| | IB QG & » “ — à “4 — < 5 à SAN DA FF) LN À ‘ _ c \ NE ard GET) rn GE eptenb1399 |) INMER WeGibson-lave =! H a. 2, = a a ARCHIVES DU MUSÉE TEYLER Série II, Volume X. LIBRARY NEW YORK BOTANICAL GARDEN. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1907. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULTZE. TAN UP BL RO LA UT Ent IE) ur, Dy, en TABLE DES MATIÈRES. Avis. RUE NEW YORK Fondation de M. P. TryLer vAN DER Hurst à Haarlem. BOTANICAL Programm der Teylerschen Theologischen Gesellschaft für das Jahr 1907. GARDEN Programma van Teylers Tweede Genootschap voor het jaar 1907. Surfaces de révolution à courbure moyenne constante, par Z. P. Bouman. Pag. 1 Les courbes de plissement et leur point double chez les mélanges de substances normales, dans le cas que les volumes moléculaires sont uus Er AB Ie MAAG Ted eos pute “219 L’expression pour le potentiel moléculaire des composantes d’un mélange binaire normale, dans l’état liquide, par J. J. van LAAR............ „ 45 L'âge des différentes assises englobées dans la série du ,Forest-bed” DUMP Cromoneny pars EUR DUBOIS... 22 -..... se ee eek fe esse seen 59 Études sur les eaux souterraines des Pays-Bas, par Eus. Dupois...... D La charge de contact entre une paroi poreuse et des solutions salines, mar ES APE AM EE M D PE DO D MO RO EU ws Sur l’allure des courbes de plissement chez les mélanges de substances normales, et les équilibres possibles entre une phase gazeuze et une ou deux phases liquides, par J. J. VAN LAAR...................... „ 109 La pluralité des périodes glaciaires dans les dépôts pleistocènes et Pliodènessdes. Pays-Bas: pat Bua DUBOIS. cn. leeren names oes 108 Expérience de culture à l'ombre faite avec du tabac de Déli sur la côte orientale de Sumatra, par le Dr. F. W. T. HUNGER. ............... „33 Points singuliers des courbes gauches données par les équations: gst ysl e=8 "TT par W. A. VERSLUIS. oan. „ 253 Sur la réduction d’un système quelconque de forces dans l’espace Fy ava wabre dimensions par Be He SCHOUTEN names esse oly ee ce » 9367 Recherches sur la circulation du sang, par J. L. Hoorwea............ „ 9381 La charge de contact entre une paroi poreuse et des solutions salines, BEER ONGDERS VIN ss aise eau eee elite les choisie nie dicton o a ara „ 433 Sur quelle échelle s’accomplit le phénomène du transport atmosphérique GOPRÉIRAAN SNA Der: Ber dis à cle ne ste co see e „461 TNT ù j ny rie REBT: LT in NU NC a! Tr bee Et rl dee NT un La hos any: 4 LAN oe wijk add ee can ring ob): i ' NER 1 Las an Br | Da +! NES ARCHIVES DU MUSÉE TEYLER SERIE IN WOL. X. Première partie. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1905. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. LIBRARY AS. NEW YORK BOTANICAL GARDEN. En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire de la fondation Teyler a l'honneur d'informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l'indique déjà leur titre, contiendront d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l’usage. En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur. Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881, APR 25 1906 f i 7 i Bl; ik i vil oA) Barbera a kh brug Mea ni era be Vi { AR Ha: "ae c ' + ‘ RE 8 : 4 — ihr u L à : 8 2 ~ B Vor aken heek à 8 . 4 & ee A C en , R M i 4 y Fr à: an a 4 4 - > { rr : À ers ‘ - == 7 5 ie i f 4 A Ë my 4 8 u i | ¥ Pt à el x we . ra 7 ad ae d { | i be CH 4 I i ro | ia i i f 1 { Tan N Kama! ni fi i bs 19? ae ET LIT RATE TE EI FE ER bath ae ee Tee | A r fi > TOTAL Bir NAME D shit A y Pur en Uvit. POLAR PROGRAMM DER TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT ZU HAARLEM, für das Jahr 1906. Die Direktoren der TEYLERSCHEN STIFTUNG und die Mitglieder der TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT haben in der Sit- zung vom 18. Oktober 1905 ihr Urteil abgegeben über die Arbeit, die sie erhalten haben als Antwort auf die Frage: „Die Gesellschaft verlangt eine Antwort auf die Frage: Welche Rolle hat das Luthertum gespielt im Niederländischen Protestantismus vor 1618: welchen Einfluss haben Luther und die deutsche Reformation auf die Niederlande und auf Niederländer geübt und wie ist es zu erklären, dass diese Richtung gegenüber ande- ren in den Hintergrund getreten ist?” Der holländisch geschriebenen Arbeit, die das Motto trägt: „non omnia possumus omnes” kann der Preis nicht zuerkannt werden. Sie enthält grösstenteils bekannte Dinge über die ersten Jahre der Reformation in den Niederlanden und über die alten Reformierten, wofür zumeist einige mehr oder weniger populäre Schriften als Quellen gedient haben. Von dem niederländischen Luthertum des 16 Jahrhunderts weiss der Verfasser nur sehr wenig. Eine historische Untersuchung wird nicht geführt. Von manchen sehr bekannten Schriften und Tatsachen hat der Ver- fasser offenbar nie gehört. Dass darum die sonderbarsten Versehen mitunterlaufen, ist nicht zu verwundern. Die „philosophische” Erklärung, die der Verfasser vom Rückgang des Luthertums gibt (die Superiorität des Calvinismus) ist wahrlich nicht von der Art, dass sie all’ diese Gebrechen wieder gut machen könnte. Ungünstig lautet auch das Urteil über zwei holländisch geschrie- benen Arbeiten, die eingesandt worden waren als Antwort auf die Frage: „Die Gesellschaft verlangt eine Abhandlung über die Entstehung der jüdischen Synagoge und ihre Geschichte bis zur Zeit von Akiba”. Die eine Arbeit, unter dem Motto: „Gottlos denkt, wer ge- schichtslos denkt”, ist nicht unverdienstlich, was die Form betrifft. Dagegen befriedigt der Inhalt nicht. Der erste Teil besteht aus einer breiten, lauter bekannte Dinge enthaltenden historischen Einleitung, bei der sich häufig die Frage aufdrängt, was die Auseinandersetzung doch eigentlich mit dem Thema zu schaffen hat. Zudem begeht der Verfasser den Fehler, die Synagoge sofort ohne genügende Motivierung aufzufassen als eine geistige Strömung oder Richtung im Judentum. Der Entstehung der Synagoge als Institut wird im zweiten Teil eine kurze Untersuchung gewidmet, die indessen sehr unzureichend ist. Der Verfasser dringt in das Problem durchaus nicht ein. In den übrigen Kapiteln des zweiten Teils versucht der Verfasser den Einfluss der Synagoge zu schil- dern. Aber auch hier bleibt er beim Allgemeinen und Bekannten stehen. So wird man vornehmlich wenig befriedigt von Kap. VI: die Synagoge in der Diaspora, wovon ein viel lebendigeres und reicheres Bild hätte gegeben werden können. Die ganze Arbeit ist wenig mehr als Kompilation, bringt uns in keiner Hinsicht weiter und kann darum nicht mit dem Preise gekrönt werden. Wissenschaftlich höher steht die zweite Arbeit mit dem Motto aus Zunz’ gottesdienstlichen Vorträgen: „Der öffentliche Gottesdienst der Synagoge ward das Panier jüdischer Nationalität, die Aegide des jüdischen Glaubens’. Der Verfasser hat begriffen, worauf es bei der Beantwortung dieser Preisfrage ankommt. Er widmet der Frage nach dem Aufkommen der Synagoge eine ernstliche Unter- suchung. Doch kann auch diese Arbeit auf den Preis keinen Anspruch machen. Dafür trägt sie zu sehr die Spuren der Über- eilung an sich. Der Verfasser, verfällt fortwährend in Wieder- holungen, die Erörterung ist öfters verwirrt, die Argumente sind häufig schwach. Auch ist der Stil schlecht und die Sprache äusserst fehlerhaft. Zudem kommt die Geschichte der Synagoge entschieden zu kurz. Ausgeschrieben sind noch die folgenden Preisfragen: 1. Zur Beantwortung vor 1. Januar 1906: „Die Gesellschaft verlangt eine Geschichte der eschatologischen Vorstellungen innerhalb der Grenzen des Neuen Testaments.” 2. Zur Beantwortung vor 1. Januar 1907: „Wie verhält sich der Calvinismus unserer Tage zu dem des 16. Jahrhunderts hinsichtlich seiner Lehren?’ 3. Die neue Preisfrage zur Beantwortung vor 1. Januar 1908 lautet: „Was ergibt sich aus den Schriften des Eras- mus über seine theoretische und praktische Stellung zur Religion?” Der Preis besteht in einer goldenen Medaille von f 400 an innerem Wert, die ausgehändigt wird, sobald die gekrönte Arbeit druckfertig vorliegt. Man kann sich bei der Beantwortung des Holländischen, La- teinischen, Französischen, Englischen oder Deutschen (nur mit Lateinischer Schrift) bedienen. Auch müssen die Antworten voll- ständig eingesandt werden, da keine unvollständige zur Preis- bewerbung zugelassen wird. Alle eingesandten Antworten fallen der Gesellschaft als Eigentum anheim, welche die gekrönten, mit oder ohne Uebersetzung, unter ihre Werke aufnimmt, sodass die Verfasser sie nicht ohne Erlaubnis der Stiftung herausgeben dürfen. Auch behält die Gesellschaft sich vor, von den nicht mit dem Preis gekrönten nach Gutfinden Gebrauch zu machen, mit oder ohne Vermeldung des Namens der Verfasser, doch im ersteren Falle nicht ohne ihre Bewilligung. Auch können die Einsender nicht anders Abschriften ihrer Antworten bekommen als auf ihre Kosten. Die Antworten müssen nebst einem versie- gelten Namenszettel, mit einem Denkspruch versehen, eingesandt werden an die Adresse: „Fundatiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST, te Haarlem.” TABLE DES MATIÈRES. Surfaces de révolution à courbure moyenne constante, par Z. P. BouMAN. Les courbes de plissement et leur point double chez les mélanges de substances normales, dans le cas que les volumes moléculaires sont inégaux, par J. J. VAN LAAR. L'expression pour le potentiel moléculaire des composantes d'un mélange binaire normale, dans l’état liquide, par J. J. vAN LAAR. L'âge des différentes assises englobées dans la série du ,Forest-bed” ou le Cromerien, par Eu. Dusors. 4 ae . Bee end he | un u { 5 3 J N th Fr ia 1 ety DATE A fi Fk ite u RE LE if 3 aai AN Do ES CE TU | RU UT A 1 3 à à r = + i re ak lv) 4 ofer ke ¢ ar ER F SPT Re ULE AE NT pees | | D A D x ur hire LUE ear pet tages HE re Td Pek 3 f B EN AS ‘ N ‘ il Br . 4 fi P \ [> er MA err A 3 sa En Werner. ti wr x bi À Ute Ast? ki Eil a [ERBE ME ic | a A \ 7 SON Les. Es Bersee nie grutte YANN u le GOT old REE IM eo a" til, u st = | Pott aly FONDATION P. TEYLER VAN DER HULST. A HAARLEM. Directeurs. A. HERDINGH. Es Br ZO CER: P. LOOSJES. Mr. A. W. THÔNE. Jee VEANEO ORDE: Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Trésorier. P. DROSTE. Conservateur du Cabinet de Physique. Dr. E. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. G. C. W. BOHNENSIEG. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. H. J. SCHOLTEN. Conservateur du cabinet numismatique. Jhr. H. M. RIDDER BARONET SPEELMAN. MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES. De la première Société ou Société de théologie. Prof. Dr. S. CRAMER. Prof. Dr. L J. DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VOLTER. Dr. A. C. DUKER. Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Société. Dr. B. VAN DER VEN. H. J. SCHOLTEN. J°. DE VRIES, Prof. Dr. HUGO DE VRIES. 2702 Dre PIB EORS Dr. H. J. DE DOMPIERRE DE CHAUFEPIE. SURFACES DE RÉVOLUTION À COURBURE MOYENNE CONSTANTE PAR Z. P. BOUMAN. Dans la „Differentialgeometrie” de Luigi Bianchi (traduction allemande de M. Luxar) les surfaces de révolution à courbure moyenne constante ont été traitées à la page 190 et suivantes, et les trois types de surfaces de révolution pseudosphériques y sont longuement discutées. A ma connaissance, il n’a pas encore été fait jusqu'ici d'étude approfondie sur les surfaces de révolution à courbure moyenne constante. Cependant, celles ei ont certaine- ment une grande importance, parce qu’on peut facilement les rendre visibles. L'on sait que le physicien Plateau a réussi à les engendrer dans ses ingénieuses expériences avec des figures à l’huile dans une solution d’alcool, et l’on peut apprendre plus de détails sur ce point dans ses mémoires !) sur ce sujet. Il déduit aussi de considérations purement géometriques ?) la forme mathématique probable de ces surfaces de révolution. Un examen analytique sur ce sujet présente sans doute un certain intérêt, car ce n’est que par cette voie qu’on peut établir une concordance mathéma- tique entre les expériences et la théorie. Terquem *) donne une description d'expériences qu’il a faites sur les surfaces de révolution précitées, qu'il produisait au moyen de lamelles de savon entre deux cylindres d'égale grandeur, 1) Parus dans Pogg. Ann. etc. 2) Pogg. Ann., CVII. 3) Terquem: Sur les surfaces de révolution, limitant les liquides, dénués de pesanteur; C. R, T. 92, pag. 407. ARCHIVES X. 1 > SURFACES DE REVOLUTION A parallèles, placés normalement sur le même axe (fig. 1) et dont les ouvertures se faisaient face. Le cylindre inférieur était fermé du côté inférieur, le cylindre supérieur à sa partie supérieure. Au moyen d’un tube (a) il pouvait y insuffler ou en aspirer de Yair. Dans une plaque qui ferme le cylindre inférieur, une ouver- ture (b) avait été pratiquée qui pouvait être fermée au moyen d’une lamelle de savon. On peut juger par la forme de cette lamelle de la pression exercée dans l’intérieur des cylindres. Le résultat principal de ses a expériences consiste à mon avis dans la démonstration physique que, lorsque le tube (a) est ouvert — de facon que la surface de révolution devient une sur- face minima — la distance des deux cylindres ne peut pas dépas- ser une certaine valeur critique. Il trouve que cette valeur est égale à 0,6627... du diamètre du cylindre. Ce résultat et d’autres SEN Cig Be pareils ont été mathématique- ment démontrés pour la première fois par LiNbELôr !). (lerquem fait aussi la remarque que, lorsque la distance des cylindres est plus petite que la distance critique, il y a deux surfaces minima, tout au moins deux surfaces possédant une courbure moyenne zéro. Cependant une des deux seulement est une surface minima réelle, l’autre satisfait, il est vrai, à l'équation différentielle des surfaces minima, mais elle n’a pas, étant donnés les deux anneaux, la surface le plus petite possible). Pour le cas général que les cylindres n’ont pas le même diamètre ceci a été pleinement démontré par Hancock ?); pour des cylindres à diamètre égal, cela se démontre très facilement. L'on n’a qu'à poser les équations = M cosh v cos w y=m cosh v sin w FTD. 1) Linperör: Sur les limites, entre lesquelles le caténoide est une surf-min.; Act. Soc. Sc. Fenn., T. IX, 1871. *) Annals of Mathematics (Virginia), X. Cylindre inférieur COURBURE MOYENNE CONSTANTE, 3 pour les surfaces de révolution du eaténoïde, tournant autour de l'axe Z comme directrice. Si l'on examine, à la façon ordinaire, l'enveloppe de la courbe méridienne r=l a@aTty?=mcoshv, 2= mv l'on trouve deux lignes droites qui passent par l’origine des coor- o Le) R Fra. 2. données (RZ), tandis que la tangente de l'angle que ces droites forment avec l'axe R, est déterminée par l'équation LES =) ı + LR Ld 1% a a où « indique la tangente. On vérifie aisément que « = 0,6627 sa- tisfait d’une façon très approximative à cette équation transcendante. Si nous tirons (fig. II) les deux droites, que j’appellerai, pour 1* Cylindre supérieur 4 SURFACES DE REVOLUTION à la concision, les lignes « — l’on verra aisément que deux surfaces de révolution du caténoïde sont possibles, lorsque la distance des cylindres est plus petite que «x du diamètre du cylindre Les deux courbes méridiennes doivent toucher les droites. Si la distance des cylindres est juste 0,6627 ....x du diamètre, les deux surfaces de révolution coincident. Que seulement la surface extérieure des deux surfaces minima figurées est une surface minima, c’est ce qu'on peut déduire d’un théorème de Linperür, ce qui a déjà été démontré par Hancock. Lorsque la distance des cylindres est suffisamment petite, il est possible de produire deux surfaces de courbure moyenne zéro (ce qui est impossible, si la distance est trop grande). Terquem !) a démontré expérimentalement à quelles conditions sont soumises la formation et l’existence de la surface minima intérieure, et de plus, il a réussi à produire des surfaces de révolution qui peuvent se former entre les deux surfaces à courbure zéro et des deux côtés de ces surfaces. Ce sont respectivement les surfaces de révo- lution à courbure moyenne négative et positive. Si la distance des cylindres est juste 0,6627 x du diamètre, des surfaces à courbure moyenne négative ne sont pas possibles; si la distance est encore plus grande, des surfaces à courbure moyenne positive sont seulement possibles, dont 1 une a la courbure la plus petite possible. Terquem promet d'étudier la question plus à fond mathématiquement et expérimentalement, mais c’est en somme tout ce qu'il a dit à ce sujet. Je m'étais déjà autrefois occupé de cette question et j'avais fait des expériences à peu près semblables à celles de Terquem (d’ail- leurs sans avoir eu connaissance de son traité), et je trouvais la confirmation de ses résultats. Mais afin de pouvoir discuter à fond les résultats, je me vis forcé d'établir mathématiquement la forme des surfaces de révolution dans les cas de courbure moyenne positive et négative. Dans le présent traité j'ai voulu exposer la partie purement mathématique, c'est à dire la déduction des équations pour les surfaces en question et la forme des courbes méridiennes qui en résultent. On peut obtenir de différentes manières la forme de l'élément linéaire des surfaces ci-dessus mentionnées et leur représentation sphérique. En m’inspirant du livre déjà cité de Bianchi, voici la voie que j'ai prise. Ilse: COURBURE MOYENNE CONSTANTE. 5 Bianchi démontre la proposition suivante: le carré de l'élément linéaire d’une surface W, exprimé dans les coordonnées curvilignes (u, v), peut être réduit à la forme N du? dv? ds? = — + [Rtn (1602 (7) où ? est une fonction de w et v Les rayons de courbure principaux de la surface W sont alors représentés par les équations: 1 =0(B), ———=0(8) — BA (A). 2 1 Nous adoptons de plus le thöor&me bien connu de Bonnet- Darboux que les lignes de eourbure pour les surfaces ä courbure moyenne constante sont isothermes. Si nous nous représentons u et v comme les paramètres isométriques et si nous posons que 1 1 = + — ri i, =H, ou H représente la courbure moyenne constante, alors 29—- PO =H done 29—=0C/?+H (C constante d'intégration) et een Pris sur des paramètres isométriques, il faut que p=? (P) done C=1 done 20=p:F Het «= et alors on trouve tout de suite eend 1 1 A ae ge pe aay ong Sieg AR 1 ET D= Le pi pr sr pa FL are Pl D na ) 1 Bld pa BE Ged HD AAA où E, F, G, e, f, g, D, D et D’ sont les symboles de Gauss. 6 SURFACES DE REVOLUTION à Je dois tout de suite appeler l'attention sur un simple théorème, à savoir: e—g—H done: Si l’on prend une surface à courbure moyenne constante H sur les coordonnées isométriques des lignes de courbure, les deux coefficients e et g de la représentation sphérique présentent la dif- férence constante H. Pour les surfaces minima, il en résulte la condition connue e=g; de plus, l’on trouve facilement: (Hr, — 1)? | ea te, ORNE JET A Hr? — 2r, Le théorème mentionné ci-dessus nous porte à essayer de réduire l'élément linéaire de la sphère à une forme telle que les deux coefficients accusent la différence nommée. Si nous prenons les points d’une sphère, suivant la méthode ordinaire, sur les coordonnées w (azimuth) et @ (distance polaire), nous obtenons alors ds? = sin? 9. do? + dQ?. Veut-on réduire cette forme à ds? = e du? + g dv? où e—g =H, et si l’on pose 6 = @ (u,v), w = w (u,v) l’on arrive aux conditions: d() RIO) dw A - — + sin? Ce | Sur ov ou (2) + sin? haken Sn sin? Ol — ov De ces équations l’on déduit les deux équations simultanées Ee 0 odes dw dw ov ou ~ Ov ow ee dias at Ces deux équations simultanées ne peuvent étre résolues. On peut d’ailleurs facilement déduire l’équation, qui satisfait à la COURBURE MOYENNE CONSTANTE. 7 fonction @. A cet effet, on multiplie la première des deux équations par i1(=l—1), on y ajoute et en soustrait respectivement la seconde; l’on trouve: ar de dw \? 20 20 \° sin? O\— +1 + + — 51 ou UV au ov Jw d0 „0 sin? al = a & N — al, m Mtb ms: x 5 dw do dw do De là on résout la valeur de — +1 — et de ——ı Ou IV ou ov ; eee da pese 5 > : et Von trouve ainsi =, et Te Si l’on introduit maintenant la condition d’intégrabilité, l’on obtient alors l’équation en question pour 9. Seulement elle est de nature si compliquée que je m’abstiens de l'écrire ici. Dans le cas de surfaces de révolution des résultats sont plus faciles à démontrer Alors @ et w ne sont respectivement que des fénctions d’un des deux paramètres u et v. Nous posons ozo (v) À Dee) (u), 9 AAT ow 3 9 NE] 9 done ds? = sin? @ eae dv? + i N du? dv ÒU De plus nous avons trouvé kg ee ie I gedient ik DE Oe IE Hr —2r, Dr, — Hr; Im Hr — Br, 2, — Hr 1 1 1 1 Si = 0, nous trouvons: e= =— = — =— = = = Si H , nous ns: € dr. or, et g Dr, or, Si nous nous rappelons la forme du caténoïde (courbe méri- dienne des surfaces de révolution minima), et si, dès maintenant, nous admettons qu'un rayon de courbure doit être pris positif, lorsqu'il se trouve situé du côté de l’axe de révolution, alors il est évident que r, doit être pris égal au rayon, lequel correspond aux lignes de courbure 9= const. ou w = const. Si done nous posons ds? =e dv? + g du? et e—g =H, lors il faut = sin? (>) = (7) alors il faut que e—sin* ON) » 9 \ zu 8 SURFACES DE RÉVOLUTION à he ey Ey ne DON) N ): Pour satisfaire à cette équation, l'on doit poser dw } =) (5 “\'= C? et C2 sin? Oo —H= 5) où C signifie une constante. De plus nous avons et par conséquent 1 : e= Ir = Hr 5 = CP sin © (6) d’où nous concluons tred DARE of mm Gil 1 Steen ER er I ang” =y+ emo ee 1 1 | @ sin O Fn FE er H OA HA1/Csin 0 - H # VY it CE Comme nous le montrerons ci-bas, les courbes se répétent pé- riodiquement le long de l’axe Z, de sorte que l’on a toujours af- faire à un cercle de gorge plus ou moins étroit ou large. Si, pour comprendre facilement les surfaces minima dans notre examen, nous plaçons l’origine des coordonnées dans le centre du plus petit cercle de gorge, l’on doit naturellement choisir le signe inférieur dans nos dernières formules. (Pour H =0 l’on trouve d’après la methode usuelle: 4 1 20? sin?Q@ "17720 sin? © tandis que sas dOr C? sin? o=( ) aU Pour obtenir toutes les surfaces minima, l’on doit varier C* de 1 0 jusqu’à w). Il n’est pas difficile d'exprimer les x, y et z (coordonnées car- tésiennes) en u et v. 1) Il va sans dire, que f—0, et ne présente pas de nouvelles conditions. COURBURE MOYENNE CONSTANTE 9 an ’ . . Si l’on pose, ce qui est permis pour les surfaces de révolution : x = f (A) cos w y =f (A) sin w z=f;, (0) où 9=09(W) et w = Ch, PORN RER : ls alors E=s3 = Me Gans et de plus Æ =er? = C2 sin? or Q % t/ 9 9 à () À G=s (a tre +38) et de plus G= gr? Ò U ne I sla = IN mmm = . » Ci 2 . AR RIO) 2 (Si Pon applique ici l’équation C° sin? 9 — mls ) et si l'on ou introduit les valeurs de r, et r, l’on trouve H= G), Des équations ci-dessus l’on déduit pour la determination de fet fs f=rsn 0 ou f=r, sing 19 ERA) NES . then u f=rsmo L’on trouve cette dernière équation à l’aide de f=r, sing et en tenant bien compte des valeurs de r, et r,. Nous prenons de plus le complément % (la hauteur) de la dis- . 2 A 1 tance polaire 6, alors 9 est égal à DB f, et nos équations pren- DON? nent la forme suivante: L’équation C? sin 9 — H = € OU pour la détermination de © comme fonction de u devient a SEN. C2 cos? p — H = ou done OE Hdu= 2 Wi — = Ee sin? p C2 — H C2 Si nous posons: D k? alors l’on trouve: C dep p= NE He @_H sin? p ARCHIVES X. 2 10 SURFACES DE RÉVOLUTION à De plus nous posons u, el ag done k 02 =f OU P— am. u (x: == =>) =f RE HS ; C?—H Les fonctions f, et f peuvent s’exprimer facilement par le seul A paramètre w,. 5 ; sin I 1 st Nous avons: f=r, sin 0 = TER ST LC? sin? 9 — H 1 En dn u, BEN TEN ats sin O Ri 1 Csin? 0 Ro on ae sin? © — H ou of, __ cos p 1 00829 Op TD SEN er C “(Pp cos? p dp DUN an =p VA SCT 8 00 0 | 1 — DFE :) sun” p On en déduit 5 1 ke 1 I =— SER SNU, + 77 UW) + Te 2 (u) ou Z (u,) =? k? sn? u, du, Nous pouvons maintenant exprimer facilement les a, y et z. Dans la suite, nous considérerons simplement f, et f comme les coordonnées de la courbe méridienne, afin de pouvoir examiner de plus près la forme de cette courbe. (Fig. III.) COURBURE MOYENNE CONSTANTE. 11 Comme p.e. la valeur de f dépend seulement d’intégrales ellip- tiques, celle-là prend la même valeur, après des périodes déterminées, u,=4K+4K V=1 (A. pos) u,= 3K+3K’V- u,=2K+2K'V- 7 de révolution): zt Ans | f=7 - facilement et nous trouvons: RR FA FRET 1 kH Le signe de dn varie deux fois aussi vite que celui de en, et nous obtiendrons par consé- quent pour f une valeur maximum et minimum. Nous posons l’axe f, là où f a la plus petite valeur, et nous de- vons alors choisir dans la formule pour f le sig- ne inférieur, et comme con- séquenceaussi le signe infé- rieur pour f}- Nous trou- vons facilement pour u, =0 (p=0, ou 9 = 90°, la normale à la surface est perpendiculaire à l’axe Pour u, =0 f est le rayon du cercle de gorge que nous représentons dès maintenant par m pour nous orienter plus 12 SURFACES DE REVOLUTION à fire Lil >> A : Ce ; u H de plus k? = gr St pas conséquent = neme par conséquent k d’où nous pouvons tirer la conclusion remarquable m2 < Avant de procéder à la discussion détaillée des formules trou- vées, il est souhaitable d'examiner les diverses valeurs du module k dans les divers cas, où MH =0, est positif ou négatif. Au moyen me 1 ‘ de Végalité k = ,——,,— l’on trouve le tableau suivant: 1— Hm H positif (OS Hm<1): k a toutes les valeurs de + 1 jusqu’à + oo H positif (1< Hm< 2): k a toutes les valeurs de— 1 jusqu’à — oo H négatif k a toutes les valeurs de O0 jusqu'à 1 JE ==) Mal, Comme il s’agit de trouver la valeur de k?, le tableau se réduit à H positif (Hm<2) k? entre 1 et @ (k?>1) H negatif k? entre 0 et 1 (O< k? <1) H=0 2 Si l’on veut calculer numériquement f et f, dans les divers cas au moyen des tables de Legendre, afin que l’on puisse tracer et construire les diverses surfaces, l’on écrit: 19 nesatif, ke. sey 1 rk? cos? A - Ja == BER sin Pp == EI Td p A pp = 1 = ke sin? p ou ae an: | d p Al = go gr laeta) 49 de: 1 1 k de plus k = Pen (voyez plus haut), done ES — i par conséquent i a d \ P= — 5 sin p + m (k + ee ae re [49 dy tandisque = | COURBURE MOYENNE CONSTANTE. i II°. H positif, k? > 1. Nous posons k sing = sin y !) done 4 p = cos y aye cosy dw et trouvons facilement dp = en rer k 1 — 75 sin? y 3 dp _ dp dy one Ar SS Ap cos y 1 k iA 1— ,, sin? y k: 7 ; > : ] Si nous introduisons k, = He donc | k, | u, dp k, dw k, dy alors = SS ns Ip 11 — ki? sin? y A, y où V1 — kf sin? y = 4, y. De plus, après quelques calculs faciles, nous obtenons helde 1 Ten han k, À p.dp = À, w.dy et enfin, après substitution des valeurs obtenues ainsi mk, m = — sin y — I,vd en : er pe. ae J pee OO es da | Dans les formules A et B, k respect k,, sont plus petits que 1, et les tables bien connues de Legendre sont applicables aux diverses valeurs de arc sin k (ou aresin k,) et w. Hr = O0, bk Si nous posons k =1 dans les formules A par exemple, celles-ci prennent la valeur oc — oo. Après examen ordinaire nous trouvons: k cos p — Ap m Se cer fi = ml.ig (45. + Lo). Si nous posons l.tg (45 +4y)=p, ou tg(45+4¢9) =e” alors nous avons: — en en + i 1) En agissant ainsi, je m’autorise de Lb“ 1—k? sin? 9, où k? sin? p <1. 14 SURFACES DE RÉVOLUTION Ä donc Ge LT = ame Mi cosh.p, f, =m.p les équations connues du caténoide. Les équations B donnent le même résultat. Les formules ci-dessus permettent de construire point par point la courbe, pour chaque valeur de H et de m, le module étant donné. Si nous voulons maintenant indiquer la forme générale des deux courbes (H positif et H négatif) nous procédons de la façon la plus pratique de cette manière: Nous groupons ensemble les formules obtenues ci-dessus À 1 k lue J, = Fy MU, + gu 77 Zu) nu 1 = Fy U pg nu: ; : il que nous transformons au moyen de l’ögalite k= Tema AE el TN, 4 m Tan as], U, — ri Z(u,) m et lern en U, Sn Uy. 1°. A négatif, 01. Si l’on veut donner des valeurs déterminées à k, l’on doit se reporter aux formules A et B; le cas k? =o p.e. se résout alors facilement, car l’on a k, =0 lequel accuse tout de suite la forme cylindrique. Cependant nous pouvons facilement déterminer la forme générale de la courbe, sans effectuer le changement de ken k,. Comme k?>1, la période de f et des membres periodiquement e’(u;) e (w‚) De plus nous avons ici comme ci-dessus variables de f, (sn u, et ) est ici 4K +4 K117 — 1. df en Uy df ~ mu, Comme on le sait, l’on a mu, =0 pour u, =0 et u, = 2K + un + 2 K°17 — 1, done =o pour ces valeurs de u,. df Mais enw, ne peut pas devenir zéro, mais atteint un minimum quand — sn? u, .dnu, — en? u,.dnu, =9 ou dnu, =0 ce qui est seulement possible lorsque wu, = K + K717— 1 ou USK UN lei se Nous trouvons facilement pour ces minima In oz Kva, qu'a =K + KT ete COURBURE MOYENNE CONSTANTE. 17 Cette valeur n’est pas imaginaire, car k? >1, et c'est pourquoi k =1/1= 7% est imaginaire, done # 1/1 a une signification réelle. De plus me df — KL end ed PRES An Ana Hm) Ceci d met (eyli ho r Am = 2 (sphér eci donne pour Am=1 (cy ze =o , pour Hm=2(sph£ere) d 2 tT — 0 comme minimum. df Si de plus nous nous rappelons les formules données ci-dessus De af: à À af, £ ‘ À —_l et — alors l’on voit que — ne peut jamais dev pour Ju, ous Lo p j devenir zéro et que la courbe va toujours en s’ölevant parallèle à l’axe F1. Pouru, =4K +4K’ı 7 — 1, f a la même valeur que pour u, = 0. et UN . £ Pour, = 2K 4 2.Ko = 7, sy, atteint la valeur zéro comme c 1 pour w, —0 et u=4K+4K’ı 7-1; dans le premier cas f a une valeur maximum, dans les deux derniers cas une valeur mi- nimum. Les valeurs elles mêmes sont faciles à écrire. L'on peut aussi démontrer facilement que la valeur de f lorsque uw, =K + Kk’ —1 (ou wu, =3 K + 3 K’ /—1}) forme la moyenne géometrique entre les valeurs de f pour u, = 0 et u, =2K+ +2Kı rt}. La valeur de f, pour wu, =2K+2K’ı [71] est la moyenne arithmétique entre la valeur de f,, lorsque wu, = K + K’1/=1et la valeur de f,, lorsque u, =3K+3Kı 1. La forme générale de la courbe pour H positif est aussi repré- sentée par la figure 3. Cette courbe a été nommée par Plateau Onduloïde. Il sera assez superflu de dire que pour H negatif la courbe se répète pour les valeurs de w, plus grandes que 4 K, et la même chose a lieu pour H positif, pour les valeurs de u, plus grandes que 4 K + 4 K°17- 1. ARCHIVES X. 3 M I I a ites | à Ai) ie HO EP id ptt ‘ HET IRL ie PN, i "A =m “A a iif fi, 1 1 | i A til Mid PE i sr) win tele eus yal) ien MIR) ut ol |) dea he ele watt in ur ann Al ke ire wiih bg Orta ah vee. ol > \ = u | tal DL, | doit citi: af Karl sepa nr coh wgn 3 we Eee 2 ick ul WD solar u RE = ; E ‘ voeg. dice VE M aT ae bl LAS AN PEER ee er 7! LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, DANS LE CAS QUE LES VOLUMES MOLECULAIRES SONT INEGAUX PAR J. J. VAN LAAR. Sl, Dans un Mémoire antérieur ') j'ai fait voir, que l’équation de la courbe de plissement, savoir a (1 — x) 9 [A — 2x) v — 3x (1 — x) FT + “a. (v —b)° EED END Nn LI ETE COR ZI PARA IE AET ETR SE ET WEITET [Br (1 —2) a@— fra) + a (w — b) (v — 3b)] = à „= (1) RT= 5 Le (1 — x) 62 +a(w— b)?] où Q=av— Plraa=ı a, —a, et f=b,—b,, donne lieu à deux courbes distinctes (voir la planche, fig. 1 et 2). Lorsque le rapport des deux températures critiques dépasse une certaine limite, on aura le cas de la fig. 1, où l’une des deux courbes C,A va de la température critique la plus basse C, au point A, où _T=0, v—=b,x—=0; tandis que l’autre va de la température critique la plus élevée C, jusqu'à la troisième” température critique C,, où v=b, tandis que les valeurs de T et de x dépendant des équations (1). 1) Voir V. K. A. v. W. Amsterdam du 7 Juin 1905, p. 14—29. La déduction de l'équation de la courbe de plissement est donné dans les V. K. A. v. W. du 5 Avril 1905, p. 685—696. ARCHIVES X. 4 90 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE Lorsque au contraire le rapport des deux températures critiques est au dessous de la limite mentionnée, on aura le cas de la fig. 2, où on aura les deux courbes C,C, et C,A. Dans le cas-limite, où les deux cas se confondent, on aura un point double P. Or, nous avons calculé les données diverses des deux courbes de plissement dans les deux eas, et les données du point double, seulement dans la supposition simplificatrice que /? serait = 0, e-à-d. que db, = 6,; et on verra facilement, que le cours des lignes de plissement sera modifié seulement quantitativement, et non qualitativement, quand / n’est pas = 0. Egalement les don- nées du point double subiront dans ce cas plus général une modification plus ou moins forte. Ce sera le but de l'étude suivant de déduire les valeurs des coürdonnées du point double P dans le cas le plus général. Alors nous saurons en méme temps pour tous les cas possibles le rap- port des deux températures critiques, où aura lieu la transition des deux cas, représentées dans les figg. 1 et 2 du Mémoire cité, de sorte que nous pourrons prédire pour une valeur quel- conque du rapport nommé, si l'un on l’autre des deux cas se présentera. § 2. En premier lieu nous réduirons la première des équations (1) — la projection de la courbe dans l’espace sur le plan v,æ — dans une forme plus homogène. Or, comme je viens d’exécuter cela dans un Mémoire récent „Sur l'élévation moléculaire de la température critique la plus basse” 1), je renvoie le lecteur inté- ressé, quant aux déductions successives, à ce Mémoire. En posant ra b 2 PS ein Fi madi. maté) nous aurons, a étant =a, + «(l“a, — Va) = Va, + “a, etb=b, +2 (b, -b,)=b, +27: 1) V. K. A. v. W. Amsterdam du 14 Juillet 1905, p. 108—116. CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. pie Un ab is a — @ T— vw ’ 2) EEE T) w, et le résultat des substitutions sera l'équation !) (1 — wno)* [(1—2x) — 3%(1 — x) no] + 3 y (1 — (1+n2x) w)° yi(1—(1+nt)w) (1—3(1+nx)o) __ (L— ynw) (1—2yno) Sr So ae x) en = (i) Pour des valeurs données de p et de n on aura donc w exprimé ‘en fonction de x. Posons encore, pour simplifier: be AMI (ld) SY. ee (3) — nn alors l’équation précédente devient: fH2 [ll -22) —3a(1 —2) no] +38wy*z(22— 1) + ) wi By) _, | (a) æ(l — 2) Le point double est donné maintenant par les deux équations EE ply, CENT L heat 2 da Done, en remarquant que (y = œ + x) Le] Q Oz dy dy =— No ; rem oa ; u SE ve ME (l+nc), o 8 € nous aurons encore les équations : 2° a3 (1 —9%)no]—32 nol + 3y22(2z—1) — —6yyz(22-—1)no— 38yy? (42—1)not+ t 4 3 y2y3 (3y— 2) — ve ly? —6y)no , wy (By — 2)(1—22) En æ(1—x) a? (1 — x)? ‘hy et 23 (— 32(1—2)n) —322 wn — 6Byyz (22 — 1) (1 + nz) — ) pw? (12 y3 — 6y?) (1 + na) (c) —— t 2 Ze Se “<< 4 Z — ? / 3 wy? (4 1) pn 213) =0 \ lorsque V = (1 — 22) — 34(1—2) no. Ce sont les équations (a), (b) et (c) combinées, qui donneront, après élimination successive, les valeurs de w (p) » et x, expri- mées dans le seul paramètre n. 1) Voir p. 110. 4* 22: LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE Cependant, comme nous irons le voir, cette élimination et la solution définitive de ce problème est loin d’être facile. Se Multiplions l’équation (a) par y, (b) par w? et (c) par ww. On obtient alors, puisque vno=1l—2 ; (l+nz)o=1—y, les équations: DE DD OS wi ys (3y — 2) 231 + 8wy?y?2(2z — 1) + al — la) y2'[—2y—3 (1 — 22) (1 —z)] —322 (1—z)A— 3B y*y | [nye (Br) +2282 1) (1D +y (42-1) + | „wy Ly By -2)-2(2y-1)(1-2)]_ y DEE 2) (1-22) _ ke , x (1 —x) mn (Ve) ae a aa 5 er yy Dy) _ (c) ee a) =0 | où 1=yl=w(l— 2x) —3(1—7z)x(l —x) . .... («) Nous déformerons en premier lieu l’öquation (6). Comme y (1—2x) =Ài+3(1—z)x (l — x), on aura: — 2 y?23 — 323 (1—2) A+ 3(1—2)x (1 — 2)! —32? (1 — 2) 1 — mn EA A Iene Nae el NS ED An _ vty? By DHL Delle), a? (L— x)? rte ou bien 2w?zs — 323 (1 — 2) À — 923 (1 — 2)? x (1— x) — 32? (1 — 2) À — het HERVE z(2z —1) + 22(22— RER EE ARS z)] + „wy [yGy—2)—2(2y—1)(1—72)] vty By—2)a | a (1 —x) xv (1 — x)? NS Denen x (1 — x) 7 CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC, 23 Substitution de la valeur de 2, tirée de (a), donne maintenant: — 2y?2? + {9wy?y° A a in 3(1— 2)2%(l— x) + fe 3w'y’ By — 2) ( SA) + )9w2y? (2z —1) (1 — 2) + CES ml y2(2z2—1)+22(2z2—1)(lL—z)+ y(4z2—1)(l—2)] + + vty ly By —2) —2(2y — 1) (1—2)] + (1 — x) (3 pS y> (By — 2) (22 — 1 Sue (By — 2 bao y = Mae CL a UP A ded = ! 222? (1 — x)? z232?(1— 2) | 3 yt ys (By —2) (1 — Le terme = CN a „= eke le commencement de l’ex- pression nd a disparu contre un terme identique avec le signe -— à la fin de cette expression. Après quelques légères réductions l'équation dernière se trans- forme en — 2y?2° + 9wy2y? (22 — 1) (1 — 2?) —3y?y[- yz(2z — 1) + + 22(2 re MN" z(1—2) + Boom ge yey = 2) AO md) EAS em ION 2a (1 — x) pe tag) Ou 2) (22-51) wy By 2) 22%? (1 — x)? 232° (1 — nv)? ; Posons maintenant: y° nn j a EN ANT a (4) alors on obtient, en divisant par w?: -- 223 + Oy? Qze—1) (lL— 2?) —3y[—yz(22— 1) + + 22(22—1) (l—2z) a ara aa) (b) + 3y [y (3y — 2) — 2(2y —1)2(1 —2)]u + + 34° (3y — 2) (2z2—1) u? +y (By — 2)? ui =0 En second lieu nous déformerons l'équation (c). Substitution de À, tirée de (a) donne: : 3 3y —2)(1— 7: Blz) elle) + }9 pt y? (22 — 1) (1 — 2) + y en je 6y'y?(2y—1)(1— y) _ I x(1— x) 2 — 3y?y[2(l—y) 2(22—1) + y(42—1) (1—2 24 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE ou bien — 325 (1—2)x(l -—)—3y?:y[2y(l — 2)? + 2(1l — y)2z(22—))] + 3 uty? [y(8y —2)(1—2 —2(2y —1) (l—y)2] ie — 2x (1 — x) En divisant par —3w?y, et après introduction de w d’après (4), nous obtenons: #0) LE nnen peet nt u — [y (8y — 2) (1—2) —2@y —1)Q—y)z]u=0, ou bien l'équation quadratique en u: [y (8y — 2) (lL —z) — 2(2y —1)(L—y)z] vw? — © —2[y (1 —2)? +(1—y)2(22—1)]u—22 (1—2) =0 ) Les équations (b) et (c) combinées donnerent, après élimination de w, la grandeur y en fonction de z, donc la solution provisoire du problème que nous nous avons posé. $ 4. On peut encore simplifier un peu l’équation (b), en substituant zalig) 9y2 (2)? u tirée de (c) dans le terme la valeur de Alors on obtiendra: — 223 +9y2(22—1)(1—22)—3y[—y222—1) + 22(22—1) (l—z) + +y(4z —1)(1—z)] + 18y (1 —2) [y(1 — 2)? + (1— y)2(22 —1)] — — 9y(l—z)[yBy—2)(lL— 2) — Ay —J])\(l—yzjut + 3y [y {3y —2) —2(2y— 1)z(lL—2)Jut + 3y3 (3y—2)(2z2—l)u? y5(3y — 2)? us =0, où les deux termes avec u peuvent être réunis en un seul terme Sy [y (By —2) }1—3(1—z)?{ — 2 (2y — 1) (By— 2)2(1—2)] w, c.-à-d. 3y Bay — 2) [y}1—3 (1 —2)?{— 2 (2y— 1)2(1 — 2] u. En posant CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 25 l'équation (b) se transformera en [9y? (1 —2q)q(2— 0 + 3y? (1— IL —2q)— 3y* q(3 —4q) + + 184? q* — 18 y? q (i -—q) (1 —2q)| + [— 6 yq (1— gq) (lI— 294) + + 18yq(Il—q) (1—2 q)| —2(1— q)3 + 3 y (3 y—2) [y (l4q + q?) + +2q(1—q)]u + 3y3 (8 y—2) (L—2q)u? + y3 (3y— 2)? ui = 0, ou bien en | 3y? (1 —3q)? + 12yq(1—qg (1 —2q)— 21 — gq)? + + 3y (3y— 2) [y(1 — Aq +92) + 2q(I—q)]u+ + 3y3 By — 2)(1 —2q)u? + y*? By— 2)? us =0. Enfin nous écriverons: et l’&quation dernière deviendra: 3p? (1— 34)? —6p(1—4q+3q° +4 q°) +(1—15q? +269) + +3(1—p)(1 —3p) [1 —2q—q*?)—p(i —4q 4+ g?)]u +..(b) + 3(1—p)* (1 — 3p) (1 — 2q)u? + (A — pp)? (1— 3p)? us =0 Substituation de z=1— q et y=1 — p dans l'équation (c) donne aprés quelques réductions: [p? (4—q) —2p(1+ 9) +q| u? —2[p(l—3q+ gq?) +q27] u—) ga Et cette équation quadratique a pour solution: ar p?4—g—2p(1+9 +4 le discriminant étant [PA —3q + 9?) + 47]? +9 (I — 9)? [p? 4—9) —2p(1 +9) +q] = = (p— 9)? |1— 2g (lg). (Le second racine avec le signe — ne satisfera pas). Or, puisqu’on a: (4— 9) [p? (4—q)—2pQ+q9)+q]= p =P dt Old t — 2¢ (hail? e A—g)[plt-3gtg) +9? tp Dr =[p4—g)—(.+9)+ bh] 10 3g +77) +], ou pourra diviser le nominateur et le dénominateur par p(4—q)—(1 +9) + 1 —2q(1--9), 26 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE et l’on obtiendra: hud (lL—3q+ q?) + En) DE 9) — (+7) AL True) ou bien INES par =e SAME ds 1+q+1r = qe En posant maintenant: LV ter (1 — q) En ee) keen wdn nf (7) on aura finalement: EN ee! u T= Barr ke (8) Remarque. Dans le cas que nous avons étudié déjà autrefois, !) on avait n=0, done z=1, q=0, et la valeur de wu, tirée de (c), deviendrait alors: Or, l'équation (c) sur le page 27 du Mémoire cité donnerait: yy 1 A == — = EE —— 4 x(1—z2) 1—2y 2p —1 Nous voyons done — comme nous l'avons déjà remarqué plus haut — que seulement le signe + satisfera. 8 5. Il nous reste done seulement la substitution de wed dans la dernière équation (b), pour avoir p = f(q). Cette substitution s'effectuera cependant plus facilement, lorsque nous introduisons: 1) Mémoire cite. (V. K. A. v. W. 7 Juin 1905.) CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCKS NORMALES, ETC. 27 L’équation (b) deviendra alors avec uv=w —1: (p — q)? [Pp — 24p? + p (25 — 244) — 2 (6 — 13 q)] — —3(p—q)[9p* —3p3 (9 + q)+p? (29+¢q)— p(13—3 q) +(2—q)Ju + +3(1—p)3(1—3p)(8 p—2q)w? + (1—p} (1— 3p)? ut = 0. Substituant maintenant pour w’ sa valeur, on peut diviser l’équa- tion dernière par (p — q)?. Multiplication par (p — k)* donnera ensuite: (p —k)3 [Op — Ap? + p(25—24 q)—2(6— 13 q)] — — 3 (p—k? [9 ph—38 p3 (9+q) + p? (29+¢q)—p(13—8 q) + (2—q)] + + 3(p—k)(4 —p} (4 — 3p) (3p —2q) +(1—p)* U—3 p)? (p—q) = 0, ou bien, réduction faite: 3p3 [A —3q)—3kA—2q)+ 3k? (14+ qg)—3k*]— —3p?[((2—3q)—4k(1+q) + k? (4 + 25q) — 8k3] + + p[(l+3q)+3k(1—14q) + 3k? (Al + 23 q)— kh’ (25 — 24 q)] — —[q—6kq + 3k? (2—q)—2k* (6—13q)]=0 Les termes avec p®, p® et p* ont disparu nettement. Pour procéder plus loin, il faut exprimer maintenant la valeur de g en function de k Mods (7) donnera: _ 2k(1—2k) Sa an ob non NETT et notre équation dernière deviendra après substitution: 39 (41—9k+415k? —3k3)—6 p? 1—2k)A—5k—3k? +21 k?—2 k*): (Uk pl + 1b 100.62 + 272 k3 — 181 k*— T1k°): :1—2 k— k2) —2 k1—2k)A--3k —9k?+23%3):1—2k — k?) =0. Multiplication par (1 -- 2% — k?) et division par p(1— 2k—k?)— — 2k(4—2k) donnera enfin: 3p2(1—9k+ 1562 —3k3)—6p(1—2k) A—4k—k?) + +(1—3k— 9k? +933) = 0. Nous trouvons donc comme résultat de nos caleuls une équation quadratique, de même que dans le cas simple # = 0. Alors on a qg = 0, et done k= !s d’après (7); de sorte que l'équation dernière devient dans ce cas: — 8 p? + 'B—=0, ou bien 3p?=A, p= "si 3, la même valeur que nous avons trouvé autrefois. (voir p. 27 du Mémoire cité plus haut). | ARCHIVES X. 5 28 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE La solution de l’équation générale pour p sera: AS (LEN I ENT) IES SH LEES +9 k?) RER 1—9k +15 k? —3k3 # Pour k= ‘ cela devient: — is 17 Ys Pik d'où nous voyons, que l'autre racine ne satisfera pas. ‚qd § 6. Maintenant nous pouvons déjà mieux promener la vue sur la solution du problème, que nous nous avons posé. En effet, k étant donné en fonction de q par (7), nous aurons 9 par (10) p exprimé en q. D'ailleurs u = ESS sera connu alors ‚2 | en vertu de (8); de sorte que IE 5 sera également connu en fonction de q, y étant =1 —p et z=1 q. Mais nous avons encore une autre relation entre y et x, c.-à-d. l'équation (a) du $ 3, où on peut substituer À par sa valeur, donnée par («). Ces deux relations nous donneront done w (et par conséquent #) et «(1 — x) séparément, toujours encore en fonction de & ou q. Alors les équations (3) nous fourniront w et n en fonction de k, de sorte que nous pourrons exprimer maintenant p, x et w en fonction de n, et notre problème aura trouvé sa solutions dé- finitive. Mais nous ne sommes pas encore si loin. En vertu de (8) et (9) nous avons: n 2k (1—2k) TE DER k(1—k)? HE Rn VER Re a 2 per = = done, u étant = = ; nge N aussi : y? k(1—k)>(1—3k) w(1—a) ~~ (Ip) ph) (LET CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 29 Il faut donc exprimer 1—p et p—k en k. De l'équation (10) il s’ensuit: br | Las 1—k 1 p= (CHER) —(1—3) pa ER] =—y Ly Ferrer dee _ (lk) (1—3k) —k= nn [3b +8 +0 ]= TE 9% N étant 1-9k +15k?—3%k°. Nous trouvons done: vest) k(1—k) N? a(l—ax)~ (l—2k—k?)? 1,1,’ mutate face’ SER («) ou bien, comme Uil, =(1—k) ['s(—2 + 3k + 12h? —15k3) + + (—1+2k—3k?)] =(1—k) B, aussi : y En kN? a(l—a) (1—2k —k?)?B° Lorsqu’on écrit B’ pour 13(—2 + 3 % + 12k? — 15k*) — (—1+2k—3k?)v-, on aura: de sorte que la relation dernière devient : Ue eye kB’ (=) TE V— 2k Rp Nee (12) L’&quation (a) (voir $ 3) était: y!(1—p)?(l—3p) — (4 x (1 —z) ? (1—9)°4+3y2(1—p)?(1—g)(1—2g) + où A=y(1— 2x) —3qx(1 — 7). ,2 Avec >) = f cela devient done: (A (1—q)3 [pw (A—22)—3 qx (1—2) | + 3 fa (1—a) (lp)? A—@) (1—2 q) + + fa? 1 — x) (1 — p)? (1— 3p) =0, ou bien «(1 — x) [—3q(!—q)? + 3f (A —p)? (1 —q) (A — 29) + BAL PP FED cr 29) hoe hs 5* 30 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE done, en quadratant : a (1-7) [= Fit — 424 — 2) (A0), d'où l’on peut résoudre: a. Ce hy c (1 = HR) = u IE FE 4f(i— ge 5 ou enfin 4 Aw SS (2) ao) 2 (1—2 q) (1—p)? (1—3p) 39]? | G29 N leg: 7 | en Or, en vertu de (9) on aura: 41—6k+7k? Ne Ek et en vertu de (10): 1—3k 1—8% 1—3p =—y [(— 2+36+3%°)— 341 —k)ı ]= Nb L'expression f[ ]? devient done, avec la valeur de faa zr que nous avons trouvé plus haut (voir l’ö&quation («)): ki—k)N: 34 —6%k+7k?)1 —2k—k2)l, NAE N? (1—3k)? En HA) (1—2 k—k?) U1, 6(1—2k)(1—2%k—%?2)1,1, |? NAS) ht N2 (4—k) Al; en substituant pour gq. 1—q, 1—2q, 1—p et 1 — 3q leurs va- leurs, trouvées plus haut. On peut écrire aussi: ka. L, (ana Nap BURTON jk + 8 = 2) 307 17% D’ailleurs on trouve facilement: brek “Ys 2—8h+19k) |; 3 © 1—k a Gee . en un | CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 31 L'expression, que nous venons de réduire, devient ainsi: Iklıl, 5 Ie „2 73 Det, A? + (--8 + 20k NM: (1 —k)(1—3k)' 29 k2) 1-2? =— Avec Ul, =(l — k) B on aura done: 9% A*B 2 k A? 6 NAS 3) or HAB en vertu de la relation (11). Et maintenant nous pouvons écrire pour #(1 — x) en vertu de (/): (1—3k): B’ (1— 3k)* (l= 2) = Aa aR BOVE oP . (13) où A=(4—35 k+96 k? — 85 k3)+(—3+20k—29 kh?) 17 1,(2 — 8k+-9k*), et B’ =); (—2+ 38k + 12k? 5k?) —(— 14+ 2k3—k?) 2 . > : 5 > 2 AE : J'ai tâché maintes fois de réducer l'expression 7 ou bien / Pp? mais il ne me semble pas possible de mettre le second mem- bre de (13) dans une forme plus simple. L'équation (13) est en certain sens la base de tous les calculs suivants: les grandeurs A, B’ et P y joueront un role important. En premier lieu on peut calculer x de % = 1, (1 — a ae x)) = donnant: :=3 Le VAE ses ey Vala) AA) Le signe — est changé en +, puisque A est négatif (e. a. pour ln), En second lieu nous trouvons la valeur de y au moyen de l'équation (12). En effet, cette équation nous donne immédia- 32 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE tement, en substituant pour «(1 — x) sa valeur donnée par (13): D (1—3k)'B % 9 kB EE IP eN EE c.-à-d. n 3B'(1—3k)? lok © vS in Nn (15) Nous avons attribué au second membre le signe —, parceque B’ est positif, tandis qu’au contraire 1 — 2k —k? est négatif. Comme y =p +2, nous trouvons facilement pour p: em [el Dans le $ 2 nous avons posé (vois (3)): l1— yno =z ; 1—(1+nx)w=y. Mais en vertu de (5) et (6) cela devient: yno=q ; (l+nz)o=p. On y tire: no = À 5 iar 1? =», y y done qa 1 D =D — — 2 Va ns eo Ees Wee (17) y De q On trouve donc la valeur de » en substituant pour p, q, x et y resp. leurs valeurs, tirées de (10), (9), (14) et (15). L'expression pour w ne s’y simplifiera pas cependant. Quant à l'expression pour n, nous la mettrons en rapport avec T, 1 — =p" ) et n = a done avec le rapport des deux températures 1 1 critiques et des deux pressions critiques. Et nous ferons de méme avec l’expression pour @. Or, comme il s'ensuit de (2): en 0 nr ed aS aaa 7 1) Nous fesons remarquer, que la grandeur @ à ici une signification tout autre que celle de la grandeur © dans l'équation (1). CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 33 7 a, a; a, a, d OQ étant S=: > et wm = 75:75, nous aurons en premier i. 0, Dias ig Oi" lieu: O ne a nn nase: (18) 2 Pt qd an led, la, a ET done 1 a, 1 p a, a, Bede tee 9 Pour =" ou peut écrire évidemment —— , et nous aurons: La, Ua 0 1 nn =d ede ed In Pp U — 2 (19) Puisque p, q, w et x peuvent être exprimés tous dans le seul paramètre k, on a deux relations, c.-à.-d (18) et (19), qui expri- ment 9 et x en k, de sorte que nous pourrons aussi exprimer 9 en x, en eliminant %. Mais cela ne peut pas s'effectuer explici- tement. Il ne nous reste done pas autre chose que d'attribuer à k diverses valeurs successives, et de calculer les valeurs correspondantes de 9 et a. Ainsi nous aurons pour le point double la valeur de 6, lorsque la valeur de x est donnée. De (18) et (19) il s'ensuit encore: Pp. rele iens y— 2 Pye x BREUER ar Leye)! MER ER) en PR wt Ei étant la solution définitive de notre problème. 34 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE § 8. Le lieu des divers points doubles se trouvera en eliminant k de =; [1+24 pe ; esp après substitution de A, P, p, q et w par leurs valeurs (toutes exprimés en k). Mais comme cela n’est pas possible explicitement non plus, il faudra également attribuer à k une série de valeurs et calculer les valeurs correspondantes de x et w. Il y a ici cependant deux cas-limites. Le premier est celui de = 0, c. à. d. b, =b,. Alors on aura TAL EU TETERTN O= x, c.-à-d. le rapport des deux pressions critiques suivra entiè- AS Se 4 rement celui des deux températures critiques. C’est là le cas, que nous avons étudié déjà dans un Mémoire antérieur. Alors n = 0, donc z=1(q=0) et 1—y=a, donc w =p. La valeur de k sera done — || th (d’ après (7) ). Pour A nous obtenons par conséquent: el ED VOD, ou bien A = — !s— er 1/3 = — 113 (A + 1/3 L7 3). Pour 5’ nous trouverons: p=g(iriss-s) (us Ds Gs +) c.-à-d. B' = lu + BL Ig = Yu (5 + 3 1/3). La grandeur P devient par suite: P=2kA?+4(A—3k)* B = Ve (1 + B 173)? + Yu (5 + 1-3), ou bien P =o (2 + 3) + 06 (5 +37 3) = (7 + 4 U 3). hd QT CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. | 1k . Pour wij pm obtient done: rik een EES EN / 246 (2 ae 5 PH | 247 —4ı 3) +21 62 — 13), de sorte que nous trouvons pour x: mh [1 — ul + '/g 3) 21 6(2 — 3) = = ie Li — Ye 16 (l— 181 3) |, 3.-A-d. x = Yo(1 + Yo LQ — Yo 1 6) = 0,2412, la même valeur, que nous avons trouvé autrefois. C’est donc un bon contrôle sur l'exactitude des équations générales que nous venons de déduire. La valeur de y deviendra d’après (15): lee rer — 1} 21 62 - 3)= "hk 6 (1 +178), ou bien y =, (31/92 + 1/6)= 1,673, done p=y—x—=ib(—1 +2 +1 6) = 1,432. La valeur de 9 peut être calculée de (18), donnant @ = x, en connexion avec (19), donnant: 1 Ladd — —= 1,008, p done Q = 2,887. Comme w =p, l'équation (10) donne immédiatement: In ates Io 1}. a nn re = Ig en encore tout-à-fait identique avec la valeur, que nous trouvâmes autrefois. Quant à la valeur de T dans le point double, nous pourrons la calculer de la seconde des deux équations (1). Mais nous n’exécuterons pas cette partie du calcul. Le deuxième cas-limite est celui de x =d; c-à-d. le rapport — des deux pressions critiques ne suit point du tout celui des tem- ARCHIVES X. 6 36 LES COURCES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE pératures critiques. C’est le cas, auquel s’approchent beaucoup de mélanges binaires. Les températures critiques s’éloignent parfois fortement l’une de l’autre, tandis que les pressions critiques sont sensiblement égales entre elles, ou ne diffèrent pas beaucoup. A Gy a; Dans le cas où a = 1, on aura ia pe , done a, : 4, =0b?: bf D'ailleurs on aura évidemment O= 7 = 2 I em Sr. 7, b, « Ld, — La Vv a. 5 Buinen == —>— =i Used ein = Aen p La, Ma, Aa, ‘ b, —b, be LT; b, A on aura dans le Cas = où ar int b, b, a, b, la relation: Nous aurons donc en vertu de (3): ay ) w p J : 3 5 ; tandis que y est également = | — (1 + =) w. Il s’ensuit que l’on D 1 g=1— (p + %) B ml AC" donc pg: er er Comme dans le point double p — k (voir Bee ; k (1 —k)? plus haut), tandis que de (9) il s'ensuit g—k = gp On voit que p — q aura un facteur 1 — k, de sorte que p = q entraîne ku, don 1, p—1, ¢-a-d y=0,2—0. Calculons maintenant les valeurs de A, B’ et P. Pour A on trouve: Ain) EEM DN AE = 83) Pour B’ nous trouverons: B’ =o 2) + 20-4, x8 = “a. CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. Et on obtient donc pour P: P = 2 x 1024 + 64 x a = — deviendra : | “lsh Sla | Pise | 256 x 25 trouvera par suite: de sorte que | = == Vigo | 6. Pour « on oy (1 — 64 x ii 6) = 2(1—%s 2-6 =0,0101. Sr a L’équation (15) donne pour w: 4x4 y >= — ED ae 0 — 0, 1225, de sorte qu'on trouve pour p: B pu di La valeur de w peut être déterminée de (17), donnant: x p oi - = — =b (kier 6) = 0,915. yw yw Treue Pour 9 on aura en vertu de (20): 1 + Th = 1 1 4 N rar ne done Q=5+21~6=9,899. En récapitulant les valeurs que nous avons trouvé dans les deux cas, nous aurons le tableau suivant. Point double. k= 1} (Gy eee x = 0.2412 w — 0,5773 p = 1,432 QO 2,887 b Puisque v ki a1) a= 0,0101 a= O:9175 r — 0,1124 @ — 9,899 =(l1+nx), Q9 — 38 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE on aura dans le cas z=1, où dans le point double y = =1—(1+nz)o=0: de sorte que le point double se trouve dans le cas x = \ sur la droite v=; (Vordasioal): We = h Ak x 1x ONG 4 b, Cx an 4 B + + Lt . Net \ € \ 4 NH N, ; + + Se fe % IR EN EN 0=9,9 N *, À EN C, Comme nous l’avons déduit pour le cas 5 = 0 (9 = x) (voir le Mémoire cité), on trouvera également pour le cas x = 1, que pour des valeurs de 9, qui dépassent 9,9, la courbe de plissement montrera un cours comme est représenté par la fig. 2, tandis que pour des valeurs de 9, qui sont inférieures à 9,9, on aura un cours continu de C, jusqu'a C,, comme dans la fig. 3. Or, comme il sera très exceptionnel, que la température critique de l’un des deux components excède de 10-fois la température critique de l’autre component, on pourra dire que dans la majorité des cas on aura — lorsque x = 1 — le cas de la fig. 3. § 9. Maintenant nous voulons regarder le cas x = 1 encore un peu de plus près. CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. oo En premier lieu nous déduirons les valeurs, que nous venons de trouver, directement de l’&quation (a) (voir $ 2). Nous avons vu dans le paragraphe précédent, qu'avec 7 = | L 4 : : correspond y =z, en vertu de n= ae L’&quation (a) deviendra done, après division par 2° (resp. y?z et y): I v (3 y—2) pth 22) Sell) +3y(2y—1)+ sy = Vs — À 1— y remarquant que nw = y = 7 Avec y=1--p cela devient: ; 3pz(l— x : yw? (1— 3p) Comme od = 0 et 0 sera identique avec os — 0} oJ =); ox dw 0% op p étant une fonction de x et w, on aura pour le point double: 3p(l—2x) 3 — 0) Sea p{ — + FREE, ae 3(1—2p)+ | has VALS Jp) ww? (lp) (= 20) o\ @) x (1 — 2) x? (1 — x)? 5 et 3t(1— 2) SAT OR TEN NE LAON een pee re eee (c) Cette dernière équation peut s'écrire: donnant — ce qui est impossible. La raison que nous avons trouvé néanmoins dans le paragraphe précédent une solution pour les conditions du point double, con- siste en ceci, que là nous n'avons pas divisé par le facteur 2°. Or z=0, c.-à-d. la droite v= b, et done aussi le point P, satis- fait à la fois l'équation (a) et les équations ‘b) et (c. Nous avons done seulement déterminé le point commun des deux parties de la 40 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE courbe de plissement, c-à-d. de 2 = 0 (v = b) et de la partie C,C,, donnée par l'équation {a) dans la forme de celle du paragraphe présent. Cette solution satisfera identiquement les équations (b) et (c) du $ 2 (à cause du facteur 2°), mais non les équations (b) et (c) sur le page 39. Il sera donc le plus simple, pour trouver les données du point P, de combiner directement ladite équation (a) avec l'équation = 0:0 Sb En substituant done p=1 dans (a), nous trouvons: équation, qui mêne après réduction convenable (y =p +a) a a2 (2+9p + 9p?)—acp(3— 3p—8p?) +2p}—=0, c.-à-d. à une équation pete La solution en est: WES) 1 —6p —93 p? Ups Ep" = : nn Comme le discriminant est = (1 + p)? (l —8p —8p?), on aura aussi : it, (eee ee De Pat es 1— 84 —8y? C= hp 2 +9œp +99: . 120) Le discriminant sera = 0, lorsque 1 — 8y — 8y* = 0, donnant: p=! (—?2 + 1-6) = 0,1124, étant la même valeur que nous avons trouvé dans le $ 8. En effet, le discriminant étant = 0, ceci indique le cas, où il y ‘a justement encore intersection des deux lignes AB (v = b) et C,C, dans un point tangent (quasi-double). Pour des valeurs de p, supérieures à la valeur trouvée, on aura des racines imaginaires, done le cas de la fig. 3; pour des valeurs inférieures à cette valeur, il y aura intersection en deux points D et E, comme dans la fig. 2 1 Puisque pour x = h on a o—1l,— ml 9 d’après (19), on aura aussi, que pour des valeurs deg > 9,9 r cas de la fig. 2 se présentera, tandis que pour des valeurs de @ < 9,9 on aura le cas de la fig. 3. Calculons maintenant les valeurs dex pour les points D et E, lors- CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 41 que @ s'élève de 9,9 jusqu’à oo, ou bien p s’abaisse de 0,11 jusqu'à 0. Lorsque # = 0, les valeurs de x sont toutes les deux — 0. Mais quand p a une valeur dans le voisinage de 0,11, l'une des deux valeur de x sera < 0,01, tandis que l’autre sera > 0,01. La première décroîtra continuellement jusqu'à 0, tandis que la seconde attein- dra une valeur maximale, et se mouvra alors également vers zéro. Pour de très faibles valeurs de p on aura approximativement, 17 1 — 8 p — 8 p? étant = 1 —4yp—12p?...et donc (1 + p) 1 — =] — 3p — 16°: (sp og.) (ls 16 p?) — 1}, n gif 2 +9 donc 1— 39 dps =D 5 Nn ren RE 0, Poe, Jp 2, 2 f La valeur maximale de x, sera atteint, lorsque p = — ‘ + ‘5 1/73 = = 0,077. Cette valeur maximale elle même sera = ‘hs (9 — 5 17 3) — = 0,0189, et pour la valeur correspondante de x, on trouvera ‘eg (33 — 19 1-3) = 0,0014. La valeur de 4, pour laquelle la distance des deux racines sera maximale, ne coincide pas avec la valeur de p que nous venons de calculer. On trouvera = — 1 + 6 ~ — 3 + 61/6 — 0,070. Nous aurons ainsi les valeurs suivantes. yg =0,1124 || x, = 0,0101 ©, = 0,0101 g=0,10 || + = 0,0167 ar, — 0,0040 gy = 0,077 x — 0,0189 x — 0,0014 p =0,01 | a, — 0,0051 ax, — 0,0000 + — 0,001 | x — 0.0005 | a, = 0,0000 ge | a, =0 | æ —0 $ 10. L’équation (a) du $ 9 nous donnera le cours entier de la courbe de plissement w = f(x) pour toutes les valeurs de g. Puisque p = q (voie pag. 36), on aura pour w d’après (17): p+x x p w =p (re =) DP ei done p= Pr 49 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE L’équation (a) deviendra done: 3wx(1 — x) ) + a 1—2a— - Dee Er +3(p + 4) (1 Sh m zs) att tp \ tp 5 HT (p + 2)? (1 — 3.0 12) Ar ® =() a (1 — x) ? et l’on y tire immédiatement: A—92r)x(—7r) +3( +22 —x) + (y +2)? o— Us q = 5 En Ae (1 — a)? + 2 (y + ©)? zl x) + (p + ©) ou bien > 1 — 22) +39 la -D)+@ +29 CT EC EE UE e.-à-d. en 30 + 3%?) + 9° EN (22) [x (1 + 2%) + g2]? On pourra écrire encore plus re 14 ze 53 De el D) 7 o— 1} SSS Avec y =} nous calculons p.e. pour la courbe C,PC, de la fig. 1 le tableau suivant. ti) o=033= 1}, |, —=3 I 2=0,3 Vu 010 Vl, AN 0,002 0,70 1,43 | 0,4 0,079 13 0,005 | 0,89 1,12 0,5 | 0,064 16 0,008 0,933 1,072 0,6 0,054 | 19 0,01 0,925 1,081 || 0,7 0,046 29 0,05 0,47 2,13 0,8 | 0,041 241 On | 0,28 3,57 0,9 0,036 278 0,2 0,15 6,67 1,0 | 0,033 = 1/30 30 x b Comme — =(1 + =) w, on aura chez x = 0,01, z= 1,09 x b x 0,925 = 1,01; et chez x = 0,008, DS 1,072 x 0,933 = 1,00. Nous trouvons done en effet le point P dans le voisinage de x = 0,01. Avec »=0,1124 au lieu de g ='/) nous aurions trouvé exacte- ment «= 0,01. Il va de soi, que lorsque x n’est pas exactement = 1, mais = 1 +0 p.e., le point double P se trouvera un peu au dessous de CHEZ LES MELANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ELC. 43 la droite AB(v=b); il y aura alors deux courbes de plissement distinctes, e-a-d. C, PA, dont la partie PA demeurera continuelle- ment au dessous de la droite AB, et C,PC,, où C, est la „troi- sième” température critique. (voir le Mémoire cité). En effet, cette troisième température critique sera donnée par la valeur maximale de T dans la courbe d’intersection de la „surface spinodale” et du plan v = b. Cette surface spinodale est détermi- née par la seconde des équations (1), donnant pour v = b: À RT= b3 x(1—x)(«b— Pr a), c.-à-d. RT = 2(b,1/a, —b,a,)? x(1—7x) bi (1 + rz)?’ puisque «b—/f1/a=a(b, +zP)— Pira,+zea)=ab, -Plrra,= 3 =b,L1/a, —b,a,, tandis que b=b, (1 + = gbi (LE 72). 2 x il u 5 Or, la valeur maximale de AC SA sera donnée évidemment par Sr) (i +rz)(1—22)—3rae(l—z)=0....... (a) La première des équations (1) donne pour le point d’intersection de la courbe de plissement et de la droite v = b: a(1— x) (4b — Pia) [((1—2a4)b—32a(1—2) 7)=0, . . (b) et cette dernière équation sera donc toujours satisfaite par A—2xb—3x(l—x 5 —=0, ou bien, en divisant par b,, par A+rx(l—2x)—Srx(l— x) = 0, c.-à-d. par (a). (q. e. d.). !) = b 1) Puisque r = ABs. = La =p —1=6 — 1, lorsque x —1, la valeur b, bi by de a dans le point Cy sera: = [r+1- Yr+r+1]l= — (9-V6?—6+1). Mais comme 6 =1 + = (voir p. 40), on aura aussi: =p Iet oer Cela donne x, — 0,052 pour p —0,1124, x, —0,031 pour » — 0,077, donc tou- jours des valeurs supérieures aux valeurs correspondantes de x, (voir le tableau sur le p.41). Or, ce sera toujours le cas, Pour de faibles valeurs x, s’approche à ly p — 3%4p?, tandisque x, s’approchera à '/, p — 3/4 p°. ARCHIVES X. 7 44 LES COURBES DE PLISSEMENT ET LEUR POINT DOUBLE La conclusion principale de tout ce qui précède est donc, que , T, sera com- prise entre 29 (dans le cas @ =) et 9,9 (dans le cas x = 1). Un cours anomal de la courbe de plissement existera seulement — chez des mélanges de substances normales — quand le rap- port des deux températures critiques est très élevé, c.-à.-d. (selon la valeur de x) supérieur à 3 jusqu’à 10. Alors il y aura une courbe spinodale de ©, jusqu’à A, et non de C, jusqu'à ©... Nous savons que ce cas se présente p.e. chez l'éthane et l’alcoöl méthylique. Or, les données critiques de ces deux substances sont les suivantes. GEEL 32° C. | p, = 49 atm. CH: Of | To = 24" Sal pj 8075 le point double se présentera lorsque la valeur de 9 = I fl Pour © nous trouvons par suite: 29734241 514 Poe mb en Et pour x 80 x I == 49 — 1,63. Nous nous trouvons done dans le cas 9=n(?=0). Il faudra par conséquent que @ soit > 2,9 pour des substances normales. Dans notre exemple @ est seulement 1,7, mais dans le mélange en question une des deux composantes — l’alcoöl méthylique — est une substance fort anomale, et c'est là la cause, que la valeur- limite de @ est abaissée si considérablement. Aoüt— Septembre 1905. L'EXPRESSION POUR LE POTENTIEL MOLECULAIRE DES COMPOSANTES D'UN MÉLANGE BINAIRE NORMALE, DANS L'ÉTAT LIQUIDE. PAR J. J. VAN LAAR. ge Nous savons que l’expression pour le potentiel thermodynamique total d’un mélange, consistant d’un nombre quelconque de compo- santes, est la suivante: Z=—5(n,k,)T(log T—1)+[z(n,(e,),)—TZz(n,(s,),)] — | wi — [paV+pV + RT x (n, log n,) % = où k,, ka, ete.; (€1)o, (Ea)o, ete; (81)os (S2)o, etc. ont la signifi- cation bien connue. On aura done, en différentiant par rapport à n, (le nombre des Gr. mol. de la première composante) pour le potentiel moléculaire u, de cette première composante : = = —k,T (log T—1) + [eo — P61) — | u — _ ei an, rr se [fpar— pv Ren, ‘ log 2m, |+ RT (ro, log zt)! 1 : En, en remplaçant Z(n,logn,) par = (n, log ee, + Z(n, log En,), aid dont le second terme peut être écrit aussi Zn,.{l0og Zn. Posons maintenant: —k,T (log T— 1) + [edo - Te) JHC, - - - - bo — où C, sera done une fonction de la température seulement. Hb 46 L' EXPRESSION POUR LE POTENTIEL MOLÉCULAIRE D'ailleurs nous écrirons: [pav—pV RTsnlogsn, =2.......(8) L’expression pour «, deviendra par suite: parce que 2 1 \ Nn > (oo, log 7 ) étant = (n, logn, +n, logn, +...) — —(n, +n, +...) log En. ae 2.02 n ES: En écrivant w, pour et c, pour —!-, nous pourrons écrire on, zn, aussi : u =O, =o, PR loot, 2 alee EE IE ITD AS En ECE La formule (4) pour u, est tout-à-fait générale, et se rapporte done à tous les états de la matière. C’est la grandeur w,, qui donne de si grandes difficultés dans le calcul de «,. : Qo ies A 5 ‘ Pour exprimer £2 et o, = ae il faut connaitre une équation 1 d'état. Or l’équation de M. van DER Waats, dont nous ferons usage dans la suite est la suivante: p io rang — y: TEL ar) 6 MH © (5) où a et b sont encore des fonctions de n,, n,, etc. Nous suppo- serons que b ni a dépendent directement de V ou de T. Alors on aura: fpdV = zu,.RTlog (V—5) + 5, par conséquent: = DES COMPOSANTES D'UN MÉLANGE BINAIRE NORMALE, ETC. 47 Q=2n,.RT log (V—b) + —pV- RT En, log zn, .. (6) Pour w, nous trouverons done: Q = RT faV dl o, = == RT log (V—b) + DE (22 / )— 1 on, dn, a oV À da E m: òn, uhr, an, Par — RT (1 + log En;). Vy Mais comme TE U a V—b V2 d’après (5), nous aurons simplement: V—b 2n,-RT db 1 da „ 0) = RT (loy En, il, ea dn, Via Ferro il — p=), Pour des mélanges binaires de composantes normales on aura: LD Sn rn NE Ne À, et l'équation (7) deviendra: ET db 1 da = | LE me. Ne. pr re = Jr. 9 Ty," cine 8 a = RT(boow 1) case x )+ = ( a a). (79) dx TE Ban ae DIR CN er lorsque nous écrivons v au lieu de V pour le volume total de 1 Gr. mol. du mélange. Et puisque b=n,b, +n,b, ; a=n?a, +2nn,a,+n/a,,.... (8) on pourra remplacer Te par b— ril, b étant une fonction ho- N : E : da mogène du premier degré par rapport à n, et n,, et dn, Par 1 da 5 2a— x dz’? © étant une fonction homogène du second degré par rapport à n, et n,. Si nous avions posé immédiatement n, =1—x et n,=z, nous aurions pu écrire: {2 étant d’après (6) également une fonction homogène du premier degré par rapport à n, et n,. Car 2n,.RT log (V — b) — RT Zn,.log sn, = RT. xn, log Er 4 LEXPRESSION POUR LE POTENTIEL MOLÉCULAIRE 48 V—b où sut sera évidemment du degré zéro par rapport à n, et ny. De l'équation d’état mise dans la forme: RE a P nT nee Ls EEE) on trouve maintenant: [pav= RT log (v —b) + =, et {2 deviendra: a 5 2= RT log (v—b) + | —pv. (6°) 2.02 ‘ Pour SE on obtiendra done: ae _ RT 2 db\ a ER 1 da mL) x v —b v2 a v dx Por’ ou bien 3.2 Tell allo 1 da ge = ee EEE (9) dx y—b dx v dx Jed a ; — aus étant, = 0} Nous trouvons ainsi pour w,: a Jail! ably ell sana w, =|RT log (v— b) + — po] — els Free 5 |; 10) , il suffit de Pour démonstrer que (10) est identique avec (7%) a , de sorte que nous trouvons: R remplacer pv par EE o, = RT (log (v — b) — 1) + D = = up T do | v—b dx v AR ou bien TE db rn Ar) + Heer) c.-à-d. (74). Comme nous aurons d’après (8): b=(1-a)b, +xb, ; a =(1—x)'a, + 2% (1 — x) as + x?a, ,. (8%) DES COMPOSANTES D'UN MÉLANGE BINAIRE NORMALE, ETC. 49 on trouvera facilement : Nous mettrons maintenant (10) dans une autre forme. Pour 2= RT log (v— b) + — — pv on peut écrire: RT [log (v—b) — 1] + [ “—p@—d)+ RT] — po. Or on aura d’après (5°): “—pw—b)+RT= La première partie de w, devient donc: v — b)? Q= RT [log (v — b) — 1] Te, 22 d (2 La seconde partie de w, est — x or Déterminons donc va? Le mais à présent d’une manière un peu différente que dans le $ 2. a) Pour û a RT [log (v — b) —1] 50 L'EXPRESSION POUR LE POTENTIEL MOLECULAIRE on peut écrire successivement: AT D = RE UE iT — v — b) == Ika —— = DE og ( 9% In pe Br (= u ai ze APT — page 0% v2 CNT a = — 4 w—d) = Oo OO) nn v2 he d a a ò b: ave b) dx log b2 vw? vb) x log v . 1 B = [RT pgs dog a —2 5 SG b) Pour dx als (1 — = . ) on aura immédiatement : (c= ae d 9. v—b à v—b v2 nn b v ox wv ou bien w—b)?\d a ,av—bd b 3 (1 —° LE +23 ree (7) c) Finalement nous pouvons écrire: ; 2.0 : nee 0. bt L'expression pour EE devient ainsi (les termes avec NL dis- paraîtront) : do. (v—b)?\ da dail Ye, = edd = (i— BE ) ep LRT pe Flog je — que (3) Jusqu'ici nous n'avons introduit aucune approximation. Les for- mules (12) et (13) sont encore tout-à-fait générales et exactes — tant que l'équation d'état (5%) est exacte. Or, lorsque nous voulons déduire une expression pour », pour les liquides dans le voisinage du point de fusion, il sera toujours per- v — b)? mis de négliger ~—,—— auprès de l’unité, et aussi — chez les pres- v DES COMPOSANTES DUN MÉLANGE BINAIRE NORMALES, ETC. 51 sions ordinaires — le terme p w—b) auprès de RT. En effet, dans a Pt (v—b)=RT = as L a on pourra dans ce cas toujours négliger p auprés de TE F 30 Egalement le terme ph sera négligeable par rapport à —, et de 5 (pre) b ) 1 db 4 ded même le terme p— auprès de — —. dx da b Pour o, = 2—2 nous aurons par conséquent, en combinant (12) et (13): 0, = [RT (log wi) +2] - | RT © tog %]. (14) C'est M. van per Waats qui a déduit pour la première fois d'une manière un peu différente cette formule pour », , et qui a a pz » due l’on avait con- d tiré surtout l'attention sur le terme RT as stamment négligé. Le but principal de cette étude était en premier lieu la déduction de l’expression générale (13), et en second lieu la discussion de la valeur du terme supplémentaire désigné. La formule (14) peut done étre employé dans tous les cas ot —b z ~ A ’ = 2 A a A 2 5 ) est négligeable auprès de l’unite, et p auprès de , ¢.a.d. chez les liquides sur une étendue assez considérable: dans la plupart des cas dés le point de fusion jusqu’au dela du point d’ébullition Mais lorsque nous négligeons aussi le terme RT = log = ps » cette étendue deviendra plus petit, et nous examinerons dans quels cas on pourra faire usage de (14), dépourvu du terme supplémentaire. Remarque. Nous aurions aussi pu déduire (13) directement de l'expression (9). Mais nous préférons la déduction ne Fe que celle-ci nous donne > RT (log (v—b)—1) et = [+ Gas — + =] séparément. Exécutons cependant la déduction désignée. ARCHIVES X. 8 52 L'EXPRESSION POUR LE POTENTIEL MOLÉCULAIRE 4 RD 1 da In Pour - —— + +— On peut écrire: -b dx v dx db a db 1 da Pix wv? da v dx Or, nous aurons: ) A Werl =, EU) v? m er bv? Are. le eu ) v— b 1 — == Tape 5 v v? de sorte que l’on a: re db (1 un Dsl} da RT de vw dx va: ) db 2aw—b) db be a a | dx’ bw da db (v— 1): a @ d mk den (1 Lhe Bee) i bv? On, dx log rs identique à (13), = (v—6) étant =RT—p(w—b). § 4. Nous pouvons écrire maintenant, en vertu de (4) et (14): a = Ci [RT (og ~—) —1) + | + | Æ AR RT — log + | + RT log (1 —2) | | Et parceque ey, D aZ ee ha : uy = ZT) on aurait trouvé pour u, — le potentiel moléculaire de la seconde composante : O = 0, [e(t] + RY loge. Deux grandeurs nous offrent un intérêt spécial. Ce sont les grandeurs nt et 2x ? DES COMPOSANTES D'UN MÉLANGE BINAIRE NORMALE, ETC. yO . mn . 1 « Com où «,’ désigne la fonction «,— RZ log (1 —x), ¢.-a-d. C, (2 x = ). N 0% Quant à u, — (u,’),, nous avons évidemment: , 7 € u, à | a ( du : ) u — (u =S = Are ; = nee ' \ Jo 0% 0 2 dx 0 ò (2 Q =) d? yarceque — NU = — % 9 I I 3% ò dx? 02 £2 u 0 Or, (« = >) sera = 0 en vertu du facteur x. De même (= = 5) A 5/0 OL /0 Nous aurons donc: nl (Ee E Li SS), Se ar). + = | =; JE En | nae 4 x a te 5 Quant a aco nous aurons de suite: du, d 2? (2 — mn == 0 0% 22?’ et nous voyons done, qu'il sera très utile de connaître les valeurs 22 (2 22.02 exactes de „ et de le =) 4 en d 0 Le Comme a da _ a, Ax? où A = a, bi” — 2 a b, bo + ab [étant facilement à vérifier à l’aide de (8°)], on trouvera: d? A d == d x? deu det wide BA b, deb? db of pobirs ie 2A% bp? == b3 ? \| | c/a db b— x étant = b,. d? a Pour qq? p NOUS aurons par conséquent: 1, EXPRESSION POUR LE POTENTIEL MOLECULAIRE d? a Riba ats Le terme TD log Dz donnera consécutivement, comme nous l’a- vons déjà déduit dans un Mémoire antérieur (voir Arch. TEYLER (2) IX, 3e Partie, p. 7—8 (1905) ): i a 7 (lL—2)ba, +2) a, (== SOU mme er Ip: I (i —a)b, tab, d a La,— la, b, —b, Sjees a de a _ (b, —b,)? (a, —la,)? dr ls Rn b? a | dy (18°) oR = (b, a, —b, a,) [(b, “a, —b,a,) + \ +2b(L/a, —1/a;)] | lorsqu'on admet la relation aj =1a,a,, done a= (ls) a, 271], de sorte que la grandeur A dans (17) et (17%) deviendra: A=ılb,ra, D AR) RER ae (a) d2 (2 : Pour 37 On trouve ainsi: 20 2A 2RTı A EE hs ab? [TA + 2b(L-a, —a,)], ou bien 22,0 A ZA RE 3 = = fr A + 2D ar va) § 5. = 5 ; 92.02 Nous déterminerons maintenant la valeur de Sg: pour s—0 eb pour =1. Comme “1 RT, 5 22 —=7RT,, b, b, œ Il So on aura pour + = 0, quand a=a,, DES COMPOSANTES D'UN MÉLANGE BINAIRE NORMALE, ETC. 55 Ee =) = 2 FTD, RT, —b,L Le} 7b, RT.) [ dx? b? id. RT é | Sy Eee dl, 9 “7 à IE ava} 27 ; À 7b, RT, [id. +26, (7b, RT, — 7b, RT;] c.-à-d., en divisant par (I 7), LV )2 : (=) = 14 oe El ge 1% +) [ ES b, — m Hi J = Bak i Te + 1 b, — 7 b, MP b, Ts vol Ti b, TT, b. 2 ‚T, Avec Dy 1% cela devient: 92.02 (= r= lar, (p—\ 90) [(9— pO)— "up — go) + +92(1-pQ—1)|] =14R7, 9 (1— 2) (1-12) - tu (1-19) +2 (1 ve. de en supposant T dans le voisinage du point de fusion de la pre- mière composante, c.-à-d. T= 1}: T,. Or, en écrivant Pr = Pı nous aurons évidemment : [2] U, p parce que x = Nous obtenons donc: 20 0x2 ie M4 RT, | er om ) [a—ra) 7) dll Lln aal. . (20) 2202 | oe Le calcul de (os ) donnera d'une manière tout-à-fait analogue : AT a | (= ) — 14 RL, gd) [arm 1) | 2 LL” x| 1 TT Mies gt oe 56 I EXPRESSION POUR LE POTENTIEL MOLÉCULAIRE On voit clairement de ces résultats, que lorsque nA bi e-à-d. lorsque les pressions critiques des deux composantes sont 02.0 ’ ax? d’apres (19): égales disparaîtra entièrement, et que nous aurons dans ce cas ı A=b,lra,—b,l a, (voir («)) étant alors = 0. L'expression sera donc une constante, de sorte que l’on aura d’après (15): HEURE | #7 (og Vv, —b,)—1) + 5 | + RT log (1—x), és = Ci ART logde) eee CNE où C,’ est une fonction de la température seulement. Lorsque = est dans le voisinage de 1, l’&quation (19). peut s’écrire : parce que les termes avec LA dans l’expression entre [ |] peu- vent étre négligés dans ce cas auprés des autres termes. On aura done: ERTL a, = Vag) be dr b3 a a 8 : : Mais Pe variera alors que très faiblement avec x, puisque 1. — “2 approximativement, de sorte que nous pouvons regarder pr — pe approximativement, de s q pouv garder b2 a comme une constante. | DES COMPOSANTES DUN MÉLANGE BINAIRE NORMALES, ETC 5 C'est pourquoi nous pouvons écrire : 220.6 AAT OR Der où À aura, à cause du facteur LA, une valeur très faible. {2 h Pour 2— x == - on aura par suite: A f ay ATs RT (log (v, — 6,)—1) + Bi le Ar 2% 7 ; E da bps étant = Gr (comparer (17) et (17%), et l’expression 1 pour «, deviendra done: y Ta? m=O + Ga ae pe + BL log). 21% EEE ed ARR al LE ee FE À : 4 où y= De tandis que nous avons remplacé b par b,(1 + r 7), 1 7 Dai 3 done ae où r= Eil: tik Comme nous l’avons déjà remarqué, la valeur de y sera très faible dans le cas considéré, où p, n’est pas beaucoup éloigné de p,. Lorsque au contraire x n’est pas dans le voisinage de l’unité, lorsque on a p.e. t=O, — on peut démontrer facilement, que dans la plupart des cas le terme aes QO d? 322 » Provenant de, RT Hak 5 log on , peut étre supplémentaire dans —, d? a négligé auprés du terme principal, provenant de EET Car alors les expressions entre [ ] dans (20) et (20°) devien- dront resp: (1 6)—'n (I~ O— 1) (pour £=0) re | 0 ATOUT (pour x = 1). Le rapport des deux termes désignés sera done comme 45 KES 0 ot db PL (Et), de sorte que p.e. pour 9=2 ce rapport sera compris entre 14 et 28, d'où nous voyons clairement que le terme supplémentaire peut être négligé sans réserve. !) 58 EXPRESSION POUR LE POTENTIEL MOLECULAIRE Dans ce cas on aura par conséquent d’après (19): DD se 8,62 u LE 3 done 92 Az Or zul (log (v, —b,) — ]) + 5, bb : et nous trouverons pour u;: Ze rg ER, 2 1 rm ==. Fl SZ} + RT log (AE), CR) a étant = = 5 by Nous pouvons conclure par conséquent, que l’expression (21°) représentera dans la plupart des cas la valeur approchée de u, chez les mélanges de liquides normales, lorsque ceux-ci se trou- vent dans le voisinage du point de fusion d’une des deux compo- santes, et à fortiori chez des températures plus basses. Car dans le seul cas x = 1, où le coëfficient y 7’ subirait des variations con- sidérables avec 7, la grandeur y, comme nous l’avons vu plus haut, aura une valeur très faible. Janvier — Sept. 1905. 1) Un cas défavorable se présente chez les mélanges d’ether et CS. On a ici: CS, T, = 548 | p.=76 atm. Ether 1, 467 Dre ong Oi =S Nous aurons par suite: | z=0 |l n= 047 | 1, 141 m2 |= — 0,089 zl |, == 047 = = — 0,054 , et le rapport des deux termes sera compris entre ssh 0)etls 8e Ar en moyen — 7 : 1. Toutefois le terme principal prépondéra même dans ce cas au terme supplémentaire. Errata. p. 31, deux lignes au dessous de (13) lire (—-1+2k—3#%°)1" . L'ÂGE DES DIFFÉRENTES ASSISES ENGLOBÉES DANS LA SERIE DU „FOREST-BED” OU LE CROMERIEN ) PAR EUG. DUBOIS Dans un article antérieur *) j'ai énoncé, en quelques mots, une opinion sur l’âge des différentes assises englobées dans le Crome- rien, que je me propose, à présent, d’argumenter en détail. Quoique le „Forest-bed”, sur les côtes de Norfolk et de Suffolk, soit connu depuis un siècle et demi et soit, depuis longtemps, célèbre pour sa faune de mammifères et à cause de la position qu’il occupe, à la limite des formations pliocéne et pléistocène, les nombreuses recherches qu'il a provoquées n’ont pas encore etabli l'accord sur son classement précis dans l'échelle stratigraphique. Depuis l’excellente description de ces depôts, donneé par M. CLEMENT Rerp,*) on est généralement incliné à le rapporter au Pliocène. Cependant, plusieurs géologues insistent pour ranger l’en- semble de la Série du „Forest-bed” dans le Pléistocène. En effet, le 1) La substance de cet article est à peu près la même que celle d'une com- munication qui sera présentée, sous le même titre, à la séance du 17 Oct. 1905 de la Société belge de Géologie, de Paléontologie et d’Hydrologie à Bruxelles. 2) L'âge de l’Argile de Tégelen et les espèces de Cervidés qu’elle contient. Archives du Musée Teyler, série 2, vol. 9, p. 607-608. Haarlem, 1905. 3) C. Rem, The Geology of the Country around Cromer. Memoirs of the Geological Survey of the United Kingdom. London, 1882. — The Pliocene Deposits of Britain. Ibid., 1890, ARCHIVES X. 9 60 L'ÂGE DES DIFFÉRENTES ASSISES ENGLOBEES consciencieux travail de M. Rerp sur ces dépôts n’a pu faire dispa- raître l’&quivoque de leur faune et de leur flore, équivoque qui faisait déjà supposer à Lrerr, il y a plus de quarante ans, que peut être on aurait pu englober ici des dépôts appartenant à des âges dif- férents. Quel contraste, en effet, entre une flore ne différant presque en rien de celle qui se trouve encore aujourd’hui dans le Norfolk et des types de mammifères comme ils sont propres aux pays chauds, types caractérisant le Pliocène et ayant vécu ailleurs au milieu d’une flore de caractère sub-tropical ! Le contraste n’est pas moins grand dans la faune des mammi- fères elle-même. A côté des Ælephas meridionalis, Rhinoceros etrus- cus, Equus Stenonis, Cervus verticornis et plusieurs autres types de cerfs pliocènes, Ovis Savini, et Arvicola intermedius, on se trouve en présence d’espèces modernes et pléistocènes, telles que Equus caballus, Sus scrofa, Cervus elaphus, Bison bonasus, Lutra vulgaris, Mustela martes, Ursus spelaeus, Hyaena spelaea, Canis lupus, Canis vulpes, Arvicola arvalis, Talpa europaea, Sorex vulgaris, et méme Ovibos moschatus et Gulo luscus, qui, bien qu’habitant en Europe la zone de Norfolk durant les periodes glaciaires, se sont aujourd’hui retirées dans la zone glaciale arctique. M. Rerp lui-même ajoute un élément nouveau à ces équivoques et contrastes, accentués déjà par son „Lower Freshwater-bed” qui aurait la même flore que |’, Upper Freshwater-bed”, en admettant que la faune marine du Forest-bed aurait le même facies franche- ment arctique que celle du Crag de Weybourne. ,Thus it is that in the Forest-bed we find a distinctly southern land fauna con- temporaneous with an equally marked arctic marine fauna; the plants at the same time showing that the climate was much the same as that of Norfolk at the present day” !). A bon droit, M. J. Gerrie démontre que ces contrastes ne peuvent trouver leur interprétation, comme le voudrait M Reıp, dans des conditions géographiques différentes de celles d’aujour- d’hui ?). M. F.-W. Harmer, le géologue qui a tant de mérite par ses études des dépôts pliocènes et pléistocènes du très intéressant bassin anglo-belge, qu'il a si bien défini, s’est efforcé de chercher une 1) C. Rem, The Geology of the Country around Cromer. Memoirs of the Geological Survey of the United Kingdom, p. 59. London. 1882. 2) J. GEIKIE, The great Ice Age. Third Edition, p. 332 etc. London, 1894. DANS LA SÉRIE DU „FOREST-BED’ OU LE CROMERIEN. 61 autre solution de l'énigme. Il admet que le fleuve, l’ancien Rhin, qui a déposé dans le Norfolk et le Suffolk les ossements des mam- mifères caractéristiques d’un climat plus chaud que celui de ces contrées d'aujourd'hui, les y a apportés, soit sous forme de por- tions roulés et fragmentaires de squelettes, soit sous forme de cadavres, venant d’assez loin du Sud pour expliquer la différence avec la faune et la flore indigènes !). Je crois cependant que, même à l’origine de l’ancien Rhin, le climat ne pouvait être assez différent de celui de son embouchure, surtout au temps où existaient ces animaux caractéristiques du Tertiaire, alors que les climats s'étaient certainement encore moins differenciés qu'ils le sont aujourd’hui. Ainsi, je ne puis voir dans cette hypothèse de M. Harmer qu'une tentative désespérée, quoi- que louable, à nous mener hors de l’impasse où nous a surtout conduit, avec les meilleures intentions, le travail de M. Rei. Depuis que, il y a huit ans, l'existence de la faune et de la flore de l'argile de Tégelen est venue à ma connaissance, j'ai été frappé du fait que dans ce dépôt, qui paraît être le plus proche équivalent du Cromerien que l’on eut rencontré jusqu'ici, il ne s'est rien présenté d'analogue aux contrastes paléontologiques de ce dernier. Les plantes, aussi bien que les mammifères, ap- partenant, certainement à une même assise, bien délimitée, font partie d’une faune et d'une flore dont les rapports avec le Plio- cène supérieur sont évidents. J'ai déjà signalé antérieurement sept espèces de mammifères qui, jusqu'à présent, ont été déterminées; cinq d’entre elles ont aussi été trouvées dans le „Forest-bed” et y sont des plus communes. Le fait que l'on n’a pas encore ren- contré à Tégelen des restes de l'Elephas meridionalis, espèce très répandue dans le „Forest-bed”, ni d'aucun autre Eléphant, est pro- bablement dt à quelque circonstance locale, le gisement de Tége- len, où l'on a trouvé presque tous les ossements, n'étant qu'une seule et même argilière. C'est cette dernière circonstance aussi qui explique le nombre restreint des espèces de mammifères *). Il ne faut pas en déduire que l’on ait affaire à une faune pauvre. Au contraire, tout porte à croire qu’elle était d’une remarquable ri- 1) Bulletin de la Société belge de Géologie de Paléontologie et d’Hydrologie, Tome X (1896). Mémoires, p. 341, et Proceedings of The Geologists’ Association. Vol. 17 (1902), p. 449. ?) Il y en à d’ailleurs quelques-unes qui ne sont pas encore determinées. 9* 62 1/AGE DES DIFFÉRENTES ASSISES ENGLOBÉES chesse. J’indiquerai seulement les trois espèces de Cerfs, apparte- nant à trois types largement différents entre eux. Évidemment, il n’y a lieu, non plus, à considérer celles-ci, avec Rhinoceros etruscus et Equus Stenonis, comme des simples survivants du Pliocene. Dans les dépôts pliocènes de la France centrale aussi, ce sont sur- tout des anciens types de Cerfs analogues qui caractérisent la faune. De même, dans le „Forest-bed”, en faisant abstraction des Cerfs, représentés par plusieurs de ces types anciens, il ne reste, en fait de mammiféres terrestres, comme vraies espèces pliocènes (non encore rencontrées dans le Pléistocène), que Hlephas meridionalis, Rhinoceros etruscus, Equus Stenonis, Ovis Savini et Arvicola inter- medius; encore faut il probablement en excempter cette dernière espèce, comme se continuant dans le Pléistocène. Les mammifères et les plantes déterminés de Tégelen ont déjà été énumerés dans mon article sur l’Argile de Tégelen !). Le carac- tère de cette faune et de cette flore nous obligent à rapporter l’Argile de Tégelen au Pliocène supérieur. Telle est la base qui m'a convié à rechercher l'interprétation des faits énigmatiques de la paléontologie des assises réunies dans le Cromerien ou la Série du „Forest-bed”’. Après avoir étudié avec soin les descriptions des dépôts en question, (y comprises celles antérieures à la description de M. Reıp) j'ai eu l'avantage de les visiter, sur les côtes de Norfolk et de Suffolk, sous la compétente direction de M. CLEMENT Reıp, puis j'ai relu les descriptions et je suis arrivé à la conclusion que les contrastes indiqués ne sont qu’apparents et non pas dans la nature des choses. Suivant ma manière de voir, on a, en effet, ainsi que le pressentit Lyell, réuni erronément des faunes et des flores de dépôts d’äges différents. D’après la description, généralement acceptée, de M. Rep, la Série du Forest-bed ou le Cromerien, comme elle a, depuis, été nommée, consiste en trois divisions: un dépôt supérieur et un dépôt infé- rieur, tous deux d’eau douce, et un dépôt intermédiaire d’estuaire. C'est le dépôt moyen qui, particulièrement, à été nommé le „Forest-bed”. Et c'est à tort, car il est prouvé que les bois, les souches et les racines d’arbres dont, en maints endroits, on y 1) Archives du Musée Teyler. Série 2. vol. 9, p. 606 — 607. Les mollusques de l’argile de Tégelen appartiennent tous à des formes lacus- tres et terrestres, mais on leur a encore donné peu d’attention et l’on ne sait encore rien de précis sur le caractère de cette faune malacologique. DANS LA SÉRIE DU „FOREST-BED) OU LE CROMERIEN. 6. rencontre des accumulations, ont tous été flottés, n’indiquant nullement l’ancien sol d'un forêt C'est à cette assise qu'il faut attribuer la plupart des ossements de mammifères d’éspeces éteintes. Autrefois, on la nommait , Ele- phant-bed”, à cause de l'abondance de molaires d’Elephas meri- dionalis qu'on y trouve, surtout à sa base. Un bon nombre de ces ossements ont été trouvés hors du dépôt, sur la plage; mais souvent il était clair qu'ils devaient réellement provenir du dépôt, duquel ils furent lavés par les tempêtes. Cepen- dant, quelquefois, comme nous le verrons dans la suite, le doute, quant à cette provenance, est tout indiqué. C’est le cas surtout pour ceux qui ont été obtenus par draguage. Le dépôt contient aussi quelques coquilles marines, appartenant toutes à des espèces également connues du Crag de Weybourne, l’assise sous-jacente, et, rarement, des coquilles de mollusques d’eau douce et terrestres ’ Des espèces marines, Mya truncata et Tellina baltica, y ont quelquefois été trouvées avec les deux valves dans la position de vie. Parmi les mammifères, plusieurs espèces habitaient la mer et des poissons marins y sont communs C’est pour ces raisons que l'on considère cette division du Cromerien comme un dépôt d’estuaire. Quant à sa constitution lithologique, cette division, dont l'épais- seur excède rarement 2 mètres, mais quelquefois atteint 6 mètres, se compose de gravier, souvent cimenté en un conglomérat ferru- gineux, nommé „pan” dans la contrée, puis de sables et d’argiles laminées. Très fréquemment, il s'y trouve, à la base de cette division, une couche composée en grande partie de morceaux d'argile arrondis (clay-pebbles) avec des gâteaux de tourbe et du lignite Il est important de remarquer que c'est au milieu de cette couche, reconstruite sans doute à l’aide de débris de destruction d'un dépôt d'eau douce plus ancien, que l'on trouve la plupart des ossements de mammifères de cette division Rarement, on y a recueilli des ossements de petites espèces; la plupart proviennent d’espèces de grande taille ou de taille moyenne tout au moins. Je ne pense pas qu'il faille en chercher la cause uniquement dans ce que l'on aurait négligé les ossements petits, comme le croit M. Rein. Le caractère du dépôt et son mode de formation me paraissent déjà impliquer la rareté des petits ossements 64 1/AGE DES DIFFÉRENTES ASSISES ENGLOBEES En effet, on ne peut s'attendre à trouver beaucoup de petits et par conséquent fragiles ossements au milieu d’un gravier comme celui qui renferme les ossements de l’Estuarine-bed, surtout si ceux-ci n'y ont été déposés qu'à l'état, plus fragile encore, de fossiles et non à l’état frais. C'est à cette dernière circonstance aussi que je crois devoir attribuer le fait que les ossements de cette division du Cromerien se trouvent généralement brisés. Je suis d'accord avec M. Reip qu’ils n’ont pas l'air d’avoir été roulés et ne puis me ranger à l'opinion antérieure de M. Harmer, d’äpres laquelle le fleuve qui se jetait dans l'estuaire, venant du Sud, y apportait des portions roulées et fragmentaires de squelettes et des dents de mammifères caractéristiques d’un climat plus chaud que celui qui régnait alors en Angleterre. !) A présent, M Harmer pense que le transport du Sud, des dépouilles de vertébrés, a eu lieu sous forme de cadavres. ?) Il me paraît cependant qu'il serait difficile de se figurer ce transport assez loin pour justifier, à lui seul, l’aspect méridional de la faune. L'origine la plus lointaine aurait été de l'amont de l’ancien Rhin. Cependant les ossements n’ont pas non plus l'aspect tout-à-fait intact, comme par exemple ceux de Tégelen, qui, presque toujours, ont conservé la plus fine sculpture superficielle, ce qui est très rare chez ceux de lEstuarine-bed. Cette sculpture superficielle, chez ces derniers, s’est ordinairement plus ou moins usée et, dans beaucoup de cas, ils se présentent fendillés. L'état fragmentaire des ossements et l’aspect de leur surface sont tels qu'ils devraient être, si les ossements provenaient de quelque dépôt d'argile préexistant et non lointain, duquel ils avaient été lavés sans trop de violence. Une fois, il est vrai, on a trouvé en connexion les os d’un pied d’éléphant, mais on peut se figurer que ces os, renfermés primitivement, en contact, dans une couche d'argile, furent lavés, enveloppés dans une lambeau d'argile, comme on les observe généralement à la base de l’Estuarine-bed. On ignore la provenance précise de beaucoup des ossements de mammifères du Cromerien, surtout de ceux des grandes espèces; 1) Bulletin de la Société belge de Géologie etc., tome X (1896), Mémoires, p. 341. 2) F.-W. Harmer, A sketch of the later Tertiary History of East Anglia, p. 449. Proceedings of the geologists’ Association, vol. 17 (1902). — Voir aussi: Procee- dings of the Yorkshire Geological and Polytechnical Society, Vol. 15 (1904) p. 308. DANS LA SÉRIE DU „FOREST-BED” OU LE CROMERIEN. 65 ils ont été trouvés pas de simples pêcheurs ou autres gens man- quant d'expérience scientifique; maintes fois, ils furent ramassés sur la plage. Cependant, il a été souvent possible. dans ces cas, de vérifier, avec une probabilité plus ou moins grande, le rapport avec l'horizon auquel il fallait les attribuer. Quelquefois, les doutes que l’on peut soulever sur le rapport au Cromerien de certains vestiges signalés se changent presque en certitude d'ordre négatif. De l’Ovibos moschatus, par exemple, cette espèce si imprévue au milieu des types pliocènes de la division moyenne du Crome- rien, une portion de crâne a été trouvée par un pêcheur et on l’a attribuée avec probabilité au Forest-bed. Un autre spécimen est rapporté à la même origine, bien qu'il ait été dragué dans la Mer . du Nord !). Dans ces circonstances, il me paraît prudent de n’at- tacher aucun poids à la prétendue présence de cette espèce arctique au milieu de la faune pliocène. En ce qui concerne Hyaena spelaea, est-il bien sûr que les dents, par lesquelles on a cru reconnaître cette espèce ?), justifient la diagnose et que l’on n’ait pas affaire à quelque autre forme ressemblant à Hyaena crocuta et appartenant au Pliocène, telle que H. Perrieri et plusieurs autres? Quelques- uns des spécimens d’Ursus spelaeus donnent lieu à des remarques du même genre; d'autre part, plusieurs proviennent de la division supérieure du Cromerien. Si la mâchoire de Gulo luscus, décrite par M. E.-T. Newron, vient réellement de la partie inférieure du Cromerien, ainsi qu'il semble être le cas d’après les informa- tions obtenues par M. Reıp de l’auteur de la trouvaille *), cela ne nous oblige pas encore a admettre sa contemporanéité avec la faune pliocène dont on a trouvé tant de restes dans cette 1) E.-T. Newton. — The vertebrata of the Pliocene Deposits of Britain, p. 22. Memoirs of the Geological Survey of the United Kingdom, London, 1891. Dès la première description, par M. Boyp DAwxINs, PRESTwICH a soutenu que l'horizon géologique du premier fossile, n’est pas prouvé. Celui-ci a été trouvé dans une contrée de la côte où les vestiges de mammifères sont abondants dans des dépôts plus récents. (Quarterly Journal of the Geological Society of London. Vol. 39, (1883) p. 581). *) E.-T. Newrow, On the Occurence of the Cave Hyaena in the „Forest Bed” at Corton Cliff, Suffolk. Geological Magazine, 1883, p. 433—435. Pl. X. 3) E.-T. Newron, The Vertebrata of the Forest-bed Series of Norfolk and Suffolk, p. 18. Memoirs of the Geological Survey of the United Kingdom. London, 1882. 66 L’ÄGE DES DIFFÉRENTES ASSISES ENGLOBÉES même partie du Cromerien. En effet, je tächerai de prouver qu'il faut voir dans l’Estuarine-bed un dépôt glacio-fluviatile. Au-dessus de cet Estuarine-bed ou Forest-bed propre, M. Rerp a distingué, comme division supérieure, des dépôts d’eau douce et les a nommés „Upper Freshwater-bed”. Ce sont des dépôts la- custres (et fluviatiles) remplissant des bassins qui, par endroits, se trouvent à la surface supérieure de l’Estuarine-bed, surface se présentant souvent comme un ancien sol, pénétrée par des débris de petites racines (,,Rootlet-bed”). L’Upper Freshwater-bed se compose ordinairement d’une couche de sable mêlé avec de l'argile bleue et souvent charbonneuse, d'argile brune et grise laminée, hautement ferrugineuse et endureie par endroits, et de tourbe. Elle est épaisse de 05 à 2 mètres et renferme une abondance de coquilles d'eau douce et terrestres, des restes de poisons d’eau douce et des débris de plantes, surtout des graines, et beaucoup d’ossements de mammifères, parmi lesquels les petites espèces sont les plus nombreuses !). Les plantes, aux seules exceptions de Trapa natans, de Picea excelsa et de Najas minor, appartiennent à des espèces aujourd’hui indigènes dans le Norfolk. Elephas meridionalis n'a jamais été trouvé dans l’Upper Fresh- water-bed, mais, il faut le dire, non plus Ælephas antiquus, ni aucune autre espèce d’éléphant. On croit que Rhinoceros etruscus, espèce assez commune dans le Forest-bed propre, a été trouvée dans l’Upper Freshwater-bed, à West-Runton, mais, dans ce cas, on a probablement eu affaire à Rhinoceros Merck, souvent à peine distinguable de Rhinoceros etruscus. Il est très douteux aussi que le specimen de Cervus verticornis, mentionné de l’Upper Freshwater-bed de West-Runton, où M. Savin l’avait re- cueilli, soit réellement de cet horizon, vu qu'il n’y est pas toujours bien séparable de l’Estuarine-bed et que, d'autre part, le Fresh- water-bed y renferme des coquilles marines et des ossements d’autres espèces de mammifères dont M. Reıp admet qu’ils ont été lavés de l’Estuarine-bed sous-jacent ?). Arvicola intermedius, que l’on y rencontre authentiquement, paraît être une espèce survivante des 1) M. Reıp a obtenu la plupart de ces derniers en lavant les sables argileux sur un tamis. C’est ce qui explique leur prépondérance relative, prépondérance représentant cependant la proportion naturelle. 2) Geology of the Country around Cromer. Loc. cit., pp. 47 et 26—27. DANS LA SERIE DU „FOREST-BED’ OU LE CROMERIEN. 67 „ horizons inférieurs. A l’opposition de l’Estuarine-bed, la grande majorité, tout au moins, des mammifères de l’Upper Freshwater-bed sont des espèces modernes ou pléistocènes. Le contraste reste grand aussi, en faisant abstraction des petites espèces Le dépôt d'eau douce inférieur, le „Lower Freshwater-bed” de M. Cremer Rerp, dont l'existence me paraît bien problématique, n'a été vu in situ par lui qu’en trois endroits, durant quelque temps, dans des conditions favorables de la plage et à la marée basse: 1°. Un peu plus d'un kilomêtre au Nord-Ouest de Cromer; par- fois on voyait exposée à marée basse, sur environ 90 mètres, une boue noire, épaisse de 0™6 à 0"9, qui, d'après M. Rerp, repré- sente le „Lower Freshwater-bed”’. Cette boue charbonneuse, couverte par de l’argile sableuse, la- minée, de couleur verdâtre, remplie de bois et contenant occasion- nellement des coquilles marines et des cônes de pin, ravine le Crag de Weybourne, directement sous-jacent ailleurs à l’Estuarine-bed, et même, sur quelques pieds, elle pénètre dans la Craie. Elle renfermait des os de poissons d’eau douce et, en abondance, des graines de plantes aquatiques et palustres. Dans une publication postérieure !), M. Rerp énumère ces plantes comme suit: Ranunculus aquatilis Myriophyllum spicatum Potamogeton lucens Potamogeton praelongus Eriophoron angustifolium Ce sont toutes espèces vivant encore aujourd’hui dans le Norfolk. Il n’y a rien que ces coquilles marines occasionnelles qui semblent opposées à ce que nous considerions cette boue, avec l'argile sableuse, comme une partie de „l’Upper Freshwater-bed” qui, ici, aurait été déposé dans un bassin un peu plus profond (de 4 mè- tres environ) qu’à l'ordinaire. ?) 1) C. Rem, The Origin of the British Flora, p. 64, London 1899. 2) Voir pour ces différences de niveau du Freshwater-bed (supérieur) la figure fournie par Reıp dans: On the Succession and Classification of the Beds between the Chalk and the Lower Boulder-Clay in the Neighbourhood of Cromer. Geolo- gical Magasine. 1877, p. 305. ARCHIVES X. 10 68 WÄGE DES DIFFÉRENTES ASSISES ENGLOBEES Quant à ces quelques coquilles marines, il est évident qu’elles peuvent venir du Crag de Weybourne. 2°. L’autre partie du „Lower Freshwater-bed”, considérée comme étant in situ par M. Reıp, était près de Trimingham. Il l’a décrite et figurée !), mais il est difficile, en considérant avec attention cette discription et cette section figurée, de voir dans cette couche peu importante de lignite et de sable argileux, verte, charbonneuse, autre chose que la base de l’Estuarine-bed, refaite en partie du Weybourn-Crag sous-jacent. En tout cas, je ne vois aucune néces- sité à y admettre une couche intermédiaire speciale. Les couches numérotées de 4 à 7, quoique réparties dans les trois assises, appar- tiennent incontestablement à un même ensemble. M. Rerp dit, dans sa description, que cette boue durcie, noir et charbonneuse, qu'à Trimingham il rapporte à son „Lower Freshwaterbed”, était pleine de graines de plantes, mais dans son ,Origin of the British Flora”, où il cite les localités dont on a obtenu les plantes, il ne nomme ni pour Trimingham ni pour Sidestrand, localité voisine, aucune plante du „Lower Freshwater-bed” ?). 3°. M. Rerp croit que la tourbe laminée noire, pleine de fruits de Trapa natans et contenant un seul spécimen de Ceratophyllum demersum, qu'il a vue une fois mise à découvert au Sud de Mun- desley, à un niveau moyen entre la marée basse et la marée haute, y représente aussi le „Lower Freshwater-bed”. Mais le rapport aux autres divisions de la Série du Forest-bed n'était pas visible *). La même tourbe était encore à decouvert à environ un kilomètre de plus au Sud, contenant beaucoup de graines de Menyanthes trifoliata, mais non pas des fruits de Trapa. Évidemment ici non plus, il n’est nullement certain que ce dépôt ne puisse appartenir à l’Up- per Freshwater-bed. Voilà les seuls endroits où M. Rem croit avoir observé le „Lo- wer Freshwater-bed” in situ. Pour le reste, ce n’est que par des fragments remaniés, dans l’Estuarine-bed, et surtout par des gâteaux de tourbe et des plaques d’argile endurcie par imprégnation ferru- gineuse (clay-ironstones) ramassés sur la plage, renfermant, les uns, surtout des graines et les autres, des feuilles de plantes, que M. Rew croit devoir admettre un Lower Freshwater-bed. 1) Cromer Memoir, p. 16 en 33. 2) Origin of the British Flora. p. 89 et 93. *) Pliocene Deposits of Britain, p. 168. DANS LA SÉRIE DU ,,FOREST-BED’? OU LE CROMERIEN. 69 D’après une lettre que je viens de recevoir de M. Rein et d’après son ouvrage „Origin of the British Flora” (p. 74), il a reconnu, par les feuilles, dans ces clay-ironstones: Cornus sanguinea Ulmus montana? Betula alba Alnus glutinosa Quercus robur Fagus sylvatica Salix, 2 sp. Pinus sylvestris Picea excelsa (cône) En outre, dans sa lettre, M. Rerp cite encore Trapa natans, trouvé, d’après „Origin of the British Flora” (p. 82), à Mundesley, dans la tourbe du supposé Lower Freshwater-bed, puis Nuphar luteum et Menyanthes trifoliata (p 134), de Mundesley et de Hap- pisburgh, et Osmunda regalis. Cette dernière espèce est très com- mune dans le Cromerien de Mundesley (p. 168). Évidemment, on est moins sûr de ce que les clay-ironstones jetées sur la plage proviennent, en effet, d'un dépôt plus ancien que l’Estuarine-Bed. Or, si l’on fait abstraction des plantes déter- minées par les feuilles renfermées dans ces cailloux, il n’en restent que peu dont on pourrait présumer avec un peu plus de droit qu'elles vinrent peut-être d’un dépôt inferieur, et de celles-ci de même, il est tout au moins possible qu'elles appartiennent à l’Up- per Freshwater-bed. Notons de plus que, dans l'argile de Tégelen, incontestablement pliocène, il se trouve: Trapa natans Cornus mas Nuphar luteum Abies pectinata à côté d’espéces disparues de l’Europe septentrionale, ou ne vivant plus. L'existence d’un Lower Freshwater-bed réel, qui aurait fourni à M. Rein les plantes citées, reste done pour le moins très pro- blématique. 10* 70 WÄGE DES DIFFÉRENTES ASSISES ENGLOBEES EN Revenons à présent au Forest-bed propre, le dépôt d’estuaire de la série cromerienne et regardons d’abord de plus près le gravier qui le compose dans une si grande proportion. Le caratère des cailloux de celui-ci est remarquable. Ces cail- loux ne peuvent avoir été apportés que par un grand fleuve qui venait de [Est ou du Sud-Est. Un nombre considérable de ces cailloux sont d’origine rhénane. En effet, de commun accord, les géologues anglais n'hésitent pas à considérer ce cailloutis des côtes de Norfolk et de Suffolk comme un dépôt d'un ancien Rhin avec ses tributaires, en partie anglais. Beaucoup de ces cailloux sont angulaires et de dimensions assez grandes. Des rognons de silex, gros comme le poing et parfois le double, sont communs. On y a même vu quelques gros blocs. Ainsi, à Sherringham, à la base de cette division de la Série du Forest-bed, un bloc angulaire de prétrosilex (felsit), long de 27 cen- timétres et, un peu plus loin, plusieurs masses de quartz laiteux et des blocs de quartzite d'environ 30 centimètres. A East-Runton, un bloc de granit grossier, grisätre, de provenance inconnue, me- surant jusqu'a 60 centimètres, a été vu parmi les morceaux d’ar- gile et les os. 1) Dans l’opinion de M. Rein, il est évident qu’un bon nombre des pierres de ces graviers ont été transportées dans leur gîte actuel par des glaçons de rivière. Mais il ne croit pas qu il soit pour cela nécessaire d'admettre que le climat d'alors ait été plus arctique que celui de Norfolk d’aujourd’hui, parce que, durant des hivers rigoureux, les glaçons de la Tamise d’aujourd’hui seraient tout-à- fait capables de charrier les plus grandes de ces pierres. Je n’en doute pas, mais il me paraît impossible que jamais les glaçons d'une rivière actuelle de ces contrées transporteraient de grosses pierres dans une aussi grande proportion qu’elles se trouvent dans ce gra- vier. De plus, il n’est pas admissible qu’un seul des assez gros cail- loux rhénans, si nombreux dans ces graviers, aît fait le trajet des quatre cents kilomètres de l'aval de cet ancien Rhin sur un terrain d’alluvions, autrement que transporté par des glaces. En effet, les eaux, demeurées liquides, d’un fleuve, quelque puissant qu’il soit, ne déplacent ces gros graviers de fond que quand la pente appar- tient au régime torrentiel. Ce dernier est impossible sur un terrain composé dalluvions. Or, un transport glaciaire sur une aussi 1) C. Rein, Pliocene Deposits of Britain, pp. 154 et 158. DANS LA SÉRIE DU „FOREST-BED” OU LE CROMERIEN. 71 grande échelle implique nécessairement un climat de beaucoup plus froid que le climat actuel, une véritable époque glaciaire. En prenant en bonne consideration tous ces faits concernant le gravier du Cromerien, il me paraît inévitable d'admettre, pour leur transport, les mêmes effets qui ont été en jeu pour le dépôt des eailloutis glacio-fluviatiles du Pléistocène, des effets semblabes à ceux qui se produisent comme un phénomène constant dans les fleuves actuels de la Sibérie, du Canada et de l'Alaska !). La formation de glace de fond doit avoir été un phénomène très général aux périodes glaciaires de l’époque pléistocène. Quand, avec le dégel universel, des radeaux de glace ayant, à l’amont du Rhin et de ses tributaires, adhéré au fond et comprenant dans leur masse les cailloux qui les jonchaient, dérivaient vers l’aval pour aller échouer à l'embouchure du grand fleuve, ils devaient y apporter les matériaux des graviers en question. C'est le seul moyen, me semble-t-il, de comprendre leur dépôt. Je n'hésite donc pas à considérer le gravier du Cromerien comme un véritable dépôt glacio-fluviatile, un dépôt produit par la fonte des glaces. Or, comme l'extension du domaine des glaces est le fait caractérisant l’époque pléistocène, il s’ensuit qu’il faut rapporter ce dépôt du Forest-bed propre ou l’Estuarine-bed à cette époque. Que le Crag de Weybourne, sous-jacent, soit un dépôt glaciaire, personne n'en doute. Pas moins d’un sixième du nombre total des espèces de mollusques marins de ce dépôt sont des espèces arcti- ques et aucune espèce n’est méditerranéenne, tandis que, au con- traire, les couches sous-jacentes comptent moins d’un douzième du nombre total d'espèces arctiques et plusieurs espèces méditer- ranéennes. De plus, dans le Crag de Weybourne également, on rencontre fréquemment d’assez gros bloes qui ont dû avoir été charriés par la glace. M. Rerp cite, de la base du Crag de Wey- bourne, un gros cailloux de quartzite ayant 25 centimètres de dia- mètre, un bloc angulaire de grès brun d'origine inconnue, long de 30 centimètres, et un autre bloc de quartzite long de 45 cen- timètres *). Le gros bloc de basalte mesurant 45 centimètres en largeur, cité par M. H.