en a == À or > _ = er at a SES = u ee AS : <<. Hr — EE se cee == Se å ET cc Kg Å << «. NG = = a OK Le << Cea ; ae a EE u Se a” 5 en = et re Å OMME æ <<: a EC” CE EC. å CCE ES te Re ae 4 Le =: =. 4 EEE | SEE = x ce FE AE « ——= Library of the Museum OF COMPARATIVE ZOÖLOGY, AT HARVARD COLLEGE, CAMBRIDGE, MASS, Sounded by private subscription, in 1861. No. DU L (lg 2h %3 May 2 91 ne bia Ra AI NE GET Archiv for Mathematik og Naturvidenskab Udgivet af Sophus Lie, Worm Müller og G. O. Sars. Ottende Bind. Kristiania. Forlagt af Alb. Cammermeyer. Om 883. Det Mallingske Bogtrykker. == | ‚insbe EA Indhold. Side J. M. Norman. Om karplanternes udbredning i nordenfj. Norge . 1—186 Sophus Lie. Classification und Integration von gewöhnlichen Diffe- rentialgleichungen zwischen zy, die eine Gruppe von Trans- tormationen gestätten. BT „nn... 187988 L. Sundt. Spor efter Istiden i Chile . . . . ao ee 20 PE) Jac. G. Otto. Bidrag til Kundskaben om Higgehvidestotfenes For- andring ved Pankreasfermentet . . . 08002321 Karl Pettersen. Bidrag til de norske uke rab III . . . 322—870 Sophus Lie. Classification und Integration von gewöhnlichen Diffe- - rentialgleichungen zwischen xy, die eine Gruppe von Trans- Farmauonennsestatten. HE 5:1) 0) RE OT M, 571-458 ar ee sha oe ERS AA 'Yderligere bidrag til kundskaben om karplanternes udbredning i det nordenfjeldske Norge søndenfor polarkredsen. Af J. M. Norman. Ver mine undersøgelser af karplanternes udbrednings- forholde i det arktiske Norge fandt jeg snart, at disse for en del planters vedkommende er saa afvigende fra, hvad tilfæl- “det er i sydligere egne, at det blev af stor interesse at lære at kjende, hvor denne forskjellige karakter af udbredningen først tager sin begyndelse. I dette giemed bereiste jeg til de tider af vegetationssæsonen, der ikke med større udbytte kan benyttes i de arktiske egne, altsaa i den tidligere for- sommer og undtagelsesvis ogsaa senhøstes, enkelte distrikter mellem polarkredsen og Trondhjemsfjorden, hvilken sidste ligesom danner et ret naturligt vegetationsskille. De under denne meget flygtige befaring undersøgte lokaliteter er for en større del litorale og ligger i præstegjeldene (eller sognene): Hitteren, Ørlandet, Bjugn, Nærø, Vikten, Lekø, Brønø, Vegø og Alstahoug (Alstenø). Andre ligger i fjordene, nemlig Levanger, Inderøen og Stenkjær i Trondhjemsfjorden, dernæst Namsos, Bindalen, Vel- fjord og delvis Vefsen. Atter andre er enten subkontinen- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. 1 9 J. M. Norman. tale, nemlig i præstegjeldene Støren, Stod, Snaasen, Over- halden, den nedre del af Grong og delvis Vefsen, eller fuldstændig kontinentale i præstegjeldene Holtaalen, Li- erne, hvilket sidste endog ligger paa østsiden af fjeldryggen mellem Norge og Sverige, den øvre del af Grong. Efter min opfatning maa et lands plantegeografi sætte sig som maal at kunne kartlegge hver enkelt karplantes hele udbredning. Men enhver kartlægning maa støtte sig til be- stemte, mere begrændsede og kontrolerbare fakta, og kan ikke lade sig nøie med summariske angivelser, der desuden er mere end ønskeligt afhængige af den subjektive opfatning. Med andre ord kartlægningen maa funderes paa et tilstræk- keligt antal af over det angjeldende gebet nogenlunde jævnt fordelte speciallokaliteter, og det lige meget, hvad enten det gjelder sjeldnere eller almindelige planter. Just disse sidste, som har et mere kontinuerligt udbredningsomraade, men hvoraf dog den større flerhed i et land som Norge er sjeldne eller mangler fuldstændig inden større eller mindre strøg af gebetet, er efter min anskuelse, som jeg allerede søgte at gjøre gjeldende i aaret 1855 i en afhandling*) om vor vesten- fjeldske kystflora, af en ganske særdeles interesse. De undersøgelser, som jeg her forelægger som en lille begyndelse til speciallokaliter for enkelte dele af det norden- fjeldske, er af en dobbelt grund meget ufuldstændige. For det første er en stor del vækster aldeles eller strøgvis forbi- gaaede, fordi de ikke har været tilstrækkelig udviklede til at kunne bemærkes eller skilles fra nærstaaende arter til den aarstid, hvorpaa undersøgelserne er foretagne. Navnlig gjel . der dette saa godt som alle Atriplices, den større del Hiera- cia, adskillige Gramineer, Carices, enkelte ukrudplanter og vandplanterne. De høiere fjeldregioner er næsten fuldstændig forbigaaede, fordi de mestendels har været snedækkede. Der- *) Nyt Magazin for Naturvidenskaberne Bd. VIII pag. 249 fig. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 3 næst er de planter, som ved en snevrere eller eiendommelig og afvigende udbredning i vort polargebet har en særegen interesse, eller som ganske mangler i dette gebet, iagttagne med større nøiagtighed og udførlighed end det slags almin delige planter, til hvilke en saadan interesse ikke knytter sig. For ikke at give anledning til misforstaaelser, har jeg der- for ved de arter, som antagelig har været strøgvis forbigaaede, eller som i det hele har været negligerede, bemærket, at saa er tilfældet. Hvad angivelserne af høiderne over havet angaar, saa er de ofte kun anførte som et nødvendigt led af speciallokali- tetens karakteristik. Høiderne i Lierne og Grong maa alene betragtes som høist tilnærmelsesvise, da udgangspunkterne for beregningen af mine barometermaalinger neppe er saa paalidelige, som det kunde ønskes. Men naar jeg bemer- ker, at disse høideangivelser gaar ud fra, at Ulen vandspeil ligger 353 m over havet, Lenglingen’s 353 m, Laksjøens 395 m og Limingens 405 m., saa vil de lettelig kunne korrigeres, naar der fra den geografiske opmaaling foreligger nøiagtigere opgaver over disse vandspeils høider. I det følgende er benyttede efternævnte forkortelser og tegn: forbg. = forbigaaet paa grund af plantens for ringe udvikling eller ogsaa henvisnen til den tid, egnen besøgtes; h. n. = havets niveau; o. h. = over havets niveau; omg. — omegnen; oO. trægr. = over trægrændsen; negl. — negli- geret; suppl. = suppleres; 0 = endnu ikke i knop; À =i knop; V = i blomst; Å Å V = kun enkelte blomster aab- nede; V V = en stor del blomster aabnede; V V ! = i ful- deste flor; + = afblomstret. Ved syd- eller nord- o. 8. v. li, side, bakke, forstaaes li, skraaning, bakke exponeret mod syd, nord o. s. v.; ved Hildringen ikke blot gaarden af dette navn, men ogsaa det nærmest liggende fjeld; ved nordgrendse nordgrendsen inden Norges flora. 1* 4 J. M. Norman. RANUNCULACEA. 1. Thalictrum alpinum L. Stod: Hegge. Lierne: mellem Lenglingen og Holden vand 395 m o. h.; Nordli oven- for Sandviken paa heldende myr, ved Laksjøens bred paa fugtig mark c. 395 m o.h., Bratland rigelig i eng. Bj ugn: Ervik omg. paa lavtliggende hei. Grong: Berg 312 m o.h., Brændmoen, Fjerdeng -c. 113 m o. h., Tromselvdalen 254— 377 m. o. h. paa myrene, Rørvik aasen 547 m o. h. Nere: Sandnæs ved h. n., Klungervik rigelig paa fugtig eng, Klun- gervik til Storved rigelig paa myrene og hyppig i traktens lavland. Vikten: Garstad omg. Lekø: Huseby til Skei, Britdalen og hyppig paa gen. Bindalen: Terraak, Vatsaas ved h. n., Land til Barstad 82 m o. b. og yderst rigelig i traktens lavland som tæt bundgræs paa myrene. Brønø: Sømnæs ved h. n. rigelig, Sømnæsøen, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. hyppig som bundgræs. Velfjord: Saulus, ved Strengsvandets bred, Nøstvik til Hellestad, Hegge 36 m o.h. Vegø: Rørø paa myr ved h. n. og hyppig og rigelig i lavlandets fugtige enge. Alstenø: Søvik fladen. Vefsen: Dalstadaasen, nedenfor Øienfjeld rigelig. — Var: pallida (mihi): filamentis staminum dilute flavis, pistillis viri- dule flavis. Grong: mellem Finburelv og Berg. Da støvtraade- nes farve endog er benyttet som artsmærke, opstilles denne va- rietet, som ogsaa forekommer hist og her i de arktiske egne. 2. Thalietrum flavum L. Stenkjær: Byhalden. Snaa- sen: Præstegaarden ved Svarvaelv i olderkrat, Snaasenvand ved Sem. Grong: Nynæs 185 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien 72—147 mo. h. AAV °% 82, Tilrem sydli 140 m or hin 69/6) 82: | 3. Anemone nemorosa L. Støren: Præstegaarden endn 11/6 82 V. Holtaalen: Tyvold til Vondgraven 611 m. o. h. og derfra hyppig nedad Guldalen. Levanger: Krogstad til Alfsnæs sammen med Oxalis og Viola biflora bunddække i granblandet olderskov. Indersen: Sakshoug V 7% 78. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge, 5 Stenkjær: Nedre Lø og hyppig ogrigelig i trakten, Byhal- den rigelig. Stod: Sunde til Fossum rigelig, fra Stenkjær til Hammer og Kvam rigelig, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs rigelig i trakten, foden af Horjemfjel- dene hyppig i østlige og vestlige skraaninger, Berg, Bergs- aasen, Sandnæs, Agle, Gravbrøt \/ + */s 81, Blomli sæter- vold 359 m o. h. dominerende. Lierne: Græssamo til Hol- den vand, Ulen vand, Juleshøgen, Aune; Nordli Sandviken V 3/781, Præstegaardssæteren 572 m o. h. rigelig, Lian rige- lig sammen med Viola biflora, sydenden af Limingen. Hit- teren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. hyppig V 16 82, Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund. Namsos: Spil- lum. Overhalden: Hunn, Veglo omg. V + */6 78, ovenfor Barlien i sydli rigelig i olderskov, yderst rigelig i glissen granskov. Grong: Berg c. 350m o. h. AV 11/781, Brænd- moen, Fiskum, Tromselvdalen opover til 466 m o. h. rigelig, i fjeldmarken ovenfor Gjeresvik hyppig og rigelig gjennem birkeskoven til 532 m o. h., Rørvik aasen rigelig 511—532 m o. h. Nærø: Klungervik ++ V 1°/ 82, derfra til Storved, Sandnæs, Lervik og hyppig og rigelig i trakten. Vikten: Rørvik. Lekø: Røsvik; Huseby til Skei og omg., rigelig i østbakke, nedenfor en nordhammer V V ! 3 80. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli, Land, Sørenskogen. Brønø: Syd- kvalø Ydre-Kvalø, rigelig 92 m o..h.; Skaaren Høglien, Sømnæs rigélig i Kirkemarken, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus hyppig, Hellestad til Hegge, Heggeøen, Hummellien paa aasplateauet, Raakhatten op til 341 m o. h, Vegø: Viken til Roa. Alsteng: Søvik paa skovbar mark og kalkklipper. Vefsen: Kubbestadsjøaasen tildels rigelig, ogsaa paa nordside; Mosjøen omg. hyppig, tildels sammen med Viola biflora, Dalstadaasen, Andaas nordside 142m o. h., Alfsgaard sydvestli rigelig, lierne ved Bjørnaavand 201 mo. h. 4. Anemone Hepatica L. Stenkjær: Nedre Lø ikke sparsomt, Byhalden op til 168 m o. h., beggesteds ikke 6 J. M. Norman. saa rigelig som i trakten omkring nordenden af Snaasenvand. Stod: Langhammer til Aune, Kirkaal, Klevgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs; Agle til Gravbrøt hyppig men ikke særdeles rigelig. — Suppl.: Norman i Archiv f. Mathem. og Naturvidensk. Bd. V pg. 229. | 5. Batrachium confervoides Fr. Ørlandet: Beian paa af springflod oversvømmet flade i vandpuds. Vikten: Rørvik omg. Brønø: Tilrem. Vegø: Rørø og fleresteds i lavlandet. 6. Ranunculus reptans L. Overhalden: Veglo omg. Velfjord: Saulus i Strengsvandet, Hegge til Nøstvik. Vegø: Rørø i mølledammen. — Sandsynligvis fleresteds forbg. 7. Ranunculus Flammula L. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg. Drag rigelig. Brønø: Sømnæs V 1/6 82. Vega: Viken til Eidem A */6 82, Gulsvaag rige- lig, derfra til Sundvold. — Antagelig oftere forbg. 8. Ranunculus Ficaria L. Støren: nær Lundemo. Stenkjær: Byhalden rigelig overalt i skovklædt lerbakke, tildels eksklusivt beklædende flækker paa 5-6 a og mere, og tættere over større flader end andetsteds bemærket nor- denfor Trondhjemsfjorden, op til 168 mo. h. Vega: Ho-. land til Næs paa en enkelt lokalitetet og der kun, hvor myr og veggen af en nordhammer støder sammen, i en stribe langs veggen. 9. Ranunculus auricomus L. Støren: nær Lundemo. Levanger: Krogstad til Alfsnes. Stenkjær: Nedre Lø, tildels i olderkrat V %81, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Ryg. Snaasen: Præstegaarden rigelig i fugtig eng, Sandnæs, Sem omg. rigelig, Agle til Bøgsæt hist og her, Blomli sætervold 359 m o. h. Lierne: Ulen vand Skaale. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. Aa- fjord: Valdersund omg., Valsø. Nærø: Klungervik, Sand- nes, Holand 138 m o. h. ikke sparsomt. Lekg: Præste- gaarden. Brønø: Sømnæs hjemmejorden, Tilrem. Velfjord: Saulus rigelig. Vegø: Eidem i Louplien 130 m o. h., Rørø Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge, 7 hyppig og rigelig i de fugtige enge, Sundvold fladen og i den urdede li 125 m o. h., Holand til Næs rigelig. Alstenø: Søvik til Thormodvoldaasen. Vefsen: fladen ved Skjerva, kollerne paa Dalstadaasen. 10. Ranunculus acris L. Støren: Præstegaarden omg. Levanger: Støp. Inderøen: Vennaberg. Stenkjær: Ne- dre Lø VA 15% 81, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Kvam, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt, Horjem, Sem ri- gelig, Nagthus, Bergsaasen og overalt i trakten, Gravbrøt, Blomli sætervold 359 m o. h., Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale med engen gulnende af den, Lenglingen, Devi- ‘ken, Aune; Nordli, Sandviken, Kvelidalen, sydenden af Li- mingen. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik og Botten- gaard omg. med engen gulnende af den 15/s 82. Namsos: Klingen, Spillum. Overhalden: Hunn, Veglo OV ?/s 79. Grong: Berg med engen gulnende af den 350 m o. h,, Brændmoen, Trondenæs, Rørvik. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørø omg., Stenfjord. Lekø: Røsvik, ogsaa i ageren; Huseby omg. Bindalen: Hildringen 501 m o. h. samt 107 mo. trægr. V 7 80, Øksningen V+ ? 80, Tosenfjord Syd- bergsli, Land. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland; Brønøsund et belte i fjæren. Velfjord: Hegge, Heggesen. Vegø: Rørø og fleresteds. Alstenø: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen birkeklædt vestli, omkring Mo- sjøen, Øiengaardene, Alfstad engene. — Negl. 11. Ranunculus repensL. Støren: Præstegaarden omg. Inderøen: Vennaberg, Sakshoug i ageren. Beitstaden: Østvik sammen med Viola tricolor dominerende i ækre. Sten- kjær: Nedre Lø, ogsaa rigelig i fugtige kreaturveie gjen- nem tæt granskov; Byhalden. Stod: Kløvgaard ækre. Snaasen: Horjem i ækre, Sem, ved Lerbækken temmelig afsides fra kulturen dækkende store flækker i skoven; Grav- brøt til Agle hyppig i veikanten, Gravbrøt hjemmejorden. Lierne: Ulen vand Skaale, mellem Ulen vand og Lenglin- -_ 8 J. M. Norman. gen i den fugtige skovvei, men ikke udenfor den, Lengligen Deviken, Aune dominerende i ækre, Nordli Sandviken, Kveli i ageren, nybygget Skogen yderst rigelig paa hjemmejorden, Tunsjøen til Limingens sydende i selve fjeldstien. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik og Botten- gaard omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø beltei fjæren. Namsos: Klingen paa aasen fjærnt fra kultur og fra veie. Overhalden: Hunn ved sommerfjøset og fleresteds, Veglo omg. i veikantene og dominerende i ækrene. Grong: Gode- jord, Berg 350 m o. h.; midt i skovmarken paa nybygget Brændmoens hjemmejord, ellers ingensteds i omg.; Trondenæs, Rørvik over 405 m o.h. dominerende i de dyrkede enge, paa aasen i fugtig bakke med spor efter kreaturerne 511 m o. h. Nerg: Sandnæs. Vikten: Rørvik i agrene, Stangring omg., Garstad. Lekø: Huseby omg.=Bindalen: Øksningen, Ter- raak; Tosenfjord Land ved fjøset, Barstad stærkt ukrud i age- ren. Brønø: Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. i agrene og paa stranden, Tilrem. Velfjord: Saulus i ækre tæt blandet med Matricaria og Myosotis arvensis, Helle- stad til Hegge, Raakhatten i fævei 27 m o. h. Vegø: Rørø ækre. Alstenø: Søvik sammen med Matricaria hovedbe- standdel af ækrens vegetation. Vefseln: Mosjøen i 2 aars gammel ækre dominerende sammen med Potentilla anserina og Rumex Acetosella, Alfsgaard. 12. Caltha palustris L. Levanger: Støp, Krogstad. Inderøen: Sakshoug. Stenkjær: \ 1% 81. Stod: Ho, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt, Horjem, Nagthus, Sem, Præstegaarden ved Svarva elv, Sandnæs, Omli, Blomli sæter- vold 359 m o. h. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken 412 m o. h., Aune V */6 81, Nordli Sandviken, Kve- lidalen, sydenden af Limingen. Hitteren: Havn. Ørlan- det: Beian V */s 79. Bjugn: Ervik omg. \/ 14/6 82, Bot- tengaard omg. Aafjord: Valdersund omg. \/ 1°/s 82, Valse Namsos: Spillum, Klingen. Overhalden: Veglo omg. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 9 Grong: Berg nær Brændmoen, Rørvik ovenfor 405 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten; Garstad omg. Lekø: Huseby til Skei og omg. V *% 80. Binda- len: Tosenfjord Land. Brønø: Sømnæs, Torgø Nordhus- land, Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem. Velfjord: Hegge, Heggepen. Vegø: Rørø, Sundvold. Alstenø: Søvik. Vef- sen: Mosjøen V ?'/s 77. — Var. radicans (T. F. Forster) Snaasen: Sandnæs. 13. Trollius europæus L: Lierne: Ulen vand, Skaale i engen flækkevis rigelig, Jule enkeltvis; Deviken og Aune fornemlig langs bredden af Lenglingen og Holden vand \ 29/6 81; Nordli Sandviken ovenfor gaarden hyppig og rigelig i bakkerne, i Lian hyppig, Præstegaardsæteren 572 m o. h. rigelig, Tunsjøen til Limingens sydende. Grong: Berg 350 m o. h.\/ !!/ı 81 og i aabninger i skoven 312 m o. h., ved Fin- burelven rigelig, hist og her mere enkeltvis i skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen, Aasmulen paa den af flommen oversvømmede strimmel af elvebakken, Tromselvdalen opover fra 254 til 466m o. h., Rørvik paa aasen rigelig 511—616 m o. h. — I Beian dyrkes den i haven som sirplante. 14. Agvilegia vulgaris L. Cfr. 1. c. pg. 230. 15. Aconitum Lycoctonum E. Støren: stationen omg. AAV 11/6 82, derfra til Hovind paa selve jernbanevolden. Holtaalen: Tyvold omg. 664 m o. h., Vondgraven 600 m. 0. h. rigelig, tildels i bestand; derfra hyppig og rigelig Gul- dalen nedover. Levanger: Alfsnæs i olderskov. Inder- gen: Vennaberg i olderskov. Beitstaden: mellem Elden og Øvergaard rigelig. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden Å À V 16/6 81. Stod: Hammer, Kvam, Nastad, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt, Horjem, Sem lige ved bredden af Snaa- senvand, Berg, Nagthus tæt bestand nedenfor sydbakke, Sand- næs; Omli tildels i bestand, nedenfor hammere blandet med Humulus og med Stellaria nemorum som bundgres VV! 24/6 81, Blomli 359 m o. bh. Lierne: Ulen vand Skaale og L 10 J. M. Norman. Jule overalt rigelig; Lenglingen Vestnæs i olderkrat, Deviken 448 m o. h., hele næsten sluttede bestande ved vandets bred blandede med Mulgedium og Rubus idæus; Aune 468 m. o. h. dominerende, Nordli Sandviken rigelig, Kveli rigelig. Namsos: Spillum, Klingen. Overhalden: Hunn, Veglo omg. fleresteds. Grong: Veium, Godejord, Berg elvelierne rigelig og luxurie- rende op til Finburelv, men ikke noteret for skovtrakten mel- lem Sandøldal og Namsen; Fiskum, Tromselvdalen opover til 254 m o. h., Rørvik rigelig op til 511 mo. h. Bindalen: Hildringen østside 87 m o. h., Øksningen, Tosenfjord Sydbergsli 14 mo. h,, Land 71m o.h. Brønø: Skaaren Høglien en- keltvis 78 m o. h., Tilrem enkeltvis hist og her i lierne 44— 110 mo. h. Velfjord: Saulus, Nøstvik rigelig i trakten, Hegge, Heggeøen, Hummellien, Raakhatten op til 347 m o.h.. samt 6 mo trægr. V V 780, 220 cm hei. Vefsen: Kubbe- stadsjaaasen birkeklædt vestli, Dalstadaasen ikke sparsomt sammen med Struthiopteris og med Circæa og Viola biflora som undergræs. 17. Actæa spicata L. Holtaalen: Vondgraven 606 m o. h. Stenkjær: Nedre Lø ikke sparsomt. Stod: Kvam, Ryg, Hegge. Snaasen: Hammer til Langnæs, Vegsæt, foden af Horjemfjeldene, Præstegaarden storvoksen i grauskoven, Stævra-aasen, Berg, Nagthus, Sandnæs, Omli i berghalden. Lierne: Aune 468 m o. h., Nordli Sandviken i Bergan 504 mo. h. rigelig VV! 4/7 81, Kveli 389—404 m o. h. ikke sparsomt. Hitteren: Havn omg. Aafjord: Melem. Over- halden: Hunn, Veglo omg. sydbakke ved Barlien. Grong: Berg 291 m 0. h. Nærø: Klungervik, Holand 138 m o. h. Vikten: Rørvik omg. i dyb bergkløft. Bindalen: Tosen- fjord Sydbergsli 14 m. o. h. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø fleresteds, 92 m o. h. rigelig; Skaaren Høglien 132 m o. h,, Tilrem 44 mo. h. Velfjord: Hegge en berghoug sydside 31 m o h., Heggeøen fleresteds ikke sparsomt. Vefsen: Dalstad- aasen hyppigere end sædvanlig, lierne ved Bjørnaavand. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge 11 NYMPHAACEA. 18. Nymphæa alba L. (ikke skjelnet mellem N. alba og N. candida). Beitstaden: Rognstadvand. Snaasen: Snaa- senheien 169 m o. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: van- det indenfor Bottengaard, Kolkjenna. Nero: Lervik. Vikten: Rørvik omg., Klumpavatne, Drag, Svarthammervatne. Bin- dalen: Tosenfjord Sørenskogen 28 m o. h. Velfjord: Strengsvand, Bruvand, Svanvand; i tjærnene mellem Nøstvik og Hegge, dels sammen med Phragmites, dels med Potamo- geton natans; tjærn nedenfor Hummellien. Vegø: Rørø, ud- marken mellem Gladstad og Gulsvaag, Gulsvaag hyppig i trakten. 19. Nuphar pumilum DC. Velfjord: Strengsvand. FUMARIAGEÆ. 20. Corydalis fabacea L. Stenkjær: Byhalden i fica- ria-bedene + 1% 81. Lierne: Kveli i lien ovenfor gaar- den 429 m o. h. mellem Struthiopteris. Suppl. 1. e. pg. 230. 21. Fumaria officinalis L. Nærø: præstgaardtrakten. Bindalen: Tosenfjord Land, ogsaa paa grusede steder uden- for agrene. Velfjord: Opsjøen i ageren. Rimeligvis oftere forbg. À CRUCIFERA. 22. Nasturtium palustre DC. Støren: stationen omg. 23. Barbarea vulgaris R. Br. Holtaalen: Langleite til Reitan 206 m o. h. 24. Barbarea stricta Andrz. Grong: Veium til Haugum, Sandnæs 169 m o. h., Godejord 196 m o. h. 25. Arabis hirsuta Scop. Levanger: Eidsbotten. In- derøen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø AN AY !% 81, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune mangesteds, Kvam, 12 J. M. Norman. Nastad, Kløvgaard (taaler mere græsbunden mark end A. Thaliana). Snaaseu: (Blytt, ipse) Vegsæt, Hhroaldstenen, Stævra-aasen, Bergsaasen, Sandnæs; Agle til Gravbrøt meget hyppig V+ 7/6 81. Lierne: Aune hougene ovenfor gaar- den, Høghougen 468 m o. h. og rigelig 485m o. h. Aafjord: Melem, Valdersund omg. Grong: Berg rigelig, nær Finbur- elv, Rørvik aasen 604 m o. h. i sydli. Nerg: præstegaard- trakten. Lekø: Huseby til Skei. Bindalen: Tosenfjord Land til Barstad. Brønø: Skaaren Høglien 31 m o. h., Præstegaarden omg. Velfjord: Hegge, Heggeøen hyppig i trakten + 2 80, Nøstvik, Raakhattens fod. Vegø: Eidem Louplien 34—301 m o. h., Sundvold i urden 125 m o. h. Alstenø: Søvik kalkklipperne, Thormodvoldaasen. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds, sydbakke søndenfor Øiengaardene \/ 30/6 77, Alfsgaard sydvestli; lien ved Bjørnaavand, her ogsaa i granskoven. ; | 26. Arabis Thaliana L. Levanger: Eidsbotten omg. Inderøen: Vennaberg, Rødsæteren. Stenkjær: Nedre Lø hammerne ovenfor gaarden, Byhalden V + '% 81. Stod: Langhammer til Aune mangesteds flækkevis paa flaaernes skrinde jord, Ho, Kvam hyppig og rigelig i trakten, Hegge, Kirkaal. Snaasen: Hammer til Langnæs, Langnæs, foden af Horjemfjeldene og langs hele Snaasenvandets nordside den hyppigste art paa de skrindjordede klippeafsatser, Præstegaar- den. Hitteren: Havn omg. Aafjord: Melemgaardene og temmelig hyppig i trakten, Valdersund, Hyldenæsset og flere- steds, Valsø. Namsos: Spillum Almlien. Grong: Berg 330 m o. h. Vikten: Garstad omg. Velfjord: Hegge 20 m o. h., Nostvik. Vefsen: Dalstadaasen nær Andaas. 27. Turritis glabra L. Støren: stationen omg. rigelig V 11/6 82. Stenkjær: Nedre Lø \ % 81. Grong: Berg 380—354 m o. h. rigelig V+ !!/ 81, indtil 60 em høi.- Suppl.: 1. e. pg. 230. Om karplanterens udbredning i det nordenfj. Norge. 13 28. Cardamine sylvatica Link. Lierne: Skogen c. 312m o. h. Vegø: Louplien 31 m o. h. Suppl.: 1. e. pg. 230. 29. Cardamine pratensis L. Inderøen: Sakshoug omg. fleresteds. Snaasen: Præstegaarden ved Svarva elv. Hit- teren: Havn omg. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. V 14/6 82. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Overhalden: Hunn. Grong: Homo. Nero: Lervik. Vikten: Rørvik omg., Aaviken, Gravset. Lekø: Huseby omg. Brønø: Tilrem V 2/6 82... Vege: Rørø \/”/ 82, Gulsvaag, Sundvold. Al- stenø: Søvik. — Var. propagulifera (mihi, cfr.{Bot. Not. 1865 pg. 25). Brønø: Sømnæs. 30. Cardamine amara L. Støren: stationen omg., Lun- demo omg. Stenkjær: Byhalden. Stod: By til Sunde, Klevgaard, Kirkaal. Snaasen: Agle til Bøgnæs. Namsos: Klingen omg. Grong: Præstegaarden, Solemmoen og Solem hyppig og rigelig, Fjerdeng V */: 81, 64° 35—36"' n. br. artens hidtil kjendte yderste nordgrendse. Suppl. |. e. pg. 231. 31. Sisymbrium Sophia L. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Aaviken paa tag rigelig. 32. Erysimum hieracifolium L. Støren: stationen omg. fleresteds rigelig. Levanger: Støp, nær Eidsbotten. Inder- øen: Vennaberg. Stod: Nastad, Kvam, Kirkaal. Snaasen: Hammer til Langnæs, Hhroaldstenen, Horjemfjeldenes fod rigelig som paa de øvrige steder. Lierne: Aune Høghougen 468 m o.h., Kveli 477 mo. h. Grong: Veium, nær Nynæs, Godejord rigelig og hyppig paa Sandøldalens skiferfelt, Berg ovenfor 350 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien 78—91 m o.h. Vegø: Eidem Louplien 63 m o. h. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds, Alfsgaard vestli. 33. Brassica campestris L. Lierne: Lenglingen Vest- nes. Grong: Næs ovenfor Fiskum. Nerg: præstegaard- trakten. Vikten: Rørvik omg. Brønø: Torgø Nordhusland stærkt ukrud i ageren. -Vefsen: Kubbestadsjøaasen ækre gulnende af den. 14 J. M. Norman, 34. Sinapis arvensis L. Støren: stationen omg. In- derøen: Sakshoug. Ørlandet: Beian ækre gulnende af den. Aafjord: Melem, Valdersund omg., Valsø. Nærø: præste- gaardtrakten. Vikten: Rørvik, Aaviken. Bindalen: Ter- raak. Brønø: Torgø Nordhusland. Velfjord: Nøstvik. Vegø: Sundvold. Alstenø: Søvik. 35. Sinapis alba L, Nærø: præstegaardtrakten. Vik- ten: Garstad omg. 36. Draba hirta L. Grong: Rørvik aasen 606-m o. h. Vega: Eidem Louplien 377 m. o. h. 37. Draba incana L. Støren: Lundemo omg. Sten- kjær: Nedre Lø under hammerne ovenfor gaarden. Lierne: Aune bakkerne ovenfor gaarden 380 m o. h. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: (Koren, ipse) Beian hammere ved søen ved h. n. Bjugn: Ervik omg. lidet o. h. Aafjord: Melem nær h. n., Valdersund (A. Blytt, ipse). Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Aaviken. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Sydkvalø Lervik, Skaaren Høglien 84 m. o. h., Sømnæs ved h. n., Præstegaarden omg., Hestø ved h. n., Saurusø, Tilrem ved h.n. Velfjord: Bruvand, Hegge. Vegø: Rørø ved h. n. V */s 82, Eidem Louplien 319—353 m o. h., Gulsvaag, Ho- land til Næs nær h.n. Alstenø: Søvik. Vefsen: Dalstad- aasen V ” 77, Alfsgaard. 38. Draba verna L. Sten kjær: Nedre Lø under hammerne ovenfor gaarden rigelig, tildels næsten exklusivt dækkende flækker paa et par m*, tildels V, tildels med modne frø 16/6 81. — Suppl.: 1. e. 231. | 39. Cochlearia officinalis L Levanger: Støp. Ør- landet: Beian. Aafjord: Melem til Valdersund, Valsø. Nærø: Klungervik, Lervik. Vikten: Garstad. Bindalen: Terraak. Brønø: Sømnæs, Torgø Nordhusland. Velfjord: Hegge, Heggeøen. Vegø: Holand til Næs. Vefsen: Mo- sjøen omg. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 15 40. Camelina dentata Pers. Nærø: præstegaardtrakten, ialfald i aaret 1852. 41. Subularia aqvatica L. Cfr. 1. c. 231. 42. Thlaspi arvense L. Inderøen: Vennaberg. Aa- fjord: Valsø. Nærø: præstegaardtrakten. Vefsen: Kubbe- stadsjøaasen. 43. Capsella Bursa pastoris Med. Støren: Præstegaar- den omg. Levanger: Støp, ogsaa i fjæren. Inderøen: Rødsæter. Stod: Ho. Lierne: Nordli Sandviken. Grong: Godejord. Nærø: præstegaardtrakten, Klungervik til Stor- ved. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Huseby. Bin- dalen: Øksningen 81 m o. h. Brønø: Sømnæs Høiviken i fjæren, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Hestø, Til- rem V+ ?% 82. Velfjord: Strengsvand, Nøstvik. Vege: Sundvold i fjæren. Alstenø: Søvik. Vefsen: Øiengaar- dene, Alfsgaard. Negl. og forbg. 44. Cakile maritima L. Ørlandet: Beianrigelig. Nærø: præstegaardtrakten. VIOLARIEÆ. 45. Viola palustris L. Støren: stationen omg. Sn kjær: omg. \ 1% 81. Stod:; Langhammer til Aune, Ho, Hegge. Snaasen: Horjem, fladen nedenfor Bergsaasen, Nagt- hus tætstaaende paa myren; Berg, ogsaa var. epipsila; Gravbrøt tilAgle rigelig overalt paa myrene, Omli, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken 365 m o h., Nordli Sandviken, Kvelidalen, sydenden af Limingen ovenfor 405 m o. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg., ogsaa var. epipsila. Aafjord: Valdersund omg. Overhalden: Hunn \ 22/78, Veglo omg. Grong: Trondenæs, Tromselv- dalen 254 m o. h.; Rørvik ovenfor 405 m o. h., ogsaa var. epipsila. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik & og var. epipsila. Lekø: Huseby omg. Binda- 16 J. M. Norman, len: Hildringen hist og her opover gstside 100—574 m o. h. samt 224 mo. trægr. Brønø: Sømnæs nær stranden V 11 82, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. Velfjord: Saulus sydbakke 91m o.h, var. epipsila; Hellestad til Hegge, Raakhattens fjelde op til 619 m o. h. samt 278 m o. trægr. Vegø: Rørø. Alstenø: Søvik fladen ved søen. Vefsen: Kubbestasjøaasen vestside, omkring Mosjøen V "77, aasen ved Alfsgaard. | 46. Viola svecica Fr. Levanger: Krogstad til Alfsnæs. Snaasen: Sem ved Snaasenvand, Lerbækken, Præstegaarden ved Svarva elv. Lierne: Lenglingen nordre ende 358 mo. h., Kvelidal ovenfor 312 m o. hl” Namsos: Spillum. Over- halden: Veglo omg., Steindalen. Grong: Berg 312 mo. h. nær Brændmoen rigelig, øverst i Tromselvdalen 402 m o. h. Brønø: Sømnæs Skavdalen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen sydside, Dalstadaasen, Alfsgaard. 47. Viola hirta L. * collina Bess. Støren: Lundemo omg. c. 63° 8' n. Br. Inderøen: Vennaberg, 63°, 52—59,, den for den nordenfjeldske flora nye arts yderste hidtil kjendte nordgrændse. 48. Viola arenaria DC. Hitteren: (forud ang.) Havn omg: 49. Viola sylvatica Fr. Stenkjær: Byhalden. Stod: Kvam, Hegge. Snaasen:. Horjem, Bruvold, Bergsaasen. Lierne: fleresteds. Bjugn: Ervik omg., vandet indenfor Bottengaard i lien. Overhalden: Hunn, Veglo omg. V 2/6 78. Grong: fleresteds. Nærø: Klungervik til Storved, Holand 150 m o. h. Vikten: Rørvik 62 m. o. h., Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby omg. V 2 80. Bindalen: To- senfjord Sydbergsli, Land til Saulus. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Tilrem 88 m o.h. Vegø: Eidem Louplien 301 m 0. h., Gladstad. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Dalstadaasen sammen med Orobus vernus, Convallaria majalis &c. V ”/ 77, nær Øiengaardene, Alfsgaard. Tildels negl. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 17 50. Viola canina L. (ex p.) Støren: stationen omg., Lundemo omg. Levanger: Støp. Inderøen: Sakshoug. Snaasen: Omli 163 m o. h. (v. montana). Lierne: Ulen vand Jule, og fleresteds. Bjugn: Ervik omg., Oksvold (v. montana). Aafjord: Melemgaardene, Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum Almlien 111 m o. h. Overhalden: Veglo omg. V ”/s 78. Grong: Godejord (v. montana), og fleresteds. Nærø: Sandnæs hyppig, Klungervik overalt. Lekø: Røsvik &c. Brønø: Sømnæs Kirkemarken 75m o.h,, Hestø. Vegø: Rørø, udmarken mellem Gladstad og Guls- vaag, Holand til Næs. Vefsen: Dalstadaasen. — Til- dels negl. | 51. Viola mirabilis L. Støren: Lundemo omg. Sten- kjær: Nedre Lø. Stod: Kirkaal, Kløvgaard. Snaasen: Omli. Lierne: Aune paa ”skiferen ovenfor husene 380 m o. h., Høghougen 468 m o. h. temmelig rgelig. Grong: Berg 288 m o. h. rigelig, paa skifer 371 mo. h. Brene: Skaaren Høglien 31—106 m o. h. Alstenø: Søvik kalkklip- per. Suppl. 1. o. p. 231. 52. Viola biflora L. Støren: stationen omg. c. 64 m o. h. Holtaalen: Vondgraven 611 m o. h. Levanger: Støp i olderskov ved h. n., Alfsnæs. Stenkjær: Nedre Lø ved Vigga bro ved h. n. Stod: Kne, Kvam fleresteds rige- lig, Kvam til Hegge, Hegge lige ned til 19 m o. h. hyppig og flækkevis rigelig i trakten, Kløvgaard byppig. Snaasen: Sem hist og her, Nagthus, Sandnæs, byppig i lavlandet fra Snaasenvand til Gravbrøt og Omli, Gravbrøt til Blomli 359 mo. h. i tæt granskov, Blomli sætervold dominerende, Græs- samo. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken 365 m 0. h., Nordli Sandviken omg. hyppig, Kvelidalen. Bjugn: Ervik omg. Overhalden: Veglo Steindalen. Grong: Berg: elvelierne 312 m o. h., Brendmoen, Rørvik lavlandet, op til 547 mo. h. Bindalen: Hildringen op til 528 m o. h. samt 178 m o. tregr., Øksningen sydvestli + "80. Velfjord: Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. S B. D 18 J. M. Norman. Saulus sydbakke 1 olderskov, Hegge 36 m o. h. i kløft i kalkberget, aasplateauet ovenfor Hummellien, Raakhatten. Alstenø: Søvik fladen ved h. n. Vefsen: Kubbestadsjø- aasen vestli, Mosjøen \/ °'/s 77, Dalstadaasen fleresteds, ne- denfor Øienfjeld rigelig, Alfsgaard sydvestli, li ved Bjørnaa- vand. 53. Viola tricolor L. Støren: stationen omg. a rige- lig, var. arvensis dominerende i ækre. Levanger: Støp. Inderøen: Vennaberg V *%, mellem Præstegaarden og Korsen rigelig i ækrene sammen med Myosotis arvensis. Beitstaden: Østvik dominerende i ækre. Sten kjær: omg. i ækre Å 16/6 81. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Kvam, Hegge, Kløvgaard i ækre. Snaasen: Hammer til Langnæs, Horjem og Berg i ækre, Bergsaasen, Sandnæs dominerende i ækre, Gravbrøt. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Klingen. Overhalden: Veglo a og var. ar- vensis i potetesager. Grong: Homo i ekre var. arvensis, Fiskum, Fjerdeng, Aasmulen 139 m o. h. i ækre. Nero: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik var. arvensis, Garstad ved stranden a. Lekø: Røsvik strandklipper, Hu- seby paa tagene, Præstegaarden i fjæren rigelig. Bindalen: Øksningen i lien til 81 mo. h. Brønø: Sømnæs fleresteds i lavlandet, Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge og hosliggende holmes mosseklædte klip- per blaanende af den, Nøstvik 38 mo. h. paa flaaer med © skrind mosseklædt jord a, ogsaa var. arvensis, 65° 24—25' n. br., afartens hidtil kjendte nordligste speciallokalitet *). Vegø: Eidem Louplien 184 m o. h., Rørø, Gulsvaag rigelig, Holand til Næs, Sundvold. Alstenø: Søvik, ogsaa i ækre *) At den ved Vardø kun var tilfældig og straks forsvandt, falder af sig selv. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 19 og sammen med Ranunculus repens. Vefsen: Dalstadaasens sydende ved Andaas 109 m o. h. DROSERACEÆ. 54. Drosera longifolia L. Stod: Hegge. Snaasen: nedenfor Bergsaasen, Gravbrøt; østenfor Græssamo 341 m 0. h., ogsaa var. obovata. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg., ogsaa var. obovata. Grong: Berg 312 m o.h., Næs- fjeldet mellem Sandøldal og Namsen hyppig, Tromselvdalen 254 mo. h. Nærø: Sandnæs, ogsaa var. obovata. Vikten: Rørvik omg. 89 m o. h., Klumpavatne, Garstad. Lekø: Hu- seby omg. Bindalen: Hildringen østside op til 209 m o.h., Terraak, Land til Barstad 82 m o. h. Brønø: Sømneæs, Torgø Nordhusland. Velfjord: Hellestad til Hegge 54 m o. h., aasplateauet ovenfor Hummellien, Bergvik til Op- sjøen. Vegø: Rørø. 55. Drosera rotundifolia L. Stod: Hegge. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Valsø. Namsos: Spillum omg. Grong: Næsfjeldet og hele trakten mellem Sandøldal og Namsen hyppig, Tromselvdalen 377—402 m 0. h. Nero: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. 106 m o. h, Klumpavatne, Garstad omg. Lekø: Huseby omg. Bindalen: Hildringen østside 144—160 mo. h. A\/\/ 39% 80, Tosenfjord Land 117 m o. h. Brønø: Sømnæs Kirkemarken 27 mo. he Torgø Nordhusland. Velfjord: Saulus op til 91 mo. h, Hellestad til Hegge 54 m o. h., aasplateauet ovenfor Hum- mellien. Vegø: Rørø. Vefsen: Kubbestadsjøaasen 101 m o. h. 56. Parnassia palustris L. Lierne: mellem Ulen vand og Lenglingen,. Kveli. Ørlandet: Beian. Aafjord: Kven- gjerdet, Valsø gens vestside. Overhalden: Veglo omg. Leraaen V/ 11/9 78. Grong: Berg 312 m o. h., Rørvik ovenfor 405 mo. h. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Ox 20 J. M. Norman. Evenstad, Garstad omg. Leks: Røsvik, Præstegaarden. Bindalen: Tosenfjord, Sydbergsli. Brens: Torgø Nord- husland. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge, Hegge, Heggeøen. Vegø: Gulsvaag til Sundvold. Sandsynligvis mangesteds forbg. POLYGALEA. . 57. Polygala vulgaris L. Hitteren: Havn omg. Ør- landet: Beian hougene ved søen meget rigelig V ”/c 77, Fladnæs til Hovd. - Aafjord: Melem rigelig, Kvengjerdet, Valdersund \/ 16/s 82, Valsø rigelig. Nærø: Klungervik, Sandnæs. Vikten: Aaviken. Lekø: Huseby omg.63mo.h., sydside 115 m o.h., hougene fleresteds rigelig, ogsaa ned til h. n. Bindalen: Tosenfjord, Sydbergsli tildels rigelig, op til mindst _ 46 m o.h.sammen med Gymnadenia conopsea. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø op til 88 mo h., Lervik; Skaaren Høglien lavt nede, Sømnæs, Sømnæsøen, Torgø Nordhusland (med blaa, rødviolette, blaalighvide og aldeles hvide blomster), Præstegaarden omg. mangesteds og meget rigelig, Hestø rigelig, Tilrem sydli op til 99 m o. h. Velfjord: Nøstvik, Hellestad til Hegge, Hegge byppig i trakten, Bergvik til Opsjøen. Vegø: Eidem til Viken nedenfor hammere, Gladstad, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag, Gulsvaag, Valle ved søen tildels nedliggende og noget nærmende sig til P.depressa (ofte med lilafarvede og med hvide blomster), Holand til Næs. Alstenø: Søvik kalkklipper. 58. Polygala amara L. Stod: Kløvgaard 45—48 m o.h. Snaasen: Sem ovenfor gaarden 53 m o. h. ikke sparsomt, Krogsgaard, Gravbrøt, Lian 106 m o. h. i græsklædt bakke temmelig rigelig, 64° 11—12' m. br, artens hidtil kjendte yderste nordgrændse. SILENEÆ. 59. Silene inflata L. Levanger: Krogstad. til Alfsnæs i ækre. Snaasen: Vegsæt, Sem i ageren, Gravbrøt, Omli i Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 21 berghalden. Lierne: Ulen vand Jule; Lenglingen Deviken i ækre; Aune, ogsaa paa skiferbakkerne ovenfor gaarden 380 m o.h.; Nordli Sandviken, Kveli 427m o. h. iblandet den yppigste livegetation. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valdersund i &kre, Valsø. Overhalden: Veglo omg. Grong: Berg paa skiferbakkerne ovenfor 350 m o. h., ny- bygget Brændmoens hjemmejord, Trondenæs, Rørvik i age- ren ovenfor 405 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sand- næs. Vikten: Aaviken. Lekø: Røsvik. Bindalen: Aspe- nes, Tosenfjord Barstad i ager. Brønø: Sømnæs paa stranden, Sømnæsøen, Præstegaarden omg., Tilrem. Vel- fjord: Saulus, Strengsvand, Nøstvik i græsbakkerne mellem de kratlievoksede houge. Vegas: Sundvold i ager. 60. Silene maritima With. Brong: Sydkvalø, Sømnæs, Tilrem i sydli 139 m o. h. enkeltvis. 61. Silene rupestris L. Beitstaden: Hjeldbotten. Lierne: Aune hougene ovenfor gaarden 468 m o. h V 29/6 80, Kveli 477 m o. h. Å 5/7 80. Namsos: mellem byen og Høgnæs. Overhalden: mellem søen og Veglo hist og her. Grong: Berg 350 m o.h. Bindalen: Tosenfjord Land op til 71 m o. h. \ 21/7 80, Barstad til Thorshoug. Velfjord: Hegge til Hellestad 31m o. h. 62. Silene asavlis L. Snaasen: Blomli til Græssamo 614 m o.h. Grong: Rørvik aasen 598 m o.h, V Yı 81. Lekø: hyppig fornemlig i øens udmark mellem heiene fra h. n. til 105 m o. h., tildels sammen med Orobus vernus og Polygala vulgaris. Bindalen: Hildringen 528 m o. h. samt 178 m o. trægr., Tosenfjord Sydbergsli ved h. n., Land ved h. n. og hyppig opad bakken til 71 m 0. å. Brong: Søm- nes nær b. n., Præstegaarden omg., Hestø 13 m o. h. rige- lie. Velfjord: Raakhattens fjelde 498 m o. h. samt 157 m o. tregr. Vegø: Eidem Louplien 203 m o. h. V */6 82, Sundvold ikke 1m o. h., udmarken mellem Giadstad og Gulsvaag 23 m o. h., Holand til Næs ved h. n. Alstens: 29 J. M. Norman. Søvik fladen ved h. n. hyppig. Vefsen: Mosjøen nedenfor Øienfjeld ved h. n. 63. Viscaria alpina Don. Grong: Rørvik aasen 547 m o.h. Brønø: Sydkvalø Lervik ved h. n., 65° 12—13' n. br., sydligste hidtil kjendte lokalitet, hvor den stiger ned til h. n. | 64. Lychnis Flos cuculi L. Indersen: Rødsæteren. Hitteren: Havn omg. med toppen 14/6 74 beskadiget af nattekulden. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg. til- dels A AV 14/s 82, Bottengaard omg., Møllergaard. Nærø: Klungervik. Vikten: nær Klumpavatne, Aaviken, Garstad i grøv- ter 4-1 4 80. Lekø: Præstegaarden, Huseby, Skei omg. N/ 30/80. Bindalen: Aspenæs 26 m o.h. i grøvt, paa fugtige enge sammen med Carex leporina; Tosenfjord Land. Brønø: Sømnæs bjemmejorden store rødnende flekker af den blom- strende vækst, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. hyp- pig, Tilrem. Velfjord: Saulus røde flækker af den nær vandets bred, Strengsvand tildels rigelig, Hegge, Heggeøen, nedenfor Hummellien. Vegø: Rørø, Gladstad AV 24/6 82. 65. Melandrium sylvestre Roehl. Støren: stationen omg. AAY 11/6 82. Holtaalen: Vondgraven 606m o. h., AAY 13/, 81. Levanger: Støp. Inderøen: Vennaberg. Sten- kjær: Byhalden AAV '%80. Stod: Hegge. Snaasen: Hammer til Langnæs hyppig, Horjem i flad eng, Sem i age- ren, Præstegaarden, Sandnæs, Blomli sætervold \/ *% 81. Lierne: Ulen vand Skaale V '/ 81, Lenglingen Deviken; Nordli Bergan 504 m o. h., Kvelidalen. Ørlandet: Beian de flade enge rødnende af den '/; 82. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. i engene \/ 5/6 82. Aafjord: Valder- sund omg., Valsø. Namsos: Spillum Almlien. Overhal- den: Hunn, Veglo V ®/s, Barlien skovklædt sydbakke. Grong: Berg 371 m o. h., Fiskum, Trondenæs, Rørvik oven- for 405 m 0. h.* Nero: Klungervik, Holand lien 138 m oh, Vikten: Ofstad til Stangring, Garstad +V “ 80. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 23 Lekø: Huseby omg. Bindalen: Hildringen 406 m o. h. samt 64 m o. treg. V °°/s 80, Tosenfjord Land til Barstad paa olderkledt urd. Brønø: Skaaren Høglien 132 m o. h., Sømnæs fladen i birkeskov, Tilrem sydli 50 m o. h. Vel- fjord: Saulus sydli 136 m o. h., Hellestad hyppig i trakten, Hegge, Raakhatten 108—347 m o. h. samt 6 m o. trægr. Vega: Louplien \/\/ *?/e 82, Rørø, Holand til Næs. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds, Alfsgaard skovbar flade. 66. Melandrium pratense Roehl. Stenkjær: ved veien til Hammer rigelig. Ørlandet: Beian til Fladnes. Nærs: præstegaardtrakten, i al fald i 1852, 64° 48—50', artens hidtil kjendte nordligste speciallokalitet. 67. Dianthus deltoides L. Cfr. 1. c. p. 232. ALSINEA. 68. Sagina procumbens L. Støren: stationen omg. fleresteds. Inderøen: Næsberget. Snaasen: Hammer til Langnæs, Sem bundgræs i hjemmejordens enge. Ørlandet: Beian. Bjugn: Oksvold OA 19% 82. Aafjord: Melem, Valsø. Namsos: Klingen omg. Nærø: præstegaardtrak- ten. Vikten: Rørvik omg. 75 m o.-h., Garstad. Lekgø: Huseby omg. fleresteds. Bindalen: Øksningen sydvestside, Tosenfjord Land. Brons: Torgø Nordhusland, Tilrem. Velfjord: Svanvands udløb, Nøstvik. Vegs: Rørø ved mølledammen. Sandsynligvis hyppig og strøgvis forbg. 69. Sagina maritima G. Don. Vigten: Garstad spar- somt paa stranden, 64° 52—53', nest nordligste hidtil kjendte lokalitet. 70. Sagina saxatilis Wimm. Lierne: Ulen vand Skaale fleresteds og rigelig i engen \/ 1/7 80, Lenglingen Deviken 365 m o. h., Nordli Sandviken. Grong: Berg i elvelierne 330 mo. h. Sandsynligvis oftere forbg. 71. Sagina nodosa Fenzl. Nærø: præstegaardtrakten. 24 J. M. Norman. Brønø: Præstegaarden omg. Velfjord: storblomstret c. 60 m fra fjæren, Bergvik. 72. Spergula arvensis L. Støren: stationen omg. Grong: Homo, Fjerdeng. Nerg: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Huseby omg. Bin- dalen: Hildringen rigelig, Tosenfjord Land. Brønø: Tilrem. Velfjord: Strengsvand, Hellestad til Hegge i agrene sam- men med begge Galeopsis-arter og Artemesia. Vegø: Viken til Roa, Sundvold. Vefsen: Øien, Alfsgaard. Ofte forbg. 73. Spergularia canina Leffl. v. leiosporma (Kindb.) Levanger: Eidsbotten. Vikten: Garstad. Brønø: Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. Velfjord: Bergvik. 