lim - (logFna — (na— i)logn -| ö~^^8(2^))
a
= lim (-logrna — älogn) + ^log(2»);
11=00 \** /
die übrigen Glieder ö~logn — ö"^^^^^^) verschwinden für n = oo.
Es kommt nunmehr darauf an lim (-logrna— a log n) zu finden. Zu diesem Zwecke substituiren wir - statt n, «=od, und erhalten lim (?—£-?— alog«)+aloga, so dass jenes Integral
- ilog(2«)+aloga+«.lim (»Og^-'^Og»)
«=« \ • /
Setzen wir
logA — »log 3
U = 7 r — »
z(z =od)
so erscheint u unter der Form ^, darf also nach der bekannten d
0 Cauchy'schen Regel so behandelt werden wie ^- Hiemach ergiebt
sich durch Differentüren ii = — 1 — logaf-f-yr-x« Uoter den viel-
224 MUeelien,
r'(z)
flachen Darstdlongen für -p— (vergl. G. f. Meyer best Integrale)
giebt es eine die hier am kürzesten zum Ziele führt nämlich
1
r
r?"/'^['^"£=^] ^^^"^-^^
0 log-
snbtrahirt man hiervon
1
log» = y — j (1 — »'-^), so folgt
0 log-
"=-+A(,-^-f-ä-;^+fT)
0 log- log- log-'
X X X
1
log-
weil wegen x<^\ nnd « = oo das Integral verschwindet Hiemach ist endlich / logra;<to = ilog(2;r)+aloga— a oder
a
1
/ logr(a?+a)rfjr — ilog(27r) + a log a—a.
Setzt man die Stirling'sche Reihe für logTa als bekannt voraus, so
log JT« — - z log z
kann man unmittelbar i* — -. r-^ finden. Es ist nämlicb
•»(«■od)
log ra = ilog(2a^)+(a-l)loga-«+^^ - ^ ^3+ ...
WO die B die Bemoullischen Zahlen sind, mithin
log/V-ologa log(2agg) logg ^ix»-^ _i a(«oo) " 2a ■<■ a ""^"*"^a»" ^
wie oben.
Liebrecht
Hoppe: Principien der Flächentheorie, 2^5
xvn.
Principien der Flächentheorle.
Von R. Hoppe.
Die gegenwärtige Bearbeitung der Flächentbeorie reiht sich einer grossem Anzahl ähnlicher Arbeiten an, welche in neuster Zeit in französischen und italienischen Journalen erschienen sind. Das er- wachte Streben, die Methode in successiven Schritten dem Ziele einer allseitig befriedigenden und dadurch definitiven Gestaltung zuzuführen, wovon dieselben Zeugniss ablegen, wird auch den neuen Versuch rechtfertigen, welcher das gleiche Ziel verfolgt Es liegt mir jedoch ob, kurz zu bezeichnen, worin er sich unterscheiden soll, und in- ¥riefem ich ihm einen Fortschritt vindicire. Ein Teil der betreffen- den früheren Arbeiten hat, wie wir es verlangen müssen, in der Tat das Ganze der Theorie in Auge, sie lassen sich aber in der Wahl ihres Ausgangspunkts und ihrer Einführungen — anscheinend, denn Erklärung darüber wird nicht gegeben — durch apriorische Argu- mente bestimmen, die ich nicht für entscheidend halten kann; sie wählen dazu eine zu breite Basis, und erschweren infolge dessen den Einblick durch einen zu grossen Formelapparat. Andere Bearbei- tungen hingegen sind mehr auf eine geeignete Basis bedacht gewesen; aber sie richteten sie nur auf leichte Herleitung gewisser Theoreme ein. Wir müssen beide Forderungen vereinigen. Die Principien müssen disponibele Werkzeuge der Untersuchung in allen Bichtungen sein, ebendarum aber auch eine leichte Handhabung gestatten, sich daher in Einführungen auf den geringst möglichen Umfang beschrän- ken. Ueber die Bichtigkeit der Wahl kann nur der Erfolg ent- scheiden. Der Punkt, in welchem die Methoden aus einander gehen, und der bestimmend für die ganze fernere Gestaltung wird, ist die
TeULlX. 15
226 Hoppe: Prtneipitn der Flächenikeoru,
Einfühning der Fondamentalgrössen zweiter Ordnung; denn die Gauss- schen erster Ordnung sind allen gemeinsam und es ist kein Grund erdenklich davon abzugehen. Ich habe nur zu ihrer Bezeichnung des leichtem Schreibens und Lesens wegen die kleinen Buchstaben e, /, g statt der grossen gewählt Die von mir aufgestellten 3 Funda- mentalgrössen 2. Ordnung sind auch schon frflher in Anwendung gekommen; doch nehme ich auf die betreffende Arkeit keinen Bezug, weil sie im übrigen keinen Berührungspunkt darbietet Einziger Be- stimmungsgrund war mir vielmehr, dass die theoretisch wichtigen geometrischen Eigenschaften und Bedingungen im einfachsten Connex mit den Werten und Belationen jener 6 Grössen stehen. Die Theorie wird aus folgenden 3 Abschnitten bestehen: I. Entwickelung der theoretisch wichtigeif geometrischen Beziehungen auf allgemeiner Grundlage. U. Besondere Liniensysteme, nämlich Krümmungslinien, asymptotische Linien, orthogonal geodätische und Abbildungs-Linien- systeme. IIL Besondere Arten von Flächen, welche sich dadurch auszeichnen, dass sie Lösungen von Problemen zulassen, die allgemein nicht lösbar sind. Die einfachsten Sätze der Curventheorie (Bd. 56. YII.) und der Cinematik (Bd. 55. IX.) setze ich als bekannt voraus.
I« Entwickelang der tlteoreUseli wlcbti|i;en geometrisel&eii Beaiel&iiiliren auf allgemeiner Grundlage*
§. 1. Bestimmung von Punkten und Linien auf einer Fläche. FondamentalgrSssen 1. Ordnung. Eine Linie als Ort eines Punktes (rrya), den derselbe bei Variation des Parameters u erzeugt, ist be- stimmt durch die Functionen
X = x(u) ; y = y (tt); s « z{u)
Yarürt die Linie mit einem zweiten Parameter v und erzeugt eine Fläche, so ist diese bestimmt durch die Functionen
X = x{uy v)\ y = y (tt, v) ; « = «(t*, v)
Dabei erzeugt jeder Punkt der obigen Linie , u = const., eine neue Linie auf der Fläche, die wiederum bei Variation von u dieselbe Fläche erzeugt. Demnach durchkreuzen sich in jedem Punkte 2 Linien, genannt die Parameterlinien (u) und (r), welche bzhw. bei allein variirendem u und allein variirendcm v erzeugt werden. Sofern durch die Werte von u und v der Punkt (xyz) oder der Punkt (uv) be- stimmt ist, kann man u, v Coordinaten desselben nennen ; zum Unter- schied mögen sie superficielle Coordinaten heissen. YMrx^u^ y « t>, « = 0 gehen sie in ebene cartesische Coordinaten über.
_ Boppt: Prbieipitn dtr HachtnAwrit. 28?
Bew^ «ch der Punkt (»p) beliebig, d, h. bd beliebiger gfeich- zeitiger Variation Ton u und », längs der 'Placbe, so ist das Element der erzeugten Linie dt aoBgedrückt darch
3<» = 3^»+V+3»'
Das Resultat der Einffibrung dieser Werte bat in Bezog auf Su, Sv die Form:
3*« = edu*+i/Sudi>+ffdv* (2)
wo
•=e)v©v(^)'
-©'+(|)V(£)-
gesetst ist Ke Coefficienten t,/,g beissen die Fundamental- grössen 1. Ordnung. Sie baben für alle Linien «, die von dem- selben Punkte ausgehen, in diesem dieselben Werte, w&breud das TerblUtniss
für verschiedene Linien verscbieden ist
Unter dem Winkel zwischen 2 sich achneidenden Linien >, »' versteht man den, welchen ihre Tangenten im Schnittpunkt bilden. IMe Richtungscosinus der erstem Tangente sind nach dem Obigen:
8x Sw~ 9u
g- -o -p^-— -.===-^ : etc.
Bezeichnet also # den Winkel zwischen t nnd »', denen die Werte k und V entsprechen, so findet man:
" y{e +2A +?i»K« + 2A'+sf')
Ist insbesondere »' die Parameterlinie («), also fc'= 0, und ( # Aber in #(,, so ist
aau4-/8p
cos#o =
VeyeSu*+2/Öuat.+jai.*
228
ßoppe: Prwapien der FlSekaUheorte.
Lässt man endlich aocb # in die PanuneterÜBie (r), ^^ in £> flb»- gehen, so wird du = 0, also
C08l> =
V^ü
(6)
Da Diin yebu und ygdv die Werte Ton 8« bzhw. f&r dr ^ 0 imd d» =- 0 sind, so folgt, dass e, g die Quadrate, /* das mit dem Conniis des Winkds zwischen den Parameterlinien multiplicirte Prodnct der beiden Parameterlinieneiemente, jedes dividirt dnrch das Parameter- increment bedeuten.
Ans dieser Bedeutung folgt, dass «, /; g nnabhAngig von der Lage der Axen der x, y, z sind
Sind nmgekebrt anf zwei Flächen, die man in denselben Para- metern ff, V darstellt, die Werte von «, /, g dieselben, so sind nach Ol. (2) anch die Längen aller entsprechenden Linien gleich; folglich kann man die eine Fläche dnrch Biegung ohne Dehnung oder Con- traction auf die andere legen, und man hat den Satz:
S. L Alle Flächen, die, bez&glich auf dieselben Pa- rameter, gleiche Fnndamentalgrössen erster Ordnung haben, sind auf einander abwickelbar.
Endlich folgt noch ans (4) und (6), dass
und
/=0 e+fik+k')+gkk'z=0
(7)
die Bedingungen des rechtwinkligen Durchschnitts bzhw. der Para- meterlinien und zweier beliebigen Linien sind.
§. 2. Berthrnngsebene und Xormale. Die Oleichungen der Tangente einer Curve # auf der Fläche sind:
Setzt man fär dx, dy, da ihre Werte (1) und eliminirt du, dv, bo kommt:
dx dx
8i di ^"""^
By dp
8» Bz
= 0
(8)
Hoppe: PrindpUn der FUetitraheorit. 229
das ist die Gleichung eioer Ebene. Da aie Sh, 9c nicht euUiitlt, so gilt sie gleicherweiee fQr die Tangenten aller Carren, die durch den Pankt (ue) gehen. Die so hcstimmte Ehene, in welcher demnach all«! dieco Tangenten liegen, hoisat die BerUhrunggebenc, ihre Normale im Berührnngspnnht errichtet die Normale der Fläche. Die RicIitungdcosinDS der einen wie der andern p, q, r mOasen den Coefficienten von £, i;, £ proportional sein; daher hat man:
|
Sy 8y |
S, S. |
8x S-, |
||
|
a R |
; gt — |
S. R |
; ri = |
S, R |
|
8. dl |
3< dx |
8, 8, |
||
|
a R |
iS R |
ii ii |
Zar Beatiramnng von ( nimmt man die Qnadratsamme der 3 Grftaseu; dann kommt:
ti^eg—f* (10)
Da die Normale auf allen Tangenten senkrecht steht, so ist fttr Jede Variation längs der Fläche
pae+4as+r3« = 0 (11)
Der Formel (6) lässt sich jetzt eine zweite an die Seite stellen ; es ist _ _
f=VegC(i9D; 1 — VeyBinZ) (12)
$. 3. FllebeBelement. Denkt man ein Flächenstack Si. von der Parameterlinie (u) bei variirendem v erzeugt, so nimmt es, wenn v in v-^dv übergebt, um den unendlich schmalen Streifen S52 zwischen 2 consecutiven Paramcterliuien (u) zn. Dieser Streifen wird zugleich mit dem Flächenstttck Si von der Parameterlinie (r) hei variirendem u erzeugt, und sein Increment d*Sl, das er bei Uebergang von u in u-|-^ erhält, ist das nach allen Richtungen unendlich wenig ans- gedehnt« Bogenviereck zwischen 2 Far consecntiven Parameterlinien <u) nnd (f) und heisst als solches das Element der Fläche, in dem Sinne dass durch Integration nach u nnd v daraas die Fläche ß er- balten wird. Dieses Bogenviereck lässt sich als ein Parallelogramm in der Berakmngsebene betrachten, dessen 2 an den Pn Btossende Seiten die aof den Tangenten der Parametei tragenen Linienelemente
bilden mit dem Winkel D zwischen sich. Der Inhalt isi
das ist nach (12):
a»a = Veett.yyödsinz)
8»a=^i8u8t., oder ß — //(au3p
230
Hoppe; Principien dtr Ftächentheoriß.
Gemäss dieser geojoeietrischen Bedeutung der Grösse i kann man die- selbe den Flächendifferentialquotienten nennen.
§. 4 K9rpereleraent. Denkt man einen Körper P von einer Fläche, ausgedrückt in den Parametern u^ v bei Variation mit einem dritten Parameter w erzeugt^ so ist, wenn w in u^-f-^^, übergeht, das Increment des Körpers dP die unendlich dünne Schale zwischen 2 consecutiven Flächen. Während nun das Flächenstück Sl die Schale dP erzeugt, erzeugt das Flächenelement d^Sl das nadi allen Bich- tungen hin unendlich wenig ausgedehnte Körperelement d^P, in Gestalt eines Prismas auf der Grundfläche d^A und von einer Höhe gleich der Projection der Yerrückung des Punktes {uv) auf die Nor- male der Fläche. Die Projectionen der Yerrückung auf die Axen der ir, ff^ 9 sind
also ihre Projection auf die Normale
folglich ist das Körperelement
a«p = Äa»Ä « Af ÖMÖt; oder 8»P= TduBvdw
wo nach Einführung der Werte (14) (9)
dx dx dx
du dv dw
^ ^ 8y
du dv Sw
ds d» dz
du dv dw
w
(14)
(15)
wird.
(16)
§.5. FundamentalgrOssen zweiter Ordnung. Als Fundamen- talgrössen 2. Ordnung betrachten wir folgende drei:
8«x 8«y 8»»
(17)
Hoppe: Prificipien der FVkhentheorü, 231
Aach diese sind unabhängig von der Lage der Axen der or, y, z^ wie eine Orthogonalsubstitation fttr x, y, z leicht zeigt Yermittelst ihrer lassen sich nnn die Ck)varianten (d. i. mit der Axenlage variirenden) 2. Ordnung anf je 3 Covarianten 1. Ordnung nnd Invarianten (d. h. von jener unabhängige) 2. Ordnung zurückführen, in folgender Form :
d^x dx dx
d^x dx . dx .
dp „^^iff^^
dp j^ A T ^^ dv du*^vv
(19)
gültig für jede Lage der x Axe, so dass die Coefficienten dieselben
bleiben, wenn x in j^ und z^ p ia q und r übergeht Um die Coeffi-
dx cienten zu bestimmen multipliciren wir die Ö Gleichungen mit k-
nnd nehmen die Summe der je 3 analogen für x^ y, z. Dabei ist hinsichtlich der linken Seiten zu beachten, dass durch Differentiation der Gldchnngen
erhalten wird:
dx dy dz
dx . dy . dz ^
du du * du du * du du * dvdu*dvdu*dvdu' "" dudv*dudv*dudv* "^
(20)
(21)
Dann kommt:
232 Boppe: Principien der FtSehentkeorie.
k%=>Be+B,f ) (22)
— F « J« + ^j
(23)
.. 3«
Multiplicirt man dieselben Gleichungen statt dessen mit g-» so giebt die Summe der analogen:
i|«B/+^,^ / (24)
--F^Hf+H^g
h9 \
(25)
Hiernach sind je 2 der 10 Coefficienten durch 2 lineare Gleichungen bestimmt, aus denen ihre Werte leicht hervorgehen. Multiplicirt man endlich statt dessen mit p, so giebt die Summe der Analogen:
und die 2 letzten Gleichungen sind identisch erfttlli Sofern die ge- fundenen Werte unabhängig von der Axenlage sind, ist die anfäng- liche Aufstellung gerechtfertigt.
§. 6. Relationen zwischen den FnndamentalgrSssen. Differentürt man die erste, zweite, vierte der Gl. (18) (19) nach t?, die zweite,
dritte, fünfte nach w, so erhält man je 2 Ausdrücke für g-^» SX«'
g-^f die einander gleichgesetzt 3 Gleichungen ergeben, sämmtlich von der Form
in der sie mit Hülfe derselben Gl. (18) (19) dargestellt werden können. Da diese für jede Axenlage gelten, so muss
Boppt: PrincipUn der FUehtnlktorie.
sein. Unter den bo entstebeuden 9 GloichuDgen ist eine ftlr sich vod selbst erfUlt; die flbrigen geben flbcreiDstimmeud nur folgende 3 nu- abh&ngigen Resoltate:
,/f,afd,SfS,d,ll!, 8.8, 8/8/( "•" >■ r St. S+^'a» Su+fo äi.~8i 8«"' 8u 8» j
+2iOe-F/)^£+(E/-Fe) ^ - 0 (27)
+2(£S-/y)^+{/i-£/)| = 0 (28)
Die erste, welche nir die Gauas'scbe Relation neunen können, ist wichtig, sofern sie zeigt, dass die Grösse EG — F' fllr bestJmmte Parameter nur von Fundamental gtiisscu 1. Ordnung abhängt, folglich nach §. 1. anf allen aaf einander abwickelbaren Flächen denselben Wert hat.
§. 7. Belation iwlsehen den KrHmroanKen berfthrender Cnrres (HensnlerVher Sats). Maltiplicirl man die erste der 61. (21) mit t*u*, die zweite und dritte mit ökSi', die vierte mit Bo' und addirt sie, so kommt:
wo die vollständigen Differentiale goi liebten Ricbtnng l&ngs der Fläche, d Cnrve s zn nehmen sind. Wendet Carre an, düvidirt beide Gleichnngeu letztere nach dem Kramninngswinkol
''8i3* + «at5.+'"9T3«"
234 Hoppe: Prmeipien der IVicheniheorie.
Da die 2mal 3 Factoren zur Linken die Richtungscosinas der Flächen- normale und der Hauptnormale von s sind, so drttckt die Linke den Cosinus des Winkels zwischen beiden Normalen aus. Setzen ¥rir diesen « ö, so wird die Gleichung:
g^cos»- ^^2^2fdudv+gdv^ ^"^^
Die Grösse zur Rechten hängt nur von m, v und g- ab, welche einen
Punkt und eine Tangentialrichtung bestimmen, ist also dieselbe för alle Curven s auf der Fläche, die sich im Punkte (uv) berühren. Wir legen nun allen diesen Curven diejenige zugrunde, in welcher eine durch die Flächennormale und durch jene Tangente gelegte Ebene die Fläche schneidet. Diese ebene Curve, kurz bezeichnet durch den Normalschnitt im Punkte (uv) fUr die Richtung (9f*, dv), hat die Flächennormale zur Hauptnormale, also ist für sie d » 0. Femer
drückt Y ^^^ Krümmung, k- den Krümmungsradius der Curve s aus. Bezeichnet also p den Krümmungsradius des Normalschnitts, so ist
1 Edu^'\-2Fdudv-^Gdv*
g^ eBu*'\-2fSudv-\-gdv* ^^^^
woraus verglichen mit (30):
g^ — p cosö (32)
Wir haben demnach zur Charakterisirung der Fläche in einem Punkte von jetzt an nur die Krümmungen von Normalschnitten zu unter- suchen.
§. 8. Summe der Krttmmungen zweier sich unter rechten Win- keln schneidenden Normalschnitte. Ohne Rücksicht auf die Bedeu- tung der Buchstaben hat man die identische Gleichung:
(e'\-2fk+gk^)(E'^2Fk'+Gk'^+(e+2fk'+gk'^)(E+2Fk'\-Gk^ ^2{e-^f(k+k')+gkk']\E+F(k+k')'\-Gkk'\
'\'(eG'-'2fF+gE) (k-^k')^ (33)
Haben jetzt e, /, ^, k, k' die Bedeutung von §. 1., d. h. sind k^ k'
die Werte von k- für 2, im Punkte {m) sich schneidende Curven,
so ist nach Gl. (7)
«-f/(ifc4-Ä;')+^^Äj'— 0 . (7)
die Bedingung, uuter der die Curven sich rechtwinklig schneiden. Dies angenommen reducirt sich die Gleichung auf
Boppt: Princ^en dtr Ftäckeoihtarit. 235
= (eG~2fF'i-gE)(k^ky (34)
D« blerin E, F, O noch beliebige GrOsBeu sind, so setzen wir
E = e; F = f; O =^ g dann kommt:
(«+2A+ffi»)(« + 2A-'+fft'*) = iHh-k')* (35)
Die vorige Gleicbnng dnrch diese ili«'idirt giobt:
E-\-2Fk-\-Gk* E-^2Fi'+Gk'* eG — 2fF-\-gE t-\-2fk+gk*'^ e-\-2fk'+gl/^' ~ *»
worin nocb immer E, F, G beliebige Grössen sind. Erteilt man ibnen Ihre Bedeutung (17), so drttcken uach (31) die 2 Terme zur Linken die ErüQunQDgen der 2 Normalschuitto für die Richtungen der T^- geilten der 2 genannten Carven hus. Bezeichnen also 9, q' die Krflmnumgsradien zweier sich rocbtwiaklig schneidenden Normal- schnitte, so ist
11 eG-~2fF-\-gE
f+f' 1> *"*'
dv Da die Rechte uoabhftngig von q- ist, so bat man den Satz:
S. 2. Die Snmme der KrUinmungeu zweier sich recht- winklig schneidenden Normalschnitte ist fQr dei stimmten Schnittpunkt cnnstant.
§. 9. Hauptkiümmnnge». Der Ausdruck (31) von - varii:
mit u, D und g~ "• '^1 also für einen festen Punkt (wo) nur 1
indem die Normalschnittsebene um die Normale rotirt. Biffer man unter dieser VorauBBetznng Gl. (31) nach k, so kommt:
afcW~Jr|
f+gk e + 2fb-^gk* I
:i!;i-i:fi'+i^ri'
wo zur Abkürzung
ff=i(«+2A+fftr
gesetzt ist Verschwindet dieser Ausdruck för jedes k, so ist - staut, ein Fall den wir spi^ter betrachten. Verschwindet er n bestimmte Werte von k, so entsprechen diesen ein Maximum ui
236
Hoppe: Principien der Fläckentheorie,
Minimum von - ; denn, wenn nicht alle Krümmungen gleich sind, so
muss bei einer vollen Umdrehung mindestens eine ein Maximum und eine ein Minimum sein, daher muss die quadratische Gleichung, welche k bestimmt, nämlich
EF
ef
GE
<7«
k +
FG
fg
it««0
(38)
immer 2 reelle ungleiche Wurzeln haben, deren eine der Maximal-, die andere der Minimalkrümmung entspricht Die 2, durch diese Wurzelwerte bestimmten Normalscbnitte heissen die Hauptnormal- schnitte, ihre Krümmungen die Hauptkrümmungen, ihre Ebenen die Hauptnormalebenen, ihre Tangenten die Hauptkrüm- mungstangenten, und deren Richtungen die Hauptkrümmungs- richtungen.
Sind Xtj, k^ die Wurzel» der Gl. (38), so wird
|
FG fg |
= JI/; |
GE ge |
-Af (*,+*,)-, |
EF «f |
"Mk^kt |
(39) |
|
|
worans dnrch Verbindung: |
|||||||
|
t £ |
h+f^)-\-ghh - h+k,)-\-Gk,h = |
0 0 |
(40) (41) |
Erstere Gleichung sagt, dass die Hauptkrümmungsrichtungen auf ein- ander senkrecht stehen; die Bedeutung der letztern wird in §. 13. zu Tage kommen. Da sich also die Hauptnormalschnittc rechtwinklig schneiden, so ist nach Gl. (36), wenn p,, g^ ^^ Hauptkrümmungs- radien bezeichnen:
l l^^eG^2/F+gE .
Setzt man femer in Gl. (33) k=k^j k'=Ii^^ und erst c, /, ^r für Ey F, G^ dann umgekehrt £, F, G für c, /, ^, so erhält man nach Gl. (40) (41):
(e'\'2/ki+gk^^)(e+2/k^+gk^^) = t^{k,,-k^)^ (43)
(E-f 2FÄri-f-(?ÄT,«)(£;4-2Fibj+GfV) = {EG — F*){k^ -ik,)« (44)
und nach Division, zufolge (31):
1 EG—F^
P1P2
t'
(45)
Da jetzt Summe und Product der Hauptkrümmungen bekannt ist, so ergeben sich beide einzeln als Wurzeln der Gleichung:
Hoppe: Principien der FlSchtntkeorw.
237
(46)
Um jedoch za finden, welche Wurzel zu k^, welche zu h^ gehört, untersuchen wir direct die Differenz heider
Nach Gl. (31) ist sie
^~ e+2/k^+gk,^ e+2/ifc,H-^V
Dies multiplicirt mit dem aus (43) bekannten Product beider Nenner giebt:
e + 2/k,+gk,* «+2/Ä:,+^V
M^ik^^k^)^
(h-h){-
EF
+
GE
9^
(^+*»)-2
FG
fg
Kh]
und nach Einführung der Werte (39):
zf =
FG \ k^^k^
fg '
>t
(47)
Die gefundenen Resultate vereinfachen sich, wenn man fUr E^ f; G ihre Werte aus den GL (23) (25) substituirt; denn dann wird
EF
1 ef
and man findet:
GE
g^
iH^J,)t*',
FG
fg
=^jt^
(48)
(49)
ih 9t 9i 92
woraus :
9i9s
HJ^—JH^ (50)
h-
— H+J^ — J 2J
h-
^H+J^ + J 2J
1 ^~H— Jj4-zf. 1 J?+Jt+zf
^] 2 pg 2
(51)
(52) (53)
Die Gleichungen, welche die Hauptkrflmmungsrichtungen und Haupt- krümmungen bestimmen, lauten jetzt:
238 Hoppe: pFtncipien der FlSchentheorie.
•/Ä;«+ {H— J^)k—H^=^0 (54)
{^+H^(^^+J,^^JH, (55)
§. 10. Sphärische KrAmmung:. Wie anfangs §. 9. erwähnt, wird - constant^ also die Krümmungen aller Normalschnitte, die durch
einen Punkt gehen, einander gleich, wenn 61. (38) unabhängig voa k gilt, wenn also
= 0 ist, drei Gleichungen die sich auf folgende 2 reduciren:
|
EF |
= 0; |
GE ge |
-0; |
FG fg |
E
e
F
f
G 9
(56)
Im allgemeinen bestimmen dieselben einen oder einzelne Punkte; ein solcher Punkt heisst ein Nabel punkt In besonderen Fällen geben sie nur eine Relation zwischen u und v, bestimmen also eine Linie, Nabellinie. In Nabelpunkten und Nabellinien heisst die Fläche
sphärisch gekrümmt. Nach (31) werden die 3 Quotienten ^ -; daher ist
E
e
(?=.?
(57)
§. 11. Krttmmnngsmass. Zieht man von einem festen Punkte, z. B. dem Anfangspunkte der xyz eine Gerade von der Länge 1 in der Richtung der Normale einer Fläche, so ist der Ort des Endpunkts, dessen Coordinaten also ^^ q^ r sind, eine Kugelfläche vom Radius 1, auf welcher jedem Punkte der Fläche (xi/z) ein Punkt der Kugel- fläche (pqr) entspricht. Beschreibt nun der Punkt (xyz) den Umfang eines unendlich kleinen Flächenelements d^Sl^ so beschreibt der Punkt (pqr) den Umfang eines uuendlichkleinen sphärischen Flftchenolements d^m. Den Quotienten
nennt man die Krümmung der Fläche, in analogem Sinne wie in der Curventheorie der Quotient ^ die Krümmung der Curve ge- nannt worden ist, nur war es daselbst die Tangente, mit welcher vom Anfangspunkte eine Gerade von der Länge 1 gezogen ward, deren Fndpunkt dann auf der Kugel die Curve r entsprechend der vom Berührungspunkte gleichzeitig durchlaufenen Curve # beschrieb. Ebenso wie dort werden wir auch in der Flächentheorie jede vom
Hoppe: PrindpUn der FtMentheone.
239
Punkte (pqr) beschriebene Curve die Indicatrix der Normale für die von ihrem Fosspnnkt gleichzeitig beschriebene Curve nennen.
Um den Wert der so definirten Erümmnng zu finden, wenden wir eine der Formeln (9) auf die Kugelfläche an, wo der Grösse t die Grösse t^ entsprechen möge, während p, ^, r auch hier die Rich- tungscosinus der Normale ausdrOcken*, dann ist
P'i
|
dq du |
dq' dv |
|
dl- du |
dr dv |
und nach Einführung der Werte (19)
P^i =
"t+'^t 4+''t
9z . dz ^' I ^
8^ 8y
8tt 8v !
Der letzte Factor ist «= pt, der erste nach (50)
t
PiP«
folglich
U
oder
PiP«
(58)
8*fl) <^8u3p 1 8*Ä tdt«dv ^Ps
(59)
S. 3. Die Krümmung der Fläche ist also gleich dem Product der Hauptkrümmungen. Infolge dessen können wir ehie Fläche positiv oder negativ gekrümmt nennen, jenachdem die Hauptkrttmmungen gleiches oder ungleiches Vorzeichen haben. Der Grenzfall, wo eine Hauptkrümmung null ist, kann entweder auf der ganzen Fläche oder längs einer Linie oder in einem blossen Punkte stattfinden. Im ersten Falle wird durch die Eigenschaft eine besondere Art von Flächen dcfinirt, deren Theorie im 3. Abschnitt behandelt werden wird; im zweiten ist die Linie der Nullkrümmung gewöhnlich die Grenze zwischen zwei entgegengesetzt gekrümmten Teilen einer Fläche.
§. 12. Redttction der Krttmmung eines beliebigen Xormalsehnitts
auf die Hauptkrttmmungen. Bezeichnet ^ den Winkel zwischen der
8v beliebigen Tangentialrichtung o^ "^ ^ und der ersten Hauptkrümmungs-
richtung gr ="^i> so ist R— -^ der Winkel zwischen eben jener
240 Hoppe: Prtncipien der Flächentheorie,
dv
der zweiten Hauptkrümmungsrichtang K- = kf, Daher erhält maB
die Werte von cos^ und sin^ aus der Formel (4), wenn man bzhw. k' — A?] und k^ setzt Nun hat man vermöge der GL (40) :
e+f(k+k^)+gkk^ = {/+gh)(^-k^ e+/(k+h)+gJck, = (/+gkt)(k-k^)
t + VK +9h^ = (f+gh) (h -h)
Demnach gehen die genannten Ausdrücke über in
cos*^
sin»'^
e+2/k+gk* k^—k^
Ebenso hat man vermöge der Gl. (41):
E+2Fk^ + 6? V = (^+ ^h) (h - h) E+ 2FJb2+ (?V =— (^+ (^h) (*i — h)
demzufolge die Formel für die Krümmung eines Normalschnitts (31) angewandt auf die Hauptkrümmungen ergiebt:
Qi ^ f+gh ' p8 /+g^2
Aus vorstehenden 4 Ausdrücken setzt sich zusammen:
cos*^ sin^^ _ (^+^^i)(^-— M^~(i^+g^)(i^-^i)^ (fi '^ (f% '^ (e+2/k+gk^){k^^k^)
2Fk + Ok^ — F{k^ + k^) — Gk^k
X
e + 2fk+gk^ das ist nach (41) und dann nach (31)
E'\'2Fk+Gk^ 1 ^ e+2/Är+flfA:» ^p
also
1 cos*-^ . 8in*d ,_,
(61)
Auf Grund dieses Resultats kann man die Beziehungen zwischen
den Krümmungen der Normalschnitte folgendermassen constructiv
dv darstellen. Denkt man auf der variabeln Tangentialrichtung g~ *= *
eine Strecke R abgeschnitten, so sind 72, ^ die Polarcoordinaten des
Hoppe: PrmeipUn der FlScheniheorie, 241
Endpunkts P auf der BerühruDgsebene für den Berührungspunkt M als Anfangspunkt Lässt man den Punkt P um M als Mittelpunkt einen Kegelschnitt beschreiben, so wird dessen Gleichung
^ (J?cos^)2 , (Äsin^)« ^= ä ^ b
identisch mit Gl. (61), wenn man
a ^ ; o =■
setzt Diese Gleichungen kann man entweder durch
Ä««= p; a= p,; i = p, oder durch
iE«= — p; a=— p,; 6= — pa
erfüllen. Ftlr positive Krümmung, wo P|, p^ gleiches Vorzeichen haben, können a und ä, weil nie beide negativ sind, nur positiv sein, und p hat dasselbe Vorzeichen. Für negative Krümmung hingegen sind beide Bestimmungen von a, h zulässig. Folglich ist der Ort des Punktes P für positive Krümmung eine Ellipse, für negative eine Verbindung zweier Hyperbeln von gemeinsamen Asymptoten. Unter allen Umständen aber ist der absolute Wert des Bollmmungsradius p dargestellt durch das Quadrat des Radiusvectors. Da, im Intervall
Ton ^ = 0 bis ^ = R, p von p^ bis pj variirt, so muss - im Fall
negativer Krümmung einmal null werden und sein Vorzeichen wechseln; dies geschieht, wo der Radiusvector in die Asymptote übergeht Ist aber die Krümmung des Normalschnitts null, so sind es nach §. 7. die Krümmungen aller Curven von gemeinsamer Tangente gleichfalls. Diese Nullkrümmungsrichtungen, deren in jedem Punkte einer negativ gekrümmten Fläche 2 existiren, nennt man die asymptotischen Richtungen. Man findet sie durch Auflösung der Gleichung
£+2FÄj + G^Ä;« = 0 (62)
nach k.
§. 13. Variation der BerUhrungsebene. Variirt der Berührungs- punkt {xyz) der Berührungsebene
beliebig, so erhält man durch Differentiation bei constanten $, 17, ( als zweite Gleichung der Goincidenzlinie :
Die Goincidenzlinie geht also durch den Punkt {xyz) und ist Tan- gente der Fläche.
T«fl LIX. 16
i
242
Hoppe: PrindpUn der FlSchentkeorie,
Bezeichnet v den Brehnngswinkel, so ist ihr Richtongscosinus gegen die x Axe:
JLJ9 ^ dv r dr
Hdu'\'Jdv
dv
8y « du
du
+
ffidu'-\~J^dv
dz
•• dv
und, wenn man f^ ^, r die Werte (9) setzt:
Hdu'{-Jdv tdv
das ist nach (23) (25):
/
du
dx
dv
+
tdv
/
du
dx
^ dv
tdv
~ Edu+Fdv
dx
^ Fdu'{-Gdv
(63)
Nimmt man zur Bestimmung von dv die Quadratsumme der Analogen, so kommt:
(tdv)^ = g(Edu+Fdv)^—2/(Edu+Fdv)(Fdu-\-Gdv) -i-eiFdu-^-Gdv^ = (eG — 2/F+ gE) (Edu^ + 2Fdu dv + G dv^) -'(EG — F^)(edu^+2/dudv+gdv^)
also
(64)
Bezeichnet a' eine Curve, deren Tangente die eben bestimmte Coincidenzlinie ist, und werden die Tangentialrichtungen von a (Bahn
des Punkts (xyz)) und «' bestimmt durch die Worte k~ ^ k und k\
cu
so lässt sich das Resultat (63) schreiben:
dx
8i ^+^^
(65)
Hoppe: Principien der Flächentheorie.
243
vX ox
Mnltiplicirt man einzeln mit g-» öt* so giebt die Summe der Ana- logen:
e
e+fh'
f+g^'
idv tdv
E+Fk f F^-Gk
f 9
E-^Fk
woraus durch Elimination von 8v:
E'\'Flk'\'k')^Gkk' — 0
(41)
Diese Gleichung zeigt zuerst, dass die Tangenten von s und s' in reciproker Beziebuug stehen. Man nennt darum die Coincidenz- linie der Berührungsebene die conjugirte Tangente zu derjenigen, welche die Richtung der Variation des Berührungspunkts bezeichnet-, und umgekehrt ist dann lctzt<^re die conjugirte Tangente der Coin- cidenzlinie.
Femer ist aus §. 9. bekannt, dass die Gl. (41) verbunden mit
der folgenden
e+f{k+k')+gkk'==^0 (7)
welche Bedingung des rechtwinkligen Durchschnitts von s und «' ist, die Bedingung ausmacht, unter der die Tangenten beider Curven Hauptkrümmungstangenten sind. Hieraus folgt der Satz:
S. 4. Conjugirte Tangenten bilden immer und nur dann rechte Winkel, wenn sie Hauptkrümmungstangenten sind. Oder umgekehrt:
Notwendige und ausreichende Bedingung der Haupt- . krümmungsrichtungen ist, dass sie 1) senkrecht auf ein- ander und 2) conjugirt sind. ♦
Gl. (41) differentiirt giebt:
(F+ GkY dk' = (EG — F*) dk
daher variiren k und k' auf positiv gekrümmter Fläche in gleichem, auf negativ gekrümmter in entgegengesetztem Sinne. Da aber die conjugirten Tangenten bei Rotation um den Berührungspunkt gleich- zeitig in die Hauptkrümmungsrichtungen fallen, so folgt, dass sie von diesen aus auf positiv gekrümmten Flächen, in gleichem Sinne rotirend in verschiedene Quadranten, auf negativ gekrümmten einander ent- gegen rotirend in denselben Quadranten treten und sich einander begegnen. Letzteres geschieht f ür ä? = A;', also nach Gl. (41) für
i;+2i^+öib« — 0
16*
244
Hoppe: Prindpien der FtäeMemikeorU.
d. L nach S- 12- ^ d^i* asymptotischen Richtung, nnd man hat den
Satz:
8. 5. Die asymptotische Tangentialrichtnng ist sich seihst conjngirt
§. 14. Taiiation der Normale. Die Normale hat denselben Drehongswinkel v wie die Berühmngsebene, and eine gleichgmchtete momentane Botationsaxe. Es bleibt daher nnr ihr Drehpanktsabstand
Ä = —
dpdx-\--dqdy-{'drd»
nnd ihre Gleitnng l&ngs der momentanen Botationsaxe
^^-si
zu berechnen. Der Weit des Zälders von R ist bereits nach GL (29) bekannt, nnd vermöge (31) nnd (64) wird daraus:
|
p |
dp |
dx |
|
5 |
dq dy |
|
|
r |
dr |
dz |
R
gdv^
9t Qf
Qi + Qi—9
(66)
Der Ausdruck von Q aber, entwickelt nach Elementen der dritten Verticalreihe, enthält als Coefficienteu die in §. 13. ermittelten Rich- tungscosinus der Coincidenzlinie der Berührungsebene, so dass
nnd nach Einsetzung der Werte (65) 30«
~tdv\f+gk F+Gk
~~ tdv WfF
e E
k +
f F
go
-}
oder, weil die Klammer nach §. 9. für A; » ä:^ nnd k^ verschwindet:
dQ
tdv
f F
go
(A.-^^)(Ä._4,)
(67)
Hiemach ist die Gleitung constant null und der Drehpunkt Coincidenzpunkt in Nabelpunkten der Fläche, in jedem andern Punkte findet dasselbe statt bei Variation in den Hauptkrümmungarichtungen. Bei beliebiger Variation stellt dQ den normalen Abstand zweier con- secutiven Normalen dar.
Hoppe: Principien der Flächentkeorie, 245
Die Lage des Brebpankts, resp. Coincidenzpunkts erhält man als Endpunkt der Strecke B anf dem positiven Arme der Normale ab- geschnitten. Coincidenzpunkt wird er zweimal, fdr p = p^ und g =* g^. Bzbw. wird hier auch Ä = pj und P2- ^^^ Orte der letztern 2 Punkte heissen die Mittelpunktsfläcben.
§. 15. BediBgang eines Kormalensystems. Eine Gerade
= -T-^ ^ -= R (68)
a b e ^ '
Tariire mit 2 Parametern u, v. Fttr beliebige Variation ist dann
hx = 3a-|-JB8a-f-a9i2 8y = dß+Rdh-^bdR dz =8y+Ä8<?+<?aÄ woraus :
adx-\-hdy'^cdz = a3a-|-&3j3-|-c8y-f-8Ä
Soll nun die Gerade Normale einer Fläche, (xyz) ihr Fusspunkt sein, so muss die Linke verschwinden. Dann wird a8ar|-&8/3+i?8y ein Differential, nämlich von —R. Die Bedingung ist also: •
8
dr
V^8i+*8t.+ "8uj = 8i*r 8^+*87+"8t;j
oder:
Ba 8a , Bb Bß^^ Bc By __ Ba 8« , 8ä Bß .Bc^ By Bv Bu~* Bv Bu^ Bv Bu 8t* 8r ' 8m 8ü ' 8m 8ü
Immer und nur dann, wenn diese Gleichung erfüllt ist, ist das System von Geraden (68) ein System von Normalen einer Fläche.
§. 16. Torsionswinkel einer Curve aaf der Fläche. Bezeichnet, wie in §. 7. ß den Winkel zwischen der Hauptnormale einer Curve * auf der Fläche und der Flächennormale, femer a, &, e die Bichtungs- cosinus der Binormale, o^, &i, c^ die der Hauptnormale, so dass ^
l>^+3*i+**^i = <^os6 (70)
pa -{-qb -f-rc = — sinö
wird, endlich r und ^ den Krümmungs- und Torsionswinkel, so hat
man:
Q Q 8«^ B Bx
8a,-=a8^-g^8r; «i = g^ g^
und findet nach Differentiation der Gl. (70):
ai8p+6i8^-f-Ci8r— a^sin© — — 8©sin©
246 Hoppe: Principien der Flächentheone,
Setzt man für dp, dg, dr ihre Werte aus (19), so kommt:
sinö '
wo zur Abkürzung
gesetzt ist. Zur Bestimmung dieser Coefficienten hat man zun&chst:
Afdu-^-Ndv = Oj^dx-^-b^dy+c^dz = 0 (72)
Um eine zweite Bestimmung zu erhalten, lassen wir die Curve 9 von einer zweiten Curve «' rechtwinklig schneiden. Für erstere sei
Ä- « A;, für letztere = h\ Die Tangente von «' bildet dann mit der Hauptnormale von « den Winkel ö — R, daher ist
8me=«.| + 6,| + *.|. = (3^+^*')^ (73)
Eliroinirt man zwischen den 3 Gleichungen
»-\-fQc-\-k')-\-ghk' = 0
e+m'+gk'* - (^)' « und ifc', 80 findet man:
und, wenn man nur die 2 ersten subtrahirt:
woraus:
|:^e(Ä:-A:')g (74)
Jetzt werden die Gl. (72) (73):
M'\'N1c = 0
3f -f iy^Ä;' ^tik-'k')^ sine woraus:
lf«tJfe^8ine; ivr =— ^^sine
Hoppe: Principien der Flächentkeorte, 247
und Gl. (71) wird:
du*
das ist nach (54):
du*
3^ — ae = « -gy j(ifc — jfcj) (Ä; — Ä^g)
Der Torsionswinkel einer beliebigen Corve auf der Fläche ist also:
/Bu* t g^ J(k—ki) (k — k^) (75)
§. 17. Blegrungr und Abwickelung. Variirt eine in Parametern t», V dargestellte Fläche, so betrachten wir den durch die Werte von u, V bestimmten Punkt als beständig denselben, desgleichen eine Linie, wenn sie der Ort identischer Punkte ist, und ein Flächenstttck, wenn es identisch begrenzt ist.
Eine Fläche biegen heisst sie so verändern, dass alle begrenzten Linien auf ihr gleiche Länge behalten.
Wird eine Fläche gebogen, so folgt, dass alle begrenzten Flächen- stücke, insbesondere die Flächenelemente constanten Inhalt haben.
Eine Fläche auf einer andern abwickeln heisst sie durch Bie- gung (und Transposition) in letztere übergehen lassen.
Damit also eiue Fläche Sl auf einer andern Sl^ abwickelbar sei, muss jede irgendwie begrenzte Linie s auf ihr, also auch das Quadrat des Linienelements
da* = edu*'\'2fdudv'\'gdv*
und, da es für willkürliche du, dv gilt, auch die Coefficienten e, /, g auf Sl und Ä^, in denselben Parametern dargestellt, gleichen Wert haben, und umgekehrt; der Satz lautet:
S. 6. Kotwendige und ausreichende Bedingung der Abwickelbarkeit ist, dass 6, /, g auf beiden Flächen gleich sind.
In diesem Falle ist offenbar auch t und das Flächenelement tdudv gemeinsam, desgleichen die Krümmung der Fläche
J^ EG^F*
weil sie nach Gl. (26) in e, /, g darstellbar ist.
Die Aufgabe, alle auf der Fläche Ä^ abwickelbaren Fläch«*'- "
248
Hoppe: Principien der Flächentheorie.
ZU finden, besteht demnach in der Integration der Gl. (3), worin c, fy ff gegeben, d. h. aus Sl^ zu entwickeln, und «, y, a gesucht sind.
§. 18. Mittelpanktsfl&chen. Die Gleichungen der beiden Mittel- punktsflächen sind nach §. 14.
Durch Differentiation gemäss den Formeln (19) erhält man:
Bezeichnet man durch ^j, ^, r^, f, die Werte von p, (^fi *•» * auf der ersten Mittelpunktsfläche, so findet man durch Anwendung der For- meln (9) auf die vorstehenden Differentialquotienten:
Pih =
du
etc.
Hieraus folgt, dass
dass also (S. 7.) Die Normale der Mittelpunktsfläche parallel der Berührungsebene, ihre Berührungsebene parallel der Normale der ürfläche ist.
Die Herleitung anderer Eigenschaften versparen wir, bis durch Einführung geeigneter Parameter die Untersuchung vereinfacht werden kann.
§. 19. Parallele Flftchen. Trägt man auf der Normale vom Fusspunkt P aus die constante Strecke c ab, so ist der Ort dos End- punkts P' eine Fläche, deren Gleichungen sind:
woraus nach (19) 8t*
«+P^; y'=y+g<?; »'— »+rc
*- I ,^ V 8a? , ^, dx
(l+^<?)g;,+^i^g-; etc.
dx dx
(76)
etc.
Hoppe: PrindpUn der Fläehentheorie, 249
folglich
d. h. die Norjnale der Fläche P ist auch Normale der Fläche P\ und beide Flächen haben den constanten normalen Abstand c, sind demnach einander parallel.
Wendet man jetzt die Formeln (9) auf die Fläche P' an, fftr welche die Grössen p, q^ r noch gelten, so findet man:
folglich ist
Je l-^J^c
pt\ etc.
oder nach (50)
Differentiirt man partiell die Gl. (76) mit Anwendung der For- meln (18), so kommt:
8*45' 3a5 j dx .
wo gemäss den Definitionsgleich ungen (17) E\ F\ G' die Funda- mentalgrössen 2. Ordnung für die Fläche P' sind und der gegen- wärtigen Rechnung zufolge die Werte haben:
r^a + Ho)F+H,cG = f^+F {l-t»c (^ + J-)} [ (78)
Femer ist nach (19), angewandt auf beide Flächen
^= fT^"^ A. TT ^ =. frf^^' JLrr ^~
250 Hoppe: Pnndpien der FlädienAeorie.
Mtütiplicirt man erst mit ^* dann mit 7—» nnd addirt jedesmal die
Analogen, so kommt, mit Anwendung von (23) (25):
•
^E= H'{e — Ec)+H^'{f-'Fc) -F^^ H'{f — Fc) + H^'{g-Oc) ^F^ J'(e^ Ec) + J^\f— Fe) — (7 = r(f^ Fe) +Jt(g-' Ge)
woraus, nach umgekehrter Auflösung:
(79)
V Qi)\ 9%) ' QiQt
^ \ Qi)\ qJ ^^ Mi
Wendet man jetzt die Gl. (50) auf die Flächen P' und P an , so kommt:
9i92 \ 9J \ 9%) 9i 9i \9i "^ 9J 9i 9% 9iW
oder
«i et \ 9t/ \ qJ
-^,(l_£Vl_f)=J- (80)
Pi 9% \ 9t) \ 9%l 9i 9%
und nach Division heider Gleichungen:
Hiermit verbunden GL (80) in der Form
9i9i^ (pi — <?)(p8 — c) gieht:
9i "= Pi — <?» 99 = Pa— <? (Öl)
S. 8. Die Hauptkrümmungsradien paralleler Flächen differiren um deren Abstand.
Ferner ist allgemein
Hoppe: Pnneipkn der Ftächentheorie.
251
^=Qi9i
f= PiP«
JyF
(hQ%
9 = Qiff%
EH FJ
FH GJ
(82)
Wendet man diese Formeln auf die Fläche P' an und schreibt die Gl. (79) wie folgt
80 wird
QiQ%
f = 9x9% das ist nach (78):
HyE'
J^F'
H^F' J^G'
-E'e-, f'^QiQi
— /"c; g' = pi^2
E'H
F'H G'J
— F'c
-G^c
•■='('-^)+^''C-;+ü-''i «'-'('-^)+^"(s+y-^'
(83)
§. 20. Colneidenzpunkte der Parameterlinien. Jede von beiden Scharen von Parameterlinien kann dreierlei Form haben, entweder bestehen sie ohne Durchschnitt nvben einander, oder sie schneiden sich in einem variabeln, oder in einem festen Punkte. Der zweite Fall bringt Verwickelungen in die Rechnung; das System wird als- dann von einer Curvo umhüllt, auf deren einer Seite jeder Punkt 2 Wertsystemen (ttt?), auf deren anderer er keinem Wertsysteme ent- spricht Im dritten Falle braucht man nur den festen Punkt als Centmm zu betrachten, von dem die Parameterlinien als Strahlen aasgehen ohne es rückwärts zu überschreiten; dann wird wieder jeder Punkt durch ein* Wertsystem (uv) vertreten.
Die Bedingung eines Durchschnitts consecutiver Parameterlinien (t») ist, dass für irgend^ welche Variation von tt, v zwei consecutive Punkte zusammenfallen, dass also
0; fcau+t>
du
Sv
0; |a«+^a.
du
du
0
ist, wo Bv nicht null sein darf. Die Gleichungen können entweder durch
252 Hoppe: Principien der Flächentheorte,
oder durch
dx ^d$f ^?z dx ^By dz du du du dv dv dv
dx dv dz
&; = «•' ^ = «5 ä;"=o; rf« = o
erfallt werden. Im ersten Falle gelangen die Parameterlinicn beider Scharen zur Berührung. Solange man also an der Forderung fest- hält, dass sich beide Scharen stets schneiden sollen, so hat nur da* zweite Fall Bedeutung. Die 3 Gleichungen lassen sich in eine zn- sammenbegreifen :
Stellt dieselbe eine Relation zwischen u, v dar, so drückt diese die Einhüllende der Parameterlinien (u) aus. Bestimmt sie hingegen nur einen Punkt, was namentlich dann stattfindet, wenn g nur u enthält, weil der Punkt (xi/z) mit v allein nicht varüren kann, so ist dieser das Strahlencentrum.
II« Besondere Unien und Uniensysteme aaf Flüclieii.
§• 21. Uebergangr zu neuen Parametern. Sind u^, v^ Functionen von u, V, und man entwickelt die partiellen Differentialquotienten von o;, y, z bezüglich auf %, v^, so erhält man, indem man t^, t?^ als neue Parameter betrachtet und die darauf bezüglichen Grössen durch den Index 1 unterscheidet, nach Einführung in I. Gl. (3) (17) (9):
* "'va«; +^^»8u du ^^^\dn)
Hoppe: PrvicipUn der Ftächentheorie»
253
V^'^Ph
an:
etc.
Hiermit ist die FnnctionsdetermiDante und ihre Inverse
|
du dv |
t |
8tt dv |
|
du dv |
-^' |
du dt; dv^ dt?j |
(3)
bekannt, and man hat die Inversionsformeln:
du| t dv , du| t du
^ du, ' du ^ dt;.
du dt;,
dir
< dt;
^^^^ •
<, duj
dt;
dt;,
du
e du t,di«.
(4)
Diese Werte wird man in die Gl. (1) (2) einsetzen, wenn man fttr tt, t; eine Substitution in u,, t;, ausführen und die alten Fundamental- grössen in den neuen darstellen will. Die Hauptanwendung der Gl. (1) (2) besteht aber darin, dass sie, wenn Ldniensysteme von be- stimmter Eigenschaft gesucht werden, die Bedingungen darstellen, aus denen man die zugehörigen Parameter t«,, v, durch Integration findet, 80 fem diese Eigenschaft durch Werte von Fundamentalgrössen reprä- sentirt wird.
§. 22. Orthogonale Uniensysteme* Nach §. 1. schneiden sich die Parameterlinien (u) {v) rechtwinklig, wenn
/=0
ist. Gilt dies für alle Punkte der Fläche, so ist das S3rstem der Parameterlinien ein orthogonales, das Flächenelement ein Recht- eck. Wir nennen dann auch die Parameter orthogonal.
Die wichtigsten Vereinfachungen der in I. aufgestellten Formeln, die hier eintreten, sind die folgenden. Man hat:
d^
du«
d»a:
du dv
d«« 'S?
1 d« da? 1 ds dx ^ ^ 2^didi~"2^d^d^'T-^
1 de dx 1 ^ff ^^ i^ j-, 2^dt;di + 2^did^''"^
l^d^dx 1^ ^ ??_i_/3 "^ 2edu du'^ 2g dvdv"^^^
(5)
254 Bopp€i PrindpUn der Fiächentheorie.
•.dp E Bx Fdx
du e du g Sv
dp Fdx Gdx
dv e du g dv
(6)
m+it)']-" <"
„ fBE dF\ , 3« , „/ fle Bg\ ^ de ^ „ (dG dF\ „ Sg , „/ dg Se\ „dg „
(8)
Die Beziehungen zwischen rechtwinklig sich kreuzenden Normal- sc-hnitten und ihren Krümmungen sind:
e+gkk''^0 (9)
^ + ^' = 7 + 7 ^'^>
Die Hauptkrümmungen und deren Richtungen werden bestimmt bzhw. durch die Gleichungen:
Will man von beliebigen Parametern Wj, Vj zu orthogonalen Para- metern übergehen, so kann man, da sich nicht beide durch eine Be- dingung bestimmen, die eine Parameterlinienschar (u) beliebig an- nehmen; dann wird nach (1) der rechtwinklige Schnitt der andern (v) durch die Bedingung bestimmt:
^^ c^t* ~dv "^-^^ \(^u dv '^vu cvj'^^^dudv ^ " oder nach (4):
(du du\dv (^ ^^ du\ dv
welche die Integration der Gleichung
Hoppe: Principitn der Ftäehentheorie,
255
erfordert Ist ihr Integral
9(ui, v^ = const.
80 ist
§. 23. KrUmmanirslinieii« Krümm ungslinie heisst auf einer Fläche eine Linie, deren Tangente in jedem Punkte Hauptkrttmmungs- tangente ist. £s wird dazu die Existenz zweier Hauptkrümmungs- richtnngen vorausgesetzt. Fehlen dieselben für einen Punkt, wie z. B. in einem Nabelpunkt, so lässt sich dieser noch als Endpunkt der- jenigen Erümniungslinien betrachten, welche in unendlicher Nähe die Richtung nach ihm hin verfolgen. Abgesehen von diesen Endpunkten schneiden sich in jcdom Punkte der Fläche 2 Krümmungslinien recht- winklig. Demnach besteht das System der Krümmuugslinien einer Fläche aus 2 Scharen, deren eine von den Normalschnitten grösster, die andere kleinster Krümmung berührt wird. Zwei Linien derselben Schar können sich nicht schneiden, ebensowenig eine sich selbst. Ein stetiger Uebergang von Linien einer Schar in die andere ist nur durch das Gleich werden beider Hanptkrümmungen möglich, kann also nur in Nabelpnnkten stattfinden.
Nach I. Gl. (38) ist die Bedingung einer Krümmungslinie:
GE
EF
ge
dv , FG\ldv\'' ^
du
(13)
dv
Hieraus ergeben sich 2 Werte von ö-» welche den 2 Scharen ent- sprechen.
§. 24. System der Krttuimaugslinien« Sollen die Parameter- iinien selbst Krümmungslinien sein, so muss die Gl. (13) durch dv=0 und durch 9tt=0 erfüllt werden, aber nicht durch jeden andern Wert. Folglich ist hier
EF ef
= 0;
Dies ergiebt:
FG
fg
= 0;
GE ge
>
<
0
/==0; Fc=0
Betrachten wir zunächst die unmittelbaren Vereinfachungen, welche eintreten, wenn t*, v Parameter der Krümmungslinien sind, so wird die Krümmung eines Normalschnitts:
Edu^'\-Gdv^
das ist bzhw. für ein constantes v und ein constantes u:
(14)
256 Hoppe: Prindpien der Fläckentkeorie.
1.^; 1=^ (15)
Qi e if% g
Fttr beliebig bewegte Normale wird die Gleichung des Drehongswinkels
a,. = (^%(^' (16)
e * g
die Richtongscosinus der momentanen Rotationsaxe
Bx ,. dx ^
öu ov
^di •' «*^
die Gleitang der Normale längs derselben Der Torsionswinkel einer beliebigen Curve 8
also der einer Krttmmungslinie
Von den Differentialformeln §. 22. sind hier bemerkenswert:
dp E dx 1 Sx
du e du Qi du
dp G ox 1 ex
dv g dv Qi dv
sofern daraus folgt, dass längs den Krümmungslinien
dpidqidr ~ dxidyidz (20)
ist Diese Eigenschaft ist hinreichend um eine Linie als Krümmungs- linie zu bestimmen. Denn, setzt man nur voraus, dass
dp dx dq 8y , dz dz
ÖU du ou du du du
sei, so erhält man nach I. 61. (19):
dx dx
nebst analogen Qleichnngen fflr y nnd z, woraus:
Btf - (m-H)ei H^g - (m- H)f
Hoppe: Prindpien der Flächentkeorie. 257
oder nach I. 61. (23):
Nimmt man jetzt den Parameter v, über den noch zu verfügen bleibt, orthogonal zu u, so folgt:
/-O; F=0; m=.f was zu beweisen war.
Die Relationen zwischen den Fnndamentalgrösson reduciren sich auf
Hieraus ergeben sich 2 nützliche Formeln. Infolge der Gl. (15) ist
8v ~ cv h~~ E Vöi; E dv) das ist nach (22):
dv ^ 2E\ gEfdv 2^ \ gjdv und analog: \ (23)
au "" 2G \^ eö) 8u "" 2G V Pi/ ät*
Wie schon in §. 14. bemerkt, hat die Normale, bei Variation in einer Hauptkrümmungsrichtung, und bei keiner andern, wofern sie sich nicht parallel bleibt, einen Coincidenzpunkt; demnach erzeugt sie bei Variation längs einer Krümmungslinic, und )bei keiner andern, eine ab?rickelbare Fläche. Auch diese Eigenschaft kann als Definition dienen.
Will man von beliebigen Parametern u^^ v^ zu Parametern der Krttmmungslinien u, v übergehen, so findet man diese durch Integration der zweiten Gl. (1) und der zweiten Gl. (2), wo die linke Seite null ist
§. 25. Ableitung des Krflmmungslinlensystemes aus der Indi- <^trix* Die Aufgabe ein Erümmungsliniensystem zu finden ist leichter« wenn nicht die Fläche, sondern die Indicatrix der Normale (s. §. 11.) gegeben ist Nach Gl. (19) ist
dx dp, dx dp
TtULU. 17
258 Hoppe: Prindpien der Flächentheorte,
woraus:
wo
and analog y und z. Hiemach sind die Gleichungen der Fläche be- kannt, sobald (] und q^ gefunden sind, vorausgesetzt dass p, ^^ ^ in orthogonalen Parametern u, v gegeben sind.
Eliminirt man x zwischen den Gl. (24), so kommt:
nebst 2 Analogen für q und r, deren jede die Folge der beiden übrigen ist, so dass man durch Verbindung nur die 2 unabhängigen erhält:
bekannte Grössen sind. Eliminirt man einzeln g^ und (j, so kommt: 8»p, 8p,8log-g, _ a?, i j 8-Ri
3m 3t; "" 3m 9t; 3r 3t* ^i?,i2o8t;
> (27)
3u3t; *" 3t; 3t* 3t* 3i; *^i2i/?23t*
Hat man durch Integration einer von beiden Gleichungen Qi oder Qt gefunden, so ergiebt sich bzhw. g^ oder ^^ ohne neue Integration aus Gl. (26), und dann ist durch (25) die Fläche in Parametern der Erümmungslihien dargestellt. Da die allgemeine Lösung 2 willkfif liehe Functionen einer Variabein enthält, so ergiebt sie eine Classe von Flächen, welche durch gemeinsame Indicatrix charakterisirt ist. In analoger Weise ergab sich in der Curventheorie aus der specifi- scheu Gleichung, d. i. aus einer Relation zwischen 2 Indicatricen, eine Classe von Curven. Im gegenwärtigen Falle werden die Dimensionen, welche bei den Curven ganz beliebig angefügt wurden, durch die Krümmungsradien p^, p^ eingeführt
§. 26. Orthogonale Flachensysteme. Ist in jedem Punkte der Schnittlinie zweier Flächen der Winkel zwischen den Normalen beider ein rechter, so heissen die Flächen orthogonal. Schneidet nun eine Flächenschar eine andre, und ist jede Fläche der einen Schar mit
Hoppe: Ptincipien der FlächentheorU,
259
jeder Fläche der andern orthogonal, so bilden beide Scharen ein einfach orthogonales Flächensystem. Drei einander schnei- dende Scharen von Flächen bilden ein dreifach orthogonales Flächensystem, wenn je zwei von ihnen ein einfaches bilden, wenn also in jedem Schnittpunkte die Normalen der 3 sich schneidenden Flächen normal zu einander sind.
Variirt nun ein Pnnkt (xyz) mit 3 Parametern t*, v, w, so ist er der Schnittpunkt der 3 Flächen u = const., v «= const, w =» const, sowie der Schnittpunkt der 3 Parameterlinien (w), (v), («?), d. i. der Schnittlinien jener 3 Flächen, Linien in welchen bzhw. (v, tr), (tr, w), (u, v) constant sind. Die auf die 3 Flächen bezüglichen Bestimmungs- grössen mögen durch dieselben Buchstaben mit den Indices 1, 2, 3 bezeichnet sein.
Wir nehmen zuerst an, dass die 3 Flächenscharen, welche von den genannten 3 Flächen bei Variation von bzhw. w, w, m? durch- laufen werden, ein dreifach orthogonales System bilden, tiven Richtungen der Normalen seien denen der x, y, z gewählt, so dass
Pi P% Pi
Die posi- congruent
ni 3« 3»
+ 1
^1 ^i ^8
wird*, dann giebt eine dreifache Entwickelung der folgenden Deter- minante:
dx dy ." di
dx dx dx du dv dw
dy dy dy^ du dv dw
dz dz dz du dv dw
( dx ay • dz\
(
8« . h , (''\,
-(
IX
^«äi^ + ^^a
ay
+ ••»3^)
und man hat:
dx . dy _. dz P^du + ^du^^'^du
dx . dy . dz
^»ai + ««ai + *'»aii
dx . ^ _i 8«
K
= 0 = 0
woraus, mit nachfolgender Anwendung der Analogie:
17*
/
260 äoppex Principien der Flächentheorie.
|
dx _ «pi . du ti |
du t^ |
dz «rj du t^ |
|
dx %p2 . 8ü " «j ' |
dy %q^ dt> ^ ' |
dz %r^ de t^ |
|
dx _ «ps . dw t^ |
9y _»38 öw t^ |
dz xrj dw t^ |
(28)
und nach Verbindung:
A-O; /i=-0: /i^O (29)
und nach partieller Differentiation:
9/j d'^x dx^y d^y dy 8^ dz_
8«* dudo dw* dudt dw"^ dudv dw
dx^ ^x_ öy _a«y , 8«^ 5^g .^Qv
"• 8o 8m? 8u"' 8r 8ir8M "'"8^ dwdu
nebst 2 analogen Gleichungen, durch deren Verbindung hervorgeht:
0 = -^4- ?^^ 4-^^ = 2(— -?*^- 4-^ -A'^- 4-^ -^^) 8w ' 8ü '"8u? \8«i 8v8w '"8t* 8i?8t^ '"8m dvdw)
Setzt man die Werte (28) ein, so kommt (mit HinzufQgung der 2 analogen Resultate):
^1 = 0; /^2 = 0; ^3 = 0
Dies in Verbindung mit (29) zeigt, dass die Parameterlinien (u), (r), (w) sämmtiich Krümmungslinien, und zwar auf je beiden Flächen, die sich darin treffen, sind. Wir haben den Satz:
S. 9. Die, ein dreifach orthogonales System bilden- den 3 Flächouscharen schneiden sich gegenseitig inihren Krümmungslinien.