-B. Woopwarp, ®) appartient probablement 1) A. DE LAPARRENT, Traité de Geologie. 4° édition, pp. 814—317. 2) Cromer memoir, p. 12 et 14. 3) Ibid., p. 58. (2 WAGE DES DIFFÉRENTES ASSISES ENGLOBÉES au même horizon. On sait d’ailleurs que, bien que le gravier cail- louteux de la base du Crag de Weybourne soit principalement com- posé de rognons de silex, d’origine locale, ce ,stone-bed” contient un nombre considérable de pierres d’origine méridionale. Voilà donc le dépôt glaciaire précédant la division glacio-flu- viatile du Cromerien. | J'ai déjà indiqué que je considère le Crag de Weybourne im- médiatement sous-jacent à l’Estuarine-bed du Cromerien, les deux sections de Trimingham et du Nord-Ouest de Cromer décrites par M. Rerp, comme ne prouvant pas que quelque dépôt d'eau douce soit intercalé entre ce dépôt marin et celui d'estuaire. Fréquem- ment, d’ailleurs, ceux-ci ne peuvent pas être delimités l’un de l’autre là où ils sont tous les deux presents; souvent, il est douteux que l’on ait affaire à l’un ou à l’autre dépôt, ou bien il semble que l’un d'eux seulement soit présent. A l'exception de ces deux coupes problématiques, le Crag de Weybourne est toujours en contact avec le dépôt d’estuaire du „Forest-bed”, s’il n'est pas à nu). Dans ma manière de voir, les ossements que l’on trouve dans ce dernier, le plus souvent à sa base, au milieu de morceaux d'argile dérivés de quelque dépôt d’eau douce, plus ancien que l’Estuarine-bed et le Crag de Weybourne, sont dérivés du même dépôt argileux, probablement peu eloigné ?), duquel ils ont été lavés par les grandes crues à l’époque de la fonte des glaces de la première époque glaciaire. La destruction de ce dépôt ossifère, 1) Voir, à cet égard, les coupes du Forest Bed dans le Cromer memoir de M. Rein, et sa description précitée de 1877. 2) M. Rerp à déjà admis la possibilité que quelques-uns des débris de mammi- fères de l’Estuarine-bed ont été lavés d’un dépôt d’eau douce detruit, qu'il considérait avoir été son „Lower Freshwater-bed” (Cromer memoir, p. 44). Je puis bien me ranger de l’avis de M. HARMER, qui regarde les ossements de mammifères de la base du Crag rouge et de celle du Crag de Norwich comme dérivés de quelque dépôt préexistant du Pliocène inférieur, ou du Miocène. Cette manière de voir supprime, en effet, la difficulté de se figurer des animaux d’un type plus ancien et méridional, tels que Mastodon, continuant à vivre durant l’époque du Crag de Norwich, coexistant avec la faune malac ologique de ce dernier et avec des mollusques arctiques, tels que Astarte borealis et Cardium groenlan- dicum. (HARMER, On the Kessingland Cliff section, etc. (Quarterly Journal of the Geological Society of London. Vol. 33 (1876), p. 133—139) et: Sketch of the later Tertiary history of East Anglica, 1. c., p. 433). Il me semble être de prime im- portance de réexaminer l’ordre stratigraphique de tous ces dépôts, en ne tenant pas compte des débris de mammifères qu'ils contiennent. DANS LA SERIE DU „FOREST-BED) OU LE CROMERIEN. 13 où les ossements furent d’ailleurs protégés dans leur enveloppe d'argile mieux que dans aucun autre dépôt non consolidé. aura eu lieu avec assez peu de violence pour que de gros morceaux d'argile et des fragments des ossements renfermés dans ce dépôts, quelquefois de dimensions considérables, aient pu rester entiers. D'autre part, il ne peut pas nous étonner que la plupart des os ont été brisés, ces os ayant déjà été rendus beaucoup plus fragiles par la fossilisation anterieure qu'ils n'étaient dans l'état frais; mais leur sculpture superficielle a ordinairement dû plus ou moins s’user par ce lavage. Aussi, à l’exception des dents, presque aucun des ossements du „Forest-bed” propre, que j'ai vus aux Musées de Londres et de Norwich n’a la sculpture superficielle aussi intacte que ceux de Tégelen. A l'appui de cette manière de voir que le dépôt du Crag de Weybourne aussi est, en effet, postérieur à ce dépôt d'argile ossi- fère, dont l'existence a été reconnue aux produits de sa destruction, on pourrait encore citer les faits que, dans ce dépôt marin aussi, on rencontre souvent des ossements d’Arvicola intermedius et d'autres mammifères ainsi que des coquilles d’eau douce et terrestres. Ce- pendant, il n’est pas prouvé que ces faits n’indiquent pas simple- ment, comme le veut M. Rerp, des conditions locales d’estuaire ayant existé lors du dépôt du Crag de Weybourne. En résumé, je considère que c’est à tort que l’on a réuni, dans un même groupe, le Cromerien ou la Série du Forest-bed, les trois dépôts prénommés, en admettant qu'ils sont contemporains ou à peu près. Je pense que les faits nous obligent à rapporter le Forest-bed propre ou l’Estuarine-bed, aussi bien que le Crag de Weybourne, à la première période glaciaire de l'époque pleistocène, la période sca- nienne de M. James Geikie. Les ossements, du moins la plupart, qui ont fait ce dépôt célèbre, ne sont qu’empruntés à quelque dépôt du Pliocène superieur et n’v ont été introduits, avec des lambeaux d'argile et des gâteaux de tourbe, que par la destruction de ce dépôt plus ancien. C'est ce dépôt, peut-être entièrement détruit, qu'il faut considérer comme l’equivalent anglais de l’Argile de Tégelen et de la Campine. Le gravier du ,Diluvium rhénan” de Tégelen, qui, dans quel- ques rares cas, lui aussi, renferme des os remaniés de l'argile pliocène, dépôt glacio-fluviatile de la première période glaciaire, paraît alors être l'équivalent réel du „Forest-bed” propre, assise qui seule, dorénavant, semble pouvoir mériter ce nom. 74 LAGE DES DIFFÉRENTES ASSISES ENGLOBEES ENZ. La faune et la flore de l’,Upper Freshwater-bed”, mieux nommé simplement le Freshwater-bed, sont donc interglaciaires, et du moins la plupart des rares plantes trouvées probablement dans quelques parties de ce dernier, déposées dans des bassins un peu plus profonds et trouvées surtout dans des cailloux d’argile dureie et des morceaux de tourbe jetés sur la plage, plantes qui ont induit M. Rein, malgré tant de contradictions données par les autres faits, à admettre un dépôt d'eau douce en dessous de l’Estuarine-bed, appartiennent aussi à cette division supérieure de Vhétérogéne ,Cromerien”. Quelques-unes de ces plantes peuvent appartenir en prope à cet Estuarine-bed, et il n’est pas impossible que quelques-autres soient effectivement dérivées du même dépôt argileux préexistant, inconnu in situ, qui a fourni les ossements à l’Estuarine-bed. Il me parait que, par cette maniere de voir, les faits relatifs au ,Cromerien” sont remis en accord naturel, aussi bien entre eux qu'avec les données ayant rapport au Pliocène supérieur et aux premières périodes de l’époque pléistocène d autres contrées de l’Europe. HAARLEM, Septembre 1905. ARCHIVES MUSÉE TEYLE LIBRAR\ NEW YORE BOT NICAI SERIE VOL se Deuxième partie. HAARLEM. — LES HERITIERS OOS TESS 1906. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. ; | TRE IL | ; érès Ben oe ” 2 JUL 20 1906 ANS; En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire de la fondation Teyler a l'honneur d'informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l'indique déjà leur titre, contiendront d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l’usage. En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur, Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881. a are mn dns A arora lé oant GTS By ame ac hun ES taire j 1 | | nd Ban, Kn BED: Jia cea vl Gn betas’ ‘gla ie Re oot ENS en | Te BR . té ND Bep, SEND une A: Per ES ENS a TEN . 2 4 Ba). i ae il RTE run As é b "Giga FE ya. Arin 14) CO ne 7 nr dar! eis, a OFDM + | (LUKE nr Ton. MA ant sg f akin gat ed ira) wal Aan Aha di ala AT IONELTO sure wor } | TAART ‘ let MA Fe teases ib Al td eli YO a Ta A EN Lau "Bik ie ae Lou aidan) ole ERA Tir “gy “heme + PROGRAMMA VAN TEYLERS TWEEDE GENOOTSCHAP TE HAARLEM, voor het jaar 1906. H.H. Direcreuren VAN Teyter’s SricHTING en de LEDEN VAN Teyver’s Tweepe GernoorscHap hebben besloten voor het jaar 1906, de volgende prijsvraag uit te schrijven: Het Genootschap vraagt een historisch en experimenteel onderzoek naar het aandeel, dat bastaardeeringen gehad hebben in het ontstaan van dubbele bloemen. Volgens de heerschende opvatting hebben bastaardeeringen in den tuinbouw bij het ontstaan van varieteiten een groote rol gespeeld. Daarbij moet echter verschil gemaakt worden tusschen het eerste optreden van een nieuw kenmerk in een geslacht of groep van verwante geslachten en de latere overdrachten van dit kenmerk op andere soorten en varieteiten door middel van kruisingen. Het Genootschap wenscht, dat uit de verspreide literatuur- opgaven, voor een bepaald geval, dat der dubbele bloemen, het onderscheid tusschen deze beide phasen van het proces zoo scherp mogelijk worde doorgevoerd. Moge de tweede der aangeduide perioden voor de praktijk van den tuinbouw het belangrijkst zijn, het is duidelijk dat uit een zuiver wetenschappelijk oogpunt vooral het eerste ontstaan verdient bestudeerd te worden. Uit dit gezichtspunt wenscht het Genootschap dat het voorhanden materiaal van historische feiten worde beoordeeld en door nieuwe onderzoekingen aangevuld. De prijs voor het best en voldoend antwoord bestaat in een gouden eerepenning, op den stempel des Genootschaps geslagen, ter innerlijke waarde van f 400. De antwoorden moeten worden ingezonden vóór of op den Isten April 1907, opdat zij voor den Ie" Mei 1908 kunnen beoor- deeld worden. De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Fransch, En- gelsch of Hoogduitsch, met eene Latijnsche letter, vooral goed en leesbaar geschreven zijn door eene andere hand, dan die van den opsteller. Ook moeten zij vóór den bepaalden tijd in haar geheel worden ingezonden: geene antwoorden, waaraan eenig gedeelte bij de inlevering ontbreekt, zullen tot het dingen naar den gemelden eereprijs worden toegelaten. Alle ingezonden stukken blijven het eigendom des Genootschaps, dat de bekroonde verhandelingen, met of zonder vertaling, in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders dan met toe- stemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook behoudt het Genootschap aan zich het recht om van de niet bekroonde stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam zal oordeelen, hetzij zonder of met vermelding van den naam des schrijvers; in het laatste geval echter niet zonder zijne toestemming. Ook worden geene afschriften van de niet bekroonde stukken aan de schrijvers verleend, dan ten hunnen koste. De in te zenden antwoorden moeten, zonder naam en alleen met eene spreuk onder- teekend, vergezeld van een verzegeld briefje, dezelfde spreuk ten opschrift voerende en van binnen des schrijvers naam en woon- plaats behelzende, gezonden worden aan het Fundatiehwis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST te Haarlem. PROGRAMMA VAN TEYLERS TWEEDE GENOOTSCHAP TE HAARLEM, voor het jaar 1906. ') H.H. DirecrEuREN van TEYLER'S STICHTING en de LEDEN VAN TEYLER’S BEIDE GENOOTSCHAPPEN hebben in hunne vergadering van den 14% Maart 1906, uitspraak gedaan over de antwoorden, ingekomen op de voor 1905 door het Tweede Genootschap uit- geschreven prijsvraag, luidende als volgt: „Een zoo volledig mogelijke, alphabetisch ge- rangschikte naamlijst van Noord-Nederland- sche kunstschilders, zoowel hier te lande als elders geboren, van den vroegsten tijd tot het einde der 17% eeuw, met opgaaf van plaats, jaartal en zoo mogelijk datum van geboorte en overlijden van de vermelde kunstenaars. Deze naamlijst moet tevens eene beknopte levensbeschrijving van elken kunstenaar be- vatten, waarin ieder belangrijk feit dat eene bijdrage tot zijne levensgeschiedenis oplevert, dient te worden vermeld. Eene opgave van een of meerdere zijner voornaamste werken, van de 1) Vervolg op het in Januari Jl. uitgegeven programma, waarnaar het Genoot- schap, met het oog op de voor 1906 uitgeschreven prijsvraag, verwijst verschillende wijzen, waarop die geteekend zijn en van de plaats, waar die zich bevinden, mag hierbij niet ontbreken. Ook is het gewenscht dat, voor het biografi- sche gedeelte, de bronnen worden aangewezen, waaruit is geput.” Op deze prijsvraag zijn twee antwoorden ingekomen. Het eerste, geteekend met het motto: „Het volk dat zijne groote mannen eert is zelf niet klein’, bevat alleen een beknopte opgaaf van de voor- naamste en meest bekende Noord-Nederlandsche kunstschilders reeds door Immerzeel en Kramm vermeld, aangevuld met eenige verbeterde data van geboorte en overlijden en met enkele biogra- fische aanteekeningen welke in Oud-Holland, in Obreen’s Archief voor Kunstgeschiedenis, in tijdschriften en voornamelijk in de laatste editiën van museumcatalogi te vinden zijn. Maar van zelfstandig onderzoek van de oude zoowel als van de nieuwe literatuur is nergens iets te vinden. De vele, door bovengenoemde schrijvers nog niet vermelde Noord-Nederl. kunst- schilders, die in Oud-Holland en in Obreen’s Archief voorkomen, ontbreken geheel. Uit deze onvolledigheid blijkt voldoende dat de schrijver de bedoeling van de gestelde vraag niet begrepen heeft, dat zijn arbeid zelfs niet voor mededinging kan in aanmerking komen. Het tweede antwoord, onder de spreuk: „No man liveth to himself, and no man dieth to himself”, ingezonden, is wel meer omvangrijk, maar, wel beschouwd, niet veel beter. Ook hier hebben Immerzeel en Kramm de hoofdvoorraad van aanteekeningen geleverd, slechts aangevuld door wat schrijver in Oud-Holland, in Obreen’s Archief voor kunstgeschiedenis en verder in algemeen gebruikte boeken als: Van der Willigen’s Geschiedkundige aanteekeningen over Haarlemsche schilders, enz, — eerste editie van 1866 —, Muller’s Utrechtsche schildersver- eenigingen, enz. enz. en in eenige museumcatalogi aantrof. Hoofdbronnen, en als zoodanig natuurlijk ook te noemen zijn, voor de oudere literatuur, behalve werken als: Van Mander, de Bie, Sandrart, Houbraken, Weyerman, Van Eynden en Van der Willigen, stedebeschrijvers als: Orlers, Van Bleyswyek, enz. Voor de nieuwe literatuur: Immerzeel, Kramm, Obreen’s Ar- chief, Oud-Holland, Repertorium für Kunstwissenschaft. Gazette des Beaux-Arts, Zeitschrift für Bildende Kunst, Nederl. Kunstbode, Meyer’s Kunstler Lexicon, Bode’s Studiën, Van der Willigen’s Artistes de Harlem, 1870, Dr. Bredius Meisterwerke en de catalogi van zoo vele mogelijke musea, vooral van Duitsche, ook enkele Tentoonstellingscatalogi. Vergelijkt men hiermede de door den schrijver gebruikte litera- tuur, dan ontbreekt daaraan veel. Oud-Holland is tamelijk vol- doende geraadpleegd, maar Obreen’s Archief, voor dit doel eigenlijk nog veel belangrijker daar bijna alle nog béstaande gildeboeken er in afgedrukt zijn, is hoogst gebrekkig geéxcerpeerd. Tal van namen, die alleen in Obreen’s Archief voorkomen, ontbreken geheel, b.v. bij de letter R: Pieter Raemsdorp, Pieter de Raep Reynier Rasenburch, Pieter van Reenen, Jan Regtop, Jacob Rey- noudtsen, e. a. Verder uit verschillende catalogi, b.v.: B. van der Meer, zie Cat. Weenen n°. 1371. G. E. Megan, RIP: . dT ens 11.78, Monogrammist IS, NUS 2.1289: P. Mulier Tempesta, en 2 en Dresden. Monogramm. OS of OF , „ Pommersfelden n°. 370. à VL » » Cassel „ 456. 3 JR Na 4 » 304. L. Mak » » Manheim. Monogrammist R A, Portrettententoonstelling Den Haag en het werk daarover, door Dr. ©. Hofstede de Groot. R FvA a dw Berlijn JOUE: 7 TvB » n»n Brunswijck 99. 8 RC cit K 341. 2 JVR » » Boymans. ABS » Cambridge 391—392. HB Ne & 395. Nergens blijkt het direete putten uit de oorspronkelijke oude literatuur. Ook stedebeschrijvers als Orlers voor Leiden en van Bleyswijck, een voorname bron voor Jan Vermeer van Delft, wordt niet genoemd. Alleen van de letter A—D worden, in navolging van Wurz- bach’s Niederl. Kunstler Lexicon, hetwelk in April 1904, de termijn van inzending der antwoorden op de prijsvraag, ook tot letter D verschenen was, als oorspronkelijke bronnen oude schrij- vers aangehaald, maar na genoemde letter treft men ze niet meer aan. Slaat men verder b.v. het artikel Mostaert op. dan vindt men van de literatuur na 1885 niets genoemd, terwijl toch gewezen had moeten worden op: Zeitschrift für Bildende Kunst Neue Folge VII, Heft XII; ©. Benoit, Gazette des Beaux-Arts, 1899, 1— 265, verder op Friedlinder’s Bruggewerk in George H. de Loo’s Bruggecatalogus en op den catalogus van het museum te Brussel, waar Mostaert’s hoofdwerk is. Niet eens wordt Waagen’s Mostaert-hypothese vermeld, noch dat men onzen Mostaert de door Gliick bijeengebrachte werken toeschrijft. Het geheele artikel verraadt groote leemten in de kennis van onze Midden-Eeuwsche Hollandsche schilderkunst. Ook blijkt nergens dat Dodt’s archief geraadpleegd is. En waar tijdschriften en vervolgwerken soms zeer gewichtig materiaal be- vatten is dit zoo goed als nooit gebruikt, b.v. een artikel over Cornelis van Reijnesburgh in Frimmel’s Galerie-studiën, over Jilles Rombouts in het Repertorium für Kunstwissenschaft, over Con- stantijn à Renesse in Taurels Oud en Nieuw. Waar verschillende oudere en nieuwere boeken enkele trekjes hadden kunnen leveren, die als onafhankelijke berichten juist zulk eene groote waarde hebben, is dit steeds verzuimd. Over Arent van Reynoy had schrijver iets kunnen vinden in Souten- dam’s Wandeling door Delft, over Jan Albertus van Riethoorn in de Noord-Holl. Oudheden, over Coenraad Roepel in Uffenbach’s reisverhaal, enz. enz. Waar hiervoor nog het ontbreken van een leiddraad door der- gelijke literatuur als verontschuldiging zou kunnen worden aan- gevoerd, kan dit niet gelden voor boeken als: Bertelotti’s Artisti belgi et olandesi, Walpole’s Anecdotes of painting, enz, wier arbeid schrijver slechts ten goede is gekomen als hij dien vermeld vond in Nederlandsche werken. Evenmin is te verontschuldigen het niet raadplegen van den catalogus Schwerin, een der hoofdhulpmiddelen bij onze schilde- rijen-studie, het althans onvoldoende gebruiken van de catalogi Cassel, van de Coll Czernin, Berlijn, Praag, Pommersfelden, Wurz- burg, Coll. Harrach, Boeda-Pest, Dresden, enz Deze arbeid getuigt van groot geduld en grooten ijver, maar aangezien het publiceeren daarvan, wegens zoo goed als volledig _ gebrek aan bronnen-studie, niet als eene verrijking van onze kunsthistorische literatuur kan worden beschouwd, meent het Genootschap dien ook miet eene bekroning waardig te mogen keuren. 1 en cio et ig Ter TABLE DES MATIÈRES. Etudes sur les eaux souterraines des Pays-Bas, par Eve. Dugors. La charge de contact entre une paroi poreuse et des solutions salines, par E. vAN DER VEN. Sur l’allure des courbes de plissement chez les mélanges de substances normales, et les équilibres possibles entre une phase gazeuze et une ou deux phases liquides, par J. J. vAN LAAR. La pluralité des périodes glaciaires dans les dépôts pleistocènes et pliocenes des Pays-Bas, par Eve. Dusots. FONDATION P. TEYLER VAN DER HULST A HAARLEM. Directeurs. A. HERDINGH. L. P. ZOCHER. P-EO0OSJES: Mr. A. W. THÖNE. J. J. VAN OORDE. Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Trésorier. P. DROSTE. Conservateur du Cabinet de Physique. Dr. E. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. H. J. SCHOLTEN. Conservateur du cabinet numismatique. Jhr. H. M. RIDDER BARONET SPEELMAN. MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES. De la première Société ou Société de théologie. Prof. Dr. S. CRAMER. Prof. Dr. L J. DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VOLTER. Dr. A. C. DUKER. Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Société. Dr. E VAN DER VEN. H. J. SCHOLTEN. J°. DE VRIES, Prof. Dr. HUGO DE VRIES. Prof Dr APM PTORS Dr. H. J. DE DOMPIERRE DE CHAUFEPIE. ETUDES SUR LES EAUX SOUTERRAINES DES PAYS-BAS PA K SUG.) UB OS II L'eau salée peut-elle envahir une prise d'eau dans les dunes? Séparer le principal des détails dans les phénoménes et puis poser les questions aussi simplement que possible, voila le chemin indiqué pour la recherche de tout nouveau probléme, comme celui des conditions d’équilibre et des motions de l’eau douce et de l’eau salée dans les dunes. En regardant de trop près quel- ques-uns de ces détails, avant que l’oeil ait embrassé les traits généraux des phénomènes, on s’y embrouille. Voilà bien la raison principale par laquelle le problème en question est encore si - obscure pour beaucoup. D'après l’opinion encore trop en vogue notre connaissance sur l’eau douce souterraine des Pays-Bas, sur les côtes de la Mer du Nord, ne pourrait être mieux indiquée que par une variante de la célèbre sentence: „nil luce obscurius”. Cette opinion est erronée. Il est généralement admis, depuis longtemps, que l'eau souterraine découle, superficiellement, des régions élevées vers les régions basses. Les recherches hydro- logiques des derniers temps, dans les dunes et dans les pol- ders, nous ont appris qu'un même mouvement existe, jusqu'à des profondeurs considérables, ‘en-dessous de ces inégalités de la surface. Ce mouvement en sens horizontal implique un mouvement vertical, et il est facile de comprendre que l’un ne peut pas exister sans l’autre. ARCHIVES X. 11 76 ÉTUDES SUR LES EAUX SOUTERRAINES DES PAYS-BAS. Résumons, en quelques mots, l’état actuel de nos connaissances à ce sujet. Qu'on se représente un bassin peu profond et fermé de tous les cotés; dans lequel l’eau souterraine est par conséquent en repos. Si l’on y place un certain nombre de puits tubés, munis d'un filtre à leur partie inférieure et allant jusqu'à des profon- deurs différentes dans l’eau souterraine, on verra dans tous monter l'eau jusqu’à la même hauteur, hauteur correspondant avec le niveau supérieur de l’eau souterraine, tel comme il se présente dans toute fosse creusée. Mais qu’on se représente une autre région, également à strueture horizontale, dont le sous-sol est composé, à l'opposition avec les parties superficielles, non de sable fin et plus ou moins argileux, mais de sable grossier et graveleux. Dans ces derniers l’eau peut se mouvoir bien plus facilement. Des puits tubés semblables, placés dans une pareille région, l’un près de l’autre, laissent monter l'eau à des hauteurs différentes. Les niveaux seront consi- dérablement inférieurs dans les puits dont la partie captante est placée dans le sable grossier que dans ceux qui captent l’eau dans les couches supérieures, où le mouvement est plus difficile. Cette différence devient insignifiante à des distances très considérables du côté de l’écoulement. Indiquant une difference de pression, elle est une conséquence du fait que l’eau ne découle pas seule- ment vers ce côté bas de la région, dans le sens horizontal, mais est aussi, pour ainsi dire, aspirée par le courant bien plus rapide . dans le sable grossier du sous-sol. La différence de niveau, observée dans les puits, nous prouve un mouvement descendant de l’eau souterraine, accompagné d’un mouvement horizontal. Il va sans dire qu'en réalité ces deux mouvements sont combinés, et cela d'autant plus, à mesure que la différence de mobilité de l’eau est moins grande dans les différentes couches. Qu'en dernier lieu, on se représente, à côté d’une telle région élevée, une autre, bien plus basse, mais dont le sol a d’ailleurs la même composition, et est également à stratification horizontale. L'eau souterraine découlera de la région élevée vers cette région basse, surtout dans le sous-sol grossier. Place-t-on des puits dans ce dernier et dans ce sol supérieur, formé de sable fin et argileux, on verra également ici une différence des niveaux de l'eau, mais en sens.invers de celle dans la région élevée. Le niveau dans les puits profonds de la région élevée ne sera d’égale hauteur ETUDES,SUR LES EAUX SOUTERRAINES DES PAYS-BAS, I I à celui dans les puits peu profonds qu'à grande distance de la région basse, partout ailleurs il restera en-dessous. Dans la région basse, au contraire, le niveau sera beaucoup plus élevé dans tout puits profond que dans les puits moins profonds, il dépassera même la surface, comme si nous avions affaire à un puits artésien. Toutefois un puits artésien est autre-chose. Il est produit par l’eau coulant entre deux couches imperméables et inclinées, d’une région plus élevée vers une région plus basse, jusqu’à de grandes distances. Généralement ces couches sont courbées en forme de bassin. En perforant la supérieure, aux environs du centre du bassin ou bien à un autre point bas, on voit l’eau jaillir, comme conséquence de la pression hydrostatique qu’elle doit aux parties plus élevées. Dans notre cas nous observons le même effet, mais la cause est différente. Ici c’est le sol supérieur lui-même qui, par suite de son imperméa- bilité relative, absorbe l’eau de pluie tombée dans les contrées plus élevées, et le pouvoir ascendant est bientôt épuisé. Dans le polder du Haarlemmermeer, par exemple, ce pouvoir diminue à mesure qu'on s'éloigne des dunes et des polders plus élevés, pour s'épuiser complètement à de grandes distances. De sorte que les deux niveaux se rejoignent à peu près. La ligne des niveaux des puits peu profonds ressemble à un S allongé et couché. Celle des puits profonds est beaucoup moins courbée, conflue presque avec les bouts de 1’S couché et le coupe en son milieu, à la limite des deux régions d’inégale hauteur. C'est là un des plus importants résultats des recherches hydro- logiques pendant les dernières années, dans les dunes et les pol- ders hollandais. En effet ces recherches ont prouvé l’existence d’un mouvement de l’eau simulant un vrai mouvement artésien. Mais celui-ci se produit en réalité sous une couche superficielle peu perméable, formée par des dépôts horizontaux, au-dessus desquels l’eau souterraine, par suite d’un entassement naturel de sable, est plus élevée dans l’un des terrains que dans l’autre. La différence de niveau dans les puits profonds et peu profonds indique la composante verticale du mouvement de l’eau souter- raine, tandis que la différence de niveau mutuelle des puits pro- fonds indique la direction du mouvement en sens horizontal. En effet, en plaçant des puits forés jusque dans le sous-sol grossier, dans une rangée allant de la région plus élevée à la région basse, on verra l'eau monter à des hauteurs différentes. Une ligne oblique tirée de la région élevée vers la région basse et reliant les différents Li? 18 ÉTUDES SUR LES EAUX SOUTERRAINES DES PAYS-BAS. niveaux ; la direction dans laquelle cette ligne descend indiquera celle du mouvement de l'eau souterraine dans le sous-sol grossier. Rappelons nous l'illustration de ce principe par l'expérience repré- sentée dans la fig. 2 de mon article antérieur. !) Or, ces régions imaginaires existent en réalité. La région la plus élevée représente les dunes, la region basse les polders et la mer, surtout les polders. De même, la constitution géologique supposée représente l'état réel, comme je l’ai décrit en détail dans mon article antérieur, auquel je me permets de renvoyer le lecteur. Je dois toutefois insister sur le fait que l'existence de courants artésiens, venant du Sud ou de l'Est de notre pays, admise encore par M. Reinier D. VERBEEK, ?) n’est nullement prouvée. Le mou- vement ascendant de l'eau douce dans un puits sur la plage de Zandvoort en est aussi peu la preuve que le déversement du puits au Brouwers Kolkje près d’Overveen et d’autres puits forés dans le bassin de la distribution d’eau d’Alkmaar (dans les dunes près de Bergen), dans le bassin de la distribution d'eau de Leide (dans les dunes de Katwijk), et dans tout polder profond, à des distances pas trop grandes du bord. Que l'eau monte au-dessus du sol n’est qu’une conséquence nécessaire des conditions naturelle- ment existantes que nous venons de décrire. Contre l’opinion de M VERBEER on peut encore opposer l’exemple d’une vessie pleine de liquide et si perméable qu’étant soumise à quelque pression elle laisse transsuder ce liquide sur toute sa surface, ou bien d’une vessie qui se gonfle par imbibition; de laquelle le liquide jaillira si l’on y fait une piqure. Une autre circonstance de grande importance pour l’état de l’eau souterraine dans les dunes et polders de la Hollande est la présence d’eau salée en-dessous de l’eau douce. Il est bien etabli aujourd’hui que, d’après le principe trouvé, en 1887, par M. Bapon GHYBEN et retrouvé, en 1901, par M. HERZBERG, l’eau salée imbi- bant, jusqu'à des grandes profondeurs, notre sol, constitué prin- cipalement de sables, ne se mêle presqu’absolument pas avec l’eau douce en-dessous, mais se trouve avec cette dernière dans un état d'équilibre hydrostatique. En effet, dans une couche d’eau douce, reposant à l'état libre sur de l’eau salée, la diffusion de cette dernière ne se fait déjà que très lentement; cette diffusion est 1) Archives, Série II, Tome IX. Haarlem 1904. *) Artesisch drinkwater voor Amsterdam en ’s Gravenhage. Haarlem 1905. ÉTUDES SUR LES EAUX SOUTERRAINES DES PAYS-BAS 79 presque nulle quand ces deux liquides sont enfermés dans les interstices capillaires de sable. D’autre-part le sable fin des dunes retient assez l'eau de pluie qui s’y infiltre, pour qu'elle puisse s'y accumuler considérablement au-dessus du niveau de la mer. C’est ainsi qu’elle déprime l’eau de mer en-dessous, dans la proportion de 40 à 1, en chiffre rond. M. le Dr. G. Romi, à Bois-le-Duc, a eu la bonté de me rappe- ler que Darwin, dans sa description de voyage, qui parut déjà en 1838, mentionne que l’eau douce sur l'Ile des Cocotiers monte et s’abaisse avec les marées. Le grand naturaliste explique correc- tement le phénomène comme la conséquence de ce que l’eau de pluie, imbibant la roche poreuse de corail comme une éponge, déprime l’eau de mer. Mais Darwin se trompait, en supposant que l’eau douce descendrait au niveau de la mer et remplacerait un volume égal d’eau salée. Le diagramme ci-jointe sert à donner une idée générale des conditions hydrologiques des dunes, du polder du Haarlemmermeer Fre. 1. et des polders peu profonds à l'autre bord de ce dernier, d’après les connaissances actuellement acquises. La courbure de la ligne des niveaux des puits profonds et de la ligne de limite de l’eau salée est très exagérée dans cette figure, en conséquence de l’échelle exagérée de toutes les dimensions horizontales Les couches „allu- viales”, peu perméables, qui ont été figurées comme un ensemble, ne devraient y occuper qu'une épaisseur d’un quart de millimètre, TR 80 ETUDES SUR LES EAUX SOUTERRAINES DES PAYS-BAS, dans la proportion naturelle. La couche de sable très grossier, immédiatement sous-jacente, est spécialement indiquée, à cause de sa distribution régulière. Il importe de bien remarquer l'épaisseur minime de la couche peu perméable, relativement à son étendue, sa disposition horizontale et de ne pas oublier que l’eau de la surface est, pour ainsi dire, aspirée en-dessous de cette couche par le courant d’eau qui se meut mille fois plus facilement dans les sables grossiers du Diluvium. On comprendra aisément que cette couche peu perméable peut laisser passer dans les derniers presque la totalité de l’eau de pluie, qui, annuellement, s’infiltre dans le sable des dunes. Ce n’est que vers le bord des dunes que, par-ci-par-lä, quelque eau peut découler au-dessus de la couche peu perméable. Or, il y a quelques années, on nous a fait peur en prétendant un danger qui découlerait justement de la „théorie de HERZBERG”. On vient de répéter cet avertissement en termes expres !) Mais, comme nous verrons dans la suite, ce danger imaginaire n’est que la conséquence d’idées obscures sur cette théorie”. De plus on n’a pas tenu suffisament compte, dans son application, d’autres circonstances, spécialement d'ordre géologique. À la suite de cette „théorie” l'eau de mer, dans le sous-sol des dunes, monterait dans une prise d’eau en proportion de 40 fois Vabaissement subi par l’eau douce. L’on pensait qu'un tel déficit devrait nécessairement se produire dans la prise d’eau d’Amster- dam, si le captage artificiel et le découlement vers le polder du Haarlemmermeer ne seraient pas balancés par l’eau tombée qui sinfiltre annuellement dans le terrain de la prise d'eau. Il devrait se produire aussi bien à la suite d'un captage d’eau en-dessous de la couche peu perméable qu’au-dessus de celle-ci. Ce déficit, pensa-t-on, ne pourrait être compensé que par l’eau salée. Afin de mettre en évidence ce qu'il y a d’erroné dans cette manière de voir, je prie le lecteur de fixer son attention sur le système de vases communicants dans notre fig. 2. Les deux vases Z et Z’ représentent la mer et sont remplis de liquide lourd (eau). Dans les vases D et d, représentant les dunes, et spécialement d une prise d'eau dans les dunes, on verse un 1) J. M. K. PENNINK, De prise d’eau der Amsterdamsche duinwaterleiding. (Tijdschrift van het Kon. Instituut van Ingenieurs. Verhandelingen], pgs. 184— 238, avec 18 planches. ’s-Gravenhage 1904. ÉTUDES SUR LES EAUX SOUTERRAINES DES PAYS-BAS. 81 liquide plus léger (huile). Les vases Z, d, D et Z’ sont munis de tubes trans versaux, d’égale diamètre, qui les mettent en commu- nication, aussi bien au-dessus des niveaux de contact des deux liquides qu'endessous. Si l’on se figure d'abord les tubes w et w’ fermés, on verra se produire l'équilibre selon le principe de BApon GHYBEN. Le poids spécifique du liquide lourd (eau) étant lys celui du liquide léger (huile), le niveau libre de ce dernier, dans les vases d et D, doit être à la hauteur h au-dessous du niveau libre du liquide lourd, si celui-ci y est déprimé d’une hauteur 8 h sous son niveau libre. Il faut prendre les vases Z et 2’ très larges ou, mieux encore, il faut suppléer à toute perte qu’ils subiraient, en conséquence d’une diminution du liquide léger des vases d et D, de sorte que le niveau dans les vases Z et Z’ (représentant la mer) est maintenu constant. Z d D Z Fro. 2. Fermons encore la communication n et enlevons de d une partie de l'huile, occupant la hauteur, de 9 millemètres en d. Il s'établira en ce vase un nouvel état d'équilibre avec le liquide lourd dans Z, de telle manière que le niveau de contact des deux liquides dans d montera 8 millimètres et le niveau libre du liquide léger s’abaissera de I millimètre. Si à présent nous rouvrons la communication n nous observe- rons que le liquide lourd en d s’abaissera presque à son niveau antérieur, si le vase D est très large en comparaison de d ; il n'aura absolument pas monté, si nous prenons soin de tenir le niveau libre du liquide dans D à la mème hauteur par un supplément équivalant la perte de d. L'équilibre détruit se rétablit, complè- tement ou presque complètement, le statu quo se maintient par le liquide écoulant de D à d, tandis que le liquide lourd reste complète- ment ou presque complètement à son niveau antérieur. Ke 82 ÉTUDES SUR LES EAUX SOUTERRAINES DES PAYS-BAS. Nous voyons done que ce n’est pas le liquide lourd, mais le liquide léger qui a la fonction de rétablir l’équilibre détruit dans ce dernier. Ceci est une conséquence naturelle de ce que le liquide leger en d forme avec celui en J) un système supérieur de vases communicants, pour lequel le liquide lourd dans l’autre système (inférieur) n’est que le fond ou une partie des parois. Or, d’après le principe des vases communicants, leur forme est indifférente. Nous pouvons déduire de l’expérience décrite la règle suivante. Que le poids spécifique du liquide lourd soit de 1 + © fois celui du liquide léger. (Dans le cas de l’huile, en équilibre hydros- tatique avec de l'eau, p est égal à 8, dans le cas d’eau douce avec de l’eau de mer environ 40). Que la proportion des sections des deux vases à liquide léger soit n. Si on enlève du vase étroit d une colonne de liquide léger, de la hauteur h et qu'on laisse se rétablir, dans les vases D et d, l'équilibre hydrostatique du liquide léger, ils auront perdu ensem- bles une colonne de liquide léger de la hauteur. h n +1 Après que l'équilibre hydrostatique s’est rétabli entre le liquide léger dans ces deux vases et le liquide lourd dans les vases Z et Z (maintenu à niveau constant en y suppléant le liquide néces- saire) le niveau de contact des deux liquides en d est monté de et le niveau libre du liquide léger s’est abaissé de ntl hc ee m+1 p+1 Il faut done que de D à d il se soit déplacé une colonne de liquide léger, occupant en d la hauteur. A a h ER. 1 DE NON SEEN es, Co En même temps il faut qu'il se soit déplacé de Z à d une colonne de liquide lourd, occupant en d la hauteur h p mal“ p+i ÉTUDES SUR LES EAUX SOUTERRAINES DES PAYS-BAS, 83 On trouve ainsi. que les quantités des liquides leger et lourd qui se sont déplacées à d sont dans le rapport de (n 4 al à 1 Pp Ce résultat appliqué au dunes démontre le principe suivant: Toute perturbation de l'équilibre hydrostatique naturel entre l'eau de mer et une nappe d’eau douce, non suffisament alimentée par l’eau de pluie, en conséquence d’un captage local d’une partie de cette eau douce, ne pourra se rétablir que par un déplacement vers la région de pression diminuée, d’au moins autant de parties d’eau douce, contre une partie d'eau de mer, que la superficie de cette région à dépression hydrostatique est contenue dans la superficie restante de la nappe d’eau douce Dans le cas que la quantité de l'eau douce serait effectivement illimitée, par suite d'une alimentation par l’eau de pluie, équivalant le captage local de la nappe, l’état d'équilibre resterait invariable. Afin de nous rapprocher autant que possible, par l'expérience, des conditions naturelles, nous avons à ouvrir aussi les communi- cations w et w’. En effet, ce que nous savons de la structure géo- logique du sous-sol des dunes et des polders nous oblige d'admet- tre qu'en général l’eau peut s'y mouvoir dans une direction horizontale aussi bien que dans l'autre, tandis que cette mobilité dans des plans horizontaux différents, par suite de cette même structure, plus ou moins horizontale, est très différente De plus, toutes les communications entre les quatre vases ne devront pas être des tubes simples, mais des faisceaux de tubes capillaires, (imitant les interstices du sable), dans chacune de ces communi- cations à nombre égal. Dans une imitation parfaite il devrait y avoir des tubes communicants capillaires sur toute la hauteur de nos vases, mais un faisceau au-dessus et un autre au-dessous de la base du liquide léger suffisent à la démonstration principielle. Évidemment dans les communications w et w’ il devra exister, sur toute la hauteur du liquide léger, des courants dirigés de d et D vers Z et 2’. C’est là une conséquence nécessaire du principe de Bapon Guysen, selon lequel seulement en-dessous de la base du liquide léger il y a équilibre hydrostatique, au-dessus l'équilibre est dynamique. Dans ces circonstances il sera superflu d’insister sur l'impossibilité d’une invasion de la mer, soit de côté soit d'en bas, dans une prise d'eau, tant qu'il y existe encore un surplus de pression de l’eau douce entre les points du captage et la mer. ARCHIVES X. 12 84 ÉTUDES SUR LES EAUX SOUTERRAINES DES PAYS-BAS. Certes, il pourrait se former des ,cônes d'éruption” au-dessous des puits, si l’on allait les placer très proche de l'eau salée inférieure. Mais une telle manière d’agir n’a pas de raison d’être, où, à 30 mètres sous le zéro d'Amsterdam, on est déjà bel et bien dans la grande „veine d'eau” et a encore 30 à 50 mètres d’eau douce en-dessous. Le danger pour une telle répression dynamique de la grande puissance naturelle de l'eau douce de tenir subjugée l'eau salée, répression qui pourrait résulter d'un captage trop excessive, est d’ailleurs assez minime. Le mouvement que l’on peut donner à l’eau souterraine à la suite du pompage est pour cela bien trop lent, déjà à des distances médiocres du puits. D’après les données existantes on peut calculer qu'avec une dépression artificielle du niveau dans un puits, de 3 mètres, l’eau coulant vers ce puits n’atteindra qu’une vitesse de moins de !/,,, milli- mètre par seconde, à 30 mètres de distance horizontale du puits et de moins de !/, 9), de millimetre par seconde, à 200 mètres de distance Ce sont des vitesses de la même ordre de grandeur que les vi- tesses naturelles, qui certainement ne suffisent pas à franchir les limites établies par la nature entre l'eau salée et l'eau douce. Un captage de l’eau douce au-dessus de la couche „alluviale” peu perméable, serait il capable de former un grand cône d’eau salée, à la suite d'une dépression hydrostatique locale? Évidemment un tel cône pourrait se former dans un sol homo- gène d'argile et de sable fin. Dans les conditions géologiques don- nées la production de ce cône est impossible, parce que l’eau douce des environs peut se mouvoir facilement dans le sable grossier en-dessous. Cette eau douce, en effet. dans tous les horizons, est sous une pression supérieure à celle de l’eau salée. Qu’on se rapelle les flêches dans notre seconde figure. Ce n’est qu'avec une dépres- sion générale de l’eau souterraine, dans toute la région des dunes, que l’on aurait à craindre un envahissement de l'eau salée, à la suite d’un captage au-dessus des couches peu perméables de l’,Alluvium”. Et nous savons que le régime naturel de la nappe douce des dunes est tellement puissant, qu'il ne serait pas facile à y produire une dépression générale. Haarlem, Février 1906. LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE ET DES SOLUTIONS SALINES PAR EWAN) DE Riv EN: Dans sa séance du 5 Octobre 19031) l’Académie des Sciences reçut une Note de M. Jean Perrin, dans laquelle ce savant lui fait part des résultats de ses derniéres recherches sur la maniére, dont la charge électrique, que prend un solide par son contact avec un liquide, est déterminée et modifiée par des ions différents. En résumant ce qui lui a paru sur cette matiére il dit, en indi- quant par cela la méthode par lui suivie: „L’osmose électrique donne un moyen facile d'étudier la „charge de contact entre un solide quelconque et un liquide”. Que ceci n’est pas seulement le cas pour ce qui regarde des études du genre de celles de M. PERRIN, mais qu'il vaut encore sil s’agit d’instituer un examen quantitatif des variations que la charge de contact subit, quand une paroi poreuse vient en contact avec des solutions salines de nature différente, cela paraîtra, je l’espère, des considérations suivantes. La force, qui occasionne le transport des liquides par le courant electrique, souvent appelé, dans un sans figuré, osmose électrique”, a son origéne dans l’action réciproque entre la différence de potentiel 4V, qui, dans la direction du courant, existe des deux cotés de la paroi poreuse, et la charge électrique Æ du liquide contenu dans les pores de cette paroi, charge égale et de signe contraire à celui de la charge de contact entre elle et le liquide 1) Comptes rendus, T. XXXVII, p. 518. ARCHIVES X. 15 86 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE environnant. Si, comme de coutume, nous prenons 4 V positif dans la direction de l’anode vers la kathode, alors le liquide, contenu dans les pores, sera poussé dans la même direction ou attiré dans la direction opposée, selon que sa propre charge est + Mou - E, celle de la charge de contact — K ou + E Done, si l'on connait la quantité d’un liquide qui, dans un temps donné, est poussé, par un courant d'intensité donnée, par une paroi de surface et d’epaisseur connues, si puis on détermine expérimentalement la quantité de ce liquide que, dans un temps égal, une force donnée pousse par la même paroi, on disposera des données nécessaires pour pouvoir déterminer la valeur de la force H AV. Pourtant, avant de procéder à cette détermination nous voulons tâcher d'exprimer la quantité de liquide, transportée dans des circonstances données, dans les variables dont elle dépend. Pour y parvenir nous partons de l'équation i 4 GN Aus dans laquelle M. PorseuiLLe à exprimé la manière dont, selon ses recherches vraiment admirables !), la quantité Q d'un lipuide qui, dans un temps, donné est poussée, au moyen d’une pression connue par un tube capillaire, dépend de sa longueur / et de son diamètre m, et dans laquelle est un coëfficient qui varie avec la tempé- rature, la viscosité du liquide et avec son adhésion à la matière dont le tube est construit. En faisant ainsi nous considérons la paroi poreuse comme per- forée d’un nombre extrèmement grand de tubes capillaires hori- zontales, dont la longueur, égale à l’épaisseur moyenne de la paroi (+ 4 m.M) est assez grande pour y appliquer l'équation de M. POISEUILLE. ?) Si nous substituons dans l’équation (1) à S la force AV, que transporte le liquide par une des pores, et à / l’épaisseur d de la paroi, elle devient 1) La traduction d’un rapport détaillé de ces recherches, des mains de M. M. ARAGO, BABINET, PIOBERT et REGNAULT a paru dans Poggend. Ann., V. LVII, p.p. 424—448. 2) Poggend Ann., V. LVIII, p. 431. „Eine Röhre von 0.029™™ Durchmesser folgte dem Gezetz, als sie nur 2.10mm lang war.” ET DES SOLUTIONS SALINES. 87 1 ‚edVm t = N re Fam ANT D d forme sous laquelle elle représente la quantité t de liquide qui, dans l’unité de temps, est transportée par chaque pore individuelle de la paroi et dans laquelle « est le nombre d’unités électriques dont est chargé le liquide contenu dans cette pore. Appellons maintenant J l'intensité du courant transportant, n le nombre des pores, k le coëfficient de conductibilité électrique du liquide, alors I d a OENE n km? sera la valeur de la différence potentielle des deux cotés de la paroi, prise dans la direction d’un filet de courant. En substituant cette valeur dans l'équation (2) elle devient I d m* I m? Ne tnt Ne DE de sorte que T= NEI‘. ee sera la valeur de la quantité de liquide, transportée dans l'unité de temps par toutes les pores à la fois; valeur dans laquelle Æ représente le nombre d’unités d'electricité, dont toute la surface est chargée. | Dans cette équation la quantité de liquide transportée semble dépendre du diamètre moyen m des tubes capillaires d'une manière différente de celle, dont elle en dépend dans la formule de M. Porseuizze Pourtant cette différence n’est qu’apparente, parcequ’en effet elle resulte de ce que dans le cas actuel la force S est rem- placée par une force, qui elle-même est la réciproque du carré de ce diamètre. Il paraît de l’équation (4) que, si notre supposition quant à la nature de la force transportante sera conforme à la réalité, la quantité transportée devra être indépendante, et de l'épaisseur de la paroi, et de l'étendue de sa surface. Ce fait a déjà été signalé par M G. Wıepemann !) et il paraît de nouveau clairement des recherches suivantes. 1) Poggend Ann., V. LXXX VII, p. 233—236. 13* 88 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE CSO 20 parties de sel sur 100 parties d’eau. T=2 amp. Hauteur de la vase poreuse: 16 cM. Volume , „5; » > 405 cMi. 1. Le manteau de la vase poreuse transporte sur toute sa surface; le fond seul est verni. En 10 minutes. Gouttes. Goultes. Grammes. gh. Om. Os — 9h. 10m. 145. 9 = 9443 : — 92443 10 14 20 5 24 37 37 20 5 30 15 25 59 59 30 15 40 13 25 25.08 508 40 13 50 tt 25 08 08 50 11 10 oO 8 95 13 13 10202 #8 10 4 95 aly) 17 10 4 20 0 95 an 17 20 0 30. 18 26 ‚26 2% 30 18 40 4 25 60 60 40 4 50 12 26 66 66 50 12 11 ON ten 79 79 302 Poids de 302 gouttes... 31.09 gr. » d'une goutte ..... (DE: US x 3 vn: 9—; Corrections, selon les formules n — 7. et x = — 2 2) Van n —1 1 — ( 2.443 : 435). À — 0.997 X 0.013 gr. — 0.013 gr. ON OE 1: 4 1.989 26 „ 3 ( 59 ).—+. 2.970 39, 4 ( .508 ). + 3.953 bile Bei OS | 122 4026 64, CAS PRE)" Tikes Fie waa aed ). = 6.855 89 , Belie el a 102 „ 9 ( BE 8.753 14, (OT YEO peer” 9/699 2% , 11" ( 66 jy. ZE 10.634 De 120 (0 79 ). 5 11.563 50 Transp. par pression hydrostatique: 0.589 gr. TEN un N = Sr Arch Teyler, S. II, V. VII, p.p. 99) et 105; ET DES SOLUTIONS SALINES. 89 Transport observé. Corrections. Transport reël. 9.443 gr. —0.013 gr. — 9,430 gr. ay) aber 11 JN 5 a) 20, = GOS Dies 57 08 , 64 , 44, 137 liked 3647, KR, So, BST x fies 102 , (De, 20 HE os (OS 60 , 26 , BL, 66 „ 38 , 25, 79 , 50 , 29 , Transport par le courant en 2 heures: 29.144 gr. 2. Le fond et la moitié inférieure de la vase poreuse de sa surface sont vernis; la moitié superieure seule transporte. Durée de l'écoulement. Gouttes. Gouttes. gh, Om, Os, — 9h 10m, 65. 94 23.76 eu 10 min. 10216 20 2 94 .76 = 20 12 30 0 93 AT = 30 0 40 6 94 „16 = 40 6 Yt) sl 94 .80 ni Ki 10 0 3 93 .31 F 10 0 3 10 14 24 97 pe 10 14 20 | 93 Dl : 20 1 30 8 94 sie 3 30 8 40 8 94 24.00 5 40 8 3 50 10 94 93.92 = 50 10 {1 0 6 94 94.15 5 Poids de 285 gouttes. ... 31.34 gr. se d’uneseoutle ss ROULE | Ici le transport a été assez constant pendant les deux heures; pendant la dernière demi-heure seulement, quand la différence entre les poids spécifiques en dehors et en dedans de la vase a atteint son maximum, l'influence de la pression hydrostatique se fait valoir. Comme les couches inférieures seules exercent une pression de 90 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE quelque importance sur la face extérieure de la paroi poreuse, il était à prévoir en ayant égard à la petite profondeur — 8 eM. — de la surface non vernie, que cette influence serait a peu près nulle pendant la plus grande partie du transport. Si nous ne tenons compte que de la pression hydrostatique qui se montre pendant les dernières 30 minutes, en supposant que dans ce temps le transport a monté uniformement, alors la valeur totale du transport par cette pression est 1/, (24 15 — 23.72) (1 + 2 + 3) gouttes = 0.86 gouttes ou 0.86 x 0.11 grammes = 0.095 grammes et celle par le courant seul 284.73 x 0.11 gr. — 0.095 gr. = 31.23 gr. en 2 heures 3. Le fond de la vase poreuse et la moitié inférieure du manteau sont vernis; la moitié supérieure du manteau est émoulue jusqu’à la moitié de son épaisseur. En 10 minutes, Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Yb. Om. Os — Qh. 10m. 13s. 23 = Wil == 2.701 10 13 20 14 23 „96 55 20 14 30 14 93 23.00 60 30 14 40 8 93 D) 8S 40 5 50 0 93 1 97 50 0 10 0 6 94 .16 851 1079 6 10 3 9% 24,12 94 10 3 20 0 34 ‚12 9% 20 0 30 91 95 15 98 30 21 40 23 25 ‚92 990 40 93 50 16 95 25 30 3.036 50 16 {1 1) 6 25 .49 50 287 gouttes. 34.414 gr. Poids de 287 gouttes .... 24.62 grammes. d’une goute .... . 0.12 3 ” ET DES SOLUTIONS SALINES. 91 Corrections. 1 — (2.701 : 435). —- = 0.997 X 0.033 gr. = 0.033 gr. 2 ( 55 y.—- 1.987 66 , 300 G0 ). + 2971 98 , ABB v= BUS 130 „ Bere 297 ). 2 4920 62 , 6 ( 851 ). À 5879 94 , THE ty “98 LUNG BBS 995 , s 64 = 390 Ko 8.07% a: 1.182 Syl le | ae ). 5 ‘8.724 88 . 10 ( 990 ). 2 9048 318 „ 2 nw 121 AQ Ae 11 (3.036 ). = 10.568 49 , 12 ( 50 ger 11483 ries 2.500 gr. 3.05 — 2,70 n= emo St. = OOS" By; 11.483 0.997 : Done nous avons: Transport total en 2 heures............. 34.414 gr. = par la pression hydrostatique.. 2.500 , 2 par le courant seul..." 31.914 gr. Il était à prévoir que dans ce cas le transport par la pression hydrostatique serait beaucoup plus grand que dans le cas précé- dent, quand la moitié de la surface avait encore son épaisseur originale. Observons cependant que, dans ce cas comme dans le cas précedent, l'accroissement de l'influence de cette force sur le transport pendant la dernière demi-heure — 0.952 grammes — surpasse de beaucoup celui — 0.197 grammes — des 90 minut s précédentes. En résument les résultats des trois parties de l’examen il pa- raît que: si le transport se fait par toute la surface du cilindre il trans- porte 29.144 grammes en 2 heures ; sil ne se fait que par la moitié supérieure: 31.230 grammes et, si cette moitié n’a que la moitié de son épaisseur originale: 31.914 grammes. 92 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE D'où il suit, en ayant égard aux erreurs qui adhèrent aux ex- périences de ce genre, que ni Pétendue de la surface transportante, ni son épais- seur sont d'influence aucune sur la quantité de liquide transportée par le courant dans un temps donné. revenons à présent à la détermination de la force qui, dans une heure, occasionne le transport de la quantité de liquide 7. En premier lieu il faudra pour cela déterminer expérimentale- ment cette quantité, suivant la méthode que nous avons suivie en la déterminant pour une quinzaine de solutions salines. 1) Ensuite, pour déterminer la quantité Q du même liquide, qu’une force donnée pousse dans le même temps par la paroi de la même vase poreuse, nous nous sommes servis comme telle de la pression hydrostatique latérale qu'une colonne de ce liquide, qui remplit la vase jusqu'à l'axe du tube d'écoulement, à présent bouché, exerce sur sa surface. En faisant ainsi il faudra avoir soin que non seulement pendant toute la durée de l'épreuve la vase reste remplie jusqu'à cette axe, mais aussi que son fond soit verni, aussi bien pendant la détermination de Q que de celle de 7. Car, comme il est vraisemblable que ce fond, si toutefois il prend part au transport par le courant, y prend part d'une manière abnormale, il est à propos que dans les deux cas on supprime la porosité du fond. Les quantités T et Q étant ainsi affectées de la même manière par les effets de la viscosité du liquide et de son adhesion à la matière, dont la vase est construite, et la température de la chambre étant maintenue pendant l'examen entre des limites ré- serrées, la valeur de la force transportante sera donnée par l'équation EEE ar OD Détermination de 7. Le poids T du liquide, transporté par ampère-heure, a été déter- miné de la manière connue. Toutes les solutions étaient également concentrées; elles conte- naient cinq parties de sel sur 100 parties d'eau destillee. 1) Archives Teyler, S. II, V. VIII et IX, passim. ET DES SOLUTIONS SALINES. 93 Les résultats des recherches sont rassemblés dans le tableau suivant, dans lequel les signes + et — indiquent la direction du transport, qui est prise positive quand le liquide est transporté de l’anode vers la kathode. ') Noms des solutions. Direction. Poids transportés. du transport par ampère-heure. Sulfate de cuivre | 19.375 gr. Azotate de cuivre - 6.750 Sulfate de zinc + 20.835 ,, Azotate de zinc 8.515 , Chlorure de zinc — 2.605 , Azotate de plomb — 22.525 „ Acétate de plomb — 92.50 „ Sulfate de nickel + 1919508 Azotate de nickel u 6.500 „ Chlorure de nickel _ Ovo. = Sulfate ferreux + 25.650 „ Sulfate ferrique + 22.605 „ Azotate de fer = 21.175 Chlorure ferrique — 6.775 , L'on voit de ce tableau que des solutions examinées celles des sulfates seules sont poussées dans la direction du courant, tandisque celles des azotates *) et des chlorures, aussi bien que celle de l’acé- tate de plomb, sont attirées dans la direction opposée. D'où il suit que les filets de liquide, compris dans les pores des vases, sont chargés positivement par les solutions-là, négativement par les solutions-ci et que, par conséquent, la charge de con- 1) Pour les détails de ces recherches l’on voie l’Appendice I, page 99. 2) En comparant le résultat concernant les solutions de l’azotate de cuivre à celui obtenu ailleurs (Archives Teyler, VIII, p. 293) on verra qu’alors nous avons constaté un transport positif de 11.9 grammes par ampère pour une solution, qui contient 1 gramme de sel sur 100 grammes d’eau, correspondant à un transport de 2.38 grammes d’une solution de la concentration de celle, dont je me suis servi pour les recherches actuelles. Cette contradiction m’a porté à réprendre les épreuves en me servant de vases poreuses de cuites différentes, qui toutes ont conduit à un résultat conforme à celui cité dans le tableau. Je présume que la matière, dont était construite la vase poreuse qui a donné lieu à un résultat opposé, n’a pas été neutre ou, du moins, pas assez pure, pour ne pas changer le signe de son ionisation par le contact avec une solution d’azotate de cuivre, ionisation qui dans les deux cas n’a qu’une valeur exigue. ARCHIVES x. 14 94 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE tact de la paroi poreuse elle-même a, dans les deux cas, le signe contraire. Détermination de Q et de 8. La détermination de ces deux valeurs est des plus simples. Comme S est la pression latérale de la solution qui remplit la vase jusqu’à la hauteur de l’axe du tube d’écoulement bouché, Q le poids du liquide que cette pression pousse dans une heure par la paroi, nous n’avons qu'à effectuer les manupulations et les calculs, qui mènent à la connaissance de ces valeurs, avec l’exac- titude nécessaire. Pour cela nous avons, entre autres, apporté au bord de la vase une flèche, dont la pointe était, pendant trois heures, tenue en contact avec le niveau du liquide. Aussi chaque vase fut remplie le soir précédent aux épreuves, de sorte que sa paroi était toute imbibée de liquide au moment où celles-ci commencèrent. En voici les résultats. Diam. int. Hauteur Poids spee. S Q Noms des solutions. des vases. des liq. des liq. (par heure) Sulfate de cuivre... 6.8 cM. 14.5 cM. 1.0305 2313.1 gr. 7.41 gr. Azotate de cuivre... 7.1 „ ARS 292 BIR = 15.69. „ Sulfate de zine..... (HO D 266 1492 , 10208 Azotate de zinc..... 7.0 „ DL 270 DIEN 16.49 „ Chlorure de zinc.... 68 „ By 6 406 MR = 1.935; Azotate de plomb... 6.5 „ 0 5 498 183.1 , di Acétate de plomb... 6.8 „ ON 300 15600 DITES Sulfate de nickel... 69 „ LIN 285 1848 „ 13.323 Azotate de nickel... 7.0 „ On 252 209.4 „ 1.64 , Chlorure de nickel.. 69 , TE 241 238.1 , 1.89 Sulfate ferreux..... 6.9 „ Nr 953 1780 „ 148 , Sulfate ferrique..... 6.9 „ ORE 340 196.5 „ 2.68 „ Azotate de fer...... 6.9 1; UNE 213 169.5 , 3.95 , Chlorure ferrique... 6.9 „ DE 220 171.0, , 2.51 , Si maintenant nous substituons les valeurs trouvées de 7, Q et S dans l’&quation (5), nous avons pour le force EAV=F, qui transporte les liquides differents: ET DES SOLUTIONS SALINES. 95 a X S Olt F paroi exter. F,par cM?. de 2xrh. la paroi ext. 0.375 Sulfate de cuivre... ze x 9313.1 gr. — 6.051 KG. : 337.7 cM2. — 17.50 gr. 3 6.750 ae oe 2 Azotate de cuivre. 1372 X ONIN LD Re OT — al, x 90.835 .. > ge Sulfate de zine .... 1020 * SIE == A SOO) Oe RBB 5 == 13:14, 3 SE re = Azotate de zinc.... 60 * DOS Dies adel oi PS MORE DDO 2.605 Chlorure de zine... og X 2272.9 , = 3191 , :3M3 , = 914, 22.525 Azotate de plomb.. 131 DAA ASSESS ETSI 08 ; 92.50 . nt A A Eier Acétate de plomb.. 997 X OIO SO TE RIS == OI E 19.150 . 4 PATER, € Sulfate de nickel... 133 * DSA Sy AL OO atts SISON BE OLON, . 6.525 _, a a Loa Azotate de nickel.. 1.64 NINA LA EE 95, ‘ ; TUB) EA " ASIE FE Q= Chlorure de nickel. 789 X II OOTES vata) OS s 23.650 ei A = & Sulfate ferreux..... TE ATS ORN LS 0222098 ON „ ==198.007, 22.605 En Sulfate ferrique.... = X 21965 „ —18.605 , :3385 „ — 5495, 5 ATD Ss : Bone rar Azotate de fer..... 3.95 491695 11.630772: 538.5, — 34100, , CHER A : SORT à 46 Chlorure ferrique... 251 DATE =D AOR „2880 OE, La force F étant le produit des deux facteurs E et JV, il faudra, en voulant procéder à la détermination du rapport entre les différentes valeurs de Æ, tâcher de déterminer celles de JV. Id km? il y a une, m, que nous ne saurions déterminer directement, et une autre, k, dont la détermination exacte est des plus difficiles, nous déterminerons expérimentalement les valeurs de 4V. De cette manière nous nous mettrons en même temps en état de juger, pour combien il est permi de supposer la valeur de m constante pour les vases poreuses d’une même cuite, de sorte que, l’&pais- seur d de ces vases étant égale et J constante pendant les récher- ches, 4V ne dépende que de la conductibilité électrique k des fluides différents. Cependant, comme entre les variables dont dépend AV= 14* 96 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Détermination de JV. Dans l'équation (5) 4V est la force par laquelle une unité d’elec- tricité est attirée ow répoussée par la différence de potentiel aux deux cotés des vases poreuses. Comme nous l’exprimerons en volts, nous prenons pour unité de force celle qu'un volt exerce sur l'unité d'électricité. Pour trouver sa valeur, je me suis servi de deux lames de cuivre, dont la longueur était égale à la hauteur du liquide dans la vase poreuse et qui étaient fixées parallèlement, l’un vis-à-vis l’autre, dans un petit bloc carré d’ébonite, de sorte qu’elles étaient parfaitement isolées. Si l’on faisait glisser ce bloc le long du bord de la vase, les lames se pressaient, en faisant ressort contre ses parois Comme ces lames avaient une largeur d’à-peu-près le sixième de la circonférence de la vase, il fallait six fois les déplacer pour leur faire faire le tour de la surface entière; de cette manière on obtenait six valeurs, dont la moyenne est prise pour la valeur probable de 4. Cette précaution n’est pas superflue; car il m'est paru que la porosité d’une vase est loin d’être égale sur toute sa surface, que par contre la partie d’un courant qui passe par telle partie n’est pas égale à celle qui passe par telle autre d’étendue égale, sans que pour cela la résistance de cette partie-là soit accrue dans la même raison. Les deux lames étaient conductivement réliées aux électrodes d’un multiplicateur, tandisque la résistance introduite dans le „shunt”, pour assurer une déclinaison modérée de l'aiguille, fut mesurée au moyen d’une boite de résistance. Les résultats de ces recherches sont rassemblées dans le tableau suivant !): Noms des solutions. AV Sulfatende cuivre eee ee 1.291 Volt. Azotate dencuiyre nennen 0.498 , Sulfaterde zinc} ARR Pr. are OSG Arzotate der zinc. Te 10407 N, Ghlorure detainc.r- + eee 0:06. Azotatesdesplombr neen 05710 1) Pour les détails on voie: Appendice II, page 106. ET DES SOLUTIONS SALINES. 9 Noms des solutions. AV Acetate deuplomb. ns Anne 3.790 Volt. Sulfate de nickel. < 4... 0.814 , Azorate de nickel fs. sv. tn 0.504 , Chlornresde: nickel u.a et. 0.633. … Sulfaterferreux. u. et. 2.406 , Sulfate ferrique 2: . teton ite. 3.676 „ Azotate: deters it... ee wees Dia, Chlorure ferrigue. aaa... 0.461 „ L'on voit de ce tableau que les différences entre les valeurs de AV sont trop grandes, pour ne pas dépendre en premier lieu de la variable m, c.-à-d. du diamètre des pores et en dernier lieu du coëfficient de conductibilité électrique k, qui géneralement ne diffère que peu pour des solutions de la concentration donnée (5%). Pour autant que les valeurs de k, qui ont rapport à cette concentration, nous sont connues, nous faisons suivre ici quelques exemples de la divergence des valeurs de m. Pour des solutions de Cu SO, et de Zn SO, le rapport des valeurs k est, selon M. F. KorrrauscH !), comme 177 : 179 et selon M. Freurp comme 123 : 116 Elles sont done à-peu-près égales, tandisque les valeurs respectives de 4V — 1.221 et 0.736 — indiquent une différence notable entre les résistances des deux parois. Aussi, si l’on substitue le rapport des volumes k dans l'équation : 1 1 3 i ee RA ME Eat: par — 1.221 : 0.786, on trouve pour le rapport des diamètres respectifs: m: m —=86 : 110; Pour le rapport des valeurs de k, qui valent pour les solutions de CuN, O0, et ZuN,O,, M. Freunn ?) a trouvé 180 : 212, tandisque celles de 4V sont pour ces solutions 0.489 et 0.127. Ici la différence entre les valeurs de k ne rend nullement compte de celle entre les valeurs de 4V. Aussi, si l’on substitue le rapport des valeurs k dans l'équation 1 ah nr, u) 0}: me Fr 489 : 0.127 1) Wied. Ann., 6, p. 145. +) ibid. 7. p. 44. 98 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE la porosité différente des deux vases paraît du rapport m : m = 84 : 206 des diamètres de leurs pores. Et il en.est de même si l’on considère les valeurs de k, trouvées par M. Lone 1) pour les solutions de Zn Cl,, Cu N, O, et Pb N, Os: 452 : 341 : 179, en rapport avec celles des valeurs correspondantes de 4 V 0.062, 0.498, 0.571. On en déduit pour le rapport des diamètres des pores des deux vases, nommées en premier lieu: m > m = 412": 168 et pour celui des deux vases, nommées en dernier lieu m: m = 320 : 412. Done il paraît clairement, qu'entre toutes ces vases d’une même cuite il n'y a pas deux qui sont également poreuses; de sorte que, du moins pour à présent, il faudra se contenter d’avoir déterminé la force, qui dans les cas différents a occasionné le transport et différer à une étude prochaine la recherche des moyans qui, nonobstant cet obstacle, puissent nous mettre en état de comparer entre elles les forces individuelles. 1) Wied. Ann., 11, p. 37. HAARLEM, 10 février 1906. ET DES SOLUTIONS SALINES. 99 Appendice. I. Concentrations de toutes les solutions: 5 parties de sel sur 100 parties d’eau. Ch S 0, +5 Aq. Direction du transport: de l'anode vers la kathode. 23 nov. 1905. Intensité du courant: 1 ampère. Gouttes. Gouttes. gh, Om, Os. — 9h, 10m, 148. 30 29.3 en 10 min. 10 14 20 6 30 30.4 n 20 6 30 14 30 29.7 4 30 14 40 3 30 30.6 z 40 3 50 18 30 29.3 u 50 18 10 0 15 30 30.2 PA 10 OS 10 15 31 31.0 4 10215 20 13 31 31.1 = 20 13 30 0 31 oiled = 30 0 40 12 32 31.4 er 40 12 50 7 31 313 5 50 7 11 0 2 31 31.3 n 377 gouttes. Poids des 377 gouttes ...... 38.75 gr. Transport par ampère-heure . . 19.375 , C, N, O, + 3 Ag. Direction du transport: de la kathode vers l’anode. 24 nov. 1905. Intensité du courant: 1 ampère. Gouttes. Gouttes. gh. Om. Os — Qh. 10m. 40s. 10 9.4 en 10 min. 10 40 20 42 9 9.0 LS 20 42 30 42 9 9.0 : 30 42 40 15 9 9.4 n 40 15 50 78 10 91 a 50 78 10 0 50 8 8.4 » 10 0 50 - 10 45 8 8.1 » 10 45 20 28 8 8.2 = 20 98 30 98 8 8.0 5 30 28 40 28 8 8.0 = 40 28 50 36 8 7.9 js 50 36 11 0 98 8 8.1 5 103 gouttes. Poids des 103 gouttes ...... 13.50 gr. Transport par ampère-heure. . , 6.750 „ 100 25 nov. 1905. Qh. (jm. KW) LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Os. 12 gh. 10 ZISON Directions du transport: de l’anode vers la kathode Poids des 324 gouttes...... Z, N,0, +6 Ag. Intensité du courant: 1 ampère. Gouttes. 97 26 2% 26 97 g to ND to wrk Q CO In ~) 28 Pees ot Transport par ampére-heure... 20 835 Gouttes. 96.5 en 10 minutes. 26.2 5 26.3 4 26.0 7 26.3 5 26.2 # 26.7 97.1 > 28.1 2 28.0 5 27.1 5 28.3 se 324 gouttes. grammes. ” Direction du transport: de la kathode vers l’anode. 27 nov. 1905. gh. Om. Os. 10 20 110 40 20 17 9: 43 Qh. 10 10m. 408- 20 20 30 17 40 23 50 43 0 1 10 44 20 21 30 3 40 29 50 11 0 12 Poids des 140 gouttes Transport par ampère heure.. Intensité du courant: 1 ampère. Gouites. 13 12 12 12 12 11 12 11 11 12 11 11 Gouttes. 122 en 10 minutes. 19.4 5 12.2 = 11.9 à 11.6 a 11.8 = 11.2 za 11.5 „ 11.3 = 11.5 pe 11.3 5 11.0 5 140 gouttes. ET DES SOLUTIONS SALINES 101 Z,Cl, H,O. Direction du transport: de la kathode vers l’anode. 27 nov. 1905. Intensité du courant: 2 ampères. Gouttes. Gouttes. gh. Om. Os — Qh 10m. 15s. 7 6.8 en 10 min. 10 15 20 17 7 7.0 = GOUT 30 30 7 6.9 > 30 30 40 48 7 6.8 40 48 50 45 7 7.0 a 50 45 10 0 4 6 6.4 2 (ON Or 4 10 4 6 6.0 à 10 4 20 25 6 5.8 el 90 95 SO 34 6 6.1 5 307291 40 94 6 6.0 A 40 94 50 2 6 5.8 & 50 9 11 030 6 5.6 11 gouttes. Poids des 77 gouttes ... .. 1042 gr Transport par ampère-heure. . . 2.605 , PNO: Direction du transport: de la kathode vers l'anode 28 nov 1905 Intensité du courant: | ampère. gh. Om. Os — Qh 10m. 78. 32 gouttes en 10 min. 10 7 20 12 32 : - 20 12 30 18 33 = 30 18 40 8 33 = = 40 8 50 10 34 > 3 50 10 10 0 + 35 5 - 10 0 4 10 13 36 » 4 10 13 20 4 36 4 à 20 4 30 11 37 ts 5 30 It 40 6 36 = = 40 6 50 10 36 i i 50 10 11 0 10 36 = “ 416 gouttes. Poids des 416 gouttes . ... ..4505 gr Transport par ampère-heure . . . 22525 „ ARCHIVES X. 15 102 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE P, C, He 0, +8 Ag. Direction du transport: de la kathode vers l’anode. 29 nov. 1905. Intensité du courant: 1 ampère. Gouttes. Gouttes. gb. Om. Os — Qh. 10m. Qs. 118 117.4 en 10 min. 10 2 20 0 118 118.4 > 20 0 30° «3 119 118.4 5 30 3 40 0 118 118.6 a 40 0 50 1 119 118.8 5 50 1 10 0 0 118 118.2 5 10 0 0 10 3 119 118.4 n 10 3 20 0 119 119 6 > 20 0 30 4 119 118.2 4 30 4 40 0 118 118.8 5 40 0 50 4 119 118.2 n 50 4 11 0 4 119 118.0 5 1493 gouttes. Poids des 1423 gouttes . . . . .. 184.99 gr. Transport par ampère-heure . .. 92.50 , Ni SO, +7 Aq. Direction du courant: de l’anode vers la kathode 30 nov. 1905. Intensité du courant: | ampère. Gouttes. Gouttes. gh. Om. Os — gh. 10m. 145. 51 30.3 en 10 min. 10 14 20 21 31 30.6 5 20 21 30 5 30 30.8 5 30 5 40 8 30 29.9 5 40 8 50 16 31 30.6 5 50 16 10 0 3 30 30.7 is 10 0 3 10 9 31 30.7 : 10 9 20 5 31 31.2 5 20 5 30 0 31 31.3 6 30 0 40 2 32 31.9 a 40 2 50 13 32 31.4 5 50 13 11 0 8 31 31.3 a 371 gouttes. Poids des 371 gouttes . : . . . . 38.30 gr. Transport par ampère-heure . . 19.15 „ Oh. On. 10 20 30 10 0 Poids des 101 gouttes Transport par ampère-heure . . Qh. On. 10 20 30 10 40 50 0 10 20 30 40 50 Poids des 131 gouttes Transport par ampère-heure. . Os. 9h. 10 11 gh. 10 ET DES SOLUTIONS SALINES. Ni N, Os + 6 Ag. Direction du transport: de la kathode vers anode. 1 dée. 1905. 10m. 20 30 40 50 0 10 20 10m. 20 30 40 50 0 10 20 205. TETN EE 13.0 6. 103 Intensité du courant: 1 ampère. Gouttes. 8 101 gouttes. 525 N'01,1+16-Ag; Direction du transport: de la kathode vers Vanode. 2 dée. 1905. 8s. 31 43 ” OT. Gouttes. 7.8 8.1 8.1 8.4 8.2 8.4 8.9 9.1 89 8.2 8.5 8.4 en 10 min. ” ” … Intensité du courant: 1 ampère. Gouttes. 11 11 it Gouttes. 10.9 10.8 10.5 10.9 10.8 11.1 11.3 10.7 10.8 10.9 11.0 10.9 en 10 min. 15* 104 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Fe SO, + 7 Ag. Direction du transport: de l’anode vers la kathode. 4 déc. 1905. Intensité du courant: 1 ampère. Gouttes. Gouttes. gh. Om. Os gh. 10m. 08 35 35.0 en 10 min. 100 20 1 36 35.0 x 20 1 09 36 35.6 a 30 7 40 4 36 36.2 . 40 4 50 OO 35 35.2 i 50 0 10 0 8 35 34.5 5 10 0.8 10 4 35 35.2 R 10 4 20 8 35 34.7 = 20 8 30 0 39 35.5 3 30 0 40 6 35 35.6 a 40 6 50 7 35 35.0 x SONT il @ 7 35 35.0 423 gouttes. Poids des 423 gouttes. . . . . . 51.30 gr. Transport par ampère-heure. . 25.65 » Fe, 380): Direction du transport: de l’anode vers la kathode. 5 déc. 1905. Intensité du courant: 1 ampère. Gouttes. Gouttes. In. Om. Os — Mm. 10m. 2s 51 30.9 en 10 min. 10 2 20 4 31 30.9 = 20 4 30 14 31 30.8 30 14 40 3 30 30.6 = 40 3 50 9 31 31.0 ‘9 50 2 10 0 5 31 30.8 ñ 10 0 5 10 3 31 31.0 5 10 3 20 4 31 31.0 x 20 4 30 19 31 30.2 n 30) 19 40 10 30 30.5 5 40 10 50 10 30 30.5 = 50 0 11 0 0 31 31.0 369 gouttes. Poids des 369 gouttes. . . . .. 45.21 gr. Transport par ampère-heure. . 22.605 ” ET DES SOLUTIONS SALINES. 105 FeN, O0, +6 Ag. Direction du transport: de la kathode vers l’anode. 6 dée. 1905. Intensité du courant: 1 ampère. Gouttes. Gouttes. gh. Om Os — Qh. 10m. 5s. 26 25.8 en 10 min. 10 5 20 5 26 26.0 5 20 5 30 4 26 26.0 à 30 4 40 20 27 25.3 ¥ 40 20 50 18 26 26.1 = 50 18 10, on 19 26 26.0 : 10 0 19 10 18 97 27.0 10 18 20 20 26 25.9 = Pi) 30 12 26 26 3 , 30 12 40 2 26 26.4 ‘ 40 2 50 14 97 26.5 5 50 14 11 0 17 27 26.9 a » 316 gouttes. Poids des 316 gouttes . . . . .. 42.35 gr. Transport par ampére-heure . . 21.175 „ Fe, Cl, +5 Ag. Direction du transport: de la kathode vers l’anode. 7 déc. 1905. Intensité du courant: 1 ampère. Gouttes. Gouttes. gh. Om. OS — Ph. 10m. 4s. 10 9.9 en 10 min. 10 4 20 15 10 9.8 a 20 15 30 10 9 9.1 5 30 10 40 15 10 9.9 „ 40 15 50 10 10 10.1 = 50 10 10 0 2 10 10.1 ze 10 0 2 10 5 10 10.0 5 10 5 20 3 10 10.0 E 20 3 30 35 11 10.4 5 30 35 40 15 10 10.3 = 40 15 50 10 10.1 : 50 11 if 0 5 10 10.1 = 120 gouttes. Poids des 120 gouttes . . . ... 13.55 gr. Transport par ampère-heure .. 6.775 „ 106 a JD = IT. AV. LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Le multiplicateur. déclinaison de l’aiguille. 2 Volts. R = résistance introduite, celle de la bobine (1.7 ohm.) y comprise. a R 20° 1431.2 Ohm. 25 1456.5 „ 30 1641 , 35 BZ 40 492.5 „ 45 368.6 „ 50 IS CS 0x. «= 98.0 28.5 31.0 32.5 32.0 28.5 180.°5 6 — Moyenne: 30° — 0.00250 Amp. Resistance introd. 478.2 Ohm. 4V — 000250 X 478.2 = 1.196 Volt. Zn S Os. dl 35 26 20 34 185° Br Moyenne: 30.°8 — 0.00256 Amp. Resistance introd. 2876 Ohm AV =0.00256 X 287.6 = 0 736 Volt. E R 0.0014 Amp. ID 25 „ ayy Al bY 10 CL NN O6: m— 10 14 14 13 14 16 87° == Moyenne: 14.°5 = 0.00102 Amp. Résistance introd. 478.2 Ohm. AV = 0.00102 478.2 = 0.488 Volt. Moyenne: 9.°4= 0.00066 Amp. Résistance introd. 192.3 Ohm. AV — 0.00066 X 192.3 = 0.127 Volt. ET DES SOLUTIONS SALINES. 107 Zn Ch. Pr Ny Os. C— Haley I 15° eh 16 5.0 Wi 4 .0 18 3.5 \ 18 4 .0 7 16 270.5 x 100° 6 — 6 Moyenne: 4°.6—0.00032 Amp. Moyenne: 16°.7 —0.00117 Amp. Résistance introd. 1923 Ohm. Résistance introd. 478.2 Ohm. 4V — 0.00032 X. 192.3 — 0.062 Ohm. AV —0.00117 X 478.2 = 0.559 Volt. \ PCI Or Ni SO,. Dre - 93 37 24 40 26 40 23 40 24 39 23 23 143° ——— (= Moyenne: 35°.7 — 0.00397 Amp. Moyenne: 23°.8 — 0.001667 Amp. Résistance introd. 954.7 Ohm. Resistance introd. 478.2 Ohm. AV =0.00397 X 954.7 = 3.790 Volt. AV = 0.001667 X 478.2 = 0.797 Volt. N; No Os. Ni Cl, a = 300.0 — 910 31 .0 of 31 .0 20 32 .0 20 33 .5 19 31.0 19 188°.5 120° 6 —— 6 —— Moyenne: 319.4 — 0.00262 Amp. Moyenne: 20° — 0.00140 Amp. Resistance introd. 192.3 Ohm. Resistance introd. 478.2 Ohm. AV =.0.00262 X 193.2 = 0.504 Volt. AV = 0.00140 X 478.2 = 0.669 Volt. 108 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Fe S Ok. = 30.°0 30.0 30.0 30.0 30.5 30.5 181°. GR Moyenne: 30.°2 — 0.00252 Amp. Résistance introd. 954.7 Ohm. AV = 0.00252 X 954.7 = 2.406 Volt. Fe Ns Os. a 30:20 29.0 29.0 28.5 Moyenne: 29.°2 — 0.00243 Amp. Resistance introd. 192.3 Ohm. AV = 0.009243 X 192.3 — 0.467 Volt. Fe, 3 Ss Os. a = 40° 37 Moyenne: 37.°5 —0.00384 Amp. Résistance introd. 954.7 Ohm. 4 V — 0.00384 X 954.7 = 3.676 Volt. Fe, Clg. o— 30S 28 29 32 28 27 174° 6 Moyenne: 29.°0 —0.00242 Amp. Résistance introd. 192.3 Ohm. AV = 0.00242 X 192.3 = 0.461 Volt. SUR L'ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ET LES ÉQUILIBRES POSSIBLES ENTRE UNE PHASE GAZEUZE ET UNE OU DEUX PHASES LIQUIDES, PAR J. J. VAN LAAR. 1) Dans un Mémoire récent !) je déduisis l’&quation générale des courbes spinodales sur la surface #, c.-à-d. RERO TM ONE PNEUS (1) et en partant de cette équation dernière, je réussis de déduire l'équation de la courbe de plissement, inconnu jusqu'à présent. De l'équation différentielle de cette courbe, savoir à of / dv = + — —— pe 9% dv \ dx /yr où f désigne le second membre de (1), on trouve, après élimina- tion de 7, l'équation RA NR ae (2) qui détermine entièrement, combinée avec (1), la courbe de plissement. L'équation (2) est la projection de cette courbe sur le plan v,x, tandis que les températures correspondantes sont données par (1). Dans ces calculs je suis parti de l’équation d'état de M. van DER WAALS, où b est considéré comme indépendant de » et de 7; de plus, dans les relations quadratiques générales: ') Versl. Kon. Akad. v. Wet. Amsterdam, 5 April 1905, p. 685 —696. ARCHIVES X. 16 110 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT b= (1—a)? b, + 2x (1 — x) ba + 2? DB, | a=(1—2)?!a, + 2% (l—2)an +2? a, | j'ai admis: bi = tab + ba) il; Gig == A00; de sorte que les expressions dernières se transforment en b=(1—x) db, +xb, | a=[(l—2) ha, +x1/a, [| La relation bj, = 1h (b, + b,) est considérée généralement comme satisfaite à peu près, tandis que la relation a» =1“a,a,, due à M. BERTHELOT, pourra également être considérée approximativement comme exacte. En tous cas l'introduction de ces relations donne des simplifications importantes dans les calculs divers. Une plus grande erreur sera introduite par la supposition b indé- pendant de v et de T, tandis que sans doute b ne soit non seule- ment une fonction de v, mais aussi de 7. Toutefois, les calculs deviendraient tout-à-fait impraticables, si l’on prendrait en consi- dération la variabilité de b; et lorsqu'on désire à connaître du moins quelque chose de l'allure de la ligne de plissement, il faudra se contenter avec cette approximation. Or, pour (1) et (2) je trouvai: 2 RT =; [2(—5 0? + a(v—b)?] | a (1 — x) 9? [1 — 2a) v — 3x (1 — 2) 2] + | +b a(v—b)? [3x (1—2)90(9 — Pr a) + a(v—b) (v—3b}]=0 ‚ (3) / 9 étant = av— Pla, a= a, — a, et ?=b,—b.. ') 2 Dans un Mémoire suivant *) les équations (3) furent discutées amplement, seulement toutefois pour le cas simple b, =b, (?=0) >). AE Ee ae Posons Ma, b, ß v => Nw. 1) Déjà en 1891 M. KorTEweEG a tâché de déduire une équation F(v, x) pour la courbe de plissement, mais sans y réussir tout à fait. Voir Arch. Néerl. 24, p. 350 et 361 (1891). 2) Versl. K. A. v. W. 7 Juin 1905, p. 14—29. 5) La discussion de M. KorreweG se borne principalement au cas a, — da, b, = bs (mais Go — #a); 1. c. p. 297, 324, 337 et 341. CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC, Hg alors (3) se transforme pour / =0 (n = 0) en r = 40 [x (1 — x) + y? (1 —w)?] | yw? = 3, (1 — 30 i p> (1 —w)$ (1- Pe Ne = p kto . (39) (1 — 2a) + 3y (1 — w)? + x (1 — x) lorsque r= T, étant la , troisième” température critique, c.-à.-d. D mr. la temperature de plissement C, chez v=b (voir fig. 1), tandis que y remplace 4 + x. Pour la pression dans chaque point des lignes spinodales et de la ligne de plissement je déduisis encore: 27 wo? 5 ; % D 2 5 Bie oe ou 7 =) , p, étant la pression critique de la première composante. 1 Comment maintenant la seconde équation (3%) mène à l'existence m d’un point double pour une valeur déterminée de 7 , de sorte 1 qu'il y aura deux types de courbes de plissement tout-à-fait diffé- rents, qui se confondront dans le cas du point double — tout celà peut être lu dans le Mémoire cité. Dans un Mémoire étendu dans ces Archives!) l'examen à propos des données du point double fut étendu sur le cas tout- à-fait général b, 5 b,, done / et n diffèrent de 0. De la seconde équation (3) il s’ensuit alors, au lieu de la seconde équation (34), l'équation plus compliquée: (1 — yno) [1 —22)— 32 (1 —2) no] + +3 y[1 — (1 + nz) o]? (l—yne) (1 —2yno) + 5) ya (engel [ten | HUE ( «(1 — x) ES + Or, il ne parut pas possible d'exprimer les conditions pour l’exis- 2 tence du point double directement dans les grandeurs @ = T. 1 et x =" (cette grandeur x est différente de la grandeur variable x 1 dans l’équation (4)), mais bien dans une grandeur auxiliaire k, liée par deux relations déterminées avec @ et x. Le problème était donc résolu complètement. 1) Arch. Teyler (2) 40 (Première Partie), 1905. 168 112 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT Nous avons vu plus haut, que le cas particulier = 0 donna lieu à de grandes simplifications; cela parut également être le cas avec le cas particulier zx = 1 (c.-à.-d. p, =p»). L’allure de la ligne de plissement fut déduite pour ce cas, et le point double calculé. (celui-ci se trouve alors sur la droite v—b=0). (Ces Arch. |. c.) Pour le cas général je déterminai encore le cours initial de la courbe de plissement chez T, (la temperature critique la plus basse), !) savoir: a (G)een lor Fer) se transformant pour x = 1 en l’expression plus simple: A= (OSA); Lese ne . . (6%) Une vérification de cette formule dernière donnait des résultats fort satisfaisants. La formule (6) mème à la condition quant à l'existence d’une temperature de plissement minimale ?). Aussi je déduisis la condition pour l'existence d’une tension de vapeur maximale chez les températures plus élevées, correspondant à une pression du système des trois phases maximale chez les tempé- ratures plus basses. (la composition x, de la vapeur se trouve alors entre les compositions x, etz, des deux phases liquides, et l’on aura %, >a, du côté de la température critique la plus basse). Il fut trouvé: *) Cette condition n'implique pas nécessairement la condition (7), et vice versa. Une vérification de (7) et (8) donnait encore des résultats excellents. 1) V. K. A. v. W. 14 Juillet 1905, p. 108-116. Plus tard M. VERSCHAFFELT a déduit une expression identique (V. K. A, v. W. 7 Février 1906, p. 693). 2) Ibid. 10 Janvier 1906, p. 585, et plus tard confirmé par VERSCHAFFELT, 1. c.p. 698. 3) L. ©. p. 587. M. VERSCHAFFELT (l. c. p. 692) a cherché la condition pour une tension de vapeur maximale (ou minimale) dans un point de plissement. Il va sans dire, qu’il a trouvé une condition différente. En conséquence de cette remar- que Ja note au dessous du page 692 1. c. cesse d’avoir raison d’être. CHEZ LES MELANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 113 2) Maintenant nous procédérons à exami- ner de plus près les divers rapports con- nodaux. résultant du cours étudié des lig- nes de plissement Un aperçu abrégé fut déjà publié ailleurs !). a) Type Principal I. (voir les figg. 1—12). Dans la fig. | on voit la transformation con- tinue du pli princi- pal (transversal), lors- que la température s’a- irre if al ; / a baisse de r= ne 237 en C, jusqu'à 0,80. [Ces valeurs numéri- ques se rapportent au cas spécial b, = b,, ! I ! I ' I I \ I 1 ' i i} ' \ | \ \ \ x mais quand b, S b,, les rapports seront modi- fiés seulement numéri- quement, ainsi que je l'ai démontré dans le Mémoire déja cité dans ces Archives]. 7, est latempérature au point C, ; elle a été prise com- me unité. © = evs est T' ici = 4. (Voir à propos des ces données et des autres le deuxième Mémoire cité dans les Fig. 1. AD) 1) 1. c. p. 589—594. Voir aussi le Mémoire cité très important de M. KoRTEWEG et plusieurs Mémoires de M. van DER WAALS. 114 SUR LALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT Les figg. 2, 3 et 4 répresentent les rapports dans le voisinage de r=1, où se présente une température minimale dans le courbe de plissement. Le point de plissement P est fortement déplacé du côté des petits volumes; toujours il y à équilibre entre une phase gazeuze 3 et une phase liquide 2 relativement riche en la se- conde composante. Aux petits volumes la phase gazeuze 3 est devenu pratiquement une deuxième phase liquide, mais le passage est graduel. NB Les bords des plis en projection v, x, tracés en trait plein, sur lesquels reposent les droites de jonction des noeuds correspondants, repré- sentent partout les courbes connodales; les lignes pointil- lées représentent les courbes spinodales; la courbe de plis- sement est indiquée par des Croix. Lorsque la température s’a- baisse un peu au dessous de 7, p. e. quand 7 =0,98 (fig. 2), une ligne connodale apparaîtra à petite distance autour de Cy, tandis que la ligne connodale principale s'approche avec son point de plissement de plus en plus de C,. Pour’ + = 0:91 (fig 3) les deux plis se ren- contrent en un point de plisse- ment double homogene. A des températures plus basses encore on auré un pli ouvert, dont les deux branches de la courbe connodale divergent à droite et à“gauche, comme dans la fig. 4, où r = 0,9. On voit que jusqu’au pressions les plus hautes les valeurs dex, etx, FIG. 4. CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 115 sont différentes, et qu'il ne sera done pas possible de rendre ho- mogène les deux phases 2 et 3 par pression, quelque grande quelle soit. Pour des valeurs 4 CD R de T entre T, et 0,97 T, Vhomogénéité, atteinte à une certaine pression élevée, est de nouveau troublée à des pressions encore plus hautes, après quoi les deux phases se séparent de plus en plus, jusqu'à une certaine limite. La fig. 5 représente un moment important. A r = 0,63 la courbe spino- dale touche la courbe de plissement C,A en R,, et dès ce moment il com- mence à se former à l'intérieur de la ligne connodale proprement dite une nouvelle ligne connodale fermée, comme le représente la fig. 6 (r= 0,62). La ligne spinodale touche deux fois cette courbe isolée, c.-à-d. aux points de plissement p et p’, qui coincident pour r = 0,63 en R,,en formant un point de plissement double hété- rogène !). [Tout ceci a déjà été décrit en détail par M. KorreweG (l. c p. 316—318, figg. 30—35)]. La ligne connodale désignée, e.a. pour r = 0,62 (fig. 6), ne donne cependant pas encore d’équili- bres réalisables, puisque cette courbe est située sur la surface # au dessus du plan tangent à la courbe connodale proprement dite, qui détermine les phases 3 et 2. Cette ligne connodale isolée est répresentée agran- die et schématique dans la fig. 67, où quelques 7- 063 Pie. 5. Fre. 5e, 1) Il va sans dire, que chaque fois seulement un point, après le contact en R, deux points de la courbe de plissement correspondent à la température de la ligne spinodale et connodale considérée. Tous les autres points de la courbe de plissement, chaque fois projetée en entier, correspondent à d'autres températures, soit plus basses, soit plus élevées. 116 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT droites désignent les équilibres „cachés”, irréalisables. Les points Frie. 6. a et a, et de même b et b’ sont des noeuds conjugués. La ,queue” en b’ est toujours tournée du côté du point de plissement (déjà disparu dans notre cas) du pli principal; la pointe” en a est situé du côté opposé. Nous faisons remar- quer, que l'allure de la courbe spinodale, telle qu'elle est représentée dans les figg. 6 et 6”, im- plique, que cette courbe touche la courbe de plis- sement de la facon parti- culière, indiquée dans les figg. 5 et 54. Or, la partie supérieure est située, dans le voisinage immédiat du point R,, à la gauche de la tangente commune, la partie inférieure à la droite de cette tangente. (point d’inflec- tion en R,). A une température un peu plus basse, dans notre cas r=0,61 (fig. 7), la ligne connodale isolée commence à toucher (en M) la ligne connodale proprementdite, et dès ce moment un des deux nouveaux points de plissement, savoir p, deviendra le point de “ plissement d’un nouveau pli, un pli latéral, qui a done pris naissance du pli principal de la manière décrite. Voir ea fig 8, où +r=0,60; le point p’ est toujours irréalisable, et cela con- Fra. Ga, tinue jusqu'au zéro absolu, où la courbe de plissement termine CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 117 en A. Par contre, tous les points de plissement P depuis M jusqu’à C, seront des points de plissement réalisables du nouveau pli. Dans la fig. 7 la phase 3 commence à se séparer en deux nouvelles phases, la phase gazeuze propre- ment dite 3 et une nou- velle phase liquide 1, riche en la première composante du mélange. Il y a une droite de trois phases, com- mencement d’un (riangle de trois phases (voir fig. 8), qui se maintient dés main- tenant jusqu’aux tempéra- tures les plus basses. Dans cette fig. 8 on voit aussi comment la ligne connodale originale, qui est interrompu Fis. 8. Fra. 84, maintenant aux sommets 1 et 3 du triangle de trois phases, ARCHIVES X. 17 118 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT continue son cours sur la surface #. A cette partie cachée corres- pond la soidisante ,crête” sur la ligne connodale en 2. (Voir aussi fig 84, qui est de nouveau schématique.) A r=0,59 (fig. 9) le nouveau point de plissement P atteint la température critique la plus basse C,, et dès ce moment le pli latéral reste ouvert du côté x = 0 jusqu'aux températures les plus basses (fig. 10). Les figg. 114 jusqu'a 114 représentent les lignes p, x. Dans la fig. 114 on voit surgir en P, chez r=0,61, pour la première fois l'équilibre entre trois phases. (com- Fie. 9. Fra. 10. parer fig. 7). Fig. 11’ ou meilleur fig. 11° correspond à fig.8, car dans la fig. S x, est , (ce Fre. 11a (voir figg. 1, 3 et 7). Fre. 11? (voir fig. 8). sa) 2E H af 1) i 6 i 1009 Fre. lle (voir fig. 8). Fie. 114 (voir figg. 9 et 10). qui sera toujours le cas quand b, = b,), on aura la fig. 11°. Enfin la fig. 114 correspond aux figg. 9 et 10. La fig. 12 donne la représentation p, T des courbes de plissement. Il est remarquable ici, que la ligne C,A présente en R,, où la courbe spinodale touche la courbe de plissement (comp. fig. 5), un 17" 120 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT point de rebroussement. Nous démontrerons cela dans un paragraphe suivant. Ainsi que nous avons déjà déduit dans un Mémoire précédent (V. K. A. v. W. 1. e.), la pression p s'approche en A, où T= 0, à — 27 p,. (Evidemment cette déduction se rapporte aussi au cas général /? = 0). Une comparaison avec la fig. 7 nous fait voir, que le point M, où commence la pression de trois phases, corres- pond à une température inférieure à celle de R,. — 2 signee = Ce SEC Fre. 124, Fie. 13. Lorsque la pression de trois phases est comprise entre les tensions de vapeur des deux composantes (les lignes, partant de C, et C,, CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 121 représentent les courbes de ces tensions), est en d’autres termes %, >a, (voir aussi fig. 11%), on aura le fig. 12; est par contre %,> x, (fig. Ue) et la pression de trois phases constamment supérieure aux tensions de vapeur des deux composantes, on aura la fig. 124 La ligne C,R présente alors un minimum. [Dans les figures la courbe de pression de trois phases est toujours indiquée par AAA]. + + annua! b) Type Principal II (Voir les figg. 13—15). La fig. 13, complétée avec fig. 134, reproduit suffisamment les relations. A une température un peu plus basse que celle de R,, où la courbe spinodale touche encore la courbe de plissement (c.-à d. C, A), il apparaît de nouveau un équilibre entre trois phases. Ce n’est pas à présent la phase gazeuze 3 qui se sépare en 3 et 1, comme chez le Type I, mais Frio. 184, ; a ARPA sient a Fre. 14 (voir les figg. 13 et 134). - Fia. 15. 122 SUR I/ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT cest la phase liquide 2, qui se sépare en deux autres phases liquides 2 et 1. Et de même que chez le Type I les points de plissement A | Fre. _ 7 pe a „ ’ (lve 2 f- SEE BG ve , R 7 Pa 72 RP YEN AVES Fine * 4 + iM Y ’ + 7 Ot, id 2 / > N 07. + ; ET, + + + / 20 = / & © / 5 / a R, 1 + nl at 1 sf / G ‘4 Fic. 164, entre (situé entre IR et Cd eum étaient irréalisa- bles (voir aussi fig. 12), c'est ici éga- lement le cas avec ceux entre M (situé entre R, et Co) et A. L'équilibre entre trois phases formé se maintient jusqu'aux tempe- ratures les plus basses. (voir fig. 184) De nouveau il se présente une température criti- que minimale au voisinage de Os, comme chez le type I. A des tem- pératures inférieu- res à T= 0,967, on ne peut plus rendre homogène les deux phases liquides 1 et 2 par pres- sion, quelque forte qu’elle soit. Dans la fig. 14 on voit les courbes p, x successives. Cette figure n’exige pas d’ex- plication spéciale. Finalement nous trouvons dans la fig. 15 la représentation p, T. La courbe de pres- sion de trois phases est comprise ici entre les deux lignes de tension de vapeur, cequi correspond aux figg. 13 et 14, où dans le voisinage de x =U on az, <2. c) Type Principal III (Voir les figg. 16—21). CHEZ LES MÉLANGES La possibilité de ce type chez les mélanges de corps normales sera exa- miné plus tard spé- cialement. Lors- qu'il se présente (e.a chez des mé- langes de C,H, et C,H, OH ete ‚chez le triéthylamine et H,O), la cour- be de plissement , C,C, aura l’allu- re indiquée dans la fig. 16. En descendant de la température critique la plus élevée en C,, il se présentera de nou- veau un point de plissement double R, à la tempéra- ture, indiquée par t, ; par conséquent il se formera une ligne connodale isolée comme dans la fig. 6, quand la température sera un peu inférieure à t,. Cela conti- nue jusqu’à ce que cette ligne fermée commence à émer- ger de la courbe connodale propre- ment dite du pli principal en M” a Fra. 18. 124 SUR I, ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT chez t,, où la phase 3 commencera à se séparer en 3 et 1, comme dans la fig. 7. Cette séparation est représentée dans la fig.17. Tout comme dans la fig. 8, il s'est produit un équilibre entre trois phases. L’allure des diverses lignes connodales est encore tout-à- fait la mème que dans le cas analogue de la fig. 8; seulement là le point de plissement P du pli principal avait déjà disparu. Ce Fra. 19. cours a été déjà indiqué — nous l’avons déjà remarqué plus haut — par M. Korrewee, et aussi M. van DER Waars l’a accepté dans un de ses derniers Mémoires (l. ce.) sur la transformation d’un pli principal en un pli latéràl, et inversement. Cependant, l'équilibre entre trois phases formé n'est pas de lon- gue durée, comme nous le verrons. À une température encore un peu plus basse f, (fig. 18) une transformation très remarquable aura lieu, également indiquée par M. KorreweG (l.c. p. 318, CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 125 fig. 34), et plus tard par M. van DER Waars (l.c). Les lettres a,b, c, d et a’, b’, &, d’ font clairement ressortir la transforma- tion, quand on compare les figg 17 et 18 Encore un peu plus tard, à t, (fig. 19), les rôles sont inter- vertis; le pli latéral de la fig. 17 est devenu maintenant pli principal, et inversement le pli principal s'est développé en pli latéral. Nous faisons remarquer, que la „queue” en b est toujours tourné du côté du pli principal, aussi bien dans la fig. 17 que dans la fig. 19. Egalement la ,crête” a changé de place après la transition de la fig. 18. Et après, la transformation reprend son cours normal. Il arrive un moment, à fs (représentée dans la fig. 16), où la ligne con- nodale isolée de la fig. 19 commence à disparaître dans la conno- dale proprement dite du pli principal. Cela a lieu en M’, et en même temps sévanouit l'équilibre entre trois phases, dont existence a donc été passagère. Les deux phases 1 et 2 sont redevenus identiques, et après on aura seulement coëxistence de 3 et 2 comme auparavant, et comme chez le Type II avant M au voisinage de R,. Le point de plissement du pli principal subsiste encore pendant quelque temps, mais il disparaîtra égale- ment bientôt (en C,) *). De même la ligne connodale fermée existera encore passé M’ un instant à l’intérieur de la connodale proprement dite, deviendra de plus en plus petite, et finit par disparaître en R,’, où la ligne spinodale touche encore une fois la ligne de plissement (fig. 16 à ¢,). La température to est la plus basse des deux températures critiques des composantes, celle de C,, et à des températures encore plus basses on commence à s'approcher peu à peu de la seconde courbe de plissement, e-à-d. C, A. A tj une ligne spinodale touchera pour la troisième fois la ligne de plissement, savoir la branche CA. Encore il se pré- sentera à une température un peu plus basse un équilibre entre trois phases, par une nouvelle séparation de 2 en 1 et 2, et main- 1) La température de R,' (et de M’) peut être aussi plus basse que celle de Ci. Cela se présente en effet dans le cas des mélanges nommés ci-dessus. Le point P du pli principal a déjà disparu alors avant que 1 et 2 coïncident en M’. Voir aussi fig. 164, qui indique pour ce cas le cours de la ligne de plisse- ment en rapport avec celui de quelques lignes spinodales à des températures différentes. ARCHIVES X. 18 426 SUR I/ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT tenant définitif, jusqu'aux plus basses températures. Tout celà est tout-à-fait identique à ce que nous avons vu dans les figg. 13 et 13* du Type II. b Ce qui est important, à un point ix 2 de vue théorique, dans ce remar- 5 quable troisième type principal Ne \ (très anomal), c'est qu'après la coïncidence des deux phases liqui- A - 2 des 1 et 2 en M” (t,), il doit se présenter de nouveau une sépa- ration de la phase liquide homo- gène en deux autres chez un abais- sement suffisant de la tempéra- ture, et cela en M un peu avant R,. (voir aussi la fig. 21). Remarquons encore, que le point M des figg. 7 et 12, et aussi dans la fig. 15, constitue une limite de miscibilité supérieure”, c.-à-d qu’à des températures, supé- rieures à la température de ce x point, les deux phases 3,1 ou 2,1 Fre. 20. formeront une seule phase ho- mogène. Il en est de même des points M et M” des figg. 16 et 21. Au dessus de la température de M 1 coincide avec 2; au-dessus de celle de M” 1 avec 3. Mais le point M’ est une limite de Fig. 21. Fra. 214, CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC, 127 miscibilité inférieure”, car à des températures, inférieures à celle de M’, les phases 1,2, séparées à des températures plus élevées, coïncideront en une seule phase homogène. Chez la courbe de plissement C,C, du troisième type (fig. 16) aucun des points, compris entre M”, un peu en deca de R,, et M', un peu au delà de R,’, n'est réalisable. Ils formeront de nou- veau la série de points de plissement cachés p’, désignés dans les figg. 17—19. - La fig. 20 donne les représentations p,x du Type Ill. Elles seront claires sans explication spéciale. (A t, est choisi exactement le moment de transition de la fig. 18; quant aux représentations p,« des fige. 17 et 19, on pourra facilement se les figurer). Et le même sera le cas avec les figg. 21 et 21%, où sont données les représentations p, T de la courbe de plissement. Qu'on remar- que de nouveau les trois points de rebroussement R,, R, et R,’. Dans la fig. 21 la pression de trois phases est comprise entre les tensions de vapeur des composantes; dans la fig. 214 elle est extérieure à ces deux. Ü,R, aura dans ce cas dernier, tout comme dans la fig. 12%, un cours rétrograde. 3) Nous démontrerons maintenant, que le point R, de la fig. 12, et de même le point R, de la fig. 15 et les points R,, R,’ et R, de la fig. 21 sont des points de rebroussement Soit J=RT l'équation de la ligne spinodale. Alors on aura identiquement, en différentiant : oA = Te ie ak dx hoe Shaked dv oe : 5 En écrivant, pour abréger, =) =, (indiquant la direction de la tangente), nous aurons done: leen ur Nouvelle différentiation le long de la ligne spinodale donne drf df paar ä na d*v 3 —— D}, = = Disease ac? er at Pe + de? /,, (a) 18* 128 SUR LALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT SI def le ae caf ) else Car p €. dx (à ) 4 dt ( In 0) Zul ANA dx dp sp Ù = a i) hay Te hie NCEP EN 002) L’équation de la courbe de plissement sera (voir § 1): MU 2) oli SE =d =p, =x) ow dv N dx 1 | ii +- Ox ov Car dans un point de plissement p., et y, seront égaux, puisque les deux points coïncidents de la ligne spinodale, ou bien de la ligne connodale, qui la touche dans le point de plissement, auront A aay 14 . òf of . 3 la même pression. Dans l’équation ne il faut done rem- OT 0 placer 9, par $,, ce qui sera aussi —=#,7r, parce que les deux points coincidents auront aussi la même température. De l'équation F= 0, il s'ensuit immédiatement: or oF mS a” Sw P= ou bien, en ae F par sa valeur: ef df òf a: at of a un (> rn? w % ee v? Bok dv AV Pu =0.: (6) Et puisque p= », et de même 9, =%,, parce que la ligne spinodale touche la ligne de plissement dans le point R,, on aura aussi: of drf | of a) ie [2 “am ov? Zope w \ dr? “> 32 02 of nee jk 5 een Kay cul — Ee oT qu + dv? 7 »| + dx? On (o") re Ors le ER Car dx av PPT \ ae? D Il s'ensuit de ces deux équations, qu'on aura en R, er) = SE) dx? ne dx? pr’ et que par conséquent la spinodale et l’isopièste auront en ce point un contact du deuxième ordre, c.-à-d. que ces deux courbes se tra- versent mutuellement au point de contact. CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES ETC. 12 [Dans les figg.5 et 5° les deux courbes présentent en R, un point d'inflevion. Or, cela n'est pas exact, comme j'ai découvert 4 ? dv 5 pendant la correction de ce Mémoire. Car alors és i) „serait = 0, et cela impliquerait des conséquences, qui sont absolument fausses. La spinodale et J'isopièste sont done situées tous les deux à la droite de la tangente commune en R,, tandis que la courbe de plissement se tient à la gauche de cette tangente. Au dessus du point À, l’isopieste se trouve à la droite de la spinodale; au dessous de ce er il se trouve à sa gauche. Il faut corriger dans ce sens les figg. 5 et 5". La res d’un point d'inflexion dans la spinodale trouve en apparence un appui dans la fig. 6%. Mais lorsque les deux points de plissement p et p’ sont sur le point de coincider en R, (voir fig. 6), la connodale fermée a pa’b’p’ba est touché en p’ par la spinodale de tel façon, que ces deux courbes ne tournent pas leur côté concave vers la gauche, comme dans la fig. 6“, mais de nouveau leur côté convexe, de sorte que la spinodale aura une courbure continue vers le côté droit, et qu’il ne se présentera pas un point d’inflexion, quand p et p’ coincident en À, ]. Maintenant nous pouvons procéder plus loin. On aura identi- quement: dp Ep AD) ee ) op ae (ee ea tee Re A oa NAT), parce que sur la ligne de plissement » et x seront des fonctions de T seulement. Dans un point de plissement on aura RT=f(,v) et F(x,v) =0 combiné’s, done a(S) = Bu Nous aurons done: Gr Ce) Gr), 130 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT" ou bien Ap op 5 5 SE 1 Ppl (ir) ay get ee a oT ya = mi (D Az oo PP! c.-à-d. op dp ) ap ov On =a Pb N Im =— +R- mn © ie ar) Cu pl o1 of Poi — Psp ov Car il s’ensuit de p= y(T,2,v), lorsque dp = 0: HONOR (= ey dv J 7 \ da kor done op AT ( dv ) = ale ae op dx p,1 1 Ov T Et de même il s'ensuit de / (x, v) = 0: on: ( dv ) en Tied N apa sp : ‘ ID dp 2 of mae : Dans l'équation (1) “4 sera positif, “- négatif et “ positif. Mais | 1 ( ) y sera pos > Sy nes 0 P tous ces trois grandeurs resteront finies en R,. Il n’en est pas de A : Pol == : x W Sj même de la fraction U =, qui tend à -, de sorte que nous Ppl — Psp O examinerons quelle sera sa valeur-limite à R,. Orion: Pn = (Po + P'o dx + po dx? +. Jo Psp = (Po + P'o du + Po dx? +. Den \ Pp =(p, + P'o dx + Po dx? +...) et nous pouvons écrire: PnP [Po Pop] + ("dv Fo] de + Put a+ Psp KCA —(P'o)sp | Ar KTA — (Pp o)sp | da SE esc i CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES ETC. 131 2 af d?v Mais nous avons prouvé plus haut qu’en R, (9%), = ( In? est CL mi = v égal à (p'o)y = . L'expression précédente devient donc: Py nm en — À (CAOM = (Pp == 7 7 dx +... Pr =F Psp (p o)pt => (p 0)p d’v dv Et puisque (9), = 11e 23 et (9%), = "ke de IE auront des valeurs finies, et différentes ire elles, et parce qu ‘également (D'ou et (po seront différentes [seulement (g%), =(p)y]; on voit clairement, que la valeur-limite à R, de la fraction désignée sera l'unité, de sorte qu'on peut écrire pour (1): ( dp\ — » 2: AR, u, AT ? EBK Pp. of quand on remplace la grandeur négative RT: 7, par — 9. CU Et maintenant il sera évident, que dans la fig. 12 la courbe d p=f(T) n'aura pas un tangent vertical à R,. puisque (=) pl reste fini. Il y aura done un point de rebroussement, où les deux parties de la courbe p = f(T), e.-à-d. C,R, et AR, se toucheront, A ae dp ayant la méme valeur-limite de AT Et Eat les autres points de plissement doubles hétérogènes R, et R’, (fig. 15 et 21) on aura les mêmes relations. 4) Dans un Mémoire précédent dans ces Archives (1. ¢.) nous avons trouvé pour la détermination du point double des deux branches de la courbe de plissement, dans le cas tout-à-fait géné- ral, les formules suivantes. — 24(1—2k) | IT Ad |, AAA + (1 — ABK) (2 Ek + OF? Br 1—9k+ 15k? — 3° 132 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT A= (4-356+96k? 8562) +(—3+20k—29k2)ı ; A’=( Jr \ B= Us (248k + 126215 k3)+(—1+926 BEN; B'= fp ( (ie (p= 094A? +4(1—3)) | 3 B’ (1—3 k)? V > Ie nek? P lx=i+41 2 \ +. = = = | = 7 ii 4 = — AIDE ee Eh ttnsitan tte rn D'ailleurs w = D = p — Le v m R {BS D: Les valeurs de 9 et de x, c.-à-d. de yet de = pour lesquel- 1 1 les un point double se présente, peuvent donc être exprimées en la seule grandeur k, de sorte qu'il existera une relation f(0,7)=0 pour le cas du point double. Or, cette relation ne peut pas être mise dans une forme explicite. b ‘ Puisque p= (1 + nx) w = „> la valeur de p sera comprise entre p='kw=3b) et p=1(w=b). Avec ces valeurs correspondent des valeurs de k entre !/; et 1. Voici un tableau pour les valeurs diverses de p, q, A, B’, ete., calculées à l’aide des formules précédentes. ET k p q plq A B Ip + W x | ob = Up 0,333 0,333 | 1 0,333 | © 10,448(4/,,)| 0 x 0 { 3 0,34 | 0,352 1,065 0,330 | 0,0031 0,157 664X 10 160,0 | —0,148 0,996 | 2,84 0,36 0,402 1,34 0,300 0,0123 0,185 139X10-% 35,94 | —0,850 0,942 | 2,49 0,38 | 0442 1,91 | 0931 0,0196 0,2145 622X10-*| 17,48 | —2,304 0,843 | 2,96 0,39 0,459 2,53 0,182 0,0216 0,230 0,00113 13,13 —3,855 0,754 | 2,18 0,40 0,474 4 0,119 0,0218 0,246 0,00195 10,12 — 1,457 | 0,721 | 2,11 0,494 +0 0 0,0151. 0,269 0,004.00 7.199 | + » 0,630 | 2,02 0,50 | 0,577 0 + om -0,197 0,425 0,145 1,515 1,673 0,241 1,73 (13) IR St 1 1 — 32 1,333 2133" /, 0,153' 0,123 0,010 1 k 4 ù 6 T 0,333 | —1 —1 0 9 0,34 — 0,874 | — 0,957 | 0,363 8,53 0,36 — 0,558 | — 0,835 1,19 TA 0,35 — 0,318 | — 0,727 1,71 6,26 0,39 — 0,216 | — 0,673 1,55 5,76 0,40 — 0,122 0,623 | 2,04 5,42 0,414 | 0 | — 0,550 | 9,22 4,9% 0,50 0,698 0 2,89 2,59 1,00 5,590 5,899 9,90 Î Remarques. a) Lorsqu'on veut calculer la valeur de k, étant donnée celle de q, on aura: _1l+qtb1—2¢0—9 q Bem den ve ee Big: Dans un Mémoire cité (ces Archives) j'avais seulement écrit le signe supérieur; cependant le signe inférieur satisfera également, et cela déjà dans l'équation pour u (l.c.). Le signe supérieur cor- respond avec les valeurs de k, comprises entre 0,414 = —1 +172 et 1; le signe inférieur avec celles, comprises entre 0,333 = '/; et 0,414. b) Pour le calcul des valeurs du tableau précédent, il est utile de mémorer les relations suivantes: BB’ =—?Iy N°; N=1—9h+15k?