74. Halianthus peploides Fr. Hitteren: Havn omg. Aafjord: Valsø paa øens vestside. Nærø: Sandnæs. Lekø: Røsvik, Præstegaarden. Bindalen: Terraak. Velfjord: Bergvik. Vegø: Sundvold. Alstenø: Søvik store matter af den. Vefsen: elvebredden nedenfor Øienfjeld. 75. Arenaria trinervia L. Støren: stationen omg. c. 64 mo. h. Indergen: Vennaberg. Stenkj'ær: Byhalden Stod: Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt. Aafjord: Melemgaardene Overhalden: Hunn, Veglo ovenfor Bar- lien. Grong: nær Sandnæs 287 m o. h., Berg 330—354 m o. h. \/ 11/7 81. Vikten: Rørvik omg. paa urd 68 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien 39 m o.h. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds \/ *°/s 77, nær Andaas op til 152 m o. h., Alfs- gaard sydvestli i olderskov. 76. Arenaria serpyllifolia L. Støren: stationen omg. rigelig, tildels yderst rigelig paa bratte skraaninger. Lev- anger: Støp, Eidsbotten paa hugstflade i olderskoven sam- men med Geum urbanum. Sten kjær: Nedre Lø AV V '% 81. Stod: Kvam, Kirkaal, Kløvgaard fleresteds indtil 43 m o. h. Snaasen: Hammer til Langnæs, foden af Horjemfjeldene, Sandnæs, Bergsaasen, Agle til Gravbrøt, Lian. Aafjord: Melem, Valdersund omg. fleresteds (A. Blytt, ipse). Vikten: Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge, 25 Aaviken. Lekø: Huseby til Skei. Brong: Præstegaarden omg. fleresteds, tildels rigelig, Hestø. Velfjord: Nøstvik tildels rigelig, Hegge fleresteds og hyppig i engen. Suppl. l. e, 232. 77. Arenaria ciliata L. Cfr. 1. ce. p. 232. 78. Stellaria nemorum L. Støren: stationen og Præ- stegaarden omg. Holtaalen: Tyvold c. 624 m o. h. In- derøen: Rødsæter i olderskovens struthiopterisbestand. Sten- kjær: Byhalden ved en bæk tætte smaa bestande \/| Ber oie Stod: Kvam. Snaasen: Hhroaldstenen og omg. mere en- keltvis, Sem omg. ved en bæk i olderkrat, Omli tildels rige- lig i aconitumbestand. Lierne: Lenglingen Deviken 448 m o. h., Vestnæs; Nordli Sandviken ved en bæk rigelig, Kveli i aconitumbestand op til 404 m o. h.; Skogen. Namsos: Spillum Almlien 116 m o. h., i skovklædt sydvestli flæk- kevis, yderst rigelig paa tør urd. Overhalden: Hunn i olderskov rigelig \/ */6 79; Veglo omg. sydbakke ovenfor Barlien i olderskov rigelig. Grong: Berg i elveliernes aconitumbestande 312 m o. h. rigelig, Solemmoen, Rørvik ved bæk ovenfor 405 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien 122 m 0. h. Velfjord: Saulus sydbakke 115 m o. h. i pteris- bestand, Nøstvik til Hegge vestside i struthiopterisbestand rigelig, Hegge i en snever kløft i kalkberget, Raakhattens fod 145 m o. h. yderst frodige leder af den. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds, dels sammen med Myosotis sylv., dels med Aconitum og Struthiopteris i olderskov, lien ved Bjørnaavand 258 m o. h. 79. Stellaria media Cyrill. Støren: stationen. Levan- ger: Krogstad. Stod: Langhammer til Aune, Hegge. Snaa- sen: Horjem, Sem i agrene, Gravbret \/ °*/s 81, Blomli ved sæterdøren 359 m o. h. Lierne: Ulen vand Skaale; Leng- lingen Deviken, tæt som en ager under gulvet af en lade, Aune; Nordli Sandviken, Præstegaardsæteren ved husene 572 mo. h., Kveli, nybygget Skogen 312 m o.h. Hitteren: 26 J. M. Norman. — Havn. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik, ogsaa i udmar- ken ved sommerfjøset; Bottengaard. : Aafjord: Melemgaar- dene. Namsos: Klingen. Overhalden: Hunn, Veglo, Barlien til Svallisæteren paa torvjord i udmarken, opvokset af fjorsgammel komøg, og ved sæteren. Grong: Godejord, Berg 350 m o. h., nybygget Brændmoen ved gjødseldyngen, Trondenæs, Rørvik i ager ovenfor 405 m o. h. Nærø: Præ- stegaarden, Sandnæs. Vikten: Rørvik. Lekø: Huseby. Bindalen: Øksningen, Tosenfjord Land. Brønø: Sømnes, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Vel- fjord: Hegge. Vegø: Rørø, Sundvold. Alsteng: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Mosjøen, Alfsgaard. 80 Stellaria graminea L. Levainger: Støp, Krogstad. Indergen: Vennaberg \/ *°/6 78. Snaasen: Sem. Overhal- den: Hunn. Grong: Berg 350 m o.h. Nærø: præste- gaardtrakten. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Bindalen: Øksningen sydvestli hyppig, Tosenfjord Land 101 m o. h., Land til Barstad. Velfjord: Saulus, Nøstvik, Hellestad, Hegge \/ “/1 80. Hyppig og strøgvis forbg. 81. Stellaria Friesiana Ser. Stod: Hegge rigelig. Snaasen: Hammer til Langnæs, Vegsæt, Bruvold, foden af Horjemfjeldene, Sem. Lierne: Ulen vand Jule, mellem Ulen vand og Lenglingen, Deviken; Nordli Sandviken, Kveli 463 m o.h. Namsos: Spillum, Almlien 116mo.h. Grong: Godejord, nedenfor Nynæs 185 m. o. h., Berg 288 m o. h. og flere- steds paa en 16—17 aar gammel skovbrandflade. Velfjord: Saulus 138 m o. h., Heggeøen. Sandsynligvis hyppig forbg. 82. Stellaria borealis Bigel. Lierne: Kveli 389—477 mo. h. Grong: Berg 312 m o. h. 83. Stellaria uliginosa Murr. Namsos: Klingen omg. Suppl. 1. c. pg. 232. 84. Stellaria crassifolia Ehr. Aafjord: Valsø øens vest- side NAV 7 82. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 27 Stangring. Bindalen: Terraak, Tosenfjord Land. Brons: Sømnæs, ogsaa ved en bæk; Præstegaarden omg. paa myr- lændt mark et stykke fra søen, Velfjord: Heggeøen. Vege: Eidem til Viken c. 1.4 km fra søen. Alstenø: Søvik. 85. Cerastium viscosum L. Støren: stationen omg, Vikten: vandet ved Stangring paa fugtig bred, Garstad omg. fleresteds rigelig paa nøgen fugtig af kreaturerne optrakket torvmark sammen med C. vulg. Brønø: Præstegaarden omg. paa fugtig flækkevis nøgen mark sammen med Myosotis cæspi- tosa. Velfjord: Hellestad til Hegge. Suppl. 1. c. p. 232. 86. Cerastium vulgatum L. Støren: stationen omg. V 11/6 82. Inderøen: Sakshoug omg. Stenkjær: By- halden. Stod: Hegge, Kvam. Snaasen: Hammer, Langnæs, foden af Horjemfjeldene, Sem, Gravbrøt. . Lierne: Aune Høg- hougen 485 m o. h. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Valsø. Overhalden: Veglo sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Godejord, Berg, Aasve. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik, Garstad omg. + V */ 80. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Øksningen sydbakke, Ter- raak V/ '”/s 80, Tosenfjord Land. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs paa stranden, Præstegaarden omg., Tilrem \/ *°/s 82, Velfjord: Nøstvik, Hegge, Heggeøen. Vegø: Rare. Al- stenø: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Dalstadaasen. Strøgvis forbg. | 87. Cerastium alpinum L. a. Støren: Lundemo omg., Hovind ce. 53 m o. h., Støren station fleresteds. Holtaalen: Vondgraven 611 mo. h. Snaasen: Omli 163 m o. h. Li- erne: Aune Høghougen 468 mo. h., Kveli 477 m o. h. Grong: Sandnæs 169 m o. h., Berg 288 m o. h. paa ham- mere. Vegø: Eidem Louplien 34 m o. h. Vefsen: Dal- stadaasen, Alfsgaard sydvestli, lien ved Bjørnaavand. Sand- synligvis oftere forbg. 28 4 J. M. Norman. 88. Cerastium trigynum Vill. Grong: Gjeresvik ved Limingen e. 405 m o. h. paa hjemmejorden. LINE A. 89. Linum catharticum L. Indergen: Rødsæteren, Hamsaashougen. Stenkjer: Byhalden. Stod: Langhammer til Aune fleresteds paa hougene, tildels rigelig, Kvam flere- steds, Kirkaal; Kløvgaard paa hougene, 38 m o. h. rigelig. Snaasen: foden af Horjemfjeldene sparsomt paa berghyl- derne, Sem, Stævra-aasen fleresteds, Præstegaarden paa kalk- klipperne. Hitteren: Havn omg. Nærø: præstegaard- trakten temmelig hyppig. Bindalen: Tosenfjord Land, Brønø: Sydkvalø Lervik, Skaaren Høglien op til 98m o.h., 'Sømnæs fladen ved søen, Sømnæsøen, Præstegaarden hyppig i trakten. Velfjord: Hegge og Heggeøen fleresteds, tildels rigelig, Bergvik til Opsjøen. Vegø: Viken til Eidem 0 ?*/s 82. Sandsynligvis forbg. HYPERICINEÆ. 90. Hypericum perforatum L. Støren: stationen omg. paa bergsiderne. Inderøen: Rødsæteren. Stenkjær: By- halden (?). Stod: Korsen. Brønø: Præstegaarden omg. paa et par steder, tildels rigelig iblandt H. qvadrangulum, c. 65° 28", sandsynligvis artens hidtil kjendte nordgrendse. Vist- nok er den af Wahlenberg angiven at vokse ved Kjærringø paa Middagshougens sydside, men paa denne lokalitet har jeg alene bemærket Hypericum birsutum, der af Wahlenberg ikke nævnes nogetsteds for Nordland. Da nu Hypericum per- _foratum ikke vides at være bemærket noget andet sted nor- denfor polarkredsen, men H. hirsutum paa ikke faa steder, og da Wahlenberg besøgte Kjerringø i en, som det synes, sen sommer, og i slutten af mai og begyndelsen af juni, hvor Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 29 planteu kun kan have været. meget lidet udviklet, er det sand- synlig, at en forveksling har fundet sted. ‚91. Hypericum qvadrangulum L. Støren: Præstegaar- den. Levanger: Krogstad. Inderøen: Vennaberg. Sten- kjær: Nedre Lø; Byhalden fleresteds, rigelig i engbakke lige i kanten af skoven. Stod: Langhammer til Aune fleresteds, rigelig paa forøvrigt nøgen skifergrus, Ho, Kvam, Nastad, Grøtan, Ryg, Hegge. Snaasen: Vegsæt, Hhroaldstenen, fo- den af Horjemfjeldene, houg paa gaarden Berg. Hitteren: Havn omg. fleresteds. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Melem, Valdersund omg. flere- steds; Valsø, vestsiden af gen. Nærø: Klungervik rigelig, Sandnæs, Holand sydli 146 m o. h. og hyppig i egnen. Brønø: Skaaren Høglien 20 m o. h, Sømnæs Kirkemarken, Torgø Nordhusland rigelig, Præstegaarden omg. mangesteds og rigelig, Tilrem sydli 29—162 m o. h. Velfjord: Nøst- vik 38—59 m o. h., Hummellien fleresteds opad skraaningen, Raakhatten op til 386 m o. h. samt 5 m nedenfor trægr. 92. Hypericum pulchrum L. Strinden: Hummelvik. Stadsbygden: Galgeberget. Leksviken: Leksvikstranden. Alt if. Storm. 93. Hypericum hirsutum L. Siøren: Lundemo omg. fleresteds, tildels rigelig. Levanger: Støp. Stenkjær: Byhalden. Sfod: Langhammer til Aune, Kvam, Kirkaal, Kløvgaard. Snaasen: Omli. Grong: Berg 288 m o. h., kun en enkelt plante bemærket. Nærø: Holand sydli 118 m o. h. Vikten: Garstad omg. sydbakke. Bindalen: Tosen- fjord Sydbergsli 14 m. 0. h. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Skaaren Høglien 31—124 m o. h., Tilrem fleresteds i lierne 106—154 m o. h. Velfjord: Hegge sydside 31m o. h YA ”h 80, Heggeøen tildels rigelig, Hummellien AV 2 80 (medens H. qvadrangulum kun 0), Raakhatten 272—347 m o. h. samt 6 m o. tregr. Vegø: Eidem hyppig opover Louplien 34—301 m. o. h. 30 J. M. Norman. GERANIACEÆ. 94. Geranium sylvaticum L. Støren: stationen omg. Holtaalen: Tyvold 664 m. o.h. Levanger: Stop. In- derøen: Sakshoug omg. Stenkjær: Nedre Lø A\\y "°/s 81, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Kvam enkeltvis, Hegge. Snaasen: Hammer til Langnæs hist og her, men aldrig dominerende, Horjem, Horjemfjeldet hist og her, Sem, Stævra-aasen ikke sparsomt, Bergsaasen, Nagthus, Sandnæs, Omli AAV 74/6 81, Blomli, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Jule rigelig overalt, Lenglingen Deviken 448 m o. h. i det hele rigelig, dog ikke saa rigelig som mangesteds i landets arktiske egne; Aune temmelig rigelig, Høghougen 485 m. o. h.; Nordli Sandviken, Kvelidalen, sydenden af Li- mingen. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian hougene ved søen ret rigelig paa træbare lokaliteter. Bjugn: Ervik omg. \/ 24/6 82, Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum Almlien, Klingen omg. Over- halden: Hunn, Veglo omg. Grong: Berg hyppig paa hjemme- jordens græsvold, Brændmoen, Trondenes \/\/ * 81, Rør- vik aasen 511 m. o.h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik, Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby omg., Britdalen, men ikke saa hyppig som i nordligere egne. Bin- dalen: Hildringen i trægr. 350 m. o.h. og op til 559 mo. h. samt 209 m o. trægr. og hyppigere i de høiere regioner end lavere nede, Øksningen, Tosenfjord Sydbergsli, Land. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem. Velfjord: Hegge, Heggeøen, Hum- mellien og hyppig i trakten, Raakhatten 291 m. o.h. Vege: Vegdalen, Holand til Næs. Alstenø: Søvik træbar flade. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestli, Dalstadaasen hist og her, tildels temmelig rigelig, Alfsgaard sydvestli, Bjørnaavand flere- steds i lierne. Overalt i disse egne kun bemærket med mørk- violette blomster, ikke med lilafarvede eller hvidlige. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge, 31 95. Geranium Robertianum L. Støren: Lundemo omg., Præstegaarden omg. Levanger: Lillemark. Inderøen: Vennaberg, Næsberget, Rødsæteren rigelig. Stenkjær: nær- meste omg., Byhalden. Stod: Korsen og hyppig i trakten, Langhammer til Aune fleresteds, Kvam, Nastad, Ho, Ryg, Kløvgaard fleresteds. Snaasen: Hammer til Langnæs, Lang- næs, Vegsæt, foden af Horjemfjeldene, Stævra-aasen rigelig og flækkevis dominerende i blandet løv- og barskov, Præste- gaarden kalkklipperne rigelig. Hitteren: Havn omg. Aa- fjord: Melemgaardene V/ 16/6 82, Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum Almlien fleresteds paa urdens mosseklædte stene. Vikten: Garstad omg. urdet sydbakke. Brønø: Skaaren Høglien 39—106 m o. h., Saurusø, Tilrem sydli 141 m 0. h. Velfjord: Nøstvik fleresteds op til 24 m o. h.; Hegge, paa tilliggende holmes mosseklædte med skrindjord dækkede kalkklipper, Heggeøen. Vegø: Eidem hyppig opover Loup- lien 34—182 m o. h. BALSAMINEA. 96. Impatiens noli tangere L. Støren: Lundemo omg., Præstegaarden. Snaasen: Omli spirende planter ?*/s 81. Suppl. 1. e. p. 233. OXALIDEÆ. 97. Oxalis Acetocella L. Støren: stationen omg. flere- steds. Holtaalen: ved Bugla elv 572m o. h. Levanger: Støp i olderskov, Alfsnæs. Inderøen: Vennaberg. Beit- staden: Østvik. Stenkjær: ved Figga bro, Byhalden \/ 16/ 81. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Hegge, Kløv- gaard. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Lerbækken, Stævra-aasen skovklædt sydbakke paa kalk, Præstegaarden olderklædt sydvestside, Berg, Nagthus bundgræs i aconitum- 32 J. M. Norman. bestand, Sandnæs, Gravbrøt grankledt nordli rigelig. Lierne: Ulen vand Juleshøgen; Aune, Kveli. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund omg. Namsos: Spillum Almlien bundgræs i bestand af Polystichum f mas, Klingen hyppig iegnen. Overhalden: Hunn, Veglo Steindalen, sydbakke ved Barlien. Grong: Homo nordøstlig skraaning rigetig, Berg i elvelierne, Fiskum, Rørvik 464 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Holand. Vikten: Rørvik omg. hyppig, Garstad omg. Lekø: Huseby omg., tildels ri- gelig. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli 24 m o. h. tildels rigelig, Land 71 m o. h., Land til Barstad. Brønø: Syd- kvalø, Skaaren Høglien op til 122 m o. h., Sømnæs Kirke- marken, Tilrem sydli 53 m o. h. Velfjord: Saulus i older- klædt sydli’s struthiopterisbestande 67 m o. h. og mellem klippeblokke 115 m. o. h., Nøstvik til Hegge vestside i stru- thiopterisbestandene, Hegge sydbakke, Heggeøen, Hummellien rigelig, Raakhatten op til 118 mo. h. Vegø: Eidem Loup- lien op til 369mo.h. Alstenø: Thormodvoldaasen i birkeli. Vefsen: Kubbestadsjøaasen nordside ved Drevja, Dalstad- aasen fleresteds og høit opstigende, men sparsommere end i enkelte arktiske egne, houg ved Andaas nordside 142 m o. h. rigelig, Øjenfjeld østside rigelig, Alfsgaard sydvesli 201 m o.h. RHAMNEÆ. 98. Rhamnus Frangula L. Støren: Lundemo omg. flere- steds paa skalberg indtil 3 m hei, Støren station omg. om- kring 64 m o. h. — Suppl. I. e. p, 233. LEGUMINOSÆ. 99. Ononis hireina Jaq. Frosten: nær Stene ved søen. (A. Petersen). 100. Anthyllis Vulneraria L. Levanger: Støp, nær Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 33 Eidsbotten. Indersen: Næsberget, Hamsaashougen AV 204, 78. Beitstaden: Hjeldbotten. Stod: Langhammer til Aune. Snaasen: Sem O 2% 81. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian hougene ved søen, Rønholmen. Aafjord: Melemgaardene fleresteds, Valsø. Grong: Holandsgen i olderskov. Nærø: præstegaardtrakten. Lekø: Huseby til Skei rigelig. Bindalen: Tosenfjord Land. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø fleresteds op til 88 m o. h., Lervik, Skaaren Høg- lien 84 m o. h., Sømnæs mosseklædt skjelsandflade ved søen, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem \/ *% 82. Velfjord: Nøstvik. Vegø: Eidem Louplien 116—320 m o. h., Sundvold, Holand Av 22/6 82. Alsteng: Søvik. Vefsen: Dalstadaasen \/ ?%/s 77, Alfsgaard. 101. Trifolium pratense L. Støren: stationen omg. Holtaalen: Reitan ovenfor 542 m o. h. Inderøen: Venna- berg. Beitstaden: Østvik. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs, Sem, Præstegaarden fleresteds, Gravbrøt. Lierne: Ulen vand Skaale, Juleshøgen rigelig i den udtyndede rand af skoven, Lenglingen Deviken c. 358 m o. h., Aune oven- for gaarden 380 m o. h., Nordli Sandviken, Kveli. Hit- teren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik, Bottengaard omg. \//\ !*/s 82. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum overalt paa lerbakkerne, Klingen fleresteds. Overhalden: Hunn; Veglo, ogsaa paa af flommen oversvøm- met bred af Namsen. Grong: Holandsøen, Sem, Homo, Gode- Jord 196 m o. h., Berg 350 m o. h., Fiskum og Solem rige- lig i bakken, Fjerdeng, Aasve. Nero: præstegaardtrakten, Lervik, Sandnæs. Vikten: Stangring omg., Garstad omg. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei og omg. rigelig. Bindalen: Hildringen rigelig; Øksningen paa høiden af aasen 81 mo. h., nær søen dominerende; Terraak i dalen ovenfor Oldervik; Tosenfjord Land op til 71 m o. h., Land til Barstad, Sør- skogen 62m o.h. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø op til 88 m Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. SB, 3 34 J. M. Norman. o. h., Skaaren Høglien 84 m. o. h, Sømnæs, Hestø, Tilrem. Velfjord: Saulus sydbakke rigelig, Strengsvand, Nøstvik til Hellestad hyppig i trakten, Hegge, Heggeøen. Vege: Ei- dem, Gladstad, Sundvold. Alstenø: Søvik fladen ved seen. Vefsen: sydbakke søndenfor Øiengaardene, Alfsgaard syd- vestli. 102. Trifolium repens L. Støren: stationen omg. Holtaalen: Tyvold i kanten af landeveien 668 m o. h. Levanger: Eidsbotten. Indersen: Vennaberg. Stod: Langhammer til Aune, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs, Gravbrøt 0 ?*/s 82, Blomli i veien paa sætervol- den 359 m o. h., Græssamo hjemmejorden og i kreaturernes skovvei.. Lierne: Ulen vand Skaale bundgræs i engen, mel- lem Ulen vand og Lenglingen enkeltvis i kanten af skovveien, Lenglingen Deviken, Aune; Nordli Sandviken, Kveli 395 m 0. h., nybygget Skogen. Ørlandet: Beian, ogsaa i af spring- flod oversvømmet belte i fjæren. Bjugn: Ervik og Botten- gaard omg. 0 ‘4/6 82, Oksvold \/\/ % 82. Aafjord: Val- dersund omg, Valsø. Namsos: Spillum. Overhalden: Hunn rigelig, Veglo omg. fleresteds, i sydlig lerbakke \, ?3/s 78. Grong: Homo rigelig, Godejord, Berg 350 m 6.h, Fjerdeng, Aasve til Aassmulen følgende veikanten, Trondenæs, Gjeres- vik ved Limingen over 405 mo. h. Nærø: præstegaard- trakten, Lervik. Vikten: Garstad tæt bundgræs i engen. Lekø: Røsvik, Huseby omg Bindalen: Øksningen op til toppen af aasen 81 m o. h., ved søen dominerende i eng- bakken; Hildringen rigelig; Terraak rigelig, blandet med Tr. pratense; Tosenfjord Land op til 71 m o. h., Barstad paa myr, Sørenskogen rigelig. Brønø: Skaaren Høglien, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg , Hestø, Tilrem. Velfjord: Saulus sydbakke rigelig op til 67 m o. h., Strengsvand over- alt rigelig i fugtige enge, Nøstvik til Hellestad hyppig i trak- ten og langt fra søen, Hegge. Vegø: Rørø, Sundvold. Al- stenø: Søvik skjelsandfladen ved søen dominerende. Vefsen: Om karplanternes udbredning i det nordentj. Norge. 35 omkring Mosjøen: Dalstadaasen i sydlierne rigelig, 152 m 0. h. græsbunden tæt overgroet af den; Alfsgaard i de flade lerbundede enge, i sydvestli rigelig 182 m o. h. 103. Lotus corniculatus L. Støren: stationen omg. A 11/; 82, Levanger: Støp. Indergen: Vennaberg, Rød- sæteren rigelig 0 *°/6 78. Stod: Langhammer til Aune, Hegge OA ?% 79, Kløvgaard 43 mo. h. AAV 15% 81. Snaasen: Hammer lidt skraanende eng, Langnæs; Vegsæt rigelig, paa fjeldvæg \/\/! 1#/6 79, Hhroaldstenen, Horjem, Sem og paa kalkklipper ovenfor gaarden rigelig, Stævra- aasen rigelig i skovklædt sydli, Præstegaarden kalkklipper rigelig, Bergsaasen opfor Berg og Nagthus, Blomli til Græs- samo 450 m o. h. Lierne: Aune skiferbakkerne ovenfor gaarden 438 m o. h. rigelig; Nordli Sandviken, 438 m o. h. rigelig i lyngklædte skovaabninger, Bergan 504m o. h. rige- lig, ved Kvernbergvandet nedenfor nybygget Skogen 312 m 0. h. rigelig (svensk side). Hitteren: Havn omg. Ørlan- det: Beian. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg., Oksvold. Aafjord: Valdersund, Valsø AY 17/6 82. Namsos: Spil- lum overalt i lerbakkerne. Overhalden: Hunn paa flad engmark, og hyppig hele dalen opover til Renmoen nær Veglo. Grong: Holandsøen i olderskov, Homo rigelig, Formo og overalt i fladbygdens enge, Berg paa skiferbakkerne 368 m 0. h. rigelig; Fiskum i engene rigelig, Fjerdeng i elvebakken rigelig, saa langt flommen naar, men ogsaa hist og her no- get høiere oppe; Skarsten, Rørvik aasen 547—604 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: nær Rørvik, Garstad omg. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei og hyppig i trakten, Præstegaarden lige ved stranden. Bindalen: Hil- dringen rigelig, Oksningen op til høiden af aasen 81m o. h. rigelig, lavere nede nær søen dominerende; Terraak flere- steds, ogsaa i fjæren; Tosenfjord Sydbergsli V 21/1 80, Land op til 71 mo. h., Barstad til Sørenskogen ikke sparsomt. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland, 3% 36 | J. M. Norman. Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem. Velfjord: Saulus rige- lig fra fladen af opover sydbakken, Hegge, Heggeøen, Berg- vik til Opsjøen og hyppig overalt i egnen; Raakhatten 286 m o. h. rigelig, op til 399 m o. h. samt 58 m o. trægr. og endnu rigelig. Vegø: Eidem Louplien 203—353 m o. h., Viken til Roa og hyppig i trakten, Rørø, udmarken mellem Glad- stad og Gulsvaag, Sundvold i urdet 11125m o. h. Alsteno: Søvik paa træbar flade Vefsen: Kubbestadsjøaasen opad vestli rigelig, elvebredden nedenfor Øienfjeld, Dalstadaasen spredt i græslierne, sydbakke ovenfor Andaas. — Denne og mange andre arters udbredning er saa udførlig medtagen i disse egne til sammenligning med deres høist afvigende op- træden i det arktiske gebet. 104. Astragalus alpinus L. Støren: mellem Hovind og Støren station 53—64 mo. h. Lierne: Aune Høghougen 468—485 m o. h. 0 %% 81. Lekø: Rørvik ned til 3mo.h., 64° 4-5 n. br. Vefsen: elvebredden nedenfor Øien- fjeldet ved h. n. 105. Vicia Cracca L. Støren: stationen omg. Levan- ger: Krogstad. Inderøen: Vennaberg, Sakshoug. Sten- kjær: Nedre Lø. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Ryg, Kløvgaard 43 m o.h., Hegge og overalt i trakten. Snaasen: Vegsæt, Horjem, Sem, Stævra-aasen, Berg, Sandnæs. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune, Nordli Sand . viken. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian AAV #/6 77. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. 0 14/6 82. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos; Spillum, Klingen flere- steds. Overhalden: Hunn; Veglo, ogsaa paa af flommen oversvømmet bred af Namsen. Grong: Berg, Fjerdeng, Trondenæs. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs Vikten: Rørvik omg., Garstad omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg., Hattelien vestside. Bindalen: Øksningen, Terraak; Tosen- fjord Sydbergsli, Land. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 37 Saulus, Hegge, Heggeøen, Raakhatten op til trægr. 341 m o. h. Vegø: Rørø, Holand til Næs, Sundvold \/\/! *% 82. Alstenø: Søvik fladen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen skov- klædt vestli, Dalstadaasen fleresteds, søndenfor Øiengaardene, Alfsgaard sydvestli. Negl. 106. Vicia sepium L. Støren: stationen omg. Lev- anger: Støp. Indersen: Vennaberg V *% 78. Sten- kjær: Byhalden. Stod: Kvam, Nastad, Hegge, Ryg, Kløv- gaard. Snaasen: Langnæs, foden af Horjemfjeldene, Nagt- hus, Præstegaarden ved Svarva elv, Omli rundt om en myre- tue A\ 24/6 81. Lierne: Ulen vand Juleshøgen. Hitte- ren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg., Sæter, Oksvold. Aafjord: Melem, Valdersund omg., Valsø \ 1% 82. Overhalden: Hunn tildels rigelig, Veglo ovenfor Barlien. Grong: Godejord 196 mo. h. V 12/781. Nærø: pre- stegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg., Aaviken, Stangring, Garstad omg. fleresteds rigelig. Lekø: Huseby omg. Binda- len: Hildringen’ Tosenfjord Sydbergsli 24 m 0. h. Brønø: Skaaren Høglien 39 -106m o. h., Sømnæs Skavdalen, Præste- gaarden omg., Hestø, Tilrem sydli 44 m o. h. Velfjord: Saulus sydbakke 133 m o. h., Nøstvik til Hegge og hyppig i trakten, Hegge 18 m o. h., Heggeøen, Hummellien, Raak- hatten hyppig opad lien 108—347 m o. h. samt 6 mo. tregr. Vegø: Eidem hyppig opad Louplien 34—320 m o. h., Eidem til Viken \ ??/s 82, Rørø, Valle, Vegdalen, Holand til Næs. Vefsen: Dalstadaasen mangesteds OAAY/ ”% 77. 10%. Vicia sylvatica L. Stenkjær: Byhalden 126 m o. h. Stod: Nastad, Kirkaal, Hegge. Snaasen: Langnæs til Hammer fleresteds rigelig i sydbakkerne, ogsaa i granli; Hroaldstenen fleresteds, foden af Horjemfjeldene flækkevis meget rigelig, Stævra-aasen, Gravbrøt Lian 138 m o. h., Omli. Bjugn: Ervik omg. i et bekkefar. Nærø: Sandnæs, Holand sydli 118 mo h. Lekø: Huseby til Skei paa træ- bar sydbakke. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli 14-24 m 38 J. M. Norman. o. h. hele klynger af den med næsten aldeles hvide blomster, Land til Barstad \/ ??/: 80, Barstad 22 m o.h. Brone: Sydkvalø Ydre-Kvalø fleresteds op til 92 m o. h.; Skaaren Høglien 31 m o. h., rigelig 127 m o. h.; Sømnæs Kirkemar- ken 55.m o. h., Torgø Nordhusland ret rigelig, Præstegaar- den omg. meget rigelig; Tilrem 88 m o. h., 106m o.h. store klynger af den sammen med Orobus vernus og op til 162 m o. h. Velfjord: Nøstvik 54 mo. h., Hegge ved h. n., Heggegen hele vildnisse af den klatrende opad birkebuskene med stængel indtil 196 em lang (kaldes i denne egn vedflok- græs), Hummellien ; Raakhatten i lierne, hyppig 108 m o. h., op til trægr. 341 mo. h. Vegø: Eidem, Louplien rigelig 65 mo. h. og derfra hyppig til 289 m o. h. Vefsen: Dal- stadaasen hyppig tildels blandet med Orobus vernus 0 ” 77, Alfsgaard sydvestli. 108. Lathyrus maritimus Bigel. Nærø: præstegaard- trakten. 109. Lathyrus pratensis L. Støren: Lundemo omg., mellem Hovind og Støren paa selve jernbanevolden. Levan- ger: Stop. Inderøen: Sakshoug. Stenkjær: omg. paa fladen, Byhalden 114 m o. h. (f. pubescens). Stod: Lang- hammer til Aune, Nastad, Ryg, Hegge fleresteds, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs, Vegsæt, foden af Horjem- fjeldene, Sem vestlig skraaning og fladen i eng, Stævra- aasen, Nagthus houg, Sandnæs flad fugtig eng (f. pubescens), Asle til Gravbrøt, Omli 177 m o. h. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian fleresteds, Rønholmen i lune bergkløfter \\/ 24/6 77. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund omg.,- Valsø. Overhalden: Hunn (f. glabra) hyppig V % 78, Veglo omg. rigelig, Namsen af flommen over- svømmet bred rigelig. Grong: nær Nynæs 287 m o. h., Mogaardene ovenfor Fiskum. Nærø: Klungervik. Vikten: Garstad omg. fleresteds. Lekø: Røsvik (f. glabra), Huseby til Skei og omg. 0 ?*/4 80, Hattelien vestside. Bindalen: Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 39 Øksningen op til 69 mo. h., Tosenfjord Land. Brons: Sydkvalø Lervik, Skaaren Høglien op, til 124 m o. h., Søm- næs fladen ved stranden, Præstegaarden omg. hele klynger af den, Tilrem. Velfjord: Saulus sydbakke op til 135 m o. h., Hellestad til Hegge hyppig i trakten, Hegge, Hegge- sen, Raakhatten lierne opover hist og her til 347 m o. b. samt 6 m o. tregr. Vegø: Eidem Louplien 116—203 m o. h. Alstenø: Søvik til Thormodvold fladen sparsomt. Vefsen: Kubbestadsjøaasen skovklædt vestside, Dalstadaasen flere- steds ikke saa sparsomt. 110. Orobus vernus L. Stenkjær: Nedre Lø V 16/6 81, Byhalden. Stod: Ryg. Snaasen: Omli. Bjugn: Er- vik omg. \/+ 14/6 82. Nærø: Klungervik nær h.n., Holand sydli 118 m o. h. Lejkø: (ipse, Thorkelson) Huseby omg. houg 105 m o. h. østside \/+ ?8/s 80, Hattelien vestside. Brønø: Skaaren Høglien 127 m o. h., Sømnæs Kirkemarken 75 m o. h, Tilrem sydli 106—133 m o. h. Velfjord: Nøstvik 54 m o.h. + °%/7: 80, Heggeøen, Raakhatten 272—313 m o. h. samt 28 m nedenfor trægr. 111. Orobus tuberosus L. Lek 9: (ipse 1880, Thorkelson 81) Huseby og Skei omg. nordenfor Præstegaarden hyppig fra søen af, houg sydbakke 91—105 m o. h. ikke sparsomt, sammen med Orobus vernus og Silene acaulis, \/-- med indtil 3em lange umodne bæller og 30 cm hei stængel #/6 80, 65° 4—6*, ar- tens hidtil kjendte yderste nordgrændse. AMYGDALEA. 112. Prunus Padus L. Støren: stationen omg. ++ V 11/5 82. Holtaalen: Vondgraven 611 m o. h. 013/ 81. Levanger: Støp, Alfsnæs stamme i brysthøide indtil 38 em diam. Indergen: Vennaberg + *e 78. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden AV 16/80. Stod: Langhammer til Aune, Forfang \/\/ ! 17/6 80, Hegge Kløvgaard paa flad mark AAV 40 J. M. Norman. 18/4 80. Snaasen: Hammer til Langnæs meget rigelig langs hele nordsiden .af Snaasenvand yy sn (obs toden af Horjemfjeldene, Sem paa Snaasenvandets bred, Præste- gaarden sydvestside c. 9 m hei og stammen i brysthøide indtil 41 em diam., Berg, Omli \/\/! ?*/ 81, Græssamo yderst sparsomt (useet af mig). Lierne: Lenglingen De- viken \/+ 11/; 81; Aune paa fugtig flade Å ?°/s 81, bakke ovenfor husene 380 m o. h. AV ?9%/ 81, Høghougen 468 m o. h.; Nordli Bratland rigelig, Kveli 359 —427 m 0. h. VV! 54 81. Hitteren: Havn omg. fleresteds. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Melemgaardene. Namsos: Spillum Almlien 111 mo. h. Overhalden: Veglo omg. \ 28/6 78, ovenfor Barlien rigelig, langs Namsen paa af flommen oversvømmet bred. Grong: Berg 312 mo. h. + 11/ 81, Finburelven \/\/! 1°/7 81, Tromselvdalen 254 m o. h. V+ ®% 81. Nærø: Holand 118—166 m o. h. busk- agtig \/\/! 19% 82, ikke hyppig i frakten. Vikten: Rør- vik omg. i en dyb kløvt buskagtig 06—1.9 m hei. Leke: Huseby omg. østside, Hattelien vestside, Britdalen 120 m o. h. ++ V 29/6 80. Bindalen: Hildrinsen 406 m o. h. samt 64 m o. trægr. 0.6 m hei steril busk, Tosenfjord Syd- bergsli, Land til Barstad paa olderkledt urd. Brena: Skaaren Høglien 31 m o. h., Sømnæs Kirkemarken 27—55m oh. Tilrem sydli 44 m o. h. Velfjord: Saulus sydli 133 m o. h. rigelig, Nøstvik 59 m o. h., Raakhatten 291 m o. h. og som lavt krat 347 m o. h. samt 6 mo. trægr. Vega: Eidem fladen nedliggende busk, Louplien 63—203 mo. h. buskagtig men rigelig, Gladstad. Vefsen: Kubbestadsjø- aasen, Dalstadaasen fleresteds tildels rigelig, Alfsgaard syd- vestli, lierne ved Bjørnaavand. SPIRÆACEZÆ. 113. Spiræa Ulmaria L. Støren: stationen omg. Holt- aalen: Vondgraven 600 mo. h. Indersen: Sakshoug. Om karplanternes udbreduing i det nordenfj. Norge, 41 Stenkjær: Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, For- fang, Ho, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt, Horjem, Sem, Svarva elv ved Præstegaarden, Sandnæs, Omli, Blomli 359 mo. h. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen De- viken, Aune; Nordli Sandviken, Kvelidalen, sydenden af Limingen. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik, Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum Almlien 116 m o. h., Klin- gen omg. Overhalden: Hunn, Veglo omg. Grong: Berg, nær Brændmoen, Fjerdeng, Tromselvdalen 254 m o. h. rige- lig, Rørvik ovenfor 405 m o. h. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik, Ofstad til Stangring, Garstad omg. Lekø: Huseby omg. Bindalen: Øksningen sydvestside; Tosenfjord Syd- bergsli, Land. Brønø: Skaaren Høglien 39—91 m 0. h. V 30/4 82, Sømnæs fleresteds, Torgø Nordhusland, Præstegaar- den omg. fleresteds, Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge, Hummellien og hyppig i egnen. Vege: Rørø. Alstene: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Mosjøen omg., Dalstad- aasen, Alfsgaard. DRYADEÆ. 114. Dryas octopetala L. 'Snaasen: Stævra-aasen i furuskov. Grong: Rørvik aasen 606 m o. h. V ‘/7 81. Lekø: Britdalen kun paa en lille flæk, men der exklusivt dominerende 96 m o. bh: Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø S8m o. h. Vegø: Eidem Louplien 184—320 m o. h. V 22/6 82, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag 23 m o. h., Guls- vaag 17 m o. h. Vefsen: lierne ved Bjørnaavand paa et lille jordskred. 115. Geum urbanum L. Støren: Lundemo omg., Præ- stegaarden rigelig. Stenkjer: Byhalden rigeligere end sædvanlig nordenfjelds, op til 126 m o. h. 0 481. Brønø: Tilrem sydli paa overmuldet skovklædt urd rigelig 139—158 42 ; J. M. Norman m 0. h. \/+ 29/6 82. Velfjord: Raakhatten 118—150 m o. h. ikke sparsomt. Vefsen: Dalstadaasen nær Andaas VORNE supple lec på 233: 116. Geum intermedium Ebr. Brønø: Tilrem sydli - temmelig sparsomt \/+- ?°/6 82, 65° 31—32' n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrændse*). 117. Geum rivale L. Støren: stationen omg., mellem denne og Hovind paa selve jernbanevolden. Levanger: Støp. Inderøen: Vennaberg \/+ 7% 79. Stenkjer: Nedre Lø, Byhalden \/ !%/6 81. Stod: Ho, Hegge. Snaasen: Vegsæt, Horjem, Hroaldstenen og almindelig i trakten, Krogsgaard rigelig, Præstegaarden fleresteds, Sandnæs, Agle til Gravbrøt, Blomli sætervold 359 m o.h. Lierne: Leng- lingen Deviken; Nordli Sandviken, Kveli, sydenden af Li- mingen. Ørlandet: Beian V 24/6 77. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. \/ 14/5 82. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum. Overhalden: Hunn V22/6 79, Veglo omg. Grong: Berg, Fjerdeng, Rørvik ovenfor 405 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rør- vik omg., Aaviken, Garstad omg. Leks: Huseby omg. V 28/, 80. Bindalen: Øksningen; Tosenfjord Sydbergsli 24 mo. h. \/+ 28/7 80, Land 48 mo.h. Brone: Skaaren Høglien 84 m o. h, Sømnæs, Torgs Nordhusland, Præste- gaarden omg. + 28/7 80, Tilrem. Velfjord: Saulus + 22/1 80, Heggeøen, Raakhatten 103 m >. h. V+ 27/7 80, Vega: Viken til Roa V ” 82. Alsteng: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, omkring Dalstad, Alfsgaard sydvestli. Noget negl.— £. pallidum (C. A. Mey.) Støren: stationen omg. over 64 m o. h. yderst sparsomt, c. 63° 2' n. br., af- artens hidtil kjendte yderste nordgrændse. *) Naar Ch. Martins i ,,voyage botanique“ p. 41 anfører den blandt de 52 for den større del yderst vulgære karplanter, han har bemærket i 3odø omg., men derimod ikke nævner den sammesteds hyppige Geum rivale, bør denne angivelse indtil videre ignoreres. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 43 118. Rubus idæus L. Støren: stationen omg. Holt- aalen: Vondgraven 600 m o. h. Levanger: Støp i older- skov. Indergen: Vennaberg. Stenkjær: Vigga bro i olderskov, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Ryg, Hegge. Snaasen: Hammer til Langnæs, Horjem, #o- den af Horjemfjeldene store krat af den, Sem stenhoug, Snaasenvand breddens engkant, ved en bæk i olderkrat; Præstegaarden sydostbakke, Sandnæs, Agle til Gravbrøt, Gravbrøt. Lierne: Ulen vand Skaale; Lenglingen Deviken 365 m o. h. vandets bred i olderskov i blandet bestand af Aconitum og Mulgedium; mellem Lenglingen og Holden vand i granskov med hypnumdække men udelukkende i kanten af den nyanlagte vei, Aune lavlandet 468 m o. h.; Nordli Sandviken fleresteds; Kveli fleresteds, ogsaa 404 m o. h. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Botten- gaard omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum fleresteds, Almlien skovklædt urd. Overhalden: Hunn rigelig, Veglo sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Godejord, Berg 350 m o. h., Brændmoen paa hjemmejorden, Trondenæs. Nærø: Holand. Vikten: Rørvik 62m o.h, Garstad omg. Lekø: Røsvik. Bindalen: Hildringen østside 21--87 m o.h., Øksningen, Terraak ; Tosenfjord Syd- bergsli 24 m o. h. \/ ?1/7 80, Land 101 m o. h., Land til Barstad olderklædt urd. Brønø: Skaaren Høglien 39 m o. h., Sømnæs Kirkemarken, Tilrem sydli 44 m o.h. Vel- fjord: Saulus sydbakke olderskov, Hegge sydside 31 m o. h., Heggeøen, Hummellien yderst rigelig i olderskov, Raak- hattens fjelde 291—352 m o. h. samt 11 m o. trægr. Vege: Eidem hyppig opad Louplien til 301 m o. h, Eidem til Vi- ken, Gladstad i olderskov, Vegdalen. Vefsen: Kubbestadsjø- aasen nordvestlig skraaning tleresteds men kun enkeltvis, sammen med Struthiopteris; Dalstadaasen fleresteds, Øien- fjeld østli, Alfsgaard sydvestlierne rigelig, Bjørnaavand 258 m o. h. Suppl. 1. c. p. 234. 44 J. M. Norman. 119. Rubus saxatilis L. Støren: stationen omg. Lev- anger: Støp, Krogstad til Alfsnæs. Indersen: Rødsæteren. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Ryg, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs, Vegsæt, Sem vestlig skraaning, Stævra-aasen sydli og nord- vestli, Præstegaardeu nordvestside og ved Svarva elv, Nagt- hus, Gravbrøt, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Leng- lingen Deviken 365 m o. h., Aune; Nordli Sandviken, Kveli- dalen. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian hougene ved søen. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum Almlien 111 m o. h, Klingen omg. Overhalden: Hunn omg., Veglo sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Homo, Berg, Brændmoen, Trondenæs, Tromselvdalen 254 m o. h. rigelig, Rørvik ovenfor 405 m o.h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs omg. fleresteds. Vikten: Rørvik østbakke, Garstad omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg. østbakke. Bindalen: Hildringen 21—559 ın o. h. samt 209 m o. trægr., Øksningen, Tosenfjord Land. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præ- stegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Nøstvik til Hellestad, Hegge, Heggeøen, Raakhattens fjelde 431 m o. h. samt 140 m o.trægr. Vego: Rørø, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag. Alstenø: Søvik fladen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestli og nordvestli, Dalstadaasen overalt hyppig men ingensteds dominerende, Alfsgaard sydvestli, lierne ved Bjørnaavand. 120. Rubus Chamæmorus L. Inderøen: marken oven- for Sakshoug. Snaasen: Horjem til Sem, Sem, norden- for Nagthus, Agle til Bøgsæt i en lille skovdal, Blomli 359 m 6. h., Græssamo. Lierne: Ulen vand Jule V 1/7 81, Lenglingen Deviken 448 m o. h., Aune udmarken V/ %% 81; Nordli Sandviken, Kvelidal. Ørlandet: Beian hougene ved søen. Bjugn: Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum til Almlien, Klingen omg. Om karplanternes udbredning i det nordentj. Norge 45 Overhalden: Barlien til Svallisæteren. Gron g: Berg 350 mo. h., Brændmoen, Rørvik ovenfor 405.m 0. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Gar- stad omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Hil- dringen op til.52% m o. h. samt 178 m o. trægr., Øksningen, Terraak, Tosenfjord Land 82 m 0. h. Brønø: Torgø Nord- husland, Tilrem. Velfjord: Hellestad til Hegge 54 m o.h,, aasplateauet ovenfor Hummellien, Raakhatten op til 550 m 0. h. samt 219 m o. trægr. Vegø: Rørø \/ 22/6 82. Vet- sen: Kubbestadsjøaasen 114 m o. h., Mosjøen nedenfor Øienfjeld. 121. Fragaria vesca L. Støren: stationen omg., mel- lem denne og Hovind rigelig paa selve jernbanevolden. Holtaalen: Vondgraven 600 m o. h. Levanger: Lille- mark rigelig. Inderøen: Vennaberg, Rødsæteren. Beit- staden: Østvik. Stenkj er: omg. \/ 16/6 81. Stod: Lang- hammer til Aune, Ho, Hegge hyppig i trakten, Kløvgaard. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Sem; Stævra-aasen, og- saa paa nordvestside; Præstegaarden kalkklipper, Sandnæs, Nagthus, Gravbrøt til Agle tildels vderst rigelig \/\/! ”/s 81, Lian rigelig. Lierne: .Ulen vand Skaale, Lenglingen De- viken 365 m o. h., Aune 468 m o. h.; Nordli Sandviken fle- resteds, Kveli. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. fleresteds. Aafjord: Valdersund, Valsø \/ 17/82: Namsos: Klingen. Overhalden: Hunn, Veglo sydvestbakke ovenfor Barlien V /s 79. Grong: Holandsøen olderskov rigelig, Godejord rigelig, Berg 350 m o. h. V og med rødlige kar- ter 11/; 80, Fiskum, Fjerdeng, Aasmulen. Nærø: præste- gaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik sydvestli med modne bær ?/, 80, Stangring, Garstad omg. Lekø: Ros- vik ved en fjeldbæk, Huseby til Skei og omg. Bindalen: Øksningen; Tosenfjord Sydbergsli, Land 71 m o. h. Brøng: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Skaaren Høglien opover til 147 mo. h. -\/ og med rød kart 35% 82, Sømnæs, Torgø Nordhusland, 46 J. M. Norman. Prestegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge, Heggeøen, Hummellien, Raakhattens fod. Vegø: Eidem fla- den, hyppig opad Louplien til 301 m o.h. Alstenø: Thor- modvoldaasen i" birkeskov. Vefsen: Kubbestadsjsaasen vestli; Dalstadaasen hyppig, i olderskov rigelig; Øienfjeld østside, Øiengaardene og hyppig i egnens sydbakker, Alfs- gaard sydvestli 183 m o. b. rigelig. 122. Comarum palustre L. Inderøen: Sakshoug omg. Stod: Ho, Ryg. Snaasen: Horjem, Nagthus, Sem, Agle til Bøgsæt. Lierne: Ulen vand Skaale; Nordli Bratland, Kvelidalen. Bjugn: Bottengaard omg. Aafjord: Melem- gaardene, Valsø fleresteds. Namsos: Spillum. Overhal- den: Veglo omg. Grong: Brændmoen, øverst i Tromselv- dalen 402 m o.h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Lekø: Huseby omg. Bindalen: Terraak \/ 19/7 80, To- senfjord Land til Barstad 82 m o.h. Brons: Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge, nedenfor Hummellien. Vegø: Rørø, Sund- vold. Alstenø: Søvik. Vefsen: Mosjøen omg. Negl. 123. Potentilla anserina L: Støren: mellem denne station og Hovind paa selve jernbanevolden. Levanger: Støp nær stranden, Krogstad til Alfsnæs længere fra søen i ækre. Inderøen: Vennaberg og Rødsæteren længere fra søen i ækre. Snaasen: Sem den stenede bred af Snaasen- vand (a). Ørlandet: Beian i fjæren. Bjugn: Bottengaard omg. fleresteds, ogsaa i bakke lengere fra søen. Aafjord: Melemgaardene noget fjærnet fra søen, Valdersund i ekre, Valsø. Overhalden: Veglo omg. fleresteds, ogsaa i agre og paa Namsens bred (v. argentea), Renamoen. Nærø: præ- stegaardtrakten. Vikten: Rørvik, Garstad omg. fjæren og c. 100 m fjærnet fra den. Lekø: Røsvik i fjæren og i ager c. 200 m fra søen, Huseby omg. mindst 600 m fra fjæ- ren, Præstegaarden stranden. Bindalen: Øksningen, Ter- raak, Tosenfjord Land. Brønø: Skaaren, Torgø Nordhus- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 47 land, Hestø V * 82. Velfjord: Heggesen, Bergvik. Vegø: Viken til Roa 1—2 km fra søen, Sundvold f ærer. Vefsen: ved Skjerva elv nær Mosjøen i ækre sammen med Ranuneulus repens. ; 124. Potentilla argentea L. Støren: stationen omg. Trondhjem: byen \/ 21/9 81. Levanger: Støp. Inder- gen: Vennaberg. Beitstaden: Østvik. Stenkjær: Nedre Lø, ved veien til Langhammer rigelig. Stod: Ho, Kvam, Kirkaal. Snaasen: Hammer, foden af Horjemfjeldene. Aa- fjord: Valdersund omg. (A. Blytt, ipse), Valsø. Vefsen: houg ovenfor Andaas. 125. Potentilla verna L. (P. alpetstris Hall, non P. verna Auctt.) Støren: stationen omg. Levanger: Støp. Stenkjær: Nedre Lø \ 16/6 80. Stod: Ho, Kvam, Kløv- gaard. Snaasen: Krogsgaard, Nagthus, Præstegaarden flere- steds, Sandnæs, Bergsaasen (nærmer sig noget P. minor). Hitteren: Havn omg. Aafjord: Valdersund V/ 16/5 82, Valsø. Overhalden: Hunn, Barlien til Svallisæteren. Gro ng: Nynæs 287 m o. h., Berg, Rørvik aasen, 547— 606 m o. h. V Th 81. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik, Garstad omg. fleresteds. Leks: Røsvik, Huseby, Hattelien 147 m o. h. Y2?% 80. Bindalen: Tosenfjord Land, Land til Barstad 82 m o. h. Brønø: Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem. Velfjord: Saulus, Nestvik, Heggeøen. Vege: Ei- dem Louplien 397 m o. h., Rørø til Gladstad, Holand til Næs \/ 24/s 82, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag. Alsteng: Søvik fladen. Vefsen: Dalstadaasen, Øiengaar- dene, Alfsgaard, lierne ved Bjørnaavand næsten dominerende. Maaske noget negl. 126. Potentilla Tormentilla Neck. Støren: stationen omg. endnu \/ ?6/9 82. Indergen: Vennaberg. Stod: Kvam, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt, Horjem, Sem, . Sandnæs, Bergsaasen fleresteds, Gravbrøt, Omli, Græssamo, Lierne: Ulen vand -Skaale, Lenglingen Deviken 365 mo. h.; 48 J. M. Norman. Aune, ogsaa paa myr; Nordli Sandviken fleresteds. Hitte- ren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard i engen. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum, Klingen omg. hyppig. Overhalden: Hunn \ «22/56 78; Veglo omg. fleresteds, tildels rigelig, ogsaa i træbar sydbakke og paa vaad myr i granskov. Grong: Holands- gen, Homo, Berg 350 m o. h. tildels rigelig, Brændmoen, Næsberget mellem Sandøldal og Namsen, Trondenæs myr- lændt eng rigelig; Tromselvdalen opover, 254m o. h. rigelig og op til 498 m o. h., ogsaa her paa myr rigelig; Rørvik lavlandet og op til 547m o. h: Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik \/ endnu ?/s 80, Stangring rigelig, Garstad. Lekø: Røsvik \/ 27/6 80, Huseby omg., Britdalen 120m o. h. Bin- dalen: Hildringen opad fjeldet hyppig til 483 m o. h. samt 101 m o. tregr., Øksningen, Terraak og dalen indenfor hyp- pig og rigelig; Tosenfjord Sydbergsli V ?'/; 87, Land, og overalt hyppig i Bindalen. Brønø: Skaaren Høglien fra h.n. op til 127m o. h., Sømnæs, Præstegaarden omg., Hestø rige- lig, Tilrem. Velfjord: Saulus lyngklædt sydbakke gulnende af den 45 m o. h., Nøstvik til Hegge, Hegge rigelig, Hegge- sen, Raakhatten opad lien til 498 m o. h. samt 157 m o. tregr. Vega: Rørø, Sundvold og hyppig paa gen. Alsteng: Thormodvoldaasen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Dalstad- aasen mindre hyppig, Øiengaardene sydbakke. 127. Sibbaldia procumbens L. Bindalen: Hildringen 361 mo. h. samt 11 m o. trægr. Brønø: Præstegaarden omg. nær h. n. mellem sydlige vækster. Velfjord: Raak- hattens fjelde 578 m o. h. samt 237 m o. trægr. ROSEÆ. 128. Rosa cinnamomea L. Støren: stationen omg. ovenfor 64 m o.h. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Ryg, Kløvgaard. Snaasen: Omli. Ørlandet: Beian. Lekø: Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 49 Røsvik, Huseby omg. 16 m o. h. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli 14—46 m o. h. rigelig V 21/7 80. Suppl. 1. ce. 234. 129. Rosa canin: L Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Kvam, Ryg, Kløvgaard. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund omg. fleresteds, Valsø. Nærø: Klun- gervik. Vikten: Garstad omg. Lekø: Præstegaarden. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Skaaren Høglien ved h. n.; Sømnæs Kirkemarken vakker indtil 1.3 m hei, Høiviken 1.9 m hei, Sømnæsøen. Velfjord: Nøstvik. Suppl. 1. ¢ p. 234. 130. Rosa villssa L. & mollissima Leff. Levanger: Støp. Inderøen: Vennaberg tildels rigelig. Stenkjær: Nedre Lø Ay 16/6 81. Stod: Kvam. Snaasen: Hammer til Langnæs, Vegset 1.6—1.9 m hei, Stævra-aasen, Præstegaar- den (nærmende sig til pomifera), Nagthus, Agle til Gravbrøt 120—147 mo. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Melem, Valdersund, Valsø.: Nærø: Klun- gervik, Sandnæs. Vikten: Rørvik østbakke, Aaviken, Gar- stad omg. Lekø: Huseby til Skei og omg., Hattelien. Bindalen: Øksningen 26 m o. h. Brønø: Sydkvalø Ydre- Kvalø, Skaaren fleresteds opad Høglien 39—98—124—127 m 0. h.; Sømnæs Høiviken lavlandet og Kirkemarken 55 m o. h., Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. hyppig, Tilrem lav- landet \/ 29/6 82, og i sydlien op til 99 m o. h. mere end mandshgi og videre til 151 m o. h. Velfjord: Saulus AV 21/1 80, Hegge 20—31m o. h. Vege: Eidem Louplien 59 — 116m o. h., Rørø, Gulsvaag, Holand til Næs. Alstene: Sø- vik kalkklipperne. — Var. glabrata Fr. Bjugn: Ervik omg., Sæter. Aafjord: Melem, Valdersund, Valsø. Nærø: Sand- nes. Brønø: Sømnæs Kirkemarken og Høiviken. Vege: Eidem, Louplien 182 m o. h. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. 4 50 J. M. Norman. SANGVISORBEÆ. 131. Alckemilla vulgaris L. Støren: stationen omg., mellem denne og Hovind paa selve jernbanevolden. H olt- aalen: Vondgraven 600 m o. h. Levanger: Støp. Inder- øen: Vennaberg, ovenfor Sakshoug. Stenkjær: omg., By- halden. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Ryg, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Nagthus, Sem, Præstegaarden, Grav- brøt. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune; Nordli Sandviken, Kveli. Hitteren: Havn omg. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum, Klingen. Overhal- den: Hunn, Veglo omg. Grong: Homo, Berg, Brændmoen sparsomt ved husene, Rørvik 511 m o. h. rigelig. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Lekø: Huseby omg. Bin- dalen: Hildringen 528 m o. h. samt 178 mo. trægr., Øks- ningen sydvestside, Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Skaaren Høglien 99 m o. h., Sømnæs, Torgø Nordhusland, Tilrem. Velfjord: Saulus, Heggeøen, Hummellien og meget hyppig i egnen. Vegø: Rørø. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestli, Mosjøen omg., Alfsgaard. Negl. | 132. Alchemilla alpina L. Snaasen: Græssamo ved elvebredden. Lierne: Lenglingen Deviken 365 m o. h, Aune Høghougen 485 m o. h. enkeltvis, Tunsjøen til Limin- gen 349 m 0. h. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aa- fjord: Valdersund nær h. n., Valsø hyppig overalt i lavlan- det. Namsos: Spillum Almlien. Groug: Berg skiferbakken ovenfor gaarden 368 mo. h. rigelig, Rørvik aasen 547 m o. h. Nærø: prestegaardtrakten. Lekø: Røsvik, Huseby omg. ned til 3mo.h. Bindalen: Hildringen 442 m o. h. samt 72 m o. tragr., Øksningen ved h. n., Tosenfjord Sydbergsli Land op til 101 m o. b. og hyppig i trakten. Brong: Sydkvalø Ydre-Kvalø 92 m o. h, Skaaren Høglien 91m o. h., Sømnæs Kirkemarken; Præstegaarden omg. fleresteds tildels rigelig, hyp- pig i dens nordligere trakt; Hestø, Tilrem fleresteds. Vel- fjord: Saulus sydbakke 67 m o. h, Hegge ved h. n., Berg- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 51 vik til Opsjøen ved h. n. Vegø: Eidem Louplien rigelig i de høiere regioner op til 397 m o. h., Rørø ved h.n., Holand til Næs nær h. n. Alstenø: Søvik kalkklipper og fladen ved søen. Vefsen: elvebredden nedenfor Øienfjeld. POMACEA. 133. Cotoneaster vulgaris Lindl. Støren: Lundemo fleresteds, rigelig nedenfor steile klippevegge. Holtaalen: Vondgraven 606--611 m o. h. sydostbakke klods opunder berghammerne. Snaasen: Agle til Bøgsæt 0.9 m hei, Omli 163 m o. h. Suppl. 1. e. p. 234. 134. Sorbus Aucuparia L. Støren: stationen omg. Vy! 14/6 82. Holtaalen: Tyvold 699 m o. h. enkelte 4—5 m høie trær, stammen i brysthøide indtil 22 cm diam. Levanger: Krogstad til Alfsnæs. Inderøen: Vennaberg VY 20/78 Stenkjær: Nedre Le, Byhalden. Stod: Lang- hammer til Aune, Kvam, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt stam- men i brysthøide indtil 39 em diam., Nagthus, Sem, Sandnæs, Gravbrøt, Blomli til Græssamo i trægr. 472 m o. h. 25 m hei. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken 365 m o. h.; Nordli Sandviken, Kveli. Hitteren: Havn omg. Ør- landet: Beian strandklipperne fleresteds tildels nedliggende knapt ragende 0.3 m over marken men med rigelige blom- ster. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Valder- sund omg., Valsø. Namsos: Spillum Almlien rigelig, spi- rende planter i fine sprækker i perpendikulær fjeldveg. Overhalden: Veglo omg. Grong: Homo, Berg, Aasve til Aasmulen \/\/! ”/ 81, Trondenæs, Rørvik 554 m o. h. busk- agtig. Nærø: Sandnæs, Holand 166 m o h. A 1°% 82. Vikten: Rørvik omg., Garstad omg. tildels høivoksen */) 80 med karter, der saa ud til at kunne blive modne. Lekg: Huseby omg. østbakke, Hattelien 93 m o. h., Britdalen A AV 29/6 80. Bindalen: Hildringen 65-350 m o. h. lige i 4* 52 J. M. Norman. trægr. som oprette mere end mandshgie trær \/?°/; 80, Ter- raak, Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Skaaren Høglien, Søm- nes, Torgø Nordhusland \/\/! */ 82, Tilrem sydli 75 m o. h. + 7 82. Velfjord: Saulus sydbakke + ??/: 80, Raakhattens fjelde 369m o. h. samt 25m o. trægr. 0.3 m hei busk. Vege: Eidem Louplien 34 mo. h. 2.5--3 m hei, Gladstad VV/! ?*/; 82. Alsteng: Thormodvoldaasen som temmelig stort 1-stammet træ. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Mosjøen omg., Dalstadaasen, Alfsgaard vestli. | 135. Sorbus hybrida L. Leks: (ipse, Thorkelson) Hattelien 147 m o. h. indtil 1.3m høi busk eller ganske ned- liggende og da rigeligst blomstrende ~/s 80, Britdalen hist og her 120—156 m o. b. indtil 1.6 m hei, Præstegaarden hjemmejorden ved en fjeldveg 2—3 m høi og 5 cm diam. 0.6 m over roden. Brønø: Skaaren Hoglien 78 m o. h. me- get sparsomt som liden busk. ONAGRARIEÆ. 136. Chamænerion angustifolium Scop. Støren: Præste- gaarden omg. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Ryg, Hegge sammen med Pteris. Snaasen: Hammer til Langnes. og ret hyppig i trakten, foden af Horjemfjeldene paa urd, Sandnæs, Agle til Bøgsæt, Gravbrøt, Omli i berg- halden, Blomli 359 m o. h. Lierne: Ulen vand Skaale, Jule rigelig i granskov nedenfor berghammere, Lenglingen Deviken 448 m o. h., Aune; Nordli Sandviken, Kvelidalen, Tunsjø til Limingen. Ørlandet: Beian strandklipper ikke sparsomt, Rønholmen. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Namsos: Spillum Almlien tildels rigelig, Klingen omg. Over halden: Hunn, Veglo omg. hyppig i agrene og i syd- bakke. Grong: Berg, Brændmoen, Trondenæs, Rørvik oven- for 405 m o. h. rigelig. Nærø: præstegaardtrakten, Holand 118 m o. h. sydli. Vikten: Rørvik i en dyb kløft og paa Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 53 urd 68 m o. h. ikke sparsomt men daarlig udviklet, Garstad omg. storvoksen +-\/ 4/o 80. Bindalen: Hildringen 534 m o. b. samt 190 m o. trægr., Terraak \ ™ 80; Tosenfjord Sydbergsli \” ?!/: 80, Land til Barstad. Brønø: Sydkvalø rigelig, Skaaren Høglien 127 m o. h., Sømnæs Kirkemarken 33 mo. h. Tilrem sydli 106 mo. h. Velfjord: Saulus sydbakke 91 m o. h. urd, Heggeøen store beder af den, Raakhatten 291 m o. h. midt i yppig livegetation, op til 515 maoch. samt 219 mo. tregr.. Vege: Viken til Eidem i klipperifter, Louplien 298 m o. h. Vefsen: Kubbestadsjø- aasen birkeklædt vestside, Dalstadaasen paa urd, Øienfjeld nordside, Alfsgaard sydvestli næsten bestand af den. 137. Epilobium montanum L. Støren: Lundemo omg., Præstegaarden omg. Indersen: Vennaberg 0 *% 78. Sten- kjær: Byhalden. Stod: Kvam, Hegge, Kløvgaard 43 m o. h. og fleresteds. Snaasen: Hammer til Langnæs, foden af Horjemfjeldene, Sem, Stævra-aasen sydbakke i nøddeskov, Præstegaarden, Nagthus, Omli fleresteds. Lierne: Aune Høghougen 468m o. h., Kveli 463m o. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Sæter. Aafjord: Melemgaardene. Namsos: Spillum Almlien 0 ?°/6 78. Overhalden: Veglo omg. Grong: Veium, Godejord 196 mo. h., Berg 354 m o. h., Fiskum. . Nær.ø: præstegaardtrakten, Holand sydli 138 m o. h. Vikten: Rørvik omg., Stenfjord. Bindalen: Hil- dringen østli 87 m o. h. i bestand af Asplenium filix foemina, Oksningen \/ 20/1 80, Tosenfjord Sydbergsli 46 m o. h., Sørenskogen 62 mo. h. Brønø: Sydkvale Ydre-Kvals, Skaaren Høglien 39 m o. h., Sømnæs Kirkemarken, Præste- gaarden omg. nordbakke, Tilrem sydli 53—139 m o. h. \/ 29/6 82. Velfjord: Saulus olderklædt sydbakke op til 128m 0. h.; Hegge, ogsaa paa træbar holme; Heggeøen, Hegge til Hellestad, Hummellien, Raakhattens fod. Vega: Eidem opad Louplien 34—214 m o. h., Sundvold urdet li 97 mo. h. 54 J. M. Norman. Vefsen: Dalstadaasen østlige kolle, sydbakke søndenfor Øiengaardene, Alfsgaard sydvestli 174 m o. h. 138. Epilobium collinum Gmel. Støren: stationen omg. Inderøen: Vennaberg. Beitstaden: Østvik. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Ho, Kvam, Kløvgaard 38 m o. h. Snaa- sen: Præstegaarden omg. sydbakke. Lierne: Nordli Sand- viken Bergan 504 m o. h., Kveli 477 m o. h. Hitteren: Havn omg. ' Aafjord: Melemgaardene. Overhalden: Hunn V/ 7*/6 79, Veglo sydbakke ovenfor Barlien og flere- steds. Grong: Holandsøen, Godejord, Berg 350 m o. h. til- dels rigelig. Nærø: Sandnæs, Holand sydli 115 mo. h. Vikten: Rørvik og Garstad omg. sydbakke. Bindalen: Øksningen, Tosenfjord Sydbergsli 46m o. h., Land 71 mo.h. Brønø: Skaaren Høglien 39 m o. h., Tilrem V/ *"s 82. Vel- fjord: Saulus sydbakke 136 mo. h., Hegge V 22/7 80, Heggeøen, Hegge til Hellestad. Vegø: Viken til Eidem, Louplien 39—353 m o. h., Sundvold 97 m o. h. Alstene: Thormodvoldaasen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen birkeklædt vestli, Dalstadaasen fleresteds, Alfsgaard sydvestli. — I det nordlige og fornemlig i det arktiske Norge optræder denne form habituelt vel skilt fra E. montanum og har en fra denne noget forskjellig udbredning. 139. Epilobium alpinum L. Snaasen: Gravbrøt til Blomlien 311 m o. h. (f. minor). Lierne: Ulen vand Jule (f. major); Nordli Sandviken 438 m o. h. (f. major), Kveli (f. Hornemanni). Grong: Berg 312—350 m o. h. hyppig (f. Hornem.), Aasve til Aasmulen c. 122m o. h (f. Hornem.), Rørvik Limingens bred 405 m o. h. (f. major). Bindalen: Sørenskogen 62m o. h. (f. Hornem.) Velfjord: Raakhatten 27 m o. h. (f. Hornem.) -- Ved f. minor menes den ved grun- den nedliggende lave alpinske form, uden hensyn til kapse- lens loddenhed (v. dasycarpa) eller glathed. F. major er en overgangsform til E. origanifolium, inferalpinsk, stor og Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 55 mere opret med rødviolette blomster som hos denne, men med blade som hos var. Hornemanni. 140. Epilobium origanifolium Lam. Lierne: Nordli Sandviken, nær nybygget Skogen. Vegø: Eidem nær h. n. \AY 22/6 82. Vefsen: Dalstadaasen. 141. Epilobium palustre L. Støren: stationen omg. Levanger: Alstadhoug. Inderøen: Sakshoug. Snaasen: Sem. Namsen: Klingen omg. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg. 75 m o.h., Løding, Garstad. Binda- len: Øksningen, Terraak, Tosenfjord Land til Barstad. Brønø: Præstegaarden omg. Velfjord: fladen ved Strengs- vand, Hegge til Hellestad. Noget negl., over store vid- der forbg. Den mangler vistnok ikke i nogen af de un- dersøgte egne. 142. Circæa alpina L. Støren: stationen omg. tildels yderstrigelig i olderskov. Levanger: Alfsnæs i olderskov. Stod: Hegge. Snaasen: foden af Horjemfjeldene fleresteds, Nagthus rigeligt bundgræs i aconitumbestand, Præstegaarden ved Svarva elv i olderkrat. Lierne: Lenglingen Deviken 365 mo. h. og 412 m o. h. paa mosse i klipperifter; Kveli 463 m o. h. rigelig 0 A °/7 81. Namsos: Spillum Almlien. Over- halden: Hunn; Veglo Steindalen, sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Holandsøen; Berg elvelierne 312—330 m o. h. hyp- pig, sammen med Pteris, Struthiopteris og Aconitum; Fiskum olderskov \ °/7 81. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik i en dyb kløft uden older rigelig. .Brons: Sømnæs Kirkemarken olderskov. Velfjord: Saulus olderklædt syd- bakke 104 m o. h., Nøstvik 54 m o. h., Hegge, Heggeøen, hyppig opad Hummellien \/ *7 80, Raakhattens fod. Sand- synligvis fleresteds forbg. HALORAGEA. 143. Myriophyllum alterniflorum DC. Snaasen: Snaa- _ senvand ved Sem. Nærø: Klungervik til Storved. Vikten 56 J. M. Norman. Stenfjord, Drag. Brønø: Torgø Nordhusland. Velfjord: Strengsvand, Bruvand. Vegø: Rørø, Gladstad og fleresteds mellem disse gaarde. | 144. Hippuris vulgaris L. Aafjord: Valsø gens vest- side. Overhalden: Hunn, Veglo. Nærø: Lervik. Vik- ten: Rørvik omg., Ofstad til Stangring. Vega: Rare til | Gladstad, Gulsvaag til Sundvold. CALLITRICHINEZÆ. 145. Callitriche stagnalis Scop. Aafjord: Valse. Vikten: Ofstad til Stangring i veigrevterne gjennem torv- marken yderst rigelig, flekkevis dakkende jorden med tæt gransvær. Brong: Sømnæs Høiviken. 146. Callitriche vernalis Koch. Inderøen: Rødsæteren. Aafjord: Valdersund omg. Namsos: Spillum,° Klingen omg. Overhalden: Hunn, Veglo Leraaen. Bindalen: Serenskogen 62m 0. h. Brønø: Tilrem. Velfjord: eidet ved Svanvand, Hellestad til Hegge. Vegø: Eidem, Rørø, Gladstad. Vefsen: lerfeltet indenfor Kubbestadsjø, Mosjøen omg., indenfor Øiengaardene. TAMARICINEZÆ. 147. Myricaria germanica Desv. Støren: Gula elv mellem Hovind og Rognæs og ved den ved Præstegaarden til- stødende elv paa sandørene, enkeltvis ogsaa paa fjeldveg 15—18 mo. elvens niveau. Aafjord: Valsø nogle faa buske i og ved en grøvt \/ 17 82. PORTULACEA. 148. Montia fontana L. Støren: Præstegaarden. In- derøen: Vennaberg. Lierne: Ulen vand Skaale, mellem Om karplanternes udbredning i det søndenfj. Norge, 57 Ulen vand og Lenglingen, Aune rigelig, Kveli 395 mo. h., nybygget Skogen 312mo.h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Bottengaard omg. V '°/s6 82, Møllergaard. Aafjord: Valdersund omg. Namsos: Klingen. Overhalden: Veglo, Leraadalen. Grong: Berg 350 m o. h., Solemmoen, Rørvik ovenfor 405 m 0. h Nærø: Klungervik til Storved, Sandnæs. Vikten: Stangring omg., Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bin- dalen: Øksningen V */ 80, Terraak. Brønø: Torgs Nordhusland. Velfjord: Strengsvand, Hellestad til Hegge. Vegø: Rørø, Rare til Gladstad. Alstenø: Søvik stranden. Vefsen: Alfsgaard sydvestli. CRASSULACEA. 149. Rhodiola rosea L. Støren: mellem Hovind og Støren station 53 —64 m o. h, Rognæs c. 96m o. h. Snaa- sen: Omli 163 m o. h, Gressamo til Blomli 629 m o. h., Græssamo paa tagene (plantet som sædvanlig, hvor den fore- kommer i nerheden). Lierne: Lenglingens nordende paa tagene, Aune ligesaa. Ørlandet: Beian strandklipper ved h.n., Rønbolmen. Aafjord: Valdersund Hyldenæsset, Valsø nær h. n. Namsos: Spillum Almlien 116 m 0. h. Grong: Sandnæs 169 m o. h. rigelig, netop hvor porfyrgraniten be- gynder at optræde, Rørvik aasen 547mo.h. Neerg: præste- gaardtrakten, Holand 146 m o. h. urd, Ottersø nær h.n. Lekø: Røsvik 3 m o. h. n.; Huseby ved h. n., udmarken 16 mo. h. Bindalen: Hildringen 361—528 m o. h. samt 178 m o. trægr., Terraak ved h. n., Tosenfjord Land ham- merne ved søen og nøsttaget. Brønø: Sydkvalø ved h. n., Nømnæs Kirkemarken 75 m o. h. og Høiviken ved h. n., Præstegaarden omg., Hestø ved h. n., Tilrem sydli 162 m 0. h. Vega: Eidem Louplien 34 m o. h, Sundvold urden 97—125 mo. h. Alstenø: Thormodvoldaasen. Vefsen: 58 J. M. Norman. Mosjøen berghammere ved . foden af Øienfjeld, Alfsgaard staburtaget. 150. Sedum annuum L. Støren: stationen omg. Le- vanger: Lillemark. Beitstaden: Østvik. Stenkjer: Nedre Lø ovenfor gaarden under hammere 0 16/4 81, Byhal- den. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Hegge. NSnaa- sen: Vegsæt, Agle, Omli. Lierne: Aune skiferbakkerne ovenfor gaarden, Høghougen 458 m o. h.; Kveli 395 m o.h. Aafjord: Melem, Valdersund, Valsø. Grong: Godejord 196 m o. h, Berg 304 m o. h., Rørvik aasen sydheld 385— 648 m o. h. Nærø: Klungervik. Vikten: Stangring omg., Garstad omg. fleresteds tildels rigelig i sydbakke. Lekø: Røsvik ved seen, Huseby til Skei og omg. AV 7 SO Bin- dalen: Øksningen \/7°/7 80, i lien op til 81 m o. h.; Tosen- fjord Land 62 mo. h. Brønø: Sømnæs, Høiviken, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg.; Tilrem \/ */c 82, i lien op til 133 m o. h. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge 33 m o. h., Hegge V 22/7 80. Vegø: Eidem hyppig opad Louplien 34—2-9 m o. h., Sundvold urden 125 m o. h., Ho- land til Næs nær søen. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds, Alfsgaard sydvestlierne. 151. Sedum acre L. Støren: stationen til Hovind 64—53 m o. h. hyppig. Levanger: Støp, Alfsnæs stranden i tangstrengene. Inderøen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Kvam overalt paa tørre berg rigelig, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs og rigelig langs hele nordsiden af Snaasenvand paa berghammerne, foden af Horjemfjeldene, Stevra-aasen 82m o. h., Sem, Snaasenvands bred lang stribe af den lige i flommaalet, Præstegaarden kalkklipper, Sand- næs, Agle til Bøgsæt. Hitteren: Havn. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valdersund, Valsø flere- steds. Grong: Holandsøen, Vie til Hougum, Berg skiferbak- kerne 291—304 m o. h. ikke sparsomt, Rørvik aasen sya- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 59 hammere 600 m o. bh. og 195 m o. Limingens vandspeil, men ikke bemærket lavere nede. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik stranden, Aaviken paa stranden, ogsaa I km fjærnet fra den, Stangring omg., Garstad fjæ- ren. Lekø: Røsvik strandklipper, Huseby omg. fjærnet ind- til et par hundrede m fra stranden, Præstegaarden fjæren rigelig. Bindalen: Øksningen i lien op til 81 m o. h.: Tosenfjord Land stranden og 1 km fra søen 62 m o. h. Brønø: Sømnæs strandens skjelsand og hustagene, Præste- gaarden omg. VV! **/7 80. Velfjord: Saulus langt fra søen, Bruvandet, Nøstvik, Hegge, Heggeøen. Vegø: Rørø. Alstenø: fladen ved søen. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds, nær Andaas høiere i lien, Alfsgaard i sydvestlierne. GROSSULARIEÆ. * Ribes nigrum L. Stenkjær: Nedre Lø forvildet i ud- marken nær hjemmejorden. 152. Ribes rubrum L. Støren: stationen omg. Holt- aalen: Vondgraven 600-611 m o. h. ikke sparsomt. In- derøen: Sakshoug omg. langs en bæk i olderskov fleresteds. Stenkjær: Byhalden. Stod: Kvam. Snaasen: Stævra- aasen 143 m o. h., Præstegaarden ved Svarva elv, Nagthus, Berg. Lierne: Lenglingen Deviken 439 m o. h, Kveli 401—463 mo. bh. Overhalden: Hunn. Nærs: præste- gaardtrakten. Vikten: Garstad omg. i sydbakke. Brone: Skaaren Høglien nær bh. n. og op til 124 m o. h., Sømnæs Kirkemarken 75 m o. h., Tilrem sydli 44—133 mo. h. Vel- fjord: Saulus, Svanvand, Nøstvik 38 m o. h., Heggeøen, Raakhatten 291 m o. h. SAXIFRAGACEZÆ. 153. Saxifraga Cotyledon L. Støren: Lundemo omg, mellem Hovind og Støren hyppig, Præstegaarden omg. A 60 J. M. Norman 12/6 82° Snaasen: Omli 163 m'o0. bh AAV 26 SL Bjugn: Ervik omg. Grong: Berg 280-354 mo. h. AAV 11 /7 81. ekg: Huseby til Skei. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø 88 m o. h., Lervik: Skaaren Høglien 78 m o. h.; Sømnæs Kirke- marken 75 m o. h., Høiviken ved h. n.; Tilrem sydli 162 m o. h. \/\/! ?% 82. Velfjord: Raakhatten 481 m o. h. samt 140 m. o. trægr. Vega: Eidem, Louplien op til-397 m o. h Suppl. 1. e. p. 234. 154. Saxifraga oppositifolia L. .Holtaalen: Tyvold 624 mo. h. Snaasen: Omli 163 m o. h. haldens perpen- dikulære fjeldvegge tildels rigelig V'+ °*/, 81. Grong: Berg 288—304 m o. b., Rørvik aasen 606 m o. h. Binda- len: Vatsaas ved h. n., Sydbergsli ved stranden, Land lige ved h. n. .Brønø: Sømnæs Høiviken ved h. n, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. lige ved fjæren, Hestø ved h. n., Saurusø, Tilrem ved h.n. Velfjord: Hegge 2 m o. h. n. og rigelig paa den hosliggende holme, Heggeøen fleresteds et parm o. h., Bergvik ved h. n. Vega: Eidem Louplien 377 m o. h, Rørø ved h. n., Rørø til Glad- stad lavlandet, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag 23 m o. h., Holand til Næs ved h. n. Alstenø: Søvik fladen ved søen og kalkhougene. Vefsen: Mosjøen uedenfor Øienfjeld, Bjørnaavand ved landeveien. 155. Saxifraga aizoides L. Støren: stationen til Ho- vind langs elven 64-55 m o h. Grong: nær Nynæs 185m o. h. Lekø: Huseby omg. nær h. n., Britdalen 95 m o. h. 0 29/, 80. Bindalen: Terraak ved h. n paa myr, Vats- aas, Tosenfjord Sydbergsli, Land 59 m o. h. og rigelig 98 m o.h. (a & aurantia), Land til Barstad 82 m o. h. hyppig i trakten. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø 92 m o. h., Skaaren ioglien, Sømnæs Kirkemarken 50 m o. h., Torgø Nordhus- land ved h.n., Præstegaarden omg. hyppig 1 lavlandet, Hestø 8m o. h, Tilrem lavlandet. Velfjord: Saulus, Nøstvik knapt 1 mo.h., Hegge 2m o.h., Heggeøen rigelig paa kalk- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 61 klipperne. Vegø: Rørø ved h. n. og fleresteds i trakten, Gladstad til Gulsvaag overalt byppig paa myrene. Alsteng: Søvik fladen ved søen og kalkklipperne. Vefsen: Dalstad- aasen ved en bæk, Bjørnaavandet. 156. Saxifraga stellaris L. Snaasen: Gravbrøt gran- klædt nordli 114 m o. h. paa opkom. Lierne: Nordli Brat- land V 97 81, Kveli 491 mo. h. Grong: Sandnæs 169 m o. h, Berg hjemmejordens eng 323 mo. h. Bindalen: Hildringen 361 m o. h., Tosenfjord Sørenskogen 28 m o. h. Velfjord: Saulus 67 m o. h. paa opkom. Vegø: Eidem Louplien 320 mo. h. Vefsen: Mosjøen elvebred nedenfor Øienfjeld ved h. n. 157. Saxifraga tridactylites L. Cfr. 1. e. p. 235. 158. Saxiraga adscendens L. Lierne: Aune Høg- hougen 468 m. o. h. hammere, Kveli 473 m. 0. h. Grong: Rørvik aasen 547 m o. h. 159. Saxifraga nivalis. Lierne: Kveli. 160. Saxifraga cæspitosa L. Grong: Rørvik aasen 547 m o.h. Vegø: Holand til Næs fleresteds, tildels rige- ned til 2 m o. h. 161. Chrysosplenium alternifolium L. Støren: Lunde- mo omg., Støren station omg. Stenkjær: Nedre Lø ved lig, Figga bro og fleresteds \/ 19% 81, rigelig langs veien mel- lem byen og By, Byhalden 168 m o. h. Stod: Kløvgaard. Snaasen: Gravbrøt 117 m o. h. i træbar bakke, granklædt nordside 121 m o. h. rigelig; Blomli sætervold 559 m o. h. rigelig midt i de gjødslede rumexbeder. Suppl. L e. p. 235. UMBELLIFERÆ. 162. Ægopodium Podagraria L. Støren: Præstegaar- "den parken c. 64 m o. h. rigelig. Aafjord: Valsø udenfor havegjerdet rigelig, 63° 52' n. br., å kystegnene artens hidtil kjendte nordgrændse. 165. Bunium flexuosum Stokes. Vegø: Eidem fladen 62 J. M. Norman. \/ 22/, 82, opad Louplien 34—214 m o. h. tildels yderst ri- gelig og tætstaaende, Gladstad olderskov rigelig \/\/!24/, 82, 65° 40—41' n. br., næst nordligste hidtil kjendte lokalitet, fjærnet omkring 2 breddegrader baade fra den nærmest søn- denfor liggende og fra den yderste nordgrændse. Cfr. 1. e. p. 461. 164. Carum Carvi L. Støren: stationen til Hovind ri- gelig, ogsaa paa selve jernbanevolden. Levanger: Stop. Inderøen: Vennaberg \/ °°/, 78. Stenkjær: Nedre Lø, ogsaa i krat. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt, Horjem, Nagthus, Præste- vaarden ved Svarva elv, Sandnæs, Omli \/ ?*/, 81. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken c. 358 m o. h. V »%/, 81, Aune; Nordli Sandviken, Kveli 356 mo. b. Hit- teren: Havn omg. hyppig. Ørlandet: Beian overalt rige- lig, ogsaa i øverste kun af springflod oversvømmede fjære- belte rigelig sammen med Potentilla anserina og Trifolium repens. Bjugn: Bottengaard. Aafjord: Valdersund omg.; Valsø øens østside, vestsiden 1 fjæren paa græsbunden mark nedenfor øverste tangstreng i lange belter, blomstrende kun 5-6 em hei. Namsos: Spillum. Overhalden: Hunn, Veglo omg. fleresteds, ogsaa paa af flommen oversvømmet bred af Namsen i krat af Rosa cinnamomea. Grong: Vie til Hougum rigelig, Berg skiferoakkerne ovenfor gaarden 368m o. h., Fjerdeng rigelig, Trondenæs 146m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Garstad omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg. i fjærens øverste græsbundne belte. Bindalen: Terraak \/\/! 2%% 80. Brønø: Skaaren i fjæ- ren; Sømnæs fleresteds, ogsaa i fjæren en strimmel i henraad- nende tang; Tilrem. Velfjord: Saulus sydbakke op til 67 mo. h., Heggegen. Vege: Rare \/ **/; 82, seus vest- side Gulsvaag til Sundvold kortvoksen i fjærens tangstreng. Alstenø: Søvik yderst rigelig i strandbeltet. Vefsen: Dalstadaasen temmelig heit opstigende og rigelig, søndenfor Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 63 Øiengaardene, Alfsgaard sydvestliens lavere del rigelig, li- erne ved Bjørnaavand op til 109 m o. h. 165. Pimpinella Saxifraga L. Støren: Lundemo omg., Præstegaarden omg. Inderøen: Vennaberg. Stod: Kvam, Kirkaal, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt, Sem, Stævra-aasen, Præstegaarden, Nagthus, Berg, Agle. Lierne: Ulen vand Juleshøgen ikke sparsomt. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Bottengaard omg. Aafjord: Melem, Valdersund. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg., Aaviken, Stang- ring. Lekø: Røsvik tildels rigelig, Huseby omg. fleresteds. Bindalen: Øksningen op til 64 m o. h., Tosenfjord Land op til 71 mo. h. V ?!/ 80. Brønø: Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. fleresteds tildels rigelig. Velfjord: Nøstvik rigelig. Vegø: Sundvold, Gulsvaag, Holand til Næs. Alstenø: Søvik fladen. 166. Archangelica officinalis Fr. Overhalden: Veglo omg. paa oversvømmet bred af Namsen. Bindalen: Hil- dringen 344 m o. h. samt 6 m nedenfor trægr. Velfjord: Raakhatten 550—598 m o. h. samt 257 m o. trægr. 167. Archangelica litoralis Fr. Aafjord: Valsø. Brønø: Sømnæs, Hestø, Tilrem. Vegø: Rørø, Gulsvaag, Sundvold. 168. Angelica sylvesiris L. Siøren: stationen omg. Inderøen: Sakshoug omg. Stenkjer: Byhalden. Stod: Kirkaal. Snaasen: Vegsæt, foden af Horjemfjeldene, Stævra-aasen nordvestside, Prastegaarden, Nagthus, Agle til Bøgsæt, Omli.* Lierne: Ulen vand Jule, Aune; Nordli Sand- viken omg. hyppig, Kveli. Hittereu: Havn omg. Ørlan- det: Beian. Bj ugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum Almlien. Over- halden: Veglo omg. langs Namsen paa oversvømmede ste- der. Grong: Holandsgen rigelig, Godejord, Berg 0 7/7 Si, Brændmoen, Fjerdeng; Rørvik ved Limingens bred, paa aasen op til 616 m o. h.; fjeldene ved Gjeresvik 564 m .o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg, 64 J. M. Norman. 150 em hai, Garstad omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg. østside. Bindalen: Hildringen op til 306 m o.h., Terraak, Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Skaaren Høglien 3)—132 m o. h., Sømnæs Kirkemarken 75 m o. h., Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus sydbakke op til 131 m o. h, Heggegen, Hummellien, Raakhatten op til 307 mo.h. Vega: Eidem Louplien 289 mo. h. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestside i birkekrat, Dalstadaasen, lierne ved Bjørnaavand. 169. Haloseias scoticum Fr. Ørlandet: Beian. Aa- fjord: Valdersund Hyldenæsset. Nærø: præstegaardtrak- ten. Vikten: Garstad omg. Bindalen: Terraak. Vel- fjord: ved Svanvands udløb i søen, Nøstvik, stranden nedenfor Raakhatten. Brønø: Sydkvalø, Sømnæs. 170. Heracleum sibiricum L. Støren: stationen til Hovind paa selve jernbanevolden, Præstegaarden. Sten- kjær: Nedre Lø, Byhalden 115 m o.h. Stod: Lang- hammer til Aune, Ryg, Kirkaal 59 m o. h. Lierne: Ulen vand Skaale hjemmejorden og paa mossedækket urd i skov- aabning, Jule hyppig i trakten paa tørre bakker; Lenglin- gen Deviken 365 m o. h. i ækre, 1 skovaabning 439 m o. h.; Aune agrene, bredden af Holden vand, skiterbakkerne oven- for gaarden 380 m o. h.; Nordli Sandviken fleresteds, ogsaa paa urd. Ørlandet: Beian fleresteds paa stranden ved høieste flodmaal. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Melem bergknauserne. Brønø: Præstegaarden omg. engene indtil nogle hundrede m fra stranden hyppig, rigelig og storvoksen, lige ved fjæren. Velfjord: Hegge hyppig indtil nogle hundrede m fra stranden og op til 28 m ob ik 22130. 171. Anthriscus sylvestris Hoffm. Støren: stationen omg. Holtaalen: Vondgraven 600 m o. h., Tyvold 664 m o. h. Levanger: Støp. Indersen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø A ?8/s, Byhalden. Stod: Kvam AV 17/6 81, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt, Sem vestlig skraa- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge, 65 ning, Snaasenvandets bred i flommaalet, Nagthus, Præste- gaarden, Gravbrøt Å 24/6 81. Lierne: Ulen vand Skaale, Aune, Høghougen 468—485. m o. h.; Nordli Sandviken, Kveli sydli 404 m o. h. i yppig livegetation høivoksen. Hitte- ren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valsø. Namsos: Spillum Almlien blandt bregner. Overhalden: Hunn V 22/6 78, Veglo sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Berg elvelierne mellem bregner. Nærø: Klungervik nær hu- sene rigelig. Vikten: Stangring omg., Garstad omg. Lekø: Røsvik. Bindalen: Øksningen 64 m o. h. Brønø: Sømnæs fladen birkeholt, Prestegaarden. omg. Velfjord: Saulus, Strengsvand, Hegge +\/ **/7 80, Heggeøen. Vega: Eidem opad Louplien hyppig, 265 m o. h. yderst rigelig, op til 397 m o. h. Alsteng: Søvik fladen. Vefsen: Dalstad- _aasen lierne fleresteds, nærmere Andaas rigelig, Alfsgaard sydvestli. | CORNEA. 172. Cornus svecica L. Støren: stationen omg. Snaa- sen: Hammer sparsomt, Sem, Agle til Gravbrøt i det hele sparsomt og mere enkeltvis, Blomli til Græssamo 397 mo. h. rigelig, Græssamo rigelig. Lierne: Ulen vand Jule hist og her ikke sparsomt, Skaale; Lenglingen Deviken, Aspenæsset; Aune, Nordli Sandviken, Kvelidal. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian temmelig rigelig. Bjugn: Ervik og Bot- tengaard omg. NAV 14/, 82. Aafjord: Valdersund omg. V 16/, 82, Valsø. Namsos: Spillum til Almlien som skov- bunddække og rigelig sydover Namdalseidet til Elden. Overhalden: Barlien til Svallisæteren rigelig men ikke dominerende paa heiene. Grong: Homo, Godejord rigelig, Berg elvelierne tildels dominerende i birkekrattet, Brænd- moen, Næsberget yderst rigelig, Aasmulen, Rørvik ovenfor 405 m o. h. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. rige- lig tildels «dominerende, Garstad omg. Lekø: Røsvik, “ Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. 5 66 J. M. Norman. Huseby omg. Bindalen: Hildringen op til 477 m o.h. samt 183 m o. trægr., Øksningen sydvestside rigelig, Terraak; Tosenfjord Sydbergsli, Land. Brønø: Sømnæs, Torgø Nord- husland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus 131 m o. h., Hegge, Raakhattens fjelde op til 550 m o. h. samt 219 m o. tregr. Vegø: Rørø \/ ” 82. Alstene: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestli, Mosjøen /\ ?°/s 77. CAPRIFOLIACEA. 173. Viburnum Opulus L. Stgren: stationen omg. oven- for 64 m o. h. Stenkjer: Byhalden sparsomt. Stod: Kvam fleresteds, Ryg, Kirkaal, Kløvgaard. Bjugn: Ervik omg. et enkelt sted rigelig. Vikten: Rørvik omg. sparsomt og steril. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli 14 m 0. h. Brønø: Syd- kvalø Lervik, Aasvik; Skaaren Høglien 30—136 mo. h. indtil 3--4 m hei, Sømnæs Kirkemarken 55 m o. h., Torgø Nord- husland. Velfjord: Nøstvik 54m o. h. sammen med Corylus og Ulmus indtil 2.96 m hei og med aarsskud indtil 76 cm langt, Akselberg (efter opgivende). Vegs: Eidem Kalve- hullet. Suppl. 1. e. p. 235. 174. Linnea borealis L. Støren: stationen omg. Holtalen: Vondgraven 572 mo. h. Snaasen: Hammer, Lerbækken paa lerbund, Stævra-aasen sydside fleresteds, Gravbrøt nordli ikke sparsomt. Lierne: Ulen vand Skaale rigelig i granskov, mellem Ulen vand og Lenglingen, De- viken, Aspenæsset, Aune, Nordli Sandviken i Bergan. Hit- teren: Havn omg. Bjugn: Ervik heiene i lyngmarken. Namsos: Klingen omg. tildels rigelig, Spillum Almlien. Overhalden: Hunn. Grong: Homo tildels rigelig, Sand- nes, Berg fleresteds \/ 11/1 81. Nærø: Holand sydli 150 mo. h. Vikten: Rørvik omg. hist og her, Garstad omg. Lekø: Huseby omg., Britdalen. Bindalen: Hildringen østli 87 m o. h. rigelig, Øksningen sydvestside fleresteds til- Om karplanterens udbredning i det nordenfj. Norge. 67 dels rigelig, Tosenfjord Sydbergsli \/ 21/80. Brønø: Syd- kvalø, Skaaren Høglien fleresteds \/ °°/s 82, Sømnæs Kirke- marken, Præstegaarden omg. tildels rigelig, Tilrem sydli 44—120 m o.h. Velfjord: hyppig over hele eidet mellem Tosenfjord og Velfjord, Saulus 130 m o. h., Nøstvik omg. Heggesen, Hummellien, Bergvik til Opsjsen. Vege: Eidem, Gladstad, Sundvold paa sens vestside lige ved fjæren i lyngmarken og opad urden til 120 mo. h. Vefsen: Øienfjeld nordside, Bjørnaavand lien 160 m o. h. RUBIACEA. 175. Asperula odorata L. Støren: Lundemo omg. V 11/6 82. Stenkjær: Byhalden hist og her. Nærø: Ho- land 152 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien 39—132 m o. h. stadig i selskab med almen; Tilrem 44 m o. h., rigelig 139 mo. h., op til 159 mo. h. Velfjord: Hummellien flere- steds, Raakhatten hyppig opad lien 123—302 m o. h. samt 39 m nedenfor trægr. Vegø: Eidem 34—120—160 m o. h., paa begge sidstnævnte høider i umiddelbart selskab med alm. Hvor der i de nordlige egne forekommer alm, mangler den næsten aldrig. Suppl. 1. c. p. 236. 176. Galium Aparine L. Lierne: Nordli Sandviken ovenfor 395 m o. h. i ækre. Hitteren: Havn omg. i fjæ- ren. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik i ækre. Lekø: Røsvik 9—10 m fra fjæren. Bindalen: Aspenes, Terraak i fjæren. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø. Vegø: Sundvold øens vestside i fjæren rigelig. 177. Galium uliginosum L. Stod: Kvam. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Nagthus. Lierne: Ulen vand Skaale hjemmejordens fugtige bakker men ogsaa paa stenrøs (!). Overhalden: Veglo omg, fleresteds, ogsaa fjærnt fra Nam- sen. Grong: Veium, Vie til Hougum, Godejord, Berg 286 m 0. h., Fiskum, Fjerdeng rigelig i vaadlændte elvebakker 5% 68 J. M. Norman. ved Namsen. Nærø: præstegaardtrakten. Brønø: Sømnæs flad mark ved søen rigelig \/ 1/7 82, Tilrem fugtig eng. Antagelig oftere forbg. 178. Galium palustre L. Støren: stationen omg. In- derøen: Sakshoug omg. Snaasen: foden af Horjemfjel- dene, Sem nær Snaasenvandets bred. Overhalden: Veglo, Barlien omg. Grong: Akkeren. Nærø: præstegaardtrakten. - Vikten: Rørvik omg.; Garstad omg., ogsaa i en klipperift. Bindalen: Øksningen ved søen rigelig, Terraak og Oldervik fleresteds, Tosenfjord Land. Brønø: Sømnæs, Torgø Nord-, husland, Hestø \/ ?®/s 82, Tilrem lige ned i fjæren, hyppig i egnen. Vegø: Gladstad, Gulsvaag til Sundvold, Holand. til Næs. Antagelig oftere forbg. 179. Galium trifidum L. Beitstaden: Østvik. Snaa- sen: Sem ved Snaasenvand. 180. Galium boreale L. Støren: stationen omg. Lev- anger: Støp, Krogstad til Alfsnæs. Inderøen: Sakshoug omg. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Langham- mer til Aune, Ho, Kvam, Hegge hyppig og rigelig i trakten, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt rigelig men ikke i bestand, foden af Horjemfjeldene, Sem vestbakke, Stævra-aasen, Nagt- hus, Præstegaarden ved Svarva elv, Berg, Gravbrøt i Lian. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Vestnæs, Aspenæs; Nordli Sandviken, Kveli. Bjugn: Ervik omg. fleresteds, Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum. Overhalden: Hunn, Veglo omg. hyppig men ingensteds saa dominerende som fleresteds i Tromsø amt. Grong: Homo, Godejord, Brændmoen, Solemsmoen, Fjerd- eng, Aasve men i det hele ikke saa rigelig i denne trakt. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik, Garstad omg. rigelig. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bin- dalen: Øksningen sydvestside, Terraak \/+- !?/ 80; Tosen- fjord Land, Land til Barstad 82m o.h. og ikke sparsomt i trak- ten. Brønø: Sydkvalø Lervik, Sømnæs AAY 1/7 82, Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 69 Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. hyppig, Heste, Til- rem fleresteds. Velfjord: Saulus, Nøstvik til Hellestad, Hegge fleresteds. Vegø: Gladstad, Gulsvaag. Alstene: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestli i birkekrat, Mo- sjøen, Dalstadaasen noget sparsommere end paa Kubbestad- sjøaasen 0 2°/6 77. 181. Galium verum L. Stenkjær: Nedre Lø. Aafjord: Melem, Valdersund omg. Hyldenæsset og fleresteds temmelig storvoksen, Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Aaviken nær husene. Lekø: (ipse, Thorkelson) Huseby til Skei sydbakke. Brønø: Sømnæs fleresteds, ret rigelig ved gaarden, skjelsandfladen ved seen hyppig, ce. 65° 22' n. br., artens næst nordligste hidtil kjendte station. Suppl. 1. e. p. 236. — 6. littorale. Lange. Denne forud ikke for Norges flora anførte afart paa strandbred ved Aaviken paa Vikten, 64° 51—52' n. br. Aldeles identisk med af Professor Lange meddelt eksemplar. 182. Galium sylvestre Poll. var. chlorantha: corollis viridule albis, paulo majoribus qvam in a, ceteris partibus plantæ florentis cum a congruentibus. Vegø: over hele den nordvestlige del af øens lavland hyp- pig og rigelig, saasom: Sundvold rigelig i et belte nær fjæ- ren, hvor den gaar lige ned til øverste tangstreng tildels i selskab med Silene acaulis, Gulsvaag rigelig, Valle, Holand til Næs, udmarken mellem Gulsvaag og Gladstad hyppig paa tørre træbare rabber mellem lyng og ener i selskab med Lotus, Antennaria dioca, Gentiana campestris, Festuca ovina, Carex glauca og Tofjeldia, i denne egn til 65° 42—43' n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrændse. Dens forekomst her i den yderste kyst og mere end 5 breddegrader nordenfor dens tidligere kjendte nordgrændse forekommer mig i den grad paafaldende, at jeg har tvivlet om, at varieteten tilhører denne art, saa meget mere som dens frugter endnu er mig ubekjendte. Hos den blomstrende plante kan jeg dog ikke 70 J. M. Norman. finde nogen anden afvigelse fra den sædvanlige G. sylvestre end den anførte. VALERIANEA. 183. Valeriana officinalis L. var. sambucifolia (Mik.) Støren: Lundemo omg. Inderøen: Vennaberg, Sakshoug V ?%80. Stenkjær: Nedre Lo 0 16/681, Byhalden. Stod: Kvam, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs, foden af Horjemfjeldene, Sem, Stævra-aasen nordvestside, Bergs- aasen i nøddeskov, Omli 163 m o. h. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken 439 m o.h., Aune; Nordli Sand- viken fleresteds, Bergan A */ 80, Kveli 359 mo. h. Hit- teren: Havn omg. Ørlandet: Beian strandklipper, Røn- holmen. Bjugn: Bottengaard omg. Aafjord: nær Val- dersund AAY 16/6 82, Valsø. Overhalden: Hunn; Veglo omg. kratbevokset bakke, Leraaen. Grong: Berg, Brændmoen til Næsberget, Trondenæs, Tromselvdalen 402 m o. h., Rør- vik ovenfor 405 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sand- næs. Vikten: Rørvik, Garstad omg. Lekø: Huseby til Skei (nærmende sig til a). Bindalen: Øksningen sydvestli; Terraak fleresteds i fjærens øverste tangstrenge dominerende i strimler, kongruente med høit flodmaal, Tosenfjord Syd- bergsli AV 21/7 80. Brønø: Skaaren Høglien 39 m o. h., Sømnæs stranden i tangstrengene, Torgø Nordhusland, Præ- stegaarden omg., Tilrem sydli 8 m o. h. AAY ?°/6 82. Velfjord: Saulus 128 m o. h. \/ 22/7 80, Hegge Hummel- lien og hyppig i trakten, Raakhatten 291 mo. h. Vegg: Rørø nøgne strandklipper og flad strand rigelig lige ovenfor flodmaalet men kortvoksen og rødlig. Alstenø: Søvik nøgen flade. Vefsen: Mosjøen omg., Dalstadaasen, Alfs- gaard sydvestli rigelig, lierne ved Bjørnaavand rigelig. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 71 a DIPSACEA. 184. Succisa pratensis Moench. Støren: stationen omg. Holtaalen: nær Raaen 634 m o. h. Levanger: Støp, Krogstad til Alfsnæs paa myrflade. Indersen: Saks- houg omg. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Ryg, Hegge klippefuld bakke, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt fleresteds, tildels rigelig; Sem vestside, Stævra-aasen op til mindst 143 mo. h. rigelig, Prestegaarden, Nagthus, Bergsaasen, Grav- brøt. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian fleresteds, Rønholmen, Bjugn: Ervik omg., Bottengaard, Oksvold rigelig. Namsos: Spillum mangesteds, Klingen omg. som- mesteds rigelig. Overhalden: Hunn, Veglo omg. hyppig, bakkerne ovenfor Barlien rigelig. Grong: Sem, Homo, Aasve og Namsendal opover til Skarsten, 1.4 km nedenfor Trondenæs. Nærø: præstegaardtrakten, Lervik, Holand sydli 166 m o. h. Vikten: Rørvik omg., østbakke \/ ?/, 80 og rigelig overalt i lyngmarken, Aaviken, Evenstad overalt hyppig, Stangring (ogsaa med lysviolette blomster af farve som hos Trichera), Garstad rigelig overalt i trakten. Lekø: Røsvik rigelig, Huseby til Skei og omg., sydbakke rigelig til 91 m o. h., Hattelien vestside, Britdalen hyppig overalt op til 205 m o. h. Bindalen: Hildringen tildels rigelig opad sydvestbakker til 469 m o. b. samt 125 m o. trægr., Øksningen ved seen rigelig og op til mindst 64 m o. h, Terraak og dalen indenfor, Tosenfjord Sydbergsli hyppig, Land op til 112 m o. h. og overalt rigelig, Land til Barstad, Sørenskogen, Paalsskogen. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø 88 m o. h, Skaaren Høglien 39—124 m o. h., Sømnæs, Præ- stegaarden Høiaasen, Hestø, Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge op til 173 mo. h., Heggeøen, Bergvik til Opsjøen, Raakhattens fjelde 286 m o. h. hyppig, hgiere oppe hist og her til 481 m o. h. samt 125 m o.tregr. Vegø: hyppig op- over Louplien til 377 m o. h., Eidem til Viken, Rørø 0 22/6 72 J. M. Norman. 