Wir sehen jetzt von der ersten Flächenschar ab und nehmen an, dass die Flächen v = const. und w = const. ein einfach orthogonale« System bilden, wählen aber auf ersteren die Parameter «, w?, auf letzteren t*, v orthogonal, während die Parameterlinie (u) beiden ge- meinsam bleibt Erstere Bedingung ist ausgedrückt durch
PiP^+^Qi+^ir^ = 0 (31)
letztere durch
Die Tangenten der Parameterlinien (r) und {w) fallen dann bzhw. zusammen mit den Kormalen der Flächen v » const. und w == const. d. h. es ist:
Hoppe: Principien der Flächentheorit. 261
(32)
dx dy dz
dx dy dz \
woraus nach (31):
dx dx ^^dy dy ^.dz dz dv dw *" 8ü 3m7 "• dt) dw **"
Die Differentiation dieser Gleichung nach u ergab oben Gl. (30). Wendet man anf sie die Proportionen (32) an, so erhält man:
wo
1 3a; 1 9a5
Pq Oiff p^ OD
gesetzt ist. Diese Gleichung zeigt, dass F^ nnd F^ nur gleichzeitig versehwinden können, und man hat den Satz:
S. 10. Ist die Schnittlinie eines einfach orthogonalen Flächensystems Erümmungslinie auf der einen Flächen- Bchar, so ist sie es auch auf der andern.
Sind femer a, b, c die Richtungscosinus der Tangente der Para- meterlinie (u), so ist
dx dy dz
"""^^du' ^^^du^ "^^^dii,
WO A; = 63— i, daher
da d^x ^^ dk dx
dw dudw *^ dw du
dxda ^^dy db ^^dz de 7 rr _i ^^
das ist ="0, wenn die Parameter orthogonal und i^=0 ist. Ebenso
hat man:
dx da , dy db , dz de ^
^ Q
dw dv^^ dw dv dw dv
Sofern beide Grössen null einander gleich sind, ist nach §. 15. die Bedingung erfüllt, unter welcher die Tangenten an die Parameter- linien (u) Normalen einer Fläche sind, und man hat den Satz:
S. 11. Wird eine Flächenschar von einer andern längs ihrer Erümmungslinien orthogonal geschnitten, so lassen sich beide von einer dritten Flächenschar orthogonal schneiden.
262
Hoppe: Principien der Flächentheorie.
§. 27. Mtttelpunktsflftehen in Beziehunsr za den Krflmninii^s- llnlen. Differentiirt man die Gleichangen der ersten Mittelpunkts- fläche (§. 18.) partiell nach den Formeln (5) und (19), so kommt:
du
(33)
8^ dudv
1 8pi8« , 3*p^ i Qidu 8tt "* du* ^ f
1 9£i dx , d^Qi Q2 du dv ~^ dudo^
i
(34)
8p«
= ~'2'eAv~fj£ + ^'£'^^"P
wo C, C" nicht in Anwendung kommen. Hieraus ergiebt sich:
Pi*i
8Pi
9y
nebst 2 analogen Gleichungen, denen zufolge
6a;
(35)
_i_ dx 1 dy
^* " "" y^ ät*' ^^ "" "" yl äi*'
1 dl
»•i = —
y edu
Die Fundamentalgrössen der Mittelpunktsfläche werben ihrer Definition gemäss:
dt» dl?
(
(36)
^ ~ \du) ' ^^~du y~Qj2Edo '
'.-(-^)'k(Äm-(ii')+'('-ä"
^1 - P, 8u ' ^^ - "• ^1-27; 8tt V qJ
Die Richtungscosinus der Tangente der Parameterlinie (u) auf der Mittelpunktsfläche sind:
(37)
1 dx^ _
1 hl
1 8gt
Dies längs derselben Linie b^ differentiirt giebt:
üoppt: Prinäpien der FlSchtnlhtorie.
Diese Gleichung zeigt, dass die Haaptnormale von «, mit der Fläcben- Dormale zuBammen&llt. Hieraus folgt, dass die Binomuüo von «, der Tangente der Parameterliiiio (r) parallel, and die Krümmung von «t die des berührenden Normalscfanittes ist.
Ferner ist
3»! = ye^ÖM = 5-^9« also
f, = 9i-|-con8t. (38)
Han kann daher die Gleicimngen der ersten Uittelpnnktsfläche (§. 18.)
anch schreiben:
dx, 1 = 1, — (»i ^ const.) g— ; etc.
Demzufolge ist die Erümmongstinie (w) die EyoWente der Cmre «i. Die Hanptresultate sind folgende.
S. 12. Jeder Krammungslinie auf der Urfläcbe ent- spricht ihre Evolute anf der zugehörigen Uittelpnnkts- fUche.
S. 13. Die Tangente der ErflmmangBlinie ist parallel der Normale der Mittelpunktsfläche, die ihrer Evolute parallel der Normale der Urfläche.
S. 14. Die Hanptnormale der Evolute ist Normale der Hfittelpnnktsfläche.
§. 28. Asymptotische Ltnlen. Durch jeden Punkt einer negativ gekrümmten Fläche geben 2 Normalscbnitte, deren Krümmung in diesem Punkte null ist. Asymptotische Linien heissen dann diejenigen Linien auf der Fläche, welche in jedem Punkte einen Nor- malachnitt von NuUkrümmung berühren. Hiernach schneiden sich in jedem Pnnkte der negativ gekrümmten FlAche 2 asymptotische Linien.
Wendet man den Meusnier'schen Satz, nach welchem
ist, auf die asymptotischen Linien au, so ist hier -• folg weder ?- oder cos 8 durchweg null, das heisst:
S. 15. Eine aeymptotiich oder ihre Hanptnormale, mi ebene berttbren die Fläche.
Die Bedingnng einer asymptol
Edu*+2Fdud
Sollen die Pusmeterlinien (u) wird die Bedingnng
£=-0,
Demnach treten in manchen For Insbesondere gehen in i. b. 6. die
t*dF JB^ 3A
FÜB~'-'\Bu~3i>)' Die KrQmmnng eines NormalHcIini
die Summe der Erümmangen zwe Nonnalschnitte
9 9 das Product der HauptkrOmmange
die einzelnen Hanptkrttmmnngen
die HanptkrammnogBricbtnngen
Die Boziehnng zwischen conjngirtoi die Werte k und k' bat, ist hier
Rnfipe: Principien der FJärhenthtarK. 265
Der DrehungBwinkcl v der Normale bei beliebiger Variation wird hier bestimmt durch
3v' = ^(«e«»— 2/3uSp+ff3B«) (47)
ihr DrehpanktsabBtand rom Panktc (xyi) ist
„ 2 t^duSe
"" Fedu* — 2/eu5r+ gSv* ^^'
ibre Gleitung längs der momontancu Botationsaxu, drron Achtung durch dt) = — i-?u ausgedruckt wird, oder der kflrzesto Abstand con- secoäver Normalen ist
Der TofBionswinkel einer Curve « wird hier
,.9+/f-*!!=»»f! <50,
Die asymptotischen Xinien werden am leichli'stfn aus den Krüm- mnngslinien, und diese am leichtesten ans jenen gcrmiden. Bezeichnet der Index 1 die Zugehörigkeit zu den ErUmmungslinien, so ist in den Gi. [2) E '^ 0; G ^ 0; Fj = 0 zu setzen-, mau hat also zunächst:
^8
>)Vc,(^y=o, ..(-.)-+«.g.)'-o)
9u, 9t4| fle, ?t>i
was anf die Gl. (39) führt, die hier lant«t:'
Wendet man statt dessen die Gl. (2} mit vertauschtoi an, so lauten sie:
3% öiij '' 9i
Atj 8di "■" 3ui 3p, "^
266 Hoppe: Principien der Flächentheorie.
9
§. 29. Kürzeste Linien. Ist « eine variabele Verbindungslinie zweier festen Punkte auf der Fläche, und bezeichnet ös die Variation ihrer Länge, so nimmt die Länge von irgend einem momentanen Werte s an momentan zu oder ab, jenachdem ds positiv oder negativ ist. Bei derselben Variation in umgekehrtem Verlaufe muss also bzhw. 8 von demselben momentanen Werte an momentan ab- oder zunehmen. Solange daher ös positiv oder negativ ist, kann s in entgegengesetztem Sinne variiren, mithin ist der momentane Wert nicht der kleinste. Folglich ist notwendige Bedingung einer kürzesten Verbindung zweier Punkte:
Stellt man s als Integral zwischen constanten Grenzen dar, so lautet die Gleichung:
Aus der Gleichung 8«* = Sx^-j-öy^+S«* findet man:
dsSds == dxöox-\-ByöBy'\'dzddz Ausserdem hat man:
(OX VV vZ \ iVX V V o z \
+ 87*^^ + 1^^^ + ^*^'
Integrirt man dies zwischen den Endpunkten von *, so verschwindet das Integral der Linken, weil x, y^ z in den Endpunkten unveränder- lich sind, desgleichen das Integral der Summe der 3 letzten Tenne, d. i. der Grösse dd« der Bedingung gemäss, und es bleibt:
P (d'^x d'^y d^z \
Die Bedingung, unter der die Linie auf der Fläche liegt, lautet:
pdx-\-q8y-\-röz = 0
Multiplicirt man sie mit A9«, integrirt zwischen denselben Grenzen und subtrahirt von der vorigen Gleichung, so kommt:
/|©-A.)a.+(g-.,)%+(g->^)«.}8.-o
Macht man einen der 3 binomischen Coefficienten, z. B. den von d« durch Bestimmung von l zu null, so enthält das Integral nur die 2 unabhängig variabelen da;, dy -, damit es also bei jeder Variation ver- schwinde, muss
Hoppe: Principien der Flächentheorie, 267
8*05 8*y 3*a
sein. Da die linken Seiten sich verhalten wie die RichtungscosinuB der Haaptnormale von «, so hat man den Satz
S. 16. Die Haaptnormale einer kürzesten Linie fällt zusammen mit der Normale der Fläche.
Offenbar ist jedes Stück einer kürzesten Linie auch kürzeste Linie zwischen seinen Endpunkten; folglich ist die Eigenschaft einer Kürze- sten unabhängig von den Endpunkten.
Femer bestimmt die Eigenschaft S. 16. eine Ciasso von Curven anf der Fläche. Denn diesem Satze zufolge sind die Kichtungscosinus der Hauptnormale gegebene Functionen von (u, v), also bleibt nach Elimination von w, v eine Relation zwischen ihnen übrig. In der Cnrventheorie (Bd. 56. S. 59. Aufg. 3.) ist gezeigt, dass durch eine solche eine Schar von Curven bestimmt wird, deren jede eine beson- dere Tangente hat. Ist also ein Punkt und in diesem die Tangential- richtung gegeben, so ist die Curve bestimmt
Wir betrachten nun die Kürzesten als definirt durch die Eigen- schaft S. 16., dann gehen durch jeden Punkt der Fläche Kürzeste in allen Tangentialrichtungen. Dies gestattet einige unmittelbare An- wendungen auf das Frühere.
Der in §. 7.. eingeführte Winkel S ist bei einer Kürzesten null; daher ist ihre Krümmung gleich der des berührenden Normalschnitts, ihre Schmiegungsebene dessen Ebene, ihre Binormale Tangente der
Fläche.
*
Nach S. 14. entspricht einer Krümmungslinie auf der zugehörigen Mittelpunktsfläche eine Linie von der Eigenschaft S. 16. Wir können daher jenen Satz so aussprechen:
S. 16. Die Evolute der Krümmungslinie ist Kürzeste anf der zugehörigen Mittelpunktsfläche.
§. 30. Orthogonal geodtttische Liniensysteme. Es seien jetzt die Parameterlinien («) eine beliebige Schar Kürzester; dann ist die Bedingung :
8 /9x 9t*\ r) fdy du\ 8 (dz du\
WO T den Krümmungswinkel bezeichnet, oder, da v constant ist:
8 (dx 8u\ du ,
268 Hoppe: Principien der Flnchentheorie.
d^x du 3w j^ dx du d du
du^ 8* 8t ' 9u 8t St* 8« "* ^ '
uX
Multiplicirt man mit w-* so ist die Summe der 3 Analogen:
{:
df i^^\^\_ ^ du dt^'^^dijds + ^d^ds^^
Wird nun die Schar der Kürzesten von den Parameterlinien (t?) recht-
dfi winklig geschnitten, ist also / = 0, so erhält man, weil k- nicht null
sein kann:
öv
folglich ist e Function von u allein. Man kann nun für du substi-
du tuiren -7- ; dann wird
\du) + \du) + \du) ~
und der neue Wert von e ist 1, also
und die Gleichung für das Linienelement lautet:
8,8 = du^+t^dv^
Die Elemente der Parameterlinien (u\ (v) sind hiemach 8t* und tdv; diese sind die Seiten des rechteckigen Flächenelements tdudv.
Ein Stück der Parameterlinie (u) zwischen u = uq und u^ ist also
f du^ Uj — Uo
Läbst mau diese Linien bei constanten uq und v^ mit v variiren, so bleibt ihre Länge constant, während ihre Endpunkte auf 2 Parameter- linien {v) fortrücken, und misst deren kürzesten normalen Abstand auf der Fläche. Demnach sind die Linien (t?), welche die Kürzesten (u) rechtwinklig schneiden, Linien constanten normalen Abstands, und heissen als solche geodätische Parallelen. Das System beider Scharen nennen wir ein orthogonal geodätisches und ebenso die Parameter. ,
Setzt man bei Annahme orthogonal geodätischer Parameter u, v stets
SO werden die Formeln von §. 22.
Hoppe: Principien der FlächentheorU, 269
8t;«~""'au8u+tavfc+^
3p „Sjc Fdx
9u du t^ dt7
3p 3a5 ö 8«
dv du t^ dv
(53)
(54)
ÄÖ-^^-tg^ (55)
dv du t du
(56)
— — — = /^A^ 4-^^ _:^8t 8m cv \ * t ) du t dv
Der Torsionswinkcl einer Kürzesten wird:
^^ r F(du^-t^dv^) + (G^t^E)dudv
J «Väi?+728t? ^^^^
der Torsionswinkel der Parameterlinie {u):
PFdu ^=J — (58)
§. 31. Bifferentialgrlelebungr der Kflrzesten. Die Parameter
seien orthogonal geodätisch. Für eine beliebige Kürzeste s sei
dv ' .
w- = h\ dann ist cu '
8^ , 8a5 dx 8tt ' dv
oder, wenn man
setzt:
3« Vi + <^Är«
«A;=tg|^
8ir 8« j^SaJsinft
ds du ^^^ dv t
Dies nochmals längs s differentürt giebt mit Anwendung der For- meln (53):
270 Hoppe; Principien der Flächentheorie,
d^X p „ o , «A8*8« I „ \8inftC08U
, / dt dx . 1 dt dx . _ \ 8in*f4 dx du . dx d /sin fi\
dx Multiplicirt man mit 0- und addirt die Analogen, so kommt nach
Division durch sin^:
?ft ds dt
sinfi t du
(59)
Dieselbe Gleichung erhält man auch bei Anwendung des Multiplicators
dx
K-. Der Multiplicator p giobt nur die allgemein gültige Gleichung
I. (31). Folglich vertritt die Gl. (59) alle Bestimmungen. Ihre An- wendung setzt die Kenntniss einer speciellon Schar Kürzester voraus ; durch ihre Integration findet man das vollständige System aller Kür- zesten auf der Fläcbe.
§. 32. Geodätische Polarcoordlnaten. Orthogonal geodätische Liuiensysteme können dreierlei Form haben, jenachdem die Schar der Kürzesten ohne Durchschnitt neben einander besteht, oder von einer Curve eingehüllt wird, oder von einem festen Punkte ausgeht Die Bedingung der 2 letzten Fälle ist nach §. 20., dass pr, oder hier <, bzhw. längs einer Curve oder in einem Punkte verschwindet Im letzten Falle verschwindet t unabhängig von », also für einen con- stauten Wert u = c und, nach Substitution von U'\-c für m, für tt«=*0. Ist letztere Anordnung getroffen, so drückt u den kürzesten Abstand eines beliebigen Punkts vom festen Punkte längs der Fläche, d. i. den geodiitischen Radius vector des erstem aus. Der Winkel, den ein variabeler Radiusvector mit einem festen bildet, ist dann Function von ü, lässt sich daher selbst zum Parameter v nehmen. Die Para- meterlinien (r) werden concentrische geodätische Kreise mit dem Radius u. Die Länge eines solchen Kreisbogens ist ^ ftdv\ für un- endlich kleinen Radius, wo der Kreis eben wird, muss er aber ^fudv sein. Folglich ist die Bedingung, unter der v jenen Winkel, d i. das geodätische Azimut, darstellt:
lim^ = l (60)
und das Verfahren bei Ermittelung des Parameters folgendes. Man berechne ftlr verschwindendes u
t f(v) =r lim - und
»'=//(t.)ar
Hoppe: Principien der Flächentheorie. 271
dann entspricht den Parametern m, v' der Wert
daher ist
t^ 1 t
lim - = TT-x lim - = 1 u f{v) u
folglich ist »' der gesuchte Parameter.
§. 33. Conforme Ahbildunsr der Fliehen auf der Ebene. Eine Fläche wird als Abbildung einer andern betrachtet, wenn man nach irgend einem Gesetze jedem Punkte der einen einen bestimmten Punkt der andern entsprechen lässt. Die entsprechenden Punkte und die von ihnen entsprechend erzeugten Linien heissen dann die Abbil- dungen von einander. So ist z. B. die Indicatrix der Normale die Abbildung derjenigen Curve auf der Kugel, welche der Fusspunkt durchläuft; das Gesetz ist hier die gleiche Richtung der Normalen. Analytisch ausgedrückt wird die Abbildung, indem man beide Flächen in denselben Parametern darstellt, so dass die Punkte (uv) sich auf beiden entsprechen.
Das Gesetz der con formen Abbildung ist die Aehnlichkeit der Flächenelemente. Alle Elemente der einen Fläche sind den ent- sprechenden der andern ähnlich, wenn die von jedem Punkte aus- gehenden Linienelemente
auf der einen den entsprechenden
auf der andern proportional sind, wenn also
ig = e ifig ist
Das Problem der conformen Abbildung besteht also ursprünglich in folgendem. Zwei Flächen, O und <l>'\ sind jede in besondern Parametern (m, v) und (w", v") gegeben, wodurch (c, /, g) und (c", f^'i g") bekannt sind. Die Parameter der einen, welcher man will, z. D. u, r, kann man beibehalten. Dann soll man gemäss den Gl. (1), angewandt auf <I>", von den Parametern (u", v") auf die Parameter (»', »') übergehen, wo
e' = mö ; /' = fnf\ / = mg (61)
zu setzen ist, so dass nach Elimination von m zwei Differential- gleichungen zur Bestimmung von u\ r' als Functionen von u", v" zu integriren bleiben. Ist dies geschehen, so hat man:
tt' «- u; ü' « V
272 Hoppe: Principien der Fiächentheorie.
Das Problem lässt sich aber in 2 einfachere zerlegen. Man kann erst die Fläche (P auf der Ebene, dann diese auf der Fläche <P" abbilden. Da überdies ein Parameterpar willkürlich ist, so nehmen wir auf der Ebene cartesische Coordinaten u^ v zu Parametern. Dann handelt es sich nur noch um folgendes Problem. Eine Fläche ist in beliebigen Parametern gegeben ; man soll diejenigen Parameter finden, welche bei conformer Abbildung auf der Ebene in cartesische Coor- dinaten übergehen. Den cartesischen Coordinaten als Parameter der Ebene entsprechen die Fundamentalgrössen
daher ist nach (61) die Bedingung:
Hiermit sind wir zu einem neuen Liniensystem gelangt, das wir abkürzend das Abbildungsliuiensystcm nennen können. Die Parameter heissen dann Abbildungsparameter. Dabei ist jedoch zu bemerken, dass die das System bildenden Linien, jede für sich, ganz beliebige Linien sind, und nur ihr System die besondere Eigen- schaft besitzt. Das System ist bestimmt, sobald man auf der Fläche 2 sich rechtwinklig schneidende, sonst beliebige Linien als erste Puil- meterlinien angenommen hat.
Die Formeln von §. 22. gehen hier, wo das Linienelement
ist, in folgende über:
du^ " 2t \dudu^ de de) ■•" ^'
d^x 1 /9t dx ^^ et dx\ j^ \ ,g2\
di^^2t\?cdu^dudo)'^^P ( ^
d^x 1/ dt dx dt dx\ dv^'^ 2t\diidu'^ dvdc)'^^^
dp 1/e»^^ I r»®*\
d^-^^-lK^du-^^di)
du tVdu + ^dv)
(63)
„.„_.,+^.+g,_l{(*)-+(|)>o <«,
Hoppe: Principieu dtr Flächenfheorie. 273
BE_^ Bf E-\-G dt
de du 2t dv
dO^dF E+Gdt
du de 2t du
\
(65)
Ein besonderer Fall der conformen Abbildung ist die Abwicke- lung; hier sind die ähnlichen Flächenelemente congment.
10. Besondere Arten von Flttelien.
§. 34. Abwickelbare Flüchen. Im folgenden soll von Flächen gehandelt werden, die auf Ebenen abwickelbar sind. Man nennt solche gewöhnlich schlechthin abwickelbare Flächen.
Betrachtet man die Ebene , der xy als die Fläche , auf welcher die Abwickelung geschieht, und nimmt die cartesischen Coordinaten a? = «*, y = r zu Parametern, so wird
ds^ = dx^ + dy^ = du^ + dc^ also
e = l; /•=0; g = 1', «==1 (1)
d'^x d X d X Femer werden auf jener Ebene k-^- frj)'" o^ä» etc. null, daher
i5 = 0-, F=0; 6? = 0 woraus :
EG — F^=0 (2)
Nach §. 17. müssen die Gl. (1) (2) auch für die auf der Ebene ab- wickelbaren Flächen gelten; folglich ist hier
1 EG-F^ _
Hiernach ist immer eine von beiden Hauptkrümmungen null; wir setzen :
1 = 0 ■
9i
Ist aber die Krümmung eines Normalschnitts null, so ist es nach §. 7. auch die Krümmung jeder denselben berührenden Curve, in unserm Falle also auch die Krümmung der ersten Krümmungslinie, und zwar in ihrer ganzen Ausdehnung, weil Gl. (2) für alle Punkte gilt; d. h. die erste Krümmungslinie ist gerade, und man hat den Satz:
S. 18. Jede Abwickelbare wird von einer Geraden erzeugt, und diese ist Krümmungslinie auf ihr.
TeU LIX. 1 8
274 Hoppe: Princlpie.n der FlärhenthforU.
Feruer hat eine Normale, welche längs einer Krümmuugslmie gleitet, nach §. 25. entweder constante Richtung oder einen Coineidenz- punkt. Das letztere ist hei der geraiien Krümmungslinie nicht mög- lich, weil sie selbst den kürzesten Abstand der consecntiven Normalen misst. Folglich ist die Richtung der Normale constant Hieraus folgt weiter, dass die Fläche längs der geraden Krümmungslinie eine einzige Berührungsebene hat. Variirt dann der Punkt (x$/z) transversal, so kann die Berührungsebene nur um die gerade Krümmuugslinie rotiren ; diese bildet dann ihre Coincidenzlinie und hat entweder constante Richtung oder einen Coincidenzpunkt. In beiden Fällen ist die Ur- fläche Einhüllende einer mit einem Parameter varürenden Ebene, und zwar kann sie als solche dreierlei Form haben: jenachdem die gerade Krümmungslinie constante Richtung oder einen festen oder einen variabeln Coincidenzpunkt hat, ist die Fläche cylindrisch, konisch oder Tangentenfläche.
§. 35. Tangentenflftehe. Die Gerade
variire mit 0; dann hat sie einen Coincidenzpunkt, wenn
a Ba da
b Sb dß =0
c de 8y
ist. Wenn wie wir annehmen nicht a, &, c constant sind, so ist die Gleichung identisch mit den dreien:
da = adk'\-fida'^ dß = bdl'\-fidb'^ 3y = c3il-)-fi3<?
woraus:
dx dx dk . da ^ ...
g^ = a; ai = «g^ + (^ + «*)ä;; etc. (4)
Sind a, 6, c die Richtungscosinus der Geraden, so findet man nach I.
Gl. (3):
dk
Sollen die Parameter u, o der erzeugten Fläche orthogonal sein, so bat man dA = 0 zu setzen, und erhält:
8« =« fi9a; dß = fi8Ä; dy = |*8<? (5)
dx d(i
g^ = (^ + tt)g^; etc. (6)
Der Drebungswinkel der Erzeugenden ist Function von r; daher können wir ihn -= v setzen; dann wird
3p»»3a*4.ai*+3r* (7)
folglieh
e = l; /=0; g^(^-i-u)*; l = ,^ + u (8)
Es zeigt sich, dass Aie Parameter orthogonal geodätisch sind.
Feraer liDdet man:
p(^(^ + «)' ,; etc.
p-\ li et«- I Bei
Eine zweite Differentiation der 61. (4) (G) giebt:
woraus :
wenn wir zur AbkQrznng
de 8'c\
setzen. Demnach sind die Parametcriinicn auch Krttmmungslin daher die Haoptknimmongen :
1_ JJ 1 ff _ _!!_
gl" e ^ ' Cs°" ff "^ H + u Der Drehpunktsabstand der Erzeugenden ist
~ Sc» - — f»
Tolglich sind die Coordinaten dus Coiucidenzpunkts :
276 Hoppe: Principien der Flächen fhfiorie,
oder
0*0 *=» ffi da — fia = — fa 8fi ; etc.
Dieser erzeugt bei Variation von », wofern er mit variirt, die Eio- httllende der Geraden (3), die Gratlinie sq der Abwickelbaren, und zwar ist
Btq = — öSft ; Ssq = — 8ft ; ^ ~ = a
also
Dies eingeführt in (3) giebt:
OSq
das ist für constantes u die Gleichung einer Evolvente von «q, fiOr constantes v die der Tangente. Es hat sich ergeben:
S. 19. Die Krümmungslinien einer Tangenteufläcbe sind die Tangente und die Evolvente ihrer Gratlinie. Dieselben sind zugleich orthogonal geodätische Para- meterlinien.
Ferner ersieht mau aus (7) '(4) (9) (11), dass r der Krümmungs-
Winkel, a, b, c die Richtungscosinus der Tangente, g-. o~' g- die der
Hauptnormale, /?, g, r die der Binormale, V das Krümmungsvcrhfiit- niss, also fVdc der Torsionswinkel der Gratlinie ist Geht man also von der beliebigen Curve «o a^^s, und lässt deren Tangente die Ab- wickelbare erzeugen, so folgen die Bestimmungsstücke der Fläche unmittelbar aus denen der Curve.
§. 36. Abwickelang der Tangeuienflüche. Um die Tangenten- iläche auf der Ebene abzuwickeln, haben wir nur diejenigen Parameter Uj, i?i zu suchen, welche nach Abwickelung in ebene cartesische Coor- dinateu übergehen. Nach (1) entsprechen diesen die Werte:
ei-9i = h^l', f,^0 (U)
Gehen wir also von den Werten (8) aus, so werden die Transforma- tionsformeln II. Gl. (1):
du dv ' 3u do
Hoppe: Priaci/iieii dtr ftächenlhtOTie.
|
und lassen sich erfttUoD darcb |
|||
|
S? - ■»»»! |
8., 8."- |
(f. + u)BiQK |
|
|
1?-... |
1?- |
. (fi + 1»)C0BX |
|
|
EUmimrt |
man ui aad Pj, so |
kommt: |
— s-Bin» = sinx+((t-l-«)g-c08« worsHB :
K = i — p, WO i tonstant. Dies eingefahrt in (15) giebt :
Brj =— 8a8m(d— p)+(f»4-M)3pco8(6 — p) und nach Integration i
u, =«cos(a — r)4-/f.3c8in{*— p) 1 r,=-«sin(d-r)+/^8i.C08{tf-P) I
Hierdurch ist für jeden Punkt (up) der Taugen tenflacbc der Punkt (u,r,) auf der Ebene bestimmt.
Dieselben GleicbuuReu löaou glcich7.eitig das Problem der KOrze- st«n. Denn da die Farameterlinien <u,) aad (rj) auf der Ebene Gerade, d. i. Kürzeste sind, so sind sie es auch auf der Abwickel- baren; und da jede Gerade auf der Ebene fUr irgend welche Werte Ton i und «, mit der Pametcrlinic «i = const. identisch sein muss, ' so ist erstlich jede Kürzeste auf der Tau^entcnälLche durch eine der Gl. (16), und jedes orthogonal geodätische System durch beide Glei- cbnngeu dargestellt. Ucberdies ist bemerkeuswert, Kürzester sich rechtwinklig schneiden, folglich bc parallel sind, was, wie leicht zu sehen, ausscb der Abwickelbaren ist, sofem dazu die Gl. (14) i
Die Abwickelang vertritt zugleich die confori
g. 37. Konisehe und cjlindrlscke FIXche. raden (3) eine konische Fläche, so sind a, ß, y
278
Hoppe: Pi'incipicH der Mächentkeorie.
ist dann f& » 0; im übrigen bleibt alles, ausgenonnncn das auf die Curvo 8q Bezügliche, in unveränderter Geltung.
Im Fall einer cylindrischen Fläche, wo a, i, c constant, kann r seine Bedeutung nicht behalten. Setzen wir statt dessen
so wird
ap2 = 8«2+aj32+ay«
mit der Bedingung
dx dx 8a
du ' dv Sv
«1; /==0; 17 = 1; < = 1
ada-^-bdß-^cdy = 0 oder oa+Ä/5-f-c/ == const.
welche dadurch zu erfüllen ist, dass man den Ausgangspunkt der Ge- raden (ctßy) in ihren Durchschnitt mit einer Ebene normal zu ihr legt. Dann sind m, v die Parameter, welche nach Abwickelung in cartesische Cpordinaten übergehen, und zwar bedeutet v einen Bogen der Cui've, welche der Punkt (ttßy) erzeugt, und welche die Basis der cylindrischen Fläche heisst, und u den normalen Abstand des Punktes (uv) von der Basis. Femer ist
E
|
* dv |
||
|
p — pt = |
[\ etc. |
|
|
8« 8*« dv dv^ |
||
|
0; F«0; (? -== |
dß S»ß " 8p Öp» |
|
|
dy d*y de 8p* |
Die Determinante entwickelt giebt:
G = {al-^hm-^-cn)
8t
wo T Krtimmungswinkel, i, /», n Richtungscosinus der Binonnale der Curve r, also identisch mit «, ä, c sind. Daher hat man:
G
G ^ 1^ _ 8t g ^ 92~ dv
h. die zweite Hauptkrümmnng ist die Krümmung der Basis.
Hoppe: Principien der Flächentheorie. 279
•
Die in §. 36. behaudelte Aufgabe lässt jsich in analoger Weise
bei der cylindrischcn Fläche durchführen, wo nur 1 statt u+m zu
schreiben ist, und man findet als allgemeinste Parameter, und zugleich
als Gleichungen der Kürzesten und der orthogonal geodätischen
Systeme :
t*| «= MCOSx-f-t?sinx
Vi = — ttsinx-f-t?cosx wo % constant.
§. 38. Fl&ehen eonstanter Krümmung. Die £j-ümmung einer Fläche sei constant =» k\ so dass h bei negativer Krümmung imaginär zu denken ist. Führt man orthogonal geodätische Parameter u, v ein, 80 ist nach n. Gl. (55)
,, EG — r* \^H
^ = — ir-=-78;r» oder
Dies integrirt giebt:
«= Kco5ifcu+ F, sin fett
wo F, Fj Functionen von v sind. Machen wir nach §.31. m, » zu geodätiBchen Polarcoordinaten, so muss für verschwindendes u
lim- «1 u
sein; dies giebt: und man hat:
Für eine beliebige Curve b auf der Fläche hat man jetzt:
a,» = au»+(?^at.y' (i8)
Soll nun diese Curve Kürzeste sein, so ist, wie in §. 29. erklärt, die Bedingung :
0 =/aa, = \ r -.^^ 8Sv
du sin»*« [gf
Integrirt man teilweise, so wird dv Factor des integrirten Teils. Werden die Endpunkte des Bog^s s als fest angenommen, so ver- schwindet jener Factor an beiden Integralgrenzen, und es bleibt:
280 Hoppe: Prindpien der Flächentheorie.
0 = Sivd • ^"
Soll dies bei jeder Variation stattfinden, so muss sein
also, wenn c eine Constante bezeichnet,
sin*A;tAg- = sinA-c 1/ A;^ + sin^A;« ( x- 1 woraus:
a„ ^^e'± — ^ (19)
sinArwy sin^Ä?ft — sin^Ärc Setzt man
COS^*U = COSX^COSM? (20)
so wird der Ausdruck:
P sin/rc dw
~~ i — COS^Xrc COS^M?
und giebt nach Integration:
tgw = sinÄrctg(r4-i3) (21)
Eliminirt man w mittelst (20), so kommt:
tg^-tt cos (r + /?) = tgifcc ' (22)
Eliminirt man, um einen Bogen der Kürzesten zu berechnen, dr zwischen (18) und (19), so findet man:
8, = _^t^Jt^. (23)
ysin^Ä^ — sin^A;«?
und nach Integration:
cosÄrw = cos Ä-c cos ^• («-[-*) (24)
Dies verglichen mit (20) zeigt, dass
daher ist nach (21)
igk(8+h) = ^nkctg(r-\-ß) (25)
und in Verbindung mit (24) (22)
Hoppe: Prindpien der Flächentheorie. 281
^k(8+b) = tgkc coskuig(e+ß) (26)
Bmk{s+b) -= sukkusin(v+ß) (27)
Uotersacht man noch den Winkel ^ zwischen 2 Kürzesten s, 8\ 80 ist nach I. 61. (4)
€08 d =
du du
Greht die zweite Gune vom Punkte u » 0 ans, so ist s' identisch mit dem geod&tischen Radinsvector u, also
Dies giebt:
also vermöge (23):
au "' 8u — '
cosd = 1:5-
OU
Für M = c, d. i. nach Gl. (22) für p = — ß, ist daher ^ ein Rechter. Hieraus erhellt die Bedeutung der Constanten. Der Winkel © = — 13 bestimmt die Richtung, der Bogen c die Länge der geodätischen Nor- male vom Punkte u = 0 auf die Kürzeste «. Was b betrifft, so können wir festsetzen, dass s zugleich mit r verschwindet Da nun nach (24) für u = <? die Grösse *= — b wird, so bezeichnet b das Stück der Kürzesten von t? =» — jl? bis r « 0.
Jetzt bildet u die Hypotenuse, c und S'\-b die Katheten eines geodätischen rechtwinkligen Dreiecks, in welchem v-^-ß der Gegen- winkel von «-|-^, und d der von c ist Die Relationen zwischen den ersten 4 Stücken sind:
COSAru = COSlcCOSk(if~\'b) (29)
sin hi cos (r + ^) = sin kc cos ifc (* -j- ft) (30)
smkusm(v^-\-ß) = siak{s-\-b) (31)
Bezeichnet a den Wert von u für r = 0, so bilden die 3 Kür- zesten u, oifks ein beliebiges geodätisches Dreieck. Die Gleichungen gehen für r = 0; « = 0 über in
cos Ära = COS/TCOSArft j
sin ka cos ß « sin kccoskb ) (32)
sinArasin^ « B\nkb ^
282 Hoppe: Principien der Fiächen(heorie.
Die Gegenwinkel der Seiten a nnd u sind & und der Nebenwinkd dessen, in welchen ^ für r = 0 tibergebt Letzteren dnrcb y be- zeichnet, bat man nacb (28):
sin ^ sin ÄTM = sin kc ) «.
sinysinÄa = sin^*t• /
Die Gl. (24) (27) (28) bleiben dieselben, wenn man s+b mit c und v+ß mit ^ vertauscht Gl. (30) ist die Folge von (24) und (27), daher besteht sie auch nach jener Vertauschung, und man hat:
sinil*ucos^ « cos itc sin A; (*-)-*) und für r = 0 — sinAracos y =» cos^•csin^•6
Eliminirt man die Stücke &, o, /3, welche nicht zum Dreieck (usa) gehören, so erhält man:
smku siu ks
|
siny |
sini? |
||
|
cos ks |
= |
cosp-f-cosycos^ |
|
|
siny sin >& |
|||
|
cosA;« — cositacos |
ku |
||
|
cos V |
sinA;asinA:u |
(34)
übereinstimmend mit den Relationen, welche an einem Dreieck auf der Kugel vom Radius r stattfinden.
§. 39. Problem der Darstellung der Fl&ehen constanter Krflni' mung In Coordlnaten. Um die durch die Werte von e, f^ g be- stimmte Fläche constanter Krümmung in Coordinaten darzustellen, ist das System von Gleichungen
dx dx ^^dy hy ^^hz hz
hu dv "^ du dv du de
zu integriren. Erfüllt man sie durch die Werte
dx dx %\VLku
g- «= — sin^siuficos A — cos^sinil; ^ -^ — r- cos/jj^sA
g- =. — sin^sm^smA-f-cos^cosA; ö"~ = , cos/üsmA
d* , ^ da siaku .
R- — Bm^cosu: ö- «=" "-,--sintt
Hoppe: PriiidpUn fier l'lächentheorie, 283
and olemiuirt dnrch partielle Differentiation x, y, z^ so erhält man 3 Gleichungen, deren erste zwei sich leicht zu zwei einfacheren ver- binden lassen, so dass sich ergiebt:
^f , B& . dl\ . , ^ dfi , , sin^-u . 3^ cos^ I smfiK — |-g-|+sindcos^ g- = — cosArwcosfiH t~ sin^ig-
sin^(^3^+sm^g^j « - -^-cosii^^ (35)
a^ . « . S/* , . . 8inÄ?u dfi. „3^.
cos^cosftg- — sin^sm|ü ^- = cos^*usmfA-|- , cos/* ^ (oo;
Auch von diesen verbinden sich wieder die erste und dritte zu folgen- den zweien:
cosdcosfAg +8in^g- = — cosA;tt
(37)
deren erstere mit Gl. (35) ergiebt:
cos(>co8fig^+8in<>g^ =- 0 (38)
Die letzten 2 Gleichungen umfasst die folgende:
cos ^ cos fi 3X4" sin ^5^+ cos ^r = 0 (39)
welche nur noch mit Gl. (36) zu verbinden ist, um sämmtliche Be- stimmungen für A, ^, d zu enthalten.
Gl. (38) zeigt, dass, wenn eine der Grössen A, fi unabhängig von tt ist, die andre es auch sein muss. In diesem Falle geben ^e Gl. (35) (37) übereinstimmend:
^ 8i»f*g^» also ^=-1*1 — rj (40)
^0 M, Function von «, und
tj =- /siuftöA
Function von r ist. Gl. (36) wird alsdann:
1 8 (sin («1 — Vi) cos f*)
|
oder, |
wenn |
cos^ man |
sin |
f* |
de |
|
|
3 (cos Fl ( dv |
:OSfi) |
= |
— |
csinysiiifi 1 |
||
|
S (sin r^ cos fi) dv |
== |
— |
. ( ccosysiHfi 1 |
(41)
284 Hoppe: Principien der Flächentheorie.
setzt:
cosiku =» cco8(Mi+y) (42)
Hieraus erhellt, dass c und y, weil sie nicht von u abhangen, Ober- haupt constant sein müssen. Die 61. (41) geben, entwickelt, die W^le:
g^ = csin(p,+y); g^ = — cco8(ri+y)tg^
woraus durch Integration:
cos fi cos (rj + y) « sin «
cos fi sin (r^ + y ) = cos « cos (er + ß)
sinfi = cos« sin (cu-f/J)
Jetzt ist nach Gl. (40)
SlUfi
und man findet nach Integration mit Hülfe der Relation zwischen m
und v^i
cos(ri + y)cosfi = sin«
cos (üt+y) sinfi = cosacos(il-|-€) sin(Pi + y) = cos«sih(il-l-f)
Hier sind a, /5, e die Constanten der 3 successiven Integrationen. Führt man nun die Werte der partiellen Differentialquotienten der Coordinatcn mittelst der gefundenen Relationen auf u und v zurttcfc so ergiebt die Integration der Ausdrücke von 8j-, 8y, dz ohne Schwie- rigkeit:
tt\T\Jg%l
X = — r-J8in€sin(cr-}-i^) — 8inacosscos(cu+/3)( — UjCosacos«
y= — r;— (cosfsin(ctJ + ^)4-siu«8in6COS(cr4-i^)}+«*iCOS«8in«
%\tku . , /,. ,
» = — — jr-C08acos(cp-t"P) + **28ina
WO zu Abkürzung
M« = /sin(ui + y)ött
gesetzt ist. Verbindet man die 3 Coordinatenwerte wie folgt
( — arcosf+ysinOsin« — »cos«
xWki'\-yzo^t ( — a;co8«-|-ysine)cosa+2sina
so stellen diese 3 Grössen die Coordinaten desselben Punktes ftr
Hoppe: PrinapUn der FlSehentheorie. 285
andre Lage der Axen dar. Bezeichnet man sie wieder mit a;, y, 2, so werden die Gleichungen der Fläche:
sinAru ^ , . sinku , ^ , ^, ,^^^
ar=- ~^C08(c»+/J); y « -^- 8in(cr+/J); 2 = 14, (43)
das sind die der Fläche, welche die ebene Cnrve
sinÄrti ^
x= ^^ ; y «0; » « t*,
bei Rotation um die z Axe beschreibt Für den Fall c » 1 wird nach (42)
cosiku
«*i+y = ^; also u,« j^
und die Werte (43) ergeben:
x»+y*+>* = l.
Die Fläche geht alsdann, wofern Ic^ positiv ist, in eine Kugel vom Radius t über. Da nun nach §. 17. alle Flächen, welche gleichwertige
e,/, y haben, auf einander abwickelbar sind, so sind alle Flächen constanter positiver Krümmung auf einer Kugel abwickelbar. Doch bemerkt man leicht, dass nicht die ganze geschlossene Fläche die ganze Kugel bedecken kann, sondern entweder, für c>> 1, nur einen Teil derselben, oder, für c<ll, die Kugel zum Teil mehrfach bedeckt.
J. 40. Kleinste Flftehen. Bedingung. Es ist die Aufgabe, unter allen Flächen, welche von derselben geschlosseneu Linie begrenzt werden, die kleinste zu finden. Diese kleinste Fläche hat dann der Bedingung zu genügen, dass sie bei jeder unendlich kleinen Verschie- bung ihrer inncru (nicht zum Umfang gehörigen) Punkte wächst, dass also ihre Variation nie negativ ist Dann kann aber die Variation auch nie positiv sein, weil sie sonst bei rückgängiger Verschiebung negativ wäre. Folglich ist die Variation der Fläche
SSI = öfftdudv :=ffdidudv = 0 (44)
Berechnet man 6t aus L Gl. (10) (3), so findet man:
gSe—2f6f+edg
9t
U%+'.»%+«'^ + M.4+ !»%+«.»%
WO
286
Boppei Principien der Flächenthttorit.
1
t
8. 8i^
L, =r
|
dx |
||
|
1 |
'du |
1 |
|
( |
.3f |
8y
8;«
&•■
8y
8u
(45)
und die übrigen Coeffideaten analog bestimmt sind, oder:
-i^i+'^)>'At+'^y'-{
du
+ 'S) "
Führt mau diesen Wert in (44) ein und iutcgrirt den ersten Term zuerst nach u Inder Ausdehnung, in welcher die Parameteriinie («) innerhalb des Flächenstücks Sl liegt, so werden die Grenzen entweder die Durchschnitte mit dem Umfang, in welchem da:, öy^ öz null sind, oder, falls die Parameteriinie in sich selbst zurückläuft, ein und der- selbe Punkt dieser Linie, also Ldx'\-M6y'\-Nöz für beide Integrai- grenzen dieselbe Grösse. In beiden Fällen verschwindet der Ausdrack schon nach erster Integration. Dasselbe gilt vom zweiten Term, wenn man ihn zuerst nach v integrirt. In den übrigen Termen sind die Factoren dar, d^, 6z für alle Flächenelementc unabhängig willkürlich« Daher kann das Integral nur null sein, wenn es die Coefhcieuten der Variationen sind, und man erhält:
du^^ dv
8iV 8A^_ ' flu ' 8v
(46)
Setzt man für I», L^ die obigen Werte und führt die Differentiation mit Anwendung der Formeln I. Gl. (19) aus, so kommt:
»f+?£-=-(«+^.,p,-(i+i)^
und die 3 Gl. (46) reduciren sich auf die eine:
(47)
Es hat sich ergeben:
Qt Q2
0
(48)
S. 20. Auf jeder kleinsten Fläche ist durchgängig die Summe der Hauptkrümmnngen null.
Hoppe: Principifn der FläcHenthtorit. 287
Durch diese Eigenschaft wird eine besondere Art Ton Flächen definirt, welche, wenn nicht ausschliesslich, jedenfalls alle kleinsten Flächen in sich begreift. Da offenbar jeder Teil einer kleinsten Fläche selbst kleinste Fläche in seinem Umfang ist, so ist der Begriff von der Begrenzung unabhängig.
§. 41. Darstellung der kleinsten Fl&ehen. Löst man die Glei-
OX vX
chungen I. (19) nach n~- ^ auf, so ergiebt sich:
Bit dp . dp dx dp . dp
8t* du' 8t7 ' 8i> du*~ dv
wo
P^ — KJy; Q = KH^ ; R^ KJ-, 5 = — KH (49)
1
K
QiQ%
gesetzt ist, Formeln die gleicherweise für die y und z gelten. Setzt man
p = siniACOStr; q = sinusinc;; r =« cosw (50)
und wendet auf die so definirten Parameter u, v die obigen Formeln an, so lauten diese:
dx ^
K- = Pcostecost; — Qsinusinv
dx
ö~ =" -ßcoswcosr — /Ssiniisinv
cv
oy dy
dz
d'u^- ^s^^^
dz
KT «=■ — Äsint*
Eliminirt man durch Differentiation x^ y, «, so findet man:
(dp 8ä>
(51)
(dp dR\
\dv "^g;7)co8M-f-(Ä— Q)sint* = 0
(dQ dS\ , , ,
Vä^ "" 8jJ8in~+(^-Ä)cosu = 0 (52)
(SP dR\ .
I K- — ö— I SIUM — Äcos« = 0
288 Hoppe: Principien der Flächentheorie,
Die erste und dritte Gleichung lassen sich verbinden zu
dP dR ^ ,
g— — gI7 '^ QsinucosM
Ä « Q 8in«tt und nach Elimination von R zu
K~ « g— 8inn*4-3Q8muco8w
Dies lässt sich auch schreiben:
dp 1 a(Qsin»u)
oder, wenn man
dv sin u du
= dw (53)
smu
das ist
1
sinu
cos iw ; cot u =r t sin iw (54)
setzt:
a(PsinM acQsin^u)
dv dw
eine Gleichung die allgemein befriedigt wird durch
dT dT
Psin'H« = Q— ; Q sin*u = ^ - (55j
Jetzt bleibt noch Gl. (52) zu erfüllen, die wir mit sin^u multipiiciren und folgendermassen schreiben:
^ ' g^^ |-(i^+S)8in»uC08tt « ü
Hier ist nach (49)
das ist auf kleinsten Flächen null ; daher geht hier die vorige Gleichung über in
a(Q8in»u) , 8(PsinM
dt;
+ — -ä:.— ^ = 0
FIT
und nach Einführung der Werte (55) in
dv* + dw* * ^
(56)
Hoppe: Principien der Flächentheorie, 289
Das Integral dieser Gleichung ist:
2* = 9 (t? -f- »w? 0 "h vC«» — »w?» — ») woraus nach (55):
Psin^M =« »g)'(t?4-iir,/) ~.,y (v— tti^,— »)
Qsin^ = JBsinu = g)'(t>4-»«'»»)+9'(t>— »"^, — 0
Dies in die Gl. (51) eingeführt giebt:
dx .
•K- =» sin (t> 4" »«^) ^'(^ "f" *w^» 0 + ^^J •
dx
g^ « — sin (t>+»iü) tp\v-\-iw, i) + coig.
Ä— = — »C08(t? + »»^)9'(t' + «^?04"CODJ.
g— =» cos (t> -(- IM») tp' {v 4- »'«?? 0 + coiy .
hz
g- « — <3p'(t,-f- ;«?,»)+ conj.
g- =- — »>'(t>+»tr, 0+ conj. und nach Integration:
y=. t^(» + »«^?0+^(v — »WT»— 0 / (W)
WO zwischen den Functionen q>^ x, t^ die Relationen bestehen:
jK F, ») = »>'( F, 0 sin F; t|;'( V, t) — — t9'( F, %) ißos F
so dass nur eine der drei willktlrlich bleibt.
Betrachtet man tr, v als Parameter der Fläche, so werden, wie sich direct aus den Werten (56) ergiebt, die Fundamentalgrössen 1. Ordnung:
e « flr = — t == 49'(»+Mr, 0 <jp'(t?— »«/?, — f)cos*»u7 (58)
Dass t ein negatives Vorzeichen erhält, ergiebt sich, wenn man die Werte von pt, qt^ rt ihrer Definition gemäss bildet und mit (50) ver- gleicht. Da ferner nach (50) (54)
cosr sint? .
p «■ :- ; q — » ■ : r =« ttgiw (59)
^ COSltff ' ^ costu» ' •» ^ '
T«ll UX. 1 9
290 Hoppe: PriHcipten der Fläckeniheorie»
ist, 80 findet man nach Differentiation der Gl. (56) die Fnndamentai- grossen 2. Ordnung gemäss ihrer Definition §. 5.
(60)
— JS = C? =» »<jp' (w -f- »w^? 0 "— »<3p'(v — »tr, — i) \ F= — g>\v -f- ttr, f) — (p'(v — iio^ — i) ) woraus:
F*—EG = V(»4-»V, t^tp'iv—itü, — i) und in Verbindung mit (58):
Die beiden Haaptkrfimmungsradien sind die positive und die negative Quadratwurzel aus dieser Grösse.
§. 42. Krflmmnngslinieii auf kleinster Fl&ehe. Nach (49) hat man (in Parametern u, v):
„ j^l- i—i^ ^ \
* K 4COSttl7 l y ' (t> + tW7, i) "^ y '(ü IM?, — t) )
.R L_f i , ^ \
•^ "" JT "~ 4cos»*tt? ( g)'(t? 4- %w, i) ■*" g)'(f>—»\r, — i) )
Daher lautet die Gleichung, welche die Hauptkrümmungsrichtnngen bestimmt, I. (54):
Ü^ — COS*iw) \ —n — i — : — :: + —n : ^ }
oder:
Hier ist
— 2i2;cos»u;< —77 — i — ; ;v r, : ~A
( 9'(t? + »W, t) <p\v — IM?, — f ) )
(k — icosiw)^ I (^4"*C0S»tg)^ 9'(t> -f- uo, 0 ' 9'(t; — w, — ») ***
3ü 8c
* "=» o~ ■" 5: COSnr cm 010
Dies eingefilhrt giebt:
<p'(t+w,0(3r+»8u?)«+g>'(ü— «r,—f)(8ü-«8i^)* « 0 Setzt man
Hoppe: Prindpien der FlächentHeorü. 291
ip'(V,t)^t{0'(V,t)\^ (62)
80 zerfUlt die Gleichung in
<^'(t+ttr,t)a(t+H±^'(»— tir,— «)a(r— »ir) — 0
Die Integration ergiebt als Gleichungen der beiden Krttmmungslinien:
0(v-\'iw,i)+0(v'-itü,^i) ^ Ui = con8t ) (D(p -f 1M7, 0 — <P(ü — »M?, — t) =» wj = const. )
und ti], p^ sind die Parameter des Systems der Krümmungslinien. Hieraus berechnet man leicht nach IL Gl. (2) die Fundameutalgrössen 2. Ordnung E^ (7, fQr die Parameter u^^ v,, und findet:
woraus weiter nach II. Gl. (15):
«i = --C?r> ffi =" Qi
§. 43. Asjmptotische Linien auf kleinster Fl&elie. Sind ««, v^ die Parameter der asymptotischen Linien, so lauten die zu ihrer Be- stimmung dienenden Relationen IL Gl. (2):
|
— 1 = |
1« |
^ au, a»j, ^ aPi a»! |
|||
|
>» |
|||||
|
Zerlegt |
man |
die letzte |
in |
||
|
do^ |
m* 3ttj, |
Ot'g |
0 m* auj |
||
|
dui |
" ""/i St*,' |
ÖUl |
"" /i ar, |
so gehen die beiden ersten über in
Nimmt%ian die Quadratwurzeln positiv, so wird
3^ — ^J; ^ ; 3»» = — ^ (81*1— ar,)
folglich ist u^ Function von M^+t^it «nd t?, Function von «i^ — tj. Eine andere Yorzeichenbestimmung würde bloss Yertauschung von u^ und r, bewirken. Da die willkürlichen Functionen ohne Einfluss auf die Parameterlinien sind, so setzen wir einfach:
u, = tH+r, « (i-o<I>(i^+»«^,0+a + O<I>(»-»t^,-») ) .... t,, «1*, — rj«(l+i)(p(ü+w,,')+(l — ,)0(ü— Ml?,— t) ) ^
19»
2Ö2 Boppe: Pfindpien der Flächentheorie.
Gleichzeitig ergiebt sich:
Die Relationen U. GL (1) werden nach Einsetzung bekannter Werte:
woraas:
«j « flTg «« — j— = ip,; /, — j— = 0
d^ ^ ig^[du^^+dvi^) (65)
1 ^_2 8ug8p^
Gl. (65) zeigt, dass tig, v^ zugleich Abbildangsparameter sind. Blenn genügt indes nicht, dass sie asymptotische Parameter bezeichnen; vielmehr müssen noch 2 Gleichungen, etwa ^-^^s'^ips) hinza- kommen, welche die willkürlichen Functionen bestimmen.
§. 44. Fl&ehen Ton constanter Summe der Hanptkrllmmiuifs- radien. Die Darstellung der kleinsten Flächen lässt sich zur Lösong der folgenden weiteren Aufgabe verwenden. Sind nämlich p^, Qf die Hauptkrümmungsradien der vom Punkte (xyz) erzeugten Fläche, so sind nach §. 19. Qi-^c^ p^-f^c die Hauptkrümmungsradien der paral- lelen Fläche im Abstände c, welche der Punkt ^
x'«=a; — pc\ y* "^ y — qc\ «' = « — rc (66)
erzeugt. Ist dann erstere Fläche eine kleinste, also
so ist die Summe der Hauptkrümmungsradien der letztem « 2<;. Hiermit findet die Aufgabe:
Die Fläche allgemein darzustellen, deren Haup^krflm- mungsradien die constante Summe 2c haben,
ohne weitere Untersuchung ihre Lösung. Die Gl. (66) stellen die verlangte Fläche dar, wenn man darin für x, ^, z die Werte (57)i für p, 9, r die Werte (59) setzt; sie lauten dann:
y' — i|>(»-f »tf,i)4-V'(©— tu», — ») —
COSttr
c? sint ) (67)
' «B ^^{yi^i^^i)^tp(^xi IM?, — i) — »ctgfW /
_' 'T< — ri mr j* J-■^'■^*». '**•
Der T^a.'-fc TPTf?g^.j-
//■
^3C . :vv s^V\
-*■»■« ■•
köBxa CK <^ ^.? -sfLjfa, eine ii^s ,v>i« V:\^<öv*«5 »i^** U5\>^nC!* ■1&
^cftai^ wir m *i, Äfcs >evier Pink^ *itHr F.Jicbie ä .kr Riv'i)t-
Kii^ mi.^'JL IC-ribie«, »sd Uss^a *Ü<* ^Ä^utK^^^^^üulo»» v^'^ *^^
jener Punkt die FUche Ä. so ern^ugt ^oiohjsv»it\< du^*t^ Vw^ sduebiuigslmie den Raum zwischen ihr nnd dor \vrÄU<K^T<o« KUciu\ d. L die Variation des Tolums 6P. Ein KUnuiuit du^\^ KAwmtVfc \*l ein Prisma, dessen Gnmdfliche das Fläolionolemw\t tPi»iV^ uud dtv*M>» Höbe die Verschiebung (69) ist; folgliob ist die Variation di« Valumi
dP^ff(pöx+q»y+ri^)thuh^
und diese mnss der Bedingung gemäss constaut null tiün« SoUt m^n zur Abkfirzung
so lauten die 2 Bedingungen:
Beide können noch erfüllt werden, wenn nur 2 bolioblgo Flächen-
294 Hoppe: Princlpien der Flachentheorie*
elemcntc variiren, die ganze übrige Fläche hingegen unverändert bleibt Bezeichnen wir die jenen 2 Elementen entsprechenden W€4*te dorch ^y 9l'^ 9i ^^^ ^\ Qi\ Q^'y so gehen die 61. (70) ttber in
woraus:
fi-J,+A
Qi 9i 9i Qi
das heisst: die Summe der Hanptkrammungen hat in je 2 beliebigen Punkten der Fläche denselben Wert, ist also über die ganze Fläche constant, und man hat den Satz:
S. 21. Auf kleinster Fläche für constantes Volum ist die Summe der Hauptkrümmungen constant.
Die Bedeutung dieser Constanten, die wir mit a bezeichnen, können wir leicht aus der vorhergehenden Rechnung entnehme nach welcher für eine beliebige Fläche, und beliebige, nur immer normale, Verschiebungen
ist Ist dann Sl eine kleinste Fläche für constantes Volum, so hat man:
also
iSl « adP
für beliebige Verrttckung. Jetzt sei die veränderte Fläche kleinste für das constante Volum P-i-dPy dann wird
BSl
Betrachtet man das gegebene Volum als unabhängige Variabele, die ihm entsprechende kleinste Fläche als Function derselben, so ist die Summe der Hauptkrümmungen die derivirte Function.
§. 46. RotatioBsflftehen. Eine Botationsfläche wird von einer ebenen Linie erzeugt, welche um eine Gerade in derselben rotirt. Die Gerade heisst die Rotationsaxe, die erzeugende Linie der Meridian, der von einem ihrer Punkte erzeugte Kreis ein Pa- rallelkreis. Ein Durchschnittspunkt der Fläche und ihrer Axe heisst ein Scheitel oder eine Spitze, jenachdem die Axe daselbst Normale ist oder nicht.
Hoppt! Brincipitn der FlädirnÜteorit. 295
Wir nehmoQ dio Rotationsaxo zur Aie der «, don Meridianbogcn zum Parameter u, den RolatiouBvrinkel zom Parameter v, und be- zeichnen vorlSnfig die ebenen carteaischen Coordinaten des Meridians dorcb x^, «; dann sind die Gleichungen der RotationBfl&che:
* —• i^COB«; y = s'oBinv ; * ^ a
wo xo, » Functionen von u sind. Hierans folgen die- Werte der FandamentalgrÖBBen 1. Ordnung:
Wir schreiben domgemftss die Flächengloichnngen:
X = (COBft; y = IBiBv (71)
Die Werte Ton e, f zeigen, dass die Parameter orthogonal geodätisch sind. Bezeichnet femer t den KrttmmnngBwinkel des Meridians, so
|
8i |
8» 8=-»" |
|
hat man: |
|
|
8. |
In einem Scheitel wird % = 0, also
p = 0; 9 = 0; c — 1
in einer Spitze t = consL bleiben -p, q abhängig von c ; statt einer Normale hat hier die Flache eine normale koniBche Fläche. Die Fnndamentalgrössen 2. Ordnung werden;
£ = g|-; F=0\ G — tmnt
Demnach sind die Parameterllnien (u), (c), d. i. die Meridia ParallolkreiBe, auch KrUmmnngsIinien. Infolge dessen hat ma
J^_E_8r. 1 g sinT p,~e~8ü' itt^ g~ t
Die Gleichnngeo der Mittelponktsflächen werden;
(76)
296 Hoppe: Principien der Ftächentheorie.
. ( ^ ' \
Vi "^V+Qiq^ ^« — g^sinrlsint?
and
Die erstere ist also eine Rotationsfläche von gemeinsamer Axe, die letztere degenerirt in die Axe selbst Die Beziehung zwischen con- jugirten Tangenten vrird:
t%\VLXdu
Die NoUkrümmungstangenten sind bestimmt dorch
dv du
„±1/ 1_?!
-^r tsinröt*
(77)
der Drehnngswinkel v der Normale dnrch
avS«aT»+8in»Tat^» (78)
Der Drehpunktsabstand wird: .
R = ^, (79)
die Gleitung längs der momentanen Rotationsaxe:
-aQ^üHi^Lpii-a, -(80)
die Bedingung eines Nabelpunkts:
8r sinr
(81)
Sie wird, da sie v nicht enthält, im allgemeinen durch einen Parallel- kreis, nur fttr t ^0-^ t « 0 durch einen Punkt erfüllt Eliminirt man t durch Differentiation, so erhält man als Gleichung der Nabel- linie:
Aus gleichem Grunde zerfällt der Ausdruck eines Flächenstttcks zwischen Meridianen und Parallelkreisen in 2 unabhängige Factoren:
Ä — vftdu (81)
Hoppe: Frineipuu dtr FläthmllitorU. 297
Um ein KOrpcrstück, ganz oder zum Teil begrenzt von einer Rota- tionsfläche, za berechnen, kann man dasselbe von einer variabeln RotaUonsflache erzeugen lassen. Man hat dann bloss f, >, t als Fanctionen von u nnd einem dritten Parameter w zn betrachten. Der Ansdrack des KCrperelcmcnts I. Gl. (15) geht dann nach Ein- fQhning der Werte (72) fiber in
Säp^= (Is-cost — js-sinT|du8tidu>
dt &
Sa & 8u ^
dudvdw — tSt>S*Q
wo d'Q das Element des erzengenden ebenen Fläcbenstbcks darstellt. Ist das KdrperstOck Ton Meridian- nnd Parallelkreisebenen begrenzt, so zerfällt das Integral in 2 niiabbängigc Factoren:
P = rfftS*(l (82)
In (81) nnd (82) ist o der Winkel zwischen den 2 begrenzenden Heridianebenen.
%. 47. AsTnptotlselie Linien anf RotatlonsItHeben. Die Diffe- rentialgleichungen der asymptotischen Linien (77) geben iotegrirt:
mid uj, c, sind die Parameter des Systems. Diesen entsprechen, wie man am leichtesten ans II. Gl (1) (2) findet, die FundamentalgrCBseo :
*. = Pi = i\^*-8«itg^j (84)
/t-i(*+8in.g^j; t, = |J/-(sini
Fl — itsinT
i 48. Orthofonal KeDdXtlsehe Systeme auf Botstl 8ind u^, V, die Parameter eines beliebigen orthogonal gt , Systems, u, v die bisherigen, so sind nach II. Gl. (1) die zwischen beiden;
298 Hoppe: Principkn der Flächentkeorie»
du dv * ^ du dv
Erfüllt man sie durch die Werte
|
duf du =<^"''*5 |
du, . OV |
|
du t,«°*5 |
dv, l dv ^e,*^*»«* |
(85)
(86)
nnd elimiidrt «,, so kommt:
d% ^ , d% 'dt
Das Integral dieser Gleichung ist:
/^^ I #/,x
wo unter dem Integralzeichen h als coustant betrachtet werden muss, und (p eine willkürliche Function bezeichnet Bildet man aus den Werten (85) die Ausdrücke von 8mi, dt?i, und redncirt mittelst der GL (86) V und « atf u und h als Unabhängige, so kommt:
Erstere Gleichung giebt integrirt:
»1 =yy=p + hv>'(h) - <p(k) (87)
Nach letzterer ist v^ Function von A; setzt man
so wird die Gleichung erfüllt durch
/
(89)
Hoppe :'Principkn der FlSchentheorie. 29^
Nach Einfahning der Worte (85) in U. Gl. (2) ergeben sich zunächst folgende Ansdrficke der Fondamentalgrössen 2. Ordnung:
^ = ai^8«»H — p8in«x; Fl =- e, y— g^j srnx cosx
^1 = h^ (^gi 8in«» H — p co8*x j das ist nach (86) and (88)
^i-^sinT+— ,-g^
^» — ?~V * äuj^ (?,»-^^-^8,nT+Ä^g^)ß»
Sollen ttt) vj geodätische Polarcoordinaten sein, so muss zur t^ unabhängig von 9^, d. i. von A, für einen Wert von u, verschwinden. Entspricht diesem Werte die untere Grenze der Integrale in (87) und (88), so muss sein
yW^::ji (p"(h) — 0
für jedes A, also
tp(h) = ah+b
Gleichzeitig muss u, verschwinden; das giebt: 6 » 0. Jetzt ist
Der untern Grenze der Integrale entspreche < = c; lässt man dann u stetig in die untere Grenze übergehen, so wird
ivn -3. ._, ^»
lim
Nach §. 32. hat man daher zu setzen:
r^ ■=• / y =» arcsin - ; ä =» ösint^
dann werden nach Gl. (87) und (86) die Relationen zwischen (u, v) und (U|, t;^):
300 Hoppe: PrincipUn der FlächentheorU,
J tit^
(90) csinvjdu
_ • V » \j axt}
c^siu^Vi
§. 49. Conforme Abbildungr der Rotationsflftohen. Zur Auf- findung der Abbildungsparameter u^, v^^ bestimmt durch die Bedin- gung ^ "-^^ ^s == ^f /s =* 0, haben wir die Gleichungen zu lösen:
du Bv "^du dv
nnd erfiülen sie darch die Werte:
duf cosx, dt«! t .
du y^ ' dv "" y<j
dv^ sinx. dt^s <
(91)
du y^ 3t> ytj
cos»
Eliminirt man u^ und v^ durch Differentiation, so erhält man 2 Olei- chungen, die sich leicht zu folgenden verbinden:
t aiog^ dt_ dn l8log<> dn
2 a« ■~8m'"5^' 2 dv +'8u"'"
Die zweite wird erfüllt durch
Die erste geht alsdann, wenn man
du j,
setzt Ober in
d*T d^T dlogt
dv* * 8to* dw Das Integral hierron ist:
T= ^(tr+»p, 0+ 0(w^iv, — 0+/log<8w
woraus nach (92):
Bcpptt PriiicipitH der FlSeinttlitorit.
itogt, - «V+Ä, ,■) + *'(«—.>. -0+logi
oder, weDO man
#'(H',0= — ilog2g.'(ir,0 setzt:
Diea in (91) eingefOhrt giebt:*
9i^ = ^'(w-j-w, i)3(w-f-i>)-^9i'(tr — *c, — i)fl(w — ir) 3r, ^ — »9'(ip+ir, t) d(ie-f~^)~l~^'('<' — *") — O^C" — *) und nach Int^[r«tiot), mit WegUssnng der Coustanten: u^ = q>(«, + it:,i) + V(»> — n).-i) » ittj:=fi(to4-ir, i) — 9(10— i'p, — «) t woraus:
25p(w±M., ±.-) — %±ft«
oder, dnrch die inTerse Function ^ ausgedruckt
'-/^
und 7 oder if willkariiche Fnnction.