—3k3 AA’ =%/3(1—3hk) L ; L=15—219k + 1238 k? — 3390 ks + + 4515 k* — 9351 ks Bon 3 TT’ —=1 MEN 5 M=1—3k—9k? + 23k, M de sorte que l’on a aussi p= 1}; LA Dans l'expression pour p le signe — dans 7’ ne satisfera pas l'équation (a) (ces Arch., Le.) de la courbe de plissement. Les racines de N=0 sont k= 0,14842 ; 0,52755 ; 4,32403. Les racines de M=0 sont k = —0,34669 ; 0,26534 ; 0,47265. Seulement pour k=0,53 et k—0,27 on a T=0, tandis que T7’=0 pour k=0,15 et 4,32, et pour k=—.0,35 et 0,47 ARCHIVES X. 19 134 SUR I/ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT Nous aurons donc, quant à la valeur de p: k=—035 0,15 0,27 047 053 4,32 M= fini fini 0 fini 0 fini N= fini 0 fini fini 0 0 SON eerie TC M= 0 fini 0 0 fini fini Dani ce fins fini Ce Les valeurs de k, étant comprises dans notre tableau entre 1}: et 1, il est utile de savoir, que les valeurs k= 0,47 (M= 0) et 0,53 (N = 0) donnent des valeurs finis pour p. Une autre manière de déterminer la valeur de p dans les cas où M ou N sont = 0, est la suivante. L’&quation quadratique pour p était (voir ces Archives, l.c): 3Np?—6p (1 —2k) (1—4k—k?) + M=0. Pour JJ = 0 cela donne: © (4 ol LTR „2 (A2) (1—4 k— he?) p= 0 ou P — NE = Fr Pour N=0 on trouve: Ba MA M BZ U cieer aay 5 c) L'expression pour w, tirée d’une formule pour A; [ces Archives, l.e., formule (12)| aura deux signes; nous nous sommes bornés au signe —, parce que le signe + donnera pour @ et x une série de valeurs, réciproques à celles que donne le signe —. La formule (13) [ces Archives, l.c.] donnera de même deux valeurs pour x, mais la seconde valeur ne satisfera pas, parce que [voir ces Archives entre (11) et (12)] nous avons quadraté une certaine équation. d) On voit, que la valeur de A sera = 0 pour une valeur de k, comprise entre k=0,414 et k= 0,50; cette valeur sera une racine de L = 0, et on aura alors « = 0,5. e) Les valeurs y = 0 et x = 1 pour k —:1}: sont trouvées de ja manière suivante. Puisque dans la formule pour w les grandeurs B’ et 1 — 2 k —k? sont finis pour =", on n’aura qu’examiner la valeur de CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 135 1—3k)? 1—3k)* —3k)* (BIE ge A3 _ 4—3%) LP Po Vip CNT 3) B Or, A? étant =‘) (1 —8k)? L* : A’? (voir Remarque (b)), on aura pour (1—3k)* : P l’expression (4—3k)? (1—3k)? Oh. L?: A? +4(1—3h)? B — %kL?:A2 TP parce que L et A’ sont tous les deux finis. / 1% La formule x = ' + À V ’p donnera ensuite: Quant aux valeurs de 9 et x, nous aurons en premier lieu: i 2 nine a= - pare ANNE Be N f = Us y — x +1 Play —% wt et ?,„y—x étant tous les deux = —1. Or, 1 — x sera 3 3 k B’ ol "dre ‚2 | ar RE Be AR; 3 TE S VO ate d'ordre wy? | parce que Cay au DE [ces Archi ves, l.c., formule (12)] est fini | , de sorte que nous aurons: o=—— _=_3y=0. f) Pour k=0,4144=—1+ 1.2 le dénominateur 1 — 2k — k? dans les expressions pour q et y devient =0, de sorte que q et y deviennent oo. Le calcul de à = GRIS - mêne 4 -—— BAG « une expres- Pyt 0 x oo — 0,63 sion indéfinie. Mais nous pouvons facilement déduire la formule pee: (1 — 3k)* Aa Ke menens OV 19* 136 SUR LALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT où C=k(— 5 + 20k—17k2) + (1 —4k + 9%2) 11(2—8k + 92). Ainsi on trouve pour k=0,414 la valeur C = 0,3931, donc ,p—zz—1,8174, c-à-d. 0 =—0,5502. Les valeurs principales de k sont les suivantes: =! ; k=085 ; k=0,414(=—1+1°2) ; k= 1b et fl «) Dans le cas k = ‘3 on a dans le point double Q = 0, x = 9, ou mame bien en échangeant entre elles les deux composantes : @ == 0 , u — Ig, C'est un cas-limite: le rapport des températures critiques des deux composantes s'approche à ©. Et puisqu'il sera fort in vrai- semblable, que x soit alors = 15, il n'existera jamais de point double dans le cas 9 =, et la courbe de plissement présentera toujours le type I (anomal). “a; a: 0 . a Puisque o9=72-1 et n=-,-5, nous aurons: DD baie NO? DO BL — ; ~=— a, 7 b, T 5 Dh b, Dans le cas O9 = (x fini) on aura done —< = = P) Lorsque k= 0,355 environ, on voit qu’on aura dans le point OER SES double 9=1, 7 =7,5 +. Alors les températures critiques des deux EEE, composantes sont égules entre elles. Mais encore il sera invrai- semblable que x soit alors = 7,5, et il n’existera de point double non plus. La courbe de plissement aura le type II (normal) ou III (avec les trois points de plissement doubles hétérogènes). 5 a 4 Avec Q = 1 correspondre = — i , C-à-d. a °.* b. CRE 2 1 ETNA y) Le cas k= 0,414 (= — 1 + 1-2) donne 9= 2,22,” =4,94 pour le point double des deux branches de la ligne de plissement. Parce qu’alors y — 0, on aura a, =a, (& — 0), done x =@?. Tae Ce cas se présente parfois. Alors les valeurs de T, seront inver- sement proportionnelles à celles de b. jr oo — CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 2) Dans le cas k=0,5 on a 0 = 2,89, x —= 2,89 dans le point TE BCE ES TEE nT nn — double. Comme à = 0, nous aurons b, =b, (/7=0), c.-à-d. x = 0. mn — Les valeurs de 7, seront maintenant proportionnelles à celles de a. C'est le cas, que nous avons étudié amplement, et que nous avons discuté particulièrement quant à l'allure des courbes de plissement, parceque la supposition b, =b,, ¢.-a-d. ? = 0, donne de si grandes simplifications dans les équations et dans le caleul. e) Enfin nous avons étudié déjà (ces Archives, Le.) le cas k=1, mL. donnant @ = 9,90, a=1 pour le point double. TE IRAN ee PRE Lorsque x =1, c.-à-d quand les pressions critiques des deux CRETE ; ie Gh A : composantes sont égales, on aura zz jar; c.-à-d. a°.'b?. k Jy be eee Le cas x = 1 donne également des simplifications importantes dans le calcul. En résumant, nous avons donc: Cas principaux. Point double. | k a vb =p | ji | Chen 9 — 9,90 1 0,010 1 men. | 1—=0 | De; | O—n—92,89 | 0,50 0,241 |1,73(—1/3) rear. | 19 Su O—9,99, 1 — 4,94 | 0,414 0,630 9,02 | amd a = 17,9 + | 0,355 +! 0,96 + 951 (ty b, > I=n en =o 1 = fg 0,333 0 3 (ty by Chez 9 = nous avons écrit s=0 et non x=1, parce qu’en remplaçant 9=0, x =9 par Q=o, 1=1/9, nous avons échangé entre elles les deux composantes. Le cas = n'a aucune importance pratique; les deux cas O=l et a=9: ne donnent pas de simplifications appréciables dans les formules et dans le caleul, de sorte que seulement les cas x = 1 et x — 0 entrent en ligne de compte. Le cas x = 0? donnerait a, =a, (« = 0), donc 4 = y =. 138 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT sad : 2 1 Quant au cas G=1, celui-ci ménerait à n=— + —. (2 Y ido 1 QD; Xe b. Car —= = 1 + —, done = = (1 + =) , et =1+n, de La, y a eb p De CR > 2 1 sorte que nous avons I+n=|1+-),c-äd.n=—+77. p p p Finalement nous donnerons encore un apercu des valeurs cor- respondantes de 9, x, « et ”/, trouvées plus haut. (©) i | 7,50 et 0,13 | 0,96 et 0,040 | 2,57 et 2,57 1,19 | 7,21 „0,13 | 0,94 , 0,036) 2,49 » 2,60 » 0,13 | 0,84 1,71 | 6,26 , 0,025) 2,26 „ 2,68 1,88 D 10810 180788002102" 5 27h! 72 =, 2,04 | 5,42 „0,12 | 0,72 , 0,018| 2,11 „ 2,74 PH’ 099 | 4,94 , 0,12 | 0,63 , 0,014| 2,02 , 2,79 =) 2,22 ‚JE „ V,12 ‚68 „ U,UL4) ZU2 „ 2,4e ie: 2,90 |2,89 , 0,12 | 0,24 „ 0,003: 1,73 „ 2,87 = 9,90 1,00 , 0,11 | 0,01 , 0,001 1,00 „ 2,95 (01 0-99 ES Hota? „ 0,000 — , 3,00 MES | 9 zl 72 IH Dans la fig. 22 on trouve representé grafique- >| =: ment les relations, contenues dans le tableau pré- 5 |=: cédent. Lorsqu’on considére seulement les valeurs a= de 9>1 (nous supposons toujours 7’, > T,), les A = 3 . 2 Pa == valeurs de k commencent par 0,355 et finissent = par k= 1. Cependant les valeurs de == © et x, correspondant à k = 0,333 HIS Type I jusqu'à k=0,355 (représentées par eS AC’), donneront une autre série a de valeurs (représentées par 4’C), ee quand on prend les valeurs réci- | ROUE TV CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 139 proques. À Q = 0,37, x = 8,5 (voir p. 133) correspondra ainsi @=2,7, ~=0,12; ete À 9=1, ~=7,5 correspondra 9 = 1, n = 0,13; à O=0, n=9 les valeurs 0 = w, x = 0,11. [De même A’B’ correspond à AB, mais ici toutes les valeurs de @ seraient ul. Pour chaque valeur de @ il y aura done deux valeurs distinctes de a, se rapportant à un point double dans la courbe de plisse- ment. La première série de valeurs est pourtant interrompue, lorsque k devient = 1, car alors le point double apparaît dans la région où 9 9,9 la droite x = | indiquera la première limite. Car le point double, étant situé alors à l’autre côté de la droite v = b, la transformation de type s’accom- plit dans une région irréalisable, et ne se rapporte pas à la partie réalisable de la courbe de plissement. Comme nous l’avons dit, la droite x —1 donnera alors la transition du Type I en II (II). Chez 9=1, où les deux valeurs de x sont réciproques, il va sans dire, que les valeurs de x seront complementaires (0,96 et 0,04), et que les valeurs de ?’}; seront les mêmes. Ce ne sera point le cas chez les autres valeurs de ©. 5) Nous ne pouvons pas insister ici sur l'allure fort compliquée du prolongement de la courbe de plissement dans le domaine irréalisable vb, quoique cela éclaircisserait beaucoup de ce que nous venons de remarquer. Nous nous bornerons de donner dans quelques figures l'allure schématique de la courbe de plissement Wel 2 Fra. 23. 09,9 D > VIT A ou) A zen G 140 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT dans les domaines divers. On trouvera donc dans les fige. 23, 24 et 25 trois séries de représentations: pour des valeurs de = ies, ar OSE) ND 9>9,9,—=9,9 et <9,9. On verra la transition aux deux points doubles différents, et que la type I à la droite de AB diffère en quelque sens du typeI à la gauche de A’C (Pour x =1 comparer aussi les trois figures du Mémoire cité dans ces Archives). Les deux cas x =0,11 et x 0,11 ont été supprimés dans les fige. 24 et 25, parce qu'il n’y a aucune différence entre cette transition et celie représentée dans la fig. 23. Nous voyons clairement (fig. 23), que dans le cas x >1 l’une des branches de la courbe de plissement va de ©, à A,, tandis que l’autre va de C, à C,. Dans le cas x < 0,11 il en sera exactement le contraire: nous avons là C,C, et C,B. Le cas x —=1 forme la transition — et cela est en connexion avec la remarque précedente — de deux différentes allures de la branche, partant du point C,. Tandis que pour des valeurs de na > la partie realisable se trouve toujours à la gauche de Cy, la partie irréalisable à la droite, on aura au contraire pour x < 1, que la partie réalisable est située à la droite, et la partie irréalisable à la gauche. Quant au cours de cette dernière branche au voisinage immédiat CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 141 des points A, C, et B, nous pouvons déduire cette allure facile- ment de l’équation générale de la courbe de plissement Or, cette équation est la suivante [voir p. 111, équation (5)]: (1 — 9)? zn )no] + 3 y A—p)? 1 —g)(1—2g) + WEN esp) zE) res eS Ve (1) + où q—=yno et p = (1 + nx) o. R La, b Nous gerne len: que y—p+x, Où p———., et queoa=—-, 1D) b, +242 7 =A+n)o=p. 3 l No = de sorte que = En écrivant 7 pour no, nous obtenons après division par (1 —g): y 1—p Jon rd a) =) — = 0 a 1—q x (1 — 7) f À Exprimons q en p On aura évidemment avec n = —: p Me NE p Alp +e) : ~ 4479 P À pede = À: + —% p Nha? Avec 7 reg u notre équation se transforme done en: (L— 2) Dy] + 3a (le) (p +4) 1 REN ee she Ates (2) zo) (1 — 2e )— 2yp)u? + 1 > Dans le cas x = 1, où n= er on auta Al donc mel (q =p) et w=l, et Péquation (2) deviendra: Al ; p+x 2 p|+ 32(1—2) (p +2) (1— 2p) + + (p + 2) (Ll — 3 p) = 0, ARCHIVES X. 20 x (1 — %) [A — 27) — 3 142 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT c.-à-d. l'équation, que nous avons discuté dans la fin de notre Mémoire précédent dans ces Archives pour le cas où les pressions critiques sont égales entre elles. Supposons maintenant p dans la voisinage de l'unité (e-à d. y =D). Alors in = donnera: ay ( 5) [ (1 —22 Je À , | +32 a( 1—a) (y +2) (1— ne SE. = = = Oz En (2° a) Considérons en premier lieu x = 0 (le point A) SRE EN DAC LR ERD Lie: Alors on aura (y = p 1—2% pe nen en —p)* =0. x sera done de l’ordre (1 —~p)*, de sorte que nous aurons sim- plement: r= dq ne Deux cas se présenteront: x <1 et x > 1. (9 = "Jp, est supposé toujours > 1). Lorsque x <1, on aura: IK, Ds 2 Et comme | en vertu de TE >41 ) nous avons iia = 7. oen 1 1 1 aura aussi, aprés division: a a, la h b,—b N ER AO eu jk 0: ai >1, done a, >0, et 5 >1, done 3 >40: t par suit en 0, bi 0, et n>0 étant Nt) TOENE | Sa ) ) t n> » ete et ] ite a, wa ->0, ou bien »g>0, et n>0, n étan (De Nas U b, b, Barb va, — la b, —b De 2 <— il s'ensuit —À 1. E PTT il s'ensuit va, 5 , done EN et par conséquent yn > | (y etn étant positifs), ¢ -à-d. A Jal Ile ’ a p CHEZ LES MELANGES DE SUBSTANCES NORMALES ETC, 143 WIE p° ir La fraction -———; sera done négatif dans le cas x < 1, eton (u) aura: «=—f(l—p)', ou f est un coéfficient positif. 7 À rk CV, Fig. 26a Fig. 265. Cela donnera chez À une allure, comme nous l’avons indiqué 5 5 bys dans la fig 26". (b, sera toujours > b,,n = = étant positif). 1 Au contraire, la fig. 26% donnera l’allure chez le point À, lors- que x > 1. on Car maintenant on aura: Per or dene > b, D “ DEEE 129} be par suite Wa, — Va „bb, a, b, 4 l c.-à-d. fix p Mais ici il se présenteront deux sous-cas. a) b,>b, (comme dans la fig 26”). > Uy 1 a, b, Alors on aura également mb 1, en vertu de aeg 0 1), 1 1 1 b, —b la,—va 1 HE done —-,—+- =n et 21 — — tous les deux positifs. b, a, p L'équation précédente donnera par suite ng <1, e-à-d. A<1. Et . ES me puisque g>0, on aura maintenant: zs=f(l—p)°. B) b, 0 ou <0. Dans le premier cas, savoir p > 0, — > n TN 144 SUR L'ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT donnera np <1, e-à-d. 4<1. Dans le second cas, savoir g <0, 1 : N —->n donnera au contraire gn > 1, ¢-a-d. A>1. p EER 3 On voit donc, que dans les deux cas a sera positif, et que nous aurons encore: Tie b) En second lieu nous considérons x = 1 (le point B). 2 À (o + 1) Nous aurons dans ce cas, en vertu de (2°) ¢ = dE p + À 1—2y (e+)? | EEN GEen I p)2 — 2 —p}s = 0 ( v) ( c) (g+ Ie à p) A ac ) Encore 1— x sera de l’ordre (1 —p)*, de sorte que nous pou- vons écrire: ES ( +1)? 3 b lors CAS een (3°) Maintenant on aura: Ao #1) _ pd — 2) dr pra pra rest À étant =ng. Nous pourrons donc écrire: open) ae 1—ı = — ou bien 1 5 8 2 - Or, = + 1= an et n + 1 — de étant toujours positifs, nous p La, b, aurons maintenant pour le coëfficient de (1 —p)® toujours un signe opposé à celui du cas précédent (x = 0). Les figg. 26 et 26“ représentent encore les deux cas possibles, à mesure que l’on a x <1 ou bien x > 1. c) Finalement «=2, (le point Cy) Ce point sera donné par la relation _ 3% (1 —%o) 1—9% p + Lo si) OUEN . (a) où x, aura une valeur finie. L’équation (2°) donnera dans ce cas: CHEZ LES MÉLANGE DE SUBSTANCES NORMALES ETC. 145 x (1 — p)° a (1—%) d + 34, (1 — 2) (p + %) (1 — 27) A on = (A —p)® CN rr me nh |) (p o) (1 —y): 3x, 1 — 2% lorsque à est la valeur de 1 — 2x, — 3 %9 1 — xo) y pour une va- y + To leur de « au voisinage de #,. On voit que Ö sera, comme dans les deux cas précédents, de l’ordre (1—p)*, et nous pouvons écrire simplement: CDI zo (1 — 20) B= 2 (9 + 20)? ps c.-à-d. N (@ + 2)? 2 NN) Ë zo PATES Ci ; a, (1—a,) A —y)3 ( P) A(p +2) _ p(1—aA) 1 nl — a = — = aura: Comme y a EE on aura p+z_(p+z)(p+Àz) _ 9 p+x pdx Br (1 —)) ne g - Nous aurons donc: rt [= (Eee) = Ap, (3°) p+ Avy pee OU Mia 0 { b où les facteurs * et ENT D, seront 1 tous les deux positifs. Quant au signe de 0, nous pouvons le déterminer de l'équation («). En posant le premier membre = F, on aura: se gp eere) I p+Àix ’ ye À (ET) y étant = HE . Par suite: ee 3 (et Am) (1 — 22) —2 (t — æ) À ax (p + Aa)? ‘ Mais en vertu de #=0, nous aurons (y + 4x) (1—2x) =3x(l—x)4, par conséquent: Bet 2% (1 — x) À 3% (1 —x)À Eg Et 3) 2 = (@ + Aa)? re {@+2x)? /° done toujours négatif. 146 SUR L'ALLURE DES COUBBES DE PLISSEMENT Lorsqu'on prend par suite >x,, la valeur de F, c.-à-d. à, de- viendra négatif, et l’on aura done 0d =—/f’(%—a,), par consé- quent: len Le Nous nous trouvons done dans les mêmes circonstances que dans le cas précédent (savoir x =1), c.-à-d. lorsque x devient => %,,p deviendra < 1. Les figg. 26 et 26” représentent de nouveau les deux cas pos- sibles au voisinage du point C). I] sera utile de comparer maintenant les figg. 23, 24 et 25 avec les figg. 26 et 267%. Parce que la variation de x sera toujours pro- portionelle à (1—yp)*, on aura dans tous les trois cas, que nous venons de discuter, savoir x =0 (4), x =1 (B) et x= (Cy), que la ligne de plissement touche la droite verticale dans ces points. Nous insistons encore une fois sur le fait, que l'équation (2) est fort compliquée dans le voisinage de p = 1. Pour déterminer avec exactitude l'allure des lignes C,A et C,B, l'influence de u — ae se fait fortement sentir. Il ne faut pas croire, que pour de faibles valeurs de 1 — 2 la grandeur w soit continuellement au voisinage de l’unité Supposons p.e. y =0,1 et 4=1,01, de sorte que x est très peu pr oie: JA 1 . different de l’unité (x <1), et que 9=m = (1 zE en (voir T, p. 132) est légèrement > 9,9 (voir fig 23, x < 1). iy x == > Alors y = a) et w= À auront les valeurs suivantes p+Àx 1—yp poured — 0 Gr 0,5 etz —4. (voir p. 147): On voit clairement, que u reste longtemps dans le voisinage de l’unité; seulement pour des valeurs de p au voisinage wm- médiat de la valeur, pour laquelle w devient oo, u s'élève tout à coup de 1 à oo. De même dans l'intervalle minime entre p = 0,99 (lorsque x = 0) ou même p = 0,999 (lorsque x = 1)etp = 1 la valeur de u varie depuis — x jusqu'à 0, pour s'élever encore très vite à la valeur-limite, légèrement inférieure à 1. | — EEE CHEZ LES MELANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. rl) N D | u 0 i 0,5 1,01 0,8 1,04 MO le 1 0,99 | + 0,995 | —1 0,999 | — 0,11 1 0 1,001 | 0,09 1,01 0,50 im | 0,1 2 0,99 10 | 0,99 D 10099 | 147 08 Pp 0 0,5 0,8 0,9 0,998 0,999 0,9999 1 1,001 1,01 1,1 2 10 D 1 ~ 600 || u 1 1,002 — 0,064 0 0,375 0,86 0,98 0,997 0,998 0,998 rat -)= D= ‚all 5 du D 0 | 0,5 | 0,8 0,9 0,999 0,9995 0,9999 1 1,001 1,01 | 1,1 2 10 ( 0] La valeur pour laquelle u devient © est donné par 1 e -à-d. . 1,0 )=14 1100 u 1,001 1,004 1,009 0,99 0,998 0,999 0,999 p= Et la valeur-limite pour p= sera évidemment donnée par On peut done dire, que w sera pratiquement toujours au voisi- nage immédiat de l’unité, excepté pour les valeurs de p dans l’in- ? tervalle entre 0,9 et 1,1 (x = 0), ou 0.98 et 1,02 (x = 0,5), ou bien entre 0,99 et 1,01 (x = 1). Alors u parcourit les valeurs depuis 1,1 jusqu’à © et depuis — jusqu’à U,9. L'intervalle devient de plus en plus petit à mesure que x sera plus dans le voisinage de 1. Et comme les courbes C,A en C,B se trouveront presque tou- jours dans la région de l'intervalle dangereux, quand À est près de l'unité (x = 1), la détermination de l’allure précise de ces courbes sera excessivement difficile. Nous n’y insisterons plus. Seulement il nous soit permis de faire remarquer, que pour p = 90 (e-à-d. v = 0) la valeur correspondante de x sera toujours négatif, lorsque b, >b,. 148 SUR WALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT En effet l'équation (2) deviendra alors: a (1—«) | EEA a) +s) (—2 7p) IE) [5 pre PI Æ + x)*(—3 ats 2 en = 0, x d 9 étant = —, lorsque p=. 4 : +2 pti R En posant maintenant t= = 77,7 4, nous obtenons, apres / division par — 3p: x? (1 — x)? a 0 (0) 5 (lL—a)y+y ou bien [y? + x (1 —x)]? = 0, done a l—a)=—y’=— we. donnant: p? À? p? Re — TE ENG (A +2 EDES *) À ED IS : At il Avec p=0,l, 4=1,01 cela devient p.e. x = — pe Nous revenons encore une fois sur le tableau sur la page 138 (voir fig. 22), pour faire remarquer, que dans la pratique les valeurs de 9 et x pour les cas ordinaires de mélanges de deux liquides normales tomberont prèsque toujours dans la région infé- rieure du type II (normale), et que seulement une minorité de cas tombera dans la région anomale du type III ou de I (c-à-d. la région à la droite de 4 B). 6) Maintenant nous discuterons la possibilité du type III pour les mélanges de substances normales. Examinons donc en premier lieu la condition d'un contact, CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 149 A Cc B en R, p-e,entre une ligne spino- o dale et la courbe de plissement. C,C, p.e. On aura évidemment: Psp = Pt ou bien, comme dans un point de ly lv plissement 4,, = Be =(‘ iR of (> Ar oe are lorsque F=0 est l’&quation de la courbe de plissement en projec- Fro. 27. tion v, x. L’équation (1), combinée avec F=0, donnera ensuite les valeurs de v et x au point de contact, PR; pre. ' bs Cependant, pour le cas tout-à-fait général, ¢.-a-d. /? = 0, « 0, le calcul devient tellement compliqué, qu’il n’est pas possible d'ob- tenir un résultat. C’est pourquoi nous nous contenterons avec la discussion de LES cas spéciales. Bie cas —0(b,-= bi): dv : 5 rie Pour la grandeur 5 nous avons trouvé autrefois (V. K. AW Jeet): Zara OEE a) “4 AR: RT DE DT de I 2%, (v—b)? | RT wv? parce que = = f et = = Zala. Pour /?=0 nous avons done: Fe —Za va le IA Der, Feb: Dans cette équation il faut remplacer RT par AY = = [a (1 —a) (ev— a)? + a (wv —b})?], étant l’équation de la spinodale. Avec / = 0 cela devient: ARCHIVES X. 21 150 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT 2 . RU ss [x (A — x) «av? + a (v — b)?], et l’on obtient: (=) = Fe AAA EN da] 7 (x wx (A — 2) a! en Wi; en Fa a z(1 — x)v Wer (v b)? | b_ 5b Avec 1/a=1/a, +xa—=a(p +%)—= «vw, et = er — w, de sorte i a uD on aura donc: LUN FAR 2 da’ ch 2 ee OA Oe PN (1 — x) ? ou bien do __ wo (1 ES @)? ee (a) Ei. F =0 de la courbe de plissement deviendra avec P=0 (Vv. K. A. ve Ws dee): 3 (1 —w)$ (1 — 3 Qe oa) Bey ee Aiea Se (2) et l’on y tire: oF _ ,. 30 (1—o)(1—30) Ce an ie x (1 —2) = SES | | A a à OCR (b) oF ? wo en Y (1 w) aR x (1 > ze 3(l1—wo)* —3(1—w)° (1—3o)]. (c) Pour la dernière équation on peut écrire: of we le) PES Ne et l'équation (1) deviendra par suite: ous (1 — wo)? (1 — 3%) z(I—a) | yah rijd que ed DE U] , a6 > wo (1 —w)? 2 kl an ie [1 hanen D) ED 2) | Di (Nica) 2, 2 CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 151 c.-a-d. melts , 3#?2(1— 00) (1 —5 w) ES TR = wid — w)? [a 28 yal ey.) ES Gr A ll 5) w) | — |) a? (1 —x)? ow 24 p w Zw) —V, Avec 1 — 2x, tirée de l'équation F=0, nous pouvons écrire pour celà: 2 NE 3 yp 2 (1 — w)° lis 22) — 2 + 3(1 —w) = x( —a) ae m ge () ma) =? (1 —x)°? ke 5 fe U 1 — w) 1 —3w) [3 4 (1 —w) (1 — 30) + La Me en — 6 po (1 — w) (1 —2u)| == (I) ou bien, après une réduction légère: ER (rd ie man a —2+3(1—o)? ae: a (1—2) dp er (1— 6» + Tw’) wall (su) | 5? (1 — x)? à a (1 — x)? LT Posons pelle x (1 — x) zi Nous obtenons alors finalement: 1—60+ 30? + 3 (1 — w) (1 — 5 w) U + <= 3 (1 — 6 w + 7 w°?) u? =P (1 — 3 w)° USE; ou bien, après division par (w + 1)? (1 — 3 w)° Ww + (1 (tie + 3 w*) == (I) donnant: | — 6 w + 3 w° DTE (1 —3 u)? Cette relation est donc équivalent à la condition primitive (1). L’équation (2) donnera, en introduisant la grandeur auxiliaire u: (1 — 2 x) +3 y (1 —w)* + wl —w)(l —3w)u=0. oe ES (24) En substituant maintenant la valeur de u, donnée par (14), nous trouvons: (1 — w) (1 — 6 w + 3 w? 2 1 — 3 w (1— 22) +3 y(l— o)?—y 21* 152 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT donnant: — 1— 2% af v— (1 —w) (1— 6a + 3.02) == 7 = Tr —3(1—u) Re Aa (1 — 22) (1 —3 0) : er) CEE OS L'équation (1%) nous fournit: 1 a (1 — x) (1 — 6 w + 3w°) ; tr 0 IS Nous pouvons donc éliminer la grandeur w. Le résultat sera: i NE as er Vz — (—0o}(1—38w) ~ 4(1—o)? (1— 3 + 3w°)? ’ er = (len 1— 42 (1) 4 Be. ou bien, comme dene ee onen 4: 1 a eb nr oe ano s1—a) TS (1 —3w)* 5 c.-a-d i = 4 ( ei 10 ( ç 2 € à Rem esn a Te d’où résulte: Pr (1 —3 w)* A Eee (2 — 9 © + 12 0? — 30°) Ss © Pour y? nous trouvons donc: one (i Mn At POT (—wu)2360 (2— Je + 1202 — 302)’ donnant (seulement le signe — satisfera) : Len 1—3 w 1 | 1— 60+ 3 w? 4) Bee oi EE ae De léquation (3) on peut résoudre aussi x. Puisque == trie Lg), on aura (le signe — ne satisfait pas): ty Al Oe ar Jal Vire ere’ CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES ETC, 453 ou bien, parceque Iw* (2 — 9 w + 120? — 3 0°) = —(l— 60+ 3?) (1 —3w + 3w?)? (voir p. 152): 1 Sees Le 1— 60+ 302 (3 2 zr wo (2 —9o + 12 w° — 30°) ee) Mn Et puisque y =>» +2, nous trouvons finalement pour 4: LA, l l—30+30? | Vag ? Lan) re Dur sain Gia c.-à-d. zen 1 1—6w + 30° A f ps pe ik Eee mtr (48) Ainsi nous avons exprimé x et y en w, et l’on peut se figurer, que « et w soient exprimés explicitement en y, ce qui cependant ne sera pas possible pratiquement. Discussion du résultat. Pour (y + 12)? nous avons: (= Corr Sia"): 36 w (1 — w)? (2 — 9 w + 12 02 — 303 Je Or, le deuxième membre de cette équation sera représenté par la courbe AB (fig. 28), ayant un point d’inflection en P pour une valeur de w ='/31~3. La valeur correspondante de (y + !e)? sera alors = 2 +13, de sorte que le point P est précisément le point double de la courbe de plissement dans le cas %=0. Mais alors il n’est pas nécessaire que la spi- nodale touche la ligne de plissement, car l’&quation primitive Gh) = ony Or =) CT w *\ de oi tee ; oF he sera alors verifiée identiquement, = et à. étant tous les deux = 0. Dans le cas de la fig. 27 la valeur de y sera supérieure à celle du point double, par suite (p + #2)? sera également plus élevé, et il s'ensuit de la fig. 28, que w sera alors >s 173. Cela veut dire, que la spinodale peut toucher seulement la courbe AC, en R, (type 154 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT Il), et qu'un contact en R, et R’, ne peut pas se présenter, de sorte que le Type III sera impossible pour des mélanges de substances nor- males, quand /? =0(b, =b,). 7) Un autre cas spécial sera (2) Le cas a = 1(p, =p;). EES PEET EN EE Ici il y aura également des simplifications considérables dans le calcul. Car on aura maintenant: bb, ref =i) Ar GR © = w (1 + NX) = o(1 += =), CINE 0) Pp Be, | « ; pra ; x n= €6tant =—— = — —., tandis que — —— deviendrasrenr- b, p “a, av lement: A} Zur A} Ais > Ld > a u Es =op lt). av v a p L’équation de la spinodale devient ainsi: ma? (1 — 2)? + ay? (1 —2)*], ou bien Za? (1 — 2)? RP ae el — x) + y°], LA © % lorsqu'on écrit z pour a ¢ ae =) et w pour +. P 7 dv x qe our ae nous trouvons: DT ’ es) el Zele dx pT RT —2 ape (I —z)? Vv c.-ä-d. après substition de la valeur de AT, et division par 2p Ce TE Reese ds rn k PHP stu NU) ; 2 ae ou bien CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 155 y + a og au (2), oe eenheden) re = = à PE w Mais now = w — = 2, done fp ee) =o yv(l—z) dx p, l / % (1 — x) i a Or, parceque z= og Show y, on aura: GE w =) de T° \w v2 de” et par conséquent: @) Eider, #09) aa Lio &(1—x) 4’ Ge). - = (1 Æ is) SA LE mr (a) L’equation de la courbe de plissement prendra la forme suivante: donc B(— a) avt (1—z) [(1— 97) — 32 ( Pr + ayv? (1 — 2)? [8a (1 —x) «?v2(1 —z) (1 — 22) + + a2wy2v?(1 —2) (1—32)] =) ce qui se réduit, après division par «*v*(l —2)*, en 2 «(1 —x) a — 2%) —3%x(l 2) | a + w [3a (1 —x) (1 — 22) + y? (1—32)] = 0, ou bien en ta HER una = DTA TS L’équation (2) donne immédiatement: | RE EE EPS CNE eh | oe ee) ea ea 1 we N; 156 SUR L’ALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT L'expression dernière peut s’&crire: ar aa EN: En y ca TESA Posons maintenant: re en a5) si dF oF / dz : alors la condition (1), e.-ä-d. —- = — — =) , deviendra: ow dz \de/yr 3(1—2a)z2 32 ge u) +—+3(1— 22) +30 — 32) u— y u 1— 32) (1 —2z)u? Sw 2 (1 —z - 2) ( oy = € (A Se Be, w u Ww ou bien —2 pu—3 (1 —2x)zu+3y2+3y(l—2z) u+3w (1—32)u? — — (1— 32) 1 —22)u3 —3 yz(1—2) (1 +u) =0....... (14) Ceci, combiné avec l’équation de la courbe de plissement (2), c.-à-d. 3wz . 1 A nr Sir 3 y (1 — 22) a UD (1 — 32) u= 0, ou (A—2r)u—3 yz+3wy(1—2z)u + y(1—32:)u? = 0 .. (2e) donnera les données du point de contact de la spinodale avee la ligne de plissement En substituant la valeur de 1— 2x, tirée de (24), en (4%, il vient, en divisant par w: (A—3z2)} ut +3(1 —6z2 +7z2)u? +3(1—62 + 322)u? + + (1 —62—92?2)u—62?=0, équation, qui donne après division par (u + 1)°: (1—32)?u—6:?=0, e.-A-d. 6z2 — D u MEE en (15) 2 Pour w? nous avons, w étant = 2% x (1 — x) y? —=x(1—x)u. CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES ETC. 157 L'équation (2*) donne: = (1— 22) u u = =e 3z—3(1— 2z) u— (1— 32) u? et nous trouverons done pour x, en éliminant w: (1 — 27)? u? =. [32 —3(1— 22) u— (132) u?]? ah Parce que (1—2x)? =1—4x(1—7%x), on aura par suite. en divisant encore par u: u z(i— 7x (5 a VS Nr + Aw il donc lo N 5 = Yo — D tee EG) LON + Au’ , où N désigne 32—3(1— 22) u (Le signe + ne satisfera pas). [Nous pouvons contrôler ce résultat, en posant z=1. Alors v = b, et la valeur correspondante de x sera celle du point double de la courbe de plissement, qui vérifiera de nouveau (voir $ 6) oF oF te) la condition — = — — | dx 92 \dx' Pour z=1 on a uw —=32, par suite N = 12, done 6 MS Tr AE fer 5176 = 0,5 — 0,4899 = 0,0101, et c'est en effet la valeur de x pour le point double dans le cas mi]. En substituant pour w sa valeur, donnée par (1), on trouve pour N: _32(1 — 152 + 572? — 752°) ur (1 — 32)° ce qui cependant ne donne pas de simplifications dans les expres- sions, que nous venons de déduire. La valeur de y est déterminée par y= a(l—a)u, d’où résulte : : lo N + U SS ee — me Ji yzy—ı 2(1—x) u—3x i, ape” . (4) ARCHIVES X. 22 155 SUR WALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT b x Ainsi on aura x et p exprimées en 2, c.-à-d. en aoe 1+ pa contenant encore x. Mais il ne sera pas possible de procéder plus loin, et d'exprimer x et v en p‚ pas plus que dans le cas précé- dent (voir $ 6). Discussion du résultat. : : fk N Le tableau suivant donne les valeursdeu, N,x, pet 9 = =1+ 5 1 pour z=1w=b), z=» etz=1, (u— 35). | 1 x ( o=1-+— x / ar a 1 u |N=12 | IIs 6=0,010| — 17, +1}, 17 60,112) 9,90 (point double) b 6 191), 0,015 0,283 4,53 1/, op? [6 0%) Ve Oort a! On voit done, que les valeurs de x restent au voisinage de 0. Mais la possibilité d'un contact entre la spinodale et la courbe de plissement — et cela deux fois, comme l'exige la fig. 27 — et par suite la possibilité du Type III pour le cas x = 1, se trouve démontré. Car, la valeur de étant nécessairement — 0,11 (la va- leur dans le point double) et z<1, pour que la cas du type III peuve se présenter, on voit clairement, qu'il y hab 7 7 aura toujours deux points R, et R,’ avec deux valeurs distinctes de z (v) et done dez, correspondant à une même valeur de p (9), quand cette valeur de p est comprise entre celle du point double (0,11) et une valeur maximale en Q, que nous voulons déterminer. (voir fig. 29). C’est en Q, que les deux points de contact R, et R,’ de la ligne spinodale avec la courbe ce plissement coincideront, et où on aura la transition du type normal II en le type anomal III. La connaissance de ce point Q sera done d'une importance tout-à-fait égale à la connaissance du point double en P, qui détermine la transition de I en II, et que nous avons discuté amplement dans û 1 ' © wo, >» ! ——".—-.d—- - CHEZ LES MELANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 159 un Mémoire précédent dans ces Archives et dans les K 4 et 5 du Mémoire présent. Evidemment la courbe de plissement aura au point de contact Q avec la spi- nodale un point d’inflexion (voir fig. 30). 8) Le point Q sera déterminé (voir fig 29) par la valeur maximale de p= f(z) Cherchons donc la valeur dez, où se présente cette valeur de 4, ou bien de (g + !e)?. En vertu de (4) on a notammant: rende (le N ae u)? a Fer N: +4u Æu(N+u— 1) Il faut done que la valeur de (Wa 2 dE 1 — (+ 2u)? : Zl = u(N+u—1) ! soit minimale, c.-à-d. celle de — 5.15 maximale. (N + 2u)? Or, on a, en vertu de N=3z2—3(1—22)u— (1—32)u?: N+u—1=—(1—3z) (1 + uw) N+2u—=[1—(1—32)(1 +u)](1 + u). Par conséquent la valeur de (1—32)u [32—(1—32) u]? doit être minimale. Mais en vertu de (1) on peut remplacer a2 2° (1—32)u par Te de sorte que kf ese (1 —52) 6 22 FAO SEE Fe ou bien (1 —52)* 133 doit être maximale. On trouve facilement, que la valeur de z sera alors: pp 160 SUR WALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT Pour « et N on trouve ensuite: wu = 8 Ye N = 26 4/5 5 et les valeurs correspondantes de x et p deviennent: Con lo — Who 1710 = 0,011 De ENT La valeur de © est alors: O= 18 (7 +21 10) = 4,44. Le second système de valeurs pour z, u, N et x, correspondant avec p= Ollie + 1417 6 sera évidemment, comme (voir p. 159) 25, Wo 121 Ys | N=1080, 7=0:0001, et nous pouvons compléter le tableau sur le p. 158 comme suit: | 5 | p =O 2= 13 0,33 | u—w? No secs Osei | eni los = 0,36 1211/2) 1080 0,0001 0,112 | 9,90 Is = 0,47 | Ss 2644) 0,011 0,291 | 4,44 | 1 | 1 1 | 12 0,010 0,112 | 9,90 On aura done dans le cas a = 1: Oel <4,44 Type II (C,C, et C,A) 0,0, et C, À. La spinodale touche Dt € Tire 1 0 O>444<990 Type III Oo, enh cute ) 07 9,90 Type UC AAC NG) La transition de II—III se présente, lorsque E= 4,44 ; zi Y= 2 470) 3 200 tandis que la transition de IlI—I se présente au point double, lorsque O = 9,90 2 hi (=) : 10.010: Remarquons encore, que pour x 1 le point de contact R, dans la courbe de plissement C,A (type Il) manque, parce que C,A coïncide alors avec la droite v==b. Et qu’il y aura dans le CHEZ LES MÉLANGES DE SUBSTANCES NORMALES, ETC. 161 cas du point double un deuxième point de contact Rk, [2=%» {= 2" b), x —=0,0001], de sorte qu'après la transition de III en I, lorsque @ devient — 9,90. il y aura aussitôt un point de contact dans la branche C,A, tout comme dans le cas =), que nous avons discuté déjà dans notre Mémoire primitif sur ce sujet. Dans la fig. 22 on peut done tracer encore une ligne-limite, séparant II de III. Or, nous savons déjà, que cette ligne passera par un point sur la droite z==1, comprise entre B et la droite Q=1 (9=4,44), et par le point sur la courbe-limite BA, où 1=(9=2,39. Dans ce dernier cas (/? = 0) le domaine du Type II] est exactement zéro, parce que le point Q coincide alors avec le point double P (voir § 6). Il serait très intéressant de savoir si la courbe-limite des points Q touche la ligne-limite BA au point x — 4 = 2,89, ou bien s’il y a intersection de ces deux courbes en ce point. Nous saurions alors un peu plus de l'étendue du domaine du Type III. L'examen du cas ¢ = 0 (x = G*) nous apprendra certainement — quelque chose sur ce sujet, mais le calcul n'est plus si simple, relativement, que dans les deux cas précédents C est pourquoi nous réserverons le calcul et la discussion de ce cas pour un Mémoire suivant. Nous aurons aussi à discuter l'influence de la variabilité de b avec v et T, et de l'association partielle des molécules de l’une des deux composantes, ou des deux. On verra que ces influences tendent tous les deux à abaisser les valeurs-limites de 9, qui déterminent, pour une valeur donnée de x, la transition de II en III et de III en I. Egalement le cas, qu'un pli longitudinal proprement dit se pré- sente sur la surface # — avant le moment, où dans le cas du Type II une ligne spinodale aura touché la courbe de plissement CA — doit être regardé de plus près. Nous verrons que notre théorie de l’allure des deux branches de la ligne de plissement peut rendre compte d'une manière naturelle de la naissance de ce pli chez des mélanges de substances normales. Et finalement nous aurons à résumer tout ce que la théorie, que nous avons élaboré dans plusieurs Mémoires, nous a appris quant au sujet de la miscibilité partielle de deux liquides. Les trois types principaux représentent autant de cas principaux pour cette miscibilité, qui se distinguent en certains caractères très spécials. 162 SUR WALLURE DES COURBES DE PLISSEMENT Ainsi nous serons retourné au point de départ de nos recher- ches, car le but même, dans lequel nous avons entrepris tous ces calculs et discussions souvent longues et compliquées, était la connaissance plus précise des lois de la miscibilité mutuelle et partielle de deux liquides normales. 1904—Avril 1905. Remarque (chez § 4, p. 139). Nous voulons remarquer encore, que le produit des valeurs de Ty. Da : Os T et 7 = pour le point double de la courbe de plisse- j l ment (voir le tableau sur le page 133 ou 138) sera approxima- tivement au voisinage de 9 à 11, comme est confirmé par le tableau suivant. (-) | Tr | Ox x | | 1 1,50 7,5 1,19 | 7,21 | 8,6 1,71 6,26 | 10,7 1,88 5,76 | 10,8 2,04 5,42 | 11,1 2,22 4,94 | 11,0 2,89 | 2,89 | 5,4 9,90 | 1,— | I Cette remarque sera parfois utile, lorsqu'on veut déterminer la valeur de zx pour le point double, correspondant à une valeur quelconque de m. LA PLURALITÉ DES PERIODES GLACIAIRES DANS LES DÉPÔTS PLEISTOCENES ET PLIOCENES DES PAYS-BAS PAR EUG. DUBOIS Depuis longtemps on a rapporté les dépôts du pleistocène ou diluvium de Allemagne du Nord et du cours moyen du Rhin à plusieurs périodes glaciaires. On y a distingué trois de ces périodes, Dans les Pays-Bas néerlandais, au contraire, on s’est contenté, jusqu’à ces derniers temps, d’une seule période glaciaire, malgré la continuité de ces dépôts avec le reste des „Pays-Bas de l’Europe septentrionale”, comme l’ensemble de ces terres basses a été appelé par M. pe LAPPARENT !). Avec la section belge de ces terres basses aussi la continuité est telle que les démarcations géologiques ne correspondent nulle part avec la limite des deux états. Néanmoins ce n’est qu’en 1902 que parut un essai de comparaison du pleistocène de la Belgique au glaciaire de l’Europe centrale ?). M. Ruror admet quatre phases d'avancement des glaces, dont les trois premières, appar- tenant au moséen, au campinien et au brabantien, correspon- draient avec celles de l'Allemagne, tandis que la quatrième, appartenant au flandrien, ne correspondrait qu'avec un dépôt de l'Écosse. Dans notre pays on ne voyait que la période de la plus grande 1) A. DE LAPPARENT, Leçons de géographie physique, p. 381. Paris, 1898. 2) A. Ruror, Comparaison du Quaternaire de Belgique au Glaciaire de l’Europe centrale. [Bulletin de la Société belge de Géologie etc. Mémoires. Tome XIII. Année 1899, p. 307—321. Bruxelles 1902]. ARCHIVES x. 23 164 LA PLURALITE DES PERIODES GLACIAIRES DANS LES extension des glaces, la seconde ou période saxonienne de M. JAMES Grikre *), période du lower boulder-clay britannique, de l’untere Geschiebemergel de l'Allemagne du Nord, correspondant aussi au Deckenschotter récent, le mindélien de M.M. Prnxck et BRÜCKNER *) On y rapportait le „diluvium graveleux entremêlé” et „scandi- nave’, dépôts compris dans le ,diluvium glacial” et reposant sur le „diluvium rhénan” et ,moséan”, que l’on considérait comme „pröglaeial”, tandis que le „diluvium sableux” (avec son „facies marin”, le „système eemien’ de Harting), qui recouvre le diluvium entremélé et scandinave, était considéré ,,postglacial” 5). Bien qu'aux environs d’Utrecht et à Gorkum, M. J. Lorré eût reconnu, dans les sondages, des dépôts de sable grossier, inférieurs et supérieurs, séparés, vers 25 à 30 et environ 70 mètres sous A. P., par des sables plus fins, il rejetait, encore en 1902, la possibilité de rapporter ces deux divisions grossières à deux périodes glaciaires différentes, possibilité qui toutefois s'était pré- sentée à son esprit depuis 1891 ®). En parlant des trois divisions du diluvium dans les sondages d’Utrecht, M. Lorré, dit en 1891, qu'il ne peut, pour le moment, voir aucun autre alternatif que les suivants: 1. Admettre que l’ensemble doit être considéré comme diluvium graveleux, qui d’ailleurs, ainsi qu’il ressort des observations faites dans des tranchées pour chemins de fer, peut consister quelque- fois en grande partie de sable avec de l'argile. 2. On pourrait aussi considérer la seconde division comme du diluvium sableux plus ancien ou interglaciaire et la première comme un diluvium graveleux, correspondant avec la seconde extension des glaces scandinaves. Bien qu'il soit plus que probable que 3) JAMES GEIKIE, Classification of European Glacial Deposits. [Journal of Geology. Vol. III, p. 241 —269. Chicago, 1895.) 4) Penck et BRÜCKNER, Die Alpen im Eiszeitalter, p. 110. Leipzig, 1901 - 1906. 5) J. Loris, Contributions à la géologie des Pays-Bas. p.p. 1—160. [Archives du Musée Teyler. Série II. Vol. III. Haarlem, 1892]. Voir aussi de cet auteur les deseriptions de sondages, dans les „Verhandelingen der Kon. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam”, publiées ultérieurement. 6) Tijdschrift van het Kon. Nederlandsch Aardrijkskundig Genootschap. 2e Serie. Deel VIII, p. 373. Leiden, 1891, et: Verhandelingen der Kon. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Tweede Serie. Deel VIII, No 4, p. 25. 1902. Voir aussi: Bulletin de la Société belge de Géologie, etc. Tome III, (Année 1889), Mémoires, p. 448. DÉPÔTS PLEISTOCRNES ET PLIOCÈNES DES PAYS-BAS. 165 celle-ci n'ait absolument pas atteint notre pays, on peut très bien se figurer, que la même cause qui eut pour effet une extension plus petite de la glace continentale scandinave (température plus basse et précipitations augmentées) renforçait aussi le pouvoir transportatif des rivières. 3. Outre ces deux explications possibles, il en est une autre, que la seconde division correspond en effet au diluvium sableux ordinaire, mais que la première division n'est qu'un dépôt local de gravier, ainsi qu'une masse déplacée des collines des environs. En 1902 M. Lorrf se prononce sur la tripartition du diluvium ancien, aux environs d’Utrecht, en ces termes: Le gravier supérieur, pouvant en tout cas étre considéré comme un dépôt de la période glaciaire la plus importante, c’est à dire la seconde, il est très tentant de rapporter la division fine, conte- nant de l'argile et de la tourbe, à la période interglaciaire et la division inférieure grossière à la première période glaciaire. Mais les points de contact avec des dépôts bien caractérisés nous man- quent pour prouver cette thèse. Il est clair que M. Lorié, en 1902, n’a pas encore succombé à cette tentation et continue à regarder le diluvium graveleux, avec ses couches de sable grossier, supérieures et inférieures, et les couches de sable fin intermédiaires, comme appartenant à une seule période glaciaire, une et indivisible. Ce n'est qu'en 1903 que l'existence de dépôts d’une autre période glaciaire, postérieure à celle généralement admise, fut démontrée dans les Pays-Bas Au sommet du diluvium sableux ou „postglacial” de M. Lorık on trouvait alors, dans le sol de la Hollande du Nord, de vrais dépôts glaciaires 7). Nous y revien- drons dans la suite. Cependant, encore en 1904, M. Lorif *) pense que les sables grossiers inférieurs et supérieurs, dans les sondages des provinces du Nord-Est de notre pays, sondages qui vont jusqu’à 135 mètres de 7) Eve. Durors, Diepgelegen keienleem van een jongeren ijstijd in den bodem van Noord-Holland. (Kon. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Verslag van de Vergadering der Wis- en Natuurkundige afdeeling, van 30 Mei 1903], publié en Juin 1903. Aussi: Deep Boulder Clay Beds of a latter Glacial Period in North-Holland. (Proceedings, Ibid.) 8) Verhandelingen der Kon. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 2de Sectie, Deel X, N°. 5, p. 20. 28° 166 LA PLURALITE DES PERIODES GLACIAIRES DANS LES profondeur, s'expliquent par une simple oscillation du glacier scan- dinave, il ne croit pas avoir besoin, pour cela, de deux périodes glaciaires. Cette même année le ,diluvium rhénan” de STARING et ses succes- seurs, nommé généralement aussi ,diluvium préglacial”, fut rap- porté à la première période glaciaire pleistocène et regardé comme l'équivalent du Deckenschotter, dépôt fluvio-glaciaire du mittelrhei- nische Diluvium *) des auteurs allemands '’). Il fut alors demontré que l'argile de Tégelen, dépôt sous-jacent à ces graviers et sables fluvio-glaciaires du „diluvium rhénan”, (proprement ,moséo-rhé- nan’), ne peut être rapportée, par les fossiles qu'elle contient, qu’au pliocène supérieur !!). L’horizon stratigraphique de la base du pleistocène des Pays-Bas étant donc à présent de tous, le mieux défini, nous pouvons le prendre pour plan de répère. Antérieurement, le diluvium moséo-rhénan était considéré comme le plus ancien, déjà par STARING, mais appartenant à une même période glaciaire que le diluvium scandinave, quoiqu’on nommät le premier ,préglacial”. Pour M. A. Erens rien n'était plus naturel; le glacier scandinave, très lent dans sa formation et dans sa marche, n'étant arrivé dans les Pays-Bas qu'après que le Rhin et la Meuse y eurent déposé, même dans les parties septentrionales du pays, des détritus et des pierres d’origine méridionale ©). Encore en 1905 M. Lorrf s'est prononcé de la même manière et en employant le même argument que M. Erens "). %) Eva. Dupors, Over een equivalent van het Cromer Forest-Bed in Nederland. [Kon. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Verslag van de Vergadering der Wis- en Natuurkundige afdeeling van 24 September 1904], publié en Octobre 1904. Aussi: On an equivalent of the Cromer Forest-Bed in the Netherlands. (Proceedings. Ibidem]. 10) Voir: H. CREDNER, Elemente der Geologie, 9te Auflage, p. 747— 748. Leipzig, 1902, où sont indiquées les divisions de ce Diluvium du Rhin moyen, avec Ja bibliographie principale. 11) Buva. Durors, L'âge de l’Argile de Tégelen et les espèces de Cervidés quelle contient. Archives du Musée Teyler. Série II, Tome IX, p. 605—611. Haarlem 1905. Voir aussi le travail cité dans la note 9. 12) A. ERENS, Recherches sur les formations diluviennes du Sud des Pays-Bas, p. 539. [Archives du Musée Teyler, Série II, Vol. III. Haarlem 1892]. 13) J. Loris, Beschrijving van eenige nieuwe grondboringen, VI, p. 49. [Ver- handelingen der Kon. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (Tweede Sectie). Deel 12, N°. 2. 1905]. DÉPÔTS PLEISTOCÈNES ET PLIOCÈNES DES PAYS-BAS. 167 Cependant cette conclusion péremptoire me semble loin d’être prouvée. D'abord il a été démontré (par le travail cité dans la note 9) que la glace a largement contribué au dépôt des graviers en question, puisqu'ils contiennent, en nombre considérable, de gros bloes d’origine méridionale Mais, de plus, il paraît inévitable, ainsi qu'il a déjà été indiqué dans ce même travail de 1904 (note 9), d’assimiler le transport de l'ensemble de ces cailloutis fluvio-glaciaires à celui qui se produit, quoique comme un phé- nomène annuel, dans les fleuves actuels de la Sibérie, du Canada et de l' Alaska '%). Les eaux d’un fleuve, quelque puissant qu'il soit, ne déplacent des gros graviers de fond que quand la pente appartient au régime torrentiel, ce qui implique des vitesses trois fois celles des grandes rivières. Or, un régime torrentiel est impossible sur un sol composé de terrains meubles, comme ceux sur lesquels a dû couler le Rhin, depuis sa sortie du massif rhénan, sur une centaine de kilomètres, lorsqu'il a déposé le ,diluvium préglacial” dans la partie septen- trionale de la province du Limbourg néerlandais, où, à la base des graviers et reposant sur l'argile pliocène, se trouve géné- ralement une couche de sable assez fin, épaisse jusqu’à 2 ou 3 mètres. L'existence de cette base de sable fin prouve déjà que les graviers n’y ont pas été apportés par des vitesses torrentielles de l’eau courante. Il n’est pas admissible que de nombreux cailloux ayent fait le trajet de l’amont de l’ancien Rhin et de l’ancienne Meuse jusqu'aux parties septentrionales, non seulement du Limbourg, mais des Pays-Bas, sur un terrain composé d’alluvions, autrement que trans- portés par des glaces. De plus, on ne peut se figurer un transport assez considérable par de simples glaçons: il n'y a pas d'autre moyen de comprendre le transport des matériaux de ces dépôts que par la glace de fond. A l’amont du Rhin et de la Meuse la formation de glace de fond doit avoir été un phénomène très général aux périodes gla- ciaires de l'époque pleistocène. Ces glaces, adhérant aux lits des rivières, comprenaient dans leur masse les cailloux qui les 4) A. pe LAPPARENT, Traité de Géologie, Cinquième Édition, pp. 314—317. Paris 1906. 168 LA PLURALITÉ DES PÉRIODES GLACIAIRES DANS LES jonchaient. Avec le dégel universel, des radeaux de glace déri- vaient vers l'aval, y apportant les matériaux des graviers. Il paraît impossible que dans des conditions climatologiques pareilles à l’état actuel un transport de cailloux aussi considérable ait pu avoir lieu En effet nous n’observons aucun cailloutis (non- remanié) dans les dépôts post-glaciaires des Pays-Bas. Ces graviers ,préglaciaux ', constituant le diluvium moséo-rhé- nan, ne peuvent done avoir été déposés qu’à la fin d'une période glaciaire; de sorte qu'il me semble inévitable de conclure qu'ils appartiennent à une période glaciaire antérieure à la seconde période glaciaire de l'ère pleistocène ou celle du „diluvium gra- veleux entremélé” et „scandinave”. Que le dépôt du „diluvium rhénan” date de bien longtemps avant le „diluvium scandinave” l’existence des épais dépôts de sables fins et d’argile qui les séparent à Sneek (épaisseur 25 mètres), à Assen (60 à 100 mètres), et à Utrecht (40 mètres) nous en fournit la preuve. Il est vrai que dans d’autres cas le ,diluvium glaciaire” et le „diluvium rhénan” sont en contact direct, mais évidem- ment les premiers cas n’en perdent rien de leur signification. Le diluvium moséo-rhénan des Pays-Bas ne peut donc qu’ap- partenir à la première période glaciaire de l’ère pleistocene, la pé- riode günzienne de M.M. PEencx et BRÜCKNER, correspondant à la période scanienne de M. James GEIKIE, Les glaces formées dans celle-ci ont dû déblayer, en grande partie, les régions en amont du Rhin et de la Meuse des graviers avec leurs cailloux, galets et blocs accumulés dans ces parties à régime torrentiel, pendant la longue période d’erosion de l’ère tertiaire. Il n’est donc pas étonnant que les périodes glaciaires ultérieures n’ont pas produit des dépôts fluvio-glaciaires dans les Pays-Bas d'une importance pareille à celle du diluvium moséo- rhénan, dit ,préglacial”. En outre il est difficile de reconnaître ces dépôts fluvio-glaciaires ultérieurs, déjà bien moins considérables que les premiers, parce qu'ils se sont mélangés aux dépôts anté- rieurement amenés du Nord. Quant à ces derniers, qui appartiennent à la seconde, c’est-à-dire la plus considérable période d'extension des glaces du pleistocène, ils doivent consister, en grande partie, des matériaux des dépôts glaciaires de l'extension antérieure, qui alors furent transportés plus loin. C’est ainsi que je me figure aussi que le bassin de la Baltique fut déblayé des dépôts glaciaires de la période DÉPÔTS PLEISTOCÈNES ET PLIOCÈNES DES PAYS-BAS. 169 scanienne, dépôts qui n’arrivaient pas directement dans les Pays- Bas, mais seulement par suite de ce transport secondaire "). En 1905, M. Lorıf (p. 49 de son travail cité dans la note 13), bien qu’acceptant le caractère fluvio-glaciaire du gravier superposé à l'argile de Tégelen, considère ce gravier comme appartenant a la seconde période glaciaire de l’ère pleistocène, quoique déposé avant que le glacier scandinave eût atteint notre pays. Il dit que les plantes et les animaux de l'argile de Tégelen ont vécu dans un climat tempéré et que cette argile est probablement intergla- ciaire et l'équivalent de la division fine moyenne des sondages dans les autres parties des Pays-Bas; car à présent il ne rejette plus la conception de rapporter cette division moyenne fine à une période interglaciaire, s’étant assuré de la justesse de mes obser- vations de 1903 (note 7). M. Lorıf considère que, puisque le sous- jacent de l’argile n’est pas encore connu, la seule chose qu'on peut baser sur les données stratigraphiques est que les fossiles qu’elle contient sont plus anciens que le gravier. Cela est incontestable- ment vrai, mais en même temps cela renverse l’ordre d’apprécia- tion des faits qui est en vogue, et non sans de bonnes raissons. Pour la majorité des géologues c'est à la paléontologie qu’appar- tient le premier, et même aussi le dernier mot, dans toute question d'âge géologique. Or, la paléontologie s’est prononcée et elle s'était déjà prononcée en 1904, dans le travail cité par M. Lorré (celui de la note 9), décidément en faveur de l’âge pliocène de l'argile de Tégelen. En effet les Cerfs que l’on trouve dans cette assise appartiennent à plusieurs types anciens, qu'on n'a jamais rencon- trés dans le pleistocène incontestable. De même la présence de |’ Equus Stenonis indique le pliocéne. Mais surtout le nombre con- sidérable de plantes caractérisant le tertiaire dans ces régions de l'Europe, plantes dont quelques’unes ne trouvent plus leurs pareilles dans la flore vivante que dans l'Amérique et l’Asie orientale, dautres dans les régions méridionales de l’Europe et du Sud-Ouest de l’Asie, est incompatible avec l’âge pleistocène (interglaciaire) attribué à cette assise par M. Lorin. 15) Euc. Dugors, De geographische en geologische beteekenis van den Hondsrug en het onderzoek der zwerfsteenen in ons noordsch Diluvium. (Kon. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Verslag van de vergadering der Wis- en Natuurkundige Afdeeling van 30 Sept. 1905] publié en Octobre 1905. Voir aussi: The geographical and geological Signification of the Hondsrug in the Northern Diluvium of Holland (Proceedings Ibid.). 170 LA PLURALITE DES PÉRIODES GLACIAIRES DANS LES Évidemment la présence de Rhinoceros etruscus, Hippopotamus amphibius major et Trogontherium Cuviert, espèces qui se trouvent aussi dans l’interglaciaire le plus ancien, entre autres de Moos- bach, ne prouve rien contre son caractère pliocène. En outre il semble que du moins l’Hippopotame ait eu besoin d’hivers bien moins rigoureux que ceux qui régnent au temps présent dans ces parages. Afin de faciliter au lecteur l’appréciation de l’âge de l'argile de Tégelen j’ai représenté sur la planche annexée, quelques fossiles végétaux, appartenant à trois espèces qui certainement ne sauraient être rapportées au pleistocène. Des noix de Juglans tephrodes, Ung. (= J. cinerea L. fossilis, GEYLER et KINKELIN), espèce à peine distincte de celle vivant encore aujourd’hui dans l’Améri- que, sont communes dans les lignites du pliocène supérieur du bassin de Mayence et de la Wetteravie !). Les graines de la Magnolia de Tégelen ressemblent étroitement à celles de Magnolia Kobus, DC. du Japon, que j'ai eu l’occasion de comparer en grand nombre, ainsi que d’autres espèces, grâce à la complaisance de mon ami le Dr M GresHorr et de M. le Professeur J. M. JANse. Elles ne semblent pas différentes de la Magnolia cor, décrite par Ludwig des lignites de la Wetteravie *). Le genre Vitis, très répandu dans le tertiaire néogène, est aussi un de ces types que l’on ne saurait rapporter au pleistocène de la zone climatologique de Tégelen. Nous pouvons en dire autant de Staphylea pinnata et de Stratiotes Websteri, de Taxodium (Glyptostrobus) heterophyl- lum et de Sequoia. Qu'à côté de ces espèces il s'en trouve d’au- tres, dans l’argile de Tégelen, d’un aspect plus moderne, ne saurait affaiblir la force démonstrative de la présence des premières. En Juillet, l’année passée, j'ai eu le plaisir de rendre une courte visite à l’argilière de MM. Canoy, Herrkexs et Cie. à Té- gelen, avec M. Crement Rerp. J’y avais commandé deux boîtes égales, que M. Rem fit remplir avec l'argile du fond de la fosse, au même endroit et exactement de la même manière, de sorte que le contenu des deux boîtes était en tout point comparable. Lune 16) TH. GEYLER und F. KiNKeELIN, Oberpliocänflora aus den Baugruben des Klärbeckens bei Niederrad und der Schleuse bei Höchst a. M., p. 31. [Abhand- lungen herausgegeben von der Senckenbergischen Naturforschenden Gesellschaft. Bd. XV. Frankfurt 1887]. 17) R. Lupwia, Fossile Pflanzen aus der jüngsten Wetterauer Braunkohle, p. 97—98. Taf. XXI. [Palaeontographica, Bd. 5. Cassel 1858]. DÉPÔTS PLEISTOCÈNES ET PIIOCÈNES DES PAYS-BAS, 171 lui fut expédiée, l’autre m'était destinée. Le volume interne de chacune d’elles était de 0.42 x 0.42 x 0.21 = 0037 M*. Chaque boîte ne contenait donc certainement pas plus d’un pied cubique (= 0.028 Mi) d'argile, abstraction faite des interstices des morceaux. Or, dans une ,épreuve de distribution préalable” du Bulletin de la Société belge de Géologie, de Paléontologie et d’ Hydrologie, qui parut en décembre 1905, M. Rem dit qu'il a trouvé, dans son pied cubique d’argile de Tégelen, une flore composée de 70 à 80 espèces! J'avoue que dans le mien. en suivant la „méthode de travailler” de M. Rerp, c'est à dire en lavant l’argile sur un tamis, je n’ai pu distinguer que le dixième ou le huitième de ce nombre d'espèces fossiles, y comprises les non-déterminées. Parmi ces es- pèces étaient Magnolia cor Ludwig, Vitis vinifera L., Pterocarya fraxinifolia Spach. Depuis une huitaine d’années j'ai cherché, quel- quefois avec mes étudiants, pour ces débris, au moyen de la loupe, dans l’argile, prise en divers endroits de la fosse, cependant le nombre des espéces rencontrées est certainement bien inférieur 4 celui du seul pied d’argile de M. Reip. Souvent aussi j'ai examiné, à la loupe, des surfaces lisses produites par la pelle dans la partie de l’argile la plus riche en débris végétaux. A la suite de l'expé- rience ainsi acquise je suis bien étonné de l’entassement d’espèces dans le pied d’argile de M. Rei. Aussi l’assertion de M. Rew que „les deux flores sont étroite- ment alliées”, de sorte qu’il ne pourrait dire actuellement „laquelle est la plus ancienne”, ne peut qu’étonner beaucoup chacun qui connait le caractère des deux flores. Quant aux Cerfs, dont les bois sont parmi les plus communs des ossements fossiles de Tégelen, aucune des espèces ne se range à côté des espèces pleistocènes de ces régions de l’Europe. Cervus elaphus (avec les formes annexes, telles que C. canadensis) y manque absolu- ment. Cependant cette espèce est abondante dans les faunes pleisto- eènes, même celle de Moosbach, faune du premier interglaciaire pleis- tocène qui se rapproche quelque peu (par Rhinoceros etruscus. Hippopo- tamus amphibius major, Trogontherium Cuvieri) des faunes plioeènes Des espèces de Cerfs de Tégelen, au contraire, le Cervus rhenanus appartient incontestablement au sous-genre Axis Une autre espèce n’est comparable qu'avec le Cervus dicranius et les formes tertiaires analogues (telles que © verticornis). La troisième espèce, le Cervus teguliensis, non encore rencontrée ailleurs, ne peut être rapportée à aucune espèce pleistocène. ARCHIVES X. 24 12 LA PLURAIITÉ DES PÉRIODES GLACIAIRES DANS LES Le Musée Teyler vient d'acquérir le bois complet de Cervus teguliensis que j'ai représenté sur notre planche (fig. 5). Il me paraît utile d'en dire ici quelques mots. De même que plusieurs bois de cette espèce, déjà obtenus an- térieurement, le nouveau bois ne possède pas le double andouiller basilaire de Cervus elaphus, quoiqu'il provienne évidemment d’un individu bien moins âgé que celui des figs. 1 et 2 et plütot com- parable à celui de la figure 5 de la planche annexée à mon premier article sur les Cervidés de Tégelen Les dimensions et la forme générale du bois, le nombre, les im- plantations et la forme des andouillers ne nous laissent point de doute que ce bois ne provient du Cervus teguliensis. Il ne diffère des bois antérieurement décrits que par quelques traits que je considère être individuels et la conséquence de la différence d’äge. Aussi la description générale que j'ai déjà donnée du bois de cette espèce (Archives, Tome IX, pp. 6—9) est applicable au nouveau bois. En voici d’abord les principales dimensions: Longueur totale du bois, de la base à l'extrémité du merrain, 705 m.M Distance de l’extrémité de l’andouiller basilaire à celle du merrain 705 „ entre les milieux des bases des andouillers Let Il 255 , 2 er 5 RATE 5 [let III 150 „ Longueur de l’andouiller basilaire (mesurée de l’aisselle) 235° „ II (mesurée du milieu de la base) 185 ,„ III 3 JU Spguirgs ei} | la pointe du merrain ou quatrième pointe (mesurée de l’aisselle) 295 „ Distance du cercle de pierrures (milieu de son hauteur) à l’aisselle de l’andouiller basilaire 45 à 50 , ” ” ” ” ” ” Presque rond dans sa moitié inférieure, le merrain obtient un apla- tissement de 44 : 33 ou 4 : 5 entre le second et le troisième des an- douillers; il est encore plus aplati à la base du troisième andouiller. Le nouveau bois se distingue du bois complet antérieurement décrit, en ce que, des deux andouillers supérieurs, le premier est moins long que le second, et que ce dernier s’implante sur le merrain par un angle assez aigu et non presque droit. De plus la longueur relative et la forme de la pointe du merrain, la qua- trième du bois, sont bien différentes, ainsi qu’il ressort de la fig. 5. Il ne lui manque pas d'indications des deux saillies sur les DÉPÔTS PLEISTOCÈNES ET PLIOCÈNES DES PAYS-BAS. 1715 deux côtés de la première bifurcation, l’une sur la face interne et antérieure du merrain, l'autre sur l’andouiller basilaire, que j'ai déjà signalé chez cette espèce et dont la première nommée semble tre plus ou moins constante. Ces saillies ont été un peu rongées, de même qu’une grande partie du reste du bois, probablement par le Trogontherium. dont les ossements se trouvent fréquemment dans l'argile de Tégelen. Quoique les saillies en question se retrouvent chez le Cervus Eldi, la constance de celle sur le merrain au même endroit où s'implante le second andouiller basilaire des cerfs élaphes, la grande distance entre l’andouiller basilaire et les autres andouillers, de même que plusieurs traits par lesquels le nouveau bois difière de ceux figurés antérieurement, (surtout en ce que l’andouiller supérieur est le plus grand de tous) me, semblent rapprocher Cervus teguliensis des espèces primitives du sous-genre Hlaphus Ces espèces représentées surtout par Cervus albirostris (le Cerf de Thorold) ont aussi, à l’opposé des vraies espèces élaphes, le bois non compliqué et les andouillers supérieurs ne s’assemblent pas en forme de coupe; les pointes ne surpassent pas le nombre quatre ou cing, tout au plus, et le bois ne possède pas le double andouiller basilaire des vrais élaphes; enfin il est plus ou moins aplati dans sa moitié supe- rieure. Par ces caractères C. albirostris, de même que notre espèce fossile, se rallie étroitement au sous-genre des Sika ou Pseudaxis, duquel les cerfs elaphes semblent être dérivés et qui probablement inclut plusieurs formes pliocènes de la France, telles que Cervus Perrieri, etueriarum, pardinensis, issiodorensis et rusoides. L'espèce de Tégelen diffère cependant de Cervus albirostris, de même que de tous les autres membres du groupe Ælaphus (et aussi des Pseudaxis), en ce que, d'après les spécimens jusqu’à présent connus, elle n'obtient jamais plus de quatres pointes, un quatrième andouiller (cinquième chez les Elaphus à double andouil- ler basilaire) ne se développant pas. Le bois de Cervus teguliensis se distingue encore du Cerf de Thorold par la droitesse de son merrain qui, chez ce dernier, à l’origine de l’andouiller moyen, se recourbe brusquement en arrière. Cette droitesse, continuée jusqu’au dernier andouiller, le distingue également de tous les autres Ælaphus, chez lesquels le merrain se recourbe, du moins à la base de l’andouiller supérieur. Par ces caractères il s'éloigne encore plus du type général de ce groupe que ne le fait déjà le Cervus albirostris. 24* 174 LA PLURALITÉ DES PÉRIODES GLACIAIRES DANS LES Par ces deux derniers caractères Cervus teguliensis se distingue aussi de ©. Perrieri et de ses formes alliées. En somme je suis disposé, par l'étude du nouveau bois, à considérer Cervus teguliensis comme une forme primitive du sous- genre Ælaphus, de laquelle le Cerf de Thorold est probablement le plus proche parent parmi les espèces vivantes. Aux yeux de la plupart des géologues les faits paléontologiques bien établis, concernant l’argile de Tégelen, qui la rapportent au pliocène supérieur, devront être d’assez bons arguments, par les- quels, pris ensemble avec les considérations sur le caractère et le mode de dépôt du gravier superposé, il est prouvé que ce gravier appartient à la première période glaciaire du pleistocène, période suivant immédiatement l'époque pliocène En effet il n’y a aucun horizon stratigraphique dans le pleistocène des Pays-Bas aussi bien défini. Le grand intérêt qu'il y aurait à connaître les dépôts immédia- tement sous-jacents à l’Argile de Tégelen, a induit M.M. les direc- teurs de la Fondation Teyler à faire exécuter quelques sondages dans cette contrée, où le tertiaire paraît passer insensiblement au pleistocène. Le premier sondage, exécuté en janvier de l’année courante, par M. A. J. Stor, de Haarlem, dans l’argilière de M.M. Canoy, Herrkexs et Cie., et auquel j’assistais, a déjà donné des résultats très remarquables, qui méritent une description détaillée. Sondage de la bruyère de Jammerdaal (Tégelen). | | Base, | Numero | EURE ; | rapportée | Epaisseur, Alondrei Description des couches rencontrées. | au A.P. | en mètres. | | en mètres. | | 1. | Sable et gravier („diluvium rhénan”) de! | SAN AMAR, 2: ASS lH. 7 a OLED 2. | Sable quartzeux assez fin, jaune clair, pres- | | | que blanc. (Épaisseur en d’autres endroits | a HUSQUIA LA AN CLES) AE | 97.0 | 0.7 3 | Argile jaune-foncé, peu sableuse, avec fines | | | paillettes\desnicar pes Ne | 25.0 | 2.0 4. Sable peu argileux, gris-jaunâtre.......... DET Al 0.3 5. Argile grise, sableuse, avec fines paillettes | CL, VT Ne di RL | 244 | 0. Numéro d'ordre DÉPÔTS PLEISTOCÈNES ET PLIOCÈNES DES PAYS-BAS. B Descriplion des couches rencontrées. ae ase, rapporlée ALPS en mètres Argile bleue,/ très. plastique 4.2%)... «2. .| +233 Argile peu sableuse, plus claire, verdatre.. Argile gris-foncé, brunâtre. Contient des tubes de racines et beaucoup de restes végétaux, parmi lesquels, surtout dans sa moitié supérieure, des graines de plan- tes: Vitis, Magnolia, Plerocarya, elc ATSNOTEMIS-DIENANO res ete ere ee set Argile sableuse, bleu-grisâtre ......... DATE Argile sableuse, gris-bleuâtre. ............ | Sable gris, assez fin........ A OS et | Sable gris, un peu grossier, avec quelques cailloux très petits, surtout de quartz Blane; ayant Juequ'e 4 millimetres de di- S Sable’, grossier, avec beaucoup de ces mêmes cailloux, aux dimensions déjà bien aug- mentées, allant jusqu'à 24 et même 40 millimètre et dont de poids s'élève jusqu'à Ho Srammes tn. nee: BENE EL LA Sable grossier et gros gravier.............| Gravier. Quartz blanc, quartzites gris, ver- dâtres et rouges, grauwacke, lydites, silex: pierres d'origine rhenane et en partie moséane. Les plus grandes pierres sur- passent les {0 centimètres du tube de! sonde. Ce gravier ne diffère pas, en sa matière, dé celui du ,diluvium rhénan” Sable grossier, avec petits cailloux. .... Me Sable grossier et gros gravier. ..... Bosse Sable peu grossier, gris foncé, sans cailloux | Sable grossier el gravier médiocre........ Sable assez fin, gris foncé, sans cailloux... | BOIS Re Ars ee A le Ron, Sable très fin, gris, un peu argileux....... Argile brun-foncé et tourbe............ er Sable gris, tres fin..... ER TAR Argile sableuse, gris-foncé................ Argile gris-claire.......... D COTE saf Sable gris, fin ...... ec ri EE | Argile gris-foncé........... ES ER TE CR Argile gris brunâtre, avec minces couclies Je ADI en EEE OEE Argile brune, avec restes vébétanx (bois)... | — 22,9 21.9 20.4 19.0 15.5 15.0 14.5 15.0 175 Epaisseur, en mèlres, 0.7 0.5 1.4 0,5 0.5 0.5 3.0 1.5 1.0 0.5 4.2 0.5 1.0 0.8 0.2 0.2 0.3 0.3 0.2 0.6 0.2 1.2 1.0 1.6 176 LA PLURALITE DES PÉRIODES GLACIAIRES DANS LES Base, | Numéro | AA : rapportée | Épaisseur, ordre | Description des couches rencontrées. au AP enmet en mètres. 32. Terre noire végétale, peu cohérente (terreau) | — 1.3 0.2 33. BOIS seen ci ea TI 1.4 0.1 34, Argile très sableuse, gris-fonee............ | 2.3 0.9 55. MOULDS iN este ius tree 2.9 0.6 36. Argile gris-foncé, très sableuse............ 3.1 0.8 BYE I) wile feb are oo EPT 4.1 0.4 SSN Areileseris:clair en rer Sa 4.5 0.4 39. Arsileseris-foncennm minre ee eee 4.9 0.4 40. SableSfin#oriS-JAUNADE ce 4.95 0.05 41. Areileteris-claln ete eee cr ete ce 5.3 0.35 49. Aroile gris foncé: ee ere 5.7 0.4 43. INDE ANS clai a coc CCE er ee 68 1.1 44, | Argile sableuse gris-clair................. 7.8 1.0 45. Arsileteris once te er RENE CE etre 5.0 0.2 46. Argile sableuse gris clair................. 9.5 1.5 47. Sable iil) MERWE Sao coocccckseooonedons 11.5 9.0 48. Sable gris, grossier, avec quelques petits cailloux de quartz blanc, quartzites gris, lydites et des rares silex, dimensions jusqu'à 25 millimètres, tout au plus, eteoserammesedespoldS Eee cc re rte 18.0 6.5 49, Sable grossier, gris-foncé................. 20.0 2.0 50. Le même sable, moins grossier............ 29.5 9.5 En condensant ces résultats du sondage on Sable grossier et gravier (,di- luvium rhenan?).......... de 34.7 m. à 27.7 m. + A.P. Epaisseur 7.0 M. Sabletassez Ne ec eel SOA Serge, = 0% Argile, avec restes végétaux (fossiles du pliocène supé- RIEU) 5; 0 isle een mT ONE ETS IE A See = 8.5 „ Sablerlın Zetten de CSO en IS OM EN 5 055 Sable grossier et gravier.... „ 180 , , 55 , + „ a HD Sablesin enten Rn: AED Vaart a ald! oe ENE, 5 12% Argile, avec restes végétaux „ 43 „+, 95 , — , 5 13.8 , Sable: fin..... Ne ere toon cies D OD SSF MID SN; 3 9.0: Sable grossier, avec quelques petitskeaillouser..... sl) „ 11.5 ,—, 18:0 5 = J; . 6.5 , Sable moins grossier. ....... „ 18.0 ,—, 295 , — , PS ss, — À : Le fait le plus remarquable tainement qu'en dessous de Pargile, qui incontestablement appar- tient au pliocène supérieur, se trouve un autre gravier, pas ressortant de ce sondage est cer- DÉPÔTS PLEISTOCÈNES ET PIIOCÈNES DES PAYS-BAS KT moins épais que le gravier superposé, le „diluvium rhénan”, et en tout point comparable à celui-ci. Or, en considérant la distance énorme à laquelle a dû se faire le transport des éléments de ce gros gravier — étant d'une centaine ") ou de plusieurs centaines de kilomètres pour les pierres rhénanes, d’une cinquantaine de kilomètres, tout au moins, pour celles ap- portées par l’ancienne Meuse — il paraît inévitable d'admettre pour ce gravier le même mode de transport que pour le diluvium moséo- rhénan. Il faut done y voir un dépôt fluvio-glaciaire, produit dans une époque glaciaire prépleistocène et pliocène, Sinon plus ancienne. L’argile sous-jacente, qui a 17 mètres d'épaisseur, y-compris les couches de sable fin et de lignites, représent une autre période de climat favorable et de transport très diminué. En-dessous se trouve encore un sable grossier. Quoique n'étant pas développé en gravier, celui-ci trahit aussi un transport augmenté, de sorte qu'on ne peut pas méconnaître une certaine périodicité dans la puissance de ce transport On sait que, dans plusieurs régions montagneuses de l’Europe, „la période pliocène a été marquée. après la retraite de la mer, par un régime lacustre, fréquemment interrompu par des phéno- mènes torrentiels, inaugurant l'ère du creusement des vallées et passant ainsi, par transitions insensibles, à l’époque pleistocéne” ”). Plusieurs géologues ont regardé des cailloutis et conglomérats à Elephas meridionalis, dans la France centrale et orientale, comme des dépôts d’une extension glaciaire pendant le pliocéne moyen et supérieur. M. Pencx, dans le travail splendide qu'il publie d'ensemble avec M. Brückner, sur les Alpes pendant l’ère gla- ciaire °), soumet la question du prétendu caractère glaciaire des cailloutis français préalpins à un examen critique détaillé et arrive à la conclusion qu'il faut ranger tous ces dépôts dans le pleisto- cène. Il semble done permis de douter de leur âge pliocene. Le même doute est tout indiqué pour d'autres dépôts glaciaires que lon a voulu rapporter au pliocène. 15) Tel est la distance jusqu'au point où le Rhin sortait de Ja région montag- neuse de son parcours pour entrer dans la grande plaine bas-rhénane. 19) A. DE LAPPARENT, Traité de Géologie. Cinquième Edition, p. 1651. Paris, 1906. 20) ArB. Penck und Ep. BRÜCKNER, Die Alpen im Eiszeitalter, p. 641 sqq. Leipzig, 1904. 178 LA PLURALITÉ DES PÉRIODES GLACIAIRES DANS LES Par contre, pour le gravier inférieur de Tégelen l’âge prépleis- tocène est évident, car l’argile de Tégelen superposée est incon- testablement pliocène, d'après sa paléontologie, qui seule peut décider où il faut tracer la limite entre le pliocène et le pleistocène. Il est vrai que, perdant de vue la signification des mots pliocène et pleistocène, donnée par la paléontologie de ces époques, on s'est tacitement accoutumé à regarder toutes les phases du dernier grand phénomène glaciaire comme le propre de l'époque pleistocène. Maïs je crois cette manière de voir erronée; il n'est pas nécessaire que l'ère glaciaire soit chronologiquement identique avec l’ère pleistocène ou quartaire. Le sondage dont je viens de donner les principaux résultats me semble prouver q’une importante phase glaciaire du moins appartient au tertiaire et probablement au pliocène, phase glaciaire qui a précédé la première du pleistocène. Il est encore impossible de dire à quelle époque au juste il faut rapporter l'argile inférieure de Tégelen et les sables qui sont en dessous de cette argile. Dans un sondage exécuté récemment par l'État au Leemhorst à Tégelen (à 3 kilomètres au sud-ouest de celui que je viens de décrire), dont les résultats, autant qu’ils concernent les dépôts tertiaires et quaternaires, ont été gracieuse- ment mis à ma disposition par M W. van WATERSCHOOT VAN DER xRACHT, l’ingénieur-directeur des travaux pour les recherches des minerais dans les Pays-Bas, j'ai déterminé les fossiles suivants, provenant de 54 à 77 M. — A.P.: Typhis cuniculosus, Nyst Fusus elongatus, Nyst Pyrula reticulata, Lam. Cancellaria minuta, A. Braun Buccinum Schlotheimi, Beyr. Ancillaria sp. Natica Nystii, d’Orb., var. micromphalus, Sandb. Crassatella Bronnii. Merian Otolithus (Gadidarum) elegans, Koken Nous sommes done là dans l’oligocène supérieur, bien connu des sondages dans la région adjacente de la Province Rhénane de Prusse. D'après des données pétrographiques cette assise semble y commencer déjà à 39 M. — AP. Le miocene lignitifère ne sy trouve pas, selon les apparences. Il y a de gros cailloux jusqu’à 0.6 m. + A.P. mais il n'est pas encore clair quelle couche il faut rapporter dans ce sondage à l'argile inférieure que je viens de DÉPÔTS PLEISTOCÈNES ET PLIOCÈNES DES PAYS-BAS. 179 décrire. L’argile supérieure y est représentée par un dépôt d'argile avee un peu de tourbe et bois de 19 à 15.5 M. + A.P. Dans un autre sondage, exécuté par M. L. pr Rısk à Tégelen, à un kilomètre et demi au N. W. du Leemhorst, on a trouvé de l'argile avec quelque bois et tourbe entre 12 et 3 M. + A.P.; mais des données précises sur ce sondage me manquent. Le plus proche sondage, dans la Province Rhénane de Prusse, est celui de Wankum, à environ 11 kilomètres au N.N.E. de celui de la bruyère de Jammerdaal. Il n'y a point de gravier fluvio- glaciaire prépleistocéne et l'oligocène supérieur semble commencer à environ 23 M. AE Autant que je sache ce n’est que dans le sondage de Tünisberg, à 23 kilomètres au E. N E. de Tégelen, que se trouve, entre 23 et 31 M — A.P., un dépôt analogue de gravier profond, sous une cinquantaine de mètres d’argile et de lignite. Mais je préfère d'attendre les résultats de plusieurs autres sonda- ges à faire dans la province du Limbourg néerlandais. sur le bord occidental du plateau de gravier rhénan, avant de poursuivre plus en détail ces comparaisons avec les sondages allemands. En terminant cette prémière étude, qu'il me soit permis de pro- noncer une opinion sur l'origine des argiles qui se trouvent, sur une si grande étendue et en des dépôts si épais, duns la région en question. Évidemment le dépôt de ces argiles (dont la plus profonde est de l'argile réfractaire et presque entièrement très pure) s'est fait dans de l’eau coulant très lentement et sans crues de quelque importance. Généralement ces argiles sont le produit de la décom- position kaolinique de plusieurs roches de silicates. Les roches qui ont donné la matière des argiles de Tégelen se trouvaient à plus de cent kilomètres de distance du lieu de dépôt de ces dernières, et il a fallu, pour produire ces épaises couches d’argile, une très longue période, où la décomposition des basaltes et autres roches feld- spathiques dans les régions du cours supérieur du Rhin à eu lieu régulièrement et sans aucun intervalle notable, soit par l'acide car- bonique dégagé en abondance, dans un climat favorable, par la terre végétale revêtant ces roches, soit par l'acide carbonique volcanique. Les sables gris sousjacents au dépôt d'argile inférieur ne contien- nent pas peu de grains de basalte, provenant évidemment d’érup- tions volcaniques dans la région de l’Eifel. C’est dans l’Eifel et le Westerwald qu'il faut aussi chercher l’origine des argiles. Haarlem, Avril 1906. ARCHIVES X. 25 za N { % IH: mn ñ Li x ; A I EM aaf t t > ‘a abd la - ork pew ’ i p f id R fi 1 ca 1! $i ÿ 1 1 ‘ kl H i 2 | 0 ' hi i ‘ 1} » Fu wi 4 ay! i vink Print ÿ i vA Ft it y Î ‘ ar x f ht Et = i ei ) | ef oe: / i [ . heat d ri i A { = e k titi (ri = Sy 0) ps ee na ad D f in JUDE I Ate ® a | 2 | j u q en Vars ide sd TY ee LTR OS FOE URS ke FEN a 7 Fe + ahi Xela Ze truc ae troont do lon ME wf bea | rh it Ph erry aars shut gai Lu) eee wats merge: wet fine chii boron vin diay? kot priest ee mii) rue De madl armani TURA en a hel adh rendre Ars hoda ALO IT er web ene ut} “Eh ate olene oorden talons Gaiam ts feu | Ba Babe hl sein nur Ay shrug Ata vn en EXPLICATION DE LA PLANCHE. Fig. 1. Noix de Juglans tephrodes, Ung (= Juglans cinerea, L. fossilis, GEYLER et Kinkenin). 'h. Fig. 2. Graines de Magnolia cor, Ludwig (ef. Kobus, DC). Les deux spécimens de la première ligne, le premier spécimen de la ligne moyenne et le deuxième de la troisième ligne sont repré- sentés dans la vue extérieure, le dernier spécimen de la ligne moyenne et le premier de la troisième ligne dans la vue intérieure, le deuxième de la ligne moyenne est figuré vu par la base. Tou- tes ces figures sont de grandeur naturelle (1/:). Fig. 3. Graines de Vitis vinifera, L. Les cinq spécimens à gauche sont dans la vue extérieure, les cing à droite dans la vue intérieure. ');. Fig. 4. Six de ces graines, agrandies à °ı. Les trois supérieures dans la vue extérieure, les trois inférieures dans la vue intérieure. Fig 5. Bois de droite de Cervus teguliensis. Vue extérieure. !s. Tous ces objets proviennent de l’argilière de M.M. Canoy, Herr- KENs et Cie, dans la bruyère de Jammerdaal à Tégelen, et se trou- vent au Musée Teyler. | fit iy CUS DIT ATT ANNE RATS TE TUE HE tl ste qe ah zioë Ae dpa Wat and nn TOE eas ton, oto eee 905 sont oh canis as TM yon) in) Meet LL cath Sg i ah usage res Fin) | RUE TS Hook agate HET gs Si 13 vont teln Be 5, lage NATIE D! satz mike Bt SRD. aa: era ER sindisiond al sb alas ob 29, IEN rel zaden ord ty ae Cat iif! al afi Bee ta i | 5 e TT DT LE LL LE 2b nr fle Fo 7 } TO CRIE Ter trike: I> EN PS) Hears ich eh Auer 4 | TENTE asks Zee AUS TUTO Al ware afs ol amab Entei BOTS Seth Cork % ea ‚Salz 2% wh ig E ai slog) zel Stunt ONE tak SEE, 1} j rf suerte an? Beals eur eaf | not ats OT 2b 2108 a D sapped Bil ete ee si sud wer atd, ME Sede ek abt Insunaslzorg state «An , Be “qu rfi om fe wale sat iy laphrt vote, bs Sth eI dl aah, 15) ds | solve dar ie ives du Musée Teyler. Serie II Vol X. PII. JAN 3 - 1907 LIBRARY A V I S. NEW YORK BOTANICAL GARDEN. En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire de la fondation Teyler a l'honneur d'informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l’indique déjà leur titre, contiendront d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l'usage. En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur. Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881. TABLE DE MATIÈRE. Expériences de culture à l'ombre faite avec du tabac de Déli sur la côte orientale de Sumatra, par le Dr. F. W. T. HUNGER. FONDATION DE P. TEYLER VAN DER HULST, A HAARLEM. Directeurs. L. P. ZOCHER. P. LOOSJES. Mr. A. W. THÔNE. J. J. VAN OORDE. J. A. FONTEIN. Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Trésorier. P. DROSTE. Conservateur du Cabinet de Physique. Dr. B. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. J. J. VERWIJNEN. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. H. J. SCHOLTEN. Conservateur du cabinet numismatique. Jhr. H. M. RIDDER BARONET SPEELMAN. MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES. De la première Société ou Société de théologie. Prof. Dr. S. CRAMER. JZ ROY Drs AE dk IDD BUISSNE Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VOLTER. Dr. A. C. DUKER. Prof. Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Société. Dr. E. VAN DER VEN. H. J. SCHOLTEN. J°. DE VRIES. Prof. Dr. HUGO DE VRIES. Prof Ayes Wes IE BEORE Dr. H. J. DE DOMPIERRE DE CHAUFEPIE. \ EXPLICATION DU PLAN DU TERRAIN à L'OMBRE À MEDAN-ESTATE. a — Pieux. o Plantes de tabac. a. — Pluviométre. b. = Actinométre. S Thermomètre du sol. d. — Thermomètre sec et humide. e. — Thermomètre max. et min. 12 plantes o o S ‘283° plante ° a EXPERIENCE DE CULTURE A L'OMBRE FAITE AVEC DU TABAC DE DELI SUR LA COTE ORIENTALE DE SUMATRA, PAR er DE EAN J. HUNGER, Privat-docent à l'Université d’ Utrecht (Pays Bas), Directeur de U’, Algemeen Proefstation’ à Salatiga (Java). Talrijke factoren beheerschen alzoo de quaestie der beschaduwing, en men moet ze gezamenlijk overwegen en in onderling verband beschouwen, wil men met recht een oordeel uitspreken. (VAN Gorkum, De O.-T. cultures 1884, DI. I, p. 309). ll. Introduction. Le principe de la culture à Pombre dans les régions tropicales n’est pas à proprement parler une nouveauté, mais son application à la culture du tabac est toute récente. Dans nos colonies des Indes Orientales aussi bien qu'aux Indes Occidentales, la culture du café et du cacao s'effectue souvent en terrain ombreux, bien que les opinions soient fort différentes au sujet de l'utilité ou de la nécessité du procédé. Aussi van GORKUM écrit-il: „Dans une question aussi contestée, chaque parti veut donner des exemples frappants. Les uns indi- quent des terrains découverts, donnant la preuve convaincante de l’action salutaire du plein soleil; d’autres sont désappointés par leurs cultures dans des conditions apparemment identiques, et vantent par contre les excellents résultats obtenus avec des arbres ombragés” (1. ec. p. 308). ARCHIVES X. 26 182 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC Dans les dernières cultures, la protection contre une trop forte ardeur du soleil est obtenue par des arbres, que l’on plante au milieu de la culture à des distances régulières. Les avantages fournis par un tel ombrage doivent être cherchés dans une modération de l’intensité des rayons solaires, d’où résul- terait non seulement un éclairement moins fort, mais encore une température plus basse et un degré d'humidité plus élevé de lair. Dans des contrées très sèches et où la chaleur est vive, ces eir- constances doivent être favorables à une régulière désassimilation de la plante cultivée à l’ombre. Mais lä où, comme c'est le cas pour le caféier, une même plante est cultivée aussi bien dans les plaines basses qu'aux hautes alti- tudes des régions montagneuses, c.-ä-d. en des endroits qui different tant au point de vue météorologique que géologique, il va de soi que la question de la culture à l’ombre ne saurait être jugée d’après une seule et même mesure, et que l’on doit incontestable- ment tenir compte de la nature du climat local, aussi bien que de la nature du sol. L’ombrage que l’on applique dans ce qu'on appelle la „shade grown tobacco culture” ne s'obtient pas par des arbres protecteurs, bien que, comme nous le verrons dans le chapitre suivant (p. 185), les „orchard grown wrappers” aient fait naître l’idée d’une pareille modification dans la culture du tabac. Il y a pourtant une différence essentielle entre le but de la culture à l’ombre du café et du cacao et celui d'une pareille méthode de culture pour le tabac Dans les deux premières cultures on se propose de créer par l’ombrage un état aussi naturel et aussi normal que possible, où les processus de la floraison et de la fructification puissent se produire de la façon la plus avantageuse: en d’autres termes, dans la culture du café et du cacao on tâche d’arriver par l’om- brage à la normale physiologique de la fonction reproductive. Par contre, dans la culture du tabac, on sait d'avance que le produit de la culture à couvert présentera, tant au point de vue morphologique qu’anatomique, des propriétés qui seront des écarts négatifs du produit normal. Il s’agit ici uniquement de la fonction végétative, et, par l’action de conditions physiologiquement anor- males, produites par une modération de l'éclairage, on essaie d’influencer la formation des organes foliaires. Par la culture à l'ombre la feuille de tabac devient d’un tissu DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 183 plus fin; de plus elle prend une couleur plus claire, donnant après séchage et fermentation la couleur actuellement à la mode pour les feuilles préservantes. Si l'engouement pour cette couleur fauve-clair venait à faiblir, le but de cette modification artificielle dans la culture viendrait à tomber en partie en même temps. Depuis l'origine de la culture du tabac sur la côte orientale de Sumatra (e-à-d. depuis 1864), la feuille du tabac de Déli a toujours été renommée comme feuille préservante et est préférée comme telle jusqu’à ce jour par tout le monde. La finesse de sa feuille, et l’élasticité et la bonne combustibilité qui en sont la conséquence, la rendent bien appropriée à ce but; on a reconnu d’ailleurs que sa coloration peut être modifiée par l’époque de la récolte (voir chapitre V). Voilà pourquoi le besoin d’imiter ces cultures à l'ombre pour le tabac de Déli ne se fait pas directement sentir; dans la culture de ce produit naturel on en est déjà au point que l’on espère atteindre à l'avenir dans les cultures artificielles à l'ombre. Cela n’empéche pas pourtant qu’il y eût quelque intérêt à faire, à titre d’épreuve, une pareille culture à l'ombre à Déli, et c'est ce qui a été fait en 1903. A l’époque où j’entrepris cette expérience de culture à l'ombre à Déli, l'intérêt pour cette nouvelle manière de cultiver le tabac avait atteint pour ainsi dire son apogée. En Amérique on s’oceu- pait déjà depuis quelques années de ce qu’on appelait la „shade grown tobacco culture,” des revues périodiques et des feuilles techniques attirèrent à juste titre l'attention des collègues des plantations de Sumatra. Mais à l'intérêt que suscitait cette méthode de culture nouvellement imaginée venait s'ajouter la publication, dans les journaux de Déli, d'articles où il était question de influence que les cultures américaines pourraient avoir sur celles de la côte orientale de Sumatra. Les rapports optimistes venus de l’autre côté de l'océan, faisant espérer que le temps ne serait plus éloigné où l'Amérique ne devrait plus importer d'Amsterdam du tabac de Sumatra, firent évidemment une grande impression sur les Sociétés pour la culture du tabac à Sumatra, qui ne désiraient pas perdre la clientèle des ao Yankees à leurs ventes. et les rapports qui en furent publiés dans 26* 184 EXPERIENCE DE CULTURE A WOMBRE FAITE AVEC Voilà pourquoi l’Etablissement pour des expériences de cul- ture avec le tabac de Déli (VIII section du Département d'Agriculture des Indes Néerlandaises) prit en considération un projet d’entreprendre, dans de modestes conditions, une épreuve de culture à couvert, en partie comme démonstration, pour enseigner aux planteurs la nouvelle méthode de culture du tabac, en partie pour examiner l'influence que l’ombrage aurait sur la feuille de Déli, déjà si fine. Cette expérience fut confiée au botaniste de l'Etablissement, un poste que j’occupais à cette époque. Il me paraissait que, pour pouvoir réellement juger de l’in- fluence d’une couverture sur le produit cultivé sous elle, il était nécessaire de faire à côté une expérience de contrôle à découvert, dans des conditions absolument identiques pour le reste. À cet effet, j'ai fait à côté de la tente, précisement dans les mêmes conditions, une plantation à lair libre; de cette manière on pouvait tirer de la comparaison des conclusions motivées. Dans cette épreuve combinée, j'ai fait particulièrement atten- tion à une différence possible dans l’état atmosphérique, un facteur dont on a eu tort de ne pas tenir compte dans les expériences américaines du même genre; or, à mon avis, c'est précisément dans la différence des conditions atmosphériques que l’on doit chercher la raison des écarts que le tabac d’ombre présente vis à vis du produit de culture normal. Voilà pourquoi j'ai disposé au milieu de chacune de ces cul- tures une installation spéciale pour des observations météorolo- giques; les données qui s’y rapportent sont réunies dans les tableaux que l’on trouvera à la fin. Les trois photographies reproduites dans ce travail représentent la tente employée à Medan Estate en Déli. Avant de passer à la description de l’expérience de culture à l'ombre avec du tabac de Déli, je désire donner d’abord un aperçu de ce qu'en Amérique on a fait de plus important à ce sujet. Fre. 1. Portion d'un champ de tabac de 10 acres, couvert de „Cheese- cloth”, pour montrer les détails de la structure externe de la membrure. Fic. 2. Vue extérieure d'un champ de tabac de 10 acres, couvert de „Cheese-cloth”, prise d'une élévation située à quelque distance. Fic. 3. Portion d'un champ de tabac de 8 acres, montrant la facon d’attacher le ,Cheese-cloth”. Fre. 4. Un champ de tabac de 8 acres couvert de „Cheese-cloth”, a Mit- chelson Farm, Tariffville [Conn.] DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 185 EE Aperçu de la culture à couvert du tabac en Amérique. J’emprunte à une lettre, adressée au U. S. Tobacco Journal du 18 janvier 1902 !), la communication, que lon doit considérer comme l’inventeur de la culture à couvert du tabac M. J. A. SCHROE- per de Quiney en Floride. Je ne garantis pas toutefois l’exactitude de cette information. Voici dans quelles circonstances ce M. SCHROEDER conçut l'idée de cette modification dans la méthode de culture: , The idea had been suggested to him by the fact that so-called „orchard grown wrappers (that is, tobaccos partly shaded by the „trees in the island of Cuba) were finer in texture than tobacco „not shaded. Six years ago (1896) an experiment was made by „him at Quincy, Fla. A half acre of ground was covered with an „artificial shade made of slats and from that half acre this method „of growing tabacco has grown to its present large proportions in „Florida. ” En 1901 la culture du tabac à l'ombre couvrait en Floride 1000 acres, et l’année suivante (1902) le procédé s'était étendu sur plus de 1500 arpents. Les données suivantes permettent en quelque sorte de juger de la qualité de la feuille de tabac ainsi obtenue: 320 feuilles de 12 pouces de longueur 276 202 5 AA en < 7 eenen une livre anglaise. » » 1 6 ” » ” La première expérience avec ce qu'on appelait „cloth tenting” fut entreprise par la Owl. Commercial Company en Floride; c'est sa méthode que l'on suit actuellement partout. On commence par construire une membrure en bois, sur laquelle on tend ensuite une étofle comme celle dont on fait des tentes, ainsi qu'on peut le voir sur les figures ci-jointes (fig. 1, 2, 3 et 4). *) 1) Vol. XLVII, n°. 26, [Whole n°. 1338]. 2) Empruntées au Report n°. 62, U. S. Department of Agriculture. 186 EXPERIENCE DE CULTURE À L’OMBRE FAITE AVEC Les figures suivantes pourront servir à donner une idée des dimensions de la construction de la membrure, telle qu’on la con- struit en Amérique. !) Membrure de la tente d’abri, telle qu’on l’employa pendant la saison de 1901, prête à être recouverte. | Fre. 6. Membrure de la tente d’abri, destinée à être employée en partie pendant la saison de 1902, avec pieux distants de 20 à 24 pieds, et faite pour une couverture large de 288 pouces. 1) Empruntées au bulletin n°, 20 du Bureau of Soils, U. S. Department of | Agriculture. 3 | DU TABAC DE DELI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 187 En 1900 la „Division of Soils’? du Ministère de l’Agrieulture à Washington fit des plans pour entreprendre, de concert avec l,, Agricultural Experiment Station” de New-Haven, une expérience en petit de culture de tabac à l'ombre en Connecticut. Au sujet de cette tentative, les planteurs de Floride firent des remarques assez aigres, témoin le passage suivant: „The growing „of tobacco under artificial shade in Connecticut is not an expe- „riment, as this experiment had already been made in Florida, „and it is only necessary for the Connecticut growers to follow „the methods already practiced by the Florida planters.’ L'expérience de New-Haven en 1900 fut faite à frais communs, comme je viens de le dire, en ce sens que l'Etablissement de cul- ture expérimentale fournit le terrain, les engrais, la main d'oeuvre et la plus grande partie des moyens financiers, tandis que le gouverne- ) ment américain donna le reste de l'argent nécessaire. livra la semence de tabac et offrit les services d’un expert en matière de tabac du Depart. of Agric. Cet expert (M. M. L. Froyp) prit la direction générale de l'expérience, tandis que le directeur de l'Etablissement (M. le Dr. E. H. Jenkins) fut chargé de la direction quotidienne. Le terrain destiné à l'épreuve avait une étendue de !/: acre; on y dressa une tente formée d’un lattis recouvert de tous côtés de „Cheese-cloth”. Sur une moitié de cette superficie, soit '/s acre, on sema du tabac ordinaire Connecticut-Havane; sur l’autre on sema du tabac de Sumatra cultivé en Floride !). Le resultat de cette petite plantation fut réellement favorable. Le rapport commercial mentionna à ce sujet ?) que la récolte fut vendue pour $ 473.70, ce qui reviendrait à $ 1421.— par acre. Les frais de production, y compris ce que la couverture avait coûté, — et ce matériel pouvait servir pendant cinq ans —, ne dépassaient pas $ 500.— par acre; il restait done un gain net de $ 900.— par acre. Cela représente un moyen profit de 71 cents américains par livre. Le rapport disait encore que des commer- cants de New-York et de Philadelphie avaient exprimé leur satis- faction au sujet de ce tabac, qu'ils trouvaient absolument identique à celui que l’on importait de Sumatra. 1) Depuis 1874 on cultive en Floride du tabac provenant de véritable semence de Sumatra. 2) Voir dans le Deli-Courant du 19 oct. 1904 un article emprunté au U. S. Tobacco Journal. 188 EXPÉRIENCE DE CULTURE 2 L’OMBRE FAITE AVEC Ce rapport fit sensation chez tous les partis intéressés à la culture du tabac. Les planteurs songèrent évidemment aux millions de dollars qui passent annuellement à la Hollande par l’achat du tabac de Sumatra, ce tabac exquis que l’on ne trouve pas ailleurs et sur lequel on prélève un droit d'entrée de $ 1.85 par livre. Sil était possible de cultiver à couvert, en Connecticut, ce tabac de Sumatra, ce seraient les planteurs américains qui profiteraient dorénavant de ces millions. Le tabac ordinaire de la vallée du Connecticut rapporte environ 20 cents américains par livre, c-à-d $ 360 — par acre, et, déduc- tion faite des frais, il reste un gain d'environ $ 260.— Le tabac de Sumatra cultivé à l'ombre donnerait maintenant $ 900.— de profit par acre; il n’est done pas étonnant qu’on en avait la cervelle démontée. On trouve un rapport scientifique de cette expérience dans le 24" Report of the Connecticut Agricultural Experiment Station at New-Haven '); j'y emprunte textuellement cette conclusion: „No „further evidence is required to demonstrate that tobacco of the „Sumatra type can be raised in Connecticut, which is equal in all „respects to the average imported Sumatra. To determine whether „this could, or could not, be done was the object, and the only „object of this experiment. „It remains to be seen whether such tobacco can be economically „raised in Connecticut; raised on a considerable scale at a profit. „To determine these points will probably require some years of „experiment. „We would strongly urge farmers not to undertake to raise „Sumatra tobacco under shade at present, in anything more than „a very small way, and purely as an experiment, which will not „seriously cripple them, even if it is a complete failure. „The Station proposes to continue these experiments on a some- „what larger scale, so as to get some data to show the cost of „making the shade and of harvesting, and also to show the yield „of shaded Sumatra per acre.” Le point de vue auquel se plagait l'Etablissement de culture expérimentale est à coup sûr des plus justes, et, si les planteurs de Connecticut avaient mieux apprécié le conseil qui leur était ainsi donné, ils auraient évité plus tard beaucoup de misères. Encouragé par le succès de cette première tentative dans les 1) pp. 322 à 329. DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA, 189 états du Nord, le Ministère de l’Agriculture proposa à des parti- culiers, cultivateurs de tabac en Connecticut, de continuer à faire de pareilles expériences à frais communs. En 1901 déjà 13 particuliers acceptèrent cette proposition et une étendue de terrain de 41 acres fut destinée en Connecticut à la culture du tabac à couvert. Dans l’accord conclu entre les particuliers et le gouvernement, il était stipulé que les planteurs paieraient les frais de couverture et se chargeraient de la culture, de la moisson et de la vente effective du produit, en ce sens que le Département d’ Agriculture ne retirerait aucun avantage financier de cette vente, mais aurait simplement le droit de mettre la moisson en vente, afin de déter- miner la valeur que les commerçants et les fabricants lui attri- bueraient. Le gouvernement fournirait encore une fois gratuitement la semence, et chargerait ses employés de l’inspection de la culture. Quoique l'Etablissement de New-Haven eût formellement prévenu les particuliers de ne pas entreprendre à la légère, pour leur propre compte, une plantation de tabac à l'ombre, quiconque disposait d’un petit capital ou pouvait entrer dans les fonds nécessaires s’adonna à cette nouvelle culture, et bientôt on vit se former des sociétés, avec de gros capitaux, pour réaliser en grand la culture à couvert. Malheureusement ces essais ont eu trop souvent des résultats défavorables. : Quand ces expériences de plantation à l'ombre furent connues du public, les journaux américains ne manquérent pas de divertir leurs lecteurs aux dépens de ce nouveau mode de culture, ni de se moquer des résultats qu’on en attendait; c'est ce que prouve entre autres l’article satirique suivant, que l’on trouve dans le „Brooklyn Eagle” du 30 décembre 1901: „A shout of joy arises from an oppressed and embittered land. „hey are going to improve Connecticut tobacco. The way to „improve it, is to raise it in a tent. It is to be grown from Sumatra „seed, and hence will be used for wrappers only, and the growers „promise that it shall be nearly tasteless. It does not matter so ymuch, they say, what you have on the outside of a cigar, so „long as the inside is right, and the less of taste there is about „the wrapper, the better it is for all concerned, including those »who have to sit in the same room and ride on the same train „with the burning vegetable. The trouble with Connecticut tobacco ARCHIVES X. 27 190 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC „in the past has been that it had a taste, and that taste was not „agreeable. Tobacco that really was tobacco fell into the disrepute „of comic papers, because it was alleged that it looked and acted „and tasted like burning cabbage, and sometimes it was supposed ,to be paper, and sometimes leaves of beets, and sometimes ropes. „But by putting tents over the new tobacco in Connecticut and „keeping off the sun and the flies and the weather, it is claimed „that the product will be smokable and inoffensive to observers”. Voici quels furent les résultats de l'épreuve faite en 1901 par le Département de l'Agriculture de concert avec 15 particuliers: En tout 40.59 acres furent mises sous tente, et 35,88 acres furent plantées de tabac de Sumatra (Floride); sur le reste — 4,71 acres — on cultiva du tabac de la Havane, récolté en Connecticut. Le tableau suivant donne un aperçu du rendement de ces 13 épreuves indépendantes, faites avec du tabac de Sumatra. Tabac récolté. Après fermentation Lieu de Superficie | — == | = ——n- l'épreuve. en acres, | Poidstotal | Livres Poids total | Perte en livres. par acre. en livres. | en °/o rn | Pl Ta 1. Avon, Conn. | 4,51 5636 1250 9. Pine Meadow, Conn. | 1.02 | 1616 1571 ei en 3 idem. | "80, 1, SST ON au Se 4. Southwick, Mass.| —.95 | 449 1768 | 331 Peil 5 idem. De | 397 1764 | 268 32.4 6. Mapleton, Conn.| —.50 558 | 1116 486 12.9 7. Poguonock, Conn. | 1.09 | 1635 | 1528 1522 | 69 8. Tariffville, Conn. 1.09 | 1543 | 1416 1358 12.0 9. Windsor, Conn.) Ti | 1965 1700 1079 | 146 10. Barkhamsted,Conn. 1.56 2613 | 1665 | 2936 | 144 11. Suffield, Conn. 6.44 7968 | 1237 | 6613 17.0 19. Tariffville, Conn. | 1.24 2945 1995 | 1953 13.0 13. idem. ten 24053 | 1416 | 21648 10.0 ee ; a! | — = Total ou moyenne | 35.88 | 51308 1430 | 40211 | 12.0 | | Les 4,71 acres plantées de tabac Connecticut-Havane à couvert, rapportèrent en tout 6439 livres de tabac, soit en moyenne 1367 livres par acre. DU TABAC DE DELI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA, 191 J’emprunte à l’,Agricultural Dept.’s Report ') les détails sui- vants: „The Department’s experts estimate that the tobacco cost on „an average of 51' cents per pound baled and ready for market. „The ordinary tobacco grown in the open fields in Connecticut „brings on an average from 18 to 20 cents per pound. The average „price for the shade grown tobacco was $ 1,20 per pound; the „price varying from $ 2,80 per pound for the best to 25 cents „per pound for some of the mixed bales. The erop that brought „the best price sold for $ 1,63 per pound on the average. „The total cost of production was $ 23.579,26 ?) and the total „value was $ 49.255,20, which gave a net profit to the growers of „8 25.675,94 or 108,8 %. This did not include the cost of land, ,barns or warehouses, nor the interest on investment, but included „the whole cost of the shade, the framework of which is expected „to last from 5 to 8 years. The best crop gave a yield of 1026 „pounds per acre for 6 acres, to a net profit of $ 1022,52 per acre.” Le total de 40.211 livres de tabac fermenté donna, après triage, 71 % de feuilles préservantes, 18 % de feuilles de deuxième et 13 % de feuilles de troisième qualité. En moyenne 225 à 250 feuilles préservantes pesaient une livre. Cette expérience eut à subir en Amérique une critique des plus vives, parce qu'on désapprouvait à un point de vue commercial la coopération de l'Etat avec les planteurs de tabac en Connecticut. On y voyait un favoritisme qui ne pouvait être justifié aux yeux du publie; témoin le passage suivant que j’emprunte à un des articles de ce genre: „But why should the handful of farmers alone derive „the benefit of the free Government's services? Are the leaf trade „and cigar manufacturers and consumers not likewise entitled to „share in them? If by reason of the Government's aid the cost „of a product is lowered, should not the consumer have the same „privilege in participating in the aid distributed by the paternal „purse of our Government? For surely there is nothing in our 1) Voir U. S. Tobacco Journal, 6 December 1902, Vol. XLIX, N°. 20 [whole N°, 1384). 2) The total cost of the crop per acre varied from & 613,42 to $ 849,55, or an average of $657,17, the former cost being for a large area, while the highest cost was for an area of about a quarter of an acre. 27% dl 192 EXPÉRIENCE DE CULTURE à L’OMBRE FAITE AVEC „Constitution that vouchsafes to a handful of Connecticut tobacco „farmers some special rights and benefits to the exclusion of any- „body else, or which anybody else is not entitled to share in the „same degree.” !) Conformément à sa promesse, l’Institut Agricole de New-Haven a poursuivi en 1901 ses expériences de culture du tabac à l'ombre; un rapport détaillé en parut dans le 25th Report of the Connec- ticut Agricultural Experiment Station for 1901. *) Encore une fois M. le Dr. JENKINS commence son rapport par engager les planteurs à être prudents, puisqu'il s’agit ici d’une modification d’une méthode de culture, au sujet de laquelle les données recueillies en Connecticut sont encore totalement insuffi- santes. À la page 297 il dit textuellement: „It should also be said „that this experiment (1901) was made for the information of the „tobacco growers of this State It is our aim, therefore, to state „exactly the facts regarding it, whether favorable or unfavorable „to the prospects of the new industry. It is not likely that the „growing of the Sumatra type of leaf in this State can be made „a complete success without some years of experience and intel- „ligent experiment. „A fietitious booming of the business at the outset will certainly „be followed by a correspondingly irrational depression later”. Cette fois expérience fut faite sur un terrain dont la superficie atteignait presque une acre; le lattis de l'année précédente put servir en partie. Le rendement de la récolte fut: 1801 livres de feuilles de tabac cueillies, 8254: , i 5 A » coupées, en tout 1006 „ » » » » Dans cette expérience on étêta les plantes. La qualité du pro- duit fut très satisfaisante, plus satisfaisante même qu’en 1900; la consistance aussi bien que la couleur étaient excellentes. La récolte entière fut vendue pour $ 1,75 la livre et rapporta donc $ 315,87. 