82, Sundvold fladen nær stranden og urden op til 125 m o. h., Holand til Næs. Alsteng: Søvik kalkhouge, flade ved søen. Vefsen: hyppig opad Kubbestadsjøaasens birke- klædte vestside, Mosjøen i kanten af granskov, Dalstadaasen liens skovaabninger. 185. Trichera arvensis Schrad. Støren: stationen omg. Trondhjem: langs jernbanen til Heimdal V/ ?1/9 81. Lev- anger: Støp, Krogstad. Inderøen: Vennaberg ANY 7°/c 78. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Kvam, Kirkaal. Ørlandet: Beian OAY 24/677, Beian til Fladnæs. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Melemgaardene, nær Valdersund, Valsø. Nærø: Klungervik. Vikten: Aaviken. Brønø: Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. hyppig i engene \/\/! 22/7 80, Hestø. Vegø: Rørø, Sundvold. COMPOSITÆ. 186. Hieracium Pilosella L. Støren: stationen omg. Levanger: Støp. Inderøen: Vennaberg VY ”% 78. Beit- staden: Østvik. Stenkjær: Byhalden. Stod: Langham- mer til Aune, Ho, Kvam, Kløvgaard hyppig i trakten. Snaa- sen: Vegsæt, Horjem og hyppig overalt i egnen, kalkbak- kerne ovenfor Sem dækkede af den, Stævra-aasen rigelig, Præstegaarden, Sandnæs, Bergsaasen, Gravbrøt. Lierne: Lenglingen Deviken. Hitteren: Havn omg. Aafjord: Melemgaardene, Melem til Valdersund fleresteds, Valsø. Overhalden: Hunn, Veglo omg. paa stiv lerjord, bakkerne ovenfor Barlien. Grong: Homo, Næs nær Solem, Aasve. Lekø: Huseby til Skei. Brong: Skaaren Høglien 78 m o. h. Velfjord: Bergvik til Opsjøen. Vegø: øens vestside Valle berghoug nær søen. 187. Hieracium Auricula L. Støren: stationen omg. V 26/9 81. Levanger: nærmeste omg. Indergen: Sakshoug omg. V ?% 78. Aafjord: Melem, Valdersund Hyldenæsset, Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 13 Valse, e. 63° 52° n. br., å kystegnene nordligste hidtil angivne + speciallokalitet (til Nordland« if. Hartman Sk. Fl. ed. XI). 188. Hieracium floribundum Wimm. & Grab. Velfjord: Saulus, Nøstvik til Hegge, Hegge, Bergvik til Opsjøen og hyppig i trakten, c. 65° 26° n. br., artens hidtil kjendte nord- grændse. 189. Hieracium cymosum L. Grong: Berg 301 mo.h. 190. Hieracium alpinum L. Grong: Rørvik aasen 606 m o. h., fjeldene ved Gjeresvik 565 m o. h. 191. Crepis tectorum L. Støren: stationen omg. og langs jernbanen til Rognæs. Levanger: Støp. Aafjord: Valsø. Overhalden: Veglo i potetesager. Vikten: Of stad med skrind jord dækkede klipper rigelig. Lekø: Hu- seby omg. Velfjord: Nøstvik, Hegge mosseklædte strand- klipper sammen med Myosotis arvensis. Brønø: Præste- gaarden omg. 192. Crepis paludosa Moench. Snaasen: Sem omg. Lerbekken, Præstegaarden ved Svarvaelv, Sandnæs. Lierne: Ulen vand Skaale, Jule 392 m o. h., Juleshøgen rigelig, Lenglingen Deviken tildels rigelig ved vandet og op til 365 m o. h., Vestnæs; Nordli Sandviken fleresteds, Bratland, Kveli, Skogen c. 312 mo. h. Bjugn: Brvik omg. Aafjord: nær Melem. Namsos: Spillum omg. Overhalden: Hunn, Veglo omg. Grong: Berg, Brændmoen til Næsberget, Fi- skum, Fjerdeng, Aasve. Nærø: Klungervik rigelig, Sand- næs. Lekø: Huseby til Skei og omg. Bindalen: Hildrin- gen, Øksningen \/ *°/7 80; Tosenfjord Sydbergsli, Land til Barstad 82 m o. h. Brønø: Sydkvals Ydre-Kvalø, Skaaren Høglien 54 m o. h., Sømnæs Skavdalen, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Nøstvik til Hegge, Heggeøen tildels rigelig, Raakhattens fjelde 363 m o. h. samt 5 m nedenfor trægr. Vegø: Viken til Roa / 2/6 82, Gladstad, Gulsvaag. Vefsen: Kubbestadsjøaasen birkeklædt vestside. 74 J. M. Norman. 193. Lactuca muralis Don. Stenkjær: Byhalden flere- steds til 114 m o. h. Stod: Kirkaal 59 m o. h. ikke spar- : somt. Suppl. 1. c. p. 236. “194. Sonchus oleraceus L. Trondhjem: byen V 21/9 81. Vikten: Garstad i potetes- og havreagre, men om her stationær, er vel tvivlsomt, ligesom den længere nordover an- tagelig kun er tilfældig. 195. Sonchus arvensis L. Støren: stationen omg. mellem denne og Hovind rigelig i ækre. Levanger: Støp. Inderøen: Sakshoug omg. mindst 300 m fra stranden. Hit- teren: Havn omg. Ørlandet: Beian rigelig. Bjugn: Sæter tykt af den i ageren. Grong: Sem ageren rigelig. Nærø: Sandnæs i ageren. Vikten: Rørvik ageren 100 m fra stranden, Aaviken tæt ugræs i potetesager, Evenstad i havreager yderst rigelig, Garstad ageren over 1 m bei, 64° 52-53’ n. br., nordligste sted, hvor jeg har bemærket den som ukrud i agrene. Lekø: Præstegaarden stranden, Skei til Huseby. Bindalen: Hildringen, Terraak. Brønø: Skaaren, Sømnæs, Tilrem. 196. Mulgedium alpinum Less. Holtaalen: Tyvold 664 m o. h. Snaasen: foden af Horjemfjeldene ved en fjeldbæk 91 m o. h. Lierne: fjeldmarken mellem Græssamo og Holden vand i en lille fordybning i marken, men vesten- for ingensteds bemærket; Ulen vand Jule overalt rigelig, 392 m o. h. blandet med Aconitum; Lenglingen Deviken 439 m o. h. rigelig, 355 m o. h. ved vandets bred, Aune ved Hol- den vand og bakkerne ovenfor gaarden; Nordli Sandviken fleresteds, ogsaa ved Laksjøens bred 395 m o. h., Kveli fle- resteds, sydenden af Limingen. Namsos: Spillum Almlien 111mo.h. Overhalden: mellem søen og Veglo fleresteds lidet over h.n. Grong: Berg elvelierne, fjeldmarken mellem Sandøldal og Namsen, Fiskum 103 m o. h., Solemmoen, Tromselvdal 254 m o. h., Rørvik omkring 405 m o. h. tildels rigelig. Bindalen: Hildringen 317—546 m o. h. samt 216 Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 75 m o. treg. Brønø: Tilrem opad sydlierne 110—133 m o. h. smaa spredte flækker af den. Velfjord: Hellestad til Hegge 31 m o. h., Heggeøen nær h. n.; Raakhattens fjelde 190 m o. h. deltagende i sydbakkens frodige livegetation sammen med Chamenerion, Polystichum f. mas, Valeriana o.s.v., op til 578 m o. h. samt 237 m o. trægr. Vege: Eidem Louplien 63 m o. h. Vefsen: Dalstadaasen. 197. Taraxacum officinale Web. Støren: stationen omg., ogsaa paa jernbanevolden. Trondhjem: byen V16/681 Levanger: Støp, Alfsnæs. Inderøen: Vennaberg, Saks- houg. Stenkjær: omg. VW 16% 80, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Kvam, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs, foden af Horjemfjeldene, Nagthus, Præstegaarden overalt i trakten, Gravbrøt, Blomli, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken \/ *%% 80, Aune; Nordli Sandviken, Kveli, sydenden af Limingen. Hit- teren: Havn omg. Ørlandet: Beian, ogsaa i strandens øverste vegetationsbelte sammen med Potentilla anserina, Carum etc. Bjugn: Ervik, Bottengaard Y-+ 15/ 82. Aa- fjord: Valdersund. Namsos: Spillum. Overhalden: Hunn + °2/678, Veglo. Grong: Godejord, Berg, Brendmoen, Trondenæs, Rørvik engene dominerende \/\/! "781. Nera: præstegaardtrakten. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bin- dalen: Øksningen. Brønø: Somnæs + 1/7 82, Torgø Nord- husland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge afblomstret skaft 84 cm heit, Heggeøen, Raakhattens — fjelde op til mindst 430 m o. h. \/ 24/7 80. Vefsen: Kub- bestadsjøaasen, Dalstadaasen, Alfsgaard. I det hele negl. 198. Lampsana communis L. Grong: Berg fleresteds i elveliens krat omkring 330 mo. h. Paa denne lokalitet sandsynligvis stationær. | 199. Hypochæris maculata L. Lierne: Ulen vand Jules- høgen fleresteds, 390 m o. h. tildels meget rigelig OA 1/7 81, 64 7—8' n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrændse. 76 J. M. Norman. 200. Leontodon autumnale. L. Støren: stationen omg. Inderøen: Sakshoug 0 *% 78. Snaasen: Sem ved Snaa- senvand, Præstegaarden, Græssamo 0? 81. Lierne: Leng- lingen Deviken. Namsos: Klingen. Overhalden: Veglo omg. overalt paa de tørre bakker og paa fladmarken, Leraa- dalen. Grong: Berg NAV 72/7 81, nybygget Brændmoen hjemmejorden, Trondenæs Å °/7 81. Vikten: Rørvik omg. storvoksen, Garstad. Lekø: Røsvik 0 Å *% 80. Binda- len: Øksningen 81 m o. h. VY 7/7 80, Terraak, Tosenfjord Land. Brønø: Somnæs, Præstegaarden omg., Tilrem sydli AV 2 82. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge stor- voksen, Hegge Å 7°/7 80. Vege: GulsvaagO À ?*/s 82, Sund- vold. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestside i birkekrat. Noget negl., oftere og strøgvis forbg. 201. Tussilago Farfara L. Støren: Hovind + 1/5 82 med indtil 60 em høie skafte og lutter sterile achænier (her som andetsteds i landet samme foraar med, paa grund af nattefrost, mislykket befrugtning), Støren station. Holtaa- len: Vondgraven til Raaen paa Bugla's stenede elvebred 577 m o. h., hyppig nedover Guldalen langs jernbanen. Lev- anger: Lillemark i ekre. Inderøen: Sakshoug omg. ler- feltet hyppig. Stenkjær: omg. + 15/6 81, Byhalden rigelig. Stod: Langhammer til Aune, Ryg, Hegge, Kløvgaard. Snaa- sen: Hammer til Vegsæt yderst hyppig i egnen, Horjem omg., Sem ved Snaasenvand, Lerbækken, Omli. Lierne: Ulen vand - Skaale, Aune; Nordli Sandviken omg. hyppig op til 458 mo. h., Kveli. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Valsø. Namsos: Spillum. Overhalden: fra søen til Hunn rigelig + 22/° 78; Veglo omg. hyppig og rigelig i engene, ogsaa som ugræs i agre og paa Namsens oversvømmede bred, Leraadalen. Grong: Holandsøen og overalt i trakten, Gode- jord, Berg, Fjerdeng, Limingen fjeldene nordenfor Gjeresvik 532 mo h. AVV 8/7 81. Bindalen: Terraak, Tosenfjord Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 177 Land 101 m o. h. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, ved foden af Øienfjeld, Alfsgaard, lierne ved Bjørnaavand. 202. Petasites frigida Fr. Lierne: Laksjøen nær Brat- land 558 m o. h. myr sammen med Salix lapponum rigelig V 4/1 81, Præstegaardsæteren 572 m o. h. 203. Aster Tripolium L. Levanger: Krogstad. In- dergen: Vennaberg. Ørlandet: Beian fjærens nederste vegetationsbelte sammen med Glaux rigelig. Nærø: præste- gaardtrakten. Vikten: Garstad. Brønø: Præstegaarden omg., Hestø. Velfjord: Heggeøen V A 27/7 80, Aakervik. Vegø: Holand til Næs, 65° 42—43/ n. br. 204. Erigeron acre L. (incl. Erigeron droebachense) Levanger: Krogstad. Stod: Kvam, Ho. Snaasen: Veg- sæt, Sem ved Snaasenvand (a). Lierne: Ulen vand Skaale, Jule temmelig hyppig paa skiferen (droebach.?). Grong: Sandøldal Nynæs 287 m o. h. (droebach.), Berg e. 350 m o. h. (droebach.. Vikten: Garstad. Velfjord: Strengsvand eidet, Nøstvik, Hellestad, Hegge, Heggeøen, Opsjøen. Vef- sen: Dalstadaasen, søndenfor Øiengaardene. Sandsynlig- vis oftere forbg. 205. Erigeron alpinum L. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei 7 mo. h., 65° 4—6" n. br., hvor den i kystegnene be- synder at blive hyppig ved h.n. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli ved h. n. Brønø: Skaaren Høglien 84 m o. h., Sømnæs Høiviken ved h. n., Præstegaarden omg. ved h. n., Hestø 5 m o. h., Saurusø. Velfjord: Saulus fleresteds, Bruvandet rigelig, Hegge, Heggeøen. Vegø: Eidem 3 m o. h.; Rørø omg. fleresteds paa de smaa houge, ogsaa fjernere fra søen, tildels ogsaa paa tuer i myrene; Holand til Næs, Sund- vold engflade lige ved fjæren. Alstenø: Søvik fladen og kalkklipper. 206. Solidago Virgaurea L. Støren: stationen omg. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Kvam. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Stævraaasen sydbakke, Sem omg., 78 J. M. Norman. Nagthus, Bergsaasen, Gravbret, Gressamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune fleresteds, Høghou- gen 468 m o. h.; Nordli Sandviken, Kveli, sydenden af Li- mingen. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Val- dersund Hyldenæsset og omg., Valso. Namsos: Spillum Alm- lien hgivoksen rigelig. Overhalden: Hunn omg., Veglo Ler- aaen. Grong: Homo, Berg, skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen, Fiskum, Trondenæs, Rørvik. Nærø: præstegaard- trakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Leke: Huseby omg. Bindalen: Hildringen 65 mo. h. hist og her, 350 m o. h. ved trægrændsen rigeligere, 506 m o. h. samt 156 m o. trægr. dominerende som i de arktiske lier; Terraak; Tosenfjord Sydbergsli, Land. Brønø: Skaaren Høglien, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Sau- lus, Hellestad hyppig i trakten, Hegge, Heggeøen, Raak- hattens fjelde op til mindst 550 m o. h. samt 219 m o. trægr. Vegø: Rørø 0 22/7 82. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Dalstadaasen, Alfsgaard sydvestli, lierne ved Bjørnaavand. Noget negl. | 207. Gnaphalium sylvaticum L. Snaasen: Lian ved Agle. Lierne: Lenglingen Deviken. Overhalden: Hunn 0 ?* 78, Veglo sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Gode- jord, nær Nynæs 287 m o. h.; Berg omkring 350 m o. h, rigelig paa skiferprecepiserne ovenfor øvergaarden 0 Å 11/7 81; Fiskum, Skarsten 1.4 km nedenfor Trondenæs. Sandsyn- ligvls ofte og strøgvis forbg. 208. Gnaphalium norvegicum Gunn. Snaasen: Blomli 359 m o. h. 0 26/6 81, Græssamo. Lierne: Ulen vand Jules- høgen, Lenglingen Deviken, Aune hougene fleresteds omkring 440 m o. h., Nordli Sandviken fleresteds, Kveli 359 m o. h. Grong: Berg e. 350 m o. h., skovstrakten mellem Sandøldal og Namsen, Tromselvdalen 254 m o, h., Rørvik c. 405 m o. h. Bindalen: Hildringen 317 m o. h., Terraak lavlandet. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge, 79 Velfjord: Raakhattens fjelde 481—619 m o. h. samt 278 m o. trægr. Vege: Eidem Louplien 336 m o. h. 209. Gnaphalium supinum L. Snaasen: Gravbrøt til - Blomli granskoven i sæterveien 214 mo. h. Lierne: Nordli ovenfor Sandviken i en fævei. Grong: nær Nynæs 287 m o. h., Limingen Gjeresvik i fæveien 588 m o. h. 210 Gnaphalium uliginosum L. Støren: stationen omg. rigelig i veigrøfterne o.s.v. Sandsynligvis fleresteds forbg. 211. Antennaria dioica Gaertn. Støren: stationen til Hovind, Levanger: Støp. Inderøen: Vennaberg. Sten- kjær: Nedre Lø, Stod: Langhammer til Aune, Ho, Ryg, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt, foden af Horjemfjel- — dene, Sem, Stævra-aasen, Sandnæs, Bergsaasen, Gravbrøt. Lierne: Ulen vand Skaale, mellem Ulen vand og Lenglin- gen, Aune Høghougen 485 m o. h., Nordli Sandviken. Hit- teren: Havn omg. Ørlandet: Beian, hougene ved søen. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund omg. fleresteds, Valsø. Namsos: Spillum lavlandet og Alm- lien V */s 78. Overhalden: Hunn, Veglo omg. Grong: Berg, Aasve, Trondenæs, Rørvik aasen 606 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Hildringen 528 m 0. h. samt 178 m o. trægr., Øksningen, Terraak; Tosenfjord Sydbergsli, Land \/ ?1/ 80. Brønø: Skaaren Høglien lavt nede, Sømnæs fleresteds, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge, Hummellien. Vegø: Rørø, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Dalstadaasen, Alfsgaard lien. 212. Tanacetum vulgare L. Støren: Hovind til Rog- næs fleresteds. Levanger: Støp, Krogstad rigelig. Inder- øen: Vennaberg omg. Stenkjær: Byhalden rigelig. Snaa- sen: Lian ved Agle. Grong: Berg. Vikten: Garstad. Brønø: Skaaren fleresteds opad Høglien 78—124 m o. h., 80 J. M. Norman. Tilrem sydli 106m o. h. rigelig. Vefsen: Dalstadaasen flere- steds tildels rigelig. 213. Artemisia vulgaris L. Levanger: Støp. Inder- øen: Sakshoug. Stenkjær: Byhalden. Stod: Stenkjær til Langhammer rigelig, Kvam. Snaasen: Horjem omg., Grav- brøt. Lierne: Ulen vand Skaale; Lenglingen Deviken i ækre, Vestnes; Aune ageren rigelig og skiferbakkerne oven- for gaarden 380 m o. h.; Nordli Sandviken ækre, nybygget Skogen hjemmejorden. Aafjord: Melem agrene. Over- halden: Veglo Barlien omg. Grong: Godejord, Berg ski- ferbakkerne ovenfor gaarden mere end 350m o. h., nybygget Brændmoen, Fjerdeng. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik ageren. Lekø: Huseby. Bindalen: To- senfjord Land, Sørenskogen ageren. Velfjord: Saulus rigelig, Hellestad til Hegge ageren sammen med begge galeopsis- arter og Spergula. Vegø: Holand til Næs. Alstene: Søvik ageren. Vefsen: Alfsgaard hjemmejorden. 214. Achillea Ptarmica L. Levanger: Krogstad til Alfsgaard ækre.: Sandsynligen forbg. 215. Achillea Millefolium L. Støren: stationen omg. Holtaalen: Reitan 542 m o. h. jernbanevolden rigelig, Ty- vold 668 m o. h. kanten af landeveien. Levanger: Støp. Inderøen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Lang- hammer til Aune, Ho. Snaasen: Sem engen hist og her, Bergsaasen, Gravbrøt. Lierne: Ulen vand Skaale, Aune, Nordli Sandviken, Tunsjøen en enkelt flek ved husene, men ellers ikke. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valse fleresteds AV 17 82, ogsaa som bord rundt en myrtue midt i lyngmarken og ellers ikke i dens umiddelbare nerhed. Overhalden: Hunn overalt; Veglo omg. engen, træbar sydbakke, Namsens oversvømmede bred. Grong: Berg hjemmejorden, Fiskum, Aasve til Aas- mulen i veikanten. Nærø: Klungervik. Vikten: Rørvik omg., Stangring, Garstad omg., men kun hist og her, langt Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge, 81 sparsommere end mangesteds i de arktiske egne. Lekø: Huseby omg. 'Bindalen: Øksningen 26 m o. h., i dalen in- denfor Terraak sydside mere enkeltvis, ikke paa det hoslig- gende nybygge Oldervik ; Tosenfjord Land mere enkeltvis, ikke bemærket paa eidet derfra lige til Strengsvand i Vel- fjord. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø i birkeskoven, Søm- næs nær gaarden, Tilrem ikke rigelig og i det hele lidet fremtrædende i disse trakter. Velfjord: Nøstvik nær husene enkeltvis, Aakervik ikke sparsomt, men ellers kun hist og her i trakten. Vegø: Eidem til Viken, Gulsvaag, lidet frem- trædende paa øen. Alstenø: Søvik fladen. 216. Chrysanthemum Leucanthemum L. Støren: stationen omg. rigelig opad aasens steile skraaninger, Præstegaarden og meget hyppig i trakten saavel paa dyrket som udyrket mark. Trondhjem: til Heimdalen jernbanevolden rigelig. Snaa- sen: Agle til Bøgsæt, Gravbrøt til Agle 157 m o. h., Lian 174 m o. h. Lierne: Kveli hjemmejorden 395 m o. h., 64° 29—30' n. br. Grong: Sandøldal Berg hjemmejorden 286 m 0. h., 64° 25—26', begge sidstnævnte lokaliteter artens hidtil kjendte yderste nordgrændser. 217. Matricaria inodora L. Støren: stationen omg. Inderøen: Sakshoug. Stod: Langhammer til Aune. Snaa- sen: Horjem, Sem, Gravbrøt. Lierne: Aune, nybygget Sko- gen sparsomt. Ørlandet: Beian stranden. Bjugn: Ervik omg. V 14/6 82, Bottengaard. Aafjord: nær Valdersund, Valse \/ 17/682. Namsos: Spillum, Klingen omg. Overhal- den: Veglo Barlien ækre. Grong: Godejord V !*/;81, Berg, Fjerdeng, Trondenæs. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Øksningen 26 m o. h. V V! 2°, 80, Terraak, Tosenfjord Land. Brønø: Søm- næs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden, Tilrem. Velfjord: Saulus ækre exklusivt dominerende eller sammen med andre ukrudplanter, Hegge, Heggeøen. Vegø: Sundvold, Holand til Nes. Alstenø: Søvik ækre hovedbestanddel af vegeta- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. 6 82 J. M. Norman. tionen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Mosjøen, Alfsgaard lerfeltets ækrer dominerende sammen med Alopecurus geni- eulatus. | | 218. Senecio vulgaris L. Vikten: Evenstad, Garstad ageren. Bindalen: Terraak fjæren. Brønø: Præstegaarden omg. ækre sammen med Myosotis arvensis. Forbg. mange- steds. 219. Cirsium lanceolatum Scop. Støren: stationen omg. ' Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Stenkjær til Lang- hammer rigelig, Langhammer til Aune, Ho. Bjugn: Botten- gaard til Møllergaard. Aafjord: Melem, Valdersund, Valse men kun øens vestside rigelig i fjærens øverste tangstreng, ellers ikke i nærheden (1882). Grong: Vie til Hougum, Veium, 64° 26—27', ide kontinentale egne antagelig artens hidtil kjendte yderste nordgrændse. Nærø: præstegaardtrakten (i al fald i 1852), Lervik en enkelt. Brønø: Skaaren Høglien, Torgø Nordhusland, Tilrem en enkelt nær fjæren, 65° 31—32,, i kystegnene næst nordligste bidtil kjendte lokalitet. Paa alle disse nordligste steder mistænkelig sparsom, som om den kun var tilfældig. Suppl.1. ce. p. 237. 220. Girsium palustre Scop. Støren: stationen omg. Levanger: Krogstad. Inderøen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Beitstaden: hele veien fra Stenkjær til Dørstad, Langhammer til Aune, Kvam, Kirkaal. Snaasen: Hammer til Langnæs, ogsaa paa skiferbakke (); Sandnes. Lierne: Ulen vand Skaale A 1/7 81, Aune fleresteds, etsteds 452 m o. h. Bjugn: Ervik omg. Å 14/6 82, Sæ- ter. Namsos: Klingen omg. i kanten af granskoven. Overhalden: fra søen af hele veien flækkevis rigelig i lavlandet til Veglo omg. Grong: Vie til Hougum, Formo, Godejord, ved stien nær nybygget Brændmoen, Mogaardene, Solemmoen rigelig. Nærø: Klungervik til Storved. Bin- dalen: Hildringen, Terraak A !” 80. Brønø: Præste- gaarden omg. Velfjord: Nøstvik A V *% 81 indtil 162 cm . Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 83 høi, Hellestad til Hegge, Heggeøen, nedenfor Hummellien indtil 186 em hei. Suppl. 1. e. p. 237. 221. Cirsium heterophyllum All. Støren: Præstegaar- den omg., mellem stationen og Hovind paa selve jernbane- volden. Indersen: Hamsaashougen. Stenkjær: Byhalden. Stod: Ryg, Hegge. Snaasen: Vegsæt, Nagthus, Sem, Sand- nes, Gravbrøt. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken 365m o.h., Aune; Nordli Sandviken, Kveli. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: nær Valdersund. Namsos: Spillum, Klingen omg. tildels rigelig i engene. Overhalden: Hunn fleresteds, Veglo omg. tildels rigelig VW #/6 78, Leraadalen. Grong: Godejord, Berg elvelierne, Brændmoen, Fjerdeng, Trondenæs, Tromselvdalen 254 mo. h. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik østbakke, Garstad omg. Lekø: Huseby til Skei og omg. Bindalen: Terraak; To- senfjord Sydbergsli, Land Å °'/ı 80. Brønø: Sømnæs fla- den, Kirkemarken, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Hellestad til Hegge, Hegge, Heggesen, Raakhattens fjelde 486 m o. h. samt 145m o. trægr. Vega: Rørø. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, omkring Dalstad, Alfs- gaard lien. 222. Cirsium arvense Scop. Indergen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø. Aafjord: Melemgaardene Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Bryum til Evenstad stadigt ukrud i agrene. Sandsynligen forbg. 223. Carduus crispus L. Holtaalen: Reitan 542 m 0. h. Stenkjær: Byhalden. Stod: Kløvgaard i krattene. Snaasen: Sem omg. krat. Lierne: Ulen vand Skaale; Lenglingen Deviken, Vestnes; Aune; Kveli tjemmejorden 395 m o. h., ovenfor gaarden blandt den yppigste livegetation 492 m o. h.; nybygget Skogen. Grong: Veium, Berg c. 350 mo. h. Vikten: Garstad. Brønø: Præstegaarden omg. Velfjord: Nøstvik fleresteds. 224. Lappa minor DC. Støren: Præstegaarden cle 6* 84 J. M. Norman. imellem denne og Rognæs ovenfor 64 mo. h. Stenkjer: Byhalden skovaabninger fleresteds, rigelig 114 mo. h. Stod: Kvam olderskov, rigelig forplantende sig, Kirkaal (64° 8°). Suppl. 1. e. 237. 225. Saussurea alpina DC. Snaasen: Blomli 359 m o. h. Lierne: Lenglingen Deviken 365 m o. h., Aune; Nordli Sandviken, Kveli dalbunden 331 mo. h. Bjugn: Er- vik omg. Å '*/s 82, Bottengaard ved h. n. Aafjord: nær Melem hyppig ved h. n., Valsø. Overhalden: Veglo omg. hyppig i lavlandet. Grong: Berg 350 m o. h., Tromselvdal 254m o. h., Rørvik aasen hyppig 626 mo. h. Nærø: Klun- gervik og derfra til Storved engene rigelig. Vikten: Ofstad veikanten. Lekø: Røsvik; Huseby omg., Britdalen 96 m o. h. Bindalen: Hildringen rigelig op til 534 m o. h. samt 190 m o. trægr., Tosenfjord Sydbergsli 14 m o. h. storvoksen V >1/ 80, Land til Barstad 82 mo. h. Brønø: Sydkvalø Ydre- Kvalø 88 m o. h., Sømnæs Kirkemarken 27—55 m o. h., Præ- stegaarden omg., Saurusø, Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge, Heggesen. Vegø: Rørø fugtige enge rigelig ved h. n. Al- stenø: Søvik fladen ved søen. Vefsen: Mosjøen foden af Øienfjeld, Alfsgaard sydvestli. 226. Centaurea nigra L. Snaasen: Agle til Bøgsæt. Suppl. 1. c. p. 236. 227. Centaurea Cyanus L. Nærø: præstegaardtrakten ialfald i 1852. 228. Centaurea Scabiosa L. Ørlandet: (A. Blytt, ipse) Beian til Fladnæs hyppig. Nordenfor Throndhjemsfjorden er den antagelig yderst sjelden, om end rigelig, hvor den fore- kommer. LOBELIAGEÆ. 229. Lobelia Dortmanna L. Nærø: præstegaardtrakten ikke sparsomt. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 85 CAMPANULACEA. 230. Campanula rotundifolia L. Støren: stationen omg. Levanger: Step. Indergen: Rodsæter. Sten- kjær: Nedre Lø. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Kløvgaard. Snaasen: Hammer, foden af Horjemfjeldene; Sem vestside, kalkbakker; Sandnæs, Bergsaasen, Omli. Lierne: Lenglingen Deviken, Aune. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian, Rønholmen. Bjugn: Sæter. Aafjord: Valsø. Overhalden: Hunn. Grong: Godejord 196 m o.h. V 12/1 81, Berg, Trondenæs, Rørvik aasen 600 m o. h. Nærø: Klungervik. Vikten: Rørvik omg. Lekø: Huseby til Skei omg. AV ?8/ 80. Bindalen: Øksningen sydvest- side, Terraak, Tosenfjord Sydbergsli, Land. Brønø: Skaa- ren Høglien, Sømnæs fladen \/ !/7 82, Prestegaarden omg. fleresteds, Tilrem fladen. Velfjord: Saulus, Hegge, Hegge- sen, Raakhattens fjelde 550 m o. h. samt 219 m o. trægr. Vefsen: Dalstadaasen, foden af Øienfjeld. Negl. 231. Campanula latifolia L. Støren: Præstegaarden. Inderøen: Rødsætmarken. Stenkjær: Byhalden. Stod: Ryg. Brønø: Skaaren Høglien 59—110 m o. h., Tilrem sydli 139—162 mo. h. Velfjord: Nøstvik 59 m o. h, Raakhattens fjelde 145 m o. h. yderst rigelig, op til 302 m o. h. eller 39 m nedenfor trægr. Vefsen: Dalstadaasen lierne ved Bjørnaavand 128 m o. h. olderskov. VACCINIEA. 232. Myrtillus nigra Gil. Støren: Lundemo omg. 169 mo.h. \ 11/6 82. Levanger: Lillemark. Indersen: Rødsæteren. Stenkjær: omg. V !% 81. Stod: Langham- mer til Aune, Kløvgaard. Snaasen: foden af Horjemfjel- dene, Lerbækken storvoksen og med usædvanlig store bær 15/9 79, Gravbret, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, 86 J. M. Norman. Lenglingen Deviken, Aune; Nordli Sandviken, Kvelidalen, sydenden af Limingen. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum Almlien, hyppig i trakten Klingen til Elden. Over- halden: Hunn, Veglo omg. Grong: Berg mellem San- døldal og Namsen, Aasve til Aasmulen væsentligste bestand- del af skovbunddækket paa de flade moer, Trondenæs, Rør- vik tildels exklusivt beklædende skovbunden. Nærø: Sand- nes. Vikten: Rørvik omg. Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Hildringen lavlandet beklædende store strækninger, ligesaa fjeldets østside 372 m o. h. sam- men med Empetrum og M. uliginosa, op til 559 m o. h. samt 209 m o. trægr. V °% 80. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland, Tilrem. Velfjord: Saulus sydbakke næsten moden kart ??/ı 80, Hegge, Heggeøen. Vegø: Rørø. Alstene: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjø- aasen, Mosjøen. Negl. Te 233. Myrtillus uliginosa Drej. Levanger: Krogstad til Alfsnæs. Indersen: Sakshoug omg. Stod: Hegge. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, noget nordenfor Nagt- hus, Sem, Gravbrøt til Omli, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune, Kvelidalen. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian strandhougene. Bjugn: Er- vik og Bottengaard omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum til Almlien lavlandet rigelig. Overhal- den: Veglo omg. Grong: Berg, skovtrakten mellem San- døldal og Namsen, Trondenæs, Rørvik 495 m o. h. Næra: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. store modne bær ?/s 80, Garstad omg. Lekø: Røsvik Huseby omg., Britdalen paa storstenet urd storvoksen. Bindalen: Hildringen lavlandet, fjeldets østside 372 m o. h. dominerende, op til 574 m o. h. samt 224 m o. trægr.; Terraak; Tosenfjord Sydbergsli, Land. Brønø: Sømnæs, Torgø Nordhusland, Prestegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge, Heggeøen. Vega: Om karplanternes udbredning i det nordenfj."Norge. 87 Rørø omg. Alstenø: Søvik fladen, Thormodvoldaasen. Vef- sen: Kubbestadsjøaasen, Mosjøen. Negl. 234. Vaccinium vitis idea L. Støren: stationen omg. Levanger: Krogstad til jAlfsnes. Indergen: ovenfor Sakshoug. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Hegge, Kløv- gaard. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Sem; Præste- gaarden, ogsaa paa nordvestbakke; Bergsaasen, Agle til Bøg- sæt, Gvavbrøt, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Leng- lingen Deviken 365 m o. h., Aune, Nordli Sandviken, Kveli 477 mo.h. Bjugn: Bottengaard omg. Aafjord: Valder- sund omg., Valsø. Namsos: Spillum til Almlien. Overhal- den: Hunn \/ “/678., Veglo sydbakke ovenfor Barlien, der- fra til Svalliseteren. Grong: Berg V 11% 81, skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen, Trondenæs, Rørvik. Nerg: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Leko: Røsvik. Bindalen: ®ksningen sydvestside, Terraak, Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torge- Nord- husland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Hegge sydbakke, Heggeøen, Raakhattens fjelde op til mindst 369 m o.h. Vegø: Rørø. Alstenø: Søvik fladen. Vefsen: Mo- sjøen. Negl. 235. Oxycoccos palustris Pers. Snaasen: Sem omg. for- nemmelig paa myrene i nordvest for Stævra-aasen, storbladet. Overhalden: aasene indenfor Barlien. Grong: Fjerdeng. — Sammenlignet med underarten synes den i hele den stræk- ning af landet, der ligger nordenfor Trondhjemsfjorden, at være sjelden, om end tildels rigelig i de trakter, hvor den forekommer. * microcarpus Turez. Holtaalen: Tyvold aasen ovenfor skiftet 699 m o. h., skraaningerne op til Muggruven 814 m o.h. Snaasen: Omli. Lierne: Ulen vand Jule, Aune aasen 452 mo.h., Kvelidalen 331 m o.h. Namsos: Spillum til Almlien 111 m o.h. (ad a vergens). Overhal- den: Barlien til Svallisæteren. Grong: Rørvik 495m o.h. 88 J. M. Normar. Nærø: Sandnæs, Holand. Vikten: Klumpavatne, Drag, Garstad omg. Bindalen: Terraak. Brønø: Sømnæs Kir- kemarken 27 mo.h. Velfjord: Nøstvik omkring et tjærn, Hellestad il Hegge, Bergvik til Opsjøen. Vegø: udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag. Vefsen: Mosjøen nær Præstegaarden. ERICINEÆ. 236. Cassiope hypnoides Don. Bindalen: Hildringen 506—574 m o. h. samt 224 m o. trægr. Velfjord: Raak- hattens fjelde, ovenfor Igelvik ned til 430 m o. h., i høiere regioner rigelig, op til mindst 628 m o. h. samt 287 m, 0. trægr. 237. Andromeda polifolia L. Levanger: Krogstad til Alfsnæs. Stod: Ho. Snaasen: Nagthus omg., Bomo rigelig, myrene i nordvest for Stævra-aasen; Omli til Gravbrøt, et ekspl. støttet til en granbusk 44 em høit. Lierne: Ulen vand Jule, Lenglingen's bred ved Deviken, Aune 478 m o. h;; Nordli Sandviken, Kvelidalen 331 m o. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: Val- dersund omg., Valsø. Namsos: Spillum til Almlien V ?°/s 78. Overhalden: Barlien til Svallisæteren. Grong: Berg 312 m o. h., Tromselvdalen «langt inde 377 m o. h. yderst rigelig, Rørvik østside 481 mo. bh. Nerg: præstegaard- trakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. lavlandet temme- lig rigelig men kortvoksen og i 1880 oftest steril, Garstad omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg. 65 m o. h., Britdalen paa stor- stenet urd \/ */s 80. Bindalen: Hildringen 317 m o. h. vakkert udviklet, op til 574 m o. h. samt 224 m o. trægr., Terraak. Brønø: Sømnæs Kirkemarken 27 m o. h., Torgø Nordhusland, Tilrem. Velfjord: Bergvik, Raakhattens fjelde 410—441 m o. b. samt 100 m o. trægr. Vegø: Rørø. s Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 89 Alstenø: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen 114 m o. h., nedenfor Dalstadaasen \/ *°/6 77. 238. Arctostaphylos uva ursi Spreng. Snaasen: Stevra- aasen strøgvis rigelig, Bergsaasen op for Nagthus og Berg. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. fleresteds, heiene sammen med A. alpina, Bottengaard i lyngmarken, Oksvold aldeles dekkende klippeskraaningerne. Aafjord: Valdersund omg. strandklipperne fornemlig deres sydlige og østlige skraaninger dominerende, spillende samme rolle som À. alpina i det arktiske Norge; Valsø tildels ganske dæk- kende klipperne. Nærø: Lervik, Holand op til 118 m o. h. Vikten: Rørvik omg. urd rigelig op til 62 m o. h., Drag til Gravsæt, Garstad omg. fleresteds, tildels ganske dækkende mod syd vendende klipper og urd. Lekø: Huseby omg. lavlandet vidt udbredt, fornemlig paa sandterrænet, sydsiden af en hei 105 m o. h., Britdalen rigelig overalt, lavere nede ved søen hist og her i calluna-marken. Brønø: Sydkvalø fleresteds, Skaaren Høglien; Sømnæs flad mosseklædt mark ved søen, Kirkemarken heien 27 m o. h.; Torgø Nordhusland heiens topflade 38 m o. h., Præstegaarden omg., Tilrem fra nær h. n. op til 29 mo. h. hyppig men ikke domi- nerende. 239. Arctostaphylos alpina Spreng. Holtaalen: Ty- vold til Muggruven 761 m o. h. Snaasen: Blomli til Græssamo 397 mo. h. Grong: Rørvik aasen 495—588 m o. h., fjeldene nordenfor Gjeresvik 626 mo. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. lav hei, Bottengaard myr lidet o. h. n. Aafjord: Valdersund omg. nær h. n., Valsø. Vikten: Rørvik omg. 54m o. h. og temmelig hyppig paa de lave heier. Lekø: Røsvik 3 m o. h., Huseby omg. lavlandet nær h. n. paa myrlændt terræn og lige ned til h. n., heiplateau 65 m o. h. rigelig. Bindalen: Hildringen 422 m o. h. samt 72 m o. trægr., Tosenfjord Land 107 m 0. h Brønø: Sydkvalø Ydre Kvalø 88 m o. h., Skaaren 90 J. M. Norman. Høglien, Sømnæs Kirkemarken 27 m o. h., Torgø Nordhus- land. Vegø: Rørø, Rørø til Gladstad 5 m o. h. og hyppig i lavlandet. Alstenø: Søvik, Thormodvoldaasen. 240. Calluna vulgaris Salisb. Støren: Lundemo omg. 169mo.h. Inderøen: Hamsaashougen. Stenkjær: nærme- ste omg. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Hegge. Snaa- sen: Homo myrene rigelig, Stævra-aasen og myrene i nord- vest for samme, Sandnæs storvoksen, Gravbrøt, Græssamo. Lierne: Lenglingen Deviken, Aune; Nordli Sandviken myr, Kvelidalen 331 m o. h. Hitteren: Havn omg. indtil 60 cm hei. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard myr. Aafjord: Val- dersund, Valsø. Namsos: byen til Namsens udløb tørre sydskraaninger rigelig, Spillum til Almlien overalt storvoksen paa porfyrgraniten, Klingen omg. myr og klippegrund. Overhalden: Hunn bergrifter, derfra til Veglo rigelig over- alt, Barlien til Svallisæteren. Grong: Berg skiferterrænet, derfra til Brændmoen paa myr, Rørvik c. 405 m o.h. Vik- ten: Rørvik omg., Garstad omg. V 7/, 80. Lekø: Røsvik overalt, Lekøen udmarken dominerende overalt, tildels tætte høivoksne bestande, ved søen fuldstændige store calluna- marker ganske som i den sydlige vestlandske kyst. Bin- dalen: Hildringen myr 144 m o. h., op til 550m o.h. samt 219 m o. tregr., Terraak tæt beklædende vestside, Tosen- fjord Sydbergsli. Brons: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Sømnæs Kirkemarken heien 27 m o. h., Præstegaarden omg., Tilrem sydli 75 m o. h, og i det hele sjeldnere i disse trakter. Velfjord: Nøstvik omg. myr sammen med Trichophorum cæspitosun, Hellestad til Hegge, Hegge, Heggeøen, plateauet ovenfor Hummellien, Raakhattens fjelde hyppig opad skraa- ningerne til 550 m o. h. samt 219 mo. trægr. Vega: Rørø. Alstenø: Thormodvoldaasen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen 114 m o.h. myr, omkring Mosjøen paa granskovens hypnum- dække hist og her. | 241. Erica Tetralix L. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. . 491 Ervik omg. lav hei, Bottengaard myr lidet o.h.n. Aafjord: Valdersund omg. hist og her, Valsø øens vestside fleresteds. Nærø: præstegaardtrakten hyppig, Sandnæs til Lervik, Ho- land i calluna-marken. Vikten: Rørvik omg. hist og her isprængt de blandede bestande af Calluna, Betula nana og Myrica op til 106m o.h. \/ ?/9 80, Stangring til Drag, Garstad omg. fleresteds. Lekø: (ipse 1880, Thorkelson 81) Britdalen 59 m o. h. temmelig rigelig og hist og her sparsommere op til 156m o. h., 65° 4—6", antagelig artens eneste hidtil sikkert kjendte nordgrændse. 242. Azalea procumbens L. Holtaalen: Tyvold til Mug- gruven 787 m o.h. Snaasen: Blomli til Græssamo 397 m o. h. V 2% 81, Græssamo, mellem dette sted og Lierne i myr- lændt furuskov. Grong: Rørvik 547--588 m o. h., fjeldene nordenfor Gjeresvik 626 m 0. h. Vikten: Rørvik omg. 62 mo. h. Lekø: Røsvik ved h.n. V 7"/6 80, Huseby lavlandet myrmarken. Bindalen: Hildringen 372--574 m o. h. samt 224 m o. trægr., Tosenfjord Barstad 72 m o. h. Velfjord: Raakhattens fjelde 358 m o. h., rigelig over store stræknin- ger i høiere regioner ovenfor 441 m o. h., op til mindst 628 mo. h. samt 287 m o. trægr. \/ ?/1 80. Vegs: Eidem Louplien 377 m o. h., Rørø ved h. n. V 7/6 82. 243. Pyrola rotundifolia L. Snaasen: Stævra-aasen. Aafjord: Melemgaardene A 16/6 82, Valsø fleresteds 0/A\/ 17/ 82. Nærø: præstegaardtrakten, Klungervik. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Skaaren Høglien, Sømnæs \/ 1/1 82. Torgø Nordhusland, Præstegaarden Høiaasen hyppig i egnen, Hestø, Tilrem sydli 55—99 mo.h. Velfjord: Nøstvik omg., Heggeøen. Vegø: Gladstad olderskov Å */s 82. Sand- synligvis denne og de2 følgende arter oftere, muli- gens strøgsvis forbg. eller undladt at noteres som ikke sikkert skilbare. 244. Pyrola media Sw. Vikten: Rørvik omg. + 7980. Lekø: Huseby omg. (?). 99 J. M. Norman. 245. Pyrola minor L. Snaasen: Hroaldstenen, Agle til Gravbrøt 120 mo.h. Å */6 81. Lierne: Ulen vand Jule 381 m o.h., Aune 0 ??/ 81 (0, fjorsgammelt skaft), Nordli Sandviken fleresteds, Kveli. Namsos: Spillum til Almlien V %/678.. Grong: Aasve, Rørvik 444 m o. h. rigelig i sko- ven i kanten af sneflæk (7/7 81), op til 511 mo. h. Nerg: : Klungervik. Bindalen: Tosenfjord Land 107 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien sparsomt, Tilrem sydli 83 m o. h. A 29 82 Velfjord: Raakhatten 45 mo. h. 246. Pyrola uniflora L. Lierne: Ulen vand Skaale ce. 340 m o.h. A !/, 81, Grong: Formo. Nærø: Holand 102 mo. h. 247. Pyrola secunda L. Snaasen: Sem, Stævra-aasen. Lierne: Ulen vand Jule; Lenglingen Aspenæs, Deviken; Nordli Sandviken ovenfor 384 m o. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Bottengaard omg.fleresteds. Aafjord: nær Melem. Namsos: Klingen omg. granklædt aas. Overhal- den: Hunn. Nærø: Klungervik, Holand. Vikten: Rørvik omg. Lekø: Hattelien vestside. Bindalen: Øksningen 81 m o. h., Tosenfjord Land 107 mo. h. Velfjord: Nøstvik til Hellestad, Hummellien fleresteds og op paa sammes pla- teau. Vegø: Eidem Louplien 34 m o. h. GENTIANEA. 248. Menyanthes trifoliata L. Levanger: Krogstad til Alfnæs, Alfstadhoug. Inderøen: Sakshoug omg. Sten- kjær: Byhalden V/A '% 81. Stod: Hegge. Snaasen: Sem omg., Agle til Bøgsæt \/ *°/6 81. Lierne: Ulen vand Jule, mellem Ulen vand og Lenglingen, Kveli til Skogen. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Valdersund omg, Valsø. Namsos: Klingen omg. Overhalden: Veglo omg. fleresteds. Grong: Berg 312 mo. h., Troms- elvdal 276 m o. h. Nærs: præstegaardtrakten, Sandnæs. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 93 Vikten: Rorvik omg. fleresteds, tildels udi selve tjernene, Gar- stad omg. Lekø: Huseby til Skei og omg. Bindalen: Hildringen, Terraak; Tosenfjord Land til Barstad 82 mo. h. Brønø: Torgø Nordhusland, Tilrem rigelig. Velfjord: | Saulus Strengsvand og Bruvand rigelig og høivoksen i selve vandet, hvor man ror gjennem tæt eng af den, Nøstvik omg., Hegge, Bergvik. Vegø: Rørø V ” 82. Alsteng: Søvik. Vefsen: Dalstadaasen. 249. Gentiana nivalis L. Vegø: Sundvold ved h. n., ce. 65° 40’ n. br., saavidt vides, sydligste station, hvor den stiger ned til b. n. kjøt 250. Gentiana Amarella L. Vikten: Aaviken. Denne og de 2 følgende arter sandsynligvis mangesteds forbg. 251. Gentiana campestris L. Ørlandet: Beian 0 */c 79 (?). Aafjord: Valsø AAV ?8/6 80. Lekø: Huseby omg. syd- bakke 63 m o. h. \/ ?®/s 80. Brønø: Sømnæs A 1/7 82, Sømnæsøen, Præstegaarden omg. Velfjord: Saulus fl. albo, ligesaa Bergvik til Opsjsen. Vegø: udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag tør houg 0 ?*/s 82, Sundvold engen OA 28/6 82. 252. Gentiana involucrata Roitb. Nero: præstegaard- trakten. POLEMONIACEÆ. 253. Polemonium cæruleum L. Snaasen: foden af Horjemfjeldene; Stævra-aasen, høiere i lien rigelig. Brønø: Præstegaarden omg., Tilrem sydli 140—147 m o. h. Y\y! | 82. Velfjord: Heggeøen fleresteds \/ ?7/: 80. Vega: Eidem Louplien 160 m o. h., Holand til Næs nordside rige- lig. Vefsen: Dalstadaasen mangesteds, tildels rigelig AV 3% 77, sammen med Orchis mascula, Fragaria, Myosotis sylv. ete. 94 J. M. Norman. 254. Diapensia lapponica L. Snaasen: Blomli til Græssamo 585 m o. h. samt 113 m o. trægr. rigelig V > 81. Grong: Rørvik aasen 598 m o. h. V °/, 81. Bin- dalen: Hildringen 422 m o. h., byppig op til 574 m o. h. ‘samt 224 m o. trægr. Velfjord: Raakhattens fjelde 369 m - o. h. samt 25 m o. trægr. tildels rigelig op til mindst 628 m oh VA 222880. BORRAGINEÆ. 255. Echinospermum deflexum Lehm. Støren: statio- nen omg., Lundemo omg. Lierne: nær Skogen. Grong: Sandøldal langt nede i dalen 185 m o.h. rigelig paa skiferen, Nynæs 287 m o. h., Berg 354 m o. h. fleresteds rigelig paa forøvrig nøgne grusbakker. Suppl. |. c. p. 237. 256. Stenhammaria maritima Reich. Levanger: Alfs- nes. Lekø: Røsvik. Brønø: Sømnæs \/ 2/7 82, Sømnæs- øen. Velfjord: Bergvik. Vegø: Sundvold. 257. Lithospermum officinale L. Brønø: Skaaren Høglien 78 m o. h. og rigelig op til 136 m o. h., e. 65° 13' n. br., inden dens nordenfjeldske udbredningsomraade dens sydligste hidtil kjendte station. 258. Myosotis cæspitosa Schultz. Inderøen: Sakshoug. Brønø: Præstegaarden omg. fleresteds. 259. Myosotis sylvatica Hoffm. Snaasen: Blomli 359 mo. h. Lierne: Lenglingen Deviken 365 m o.h., Vestnæs; Aune fleresteds, Høghougen 468 m o. h.; Nordli Sandviken fleresteds t. ex. Bergan, Kveli. Grong: Berg 304—350mo. h., Fiskum. Velfjord: Raakhattens fjeldsider 313—347 m o. h. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds, Alfsgaard sydvestli 150 m o. h. 260. Myosotis arvensis All. Støren: stationen omg. Indersen: Vennaberg. Stod: Kvam ækrene og hyppig i trakten, Ho, Hegge engen, Kirkaal, Snaasen: Hammer til Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 95 Langnæs, Horjem, Nagthus, Sandnæs, Gravbrøt. Ørlandet: Beian, ogsaa i øverste strandbelte sammen med Potentilla anserina etc. \/ 24/6. 77. Aafjord: Melem, nær Valdersund V 16/82, Valsø fleresteds. Overhalden: Hunn i skovkrat ved fævei, Veglo omg. ækre, potetesager, bakke ovenfor Barlien. Grong: Berg 288 m o. h. berghammere rigelig, 350 m o. h. skiferbakker; Fjerdeng ækre. Nærø: Klunger- vik, Sandnæs. Vikten: Rørvik ækre, Garstad. Lekø: Røsvik; Huseby til Skei og omg.; Præstegaarden fjæren, men ikke ovenfor høieste flodmaal, temmelig storblomstret. Binda- len: Hildringen, Øksningen sydvestside 32 m o.h., Terraak, Tosenfjord Land ager dominerende ukrud, ækre stærkt do- minerende, Sørenskogen. Brønø: Skaaren Høglien 106 m 0. h., Sømnæs, Præstegaarden, Hestø, Saurusø. Velfjord: Saulus ager, ækre dominerende, Strengsvand, Hellestad til Hegge; Hegge yderst rigelig, mosseklædte strandklipper dominerende; Raakhattens lier 238 m o. h. Vegø: Rørø til Gladstad \/ ?*/s 82, Holand til Næs. Alstene: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen ækre, Dalstadaaasen fleresteds. SOLANACEA. 261. Solanum Dulcamara L. Cfr. 1. c. p. 238. VERBASCEA. 262. Verbascum Thapsus L. ‘Stsren: stationen omg. tildels rigelig, Lundemo omg. Suppl. 1. c. p. 238. 263. Verbascum nigrum L. Støren: stationen omg. Rognæs 96 m 0. h., Rognæs til Bjørgen. Indersen: Ven- naberg. Stenkjær: omg., Byhalden 114 m o. h., fornemlig rigelig i skovaabningerne paa skifergrus 121 m o. h. Stod: Korsen. Aafjord: Melem hadselkrat rigelig, 63° 49—50', i kystegnene artens hidtil kjendte nordgrændse. 96 J. M. Norman. 264. Scrophularia nodosa L. Stenkjær: Byhalden 121 mo. h. Snaasen: Hammer til Langnes fleresteds. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Sæter. Aafjord: nær Valdersund. Nerg: Holand sydli 146 m o. h. Vikten: Garstad omg. sydbakke. Brønø: Skaaren Høglien 59 —106 m o. h., Tilrem sydli 141 mo. h. Velfjord: Saulus syd- bakke 128 m o. h., Nøstvik, Heggeøen. ANTIRHINEZÆ. 265. Linaria vulgaris Mill. Levanger: Stop. Ørlan- det: Beian sparsomt. Aafjord: Melemgaardene 0 15% 82, nær Valdersund. Vikten: Garstad omg. fleresteds, somme- steds rigelig, tildels \/ */9 80. Brønø: Tilrem sydli 99 m o. h. urd. Vegø: Eidem Louplien 182—289 m o. h., Sund- vold fjæren umiddelbart ovenfor øverste tangstreng og ikke længere inde i engen. 