$. ÖO. AbwickelBB^ der RoUtloBslUehea anf elauder. Ist eine Rotationsfiftche, wie bisher, iu Parametern der KrOmmiiDgBliiiien u, t gegeben, so mnss Rlr jede auf ihr abwickelbare Rotal' — "--'^- wenn man sie in denselben Parametern darstellt, gleicht /=0i g^t* sein; allein die u imd e branchen nicht ( geometrische Bedentang zn haben, mithin ancfa nicht ( die I der Meridians zn sein. Sind nnn anf der zweiten Flache Parameter der Krflmmnugslinien, and entspricht der Pu dem Punkte (üb), so ist die Bedingung der Ähwickelbarkei
Beschr&nken wir um auf die q>edeUe LOmiog, wo die
802 Hoppe: Principien der Flächentheorie.
wieder Meridiane, die Parallelkreise wieder Parallelkreise werden, so ist
und da t, t' nur von u abhangen,
r = - : v' ^ cv: c constant: <?' ' '
folglich die Gleichungen der zweiten Fläche:
t t .
jB = - COS cp ; y ~ - sine»
Die dritte Coordinate ergiebt sich aus: sie ist daher:
• -fV^^ '»*>
§. 51. Flftehe iweiten Grades. Reduetion der Coordinaten- grleichongr. Die Gleichung einer Fläche 2. Grades ist eine beliebige Gleichung 2. Grades zwischen den cartesischen Coordinaten x^ y^ ti
Aai^ + By^'{'Cz^-{'2Hyz+2JzX'{-2Kxy+2Lx.'\-2My+2Nz'{-D == 0
Durch besondere Lage des Axensystems lassen sich die 10 Terme auf höchstens 4 reduciren. Die Relationen zwischen den alten und neuen Coordinaten seien
z «. nx'-\'n^y*'^rn2»'
Setzt man
l^Lx + My+Nz SO kann man die Flächengleichung schreiben:
^+f*y+*'«+2|+Z> = 0 (95)
Nach Einführung der m\ y\ J wird /ggj
V — (^^ +Ä»+ Cn)a)' + (J/i +Äi»H + Öijy' + (^1,+ »»,+ 04)1'
Hoppe: Principien der Flächentheorie. 808
und Ol. (95) geht Aber in
Damit in dieser Gleichung 2. Grades die Producta y'z\ %*x\ m'y' fehlen, hat man zu setzen:
woraus:
Dies verglichen mit den Werten (96) giebt:
(^— Ä)Z+ * JTwH- yw — 0 \
Kl+{B—h)m+ Hn^O \ (97)
JZ+ £rm+ (C— A)n=>0 *
nebst 2 analogen Gleichungssystemen, die sich nur durch die Indices bei /, mf n, h unterscheiden; daher gilt das Resultat der Elimination Ton 2, m, n, nämlich
A — h K J
K B—h H
J H C'-h
0 (98)
auch nach Substitution von A^, h^ fttr h^ und A, A^, h^ sind Wurzeln derselben kubischen Gleichung. Nach Einsetzung der Wurzeln in Gl. (97) ergiebt sich für jede derselben ein System von Werten der U m, n, z. B. fOr h<^ die Werte Z^, m^» nj. Multiplicirt man mit diesen einzeln die Gl. (97), so ist die Summe:
• Ä(ttj-f-*'*^i"h***H)
Vertauscht man in dieser Gleichung die beiden Wertsysteme, so bleibt die Linke ungeftndert, und nach Subtraction beider Gleichungen er- hält man:
(Ä— i^)(ZZ,4-mmi+niii) — 0 (99)
Sind nun h und k^ ungleich, so folgt:
W&re erstlich h nicht reell, so gäbe es eine zweite ungleiche und conjugirte Wurzel A^, und beiden entsprechend wOrde man
304 Hoppe: Prmcipien der Flächenlheorie,
(97) durch coAJugirte l^ m^ n genügen können. Nach GL (99) .wären dann alle Moduln derselben null, also auch l^ m^ n selbst, was unmöglich ist. Folglich kann Gl. (98) nur reelle Wurzeln haben.
Ferner zeigt Gl. (99), dass die beiden Geraden, deren Richtungs- cosinus die ^, m, n bezeichnen, normal zu einander sind. Unter Voraussetzung dreier ungleicher Wurzeln A, ^], A^ genügt daher ein orthogonales System den Bedingungen, welchem gemäss die Axen d^ x\ y', ä' bestimmt werden können.
Sind endlich A, h^ zwei gleiche Wurzeln, so werden sie durch unendlich kleine Variation irgend eines Coefticieuten ungleich. Lässt man nachher die Variation stetig verschwinden, so können die 2 nor- malen Geraden nicht stetig in einander übergehen. Da alsdann die linearen Gl. (97) 2 verschiedene Lösungen haben, so haben sie un- begrenzt viele; nur müssen die betreffenden Geraden, wofern h^ un- gleich ist, zur Geraden (^2^^) normal sein.
Die Fiächengleichung ist jetzt auf die Form gebracht:
Ist nun keiner der Coefficieuten A, A,, A^ null, so kanu^roan den Anfangspunkt so verschieben, dass (ohne Beziehung zur anfänglichen Bedeutung von a;, y, z)
|
t ^ f ^ t ^ |
(101) |
|
• wird; dann wird |
|
|
A*«4-*,.*+M* = p=J+t;+t ^ |
(102) |
|
Ist P nicht null, so kann man |
|
|
P P P |
(103) |
|
setzen, und erhält: |
• |
iE* U* S*
-+^+- = 1 (104)
a * b * c
In diesem Falle heisst die Fläche eine centrale. Die Fläche heisst ein Ellipsoid, einschaliges oder zwoischaliges Hyper- boloid, jenachdem 3, 2 oder 1 der Grössen a, b, c positiv siud. Grenzfälle, welche krumme Flächen bilden, giebt es folgende. Ist p » 0, wo man die Gleichung in der Form schreiben kann
?*+^*+L* _ 0 (105)
Hoppe: Principieii der Flächentheorie, 305
SO heisst die Fläche ein Kegel. Ist eine der Grössen A, ä^, h^ null, and nicht gleichzeitig bzhw. r/, r/^, r/^ null, so heisst die Fläche ein Paraboloid; ist hingegen bzhw. r/, d^, tl^ null, fällt also eine Coor- dinate aus der Gleichung heraus, ein Cy lind er. Das letztere findet auch statt, wenn zwei der Grössen h, A,, k^ null sind, nachdem man die zur dritten gehörige Coordiuate nach (106) transformirt, und durch Drehung des Axensystems um die bezügliche Axe die beiden übrigen linearen Tenne auf einen reducirt hat. Das Paraboloid und der Cylinder in jenejm Falle heissen elliptisch oder hyperbolisch, jenachdem die 2 nicht verschwindenden Coefficienten h gleiches oder ungleiches Vorzeichen haben. Im letzten Falle heisst der Cylinder parabolisch.
§. 52. Krttmmangrslinien auf der Fläche 2. Grades. Stellt man die Coordinaten folgendermassen in Parametern u, v dar:
«*«a(u— «i)(«?— «2); y^ == ßiu^ßi)(v—ßi)\ 2*=y(«*— yi)(«'— y«) (1^6)
80 lassen sich die 9 Constanten er, j?, y, . . . leicht so bestimmen, dass die Gleichung einer centralen Fläche 2. Grades (104) für ungleiche a, b, c erfüllt wird. £s muss dann sein
a * 0 * c
<y<^i I i^Pi I yyi_,Q
(107)
«^ . ^^? . y^^^o
a * b ^ c
Die ersten 3 Gleichungen geben nach Elimination von a, ^, y
1 1 o^ ag I
Mift|=o
1 Yi 79 I Dem wird allgemein genügt durch
aj, = X4-fia,; ft = ^ + f*ft; y« = ^ + f*yi
Führt man diese Werte in (106) ein, und schreibt für wieder v,
für orft, /?fi, yfi wieder a, /?, y, so erhält man das Resultat, welches den Werten A = 0 ; /i = 1 entsprechen würde. Jetzt fallen 2 der Gl. (107) zusammen, und es bleibt nur das System:
Tefl ux so
306 Hoppe: Principien der FlachenthtorU,
welches durch
erfüllt wird. Die GL (106) geben differentiirt:
^dx X ^Bx u — flf ,
2 _ = . 2 Q- = « ■ ; etc.
dx Bx 4 K- ö- «= ^5 etc. folglich
^^ 4 Damit also das System der (ur) orthogonal sei, hat man zu setzen: ö(yi-ft)+Ä(«i-y,)+c(ft-ai)=0 oder
Dem wird allgemein genügt durch
Es hat sich jedoch oben gezeigt, dass man ohne Einbusse an Allge* meinheit A =» 0; fi = 1 setzen kann. Dann werden die Gleichaogen der Fläche in orthogonalen Parametern w, t:
fl;*=ra -^ - (w — a)(i> — a); y^ = ft — ^(m — &)(r — ä)
2 * — «/ X, , > (108)
Hieraus ergeben sich die Werte:
dxyz^ u — V ^^~c UV
Hoppe: Principian der Flächentheorie.
307
wo zur Abkürzung gesetzt ist
17= (w — a)(w— 6)(m — c); K=« {v'-a)(v — h)(v — c) (HO)
Die Qaadratsumme giebt: daher nach Division:
Femer findet man:
(111)
(112)
u t — « c u — t?
4 ^ '
V
(113)
4L/ |< wp ' ' 4V J^ tip ^ '
Hiemach sind w, © Parameter der Krümmungslinieu. In diesem Falle erhält man die Haaptkrümmnngen durch Division der vorstehenden Grössen, nämlich:
1 _ _ ll/«*«^. 1 -__ll/
abc
UV
(115)
Die Krümmung der Fläche ist also positiv oder negativ, jenachdem u und p gleiches oder ungleiches Vorzeichen haben. Damit aber die Ausdrücke, wie schon oben der von <, reell werden, muss wp gleiches Vorzeichen mit abc haben. Dies ergiebt:
Das Vorzeichen der Krümmung ißt stets das von abc\ sie ist positiv beim Ellipsoid und zweischaligen Hyperboloid, negativ beim einschaligen Hyperboloid.
Nach 61. (103) ist nun
abc
hhih^
Da A, Aj, Aj die Wurzeln der Gl. (98) sind, so ist
hJi-Ji^ =
AKJ
KBH JHC
(116)
(117)
Femer sind d^ d,, d^ in (1(X)) als Abkürzungen eingeführt
2(
308
Hoppe: PrincipUn der Flächentheorie,
(118)
d = LI +Mm -i-Nn
d^ = 2//2~f"-^''4"t~'^'*3
Eliminirt man /, m, n zwischen der ersten dieser Gleichaugen und den 3 61. (97), in welcheh man die Terme A/, Am, hn vorher absondert, so kommt:
AKJ hl
KBH hm
JHC hn
LMN d
0
(119)
Diese Gleichung hat 2 analoge, welche nur in der letzten Vertical- reihe durch die Indices 1, 2 unterschieden sind. Addirt man alle drei nach Muitiplication mit
d d^ d^ h Aj h^
80 kommt, mit Beachtung von (118) und (102):
AKJ L
KBH M
JHC N
LMN D+P
= 0
(120)
Entwickelt man hieraus den Wert von F und setzt ihn in Gl. (116) ein, so erhält man:
abc =» —
|
AKJL |
3 |
AKJ |
|
KB HM JHCN LMND' |
• 1 |
KBH JHC |
(121)
Hiernach ist das Vorzeichen der Krümmung immer entgegengesetzt dem der Determinante 4 Ordnung, die man nach vorstehender An- ordnung aus sämmtlichen Coefficienten der ursprünglichen Gleichung bildet.
Ist diese Determinante 4. Ordnung null, so verschwindet nach (120) auch P, und die Fläche vrird ein Kegel. Fttr diesen Fall kann man 2 der Gl. (107), deren letzte zur Rechten 0 statt 1 hat, durch Oj = ^1 == yx '^ ö erfüllen ; die übrigen Bestimmungen bleiben un- verändert, und die Gleichungen der Fläche in Parametern der Krftm- mungslinien lauten, wenn wir — t«* statt w schreiben:
Boppe: PrincipUn der Flächentheorie, 309
ö — c ^. . „ . c — a
X* — a — T— tt»(p — a); y^ = b—r-u^v — b) j
gi ^ c —-J— u\t c)
i
(122)
2 r V
(123)
Die Fnndamentalgrössen werden:
« =1; / =0; ^ = — 47; *
w, rv « ^ ^ "* 1 A*<?
E=0; F=0; ö = ;p,|/ — die RichtuDgscosinas der Normale:
"-il/S- »-!K^.> '-^KS <"«'
die Hanptkrttmmnngen:
1^0; ^ '-!/- (125),
Die Fläche ist also abwickelbar, and die Parameter orthogonal geo- dätisch.
•
Ist statt dessen die Determinante 3. Ordnung, d. i. hh^h^f null, z. B. Aj » 0, so ist die Fläche ein Paraboloid oder, im besondern Falle, Cylinder. Setzt man a — yc, «yc, &yc, m^c, tyc für a, o, &, tt, 0, and dann c:=od, wie es dem A, » 0 entspricht, so wird Gl. (104):
^'+^'=2a (126)
und die Ol (108):
s o(^'— <»)(P— q) , &(u — &)(p— &)
* "" Ä— a ' ^ "~ a—b > (127)
2» « tt+f>— a — *) ferner :
xj/ab y I /ab | /
u(ti — v) v(v — u)
ah
- — 4(tt— a)(t* — ft)' ^ 4(©-a)(i> — &)
p — ti I /oi u— p I /ah i (128)
^"4(m — a)(tt — i) V^' ^^ 4(»— a)(tJ — &) J^ t*r
Pi M }/ ttp • p, » {/ ttp
310 Hoppe: Prindpien der Flächentheorie,
Für die Fälle der Cylinder, wo die Relationen der Coordinaten bzbw. lauten
^'+f'=,l; x« = 2ay (129)
a 0
stellen sich letztere in orthogonal geodätischen Parametern der Krttm- mungslinien bzhw. folgendermassen dar:
Da indes alle hier besprochenen Probleme auf Abwickelbaren allge- meine Lösung gefunden haben, so können wir die Abwickelbaren 2. Grades, Kegel und Cylinder, ausser Betracht lassen. Dusselbe gilt von den Rotationsflächen 2. Grades, welche in der Gleichungsform (108) nicht mit begriffen sind, die jedoch als Specialitäten in der Theorie der Rotationsflächen keine instructiven Seiten darbieten. Auch von den Paraboloiden brauchen wir nicht besonders zu handeln, da sich durch die oben aufgestellte Substitution und Uebergang zum Grenzwert die Resultate leicht auf sie übertragen lassen.
Für die Krümmungslinien sind noch die Nabelpunkte von Be- deutung. Man findet aus (115), indem man Qi = p, setzt, dia Be- dingung M = w. Dann aber muss in (108) der constante Coefficieut jedes nicht verschwindenden der 3 Ausdrücke positiv sein. Da die Summe der Coefficienten null ist, so ist mindestens einer negativ, folglich eine der Coordinaten, z. B. y == 0, und man hat:
Es giebt alsdann entsprechend den Doppelvorzeichen von x und z vier Nabelpnnkte auf der Ebene y = 0.
§. 53. Confocales dreifach orthogronales Flächensystem 2. Grades.
Lässt man a, 6, c, m, v mit einem dritten Parameter w gleichzeitig um gleiche Incremente variiren, oder, was dasselbe ist, substitoirt man a — w, b — w?, c — tr, u — »r, v — w für a, i, <?, u, », so gehen die Gl. (108) über in
X'
y^ ^^—7^(u — b){v — b)(w—b) I (131)
«' = — 7— (u — c?)(v — c)(«r — c)
(132)
Hoppe: Principien der Flächentheorie. 311
Da sie symmetrisch in u, r, w sind, so folgt, dass die oben hergelei- teten Resultate für die Fläche w =» 0, welche offenbar für die ganze Schar von Flächen w = const gelten, auch auf die beiden Scharen von Flächen u » const und v = const. angewandt werden können. Demnach schneiden sich alle 3 Flächenscharen in ihren Ejrümmungs- linien, und dass dies unter rechten Winkeln geschieht, folgt aus der auf alle anzuwendenden Gleichung / = 0, der gemäss die Tangenten der Schnittlinien auf einander senkrecht stehen, mithin mit den Nor- malen einzeln zusammenfallen. Daher sind die Gl. (131) der Aus- druck eines dreifach orthogonalen Flächensystems.
Eliminirt man je 2 Parameter, so erhält man:
a — u o — u ' c — u a^v • b — V ' c — V
a — w 0 — w ' c — w
als Ausdruck der einzelnen 3 Flächenscharen. Die dritte Gleichung ergiebt sich aus (104) durch die genannte Substitution; die andern folgen durch Analogie.
§. 54. Asymptotisehe Linien auf Flftehen 2. Grades. Die Glei- chung der asymptotischen Richtungen Edu^-\-Gdv^ ^0 wird nach (114):
au» 3©«
und zerfällt in
VÜ+7K=0; yjj-y^^O (134)
Die Integrale können wir folgendermassen schreiben:
a
WO CT,, Vy dieselben Functionen von w,, v^ sind, wie 17 von u und V von p, so dass f ttr r = a bzhw. u in u^ und in v^ übergeht Nach dem Additionstheorem elliptischer Functionen, welches sich nach Lagrange's Methode hier besonders einfach herleiten lässt, ist alsdann
(136) y(t*--a)(u— &)(»— c)~l/(»~a)(u— Ä)(u— c) ^ V U—h){a — c)
312 Hoppe: Principien der Flächentheorie,
(137)
u — V I / »1 — a
y(M— a)(p-— Ä)(D— c) + l/(p — a)(M— Ä)(u— c) "" r {a — b)(a —
c)
Die rechten Seiten ergeben sich ans den linken, indem man r = a setzt Nach demselben Gesetz findet man anch deren Werte, wenn zur Linken a, &, c vertauscht werden: es rauss, wenn a in & und in c übergeht, r^ bzhw. übergehen in
. (a-c)(ft-<?) . ^ , (a^b){c-b) c-\ ~ und b-\ r (138)
t7| — C ti O
Lässt man nun den Punkt (xi/z) längs der asymptotischen Linie T] « const. variiren, so hat man nach (135):
du.
und findet, nach Differentiation der Gl. (108):
Ix
8«! 4V das ist vermöge der 61. (137):
(Vu , Vv\
Ui \n—a "^ V — a)
dx du
w— 1?|/ (a — b)(a — c)
und nach Einsetzung des Wertes (108) von x:
dx u — Ti/ a 8^ "" 4 y C^i(ri— a)
Vertauscht man a mit b und c, so geht a; in ^ und z über. Mit Be- achtung der Wirkung (138) auf Oj findet man:
8ui *" ~4~ J^ C^i(c— Ä)(i>i — Ä) *• 8ii^ "" ~4 ~ ^^ l7i(& — c)(i?, — o)
Die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate giebt, übereinstim- mend mit dem aus den Fundamentalgrössen resultirenden Werte:
(139)
|
ds U V 8tt, 4V 17, |
|
|
woraus: |
|
|
dx i/ a dy | 8, '^V v.^a ds^¥ |
iC'-b)iV4—a)' |
Hoppe: Principieu der FlächetUheorie, 313
Hiernach ist die asymptotische Linie, da ihre Richtung sich als con- Btant erweist, gerade. Ihren Ausgangspunkt können wir noch beliebig wählen ; er sei ihr Durchschnitt mit der Krömmungslinie v <= er, das ist mit der Ebene a: = 0, wo, wie wir sahen, m -= pj wird. Dies gicbt nach (108) die Coordinatenwerte
Integrirt man jetzt die 61. (140), so erhält man als Gleichungen der asymptotischen Linie t\ = const.
(141)
Sie erzeugt bei varüreudem v^ die Fläche (104), deren Gleichung in der Tat erfüllt wird, wenn man die Vorzeichen innerhalb der binomi- schen Factoren von y und z entgegengesetzt bestimmt, während im übrigen die Vorzeichen der Wurzelgrössen beliebig sind. Die zweite asymptotische Linie u^ » const. ist offenbar in gleichem Falle: es ändern sich nur einige Vorzeichen, wenn man u^ für v^ substituirt Um die Fläche in asymptotischen Parametern z^, r^ darzustellen, hat man in (108) für u, r ihre aus (136) (137) zu entwickelnden Werte zu setzen, eine Rechnung die durch Zuhülfenahme der Analogen sehr erleichtert wird.
§. 55. Kürzeste Linien auf Flilchen 2. Grades. Sei s der Bogen, r der Krümmungswinkel einer Kürzesten, w, o Parameter der Krüm- mungslinien; dann erhält man durch Differentiation der Gl. (108) längs si
dx X I 1 Su 1 9tj\ Ss 2\u — a6« ' r — o8«/'
woraus man leicht berechnet:
oder, da nach (113)
S.» = e8«»+,8«« = "--"("-^'-^-^*) • (143)
ist:
314 Hoppe: Prindpien der FiächentheorU.
Differeutiirt man zweimal die Gl. (104), so kommt:
Nun ist, vermöge der Eigenschaft der Kürzesten and nach (112)
nnd da die Qnadratsnmme der Analogen =» 1 sein muss, folglich, nach Einführung in (145):
- = - ly.
i£ '»«'
Diflferentiirt man jetzt die Gl. (142) (147) und substituirt die Werte (146), so findet man:
und nach Elimination von dt mittelst (148):
dR _d(uv) R UV
integrirt:
Ruv = h
Setzt man für R den Wert (144) und entwickelt das Verbältuisa duidv^ 80 konunt:
Vu8ttl/F(t? — Ä) = ± Vtj8vl/l/(tt — A) daher nach zweiter Integration:
Dies ist die Gleichung der Kürzesten. Für A » 0 geht sie in die gerade asymptotische Linie über.
§. 56. Orthogonal geodfttische Systeme auf Fliehen 2. Grades«
Sind U|, Vi die orthogonal geodätischen Parameter» also «i — 1; /i =" 0; ^1 — tj^^ so lauten die Bedingungen II. Gl. (1) zufolge der Werte (113) von e, f, g\
Hoppe: Priimpien der Fläch entheoru» 315
du dv * ^ du dv
•w -(»')■ + '.■&)'
^an ist die zum gesuchten Systeme gehörige Schar Kürzester schon aas (149) bekannt; ihre Gleichung lautet:
woraus:
I / SU , dv-i I / ev
Dies eingeführt giebt:
\du) ^ U\ 4: u—h)' \dv~) ^ V\ 4 v — h)
?!h Ott, ^ 2 1 / UV
du dv 1 y UV(u—h)(v — h)
Das Product der ersten 2 Grössen gleich dem Quadrat der dritten gicbt eine lineare Gleichung für «j^ aus welcher der Wert
V^i--iV(^-h){v-h)
hervorgeht. Nach dessen Einsetzung hat man sogleich:
iy iT"' dc=^y~~v~
und die Gleichung der geodätischen Parallelenschar lautet:
f^y^^p^-hfB.y^-^ = «. (151)
Da hier u^ einen reellen Curvenbogen bezeichnet, so folgt durch Ver- gleicbung der Wurzelausdrücke mit denen in (150), dass s negativ reell ist. Setzt man e = — i, so wird
*i = y(tt-^Ä)(Ä~r) (152)
ßu \/jjj^^ -fs^y-y-^^ - 2., (153)
316 Hoppe: Principien der Fiächentheorie.
§. 57. Conforme Abbildniigr der Fliehen 2. Grades auf der Ebene. Sind %, v^ die Abbildongsparauietcr, so ist die Bedingung e^ = ^1 ; /*! = 0. Dieser kann mau schon dadurch genügen, dass man t^ zur Function von u und v^ zur Function von v macht, wo u, r Parameter der Krttmmungslinien; denn dann wird
also nach einfachster Disposition
tt — t?
e, = ± -j- (154)
u,~fduy^; v,=fdvy^ (155)
§. 58. Asymptotlsehe FlXche dritten Grades und deren KrtaH mungsUnien. Die Fläche 3. Grades, deren Gleichung ist
xyz = yc (156)
und die wir mit dem vorstehenden Namen bezeichnen, ist bemerkens- wert, sofern sich aus ihr ein dreifach orthogonalem Fläcfaensyst^n herleiten lässt. Setzt man
Sm - aj*+y»+««; 3n ^ yV +«»««+ «*j^« (157)
so sind x\ y\ z^ die Wurzeln der kubischen Gleichung
«6 — 3maj*+3ii«» — c = 0 (158)
in welcher demnach x mit y und z vertauscht werden kann. Gl. (156) differentürt giebt:
yzdx-^-zxdy-^-xydz =* 0
Demzufolge muss sein:
piqir '^ yziMXixy
woraus mit Anwendnng von (167) (156):
^-Wb ^"Wk' •■=jK£
Differentürt man die erste dieser Gleichungen, so kommt:
(159)
|+|+|.0 (160)
Varürt der Punkt (xyt) längs einer Krflmmungslinie, so ist nach IL GL (19)
Hoppe: Principien der Flächentheorie. 317
dp dq dr
^ ^ r? ör il/^ ^
px
WO / = ~l/^- Oder ^\/—' Hiernach wird Gl. (160)
'^-lxdx+idn = 0
woraus nach Multiplication mit y* -{-«*=" Sm—a?*:
dx 3mn nxSx^l(y*'\'Z^)xSx+i(3f^+z^)dn — 0
X
Addirt man die Analogen beider Gleichungen, so kommt:
dn ■» ldm\ (2m — t)dn «=» ndm woraus:
ii=»/(2m — 0 (161)
und nach Elimination von n:
Idm »- 2(1— m)d/ iBtegrirt:
P(2i — 3w) — u (162)
Entsprechend den 2 Werten von ^
/ — m i y m* — n
wie sie aus (161) hervorgehen, erhält man fOr jeden Punkt (rt/z) 2 Werte der Gonstanten u, v, und die Gleichungen der 2 Scharen TOn Krümmungslinien weiden nach Einftlhrung in (162):
m(2iii«-3ii)+2(m*-n)l « u ^ m(2w«— 3n)— 2(m«— n)l — ü )
Um jetzt x,y,» in Parametern der Krümmungslinien u, v darzustellen, bat man nach einander die 2 kubischen Gleichungen zu lösen:
(164) (,t_«),_3(!^*)*(«»_«»)= !i±?+,
Die 3 Wurzeln der letztem sind «*, y*, »*.
§. 59. Breifaeb orthogonales Flftebensystem, dessen eine Schar asymptotische FlKehea 3. Grades bilden. Setzt man in den Gl. (163) (156) für- die Constante c die Variabele w und für «, t; die mit w varürenden u,, t^i, so erhält man eine Schar asymptotischer Flächen
318 Hoppe: Principien der Fiächentheorie.
w = const. und auf diesen, bei allein varürendem tr, 2 Scharen Erammungslinien, welche 2 Flächen v == const. und u = const. bildeo. Letztere Flächen schneiden einander rechtwinklig ; durch Bestimmung Ton tii, r, kann man bewirken, dass sie auch die Fläche ir = const. rechtwinklig schneiden. Die Gleichungen der Flächen u «=-= const^ w = const können wir schreiben:
M — u^ == 0; x^y^z^ — • ic
wo M die linke Seite der ersten GL (163) bezeichnet. Dann verhalten sich die Ricbtungscosinus der Normale der Fläche u = const wie
dx dy Sz
und die der Fläche w = const nach (159) wie
X y z folglich ist die Bedingung des rechtwinkligen Schnitts:
X ox ' y oy z cz
SM/ldm 1dm ldm\ dM/ldn Idn ldn\ \x dx'^ ydy ' a dz J"^ dn \x Sx'^ y dy* z dz )
)m
8u, /l dtc ^^1 8'^ 1^1 dw\ dw \x ex"* ydy z dz J
das ist nach den Werten (157) (156) von m, n, tr:
dM ^ ^dM o ^
ö h 2 Q w* = 3 n — n
dm ' an Of
Durch Differentiation findet man:
dies eingeführt giebt:
dw integrirt, und nach Analogie:
Demnach sind die Gleichungen der 3 orthogonalen Flächenscharen:
1 d<r fläi^eiilkeorit.
»•(2m»-3n) + 2(m»-n)J + l*y»»» = « B»(2«* — 3n)— 2(m«-n)l + i«s
deren erste beidsD vom 12teii Grad« sind.
Anhang.
Uebenteht Aber die Probleme der Fllebentbeorle.
Im folgenden Bollen diejenigen allgemeiaen Probleme nebst ihren specielten Ldanngen zn&amraengesbtllt werden, welche im Lanfe der vorstehenden Abhandlang znr Besprechaug gelangt sind.
I. Darstellung der Schar orthogonaler Tnuectorien einer gege- benen Schar von Linien.
Bedii]gaDg:/= 0 §. 22. lineare Gleichnis 1. Ordnung. Speciello Lösungen
1) für die Fälle dargestellter Krttmmnugslinien 8. Probl. IL
2) für die Fälle dargestellter Scharen Kürzester s. Prob). IV.
3) für die Fälle bekannter Abbildnagsparameter s, Probl. V.
II. Darstellung des Systems der Krttmmnngslinien auf gegebener Fläche.
Bedingung: / °= 0; F=0 §23. höhere Gleichung 1. Ordnung. Ohne Bedeutung auf Ebene nnd Kugel. Lösung nnmittelbar vorliegend
1) anf Abwickelbarer §. 34.
2) anf Rotationsfläche g. 46. Gelöst 3) auf kleinster Fläche g. 42.
4) auf Fläche conetanter Summe der HauptkrOmroungs-
radien §. 44.
5) auf Flächen 2. Grades §. 52.
6) auf der aeymplotischen Fläche 3. G-*-''"" * '^'' m. Darstellung des Systems asymptotischer Li
Flache.
Bedingung: £ = 0; G — 0 §. 28. hfihere Glei Ohne Bedeutung anf abwickelbaren nnd positiv ge Gelöst 1) auf kleinster Fläche g. 43.
2) auf Fläche constantcr Summe der
radien g. 44.
3) auf Rotationsfläche §. 47.
4} anf Flächen 2. Grades g. 54.
320 Hopp ex Principien der Flächenth^orie,
lY. ' Darstellang des allgemeinen orthogonal geodäüschon Systems auf gegebener Fläche.
Bedingung: 0 = 1 ; /=«= 0 §. 30. 31. höhere Gleichung 2. Orduung. Gelöst 1) auf Abwickelbarer (anwendbar auf Ebene) §. 35. 36.
2) auf Rotationsfläche §. 48.
3) auf Flächen 2. Grades §. 56.
4) specielles System von Kürzesten auf Mittelpunktsflächen
bei bekannten Erümmungslinien auf der Urfläche.
V. Conformo Abbildung gegebener Fläche auf Ebene.
Bedingung: « = ^; / = 0 §. 33. Gelöst 1) für Abwickelbare §. 36. 37.
2) für Rotationsfläche §. 49.
3) für Flächen 2. Grades §. 57.
VI. Darstellung der allgemeinsten auf gegebener Fläche abwickel- baren Fläche.
Bedingung: c, /, g gegebene Functionen von t*, v §. 17. System höherer Gleichungen 1. Orduung.
Gelöst 1) auf der Ebene §. 36. 37.
2) Rotationsfläche auf Rotationsfläche §. 50.
VII. Darstellung des allgemeinsten dreifach orthogonalen Flächen- Systems.
Bedingung: /i = 0; /« = 0; /, = 0 §. 26. System linearer Glei- chungen 1. und 2. Ordnung. Specielles System
1) confocales System 2. Grades §. 53.
2) System asymptotischer Flächen 3. Grades §. 59.
VIII. Darstellung der allgemeinsten Fläche in Parametern der Krümmungslinien für gegebene Indicatrix der Normale.
Bedingung: 1 lineare Gleichung 2. Ordnung §. 25. Gl. (27). Gelöst für die Fälle, wo die rechte Seite der Gleichung ver- schwindet, d. i.
1) wenn die stereographische Projection der gegebenen
Indicatrix aus 2 Kreisscharen,
2) aus einer Schar Gerader und paralleler Tnyectorien
besteht.
Bop pe: PriHeipi'en der flichenlhtorte.
ScbluBsbeinerkung.
Die Gestalt, weiche der analytiscbe AuBdrncii der geometriBclieit Beiiehongen durch die Wahl der FnndEtmentalgrOssen genoDnen bat, ze^ wo) deutlich, dass sich dieBclben in anmittelbarBter Weise den Elemeoten der Flftehentheorie anechliesseu. Ich brauche in dieser HiBBicht nor auf die Bedingangen der 3 Haupt- Liniensysteme Iiinzn- weieen, deren jede von des Werten zweier FnndamentalgrOasen afa- liftBgt. UierzQ kommt noch die Analogie zwischen deö Grossen «,/, g und E, F, 6, welche in vielen Relationen zu Tage getreten ist. Dass sich die Gleichungen fQr die HauptlirammnngeD einfocher in den ZT, ^, J, Jj ausdrücken, reicht nicht hin, diesen 4 Grössen den Vor- zog im ganzen znzngprechen ; namentlich wtlrde durch ihre Zugrunde- legnug die Anzahl um 1 vermehrt und die Handhabnag mit einer primitiven Relation zwischen den 7 Grössen beschwert werden.
Manchen jedoch gefällt Überhaupt eine Eutfichuidnng a posteriori dnrch die Praxis nicht; hier ist es wichtig die Täuschungen zu ent- hcUlen, denen vorausgehondc principielle Bestimm ungsgrUnde häufig verfalicn. Von vom herein wird mau gewiss dem Gedanken gern zustimmen, die Flachenthoorio mit der Curventheorie auf gemeinsame Basis zu stellou. In der Tat haben mauche Bearbeiter der erstem ihre Fundamentalgrüssen dircct aus den Bcstiniiimugsstücken der Curven auf den Flächen hervorgehen lasse». Wir wollen das Unter- nehmen nicht aus dem Erfolg beurteilen, der sich nicht gerade günstig stellt. Es ist ein prindpiollor Grund, der ihm entgegensteht. Für die Flächenthuorie kommt eine Rotation des begleitenden Axensyslems nui die Tangente in Auweuduug, in der Cnrventheorie hingegen hat nur eine solche um die Hauptnormale Bedeutung. Dieser Unterschied bewirkt, dass, wenn man beide Theorien in ihren Fnudamenten ver- ketten will, jedo der andern iu der Entwickeluug nur hinderlich ist. Das Untcruehmen ist also, so sehr es auch bei obcrilächlicher Be- trachtung für sich einzunehmen geeignet sein mag, gegen die Natur der Sache gerichtet Wir können zur Berichtigung der Gesichtspunkte der Leitung durch die Praxis nicht entbehren.
Die gegenwärtige Bearbeituug der FIftchentheorie vermehrt in keinem Punkte den Umfang des Bekauuteu. Die N decker der einzelnen Theoreme und Lösuugen sind ui sich dies nicht in der Kürze glcicbmässig hätte durt Weder die Deductionou noch die Anfstellungsform si der Originalarbeiten gefolgt; an beide stellte der Zw( düng zu einem einheitlichen Ganzen schon zu bestimm
322
Hoppe: Principün der FlächentheorU,
Nachweis der Worterklärungen.
|
Abbildung §. |
33. |
Indicatrix §. |
11. |
|
Abbildungsliüiensystem |
33. |
Kegel |
51. |
|
Abbildungsparameter |
33. |
Kleinste Fläche 40. |
45. |
|
abwickelbare Fläcbe |
34 |
Körperelement |
4. |
|
Abwickelung |
17. |
Krümmungslinie |
23. |
|
asymptotische Fläche |
58. |
Krümmungsmass |
11. |
|
asymptotische Linien |
28. |
Meridian |
46. |
|
asymptotische Richtungen |
12. |
Meusnier'scher Satz |
7. |
|
Basis der cylindrischen Fläche 37. |
Mittelpunktsfläche |
14. |
|
|
Bertihrungsebene |
2. |
Nabellinie, Nabelpunkt |
10. |
|
Biegung |
17. |
negative Krümmung |
11. |
|
centrale Fläche |
50. |
Normale |
2. |
|
conforme Abbildung |
33. |
Normalschnitt |
7. |
|
einschaliges Hyperboloid |
51. |
orthogonale Flächen |
26. |
|
Ellipsoid . |
51. |
orthogonal geodätische Para |
- |
|
Flächendiflferentialquotient |
3. . |
meter |
30. |
|
Flächenelement |
3. |
orthogonale Parameter |
22. |
|
Fläche 2. Grades |
51. |
Paraboloid |
51. |
|
Fundamentalgrössen : |
L. 5. |
parallele Flächen |
19. |
|
Gauss'sche Relation |
6. |
Parallelkreis |
46. |
|
geodätischer Kreis |
32. , |
positive Krümmung |
11. |
|
geodätische Parallelen |
30. |
Rotationsaxe |
46. |
|
geodätische Polarcoordinatei |
i |
Rotationsfläche |
46. |
|
(Azimut, Radiusvector) |
32. |
Scheitel ^ |
46. |
|
Hauptkrümmung (Richtungen |
1 |
sphärische Krümmung |
10. |
|
Tangente) |
9. |
Spitze |
46. |
|
Hauptnormalcbeue |
9. |
superficielle Coordinaten |
1. |
|
Hauptnormalschnitt |
9. |
Tangentenfläche |
35. |
|
Hyperboloid |
51. |
zweischaliges Hyperboloid |
51. |
Hain: Ueher den I^euerbach* sehen Kreis, 323
xvra.
Ueber den Fenerbach'schen Kreis.
Von
Emil Hain.
I.
Die Seitenmitten und Höhenfussponkte eines Dreiecks liegen auf einem Kreise, welcher der Fenerbach'sche Kreis genannt wird.
Sind ABC die Ecken, A' die Seitenmitten und Ha die Höhen- fusspunkte des Dreiecks; so hat man in trimetrischen Punktcoordi- naten:
|
^'— 0 |
c |
b |
|
B' -c |
0 |
a |
|
c' — h |
a |
0 |
|
Ha = 0 |
cosy |
cos/? |
|
Hb — cosy |
0 |
cosa |
|
He = cosB |
cosa |
0 |
wo a and o Seiten nnd Winkel des Urdreiecks bezeichnen.
Sind xa die Coordinaten irgend eines Punktes des Feuerbach- schen Kreises, so kann man setzen:
Um die gaa und gbe zu bestimmen, fahren wir die Werte fOr A^ and Ha ein und erhalten:
gbb C08y*-|-^« cos/3^+ ^9^ cos/Jcosy = 0
21*
324 Hain: Ueber den Feuerbach* sehen Kreis,
woraus sich ergibt:
9bb _ _^ 2^>C08/? gcc 2c cos Y
gbc a ghe a
Diese Ausdrücke berechtigen zur Aufstellung des Feuerbach'scben Kreises in der Form:
-Sacosarra* — £axhXe = 0
Ihre Richtigkeit wird durch Einführung der übrigen Werte der A' und Ha bestätigt.
n.
Um die Coordinaten des Mittelpunktes F des Feuerbach'schen Kreises zu finden, betrachten wir zunächst das Mittendreieck A'B'C\ Das Umkreisceutrum desselben ist F. Fällen wir von F auf ß'C und BC Perpendikel, welche in ^/ und A^ treffen; so ist:
^/F==^co^a, A,'F+FA^^^
Fl* T
FA^ = - — 2 cos« = gCOsC/J— y)
wo « r F Winkel, Umkreisradius und Fläche des Urdreiecks be- zeichnen. Man hat ferner:
ZFA^= Z^ — ^2:cosa = \(Shn—r — Q)
wo ha die Höhen und p den Inkreisradius des Urdreieckes bezeichnen. Für die Coordinatenwerte von F kann man den symmetrischen Factor der FA^ ausscheiden, so dass:
F^ cos(/S — y) ^ coaa+2co8/Sco8y Der Feuerbach'sche Punkt ist also ein Symmetriepunkt 6. Dimension.
m.
Die vierfache Summe der Quadrate über den Ver- bindungsgeraden der Ecken eines Dreiecks mit dem Feuerbach'schen Punkt desselben ist gleich der Summe der Quadrate über den Seiten des Dreiecks vermehrt um das dreifache Quadrat über dem Umkreis radius desselben.
Es ist:
y
Hain: (Jeher den Feuerbach* sehen Kreis. 325
FA^ = FB*^+AB'^--'2FB'. AB' COS FB'A Man hat ferner:
FB'=^, AB'=\
Somit:
IV.
Der Fenerbach'sche Kreis geht durch die Mitten der oberen Höhenabschnitte.
Die Seitennormalen Ton A , dem Höhenschnitt H nnd der Mitte A^ von AU sind:
2F
A =— 0 0
a
H ^2rGOBßcosy 2rco8yco8a 2rC08aC08/J
F
A^^ — \-rcosßcoBy rcosycos« rcosacos^
Setzt man diese Werte für A^^ in die Gleichung des Feuerbach'schen Kreises ein nnd beachtet man die Ausdrücke:
2F
^acosa « — = 2Zacos/?COS7 r
SO erhält man:
F^ cos Ä
l^acosaaJo* = [-3JViIcosa
ZaxhXc = (&cos/J+<?cosy)+2Fr7Ico8a
Liegt also A^ auf der Peripherie des Feuerbach'schen Kreises, dann
ist:
„ , /fcosa rcosa r7Ico8a-| «— (ftcosp + ccosy)
Diese Gleichung geht über in:
F
rcosa+**cos/3c08y «= —
AH'\- HHa = AHa
326 Hain: üthtr den Feuerbach* sehen Kreis.
V.
Die Radical-Axe des Umkreises und des Feaerbach- sehen Kreises ist die Harmonikale des Höhenschniites.
Die Gleichung des Umkreises ist: Zax^c=0. Somit bezeichnet
einen Kegelschnitt, der dnrch die Schnittpunkte des Umkreises und des Feuerbach'schen Kreises geht Weil aber
2aC0Saxa^ '= £axa£cOBaxa — £axbrc
so kann die vorhergehende Gleichung auch noch geschrieben werden:
£axn£ cos axa — 2£axbXc-\~ l£axbXe = 0
Setzen wir nun iL = 2, so folgt:
Sa Xu 2^ cos aoTa := 0 £axa = 0 = £cosaxa
Die erste dieser Gleichungen ist die der unendlich entfernten Ge- raden in der Ebene des Dreiecks, die zweite ist die Gleichung der Harmonikaien des Höhenpunktes; somit ist diese die Verbindiings- gerade der beiden endlichen Schnittpunkte beider Kreise.
VI.
Der Ort der Punkte, deren Polaren in Bezug auf den Umkreb und den Feuerbach^schen Kreis einander parallel sind, ist die Centrale dieser Kreise. Zwei Gerade £a^ x«, >= 0 und Sa^x^ = 0 sind ein- ander parallel, wenn:
»1 h <^\
I '
' oj 6, c, «0 ^ a b c
Die Polare des Punktes ia in Bezug auf den Kegelschnitt
ist die Gerade:
Somit sind die Polaren von la in Bezug auf den Umkreis nnd dea Feuerbach*schen Kreis die Geraden:
Z(2oCOS4.|„ - ijc— c|6)i„ == 0 = Sa^xa
Der Ort der Pankte |n, ftlr weicht! diese Geradea einander parallel sind, iflt dio Carvc:
hX(-{-eti, cxa-\-axc axh-\-bxa
= \ 2acmaxa 2AC0B|3xt 2ccoiyxc
= S!a'a"(a*Xa* — bcxiirc) =
= j»^-c»— „*
Die DetermiDante wird hier Nnll ftlr a-n = cos (J cos )■ uDdarn=coso, weil ia beiden Fällen zwei Zollen gleich werden. AoBserdeni ist für Xa = bc
Za'a" {a*xa* — bc XiXc) — 0
Folglich liegen der Uöhenschnitt H, das Umkreiscentram U und der Schwerpunkt S mit F anf dieser Cnrve, d. h. aaf einer Geraden. Denn die andere Gerade, welche dieser Gleichang noch angehört, muBs die unendlich entfernte der Dreieckebene aein. Man nennt jene die Eoler'scbe Gerade^ ihre Form ist: an'a". Ferner ist aus den Formen
(7= cos«, /•=C08« + 2C08/JC08)'
Ä= COSK-f-'^OBjScOaj', H^ COB^COSy
ersicbtlich, daas V and F, S and H zugeordnete harmonische Punkte sind.
Hach diesem ist also die betrachtete Cnrve ein System von zwei Geraden. Und zwar findet man:
ZaV(o«a-a'— icrwrc) = Stta'a"xa.2:axa weil
6'ä"+cV'= a'a"
Nun gilt die Gleichang
2g<u,Xa*+2S:g^,XiXc =0
fbr ein System von zwei Geraden, wenn:
32S Hai*: Cther dem Femer^mtirtd^ J&bs.
ym fdk 9^
gu gu 9hc =Z!S = Ö
$<• gdk $cc
In nnserem Fall ist:
^M = 2aa*a^^ gw = — anThc
Sind also aln: die Seiten eines Dreiecks, so ist: Wien, im Jaimar 1876.
XIX. Miscellen.
EIh Beltrsg rar aeeluiDlselien Qiudratar. Za meiner Abhandlung im 58. Bande N. VI. gebe ich i
Nach §. 6. No. 6. itt
1—121»
1) F=F,-\- j2 -^-
negen No. 2. und No. 4. ist also aocb;
2) J'n')dx = l(yo+yt)+ ^-^^i^-
Da fix) = a^-\ra,x+afX*, 80 ist:
2<H« -/'(*) -r<0) mithin oncb
/x 1 — 121* X
0
Beznchnen vg, yt> y«. y« -•' i^it-3. ysn der Reihe aaoh die werte:
/(s-m), /■(5 + w). - A(2n-l)^-i
/({2«-l)| + U),
330 Miseetten,
80 ergiebt sich, wenn f{x) nach Potenzen von x entwickelbar ist, durch wiederholte Anwendung von No. 3. und zwar am so genauer, je kleiner h ist:
^ 1 — 12X* A*
+ -32— (^'('^) -/'(War
Fttr 1 = i und 1 = 0 ergeben sich die bekannten Formeln:
mA
5) fmdx = h(i/(0)+f{h)+/(2h)+ ... .
+/(n~l)A) + J/(nA))-(/W)-/'(0)) j2 ond
mA
6)//(.)<to =Ä(^Q) +/(f ) +/(¥)+ ...
+/((2»-l)^))+(/'(nA) -/'(O)) ^. Ist/(a;) =aQ-|-^*'l~%*^~f'^8**"l~^4^ ^ ^*^ man:
es ist also der in §. 2. Nr. 2. für // gegebene Ansdrack:
_ 3-20(A»+ft«)+240XV ^*
^ = 24Ö (^ (^^""-^ ^^^^1
nnd daher nach §. 2. No. 1.
X
7) //(ie)«te- 24(A»%«)^^^ -12|4*)(»o+y.)-a-12A»)(«n+^))
3_20(A»4-fi«)+240AV» „ „, ^
"• 24Ö "~^-^ ^'~-^ ^"'^4!
Ffir f4 = 0 ergiebt si9h die einfachere Formel
/» _ 3 201* X*
8) / f(x)dx = 2£p(yo+2(12A»-l)yi+y,)+ ^^^ (/"'«-/"'(O) )j^^.
Für A =- 1 und A = J entstehen:
X
9) y/(*) «te = § ( /(O) + 4/ (^) +/(x) ) - ^^ (/'"(x) -/"'(O) ) j-.
OQd
10)
//W- = = (a/(|) + ..®+3/(|))
+ 2io('""(')-/"'«>»i!' Durch wiederholte Anweadnog der Formeln No. 7. bis 10. erhält man
KähemngBwerte für / /(x) rfi.
Um halbconvergfinte Reihen fflr das Integral in No. i. zn er- halteo, kann man setzen:
>^ 11) y/W^-|(y.+»+».+s.+ ■■• !*)--^(7^i"-*"-'
V d^ /x=nk \ dx' /x=0
Wählt man zur BeBtimmnng der Coeflicientco Ar fUr f(x) den Aosdnick e', so ist:
//(a)dr = «»*— 1; ferner
(.-'»+<+'v (1 +^+,,»>+ ... rf"-- ■
- l.^+t-'^)^ ^^rrf
-T-(«^-l)
Sins
332 MiMcäkn.
Es ergiebt sich daher nach No. 11.
©inj ^ ^^^•
und aach
12) ^(H^ir!*'^'-l + 2— T-
Da die rechte Seite eine gerade Function von h ist, so hat man auch
©ittg
Setzt man 5 r == ^, so ist -42r-i die 2rte Ableitong Ton F
©in 2
fllr A — 0.
Aus A.SodAA = 2K©tn5 ergiebt sich, wenn man die (2r-|-l)te Ableitung bildet und hierin A ^ 0 setzt:
(2r+l)Aar = 2(1 . g^i + (2r+l),^^i + (2r+l),2^
+ (2r + l)2r^)
oder auch:
14) (2r+l){2X)2r « i+(2r+l),2M,+(2r+l),2^^3+ ...
+{2r+l)2r22r^la,.,.
Ftür X«^ erhält man hieraus die Bemoulli'schen Zahlen mit abwechselnden YonBeichen.
Es lässt sich V auch direct nach Potenzen von h entwickeln. Aus
®'»2
(2p)! ergiebt sich durch Mnltiplicatioii:
15) ^„-1 = X^r- (2r),^-ÄiV--« + (2r),^^J5, **■-«+ ...
4r_2
+ (-l)''-4r-^ar-i-
Um die Abhängigkeit der A von il aDzndenten, kann man statt Ai,—i auch A2r-i setzen, es wlkrde alsdann
Asr-i ■= (—!)'+• £sr-i sein.
Kach No. 11. ist nun
16) //W^= 5(yo+s»+y*+y6---!flh.--2i*'"'Kir-iA»';r>0 uad
6' (2r)!
Bezeichnet man die ersten Glieder der rechten Seiten in No. 16. und 17. dnrch F, nnd /i so ergiebt sich
/""
/■i(l— 12>t')-fJi(12A'— 1) 12(A»-^*)
~ 12(A'-ft')^<f'-' '^ - 12ft*)+^a,-i (12i'-l)) tV-l (^ r>l Der Rest beginnt also mit der vierten Potenz von h.
Ea Usst sich leicht nachweisen, dass der Coefßcient A»r~i eine Bemoulliscbe Function ist Da
k ttoäiÄ r«ii+»)* gn^i*i 2^. *"^H^*-i + ^-iJ
@in
ist, so hat man nach den vom Prof. Dr. Hoppe in seiner Differential- rechnung Capitel 8 gegebenen Deünitiou der BemouilHschen Functionen:
also auch:
Es ist aber:
gi«Cl-l) =-C-l)-v-(i), »i« 9iar(l+i) — vilri— 1) mitbin fir(il+i) =«Mr(l + i) und
Jb,(i) -<P!r(i+i).
Kiel im Mfirz 1876.
^
334 Miscellen.
2.
Kote Ober lineare Differential-Oleiehmi^ii.
Petzval stellt im 1. Bande seines Werkes „Integration der linearen Differential-Gleichungen^' und zwar Seite 193 diejenige lineare Diffe- rentialgleichung 2ter Ordnung auf, deren allgemeines Integrale
ist, unter C^ und C^ willkürliche Constante und unter qo^ und 9^ beliebige Functionen von x verstanden.
Nach Petzval ist nämlich diese Differentialgleichung nachfolgende:
-<Pi<Pi')y = 0 (2)
Ich will nun g>i und tp^ specialisiren, und setze erstens:
woselbst m und n constante Zahlen, und q>(x) eine beliebige Function von X bezeichnet.
Hieraus folgen zunächst nachfolgende Gleichungen:
ffPi(x)tix = mg)(ir), fg>^dx = nq>(x) und sodann:
(p^(x) = m<p\x), ^2 = nip'(x)
Setzt man diese Werte in (2), so erhält man eine Gleichung, die durch n — m dividirt, folgende Gestalt hat:
<p'(x).y''-[(m+»»)<p'(x).(p'(x) + <p''(x) V+mfi[<]pV)?.y = 0 (4)
deren allgemeines Integrale:
ist Man überzeugt sich leicht, dass im Falle
ist, der Differentialgleichung:
9' Wy - l^m g>'(x) <p\x)+ q>'\x) ] y '+ m* [ip'(x) ] V = 0 genüge geleistet wird durch
woselbst wieder (\ und C^ willkürliche Constante bedeuten.
MUcelletu 335
Ich setze zweitens
Nimmt man beiderseits die Logarithmen, so erhält man: f<Pj(x)dx ^ m log t/;(x), fq>f{x) dx -=^ n log ^»(x)
and wenn man differentirt, so erhält man:
Durch Einführung dieser Werte in die Gleichung (2) erhält man nach einiger Reduction:
rif(x) t^(a:) ^'{x) y"— ij;(x) [i//(a:) ^"(x) ^{m+n — l)f^'(x) t|;'(x) ] y '
+ wn[ij;'(x)j»y = 0 (5) Dieser Gleichung genügt also
unter ^(x) eine bestimmte Function von x und unt^ m und f^ con- stante 2^hlen verstanden.
Setzt man m=^n^ so geht die Gleichung (5) über in :
i^(x) ^(x) ip'(x)y"- ij;(x) [t^(x) i^"(x)+ (2m - 1) t/;» V''(x)]y'
und das Integrale dieser Gleichung ist:
y = [i^W]*".[C'i + Cilogt^(x)]
wenn wieder, wie früher, C\ und Q willkürliche Constante bedeuten.
Wien, den 28. März 1876. Simon Spitzer.
3.
Beitrag zur Theorie der CIssoide.
Bezeichnen wir mit m die Cotangente des Winkels, welchen die Verbindungslinie eines Punktes der Cissoide i und des Coordinaten- anfanges mit der x Achse einschliesst, so lassen sich die Goordinaten eines beliebigen Punktes der Cissoide als rationale gebrochene Func- tionen des Parameters u^ ausdrücken*), nämlich:
*) Archiv d. Math, and Phys. 56. Teil pg. 144.
336 MüceUen.
" ~ 1 + «»
(l) a
Als Gleichung der Verbindungslinie zweier Punkte uj, u, der Cissoide ergab sich uns:
Vier Punkte u^, f«s, ti,, u^ liegen auf einem Kreise, wenn sie der Bedinguttgsgleichmig'
«*l + «*« + «*S + «*4=»0
genügen. Für einen Krümmungskreis ist u^ = u^ ~ u^ ^ u , daher ist
der Parameter des Schnittpunktes der Krümmungssehne uu^ gleich — 3u, somit die Gleichung der Krümmungssehne
6»V — (1 4- 7tt«)x-fa = 0 (2)
Die Derivation dieser Gleichung nach u ergibt
und setzen wir diesen Wert für u in die Gleichung (2) ein, so er- halten wir nach einiger Umformung
woraus folgt, dass „die Einhüllende der Krümmungssehnen der Cissoide, wieder eine Cissoide ist und zwar eine Affine der gegebenen".
Prag, Februar 1876. K. Zahradnik.
Zahradnik: Tlieorit der Kardiotdt.
XX.
Theorie der Kardioide.
A. Xakradnik.
1. Die Kardioide*) ist eiae Epicyktoide, deren Erzeugnugskreia denselben Halbmesser hat wie der feste Kreis. Ihre Gleichung ist:
Ans dieser Glcicfanng erhellt, dass der Anfangspunkt der Coordinaten und die imaginären Kreispanfcte Boppolpunkto (u. z. Spitzen) der Kardioide sind; demnach besitzt die Kardioide die Maximalzahl der Doppelpunkte, welche Überhaupt eiur Curvc vierter Ordnung haben kann ohne in Curvcu niederer Ordnung zu zerfallen, ist somit vom Geschlecht Null, d. h. die Coordinaten eines beliebigen Punktes der Curve lassen sich als algebraische rationale gebrochene Functionen eines Parameters von demselben Nenner darstellen. Als solcher Para- meter ergibt sieb der Halbmesser eines Kreises, der die KUckkebr- tangente der Kardioide in ihrem reellen RUckkchrpunkte berOhrt**). Jeder Kreis schneidet die Kardioide in acbt Punkten, hat aber die imaginären Kreispunkte mit derselben gemeinschaftlich, was fflr vier Durchschnittspunktc zählt, ferner geht er durch den reellen """''""■>-- pnnkt der Cardioidc nnd berührt die RUckkchrtangento Punkte, was ffkr drei Dnrchscbnittspnnkto zählt, zusamm Bomit erObrigt bloss ein Durchschnittspunkt , dessen Li^ Orttgse des Halbmessers des Kreises eindeutig abhängt
*) Erachirn in Wcyt'e „Archiv mHlheniHiik; n fiiihy." Bd. 1.
■•) Dicun Fnnmetrr wendcle zuerst Dr. Em. Weyr an in «ein Ina; „LemnilriiH in rationaler Behandlung." K. bOhm. Ocsellarh. ■ehaften. Prag IST3.
TMIUX.
338 Zahrad
Die Gleicli&ng des bee
wo V dessen Halbmesser b
FnbreD wir für a;'-f- erbalten wir nach Unterdr
Führen wir nan diesen W< wir nach Unterdrückang di
Dnd mit Rücksicht auf Gl.
Diese Gleichangcu neb
setzeu, wir erhallen so
als die verlangte Gleichung
DnrcbschalttspiiBkte 2. Die Parameter der
mit der Kardioidc erhalten Gl. (7) in die Gleichung d< Btcbeuder biquadratiscbon Q
Zahradnik: Theorie der Kardioide. 339
Zwei der Durchschnittspankte bestimmen die Lage der Greraden, es müssen demnach zwischen den Parametern der Schnittpunkte zwei Relationen stattfinden, iind diese ergeben sich ans Gl. (8). Sie sind
Wi = 0
wo (u)jk Combinationen der Parameter der Schnittpunkte kter Classe bedeutet.
Für «3 = M4 = tt geht die Secante in eine Tangente über und die Gleichungen (9) nehmen dann nachstehende Form an:
Uj -f- wj = — 2u Uju^ = 3.
Diese Gleichungen können wir durch nachstehende quadratische Olei-
chung ersetzen:
t^+2ut + S^0 (10)
deren Wurzeln die Parameter wj und t«j sind.
Die Gleichung (10) besagt uns, dass die Tangente in einem be- liebigen Punkte der Kardioide dieselbe in weiteren zwei Punkten schneidet; dieselben sind entweder reell oder imaginär, je nachdem
u^ 1/3 oder mit Rücksicht auf Gl. (6), je nachdem
> a
^<y3
ist. Diejenigen Punkte, welche den Parametern u = ±y3 ent- sprechen, sind Grenzpunkte und sind bestimmt durch den Halbmesser
a ^ "^ i ~7ö; sie sind Berührungspunkte der Doppeltangente, was wir
später nachweisen werden.
Die Parameter der unendlich fernen Punkte der Kardioide er- geben sich aus der Gl. (7), wenn wir
(l + u2)» = 0 setzen; wir bekommen so
zweimal, d. i. die unendlich fernen Punkte der Kardioide sind ima- ginär und wir können leicht erweisen, dass sie mit den unendlich fernen Kreispunkten zusammenfallen.
22*
340 Zahradnik:
Ans Gl (7) folgt
Für w = + »■ geht diese Gleic
was ZQ erweisen war.
3. Die Gloicbung der Si Pnnkte UjU, der Kardioide ist
Uad — «,»)
1 (1 +».*)*
Nach knrxor Umformnng Beseitigung des gcmeinscbaftlii
I ^ y
I 1— u," 2«,
I — («J+«,) 2 w,'+Uj*»
Für u, = uj = n geht die Sc erhalten so ans Gl. (11)
Mullipliciren wir die dritte S subtrahireu dann dieselbe von
Hier können wir mit dem Factor (1 + »*) kDrzen und wir erhalten 30 die gesuchte Gleichung der Tangente:
(l_3«»)^-f-«(3-i.»)y = 4«. (12)
Diese Gleichung ist in Bezug auf u vom dritten Grade d. b. aus
Zakradail:; Thtorie dtr Kardioitte. 341
eiaem beliebigen Punkte (xy) kann -man zur Kardioidc drei Taugnitou legen, und die Parameter der Boiühningepunktc sind die Wurzeln der Gl. (13) in Bezug auf n. Die Zahl der Taugent< Punkte gibt uns die Clasee der Cnrvo; die Kardioii eine Curve vierter Ordnung und dritter Clasi
Die Ricbtungsconstante der Tangente i§t nach Gl.
_ 1— 3w*
Die Tangente ist zur J-Axe parallel, wenn 1
" iys
ist, BtGht senkreubt zu dieser Axe in den Punkten, dci
sind, und da die Gleichung der Tangente filr beide sich nicht ändert, nfimlicb
so ist crsicbtlicb, dass diese znoi Tangenten in eine zu n&mlich in eine Doppeltangente, wie wir schon im Ai haben.
Asymptoten.
4. Die Asymptote ist eine Tangeute im unendlicb der Curve; wir erbalten demnach die Gleichnngon de der Kardioide, wenn wir in die Gleichung der Tangente der unendlich fernen Punkte einfuhren. Ans den Ol. (
Etla Parameter der unendlich fernen Punkte, und zwa Werte zweimal. Führen wir nun diese Werte in die so «4ialten wir
als Gleichungen der Asymptoten. Dieselbefi sind in schneiden sich in einem reellen Punkte auf der J-Ax femnng a vom Anfangspunkte der Coordinaten, d. b. im des Gmndkreisee.
342 Zakratiuik: Jltforit der Kardiaide,
5. Die Glcichang der Normale im Punkte » ist:
H «(3— ti*)r _ 4^ (1—1*^)1
^ (1+
oder nach einer kleinen Redaction:
0(1 — 3««)— xf«(3 — tt»)](l+t*V + 4at*(l+tt»)« = O.
Diese Gleichung "können wir mit dem gemeinschaftlichen Factor (1+u^), welcher von den imaginären Kreispnnkten herrührt, teilen, nnd so erhalten wir als Gleichung der Normale:
(1 - 3t*-)^ — u(3— tt»)x+4m* = 0. (13)
Diese Gleichung ist in Bezug auf w vom dritten Grade, woraus er- hellt, dass man aus einem beliebigen Punkte (x, y) der Ehene der Kardioido an dieselbe drei Normalen föUen kann, und deren Fnss- punkte ergeben sich als Wurzelii der Gleichung (13) in Bezng anf ».
InTolutlonskesrclselinitt.
6. Die Tangente T im Punkte u der Kardioide schneidet die- selbe in ferneren zwei Punkten m^, u^\ die Tangenten dieser Punkte 7*1 und r, nennen wir zwei coiyugirte Tangenten.