1) U. S. Tobacco Journal, 26 April 1902, Vol. XLVIII, N°. 14 [whole N°. 1352]. Rapport en hollandais dans le Indische Mercuur du 27 mai 1902. 2) Part IV, pp. 295 à 312. DU TABAC DE DELI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA, 193 Du tabac coupé on vendit 369 livres, savoir 179 livres à $ 2,50 par livre Se eee 2 101 »” ” 1,40 » » | soit en moyenne à $ 2,16 \ par livre. » Plus de la moitié de la récolte, savoir 5494 livres furent donc vendues pour un prix moyen de $ 2,01 par livre. Aussi la conclusion finale du Dr. Jenkins est-elle favorable et inspire-t-elle une grand confiance dans l’avenir. Pour plus de clarté, je la reproduis iei textuellement: „In conclusion, our success with two crops, the first (1900) raised „during a season so dry as to affect the growth of tobacco in the „open, the second (1901) raised when the latter part of the season „was unusually cloudy and wet, indicates that Sumatra tobacco „can be successfully produced in Connecticut under shade in any „season which is not very abnormal as to rainfall und sunshine. „It is, however, a new industry which must be slowly learned „by our growers. While much may be acquired from the prevail- „ing ideas and practices in Sumatra and in Florida, there yet „remains much more which is absolutely necessary to success but „which our growers must learn for and by themselves. „The adaptation of methods of raising, harvesting and curing „the leaf to the special local conditions of labor and particularly „to the peculiarities of our climate during growth. harvest and „curing are essentials, to be worked out bv our growers and in „which no one but themselves can be experts. „We are not raising Sumatra tobacco, nor Florida tobacco; we „are not in a Sumatra climate or a Florida climate. To succeed „our farm practice must be that which we find best for this leaf „under Connecticut conditions.” En 1902, 38 planteurs particuliers en Connecticut et Massachu- setts se présentèrent pour entreprendre en commun, et sous la direction du Department of Agriculture, la culture du tabac ä ombre; ensemble ils destinèrent à l’&preuve 645 acres. Les résultats de cette expérience en grand furent de nouveau très satisfaisants; à la fin de l’année de culture 1902 la vente eut lieu à Hartford en Connecticut; on y paya de $ 1,40 à $ 2,90 par livre, le prix moyen étant $ 1,50. Il venait s'y ajouter un autre facteur encore, savoir les résul- - 194 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC tats favorables relatifs au nombre de cigares que l’on peut fabri- quer au moyen d'une quantité déterminée de tabac d'ombre. Dans son rapport sur la feuille préservante de Sumatra d'Amérique, publié dans le „Tobacco Leaf” n°. 48, M. Rosz&Lze donne à ce propos la description suivante: En comparaison de la même quantité du tabac de Sumatra importé, la différence était manifestement en faveur de la feuille cultivée à l'ombre. Au moyen d’un ballot d'un poids net de 155 livres, on a pu couvrir 85.432 cigares, alors que la même quantité de tabac de Sumatra importé n'avait suffi à couvrir que 70.000 cigares de la même marque. La raison de cette grande différence réside en ceci, que la feuille préservante de Sumatra d'Amérique est moins lourde, que ses nervures et ses pétioles sont plus fins, en somme qu'une livre représente une plus grande quantité de feuille utile, et que par conséquent la perte est moins grande. (Indische Mercuur, 27 Jan. 1903, No 4) D'après un prospectus de la U. S Sumatra Tobacco Growing Company, le tabac à couvert de ses champs d'expérience rapporta en 1902 environ $ 2,45 par livre. Le prospectus de cette société était enchanté de la nouvelle culture, à preuve le passage suivant: „La découverte, qu'il était possible de cultiver en Connecticut les espèces les plus fines de tabac de Sumatra, en recouvrant tout simplement le champ d’une tente basse en cheese-cloth, promet des bénéfices énormes à ceux qui ont l’occasion de prendre part à une entreprise d’aussi bon augure.” La société fut fondée avec un capital de $ 500.000 et se propo- sait de planter immédiatement sous tente 140 acres de terrain; l’entreprise donnait évidemment au public la perspective d'énor- mes dividendes: „40% est une rente mediocre, 80% pour la seconde année peut être appelé une prévision raisonnable. Au bout de cinq années la valeur du capital de la U. S. Sumatra Tobacco Growing Company aura triplé ou même quadruplé.” C'est par un pareil langage que le publie américain fut poussé à une contribution financière à la nouvelle méthode de culture, et, comme il arrive toujours quand il est question de gagner de argent, les fonds vinrent de tous les côtés; comme de coutume ils vinrent pour une grande partie de gens dont les moyens d'existence n'étaient pas des plus larges. La fièvre de la spéculation avait atteint le publie américain ; la désillusion n'en serait que plus forte DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 195 Aussi les feuilles du métier nous apprennent-elles que la débâcle ne se fit pas longtemps attendre, une débâcle sans précédent dans l’histoire de la culture du tabac en Amérique. En l’année 1903, 700 acres de terrain en Connecticut furent encore destinées à la culture à couvert, mais quand la récolte vint au marché elle ne trouva pas d’acheteur. D'après un rapport du U.S. Tobacco Journal, la perte de cette anneé fut évalueé à $ 800.000 ou $ 1.000.000. Comme on pouvait s'y attendre, les cris de joie et les louanges firent place tout à coup à des accusations et des expressions indigneés. Il était tout aussi naturel d’ailleurs que l'attaque la plus vive fut à l'adresse du Ministère de l'Agriculture, qui avait encouragé les tentatives et favorisé l’extension des expériences sur une grande échelle. Les reproches s’adressaient en premier lieu à M. le Prof. Wuirney, Directeur de la Division of Soils, qui avait travaillé de toutes ses forces à la réalisation de cette nouvelle culture et avait déclaré dans ses écrits „que la culture à l'ombre avait passé la période expérimentale et pouvait déjà être appelée un succès.” Le U. S. Tobacco Journal nomme l'affaire du tabac à l'ombre une tombe cimentée et traite de fossoyeur le Prof. WurrNey, qui fit tant de réclame pour cette question. Il va de soi que cette ironie n’était guère motivée, car, pour autant qu'on puisse en juger par les écrits, le Prof. Wuirney s’est toujours laissé guider par les meilleurs sentiments et a conduit les expériences avec beaucoup d'initiative personnelle. Comme juge impartial, je tiens à exprimer ici toute mon admi- ration pour l'oeuvre du Prof. WuHirNey, à mon avis une des expériences d'agriculture les plus grandioses que l’on ait jamais faites Il n’est pas facile de se faire, uniquement d’après des informa- tions, une bonne ideé de ce qui s’est passé dans ce domaine en Amérique après 1903 Après que diverses feuilles du métier eurent fait voir qu'en 1903 la culture n'avait pas été avantageuse, le rapport du Consul-Général hollandais à New-York vint confirmer complètement cette assertion. Le rapport consulaire apprit en outre que l'état de la culture était des plus déplorables et que les récoltes ne pouvaient être vendues. Il y était dit que la plantation du tabac à couvert était un fiasco complet; il n’y avait pas un seul 196 EXPÉRIENCE DE CULTURE À 1/OMBRE FAITE AVEC „shade-grown-grower” qui n’eût travaillé à perte et les capitaux que les sociétés avaient dû sacrifier étaient énormes. Divers échantillons de tabac d'ombre d'Amérique, récoltés en 1905, étaient déjà venus en mains de fabricants hollandais, qui en avaient jugé la feuille désavantageuse pour la fabrication de cigares. ') Cela s’accordait parfaitement avec l'impossibilité de vendre ce tabac, pour laquelle on pouvait admettre la même cause, et l’on croyait done en Hollande que cette tentative avait complètement échoué et qu'il ne serait plus question de cultiver du tabac sous tente. Cette opinion fut encore renforceé quand les feuilles du métier américaines publièrent des détails relatifs à la faillite de l’Inter- national Tobacco Culture Corporation of Hartford, Connecticut, qui avait commencé son entreprise avec un capital de $ 50.000, eut bientôt besoin d'un nouveau capital de $ 46 000 et fut décla- rée en faillite avec un déficit de $ 108.000! 2) Mais ces informations ne s'accordent pas avec le contenu d’une brochure du Prof. Warrrey, intitulée „The Work of the Bureau of Soils” *), qui fut repandue en un très grand nombre d’exem- plaires à l’exposition de St. Louis en 1904, et où l'auteur affirme positivement: ,the (shade-grown) industry is now established on „a sound basis and the work of the Bureau has been disconti- „nued in that locality.” Cette communication n’est susceptible que d’une seule explica- tion: que la culture à l’ombre n’est pas du tout abandonnée. Voilà pourquoi je partage volontiers l'avis de l’auteur d’un ar- ticle sur ce sujet"), auquel j'ai emprunté en partie les données précédentes, et qui présume que les échecs subis en 1903 doivent être attribués aux conditions atmosphériques désavantageuses, dont les districts à tabac ont eu à souffrir pendant cette année en Amérique. Comme je viens de le dire, il n’est pas facile de se faire une idée exacte du mouvement relatif à la culture de tabac à couvert en Amérique, en se basant uniquement sur ce qui a été eerit là-dessus. Malgré le silence que les feuilles du métier américaines gardent dans les dernières années au sujet de la ,shade grown tobacco culture”, je ne crois pas du tout que cette modification dans la 1) Voir Indische Mercuur, 1903, N°. 17. 2) Voir U. S. Tobacco Journal, 16 avril 1904; vol. 52, n°. 18. 3) Circular Number 13 of the Bureau of Soils. 4) Indische Mercuur, 10 mai 1904. n°. 19. DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA 197 méthode de culture du tabac américain ait complètement cessé d’être appliquée; il me semble plutôt que le Prof. Wurrney, en parlant de la base solide sur laquelle repose à présent la culture à l’ombre, se place au bon point de vue, et à mon avis il veut dire que le temps est heureusement passé, où cette nouvelle cul- ture était l'enfant chéri de quelques spéculateurs, qui mettaient leur intérêt personnel et immédiat au-dessus de l'avenir de la cul- ture du tabac en Amérique en général. Ce n'est pas seulement en Connecticut et Massachusetts que l'on fit des expériences à l’ombre avec du tabac; on en fit aussi en Ohio, Géorgie et Pensylvanie; dans ce dernier état e a. des épreu- ves fort réussies furent faites sur les îles Bainbridge et Duffy, si- tuées toutes deux dans la rivière Susquehanna en Donegal; puis encore à Janesville en Wisconsin. Dans leur rapport sur ,Experiments in growing Cuban Seed Tobacco in Texas” !), MM. Mc Ness et Hryson mentionnent, que dans les expériences de culture de tabac, faites en 1904 par le dépar- tement d’agriculture en Texas, les pépinières furent couvertes de cheese-cloth, „to protect the young plants from cool nights and the ravages of insects” (1. ce. p. 22). Cette couverture était appor- tée de telle façon, „that it was easy to remove and replace it, „whenever the beds needed watering or weeding” „cloth was taken off on warm days” (l €. p. 23). A Cuba aussi ?) on obtint des résultats favorables D’après le „El Tobacco” de 1902, une plantation de 1.500.000 pieds à l'ombre de M. Aporro Morrrer eut un succès énorme. Dans la Vuelta Abajo en Havane de vastes terrains auraient été couverts de toile, et des informations récentes de Vuelta Abajo et Partido disent que de tous les planteurs ce sont ceux qui cultivent à l'ombre qui font les meilleures affaires. Dans l'Amérique centrale on fit, outre les épreuves à Cuba dont je viens de parler, des essais de culture à couvert à Porto-Rico et dans les Etats-Unis du Mexique. : d’ailleurs „the A l'instar de l'Amérique, la question de la culture du tabac à l'ombre fut egalement examinée en d’autres parties du monde, e. a. dans l’île Hawai de l'archipel des Sandwich. L’, Annual Report 1) Bulletin n°. 27 Bureau of Soils. U. S. Department of Agriculture, Washing- ton 1905. 2) „The Agric. News”, 19 décembre 1903. ARCHIVES X. 28 198 EXPERIENCE DE CULTURE à L'OMBRE FAITE AVEC of the Hawai Agricultural Experiment Station 1904” 1) fait mention de pareilles expériences de culture, qui eurent lieu à Hamakua et donnèrent des résultats favorables pour le moment. Puis, aux îles Philippines, dans la vallée de Cagayan, des expé- riences à l'ombre furent faites avec du tabac de Manille. Le Bureau d'Agriculture à Manille rapporte que l'Etablissement agricole de Malata a fait aussi des expériences de ce genre, dont les résultats furent favorables. De pareilles expériences furent faites en outre dans l’Asie orien- tale ainsi que dans les colonies Néerlandaises, aussi bien à Java qu'à Bornéo et à Sumatra. En 1902 e a. la plantation Widi-Birit en Java central fit une tentative du même genre, qui sembla d'abord donner de bons résul- tats, mais échoua ensuite pour ainsi dire complètement, à cause de la grande quantité de pucerons. Les frais, main d'oeuvre non com- prise, s'élevèrent en total à + f 800 par champ ?); la dépense fut si forte que de pareilles tentatives ne furent pas renouvelées à Java. Tout comme en Texas, on fit à Java aussi des essais de culture en recouvrant les pépinières de tabac de toile tendue à petite distance du sol et constituant ainsi l'unique couverture. Le dévelop- pement des plantules fut considérablement activé par cette protection, et l’on obtint au bout de 28 jours du ,bibit” en état d’être trans- pianté, et présentant en outre l'avantage de n’étre pas endommagé le moins du monde, ni par les chenilles, ni par les sauterelles. En 1903, j'ai fait moi-même une expérience de culture à l’ombre avec du tabac de Sumatra à Déli; jen rapporterai tous les détails dans le chapitre IV. ITE Aperçu de Fimportation du tabac de Sumatra en Amerique. Le consul d'Amérique à Amsterdam m'a communiqué quelques données relatives à la quantité de tabac, qui a été expédiée d’Am- sterdam aux Etats-Unis d'Amérique, dans les années 1900 à 1905, 1) pp. 366 à 369. 2) Un champ a Déli (nommé „bähoe” en langue malaise) = 7096, 5 m2. DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 199 et à la valeur qu’elle représentait. Je considère comme un agréable devoir de lui exprimer ici mes sincères remerciments pour son obligeance. Si nous comparons ces données avec la récolte toute entière de Déli en ces années et la somme qu'elle a rapporté, nous voyons clairement combien il importe pour la culture du tabac à Sumatra qu'elle continue à trouver en partie un débouché en Amérique; cela saute surtout aux yeux quand on voit la forte somme que représente le tabac importé en Amérique. Le tableau suivant donne une idée de la grandeur des deux facteurs en question: !) : Nombre des paquets de tabac. Valeur en florins hollandais. 3 in —= ee se S AIRES L AS récolte del < an de Import. Am. lo Belle de Import. Am. Ole | | | 1900 264.100 35.330 13.5 33.300.000 12.714.725 | 38,2 1901 993.731 35.568 15,9 | 38.000.000 14.330.766 | 37,7 1902 997.512 30.740 13.5 32.550.000 10.772.918 | 33.1 1903 249,132 35.426 15,9 31.200.000 12.033.155 | 38,6 | 190% 254.602 39.085 15,4 35.900.000 | 12.110.618 | 33,7 1905 233.957 37.741 16.1 35.800.000 13.363.315 | 37.8 : Re ee | Total: | 1.446.034 216.890 15,—| 206.750.000 | 75.325.500 | 36,4 | | Je sais bien que les pourcentages ainsi calculés ne sont pas ab- solument exacts, aussi bien pour ce qui regarde la quantité que pour ce qui regarde la valeur du tabae de Sumatra importé en Amérique; beaucoup de tabac a notamment été vendu indirecte- ment à des Américains, et dans la valeur sont également compris les frais consulaires. Mais il me parut impossible d'obtenir au su- sujet de ces particularités des données absolument dignes de con- fiance; dans tous les cas les chiffres précédents donnent une idée de l'importance du commerce du tabac avec Amérique. 1) Dans le tableau précédent les années de vente 1900 —1905 correspondent aux années de récolte 1899—1904. Les chiffres relatifs au nombre total de paquets et à la valeur totale de ces diverses récoltes, je les ai empruntés à l’opuscule de M. Henri Dentz, 11° année, p. 59. te R 200 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC IV. L’expérience de culture à l’ombre en Déli (1903). Cette expérience de culture à l'ombre et l'épreuve de contrôle à découvert correspondante ont été commencées simultanément le 22 avril 1903 et achevées le 10 juillet suivant. Cette double expérience a done duré exactement 80 jours. Les conditions atmosphériques ont été favorables en général, abstraction faite de quelques nuits orageuses qui ont causé quel- ques dégâts à la tente. A. Les préparatifs de l’expérience. Le terrain destiné à ces expériences avait une situation très favorable; les deux surfaces étaient absolument plates, sans éléva- tions ni dépressions. Dans les deux cas le sol était, par sa nature, aussi homogène que possible et consistait en un terreau noir, une espèce d’humus. En l’année 1904 le terrain tout entier avait été planté de tabac pour la dernière fois: depuis il s'y était développé une jeune végé- tation forestière, fort luxuriante, qui avait done atteint en 1908, à l'époque où le terrain fut de nouveau destiné à la culture du tabac, l’âge de neuf ans. La préparation préliminaire du sol avait uniquement consisté en un travail à la bêche; le terrain avait été retourné pour la dernière fois en janvier 1903. Les pépinières qui devaient fournir les matériaux de plantation furent ensemencées le 13 mars. La semence employée provenait d'un récolte à Medan Estate en 1902; elle possédait un pouvoir germinateur de 74%. Les graines germèrent distinctement le 21 mars, sans que les pépinières eussent reçu de l’engrais. Le bibit se développa vigou- reusement et avait atteint l’âge de 33 jours lorsqu'il fut déterré le 22 avril pour être transplanté. La tente d'ombre avait été dressée avec beaucoup de soin; les matériaux employés pour sa construction étaient de la meilleure qualité, afin qu'elle fût aussi solide que possible. DU TABAC DE DÉLI SUR TA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 201 Sa longueur était de 78 pieds, sa largeur 75 pieds; sa super- ficie était de 5850 pieds carrés; sa hauteur de 10 pieds Le tout était couvert de toile à tentes, qui fermait aussi les côtés; au côté sud de la tente une porte y donnait accès. Outre deux sentiers, il y avait encore un espace libre au milieu de la tente pour l'installation des instruments météorologiques. La construction de la tente était conforme à la méthode d'usage en Amérique. On avait d'abord construit une carcasse en bois, sur laquelle la toile fut tendue ensuite. Les piezux employés pour cette contruction étaient de jeunes troncs de djatti, longs de 14 pieds et enfoncés de 4 pieds dans le sol, de sorte qu’ils émergaient de 10 pieds Dans le sens de la longueur de la tente, ces pieux étaient placés à des distances de 6 pieds; il y en avait done (78:6) + 1 — 14 rangées; dans le sens de la largeur, de part et d'autre du sentier du milieu, large de 3’, ils étaient distants de 12 pieds, et for- maient donc 8 rangées. En tout on employa donc 112 pieux (voir le plan de la tente). Ces pieux furent reliés entr’eux par des traverses en bois de djatti, rabotées à la face supérieure, où la toile à tentes fut atta- chée plus tard par des clous. En tout il y avait (75° x 14) + + (78° x 8) = 1674 pieds courants de traverses en bois de djatti. Pour augmenter encore la solidité de la tente, des fils de fer furent tendus en diagonale aussi bien au toit que sur les côtés; de cette façon on empêchait l’affaissement de la tente. Puis, pour mieux tendre la toile sur les côtés, des traverses furent établies sur tout le pourtour, tout près du sol, ce qui augmentait la lon- gueur totale des traverses de (75° x 2) + (78° x 2) = 306 pieds. La toile à tentes avait été fournie par la fabrique de la maison G. van Besouw JBzn à Goorle (Br. Sept.) en Hollande; c'était du cheese-cloth en toile de lin, marque 3B !) (voir figg. 7 et 8). Elle fut livreé en bandes de 80 pieds de longueur et 15 pieds de 1) La fig. 7 représente l'espèce de ,cheese cloth” qui fut employée dans l’ex- périence de culture à l'ombre à Medan Estate en 1908. La fig. 8 représente un autre „cheese-cloth”, provenant également ae la fabrique de M. G. van Besouw JBzn à Goorle. Cette dernière toile est en coton, et, comme on le voit sur la figure, on y a intercalé à des distances régulières, aussi bien dans le sens de la largeur que dans le sens de la longueur, des bandes d’un tissu plus serré, dans l'intention de clouer la toile le long de ces bandes, afin de maintenir plus solidement la toile tendue. a PES Be ne ne EN _ - +3 . = Fe Del ER Le hen Fic. 7. „Cheese-cloth” en toile de lin, produit hollandais de la fabrique de M. van Besouw (Goorle), Wade ZT TT FT LE ZI JT 0 UE AL GE REKE AN RER aus NS AT a LWkeieneae Cy UL ana B +7 a a & u [I | = = u RER FELLER ee ht EEEN GEEN a AAI BS BEN F7 u: MH RAM sanne ren pinning GAGES RSE asıreletatrlßliigigg 3 R Ant jakktäkliare Er BAANE PEUT € TT BERET Kd Bure = = en an ~ — on 3 me „stonede ie igi! AIHIBETELLLDIEN KI HARTE In) i Hive gy 1 ee Gag OO ay ID i et ze = = = = = = we FIT se ei AETR EEEN (rise stint SE Ten u PTS ' UC EITIFENT , TRIER DER STETTEN INN Hau m ATEN HAINE ene B on ETES a \iaue mm Hit = LE sad ae se a 1123 7 a u [7 ae LAN Bw NETZ a, Fic. 8. „Cheese-cloth” en toile de coton, produit hollandais de la fabrique de M. van Besouw (Goorle). DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 203 largeur; cinq de ces bandes juxtaposées et cousues ensemble dans le sens de la largeur, et découpées à une longueur de 78 pieds, formaient la surface de couverture pour le toit. Cette surface était de 75 x 78 — 5850 pieds carrés; les deux faces latérales nord et sud mesuraient ensemble (75 x 10’) x2— 1500 pieds carrés, les deux faces latérales est et ouest (78 x 10’) x 2 — 1560 pieds carrés. Il fallait done, pour la tente entière, une surface de toile de 8910 pieds carrés en tout. On commanda en tout neuf de ces rou- leaux, de sorte qu'il resta encore une petite quantité de toile pour les réparations éventuelles. Les bandes de cheese-cloth ne pouvaient être cousues ensemble que sur la lisière; là où elle n'existait pas, la suture se fit sur un double ourlet des deux côtés. La couverture de toile fut d’abord cousue ensemble, et quand elle fut prête on la mit sur le lattis où on la déroula; chaque fois qu'on en avait déroulé six pieds on tendait la toile que l’on elouait solidement aux traverses. Les dépenses faites pour la tente s’elevaient à: Prix de la toile, 9 ballots 3B à f 11.— ao Frais d’emballage, d’assurance et de transport Hol- lande-Indes =o so Salaire pour la couture + fil =a alee) Bois et fil de fer ol ae Frais de construction, clous, menues dépenses OET Total des dépenses — f 183,22 L'épreuve de contrôle à découvert était installée immédiatement à côté de la tente, dont elle était séparée par un sentier de 6 pieds de largeur; tout comme la tente, le terrain destiné à cette épreuve était entouré d’une rigole pour le drainage La superficie était aussi de 5850 pieds carrés, avec une hutte au milieu pour les mêmes observations météorologiques que dans la tente; il y avait aussi deux sentiers perpendiculaires entr’eux, que divisaient le terrain en quatre parterres égaux, ou pouvaient être plantés 283 plants à des distances de 3: 14 pieds. Les observations météorologiques, faites séparément dans la tente et sur le terrain de contrôle, ont été effectuées de la même façon à tous les points de vue. Dans les deux cas un thermomètre à maxima et à minima, ainsi qu'un psychromètre (thermomètre see et thermomètre humide), A étaient installés à couvert, sous une petite toiture en atap, à 5! 204 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC pieds au dessus du sol; hors de la toiture étaient placés un plu- viomètre et un actinométre, ainsi qu'un thermomètre pénétrant jusqu'à 30 em. dans le sol, pour en mesurer la température. On pouvait faire ainsi sept observations météorologiques différentes ; les lectures furent faites six fois par jour, savoir à 6, 9 et 11 h. du matin et à 1, 3 et 5 h. de l'après-midi. On trouvera toutes ces lectures dans les tables spéciales à la fin de ce travail. Quand tous les préparatifs furent terminés et que les deux ter- rains eurent été nettoyés une dernière fois et légèrement remués, on procéda à la plantation des bibits le 22 avril, de 4 à 5 h. du soir. La transplantation dans la tente et à l'extérieur eut lieu simul- tanément par deux travailleurs habiles, qui plantèrent chacun 1132 bibits. Nous n'avons absolument pas introduit de guano dans les trous de plantation; nous n'avons pas davantage fait usage de cet engrais quand plus tard nous avons butté le terrain autour des plants; dans les deux cas nous avons employé des planchet- tes d'ombre. Voilà comment fut mise en train l’expérience qui aurait à établir l'influence d’une couverture de toile à tentes sur la qualité du tabac de Déli. B. L’allure de l’expérience. Dès le début de cette épreuve combinée on pouvait constater une difference entre les deux cultures, en faveur de la culture sous tente. Pendant toute la journée succédant à la transplantation (23 avril), les jeunes plantes à l'ombre restèrent absolument nor- males, tandis que celles exposées à l'air libre étaient fanées au milieu de la journée. Le premier développement était d’ailleurs plus rapide dans le premier cas, comme il résulte du fait que sous la tente on dut déjà exhausser faiblement le terrain le 29 avril, tandis qu'à lair libre cette opération ne dut avoir lieu que deux jours après. La différence devint encore plus nette quand les plantes à l’ombre reçurent le 7 mai le haut buttage, que les plante: ıu soleil ne recurent que cinq jours plus tard. DU TABAC DE DEI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 205 Transplantation. Bas buttage. Haut buttage. Terrain couvert. 22 avril. 99 avril. 7 mai. Terrain découvert. 99 avril. i mai. 12 mai. Dans la suite, les plantes sous tente continuèrent à se dévelop- per plus rapidement que celles à l'air libre, et, quand elles eurent atteint leur complet développement, les plantes couvertes dépas- sèrent en moyenne d’un pied au moins celles qui étaient exposées au soleil. Dans les deux cas nous avons laissé avec intention les têtes aux plantes, et, pour empêcher qu'elles ne fussent couchées par le vent, nous les avons soutenues dans la suite par des bâtons. Dans l'habitus aussi on pouvait constater entre les plantes à couvert et les plantes découvertes des. differences fort apparentes. Les plantes à l'ombre avaient des tiges plus minces et des entre- noeuds plus longs, mais le nombre des feuilles était en moyenne le même. Les feuilles développées à l'ombre étaient plus fines; un examen superficiel entre les doigts permettait déjà de constater qu’elles étaient plus minces, et leur couleur était d’un vert plus pâle. Le tabac à l'ombre n'avait presque pas à souffrir de l'attaque des insectes nuisibles, tandis que les plantes placées à l'extérieur furent assez fortement endommagées, ainsi qu'on le reconnaitra plus tard au pourcentage des feuilles avariées. Dans les deux cas la maladie de la panachure en mosaïque fut observée très tôt, mais les plantes découvertes en furent atteintes à un degré beaucoup plus fort que les autres Je reviendrai dans un chapitre spécial sur la relation possible entre la culture à l’ombre et la maladie de la panachure chez le tabac Plus loin je traiterai également en détail l'influence de la cou- verture sur les facteurs atmosphériques sous la tente, en compa- raison des circonstances normales à l'air libre En égard aux bons résultats obtenus en 1902 1), la récolte fut faite presque exclusivement le matin de bonne heure. Après la lecture de la température minima de la nuit, — il était avan- tageux qu'à l'extérieur elle ne fût pas inférieure à 22° C. —, on fit la cueillette des feuilles à 6 heures du matin. Une seule fois 1) Mededeelingen uit 's Lands Plantentuin te Buitenzorg, n°. LXVI. ARCHIVES X. 29 5 206 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC seulement on s'est départi avec intention de cette règle, et on fit la récolte l'après-midi, ainsi que cela se pratique généralement à Déli, pour soumettre à un contrôle le résultat obtenu l’année pré- cédente. Le 3 juin (minimum de température pendant la nuit, à lair libre, 22° C.) eut lieu le premier cueillage matinal des feuilles, aussi bien sous la tente qu'à l'extérieur ; il rapporta 2260 feuilles de terre, cueillies à l'air libre et 1980 cueillies sous la tente. Le 6 juin (temp. noct. min. ext. 22° C.) on récolta de nouveau le matin des feuilles de terre, savoir 4640 à l'extérieur et 3240 sous la tente. Le nombre total de feuilles de terre récoltées était done de 5220 pour l'épreuve sous tente et de 6900 pour l'épreuve de contrôle. Le 10 juin (temp. noet. min. ext. 229 C.) on cueillit, à 6 heures du matin, 1060 feuiiles de base à l’air libre et 1080 sous la tente; et le 14 juin on prit, à 1 heure de relevée, 1840 feuilles de base à l'extérieur et 2120 sous la tente. Le 24 juin (temp. noet. min. ext. 22° C.) eut lieu une nouvelle récolte matinale de feuilles de base, qui fournit 3260 feuilles du dehors et 1520 de la tente; et le 28 juin au matin ‘temp. noct min. ext. 220 C.) on procéda pour la dernière fois à la cueillette des feuilles de base; elle fournit 1700 feuilles d’air libre et 1240 de tente. Le nombre total de feuilles de base récoltées atteignit done 5960 pour l'épreuve sous tente et 7860 pour l'épreuve de contrôle. Le 3 juillet (temp. noct min. ext. 22° C.) on fit de bonne heure un cueillage de feuilles du milieu; on en prit 540 au dehors et 86") sous tente. Une dernière récolte de feuilles eut lieu le 10 juillet à 6 heures du matin (temp. noct. min. ext. 22° C.); elle fournit à lair libre 380 feuilles du sommet et 600 de ces feuilles sous la tente. Ainsi finit la récolte dans les deux épreuves; le nombre total de feuilles récoltées fut de 12.640 pour l'épreuve sous tente et de 15.680 pour l'épreuve de contrôle (voir le tableau synoptique). DU TABAC DE DELI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA 207 Tableau de la récolte des épreuves sous tente et de contrôle. ‘mmm Epreuve sous tente, Epreuve de contrôle. À £ | Le il | Nombre | Nombretotall| Nombre |Nombre total a | au I | Espèce de | Date de la | 4. fouilles de feuilles || de feuilles | de feuilles feuille. récolte. || eueillies, de chaque cueillies, | de chaque | | par jour. espèce. || par jour. espèce. 1 Ps = 1 _— | £ 3 juin || 1980 | 2960 Feuille de terre ) : || 5 TE Balke de terre). || 3240 5220 4640 6900 fot | 1080 | 1060 - \ eae 2120 1840 Feuille de base ; | E za / DEE | 1520 3260 28: | 1240 5960 1700 7860 Feuille du milieu, 3 juillet || 860 860 | 540 540 Feuilledusommet 10 „ | 600 600 | 380 380 Total || 12640 || 15680 Vu le changement dans l'heure de la récolte, on dut apporter, dans le séchoir, quelques modifications dans la manière de sécher les feuilles. Une pareille récolte matinale, cueillie à 6 h., était ordinairement humide de rosée, quand elle était apportée au séchoir; il fallait donc tenir compte de cette circonstance anor- male. Voilà pourquoi on modifia le mode opératoire habituel, en ce sens que sur une même baguette on n’enfila que 20 feuilles (d'habitude on en met 40), et l’on ne pendit que 10 baguettes dans une même salle (au lieu de 20 qu'on y pend d'ordinaire). Cette légère modification, par laquelle chacun des deux facteurs fut réduit de moitié, de sorte que les feuilles étaient plus espacées, prouva encore une fois qu'il est possible de résoudre d'une façon bien simple la difficulté qu'il y a à sécher efficacement des feuilles de tabac fort mouillées. Le séchage eut lieu fenêtres closes et l'on ne fit jamais de feu dans le séchoir. Les feuilles furent mises en bottes au bout de 10 à 16 jours pour les feuilles de terre Dorn Chore pn x „ base 21. » en : du milieu Lies, » » 7 , sommet. 29% 208 EXPERIENCE DE CULTURE À LOMBRE FAITE AVEC La fermentation eut lieu de la manière dont cette opération se pratique ordinairement à Déli. Les deux espèces de tabac d'épreuve furent placées exprès en grands tas, entre des feuilles de tabac ordinaire, pour y subir la fermentation. Le processus eut lieu à 61° pour les feuilles de terre, à 60° pour les feuilles de base, et à 60° aussi pour les feuilles du milieu et du sommet. Pour les détails relatifs à l'allure de cette fermentation, je renvoie aux tableaux suivants, qui se rapportent à ce processus. Le tableau que voici fait connaître les dates auxquelles le tabac des deux épreuves subit les diverses opérations. Nombre de feuilles récoltées. Date dela Date du Espèce de Date de la eae EN ge Commence Epreuve Epreuve ar ment de la feuilles. récolte. sous tente. | de contrôle. en boltes. | fermentation. 3 jui 1980 | 2260 | 13 jui 14 juir Feuilles de \ han lr er ; : De (MENT TON terre / 6 3240 4640 | | | (OD | OB i) = | {080 1060 DS More. Feuilles de \ 14 , 2120 1840 28... 1 SGERM base || 24 . | 1520 3260 10 juillet | 11 juillet JS 1240 1700 Im), 187% Feuilles du milieu 3 juillet 860 540 2 , 25 , Feuillesdusommet 10 „ 600 380 OURS | 128 am On effectua le triage pour séparer les feuilles intactes des feuilles avariées: les feuilles intactes subirent un nouveau classement d’après la couleur et la longueur (1°, 2°, 3° et 4° longueur). Pour la détermination quantitative de ces marques je renvoie aux tableaux qui s’y rapportent, TABLEAUX relatifs a lallure du processus de la fermentation. ? FEUILLE DE TERRE. 28 | em = 38, m/__o go 1 “ly = vis VI | ln Sen 520 2 | yr — Sl vr m [59° ET: | 54° VI | | > 7! Den [BROWN m/_.° 50° Alyy | 60° 9 Van Ve (Deenen MONO | J | 4 Up 18/7 ™M/50° ) mao 5 B/yr—-16/yrm/ 5°] 55° ; oie 6 Myr .. beer A Dd SER 4 ae = ? 55° 3 VI \ 52? 3 VII | 59° Vite VE ne Se LT ER 55° 2 hey | 0b° ' ray ad NE RE ENE ee Care 58° 10 20/74 | 57° VI 11 vr À 56° „ Lu 8 be > 8, PIO VEN ee ORE EL eh ow ANS 55 &/vn — “vin iy VI \ 26 fe 13 Ur | 56° al Muse... I | 56° ° [vi | 00 3 25 58 P 16 Svr 58° di CR Ve EL 60° 7 26 Ge 1 vi | 56 ANO | 55 y) 58 1) Les caractères imprimés en rouge servent à indiquer l'introduction de tabac d’epreuve (aussi bien de l’experience à l'ombre que de l'expérience de contrôle); les caractères noirs se rapportent à du tabac ordinaire de la plantation Medan- Estate. De cette façon le tabac d’épreuve fermenta en grands tas d’une manière aussi normale que possible. Lee == © © Ol + O9 D bo to ND Do Do ND D ND CO CD JT Où w © >) © CORR r= > O9 o 10 aed on EXPERIENCE DE CULTURE À L’OMBRE FAITE AVEC FEUILLE DE BASE (premiére récolte). ENT — 25 / [NI - Le] ne nend rer 592 54° 2 [VI = \ 56° \ le [vı | | 11 58° 55° | rqo Er = a | od wen | 54 vu DAS 4/VIII ait Be Nl Ah A ee: 59 | I Blum 60° \ 6 > Sy 18 VII 60° Sly | 60° vir} 59° 21 /yır 60° "IX 22 [rn 60° Plm} 59° lyn | 58° 2) 9/ 1 le) TEE o Iyın Plv ™/60° fix ™/s8 60° 60° 60° . | 60° DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA 211 FEUILLE DE BASE (dernière récolte). vi | 60° 20 60° Mvr ) 59° lv | | Ar 60° 2 lyon Bv 60° Slyin | 58° 1) 2 yı | 59° u a | 61° lax — "fx foo? — Ff ™/60° m. VII 2 Plv 60° „62 jog "lv f “lyn | 59° vir] 60° S/vinr | 59° 212 EXPÉRIENCE DE CULTURE à L'OMBRE FAITE AVEC FEUILLES DU MILIEU ET DU SOMMET. Es | al 5/ 590 Öl | 50° 10/ \ 90 6/yr 52° (nie Ie 7| z90 /vir| 99 12/ =90 >90 VII | fats) CONS EE OÙ de 6 10/17 | 52 : : © | | 20 / =go Ne) 7 mee | lv ; 88° “vur | 60 5 [vir | 9: Fuo : Ss Bic lego INT) OF Ove a 00 „ OMe iva oo: Ai 57 ala 13 / yy | 55° i | BR ‚VH I 14 Vit | 54° [vı! 99 en 13 Er | 56° 5 14 bly al Dl | 5d? Wv | 53° lv | 58° SLT NEC . 15 [VII | 29 en | 54e es 16 18 /yır | 56° 4 8/ RRO ey A [vil 99° à; 54° > 19 / 590 [VE 2) , 18 B/yır! 53 28 / Fro 8 \ go 55 5] 10), Lr EE / VII ol VIII 2 2m IN 7 [VE | 99 23/17 | 55° 4 m/, 0 5 A) a aaa 00 ALE IS nere . ARO „ar am 9: See 5 no [VII] Ye DA ly | 56° | Bl yır | 54° 5 | On 2 < oh Bli | 99 en 54° 5 26 2 var | 54e 27 Plyul 56° 5 M. 54e 28 %ym\56 VH | Sie 26 ” 29 vir} 24 B 54° 20 26/ 4° ‚vu 9 5 Bh lv | 9 | 7 ie SEA ) [va ov 2 IN ; 29 | ARO 2) 7 | =o | VII 56 en [vu | ol De 20 De on Sm: 5 : “EVE m 96 » Bt lv) 56 B „30 iv | OD" ay | 54° DA DE [vu 9 „ 36 #Jvrr | 55 LA DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA 213 C. Les résultats de l’expérience. L'examen purement quantitatif, dans ces expériences, a été quelque peu troublé par deux circonstances défavorables, dont il faudra tenir compte pour bien juger les résultats. Un de ces facteurs est la maladie de la mosaïque, qui se présenta d'une façon tellement diftérente, qu'à une certaine époque la proportion des plantes atteintes par la maladie était plus grande de 36% pour l'expérience de contrôle à découvert que pour l'épreuve sous tente. En second lieu, dans la nuit du 14 au 15 juin, et plus tard dans celle du 8 au 9 juillet, il souffla une forte tempête. dont le tabac sous tente eut surtout beaucoup à souftrir. Les deux fois la toile fut déchirée en quelques endroits, et en s’abattant elle cassa les tiges des plantes qu’elle couvrait ou endommagea considérablement leurs feuilles. Par contre, chez les plantes de contrôle, les dégâts furent relativement faibles; les tiges s’inclinè- rent il est vrai, mais il fut aisé de les redresser dans la suite. La preuve que les dégâts causés par ce mauvais temps étaient considérables pour le tabac sous tente, c'est que l'épreuve à l'ombre fournit 3040 feuilles de moins que l’expérience de contrôle, bien que sous la tente il y eut beaucoup moins d'individus atteints de la mosaïque, et que les plantes à l’ombre eussent atteint une plus grande hauteur (grâce à la circonstance précédente). Dans les deux épreuves de culture, aussi bien dans l'épreuve à l’ombre que dans celle servant de contrôle, se sont done fait sentir des influences désavantageuses, — dommages mécaniques ou maladie —, qui ont diminué le rendement, surtout pour les feuilles du milieu et du sommet Mais il n’est pas possible d’ap- porter de ce chef aux résultats une correction quelque peu cer- taine. Aussi doit-on comparer dans ce cas les nombres relatifs (pourcentage) et non les nombres absolus. Le mombre des feuilles récoltées sous la tente fut de 12640, et celui des feuilles cueillies à l'air libre fut 15680, ce qui donne, pour 1132 plantes de part et d’autre, au moins 11 feuilles par plante couverte et presque 13 feuilles par plante découverte. Le tableau suivant sert à faire voir le rapport de la récolte des diverses espèces de feuilles: ARCHIVES Xx. 30 214 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC Tabac d'ombre. Tabac de contrôle. Nombre. Sik Nombre. | I | Feuille de terre | 5220 41,30 6900 4h, — = „ base!) | 5960 47,15 7860 | 50,13 2 du milieu | 860 6,80 | 540 3,44 5 „ sommet 600 4,15 380 | 9,43 12640 100,00 15680 100,00 La récolte remarquablement faible en feuilles du milieu et du sommet, dans les deux expériences, doit être attribuée, pour l’expé- rience de contrôle, surtout à cette circonstance, que des plantes extérieures adultes il n’y eut pour ainsi dire aucun individu qui ne fit atteint de la maladie de la mosaïque; quant au tabac sous tente, la récolte des feuilles du milieu et du sommet avait été presque anéantie, surtout par la dernière tempête du 8 au 9 juillet. Le poids des deux récoltes complètes (non compris le cueillage de feuilles de base effectué une fois dans l'après-midi) était après fermentation : pour le tabac cultivé à l’ombre: 16.497 gr. > „ de contrôle 1602072107 e.-à-d.: pour 10520 feuilles de tente un poids global de 1,57 gr. par feuille, et „ 13840 , d'air libre , À 2,1807, ne Voici quels étaient les poids pour les diverses espèces de feuilles: Expérience à l'ombre. | Expérience de contrôle. Poids en gr. 215 Poids en gr. | 215 Feuilles de terre 6030 36,55 | 12010 39,77 x » base 2) 1114 | 43,12 | 15330 50,76 x du milieu | 1861 11,28 | 1608 5,32 | | 2 4 sommet | 1492 | 9,05 | 1254 | 4,15 | | | | 16497 100,00 | 30202 100,00 1) Y-compris la récolte dans l’après-midi du 14 juin. 2) Les récoltes matinales seules. DU TABAC DE -“DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA 215 On déduit de là: Poids moyen d’une feuille en grammes. Tente. | Air libre. | ———— —— Feuille de terre 1,16 1,74 = - basen 1,85 2,55 3 du milieu | 2,16 | 2,98 5 , Sommet | 9,49 | 3,30 Les proportions des feuilles intactes et endommagées étaient les suivantes pour le tabac des deux épreuves: Tabac d'ombre. Tabac de contrôle. | Nombre. DA Pp Nombre. a Feuilles intactes | 9879 | 93,90 11543 | 83,40 i endommagées | 641 | 6,10 | 9997 16,60 ae I Te ee ee A 10520 | 100,00 | 13840 | 100,00 Les feuilles intactes furent encore classées au point de vue de la couleur ?) et de la longueur. On ne distingua que trois couleurs, savoir fauve-clair, fauve-foncé et panaché; d’après la longueur on les subdivisa en 1°, 2°, 3° et 4° longueurs. Couleur. Zum ——— —— — er — —— | Tabac d'ombre. Tabac de contrôle. Nombre. 215 Nombre. le | El | Fauve-clair 7541 11,68 | 6450 | 46,60 Fauve-foncé 9761 | 96,95 6906 49,90 Panache 218 9,07 484 3,50 10520 | 100,00 | 13840 100,00 1) Les récoltes matinales seules. ?) J'entends ici par couleur ,fauve” la couleur brun-verdâtre terne, qui est tant recherchée pour les feuilles préservantes en Allemagne, où on la connaît sous le nom de „Hamburger Fahl’. Voilà pourquoi on l’appelle aussi ,vaal” en Hollande. 30* 216 EXPERIENCE DE CULTURE À LOMBRE FAITE AVEC Longueur. Tabac d'ombre. Tabac de contrôle. Nombre. Sis | Nombre. Elle Be - 1° longueur 1979 18,81 3801 27,46 ge 5 4329 | 41,15 | 6391 46,18 ge 5 3936 | 33,61 2895 90,92 he > 676 6,43 753 5,44 10520 100,00 13840 100,00 Les résultats précédents permettent déjà de tirer les conclusions suivantes au sujet de l’épreuve à couvert: 1. l'épreuve à couvert a fourni un produit qui, pour toutes les feuilles individuellement, pesait bien moins que celui de l'épreuve de contrôle; 2. l’épreuve à couvert a fourni plus de feuilles intactes et moins de feuilles endommagées que l’épreuve de contrôle ; 3. l'épreuve à couvert a fourni beaucoup plus de tabac fauve-clair (la couleur actuellement en vogue) que l’épreuve de contrôle; 4. l'épreuve de contrôle, à découvert, a fourni des feuilles dont la longueur était plus convenable que celle des feuilles fournies par l'épreuve à l'ombre. Je donne maintenant les tableaux de classement des diverses espèces de feuilles dans les deux expériences; on a compté le nombre de feuilles de chaque marque et on a déterminé le poids total, pour en déduire le poids moyen par feuille. DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. FEUILLE DE TERRE. ixperience à couvert. Récolte: 5220 feuilles; poids: 6030 grammes. Poids moyen d’une feuille: 7,16 gr. I. FAUVE cLair : 4442 feuilles; poids 5050 gr; poids moyen d'une feuille: 1,14 gr. A. Feuilles intactes: 4155 LEE LES LISBON ay 5 1° longueur — Je 2 2 la tn 1590 RE # = 5 Be > : 9312 at Sat DH eee 1 je > = 4e a 496 = s 5 ai) SiG 2 B. Wewilles avarides: 307 er Te SPee 5 ® N Il. Fauve roncr : 778 Fes ee ae 9305 3-15 hs “i 2 A. Feuilles intactes : 725 Eh ER, OPOE Men 4 5 n 1° longueur en Qe e Tem ISO ee oe ZE cee bi j , : 30 4 : 405 ce a> ae 500M EP Ee 5 = = 49 8 : CPE RE ER (OU Se R 2 3 B. Feuilles avarides: 53 ae ARE GORKE 5 = pe Expérience de contrôle à découvert. Récolte: 6900 feuilles; poids: 12.010 grammes. Poids moyen d’une feuille: 1,74 gr. I. Fauve CLAIR : 2904 feuilles; poids 4830 gr.; poids moyen d'une feuille A. Feuilles intactes: 2180 in Vis BD) Eee x > er 1° longueur : 107 wre 270 , ; 5 ” ” “ ge 5 » 101s ara IE ee ; . - ge é 5 817 RE 13005 oen 5 5 à à 40 5 B 238 een BE BD oR 4 6 ” B. Feuilles avariées: 724 ARTE 10908 5 A 5 I Fauve roxch : 3858 Us: 0000110; 1 : 5 “A. Feuilles intactes: 2897 PE SER (Ste) eR pe 7 5 | 1° longueur 4 142 + aa We SOM à a = Ex , BEE a El LAMM OT ar A sho My Be . : L086 Pa ee 1820,, 2 , x Es : 40 5 s 316 ES ot AEO US oe ER 7 à B. Feuilles avariées: 961 TE 2 ATOS ARE F 5 = II. Panacné : 138 EUR Owen as ” “ ” A. Feuilles intactes : 105 5 BR avarides: 33 5 1) Un échantillon en fut envoyé en Hollande. 17148, 1.2077 eile) 1,10 1,04 , 1,26 , Le, 151, 15230, (Pb LABS 21,66 gr ENCRES D 52, ESS 1,59 „ 1.308, 1.502, :1,80 , 1,80 , 18 „ 201 „ Nr 1,390, BL Ju, ') ') 2) >) ') 1) ) 218 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC Récolte: 3840 feuilles; poids: 7119 grammes. Poids moyen d’une feuille: 1,85 gr. FEUILLE ” ’ ? , ? ” ” ” 4690 2420 2000 270 280 2100 1980 L000 860 120 120 49 : 2723 feuilles; poids 4970 gr. Expérience de controle Récolte: 6020 feuilles; poids: 15.330 grammes. Poids moyen d’une feuille: 2,55 gr. I. FAUVE GLAIR A. Feuilles intactes: 2560 tere Jongueur 1292 ge As 1197 Be “A : 181 B. Feuilles avarides: 163 Il. Fauve Fonck : 1090 A. Feuilles intactes: 1025 {ere longueur : 459) ge 5 2 463 3e 5 3 73 B. Feuilles avariées: 65 III. Pawacue 3 27 A. Feuilles intactes : 25 B. 5 avariées : 2 I. Fauve CLAIR A. Feuilles intactes : 3090 tere longueur 1728 ge 5 221966 3e a q 96 B. Feuilles avariees: 276 If. FAUVE FONCE : 2444 A. Feuilles intactes: 2244 tere longueur 1255 ge 5 3 920 ge 8 69 B. Feuilles avariées: 200 Il. Panacne 210 A. Feuilles intactes : 193 4 avariées : 17 : 3366 feuilles; , , ’ ? , ” ” 7750 4550 3000 200 650 6450 5960 3460 2350 150 490 300 463 37 1) Un échantillon en fut envoyé en Hollande. poids $3890 gr ” DE BASE. Expérience a couvert. ; poids moyen d’une feuille: 1,83 gr. ’ 3 , ’ , à découvert. 1,83 1,98 1,73 1,49 1,71 : 1,93 BILE 2,05 2 1586) 1,62 H 1,85 :1,81 .; poids moyen d’une feuille: 2,50 2,50 2,63 9,37 202,08 102708) :2,64 02:60) DOTE > 9,55 9,17 : 2,45 :2,38 2.123,40 2716 ” ” 1) „al ” ” ” ” 4 > a „u ” ” DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA Récolte: 860 feuilles; poids: 1861 grammes. I. Fauve cLair A. Feuilles intactes : {ere Jongueur de ” B. Feuilles avarides: FEUILLE Poids moyen d'une feuille: 2,16 gr. : 326 feuilles; poids 650 II. Fauve FONCÉ : 460 és A. Feuilles intactes: {ère longueur 9e - ” 3e = _B. Feuilles avariées: III. Paxacné A. Feuilles intactes: Bi, avariées : Récolte: 540 feuilles; poids: 1608 grammes. eae SS JL. Fauve era À A. Feuilles intactes: {ère longueur 2e mn Be a : B. Feuilles avariées: A. Feuilles intactes: tere longueur ge En be 3e 5 2 B. Feuilles avariées: I. Paxacné ge . Feuilles intactes: avariées : B. N 1) Un échantillon en Expérience de contrôle à pP Poids moyen d’une feuille: 2,98 gr. : 137 feuilles; poids I. Fauve Fonch : 322 = 318 > 5 656 54 fe er > 115 93% = a 475 30 SH; 4 46 8 ee 14 : , 1040 449 a as 1020 76 = 5 = 183 330 ee is 759 43 a ete Te 78 11 fi 20 74 ee aE 171 71 5 3 5 122 SRE 340 99 5 2 = 66 95 ER ler 269 5 ni ee 12 15 + LT 37 von 948 287 man 882 52 Ben 170 994. EE 680 11 LÉ Des 32 35 eee 96 SI Dun 253 72 5 9 ” fut envoyé en Hollande. gr.; poids moyen d’une feuille: 1,99 gr. 377 er. “ “ DU MILIEU. Expérience à couvert. ” ” ” ” ” ” ” ” = 5 ” ” découvert. ; poids moyen d'une feuille: 219 9,13 9,03 11452: 1,75 2.26 2,27 2,41 2,30 1,81 1,82 2.31 ” ” ” ” ') El ) à. 1) 1) 220 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC FEUILLE DU SOMMET. Expérience à couvert. Récolte: 600 feuilles; poids: 1492 grammes. Poids moyen d’une feuille: 2,49 er. y ) I. FAUVE CLAIR : 50 feuilles; poids H44 gr.; poids moyen dune feuille Toutes feuilles intactes. IL. FAUVE FONCÉ : 433 700 ; n 5 A. Feuilles intactes: 412 , 3; » MED 5% 5 5 ” = tere longueur ge = a 1816 5 3e 5 Si > 4e 5 er) x B. Feuilles avariées: 21 „ 5» AD au 5 5 3 : III. PANACHÉ : 117 Rg 308 ,: 4 2 De = A. Feuilles intactes: 109 A B. = avariées : 8 = Expérience de contrôle à découvert. Récolte: 380 feuilles; poids: 1254 grammes. Poids moyen d’une feuille: 3,30 gr. : 2,28 gr. }) : 2,47 , 2,5055 1,90 : 2,63 „ I. FAUVE CLAIR : 43 feuilles; poids 482 gr.; poids moyen d’une feuille: 3,0% gr. !) II. Fauve ronck :282 5 , CLÉ À MORTE 5 = 5 3,80 , A. Feuilles intactes: 262 , 3 , MEL EU a - 5 3,35 , 4 B. " avariées: 20 4 3 » BP a 5 5 ps = 2,65 „ III. Panacnt an TR, 5 » n 3,47 , 1) Un échantillon en fut envoyé en Hollande. DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 921 Aperçu des quantités relatives des diverses marques dans les diverses espèces de feuilles des deux épreuves. Feuille Feuille Feuille Feuille | de terre. de base, du milieu. du sommet, | i Tento. Air. Tente. Air. Tente. Air. Tente. Air. Feuilles | Nombre | 4860 5182 3610 5527 838 481 571 353 intactes | DIE | 93,10 75,10 94 91,80 | 97,50 | 89,10 a 95,20 | 92,80 Feuilles | Nombre | 360 1718 230 493 22 9 | 29 27 avariées | °]o | 6,90 | 24,90 11820002 50181090 | 4,80 | 7,20 Fauve (Nombre, 4442 2904 2723 3366 326 137 | 50 43 clair | % | 85,10 42,10 70,90 55-90 38 25,40 8,30 | 11,30 Fauve (Nombre, 778 3858 1090 2444 460 322 433 | 282 foncé | °/ 14,90 55,90 28,40 40,60 53,40 59,60 72,20 74,20 or {Nombre} — 138 27 210 74 81 | 117 55 6 — | 2,— 0,70 3,50 | 8,60 15,— 19,5 14,50 tere lon- | Nombre = 338 1832 | 3365 147 98 — gueur | % = 4,90 | 47,70 | 55,90 | 17,10 a ea 0 “ (Nombre! 1676 | 3222 | 1736 | 2468 | 631 | 422 | 986 | 979 = | o 39,10 | 46,70 | 45,20 | 41,— | 73,40 | 78,20 | 47,60 | 73,40 | (Nombre| 9918 | 2587 | 9272 | 187 | 82 | 90 | 964 | 101 3; | 9, | 55,90 3750 | 710 | 310 | 9,50 | 3,70 | 44, 26,60 be Bl 626 | 753 — = — | - 50 | atl 12,— | 10,90 | — - | — = Ban = Enfin, j'ai fait encore une détermination d'épaisseur du tissu de la feuille (après fermentation) pour les deux cultures. Pour déterminer cette épaisseur, j'ai découpé à l’emporte-pièce trois ronds dans le limbe de chaque feuille à mesurer, savoir un rond à la pointe, un au milieu et un à la base; j'ai evité autant que possible les nervures pour avoir une mesure aussi exacte que possible du tissu. Pour cette détermination j'ai employé 100 feuilles de chaque espèce et j'ai mesuré les épaisseurs des rondelles, dans l'ordre susdit, en centièmes de millimètre, à l’aide d'un compas d'épais- seur de Zeiss. Voici quel est le résultat ainsi obtenu: ARCHIVES X. 31 222 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC mm Détermination d'épaisseur en 95: Tabac d'ombre. Tabac de contrôle. Pointe.| Milieu.) Base. | Moyenne. |Pointe. | Milieu. Base. || Moyenne. Feuille (Fauve clair) 18 |14 | 13 | 15 | 22 |17 |15 18 de terre | Fauve foncé) 19 | 15 14 || 16 24 |19 17 20 Feuille {Fauve clair 15 10 8 | m 20 |14 |11 | w de base | Fauve foncé 19 13 10 | 14 9% |17 13 18 Feuille | Fauve clair, 14 9 Fan | {0 || 18 | 121, | 10 13!) du milieu | Fauve foncé) 17 11! 9 | 121} lat |15 42 16 Feuille (Fauve clair) — | — — | | — — du sommet | Fauve foncé) 16 1 | 9 || 12 17 | 1315, | 111} || 44 | | | | Après que le tabac des deux épreuves, entièrement apprété, efit été examiné au point de vue de toutes les propriétés dont il vient d’être question, j'ai cru qu'il serait utile, en définitive, de le soumettre à l'appréciation d'une personne compétente, pour connaître la valeur commerciale intrinsèque des deux produits. Dans ce but, le tabac d’&preuve fut expédié à Amsterdam, afin d’y être soumis au jugement de courtiers, sans leur dire que parmi les échantillons il y avait du tabac cultivé à l’ombre. Voici quel est le jugement émis à ce propos. D. Appréciation de courtier des deux tabacs d’épreuve. Tabac d'ombre. Tabac de contrôle. I. FEUILLE DE TERRE. a. Fauve clair. Très mince, feuille douce. Grande feuille, d'espèce lourde. Teintes très bonnes, égales, Couleurs ternes, fauve foncé. fauve terne. À la mode. Article courant, mais moins à la mode. b. Fauve foncé. Un peu plus foncé; un peu Un peu lourd; type peu mûr lus membraneux. à teinte fauve foncé; tabac un ? peu large, mais bien développé. DU TABAC DE DELI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA, 223 II. FEUILLE DE BASE. a. Fauve clair. Grande et mince feuille, tein- Très foliacées, minces et dou- tes généralement bonnes, égales, ces; bonnes teintes, égales, brun claires, brun fauve. Très bonne fauve clair. Bonne feuille préser- feuille préservante. vante. b. Fauve foncé Un peu plus lourd; couleurs Un peu plus foncé et plus foneées, brun fauve lourd. Couleurs assez égales, brunes et brun fauve. Ill. FEUILLE DU MILIEU. a. Fauve clair. Brun fauve, de teinte égale, Feuille un peu plus dure. mais sans grande valeur. Brun et brun fauve, un peu panaché. b. Fauve foncé. Fauve foncé, un peu verdätre. Dur, grossier. IV. FEUILLE DU SOMMET. Petite feuille, un peu lourde et grossière. Conclusion finale des courtiers : La feuille de terre et de base de cette série fournit une très bonne feuille préservante, mince et douce, avec de bonnes teintes égales, et beaucoup de couleurs fauves. à la mode. Les feuilles du milieu et du sommet sont assez bonnes. Et si maintenant, nous basant sur les résultats ainsi obtenus, nous nous permettons d'émettre un avis sur le résultat général de cette épreuve de culture à couvert, au sujet du produit qu'elle a fourni, en comparaison de celui qui a été obtenu par l'épreuve de contrôle à découvert, notre conclusion ne peut être que favo- rable pour l'expérience à l'ombre. Dans cette expérience, le tabac cultivé sous une couverture de toile à tentes a donné un produit qui avait presque à tous les points de vue des qualités supérieures à celles de la feuille de tabac obtenue par une culture normale à lair libre. 31* 224 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC VE Détails relatifs à unique récolte faite l'après-midi. J'ai déjà dit à la page 206 que le 14 juin une récolte de feuil- les a été faite exceptionnellement l'après-midi, vers le milieu de la journée, au lieu du matin à 6 heures, ainsi que c'était la règle dans cette expérience à l'ombre. La différence physiologique entre une feuille de tabac qui a été cueillie le matin, et une autre qui a été prise l'après-midi du même jour, consiste ea. en ceci que, dans le dernier cas, les cellules du tissu foliaire sont remplies du produit d’assimilation de la plante, c.-à-d. de fécule, qui a été formeé pendant les pre- mières heures du jour sous l'influence de la lumière solaire. Par le transport de ce produit d’assimilation pendant la nuit, une feuille de tabac que l’on récolte le matin de bonne heure, avant que le processus d’assimilation ait pu recommencer, doit être complètement privée, dans les circonstances les plus favorables, de la fécule de la journée précédente Un moyen très commode, permettant de s’assurer instantané- ment de ces conditions physiologiques variables de la feuille de tabac, est l'application de ce qu'on appelle l'épreuve à l’iode de Sacus. Puisque la feuille verte peut présenter d'aussi grandes diffé- rences quant au contenu, on peut s'attendre à priori à ce que la présence ou l’absence de ce produit d’assimilation ait une influ- ence sur la qualité de la feuille de tabac apprêtée; en d’autres termes, la feuille de tabac récoltée au moment où elle est remplie de fécule doit être qualitativement différente, après séchage et fermentation, de la feuille de tabac qui était exempte de fécule au moment du cueillage. Des recherches entreprises spécialement dans ce but ont appris qu'il en est réellement ainsi. En 1902 j'ai examiné de près cette question '), et au sujet de 1) HunGer, Physiologische onderzoekingen over Deli-tabak, Dl. I, Eerste stuk. Colorimetrische zetmeel-bepalingen. Mededeelingen uit ’s Lands Plantentuin, 1903, n°. LXVI. | | | DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 225 l'influence que peut avoir dans la suite, sur les propriétés quali- tatives du produit commercial fermenté, la teneur en fécule de la feuille de tabac pendant la récolte, je suis arrivé e.a aux résultats suivants: (le. p. 59). 1°. une récolte matinale (sans fécule) donne du tabac fauve-clair, tandis qu’une récolte à une heure avanceé de la journée (avec fécule) donne du tabac fauve-foncé ; 2°. les avantages de qualité du tabac sans fécule, cueilli de bonne heure, ne consistent pas seulement dans la couleur, mais aussi dans le poids total, l'épaisseur de la feuille et la combus- tibilité, Les chiffres qui confirment ces derniers résultats sont commu- niqués dans le petit tableau suivant: Sans feeule. Avec fécule. Nombre de feuilles 250 250 Poids total en grammes | 770 925 o | na Tssan TENS mm | 1 95 Epaisseur moyenne en 90 211} 25 Combustibilité en secondes | 711], 411} Bien que la question de l'influence de la récolte à diverses heures de la journée sur les propriétés de la feuille tombe en dehors des limites de notre expérience, je désire cependant en dire un mot, parce que nous avons fait une seule fois un cueil- lage l'après-midi, tandis que toutes les autres récoltes ont eu lieu le matin; les résultats que ce cueillage ont fourni peuvent donc servir de contrôle à mes expériences de 1902. Ce cueillage effectué dans Vaprés-midi du 14 juin a rapporté, pour l'expérience sous tente, 2120 et pour l’expérience de contrôle 1840 feuilles de base. La détermination colorimétrique préalable de la teneur en fécule (épreuve à l’iode) avait appris que ce produit était rempli de fécule; par contre, la feuille de base cueillie dans la matinée était toujours récoltée après une température nocturne minima de 22° C. à l'extérieur, ce qui est, d’après mes recherches préci- tées, la température à laquelle „l'enlèvement nocturne de la fécule aux feuilles s'effectue complètement” (le. p. 58). 296 EXPERIENCE DE CULTURE à L’OMBRE FAITE AVEC Le séchage et la fermentation de cette récolte particulière ont eu lieu en même temps que les mêmes processus des récoltes matinales ordinaires, mais j'ai marqué d’un signe distinctif les bottes de la récolte d'après-midi, afin de pouvoir les retrouver après la fermentation. Le triage du tabac d'après-midi eut lieu conformément à celui du tabac du matin. On trouve dans le tableau suivant les résultats de la détermi- nation des propriétés qualitatives de cette double récolte d’apres- midi, comparées avec les résultats moyens de la récolte matinale de feuilles de base toute entière, dans les deux expériences. FEUILLE DE BASE (récolte d'après-midi). Expérience à couvert. Récolte: 2120 feuilles; poids: 4999 grammes. Poids moyen d’une feuille: 2,36 gr. . FAUVE CLAIR : 1640 feuilles; poids 3735 gr.; poids moyen d'une feuille : 2,28 gr. . Feuilles intactes: 1525 UC PRES 3000 2 4 As BL OO {tre Jongueur : 477 HER Us NAN que 5 3 RD go 4 : 698 PER BBD > 5 A ESS OO Be 4 8 350 al ef ALO} MAS “9 > un CITE) . Feuilles avariées: 115 HN N DDR ee . à AE cy . FAUVE FONCÉ : 480 5. 3 » "1264 ;: 5 > n » : 263, . Feuilles intactes : 447 se. as UE 5 8 og 5 je EE A {tre longueur : 139 ee AO Ee 5 a ee OD 9e a 205 EPL 550 = e 5 EIS 3e 5 OSE |: 1. OON 5 5 5 2,23 „ Feuilles avariées : 33 RN TLN es 5 ee be Renee! 1) Envoyé en Hollande pour être apprécié. DU I. FAUVE CLAIR II. Fauve FONCÉ II. Brun CLAIR TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. FEUILLE DE BASE (récolte d’aprés-midi) Epreuve de contrôle à découvert. Récolte: 1740 feuilles; poids: 5346 grammes. Poids moyen d’une feuille: 3,07 gr. : non représenté. ” ” 1) Envoyé en Hollande pour être apprécié. 227 : 1109 feuilles; poids 3290 gr.; poids moyen d’une feuille : 2,97 gr. A. Feuilles intactes: 993 ern 299010 „aa“ + 3,01 . tere longueur BLEU Bee DE À ll enh | i 5 7 7 3,28 „ 3° E KOOS Mee 10. MEANS 5 4 2,99 „ 3e ® VDE D et SOON reas 1) dn 5 5 2,50 „ 4° n : haa Sen en » 7 2,22 , B. Feuilles avariées: 116 , 3; , NU 5 Be 2 pn DON V. Brun roncí 595 SR) SOA LS 5 5 al, A. Feuilles intactes: 533 a) eea 18000: CURE = . 3,49 , {ère Jongueur SO 1102 PSE, a 5 3,82 „ ge 5 GI An CWD Sar 3 à x 3,40 „ 3° n : SO UST, 2 ee tue A 5 3,05 „ B. Feuilles avariées: GORM Res Es LED UNE a = 2199 V. PANACHÉ BOU sk LION 0, 5 A : 3,04 , Tente. | Air libre, Récolte Récolle || Récolle | Récolte matinale. d'après-midi, matinale. d'après-midi. —_— Nombre des feuilles 3840 9120 | 6020 1840 Poids total en gr. 7114 4999 15330 5346 Poids moyen d'une feuille 1,85 | 2,36 9,55 3,07 Feuilles intacles en °/, 94 | 93 91,8 891/, Feuilles avariées en °, 6 | 7 8,2 101), Fauve clair 70,9 | 57,4 55,9 — Fauve foncé 98,4 | 44,6 40,6 — Panaché 07e = | Di 9,1 Brun elair == | — — 637 Brun foncé = | = _ 34,2 {re longueur 47,7 31,3 55,9 34,8 Qe J 45,2 | 45,8 41,— 49,8 3° a Te | 29,9 3,1 14,5 KO, ee AA = 0,9 à, EN 7 a ij ) ) 228 EXPÉRIENCE DE CULTURE À NL OMBRE FAITE AVEC Si l’on compare l'épaisseur des feuilles dans les deux méthodes de récolte, on découvre aussi une différence frappante: Epaisseur de la feuille en Een ||Sommet. Milieu. | Base. ‘Moyenne. | | Récolte du matin: | | | | 1. Fauve clair | 15 | 10 | 8 ti Expérience 2, Fauve foncé | 19 18 | 10 14 à couvert | Récolie d'après midi: | | | | 1. Fauve clair | 20 | 141, | 103), 15 2. Fauve foncé | 26 | 18 | 13 19 I ne oe 4, | | Récolte du matin: | | | | 1. Fauve clair | 20 CN F1 15 Expérience | | 9 Fauve foncé || 2% 17 | 13 | 18 à découvert | Récolte d'après-midi: | | | | | 1. Brun clair || a yj] A | 20 | 2. Brun foncé || 34 9 1615 BA | | | | Les nombres que j’ai obtenus ainsi sont un peu plus faibles que ceux que j'ai obtenus en 1902, tant au point de vue du poids moyen par feuille qu'au point de vue de l'épaisseur de la feuille; cette différence, je l'explique par le fait que, dans mon expérience de 1902, la feuille de base provenait de plantes dont j'avais préalablement coupé la tête pour leur donner une longueur normale, tandis que dans les deux expériences actuelles j'avais laissé avec intention les têtes aux plantes. Il est intéressant d'apprendre encore l’appréciation des courtiers sur le tabac provenant de la récolte d'après-midi; la voici: Appréciation de courtier sur la feuille de base (récolte d'après-midi). Expérience à couvert. Expérience de contrôle. 1. Fauve clair. I. Brun clair Feuille trés mince. Bonnes Foliacé. Teintes uniformes teintes ternes, brun clair pas- brun clair. Bonne espèce Bonne sant au fauve clair. Fine feuille préservante. feuille préservante. DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 299 2. Fauve foncé. 2. Brun foncé. Feuille mince; couleurs brunes Un peu humide et comprimé. ou brun clair, fauves, en par- En partie à couleurs panachées. tie uniformes, pour le reste un Un peu lourd. peu panachées. Cette récolte isolée eût difficilement donné une meilleure con- firmation de mes conclusions de 1902. L’appréciation des courtiers, qui ignoraient absolument de quelle espèce était le tabac que je soumettais à leur jugement (les bottes portaient uniquement des numéros), s'accorde aussi parfaitement que possible sur le point capital: la couleur. La culture d'après-midi à l'air libre ne donna absolument pas de tabac fauve. Voici encore quelques conclusions que l’on peut tirer: 1. La culture sous tente fournit, même quand la récolte a lieu au milieu de la journée, un produit qui est conforme à celui que l’on n'obtient à l'air libre que par une récolte matinale. 2. L'opinion de M. Mour !), que la récolte matinale fournit moins de feuilles endommagées que la récolte d'après-midi, est confirmée aussi bien par expérience à l'ombre que par l'expérience de con- trôle (1. ec. p. 85). 3. Ces données encore peu nombreuses semblent prouver qu'une récolte faite de bonne heure fournit plus de feuilles panachées qu'une récolte faite à une heure avancée de la journée. 1) Monr: Over het oogsten van Deli-tabak op verschillende tijden van den dag. Mededeelingen uit ’s Lands Plantentuin, 1902, N°. LVI. ARCHIVES X. 32 230 EXPERIENCE DE CULTURE A L'OMBRE FAITE AVEC VI. Observations météorologiques dans expérience de culture à ombre et dans l’expérience de contrôle. On sait que chez les plantes vertes le processus de l'assimilation consiste en une décomposition d’anhydride carbonique, et l'énergie nécessaire à cette décomposition est fournie par la lumière. Mais ce n’est pas seulement de la lumière qui est puiseé Pénergie du rayonnement solaire; la chaleur aussi est utile à la plante, parce qu’elle élève la température de lair et du sol. L'intensité du processus de la décomposition de l'anhydride carbonique, tout comme la respiration, est soumise à l'influence » or de la température ambiante. La température régit la tension de la vapeur d’eau dans lair, et par là l'humidité relative de l'atmosphère. Le processus végétal de la transpiration est complètement régi par la température et Vétat hygrométrique de l'air. La grandeur de la pression radieulaire dépend de la température et du degré d'humidité du sol. L'eau qui est fournie dans la nature par la pluie participe dans une large mesure à presque tous les phénomènes vitaux chez les plantes. Ces vérités physiologiques, universellement reconnues, prouvent que l’état de l'atmosphère ambiante a une influence considérable sur les divers processus qui constituent la vie chez les plantes vertes Partant de ces résultats physiologiques, il me semblait de pre- mière nécessité d'établir quel était l'état de l'atmosphère sous la tente, en comparaison du même état à l'air libre; j’espérais pou- voir déduire de là si les changements dans les conditions atmos- phériques, produits par la couverture. doivent être considérés comme des facteurs favorables ou défavorables à la vie des plantes à tabac. in dl DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 231 Des recherches antérieures m'ont déjà appris !) que, malgré la nécessité absolue de la lumière solaire pour une assimilation intense, la feuille de tabac de Déli est très sensible à la lumière solaire directe, qui occasionne aisément un changement dans la situation des grains de chlorophylle dans les feuilles. Un pareil déplacement de la chlorophylle, reconnaissable extérieurement à une couleur vert-päle des feuilles, n'entraîne pas seulement une formation de fécule moins intense dans le tissu foliaire, mais l'enlèvement de fécule aux feuilles ne se produit pour ainsi dire pas du tout en plein soleil, parce que dans ces circonstances la diastase devient inactive. A ce propos j'ai du reste pu déterminer la limite de tempéra- ture à laquelle la fécule est encore complètement enlevée, pen- dant la nuit, aux feuilles de tabac de Déli; il faut notamment que la température minima de la nuit ne descende pas au-dessous de 22 C. J'ai reconnu en outre que l'humidité relative de l'air était de la plus haute importance pour l'assimilation de la plante à tabac. Comme le processus d’assimilation est étroitement lié à la trans- piration, et que ce dernier dépend à un haut degré de l'humidité relative de l'air, il est clair que dans l'étude du premier de ces deux processus nous devons sérieusement tenir compte de l'état hygrométrique de l'air. L'état de saturation de l'air par la vapeur d’eau règle l’évapo- ration de l’eau dans la plante, ce qu'on nomme l'eau végétative Pour les deux processus d’assimilation il est avantageux que la teneur en eau végétative soit forte, puisque l’eau joue un rôle capital dans la formation de la fécule, aussi bien que dans son transport (l. ce p. 47) Un état hygrométrique élevé de l'air empêche que le tabac de Déli ne se fane et assure en même temps à la plante une allure régulière du processus d'assimilation tout entier; alors la forma- tion des substances nutritives et leur transport ont lieu d'une façon aussi normale que possible et il en résulte que la plante croît vigoureusement. Il résulte de tout ce qui précède qu’au sujet de l'état atmos- 1) Voir Hunger: Physiologische Onderzoekingen over Deli-Tabak. Deel I, Eerste Stuk: Colorimetrische zetmeel-bepalingen. Mededeelingen uit ’s Lands Plantentuin, 1903, n°. LXVI. 32* 232 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L'OMBRE FAITE AVEC phérique ambiant c'est le rayonnement solaire qui est le facteur prédominant, puisqu’en dehors de l'intensité d'éclairement la tem- pérature de l'air et celle du sol, ainsi que l'humidité de l’air, en dépendent. Toute modification dans l'intensité de ce rayonnement sera donc nécessairement accompagnée d'un changement dans les deux der- niers facteurs atmosphériques. Si done le but principal de la culture du tabac à l'ombre est de tempérer la lumière solaire par l’interposition d'un écran en toile, on peut pourtant s'attendre à priori à ce que cette modifi- cation dans la méthode de culture entraîne encore d’autres chan- gements dans les conditions atmosphériques. Je passe maintenant à la description de l’installation des divers instruments météorologiques. J'ai effectué en tout six espèces de déterminations, savoir: Durée de l'insolation ; Températures maxima et minima; Quantité de pluie; Température du sol; Température de l'air; Humidité relative de lair. Durée de l’insolation. La durée de l’action de la lumière solaire a été déterminée à l'aide d'un petit appareil !), formé de deux boîtes plates en cuivre ou en zinc, dont l’une est tournée vers Vest et est destinée à l'observation depuis le lever du soleil jusqu'à midi, l’autre vers l’ouest pour enregistrer la durée de l’insolation après midi. Au milieu d'une cloison plate, contenue dans chaque boîte, il y a une petite fente, par laquelle pénètre un faisceau de rayons solaires, qui agissent sur du papier sensible placé à l’intérieur des boîtes et y laissent une impression conforme à l’image de la fente. À mesure que le soleil poursuit sa route sur la voùte céleste, l'impression se propage suivant la paroi cylindrique interne de la boîte, et l'on obtient ainsi sur le papier photographique une bande bleu foncé, qui est interrompue chaque fois que, pour 1) Voir Hunger: Hen opmerking over zonneschijn-waarnemingen. Teysmannia, 1902, 13° jaargang, Dl. XIII, afl. 8/9, pag. 401 — 405. DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 233 l’une ou l’autre raison, l'intensité des rayons solaires est trop faible pour produire une impression. Un tel appareil enregistreur du rayonnement solaire a été installé librement à une certaine hauteur au-dessus du sol, aussi bien sous la tente qu’à lair libre. Il est évident que le petit appareil que je viens de décrire ne permet de déterminer que la durée de l'éclat du soleil; mais la différence entre les impressions obtenues sous la tente et à lair libre permettait cependant de se faire une idée au sujet de l'intensité de la lumière solaire, pendant le même temps, dans les deux expériences; en ce sens qu’une moindre longueur de lim- pression sous la tente, en comparaison de celle obtenue à lair libre, devait être attribuée à la couverture de toile. Dans les tableaux suivants on trouvera la durée quotidienne de l’action de la lumière solaire, telle qu’elle a été enregistrée séparement dans les deux expériences; on y voit que pour la durée entière des épreuves l'appareil placé sous la tente a noté 130% heures d’insolation de moins que dans l'expérience de contrôle. Sous la tente la durée totale de l’insolation était de 322 heures 25 minutes, tandis qu’elle était de 452 heures 55 minutes à lair libre, soit une différence de 16, 8% entre les durées d’insolation enregistrées dans l'épreuve à découvert et l'épreuve à l'ombre Dans l'expérience à couvert le soleil avait lui en moyenne 4 heures 28 minutes par jour, et 6 heures 6 min dans expérience de contrôle, ce qui fait une différence d'en moyenne | h. 6 min. en faveur de l’expérience de contrôle Voici comment était distribuée l'insolation pendant les 40 premiers jours (avril—mai) et pendant les 40 derniers (juin— juillet) : 23 EXPERIENCE DE CULTURE à L'OMBRE FAITE AVEC Aperçu de la durée moyenne du rayonnement solaire en h. et m. Expérience de contrôle. Avant-midi. Après-midi. Total p.40 j. | Avant-midi. Après-midi. | Total p. 40 j. h. m. h. m. h. m. Jh: m. h. m. h. m. Avril—mai 76 5 19 40 155 45 ‚106 5 | 113 | — | 219 | 5 Juin—juillet | 75 | 30 | 91 10 | 166 40 || 107 | 25 | 126 | 25 233 | 50 Total 151 | 35 | 170 | 50 (322 | 85 | 213 | 30 | 239 25 452 55 La différence de durée du rayonnement solaire entre les heures de la matinée et celles de la soirée était d’environ 6%, pour l'expérience à l'ombre aussi bien que pour celle à l'air libre; c.-à-d. que dans les deux expériences on enregistra environ 6% d'insolation en plus dans l'après-midi que dans la matinée. Pour de plus amples détails je renvoie au tableau 1 à la fin de ce travail. Chute de pluie '). Sous la tente et à l'air libre j'ai établi une même espèce de pluviomètre, et j'ai déterminé en mm. la quan- tité de pluie tombée. En principe la pluie ne saurait être uniformément distribuée sous une tente dont les mailles ont quelques mm. de grandeur: l'eau se rassemble en quelques endroits de la tente, d’où elle découle ensuite en filets. De plus, quand l'averse est accompagnée de vent, le courant d’air glisse sur la tente et par là il tombe dans la tente moins de pluie que sur un champ librement exposé. Enfin une petite partie des eaux pluviales doit être absorbée par la toile à tentes et restituée ensuite A l'air par évaporation Les tableaux spéciaux se rapportant à la chute de pluie prou- 1) En 1902 j'ai donné un aperçu général de la chute de pluies à Déli. Voir HuNGER: Statistiek over den regenval van de tabaks-ondernemingen ter Suma- tra’s Oostkust; Mededeelingen uit ’s Lands Plantentuin, n°. LXIX. DU TABAC DE DELI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 235 vent que la différence entre les quantités de pluie recueillies sous la tente et au-dehors n’est pas importante Sous la tente on nota en tout 344,5 mm. et à l'extérieur 388,3 mm.; il tomba done en moyenne par jour de pluie (il y en eut en tout 23) dans l'expérience à l'ombre : 14,95 mm., de contrôle : 16,88 „ ; hd ” ce qui fait une différence moyenne de 1,90 mm. par jour de pluie. Pour d'autres détails voir le tableau 2 ci-après. Pour les deux observations météorologiques précédentes, il était indispensable que les instruments fussent installés en toute liberté, une condition qui fut d'ailleurs satisfaite. Il en était autrement pour les observations de température, car, dans l’installation des thermomètres, on devait faire en sorte d'éviter autant que possible toute source de rayonnement. Pour les garantir contre l’ardeur directe du soleil, on a construit une petite toiture d’atap fort légère, et c'est à l'ombre de cette couverture que les thermomètres furent placés. Au centre de l'espace couvert par cette toiture étaient placés deux pieux; à l’un d’eux étaient suspendus un thermomètre see et un thermo- mètre humide (psychromètre d'AuGusr), à l’autre un thermomètre à maxima ef minima. Ces deux instruments étaient librement suspendus dans l'air, chacun à une distance de 5 em. de son support et à six pieds du sol, pour ne pas recevoir de radiations indirectes. Le thermomètre pour l'observation de la température du terrain était enfoncé de 30 em. dans le sol et protégé contre les rayons directs du soleil par un couverture en bois speciale. Comme la dernière observation avait lieu l’après-midi à 5 h. au lieu de 6 h, le caleul des moyennes quotidiennes devait subir une légère modification. Nommons a l’observation faite à 6 h., b ” ” ” 9 ”» > c i‘ RE LEE d pA I e ” ” ” 3 » ? et if ” ” ” 5 a * Admettant que l'abaissement de température de 5 à 6 h. con- 236 EXPÉRIENCE DE CULTURE A L'OMBRE FAITE AVEC tinue suivant la même ligne que de 3 à 5, ce qui fut pour ainsi dire toujours le cas, je représente par g une observation fictive à 6 h Je trouve alors pour g la valeur f— 3 (e— f) = id Dans ces conditions on a, avec grande approximation, comme température moyenne de 6 à 9: !2 (a +b) 9 5 lls te (Ger) LAS (den) l'E ENTER) 3 „ 6: (e + kf— ee). La moyenne des observations de la journeé (6 h. a. m. — 6 h. p. m.) ” ” ” est donc: We 30 (a + b) + (b+ c) + (e +d) + (d + e) +*h(e + 4/2 f — 26) — 1/9, {3a + 8b + 2b + 2e + 2c + 2d + 2d + 2e + he + Pa fi — 1/48 |6a + 10b + 8c + 8d + Te + Of}. C'est de cette manière que j'ai calculé dans les tableaux sui- vants la température de l'air, la température du sol et l'humidité relative de lair. Température de l'air. La température de l'air a été lue sur le thermomètre sec. A l'exception de l'observation à 1 h, la tem- pérature moyenne aux diverses heures de la journée était toujours, dans l'après-midi, plus éleveé sous la tente qu’à l’extérieur, ainsi qu'on le reconnaît au tableau suivant: Aperçu de la température moyenne de l’air en °C. Tare Expérience à couvert. Expérience de contrôle. reti TEEN | ae BS ‘FE ite Lobservalion. || Avril—mai. | Juin—juillet. Avril—mai. Juin—juillet. | | | 6h | 29,69 99,74 21,80 21,70 9 28,94 28,14 98,18 27,29 11 31,48 30,73 31,21 30,51 1 32,60 31,82 32,75 32,14 3 31,81 31,60 31,30 31,12 5h 29,82 29,70 28,64 28,19 Moyennetotale 99,77 | 99,33 29,19 28,65 Il résulte de la que la température moyenne aux diverses heu- res de la journée était, — pour l'épreuve à l'ombre aussi bien DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. Dal que pour l'épreuve de contrôle —, plus éleveé pendant les 40 pre- miers jours (avril—mai) que pendant les 40 derniers (juin—juillet), à l'exception toutefois de l'observation à 6 h. à l'ombre, qui était plus basse en moyenne dans la période avril-mai que dans la période juin—juillet. Durant toute l’expérience la température moyenne de la journée était toujours plus élevée dans l'épreuve à couvert que dans l'épreuve de contrôle (voir tableau 3). Dans l'expérience à couvert la température de l'air était géné- ralement plus uniforme, parce qu'on n'y observait pas, comme à l'air libre, une chaleur aussi excessive ni un refroidissement aussi subit et rapide. Etat hygrométrique de l'air. L'humidité relative de l'air à diverses heures du jour a été déterminée par la différence entre les ther- momètres sec et humide à l'instant de l'observation. Les valeurs ont été calculées d’après une table, appropriée spécialement à tous les cas qui peuvent se présenter dans un climat tropical maritime, comme celui de Déli '). Ainsi qu'on pouvait s'y attendre a priori, on constata que l'état de saturation de l'air par la vapeur d'eau était toujours plus élevé sous la tente qu'à l'air libre; c'est ce qui est rendu clair par le tableau suivant: Aperçu de l’humidite relative moyenne de l'air en %. | | Instant de Experience ä couvert. Expérience de contrôle. l'observation Avril—mai. | Juin—juillet. || Avril—mai. | Juin—juillet. | | | 6h | 99,00 | 99,00 97,85 98,00 9 | 82,93 | 86,48 76,38 | 82,18 11 69,30 | 75,40 63,70 | 71,05 1 62,20 68,88 57,48 64,50 : | 67,00 72,05 61,45 | 67,68 Do 11,28 82,88 72,68 | 78,55 | = ae | ees Et — Moyenne totale 75,76 | 80,49 70,92 | 76,55 1) Cette table fut dressée par M. le Dr. Momr; elle appartient à son article: „Over de relatieve vochtigheid der lucht en hare beteekenis voor de tabakscul- tuur”, publié dans les Korte berichten uit ’s Lands Plantentuin, Teysmannia 1900, DI. XI, afl. 10. ARCHIVES X. 33 938 EXPÉRIENCE DE CULTURE A L'OMBRE FAITE AVEC La différence des moyennes totales est de 5% au moins pour les 40 premiers jours (avril-mai) et presque de 4% pour les 40 derniers; elle est en faveur de l’humidité relative de l'air sous la tente. Dans l'expérience à couvert les moyennes de chaque jour étaient toujours plus élevées que dans l'expérience de contrôle (voir à ce sujet le tableau 4). Températures max. et min. Le petit tableau suivant donne un aperçu des moyennes des températures les plus élevées atteintes pendant la journée et des plus basses atteintes pendant la nuit, pour les deux expériences de culture. Aperçu des moyennes des temp. max. et min. en °C. | Température maxima. || Température minima. || Avril—mai. | Juin—juillet. | Avril—mai. | Juin—-juillet. Epreuve à l'ombre 33,30 | 32,48 | 2293 99,99 Epreuve de contrôle 34,68 33,15 || 20,89 21,19 De ce tableau aussi ressort l’uniformité plus grande de la tem- pérature dans l'expérience à l'ombre, puisque les températures extrêmes, aussi bien les plus élevées que les plus basses, ont été observées dans l'expérience de contrôle. Nous voyons en outre que, durant les 40 premiers jours (juin- juillet), la température maxima s’est abaissée en moyenne, dans les deux expériences, de presque 1° C., tandis que dans la même période la température minima a subi en moyenne une faible augmentation. Si nous comptons le nombre des jours pendant lesquels, durant toute la durée des épreuves (avril-juillet), la température minima 90 était comprise entre 19°,5 et 23°,5 C., nous trouvons ce qui suit: DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA, 239 | Nombre de jours. SC: | | Expérience à couvert, Expérience de contrôle. 19,5 u 2 20,0 | — 12 20,5 || — 13 21,0 | 3 21 21,5 | 13 16 22,0 | 28 14 29,5 | 16 2 23,0 | 16 — 23,9 | 4 = Nombre total | 80 | 80 des jours || On voit par là que dans l’experience à l'ombre il n'y eut que 16 jours où la température minima de la nuit s’abaissa au-dessous de 22° C., tandis que dans l'expérience de contrôle il n'y en eut que 16 où tel ne fut pas le cas. Or, pour que durant la nuit la fécule soit complètement enlevée aux feuilles, la température nocturne minima ne peut pas être inférieure à 22° ©. (voir Hunger: Physiologische onderzoekingen over Deli-Tabak, pp. 58 et 59). Pour les températures maxima comprises entre 30° et 36,5° C., le nombre des jours, dans les deux expériences, était comme suit: | Nombre de jours. Oo CE | = = = ii || Expérience à couvert. Expérience de contrôle. 30,0 | 1 | — 30,5 | 4 = 31,0 | 4 2 31,9 | 3 9 32,0 15 | 4 32,5 13 | 3 33,0 12 9 33,5 | 8 11 34,0 5 | 13 34,5 | 4 | 5 35,0 9 | 12 39,9 9 | 5 36,0 | = | 4 36,5 | = | 10 | Nombre total 80 | 80 des jours 240 EXPÉRIENCE DE CULTURE à L’OMBRE FAITE AVEC Dans mes recherches antérieures, déjà citées, j'ai établi qu’à Déli une température maxima de 35° C. faisait presque toujours que les feuilles de tabac se fanaient (1. e. p. 44). Or, cette tempé- rature maxima fut atteinte 12 fois dans l'expérience de contrôle et dépassée même 19 fois; par contre, elle ne fut observée que 9 fois dans l'expérience à l'ombre et deux fois seulement elle fut dépassée d'un demi-degré Mais même alors les plantes cultivées sous tente ne se fanaient pas, ce qui doit probablement être attribué à la plus forte humidité relative de l'air sous la tente. Pour les températures maxima et minima aux diverses journées dans les deux expériences, on consultera le tableau 5. Température du sol. La constitution physique du sol des deux terrains d'expérience, — il consistait en un terreau noir — était favorable à une égalisation aisée de la température. Ainsi qu'il résulte des observations séparées, effectuées simultanément (voir tableau 6), la température du sol se mettait facilement d’accord avec les oscillations de la température de l'air. Une température élevée du sol est favorable e. a. au transport d’eau dans la plante, et à ce point de vue elle a une bonne influence sur l'assimilation de la plante. A lair libre la température du sol était toujours plus élevée que dans l’expérience à couvert, ce qui s'explique en partie par l'exposition du terrain découvert aux rayons directs du soleil, et tient pour une autre partie à l’humidité relative plus élevée de lair sous la tente, qui empêchait le sol de se dessécher. Aperçu de la température moyenne du sol en °C. Expérience à couvert. Expérience de contrôle. Instant de Eet | de. RENE : l'observation. ee i | A ot x 3 s se" Avril—mai. | Juin—juillet. Avril—mai. | Juin—juillet. | — —— 6h 28,08 | 27,55 28,72 | 28,22 9 28,04 27,50 28,64 28,06 12 28,09 | 25 28,66 28,10 98,24 | 927,62 28,82 28,28 3 Dar |. 9774 29,11 | 28,54 5h 28,53 27,89 29,33 | 28,55 Moyenne totale 28,20 27,65 28,91 28,34 DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 241 Dans l'expérience à couvert aussi bien que dans l’expérience de contrôle, la moyenne des températures du sol à diverses heures de la journée était plus basse dans les 40 derniers jours (juin-juillet) que dans les 40 premiers (avril-mai). En résumé, voici ce qu'ont fourni les observations météorologi- ques dans les deux expériences : 1. La durée du rayonnement solaire était moindre dans l’expé- rience à l'ombre que dans l’expérience de contrôle. ; 2. La température moyenne de l'air pendant le journée était plus élevée dans l’expérience à l'ombre que dans l'expérience de contrôle. 3. La température maxima de la journée était plus basse dans l'expérience à l'ombre que dans l’expérience de contrôle. 4. La température minima de la nuit était plus élevée dans l’ex- périence à l'ombre que dans l'expérience de contrôle. 5. La température du sol était toujours plus basse dans l’expé- rience à l'ombre que dans l'expérience de contrôle. 6. Le degré d'humidité relatif de l’air était plus élevé dans l’ex- périence à l'ombre que dans l'expérience de contrôle. 7. La quantité de pluie tombée sur le terrain à l’ombre n'était pas considérablement moindre que sur le terrain de contrôle. ConerLusIoN. La couverture de toile à tente constitue sans con- tredit un avantage physiologique pour la plante cultivée sous elle, parce que dans ces circonstances les conditions extérieures sont plus favorables aux divers processus vitaux de la plante à tabac que dans la culture normale sur terrain découvert. VIE La culture à l’ombre comme mesure prophylactique contre la maladie de la nielle (panachure en mosaïque) chez le tabac. C'est à M. Srurais que revient l'honneur d'avoir fait les pre- mières expériences à ce sujet. Dans son beau mémoire sur: „Calico of tobacco’, dans le 22" Annual Report of the Connecticut Agricultural Experiment Station 242 EXPERIENCE DE CULTURE 4 L’OMBRE FAITE AVEC for 1898 1), il écrit, à la page 252: „There is a vague impression, „hardly amounting to a theory, on the part of many growers of „tobacco, that the attacks of calico are not so severe in places „where the plants are in a measure shaded by trees, as where they are fully exposed ” Il me semble qu'il n’est pas sans intérêt de reproduire ici tex- tuellement quelle idée M. Srurais se fait de la panachure en mosaïque: „It seems probable that the (calico ?)) - disease is „purely a physiological one, caused primarily by sudden changes „of atmospherie conditions which disturb the normal balance „between evaporation of water from the leaves and its absorption „by its roots, and secondarily by soilconditions which prevent „the speedy restoration of that balance” (Ll. c. pag. 253. Se basant sur l'expérience acquise (première citation) et sur sa manière de voir personnelle (deuxième citation), M. SrurGis pro- pose, comme moyen préventif contre la maladie de la nielle, ,the „protection of the plants, at critical seasons, from a sudden access „of sunshine”, (le. p. 253). Pour atteindre ce but, M. SrurGis propose une méthode opéra- toire comme celle qu’appliquent les planteurs de la Floride, pour obtenir de fines feuilles préservantes, et qui consiste à couvrir le terrain d’une couverture en ,cheese-cloth.”’ Au commencement ce n’était qu'une solution théorique donnée à la question, car à cette époque M. SrurGis n'avait fait encore aucune expérience dans cette direction. L'année suivante, c. à. d. en 1899, M. Srurars fit la première expérience de culture à l'ombre comme méthode prophylactique contre la maladie de la nielle; elle fut combinée avec une autre expérience, faite en même temps, sur amendement des terres par la chaux, ,which will render the soil more porous and more per- meable for heat” (l.c. p. 253). L'expérience eut lieu sur deux champs de même étendue, dont l’un fut recouvert de toile à tentes, tandis que l’autre resta décou- vert. Chacun de ces champs d’experimentation fut subdivisé en quatre champs égaux, qui reçurent respectivement: I. 300 livres, 1) Voir Part III, pp. 242 à 260. *) En Amérique la panachure en mosaique s'appelle „calico-” ou „frenching- disease” dans les états du Nord et „brindle” ou „mongrel disease” dans les états du Sud. ’ DU TABAC DE DELI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA, 243 II. 500 livres, III. 1000 livres, IV. 2000 livres de chaux par acre. Voici les résultats: Nombre de plantes alteintes de Quantité de chaux p. acre nielle en °/ en livres. B R = x : | Terrain couvert. Terrain découvert, Champ I | 300 | 5 10 noi 500 | 2% 17% ANT 1000 | 3% | 0 ary 2000 | | 0 | 0 I à | Total | 10 97% juin 1904) que j’ai rempli u Dans les cinq années (juillet 1899 les fonctions de botaniste à l'établissement pour l’examen du tabac de Déli (8° section du département d'agriculture des Indes Néer- landaises), je me suis occupé surtout de la maladie de la nielle; il est donc tout naturel que, dans mon expériences de culture à l'ombre, je n'ai pas manqué d'examiner quels résultats cette méthode de culture a fourni au point de vue de la prophylaxie de la nielle chez le tabac de Déli. Comme les opérations de la récolte et de l’enlèvement des têtes des plantes semblent favoriser apparition de la maladie, l'influence de la couverture devait être étudiée avant le commencement de la récolte. Le ler juin, deux jours avant que l’on cueillit les premières feuilles de terre, on compta les plantes malades, aussi bien dans l'expérience à l'ombre que dans l'expérience de contrôle, et on constata que dans la première des deux expériences 8 % des plantes étaient atteintes de la maladie, tandis que dans l’autre 44 % des exemplaires présentaient déjà la panachure. La différence de pourcentage de 36 %, en faveur de la culture sous tente, doit être attribuée, dans ces expériences d’ailleurs iden- tiques, à la seule influence de la couverture de toile. Dans la suite la maladie de la nielle fit des progrès rapides 4 l'air libre, au point que, quand la récolte des feuilles de terre avait pris fin, il ne resta pour ainsi dire aucune plante de l'expérience de contrôle qui n’en fût atteinte. Par contre, sous la tente le mal ne s'aggrava que lentement, et resta un facteur secondaire jusqu’à la fin de l'épreuve. 244 EXPÉRIENCE DE CULTURE à I/0MBRE FAITE AVEC Ce résultat est done une preuve éclatante de l'exactitude de la manière de voir de M. Srurars; il la confirme avec plus de force encore que ses propres expériences; je tiens donc pour péremp- toirement démontré que de pareilles cultures à l’ombre, sous une couverture de toile à tentes, constituent un moyen préventif contre apparition de la panachure en mosaïque chez le tabac. On pouvait d'ailleurs s'y attendre a priori; il suffit de se placer au bon point de vue pour juger de l’&tiologie de la panachure en mosaïque !). J'ai décrit dans une publication récente ?) les objections que l’on peut faire, à mon avis, contre les diverses théories que l’on a proposées pour expliquer cette maladie: „An erster Stelle herrscht die Ansicht, dass die Mosaikkrankheit „durch eine belebte Substanz, z. B. durch Mikro-organismen her- „vorgerufen werde. Hinsichtlich der Bakteriellen Deutung sind „die Angaben meistenteils höchst unvollständig, mit Ausnahme „der letzten Abhandlung von Zwanowski '), in der eine spezifische „Bakterie mit der Mosaikkrankheit in Zusammenhang gebracht „wird und zugleich Anweisungen für die Züchtung dieser Mikrobe „gegeben werden. „Durch meinen Kontroll-Versuch konnte ich aber nachweisen „(Le pag. 264), dass die vermeintliche Mosaikkrankheitbakterie „von Iwanowski ebenso wie deren Zoogloén durch Behandlung „mit Phenolchlorathydrat aus den Zellen verschwand, während „die übrige Zellstruktur unverändert blieb. Diese Eigenschaft der „Löslichkeit ist ein wichtiges Argument gegen die bakterielle „Natur dieser Körperchen. „Die Forscher, welche die Mosaikkrankheit einer bis jetzt mor- „phologisch unbekannten und nicht kultivierbaren Mikrobe zuschrei- „ben, vertreten eine blosse Hypothese, welche erst einer näheren „Bestätigung bedarf. Hieraus folgere ich: es ist noch unerwiesen, „dass die Mosaikkrankheit durch einen Mikroorganismus verur- „sacht wird. „Gegen Beyerinck’s Theorie ist einzuwenden, dass von den cha- „rakterisierenden Eigenschaften seines Contagiums das: „prineipi- 1) Hun&er. Neue Theorie zur Aetiologie der Mosaikkrankheit des Tabaks. Berichte der Deutschen Botanischen Gesellschaft, 1905, Bd. XXIII, Heft 8, pag. 415 —418. *) HUNGER. Untersuchungen und Betrachtungen über die Mosaikkrankheit der Tabakspflanze. Zeitschrift für Pflanzenkrankheiten, 1905, Bd. XV, Heft 5, pag. 257—312. (On y trouve la bibliographie complète relative à se sujet). DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA. 245 „um vivum” nicht genügend nachgewiesen ist, während das: „prin- „eipium fluidum von Iwanowski widerlegt wurde. Solange also der „Beweis nicht geliefert ist, dass die Mosaikkrankheit, sei es durch „einen Mikroorganismus oder durch ein Contagium vivum fluidum „verursacht wird, besteht kein Grund, das Virus der Mosaikkrank- „heit von vornherein als eine belebte Substanz zu betrachten. „Zweitens herrscht die Ansicht, dass die Mosaikkrankheit ver- „ursacht werde durch eine unbelebte Substanz, u.a durch oxy- „dierende Enzyme, laut der Woops-Heinrzer'schen Theorie. Die „Uebertragbarkeit ad infinitum der Mosaikkrankheit ist aber nicht „mit der Wirkung oxydierender Enzyme in Einklang zu bringen. „Auch meiner Ansicht nach besteht das Virus der Mosaikkrank- „heit aus einer unbelebten Substanz; wie ich mir aber ihre Wir- „kung vorstelle, gehört sie nicht in die Zymophoren-, sondern „in die Toxophoren-Gruppe (nach OPPENHEIMER).” D’après mes recherches sur la côte orientale de Sumatra, la maladie de la nielle est un trouble de l’assimilation, qui peut se présenter d’une façon autonome, mais qui peut aussi être trans- mis artificiellement. Je considère le virus de la panachure en mosaïque comme une phyto-toxine, que les processus vitaux produisent continuellement dans les cellules de la plante ä tabac, mais qui normalement est sans effet; par contre, quand les phénomènes assimilatoires sont trop intenses, elle s’accumule et produit alors des troubles comme la panachure en mosaïque. Cette maladie serait donc, d’après cette manière de voir, un écart négatif dans les phénomènes vitaux de la plante normale. L'apparition spontanée de la maladie chez le tabac de Déli est une question de prédisposition individuelle pour ce panachage normal des feuilles, une prédisposition que cette race particulière de tabac a acquise, dans le cours des années, à un degré aussi fort, par la sélection continuelle d'individus dont les organes foliaires possédaient la plus grande valeur commerciale. Mais l’amélioration continuelle du degré de finesse de la feuille a été obtenue ici aux dépens du pouvoir général de résistance, au point que le tabac de Déli actuel n’est trop souvent plus en état de suivre le cours normal de sa vie, parce que les propriétés indi- viduelles de la plante sont tellement affaiblies, que très souvent les circonstances extérieures agissent comme des excitants trop forts. ARCHIVES X. 34 246 EXPÉRIENCE DE CULTURE À WOMBRE FAITE AVEC Un pareil état de surexcitation, où l’intensité des processus vitaux est poussée au paroxysme, constitue le moment étiologique de la maladie de la nielle. Divers facteurs peuvent avoir une influence secondaire sur l’ap- pariton de la maladie; ainsi par exemple, dans le traitement de la plante à tabac on a constaté que l'opération du repiquage !) fa- vorise incontestablement l'apparition de la maladie de la pana- chure. Des expériences spéciales ont également prouvé, que la recherche des chenilles e.a. est une opération qui, quand elle est pratiquée par des personnes peu exercées ou myopes, peut avoir une grande influence sur la propagation de la maladie. ?) La nature du sol peut aussi jouer un rôle important dans l’appa- rition de la maladie de la panachure à Déli, et les expériences que j'ai faites à ce sujet m'ont appris, qu’à la côte orientale de Sumatra ce sont les terrains qui fournissent la feuille de tabac la plus précieuse qui portent le plus grand nombre de plantes malades. A mesure que diminue la qualité du produit, liée à un terrain déterminé, la maladie de la nielle diminue d’importance; chez la feuille de Déli de moindre qualité, cultivée sur paja *), cette maladie redoutée est pour ainsi dire inconnue, En troisième lieu, — et ce n’est pas là le facteur le moins important —, les conditions météorologiques pendant la récolte du tabac ont sur la proportion des plantes malades une influence qui ne saurait être méconnue, L'influence n’est pas la conséquence directe d’un de ces états atmosphériques, mais l’effet indirect de ces états sur l'allure des divers processus vitaux de la plante. Un entourage qui est favorable à la vie de la plante à tabac, parce que luniformité des conditions atmosphériques permet que 1) HUNGER. Invloed van het verspenen van tabaksbibit. Korte berichten uit ’s Lands Plantentuin, Teysmannia, 1904, Dl. XV, afl. i, pag. 58 — 64. 2) HUNGER: On the spreading of the Mosaic-disease (Calico) on a tobaccofield. Bulletin de l’Institut Botanique de Buitenzorg, 1903, N°. XVII. pp. 10—16. 2) du même: Het rupsen zoeken bij de tabak in verband met het later optre- den der mozaiekziekte. Korte berichten uit ’s Lands Plantentuin, Teysmannia, 1903, Dl. XIV, afl. 12, pag. 632—638. 5) du même: Die Verbreitung der Mosaikkrankheit infolge der Behandlung des Tabaks. Centralbl. f. Bakt. u.s. w., IIe Abth., 1904, Bd. XI, n°. 12/13, pp. 405 à 408. 3) Paja est une espèce de terre tourbeuse à Déli; elle est très poreuse et a une très grande capacité pour l’eau. DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA, 247 le processus de l’assimilation s'effectue sans trouble, tant au point de vue de la formation de fécule qu’au point de vue de son trans- port; où la transpiration a lieu d’une manière si avantageuse, que les parties aériennes de la plante ne se fanent jamais, ce qui causerait un arrêt dans les phénomènes vitaux; un pareil entou- rage est évidemment l'idéal pour prévenir une surexcitation de l'intensité de la vie. Or une tente à ombre, couverte de „cheese-cloth”, où, d’après les observations physiologiques que j'ai communiquées au chapitre précédent, l'atmosphère est telle qu'elle permet à tous les processus vitaux de s’effectuer sans trouble, une telle tente réalise une pa- reille couveuse physiologique Dans une pareille enceinte les troubles vitaux par suite d’„über- maximale Reizung sont exclus; de cette façon la métastabilité latente de la plante à tabac de Déli, saine en apparence, ne sera pas troublée, et par suite la substance stimulante ne se formera pas. De cette manière s'explique clairement l’eftet prophylactique de la culture à l'ombre pour la maladie de la nielle. VIER Considérations finales. A la fin de ce travail sur la culture à l'ombre du tabac de Déli, où jai décrit dans tous ses détails une expérience de cul- ture qui a été faite suivant la nouvelle méthode à la côte orien- tale de Sumatra, une étude plus générale de cette question, en rapport avec la culture toute entière du tabac à Sumatra, ne serait pas déplacée. Et d’abord se pose la question de savoir quel avenir est réservé à la culture à l'ombre du tabac à Déli. Mais je n’oserais pas trancher définitivement cette question, sur la foi des résultats fournis par une seule expérience, et je me contenterai pour le moment de relever le pour et le contre. Dans l’Indische Mercuur du 17 février 1903 !) on peut lire un article portant le titre: „Zou aan inferieur Deli-dekblad door cul- 1) 26° année, n°. 7, p. 111. 34* 948 EXPÉRIENCE DE CULTURE À L’OMBRE FAITE AVEC tuur onder schaduw iets te verbeteren zijn?” (Une feuille préser- vante de Déli de qualité inférieure peut-elle étre améliorée par une culture à l’ombre), ce qui inclut done l’examen d’une pareille question Après une longue dissertation, pour laquelle je renvoie à l’ori- ginal, l’auteur arrive à la conclusion suivante, que je traduis textuellement: „Revenant en somme à mon point de départ, je crois avoir suf- „fisamment prouvé dans ce qui précède, qu'à la question posée „comme titre on peut répondre formellement par l’affirmative.” Ainsi que je viens de le dire, je désire m’abstenir d'émettre définitivement un avis, mais je crois devoir mettre mes lecteurs en garde contre un encouragement aussi catégorique de la culture à l'ombre à la côte orientale de Sumatra. L'article que je viens de citer n’est autre chose qu'un examen théorique de la question, qui n’est fondé sur aucune expérience pratique Dans la formation de son jugement sur cette méthode modifiée de culture, l’auteur n’avait done pas pu tenir compte de deux facteurs fondamentaux, savoir: 1. La connaissance des frais éventuels qu’exigerait une pareille culture à l'ombre a Déli. 2. La connaissance des résultats fournis par le tabac de Déli, comme produit de culture à l’ombre, au point de vue de sa qualité. Par l’expérience que j'ai faite à Déli même en 1903 je suis en mesure, en tout premier lieu, de donner une réponse sur ces deux points; mais en même temps de mieux juger, en son ensemble, de la question du rendement d’une culture à l'ombre du tabac de Sumatra. Au sujet du dernier point, notamment des résultats que l’on peut attendre au point de vue de la qualité du tabac de Déli, on a vu que la plante à tabac de Déli se laisse parfaitement cultiver sous tente. Si plus d'un planteur à Déli se montrait sceptique à ce sujet, avant mon expérience, parce qu'il craignait que la feuille de Déli, déjà d’une grande finesse, ne devint membraneuse („vliezig’”) par la culture à couvert, et ne perdit en même temps l’élasticité qui lui est propre, les résultats de mon expérience ont suffisamment prouvé le contraire; l'avis très favorable émis par les courtiers donne là-dessus la meilleure garantie. DU TABAC DE DÉLI SUR LA CÔTE ORIENTALE DE SUMATRA 249 On a vu en outre que la culture à couvert s’est montrée excel- lente pour abaisser le pourcentage des feuilles endommagées, par- ce que les insectes nuisibles sont arrêtés par la tente. Les saute- relles, pas plus que les papillons nocturnes, n’y peuvent pénétrer; ils n’ont donc pas l’occasion de déposer leurs oeufs sur les plantes, qui par là ont, dans la suite, peu à souffrir des chenilles. En outre il est prouvé, de la façon la plus convaincante, que l'apparition de la maladie de la nielle est notablement réduite par l’ombrage. Et maintenant l’autre point, savoir les dépenses qu’entraîne une pareille culture à couvert. C’est là un point qui présentera de grandes diftieultés, insur- montables même à mon avis dans le cas pour lequel l’auteur de l’article précité recommande particulièrement la culture à couvert, notamment „pour les terrains où la culture du tabac a été jusqu’à présent peu ou point lucrative ”’ Avec une installation moins coûteuse que dans mon expérience couvert de 1903, notamment en employant d’abord de la toile tentes en coton !) (fig. 8, p. 202), d’un prix beaucoup plus bas que le „cheese-eloth” en toile de lin, et en rendant en second lieu la carcasse en bois beaucoup moins solide, pour un rendement de 9 à 10 picols ?) de tabac par champ *), augmentation des frais par la culture à l’ombre aurait encore été de 60 à 70 cents par livre de tabac pesé. Un pareil surplus représenterait pour la plupart des plantations de tabac sur la côte orientale de Sumatra une augmentation des frais de production de 100%. S'il était à prévoir que le tabac cultivé sur des terres assez mauvaises augmenterait en valeur de f 1.— par livre par l’appli- cation de la culture à couvert, il y aurait évidemment lieu de tacher d'introduire à Déli cette nouvelle méthode de culture. Mais tel sera-t-il jamais le cas? Car, admettant qu’un pareil tabac, de qualité inférieure, prit une meilleure couleur et que sa feuille devint plus fine par la protection d'une couverture, on n’aurait pas encore atteint par là tous les désiderata. En effet, les propriétés à à 1) Pour les contrées tropicales une pareille étoffe serait même préférable par sa plus grande solidité. 2) 1 picol = 621], kg. 3) Un champ porte 15000 plantes de tabac. 