266. Veronica scutellata L. Støren: Lundemo omg. (villosa). Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. AV 14/6 82. Aafjord: nær Valdersund V/ 19% 82. Nero: præstegaard- trakten. Vikten: Aaviken Brong: Sømnæs. Suppl. l. c. p. 238. | 267. Veronica Beccabunga L. Stod: Forfang opkom ved landeveien temmelig rigelig, Kirkaal 91 m o. h., 64° 10' n. br., å de mere kontinentale egne antagelig dens hidtil kjendte yderste nordgrændse. 268. Veronica Chamædrys L. Støren: stationen omg. Levanger: Stop. Indersen: Vennaberg \/ *% 78. Beit- staden: Østvik. Stenkjær: Nedre Lø 0 % 81, Byhal- den. Stod: Korsen rigelig, Kvam, Ryg, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs og rigelig langs nordsiden af Snaasenvand, foden af Horjemfjeldene, Stævra-aasen, Præstegaarden, Nagthus hyppig i trakten, Gravbrøt, Omli rigelig. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian\/ **/s 77. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 97 Bjugn: Ervik omg., Bottengaard skovlierne ved vandet. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum, Klingen omg. kalkhougene ved kirken. Overhalden: Hunn, Veglo omg. Grong: Holandsgen. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Garstad omg. Lekø: Huseby til Skei og omg. 57 m o. h. Bindalen: Øksningen sydvestli V 7; 80. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvale, Skaaren Høglien, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. fleresteds, Hestø, Tilrem opad sydli til 182 m o. h. Velfjord: Nøstvik, Hegge, Heggesen. Vegø: Eidem hyppig opad Louplien 100—353 m o. h., Gladstad olderskov fleresteds. Alstene: Thormodvoldaasen birkeskov. Vefsen: Dalstadaasen ret op for præstegaarden. 269. Veronica officinalis L. Støren: stationen omg. rigelig. Holtaalen: Vondgraven 600 m o. h. Levanger: Alfsnæs. Indergen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Langhammer til Aune, Hegge, Kirkaal, Kløvgaard. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Stævra-aasen, Sandnæs, Bergsaasen, Agle til Gravbrøt, ogsaa som smal bord rundt en myretue, Gravbrøt, derfra til Blomli 214 m o. h. Lierne: Lenglingen Deviken; Aune fleresteds, Høghougen 468 m o. h.; Nordli Sandviken 481 m o. h. og Bergan 504 m o. h. Hit- teren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard lierne ved vandet, Oksvold. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum fleresteds, Klingen omg. Overhalden: Hunn, Veglo omg. vestlig ler.akke, sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Homo, Godejord, Berg, Fiskum, Trondenæs. Nærø: Klungervik, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. Garstad. Lekø: Huseby til Skei V */s 80 og omg. 91 m o.h., Hat- telien vestside. Bindalen: Øksningen sydvestli, Tosenfjord Sydbergsli 46 m o. h., Land 71 m o. h., Land til Barstad olderklædt urd. Brønø: Sømnæs Kirkemarken 75 m o. h., Præstegaarden omg. ved h. n., Hestø, Tilrem 44 m o. h. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge, Hegge, Heggeøen, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. a 98 J. M. Norman. plateauet ovenfor Hummellien, Raukhatten rigelig op til 302 m o. h. samt 39 m nedenfor tregr. Vegø: Eidem Louplien op til 369 m o. h., Sundvold urden 125 m o. h, Alsteng: Thormodvoldaasen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen birkeklædt vestli, Dalstadaasen, sydbakke søndenfor Øiengaardene. 270. Veronica saxatilis Scop. Grong: Berg 288 m 0. h., Rørvik aasen 582—585 m o. h. sydhammere. Bin- dalen: Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Skaaren Høglien — 98 mo. h., Tilrem ved h. n. V "82, 65° 31—32,, sydligste hidtil kjendte station, hvor den stiger ned til h. n. Vel fjord: Heggeøen, c. 65° 26' saagodtsom ved h. n. Vega: Eidem Louplien 236—289 m o. h., Holand nær h. n., Sund- vold urden 97 m o. h. Alstenø: Søvik kalkklipper. 271. Veronica serpyllifolia L. Støren: stationen omg. Levanger: nær Alfsnæs. Inderøen: Vennaberg, Saks- houg. Beitstaden: Østvik. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: - Langhammer til Aune, Kvam, Hegge. Snaasen: Vegset, Berg ækre rigelig, Agle, Gravbrøt \/ °*/s 81, Lian rigelig. Lierne: Ulen vand Skaale ækre, Lenglingen Deviken af kreaturer optrakket skovaabning, Nordli Sandviken hyppig, Kveli, nybygget Skogen hjemmejorden, i veikanten mellem Tunsjø og Limingen 349 m o.h. Hitteren: Havn omg. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Klingen ækre rige- lig. Overhalden: Veglo omg. fladlandet, Leraaen. Grong: Veium, Holandsøen; Homo, ogsaa paa af flommen oversvøm- met elvebred; Godejord, Berg 350m o.h., nybygget Brendmoen, sætervold i skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen, Fjerdeng, Aasve; Rørvik, ogsaa udenfor hjemmejorden omkring 405 m o. h. Nærø: Klungervik. Vikten: Rørvik. Lekø: Huseby omg. \/ 28/680. Bindalen: Tosenfjord Land til Barstad 62 m o.h. Brønø: Hestø. Velfjord: Saulus sydbakke 67 m 0. h., Nøstvik fleresteds, Heggeøen, Raaken i fæveien 29 m 0. h. Vegø: Rare V 22/6 82. Vefsen: Kubbestadsjøaasen birkeklædt vestside, Dalstadaasen nær Andaas, Alfsgaard Om karplanternes udbredning i det nordentj. Norge. 99 græsvoksen sydvestli. — Var. borealis Læstad. Lierne: Sko- gen hjemmejorden c. 312 m o. h., 64° 39—40' n. br., den . for Norges Flora ny afarts hidtil kjendte sydgrendse paa den skandinaviske halve. 272. 'Veronica arvensis L. Levanger: Næsset hen- imod Lillemark med skrind jord dækkede berghammere flere- steds. Stod: Kvam, c. 64" 8' n. br., å de mere kontinentale egne artens hidtil kjendte nordgrendse. Aafjord: Melem- gaardene, Valsø. Velfjord: Nøstvik skrind noget nøgen jord nær boligerne men udyrket mark, i de mere litorale «egne nest nordligste hidtil kjendte lokalitet. 273.. Veronica alpina L. Grong: Rørvik c. 405 m o.h. - paa en flæk, hvor sneen har lagt lenge, fremdeles 547 m o. h. Bindalen: Hildringen 361 mo.h. 0 2/7 80. Velfjord: Raakhattens fjelde 481 m o. h. samt 140 m o. trægr. Vege: Eidem Pouplica 369 mo. h. RHINANTHACEA. 274. Melampyrum pratense L. Snaasen: Stævra-aasen. Lierne: Ulen vand Skaale Å V 1/7 81, Lenglingen Aspe- - næsset, Aune. Ørlandet: Beian. Bjugn: Bottengaard skovlierne ved vandet. Aafjord: Kvengjerdet, Valsø. Overhalden: Hunn, Veglo sydvestlig lerbakke. Grong: Berg, nær Brændmoen, Fiskum. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg. +V 780; Garstad +\ 4/9 80. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei og omg. hyppigere end M. sylvaticum. Bindalen: Hildringen østside 344 m o.h. samt 6 m nedenfor trægr., Tosenfjord Land kratbevoksede ler- bakker rigelig. Brønø: Skaaren Hoglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Sau- lus; Nøstvik til Hellestad, ogsaa paa nordlig skraaning og paa myr, hyppig i trakten; Hegge fleresteds. Vegø: Rørø 100 J. M. Norman. AV 7% 82. Alstenø: Thormodvoldaasen. Strøgvis forbg. 275. Melampyrum sylvaticum L. Inderøen: Hamsaas- hougen. Snaasen: Hammer til Langnæs / V :?/6 79, foden af Horjemfjeldene, Stævra-aasen. Lierne: Ulen vand Skaale; Lenglingen Deviken, Aspenesset; Aune; Nordli Sandviken. Bjugn: Ervik omg., Sæter. Aafjord: nær Valdersund. Namsos: Spillum til Almlien, Klingen omg. Overhalden: Hunn, Veglo omg. Grong: Berg nær Brændmoen, Fiskum, Trondenæs, Rørvik c. 405 m o. h. ikke sparsomt. Nærø: Klungervik, Sandnæs / Å V 1°/% 82. Vikten: Rørvik omg. Garstad + */980. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei og ud- marken 114 mo. h. Bindalen: Hildringen østside 144 m 0. h. rigelig, Øksningen, Terraak; Tosenfjord Sydbergsli, * Land til Barstad. Bre nø: Sømnæs fladen, Præstegaarden Høiaasen, Tilrem sydli. Velfjord: Saulus sydbakke 115 m o. h., Nøstvik til Hellestad og hyppig i egnen, Hegge, Hegge- sen, Raakhatten 347 m o. h. samt 6 mo. trægr. Vega: Gladstad, Holand til Næs V ” 82. Alstens: Thormod- voldaasen. Vefsen: Dalstadaasen, lierne ved Bjørnaavand. Oftere forbg. | 276. Sceptrum Carolinum Hartm. Støren: stationen omg. ec. 64 m o. h. Lierne: Lenglingens bred ved Aspe- nes 358 m o. h., Aune til Laksjø 445 m o. h, Nordli Brat- land 558 m o. h., Kveli elvebred 331 m o. h., Kveli til Sko- gen 491 m 0. h. Grong: Rørvik omkring 491 m o. h. 277. Pedicularis sylvatica L. Bjugn: Ervik omg. lav hei, Sæter, Bottengaard fleresteds indenfor gaarden, dels paa myr dels paa tør lyng- og enermark, furuklædt sydbakke ved vandet, 63° 44—45' n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrændse. 278. Pedicularis palustris L. Indersen: Sakshoug omg. Snaasen: Prestegaarden O !*/s 79, Agle til Grav- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 101 brøt NAV 7/6 81. Lierne: Ulen vand Jule A '/7 81, sydenden af Limingen 405 m o. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Bottengaard til Møllergaard N A V "682. Aafjord: Valsø. Namsos: Spillum, Klingen omg. Overhalden: fra søen til Veglo hyppig, Veglo omg. med blomstrende skud fra rodhalsen paa afmeiet eng !?/ 78. Grong: Brændmoen, skovtrakten derfra til Namsen, Solemmoen, Fjerdeng. Nærø: Klungervik, derfra til Storved A 1% 82, Sandnæs. Vikten: Bryum til Evenstad, Drag, Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei og omg. V 28/680. Bindalen: Hildringen, Øksningen, Terraak; Tosenfjord Land til Bar- stad 82m o.h., Sørenskogen 28 mo.h. Brønø: Torgø Nord- husland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Bruvand rigelig, Hellestad til Hegge, 31 m 0.h. Vegg: Rørø AN V 7/6 82, Gladstad, hyppig paa gen. Alstens: Søvik fladen nær søen. 279. Rhinanthus minor Ebr. Støren: stationen omg., derfra til Hovind rigelig AAV !?/s 82. Indergen: Ven- naberg. Stod: Hegge. Suaasen: Sem, Nagthus. Lierne: Lenglingen Deviken, Vestnæs; Kveli hjemmejorden yderst rigelig NV °/7 81., nybygget Skogen rigelig 312 mo. h, sydenden af Limingen 405 m o. h. Ørlandet: Beian, ogsaa i øverste strandbelte sammen med Potentilla anserina o.s.v. Bjugn: Ervik omg. rigelig, Bottengaard yderst. rigelig. Aafjord: Valsø. Namsos: Klingen omg. Overhalden: Hunn, Veglo omg. Grong: Godejord, Berg 350 m o. h. V ‘a 81, nybygget Brændmoen, Fiskum rigelig, Fjerdeng. Nærø: prestegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik, Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Øks- ningen sydvestside dominerende og storvoksen, Terraak, Tosenfjord Sydbergsli, Land. Brønø: Sømnæs, Torgø Nord- husland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge, Heggesen. Vegø: Rørø, Vegdalen og rigelig paa de tørre steder af gens lavland. Alstenø: Sø- 102 J. M. Norman. vik. Vefsen: sydbakke sendenfor Øiengaardene, Alfs- gaard lien, 280. Bartsia alpina L. Lierne: Lenglingen, Aspenæs- set fleresteds ved vandets bred 358m o.h., Aune 428m o.h., Nordli Sandviken fleresteds ved Laksjøens bred 395 m o. h, nær Bratland 558 m o. h. rigelig, Kveli ved elven 331 m o. h. Grong: Berg elvelierne, Aasve lavere end 127 m o.h. elvebakken paa af flommen oversvømmede steder, Tromselv- dalen dalbunden 254 m o. h., Rørvik aasen 546 m o. h. Hitteren: Havn omg. lavlandet. Bjugn: Ervik de lave heier. Aafjord: nær Melem 5m o.h. Leko: Røsvik | \ 21/6 80, Huseby hjemmejordens enge, omg. fléresteds lige ned til h. n. Bindalen: Hildringen 546 m o. h. samt 202 mo. trægr., Tosenfjord Sydbergsli, Land til Barstad 82 m o.h. Brønø: Torgø Nordhuslaud 25 m o. h., Præstegaarden omg. byppig blandt sydlige vækster. Velfjord: Saulus ved van- dets bred, Nøstvik knapt 1 m o. h., Heggeøen rigelig, Berg- vik ved h. n., Raakhatten. Vegø: Viken til Roa V "82: Rørø rigelig, ogsaa paa houg fjærnet fra søen, Holand til Næs nær h. n. Alstenø: Søvik fladen ved h. n. hyppig. Vef- sen: Mosjøen foden af Øienfjeld, lierne ved Bjørnaavand. 281. Euphrasia officinalis L. Støren: stationen omg. + 2/9 82. Indergen: Sakshoug omg. Stod: Kvam, Kirkaal.. Snaasen: Præstegaarden, Lian ved Agle. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Vestnæs. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Bottengaard omg. VY 14/6 82. Aafjord: nær Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum, Klingen. Overhalden: Veglo omg. Grong: Go- dejord A V **/7 81, Berg, Fiskum, Fjerdeng. Nærø: præ- stegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg. rigelig, Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Øksningen, Tosen- fjord Land, Land til Barstad 82 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge og hyppig Om karplanternes udbredning i det nordenfj, Norge. 103 i trakten, Hegge. Vegø: Rørø Å V °%/s 32, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag, Holand til Næs. Alstenø: Søvik. Vef- sen: Øien sydbakke. Mangesteds forbg., dertil negl. LABIATÆ. 282. Mentha arvensis L. Snaasen: (Gunnerus, ipse) Sem ved Snaasen vand fleresteds. og der fuldstændig vild- voksende, c. 68° 11' n. br., den nordligste hidtil kjendte special- lokalitet, medens dens voksested i Lierne, Overhalden og Namsen ikke er nærmere angivet. I Nærø, ligesom i Salt- dalen, var den kun ukrud i haverne. — Var. lapponica We. Snaasen: Sem ved Snaasenvand, c. 64° 11", inden vor flora afartens hidtil kjendte nordgrændse. 283. Origanum vulgare L. Levanger: Krogstad rige- lig, Aafjord: Melem. Brønø: Skaaren Høglien 39 m o. h, Tilrem (Ångstrøm, ipse) i dalkjedelens sydlier 36—162 m o. h. hyppig og flekkevis rigelig, saa den i stærk varme fylder luften med vellugt. Suppl. 1. e. p. 239. 284. Thymus Serpyllum L. Bjugn: Dynviken VA 17/682. Aafjord: Valdersund (A. Blytt, ipse) fleresteds, ogsaa paa Hyldenæsset rigelig paa klipper, medens jeg andre ste- der i det nordlige Norge kun har bemærket den paa sand. 285. Calamintha Acinos Clairv. Stod: Langhammer til Aune med skrind muldskorpe dækkede klipper hyppig, .Kløvgaard: Snaasen: Agle til Gravbrøt 120m o. h., rigelig 197 mo. hb. Suppl.:l.,e. p.,239. 286. Clinopodium vulgare L. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Kirkaal, Kløvgaard hammerne hyppig. Aafjord: Melem. Brønø: Skaaren Høglien 72—141 m o. h. hyppig, c.65° 13' n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrændse, om- trent 1 breddegrad nordligere, end jeg forud har angivet den for de mere kontinentale egne. Suppl. 1. ec. p. 239. 104 J. M. Norman. 287. Lamium purpureum L. Nærø: præstegaard- trakten. Vikten: Garstad i potetesager. pit): 288. Lamium amplexicaule L. N erg: præstegaardtrak- ten. Begge slegtens arter sandsynligvis oftere forbg. 289. Galeopsis Tetrahit L. Snaasen: Hammer til Langnes, foden af Horjemfjeldene paa stenskred i urden, Sem, Gravbrøt. Lierne: Lenglingen i aconitumbestand, NordliSandviken. Hit- teren: Havnomg. Bjugn: Ervik fjæren, Bottengaard. Aafjord: — Valdersund urd, Valsø. Overhalden: Hunn lien. Grong: Godejord, Berg 354 m o. h. skiferbakkerne. Nero: præste- gaardtrakten. Vikten: Rørvik omg. agrene og urd, Gar- stad omg. ligesaa. Lekø: Røsvik; Præstegaarden stranden. Bindalen: Øksningen agrene og lien, Terraak, Tosenfjord Land ageren dominerende ukrud. Brønø: Sømnæs fjæren, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus 136 m o. h. lien paa urd ikke sparsomt, Hegge til Hellestad agrene, Hegge strandklipper (hvidblomstret), Raak- hatten lien 262 m o. h. Vegø: Rørø ækre. Vefsen: Dal- stadaasen fleresteds i lierne, Alfsgaard dyrkede steder, lierne ved Bjørnaavand. Strøgvis forbg., negl. 290. Galeopsis versicolor Curtis. Snaasen: Sem. Grong: Næs nedenfor Solem, Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik \/+ ?/, 80, Garstad. Bindalen: Øksnin- gen bygager, Tosenfjord Barstad. Brønø: Præstegaarden omg. Velfjord: Hegge til Hellestad, Hegge AAV ”/7 80. De fleste strøg forbg. 291. Stachys sylvatica L. Støren: stationen omg. Levanger: Krogstad. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden op til 126 m o. h. Stod: Kvam olderskov, Ryg, Nastad, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs fleresteds rige- lig, foden af Horjemfjeldene fleresteds, Hroaldstenen, Nagt- hus, Omli. Lierne: Lenglingen Deviken heggekrat, Aune Høghougen 468 m o. h.; Kveli 404 m, rigelig 427 m o. b. Namsos: Spillum Almlien. Overhalden: Hunn rigelig, Om karplanternes udbredning i det nordentj. Norge. 105 Veglo omg. sydbakke ovenfor Barlien rigelig, Steindalen ligesaa. Grong: Veium, Godejord, Berg 312 m o. h. elvelierne i olderskov. Bindalen: Øksningen sydvestli, Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Skaaren Høglien hyppig 59—130 m o. h., Torgø Nordhusland, Tilrem sydlierne 133—158 m o.h. Vel- fjord: Saulus sydbakke 128—133 m o. h., Nøstvik rigelig, Heggesen, Hummellien fleresteds, Raakhatten 123—262 m o. h. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds opad lierne til høie- ste kolle, lierne ved Bjørnaavand op til 128 m o. h. 292. Stachys palustris L. Støren: stationen omg. agrene rigelig. Snaasen: Sem hjemmejorden. Nærø: præ- stegaardtrakten. Vikten: Drag havreager. Sandsynlig- vis ofte forbg. 293. Scutellaria galericulata L. Nærø: præstegaard- trakten. Bindalen: Hildringen submarin myr, Terraak ligesaa A 19/7 80. 294. Prunella vulgaris L. Støren: stationen omg. Levanger: Krogstad. Indersen: Vennaberg. Stod: Korsen, Nastad, Kløvgaard. Snaasen: Hammer til Vegsæt, Hroaldstenen, Præstegaarden, Sandnæs, Bergsaasen, Gravbrøt til Agle 157 m o.h., Omli. Lierne: Ulen vand Skaale, Jule, ' Lenglingen Deviken hyppig ovenfor 350 m o. h, Kveli 395 mo. h. Aafjord: Melemgaardene, Valdersund. Overhal- den: Hunn AY 26/6 78; Veglo omg. sydvestlig lerbakke, Namsen flad mark indenfor elvekrattet rigelig, sydbakke ovenfor Barlien, Leraadalen. Grong: Holandsgen, Homo, Godejord 196 m o. h., Nynæs 287 m o. h. rigelig, Berg 330 mo. h., Fiskum, Fjerdeng. Nærø: (Sandnæs. Vikten: Aaviken, Drag til Gravsæt; Garstad omg, ogsaa paa myr. Lekø: Huseby omg. AV 28/6 80. Bindalen: Øksningen 42—81 m o. h., Terraak; Tosenfjord Sydbergsli, Land op til 71 mo. h., Barstad, Sørenskogen og hyppig over hele Vel- fjordeidet. Brønø: Skaaren Høglien fra h.n. til 98 m o. h; Sømnæs fugtig flade, submarin skjelsandslette rigelig; Torgø 106 J. M. Norman. Nordhusland, Præstegaarden omg., Hestø \\/ ??/s 82, Til- rem sydli 75 m o.h. Velfjord: Saulus tleresteds, Strengs- vand, Nøstvik til Hellestad, Hegge, Opsjøen. Vegø: Eidem Louplien op til 369 m o. h., Valle gens vestside ved h. n. Alstenø: Thormodvoldaasen. Vefsen: Dalstadaasen tildels yderst rigelig, søndenfor Giengaardene sydbakke AV %% 77, Alfsgaard sydlierne rigelig op til 123 m o. h., lierne ved Bjørnaavand yderst rigelig. 295. Ajuga pyramidalis L. Støren: stationen omg. Levanger: Støp. Indersen: Hamsaashougen. Sten- kjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Kvam til Fornæsstrand hele veien, Nastad, Hegge rigelig. Snaasen: Horjem hyppig i trakten, Stævra-aasen, Præ- stegaarden, Sandnæs, Krogsgaard; Agle til Bøgsæt, ogsaa i ækre, Lian 138 m o. h. rigelig, Agle til Gravbret hyp- pig. Lierne: Aune skiferbakkerne ovenfor gaarden, Høg- hougen 485 m o. h., Nordli Sandviken. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian Rønholmen. Bjugn: Ervik omg. \\ 14/6 82, Sæter, Bottengaard. Aafjord: Melemgaardene rigelig, Valsø. Namsos: Spillum lavlandet, Klingen omg. Overhalden: Hunn; Veglo omg. flade marken, Barlien og aasen indenfor, i det hele hyppig i egnen. Grong: Nynæs * 185 m o. h., Solem, Aasve. Nærø: Klungervik, Sandnæs. Vikten: Garstad. Lekø: Huseby til Skei og omg., sydside op til 105 m o. h. Bindalen: Øksningen sydvestside 42 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien, Tilrem 44m o.h. Velfjord: Aakervik ved Hegge. Vegø: Eidem Louplien 34 m o. h., rigelig 116 m o. h., op til 336 m o. h., Sundvold urden 125 mo. h. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vest- og sydside til- dels rigelig, Dalstadaasen fleresteds rigelig, hougen ovenfor Andaas. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. “1017 LENTIBULARIEÆ. 296. Pingvicula vulgaris L. Støren: stationen omg. AV 11/682. Levanger: Krogstad til Alfsnæs. Inderøen: Sakshoug. Stenkjær: Byhalden. Stod: Ho, Kvam, Ryg, Hegge. Snaasen: Nagthus, Sandnæs, Agle, Gravbrøt AA %5/6 81, Lian, Blomli 359 m o. h., Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune; Nordli Sandviken : overalt paa fugtige steder, Kveli. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Bottengaard. Aafjord: Val- dersund, Valsø. Namsos: Spillum til Almlien. Over- halden: Hunn, Veglo omg. Grong: Berg, nær Brænd- moen, Fjerdeng, Rørvik 498 m o. b. Nerg: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. Lekø: Røsvik; Huseby omg. og hyppig overalt paa gen \/ >" 80. Bindalen: Hildringen 344—422 m o. h., Terraak, Tosenfjord Land + 21/7 80. Brønø: Sømnæs \/ 1/7 82, Torgø Nordhusland, Præstegaar- den omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge, Heggeøen, Raakhatten.358 m o. h. Vegø: Rørø, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag, tildels voksende side om side med Lotus og Plantago lanceolata. Alstenø: Søvik. Vef-. sen: Kubbestadsjøaasen vestli, Mosjøen omg., foden af Øien- fjeld, Bjørnaavand. 297. Utricularia intermedia Hayne. Velfjord: tjærnet ne- denfor Hummellien, c. 65° 26° n. br., artens hidtil kjendte nest nordligste lokalitet, næsten 5 breddegrader søndenfor dens yderste nordgrændse. 298. Utricularia minor L. Vikten: Rørvik omg. vand- puds og tjærn, Stenfjorden. | PRIMULACEZÆ. 299. Trientalis europæa L. Storen: stationen omg. \/ 11/6 82. Levanger: Krogstad til Alfsnæs. Inderøen: Sakshoug \/ ?% 78. Stod: Hegge. Snaasen: foden af 108 J. M. Norman. Horjemfjeldene, Nagthus, Sem, Lerbækken rigelig, Sandnæs, Gravbrøt til Agle A\ 25/6 80, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Aune, Nordli Sandviken, Kvelidalen. Hitte- ren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. \/ !*/s 82. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum til Almlien V/ */c 78, Klingen omg. Overhalden: Hunn, Veglo omg. Grong: Homo, Berg, nær Brændmoen, Trondenæs, Rørvik. Nærø: præstegaard- trakten, Sandnæs. Vikten: Garstad omg. Lekø: Røs- vik, Huseby omg. Bindalen: Hildringen 501 m o.h. samt 157 m o. trægr., Øksningen, Terraak, Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Hestø, Tilrem. Vel- fjord: Hegge, Heggeøen, Raakhattens fjelde 435 m o. h. samt 94 m o. trægr. Vegø: Rørø. Alstenø: Søvik. Vef- sen: Kubbestadsjøaasen, Mosjøen, Dalstadaasen, Alfsgaard sydvestli, lierne ved Bjørnaavand. Noget negl. 300. Naumburgia thyrsiflora Reich. Støren: Præste- gaarden. Inderøen: Sakshoug omg. Snaasen: Sem nær Snaasenvand, Lerbækken og fleresteds i omg.; Prestegaarden. Aafjord: Melem omg. Overhalden: Kvatningen, Hunn, Veglo, .Leraadalen. Grong: Prestegaarden, Snaasenheien Gaardskjønnet 169 m o. h. Nærø: Klungervik til Storved, Sandnæs \/ "% 82. Vikten: Rørvik i fjæren, Klumpa- vatne, Stenfjorden høivoksen og ganske som ager af den, vandet ved Stangring. Bindalen: Terraak fleresteds, ogsaa lige ved fjæren paa submarin myr. Velfjord: Bruvand udi selve vandet; Hegge. 301. Primula strieta Horn. Støren: stationen til Ho- vind 53—64 m o. h. 302. Primula officinalis Jacq. Aafjord: Kvengjerdet et par steder sparsomt, 63° 49-—50' n. br. 303. Glaux maritima L. Levanger: Støp. Inderøen: ødsætmarken. Ørlandet: Beian fjærens nederste vegeta- tionsbelte. Aafjord: Valsø fleresteds \ '/% 82. Nerg: Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 109 præstegaardtrakten, Sandnæs fleresteds. Vikten: Rørvik, Evenstad, Aaviken, Garstad. Bindalen: Øksningen, Ter- raak fleresteds. Brønø: Somnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. fleresteds. Velfjord: Nøstvik, Hegge- øen. Vegø: Rørø, Holand til Næs. Alstenø: Søvik. Vef- sen: Prestegaarden. PLUMBAGINEÆ. 304. Armeria maritima Wild. Hitteren: Havn. Ør- landet: Beian. Aafjord: nær Melem, Valsø. Nærø: Klungervik, Lervik. Vikten: Aaviken rigelig. Lekø: Prestegaarden. /\\/ 2°/% 80, Huseby omg. Bindalen: Hil- dringen, Oksningen, Terraak \/+ 19/80. Brønø: Sømnæs, Torgø Nordhusland tildels rigelig \/\/! ?3/682, Prestegaarden - omg. fleresteds, Hestøen. Velfjord: Nøstvik, Hegge, Heggesen, Bergvik. Vegø: Eidem til Viken langt fra søen, Rørø \/ 22/6 82. Alstenø: Søvik V * 77T. Vefsen: Mosjøen nedenfor Øienfjeld elvebredden. PLANTAGINEA. 305. Plantago major L. Støren: stationen omg. Holtaalen: Tyvold i kanten af landeveien 668 m o. h. Inderøen: Vennaberg, Sakshoug. Beitstaden: Østvik og derfra i kanten af den 15 aar tilbage anlagte landevei over hele Namdaleidet til Namsen 50—60 km. Stenkjær: omg. hyppig langs veiene, Byhalden fæveiene. Stod: Langham- mer til Aune, Ho, Ryg, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt rigelig, Horjem omg. langs veien, Sem, Præstegaar- den og Sandnæs. allesteds ved veiene, Agle til Gravbrøt over- alt ved kjøreveiene, fodstierne og fæveiene, Gravbrøt til Blomli i tætteste granskov langs sæterveien 214—311m o. h., fjeldgaarden Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, ved 110 J. M. Norman. Lenglingen, Aune; Nordli Sandviken, Præstegaardssæteren stien over sætervolden 572 m o. h., Kveli, nybygget Sko- gen, Tunsjøen, fjeldveien derfra til Limingen 349 m o. h. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Valdersund, Valsø øens vest- side i fjærens tangstreng rigelig men ellers ikke i dens umid- delbare nærhed. Namsos: Spillum. Overhalden: Hunn, Veglo, Svallisæteren i skovdalen. Grong: Veium, Godejord, Berg 350 m o. h., nybygget Brændmoen, Fiskum, Tronde- nes, Rørvik 405 mo. h. Nærø: Klungervik til Storved, Sandnæs. Vikten: Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby og ‘omg. Bindalen: Øksningen op til 81m o. h.; Tosenfjord Land, Paalsskogen. Brønø: Præstegaarden omg., Hestø; Tilrem, ogsaa i fjærens tangstreng. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge langs landeveien, Hegge. Vegø: Rørø, Gulsvaag til Sundvold paa øens vestside i fjærens tangdyn- ger. Alstenø: Søvik. Vefsen: Dalstadaasen i fæveiene, Alfsgaard langs landeveien. 306. Plantago media L. Støren: Hovind til Præste- gaarden meget hyppig i egnen og i stor mængde udenfor kulturen paa de steileste aasskraaninger. Suppl. 1. e.p. 240. 307. Plantago lanceolata L. Støren: stationen omg. Levanger: Støp, Krogstad. Indersen: Hamsaashougen. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden V/ 16/81. Stod: Langham- mer til Aune hyppig i traktens græsbundne marker, Kvam yderst rigelig, Ho, Ryg; Hegge ofte ikke uvæsentlig bestand- del af engens græsmark, Kirkaal rigelig, Kløvgaard. Snaa- sen: Hammer til Vegsæt, foden af Horjemfjeldene, Præste- gaarden, Nagthus, Bergsaasen ovenfor Berg, Agle til Grav- brøt 157 m o. h., Gravbrøt, Lian ikke sparsomt. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian Rønholmen. Bjugn: Ervik omg., tildels sammen med Alchemilla alpina og Betula nana; Sæter, Bottengaard, Oksvold. Aafjord: Melemgaardene flækkevis dominerende i græsbakkerne, Valdersund omg. hyp- Om karplanternes udbreduing i det nordenfj. Norge, 11% pig og rigelig, Valsø. Nærø: Klungervik. Vikten: Rør- vik omg., Aaviken, Garstad fleresteds og rigelig. Leke: ‚Uuseby til Skei og omg. nær søen, Præstegaarden submarin eng. Bindalen: Øksningen sydvestside op til 81 m o. h. + ?1/ 80. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø op til 88 m o.h., Skaaren Høglien, Sømnæs Høiviken, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. fleresteds tildels rigelig, Tilrem hyppig opad sydlierne til 140m o. h. Velfjord: Nøstvik ved søen og 200—250 m fjærnet fra den, op til 59mo. h. dominerende: Nøstvik til Hellestad, Hegge rigelig. Vegø: Eidem hyppig opad Louplien 63—301 m o. h., Eidem til Viken fladen ne- denfor hammerne, Viken til Roa, Gladstad, udmarken mel- lem Gladstad og Gulsvaag, Sundvold mere sparsomt, Holand til Næs. | 308. Plantago maritima L. Levanger: Støp. Inder- sen: Rodsæteren. Hitteren: Havn. Ørlandet: Beian fjærens næst nederste vegetationsbelte, kun Tripolium og Glaux nedenfor. Aafjord: mellem Kvengjerdet og Valder- sund, Valsø. Nærø: Klungervik. Vikten: Rørvik, Gar- stad tildels rigelig. Lekø: Røsvik indtil 30m fra stranden; Huseby omg. udmarken indtil 2 km fra stranden hyppig og . tildels rigelig 64—114 mo. h., ogsaa i fæveiene rigelig, i fjæ- ren op til øverste tangstreng. Bindalen: Terraak, Tosen- fjord Land fjæren og op til 59 m o.h. Brønø: Sømnæs V 1/1 82, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. fleresteds til- dels flere hundrede m fra stranden. Velfjord: ved Svan- vands udløb i søen, Nøstvik. Vegø: Eidem Louplien 320 m o. h. enkeltvis og 377 m o. h. paa berghammerne ikke ganske sparsomt, antagelig inden Skandinavien plantens hidtil kjendte heiest o. h. liggende lokalitet, Rørø, Sundvold, Holand til Næs. Alstenø: Søvik. 112 | J. M. Norman. CHENOPODEÆ. 309. Atriplex littoralis L. Ørlandet: Beian. Aafjord: (A. Blytt, ipse) mellem Melem og Valdersund, Valss. Slæg- tens øvrige arter for lidet udviklede til at kunne bestemmes. 310. Chenopodium album L. Støren: mellem Rognæs og Bjørgen. Lierne: Nordli Sandviken ækre. Forb. POLYGONEÆ. 311. Oxyria digyna Hill. Støren: stationen til Hovind 64—53 m o. h. paa Gulas bred. Grong: Limingen fjeldene nordenfor Gjeresvik 565 m o.h. Bindalen: Hildrinsen 361 m o.h. samt 6 mo. trægr. Velfjord: Raakhattens fjelde 468 m o.h. samt 145 m o. trægr., Opsjøen nær h.n. Vegg: Eidem Louplien 377 m o. h., Sundvold straks ovenfor fjæ- rens tangstreng 1 mo. h. mellem smaastene. Vefsen: Mo- sjøen elvebredden nedenfor Øienfjeld ved h. n. 312. Rumex domesticus Hartm. Levanger: Støp. Stod: Kløvgaard. Snaasen: Vegsæt, Sem i vidjekrattene paa Snaasenvands bred, Berg, Gravbret. Lierne: Ulen vand Skaale; Nordli Sandviken, Kveli, nybygget Skogen. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Valdersund, Valsø. Overhalden: Veglo omg. Grong: Godejord, Berg 350 m o. h, nybygget Brændmoen, Fjerdeng, Trondenæs, Rørvik omkring 405 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik, Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby. Bindalen: Øksningen op til 81 mo. h., Terraak, Tosenfjord Land. Brønø: Somnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Hegge. Vegø: Rørø. Vefsen: Kubbestadsjø, Alfsgaard. 313. Rumex crispus L. Aafjord: Valsøfjæren. Nera: præstegaardtrakten. Forbg. 314. Rumex Acetosa L. Støren: stationen omg., Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 113 Holtaalen: Tyvold ovenfor 664 m o. h. rigelig. Levan- ger: Støp. Inderøen: Vennaberg. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Hegge, Kløvgaard. Snaasen: Horjem, Sem, Gravbrøt, Blomli 359 m o.h. exklusivt beklædende store flæk- ker af sætervolden (var. alpina), Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune; Nordli Sand- viken (a & var.), Præstegaardsæteren 572m o. h. yderst rige- lig (var.), Kveli 398 m o. h. (var.), sydenden af Limingen. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: nær Valdersund i engene. Namsos: Spillum til Almlien, (a), Almlien 116 m o. h. (var.), Klingen omg. Overhalden: Veglo omg., Leraadalen. Grong: Berg elvelierne 312 m o. h. (var.), Brændmoen, Trondenæs, Rørvik. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bin- dalen: Øksningen, Terraak, Tosenfjord Land. Brønø: Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus sydlien 131 m o. h. (var.), Hegge, Hegge- gen, Raakhatten 291 m o. h. (var... Vegø: Rørø AV ??/s 82. Alstenø: Søvik fladen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestside, Mosjøen, Alfsgaard sydvestli. 315. Rumex Acetosella L. Levanger: Krogstad til Alfsnæs, ækrene brunrøde af den. Indersen: Vennaberg. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Hegge. Snaasen: Horjem, Sem Snaasenvands bred, Sandnæs ækrene domine- rende, Gravbrøt. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune, Nordli Sandviken, Kveli. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. Aafjord: nær Valdersund, Valsø. Namsos: Klingen omg. ækrene i fra- stand pragtfuldt orangerøde ved den intime blanding af dennes røde toppe med ranunklernes blomster. Overhal- den: Hunn, Veglo omg. ækrene ogsaa her orangerøde. Grong: Berg 350m o. h. og nybygget Brændmoen, Fiskum, Rørvik ec. 405 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. 8 Mar. J. M. Norman, Vikten: Rørvik, Garstad omg. skrindmuldede berghammere rigelig. Lekø: Røsvik strandklipper. Bindalen: Terraak. Brønø: Torgø Nordhusland, Tilrem. Velfjord: Saulus paa store stene, Hellestad til Hegge. Vegø: Rørø, Sund- vold. Alstenø: Søvik til Thormodvold ækrene rødnende af den. Vefsen: Mosjøen, sydbakke søndenfor Øiengaardene, Alfsgaard. Noget negl. 316. Polygonum viviparum L. Støren: Præstegaarden, Støren til Hovind, ogsaa paa selve jernbanevolden rigelig. Stod: Kløvgaard, Hegge enkeltvis paa en plet. Snaasen: Horjem, foden af Horjemfjeldene 91 m o. h. vestlig skraa- ning rigelig men steril 1879, Nagthus myr og sommesteds over større strækninger rigelig, Sem, Sandnæs, Agle til Gravbrøt hyppig og rigelig overalt, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune; Nordli Sand- viken, Præstegaardsæteren 572 m o. h., Kveli, sydenden af Limingen. Ørlandet: Beian. Bjugn: Bottengaard. Aa- fjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum til Alm- lien. Overhalden: Hunn og Veglo omg. Grong: Berg 350 m 0. h VAA 11/7 81, Fjerdeng. Nærø: præstegaard- trakten, Sandnæs. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Terraak +-\/ 17/7 80; Tosenfjord Sydbergsli, Land. Brønø: Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem \/ ??/s 82. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge nordskraaning og hyppig overalt i trakten, Hegge, Heggesen. Vega: Viken til Roa, Rørø, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag og hyppig paa øen, Sundvold strøgvis yderst rigelig. Alstenø: Søvik. Vefsen: Mosjøen, Øiengaardene rigelig, Alfsgaard. 317. Polygonum lapathifolium Ait. Nærø: præstegaard- trakten, i al fald i aaret 1852. Om den her er stationær, vides ikke. 318. Polygonum Persicaria L. Vikten: Garstad i ager vakkert udviklet men ikke rigelig, saa dens vedvaren paa pladsen nok kan være tvivlsom. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 115 319. Polygonum aviculare L. Støren: stationen omg., Lundemo. Indergen: Næsberget, Sakshong AV 2% 78. Snaasen: Gravbrøt, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune 0 ”* 81, Kveli, nybygget Skogen. Ørlandet: Beian. Grong: Berg 350 m o. h., Trondenæs, Rørvik ovenfor 405 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Stangring og overalt ved gaardene. Lekø: Huseby. Bindalen: Øksningen, Tosenfjord Land. Brønø: Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Vegø: Sundvold, Holand til Næs. Alstenø: Søvik. Vefsen: Alfsgaard. Forbg. og negl. 320. Polygonum Convolvulus L. Nærø: præstegaard- trakten. Lekø: Røsvik sandet strand blandt tangrester rigelig. THYMELEA. 321. Daphne Mezereum L. Støren: Lundemo omg. 169 m o. h. Holtaalen: Vondgraven 600—611 m o. h. brat sydostli under hammere rigelig, indtil 0.9m hei, \/+ 13/6 81, antagelig artens heiest liggende hidtil kjendte lokalitet i det nordenfjeldske. Snaasen: Stævra-aasen. Lierne: Lenglin- gen Deviken 439 m o. h., Aune Høghougen 478 m o. h., Kveli ‘lien 389 m o. h. Grong: Berg 288—371 m o. h. tildels sammen med Veronica saxatilis og Saxifraga oppositifolia. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli 24 mo. h Velfjord: Hummellien. Vefsen: Dalstadaasen nær Andaas, Alfsgaard sydvestli 107 mo h. + 2/7 77, nedenfor lierne ved Bjørnaavand. ELAAGNEA. 322. Hippophae rhamnoides L. Ørlandet: mellem Fladnæs og Hovde rigelig over den flade udmark. Bjugn: gå 116 J. M. Norman. nær grændsen til Ørlandet. Aafjord: Melem fleresteds, Kvengjerdet, Valdersund (A. Blytt, ipse), Hyldenæsset stor- voksen, Valsø. Nærø: præstegaardtrakten. EMPETREÆ. 323. Empetrum nigrum L. Støren: stationen omg.; Lundemo omg. Holtaalen: Tyvold, Tyvold til Muggruven 787—825 m o. h. med saftige fjorsgamle bær '% 81. Lev- anger: Krogstad til Alfsnæs. Inderøen: Sakshoug. Sten- kjær: omg. rigelig. Stod: Langhammer til Aune. Snaa- sen: Hammer hist og her, Stævra-aasen nordvestside, Nagt- hus, Berg rigelig, Agle til Bøgsæt nordbakke, Blomli 359 m o. h., Græssamo. Lierne: Ulen vand Juleshøgen, Lenglin- gen Deviken, Aune, Nordli Sandviken. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg., paa heiene rigelig, Bottengaard rigelig isprængt lyngmarken. Namsos: Klingen omg. Over- halden: Barlien til Svallisæteren. Grong: Rørvik lavlandet blandt vaccinieerne, ikke exklusivt dominerende, aasen 588 m o.h. som tæt empetrumteppe sammen med Azalea og Arctosta- phylos alpina. Nerg: præstegaardtrakten, Sandnæs. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Hildringen lavlandet rige- lig, østside 372 m o. h. sammen med Myrtilli ganske beklæ- dende marken, 574 m o. h. samt 224 m o. trægr. rigelig; Terraak i skoven ikke sparsomt, Tosenfjord Land. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland nordvestside hel empetrummark, Hestø dominerende, Tilrem. Velfjord: Hegge, Heggeøen. Vegø: Rørø, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag, Sundvold megen empetrummark. Alstene: Søvik fladen, Thormodvoldaasen, 1877 i mængde udded og ter. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestside paa storblokket urd rigelig, Øienfjeld østside tildels dominerende, nordli ved Bjørnaavand. Negl. Om karplanterens udbredning i det nordenfj. Norge. 117 EUPHORBIACEA. 324. Euphorbia Helioscopia L. Støren: stationen omg. Levanger: Støp. Ørlandet: mellem Beian og Fladnæs ækre rigelig. Nærø: præstegaardtrakten. Sandsynlig- vis forbg. 325. Mercurialis perennis L. Velfjord: Hegge flere- steds 10—18—31 mo. h. ikke saa lidet af den, tildels i rif- ter i kalkklipperne, baade mas og foemina, denne med næsten moden frugt 25/7 80; Heggeøen, c. 65° 26' n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrændse, mere end 5 bredde- grader nordligere end forud bemærket, og saaledes tilby- dende nogen analogi med den endnu mærkeligere forekomst af Galium sylvestre i dette strøg af landet. URTICACEA. 326. Urtica urens L. Aafjord: ved et par gaarde mellem Bjugn og Valdersund. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik, Evenstad og hyppig ved gaardene i egnen. Lekø: Huseby. 327. Urtica dioica L. Støren: stationen omg. ved landeveiene og omkring husene rigelig. Inderøen: Venna- berg ved husene. Stenkjær: Nedre Lø nordside, myre- tuerne, baade beboede og forladte, ofte ved basis rundt om- givne med et hegn af kraftige nelder; Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Ryg, Hegge skovklædt urd, Klovgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs, Horjem, Hroaldstenen (næsten f. sylvestris), Sem i vidjekrattene paa ‘Snaasenvands bred, Præstegaarden fleresteds ogsaa i krat langs en bæk, Stævra-aasen sydbakke, Gravbrøt. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune fleresteds, ogsaa paa Høghougen 468 m o. h.; Nordli Sandviken fleresteds, Præstegaardsæteren ved husene 572 m o. h., Kveli lien 118 J. M. Norman. isprængt den frodigste livegetation (f. sylv.). Bjugn: Ervik ved sommerfjøset, Bottengaard ved husene. Aafjord: Valsø. Namsos: Spillum Almlien. Overhalden: Hunn, Veglo omg., Svallisæteren. Grong: Berg 354 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Garstad. Brønø: Skaaren Høglien 110 mo. h. (næsten f. sylv.), Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem nær husene. Velfjord: Saulus syd- bakke, Nøstvik i krattene, Raakhatten i lien op til 291 m o. h. Vegø: Holand til Næs. Vefsen: Dalstadaasen lierne, Alfsgaard sydvestli 150 m o. h. (f. sylv.). 328. Humulus Lupulus L. Støren: stationen omg., derfra til Rognæs ovenfor 64 m o. h., Lundemo omg. Lev- anger: Krogstad til Eidet. Stod: Kvam i olderskov hele vildnisse, opad stammerne indtil 3—3.8 m over roden. Snaa- sen: Omli berghalden rigelig. Grong: Berg elvelierne 312 m 0. h., nordenfor Trondhjemsfjorden, saavidt bekjendt, artens heiest o. h. liggende station. Velfjord: Hummellien temmelig rigelig opad olderstammene indtil 2.14 m over roden, frugt- bærende 1879, c. 65° 26° n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrendse. Suppl. |. c. p. 240. ULMACEA. 329. Ulmus montana With. Støren: Lundemo omg., Støren til Rognæs lierne rigelig med store trær. Stenkjær: Byhalden strøgvis dominerende op til 126 m o.h. indtil 18.8 m hei med stamme indtil 80 cm diam. i brystheide. Stod: Kirkaal mest gamle og mishandlede trær. Grong: Godejord, Berg elvelierne 330 m o. h., nordenfor Trondhjemsfjorden ar- tens, saavidt bekjendt, hoiest o. h. liggende station og tillige den mest udpræget kontinentale. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli 14 m o. h. Brene: Skaaren Høglien 20—143 m o. h. ret rigelig, Tilrem sydlierne 133—162 m o. h. Vel- fjord: Saulus trivelig og vakker, mellem Saulus og Strengs- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 119 vand op til 128 m o. h., ved Strengsvand, Nøstvik 54 m o.h. isprængt den blandede gran- og birkeskov med løv af usæd- vanlig frodighed, Hegge et isoleret træ med stamme 43 cm diam, i brysthgide og krone 10 m diam., Raakhattens fod op til 178 mo. h. Vegø: Eidem Louplien 120—160 m o.h. ikke mange trær, 8—9 m høie, stammen 16-20 em diam. i brysthøide, ingen synbar reproduktion ved frø men et par yngre trær ved rodskud, rigelig frugt ** 82 men med ikke spiredygtige frø, 65° 37' n. br. nordenfor Trondhjemsfjorden som træ dens yderste kyststation. Vefsen: Dalstadaasens sydende nær Andaas op til 152 m o. h. som 5—6 m høie trær med stamme indtil 18 cm diam. i brysthøide, frugt- bærende °°/s 77, Alfsgaard omg. efter sigende enkeltvis og sjelden. CUPULIFERÆ. 330. Corylus Avellana L. Støren: Lundemo omg. Inderøen: Vennaberg. Beitstaden: Østvik. Sten- kjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Ryg, Kirkaal, Klevgaard, Hegge og overalt i egnen hyppig. Snaasen: foden af Horjemfjeldene; Stævra-aasen lavere nede nøddeskov, høiere oppe enkeltvis isprængt gran- skoven; Præstegaarden rigelig, Bergsaasen (i 1881 overalt i disse trakter med en mængde uddøde grene og svag løvsæt- ning). Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg., Sæter, Bottengaard, Oksvold. Aafjord: Melem, nær Valdersund 13—2 m hei med uddøde topgrene 1882, Valsø. Overhal- den: Veglo omg. ovenfor Barlien. Nærø: Holand nødde- skove men kortvoksne, op til 150 m o. h. Vikten: Rørvik birkeklædt sydbakke vel 1 m høi, støttet til fjeldvæg indtil 2.5 m høi, Garstad omg. fleresteds i sydbakkerne indtil 2 m høi. Lekø: Huseby til Skei omg. lille busk, enkeltvis 3—4 m hei. Bindalen: Bindalseidet nøddeskov, Tosenfjord Syd- 120 J. M Norman. bergsli. Brong: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Lervik, Skaaren opad Høglien til 147 m o. h., Sømnæs Kirkemarkon 55 m o. h., Torgø Nordhusland, Tilrem sydli 53—159 m o. h. storvoksen. Velfjord: Nostvik, Hellestad, Hegge sydside rigelig og storvoksen. Vegø: Eidem over 1.3 m høie buske med ud- døde topgrene, Louplien op til 160 m o. h., c. 65° 37‘ n. br., nordenfor Trondhjems stift, saavidt bekjendt, artens yderste kyststation. SALICINEA. 331. Salix pentandra L. Levanger: Krogstad til Alfsnæs. Inderøen: Sakshoug omg. Stod: Rungstad træ- agtig. Snaasen: Vegsæt 5 m hei, Bruvold, Horjem til Sem, Sem 7—8 m høit træ, Nagthus, Agle til Bøgsæt buskagtig. Lierne: Ulen vand Skaale c. 340 m o. h. Hitteren: Havn omg. Aafjord: Melem til Valdersund, Valsø. Namsos: Klingen omg. Overhalden: Renamoen, Veglo omg. fleresteds. Grong: Sem, Næs ovenfor Fiskum. Nærø: Klungervik hele krat af den, denne og S. aurita slægtens hyppigste arter i trakten, smaabusk 15 cm hei med hanrak- ler; Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. 2.3 m hei busk, Bryum til Evenstad hyppig, Stenfjorden, Stangring til Drag 6 m høi, Drag til Garstad overalt rigelig (tildels f. latifolia), Gar- stad omg. Brønø: Sømnæs ved stranden, Torgø Nordhus- land fleresteds rigelig, Præstegaarden omg. hyppig som lav busk, Tilrem. Velfjord: Nøstvik til Hegge fleresteds men kun 0.6—1.3 m høi busk. Vegø: Eidem 31 m o. h. 45 m høi, Gladstad. Alstenø: Søvik. Vefsen: Mosjøen, Præ- stegaarden 3—3.8 m høi, Dalstadaasen med stamme indtil 921 em diam. i brysthøide, hougen ovenfor Andaas. 