Für dieselben können wir sogleich nachstehende Sätze erwähnen, welche sich leicht beweisen lassen*).
Conjngirte Tangenten der Kardioide bilden eine quadratische Involution.
Jedes Paar conjugirter Tangenten bestimmt auf der Doppeltangente zwei Punkte, welche die Berührungs- punkte der Doppeltangente harmonisch teilen.
Bewegt sich die Tangente T auf der Kardioide, so ändert der Punkt (T, Tg) seine Lage und beschreibt einen Kegelschnitt^ den Weyr- schcn Involutionskegelschnitt. Die Gleichung derselben können wir leicht ableiten. Die Coordinaten des Punktes (7\ Tg) seien «, y; dann sind die Parameter der Berührungspunkte der aus dem Punkte (r, Tg) zur Kardioide gelegten Tangenten gegeben durch die Glei- chung (Art. 3.)
yZA — |^«_3,4j s= 0.
y * ' y
•) Orunert „Archiv für Math, und Phys." Bd. 58. pg. 80.
Zahradnik: Theorie der Kardioide, 343
Zwischen den Wurzeln und Goefficienten dieser Gleichung bestehen aber nachstehende Relationen:
3a;
»
4a — X
y
Nun ist aber (Art 2.)
Mj-|-Mj = — 2tt
t«! uj = 3. Führen wir diese Werte in die obige Gleichung, so erhalten wir:
4a — iP
^ y
EUiminiren wir aus diesen Gleichungen u und ti,, so erhalten wir:
bx^ — 22aa: — 27y » + 8a« = 0
als den verlangten Ort des Punktes {T^T^iy nämlich eine Hyperbel. Ihre Gleichung vereinfacht sich, wenn wir den Mittelpunkt der Hyperbel zum Anfangspunkte der Coordinaten wählen, wir erhalten so
Der Involutionskegelschnitt bei der Kardioide ist eine Hyperbel, welche durch die Berührungspunkte der Doppeltangente hindurchgeht.
Kubisehe Involution.
7. Unter einer jeden Richtung können wir drei parallele Tan- genten zur Kardioide ziehen. Diese Tangenten schneiden die Doppel- tangeute der Kardioide in einem vertauschfähigen Punkttripel, denn mit einem solchen der drei Punkte sind die übrigen zwei eindeutig bestimmt. Diese Punkttripel bilden auf der Doppeltangente eine kubische Involution.
Ein jedes solches Punkttripel S^, Bj, B^ besitzt die Eigenschaft, dass der mittlere Punkt B^ die Entfernung der beiden anderen ^
344 Zairadnil:! JTuorie dtr Kardioiit.
B,, B, in der Weise teilt dass sich die EntfomuDgcD B^O^, B^B^ vom MitU^lpiiDktc der Gmadkreisc unter eiucm Wiokel von 60 Grad«) projieiren *).
Es ist nämlich die Richtongsconstante der Tangeutt^:
Richt«ii wir diese Gteichmig nach den Potenzen von u ein, eo er- halten wir:
Die Wurzeln dieser Gleichung u, , u«, t% sind Parameter der Berflh- ruugspunkU; der Tangenten, wukhc wir nnter einem Winkel, dpsseo Tangente gleich X ist, zur Kardioidc gezogen haben. Die Tangenten sind demnach aach involutorisch , denn mit dem einen BerQhniDgs- punkte u sind vermöge der obigen Gleichung auch die Qhrigen zwei BerObrnngspunkte der zn 7'u parallelen Tangenten gegehen. Die Relationen, welche zwischen den Parametern solcher drei Berfthrangs- pnnkte bestehen, ergeben sich anmittelbar aas der ohigen Qleichonf, sie sind
Lösen wir diose Gleichungen nach (u,-|-u,) und %u, aof, so er- halten wir:
»i+«t-
«1«, -
1+3«'
r die Gleicbnng
2(1+.') ,,
ableiten können. Dieser Gleichungen bedflrfen wir zum Nachweise obengenannten Satzes.
Tangente im Pnnkte u der Kardioide schneidet die Doppel- im Punkte B. Verbinden wir diesen Punkt mit dem Mittel-
ehe Dr. Em. Wcyr: Gnindsügo eii^cr Theurie der cabiechen Involn- }hini]lDDg«a d. k. bOhm. Gescilich. d. Wruenicb. Prng IST«, towit Jeber metriache Winkeltelalionen der Cardioido" SiUb. d. k. bOhm. d. WiiHPich. Frag.
ZatradniL: Theorie Hrr Kardiaidt. 345
punkte des Grandkrekos C, so ist die Tangonle des Winkele, den die Gerade BC mit ücr AbBcisseiiaxe bildet, gleich — w, wie inaa sich leicht ilurcii Bochnung uberzeagcn kann. Eine zur T„ parallele Tangeute beBtimmt auf der Doppel tangente dea Pankt B^, nod die Tangente der Geraden £,C mit der X-Aie ist gleich — 14; ähnlich ist die Tangente der B^C mit der X-Kne ^eich — ug. Bezeichnen wir nan den Winkel BgCB, — 8, 30 iat
Führoa wir die Werte für n^ — u, nud u,ut in diese Glcichnng ein, so erhalten wir:
tga = V3 daher
Ebenso können wir dartan, dass der Winkel -ÖgCS, = 60", (oder dem SapplemeBtarwinkcl 12U''), voraus auch dasaelbo für den Winkel BjCB^ folgt, wonüt der erHähnte S.itz als bewiesen erscheint.
Erointe.
8. Die Anzahl der Normalen, die wir von rinem Pnnktc anf die Cnrve fftllen känaen, bestimmt die Classe ihrer Evolute, somit ist die Enveloppe der Normalen bei der Eardioidc d. i. ihre Evolnte der dritten Classe.
Die Normale X schneidet die benachbarte Normale JV' in einem Punkte der Evolute; ist nun die Gteichnng der Normalen (13)
(l_3t.»)y_(3 — „»)h^+4««= 0
so ist die Gleichung der benachbarten Normalen
6"y+(3— 3a')ir — 4a = 0. (14)
Lösen wir nun diese zwei Gleiclinngen nach x und » nnf. hu erhalten wir die Coordinaten des Schnittpunktes
4a(l+3u»)
' = -3(1+^
'-3(1 + »»)»
als Gleichungen eines veränderlichen Punkt dioide, somit die Gleichung der Evolnte soll
Wir erhalten ihre Gleichung in der For
346
Zahradnilc: Theorie der Kardioide.
wir ans den Gleichungen (13) nnd (14) oder ans den Gleichnngen (15) den veränderlichen Parameter u eliminiren. Zu diesem Behufe ordnei wir die Gleichungen (13) und (14) nach den Potenzen von u^ nnd wir erhalten so
im»— 3yu«+(4a— 3a:)u+y=-0 (16)
3a^«— 6yi«+(4a — 3«) = 0 UT)
Multipliciren wir die erste Gleichung mit drei und dio zweite mit «, so erhalten wir durch Subtraction
— 3^»+2(4a— ar)w + 3y = 0
(1«)
eine Gleichung, welche uns die erste der zwei Gleichungen vollständig ersetzt. Eliminiren wir nun aus Gl. (17) und (18) den ParametcT «, so erhalten wir
0
-3y
0
— 6y Zx
2(4a— 3a;)
-3y
4a— 3« — 6y
3y 2(4a— 3a;)
0
4a — 3«
0
3y
0.
Nach einfacher Umformung geht diese Determinante tiber in:
2a (4a— 3a;)a; 0
—3 4a — 3a? 3y* 2a 0
4a— 3« 3y»
= 0
oder aufgelöst:
12aV + (a?[4a — 3a^] — 3y«)([4a— 3a-]»+V) =0.
Diese Gleichung der Evolute können wir vereinfachen, wenn wir den Anfangspunkt der Coordinaten in den Doppelpunkt der Evolute ver- legen, durch parallele Verschiebung der F-Axe. Dies geschieht, wenn
wir setzen
4a — 3a; = 3|
und diesen Wert in die obige Gleichung einführen; wir erhalten so
Kl*+y*)*-\al{i^-\-y*)^^. ■ (19)
Vergleichen wir diese Gleichung mit der Gleichung der Kardioide. so erkennen wir, dass die Evolute der Eardioide wieder eine Kar- dioide ist, für welche der Radius des Grundkreises ein Drittel ^ gross ist, wie bei der gegebenen Eardioide.
Zahradnik: Theorie Her Kardioide, 347
Barehsehnltte eines Kreises mit der Kardloide.
Die allgemeine Gleicbang des Kreises lautet:
fl;*-f-y* — 2px — 2qp -|- m* = 0
Die Parameter der Schnittpunkte erhalten wir, wenn wir die Werte für X und y aus 61. (7) in die Gleichung des Kreises einfuhren. Ordnen wir das Resultat der Substitution nach den Potenzen von u, so erhalten wir:
mV+(2m«4-8ap)u» — 16agu-f-(16a2 — 8ai)+m^ = 0. (20)
Jeder Punkt schneidet die Kardioidc ausser in den imaginären Krcis- punkten in ferneren vier Punkten, deren Parameter die Wurzeln der Gleichung (20) sind. Aber schon drei Punkte bestimmen die Lage des Kreises, somit muss zwischen den Parametern der vier Schnitt- punkte eine Relation stattfinden, welche uns angibt, wann yier Punkte der Kardioide auf einem Kreise liegen. Dieselbe erhellt schon aus der Gleichung (20), nämlich
(t*)i = ^+«s+«8+«4 -- 0. (21)
Es ist dieselbe Bedingungsgleichuug, aufweiche wir bei der Cissoide*) gekommen sind, es gelten demnach jene Sätze, die wir unmittelbar aus dieser Gleichung für die Cissoide entwickelt haben, auch f(ir die Kardioide, z. B.
Schneiden wir die Kardioide mit einem Kreise in den Punkten t^, u^, wg, u^, und durch die Punktepaare u^, u^ und 1*3, tt^ legen wir zwei andere Kreise, welche die Kar- dioide in den Punkten ^3, v^ rcsp. r^, v^ schneiden, so liegen diese neuen vier Schnittpunkte t?^, v^^ 173, v^ auf einem Kreise.
Krfi mmnugskreis.
10. Wenn drei der Schnittpunkte zusammenfallen, das ist fi, a== W3 =» W4 = tt, geht der Kreis durch drei benachbarte Punkte hindurch, wird zum Krümmungskreise. In diesem Falle geht die Gleichung (21) über in
t*j + 3tt = 0. (22)
Vermittelst dieser Gleichung können wir den Krümmungshalbmesser in einem beliebigen Punkte der Kardioide construircn. Nach der
♦) Siehe Arch v für Math, und Pbvs. 56. B«!. pg. 144.
Gleichung (6) ist « = -■ wo v
cuteprcchoDden KreiseB bczoichi die GIcichQDg (22} ein, so erba
?.^
oder
•4
Wir verbinden Bomit den Pnnkl dinatca 0, nnd enichteu in di eine Senkredite, welche die ^-A u entsprechenden Kreises schneid wir nnn einen Kreis vom Halbn tangcnte der Kardioide in ihrem anf derselben Seite, wo sich d' H, als den Schnit^nnkt des B Senkrechte im Uittelpnkte der i u im Mittelpunkte C des gesni der gesuchte Krflmmnngshalbme
Bezeichnen wir den Ponkt können wir nachstebenden Satz
Die den SchnittpDnkt< dioide conjngirtcPnnkte I
Aas der Gleichung (20) fol| «.«(«). ^ 2 m»(«)g ^ 1( mHu\ = li
Für einen KrAmmnogskreis gebt
M.--a..-'^'-«f+^'
Zahradnik: Thiorie dir Kardütide.
Abs diesen Gleicbangen folgt:
16a»
P =
^a + »"') ,25,
3(1+«*)* '^^^
«-3(1 + «»)»■
Vergleichen wir diese Gleicbni^en mit den Gleicfaimgen (Iß), so seben wir, daaa sie gleich sind, was natOrticb klar iat, da der geometrische Ort der Mittelpunkte der Krümmongskroise tind die Enveloppe der l^ormalen einer Cnrve identisch sind.
B«etlflcatloii der Kardioide. 11. Die Bogenl&iigo einer Cnrve ergibt sich nach der Formel
-Mm+m-
Bei der Kardioide haben wir
8att(3— tt») " (!+»»)>
dy 8<l (1 — 3w*)
/* du ^** ■ /i
Nebmon wir das Integral in den Grenzen 0, qo, so erl balbe BogcnltUige der Kardioide, somit wird die ganze B<
Qnadrolnr itt K«r4toide.
12. Die Fläclie einer Carve ergibt sich Dach der !
350
demoacli fBr '
lutcgrircD wii Flacbe der K
und setzen wi
and die Fl&cli Prag, Fe
XXI. Pol nnd Polare des Dreiecks.
Max Greiner.
Die Grandlagen nacfastehoader Entwicklangen bilden die bei Qreieckflslltze:
Verbindet man oinoa beliebigen Funkt der Ebene mit dei eines Dreiecks und zieht in diesen bczflglich der beiden D: Seiten zu des Verbiudcnden die vierten barmoniHchen Linien, sc diese die gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks in drei P die einer Geraden angeboren
Schneidet man die Seiton eines Dreiecks mit einer bei Transversalen nnd constrnirt auf jeder Seite bcztkgUcb der des Dreiecks za dem Schnittpunkte der Transversalen den harmonischen Pnükt, so gehen die VerbiiiduDgsliuiou dieser mit den gegeuübcrliegenden Ecken dos Dreiecks durch ein« denselben Funkt
Zufolge dieser beiden Sätze entspricht somit hczttglict testen Dreiecks jedem Punkte der Ebene eine und nur eine nnd jeder Geraden ein und nur ein Pnnkt.
Es handelt sich nnu zunächst darum, zwischen zwei solchi sprechenden Gebilden eine Beziehung festzustellen. Seien di< chnngen der festen Dreicksseiten :
A — ao»;+a,y+o,i -= 0
352
Greiner: Pol und Polare des Dreiecks
und xqi/qssq die homogenen Coordinaten eines Punktes, far weldien die Gleichung der entsprechenden Geraden bestimmt werden soll, so ergeben sich zunächst für die Yerbindungslinien dieses Punktes mit den Ecken des Dreiecks die Gleichungen:
B+kC^O-, C+fiA^O; ^-f-vi?=0
und da sie den Punkt (xqPqZq) enthalten, hat man:
also sind ihre Gleichungen:
Die Gleichungen ihrer vierten harmonischen Linien bezQglich der Dreiecksseiten sind demnach:
BCo + CBo=:0', CAq+ACo = 0', AB^-^-BA^^O
Die dem Punkte (xqPqZq) entsprechende Gerade muss aber nadi Satz (1) durch die Schnittpunkte dieser vierten harmonischen Linien mit den Dreiecksseiten gehen, also muss ihro' Gleichung zusammen- fallen mit den drei Gleicbuugcu:
X^(BCo + CBo) + kiA^O (A^(CA^+ACo)+(iiB^O v^(ABo-{'BAo)+ViC=^0
|
und somit ist: |
||||||
|
i. |
= l^iC^ |
= ViBo |
||||
|
Ih |
AjCq |
- v^Aq |
||||
|
*» |
- A,i^o « |
=- f*1^0 |
||||
|
folglich: |
% |
* |
Bq^^O |
An^O |
||
|
i» = |
ii |
• |
f*2 = f*l |
V«
^qBq
Co
Führt man diese Werte von ^2(1^1'^ in obige Gleichungen ein, so fallen die Gleichungen in die einzige zusammen:
oder symbolisch:
ABoCo + BAoCo + CA^^o = 0 P(0) «0
(3)
Hiermit ist für jeden Punkt der Ebene die Gleichung seiner entsprechenden Geraden festgestellt. In der Möglichkeit der Bestim- mung der Grössen A, /i, v liegt zugleich auch eine Beweisführung des Satzes (1).
Es ist nun femer zu untersuchen, wie es sich mit den sämmt-
i I
G reiner: Pol und Polare des Dreiecks. 353
liehen Punkten verhält, deren entsprechende Geraden durch einen festen Punkt gehen.
Sind cr^+j?J5+yC=0 und a'A + ß'B+y'C=^0 die Gleichun- gen von irgend zwei Geraden, so stellt die Gleichung:
(«+Aa')^+(/3+A/5')^-f ()<-(- V)^= 0
eine Gerade dar, die durch den Schnittpunkt der gegebenen Geraden geht. Sei (a-jy^sj) ihr entsprechender Punkt, so müsste nach (3) ihre Gleichung auch die Form haben:
und somit hat man:
kB^C^ = a+Xtt
kA,B, = y+A/
Durch Elimination der Grössen k und k ergibt sich hieraus die Glei- chung der Ortscurven des Punktes (a-^yis^)
Oder: ^5(a/J'-a'/3) + ^C(ya'— y'a)-f^C(/J/— 0'y) = 0
Dreht sich also eine Gerade um einen festen Punkt, so beschreiben die entsprechenden Punkte für die zeitweiligen Lagen der Geraden einen Kegelschnitt, der dem festen Dreiecke umschrieben ist. . . (4)
Hat der feste Drehpunkt die Coordinaten xqi/qZq^ so ist:
aAo + ßBo + yCo-O a'Ao + ß'Bo+Y'Co-0 woraus folgt:
Die Gfleichung der Ortscurven wird also:
ABCo + BCA^-^-ACBq = 0
oder symbolisch:
n(0) = 0 (5)
Es gehört also zu jedem Punkte der Ebene ausser einer Geraden noch ein ganz bestimmter dem Dreieck umschriebener Kegelschnitt.
Sei nun /(ar, y, s) == 0 die Gleichung einer Curve dritter Ordnung, so stellen bekanntlich die Gleichungen:
TeU LIX. 93
354 li rfiinf.r: Pol und Polare des Dreiecks.
^/•'(^o)+y/'(yo)+^/'W=0 und
die erste und zweite Polare des Punktes ixav^z^^) Bezüglich der Curve dritter Ordnung dar.
Betrachtet man nun das Dreieck als eine Curve der dritten Ord- nung, deren Gleichung f= ABC = 0 ist, so ergibt sich hierfür:
f'(y) = ABCi+ACbi-\-BCa^ f'(z) = ABc^ + AC\ + BCa^
also gehen die Gleichungen der ersten und zweiten Polaren eines Punktes (iTo^o^o) bezüglich des Dreiecks ABC gerade über in:
PvO) = 0 und n(0) = 0
Man kann demnach die Gerade P(0) die Polare und den Kegel- schnitt 77(0) den Polkegelschnitt des Punktes (0) bezüglich des Drei- ecks nennen.
Mit Anwendung dieser Bezeichnungen lässt sich nun Satz (4) unter Berücksichtigung der Gleichung (5) in folgender Weise aus- sprechen :
Dreht sich eine Gerade um einen festen Punkt, so beschreibt ihr Dreieckspol den Polkegelschuitt dieses festen Punkti's (6)
Ebenso gilt der umgekehrte Satz:
Durchläuft ein Punkt einen dem Dreiecke umschriebenen Kegel- schnitt, so dreht sich seine Dreieckspolare um den Dreieckspol dieses Kegelschnitts .' (7)
Sobald eines der entsprechenden Polgebilde des Dreiecks gegeben ist, so lassen sich die beiden andern unzweideutig sowohl auf analy- tischem Wege als auch conslructiv ermitteln. Ist nämlich ein Punkt
(0) gegeben, so kann man seine Dreieckspolare mit Hülfe des Satzes
(1) construiren; zieht man alsdann durch den Punkt (0) irgend zwei Gerade und bestimmt hierfür nach Satz (2) die Dreieckspole, so ist durch diese und die Ecken des Dreiecks der Polkegelschnitt des Punktes (0) unzweideutig bestimmt
Die Gleichungen der Polgebilde r{{)) und 21(0) sind nach (3) und (5) von vornherein bekannt, sobald die Coordinat^n des Punktes (0) gegeben sind.
Um zu einer gegebenen Geraden r(0) den Drcie<;kspol und den Polkegelschnitt zu construiren, wendet man Satz (2) und das eben Erwähnte an. Ist die Gerade durch eine Gleichung:
Grtiner: Pol u»d Polar/- J« DreUck^. 355
gegeben, so braucht man nur za berQcksicbtigen, dais im Falle Funkt (jc^yaxti) ibr Dreieckspol sein soll, ihre Gleichung
AB^C^ -\- BAoCa+ CAaBo = 0 sein muss, folglich;
ka = B^t\ ; kß = Ä^Ca \ ky = A^B^ oder «^ = ßB^ = j-Co
woraus sich dio Coordinatcn des Poles bestimmen lassen (S)
Da nun A^ = C^ nnd B^ = |Co ist, so geht die Gleichung (5) des Polkegelsclinitts üher in;
nßAB-\-t.yAC-\-ßyBC -^0 (9)
Ist der Polkcgelschnitt gogehen, so ergibt sich constructiv sein Dreieckspn] als Scfauittpunkt der Drcieckspolarcn irgend zweier Punkte dnasclben. Nach Satz (1) lässt sich dann hierzu die Dreieckspolare constrniren.
Im Falle aber der PulkegclHchuitt durch eine Gleichung von der aBC-ltbAC-\-cAB = 0 gegeben ist, so folgt aus Gleichung (fi):
ka ^= A(,\ kb = B^; kc = C^ oder n : 6 : c = ^0 : ö„ T Co woraus die Coordiuaten des Poles sich ergeben, während für die Gleichung seiner Polaren folgt:
Abe-\-liac-lrCab = b (10)
Hiermit ist der Zusammeniiang der drei Polgebilde des ~ genugsam erläutert.
Einen weiteren Aufscbluss über die gegenseitige Lagt gebilde erh< mau, wenn man von der Gleichung:
Z7(0) = BCAn-\-ACBa+ABC,, = 0
anhebt und sich hieraus durch partielle Differentiation ns die Gleichungen verschafiFt:
n(0)'(ff) =- A{B^l^,+ CJ.,)-\~B(A^c^-\-C^•H)^C(A^^-\■ n(0)'(i) = A{U^c^-\-CJ,t)-\-B[A^Ct-\-C^<i^)-\-C(A^-\-
356 G reiner: Pol und Polare des Dreiecks,
Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit a-^, yo? % nnd addirt, so folgt:
xo n(oy(x) +yo n(0)'(y) + ^ n(oy(z)
= 2{ABoCo+BAoCo + CAoBo) - 2P(0) folglich :
F(0) = xoin(oy{x)+yoin{oy(y)+zoin{oy{z) = o
Da aber der Ausdruck rechts nichts anderes als die Polare des Punktes (0) bezüglich des Kegelschnitts 11(0) darstellt, so folgt:
Die Dreieckspolare eines Punktes ist zugleich die Polare dieses Punktes bezüglich seines Polkegelschuitts. . . . ^ (11)
Es sind also auch die Verbindungslinien des Poles mit den Schnittpunkten seiner Polaren und seines Polkegelschnitts Tangenten an diesen (12)
Um die Gleichung der Tangeute in irgend einem Punkte (3*1^1 Zj) des Polkegelschnitts zu erhalten , multiplicire man obige drei Glei- chungen der Reihe nach mit a-j, y^, zj, wodurch folgt:
x,n(oy(x)-\-y,n(oy(y)+z,n(oy{z) = o oder
A(BoC,+B,C,) + B{A^C, + A,Co) + C(AoB^+A^Bo) = 0
Man hat also insbesondere für die Tangenten in den Eckpunkten des Dreiecks, da hierfür C\ = 0 und B^ = 0, oder A^=0 und Q =» 0, oder ^1 = 0 und B^ = 0 sind, die Gleichungen :
i^6'o-(-i^o^' = 0; ACq + AqC=0', ABq+AqB = 0
Diese Gleichungen repräscntircn aber nach früherem die in den Dreiecksecken gezogenen vierten harmonischen Linien, welche, wie eben bewiesen, zugleich Tangenten des Polkegelschnitts sind. . . (13)
Sollte die Dreieckspolaro eines Punktes diesen Punkt selbst ent- halten, so müsste:
Po(0)=0 oder SA^B^Co^O
sein; dieser Bedingung genügen aber die sämmtlichen Punkte des Dreiecks, und es folgt:
Liegt der Pol auf einer der Dreiecksseiten, so ist seine Polare diese Dreiecksseite selbst. Es kann somit eine Gerade der Ebene nicht mehr als drei Punkte enthalten, deren Polaren durch diese Punkte selbst gehen, und diese sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Dreiecksseiten (14)
Soll der Polkegelschnitt in ein Linienpaar zerfallen, so hat man Bedingungen :
Grein tri Pol und Polare des Dreiecks.
357
n(OY(x) = 0
£liiniiiirt man aus diesen Gleichungen die Grössen -4, J5, C, so folgt:
= ooder
\
A)-^0^0
«0 «2
'3
^0 ^2 1
0
Da aber die letzte Determinante nicht Null sein kann, solange die I>rciecksseiteu sich nicht in einem und demselben Punkte schneiden, so bleibt die Bedingungsgleichung:
welche erläutert, dass nur den Punkten des Dreiecks selbst als Pol- kegelschnitte Linienpaare zukommen.
Liegt also der Pol (0) z. B. auf der Dreiecksseite -4, so ist :
nnd somit die Gleichung des entsprechenden Polkegelschnitts
Es besteht demnach ein solches Linienpaar einerseits aus der- jenigen Dreiecksseite, auf welcher der Pol liegt, und andrerseits aus der vierten harmonischen Geraden, die aus der gegenüberliegenden Dreiecksecke gezogen ist (15)
Den Eckpunkten des Dreiecks entsprechen als Polkegelschnitte die durch sie gehenden Seitenpaare.
Es ist nun ferner zu untersuchen, wie es sich mit den Dreiecks- polaren verhält, deren Pole sämmtlich einer Geraden angehören.
Seien xqi/qZq und Xj^i«! die homogenen Coordinaten irgend zweier Punkte, so sind «"o+Axj, yo"l~%ii ^q-^-^i die Coordinaten eines Punktes ihrer Verbindungslinie; die Gleichung seiner Dreieckspolaren ist somit:
oder
3r)8 Grein er: Pol und Polare des Dreiecks.
AB^Co + BA^Co + CA^B^ + k{A{B^C,+B^Co) + B{A^C, + A^Co) + C(A,,B, + A,B^)) + k^{ABiCj + BA^Ci'i-CAiB^) = 0
oder der Kürze halber:
Eliminirt man aus dieser und aus der nach k diifcrentiirtcn Gleichung:
die Grösse A, so ergibt sich als Gleichung der ümhüllungslinie sämmt- lieber Dreieckspolaren, die den Punkten der Geraden (0, 1) entsprechen:
Sei
aA-\-ßB + yC=0
die Gleichung der Geraden (0, 1), so ist auch
aA^ + ßBo + YCo==0
und somit:
ka = BoC^ — B^Cq-, kß^ A^Cf^ — A^C^', ky^A^B^ — A^B^
Berücksichtigt man diese Gleichungen bei der Umformung der Gleichung
so folgt als Gleichung der Umhüllungslinie sämmtlicher Dreiecks- polaren, die den Punkten der Geraden {ciA'\-ßB'\-yC =^ 0) ent- sprechen :
q> = ^««^-f B2^2_|^Cy— 2^5aj? — 2^Cay— 2J?C/37 . . (16)
Da aber die sämmtlichen Polaren der Punkte der gegebenen Geraden Tangenten dieser Curve q> sind, so müssen nach (14) auch die Dreiecksseiten selbst, als Polaro der Schnittpunkte derselben mit der gegebenen Geraden, Tangenten der Umhüllungscürve sein; demnach folgt der zu (6) reciproke Satz:
Durchläuft der Pol eine Gerade, so berühren seine Dreieckspolaren einen dem Grunddreiecke einbeschriebenen Kegelschnitt (17)
Betrachtet man die Gerade (ctA-^-ßB-^yC -=- 0) als die Polaro des Punktes (0), so ist:
« =r Är^o^o ; ß = ^•A>Q) ; y = ^'A^ü
und somit:
— 2AqBqCq{ABCq-\'BCA^-\-ACB^) =0 . . (18)
Grein tri Pol und Polare des Dreiecks 359
Da von oiaem Punkte aus an einen Kegelschnitt nicht mehr als zwei Tangenten gezogen werden können, so folgt zugleich der Satz:
Auf einer Geraden kann es nicht mehr als zwei Punkte geben, deren Droieckspolaren durch einen und denselben Punkt gehen. . (19)
Denkt man sich zu den sämmtlichen Punkten einer Geraden G die Polkegelschnitte gezeichnet, so enthält nach (6) jeder derselben die sämmtlichen Pole der durch den jeweiligen Punkt der Geraden G gezogenen Geraden; somit enthält also jeder Kegelschnitt auch den Pol der Geraden G selbst, und da dieselben überdies noch durch die Ecken des Grunddreiecks gehen, so folgt der Satz:
Die Polkegelschnitte der Punkte einer Geraden bilden einen Kegelschnittbüschel, der zu Grundpunkten die Ecken des Dreiecks und den Pol der gegebenen Goraden hat (20)
Da aber den Punkten der Geraden G zunächst Polaren ent- sprechen, die alle den Umhüllungskegelschnitt q> berühren, so folgt:
Die Polkegelschnitte der Tangenten eines dem Grunddreiecke einbeschriebenen Kegelschnitts 9 bilden einen Kegelschnittbüschel, der zu Grundpunkten die Ecken des Dreiecks und den dem Kegel- schnitte q> entsprechenden Punkt hat (21)
Denkt man sich* zu den Strahlen eines Strahlbüschels mit dem Mittelpunkte M die Unihüllungskegelschnitte cp gezeichnet, so bilden diese eine Kegelschnittschaar, deren Elemente notwendig die Polare des Punktes M zur Tangente haben müssen, wodurch sich der zu (20) reciproke Satz ergibt:
Die sämmtlichen UmhüUungskegclschuitte , welche den Strahlen eines Strahlbüschels entsprechen, berühren die Seiten eines Vierecks, das aus den Seiten des Grunddreiecks und den Polaren des Büschel- niittelpunktes besteht (22)
Die Pole der Strahlen des Strahlbüschels sind aber die den Um- hüllungskegelschnitten entsprechenden Punkte und liegen nach (6) auf dem Polkegelschnitte des Büschelmittelpunktes; somit ergibt sich der zu (21) reciproke Satz:
Die Umhüllungskegelschnitte, die den Punkten eines dem Grund- dreiecko umschriebenen Kegelschnitts entsprechen, berühren die Seiten des Grunddreiecks und die Polare des gegebenen Kegelschnitts. (23)
Verschafft man sich zu den vier einer Geraden angohörigen Punkten, deren Coordinaten:
360 Greiner: Pol und Polare dw Dreiecks.
seien, die Polkegelschnitte, so sind deren Gleichungen:
A^BC+BqAC+CqAB = JI(0) = 0
AiBC+B^AC+CiAB = 77(1) = 0
{Ao + XA,)BC+(Bo+lB^)AC+(Co + lC\)AB == 77(0) + i /I(l) = 0
{A^+l,A^)BC+(Bo+iiB,)AC+(Co+(iC^)AB = 77(0) +^ 77(1) = 0
Auch aus diesen Gleichungen ist ersichtlich, dass die Polkegel- schnitte der Punkte einer Geraden einen Kegelschnittbüschel bilden, ausserdem folgt aber noch, da das anharmonische Yerhältniss der
vier Punkte - ist, und das anharmonische Verhältniss der vier Kegel-
schnitte oder respective das ihren Tangenten in den Grundpunkten
A des Büschels ebenfalls - ist, der Satz:
Das anharmonische Verhältniss von irgend vier Punkten einer Geraden ist gleich dem anharmonischen Verhältnisse der entsprechen- den Polkegelschnitte (24)
I Insbesondere sind auch die Polkegelschnitte von vier harmonischen Punkton in harmonischer Lage 0)
Verbindet man den Pol (0) mit den Schnittpunkten der Polaren P{0) und des Polkegelschnitts, so sind die beiden Verbindungslinien U(0) und F(0) nach (12) Tangenten des Polkegelschnitts 77(0)-, somit hat man die Gleichung:
77(0) ^ k U(0) F(0) -f fiP2(0)
Setzt man in dieser Gleichung statt xyz die Coordinaten des Pols, dann gehen 77(0) und P(0) über in dA^B^Co, während f7(0)F(0) identisch Null wird, da beide Tangenten den Pol (0) enthalten; man hat also zur Bestimmung der Grösse fi die Gleichung:
oAqBqCq = fi,dA^ Bq Cq
__ 1 oA^BqCq
P(0)«
XU(0)V(0) = 77(0) —
öA^BqCq
somit ist die Gleichung des Tangentenpaares:
r(0) = SA^B.Oo mO) - P(0)« = 0 oder umgeformt:
2^(0) - A^Bo^Co^+B^A^^Co'+C^A^^Bo^
-A^BoCoiABCo + ACBo-^-BCA^) = 0 . . • (26)
Grtiner: Pol und l'uUtre des Itrtitdct.
Da aber nacb (18):
V{0) = ^*S(,'(^o'+-S'VC'o»-fCV*o*
— 2A^B^Co(ABCo+ÄCB„ + SCA^) = 0 so folgt;
V(0) = TiO)—A^B(,C^n(0)
Zufolge dicBPr GleiuhnDg mass der Kegelschnitt <p{0) durch die Schnittponkte des Tangenten paarcs T(0) mit dem Kegelschnitt« 17(0) gehen; somit ist T(0) selbst Tange ntt-npaar des Kegelscboitta v(0).
£s berührt demnach der UmhuUungskegolschuitt einoü Punktes die Seiten des Grunddreiecks und den Pulkegelacboitt dieses Punktes in dou Schnittpunkten desselben mit seinen Dreieckspolaren. . . (2B)
Die Droicckspolaro eines Punktes ist also die Kegel schniltspolare dieses Punktes sowohl bezüglich seines Polarkcgelachnitts, als auch bezüglich des entsprechenden Umhüllungskegel Schnitts (29)
Sind zwei Folkcgelschnitte 11(0} und 11(1) mit ihren ent- sprechenden Polen (0) und (1) gegeben und denkt mau sich für den Kegelschnitt 7T(0) die Polare des Punktes (1) nnd für dun Ecgd- schnitt 17(1) die Polare des Punktes (0) gezeichnet, so werden die Gleichungen dieser Polaren sein:
^,77CO)'(x)+y,n(0)'Cy)+«,77(0)'(z) = ü und
a-o/7(i)'(x)+yon(i)'Cy)4-»on(i)'W = 0
Diese beiden Gleichungen fallen aber in die einzige zusammen:
A(BoO, + B,Ca)+ B{Ai,Ci + AjCo) + C'(A^iB,+A^Bf,) ~ 0
somit folgt:
Zeichnet man za zwei beliebigen Punkten die Polkegelschnitto und zu jedem Punkte die Kegelschnittspolare bezüglich des ihm nicht
entsprechenden Polkegel schnitt s, so fallen die beiden P"' '" "=—
nnd dieselbe Gerade zusammen
In Bisherigem wurden nnr die allgemeinen gegi ziebnngen zwischen den Lagen and Gleichungen der gebilde erläutert, ohne dabei anf besondere Lagen d< siebt za nehmen.
So kann man sich zunächst die Aufgabe vorlegt Polkegelschnitt zu bestimmen, dessen Mittelpunkt sein > Dreieckspol ist.
Sei
77(0) — ABC'o-^ACBo-\-BCAf, =-0
362 Greiner: Pol und Polare des Dreiecks,
m
die Gleichung des gesuchten Kegelschnitts, dessen Mittelpunkt und Dreieckspol zugleich der Punkt (0) sein soll, so hat man die Glei- chungen : *
und hieraus ergibt sich:
k _ k
^ = rTTZTTi ^0 = TZ :"\ Cq =
Vi — Vo* <?0«1— ^l«o' ^ OO^I — «1*0
also folgt als Gleichung des gesuchten Kegelschnitts:
AB (Vi — *i<?o) («^o«! — <?i«o) + ^^( Vi — *i«^ü) («0*1 — ^i*o)
oder die symbolische Gleichung:
I7(«) = 0 (31)
Für die Gleichung seiner entsprechenden Polaren folgt aber:
P(s) = A {h^c^ - h^c^) + B(c^a^ — CiOo) + Cia^h - « A) = 0 (32)
Nun lässt sich aber leicht beweisen, dass die Gerade P(«) nichts andres als die unendlich ferne Gerade der Ebene ist; denn sei
die Gleichung derselben, so müssen in ihr die Coefficienten von / und y Null sein; also:
aaji-f-/J&i+y^i = 0
Durch Elimination der Grössen a, /3, y aus den drei letzten Gleichnn- gen folgt nun die Gleichung der unendlich fernen Geraden:
0
ABC
«0 *0 ^0
«1 h ^1 welche mit Gleichung (32) vollständig zusammenfällt.
Will man sich aber zur unendlich fernen Geraden P(s) den Dreiockspol verschaffen, so hat mau nach Satz (2) auf den Seiten des Grunddreiecks sich zu den Schnittpunkten der unendlich fernen Geraden bezüglich der Ecken des Dreiecks die vierten harmonischen Punkte zu zeichnen, die in diesem Falle die Mitten der Dreiecks- Hen werden; die Verbindungslinien dieser Punkte mit den Gegen-
Greinen Pol und Ptdare des Dreiecks, 363
ecken des Dreiecks sclmeiden sich alsdann im gesuchten Pole, der hier nichts andres als der Schwerpunkt des Dreiecks ist Somit folgt:
Der Droieckspol der unendlich fernen Geraden ist der Schwer- punkt des Grunddreiecks; oder umgekehrt:
Die Dreieckspolare zu dem Schwerpunkte des Grunddreiecks ist die unendlich ferne Gorade (33)
Diese Sätze sind gleichlautend mit denen üher Kegelschnitte, da man den Schwerpunkt auch als den Mittelpunkt des Dreiecks an- sehen kann.
Die Verbindungslinien der Ecken des Dreiecks mit den auf den Gegenseiten liegenden Schnittpunkten der unendlich fernen Geraden sind parallel diesen Gegenseiten und sind nach (13) die Taugentei) des Polkegelschnittes 11(8) in den Ecken des Dreiecks, weshalb der genannte Kegelschnitt der an Inhalt kleinste sein muss, der dem Drei- ecke umschrieben werden kann. Hieraus folgt zugleich:
Der einem Dreiecke umschriebene Kegelschnitt vom kleinsten Inhalte hat den Schwerpunkt des Dreiecks zum Mittelpunkt. . . (34)
Die Gleichung des dem Schwerpunkte entsprechenden Urahtillungs- kegelschnittes wird:
Mit Zuhtilfenahme der Gleichungiu (31) und (32) folgt hiefür die
Gleichung:
P(«)*— 4i7(«) =- 0 oder:
n(s)-iP(sr = 0
Nun ist aber JP(«)* eine constante Grösse, da P(a) == 0 die Gleichung der unendlich fernen Geraden ist; somit ist der dem Schwerpunkte entsprechende ümhüllungskegekclmitt ähnlich seinem Polkegejschnitto und liegt ausserdem mit ihm ähnlich und concentrisch; hat also zum Mittelpunkte ebenfalls den Schwerpunkt des Dreiecks (35)
Für jede durch den Schwerpunkt des Grunddreiecks gehende Ge- rade ist der Umhüllungskegelschnitt eine Parabel, da unter den Tau- genten dieses Kegelschnittes sich «nach die Polare des Schwerpunktes oder die unendlich ferne Gerade botinden muss und diese nur Tan- gente einer Parabel sein kann. Da unter den Strahlen eines Strahl- büschels sich immer ein und nur 'in Strahl befindet, c|pr durch den Schwerpunkt des Dreiecks geht, so muss unter den Umhüllungskegel-
364 Greiner: Pol und Polare des Dreiecks,
schnitten, die den Strahlen dieses Büschels entsprechen, sich imm^ eine und nur leine Parabel befinden. Sonach folgt unter Berücksich- tigung des Satzes (22):
Unter den Kegelschnitten, welche die Seiten eines Vierecks be- rühren, befindet sich immer eine und nur eine Parabel.
Verlegt man aber den Büschelmittelpunkt des Strahlbüschels nach dem Schwerpunkt des Dreiecks, so entspricht jedem Strahle als Cm- htillungskegelschnitt eine Parabel, die die Dreiecksseiten berührt
Den sämmtlichen Punkten des dem Dreiecke umschriebenen kleifi- steu Kegelschnittes entsprechen als Polaren die durch den Schwer- punkt gehenden Strahlen und als ümhüUungskegelschnitto die sämml- lichen dem -Dreiecke einbeschriebenen Parabeln (36)
Den sämmtlich unendlich fernen Punkten der Ebene, die man als der unendlich fernen Geraden angehörig betrachten kann, ent- sprechen als Dreieckspolaren, die Tangenton des dem Grunddreieckc umschriebenen kleinsten Kegelschnittes; und als Polkegelschnitte die sämmtlichen Kegelschnitte eines Büschels, der die Ecken des Grund- dreiecks und dessen Schwerpunkt zu Grundpunkten hat .... ßV
Will man nun den geometrischen Ort aller Punkte, deren P(J- kegelschnitte Parabeln sind, so braucht man blos für die Gleichoog-*
BCAq'^ACBq'^ABCq = 0
in welcher die Coefficienten von x*, y* und xy die folgenden sind:
-^0*0 ^O"!" -^0 ^0 ^0 "f" Q ^*0 A (*0^J +*1^)+ -^0 («0^1+ öl Co) + Co (flo*! +«i *o)
die Bedingung aufzustellen:
Formt man diese Gleichung um, so ergibt sich als Gleichung des Ortes der Punkte (0) gerade:
(p(s) ==» 0 .
Den sämmtlichen Punkten des dem Dreiecke einbeschriebenen Kegel- schnittes, der den Schwerpunkt des Dreiecks zum Mittelpunkte hat, entsprechen demnach als Polkegelschnitte Parabeln, welche dem Drei- ecke umschrieben sind (^)
Da aber eine Gerade der Ebene mit dem Kegelschnitte q>(s) uicbt
Greiner: Pol und Polare des Dreiecks, 365
mehr als zwei Punkte gemein haben kann, so folgt anter Berück- sichtigung des Satzes (20), dass sich in einem Kegelschnittbüschel nicht mehr als höchstens zwei Parabeln befinden können.
Den Punkten jeder Tangente des Kegelschnittes q>(8) entsprechen also PolkegelscLnitte, welche einen Kegelschnittbüschel bilden, der nur eine einzige Parabel enthält ^ (39)
Ein derartiger Kegelschnittbüschel hat aber zu Grundpnnkten die Ecken des Dreiecks und den Dreieckspol der Tangente des Kegel- schnittes g)(«), welcher auf der unendlich fernen Geraden liegt; es gehört also nur einem Kegelächnittbüschel mit einem unendlich fernen Gmndpunkte eine einzige Parabel an (40)
Es ist nun von einiger Wichtigkeit, den Fall zu untersuchen, wenn der Pol in den Höhenschnittpunkt des Dreiecks rückt
Die Gleichungen der Dreieckshöhen sind:
^(a^CQ + aiCi) — C(ao*o+ «i^i) = ^ (1) C(aoÄo+Vi)-^(Vo+Vi) =-0 (2)
^(*o^o + Vi) — ^ («0^0 + «i<?i) = 0 (3)
Seien x^y^z^ die Coordinaten des Höhenschnittpunktes, so folgt aus den Gleichungen (1) und (2)
' ~ %^o+«i<^i ' ' ~ ' Vo +Mi somit ist die Gleichung der Dreieckspolaren des Höhenschnittpunktes :
ABqCq-^ BAqCq-\- CAqBq « 0 oder:
-^(*o^ + Vi) + 'ö(«o^o + öi^i) + ^'(*o^ + *i«i) *=" 0
oder symbolisch:
P{h) = 0 (41)
Für die Gleichung des Polkegelschnittes, der dem Höhenschnittpunkte entspricht, folgt somit:
n(h) — Aö(Vo+*i^i)(«o<?o+öi^i) + ^C'(Vo+*i^i)(öo*o+«A)
+ i?C(aoCo-fa,Ci)(aoio+«iM=0. .(42)
Soll nun der geometrische Ort aller jener Punkte bestimmt werden, deren Polkegelschnitte gleichseitige Hyperbeln sind, so ist der Punkt (0) blos 80 zu wählen, dass in der Gleichung
ABCq-\'ACBq+BCAo — 0 die Summe der Coefficienten von x^ und y* gleich Null wird, also:
366 Greiner: Pol und Polare des Üreierks.
oder:
Der geometrische Ort der gesachten Paukte ist somit die Höben- schnittspolare.
Ben sämmtlichen Punkten der Höhenschuittspolare entsprecbei also als Polkegelschnitte lauter gleichseitige Hyi>erbelu (43}
Diese Hyperbeln müssen aber zufolge des Satzes (20) einen Ke^- schnittbtischel bilden, der zu Grundpunkten die Ecken des Dreieck« und den Höhenschnittpunkt hat. Daraus ergibt sich zugleich:
Alle gleichseitigen Hyperbeln, die einem Dreiecke umschriebea sind, gehen sämmtlich noch durch einen vierten Punkt, nämlich dordi den Höhenschnittspunkt dieses Dreiecks.
Unter den dem Granddreiecke umschriebenen Kegelschnitten be- findet sich insbesondere auch ein Kreis, dessen Gleichung erbaltim wird, wenn man in der^ allgemeinen Gleichung für die dem Dreiecke umschriebeneu Kegelschnitte :
aBC-\-ßÄC-\-yAB == 0
den Coefficienten von xy gleich Null und die von x^ und y* einander gleich setzt; folglich:
«Vo + Z^^o^o + y^o^o *= «*i^i+/^«i^i + yflA Aus diesen beiden Bedingungsgleichungen folgt:
«0*1 + «1*01 h^i + *i^i «0*0 ^1*1» K^Q — K^i
Vi + Voi «0^1 + «1^0
a = ^
/?==f*
y = ^
f*(«ü^ + öi^)(*o<^— *l^)
= f« (&o=^ + *i *) (^o«i — ^löo)
= fA(eo*+ <?i^)(ao*i — «i*o)
Somit erhält man als Gleichung des dem Dreiecke umschriebenen Kreises .
K = ÄB(c^^ + Ci2)Mi - ai*o) + ^(^W + *i*)(^u«i - ^i«o)
+ ^C'(ao2+n,2}(Vi ~*i^o) = ^
Die Coordinaten seines Mittelpunktes 0 ergeben sich aus deu Glei- chungen:
Greiner: Pol und Polare des Dreieck*.
367
oder:
worin «, /3, y der Kürze halber wieder vorige Bedeutungen haben. Es worden somit:
^n = X
al
«0
a<
-« ^
«0
'0
a ^ß
Co^l
= yA
«0
a
-0
ß -7
Substituirt man in diesen Ausdrücken die Werte für a, /?, y und reducirt, so hat man:
äq = v(V+«i*)(Mo+Vi)^
Ci = v(co*+Ci«)(rto*o+öiMp
wobei der den Grössen -4^, i^o, Co gemeinschaftliche Factor ^ den Wert: (Vi"" Vo)(<^o«i"~<^i«o)(«o*i — «A) *>at.
Für die Gleichung der Dreieckspolaren des Kreismittelpunktes M ergibt sich nun:
I
P{m) =
+
+
(V + ^i*)(ao*o+»i*i)
... (44)
und für die Gleichung des Polkegelschnittes, der dem Mittelpunkte des dem Dreiecke umschriebenen Kreises entspricht, hat man:
+ i/C(ao«+a,2)(6oCo + Vi) = 0 . .(45)
welche bezieh uDg! umschriebenen Ei di-eiecks entsprech
AuB dieser B Kegelschnitte ause einem nnd densell
In jedem Drei umschriebenen Ki selben Geraden an
Sei nun M t Kreises, S der Si femer A„, i(«, C, die sich ergeben, Coordinaten der F Geraden MSH:
Setzt man nun doi so sind nach Fral
wodurch die Glcicl
0 reiner: Pol und Polare des Dreiecks.
36Ö
Sei Punkt 0 nun der Pol der Geraden MSH^ so hat mau biefür die Gleichungen:
A> =
Ä
C„ =
«'«i(fty-^yi)' ^^^ft(yi«-y«i)' ' yyx(«i?~«ft)
Der Polkegelschnitt /7(<]r), der dem unendlich fernen Punkte Q der Geraden MSH entspricht, geht zufolge (6) und (37) durch den Punkt 0 (als Pol der Geraden MSH) und durch den Schwerpunkt S des Granddreiecks, so dass seine Gleichung wird:
AB, AC, BC
-^^0^ '^^O? -^0^0
AgBgj AgCsj BiCa
= 0
oder:
= 0
Nun ist aber:
AB, AC, BC
m(ß«i-^ßi^)^ ßßi(yi^—y^i\ ^^lißiY^ßYi y, ß. «
ABaßdaß, +ail5)yj -2a,/Jiy) + ^Cay((«yi + <'iy)A - '^"inß)
+ BCßY((ßn+ßtY)^t-^ßiYi^) - 0
«ft + «i/3=-(V+q»)y
«yi +«iy = — (^0*4- V)i^
Die Gleichung des Polkegelscbnittes n(q) geht somit über in:
^Ä((co»+^,»)y,-h2«,ft)+Ja(*o'+*i')ft+2«iyiH-^^K'+«i')«i
+2ftyi) « 0
Da aber nach (45):
und nach (42):
ABajß^-^ACa^y^ + BCßiYi == n(h) == 0
ist, so wird:
n(q) = 77(m) + 222(Ä) = 0
Nach Vorigem ist aber
— n{8) =^ n(m)-' n(h) = o
Somit ist das anharmouische Verhältniss des Kegelschnittspaares n(m), I7(A) zum Kegel schnittspaare 11(8), Il{q) gleich — i; und
Teil LIX. **
370 (j reiner: Pol und Polare des Dreiecks,
folglich ist nach (24) auch das anharmouische Verhältniss der Punkt- paare M^ n und Ä, Q gleich — ^; also:
HS' HQ~ * Weil aber Q der unendlich ferne Punkt der Geraden MSH ist, so ist;
MQ
und somit ergibt sich:
HQ ^
MS SH^^
d. h. in jedem Dreiecke liegt der Schwerpunkt mit dem Mittelpunkt« des dreieckumschriebenen Kreises und dem Höhenschnitte auf einer Geraden und zwar so, dass ersterer von den beiden letzten Ent- fernungen hat, die im Verhältniss 1 : 2 stehen. *
Es soll nun untersucht werden, wie es sich mit den entsprechen- den Polen einer Reihe von Polkegelschnitten verhält, welche einander ähnlich sind.
Sei «oüac*+an3^^+<«M+2aoi^y + 2ao2«+2aj2S^=0 die Gleichung eines Kegelschnittes, so besteht für den Winkel « seiner Asymptoten die Gleichheit:
Da nun alle Kegelschnitte mit gleichen Asymptotenwinkeln einander ähnlich sind, so müssen für ähnliche Kegelschnitte die Ausdrücke für k einander gleich sein.
Für den Polkegelschnitt des Punktes 0 hat man aber:
«00 = ^o^o<^o + -^o^^o + Q^»*o
«u =• ^oVl+^0«l^l+^0«l^l
2aoi = ^(Vi 4-*iCo) + ^ («o<^i +«i<?o)+ ^o(öo*j +<»A)
und somit ergibt sich als Gleichung für den geometrischen Ort aller Punkte 0, deren Polkegelschnitto einander ähnlich sind:
X =^ [V(Vi-Vo)'+^o'(^o«i-<a«o)'+Q'Mi-«A)'
— 2^o^o(^o<^i — *i<^o)(^o«i — ^i«o) — 2^oQ(Vi — ^i<'o)(«o*i — öi*ö)
Greiner: Pol und Poiare des Dreiecks . 371
oder, wenn man die Bezeichnungen von (3^ und (41) einf^rt, so folgt:
Betrachtet man den Punkt 0 als variabel, so stellt die Gleichung:
«pW — AP(Ä)»«0 (47)
die gesuchte Ortscurve dar, welche ein Kegelschnitt ist, der den Um- hfillungskegelschnitt <jp(«), welcher dem Schworpunkte des Grunddrei- ecks entspricht, in den Schnittpunkten desselben mit der Höhen- schnittspolaren P{h) berührt.
Liegt man der Grösse k nach und nach alle möglichen Zahlen- werte bei, so erhält man lauter Kegelschnitte, deren Punkte die Brei- eckspole einer gewissen Gruppe ähnlicher dem Dreiecke umschriebener Kegelschnitte sind.
Jede Gerade der Ebene hat aber mit jedem der Kegelschnitte:
q>{s) — U\hY = 0
im Allgemeinen zwei Punkte gemein; und da den Punkten einer Cre- raden Polkegelschnitte zukommen, welche einem Büschel angehören, so folgt der Satz:
Unter den Kegelschnitten eines Büschels gibt es höchstens zwei die derselben Aehnlichkeitsgruppe angehören.
Aus der Gleichung:
(«oo + «ij)^
geht hervor, -dass man für i == 0 den Ort aller Punkte erhalten muss, deren Polkegelschnitte Parabeln sind; die Gleichung dieser Ortscurve ist also: g>(«) = 0 was mit dem in (38) Gefundenen übereinstimmt:
Für iL = 00 ist der Kegelschnitt eine gleichseitige Hyperbel und
folglich
P(h) = 0
die Gleichung des geometrischen Ortes aller Punkte, deren Polkegel- schnitto lauter gleichseitige Hyperbeln sind, was schon in (43) er- wähnt wurde. Da jede Gerade der Ebene den Kegelschnitt höchstens iu zwei Punkten und die Gerade P{h) blos in einem Punkte treffen kann; so folgt, dass unter den Kegelschnitten eines Büschels, sich höchstens Parabeln und immer eine und nur eine gleichseitige Hyperbel befinden.
24*
372 G reiner: Pol und Polare des Dreiecks.
Dia Tangenten des- Kegelschnittes ^>{s) haben unendlich ferne Punkte zu Dreieckspolen und haben mit dem Kegelschnitte g>(#) nur einen einzigen Punkt gemein; daraus geht hervor, dass wenn von den Grundpunkten eines Kegelschnittsbtischels der eine in der ünendhch- kcit liegt, so geht durch diese vier Grundpunkte nur eine einzige Parabel. Durch die Richtung, in welcher der unendlich ferne Punkt gelegen ist, ist dann zugleich die Richtung der Parabelaxe gegeben.
Irgend eine feste Gerade G der Ebene wird nun von den Kegel- schnitten, welche von der Gleichung: 9(«) — ilP(Ä)* = 0 bei sich stets ändernden A, vorgestellt werden, in Punktepaaren gesehnitten, denen als Polkegclschnitte immer die Kegelschnittpaare einer und derselben Aehulichkeitsgruppe im Kegelschnittbtischel , der zur Geraden G ge- hört, entsprechen.
Da aber die durch die Gleichung (jpCs) — AP(ä)* = 0 repräsentirten Kegelschnitte selbst einen Büschel bilden, so sind die auf der Ge- raden G von ihnen ausgeschnittenen Punktepaare in Involution. Es folgt somit der Satz:
Die Polenpaare der paarweise auftretenden einander ähnlichen Polkegelschnitte eines und desselben Büschels gehören einer Involution an (48)
Dieser Involution kommen aber stets zwei Doppelpunkte zu, wo- von der eine immer der Schnittpunkt der Geraden G mit der Höhen- schnittspolarcn V(K) ist, während der zweite als Berührpunkt des- jenigen Kegelschnittes erhalten wird, der überdiess noch den Kegel- schnitt <;p(«) in den Schnittpunkten der Höhenschnittspolaren berührt Den Doppelpunkten entsprechen nur gleichsam Doppelkegelschnitte, wovon der eine immer eine gleichseitige Hyperbel ist, der andere aber einer Aehulichkeitsgruppe angehört, die von vornherein durch die gegenseitige Lage der vier Grundpunkte bedingt ist.
In Früherem wurde erläutert, dass die Kegelschnittspolare des Punktes 0 bezüglich seines entsprechenden Polkegclschnittes zugleich seine entsprechende Dreieckspolare ist, dass also die Tangenten, welche vom Punkte 0 an den Kegelschnitt 17(0) gezogen werden können, denselben in Punkten 1 und 2 berühren, die der Dreiecks- polaren P(0) angehören.
Da aber die Punkte 1 uud 2 als Berührpunkte des Polkegel- schnittes auch diesem angehören, so bestehen die Gleichungen:
1^(0) = A^B^C^-\- A^C^Bq'\- B^C^A^ = 0
(j reiner : Pol und Polare des Dreiecks. 373
Die Gleichangeii der Dreieckspolaren der Punkte 1 und 2 sind aber:
A^B^C-^- A^C^B-^-B^C^A = 0
Aus diesen und den beiden obigen Gleichungen folgt aber so- fort, dass die Polaren der Punkte 1 und 2 auch den Punkt 0 ent- halten (49)
Die Gerade 0,1 hat aber als Tangente des Kegelschnittes 11(0) im Punkte 1 die Gleichung:
x,in(oy(x)+y,in{oy(i,)+z,in{oy(») = o
oder:
A(BoC, + B^Co) + B(A^C\+A^Co) + C'iA^ßi+A,Bo) = 0
Sei Punkt k der Pol der Linie 0,1, so muss sein
k k ^ k
Da aber Punkt 1 auch auf den Dreieckspolaren des Punkte» 0 liegen soll, so ist:
Fi(0) = A^BqCo + B^A^Co+C^A^Bo = 0
und hieraus:
A^BqCq
Bq^i 4" -^iQ) = —
^0
A^C\-\- A^Cq — ^
'o
und somit:
^*~ A^oQ' A^o^o' ^i^o^o
oder:
—^kB^C^ _ A^ . ^iBiA^C^ _ ^0 . Z_^M)^o _ ^0
T ""^,' k 4' ^ ^1
Dividirt man die Gleichung:
HiCO) = B^C^Aq+A^C\Bq-\-A^B^C^ = 0
mit der Grösse A^B^C^^ so folgt:
und folglich:
A+B+-C\ = '^
374 Greiner: Pol und Polare des Dreiedcs.
d. h. der Pol k der Geraden 0,1 liegt auf der Dreieckspolarcn des Punktes 0. Ganz ebenso lässt sich zeigen , dass der Dreieckspol des Punktes 2 ebenfalls auf der Geraden P(0) liegt
Nach (41) müssen aber die Dreieckspolaren der Punkte 1 und 2 durch den Punkt 0 gehen, und somit kann unter Beracksichtigiing des Satzes (19) der Pol der Geraden 0,1 nur zusammenfallen mit dem Punkte 2 und der Pol der Geraden 0,2 nur zusammenfallen mit dem Punkte 1.
Das Dreieck 0,1,2 hat also die Eigenschaft, dass die Yerbindongs- linie zweier Eckpunkte die Dreieckspolare des dritten Eckpunkte ist (50)
Ist eine Ecke des Dreiecks gegeben, so sind die beiden andern, als die Schnittpunkte der Dreieckspolaren und des Polkegelscbnittes vollständig bestimmt.
Der Polkegelschnitt irgend einer Ecke des Dreiecks geht durdi die beiden andern Ecken und berührt hierin die beiden Seiten des Dreiecks.
Bekanntlich stellt die Gleichung:
eine Curve dritter Ordnung dar, welche durch die Gerade A' in drei Wendepunkten geschnitten wird, deren Tangenten die Geraden i4, B, C sind. Rückt aber die Gerade A' in die Unendlichkeit, so geht die Curvengleichung über in:
ABC+ |ü = 0
worin fi eine Constante bedeutet
Für diese Curve der dritten Ordnung, die also drei unendlich ferne Wendepunkte hat, gelten nun ganz dieselben Polarbeziehungen wie für das Dreieck ABC^ da mau hiefür ebenso als Gleichungen der ersten und zweiten Polaren eines Punktes 0 die Gleichungen
p(0) c= 0 und n(0) =- 0
hat, die unabhängig von der Grösse fi sind.
Dostor: Les polygones rayonn€8 et les polygonts €toU€s» 375
xxu.
Les po]ygones rayonn^s et les polygones ^toil^s.
Par
Georges Dostor.
1. Definition. Nous doanerons le nom de polygone rayonn6 k tout polygone compos^ alternativement d'angles saillants et d'angles rentrants, et tels que les c6t^8 de cos angles sont deux par deux en ligne droite.
Tels sont les polygones ABCDE (tig. 1) et ABCDEF (fig. 2)
2. Chaqne c6te . du polygone rayonn^ Joint les sommets de deux angles saillants, en passant par les sommets de deux angles rentrants qoi leur sont contigus.
Ainsi, dans le polygone rayonn6 ABCDE (fig. 1), la droite AB^ joignant les sommets des angles saillants A et B^ en passant par les sommets a Qi h des deux angles rentrants contigus, est un c6t6 du polygone.
De meme dans le polygone ADCDEF (fig. 2), les droites AB et EF sont des c6t6s.
3. Un polygone rayonn6 a autant de cötes que d'angles saillants et que d'angles rentrai
Qaand nous parlerons des sommets ou des angles d'un polygone rayonn^, nous n'entendrons parier que des angles saillants de ce polygone, abstraction faite des angles rentrants, ä moins d'avis contraire.
4. II est Evident que, si Ton parcourt, dans le meme sens, le contour d'un polygone rayonn6, ou trouvera nn meme nombre ;> de
37() Dostor: Lex polygones rayonn€s et les polygones ÜoiUs.
*
sommcts ä droitc de chaqae cote ot anssi un memo nombre q de sommets ä, gauche de chaqae c6t6; et, si n designe lo nombre des cotes de ce polygone, on aura n = /) -{~ 5 4" 2.
Dans le pontagoue rayonn6 ABCDE (fig. 1), on a /> = 1 et (2 = 2; et dans Thexagone rayonn6 AßCDEF (fig. 2), p est ^gal ä 1 et q est egal ä. 3.
5. Un polygone irayonnö est dit de Tespöce c, lorsque le pIns petit des dQux norobres p Qt q est 6gal k e — 1.
6. Si Tun des deux nonibres /? et 5 est nul, l'autre sera ^gal a n — 2, ot Ton aura c= 1; dans ce cas le polygone sera convexe. Donc les polygones c'ouvexes sont de premi^re cspece. Les aiigles rentrants y sont 6gaux chacun a deux anglos droits.
7. Au moyen d'un polygone convexe ahcdefg.., (fig. 3) de » cöt6s, on peut avoir tous les polygones rayonn^s de « cöt^s.
8. Le polygone convexe est de prcmi^re esp^ce.
Pour obtenir le polygone rayonnö de deuxi^me espöce ayant n c6t^s, on suivant le p^rimetre dans le meme sens, on prolonge les cötes de deux on deux, jusqu'ä leurs intersections mutuelles.
Ainsi les cötes ab et cd se coupeut en A\ les cöt^s cd et ef en B'\ les c6t6s ef et ga se rencontrent en C', les cötes ga et o* en Z>'; et ainsi de suite.
Si le polygone convexe donn6 a un nombre impair de cötes, c'est-ä-dire si « est premier avec 2, tous les cöt6s de ce polygone aurons 6t^ prolong^s dans les deux sens, et, apr^s avoir d^termin^ « intersections de deux cöt^s adjacents k un meme troisi^me cöte, on sera revenu au premier point d'intersection obtenu.
Si, au contraire, le nombro n est pair, comme le cas se präsente dans la figure 2, on partira du premier cöt6 ah de Thexagone ahcdef^ et Ton prolongera les cöt^s de deux en deux, ce qui foumira les trois sommets -4, B et C; puis on partira de meme du second c6t6 bc en eflfectuant des prolongements analogues, ce qui donne les trois autres sommets Z>, E et F.
9. On obtient le polygone rayonn6 de troisiöme esp^ce ayant n cöt^s, en prolongeant de trois en trois les cöt^s du poly- gone convexe de n cöt6s jusqu'ä leurs intersections mutuelles. Ainsi les cöt6s ab et de se coupent en A ; les cöt^s de et ga se rencontrent en B\ ga et cd se coupent en C; et ainsi de suite.
Si le nombre n des cöt^s du polygone convexe est premier avec
Do 8 ton Lea polygones rayonn^x et Us polygone$ itoiUs, 377
*
3, toas les c6t^8 de ce polygono aoront 6t^ prolong^s dans les denx sens, et, apr^s avoir d^termin^ n intersections de deax c6t^s adjacents k deiuc c6t^ contigus, ou sera revenu au premier point d*iutersection obtenu.
Si, an contraire, le nombre n est divisible par 3, comme cela se präsente pour Tenii^agone, on fera les prolongements indiqu^s, en partant d*abord du premier cot^, puis du second et enfin du troisi^me cöte. On trouvera ainsi que renn^agone rayonn6 de troisi^ine esp^co (iig. 4) se compose de trois triaugles, dont les neuf sommets termi- nent les neuf rayons d'une Atolle.