250 EXPÉRIENCE DE CULTURE À WOMBRE FAITE AVEC qualitatives les plus caractéristiques sont celles de l’élasticité et de la combustibilité. Or, il me semble peu admissible pour le moment que ces deux dernières propriétés, qui sont surtout régies par la constitution chimique du sol, soient modifiées d’une manière avantageuse en recouvrant le terrain d une tente en „cheese-cloth.” L'auteur de l'article de l'Indische Mercuur, que j'ai cité tantôt, écrit e.a.: „Par là (ce. à d. par la couverture) ces terrains devien- dront appropriés, sans aucun doute, à toute espèce de culture” ; c’est là précisément un point dont je doute fort. La seule influence directe et favorable de la couverture sur le sol, que l’on puisse prévoir, doit être exclusivement cherchée, à mon avis, en ceci que sous la tente le sol est mieux protégé contre le dessèchement, et voilà tout! Aussi trouvera-t-on que les frais excessivement élevés seront une entrave à l'introduction d'une culture du tabac à l'ombre sur la côte orientale de Sumatra; les terrains qui fournissent déjà une excellente feuille préservante n’ont pas besoin du nouveau mode opératoire, puisque la feuille de tabac normale de ces terrains donne déjà de gros bénéfices avec des frais de production ordi- naires. Et pour les terrains peu convenables la culture à l'ombre reste une méthode fort risquée, dont il est impossible de garantir a priori des résultats favorables, vu la grandeur des frais d’exploi- tation. Aussi serait-ce une grande sottise que d'introduire un pareil changement à Déli, aussi longtemps que des expériences très nombreuses et très précises, dans cette contrée même, n’ont pas été effectuées. Et à ce propos ce que les planteurs américains ont appris à leurs dépens, par une trop grande hâte de réussir, engagera le planteur de Déli à être plus prudent, et lui fera songer au vieil adage: „Belle doctrine prend en luy, qui se chastie par autruy.” TABLEAU L Tuer ea, B | D AFS nun OG INSOLATION. to to RO RO tk D OUR & 19 to to Oo 1 = = IN SOUZA TION heures en ——— minutes TERRAIN COUVERT. Avant-midi. Apres-midi. heures. | min. heures. min. | 1 55 i 25 = | 55 En = = 30 9 20 9 55 3 45 — — 15 9 50 3 45 3 3) Î 5 — “= 9 30 9 45 1 50 2 55 1 30 1 — — 10 — 30 = 15 3 — 3 35 2 40 3 10 — 15 — 45 4 20 4 — — 55 — 35 5 — 95 2 10 2 25 ee = — 40 1 95 2 45 3 D — 50 3 39 2 — 9 55 2 10 = 15 1 — = 9 30 9 0) 3 95 2 — 3 10 3 55 3 > = = 10 = | 25 — 40 2 | 40 3 20 D ee 1 45 3 15 3 = 2 45 3 45 3 5 3 35 3 95 2 20 il 39 9 30 3 | 30 3 15 Total. | 40 | 16. NES 79 40 Total en 24 hear en en © heures. | mil |RT Am | AUS Nm SR | Premiere | are! o > mn DD 69 OD Sn INSOLATION heures minutes , TERRAIN DECOUVERT. D Avant-midi. Apres-midi. Total en 24 heures, Date. a = heures. min. heures. min. heures. min 22 2 30 2 ds | 4 30 93 1 30 — — 1 30 24 — 45 3 = 3 45 95 3 40 4 15 The 55 26 a =. en 30 — 30 97 3 30 4 15 7 45 28 4 —= 1 40 > 40 1 99 == ie 3 5 3 > 4 30 3 15 2 40 5 55 [ai. | 4 30 2 10 6 40 hr 2 1 15 = 40 1 55 8 3 u 50 = 30 1 20 3 4 4 25 5 — 9 25 B 5 3 40 4 15 7 55 " 6 == 40 1 30 2 10 A 7 5 5 4 45 9 50 A 8 1 40 — 55 2 35 ” 9 2 10 — 50 3 : 4 10 3 = 3 15 6 15 4 11 = = 1 25 1 25 ” 12 2 15 3 35 5 50 4 13 5 — 1 30 6 30 ” 14 4 15 3 > a 20 ” 15 4 — 3 45 a 45 h 16 er 50 2 10 3 N 4 17 = = 4 5 4 5 In 18 4 95 4 45 9 10 3 19 3 15 4 25 7 40 “ 20 5 — 4 15 9 15 5 21 — — — 45 == 45 à 29 1 10 2 | 5 3 15 5 23 3 55 Ke 45 8 10 5 94 2 5 2 | 95 4 30 ” 95 4 30 4 15 8 45 y 26 3 15 4 40 7 55 Le 97 4 — 4 - 30 8 30 3 98 4 40 3 30 8 10 + 29 2 20 4 15 6 35 pa 30 4 45 4 > 8 50 d 31 — = = — = INSOLATION heures minutes TERRAIN COUVERT. Après-midi. Total en 24 heure Avant-midi. 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Total en 24 heures. heures. min. min. heures. min. heures. 3 4 -- ri 15 = = == 3 >> 5 55 4 4 45 — — 4 45 5 = = 3 = B — 7 2 35 3 5 > 30 5 3 5 3 45 6 50 5 2 20 2 40 5 A = = 3 15 € 15 a 1 30 2 45 4 15 = 9 35 2 45 > 10 à 2 2 45 4 45 \ 2 35 3 20 5 55 4 1 45 3 15 5 — A 2 35 5 5 7 40 2 5 10 4 20 9 30 2 5 15 2 10 7 25 4 3 15 2 55 6 10 5 2 40 1 15 3 55 A 5 5 4. 40 9 45 3 5 10 N 20 9 30 = 2 45 4 30 7 15 = 22 4 5 50 4 55 = 23 2 5 = 25 5 30 5 24 = 30 3 50 4 20 5 25 — — 2 5 2 5 j 26 4 10 3 5 ci 15 9 27 D) 10 > — 7 10 : 28 2 = N 5 6 5 : 29 2 35 i 20 6 55 ie 30 4 5 2 10 6 15 llet. 1 4 50 4 55 9 45 à 9 2 — 1 30 3 30 R 3 | 20 1 45 : 5 4 4 2 55 3 > 55 = 5 3 — 4 35 zy 35 à 6 3 10 4 5 7 15 4 7 4 30 3 45 8 15 à 8 3 20 3 40 vg P 9 { 40 1 55 3 35 F 10 1 _ | = 40 1 40 ARCHIVES X. 36 PMALIS TABLEAU IL i 1 . __ QUANTITÉ DE PLUIE. QUANTIME DE PEUIE en mM. TERRAIN COUVERT. Avant-midi. Après-midi. Total en heures, x» Qt > 2,4 to to to to RO to to Dl 0 1,0 11,0 12,0 6,3 6,6 5 ‘ | 1,6 : 10 | 3 11 4 12 | 5 13 | HI 2, 14 23,4 | 9,6 33,0 à 15 6 16 10,4 | 10,4 N 17 8,0 | 8.0 al GO HE Go = < See) Eye) SP Re SS chk BETE me me 5 = en es bo € Ol DOF © Bm © © 0 9 — = a "11T OF me EE IO — ee) WO OU U to 19 19 19 to IS Go Ce] 30 w -_ QUANTITE DE PLUIE 8,8 25,8 11,6 ARCHIVES X. Avant-midi. en mM. TERRAIN DECOUVERT. Apres-midi. 3 h. 5 h. 10,8 Total en 24 heures. 3.2 13,9 6,8 7.4 1,8 8.2 36,6 11.6 8.8 QUANTITÉ DE PLUIE en mM. TERRAIN COUVERT. Apres-midi. rant-midi. Avant-midi Total en $ 6h. an MATE eens 3h. 5h. heures; Juin. 7 ” 5 6 11,3 11,3 ; fl = 8 4 9 3 10 0,5 12.3 12,8 | 4,1 4,1 5 20 2,3 2,3 3 21 - 22 en 93 5,9 5.2 ” 24 | A 95 8,0 4,0 12.0 = 26 = 21 | 3 28 30 0,6 0,6 OUANTITE DE PLUIE en mM. / TERRAIN DECOUVERT. 7 | Avant-midi. Après-midi. Total en 24 ois. ; ET 1” A | heures. 6 h. 9 h. 11 h. = 3 h. 5 h. in. 1 2 2,8 % 2 "4 3 2, " 4 ia 6 13,0 ” » 8 . 15,1 | 5,2 5.4 ” a ” 24,3 13,8 k 3,3 23 6,1 6.1 94 25 9,2 4,5 13,7 26 97 28 99 30 1,0 1,0 TABLEAU IIL TEMPERATURE DEST ATE. ARCHIVES X. TEMPERATURE DE L'AIR. (TERRAIN COUVERT). TEMPERATURE DE L'AIR. a IE: _ TERRAIN COUVERT. THERMOMETRE SHG: Date. | Avant: midi. Apr ès- midi. 6 h. 9 i 11553 ieh? 3 i | ocht oe bo w En Q de) 9 9 3 & t Nod 19 uz — er} 33,0 34,6 | 34,0 31,4 25,2 28,0 30,0 28,8 9 19 to to to 19 > OU BS 9 to IS tO LO = te IO Oo © 19 Os 3 to Ww O0 28 21,8 28,6 31,4 32,4 29,2 | 26,8 29 23,0 27,0 28,6 30,2 30,2 | 29.8 30 23,4 28,4 32.6 328 | 39,4 30,8 1 23,0 29,6 32,6 32,4 | 324 | 99,4 2 29,4 26,4 29,4 30,0 | 298 | 28,8 3 24,0 28,2 29,6 31,4 30,8 29,4 4 22,2 29,4 31,6 34,6 | 33,0 | 31,6 5 29,8 30,4 32,0 33.0, 1773168 30,0 6 22,9 27,2 28,8 31,8 | 31,0 30,4 22,0 30,4 33,2 34,4 | 33,6 30,8 8 22,4 30,6 31,8 32,0 | 31,4 29,8 9 22,2 29,8 | 32,0 314 | 282 26,0 10 22,0 30,6 | 32,2 32,4 | 31,6 29,8 Avril 32,8 | 330 | 33,6 | 310 2 DE 23, 2 33,6 | 33,8 | 328 | 30,2 x 6 | 27,8 | 29,4 | 322 | 326 | 30,8 , 27 22,0 | 30,2 | 340 | 346 | 338 | 31,6 ‘i 11 29,4 28.8 30,6 30,4 30,4 30,0 8 12 222 | 294 | 326 | 346 | 332 | 314 5 13 21,8 | 30,2 34,4 31,8 30,6 | 929,0 5 14 22,0 28,2 31,6 33,6 | 318 | 26,2 : 15 224 | 996 | 31,4 | 33,6 | 328 | 30,2 : 16 23,4 29,4 30,2 31,0 | 30,6 29,8 - 17 29,9 27,0 29,4 31,4 | 31,4 29,0 : 18 22,0 29,2 | 31,6 33.2 32,2 30,8 ; 19 23.2 29,6 32,6 34,2 33,0 31,4 2 20 23,6 31,0 33,2 34,4 | 33,0 30,2 : 21 23,2 28,2 31.0 32,8 31.8 29,8 ä 22 29,4 30,6 32,2 314 29,8 | 98,2 ; 23 29,8 30,2 31.6 35,4 | 338 | seg 5 24 23,8 28,6 32,4 33.6 | 32.8 28,4 = 25 23,8 | 99,8 31,2 33,2 | 32,8 30,2 5 26 29,4 29,0 32,4 32,6 | 326 31,8 A 27 23,0 29,2 31.8 32,6 | 31,6 29,2 > 28 23,9 29,0 | 32,4 33,0 | 31,6 30,0 A 29 22,8 26,4 | 30,8 32,0 | 31,8 29 4 5 30 22,4 | 994 | 32,4 | 340 | 328 | 304 31 230 | 26,0 | 29,4 | 30,0 | 29,8 | 28,8 Moyenne. | 4 [22.69 28,94 31,48 [32,60 31,81 29,82 TEMPERATURE DE L’AIR en «GC: TERRAIN COUVERT. THERMOMÈTRE HUMIDE. Avant-midi. Après-midi. 9 h. 27,0 97,6 97,6 97, u 23 29,8 26,8 27,8 28,0 27,2 27,0 À 24 29,6 26,0 26,4 25,8 26,4 27,2 4 25 23,0 97,8 97,8 27,6 26,8 26,8 4 26 23,0 23,4 24,6 26,2 26,6 26.6 4 27 29,0 27,4 28,6 28,6 29,0 28,2 4 28 21,6 26,2 27.6 26,8 28,0 26,2 3 29 29,8 26,0 26,2 26,6 97,6 26,4 À 30 93,2 26,2 97,4 27,0 979 26,8 Mai. 1 22,8 27,4 27,6 28,0 28,4 27,2 D 2 29,4 25,6 26,8 26,6 25,8 26,6 1 3 23,8 26,4 26,6 27,2 27,2 27,4 4 4 22,0 26,8 27,8 27,6 28,0 27,8 4 5 99.8 26,8 27,6 26,6 27,6 27,0 4 6 22,0 26,2 27,0 97,0 26,6 26,8 3 7 22,0 26,8 26,6 27,4 27,6 26,4 7, 8 22,2 27,8 26,0 26,6 26,6 26,8 2 9 22,0 28,4 26,6 26,8 27,0 25,0 4 10 21,8 26,6 26,6 27,4 | 270 26,0 » 11 29,4 27,6 97.0 26,8 26,4 26,8 4 12 22,0 26,8 27,2 27,0 27,2 28,0 = 13 21,8 27,0 28,0 29,0 28,6 27,4 4 14 22,0 26,8 27,8 27,8 28,0 25,6 4 15 29,4 27,6 28,0 28,8 28,8 27,4 4 16 23,0 28 0 27,8 27,0 26,2 27,2 7 17 22,2 26,0 27,8 27,2 26,6 26,8 D. 18 21,8 27,2 27.8 27,2 27,8 27,2 3 19 23,2 27,0 27,6 28,4 28,2 28,4 D, 20 23.6 98.2 27,8 27,4 27,6 27,0 LE. 21 23,0 26,6 27,8 28,4 28,0 27,2 D. 22 22,4 27,4 28,0 26,8 ‚270 | 26,0 A 23 22,6 27,4 26,4 28.2 29,0 | 28,2 Zz 24 23,8 27,6 28,8 28,8 98,8 | 27,2 4 25 23,6 27,4 27,4 27,2 28,4 28,0 À 26 29,4 27,6 28,4 27,6 28,2 28,8 ‚A 27 23,0 27,2 28,2 28,6 28,2 26,2 4 28 23,2 27,8 29,2 28,6 27,6 28,2 En 29 22,8 25,6 28,0 27,8 28.4 27,2 re 30 22,4 27,4 29,2 28,8 26,6 26,8 à 31 23,0 25,6 27,8 27,4 26,8 27,2 40 22,59 26,89 27,48 | 27,51 27,50 27,06 ARCHIVES x. 39 TEVIPERARURESDESEAIR en oC: TERRAIN COUVERT. | THERMOMETRE SEC, Mois. Date. Avant-midi. Après-midi. | Moye | én | oh. | th | in | 3h, | GAMEN Juin. 1 99,9 29,4 | 322 | 324 | 316 | 300 29, : 2 23,0 | 96,0 | 274 | 300 | 310 | 929,8 27, = 3 23,2 30,0 32,0 329 31,6 29,8 30 4 23,4 96,0 28,6 29,9 30,8 30,0 28 5 23,8 28,8 32.0 32,2 31,0 29,4 29 8 6 93,2 28,6 31,2 39,4 31.8 29,2 29 7 23,0 27,4 30,2 32,0 30,8 29,6 28 8 99,6 25,6 28,2 29,0 30,8 29,0 27 5 9 22,8 99,2 31,2 32,4 31,0 29,4 29 10 23,2 29,4 30,6 31,4 32,8 26,6 29 11 22,2 98,8 31,0 31,8 30,2 | 95,8 28 ô 12 23,6 | 30.2 31,4 32,2 31,8 30,0 30 5 13 22,8 30,0 31,6 31,0 30,4 30,0 2 14 23,0 | 27,0 29,8 30,2 29,8 28,2 2 15 29,4 28,4 31,0 32,2 31,8 30,2 2 2 16 21,4 | 99,0 | 31,0 39,9 31,67 12300 2 À 17 23,6 | 992 | 31,6 32,0 | 31,8 | 30,0 2 18 240 | 926,6 31,4 31,8 30,8 29,9 2 19 22,8 | 29,2 32,6 32,6 32,6 30,4 3 20 222 | 982 | 318 | 31,6 | 314 | 30,0 2 2 21 | 29,9 29,2 32,6 32,6 32,6 | 30,4 3 ” 29 29,4 29,0 31,6 31,8 32.0 | 30,0 2 5 93 | 93.9 28,0 30,4 32,0 31,6 29,8 2 x 24 23,6 | 27,6 27,6 30,8 31,6 30,4 2 2 95 29,6 25,0 27,8 29,6 30,2 29,0 2% > 26 228 | 99,4 31,0 31,4 31,8 30,0 2€ 2 97 29,6 28,8 30,8 32,8 32,4 30,6 2€ = 28 228 | 96,0 29,6 31,8 32,4 30,8 24 a 29 29,6 | 26,2 31,0 SIB || ehls 29,8 28 E 30 93,2 99,4 31,6 32,8 29,8 27,0 24 Juillet. 1 29,6 | 29,6 39,4 33,0 | 31,8 | 30,0 3 3 2 22,8 | 96,8 | 29,2 | 30,8 | 30,6 | 29,4 2 : 3 23,0 | 29,0 | 988 | 29,0 | 29,4 | 288 25 2 4 21,8 | 98,4 30,0 31.6 32,0 30,6 24 5 5 29,4 | 27,8 31,6 34,6 33,8 32,0 34 5 6 23,0 28,2 31,8 326 | 330 31,2 34 7 21,8 29,6 32,0 34,6 35,0 32,2 3 5 8 22,0 27,2 32,8 34,8 | 33,8 30,4 BI 5 9 1,4 27,0 30,4 32,2 31,6 | 29,8 24 IN 10 29,4 | 96,2 | 99,4 31,6 | 31,4 29,2 2 | | | Moyenne. 40 | 29,70 2 22,74 ‚28,14 30,73 |31,82 | 31,60 | TEMFERATÜRE DE AIR en IE: TERRAIN COUVERT. THERMOMETRE HUMIDE. Avant-midi. Apres-midi. Ann 3 h. 5 h. 29,9 27,2 28,8 28,9 28,0 2 23,0 25,4 26,4 27,6 27,8 27,6 4 3 93,0 27,8 28,6 28,2 28,2 29,2 3 4 23,4 25.2 27,0 27,0 28,2 28,0 È 5 23,6 27,8 28,4 28,2 26,6 27,9 1 6 23,0 26,6 27.8 27,4 28,4 28,6 q 7 23,0 25.8 28,2 28,2 28,4 28,2 { 8 22,6 25,0 27,0 27,4 28,4 27,8 4 9 29,6 97,2 29,0 28,0 28,8 97,4 À 10 23,2 26,8 27,8 27.6 29,2 95,4 I 11 22,0 27,0 29,0 28,4 27,8 25,4 1 12 23,4 29,0 29,0 28,2 28,8 28,4 3 13 22,8 27,8 28,2 27,4 27,2 28,2 1 14 22,8 26,0 27,8 27,6 27,2 27,4 4 15 22,2 26,6 28,4 28,2 28,4 27,8 L 16 21,2 27,4 27,6 28,2 28,6 28,0 4 17 23,4 27,8 28,2 28,2 29,4 28,4 4 18 240 | 96.2 | 29,0 28,8 | 98,4 97,8 1 19 22,8 27,6 | 29,0 28,6 | 28,2 27,8 1 20 22,0 96,4 28,0 27,4 26,8 26,8 4 21 22,2 97,8 29,0 28,2 27,6 27,6 1 29 22,4 28,0 28,2 27,2 29,2 28,8 1 23 23,2 26,8 27,2 27,8 27,8 27,2 j 24 23,4 26,8 26,4 27,6 29,2 28,4 L 25 22,6 24,6 26,8 27,4 27,8 27,8 8 26 22,6 27,4 27,6 27,6 27,6 28,0 1 27 22,6 27,6 27,6 28,4 28,4 27,8 4 28 22,8 95,4 27,4 28,4 | 98,4 28,4 \ 29 22,6 25,6 27,8 28,2 | 98,0 27,2 3 30 23,0 97,4 97,8 28,4 26,4 26,0 illet. 1 99,4 26,2 26,2 25,6 27,6 97,2 | 2 22,6 25,8 26,6 a | 8 27,8 . 3 23,0 27,6 | 26,6 26,8 | 26,8 26,4 4 4 21,8 | 96.2 27,4 974 | 28,0 28,2 4 5 99,9 26,6 | 27,4 28,6 | 29,0 28,8 1 6 23,0 26,4 | 27,9 26,0 27,6 27,8 4 7 21,6 | 48 25,4 26,6 29,2 29,0 3 8 22,0 254 | 97,4 218 | 27,8 26,8 4 9 21,2 25,8 | 27,2 27,8 27,4 27,2 h 10 99,2 ‘| 94,6 26,4 28,2 28,0 | 27,0 22,64 26,52 27,66 | 27,58 28,07 27,67 8 ae a CIRE - | Lice aar 4 à FF us a ‘Je cbr MAT ; oe aT ad ‘a a. arto) CLS Sul | Be Lo fc. Aie 8 airy: Fu ur FREE Rv Lu ee, | Lee ml £ 7 DR Do DE IEMERBRATURE DE L'AIR, (TERRAIN DECOUVERT). ARCHIVES X. 40 TEMPERATURE DE L'AIR (al DE TERRAIN DECOUVERT. THERMOMETRE SEC. Mois. Date. Avant-midi. Apres-midi. 6 h. Où: ling 19h: 3 b. 5 h. Avril. 29 21,4 28,4 | 33,0 32,8 34,9 29,4 : 23 21,8 29,0 33,2 34,9 32.0 28,8 8 24 21,6 27,2 28,8 33,6 32,4 29,8 a 25 22,6 31,4 32,4 35,6 33,0 30,2 26 22,4 23,0 24,6 27,4 30,2 28,0 i 27 21,2 30,4 33,4 34,8 32,6 | 30,0 D 28 21,2 28,2 30,0 33,2 26,8 | 25,6 = 29 29,0 26,4 28,0 30,4 30,6 28.6 3 30 29,6 28,0 | 33,6 By Su || OS Mai. 1 22,4 29,2 32,4 32,6 31,8 28,6 5 2 29,0 25,6 29,0 30,2 29,6 28,0 : : 22,8 27,4 29,2 32,0 30,4 | 28,8 4 21,4 28,2 30,6 35,0 32,2 | 30,0 z 5 22,0 | 29,9 31,6 33,4 31,8 29,2 F 6 21,6 | 26,2 28,4 31,6 30,4 | 29,0 eN 7 21,0 29,2 32,8 34,6 32,6 30,0 N 8 21,6 29,0 31,4 32,4 30,6 28,6 2 9 21,2 | 98,6 32,9 30,6 26,8 24,6 3 10 21,0 29,8 32,0 32,8 30,4 28,8 » 11 21,6 | 27,6 31,4 30,2 30,4 | 29,0 fe 12 21,2 | 286 | 324 | 352 | 332 | 300 5 13 21,0 | 29,8 34,8 30,4 29,6 | 927,4 M 14 21,2 | 274 31,8 34,0 | 30,6 24,6 a 15 21,4 28,2 31,0 34,0 32,2 29,6 4 16 22,2 28,0 29,6 31,4 30.2 28,4 5 17 21,4 25,6 28,6 32,0 31,2 27,4 8 18 21,0 28,4 31,0 33,0 32,6 29,8 8 19 22,6 30,2 32,6 34,0 31,8 29,8 5 20 99,4 30,8 33,8 34,0 | 32,8 28,6 5 21 22,0 27,0 30,4 32,6 31,2 29,0 5 22 21,4 29,4 31,6 31,8 27,8 27,0 3 23 23,0 29,8 32,0 36,2 | 33,2 29,6 5 24 22,6 | 97,4 31,8 33,2 326 | 26,6 x 25 228 | 29,0 31,6 34,0 | 32,2 | 29,0 4 26 21,6 | 27,8 | 32,0 33,8 | (33,0. am ; 27 22,0 | 988 | 31,4 | 322 | 31,6 | 984 5 28 22,4 | 98,6 | 322 | 326 | 32,0 | 294 . 29 21,8 | 95,8 | 30,6 | 324 | 322 | 286 À 30 21,6 | 288 | 326 | 33,8 | 326 | 29,0 : 31 29,0 | 956 | 286 | 996 | 292 | Moyenne. 21,80 ‚28,18 31,21 32,75 31.30 28,64 TEMPERATURE DE L'AIR en °C TERRAIN DÉCOUVERT. THERMOMETRE HUMIDE. Après-midi. Avant-midi. 9 h. ivril. 99 21,2 25,0 26,2 26,6 = 2: 21.6 25,2 28,2 25,8 u 24 21,4 24,8 26,4 25,6 > 95 99,4 26,6 2372 95, 4 4 26 99,9 99,9 24,6 95,4 = 97 21,0 26,4 28,2 26,4 1 98 20,8 25,0 26,6 25,4 3 99 21.8 94,8 26,4 26.6 = 30 22,0 94,8 25,8 25,6 Mai. 1 32,0 36,2 97,2 27,0 D. 2 21,8 94,4 26,2 24,8 D. : 22,6 25,0 27,0 26,0 4 4 21,2 24,8 21,2 26,2 À 5 22,0 25,0 26,4 26,0 25,8 4 6 21,4 24,6 26,0 25,0 25.0 4 7 21,0 25,0 27,0 25,6 24,8 4 S 21,2 25.6 26,6 25,2 25,0 3 9 20,8 24,4 25,0 24,8 23,6 a 10 20,8 25,2 26,8 25,2 24,4 - if 21,6 25,6 25,6 25,4 24,8 D». 12 21,0 95,2 26,4 26,0 25,6 5 13 20,8 26,0 26,6 26,6 25,0 A 14 21,0 95,2 27.6 26,2 23,5 = 15 91,4 25,8 28,2 27,0 26,4 D, 16 21,6 26,0 27,0 95,4 25,4 B, 17 21,2 240 26,5 25,6 24,8 D, 18 20,6 25,8 26,2 27,4 25.6 = 19 22,4 26,8 27,8 26,6 26,4 D. 20 29,4 27,2 26.6 26,6 25,0 1 21 21,8 24,8 27,4 26,4 25,8 E 29 21,2 25.6 26,4 94,4 24,4 3 23 21,6 26,4 27,8 27,6 26,0 » 94 22,6 25,6 27,2 26,8 25,2 4 25 22,4 25.8 27,0 26,8 26,2 A 26 91,4 25,8 27,6 28,0 27,0 . 27 21,8 26,0 27,6 27,4 25.0 5 28 99,9 26,6 27,4 27,4 26,8 » 29 21,8 24,6 97,8 97,8 25,6 ” 30 21,4 26,2 27,6 25,8 24,8 26,0 21,34 25,37 26,42 | 26.86 26.15 25,35 TEMPERATURE DE L'AIR en @: 0 TERRAIN D DECOUVERT. THERMOMETRE SEC, Avant- midi. Apres: midi. en 6 h. 9 h. 11 h. | 1h. sh. || oh. es 21,4 | 980 | 318 | 334 | 31,0 | 35% 22,0 25,4 26,8 | 30,4 31,2 29,2 99,4 29,4 32,8 32,0 31,0 26,0 29,8 25,8 28,0 29,0 30,2 29,9 5 | 23,0 28,2 33.0 31,8 30,4 27,0 4 6 33,0 27,6 31,0 33,6 31,2 25,4 5 7 99,9 27,0 29,6 32,6 30,4 28,2 = 8 21,6 25,0 27,0 28,6 31.0 98,4 a 9 29,0 28,4 30,0 33,4 30,6 28,2 5 10 22,6 28,6 31,0 32,2 33,4 24,9 : 11 21,4 28,4 30,6 33,0 29,8 24,0 à 19 29,8 28,6 30,5 33,4 32,4 28,4 » 13 | 92,9 29,8 31,6 30,2 30,8 29.9 5 14 99,9 26,2 29,9 30,0 30,2 27,0 5 15 21,4 27,8 31,9 33,0 31,6 99,9 5 16 19,8 27,9 31,0 32,0 31,4 28,8 = 17 29,6 28,4 31,2 32.6 31,0 25,6 » 18 29,8 25,8 31,6 31,4 30,2 28,4 5 19 21,6 28,0 33,2 32,4 32,5 28,6 5 20 20,8 27,4 32,0 31,5 30,6 98,2 5 21 21,4 27,0 31,6 32,0 39,4 28,6 5 33 21,0 27,4 31,2 32,0 31,4 38,2 23 | 22,0 26,6 30,0 31,5 31,2 28,6 + 24 | 22,6 26,4 27,4 31,4 30,8 29,2 5 35 21,8 93,4 26,4 98,4 28,6 97,8 5 26 | 21,6 28,0 30,8 31,6 31,0 28,2 > 37 | 21,6 27,6 30,6 33,2 31,6 29,2 „ 38 91,4 24,9 29,2 31.6 32,0 28,8 $ 29 21,0 24,8 30,6 32,0 31,4 28,6 30 29,0 98,8 31,4 33,6 27,6 24,6 Jui let, 1 21,6 29,0 329 33,8 30,2 29,2 4 9 29,0 25,6 98,8 31,0 30.4 28,6 5 3 21,8 28,6 98,4 28,6 29,6 98,4 n 4 20,4 97,8 29,8 32,2 31,8 29,8 i 5 21,2 | 2370 32,0 35,8 33,4 30,2 5 6 99.0 97.8 32,0 34,0 39,4 30,0 5 i 90,4 29,0 32,6 34,8 | 34,0 30,2 = 8 20,8 26,6 32,4 36,0 32,6 28,0 5 9 20,0 | 26,6 30,6 32,8 30,0 28,2 10 DAC 25:6 29,0 32021 31.0 98,4 Moyenne. nee | 21,70 27,22 30.51 32,14 31,12 | 28,19 | TEMPERATURE DE L'AIR ent IG: TERRAIN DÉCOUVERT. THERMOMÈTRE HUMIDE. fois. Date. Avant-midi. Après-midi. nin, 1 21,2 25,4 27,2 28,4 26,4 24,8 3 2 21,8 24,6 25,6 27,6 27,2 26,4 a 3 22,0 26,6 28,6 27,0 27,0 25,2 4 4 22,8 24,8 26,0 25,6 26,8 26,2 4 5 22,6 26,6 28,8 27,0 25,4 24,0 4 6 21,8 25.2 27,2 27,6 27,4 24,6 À 7 29,0 25,0 27,0 27,8 27,0 26,0 B 8 21,6 24,2 25,4 26,2 27,8 26,4 ä 9 21,8 26,0 27,2 28,4 27,8 25,8 4 10 29,4 25,8 27,6 97.8 29,0 22,6 4 hl 21,2 26,0 27,8 28,6 27,0 23,4 4 12 29,4 26,0 27,6 28,4 28,2 25,8 4 1: 22,2 26,6 27,9 26,2 26,8 26,4 „ 14 29,0 24,8 26,6 26,6 26,8 26,0 4 15 21,0 25,6 27,8 28,6 27,8 26,2 . 16 19,6 25,0 27,0 27,6 28,0 26,2 4 17 22,4 26.6 27,2 28,2 28,0 26,6 4 18 29,6 25,0 28,4 28,0 27,4 26,8 4 19 21,6 25,6 29,0 28,2 27,8 25,8 4 20 20,6 25,0 27,6 27,4 25,6 24,6 h 21 21,0 25,2 27,4 26,8 26,8 25,4 4 99 21,0 25,6 97,9 27,0 28,0 26,8 4 23 21,8 25,2 26,4 27,2 26,8 25,6 4 24 29,9 25,2 25.8 27,4 27,8 26,8 a 25 21,6 22,8 25,0 25,6 25,8 26,4 26 21,2 25,4 26,8 27,4 26,6 25,4 hi 27 21,4 25,8 27,0 28,4 27,9 26,2 28 21,2 93,4 26,4 27,6 27,6 26,4 4 29 21.0 23,8 26,8 28,2 27,4 25,6 , 30 21,8 26,2 27,2 28,4 24,0 23,6 illet. 1 21,2 25,0 25,4 26,0 25,4 | 26,0 2 21,8 Mik 25,6 27,9 | 27,0 | 26,6 3 21,6 26,4 26,0 26,0 26,3 25,0 4 20,4 | 959 26,6 27,4 27,0 26,8 | 5 21,0 | 95,4 27,4 28,6 28,0 26,6 6 21,6 25,4 26,6 26, 26,6 26,2 > 7 20,2 | 23,4 25,2 26,0 27,4 26,6 8 20,8 4,6 26,0 28,0 25,8 24,0 9 20,0 24,6 26,8 27,6 25,6 25,4 10 21,4 23,6 25,4 28,0 97,2 25,6 enne, 40 21,50 25,18 26,85 | 27,42 26,99 25,67 ARCHIVES x. 41 TABLEAU IV. HUMIDITÉ RELATIVE Dive, ALR? HUMIDITE RELATIVE DE L'AIR enso TERRAIN COUVERT. Avant-midi. Apres-midi. Mois. Date. === — = = | = = — Mo 6h. 9h. 11 h. | Ih. 3h 5h. | PIE 98 St 61 57 54 70 69, 98 78 58 58 59 7% 70, 100 St 18 54 55 11 73, 98 70 61 52 50 64 64, . 100 96 94 St 72 St 87, x 100 77 61 57 64 73 71, f 2 95 79 70 59 89 94 80, 5 9% 98 91 79 71 78 12 81, 30 98 si 61 58 61 68 70, 98 St 62 66 69 81 75, ; : 100 93 78 12} 68 81 $1, 2 3 98 84 75 67 71 83 79, i 98 78 70 52 62 70 rp : ; 100 71 66 54 67 75 71, x 5 98 91 84 63 65 71 78, 2 100 71 53 52 57 65 65. : 8 98 77 57 60 63 75 RB 5 9 98 SS 60 64 89 91 81, 5 10 95 68 59 62 64 69 68, = ti 100 89 71 zul 68 74 78, 2 12 98 78 60 49 57 13 68 8 13 100 74 55 76 83 86 77T, 5 14 100 87 7 58 70 94 79 R 15 100 83 73 64 69 77 2% a 16 96 ss 80 68 65 18 79 4 17 100 91 86 67 63 Si 81, 5 18 95 83 70 57 66 71 73 a 19 100 78 62 58 64 76 72, 5 20 100 71 60 52 60 74 69 = 21 98 86 74 66 70 78 73; 2 99 100 74 67 64 78 81 76 En 93 98 Wi 61 51 64 76 70 2 24 100 91 72 64 69 89 80. = 25 98 80 70 57 66 Sl 74, 5 26 100 SS 69 62 66 76 76, : 97 100 83 72 69 73 75 78, =A 28 100 89 75 66 69 85 80, = 29 100 93 77 67 73 si 81, 5 30 100 83 75 62 55 71 73, ae 31 100 96 86 78 75 86 86. De ll ne CO | BEE Moyenne. 40 | 99.00 82.68 69,30 | 62,20 67.00 77.28 | 75, HUMIDITÉ RELATIVE DE L'AIR ern else TERRAIN DECOUVERT. | Avant-midi. Apres-midi. Ken Mois. Date. : | 5 = "wie par jour. \vril. 22 | 98 71 52 53 48 67 64,10 Le 23 98 69 >4 57 55 is 66.83 a 24 98 79 73 50 52 69 69.73 = 25 98 63 56 45 48 61 60.65 4 26 98 92 89 75 62 16 82,04 = 97 98 68 92 Dt 55 66 64,48 À 28 96 73 62 53 87 92 76,31 a 29 98 85 77 68 76 70 78,33 À 30 94 73 33 53 97 63 64.75 Kai. 1 96 15 59 60 63 73 70,33 4 2 98 89 73 68 62 74 77,21 a : 98 79 73 62 65 76 74,94 A 4 98 72 63 48 56 62 65,54 à 5 100 66 60 61 57 12 66,56 3 6 98 85 77 59 59 67 73,79 4 7 100 66 47 49 Dl 60 60,94 3 8 96 72 52 57 59 10 66,90 À 9 96 66 57 58 | 82 90 73,75 > 10 98 63 55 57 60 64 64,79 a 11 100 82 65 63 61 66 72,19 = 12 98 72 57 13 50 65 63,40 a 13 987 | 69 50 69 75 79 72,21 À 14 98 Sl 64 Spy) 65 92 25.69 k 15 100 79 67 Be) i 161 74 72.56 = 16 94 82 75 65 62 74 25.08 4 17 98 85 si 61 58 77 76,52 2 18 96 77 65 52 61 66 68,81 À 19 98 72 59 56 | 61 72 68,51 4 20 100 71 56 49 DD 70 65.94 4 21 98 S0 69 61 63 73 73,16 3 22 98 69 61 60 71 77 71.58 3 23 6 72 57 45 59 71 65,92 3 24 100 S4 64 57 58 87 74.94 = 25 96 73 62 52 | 60 76 69,21 kn 26 98 82 61 DbE 62 72 71.38 h 27 98 76 67 64 67 71 73,00 3 28 98 83 67 61 64 78 74,55 4 29 100 89 71 64 66 75 77.23 4, 30 98 18 65 56 52 66 69.13 2 31 100 93 78 75 73 si S3.21 yenne. 40 97,85 76,38 | 63.70 | 57,48 61,15 72.68 | 70.98 mn nnn en an YR Sn Se ARCHIVES X. 42 Mois. en LE. TERRAIN Avant-midi. HUMIDITÉ RELATIVE DE L'AIR COUVERT. Juin. 1 100 sl 69 7192 73 83 2 100 94 91 SO 72 81 5 3 98 sf 73 69 73 95 4 100 93 86 sl 78 83 3 5 98 91 72 69 65 st 6 98 83 73 62 73 95 7 100 86 83 70 80 88 8 100 94 89 86 80 89 9 98 83 82 66 82 83 10 100 78 Tal 70 79 89 11 98 84 83 73 su 96 12 98 90 80 69 76 86 13 100 sl 73 71 74 85 14 98 91 83 78 78 93 15 98 84 78 69 Ze | 80 16 98 86 | 13 69 76 83 17 98 SO | 7 70 80 86 18 100 96 | 80 76 80 88 19 100 86 | 72 69 66 78 20 68 84 70 67 64 74 91 100 88 72 66 62 71 29 100 91 73 64 78 90 33 100 89 74 67 70 78 94 98 93 89 74 80 83 95 100 96 91 81 80 89 26 98 83 Fb} 70 67 81 97 100 89 | 74 66 69 Wil 28 100 OL Si 73 69 80 29 100 94 | 74 73 70 78 . 30 98 83 | 70 66 72 91 Juillet. 1 98 NES 49 67 77 2 98 ot | as 74 77 86 3 100 88 | Si 81 78 79 4 100 st 78 67 69 80 5 98 89 67 57 64 75 6 100 84 64 53 60 73 7 98 62 53 47 58 75 8 100 84 60 52 Bye 71 5 9 98 89 74 66 67400) Sas 10 98 85 75 73 73 | 81 | Moyenne. 99.00 68,88 | 72,05 | 82.ss HUMIDITE RELATIVE DE L'AIR en °/o- TERRAIN DÉCOUVERT. Avant-midi. Apres-midi. Moyenne par jour. 9 h. the Juin. 1 98 77 64 64 64 70 72,08 3 2 98 92 89 77 68 76 88,25 4 3 96 76 68 62 68 93 76,85 3 4 100 91 82 12 12 75 81,69 4 5 96 86 68 63 61 74 74.52 4 6 98 79 70 97 70 92 77.33 # 7 98 82 78 64 72 $1 78,69 A 8 100 92 85 79 74 82 85,17 4 9 98 79 77 62 77 79 77,92 1 10 98 76 73 66 66 85 76,81 5 11 98 79 77 66 77 94 81,40 a 12 96 78 74 62 67 77 75,13 4 13 100 | 74 66 68 6S 76 74.42 1 14 98 Eh 78 72 72 91 82,94 a 15 96 81 73 66 70 75 76,31 4 16 98 81 68 66 73 18 76,73 4 17 98 84 68 66 76 83 78,73 A 18 98 93 75 73 10 86 83.65 À 19 100 Te) 163 67 62 76 74,75 4 9 JE OS 166 66 61 70 72,73 4 21 96 84 67 61 59 73 73,13 4 29 100 84 68 62 73 87 78,63 4 93 98 87 71 64 65 75 76,12 A 24 Me OL ED 68 76 79 82,35 3 25 98 | 9,4 87 76 76 87 86,10 4 36 96 77 68 67 65 76 74,27 8 97 98 84 71 64 66 75 75,94 4 28 98 92 | 76 69 66 79 80,02 È 29 100 90 | 70 70 68 75 78,56 A 30 98 78 67 62 70 90 77,08 uillet. 1 96 67 52 47 62 13 65,19 4 2 98 | 89 73 70 12 83 80.69 4 3 98 s1 79 18 73 72 79,44 A 4 100 | 77 | 74 63 63 75 74,63 4 5 98 | 8 | 64 51 60 71 71,19 L 6 96 | 79 | 60 50 57 69 68,04 5 7 98 57 49 43 54 71 60.65 5 8 100 | 82 | 54 47 52 67 66,56 À 9 100 | 82 70 61 65 76 75.15 Ë 10 98 | 82 | 70 69 70 16 76.96 | | )yenne. 40 76,56 TABLEAU V, TEMPÉRATURE MAX. ET MIN. ARCHIVES x. 43 TEMPÉRATURE MAX. ET MIN. at ME TERRAIN COUVERT. Temp. max.| Temp. min. Mois. D Ot & © 19 S Ole Ot or or D =] or to to to Lo to bO RO 18 ) © à * D R w SL vw wm wm ww u ww we Oe & SO Ol hb À RO = 19 Ww Or D © or or or Qt Qt or ot be 2] 4 _—_ nd — a ot w ot Ut or ot 5 ~ 1 2 to K Ce IK CS bb bi HR [SU 3 © 19 Qt reg or or ot wr vr 30 oor puro oo 19 m or 4 to paré US ww ww w ww Oo CS LE Co U sr or or to © OO ml © Ot wwww ww SRW www We ot Qt 4 LD OR w w © ou Wa ws rss Qt to to to to RO t© to bt RO RO to 19 RO RO RO RO RO RO RO RO RO t© 8 19 RO RO to to to RO bo to IS to Io to WO 19 19 19 € Ct Si eae Reva Re Smoot 19 IO N 9 19 19 LOK Bro RO OS RO RO US UE RO RO U U U IO IO 4 to 19 to 19 19 bO 10 bO 19 Co = ww # _ © Due mm NO m NO RO m m NO m QC IO IO IO RO = + RO LO DO LO ID or or or Qt Qt ot TRE HEC DCE Feet Fo ek NE ET — © © Dal FK ore U IO m m ee eee CW 19 — 1 D we 19 19 bo or or or ot Moyenne. TEMPÉRATURE MAX. ET MIN. en Sie: TERRAIN DÉCOUVERT. Temp. max. | Temp. min. Temp. max. | Temp, min. 99 21 93 36,5 21 91,5 À 24 35 29 À 95 36,5 99 À 26 32 21 22,5 4 27 36,5 22 4 98 36 20 91,5 4 29 32,5 21 4 30 34,5 21 21 ai. 1 34 29 4 2 31 20,5 4 3 33:5 99 99 = 4 36,5 20 21 4 5 35 21 21,5 A 6 33,5 20 21 : 7 36,5 20 19,5 L 8 35,5 22 4 9 34 22,5 4 10 34,5 20 21 4 11 33 20 = 12 36,5 20 21 4 13 36,5 20 20,5 4 14 36 20 | e 93 33 91,5 > 15 35,5 21 x 9% 33,9 29 3 16 32,5 21,5 = 25 31,5 21 3 17 32,5 20,5 2 2% 33 21,5 A 18 34,5 21 À 97 35 21 A 19 35,5 29 a 98 34 99 Mn 20 39 29 i 29 33 20,5 5 21 34,5 91,5 à 30 35 91,5 "4 29 34 21 Juillet. 1 35 91 4 93 36,5 91,5 = 2 32 21,5 n 24 35,5 21 a 3 31 22 A 95 35 21,5 5 4 33 20 35,5 21 2 5 36,5 20,5 34 21,5 À 6 35 21 39 22 5 7 36 20 33,5 21 é 8 36,5 20 35 21 2 9 33,5 19,5 31,5 34,68 20,89 Moyenne. | 40 33.75 21,19 TABLEAU VL TEMPÉRATURE DU SOL. ARCHIVES X. TEMPÉRATURE DU SOL Se 2 (GC; TERRAIN COUVERT. | A ie FAT 3 h. 28,00 | 98,00 28,00 28,25 28,25 4 93 28,00 | 28,00 28,95 | 28,25 | 28,50 | 28,50 A 24 28,00 | 28,00 28,00 | 28,25 | 28,50 | 28,75 3 25 98,25 | 28,25 9825 | 28,50 | 29,00 | 29,00 : 26 28,50 | 28,25 | 28,25 | 28,25 | 28,25 | 28,50 2 27 27,75 | 27,75 | 28,00 | 28,25 | 28,25 | 98,95 A 28 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,50 | 28,50 | 28,75 x 29 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,25 : 30 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,25 | 28,50 Mai. 1 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,50 | 98,75 2 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,95 : 3 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,25 | 28,50 5 4 28,00 « 28,00 | 28,00 | 2825 | 28,50 28,50 5 5 28,25 | 28,25 | 28,25 | 28,50 | 28,50 | 28,50 à 6 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,50 | 28,50 : 28,75 5 7 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28.00 | 28,50 28,50 = 8 28,25 9825 | 28,50 | 28,75 | 29,00 29,00 = 9 28,00 | 28,00 | 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,75 8 10 27,50 | 27,50 | 27,75 | 27,15 | 27,75 | 28,25 8 11 27,15 | 27,50 | 27,50 | 28,00 | 28,00 | 28,25 3 12 27,50 | 27,50 | 27,50 | 28,00 | 28,25 | 28,50 5 13 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,50 | 28,50 5 14 97,75 | 27,75 | 27,75 | 28,00 | 28,00 | 28,25 a 15 27,50 | 27,50 | 27,15 | 27,75 | 28,25 | 928,25 A 16 98,75 | 28,25 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,50 4 17 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28.00 | 28,00 | 28,00 18 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,50 2 19 28,25 | 28,25 | 28,25 | 28,50 | 28,50 | 28,50 3 20 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,75 | 29,00 2 21 28,50 | 28,25 | 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,50 : 99 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,25 A 23 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,50 | 28,50 2 24 28,25 | 98,95 | 28,25 | 28,50 | 98,50 | 28,50 - 95 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,75 2% 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,50 | 29,00 = 27 28,25 | 28,25 | 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,75 E 28 28,25 | 28,25 | 98,25 | 28,50 | 28,75 | 29,00 A 29 28,25 | 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,75 x 30 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28.25 | 928,25 | 28,50 R 31 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,00 | | Moyenne. | 40 | 28.08 28,04 28,09 | 28,24 | 28,37 | 28,53 | 2 TEMPÉRATURE DU SOL TERRAIN DÉCOUVERT. Après-midi. Avant-midi. Moyenne Mois. a 6 h. 9h. 11 h. tt A Avril. 99 28,25 28,00 98,95 98,50 98,75 28.40 3 9: 28,50 28,50 28,50 29,00 29,00 28.80 a 9: 28,50 28,50 28,50 28,50 98,75 28,68 4 2; 29,00 | 29,00 29,00 | 29,25 29,50 29.26 4 26 29,50 | 29,25 29,00 29,00 29,00 29,00 29.11 5 97 98,25 28,00 28,95 28,50 29,00 28,75 29.44 4 29,00 | 29,00 | 29,00 | 29,25 29,50 29,75 29.26 4 28,50 98,25 28,50 28,50 98,75 29,00 28,58 à 28,50 | 28,50 | 28,50 | 28,50 29,00 29,00 28,67 Mai. 28,50 | 28,50 28,50 28,50 29,00 29,00 28.67 E 28,50 | 28,50 28,50 28.50 28,75 28,75 28.58 4 98,50 | 28,50 | 28,50 | 28,50 98,75 | 29,00 28.63 > 28,00 28,00 98,25 28,50 29,00 29,00 28,16 4 28,50 28,50 | 28,50 29.00 : 29,00 29,95 28.80 4 28,50 28,50 28,50 28,50 29,00 29,00 28.67 4 98,25 | 28,25 28,25 | 28,75 29,00 29,00 28.58 4 29,00 : 29,00 29,00 29,25 29,50 30,00 29.30 4 29,00 | 29,00 | 29,00 | 29,00 | 29,25 29,50 29,13 A 28,50 28,50 98,50 28,50 98,75 29,25 28,68 A 29,00 28,50 28,50 | 28,75 29,00 | 29,00 28.77 a 28,50 28,50 28,50 28,50 29,00 29,50 28,76 A 29,00 | 29,00 | 29,00 | 29,25 99,75 30,00 29.34 4 98,50 28,50 28,50 29,00 29,00 29,50 28,84 3 15 28,50 28,50 28,50 28,50 29,00 29,00 28,67 D. 16 29,00 98,75 98,50 | 28,75 29,00 29,25 28,87 A 17 28,50 28,50 28,50 28,50 28,50 28,75 28.55 A 18 28,50 | 28,50 9850 | 28,50 28,75 29,00 28,63 a 19 98,75 98,75 98,75 29,00 29,00 29 50 28.97 i 20 29,00 | 29,00 | 29,00 | 2995 29,50 | 30,00 29,30 4 21 29,25 | 29,00 | 29,00 | 29,00 | 29,25 | 929,50 29.16 = 99 98,75 | 2850 | 28,50 | 28,75 29,00 29,25 28.79 _# 23 28,50 | 28,50 | 28,50 | 29,00 | 29,50 | 30,00 29,01 4 24 29,00 | 29,00 | 29,00 | 29,00 | 29,50 | 29,75 | 29,21 B, 95 29,00 | 29,00 | 29,00 | 29,25 | 29,50 29,75 29.26 E, 26 29,00 | 29,00 | 29,00 | 29,25 | 29,50 | 30,00 | 29,30 _# 97 29,00 | 29,00 29,00 29,00 | 29,50 29,50 29.17 2, 28 29,00 | 28,75 | 28,75 | 29.00 | 29,50 | 29,75 29.12 A. 29 29,00 | 28,50 | 28,15 | 28,15 | 29,25 | 29,50 28,04 7, 30 98,75 98,75 28,75 99,00 | 29,25 29,50 29,01 D, 31 29,00 98,75 98,75 98,75 | 98,75 29,00 28,83 28.64 29,33 28,91 29,11 28,82 ene. 28,66 TEMPERATURE DU S@L en cic: TERRAIN COUVERT. Avant-midi. Après-midi. Mois. Date. ] ae - - — 6 h. | 9h. deme {MR sh. 5 h. Juin. 1 | 97,75 | 27,50 | 27,50 | 27,75 | 28,00 | 28,00 2 2 98,00 | 27,75 | 27,75 | 27,75 | 27,75 | 28,00 x : 97,75 | 927,75 | 27,75 | 27,15 | 28,00 | 28,00 is 4 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,25 | 28,50 2 5 28,00 | 28,00 | 28.00 | 28,00 | 28,25 | 28,95 f 6 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,25 | 28,50 i 7 97,75 | 927,75 | 27,75 | 27,15 | 28,00 | 28,00 5 8 28,00 97,75 97,75 97,75 97,75 OT je 9 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,15 | 27,75 | 28,00 5 10 2750 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 28,00 | 28,00 2 11 97,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,75 3 12 97,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,15 | 97,75 5 13 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,15 | 28,00 5 14 2750 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 97,75 é 15 97.50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,15 | 28,00 4 16 97,50 | 27,15 | 27,75 | 28,00 | 28,00 | 98,95 À 17 97,75 | 27,75 | 27,75 | 27,75 | 28,00 | 28,25 5 18 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 | 98,50 8 19 28,00 | 28.00 | 28,00 | 28.00 | 28,00 | 28,25 A 20 97,75 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,75 | 28,00 5 21 2750 | 27,50 | 27,50 | 27,75 | 28,00 | 28,00 99 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 97.75 | 2775 5 23 97,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,75 à 24 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,75 | 27,75 95 27,50 | 927,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 N 26 27,25 | 27,25 | 27,25 | 27,50 | 27,50 | 27,50 2 97 97,50 | 27,25 | 27,25 | 27,50 | 27,50 | 27,75 N 98 2750 | 27,50 | 27,50 | 2750 | 27,15 | 97,75 8 29 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,75 AN 30 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,75 | 27,75 | 28,00 Juillet. 1 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,75 | 27,75 | 98,00 8 2 27,25 | 27,25 | 27,50 | 27,50 | 27.50 | 27,50 a 3 97,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 4 27,00 | 27,00 | 27,00 | 27,00 | 27,25 | 27,50 k 5 27,25 | 27,25 | 27,25 | 27,50 | 27,50 | 27,75 à 6 97,25 | 27.95 | 27,25 | 27,50 | 27,75 | 28,00 A 7 27,50 | 27,25 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,75 2 8 27,25 | 27,25 | 27,50 | 27,50 | 27,15 | 27,75 q 9 27,00 | 96,75 | 96,75 | 26,15 | 27,00 | 27,95 : 10 27,00 | 27,00 | 27,00 | 97,50 | 27,50 | 27,50 | Moyenne. | 40 | 27.55 | 27,74 | 27,89 TEMPÉRATURE DU SOL Avant-midi. Apres-midi. Moyenne 9 h. {1 h. par jour. Juin. 1 28,50 28,00 28,00 28,75 28,75 29,00 28,18 3 9) 28,75 28,50 28,50 28,50 28,75 29,00 28,66 2 3 98.75 98,75 28,75 28,75 29,95 29,50 28.96 5 4 28,75 28,50 28,50 28,50 28,75 29,25 28.71 3 > 28,50 28,50 28,50 28,75 29 00 29 50 28.08 6 98,75 28,75 28,75 29,00 29/95 29,50 29,01 5 7 28,25 28,25 28,25 28,50 29,00 29,25 28,59 = 8 28,50 28,50 28,50 28,50 28,50 98,75 28.55 5 9 28,00 28,00 28,00 28,25 28,50 28,75 28.26 8 10 28,00 | 28,00 | 28,25 28,50 28,75 | 29,00 28,12 5 11 28,00 98,00 28,00 28,25 28,50 29,00 28.30 ” 12 25,00 27,15 TETE 28,00 28,00 28,50 28,00 3 13 28,00 28,00 28,00 98,25 98,75 29,00 28,34 7 14 28,50 28,50 28,50 28,50 98,75 29,00 28,63 * 15 28,95 28,00 25,00 98,25 28,50 29,00 28,33 à 16 98,75 28,00 28,00 98,25 28,50 29,00 28,10 2 17 28,50 28,50 28,50 28,75 29,00 29,50 28.50 2 18 28,75 28,50 28,50 29,00 |. 29,25 29,50 28,91 Br 19 98,75 28,50 28,50 98,75 29,00 29,50 28,83 = 20 28,50 28,25 28,50 28,50 98,75 29,00 28,58 = 21 28,25 28,00 28.25 98,25 28,50 29,00 28.38 “ 99 98,25 98,25 98,25 28,50 98,75 29,00 28,51 » 23 28,00 28,00 28,00 28,25 28,50 28,15 28.26 + 94 28,25 98,25 98,25 28,50 98,50 98,75 28,42 5 25 28,25 28,00 28,00 28,00 28,00 28,25 28,08 » 26 97,15 97,50 27,50 21,15 28,25 28,50 27.87 3 97 28,00 97,75 ID 28,00 28,50 98,75 28.12 : 28 28,00 | 927.75 27,15 | 28,00 | 28,25 28,50 28,04 ” 99 28,00 28,00 28,00 98,95 28,50 28,75 28.26 2 Juillet. 1 28,00 | 28,00 | 28,25 | 28,50 | 28,50 | 28,50 28,29 D. 2 25,00 28,00 | 28,00 | 28,00 | 28,25 2550 | 28.43 D. 3 28.00 | 28,00 98,00 | 28,00 | 28,25 28,08 8 4 27,50 | 27,50 | 27,50 | 27,50 | 97,75 27.68 3 5 27,50 | 27,50 | 27,50 | 28,00 | 28,25 27,38 = 6 28,00 | 27,75 | 27,75 | 28,00 | 98,50 28,12 = 7 28,00 | 27.75 27,75 | 27,75 | 28,00 | 28,50 | 27.96 D. 8 28,00 | 27,75 27,75 | 928,00 | 28,50 | 98,75 | 28,12 D. 9 27,50 | 27,25 | 27,50 | 2750 | 28,00 | 28,25 27.66 RE. 10 27,75 | 27,75 | 27,15 | 27,75 | 28,00 | 2895 27,88 28,00 97,15 97,15 28,00 28,50 98,75 28,12 40 28,22 28,06 28,10 | 28,28 28,54 28,85 ARCHIVES x. 45 zel Liste = da (en = Q ~I Pi, III, Courbe a. Courbe b. des planches, figures et représentations graphiques. Plan du terrain à l’ombre à Medan-Estate. Portion d’un champ de tabac de 10 acres, couvert de „cheese- cloth”, pour montrer les details de la structure externe de la membrure. 2. Vue extérieure d’un champ de tabac en Amérique, de 10 acres, couvert de ,cheese-cloth”, prise d'une élévation située à quelque distance. Portion d’un champ de tabac en Amérique, de 8 acres, mon- trant la façon d’attacher le ,cheese-cloth”. . Un champ de tabac en Amérique, de 8 acres, couvert de „cheese-cloth”, à Mitchelson-farm, Tariffville (Conn.). . Membrure de la tente d’abri, telle qu'on l’employa pendant la saison de 1901 en Amérique, prête à être recouverte. 5. Membrure de la tente d’abri, destinée à être employée en partie pendant la saison de 1902 en Amérique, avec pieux distants de 20 à 24 pieds, et faite pour une couverture large de 288 pouces. „Cheese-eloth” en toile de lin; produit hollandais de la fabrique de M. van Brsouw (Goorle). »Cheese-cloth” en coton; produit hollandais de la fabrique de M. van Besouw (Goorle). . Vue intérieure de la tente d'ombre à Medan-Estate (C. o. d. Sumatra) 1903. . Vue extérieure de la tente d'ombre à Medan-Estate (C. o. d. Sumatra) 1903. Coup d'oeil dans la tente d'ombre à Medan-Estate (C. 0. d. Sumatra) 1905. Représentation schématique de la durée d’insolation dans l’ex- périence à couvert et dans l’expérience de contrôle à Medan- Estate (C. o. d. Sumatra) en 1903. Représentation schématique de la chute de pluies dans l’expé- rience à couvert et dans l'expérience de contrôle à Medan- Estate (C. o. d. Sumatra) en 1903. Courbe Courbe Courbe Courbe LISTE DES PLANCHES, FIGURES ET REPRÉSENTATIONS, ETC. c. Représentation schématique de la température moyenne de l'air dans l’expérience à couvert et dans l’experience de contrôle à Medan-Estate (C. o. d. Sumatra) en 1903. Représentation schématique de l'humidité relative de lair dans l'expérience à couvert et dans l'expérience de contrôle à Medan- Estate (C. o. d. Sumatra) en 1903. Representation schematique des temperatures max. et min. dans l’experience à couvert et dans l’expérience de contrôle à Medan-Estate (C. o. d. Sumatra) en 1903. Représentation schématique de la température du sol dans l’experience à couvert et dans l’expérience de contrôle à Medan-Estate (C. o. d. Sumatra) en 1903. Archives du Musée Teyler, Serie II Vol X.PIU. PI.I + PI. I. Intérieur de la tente d'ombre a Medan Estate (C. o. d. Sumatra) 1903. saves du Musée Teyler. Serie II Vol x PI Py I. ny > nt + em” ‘ dt Vue extérieure de la tente d'ombre à Medan Estate (C. o. d. Sumatra) 1908. chives du Musée Teyler, Seres No len EN Ill. Coup d'oeil dans la tente d'ombre à Medan Estate (C. o. d. Sumatra) 1908. A) U eo a NL =: ) 8 & 4 >a EXPLICATION Pr. DE LA REPRÉSENTATION SCHÉMATIQUE DE LA DURÉE “du D’INSOLATION (COURBE @). 4 — j | | Partie noire — Terrain couvert. Partie hachurée — Terrain découvert. D D> be > S 5 ne dn aks TS — — TE 3 a ti nan u Si ze us : …: 7 DCE B MMM BAM MODS ER BANC ARE EM ARRSABBEES CA = = EEE EEE EN Znsolation. avril mai Juin Juillet B 24 29 gp _ 301 9 5 OIS 1D 21 2345 27 29 911 J 5 7 PTT STE ee fe ee ee ae 3 5 7 9 _L _ 1 + _ t ——— ae + fe ne SBH | | | 1 KR 1 \ | el nr 5 | | 9 | = | Lal =] = ge | 5 | IL \ | | i mer T N IT I= ] Im 30 J Lol ll N jan all | = ee : u IN | N N N N ' N N NN 4 1 + + —+—— IN NN T N 1 | | Fi | T —! N N +t 1 \ =e = 1 J 15 \ N \ 5 N N \ / N \ + + \ | N 45 | | N | | | oi N N 1 30 + | 1 a | 15 \ \ ! \ 6 + La! NV + 45 N | Ti T zE N t N N 15 N N \ 5 \ N 45 N N NSN N 4 \ N SIN NN 45 \ \ NENSN \ N 30 NS 15 NS\ na N À \ 45 N \ N 30 15 NS \ 45 N N 0 N N N 7, N 13 N .45 30 N 15 22 24 26 24 301 3 5 Y 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 JI 1 su 5 U 9 11 13 15 17 19 21 23 cda € 29 / J avril mai Juin juillet EXPLICATION DE LA REPRÉSENTATION SCHÉMATIQUE DE LA QUANTITÉ | DE PLUIE (COURBE b). | er Partie noire — Terrain couvert. Partie hachurée — Terrain découvert. a: S Bias Sa Gaan [=] T CA DE GG OMI, OMI DWM IN ND DT DD CA N RR N IN NN ve zin Quantité de pluie. 7 5 3 Juillet 29 Juin A 3 „in 5 Temperature de l'air. 3 Juillet 1 Juin > = =i Sie SRS So Se SRO SS em ee EROS a Mi EMD, UMM yg UMM VM AN MM Td à 7 MUM M VID Ennn a0 2 DE 2 go a Oa we VODODDDDIDDDD WED, WWE oi 4 S n._ 2 207 WE LE YUMMY YY YY YGGYYOGIGIGGYGGD Lag HAE + no | COLA 7 À D HON N N \ N N N N N NN Y HN AWN SER NN N N N NAN IN NN NN N 7 an IS \ N N NN NN N N NN DD YYY GY N N N ANR NN NN NN 7 NN N G NIS NN \ NN N Y N N NN NN SSM N N N A YY N N N IN N N EEE WW N N N N N N NN N NN NS AWN AAW D % YYY, NN N (YY, Y NNVVVVWVV NN N Za. DD YY Yj a En SN Y WU N N NN AN nr | _ 7 VOD A 007 WI N 2. 7 mm gy DOOD En Senn nsnnnmanes MOOD DDDOOD HU NNNNNNN BZU MMM 77772777 ZZ nn WiMUMU UT [En | alla) HUE UU UUGUUUUM BABA COCO ON a= aa ODD LGPL EN ZI 2.221: ‚Juin EL } a EXPLICATION DE LA REPRÉSENTATION SCHEMATIQUE DE LA TEMPÉRATURE MOYENNE DE L'AIR (COURBE C). | D: | Partie noire — Terrain couvert. Et, Partie hachurée — Terrain découvert. b È ke ES E en EEE ie. En TN TRE PRE ee re RL = ===... ar at mr mem Sa = Jae a | Humidité relative de l'air. ; mai Juin | ur 2 Dik A elf] ed CE: ALL GN A 908 24 26 28 309 3 x x 9 eid ZEE kle Od LEN EL OP EE 90% | 0 dann | ee TT, eel | Han EO OE EE D (2 22 24 26 26 Jo 1 3 5 7 9 a 13 15 17 19 21 23 25 RT 29 31 1 5 J 5 7 9 417 13 15 17 19 21 23 25 27 29 tf P J 5 7 g avrel mat Juin Juillet - P EXPLICATION DE LA REPRÉSENTATION SCHÉMATIQUE DU MOYEN DEGRÉ D'HUMIDITÉ DE L'AIR (COURBE d). Trait plein — Terrain couvert. Pointillé = Terrain découvert. ADL. Ure Temperature max.el min. avril mat Juin Juillet Dm An Or Dye GOE PE OI EE EE ED U 37% J6 19°C. avril mat juin Juillet EXPLICATION DE LA REPRÉSENTATION SCHÉMATIQUE DES TEMPÉRATURES MAX. ET MIN. (COURBE €). Trait plein = Terrain couvert. Pointille = Terrain découvert. fi Me À | A erature Tem er du sol. Juin i a 311 13 1 a 19 23 25 Juillet 27 29 7 3 T EN ann a EU 19 21 25 13 EXPLICATION DE LA REPRÉSENTATION SCHÉMATIQUE DE LA TEMPÉRATURE MOYENNE DU SOL (COURBE f). Trait plein — Terrain couvert. Pointillé Terrain découvert. Bibliographie relative à la culture du tabac à l'ombre. 1) Dorsey, C. W. Cultivation of tobacco. Farmers’ Bulletin n°. 5, 1903; Bureau of Agriculture Manilla. 2) Froyp, M. L. Cultivation of cigar-leaf tobacco in Florida. Report n°. 62, U. S. Department of Agriculture, 1899. 3) Jenkins, E. H. Can wrapper leaf tobacco of the Sumatra type be raised at a profit in Connecticut? 25th Annual Report of the Connecticut Agricultural Experiment Station for 1901, pag. 295—512. 4) Mac Ness, G. T. and Hinson, W. H. Experiments in growing Cuban seed Tobacco in Texas. > > Bulletin n°. 27, Bureau of Soils, 1905, U. S. Depart- ment of Agriculture. 5) Srurars, W. C. On the effects, on tobacco, of shading and the appli- cation of lime. 25th Annual Report of the Connecticut Agricultural Experiment Station for 1899, pag. 252—261. 6) Witney, M. Growing Sumatra tobacco under Shade in the Con- nectieut Valley. Bulletin n°. 20, Bureau of Soils, 1902, U. S. Depart- ment of Agriculture. 7) — — — — Methods of Curing tobacco. Farmers’ Bulletin n°. 60, 1902, U. S. Department of Agriculture. 8) The United States Tobacco Journal contient beaucoup d'articles et de courtes informations sur la culture du tabac à l'ombre et le tabac cultivé sous tente, depuis l’année 1901 jusqu'à ce jour. 9) The Tobacco Leaf. — idem. SOMMAIRE. PAGE. LE MITOMCHONN 2. teen ER RER CI IT. Aperçu de la culture à couvert du tabac en Amérique . . . . 185 III. Aperçu de l'importation du tabac de Sumatra en Amérique . 198 IV. L'expérience de culture à l’ombre à Déli (1903) ........ 200 A. Les préparatifs de l'expérience …. sun 2. oen 20... 0 ee B. Liallure de l'expérience. : 2. oan eer en ee GEE C. Les résultats de expérience .... >» el D. L’appréciation de courtiers sur les Bene babaes @eprounes 222 V. Détails relatifs à unique récolte faite Paprés-midi....... 224 VI. Observations météorologiques dans l'expérience de culture à l’ombre et dans l'expérience de contréle............. 230 VII. La culture à l’ombre comme mesure prophylactique contre la maladie de la nielle (panachure en mosaïque) chez le tabac . 241 VII. Considérations finales "RE RE IX. Tableaux des observations météorologiques. Relatifs à l’insolation. b. 5 „la chute de pluie. @s , la température de lair. d. 7 „ l'humidité relative de lair. e. 4 „ la temperature max. et mm. is x „ la température du sol. X. Bibliographie relative à la culture à l’ombre .......... 261 ARCHIVES DU MUSÉE TEYLER SERIE IL. VOL.X. Quatrième partie. LIBRARY NEW :YORK BOTANICAL GARDEN. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1907. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. SV HU Haen S/F thse MIMARN Da, tht? . | à hr RE - En u oo + I ri Mibissu Hu GR AAE oo N j 4 = À VE Se: LIBRARY NEW YORK BOTANICAL GARDEN: En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire de la fondation Teyler a l'honneur d'informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l'indique déjà leur titre, contiendront d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l’usage. En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur. Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881. APR 27 1907 In mt) URSS | | ida z { M { i h f N ‘org nT 6 be Ga , f {i N i | F i er j { * sf 7 j i j i i ; fi rar} = = € Î Meik 3 N | } hi i + ‘ LE LEE } Ld 1 - a { + i fae) à À E ried kee ier | ki ACTION TE ns Live! ae ieee 13/8 a Faut wile mik Vent UAV ELI Kum DA 17 7 sat TNT x } PEN L HET ry INA EON capi bs I | HRE Amin TR DISS 1 8 - WAG. DONC tao ae aie Wee es alien) Last © aol Et ya snl? st tan ml behe Ors ln 1 MN BARE MAY 0% | 0 | | BA] orn oe PROGRAMMA TEYLERS TWEEDE GENOOTSCHAP TE HAARLEM, voor het jaar 1907. H.H. DIRECTEUREN VAN TEYLERS STICHTING en de LEDEN VAN Tryrer’s TWEEDE GeNoorscHaP hebben besloten voor het jaar 1907 de volgende prijsvraag uit te schrijven: Het Genootschap vraagt een levensbeschrij- ving van GIJSBERT KAREL VAN HOGENDORP. De geschiedkundige studiën van onzen tijd vertoonen het dubbele streven, om ruimer plaats toe te kennen aan de bestu- deering der economische toestanden dan vroeger het geval was en tevens, het geschiedkundig leven der negentiende eeuw meer en meer binnen den kring der beschouwingen te trekken. In beiderlei opzicht schijnt het aanbevelingswaardig aan de belang- wekkende figuur van GIJSBERT KAREL VAN HoGeNporPp een boek van beteekenis te doen wijden. Staatsman van groot talent, man van karakter, opmerkzaam beschouwer als hij was van het eco- nomisch leven van zijn tijd en van de waarde daarvan voor het heden en de toekomst van het volk, welks wedergeboorte hij trachtte voor te bereiden en werkelijk mocht beleven, is zijn persoonlijkheid geschikt om tot onderwerp te strekken eener studie, waarin de grondslagen van het modern leven van Nederland in het oog gevat worden. De uitgebreide verzameling zijner, door de zorgen zijner familie uitgegeven Brieven en Gedenkschriften, de betere toegankelijkheid van de archieven der ministerieele departementen tot 1830, de belangrijke tijdschriftartikelen, enz, van Fruin en anderen over gedeelten zijner werkzaamheid, geven aanleiding den tijd voor een werk als het bedoelde thans gekomen te achten. De prijs voor het best en voldoend antwoord bestaat in een gouden eerepenning, op den stempel des Genootschaps geslagen, ter innerlijke waarde van f 400. De antwoorden moeten worden ingezonden vóór of op den [sten April 1908, opdat zij voor den 1s" Mei 1909 kunnen beoor- deeld worden. De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Fransch, Engelsch of Hoogduitsch, met eene Latijnsche letter, vooral goed en leesbaar geschreven zijn door eene andere hand, dan die van den opsteller. Ook moeten zij vóór den bepaalden tijd in haar geheel worden ingezonden: geene antwoorden, waaraan eenig gedeelte bij de inlevering ontbreekt, zullen tot het dingen naar den ge- melden eereprijs worden toegelaten. ; Alle ingezonden stukken blijven het eigendom des Genootschaps, dat de bekroonde verhandelingen, met of zonder vertaling, in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders dan met toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook behoudt het Genootschap aan zich het recht om van de niet bekroonde stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam zal oordeelen, hetzij zonder of met vermelding van den naam des schrijvers; in het laatste geval echter niet zonder zijne toestemming. Ook worden geene afschriften van de niet bekroonde stukken aan de schrijvers verleend, dan ten hunnen koste. De in te zenden antwoorden moeten, zonder naam en alleen met eene spreuk onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje, dezelfde spreuk ten opschrift voerende en van binnen des schrijvers naam en woonplaats behelzende, gezonden worden aan het Fundatiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST te Haarlem. PROGRAMM TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT ZU HAARLEM, für das Jahr 1907. Die Direktoren der TEYLERSCHEN STIFTUNG und die Mitglieder der TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT haben keine Antwort erhalten auf die Frage: „Die Gesellschaft verlangt eine Geschichte der eschatologischen Vorstellungen innerhalb der Grenzen des Neuen Testaments.” Ausgeschrieben sind noch die folgenden Preisfragen : 1. Zur Beantwortung vor 1. Januar 1907: N „Wie verhält sich der Calvinismus unserer Tage zu dem des 16. Jahrhunderts hinsichtlich seiner Lehren?” 2. Zur Beantwortung vor 1. Januar 1908: „Was ergibt sich aus den Schriften des Eras- mus über seine theoretische und praktische Stellung zur Religion?” 3. Die neue Preisfrage zur Beantwortung vor 1. Januar 1909 lautet: .Die Gesellschaft verlangt eine systematische Auseinandersetzung der sittlichen Gedanken in Boendale’s ,Lekenspieghel” und in der gleich- zeitigen niederländischen Literatur. Der Preis besteht in einer goldenen Medaille von f 400 an innerem Wert, die ausgehändigt wird, sobald die gekrönte Arbeit druckfertig vorliegt. Man kann sich bei der Beantwortung des Holländischen, Lateinischen, Französischen, Englischen oder Deutschen (nur mit Lateinischer Schrift) bedienen. Auch müssen die Antworten vollständig eingesandt werden, da keine unvollständige zur Preisbewerbung zugelassen wird. Alle eingesandten Antworten fallen der Gesellschaft als Eigentum anheim, welche die gekrönten, mit oder ohne Uebersetzung, unter ihre Werke aufnimmt, sodass die Verfasser sie nicht ohne Erlaubnis der Stiftung herausgeben dürfen. Auch behält die Gesellschaft sich vor, von den nicht mit dem Preis gekrönten nach Gutfinden Gebrauch zu machen, mit oder ohne Vermeldung des Namens der Verfasser, doch im ersteren Falle nicht ohne ihre Bewilligung. Auch können die Einsender nicht anders Abschriften ihrer Antworten bekommen als auf ihre Kosten. Die Antworten müssen nebst einem versie- gelten Namenszettel. mit einem Denkspruch versehen, eingesandt werden an die Adresse: „Fundatiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST, te Haarlem.” TABLE DES MATIÈRES. Points singuliers des courbes gauches données par les équations: n+rim EN ziek ne WE , par W. A. VERSLUYS. Sur la réduction d’un système quelconque de forces dans l’espace E, à quatre dimensions, par P. H. SCHOUTE. Recherches sur la circulation du sang, par J. L. Hoorwec. La charge de contact entre une paroi poreuse et des solutions salines, par E. vAN DER VEN. Sur quelle échelle s’accomplit le phénomène du transport atmosphérique de sel marin, par Eve. Dugors. 13 . NE 4 i Een aad oe SOENS BEELDT EN) tes rae ED + Fe IER . ‘ x j f zäh ih: etext innert NAT ry 1 Let % X ar fai ! iu © - . é . ‘ Sark) eo oT D BRITEN AY) MR } BYRD EI ANR 250 É : f 5 ms > ~ Pp 1 b u 5 A x r a4 F ned = 4 Py ts tA Sabato NE AE MORT 11 Me TIE “i ANTE ik ME ke | ‘ u a ow Ta wm nen kie TER 4 Kart ri - : Ages SU "1 pui ee | el quel ee HR “Te vl ES 7 ak [CE Bieke Hest ed se ri dan Ad pre TOE EE RON OU A Higgs dde alan Be hat be: EI aie (tfc Jan haar gd oh FONDATION P. TEYLER VAN DER HULST, À HAARLEM. Directeurs. Im BL AOCERE. P. LOOSJES. Mr. A. W. THONE. J. J. VAN OORDE. J. A. FONTEIN. Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Trésorier. P. DROSTE. Conservateur du Cabinet de Physique. Dr. B. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliotheeaire. J. J. VERWIJNEN. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. H. J. SCHOLTEN. Conservateur du cabinet numismatique. Jhr.'H. M. RIDDER BARONET SPEELMAN. MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES. De la première Société ou Société de théologie. Prof. Dr. $. CRAMER. Prof. Dr. I. J. DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VOLTER. Dr. A. C. DUKER. Prof. Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Société. Dr. E. VAN DER VEN. H. J. SCHOLTEN. J°. DE VRIES. Prof. Dr. HUGO DE VRIES. IMO Writs 124 do LILO, Dr. H. J. DE DOMPIERRE DE CHAUFEPIE. POINTS SINGULIERS DES ENOR RENE SG JAT EEN BS DONNÉES PAR LES ÉQUATIONS : n n-+r Ba oder AN GNU, y=t A vrij t x PAR WA VERSEUNYS: CHAPITRE 1. Des singularités de la courbe C (n, r. m). S 1. Introduction. Dans les pages suivantes je me propose d'étudier des points singuliers supérieurs de courbes gauches. Pour fixer les idées j'ai supposé que ces singularités se trouvent sur des courbes gauches rationnelles C (n, r, m) très spéciales dont les coordonnées sont données par les expressions dead n+r+m n et, y= 5 PE Les résultats obtenus pour les points singuliers supérieurs à l’aide de ces courbes rationnelles sont pour le plupart encore vrais pour des points singuliers supérieurs de courbes gauches algébriques quelconques. Les démonstrations se simplifiant nota- blement pour les courbes C (mn, r, m) et ces courbes offrant de précieux contrôles, j'ai eru devoir publier d'abord les démonstra- tions pour ce cas simple, en réservant pour un memoire suivant la démonstration de ces résultats pour le cas que ces singularités se trouvent sur des courbes gauches quelconques Je déterminerai succesivement: 1° le nombre des points doubles : ordinaires qui sont équivalents au point singulier, le nombre des tangentes doubles ordinaires équivalentes à la tangente au point ARCHIVES X. 46 254. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. singulier, et le nombre des plans doubles ordinaires équivalents au plan osculateur au point singulier; 2° le nombre des branches nodales, de la développable D engendrée par les tangentes à la courbe gauche, passant par le point singulier ; 3° le nombre des intersections, coïncidant avec le point singu- lier, de la courbe gauche et de la courbe nodale avec la deuxième surface polaire de la développable D prise par rapport à un point quelconque ; 4° les singularités que présente la courbe nodale au point singulier. Pour les singularités ordinaires ces nombres et l’influence de la singularité sur la courbe nodale ont été déterminés par CREMONA !). La méthode qu’il a inventé pour l'étude des singularités ordi- naires s’est prouvé encore applicable au cas général. Ce mémoire est donc à considérer comme une suite de ces belles recherches de CREMONA. Je me suis donc servi des mêmes notations pour indiquer les singularités ordinaires à exception de celles pour un point ou plan double. Pour ces deux singularités je me suis servi des notations H et G qu'on trouve p.e. dans les ouvrages de SALMON ?) et de B. PascaL à). § 2. Des nombres n, r, m. Considérons une courbe rationnelle, dont les coordonnées sont données par les expressions es N En n+r \o(e — 1) — u — 3(r + 9)!:2, \(n +2r + m—2)(n + 27 + m— 3) — 2r!:2. In | / + w Wes POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 261 La courbe C(n,7,m) étant autopolaire, on a, n+w—£8 + of, où 7 est le nombre de plans bitangents à la courbe C(n, r, m) passant par un point quelconque et où w est le nombre des tangentes doubles de la courbe C (m,r, m), par conséquent, n+o—=|\in+2r+m—2)(n+2r+m—3)—2r;:2 § 6. Les points M, et M, sont les seules singularités de la courbe C(n, r, m). La branche d’une courbe gauche passant par un point ordinaire de cette courbe constitue un cycle du degré un, du rang un et de la classe un. On obtient les singularités les plus simples quand une des 3 quantités degré, rang, classe, devient 2 les deux autres restant un. Les 3 singularités les plus simples sont donc le plan stationnaire : « (1, 1, 2), la tangente stationnaire : 0 (1,2, 1), le point stationnaire : /? (2, 1, 1). En prenant un point quelconque, singulier ou ordinaire, d’une courbe gauche pour l’origine des coordonnées l’axe des x étant la tangente et le plan z—0 étant le plan osculateur, on peut développer les coordonnées d’un point de cette courbe, assez voisin de l’origine, de la manière suivante D ds ye pest Bl où [tf] représente une série entière en ¢, commençant par un terme constant. Pour chaque point ordinaire n + r + m—3 et le développement pour z commence par un terme en #?, d’où il résulte qu'en un point ordinaire le plan osculateur et la courbe ont 3 points consécutifs de commun. Quand le point, choisi pour origine des coordonnées, est un des 3 points singuliers «, 2 ou d,n+r+m=4; la courbe gauche et son plan osculateur en un point «, 0 ou /7 auront done, au point singulier, 4 points consécutifs de commun. Pour chaque singularité supérieure ce nombre de points communs sera encore plus grand que 4, » + r + m étant supérieur à quatre. On peut done trouver tous les points singuliers (sauf les noeuds) d’une courbe gauche en déterminant les points où quatre points 1) HALPHEN. Bull. d. 1. Soc. Math. d. France. T. 6, p. 14. ARCHIVES x. 47 262 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES consécutifs sont dans un plan. Quatre points consécutifs seront dans un plan à la condition que | == x’ y" 2” — 0. a’! y” ft | | allt yy allt | Les paramètres ¢ correspondants aux points singuliers de la courbe C (m,r, m) sont done des racines de l'équation n—1 n+r+m—1 (nr) (nr +m)t n(n—1)t” ” (nt+r)\(nt+r—1)t"? (n+r +m)(n+r +m— nat) (n-2)E"" (n+r)(n+r—1)(n+r- 28" (ntrtm)(n+r+m1)(n+r+m—2)t nt 1 ) n n+r+m—2 n+r+m— ou bien nrm(n+r)(r + m) (n+ r + m) tE — 0. Cette équation n'étant pas satisfaite pour toute valeur de ¢ la courbe C (n, r, m) n’est pas une courbe plane. La courbe C (n, 7, m) ne possède done des points singuliers qu’au point M, correspon- dant au paramètre t=O à la condition que 3n + 2r + m6 et peut-être encore au point correspondant au paramètre =». En développant les coordonnées, y, « et w en fonction de 1 :#($3) on trouve, en effet, que le point M, correspondant au paramètre t— est aussi un point singulier quand on a 3m + 2r + n= 6. Les conditions 3 n + 2r +m > 0 et 3m + 2r + n > 6 sont toujours satisfaites sauf pour le cas que n—r—m—l. La courbe C(n,r,m) ne possède done que 2 points singuliers M, et M,; dans le cas que cette courbe est une cubique gauche les points M, et M, sont aussi des points ordinaires. En déterminant les nombres des points stationnaires réunis aux points M, et M, il faut trouver que la somme de ces 2 nombres soit précisement le nombre total / des points station- naires de la courbe € (n, r, m). De même pour les singularités # et «. Pour un cycle a (1,1,2) on trouve 3n + 2r + m—6— 1. Pour un cycle 6 (1,2, 1) on trouve 3n + 2r + m—6—2. Pour un cycle 7 (2,1,1) on trouve 3n + 2r + m—6—3. On a donc le résultat que le paramètre correspondant à un cycle « est une racine simple, le paramètre correspondant à un cycle # est une racine double et le paramètre correspondant à un cycle /? est une racine triple de l'équation donnant les para- POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, 265 mètres des points pour lesquels quatre points consécutifs sont dans un plan. Ce résultat obtenu pour la courbe spéciale C(n,7,m) se généralise facilement pour toute courbe gauche algébrique. Et plus généralement on obtient pour chaque courbe gauche algébrique le théorème suivant: Le paramètre correspondant à un cycle (n,r,m) est une racine de la quelle le degré de multiplicilé est Bn + 2r + m—6, de l'équation donnant les paramètres des points où quatre points consécutifs de la courbe se trouvent dans un plan. En considérant la courbe corrélative d'une courbe gauche on trouve facilement que par chacun des points >, # et @ il passe 4 plans osculateurs consécutifs. On peut done également déter- miner les paramètres des points /?, 9 et « de la courbe C'(n,r,m) en déterminant les points par lesquels passent 4 plans osculateurs consécutifs !). Soit U —0 Véquation en ¢ donnant les paramètres de ces points. Pour la courbe C (n, r, m) l'équation U = 0 se réduit à ALT 0, A désignant une constante dépendant des exposants n, r et m On retrouve de cette manière que les seules singularités que possède la courbe C'(n,r,m) sont les points M, et M,. On trouve encore facilement le résultat suivant. Les paramètres correspondant respectivement à des cycles „5, 0 et « sont des racines simples, doubles et triples de léquation U — 0, donnant les paramètres correspondant aux points par les quels passent 4 plans osculateurs consécutifs de la courbe gauche. Ou plus généralement: Le paramètre correspondant à un cycle (n,r,m) est une racine dont le degré de multiplicité est Bm +2r +n—6 de l'équation donnant les paramètres des points par lesquels passent quatre plans osculateurs consécutifs. $ 7. Détermination des singularités P,, «,, H,, G,, équivalentes au cycle M, (n r.m). Projetons la courbe C(n,7,m) sur le plan z=0, le centre de projection étant le point à l'infini du plan #—0 pour lequel on a yY:2—lgp. Les coordonnées d’un point de la projection p- seront a= en y == gen ded tg p 1) SALMON, Geometry of three Dimensions, § 324. 264 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. La projection p- possède done au point M, un cycle (n,r). Par rapport aux formules de Prücker et par rapport au genre, un cycle (n,r) est équivalent à n—1 points stationnaires et à | M—3(n—1){:2 noeuds !) ?) où M représente le nombre des intersections de la courbe avec sa première polaire, coïncidantes avec le point M, (n,r). HALPHEN *) et STEPHEN SMITH *) ont donné des expressions pour le nombre M des intersections, réunies en M,, de la courbe avec sa première polaire ou pour le double du nombre des intersections de la courbe avec elle même ou bien encore pour „the discriminantal index”. Dans notre cas ces expres- sions se réduisent à la forme simple M={(n+r)(n—1) +m(q, —1), où g, est le plus grand commun diviseur des nombres n et n + 7, parce que les nombres q, et n+r+ m n'auront pas un facteur commun, les nombres n, r et m ne possèdant pas de facteur commun ($ 2). Le nombre des noeuds équivalents au cycle M, (n, r) sera done d— fn +r—3) (n—1) + m(q,—D}:2 5). Les nombres des points stationnaires x et des noeuds 0 équi- valents au cycle M, (n, r) de la projection p. sont done indépen- dants de la valeur de y, sauf pour les valeurs @ —0 et —x:2. Les points stationnaires + d'une projection sont les projections de points stationnaires / de la courbe gauche ou sont dûs au passage par le centre de projection de tangentes à la courbe gauche. Un point de la projection p. et le point de la courbe O(n,r,m), duquel il est la projection correspondent à la même valeur du paramètre t. Le point M, de la projection est done la projection du point M, de la courbe gauche C (n, r, m) ces 2 points correspondant au paramètre t= 0. La tangente à la courbe C (n, r, m) étant l’axe des X cette tangente ne passe pas par le centre de projection. Les n— 1 points stationnaires de la projection, lesquels 1) CAYLEY, Coll. Math. Papers. Vol. 5. On the higher Sing. of a plane Curve, p. 524. 2) STEPHEN SmirH, On the higher Sing. of plane Curves. Proceedings of the London. Math. Soc. Vol. VI, p. 161. 3) HALPHEN, Mém. d. l’Ac. d. Paris (sav. étr.). T. 26, p. 42 et 50. 4) STEPHEN SMITH, loc. cit., p. 159. 5) A. Brini, Ueber Sing. ebener Curven, etc. Math. Ann. Band 16, p. 400. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 265 coincident avec le point M, sont donc les projections d'autant de points stationnaires /> de la courbe C'(n,r,m), coincidant avec le point M,. Le cycle M, (n,r,m) doit donc compter pour n—1 points stationnaires, ou bien Pr Dkt): De même on démontrerait que le cycle M, (n,r, m) compte ? pour un nombre de points stationnaires Pa, =m—1. La courbe C(n,r, m), ne possédant des points stationnaires /? en dehors des points M, et M, ($ 6), le nombre total des points stationnaires 5 de la courbe C(n,r, m) est Per Fr um — 2, c'est la valeur que nous avons trouvé au $ 5. Le cycle M, (n,r,m) étant le cycle corrélatif du cycle M, (m, r,n) le nombre des plans stationnaires «, Équivalants au cycle M, sera égal à /}, on a donc Er On): De même on aura que le nombre «, des plans stationnaires équivalents au cycle M, sera égal au nombre /, des points stationnaires équivalents au cycle M,, done, Ci ae Le nombre total des plans stationnaires est done (SS 6, 5) a=a,+a¢,—n+m—2. Les noeuds à de la projection p- sont les projections des noeuds effectifs H de la courbe gauche ou sont les intersections du plan de projection avec une bisécante h, de la courbe gauche, passant par le centre de projection. Les noeuds ò de la projection p., qui se trouvent au point M, ne sont pas des noeuds apparants. En effet, s’il en était ainsi il passerait par chaque point de la 1) BJÖRLING, Ueber Raumcurven Singularitäten. Grünert's Archiv der Math. u. Physik, zweite Reihe, Teil 8, 1890, p. 85. ?) BIdRLING, Loc. cit. p. 86. 266 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, droite à l'infini du plan «=O une on plussieurs bisécantes À passant par le point M,. Dans le plan z= 0 se trouveraient alors une infinité de points de la courbe gauche C(n,7r,m), cequi est impossible. Les noeuds de la projection p., qui se trouvent au point M,, sont done les projections d’autant de noeuds effectifs H. Tout point de la courbe O(n,r, m) et sa projection correspon- dant à la même valeur du paramètre 4, le cycle M, (n,r) de la projection est la projection du cycle M, (n,r,m) de la courbe gauche. Les noeuds effectifs qui se projettent en le point M, se trouvent done aussi au point M,. Le cycle M, (n.r,m) est donc équivalent à un nombre de noeuds effectifs H,—=0— {j(n—1){n +r—3) + mq, — 1) !:2. On démontre de la même manière que le eycle M, (m,r,n) est équivalent à un nombre de noeuds effectifs H,=}(m—lim+r—3) + n(q,—1){:2, où q, est le plus grand commun diviseur des nombres m et 7 + m. Le cycle M, (m, r,n) étant un cycle corrélatif du cycle M, (n, r, m) et un noeud H étant la singularité corrélative d'un plan double G. le cycle M, (n,r,m) est équivalent à un nombre de plans doubles G, = H, =} (m— 1) (r+ m—3)+n(q, —1)!:2. De même le cycle M, (m,r,n) est équivalent à un nombre de plans doubles G, = H, =} (n—1)(n+r—3)+m(q, —1)!:2. § 8. Détermination de H et de G. Projetons la courbe C(n r,m) sur le plan z=0, du point M, comme centre de projection, c'est à dire supposons œ —0 ($ 7). Les coordonnées d’un point quelconque de la projection sont at", y= Fiat Supposons d’abord que les nombres n et n + 7 soient premiers entre eux, c'est à dire supposons q, = 1 (§ 7). Sous ces conditions, chaque point de cette projection P, est la projection d'un seul point de la courbe C(n,7,m), ou bien la projection P. est une POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 267 courbe simple. C’est un théorème connu et facile à vérifier que la courbe P_(x— 1", y = t""") possède deux singularités M, (z = 0, y— 0, u—= 1) et M,(x—0, y—1, u—0) et n'en possède pas d'autres ') ($ 2). Chaque noeud, point stationnaire, on tangente singulière de la courbe C(n,7r,m) se projetant en un noeud, point stationnaire on tangente stationnaire de la projection P., la courbe O(n,r,m) ne possède d’autres noeuds H, points stationnaires (2 ou tangentes ÿ et @ que ceux réunis aux points M, et M, (le point M, est la projection du point M,). Quand q, > 1 chaque point de la projection P. est la projection de q, points de la courbe C(n,r,m) et un noeud H de la courbe C'(n,r,m) pourait n n+? se projeter en un point ordinaire de la projection P. (sr, Gb: ) la quelle ne possède d’autres singularités que celles réunies aux points M, et M,. Envisageous alors les projections orthogonales n+r a.) 128 res Be: 2 — t 13 n n a) B (a ET de la courbe C(n,7,m), sur les plans des coordonnées «= 0, et y = 0 et la projection m Sen) ar (i == ge x — t a / sur le plan de l'infini, l'origine M, étant le centre de projection. Quand une de ces projections est une courbe simple, c'est à dire, quand un des plus grands communs diviseurs q,, q, ou g, est Punité, on peut démontrer, en raisonnent sur cette courbe simple comme on vient de le faire sur la courbe P., que la courbe O(n,r, m) ne possède pas des singularités H, ?, # ou w en dehors des points M, et M, ($ 6). Quand aucune de ces 4 projections est une courbe simple on peut démontrer de la manière suivante que la courbe C (n, 7, m) ne possède pas des noeuds H en dehors des points M, et M,. En effet, supposons que la courbe C(n,7,m) possède un noeud H, qui ne coïncide pas avec un des points M, et M,. Ce noeud H se projette en un point ordinaire de la projection P. à la con- 1) HALPHEN, Mém. d. Ac. d. Paris, (sav. étr.) T. 26, p. 54 (exemple). 268 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. dition que le plan d, déterminé par les 2 tangentes à la courbe C (m,r, m) au point H passe par le centre de projection M,. De même quand le noeud H se projette sur le plan de l'infini en un point ordinaire de la projection P,, le plan d déterminé par les 2 tangentes à la courbe C'(n,r,m) au point H passe par le centre de projection M,. Le plan d passe done par les points M, et M,, done passe par l’axe des z. De même on démontrerait que ce plan d devrait passer par les axes des x et des y, cequi est impos- sible. La courbe C(n,7,m) ne possède done pas des noeuds en dehors des points 47, et M, Ce résultat est aussi une conséquence immédiate de ceque les coordonnées x, y, 2 d’un point de la courbe C'(n,r,m) ne peuvent pas obtenir toutes les 3 les mêmes valeurs pour deux paramètres distincts t, et {, ($ 2). Ce résultat est obtenu ici par une méthode qui a l'avantage d’être encore applicable pour démontrer que la courbe C(n,r,m) ne possède pas, en dehors des points M, et 47, des singularités >, 6, (§ 6) ouw ($ 9). Nous avons vu au $ 7 que les nombres H, et H, des noeuds effectifs réunis aux points M, et M, sont A, = }\in— lin +r—3) + m(q, —1)|:2, H, = ml) (r+ m—3)+ n(q,—1){ :2. Le nombre total des noeuds effectifs H étant H, + H, on trouve H=\(n+r+m—=3) (in +m — 2) —m(n — q4,) —n (m — 9,)} :2. De cette valeur du nombre H et de la valeur h+H=irn+r+m—-)+n+m—2) n+r+m 33122, déterminée au $ 5 on déduit que le nombre des noeuds apparents h est h=jr(n+r+m—l1l) + m(n—g,) +n(m—q,) } 2. La courbe corrélative de la courbe C(n,7,m) étant une courbe de la même espèce que la courbe C'(n,r,m) (§ 4). le nombre H’ des noeuds effectifs de la courbe corrélative sera égal à H. Chaque noeud H’ de la courbe corrélative correspondant à un plan double G de la courbe C(n,7,m), le nombre des plan doubles G de la courbe C (m,r, m) ser: Gn + r + m3) (n + m — 2) — m (n — q,)—n (mg): 2 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, 269 et ces plans doubles coïncident tous avec les plans oseulateurs z—=0 et u— 0 de la courbe C(n,7,m) aux points M, et M,. $ 9. Détermination des singularités 0, et w, équivalentes au cycle M, (n,r,m). Envisageons comme au $ 7 la projection n + CN PAL +r+m n pP: @=t', y-t 99) de la courbe C(n,7,m) sur le plan z=0, le centre de projection étant un point de la droite à Vinfini du plan # = 0. Le cycle corrélatif du cycle M, (n,r) de la projection p. est un cycle == En y= i Fr ne ART tif, Ce cycle corrélatif est équivalent à r—1 points stationnaires et à brl) (r + n— 3) + m(q, —1)}:2 noeuds, le plus grand commun diviseur g, des nombre et n + r étant aussi le plus grand commun diviseur des nombres r et n +r. Le cycle MW, (n,r) de la projection p- est done équivalent à r— 1 tangentes stationnaires « et à |(r— N) (r+n—3) +m(q,—1){:2 tangentes doubles 7. Une tangente stationnaire « de la projection p- est la projection d’une tangente stationnaire 0 de la courbe C(n,r,m) ou est intersection du plan de projection 20 avec un plan osculateur de la courbe passant par le centre de projec- tion. Le terme constant — rm (r+ m)t" "7" ($ 4) de l'équation du plan osculateur ne s’annulant que pour {—0, le seul plan osculateur de la courbe C(n,7,m) passant par l’origine M, est le plan oseulateur au point correspondant au paramètre f= 0, c'est à dire au point M,. Le seul plan osculateur passant par l’axe des x est donc le plan z=0. Ce plan z2—0 ne passe pas par un centre de projection pris arbitrairement sur la droite de l’infini du plan #—0. La tangente à la projection p. au point M,, c'est à dire, l'axe des 2 est done la projection de r—1 tangentes stationnaires. La tangente à la courbe C(n,r, m) dont l’axe des x est la projection étant l'axe des x lui même, la tangente au point M, doit compter pour r—1 tangentes stationnaires # de 1) HALPHEN, Mém. de l’Ac. d. Paris (sav. étr.). T. 26, p. 43— 44. ARCHIVES X. 48 270 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. la courbe C'(n,r,m). Ou bien le nombre des tangentes station- naires équivalentes au cycle 47, (n,r,m) est 6, =r—l. De même on trouve que le nombre des tangentes stationnaires équivalentes au cycle M, (m,r,n) est =P Nous avons démontré au $ 6 que la courbe C(n,7,m) ne possède pas des tangentes stationnaires en dehors des cycles 47, et 47,. Le nombre total des tangentes stationnaires de la courbe ((n,r, m) est donc 0— 06, + 6, = 2r —2, cequi est précisément le nombre pour 9 trouvé au $ 5 au moyen des formules de CAYLEY-PLÜCKER. Une tangente double r de la projection p. est la projection d'un tangente double « de la courbe C(n,7,m) ou est l'intersection du plan de projection z— 0 avec un plan 7 passant par le centre de projection, un plan # contenant deux tangentes non consécu- tives de la courbe gauche. Supposons que la tangente double de la projection laquelle coïncide avec l’axe des x est l'intersection d’un plan 7 avec le plan de projection z2— 0. La droite à linfini du plan #— 0, où se trouve le centre de projection n'étant pas dans un plan avec l’axe des x, il passerait par l’axe des x une infinité de plans 7, puisque le nombre r des tangentes doubles ne varie pas en changeant 4 ou bien en changeant la position du centre de projection. Dans chaque plan 7 se trouvent 2 tangentes non consécutives de la courbe gauche. Par conséquent, l’axe des x rencontrerait une infinité de génératrices de la développable D engendrée par ces tangentes, cequi est impossible. L’axe des x est done un tangente double de la projection parcequ'il est une tangente multiple de la courbe C(n,r, m). L’axe des x doit done 3) -+ m(q,—1){:2 tangentes doubles de la courbe C(n,7,m), ou bien le nombre des tangentes doubles de la courbe C(n,7,m) équivalentes au cycle 47, (n,r,m) est compter pour }(r—1)(n +7 o, = \r—D)(n +r—35)+m(q, —1)!:2. De même le cycle 4, (m,r,n) est équivalent à wa —=\r —-D)m+r—3)+n(g, —1)} 2 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 271 tangentes doubles, q, étant le plus grand commun diviseur des nombres r et m. Les quatre projections de la courbe C'{n,r,m) sur les 4 faces du tétraèdre de référence, les sommets opposés étant les centres de projection ($ 8) sont des courbes simples où multiples de la forme Ces projections ne possèdent pas des tangentes doubles 7 en dehors des 2 cycles (N, M) et (M, N). Une tangente double @ de la courbe gauche se projette toujours en une tangente double r de la projection sauf dans le cas que la tangente w passe par le centre de projection. Mais aucune des 4 projections P,, P,, P. et P, de la courbe C'(n,r,m) ne présentant une tangente double ordinaire, la tangente double » devrait passer par les 4 sommets M,, M,, M, et M, du tétraèdre de référence, ce qui est impossible. Par conséquent, la courbe C(n,r,m) ne possède pas des tangentes doubles w en dehors des tangentes aux points singuliers 47, et M,. Le nombre total des tangentes doubles de la courbe C{n,r,m) est donc o=o, +w,—}(r—1l)(n + 2r+m—6)+m(, —1)+n(q,—1): 2. $ 10. De la génératrice singulière g, (x —0, y — 0). L'axe des x étant, en général, une tangente singulière de la courbe C'(n,r,m) au point 47, (n,r,m), l'axe des x est également une génératrice singulière de la développable D engendrée par les tangentes à la courbe C'(n,r,m). Examinons de plus près la section S de cette développable par un plan «=p, p étant quel- conque. Les coordonnées d'un point quelconque P de la dévelop- pable D sont données par les expressions suivantes, et" + Ini", y= t Fl (nt) tr?” 1 a \ u 1 zt" "TP bn ter + mt TER, Quand le paramètre ¢ reste constant et le paramètre / varie le point P parcourt une génératrice de la développable D. Pour les points P situés dans le plan « — p les paramètres ¢ et / satisfont à la relation 48* DT POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, = il 1 De HEE Int” d'où n r = 4 n T — / Sr JP La tf 1 y t a Sr P a (n Ar r) t Ee == P (n 2) | = RAE | ne n | p(n-+ r) | N rm n nr am —H nr tm nm +: Y | THEM t Pe 12 4 (Mtr MM) ues 1__ p(n dar nyt en il TEM mer 7 p(n+r+m)\ ny nz À “| rt > ISC SIEH ==. SSS 4). — ES 18 == t 1 —_ — ee =: > Bosons y, DURS) = FO ei Spe | pin +Tr) | les coordonnées d’un point de la section seront m (r+ m) p (n + r) (= 7 > 710) RE ME [rt ete Le point d’intersection de l'axe des x avec le plan sécant «= p correspond au paramètre T— 0. Ce point P, correspondant au paramètre T—0 est un point de la section S où cette section présente un cycle (r, m). Ce cycle (r, m) est équivalent à r— 1 points stationnaires x, à m — 1 tangentes stationnaires 4, à {(r — 1) (r + m—3)+n(q,—1)}:2 noeuds 0 et à |m—1)(r + m—3) + n(q, —1)}:2 tangentes doubles r de la section S, q, étant le plus grand commun diviseur des nombres r et m ($ 7). Chaque point stationnaire x de la section S est l’intersection du plan sécant p — 0 avec l’arête de rebrousement ou avec une génératrice station- naire 0. Les r— 1 points stationnaires x équivalents au cycle (r, m) ne sont pas dis à la rencontre du plan «=p avec l’aröte de rebroussement, puisqu'on trouve le même résultat pour toute valeur du paramètre p (sauf p —0 et p=), et il est impossible que tout point de l'axe des x soit un point de l’arête de rebroussement. Le point de rencontre P, du plan x =p avec l'axe des z comp- tant pour r— 1 points stationnaires, l’axe des x est équivalent à r— 1 tangentes stationnaires 0, résultat que nous avons déjà obtenu d’une autre manière au $ 9 4). Le cycle (r, m) de la section S étant équivalent à m—1 tangentes stationnaires « on 1 °JORLING, loc. cit. p. 86. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 273 trouve d’une manière analogue que le plan 20, qui contient 5 | | | la tangente au cycle (7, m), est équivalent à m—1 plans station- naires «, résultat déjà obtenu au $ 7. Le cycle (r, m) de la section S étant équivalent à }(m— 1) r+m—3) + n(q, —1){:2 tangentes doubles, on conclut que le l2 5 , i plan z—0 est équivalent à autant de plans doubles G, ce qu’on a trouvé aussi au $ 7. Les noeuds de la section S sont les points de rencontre du plan x =p avec des branches de la courbe nodale &, on avec des géné- ratrices doubles » ou sont des points où le plan sécant se trouve être tangent à la développable D ou à son arête de rebroussement C (n, r‚ m). Le plan tangent à la développable D au point P, est le plan z2—0 et l’arête de rebroussement C(n,7,m) ne rencontre l'axe des # qu’à l'origine des coordonnées M,, le plan sécant «= p n’est done pas tangent au point Py à la développable D ou à la courbe C(n,r, m). Il est impossible qu'il passerait une branche de la courbe nodale § par le point P,, puis qu'on peut choisir pour point P, tout point de l’axe des x et chaque point de l'axe des x ferait alors partie de la courbe nodale &, cequi est impossible. Les noeuds réunis au point Py, c'est à dire équivalents au cycle (r, m) sont done dûs à la rencontre d'une génératrice multiple. Le cycle (r, m) étant équivalent à }(r—1)(r +m—3) +n(q,—1){:2 noeuds l’axe des x est une génératrice multiple g, qui doit compter pour wo, = }(r—1) (r +m—3) +n (q, —1){:2 génératrices doubles ordinaires de la développable D. Le nombre 0 des noeuds équivalents au cyele (r, m) est indé- pendant du paramètre p, sauf pour les valeurs p — 0 et p— +. Par le point Py il passe r branches de la section S tangentes au plan 2— 0, par conséquent, il passe par la génératrice g, r nappes de la développable D et ces r nappes sont toutes tangentes au plan z— 0, lelong de la génératrice g, (l’axes des x). Quand 2 de ces r nappes se pénètrent lelong d’une branche de la courbe nodale, coupant la génératrice g, au point Q, le point Q doit compter pour un nombre de noeuds plus grand que 0. Le nombre 0, restant le même pour les points de la génératrice 91, sauf pour les points M, et M, correspondant aux paramètres p—0 et p=w, on obtient le résultat: 274 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. La génératrice g, ne peut rencontrer des branches de la courbe nodale, lelong des quelles 2 nappes passant par g, se pénètrent, qu'aux points M, et M,. On verra au $ 12, qu’en général, la génératrice g, rencontrera au point M, des branches nodales lelong des quelles se pénètrent les r nappes tangentes lelong de g,. Au § 9 nous avons vu que l’axe des x doit compter pour (Tt 9) Zone NE tangentes doubles w de l'arête de rebroussement C(n,r, m). En général, on aura done o,’>+,, par conséquent, l'axe des x ne doit pas compter pour autant de génératrices doubles que de tangentes doubles, tandis que toute génératrice double ordinaire © est à la fois une tangente double ordinaire » On a done le théorème. Une tangente singulière supérieure ne comple pas nécessairement pour autant de tangentes doubles que de génératrices doubles (S$ 39, 43, 44). Ce théorème trouvé pour le cas que la génératrice singulière est tangente au cycle (n, r, m) est encore vrai quand la génératrice singulière est tangente à 2 branches distinctes de l’arête de rebrous- sement. Par exemple, si une droite g est tangente à 2 branches d’une courbe gauche en 2 points distincts ordinaires et quand coïneident les plans osculateurs aux 2 points de contact, la droite g compte pour une tangente double ordinaire w mais compte pour 2 géné- 'atrices doubles w’. Autre exemple. Quand une droite g est tangente au même point à deux branches distinctes d’une courbe gauche, le point de contact étant un point ordinaire sur les 2 branches et quand les 2 plans osculateurs sont distincts, la droite g compte pour 2 tangentes w mais pour tine génératrice double w’. Dès qu’une courbe gauche possède des points singuliers supé- rieurs ou des tangentes doubles singulières le nombre » entrant dans les formules de Cayzey—PLücker se rapportant à des sections n’est pas le même que le nombre w entrant dans ces formules se rapportant à des projections, ou bien les w entrant dans les termes E + et 7 +w ne sont pas les mêmes. D'une relation POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, 219 E+o—=17+u on ne peut done plus tirer £— ». Le cycle M, (n,r, m) étant équivalent à un nombre de généra- . 1 PEUT] | F trices doubles wo, = }(r—1) (r+ m—3) + n(q, —1)|:2, on trouve en changeant n en m et vice-versa que le second cycle M, (m,r,n) est équivalent à un nombre de génératrices doubles 0 = }(r—1) (r+ n—3) + m(q,—1){:2 cequi est précisément le nombre », des tangentes doubles équi- valentes au cycle 47, (n,7r,m). On a done les relations / / Di Wy 9 Wy SW: Une génératrice double de la développable D, étant en même temps une tangente stationnaire # ou une tangente double @, la développable D ne possède pas d’autres génératrices doubles que les tangentes aux points WM, et M,, parce que ces 2 tangentes sont les seules tangentes stationnaires ($ 6) et les seules tangentes doubles ($ 9) que possède la courbe C(n,7,m). Le nombre total des génératrices doubles w’ de la développable D est done o =a," +0, =}(r—1) (n+ 2r + m—6) + m(q, —1) +n(g; —1{:2. C'est la valeur trouvée au § 9 pour le nombre des tangentes doubles, on a done pour la courbe C (m,r, m) le résultat / ID S 11. Des points À et des intersections de la courbe C (m,r, m) avec A? D. Une courbe gauche peut encore posséder des tangentes qui rencontrent la courbe gauche encore une fois endehors du point de contact. Ces tangentes sécantes sont des tangentes À et le point de rencontre avec la courbe gauche porte le nom de point À Ces points À sont des points triples de la développable D et des points de rebroussement de la courbe nodale !). Pour déterminer le nombre de ces points À examinons les intersections de la courbe 1) Cremona — CURTZE, Oberflächen, § 104. 276 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. C'(n,r,m) avec la deuxième surface polaire A? D de la dévelop- pable D, prise par rapport à un point quelconque P. La développable D étant du degré e—n + 2r +m (§ 4), la deuxième surface polaire A? D sera du degré n+2r +m—2. La courbe C(n,r,m) étant du degré » —n + r + m ($ 4) le nombre total des intersections de la courbe C(n,r,m) avec la deuxième surface polaire A? D sera (n+ 2r +m—2)(n + r + m). Ces intersections sont: 1° les points de la courbe C(n, r, m) qui sont des points triples ou d’une multiplicité supérieure de la développable D; 2° les points C de la courbe C(n,r,m) dont les plans osculateurs passent par le point P, chaque point C étant un point triple de l'intersection de la développable D avec le plan osculateur correspondant !). Les points de la courbe C'(n,7r,m), qui sont les points triples ou d’une multiplicité supérieure de la développable D sont les points M,, M,, 7, H, 4 et les points de contact des tangentes stationnaires # et des génératrices doubles a’. Posons que ces points comptent respectivement pour les nombres d’intersections, M, M,, N,, N., N,, N, et N, et supposons que les nombres de ces singularités ordinaires non-coincidantes avec les points 47, et M, soient f?, H, À, 0 et «”. Les points de contact C des plans osculateurs passant par le point P sont au nombre de u—=n+tr+m ($4) et CREMONA annonce ?), cequ’on vérifié facilement, que chacun de ces points C compte pour ? intersec- tions de l’arête de rebroussement avec A? D. On obtient done la relation suivante (n+ r+ m) (n+ 2r + m— 2) =2(n+r+m)+ M,+M,+N, Pt at Ng cll Ne AN, OS Nem OCR eee Les équations d’une génératrice quelconque de la développable D sont (§ 4) m + r) t’ x— ny —rt"*” —0, r+m n+r+m TA 0 Mer m) x — nz —(r + mt En éliminant le paramètre ¢ entre ces 2 équations on obtient 1) Cremona — CURTZE, Oberflächen, Cap. IV. 2) CREMONA —CURTZE, Oberflächen, § 104. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 211 l'équation de la développable D. Le poids ') de cet éliminant sera (m + r) (n + r + m). C’est à dire, si l’on donne aux variables æ, y et z les indices, nn n+r et n + r + m, la somme de ces indices dans chaque terme de l'équation de la développable sera (n + r) (n + r + m). Par conséquent, en substituant +r +r4 a ee ene EL NC SCIE dans l'équation de la développable on obtient une équation en f dont tous les termes sont du degré (n + r)(n + r + m). En substi- tuant les valeurs (2) dans l’équation de la deuxième surface polaire, les termes du degré le moins elevé en f sont les termes obtenus en différentiant deux fois par rapport à z Le terme de l'équation A? D(t)—0 du degré le moins elevé en tf sera done du degré (n +r—2)(n + r + m). Il étant encore possible que le coefficient de ce terme s’annule on peut seulement conclure que le nombre des racines nulles est au moins (n+r—2)(n+r+ m). Chaque racine de l'équation A? D(t) —0 étant le paramètre d’un point d’intersection de la courbe C (n,r,m) avec la deuxième surface polaire A? D on trouve que le point M, correspondant au paramètre {— 0 compte pour (n + r—2) (n + r +m) intersections au moins. Supposons done M,=(n+7r—2) (n+ r + m) + A, A étant un entier positif ou nul. De même le nombre des intersections de la courbe € (n, 7, m) avec la surface A? D les quelles coincident avec le point 17, (m,r, 7) sera M, =(m + r—2) (n + r + m) + B, B étant un entier positif ou nul. L’équation (1) de tantôt devient done (n Hr Hm) (n+ 2r + m—2) =2 (n + r Hm) + (n Jr — 2) x | X(n Hr Hm) + A + (m+ r — 2) (n + r +m) + EBENEN HN, Ate Ne dek Noa d'où A+B+N,f+N,H+N,A+N,6+ N, 0 =0. 1) SALMON, Modern Higher Algebra, § 71. ARCHIVES X. 49 278 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. Chacun des 5 nombres N étant au moins un et aucun des nombres A, B, f?, H, 4, 0 et o’ n'étant négatif ces derniers nombres sont tous nulles. On retrouve donc le résultat que la courbe C (n, r, m) ne posède pas des singularités /3 (§ 6), H (§ 8), # (§ 6), © ($ 10) en dehors des points 47, et M,. En outre, on trouve que le nombre À des points de rencontre des courbes C(n,r,m) et £, qui sont des points de rebroussement de la nodale et se trouvent en dehors des points M, et M,, est nulle. Les nombres À et B étant nulles on obtient le théorème. Les cycles M, (n,r,m), M, (m,r,n) comptent respectivement pour (n+ r—2)(n+r+m) et (m+r—2){(n + r + m) intersections de Varéte de rebrousement O(n,r,m) avec la deuxième surface polaire A? D. On peut encore énoncer le théorème précédant de la manière suivante. La présence d'un cycle M (n,r, m) diminue de (n +r—2)(n+r-+ m) le nombre À des points de rebroussement 4 de la courbe modale, les quels peuvent se trouver sur la courbe gauche en dehors du cycle M (n,7,m). L’accroissement A étant nulle, il faut conclure que le coefficient du terme, lequel est du degré (n+r—2)(n+r+m) en #, de l’equation a? D(t)—0, ne s’annule pas. En posant n=2, m—r—1 le cycle M, (n,r, m) se réduit à un rebroussement ordinaire /? et (n+r—2) (n +7 + m)—4, cequi donne le résultat déjà trouvé par CREMONA !): Un point stationnaire P compte pour 4 intersections de Varête de rebroussement avec A? D. En posant r—2, m—=n=1 le cycle M, (n,r,m) se réduit à une branche présentant une tangente stationnaire 6 et (n + r — 2) (n +r+m)—4, cequi donne le résultat déjà trouvé par CREMONA 2): 1) CREMONA — CURTZE, Oberflächen. § 108. 2) CREMONA —CURTZE, Oberflächen. § 100. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 279 Le point de contact d'une tangente stationnaire 6 compte pour 4 intersections de l’arête de rebroussement avec A* D. Quand les Z,, H,, #, et o,’ singularités ordinaires, qui sont équivalentes au cycle M, (n,r,m) étaient des singularités isolées, elles compteraient chacune pour 4 intersections !) de l'arête de rebroussement avec la surface A? D. Ces singularités compteraient alors pour ($$ 7, 9, 10) le nombre d’intersections suivant A(B HH, +0, Ho’) =4[n— 1)+}(n—1) (n+7r—3)+m(q;—1f:2+ + (r—1) + frl) (r +m—3) +n(g, — 1): 2] — 9 [(n +r+m—1)( mn +r—2)— m (n— gj) —n(r— go), en général, ce nombre n'est pas égal au nombre M, de ces inter- sections coincidant avec le cycle M, (n,r,m). Par conséquent, quand /, points stationnaires, H, noeuds effectifs, #, tangentes stationnaires et w,’ génératrices doubles distincts d’une courbe gauche se réunissent pour constituer un cycle 4, (n,r,»), le nombre des points stationnaires 4 de la courbe nodale se trouvant en dehors du cycle M, (n,r,m) ne sera pas égal au nombre des points À que présente la courbe quand ces singularités ordinaires sont séparées. CHAPITRE II. Des courbes nodales de la développable VP. $ 12. Des sections par les plans des coordonnées. Les coordonnées d'un point quelconque de la développable D sont xt" + Int", Fr url 2 yat'"+lim+r)t" SUN hc. St te, AN TEE) os or ae L(n gs eid m) an A nt Pour les points de la développable D, qui se trouvent dans le plan z= 0 les paramètres ¢ et / satisfont à la relation (=e mc Lin + r + m) etc ? 1) CREMONA—CURTZE. Oberflächen, § 104. 49* 280 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. d’où I=—t:m+r+m) ou t—0. L’intersection de la développable D avec le plan z— 0 consiste done en 2 parties, savoir une partie courbe S; correspondant à la solution {= —t:(n+r+ m) et en une génératrice correspondant à la solution {—0. Les coordonnées d’un point de la courbe S. sont 4 gi n En iP +m gn ie n+tr+m n+r+m ? 5 nr n TS Ir nr m u+r y Ar tm n+r+tm L’équation de cette courbe S, est done n+r N AS TEE AJ N PONG NEE | r+m | | m ar gq, étant le plus grand commun diviseur des nombres n et r. Chaque point de la section S. correspondant à q, valeurs distinctes du paramètre {, par chaque point de la section S. il passe q, génératrices de la développable D, ou bien la section S. est une courbe nodale dont le degré de multiplicité est q,. L’intersection totale de la développable D avec le plan 2—0 consiste done en la courbe S, du degré (n +r):q,, laquelle doit compter q, fois et en la tangente à la courbe O(n,r, m) au point correspondant au paramètre {—=0, c'est à dire en l’axe des x. Nous avons vu au $ 10, qu’au point de rencontre /, de l’axe des x avec le plan «=p, la section S possède un cycle de l’ordre r et de la classe m. La tangente à la section S au point P;(r,m) y a de commun 7+ m points consécutifs avec la section S et cette tangente se trouve dans le plan z—0. L’axe des x doit done compter pour r + génératrices communes de la développable D et du plan z=0. L’intersection totale de la développable D avec le plan z=0 est done du degré (r + n) + (r + m) =n + 2r + m, cequi est précisément la valeur trouvé au $ 4 pour le rang de la courbe O(n, r, m). Supposons que la génératrice g,, c'est à dire l’axe des x, rencontre une nappe de la développable D au point À. Chaque plan passant par g, coupe cette nappe suivant une branche de la courbe de section, et cette branche passe par le point R. De l’équation de la POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 281 section S. on tire directement que l’axe des x rencontre cette section S. seulement au point M,. Par conséquent, l'axe des x, ow bien la génératrice singulière g,, ne rencontre aucune nappe de la développable D en dehors du point M On peut énoncer ce théorème encore de la manière suivante. La génératrice singulière g, ne rencontre d'autres génératrices de la développable D que les génératrices consécutives qu’elle rencontre au point singulier M,. La génératrice g, ne rencontrant des nappes de la développable D et les r nappes passant par la génératrice g, ne se pénétrant que peut-être aux points #7, et WM, (§ 10), la génératrice g, ne peut rencontrer des branches de la courbe nodale qu'aux points M, et #,. Nous verrons qu'en général, la génératrice g, rencontre, en effet, des branches de la courbe nodale aux points M, et M.. Pour les points de la développable D, qui se trouvent à l’infini, il faut que les paramètres / et { soient choisis de manière à rendre infiniment grandes les coordonnées x, y et z (1). Ces coordonnées seront infiniment grandes 1° quand {— et 2° quand =». L'intersection totale de la développable D avec le plan de l'infini consiste done en 2 parties, 1° la tangente à la courbe C'(n, 1, m) au point M,, correspondant au paramètre {— w et 2° une courbe S,. En substituant /— oo dans les expressions (1) ou trouve pour les coordonnées d’un point de la courbe S,, x a y 2 > m (n+r +m) t (m+ r)t n+rtm-1 ° L’équation de la section S, sera done r+m r m Ih" y | Gj he ZEN || % Im + r| Im+r+m| 7, étant le plus grand commun diviseur des nombres r et m. On trouve facilement que la courbe S, est une courbe nodale dont le degré de multiplicité est q, et que l'intersection totale de la développable D avec le plan de l'infini consiste en la courbe S, du degré (r + m):q, comptée q, fois et en la tangente à la courbe C(n,r,m) au point M, comptée n + r fois. Coupons la développable D par le plan #—0; les paramètres let ¢ des points de cette section satisfont à la relation 282 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, DS ren d’où EU) on bii L’intersection totale consiste done de nouveau en une courbe S, correspondant au paramètre /——1{:n et une génératrice tangente à la courbe C'(n,r,") au point correspondant au para- métre {— 0, c'est à dire l’axe des x. L’axe des x ne se trouvant pas dans le plan æ—0, la partie de l’intersection totale corres- pondant à la valeur nulle du paramètre ¢ se réduit à un point. En substituant dans l'équation d’un plan quelconque les expres- sions (1), ou obtient une équation en ¢ du degré. n + r+ m, tandis- que pour le plan æ—0 nous venons de trouver une équation en t du degré n Il faut donc ajouter aux solutions (2) la solution t=, Dans le plan « — 0 se trouve en effet la génératrice g, tangente à la courbe C(n,7,m) au point M, correspondant au paramètre tx. Le plan tangent à la développable D lelong de la géné- ratrice g, étant le plan de l'infini u=0 (§ 3) et la génératrice g, étant une génératrice d'un degré de multiplicité r, la généra- trice 9, compte r fois dans l'intersection totale. Les coordonnées d’un point de la courbe #,; sont Dunn Bl ner em L’équation de la courbe S, est done n Ee +m n+r (=, da ek r W Nn 2 q, étant le plus grand commun diviseur des nombres m et n + 7. L’intersection totale consiste done en la courbe S, du degré (n +r+m):q, comptée q, fois et en la génératrice g, (x—0, uw — 0) comptée r fois. L’intersection totale est done du degré n + 27 + m— eo. Les paramètres / et ¢ des points de la développable D situés dans le plan y — 0 satisfont à l'équation Ode hws rete, d’où UN OUT —— 4 mon): L’intersection totale de la développable D avec le plan y — 0 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 283 consiste done en la génératrice g, tangente à la courbe C (n, r, m) au point M, et en une partie courbe S, . La génératrice g, (y —2—0), laquelle se trouve en effet dans le plan y — 0, est une génératrice d'un degré de multiplieité r et le plan tangent à la développable D lelong de la génératrice q, étant le plan z2—0, la génératrice g, doit compter r fois dans l'intersection totale. Les coordonnées d’un point de la courbe S, sont rt N m PL +r+m L aa M= ndr L’&quation de la courbe S, est donc n+r+m n \® (n |, 5 | Se (n 9) de | r | oi m mer où q, est le plus grand commun diviseur des nombres n et r+ m. L'intersection totale de la développable D avec le plan y—0, consiste done en la courbe S, du degré (n + r + »):q,, laquelle compte q, fois et en la génératrice g, comptée r fois. L’intersec- tion totale est done du degré n + 2r + m. $ 13. Du degré de la courbe nodale gauche et de la classe de la développable bitangente. Nous avous trouvé aux §§ 5 et 10 Wei + w= }(n + 27 + m—2)(n + 27 + m— 3)—2r}: 2, wo = }(r —1) (n+ 27 +m—6) + m(q,—1) + n(q,—1)}: 2. La courbe nodale & de la développable D est done du degré En +2r+m—A4)(n+r+m)—m(g, —1)—n(q, —1)}:2. Cette courbe nodale & consiste en les nodales planes S,, S,, S. et #, (quand les nombres q,, q,, q, et q, sont plus grands que l’unité) et en une partie restante & dont je démontrerai aux $$ 17 et 24 qu’elle est une courbe gauche. La courbe nodale plane S, est du degré (n + r):q, et son degré de multiplicité est g,. La courbe nodale plane S, est done &qui- valente à une courbe double du degré (n + r) (¢, —1): 2. De même ou trouve facilement que les courbes multiples S,, S, et S, sont respectivement équivalentes à des courbes doubles des degrés 284 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. (r +) (qi —1):9, (n + 7 + m) (g, —1):2. (n +r+m)(g, —1):2. Le degré de la courbe nodale restante est donc & = §—(n+7r) (q, —1):2—(r+m)(q, —1):2— —(n+r+m)(q, —1):2—(n+r+»)(g, —1):2= = (n +7 +m) (n+ 27 +m — Qi — I — I; — Ws)? 2, en posant pour simplifier N=(n+2r+m — 4, — 1% —9; —Q): 2; on à Z— N (n + r +). Nous avons trouvé au $ 10 qui le nombre » des tangentes doubles de la courbe C (m,r, m) est égal au nombre ’ des généra- trices doubles. La courbe C(n,7,m) étant une courbe autopolaire nous avous ($ 5) Eto’ =de. Par conséquent, 7 — 8, c'est à dire la classe de la développable bitangente est égale au degré de la courbe nodale De même que la courbe nodale & cette développable bitangente se décompose Les coordonnées d'un point de la projection orthogonale P_ de la courbe C(n,r,») sur le plan z2—0 sont T — fi y — fr +r wv » i ; © Le plus grand commun diviseur des nombres n et n +7 étant q,;, chaque point de cette projection P. est la projection de q, points distincts de la courbe C{n,r,m) Par conséquent, tout plan tangent an cylindre projetant est un plan tangent multiple de la courbe C(n,r,m), son degré de multiplicité étant q,. Un plan tangent à ce cylindre projetant compte done pour q, (gi —1):2 plants bitangents 7. L’équation du cylindre projetant, ou bien de la courbe ?. étant ce cylindre (autopolaire) est de la classe (n+r):q,. Ce cylindre est donc équivalent à une développable bitangente de la classe Qu + 7) (gs —1):2. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 285 De même ou trouve facilement que les cylindres droits proje- tant sur les plans #—0 et y—0 et le cône projetant dont le point M, est le sommet sont équivalents à des développables bitangentes, respectivement de la classe (n + r +m) (q, — 1): 2, (n+r+m)(q,—1):2 (r + m) (q, —1):2 La développable bitangente 7 se décompose done en ces 4 cônes et en une développable restante de la classe "—=N(n+r-+m). $ 14. Des nombres q,, qa, U3. In et N. Par définition q, est le plus grand commun diviseur des nom- bres n et r ($ 7), q, est le P.G.C. D. des nombres r et m ($ 7), q, est le P. G.C. D. des nombres m et n +r (§ 8) ’ q, est le P.G.C.D. des nombres n et r + m (§ 8). De ces définitions on déduit facilement les conséquences suivantes. Quand n=1'on aura 9, =q, =], q, et q, étant des divi- seurs de 7. Quand r—1 on aura 9, =%=l1, 9, et q, étant des divi- seurs de 7. Quand m— 1 on aura q, —q;—1l, 9, et qz étant des divi- seurs de m. Si 2 des 4 nombres q sont égaux ou possèdent un facteur commun les 3 nombres n, r et m ont un facteur commun. Par définition les 3 nombres n, 7 et m n’ont pas de facteur commun 6 2) qui sont plus grands que l’unité et sont égaux ou qui possèdent un facteur commun plus grand que l’unité. , par conséquent, parmi les 4 nombres il n'existent pas 2 Par définition ($ 13) N=(n + 27 +mM—Q, — np —q3 —qr):2 je démontrerai que N est entier, c'est à dire, que (n+ 27 +M—Q,— G2 — 43 — Ye) est un nombre pair. ARCHIVES X, 50 286 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. Les nombres n, r et m n’admettant pas de facteur commun, ces 3 nombres ne sont pas pairs tous les 3. Supposons que les nombres n et m soient des nombres pairs et que r soit impair, n + 27 + m sera un nombre pair, et n + r + m sera un nombre impair. Les nombres q, et qs, qui sont des divi- seurs du nombre impair r, sont aussi des nombres impairs. Les nombres q, et q,, qui sont des diviseurs du nombre impair n+r+m, sont des nombres impairs. La somme q, +9, +43 +q, est done un nombre pair, il en sera de méme de la différence de 2 nombres pairs (n+ 2r + m)— (9, +42 +43 + qu). Supposons n et 7 pairs et m impair, n + 2r + m et n + r + m seront impairs. Le nombre q,, étant le plus grand commun diviseur des nombres pairs n et r, est aussi un nombre pair. Le nombre q,, étant un diviseur du nombre impair m est aussi impair. Les nombres q, et q,, étant des diviseurs du nombre impair n + r + m, sont des nombres impairs. La somme q, +q, +q, +9; est done un nombre impair. La différence de 2 nombres impairs (n+ 27 +m)—(q, +9. +9, + qi) est un nombre pair. De méme quand m et 7 sont des nombres pairs et n est un nombre impair Supposons n et m pairs et r impair, n + 27 + m est un nombre pair. Les 4 nombres q sont des diviseurs, ou du nombre impair m, ou du nombre impair n et sont done des nombres impairs. La somme g, +9, +9, +4, est done un nombre pair, la différence de 2 nombres pairs (n + 2r + m)—(q, am hy aie Oy ar 14) est un nombre pair. Supposons m et 7 impairs et n pair, le nombre n + 2r + m est impair. Les nombres q, et g, étant des diviseurs du nombre im- pair r sont des nombres impairs. Le nombre q,, étant un diviseur du nombre impair m, est un nombre impair. Le nombre q,, étant le plus grand commun diviseur des nombres pairs n et (r + m), est un nombre pair. La somme q, +9, +q:+gq,; est done un nombre impair. La différence de 2 nombres impairs Mt nnn) 91 On qe Gh) POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 287 est un nombre pair. De même quand les nombres r et n sont impairs et m est pair. Supposons les 3 nombres n, r et m impairs, leurs diviseurs q,, Yo, 9, et q, sont également impairs et les 2 sommes n + 2r + m et 9, +4, +4, +4, sont des nombres pairs, il en sera de même de la difference (n + 2r +m) —(q; + 42 +43 + Qu). Cette différence est done toujours un nombre pair ou bien le nombre N= in + 2r + md, —q; —q;—1q,l:2 est un entier. § 15. Du nombre des branches de la cowrbe modale gauche &’ passant par M,. Coupons la développable D par un plan y=atg 9, p étant quelconque. Transformons les coordonnées en retenant le plan des z et l’origine. Soit le plan sécant le plan y, —0 et soit x, —0 le plan perpendiculaire au plan sécant et passant par l’axe des 2; on aura les formules de transformation D, LCOS Pp + Y sing, Yi TSN P + Y COS p, Les coordonnées primitives d'un point de la développable D | I I étant: y — 1 Gt nan y=" TT + Lln tr) ETE Et ne Ln + r + m) Ba les coordonnées nouvelles seront: e= it" + nt" "| cosp + "+ Un + r)t"*"" U sing, y=" + Int" "| sing |t" t+ 1(n+7)t"*"~"| cose, Bt et (eae ee) Er: Si les paramètres l et ¢ satisfont à la relation O—— |" + Int" sin p+}t"*" + Unter) t"*"—"| cosy, ou bien 50* 288 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. lg eas te l=—t- = . n tgp —(n +7) 14 on aura y,—0 et les points correspondants se trouvent donc dans le plan sécant y=. tgp. Par conséquent, les coordonnées d’un point de la courbe d’intersection S, de la développable D avec le plan y— xv tg p seront . ntgp—nt » |, (n+r)tgp—(n+r})t}| ©, —=t cosp| 1—— ar at ee ig ¢ tn al A nigp— (n+r)t | ntgp— (n+r)t' \ 7 rm E tg 6 —t 4 et) 1—(n+r+m)— ae : N tg p —(n-+ at | ou bien rt" "sec gp Dj == = ==) 5 nigp—(n+r)t „prent Em) go mt A nigp — (nr) En supposant qu'on n’ait pas 9 — 0 on poura poser — ©, n Sin Pp ss 7 (n+r)t | ar i —— == { Js es ae : r ! nigp \ S20 nare) OE (n+r)t lige 2 rm | (r + m) tg P\ | DRR? d'où en prenant ¢ suffisammant petit SRE TER," tram), Pen ae m) €” ee 2 | n(r + m) tg p (Nn + + Mm) t trem), @ € m)t N | nig Pp \ EEn DA a FRE ar Hm Mm ins We m) a ete = n(r + m) tg p 6 TT m (n+ FHM) jn +27 +m + etc. . 