10. On obtiendra les polygones rayounes de n cotes, qui sont d'une osp^ce sup^rieure h la troisi^rae, eii prolongeant, dans les deux Bens, les cdt^s du polygone convexe do 4 en 4, de 5 en 5, . .. de
n
— 2 n — 2 , n— 1 n—\
2 en — ö~ ou de ^ en — ö"" s'*^^*'^*^ Q^® ** ^^^ P*"" ^^ impair.
11. On voit ainsi, d'apr^s ces constructions, qu'il y a autant d'especes de polygones de n c6t6s, qu'il existe de nombres entiers inferieurs ä la moiti^ de n ou de n-j-1, suivant quo n est pair ou impair. La premi^re esp^ce de ces polygones est le polygone con- vexe de n c6t6s.
II y a 2 esp^ces de pentagones, 2 esp^ces d*hexagoues, 3 d'hepta- gones, 3 d'octogones, 4 d'enn^agones et de d^cagones, et ainsi de suite.
12. II est ais6 de s'assurer que le polygone, ayant n c6tes, de Pespöce |), peut s'obtenir au moyen du polygone, ayant n cdt^s, de Tesp^ce p — 1, en prolongeant dans ce demier les cötes de deux en deux, dans les deux sens.
Ainsi le polygone ÄBCDEFG (fig. 3) s'obtient aussi, en pro- longeant de deux en deux les cöt6s du polygone A' B* C D' E^ F* G^ de Tesp^ce imm^diatement inf^rieure d'une unit^. £n effet les c6tes A*B' et C'Z>' se coupent en C; C'iy et E'F' en B; E'F' et G'A' en A-, &A' et B*C' en G\ B'C et D'E' en F,, D'E' et F'G' en JS; F'G' et A'B' en D.
13. On voit encore que les sommets des angles saillants du polygone d'une esp^ce quelconque sont les sommets des angles ren- trants du polygone de Tesp^ce imm^diatement sup^rieure.
Dans le polygone A'B'C'iyE'F'G' (fig. 3), les sommets A\ B\ C, . . . des angles saillants sont les sommets des angles rentrants du polygone ABCDEFG de Tespöce imm^diatement sup6rieure.
378 Dostori Le8 polygones rayonn€s et le$ pofygoties itoiUs,
14. Th^rdme I. La difförence des angles saillants de deux polygones rayonn^s, ayant le m6me nombrc de cot^s mais 6tant de denx esp^ces cons^cutives, est con- stante et ^gale ä quatre angles droits.
D^signons par Sp^\ et ^^ les sommes des angles saillants des deux polygones cons^cnÜfB de n cdt6s A'B'C* ... et ABC, . . (fig. 3), quo nous supposerons Tun de Tesp^ce p — 1 ei l'antre de Tesp^ j».
Tirons les droites AF, FD, DB^ . . . ; nous formons un poIygone convexe de n cot^s AFDB . . . ; sur les cötös de ce polygone s'ap- puient les n triangles AFE\ FDB\ DBF\ . . . dont les angles au sommet, E\ B\ F\ ... sont eganx aux angles saillants de Tesp^ce p — 1; nous avous donc
Sp-i = 2n droits —(E'AF'\-E'FA']-B'FD + B'DF+..,).
Mais la somme des angles entre parentb^ses ^gale la somme des
angles du polygone convexe AFDB,,, de n cöt^s, moins la sonune
des angles saillants du polygone rayonn6 ABCD ... de Tespece p\
eile ^gale par suite
(2i»— 4) droits — Sp.
On a donc
Sp-i = 2n droits — [(2n — 4) droits —Sp], d'oü on tire (I) ;S^i — <Sp = 4 angles droits.
15. Corollaire. Dans tont polygone rayonn^, la diff^- rence entre la somme des angles rentrants et celle des angles saillants est constante et 6gale k quatre angles droits.
16. Th^or^me II. Dans tont polygone de m c6t6s et de Tesp^ce p, la somme Sp des angles (angles saillants) est ^gale k autant de fois deux angles droits, quMl y a d'nnit^s dans le nombre de c6t^s diminu^ du double nombre de l'esp^ce.
Par r^galit^ (I) nous avons
Sp = Sp—i — 4 angles droit«;
donnant k p snccessivement les valeurs 2, 3, . . . /)-i, p et observant que Si =« (2n — 4) droits, on forme les 6galit68
Sf = (2n— 4) droits —4 droits,
^5 =- iSj — 4 droits,
Sp «« 8p-i — 4 droits.
Do stör: Les polffgones ragonnis et les polygonts iloiUs, 379
Ajoatant ces p — 1 ^alit^s membrc k membre et r^duisant, on ob- tient la valeor
Sp = (2n— 4) droits — 4(jb — 1) droiU = (2«— 4p) droits,
DU
(II) Sp = 2in'-2p) angles droits.
17. Corollaire. Si n est pair, Tesp^ce la plus 6iev^c sera marqa^e par le nombre ^ ; donc on aora
(in) ^4(»-2) = 2[n — (n — 2)] droits = 4 angles droits;
et si n est impair, Tesp^ce la plus 6lev6e sera marq.uee par le nombre
—^ \ par suite il viendra
(IV) S^(n-i) = 2[n — (n— 1)] droits = 2 angles droits.
II s'ensoit qae La somme des angles da polygono ray- onn6 de Tesp^ce la plus dlcv^e, parmi ceux d'un roerae nombre de cdt^s, est ^gale a quatre ou h deux angles droits, snivant que le nombre des cöt^s du polygone est pair ou impair.
Ainsi la somme des angles du triangle, du pentagone de 2^^^ esp^ce, de Theptagone de 3^™« esp^ce, de Tenn^agone de 4*"« esp^ce, etc. est ^gale k deux angles droits.
18. Th^ordme III. Dans tout polygone rayonnö, la somme des angles ext^rieurs, qu'on obtient en prolon- geant les c6t6s dans le m6me sens,' est ^gale ä autant de fois quatre angles droits qu'il y a d'unit^s dans Tesp^ce du polygone rayonn^.
£n effet la somme des angles, tant ext^rieurs que saillants, est 6gale h autant de fois deux angles droits que le polygone a de som- mets ou de c6t^s; mais, si le polygone, suppose de n cot^s, est de i'esp^ce Pj la somme des angles saillants sera
^ = 2(n— 2p) angles droits-,
on a par suite, pour la somme S des angles ext^rieurs
iS= 2n angles droits — 2(n — 2p) angles droits ou
>S=(2n — 2n+^) angles droits; donc
(V) S=:p fois 4 angles droits.
Dans le pentagone de 2*»« espöce, la sonune des angles ext6rieurs est de huit angles droits.
380 Dos ton Les polygones rayonn€s tt les polygones &oU€a,
§ n. Les ptlygfiies myonn^ regvllers.
19. TWor^me I. Dans un polygone rayonn6 regulier, de n c6t^s et de l'esp^ce />, chaqae angle saillant est
egal k l'exc^s de deux angles droits sur — angles droits;
et chaqae angle rentrant est egal k Texc^s de deux angles
, .. 4(p — 1)
droits sur — angles droits.
Car les n angles saillants sont ^gaux entre eox et lenr somme est ^gale k (2n— 4p) angles droits; de mSme les n angles rentrants sont eganx entre eux et leur somme est 6gale k 2w — 4(p — 1) angl« droits.
20. Corollaire. Dans un polygone rayonne regulier, la difference entre an angle rentrant et un angle saillant est 6gal k Tangle an centre du polygone regulier.
21. TMordme II. La surface du polygone regulier de n cotes et de Tesp^ce p est
, Tt p . sin— cos-«
(VI) P^nRK \ ; .
p — 1
cos n
n
Joignons le centre O ä un sommet A de ce polygone (fig. ^) et aux deux sommets voisins Ä' et E* du polygone regulier de » c6t6s et de Tespöce p — 1, qui sont situ6s sur les cöt^s issus du sommet A dans le polygone de l'esp^ce p. La surface de notre polygone se composera de » quadrilateres tels que AA^OEf oa de 2n triangles tels que AA'O. Noiis aTons donc
P=^2n.AA'0.
Or, dans le triangle AA'O^ le cöt^ AO est 6gal au rayon R du cerdc circonscrit au polygone donne; l'angle OAA^ est la moiti6 de Tangle A'AE ou la moiti6 de la n^^^ partie de (n — 2p)n^ de sorte que
OAA' = Ti—'n,,
et rangle AOA' est la moiti6 de la n«»« partie de quatre angice
droits ou 6gal & ^r- = ~ La surface de notre triangle AA'O est
ainsi 6gale k
. » p
• Ar^A^ • ^ A Af Sm-COS-«
1 »2 8^" AOA .sm OAA ^ n n ,
^^ sin^'O ^*^ P^^T"'
cos^ n
n
Jjostor: Les polytfones rayonnix et lea polyyonea iloilia, 381
doQC ou a
. n p am -cos- n
p = „Ä«. " » .
/>-— 1
C08^ 1t
n
22. Corollaire I. Le rayon r du cercle inscrit dans notre
polygone rayonn^ regulier est ^videmment ^gal ä ifsiii0^il' =
(it p \ p
Äsinl^ — ^) = i^ cos -7t; par consequent nous avous aussi
sin (VII) P^nRr.- **
p-1
cos^- n
n
23. Corollaire II. Le demi-cöt6 ^ = "ö" ^^ polygone regulier
Stallt 6gal ä RcosOAA' = Rcos(n — -n) = Rsin-n. il vient en-
core
. n p sin — cot- n
(Vni) . P = inaR . —V-,—-
p — 1
cos^^ n
n
24. Corollaire UI. On d^duit de \k que
(IX) , n . TC . ^ ^?^
sm— 8in— sin— cot- n;
P= \nar . z — = nr* — z — == \na^
. P P — 1 P P — ^ . P P — 1 sin -«COS — n cos-TTCos^ n sm-wcos^ tc
n n n n n n
§ III. Les ptlygf les ^toil^.
25. Definition. Parmi les polygones rayonn^s, les ans se com- posent de polygones convexes distinets, d'autres an contraire ont un p6rim^tre.
Selon Tosage, nous dounerons le nous de polygone 6toil^ k tout polygone rayonn^ dont les cöt^s forment une suite continaO) tels qu'en les parcourant dans le mSme seus, on revienne au sommet de d^part, apr^s avoir pass^ par tons les autres sonimets et une senle fois par chacun d'eux.
Tels sont le pentagone (tig. 1), l'heptagone (fig. 3)
382 Do 8 ton Lea polygone» rayonnis et Um polygonts ^loiUa,
26. Th^or^me I. Etant donn^e ane courbe convexe divis6e en n parties cons^cutives aux points 0, 1, 2, 3, ... (fig. 6.), lorsqu'on* Joint ces points par des droites, de p en />, k partir de Tun djeux, de 0 par exemple, on formert an polygone ^toil^ si los nombres n et p sont premiera eutre eux et Ton n'en formera qu'un.
En effet, si, ä partir da point 0, on Joint les points de di?iaoii de p en p, jusqn'ä ce qa'on ait tir^ n droites^ on aora franchi sac- cessivement des nombres de division de la courbe exprim^s par
(1) p, 2p, 3p, ... np.
Pour trouver les points de division par les quels ou aora pass^ 11 suffira evidemment de sopprimer, dans chacan de ces n nombres, le plus grand multiple de n qui y soit contenu; les restes obtenus marqueront les points de division de la courbe qu'on aura reli^s. Or je dis que les n restes aiusi obtenas sont tous diff^rents.
Car soient r et r' deux quelconques de ces restes; les deui nombres correspondants de la s6rie (1) seront de la forme
ap = j3«-|-r, a'p = jS'n -[-»•'• Si les deux restes r et r' pouvaient etre ^gaux, on aurait
ap — «'p = ßn — ß'n OU (a — a)p = (ß — jS')n,
et le produit (a — a')p serait ainsi divisible par «; or n est premier avec p, par suite il diviserait la difference « — «', ce qui est impos- sible, puisque a et a' sont moindres que n,
Donc les n restes de la suite (1) sont tous differents; et, comm^ il sont moindres que »i, ils sont form6s par les n nombres entiers 0, 1, 2, 3, ... (n — 1) infdrieurs k n, pris dans un certain ordre. Ainsi, en joignant les n points de division de notre courbe, de p en Pj par une ligne brisee continue, on aura pass^ par tous ces n points et une seule fois par chacan d'enx; donc le polygone r6sultant sera 6toil6 et de Tesp^ce p.
27. Corollaire I. D est Evident que le p6rim6tre de notre poly- gone 6toil^ sons-tend np divisions de la courbe^ ou p fois la courbe elle-mßme.
28. Corollaire II. Si les nombres n et p avaient un diviseor commun e/, on verrait, par un raisonnement analogue, qae le poly-
91
gone, fonn6 en les points de p en p, n'a que - c6t6s et que 8on
P p6rim^tre sous-tend ^ la courbe.
I
Dos Ion Le» polygones rayonaitt et lea polygones itoUi», 383
29. Tb^or^me IL II existe autant de polygones ^toil^s de n cotes, qu'il y a d'unit^s moins uBe daBS la moiti6 da nombre qui exprime combien il y a de nombres en- tiers inf^rieurs ä n et premiers ayec lui.
Soient, en effet, 1, a, 6, c, ... n — c, n — ft, n — a, n — 1 les nom- bres entiers, qui sont inf^rieurs ä n et premiers avec Ini. Divisons une courbe formte convexe en n partics, et joignons les points de division de 1 ä 1, de a en a, de & en 6, ... de n— 1 ä n— 1. Chacun des nombres 1, a, *, ... (w — 1) 6tant premier avec n, on obtiendra de la Sorte autant de polygones ä p^rimdtre continn, qu'il y a de nombres entiers, inf^rieurs ä n et premiers avec lui.
Mais ees polygones sont deux ä deux de mSme esp^ce. Car le polygone, qu'on obtient en joignant les points de division de p en p, a j5 — 1 sommets d'uue part de chacun de ces cöt^s et n — p — 1 sommets du cöt^ oppos^; et le polygone qa*on obtient en joignant les points de division de n — p ä n — p, a aussi n — p — 1 sommets d'une part de chacun de ces c6t§s et par suite />— 1 sommets d'autre part; donc ces deux polygones sont de meme esp^ce.
Or deux de ces polygones sont convexes; parsuite, si a exprime
combien il y a de nombres införieurs ä n et premiers avec lui, il
existera autant de polygones etoil^ a^^ant n cdt^s qn'il y a d'unit^s
a — 2 a dans — g- =2 — ^*
On trouve ainsi qu'il y a 1 pentagone Atolle, 2 heptagones ^ilös, 1 octogone 6toil6, 2 enn^agones Steiles, 1 d^cagone ^toil6, etc.
§ IV. Les polygoies iimWh r^gdiers.
30. Consid^rons un polygone regulier de n cdt6s et de Tesp^ce V\ ce polygone sera 6toil6 si p est premier avec n. Le cöt6 C de ce polygone, exprim^ en valeur du rayon R du cercle circonscrit sera
^ W
C-= 2Äsin-;r.
n
Cette formule nous donnera les c6t6s des polygones r^guliers 6toü^8 de 5, 8, 10, 12, 16, 20 et 24 c6t^s.
31. Pentagone regulier ^toil6. Nous avons n «= 5 et p = 2; il viendra donc pour la valeur du c6t6
2« /
C7 = 2Äsin -.- = 2iesin 72« = \R VlO+2 y 5
384 Dostor: Les pohfgone» rayonnfs et lex polygones /toiUs.
On trouvera ensuite la surface P de ce pentagone au raojen de la formule (VI), qui donne
n cos 36" 4 co8*3b*'
cos^
ou
P=^R^VbO—22 yb
32. Octogrone r^grulier ^toiU. Puisque n = 8 et p = 3, on a
C= 2i28in-g- « 2Äco8g = /?V2+V2; smg^ C08-Ö- ®"^ 8
cos ~pr ^^8 j
33. D^casrone regulier ^toil^. On a ici n»10, p = 3; parsnite C = 2Ä8in^ = 2Äsm54« = iÄ(y5+ 1);
...„, ^^"1Ö*^''^1Ö ,„„, sinlgOcosM" ,^„, sinl8»8in36» cos c •
ou
Appelons C^ et C^o les cöt^s du pentagone et du d6cagoue 6toil^«j qui sont inscrits dans le meme cercle de rayon i^. Noüs avons
Donc le cöt6 du pentagone regulier etoil6 est Thypo- t6nus^e d'un triangle rectangle, dont les deux cdtes de rangle droit sont le rayon et le cöt^ du decagone r^ga- Her Steile.
Si nou8 repr^sentons de memo par P^ et Pjo les surfaces de ces deux polygones, nous aurons
.■ Les po/yjone« rayonnfs el Its polggonet floiUa.
de Sorte que /',„ = 2l\. Donc
La sarface du d^cagone regulier £totl6 est double de la surface dii po^ntagoue regulier ^toil6.
§ V. liCs |i«I;g*B«s regillen umtcim 4'n ■•wkre fklr'tlc ti,\i%.
ä4. Tli^orJioe. L'aire d'un polygoae regulier convexe d'nii nombrc pair de c6t^8 est egale au p^rim^tre du Polygone regulier convexe d'un nombre do cöt6a deux fois luoiudre et inscrit daas lo meine cercle, multiplie par la nioitie du rayon do ce cercle.
Soit AB (fijr. 7) lo cöte du polyguDO regulier de 2ii cöt^s iuscrit dans le cercle 0, Tirous les rayona AO et ItO et rocnons rapothßmo OL La surface /' du cc polygone sera
MenoQB la corde AC perpciidieulaire sur le rayoD BO, qu'elle coupe en D. Los dcux trianglcs rcctangles ABD et BIO 6tant Bcmblables, nons avons l'^galite
AB _ An BÖ~ oi ' qui donue
BO AB X Ol = AD X BO =• AC X Y'
II vieudra par suitc
BO J>^aACX^ •
oü 7iAC' est le p^rim^tre du polygone regulier iuscrit de n eät6s et BO le rayon de ce cercle. Notre proposition se trouve donc d^-
35, Ce th^orfmc fouruit imm6diat«inent l'expresBion de face des polygones rcgulicrs conveios de 6, 8, 10, 12, 16, 2(
cCt^s.
SnrAtce de rhexa^ne regulier. Nons avons n = 3 et fiy3; par cODS^quent il vient
A = »Ä«V3.
386
Dostor: Les polygones rayonnis et Um polygonts HoiUs.
Sarfiiees de Toeto^one r6^ier. Posant n = 4 et AC===R^% noas avons
Sarfoee du d^eagone r^^ulier. Poor n = 5, noas avons AC^ iÄVlO--2V5, de Sorte que
P,o = iÄ^VlO— 2y5.
^urfaee da dod^ea^ne r^^alier. Si n » 6, il viendra AC^R
et par snite
Pi, = aß«.
Polysrone r^gralier de 16 c^^t^s, n — 8 donne ^C=äV2— y2;
on a donc
Pjg = 4Ä2y2 — V2.
Polygone r^gralier de 20 e^U», Pour n =« 10, on a -4C« ^ÄCVö— 1), de Sorte que
Polygone r^^ler de 24 edt^s. Si n = 12, on aura AC^ y2 — yS; par suite il viendra
Pg^ « 6Ä5iy2— ys.
.- Btilrag nrr Theorie dtr VaUrdttenaiitanltn,
xxni.
Beitrag znr Theorie der ITDterdetemiiiitnteii.
1) Bokanntlich lässt sich jede Determiuante nten Grades in Teilproducte zerlogeo, dereu jedes aus 2 lluterdeterminantea besteht, wovon entere den Grad k und letztere {n — k) besitzt. Z. B.
|
,"11 |
"ij "ij «»* "is; |
||||
|
"Hl |
a»i «M «« o«»| "11 |
"h |
"13 |
1*1 |
<ht "i»| |
|
<4. |
"M «83 "M «aii ~ ;«w |
"M |
"»sl |
"M "«•, |
|
|
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"« «49 «u a«! <»8, |
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|
|
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|
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388
Uoxa: Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten.
Führt man eine kürzere Bezeichnongsweise ein, nach Art jener, deren 8ich Sylvester bedient, indem man die Indices in 2 Reihen schreibt, oben die der Colonnen und unten die der Zeilen, so lautet die frühere Formel
+
+,;
:i2 3 45i 1 2 3 4 5|
4 5 l2 5
45 14
jl 2 3 113 4
1 23
23 5
123 123
123 135
12 3, 2 45
4 5| 45!
j4 5
|2 4
14 5 113
+
+
123 124
123 145
11 2 3 3 45
;4 5;^;i23i
i3 51^.12 5:
4 5
|2 3|
14 5 12
123 ^2 3 4
45; 3 4i
45 15
Hieraus ist das Bildungsgesetz der Partialproducte ersichtlich.
Die oberen Indices folgen in natürlicher Ordnung, die unteren aber bilden Combinationen der Arten und (n — Ä:)ten Classe der Ele- mente 1, 2, 3 ... n.
Die Anzahl sämmtlicher Teilpunkte ist
u)°(»-J"
Das Vorzeichen richtet sich nach der Anzahl der Inversionen sämmtlicher unteren Indices, dieselben als eine Complexion betrachtet
Diese, wie allgemein bekannt, von Laplace herrührende Est- Wickelung, lässt sich jedoch verallgemeinern, indem man die oberen Indices auf dieselbe Weise combinirt, wie die unteren.
Auch für das Vorzeichen jedes Teilproductes lässt sich eine all- gemeinere Regel aufstellen, die auch dann gilt, >ivenu die oberen Indices nicht in natürlicher Ordnung folgen. Unseres Wissens ist eine solche Verallgemeinerung noch nicht versucht worden und daher dürfte die nachfolgende Abhandlung als eine wesentliche Vervoll- ständigung der Laplace'schen Zerlegungsformel günstige Au^bme erwarten.
2) Es sei eine Determinante nten Grades
^n
Ojl
«IH
«Hl
a>m
123 ... nl 123 .*.. n'
(1)
Betrachten wir ein beliebiges Element apq^ welches in der /)ten Zeile und ^ten Colonne liegt.
Entwickelt man dn nach Elementen der 2>ten Zeile oder gten Colonne, so erhält man bekanntlich
Hozai Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten, , 389
j^ = 2:(— i)p+9.öpy.^f„_i. (2)
Hier bedeutet z/h-i jene Unterdeterminante erster Ordnung und (« — l)ten Grades, welche entsteht, wenn in dn sowohl die /»te Zeile als auch <jrte Colonne weggelassen wird. Das Summenzeichen S be- zieht sieb auf Summanden, welche dadurch gebildet werden, dass einer von den Indices pq constant ist, während der andere alle Werte von 1 bis n der Reihe nach durchläuft. Die Anzahl aller Summanden ist daher n und ihre Vorzeichen werden durch ( — 1)p+« bestimmt, wobei (p+tf) die Anzahl aller Zeilen und Colonnen bedeutet, welche man durchschreiten müsste, um vom ersten Elemente a,, bis zum Ele- mente apq zu gelangen, wozu aber auch die Zeilen und Colonnen zu rechnen sind, in denen o^ und opq liegen.
3) Auf ähnliche Weise lässt sich auch dn-i entwickeln. Zu diesem Zwecke wählen wir uns aus dn ein beliebiges Element a« heraus , welches mit apq weder in der nämlichen Zeile noch Colonne liegt und 'bestimmen, in der wievielten Zeile und Colonne von dn-i dieses Element erscheint. Wäre /) >> r, so hätte die Weglassung der pten Zeile auf die Anzahl der Zeilen, welche in dn-\ zwischen dem ersten Elemente und an liegen, keinen Einfluss. Wäre jedoch /> <C ^. 80 stünde in dn-i das Element ar$ in der (r — l)ten Zeile, weil zwischen der ersten und rten Zeile eine weggelassen wurde. Dasselbe gilt bezüglich der Colonnen. Hieraus ist ersichtlich, dass wenn die Indices pr eine Folge bilden, d. h. in natürlicher Ordnung folgen, die Anzahl der Zeilen um 1 vermindert werden muss und wenn die Indices qs eine Folge bilden, dass die Anzahl der Colonnen um 1 vermindert werden muss. Bezeichnet daher a die Anzahl der Folgen ^ in den Complexionen pr und qs^ so muss
z/„_i = 2:(— l)*-+»-«.ar,.^/H-2. (3)
Hier bedeutet ii/H-2 jene ünterdeterminante 2ter Ordnung und (n — 2)ten Grades, welche aus dn—i entsteht, wenn man jene Zeilen und Colonnen weglässt, in denen das Element an vorkommt. Auch kann man /Ih-2 unmittelbar aus dn erhalten, wenn man jene Zeilen und Colonnen weglässt, welche durch die Elemente opq und fira gehen.
4) Nun sind wir auch im Stande die Fri^e zu beantworten: Welches ist die Summe aller Glieder einer vollständig entwickelten Determinante dn^ in denen zwei beliebige Elemente opq und ort als Factoren vorkommen ? Die verlangte Summe folgt aus den Formeln (2) und (3) und hat den Wert
^ = {—l)^.apq.ars,Jn-2^ (4)
wo
m '^ p-^-q-^T-^-B — ct.
390 ' Hoza: Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten.
So z. B. ist in der DetcrmiDaute
' «11 • • • ^5
®51 • • • ^h '
die Snmme jener Glieder, welche die Elemente a^^a^ enthalten, gleich
(-1)"«52«46
«11 «13 «14
«n «w ««4
«51 «5S «54
oder die Somrae jener Glieder, welche 033051 enthalten, gleich
j «1« «14 «15 I (—1)" 03305, Ogg 024 ajjj.
I «41 «44 «45 1
5) Eine weitere Frage wäre, wie viele solche Sommen S^ über- haupt aus Jh möglich sind. Gewiss so viele, als Producte ap^.an so gebildet werden können, dass p verschieden sei von r und q von t. Hierbei kann p mit q sowie r mit s auch gleich sein. Die Indices pr und qs bilden daher Combinationen der Elemente 1, 2, 3, ... « zur 2ten Classc. Da jede solche Combination sowohl für pralsaach qs gesetzt werden kann und weil es erlaubt ist, sämmtliehe Combi- nationen, die an Stelle von pr oder qs stehen, umzukehren (zu variireD),
so ist die Anzahl aller möglichen Producte upq.ors gleich ^(ol •
Entwickelt man die Determinante ^/h— 2, so erhält man (n— 2)1 Glieder, welche* mit opq.ars multiplicirt und den entsprechenden Vor- zeichen versehen, die Summe S2 geben. Solcher Summen sind aber
2(0) , folglich entsprechen sie
2(;y.{n-2)! = Q.„!
Gliedern der ursprünglichen Determinante Jn^ Hieraus ist ersichtlich, dass wir auf diese Weise ( „ ) mal mehr Glieder erhalten , als durch
unmittelbare Entwickelung von Jn. Wählen wir eine beliebige Com- bination pr aus, behalten dieselbe constant und lassen qs aUe mög- lichen Variationen durchlaufen, so erhalten wir 2(2) Werte ftr^ und hiermit zusammen
(;).(n-2)I
n!
Boza: Btitrag tur Thtorit Her UnterdtlerninaiiUn, 391
TOD einander verBchiedcno Glieder der DeterniiDante jin, die also znsammeD /*« geben müsBon. Dataer lOsst sich */« in TeUproductc von der Form ^ zerlegen. Nan könnea aber die constanteu ludicos,
seieo es pr oder 17«, auf („j verschiedene Arten gebildet werden,
folglich sind („] verschiedene Entwicklungen von ^h in Teilproducte Sf möglich. Endlich können wir noch bemerken, dasa die Summe aller S^ jedes Glied von Jh (oltnal enthalten rouss.
6) Betrachten wir pr als conslant, so werden je zwei Werte von S2 sich bloss dnrch die Ordnung der Indices q» also hioas durch das Vorzeichen unterscheiden nnd können vereinigt werden, wodurch die Summe
T, - (-1)- 1.^ 2 [. A-. - (-1)-| « ;|. A-. (6)
entsteht. Dasselbe gilt, wenn qa als coustant angeschen werden. Solcher Summen 7*, gibt es daher f„] , von denen \V\ genügen, um alle Glieder der Determinante /i^ zu bilden. Es lOsst sich also <4n \ Arten in Teilprodncte von der Form T^ zerlegen, indem
'0'
1 die constaDton lodic«», seien es pr odor qs, aus den Eiomentcn 1. 2, 3, ... n combioirt nod jede solche CombinatioB mit allen Com-
binatioson derselben Elemente der Reihe nach zn ! vereinigt.
Z. B. ''
•^iSl, |l 3l 12 41 !l3|
:2 4; |13|_|3 4] '12| ^"i24Ml3l I24I I13!'
I12 3 4|_il2| 1341 1131 12 41. [141 2" |l234|~;23| [141 |23ni4|+t23| 1
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392 Hoza: Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten.
Solcher Entwicklungen sind (9) = ^ möglich. Aus diesem Beispiele
ist ersichtlich, wie praktisch unsere Regel für das Vorzeichen jede« Toilproductes ist, indem dasselbe bloss aus den Indices der ersU^n üntcrdeterminante folgt. Auch muss bemerkt werden, dass dieses Vorzeichen auch aus der zweiten Unterdeterminante auf gleiche Weise folgen würde, wie später allgemein nachgewiesen werden soll.
7) Beschränken wir uns bei der Entwicklung der Determinante ^n bloss auf solche Arten der Entwicklung, bei denen die Indices pr und qs in natürlicher Ordnung folgen , so wird immer a == 2 sein und setzen wir
80 muss
''\.^fn-2. (6)
Aus dieser Formel ersieht man, dass das Vorzeichen jedes Teil-
productes bloss von der Summe i^ der Indices der Determinante j ^ : abhängt.
8) Kehren wir nun zur Formel (4) zurück und versuchen die Unterdeterminante -^«-2 zu zerlegen. Diese Determinante entsteht bekanntlich dadufch, dass man in Jh jene Zeilen und Colonnen weg- lässt, in denen die Elemente apq und ara vorkommen. Es sei nnn atu ein beliebiges Element von ^/», jedoch so gewählt, dass es mit keinem der beiden Elemente apq^ ara in einer Reihe liegt.
Um //fi_2 nach der P^rmel (2) zerlegen zu können, ist es not- wendig zu wissen, in der wievielten Zeile und Colonne von Jn-2 das Element atu vorkommt. Wäre p^r^t und (Z>*>w, d.h. bildeten die Comploxionen jyrt und qsu keine Folgen, so hätte das Weglassen der pien und rtcn Zeile, sowie der qten und »ten Colonne keinen Einfluss auf die Position dos Elementes at«. Wenn jedoch diese Complexionen auch Folgen enthalten, so entspricht jeder solchen Folge, die bezüglich der letzten Indices t oder u stattfindet, eine Verminderung der Anzahl der Zeilen oder Colonnen um 1. Wenn z. B. jp <C i wäre, so würde zwischen der ersten und tteu Zeile die pte Zeile fehlen. Dasselbe kann man von den Colonnen sagen. Bezeichnen wir daher mit ß die Anzahl der Folgen in den Com- plexionen prt und qsu bezüglich der letzten Elemente t und w, so stellt t-^-u — ß die Anzahl der Zeilen und Colonnen der üntetdeter- minante Jn~2 dar, welche vom ersten Elemente an bis zum beliebigen atu vorhanden sind. Daher kann nach der Formel (2)
Jn-2 = £ (-1)'+'«-/' . atu . ^H-3 (7)
floiai Btitrag Tur ITitoTit tUr UnUrAltrminantm, 39S
gesetzt werden, wobei d^-a jene Unterdetermioante 3ter Ordnnng und ('I — 3)teD Grades bcdeatet, welche aus ^«-g entsteht, wcnü man jene Reihen weglässt. in denen atu vorkommt, ^.,-s kann auch un- mittelbar aus /fn duri;h Weglassang jener Reiben, in denen opf, cr, und a,u vorlionimen, gebildet werden. Das Sunimcnzeicbon £ bezieht sich auf solche Summanden, welche entstehen, wenn einer von den Indiccs iH constant ist uad der andere alle Werte mit AaEnahme der glcicfanamigeu Indiccs in a^ und an nacheinander annimmt. Wenn z. B. t coustant ist, so kann u alle Werte von 1 bis n mit Ausnahme von q und i annehmen. Jedenfalls enthält also die Summe £ hier immer (n — 2) Summanden.
9) Bezeichnen «„, a,„ aj„ drei beliebige vcrBchicdencn Zeilen und Colonncn angehörige Elemente der Determinante Jn, so ist die Frage, welches die Summe jener Glieder dieser voUstÄndig entwickel- ten Beterminauto ist, in denen alle drei Elemente als Factoren vor- kommen. Aus der Vereinigung der Formeln ('S), (3) und (7) folgt die verlangte Summe
Si — (— !)•'•-'■• ap,ar.a,n^n~3, (8)
weuD
i,-p + q + ' + - + ' + ' und
h - «+?. «3 bedeutet also die Summe der Indiccs der j.'(|jcbeneu Elemente nnd )>3 die Anzahl säniutlicher Polgen in den Conipluxionen prt und q»u.
So z. B. wäre die Summe jener Glieder dcr^ Determinante
darzustellen, in denen die Elemente a^a^og^ als Factoren vorkommen. Die Summe
und
ls = 4,
folglich ist
Auf gleiche Weise erhielten wir die Summe jener die Elemente an<Hi'*bA vorkommen:
394 Hoza: Beitrag zur llitorit der UnterdetermÜMuUeA.
10) Fragen wir nach der Anzahl aller Sommen S^ liinsichtlich der Detenninante Jn^ so ist leicht einzusehen, dass dieselbe gleich ist der Anzahl aller möglichen Producte o^.aTs.atn. Da die Anzabi der Combinationen von n Elementen 1, 2, 3, ... n zur 3t^i Qasse
gleich istf«) und jede solche Combination sowohl for die Indices
prt als auch qau gesetzt werden kann, und weil entweder die erstei oder die zweiten Indices nebstdem auch permutirt (Yanirt) wefdei
können, so erreicht die gesuchte Anzahl die Höhe 31 (^| -
Entwickelt man ^/«-s, so erhält man (» — 3)1 Glie^ier, daher repräsentirt jedes Sj im Ganzen (n — 3)1 verschiedene Glieder von /in und sämmtliche S^ enthalten also
3!(;)V-3)! = (J)„:
Glieder aus der Determinante /In- Da letztere bloss h! Glieder ab- hält, so müssen, wie später bewiesen werden wird, auf diese Wei«
immer (o) gleiche Glieder zum Vorschein kommen. Es ist hicrai
der Schluss nahegelegt, die Determinante Jn lasse sich auf ( ^ ) Art£i in Teilproducte von der Form S^ zerlegen.
11) Nehmen wir an, die Indices pH und q^i, folgen in natöiü^b^r Ordnung, so muss sein
und ^
S^ = ( 1 )*« . ap^ Ort atm dn -3- \ ?
Permutirt man entweder prt oder qi^n und zwar durch successi^f Vertauschung, so ändert sich bei jedesmaliger Vertauschung zwekr Indices die Anzahl der Folgen um eine ungerade Zahl, folgbch ent- spricht jeder Vertauschung eine Veränderung des Vorzeichens.
Vereinigt man aber sämmtliche so erhaltenen Producte S,, » erhält man
öpf fl^ OpM
T3 = ( 1)'» arg CLrt dm ^n-%
atq au atm
.CSU
= (-1)'. * , Jn-i. u-:-
prt T, repräsentirt die Summe von 3 ! Producten von der Form S^ Die Anzahl Mer möglichen T, ist daher (o) -
Hma: BeHrag xur Theorie der UnlerdtteriHinaalen. 3P5
Weil nun ^»-s boi vollständiger Entwickctnng (ii — 3)'. Glieder enthält, Bo kommen in T^ im Ganzen 3!(n — 3)! vorscbicdone Glieder von d„ vor, und weit
'(s)
80 genügen („j solche Teilproducte T^ zur vollständigen Entwicke- Inng von Jn- Folglich mnsB sein
/f„ = Z{-l)-.|«''^"|^„_8 (U)
wo das SnmmenKCichen S sich auf Summanden bezieht, welche eut- Btoben, wenn eine Zeile der ludices, entweder qm oder pH, constaut ist, während die andere alle Combimitionen der StenClasse der Ele- mente 1, 2, 3 ... » der Keihe nach dnrchl&nft.
Da nun die constanten lodices auf („) Arten aus den Elementen 1, 2, 3 ... n combinirt werden können, so stellt die Formel (II) im Ganzen l.,| verschiedene Entwicklungsarten von ^h dar, d. b. Jn
lässt sich auf („| Arten in Teilproducte von Unterdeterminanten 3tcr und (n— 3)ter Claase zerlegen. So ist z. B.
I123 45|_j2 3 5i ]! 41 12 3 5 14: |2 3 5j 114:
|l 2 3 45j~|l 2 3t'.4 5! 12 4!' 35|"*"|1 2 5| ' Is 4!
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Diese Entwicklung enthält („) = 10 Teilproducte und könnte
auf 10 verschiedene Arten gesch Zeichens ans der Summe der Ind fttr die praktische Berechnung gec angefahrten Beispiele, dass das V der Indiues des zweiten Factors je Summe sämmtticher Indices ist stet die Summen m den Factoren zugle Zahlen sein.
12) Durch fortgesetzte Zerlegu
396 Hoza: Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten,
z/h-3 =- ^(— l)*+*-y.a«.^/H-4. (12)
Hier bedeutet orx ein beliebiges Element der Determinante Juj jedoch darf dasselbe mit keinem der Elemente opq, ar$^ af„, denen eben ^»,-3 entspricht, in derselben Eeihe liegen, //n-4 ist jene Unterdetermi- nante 4ter Ordnung und (n — 4)ten Grades, welche aus ^n durch Weglassung der^^ten, rten, <tcn und t'ten Zeile nebst der gten, «ten, Uten und ac ten Colonne entsteht, y bedeutet die Anzahl Folgen in den Complexionen prtv und qsux bezüglich der letzten Elemente v und X. Das Summenzeichen £ bezieht sich auf Summanden, welche entstehen, wenn einer von den Indices t\x constant ist, während der andere alle Werte von 1 bis », mit Ausnahme der entsprechenden Indices von oy^, ar» und afn, der Reihe nach annimmt Wäre z. B. V constant, so würde x die Werte 1, 2, 3, ... n mit Ausnahme von 9, «, u annehmen.
13) Wählen wir uns aus den Elementen von Jn vier beliebige jedoch verschiedenen Zeilen und Golounen angehörige Elemente o^,, ors^ atu und avx aus, so muss die Summe jener Glieder von dn^ welche dieselben als Factoren enthalten, durch
S^ «= ( — 1)^« -^* . opq an atu (hx ^/«-4 (13)
dargestellt werden, wobei •
und ^4 = a + /3+y.
li bedeutet die Anzahl sämmtUicher Folgen in den Compensionen
prtv und q9ux.
So ist z. B. für die Determinante
ajj ... Ojg
• • • •
^1 • • • ^
die Summe jener Glieder, in denen die Elemente 0,5, 043, o,, nnd a^^ als Factoren vorkommen:
Si =• (— 1)^«26<»43«17^62
<*81 «84 ^ ^
*öl ^U ^ ^56
«71 «74 «76 «78 i
«81 «84 «86 «S8 I
14) Wie gross ist die Anzahl aller möglichen Producte 5^? Sie beträgt, wie leicht zu erweisen
' ©•■
Da ^^—A ans (n — 4)! Gliedern besteht, so ropiiUcnÜreD alle ä« tm Ganzen
'©•<.-)-(:) •
Glieder der entwickelten Detonninantc ^/n. Weil aber J« bloss n1 Glieder enthält, so werden je I . j glciclie Glieder vorkommen, woraus
man schon schliessen künute, dass J„ auf 1,1 Arten in Toilproductn von der Form S^ zerlegt werden kann. Nehmen wir an, die Indicoi ■pTtv und qsux folgen in natürlicher Ordnung auf einander. Dun litt ^4 jedenfalls eine gerade Zahl und in Folge dessen wird
S4 = (— l)-.ap,Or.a,„«„^„-.*. (14)
15) Onrch blosse Permntation der ernten oder zweiten Indiw« ändert aber S^ bei jedesmaliger Vertanschnng ;'.woicr Indices das Vor- zeichen. Folglich mQsscs alle auf diese Weise gebildeten M, die Sumtni:
geben. Da 4! Frodact« von der Form Ä* ein Prodaa von der Form 7*, geben, so ist die Anzahl aller 'l\ 9\^v\\ ( . j . Wiril Xktwx 1.-111 Teüprodoct r« entwickelt
4:(n-4)! Glieder von ^n liefert and wi.-il
SO reicbt^D ( .1 ^Iche T';iJi*r'*'!ut«! 1\ hiu, am »Jl»- *ili<akr VKü 4u za bildt^iL F<jl^]i'h mii>* b'.-iu
wo das 6un»eiiwi';ti^4 ^' m-Jli auf buuiiuuidun \ stehe«, sevs »ämü 7/r'ixK d<^ Jii'i;i>« wiibi^iul itiL, alle CoaböUitäoseii A^ 4t^ii (/iaM<^ df^- }:I>^Ui>4i
Reihe maA durtilliiilt. iurt ,iiimJ im ( ^ ). d J aOtig HL Im di^ '.uuednutuu Judi'->«% auf ^.1
398 Hoza: Beitrag zmr Theorie der ümterdetermimuiUn.
combinirt werden können, so sind ( . | Terschiedene Entwiddnngoi nach (16) möglich. Z. B.
1234567_1234 Ö67_1235 467; 1234567""346 712 5, .3 46712 51
;123 6 45 7'_:123 7 45 6 + ,34 6 7 |1 2 5. 13 4 6 7. 12 5,
+ . . . . Die Anzahl aller Teilprodncte ist
Q - Q -
nnd anf ebensoviel Arten könnte die Zerlegung geschehen.
Das Vorzeichen jedes Teilproductes folgt sowohl aus den ludices des ersten als auch aus denen des zweiten Factors, denn die Sammen dieser Indices müssen in beiden Factoren zugleich entweder gerade oder ungerade Zahlcti sein.
16) Wenn wir auf diese Weise in der Zerlegung fortfahren würden, kämen wir zu folgenden allgemein gütigen Resultaten:
a) Die Summe jener Glieder der .entwickelten Determinante nten Grades ^x, welche k beliebige aus verschiedenen Zeilen und Colonneo genommene Elemente
^P7i ^'ÄJ ^/m? • • • ^HE
als Factoren enthalten, ist
Sk = (—1) *" ^.apqanatM ... aj^z.^»-* (17)
wobei
Ajk bedeutet die Anzahl aller Folgen, welche in den Complexionea prt .., y und qm .., z stattfinden.
Jn-'k ist jene Unterdeterminante ^ter Ordnung und («— Xr)ten Grades, welche aus ^h entsteht, wenn man jene Zeilen und Colonnen weglässt, in denen die Elemente op,, ch-a, at« ... ayg vorkommen.
b) Die Anzahl aller möglichen Summen Sk beträgt ^M « ) •
c) Alle diese Summen Sk enthalten im Ganzen
Hoza: Beitrag zur Theorie der ünterdeterminanten. 399
Glieder der entwickelten Determinante Jn, also (,| mal mehr, als in ^H vorkommen.
d) Wenn die Indices prt ... y und qsu ... z in natürlicher Ordnung aufeinander folgen, so bedeutet ku stets eine gerade Zahl und
Sk =» (—ly^.apqürsatH ... ayE^n-k (18)
e) Lässt man die einen Indices constant und permutirt die an- dern, so entspricht jeder Vertauschung zweier Indices eine Aenderung des Vorzeichens, und vereinigt man alle so erhaltenen Werte von 5», so entsteht
7> = (_1)'*|«'"--;N„_» (19)
prt . . . y \
f) Die Anzahl aller möglichen y\ ist ( , j , weil k\ Summanden von der Form Sn zu einer Summe 71t vereinigt werden.
g) Zur vollständigen Entwicklung der Determinante dn gentigen L j Teilproducte von der Form 2\, weil
h) Folglich muss sein
wobei Z eine Summe von ( , | Summanden darstellt, die gebildet
werden, wenn eine Zeile der Indices constant ist, während die andere alle Combinationen A;terCIasse der Elemente 1, 2, 3 ... n durchläuft.
i) Weil die constanten Indices auf (, J verschiedene Arten com-
binirt werden können, so gibt es nach obiger Formel ( , ) verschie- dene mögliche Entwicklungen.
qsu ... 2
k) Da der erste Factor Grades ist, so kann
eine Unterdeterminante ifcten prt . . . y \
400 Hoxa: Beitrag zur Theorie der Unterdeterminanten.
Jn^ S{-lp^ik^in~k (21)
gesetzt werden, wo ^k eine beliebige Unterdeterminante Ä;ten Grades und ^/n-Jt die adjuncte Unterdeterminante (n — Ät)ten Grades bedeutet, welche aus Jn entsteht, indem man jene Reihen weglässt, die in /Si erscheinen. ** bedeutet die Summe der Indircs von Jk^
1) Weil aber die Ordnung beider Factoren umgekehrt werden kann , so kann man unter ih auch die Summe der Indices von z/„-i verstehen. Das Vorzeichen jedes Teilproductes resultirt also sowohl aus dem ersten, als auch aus dem zweiten Factor des Teilproductes, was auch aus dem Grunde folgt, dass die Summen der Indices beider Factoren zugleich gerade oder ungerade Zahlen sein müssen, weil die Summe aller Indices stets eine gerade Zahl ist.
17) Um also eine Determinante ?4ten Grades in Teilproducte aus je einer ünterdeterminantc Ä;ten und einer (n — Ar)ten Grades zu zer- legen, bilde man aus den Indices 1, 2, 3... 7* eine beliebige Com- bination Ä;ter Classc. Diese setze man entweder als erste oder zweite Indices der ünterdeterminaute ^*ten Grades und behalte sie coustant in allen Teilproducton.
Die constautcn Indices der Ünterdeterminantc (w — /:)ten Grades erhält man, wenn man alle Indices, die in der früheren CombiBation nicht vorkommen, in natürlicher Ordnung in dieselbe Zeile des zweiten Factors setzt.
Die variablen Indices des ersten Factors bilden alle Combiuationen Ärter Classe sämmtlicher Indices. Die variablen Indices des zweiten Factors enthalten immer alle übrigen Indices, die in der ersten Com- bination nicht vorkommen, in der natürlichen Ordnung.
Das Vorzeichen jedes Teilproductes ist + oder — , jcnachdem die Summe sämmtlicher Indices eines der beiden Factoren eine ge- rade oder ungerade Zahl ist.
Hoza: Ueber ünterdeterminanten einer adjungirten Determinante. 401
XXIV. Ueber Unterdetermliumteii einer adjangirten Determlnaiite.
Von
F. Hoza.
Der folgende Satz warde ursprünglich von Jacobi gefunden aber von Borchardt allgemein bewiesen *). Ich erlaube mir diesen Beweis auf eine Art zu reproduciren, die, meiner Ansicht nach, Anfängern besser entsprechen dürfte.
Satz. Jede Unterdeterminante ^r des rten Grades einer ad- jungirten Determinante ^' ist gleich der (r — l)ten Potenz der ur- sprüngUchen Determinante d multiplicirt mit jener Unterdeterminante dn^f derselben, welche bei deren Entwickelung als Coefficient der Unterdeterminante rten Grades dr auftritt
Beweis. Es sei gegeben die Determinante
J =
|
«11 • |
. . a^n |
|
* . |
. • |
|
fl«l . |
• • <h^n |
und ihre adjungirte
d'
^Hi • • • ^wi»
wo
Aki
Bilden wir aus d und d' Unterdeterminanten rten Grades, in- dem wir r beliebige Zeilen />|, p^ ... pr und Colonnen 9,, q^ ... qr auswählen, so erhalten wir
*) Siehe Baltser, Determinanten, 1875, S. 58. Vergleiche aocb Qfin ther, Determinantentheorie, 1875, 8. 77.
TeU UX. 26
402 ^^ * <* • U^^^ Unterd^terminanien einer adjungirten Determinante
dr
und
^r'
ip,j, -«Pifft
^Ptfi -^f ««t
• • • -^Pil
« • . ^
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^Pf<li -^y«* • • • "^Pf^r
Nach dem Laplaceschen DetermiDantensatze ist nun
^'r
-^•«i ••• -^/»»«y
I
^f^«i ••• -^yff,
0 ... 0 0 ... 0
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0 ... 0
Ap^l ... Äp^{q^^i)Ap^{q^^\) ... Ap^n
n
-4p^i ... -4^/?j-i)-4p^(gjfi) .., A
V
1 ... 0 1 ...
0 0
0 0
0 0
IV
0
0
0
Die mit I bezeichnete Abteilung enthält die Elemente von ^r in r Zeilen und Colonneh ; II enthält die in diesen r Zeilen fehlenden Elemente von /i* in natürlicher Ordnung udd besteht daher bloss aus (n—r) Colonnen; III enthält in (n^r) Zeilen und r Colouuen lauter Nullen, und IV besteht aus (n^r) Zeilen und ebenso viel Colonnen von Nullen, bloss die Diagonale dieser Abteilung enthält lauter Ein- heiten.
±/f =
|
^Plu |
...a|»,9^ |
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«Pi(y-»i) -«fi»« |
||
|
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-1)0<P.-1)(«. + 1)-«'P,-1)« |
|
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«(p.+i)ff |
,...a(p,4 |
')«r |
«(P. |
M)i-a(Pifi)(g,- |
-i)«(Pi|i)(ffi+i)- |
•.fl(F,+l)» |
o»,^,
•flflff^
«Ml
.ö«i(g, 1) an(q^\h —öiw«
Hoza: Utb. da» MuUiplicationstheorem zweier Dtterm. nleit Grades, 403
Die Abteilung I enthält die Elemente von Jr und IV di6 Ele- mente der a4jungirten Unterdeterm'mante Jn-r. Die Anzahl der Zeilen and Colonnen jeder Abteilung stimmt mit der Anzahl in der gleich- namigen Abteilung von dr überein.
Durch Multiplication der beiden Determinanten J/ und ± J er- hält man, indem man jede Zeile der letzteren successive mit allen Zeilen der ersteren multiplicirt:
±^^^/r'
|
d 0 |
...0 |
«p.l |
ap,2 |
. . . Op^H |
|
0 J |
...0 |
Op.l |
«P,2 |
. • . ^IpftM |
|
m • 00 |
• • ... J |
• • |
• • «P,2 |
• • • ... Op^n |
|
00 |
... 0 |
«11 |
«IS |
. . . aiH |
|
00 |
... 0 |
«11 |
«M |
. . . 02h |
|
• • 00 |
• • ... 0 |
• • |
• ■ an2 |
. ■ • . . . Ahm |
und
Nach dem Laplaceschen Determinantensatze muss daher sein Königgräz am 8. Mai 1876.
XXV.
Ueber das Haltlplicatlonstheorem zweier Detertuinanten
fiten Grades.
Von F. Hoxa.
Wenn man 2 Determinanten nten Grades
|
a^i . . . a\n |
Oj Oj 03 ... On |
|
|
fl«l . . . Ö«M |
1 2 3 ... n |
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[■■ . ■,,..-.... -I
. '^ wieder eine Determinwile
M" .■:--^
"' -' .- ', ^ ] 2 3...« 1' j.^, , ^ t verscbiedene Arten gebildet
'*' ""■ ,' ',' .«rdio erste Art, da die abrigen «ns
'" „ -.vaibmitorischeo Wege damitDii. <1M<
,-■.,■«-11 Elem.tite der Deti^nniniiite vT, 90
««.^**, . _«.i:. _ »„J.1 — •rf'«.— _ —«t.
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^^j ,ii,(j-t » ». o.oiava. wctvB fcier nar die ««« * ,^tY if*«*** »-i.".aitf BIT eiK «r Te-;I,i:*\-i»r«
**r Determinanten nten Grades
405
enthält in ihren Colonnen gemeinschaftliche ;ran8heben kann, wodurch man erhält
• = *!*, *»*, . . . bnk
|
«1». «1». |
. . . Oj* |
|
««»*««*t |
... Og» |
|
(Hik.OfA^ |
. . . Onk |
|
ak, o», . |
••«» |
|
1 2 . |
. . n |
= Ä^k, Äjjk^ . . . bnk.
Die Indices k^k^ ...kn sind Variationen nter Classe, mit belie- jigcr Wiederholung, 1, 2, ... n.
Die Anzahl solcher Variationen ist n**, folglich muss ^" aus n** Teildcterminanten von der Form Jk bestehen.
Unter den Variationen (k-^k^ ... kn) sind erstens solche, in denen sich kein Element wiederholt. Das sind blosse Pcrmntationcu und ihre Anzahl beträgt n!
Jede solche Permntation kann aus der ursprünglichen Complexion
1, 2, 3, ... n
durch successive Vertauschung von zwei Elementen gebildet werden.
Der ersten Complexion entspricht die Determinante
Vertauscht man g mit A, so erhält man
^1^2 ... 0>g ... €ih ••• <Zn
12...^ ... h .. n
^kg = ^11^28 ••• bgh ..• ^kg ... On»
12...^ ... h ... n
== — öji Öy2 ... 0^4 ... ÖA^ ... ^MH
12...^ ... h ... n
— *11 *^ .•• *^A ... Ohg ... öftn« «.
Jeder Vertauschung entspricht also bloss eine Veränderung des Vorzeichens des Productes h^k^b^^ ... bnk .
Addirt man nu^ alle so erhaltenen Teildeterminanten , so kann man J als gemeinschaftlichen Factor herausheben und bekommt zur Summe der andern Factoren die Determinante z/'.
Folglich wird die Summe jener dk, die durch blosse Permutation entstehen, durch
406 Hoza Uth. das Multtplicationstheorem zweier JJeterm, nten Grades»
dargestellt werden.
dk'^J,J'
Zweitens betrachten wir solche Teildeterminanten ^t, welche den tlbrigen Variationen {k^k^ ... kn) entsprechen. In jeder solchen Variation sind wenigstens 2 gleiche Elemente
und die entsprechende Teildeterminante
^kX «» ^ik,*2», ... *», ... *m* . . buk
ak^ ojk« ... au. ... ak *.• ak 1 2 ... f ... m ... 11
Sei nun so muss sein
Jede Determinante von der Form
ak^ air, ... a», ... ak . . . o» 1 2 ... Z ... tn ... n
enthält aber 2 gleiche Colonnen, welche den Elementen a«^ nnd o«^ entsprechen, folglich ist dieselbe = 0 nnd
somit auch woraus folgt, däss
^r' = 0,
Königgräz am 7. Mai 1876.
*) Siehe Salroon-Fiodlcr, Vorle6nngen zor Einführang in die Algebr« der linearen Transforni. Leiptig 1S63, S. IS.
und GanthcTf Lehrbuch der Dcterminantentheoric, Erlangen 1S7 5, S. 61.
Hoppe: BtUp, d. Destimm, einer fläche nvt d. Indicatrix d. Normale. 407
XXVI.
Beispiel der Bestimmniig einer Fläche aus der Indicatrix
der Normale.
Von
B. Hoppe,
Die Richtungscosinus />, g, r der Normale einer gesachten Fläche seien in Parametern der Krümmnngslinien u, v bestimmt durch
i>±g-y(iT^)a±t'); r = V
UV
Die Werte von p, g, r als Coordinaten eines mit u, v variirenden Pankts gedacht, stellen auf der Kngelfläche
p'+a'+r' =^ 1 ein orthogonales Curvensystem dar; denn erstlich ist
und ferner findet man:
du Sv — *' dudv^^
woraus:
Sind diese beiden Bedingungen erfüllt, so werden nach N. XVII. §. 25. die Hauptkrttmmungsradien der gesuchten Fläche p^, ^2 <i<urch die Gleichungen bestimmt:
408 Hoppe: Beiüpitl der Bestimmung einer Fläche
wo
gesetzt ist, und nach Integration der Ol. (1) ist die Fläche dargestellt durch
X
-y(*»i^+*»i^)
nebst analogen Aasdrücken für y^ s.
Im vorliegenden Falle findet man die Werte:
1 uA-v « 1 tt-4-»
woraas:
und die Gl. (1) (2) lauten:
^1 4_ i_J_ ^Pi I ._J_ 3^1 _ o /q\
P2='P,+2(n + r)|^^ (4)
Der Gl. (3) kann man durch homogene ganze Functionen jedes Grades genügen. Um sie für solche Lösungen einzurichten, setzen wir
U --" VW
dann geht sie über in
Ihre Lösung hat die Form
g^^^nyy^^n ^^ (^ ^ ft^^^) (5)
wo TK, ir,, tr, Functionen von tp bezeichnen, und n eine positive ganze Zahl oder 0 sein mag. Nach Einführung erhält man:
{ 2w iw+\) »r/'— [(2n — 5) M? + 2n — 1] tr, '— Znw^ \ (a-|- bw^) + {2u.(ir+l)(^+2^)-[(2n-5)w7 + 2n-l]}6trjfV=0
0
au* der Indicatrix der Normale. 409
also znr saccessiven Bestimmfing von trj nnd tr^:
* 2w (w + 1) tr^" = [(2n — 5) w + 2n — 1] w^'+ 3nii?, (6)
tr^ tr/ (2n~5)fr + 2>i-~l
IT,' "»" tTj "" 2tr(tr-|-l) ^'^
Da für a » 1, 6 » 0, TF und ir^ identisch werden, so mnss auch sein
2tr(w+l)Tr" — [(2n—5)»r+2n— IJPf' + SnTr Gl. (7) giebt integrirt:
(
GL (6) wird erftUlt durch
•^^ =»fo(-i)*W» ZVT2) •"
ft=:N 1
= 2:(— 1)» (n)t er»— * /"(l —0*''* *"-*"*•* 8«
/V(u^+l)~l|-ftj/j~^^
WO (n)ft den ßinomialcoefficienten bezeichnet. Jeder solchen ganzen Function nten Grades w^ entspricht dann ein logarithmisches Integral tf^si AUS beiden setzt sich das entsprechende W zusammen, und hier- aus geht durch Superposition der allgemeinste Ausdruck des ersten Hauptkrömmnngsradius
Hrroo
Pi = X r," «'i (a 4- bw^) (8)
^ «=0
enthaltend zwei unendliche Reihen willkürlicher Constanten a, 6, gleicbgeltend zwei willhttrlichen Functionen einer Yariabeln, hervor.
Um p2 zu finden, hat man erst die Gl. (4), welche fttr unabhängige
u, V gilt, auf unabhängige r, w zu rcducirea. Hierbei geht -S^ tiber in
dpj w dpj npi «; dpj
8» V dw V V dw
gültig für die homogene Speciallösung. Dem Werte (5) entspricht daher
p,= (2nMr+2n + l)pi— 2M?(M^ + l)g^'
= »••{[(2nM7-f 2n+l)?f, — 2«r(ir+l)ir/] («+&i£»2) — 26w(iiH-l)«r|W,'}
410 Hoppe: Beispiel der Bestimmung einer Fläche
Berechnet man den Wert der mit a mvhaplidrten Klamme, die mit w^ bezeichnen, so findet man:
iTj «= (2nw -)- 2n -|- 1) Wj — 2w (w -|- 1) tt^
y"/ 1UA ^ r(tH-i)r(»-t-H) - £(-1)^ («)t j,^^^:^^ T«-*
kzzH 1
k=0 0
/V(u^+l)-l}-8<j/^
und der znm Werte (8) von p, gehörige Wert des zweiten Haupt- krümmnngsradius ist
M=ao H=eo
#•=0 »•=0
wo die d, 6 in g^ mit den a, 6 in p^ identisch sind.
Die Coordinaten ergeben sich leicht, wenn man zu den unab- hängigen v, te übergeht Hier wird
— ö(a5±y)== pi — ä;7~"^+p« — ä;; — ^^
=» piyr±v3yiT^+p2ViT^8Vi^
T
9i^^ — 92±(9i + Q2)v''^r, _, :i i/l + t'
at^-f iPit?ö«rl/~^
2VaTvic)(l±v) r 1-f «^
;=ol V(l + vw)(l±v) * r l+»»r)
Sei zur Abkürzung
^=/v^
v»*3u
^ l/(iT«'«')(i±«') dann lautet das Integral:
Dass keine Function von te hierzu zu addiren bleibt, ergicbt die par- tielle Differentiation nach w.
out der Indiralrix der Narmalt. 411
Znr Bestimmnng vod S. ergicbt sich die recarreDte Pormol: »-«-n5«-l ±?^\«-l)&,-f (r. + l)«p&.+, -0
wo Q — Va^^'nr)H±v). Eliminirt manj^,-St ...Ä-1, so kommt:
Q±-^S^ «0 0 ... 0
"Q—So ±5'-^ 2«- 0 ... 0
Q -2 ±5^ 3» ... 0
v'Q 0 —3 ±7^ ... 0
»Q 0 (
>Q+«»Ä. 0 0 0 ... -(»-!) ±(27.-1)^'
und 2war ist
In glGichrr Weise crgiebt sich:
=".ä!^^'-^+-
DQd nach lotegration:
Da der Coel^cient vod Sip den Factor i'"+' hat, bo ii dass znin Integral keine Function vod v biumtreteD kai
412
Hoppe: Beupiel der Bestimmung einer Flache
[
§. 3.
Die Fandamentalgrössen der im vorigen dargestellten Fläche und
«1
«t%\ ö = f = Ä,V,
und / <=» 0; F = 0. Geht man za den Parametern uj ttber, wo die Functionsdeterminaute den Wert hat
ar, ©,
80 dass
du
Wx
du
da;
h du
rt dv
dx dv
rt
Bf, dx
rt dv'
dv
rt du
f,dp rt du
wird, 80 entsprechen den neuen Parametern die Fandamentalgrössen
'.-«®)'+'(ö'-(^)"i('^i)'+^sr! -— ©■+<'0'-^.i'-(«.^)'+-(«-ä)i
woraus:
«1 ffi
8g\»
(!)■ ®)
dpY
(I)" ®)
aus der Indicatrix drr Normale. 413
Nun ist
^(Bpdq . dg dp\ _ 8(p+g) 8(p+g) , 8(p~g) 8(p--g) , ,_^ ^y^hv'^duiv)'' du dv '^ Su dv —*-*-"
folgUch
«1 ^1 ^1 ö^i
= 0
Die Differentialgleichung der Krümmangslinien für die Parameter ar, y, in denen sie firflher aasschliesslich aufgestellt zu werden pflegte, lautet:
«1 /i
8x«—
9i «1
daher entspricht die hier dargestellte Fläche dem von Fuchs in Crelle's Journal, Bd. 58. behandelten Falle, wo das Mittelglied der Differentialgleichung null ist Er stellt die .Gleichung der Fläche durch ein bestimmtes Integral dar, welches als Liösung der Gleichung
8*0» 3*0» 1 3
1»
die Grosse
r
bestimmt, woraus dann die einzelnen Coordinaten durch partielle Differentiation gefunden werden (vergl. Grelle J. Bd. 58. Seite 369.). Der gegenwärtige Reihenausdruck der Fläche, welcher zu dem eben genannten Integralansdruck in keiner so nahen Beziehung steht, dass sich einer aus dem andern auf kurzem Wege ableiten liesse, hat das besonders für sich, dass er die Goordinaten direct in Parametern der Krammungslinien darstellt, und die Worte der Hauptkrümmungsradien, die sich aus jenem nur durch sehr umständliche Rechnung ergeben» auf die leichteste Weise als
dz
Pi , Qi"^ ör ^^^^' "^^ constantes v, u zu entnehmen gestattet..
Bei der Methode des citirten Aufsatzes musste zur Bestimmung der Krümmungslinien von den Parametern a;, y auf neue Parameter übergegangen werden. £s ist bemerkenswert, dass auch in diesen das Mittelglied der Differentialgleichung null ¥rird. Sei nämlich
P Q
- =-= COtt«S} - "" COtVj
woraus:
1 «... 1 — COS*f«iCOS*V*
,_„ = (p+«)!=Lp=iL*=.5^
414 Boppt: Behp. d. Bestimm, einer Fläche auM d. Indicatrix d. Normale,
dann wird
m — 9A -— ' — = — =
2 daher
(.+„)» = 4(pV+r«) = 4(p«+r»)(««+r») - ^^^^
also
2r* r+1» = -r; — zir— ; i> — t* «" 2r*cott»«cotr,
woraas, mit Anwendang von (9):
sin tf) sin v^ sin u^ sin v^
(10)
l-{-C08tlsC0St;s* 1 — COStijCOSv,
Dnrch partielle Differentiation ergeben sich die Relationen:
du sin tig Bu ^ dv sinug dv
dv^ sint^g oü^* dvf sinrj du^
daher werden die neuen Fnndamcntalgrössen:
--•(fe)'+»(s;)'i »- !'(fe)'+»(fe)'l(äJ5)"
^-{fe)'+«(fe)"' <'-Wfe)'+"(fe)l(fe)'
woraus sofort die zu beweisende Relation
hervorgeht Es zeigt sich, dass dies von allen Parametern gilt, welche
die Gleichnng
du Sv i^Bv du
8iij Bvf'*' du^ dv^ erfüllen.
Infolge der Proportion
reducirt sich die Differentialgleichung der Erüromungslinien unabhängig von /*2 und F^ sofort auf
das ist auf die Gleichung
\8in*t4j/ \8in»2/'
in welcher die Variabeln getrennt erscheinen. Die Integration wtrde uns nur zu den vorher bekannten Gleichungen (10) zurfickführen.
•iaaaUr ^mjattritpunktt dt» Drtittkt. 415
XXVII.
Ueber eine Cluse Irratiouler Sriniiietriepiiobte i Dreieck.
I.
Es gibt einen Sjrmmetrieptinkt P des Dreiecks ABV, fikr welchen die Summe der PA ein Uinimnm wird. Wir beseichnen ihn mit M und nennen ihn den Minimnmpnnkt. Es ist zl BMC — 130". Hier- aus ergeben sich drei Gleicbangen für die J/^. Ihre Auflösung gibt:
MA = - ~-- F £a* , 2F . Sa* , „ ,„
BC'-a, A ABC •= F
Diese Werte bestimmen den Ftäcbeninbalt des Dreiecks BMC und die Normale von M auf BC. Wählen wir trimetriscfae Pankt- coordinaten, so ist dann M^bc{m* — i*){m' — e") ein Symmetriepnnkt 6- Dimension. Da aber F durch die Seiten a nicht rational aus- gedruckt werden kann, so gehört M zur Gmppo der irrationalen Symmetrieponkte d. i. jener, deren trimetriscbe Punkt durch keine rationale Function der Seiten a ausgcdrfl können.
n.
Constrnirt man Aber den Seiten eines Dre Ansäen gleichseitige Dreiecke, so schneiden Verbindungsgeraden der Ecken des Dreiecks
416 Hain: Uthtr eine Clasfte irrationaler Symmetriepuiücte de» Dreiedct»
+
Gegenecken der gleichseitigen Dreiecke im Minimom- pnnkt. ^
A^BC sei dafi über BC nach Aussen errichtete gldchseitige Drei- eck. Dajin ist mit der Abkürzung n' » 60^-)~^
^ = 1 0 0
-4, = — sinÖO» +siny' -fsin/J'
^^1= 0 — sin/J' +8iny'
BB^ = + sin a' 0 — sin y'
CCi = — sina' +8in/3' 0
iTi^i und CCi treffen sich im Symmetriepunkt:
sin ß' sin y* = sin (Q(fi + ß) sin (60» + y)
= *^V — 2 — + y3JV — 2 — + 73J
Wird nach Jnnen dieselbe Construction vorgenommen und sind Af die Spitzen dieser gleichseitigen Dreiecke, so ist:
^j=+8in600 — sin(60ö— y) — 8in(600 — /J) AAi= 0 sin(60<>— /J) — sin(60«—y)
Die AA^ treffen sich im Punkte: sin (60^— /5) sin (60^— y). Er fällt nicht mit M zusammen. Er werde bezeichnet mit N und heisse der coigugirte Punkt von M. Es ist:
Die Coordinaten von M und N unterscheiden sich nur im Vor- zeichen von y3. Und zwar ist y3 im Ausdruck m positiv, in « negativ.
m.
Verbindet man den Minimumpunkt eines Dreieckes mit den Ecken desselben, so verhalten sich die Umkreis- radien der drei so entstandenen Dreiecke wie die Seiten des Urdreiecks. Die dreifache Summe der Quadrate dieser Radien ist gleich der Summe der Quadrate Ober den Seiten des Urdreiecks.
Für den Umkreisradius ra des Dreiecks BMC hat man:
BM.CM.BC a
ra =
4^ BMC ys
Bai»: Urber eint Gant irralioiuäUr Synimtlritpunklt dit Dreitdr*. 417
Aof dieselbe Eigenschaft A. BMC — 121>> grOndet sich auch der Satz :
Werden vom Minimumpankte eines DreieclcB zu den EckenGerade gezogen nnd die Höhenachnitte der so ent- standenen Dreiecke mit einander verbunden, so batdieses Dreieck der Hfthenschnitte mit dem Urdrefeck gleichen Flächeninhalt. (Archiv LVII 448).
IV.
Die Hannonikalo des Punktes fo ist die Gerade ihU- Für la ^ sin^'sin^' ist iaU = siaa'. Die Harmonikale von Jlf ist die Gerade sin(60''+«) = «(m* — o*). Der Abstand des Punkte« mit den Seitennormalon pa von der Geraden a^ ist: Sa^pa-.Nj, wo JV,» -= Xn,«— aZijqcoso. Für a, = o(m»— o») ist:
— Xi, ^1 COB o = Z(m»— i») (m* — c«) (<•*- J»— c*) = -m*,ra'+2m'2:a»+3a»i»c»-Za*(6*+c»).
Es ist also Nj unabh&ngig von m. Ist also m eine beliebige Grösse, so haben die Uarmouikalcn aller Punkte: beim* — i*)(tn* — e*) deu selben Dislauzneuucr. Somit hat auch die Harmonikale von A'^Äc(ii*— i*)(n*— c*) denselben Distanznenner N,. Ausserdem stimmt der im Archiv LVIII 168 aufgestellte Wert von Ä, für die Harraonik^c des Inkrcisccutruma des Uitteudreiecks (des Spieker'scheu PuuktGS) mit dem Werte von Jt^, fUr Jf und N flbcrein.
Der Spiekor'sche Punkt und derUinimnrapankt eines Dreiecks haben also für ihre Uarmouikalen denselben Distanznenner.
Der Abstaud d eines Punktes mit den Seitennormalen f der Harmonikaien des Minimumpnoktes ist also:
d— £apn(n'—a*):l<l,
Ferner ist der Abstaud ä' desselben Punktes von der Hai kaleu des Punktes A':
d' = £ap.(n*-a'):N, Somit ist:
d-d' = (m*—n*)£ap«:N, - 2F(tn'— n*);Af,
418 üain: üeher eine Clasxe irrationaler Symmetriepunkte des Dreiecks.
Wenn die beiden Harmonikaien einen Winkel bilden , so hat f&r jedes pa die Gleichung d — d' ^ coust keinen Sinn, ebenso kann aber dann auch nicht d-{-d! » const sein. Die Harmonikalen sind also parallel und li' ist negativ zu nehmen; somit gilt der Satz:
Die Harmonikaien des Minimumpunktes und seines conjugirten Punktes sind einander parallel; ihr Abstand ist:
V.
Werden über den Seiten eines Dreiecks als Grundlinien ähnliche gleichschenklige Dreiecke entweder nach Aussen oder nach Innen coustmirt; so schneiden sich die Verbindungsgeraden der Scheitel dieser gleichschenkligen Dreiecke mit den Gegenecken des Urdreiecks in einem Punkte und zwar far die Coustruction nach Aussen im Punkte: 8iu(X+j3)8in(X+y) und für die nach Innen im Punkte: siu(— A + /3)sin(— A+y), wenn X die Winkel an den Grundlinien dieser gleichschenkligen Dreiecke sind. (Archiv LY 333).
Nennen wir den Punkt 8in(X-f-/3)sin(Jl-j-y) den Punkt A. Die Harmonikale von l ist die Gerade sin(il-f o). Die Determinante
sin(X + a) sin(X+/5) sin(X+y)
cosa cos/3 cosy
a b c
kann in zwei Determinanten zerlegt werden, von denen jede Null ist. Die Harmonikale cosa ist die Harmonikale des Höhenschnittes. So- mit sind die Harmonikaien der X einander parallel und zwar der Harmonikalen des Höhenschnittes, welcher der Punkt X = i 90^ ist.
Die Verbindungsgerade zweier coigugirten Punkte +X, — X ist:
! sin( X+«)8in( X + y) sin( X+a)sin( X+/3) I 8in(-X+a)sin(— X+y) sin(— X+o)sin(— X+/J)
wi . x • n ^l sin (X+y) sin(X+/J) = sin(Xf a)sin(X-a)l ^^^^^^^^ sin(X-^)
^ sin (/3 — y) [sin X* — sin a*]
Die Gerade (+X, — X) geht somit durch den Schnittpunkt der Ge- raden siu(^— y) und sin^o8in(/3 — y):
Hain; Ütber eine Claste irrationaler Symmetriepwtkte des Dreiecke. 41d
8in(y — fif) 8lnj3*8in(y— er) sin (a — ß\ sin y*sin (a — ß)
^ 8in(^+y) ^bc
Die Greraden (+A, — X) bilden somit ein Stralenbttscbel , dessen Centram der Schweninnkt ist.
Der Ort der Punkte xa, deren Harmonikaien des Punktes pa parallel sind, ist die Curve
0
Sie ist ein dem Urdreieck umschriebener Kegelschnitt. Fflr Ta = sin(A4-/^)8in(X+y), pa = cos ^ cos y erhalten wir die Determi- nante eingangs dieses Paragraphen. Ihr Wert ist Null. Somit liegen die X auf einem dem Urdreieck umschriebenen Kegelschnitt
Wien, Jänner 1876.
|
XhXe |
XcXa |
Xgfth |
|
Pbpc |
Pepa |
paph |
|
a |
b |
c |
• g /Ziehungen der Symmetriepnnkte eines Dreiecks.
420 Z^'*''''' ^ ^
xxvm.
Allgemeine Beziehnngen der Symmetaiepiuikte
eines Dreiecks.
Von Emil Hain.
I.
P sei ein Punkt in der Ebene des Dreiecks ABC. Die PA treffen die ßC in P«. Die Geraden PA heissoi die Ecktransversalen von P oder kurz die Transversalen dieses Punktes; die Strecken PA die oberen, die PPa die unteren Abschnitte der Transversalen, die AP^ die Transversalstrecken, die BPa die Seitenabschnitte.
Das Dreieck PaPhPe werde das Transversalenfusspunktdreieck genannt; es liegt mit dem Urdreieck collinear. Die PbPc treffen die BC in Punkten einer Geraden, der Harmonikaien von P.
Die Senkrechten von P auf die BC heissen die Seitennormalen von P\ ihre Fusspunkte seien mit Ap bezeichnet, ihre Längen mit p«. Befreit . von einem gemeinschaftlichen Factor können letztere als trimetrische Punktcoordinaten gelten.
Diese Bezeichnungen reichen zur Definition einer grossen Reihe von Symmetriepunkten aus. So z. B. ist der Schwerpunkt der Punkt gleicher Seitenabschnitte. Das Inkreiscentrum characterisiren die gleichen Seitennormalen, das Umkreiscentrum die gleichen oberen Transversalabschnitte. Der Höhenpunkt ist derjenige Punkt, dessen Transversalen mit den Seitennormalen zusammenfallen.
Hain: Ailgtmeine Beziehungen der Symmetriepvnkte eines Dreiecks. 421
n.
PA trifft BC in P«. Für P=pa ist PA = 0^ p*, pe. Somit Bind die Seitennorraalen der Pai
Pa^ 0 Xaph ^apc
Pb ^ hpa 0 Äftpc
Pe ^ il«|)a Atfpft 0 WO
2F
Der Schwerpunkt S^ des Dreiecks PaPbPe ist der Symmetriepankt:
pa ( Aö + ^«) ^ Pa (hpb + C|)c) (2a/)a + */>* + <?Pc)
Liegen die S^ auf einer Oeraden o^, so ist:
d. h. Liegen die Scbwerpnnkte von Transversalenfass- punktdreiecken anf einer Geraden, so liegen die Colli- neationscentra dieser Dreiecke mit dem Urdreieck anf einer Gurve dritten Grades.
Sind Ap die Fnsspunkte der S^itennormalen, so gibt die Figur:
Ap^ 0 p6 + PaC0Sy pc-hpaCOSfi
Bp ^pa-\-ph cos y 0 Pe-hph cos a
Cp^ pa-^-pc COSß pb'{'Pe cos et 0
Somit ist der Schwerpunkt S^ des Dreiecks ApBpCp der Symmetrie-
pnnkt:
2pa + pb cos y-^pc cos ß
Es sei xa der Ort jener Punkte P, für welche Sf auf der Geraden a, liegt £8 ist dann:
2? a,(2xa+r> cos y + a^c cos /J) « 2:(2o,+5iCOSyH-CiCOS/J)arfl — 0
Liegen die Schwerpunkte der N ormalenfusspunkt- dreiecke auf einer Geraden, so liegen die Schnittpunkte dieser Normalen auch auf einer Geraden.
in.
Die Fnsspunkte der Seitennormalen eines Punktes bilden als Ecken ein Dreieck, das im Allgemeinen mit dem Urdreieck nicht collinear liegt. Es ist die Be4inguAg der Cotiinearit&t zu bild**-
422 Hai": Äügtmeint Bttkh
P = pa sei ein Pankt, ^ = 1
Af=Q pfc+poCOS/ pc+PaC08/l
AAp^ 0 +(pi!+paCOB/J) — (p»+p«C«8)')
Die AAf treffen sich in einem Pnnkt, wenn:
I 0 i>«+pocofl? — (pi+p.cos)') I
I — (j><+J>*ÖM«) 0 pa+piCOBJ-
I pi+peCOB« — (ya+pcCOsß) 0 I
= IKpa + piCOB)") — iKpa + PiCOSjJ) = 0
Nan ist:
ntPa+PlCOB)-) = (l + 77cO8a)/Tpa+£p«pt*C08ir+£pap6»CO8ßCOS7 n(pB+ptCOBß) = (l + i7c09(»)npo+£pnp*'cOBn+2;pap«'cOsßCOSJ'
Somit ist der Ort der Poolite r, fllr welche sich die AAf in einem Ponlite Bclinoiden, die Cnrve:
-r ia-a(a-»*— a-(*)((;09cr — cos|Scosj') = 0
Die DiBtanz d zweier Pnulile P nnd Q mit den Coordinatcn p, nnd 9a wird ansgcdrUclit darch die Formel:
d* = — j^£a(p(ip— (;fcl,)(pcl|i — 5t i,) «0
Eine einfache Umwandlang gibt:
j^ __ abeSa{pt£aqa — qb£apa)ipc£nqa — qc2!apa) {£apa.Saqa)*
Sonach ist fQr die Eatfernang a' der Punkte l'(pa, p», pc) nnd i*{l, 0, 0):
Setzen wir iJa'* = codbI. ■= «*, so folgt:
<'(£opa)* -^ ^fic(6pi-f-cpe)(fip(-|-Cpt)— oicXoptpe
Hain: AUgimrine Bciirhvngen dtr Sj/antlriepuaklt tinti Dreitckt, 423
Nun ist:
Somit ist der Ort der Paukte P, far welche £a'* -^ t* ist, der KegelBchnitt: ^
£a*(b*+t^—e^rJ-i-Sbc(b*+e*~2e*)xtXt = 0
FtlT Saia'*^=^, wo Kj beliebige Coastanten von d^r Dimension Null bezeichnen, erbalten wir ebenfolls einen Kegelschnitt. £s können also die PA ebenfalls wie die PAf fllr ein trimetrisches Coordinaten- system verwendet werden.
Sind A' die Seitenmitten und ist die Gerade A'A" parallel zu PA, so ist:
PA= 0 -\-pc — p»
A'A" ^ a(6p» — epc) + b (bpb+cpc) — c (bpb-i-cpc)
Die Gleichung der letzten Geraden genfigt ncmlich zunächst dem Pankte A'^0, c, b nnd ausserdem verschwindet die Dotenninante :
I a(ipfc — epc) +b(bpl, + cpc) — «(Jpl + cpe) j 0 +pc —pt
Somit ist PA || A'A".
Die Geraden A'A" bilden ein Dreieck von der Fläche: abcFA*
Und Bwar ist hier:
I o{8j)j — cpe) +bibpt-\-cpt) — cC*p»+«7)c) I
A — — a{cpc + apa) +b(cpc — apa) +c{cpc + apa) — I +"(«Pfl+*P«) — fifopa+Äpi) +e{apa — bpt) I
Ferner wird A« = ^a^cXapo.opo. Die Determinanten dos N werden also fOr endliche Ponkte pa, die nicht in den Dreiecl liegen, nicht Null. Kein Paar der A'A" bildet ein System vc rallelen. Diese Geraden treffen sich also in einem Paukte ant im Symmelriepnnkt:
6c(6j>i+cp().
424 Hain: AUgemeine Beziehungen der Symmefriepunkte eines Dreiecks.
VI.
Die Distanzformel in lY. gibt:
bc (bpe -^cph) (bpb + cpe) — d^bcp^pe
Der Ort der Punkte P, für welche
AP^ = BPh ^CPt=-f ist ein Punktsystem, gegeben durch drei Gleichungen von der Form:
hc {bpe + cph) (bph + cpe) — aHcpbpc = /* {hph + cp«)*
Die beiden andern Gleichungen werden durch cyklische Yertauschung erhalten. Wir erhalten aus der ersten:
p6«(ftV— /•»&«)+i>c*(äV-/2c«)+/>6;)cÄ<?(ä*+c« — a«— 2/-«) = 0,
P^xPh hc{h^-\-c^—a^ — 2f^) _c^(b^—f^) pc^^pc' bHc^'-f^) ° b^ic^—n
woraus folgt:
Pc^bl 2(c«-/«; J
a>. - y(ft8-fc«—a«— 2/2)«— 4(^2— /•«)(<?»— /»)
-2yay« — 4F«
16/^ = (a4-6+<?)2J(i+c— a)
wo
wo
Ist nun pa ein Symmetriepunkt, so muss / eine symmetrische Fanction der Seiten a sein. Also ist der Ausdruck:
5»+c2— a»— 2/«+ *a = 2ai nach & und e S3rmmetrisch. Es ist sonach
pt C Ot
und
pc b Oj
f6 ^ C &« — /«
woraus sich ergibt:
a,a=(Ä«-/2)(c«-/»)
[Ä* + c2 - a« - 2/« ± 2yaV» — 4F2]2 « 4(Ä«— /«) {<:«— /"«)
Hain: Aügtmniit BvUiungtn dtr Syimttritpunktt tintt Urtüekt. 42S (b*+c'-a'-2r)'-Hl'*-r)(<^-f*)
Nno ist
(6t^-c»_.a»_^»)n_4(t»_/-«)(e*_/-») _ *„» =- 4(0»/»— 4^») Hierfttu crlialten wir:
2y'a*f* — iF' ±{b*+^—a*—2f*) = 0 4aV»-16F» = (i»+c»— n*)» — 4/^(**+<J— a*)+4/-*
Hier crBcfacint f nur nach b nnd c symmetrisch; mithin gilt der Satz;
Es gibt kein nngleichBcitiges Dreieck mit einem Sf mrootriepnnkte gleicher TransTersalstrecken.
Wien, Mai 1876.
426 Tkieme: Untersuchung über die binären lateralen Geraden,
XXIX. Untersnchnng über die biaären lateralen Geraden.
Von
F. E. Thieme.
Erster Abschnitt.
Ton den lateralen Geraden in einer auf der Coordinatenebene
senkrecht stehenden Ebene.
§.1. Es sei PMO Fig. 1. eine Ebene, in welcher PAf senkrecht anf OMN] durch MP lege man eine Ebene QMPR senkrecht anf der der ersten und zwar sei MQ senkrecht auf OMP. In der letzteren Ebene ziehe man ABD || OM und mache BD = AB\ ferner ziehe man in der Ebene QMPR die Gerade BC senkrecht anf MP, daher auch parallel zu MQ^ und mache BC « BA = BE. Betrachtet man MPals Ordinatenachse, so wird, wenn man BA^'\-a setzt, BD^ — a annehmen, so dass man bei dem Uebergange von der einen Seite der Ordinatenachse auf die andere mit — 1 zu multipliciren hat Bei dem Uebergange von BA auf BC^ in der verticalen Ebene multiplidre man mit t, so dass BC » i. BA = ia ist. Geht man von BC auf BD über, so macht man dieselbe Operation als vorher, es ist daher
BD =- i.BC d. i. —a = t*.a, oder e« = — 1 d. i. » « V^. Geht man daher von einem Punkte der Ebene PMO auf den entsprechen- den Punkt der Ebene QMPR Über, so hat man den senkrechten Ab-
stand von der Ebene mit i = V— 1 zu multipliciren. Ebenso wird man schliessen ist BE = — ia^ daher BA = — i^a=^'i'a.
Die Coordinatenebene heisse die Fundamentalebene, die senk- rechte Ebene die Lateralebene, die Schnittlinie beider die Lateral- ichse.
Thieme: Untersuchung über die binären lateralen Geraden, 427
Nimmt man die Ordinatenachse als Lateralachse, so entsprechen den Punkten der
Fnndamentalebene +y? "|-^; +y» — ^» — y? +*» ""^i — ^ ^^^ Punkte der Lateralebene +y»+wc; -j-y, — w;; — y, +«;» — y, — mj.
Verlegt man den Anfangspunkt der Coordinaten in den Punkt — yu — ^19 so ^^s ^^ neuen Achsen den alten parallel sind, so er- hält man als Coordinaten y+yi, »(aj+oci).
§. 2. Zieht man in der Fundamentalebene die Gerade MA^ in der Lateralebene die Gerade J/C, so dass ^ AMO = ^ CAfQ ist, dann entspricht jedem Punkte der Geraden MA ein Punkt der Geraden MC der Lateralebene; wenn die erste Gerade dargestellt wird durch y ^^ axj SO wird die Gerade der Lateralebene, die laterale Geradci bestimmt durch y =^ tax. Hier sind MO und MB die zugehörigen Abscissenachscn, so dass a =» ig CMQ, Die Gleichung
y = tax
bezeichnet daher eine Gerade in einer auf der Fundamentalebene senkrecht stehenden Ebene; diese Gerade geht durch den Anfangs- punkt der Coordinaten.
Ebenso bezeichnet
y+yi -\-Mx+Xi) «= 0
eine Gerade der vertikalen Lateralebene, welche durch den Punkt
Für zwei in derselben Lateralebene enthaltene Gorade deren Achse parallel zur Ordinatenachsc ist, muss x^ immer denselben Wert haben, während die eine Gerade yj, die andere y, alj Ordinaten hat.
§. 3. Die beiden Gleichungen:
y+yi+iAix+Xi) =- 0
so wie auch ihr Product:
y^+i(A+B)yx-ABx^ + [y^ + y^ + i(A + B)x,']y
+ l-'2ABx,+i(Ay^+By,)]x'\-y^y^-'ABx^^ + ix, (Ay^+By,)'^0 (I)
Stellen zwei laterale Gerade dar, wovon die eine die Fundamental- ebene in dem Punkte — yi, — «i, die andere in dem Punkte — y„ — a?! die Fundamentalebeno schneidet; die Tangente des Winkels, welchen die eine mit der zugehörigen Abscissenachse bildet, ist — A^ bei der andern — B,
428 Th lerne: Untenuckung über die binären latenten Geraden,
Him stelle Gl. (I) aUgemem dar dordi
y»+(a^ib)^+(c+ül)x^+ie+t/)y+(g+ih)x+k+a = 0(11)
Vergleicht man Gl. (JI) mit Gl. (I), so ist a » 0, <2 = 0, so dass d^her die Gleichung wird;
y^+ibyx + om^+(e+if)y+(g+ih)x+h+a -- 0 (Ol)
Es ist ft « -4+J?, (? =» —--45; hat daher c einen negativen Wert, so ist 6«> 4e; femer ist A — ib+^Vb^+i^, ß^^ib—iVb^+ic;
€ « y»4-yi» f "• *«•!> daher «i = ^j ^ "" V
Dies giebt folgende Bedingongsgleichongen:
^__. ^ = j^«^_^ ___,/«_ und 5«>-.4^,
wenn c negativ.
Es sind fUnf Elemente zu l^estimmen, dafür acht Constante ge- geben, daher drei Bedtngungsgleichnngen.
Löst man Gl. (III) in Beziehung auf y und trägt die entsprechen- den Werte ein, so ergiebt sich:
woraus man die beiden Gleichungen der lateralen Geraden erh<: Hiernach erhftlt man aus der Gleichung
Thieme: Untersuchung über die binären laterttien Geraden, 420
y«+6jy«r—8aj«+(4+12%— (32— 4»>— 44+82 « 0:
y-2+2t(aj+2) = 0 d. L y — 2 « t(a!+2)tgll60 34', y + 6+4i(a? + 2) = 0 jf+G - .•(a;+2)tgl040 2'.
§. 4. Wenn die Winkel der lateralen Greraden mit ihren Ab- scissenachsen sich zn 180^ ergänzen, so wird aas 61. (I), da ^ + ^=0 igt:
+Mr,^(y,— yj —0.
Gl. (11) erh< die Form:
y*+ei^+ey + (g+ih)x+k+a^O (IV)
Die Bedingongsgleichungen sind:
c posiüv, Ä: = J««--i-+J-, Z=2^
Durch Eintragung dieser Bedingungsgleichnngen erhält man für die beiden lateralen Geraden:
*+^-2-f.+'Vc(«+^)=0.
§. 5. Treffen sich die beiden lateralen Geraden in demselbea Pankte der Lateralachse, so ist in Gl. (I) y^ = yi and man erhält:
y^+t(A+B)yx'-'ABx^'\-l2y^+i(A+B)x,']y
+ l-'2ABxi+ty^(A + B)']x+y^*-'ABx,^+ix^y^{A+ß) « 0.
Dadurch wird Gl. (II):
y^+ibyx+ex^+(e+i/)y+(g+ih)x+h+ü (V)
Die Bedingungsgleichnngen sind:
5« > — 4c, wenn c negativ:
g^—, h=^ibe^ k = y^+-^f l^\ef.
Trägt man diese Werte ein, so erhält man als Gleichung der beiden lateralen Geraden:
430 Tfi lerne: Unfer.tuchung über die binären lateralen Geraden
Wenn auch noch die Winke], welche die lateralen Geraden mit ihren Abscissenachsen bilden, sich zu 180^ ergänzen, so fallen die imaginären Coefücienten aus und die Gleichung wird:
y«4-cx«-f «y+^ar+Jk = 0 (VI)
Hier ist c stets positiv und ifc = Jc*-|-i dadurch erhält man
c
die Gleichungen:
y+l«+«V«'(* + if)=o.
§. 6. Wenn die hciden lateralen Geraden durch den Anfangs- punkt der Coordiuaten gehen, so ist yi = 0, ar^ == 0 und Gl. (I) wird:
daher erhält Gl. (II) die Gestalt:
f/+ibi/x+cx^-=^0 (VII)
Da zwei Elemente zu bestimmen, auch zwei Constante gegeben sind, so giebt es keine Bedinguugsgleichung, ausgenommen dass, wenn c negativ ist, i*> — 4c sein muss. Die Gleichungen der lateralen Geraden sind:
y+iix(b — Vb^^n^) - 0,
y+iix(b-^Vb^+ic) = 0.
Wenn die Winkel der beiden lateralen Geraden mit ihrer Ab- scissenachse sich auch zu 180^ ergänzen, so ist in GL (VI) * «= O und c nur positiv; dann wird die Gleichung:
yi+cx^ == 0 (Vni)
Daher die Gleichungen der beiden Geraden:
Setzt man c = 1, so stellt y^+a;^ «= 0 zwei laterale Gerade dar, wovon die eine mit dem positiven Teile der Abscissenachse einen Winkel von 45®, die andere von 135® bildet
§. 7. Von zwei Geraden liege die eine in der Fundamental-, die andere in der Lateral -Ebene, sie gehen aber durch verschiedene Punkte der Lateralachse, dann sind die Gleichungen der Geraden;
TA lerne: ünttnuchunytn über die binären lateralen Geraden. 431
Das Prodact beider ist:
+ (Ay^ + i(By, + 2ABx^))x+yty%+^^x!/t + i(Bx^yt+ABx,^) ^ 0 (IX). Die Gleichung (Ü) wird dadurch:
y«+(a+Ä)ya: + uix«+(«+»y)y + (^+iÄ)x + it+»l -= 0 (X)
Daraas ergeben sich folgende Bedingnngsgleichnngen:
' ' a a a* a
Löst man die 61. (X) in Beziehung auf y, so ergiebt sich:
- ± i^/(a-Ä)«x+2(a-Ä) [(e-,y)_^}aH^.-ir)^J(^jO+^' Daraus ergeben sich die Gleichungen der beiden Geraden:
Treffen sich die beiden Geraden in demselben Punkte^ der Late- ralachse, so ist yj = pi und die Bedingungsgleichungen sind:
Die Gleichungen der beiden Geraden sind:
Gehen beide Gerade auch durch den Anfangspunkt der Co naten, so ist y^ =0, yi «= 0, aPi = 0 und die Gl. (II) verei sich in:
y«-|-(a+Ä)yx+i<»» = 0
432 Thierne: Untersuchumf über die binären lateralen Geraden,
worin c ^= ah\ die Gleichungen der beiden Geraden sind:
y'\'ax = 0, y-\-ibx = 0.
§. 8. Stellt man die erhaltenen Resultate zusammen, so ergiebt sich:
A. Die beiden Geraden gehen durch den Anfangspunkt der Coordinaten :
a. Die eine Gerade ist reell, die andere imaginär:
y«+(a-f»J)yar + iaA«» = 0 (XI)
b. Beide sind lateral:
y^-\'ibyx'\'cx^ = 0 (VII), wenn c negativ ist, so ist absolut i*>4<?.
c. Beide sind lateral und die Winkel derselben mit dem posi- tiven Teile ihrer Abscissenachse betragen zusammen 180^:
y^-f c«* = 0 (VIII); c ist positiv.
B. Die beiden Geraden gehen nicht durch den Anfangspunkt der Coordinaten, wohl aber durch denselben Punkt der Abscis- senachse :
a. Die eine Gerade ist reell, die andere lateral: y^ + (a+tb)yx'\'iabx^+(e + if)y + \\^{he''af) + i{]^^
b. Beide sind lateral:
^2 > — 4<? wenn c negativ ist.
c. Die Winkel der beiden lateralen Geraden mit dem positiven Teile ihrer Abscissenachse betragen zusammen 180^:
y«4.caj«4-«y+^x+J(6«+^2) = 0 (VI), c posiUv.
C. Die beiden Geraden schneiden die Lateralachse in verichie- denen Punkten.
a. Die eine Gerade ist reell, die andere lateral:
y*
-\-{fl-\-ib)yx-\-iabx*-\-{e-^i/)y-\-\^9 + i(af+be - ^)]x
b. Beide sind lateral;
rf<_(2»-M" M ,
+ 4' 4(J>+4»)+ i "' >■"'
fi" > — 4c, weuii c negativ.
c. Diö Wiuket dor beiden lateralen Geraden mit dem positiven Teile iiii^r AbRcisaenachse betragen zusammen 180":
e positiv. Hieraus ergeben aicb folgende Regeln:
1. Wenn die ein^ tiorade reell, die andere imaginär ist, so feblt der reelle Factor von x\ der imaginäre ist ab.
2. Sind beide Gerade lateral, ae fehlen der reeUe Factor von yx und der imaginftre von x".
3. Ergänzen sich die Winkul der beiden lateralen Geraden mit dem positiven Teile ihrer Abscisseuachae zu läO", so fehlt das Glied ^ ganz, von x* und y der iinagiuäro Factor.
Zweiter Abschnitt.
Ton den lateralen Geraden, welche in Ebenen liegen, die Mhief auf der Fnndamentalebene stehen.
§. 9. Es sei I'MO Fig. '2. die Fundamentalebene, PM Aie Ordi- uatenachse nnd senkrecht aaf MO\ durch MP lege man die Ebene MPRQ, welche mit der FundameDtalebcnc den Ftächeowiokel « bildet; die Absei ssen ach se MQ sei senkrecht auf der Ordinatcnachse, welche zugleich Lateralachse ist; es sei femer ABD senkrecht auf MP, ebenso BC in der Ebene MPQR\ man mache BA — BC •= UD. Um von BA der Ebene PMO, auf BC dor Ebeuo MR multipllcire man die erstere mit /(a), es ist daher
BC^ BA.f(a), ebenso ist
BD = BC.ni»fi—u), folglich
BD= Ä^.A«)/(180»— «), d. L
A'').A1800-«)=-l,
TiUUX.
434 Thieme: Untersuchung über die binären lateralen Geraden.
dies ist aber der Fall, wenn /(«) = cos «+ »sin er, daher hat man bei dem Uebergange aus der Fundamentalebene in die Lateralebene, welche gegen die erstere unter einem Winkel o geneigt ist, mit cosa-^^'sinor zu multipliciren.
§. 10. Man ziehe in der Lateralebene MR die Grerade JfC, welche mit ihrer Abscissenachse MQ den Winkel <p bildet. Wäre MR Fundamentalebene, so würde die Gerade dargestellt durch
y = tg«p.x,
da sie aber in der Lateralebene liegt, welche unter dem Winkel n
gegen die Fundamentalebene geneigt ist, so muss sie dargestellt
werden durch: '
y = tg<p.a;(cosa-J-t8ina).
Dieser Gleichung kann man auch die Form geben:
y = x{a+%b), 80 dass
tgg) = Va^-j-Ä*, cosc = ,- -^, sino
Die Gleichung y -^ x{a-\'ib) stellt daher eine Gerade dar, welche durch den Anfangspunkt der Coordinaten geht, in einer Ebene li^t, welche mit der Fundamentalebene einen Winkel bildet, dessen Cosinus
a
:z und die gegen ihre Abscissenachse unter einem Wink^
geneigt ist, dessen Tangente Va^-f^^. Die gemeinschaftliche Ordinaten- achse ist Lateralachse.
Verlegt man den Anfangspunkt in einen andern Punkt, dessen Coordinaten y, und X| sind, so aber, dass die Lateralachse parallel zur Ordinatenachse ist, so ergiebt sich die Gleichung:
y—Vt =» tgg)(a;— a;i)(cosa4"*8ina) oder
y = x{a'\'ih)-\-C'\'id^
welche Gleichung auch auf die Form gebracht werden kann:
A» Die beiden Gereuten gehen durch den An/angepunH
der Coordinaten,
§. 11. Die Gleichungen zweier lateralen Geraden, die in zwei verschiedenen Ebenen liegen, welche die Winkel a und ß mit der Fundamentalebene bilden, sind:
Tkieme: üntertuchung Über die binäreH lateralen Geraden. 435
y+Bxicosß+isinß) = 0; ihr Prodact giebt:
y*+ic^[^C08a4--Bc08/?4-tM8ino4-^8in/?)]
+ x*AB (C08 («+/?) + 1 sin (a + j5)) — 0 (I)
Man stelle diese Gleichung dar durch:
y*+ia-\-ib)yx+(c+id)x^ - 0, (U)
80 dass
a =» ^cosa-|-i?c08/9, c = ABcos(a-\-ß)^ b « As\na'\-BBmß^ d — -^jösinCa+Z^)-
(IH)
Eine Bedingungsgleichnng ist nicht vorhanden, da vier Grössen durch vier Coefficienten zu bestimmen sind.
Löst man Gl. (11) in Beziehung auf y^ so ergiebt sich:
y+i(a4-Ä)a; « ± ixVa*— &« — 4<j+»(2flÄ— 4</).
Man setze d<>n absoluten Wert von a*— ä*— 4c — JL, - - - - - - 2ab — 4<2 s. fi,
80 kann man folgende vier Fälle unterscheiden:
I. n. III. IV.
A + + - - f* + - + -
Es sei
^/WW\ *-l/^. «-J/^.
80 ergeben sich folgende laterale Geraden:
I- y+4[a— d+.(ft — a» — 0, ffl. y+J[a— «+«•(*— Ä» - 0,
»+l[«+*+»(*+')]« = 0, y+|[«+Ä+,-(j-|-Ä)]« - 0,
n. »+i[a+*+«(>— «)]x — 0, IV. y4-i[a4-»-f-.-(J— d)]x = 0,
§. 12. Bilden die lateralen Geraden mit ihren Abscissenachsen gleiche Winkel, so ist in Gl. (I) und (UI) §. 11. A^ B, folglich:
a = AicQBa-^^CQBß) = 2-4C08 J(a4"/^)cosJ(«--^, b ^ A(sma'\-B\VLß) » 2^sin4(a4-j?)cosi(a — /?), folglich:
\ = tgH«+ft.
«s*
436 Thieme: Untersuchung über die binären lateralen Geraden.
Es ist ferner
folglich :
daher
Es ist ferner
c = A^cos(a+ß), ^«tg(a+a
2ahc
a*-&«
a* = ^*(C08«*-f-C08/3*+2C08aC08/?),
b^ = A^ (sin a^ + si^ /^* + 2 sin a sin /?),
a« — &« = A^ (cos 2ä + cos 2/? + 2 cos (o + /?)),
= 2^«co8(a+/?)[l+ cos («—/?)], . 1.
a«— Ä«<:4^2cos(tt + /J) oder a»— Ä*<4tf und "a^y» > 1. Hieraus folgt auch, dass wenn c negativ ist, auch b* >- a^ sein muss, so dass 2 hi ^^ jedem Falle positiv ist.
Setzt man in Gl. (11) §. 11. den Wert von d ein, 8o wird die Gleichung:
y^ + (a + ib)yx + ~—^(a+ib)^x^ = 0. (IV)
Die Gleichungen der heiden Geraden sind:
§. Iß. Es mögen die heiden lateralen Geraden in derselben Ebene liegen, so ist in Gl. (I) und (IV) §.11. Z. /J = -^ « und man erhalt:
a = (^-|-J5)c08tf, c = ^^cos2a,
b — (^-f i^)sinff, d =- ^i^sin2a. Daher
2abc
Ferner:
a« = (A+B)^ cos a\ a«— 5« — (A + B)^ cos 2a,
Ä« = (^ + JB)»sintt«. J(unaberi8t(^4-jB)«>4^Ä, folgüch a«— *«>4c, oder ^^^ < 1.
Thieme: Untersuchung über die binaren lateralen Geraden. 437
Die Gleichung (II) §.11. erhält dieselbe Form wie (IV), aber die Gleichungen der beiden lateralen Geraden sind :
Ergänzen sich ansserdem noch die Winkel der beiden lateralen Geraden mit ihren Abscissenachsen zu 180**, so ist -4-f--ö = 0, daher ö = 0, Ä = 0 und Gl. (II) §. 11. wird :
y«-f(c4-ia)rc« = 0 (Vi
Die Gleichungen der beiden Goraden sind, wenn man Vc*-|-rf*= p setzt:
§. 14. Die eine Gorade sei lateral, die andere reell, so ist (§. 11.) /J = 0 und man erhält: .
rt = -4cosa + JB, c==-4Bcosa, a* = -4^cosof*4-2-4JBcos«-f-^S b — ^sino, d = ylBsincv, 4c «= '\'i:ABco^tt^
B ^ -• ^cosof = T =- a — r- a* — 4<? = (^cos« — -ö)*, daher o ab
a*>4c, und d= ib{a± Va* — 4<?), wodurch Gl. (II) wird:
y* + {a+ib)yx + [c+iib(a±Va^—4tc)']x^ = 0. (VI)
Daraus ergeben sich die Gleichungen der beiden Geraden, entweder y + i{a — Va'^-^+2ib)x^0, oder y + i(a+Va*-4ü+2Ä)a: = 0,
Bilden die Geraden mit ihren Abscissenachsen auch gleiche Win- kel, so ist auch A ^^ B und man erhält:
a = ^(l+cos«), c « ^^cos«, ab = ^* sin «(1+ cos«) <C 2il*sin«, ^=»^8ina, d«=^*sina, rf^^oÄ,
- = tgi«, - = tga, daher rf - ^^ryj c = j^^ ,
daher rf = ^(o«+Ä»).
w
438 Thieme: Untersuchung über die hinSren tötenden Geraden.
Trägt man diese Werte ein, so ergiebt sich die Gleichung:
Die Gleichungen der beiden Geraden sind:
§. 15. Es stehe die eine Lateralebene schief, die andere senk- recht anf der Fundamentalebene-, dann ist /} » 90^ und die Gleichun- gen (III) §.11. neh.men folgende Gestalt an:
d a»ilcOBa, c= — ABsmttj J5 -» -»
c ob ~~~ d h = Jsino-I-^, d « ^^coscr, tgo « — - = — |— , folglich:
Die Gleichung wird:
y«4.(a4.iJ)ya;+[<j-fia(ıyÄ^4^^)]«« = 0. (Vni)
Daraus ergeben sich die Gleichungen der beiden Geraden:
Wenn die beiden Geraden mit ihren Abscissenachsen gleiche Winkel bilden, so ist auch B = A^ und man erhält:
a«
a* — 6* trägt man den oberen Wert von d ein, so ergiebt sich: o « ""Jll"»
daraus ergiebt sich d = \a{Jb±^^b^'\'^\ und daher rf=j7(**±a*); die Gleichung der beiden Geraden ist:
y«4-(o4.j6)yaj-f A_|-^4_ j4^2ia&(*« + a«)]a;« = 0. (IX)
Hieraus ergeben sich für die Geraden /olgende Gleichungen :
Tkieme: 'Untersuchung über die binären lateralen Geraden. 439
§. 16. Die Winkel, welche die Lateralebene mit der Fundamental- ebene bilden, ergänzen sich zu 360^, oder, was dasselbe ist, zu 180^, so ist in den Gleichungen (II) §. 11. ß » d6(y>— o, daher:
a = {-4-|-B)cosa, c^AB^
h *= (ul--^)sina, <?=-0. Es sei zuvörderst c positiv, so ergiebt sich die Gleichung:
y*4-(a+2&)ya;+cx« = 0. ^ (X)
Die Gleichung gelöst, giebt:
Man setze a»— &*— 4<? = A, so ist, wenn p = yi*+4a*6*,
X = pcosa, cos« = - « 2co8ia* — 1 =- 1— 2sinia*, folglich
2ab == psina,
cosi« = y^' 8in 1« = jAg^.
und venn man macht
j/4-'-*. l/^i^-'.
SO erhält man als die Gleichung der beiden lateralen Geraden:
Diese Gleichungen stelle man dar durch:
y+i«tg<p(cost-f «sinj) « 0,
y4-i«tgi/;(cosiy-[-»s"i^) "^O. Dann ist:
a — ^ 1
cos{;
J^+ (!5iy
sint
cosiy =
smi}
y(a— ^)«+(*— a)»
ft— d 1
o+^ _ 1
i+d 1
V(a+^)«+(Ä+a)»
K^)'
+ 1
Esistabcrn*— t*>i oder a»-*>6», folglich 4o*~4n»i+i»> A*+4o*iV(l. i. 2o»— A>p, daher a> J/^ oder «>#, es ist also a — #, d. i. coe£ positiv, so wie coat).
Ferner ist *■+''< °*. 4/'*-|-4Ä»i4-i' < iH"*«***. d.i. 2S»+'l<#. A < l* ~2~ ' *~*' <'■ '■ 8'"t '"* ncftstiv, w&hreDd simj einco poai- tiven Wert hal.
Bringt man ilip Brüche („-^) «nd (^T^») Der, so ergicbt sich die IdenUtftt beider, daher
co8t=cos)j, — sinf^:8iuii, d.h. £ = 360" — i). Daher siDd die Gloichungci: :
y+3:lg«>(coB{36o" — i)) + .'8in(3Gü"— 1))) = 0,
y-t-a-tgtf'(C08)) + <"8ill»l) = 0.
Statt der ersten Gleichung konnto man auch schreiben:
ff+irrlg{180»-«)D)(CO8(l8Ü"— f)) + .siM(lH0»-1j)) = 0.
Ist aber c negativ, su dass die Gleichung wird:
so wird eben so wie vorher bewiesen, dass a < 1/ „ - daher
a—9 negativ, dagegen b — i positiv, folglich J = 180"— i? ist, wo- durch man die Gleichungcu erhält:
y+a-tgiyCcosv + Zsin?)) = 0,
Sr+ :<: lg * [cos (180"— ^) + .-sin (teO" -.,)]= 0;
die letztere Gleichoug kann man auch darstellen durch:
ff+a-tgaaO"— v)[cos(360<»— *,)+iBin{360"— t))] — 0.
Sind auch die Winkel gleich, weicht die lateralen Geraden mit ihren Abscissenacbsen bilden, so ist A = B, woraus folgt i '^ 0, und die Gleichung erhält die Form:
y«-[-<ijpc+c«» = 0 (XI)
worin e steig positiv und a* -^C 4c ist Die Gleichungen der beiden Geraden sind;
Thitmt: Unleriuehung ilbtr itit hiiiäreit la'cni/en Geradtn. 441
g. 17. Stellt man die ResnlUlu fUr biliäre laterale Gorade, welche durch den Aofangspiinkt der Coordinaten gehen, zasammeo, bo er- giebt sich:
1. Die beiden Geraden liegen in verachiedenen schiefen lateralen Ebenen :
y^+(rt+»)jw+(c+W)*» = 0 (U)
2. Sie liegen in verschiedenen Ebenen und bilden mit ihren Abscissenachsen gleiche Winkel:
y' + ia+ib)yx + ''-^:^^*-'' = 0 4c>a"-6» (IV)
3. Sie liegen in derselben schiefen Ebene:
(IV)
4. Sie liegen in derselben schiefen Ebene, aber die Winkel, welche die Geraden mit ihrer Äbscissenachse bilden, erg&nzcn sich za leu":
&. Die eine Gerade liegt in der Fundamontal- , die einer Lateral-Ebene:
6. Die eine Gerade liegt in der Fnndamentalebene , in der Latcralebeno nnd beide bililou mit ihren Absdasenacl Winkel:
jä + (a+»)s*+-i*' (<'+»)"■'* = 0
7. Die eine Gerade liegt in der senkrechten, die andi schiefen Lateralebene.
8. Die beiden Geraden von 7 bilden mit ihren Absc gleiche Winkel:
9. Die Flächenwinkel der Lateralcbenen mit der Fb cticne ergänzen sich zn 360°;
442 Tkieme: Untersuchung über die binären laUraUn Geraden.
10. Auch bilden die beiden Geraden mit ihren Abscissenachsen gleiche Winkel
y*+ayx+cx*^0, 4ü > a» (XI)
B. Die beiden lateralen Geraden gehen durch einen auf der Lateralachse gelegenen Punkt, dessen Ordinate — yi und Abscisse Xi ist
§. 18. Man erhält die Gleichung zweier lateralen Geraden, welche in Terschiedenen Ebenen liegen und die Lateralachse in dem Punkte — Piy — ^1 schneiden, wenn man in Gl. (II) §. 11. setzt für y:y+yi und für xix-^-x^^ wodurch man erhält:
(y+yi)'+(«+*)(y+yi)(«'+^i)+(<^+^(«+^i)* = o a)*
Entwickelt und ordnet man diese Gleichung, so erhält man:
yt^(a+ib)yx+(c+id)x^+(2y^+ax,+2bx^)y +(ayi+2car,+»(*yi+2eiaH))x+y,H-öyi^+<»i'+»(^^^^
Man stelle diese Gleichung dar durch:
y*^(a+ib)yx+(c+id)x*'{'{e+i/)y+(g+ih)x+k+a - 0 QU)^ Hieraus ergiebt sich:
so wie die Bedingungsgleichungen:
h « ibe— W+-J-* l - W— i y + -^j-
Durch Eintragung dieser Werte und Lösung der Gleichung in Be- ziehung auf y erhält man die Gleichungen der beiden Geraden, wie
sie §. 11. angiebt, wenn man daselbst für yiy-^-^ — \-r und für a;:a5-f-T setzt
§. 19. Wenn die beiden Geraden mit ihren Abscissenachsen gleiche Winkel bilden, so gilt ebenfalls (III)^ so wie die Bedingungs- gleichungen des §. 18., aber ausserdem noch:
Thieme: Untersuchung über die binären latercden Geraden, 443
Dieselben BediDgungen als vor, mit Ausnahme der letzten, wofür man zu setzen hat 4c < a* — b\ gelten, wenn die beiden lateralen Gerade in derselben Ebene liegen.
Sollen ausserdem sich die Winkel zu 180^ ergänzen, so ist a-»0, ft « 0, / = 0 und Gl. (HI)»» wird:
Hier ist ^^ = ^ x^ = ^ und die Bedingungsgleichungen sind:
^. i.-i^j_?* f^^
* = i^+l ^=4^^
§. 20. Liegt die eine Gerade in der Fundamental-, die andere in einer Lateral-Ebene, so gilt Gl. (UI)^ mit den Bedingungsgleichungen von §. 18., wozu noch kommt:
d^ib(a±Va^—4tc).
Die Werte von yj und ap, sind wie in §. 18.
Sind ausserdem die Winkel gleich, welche die beiden Geraden mit ihren Abscissenachsen bilden, so kommen zu den Bedingungs- gleichungen des §. 18. noch:
§. 21. Wenn die eine Gerade sich in der senkrechten, die an- dere in einer schiefen Ebene befinden, so gelten ausser den obigen Bedingungsgleichungen von oben noch:
d = ia(b±Vb^+icj'
Sind auch die Winkel gleich, welche die Geraden mit ihren Abscissen- achsen bilden, so kommen zu den obigen BedinguDgsgleichungen noch hinzu:
«-^^*' rf=if (**+»*)•
§. 22. Wenn die Winkel der beiden Lateralebenen sieb zu 360* ergänzen, so wird aus 61. (III)'>:
y«+(a+Ä)y*+<«»+(«+.y)sf+0,+Ä)+fc+a - 0
444 Thieme: Untersuchung über die binären lateralen Geraden.
Die BediogungsgleichuDgon sind wie in §. 18., nur mit Berücksich- tigung von d = 0.
Bilden die Geraden mit ihren Ahscissenachsen auch gleiche Winkel, so erhält Gl. (III)*» die Form:
Es ist hier
2ce — ag 2g — ae
^^ ^ 4^~a8 ' *i ^ 4c — a'*
c ist positiv und 4<? > a^ endlich :
. ^ g^+ce^ — aeg 4c — a*
(Vergl. Archiv Tl. 58. S. 218.).
XXX. Hiseelten.
Eine g«oinetri§ehe AtL^tle.
Vorbemerkung. Aus den elemeutargeometriBchen Anwendmi' gen der elliptiscfaen Functionen ist unter Anderem der Satz bekannt: Wenn 2 Kreise eine solche Lage haben, dass dem einen ein Polygon eingeschrieben werden kann, welches dem anderen umschrieben ist, so ist die Anzahl solcher Polygone aneodlich, und'es bestehen zwischen den beiden Kadicn r nnd p und der Ceatrallinie d bestimmt« Rela- tionen. Dieselben lauten beispielsweise fär das Dreieck
r« — 2rp-=d*, für das Viereck
für das Fünfeck
9(r-\-d)V2r=g(r+d)Vr—d-f+lr~d)(r+d+{f)Vr+d~(>_ Untersuchungen über diesen Gegenstand sind *■ — ^ — *■' — -■ ti:-i— i— (Crelle's Journal III. and XXXVUl.) angesi Autoren Ober die Theorie der elliptisclien Scbloemilch und Duröge reproducirt worden Relationen, wie CS in der Natur der Sachi Bezugnahme auf elliptische Functionen gefu die Formel fOr das Dreieck schon Enl«r, d Sechs-, Sieben-, Achteck Nicol. Fuss in den '. XI. und Nov. acta Petropol. XIH. gegeben 1 Dreiecksformel von vielen Verfassern elemer bflcher, u. A. von Unger, v. Swinden-Jaco kftnn aber diesem Gegenstände eine — wie i
446 MiscelUn,
abgewinnen, wenn man, von der Existenz dieser Dreieeksformel ab- sehend — wir beschränken uns der Eürza wegen auf diese — sich folgende Aufgabe stellt:
Gegeben 2 Kreise, dem einen soll ein Dreieck so umschrieben werden, dass es dem anderen eingeschrieben sei.
Auflösung. Der Radius des äusseren Kreises sei r, der des inneren (berührenden) q^ die Centrallinie a, der Mittelpunkt des letzteren sei der Goordinatenursprung. Die Gleichungen der Kreise sind hiemach
Als unbekannt nehmen wir den Punkt A der äusseren Peripherie an, von welchem aus die erste Sehne (welche zugleich Tangente ist) gezogen werden soll, und setzen dessen Coordinaten
yi«=rsin<p, a-j = a-f-^'COSy.
Bezeichnen wir mit u den Winkel dieser Sehne mit der X-Achse, so schneidet die Sehne die Peripherie in einem zweiten Punkte B, dessen
a?2 *= o — rcos(<p — 2m), y^ = rsin(g) — 2m),
wie sich entweder durch analytisch -geometrische oder rein geome- trische Betrachtung leicht zeigen lässt Soll der Winkel u dei^stalt bestimmt werden, dass AB den zweiten Kreis berühre, so erinnere man sich der Bedingungsgleichung
p8(l+m«) = ii«,
wo m und n die Constanten der Geraden y = mx'{-n sind. Im vor- liegenden Falle ist
m « ^^^^ « tangM,
g^iyg— a^yi rsin(<p— m) n = =» atangtf.
Xi — X2 COStt ^
Die Gleichung p*(l-f-»w*) = n* geht hiemach über in die Form
ip = rsin(<p — u) — asinu
und zerfällt natürlich (wegen^^des Vorhandenseins zweier Tangenten Yon A aus) in die 2 Gleichungen
1) p = rsin(9 — Uj) — asiuMj
2) — p = rsin(9 — tt,) — asinus
Es sind nunmehr ausser A noch 2 Punkte fixirt:
MueeOen. 447
J5 : afj = a — rC08(<p — 2t«J, y^ «=» r8iD(<p — 2u^ C i^^^ a— rC08(<p — 211,), yj « rsinC^— 214)
Es erübrigt noch die Darstellung der Eigenschaft der Geraden BC als Tangente des Kreises x^-^-y^ » q^. Mit Benatznng der bereits erwähnten Bedingungsgleicbung Q^il-^m^) =n' ergiebt sich:
3) ip — rcos(t«j — 1^) — aco8(ui-|~«4 — ^)
Diese Gleichung in Verbindung mit 1) und 2) reichen aus zur Be- stimmung des Winkels 9, von welcher allein die Lösung der Aufgabe abhangt
Die Addition von 1) und 2) giebt desgleichen die Subtraction
6) ,-8m(^)(«C08^^+rC08(^-^)).
Aus 4) folgt
«*i+««« rsino) ^4"«*« rcosqp-f-a
6) tang^T- =» T— . cos^— « 71^»
' ® 2 rC08<p + a 2 yN
wo
jY« a*+2arcos9+r*.
Diese Werte in 5) eingetragen:
sin
^^— ^1
2 o(o4-ycosy) . rcos<p(a-f"^cos<p) . r^sinV
oder
"'^ 2 *" a*+ arcos g) + arcos g) + r* cos V -j- r»sinV
_ 9^N p_
"^ a*-|-2arcos9+r* "" y iV
Liebrecht
448 Miscellen.
2.
Eine Quadratur.
In den Hippokrateschen Halbmond soll der grösste Kreis ein- geschrieben werden. Welches ist der Ort seines Mittelpunktes, wenn sich der Scheitel des gegebenen rechtwinkligen Dreiecks auf der Peripherie des ihm umgeschriebenen Kreises bewegt?
Ist a der Halbmesser des festen Kreises, so ist der Ort des Mittelpunktes des veränderlichen Kreises in Polarcoordinaten r, fpi
Die Fläche der Curve
n
F= 2 ir^dtp = |-(;f+5).
Die Fläche der Curve zerfällt in zwei Teile, in einen rationalen und einen irrationalen Teil. Schreiben wir in den festen Kreis ein Quadrat ein und dem Quadrat wieder ein Quadrat ein, dessen Seiten die Dia- gonalenhälften des grösseren halbireu werden, und beschreiben aus dem gemeinschaftlichen Mittelpui kte einen Kreis, dessen Radius gleich ist der Seite- des kleineren Quadrats, so ist die Summe dieser drei
Flächen gleich der Fläche der Curve.
K. Zahradnik.
LüterarUcht Bericht CCXXXlIl \
Litterarischer Bericht
ccxxxm.
Methode und Prineipien.
Einleitung in die Tbeorie der bestimmten Integrale. Von Dr. J. Thomae, Professor an der UniversitAt Freiburg in Baden. Hallo a./S. 1875. Louis Nebert 4». 48 S.
Da man erst in neuerer Zeit angefangen bat die elementaren Grundlagen der Integralrecbnung einer emstlicben Prüfung zu unter- werfen, so ist es gewiss ein sebr förderlicbes Uuteniebmen , die Er- gebnisse dieser Prüfung zum Gegenstand einer von der*Materie der Doctrin gesonderten Scbrift zu macben; denn es dient dazu die objective Entscheidung über die principielleu Fragen berbeizu- fübren, wäbrend eine einem bestimmten Lebrgang vorausgescbickte Bebandlung derselben die Basis als subjective, durch die Wahl dex Methode motivirte erscheinen lässt. In der Tat beschränkt sich die vorliegende Scbrift auf dio Begründung der BegrilTe und elementaren aUgemeinen Sätze. Flciss und Sorgfalt in der Bearbeitung ist durch- weg unverkennbar, exactes Zuwerkegehen und Bündigkeit für einen hinreichend grossen Teil zuzugestehen, damit ungeachtet wesentlicher Mängel das Ganze im Zusammenhang verstanden werden kann. Wegen dieses im ganzen bewahrten Zusammenhangs ist es aber auch nicht schwer zu erkennen, wie eine Incorrectheit im Anfang die Ursache immer neuer Dunkelheiten wird. Der Verfasser ist nämlich noch nicht darüber zur Klarheit gelaugt, was unendliche Grössen sind: es fehlt in den anfänglichen Bestimmungen, so wie in principiellen An- wendungen durchweg die Unterscheidung der Yariabeln und Constanten. Er sagt, die Rechnung mit irrationalen Zahlen beruhe auf einer Aus-
T«ilLIX. H«fll. I
2 Litferarischer Bericht CCXXXlll,
dehnang des Gleichheitsbegriffs. „Zahlen heissen gleich, wenn man von ihnen nachweisen kann, dass sie sich um weniger als jede dem absoluten Betrage nach noch so klein vorgegebene (zunächst rationale) Zahl unterscheiden." Offenbar wäre diese Differenz =0, wenn es sich um beiderseitig constante Grössen handelte. Dann aber wäre der Sinn: Zahlen heissen einander gleich, wenn ihre Differenz null ist. Und das wäre keine Ausdehnung des Gleichheitsbegriffs. Die hier gemeinte Differenz, welche allein Sinn hat, ist also eine vanabele, der Bestimmung gemäss, trotz der Vermeidung des Namens, unendlich kleine; die approximativ dargestellte Irrationale ist eine variabcle Zahl, ihr ideeller Wert deren Grenzwert Zur Erleichterung des Ausdrucks schreiben wir in vielen Fällen die Yariabele statt ihres Grenzwerts, z. B. « = 3, 14 . . . statt ä =^ lim 3, 14 . . . und zwar ohne Zweideutigkeit, weil unter n eine Constante verstanden wird. Der Sinn der Gleichheit aber ist hier genau derselbe wie überall. Daher ist nicht der mindeste Grund zur Erweiterung des Gleichheits- begriffs. Allein die Statuirung einer solchen ist nicht bloss über- flüssig, sondern auch falsch und unklar, falsch, sofern sie die Aus- sage includirt, das gleich Genannte und als gleich Behandelte sei nicht eigentlich gleich, unklar, sofern sie die Bedingung des exacten Ver- ständnisses verhüllt, die Auffassung der gesetzmässigen Variabilität In der Tat scheint der Verfasser Mühe darauf verwandt zu haben, es mit der Formulirung der Definition denjenigen recht zu machen, denen das Erlernen jener Bedingung unbequem ist, die am liebsten solange mit unsichem Grundsätzen wirtschaften, bis sie auf einen Fehler stossen. Die Begünstigung solcher Leser, die 9ich namentlich durch Umgehung des Wortes „unendlich klein ^^ kund gicbt, ist um so verwerflicher, weil die völlige Klarlegung des Sach Verhältnisses äusserst leicht gewesen wäre.
Die hervortretendste Folge des genannten Mangels ist die Dunkel- heit, welche beständig über dem Verhältniss der Einzelwerte der Va- riabein zum Intervall waltet Da wir das Verhalten einer Function im Intervall analytisch nur durch die Auffassung von Einzolwerten fixiren können, so musste über die Beziehung zwisclicu beiden Rechen- schaft gegeben werden. Dies ist hier nicht geschehen; vielmehr lässt die Darstellung den Schein bestehen, als wenn die Einzel werte das Intervall ausmachten. Namentlich wird von Rational- und Irrational- zahlen in einem Intervall (etwa von 0 bis 1) stets so gesprochen, als wären sie 2 coordinirte Classen von Zahlen, die sich in das Intervall teilten. Dabei bleibt unbeachtet, dass die Irrationalen durch kein Gesetz auf Einzelwerte beschränkt sind, sondern als blosser Rost auftreten, während die Rationalen eine unendliche Doppelreihe von Einzelwerten bilden, nach deren Wegnahme das Intervall so gross
Litterarischer Bericht CCXXXIIL 3
bleibt, wie es war. Wie wir ans der geometrischen Darstellung ken-
I nen, hat das Integral ff(x) dx einen Wert nur vermöge des Intervalls,
o
das X durchläuft, und bleibt unverändert, wieviel auch Einzelwerte von /ar, sei es auch eine unendliche unendlichfache Reihe von solchen, beliebig abgeändert werden , da ja unendlich viele Ordinaten keinen Teil der Fläche bedecken. Was so durch räumliche Betrachtung sofort erhellt, folgt aber auch aus der analytischen Definition des Integrals. Letztere gründet sich zwar auf die Einzelwerte, hebt aber die ein- geführte Lücke durch die Bedingung vollständig auf, dass das Integral von der Teilung des Intervalls unabhängig sein muss. Die Definition lässt eine exclusiv rationale Teilung zu, gestattet aber auch alle ratio- nalen Werte zu überspringen. Entweder ist in beiden Fällen das Resultat dasselbe, oder es giebt kein Integral; nie aber können die Werte von /(x) für rationale x einen Eiufluss auf den Wert des Inte- grals üben. Diesen Umstand verkennt der Verfasser augenföUig, indem er in §. 20. „Beispiele unendlich oft unstetiger integrabeler Functionen" Fälle aufführt, wo die zu integrirende Function /(ar) für alle irrationalen x null ist, und gleichwol ihre Werte für rationale x noch besonders gesetzmässig bestimmt. Der Integralwert musste null sein auch ohne jenes letztere Gesetz. Dieses hatte die müssige Be- stimmung, dass der für solche Fälle offenbar nicht ausreichende Wort- laut der Definition auch hier zutreffen sollte. Doch der Begriff hat sich nicht nach dem Wortlaut, sondern der Wortlaut nach dem Be- griff zu richten. Um Integrale von Functionen einführen zu können, deren Einzelwerte eine vom trennenden Intervall abweichende Be- stimmung haben, war der Ergänzungssatz notwendig: Das Integral einer Function ist unabhängig von allen durch Intervalle getrennten Einzelwerten derselben. Giebt es also für alle Teilungen, welche die Einzelwerte tiberspringen, einen von der Teilung unabhängigen Grenz- wert der in der Definition bezeichneten Summe, so ist dieser unbedingt der gültige Integralwert. Dann fallen viele bloss durch Ungeschick in die Betrachtung hineingezogenen Sonderbarkeiten weg, und die Theorie vereinfacht sich bedeutend.
Wenn im Verlauf der Schrift öfters Fragen auftreten, die sich nur unter Beschränkungen des Functionsbe^iffs entscheiden Hessen, so ist es nicht der wahren Sachlage entsprechend, diesen Umstand als Besonderheiten jener Fragen darzustellen. Der allgemeine Func- tionsbegriff hat sich nach jeder Richtung hin als unfruchtbar erwiesen. Wie der Erfolg lehrt, ist die successive Erweiterung der einzig natur- gemässe Wog. Man sollte daher nicht den entgegengesetzten Schein solange als möglich zu erhalten suchen. Wie nun in §. 4. der Ver- fasser sagt, tritt der Functionsbegriff in seiner allgemeinsten (d. h.