5 n(r + m) tg p Des 2 valeurs == Pere 2, arr pes Eat M (n TE m) n+2r + m ae ete. n(r + m) tg p on déduit que le point M, est sur la courbe de section S, un point singulier où passent n + r branches formant un cycle POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 989 (n +r,m). Le nombre des braches de S, passant par M, étant indépendant de œ, il passe par le point M, n + r nappes de la développable D. Les n+7—1 points stationnaires de la section S,, qui sont équivalents an cycle M, (n+r,m) sont dts ou passage par MW, de n branches de l’arêt de rebroussement ($ 3) et au passage de la génératrice g,, laquelle est équivalente à r— 1 tangentes station- naires # (§§ 9, 10). Le plus grand commun diviseur q, de l’ordre n + r et de la classe m du cycle M, (n+r,m) ne peut avoir un facteur de commun avec le nombre r, puisque les nombres n, r et m n’ad- mettent pas de facteur commun (§ 2). Le nombre des intersections de la courbe S, avec sa premiére polaire, coincidantes avec le point M, est donc (n+ nl) M7 + m) Erg, 1) >): Le nombre des noeuds équivalentes au cycle M, (n + 7,m) est done ($ 7) d—{(n +r—l)(n + r + m—8) + r(qz— 1}: 2. Ce résultat tombe en défaut quand s’annule le coefficient mn +r + m) du te Lis n(m+r)ig4 rme en 77777 du développement donnant z,. Il faut done exclure la valeur 9 —x:2. Le plan sécant y= ty ¢ n'étant pas tangent, au point M,, à la développable D ou à l’arête de rebroussement, les noeuds à réunis en M, sont dis à la ren- contre de ligues doubles. Les lignes doubles passant pas le point M, sont 1°. la génératrice singulière g, ($ 10) tangente à l’arête de rebrous- sement C'(n,r,m) au point M, ; 2°. les sections planes S,, S, et S, ($ 12) et 3° peut-être des branches de la courbe nodale restante & (§ 13). La génératrice g, est équivalente à vi —=|(r—I)(r+m—3)+n(g, —1)}:2 génératrices doubles of. La section S. est une courbe nodale dont le dégre de multipli- cité est g, et dont l'équation est (§ 12) 1) HALPHEN. Mém. d. l’Ac. d. Paris (sav. étr.). T. 26, p. 42, p. 50. 990 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, n+r N (adr tm) a \n+r+m)yla | ( rtm \ ! mS Par le point M, il passe donc n:q, branches de la courbe nodale S., ces branches sont équivalentes à n (9, —1):2 branches doubles et ces branches nodales n'étant pas tangentes au plan sécant y —xtg p, ces branches donnent lieu à autant de noeuds de la section S,. La section S, est une courbe nodale, dont le degré de multipli- cité est q,, et dont l'équation est (§ 12) m+r+m (mera) © {nti | r | Tart m | Par le point M, il passe done n:q, branches de la courbe nodale S,; ces branches sont équivalentes An (q, — 1): 2 branches doubles. Ces branches n’etant pas tangentes au plan sécant y —% tg p donnent sur la section S, lieu à n(q, —1):2 noeuds réunis au point M. La section plane S, est une courbe nodale, dont le degré de multiplicité est q, et dont l'équation est ($ 12) ndr m nr \ ny | % (nz | 4 m) Ir+m | Par conséquent, il passe par le point M,, (n + r):q; branches nodales, qui sont équivalentes à (n + 7) (q, —1):2 branches doubles. Ces branches n'étant pas tangenies au point M, au plan sécant y — x tg, elles donnent sur la section S, lieu à (n ++) (q, —1):2 noeuds réunis au point M,. En diminuant le nombre des noeuds de la section S, réunis au point M, Ö, == | + N — 1) (n SF T+ Mm— 3) + 1 (3 — 1) | : 2 des nombres wo, = }(r—1) 7 +m—3) + n(q, —D}:2 n(q, —1):2,n(q, —1):2,(n+r)(g; —1):2 donnant les nombres des noeuds de la section S, dûs à la rencontre au point M, des lignes nodales g,, 8, S, et S,, il reste encore n(n + 2r-+m— 7, — Fo — 9; —9,):2=nN POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 291 c noeuds dûs à la rencontre d’autant de branches de la nodale & ’ os On a done le théorème: Par le point M, il passe n N branches de la courbe nodale £”. Sauf pour les 2 valeurs 9 — 0 et 9 —x:2, qui viennent d’être exlues, on trouve pour chaque valeur de p le même nombre de noeuds réunis au point M,, done aussi le même nombre de points communs du plan sécant et de la courbe &’. Par conséquent, le plan secant y=xigY ne peut être tangent au point M, à la courbe &’ que pour les valeurs p—=0 et g—x:2. Les tangentes au branches de la courbe &’ au point M, ne peuvent done se trouver que dans les plans y = 0 et x = 0. La courbe &’ se trouvant c sur la développable D, les tangentes à la courbe §’ au point M, se trouvent dans le plan tangent au point M, à la développable D. Ce plan tangent est le plan z— 0. Les branches de la courbe §’ passant par le point M, sont done, ou tangentes à l'axe des x, ou à l’axe des y. Je démontrerai au $ suivant que ces branches ne sont pas tangentes à l’axe des y, par conséquent, elles sont tangentes à l’axe des x, résultat qu'on obtiendra encore d’une autre manière au $ 24. $ 16. De l'intersection de la développable D avec le plan 2 — x tg P. Pour vérifier si l’axe des Y est tangente au point M, à des branches de la courbe nodale £’, coupons la développable D par un plan z=«tg@ passant par l'axe des Y. Transformons les coordonnées par les formules %, —TCOSp+2zSin Pp, Uil: 2, — —%SiN Pp + ? COS p. Les coordonnées nouvelles d’un point de la développable D sont alors hé tint" cosp+ ht" "7 "4 lin ++ m)t"*"*" | sing, DT Elm zm" + int" sing +" "+ On + 7 Hm) N cos p. Pour tout point du plan sécant z—=rigy on aura 2, — 0, cequi donne la relation suivante entre les paramètres / et ¢ des points de la développable D, lesquels se trouvent dans le plan za {g gp, pe Ee if Ln tr + m) BET" ip Int" =") gp, 292 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. d'où Lin N r+m = —t(gp—t""):ngp— n+r mt "|. Les coordonnées d’un point quelconque de la section plane S,, | | 2 située dans le plan 2 — tg p, sont done: ON ee 7 En + 7 + om) U TNT _nsinp a ntgp \’ Mi rt ORN ij ATEN Nes / ntg yp \" ; ne, Sin p nr En posant ©, = a en Yo —— Yı et 2 een ade ps pete geer mt U Ir arm N ) rigp\'l nig p \ ou obtient facilement, m (n+ 7 + ™) pn tar +2 = + ete. nr tg p . + yo ja, a, pee km La section S, présente done au point M, un cycle (n+r,m), qui est &quivalent ä Ò, = }(n4a-r—1) (Nn +17 +m—3) + (m+r)(; —1)}:2 noeuds de la section S,. Le plan sécant 2—=xigp, n'étant pas tangent an point M, à la développable D ou à larête de rebrous- sement C'(n,r,m), les noeuds 0,. équivalent au cycle 47, (n+7r,m), sont dis à la rencontre de d, branches de courbes nodales ou de génératrices doubles Le plan z=«atgg rencontre au point M, les courbes nodales S,, S,, S. et & et la génératrice singulière g,. Comme au $ précédant on trouve que la courbe S, possède au point M, les nombres suivants de noeuds dûs à la rencontre des lignes g,, $ et S, (rd) (7 + m— 3) +n(q, —1)}:2, n(q, —1):2, n(q, —1):2. l.’&quation de la section S, étant ($ 12) F n+r +m nr ay) D yf UB) r Ir -m| l'axe des y est la tangente au point 47, à la section S,. Cette tangente y a de commun avec la section S,(n+r+m):q, points POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 293 consécutifs. Chaque point de la section S,, laquelle est une courbe nodale dont le degré de multiplicité est q,, équivaut à 3 (q; — 1):2 points doubles. Les points que l’axe des y, done également le plan sécant z— xt, a de commun avec la courbe nodale 8, sont done équivalents à (n + r + m) (q, — 1) : 2 noeuds de la section S,. En diminuant le nombre des noeuds 0, =}(n+r—1) (n+ r + M—3) + (r + m) (q, —1)}:2, équivalent au cycle M, (n +r,m), des nombres de noeuds dûs à la rencontre des lignes nodales g,, S-, S, et S, il reste encore nm N noeuds, qui sont dûs à la rencontre de branches de la nodale &. Le plan z2=xtgp rencontre done au point M, la courbe & autant de fois que le fait le plan y —xtg ($ 15). Le plan 2— xtg4 n’est done pas tangent à la courbe & au point M,. Par consé- quent, l’axe des y ne peut pas être tangent au point MZ, à une ou à plusieurs branches de la courbe &. Les n N branches de la courbe 5’ lesquelles passent par le point M,, y sont donc tangentes à l'axe des x ($ 15), c'est à dire sont tangentes au point M, à la courbe C'(n,r,m). De même on trouve que les mN branches de la courbe &, lesquelles passent par le point: #,, ne sont pas tangentes à la droite de l'infini du plan y—0 et que, par conséquent, ces m N branches y sont tangentes à la génératrice g,. Nous venons de voir que les coordonnées d’un point de la section S, s'expriment en fonction du paramètre ¢ de la manière suivante pement | mer tm Ze n sin w | iz nige — \’ RP km a Au n | rige || nig y Ie \ Rendons les coordonnées homogènes et posons après y, —1 on obtient: es M tr m | : | mt" "| a ui n tg » a rige | Ri LOU Weg 4 a rige | En remplaçant ¢ par 1:t ces expressions deviennent ARCHIVES X. 51 294 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. _+m+r+m) fea lee n tg y M) à er r tg | Win Mm | mor tm m i „tm | ret” 17 mcosy ij m | dont on déduit facilement nr wm 7 + m) Ec Qr+m to = Tu = TT" + ) 19 8 gm FM 4 ete. 2 m(n+r + m Le point #, (x—u—z—0), c'est à dire le point à l'infini de l'axe des y est done un point singulier de la section S,. Les r branches de la section #, lesquelles passent par le point M, y constituent un eyele 47, (r,n). Le cycle M, (r,n) est équivalent à r—1 points stationnaires, qui sont dûs au passage par le point M, de la génératrice singulière g,, tangente à la courbe C(n,r,m) au point M,(m,r,n) ($ 10). Le cycle 47, (r,n) est équivalent au nombre de noeuds suivant 0, = Sr daR +78) + (r + mig, 1:2 Par le point 47, il passe la génératrice g, et la section S., qui sont des lignes nodales et peut-être encore des branches de la courbe nodale &’. L’équation de la section #. étant ( 12): n+r be I mtr me [(m+r+m)y| a | EM CO) von! m | le point M, @=2=u=0) est un point singulier de la section ) . Le degré S. où passent r:q, branches formant un cycle Ge ; a de multiplicité de la section S. étant q,, les r:q, branches de la section S. sont équivalentes à r(q, —1):2 branches de a doubles. La section S> possède done au point M,, r(q, — 1): noeuds dûs au passage par le point 47, des r:q, branches de i section S.. La section S, possède au point 4/7, encore wo, = }(r—I1)(n (q,—1)}:2 noeuds dûs au passage par le point M, de la génératrice singu- liere g, ($ 10). La somme des nombres de noeuds dûs à g, et S. étant précisément 0,’, il ne passe pas par le point M, des branches de la courbe nodale X. On peut conclure par analogie, ou démontrer de la même POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 295 c/ manière, qu'il ne passe pas des branches de la courbe nodale & par le point 4, y=z=u=0), c'est à dire, par le point a l'infini de la génératrice g,. $ 17. Des points d’intersection de la cowrbe 5’ avec le plan y — 0. Nous avons vu que par le point M, il passe n N branches de la courbe nodale &’ (§ 15). En changeant n en m et vice-versa, on trouve que par le point singulier M, il passe m (m+ 27 +2— 4G, — — 93 — qi): 2=mN branches de la courbe nodale §’, et que ces branches sont toutes tangentes à la génératrice g, (la droite de l'infini du plan 20) ou bien à la courbe C'(n,r,m). Maintenant je dis que la courbe nodale §’ rencontre le plan y —0 seulement aux points singuliers M, et M,. En effet, l'intersection de la développable D avec le plan y —0 consiste en l’axe des x qui est une génératrice multiple g, et en une courbe S, (§ 12). La génératrice g, rencontrera des branches de courbes nodales en les points À où la génératrice g, coupe une nappe de la développable D et en les points Q où les nappes passant par la génératrice g, se pénètrent. Nous avons vu au 10 que les seuls points Q, qui peuvent se trouver sur la génératrice g, sont les points M, et M, et nous avons vu au $ 12 que le seul point R où la génératrice g, peut rencontrer des nappes de la développable D est le point M,. Les branches nodales que l’axe des x rencontre en son point à l'infini 7, appartiennent à la section plane S, ($ 16). La génératrice g, (l’axe des x) rencontre done seulement la courbe nodale 5’ au point M,. La section plane S, est une courbe multiple dont le degré de multiplicité est g, et dont l’équation est (§ 12) n+tr+m n EE |A | r | Li m ES Si g, — 1 la section S, est une courbe simple, qui ne possède d’autres points singuliers que les points M, et M,. Chaque point de rencontre du plan y—0 avec la courbe nodale & étant un noeud de la section totale, la courbe nodale §’ ne peut rencontrer la section S, que dans ses points de rencontre avec l’axe des x et en ses points singuliers. Les points de rencontre de la section 51* 296 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. S, avec l’axe des x se trouvent tous au point J/,. Les seuls points singuliers de la section S, sont les points M, et M,, par consé- quent, si g, — 1 la courbe nodale £” rencontre la section 8,’ seule- ment aux points M, et M,. Quand q, >1, tous les points de la section S, sont des points multiples de la section totale avec le plan y— 0 et il serait possible que la courbe nodale &” passerait par un point ordinaire P de la courbe S,. Ce point P étant un point ordinaire de la courbe S,, il passe par le point P q, nappes de la développable D. La branche de la courbe nodale $’ passant par le point P, serait l'intersection de 2 de ces q, nappes. Ces 2 nappes seraient tangentes au point P et le point P serait un point de pincement (pinch-point, klempunt) sur la courbe nodale $,. Un des plans tangents à la développable D au point P serait donc un plan double G. Mais nous avons vu au $ 8 que les seuls plans doubles G de la courbe C'(n,r,m) sont les 2 plans singuliers z— 0 et u—0. Par conséquent, sur la section S, ne se trouvent pas des points de pincement P en dehors des points de conclact 47; et M, des plans singuliers z=0 et w—0. En résumant, on obtient le théorème : Le plan y =O rencontre seulement la courbe nodale 5’ aux points singuliers M, et M,. De même on trouve que le plan «=O rencontre la courbe nodale £’ seulement aux points #, et M,. La courbe §’ ne rencon- trant les plans y —0 et x—0 qu’aux 2 points M, et M, et les tangentes g, et g, aux branches de §’ aux points M, et M, n'étant pas dans un plan, il est impossible que la courbe 57 ou une partie de cette courbe soit plane. On a donc le théorème: / La courbe 8’ est une courbe gauche. La courbe & est du degré (n + r + m) N ($ 13). Elle rencontre le plan y — 0 au point M, seulement m N fois, puisque la tangente g, aux m N branches de & les quelles passent par le point M,, ne se trouve pas dans le plan y = 0 (§ 16). Le plan y = 0 rencontre done la courbe & au point M, (n-+r) N fois, tandis qu'un plan quelconque passant par l’axe des z rencontre au point M, la courbe & seulement n N fois ($ 15). Dans le plan y = 0 se trouvent done des tangentes au point M, à la courbe &’, et le plan y—0, étant le seul plan du faisceau y— tg g, jouissant de cette propriété (§§ 15, 16), on peut conclure que toutes les tangentes à la courbe POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, 297 &’ au point M, se trouvent dans le plan y —0. Ces tangentes se trouvant également dans le plan tangent de la développable, z—0, axe des x est la tangente aux n N branches de la courbe nodale &’, lesquelles passent par le point M,. Nous verrons au § suivant que les (n +r) N points communs de la courbe §&’ et du plan y— 0, les quels coincident avec le point M,, se trouvent sur l'axe des a. § 18. Des intersections de la courbe nodale § avec un plan 2 — y tg y. Coupons la développable D par un plan z= 7 ig g. L'intersec- tion totale consiste en la génératrice g, (l’axe des x) et en une courbe S,. Transformons les coordonnées vy zu Yı=yecosy+ zsing, 2, =—ysing + 2cosg. Les coordonnées nouvelles d'un point quelconque de la déve- loppable D sont int € yi" "+ Un Art" F7 cosy + Ht n+r+m)t HL Um ar)" HT sing HE" Um+r+m)t CARTE n+r+m =i A \sing, n+Fr+m- 1 zkt \COSp. Pour tout point de la section S, on aura z,—0, et les para- mètres / et f satisfont à la relation m tg y —t [=—t Wier. oS PT m (n+r)tgg—(n+r+m)t Les coordonnées d’un point de la section #, seront done E rige — (r + m) t" Ui VA m ? (n+ r)tgg—(n+r+m)t y EN rae Mm SEC p + Le gert : (n+ 7) tgp—(n+7r+m)t" Hat VEN sas En | En posant x, = 2, —t | Le Fe Pr real (n + r) sin p LEER (n +r+ m) t" | = — y, = | ——— +etc.|, Ya m Yu! ak (n+ 7) tg y | 998 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. on trouve facilement que les coordonnées d’un point de la section Ss, développements situé dans le voisinage du point M,, sont exprimées par les +r 1 AT m 7 r + 2m er Geerte gen 2 z rn+r)tgy Les n branches de la courbe #,, passant par le point singulier M, (correspondant au paramètre 1 —0), forment done un cycle (n,r+m). Ce cycle (n,r+m) est équivalent à n— 1 points station- naires de la section S, tandis que l'arête de rebroussement C(n,r,m) a de commun au point M, n+r points consécutifs avec le plan secant ($ 3). En général, chaque point de l’arête de rebroussement est un point stationnaire d’une section, sauf dans le cas que le plan sécant est tangente à l’arête de rebroussement, les 2 points consécutifs communs donnant 3 noeuds de la section totale. Le plan sécant 2—=ytgy, passant par la tangente au point M, à l’arête de rebroussement C(n,7,m), nous nous trouvons dans le cas d’exception et des points de l’arête de rebroussement donnent lieu à des noeuds de la section S,-+g,. Le cycle M, (n,r + m) est équivalent ($ 7) à le nombre de noeuds d,—=}(n—Llin+r+m—3) + m(g, —1)!:2. Remarquons qu'on trouve la même valeur de 0, pour toute valeur de g sauf pour les 2 valeurs g —0 et y—x:2. Les seuls plans du faisceau z= y tg y qui peuvent donner un nombre supé- rieur de noeuds sont done les plans z2—0 et y—#0 et en effet ces 2 plans contiennent les courbes multiples # et S, et contien- nent des nombres infinis de noeuds. Les plans 2—0 et y —0 sont done les seuls plans du faisceau z—y tg» qui peuvent être , des plans osculateurs des n N branches de la courbe &’ tangentes au point M, à l'axe des x (§ 17). Afin de connaître le nombre de points communs de la courbe $ avec le plan sécant z — y tg» lesquels coincident avec le point M,, déterminons de 2 manières le nombre des noeuds de la courbe #, 1). La section totale consiste en la courbe &, et en l’axe des x compté r fois ($ 10). La courbe #, est donc du degré e —r, / 1) CREMONA — Currze, Oberflächen. § 97—§ 109. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, 299 résultat qu’on avait pu tirer aussi de l’expression en fonction de t des coordonnées x, et y, d’un point de la courbe #,. Le plan sécant z—ytgg n'étant pas un plan osculateur de la courbe : C(n,7,m), pour y quelconque, la classe de la section #, sera égale à la classe « de la courbe C'(n, r, m) (§ 4). Les points station- 1 au point singulier M, (n,r +), naires de la section 8, seront: 1°” 2° les intersections avec l’arête de rebroussement non-coincidantes avec le point M,. Le plan 2— 719 y passant par la tangente à la courbe C(n,r,m) au point M,, y rencontre la courbe C(n,7,m), n+r fois (§ 3). Le plan sécant rencontre donc l’arête de rebroussement (Nn + r + Mm) —(n +r)—=m fois en dehors du point M,. Pour y quelconque ces m points seront des points séparés, et seront donc des points stationnaires de la section $,; 3° les intersections avec la génératrice singulière g,, laquelle compte pour r—1 généra- trices stationnaires # ($ 10). Le nombre des points stationnaires de la section #', est done DONNE ENS EE EN EE 2 9 Le nombre des noeuds de la section est done À — (9 —7r) Br he u au cae = } 0 (o— 1) — u — 3 (v + Dip) + 72? + {r—?2rel ae 8 3 r2+7r : 5 ie Nes obi jen RE hbo See AD) Le plan sécant z= ytgy n'étant pas, pour y quelconque, tan- gent à la développable D, et en dehors du point M,, n'étant pas tangent à l’arête de rebroussement, les noeuds de la section #, seront le point M, et les intersections avec les lignes nodales £ et w. Le plan sécant z= ytgy passe par l’axe des x, qui compte pour }(r—1) (r+ m—3)+n(q, —1){:2 génératrices doubles ($ 10). Le plan sécant ne peut rencontrer, par conséquent, que wo — }\(r—1)(r+m—3)+n(q, —1)}:2 autres génératrices doubles. Le plan sécant z= y tg rencontre la courbe nodale & au point M, un nombre inconnu de fois. Soit M, ce nombre inconnu. Le plan sécant rencontre la courbe nodale $, au point à l'infini de Paxe des x. Par ce point M, il passe r:q, branches de la section S et pas d’autres branches nodales (§ 16). La courbe #, étant une courbe nodale dont le degré de multiplicité est q,, ces r:q, 300 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. branches comptent pour r (9, —1):2 branches doubles. En dehors de l’axe des x, le plan sécant rencontre donc la courbe nodale § le nombre de fois suivant E— M, —r(g, —1):2. Le point à l'infini M, de l’axe des x n’est pas un point de la section #, et nous venons de voir que le point MZ, compte pour 0, =}(n—1) (n+ r+m—838) +m(q,—1)}:2 noeuds de la section S,. Le nombre des noeuds de la section #, est done Ò— Erol —M, —r(q,—1) : 2—}(r—1) (r+m—3)+n(q,—1){ 22+ +\(n—41)(n+r+m—3)+m(q,—1)}:2...... (B) En égalisant les 2 valeurs A et B de à on trouve facilement M, = (nr) n+2r+m — 9, —3)+m(q, —1)}:2. Les M, points d’intersection du plan sécant avec la courbe nodale £ sont des points appartenant aux courbes &, 8,, 8, et S.. Par le point M, du plan sécant, il passe (n+r):q, branches de la courbe nodale &, laquelle est une courbe d'un degré de multiplicité q, ($ 12). Des M, points d’intersection il y a done (n+7)(9; —1):2 qui appartiennent à la section plane #,. Par le point M, il passe n:q, branches de la courbe #,, les- quelles sont tangentes à l’axe des x et qui sont done également tangentes au plan sécant 2—=ytgy. Le plan sécant a de commun, au point M,, n+r-+m):q, points consécutifs avec la courbe $,. Chacun de ces points compte pour q, (9, —1):2 points d’une courbe double Du nombre d’intersections M,, il y a done (n+r+m)(g, —1):2 qui appartiennent à courbe #, Par le point M, il passe n:q, branches de la section plane S.. Ces branches, étant tangentes à l’axe des x, sont tangentes au plan sécant. Ce plan a de commun avec la section S.(n +r):q, points coincidant avec le point M, (§ 12). Chacun de ces points compte pour q, (9, —1):2 points d’une courbe double. Des M, points d’intersection avec des courbes nodales il y a done (n + 7) (9, —1):2 qui appartiennent à la courbe #.. En diminuant M, = }(n +1) (n + 2r + m—q, —3) +m(g, —1)}:2 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 301 des nombres (n + 7) (q3 —1):2, (n +r +m) (q, —1):2, (n+ 1) (q, —1):2 on trouve le nombre des intersections réunies au point W,, du plan z=y1g94 avec la courbe nodale &’. La différence est (n+ 1) (n +2r+m — 4, — Qi — 93 —4q;):2=(n +7) N. Ce résultat étant exact pour tout plan passant par l’axe des x, sauf pour les plans 2—0 et y —0, on obtient le théorème: L’axe des x a de commun au point M, avec la courbe nodale &’ le nombre de (n + r) N points. De même on trouve que la génératrice g, tangente à la courbe C (m,r, m) au point M, a de commun au point M, avec la courbe nodale &’ le nombre de (r + m) N points. / $ 19. Du plan osculateur à la courbe modale &’ au point M,. Nous venons de voir au $ 18 que chaque plan z—=ytgy du faisceau, dont la génératrice g,, tangenté à la courbe nodale &’ au point M,, est axe, rencontre la courbe £’ au point M, le nombre de fois (n+r) N. La démonstration tombe en défaut pour les plans z=0 et y—0 ($18). Au $ 17 nous avons vu que le plan y —0 rencontre au point J/, la courbe &’ seulement (n + 7) N fois. Ce plan y=0 n'est done pas un plan oseulateur de quelques unes des n N branches de la courbe $’. Le plan z=0 est done le plan osculateur au point MZ, de toutes les » N branches de la courbe &’ passant par le point J/,. Déterminons le nombre des intersections du plan z=0 avec la courbe &’, coincidant avec le point M,. Par un raisonnement analogue à celui du $ 17 nous trouverons que le plan 2—0 rencontre la courbe & seulement au point M,. En effet, l’inter- section totale du plan z2—0 avec la développable D consiste en l'axe des x compté r + m fois et en la courbe S_ , dont l'équation est n+r n ((n tr + mal a (n+r+m)y | % Ne eas ED = | r+m | m | y et qui est une courbe nodale dont le degré de multiplicité est q,. L'axe des x rencontre la courbe $’ seulement au point M, ( 17). ARCHIVES X. 52 302 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. La section S. ne peut rencontrer la courbe §’ qu'aux 2 points singuliers M, et M, de cette courbe ($ 17) et en ses points de rencontre avec l’axe des x, puisque les seuls plans doubles G sont les plans z=0 et u —0. Par le point singulier M, de la courbe S_ il ne passe d’autres lignes nodales que la génératrice singulière g, et les branches de la courbe nodale # elle même ($ 16). La génératrice g, rencontre la courbe S. seulement au point M,, par conséquent, la courbe S. ne rencontre le plan 2—0 qu'au point M,. La courbe &’ étant du degré &=(n+r+m)N, la courbe Sa de commun au point M, ce nombre £’ de points avec le plan z=0 (§ 13). De même on trouve que les m N branches de la courbe & passant par le point M,, y ont de commun & points avec le plan u—0 osculateur à ces mN branches et à les branches de la courbe C (m,r, m). En rösumant les résultats obtenus aux SS 15—19 ou obtient: Par le point singulier M, (n,r,m) il passe n N branches de la courbe nodale gauche E. Ces branches y sont tangentes à la tangente g, de la courbe C(n.r,m) et y ont de commun avec cette tangente (n+r) N points. Le plan osculateur de la courbe C (n, r, m) au point M,, courbe &. Ces branches y ont de commun avec ce plan osculateur y est également le plan osculateur de toutes les branches de la (n+r-+m) N points. Pour le second point singulier M, on trouve les mêmes résul- tats sauf le changement de n en m et vice-versa. 20, Des intersections des courbes S, et S, avec a? D un Quand les courbes d'intersection #,, #,, & et S, de la dévelop- pable D avec les faces du tétraèdre de référence ($ 12) sont des courbes triples ou sont d’une multiplicité supérieure à 3 ces courbes nodales se trouvent toutes entierès sur la deuxième surface polaire A? D de la développable / prise par rapport à un point quelconque P ($ 11). Tout point d’une de ces courbes multiples est alors équivalent à un ou à plusieurs points triples 7 !) de la développable D et de la courbe nodale, et le nombre 7 de ces points triples est alors infiniment grand. Les projections P,, P, 1) CREMONA —CuRTZE, Oberflächen, § 97. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 303 P. et P, de la courbe C'(n,r,m) sur les faces du tétraèdre de reference ($ 13) sont en même temps des courbes triples ou des courbes d’une multiplicité supérieure à 3, les nombres q,, 94, 9ı et q, étant les degrés de ces multiplicités. Les plans tangents aux cônes projetants sont alors des plans tritangents 7’ !) de la courbe Ü(n, r, m), et le nombre des plans tritangents 7’ sera donc également infiniment grand. Quand une des courbes #,, #,, # on #, est un courbe double, cest à dire, quand un des nombres q,, q,, q, et q, est égal à 2, cette courbe double ne se trouve plus sur la surface A? D, mais elle rencontrera cette surface en quelques points. Une courbe double rencontre la deuxième surface polaire A? D, prise par rapport au points P, en ses points Q où la droite ? Q rencontre la développable D en 3 points coïncidants, cequi arrivera quand le point Q est un point triple de la développable D ou bien quand la droite PQ est tangente à une, au moins, des 2 nappes de la développable D passant par le point Q. Examinons donc de plus près les intersections des 4 courbes # avec la surface a? D. Supposons 9, —2, l'intersection totale du plan y —0 avec la développable D consiste en la courbe n+r rm n R AR DEE I—n+r)z| pie} r \ | m | qui est une courbe double et en l’axe des x compté r fois. Soit A? D la deuxième surface polaire de la développable D prise par rapport au point P. Provisoirement le point P est pris dans le plan y—0, et je déterminerai d’abord pour cette position parti- culière le nombre des intersections de la courbe S, avec la surface A* D lesquelles se trouvent aux points singuliers M, et M,. Les points communs de la courbe plane S, et de la surface A* D seront des points communs de la courbe S, et de la section de la surface A? D par le plan y —0 de la courbe S,, et récipro- quement. La section de la surface 4? D par le plan y—0 est la deuxième polaire de la section totale de la développable D par le plan y—0, prise par rapport au point ?, puisque le point P se trouve dans le plan sécant y — 0. 1) CREMONA —CURTZE, Oberflächen, § 109. 304 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHE. La section totale S de la développable D par le plan y —0 est représentée par l'équation La deuxième polaire A? 5 contient quelques termes dont S, est un facteur et le terme 227 (AS,)2. Pour déterminer les intersections de la courbe S,—0 avec A?S on peut donc remplacer la section A?S par le terme © END) 2 DANS DE L’équation de la première polaire 4S, est de la forme n N +r+m ar 4 LUE Ace + Bare + (27 —0, A, B et C étant des constantes. Les coordonnées d’un point de la courbe S, sont exprimées par ($ 12) Yr ne m n + r+m A ater nm+r En substituant ces expressions dans l’équation de la section 2S, on obtient une équation en ¢, donnant les paramètres des points d’intersection des courbes S, et A? S. Par cette substitution AS, devient une forme en ¢ dont le terme du degré le moins élevé est du degré ZE) ee ARE 2 Le terme du degré le moins elevé en ¢ dans l'équation pour 2 S ou bien dans le terme 22” (AS,)? sera done du degré EL ZEN en rx DRE 2 eit : FM) mtr) tr + m):2 Par conséquent, de l'équation en ¢, donnant les paramètres des points d’intersection des courbes S, et A? 8, (n + r—2)m+r+m):2 racines sont nulles. Le point M, correspondant au paramétre t—0 compte done pour (n +r—2)(n+r+m):2 intersections de la surface A? D avec la courbe &,, POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCTIES. 305 En remplaçant dans les expressions pour x et z le paramètre {par L:t, on trouve facilement que le second point singulier M, de la courbe S, compte pour (m + r—2)(n + r + m):2 intersections de la courbe #, avec la surface A? D La courbe S, rencontre la surface A? D en dehors des points singuliers M, et M, en les points C où la courbe S, rencontre les génératrices de la développable D suivant lesquelles, des plans passant par le point P, sont tangentes à la développable D. Les points C sont les points de contact des tangentes à la courbe S, menées du point P. La courbe autopolaire S, étant de la classe (n +r+m):2, le nombre des points C est (n + r + m):2. Ou bien, autrement, les courbes S, et AS,—0 se rencontrent 2 2 . : ; n n+r+m r+m fois; de ces intersections in --- 1) Kun] et ( u 1) Wants ndr + M Dr aan ntr+m 3 = - é > RCA se trouvent respectivement aux points singuliers M, et 1/,. Il reste encore = m intersections des courbes S, et AS,—0; la courbe S, ne possédant d’autres points singuliers que les points 4/, et M, ces (n + r + m):2 points restants sont des points de contact 0. La forme AS, entrant 2 fois comme facteur dans l’expression 22’(AS,)? chacun de ces points C compte 2 fois pour une intersection de la courbe S, avec la section A? ou bien avec la surface A? D. Ou bien, autrement, des inter- sections d’un droite PC avec la développable D ou bien avec la section S, il y a 4 qui coincident avee le point ©. La droite PC a done au point C 2 points coïncidants de commun avec la surface A? D, et la droite PC est done au point C tangente à la surface A? D ou bien le point C est un point double de la surface A? D. La droite PC étant au point C tangente à la courbe S,, cette courbe S, a au point C 2 points de commun avec la surface 03 Chaque point triple de la développable D, qui se trouve sur la courbe S, est un point triple au moins de la section S. La courbe S, ne possédant d’autres points multiples que les 2 points 306 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. M, et M, et la génératrice g, ne rencontrant la courbe S, qu'au point M,, les seuls points de la courbe S, qui sont des points triples de la développable D sont les 2 points W, et M,. La courbe S, ne rencontre donc la surface A? D qu’aux points 1/,, M, et ©. La développable D étant du degré e—n + 2r + m ($ 4), la sur- face A? D est du degré (n + 27 + m—2). La courbe S, étant du degré (n + 7 + m):2, le nombre total des intersections de la courbe S, avec la surface A? D est (n + 27 + m—2) (n + r + m) : 2, cequi doit donc être égal au nombre des intersections réunies aux points M,, M, et C. Le point M, comptant pour (n + r—2) (n + r+m):2, le point M, comptant pour (+m—2)(n+r+m):2 et les (n +r+m):2 points C comptant pour +7 + m intersections, les points M,, M, et C comptent, en effet, pour (n +,2r + m—2) (n + r + m):2 intersections de la courbe S, avec la surface A? D. Déplaçons maintenant le point P en dehors du plan y —0. Le nombre total des intersections restera le même. Le nombre des plans tangents à la développable D et passant par le point P sera u—œn+r+m ($ 4). Une génératrice de contact d’un tel plan « rencontrant une fois la courbe plane S,, le nombre des points C sera n+r+ m; P étant maintenant quelconque, donc ne se trouvant pas dans les plans osculateurs de la courbe C (n, 7, m) aux points singuliers M, on M,, aucun de ces points C ne coïncide avec un des points WZ, on W,. D'après Cremona chacun de ces points C compte pour une intersection de la courbe nodale avec la surface A? D 1). Le nombre des intersections non-coïncidantes avec un des points M, et M, est done comme pour le cas que P se trouve dans le plan y —0, encore n + r + m. La somme des nombres d’intersee- tion M, et M, réunies aux points M, et M, n’est donc pas changée par le déplacement du point P. Je dis que les nombres M, et M, ne sont pas changés non plus. En effet, il est impossible que le nombre M, soit plus grand pour ? quelconque que pour le cas que le point P se trouve dans le plan y —0, puisqu'on peut toujours ramener la détermination du nombre M, à la détermination du nombre des racines nulles d’une équation en ¢, obtenue en substituant dans l'équation de la surface les dévelop- pements en ¢ donnant les coordonnées d’un point de la courbe. On obtient donc le nombre des intersections cherché en détermi- 1) CREMONA —CURTZE. Oberflächen, § 99. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 307 nant le degré du terme en ¢ du degré le moins élevé. Pour des cas spéciaux le coefficient de ce terme pourra s’annuler et le degré du terme en { du degré le moins élevé sera alors augmenté. Il est done possible que le nombre WM, est pour un cas spécial plus grand que pour le cas général mais il est impossible que le nombre M, est pour le cas général plus grand que pour un cas spécial. Il est également impossible que le nombre J/, soit plus petit pour le cas que P est un point quelconque que pour le cas que le point P se trouve dans le plan y—0, puisque la somme VW, + M, étant constante, le nombre J/, serait alors plus grand pour P quelconque que pour une position spéciale du point P, cequi est impossible. Par conséquent, le nombre M,, ne varie pas en changeant la position particulière du point P en une position quelconque. On a donc le théorème: Quand A? D est la deuxième surface polaire de la développable D, prise par rapport au point quelconque P, la courbe modale (double) S, rencontre la surface A? D (n +r—2) (n+r-+m):2 fois au point M, et (r +m—2) (n+r+m):2 fois au point M,. On trouve facilement précisément le même résultat pour la courbe nodale S, quand cette courbe est aussi une courbe double, c’est-à-dire quand 9, = 2. vemarquons que des 4 nombres q il n’y a jamais 2 qui soient égaux, des 4 courbes S il n’a y done jamais 2 qui soient à la fois des courbes doubles ($ 14). $ 21. Des intersections des courbes S. et S, avec A? D. Supposons g, — 2, on aura nécessairement 7 > 2, puisqui q, est un diviseur de 7. L’équation de la courbe nodale 8. est ($ 12) n+r ” 5 (m+r+m)e),2 | (m+r+m)y | 2 a N € 2 | —A NE | (eae Vi | | m L’équation de la section totale S de la développable D par le plan z= 0 sera 308 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. S= y' anu Ss. — 0 a Soit A? D la deuxième surface polaire de la développable D prise par rapport au point P, que je suppose provisoirement situé dans le plan 2=0. La section de la surface a? D par le plan z=0 sera alors A?S, c’est-à-dire, sera la deuxième polaire de la section totale S, prise par rapport au point P. La forme A? S consiste en 2 parties dont l’une contient S. en facteur, tandis que l’autre partie prend la forme D UE (A S.)2. Pour déterminer les intersections des courbes A*S et S. on peut done remplacer A?S par la courbe décomposée y r+am (A S.) N= 0) 5 En substituant dans cette dernière équation les expressions (r+ m) 7 n+r+m en »Y NA r + M donnant les coordonnées d’un point de la courbe S. ($ 12), on obtient une équation en # donnant les paramètres des points (intersection des courbes 8. et A? 5. L'équation de la première polaire AS étant de la forme nr N N Az” +By? +Cy?=0, le terme du degré le moins élevé de l’&quation en f sera du degré n (r+ m) (Nn +r):2+2 (2 — 1 ) (a+ r):2=(n +7) n+r+m—2):2. Au point M,, correspondant au paramètre t— 0, coincident done (nr) (n +r+in—2) intersections de la courbe nodale S. avec la courbe A? S ou bien avec la surface a? D. En remplaçant x, y et ¢ par y et et en posant ensuite mh” t y — 1 on trouve facilement qu'au point M, (0,1,0,0) se trouvent M,—=(r—2)(n+r):2 J intersections de la courbe nodale S. avec la surface A? D. Ce nombre M, n’est jamais négatif puisque » ne peut devenir plus POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 309 petit que 2. Ce nombre Af, s'annule quand r —2. Le point M, est alors un point d’une génératrice double g,, où passe une branche de la courbe double S. suivant laquelle se pénètrent les 2 nappes de la développable D passant par la génératrice double 9, Le point M, étant pour r= 2, un point double de la dévelop- pable D ne se trouve pas sur la surface A? D. La courbe S. rencontre encore la surface A? D aux (n + r):2 points de contact C de tangentes à la courbe S., les quelles pas- sant par le point P. Chacun de ces points C compte pour 2 intersections, 4S. entrant au carré dans l’expression y FM {AS 2. „Le nombre total des intersections de la courbe S du degré (n +r):2 avec la surface A? D du degré n + 27 + m—2 est done (n + 1) mn + r + M—2) + (r—2) (n +7r):2 + (n +r) = —= (Nn +r)(n+2r+m—r):2, cequi est le nombre qu’il fallait trouver. Placons maintenant le point P, par rapport anquel est prise la deuxième polaire A? D, en dehors du plan z—0. Quand le point P se trouve en dehors du plan osculateur singulier z=0, il passe par ce point u—n +r +m ($ 4) plans osculateurs de la courbe C(n, r, m), desquels les points d’osculation sont différents du point M,. Les génératrices de la développable D lelong desquelles ces n + r + m plans sont tan- gentes à la développable D rencontrent la courbe S. en rm points C distincts des points singuliers 7, et M,. Le nombre des intersections de la courbe S, avec la surface A? D, correspondant aux points €, nombre qui était nr est done maintenant nt rm. Le nombre total des intersections de la courbe S. avec la surface A? D restant le même en changeant la position du point P, il faut que la somme M,+M, soit diminuée de m. Je dis que le terme J/, reste le même et que c'est le terme MU, qui est diminué de m par le déplacement du point P en dehors du plan 2=0. Pour le démontrer, coupons une courbe gauche par un plan V infiniment voisin d’un point singulier (m, r, n), le plan V faisant un angle fini avec le plan osculateur et avec la tangente au point singulier (n, r, m). Sous ces conditions le plan V rencontre la courbe gauche en m points infiniment voisins du point singu- lier (n,r,m). En considérant la figure corrélative on trouve que par un point ? infiniment voisin du plan osculateur et à distance finie du point singulier (n,r, m) et à distance finie de la tangente ARCHIVES X. 53 310 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. en ce point singulier, il passe m plans osculateurs de la courbe faisant des angles infiniment petits avec le plan osculateur singu- lier. Supposons done que le point P soit quelconque mais infini- ment voisin du plan osculateur singulier z2— 0, il passe par le point Pm plans osculateurs tangents à la développable D lelong de génératrices infiniment voisines de la tangente g,. Ces m géné- ratrices rencontrent la courbe S. en m points (infiniment voisins du point singulier 7,. Quand le point P s'approche du plan z= ces m points C s’approcheront du point singulier /, et. quand le point P sera arrivé dans le plan 2—0, ces m points C coïnci- dent avec le point M,. Par conséquent, quand le point P se trouve dans le plan 2—0, le nombre des intersections de la courbe S. avec la surface A? D surpasse de m le nombre de ces intersections pour le cas que le point P ne se trouve pas dans le plan z—0. Ce nombre d’intersections étant MS (nt r)(n rt m2) 2 pour le cas que le point P est un point quelconque du plan z—0 est donc M,—m=(n+r—2)(n+r+m):2 pour le cas que le point ? est un point quelconque de l’espace. On a done le théoréme: La deuxième surface polaire A? D de la développable D, prise par rapport au point quelconque P, rencontre la courbe nodale double S., située dans le plan osculateur, au point singulier M, (n, r, m) un nombre de fois (n +r—2){(n +r+m):2, et au point M, le nombre de fois (r — 2) (n + r) : 2. De même on démontre le théorème: La deuxième surface polaire A? D de la développable D, prise par rapport aw point quelconque P, rencontre la courbe modale double S, au point M, (m,r,n) le nombre de fois (r+ m — 2) (n +r+m):2, et au point M, le nombre de fois (r — 2) (7 +m): 2. € POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 311 CHAPITRE III. De la décomposition de la courbe nodale gauche &. $ 22. Des génératrices se rencontrant en um point de la courbe nodale. La question suivante se pose: ces n N branches de la courbe nodale gauche &’ passant par le point M, (§ 15), font elles partie d'une seule courbe non-décomposée ou est ce que ces n N bran- ches appartiennent à quelques courbes séparées. Je démontrerai que les n N branches de la courbe £’ appartien- nent à N courbes séparées, qui sont chacune de même espèce ($ 2) que la courbe C'(n, r, m). Les coordonnées d'un point de la développable D sont données par les équations n—1 mt lt es y= 1" +r SL Ln tr) nn ak IE endet ge In+r Ae m) ge Hr + m = Les coordonnées d'un point de la courbe nodale correspondent à 2 systèmes distincts de valeurs des paramètres ¢ et /. Pour un point de la courbe nodale correspondant aux 2 systèmes t, l et t,,/, on aura donc les relations, Pint tt" +1, nt,"—', ETE Ln tr) EEE = 14 (n+r) Ër iets mr Bank (A) EEE bn rm) ET HH" (n+r +m) Pekka. Ces 3 équations sufflsent pour exprimer les paramètres /, 1, et {, en fonction du paramètre 1. En éliminant / en /, on obtient, entre les paramètres ¢ et t, de 2 point P(t) et P, (t,) de la courbe C(n,r,m), dont les tan- gentes se rencontrent en un point de la courbe nodale, l'équation suivante n—1 n—1 hs nt nt, = 0, a r (n+r)é (n+r)t "TT grt Pt, n+r+m (n+r-Hm)i"*"*" —1 (n-+r-+m)t, n+r+m-1 ou bien 312 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, t, ) | ey | — 0, 1 — ( i 7 n\; | ! n+r t n+r | I — es n+r (ner Ge) SON HN RM NH THM i 1 — ©) NR vun er) G ) t 5 , : En posant IS on obtient pour déterminer le rapport v, Véquation numérique suivante, | 1—v" n nv" En Vela n+r (n +r)v" "7 | lp n+r+m (n Ar 4m) vr TEN qu'on réduit facilement à l’&quation | 0 n 0 =) I) n+r (n +7) (v'—1) (rm) (EEP) n+r+m (nt+7r+m)(v' ~"—1) ou bien, (antr) (r+m) WT) WA) —r (n+r+m) WN) 0" —1) =0, ou bien, +2r +m nr 4m — (n +7) (r + m)v +r(n+r+m)v" + dr (ntm) v —(n+r) (r+m)v'+mn—=0,. (B) n mnv ou bien encore, mn (v’ —1) (0 7" —1) — 4 (n+r+m) v’ (v" —1) (v"—1) =0. L’équation B étant du degré n +2r-+m on obtiendra pour ® n+2r-+m valeurs. Pour v—1 on aurait é— +, et les 2 points P(t) et P, (t,) de l’arête de rebroussement C(n,7,m), done égale- ment les tangentes en ces 2 points, coïncident. Pour une racine v—1 de l'équation B on n'obtient done pas un point de la courbe nodale; il faut donc écarter les racines v — 1. En différentiant par rapport à v l’équation B et divisant le résultat par »””" on obtient: Ve — we POINTS SINGULIERS DES COURBÉS GAUCHES. nr + m mn (nt 2rJm)v —(n+r+m) (n +7) (rmv "+ +r(n+r) n+r+m)v"+r(r+m) (n+ rm) vo” — PRET) MINEN LE ol BOREN UE En différentiant l'équation Cet divisant le résultat par (n+r+m)v"” on obtient, en supposant n> mn: mn (mn +2r + m) 0" — (m + m)(n +7) (r + m) v" + Tenet) i. Er TEE) EE ml En différentiant l'équation D et divisant après par n (ndr) on obtient: m (n+ 2r + m) v’""— (n+m)(r+m)v"+r(n—m)—0.. (E) En différentiant l'équation Æ et divisant après par m (r + m)v” on obtient: (ar + m) 0 — (nF mm) 0" 22 CP) On vérifie facilement que v—1 est une racine des équations B, C, Det Eet que v—1 ne l’est pas de l’öquation F. Par conséquent v — 1 est une racine quadruple de l’öquation B. Dans la démonstration précédante n est supposé plus grand que m. Pour le cas que n— m la démonstration se simplifie un peu, mais on obtient le même résultat. Quand # >, on obtient évidemment encore le même résultat, l'équation B étant symétrique par rapport à n et ». L'équation B a done n+ 27 + m—4—0— 4 ($ 4) racines diffé- rentes de l'unité. Chacune de ces »—4 valeurs du rapport ® donne une valeur du paramètre ¢, correspondant à un point P, (t,) de la courbe C(n,7,m), la tangente à cette courbe au point P, (t,) rencontrant la tangente au point 2 (1). Ou bien la tangente à la courbe Cn,r,") au point P(t) rencontre »—4 nappes de la développable D; résultat connu. § 23. Des racines v, correspondant aux sections planes S,, Sy, U U S, et S,. Considérons la forme suivante de l'équation B (§ 22) nr at mn wv” —1)(v — 1) — 7 (nr + om) 0" "— 1) (v"— 1) = 0, 314 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. Le plus grand commun diviseur des nombres n et » étant q,, (vu — 1) et w" — 1) sont divisibles par (v“—1). Les q, racines de l'équation v" — 1] sont done des racines de l'équation B. Le plus grand commun diviseur des nombres n et n + r+ m n+r+m étant g,, les binomes (v" — 1) et (v — 1) sont divisibles par (u“— 1). Les q, racines de l'équation v“* = 1 sont donc des racines de Péquation B. De même pour les q, et q, racines des équations RUE ROUE Parmi les » —4 racines de l'équation B différentes de l'unité se trouvent donc les (q, — 1), (q, — 1), (9, — 1) et (¢, — 1) racines différentes de l’unité des 4 équations De Get, NE ’ ? Les nombres q,, 95, 7, et q, ne possédant des diviseurs communs à 2 de ces 4 nombres (§ 14) les (¢, — 1), (¢, — 1), (¢, — Det (q, —1) racines sont toutes inégales. Soit v, une racine de l'équation B. En remplaçant dans les équations A (§ 22) ¢, par sa valeur v, ¢ les 3 équations A devien- nent dépendantes et 2 d'entre elles suflisent pour déterminer les valeurs des paramètres / et /, correspondant à la racine v,. Par cette substitution les équations A (§ 22) deviennent aprés une petite reduction, Nn ta Ant nt 2... CEE (n + r + m)l— (n + r +m) Lv" Et ETE). Des 2 premières on tire Soit v, une des (9, — 1) racines, différentes de l’unité, de l’équa- tion v" —1; q, étant par définition le plus grand commun divi- seur des nombres n et r+m, n’a pas un facteur de commun avec le nombre r, puisque, n, r et m ne possèdent pas de facteur commun ($ 2) Par conséquent, v, n’annulera pas le dénominateur v, —1 et annulera le numérateur v,"—1 de la partie fraction- POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 315 .v, —1 naire 7, de l’expression pour /. La valeur de / se réduit donc à: I=—t:m+r). Nous avons vu au § 12 que cette valeur de / correspond à la section plane S, qui est une courbe nodale d'un degré de multi- plicité q,. Les g, —1 racines, différentes de l’unité, de l'équation B, qui satisfont à la fois à la relation v“— 1 correspondent done aux qg,—1 nappes de la développable D qu’une génératrice quelconque rencontre sur la section plane S,. Soit maintenant v, une des racines, différentes de l'unité de l'équation v”—1; q, étant le plus grand commun diviseur des nombres r et m, ne peut avoir un facteur de commun avec le nombre n. Pour une telle valeur de la racine v, la fraction (v,"—1):(v, —1) devient infini, il en sera de même de la valeur de 2 correspondante, Quand / est infini les points de la courbe nodale correspondante se trouvent à l'infini et on obtient done la section plane S, ($ 12) qui est une courbe nodale dont le degré de multiplicité et g,. Les 9, — 1 racines, difiérentes de l'unité, de l'équation B, qui satisfont à la relation v= 1, correspondent done aux 9, —1 nappes de la développable D qu'une génératrice quel- conque rencontre sur la courbe à l'infini S,. De la première et de la troisième équation A’ on.tire t \ rem Vil } in EE a ih Vv EER Ne : nn + r +m) | eld en Pour chacune des q, —1 racines v,, différentes de l’unité, qui satisfont à la relation v"—1, cette équation pour / se réduit à I=—t:nm+r+m). C'est précisément la valeur de / correspondante à la section plane S, ($ 12). Les q, —1 racines v,, différentes de l’unité, qui satisfont à la relation v"—1 correspondent done au q, —1 nap- pes de la développable D, que rencontre une génératrice quel- conque sur la section plane S,. 316 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. De même on démontre, à l’aide de la valeur de / tirée des 2 dernières équations 4”, le résultat suivant: Les q,— 1 racines v,, différentes de l'unité, qui satisfont à la relation v®—1, correspondent aux q,—1 nappes de la dévelop- pable D, que rencontre une génératrice quelconque sur la section plane S,. En diminuant le nombre n+2r + m—4 des racines v,, diffé- rentes de l'unité, de l'équation B (§ 22), des nombres (q, —1), (9, —1), (9, —1) et (9, —1) de ces racines correspondantes aux sections planes multiples S-, S,, S, et S,, il reste encore n+2r +m 9, — h — 3 —q, =2N (K 13), racines correspondantes aux branches de la courbe nodale tf gauche $”. $ 24. Des racines v, correspondant aux branches de la courbe §. Soit P(t) le point de l’arête de rebroussement C (n, 7, m), corres- pondant au paramètre ¢. Soit v, une des 2 N racines de l'équation B (§ 23) correspondant à une branche de la courbe nodale gauche &. La tangente au point P(t) rencontrera, en un point Q de la courbe nodale &’, la tangente à la courbe C(n,7,m) au point P,(t,) où t, =v, t. Si le point P(t) se déplace sur la courbe C(n,7,m) pour arriver au point P, (t,), la tangente passera de nouveau par le point @ de la courbe nodale 5’. Parmi les tan- gentes à la courbe C(n,r,m), rencontrant la tangente au point P, (t,) se trouve donc la tangente au point P(t). Il existe done une valeur v, de la racine v qui donne t—=v,t,. Des rela- tions ¢ =v, t, et ¢, =v, t, il résulte v, v, —1. Les 2 racınes de l’&quation B correspondant aux branches de la courbe nodale §’ se combinent done deux à deux en paires, le produit de 2 racines formant une paire étant l’unité. Il faut done que l’équation B ($ 22) est une équation réciproque, cequi est en effet le cas Les 2 racines v, et v, formant une paire, correspondent à une même branche de la courbe nodale &’. Par conséquent, la tan- gente à la courbe C(n,r,m) au point P(t) rencontre cette branche 2 fois en les points où elle rencontre les tangentes à la courbe C(n,r,m) aux points correspondant aux paramètres v, t et v, t, Les équations A ($ 22) étant du premier degré en J, il correspond POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCIIES. 37 à chaque valeur de v une seule valeur du paramètre I. Soit 1, une valeur de / correspondant à une des 2 N racines de l’équation B correspondant à une branche de la courbe &’. Le point Q dont les coordonnées sont g=t lj nt", gtt al, ntntr n+r+m ? n+r+m—1 I D + n+r+mt sera done un point la courbe $”. En faisant varier t ce point Q décrit une courbe nodale faisant partie de la courbe £’. En remplaçant /, par une autre valeur du paramètre / correspondant à une autre valeur du rapport v, racine de l'équation B, on obtient pour une seule valeur de / la même courbe et pour toutes les autres valeurs on obtient une autre courbe nodale faisant partie de la courbe &’. On obtient done autant de courbes nodales séparées, faisant partie de la courbe &’, qu'il y a de paires de racines v, de l'équation B cor- respondant à des points de la courbe & et satisfaisant à la relation Dv; —1. ‘ Le nombre de ces paires de racines étant N, la courbe &’ se décompose en N courbes séparées. En remplaçant dans les expressions donnant les coordonnées dun point Q de la courbe nodale &’ le paramètre 1, par sa valeur tirée des 2 premières équations A’ ($ 23), et en tenant compte de l'équation D (§ 22), ces expressions deviennent: 7 ik | oF n+ Tan | | ate Pris N N Y = — — pret as veen GEA Y n | 1 eee \ ) mkt “a al ail A| n+r | ! |. ÄRCHIVES X. 54 318 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. Les coordonnées d’un point Q de la courbe nodale £ prennent HIS EE Var 5 2 —=(t done la forme 2 At, y—Bt ‚par conséquent, on a le théorème (§ 2). La courbe nodale &’ se décompose en N courbes distinctes de même espèce que la courbe C'(n, 7, m). Ce théorème tombe en défaut si pour une racine v, de l’équa- tion B les coefficients A, B et C sont infinis ou nulles. On vérifie facilement que ceci ne sera le cas que pour les racines v, qui satisfont à une des 4 équations Do en NL UC Hil, et ces racines de l'équation B ne correspondent pas à des branches de la courbe £” mais correspondent aux sections planes S., S,, S, et Ss; . La courbe § A mi a . espèce que la courbe C(n,7,m), est done une courbe gauche ($ 17), la courbe C(n,7,m) étant une courbe gauche (K 6). if , qui se décompose en N courbes &; de même De chacune des N courbes §; il passe n branches par le point M,. Ces n branches y ont de commun n + r points consécutifs avec leur tangente commune, l’axe des x, qui est également la tangente au point M, à la courbe C(n,r, m). Ces n branches ont chacune de commun, au point M,, n +7 +m points consécutifs avec le plan osculateur commun z—0, qui est aussi le plan osculateur de la courbe C (n,7,m). On retrouve donc le théorème du $ 19: Par le point M, il passe n N branches de la courbe nodale &’. Ces n N branches sont tangentes au point M, à la courbe CO (n,r, m) et ont de commun avec la tangente commune (n + r) N points. Le plan osculateur de la courbe U(n,r,m) est également le plan osculateur des n N branches de la courbe 5’ et ces n N branches ont de commun avec ce plan osculateur (n + r + m) N points. $ 25. Des intersections de la courbe nodale &’ avec la surface A? D. Soit £, une des N courbes §; qui composent la courbe nodale £’. Déterminons le nombre des intersections de la courbe nodale £, avec la deuxième surface polaire A? D de la développable D, prise par rapport au point quelconque ?, lesquelles se réunissent au point singulier M,. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, 319 Comme au § 11 on trouve que les termes de l’équation A? D —0, du poids le moins élevé sont les termes obtenus en différentiant 2 fois par rapport à z. Ces termes sont du poids (n + r—2) x x(n +r+m), ou bien en remplaçant dans l’öquation de la deuxième surface polaire A? D, les variables x, y et z respective- ment par les expressions en ¢ donnant les coordonnées d’un point de la courbe &, = At", Die vis IC +7 De (S 24) on obtient une équation en ¢ dont les termes du degré le moins élevé sont du degré (n +r— 2) (n + r + m). Il est encore possible que s’annule, pour les valeurs spéciales A, B et C correspondant à un point de la courbe nodale &,, le coefficient du terme (n+r—2)(n+7r +m) en ¢ De l'équation en ¢ donnant les paramètres des points d’inter- section de la courbe £, avec la surface A? D, (n+ r—2) (n + r + m) racines, au moins, sont nulles. Le point singulier M, correspondant au paramétre t= 0, compte done pour (n + r—2) (n + r + m) + R, intersections de la courbe nodale §, avec la surface A* D; R, représente un entier positif ou nulle. De même la courbe nodale &, rencontre au point M, la surface A? D le nombre de fois suivant (n+ r —2) (Nn +1 + Mm) + R,, où A, est un entier positif ou nulle. La courbe &, étant du degré n + r + m rencontre la surface A? D, laquelle est du degré n+ 2r + m—2, le nombre de fois suivant (n+ 7 + m) (n + 27 + m— 2). Ces intersections sont, d’après Cremona !): 1° Les points singuliers M, et My. 2° Les points triples r de la développable D, lesquels sont aussi des points triples de la nodale totale, et ot passent une, deux ou trois branches de la courbe £,. Soit r le nombre des intersections aux points r. 3° Les points singuliers de l’aréte de rebroussement C'(n, 7, m), 1) Cremoma—Curvze, Oberflächen, Cap. IV. 54* 320 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 1, (2, H, 0 et w’, autres que les points M, et M,. Nous avons vu aux K 6, 8, 10 et 11 que la courbe C(n,7,m) ne possède pas d’autres singularités que les 2 points M, et M,, on a donc ici À P H 6 w” 0. 4° Les points où la courbe £, rencontre une génératrice mul- tiple »’ on /. Nous avons vu aux $ 6 et 10 que la développable D ne possède pas d’autres génératrices multiples que les 2 rénératrices g, et g,. Nous avons vu au $ 17 que la courbe / D c Œ rencontre ces génératrices seulement aux points M, et M,. De même pour la courbe &, qui fait partie de la courbe 5% 5° Les points où la courbe &, rencontre les u —=n +1 + m ($ 4) génératrices de la développable D, qui se trouvent dans des plans osculateurs de la courbe C'(n,r,m), passant par le point P. Chaque génératrice de la développable D rencontre 2 fois la courbe nodale £, ($ 24). Le nombre de ces inter- sections C de la courbe §, avec la surface A? D est done 2x (n + 7 + m). Cremona donne le résultat, que chacune de ces intersections C doit compter pour un seul point commun !) de la nodale et de la deuxième polaire 4° D. On obtient donc la relation: (n+r+m) (n+ 2r+m—2)—=(n+r—2) (n+r+m) +R, + (m+r—2)x x (n+r+m) +R,+r+2(n+r+m); dot lr ae lity rl) R,, R, et r ne pouvant pas être des nombres négatifs on a le N I 12 8 résultat, Rn Or 0 on en tire facilement: 1° Le point singulier M, compte pour (n + r—2) X (n + r + m) points communs de la deuxième surface polaire A? D avec la courbe &,, par conséquent, le point M, compte pour N (n + r—2)(n + 7 + m) intersections de la courbe modale &’ avec la surface A? D. 2° Le point singulier M, compte pour (m +r— 2) (n+ r +m) points communs de la courbe nodale £, avec la surface A? D, par conséquent, le point singulier M, compte pour 1) Cremona — Curwzp, Oberflächen. § 99. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, 321 N (r + m — 2) (n + r + m) 7 intersections de la courbe modale &’ avec la surface A* D. 3° En dehors des points singuliers M, et M,, la courbe nodale £, ne passe pas par des points triples de la développable D. Par conséquent: 1° La courbe £, ne possède pas de points triples r. 2° La courbe &, ne rencontre pas une des sections planes S,, #,, 8, et S,. 3° Deux des N courbes 5; ne se rencontrent pas en un point r, en dehors des points M, et M. La courbe C(n,7,m) ne possédant des plans bitangents G (§ 8) il n'existent pas non plus des noeuds G de la nodale 5’ où 2 courbes § se rencontrent !). On a donc le théorème: Deux courbes &; ne se rencontrent pas en dehors des points singu- hers M, et M,. § 26. Des courbes nodales triples. Les conclusions précédantes tombent en défaut dès que quelques unes des courbes nodales &; coincident en formant ainsi des courbes triples ou multiples. En effet, une courbe triple ou multiple est située sur la surface A? D et le nombre des intersections de la courbe multiple avec la surface A? D est infiniment grand. De même le nombre r des points triples de la développable D et des courbes nodales &; devient infiniment grand. Supposons que 3 des courbes nodales & coincident pour former une courbe triple §, et que la courbe &’ ne possède pas une partie, qui est d’une multiplicité plus grande que 8. Soit Q un point de la courbe &,, situé sur la tangente ¢ de la courbe C(n,r,m) au point P (t). Cette tangente { rencontre au point Q de la courbe triple 2 autres génératrices t, et t, de la développable D, tangentes à la courbe O(n,r,m) aux points P, (t,) et P, (t,) correspondant au paramètres t, et ¢,. On aura , =v, 4, t, =v, t où v, et v, sont 2 des 2 N racines de l’équation B (§ 22) correspondant à des points de la nodale gauche §’. La génératrice {, rencontre au point Q les génératrices ¢ et t, tangentes à la courbe C'(n,r,m) aux points correspondant aux paramètres { et {,. On aura donc t, —=Vyt,, t=, t,, v, et v, étant des racines de l'équation B. La génératrice {, rencontre au point Q les génératrices ¢ et t,. On 1) CREMONA—CURTZE, Oberflächen, § 112. 322 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. aura done t= v, ¢,, ¢, =v, fa, v, et v, étant encore des racing: de l’équation B correspondant à des branches de la nodale gauche & Des relations sv MT 0, LOD Su ae leader ae tions v, £, — t,, 0, bi Vo tt on déduit vu, Munem on trouve facilement les relations suivantes: Ord ONU On, Dai DI Une Dy Or ONO EAN : gage) Uy Vg = Us; Vlie ler Vern Vin Oh On De DO Dg il Ces relations permettent d’exprimer les six racines v,, v, : - Vs en fonction de 2 d’entre elles. Les six valeurs v,, v,.. v, sont distinctes. En effet, supposons 9%, —dv, on aura par l'équation vu, — 0, le résultat vs Parmi les 2 N racines correspondant aux branches nodales gauches il ne se trouve plus l'unité ($ 22), on ne peut done admettre v, = wv. Supposons v, =v, on aurait par l’équation v, v, —=v,, le deni a E e 5 5 2 v =v, et l'équation B admettrait les racines v, et v,. On aurait wt done (n-+ r) (r+ m) (0, "—1)(v, int) —1)=r(n+r+m) (v1) (v Md), (n+ r) (r +m) (| 1) (= Ir (1 +7 + m) (ui — 1) I). En divisant membre par membre, (! En 1) (ve +1)= (« ge dE 1) (v! mtr ae 1) Dar r+m Kern v, +, SS or ah v (CA — |) (v, — 1) — 0. Parmi les racines de l'équation B ne se trouve par v—(. Les valeurs de v qui annulent (v” —1) et (v"—1) et qui satisfont à l'équation B, correspondent aux sections planes S,,S,, S. et 5, et ne correspondent pas aux courbes nodales gauches &. On ne peut done pas admettre v, =v, Supposons v, =¥,; on a v, v, —4, done v —1 d'où v, — +4: Parmi les 2 N racines de l’équation B, copain aux courbes Sil ne se trouve pas la racine v—1. Le nombre 2 N des racines correspondant aux courbes §; étant pair (§ 14) et se présentant en paires satisfaisant à la relation v;v; — 1 la présence d’une racine 9, ——1 entraînerait une seconde racine v, ——1. La POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 323 tangente ¢ rencontrerait done en deux points coincidants la nappe de la développable D passant par la génératrice t, —— 1, cequi exigerait que la génératrice t, fut une génératrice double ou que la génératrice ¢ fut tangente à la nappe passant par la génératrice t,. La génératrice ¢ étant quelconque il en est de même de la génératrice t, on — t, par conséquent, toutes les génératrices de la développable D seraient des génératrices doubles ou toutes les génératrices de la développable D seraient encore tangentes à cette développable. Ces 2 suppositions étant absurdes on ne peut pas admettre la supposition v, = v,. Supposons v, —v,, on aurait par l'équation v, v, =v, le résul- tat u. Nous venons de démontrer que parmi les racines de l'équation B correspondant aux branches nodales gauches £, il ne se trouve pas 2 racines v, et v,, done la supposition v, =v, ne peut pas être admise. Supposons v, —v,, l'équation v, v, —v, donne v, — 1, cequi est impossible. En résumant, on ne peut pas avoir que la racine v, soit égale à une des racines vs, v,--- vg. Les 6 racines ne se distinguant en rien il est impossible que parmi ces 6 racines 2 soient égales. Ces 6 racines sont donc distinctes. La tangente t rencontre done 6 nappes distinctes de la développable D en des points de la même courbe triple £,. En chaque point de la courbe &, la tangente { rencontre 2 nappes, il faut done que la tangente { rencontre 3 fois la courbe triple £.. De la relation v,v,—1 on tire v, 0, t—t ou vst; —t. Done la tangente f, rencontre la tangente t. Der la relation-v, vg =, on ren, vg buit ow vy fe Sir Done la tangente ¢, rencontre la tangente ¢,. La tangente t, rencontrant les tangentes ¢ et ¢,, doit passer par le point de rencontre Q des droites ¢ et {,, ou bien doit se trouver dans le plan des droites t et t,. La courbe £, étant, par supposition, une courbe triple, il ne passe par le point Q que les 3 génératrices t, t, et t‚. La génératrice ¢, ne passe donc pas par le point Q, par conséquent, les 3 tangentes ¢, ¢, et ¢, se trouvent dans un plan. Ce plan (t, ¢,, t,) est un plan tritangent r’ de la courbe C (n, 7, m). De la même manière on démontre que les 3 tangentes t, #, et t, se trouvent dans un plan. Ce plan (4, t,, {,) est done aussi un plan tritangent r’ de la courbe C(n,7,m). De la relation 324 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. v,v,—v, on tire que la tangente {, rencontre la tangente #,; f, rencontrant aussi la tangente ¢, il faut que la tangente {, passe par le point de rencontre des tangentes ¢ et f, ou bien se trouve dans le plan déterminé par les droites ¢ et t,. Dans le plan (t,t,) se trouve déjà la tangente {,. Dans ce plan (f,t,,t,) se trouveraient alors 4 tangentes et ce plan serait done un plan quadritangent de la courbe C(n,r,m). La développable 2”, qui est la figure corrélative de la courbe C (m,r, m) possèderait alors une courbe quadruple. L’aréte de rebroussement C’ de cette développable D’ étant une courbe de même espèce (§ 4) que la courbe C'(n,r,m), la développable D possèderait aussi une courbe quadruple faisant partie de la courbe gauche £”. Par supposition, la courbe &’ ne se décompose pas en courbes multiples dont le degré de multiplicité est supérieur à 3. On ne peut donc pas admettre la supposition que la droite {, se trouverait dans le plan (t, t,, t,). Par conséquent, la tangente ¢, passe par le point de ren- contre des tangentes ¢ et #.. De même on démontre que les tangentes f, t, et ¢, se trouvent 4 dans un plan et que les tangentes #, ¢, et f, passent par un 2 6 point. En résumant on obtient le théorème: Quand la développable D possède une courbe nodale triple £,, cette courbe correspond à 6 racines distinctes v,. Une génératrice quelconque t rencontre 3 fois la courbe §,. Par les 3 points de rencontre passent les triples de génératrices (t,t,,t,), (t‚lz,t,) et (bt,,t,). Par la génératrice t il passe trois plans tritangents de la courbe C (m,r, m), savoir les plans (t,t,,t), (t,t, be) et (L, ts, ti). La courbe §, possédant une infinité de trisécantes ¢ formant la développable 2, la courbe C(n,7r,m), laquelle est une courbe de même espèce ($ 24) que la courbe §, possède également une infinité de trisécantes, toutes tangentes à une courbe de même espèce que la courbe C (n,7,m). Et réciproquement, quand la surface réglée formée des trisécantes de la courbe C(n,7,m) consiste en entier ou en partie d'une développable T, la développable 2 possède une nodale triple. En effet, chaque plan tangent de la développable T est un plan tritangent de la courbe C(n,7,m), par conséquent, la développable D’ qui est la figure corrélative de la courbe C'(n,r,m) possède une courbe triple. L’aréte de rebroussement C’ de la développable D’ étant une courbe de même espèce que la courbe C'(n,r,m), la POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 325 développable D possède également une courbe triple £,. Quand la développable T est un cône la courbe £, est une courbe plane; c'est le cas considéré au $ 13, où nous avons vu qu'il correspond à chaque section plane multiple S,, S,, #. ou S un cône projetant multiple. Quand la développable T n’est pas un cône, la courbe £, est gauche. On a donc le théorème suivant: La condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une courbe gauche triple sur la développable D, est qu'une infinité de trisécantes de la courbe U(n,r,m) soit tangente à une courbe de même espèce que la courbe C'(n,r,m). Ce théorème suflira en beaucoup de cas à écarter la possibilité de l'existence de courbes gauches triples. Par exemple quand la courbe C'(n,r,m) se trouve sur une surface du second degré, ses trisécantes sont les génératrices de cette surface et, par conséquent, ne sont pas tangentes à une courbe de même espèce que la courbe C{n,r,m). On a donc le corollaire: Quand la courbe C(n.r,m) se trouve sur une surface du second degré sa développable D ne présente pas de courbes gauches triples. Nous avons vu que le plan (t,t,,t,) est tangent à la courbe C(n,7,m) aux points de paramètre t, ¢, et t,. Quand la tangente t décrit la développable D, le plan (t, t,. t,) enveloppe une déve- loppable T (de même espèce que D). Le plan tritangent consécutif passe par les tangentes consécutives aux tangentes t, ¢,, t,, done passe par les points de paramètre ¢, ¢,, t,. La génératrice du développable T située dans le plan (¢, t,, £,) est done une droite passant par les points P, P,, P, de paramètre t, t, et {,, cequi donne le théorème : Les six points de contact P,, P,--- P,, des tangentes à la courbe U(n,r,m), qui rencontrent la tangente au point P, dans 3 points d'une courbe gauche triple, se trouvent deux à deux sur 3 droites passant par le point P. S 27. Des racines réelles de l'équation B. Envisageons de nouveau l'équation B du § 22 nn Un + 7) (r + mm) u" tt" 4 (nt 7 + m) ut" + +r(n+r+m) ol (n +7) (r + mu +mn=0... (B) On peut toujours supposer n > m, car les courbes pour lesquelles ARCHIVES X. 55 326 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES n m en choisis- sant pour origine des coordonnées le point singulier M, (m, r, n) au lieu du point 47, (n,r,m) ($ 3). Le nombre des variations de signe des termes du premier membre de l'équation B étant 4, le nombre des racines réelles positives est au plus 4 Nous avons déjà vu au $ 22 que + 1 est une racine quadruple de l'équation B, par conséquent, aucune des racines, correspondant aux courbes nodales S et & n’est positive. Si done une racine v, de l'équation B, correspondant à une courbe &, ou S est un nombre réel cette racine est négative. Les paramètres ¢ et {, des points P et P, de la courbe C'(n,r,m) dont les tangentes se rencontrent dans un point de la courbe &, ou S sont done de signe contraire, ou bien les points P et P, se trouvent sur la courbe C(n,7,m) de part et d'autre du point M,. De même les points P et P, se trouvent de part et d'autre du second point singulier M,. Le nombre des racines réelles négatives de Véquation B ne 5 | surpasse pas le nombre des variations de la transformée en — v, Soit B(—v) la transformée en —v. Nous aurons à considérer plusieurs cas. 1°. n, r et m sont impairs; la transformée en —v, B(—v), ne présente. que des permanences. Le nombre des racines néga- tives de Péquation B est nulle (§ 34, 40). 2°. et m impairs, 7 est pair; B(—v) présente 2 variations, done l’équation B peut posséder 2 racines négatives ($ 45). 3°. r et m sont impairs, n est pair; B(—v) présente une varia- tion, done une racine de l'équation B est réelle et négative, c'est la racine — 7, correspondant à la courbe nodale plane 8, (88 35, 41). 49, r et n sont impairs, m est pair; B(—v) présente 3 varia- tions, done 3 ou 1 racine de l’équation B sont réelles et negatives; — 1 est une racine de l'équation B cette racine correspond à la courbe nodale plane &,. 5°. r est impair, n et m sont pairs; B (— v) présente 2 variations de signe, 2 ou 0 racines de l'équation B sont réelles et né- gatives ($ 38). 6°. n est impair, r et m sont pairs; B (— v) présente 5 variations 5, 3 ou 1 racine de l’équation B sont réelles et négatives. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 327 Une de ces racines est — 1, cette racine correspond à le courbe nodale plane $, . m est impair, n et r sont pairs; B (— v) présente 3 variations done 3 ou 1 racines de l'équation B sont réelles et négatives; — 1 est une de ces racines, cette racine correspond à la courbe nodale plane 8. ($ 39). Des racines v, correspondant à des courbes nodales gauches il y a donc au plus 4 qui sont réelles Les racines v, de l’équation B correspondant aux génératrices que la tangente au point P(t) rencontre sur la courbe nodale $ sont les racines de l'équation v”—1 ($ 23). Quand q, est pair une de ces racines est — 1 et les autres racines sont imaginaires ; la tangente au point P(t) rencontre done sur la courbe # la tangente au point P (—t). Des 4 nombres q,, qo, 9, et q, il n'y a jamais plus qu’ un seul qui soit pair ($ 14). Des racines différentes de + 1 des équa- tions uv” qui est — 1, toutes les autres racines sont imaginaires. Quand ¢ est réel, le point P(t) et la langente ¢ au point P (t) à la courbe C' (m,r, m), sont réels. Quand la racine v, de l'équation B est imaginaire t, —v,t sera imaginaire. Le point P, (t,) et la tangente au point P, (t,) seront également imaginaires. Par conséquent, des nappes que la génératrice ¢ rencontre sur les 4 courbes nodales planes S, il y « au plus une qui soit réelle, toutes les autres nappes sont imagi- naires. Pour fixer les idées, soit 4, une racine imaginaire de Eu ain 4 done qu'une seule l'équation v®—1; la génératrice t rencontre donc sur la courbe S. la génératrice imaginaire {,. La courbe S. est une courbe réelle et le point de rencontre de la génératrice t avec le plan réel z—0 est un point réel de la courbe #., où passe la droite ima- ginaire ¢,. La génératrice {, est done une droite imaginaire possé- dant un point réel, c'est done une droite imaginaire ponctuée, ou pour simplifier, ¢, est une droite ponctuée. Je réserverai comme le fait R. Sturm !) le nom de droite imaginaire pour ces droites imaginaires qui sont dépourvues d’un point réel. On a donc le théorème : Des génératrices que la tangente réelle t rencontre sur les 4 courbes 1) R. Sturm, Flächen dritter Ordnung. Kap 6. D5* 328 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. nodales planes S il y a aw plus une qui soit réelle, et les autres génératrices sont des droites ponctuées. Quand une racine v, de l'équation B, correspondant à une courbe nodale gauche £, est réelle, la génératrice ¢ rencontre sur la courbe £, une nappe réelle et la courbe £, est alors une courbe nodale où passent 2 nappes réelles. Nous avons vu que des ra- eines v,, correspondant à des courbes nodales gauches, il y a au plus 4 qui soient réelles. Deux racines v,, correspondant à une même courbe &,, satisfont à la relation v; v; = 1 (§ 24). Les 4 racines réelles correspondent done à 2 courbes nodales gauches On a donc le théorème: Des courbes nodales gauches 5, il y a au plus 2 qui sont linter- section de 2 nappes réelles. Quand une racine v, de l’&quation B, correspondant à une courbe nodale gauche £, est imaginaire, il passe par la courbe £, une nappe réelle et une nappe imaginaire. En général, le point dintersection de la génératrice réelle ¢ et de la génératrice imagi- naire ¢, est un point imaginaire et la partie de la courbe §, située sur une nappe réelle de la développable D est imaginaire. Si la courbe £, possède alors une partie réelle, cette partie réelle sera l'intersection de 2 nappes imaginaires, donc cette partie de la courbe &, sera une courbe nodale isolée. Les points réels de cette partie réelle étant les intersections de génératrices non réelles, ces génératrices sont des droites ponctuées. La partie de la courbe £, où passent une nappe réelle et une nappe imaginaire peut encore être réelle si la nappe imaginaire est formée de génératrices ponctuées et quand la génératrice réelle passe par le point réel de la génératrice ponctuée Trois des 4 courbes nodales planes S sont des exemples d’une courbe nodale réelle où ne passe qu’une seule nappe réelle. Remarquons que quand la droite ponctuée ¢, est une génératrice de la dévelop- pable 2, il en sera de même de la génératrice imaginaire conju- guée t,’. Chaque droite ponctuée rencontre sa conjuguée en son point réel. Un point réel d'une génératrice ponctuée est done toujours un point d’une courbe nodale de la développable 2. Quand par le point réel des génératrices ponctuées conjuguées t, et ¢,’, il passe encore la génératrice réelle t, la courbe £, est une courbe triple ou est une courbe nodale d’un degré de multi- plicité supérieur à 3, POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 329 Nous aurous done à considérer de plus près les génératrices de la développable D qui sont des droites ponctuées. § 28. Des génératrices ponctuces. Quand A, B, C et D sont des formes linéaires en les coordon- nées 7, y, z et u, l'équation A+ Bi—0 représente un plan imaginaire et les 2 équations 4+ Bi—0 et C+ Di—0, repré- sent, en général une droite imaginaire. Quand la droite réelle A=0, B—0 du plan imaginaire A + Bi—0, rencontre la droite réelle du plan C+ Di—0, la droite A + Bi—0, C+ Di—0 sera une droite ponctuée. La droite A+Bi=0, C+Di=0 est done une droite ponctuée quand les 4 plans A=0, B=0, C=0, D—0 passent par un point. La tangente ¢ à la courbe C(n,r,m) au point P(t) de para- mètre { dont les équations sont ($ 4) n+T ré —(n+r)t x +ny—0, ) glen) +m (r + m —(n+r+m)t "x+nz—=0, sera une droite imaginaire quand t= M (cosa + isina) = Me" et sera une droite ponctuée quand les quantités réelles M et « sont telles que passent par un point les 4 plans suivants rM" cos(n + r)æ—x(n + r) M' cosr « + ny—0, rM"*' sin(n+r)ae—x(n-+r)M"sinra=0, (rm) M" cos (n+r+m) a — x (n+r+m) M" cos(r+m)e+nz—0, (r+m) M" sin (n +7 +m) a—a(n+r+m) M'"" sin (r + m) « —0. M et « doivent donc satisfaire à la condition que s’annule | —(n+r)M' cos r & n 0 rM"*"cos(n+r)« | —(n+r)M' sinre 0 0 rM""sin(n+r)« | —(n+r+m)M""eos(r+m)e 0 n (r+m)M"*"cos(n+r+m)e | —(n+r+m)M"""sin(r+m)e 0 0 (r+m)M"" "sin(n+r+ mya Cette condition se réduit à MT Vin +r) (r + m) sin ra sin (n + r + m) « —r(n+ r+ m) sin (n + 7) « sin (r + m) al—0, 330 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. Quand M—0 on a t—0 et la tangente ¢ est la génératrice réelle singulière g, et la droite { n’est donc pas une droite ponc- tuée. La droite ¢ est done seulement une droite ponctuée quand la quantité réelle « satisfait à la condition (n + r)(r + m) sin r a sin (Nn + r + m) « — run + r + m) sin (n + r) a sin (r + m)a—0. rai . — ro. . . . En remplacant sinra par (e'"'—e ' '):2i ete. et multipliant x 0% ui ore wie . Pda . « après par — 4e" "7" cette dernière condition se réduit à (EN nen NE EE") Em (n +7 un m) Ca TL ES 1) (es En mai 1) = 0. 24i Par la substitution 2° ‘=v, cette condition devient (n+r) (r+m) (e— 1) (A Ir (nr +m) (071) (0 "—1) =, c’est une des formes que prend l'équation 2 (§ 22). = Pi Soit v, =e” une racine de l'équation en « précédente, et la tangente à la une racine de l'équation B, alors &« — sera courbe C'(n,r,m) sera donc une droite ponctuée, quand le para- mètre du point de contact est t= Me”, M étant quelconque. L’angle « étant une quantité réelle on ne peut pas avoir « — p que sous la condition que p est une quantité réelle. Quand p est réelle le module de v, est l’unité. On a done le théorème: A chaque racine imaginaire v, —e"*' de l'équation B, dont le module est l'unité il correspond une infinité de points imaginaires de la courbe C(n,r,m) dont les paramètres t ont le méme argument p et qui sont les points de contact de tangentes ponctuées. Je démontrerai ce résultat encore une fois d’une autre manière. Soit e *' une racine v, de l'équation B, c’est à dire, la tangente {au point de paramètre { rencontrera, en un point Q, de la courbe nodale, la tangente /, au point de paramètre t, =v, t. Soit t— Me "' on aura t, — Me"! A la condition que p est un nombre réel, # et {, sont 2 imaginaires conjuguées, et les 2 tangentes tet ¢, sont 2 droites imaginaires conjuguées. Quand 2 droites imaginaires con- ws — POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 39 juguées se rencontrent leur point de rencontre Q est un point réel et les 2 droites sont des droites ponctuées. Quand p est un nombre imaginaire a + bi les paramètres des points de contact des tangentes f et {, sont ai t—Me'e “,t, = Me 'e bet t‚ n’ont plus le même module done ne sont pas des imagi- naires conjuguées. Le résultat précédant est indépendant de la valeur du module M de t, en faisant varier M de + & —o on obtient done une infinité de points réels Q sur la courbe nodale correspondant à la racine v,, toujours à la condition que p est un angle réel, On a donc le théorème: Une courbe modale gauche £;, correspondant à une racine imagi- naire v; de l'équation B, est une courbe nodale isolée, quand le module de v; est egal à l'unité. En particulier, quand l'équation B ne possède que 2 racines imaginaires v, et v, correspondant à des courbes nodales gauches ces 2 racines correspondent à une même courbe nodale gauche ei et leur produit est done v, v, —1 (§ 24). Quand le produit de deux imaginaires conjuguées est l'unité leur module est l’unité et la courbe £, est done une courbe nodale réelle isolée (K 37, 38, 41). Supposons que la génératrice réelle ¢ rencontre une génératrice ponctuée ¢,, je dis que la développable D possède alors une courbe nodale réelle, triple ou d’un degré de multiplicité supérieur à 3 Quand la génératrice ¢ rencontre la génératrice ponctuée t,, elle rencontre également la génératrice {,, laquelle est la conjuguée de t,. Il y a 2 cas possibles, ou bien la génératrice ¢ passe par le point réel commun aux 2 génératrices ponctuées t, et {, et ce point est alors un point triple de la développable D ou bien la génératrice t rencontre la génératrice t‚ en un point imaginaire, { se trouve alors dans le plan réel passant par ¢,. Ce plan réel passe égale- ment par f, et dans ce plan se trouvent donc 3 tangentes t, £, et t, à la courbe C(n,7,m), ce plan est donc un plan tritangent réel. La figure corrélative de la courbe C(n,7,m), c'est à dire la déve- loppable D, possèdera une courbe triple réelle. Supposons que t et 1, = Mte“' sont les parametres des points de contact des génératrices t et {,. Le paramètre ¢, du point de 392 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. contact de la génératrice conjuguée t, sera {, = Mie“. La géné- ratrice { rencontre les génératrices ¢, et t, on a done t, —vt, ty —v,t où v, et v, sont des racines de l'équation B. Des équa- tions ¢, =v, 4 et ft, Miert résulte vo, Miet de mémeton am, Mes donem, en 0. | Les génératrices ponctuées ¢, et /, se rencontrent donc {, =v, t, où v, est une racine de l’équation B.Onadone Me “' =v, Me™, d’ouzo em Il y a 2 cas à considérer: 1° Supposons #—1, par conséquent, v, =e “’, donc v, —v,. Nous avons vu an $ 26 que la racine r, de l'équation B est une racine d’une des 2 équations v” = 1 ou v” = 1, quand sa deuxième puissance est aussi une racine de l'équation B. La racine v, correspond alors à une des 4 sections planes S. La génératrice t rencontre alors les 2 génératrices t, et {, en son point de rencontre avec la courbe S, et peut-être encore quelques autres génératrices. On a donc le théorème. Quand une génératrice réelle t rencontre une génératrice ponctuée, le module du rapport v correspondant étant l'unité, le point de ren- contre est un point d’unedes section planes S laquelle est alors une courbe multiple dont le degré de multiplicité est au moins trois. 2° Supposons M différent del. Le point de rencontre Q, des généra- trices ¢ et t, n'appartient pas à une des 4 sections planes S, puisque les racines v correspondant à une section plane sont les racines d’une des 4 équations v" — 1, desquelles les modules sont toujours égaux à l’unité, tandis que le module M de v, — Me est par supposi- tion different de l’unité. Le point @, appartient done à une des courbes nodales gauches §;. L’équation B étant une équation réciproque l'existence d’une racine v, nécessite l'existence d’une racine 1:v, et la génératrice ¢ doit rencontrer 6 génératrices #,, to --- t,, les paramètres des points de contact étant —90 à ON — iter v,t—= Mite” ‚uw. He, bi vite “Mt; =v, t=te": M,t,=v,t=te “. On vérifie facilement qu’il existe entre les racines v les relations C du § 26 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 333 = Y 4 , 35 Ug Uig Us ia ele (C) Una ran Arn Von Arie Vl bni a Ue Supposons que ¢, soit une droite réelle, il faut que v, soit réelle donc v, ——1 (§ 27), v, v, — 1, done v, —— 1 et les 2 généra- trices {, et ¢, coincident. Quand v, —— 1 le point de rencontre Q, des génératrices ¢ et f, est un point d’une des 4 sections planes 8 (§ 27). Le point de rencontre © des génératrices t, et t, est également un point de cette courbe S, puisque ft, =v, { — Be de même le point de rencontre Q,; des génératrices {, et f, est un point réel de cette courbe S. Il est impossible qu'un des 2 points Qw et Q; se trouve sur la génératrice f, puisqu' alors la droite ¢ se trouverait dans le plan de la courbe $, cequi est impos- sible, les seules génératrices se trouvant dans un des plans x = 0, y —=0, z=0 ou uw — 0 étant les génératrices g, et g,. Des relations Us Uy — V3, U; U, =v, On tire que les droites t,, {,, £, et £, rencon- trent la droite {, —1{,. Les 4 droites ¢,,, ¢,, ¢, et t; rencontrent aussi la droite t, done elles se trouvent dans le plan (t,4,) ou elles passant par le point Q,. Il est impossible que les droites t,, to, t, et t, passent par le point Q,, puisque ce point se trouve sur une courbe S et les modules des rapports v,, v,, v, et vs devraient alors être l'unité. Il est également impossible que les 4 droites se trouvent dans le plan (f,{,;) puisque dans ce plan se trouvaient alors les 3 points réels Q,, Q et Q,;, par conséquent, le plan (t, t,) coinciderait avec le plan de la courbe S, ou les 3 points réels Q,, Qo, Q se trouveraient en ligne droite. On vérifie facilement qu'il est impossible qu'une droite rencontre la courbe S(x— t', y—t‘) en 3 points réels distincts. Quand le plan (4, t,) coincide avec le plan de la courbe S les génératrices réelles tet {, seraient dans le plan de la courbe S cequi est aussi impos- sible. Il est donc impossible que la droite {, est une droite réelle. Supposons que la génératrice ¢, soit une droite ponctuée. Le paramètre du point de contact de la droite ¢, est {, —te”“', par conséquent, ¢~'“' est une racine de l'équation B. Done v, et v) sont 2 racines de l'équation B, par conséquent, Q, est un point d’une des 4 courbes nodales planes S ($ 26). Comme pour le cas que t, ARCHIVES X. 56 334 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. est une génératrice réelle, on démontre maintenant facilement que cette droite ¢, ne peut pas être une droite ponctuée. La génératrice t, est done une droite imaginaire. Supposons que la droite {, qui rencontre les 2 droites ponctuées conjuguées t, et t, ne passe pas par leur point réel commun, mais se trouve dans leur plan commun réel (¢, ¢,,¢,). Parce qu’on a v,v,t, ou t, =v, t:, la droite t, ren- contre la droite ¢,. La droite {, laquelle rencontre aussi la droite t doit done se trouver dans le plan (t,‚) ou passer par le point de rencontre Q, des droites ¢ et t,. La droite imaginaire ¢, ne peut se trouver dans le plan réel (t‚,t,), done elle passe par le point Q,. Le point Q, est done un point triple de la développa- ble D. De même ou démontre que la droite imaginaire f, passe par le point de rencontre Q, des droites t et t,. Parce qu'on a PL, vla droite, t, net la droite t,, de la droite t,, laquelle rencontre aussi la droite {, passe par le point Q, ou se trouve dans le plan (¢,¢,). Quand la droite {, passe par le point Q,, ce point est un point multiple dont le degré de multiplicité est supérieur à 3. Supposons maintenant que la droite ¢, ce trouve dans le plan imaginaire (t, ¢,). La droite réelle ¢ rencontre la droite ponctuée t, et le plan (é,¢,,¢,) des droites t et i, est un plan imaginaire, la droite ¢ passe donc par le point réel de la droite #, ; DU DARO NE par ce point Q, il passe également la droite ponctuée conjuguée t,. Le point @, est done une point triple de la développable D. Des relations v, v, —1, v, vs — 1, v, vg — 1 il s'ensuit que les 8 points triples Q,, Q, et Q, se trouvent sur une même courbe nodale. Des trois points de rencontre de la génératrice t avec cette courbe nodale il n'y a qu’un seul qui est réel. Quand la droite t ne se trouve pas dans le plan reél des droites ponctuées conjuguées {, et ¢, mais passe par leur point réel com- mun on trouve aussi que ce point est un point multiple dont le degré est supérieur à 3 ou que ce point est un point triple. Dans ce derniér cas la droite ¢ rencontre les 6 droites t,, t,--- t, en 3 points d’une même courbe nodale triple. Les génératrices ¢ étant des trisécantes de la courbe nodale triple cette courbe ne peut pas être une courbe plane. On a donc le théorème: Quand une génératrice réelle rencontre une génératrice ponctuée dont le module west pas l'unité, le point de rencontre est un point multiple dont le degré de multiplicité est supérieur à 3 ow esl un POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, 339 point d'une courbe triple réelle. Par cette courbe triple réelle il ne passe qu'une seule nappe réelle. Celle courbe triple est une courbe gauche. CHAPITRE IV. Exemples et cas particuliers. S 29. Résumé des résultats obtenus. Le point singulier M, compte pour /?, =n—1 points stationnaires /3 ($ 7), H,=|(n—l) (n+ r—3) + m(q, —1){ : 2 noeuds H (§ 7). Le plan osculateur au point M, compte pour «, =m—1 plans stationnaires « ($ 7, § 10) G, = }(m—1) (m + r —3) + n (q, — 1)! : 2 plans doubles G ($ 7). La tangente au point M, compte pour d, =r—1 tangentes stationnaires # (§ 9, § 10), o, = }(r—1)(n +r—3) 4+ m(q, — 1)} : 2 tangentes doubles ($ 9), wi }(r— 1) (r + m— 3) + n(q, — ID}: 2 génératrices doubles ($ 10). Le paramètre correspondant au point M, est une racine multi- ple de l’&quation donnant les paramètres des points par lesquels passent 4 plans osculateurs consécutifs. Le degré de multiplicité de cette racine est ($ 6) 3m +2r+n—6=3(m—1)+2(r— l))+n—1)=3a, +20, +7. Le paramètre correspondant au point M, est une racine multiple de l’&quation donnant les paramètres des points de contact des plans osculateurs contenant 4 points consécutifs. Le degré de multiplicité de cette racine est 3n+2r +m— 6 =3 (n—1)4+2 (r—1) + (m—1) —3/, +20, +a,(K6). Les singularités de la courbe C (n,7,m) sont: degré » =n+r+m (§ 4), classe u = n + r +m (§ 4), rang e=n+?2r+m (§ 4), 396 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. nombre de points stationnaires 7 = n + m — 2 (§ 5), hs „ plans x a—n+m—2 ($ 5), „ tangentes „ 0—=2r —2 (§ 5, § 9), 5 5 doubles » = }{(r—1)(n + 2r +m — 6) + + m (qi — D + n (gs —1{:2($9), a „ genératrices , —w (§ 10), , noeuds effectifs H=}(n+r+ m—3)(n+m—2) —m(n—q,)—n(m— q,){: 2(§8), 5 A » apparants h=}r(n+r+m—1)+m(n—q,)+ +n(m—g,)1:2(88), 2 „ plans doubles GES); > , droites dans 2 plans du système se trouvant dans un plan quelconque g = h, degré de la courbe nodale §= | (n + 2r + m—4)(n + r + m) —m(q, —1)—n(q, —1)}:2(§ 13), la classe de la développable titangente 7 — & (§ 13). La courbe nodale £ se décompose en une courbe gauche §’ et en 4 courbes nodales planes ($ 13). Ces courbes nodales planes sont les sections S,, S,, S. et S, ou 8, de la développable D par les faces du tétraèdre de référence x= 0, y—0, z=0, u—0. Ces courbes nodales planes sont respectivement du degré (n-+r+m):q;, (n+r+m):q,, (n+r):q,,{(r +m):g, (§ 12). Par ces 4 courbes nodales planes passent respectivement q,, q,, 9;, 9, nappes de la développable D (§ 12, $ 23). La courbe nodale gauche 5’ se décom- pose en N courbes nodales & où N—=(n+2r+m—g,—g; — 1: — G2): 2 ($ 24). Chaque courbe nodale gauche & est une courbe de même espèce (§ 2) et de même position que la courbe C'(n,r,m) (§ 24). Par le point M, il passent Nn branches de courbes nodales gauches ($ 15, S 24). Ces branches y ont de commun avec la tangente à la courbe C(n,7,m) N (n +r) points (§ 18, § 24). Ces branches y ont de commun N(n+r+m) points avec le plan osculateur de la courbe C'(n,7,m) (§ 19, § 24). Le rang de la courbe nodale R= N (n + 2r + m) + LG +7) (q, —1) + (n+ 7r+m)(q, + q, —2) + (m+ 7) (q, — 1) : 2. Le point M, compte pour (n + r + m) (n+ 7—2) intersections de l’arête de rebroussement C(n,7,m) ($ 11) et pour N(n+7r + m) (n + r— 2) intersections de la courbe nodale gauche (§ 25) avec la vo —] POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, dd deuxième surface polaire A? D prise par rapport au point quel- conque P. Le point A/, compte pour (n+r— 2) (n + r + m):2 intersec- tions de la surface A?D avec la courbe S., quand cette courbe nodale est une courbe double (§ 21). Le point 4, compte pour (n+7—2) (n + r + m): 2 intersec- tions de la surface A? D avec une des 2 courbes S, ou S,, quand cette courbe est une courbe double ($ 20). Les points M,, M,, M, et M, sont les seuls points singuliers En des courbes nodales planes, S et des courbes nodales gauches £,, pourvu que tous les points d’une de ces courbes ne sont pas des points multiples de la développable D, le degré de multiplicité étant supérieur à 2. En dehors des points M, et M, les courbes nodales gauches £, et les courbes nodales planes S, et S, ne possèdent pas de points stationnaires À. En dehors des points M,, M,, M, et M, les courbes nodales planes S. et S, ne possèdent pas de points stationnaires. Le nombre des points triples r des courbes S,, S, et &;, non- coineidant avec les points M, et M, est nulle ou est infiniment grand. Le nombre des points triples r des courbes S. et S,, non-coin- cidant avec les points M,, M,, M, et M, est nulle ou est infini- ment grand. § 30. Résultats pour le cas que q, =: =, — qi — 1. Les résultats précédants (§ 29) se simplifient notablement quand les nombres ner, net r + m, met ndr, m et n, sont premiers entre eux, c'est à dire quand nh en — HH 1... «2 oss tae Les résultats obtenus pour le point singulier M, (n,7,m), en étudiant la courbe speciale C'(n,r,m) sont dans le cas que les conditions (A) sont satisfaites encore vrais pour un point singu- 338 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. lier M(n,r,m) d'une courbe quelconque. En effet, quand une courbe quelconque C, possède un point singulier M, (n,r,m) on peut développer en série les coordonnées des points de la courbe C, dans le voisinage du point M de la manière suivante: !) Dh + nrd pi | +7 + po y —= bt bits HE +b, he ? Eelen, “+m rtl n +7 + zt MEET decent Pentre terete De ces développements en série on peut déduire des séries donnant les coordonnées des points des projections de la courbe C, et des sections de la développable correspondante, les points se trouvant dans le voisinage du point singulier M. On trouve les nombres des singularités équivalentes au point singulier M (n,r,m) en comptant les singularités équivalentes au point singulier, correspondant au point M, des projections et des sections, (SS 7,9, 10). Le nombre des points ou des tangentes stationnaires équivalents à un cycle = M A + P 2 S= t N = Ar A t ae ete. dépend seulement des 2 exposants N et M. En général, le nombre des noeuds et des tangentes doubles équivalents au point singu- lier dépendra de plusieurs termes du développement pour n. ?) Mais dans le cas spécial que les exposants N et M sont premiers entre eux, le nombre des noeuds et des tangentes doubles dépend seulement des 2 exposants N et M et est indépendant des expo- sants suivants. Dans le cas que les exposants N et M sont premiers entre eux, c'est à dire quand les conditions (A) sont satisfaites, l'absence ou la présence de cas termes suivants ne peut pas influeneer le nombre des noeuds ou des tangentes doubles et on devra done trouver les mêmes résultats pour le point singulier M,(n,r,m) de la courbe spéciale C(n,r,m) que pour le point singulier M (n, r, m) de la courbe générale. On obtient done, quand = —@, —a, 5 que le point singulier Uy (m7, meden courbe spéciale C(n,7,m) ou d’une courbe quelconque est équi- valent à *) 1) HALPHEN. Bulletin de l. Soc. Mat. d. France, t. VI p. 10. 2) HALPHEN. Mém. d. Il. Ac. de Paris. T. 26. 3) W. A. VERSLUYS. K. À. v. W. te Amsterdam. Verslag 25 Nov. 1905. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 339 (n — 1) points stationnaires /?, (n — 1) (n + r— 3): 2 noeuds effectifs MH. Le plan osculateur au point singulier M, (n,r,m) est équivalent à > 1 Ju (m — 1) plans stationnaires «, (m— 1) (r + m—3):2 plans doubles @. La tangente au point singulier est équivalent à (r — 1) tangentes stationnaires 4 , (r—1)(r +n—3):2 tangentes doubles », (r— 1) (r + m—3):2 génératrices doubles w’. Par le point M, (n,r,m) il passe Nn branches de la courbe nodale, N étant (a + 2r+m — 4): 2. Ces branches y ont la même tangente que l’arête de rebroussement C et elles ont de commun avec cette tangente N (n + 7) points. Ces n N branches y ont le même plan osculateur que l’aréte de rebroussement C et ont commun avec ce plan osculateur commun N (n + r + m) points. Le point M, compte pour (n + r—2)(n + r + m) intersections de l’arête de rebroussement € et pour Nn + r—2)(n + 7 + m) intersections de la courbe nodale £ avec la deuxième surface polaire A* D de la développable D, prise par rapport au point quelconque P. Je me propose de donner bientôt de ces résultats une démon- stration directe indépendante de la considération de la courbe C(n,r,m). Je fais suivre quelques applications à des courbes spéciales. § 31. Cas que n= m. Considérons le cas spécial que les coordonnées d’un point de la courbe C (m,r, m) sont ou bien supposons n — m. Il faut supposer que r et n sont premiers entre eux, les 3 nombres n, r et m n’admettant pas de facteur commun ($ 2). On aura done =, =, =q,=1let N=n+r—2, par consé- quent, les 4 sections S ne sont pas des courbes nodales et la 340 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. courbe nodale consiste en (n +r—2) courbes gauches de même espèce que la courbe C'(n,7r,n) (§ 24). La courbe C(n,r,n) présente aux points M, et M, la même singularité. En chacun de ces 2 points se sont réunies les singu- larités suivantes: n—1)(n +r—3 ner Ca = ee (n—1)(n+r—3), (r—Din+r—3) re “G+ Deu 08 M, et M, comptent chacun pour (n +r—2)(2n + r) intersec- tions de l’arête de rebroussement et pour (n + r— 2)? (2n + 7) intersections de la courbe nodale £ avec la deuxième surface polaire A? D (§ 25, § 11). Les singularités de la courbe C'{n,r,n) sont: Drm, Q —2(n +17), o =o =(r—lIn+r—3), Ü—9(r— 1), DR EC se E—n—(n+r—72)(2n +r), R=2(n+7r—2(n+7), ==) 7 7 = 0, où 4, 4’, 7, r/ sont les nombres des points, et des plans station- naires, des points triples et des plans tritangents de la courbe nodale &, se trouvant en dehors des singularités M, et M,. Des expressions donnant les coordonnées d’un point de la courbe C'(n,r,n) on déduit facilement zy =z. La courbe ((n,r,n) se trouve done sur un paraboloïde hyperbolique P?. Chaque trisécante de la courbe C(n,r,n) rencontrant le paraboloide P? en 3 points, chaque trisécante est une génératrice du paraboloïde P?. Les trisécantes de la courbe C(n,r,m) ne formant pas une développable D, parmi les N courbes nodales gauches £; il n'existe pas 3 qui coincident et forment une courbe triple. Les N courbes £; sont done des courbes distinctes. Des 2 N racines v, de l’équa- tion B (§ 22) il y a au plus 2 qui sont réelles et négatives (§ 27), POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 341 des N courbes £; il y a done au plus une qui est l'intersection de 2 nappes réelles. Chaque plan V passant par la génératrice g, (y —0, z—0) rencontre la courbe O(n,r,n) en 2n+ 7 points, dont n + r se trouvent sur la génératrice g, (§ 3). Le plan V coupe le parabo- loide æy—2 suivant la droite g, et suivant une seconde géné- ratrice g. Les points de rencontre du plan V avec la courbe C(n,r,n) doivent se trouver sur les 2 droites g, et g. Des 2n +r_ points de rencontre il y a n + r qui se trouvent sur la droite g,, done il reste encore n qui se trouvent sur la droite g. La droite g est parallèle au plan #—0, si donc on coupe la courbe C(n,r,n) par un plan «=p, ce plan rencontre la courbe C (n, r, n) au point M,(n + r) fois et encore en points qui sont en ligne droite. En coupant la courbe O(n,r,n) et le paraboloide par un plan quelconque passant par la génératrice g, on démontre facilement que les génératrices de l’autre système que g rencontrent la courbe C{n,r,n) en n + r points § 32. Cas que n—m et r — 1. Spécialisons encore un peu le cas du § 31 et supposons n =m, — 1. Les expressions des coordonnées d’un point de la courbe C'{n, 1,n) sont On aura encore , =, =; =, —=1, done N=n—1. La courbe nodale £ consiste done en n — 1 courbes §; distinctes et de même espèce que la courbe C'(n, 1, n). En remplaçant, dans les résultats du $ 31, r par 1 on trouve facilement, M, = M,=(n—1) 8 + (n—l)a + (n—li)(n—2): 2} H + + f(n—1)(n—2):2}G. Les points M, et M, comptent chacun pour (n—1) (2n + 1) intersections de l’arête de rebroussement C'(n, 1,n) et pour (rn — 1)? (2n + 1) intersections de la courbe nodale $ avec la deuxième surface polaire A? D. Les singularités de la courbe C'(n,1,n) sont: ARCHIVES X. 57 342 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, a am: hr np Ib). ni (dn ue B=e ml R=2(n? —1), H—=G=(n—1)(n—2), Pe = == | me ll) ’ § 33. | Cas wen —m—1. Considérons le cas spécial que les coordonnées d’un point de la courbe C(1,7,1) sont données par les expressions: Le point J, (1,7, 1) est un point ordinaire et le plan osculateur est un plan ordinaire, tandis que la tangente au point M, est une tangente singulière. On trouve de nouveau , —=q¢,—4q,;=—4,—=1; N=r—1. La courbe nodale consiste en (7 — 1) courbes de même espèce que la courbe C (1,7, 1); ces r — 1 courbes sont des courbes distinctes (§ 31). Aux points 7, et M, se sont réunies les singularités suivantes: M,=M,=(r—1) 4 +{(r—1) (r—2) : 2 + f(r—1) (r— 2) : 2} 0’. Les points M, et M, comptent chacun pour (r— 1) (r + 2) intersections de l’arête de rebroussement C(1,7,1) et pour (r —1)* (r+ 2) intersections de la courbe nodale £ avec la deuxième surface polaire A? D. Les singularités de la courbe C'(1,r,1) sont: Del nen, Aa} e—2(r+1), 6=2(r—1), iG ie w = w’ = (r—1)(r—2), RARE En (nl) nen re R— 2102 Ae Chaque plan passant par la droite g,, tangente à la courbe C (1, 7, 1) au point M,, rencontre la courbe encore une seule fois en dehors du point singulier M,. De même pour les plans passant par la seconde tangente singulière g,. Les 2 faisceaux de plans, dont les tangentes singulières g, et g, sont les axes, sont projectifs, 2 plans correspondants passant par le même point de la courbe C(1,r,1). Les droites d’intersection des plans correspodants sont POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 343 les génératrices d’une surface quadratique. Chaque génératrice de ce système rencontre la courbe C(1,r,1) une seule fois. Les génératrices du second système ont done chacune (r + 1) points de commun avec la courbe C (1,7, 1). § 34 Cas que r—m— 1, n est un nombre impair. Considérons la courbe C(n,1,1) dont les expressions donnant les coordonnées d’un de ses points sont ‚+1 2 ot", y=t"* ihn 1 Quand n est un nombre impair, la courbe C (n, 1, 1) appartient aux courbes traitées au § 30 pour lesquelles on aq, —=q,—q,; —q,=—1. Les résultats obtenus pour le point singulier #7, (n,1,1) situé sur la courbe spéciale C(n,1,1) sont donc applicables à un point singulier (n,1,1) d’une courbe quelconque. Le point 47, (n,1,1) est un point singulier tandis que la tangente au point M, est une tangente ordinaire et le plan osculateur au point M, est un plan osculateur ordinaire. Le plan #7, est un point ordinaire, la tangente au point M, est une tangente ordinaire, tandis que le plan osculateur au point M, est un plan osculateur singulier. Aux points M, et M, se sont réunies les singularités suivantes: M, =(n—1) +j(n—1l)(n—2):2}H, M, =(n—1)a@ + {(n—1) (n— 2): 2}G. Les sections planes 5 sont des courbes simples et la courbe nodale consiste en N— (nm — 1):2 courbes §; de même espèce que la courbe C'(n, 1, 1). Par le point M, il passe n(n—1):2 branches de la courbe nodale. Par le point M, il passe (n —1):2 branches de la courbe nodale. Le point M, compte pour (n — 1) (n + 2) intersections de l’aréte de rebroussement et pour (n—l)? (n + 2):2 intersections de la courbe nodale avec la deuxième surface polaire A? D. Le point M, ne se trouve pas sur la deuxième surface polaire A? D. Les singularités de la courbe C(n, 1,1) sont: Win ES B=a=n—l, e=nt+3, ni H—G—(n—1)(n—2):2, E=n—(n—1)(n +2):2, A= gr R=(n—1)(n +3): 2, p= À Meis em Gis 344 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES Des expressions pour les coordonnées d’un point de la courbe C(n,1,1) on déduit y? — zz, la courbe C(n,1,1) se trouve done sur un cône quadratique K?. Par conséquent, la courbe C'(n,1,1) ne possède pas de trisécantes, chaque droite rencontrant la courbe C(n,1,1) en 3 points devant être une génératrice du cône quadra- tique, et chaque génératrice du cône K? rencontrant la courbe C(n,1,1) au point M, et en un seul autre point. Les (n—1):2 courbes nodales sont donc des courbes distinctes ($ 26). Les nombres n, r et m étant tous les 3 impairs le nombre des racines réelles négatives est nulle (§ 27). Aucune des (n —1):2 courbes nodales est l'intersection de 2 nappes réelles. s 35. Cas que r— ml, n est un nombre pair. Considérons le eas que les coordonnées d’un point de la courbe sont comme au $ 34 n +1 n +2 ‚z=t : cei mais supposons maintenant que n soit un nombre pair. On aura 11 = 42 = 49; =1, mais q,—2, les résultats trouvés pour un cycle (n,1,1) moyennant la courbe spéciale C(n,1,1) ne sont plus nécessairement vrais pour un cycle (n,1,1) d'une courbe quelconque ($ 30). Pourtant les résultats obtenus pour un cyele appartenant à une courbe C(n,1,1) peuvent être encore appli- cables à un cycle d’une courbe plus générale. Par exemple, quand n—2 on retrouve pour le point stationnaire / de la courbe C(2,1, 1) les résultats obtenus par CREMONA pour un point station- naire ordinaire d’une courbe quelconque ($ 36 I). On trouve N—(n—2):2. La courbe nodale se décompose done en une courbe nodale plane 8, ($ 12) du degré (n + 2):2 et en (n —2):2 courbes gauches &;, de même espèce que la courbe C(n,1,1). Par le point singulier M, il passe done n(n— 2):2 branches nodales tangentes à la courbe C(n, 1,1) au point M, et y ayant même plan osculateur. En outre il passe par le point M, encore n:2 branches tangentes au point M, à la courbe C(n,1,1) mais ayant un autre plan osculateur que la courbe C(n,1,1). Par le point #, il passe (n—2):2 branches nodales qui y sont tangentes à la courbe C(n,1,1) et y possèdent le même plan osculateur. En outre il passe par le point M, une branche nodale non tangente à la courbe C(n,1,1) mais dont la tangente se trouve dans le plan osculateur de l’arête de rebrousse- ment C(n,1,1), tandis que les plans osculateurs des courbes POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 345 O(n,1,1) et S, (la courbe nodale) au point #, sont différents. Les points M, et M, sont équivalents aux singularités ordinaires suivantes : M, =(n—1) 2 + }(n—1) (n— 2): 2} H, M, =(n—1)a@ + }(n— 1) (n— 2): 2{ G. Le point M, compte pour (n — 1) (n + 2) intersections de l’arête de rebroussement et pour I (n + 2) (n — 1)? (n + 2) NEE 5 = (n — 1) (n— 2) (n + 2) I! Ee Dr x + bo £/ intersections de la courbe nodale &’ + #, avec la deuxième surface polaire A? D (§§ 20, 25). Le point M, ne se trouve pas sur la surface A? D. Les singularités de la courbe C(n, 1,1) sont: Te B=e=n-1, oid 3, vi H = G=(n—l)(n—2):2, E— n =(n—1)(n4+ 2): 2, — 2) 3 +2 Bgm, elle u LE | Bm, ir Tr —(). Les (n — 2):2 courbes nodales gauches £; ne peuvent pas coin- cider pour former des courbes triples, puisque la courbe C(n, I, 1) est située sur le cône quadratique y? = «xz (§ 26). L'équation B ($ 22) ne possède pas de racines réelles v; corres- pondant à des courbes nodales gauches £;, done aucune des (n—2):2 courbes £; est l'intersection de 2 nappes réelles ($ 27). $ 36. Application aux quartiques gauches. Pour contrôler mes résultats je les appliquerai d'abord aux quartiques gauches, dont les singularités ont été déjà déterminées à plusieurs reprises par des voies différentes. I Posons n—=2, r—m—l, la courbe C(n,r,m) devient la quartique de première espèce C* (2, 1, 1) déterminée par les équations: sel, y=8, z=. On se trouve dans le cas du § 35 et on a done: gq, = q. = 4; = 1, q, = 2, N=0. La courbe nodale se réduit done à la courbe plane S,. L’équation de la courbe nodale S, est ($ 12) 3x? +z—0. Le point #,(2,1,1) est un point stationnaire ordinaire 7. Le 346 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. point stationnaire M, compte pour 4 intersections de l’arête de rebroussement et pour 2 intersections de la courbe nodale S, avec la deuxième surface polaire A? D (S 35). Ce sont les valeurs trouvées par CREMONA !) pour un point stationnaire /? d’une courbe quelconque. Le point M, (1, 1,2) est un point de contact d’un plan stationnaire «. En appliquant les formules générales (§ 29) ou les formules du § précédant on trouve les valeurs connues 2): VIANO IH HG VER g=2, 5=n—2, om I N ı U > II Prenons n—m— Il, r—=2, la courbe C(n, r, m) est la quar- tique de seconde espèce C* (1,2, 1) déterminée par les équations: Dh Yi neben En appliquant les formules du § 33 on trouve: 9 do UE qi INS M, M, li OP Gi) Smi mM— wi MU ie ei il) Les points M, et M, comptent chacun pour 4 intersections de l’arête de rebroussement et de la courbe nodale avec la surface A? Da) L'équation B (S 22) est: vs —Qy* + 1605 —9v2 + 1—0, ou bien (v—1)* (v2? +4v + 1) = 0. L’équation donnant les racines v; correspondant aux courbes nodales gauches est donc Oe Se AMEN (0) d’où D —-2+173 0, Al 3. On a v, v, —1 donc les racines v, et v, correspondent à une une même courbe nodale gauche &,; v, et v, sont réelles done la courbe §, est une courbe nodale réelle qui est l'intersection de 2 nappes réelles. 