4 LttUrarischer Berieht CCXXXIIL
doch wol allgemeineren) Bedeutang zum erstenmal bei der Lehre von den bestimmten Integralen auf. Er rechtfertigt dadurch eine voraus- gehende Besprechung desselben. Noch mehr gerechtfertigt ist aber jedenfalls die Forderung, dass zur Grundlegung der Theorie nicht Sätze verwandt werden, die sich auf den speciellcren Begriff stützen. Da der Verfasser sie ausser Augen setzt, da er den Differential- quotieuten in die Betrachtung zieht, einige auf denselben fussende Sätze über Integrale als bekannt citirt, daraus den Mittel wertsatz ab- leitet und diesen wieder für die fernere Begründung gebraucht, so ist die ganze vorausgeheude Besprechung, abgesehen von einem gros- sen Teile, der schon für die Differentialrechnung notwendig, und dahin zu verweisen ist, nur eine Störung des logischen Connexes. Der Satz über den das Integral darstellenden Summengrenzwert liess sich ohne alle Vorbereitung auf algebraischer Basis begründen ; aus ihm folgten dann leicht der Mittelwertsatz, die Differentiation sowie die übrigen bekannten elementaren Sätze, und die Bedingungen der Gültigkeit, die wie richtig bemerkt immer nur als ausreichend nie a^s notwendig nachgewiesen werden können, lagen dann weit übersicht- licher zutage, als es auf dem längeren und heterogen gemischten Wege der Herleitung erreichbar ist. H.
Die ersten Sätze der ebenen Geometrie. Grundbegriffe. Winkel. Dreieck. Viereck. Von Aug. Moroff, Assistenten an der Studien- anstalt zu Hof. Mit in den Text gedruckten Figuren. Hof. Franz Büching. 45 S.
Indem wir, absehend von der besondern Bestimmung für gewisse Schulen, das Werkchen als einen methodischen Versuch betrachten, geleitet von dem Gedanken eine vorgefundene Abneigung der Anfänger gegen das Studium der Geometrie zu überwinden, wird es hier nur darauf ankommen, das Eigentümliche daran herauszustellen. Eine vorausgeschickte Besprechung der Grundbegriffe giebt zu erkennen, dass der Weg durch den Verstand zur Anschauung gewählt worden ist. Ein solcher hat mindestens die gleiche Berechtigung wie der umgekehrte, bei welchem überdies gewöhnlich die Verstandesentwicke- lung vernachlässigt, oft sogar vereitelt wird. Die beste Wahl wird immer ein Gleichmass in der Inanspruchnahme beider Fähigkeiten sein. Die Besprechung ist stellenweis einfach, leichtfasslich und exact, stcllenweis wieder geschraubt und nur für Kundige verständlich, z. B. die Erklärung der Richtung durch die Visirlinie. Doch dem lässt sich durch den Vortrag abhelfen; wichtiger ist es, dass sich, und zwar nicht selten, das Richtige mit Falschem untermischt vorfindet So steht z. B. hier: „Wir sagen, der Raum sei unbegrenzt — den- noch betrachten wir ihn als ein Ganzes —'S Diese Aufstellung ist
Litterariacher Bericht CCXXXUL 5
nicht ZH ergänzen, sondern geradezu umzukehren: Der Raum ist unbegrenzt; man spricht oft incorrcct von ihm, als wenn er ein Ganzes wäre und Teile hätte. Femer liest man hier die falsche Be- hauptung: „Eine ununterbrochene Folge von Punkten heisst eine Linie". Die Vorstellungen der Bewegung und des gleichzeitigen Statt- findens einer Vielheit mischen sich hier unklar durch einander. Dass unendlich viele Punkte keine Linie ausmachen, war wichtig genug, deutlich auszusprechen. Statt dessen wird der Unterschied geflissent- lich vertuscht, und die Lücke des Verständnisses mit dem unverein- baren Prädicat „ununterbrochen" verdeckt Aehnliches würde viel zu rügen sein. Auch dorn Parallelensatz ist ein falscher Beweis bei- gefügt worden; die darunterstehende Bemerkung, der Beweis sei offenbar correct, kann die fehlende Gedankenverbindung nicht her- stellen. ' H.
Reine Analysis.
Ueber eine Function, welche einer linearen Differential- und Differenzengleichung vierter Ordnung Genüge leistet Von Dr. J. Tho- mae, Professor an der Universität Freiburg in Baden. Halle a./S. 1875. Louis Nebert. 4^. 22 S.
Der Verfasser hat in den Gott Nachr. 1874 p. 249. die Differen- tialgleichung, durch welche diese Function definirt ist, hergeleitet, und führt gegenwärtig die damals angekündigte Absicht aus^ dieselbe in ausgedehnterer Weise zu discutiren. Er definirt im Artikel I eine Function P durch ihre Periodidtät und weist im Artikel II deren Identität mit dem vollständigen Integr&le einer Differentialgleichung 4. Ordnung nach, woraus ihre Existenz sich ergiebt Im Artikel III wird gezeigt, wie sich eine Differenzengleichung durch eine nach 6au8S*8chen /7- Functionen fortschreitende Reihe mittelst der Methode der unbestimmten Coefßcienten integriren lässt, im Artikel IV, dass die Function P auch noch das vollständige Integral einer Differenzen- gleichung 4. Ordnung ist. Im Artikel V werden die Darstellungen sämmtlicher Zweige der Function P in den Punkten 0, 1, oo durch bestimmte Integrale aufgestellt, im Artikel VI die Anwendung von Integralen gerechtfertigt, welche nach gewöhnlicher Definition keinen Sinn haben. Im Artikel VII werden gewisse Coefficienten , die den Zusammenhang der einzelnen Zweige von P unter sich vermitteln, durch 77- Functionen und hypergeometrische Reihen 3. Ordnung dar- gestellt. Der Verfasser hebt noch eine im Artikel IV enthaltene Untersuchung als von allgemeinerem Interesse hervor, in welcher eine aus den Lösungen einer Differenzengleichung 2. Ordnung und ihren ersten Differenzen gebildete Determinante durch 77- Functionen voll- ständig dargestellt wird. H.
6 Litterarischer Berieht CCXXXIIL
Elliptiscbo Functionen. Theorie und Geschichte. Aeademische Vorträge von Dr. Alfred Euneper, Professor an der Universität zu Göttingen. Halle a./S. 1876. Louis Nebert. 541 S.
Wenn man beim Erscheinen eines neuen Lelirbuchs über ellip- tische Functionen hauptsächlich an 3 verschiedene Darstellungswcisen denken kann, die historische, systematische und methodische, so ist, wie der Titel es noch nicht kund giebt, hier sichtlich die zweite ge- wählt worden. Für die Anordnung scheint vorzugsweise die Natur des Lehrstoffs und die Uebersichtlichkeit der Resultate massgebend gewesen zu sein, wenn man auch in einzelnen Punkten nicht mit der- selben einverstanden sein kann, z. B. wo die Reduction der Integrale in einem Abschnitt beginnt, in einem viel späteren fortgesetzt wird. Die Geschichte hat dabei in doppelter Hinsicht Beachtung erfahren, einesteils durch den, wie sich wol annehmen lässt, vollständigen Nach- weis der zu den einzelnen Theoremen gehörigen Litteratur und durch viele darauf bezügliche Notizen, audernteils durch die Reproduction der Methoden aus den Originalarbeiten, welche im wesentlichen bei- behalten sind. Beides ist jedoch nicht ausreichend den Entwickelungs- gang der Entdeckungen im Zusammenhange, sowie die Art und Weise der Beteiligung erkennen und so den historischen Gesichtspunkt als obersten oder auch nur ernstlich ins Auge gefassten erscheinen zu lassen. Mit jener Wiedergabe historischer Methoden wäre offenbar die dritte Darstellungsweise unvereinbar gewesen. Nimmt mau sich zum Ziele, den gesammteu Inhalt auf kürzestem, instructivstcm und elegantestem Wege herzuleiten, so kann man nicht gleichzeitig Me- thoden aufbewahren wollen. Erwägt man aber, dass zu letzterem Zwecke die Jedermann zugänglichen Originalarbeiten genügen, und dass im ganzen schon eine grosse Anzahl von Bearbeitungen der Theorie existirt, so wird man einen wesentlichen Fortschritt in der Methode von einem neuen Gesammtwerke Ober den Gegenstand mehr erwarten und wünschen als nochmalige Reproductionen, und zwar einen Fortschritt, der das Ganze, nichts wie die Darstellung des Ent- deckers, das blosse Theorem im Auge hat. Der Verfasser sagt nun, dass seine eigenen Arbeiten im 9. Abschnitt enthalten sind. Dieser handelt von der Substitution nten Grades und der Multiplication und besteht aus Deductionen namhafter Autoren, ohne Angabe was der Verfasser dazu getan oder daran geändert hat; eine neue Beziehung der Theoreme unter sich tritt hier so wenig wie in den übrigen Ab- schnitten zutage. Consequenterweise ist mit den Methoden auch die Bezeichnung beibehalten werden, was der Verfasser mit den Worten motivirt: „Die Theorie, wie sie Jacobi hinterlassen, kann nicht als abgeschlossen angesehen werden, so dass wol einer spätem Zeit eine einheitliche Bezeichnung vorbehalten bleibt." Unter diesem Gesichts-
Litterarischer Bericht CCXXXllL ^
paukt durfte wol allenfalls Jacobi die Beibehaltung der Legendre'scben Bezeichnung rechtfertigen, wiewol er sowenig, als es. Abel getan hat, sich daran für gebunden zu halten brauchte. Heutzutage aber ist der Grund gänzlich hinfällig, da kein Mensch mehr daran denkt, dass die Theorie durch neue Entdeckungen in ihren Grundzügen verändert werden könnte. Worauf wir dann noch warten sollen, ist nicht ab- zusehen. Es handelt sich nicht um ein Uebereinkommen über frei zu wählende Zeichen, sondern vor allen Dingen um Anerkennung der Sachlage, die vermöge der Inversion eine andere ist, als sie für Le- gendre war. Die Amplitude war ein aus praktischem Grunde ge- wähltes Functionsargument, jetzt ist sie für Deductionen eine dispo- nibele Yermittelung, für das Functionszeichen aber ein bedeutungsloses, entstellendes Einschiebsel. Hierüber existirt keine Meinungsverschie- denheit; entschliesst man sich aber, der Sachlage Folge zu geben, so ist auch die Wahl der Zeichen keine Frage mehr; denn, mögen es Viele oder Wenige sein, die der Gudermann'schen Bezeichnung beigetreten sind, es sind eben Alle, die jenen Entschluss gefasst haben, und von Seiten der Uebrigen liegt kein Einwand vor. Das einzige zutreffende Motiv für die Beibehaltung der Legendre'schen Zeichen ist daher die Erhaltung k tont prix, und dieses ist allerdings mit dem Geiste des Buches in voller üebereinstimmung. Was den Um- tang des Lehrstoffs betrifft, so wird man zwar in manchen Stücken dem Ermessen des Bearbeiters gern überlassen die Grenzen zu be- stimmen; in der Theorie der elliptischen Functionen kann jedenfalls darüber wenig Zweifel sein. Dass aber das von Abel so kurz und elegant gelöste Problem der Division der elliptischen Functionen, nebst der daraus leicht hervorgehenden Lösung für die Thetafunctionen keine Aufnahme gefunden hat, ja nicht einmal erwähnt ist, lässt sich kaum durch irgend welche Erwägungen erklären. Nach Behandlung der Multiplication im letzten Abschnitt muss die Frage der Division entstehen; hier aber bricht das Lehrbuch ab und lässt den Leser ohne Bescheid. Bei allem indes, was im einzelnen zu misbilligen bleibt, ist anzuerkennen, dass das Buch das Interesse der Studirenden mehr im Auge hat, als es eine Reihe von Erscheinungen auf dem gleichen Gebiete betätigt haben. Nachdem eine Zeitlang Methoden beliebt wa- ren, welche die Anfangsgründe aus der Theorie der Complexen her- leiten, also an sich Deutliches auf undeutlichen Grund stellen, dadurch die Einbildung des Wissens mehr als die selbständige Productions- und Urteilskraft fördern, den Studirenden gerade das verschweigen, was sie bei Vorkommen elliptischer Integrale in eigenen analytischen Bechnungen notwendig brauchen, um von der Theorie Anwendung zu machen, musste eine Rückkehr zur natürlichen reellen Methode schon als solche willkommen sein, so wünschenswert es auch war^ dass sie sich durch höhere Ausbildung mehr empfohlen hätte, gerade
g Lülerarücher Bericht CCXXXIII
um der überhand nehmenden Macht des verkehrten didaktischen Prineips den Boden zu entziehen. H.
Geometrie.
Elemente der Geometrie. Erste Abtheilung. Geometrie der Ebene. Systematisch entwickelt von Dr. Friedrich Krase, Oberlehrer am königlichen Wilhelmsgymnasium zu Berlin. Berlin 1875. Weidmann. 319 S.
Das Vorliegende ist eine neue Bearbeitung der Geometrie der Lage. Obgleich keine directo Aeusserung darüber gegeben ist, scheint doch die Bestimmung für den Schulgebrauch teils indirect angedeutet zu sein, teils aus dem Umfang der behandelten Gegenstände zu er- hellen. Der Verfasser sagt, auf fremde Aeusserung gestützt: es habe bisher nur an dem einen gefehlt, dem Principe der Projectivität auch im Gebiete der Euklidischen Geometrie die Herrschaft zu verschaf- fen ; er glaube mittels einer eingehenderer Gliederung der perspecti vi- schen Lage diese Herrschaft fest begründet und die Grundlagen eines Lehrgebäudes klar gelegt zu haben , das den richtigen wissenschaft- lichen und didaktischen Anforderungen in hohem Grade genüge. Da die gegenwärtige Bearbeitung die räumlichen Grundbegriffe giünd- licher, exacter und richtiger behandelt als die meisten Lehrbü<'her der Geometrie es tun, so ist es wol am Orte, die bestimmten Punkte zu besprechen, welche in dieser Hinsicht versciiiedenes vermissen lassen. Der erste bezieht sich auf die Austührungen jm Vorwort Hie r ist das Verhältniss, in welches der Verfasser die Geometrie der Lage zur Euklidischen Geometrie stellt, ganz ungenügend. Es trifft nicht ein- mal genau zu, dass letztere von der Grösse, erstere von der Lage handele: in der Euklidischen sind, gleichviel ob viel oder wenig da- voft die Rede ist, die Elemente *der Lageubestimmung vollständig ent- halten. Was er aber ganz iguorirt, ist das entgegengesetzte didakti- sche Ziel beider, dass nämlich letztere die Couceutration auf die notwendigen Bedingungen mathematischer Erkenntniss, erstere die Ausbreitung und Systematisirung des Lehrstoffs verfolgt. Soll aber erstere die Herrschaft im Gebiete der letzteren gewinnen, so muss man verlangen, dass sie entweder dahin gelangt das Concentrations- vermögen in gleichem Masse zu cultiviren oder zeigt, dass es über- flüssig sei, was kein wissenschaftlicher Mathematiker zugeben wird. Die gegenwärtige Bearbeitung besteht nur in Ausbreitung und Glie- derung. Soviel mau auch Wert auf diese legen mc^, zur mathema- *^sch wissenschaftlichen Bildung den Grund zu logen reicht sie nicht 1. Anders haben andere Bearbeiter das Verhältniss aufgefasst
Litterarischer Bericht CCXXXIIL 9
Tbomae (s. litt. Ber. 229. S. 6.) charakterisirt die Geometrie der Lage als die allgemeinere, auf weniger Yoraassetznngen basirte, worans eine wertvolle Verwendung für das Studium der Methodik, aber nicht für den Elementarunterricht hervorgeht.
In dem Hauptstück über die Grundbegriffe finden sich 3 Stellen, welche der Ergänzung bedürfen. Bei Einführung der Bewegung (§. 4. S. 3) fehlt die notwendige Voraussetzung des Grundbegriffs der Con- gmenz. Wird diese Voraussetzung nicht ausgesprochen, so bleibt eine Unklarheit für die ganze Folge zurück. Schreibt man einem Kaum- gebilde Bewegung zu, so gehört dazu die Vorstellung, dass es bei Ortsveränderung dasselbe bleibe. In der Physik beruht diese Iden- tität auf der Materie, in der Geometrie, welche davon abstrahirt, kann sie nur in der Congruenz bestehen, man müsste denn den Be- griff der Bewegung weiter ausdehnen wollen, als es hier und gewöhn- lich geschieht Der Mangel macht sich besonders bei Erklärung der Geraden bemerklich. Zweitens ist die Erklärung einer Strecke (§. 4. S. 5.) nicht in Uebereinstimmung mit der Anwendung. Nach jener giebt es zwischen 2 Punkten nur eine Strecke, nach dieser 2 ent- gegengesetzte. Letzteres ist richtig, die Erklärung ist zu berichtigen. Drittens ist (§. 7. S. 6.) bei Verschiebung einer Geraden nur von Verschiebung in sich die Rede; wie es mit der Verschiebung nach aussen steht, fehlt jede Erörterung. H.
^I^ments de g^om6trie projective. Par Luigi Cremona, Di- recteur de T^cole d'application des Ingenieurs ä Rome, traduits, avec la collaboration de Tanteur, par Ed. Dewulf , Chef de bataillon du G^nie, Officier de la Legion d'Honneur, etc. Premiere partie. Paris 1875. Gauthier-ViUars. 272 S.
Die Bestimmung des Buchs ist es nach Erklärung des Verfassers, die Kenntniss der Theorien und Methoden der neuern synthetischen Geometrie, von Camot, Brianchon, Poncelet, Möbius, Steiner, Chasles, Staudt u. A. sämmtlich in der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts geschaffen, auf den italienischen Schulen zu verbreiten. Obwol er dem Werke in keiner Hinsicht Originalität zuschreibt, so ist dasselbe doch keine blosse Reproduction; die einheitliche Verarbeitung nach dem Gesichtspunkt leichtest möglicher Aneignung ist jedenfalls eine Leistung, die ihm als eigene zukommt. Er deutet dies nur in Form einer Rechtfertigung an, indem er sagt, dass er sich an den Gang der einzelnen Autoren nicht gebunden habe. Eine gleiche Freiheit nimmt er zum Zwecke der Verdeutlichung und Vereinfachung auch in Anspruch, indem er sich nicht auf exclusiv planimetrische Be- trachtung beschränkt, vielmehr öfters auch Raumgebilde ausser der
10 LitterarUcher Bericht CCXXXllL
Ebene zuzieht. Eine dritte Licenz, zu der er sich bekennt, ist, das« er nur selten die Quellen citire, auch bisweilen andere als die ersten Bearbeitungen angebe; er habe bei den wenigen Citaten allein den Zweck, die Jugend mit den Namen der grossen Meister der Wissen- schaft bekannt zu machen. Gegen das Verfahren an sich, nur unter anderm Gesichtspunkte, würde nichts einzuwenden sein; bei Anwen- dung oder Verbreitung längst bekannter Sätze und Methoden denkt man gewöhnlich nicht daran, ihre Entdecker zu nennen, und oft wird man Veranlassung haben auf eine leichter zugängliche Sduift als auf die Originalschrift zu verweisen. Mit dem hinzugefügten Motiv hingegen, wenn man von dem vorliegendem Falle und den Personen absieht, auf die es sich hier bezieht, wird die Maxime einer, unserer Zeit durchaus nicht fremden, intriganten Agitation prodamirt, welche unter dem obigen Vorgeben durch vorzugsweise Citation be- rühmter Namen die unverdiente zeitweilige Berühmtheit zu schaffen und zu vermehren, die ihr entgegenstehenden Leistungen in Unbe- kanntschaft zu erhalten sucht. Da der Verfasser, natürlich ohne es zu wollen, diese Taktik durch Bekeuntniss zu jenem Motiv selbst in dem flagranten Falle gutheisst, wo der verschwiegene, weniger gekannte Autor wirklich dasselbe geleistet hat — denn meistens wird das ver- schwiegen, was die Richtung des bevorzugten Schriftstellers kreuzt — so ist voller Grund gerade hier auf die Verwerflichkeit des Prin- cips, welches unter populärem Titel angekündigt nicht nur einer grossen Ungerechtigkeit, sondern auch einer Verzögerung der Fort- schritte der Wissenschaft dient, aufmerksam zu machen. Doch nur gegen das Princip soll hier Einspruch erhoben werden; im Vorwort finden sich die Entdecker der Reihe nach aufgeführt, auf welche im Hauptwerke kein Bezug genommen werden konnte. H.
Ueber Pole und Polaren der parabolischen Curven dritter Ord- nung. Von Dr. Ad. Hochheim, Oberlehrer an der Höheren Ge- werbeschule zu Magdeburg. Halle a. S. 1875. Louis Nebert 4®. 16 S.
Die Schrift untersucht nach einander Gestalt, Lage, Eigenschaften der konischen, der geraden Polare, die Durchmesser einer paraboli- schen Curve 3. Ordnung, die Pole einer Geraden, Beziehungen der Polaren zu einander, die gemischte Polare zweier Punkte, Polaren, deren Pole auf einer parabolischen Curve 3. Ordnung liegen, die Hesse'sche Curve einer solchen Curve, die harmonische Polure, den begleitenden Kegelschnitt, die Polokonik und gemischte Polokonik •»weier Geraden. H.
Uüerariscker Bericht CCXXXl V. 11
Litterarischer Bericht
CCXXXIV-
Geometrie.
Ueber gleicheckige und gleichkantige Polygone. Von Dr. Ed- mund Hess, Privatdocent an der Universität Marburg. (Aus den Schriften d. Gesellsch. z. Beförd. d. gesammten Naturwiss. zu Mar- burg. Bd. 10, 12. Abhdl.). Cassel 1874. Theodor Kay. 133 S.
Ueber zwei Erweiterungen des Begriffs der regelmässigen Körper. Von Dr. Edmund Hess, Privatdocent an der Universität Marburg. 20 S.
Unter dem Namen „gleicheckige, gleichkantige Polygone" werden solche Polygone gerader Seitenzahl eingeführt, deren Winkel, bzhw. Seiten sämmtlich, deren Seiten, bzhw. Winkel alternirend gleich sind,
f _
wie Rechteck und Rhombus. Der Betrachtung solcher Polygone gehen einige allgemeine Anordnungen und Sätze, ebene Vielecke überhaupt betreffend voraus. Die folgenden Capitel handeln von den verschie- denen Arten und Varietäten der gleicbeckigen Figuren, den vollstän- digen durch die (n-{-7<) Kanten eines gleicheckigen 2necks gebildeten Figuren, einer anderen Art der Entstehung gleicheckiger 27iecke, den verschiedenen Arten und Varietäten der gleichkantigen Figuren und deren wichtigsten Eigenschaften. Wir müssen es denjenigen, denen es Vergnügen machte sich an dergleichen Excursen zu beteiligen, über- lassen davon Kenntniss zu nehmen.
Bot die erste Schrift noch zu geringen Anlass, gewisse Mängel in Angaben und Begriffsbestimmungen zu erwähnea, so können die- flelben um der zweiten willen, in der sie stark vermehrt auftreten,
T«U UX. Ben 2. 2
12 Litterarischer Bericht CCXXXIV.
nicht unbesprochen bleiben. Die Beschlagnahme allgemeiner Termini (Art, Fignr, regelmässig, u. s. w.) für specielle Begriflfe mag in den Grenzen einer Abhandlung bei consequcntcr Beschränkung gestattet sein; nur muss der Autor sich des Doppelsinns bewusst bleiben, den eine fernere Anwendung seiner Ausdrücke herbeiführt, und sich selbst für jede daraus entspringende Undeutlichkeit verantwortlich machen. Bei Vorkommen eines einzelnen doppelsinnigen Wortes pflegt der Leser bereitwillig die Entscheidung durch nachfolgende Aeusserungen abzuwarten. Folgen aber bald nach einander 5 doppelsinnige Aus- drücke, so ist es gewiss keinem Leser zuzumuten, die entsprechenden 32 Deutungen durchzuprobiren. In ähnlichem Masse häufen sich in der Tat hier die unvollständigen Angaben und halb erklärten Be- nennungen. Kante soll beim Polygon etwas andere« sein als Seite; Kante ist erklärt, Seite nicht. Ob unter Polygon der Linienzug oder das Flächenstück zu verstehen sei, bleibt in der ersten Schrift un- entschieden; die zweite hebt den Zweifel nicht, sondern vervielfältigt die Ungewissheit noch sehr durch Uebertragung auf räumliche Ge- bilde. Der Gebrauch des Wortes Oberfläche stimmt nicht mit dem geiÄÖhnlichen; doch fehlt hier jede Definition. Alles vermisste auf- zuführen würde nicht lohnen, auf den ferneren Inhalt der Schrift können wir aus dem genannten Grunde nicht wol eingehen. Kur über die Aufstellung des Themas der Betrachtung sei bemerkt, dass dieselbe in viele überflüssige und zum Teil nicht zutreffende Worte eingehüllt ist. Regelmässig heisst offenbar nichts weiter als ^wxch Regel bestimmt; durch welche Regel, sagt das Wort lucht. Seine anfängliche Usurpation für die 5 regelmässigen Polyeder hatte sich keines Widerspruchs zu versehen, weil keine Anwendung des Wortes im allgemeinen Sinne denkbar war. Eine gleiche Benennung für Polyeder unter erweiterten Bedingungen ist dann keine Erweiterung des Begriffs der regelmässigen Polyeder, sondern bestreitet das Recht der ersten Usurpation, consequenterweise verurteilt sie sich zugleich selbst. Es wird dem Verfasser gewiss nicht in den Sinn kommen, dass seine Polyeder eine bedeutungsvollere Begrenzung der Regelmässigkeit für die Geometrie darbieten als die bekannten fünf. Warum klammert er sich dann an einen unrechtmässigen Namen an und lässt nicht die Sache für sich selbst sprechen? Hätte er statt Namen anzuführen kurz und bündig die Bedingungen für die sog. Platonischen, dann die Poinsot'schen Polyeder ausgesprochen, so wäre es daran anknüpfend leicht gewesen die selbst gewählten Bedingungen deutlich zu fonnuliren und zu motiviren. Dies geschieht jedoch nicht; vielmehr lässt er, als wenn der Nimbus gerade sein Zweck und Streben wäre, letztere aus eingestreuten Andeutungen gemischt mit Folgerun- gen, man sieht nicht, wo sie herkommen, erraten. H.
Litterartscher Bericht CCXXXlV. lä
Trigonometrie-
Trait6 de trigonom^trie. Par J. A. Serret, Membre de Tln- stitut, Professeur au College de France et ä la Facult6 des sciences de Paris. Cidqui^me Edition. Paris 1875. Gauthier- Villars. 336 S.
Das Werk giebt sich durch seinen elementaren, methodisch ge- ordneten Lehrgang als Lehrbuch für Schulen zu erkennen und zeichnet sich als solches durch Ausführlichkeit, exacten Ausdruck und elegante Darstellungsweiso aus, beschränkt sich jedoch nicht auf die notwen- digen Grundlagen, sondern verwebt damit eine grosse Menge des Wissenswerten ohne gerade ein umgrenztes Thema erschöpfen zu wollen. Logische Gründlichkeit wird man zwar selten vermissen; doch wird sie in Punkten, wo sie eine eigens darauf gerichtete Aufmerk- samkeit erfordern würde, wie z. B. bei Grenzwerten, Convergenz der Reihen u. a., ohne weiteres als Nebensache bei Seite gesetzt-, dass i%x^x steht als unbewiesener mitten unter bewiesenen Sätzen, so als ob der Schüler nicht darauf achten sollte. Das Buch ist in 6 Capitel geteilt: 1) Circuläre Functionen 2) Construction und Gebrauch der Tafeln 3) das geradlinige 4) das sphärische Dreieck 5) Moivre- sche Formeln und höhere Theorie der Kreisfunctionen 6) Auflösung der Dreiecke mittelst der Reihen uud Diferentialformeln. H.
Geodäsie und praktische Geometrie.
Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Von F. A. Klingen- f eld, ordentl. Professor der darstellenden Geometrie und der mecha- nischen Technologie au der k. polytechnischen Schule zu München. Band IIL Mit vier Tafeln. Nürnberg 1876. Fnedr. Korn. 96 S.
Dieser dritte Band tritt als Vermehrung eines schon wiederholt aufgelegten in 2 Bänden bearbeiteten Lehrbuchs auf, damit es den Bedürfnissen der technischen Hochschulen entsprechen könnte, wozu die Behandlung der Schatteuconstruction und der Perspective erfor- dert wurde, die anfänglich noch fehlte. Der Gegenstand ist nicht dasjenige Zeichnen, welches das Bild zur Entnahme der exacten wirk- lichen Anordnung und Abmessung durch einfachste Beziehung dazu entwirft, sondern dasjenige, welches dem Totaleindruck dient. Aus diesem Grunde wählt der Verfasser bei der Parallelperspective , mit Verwerfung der 2 oder 3 orthogonalen Risse, den einen Riss auf der schräg gestellten Tafel. Ausser der Schatteuconstruction im 6. Ab- schnitt, werden im 7ten und 8ten noch die Parallel- und Central- perspective behandelt, worauf schliesslich Aufgaben folgen. Die geome- trischen Grundlehren werden hier als bekannt vorausgesetzt. H.
a^
14 Lüterarischer Bericht CCXXXIV.
Mechanik.
Die graphische Zusammensetzung der Kräfte. Ein Beitrag zur graphischen Mechanik von Friedrich Steiner. Mit 27 in den Text gedruckten Holzschnitten. Wien 1876. Carl Gerold's Sohn. 40 S.
Die hier behandelte Doctrin beruht auf einer bekannten reciproken Beziehung zwischen Geometrie und Statik. Man kann im Interesse der Statik die Zusammensetzung der Kräfte auf constnictivem Wege ausführen; man kann aber auch umgekehrt in rein geometrischen Interesse von den in der Statik gewonnenen An«chauungen und Me- thoden Verwendung machen. Von letzterem Gesichtspunkte aus hat die Methode von Bellavitis für die Geometrie der Ebene einen hohen Grad der Entwickelung und Ausbildung erfahren. Für die gegen- wärtige Schrift hingegen ist die Aufgabe der Statik allein massgebend; ausserdem umfasst sie von Anfang an die 3 Dimensionen des Raumes. Im Grunde müssen beide Auffassungswoison dieselbe Theorie ergeben; nur entwickelt sich diese in andern Richtungen und begrenzt sich unter der statischen weit enger als unter der geometrischen; denn die Aufgabe der Statik ist durch die Reduction des Kräftesystems, welches hier zunächst als Pyramide der Kraftlinien construirt, dann auf das Raumpolygon zurückgeführt wird, erledigt, während sich fttr die geometrischen Verwendungen keine Grenze ersehen lässt
Die Darstellung lässt in den ersten Elementen Klarheit vermis- sen, wodurch jedoch die Deutlichkeit auch im weiteren merklich be- einträchtigt wird. Der Verfasser sagt: „Das Wesen der Kraft ist uns unbekannt". In der Tat zeugt die ganze Einleitung von einer Unbekanntschaft mit dem Wesen der Kraft, wie sie nur bei Solchen vorkommt, die dem Studium der Mechanik fern geblieben sind, und sich mit vulgären Vorstellungen begnügen. Ihr zufolge soll die Kraft die Ursache der Ortsveränderuug sein, u. a. dergl. Der Unbestimmt- heit, in welcher für den Verfasser der Begriflf der Kraft schwebte, mag es wol zuzuschreiben sein, dass er sich über die Anfangsgründe der Statik, die Bedingungen des Gleichgewichts gar nicht ausspricht, sondern sofort zu Constructionen schreitet, ohne nur die Vorstellungen fixirt zu haben, ob die Angriffspunkte frei oder so und so verbunden gedacht werden sollen. H.
Praktische Mechanik.
Ueber die Quelle und den Betrag der durch Luftballons geleisteten Arbeit. Von Josef Popper. Mit 1 Tafel. Sitzber. d, k. Akad. d- W. LXXI. 2. Abth. Aprü. Wien. 1875. 37 S.
Lüterarisehtr Bericht CCXXXIV. 15
Es wird die bei Füllung aufgespeicherte and die beim Steigen geleistete Arbeit eines Luftballons berechnet und gleichgesetzt, und zwar besonders erst für leeren Ballon, dann mit Gas, dann mit warmer Luft gefüllten. Gleich von Anfang aber wird als null betrachtet das Gewicht des Ballons, der Luftwiderstand, die Variabilität der Erd- anziehung und der Temperatur. Es ist demnach weder auf Erreichung grosser Höhen noch auf schnelles Steigen gerechnet-, vielmehr handelt es sich nur um die schliesslich gestellte Frage, ob sich der Luft- ballon mit Vorteil zur Hebung von Lasten, namentlich aus Schachten, eigne. H.
Theoretische Untersuchung der Constructionssysteme des Unter- baues von Locomotiven. Von Johannes Einbeck, Ingenieur, Mit- inhaber der Firma Einbeck u. Vetter in Frankfurt a. M. Mit 11 lithographirten Tafeln. Leipzig 1875. Leopold Voss. 127 S.
Im Anfang der Schiift wird ausgeführt, und daraus der Anlass zur gegenwärtigen theoretischen Untersuchung genommen, dass die Locomotiven in Betreff des Oberbaues, des krafterzeugenden Bestand- teils, schon sehr frühzeitig ihre definitive Gestalt gewonnen haben, indem die vom Engländer Stephenson construirte Maschine dauernd als Vorbild einer grossen Zahl verschiedener Systeme diente. Von da waren alle Verbesserungsversuche darauf gerichtet den Unterbau so zu coobtruiren, dass alle Störungen beseitigt und ein gleichmässiger Gang erzielt wurde. Nach einem kürzern Abschnitt über die Zug- kraft werden die Bedingungen eines solchen unter Berücksichtigung aller erfahrungsmässigen Störungen einer eingehenden und ziemlich ausgedehnten Rechnung unterworfen. H.
Optik.
Untersuchungen über die scheinbare Ortsveränderung eines leuch- tenden Punktes, herbeigeführt durch ein von zwei parallelen Ebenen begrenztes, lichtbrechendes Medium. Mathematisch-physikalische Ab- handlung von P. Moennich, Rostock. Mit vier Tafeln. Rostock 1875. Wilh. Werther. 47 S.
Die Schrift behandelt die im Titel vollständig ausgesprochene leichte Aufgabe mit grosser Ausführlichkeit und leicht verständlichem Vortrag. Die möglichen Fälle werden zuerst für ein Auge, dann für zwei, einzeln durch Rechnung gelöst, die Abhängigkeit der Ablen- kungswinkel und Entfernungsänderungen discutirt und die Maxima und Minima ermittelt H.
16 lAUerarucher Bericht CCXXXIV.
Astronomie und Meteorologie.
ücber die Möglichkeit einer Axonänderung der Erde. Von Friedrich Stark, Major im kgl. Bayerischen II. Infanterie-Regi- ment. München 1875. Theodor Ackermann. 32 S.
Die Schrift führt uns Gedanken eines Laien über die Bildung des Erdkörpers vor. Doch selbst in dieser Kategorie steht sie hinter den zahlreichen Schriften über das beliebte Thema zurück, sofern sie keiner Art Fähigkeiten kund giebt, die etwa für den Mangel an Sach- verständniss entschädigen könnten. Die Anschauung ist so wenig ent- wickelt, dass, häufig wechselnd, von Axenstellung im Baume und im Körper die Rede ist, als ob beides dieselbe Sache wäre. Noch mehr aber vermisst man die Fähigkeit des verständlichen, unzweideutigen Ausdrucks : bei Beschreibung von Vorsuchen fehlen die notwendigsten Angaben, auch bleibt das Ziel sehr im Dunkeln. Ebenso wenig ist ein geordneter Gedankengang durch das Ganze zu entdecken. H.
Die Gesetze der Kometen, abgeleitet aus dem Gravitations-Ge- setze von Albert R. v. Miller-Hauenfels, Professor a. D. in Graz. Graz 1875. Leuschner u. Lubensky. 118 S.
Nach Ansicht des Verfassers sind die Kometen Gasbälle, die durch einen im Welträume gleichmässig vorhandenen, zur Anziehung der eigenen Masse hinzutretenden Druck, hervorgebracht durch ein äusserst dünnes Gas, zusammengehalten werden. Unter dieser Annahme unter- sucht er nach einander: die allgemeinen Gesetze für einen Gasball im freien Räume, die Dichte und Temperatur der Himmelskörper, iusbesondere der Kometen und Meteoriten, die Gestalt der schweif- losen Kometen, die Gestalt und inneren Bewegungen der geschweiften Kometen und schliesst mit Betrachtungen über den wahrscheinlichen einstigen kometarischen Zustand der Planeten. Die Untt:r8ucbnng nimmt in jedem einzelnen Fragepunkte einen recht gründlichen, ex- . acten Anfang, doch werden die Rechnungen nicht viel weiter geführt, als ihre Entwickelung in bekannten mechanischen Theoremen bereits vorgefunden ward; von da an werden noch eine Zeitlang die Vor- gänge an den Teilen ohne Rücksicht auf das System verfolgt, und endlich bringt die lose Phantasie mit AusserachÜassung aller Causal- Verbindung das gewünschte Ziel herbei. Die Schweife sollen aus Teilen der Kometen entstehen, welche zuerst nach der Sonne zu abgerissen, um den Kometen herum weit nach der abgekehrten Seite hin fliegen, dann von ihm wieder zurückgezogen werden. Hier beruht aber allein die Abtrennung auf einer, noch dazu falschen, Rechnung. Es ist nicht beachtet worden, dass die Anziehung der Sonne durch die Centn-
LÜter arischer Bericht CCXXXIV, 17
fugalkraft im Schwerpunkt aufgehoben wird, daher die Abstände des neutralen Punkts nicht in zweiter, sondern in dritter Potenz in An- rechnung zu bringen sind. Doch, wo auch immer der neutrale Punkt liegen mochte, es ist unbegreiflich, wie der Verfasser einer Kraft, die momentan null, vor und nachher, sowie in der Umgebung, unendlich klein ist, die Wirkung einer plötzlichen, tumultuarischen Bewegung zuschreiben konnte, welche die abgetrennten Teile fortschleudern sollte. Ebenso fehlt aller Grund für die fernere Bewegung, wie er sich dieselbe vorstellt. H.
Grundzüge der Meteorologie. Die Lehre von Wind und Wetter nach den neuesten Forschungen gemeinfasslich dargestellt von H. Mohn, Professor der Meteorologie an der Universität zu Christiania, Director des k. norwegischen meteorologischen Instituts. Deutsche Originalausgabe. Mit 24 Karten und 35 Holzschnitten. Berlin 1875. Dietrich Reimer. 304 S.
Dieses bereits ruhmvoll anerkannte Werk kann man unbedenk- lich den grössten didaktischen Leistungen zuzählen, die auf irgend einem wissenschaftlichen Gebiete betätigt worden sind. Es gehörte in der Tat eine seltene Begabung dazu,. bei Behandlung eines Gegen- standes, der mit der Zeit so grosse Dimensionen angenommen hat) und der theoretischen Concentration einen so hartnäckigen Widerstand darbietet, wie die Meteorologie, die beiden auf dem Titel genannten Ziele, Einführung in den Standpunkt der neuesten Forschungen und Gemeinfasslichkeit, so vollkommen vereint zu erreichen. Physikalische Einsicht und richtige Logik, welche man wol sonst geneigt wäre als selbstverständliche Voraussetzungen unerwähnt zu lassen, müssen gleich- wol factischon Zuständen gegenüber als Auszeichnungen genannt wer- den, welche dem Vorliegenden ohne Einschränkung zuzuerkennen sind. Namentlich hat es der Verfasser verstanden, ohne Unterbrechung des Connexes der Darstellung die hypothetischen Elemente sammt den mehr und weniger sichern Folgerungen sichtlich geschieden zu er- halten von der Mitteilung und Anordnung der Tatsachen. Obwol die Aufgabe der Meteorologie in der Erforschung der Ursachen der Ver- änderung der Zustände liegt, so bringt es doch ihre Eigentümlichkeit mit sich, dass bei weitem der grösste Teil des Vortrags der Auf- fassung der Zustände selbst gewidmet sein muss, dass es daher erst einen umfangreichen Lehrstoff rein beschreibend zu behandeln giebt, ehe von Ursachen, d. h. von der in Atmosphäre factisch wirksamen Combination derselben, nicht von den experimentell darsteDbaren Wirkungsrelationen, welche letztere zur Auffassung beitragen und sich von der Beschreibung nicht sondern lassen, klarerweise die Rede sein kann. Im Zustand der Atmosphäre scheiden sich 5 Elemente, die in
18 Lüterarischer Bericht CCXXXIV,
den ersten 5 Capiteln behandelt werden: Temperatur, Wasserdampf- gehalt, Druck, Wolkeubildung und Niederschlag. In Betreff eiiMJS jeden werden die Instrumente und das Beobachtungsverfahren, die eingeführten Gradirungen und Classificirungen , die Statistik der Re- sultate, die sich local und temporal ausdehnt, und deren Verwendungs- weise beschrieben. Die locale Darstellung wird nach wenigen Bei- spielen durch Karten vertreten. Hierauf handelt das sechste Capitel vom Wetter, wo nun das Zusammenwirken aller vorher betrachteten Umstände discutirt wird. Besonders ausführlich werden die Voi^ftnge bei den Wirbeln und deren Bewegungen erörtert Es folgen dann noch 3 Capitel über die Stürme, die Gewitter, die Klimatologie und Vorausbestimmung des Wetters. Das Buch war 2 Jahre früher in norwegischer Sprache erschienen. Die Karten der isothermischen und isobarischen Linien sind nach Dove und Bucban mit Benutzung des später hinzugekommenen Materials construirt, die Karten über den Druck der Wasserdämpfe neu entworfen. Als Hauptquellen führt der Verfasser die klimatologischen Mitteilungen in der Zeitschrift der österreichischen Gesellschaft für Meteorologie und die Publicationen des meteorological office in London, der schottischen meteorologischen Gesellschaft, des niederländischen meteorologischen Instituts sowie die Jahrbücher und Bulletins der übrigen meteorologischen Central- anstalten an. H.
Physik.
Die beiden ürkräfte der Natur. Ein Beitrag zur Phjrsik und Astronomie von H. C. Howe. Lübeck 1876. Rudolf Seelig. 98 8.
Eine Probe von unentwickeltem Denkvermögen ip einem Grade, wie es nur bei keinem oder ganz erfolglosem Schulbesuch vorkommen kann, und wo man gern jeden Versuch einer Verständigung aufgiebt, in starkem Contrast mit dem Umfang herbeigezogener Kenntnisse von physikalischen Gegenständen. H.
Das Moleculargesetz mit besonderer Anwendung auf das Wasser, den Wasserdampf und die Luft. Von P. E. Härder. Hamburg 1866. Otto Meissner. 168 S. — Ergänzungen und Erläuterungen zum Vorstehenden. 1874.
Mit dem Moleculargesetz bezeichnet der Verfasser die von ihm hypothetisch aufgestellte Relation
zwischen dem Druck P, der Temperatur T und der Dichtigkeit m
LUterarischer Bericht CCXXXIV. 19
eines voUkomraeuen Gases. Der Ausdruck wird zwar durch voraus- gehende Betrachtung motivirt, und tritt der Darstellungsform nach als Resultat auf, doch beschränkt sich die Betrachtung auf beliebig ausgesonderte Teile in speciell gewählter Anordnung und bleibt weit entfernt von einer wirklichen Deduction. Der Hauptrelation wird
eine zweite
F2 = T-{- Bm\
zur Seite gestellt, worin V die Atomgeschwindigkeit bedeuten soll. Beide haben im Grunde mit Molecularvorgängen nichts zu schaffen, da solche weder untersucht worden sind, noch von der untergelegten Beziehung der summarischen Grössen K u. s. w. auf Bewegung der Atome irgendwo Gebrauch gemacht wird, so oft sie sich auch erwähnt findet Daher ist ein priucipiell theoretischer Fortschritt in der Auf- stellung nicht wol ersichtlich ; es kann sich bloss noch darum handeln, ob dieselbe den Wert einer empirischen Formel hat. Dem ent- sprechend werden dann auch im Verlauf der Schrift die Gonsequenzen der Relation für das Verhalten des Wassers, des Wasserdampfs und der Luft enti^ickelt Die Vergleichung derselben mit Versuchsresul- taten, auf die es jetzt ankam, da von ihr allein noch ein günstiges Urteil zu erwarten war, ist eine äusserst dürftige, und selbst die wenigen Angaben zeigen keine befriedigende Uebereinstimmung. Durch die 8 Jahre später erschienenen Ergänzungen und Erläuterungen, in welchen der Verfasser gewisse Mängel der Begründung einräumt, die Aufstellung selbst aber aufrecht hallen will, ist nicht das mindeste gebessert Zum grössten Teil sind sie auf fernere Stützung der un- genügenden Vorbetrachtungen gerichtet, die sie aber nur vervielfältigen und mit überflüssigem Wortreichtum umgeben. H.
Exposition analytique et experimentelle de la throne m^caniqne de la chaleur. Par G. A. Hirn. Troisiöme edition, enti^rement refondue. Tome second. Paris 1876. Gauthier- Villars. 435 S.
Dieser zweite Band schlicsst den ersten Teil der mechanischen Wärmetheorie. Er enthält davon das 4te und 5te Buch. Ersteres beschäftigt sich ausschliesslich mit den thermischan Motoren, letzteres behandelt nach einander folgende Themata: die absolute Wärme- capacität der Körper, die innere Arbeit an sich betrachtet, die Zer- legung der innern und äussern Arbeit in ihre verschiedenen Factoren, das Gesetz, welches das Atomvolum, das interatomische Volum, das zur Erscheinung tretende Volum, den innern und äussern Druck und die absolute Temperatur verbindet, die Ausdehnung des Gesetzes für Wärmequantum und Temperatur auf Liquiden und die Allgemein- gültigkeit desselben. Es folgt dann noch ein Rückblick, eine kritische Besprechung einzelner Punkte und allgemeine Schlüsse. H.
20 Utterarischer Bericht CCXXXIV,
Die Theorie der Wärme. Von Dr. Hermann Scheffler. Mit einer Figurontafcl. Braunschweig 1875. Friedrich Vieweg und Sohn. 71 ß.
Aus einem beigefügten Prospect ersieht man, dass das Vorliegende als Probestück aus einem Universal werke, die gesammte Naturwissen- schaft einschliesslich der Naturphilosopie unter dem Titel : „Die Natur- gesetze" umfassend, ausgegeben wird, um im voraus Gelegenheit zu einer Beurteilung darzubieten. Gleich der Anfang der Schrift, in welchem der Verfasser eine Originalhypothese aufstellt, zeugt von einer seltenen Unfähigkeit seine Gedanken mitzuteilen. Man bleibt dabei in Zweifel, ob er selbst die fehlenden Bestimmungen hinzu- gedacht und nur vergessen hat sie auszusprechen, oder ob ihm das Bcwusstsein der Erfordernisse eines klaren Gedankens günzlich abging. Das letztere wird, wenn man weiter liest, das wahrscheinlichere. Die Neuzeit ist sehr ergiebig an litterarischen Erzeugnissen, die mit Welt- ideen auftreten ohne von den elementaren Bedingungen exacter Auf- fassung eine Ahnung zu haben. Wir können nicht auf jedes der Art ausführlich eingehen. In Betreif des gegenwärtigen ist zu wünschen, dass das beabsichtigte Unternehmen nicht zur Ausführung kommt
H.
Jordmagnetiska bestämniugar i Sverige under ären 1869 — l^Tl. Af Roh. Thalön. Med 2 taflor. Till Kongl. Vct. Akad. inlemnad den 13 december 1871. Stockholm 1872. P. A. Norstedt och söncr. 40. 80 S.
Om Spektra tiUhörande yttrium, erbiura, didym och lanthan. Af Roh. Thal^n. Med en tafla. Till Kongl. Vet. Akad. inlemnad den 9 September 1873. Stockholm 1874. P. A. Norstedt 0. söner. 4*^- 24 S.
Redogörelse för en ny method att modelst magnetiska mätningar undersöka jemmalmfält, jemte anförande af nägra i sammanhang dcr- med anstälda experimenter. Af Rob. Thalen. Öfversigt af K. Vct Akad. förh. 1874. Nr. 2. Stockholm. 15 S.
Om de isodynamiska ytorna kring en vertikal magnetstang, ineti tillämpning häraf vid un pä magnetiska mätningar grundad under- sökning af jemmalmfält. Af Rob. Thal6n. öfv. af K. Vet Aka^. förh. 1874. Nr. 5. Stockholm. 13 S.
Om magnetiska mätningar ä jemmalmfält Af Rob. Thal^Q- öfv. af K. Vet Akad. förh. 1874. Nr. 8. Stockholm. 21 S.
Recherches sur les spectres des m^talloüdes. Par A. J. -Xng- ström et T. R. ThaUn. (Extr. des Nova Acta R Soc. Sc. üpsal.,
Lüierariacker Bericht CCXXXIV. 21
s6r. m. vol EX.) Avec 2 planches. Upsal 1875. Ed. Berling. 4<>. 34 S.
Vier von diesen 6 Arbeiten handeln vom Magnetismus, zwei von Spectralanalyseu ; schliessen wir uns in der Betrachtung dieser Schei- dung in 2 Classcn au. Die erste Arbeit ist ein Bericht über Mes- sungen, welche der Verfasser im Laufe dreier Jahre in dem Teile von Schweden zwischen Umei (Nordende) und Schonen (Südende) angestellt hat um die erdmagnetischen Constanten zu ermitteln, eine Untersuchung, welche vor ihm von Angström, Lemström und Lundquist begonnen und gefördert worden war. Es ist dies ein Landstrich, in welchem die localen Störungen besonders hohe Grade erreichen. Die Schrift enthält die Beschreibung der Instrumente, des Beobachtungs- and Berechuuugsverfahrens, die Aufzeichnung der Beobachtungsresul- tate und die Bestimmung der Constanteu.
Die dritte, vierte und fünfte Schrift haben die Entdeckung der Eisenerzlager auf magnetischem "Wege zum Ziele, was jedoch auch Anlads bot, eine geometrische Aufgabe in analytischem Interesse zu verfolgen und zu lösen. Im dritten Artikel wird das Messungs- verfahren und die Construction der isogonischen und isodynamischen Linien, welche 2 Pole, einen des Maximums, einen des Minimums der Ablenkung, umschliessen, beschrieben, erstere entsprachend der Wir- kung einer verticalen Magnetstange und des Erdmagnetismus, letztere der Wirkung dieser zwei und eines fernen Deviationsmagneteu. Um auch auf die Tiefe des Centrums der Eisenmasse zu schliessen, werden im vierten Artikel die isogonische und isodynamische Fläche berechnet. Der fünfte Artikel enthält theoretische Betrachtungen, welche die zur Ermittelung der Lage eines Eisenerzlagers anzustellenden Intensitäts-, Inclinations- und Declinatioiis-Beobachtungen leiten, und handelt zum grössten Teil von der Bestimmung des Südpols der Eisenmasse. Der zweite Artikel ist ein Bericht über Versuche, welche darauf ausgingen, die Spectra des Yttriums und Erbiums, sowie die des Didyms und Lanthoms gesondert zu erhalten, was in der Tat gelang, mit dem Resultat, dass die anscheinend gemeinsamen Linien nur je einem von beiden Stoffen angehörten. Die sechste Schrift, noch von Angström bearbeitet, nach seinem Tode von Thalen zusammengestellt und heraus- gegeben, ist eine umfassende Abhandlung, welche die gesammten Unter- suchungen über die Spectra der Metalloide hinsichtlich des bis jetzt Erreichten entwickelt ohne über Specialversuche zu berichten. Sie handelt nach einander von den Spectren der alkalischen und alkalin- erdigen Metalle, dann des Kohlenstoffs und seiner Verbindungen, dann des Azotes und seiner Verbindungen, stellt dann die Versuchs- weisen zusammen, erörtert die Bestimmung der Wellenlängen und giobt schliesslich die Tabelle der Eesultate. H.
22 LkUrarudier Bericht CCXXXIV,
Verschiedene Schriften, Zeitschriften.
Nova Acta Regiae Societatis Scicntiarura üpsalicnsis. Seriei tcrtiae vol. VIII. 1873. IX. 1874. 1875.
Der Inhalt des 8tou Baudcs an mathematiscbeii aud mathematisch physikalischen Abhandlungen ist folgender.
H. Gylden: üntorsuchungeu über die Rotation der Erde.
R. Hoppe: Systeme gleicher Linien und Flächen begrenzt durch gemeinsame Radien.
M. Falk: üebor die Integration partieller Differentialgleichungen uter Ordnung mit 1 abhängigen und 2 unabhängigen Variabeln.
L. A. Forssman: Von den Relationen zwischen dem Nordlicht, den magnetischen St rungen und den meteorologischen Erscheinungen.
Göran Dillner: Abhandlung über höheren geometrischen Calcul.
Der Inhalt des 9ten Bandes ist folgender.
G. Lundquist: Ueber die Reflexion des Lichtes an der Ober- fläche isotroper Körper.
Otto Pettersson: Untersuchungen über die Molecularvoluraina einiger Reihen von isomorphen Salzen.
C. F. Lindman: lieber eine transscendente Function.
Herman Schultz: Mikrometrische Beobachtungen von 500 Nebelflecken.
H. Hildebrand Hildebrandsson: Ueber die obem Ströme der Atmosphäre in ihrer Beziehung zu den isobarymetrischen Linien.
A. J. ingström und T. R. Thal^n: Untersuchungen über die Spectra der Metalloide. H.
Nouvelle Correspondance Math^matique. Publik par Eugene Catalan, ancien 61^ve de Tecole polytechnique, Docteur fes scienccs, Professeur k Tuniversit^ de Li6ge, etc. et Paul Mansion, Docteur special en scieuces math6matiques, Professeur ä l'universit^ de Gand. Tome I. Mons, 1874. 1875. Hector Mauceaux.
In Betreff der 3 ersten Lieferungen verweisen wir auf litt Ber. 228. Der Inhalt der, besonders an Aufgaben reichen 3 übrigen an Aufsätzen ist folgender.
P. Mausion: Principien der Theorie der Determinanten nach Baltzer und Salmon (2 Artikel).
Litterarischer Bericht CCXXXIV. 23
J. Neuberg: Ueber 2 Probleme von Simon Lhuilier.
E. Catalan: Ueber einen geometrischen Ort
L. Saite] : Sätze aber die Curven and Flächen 3. Ordnnng.
E. Catalan: Ueber die binomische Formel.
De Tilly: Note tlbcr das Princip des arithmetischen Mittels nnd dessen Anwendung auf die mathematische Theorie der Fehler.
B. Nicwenglowski: Note über die Bogen sphärischer Curven.
P. Mansion: Ueber eine Maximum-Frage, Huygen'sches Problem.
E. Catalan: Ueber die Asymptoten der algebraischen Curven.
H.
Mathematische und physikalische Bibliographie.
CXXXI.
Methoden und Princlplen.
Bert hold, G., Jobu Holland u. d. Monismus d. Gegenwart 8. Heidelberg, Winter. 2 Mk. 80 Pf.
Howe, H. C, d. beiden Urkräfte d. Natur. 8. Lübeck, Seelig. 1 Mk. 60 Pf.
Scbeffler, H. , d. Naturgesetze u. ibr Zusammenhang m. d.
Prinzipien d. abstracten Wiss. 1. Tbl. l.Lfg. 8. Leipzig, Förster.
10 Mk.
Lehrbtlelier) Sammliingen und Tabellen«
August, F., d. Elemente d. Arithmetik f. d. Mittelklassen höherer Schulen u. z. Kepetition in d. oberen Klassen. 8. Berlin, Winckel- mann <& S. 1 Mk.
Frischauf, J., Lehrb. d. allg. Arithmetik. 3. Aufl. 8. Graz, Leuschner & L. 2 Mk. 40 Pf.
Gerlach, H., Lehrb. d. Mathematik. 1. Tbl. 3. Aufl. 8. Dessau, Reissner. 2 Mk.
Hermes, 0., Elementaraufg. aus d. Algebra. 8. Berlin, Winckel- mann & S. 1 Mk. 60 Pf.
Huther, P., Resultate z. 7. Aufl. d. Sammig. v. arithmct. Aufig. in systemat. Ordug. 8. Regensburg, Pustet. 1 Mk.
Paulson, A., Lehrb. d. Planimetrie. 2. Aufl. 8. Dorpat, Schnakonburg. Geb. 3 Mk.
Petrick, C. L., Multiplications-Tab. geprüft m. d. Thomas'schcn Rechenmaschine. 1. Lfg. 1—1000. Fol. Berlin, Nauck. 3 Mk.
Renkewitz, Tb. G., Anfangsgründe d. Arithmetik u. d. Tri- gonometrie. 2. Aufl. 8. Neuwied, Heuser. 1 Mk.
Arithmetik y Algebra nnd reine Analjals«
Boltzmann, L., zur Integration d. partiellen Differentialgleichgn. 1. Ordnung. 8. Wien, Gerold*s Sohn. 30 Pf.
Diekmann, 0., Einleitg. in d. v. d. Determinanten u. ihrer Anwendung auf d. Gebiete d. nicdern Mathematik. 8. Essen, Bade- ker. 1 Mk.
Faa de Bruno, F., Theorie des formes binaires. 8. Turin, eipzig, Brockhaus' S. 15 Mk.
LUttrarischer Bericht CCXXXV, 24
Litterarischer Bericht
ccxxxv.
Geschichte der Mathematik und Physik.
Geschichte der mathematischen Wissenschaften. Zweiter Theil. Vom Anfange des XVII. bis Ende des XVIII. Jahrhunderts. Von Dr. Heinrich Suter. Mit zwei lithographirten Tafeln. Zürich 1875. Orell Füssli u. Co. 378 S.
Die Abfassung des Buches giebt als obersten Gesichtspunkt zu erkennen die Charakterisirung des Fortschritts der Wissenschaft in ihren verschiedenen Zweigen und Richtungen. Es ist keine Zusammen- stellung der Litteratur und Biographie, in der man etwa jede Notiz nachschlagen könnte. Es berichtet nicht über die einzelnen Arbeiten und Facta als gesonderte Gegenstände, wenn es auch beispielsweise solche vorführt. Biographische Angaben finden sich, ausser dem jedesmal beigefügten Geburts- und Todesjahr, nur bei wenigen her- vorragenden Autoren und nur in der Kürze vor. Vielmehr sind die- jenigen Leistungen, welche von Folge für die fernere Zeit waren, die also eine Kette von Untersuchungen hervorriefen oder im Entwicke- lungsgang einen namhaften Fortechritt bezeichneten, ausschliesslicher Gegenstand der Darstellung. Doch, fern von einer Schilderung in allgemeinen Worten, bleibt diese Darstellung stets innerhalb der Ma- terie der Doctrin, welcher die Auffassung des Verfassers nur den verbindenden Gedanken leiht. Dass irgend eine Partie überflüssig lang ausgesponnen wäre, wird man sicher nie finden; ein näheres Eingehen auf manche Arbeiten, auch solche die einen gewissen Ruf in neuster Zeit haben, würde man für wünschenswert erklären können ; die Grenzen scheinen in dieser Beziehung so eng als möglich gezogen
Teil LIX. Heft 3. 8
25 Litterarischer Bericht CCXXXV.
ZU sein; bei alledem bleibt es eine sehr anerkennenswerte Leistung, dass die Knappheit der Angaben* nirgends Unbestimmtheit mit sich führt, nirgends Ergänzung vermissen lässt, um das Mitgeteilte für sich zum deutlichen Verständniss zu bringen; auch fehlt es innerhalb desselben nicht am litterarischeu Nachweis. Der gegenwärtige zweite Teil des Werkes setzt den Standpunkt der Wissenschaft im Beginn des behandelten Zeitraums als bekannt voraus, und gruppirt die von da an neu hinzutretenden Entdeckungen in einer der Zeit ihrer Ent- stehung entsprechenden Reihenfolge. Als vor Descartes'sche werden bezeichnet die Logaritlmien, die Inhaltsbestimmungen, die Tangenten der Curven, die Maxima und Minima, die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die Zahlentheorie, die Perspective. Es folgt dann die Cartesische Geometrie, die mathematischen Principien der Naturlehre, die Diffe- rentialrechnung. Von dieser an die Entwickelung des hohem Calculs, die Fortschritte der Mechanik, die einzelnen Zweige der reinen Ana- lysis und Geometrie, endlich die Mechanik im 18ten Jahrhundert.
H.
Bulletino di bibliogfatia e di storia delle scienze matematicbe e fisiche. Pubblicato da B. Boncompagni. Tomo VIII. Roma lö75. Tipografia delle scienze matematiche e fisiche.
Der Inhalt der letzten 6 Hefte ist folgender.
7. Heft B. Boncompagni, tiber einige Briefe von Evangelista Toricelli, von P. Marin Mersenne und von Frangois du Verdus.
8. Heft. L. Am. S6dillot, grosse Herbstexecution, Briefe an Dr. Ferdinand Hoefer betreffend die mathematischen Wissenschaften der Indier und den Ursprung des Sanskrit
9. bis 12. Heft L. C. B6ziat, das Leben und die Arbeiten von Johannes Hevelius.
Publicationsverzeichnisse im 8. 10. und 12. Heft. H.
Methode und Principien.
Die Naturgesetze und ihr Zusammenhang mit den Prinzipien der abstrakten Wissenschaften für Naturforscher, Mathematiker, Logiker, Philosophen und alle mathematisch gebildeton Denker. Von Dr. Her- mann Scheffler. Erster Theil. Die Theorie der Anschauung oder die mathematischen Gesetze. Mit 26 Figurentafeln. Erste Lieferung. Mit 4 Figurentafeln. Leipzig 1876. Friedrich Förster. 460 S.
Litterarischer Bericht CCXXXV. 26
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Der Verfasser legt sich das mathematische Gebiet, von dessen Inhalt er wol nur durch LectOre mancherlei äusserliche Kenntniss erhalten hat, zurecht, setzt die G^^nstände gemäss seinem davon erhalteneu Eindruck in Beziehung und giebt den Beziehungen Namen. Der Vortrag ist durchweg imperatorisch absprechend, also wol für Unkundige bestimmt, die geneigt sind sich jedes Urteil dictiren zu lassen. Wissenschaftliche Ergebnisse wird man in dem ganzen volu- minösen Buche nicht linden; doch muss man wol einräumen, dass die Abfassungsweise dem Geschmack und der Geistesrichtung zahl- reicher Individuen, die sich heutzutage ais Philosophen betrachten, entsprechen mag. H.
Legons d'analyse intinitesimale. Par Paul Mansion, Docteur special en scicuces math^matiquos, Professeur ä Tuniversite de Gand. I. Objet de Tanalyse infinitesimale. IL Propri^ti fondamentale des fonctions d*une seule variable ou th^or^me de Rolle. Gand, Ad. Hoste. Mens, H. Manceaux 1876. 30 S.
Die Schrift lässt etwas anderes erwarten als sie in der Tat bringt. Sie ist keine Grundlegung der Priucipien der Analysis, keine metho- dische Bearbeitung des Lohrstoifs, überhaupt kein Ganzes, sondern behandelt nur einzelne Partien aus den Elementen der Functions- theorie, und zwar gerade solche, die von Natur zu einfach sind um eines Aufwandes au Scharfsinn zum Verständniss zu bedürfen. Es wird zuerst der Grund, warum man in der Analysis Grössen als variabel betrachtet, an einigen Beispielen von Maximis und Minimis gezeigt, dann einiges zur Erklärung dos Functiousbegriifs aufgeführt, dann die Namen, die Lebenszeit und Nationalität der Entdecker im Gebiete der Infinite siraaltheorie zusammengestellt. Jetzt folgen, ohne jede Erklärung in Betreff der unendlichen Grössen, der Grenzwerte und Differentialquotienten, mit unmittelbarer Anwendung dieser Be- Begriffe, die Sätze über Abhängigkeit des Wachsens der Functionen vom Vorzeichen der Differeutialquoticnten, schliesslich der Taylorsche Satz mit Beschränkung auf erste Ordnung. Es lässt sich daher nur annehmen, dass die vorliegenden abgesonderten Stücke eines Vortrags aus irgend welchen individuellen Motiven zur Publication ausgewählt sind. H.
Lehi'bücher, Sammlungen und Tabellen.
Lehrbuch der Arithmetik für Untergymnasien, Unterrealschulen, Volksschullehrer-Seminarie» und zum Selbstunterricht. Von Danie^ Höhr in Schässburg. Erster Theil. (Für die erste und zweite Klasse). Hermannstadt 1876. S. Futsch. 152 S".