1) CREMONA —CURTZE, Oberflächen, SS 103, 107. ?) B. PAscAL, Rep. d. Mat. Sup. II, p. 368, p. 499-502. 3) E. PAscAL, Rep. d. Mat. Sup. II, p. 370, 511. 4) ÜREMONA—ÜURTZE, Oberflächen, $ 100. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 347 La tangente à la courbe C*(1,2,1) au point P(t) de paramètre t rencontre sur la courbe &, les tangentes aux points P, (t,) et P,(t,) dont les paramètres sont é, =(—2+0°3)t, t, =(—2— 153) t(§ 24). Les coordonnées du point Q, de la courbe §,, où se rencontrent les tangentes aux points P(t) et P,(t,) sont (§ 24 formules A): 9 oo [of A) 2, ul 24 te tle ee | rt ll so UPS = + = 5 X n+r! ea 3 il 3 Oa Saed! 5 —_ jv In x he ue a 2, I —2v, mht : u — rd 243 v 3 ‘ y= XU Xt x — — — VLC 9, Ds | 1 —2v, 1 za a | 4 VU "| A v : 4 m 1 1 2 = — Xv. X SS eS =a eae UE on N — Nn-+r 1 vl é v,—1 3 tiv 9 on, — ty Posons # — #1" 9, les coordonnées du point Q, de la courbe nodale §, sont: PU ht La courbe nodale est une courbe de méme espéce que la courbe C* (A, 2,4) (SS 2, 24). La courbe nodale et l’arête de rebroussement C* (1,2,1) se trouvent de part et d’autre du plan z= 0. Sur la développable engendrée par les tangentes à la courbe nodale £, se trouve une courbe nodale £,, laquelle est une courbe de même espèce que la courbe (C* (1,2,1). Sur la développable engendrée par les tangentes à la courbe £, se trouve de nouveau une courbe nodale £,, qui est une courbe de même espèce que la courbe C* (4,2,1). En continuant de la sorte on forme un système de courbes C*(1,2,1) dont chacune est la courbe nodale de la développable engendrée par les tangentes à la courbe précé- dante. Les coordonnées d’un point de la courbe £, de cette série (suite intérative !)) seront: Eh). 1) J. NEUBERG, Sur les lieux discontinus; Ann. d. 1. Soc. Scient. de Bruxelles. T. XXX, 2e Partie, 1906. 348 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. En éliminant p et ¢ on obtient l'équation d’une surface sur laquelle se trouvent toutes les courbes &,. Cette surface est: (y2 + x? 2) (y? — x? 2) —0. Les quartiques &,. pour lesquelles p est un nombre pair, se trouvent sur la réglée cubique y? — x? 2 — 0. Les quartiques &,, pour lesquelles p est un nombre impair, se trouvent sur la réglée cubique y? + x? 2 —0. La courbe primitive C#(1,2,1) est l'intersection partielle des 9 2 surfaces 24 — et YE § 37. Application à la courbe C° (3,1, 1). Prenons n—3, r—=m=1, la courbe C'(n,m,r) sera la courbe CES APN) dh 0% On aura q, = 4. —q3 =q, — 1 et on peut appliquer les formules du 8 34. On trouve N— 1, M, =2 + H, M, —2a + G. Le point M, compte pour 10 intersections de l’arête de rebroussement et de la courbe nodale avec la deuxième surface polaire A? D. Par le point M, il passe 3 branches de la courbe nodale; ces 3 branches forment un cycle (3, 1,1), elles sont tangentes au point M, à Varéte de rebroussement C° (3,1,1) et y possèdent le même plan osculateur. Le point M, ne se trouve pas sur la surface A? D. Par le point M, il passe une branche de la courbe nodale, qui y est tangente à l’arête de rebroussement C° (3,1,1) et y possède le même plan osculateur singulier. Les singularités de la courbe C° (3,1,1), et aussi celles de la courbe nodale, sont: Va 5.10 16; Dj, H G 1, h g eS) DST — 0 ar 1 :T Tad OR BED): L’équation B du $ 22 est: 305 —8y + 5vt +50? —8v + 3—0, ou bien, (vu — 1): (Bv? + 4v + 3) —0. L’équation donnant les racines v,, correspondant aux courbes nodales gauches est donc 1) B. PascAr. Rep. d. Mat. Sup. II, p. 511. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 349 av? +4v+3—0, d'où v, =(—2 + —5):8, v, —(—2—17 —5):8. La génératrice { tangente à la courbe C° (3,1,1) au point P (ft) de paramètre ¢ rencontre aux points Q, et Q, les génératrices #, et t, tangentes à la courbe C° (3,1,1) aux points P, (v,t), P, (v, t) dont les paramètres sont t, =t(—2 +b —5) :8 et t, = ¢(—2— “—5): 38. Les paramétres t, et ¢, étant imaginaires, les points P, et P, et les tangentes en ces points sont également imaginaires. Le rapport ¢, : ¢, =(—1—4—5): 9 n'étant pas une racine de l’&qua- tion B (§ 22), les deux génératrices ¢, et t, ne se rencontrent pas, done les génératrices ¢, et {, ne sont pas des droites ponctuées (§ 27). Les points Q, et Q, sont done des points imaginaires et la partie de la courbe nodale qui se trouve sur la nappe réelle de la développable D est done imaginaire. Le module de v, étant Vunité la courbe nodale est d’après § 28 une courbe isolée, c'est ce que nous allons vérifier en déterminant les coordonnées du point Q, de la courbe nodale. Ces coordonnées sont, d’après les formules A du § 24, P a ri” vl 2 vl 3 EPR = eget yf. no a OTS ts —4v, WG, hid PEL =1* 3 xt 3 | 72 ed DE D ue ri ne ee EW "1 rs n+r 4 N v, {| : 45 1 {5 2 Bene pp pci, m nee inn @ n+tr Be 4 “ol ae hCRa )v; 1 5 45 —40! Löw Vr, = Gragg 3 BLA En remplaçant mr par ¢ les expressions pour les coor- . D . données d’un point de la courbe nodale £, deviennent = 82, y=—t, c= 31-2. ARCHIVES X. 58 350 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. La courbe nodale &, est done une courbe réelle. Elle ne se trouve pas sur la nappe réelle de la développable D, par consé- quent, la courbe nodale §, est une courbe isolée. Les tangentes à la courbe £, engendrent une développable D, sur la quelle se trouve une courbe nodale £,, qui est une courbe de même espèce que les courbes 0 (3.1,1) et £,. En continuant de la sorte on détermine une série de courbes du degré cinq et de même espèce que la courbe C (3,1.1). Chaque courbe de cette série est la nodale sur la développable dont la précédante est laréte de rebroussement. Les coordonnées d’un point d’une quel- conque £, de ces courbes sont: € La courbe C5(3,1,1) est l'intersection partielle des 2 surfaces Les génératrices du cône y? —xz sont des quadrisécantes de la courbe C° (3,1,1). 3 des points de rencontre coincidant avec le point IM, (3,1,1). En déterminant le rang R de la courbe nodale £, on trouve, 2 DA 72 en appliquant une des formules ordinaires suivantes R= ou +60 — 3r— 9u — 39 —2G!), R=e(u—3)— 8a—2G?), pour À la valeur 4, résultat qui est évidemment faux. Le désacord est di à l'introduction de la singularité G pour chaque noeud ordinaire k de la courbe nodale. Quand la développable D ne présente aucune singularité supérieure, chaque plan double G donne en effet un noeud X sur la courbe nodale et réciproquement. Le plan osculateur singulier au point M, est pour notre courbe C° (3,1,1) un plan double G tandis que le point M, n'est pas un noeud k de la courbe nodale. $ 38. Application à la courbe C° (2, 1, 2). Posons n—m—2,r—1 la courbe C'(n,r,m) devient la courbe 05 (2,1,2). Les coordonnées d'un point de cette courbe sont: TN OR Tr 1) B. PAscAr. Rep. d. Mat. Sup. II, p. 322. 2) ÜREMONA—ÜORTZE. Oberflächen, § 112. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, 351 On aura q, —q: —4q; =q, —1 et en appliquant les formules du § 32 on trouve: N—1, MW, — M, — « + f. Les points singu- liers 4, (2,1,2) et 47, (2,1,2) comptent chacun pour 5 intersec- tions de l’arête de rebroussement et de la courbe nodale avec la surface A? D. Par chacun des points M, et M, il passe 2 branches de la courbe nodale &,. Ces 2 branches nodales forment un cycle (2,1,2), elles sont tangentes à la courbe C° (2,1,2), et ont le même plan osculateur. Les singularités de la courbe C° (2,1,2) et également celles de la courbe nodale &, sont: did) kif a H=G KOS) g AEEA = Os ey) L'équation B du $ 22 est: 4y§ — 9v? + 100° —90+4=—0, ou bien (v— 1): (4v? + 7v + 4) — 0. L’équation donnant les valeurs du rapport v,, correspondant aux branches nodales gauches, est donc: LOTO An, La tangente au point P(t) de paramètre / rencontre donc les tangentes à la courbe C° (2,1,2) aux points P, (t,) et P, (t‚) de paramètre ¢, et ti, où 4, —v,t et t‚, =v, t. Les rapports v, et v, étant imaginaires les tangentes ft, et {, sont également imaginaires. On vérifie facilement que les 2 droites {, et ¢, ne se rencontrent pas, ces droites ne sont done pas des droites ponctuées. Les points de rencontre des tangentes ¢, et {, avec la tangente ¢ sont done des points imaginaires. La courbe &, correspondant aux racines v, et v, de l'équation B est une courbe isolée réelle puisque les 2 tangentes aux points de paramètre tv” et tv, = sont deux droites imaginaires conjuguées, qui se rencontrent en un point 1 de la courbe £,, le rapport tv: tv? étant v, et quand 2 droites 1) E. PascAL. Rep. d. Mat. Sup. II, p. 511. 58* 392 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. imaginaires conjuguées se rencontrent ces 2 droites sont nécessai- rement des droites ponctuées dont le point de rencontre est toujours un point réel. La courbe &, est donc une courbe réelle mais les nappes passant par la partie réelle sont imaginaires. ln appliquant les formules A du § 24 on trouve que les coor- données d’un point Q, de la courbe nodale £, sont: nr 3 A ee ay noah an 30, —tv, a = G == (U u WS = n+r a —A 3 aA 38.1) 42 3 4 A Vag i Via el dee to = XV, X Toy == 9, A= y n 1 D 2 v,—1 1 9 ( 1 ) 1 4 ? | A ; n+r = 3 2 y 2 min Uv, BE. Ne 21° oo oe mtr dl 8 mA ! 3 Dar = Vo 2 = En remplacant tu” par ¢ les coordonnées du point Q, de la courbe nodale §, sont Les tangentes à la courbe nodales &, engendrent une surface développable D, sur laquelle se trouve une courbe nodale £, de même espèce que la courbe C® (2,1,1). En continuant de la sorte ou peut former une série de courbes de même espèce que la courbe C5(2,1,2), chaque courbe de la série étant la courbe nodale sur la développable engendrée par les tangentes à la courbe précédante. Les équations donnant la courbe &, de cette série sont: el). y-r(4)", zt (AP: En éliminant ¢ et p ou trouve facilement que les courbes £, se trouvent sur la surface #5 2 — y5. La courbe C5 (2,1,2) est l'intersection partielles des 2 surfaces CY — 2 buy 027: $ 39. Application à la courbe C° (2, 2,1). Posons n =r = 2, m—1, la courbe C (n, r,m) devient la courbe C° (2.2,1) donnée par les équations: pi NISA A POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 206 On aura q, —2, q, —q,—q,—1; en appliquant les formules du § 29 on obtient: N—1, M =P+H+9+o, M,=a+G+9+o. La tangente à la courbe C° (2,2,1) au point singulier M, est done une tangente singulière double sans être une génératrice double w de la développable D, tandis que la tangente au point singulier M, (A, 2, 2) est une génératrice double sans être une tangente double » (§ 10). La courbe nodale £ se décompose en une courbe gauche £, de même espèce que la courbe C5 (2, 2, 1) et en une courbe plane S, située dans le plan z—0. L’équation de la courbe nodale plane S, est 5 x? =9y -(§ 12). Par le point #7, il passe 3 branches de courbes nodales, dont 2 forment un cycle (2,2,1). Les 3 branches sont tangentes au point M, à la courbe C° (2,2, 1) et y ont le même plan oscula- teur que cette arête de rebroussement. Par le point #7, (1,2,2) il passe une branche d’une courbe nodale, y présentant la même singularité que la courbe C° (2,2,1), cette branche est au point M, tangente à l’arête de rebroussement C° (2,2, 1) et y possède le même plan osculateur Le point M, compte pour 10 intersections de l’arête de rebrous- sement et de la courbe nodale gauche avec la surface A? D. Le point M, compte pour 5 intersections de la nodale plane S, avec la deuxième surface polaire A* D (SS 11, 21, 25). Les singularités de la courbe C° (2,2, 1) et de la courbe nodale gauche &, sont: L'équation donnant les rapports »,, correspondant aux courbes nodales gauches (§ 22, B), est: 207 — 1205 + 10v* + 10u? — 1207 + 2—0 ou bien (u —1)5 (v? — 1) (v? + 3v + 1) —0 La racine différente de l’unité qui annule le facteur v? — | cor- respond à la courbe nodale plane S, ($ 23) Les racines de l’équa- tion v? + 3v + 1—0 correspondent aux branches de la courbe nodale gauche (§ 24). —3+1/5 —3—1"5 Ces racines sont v, — Oa car racines 354 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. étant réelles la courbe nodale gauche &, est comme la courbe S'. une courbe réelle où passent 2 nappes réelles. Les coordonnées d’un point Q de la courbe £, sont (§ 24, formules A) n+r 4 7 ri" v el 2 #2 i Die 3120, ne ae a) oe! Eto @ + rar 2 ; 2 pute Vv el Dt" D 92 o l= x — KU X— CH =d y n Dl 1 Suse] 1 1? 1 1 laine vil 7 #5 Weil 45 E er ra a a lt SD 1 ta : : BUS ke =A X—30, XV, x tuk vi En remplaçant — fiv par t ces expressions deviennent: no — fi een v= == == Ae La courbe C° (2,2, 1) est Vintersection partielle des 2 surfaces 2 réglées 22? —=ıy? et y — 72; La développable du degré 7 dont la courbe C° (2, 2, 1) est l'arête de rebroussement n’est pas donnée par ScHwArz !) dans son énu- mération des développables du degré 7. Cette énumération des développables D7 possibles est reproduite par E. Pascaz ?) Probla- blement la D7 que nous venons de traiter dans ce paragraphe ne figure pas dans l'énumération de M. Schwarz parce qu'il n’a pas tenu compte du cas que larête de rebroussement présente des tangentes stationaires 0. En effet, quand l’arête de rebrousse- ment possède des tangentes stationnaires # on ne peut plus ap- pliquer la règle que le nombre des points stationnaires d’une section par un plan tangent à la développable est le degré de l’arête de rebroussement diminué de 3 *) Le résultat tiré par M. Schwarz de son énumération que „toutes les développables du degré 7 sont des développables planaires” *) reste 1) Schwarz. Crelle’s Journal. Bd. 64, p. 1. 2) B. Pascar, Rep, de Mat. Sup. II, p. 514. 3) G. SALMON. Geometry of 3 Dimensions, p. 319, § 354. 4) G. SALMON, loc. cit. $ 353. Or Or POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. vrai, notre développable PT étant aussi enveloppée par un plan dans l’&quation duquel le paramètre entre rationnellement ($ 4). La développable D? est enveloppe du plan 10 8 >— 15 ty + 8z—3t5 —0 (§ 4). On en déduit que l’équation de la développable D* dont C° (2,2, 1) est l’aréte de rebroussement est: ys (0x? —9y)* — 162? (22° —2*)— 120r7y2? (y — a?) — 0. La courbe nodale S, rencontre en son point à l'infini M, la génératrice g,, tangente à la courbe C° (2,2, 1) au point M,. Cette génératrice g, est une génératrice stationnaire singulière 4 + w’. Les 2 nappes de la développable D7 tangentes lelong de la géné- ratrice g, se pénètrent suivant la branche de la courbe #., qui passe par le point M,. Quand on coupe la développable 27 par un plan quelconque, la courbe de section possède un point de rebroussement de seconde espèce en son point de rencontre avec la génératrice 9, — 0 + w’, tandis que le point de rencontre avec une tangente stationnaire ordinaire est un point de rebroussement de première espèce. On pourrait donc donner à la génératrice 9, —0 +w le nom de génératrice stationnaire de seconde espèce. Le point M, est un point stationnaire singulier + H + 0 +. La projection du point M,, d’un point quelconque comme centre de projection sur un plan quelconque est un point de rebrousse- ment de seconde espèce, on pourrait done donner au point M, (2,2, 1) le nom de „point stationnaire de seconde espèce d’une courbe gauche”. Considérons une courbe gauche C° de même degré et rang que la courbe C5 (2,2,1) et possédant les mêmes nombres de points et tangentes singuliers, %?—=1, 06—9, w —1, H—1. Les autres nombres caractéristiques des 2 courbes seront également les mêmes. Cette courbe C° rencontrerait 5x5 fois la deuxième surface polaire A? 2’ prise par rapport au point quelconque P. D'après CREMONA !) ces intersections seraient au nombre de 5x2 aux points de contact des « —5 plans osculateurs passant par le point P et au nombre de 4 en chacune des singularités ?, H, à et w. Le nombre total des intersections serait done 10 + 4 x 4 — 26, ce 1) CREMONA —Currzp, Oberflächen, § 104. 356 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. qui est impossible. Par conséquent, il n'existe pas une courbe C5, présentant les mêmes singularités que la courbe C° (2, 2, 1) mais sur laquelle ces singularités sont séparées. Quand on trans- forme la courbe C5 (2,2, 1) d’une manière continue en une courbe C5 pour laquelle x —5, 9 =7, p —0 et où les singularités M, et M, se décomposent en des singularités ordinaires il faut que le noeud effectif H qui se trouve au point M, se transforme en un noeud apparant À. Pour cette courbe 0° on aurait done h—5, 18: $ 40. Application à la courbe C° (1,5, L). Posons n= m— 1, r —3, la courbe C'(n,r,m) devient la courbe C° (1,3,1) donnée par les équations 3, De OU On aura ¢, —qy — Is — IQ, — | et en appliquant les formaten du $33 on trouve: N=2, M, — M, —26 +wtw’. Par chacun des points M, et M, il passe 2 branches de courbes nodales. Chacune de ces 2 branches y présente la singularité (1,3, 1), y est tangente à l’arête de rebroussement C° (1,3, 1) et y possède le même plan osculateur que l’arête de rebroussement. Chacun des points M, et M, compte pour 10 intersections de Varéte de rebroussement et pour 20 intersections des branches nodales avec la deuxième surface polaire A? 2. Les singularités de la courbe C5 et également celles de chacune des 2 courbes nodales sont: D np NT Geh = Ost Hiei 0 ler L’équation B ($ 22) est 08 — 16 05 + 30 vt — 16 v3 + 1 —0, CAGE Abe + 1002 4 4 yl) = 0: L’équation donnant les racines v,, correspondant aux nodales gauches est donc: v» + 4ui + 1002? + 4 vu + 1 —0, lo? +2(1—a)v+1{ jo? +2(1+iv+1) —0. Soient v, et v, les racines de l’équation D 2 (1 —4)0 +10. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 3011 et soient v, et », les racines de l’équation vu? +2 (1+QJv+1=0. La tangente à la courbe C° (1,3,1) au point P(t) rencontre les tangentes aux points P, (v, t), P, (v, t) en des points (imaginaires) de la courbe nodale £,. La tangente au point P(t) rencontre les tangentes aux points P, (v, t), P, (v, t) en des points de la seconde courbe nodale gauche £,. On trouve que le module du rapport v, est différent de l'unité, la tangente au point de paramètre 0) =e 2 e 9 ‘ tv,‘ n’est done pas une droite ponctuée (§ 28) et la tangente au point de paramètre burt, qu'elle rencontre en un point de la courbe §,, n’est pas la droite imaginaire conjuguée. La courbe §, est done une courbe imaginaire; la courbe &, est la courbe ima- ginaire conjuguée. Les expressions pour les coordonnées d’un point quelconque Q de la courbe nodale &, sont ($ 24, formules A): A) = 5% ET er n+r vi— 1 ne sl 4 vs +v,+1 34 26 —1)v, xv" 24 Zip mid @i—1jv, EE te EE ame ma al —l)us i 3 t! vy A Bt vj = rn ET 1 | yo — 1 vit, +] (1), RER LE zi (1 + 22) 5 , ntrtm yet 5 HE 5 sz — x = pekel 1)(u, +1ju, = t® 5) — u; u PI Vit vs. La courbe C° (1,3, 1) est l’interseetion partielle des 2 surfaces 2—=ay et y — 22%. La développable DS engendrée par les tangentes à la courbe 25 (1,3, 1) est l’enveloppe du plan Blan —5ty + 32— 345 — 0(§ 4). Il n'existe pas une courbe C° du rang » —8 possédant les tan- ARCHIVES X. 59 358 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. gentes singulières # au nombre de 4 et © au nombre de 2 quand ces tangentes sont des droites distinctes, puisque cette courbe ren- contrerait la surface A? D’, du degré 6, en 5x2+6x4— 34 points, cequi est impossible ($ 39). S 41. Application à la courbe C° (4,1, 1). Posons n—4, r—m—l. Les coordonnées d’un point de la courbe C® (4, 1,1) sont G— F} Vis Bei En appliquant les formules du $ 35 on obtient, p, =p; =p; =l, Pp, —2. La section plane S, est une courbe nodale dont l'équation est: (8 12) 5 TEE N=]; M, — 19; + 3 H, M, — 3 4 + 3G. Le point M, compte pour 18 intersections de la courbe Cf (4, 1, 1) et pour 18+ 6 intersections de la courbe nodale avec la surface ACT). Par le point M, il passe 4 branches de la courbe nodale gauche £,, formant un eycle (4,1,1) et 2 branches de la courbe nodale plane S,, formant un cycle (2,1). Ces 6 branches sont tangentes à la courbe C6 (4, 4, 4). Par le point M, il passe une branche de la courbe £, formant un eyele (1,1,4) et une branche de la courbe plane S, formant un cycle (1, 2). L’&quation B du § 22 est (vy— 1)? (v? — 1) 2v? +v +2) —0; —(—1+1—15):4,|v|— 1, done la courbe &, est une courbe isolée (§ 28). Les coordonnées d’un point de la courbe 5, sont: DER (13.146) MOT 2E SALE L’équation du plan osculateur de la courbe C6 (4,1, 1) est ($ 4), 152% —24ty + 102— te —0. Les singularités de la courbe Cf (4,1,1) sont: »— u 0, 0 On CN je De IE ii = 0 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 359 En appliquant, pour déterminer R, la formule de Cremona !) R=e(u—3) —3« —2G, an celle de Pascar ?), on trouve R— 6. Le plan osculateur de la courbe C° (4,1,1) au point M, est équivalent à 3 plans doubles 7, tandis que le point M, est un seul noeud & de la courbe nodale. En supposant G=k=1 la formule de Cremona (et celle de Pascar) donne notre résultat R— 10 (§ 37). La courbe C®(4,1,1) est intersection complète des 2 surfaces 2, 27 =D. $ 42. Application à la courbe C° (3, 1, 2). Posons n —3, r — 1, m— 2. Les coordonnées d’un point de la courbe C6 (3, 1,2) sont By =F, EP, En appliquant les formules du § 29 on obtient: , —q, — 1, q; —2, q,—3, N—0. La courbe nodale se décompose en 2 courbes planes S, et S,. La section plane S, est une courbe triple donnée par l'équation (§ 12) 82? + 2— 0, l'équation de courbe double S, est (§ 12) 27y* +2? —0. MW, —=27+H+a, M, —p+G+2a. M, et M, comptent respectivement pour 12 et 6 intersections de l’arête de rebroussement C° (3, 1,2) avec la surface A? D, La courbe nodale #, rencontre la surface AD 6 fois au point M, et 3 fois au point M, ($ 20). Les singularités de la courbe C6 (3,1,2) sont: SON 1, P—a TO I hg —- 6,2 nu Ve Te EE} En appliquant pour déterminer R la formule de CREMONA ($ 41) on trouve R= 10, résultat qui est évidemment faux. Le désacord est dû à la présence d’une courbe nodale triple, tandis que CREMONA suppose dans sa démonstration que la courbe nodale & est une courbe double. L’équation du plan osculateur de la courbe C® (3,1,2) est: 81% — 9° y +22 — 15 —0. 1) CREMONA — CURTZE, Oberflächen. § 112. 2) E. PascaL. Rep. d. Mat. Sup. II, p. 322. 59° 360 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, L’équation B du $ 22 est: 60? — 1206 + 6v' + Gui — 120 + 6 — 0, ou bien (v— 1)? (v? — 1) (vi — 1) = 0. § 43. Application à la courbe CF (3,2, 1). a) Posons n —3, r—2, m— 1, les coordonnées d’un point de la courbe C5 (3,2, 1) sont: Hb LEN ae En appliquant les formules du $ 29 on trouve, en tenant compte de ce qu'on a q,—=83, ¢,=% =, =! S 14), N=1, ME, 2 2B+2Hr0+0o,M, 207 AG we Les points M, et M, comptent pour 18 et 6 intersections de Varéte de rebroussement C* (3,2, 1) et de la courbe nodale gauche ENG 2,1) avec la deuxième surface polaire A? D. L'équation du plan osculateur de la courbe Cf (3,2, 1) est: 5 43 m—9ty + 5z—4t6 —0. L’équation B du § 22 est: 3 08 — 15 v8 + 1205 + 190$ — 150? + 3—0, wvl)? (vi — 1) (0? +3v +1) —0 x . 7 6 a B : r dour, — ee la courbe 8(3,2,1) est donc une courbe réelle où passent 2 nappes réelles de la développable D. Les coordonnées d’un point de la courbe nodale &'(3, 2, 1) sont (§ 24, formules A): L’équation de la courbe triple S, est: 5x? +42—0 ($ 12). Les singularités de la courbe C® (3,2, 1) sont: Ni 040 84 N 2. JH G 2 h g 6 5 1] 12, =) BZ oma —],p—i=V=r—7r—0, R= 14. La courbe C° (3,2,1) est l’intersection totale des deux cônes A IE — ee POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 361 S 44. Application à la courbe C° (2, 3,1). Posons n= 2, r — 3, m— 1, les coordonnées d'un point de la courbe C® (2,3, 1) sont: ri Br En appliquant les formules du $ 29, on trouve, en tenant compte BER On a gr = =; — 1, g, —2 (§ 14); N= M=ßA+H+r20+20+0, M, =a+G+206+0+ 2%". Les points M, et M, comptent pour 18 et 12 intersections de l’arête de rebroussement avec la deuxième surface polaire A* D. Les points M, et M, comptent pour 36 et 24 intersections des 2 courbes nodales gauches avec la surface A? D. L'équation de la courbe nodale plane S, est 232° + 27: — 0. Les points M, et M, comptent pour 9 et 6 intersections de la courbe nodale S, avec la surface A? D. L'équation B du $ 22 est: 09 — 100% + 9v° + 9 vs — 10 5 + 1 —0, (o— 1)? (vb? — 1) w* +308 + Tv? +3v+1)— 0. Les 4 rapports v;, correspondant aux 2 courbes nodales Er (2; 3,1) et & (2, 3, 1) sont imaginaires et leurs modules sont différents de l’unité Les 2 courbes nodales gauches sont 2 courbes imaginaires conjuguées. Les coordonnées d’un point de la courbe £' (2,3, 1) sont: Lys = pate + VT), 3 1° un = 3}, y el aaat sally > te v, I mms in (—3 + ’—11). L’&quation du plan osculateur de la courbe C® (2,3,1) est: Str —8ty +52 — 21° —0. Les singularités de la courbe C5 (2,3, 1) sont: 5 I —— Br le + EL: h=g=8, E=n='16, Od, ow = 3, A= Hr =r’ =p = 0, R= HM. En appliquant la formule pour À donnée par Cremona ($ 41) 362 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES, on trouve R—22. La formule de Cremona pour le rang de la courbe nodale n'est donc plus applicable quand l'arête de rebrous- sement présente des singularités supérieures. La courbe C° (2,3, 1) est l’intersection partielle des 2 surfaces zv? et y? —u?z. Il n'existe pas une courbe C® possédant les mêmes singularités que la courbe C6 (2,3, 1) et où toutes les singularités sont sépa- rées, puisque !) cette courbe rencontrerait la deuxième surface polaire A? D prise par rapport à un point P, 4° 12 fois en les u— 6 points de contact de plans osculateurs passant par le point P, 2° quatre fois en chacune des singularités, /?, «, 0, w’. La courbe C° rencontrerait donc la surface A? D (du degré 7) en tout 12+9x4—48 fois cequi est impossible. La même remarque s'applique aux courbes Ce (4, 1,1), C5 (3, 2,1), C® (1, 4, 4). $ 45. Application à la courbe C° (1,4, 1). Posons n = m — 1, r— 4, les coordonnées d’un point de la courbe CS (1, 4,1) sont: sh, y=tl’,2—%. En appliquant les formules du $ 33, et en tenant compte de cequ’on a q, = —qz —q;— 1 (§ 14) on trouve: N—3,M, —30+80 +30 —M,. Par le point M, il passe 3 branches de la courbe nodale, chaque branche présente au point M, la singularité (1,4, 1), y est tangente à l’arête de rebroussement et y possède le même plan osculateur ; de même pour le point #47.. Les points M, et M, comptent chacun pour 18 intersections de l’arête de rebroussement et pour 54 intersections de la courbe nodale avec la deuxième surface polaire À? D. L'équation B du $ 22 est: u — 2505 + 4805 — 350: —1—0, (HN ENGINE EC AO VE 202541092747 MV: 1 : En posant v + ow le second facteur devient: 1) Cremoma—Curtzn, Oberflächen, § 104. POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 363 ws + 4w + Tw+ 19 — 0, (au ats 3) (vw + 0 + 4) — (), Des 6 racines », correspondant aux courbes nodales gauches 2 sont réelles et les 4 autres sont imaginaires. Les 2 rapports réels sont racines de l’équation vr? + 3v + 1 —0, 9 — 9 + LD d'où N= = 3 a Les coordonnées d’un point de la courbe nodale réelle sont 4t 445 : GS Ps gb La courbe nodale réelle est l'intersection de 2 nappes réelles de la développable D. Les courbes nodales gauches sont distinctes puisque la courbe CS (1,4,1) se trouve sur une surface du second degré = —xy ($ 26). Les génératrices de cette surface quadrique du même système que les génératrices g, (2 —0, y —0) et g, (7 —0, u—0) ont chacune 5 points de commun avec la courbe C6 (1,4, 1). La courbe C° (1,4,1) est l'intersection partielle des surfaces, 2—%y et y—x; la courbe complémentaire est la droite Js (x —0, w— 0) comptée 4 fois. L’équation du plan osculateur de la courbe C5 (1,4, 1) est: 327 —3ty + 2z—2t* —0. Les singularités de la courbe C5 (1,4, 1) sont: 0 A a 0 0 GN ho 10 En HD AK (WER. 0 = mo — Fin. Deltt. Jan. —Mai 1906. N UIP SA AR AN un A IR un AN AN un AN A A AN UP AN AN 10. Table des Matières. CHAPITRE I. Des singularités de la courbe C'(n,r,m). Introduction. Des nombres n, 7 et m. Des points singuliers A; (n, r, m) et Mo (m,r, 2). Détermination du genre, de l’ordre, de la classe et du rang. Détermination de 9, «, (h+ 11), (g + G), 0, (E+), (y +). Les points My et Mo sont les seules singularités de la courbe C(n, r, m). Détermination des singularités 51, &, Hy et G1, équivalentes au cycle M, (n, r, m). Détermination des singularités H, h, G, g. Détermination des singularités #, et w, équivalentes au cycle M, (n, r, m). De la génératrice singulière gj (2=0, y = 0). Des points 4 et des intersections de la courbe C(n,7,m) avec AD. CHAPITRE Il. Des courbes nodales de la développable D. Les sections par les plans des coordonnées. Du degré de la courbe nodale gauche et de la classe de la développable bitangente. Des nombres 91, qa, Gz, 94 et N. Ir Du nombre des branches de la courbe nodale gauche passant par Mh. De l’intersection de la développable D avec le planz=xtgg. Des points d’intersection de la courbe nodale gauche £ avec le plan y=0. Des intersections de la courbe nodale & avec un plan z=y lg g. Du plan osculateur à la courbe nodale & au point 4/1. Des intersections des courbes S, et S; avec A? D. Des intersections des courbes 8, et S, avec A? D. un YR UP IN APR AN AN YR SP °° SP AR AR ON AR AR AR IR A ON AN AN ON SP De la décomposition de la eourbe nodale gauche €, O9 bo vo oO eS © co oo Wo no TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE III. Des génératrices se rencontrant en un point de la courbe nodale. Des racines vj correspondant aux sections planes S,, S,, $ et Br Des racines », correspondant aux branches de la courbe € Des intersections de la courbe nodale £° avec la surface A2 D. Des courbes nodales triples. Des racines réelles de l'équation BD. Des génératrices ponctuées. CHAPITRE IV. Exemples et cas particuliers. Résumé des résultats obtenus. Résultats pour le cas que gs = qe = 43 =q4 = 1. Cas que nm. Gasduen=m ern — 1. Cas uen=m=]1. Cas que r=m=]1, n est un nombre: impair. Cas que r=m=1, n est un nombre pair. Application aux quartiques gauches. Application à la courbe 05 (3,1, Application à la courbe ©? Application « la courbe U? ( la courbe (0° ( Application : ( ( Application à la courbe C6 Application à la courbe C6( Application à la courbe C6 (2, 3, | 1) Eu Application à la courbe U% (3,1, 2). 3, 2, 1) 1) Application à la courbe C6 (1, 4, 1) Fin de la table des matières. ARCHIVES X. 60 365 45 MINE | DL ne j i Ka ê = 4; s jak ar ted, ll SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES DANS L'ESPACE £, A QUATRE DIMENSIONS PAR PA PSCHOUTE: Dans une petite étude antérieure, portant à peu près le même titre (voir Archives Néerlandaises, série 2, tome 6, livre jubilaire offert à J. Bosscra, p. 193) nous avons démontré le lemme et le théorème suivants: LEMME. „Dans #, un système donné de forces se réduit d’une seule manière à une force passant par un point donné et un système de forces situé dans un espace Æ, ; donné ne contenant pas ce point”. THEOREME. „Le système de forces le plus général dans E,,_, peut être réduit à n forces ne se trouvant pas dans un même espace H,, ». Et le système de forces le plus général dans B,, se comporte comme le système de forces le plus général d’un espace Es, déterminé compris dahs TRE Ici nous entrerons en quelques détails analytiques par rapport au cas special n — 4. 1. Considérons en Æ, une force quelconque F, agissant au point P. Référons cette force (fig. 1) à un système de coordonnées rectangulaires O(X, X, X, X,) et représentons par OP,, P,P,, P,P,, P,P les coordonnées %;, %;, %,, 7%, de.P et par F,, F5, F,, F, les composantes de F dans les directions des axes. En transportant successivement ces composantes aux points P,, P,, P,, O, à l’aide des règles ordinaires dont on se sert dans la réduction d’un système quelconque de forces dans notre espace tridimensional, on obtient, en tenant compte des couples de forces ARCHIVES x. 61 368 SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, ETC. dus au transport, au lieu de la force unique F, en P quatre composantes F,,’ suivant les axes O X,, (g = 1,2, 3, 4), et six couples C,,, aux moments F,%,— F,x, dans les plans coordonnés O(X, Xj), [(g, h) = (1, 2), (1, 3),.., (3,4) ]. Les quatre composantes F, au point (application commun © diri- on gées suivant les axes OX, don- nent par composition la force F’ équipollente à F. Done le couple (F, F7) formé par la force originale F et la force F” qui détruit #’ équivaut au système des six couples C,,;, dans les plans coordonnés O(X, X;). Si l’on varie la gran- deur de la force F, le point d'application et la direction restant les mêmes, ou si l’on ne varie que la grandeur de la distance OP, les moments des P, couples (F, F”) et C,,, varient Ben proportionnellement; cette re- LIE, marque suggère l’idée que les couples C,, sont les projections du couple (F, F”) sur les plans coordonnés O(X, XN), c'est-à-dire qu'on obtient lemoment#,x, —F, x, de C,, en multipliant le moment du couple (F, F7”) par le produit des cosinus des deux angles formés par le plan OPF du couple (F, F”) avec le plan O(X,X,). Mais avant de procéder à la démonstration de cette proposition nous fixons l'attention sur l'identité connue (F, %, —F, 5) (Fin — Fin) + (Frs Foe) (Pao Fit) + HF, a, — F8) (F,%, — ©, wa) —=0, que nous écrivons dans la forme abrégée Cos Cu Ar Oy Cy oF Che Coa = 0, ss ne ee 0e any Swe (1) en représentant à la fois par C,, le couple C,,, et son moment Fix, — Fa. Cette identité nous sera utile dans ce qui suit. 2. Le plan représenté par les deux équations SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, ETC. 369 X=aX +bX | i q h X,=cX, +dX, ii où g, Äh. i, j tient lieu d'une permutation quelconque des quatre indices 1, 2, 3, 4, forme avec le plan O(X, X,) deux angles # déterminés par la relation tang* p — (a? + b? + c? + d?) tang? p + (ad—bc)? —01)... (2) Le plan OP F est représenté par la matrice qui se réduit aux deux équations í do (À a - Ca 2 == C; D + C, z nl Crit, + C x \ 9,475 ih g h Donc l'équation (2) devient ici 4 } 2 m? 2 2 TE ee en dan tang* p— én à (er +( as Orr C; 3) tang? p+ (C, or Na gj ih A l'aide de l'identité (1) la constante (C,,C,,—C, ,C,,)? se réduit à Cr 4 Os done on trouve pour les deux angles cherchés Pis Po C, (tang? p, + tang? p‚) =C,; + C+ Cin + Gal A q 2 ) CO", tang? p, tang? P; — 0”, | ce qui donne après une transformation bien transparente a A 9 € gh COS? PCO PG 70 5 = ; 2 2 2 2 2 ya 2 C,, ee Ci 7 Cs A Ci 2, Ce; oy Cj ou en forme abrégée 5 9,1 COR CON Arne TS AU gh Done les coefficients de réduction cosp, cose, sont proportion- nels aux expressions correspondantes C, ,. 1) Voir Sammlung Scuunerr XXXV, „Mehrdimensionale Geometrie”, I, p. 177. 61* 370 SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, ETC. Il ne nous reste qu'à prouver que le dénominateur commun IC, représente précisement le moment du couple (#, F7). A cette fin nous exprimons le moment M de ce couple dans les coordonnées x, de P et les composantes F', de F. Si l’on représente par Q (fig. 2) la projection de O sur PF, on a évidemment M? — F2, OQ2— F2 (OP? _0Q?)=F?. OP? —(F. OP. cosw)?, où y indique langle OPF. Les projections de OP et de PF sur les axes coordonnés OX, étant x, et F,, on trouve & Vit Gh mer dl The am dn ah pe ae F, OP Done on a I ESR Rg HR ML Ne ken — (Fi, +f, 2, + HET: oa ce qui se réduit a MA SO" gh * Ainsi la proposition est démontrée. 3. La démonstration analytique de la proposition précédente souffre d’une manque de décision par rapport aux signes positif ou négatif des moments C,, des couples composants; en vérité elle ne fait voir que l’accordance des valeurs absolues des moments U, et des projec- tions du moment du couple résultant (F,F”) sur les plans O (X, X,). Cependant le raisonnement de méca- nique théorique qui nous a prouvé l’équivalence du couple (F, F”) au système des six couples U, „ démon- tre que la question elle- méme n'admet pas d’ambi- ame guité de signe, et des con- sidérations géométriques 4 SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUEICONQUE DE FORCES, ETC, 371 bien simples mènent au même but. En effet, représentons le couple résultant par une partie fermée de forme quelconque du plan du couple dont l'aire est égale au moment du couple et supposons que le contour de cette surface soit parcouru dans le sens indiqué par le couple; alors cette surface au contour dirigé se projette sur chacun des plans coordonnés suivant une aire à contour dirigé, faisant connaître le moment et le sens du couple composant !). En Æ, la position d’un plan passant à l'origine dépend de quatre paramètres ; ainsi les deux équations dont nous nous sommes servi tout à l'heure contiennent quatre coefficients arbitraires a, b, c, d. De la même manière la position du plan du couple résultant (F,F”) est déterminé par les quotients mutuels des six quantités C, 1 liées entre elles par l’identitö (1). En y remplaçant a, et F, par les quantités proportionnelles ox, et oeF,, où v est infini, on transforme ces quantités C,, dans les coordonnées de Prücker de la droite d’intersection du plan OPF du couple résultant avec l’espace tridimensional de Æ, situé tout entier à l'infini. les points à l'infini des axes OX, formant les sommets du tétraèdre de référence. Ce qui prouve une remarque due à M. F. N. Core ?), que la géométrie des plans passant à l'origine en E, est identique à la géométrie des droites d’un espace tridi- mensional d’après PLÜCKER. 4. Nous passons à la réduction d’un système quelconque de forces donné en E,. Supposons que ce système consiste des m een ro. 1 sentons par a et #7 et les composantes de F' dans les directions des axes. En remplaçant (m) D : 1 2 m) z agissant aux points P°, P™,..., P"". Repré- £ e ? La LJ k) les coordonnées du point d'application P chacune des m forces #°° par quatre forces au point d'application commun © dirigées suivant les axes coordonnés et par six couples situés dans les plans coordonnés, on obtient, après recomposition 1) Par rapport à ce point on peut comparer la thèse de W.A. Wyrxorr: „De Biquaternion als Bewerking in de Ruimte van vier Afmetingen” (le biquaternion comme opération dans l’espace #4), Amsterdam, Ipenbuur en van Seldam, 1898, p. 52. En suivant la terminologie de M. Wyruorr nous désignons la décomposi. tion du couple (F, F”) en six couples situés dans les plans coordonnés comme décomposition hexaédrique orthogonale”. 2) „On Rotations in Space of Four Dimensions”, American Journal of Mathe- matics, tome 12, p. 194. € 312 SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, ETC des forces dirigées suivant le même axe et des couples situés dans m A = (PIRE (ee Q le même plan quatre forces R,— = F, dirigées suivant les axes k=1 ~ = . r . 4 (k k) (4) k . 2 OX, et six couples K,,= = (F x" — F'’ x”) situés dans les g 9; h h g q Det f 6 plans O (X, X;). Il est évident que les quatres forces À, dirigées suivant les axes a r A 2 74 2 2 D2 2 OA, se recomposent à une résultante R= | IR tR, the agissant en O et faisant avec les axes OX, des angles «, déter- R, és minés par les relations cos «, = zn . D'un autre côté il est tout aussi évident qu'en général il est impossible de réduire les six couples Æ,, situés dans les plans O(X, X;) à un couple résultant unique, les six quantités A’, ne satisfaisant plus, même dans le cas m2, à l'identité (1). En examinant ensuite, s'il est possible de remplacer les six couples K,, par deux couples K", K° aux composants Kar Ko on trouve que les douze quantités Ke Kon doivent satisfaire à six équations de condition et à deux identités (1), ce qui prouve que la réduction des six couples X, , à deux couples résultants peut se faire de oo * manières différentes. Au premier abord il semble que ce résultat ne s'accorde pas avec le lemme et le théorème cités. Car un système de forces en Æ, se réduit d’une seule manière à une force passant par un point donné P et une force située dans un plan donné x ne contenant pas ce point; donc on dispose de six degrés de liberté dans la réduction de ce système, chacun des deux éléments de réduction P, x étant déterminé par trois paramètres. Mais ce désaccord disparaît par la remarque qu’un déplacement du point P le long de la première force et une rotation du plan x autour de la seconde force ne change nullement le système des deux forces qui sont en vérité des couples, l’espace Æ, en question se trouvant à l’infini. 7 2 5. Les six couples K,, se réduisent d'une seule manière à deux A couples K® et K® situés en des plans perpendiculaires l’un à | ; @ 70) 9) 2 l’autre. Dans ce cas special !) les composants Kj’, K,, Kj’, Ki, D pe < : 1 Ki, K,, de K® sont proportionnels aux composants Ki, Kij, K® K® K® 7 (1) a) ‘ AO os Ks Ka, Ko, de K®. On a donc les six équations 1) Voir „Mehrdimensionale Geometrie”, I, p. 88. SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUEICONQUE DE FORCES, ETC. 373 Ka RAR) Ky = KO AKG | Kaki AEG | (4 Ru K AK |? Ky = KO + AKD Kuki HAKS | ) et l'identité Ke En + EE ie Bee u RN) Les six équations (4) donnent par solution des KY ROL de Kos — Je a) Ko = Ky . | Kk” Ky —AK, f | = 1— 1 — À? 12 1—Â? (6) K® — Ee dj KP — K: Di — À Ka | Ke Gekko = > Te TE ee Er 70 er me» Ainsi (5) devient A+) ERgKu—Az(K, ER) le er équation faisant trouver deux valeurs toujours réelles de 4, menant au même résultat avec intervertissement des deux couples KU et KO. Par rapport aux cas particuliers de cette réduction des six couples Æ,, à deux couples rectangulaires A, A une simple indication peut suffire, les résultats étant, d'après l’analogie des couples avec les rotations et avec les surfaces planes dirigées, identiques à ceux obtenus en partie par MM. Corr et WyrHorr (Le ) a) Si l’on a 5 Ky Ki4 — 0, l'équation (7) donne À — 0 et À =o. Ce cas est exclus d'avance, la condition 2 Aj, A, — 0 exprimant que les six couples Æ,, sont les composants hexaédriques ortho- gonaux d’un même couple A. b) Si l’on a > (K,, + Ki) = +225 Kos Ky, ou bien (Kos F Kyy)2 + (Ko, FA)? + (Ko F Ky)? = 0 c'est-à-dire Ke — +] (14 Ko = + Ku, Ky. = + Kas, où l'on a affaire soit aux trois signes positifs, soit aux trois signes négatifs, l'équation (7) se réduit à (A + 1)? —0; dans ces deux cas les numérateurs et le dénominateur commun des fractions figu- rant dans les équations (6) disparaissent à la fois et les six quan- tités Kin deviennent indéterminées. Alors les équations (4) se réduisent à 314 SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, ETC. CARE sh NN — pil) (ade DS ee) -(1) | ue | | kn Ky, —K, | 7 a) z(t | (1) ‚0 Kn Ky + Ey | | Ky = Kk —K, | Kp = Ky) + Ky | ee 2 x au point aux coordonnées x, —x, et une force égale et parallèle à A, agissant en O en sens opposé. Donc l’équation de condi- tion (1) donne, eu égard à (10), = LK, 5 (R, x, = R, 2)! Ku B, i 5 B, a’) = 0 2K,, K,,—2K,,(R,2,'—R, a))—2K,, (R, 2) —R, x’) =0, (11) 23 14 9) les termes quadratiques en x, se detruisant les uns les autres. “ EA > 2) 3 2 Cette équation linéaire dans les coordonnées x, du point d’appli- cation de la force R° représente l’espace tridimensional par A, R”. En effet, ce lieu du point + doit contenir la droite portant 2 gy I 9 . . . R”, chaque point de cette droite pouvant figurer comme point , jue p 5 I d'application de R°; de plus il doit passer par la droite portant R”, le résultat ne changeant pas, si l’on intervertit dans les nota- tions des forces et des points d’application les indices supérieures (1) et (2). 7. L'equation (11) prend la forme a (Kos Ro + Kyo Rs + Kog Ry) + vo (Ka Rı + Kay Rs + Ka Ry) + + ds (Ky Ry + Ky Bo + Ky Ry) + a (Koo Ry + Koo Ro + Ka Bs) => Kos Ki el de ein selles) tis) Ar (A Elle donne lieu aux remarques suivantes: a) Si Yona > Ay Ky —=0, l’espace tridimensional (2°, R”) passe à l’origine. Ce résultat était à prévoir. Car sous la condition Xx Ko, Ki, — 0 les six couples Æ,,, sont les composants hexaédriques orthogonaux d’un couple unique Æ et le plan de ce couple mené par O détermine avec la résultante R par O un Æ; passant par 0. b) Si l’on a Ky, Ro + Koo Ry + Ko, Ry — 0 — Ky R, + Ky Bo + Ky RP, =0| {bai eee — Ky RB, — Ky, Ro + Kio Ri =0\ — Kx R, — Ky, Ro — Kyo À =0 l'équation (12) se réduit à une identité, le second membre de ARCHIVES X. 62 376 SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, ETC. cette équation disparaissant en même temps. Car l'élimination des quatre quantités 7, de (13) donne | 0 Ku Keo Kes | | — En 0 Ku Kal, | — Ke — Ku 0 Kee | Br | — Kos — Ks, — Ka 0 | et le déterminant gauche symétrique d'ordre pair du premier mem- bre se réduit à (2 Ka Ku)?. L'espace tridimensional (R°,R°) devient indéterminé, si les deux forces RY, R” se réduisent à une force unique, c'est-à-dire si les couples Æ,, sont les composants hexaédriques orthogonaux d’un couple unique A et que la résultante À agissant en O se trouve dans le plan de ce couple mené par QO. Mais voilà précisément ce qu’ expriment les équations (13) c) Sous les conditions #,— 0, (g — 1, 2,3, 4), £ Kos Ku 540 l’es- pace tridimensional (2, R”) passe à l'infini. Alors le système donné de forces se réduit à deux couples; de la réduction de ce système à deux couples situés en des plans perpendiculaires lun à l’autre nous nous sommes occupés plus haut. d) Sous les conditions 2, —0 et K,,—0 il y a équilibre. Les dix quantités A, K,,, étant indépendantes les unes des autres, le nombre des systèmes de forces différents en H, est ©". 8. D’après le théorème découvert en 1828 par CHAsLes tous les tétraèdres, admettant comme un des trois couples d’arêtes oppo- sées deux forces pouvant remplacer un système de forces donné en E,, ont même volume. Nous démontrons ce théorème à l’aide des équations (10) pour les systèmes de forces R"’, #2” de l'espace (12). Dans E, le volume tridimensional du tétraèdre aux sommets (1) (1) (1) (2) RITES D ONE D UT g g g (2) (2) pede oe IHS 7 g g se détermine par la relation Peas Vie Phe We, 4 V,, V,, Vs, V, représentant les projections du volume cherché V sur les quatre espaces de projection O(X, X, X,), O(X, X, X,), OUR Xe Ny, HONK te. Or, on trouve que 6V,, 6 V,, 6V.,, 6 V, sont les déterminants compris dans la matrice SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES. ETC. 377 | Di} a?) a Le ) ASS x ) gd x? | 1 i #2 72 2 9 3 I 1 4 Ree Ee Re ek Ge ee OE Re | ou dans | gn zo „N En 1° , a © b ge a” | | | | | | It, ) R, ’ B; ) by | Done on a, eu égard à (10), +6V,— Ry (Ky — Bum) + Ry at?) + By (Kio — Boal + Ria) + + It (Ko: Rs zal zE hk; 2) etc., ce qui se réduit à +6 V, = Ky Ro + Ky Ry + Kos Ry HOVEN A Er Bake En Bl +6 Vs = Ky B, + Ky Ro + Kyo BR, : +6 Vi Ke Ry + Kg Re + Ko Bi Done 36 V2 — (Ky Ro + Ka Rs + Koy Ry)? + (Ka Ry + Ku Ry + Ky R,)? + (Ky By + Ky Ry + Kio Ry)? + (Koo Ry + Kis Ro + Kor 3)! ce qui prouve le théoréme. a) Si le système des forces se réduit à une force unique, le volume V doit disparaître; c’est ce qui arrive en effet, les équa- tions (13) ne différant guère des équations V, = 0. Ce que nous venons de trouver démontre que les fractions 4 \ P 7 sont les produits des cosinus des deux angles formés par V l’espace (R°, R®) avec les espaces coordonnés. b) Sous les quatre conditions &, = 0, les expressions V, s'annu- lent tout de même et l’on retrouve V —0. Dans ce cas le système des forces donné se réduit à deux couples, c’est-à-dire à deux forces situées à l’infini, de manière que l'espace tridimensional contenant les deux résultantes se trouve à l'infini. Or, chaque point à l'infini en E, se projette à l'infini sur chacun des espaces coordonnés; donc les volumes V,, V,, V,, V, doivent s’annuler, ces projections se réduisant à des figures planes. Il va sans dire 62* 318 SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, ETC. que dans ce cas il n’a plus de sens de parler du volume du tétraèdre des forces. 9. D’après le théorème découvert en 1837 par Moggius les of systèmes de deux forces pouvant remplacer un système de forces donné en E, engendrent un système focal, où le plan du point d'application P® de la force R est le plan par ce point contenant la force R°. Nous prouvons ce théorème, toujours à l'aide des relations (10), en démontrant d’abord que cette relation existe entre les projections correspondantes de ce point et de ce plan sur les quatre espaces coordonnés O (X, X, X,), etc. Le plan par les trois points 1 2 x A op) oe Re x! ) g g g g est représenté par la matrice PC. me ey BPG nll (1) 1 1 1 Coe (ose OT al 2) (2) (2) Q | UM u Lo Le 4 | | Ee qui se réduit à r (2) r (2) r (2) r (2) OG A RE A (1) (2) (1) na) med) (2) (1) LT di HR A voy 4 A 1 ik 2 2 8 pi) (1) p(1) (1) x B, Ky, ? B, © ’ ’ Donc la relation entre les projections du point et du plan considérés sur l’espace O(X, X, X,) s'obtient en supprimant la première colonne de cette matrice, eu égard à (10), dans la forme 7 (2) 7 (2) (2) r @) Je > (2) >» 2) (X, TL, (Ku—R,z, Är Rx, ) ae (X, — % ) Bio — Bx, ar Bx, ) “ta 7 2 2 2 SF (X, == iy ) (Rog Rs a“ ai BR; ER ) == 0 , . . . . (2 ou, en supprimant l'indice supérieure chez les 27’ ? X (Ky — Ry To + Rs ai) + X; (Ky — Ry ay + Ry ay) + + X, (og — Ry a + Ry ay) = Koy ay + Kot, + Koga... . (14) En passant aux coordonnées tangentielles &,, &,, £, de ce plan, à l’aide de la relation d’ineidence &, X, + £&, XY, + &, X, +1 —0, on trouve donc SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, ETC. 379 Jk Jaen Eu ih 53 N Sy es Ky — Rats + Rom Ky— Rom + Rim Ko; R3 To + Ro x, ne A EE) Kas mo + Kor, + Nog x, Dei ce qui démontre que le point (%,,%,,%,) et le plan (5,,5,, 54) sont des éléments correspondants de deux systémes réciproques en O(X, À, X,) situés de manière que chaque point (x%,,%,,%;) se trouve dans le plan (14) correspondant, en d’autres termes que ces éléments (x,,%,,%,) et (£,.&,,&,) engendrent un système focal en O(X, X, X,). Mais dès lors on voit tout de suite que la même relation doit lier entre eux le point et le plan de l’espace (12) dont (2,,%;,%,) et (&,&3, §,) sont les projections sur O (4, X, X,). a) La première des équations (13) exprime que les plans de l’espace O (X, X, X,), dont les équations Ky—R, x, +R, 2, —=0, Ky—R, a, + B, x, —0,) Alle Ka — R, 2%, + R,x,—=0, Kaz) + Kot, + Koyo, —0) ae) s’obtiennent en annulant les dénominateurs des fractions figurant en (15), passent par une méme droite. En effet, sous cette con- dition les quatre plans contiennent les trois points % = 0 Tt Ga) Kon R, % = — Ky R, 2, =— Ky}, ee Ru | Ron Ko R,%, =— Ky Er situés en ligne droite. Donc le système focal devient indéterminé sous les conditions (13). Or, dans le cas d’une force unique, l’es- pace tridimensional (2%, R®) est indéterminé et done en même temps le système focal. Dans ce cas, d’après la génération du. système focal, le plan focal d’un point quelconque P est le plan par P contenant la force unique; done la droite commune aux quatre plans (16) est la projection de la résultante unique sur l’espace O(X, X, X,). Comme on trouve facilement cette résul- tante elle même passe par les quatre points = \ Berner bn Au Earl ORE Re, RN Rv; = Kaj \ | Ry %, = Kip \ t, — 0 | R, %, = Kl Ro 6 CREATE Tr, x, = 0 AT, 380 SUR LA RÉDUCTION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FORCES, ETC Donc on peut prétendre que sous les conditions (13) les quatre équations Ne (U où les A, sont arbitraires, représentent la droite portant la résul- tante unique décomposée dans ses points Ce résultat était à prévoir. Car, si le système des dix quantités R,, K,;, équivaut à une force unique, les composantes de cette force sont #,, et son point d'application se détermine à l’aide des six équations Ky, = Ent, — R,x,, qui ramènent aux quatre points (17) et done à (18). [Pour l’extension des résultats communiqués ici à l’espace E,, d’un nombre quelconque de dimensions on peut comparer: Comptes rendus, t. CXLII, p. 826, 2 avril 1906.] RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. PAR J. L. HOORWEG. CHAPITRE I. Sur le mouvement d'un fluide dans un tube élastique. 1. Il y a environ 18 années que j'ai publié dans les mémoires de l’Académie Royale des Sciences à Amsterdam un travail détaillé sur la circulation du sang dans les artères de l’homme. Depuis ce temps nombre de physiologistes et de médecins se sont occupés de cette question importante. Moi-méme je n’ai pas cessé de m’in- téresser à ce sujet, quoique parfois des études toutes différentes attirassent mon attention. Maintenant je crois que le temps est arrivé de résumer dans un seul mémoire les résultats acquis. Commençons par le développement des principes du mouvement oscillatoire des liquides dans les tubes élastiques. Comme l’a démontré déjà en 1850 d’une manière admirable M. E. H. Weser !), c'est l’élasticité des parois qui seule rend possible la propagation d’une onde dans le tube. Pendant cette propagation il y a continuellement échangement d'énergie entre la paroi et la liquide. Tantôt le fluide pousse la paroi, tantôt la paroi dilatée presse le fluide et c’est justement par cet échange d'énergie entre la paroi et le fluide que l’onde se propage. Tandis que chaque partie de la paroi se dilate ou se contracte, chaque particule du fluide décrit une courbe, qui se change en une 1) Ber. Sächs. Gesellschaft 1850 pg. 186. ARCHIVES X. 63 382 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. droite longitudinale pour toute particule qui se trouve sur l’axe du tube et en une droite transversale pour une particule qui se trouve à la circonférence. 2. On peut étudier ce mouvement à l’aide d’un long tube élastique pourvu à l’une des extrémités d’un ballon élastique, le tout rempli d’eau. Si l’on provoque une pression alternant sur le ballon on voit que tout point du tube prend un mouvement de va-et-vient, qui se propage sur toute la longueur du tube. On imite encore mieux le mouvement du sang dans les artères si l’on munit le ballon de deux soupapes, dont l’une s'ouvre en dedans pour prendre de l’eau dans un réservoir et dont l’autre s’ou- vre du coté du tube. En pressant périodiquement le ballon on pousse l'eau du ballon dans le tube et provoque ainsi une demi-onde positive, qui se propage sur tout le fluide du tube et qui se ter- mine en rejetant une certaine quantite d’eau hors du tube. Au con- traire le ballon en segonflant prend une nouvelle quantité d’eau dans le réservoir, et la régette de nouveau dans le tube en se compri- mant. Par ces compressions et dilatations successives du ballon on provoque dans le tube élastique une série d'ondes positives qui ressemblent beaucoup aux ondes sanguines que le coeur provoque dans les artères. Chaque particule d'eau décrit une courbe, for- mée de demi-ellipses consécutives, abebebe 5” Fig. 1 qui se changent Bm | en des droites consé- Dee: CF or, en en en cutives longitudinales ANA AZ ac. Pour les parti- cules d’eau plus pro- ches de la circonference l’axe transversale des demi-ellipses est plus grande comme l’on voit en a’ bc” b’ ec” b”c” et pour un point de la circonference le mouvement est représenté par a” b”’. De cette manière chaque particule d’eau se meut toujours dans le même sens positif et est transportée à travers le tube élastique dans toute sa longueur. En même temps les points de la circonference se meuvent transversalement et causent ainsi la dilatation de la paroi, qui réagit à son tour par son élasticité sur le fluide. Ainsi le mouvement du fluide dans une certaine coupe du tube se communique à toutes les coupes suivantes au moyen de Pélasticité de la paroi avec une vitesse c, calculée pour la pre- mière fois par Dr. Tmomas Young dans l’année 1808. Cette vitesse, Fig. 1. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 383 c, est ce qu’on appelle dans la théorie de la circulation du sang la vitesse de propagation du pouls. Yours donne pour cette vitesse du pouls la valeur de 16 mètres. par seconde et quoique ce nombre soit trop grand, il est très re- marquable que Youre calcule cette vitesse 22 années avant que E. H. Weger découvrit qu'on constate le pouls plus tard dans l'artère du pied que dans le carotide, ainsi 22 annees avant que WEBER eût reconnu pour la première fois que le mouvement du pouls consiste dans une ondulation progressive. Cette vitesse c est tout autre que celle des particules d'eau elles-mêmes, marquée dans la figure 1 par la longueur de la droite ac et que je représenterai par u. La vitesse u est beaucoup plus petite que c et dépend principalement de la vitesse de contraction du ballon, tandis que e ne dépend que de l'élasticité de la paroi et des dimensions du tube. La formule de Youre, retrouvée plus tard par M. Resa !) et M. Korrewec *) est la suivante: dans laquelle ¢ est la vitesse de propogation de l’onde E le module d’élasticité du tube a l'épaisseur de la paroi R le rayon du tube o la densité du fluide le tout exprimé en unités ©. G. S. Cette formule explique pourquoi pour des tubes élastiques très différents, Donpers *) a trouvé la même valeur de c, car les tubes ; N : 0 plus gros ayant aussi des parois plus épaisses, la relation rn reste presque toujours constante De même M. Krause et d’autres ; 5 r ’ a anatomistes ont trouvé que pour toutes les artéres le quotient or reste à per près constant, savoir +. Done aussi pour les différentes artères on peut s’attendre à une valeur constante de c. De plus, sui- vant les recherches de M. Marry *) le module d’élasticité des artères 1) Liouville Journal 1876 pag. 342. 2) Disserr. Leiden 1878. 3) Physiologie des Menschen 1859 S. 59. 4) Circulation du sang 1881 pag. 161. 384 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. accroit avec la pression intérieure, mais alors par la méme couche l’epaisseur de la paroi diminue et le produit Ha reste à peu près constant. Surtout dans les artères la constance de c est évidente et rien n’est plus contraire 4 la nature des choses que de vouloir déterminer ia pression dans les artères par la mesure de la vitesse c, comme l’a proposé M. Moens !). Pour le systeme artériel de l’homme on a trouvé: WEBER *) c= 7.92 — 9.24 mètre. GRASSHEY *) c= 8.5 mètre. Moens *) c= 7 — 8.5 mètre. Hoorwes 5) c — 9 mètre. Les nombres si différents trouvés par MM. Lanpors ®) et GRÜNMACH 7), savoir c — 6 mètre, sont certainement errones, comme l’a prouvé M. GrassHey. LANDoIs et GRÜNMACH, de même que Moens, mesurent la vitesse c par la position du sommet des courbes, tracées par un sphygmographe placé sur differents points du système artériel, mais cette manière de mesurer n'est pas exacte pour cette raison que le mouvement du pouls n'est pas un simple mouvement sinusodal, mais un mouvement composé, dans lequel la place du sommet sur les courbes dépend de la forme de la courbe qui varie d’une artère à l’autre. Pour cette raison il faut toujours chercher la place où l'élévation de la courbe commence et dans ce cas toutes les expériences donnent sans ex- ception pour c la valeur de 8—9 mètre. On peut donc accepter avec une grande probabilité que dans les artères de l'homme sain la vitesse de propagation de l’onde sanguine, c ne varie que d’une quantité négligeable, ainsi que DonNpers a trouvé pour les tubes élastiques. 3. Continuons maintenant les expériences avec les tubes élas- tiques. Nous prenons, fig. 2, un tube elastique assez long FG H, pourvu d'un ballon élastique D à deux soupapes f et f” et pre- nant de l’eau dans le réservoir A. L'eau passe du réservoir A par le ballon D dans le tube FG H et se verse alors par le tube en 1) Die Pulscurve S. 113. 21.0. 8.181. 3) Die Wellenbewegung in elastischen Röhren 1880 pag. 171. 4) Die Pulscurve S. 119. 5) Verh. Kon. Acad. 1888 pag. 22. 6) Die Lehre von Arterienpuls S. 299. 7) Arch. fur An. u. Phys. 1879, RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 385 verre J dans un autre réservoir L que l’on peut placer à differente hauteur pour modifier la pression constante qui règne dans le tube. De ce réservoir L l'eau retourne par un siphon au reservoir Fre. 2. _ Bobine A, où il recommence son mouvement. L'eau dans le tube par les compressions successives de ballon prend un mouvement on- dulatif progressif qui se propage avec la vitesse constante c sur toute la longueur du tube. Cette onde se réfléchit à l'extrémité H, revient avec la même vitesse, c, au commencement E du tube, se réfléchit de nouveau et de cette manière chaque onde primaire provoque toute une famille d'ondes de réflexion. qui se pénètrent sans s’affaiblir et qui se superposent à chaque point du tube, d'où resulte un mouvement composé de la paroi qu'on peut étudier en posant sur le tube deux sphygmographes à transmission y et y” qui enrégistrent ce mouvement au moyen de deux tambours t et ¢ sur le cilindre tournant O, couvert de papier enfumé !). On voit dans la figure 3, trois courbes A, B et C decrites par les deux sphygmographes. A est la courbe que donne le sphygnographes y’ placé au commencement du tube, quand le robinet M est ouvert, B est la courbe que donne le même sphygmographe y’ quand le robinet H est fermé. a est l’onde primaire, b l’onde de réflexion. On voit que dans le cas où le tube est ouvert l'élévation a donne lieu à une 1) Voyez sur les différentes sortes de sphygmographes et sur la technique de ces instruments: Revue de médecine 24 Année 1904. Tome 24 pag. 165. Voyez aussi mon mémoire de l’academie Chapitre I. 2 Bunsen 386 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. dépression de réflexion & et que dans le cas où le tube est fermé l'élévation primaire a provoque une élévation de réflexion b C’est ainsi que se trouve prouvé ce que Weger et GrassHey et d’au- 2 tres ont déjà trouvé savoir que dans les tubes ouverts la réflexion Fra. 3. est négative où de nom contraire et que dans les tubes fermés la réflexion est toujours positive ou homonyme. C représente la courbe inscrite par le sphygmographe y, placé près de l'extrémité de tube, quand le tube est fermé. On peut alors comparer les deux courbes B et C trouvées toutes les deux le tube fermé, mais à differents points du tube. Dans la courbe B l'élévation b représente la première onde de réflexion qui se présente au point y’ après avoir parcouru environ la double lon- gueur de tube. Dans la courbe C inscite à l’extremité du tube la première onde de réflexion suit de si près l’onde primaire qu'elle se confond avec celle-ci en augmentant seulement la hauteur et la largeur de cette onde et ce qui se montre en c, c’est l’onde de réflexion du deuxième ordre, réfléchie au commen- cement du tube et arrivant au sphygmographe y ayant parcouru aussi la double longueur du tube. Ainsi on a prouvé une autre propriété, importante des ondes, savoir la pénétration mutuelle, car cette deuxième onde passe deux fois sous le sphygmographe y' et donne néanmoins dans la courbe C une élévation très visible c. De même les courbes B et C prouvent l’interference des ondes parce qu’en B l’élevation b est augmentée par le passage presque simultané de l’onde de deuxième ordre et en C l'élevation a est agrandie par l'influence de l’onde reflétée du la premier ordre. On peut done appliquer à ces ondes le principe de l’interférence de sorte qu’on trouve suivant BerNourzzr la forme du mouvement composé par l'addition algébrique des ordinates de chaque mou- vement élementaire. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 387 4. Si l représente la longueur du tube, x la distance du sphyg- mographe du commencement, ¢ la vitesse de propagation de l'onde progressive, une onde, qui part du ballon au moment 7, arrive T au sphygmographe au temps T+ a La premiére onde de réflexion arrive au sphygmographe au I Lv 21— x 5 temps T + a idle ‚la seconde onde de réflexion } C C 21 © 21+x ee au temps 7 + ain T + 3 la troisième au temps 2 sl Ltr 4Al—% + 4l+a jos 7 — Hes ‚ la quatrième au temps T + b C et ainsi de suite, d'où il suit que la première onde de réflexion A f ve : £ <2(1— x) est retardée sur l'onde primaire d'un temps égal à > Dal la seconde ....ä c or | PAPA) la troisième. .. à à MEURTRE la quatrième..à — et ainsi de suite. Ainsi le retard sur l’onde primaire pour les ondes de réflexion im- paires dépend de l’endroit où l’on applique le sphygmographe, tandis que celui des ondes paires dépend seulement de la longueur du tube et se trouve indépendant de la place d'application du sphygmographe. En mesurant la distance du sphygmographe à l’origine du tube et en connaissant la longueur du tube entier, /, la vitesse de propagation c, et la vitesse de rotation du cylindre enregistrant, v, on peut aisément calculer pour chaque onde de réflexion à quelle distance de l'onde primaire il faut trouver cette onde et quand la forme de l’onde primaire est connue, on peut construire suivant le principe de Bernorırı la courbe résultante que le sphyg- mographe, appliqué à un certain point du tube, doit inscrire sur le cylindre tournant. De cette manière j'ai calculé selon les données de Lanpois !) les retards que les diverses ondes de réflexion ont aus sur l'onde primaire et en ajoutant les ordinates des ondes consécutives, j'ai obtenu la courbe Fig. 4, dans laquelle | représente l’élévation primaire, 2 l’onde de réflexion du première ordre, étant une 1) Die Lehre vom Arterienpüls S. 109. € 388 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. dépression parce que le tube était ouvert, 3 la deuxième onde de réflexion qui reste une dépression parce qu’à l’origine du tube il y avait une réflexion homonyme, 4 Fia. 4. = RN 3 ie ‘ En la troisième onde de réfiexion, qui de vient une élévation et 5 la quatrième onde de réflexion, également une élévation. La courbe résultante in- ee diquée par la ligne pleine abedefghi À présente une ressemblance parfaite 1 onde primaire avec la courbe, trouvée par LANpors Abe Le VOLKMANN s'étonne que la forme de la courbe trouvée avec le même tube élastique soit si diffé- rente quand on varie la durée de la systole et de la diastole du ballon. Par une systole de 0.4 et une diastole de 0.8 seconde VOLKMANN trouve une courbe kalacrote et par une systole de 0.8 et une diastole de 0.8 il trouve une forme anakrote '). Les deux courbes Fig. 5 construites d’aprés les données de VOLKMANN donnent la solution de cette question. Fig. 5. Fra. 6. Jz A se lu 2 QE 1 onde primaire B 2 onde de réflexion 1 a 3 onde de réflexion 2 etc. \ Vi 1 onde primaire v 2 onde de réflexion 1 x = MN 3 onde de réflexion 2 De la même manière j'ai obtenu = dans une experience sur un tube élastique fermé au bout, la courbe sphygmo- graphique fig. 6 A tandis que la construc- tion donne la courbe fig. 6 B. On peut done conclure que cette construction donne dans plusieurs cas différents la vraie forme de la courbe sphygmographique, ce qui prouve à son tour la vérité des lois énoncées. 1) On appele la courbe katacrote, quand une élévation secondaire se manifeste dans la branche descendante et anakrote quand elle se montre dans la branche ascendante, RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 389 Mais alors il n'existe aussi aucun autre phénomène que celui de la propagation, de la réflexion, de la pénétration et de la super- position ou interference. 5. Plusieurs auteurs ont observé dans leurs expériences des élé- vations particulières qu’ils ont désignées par des noms différents. Ainsi Lanpois parle de „Rückstosswellen. Elastieitäts-schwankungen, Ausgleichungsschwankungen, Moers considère comme très impor- tantes les Schliessungs und Oeffnungswellen. D’après ce que j'ai observé plus haut, on comprend que la seule question raisonnable est celle-ci: Ces élévations sont-elles des ondes primaires ou bien des ondes reflétées? La réponse est que les „Rückstosselevationen” de Lanpois sont des ondes de réflexion du deuxième ordre et que les Schliessungs- wellen de Moens sont des ondes de réflexion du quatrième ordre. Pour prouver le premier fait, je prends de nouveau les courbes Fig. 19 de Lanpors '), Fig. 4 du texte, et calcule de ses indications sur les dimensions du tube et de son élongation pour un poids connu: = N — = Young c—= 10 mètres. Le tube a une longueur de 255 + 116 — 371 eM. et le temps que l’onde emploie pour parcourir deux fois le » D] 1 . tube est done BUT 0.76 seconde. Selon Lanpors ?) la vitesse v RE cM. H= 7400 grammes et ensuite par la loi de de la lame de verre de son sphygmographe était de 9 mM., de sorte que cet intervalle de temps de 0.76 seconde correspond à une distance de 6.84 soit 7 mM Eh bien, dans les courbes Fig. 19 l’origine de la „Rückstosswelle” se trouve exactement à 7 mM. de l’origine de l'élévation primaire. La „Rückstosswelle” n'est donc autre chose qus le deuxième onde de réflexion. Quant aux „Schliessungswellen” de Moens. M. Moens *) dit que le tube élastique avait une longueur de 670 cM., que dans la seconde série de courbes le sphygmographe se trouvait à 300 eM. et dans la quatrième série à 620 cM. de l’origine du tube. La différence de ces deux nombres est de 320 cM., ce qui cause dans les deux séries de courbes une diflerence de temps égale à 1.8 mM. ; ainsi 1.8 mM. représente dans les courbes le temps que l’onde 1) 1. c. pag. 109. 2) 1. c. pag. 76. 3) Die Pulscurve pag. 124. ARCHIVES X. 64 390 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. emploie pour parcourir 320 cM. du tube. Alors le temps néces- saire pour parcourir 4 fois la longueur entière du tube est de: 670 x 4 Eh bien, à une distance de 15 mM. on retrouve dans toutes les courbes la „Schliessungswelle de Mons, indiquée par la lettre A. M. Moens dit lui-même dans son ,Dissertation” pag. 45 la longueur d'une „Schliessungswelle complète je Vai trouvée égale à 4 fois la longueur du tube. IV IV CR: 1 onde primaire = 2 onde de réflexion 1 3 onde de réflexion 2 Pour enlever tout doute sur le caractère des „Schliessungs- wellen’ je donne, fig. 7 une copie exacte de deux courbes de Moens Il et IV. Fig. 16 et à coté la construction mathématique des mêmes courbes suivant le procédé indiqué plus haut. Dans les „Oeffnungswellen” de Morns !) on reconnaitra main- tenant aisément la première onde de réflexion, qui se montre très vite dans la courbe du sphygmographe placée à |’ extrémité du tube et qui apparaît beaucoup plus tard dans les courbes du sphyg- mographe appliqué à l'origine du tube élastique Les „Hlastiei- täts-elevationen” et les „Ausgleichungsschwankungen” de Lanpois ont une origine très variée. Souvent ce sont les ondes réfléchies du premier et du second ordre, tantôt, comme dans les fig. 26, 30 et 32, ce sont des mouvements du levier du sphygmographe, tantôt, comme dans les fig. 28, 31 et 35, elles sont dues à une irrégu- 1) 1. c. fig. 20 et 21. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 391 larité dans le mouvement de la latte, qui comprime et ferme le tube à l’origine. Ainsi toute sorte d’élévation, observée dans les expériences nombreuses faites sur les tubes élastiques, peut être expliquée par l’interférence des ondes primaires avec les ondes de réflexion, quel que soit le nom particulier que certains auteurs ont donné à ces élévations. Seulement il faut excepter ces élévations qui accompagnent l’onde primaire sur toute la longueur de son chemin et qui sont engendrées par l’onde primaire elle-même. Ce sont les ondes secondaires qui parcourent le tube avec la même vitesse c que les ondes primaires et qui conservent toujours et à chaque point du tube le même intervalle de temps avec l’onde primaire, qu'elles suivent de près. 6. Toutes ces ondes primaires, secondaires et réfléchies éprou- vent sur leur chemin l'influence de la friction due à la viscosité du fluide Cette viscosité est évaluée par HrLuaozrz !) pour l’eau à 0014, ce qui signifie qu'un tube rempli d’eau de 1 m.M. de diamètre et 140 c.M. de longueur laisse passer en une minute 1 c.M®. d’eau, quand la pression à l’origine est de 1 c.M. d’eau supérieure à celle au bout de tube. Ewarp ?) trouve pour la viscosité du sang humain le nombre 0.034, donc environ 3 fois celle de l’eau *). Cette friction, comme l’a prouvé expérimentalement E. K. Wr- BER *), fait que chaque élevation on dépression pendant son che- min à travers le tube décroft en hauteur et croit en longueur: l'onde s’aplatit et devient de plus en plus insignifiante. De plus à chaque réflexion l’onde perd un peu de son énergie d'où il suit que chaque onde en se réfléchissant, décroît en hauteur. C’est pour cette raison que les ondes de réflexion du quatrième ordre et du cinquième ordre sont rarement visibles 7. Si le tube se termine par une partie qui est plus large que le reste du tube, la réflexion est de la même nature que pour un tube ouvert, mais plus forte. Une élargissement du tube augmente done la réflexion négative Un retrécissement au contraire dima- 1) Wiener Sitz ber. 1860 pg. 40. 2) HERMAN. Lehrbuch der Physiologie pg. 68. 3) Dans une recherche récente M.M. pu PRÉ DENNING et Warson, Proceedings Royal Society Série B Vol. 78 trouvent 2—11 fois selon le nombre des globules du sang. 4) 1. c. Tabelle XIX et XX. 64* 392 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. nue la réflexion négative et la change bientôt en une réflexion positive, comme on voit dans les courbes sphygmographiques de fig. 8 où la dépression b est transformée en une élévation c. On peut x donc dire, comme l’a déjà trouvé a Yi M. Grassuey !), qu'un élargissement du tube donne lieu à une réflexion en sens contraire tout comme un 6 ‘tube ouvert, et que chaque rétrécisse- ment occasionne une réflexion posi- tive ou homonyme, tout comme un tube fermé. Si plusieurs tubes d’égales dimen- ET > sions sont insérés sur un seul tube principal d’un plus grand diamètre, on constate aisément le résultat trouvé par Marry, que chaque branche se conduit comme un tube indépendant et que les ondes de réflexion ne se transportent que très affaiblies d’une branche dans l’autre. Quand un tube élastique se termine en plusieurs petits tubes peu larges, ce système se comporte par rapport à la réflexion comme un seul tube, dont l'épaisseur est égale à la somme des épaisseurs des petits tubes ensemble. Donc, quand cette somme est supé- rieure à l'épaisseur du tube principal, il y a réflexion négative et quand cette somme est beaucoup plus petite que l’épaisseur du tube principal, il y a réflexion positive Voyez les deux cour- ay je DOUCE © Fig. 9. bes sphygmographiques, fig. 9, dont A s’obtient fag: , Nesilailinedlnta he a avec un tube peu épais se terminant en plu- sieurs tubes courts et hay eon hen ar tet assez larges, tandis que 5 B s’öbtient sur un large tube principal se terminant en plusieurs tubes courts et étroits. De toutes ces considérations il résulte que dans le système arté- riel de l’homme on ne peut pas s'attendre à une réflexion très prononcée, car en fixant son attention sur le rétrécissement que chaque artère éprouve en se bifurquant on pourrait s'attendre a 1) Lc. pag. 45. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 393 une réflexion positive, mais en observant que dans chaque rami- fication la largeur totale, la surface totale s’accroit, on s’attendrait à une réflexion négative. Il est donc incertain de quelle nature sera la réflexion periphérique dans les artères. 8. La déduction mathématique confirme les résultats obtenus par les expériences. En négligeant la friction et prenant pour l’axe des XX l’axe du tube élastique, les équations diftérentielles du mouvement du fluide deviennent: du _ dp ds, 4. dj ¢ 0 ai — Bye ee ut à a (2) du 4°) d (rs) dr (ey rn > 5 (3) dans lesquelles: u. représente la vitesse d’une particule de fluide au point (x, r) dans la direction de l’axe. s. la vitesse dans le même point dans la direction radiale. p. la pression dans le même point èt o. la densité du fluide, ') le tout exprimé dans les unités ©. G. S. De plus, si E est le module d’élasticité du tube élastique a l'épaisseur de la paroi et R le rayon du tube, il faut que pour les points de la circonférence, pour r — R pede... ae” Les équations (1) et (2) expriment que l’accélération dans une certaine direction soit égale à la variation de la pression dans la méme direction. L’&quation (3) indique que le fluide est incompressible et Vequation (4) exprime que l’extension d'un tube élastique par une pression intérieure dépend de l’élasticité et de l'épaisseur de la paroi et du rayon du tube. ?) 1) Lamb. Treatise on the motion of fluids pag. 222. 2) Voyen mon mémoire de l’Academie pag. 9 et 10. 394 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. En supposant que l’on donne au fluide à l’origine du tube un mouvement périodique de N oscillations par seconde, on peut satisfaire à ces équations en posant: PDA (msn. aN(t—). . Ac sd 2) u— U + BF (r) sin aN (t— oF ere (:) s = DF’ (r) cos x v(t—*) id ae ER (6) ou F’(r) est l'équation dérivée de Fr). L’équation (1) donne alors: A Bee NI ee A em es: i oc @) et l'équation (2) ea vies Ee (8) i x No tandis que l'équation (3) se réduit à F’ (r) ie Ne HUE — — = NGI 5 ot ee 9 Gm (9) dont la solution est la série convergente suivante 2 2 r2 zt N* rt mnd Ne (| F'(r) u Ar tie ga + ete (10) Mais alors: ADI ys c (+ rs En + ete ) 1,5 8 tant une fraction trés petite, on peut écrire Oy L'expression maintenaint: pp + A (1+ a 7 )sinan(i— 2). .. (12) HN ES = (1 wi zE : =) sina N ((— 2) 00) 06 = Ana, cos aN (1— =) An (14) L’équation (4) se réduit à: E a Ge DR D EE ren (15) c’est à dire, à la loi de Young, indiquée plus haut. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 395 Les formules (12), (13) et (14) représentent une onde progres- sive qui se propage à travers le tube avec la vitesse constante c, calculée aussi par R&saL et KoRrEWEG. Chaque particule du fluide possède à chaque moment deux vitesses, l’une longitudinle, u, l'autre, radiale, s et décrit done une courbe, qui se change pour les particules situées sur l’axe, dans une droite longitudinale, car, pour r= 0, s devient aussi = 0. On peut calculer la pression moyenne, p,,, de toutes les parti- cules d'une même coupe du tube et l’on trouve alors: ES zu? N: R? a 7 MH HA > Pm =p, + À (1 + 5) sin A (1 =) .. (16) e? De même, on trouve pour la vitesse longitudinale moyenne À N» RENE © = Un = Uy + u + —— : ze ) sin x N (1—- ) (LT) oC Ge 5 Cc d'où il suit que la quantité de fluide qui passe en une seconde par chaque coupe du tube, gq, est égale à: x R? 2A ( SNE RA = 1+ — lide mA A) De la formule (14) on peut calculer le chemin y, qu’un point de la paroi élastique parcourt pendant les oscillations du fluide. On trouve: Ae nl: x TE ER -sin a N (1—=) Pate EE y Is Foie V0 7 ; (19) et alors pour la variation du volume d’une certaine partie du tube: AVE AV sin aN (i— =). ret ey Cee Cc où V est le volume normal. La plus grande variation de volume se trouve done: RM N —— cu (AV) m= Par approximation on peut écrire Pm =p, + Asin. 7 N(t— =) lu: à ton ENE Um == + 4 in .x N (1— ~ ) ellis ARE ae) 2 5 et q= = w+ oe) ven vee 396 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG: Dans la plupart des cas w, sera très petit ou zéro et (24) se change alors en: A R? ae free es 22) et (19) en: Oer: Valen ij sin. Nd =) RER EN EN EON Par l'influence de la friction ou de la viscosité du fluide (voyez $ 6) les formules deviennent plus compliquées, car (22) et (23) se changent alors en: itu, . % - p—p, + Ae sin. N (1-7) ne 5 (|) i a Bea vce WV, (17 +0) ZB Maintenant amplitude des variations périodiques decroit avec la distance de l’origine à cause du facteur e-«x et la vitesse de propagation c se change en c/, 32 ou ¢ —=c (1 +59 mx? u? n°) de sorte que cette vitesse dépend aussi de la période N des oscillations. Enfin on voit dans la formule (28) que la vitesse arrive plus tôt A sa valeur maximale que la pression. Il y a pour la pression un retard exprimé par l’expression x Nö où D NT) 9. Avec le ballon à deux soupapes, le mouvement du fluide n’est plus oscillatoire, mais devient interrompu. A chaque compres- sion du ballon une certaine quantité de fluide est rejetée dans le tube et augmente la pression. A chaque dilatation du ballon, celui-ci se remplit de nouveau de fluide, mais dans le tube le fluide est maintenant séparé du ballon et se meut seulement sous l'influence de Vélasticité de la paroi: la pression descend à sa valeur normale, mais ce dernier changement s'accomplit d’une tout autre manière que l'accroissement de la pression antérieure, dont la vitesse dépend de celle de la compression du ballon. Il s’ensuit que la fonction qui indique la variation de la pres- sion et de la vitesse n’est pas une vraie fonction sinusoïdale comme 1) u est le coefficient de friction, indiqué § 6. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 397 supposent les formules (5), 6, 7 mais une fonction plus conpliquée. Dans chaque point du tube le sphygmographe inscrit donc une série d'élévations interrompues, dont la branche descendante prend une autre forme que la branche ascendante, comme on voit sans exception dans tous les sphygmogrammes Mais il y a plus. | Tandis que l’on s’attendrait à une série de courbes de la forme figure 10 A, on obtient toujours avec le ballon à deux soupapes des courbes de la forme B, c'est à dire, dans la partie descendante de chaque élévation, se forme une nouvelle élévation, plus ou moins IA prononcée, indiquée par le carac- tere ¢. Cette élévation { ne manque £ t t jamais dans les expériences avec B des tubes élastiques et ne manque non plus dans les sphygmogrammes du pouls humain ov cette élévation a obtenu le nom d'élévation dierotique. Quelle est done la cause de cette élévation secondaire? Par les expériences avec les tubes élastiques on peut prouver que cette élévation secondaire est due à la clôture de la soupape f, Fig 2, qui se trouve entre le ballon et le tube et qui dans ces expériences remplit la méme fonction que les valves semilu- naires dans la circulation du sang. L’enlévement de cette soupape change instantanément les courbes de la forme fig. 10 B en celles de la forme A. L'importance de cette conclusion m’a induit à la prouver encore d'une autre manière. Dans mes expériences sur les tubes élastiques, fig. 2, j'ai arrangé les soupapes métalliques de manière à ce que la clôture de la sou- pape fermait un courant électrique, qui, à l’aide d'un relai, inter- rompait un autre courant plus fort, passant par le fil primaire d’une bobine de Rumxorrr. Le fil secondaire de cette bobine était relié au levier du sphygmographe et avec le cylindre métallique, couvert de papier enfumé. Dans le circuit secondaire se trouvait aussi une gros- se bouteille de Leyde de sorte qu’au moment précis où la soupape se fermait, une forte étincelle jaillit du levier enrégistreur par le papier sur le cylindre tournant. Ainsi un signe visible se montra dans la courbe sphygmographique au moment précis où la sou- pape se fermait. ARCHIVES X. 69 Fie. 10. 398 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. Voyez maintenant la fig. 11, où l'on trouve la marque des étin- celles sans exception là où l'élévation secondaire t commence. Les courbes A, B et C sont décrites avec une vitesse croissante du cylindre tournant, mais même dans le cas C d’une vitesse extraor- dinaire on trouve les traces de l’étincelle exactement au même point de la courbe Fi: A: A N. Bone B c b C C y Gli dt a a Ainsi on peut donner l'explication suivante de la présence de cette élévation secondaire. . Par la compression du ballon on rejette une certaine quantité d’eau dans le tube, la pression augmente, la paroi élastique se dilate et commence à réagir et à presser l'eau vers les deux côtés. Alors la quantité d’eau qui passe du ballon dans le tube diminue et bientôt à l’origine du tube s’écoule la même quantité, qui entre du ballon. Le sphygmographe inscrit la partie abc de la courbe. Maintenant on cesse de comprimer le ballon, l’eau par la réaction de la paroi dilatée, combinée avec le gonflement du ballon élastique se meut avec une grande vitesse vers le ballon, la soupape f se ferme et l’eau, en rebondissant sur cette soupape, forme une onde nouvelle, qui se marque dans la courbe par l'élévation 2. Ainsi il est clair que le point a de la courbe sphygmographique indique le moment où la soupape f” s'ouvre, le point c celui où l’on cesse de comprimer le ballon et le point d, celui où la soupape f se ferme. Dès ce moment l’eau du tube élastique est entière- ment séparée de l’eau du ballon et le mouvement de l’eau dépend uniquement de l’élasticité de la paroi La partie de la courbe sphygmographique suivant l'élévation secondaire représente done le mode dont le tube dilaté revient à sa forme primitive. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 399 E. H. Weger a remplacé !) les soupapes métalliques par des valves membraneuses, qui ressemblent beaucoup dans leur mode d'action aux valves du coeur humain. Sur un tube de bois eb est attaché un morceau de boyau, dont l’autre bout est fixé, à l’aide de trois fils de soie, à un tube de verre d, auquel le tube de bois est collé. Cette valve ne présente aucun obstacle à un courant d’eau e vers b, mais par un courant en sens contraire, le boyau est rejeté et se ferme solidement. En remplaçant la valve mé- tallique f” par une valve de cette espèce on obtient des courbes sphygmographiques de la forme figure (13). L'élévation secondaire ¢ se montre plus tard. mais elle existe sans aucun doute. Ainsi une valve aussi mince que celle de Weser BiG 15. peut causer l'élévation secon- j t daire t. ung Cette élévation se propage dans le tube avec la même vitesse que l'élévation primaire, et se montre donc dans toutes les courbes sphygmographiques de tous les points du tube à une distance égale de l'élévation pri- maire. 10. Ce qui est indiqué par le sphygmographe, c'est la quantité y, trouvé par la formule 26 d’où il suit que la surface de cha- que courbe sphygmographique est en proportion directe du débit de fluide par seconde, q. Dans la mesure de cette surface à l’aide d’un micromètre en verre quadrillé, on possède donc un moyen très important pour déterminer la grandeur q, sans recueillir à l’extrémité du tube la quantité de fluide rejeté. J'ai fait?) beaucoup d'expériences pour comparer les valeurs de q, trouvée par cette méthode, avec la vraie valeur de q trouvée par la mesure directe du fluide rejeté et j'ai constaté que les erreurs commises par cette méthode ne surpassent pas 10 °/, Dans les expériences nombreuses faites par DosıEr avec le 1) 1. e. pag. 185. 2) Mem. de l’academie pag. 47. 65* 400 RECHERCAES SUR LA CIRCULATION DU SANG. „Stromuhr” de Lupwie !) sur les animaux, les erreurs étant sou- vent plus grandes. La même grandeur importante, q, peut être déterminée en me- surant la variation que la pression. p, éprouve pendant la com- pression périodique du ballon élastique, car d’après la formule (22). Dm Do ASTM be A représente la grandeur de cette variation et parce que selon la formule (25) 06 on peut calculer, g, quand on sait l’amplitude, A, de la variation de la pression. La grandeur q se trouve donc directement proportionelle à cette amplitude A. Pour le même tube une plus grande variation de pression indique une plus grande quantité de fluide rejeté dans le tube par seconde. 11. Quelle est l’influence de la pression constante p, sur la forme de la courbe sphygmographique? ?) Avec mon appareil, fig. 2, je pouvais aisément varier la pression constante, p,, dans le tube, en élevant le réservoir J à une hau- teur quelconque au-dessus du réservoir A. De cette manière j'étais en état de varier cette pression de 0 à 300 eM. d’eau, soit 220 mM. de mercure. Fre. 14. En appliquant alors le sphygmographe au commencement du tube, j’obtins les courbes fig. 14, où la première est obtenue pendant la pression constante 0 et les deux suivantes sous la pression constante de 220 mM. mercure. Si l’on ne fait pas attention à la grandeur ni à la position absolue des trois courbes, la ressemblance 1) Ber. Sächs. Gesellsch. Bd. 19, 1867 pag. 200. 2) Voyez sur ce point les expériences récentes de Mackenzie, Study of the pulse, RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 401 est très grande. On reconnaît done qu’une variation assez consi- dérable de la pression interne n'a qu’une influence négligeable sur la forme de la courbe sphygmographique. C'est ce qui suit aussi des expériences de Lanpois !) car les courbes des Fig. 42 4, B, C et D se ressemblent beaucoup quoique pour B et D la pression interne fût zéro tandis que pour A et C la pression s'élevait à 150 m.M. de mercure La seule différence que l’on puisse observer dans les courbes de Lanpois c'est que pour les pressions plus grandes la courbe der- eend plus bas, même jusqu’ au dessous de l’axe. Pourtant il n'existe aucune raison pour cette dépression, dont je cherche la cause dans la très quande rapidité avec laquelle la pression retombe à sa valeur normale. Comme je l’ai démontré dans mon memoire à l’Aca- demie Chapitre Ier le levier du sphygmographe fait dans ce cas lui-même un mouvement, qui se manifeste toujours quand son mouvement est trop rapide. Donc, il n'existe dans les courbes sphyg- mographiques aucun signe certain au- 5 5 quel on puisse reconnaître la pression. Seulement si la pression interne devient ieee excessive. comme dans les expériences de Lanpors avec des tubes à peu près complètement fermés au bout, la ligne ascendante dévie de la direction verticale et s'incline de plus en plus, ce qui indique que l'accroissement de la pression est ralenti. Voyez fig. 15, où la ligne ascendante ab devient plus in- clinée à cause de la grande pression. Mais dans les cas ordinaires les courbes sphygmographiques ne peuvent nous révéler la grandeur de la pression interne et comme la connaissance de cette pression est cependant d’une très grande importance, il faut chercher un autre moyen de déterminer cette grandeur. Déjà Hazes et PorseuiLce ont appliqué le manométre à mereure au système artériel de plusieurs animaux. De cette manière ils trouvèrent pour la pression dans la carotide du cheval i47 mM. de mercure et dans la carotide du chien 141 mM. de mer- cure. Mais il fallut ouvrir l'artère pour y insérer le manomètre. Pour les artères de l’homme on a inventé une autre méthode, existant dans la détermination de la pression extérieure, nécessaire 1) 1. c. pag. 159. 402 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. à comprimer tout à fait l'artère. Nous décrirons plus tard la méthode exacte. Ici je me contente de communiquer que j'ai aussi appliqué cette méthode aux tubes élastiques, remplis d’eau sous une pression connue Avec un ressort dont la force de pression était déterminée d’a- vance, je tâchai de comprimer le tube au point qu'un mouve- ment oscillatoire provoqué au commencement du tube ne se cominuniquait plus à un sphygmographe placé au de là du point de compression Je découvris ainsi que pour comprimer complètement un tube vide même très mou, il fallait une force peu différente de celle que l’on devait appliquer au tube rempli d’eau sous une certaine pression et que la détermination de cette pression au moyen de la méthode indiquée donna lieu à de grandes erreurs. Voici quelques résultats: Pression trouvée avec le ressort. Pression vraie 0 eM. d’eau O cM. d’eau 23 21 104 97 160 159 219 226 391 400 Quoique je fisse ces expériences sous des circonstances très favorables, les erreurs montèrent quelquefois à 9 cM. CHAPITRE II. Sur le mouvement du sang. 12. Le mouvement pulsatoire du sang dans les artères qui se manifeste par le pouls, était déjà connu des anciens. ARISTOTE, Hippocrate l'avaient observé et GaLène (150 années après J. C.) distingue déjà plusieurs sortes de pouls savoir: le ,pulsus celer ou tardus, le pulsus frequens et rarus, le pulsus dierotus, inter- mittens ou difficiens Non seulement GALÈNE connaissait l’influ- ence de l’âge sur la fréquence du pouls, mais aussi il conseille aux medecins de bien observer si la fréquence du pouls s’accorde avec l’âge du malade. RECHERCHES SUR LA CIKCULATION DU SANG. 403 En 1834 un médecin francais, Hfrıson, inventa un instrument qu'il nommait sphygmomètre, consistant en un tube rempli de fluide, ouvert à l’extrémité supérieure et fermé à l'autre extrémité par une membrane élastique. Le tube repose au moyen de cette membrane sur l'artère qu'on veut explorer et à chaque battement du pouls on voit osciller le fluide dans le tube. En 1837 un physiologiste anglais, nommé Kine, eut l'idée de rendre visibles les pulsations d’une artère, en y fixant tangentiel- lement un mince fil de verre. L’extrémité de ce fil traduisait en les amplifiant le mouvement des ondes sanguines. Vrerorpr remplaga le fil de verre de Kına par un système de leviers dont le dernier inscrivait ses mouvements sur le cylindre tournant du Kymographe de Lupwia. Ainsi Vrrrorpr obtenait pour la premiere fois sur du papier enfumé des courbes sphygmographiques, des sphygmogrammes qui indiquaient d’une maniére claire et permanente le mouvement pulsatoire du sang. Done Virrorpr construisit le premier sphyg- mographe. Marry fit à cet appareil le reproche mérité de présenter trop de force d'inertie et construisit en 1863 un sphygmographe où la masse des parties mouvantes était réduite à une valeur minimale et dans lequel la pression nécessaire était effectuée par un ressort métallique. Le sphygmographe est attaché au poignet par un lacet, passant alternativenent sur de petits crochets placés des deux côtes. Ceux-ci sont fixés à des ailettes articulées sur les bords d'un cadre qui constitue le support de l'appareil. Le lacet complète done en arrière une sorte de bracelet que forme en avant le cadre métal- lique. Dans l’intéreur du cadre se trouve un ressort d'acier très flexible qui descend obliquement et porte à son extrémité libre la plaque d'ivoire arrondie qui serre l’artère. Une vis régulatrice sert à faire varier la pression du ressort. Chaque pulsation de l’artère radicale imprimera au ressort un petit mouvement, qui sera amplifié par le levier et inscrit par la plume. qui le ter- mine. Un mouvement d’horlogerie entraîne parallélement au plan d’oscillation du levier une plaque enfumée qui reçoit la trace. Pour amplifier le mouvement, on se sert d’un levier très léger, fait de bois ou d'aluminium. Le sphygmographe de Marry a été longtemps l'instrumort dont les physiologistes et les médecins de toute l'Europe se servaient sans exception. 404 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. Plus tard BeHıer, Burpon SANDERSON, BAKER, LANDoIs et Duperon l'ont amélioré et perfectionné. Le sphygmographe de Duperon date de notre temps et jouit partout d’une grande réputation. Le „Cambridge Scientific Instrument Co” fournit cet appareil inscrivant le mouvement du pouls 50 fois agrandi sans que la forme de la courbe souffre notablement du mouvement propre de instrument On trouve une description du sphygmographe de DupGEon dans la technique sphygmographique de VascHıDE et Lany publiée dans le „Revue de médecine” No. 24, 1904 Parmi les principaux avantages de cet instrument on cite: 1° une fixation plus solide sur le bras; 2° une régulation plus parfaite de la pression du ressort, et 3° l'indication du temps sur la courbe obtenue. On voit dans figure Fre. 16. 16 une série de cour- bes tracées par le | | sphygmographe de | | V DuperonN. Au-dessus | IN | des courbes on voit Se N | A IN | \ une ligne droite en- trecoupée. Chaque division correspond à un intervalle d'un quart de seconde J’ai fait moi-même des expériences avec cetinstrument, mais je ne peux pas affirmer qu'il soit tout à fait exempt de mouvement propre. Au contraire, je crois qu'ici les sphygmogrammes sont plus dété- riorés par le mouvement propre (LIL \ \ de l’instrument que dans ceux du sphygmographe de Marry. Par exemple la grande première éléva- tion secondaire de fig. 16 à environ ! seconde de l'élévation primaire est certainement due au mouvement propre du levier. Par la grande vitesse le levier en sélevant, surpasse le véritable sommet et dessine faussement un sommet trop élevé, comme on s’en aperçoit encore plus clairement dans les courbes de fig 17, tracées avec le même instrument, mais avec une vitesse plus petite du papier. Les points élevés de fig. 17 traduisent la vraie nature de la pre- Biel. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG 405 mière élévation secondaire de ig. 16. Elle est produite par le mouvement propre du levier et la vraie forme de la courbe sphyg mographique n'est pas fig. 18 (a), mais fig. 18 b. ANNE BE Marry a inventé aussi un sphyg- Fra. 18. mographe à transmission d’un usage très commode avec lequel on peut inscrire sur un même cylindre enfumé les pulsations simultanées des différentes artères. Le mouvement pulsatoire dans l'artère se communique alors à l'air d'une ampoule métallique à membrane de caoutchouc et cette ampoule est mise en rapport par un étroit tube élastique avec celui du tambour à levier inscrip- teur. On prend le tracé sur le cylindre enfumé d’un polygraphe. Fra. 19. dom + Ca La Fig. 19 est une copie des courbes simultanées trouvées par Marry ') sur l’aorte À, l’artère carotidienne Ca et l'artère fémo- rale Fem d'un cheval à l’aide du sphygmographe à transmission. On constate ici très clairement que le pouls de l’artère fémorale se fait sentir plus tard que celui de l’artère carotidienne et que le dernier a aussi un rétard sur celui de l’aorte. Ainsi se prouve d'une façon directe que le mouvement du sang dans les artères est vraiment une onde progressive. Ce fait a été constaté par E. H. Weser en 1850, mais 41 années plus tôt, en 1809, Tomas Youne le connaissait et caleulait déjà la vitesse de propagation ec, comme je l’ai remarqué plus haut. Dans la figure (19) on peut mesurer cette vitesse, si l’on détermine aussi exactement que possible sur l’aninal la distance des points d'application des trois sphygmographes. De cette manière plusieurs !) Circulation p. 226. ARCHIVES X. 66 406 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. expérimentateurs ont trouvé pour c, une valeur que j'ai donnée plus haut et que je répéte ici WEBER S—9 metres par seconde. : GRASSHEY 8!/, 5 e pn Moens 1—81} , 5 5 HoorwEG 9 5 5 5 Tuomas Young a donné aussi la formule, retrouvée plus tard par Résoz et KorTEwEG savoir: où Æ est le module d’élasticité de l'artère a l'épaisseur de la paroi R le rayon de lartère et o la densité du sang. ce dépend done du module Æ et comme Marry !) a prouvé que le module des artères n’est pas constant mais accroit avec la pression interne, il faut que la vitesse c dépende aussi de cette pression p. Moens ?) a fait une série d’expériences sur l’élasticité des artères. Malheureusement la plupart de ces expériences ont été faites en tendant l'artère longitudinalement, tandis que pour la question qui nous oceupe, il faut déterminer la dilatation transversale. Mais il s’v trouve aussi une seule série d’observations sur la dila- tation transversale de l'aorte descendante d'un homme, à l’aide desquelles on peut étudier la relation entre p et E. Voiei une copie du tableau pag. 105 de Morns p en c.M. d’eau cen c.M. 156 135 140 731 126 442 75 346 58.7 275 La pression normale dans l’aorte descendante de l’homme, sur laquelle les expériences ont été faites, étant de 180 m.M. de mer- cure ou de 243 c.M. d’eau, on voit que les expériences n’ont pas 1) Circulation pg. 161. 2) Die Pulscurve pg. 104. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 407 été continuées jusqu’à la pression normale. Les valeurs de ¢ variant très sensiblement pour des pressions tres petites, se rapprochent pour des pressions égales à la pression normale, à une valeur constante, que l'on peut déduire de ce tableau par extrapolation. C'est ainsi qu’on peut déduire des expériences de Moers que dans le voisinage de la pression normale la variation de c est petite. Même si la pression intérieure tombe de 200 m.M. de mercure à 100 m.M. de mercure la valeur de c ne varie que de 840 ¢.M. à 731 c.M. En admettant maintenant que l'artère du pied est éloignée du coeur de 160 c.M., cette variation de c cause un retard de 0.0284 seconde. Dans son travail sur le pouls!) M. v. Krırs dit qu’au- eun de ces nombres n'est certain à 2—3 centièmes de seconde. Done un décroissemert de la pression interne de 200 mM. à 100 mM. de mercure n'aurait qu'un effet imperceptible sur le temps, où l'onde sanguine arrive dans ces régions éloignées du coeur. Voilà l'effet précis de la variation de c avec la pression du sang. Maintenant on peut apprécier à sa vraie valeur la proposition de M. Moens de déterminer la pression du sang par la mesure de la vitesse de propagation c. M. v. Frey ?) regarde aussi l'influence de la pression du sang sur la vitesse de propagation c, comme un facteur de haute importance et tâche de relier cette idée à plusieurs particularités, qu’il observe dans la forme des sphygmogrammes. C'est pour cette raison que J'ai voulu prouver par les expériences mêmes de M. Morxs qu'il s’est trompé dans ses déductions. Dans les cas normaux la pression du sang dans les artères de l’homme ne varie jamais assez pour causer un retard appré- ciable dans le temps où l’onde sanguine arrive à un certain point du système artériel. Seulement des hémorrhagies graves et répé- tées, des médicaments de nature vénéneuse, l’irritation de certains nerfs peuvent réduire la pression de telle sorte qne la vitesse de propagation en est affectée notablement. 13. En regardant attentivement les figures 16—19, on y retrouve, comme dans presque tous les sphygmogrammes, l'élévation secon- daire observée dans les expériences faites avec les tubes élastiques et le ballon à deux soupapes, et désignée par le caractère t. C'est l'élévation que connaissent tous les physiologistes et tous ces 1) Arch. de pu Bois-REYMOND 1887 S. 276. 2) Untersuchung des Pulses. 66* 408 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. médecins sous le nom d’élévation dicrotique et dont on a longtemps cherché la cause. Dans les expériences avec les tubes élastiques l'élévation, t, est indubitablement la conséquence de la clôture de la soupape qui se trouve entre le ballon et le tube. Dans le cœur humain on trouve un appareil identique dans les valvules semilunaires. Il est donc très vraisemblable que le dicrotisme du pouls humain est causé par la clôture de ces valvules. Pour prouver cette observation importante je plaçai le tambour du sphygmographe à transmission sur l’artère carotidienne d’un homme et observai en même temps à l’aide d’un stéthoscope les bruits du cœur. On sait que selon tous les physiologistes le second son du cœur cöincide avec la clôture des valvules semi- lunaires. Je suivis de la main le rythme de ces bruits et quand je fus sûr que le mouvement de la main était synchrone avec ces bruits, je frappai une clef de Morse qui interrompit le courant dune bobine de RUMKORFF et au même instant une forte étincelle se montra entre l'extrémité du levier enregistrant et le cylindre enfumé du polygraphe. Avec un peu d’exercice on peut atteindre dans cette sorte d'expériences un grand degré d’exactitude. C’est ainsi qu’il se forma sur la courbe sphygmographique un signe visible, indiquant le moment précis où les valvules semilu- os naires se sont fermées. Voyez Dr fig. 20, le rösultat d’une de De Re Sie ces expériences, qui eurent toujours le même succès. Dans 4 des 7 sphygmogrammes du pouls carotidien on voit dis- tinctement la marque des étincelles au commencement de l’éléva- tion dicrotique. En comparant ces expériences avec celles de la fig. 11 faites d’une manière semblable avec les tubes élastiques, il faut conclure qu’en effet l'élévation dicrotique du pouls de l’homme a la même cause que l'élévation secondaire {, observée dans toutes les expé- riences avec les tubes élastiques et qu’elle est due par conséquent à la clôture des valvules semilunaires. 14. Néamoins il se pourrait — et plusieurs physiologistes l'ont cru et le croient encore —, que l'élévation dicrotique fût une de ces ondes de réflexion comme il s'en montre si souvent dans les expériences avec les tubes élastiques. Mais alors il est très difficile de comprendre pourquoi cette RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 409 onde se montre sur tous les sphygmogrammes à l'instant où les valvules semilunaires se ferment. Une onde de réflexion arrive à un certain point du système artériel à un temps dépendant seu- lement du chemin parcouru, c. à. d. de la distance du point de réflexion et ce temps est tout différent pour l'artère carotidienne, la brachiale, la radiale, la fémorale, ete. Londe de réflexion doit se constater très vite dans le pouls de l'artère radiale et l’artère du pied, plus tard dans celui de la carotide, encore plus tard dans celui de la brachiale et de la fémorale. Je sais bien que l'on accepte quelquefois avec LaNpors que les ondes de réflexion des différentes branches du système artériel se confondent en une seule onde complète, qui se rétlechit pour la deuxième fois sur les valvules fermées et se propage alors dans toutes les branches artérielles ; mais cette supposition est inadmissible. Car les expériences de Marry et les miennes prouvent que dans un tube ramifié les ondes réfléchies de chaque branche se mon- trent indépendantes de celles des autres branches. De plus il est tout à fait impossible que ces ondes réfléchies puissent se confondre en une seule onde, parce qu'elles arrivent au cœur à un moment très different. 3 15. Il est done évident que puisque l’origine de l'élévation dicrotique se manifeste dans tous les sphygmogrammes de l’homme à un égal intervalle de temps de l’origine de l'élévation primaire, cette élévation dierotique ne peut jamais être une onde de réflexion. L'égalité de cet intervalle de temps a été niée par MM. Lanpols, v. Frey et v. Krres mais il a été constaté par MM. MAREY, GRAssHEY, Hürrze et Hoorwec. i M. Lanpors dit que cet intervalle de temps, ¢, devient plus grand à mesure que le point d'application du sphygmographe est plus éloigné du coeur. M. v. Kries trouve le même résultat. M. v. Krıes donne les nombres suivants !) A. Carotis — 0.26 seconde A. Brachialis OT à A. Radialis — 025 à A. Femoralis 1=—=0.33 a A. dorsalis pedis i=0.32 „ 1) Du Bors Archiv 1887 S. 275. 410 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. A l'exception de la dernière artère !) tous ces nombres accois- sent très régulierement à mesure que la distance du coeur augmente. Les courbes sur lesquelles M. v. KRIES a exécuté ses mesures se trouvent au Tableau V du travail indiqué. Avec les indications de temps qui se trouvent dans ce Tableau, j'ai mesuré à nouveau avee beaucoup de soin à l'aide d’une loupe l'intervalle de temps, t, mais je n'ai pas pu retrouver les nombres donnés par M. v. Kries: je trouve sur toutes les courbes l’intervalle, {, égal à 0.29 seconde, à l'exception du pouls du fémur pour lequel je trouve ¢ un peu plus grand, soit de 0.31 seconde. Mais dans les „Untersuchungen” de M. von Frey, p. 168 se trouvent deux sphygmogrammes très amplifiés de M. v. Krırs des artères radiale et fémorale avec indication de temps et sur ces deux courbes l'intervalle, ti, est exactement égal, savoir 0.29 seconde, Cela prouve qu'il est vrai ce que M. v. Krırs dit lui-même *) qu'aucun de ses nombres n'est exact à deux ou trois centièmes de seconde, mais alors il ne reste pas beaucoup de la variabilité présumée de t pour les pouls divers. M. Epcren, cité par M. v. Frey *), trouve aussi pour l'artère carotide le même intervalle de temps, f, que pour l'artère radiale, savoir 0.29 seconde. M. Lanpois a fait beaucoup de recherches sur ce point et a réuni les résultats dans une courbe très amplifiée: pour chaque artère principale une courbe différente. Lanpors fait ses mesures sur ces courbes amplifiées, mais sans exception il cherche la distance des sommets et, comme je l’ai prouvé plus haut, ce mode de mesurer est erronée; il faut mesurer depuis l'origine de l’élé- vation primaire jusqu'à l'origine de l'élévation secondaire Malheu- reusement l'origine de l'élévation primaire manque sur presque toutes les courbes de Lanpois et par cette raison les mesures de Lanpors méritent peu de confiance. Dans le „Lehrbuch der Physiologie” de M. Lanpois, dernière édition, je trouve encore des courbes sphygmographiques, inscrites sur une plaque enfumée vibrante. Ici la courbe est formée par de petites ondulations, dont chacune représente un intervalle 1) Mais d’où vient cette exception. 2) 1 Cp. 2165 >) Untersuch. p. 163. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG 411 de temps connu. Cette méthode d'enregistrer le pouls est très ingénieuse, mais ne peut pas donner de résultats exacts parce que tout mouvement propre du levier, si petit qu'il soit, aug- mente le nombre des petites ondulations, indicatrices du temps. Cela n’empéche pas que des 3 courbes faites de cette manière deux donnent encore t = 0.29 seconde. La Fig. 19 donne les trois courbes sphygmographiques trouvées par Marry sur l’aorte, la carotide et le fémur du cheval et dans les trois courbes le commencement de l'élévation dicrotique se trouve à une égale distance du commencement de l'élévation primaire. Moi-même j'ai fait un grand nombre d'expériences sur ce sujet. Voici (fig. 21) trois sphygmogram- Fie. 21. mes inscrits simultanément. La courbe i aa supérieure est celle de l’artère crurale, P la seconde de l’artère du pied et la troi- IN IN INA Sième de l'artère radiale. Sur toutes les 5 : trois courbes la distance ps est exacte- a a ment égale à 4 mM., quoique les trois points d'application du sphygmographe sont à une distance du coeur toute différente Voyez aussi (fig. 22) deux courbes, dont l’une A, se een. trouve sur l’artère carotidienne, tan- dis que B est enregistré par les B changements de volume périodiques — er que, d'après les expériences de Mos- so!) le doigt éprouve sous l'influence de la pulsation du sang. Encore sur ces deux courbes la distance ps est rigoureusement égale, quoique le doigt se trouve justement au bout de l'artère où la première onde de réflexion coïncide presque complètement avec l’onde primaire. 16. Comme j'ai prouvé au paragraphe 4, les ondes réfléchies du second ordre arrivent à chaque point du système artériel dans un même intervalle de temps, t, après l’onde primaire; done on pouvait encore présumer que Londe dicrotique n'était autre chose que la seconde onde de réflexion. Pour cette onde l'intervalle de temps /, est égal pour toutes 1) Reale Accademia di Scienze di Torino vol. 11. 412 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. les artères de la même personne, mais dépend de la longueur de l’artöre, de sorte quelle est différente pour deux personnes de différente taille. Pour vérifier la chose, j'ai enregistré simultané- ment le pouls radial de deux personnes normales, dont l’une avait une taille de 162 eM. et l’autre une de 132 cM. Ensuite Fre. 23. DN i St =! it | =! j'ai photographié avec un très grand grossissement les deux courbes sur une échelle divisée et mesurée sur les deux courbes la distance ps, du commencement de l’onde dicrotique au com- mencement de l’onde primaire. Voyez figure 23, où A représent le photogramme du pouls de l’homme de 162 eM. et B celui du pouls de l’homme de 132 eM. Dans les deux courbes on trouve la distance ps égale à 9 unités de temps. Ainsi j'ai prouvé que l’onde dicrotique ne peut pas être la deuxième onde de réflexion. 17. Dans le paragraphe 7 j'ai indiqué la raison pour laquelle on ne peut pas s'attendre dans le système artériel de l’homme à une réflexion puissante. On ne sait pas même d'avance de quelle sorte cette réflexion doit être. En remarquant que chaque artére se bifurque dans plusieurs artères de plus petite dimension, on peut s'attendre à une réflexion positive, mais en considérant que la section totale RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 413 de ces petits rameaux est toujours plus grande que celle de la branche principale, on peut conclure à une réflexion négative. Laquelle de ces deux circonstances aura le plus grand effet? L'expérience prouve que ces deux circonstances se contrebalan- gent assez bien, de sorte que les ondes de réflexion dans le système artériel sont ordinairement de peu d'importance. C’est ce que prouvent les expériences mêmes, faites par MM. von Frey et von Krrrs pour constater l'existence de ces ondes. M. von Frey assisté par M. Kren!) a ouvert le thorax d’un chien et après avoir éloigné le cœur et les poumons, a mis l’aorte en contact avec un réservoir à robinet, rempli de sang défibriné. Alors on introduisit deux manométres, l’un dans l'artère subelave gauche, l’autre dans l'artère cceliaque. En ouvrant rapidement le robinet le sang défibriné du réservoir se jetait dans les artères du chien et provoquait une onde positive qui se propageait dans tout le système artériel et se manifestait aux deux manomètres enregistreurs. Dans ces expériences les courbes inscrites montrèrent une élévation primaire très prononcée de 320—360 mM. de hau- teur et dans la partie ascendante de ces deux élévations on aper- gut des ondulations que les expérimentateurs regardent comme des ondes de réflexion du système artériel du chien. Déjà en 1890 j'ai indiqué la vraie nature de ces ondulations. Elle sont dues à la réflexion, non pas sur la partie capillaire du système artériel, mais sur les deux manomölres ou tonographes eux- mêmes, qui se renvoient mutuellement les ondes qu'ils reçoivent, ce qui est prouvé par M. v. Frey lui-même. quand il dit *): La distance du point de réflexion au tonographe dans la cœliaque est environ égale à celle des deux tonographes. Il est aussi facile de concevoir que ces manométres, souvent de très grande inertie et introduits dans les artères de sorte qu'ils les ferment complètement, donnent lieu à des réflexions beaucoup plus fortes que la partie périphérique du système artériel. Mais en admettant pour un moment que les ondulations indiquées étaient vraiment dues à une réflexion périphérique, elles ne prou- veraient autre chose que le peu d'importance de cette réflexion. Car les mêmes ondulations réduites à la grandeur ordinaire des cour- bes sphygmographiques ne seraient plus visibles par leur petitesse. 1) Arch. pu Bors Reymonp 1890. 2) ].c. pag. 82. ARCHIVES X. 67 414 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. Sur les expériences de la même nature, effectuées par M. v. Krins!) on peut faire la même observation. Avec un ballon élastique M. v. Kries produisit dans l'aorte d'un chien des ondes très fortes, qui se propagèrent dans tout le système artériel Un manométre à ressort fut introduit dans l'artère crurale pour enregistrer ces ondes. Je ne peux pas croire que ces ondes si fortes ne se fussent pas ré- fléchies sur ce manomètre plus fortement que sur la partie capillaire du système artériel, mais en tout cas, si la compression du ballon était moins forte, les ondulations dans la courbe manométrique ne se montrèrent plus et, pour les compressions plus fortes, ces ondulations étaient petites et insignifiantes comparées à l'élévation dicrotique. Dans la „Zeitschrift für Biologie de Voir” Bd. 45. 46 ete. sont publiés plusieurs travaux très intéressants de M. Orro FRANK de Munich sur l’enregistrement rigoureux du pouls aortique au moyen de manométres, introduits directement dans les grandes artères. Dans ces travaux, qui témoignent de grandes connaissances ma- thématiques, M. Orro Frank étudie suivant l’exemple classique de M. Macx ?) les circonstances favorables d'obtenir, avec un ma- nomètre à fluide muni d’une paroi élastique, les vraies variations de la pression dans l’aorte. M. Orro Frank trouve que le fluide dune tel manomètre oscille dans une période dépendant de la longueur, L, et de la section du tube, Q. d’après la formule: 124 = , formule que je retrouvai dans un mémoire de date antérieure de M. Moens (die Pulscurve, 1878). M. O. Frank appelle l’expres- sion = la masse active et calcule cette masse pour tout le système de tubes, etc. nécessaires pour enregistrer par le ma- nomètre le mouvement du sang. Ensuite M. Frank calcule, d’après les formules trouvées, les dimensions du manomètre les plus favorables pour obtenir des oscillations rapides et construit alors un appareil très sensible et très exact qu’il nomme mano- mètre à miroir et avec lequel il photographie, à l’aide d’une lampe électrique de Nernst, des courbes très grossies de la varia- tion de la pression dans l’aorte d’un chien. La courbe que M. 1) Studien pag. 62. 2) Sitz ber. Wiener Academie Bd. 46 et 47. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 415 Frank donne p. 478 de son travail!) donne un bel exemple de la supériorité de la méthode appliquée. En étudiant cette courbe remarquable et en cherchant la cause de chaque ondulation, M. Frank ne découvre que des traces in- signifiantes d’une réflexion périphérique, ce qu'il exprime en ces mots ?): „Nachgewiesen habe ich ferner, dass Reflexionen bei der „Entstehung der centralen Pulsformen eine im Allgemeinen ver- „schwindende Rolle spielen”. Ce fut done à ma grande surprise que je lus quelques pages plus tard que M. Frank, en appliquant un appareil semblable à l'artère tibiale, avait obtenu des courbes dont quelques particula- rités lui semblaient inexplicables sans le concours d’une réflexion périphérique. La courbe en question montre une élévation prononcée, qui ne se montre pas dans celle de l’aorte. Mais en mesurant la distance du commencement de cette élévation au commencement de l’élé- vation primaire on trouve 14.5 mM. et comme, d’après les don- nées de M. Frank *), 24 mM. de la courbe représentent une différence de temps de 0,3 secondes ces 14.5 mM. correspondant à une différence de temps de 160 seconde et mettant la vitesse 5 29 de propagation du pouls, c, à 8 Mötres, l’onde parcourt en 160 ) seconde un chemin de 145 cM. Done, si l’élévation secondaire sur la courbe de la tibiale était causée par une réflexion péri- phérique, il faudrait que le point de réflexion fût éloigné du point d’application du manomètre de 72.5 cM. Mais il n'existe aucun chien chez qui la distance de la jambe postérieure jusqu’à l'extrémité du pied monte à 721 cM., d'où je conclus que la réflexion périphérique n’est pas la cause de l'élévation secondaire observée par M. Frank. Je cherche cette cause dans la réflexion du sang sur les deux manomètres qui, dans ces expériences, se trouvaient introduits dans le système artériel et qui, comme dans les expériences de M. v. Frey se réfléchissaient réciproquement les ondes qu'ils reçoivent. Alors on comprend aussi pourquoi M. Frank a observé de plus grandes 1) l.c. Bd. 45. 2) 1. c. pag. 527. 3) 1. c. pag. 476 et 524. 67* 416 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. variations de la pression sur le manomètre périphérique que sur le manomètre central. 18. MM. von Frey et von Kriss ont regardé comme un argu- ment important en faveur de l’existence des ondes de réflexion péri- pherique le fait que la courbe de la pression atteint son sommet plus tard que la courbe de la vitesse. M. v. KrıEs s’exprime ainsi !): „Si l’on observe que la courbe de la vitesse descend rapidement „tandis que celle de la pression continue à ascendre, on est certain, „qu'il y a réflexion périphérique”. Car suivant M. Fick, quand toutes les ondes ont une même direction, les deux courbes ne peuvent que descendre et ascendre simultanément. Si, au contraire, les différentes ondes ont une direction opposée, il faut que la courbe de la vitesse descende plus vite que celle de la pression. Pour contrôler ce résultat théorique, M. v. Kriss a inventé un tachymètre avec lequel il peut photographier la courbe de la vitesse du sang dans les artères d’un homme et en comparant cette courbe avec celle du sphygmographe, qui donne la variation de la pression dans la même artère, il trouve que la vitesse descend toujours plus vite que la pression. La conclusion de M. v. Kriss est done que l'existence des ondes de réflexion périphérique est prouvée. Dès 1890 j'ai constaté que cette conclusion n’est pas fondée, car même quand on est sûr que les ondes de réflexion ne peuvent pas avoir eu la moindre influence, la courbe des vitesses descend toujours plus tôt que celle des pressions. On le voit dans toutes les expériences de M. Marry, dans lesquelles la vitesse et la pression sont enrégistrées simultanément. On le voit aussi dans toutes les expériences de M. Fick avec des tubes élastiques, et très claire- ment dans la figure (4) de M. Fick ?) reproduite dans la fig. 24. Dans cette expérience le Fig. 24, 9 2 tube élastique avait une B longueur considérable as a de sorte que les ondes de Cad 3 > réflexion se montrérent trés tard, savoir en a, done à un point de la courbe ot l’onde primaire avait passé 1) }. c. pag. 275. 2) Verh. phys. med. Ges. Würzbürg N. F. Bd 20. RECHERCHES SUR IA CIRCULATION DU SANG. 417 en entier, Néanmoins on voit dans la fig. 24 la courbe des pressions A continuer à ascendre tandis que celle des vitesses B a déjà commencé à descendre. La distance ¢ d donne l'intervalle de temps, dans lequel les deux sommets se suivent. Et rien de plus naturel! Le cœur pousse le sang dans les artères et par conséquent la vitesse w accroît. Mais alors la paroi se dilate et pousse le sang vers les deux côtés. D'abord pour une certaine coupe de l’artère Vadduction de sang par le cœur est plus grande que l’abduction par l'élasticité de la paroi et la pression accroît. Plus tard l'ab- duction est plus grande que l’adduction et la pression décroit. A un certain moment la pression atteint une valeur maximale, mais cela n’arrivera pas au moment où la vitesse w est la plus grande, car alors l’abduction ne peut pas encore être égale à l’adduction; seulement quand l’adduction est devenue plus petite, il est possible que l’abduction fasse équilibre à l’adduction. Ainsi la température de la terre est le résultat de l’action réchauffante du soleil et de la perte de chaleur par le rayon- nement du sol. Ce rayonnement devient de plus en plus grand à mesure que la température du sol s'élève et annule enfin l'effet du soleil. Mais cela n’arrive pas à midi où le soleil donne le plus de chaleur, mais beaucoup plus tard quand la chaleur du soleil s’est diminuée, à environ une heure et demie. De la même manière la pression du sang atteindra sa valeur maximale toujours plus tard que la vitesse. Les formules (22) et (23) n’indiquent pas cette différence de phase entre p et w, mais ces formules supposent une oscillation purement sinusoidale qui ne se réalise pas dans le mouvement du sang. De plus si l'on ne néglige pas la friction, on arrive aux formules (27) et (28) où le retard de la pression sur la vitesse est indiqué par à. Il ne reste done aucune raison d'attribuer le retard observé à une réflexion périphérique. 19. Dans les Archives de Pflüger Bd 97 on trouve un travail de M. LormaNN, qui, lui aussi, cherche la cause de l’onde dicro- tique dans la réflexion périphérique. Sans faire valoir les argu- ments que j'ai donnés $ 14—18. M. Lonmanx s’empresse de donner beaucoup d’exemples où l'onde dicrotique disparaît en même temps que l’onde de réflexion et reparaît si l'onde de réflexion se manifeste de nouveau. 418 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. M. LoHManx fait ses expériences sur des mammifères très petits comme le cobaye et le lapin, chez lesquels les artères sont si courtes que l’onde de réflexion arrive à l’artère carotidienne qu'il explore avant que la pression du sang soit arrivée à sa valeur maximale. Alors les ondes se montrent dans la branche ascendante de la courbe manométrique et deviennent invisibles. Eh bien, dans toutes ces courbes l'élévation dicrotique manque aussi. Il me semble que M. Losmann néglige ici la différence qu’il y a entre post et propter. N’est-il pas possible que chez ces mammifères si petits les valvules semilunaires n'aient pas la faculté de produire une onde dicrotique considérable ? N'est-il pas possible que cette onde dicrotique existät réelle- ment mais échappât à la sensibilité de l'instrument de mesure? Dans les figures 3—7 de M. Loumann le pouls du cobaye se dessine comme une courbe purement sinusoïdale. Une telle courbe se montre toujours quand l'appareil enregistrant fait des oscil- lations propres sous l'influence d’une impulsion instantanée. L'appareil de M. LoHMANN consistait en un manomètre ou tono- mètre à fluide, ainsi d’un appareil dont la masse active était très considérable, comparée à celle du sang de l'animal. Selon M. Macn, il faut alors considérer les courbes obtenues comme la représentation du mouvement propre du tonomötre provoqué par les pulsations du pouls. Mais dans ce cas les courbes de M. LonmMann ne nous appren- nent rien sur le mouvement particulier du sang. De plus j'ai des objections graves contre le raisonnement de M. LoHMANN. Si, en effet, l'élévation dicrotique était causée par les ondes de réflexion, il ne serait pas nécessaire de faire des expériences sur de petits animaux, car aussi dans le pouls de l'artère du pied et de l'artère radiale de l’homme les ondes de réflexion suivent l'onde primaire de très près tout comme dans les artères des très petits mammifères. Néanmoins, dans ces deux pouls l'éléva- tion dicrotique se montre très clairement et ne peut done pas être attribuée à la réflexion périphérique. En second lieu, si l'élévation dicrotique était causée par les ondes de réflexion, il faudrait que cette élévation se montrât plus tard dans le pouls des très grands animaux, comme le cheval. Eh bien, l'intervalle de temps, {, entre le commencement de l’élé- RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 419 vation primaire et le commencement de l'élévation dierotique, qui chez l’homme suivant les figures 16 et 17 et les mesures de $ 15 est de 0.29 seconde, n'est que de 0.18 seconde pour le cheval suivant les courbes de M. Marey fig. 19. Les autres expériences de M. Lonmanx ont été faites dans le but de démontrer que dans les artères de plusieurs animaux une im- pulsion donnée en un seul point se propage vers tous les autres points, tout comme dans les tubes élastiques, et que les ondes provoquées ainsi peuvent se réfléchir à une extrémité ouverte ou fermée. Ici, il est bon de faire observer encore une fois que je n’ai jamais déclaré que le système artériel n'aurait pas la faculté de réfléchir. Au contraire, jadmets et j'ai admis toujours que ce système ne diffère sous aucun rapport d'un tube élastique et doit en avoir toutes les qualités, savoir la propagation d’une impulsion, la ré- flexion et la pénétration et l’interférence des ondes différentes, tout comme je l'ai indiqué dans le Chapitre I’. Mais j'ai constaté aussi que les circonstances dans lesquelles se trouvent les artères de l’homme sont nuisibles à une forte réflexion périphérique. Un tube élastique qui se ramifiait comme l'artère humaine ne donnerait non plus une réflexion périphérique considérable. Ceci posé, les expériences de M. LonManNN pag. 450 et suivantes ne nous apprennent rien de nouveau, sinon peut-être ceci que chez les très petits mammifères un choc très fort donné au commen- cement du système artériel peut se réfléchir à la périphérie de telle sorte que cette onde de réflexion se montre sur le tonomètre de la carotide comme une très petite élévation. Les expériences de M. LoHMANN ne peuvent done changer en rien notre conclusion savoir que l’onde dicrotique du pouls de l’homme n’est pas causée par une réflexion périphérique. C'est tout autre chose sil n’est pas possible que la réflexion joue un rôle subordonné. Ici je suis d'accord avec M. v. Kries et je crois que, en effet, la forme particuliere du pouls périphérique, comme celle de l'artère radiale est causée par une petite onde réfléchie, qui augmente la vitesse dans la branche ascendante de la courbe sphygmographique Mais cette petite onde, réfléchie à la périphère, a déjà disparu à la hauteur de l’aisselle. Un de mes élèves M. van Hasserr a fait dans le laboratoire de M. ZWAARDEMAKER l'expérience suivante. 420 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. Autour du bras près du pouls de l’artere radiale on fixa un fort bandeau élastique, avec lequel on pouvait comprimer les artères radiale et ulnare. Sur l'artère brachiale près de l’aisselle fut placé un sphygmographe à transmission, qui enregistrait le mouvement du sang à cet endroit et en même temps on observait au toucher le pouls de la radiale. Aussi rapidement que possible on changea la pression du bandeau, depuis le libre passage du sang jusqu’ à la cessation du pouls. Ainsi on pouvait observer l'effet de la clôture des deux artères radiale et ulnare sur le pouls de la brachiale. Naturellement cette clôture cause une réflexion posi- tive beaucoup plus considérable que celle des capillaires. Eh bien, dans toutes les courbes on observait cette onde positive, mais elle était très faible comparée à la hauteur de l’élévation primaire. 20. Après tout ce qui précède nous pouvons admettre sans crainte que le mouvement principal du sang dans les artères de l'homme se termine exclusivement dans la direction centrifuge et alors la courbe sphygmographique, exempte de toute réflexion, traduit fidèlement le mode d’action de la contraction du cœur sur le mouvement du sang. De ce fait on peut tirer une conclusion importante, savoir: Que contrairement à l’opinion de plusieurs physiologistes le ventricule gauche ne se vide jamais entièrement, car alors la forme de la courbe sphygmographique serait tout autre. Au lieu des courbes fig. 25 a on trouverait tou- a b jours des courbes fig. ne JA | \ 25 b. Si le ventricule gauche ne cessait pas de se contracter, l'élévation dicrotique ne pourrait pas se former. Mais, en revanche, si l'élevation dierotique se manifeste, il est sûr que la contraction du cœur cesse avant que le ventricule gauche se soit vidé et alors la quantité de sang, Q, que le cœur à chaque contraction rejette dans les artères doit être beaucoup plus petite que la capacité du ventricule gauche. C’est ce qu'ont aussi trouvé les physiologistes modernes. Tandis que les physiologistes anciens admettaient une trop grande valeur de Q, comme: VOLKMANN, Q= 187.5 grammes. VIERORDT, Q= 180 = Hux ey, Q= 100 5 Fig. 25. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 421 Le nombre trouvé par Fick varie entre 53—77 grams. Moi- même, j ai trouvé !) Q = 72 grams et Tuomas Yours n'était done pas très éloigné de la vérité quand il posait Q = 45 grams. La seconde conséquence qu’on peut tirer de la direction exclu- sivement centrifugale du sang, c'est que la différence qu'on fait souvent entre les indications des différentes appareils de mesure, comme le sphygmographe, le pléthysmographe et le tachygraphe, qui donnent successivement la variation de la pression, du volume et de la vitesse, doit être supprimé, parce que, sauf un petit retard dans le sommet de la courbe de la pression, toutes ces variations se changent maintenant d’une manière identique, comme on voit clairement dans les formules (21), (22) et (23) où la seule quantité À détermine les trois variations indiquées. 2. Dans le système artériel de l’homme le mouvement pulsa- toir du sang, qui s'achève dans les grands artères, se transforme dans les petits vaisseaux capillaires dans un mouvement à peu près continuel et uniforme. Sur ce mouvement dans les capillaires on peut appliquer la loi de Porseuirre *), qu'on peut écrire ainsi: où: q est la quantité de fluide qui passe par seconde P la difference de pression aux deux bouts du tube 1 la longueur du tube a le rayon du tube et u le coëfficient de viscosité le tout exprimé en C. G. S. unités. Sul En posant: ete (29) cette formule prend la même forme que celle d'Oum pour le ~ courant électrique savoir: = 2 eee (30) w est une quantité qui dépend seulement des dimensions du tube et du coëfficient de friction et représente la résistance, plus ou 1) Memoire de l’Academie pag. 65. * Lamb. Treatise on the motion of fluids pg. 224. ARCHIVES X. 68 422 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. moins grande, que le flux de liquide éprouve dans le tube: w représente done ici ce que les physiologistes appellent le tonus ou la tonicité des capillaires. Un resserrement des capillaires augmente la valeur de w, une dilatation la diminue. q est ici la quantité de sang qu’un seul tube capillaire transport par seconde et si l’on néglige la pression trés petite dans les veines la quantité P indiqué plus haut, devient égale à la partie constante de la pression du sang dans les grands artères, que nous avons désigné par l’expression p, Ainsi la quantité de sang qu'un seul vaisseau capillaire emmène est et la quantité totale que les capillaires d’une même artère trans- portent par seconde: Q—q; +0, + etc. ou ont tc.) Q dy z = 12.866: 1 Î Wi Wo ou posant: 1 1 — + = + Glo, == —— Wy Wo w q 2 w w représente maintenant la tonicité totale de toutes les capillaires appartenant à une même artère et q est la quantité de sang calculée par la formule (25), de sorte qu'on a pour chaque artère particulière: AR? _ Po 3 embedden ou: le EER Pour évaluer w il est done nécessaire de déterminer p‚. 22. Le premier qui a inventé une méthode pour déterminer expérimentalement la pression du sang dans les artères intactes de l’homme, ce fut WALDENBURG qui en 1880 écrivait un brochure: RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 423 Die Messung des Pulses und des Blutdruckes von Menschen. En 1883 M. v. Basca inventa le sphygmomanomètre, dont le prin- cipe est de comprimer l'artère jusqu’à l'effacement du pouls à l’aide d'une membrane élastique mise en rapport avec un mano- mètre à mercure. Dans l'appareil de M. v. Bascn la membrane élastique repose directement sur l'artère radiale mais plus tard on a exercé la pression sur l'artère au moyen de l'air, qu’on comprimait à l’aide d’un ballon élastique. Ainsi est arrangé le sphygmomanomètre de Rıva-Rocer, qui, encore modifié par M. v. RECKLINGHAUSEN, trouve à présent une application multiple et se réjouit d’une grande réputation. Fig. 26 donne une repré- Fre. 26. sentation du sphygmoma- nométre de Rrva-Roccr. A est le manomètre à mer- cure, dont la partie infé- rieure communique d’un côté avec le ballon élastique B et de l’autre côté avec le .sac à comprimer C, qui entoure le bras ou le pied dont on veut comprimer les artères. Le sac à com- primer, inventé par M. v. RECKLINGHAUSEN est dessiné plus détaillé dans la figure 27. On voit en c la presse métallique tres forte, armée de deux vis métalliques b et b!. On voit aussi en @ le double sac élastique tout couvert de soie pour empê- cher la dilatation, dans lequel on presse de l'air comprimé venant par a et par le tube v indiqué aussi dans la figuur 26. En agi- tant le ballon B fig. 26 on comprime lair dans le manomètre et en même temps dans le sac. Le mercure monte 68* 424 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. dans le tube divisé À et indique en mill. de mercure la pression dans le sac qui entoure le membre dont on veut comprimer l'artère. Ordinairement on applique le sac au bras supérieur tandis qu'on observe au toucher le pouls de l'artère radiale et Von continue à augmenter la pression jusqu'à l'effacement du pouls observé. Alors on mesure la hauteur du mercure et trouve ainsi la pression du sang dans l'artère brachiale. Avec cet instrument j'ai fait beaucoup d’expériences et je me suis persuadé ainsi que cette méthode ne peut jamais donner la vraie pression du sang. Comme j'ai observé déjà dans mon mémoire de l’Académie pag. 51, si pour des pulsations faibles Vartére est entièrement comprimée une pulsation plus grande passe encore. Il arrive aussi souvent que l’on ne peut effacer le pouls point du tout, même en élévant la pression à une hauteur absurde. De plus, si le pouls est effacé pour le toucher, il ne l’est pas encore pour le sphygmographe et l'observation de l'effacement devient au- tant plus difficile à mesure que la mode d'observation est plus délicate. Mais il reste encore une objection plus grande, c’est le fait que j'ai observé dans les expériences sur les tubes élastiques, qu'il faut toujours une force assez grande pour supprimer la force élastique de l’artère dilatée et pour comprimer l’artêre vide et ces deux forces se joignent à celle qu’il faut exercer pour-vaincre la pression du sang toute seule. Il est donc certain que toutes les nombres trouveés par l’effacement du pouls sont beaucoup trop grandes. Non, il ne faut pas chercher la pression extérieure qui com- prime totalement l'artère, il faut chercher la pression en m.M. de mercure pour laquelle les oscillations du mercure du manomètre sont maximales. On sait que dans le sphygmomanomètre de Rıva-Rocer le mercure commence à osciller sur le rythme du pouls; ces oscil- lations sont très petites si la pression de l'air est petite, elles accroissent quand on augmente cette pression mais cette accroise- ment ne se continue pas, car pour des pressions fortes les oscula- tions deviennent aussi petites que pour les pressions faibles. Eh- bien, c'est justement la pression extérieure qui correspond aux oscillations maximales, qui fait équilibre à la pression du sang, car alors la paroi de l’artère n’est plus dilatée et aux deux côtés de cette paroi les deux pressions sont égales. Ainsi, pour obtenir la vraie valeur de la pression du sang, py, RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 425 on comprime l'air dans le sac du sphygmomanomètre jusqu’au point où les oscillations du mercure deviennent maximales et le chiffre qui se trouve alors au milieu de ces oscillations indique en m.M. de mercure la pression p,. Pour de bons résultats il est absolument nécessaire que toutes les connections se ferment her- métiquement. Chez plusieurs instruments cette fermature n’est pas parfaite, surtout du coté du ballon B. J'y ai remédié en pla- gant sur le tube élastique ¢ fig. 26 une pince très forte qui ferme hermétiquement ce tube aussitot que le mercure du manomètre a atteint la hauteur voulue. Une même pince peut être appliqué à l’autre tube v fig. 26 pour voir s'il n’y a pas de fuites du coté du sac. En serrant ensuite si fortenent que possible toutes les vis de la presse métallique c fig. 27, il peut arriver que même pour des pressions de 200 m.M de mercure il n'existe aucune fuite. Alors seulement l’appareil donne de bon résultats. Parce qu’il n’est plus nécessaire d'observer l'effacement du pouls et qu'il suffit d'observer les oscillations du mercure, on peut appliquer le sac aussi bien sur les jambes que sur les bras, même quand ils sont couverts d'un vêtement. La mode d’opérer est devenue très. facile et admet une appli- cation générale. !) 23. Comment peut on trouver la seconde quantité importante que nous avons designé par la caractère, q et qui représente la quantité de sang que le coeur jette dans une seconde dans l'artère. Dans mon mémoire de l' Academie j'ai prouvé que le sphygmo- graphe bien appliqué nous peut donner cette quantité, g car la surface de la courbe sphygmographique est proportionelle à la quantité du sang q’ qui entre dans l'artère à chaque contraction du coeur et alors on a: NN où N est le nombre de battements par seconde. Pour exécuter cette methode, il faut chercher la position et la pression du sphygmographe pour lesquelles il donne les courbes les plus grandes et on mesure alors à l’aide d'une micromètre divisé en petits carreaux de 0.1 m M.? la surface de la courbe obtenue. Cette méthode pour la détermination de q n’est pas acceptée par les medecins à cause de la difficulté de retrouver la position 1) Certains médecins comme OLIVER (Study of the Pulse, 1906) distinguent la pression syslolique et la pression diastolique On voit que la seule valeur vraie de la pression constante, po, c'est la pression diastolique. 426 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. exacte du sphygmographe de l’un jour à l’autre. La méthode suivante mérite une attention particulière. Elle se base sur la formule (25) où À représente la grandeur des oscillations de la pression du sang À le rayon de l'artère c la vitesse de propagation du pouls e la densité du sang. Ainsi pour une même artère la quantité désirée q se trouve proportionnelle à amplitude À des oscillations du mercure dans le sphygmomanomètre, de sorte que le même instrument dans une seule expérience nous donne toutes les deux quantités, que nous désirons à connaître savoir: p, et q. La hauteur absolue du mercure nous apprend la valeur de p, la grandeur des oscillations fait connaître la valeur de q. Mais alors nous pouvons aussi calculer le tonus des capillaires appartenant à cette artère, par la formule (30) Po ii Des mêmes grandeurs p, et q nous pouvons aussi déduire le travail par seconde, T, fait par le coeur pour entretenir le mouvenent du sang et vaincre la force élastique des parois, dans l’artère qu’on étude: et nous trouvons: w == On trouve: D Do ire: sts, est oo ene oem ee L’unité dans laquelle est exprimé le tonus w est celui d’un tube par lequel sous une différence de pression de 1 mM. de mercure passe par seconde 1 c.M° de sang. TO al ~ 8ni 710 on trouve que cette unité correspond à un tube de 1 m.M. de diamètre et de 7 m.M. de longueur. Dogiel !) trouva pour la carotide du lapin: Parcequ’alors: 1 x 13,6 x 981 g=—cMet P—92m.M. de mercure. Done le tonus des capillaires de la tête du lapin s’évalue a celui d’un tube de 1 m.M. diamètre et de 184 m.M. de longueur. On exprime aujourd’hui le travail en ergs et 107 ergs par seconde, 1) Ber. Sachs Ges. 1867, pg. 22. RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG 497 c'est ce qu'on appelle un Watt. Un Watt est la 735% partie d’un cheval à vapeur. Donc si l’on exprime p, en m.M. de mercure. et gen c.M* on trouve pour l'énergie du sang dans une artère quelconque 1,33 2 Watt '). WEAR E — Po X q X 10% et pour celle du ventricule gauche du coeur: ; ae Ep, x UX 70% Watt. 2-24 2. oe ou Q est la quantité totale de sang jetée dans l’aorte par seconde. En acceptant par exemple que le cœur de l’homme normal jette par seconde dans l’aorte une quantité de sang de 70 c.M* et que la pression moyenne dans l’aorte monte à 130 m.M. de mercure, le travail de la ventricule gauche du cœur s’évalue à T=1,2 Watt ou cheval-vapeur. 1 612 Avec les nombres plus grands des anciens physiologistes on 1 125 cheval-vapeur Je crois qu’on ne commettra pas une grande erreur quand on accepte que l'énergie moyenne de la ventricule gauche soit exactement 1 Watt. Avec les mêmes données on trouve chez l’homme pour la tonicité totale de toutes les capillaires ensembles: 130 70 ce qui signifie que toutes les capillaires ensembles offrent au transport du sang une résistance, égale à celle d'un tube de 1 m.M. de diamètre et de 13 m M. de longueur. 24 Ici suivent quelques expériences faites sur l’homme avec le sphygmomanomètre de Riva Rocci, d'après la méthode indiquée. Sur un homme vigoureux de 68 ans je trouvai: trouve: 1 — Weep pour le bras gauche: p, = 130 m.M. A=? m.M. done le tonus des capillaires du bras gauche est proportionel a dy X 18.6 X 981 _ 1.38 1) = — —. 107 104 428 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 30 D= me = 11733 i et le travail du sang dans ce membre est proportionelle a REASON Pour le bras droit de la même personne ces nombres deviennent : Po = 130 m.M. „NS Zn Op =D) 1200: Pour la jambe gauche de la même personne je trouvai: Po = 125 m M. A= 4m.M. TN SSI 7.500 et pour la jambe droite ces nombres deviennent Po = 128 m.M. AN m ME | 320: De la même manière je fis des expériences sur moi-même, agé de 64 ans et trouvai: pour le bras gauche: po — 120 mM: AZ °2m.M. N) T = 240 pour le bras droit: ps 125 mM. A den ME w — 125 1125 pour la jambe gauche: Po = 120 m.M. A= imM w — 240 We) pour la jambe droite: Di 120m.M: al M w — 240 Tb; RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 499 De ces deux séries d'observations, que je pourrais augmenter de quelques observations analogues sur d’autres personnes, on „peut conclure qu'il existe souvent une grande différence entre le mouvement du sang dans les membres gauches et les membres droits. Quant à moi, qui préfère toujours l'usage du bras gauche à celui du bras droit, c’est le bras gauche qui transporte la plus grande quantité de sang et dont les capillaires sont les plus ouverts. Chez l'homme de 68 ans accoutumé à des travaux manuels, c'est justement le bras droit dont le sang a le plus d'énergie Pour avoir une idée claire de la circulation du sang dans le corps d’une personne, il est done nécessaire d'appliquer le sphygmo- manomètre aussi bien sur les membres gauches que sur les mem- bres droits et pour nous renseigner complètement, il est très dési- rable d’enregistrer en même temps à l’aide d’un sphygmographe à transmission le pouls de l'artère carotide. En combinant cette expérience avec celle du sphygmomanomètre on connaîtrait non seulement l’état actuel des artères et des capillaires mais aussi le rythme du pouls et le mode de contraction du coeur. Une telle recherche faite sur plusieurs personnes normales et malades et d'âge different pourrait augmenter notablement notre connaissance de la circulation du sang. Plusieurs médecins n’ont que des idées imparfaites sur la signification de la pression du sang. Ordinairement ils n'y attachent pas une grande valeur pour la diagnose des différentes maladies et ceux qui en tiennent compte comme Poraix, Wetzer, CARRIÈRE et Damcourr !) se contentent d'examiner si la pression du sang dans les malades est plus petite ou plus grande que la pression normale; ils distinguent la hypotension et la hypertension. Poraix par exemple dit: „Une hypotension combinée à une „haute température est le signe certain d'une fièvre typhoïde” et Carrière et Damcourr s expriment ainsi: „Mais nous pensons „qu'une pression supérieure à la normale au cours d’une maladie „aussi regulièrement hypotensive que la fièvre typhoïde revêt une „signification sérieuse et doit faire soupgonner une complication”. Quand on observe cependant que la valeur de la pression du sang dépend de deux facteurs indépendants, savoir de l'activité du cœur et du tonus des capillaires, on comprendra aisément que la valeur absolue de cette pression ne peut être en soi qu'un 1) Revue de medicine 1904, Tome 24, pg. 680. ARCHIVES X. 69 430 RECHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. signe incertain. Ce qu’il faut examiner, c'est par quelle cause l’hy- pertension ou l’hypotension s’est établie et la seule expérience qui puisse donner une réponse à cette question importante, c'est la détermination simultanée de la pression elle-même et de la gran- deur de ses oscillations. Car alors seulement qu’on peut calculer séparèment le tonus des capillaires et l’activité du cœur. Voici encore un tableau d'expériences faites sur diverses per- sonnes en bonne santé et d’äge différent donnant la quantité de sang rejetée par le cœur par seconde. Q, le travail du cœur T et la tonicité des capillaires W, comparés aux mêmes quantités d'une même personne, prise comme norme: La quantité de sang, rejetée par seconde est évaluée d'après la formule (25), le rayon R de l’artère radiale étant supposé propor- tionnel à la circonférence du poignet. Person- ESSOR Oscillations Quantité de Travail du Tonieite ges Age. en m.M. de capillaires nes. EEEN en m.M. sang 0. cœur 7, W. REP | | | Ne 13 96 | 0.4 0.20 | 0.16 4. No. 2 13 98 0.4 024 | 090 | 34 N°. 3 18 | 105 0.5 | 0.94 0.20 3.4 N°. 4 30 115 1.0 ile 1. : N°. 5 39 113 1.0 il 0.96 0.96 N°. 6 43 195 1.0 1.06 1.12 1: Ne 50 110 1.2 1.2 1.12 0.78 N°. 8 57.4 wit.) 210 2.0 2.06 | 192 | 08 N29 60 | 103 1:5 00082 158° | 048 N°. 10 65 | 130 2.0 | 1.95 9.14 0.57 N°. 11 68e ali 2130 BD ve volle ID SN 08 Neat 2 18 | 140 | 4.0 | 388 | 4.62 0.30 : | On voit dans ce tableau comment le travail du cœur aug- mente avec l’âge, certainement parce que les artères perdent une partie de leur élasticité et se comportent plustôt comme un tuyau métallique. Alors le mouvement du sang s’interrompt parfois, ce qui exige du coeur une plus grande activité. Ainsi on comprend mieux la vérité de l'expression pleine de sens, que l’homme a l’âge de son cœur. RÉCHERCHES SUR LA CIRCULATION DU SANG. 431 25. Il nous reste encore à examiner le rôle que joue la circu- lation dite petite, e. à. d. le mouvement du sang jeté dans les poumons par le ventricule droit du cœur. En désignant par p,’, Q et W’ la pression, la quantité de sang, et le tonus dans l'artère pulmonale et par 7’ le travail du ven- tricule droit par seconde, nous trouvons comme en $ 23: GERS AA LIUTE a SRE Zt deer et == 102 x p, x Q Watts. Mais la quantité Q’ étant nécessairement égale à Q, on trouve: 1.33 yO 1 = 104 x Po V de sorte que le travail du cœur entier devient 1.33 RE OH Pi Ne NE CET m QU + pe) (37) Suivant Marey et CHAUVEAU !) la pression moyenne dans l'artère pulmonale est un tiers de celle dans l’aorte, ainsi le travail totale du coeur s’évalue à MAC Watt. Le tonus W’ des capillaires de l’artère pulmonale est grandement influencé par la respiration, chaque inspiration élargissant le rayon des capillaires tandis que l’expiration le diminue. Ainsi suivant (36) la pression p varie périodiquement par la respiration et puisqu'on peut considérer dans les circonstances normales le travail total du coeur comme une grandeur constante, il s'ensuit (37) que, en même temps que p,’ mais en sens inverse, la pression », souffre pendant la respiration des variations périodiques comme l'a démontré Marry ?). ') Circulation pag. 424. ?) Circulation pag. 454. 69* pe a R I er: = 1 > a fi = i 7 —_ Ei En SCH x x ie a a Py té | A 4 A PÉTER eit 7 i | | A}. dass; BI WEHT Me ’ Ah: di N sh Saa erg = nati iy ve AT ary TND. #4 ET: ie ' i “a a N ELTA a fait ohh Me EE RS LA u mad 5 „oa erly - ies eC CR DENT En À mh ijn kn rer. 7 nT at de = je EUR Qi Mae CRUEL TL a). D | a 1 Re + php pate od aft m. = | ies "#2 7 = LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE ET DES SOLUTIONS SALINES PAR E. VAN DER VEN. Il. Dans une étude précédente (Arch. du Musée Teyler, Série II, Vol. X, p. 85) nous avons déterminé l’intensit& des forces EAV, qui respectivement occasionnent le transport par le courant élec- trique d’une quinzaine de solutions salines, à base métallique, au moyen d’autant de vases poreuses. Mais 4 la comparaison de ces forces, que nous nous étions proposés, nous n’avons pu parvenir parceque, en déterminant le facteur ZW, il nous parut que les vases poreuses, dont nous nous étions servis, étaient toutes d’une porosité différente et cela, nonobstant qu'elles étaient d’une même cuite. Pendant nos recherches antérieures, qui avaient pour but de déterminer la manière, dont le transport des liquides dépend de leur condensation et de l’intensité du courant, ce défaut d’équi- valence des vases d’une même cuite ne m'avait pu sauter aux yeux, parcequ’alors pour chaque série d'observations, qui avaient rapport au même sel, je me servais de la même vase. Mais du moment où, en comparant les vases diflérentes, ce défaut m'avait paru (1. c., page 97 et 98), il fallut ou rénoncer à la comparaison proposée, ou tâcher de le corriger, en déterminant directement la valeur relative de la porosité des vases employées. On y parvient au moyen de la formule, ci-dessus (page 86) citée, de M. PoiseurLre, en déduisant par elle la valeur du dia- mètre m du tube capillaire, d'une longueur égale à celle de l'épaisseur ARCHIVES X. 70 434 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE d de la vase, qui, toutes les autres circonstances étant égales, est seul capable de remplacer tous ses pores. Pour déterminer dans cette formule la valeur @ on a soin que la vase, dont le fond est verni, reste pendant quelques heures remplie d'eau distillée d’une température constante. Si done Q est le poids de l’eau qui s'écoule en une heure, S la pression latérale de l’eau sur la paroi et si non prenons N — 1 pour l’eau distillée, alors de il suit: WA m—| / Sp dmM. Done, s'il a paru que de deux vases, dont les parois ont respec- tivement une épaisseur d et d’, les pores peuvent être remplacés par des tubes également longues et d’un diamètre m et m’, alors la / valeur AV’ — a , expérimentalement déterminée pour la seconde, peut être réduite à celle qu’elle aurait eue si le transport avait en : : see a ine lieu au moyen de la premiére, en la multiphant par dio? mon et il est clair qu’en appliquant cet examen aux vases, dont on va se servir, on peut juger d’avance sur le degré de leur équivalence. Pourtant ici la question se présente-t-elle si ce raisonnement, qui indubitablement vaut quand un liquide est pressé par des parois de porosité différente, est encore valable quand, comme dans notre cas en déterminant /V, c'est un courant qui trouve des parois imbibés de liquide sur son chemin. Car il paraît de l'intensité de ce courant, considerée en! rapport avec les volts employés pour le produire, que la paroi entière doit être considérée comme lui donnant un pasage, qui du côté de l’électrode positive a une coupe de 481 cM?. S'il en était autrement, si la paroi ne parti- cipait à la conduction du courant que pour autant quelle est poreuse, alors, en ayant égard à la grande résistance de nos liquides, le nombre des volts dont on aurait besoin pour la production d’un courant d’un ampère serait énorme et en tout cas beaucoup plus grand que le dizaine, dont au plus nous nous sommes servis en transportant ces liquides. C’est pourquoi j'ai cru devoir examiner particulièrement, pour combien la perméabilité des parois pour un liquide marche de ET DES SOLUTIONS SALINES. 435 pair avec leur pouvoir de donner passage à un courant, dans le cas ou elles sont imbibées de ce liquide. Dans ce but j'ai déterminé pour une douzaine de vases poreuses et la quantité Q d'eau distillée, expulsée, dans un temps donné, par une pression latérale égale, et l'intensité J du courant, que, l'intensité du courant principal étant un ampère, la différence potentielle des parois extérieure et intérieure pousse par le „shunt”, qui mène au multiplicateur. Les résultats de cet examen sont exposés dans le tableau suivant. CSV og: F, SO, + 7 Aq. N°. Q Dole ung LOSS NS (a) Dols TA le, AUSB de la vase. en gr. Ten 10-5 X 1 Amp. de la vase. engr. Ten10-5X 1 Amp. il 20 66 298 998 174 Ti 17.475 496 311 255 9, 21.26 287 220 163 8. 18.300 416 297 211 3. 9.28 496 349 245 CE 20.575 376 287 206 Zn SO, + 5 Ag. 2 Fe 3 SO, + 9 Ag. 4. 23.31 288 92921 146 10. 19.40 322 959 167 >. 31.00 943 182 133 qe 10.15 416 304 226 6. 96.325 258 196 139 12. 26.075 304 919° 157 Les 12 vases sont d’une épaisseur ‘différente; mais comme — selon la formule de M. PorseuiLLEe — les valeurs de Q sont les réciproques de celles de d tandisque celles de J sont en raison directe de d, les valeurs, obtenues par l’observation, n’ont pas été reduites 4 la méme valeur de d Il paraît de ce tableau que l’intensit@ du courant, occasionnée par la différence de potentiel et, par consequent, cette différence elle-même, diminue à mesure que la porosité de la vase augmente ; de sorte que les nombres m, qui — selon la formule de M. PorseuILLE — accusent la perméabilité relative des vases poreuses pour l'eau distillée, accusent aussi cette perméabilité pour le courant En suivant la méthode ci-dessus décrite, j'ai institué l'examen dont les pages suivantes donnent un rapport détaillé Il a rapport aux mêmes solutions que l’examen décrit dans mon étude anté- rieure; seulement j'ai remplacé l’acötate de plomb par la chlorure de cuivre (Cu Cl, + 2 Aq.), parceque le premier sel, le seul dont l'acide est de nature organique. entre moins dans le cadre de ces recherches. Aussi, comme là, toutes les solutions contiennent 5 parties de sel sur 100 parties d’eau. 108 436 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Chaque fois que la recherche, ayant rapport à une solution déterminée, était finie, j'ai nettoyé la vase qui m'avait servi, en pressant par sa paroi, au moyen d'une pression d'environ deux mètres, de l’eau distillée, jusqu à ce qu’elle en écoulait parfaite- ment pure. De cette manière je trouvais, en déterminent la valeur de m après chaque lavage, que la porosité de la vase allait toujours en augmentant; de sorte qu’en craignant que la valeur de AN ne deviendrait trop petite pour m'y fier pour la déter- d lem? mination du transport, j'ai fallu trois fois changer de vase. Je vais suivre ici les résultats de mes recherches; elles font connaitre dans l’&quation EY te N) les valeurs de 8, T, Q et AV, dont S est la pression latérale du liquide, Q le poids du liquide qu’elle fait écouler dans une heure, T le poids du liquide transporté dans le même temps par un courant d'un ampère et AV la différence de potentiel des parois extérieure et intérieure. VASE N°. 1. Hauteur, jusqu'à laquelle remplie : 142 mM. Epaissseur moyenne de la paroi..: 3.6 „ Diametre dustonde. ee 168 ” Quand la vase était remplie d’eau distillée, dont la pression latérale sur la paroi fut 2152.7 grammes, il en écoulait en 3 heures : 47.93 gr., ou 15.98 gr. en une heure A é dont == 14 en — ( 409 mM. 1) Archives Teyler, S. II, Vol. X, p. 92. ET DUS SOLUTIONS SALINES. 437 Cu SO, + 5 Ag. Poids spécifique de la solution : 1.0305 Pression latérale sur la paroi : 2221 gr (S), par laquelle fut expulsé en 3 heures : 47.93 gr ou en une heure : 15.98 gr. (Q). Transport de Vanode vers la kathode. — Amp. gh Om Os — Gh 410m 108... 21 goultes. 10 10 20 5 20) 20 8 30 «8 Bie es 30 8 40 7 21 : 400 C7 50 0 Bian 50 0 10 0 15 92 » 10220715 10 13 21 ” 10 13 DUO 21 a 20 9 30 12 99 = 30 12 40 7 21 7 40 7 50 16 29 = 0 16 11 0 22 22 = 255 gouttes Poids des 255 gouttes........ 33.10 gr. Transport par amp.-heure . . . .. 16.55, 5 (2): f= 1 Amp. Difference potentielle des parois intérieure et extérieure. Résistance introduite : 478.2 Ohm. Déclinaison du multiplicateur. a = 26°.5 25.0 95. 25°,8, corresp. à une intensité : 0.001915 Amp. 0.001915 x 478.2— 0.932 Volt. (AV). 438 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Après que la vase a été nettoyée de la manière sus-indiquée et de nouveau remplie d’eau distillée jusqu’à la hauteur de 142 mM., il en écoulait en 4 heures 68.68 gr. ou en une heure 17.17 gr. ANTAG dont M — V - ee — 0412 rol d'où il paraît que par ce nettoyement la porosité de la vase a accrû en raison de 409 à 412. Vis SO, te 7 Aq. Poids spécifique de la solution : 1.0366. Pression latérale sur la paroi : 2210 gr. ($). par laquelle est expulsé en 4 heures : 69.63 gr. ou en une heure : 17 41 gr. (Q). Transport de lanode vers la kathode. LS Ao gh Om Os — Jh 10m Ys... 38 gouttes. I) © 20 0 38 » 20 0 30 12 39 » 30 12 40 14 39 5 40 14 50 10 39 5 50 10 10 0 3 39 ri LOO ees 10 9 40 5 il) © 20 13 40 a 20 13 30 13 40 5 30 13 40 10 40 x 40 10 50 12 40 > 50 12 11 OM 40 472 gouttes. Poids des 472 gouttes . . .. 57.0 gr. Transport par amp.-heure. . 285 „ (T). ET DES SOLUTIONS SALINES 439 AID: Différence potentielle des parois intérieure et extérieure. Résistance introduite : 478.2 Ohm. Déclinaison du multiplicateur. or Le) ' (r= to to to to to LS OU & Qt = ~ 149°.0 6 ——-——- 24°.8, corresp. à une intensité : 0.00188 Amp. 0.00188 x 478.2 — 0.899 Volt. (AV). En réduisant cette valeur (AV) à celle qu’elle aurait eue si la porosité de la vase n’avait pas changé, nous avons: m’? 412N? nn LE et == OO xr == ( E » IN’ x 0.899 volt — ( a0) x 0.899 ole = 0.913 volt, (AV) La vase étant de nouveau nettoyée et remplie jusqu’à la même hauteur d'eau distillée, il en écoulait en 4 heures : 74.08 gr. ou en une heure : 18.52 gr. */ 74.08 x 3 6 dont m= V DIT = 0.420 mM de sorte que, comparée à sa porosité primitive, celle de la vase est augmentée en raison de 409 : 420 N; SO, + 5 Ag. Poids spécifique de la solution : 1.0285. Pression latérale sur la paroi : 2214 gr. (S), par laquelle fut expulsé en 5 heures : 77.43 gr. ou en une heure : 15.49 gr. (Q) 440 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Transport de lanode vers la kathode. — | Amp. ga Om Os — Dh 10m 115 ... 24 gouttes. 10 11 20 7 23 = 21) 7 30 0 93 5 30 0 40 14 24 2 40 14 50 17 24 5 50 17 10 Ou? 24 = oy aly 10 21 25 , 10 21 20 8 24 ES 20 8 30 13 25 5 30 13 40 15 25 ; 40 15 50 19 250 LA! 50 19 11 0 23 25 = 290 gouttes. Poids des 290 gouttes...... 3625 er. Transport par amp.-heure . . . 18.125 , (T) SS Zumo Différence potentielle des parois intérieure et extérieure. Résistance introduite : 478.2 Ohm. Deelinaison du multiplicateur. ei) 2%. 5 26. 0 26. 0 26. 0 26. 0 157°.5 6 26°.25, corresp. à une intensité : 0.00205 Amp. 0.00205 x 478.2 = 0.980 Volt. (AV). En réduisant cette valeur de /V à celle quelle aurait eue si la vase avait retenu sa porosité primitive, nous avons: m’? be 2 = - — RS QC == E r VN Pare 0.980 volt = 403) * 0.980 volt = 1.034 volt, (4 V) ET DES SOLUTIONS SALINES. 441 La vase étant nettoyée et remplie comme auparavant, il en écoulait en 4} heures : 84.53 gr. d'eau distillée ou en une heure 18.78 gr, dont 1 7 18.78 x 36 m = | 2152.7 — 0.421 mM. d’où il paraît que cette fois la porosité de la vase n’a pas changé. Fe, 3SO, + 9 Aq. Poids spécifique de la solution : 1.0340. Pression latérale sur la paroi : 2225.9 gr., (S) par laquelle fut expulsé en 3 heures : 56.23 gr. ou en une heure : 18.74 gr. (Q). Transport de lanode vers la kathode. IA Amp, gh Om Os — Qh 10m 3s... 49 gouttes. 10 3 20 1 49 2 20 A 30 6 DT 30 6 40 10 50), he 40 10 50 0 LOT 50 0 10 NOS BOM te 10 Oe 10 3 50 3 TORE 20 10 Dl = 20 10 30,7 2 50 5 30 2 0 7 HI Mee 40 7 50 10 BTE 50 10 il (Qi 50 à 600 gouttes. Poids des 600 gouttes. . . . .. 71.25 gr. Transport par amp.-heure ... 35625 , (T). ARCHIVES X. | 442 LA CHARGE DE CONTACT ENTKE UNE PAROI POREUSE II Amp: Difference potentielle des parois interieure et exterieure. Resistance introduite : 478.2 Ohm. Deelinaison du multiplicateur. bo Ce 5 le} Qt == Ze ts to to to © Où to 139°.0 6 ——— 23°,9, corresp. a une intensité : 0.00172 Amp. 0.00172 x 478.2 = 0.823 Volt. (AV). Si nous réduisons cette valeur de AV à celle qu'elle aurait eue si la vase avait retenue sa porosité primitive, nous avons 421 409 ue x 0.823 volt ( m? ) x 0.523 Volt = 0.847 Volt. (4VY J'ai tâché de nettoyer la vase de la manière ordinaire, mais je n'y ai pu reussir qu'après avoir remplacé d’abord Peau distillée par une solution faible d’acide oxalique; et il n’était qu'après qu'il m'avait paru que de l’eau distillée, qui en écoulait, était parfaitement pure, que j'en ai rempli la vase jusqu’à l'hau- teur de 412 mM., sous la pression de laquelle il en écoulait en 21 heures : 61.28 gr. ou en une heure : 24.51 gr. Comme 17 € _ yy 61.28x3.6 _ n=} sg = 0442 mM. il paraît que par ce nettoyement la parosité de la vase a été augmentée en raison de 421 à 442. Fe SO, + 7 Aq. Poids spécifique de la solution : 1.0266. Pression latérale sur la paroi : 2210 gr. (S) par laquelle fut expulsé en 3 heures : 70.44 gr. ou en une heure : 23.48 gr. (Q), ET DES SOLUTIONS SALINES. 443 Transport de Vanode vers la kathode. T=1 Amp 9 0m Os — 9b 10m 195... 36 gouttes. 10 12 20 5 35 a 20 5 30 13 36 > 30 13 40 6 39 = 40 6 50 10 36 „ 50 10 {010 MONS Si) ine 1017 0 5 10 5 do | 10 5 20 0 36% 5 20 0 30 15 WI oe 30 15 40 13 37 1 40 13 50 0 36 ee 502220 11 OF 10 37 je 433 gouttes. Poids des 433 gouttes . . . .. 49.65 gr. Transport par amp.-heure . .. 24.875 „ (T). I=1 Amp. Différence potentielle des parois intérieure et extérieure. Résistance introduite : 478.2 Ohm. Déclinaison du multiplicateur. N) 21.5 22.0 29.5 21.5 13100 6 — 21°.82, corresp. à une intensité : 0.00158 Amp. 0.00158 x 478.2 — 0 756 Volt. (JV): En réduisant cette valeur de 4V à celle qu’elle aurait eue si la vase avait retenu sa porosité primitive, nous avons a mx 0.756 Volt = ( ) x 0.756 Volt = 0.857 Volt (47). Après avoir de nouveau nettoyé la vase de la manière tout à l'heure indiquée, sa porosité me parut tellement accrue, que je ide 444 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE craignais, en ayant égard à la diminution correspondante de AV, qu'elle ne serait plus propre à transporter les solutions des nitrates, auxquelles à présent je voulais étendre mes recherches et dont le transport pourtant déjà faible m'était connu par expérience. C'est pourquoi je me suis servi pour ces recherches d’une autre vase, dont voici les dimensions. VASE N° 2: Hauteur jusqu’à laquelle remplie . . . 142.00 mM. Epaisseur moyenne de la paroi .... 415 , Diametre Au ont RER acne 66.00 „ Quand cette vase était remplie d’eau distillée, dont la pression latérale sur la paroi fut 2089.4 grammes, il en écoulait en 2 heures 37.93 gr. ou 18.965 gr. en une heure, | / 18.965 x 4.15 90894 — — 0.440 mM. dont: m= Cry OO cag: Poids spécifique de la solution : 1.0392. Pression latérale sur la paroi : 2150.4 gr (S) par laquelle fut expulsé en 2 heures : 42.38 gr. ou en une heure : 21.19 gr. (Q) Transport de la kathode vers l’anode. T—2 Arp. gh 0m Os — 9h 10m Os... 24 gouttes. 10 0 20 14 5 , 20 14 30 21 95 > 30 91 40 22 95 5 40 99 50 10 25 5 50 10 0 14 26 # 10 0 14 WA Ohl 97 5 10 921 20 8 26 , 20 #8 30 12 27 à 30 12 40 19 27 5 40 19 50 0 97 = 50 0 11 012 28 312 gouttes. Poids des 312 gouttes . . . . .. 39.28 gr. Transport par amp.-heure. . .. 9.82 „ (T) ET DES SOLUTIONS SALINES. 145 PA Amp. Différence polentielle des parois intérieure et extérieure. Résistance introduite : 478.2 Ohm. Déclinaison du multiplicateur. 5, corresp. à une intensité : 0.00128 Amp. 0 eat 0.00128 x 478.2 — 0.612 Volt. (AV). En réduisant cette valeur à celle qu’elle aurait eue si la vase avait eu l'épaisseur et la porosité que la vase N°. 1 eut pendant la première recherche (d = 3.6 mM., m= 0.409 mM.), nous avons: d m’? 3.60 440 \? 9 E Re ly 114 er SE ur: gr / PAU 0.612 x ar — (0,612 x 145 * \ 409 = 0.635 Volt. (AV). Après avoir nettoyé la vase il me parut, qu’en ayant égard à la quantité d'eau distillée qui en écoulait en une heure, le dia- métre moyen m du tuyau, qui seul peut remplacer les pores, s'était accru à 0456 mM. Craignant qu’une vase de cette porosité ne transporterait que très imparfaitement une solution tellement réfractaire au transport par le courant que l’azotate de zinc, je m'ai choisi une dont l’épaisseur de la paroi était égale à celle de la vase N°. 2 et qui était moins poreuse. Comme telle se présen- tait la VASE N°. 3, dont voici les dimensions: Hauteur jusqu’à laquelle remplie. . . 14200 mM. Epaisseur moyenne de la paroi . . .. 415 „ Fhametre du ou à: …. - 66.00 „ Nonobstant que ces dimensions ne différent pas de celles de la vase N°. 2, il n’en écoulait en 5 heures que 79.75 gr. ou 15.95 gr. en une heure, dont 15.95 x 4 15 m-V SRE 2 0 499 mM. 446 LA CHARGE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Zn N, O6 + 6 Aq. Poids spécifique de la solution : 1.0270. Pression latérale sur la paroi : 21548 gr (S) par laquelle fut expulsé en 2 heures : 30 46 gr. ou en une heure : 15.23 gr (Q) Transport de la kathode vers l’anode. — 2 Amp. gh Om 05 — Qh 10m 105 ... 20 gouttes. 10 10 20 10 20 5 20 10 30 5 20 : 30 5 A0) 20 5 40 9 50 12 21 = 50 12 3 0 18 20 » 3018 10 12 20 - 105512 20 4 20 „ 20 4 30 10 20 3 30 10 40 22 21 5 40 22 50 8 20 5 50 8 4 0 19 21 5 943 gouttes, Poids des 243 gouttes . . . . . 19.95 gr. Transport par amp.-heure .. 5.00 , (7) Temp: Différence potentielle des parois iutérieure et extérieure Résistance introduite : 478.2 Ohm. Déclinaison du multiplicateur. C= 9220 22.0 21.5 21.0 20.5 17°.9, corresp. à une intensité : 0.00158 Amp. 0.00158 x 478.2 = 0.764 Volt. (AV). En réduisant cette valeur à celle qu’elle aurait eue, si les dimen- ET DES SOLUTIONS SALINES. 447 sions et la porosité de la vase avaient été égales à celle de la vase N°. 1 pendant la première recherche (d= 36 mM , m — 0.409 mM ). nous avons: d m2 3.60 422 0.764 x 7° ne — (0 (64x 415 * \ 409 ) = 0.725 Volt (AVY. Après avoir nettoyé la vase en faisant passer par sa paroi de l’eau distillée, sous une pression de 1.7 atm., jusqu’à ce que l’eau écoulante parut être parfaitement neutre, il en écoulait, sous la pression latérale 2089.4 gr, en 2 heures 36.43 gr. ou en une heure 18.215 gr., dont */ 418.215 x 4.15 Ae m= | 2089 4 — 0.435 mM. Py N Ge Poids spécifique de la solution : 1.0428. Pression latérale sur la paroi : 2178.8 gr. (S), par laquelle fut expulsé en 2 heures : 35.83 gr ou en une heure : 17.915 gr. (Q). Transport de la kathode vers l’anode Bt Amp. gh Om 05 — Qh 10m 48... 48 gouttes. 10 4 20 6 49 ” 907 6 30 3 48 = 30 3 40 3 50 a 40 3 50 5 49 ” 50 5 10 NETTE 49 ” LOO BZ 102559 51 = 10.2.9 20 8 50 . 20 8 30 9 50 2 30 9 40 7 50 „ 40 7 50 6 50 2 50 6 17 ae 50 ETUIS 594 gouttes, Poids des 594 gouttes . . : 60.45 gr. Transport par amp.-heure : 30.225 „ (T). 448 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Amp: Différence potentielle des parois intérieure et extérieure. Resistance introduite : 478.2 Ohm. Déclinaison du multiplicateur. EIN) 20.0 20. 5 20: 20. 21.0 or ot 123°.5 20°.6, corresp. à une intensité : 0.00146 Amp. 0.00146 x 478.2 = 0.698 Volt. (AV). En réduisant cette valeur de /V à celle qu’elle aurait eue si la vase avait eu les dimensions d — 3.6 mM. et la parosité relative m= 0.409 mM. de la vase N°. | pendant la première recherche, nous avons - dag me? 3 60 c= 2 0.698 x a x m m — 0.698 x Az x< 409 ar — 0.680 Volt. (AV. La vase étant de nouveau nettoyée de la manière tout à l’heure indiquée, il en écoulait sous la pression latérale de 2089.4 gr., 43.78 gr. en deux heures ou en une heure 21.89 gr.; dont V 21.89 x 4.15 M SO Fr 0.456 mM. Ni N, 0, + 6 Ag. Poids spécifique de la solution : 1.0252. Pression latérale sur la paroi : 2142.1 gr. ($) par laquelle fut expulsé en 2 heures : 44.58 gr. ou en une heure : 22.29 gr. (Q). ET DES SOLUTIONS SALINES. 449 Transport de la kathode vers lanode Amp. 92 Om Os 9h 10m 105... 14 gouttes. 10 10 20 36 13 20 36 30 5 12 30 5 40 32 14 > 10 32 50 20 RS 50 20 10 0 31 15 = 10 © 31 10 14 6 . 10 14 20 0 15 20 0 378 16 30 8 40 20 17 = 40 20 50 14 17 se 50 14 11 0 5 17 = 179 gouttes. Pows des 179 gouttes . : :::-00 0..%:18:35 gr. Transport moyen en une amp.-heure : 9.175 „ (T). Amp: Différence potentielle des parois intérieure et extérieure. Résistance introduite : 478.2 Ohm. Déclinaison du multiplicateur. dd 0 18°.2 corresp. à une intensité : 0.00122 Amp. 0.00122 X 478.2 — 0.583 Volt. (AV). Si nous réduisons cette valeur de /V à celle, qu'elle aurait eue si nous nous étions servis de la vase N° 1, — d=3.6 mM., m — 0.409 mM. — alors elle devient: 3.60 456 \ ? TE —— } — 0.642 à = 0.583 x (45% ( To 0.642 Volt. (4V) ARCHIVES X. 72 450 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Lorsque j'avais de nouveau pressé de l'eau distillée par la paroi de la vase, jusqu'à ce que l’eau qui en écoulait était par- faitement neutre, il me parut que par la pression de 2089.4 gr. il en fut expulsé 46.78 gr. en 2 heures ou en une heure 23.39 gr. Il en suit ÉD OPA Fe N, O, + 6 Aq. Poids spécifique de la solution : 1.0213. Pression latérale sur la paroi : 2133.9 gr. (S) par laquelle fut expulsé en 2 heures : 46.78 gr. ou en une heure 23.39 gr. (Q). Transport de la kathode vers l’anode. ISS Wu 9h Om Os — Qh 10m Js... 42 gouttes. 10 9 20 6 Ft ns 20 6 30 0 41 5 30 0 40 9 AOD ae 40 9 50 8 2 = 50 8 3 as | 4 le el 107225 45 = 10 8 20 0 44 5 20 0 30 0 45 5 30 0 40 3 47 5 40 3 50 10 48 > 50 10 4 Der 0 47 “4 527 gouttes. Poids des 527 gouttes . . . . .. 68.25 gr. Transport par amp.-heure . ... 34.13 , ET DES SOLUTIONS SALINES 451 I = 1 Amp. Différence potentielle des parois intérieure et extérieure. Résistance introduite : 478.2 Ohm. Déclinaison du multiplicateur. (A 5E 13.5 14. 0 14.5 14.5 14. 84°.5 | zt 14°.1 corresp. à une intensité : 0.00095 Amp, 0.00095 X 478,2 — 0.454 Volt, (AV) Si l’on réduit cette valeur de 4V à celle, qu’elle aurait eue si la vase avait eu les mêmes dimensions (d — 3.6 mM.) et la même porosité (m — 0.409 mM.) que pendant les premières recherches, il vient: 3.60 ex 3 0.454 x —— x 409 er = 0,514 Volt. (4V). Comme je craignais qu'en nettoyant la paroi de la vase de l’oxyde, qui après le transport de la solution d’azotate de fer la teignit en jaune foncé, je ne ferais qu’augmenter encore sa porosité pourtant déjà assez grande, je me suis servi pour mes recherches concernant les solutions de chlorures d’une nouvelle vase, dont il m'avait paru que, par une hauteur de l'eau de 142.00 mM., un diamètre du fond de GELD RE une épaisseur de paroi de 3.75 , et une pression conséquente de 2121 10 gr. elle fit écouler 30.98 gr. d’eau distillée en 2 heures, ou en une heure 15.49 gr. et dont, par conséquent, la porosité relative était donnée par la formule: yt 15.49 x 3.75 yes annie = 0.410 mM. 72* 452 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE ZAC Poids spécifique de la solution : 1.0417. Pression latérale sur la paroi : 21765 gr. (S). qui expulsait : 28.24 gr. en 2 heures ou 14.12 gr. par heure (0). Transport de la kathode vers l’anode. 1=2 Amp. gn Om Os — 9h 10m 38... 5 gouttes. 103 90 17 TUE 20 17 30 15 5 5 30 15 40 91 ae 40 21 50 921 5 5 50 21 3 0 93 5 + 3 O0 93 KD 17 5 5 LO 20 28 > = 20 28 30 30 5 5 30 30 40 96 6 = 40 96 50 5 > 5 50 5 4 (D 6 n 62 gouttes. Poids des 62 gouttes. . . . . . 6.4 gr Transport par amp.-heure . . 16 „ (T). 1=1:Amp. Difference potentielle des parois interieure et exterieure. Resistance introduite : 478.2 Ohm. Declinaison du multiplicateur. a= M0 7.5 400.0 De 62.7, corresp. à une intensité : 0.00057 Amp. 0.00057 x 478.2 = 0.273 Volt. (AV). En réduisant cette valeur de 4} à celle quelle aurait eue, si les dimensions et la porosité de la vase avaient été égales à ET DES SOLUTIONS SALINES. 453 celles de la vase, dont je me suis servi pour mes premières recher- ches (d= 3.6 mM., m — 0.409 mM ), il vient: 3.6 (oe 2 273" x— — (2635 MV 4, 0. (3 X a7 x zo) 0.263 Volt. (JV Y. De la vase, de nouveau nettoyée, il écoulait en 2 heures 38.88 gr. d’eau distillée, ou 19.44 gr. par heure; comme la pression était la même que pendant les recherches précédente, la porosité relative est donnée par */ 19.44 x 3.75 = m } 3 me 2121.10 0.430 mM. N; Cl. Poids spécifique de la solution : 1.0230. Pression latérale sur la paroi : 21317 gr. (S) par laquelle fut expulsé en 2 heures : 27.13 gr. ou en une heure : 13.57 gr. (Q). Transport de la kathode vers l’anode. PZ Amp: gh Om Os — Qh 10m 305... 12 gouttes. 10 30 90 41 12 ee 20 41 30 45 12 3 30 45 40 37 12 R 40 37 50 30 12 > 50 30 10 0 18 12 a 102 202518 105717 12 h 10 17 20 4 12 à 20 4 30 37 13 = 30° 37 40, 14 12 à 40 14 50 30 13 ei 50 30 11 0% 91,2 147 gouttes. Poids des 147 gouttes . . . . 17.00 gr. Transport par amp.-heure. . . 425 „ (T) 454 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE IN Amp: Difference potentielle des parois interieure et exterieure. Resistance introduite : 478.2 Ohm. Déclinaison du multiplicateur. “EV 10.5 9°.5, corresp. à une intensité : 0.00067 Amp. 0.00067 X 478.2 = 0.320 Volt. (AV). Si nous réduisons cette valeur à celle qu’elle aurait eue si la vase avait la même porosité et les même dimensions que celle dont je me suis servi pendant la première de ces recherches (d = 3.60 mM., m = 0.409 mM.) il vient: 3.60 Ee 2 Quand la vase avait été nettoyée il en écoulait, en 2 heures, 37.36 gr. d’eau distillée ou 18.815 gr. en une heure, correspondant, la pression étant restée invariable, à *7 18.815 x 3.75 / Fe ele = m = RD 0.420 mM. C, Cl, + 2 Ag. Poids spécifique de la solution : 1.0350. Pression latérale sur la paroi : 2195.3 gr. (S) par laquelle fut expulsé en 2 heures : 35.73 gr. ou 17.67 gr. par heure. (Q) ET DES SOLUTIONS SALINES. 455 Transport de la kathode vers anode. = Amp. gh Om Os — gh 10m Os... 16 gouttes. (00) 20 5 16 5 20. 5 30 93 1611 30 23 40 10 15 ” 40 10 50 12 16 _ 50 12 10 0 34 16 10 0 34 10 25 15 5 10 95 20 32 14 = 20 32 30 27 15 ” 30 9 4) 40 15 > 40 40 50 17 14 » 50 17 11 073 14 = 182 gouttes. Poids des 182 gouttes......... 24.20 gr. Transport par amp.-heure..... . 5.0875 (20): I=1 Amp. Difference potentielle des parois intérieure et extérieure. Résistance introduite : 478.2 Ohm. Declinaison du multiplicateur. &— 82) 8. 5 9. 0 9.0 8. 5 8.5 520 6 8°.7, corresp. à une intensité : 0.000622 Amp. 0.000622 x 478.2 = 0.297 ohm. (AV). En réduisant cette valeur à celle qu'elle aurait eue si les dimensions et la porosité de la vase avaient été égales à celles de la vase, dont je me suis servi pendant le premier examen (d = 3.60 mM., m = 0.409 mM.) il vient 456 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE 3.60 42 | WA se 0.297 x 375 X 50) — 0.302 Volt. (47). La vase de nouveau nettoyée, laissait écouler, sous une même d ’ pression laterale; 45 43 gr. d’eau distillée en 2 heures, ou 22.72 gr. par heure; dont 17 29,72 x 3.15 m=) ° a - — 0.450 mM. Fe, Ol, Poids spécifique de la solution : 1.0220. Pression latérale sur la paroi : 2167.7 gr. (S), par laquelle fut expulsé en 2 heures : 45.34 gr ou 22.67 gr. par heure (Q). Transport de la kathode vers l'anode. ADE 9h Om Os — Qh 10m 215 ... 23 gouttes, 10 921 20 16 92 4 20 16 30 12 29 > 30 12 40 21 3 , 40 21 50 22 93 5 50 22 10 0 4 22 = 10 0 4 10 4 3 , 10 4 DD 9) 23 > 20 9 30 93 24 5 30 23 40 12 23 = 40 12 50 10 23 5 50 10 11 OU 23 = 274 gouttes. Poids des 274 gouttes....... 36.45 gr. Transport par amp.-heure . . . .. CCE (DS => ba | ET DES SOLUTIONS SALINES. = Amp. Différence potentielle des parois intérieure et extérieure. Résistance introduite : 478.2 Ohm. Déclinaison du multiplicateur. a= 107.0 10. 0 10. 0 9.5 9.0 9. 0 57°.5 9°.6 corresp. à une intensité : 0.000676 Amp. 0.000676 X 478.9 — 0.323 Volt. (AV) quelle valeur de 4V, réduite à celle qu’elle aurait eue si dès l'examen de la solution de sulfate de cuivre la vase n’avait pas changé, devient: 3.60 ( 450 \ 2 — x 109 zn Volt. (4VY. : Id En résumant, il paraît que nous avons trouvé pour JV’ eee MU“ les valeurs suivantes: pour la solution de sulfate de cuivre..... 0.932 Volt. nm lé = 5 ZING Eee 919781; SNS 3 es Es PRA cker 1.034 , IE as 5 5 ferrique...... 0.841775 a In +s 5 4 PEDRO pyar sees Achy © oy à sd d’azotate de cuivre...... papi) » » 5 = = WAN CREE as ns no » be kopen oee el ae He 5 5 peeniekell... 7 642 „ » oN n PN ELEN Sels cia. Mar DAS ae Ps de chlorure de cuivre... 302 , » 9 » n = rb ZINC sert ea “on » „ a ©. nickel. sonen on ” 9 " ferrique..... 310.5 Comme ces valeurs ont toutes rapport à la inême valeur de I, d et m elles sont entre elles comme celles de !/,; c-à-d., elles sont les réciproques des pouvoirs conducteurs pour l'électricité ARCHIVES X. 73 458 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE des différentes solutions. Ainsi arrangées elles font voir qu'il y a une différence carractéristique entre le pouvoir conducteur des sulfates, des azotates et des chlorures et que, du moins pour les solutions examinées, contenant 5 parties de sel sur 100 parties d’eau, vaut la règle: le pouvoir conducteur des solutions de chlorures sur- passe celui des solutions d’azotates, qui lui-même surpasse celui des solutions de sulfates. En exprimant les valeurs trouvées dans celle du pouvoir con. ducteur d’une solution de chlorure de zine de 5% ,. déterminée par M. Lone, selon la méthode de M. F. KonrrauschH (452.10 —° x celui du mercure à 18° C.), nous avons: | k,.10° | Solution de k,,. 10° Solution de ke 10% | Solution de | | | | | | | | sulfate de cuivre.. 128 azotate de cuivre. 229 chlorure de cuivre 393 5 de zine.... 130 a de zinc... 296 en de zine.. 452 de nickel. . 115 | Mn de nickel. 190 En de nickel, 352 ferrique.... 140 5 de fer. ..| 231 = ferrique… 315 ferreux....| 140 „ de plomb. 190 | | Que le pouvoir conducteur électrique des solutions salines dépend en premier lieu de la composante electronegative du sel en solu- tion, cela me paraît un fait qui, autant que je sais, n’a pas été relevé jusqu’à présent. Qu il me sautait aux yeux comme résultat d'un examen, qui n'est qu'une partie subordonnée d’un examen plus étendu, cela s'explique par ce que ce dernier exigeait une juxtaposition du pouvoir conducteur de solutions de concentration égale. Si l’on compare les résultats répandus de déterminations directes, effectuées par plusieurs savants, alors il paraît qu'entre ces résultats existe une relation analogue. Pour ce qui régarde la confiance à mettre en ces valeurs trouvées, pour ainsi dire, le long d’un chemin détourné, nous observons que, comme nous, M. M. Konrrauscn et FREUND ont trouvé les pouvoirs conducteurs des solutions de CuSO, et de ZnSO,, dune concentration de 5%, à peu près égaux; qu'en l’exprimant dans la même unité que nous, M. Lone trouve pour ET DES SOLUTIONS SALINES. 459 celui d’une solution de Pb N, O,:179 — nous 190 — et que, quoique il soit vrai que la valeur 341, trouvée par le même savant pour le pouvoir conducteur d’une solution de Cu N, O,, diffère beaucoup de la nôtre, 222, il en est de même avec la valeur trouvée par M. Freurp — 177 — qui s'en approche de beaucoup plus. Quoiqu'il en soit, il me semble que le sujet est assez intéressant pour y vouer un examen tout exprès, qui non seulement s’étende sur les solutions de concentration différente de sels à base métalli- que, mais qui embrasse aussi celles de sels dites à base alcaline et alcalino-terreuse En revenant à présent à la détermination du rapport entre les forces transportantes, nous observons qu’une réduction des valeurs de JV, obtenues au moyen des vases successives, comme si elles avaient été obtenues au moyen d’une d’elles, modifie les valeurs 14 : ' à GS dans le même rapport que les valeurs /V. Bien est-il vrai que par cette échange les valeurs T subissent encore une autre modification — selon la formule de M. PorseuILLE —; mais les n valeurs de Q étant modifiées selon la même formule, Q reste constant et de même Æ. En indiquant par 4V’ la valeur réduite de 4V, par 7’ celle de T, nous avons x dig ed, mn; S grammes; dont il suit, pour les valeurs successives de E: I grammes a: GTR ou, en réduissant au systeme C.G.S.: Io ee Fun. wi Q AV” x 300 dyne Q AV’ 300 Ces valeurs sont rassemblées dans le tableau suivant. = S unités électriques. 73* 460 LA CHARGE DE CONTACT ENTRE UNE PAROI POREUSE Noms des 1V'| Jij 981 solutions. T AV | AV’ ed AV Q 8 ie — Gr S|E= 300 Sulfate de cuivre..|16.6gr.|0.932V | 0.932V | 16.6 gr. |16.0gr. 2221gr.| 2304 gr. | 8085 U. n na 21002.|28:525,10.:899717:913. 1.28.98, 2174775221055 |036695% 13141 nickel..|18.1 , | .980 „ | BEB AE 15.5 „ |2914, 2730 „ 5636 ferrique, .… 25.6 „ | .823,, | 0.847 „ | DGSE 7e 2226 „02487, 9600 5 ferreux... 24.9 „ | .756,| .857,| 282 „ |225, |2210, | 2770 , 10569 Azotate de cuivre. 9.8, | .583,| .536,| 90 „ (24.2, |2150 913 5572 = ZAC HD OR 6 | 125 „ | LIN NES 12155 , 666 , 2704 plomb. 30.2 „1 698,1} „680, | ORE MT ade WEEK TEE „ nickel. 9.2, | .583 .642 8.4 22,3 2142 S07 4110 5 » fer..../34.14.,, | 454 514 38.6 , |934, | 2134 3362 21356 Chlorure de cuivre 5.1, 297 302 „ 5.2 17.7, |2195 646 6995 ñ zine. 1.6.0273 263 „ 1.5 141, (2177 PB) 2880 » „ nickel 43, 320 338 „ 45 4 (186, (2132 705 , 6524 = ferrique .| 9.1, 323 376, 10.5 22.7, |2168,, | 1054 , 8720 Il n’en paraît aucune relation générale, ni entre les valeurs des forces transportantes et la constitution des solutions salines trans- portées, ni entre celle-ci et les charges électriques des parois. D'où il ne suit nullement qu’une rélation de ce genre ne pourait exister dans le cas où le contact se fait invariablement avec la même paroi, qui de plus n’a pas été chargée par le contact avec une solution de constitution différente, auparavant transportée. HAARLEM, juillet 1906. E. SUR QUELLE ÉCHELLE S'ACCOMPLIT LE PHENOMENE DU TRANSPORT ATMOSPHÉRIQUE DE SEL MARIN. PAR EUG. DUBOIS. On sait depuis longtemps que, sur les rivages maritimes, les eaux pluviales renferment constamment du chlorure de sodium. Incontestablement il faut chercher l’origine de ce sel dans la mer, d'où il est emporté par les vents ayant fouetté les vagues. Au temps d’un ouragan, sur nos côtes, comme sur les côtes atlantiques de la Grande Bretagne, quand la mer est blanche d’écume, on peut remarquer que l'atmosphère, claire ailleurs, est tout à fait brumeuse le long du rivage, par les brouillards de mousse fine enlevée par le vent des crêtes des brisants. Quoiqu'il soit certain que la plus grande partie de cette poussière d’eau de mer ne dépasse pas les régions du littoral, une certaine quantité en est emportée au loin, dans l’intérieur du pays. Ce sont surtout les pluies qui tombent qui la ramènent sur le sol; mais, déjà en conséquence de son propre poids, la plus grande partie de cette poussière ne peut aller loin. L'importance du transport dépend de la force du vent. On a trouvé que l’eau de pluie recueillie à Lands End, dans le Cornwall, pendant un fort vent du sud-ouest, renfermait 359 millionièmes (milligrammes par litre) de chlorure de sodium !). Le regretté et éminent chimiste Lopry DE Bruyn me disait qu'au Helder, à l'extrémité de la Hollande-Septentrionale, il avait observé que, lors de tempêtes, l’eau pluviale contenait du chlorure de sodium dans la proportion de 350 et même de 500 millionièmes. Dans ') Angus SMITH, Air and Rain. Rivers Pollution Commission. 6th Report, p. 425. London 1874. Cité par A. GEIKIE, Text Book of Geology. 4th Edition, p. 449. London 1903. ÄRCHIVES X. 74 462 SUR QUELLE ÉCHELLE S ACCOMPLIT LE PHÉNOMÈNE les temps ordinaires, quand le vent est moins fort: le transport en question, et par conséquent la proportion moyenne dans laquelle le chlorure de sodium se trouve dans l’eau pluviale, est beaucoup moindre. Au Helder la proportion moyenne n'excède certainement pas 60 millionièmes. Cette proportion, je l'ai déjà indiqué, diminue considérablement à mesure qu'on s'éloigne de la mer; la plus grande partie du sel, que les vents emportent, reste sur le littoral. Elle est aussi en rapport avec la direction des vents dominants. Cela ressort à l'évidence des recherches faites, entre autres, en Angleterre. Celles du Laboratoire d'Agriculture de Rothamsted (à une trentaine de kilomètres au nord-ouest de Londres) ont établi une proportion moyenne de 3.3 millionièmes, tandis que cette proportion est de 5.4 millionièmes à Cirencester, un endroit que se trouve à 110 kilomètres à l’ouest, c'est-à-dire rapproché des côtes atlantiques, qui reçoivent les vents dominants à encore une centaine de kilo- mètres plus à l’ouest !). La proportion moyenne, pour l’Angle- terre, est de 3.6 millionièmes ?). Sur les côtes, l’eau de pluie renferme bien plus de sel marin, sur celles de l'Écosse la propor- tion moyenne étant de 20 millioniémes environ, et le chiffre 30 paraît représenter ce à quoi peut atteindre la proportion moyenne sur le littoral hollandais. Dans Amérique du Nord, à Troy, ville de l’état de New-York, éloignée de la mer d'environ deux cents kilomètres, la proportion moyenne est de 2.7 millionièmes *). Les circonstances de la situation relative et des vents semblent comparables à celles des régions orientales de l’Angleterre, ce qui a pour conséquence que les eaux pluviales y renferment le chlorure de sodium dans à peu pres la même proportion. En France, aux environs de Caen, non loin de la côte atlan- tique, les eaux pluviales, d’après M. J. Prerre, apportent annu- ellement 37.5 kilogrammes de chlorure de sodium sur un hectare de terrain. La hauteur moyenne annuelle de la pluie en ces lieux étant d'environ 750 millimètres, cela implique une proportion moyenne de 5 millionièmes du sel en question *). Ce chillre assez 1) R. WARINGTON, Journal Chem. Soc. of London for 1887, p. 502. 2) ANGUS SMITH, 1. c., p. 425. 3) W. P. Mason, Water Supply, p. 205. Cité par J. C. Russezz, River Deve- lopment, p. 76. New-York 1898. 4) Angus SMITH, 1. c., p. 233. DU TRANSPORT ATMOSPHÉRIQUE DE SEL MARIN. 463 bas est la conséquence de ce que les vents dominants, en partant de la mer, ont encore eu à parcourir deux ou trois cents kilomètres sur terre. Il est plus bas encore, 2.5 miilionièmes, à Bergerac, en Dordogne, lieu déjà éloigné de cent kilomètres de la mer !). A Nantes, au contraire, où cette distance n’est que le tiers ou la moitié, Borierre avait trouvé, par des déterminations poursuivies pendant une année, que l’eau de pluie, en moyenne contenait en dissolution 14 millionièmes de chlorure de sodium *). Dans les régions où les vents de mer ne sont pas dominants et ne soufflent que durant quelques mois, comme à Outacamund, ville du Sud de l'Inde anglaise, éloignée de 120 kilomètres de la côte, les eaux pluviales renferment beaucoup moins de ce sel. La proportion moyenne en ce lieu n’est que de 0.66 millioniémes *), Il est à remarquer que la quantité du sel marin dans l’atmos- phère diminue encore avec la hauteur, de sorte que la pluie qui tombe à des altitudes considérables en renferme bien moins. Ainsi au Pic-du-Midi, à 2877 mètres au-dessus du niveau de la mer, la proportion n'est que de 0.34 millionièmes *). Aussi la rosée et le givre, se condensant des couches inférieures et plus impures de l'atmosphère, renferment le sel marin dans une proportion plus considérable que la pluie. La moyenne pour la rosée est, en An- gleterre, d'un quart plus élevée que pour la pluie 5). Ces dernières observations nous empêchent de regarder les données, ayant seulement rapport à la pluie, comme capables de faire connaître le transport atmosphérique réel de ce sel. Beaucoup du chlorure de sodium que les vents de mer apportent sur le continent ne peut jamais s’accuser dans le pluviomètre, vu qu'une grande partie de ce sel arrive directement sur le sol, où ensuite, il entre avec l’eau pluviale. En effet, maintes fois, dans les dunes de la Hollande, j'ai pu, remarquer, comme un phénomène con- stant, qu'après des pluies et aux temps de brouillards, avec vent de l’ouest, il adhère aux branches des arbrisseaux et aux herbes 1) A. Muntz, Sur la répartition du sel marin suivant les altitudes, Comptes rendus de l’Académie des Sciences. T. 114, (1891), p. 447—449. 2) A. BOBIERRE. Comptes rendus de l’Académie des Sciences. T. 58, p. 755. Paris 1864. 3) ANGUS SMITH, ]. c. p. 425. 4) Muntz, ]. c. 5) Rivers Pollution Commission. 6th Report, p. 32. 74* 464 SUR QUELLE ÉCHELLE S’ACCOMPLIT LE PHÉNOMÈNE mouillées assez de sel marin pour se trahir distinctement par le goût, si nous portons ces objets à la langue. Pour arriver à une évaluation plus complète de la quantité du transport atmosphérique de chlorure de sodium, il importe donc de faire usage d'autres moyens que le simple examen de l’eau de pluie On en a cherché un dans les déterminations de ce sel dans les eaux des fleuves, avec lesquelles il retourne à la mer, en prenant en considération que ces eaux résultent de la concentration de l’eau pluviale, par évaporation. Mais ici les autres origines de sel marin sont si multiples et en même temps si considérables qu'elles nous empêchent d'apprendre davantage par ces déterminations que par celles de la quantité à laquelle le chlorure de sodium entre dans la composition des eaux pluviales. Évidemment, ce dont on a besoin est de connaître la propor- tion dans laquelle l’eau météorique qui s’'infiltre dans le sol non contaminé renferme du chlorure de sodium d’origine atmosphérique. De plus, il faut que ce soit dans un sol appartenant à une région du littoral, qui, ainsi qu'il ressort des observations citées, retient la plus grande partie de ce sel, et encore faut il que ce littoral soit exposé à des vents avec direction dominante de la mer. Or, je crois que, dans les dunes hollandaises, nous avons sous la main toutes les données nécessaires. Voici une région littorale, faisant face aux vents marins dominants de l’ouest, une région où la totalité de l’eau météorique non évaporée s’infiltre dans un sol vierge et sans contamination de quelque importance. Il est bien établi, aujourd’hui, que l’eau douce de nos dunes ne peut avoir d'autre origine que dans la pluie. Or l’eau pluviale qui s'infiltre dans le sol des dunes a été exactement mesurée, ces dernières années, par la méthode lysimétrique. C’est grâce aux obser- vations de M. H. E. pe Bruyn '), faites durant 8 années consécutives, dans les dunes entre la Haye et Schéveningue, que nous savons qu'il s'y infiltre annuellement une couche d’eau pluviale de 382 milli- mètres de hauteur. Des données d’autre ordre mênent l’&minent savant à une valeur analogue, entre 300 et 400 millimètres. 1) H. E. pe Bruyn, Over lysimeter-waarnemingen en de hoeveelheid drink- water, die de duinen dienovereenkomstig kunnen geven. Handelingen van het gde Natuur- en Geneeskundig Congres, gehouden te ’s Gravenhage, p. 148-154. Haarlem 1903. DU TRANSPORT ATMOSPHÉRIQUE DE SEI, MARIN. 465 Quant à la quantité absolue de cette eau qui, sur la terre ferme des deux provinces de la Hollande-Septentrionale et -Méridionale, entre annuellement dans le sol des dunes, en tant qu'il est à plus de 1 mètre au-dessus du niveau de la mer, on peut estimer la super- ficie de ce littoral à 31000 hectares ou 310 000 000 mètres carrés, de sorte qu'on arrive à un apport annuel d’eau pluviale de 100 millions mètres cubes, en chiffre rond. Un état d'équilibre étant établi, il faut que la quantité d'eau douce qui, annuellement, s'écoule, vers les régions basses, à l’est, et vers la mer, à l’ouest, avec celle du captage par les différentes prises-d’eau, équivaille à cet apport. Remarquons encore qu’incontestablement la partie supérieure de l'eau douce souterraine des dunes, reposant presque partout sur des lits argileux, et étant d’ailleurs à une distance d'une cinquantaine de mètres, tout au moins, de l’eau salée sous-jacente, ne peut devoir son chlorure de sodium qu’à l’atmos- phère. Or, la proportion, dans laquelle cette eau, dont la ville d'Amsterdam s’alimente depuis plus d'un demi siècle, contient du chlorure de sodium en dissolution est restée sensiblement con- stante, d'environ 55 millionièmes, et égale, à peu près, à celle dans la prise-d’eau de la Haye. Constatons que la prise-d’eau d'Amsterdam comprend environ le dixième des dunes du littoral en question, bande dont elle occupe à peu près le milieu de la longueur, dans toute sa largeur (5 kilomètres), excepté un bord étroit au coté de la mer. D'ailleurs partoutau milieu des dunes et vers leur bord oriental, on trouve dans l’eau à peu près la même proportion de chlorure de sodium. Seulement tout près du bord de la mer elle semble généralement être un peu plus élevée; ainsi au Helder elle est du double de la proportion moyenne. En admettant pour celle-ci 60 millionièmes on ne peut être loin de la valeur réelle, et on trouve ainsi que, sur la région du littoral hollandais que nous avons en vue, il doit y avoir un apport atmosphérique de chlorure de sodium d'une quantité 60 1 000 000 La quantité de sel marin qui relativement est si minime que c’est à peine qu'une solution, quarante fois plus forte, se trahit à notre goût, est cependant absolument énorme. Afin de nous en former une idée distincte, nous nous figurerons le sel qu’elle représente chargé sur des wagons. Il faudrait annuellement 20 trains de 30 A wagons à 10000 kilogrammes pour les transporter; c'est à dire absolue de 100 000 000 x 1000 x — 6000 000 kilogrammes. 466 SUR QUELLE ÉCHELLE S’ACCOMPLIT LE PHÉNOMÈNE que tous les 18 jours un train de 30 wagons devrait entrer dans les dunes, pour y amener autant de sel marin que les vents de l’ouest y apportent. Mais d'autre part, cela ne représente guère plus qu’une fois et demie, la consommation culinaire annuelle de sel de la population d'Amsterdam, si l’on calcule celle-ci, selon la consommation annuelle en Allemagne, à 7.6 kilogrammes par tête. Ce transport est bien inférieur à celui d’autres matières, que l’eau météorique ne dissout qu'en entrant dans le sol ou en lavant celui ci, nommément le carbonate de chaux, et bien inférieur aussi à celui des matières en suspension, dont sont chargées les rivières et les fleuves. Pour ne pas dépasser nos frontières, nous pouvons trouver un objet de comparaison dans le Rhin. On sait, par des observations faites durant 16 années (de 1869 à 1885), que le débit annuel d’eau de ce fleuve, à Pannerden, où il entre dans notre pays, est de 74 000 000 000 mètres cubes !). D'après des analyses de cette eau, dans différentes circonstances ; à Bonn par BrscHor, à Cologne par Vonn, à Arnhem par GUNNING ?), on peut évaluer à 90 millionièmes la proportion moyenne dans la- quelle elle contient, en dissolution, le carbonate de chaux, en entrant dans notre pays. Annuellement le Rhin nous apporte done, en dissolution, une quantité de cette matière de 74000 000 000 000 x 90 1 000 000 quantité de carbonate de chaux à l’état solide, il faudrait qu'il nous arrivat annuellement d'Allemagne 22200 trains, de 30 wa- gons, entièrement chargés de cette matière. C'est à dire qu'un tel train, chargé de pierre calcaire, devrait entrer dans notre pays toutes les 23 ou 24 minutes, jour et nuit. Il m'a semblé utile de représenter l’énormité de ce transport vis-à-vis le transport atmosphérique de sel marin, encore d’une autre façon, afin de pouvoir le comparer à la consommation de ce sel. Dans ce but j'ai prié et obtenu l’obligeante assistance de M. — 6 660 000 000 kilogrammes. Pour obtenir la même 1) H. Brink. Der Rhein in den Niederlanden. Forschungen zur Deutschen Landes- und Volkskunde, herausgegeben von A. KIRCHHOFF, p. 86. Stuttgart 1889. 2) G. BıscHor, Lehrbuch der chemischen und physikalischen Geologie. 2° Auf- lage, Bd. I, p. 271. Bonn 1863. — J. Vout, Dingler’s Polytechn. Journal, Bd. 199 (1871), p. 316. — J. W. GUNNING, Onderzoek naar den oorsprong en de scheikun- dige samenstelling van eenige nederlandsche wateren, p. 66. Utrecht 1853. DU TRANSPORT ATMOSPHÉRIQUE DE SEL MARIN. 467 Reynpers, négociant en matériaux de construction à Haarlem, et expert en cette matière, atin d'arriver à une évaluation du volume moyen des briques et des pierres dont sont bâties les maisons et édifices de Haarlem et d'Amsterdam. Comme résultat principal de ces évaluations, que je crois bien fondées, il suffit ici de dire que la ville d'Amsterdam a été bâtie d’un volume de briques et de pierres de 2 700 000 mètres cubes. Pour la bâtir en „pierre bleue de Namur” ou autre calcaire, il en faudrait un poids de 7 000 000 000 kilogrammes, ce qui, en considération des impuretés de ces cal- caires, revient assez exactement au débit annuel de carbonate de chaux du Rhin. Ce fleuve nous apporte donc, annuellement, en dissolution, la masse calcaire suffisante, à l'état solide, pour en bâtir une ville de la grandeur d'Amsterdam. Que l’on y compare la quantité de sel avec lequel les mets sont préparés dans cette ville! Pour le Missisippi le transport annuel de carbonate de chaux est de 45 502 730 000 kilogrammes, d’après les recherches de M.M. HumPareys et Agpor et de M. W. J. Jones !), une masse qui, à l’état solide, suffirait à la construction de 7 villes de la grandeur d'Amsterdam. 11 faudrait un train tous les 3 ou 4 minutes pour un transport égal à celui de ce „père des fleuves”. Pour l’ensemble de tous les fleuves du monde, pareil calcul mène au résultat que le carbonate de chaux qu'ils apportent en dissolution à la mer suffirait, à l’état solide originaire, à bâtir chaque jour une ville de cette grandeur, et il faudrait 16 trains par minute pour un transport de même capacité. Quant aux matières solides que tous les fleuves et les rivières apportent à la mer, leur quantité est encore bien plus énorme. Le débit annuel de matières en suspension du Mississippi est neuf fois aussi considérable que celui de carbonate de chaux. En face de ces quantités, le transport atmosphérique de sel marin semble insignifiant. Mais n'oublions pas que jusqu'ici nous n'avons considéré qu'une côte de 120 kilomètres de longueur. Si nous appliquons le résultat, obtenu pour la côte hollandaise, à étendue totale des rivages maritimes, en admettant que l'effet 1) Report on the physics and hydraulics of the Mississippi River. Philadelphia 1865. — Report Louisiana State Bourd of Health for 1882, p. 370. Cités par J. C. Russezx, Geological History of Lake Lahontan. U. S. Geol. Survey. Vol. 11, (1885), p. 175. 465 SUR QUELLE ÉCHELLE S'ACCOMPLIT LE PHÉNOMÈNE relatif des vents est, en moyenne — pour les côtes exposées et non-exposées, — moins important que sur notre côte, de sorte que seulement la moitié de cette étendue doit être mise en compte, nous arrivons à un transport atmosphérique annuel de sel marin plus de mille fois plus élevé que sur le littoral de la terre ferme de notre pays. C’est autant que le transport annuel de carbonate de chaux par le Rhin. Encore n’est ce qu’un trois-centième de ce transport par l’ensemble de tous les fleuves du globe. Les données existantes sur le transport atmosphérique de chlo- rure de sodium peuvent nous servir à élucider la question de l’origine de ce sel, accumulé dans les lacs salés. Les bassins de certains de ceux-ci sont d’anciens lacs d’eau douce, plus étendus que ceux de nos jours. Ces derniers, qui n’oceupent que les parties les plus profondes des anciens bassins, doivent leur salinité à un changement de climat, qui, d’humide qu'il était, est devenu aride. Quand l'aridité était devenue telle que l’évaporation excédait l'apport d’eau, apport qui bientôt n'était plus contrebalancé par un écoulement, — le lac a com- mencé à devenir salé. A cette classe appartiennent la mer Morte et le grand Lac Salé de l’Utah. On est généralement d’avis que ces lacs doivent leur chlorure de sodium à la concentration de l’eau apportée depuis le com- mencement de la période aride. Mais on n’est pas d'accord sur l’origine de ce sel. D’après les uns il proviendrait surtout d’&ma- nations volcaniques et de la décomposition des roches silicatées. D’après d’autres la plus grande partie serait lavée, petit-à-petit, d'anciens dépôts marins, par les eaux météoriques. Enfin on a soutenu la thèse qu'il serait principalement dù au transport atmosphérique. Cette dernière thèse me semble mal fondée. En eftet on peut démontrer l'impossibilité, l’improbabilité pour le moins, que le chlorure de sodium contenu dans le grand Lac Salé, est de pro- vehance atmosphérique. On a évalué à plus de 4000 000 000 000 kilogrammes le chlo- rure de sodium de ce lac '). La superficie du bassin alimentaire 1) G. K. GILBERT, Lake Bonneville. Monograph I. U. S. Geol. Survey, p. 253. Washington 1890. Erronément la quantité de chlorure de sodium y figure seulement du dixième de la valeur réelle. DU TRANSPORT ATMOSPHERIQUE DE SEL MARIN 469 de l’ancien Lac Bonneville, dont le Lac Salé actuel n’occupe que la dixième partie (environ 5000 kilomètres carrés) en étendu, était de 140 000 kilomètres carrés (54000 square miles) ') L’éten- due du bassin des affluents du Lac Salé est d'autant moindre, que le lac lui-même est moins grand que son ancêtre pleistocène. Ces affluents apportent annuellement le !/,, de la quantité de chlo- rure de sodium que le lac contient ?). Mais, outre ces rivières il y a de nombreuses sources littorales qui, en montant à travers les dépôts de l’ancien Lac Bonneville. salés par l’évaporation antérieure, se chargent dans ceux-ci du sel auquel elles doivent leur caractère saumâtre. Même il n'est point impossible que le tribut de sel, qu'elles apportent annuellement au lac, surpasse encore celui des rivières *). Il paraît aussi que l’une de ces rivières, le Jordan, doit une grande partie de son chlorure de sodium aux mêmes dépôts; car son eau en contient deux fois et demie autant que celle de l’aflluent principal, la Bear River *). Cette dernière eau, prise à Evanston, au cours supérieur de la rivière et non loin du bord de l’ancien bassin alimentaire, ne renferme du chlorure de sodium que dans moins d’un septième de la proportion à laquelle il est côntenu dans l’eau douce des dunes hollandaises. Dans ce cours supérieur l’&vaporation relative à la pluie, quoiqu’elle surpasse certainement de beaucoup celle dans nos dunes, est bien moins considérable qu'elle n'est en général dans le bassin alimentaire du grand Lac Salé. Serait elle huit fois plus considérable que celle dans les dunes hollandaises, comme celle qui a lieu dans ce bassin 5), alors le transport atmosphérique relatif de chlorure de sodium à ce dernier serait un soixantième de celui qui a lieu dans nos dunes, il serait un septième de la moyenne en Angleterre et un peu inférieur à celui d’Outacamund, dans l'Inde anglaise. Encore ce transport paraît être trop grand, malgré que la direction prévalente des vents ait 1) Ibid., p. 20. 2) Ibid., p. 207 et 255. 3) Ibid., p. 254. 4) Ibid., p. 207. 5) C'est la valeur que probablement elle obtient dans l’ancien bassin alimentaire du Lac Bonneville. En effet, l'évaporation du Lac Salé est 8 fois plus conside- rable que la moyenne de la pluie dans le grand bassin (GILBERT, l.c, p. 7), Une surface libre d’eau dans nos dunes, au contraire, perd annuellement, à peu près autant par évaporation qu'elle gagne par les eaux météoriques. ARCHIVES X. 75 470 SUR QUELLE ÉCHELLE S’ACCOMPLIT LE PHÉNOMÈNE été du sud-ouest durant l’époque pleistocène et probablement jusqu’aujourd’hui '), si l'on considère que la distance de la mer au cours supérieur de la Bear River est de 1000 kilomètres et celle au milieu de l’ancien bassin alimentaire de 900 kilomètres, c'est-à-dire sept ou huit fois la distance de la mer à laquelle se trouve Outacamund. Afin d'éviter cependant toute dépréciation des valeurs, ne met- tons pas à moins d’un cinquantième du transport atmosphérique relatif de chlorure de sodium dans nos dunes celui qui a eu lieu au grand bassin, depuis l’accès du régime aride, où le Lac Bonneville a progressivement diminué pour aboutir à l’état actuel du grand Lac Salé, et aussi durant les deux périodes arides antérieures. Chacune de celles-ci était plus longue, il est vrai, que la période post-Bonnevillienne ?), mais leur effet a été en grande partie effacé, pendant les deux périodes humides consécutives. Admet- tons que la moitié du sel, ainsi accumulé dans l’ancien bassin, y compris le sel ,enterré” des périodes arides antérieures, soit arrivée dans le Lac Salé et qu’une quantité égale soit entrée dans le sol ou accumulée dans d’autres bassins secondaires. Il y aurait donc, dans l’ancien bassin, 8000 000 000 000 kilogrammes de chlo- rure de sodium, ce qui probablement reste bien en-dessous de la réalité. Et il est bien possible qu’autant ait disparu. Alors, l’apport annuel de sel marin dans nos dunes étant de 20 000 kilogrammes par kilomètre carré, celui du bassin alimen- u x 140 000 — 56 000 000 kilogrammes, et l’accumulation, pendant l’ensemble des trois pé- riodes arides, aurait duré 143000 années. Mais, probablement, il faut doubler ce nombre, en égard au sel disparu pendant les périodes humides. Voilà un laps de temps qui pourrait être plusieurs fois plus long que celui que l’on regarde comme probable. La conclusion semble s'imposer qu’il faut rejeter, pour le chlorure de sodium contenu dans le grand Lac Salé, l'hypothèse de l'origine princi- palement marine et du transport atmosphérique. Son origine principale réelle paraît tout indiquée, si nous taire du Lac Bonneville aurait été 1) GILBERT, l.c, p. 332. 2) GILBERT, l.c, p. 261. DU TRANSPORT ATMOSPHÉRIQUE DE SEL MARIN. 471 faisons entrer en considération les nombreuses manifestations vol- caniques qui y ont eu lieu, depuis le temps du Lac Bonneville jusqu’au temps moderne. La même origine volcanique est évidente pour la grande masse des chlorures contenus dans la mer Morte !). 1) Voir: L. LARrET, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, T. 60 (1865), p. 790, et Bulletin Soc. Géol. de France, (2), T. 22, p. 450 sqq; T. 23, p. 719. Haarlem, Décembre 1906. 15% 8 rm fi a a A - bh! 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