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Das Lehrbuch umfasst ausschliesslich das gemeine Rechnen mit discreten Zahlen ohne Anwendung von Buchstaben. Die Methode ist sichtlich auf Entwickelung und Inanspruchnahme des Selbstdenkens der Schüler eingerichtet Sie macht zwar nirgends Gebranch von dem formellen Ausdruck allgemeiner Sätze, Beweise und Gleichungen; gleichwol ist jede specielle Aufstellung beiden derart entsprechend, dasB der Schüler im bcsondem Beispiel stets Schlüsse macht und Gleichungen löst Der Schluss wird freilich stets zudictirt, doch finden die formellen Mittel der Evidenz Ersatz durch die Einfachheit der vorgeführten Fälle. Auf synthetischen Fortschritt durch Zusammen- setzung aus gewonnenen Elementen und durch Schlusskett^n hat sich das Lehrbuch nicht eingelassen. In der Tat ist dies auch der Sach- lage ganz gemäss; vor einem solchen Fortschritt muss der formelle Ausdruck eintreten, was über die gegenwärtigen Grenzen hinaus ein Ueberstreifen in die Algebra sein würde. Man kann nicht aus flüssi- gem Material ein Gebäude aufführen, aus Specialbetrachtungen ein System bilden, so Viele auch, angeregt durch Beispiele besonders begabter Geister, die ohne die formellen Hülfsmittel ihre Fähigkeiten zu bedeutender Höhe gesteigert haben, in die Illusion verfallen sind, als liesse sich durch eine dem entsprechende Methode ein gleichem oder noch mehr leisten, wie durch das gewöhnliche formelle Ver- fahren. Das Buch ist in 6 Abschnitte geteilt, die einzeln behandeln die Rechnungen mit Zahlenverbinduugeu mit Rücksicht auf Rechnungs- vorteile, die Teilbarkeit ganzer Zahlen, die 4 Species in Brüchen, erst ohne, dann unter Veränderung der Brucheinheit, die Decimal- brüche, die einfachen Vcrhältnissrcchuungen. Der Vortrag ist klar und leicht verständlich, auch im Sinne höherer Auffassung stets cor- rect. Auf Erörterung der einzelnen Punkte in freier Form folgen Beispiele und Aufgaben, welche letztere indes eine besondere Auf- gabensammlung nicht entbehrlich machen sollen, dann mitunter Regeln betreffend verschiedene Wege zu gleichem Resultat. H.
Inleiding tot de Studie der Stereometrie. Door Dr. C. J. Mat- thes, Hoogleeraar aan het Athcnaeum Illustre te Amsterdam. Am- sterdam 1876. C. G. van der Post 32 a
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Die Schrift behandelt 80 Sätze nebst zugehörigen Folgerungen über die Stellung von 1, 2, 3 Ebenen und Geraden zu einander. Die Beweise sind ziemlich kurz gefasst, und der Fortschritt in der Be- trachtung ein ziemlich schneller, so dass die Auffassung eben nicht leicht ist, insbesondere da sie nach 8, wol kaum zur Erklärung aller Gegenstände hinreichenden Definitionen durch keine weitere Erörto- -ung unterstützt wird. Eine Ebene wird delinirt durch die Bewegung er Geraden bei unveränderter Richtung längs einer Senkrechten.
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Hieran schliessen sich 7 Folgeniugcu ohne alle Angahe, wie sie dar- aus hervorgehen sollen. Jede würde für sich genng zu denken gehen um nur zu entscheiden, ob sie wirklich daraus folgt. Die Figuren sind weiss auf schwarz in den Text gedruckt. H.
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Zweiter Anhang zu der ebenen Geometrie. Von Oberstudienrath Dr. von Nagel, Ritter I. Cl. des k. württemb. Kronordens uud des k. württemb. Friedrichsordens. Aufgaben zu üebungen in geometri- schen Berechnungen. Mit 10 Holzschnitten. Zweite neu bearbeitete Auflage. Ulm 1876. Wohler. 50 S.
Die vorliegenden Aufgaben verbinden die Anwendung geometri- scher Sätze mit der Uebung im Rechnen und bieten namentlich rtick- sichtlich des letztem vortreffliche Gelegenheit, das Bewusstsein der Bedeutung und der Erfordernisse zu entwickeln. Die Einteilung schliesst sich allein der Geometrie an, während die arithmetischen Forderungen mannichfaltig sind. Demnach braucht der Schüler die Vorstellungen nicht zu wechseln und die anzuwendenden Sätze nicht weit zu suchen; dagegen ist der Rechnungsansatz und die zum Ziele führende Operation ganz seinem freien Urteil überlassen. Grosse Ansprüche an die Fähigkeiten werden in dieser Beziehung nicht ge- macht; dass den Anforderungen auch tatsächlich entsprochen wird, kann man bei diesen Aufgaben sicher sein; gleichwol wird man wol einräumen, dass die Entwickelung des Urteils beim Rechnen oft sehr ein Bedürfniss ist. Da die meisten Aufgabensammlungen das ent- gegengesetzte Ordnungsprincip befolgen, indem sie Reihen von Bei- spielen für einertei Operation aber aus vielerlei verschiedenen Sphären entnommen aufstellen, wo die Uebersetzung der Daten in die arith- metische Form oft die hauptsächlichste und durch Regeln und An- weisung kaum zu mindernde Schwierigkeit macht, wo demnach das Urteil über die Operation vorweggenommen ist, also eine Hauptübung ganz wegfallt, so nimmt in der Tat die gegenwärtige Aufgabensamm- lung eine sehr berechtigte, durch die übrigen noch nicht genügend vertretene Stellung ein. Die Zahlenwerte der Daten sind grössten- teils willkürlich gewählt, selten aus der Wirklichkeit entnommen, bis- weilen theoretisch bestimmt. Auflösungen sind nicht dabei Den Gesammtumfaug der Sätze bildet die elementare Planimetrie. H. •
Die Grundlehren der Stereometrie. Von A. Stegmann. Mit 265 Lehrsätzen und Aufgaben zur Uebung und 7 Figurentafeln. Kempten 1876. Jos. Kösel. 88 S.
Das Gegenwärtige ist die Fortsetzung der im vor. J. neu erschie- nenen „Grundlchren der ebenen Geometrie" s. litt. Bericht 231. S. 30.
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Dass auch auf diesem Felde die Darstellung sich nicht bloss an Vor- gefundenes a^nlehnt, dass viohnehr der Verfasser zur Erfüllung der Tielscitigen Anforderungen an correctcn und concinnen Ausdruck^ Strenge, systematische Ordnung, üebersichüichkeit und Einfachheit selbständig mitgewirkt hat, ist unverkennbar. Auch ist es nur zu billigen, dass er auf manche aus einseitigem Princip hervorgehende Neuerungen nicht eingegangen, sondern im ganzen bei der euklidi- schen Form geblieben ist. Dass aber in irgend einem Punkte eine sichtlich definitive Gestaltung gewonnen sei, die nicht weitere Besse- rung suchte, lässt sich von der vorliegenden Bearbeitung gewiss nicht sagen. Viele Dinge, jedes ftli* sich von geringem Belaug, sind augen- fällig nicht so, wie man es verlangen muss. Warum steht Lehrs. 9. getrennt von Lehrs. 2., da doch beide im Grunde dasselbe sageu? Er mussto directe Folgerung sein. Im Beweise zu Lehrs. 2. ist die Hülfslinie überflüssigerweise parallel angenommen. Ebenen werden wiederholt der Lage nach verschieden genannt; wodurch könnten sie sich denn sonst unterscheiden? Grössere Desideraten treten bei den Sätzen über den Inhalt der runden Körper und ihrer Oberflächen hervor. Die Cylinder- und Kegelfläche werden durch Rollen auf der Ebene bestimmt. Dies hat keine methodische Schwierigkeit, nur muss man- vorher das Rollen ohne Gleiten am Kreise erklären. Hier aber ist auf die Bedingung des Nichtgleitens mit keinem Worte Rücksicht genommen, ja nicht einmal durch die Benennung, wie etwa Rollen, die Vorstellung auf die bestimmte Bewegungsart gelenkt, vielmehr heisst es Bewegung, bei der nach einander verschiedene Punkte zur Berührung kommen, wo also die Gleichheit der Flächenstücke gar nicht daraus folgt. Der Beweis ist demnach ganz lückenhaft. Bei der Bestimmung der Kugelzone soll die Höhe in eine so überaus grosso Anzahl gleicher Teile zerlegt werden, dass die Meridianbogen zwischen den entsprechenden Parallelkreisen und die zugehörigen Sehnen „für einander genommen werden dürfen". In der Figur seien die Teilbogen „der Anschaulichkeit wegen grösser dargestellt". Kann man den Schülern solche Albernheiten weiss machen wollen? Wie sich Deductionen, die auf unendlich kleiner Teilung beruhen, streng und einfach geben lassen, ist eine hinreichend bekannte Sache, dass man solche unzählige mal gerügte Fehler in neuen Lehrbüchern nicht fiiehr erwarten sollte. H.
Logarithmisch -trigonometrische Tafeln mit sechs Decimalstellen. Mit besonderer Rücksicht auf den Schuigebrauch bearbeitet von Dr. C. Bremiker, Professor und Sectionschef im Königl. Geodätischen Institut in Berlin. Vierte durchgesehene und verbesserte Stereotyp- Ausgabe. (Pr. 4,2 Mk.). Beriin 1876. Nicolai. 542 S.
Litterarischer Bericht CCXXXV, 30
Die Tafeln eothalton die Logaritbmcn der Zahlen von 1 bis 100000, die der Kroisfuuotioucn mit Winkelteilung bis auf 10 Secun- den ohne Unterschied für kleine und grosso Winkel, die Additions- und Subtractionslogarithraen auf 3 Bruchstollen, neu berechnet, die Länge des Längengrades der Erde für jeden Breitengrad, den Loga- rithmus des Krümmungsradius der Erde, den Flächeninhalt des Vier- ecks zwischen 2 Meridianen und 2 Parallelkreiscn , die LjLngen-, Flächen- und Körpermasso, Gewichtmassc, Münzgewichte und Gehalt in allen Ländern. Voraus geht eine ausführliche Anweisung zum logarithmischen Rechnen. Bei Empfehlung des Gebrauchs sechsstelliger Tafeln wird der Grund geltend gemacht, dass überhaupt keine Messung auf mehr als 6 Stellen genau sei, dass daher eine Kcchnung mit 7 Stollen das Resultat nicht richtiger machte. Gerade dieser Umstand spricht aber vielmehr für Anwendung von 7 Stelleu. Die Rechnung lässt sich relativ zu ihren Daten mit geringer Mühe bis zu beliebiger Genauigkeit führen. Es wäre Verschwendung der kostbarem und un- ersetzlichen Mcssungsresultate, wenn man die Messungsfehler mit den in letzter Stelle unvermeidlichen Rechnungsfohlern vermischen und dadurch die Unsicherheit vergrössem wollte. Mindestens eine Stelle mehr zu rechneu, als man genau angeben kann, wird sich stets em- pfehlen. Was die Empfehlung der vorliegenden Tafeln für den Schul- gebrauch betrüQft, so scheint dabei wol nur au solche Schulen gedacht zu sein, wo noch 7steliige eingeführt sind, was doch gewiss auf den wenigsten der Fall sein wird. Zum Erlernen der logarithmischen Rechnung sind 5 Stellen vollkommen ausreichend. Diese Zahl em- pfiehlt sich durch den wesentlich geringem Gesammtumfang der Ta- feln. H.
Arithmetik, Algebra und reine Analysis.
Einleitung in die Lehre von den Det4)rminanten und ihrer An- wendung auf dem Gebiete der niedern Mathematik. Zum Gebrauch an Gymnasien, Realschulen u. andern hohem Lehranstalten, sowie zum Selbstunterricht bearbeitet von Dr. Josef Diekmann, Ober- lehrer am Königl. Gymnasium zu Essen. Essen 1876. G. D. Bae- deker. 88 S.
Die gegenwärtige Bearbeitung der Determinantenlehre für den Schulgebrauch zeigt manche eigentümliche Seiten, deren Würdigung wol eine Frage von Interesse sein kann. Sie gehört zu denjenigen, welche ihren Ausgang im Spocielleu nehmen, und zwar hat sie dies noch consequenter durchgeführt als die andern, hat aber den Haupt- nachteil der Specialbetrachtung glücklich vermieden. Denn diese geht
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hier nicht aus einem Annehmen an gewohnte Weisen der Schüler hervor, wodurch so häufig das Erlernen neuer Prineipicn vereitelt wird; vielmehr ist durchgängig der specitische Charakter der Deter- minantentheorie gewahrt, und die spccielle Deduction repräsentirt sichtlich die allgemeine. Gleichwol möchte auch so die Wahl der Methode nicht ganz gerechtfertigt sein. Die Allgeraeingültigkeit des speciell erwiesenen Satzes wird verstanden, aber die der Determinan- tentheorie eigenen weitgreifenden, und doch so einfachen und durch- schaulichen Schlussweisen kommen nicht zum Bewusstsein; die De- duction führt daran vorbei, und wenn sie auch, wie es teilweise ge- schehen ist, erwähnt werden, so können sie nicht so zur Beachtung gelangen, als wenn das allgemeine Resultat direct auf kürzestem Wege durch sie gewonnen würde. Der Verfasser räumt nun ein, dass viel- leicht manche Herleitungen noch durch einfachere vertreten werden können. Haben wir hierbei nur solche im Sinn, die sich direct auf Determinanten wter Ordnung anwenden lassen, so ist wol vor allen das Theorem der Multiplication ein Beispiel der Art, wo durch Auf- lösung zweier Gleichungssysteme das Product der Determinanten ein- facher gefunden wird, als es hier geschieht. Doch auch die Addition gehört dahin; denn obwol man hier mit Anwendung der ünterdeter- minanten sofort zum Ziele gelangt, so kann man auch ein gleiches ohne Reflexion auf dieselben durch ein Schlussverfahren erreichen, das für sich instructiv ist. Wie diese Beispiele, so deutet auch manches andre darauf hin, dass es dem Verfasser überhaupt wenig um Ein- fachheit zu tun war, dass ihn vielmehr vorgefasste Grundsätze davon zurückhielten. Die einfachen Methoden sind da, und brauchen nur gewählt zu werden; warum es nicht geschieht, ist im einzelnen nicht zu ersehen, aber auch die Tendenz, aus d6r es sich erklärt, erscheint ganz unmotivirt. Der Verfasser beruft sich im Vorwort auf die Zu- stimmung aller Schulmänner darin, dass die Determinantenlehre von den Permutionen unabhängig zu machen sei. Ob er irgend ein Urteil der Art aufzuweisen hat, möchte bezweifelt werden, doch liegt wenig daran, wenn es sich wie hier auf nichts gründet. Welchen Erfolg aber hatte die Vermeidung der Permutationen für die gegenwärtige Gestaltung der Doctrin? Die Definition der Determinanten rausste bloss deshalb unvollständig aufgestellt, und in Betreff der Vorzeichen- bestimmung auf später verwiesen werden, wo sie hernach doch durch Permutation geschieht. Hieraus konnte der Verfasser ersehen, dass seine Tendenz gegen die Natur der Sache gerichtet war. Die Permutation ist so eng mit dem Wesen der Determinanten verknüpft, dass mit ihrer Abtrennung der Auffassung ein Bedeutendes an Deut- lichkeit entzogen wird. Auch die vom Verfasser erhobene Frage, an welcher Stelle die Determinautenlehre in den Schulcursus einzufügen sei, entscheidet sich in Anbetracht der Verwandtschaft des Gegen-
Lüterarisdwr Bericht CCXXXV. 32
Standes dahin, dass sie der Lehre von den Combinationen und Per- mntationcu, welche ihre natürliche Vorbereitung bildet, unmittelbar zu folgen hat, mit dem doppelseitigen Gewinn, dass diese, bisher ein ziemlich heterogener Lehrgegenstand ohne recht ersichtlichen Zweck, sich dann erst in ihrer Fruchtbarkeit enthtült, und ihrerseits die zur Auffassung der Determinantenbildung erforderliche ordnende An- schauung anbahnt. Die Antwort des Verfassers, welcher den Anschluss an 4ie Lehre von den Gleichungen befürwortet, erledigt die Frage nicht. Wie und in welcher Glasse sollen dann die Gleichungen ge- trieben werden, damit ein Anschluss möglich ist? Denn die gewöhn- liche Methode, von der abzugehen noch kein Grund vorliegt, enthält nicht das mindeste, was auf Determinanten hindeutete.
Mit Verwerfung der Pormutationen bevorzugt der Verfasser den Gebrauch der ünterdeterminanten in den Herleitungen der Sätze. Also wo man auch im ganzen operiren kann, soll man lieber zer- spalten! Das heisst doch geradezu den Zweck der Determinanten an- nulliren, eine Einrichtung treffen und dafür sorgen, dass sie so wenig als möglich zur Geltung komme.
Einen grossen Teil der Schrift, nimmt die Behandlung der Glei- chungen der 4 niedrigsten Grade ein. Er steht in sehr geringer Ver- bindung mit der Determinantenlehre, scheint den pädagogischen Ge- sichtspunkt ganz zu vergessen und zeigt mehr den Charakter einer gelehrten Untersuchung. Doch auch in letzterer Eigenschaft lässt er Zweck und" Ziel der vielen formellen Betrachtungen sehr im dunkeln. Was kann uns z. B. veranlassen, die 2 Formen, in denen sich die
Auflösung einer quadratischen Gleichung nach x und - darstellt, un- ter eine gemeinsame zu vereinigen? Hat es irgend einen Sinn, dass sie hier die allgemeinere genannt wird?
Den Schluss bilden Anwendungen der Determinanten auf die analytische Geometrie der Ebene. H.
Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf phy- sikalische Fragen. Vorlesungen von Bernhard Biemann. Für den Druck bearbeitet und herausgegeben von Karl Hattendorff. Mit in den Text eingedruckten Holzstichen. Zweite Auflage. Braun- ^chweig 1876. Friedrich Vieweg u. Sohn. 328 S.
Da die in dieser Schrift dargelegte Methode von Dirichlet und Kit^mann hinreichend bekannt ist, so wird es genügen die Gegenstände zu nennen, über welche die Vorlesungen sich erstrecken. Nach einem historischen Ueberblick über die durch physikalische Fragen hervor-
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gerufenen Untersuchungen der partiellen Differentialgleichungen werden zuerst die Priucipien der Theorie der bestimmten Integrale, dann die Theorie der Fourier'schcn Reihen vorgetragen. Es folgen dann die Hauptsätze ilber die gewöhnlichen linearen Differentialgleichnngen und die Untersuchung der linearen partiollen Differentialgleichung 2. Ord- nung, beide mit einigen Beispielen. Angewandt wird die Theorie auf die Wärmeleitung in homogenen feston Körpern, die Schwingungen elastischer ^örper und die Bewegung der Flüssigkeiten. Die erst« Frage wird gelöst für eine Vnzahl verschiedener Greuzbestimmungen, erst bei linearer Bewegung, dann nach 3 Dimensionen. In Beü-eff der zweiten wird erst die Lösung für eine gespannte Saite, dann die allgemeine Theorie, dann die Lösungen für einzelne Grenzbestimmungen gegeben. In Betroff der dritten sind es die allgemeinen Bewegungs- gleichungeu, die Fortpflanzung der Schwingungen in einem iacompres- sibeln Medium und die Bewegung eines festen Körpers in einer un- begrenzten incompressibeln Flüssigkeit, insbesondere die einer Kugel
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Theorie der Abel' sehen Functionen vom Geschlecht 3. Von Dr. Heinrich Weber, Professor an der Universität zu Königsberg. Beriin 1876. Georg Reimer. 4«. 184 S.
Diese gekrönte Preisschrift behandelt ein abgegrenztes Grebicl aus der Theorie der Abel'schen Functionen vom Geschlecht 3. Sie beginnt mit der Untersuchung der Bedingungen sechsfach periodischer Functionen, indem sie die 6 gleichzeitigen Perioden der 3 Argumente auf 3 gleichzeitige und eine gemeinsame Perlode reducirt, führt dann die ^ Functionen von 3 Argumenten ein und untersucht besonders ausführlich die Gruppirungen der Charackteristiken. Der 2 te Ab- schnitt handelt von den algebraischen Functionen vom Geschlecht 3 und ihren Integralen, der 3te von den Aberschen Functionen, der letzt« enthält die Lösungen der 2 Fundamentalprobleme, des Riemann- schen Problems und des Jacobi*schen Umkehrproblems. Abgesondert aus dem Zusammenhange würden einzelne Mitteilungen aus dem reichen Inhalt zu schwierig und upzureichend sein. H.
Geometrie.
Elemente der darstellenden Geometrie der ebenen und räumlichen Gebilde. Zunächst für Realschulen. Von Josef Streissler, Pro- fessor an der Staats -Oberrealschule und Privat- Doceut an der k. k. Universität in Graz. Mit 324 Figuren und 8 Tafeln. Brunn 1876. Carl Winiker. 276 S.
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Das vorliegende Lehrbuch bewahrt mehr den exact theoretischen Charakter als es wol sonst bei rein technischem Zwecke der Fall zu sein pflegt. Ekesteils sind die Begriffe und Ausdrücke den wissen- schaftlichen adäquat, andernteils werden die theoretischen Kenntnisse in ziemlich grossem Umfang in Anäl)ruch genommen und vorausge- setzt, so dass sich die Bestimmung kund giebt, die darstellende Geometrie auf den vollendeten allgemein theoretischen Cursus der Geometrie folgen zu lassen, den sie nur nach der ausschliesslich con- structiven Seite hin weiter entwickelt. Auf einem solchen Standpunkt, wie er hier erreicht sein muss, stellt man indes auch Forderungen an den Lehrgang, in Bezug auf systematische Behandlung, regebrechten Fortschritt, sichtliche Zielpunkte und vollständige Auskunft über alle notwendigen Fragen. Hieran lässt es das Lehrbuch namentlich im Anfang, d. i. in dem vorbereitenden Abschnitt über graphische Ope- rationen in der Ebene, sehr fehlen. Es findet sich kein Wort davon, was erlernt werden soll, welche technische Mittel zu Gebote stehen, und statt jeder Auskunft über das Verfahren nur die kurze Angabe dessen, was das Verlangte nach bekannten Sätzen der Geometrie sein muss. Wie man im allgemeinen eine Curve zeichnet, ist nirgends gesagt; dennoch wird die Construction der Evolute als Mittel zur Auffindung des Berührungspunkts einer Tangente aufgestellt. Aller- dings kann man dies in verschiedenem Sinne recfttfertigen ; nur sollte über den Sinn kein Zweifel sein. Bei den räumlichen Gebilden liegt die Aufgabe der Darstellung von selbst weit deutlicher vor. liier sollte man meinen, könnte man nicht in Zweifel sein, welche Fragen von vorn herein zu beantwortet waren. Dennoch sucht man vergeb- lich nach den elementarsten Dingen , z. B. wie die 2 Projectionen einer Figur in der Zeichnung zu einander liegen sollen. Ueber sehr ausführlichen stereometrischen Betrachtungen wird ganz vergessen, was geschehen soll. Die behandelten Gegenstände sind die Ortho- gonalprojection der Raumgebilde auf einer, dann auf 2 Ebenen, Orts- veränderung der Raumgebilde, Aufgaben über die gegenseitigen Be- ziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen, Projectionen begrenzter Ebenen und ihre Merkmale, Strahlenflächen, die Prismen- fläche, regelmässige Flächen, die Kegel- und Cylinderfläche, wind- schiefe Flächen, Rotationsflächen, Schattenconstructionen, perspectivi- Darstellung. H.
Astronomie und Meteorologie.
Der Einfluss der Himmelskörper auf Witterungs Verhältnisse. Vortrag gehalten zu Nürnberg und München von Dr. Siegmund Günther. Nürnberg 1876. Hermann Ballhom. 42 S.
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Der Vi ständig uuc
zufuhren, wclcbo auf Entscheidung über die bezeichneten Fragen ge- ricbtet sind. Er teilt sieb das Feld im voraus nach den MögUcbkeitOB ein, Qud zeigt, dass in der Tat kein denkbarer Caasalnexus cxistirt, der nicht schon namhafte Nachforschnngen erfahren hätte. Natfirlich waren hier mehr negative als positive Ergebnisse zu berichten. Zn eigener begründeter Kritik war kein Raum, es musste genOgcn die Kritik der snccessiv erueucrtcn Uutersuchung zur Geltung zn bringen, und sich dieser gemäss kurz zu erklären. Dem Vortrag angehängt ist der Nachweis der Littcratar nebst rcichhalügen Notizen über die- selbe. H.
Litterarischer Bericht CCXXXVL 36
Litterarischer Bericht
CCXXXVL
Geschichte der Mathematik und Physik.
Ziele nnd Kesultate der neaeren mathematisch-historischeA For- schang. Von Dr. Siegmnnd Günther, Privatdozent am K^. Polytechniknm zu München. Erlangen 1876. Eduard Besold. 133 8.
Der in der Orazer Natorforscherversammlang unter obigem Titel gehaltene Vortrag erscheint hier umgearbeitet und ausführlicher zu- gleich mit angefügten Noten, welche die einzelnen berührten Themata weiter verfolgen und so einer durch die Umstände auferlegten Kürze nachträglich abhelfen sollen. Der Verfasser tritt zu Gunsten des historischen Studiums der Mathematik ein, das, wie er findet, ab- weichend von dem Verhalten anderer Fachwissenschaften, die mehr an ihrer Geschichte festhielten, heutzutage weniger als früher ge- pflegt würde. Auch nach der Umarbeitung hat die Schrift den Cha- rakter eines Plaidoyers behalten, in welchem der Verfasser durch an- gezogene Beispiele das Interesse für jenes Studium zu wecken sucht. An dieser Eigenschaft ändern auch die Noten nichts. Wenn die ge- wählten Beispiele nicht besonders instructiv sind, so liegt die Schuld nicht bloss an der Schwierigkeit allgemein Verständliches ausser dem Zusammenhange zu geben, sondern vor allem daran, dass der Ver- fasser von vom herein den principiellen Fragen, die hier einer Klärung warten, nicht näher tritt, sich mit allgemeinen Terminis begnügt, ohne deren Inhalt zu discutiren, namentlich also ohue Erörterung lässt, was zum historischen Studium gehört, ob er von Kenntniss- nahme des fernen Altertums oder von Continuität der Forschung spricht. Bei diesem einen Tadel können wir es bewenden lassen.
Teil UX. Heft 4. 4
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Wollten wir auf das Einzelne eingehen, so müssten wir es doch in Beziehung zur Ankündigung auffassen. Wo sind nun die Ziele und Resultate der neuem mathematisch-historischen Forschung zu finden? Wo sind Ziele kenntlich gemacht? Was sieht der Verfasser als Resul- tate an? Wo ist überhaupt von neuerer Forschung anders als negativ die Rode? Nach den ersten Seiten wird die Absicht vergessen, und kommt iiä Verlaufe der Schrift nicht wieder zum Vorschein, H.
Arithmetik, Algebra und reine Analysis-
Die Zinsrechnung sammt Anwendungen. I. Heft Die Zinsrech- nung. Für die obern Klassen von Realschulen und Gymnasien, filr Handelsschulen und Seminarien, und zum Selbstunterricht. II. Hefl Die Verzinsung periodischer Zahlungen. Von Heinrich Stüssi Zürich 1876. Cäsar Schmidt, kl. 8«. 263 S.
Das Buch handelt ausschliesslich von derjenigen Rechnung, welche Zinseszins zugrunde legt^ mit Voraussetzung der Lehre von Potenzen und Logarithmen, und hat die Bestimmung die Kenntniss dieser Rech- nung mehr durch die Schulen zu verbreiten, damit der Bürger die darauf beruhenden Einrichtungen verstehen und beurteilen kdnne. Jedes der beiden Hefte enthält die 4 Teile, theoretischen Teil, Auf- gaben, Tabellen und Auflösungen. Der Vortrag ist im ganzen klar und verständlich, das eigentlich Theoretische exact, und, was auf Her- kommen beruht, was also kein Denken ergeben kann, wird nicht, wie so häufig, zu erklären vergessen. Doch kommen auch Ausnahmen vor. Seite 8. ist „Betrag des später fälligen Capitals^^ zweideutig, ^ muss heissen „gegenwärtigen Betrages Seite 5. lässt die Ausfübnmg über Verzinsung in unterjährigen Terminen den Leser im Stich, der, da vom nominellen Zins bis dahin nicht die Rede war, zunächst an den effectiven Zins denken muss, durch das Weitere natürlich zweifel- haft wird, aber keine rechte Entscheidung findet (das Resultat ist durch Druckfehler noch einmal im Sinne des effectiven). Obwol durch Beispiele und spätere Erörterungen jede Zweideutigkeit nachträglich gehoben wird, so hätten doch gleich in erster Aufstellung solche ver- mieden werden sollen. Im übrigen zeigt die Abfassung, was durch Verbindung von concinner, correcter Erörterung, Formel und Beispiel an Deutlichkeit geleistet werden kann, und kann als Muster der Dar- stellung gelten. Die Tafeln erstrecken sich auf 100 Jahre und die Monate eines Jahres, berücksichtigen die Zinsfüsse 2^, 3, 4, 4^, 5, 6 Procent und sind auf teils 5, 6 und 7 Bruchstellen berechnet, das Anfangscapital stets =1 gesetzt, die entsprechenden Logarithmen nebengestellt. H.
Litterarischer Bericht CCXXXVl. 38
Die Bachstabenrechnnng. Eine Eiitwickelung der (besetze der Gmndrechnungsarten rein aus den Begriffen der Zahl und des Zählens als Grundlage fttr den Unterricht Von Dr. Ferd. Rosenberge r. Jena 1876. Hennann Dufft. 150 S.
Das Vorliegende ist erklärtermassen kein Schulbuch zu unmittel- barem Gebrauch, wenn gleich die Idee der Abfassung einzig und allein aus dem Schulunterricht fliesst und demselben gewidmet ist. Die wahre Bestimmung ergiebt sich beim ersten Blick als eine logische Revision der elementaren Doctrin, hervorgerufen durch sehr gewöhn- liche Misgriffe, deren der Verfasser zwei anführt, nämlich die Um- gehung der Schwierigkeiten, die in der Anwendung der Grundrech- nungen auf negative, imaginäre Zahlen u. s. w. liegen, durch fremd- artige Definitiondn, dann die willkürliche Zusammenstellung der Sätze ohne sichtlichen Zusammenhang. Statt des letztem, der nichts prin- cipielles enthält, Hessen sich wol manche andere Punkte nennen. Wesentlich aber ist jedenfalls der erstere, der zwar nicht zum ersten- mal enthiült wird, doch mehr Beachtung verdient, als er gefunden hat. Es ist dem Verfasser vollkommen beizustimmen, wenn er die Auskunft unnötig nennt. Es ist unnötig, bei Definition der entgegen- gesetzten Grössen auf räumliche Darstellung überzuspringen, es ist auch unnötig, einen andern als den auf blosser Wiederholung beruhen- den Zahlbegriff zugrunde zu legen, um zur strengen Entwickelung des allgemeinsten Zahlbegriffs zu gelangen. Dass die gegenwärtige Be- arbeitung sich denjenigen zugesellt, die die einheitliche, rein arith- metische Methode zur Durchführung bringen, ist an sich zu schätzen ; unterscheidend für sie ist, dass sie die logische Seite der ^Arithmetik durch besondere Ausführlichkeit in den Vordergrund stellt, also die gangbaren Irrtümer und den gewöhnlichen Mangel an Rechenschaft über die Grundbegriffe für wichtig genug hält, ihnen mit allen Mit- teln reichlicher Auseinandersetzung entgegenzutreten. Freilich hätte die Darlegung noch sehr an Deutlichkeit gewinnen können, wenn die Ausführlichkeit mit Concinnität und Vermeidung des Ueberilüssigen verbunden aufträte; indessen kann man mit dem Getanen schon zu- frieden sein.
Fragt man nun aber, ob die logische Revision selbst richtig voll- zogen sei, so zeigt gleich die erste Erklärung, welche nur eine ge- dankenlose Wiederholung eines häufig vorkommenden Fehlgriffs ist, das Gegenteil. In der Tat findet mau in manchen Lehrbüchern auf- gestellt. Rechnen sei die Verknüpfung mehrerer Zahlen zu einer; aber trotzdem wird in denselben Lehrbüchern der Begriff im richtigen Sinne geübt, und im Widerspruch mit der Erklärung unter dem Worte das verstanden, was der Schüler factisch beim Rechenunterricht tun lernt, was er daher einzig und allein darunter verstehen kann, r"
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39 LiiUransdier Berieht CCXXXVL
lieh die Tranfiformatioii der durch Operationsverkotlpfting oder dorch Bedingungen bestimmten Zahlen in dekadisch geschiiebene oder aD- gemeiner in zweckentsprediend gestaltete Zahlen. Der Verfasser des gegenwärtigen hingegen hat nicht nur die falsche Eridäriuig aa^ nommen, sondern bemüht sich auch sie consequent festzuhalten und zu realisiren, verursacht sich dadurch Schwierigkeiten, und bewirkt, dass manche Erörterungen je wortreicher desto dunkeler ausfalleo. In der genannten Frage kann von verschiedener Ansiebt nicht die Rede sein. Wird aus den Zahlen 3, 7, 4 durch Verknüpfung eine Zahl 3.7-f-^ gebDdet, und diese eine in der Form 25 dargestellt, so sind dies zwei Acte, beide nötig um zum Zweck zu gelangen. Welchen von beiden man aber Rechnen nennt, wird niemand in Zweifel sein, sonst kann man es in jedem Rechenbuche sehen, dass der erste stets in der Aufgabe schon vollzogen und der zweite allein es ist der vom Schüler verlangt wird. Nicht minder deutlich zeigt sich der Sach- verhalt in der Buchstabenrechnung. Die Verknüpfung der Zahlen a, 5, c zu der einen Zahl ah-\'C giebt nichts zu rechnen; dagegen nennt man die Verwandlung von ab-^-ac in a(b-]-c) eine Addition, die um- gekehrte eine Multiplication. Wird der Verfasser hier behaupten, das Rechnen bestünde in der Verknüpfung ab-\'ac einerseits, 0(1-^ c) andrerseits? Welches Motiv hat er dann, die Oleichheit beider so verschieden gebildeter Zahlen zu lehren? Die ganze Theorie der Buch- stabenrechnung besteht dann aus Lehren, die mit seinem Begriff des Rechnens nichts zu tun haben; denn alle handeln von Umformung der Buchstabenausdrücke. Das eben ist der grosse Mangel in der anfänglichen Begriffsbestimmung, dass ihr gegenüber die Doctrin durchweg ig^nz unmotivirt auftritt Die Acte der Transformation zn motiviren ist der Verfasser sichtlich bemüht, doch wird das Mislingen nur durch den Wortreichtum verhüllt, der durch selbstgemachte Schwierigkeiten hervorgerufen ist
Auf die falsche Definition des Rechnens sind gewisse Logiker offenbar dadurch verfallen, dass sie beim Nachdenken über das Wesen der elementaren Operationen diese aus ihrem Zusammenhange mit der Theorie lösten, und so nach Abstraction von Sinn und Bedeutung nur mit dem Willküract der Verknüpfung zu tun hatten. Allerdings kann man ja, nachdem einmal das Rechnen durch Ausübung bekannt ist, schlechdiin und ohne Bezugnahme auf irgend welche Transfor- mation sagen: Multiplicire die Zahl mit a, tubtrahire dann b u.s.w. Dann scheint es, und namentlich während man definiren will, was mit diesen Acten gemeint ist, als w&re die Rechnungsart, auch wo nan vom Fadt nichts weiss, an sich ein geschlossener klarer ßetgntf'- Dabei wird aber übersehen, dass dieser Begriff in nichts zerfließ^ wenn das Resultat der Operation ein neues Ding sein und nicht ein^
LitierarUchir Beruht CCXXXVI. 40
Platz iB derselben Zahlenreihe einnehmen soll. Hiervon kann man abstrahiren, im Augenblicke wo man die Definition aufstellt; aber es existirt keine einzige Anwendung, in der nicht die bei Seite gescho- bene Bedeutung sieb mit Notwendigkeit geltend machte.
G^hen wir nun weiter auf den Inhalt der Schrift. ein, so ist es bei ihrem vorwaltend logischen Gesichtspunkt vor allem ihr Verhalten in Betreif der negativen und gebrochenen Zahlen, wovon ihre Leistung abhängt An Vorsicht lässt sie es niciit fehlen. Dass sich z. B. die Vertanschbarkeit der Factoren nicht ohne neue Begründung auf nega- tive anwenden lässt, wird hervorgehoben. Doch die Furcht vor Fehl- schlüssen lehrt nicht auf die leitenden Punkte aufmerksam sein. Statt soviel von den Schwierigkeiten zu reden, wie es hier bei Einführung der Brüche geschieht, hätte der Veifasser die Frage beleuchten müssen: Sind alle Grössen unbegrenzt teilbar? Was berechtigt uns, wenn sie es nicht sind, oder wenn unter der Allgemeinheit dieser Fall mit be- griffen ist, Brüche einzuführen? Hierüber schlüpft er mit der einge- schalteten, offenbar unwahren Behauptung hinweg „da jede Grösse bis . ins Unendliche teilbar ist*'. Bekanntlich giebt es zwei verschie- dene Gründe der Berechtigung. Erstlich lassen sich in vielen Fällen die negativen, in vielen Fällen die gebrochenen Zahlen wirklich dar- stellen. Auf diesen allein hat der Verfasser geachtet-, nur verschweigt er leider beidemal die Einschränkung. Zweitens kann die Rechnung mit negativen, mit gebrochenen Zahlen positives, ganzzahliges Resultat geben, und da kein theoretisches Resultat letztes Resultat ist, so be- hält auch das negative und gebrochene Resultat unter allen Umstän- den Bedeutung durch seine weitere Anwendbarkeit Der letztere ist unstreitig der Hauptgrund; denn aas ihm leuchtet die Berechtigung des factisch geübten Verfahrens ein, welches gar nicht nach der Be- schaffenheit des Resultats fragt Dass der Verfasser ihn ganz igno- rirt, ist ein grosser Mangel; denn es sind infolge dessen auch die^ Beweise weggeblieben, die zur Begründung notwendig waren.
Aus dem Vorstehenden erhellt wol zur Genüge, dass der Ver- fasser seine Aufgabe nicht bewältigt hat; es hatte aber nicht sowol den Zweck seinen Versuch abzuweisen, als vielmehr die Durchführ- barkeit seines Gedankens darzutun. H.
Geometrie.
Elemente der Geometrie. Leitfaden für den Unterricht in Pla- nimetrie und Stereometrie. Von Dr. Kurt Schurig, Oberiehrer an der k. Gymnasial- und Realschulanstalt und Lehrer der Mathema*^**
41 Litterarischer Bericht CCXXXVL
an der k. Baugcwerkenschalc zu Plauen i. V. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 210 in den Text gedruckten Figuren. Plauen, 1876. A. Hohmann. 111 S.
Das Buch ist zum Gebrauch an der Baugewerkenschulc inTlauen speciell bestimmt. Absehend von allem Zweck der Ausbildung für mathematisches Studium und Entwickelung productiver Fähigkeiten, ist es nur darauf berechnet der Aneignung des Lehrstoffs in gehöri- gem Umfang auf kürzestem und bequemstem Wege zu dienen. In dieser Eigenschaft bleibt aber sorgfältige Bearbeitung, concinner Aus- druck, Einfachheit der Darstellung, gute Auswahl des praktisch Nutz- baren und Reichhaltigkeit anzuerkennen. Weniger notwendig wäre es wol gewesen sich jeder misbräuchlichen Terminologie, die in halb- gebildeten Kreisen Fuss gefasst hat, anzuschliessen ; denn in der Materie praktisch, in der Form unpraktisch zu sein, ist doch keine Vorschrift für den Techniker, wenn gleich der Wunsch mit jenen Kreisen Fühlung zu behalten auch dies erklärlich macht H.
Lehrbuch der Stereometrie zum Gebrauche bei dem Unterrichte in Gymnasial- und höheren Realanstalten. Von Oberstudienrath Dr. von Nagel, Ritter 1. Cl. des kgl. württemb. Kronordens und des kgl. württemb. Friedrichordens. Mit vielen dem Text beigedruckten Holzschnitten. Vierte vermehrte Auflage. Ulm 1876. Grebrüder Nübling. 118 S.
Das Lehrbuch will, wie der Verfasser erklärt, von dem Gesichts- punkts beurteilt sein, dass der Hauptwert des mathcmatischou Unter- richts in der innem bildenden Kraft ruht, welche dieser Wissenschaft innewohnt, in dem Sinne für Wissen und Wissenschaftlichkeit, welche sie durch die strengste Logik, die sie charakterisirt, zu wecken ge- eignet ist, und in der Sicherheit und Zuversicht, mit welcher der Schüler durch sie in seinem Denken vorwärts schreiten lernt. Fragt man, was die gegenwärtige Bearbeitung für diesen bildenden Zweck getan hat, so ißt in der Tat ein Punkt zu nennen, in welchem sie bessernd vorgegangen ist. Die Kugel, welche gewöhnlich nur als einer unter den Körpern, die man in den Elementen zu betrachten für got findet, und noch dazu als letzter behandelt wird, nimmt hier voll- ständig die Stelle ein, welche der Kreis in der Planimetrie behauptet; die Lehre von der Kugel, nämlich als regulirendes Element, nicht als Object der Messung, folgt unmittelbar auf den Abschnitt von der Stellung der Ebenen und Geradon. Dass die den Kreissätzen analogen Sätze von den Schnitten und Berührungen der Ebenen und Geraden mit der Kugel und von den die Centricwinkel messenden Normal- bogen sehr zur Orientirung in den räumlichen Verhältnissen beitragen,
Litterarischer Bericht CCXXXVl, 42
dass sie schon an dieser Stelle leicht zum Verständniss gelangen, da- her hier ihren geeigneten Platz haben, leuchtet auf den ersten Blick ein. Ueberdies macht der Verfasser mit Recht darauf aufmerksam, wieviel Aewendungen die Kugelsätze in fremden ünterrichtsgegen- 8tll,nden, der Geographie u. a. haben. Können wir dies als einen wesentlichen und definitiven Fortschritt der Methode verzeichnen — denn wieder daVön abzugehen ist kein Grund ersichtlich, da weder ein Zusammenhang zerrissen, noch das Pensum im ganzen verlängert worden ist — so steht im übrigen, namentlich aber im Betreff der Ausführung im einzelnen, das Lehrbuch noch ganz auf dem gewöhn- licheii Niveau. Die Sätze des ersten Abschnitts, welche doch gerade die Bestinmiung haben, eine üebersicht über die räumlichen Lagen zu geben, mit den Verhältnissen vertraut zu machen, sind noch ge- rade so bunt, als wäre es der erste Versuch, sie der Reihe nach aus einander zu beweisen, kein Fortschritt vom Einfachen zum Mannich- faltigen, von der parallelen zur rechtwinkligen und dann zur schiefen Lage. Ebenso wenig ist in den übrigen Abschnitten ein ordnendes Princip zu erkennen, während die Ordnung der Abschnitte selbst eine recht vernünftige ist: auf die Kugel folgt die Ecke und das sphäri- sche Dreieck, dann die Körper, alles bis dahin nach allgemeinen Eigenschaften, zuletzt die Inhaltsberechnungen. Incorrecte Ausdrücke kommen bisweilen vor. „Die Geometrie ist die Lehre von den Raum- grössen" ist eine Behauptung, deren Unwahrheit auf der Hand liegt Die Geometrie handelt ziemlich ebensoviel von Dingen, die keine Grö-ssen sind, wie unbegrenzte Gerade und Ebenen, deren Schnitt- punkte und Schnittlinien u. s. w. und ein Kreis gilt ihr nicht für dasselbe als eine gleichgrosse Gerade. „Zwei Ebenen fallen in einem Teile ihrer Punkte zusammen". Was heisst „ein Teil der Punkte"? Da die Punkte der Ebene keine Zahl haben, so kann es doch auch keinen Teil dieser Zahl geben. Beide Ausdrücke entsprechen einer mangelhaften Entwickelung des Denkens und stehen in schroffem Gegensatz zu dem oben aufgestellten Gesichtspunkt. Doch diese for- mellen Fehler sind verschwindend gegen die Unklarheit, mit welcher die Inhaltsberechnung aus den parallel begrenzten Elementen vorge- tragen wird. Das einzelne Element, vnrd behauptet, aber nicht er- klärt, habe keinen Einfluss auf die Grösse des Körpers. Dennoch besteht der Körper als lauter solchen Elementen. Wie soll der Schüler das zusammenreimen? Gerade das war ja zu zeigen, wie die Grösse des Körpers durch die Grösse des Elements bedingt ist Da der Verfasser wol kein Verständniss vom Unendlichkleinen hat, so wollte er, wie es scheint, die Schwierigkeiten der unendlich kleinen Differenz durch jenen Machtspruch dem Blick entziehen. Doch an- statt denselben daran vorbei auf die Hauptsache zu lenken, verdeckt er lieher gleich das ganze Object seiner Betrachtung. Merkwürdig
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ist, dass er die Beweisart in der Vorrede hervorbebt. ^ Es ist mir wohl bekannt, was sich gegen diese Beweisart einwenden läset Aber ich könne keine andere, die den Namen einer elementaren mit Becfat verdiente." Trotz dem, dass ihm die Schwäche bekannt war, und trotz dem ausgesprochenen Grundsatz strengster Logik entscheidet er sich für das Ungenügende. In der Tat liegt aber die Schuld an etwas ganz anderem als an der Wahl des Deductionsweges. Streng, elementar und ohne grosse Umständlichkeit lässt sich die bezeichnete Methode durchführen. Nur muss man die unendlichkleinen Grössen nicht ignoriren, sondern ihre Bedeutung und die darauf basirten Schlüsse erklären. H.
Die regulären und halbregulären Polyeder. Mit 1 Tabelle und 113 stereoscopischen Figuren. Von Dr. Th. Hügel, k. Bector an der Gewerbschule zu Neustadt a. d. H. Neustadt a. d. H. 1876. A. H. Gottschick-Willer. 4^ 20 S.
Die Schrift ist eine Sammlung von einfachen Grössenrelationen, welche sich zwischen den Bestimmungsstticken der regulären Polyeder, nicht bloss der unmittelbar vorhandenen, sondern auch mancher durch eigene Constructionen hinzukommenden, finden lassen. Sie geht nach keiner Seite hin auf Erschöpfung eines Bezirks aus, behandelt viel- mehr jedes Einzelne als Gegenstand eigenen Interesses, wie es der Bestimmung zu Uebungsaufgaben entspricht. Die Herleitungen sind meistens direct, nicht in synthetischer Verkettung von einander ab- hängig, und werden mit einfachen zur Hand liegenden Mitteln ohne Kunstgriffe m aller Kürze vollzogen. Was halbreguläre Polyeder, goldenes Polyeder u. s. w. genannt wird, sind nur Ergebnisse solcher Constructionen, die zu einfachen Relationen führen; unter diesem Gesichtspunkt werden die archimedischen, antiarchimedischen, Rhom- ben- und poinsot'schen Polyeder behandelt; eine Discussion giebt bei jeder neuen Figur die Haltpunkte der geordneten Vorstellung. Be- sonders empfehlend ist die Beigabe der stereoskopischem Darstel- lungen. H.
The cone and its sections troated geometrically, by S. A. Ron- shaw of Nottingham. London 1875. Hamilton, Adams, and Co. 40. 148 S.
Die hier gewählte Methode nimmt zwei charakteristische Normen für sich in Anspruch: sie soll die Eigenschäften der Kegelschnitte erstens aus deren Lage im Kegel, zweitens geometrisch herleiten. Der Verfasser bezeichnet sie selbst als Rückkehr zur Methode der Alten, findet jedoch Gründe sie überhaupt zu bevorzugen, und beruft
Läitranseher Bericht CCXXXVI, 44
Sieh in dieser Beziehung auf den Vorgang Hamilton's. Die Berech* tigong des Versnchs von vornherein zugestanden, darf man indes wol an die Ausführung der Idee die Forderung steUen, dass sie derselben auch ganz entspricht und in Allgemeinheit der Auffiassung der ein- schlagenden Fragen sowie in Eleganz der Deduction etwas mehr leistet als das Vorgefundene. Ist einmal der Kegel in seiner Beziehung zur Schnittfigur zum Gegenstand des Interesses gemacht worden, so war die Frage nach der Gestalt des Schnitts einer bdiebigen Ebene jeden- falls erste und Hauptfrage. Ein solcher Schnitt wird hier gar nicht erwähnt; es kommen nur Schnittebenen senkrecht zur Projections- ebene der Kegelaxe vor, kein Wort davon, dass andere dieselben Figuren ergeben. Ferner hätte man wol erwarten dürfen, dass die Deduction, wenn auch nur in manchen Punkten, mit der Ausgangs- betrachtung in Connex bleiben, und einige neue Beziehungen der Curvenmerkmale zum Kegel enthüllen würde. Es behält aber sein Bewenden bei einer einzigen: aus dem* Schnitt in jener spcciellen Lage wird die Focal-Eigenschaft hergeleitet; nachdem hiermit eine für sich ausreichende Bestimmung der Curve gewonnen ist, bleibt die Darstellung bis ans Ende innerhalb der Ebene und kommt nicht wieder auf den Kegel zurück. Demnach ist die Zuziehung des Kegels nichts weiter als ein zurückgeschobener Ausgangspunkt und ohne allen Einfluss auf die Methode. Wenn endlich die letztere geometrisch genannt wird, so trifft 'dies nur insofern zu, als der Leser zu bestän- diger Vergleichung mit der Figur genötigt ist Coordinaten kommen nicht in Anwendung; dadurch wird aber die Rechnung, aus der doch alle Herleitung besteht, nicht kürzer, sondern nur mtÜievoUer durch- zulesen. Die Figuren sind mit grossem Aufwand an Raum, aber geringer Sorgfalt ausgeführt So fäUt z. B. ein Kegelschnitt zum grossen Teil ausserhalb des Kegelbildes. H.
Physik.
Lehrbuch der physikalischen Mechanik von Dr. Heinrich Buff, Professor der Physik an der Universität Giessen. In zwei Theilen. Mit zahlreichen in den Text eingedruckten Holzstichen. Brannschweig 1874. Vieweg und Sohn.
Indem wir dieses Buch, welches nach dem Erscheinen der ersten Lieferung im 220. litt. Bericht genannt worden ist, nach seinem Ab- schluss noch einmal aufführen, gesciiieht es nur um zu constatiren, dass auch die drei übrigen seitdem erschienenen Lieferungen das Urteil bestätigen, mit dem wir es damals abgefertigt haben. Die ganze volu- minöse Schrift ist nichts als eine Zusammentragung vorgefundenen-
45 Litterarischer Bericht CCXXXVl.
Lehrstoffs ohne jeden Hinblick auf das Bedürfhiss dessen, d^ davon Gebrauch machen soll. Sie ist das (ktgenteil von dem, was die An- kündigung auf dem Umschlag als das Streben des Verfassers bezeichnet Der ZurttckfUhrung der Lehren auf die Erfahmngsgrundlagcn hat sich kaum ein anderes Lehrbuch der Physik in dem Masse aberhoben als das gegenwärtige. Die Sätze, ohne Angabe was daran und wodurch es gesichert ist, werden schlechthin als Resultate, man sieht nicht wovon, aufgestellt. Dies kann natürlich nicht von denjenigen Partien gelten, welche speciell auf Gegenstände neuerer Forschung eingehend die Originalarbeiten auch in der Form der Darstellung benutzen konnten. Die Sorgfalt in der Sicherstellung und die klare Bezeich- nung des Zieles, der man hier begegnet, steht in auffälligem Gegen- satz zur Behandlung der allgemeinen Theorie. H.
Compendium der Experimental-Physik nach Jamin's Petit Trait^ de Physique deutsch bearbeitet von Dr. G. Recknagel, Professor für Physik und techn. Mechanik, Rector der königl. Industrieschule in Kaiserslautern. Stuttgart 1876. Meyer u. Zeller. 875 S.
Das nach dem Erscheinen der ersten Lieferungen zweimal, in den litt Berichten 222. und 225., besprochene Werk ist jetzt vollendet und enthält nun in 7 Abschnitten die Lehre von der Schwere und der Elasticität, der Wärme, der Reibungselektricität, den elektrischen Strömen, dem Magnetismus, dem Schall und dem Lichte. Der Giarak- terisirung des zweiten Abschnitts entsprechen auch ganz die folgenden. In allen Punkten findet man dasselbe correcte Zuwerkegehen : aus- gehend von der unmittelbar aufgefassten Tatsache führt der Vortrag durch das Experiment zur Theorie hin,'' so dass von Anfang bis Ende deutlich wird und sich beständig überschauen lässt, auf welchen Tat- sachen, Annahmen und Bedingungen jede Lehre beruht Das Com- pendium ist daher, hinsichtlich der allein in Betracht kommenden Abschnitte 2. bis 7., denjenigen seltenen Erscheinungen zuzuzählen, welche alle didaktischen Anforderungen in vollem Masse erfüllen.
H.
Schulphysik. Bearbeitet von Albert Trappe, Professor und Prorector an der Realschule am Zwinger zu Breslau. Siebente, ver- besserte und vermehrte Auflage. Mit 250 in den Text gedruckten Abbildungen. Breslau, Ferdinand Hirt 280 S.
Die neue Auflage ist auf dem in den früheren Auflagen ernstlich verfolgten Wege der Emendirung, namentlich im Gebiete der Mechanik, fortgeschritten, und auf einen Standpunkt gelangt, welcher der heuti- gen höheren Schätzung des physikalischen Unterrichts entspricht.
i
lAtterarischer Ben'rht tCXXXVl 46
Die vielen Irrlehren, welche man vor nicht gar langer Zeit noch unter dem Verwände, bei der geringen mathematischen Entwickelungs- stafe der Schüler auf exacte Darstellung verzichten zu müssen, hegte, sind nicht nur beseitigt, sondern es sind auch direct die wichtigsten Sätze ausgesprochen, welche denselben entgegenstehen und zu den richtigen Vorstellungen den Grund legen. Um so mehr als dies hoifeu lässt, dass der Verfasser auch den letzten Rest der alten Irr- lehren gern fallen lassen und methodischen Verbesserungen femer Raum gönnen wird, mag folgendes bemerkt sein. Von der Centri- fugalkraft sagt das Lehrbuch, sie höbe die Centripetalkraft auf. Da- mit steht aber die kreisförmige Bewegung offenbar im Widerspruch; denn bei Null-Kraft kann nur eine geradlinige gleichmässige Bewegung stattfinden. Da die Wirkung der Centripetalkraft allein der Kreis- bewegung entspricht, so folgt, dass die sogenannte Gentrifugalkraft nicht als Kraft in Rechnung kommen darf. Bei deren Einführung hätte der Begriffsverwirrung, der hier durchweg Vorschub geleistet ist, clurch reichliche Aufklärung über den Sachverhalt gewehrt werden müssen. Hieraus erhellt zugleich, wie wenig es genügen kann, wenn das Lehrbuch den Satz aufstellt: Ein bewegter Körper kann nur durch eine Kraft zur Ruhe kommen. Ist es denn so schwer oder überhaupt schwerer den vollständigen Satz zu verstehen, dass jeder Bewe- gungszustand nur durch eine Kraft geändert werden kann, dass Ab- lenkung aus der Richtung, Beschleunigung und Verzögerung stets oiner Kraftwirkung zuzuschreiben ist? Femer wäre in methodischer Beziehung eine deutlichere Scheidung des mathematisch logischen Elements zu wünschen. Vom Parallelogramm der Kräfte, wie über- haupt von priucipiellen Sätzen, verlangt man keinen mathematischen Beweis, sondern klare Entfaltung des Sachverhalts; hier beeinträchtigt es nur die unbefangene Auffassung, wenn man Beweis darüber schreibt und die Meinung erhält, als ob man beweisen wolle, was ja doch nicht geschieht. Dagegen hätte wol die Existenz des Schwerpunkts förmlich bewiesen werden können, da sie eine strenge Folge der vorhergehenden Sätze von Hebel und schiefer Ebene ist Die gegen- wärtige Darstellung lässt es so scheinen, als verstünde sich dieselbe von selbst, was doch nicht d(T Fall ist. H.
Preisaufgaben
der
Fürstlich Jablonowski'schen Gesellschaft
in Leipzig.
IhtlM^matisoh-iiatwwisseMcluiftlielie Sedion.
1. Far das Jahr 1876.
Trotz der meisterhaften Arbeiten Leverrier's ftber die Bewegung des Merkur kann die Theorie dieses Planeten noch nicht als end- gültig abgeschlossen betrachtet werden. Die Gesellschaft wünscht eine ausführliche
Untersuoiiang der die Bewegung des Merkar bestimn&enden Kräfte,
mit Rücksicht auf die vpn Laplace (in derM^canique Celeste), Ton Leverrier (in den Annales djB TObservatoire und den Comptes rendus de TAcad^mie des Sciences), von Hansen (in den Berichten der Kgl. Sachs. Gesellsch. d. W. vom 15. April 1863) und von Wilhelm Weber (vergl. Zöllner über die Natur der Cometen, S. 333) angedeuteten Einwirkungen. Ausser der vollständigen Be- rechnung der Störungen ist eine Vergleichung mit den Beobachtungen unerlässlicb, um zu zeigen, bis zu welchem Grade der Genauigkeit sich die eingehenden Constanten bestimmen lassen. Die Construction von Tafeln zur Ortsberechnung behält sich die Gesellschaft vor zum Gegenstand einer späteren Preisbewerbung zu machen. Preis 7(X) Mark.
2. Für das Jahr 1877.
Der nach Encke benannte und von diesem Astronomen während des Zeitraumes von 1819—1848 sorgfältig untersuchte Comet I, 1819, hat in seiner Bewegung Anomalieen gezeigt, welche zu ihrer Er- klärung auf die Hypothese eines widerstehenden Mittels geführt haben. Da indessen eine genauere Untersuchung der Bahn nur über einen
beschränkten Theil des Zeitraums vorliegt, Aber welchen die Be- obachtungen (seit 1786) sich erstrecken, so ist eine vollständige Neubearbeitung der Bahn des Encke'scben Cometen nm so mehr wünschenswerth, als die bisher untersuchten Bewegungen anderer periodischen Cometen keinen analogen widerstehenden Einfluss ver- rathen haben. Die Gesellschaft wünscht eine solche vollständige Neu- bearbeitung herbeizuführen, und stellt desshalb die Aufgabe:
die Bewegung des Encke'schen Cometen mit Be- rOcksichtigung aller störenden Kräfte, welche von Einfluss sein können, vorläufig wenigstens innerhalb des seit dem Jahre 1848 verflossenen Zeitraums zu untersuchen.
Die ergänzende Bearbeitung für die Mhere Zeit behält sich die (Gesellschaft vor, eventuell zum Gegenstand einer späteren Preis- bewerbnsg zu machen. Preis 700 Mark.
3. Ftlr das Jahr 1878.
Die EntWickelung des reciproken Werthes der Entfernung r zweier Punkte spielt in astronomischen und physikalischen Problemen eine hervorragende Rolle. In der Theorie der Transformation der ellipti- schen Functionen wird die zuerst von Cauchy entdeckte Gleichung bewiesen
wo* 4ffo* 9nä* Hnä*
T
fir* 4;rr» 9yrr* Xtnr^
— 1 + 2« «'+2« «•+2« ^ +2«"" «• ...
in welcher mit RQcksicht auf die zu erzielende Genauigkeit die positive willkürliche Constante a so gross gewählt werden kann, dass die
Exponentialgrösse e ''* vernachlässigt werden darf. Alsdann hat man
^«l+2«""^+2c""^+2e" «• -f...
eine Beihenentwickelnng von ungemein rascher Convergenz. Es steht zu erwarten, dass eine auf die vorstehende Formel gegründete Ent- wickelung der Störungsfnnction in dem Problem der drei Körper sich für die numerische Rechnung als vortheilhaft erweisen werde.
Die ßesollschaft wOnscht eine onter dem angedeu- teten Gesichtspunkte aasgeführte Bearbeitong des Stö- rongsproblems zu erhalten.
Indem sie dem Bearbeiter die Wahl des besonderen Falles über- lässt, in welchem die numerische Anwendbarkeit des Verfahrens ge- zeigt werden soll, setzt sie voraus, dass das gewählte Beispiel hin- länglichen Umfang und Wichtigkeit besitze, um die Tragweite der vorgeschlagenen Methode und ihr Verhältniss zu den bisher ange- wandten hervortreten zu lassen. Preis 700 Mark.
4. Für das Jahr 1879.
Durch die in den Abhandlungen der Kgl. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften von W. Hankel veröffentlichten Untersuchungen ist nachgewiesen worden, dass die Thermoclektricität nicht nur auf den hemimorphen Krystallen auftritt, sondern eine an allen KrystaDen wahrzunehmende Eigenschaft ist, soweit deren krystallinische Structur und materielle Beschaffenheit überhaupt ein Entstehen und Anhäufen der Elektricität bis zu einer durch unsere Instrumente nachweisbaren Stärke gestatten. Die erwähnten Abhandlungen umfassen ausser den hemimorphen Krystallen des Boracites und Quarzes die symmetrisch gebildeten Krystalle des Idokrases, Apophyllits, Kalkspathes, Berylls, Topases, Schwerspathes, Aragonites, Gypses, Diopsids, Orthoklases, Albits und Periklins, und lehren nicht nur die Vertheilung der Elek- tricität auf den in den verschiedenen Formen vollkommen ausgebilde- ten, sondern auch auf den durch Anwachsen und sonstige Hindemisse in ihrer Entwickeluug gehemmten Individuen, sowie auf den Bruch oder Anschlagen der Durchgänge künstlich erzeugten Begrenzungs- flächen kennen. Es scheinen nun unter allen zwischen der Wärme und der Elektricität beobachteteten Beziehungen die thermoelektrischen Erscheinungen am geeignetsten, eine nähere Kenntniss des Zusammen- hanges zwischen den genannten beiden Agenticn zu ermöglichen, und es wird daher von der Fürstlich Jablonowski'schen Gesellschaft für das Jahr 1879 als Preisaufgabe gestellt:
Auf streng physikalische Versuche gestützter Nachweis der Entstehung der auf Krystallen bei steigender und sinkender Temperatur hervor- tretenden Elektricität (Thermoelektricität, Pyroelek- tricität, Krystallelektricität) und der durch Bildungs- hemmnisse oder äussere Verletzungen derselben in der normalen Vertheilung entstehenden Aen- derungen. Preis 700 Mark.
i
Dio anonym einzureichenden Bewerbungsschriften sind, wo nicht die Gesellschaft im besondern Falle ausdrücklich den Gebrauch einer anderen Sprache gestattet, in deutscher, lateinischer oder französischer Sprache zu verfassen , müssen deutlich geschrieben und pagin irt, ferner mit einem Motto verschen und von einem versiegelten Couvert begleitet sein, das auf der Aussenseite das Motto der Arbeit trägt, inwendig den Namen und Wohnort des Verfassers angiebt. Die Zeit der Einsendung endet mit dem 30. November des angegebenen Jahres und die Zusendung ist an den Secretär der Gesellschaft (für das Jahr 1876 Geh. Hofrath Prof Dr. Haukel) zu richten. Die Resultate der Prüfung der eingegangenen Schriften werden durch die Leipziger Zeitung im März oder April des folgen- den Jahres bekannt gemacht
Die gekrönten Bewerbungsschriften werden Eigenthum der Ge- sellschafL
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Mathematische und /»Aysikalische Bibliographie.
cxxxm.
Oesehlehte der Mathematik und Physik«
liiemanD's, B., gesammelte mathemat. Werke u. wiss. Nach- l$8s. Hrsg. V. H. Weber. 8. Leipzig, Teubner. 16 Mk.
St odnicka, F. J., Augustin Coucby als formaler Begrander der petenninanten-Taeorie. 4. Prag, Calve. 2 Mk.
Wild, n., Zum Gedächtniss an M. H. v. Jacobi. 8. Leipzig, Voss, 80 Pf.
Wöckels, L., Geometrie d. Alten in e. Sammig. v. 850 Aa%. 11. Afl. 8. Nürnberg, Korn. 1 Mk. 80 Pf.
Methoden und Principien.
Mo r off, A., d. ersten Sätze der ebenen Geometrie. 8. Hof, Büching. 80 Pf.
Secchi. wA., d. Einheit d. Naturkräfte. 3. Lfg. 8. Leipzig, Frohberg. 3 Mk.
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Frischauf, J., Uebungen zu d. Elementen d. Geometrie. 8. Graz, Leuschner & L. 60 Pf.
Heilermann, H., Lehr- u. Uebungsb. ^. d. Unt in d. MaUie- maük an Gymn., Real- u. Gewerbeschulen. 2. Tbl. 1. Abth. Ebene Geometrie. 2. Afl. 8. Coblenz, Hergt. 75 Pf.
Kahler, H. G., logarithmisch-trigonometr. Handbuch. 13. Asg. 8. Leipzig, Tauchnitz. 3 Mk.
Köster, T. E., Material f. d. Unt. in d. Arithmetik u. Algebra. 3. Afl. 8. Oldenburg, Schmidt. 2 Mk. 50 Pf.
Mehl er, F. G., Hauptsätze d. Elementar-Mathematik. 8. Afl. 8. Berlin, G. Reimer. 1 Mk. 50 Pf.
Teil LI
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