332. Salix triandra L. Støren: stationen omg., Præ- stegaarden rigelig. Suppl. 1. c. p. 240. 333. Salix lanata L. Snaasen: Blomli til Græssamo Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 121 629 mo. h. Grong: Rørvik aasen 532 m o. h. 0.6—0.9 m hei. Vefsen: hougen ovenfor Andaas 142 m o. h. 334. Salix caprea L. Støren: stationen omg. Holt- aalen: Vondgraven 606 m 0. h. Levanger: Krogstad. Inderøen: Hamsaashougen. Stenkjær: Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Kløvgaard, Hegge. Snaasen: Vegsæt, Horjem, Stævra-aasen sydside, Nagthus rigelig, Gravbret. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken 448 m o. h. høit træ, Aune; Nordli Sandviken, Kveli 356 m o. h. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian hougene ved ,søen buskagtig. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: nær Valdersund. Namsos: Spillum til Almlien, Klingen omg. Overhalden: Hunn rigelig, Veglo omg. syd- bakke ovenfor Barlien. Grong: Homo, Berg temmelig rigelig, Fiskum, Rørvik 511 m o. h. 1.9—2.5 m hei wed stamme indtil 37 cm diam. i brysthøide og derfra op til 582 mo. h. Nærø: Klungervik, Holand 150 m o. h. Vikten: Rørvik fleresteds, 62 m o. h. 5—6 m hei, 75 m o. h. busk- agtig 2—2.5 m hei; Stangring 5—6 m hei. Lekø: Huseby omg. østside, Britdalen op til 205m o.h. Bindalen: Øks- ningen tykstammet, Terraak længere oppe i dalen isprængt — granskoven; Tosenfjord Land til Barstad urd. Brønø: Syd- kvalø Ydre-Kvalø, Skaaren Høglien op til 147 m o. h., Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem 99 mo. h. Vel- fjord: Saulus, Hegge, Heggeøen, Hummellien, Raakhatten 45 mo. h. med stamme 50 em diam. i brysthøide, op til 347 mo. h. samt 6 mo. trægr. Vegø: Eidem Louplien 63m o.h. 4—5 m hei, op til 214 mo. h. Alstenø: Thormodvold- aasen større trær. Vefsen: Dalstadaasen, Alfsgaard syd- vestli. | 335. Salix cinerea L. Brønø: Sømnæs Høiviken 2—2.5 m hei og aldeles typisk, men steril 1882, c. 65° 22‘ n. br., artens eneste med sikkerhed hidtil kjendte yderste nordgrendse. Fleresteds har jeg bemærket former, som nærmer sig denne 122 J. M. Norman. art, men som jeg dog ikke med fuld sikkerhed ter henføre til den. 336. Salix aurita L. Stod: Langhammer til Aune. Snaasen: Horjem, Gravbrøt. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg. fleresteds rigelig, Bottengaard, Oksvold. Aa- fjord: Melem, Valdersund, Valsø hyppig. Overhalden: aasen indenfor Barlien. Nærø: Sandnæs, Klungervik og i denne trakt en af slegtens aller hyppigste arter. Vikten: Rørvik omg. 78 m o. h., Bryum til Evenstad, Aaviken. Lekø: Røsvik rigelig. Bindalen: Hildringen og Terraak rigelig. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø lavlandet og op til 110 m o. h., Sømnæs store krat af den, Torgø Nordhusland enkeltvis op til 38 m o. h., Tilrem nærmere søen ikke saa sparsomt indtil 1.3 m høi, rigelig længere inde i dalkjedelen. Velfjord: fladen ved Strengsvand, Aakervik ved Hegge. Vegø: øens sydende omkring Eidem slægtens mest domine- rende art, Louplien indtil 2 m høi og enkeltvis op til 236 mo. h., Eidem til Viken ikke ganske sparsomt 0.6—1.3 m høi, Rørø sparsomt smaa nedliggende buske indtil 0.6 m høie, Gladstad. Suppl. IL. e. p 240. 337. Salix phylicæfolia L. Snaasen: Horjzm omg. en- keltvis 15 em høi busk, Sem ved Snaasenvand, Bergsaasen 123 m o. h. nedenfor berghammere. Lierne: Kvelidalen ved elven 331 m o. h. Bjugn: Ervik omg. Brønø: Torgs Nordhusland 0.6 m høi. Vegø: Sundvold øens vestside urd mindst 32 m o. h. 3—4 m høi. 338. Salix hastata L. Lierne: Kveli ved elven 331 m o. h. Brønø: Sydkvalø Ydre Kvalø 92 m o. h. + ” 82, Sømnæs ved h.n., c 65° 22’ n. br., saavidt bekjendt, sydligste station, hvor den stiger ned til h. n., Torgø Nordhusland nær b. n., Præstegaarden omg., Tilrem ved h. n. Velfjord: Hegge storvoksen. Vegø: Eidem Louplien 236—265 m o.h. rigelig, Rare ved h. n., Sundvold urden 12 m o. h. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 123 339. Salix nigricans Sm. Støren: stationen omg, Præstegaarden træagtig. Levanger: Krogstad til Alfsnæe. Inderøen: Sakshoug. Stod: Kvam, Kløvgaard ved Snaa- senvand træagtig 4—5 m hei, Hegge. Snaasen: Vegsæt, Sem, Præstegaarden ved Svarva elv, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Jule 4—5 m høi, Lenglingen Deviken, Aune; Nordli Sandviken, Kveli, sydenden af Limingen. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Melem til Valdersund. Namsos: Klingen omg. Overhalden: Veglo omg. fleresteds, ogsaa paa Namsens bredder. Grong: Berg 288 m o. h., Tronde- næs, Rørvik ovenfor 405 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Lervik. Lekø: Røsvik næsten træagtig, Huseby til Skei 1-stammet træagtig. Bindalen: Hildringen stor busk, Terraak; Tosenfjord Land, Land til Barstad 82 m o. h. Brønø: Skaa- ren Høglien 20 m o. h., Sømnæs, Torgø Nordhusland, Tilrem. Velfjord: Saulusvand til Strengsvand 128 m o. h. rigelig, Nøstvik buskagtig flerstammet, Hegge, Heggeøen. Vege: Rørø 0.6—2 m hei (ved omhegning kunstig beskyttet), Al- stenø: Søvik fladen buskagtig, hele krat. Vefsen: Kubbe- stadsjøaasen vestside, Mosjøen storvoksen tildels rigelig. 340. Salix lapponum L. Inderøen: Sakshoug omg. Stod: Hegge. Snaasen: Horjem til Sem, Sem, nordenfor Nagthus, Agle til Bøgsæt. Lierne: Ulen vand Skaale, Jules- høgen, Lenglingen Deviken ved vandets bred 1.3 m hei, Aune; Nordli Sandviken fructificerende 81, Bratland, Kvelidalen 331m o. h., sydenden af Limingen. A afjord: Valsø. Namsos: Klingen omg. Overhalden: nær Renamoen. Grong: nær Brændmoen, Trondenæs slægtens almindeligste art i trakten, Rørvik. Bindalen: Hildringen lavlandet og op til 574 m o. h. samt 224 m o.tregr., Terraak. Brønø: Sydkvalø Ydre- Kvalø, Sømnæs Skavdalen. Velfjord: Saulus, Saulusvand til Strengsvand 123 m o. h. rigelig, Nøstvik indtil 1.9 m hei ‘ overalt steril 1880, Hegge. Vegø: Viken til Roa, Rørø, Glad- 124 J. M. Norman. | stad. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Mosjøen, hougen ovenfor Andaas nordside, Alfsgaard sydvestli 259 m o. h. 341. Salix glauca L. Snaasen: Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale ovenfor 340 mo. h.; Nordli Sandviken, Kvelidalen 331 m o. h., sydenden af Limingen. Grong:. Rørvik aasen 547 m o. h. Lekø: Huseby omg. Bindalen: Hildringen 251—559 m o. h. samt 209 m o. tregr., Tosen- fjord Land. Brønø: Sømnæs fleresteds, ogsaa paa hjemme- jorden, Tilrem. Velfjord: Saulusvand til Strengsvand 128 m o. h. rigelig og fructificerende, Hellestad til Hegge, Raakhattens fjelde 430 m o. h. Vegø: Rørø 0.3—0.4 m hei, Rørø til Gladstad. Alstenø: Søvik fleresteds. Vefsen: Kubbestadsjøaasen 101 mo. h., Mosjøen, Dalstadaasen, neden- for Øienfjeld. 342. Salix myrsinites L. Grong: fjeldene ved Limin- gen nordenfor Gjeresvik 583 m o. h. 343. Salix herbacea L. Snaasen: Græssamo. Grong: øverst i Tromselvdalen 402 m o. h. i birkeskoven storbladet form, fjeldene ved Gjeresvik 565—626m o.h. Lekø: Huse- by omg. myrlændt jord ved h. n. Bindalen: Hildringen 361 mo. h. samt 11 m nedenfor trægr. ved bortgaaende sne- flek, 411 m o. h. rigelig, op til 574 m o. h. samt 244 m o. trægr.; Tosenfjord Land 48—62 m o. h., Land til Barstad 82 mo. h. og fleresteds i egnens lavland. Velfjord: Raakhattens fjelde 498 til mindst 578 m o. h. samt 237 m o. trægr. Vegø: Rørø til Gladstad 5 m o. h., Gulstad til Sundvold nær h.n. storbladet form. Alstenø: Thormodvold- aasen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen 101 m o. h. paa myrene rigelig, 61 m o. h. svag nordlig skraaning ganske beklædt med den og der nærmende sig indtil 1 m fra en bygager. 344. Populus tremula L. Støren: stationen omg. Holtaalen: Tyvold til Vondgraven 611 m o. h. 5—6 m hei med stamme 10—11 cm diam.i brysthøide. Inderøen: Ven- naberg. Stenkjær: Nedre Lø med fuldt udfoldede blade Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 125 16/5 81, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Kløvgaard hyppig som stort tre, Hegge. Snaasen: foden af Horjem- fjeldene og overalt i trakten, Stævra-aasen sydside, høiere oppe isprængt granskoven, ogsaa nordvestlig skraaning; Sem, Gravbrøt. Lierne: Lenglingen Aspenæsset smaavoksen, Aune men sparsomt i disse trakter. Hitteren: Havn omg: rigelig. Ørlandet: Beian 03 m høi busk, Rønholmen 0.6—1.3m høi. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard i lien ved vandet isprængt furuskoven træagtig sg temmelig hei. Aa- fjord: Valdersund omg. Namsos: Spillum til Almlien. Overhalden: sydbakke ovenfor Barlien. Grong: ved overfartsstedet over Namsen med stamme 70 cm diam. i brysthgide, Homo, Trondenæs, Rørvik ikke bemærket i lav- landet men paa aasen 604 m o. h. samt 35 m o. trægr. i sydheld indtil 1.3 m høi busk. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg. lille busk, i en bergkløft 1.3—3 m hei, Garstad omg. indtil 6 m hei. Lekø: Huseby til Skei og omg. tildels høivoksen. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli høivoksen. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs over 5 m hei, Torgø Nordhusland, Pr&stegaarden 4—5 m hei, Tilrem: Velfjord: Saulus 136m o.h., Hegge tildels heit træ. Vege: Eidem 3—4 m hei, Rørø 0.3 m hei busk, Gladstad træagtig, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag paa rabberne 0.15 m høi busk. Vefsen: Kubbestadsjøaasen urdet vestli, Dal- stadaasen fleresteds rigelig, Alfsgaard sydvestli, lien ved Bjernaavand store trær. — villosa (A.F. Lang) Aafjord: ~ Valsø liden elendig busk. BETULINEÆ. 345. Betula verrucosa Ehr. Stenkjær: Nedre Lø. Snaasen: Stævra-aasen op til 143m o. h., Gravbrøt. 346. Betula odorata Bechst. Støren: stationen omg., ligesom i lierne i den større del af Guldalen, en træart af 126 J. M. Norman. meget underordnet betydning undtagen i de høieste regioner, hvor den er dominerende. Holtaalen: Tyvold til Muggru- ven som noget mere end mandshøie buske 761 m o. h., i for- dybninger endnu enkelte træagtige 25—3 m høie birke 787 m o. h., der maaske kan ansees som den lokale træ- grændse, forøvrigt er skraaningerne strøgvis beklædte med buskagtig birk, som kun i dolper, der ligger noget i ly, bli- ver træagtig. Inderøen, Stenkjær, Stod, Snaasen: i det hele udgjør birken en meget underordnet bestanddel af skoven; i nordvest for Stævra-aasen noget mere fremtrædende paa myrlændt mark sammen med furu, Gravbrøt, Blomli til Græssamo mere end mandshgie trær 472 m o. h., den lokale lidet distinkte trægrændse, Græssamo. Lierne: birken op- træder her i langt større mængde end i de vestenfor fjeld- ryggen liggende egne, saaledes i sørbygden omkring Lenglin- gen og Holden vand ikke alene enkeltvis hyppigere isprængt granskoven, men ogsaa hist og her, saavel nede ved vandene som høiere paa aasene, i ublandede bestande; paa østside ved Holden vand er den øverst ved trægrændsen liggende skov- Strimmel udelukkende dannet af birk uden ivlanding af smaa granbuske, som tilfældet er paa den anden side af fjeldryg- gen; Nordli Sandviken, Kveli. Bjugn: Ervik omg., Botten- gaard lierne ved vandet iblandet furuskoven. Aafjord: - Valdersund, Valsø buskagtig og enkeltvis. Namsos: Spil- lum til Almlien. Overhalden: hele dalen opover forholds- vis lidet fremtrædende. Grong: gjennem præstegjeldets la- vere egne til op i Tromselvdalen henved 367 m o. h. overalt meget tilbagetrængt af gran og tildels af furu, men øverst i Tromselvdalen danner den sammenhængende, i lierne nok saa vakker skov med kun enkeltvis hist og her isprængt gran; nordenfor Gjeresvik som skov op til 532 m o. h., som 0.6 m hei busk til 583 m o. h.; i trakten nærmest Rørvik er birken lokalt dominerende, hvad den ellers ikke er ved Limingen, paa aasen som ublandet birkeskov 502 m o.h., i fordybnin- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 127 ger med ly op til 569m o. h., stedets trægrændse. Vikten: Rørvik omg. 2-3, enkeltvis 4.m heit træ, Garstad omg. indtil 5—6 m hei. Lekø: Huseby omg. østside, Britdalen birkeskov, i calluna-feltet ved søen buskagtig. Bindalen: i den ydre del af fjorden lidet fremtrædende, Hildringen øst- side øverste oprette mere end mandshøie men spæde trær 350 m o. h., mere sydlig side 344 m o. h., men som ved grunden nedliggende større buske op til 422 m o. b. og som espallierformede til jorden pressede buske op til 574m o.h.; Øksningen, Terraak; i det indre af Tosenfjord tiltager birken i mængde og bliver tildels dominerende paa fjordens bratte fjeldsider, hvorimod den indover Velfjordeidet træder stærkt tilbage. Brønø: Sydkvalø Ydre Kvalø meget tæt birkeskov, Skaaren Høglien som skov, Sømnæs, Præstegaarden omg. som lav daarlig skov, Tilrem fladen buskagtig, i lierne 53— 99 m o. h. vakker skov. Velfjord: Saulus, Heggeøen, Raakhatten øverste trær 341 m o. h., som 1 m hei busk 383 m o. h., som 0.3 m hei busk 410—441 m o. h. Vegg: Eidem fladen 2.5—3 m hei, Louplien og ved Gladstad som skov, Rørø omg. 1.3 m hei busk. Alsteng: Thormod- voldaasen som skov. Vefsen: Kubbestadsjøaasen som skov, Mosjøen, Dalstadaasen og Alfsgaard dels mere jævnt blandet med andre skovtrær, dels kun enkeltvis isprængt granskoven. 347. Betula alpestris Fr. Aafjord: Valse. Grong: skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen paa et par steder. 348. Betula nana L. Lierne: Ulen vand Jule, Leng- lingen tll Holden vand 395 m o. h. myrene rigelig, Aune 440 m o. h. myrene tildels hele bestande af den, ovenfor Sandviken, Kvelidal 331 m o. h. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian Rønholmen nær h.n. Bjugn: Ervik omg. stenet mark, de myrlændte lave heier hyppig, Bottengaard nær h. n. Aafjord: Valdersund myrene nær h. n. hyppig i trakten, Valsø fleresteds. Namsos: Klingen omg. myrene overalt. Overhalden: Hunn til Veglo dalbunden hyppig, 128 J. M. Norman. Barlien til Svalliseteren. Grong: Berg 312 m o.h. Nerg: Sandnæs ner h. n. Vikten: Rørvik omg. nær h. n., 54 m o. h. rigelig, Garstad omg. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei 1mo.h., ogsaa paa dyrket eng. Bindalen: Hildringen . 186 m o. h., Terraak ved h. n., Tosenfjord Land til Barstad 101 m o.h. Brønø: Sømnæs Troldskaret 36m o. h., Torgø Nordhusland. Vefsen: Dalstadaasen. Negl. 349. Alnus incana Wild. Støren: stationen omg. Le- vanger: Støp og omg. megen olderskov, tildels blandet med gran. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden høivoksne bestande i granskoven. Stod: Kvam, Kløvgaard, Hegge. Snaasen: Sem rigelig, ved Snaasenvand krat med iblandede salices, Nagthus ved Svarva elv, Bergsaasen 123 m o. h. tæt older- skov. Lierne: Ulen vand Skaale (v. borealis), Deviken (var.), omkring Lenglingen og Holden vand i det hele lidet olderskov; Nordli Bratland ved en bæk høivoksen, Kveli ved elven 331 m o. h. Hitteren: Havn omg. Aafjord: Ervik omg., Bottengaard. Namsos: Spillum. Overhalden: Hunn, Veglo omg., næst gran den mest fremherskende træart i da- len. Grong: op til Berg i Sandøldal, langs Namsen til op i Tromselvdal henimod 254 mo. h. Nærø: Sandnæs, Ho- land. Vikten: Rørvik omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: ved Aspenæs op til 108 m o. h., Øksningen, Terraak; mere older end birk i den ydre del af fjorden; Tosenfjord lavere nede olderkrat, Land til Barstad. Brønø: Sømnæs Kirkemarken, Tilrem. Velfjord: Saulus sydbakke op til 128 m o. h., i det hele ret megen olderskov paa Vel- fjordeidet, Raakhattens fod. Vegø: Gladstad ikke saa lidet olderskov 4—5m høi. Alstenø: Søvik, Thormodvold langs bækken rigelig. Vefsen: Kubbestadsjøaasen og lerfeltet in- denfor samme over store strækninger bevokset med vantre- ven older, Præstegaarden, Dalstadaasen, lerbakkerne neden- for Andaas megen og tætstaaende older, søndenfor Øiengaar- dene. Negl. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 129 MYRICEÆ. : 850. Myrica Gale I. Levanger: Krogstad til Alfsnæs c. 0.6 m bei, en enkelt maalt 0.68 m lang. Beitstaden: Asp, Tingland stor myr væsentlig beklædt med den. Hitte- ren: Havn omg. Bjugn: Ervik og Bottergaard omg., i 1882 tildels uddød lige til roden. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum tæt beklædende myrfla- derne, Namsens munding rigelig. Overhalden: Hunn til Veglo hyppig og rigelig. Nærø: Klungervik til Storved over store strækninger, Lervik til Sandnæs. Vikten: Rør- vik omg. yderst rigelig, fornemlig paa skraaningerne, selv paa lidet fugtige, dominerende over store strækninger, jævnt blandet med kjerringris og røslyng, paa myrlændt flade 54 m o. h. mindre rigelig og mindre frodig end paa skraa- ningerne, paa heien 98 m o. h. rigelig; Garstad omg. hist og her flækkevis men ikke saa dominerende som paa Indre Vikten. Lekø: Huseby til Skei, ogsaa i en bergsprikke paa en lodret klippeveg, udmarken hyppig og rigelig, ogsåa paa nøgen eller delvis mosseklædt sydvestlig urdskraaning og paa plan urd 93m o. h. rigelig, langs den fra Lillevand ud- flydende bæk dominerende, dalbunden i Britdalen strøgvis ganske dækket af den. Brønø: Sømnæs. Vegø: Viken til Roa rigelig, Rørø omg. hyppig og rigelig, Gladstad og i det hele ret rigelig over øens lavland. CONIFERÆ. 351. Juniperus communis L.. Støren: stationen omg. Levanger: Krogstad. Indersen: Vennaberg. Sten kjær: Nedre Lø. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Kløvgaard, Hegge. Snaasen: Vegsæt, Horjem; Sem 2—3.8 m høi, op- ret men ikke træagtig, Bergsaasen, Gravbrøt. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune; Nordli Sand- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. 9 130 J. M. Norman. viken, Kveli 477 m o. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Valdersund, Valsg. Namsos: Spillum til Almlien. Overhalden: Hunn, Veglo omg. hanblomsterne støvende ”%/s 78. Grong: Berg, Rørvik ovenfor 405 m o. h. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Gar- stad. Lekø: Røsvik, Huseby omg. fleresteds, Lillevand. Bindalen: Hildringen op til 422 mo. h. samt 72mo. trægr., Øksningen sydvestside rigelig: Tosenfjord Sydbergsli, Land. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge, Heggeøen rigelig, Hummellien, Raakhattens fjelde 369 m o.h. samt 25 m o. tregr. Vegø: Rørø udmarken mellem Glad- stad og Gulsvaag. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Mosjøen, Dalstadaasen, Alfsgaard lien. 352. Pinus sylvestris L. Holtaalen: Reitan 542 m o. h. Stod: paa enkelte buske nær ikke bemærket. Snaa- sen: Hammer til Langnæs tør skiferskraaning nogle trær, ligesaa Hroaldstenen, Stevra-aasen noget furuskov, i nord- vest for samme glissent staaende trær over myrfladen, Bergs- aasen sydside og paa myr, Omli paa myr, i det hele en me- get tilbagetrædende træart i lavlandet, Græssamo østover paa de vidtstrakte myrlændte fjeldsletter dominerende men glis- sent staaende. Lierne: nede i selve bygderne kun bemær- ket i Kvelidal paa myr. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. enkelte buske, Bottengaard ligesaa, men i lierne ved vandet glissen skov. Namsos: Spillum til Almlien flere- steds, tildels skov. Overhalden: ikke bemærket i selve bygden men paa aasen indenfor Barlien. Grong: skovmar- ken mellem Sandøldal og Namsen enkeltvis i kanten af my- rene; Tromselvdal længere inde i dalen dominerende paa den myrlændte dalbund, og der omkring 367 m o. h. dækkende med meget glisne bestande et større areal end de øvrige skovtrær, men i den nedre del af dalen træder den mere og mere i baggrunden og forekommer kun hist og her paa my- Om karplanternes udbredning i det søndenfj. Norge, 131 rene eller i randen af granskov, hvor den steder til myr. Nærø: Sandnæs. Vikten: Gravsæt til Drag de lavere heier neppe over 4m hei. Lekø: Røsvik, Huseby udmark adskil- lige smaa buske, Britdalen ikke saa lidet og vakker voksen men ung. Bindalen: Hildringen østside 160 m o. h. hyp- pigere end lavere nede, Terraak, i det hele taget en meget underordnet træart i de lavere egne. Brønø: Sydkvalø øens østside heienes sydskraaninger spredt, Sømnæs. Vel- fjord: Bergvik til Opsjøen. Vegø: Eidem Louplien 63—116 mo. h. indtil mindst 4 m hei, i vest for Eidem en hel lille skov, antagelig nordenfor Trondhjem af den for tiden be- staaende furuskov den yderligste i kysten. Alstens: Thor- modvoldaasen myrene hist og her. 353. Abies excelsa Poir. Støren: omg. og opover den større del af Guldalen er lierne, med undtagelse af de høieste regioner og af og til de laveste partier beklædte med over store vidder sammenhængende, oftest tæt granskov, der ved Reitan naar op til over 542 mo. h. Levanger: omg. In- derøen: Sakshoug omg., og fornemlig gjennem Stod lige fra Beitstadfjorden af og gjennem Snaasen til ovenfor Blomli er lierne, de lavere aase og tildels dalbunden for den overveiende større del beklædte med kontinuerlig granskov med oftest ublandede bestande; i Byhalden en stamme 84 cm diam. 1.3 m over roden; mellem Blomli og Græssamo som træ op til birkegrændsen 472 m o. h., som smaa buske op til 585 m o. h. samt 113 m o. trægr. Lierne: overalt med undtagelse af de høieste regioner det dominerende skovtræ med tætte bestande over store vidder, dog hist og her langt mere opblandet med birk end i trakterne vestenfor fjeld- ryggen. Bjugn: Ervik omg. enkeltstaaende 0.6 m høie buske. Namsos: Spillum til Almlien og Klingen omg. skove. Over- halden: fra søen til Grong og gjennem dette præstegjeld opad Namsen vasdrag saavel i lierne, kun lavere nede af og til afbrudt af olderskov, som paa dalbunden og over store 9% 132 J. M. Norman. vidder af de lavere aasplateauer absolut dominerende gran- skov, som med ofte tætte bestande beklæder det overveiende større areal af marken; i den nedre del af Tromselvdal do- minerende ublandet granskov, længere inde i dalen blandet med furu og tildels birk, øverst oppe kun enkeltvis isprængt birkelierne; omkring Limingen i de lavere regioner over store strækninger dominerende granskov, kun af og til afløst af birk, ved Rørvik som temmelig høie trær op til 502m o. h., som oprette buske 0.6—25 m høie, ofte med uddød top, op til 616 m o. h. samt 47 m o. trægr., nordenfor Gjeresvik 0.6 m hei busk 583 m o. h. Nerg: præstegaardøen enkelte forkuede trær, Sandnæs næsten træagtig, tildels med aflæg- gerstammer. Vikten: Rørvik omg. enkelte 0.6—1.3 m høie buske med uddød top. Lekø: Røsvik, Huseby udmark dels flækkevis temmelig tætstaaende buske, dels stammeløst rod- bar, enten i form af en enkelt barkvist eller som en afrun- det barmatte med t. ex. 1 m diam. og et par dm i heide; i Britdalen enkelte 4—6m høie trær, 169m o. h. med kong- ler i 1880, men som ikke satte modent frø. Bindalen: i den ydre del af fjorden fra Hildringen til noget indenfor Vatsaas det absolut dominerende skovtræ, længere inde i Tosenfjord tilbagetrædende for den dominerende birk, men paa Velfjordeidet igjen stærkt fremherskende i de lavere re- gioner; Hildringen østside de øverste 5—6 m høie trær 251 mo. h., som 0.6 m høie buske paa mere sydlig side op til 469 m og enkeltvis 0.2 m hei til 477 m o. h. samt 133 m o. trægr. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs Kirkemarken træ- agtig, Præstegaarden omg. faa 0.6 m høie buske. Velfjord: Strengsvand nordside vakker skov, ved Hegge ned til 1—2 m o. h., paa Raakhattens fjelde som 0.2 m hei busk hist og her op til 435m o. h. samt 194 m o. trægr. Vegø: udmar- ken mellem Gladstad og Gulsvaag enkeltvis 1.3—1.6 m høie buske, saavidt bekjendt, artens, om end hoist ufuldkomment re- præsenterede, yderligste litorale forekomst i hele landets vestkyst. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 133 Vefsen: Kubbestadsjøaasen paa plateauet 141m o. h. nogle faa trær, fra Mosjøen af paa dalbunden og i lierne indover dalen dominerende granskov, hist og her i lierne afløst af løvskov; paa foden af Øienfjeld modertræ med armtyk stamme og en krands af et snes aflæggerbuske. JUNCAGINEÆ. 354. Triglochin maritimum L. Levanger: Støp. Ør- landet: Beian. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard til Møller- gaard. Aafjord: Kvengjerdet til Valdersund, Valsø. Nærø: Klungervik tll Storved temmelig langt fra søen. Vikten: Rørvik, Garstad. Lekø: Huseby omg. Bindalen: Øks- ningen, Terraak fleresteds, tildels yderst rigelig. Brønø: Præstegaarden omg., Hestø. Velfjord: Hegge, Heggeøen. Vega: Viken, Rørø, Sundvold. Alstenø: Søvik. 355. Triglochin palustre I. Indersen: Rodsæteren. Snaasen: Gravbret til Agle \/ 25/6 81. Lierne: Ulen vand Jule, Juleshøgen hyppig og rigelig, Lenglingen Devi- ken 350 m o. h., Skogen ce. 312 m o. h. Bjugn: Ervik omg. heiene. Aafjord: Valdersund, Valsø. Overhalden: Hunn omg. V.??/s 78. Grong: Berg 350 m o. h., Solem- moen. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik V/ 19/6 82, Løding gigantisk. Bindalen: Tosenfjord Land. Brønø: Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem. Velfjord: Strengsvand, fladen nedenfor Hummel- lien. Vegø: Rørø. POTAMOGETONEA. 356. Potamogeton natans I. Bjugn: Kolkjønna. Overhalden: Veglo omg. ved Namsen. Nærø: præste- gaardtrakten. Vikten: Rørvik omg., Klumpavatne, Garstad omg. Lekø: Huseby omg. i Nordfjeldkjøn. Velfjord: 134 J. M. Norman. Strengsvand, Bruvand, Ruaasvand, Nostvik omg. fleresteds i de smaa tjærn, tjærnet nedenfor Hummellien. Vegø: Rare omg. fléresteds, Flaavandet, Rørø til Gladstad og i det hele hyppig i lavlandets talrige smaatjærn. 357. Potamogeton polygonifolius Pour. Vikten: Rør- vik omg. Velfjord: Sørenskogen, 65° 15—20' n. br., artens hidtil publicerede yderste nordgrændse. 358. Potamogeton rufescens Schrad. Nærø: Lervik. Velfjord: tjærnet nedenfor Hummellien. 359. Potamogeton gramineus L. Snaasen: Snaasen- vand opdreven paa bredden ved Sem. Nærø: Lervik. Vik- ten: Rørvik omg. Vegø: Rørø til Gladstad. 360. Potamogeton perfoliatus L. Snaasen:. Snaasen- vand opdreven paa bredden ved Sem. Velfjord: Strengs- vand, Bruvaad. 361. Potamogeton marinus L. Nærø: præstegaard- trakten. Vega: Rørø, udmarken mellem Gladstad og Guls- vaag. 362. Ruppia rostellata Koch. Brønø: Præstegaarden omg. i en vik paa østsiden af halvøen. Velfjord: Hegge- øen i et lille ved lavt vand fra søen adskilt saltvandsbassin. 363. Zostera marina L. Vikten: Garstad omg. over- alt inddreven paa stranden (væsentlig a in v. angustifoliam vergens). Brønø: Præstegaarden omg. (a). Velfjord: Hegge (v. angustifolia). LEMNACEA. 364. Lemna minor L. Støren: Præstegaarden. Le- vanger: Alfstadhoug. Vegø: Gladstad i stagnerende aa rigelig (vandets temperatur ?% 82 kl. 7 morgen + 11° R., lufttemperatur + 21° R.), 65° 40—41 mn. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrendse, henimod 1 breddegrad nordligere end forud bemærket. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 135 TYPHACEE. 365. Sparganium ramosum Huds. Vikten: lige ved Rørvik i liden stagnerende bek, 64° 51—52' n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrendse. Suppl. 1. e. p. 241. 366. Sparganium simplex Huds. Snaasen: Lerbæk ken. Suppl. 1. c. p. 241. 367. Sparganium fluitans Fr. Cfr. 1. c. p. 241. 368. Sparganium affine Schuizl. Vikten: Klumpa- vatne, Bryum til Evenstad, Gravsæt. 8369. Sparganium minimum Fr. Inderøen: Sakshoug. Vikten: Klumpavatne, Gravsæt. Vegø: fleresteds en endnu ikke omkring ?*/s 82 blomstrende Sparganium, som tilhører enten denne eller følgende art. 370. Spargaium hyperboreum Læstad. Velfjord: Hegge. ORCHIDEÆ. 371. Orchis mascula L. Namsos: Klingen omg. Brønø: Saurusø. Velfjord: (Nissen, ipse) Heggeøen. Vegø: Eidem fladen, Louplien, en enkelt op til 319 m o. h., anta- gelig den hotest o. h. liggende station, hvorpaa den er bemer- ket å Norge. Supl. |. c. p. 241. 372. Orchis maculata L. Stod: Hegge. Snaasen: Stævra-aasen nordvestside, Agle til Bøgsæt, Gravbrøt til Agle 114 m o.h. Lierne: Ulen vand Skaale, Juleshø- gen AV '/ı 81, Aune Heghougen 478 m o. h. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg. heiene, Oksvold AAY 16/6 82. Aafjord: Valsø. Namsos: Spillum. Grong: Berg 330 m o. h., skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen ret hyppig, Tromselvdalen 276 m o. h. rigelig Ay °/ 81. Nærø: Klun- gervik. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekg: Røsvik AV 7/6 80, Huseby omg. fleresteds. Bindalen: Hildringen 281 m o. h., Terraak, Tosenfjord Land 71 m o. h. Brønø: 136 J. M. Norman. Sydkvalø Ydre Kvalø 88 m o. h., Sømnæs, Torgø Nordhus- land, Præstegaarden omg. usædvanlig stor og vakker, Til- rem. Velfjord: Nøstvik omg., Hellestad til Hegge lang- slut nordlig skraaning, Heggeøen, Bergvik; foden af Raak- hatten 18 m o. h. rigelig, op til 288m o. h. Vegø: Eidem Louplien 320 m o. h. VV! ??/s 82, Rørø fladen AV ??/s 82, Gladstad, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag, i det hele hyppig paa øen. 373. Orchis angustifolia Wimm. & Grab. Indergen: Rødsætmarken og fleresteds i Sakshoug omg. Grong: skov- trakten mellem Berg i Sandøldal og Solem i Namsendal, Tromselvdalen 271 m o. h. paa trichophorum-myr. Nerg: Lervik til Klungervik. Brønø: Sømnæs. Vegø: udmar- ken mellem Gladstad og Gulsvaag, Holand til Næs. * cruenta O. F. Mill. Brong: Præstegaarden omg. Vegø: Gladstad, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag. 374. Gymnadenia conopsea R. Br. Snaasen: Stævra- aasen sydside fleresteds, ogsaa nordvestside. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli rigelig \/\/! 71/7 80. Brønø: Syd- kvalg Ydre-Kvalø 88 m o. h., Lervik; Sømnæsøen, Præste- gaarden omg. Velfjord: Saulus, Nøstvik, derfra til Hellestad, Hegge, Heggeøen. Sandsynligvis mangesteds forbg. 375. Peristylis albidus Lindl. Bindalen: Hildringen østside 284 m o. h. Velfjord: Raakhattens tjelde ved selve trægr. 344 m o. h. og op til mindst 515 m o.h. samt 174m 0. trægr. 376. Peristylis viridis Lindl.- Lierne: Ulen vand Jule 381—392 m o. h. temmelig hyppig / 1/7 81, Kveli 359 m o. h. hyppig, selv i hjemmejordens enge. Grong: skov- trakten mellem Brændmoen og Sandøldal. Aafjord: Kven- gjerdet 4 m o. h., Melemgaardene 41 m o. h., Valdersund Hyldenæsset nær h. n. Bindalen: Tosenfjord Land til Barstad 82 m o. h. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø 88 mo. h., Sømnæs fladen ved h. n. Velfjord: Raakhattens fjelde Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 137 307 m o. h., hyppig ved trægr. 341 m o. h., op til mindst 550 m o. h. samt 219 m o. trægr. Vegø: Rørø ved h. n. 377. Platanthera bifolia Reich. Snaasen: Lian ved Agle A 24/6 81. Ørlandet: Beian Rønholmen fleresteds tildels rigelig. Aafjord: Valsø myrlændt mark. Grong: mellem Berg og Brændmoen, Tromselvdalen 271m o. h. paa trichophorum-myr. Lekg: Britdalen 120—156 m o. h. i lyngmarken, Huseby til Skei. Bindalen: Tosenfjord Syd- bergsli, Land ved søen paa tørre bakker saa rigelig, at de ganske hvidner af dens blomster 21/7 80, op til 117 m o. h. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Skaaren Høglien 84 m o. h., Sømnæs paa tuer i myr men med skjelsand i bunden, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. hyppig, Saurusø, Tilrem lavlandet og i lien 84 m o. bh. Velfjord: Saulus tildels rigelig, Bruvand, Nøstvik omg. sydbakke, Hellestad til Hegge, Hegge 28 m o. h., Heggeøen, Hummellien, Op- sjøen, Raakhattens fod 320 m o. h. samt 11 m nedenfor trægr. Vegø: Eidem A 22/6 82. 378. Ophrys myodes Jacq. Paa Gunnerus’s findested, Bergsaasen i Snaasen, bemærkedes den 77 m o. h. 379. Epipactis latifolia (L.) (incl. var. atrorubens). Stod: Klovgaard. Snaasen:"kalkbakkerne ovenfor Sem, Stævra- aasen sydside fleresteds op til 143 mo. h., ogsaa paa nordvest- side, Nagthus, Bøgsæt til Agle, Gravbrøt til Agle, 120m o. h. Lekø: Røsvik. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli. Brene: Sydkvalø, Lervik, Sømnæsøen. Velfjord: Hellestad til Hegge, Hegge, Heggeøen. — Hvor planten har været tilstrækkelig udviklet til at skjelne med sikkerhed mellem de to former, har den vist sig at være var. atrorubens Hoffm. eller E. ru- biginosa (Cr.) Hartm. Fl. ed. XI. Det er ogsaa denne form, som er den hyppigste i Norges arktiske gebet, medens dog æ ogsaa forekommer men sjeldnere og gaar ikke saa langt mod nord. 380. Listera ovata R. Br. Snaasen: Lian ved Agle 138 J. M Norman. 138 m o. h. Lekø: Huseby til Skei \/ *°/s 80. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø (ogsaa med 3 blade i krandsen), Lervik; Skaaren Høglien 31—130 m o. h., Torgs Nordhusland AAV ?3/s 82, Præstegaarden omg., Saurusø, Tilrem sydli 75—99 m o. h. Velfjord: Nøstvik omg. 59 m o. h., Heggeøen tildels rigelig, Raakhat- tens fod. | 381. Corallorhiza innata R. Br. Lierne: Nordli Sandviken. Overhalden: Hunn fleresteds. Grong: Berg 312 mo. h., Berg til Brændmoen ei sparsomt, Tromselv- dalen nedre del 276 m o. h. og langt inde i dalen 402 m o. h. 382. Cypripedium Calceolus L. Ved Bjernaavand i Vefsen (cfr. 1. ec. p. 243) bemærkedes den 104 m o. h. IRIDEÆ. 383. Iris Pseudacorus L. Aafjord: nær Melem. Nærø: Klungervik til Storved i stagnerende bæk stor- voksen og hele beder af den over lang strækning. Vikten: Klumpavatne, Stenfjorden store beder af den, og har jeg intetsteds seet den yppigere eller i større mængde. paa en plet, fructificerende */9 80, 64° 53—54' n. br., saavidt be- kjendt, nordligste lokalitet, hvor den optræder i større mængde og i tætte beder. ASPARAGEZÆ. 384. Paris qvadrifolia L. Støren: Præstegaarden. Holtaalen: Tyvold Vondgraven 600 m o. h. Levanger: Krogstad. Indergen: Saxhoug omg. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Kvam, Hegge, Kløvgaard \/ ‘/6 81. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Lerbækdalen, Berg houg, Sandnæs nordside rigelig, Omli, Blomli 359 m o. h. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 139 Lierne: Ulen vand Jule, Lenglingen Deviken, Aune Høg- hougen; Nordli Sandviken, Bratland. Aafjord: Melem- gaardene. Namsos: Spillum Almlien. Overhalden: Veglo omg. Nærø: Klungervik, Sandnæs Lekø: Huseby omg. østside. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli 24 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præ- stegaarden omg. V !8/7 80, Tilrem sydli 53 m o. h. Vel- fjord: Hegge hjemmejorden, Heggeøen, Hummellien. Vegø: Eidem Louplien 63 m o. h., udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds, Alfsgaard syd- vestli. 385. Polygonatum verticillatum All. Stenkjær: Byhal- den spredt enkeltvis. Snaasen: Hammer til Langnæs V 12/, 79, foden af Horjemfjeldene, Hroaldstenen en flæk rige- lig og vakker, Nagthus mere enkeltvis, Agle til Bøgsæt, Lian 174 mo. h. Lierne: Ulen vand Jule 392 m o. h., Lenglingen Deviken op til 439 m o. h.; Aune fleresteds, ogsaa Høghougen 485 m o. h. hist og her, Kveli. Bjugn: Ervik omg., Sæter. Aafjord: Kvengjerdet til Valdersund Grong: Berg 368 m o. h., Tromselvdal dalbunden 254 m o. h., Rørvik omkring 405 m o. h. og op til 547 m o. h. Nærø: Sandnæs fleresteds enkeltvis, Klungervik. Leke: Huseby omg. sydside ikke saa rigelig som i enkelte arktiske egne. Brønø: Skaaren Høglien 72—141 m o. h. rigelig og høivoksen men ikke i bestand, Sømnæs Kirkemarken 43 m o. h., Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. fleresteds tildels steril 1880 Tilrem sydli 106 m o. h. Velfjord: Saulus sydbakke, Nøstvik omg. 54 m o. h. og byppig i trakten, Hegge 18m o. h.; Raakhattens lier hyppig 226—341 m o. h. lige ved trægr., kun enkeltvis. Vegø: Eidem, Louplien vestside op til 184 m o. h., Gladstad olderskov rigelig, Ho- land til Næs. Alstenø: Thormodvoldaasen daarlig udvik- let, kalkklipperne ved Søvik bedre udviklet. Vefsen: Kub- bestadsjøaasen birkeklædt vestli, Dalstadaasen fleresteds til- 140 J. M. Norman. dels vakkert udviklet, Alfsgaard sydvestli, lierne ved Bjørn- aavand. 386. Polygonatum officinale All. Aafjord: Kvengjer- det, mellem Melem og Valdersund fleresteds; Valdersund 15 m o. h., Hyldenæsset (63° 51—52‘), men meget sparsommere og langt svagere udviklet end i Snaasen. Suppl. |. c. p. 243. 387. Convallaria majalis L. Stenkjær: Nedre Lø Å 16/, 81. Stod: Kvam, Kløvgaard. Snaasen: Stævra- aasen 82 mo. h. AAV ”s 81, Agle til Bøgsæt hyppig, næsten exklusivt dækkende store flækker, Lian, Omli \/\/! 24/6 81. Lierne: Aune Høghougen 485 m o. h. \/\/ 2°/6 81, tildels sammen med Astragalus alpinus; Nordli Sandvi- ken Bergan 504 m o. h. VV! 4/1 81. Bjugn: Ervik omg., Sæter, Bottengaard skovlierne ved vandet, Oksvold. Aafjord: Melemgaardene hyppig \/ *% 82, Kvengjerdet; Valdersund fleresteds, ogsaa Hyldenæsset; Valsø. Grong: Berg 288— 350 m o. h., Aasve Namsens elvebakker lidt høiere, end de oversvømmes af flommen, Tromselvens fugtige af flommen oversvømmede bredder fleresteds 254—276 mo. h. Nærø: Sandnæs, Holand 166 m o. h. Lekø: Røsvik, Huseby omg. sydside af en hei 91 m o. h. Bindalen: Tosenfjord Syd- bergsli hyppig, 46 m o. h. rigelig; Land 71mo.h. Brone: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Lervik; Skaaren opad Høglien rigelig, flækkevis dominerende og storbladet, op til 187 m o. h; Sømnæs Kirkemarken 55 m o. h., Torgø Nordhusland, Præ- stegaarden omg. hyppig og tildels meget rigelig men ikke saa frodig som i Velfjord, Tilrem 88—133 m o. h. Velfjord: Saulus sydbakke hyppig og rigelig op til 110 mo. h., Nøstvik strandklipper og aasen 54mo.h., Nøstvik til Hellestad sydli, Hegge rigelig, Heggeøen, Raakhatten 192 m o. h., endnu 238 m o. h. rigelig, op til 347 m o. h. samt 6m o. trægr. Vege: Holand til Næs paa øens vestside. Suppl. 1. c. p. 242. 388. Majanthemum bifolium Schmidt. Støren: sta- tionen omg. Stenkjær: nærmeste omg., Byhalden. Stod: Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 141 Langhammer til Aune, Kløvgaard. Snaasen: Agle til Bøg- set hyppig i trakten, Gravbret, Blomli 350 m o. h., fjeld- gaarden Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Jule me- get hyppig, flekkevis dominerende; Lenglingen Deviken 365 mo. h. og overalt rigelig i skoven; Aune ved Holden vand, Nordli Sandviken yderst rigelig i skoven, Kveli, sydenden af Limingen. Bjugn: Ervik omg. sparsomt, Sæter. Groug: Berg c. 350 m o. h., nær Brændmoen, Fiskum, Trondenæs tildels yderst rigelig, Rørvik c, 405 mo. h. Lekø: Røsvik. Bindalen: Tosenfjord Land 117 m o. h. enkeltvis. Suppl. 1. e. p. 242. LILIAGEÆ. 389. Gagea lutea Kerr. Stenkjær: Byhalden isprængt ficariabederne, tildels rigelig + 16/6 81. 390. Allium oleraceum L. Inderøen: Vennaberg. Stod: Ho, Kløvgaard. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rør- vik omg., Garstad omg. Lekø: Røsvik rigelig. Brønø: Præstegaarden omg., Saurusø. Velfjord: Strengsvand, Nøstvik til Hellestad hyppig tildels rigelig, Hegge 18—36 m o. h., Heggeøen, Raakhattens fodrigelig. Vegø: Eidem, Louplien 116-138 m o. h., Valle. NARTHEGIAGEÆ. 391. Narthecium ossifragum Huds. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. de lave heier rigelig over store sfrækninger, Bottengaard tildels rigelig i lyngmarken. Aa- fjord: Valdersund, Valse. Namsos: Spillum til Almlien overalt rigelig op til 111 m o. h., Klingen granklædt aas. Overhalden: aasplateauet mellem Barlien og Svallisæteren rigelig, fornemlig nærmere sidstnævnte, hvor myrene i en heide af omkring 110 m over Veglo gaardstun mangesteds over flækker paa flere ar er næsten exklusivt bevoksede med 142 J. M. Norman. den, og ved jeg ingensteds i landet at have seet deni sterre mængde inden et snevrere omraade. Grong: Snaasenheien 111 m o. h., skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen man- gesteds og tildels rigelig i noget høiere regioner, Tromselv- dalen 276 m o. h. Vikten: Rørvik omg. hyppig og rige- lig, ogsaa paa heiene 106 m o. h.; Garstad. Lekø: Huse- by til Skei og udmarken, Nordfjeldkjøn, Britdalen dalbunden hyppig, undertiden dominerende over flader paa flere ar, mere spredt høiere i dalen. Bindalen: Hildringen østside 144 m o. h. rigelig, 160—202 m o. h. yderst rigelig, endnu 240 m o. h. rigelig, paa mere sydlig side op til 281 m o. h;; Tosenfjord Land til Barstad 72 m o. h. Brønø: Sømnæs mellem hjemmejorden og Høiviken. Velfjord: Nøstvik til Hegge 54 m o. h. hyppig flækkevis dominerende, Bergvik til Opsjøen, Raakhattens fjeldplateau 358—414 m o. h. samt 73 m o. trægr. rigelig. Vegø: Viken til Roa, Rare til Glad- stad hyppig. 392. Tofieldia borealis Wg. Snaasen: Blomli til Græssa- mo 629 m o. h. Lierne: Tunsjø til Limingen 562 m o. h. Grong: Tromselvdalen 377 m o. h., Rørvik 545 m o. h. Bjugn: Ervik omg. lav hei. Aafjord: nær Valdersund 13 mo. h. Vikten: Rørvik omg. 47 mo. h.rigelig, 65 m o. h. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei 1 m o. h. og udmar- ken, Britdalen, hyppig i øens lavland. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvals 8 mo. h. Vega: Roa til Viken hyppig og rigelig i lavlandet, Rørø, Rørø til Gladstad rigelig, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag endog paa tør rab sammen med Po- tentilla verna, Lotus og Festuca ovina, Antennaria dioica etc. Alstenø: Søvik fladen fleresteds. JUNCACEA. 393. Juncus conglomeratus L. Inderøen: Sakshoug omg. Hitteren: Havn omg. Bjugn: indenfor Botten- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 143 gaard ved vandet i glissen furuskov. Aafjord: ner Melem, Valsø. Namsos: Klingen omg. Overhalden: Hunn. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg., Stang- ring til Drag, Garstad omg. myrlændt udmark hyppig, tildels rigelig. Lekø: Hattelien 93 m o. h., Lillevand til Brit- dalen 120 m o. h., Britdalen hist og her op til 132 m o. h. Bindalen: Hildringen. Velfjord: nedenfor Hummellien. 394. Juncus effusus L. Cfr. 1. e. p. 433, 395. Juncus balticus Wild. Lekø: Huseby til Skei. Brønø: Sømuæs fleresteds, Præstegaarden omg., Tilrem. Vegø: Viken til Roa et par km fra søen, Rørø til Gladstad, Holand til Næs. — var. inundata (Drej.. Brønø: Sømnæs. 396. Juncus filiformis L. Inderøen: Sakshoug omg. Snaasen: Sem, Præstegaarden. Lierne: Aune, Skogen. Bjugn: Oksvold A 19% 82. Aafjord: nær Valdersund. Namsos: Spillum til Almlien, Klingen omg. Overhalden: Hunn, Veglo omg. 0 À ?°/6 78. Grong: Berg, Aasve til Aasmulen, Trondenæs. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Hildringen 65 m o. h., Terraak og dalen indenfor, Tosen- fjord Land til Barstad 82 m o.h. Brønø: Sømnæs, Tilrem. Velfjord: Strengsvand, Nøstvik omg. og der paa myrlændt nordskraaning yderst rigelig, Hegge, foden af Raakhatten. Vegø: Rørø til Gladstad. Ofte forbg. 397. Juncus stygius L. Vikten: Rørvik omg. 398. Juncus triglumis L. Lekø: Huseby udmark flere- steds 65—114 m o. h. Bindalen: Tosenfjord Land 59 m o. h., Land til Barstad 82 m o. h. myr sammen med Tha- lictrum alpinum. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Torgø Nordhusland 26 og 38 m o. h., Præstegaarden omg. nær h. n. myrene sammen med Carex glauca, fulva, pulicaris og andre sydlige vækster. Vega: Viken til Roa, Rørø fleresteds ved h. n., udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag hyppig paa 144 J. M. Norman. lavlandets myre. Alsteng: Søvik ved h. n. Vefsen: Mo- sjøen nedenfor Øienfjeld ved h. n. 399. Juncus biglumis L. Vikten: Rørvik omg. 64 m o. h. 400. Juncus trifidus L. Grong: Limingen fjeldene nordenfor Gjeresvik 626 m o.h. Bindalen: Hildringen 361 mo. h., 506 m o. h. samt 156 m o. trægr. hyppig. Vel- fjord: Raakhattens fjelde 358 m o. h. samt 17 m o. trægr. 401. Juncus supinus Moench. Bjugn: Ervik omg. Kol- kjønna og hyppig og tildels meget rigelig i traktens vand- puds. Aafjord: Valdersund omg. Nærø: præstegaard- trakten, Lervik i tjærnet. Vikten: Rørvik omg., Aaviken yderst rigelig, Garstad omg. rigelig. Lekø: Nordfjeldkjøn. Brønø: Sømnæs, Tilrem. Vegø: Eidem, Rørø, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag og rigelig overalt i øens lav- land. 402. Juncus alpinus Vill. Snaasen: Sem. Aafjord: Valsø. Overhalden: Veglo. Vikten: Rørvik omg., Gar- stad. Bindalen: Hildringen, Tosenfjord Land til Barstad. Brønø: Sømnæs Heiviken, Torgø Nordhusland, Tilrem. Velfjord: Strengsvand, Hegge. Vegø: Rørø. Sandsyn- ligvis ofte forbg. | 403. Juncus articulatus L. Snaasen: Semomg. Vik- ten: Bryum til Stangring, Garstad omg. Lekø: Huseby omg. (?, nimis juvenilis). Bindalen: Hildringen, Terraak. Brønø: Præstegaarden omg. (?). Velfjord: Saulus, Nøst- vik, Hellestad til Hegge. Sandsynligvis oftere forbg. I disse egne ofte vanskeligt at skjelne mellem denne art og foregaaende. 404. Juncus compressus Jacq. * Gerardi Lois. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Garstad omg. Bindalen: Terraak. Brønø: Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. Velfjord: Nøstvik omg., Hegge, Heggeøen. Sandsynlig- vis forbg. | Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 145 405. Juncus sqvarrosus L. Hitteren: Havn omg. 406. Juncus bufonius L. Snaasen: Horjemfjeldenes fod, Sem bredden af Snaasenvand, Agle til Gravbret i kan- ten af landeveien rigelig spirende 24/6 81, Gravbrøt til Blomli 186 m o. h. i veien yderst rigelig, fremdeles 260 m o. h. i sæterveien. Lierne: Ulen vand Jule, Aune veien, Nordli Sandviken veikanten. Aafjord: Valdersund, Valsø fjæren. Namsos: Spillum, Klingen omg.. Overhalden: aaspla- teauet mellem Barlien og Svallisæteren midt i skoven men kun i seterveien. Grong: Godejord rigelig langs veien til Berg 330 m o. h., Solem overalt i veikantene, Aasve til Aasmulen, Trondenæs. Nærø: Lervik, Sandnæs. Vikten: Rørvik. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei og omg. Bin- dalen: Terraak OA 1°/ 80; Tosenfjord Land, Paalsskogen. Brønø: Sømnæs veien, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. Velfjord: Strengsvand, Nøstvik til Hegge. Vegø: Rørø vandpudsene rigelig. 407. Luzula pilosa Wild. Støren: stationen omg. Holtaalen: Tyvold 664 m o. h. Å “/6 81. Inderøen: Sakshoug. Stenkjær: omg. + 16/6 81, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Hegge fleresteds. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Sem, Stævra-aasen nordvestside, nær Præste- gaarden nordvestside, Sandnæs, Nagthus, Agle til Bøgsæt hyppig i egnen, Gravbret, Blomli 359 m o. h., Græssamo. Lierne: Ulen vand Juleshøgen + ‘/7 81, Lenglingen Devi- ken, Aune; Nordli Sandviken, Kveli. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Valdersund omg., Valse. Namsos: Spillum Almlien, Klingen omg. fleresteds. * Overhalden: Veglo omg. sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Prestegaarden, Homo, Berg 312 m o.h., Trondenæs, Rørvik op til 444 mo.h. Nerg: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Huseby omg. nord- side. Bindalen: Hildringen 87 m o. h., Øksningen syd- vestside, Terraak. Brong: Skaaren Høglien fleresteds, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. | 10 146 J. M. Norman. Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem sydli 53 m o. h. Velfjord: Saulus sydbakke 136 m o. h., Nøstvik omg., Hegge, Heggeøen, Raakhattens fod 45 m o.h. Vegø: Eidem til Viken. Alstenø: Søvik. Vefsen: Kub- bestadsjøaasen vestside, Mosjøen fleresteds, Dalstadaasen. 408. Luzula sylvatica Gaud. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. vestlig skraaning mellem birkekrat flere- steds + 14/, 82. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg. 75 m o. h., Garstad omg. Brønø: Sømnæs Kirkemarken 43 m o. h., Troldskaret op til 95 m o. h. (top- pen næsten overalt afbidt af kreaturerne). 409. Luzula campestris DC. (incl. var. multiflora). Støren: stationen omg. Inderøen: Vennaberg, Sakshoug. Stod: Kirkaal. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Sem, Præstegaarden vestlig skraaning, Gravbrøt, Lian. Lierne: Ulen vand Juleshøgen, Lenglingen Deviken 365 m o. h., Aune; Nordli Sandviken, Kveli 356 m o. h. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg. flere- steds, Bottengaard. Aafjord: Valdersund fleresteds, Valsø. Namsos: Spillum til Almlien. Overhalden: Hunn, Veglo omg. Grong: Berg, Brændmoen. Nerg: præstegaard- trakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Røsvik. Bindalen: Øksningen sydvestside, Tosenfjord Land. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhus- land, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge, Hegge, Heggeøen, Hummellien og hyp- pig i egnen. Vegø: Rørø, Sundvold. Alstene: Thormod- voldaasen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestli, Mosjøen, Dalstadaasens sydende, Øien sydbakke. Noget negl. 410. Luzula spicata DC. Ørlandet: Beian Rønholmen nær h.n. Vegø: Eidem Louplien 236 m o. h., Holand til Næs ved h. n. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 147 CYPERACEA. 411. Heleocharis palustris R. Br. Snaasen: Sem. Vikten: vandet ved Stangring. Lekø: Huseby omg. Vel- fjord: fladen ved Strengsvand, Hegge. 412. Heleocharis uniglumis Schult. Levanger: Alfs- nes. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valse. Nærø: Sandnæs, Lervik. Vikten: Evenstad (? steril 1880). Lekø: Præstegaarden stranden. Bindalen: Øks- ningen, Terraak; Tosenfjord Land. Brønø: Sømnæs, Præ- stegaarden omg., Hestø. Velfjord: Nøstvik, Heggegen. Vegas: Rørø fleresteds \/+ ?2/6 82, Sundvold. 413. Scirpus pauciflorus Lightf. Lierne: Nordli Sand- viken 474 mo. h. Nærø: Sandnæs. Bindalen: Tosen- fjord Land ved seen og op til 59 mo. h. Brønø: Torgø Nordhusland. Vegø: Viken til Roa indtil 2—3 km fra søen, Sundvold fjæren og et stykke op i bakkerne, Holand til Næs.. 414. Scirpus lacustris L. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Klumpavatne, i Svarthammervatne stort belte af den, i et tjærn ved Drag, 64° 55—56" n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrændse. I 1852 samlede jeg senhøstes paa nedreisen fra Finmarken nogle faa planter i omegnen af Nærø præstegaard og blandt disse Se. lacustris og Gly- ceria fluitans. De blev uheldigvis lagt ind i samme pakke, som de lige forud i Senjen indsamlede, og som bar uden- paaskriften »Senjen«. .Professor M. N. Blytt, som forlangte samlingen til gjennemsyn, før der blev tid til at udskrive særskilte etiquetter, er derved bleven ledet til at tro, at de to ovennævnte planter var samlede i Senjen, hvor jeg aldrig har fundet dem. 415. Scirpus sylvaticus L. Stod: nær Forfang. Suppl. Cp. 243. 416. Blysmus rufus Link. Levanger: Støp. Inder- 10* 148 J. M. Norman. gen: Rødsætmarken. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valsø. Nerg: præstegaardtrakten, Sand- nes. Vikten: Evenstad. Bronge: Sømnæs; Torgø Nord- husland fleresteds, ogsaa myr c. 1 km fjærnet fra stranden. Vegø: Rørø, Holand til Næs. Alstenø: Søvik. 417. Trichophorum cæspitosum Hartm. Snaasen: Gravbrøt nordside, Omli. Lierne: Aune 440 m o.h. VA "fi 81; Nordli Sandviken, Prestegaardseteren til Bratland 619 mo. h. exklusivt beklædende store flader, Kveli til Sko- gen 491 m o. h., Tunsjøen til Limingen 562 m o. h. domi- nerende over store strækninger, vekslende med flader be- voksede med Nardus. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik de lave heier, Bottengaard, Oksvold. Namsos: Spillum Almlien 111 m o. h. Overhalden: Hunn, Barlien til Svalliseteren. Grong: Berg 312 m o. h., skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen, Tromselvdal 271 m o. h. store myre ganske bekledte med den, Rørvik 405 mo. h. \/ 7/781. Nero: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Røsvik rigelig, Huseby udmark, Britdalen 132 m o. h. og hyppig overalt paa gen. Bindalen: Hil- ' dringen lavlandet, 251 m o. h. dominerende, op til 574 m o.h. samt 224 m o. trægr., Terraak, Tosenfjord Land. Brønø: Sømnæs Kirkemarken, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem. Velfjord: Nøstvik myr med mosse- bund næsten exklusivt dominerende, Bergvik, aasplateauet ovenfor Hummellien, Raakbattens fjelde 358 m o. h., rigelig 441 mo. h. samt 100 m o. trægr. Vega: Viken til Roa, Rørø \/+- ”/ 82. Alstenø: Thormodvoldaasen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen 114 m o. h., Bjørnaavand. 418. Trichophorum alpinum Pers. Snaasen: myrmar- ken i nordvest for Stævra-aasen (?), Lian ved Agle. Lierne: Ulen vand Skaale ovenfor 353 m o. h. + 1/7 81. Grong: skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen fleresteds, Fjerd- eng, Tromselvdalen 248 m o. h. rigelig, 254 m o. h. rigelig Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 149 over store myrstrækninger. Nærø: Lervik + 19 82. Bindalen: Terraak rigelig, Tosenfjord Sørenskogen. Brønø: Torgø Nordhusland. Velfjord: .Nøstvik omg. omkring et tjern, Bergvik. L 419. Eriophorum vaginatum L. Levanger: Krogstad til Alfsnæs. Stod: Ho, Hegge. Snaasen: Horjem fladen, myrmarken i nordvest for Stævra-aasen, nordenfor Nagthus, Omli. Lierne: Aune nær Høghougen 478 m o. h.; Nordli Sandviken, Kvelidal 331 mo. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard omg. fleresteds. Aafjord: ' Valdersund omg., Valse. Namsos: Spillum til Almlien, . Klingen omg. overalt paa myrene. Overhalden: dalbun- den fra søen af til Veglo beklædende store myrstrækninger. Grong: Berg 312 m o. h., mellem Sandøldal og Namsen, Rørvik 495 m o. h. rigelig. Nero: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Røsvik. Bindalen: Terraak, Tosenfjord Land 117 m o. h. Brønø: Sømnæs Kirkemarken, Torgø Nordhusland, Tilrem. Vel- fjord: Hellestad til Hegge 54 m o. h., Bergvik, aaspla- teauet ovenfor Hummellien, Raakhattens fjelde 341 m o. h. lige ved tregrendsen. Vegø: Rørø. Vefsen: Kubbestad- sjoaasen 114 m o. h., Mosjøen til Alfsgaard hyppig paa ler- terrænet. 420. Eriophorum Scheuchzeri Hop. Inderøen: Saks- houg omg. Lierne: Aspenes til Aune ned til 358 m o. h., Nordli Sandviken til Bratland, Kvelidalen 331m o. h., Kveli til Skogen hyppig hele veien, Tunsjøen til Limingen hist og her omkring 562 m o. h. Overhalden: fra seen til Veglo dalbunden af og til, lidet o. h., ved Skagen i vei- grøvten. Grong: Sandnæs 169 m o. h., Berg, Solem til Berg ved landeveien 107--113 m o. h., Gjeresvik ved Limingen, Rør- vik. Alstenø: Søvik ved h. n. Vefsen: Andaas, Alfs- gaard dalbunden, Bjørnaavand. | 421. Eriophorum latifolium Hop. Inderøen: Rodsæt- 150 J. M. Norman. marken. Snaasen: Agle, Lian rigelig. Grong: Berg 312 m o. h., skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen fleresteds, Solemmoen, Fjerdeng, Tromselvdalen dalbunden 254m o. h., rigelig 271 m o. h. Bindalen: Hildringen, Terraak rige- lig; Tosenfjord Barstad, Sørenskogen, Paalsskogen. Brønø: Torgø Nordhusengen, Præstegaarden omg. fleresteds og her rigeligere end E. angustifolium. Velfjord: Saulus. Vef- sen: Dalstad Å °°/s 77. Suppl. 1. c. p. 243. | 422. Eriophorum angustifolium Roth. Støren: Lun- demo omg. Levanger: Krogstad, Step. Stenkjer: - Nedre Lø. Stod: Ho, Hegge. Snaasen: Horjem, myr- marken i nordvest for Stævra-aasen, Præstegaarden ved. Svarva elv, Nagthus, Omli. Lierne: Ulen vand Jule, Leng- lingen Deviken ved vandet, Aune; Nordli Sandviken, Kveli- dal, sydenden af Limingen. Hitteren: Havn omg. Ørlan- det: Beian. Bjugn: Ervik omg. heiene, Bottengaard. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum til Almlien. Overhalden: Hunn, Veglo omg., Barlien til Svallisæteren. Grong: Berg 330 mo. h., ved Brændmoen, Tromselvdal overalt paa myrene rigelig, Rørvik ovenfor 405 m o, h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik 54 m o. h., Garstad omg. Lekø: Huseby udmarken. Binda- len: Hildringen 87 m o. h., 240 m o. h. aldeles dominerende, sparsommere i lavlandet; Terraak; Tosenfjord Land 107 m o. h., Land til Barstad 82m 0. h. Brønø: Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Hel- lestad til Hegge, aasplateauet ovenfor Hummellien steril i 1880. Vegø: Rørø + ??/ 82. Alstenø: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen 114 m o.h., Alfsgaard sydvestli 259m o. h. 423. Carex dioica L. Inderøen: Rødsætmarken. Stod: Hegge. Snaasen: Horjem omg., Nagthus. Lierne: Ulen vand Skaale, Jule, Nordli Sandviken fleresteds. Bjugn: Dynviken. Namsos: Spillum lavlandet. Overhalden: Hunn (f. subparallela). Grong: nær Brændmoen og flere- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 151 steds i skovtrakten mellem Sandeldal og Namsen, Tromselv- dalen langt inde i dalen 254 m o. h., Rørvik aasen 616 m ©, h. (parallela?, nimis juvenilis) Nærø: Sandnæs flere- steds (tildels f. subparallela). Bindalen: Tosenfjord Land (f. subparallela). Vega: Rørø V 22/6 82. - Alstenø: Søvik. Vefsen: Øiengaardene. I landets nordlige egne forekom- mer meget hyppig en forma subparallela, der skiller sig fra a ved de mere oprette frugtgjemmer og ved de fra roden mere krumt opstigende straa og bladskud. 424. Carex pulicaris L. Inderøen: Rødsætmarken. Bjugn: Ervik omg. Nærø: Sandnæs. Vikten: Klumpa- vatne, vandet ved Stangring. -Brene: Sydkvals Ydre- Kvalø, Præstegaarden omg. mangesteds tildels rigelig, sam- men med Juncus triglumis, Carex Hornschuchiana etc. | 425. Carex rupestris All. Grong: Rørvik aasen 606 mo.h. Vega: Eidem Louplien lavere nede rigelig men steril, fructificerende 377 m o. h. Vefsen: lierne ved Bjørnaavand 104 m o. h. 426. Carex pauciflora Lightf. Snaasen: myrmarken i . nordvest for Stævra-aasen. Bjugn: ved vandet indenfor Bottengaard. Namsos: Klingen omg. Overhalden: aasen mellem Barlien og Svailisæteren fleresteds, tildels rigelig. Grong: Berg 312 m o. h., Næsberget og øvrige skovtrakt mellem Sandøldal og Namsen fleresteds rigelig. Vikten: Rørvik omg. 106 m o. h., Garstad omg. Lekø: Britdalen. Bindalen: Hildringen op til 100m o. h. rigelig, Øksningen, Terraak; Tosenfjord Land 107 m o. h., Land til Barstad 62 m o. h. Brene: Sømnæs Kirkemarken 27 m o. h. og fleresteds, Tilrem. Velfjord: Nøstvik til Hegge 54 m o. h., foden af Raakhatten 18 m o. h. Vefsen: Kub- bestadsjøaasen. 427. Carex incurva Lightf. Levanger: Støp, Alfsnæs. Ørlandet: Beian. Aafjord: Valdersund. Nærø: præste- gaardtrakten. Lekø: Huseby omg. Bindalen: Terraak. 152 J. M. Norman. Brønø: Sømnæs Høiviken, Torgø Nordhusland. Velfjord: Heggeøen. Vegø: Rørø, Holand til Næs. 428. Carex chordorhiza Ehr. Snaasen: myrmarken i nordvest for Stævra-aasen. Grong: Berg 312 m o. h., nær Brændmoen. Nærø: Storved. Vikten: Garstadomg. Vege: Rørø OA 22/6 82, Rørø til Gladstad. Maaske sommesteds. forbg. 429. Carex muricata L. Støren: Lundemo omg. Suppl. I. ©. p. 244. 430. Carex teretiuscula Good. Indergen: Sakshoug omg. Brønø: Torgø Nordhusengen. 431. Carex stellulata Good. Snaasen: Sem omg. Overhalden: aasen mellem Barlien og Svallisæteren. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Bindalen: Hildringen 21 m 0. h. dominerende, op til 209 mo. h.; Øksningen fleresteds, Terraak, Tosenfjord Land. Brønø: Sømnæs omg. fleresteds, Tilrem. Velfjord: Saulus sydbakke 91 m o. h., Hellestad til Hegge. Vega: Rørø, Sundvold. Sandsynligvis ofte forbg. 452. Carex leporina L. Bindalen: Hildringen hyppig, Aspenæs, Øksningen -/- %/ 80. Velfjord: Nøstvik hist og her, Vollan, Hellestad til Hegge. Forbg. 433. Carex lagopina Wg. Velfjord: Raakhattens fjelde 578 mo. h. samt 237 m o. trægr. 434. Carex elongata L. Cfr. 1. c. p. 244. 435. Carex glareosa Wg. Vega: Rørø. 436. Carex norvegica Wild. Aafjord: Valsø flere- steds. Nærø: præstegaardtrakten. Bindalen: Terraak. 437. Carex canescens L. Inderøen: Sakshoug. Li- erne: som det synes hyppig, men for lidet udviklet til at skjelne mellem denne og følgende. Aafjord: Valsø. Grong: Berg 350 m o. h., Brændmoen. Vikten: Rørvik omg. Bin- dalen: Hildringen, Terraak ++ 1°/7 82, Tosenfjord Land til Barstad 72 m o. h. Velfjord: Saulus, Hegge hjemme- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 153 jorden. — Strøgvis forbg. Mangler neppe i noget distrikt. 438. Carex Personii Sieb. Snaasen: myrmarken i nordvest for Stævra-aasen. Grong: Berg fleresteds, ogsaa 330 mo. h., Brendmoen hjemmejorden, Trondenæs. Nærø: prestegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg. Bindalen: Hildringen 350 m o. h., Tosenfjord Land 101 m o. h. Vel- fjord: Hellestad til Hegge, Raakhattens fod 238 m o. h. Strøgvis forbg. 439. Carex loliacea L. Lierne: Ulen vand Jule 392 mon. AV 81 (7). 440. Carex maritima Müll. Ørlandet: Beian. 441. Carex salina Wg. Ørlandet: Beian. Vegø: Rørø, Holand, beggesteds ogsaa overgangsformer til følgende. 442. Carex subspathacea Wormsk. Ørlandet: Beian store belter af den i fjæren sammen med Glaux. Nerg: Sandnæs typisk og overgangsform til foregaaende. 443. Carex cespitosa L. Lierne: Nordli Sandviken ovenfor 384 mo. h., Kvelidalen ovenfor 314 mo. h., 64229—30' n. br., artens hidtil kjendte nordgrendse. 444. Carex acuta L. Inderøen: Sakshoug og Venna- berg omg. Suppl. 1. e. p. 244. 445. Carex Goodenowii J. Gay. Inderøen: Sakshoug. Snaasen: Omli. Lierne: Aune Høghougen 478 m o. h. Bjugn: Ervik og Bottengaard omg. overalt paa myrene. Aafjord: Valse. Namsos: Klingen. Overhalden: Veglo omg. Nerg: præstegaardtrakten. Leks: Huseby omg. Bindalen: Hildringen. Brønø: Sømnæs, Torgø Nord- husland. Velfjord: Saulus (v. juncella), Nøstvik omg, Hegge, Opsjøen. Vegø: Eidem, Rørø, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag. Negl. og strøgvis forbg. 446. Carex rigida Good. Snaasen: Blomli til Græs- samo 585 mo. h. samt 113 m o. trægr. Bindalen: Hil- dringen 361—506 m o. h. hyppig, op til 574 m o. h. samt 154 J. M. Norman. 224 m o. trægr. Velfjord: Raakhattens fjelde 358 til mindst 619 m o. h. samt 287 m o. trægr. Vefsen: Øien- fjeld lavlandet. 447. Carex Buxbaumii Wg. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei og udmarken, Lillevand til Britdalen 140 m o. h. Vel- fjord: Bergvik, aasplateauet ovenfor Hummellien. 448. Carex atrata L. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli ved h. n. storvoksen. Velfjord: Raakhatten 313 m o. h. samt 28 m nedenfor trægr. Vegø: Eidem Louplien 214 mo. h. 449. Carex alpina Sw. Lierne: Ulen vand Jule 392 m o. h. mellem Ulen vand og Lenglingen, Deviken 358— 459 m o. h. (den tidligst blomstrende af slægtens her fore- kommende arter) Kveli 331—395 m o. h. Vefsen: Alfs- gaard vestli i olderkrat rigelig. 450. Carex irrigua Sm. Snaasen: myrmarken i nord- vest for Stævra-aasen. Namsos: Spillum til Almlien. Over- halden: trakten mellem Barlien og Svallisæteren. Grong: skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen. Nærø: præste- gaardtrakten, Sandnæs + '% 82. Vikten: Rørvik omg. . Bindalen: Øksningen, Terraak meget høivoksen. Brene: Sømnæs omg. 25 m o. h., Tilrem. Velfjord: Hellestad til Hegge, Raakhattens fod. Vegø: Rørø, Rørø til Gladstad bængemyr. Negl. strøgvis forbg. 451. Carex limosa L. Snaasen: myrmarken i nord- vest for Stævra-aasen. Grong: Limingen nordenfor Gjeres- vik 564 mo. h. 0 ®/ 82 (?). Aafjord: Valsø gens vestside. Nærø: Sandnæs, Lervik. Velfjord: Nøstvik til Hellestad. Vegø: Rørø, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag. Sandsynligvis forbg. 452. Carex digitata L. Støren: stationen omg. Inder- derøen: Vennaberg, Rødsæteren, Rødsætmarken og hyppig i trakten. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Langhammer til Aune, Ryg, Kirkaal. Snaasen: kalkbakkerne ovenfor Sem, Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 155 Stævra-aasen, Nagthus, Omli. Lierne: Ulen vand Skaale 392 mo. h. Grong: Berg fleresteds 238—371 m o. h. Lekø: Hattelien 147 m o. h. (? steril). Bindalen: To- senfjord Sydbergsli 24m: o.h. Brønø: Skaaren Høglien 39—124 m o. h., Sømnæs Kirkemarken 75 m o. h., Tilrem sydli 110 mo. h. Velfjord: Nostvik, Heggeøen, Raakhat- tens fod. Vefsen: Dalstadaasen op for Præstegaarden i blandet løv- og barskov sammen med C. ornithopoda, aasens sydende nær Aandaas rigelig, Alfsgaard sydvestli sammen med Daphne, Viola mirabilis og Convallaria majalis, lierne ved Bjørnaavand rigelig. Suppl.1. c. p. 244. 453. Carex ornithopoda Wild. Støren: stationen omg. og derfra til Hovind. Holtaalen: Vondgraven 600 m o. h. Levanger: Eidsbotten. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Kløvgaard og Kirkaal tildels rigelig. Lierne: Kveli 473 m o.h. Lekø: Huseby til Skei i bergrift. Alstenø: Thormodvoldaasen birkeskoven ikke sparsomt. Vefsen: Dalstadaasen hyppig, lierne ved Bjørnaavand. Suppl. IL. ce. p. 244. 454. Carex pilulifera L. Stenkjær: Nedre Lø flere- steds A\/ 16/6 81. Stod: Langhammer til Aune. Snaa- sen: Lian ved Agle + */s 82. Hitteren: Havn ‘omg. Aafjord: Melemgaardene, Valdersund, Valsø. Nera: Sandnæs, Holand. Lekø: Hattelien vestside 93—151 m o. h., Britdalen 169mo.h. Bindalen: Øksningen. Brønø: Tilrem sydli 83 m o. h. Velfjord: Hegge 15 m o. h. Vegø: Sundvold til Gulsvaag, Holand til Næs. Vefsen: sydbakke søndenfor Øiengaardene. Suppl. 1. e. p. 244. 455. Carex panicea L. Inderøen: Sakshoug. Snaa- sen: Sem, myrmarken i nordvest for Stævra-aasen tildels ganske dominerende. Ørlandet: Beian hougene ved søen. Bjugn: Ervik omg. rigelig, Bottengaard. Aafjord: Valder- sund, Valsø + 17/82. Namsos: Spillum lavlandet. Over- halden: Hunn omg., aasen mellem Barlien og Svallisæteren 156 J. M. Norman. mangesteds rigelig. Grong: Berg 312 m o. h., mellem Berg og Brændmoen, Aasve til Aasmulen. Nærø: præste- gaardtrakten. Vikten: Rørvik omg., fleresteds yderst rige- lig, op til 106 m o. h.; Garstad omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Øksningen, dalen indenfor Terraak flekkevis blaanende af den; Tosenfjord Sydbergsli, Land 62 m o. h., Paals- skogen rigelig. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Skaaren ne- denfor Høglien, Sømnæs, Præstegaarden omg., Hestø, Til- rem. Velfjord: Saulus sydbakke op til 91 m o. h., fladen ved Strengsvand, Nøstvik til Hellestad, Heggeøen, Bergvik, aasplateauet ovenfor Hummellien. Vegø: Rørø + ?2/s rigelig, dog ikke saa rigelig som i lidt sydligere trakter, Rørø til Gladstad. Alstenø: Søvik. 456. Carex vaginata Tausch. Levanger: Krogstad til Alfsnæs (?). Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Kløv- gaard, Hegge. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Præste- gaarden ved Svarva elv, Sandnæs, Lian ved Agle, Omli, Blomli 359 m o. h., Græssamo / ?% 82. Lierne: Ulen vand Jule 392 m o. h., Lenglingen Deviken, Aune; Nordli . Sandviken, Kveli til Skogen, Limingens sydende. Bjugn: Ervik heiene, vandet indenfor Bottengaard. Aafjord: Valsø fleresteds. Namsos: Spillum til Almlien. Overhal- den: Hunn omg., Barlien til Svallisæteren. Grong: skov- trakten mellem Sandøldal og Namsen, Fjerdeng, Tromselv- dalen 254 m o. h., Limingen fjeldene nordenfor Gjeresvik _ 626 m o. h. hyppig, Rørvik aasen 547—616 m o. h. overalt rigelig paa høiderne. Nærø: præstegaardtrakten, Holand sydskraaningerne. Vikten: Rørvik omg. heiplateau 98 m 0, h. Lekø: Røsvik. Bindalen: Hildringen først be- mærket 317 m o. h., hyppig 461 m o. h., op til 557 m o. h. samt 213 m o. trægr., Tosenfjord Paalsskogen rigelig men steril i 1880. Brønø: Præstegaarden omg., Tilrem. Vel- fjord: Raakhattens fjelde 410 m o. h. samt 69 m o. trægr. Vegø: Rørø fleresteds rigelig, Rørø til Gladstad omtrent Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 157 lige hyppig som C. panicea. Alsteng: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestli, Mosjøen almindelig, Alfsgaard syd- vestli. 457. Carex livida Wild. Vikten: Rørvik omg., Gar- stad omg. temmelig rigelig, begge steder steril i 1880, men ikke at tage feil af. | 458. Carex glauca Scop. Bjugn: Ervik omg. Aa- fjord: Melem, Valdersund Hyldenæsset, Valso. Nero: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. rigelig. Lekø: Præstegaarden ved stranden, Huseby til Skei. Brønø: Sømnæs hyppig, Torgø Nordhusland storvoksen, Præstegaar- den omg. hyppig paa myrene, Hestø, Tilrem. Vega: Ei- dem rigelig og vakkert udviklet, Louplien 122m o. h., Rørø, Rors til Gladstad, udmarken mellem Gladstad og bena Holand til Næs. 459. Carex pallescens L. Støren: stationen omg. Levanger: Krogstad. Indersen: Rødsæteren. Snaasen: Præstegaarden vestskraaning, Lian ved Agle. Lierne: Leng- lingen Deviken, Vestnæs; Kveli: 356, rigelig 395 m o. h,; Kveli til Skogen rigelig, Skogen ved den i Kvernbergvandet udrindende elv 312 m o. h. Ørlandet: Beian hougene ved søen, Rønholmen. Bjugn: Bottengaard omg. Aafjord: Melem; Valdersund omg. fleresteds, Hyldenæsset. Namsos: Spillum lavlandet rigelig, Klingen hyppig i trakten. Over- halden: Hunn omg. fleresteds, Veglo bakkerne ovenfor Barlien. Grong: Holandsøen, Berg 371 m o. h., Fiskum rigelig, Fjerdeng, nær Tromselvens udmunding i Namsen 167 mo. h. Nærø: Klungervik, Sandnæs, Holand. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Hattelien 93 m o. h., Huseby til Skei smaavoksen. Bindalen: Hildringen op til 461 m o. h. samt 117 m o. trægr., Øksningen sydvestside; Tosen- fjord Sydbergsli, Land lavlandet og op til 101 m o. h., hyp- pig i trakten. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Skaaren Høg- lien 147 m o. h., Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem lavlan- \ 158 J. M. Norman, det og i sydlierne 162 m o. h. Velfjord: Saulus, Strengs- vand, Hellestad, Heggeøen, Raakhattens fod. Vega: Eidem til Viken rigelig, Rørø, Rørø til Gladstad, Sundvold 32 m o. h. Alsteng: Thormodvoldaasen. Vefsen: Kubbestad- sjøaasen birkeklædt vestside og sydside, Dalstadaasen bakke søndenfor Øiengaardene. | 460. Carex capillaris L. Inderoen: Rodsæteren. Stod: Kvam. Snaasen: Lian ved Agle Lierne: Sko- gen. Bjugn: Dynviken. Aafjord: Melemgaardene temme- lig hyppig i trakten, Valdersund omg., Valsø øens vestside. Grong: Berg c. 350 m o. h., storvoksen 371 m o. h.; mel- lem Sandøldal og Namsen storvoksen, Rørvik aasen 547 — 616 m o. h. Nærø: Klungervik, Sandnæs. Vikten: Aavi- ken, Drag, Lekø: Huseby omg. østside 57 m o. h., Hat- telien 93 mo. h. og fleresteds, tildels rigelig, op til 147 m o. h. Bindalen: Gksningen, Terraak; Tosenfjord Sydbergsli, Land, Land til Barstad 101 m o. h. Brønø: Sømnæs, Søm- næsøen, Torgø Nordhusland stranden, Præstegaarden omg. Velfjord: Saulus, Nøstvik til Hellestad, Hegge, Heggeøen og hyppig i trakten; Raakhatten 286 m o. h. Vegø: Eidem lavlandet, Rørø, udmarken mellem Gulsvaag og Gladstad, Gulsvaag. Alstenø: Søvik kalkhougene, Thormodvoldaasen. Utvivlsomt fleresteds forbg. 461. Carex flava L. Inderøen: Sakshoug. Snaasen: myrmarken i nordvest for Stævra-aasen. Lierne: Nordli Sandviken 474 m o. h., Kveli til Skogen. Bjugn: Botten- gaard omg. Aafjord: Valdersund \/ !/: 82, Valsø flere- steds + 17/6, 82. Namsos: Klingen omg. Overhalden: Veglo omg. Grong: Præstegaården, Berg 312—371m o.h., skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen mangesteds tildels rigelig, nær Tromselvens udmunding i Namsen 164 m o. h. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs fleresteds Å !% 82. Vikten: Rørvik og Garstad omg. hyppig. Lekø: Brit- dalen 153 m o. h. Bindalen: Hildringen, Terraak + 19/7 Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 159 80, Tosenfjord Land til Barstad 82 m o. h. Brønø: Søm- næs omg., Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. meget rigelig, Hestø, Tilrem. Velfjord: Saulus sydbakke 91 m o. h., fladen ved Strengsvand, Hellestad til Hegge, Heggeøen, aasplateauet ovenfor Hummellien. Vegø: Rørø \/ 2/6 82, Rørø til Gladstad rigelig. Sikkerlig ofte forbg. 462 Carex Øderi Hoffm. Overhalden: Veglo Svalli- sæteren. Bindalen: Hildringen, Tosenfjord Land 98 mo. h. Sandsynligvis oftere forbg. 463. Carex Hornschuchiana Hop. (incl. var. fulva [Good]). Inderøen: Rødsætmarken (? juvenilis). Aafjord: Valsø. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik omg., Klumpa- vatne. Lekø: Huseby til Hattelien. Brønø: Torgø Nord- husland, Præstegaarden omg. fleresteds tildels rigelig, Hestø. Vegø: Eidem, Viken til Roa, Rørø til Gladstad fleresteds og ikke sparsomt, Holand til Næs. Den i disse egne fore- kommende form maa i regelen henføres til var. fulva, men nærmer sig undertiden mere eller mindre til a. 464. Carex ampullacea Good. Inderøen: Sakshoug omg. Snaasen: Sem. Lierne: Ulen vand Jule 392 m 0. h. Aafjord: Valsø gens vestside. Namsos: Klingen omg. Overhalden: Veglo omg. fleresteds. Grong: Homo, N erg: Sandnæs, Klungervik til Storved. Vikten: Rør- vik omg., Klumpavatne, Garstad omg. Bindalen: Tosen- fjord Land til Barstad. Brno: Tilrem. Velfjord: Sau- lus, Strengsvand, Nøstvik omg., Hegge, aasplateauet ovenfor Hummellien. Vegas: Rørø, Rørø til Gladstad i tjærn stor- voksen. Alstenø: Søvik. Vefsen: Øiengaardene. Negl. og forbg. 465. Carex vesicaria L. Grong: Homo, skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen t. ex. nær Brændmoen. Sand- synligvis forbg. 466. Carex filiformis L. Bjugn: Ervik omg. fructif. 1882. Grong: skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen © 160 J. M. Norman, tildels rigelig, Tromselvdalen 276 mo.h. Vikten: Aaviken rigelig, Garstad omg. rigelig men overalt steril i 1880. Velfjord: Bergvik. Vegø: Rørø, Rørø til Gladstad domi- _ nerende paa myrene, rigelig fructif. i 1882. GRAMINEÆ. 467. Phalaris arundinacea L. Stenkjær: Byhalden. Snaasen: Vegsæt. Lierne: Aune Kvelidalen 331 m o.h. Namsos: Spillum Almlien bestand af den. Overhal- den: Veglo Namsens bred i elvekrattene. Grong: Godejord og hist og her opad Sandøldalen, Berg, Trondenes. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Garstad. Bindalen: To- senfjord Sydbergsli, Land, Land til Barstad. Brønø: Syd- kvalø Ydre-Kvalø, Sømnæs Skavdalen, Tilrem sydli 162 m o. h. Velfjord: Saulus sydbakke op til 133 m o. h., Hel- lestad til Hegge hyppig i egnen, Hummellien, Raakhattens fod op til 257.m o. h. Vego: sens vestside, Vegdalen. 468. Anthoxanthum odoratum L. Støren: stationen omg. Inderøen:-Vennaberg. Stenkjær: nærmeste omg. V 26 81, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Kvam overalt rigelig, Hegge i forsommerens engvegetation overalt dominerende, ofte tætstaaende. Snaasen: Horjem, Sem, Præstegaarden ved Svarva elv, Sandnæs tætstaaende og dominerende over store engstrækninger, Nagthus, Grav- brøt, Blomli sætervold 359 mo. h. Lierne: Ulen . vand Skaale, Lenglingen Deviken, Nordli Sandviken, Kveli, syd- enden af Limingen. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Val- dersund omg., Valsø. Namsos: Spillum til Almlien. Over- halden: Hunn, Veglo omg. Grong: Holandsøen, skovtrak- ten mellem Sandøldal og Namsen, Fjerdeng, Rørvik. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Røs- vik, Huseby omg. Bindalen: Hildringen 528 m o. h. samt Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 161 178 m o. trægr., Øksningen sydvestside, Terraak ; Tosenfjord Sydbergsli, Land. Brønø: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hellestad til Hegge nordlig skraaning rigelig, Hegge, Hummellien og overalt i egnen rigelig. Alstene: Søvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestside, Mosjøen fladen, Alfs- gaard sydvestli. 469. Hierochloa borealis Roem. & Sch. Snaasen: Agle til Bøgsæt. Lierne: Nordli Sandviken, Kveli. Aafjord: Kvengjerdet V/ 16/6 82. Overhalden: Veglo omg. syd- bakke ovenfor Barlien. Grong: Berg 312 m o. h., Berg til Brændmoen, Fiskum, Trondenæs, Tromselvdalen ‚254 m o.h., fjeldene nordenfor Gjeresvik 455 m o. h. Brong: Skaaren Høglien 122 m o. h. Velfjord: Saulus, Raakhattens fjelde 352 m o. h. samt 11 m nedenfor trægr. 470. Alopecurus geniculatus L. Støren: stationen omg. \/ 78/9 82, derfra til Hovind. Inderøen: Rødsæteren. Stod: Ryg. Lierne: Kveli. Bjugn: Bottengaard \/ 14/6 82. Aafjord: Melemgaardene (f. fluitans), Valsø (a og f. fluitans). Overhalden: Veglo omg. ækrene dominerende ugres. Grong: Berg, Brendmoen hjemmejorden, Næs ved Solem, Fjerdeng. Nærø: Klungervik til Storved, Sandnæs. Lekø: Huseby omg. 68 m 0. h. Bindalen: Øksningen 81 m o. h., Tosenfjord Land agrene rigelig. Brønø: Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Nøst- vik til Hegge \/ *6/: 80, Hellestad ækrene tæt bestand af «den. Vega: Rørø V *?/6 82 (a og f. fluitans). Alstene: Søvik. Vefsen: Moss Alfsgaard ækrenes dominerende vækst. 471. Phleum alpinum L. Lierne: Ulen vand Jule, Lenelimaen Deviken, Aune; Nordli Sandviken, Kveli, Skogen, Tunsjø til Limingen. Grong: Sandaldal Berg ce. 350 m 0. h., Brændmoen hjemmejorden, Trondenæs c. 144m o. h., Rør- vik hyppig overalt i egnens lavland ovenfor 405 m o. h. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, SB, ill 162 | J. M. Norman. 472. Phleum pratense L. Bindalen: Terraak i engen (saaet?). Brønø: Præstegaarden omg. fleresteds. Vel- fjord: Nøstvik. Sandsynligvis ofte forbg. 473. Agrostis vulgaris With. Støren: stationen omg. Snaasen: Sem. Overhalden: Hunn. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Bindalen: Hildringen, Øksningen; Tosen- fjord Sydbergsli, Land 71 m o.h. Brong: Præstegaarden omg. Velfjord: Saulus, Hegge fleresteds, Heggeøen. Denne og følgende i regelen forbg. 474. Agrostis alba L. Snaasen: Sem. Overhalden: Veglo omg., Leraadalen, paa Namsens bredder overalt. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Bindalen: Hildringen, Øksningen, Tosenfjord Land. Brønø: Sømnæs, Præste- gaarden omg. Velfjord: Saulus, Nøstvik omg., Hegge. 475. Calamagrostis phragmitoides Hartm. Stenkjer: Nedre Lø. Snaasen: Hammer til Langnæs, Sem omg., Vegsæt. Lierne: Aune, Kveli. Overh'alden: Barlien til Svallisæteren. Grong: Homo, Rørvik. Nærø: præstegaard- trakten. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Huseby omg., Hattelien. Brønø: Præstegaarden omg. Velfjord: Saulus 133 m o. h., Heggegen. Sandsynligvis, ligesom slægtens øvrige arter, i regelen forbg. 476. Calamagrostis stricta P. B. Aafjord: Valse (?). Overhalden: Veglo omg., Leraaen, Namsens oversvømmede bredder overalt. Bindalen: Terraak stranden, Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Præstegaarden omg. Velfjord: Saulus, Nøstvik omg. omkring et tjærn, Heggeøen. Vegø: Rørø til . Gladstad OA ?*/s 82. 477. Calamagrostis epigeios Roth. Snaasen: Lang- næs, Sem, Berg. Grong: Berg. Vikten: Rørvik omg. Lekø: Huseby omg. 478. Phragmites communis Trin. Beitstaden: Rognstad- vand. Bjugn: Kolkjønna. Grong: skovtrakten mellem Sandøl- dal og Namsen paa myr, Tromselvdal 241 m o. h. paa de store Om karplanternes udbredning i det nordentj. Norge. 262 myrstrækninger. Nærø: vandet ved Storved. Lekø: Huse- by udmark i Lillevandet 123 m o. h. Bindalen: Søren- skogen paa Velfjordeidet 28 m o. h. tætstaaende over en stor strækning af vandet, ved et andet tjærn længere inde paa eidet 62 m o. h. Velfjord: Saulusvand, Nøstvik omg. over en stor del af et tjærn. Vegø: et lille tjærn i udmar- ken mellem Glastad og Gulsvaag. 479. Milium effusum L. Stod: Hegge. Lierne: Ulen vand Jule 381 m o. h., Lenglingen Deviken 439 m o. h., Aune Høghougen 468 m o. h., Kveli. Bjugn: Bottengaard omg. 0 \/ 15/6 82. Namsos: Spillum Almlien. Overhal- den: Veglo omg. Nærø: Heland sydli 150 m o..h. Vik- ten: Garstad omg. Brønø: Tilrem sydli 148 m o. h. Vel- fjord: Raakhatten 108 m o. h., ikke sparsomt 145 m o. h., op til 347 m o. h. samt 6 m o. trægr. Vefsen: Dalstad- aasen fleresteds. 480. Aira cespitosa L. Støren: stationen omg. In- derøen: Vennaberg, 0 A *% 78. Stenkjær: Byhalden. Snaasen: Hroaldstenen, Sem, Lian ved Agle. Lierne: Lenglingen Deviken, Nordli Sandviken 0 A 3/7 81, Kveli. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Valdersund omg., Valsø øens vestside. Namsos: Klingen omg. Over- halden: Hunn 0 A */6 77, Veglo Leraaen, Namsens over- svømmede bred. Grong: Godejord, Fjerdeng, Trondenæs, Rørvik. Nærø: Sandnæs 0 A '% 82. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: . Hildringen rigelig, Oksningen sydvestside, Terraak V '7/: 80. Brønø: Skaaren Høglien 20 m o. h., Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge, Heggesen. Vegø: Rørø. Alstenø: Søvik. Vefsen: paa lerfeltet omkring Kubbestadsjø aldeles dominerende i bratte bakker. Negl. og tildels forbg.. 481. Aira alpina L. Bindalen:.Hildringen 361--574 mo. h. samt 224 m o. trægr. fjorsgamle straa med levende LES 164 J. M. Norman. propagula i blomsterstanden. Velfjord: Raakhattens fjelde 578 m o. h. samt 237 m o. trægr. 482. Aira flexuosa L. Snaasen: Sem ved Snaasenvand. Bjugn: Ervik omg. 0 A 1*/s 82, Bottengaard. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum til Almlien. Over- halden: Veglo, Snarlien, Barlien til Svallisæteren. Grong: Homo; Berg Å ‘!/: 81, rigelig 323 m o. h., Rørvik. Nærø: præstegaardtrakten, Sandnæs 0 Å "82. Vikten: Rørvik omg. østbakke, Garstad omg. Lekø: Huseby omg. houg østside. Bindalen: Hildringen 87 m o. h., Øksningen syd- vestside; Tosenfjord Sydbergsli V °'/ 80, Land. Brene: Skaaren Høglien, Sømnæs Kirkemarken, Hestø rigelig; Til- rem fladlandet, i sydli rigelig. Velfjord: Saulus, Hegge sydside 52 m o. h., Hummellien og hyppig i egnen. Vega: Rørø 0 A 22/6 82, Sundvold. Negl., strøgvis forbg. 483. Avena pubescens Huds. Levanger:Støp. Inder- sen: Vennaberg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg. 0 A 14/6 82, Bottengaard. Aafjord: Valdersund omg. hyp- pig, Valso. Nero: præstegaardtrakten, Sandnæs. Vikten: Aaviken. Lekø: Røsvik, Huseby til Skei og omg. 0 A 25/80. Bindalen: Øksningen lien 64 mo. h. Brønø: Sydkvalø Ydre-Kvalø, Skaaren Høglien 122 m o. h., Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem sydli 151 mo.h. Velfjord: Saulus, fladen ved Strengsvand, Nøstvik omg. 54 m o. h., Hegge hjemmejorden tildels den domi- nerende græsart i engene, Heggeøen. Vegø: Eidem Lou- plien 160—203 m o. h., Rørø til Gladstad, Vegdalen, Valle A AV “/6 82, Holand til Næs. Alsteng: Søvik kalkklip- perne og fladen ved søen. Vefsen: Dalstadaasens sydende ved Andaas. 484. Avena elatior L. Vikten: Garstad. Brone: Skaaren Høglien, Præstegaarden omg. fleresteds. Velfjord: Nøstvik omg. yderst rigelig og op til59 mo.h. Sandsynl. forbg. Om karplanternes udbreduing i det nordenfj. Norge. 165 485. Melica nutans L. Støren: stationen omg. Le- vanger: Støp. Inderøen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø V + 18/6 81, Byhalden 114 m o. h. Stod: Kvam, Hegge, Klovgaard tildels rigelig. Snaasen: Langnæs, Horjem, Stævra-aasen sydside og nordvestlig skraaning nedenfor aasen, Bergsaasen op for Nagthus og Berg, Omli. Lierne: Ulen vand Skaale + 1/: 81, Jule 392 m o. h., Aune Høg- hougen 468 m o. h.; Nordli Sandviken fleresteds, i Bergan 504 m o. h., Kveli 359 m o. h. Aafjord: Melemgaardene, Valdersund Hyldenæsset, Valsø. Namsos: Spillum Almlien 111 m o. h., Klingen omg. skovklædt sydbakke. Overhal- den: Hunn, Veglo sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Berg meget hyppig, Berg til Brændmoen, Tromselvdalen langt inde 254 mo. h. Nærø: Klungervik, Holand sydside 118 mo. h. Vikten: Rørvik omg., Drag, Garstad. Lekø: Huseby omg. østside, Hattelien 93 mo. h. Bindalen: Øksningen; To- senfjord Sydbergsli, Land, Land til Barstad olderklædt urd. Brene: Sydkvalø Lervik, Sømnæs Kirkemarken, Præstegaar- den omg. fleresteds, Tilrem sydli 44 m o. h. Velfjord: Saulus sydbakke 115 m o. h., Hellestad hyppig i egnen, Hegge 31 m o. h., Heggesen, Hummellien, Raakhattens fod og derfra op til 347 m o. h. samt 6 m o. tregr. Vega: Eidem Louplien 265 m o. h., Rørø, Sundvold urdet li 125 mo. h. Alstene: Thormodvoldaasen birkeli Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestlig birkeli, Dalstadaasen fleresteds, Alfsgaard lierne op til mindst 232 m o. h., lierne ved Bjørnaavand. 486. Briza media L. Cfr. 1. c.p. 245. 487. Poa annua L. Støren: stationeu omg. Inder- sen: Vennaberg, Sakshoug. Stenkjær: Nedre Lø, Byhal- den. Stod: Langhammer til Aune, Ryg og overalt i kanten af landeveien, Hegge. Snaasen: Horjem, Præstegaarden, Gravbrøt, Blomli sætervold 359 m o. h., den midtfjelds lig- gende fjeldgaard Græssamo rigelig i fæveiene nær gaarden. 166 J. M. Norman. Lierne: i kanten af skovveien mellem Ulen vand og Leng- lingen, Deviken, Aune; Nordli Sandviken, Kvelidalen i veien, nybygget Skogen hjemmejorden hele beder af den, Tunsjø. Hitteren: Havn. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik, Bottengaard. Aafjord: Valdersund fleresteds, Valsø. Over- halden: Veglo omg. fleresteds, Barlien til Svallisæteren aasen hist og her paa myr opvokset af fjorsgammel komøg, Svalliseteren. Grong: Godejord, Berg, nybygget Brænd- moen, en sætervold midt i skovtrakten mellem Brændmoen og Namsen, Trondenæs, Rørvik 405 m o. h. i veien. Nærø: Sandnæs. Vikten: Garstad. Bindalen: Terraak, Tosen- fjord Sydbergsli, Land. Brønø: Sømnes, Præstegaarden omg. fleresteds, Tilrem. Velfjord: Hellestad til Hegge. Vega: Rørø, myrlændt udmark mellem Gladstad og Gulsvaag opvok- sende af fjorsgammel komøg. Alstenø: Søvik. Vefsen: Øiengaardene. å 488. Poa alpina L. Støren: stationen AV 15/6 82. Stod: Ho. Snaasen: Vegsæt, Sem kalkklipper, Præstegaar- den, Krogsgaard, Agle til Bøgsæt, Omli, Blomli 359 m o. h., Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Aune; Nordli Sand- viken, Kveli 395 m o. h., sydenden af Limingen ovenfor 405 m o.h. Bjugn: Sæter AV 1°/682. Grong: Holandsøen, Berg 286 m o. h., Fjerdeng, Rørvik. Nero: Sandnæs. Vikten: Aaviken. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Brønø: Præstegaarden omg., Hestø, Tilrem. Velfjord: Bruvandet, Nøstvik, Hegge, Heggesen. Vega: Rørø AV °/ 82, Ho- land til Næs. Alstenø: Søvik. Vefsen: Mosjøen, Alfsgaard lien. Vel meget negl. | 489. Poa nemoralis L. Støren: stationen omg. Le- vanger: Lillemark. Inderøen: Vennaberg, Sakshoug omg. ved en skovbek. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden 0 /\ 16/581. Stod: Kvam. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Stævra-aasen sydli, Sem i olderkrat ved en bæk, Omli. Li- erne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken 448 m o. h., Om karplanternes udbredning i det nordenfj, Norge. 167 Aune Høghougen 468 mo. h.; Nordli Sandviken fleresteds, Ber- gan 405 m o. h., Kveli 389 m o. bh. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Nam- sos: Spillum Almlien. Overhalden: Hunn; Veglo Namsens oversvømmede bred i krat, sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Berg. Nærø: Holand sydli 118 mo. bh. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Bindalen: Øksningen sydvestside A \/ 20/1 80, Tosenfjord Land. Brønø: Skaaren Høglien 132 mo. h., Sømnæs Kirkemarken 55 m o. h., Tilrem sydli 44 m o. h. Velfjord: Saulus 132 mo.h., Hegge, Heggeøen, Hummellien, Raakhattens fod 108 mo. h. Vefsen: Kubbestadsjgaasen vestside, Dalstadaasen. — Negl, forbg. 490. Poa trivialis L.*) Inderøen: Rødsæteren ækre. Ørlandet: Beian Bjugn: Ervik omg., Bottengaard til Møl- lergaard. Namsos: Klingen ækre. Overhalden: Veglo omg. Brønø: Sømnæs hjemmejorden, Hestø, Tilrem. Vegø: udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag sammen med Poa annua opvokset af komøg. Maaske oftere forbg. 491. Poa cæsia Sm. Bindalen: Sydbergsli. Brene: Sømnæs Kirkemarken 75 mo. h. Velfjord: Raakhattens fod 291 m o. h. Vegø: Eidem Louplien. 492. Poa pratensis L. Levanger: Lillemark. Inder- sen: Vennaberg 00 A * 79. Snaasen: Sem, Præstegaar- den, Omli. Lenglingen: Deviken, Aune, Nordli Sandviken, Kveli. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spil- lum til Almlien. Overhalden: Veglo. Grong: Godejord, Berg, Brændmoen hjemmejorden, Rørvik. Nærø: præstegaard- trakten. Vikten: Garstad. Bindalen: Øksningen, To- senfjord Land. Brønø: Sydkvale Ydre-Kvalø, Somnzs hjemmejorden, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. til- dels væsentlig bestanddel af engene, Hestø paa fugletue, *) I ,,Notationes summatim concept&“ 1. c, p. 510 er bemærkningerne om denne plante urigtigen opførte under Poa serotina, hvilket hermed berigtiges. 168 J. M. Norman. Tilrem. Velfjord: Saulus 136 m o. h,, Nøstvik, Hegge, Heggeøen, Hummellien engens dominerende gres. Vege: Rere AA\Y 7/6 82, Holand til Næs, Sundvold. — Strøgvis forbg., negl. 493. Poa compressa L. Indergen: Sakshoug, 63° 92—53' n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrendse. Snaasen: Hammer til Langræs (? juvenilis). 494. Glyceria fluitans R. Br. Støren: stationen omg. Indersen: Sakshoug omg. Snaasen: Sem omg. Ler- bækken, Agle til Bøgsæt. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Klingen omg. Over- halden: Kvatning, Hunn, Veglo omg. meget hyppig, 64° 28—29, i de subkontinentale egne artens hidtil kjendte nord- grændse. Grong: Præstegaarden, Homo. Nærø: Klunger- vik til Storved. Vikten: Garstad omg. i veigrøvterne, 64° 52—53' n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrændse. Cfr. bemærkningen p. 147 under Scirpus lacustris. 495. Glyceria maritima Wg. Levanger: Eidsbotten. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Nærø: Lervik, Sandnæs. Vikten: Evenstad, Garstad. Bindalen: Øksningen, Ter- raak rigelig nedenfor øverste tangstreng. Brønø: Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Hestø. Velfjord: Nøstvik, Hegge. Vegø: Rørø, Holand til Næs. 496. ' Catabrosa aqvatica P. B. Levanger: Alfstadhoug. Ørlandet: Beian. Lekø: Røsvik. Brønø: Sømnæs, Præste- gaarden omg., Tilrem. Vefsen: Alfsgaard aasen nær sæte- ren 314 m o. h. | 497. — Molinia cærulea Moench. Snaasen: myrmarken i nordvest for Stævra-aasen, Sem omg, Omli. Lierne: Aune. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valdersund omg, Valsø gens vestside. Overhalden: Veglo omg. fleresteds, ogsaa paa aasen mellem Barlien og Svallisæteren. Grong: Næsberget og øvrige skovtrakt mellem Sandøldal og Namsen tildels rigelig, Tromselvdalen hyppig og rigelig til inderst Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 169 inde i dalen 398 m o. h., Rørvik østside 495 m o. h. Nerg: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik, Stangring indtil 60 em høi, Garstad omg. rigelig overalt paa myrene. Lekø: Huseby omg.57mo. h. Bindalen: Hildringen hyppig og strøgvis dominerende opad fjeldets myrlændte østside til 461 m o. h. samt 111 m o. trægr., paa mere sydlig side op til 495 m o. h. samt 151 m o. trægr.; Terraak hyppig; Tosen- fjord Sydbergsli, Land til Barstad 62 m o. h. rigelig, Søren- skogen. Brønø: Sømnæs Kirkemarken, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus 31 m o. h., Hellestad tll Hegge 54 m o. h., Raakhattens høiere regioner fra trægr. 341 m o. h. til 435 m o. bh. samt 94 m o. trægr. Vegø: Eidem Louplien 320 m o. h. ved foden af berghammere, Rørø til Gladstad lavlandet. 498. Dactylis glomerata L. Støren: stationen til Ho- vind paa selve jernbanevolden. Levanger: Støp. Inder- øen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Korsen sydbakke, Langhammer til Aune, Ho, Kvam, Ryg, Kløvgaard. Snaasen: Langnæs, foden af Horjemfjeldene, . Sem vestlig skraaning, Præstegaarden sydvestbakke, Berg houg. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian hougene ved søen, Rønholmen. Aafjord: Melem, Valsø. Over- halden: Veglo Namsens bred elvekrattene, bakkerne oven- for Barlien. Grong: Vie til Hougum, Holandsøen. Nærø: præstegaardtrakten. Vikten: Rørvik østbakke. Leke: Huseby til Skei, udmarken heiene sydside 105 m o. h. Bin- dalen: Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Sydkvalø Ydre- Kvalø, Lervik; Skaaren Høglien fra lidet over h. n. op til 186 m o. h, Torgø Nordhusland, Prestegaarden omg. i flad- landets enge meget rigelig; Tilrem sydli 44—162 m o. h. rigelig, 140 m o. h. flækkevis dominerende. . Velfjord: Hellestad til Hegge hyppig i trakten, Hegge i bjemmejordens enge rigelig, delvis dominerende, Raakhattens fod. 499. Festuca ovina L. Støren: stationen omg. Inder- 170 J. M. Norman. sen: Rodsæteren. Lierne: mellem Lenglingen og Holden vand. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. (ogsaa v. vivipara). Aafjord: Melemgaardene (v. vivip.). Over- halden: Hunn omg. Grong: Berg; Rørvik fleresteds, aasen østside 495 mo. h. Nærø: præstegaardstrakten. Vikten: Rørvik omg. og Garstad (v. vivip, Bindalen: Øksningen sydvestli 81 m o. h. (a & v. vivip.), Tosenfjord Land 71—107 mo. h. (æ & v. vipip.. Brans: Præste- gaarden omg. (a & v. vipip.), Hestø, Tilrem.” Velfjord: - Saulus (a & v. vivip.), Strengsvand, Hellestad, Hegge, Raak- hattens fjelde op til mindst 578 m o. h. samt 237 m o. trægr. Vegø: Rørø, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag, Holand til Næs. Alstenø: Søvik fladen, kalkhougene (v. vivip.). Strøgvis forbg., negl. 500. Festuca rubra L. (inel. var. duriuseula og var. dumetorum). Inderøen: Rødsæteren. Snaasen: Grav- brøt til Agle. Lierne: Ulen vand Skaale, Kveli. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian strandens næst øverste vege- tationsbelte sammen med Melandrium og Trifolium repens. Bjugn: Ervik omg. Aafjord: Valdersund omg. fleresteds, . Valsø. Overhalden: Hunn, Vegloomg. Grong: Berg, skov- trakten mellem Sandøldal og Namsen. Nærø: præstegaardtrak- ten, Sandnæs. Vikten: Garstad omg. Bindalen: Øks- ningen, Terraak; Tosenfjord Sydbergsli + °/ 80, Land op til 101 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien 76 m o. h., Søm- næs, Præstegaarden omg. hyppig, Tilrem. Velfjord: Saulus, Nøstvik, Hegge. Vega: Rors, Sundvold. — Strøgvis forbg. negl. 501. Festuca elatior L. Inderøen: Vennaberg. Brønø: Præstegaarden omg. rigelig i engene. Velfjord: Nøstvik. Sandsynl. forbg. 502. Triticum caninum L. Støren: stationen omg. Overhalden: Veglo omg. i krat paa Namsens bred, sam- men med Tr. repens, indtil 214 cm hei. Vikten: Garstad Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 171 omg. sydlig urdskraaning rigelig. Velfjord: Hummellien. — Sandsynl. oftere forbg. 503. Triticum repens L. Støren: stationen omg. ukrud i agrene. Snaasen: Sem ukrud i haven. Ørlandet: Beian fjæren. Bjugn: Ervik fjæren. Aafjord: Valdersund omg., Valsø øens vestside fjæren. Overhalden: Veglo omg. paa Namsens bred i elvekrattene med affaldende frugter 1?/s, medens aksene -hos Tr. caninum endnu var grønne. Vik- ten: Ofstad i kanten af havreager, Garstad paa urd. Brønø: Sømnæs Høiviken og fleresteds rigelig i fjæren, Sømnæsøen, Torgø Nordhusland fjæren langs tangstrengene, Præstegaar- den omg., Tilrem fjæren. 504. Lolium linicolum A. Br. Nærø: præstegaard- trakten, ialfald i 1852. 505. Elymus arenarius L. Levanger: Støp. Ørlan- det: Beian i fjærens 3die vegetationsbelte, nedenfra regnet, og som ikke oversvømmes ved *sædvanlig flod. Bjugn: Ervik. Aafjord: Valdersund omg., Valsø gens vestside. Vikten: Garstad. Lekø: Huseby. Brønø: Sømnæs, Præ- stegaarden omg., Hestø. Vega: Sundvold paa sens vestside. 505. Nardus stricta L. Inderøen: høiderne ovenfor Sakshoug. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Langhammer til Aune, Hegge. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, vestlig skraaning nedenfor Stævra-aasen, Sandnæs, Nagthus, Grav- brøt, Lian og omg. mangesteds rigelig, Græssamo og fjeld- marken derfra til Holden vand hyppig, omkring 559 m o. h. beklædende store flader. Lierne: Aune hist og her, omkring 428 m o. h. rigelig ; Nordli Sandviken i Lian omkring 619 m o. h. flækkevis tæt beklædende marken, Kveli, Tunsjø til Limingen 562 m o. h. store flækker exklusivt beklædte af den, sydenden af Limingen. Bjugn: Ervik heiene, Bottengaard. Aafjord: Melemgaardene rigelis, Valsø fleresteds tildels rige- lig. Overhalden: Veglo omg. træbar sydbakke, Barlien til Svallisæteren hyppig. Grong: Homo, skovtrakten mellem 172 J. M. Norman. Sandeldal og Namsen, Trondenæs hel eng af den, Rørvik østli 495 m o. h., 502 m o. h. næsten exklusivt dækkende hele Hader. Nærø: Sandnæs. Vikten: Garstad omg. Lekø: Lillevand til Britdalen 111 m o. h., Britdalen 177 mo. h- beklædende store flader i birkeskoven. Bindalen: Hildrin- gen ved trægr. 350 m o. h. rigelig, ligesaa 411 m o. h. samt 61 m o. trægr.; i dalen indenfor Terraak, Tosenfjord Land 107 mo.h. Brønø: Sømnæs. Velfjord: Hellestad til Hegge, Bergvik; Raakhattens fjelde 358 m o. h., rigelig 430 mo. h. samt 89 m o. trægr. Vegø: Eidem Louplien 120 mo.h. \/ °°/ 82, Rørø. EQVISETACEA. 507. Egvisetum arvense L. Støren: stationen omg. Levanger: Støp. Inderøen: Sakshoug, Rødsæteren. Stod: Langhammer til Aune, Ho, Ryg rigelig, Kvam, Kløv- gaard. Snaasen: Vegsæt, Horjem, Sem, Omli. Lierne: Ulen vand Skaale, Aune; Nordli Sandviken, Kveli 404 mo. h., Skogen. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Namsos: Spillum. Overhalden: Veglo omg. fleresteds, Snarlien. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Garstad. Leke: Rørvik, Huseby omg. Bindalen: Terraak. Brønø: Søm- næs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg. Velfjord: Saulus til Strengsvand, Nøstvik, Hegge sydside 31 mo. h. rigelig, Heggeøen. Vegø: Rørø fleresteds, ogsaa i ækre. Alsteng: Søvik. Vefsen: Mosjøen. Negl. 508. Egvisetum pratense Ehr. Levanger: Støp. Sten- kjær: Nedre Lø. Stod: Langhammer til Aune, Ryg flække- vis dominerende, Kvam, Klovgaard. Snaasen: Hammer til Langnæs rigelig, Horjem yderst rigelig, Sem og Præstegaar- den ved Svarva elv rigelig, Sandnæs, Nagthus og synes at være slægtens hyppigste art i egnen, Agle til Bøgsæt, Grav- brøt, Omli, Blomli 359 m o. h. Lierne: Aune. Hitteren: Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 173 Havn omg. Namsos: Spillum. Vikten: Garstad omg. Lekø: Huseby til Skei. Bindalen: Tosenfjord Land, Land til Barstad 101 m o. h. Velfjord: Saulus. Vegø: Viken til Roa. Alstene: «Søvik. Vefsen: Dalstadaasen, Øien- gaardene meget rigelig, Alfsgaard rigelig. Antagelig tildels forbg. 509. Egvisetum sylvaticum L. Støren: stationen omg. Stod: Ryg, Hegge. Snaasen: Sem, i granskoven nær Ler- bækken hel ager af den, Sandnæs tæt som en ager, norden- for Nagthus, Agle til Bøgsæt, Gravbrøt. Lierne: Ulen vand Skaale, Jule 381 m o. h., Lenglingen Deviken fleresteds, Aune; Nordli Sandviken, Kveli, sydenden af Limingen ovenfor 405 mo. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg, Bottengaard. Overhalden: Veglo omg. nordvestbakke. Grong: Homo, skovtrakten mellem Sandgldal og Namsen, Fjerdeng, Rørvik. N ergs: Lervik. Vikten: Garstad omg. Lekø: Huseby omg. Bindalen: Hildringen, Terraak, Tosenfjord Land til Barstad 101 m o.h. Brong: Skaa- ren Høglien 99 m o. h., Sømnæs Kirkemarken. Velfjord: Nøstvik omg., Hegge houg sydside 31 m o. h. gigantisk. Vegø: Rørø. Alstenø: Søvik. Vefsen: Dalstadaasens sydende. | 510. Egvisetum palustre L. Levanger: Krogstad til Alfsnæs. Inderøen: Sakshoug omg. Snaasen: Horjem fladen, Sandnæs, Agle til Bøgsæt i en lille skovdal. Lierne: Ulen vand Jule, Lenglingen Deviken, Kveli dalbunden. Namsos: Klingen omg. Grong: Solemmoen, Fjerdeng. Nero: Sandnæs. Lekø: Huseby omg. fleresteds. Bin- dalen: Terraak. Brønø: Sømnæs Troldskaret 36 m o. h., Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Saulus, Hegge, Heggeøen. Vegø: Rørø rigelig, ligesaa Rørø til Gladstad. Alstenø: Søvik. Vefsen: Dalstad. 511. Egvisetum fluviatile L. Holtaalen: Tyvold ‚omg. 542 mo.h. Inderøen: Sakshoug omg. Stod: 174 J. M. Norman. Hegge. Snaasen: Horjem til Sem, Sem. Lierne: Aune til Laksjeen. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Bottengaard omg. fleresteds. Namsos: Klingen omg. Overhalden: Veglo omg. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. flere- steds, ogsaa i tjærn., Garstad omg. myr. Lekø: Nordfjeld- kjøn. Bindalen: Terraak, Tosenfjord Land. Brønø: Til- rem. Velfjord: Saulus, Strengsvand udbredt over store strækninger af vandet tæt som en ager, og besværlig at ro gjennem, Hegge, tjærn nedenfor Hummellien. Vegø: Rørø. Vefsen: Alfsgaard. ISOETEA. 512. Isoétes lacustris (L.) Durieu. Ofr. I. c. p. 245. LYCOPODIACEA. 513. Lycopodium Selago L. Snaasen: Blomli 359 m o.h. Lierne: Nordli Sandviken i Lian 613 m o. h, Tunsjø til Limingen 562 mo. h. Grong: skovtrakten mel- lem Sandøldal og Namsen fleresteds, fjeldene nordenfor Gje- resvik 626 m o. h., Rørvik østside 498 m o. h., rigelig 569 m o. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. myr. Nero: Sandnæs myrlændt mark nær h.n. Vikten: Rør- vik omg. omkring 23 m o, h. hyppig paa myrene, heiene 54—62 mo. h., Garstad omg. myr. Lekø: Røsvik og Hu- seby omg. nær h. n. Bindalen: Hildringen hyppig i regi- onen 372—506 m o. h. samt 156 m o. trægr. Brene: Sømnæs omg. 25 m o. h. myr. Velfjord: aasplateauet ovenfor Hummellien, Raakhattens fjelde 578 m o. h. samt 237 m o. trægr. Vegø: Eidem Louplien 369 m o.h., Viken til Roa, udmarken mellem Gladstad og Gulsvaag og hyppig overalt paa lavlandets myre. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Mosjøen nedenfor Øienfjeld, Bjørnaavand. / Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 175 514. Lycopodium annotinum L. Støren: stationen omg. Holtaalen: Tyvold til Vondgraven 611 m o. h., Tyvold til Muggruven 787 m o. h. Indersen: ovenfor Sakshoug. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Hegge. Snaasen: Stevra- aasen nordvestside, Nagthus, Lian ved Agle, Gravbrøt gran- klædt nordside temmelig rigelig, Græssamo. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune, Nordli Såndviken. Bjugn: Ervik heiene, lierne ved vandet indenfor Botten- gaard rigelig. Namsos: Spillum til Almlien, Almlien 124 m o. h. rigelig, Klingen omg. Overhalden: Hunn, Veglo omg. Grong: Berg 312 m o. h., nær Brændmoen, fjeldene nordenfor Gjeresvik 564 m o. h., Rørvik aasen 520 mo. h. Nærø: Holand. Lekø: Røsvik 56 m o. h., Huseby omg. 65m o.h. Bindalen: Øksningen sydvestside, Terraak, To- senfjord Sydbergsli. Brene: Sømnæs Kirkemarken 75 m o. h. Velfjord: Saulus sydbakke 131 m o. h., Hummel- lien, Raakhattens fjelde 466 m o. h. samt 125 m o. trægr. Vege: Eidem Louplien 286 m o. h, Sundvold 12 m o. h. Alstenø: Søvik sandterrænet nær søen. Vefsen: toppen af Kubbestadsjøaasen, Dalstadaasen kollen op for Præstegaarden, lierne ved Bjørnaavand. 515. Lycopodium alpinum L. Snaasen: Blomli til Græssamo 629 m o. h., Græssamo til Holden vand omkring 446 mo. h. Grong: Rørvik aasen 603 m o. h., fjeldene nordenfor Gjeresvik 504—626 m o. h. Bindalen: Hildrin- gen 372—559 m o. h. samt 140 m o. trægr. Velfjord: Raakhattens fjelde 481 m o. h. samt 140 m o. trægr. 516. Lycopodium complanatum L. Lierne: Lenglingen Aspenæs 408 m o. h. Lekø: Britdalen 177 m o. h. 517. Lycopodium clavatum L Snaasen: Agle til Bøgsæt, Blomli til Græssamo 397 m o. h., Græssamo. Li-. erne: Aune 380 m o.h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Bottengaard. Overhalden: aasen mellem Barlien og Svalli- sæteren. Grong: skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen, 176 J. M. Norman. inderst i Tromselvdal 398 m o.h. Nærø: Klungervik, Ho- land. Vikten: Rørvik omg.44m o.h. Lekø: Huseby omg. Bindalen: Hildringen østside 160 m o. h. og op til 284 mo.h. Velfjord: Hummellien. Vege: Rørø. Vefsen: Mosjøen nedenfor Øienfjeld. | 518. Selaginella spinulosa Al. Br. Snaasen: nord- vestlig skraaning nedenfor Stævra-aasen, vestlig skraaning nær kirken, Lian ved Agle. Bjugn: Ervik omg. heiene, Dynviken. Grong: Rørvik aasen 547 mo. h. Vikten: Rørvik omg. Lekø: Huseby omg. Brønø: Sømnæs, Præ- stegaarden omg. fleresteds. Velfjord: Saulus, Nøstvik omg. Vegø: Rørø. Vefsen: Mosjøen ved foden af Øienfjeld, hougene ved Andaas. Sandsynligvis oftere forbg. OPHIOGLOSSEÆ. 519. Botrychium Lunaria Sw. Inderøen: Sakshoug omg. Lierne: Kveli. Bjugn: Dynviken. Aafjord: Me- lemgaardene, Valsø. Grong: Godejord 196 m o. h., Berg 286—330 m o.h. og fleresteds. Velfjord: Heggeøen. Vegø: Holand til Næs. Vefsen: sydbakke søndenfor Øiengaardene. Sandsynligvis forbg. POLYPODIACEA. 520. Polypodium vulgare L. Indersen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden 115 m o.h. Snaasen: Hammer til Langnæs, foden af Horjemfjeldene, Omli 177 m o. h. Lierne: Lenglingen Aspenæs 421 m o. h., Skogen. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian hougene ved søen. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Val- dersund omg., Valsø. Nærø: Klungervik. Vikten: Rørvik østbakke og ikke sjelden i trakten, Stangring, Garstad flere- steds tildels rigelig, ogsaa paa ganske smaastenet urd. Lekø: Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 177 Røsvik, Huseby omg. hei sydside. Bindalen: Øksningen, Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Sydkvalø rigelig, Skaaren Høglien 106 m o. h., Sømnæs Høiviken, Præstegaarden omg., Tilrem 53—75 mo. h. Velfjord: Saulus sydside 110 m — o. h., Hegge 52 m o. h., Heggeøen, Raakhattens fod 123 mo. h. Vegø: Eidem Louplien 34 m o. h. 521. Polypodinm Phegopteris L. Støren: stationen omg. Inderøen: Sakshoug. Stenkjær: Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Kløvgaard. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Lerbækken, Sem, Sandnæs, Agle Lian, Gravbrøt granklædt nordside. Lierne: Ulen vand Skaale, Lenglingen Deviken, Aune fleresteds; Nordli Sandviken, Kveli 359 mo. h. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Valdersund omg., Valsø øens vestside. Namsos: Spillum til Almlien. Overhalden: Veglo omg. ovenfor Barlien. .Grong: Berg, skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen, Fiskum. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. Lekø: Røsvik, Huseby omg. Bindalen: Hildringen 317—574 m o. h. samt 224 m 0. tregr., Øksningen, Terraak; Tosenfjord Sydbergsli, Land 59 mo. hh. Brong: Skaaren Høglien, Sømnæs, Torgø Nord- husland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Hegge, Heggeøen. Alsteng: Thormodvoldaasen. Vefsen: Kubbe- stadsjøaasen vestside, Dalstadaasen, Alfsgaard. Maaske lidt negl. 522. Polypodium Dryopteris L. Støren: stationen omg. Levanger: Støp. Inderøen: Sakshoug omg. ved bæk- ken. Stenkjær: Nedre Lø. Stod: Langhammer til Aune, Hegge. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Sem omg. vestlig skraaning, Stævra-aasen nordvestside rigelig, Nagthus, Gravbrøt fleresteds, granklædt nordside temmelig rigelig, Omli, Græssamo. Lierne: .Ulen vand Skaale; Lenglingen Deviken, i skoven nær vandets bred bestand over større strækning, Aspenæs østlig skraaning bestand i grauskoven Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. SB. 12 178 J. M. Norman. Aune granskoven rigelig; Nordli Sandviken, Kvelidalen, syd- enden af Limingen. Hitteren: Havnomg. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum til Almlien, Klingen omg. Overhalden: Hunn, Veglo omg. sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Berg 354 m o. h, skovtrakten mellem Sandøldal og Namsen, Tronde- nes, Rørvik. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg., Gar- stad omg. fleresteds storvoksen. Lekø: Huseby omg. Bin- dalen: Hildringen 87 m o. h., Tosenfjord Land til Barstad 82 mo. h. Brønø: Skaaren Høglien 20—127 m o. h., Torgø Nordhusland, Tilrem sydli. Velfjord: Saulus sydbakke 67 mo. h., Hegge, Heggeøen, Raakhattens fjelde 481—550 m o. h. samt 219 m o. trægr. Vegø: Rørø houg nordside. Alstenø: Thormodvoldaasen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestside og nordvestside næsten i bestand, Mosjøen, Alfs- gaard. 523. Polypodium Robertianum Hoffm. Stod: Klevgaard flækkevis rigelig, tildels dominerende. Snaasen: Bergsaasen op til 123 m o. h., Agle til Bøgsæt 162 m o. h., Omli. Grong: Berg 291—301 m o. h. ikke sparsomt. Suppl. l. e. p. 245. 524. Polypodium alpestre Spenn. Bindalen: Hildrin- gen østside 240 m o. h., 317 m o. h. hele bestande, op til 559 m o. h. samt 209 m o. trægr., paa mere sydlig side 406 m o. h. store bestande. Velfjord: Raakhattens fjelde 498 m o. h. samt 175 m o. trægr. Vega: Eidem Louplien 286. m o. h. 525. Woodsia ilvensis R. Br. Støren: stationen omg. Inderøen: Vennaberg. Beitstaden: Østvik. Stenkjer: Nedre Lø. Stod: Kvam, Hegge hyppig i egnen. Snaasen: Agle til Gravbrøt. Lierne: Aune Høghougen 468 m o. h. Bjugn: vandet indenfor Bottengaard. Aafjord: Valdersund omg. Overhalden: Hunn omg., Veglo omg. Grong: Berg. Bindalen: Øksningen. Brønø: Tilrem sydli 44 m o. h. Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 179 Velfjord: Saulus 131 m o. h., Nestvik. Alsteng: Thor- modvoldaasen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen, Dalstadaasen. 526. Woodsia hyperborea R. Br. Støren: Lundemo omg. Holtaalen: Vondgraven 600 m o. h. Stod: Kvam. Snaasen: Vegsæt, foden af Horjemfjeldene, Nagthus, Omli. Lierne: Nordli Sandviken, Bergan 504 m o. h. Grong: Berg 301 mo. h. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli 24 m o. h. 527. Aspidium Lonchitis Sw. Stod: Langhammer til Aune. Snaasen: Stævra-aasen sydvestside, Gravbrøt til Agle 162 m o. h. Grong: Berg 371 m o. h., Rørvik aasen 547—612 m o. h. i sydligt held. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli 14 m o. h., Land til Barstad 101 m o. h. Brøng: Tilrem sydli 158 m o. h. Velfjord: Heggeøen. Vefsen: " Dalstadaasen op for Præstegaarden. 528. Aspidium angulare Kit. Stenkjær: Byhalden sparsomt. Brønø: Skaaren Høglien 106 m o. h, c. 65° 13° n br. Velfjord: Hummellien ikke ganske sparsomt, c. 65° 26° n. br., artens hidtil kjendte yderste nordgrændse. 529. Polystichum Filix mas Roth. Støren: stationen omg., Lundemo omg. Stenkjær: Byhalden. Snaasen: foden af Horjemfjeldene, Omli. Lierne: Aune Høghougen 468 m o. h., Kveli 427 m o.h. Hitteren: Havn omg. Ørlandet: Beian hougene ved seen. Bjugn: Ervik omg, Sæter. Aafjord: Valdersund, Valsø. Namsos: Spillum Almlien 111 m o.h. næsten sluttet bestand. Grong: Berg, Aasve til Aasmulen. Nærø: Holand sydside 166 m o. h. Vikten: Rørvik omg. østbakke, sydside og fleresteds, Gar- - stad. Lekø: Huseby omg. østside. Bindalen: Øksningen 81 m o. h., Tosenfjord Sydbergsli 14 mo. h. Brønø: Skaaren Høglien 84 m o. h., Tilrem sydli. Velfjord: Saulus'sydbakke 115 m o. h., Hegge sydside 31 m o. h., Heggeøen, Hummel- lien indtil 141 cm hei, Raakhattens fod 108 m o. h. Vega: Eidem lavlandet. Vefsen: Dalstadaasen fleresteds. 1128 180 J. M. Norman. 530. Polystichum spinulosum D.C. Stod: Hegge. Snaasen: Sem vestlig skraaning, Gravbrøt granklædt nord- side over store strækninger rigelig og temmelig tætstaaende uden dog at danne bestand, Græssamo. Lierne: Ulen vand Jule, Lenglingen Deviken; Nordli Sandviken, Kveli. Hit- teren: Havn omg. Ørlandet: Beian hougene nordvestside. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Valse. Namsos: Spillum til Almlien, Almlien 124 m o. h. rigelig og storvoksen, Klingen omg. granklædt nordside. Overhal- den: skovtrakten Barlien til Svallisæteren. Grong: Aasve til Aasmulen, Rørvik. Nærø: Sandnæs. Vikten: Rørvik omg. fleresteds, kratbevokset nordside 62 m o. h. rigelig; Garstad omg. nordside vakkert voksen. Leks: Røsvik. Bindalen: Hildringen 65—317 m o. h., Tosenfjord Land til Barstad 72 mo. h. Brønø: Sømnæs. Velfjord: Raakhat- tens fod 45 m o. h. storvoksen. Vegø: Rørø fladen i ly af klipper. Vefsen:iKubbestadsjøaasen nordvestside. 531. Cystopteris fragilis Bernb. Støren: stationen omg. Levanger: Støp, Eidsbotten. Inderøen: Vennaberg. Stenkjær: Nedre Lø, Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Kløvgaard, Hegge. Snaasen: foden af Hor- jemfjeldene, nordvestbakke nær Præstegaarden, Berg houg, Omli 177 mo. h. Lierne: Lenglingen Deviken, Aune Høg- hougen 468 m o. h.; Nordli Sandviken fleresteds, Bergan 405 m o. h., Kveli 389 m o. h. Hitteren: Havn omg. Bjugn: Ervik omg. heiene, Bottengaard. Aafjord: Melem- gaardene, Valdersund Hyldenæsset. Namsos: Spillum Alm- lien 116 m o. h. Grong: Berg. Nærø: Klungervik. Vikten: Rørvik østside og fleresteds, ogsaa 75 m o. h. Lekø: Huseby omg. houg sydside. Bindalen: Hildringen 361 m o. h. samt 11 m o. tregr., Tosenfjord Land til Bar- stad 82 mo. h. Brong: Skaaren Høglien, Sømnæs Kirke- marken, Præstegaarden omg., Tilrem sydli. Velfjord: Hel- lestad til Hegge, Hegge berghoug sydside 36 m o. h., Hegge- Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 181 gen, Hummellien, Raakhattens fjelde 619 m o. h. samt 278 m o. trægr. i en fordybning i plateauet. Vegø: Eidem Lou- plien 59 m o. h., Holand til Nes. Alstenø: Thormodvold- aasen. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestside, Dalstadaasen fleresteds og nær Andaas rigelig, Alfsgaard lien storvoksen. 532. Asplenium Filix foemina Bernh. Støren: statio- nen omg. Indergen: Vennaberg, Hamsaashoug. Sten- kjær: Nedre Lø. Stod: Kvam, Hegge. Snaasen: Hroald- stenen, foden af Horjemfjeldene, Sem, Sandnæs (løvet under udfoldningen snertet af nattefrost sortbrunt 1% 79), Omli. Lierne: Ulen vand Jule, Lenglingen Deviken, Aune 380 m o. h.; Nordli Sandviken, Kveli 359 m o.h. Hitteren: Havn omg. Beian: hougene ved seen. Bjugn: Ervik omg., Bottengaard. Aafjord: Valdersund omg., Valsø. Namsos: Spillum til Almlien, Klingen omg. Overhal- den: Hunn, Veglo omg. Grong: Berg, skovtrakten mellem Sandøldal og Naiusen, Rørvik op til 541 mo. h. Vikten: Rørvik omg., Garstad omg. tildels storvoksen. Lekg: Røs- vik, Huseby til Skei næsten i bestand under nordhammere. Bindalen: Øksningen sydvestside 32 m o. h., Terraak; Tosenfjord Sydbergsli 24 m o. h., Land til Barstad 82 m o. h. Brønø: Skaaren Høglien 106 mo. h., Sømnæs, Torgø Nordhusland, Præstegaarden omg., Tilrem. Velfjord: Sau- lus sydbakke, Nøstvik. Vefsen: Kubbestadsjøaasen vestli, Dalstadaasens sydlige ende, lierne ved Bjørnaavand. 533. Asplenium Trichomanes L. Støren: Lundemo omg. Inderøen: Vennaberg. Stod: Langhammer til Aune, nær Forfang, Kvam. Snaasen: Langnæs, kalkbakkerne ovenfor Sem, Bergsaasen, Gravbrøt til Agle 120 m o. h. Hitteren: Havn omg. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli 24 mo.h. Brønø: Præstegaarden omg. Velfjord: Heggeøen. Vegø: Eidem Louplien 59—124 m o. h. 534. Asplenium viride Huds. Støren: stationen omg. Stod: Kvam. Snaasen: nordvestlig skraaning nedenfor 182 J. M. Norman. _ Stevra-aasen. Bindalen: Tosenfjord Sydbergsli. Brønø: Præstegaarden omg. Velfjord: Hegge houg sydside 36 m o. h., Heggeøen, Bergvik. Alsteng: Thormodvoldaasen. Vefsen: Dalstadaasen, Andaas stærk forvitrende kalk- klipper. 535. Asplenium Ruta muraria L. Stod: nær Forfang. Snaasen: kalkklipper ovenfor Sem. Suppl. 1. ce. p. 245. 536. Asplenium septentrionale Hoffm. Støren: statio- nen omg. Levanger: Støp. Snaasen: Langnæs. Aafjord: Melemgaardene omg. fleresteds, Valdersund. 537. Blechnum Spicant Sm. Snaasen: Hammer til Langnæs enkeltvis, Gravbrøt til Blomli 260 m o. h., Blomli 359 m o. h., Blomli til Græssamo 397—585 m o. h. samt 113 m o. trægr. Lierne: Nordli Lian 619 mo. h. Hit- teren: Havn omg. en af de mest dominerende bregner. Bjugn: ved vandet indenfor Bottengaard. Aafjord: Valsø kun i randen af myr, hvor den støder til perpendikulær klip- pevæg. Namsos: Spillum Almlien 124 m o. h., Klingen omg. granklædt flade og nordside. Overhalden: aasen mel- lem Barlien og Svallisæteren fleresteds og rigelig. Grong: Berg til Brændmoen rigelig og i den øvrige skovtrakt mel- lem Brændmoen og Namsen, Tromselvdalen langt inde 276 m o.h., fjeldene nordenfor Gjeresvik 445—529 m o. h., netop i berøringslinien mellem myr og tilstødende berg, Rørvik aasen østside 464 m o. h. paa samme slags lokalitet, op til 502 m o. h. Nærø: Sandnæs, Holand hyppig og flækkevis rigelig. Vikten: Rørvik omg. flækkevis rigelig paa skraa- ningerne, op til 68 m o. h. høivoksen og vakkert udviklet; Aaviken til Stenfjord. Lekø: Røsvik, Lillevand til Britdalen 114 mo. h., Britdalen 120—205 m o. h. rigelig. Binda- len: Hildringen østside 21—250 m o. h. rigelig og op til 344 m o. h., paa mere sydlig side endnu 306 m o. h. rigelig og op til 461 m o. h. samt 117m o. trægr.; Tosenfjord Land 71 m o. h. og rigeligere 117 m o. h., indenfor Sørenskogen Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge, 183 62 mo. h. Brønø: Sømnæs hjemmejorden ved h.n., Trold- skaret 48 m o. h. Velfjord: Hummellien, Raakhattens fjelde ved trægr. 341 mo. h., derfra op til 498 m o. h. samt 157 m o. trægr. Vegø: Eidem lavlandet rigelig, Viken til Roa, Sundvold lien. 538. Pteris aqvilina L. Støren: stationen omg. In- derøen: Rødsæteren. Beitstaden: Østvik. Stenkjær: Byhalden. Stod: Langhammer til Aune, Kvam, Hegge. Snaasen: Hroaldstenen, foden af Horjemfjeldene, Sandnæs, Agle til Gravbrøt 120 m o. h., Omli sparsomt. Hitteren; Havn omg. en af de dominerende bregneritrakten. Bjugn: Sæter, Bottengaard lierne ved vandet rigelig. Namsos: - Spillum Almlien 111 m o. h., Klingen omg. skovklædt syd- bakke, ogsaa granklædt nordside men der kun enkeltvis. Overhalden: Hunn, Veglo omg. sydbakke ovenfor Barlien. Grong: Berg 312—330 m o. h. tildels usædvanlig tætte bestande vekslende med struthiopteris-bestande, Fiskum 103 m o. h. Nerg: præstegaardtrakten, Holand i sydskraa- ningerne den dominerende bregne. Vikten: Rørvik omg. 75—98 m o. h. ikke sparsomt. Bindalen: Hildringen 21— 65 m o. h. den dominerende bregne, store aabninger i gran- _skoven ganske beklædte med den; Øksningen; Tosenfjord Syd- bergsli 46 mo. h., Barstad. Brønø: Skaaren Høglien 1—147 mo.h. hyppig. Velfjord: Saulus sydbakke 67—115 m o. h., Hellestad til Hegge, Hegge berghoug sydside, Hummellien, Raakhattens fjelde rigelig opad lierne til 336 m o. h. samt 5 m nedenfor trægr. Vefsen: Dalstadaasen. 539. Allosurus crispus Bernh. Bindalen: Hildringen 559 m o. h. samt 209 m o. trægr. Velfjord: Raakhattens fjelde 291 m o. h. samt 50 m nedenfor trægr. og op til mindst 498 m o. h. samt 157 m o. trægr. 540. Struthiopteris germanica Wild. Støren: stationen til Rognæs. Inderøen: Rødsætmarken nordside rigelig og ellers ikke sparsomt i olderkrattene i Sakshougs omg. 184 J. M. Norman. Stenkjær: Byhalden 168 m o. h. næsten sluttede rene be- stande i olderskov. Stod: Hammer til Kvam. Snaasen: Hammer, Hammer til Langnæs, foden af Horjemfjeldene en lille flæk, Lerbækkens elvefar, Sem til Præstegaarden, Præ- stegaarden ved Svarva elv fleresteds i krattene, Gravbrøt en ø i elven, Omli en lille bestand. Lierne: Aune older- skov ved elven, Nordli Sandviken til Bratland, Kveli 404 mo. h. Namsos: Spillum lavlandet, Klingen omg. ved en bæk i glissen granskov en lille men tæt bestand. Over- halden: Veglo omg. fleresteds, Steindalen, Leraaen o. 8. V. Grong: Veium, Godejord og hyppig opad Sandøldal, nær Nynæs 287 m o. h., Berg 312 m o. h., Fiskum, Aasve til Aasmulen, nær Tromselvens udmunding 180 m o. h. i elve- krattene. Nærø: Holand sydli 152 m o. h. enkeltvis. Bindalen: Tosenfjord Land til Barstad ikke rigelig. Brønø: Tilrem sydli 140m o.h. enkeltvis. Velfjord: Saulus older- klædt sydbakke 67—104 m o. h. i det hele ret rigelig, Saulus til Strengsvand ikke sparsomt, Nøstvik omg. vestside bestand af den, Hummellien, Raakhattens fod 145 m o. h. Vefsen: Kubbestadsjøaasen nordvestside, Dalstad fladen næsten i be- stand, Dalstadaasens sydende flækkevis i bestand, Alfstad sydvestli 183 m o. h. og op til 270 m o. h. CHARACEA. (Bestemte af Dr. O. Nordstedt). 1. Chara fragilis Desv. Vikten: Rørvik omg. * delicatula Ag. Nærø: Lervik (bulbillifera). Brønø: Torgø Nordhusland (f. macrostephana, macroptila, macran- tha). Vegø: Rørø og overalt i øens grunde tjern (samme form som i Brønø). I denne del af kysten, 64° 50°—65° 40° n. br., synes den at være hyppig og paa sine lokaliteter ex- klusivt dominerende, saa de smaa tjærn og Vandpudses bund Om karplanternes udbredning i det nordenfj. Norge. 185 _ ganske er beklædt med en eng af den, hvilket forsommeren 1882, da alle saadanne laa fuldstændig udtørrede efter en langvarig og stærk tørke, bød god anledning til at iagttage. 2. Nitella opaca Ag. Snaasen: i Snaasenvand ved Sem. Vil man, støttet til de foranstaaende speciallokaliteter, sammenligne udbredningsforholdene hos de planter, som ikke kan antages at være forbigaaede i nogen større ud- strækning, vil man finde, at disse forholde selv hos de vidt udbredte arter, de saa kaldte almindelige, tildels gestalter sig meget ulige. Flere af disse planter synes nemlig ganske at mangle eller ialfald at være meget sjeldne, nogle kun i de strengt kontinentale egne eller ogsaa tillige i de subkonti- nentale, andre i de mere eller mindre litorale, atter andre baade i de strengt kontinentale og i de yderligt litorale. Men denne deres udbredningsomraades begrænsning indad mod indlandet eller udad mod havet til, holder sig ikke hos alle uforandret under plantens fremadskriden fra syd mod nord, men undergaar derimod, hos nogle arter tidligere, hos andre sildigere, en større eller mindre forandring i denne henseende. Paa denne maade fremkommer en mængde vari- ationer af udbredningsomraadets begrændsning. Samtidig vil man bemærke, at plantens større eller mindre hyppighed og større eller mindre masseoptræden ikke sjelden er kjen- delig ulig ikke blot mellem de forskjellige almindeligere arter indbyrdes, men ogsaa i de forskjellige egne inden en og samme arts udbredningsomraade. For tiden er imidlertid det foreliggende material ikke vel egnet til at kunne give nogen mere præcis, paa tilstræk- 186 J. M. Norman, kelige speciallokaliteter funderet og derved alene paalidelig, generel fremstilling af udbredningsforholdene.. Men hvis det lykkes mig at fuldstændiggjøre iagttagelserne og udvide dem til større dele af gebetet mellem Throndhjemsfjorden og po- largrændsen, er det min agt senere at give en oversigt over de arters udbredning, som frembyder nogen særlig interesse. Da fremdeles en større del af de foran opregnede arter ogsaa forekommer i Norges arktiske gebet, vil for nogle af disses vedkommende deres udbredning i de her omhandlede, polar- zonen tilstødende egne, hensigtsmæssig kunne behandles under et med den forestaaende oversigtlige fremstilling af landets arktiske flora's udbredningsforholde. Følgende grovere trykfeil i nærværende arbeide bedes berigtigede: pag. 31 no. 97 linie 1 staar: Acetocella, les: Acetosella. SON 20 DRS achænier, ,, achenier. 28028219 HUD å myrtue „ myretue. Classification und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen X Y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. I. VON SOPHUS LIE. Å einer kurzen Note zur Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen (3 December 1874) gab ich u. A. eine Aufzählung aller continuirlichen Gruppen von Transformationen zwischen zwei Variabeln x und y. Ich lenkte ausdrücklich und stark die Aufmerksamkeit darauf, dass sich hierauf eine Classifica- tion und eine rationelle Integrationstheorie aller Differential- gleichungen fleyy'...y™)=9, die eine continuirliche Transformationsgruppe gestatten, be- gründen lässt. Später habe ich nun das hiermit skizzirte grosse Programm mehr in Detail ausgeführt. So gab ich in den Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Christiania (1874*) eine rationelle Methode zur Integration von linearen partiellen Differentialgleichungen mit einer Reihe bekannten infinitesimalen Transformationen; hiermit - *) Die betreffende Arbeit ist im Wesentlichen reproducirt in Math. Ann. Bd. XI. 188 Sophus Lie. hatte ich dann gleichzeitig eine vollständige Integrations- theorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen f(æyy...y)=0 mit bekannten infinitesimalen Transformationen. Ich gab ferner in mehreren Abhandlungen*) in diesem Archiv (1876, 77, 78) eine Darstellung von denjenigen Methoden, vermöge deren ich in 1873—1874 alle continuirliche Gruppen von Transformationen einer zweifach ausgedehnten Mannigfaltig- keit bestimmt hatte. | Hiermit war indess keineswegs mein in 1874 skizzirtes Programm, selbst auf gewöhnliche Differentialgleichungen zwischen x und y beschränkt, zur Ausführung gebracht. Nicht allein hatte ich die angekündigte Classification noch nicht durchgeführt. Es stand aber auch zurück nachzuweisen, einerseits, wie man entscheidet, ob eine vorgelegte Differential- gleichung eine continuirliche Gruppe gestattet, anderseits wie man diejenigen Differentialgleichungen in rationeller Weise integrirt**), die zur Bestimmung von der betreffenden Gruppe dienen. Der Hauptzweck dieser Abhandlung ist diese beiden wichtigen Capiteln meiner Theorie eingehend zu entwickeln. Gleichzeitig halte ich es für zweckmässig einige Theile meiner Theorie, die ich allerdings früher im Wesentlichen gegeben habe, auf neues und mehr ausführlich zu be- handeln. Im ersten Abschnitte führe ich die von mir in 1874 angekündigte Classification von gewöhnlichen Differential- gleichungen, die eine continuirliche Gruppe von Transforma- tionen zwischen x und y gestatten, vollständig durch. Ich betrachte successiv alle derartige Gruppen, reducirt auf ca- *) Diese Abhandlungen sind theilweise (nicht aber vollständig) in Math. Ann. Bd. XVI in neuer Bearbeitung reproducirt worden. **) Sieh die Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Chri- stiania 1881. Sieh auch meine Begründung einer Invariantentheorie der Berührungstransformationen. Math. Ann. Bd. VIII, 1874. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 189 nonische 'Formen und bestimme die zugehörigen invarianten Differentialgleichungen*). Darnach zeige ich, dass eine be- liebige vorgelegte Gruppe im Allgemeinen ohne Integration von Differentialgleichungen und jedenfalls durch Integration einer Differentialgleichung 1. O. auf ihre canonische Form gebracht werden kann Hierdurch gelingt es alle bei einer beliebig vorgelegten Gruppe invariante Differentialgleichungen anzugeben **). : Im zweiten Abschnitte dieser Arbeit, der im nächsten Hefte dieser Zeitschrift erscheinen wird, wende ich meine allgemeine längst publicirte Integrationstheorie von linearen partiellen Differentialgleichungen mit bekannten infinitesi- *) Die Gesichtspunkte der citirten Note führen indess noch weiter. Man kann u. A. jede Gruppe Berührungstransformationen zwischen z y y' auf gewissse von mir bestimmte canonische Formen bringen, und darnach die zu jeder canonischen Form entsprechenden invarianten Gleichungen angeben u. s. w. **) Als ich in 1874 in meiner mehrmals besprochenen Note hervorhob, dass auf meine Bestimmung aller Gruppen von Transformationen der Ebene eine Classification aller Gleichungen f(xyy'...y(™ ) =0 mit einer Gruppe gegrindet werden kann, hatte ich diese Classification noch nicht in Detail ausgeführt.‘ Ich hatte die Möglichkeit einer Clas- sification, d. h. die Möglichkeit der Aufstellung von den Typen aller Differentialgleichungen f = 0, die eine Gruppe gestatten, erkannt. Die hierzu erforderlichen Rechnungen hatte ich aber nicht in Detail aus- geführt, und noch weniger publicirt. Indem ich dies ausdrücklich hervorhebe, bemerke ich dass der berühmte französische Geometer Halphen in seinen ausgezeichneten Untersuchungen über Differential- invarianten (Liouvilles Journal Bd. 2 (Serie 3) 1876, Sur les inva- riants diff, Thèse, Paris 1878 ws. w.) im Grunde einen wichtigen wenn auch sehr speciellen Theil meines Programms ausgeführt hat (sieh. S 1, Nummer 3 dieser Arbeit) allerdings mit schönen An- wendungen, die mir theilweise ferner lagen. Halphen macht aufmerk- sam auf die Beziehungen zwischen seinen Untersuchungen und Kleins und meinen gemeinsamen früheren Untersuchungen über solche Curven, die eine infinitesimale lineare Transformation gestatten. Dagegen kannte er nicht meine andere viel weiter reichende Arbeiten insbe- sondere nicht meine Note in Göttinger Nachr. wie auch nicht meine in 1874 publicirte Theorie der Integration von linearen partiellen Dif- ferentialgleichungen, die eine bekannte Grupppe von Transformationen gestatten. 190 Sophus Lie. malen Transformationen auf gewöhnliche Differentialglei- chungen f(zyy'...y'®)=0 mit einer bekannien Gruppe an. Derartige Gleichungen können in zwei etwas verschiedenen Weisen behandelt werden. Entweder kann man meine all- gemeine Theorie direkt anwenden und muss dann successiv eine Reihe vollständige Systeme aufstellen. Oder auch fängt man damit an die vorgelegte Gruppe auf ihre canonische Form zu bringen; dadurch erhält ebenfalls f = 0 eine cano- nische Form; hierbei hat man nur gewöhnliche Differential- gleichungen zwischen zwei Variabeln zu behandeln. Die Entwickelungen dieses Abschnittes sind grösstentheils nur als Beispiele und Illustrationen zu meiner alten allgemeinen Theorie zu betrachten. Im dritten Abschnitte denke ich mich eine ganz beliebige Gleichung f(æyy'...)=0 vorgelegt und stelle die Frage, ob dieseibe infinitesimale Transformationen gestattet. Ist dies der Fall, so werden diese Transformationen bestimmt durch gewisse lineare partielle Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung, deren Integration in den meisten Fällen - durch successive Quadraturen oder durch Integration einer Riccatischen Gleichung 1.0. geleistet werden kann. Es giebt nur zwei Fälle, in denen die Bestimmung der infini- tesimalen Transformationen von f=0 nicht in dieser ein- fachen Weise geleistet werden kann. Wenn f = O eine Gruppe gestattet, als deren canonische Form die allgemeine lineare Gruppe der Ebene gewählt werden kann, so verlangt die Bestimmung dieser Gruppe im Allgemeinen die Integra- tion einer linearen Gleichung dritter Ordnung. Gestattet an- derseits f = 0 eine Gruppe, als deren canonische Form die Gruppe einer linearen Gleichung *) gewählt werden kann, so *) Besonders merkwürdig ist der Fall, dass die lineare Gleichung des Textes in eine mit constanten Coefficienten sich umwandeln lässt. In diesem Falle geschieht wiederum die Bestimmung der gesuchten inf. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 191 verlangt die Bestimmung unserer Gruppe die Integration einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung. In weiteren Abschnitten gedenke ich einige verwandte Theorien, die ich schon seit einiger Zeit in Detail ausgeführt habe, zu entwickeln. Insbesondere werde ich meine Theorien auf solche Gleichungen f(æy...y")) = 0 anwenden, in denen die Grösse y=D nicht vorkommt. Anderseits werde ich alle Gruppen von Berührungstransformationen der Ebene in canonischer Form betrachten, und ihre invariante Differential- gleichungen aufstellen; hieran schliesst sich eine rationelle Integrationstheorie solcher Gleichungen f = 0, die eine be- liebige Gruppe von Berührungstransformationen gestatten. Abschnitt I. Classificaton von allen gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen x y, die eine Gruppe von Transformationen zwi- schen diesen Variabeln gestatten. Bestimmen die Gleichungen x, = J(2 ya, a, ... az) Y =P (“HY a, az...) . zwischen den alten Variabeln xy, den neuen Variabeln x, y, | und den Parametern a, a,...a; eine (eontinuirliche) Gruppe von Transformationen, so liefert eine Relation der Form O(fpb,...bp)= 0 mit r+ Parametern a, ...a; bj ...bp eine Schaar und zwar Transformationen durch Quadratur; kann jedoch die besprochene lineare Gleichung mit constantan Coefficienten die Form y() = 0 erhalten, so ist die Integration einer Riccatischen Gleichung 1. O. erforderlich. 192 Sophus Lie. die allgemeinste Schaar Curven, deren Inbegriff die vorge- legte Gruppe gestattet. Dies folgt unmittelbar aus dem Be- griffe Transformationsgruppe. Zu bemerken ist allerdings dabei, dass die r+ p Parameter ai, b: nicht sämmtlich we- sentlich sein brauchen*). Wählt man die Funktion © in bestimmter Weise, so kann man durch wiederholte Differentiation hinsichtlich & soviele Gleichungen zwischen x y, den Differentialquotienten und den Parametern a; b. bilden, dass es möglich wird, diese Parameter wegzuschaffen. Hierdurch findet man in Jedem einzelnen Falle eine Differentialgleichung, die unsere Gruppe gestattet. Und effenbar kann jede derartige Differential- gleichung in dieser Weise gebildet werden. Diese Methode ist indess nicht zweckmässig, indem. sie keine Uebersicht über die Gestalt und Eigenschaften der betreffenden Differential- gleichungen uns liefert. Zweckmässiger ist es, wie ich seit 1874 bei allen meinen Untersuchungen über Transformations- gruppen pflege, die injinitesimalen Transformationen der Gruppe einzuführen, und vermöge ihrer die Bestimmung der betreffenden Differentialgleichungen durchzuführen. Unsere Grnppe mit den r Parametern a, enthält nach *) Die + + p Paramemer sind wesentlich, wenn eine beliebige Curve der S chaar O.(@ y by...be) =0 mit p wesentlichen Parametern durch keine infinitesimale Transformation der Gruppe in sich transformirt wird und auch nicht in keine benach- barte Curve dieser Sahaar übergeführt wird; anders ausgesprochen wenn die Schaar Q(zyd,...)=0 keine infinitesimale Transformation der Gruppe gestattet. Gestattet dagegen die Schaar Q(xy0,...)=0 6 infinitesimale Transformationen der Gruppe, so sind unter den r+ Parametern a, ....ar d,...d, nur r tp — 6 wesentlich. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 193 mir r unabhängigen infinitesimalen Transformationen*) etwa B f= &i(ey) GÅ + may) FÅ. (HEURE) Bei einer solchen inf. Transformation erhält 2 das Increment öæ=&6t, y das Increment öy=;öt; gleichzeitig erhält y’ ein Increment dy‘, ebenfalls y" ein Increment dy" und über- haupt y® ein Increment dy). Wir werden diese Incremente berechnen und werfen dabei vorläufig den Index i weg. Es ist iy ete LU SO St” da da” oder | oy Ox MD in aide Oe da? MR da dn je då 12% om "dø" orda Yayo. Dementsprechend ist dy" _ dm y" dE à ot dx und tiberhaupt Sym) dm ym dE SR dæ m nm), Setze ich nun *) Die infinitesimale Transformation, bei der x und y die Incremente 6x = &(ay) ot, dy = n(ay) dt erhalten, bezeichne ich immer mit dem Symbol Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 8 B. 13 194 Sophus Lie. a df df df aan Bm) f = Å UT He ME dy? Bel 2 860) so sind Bf, BM... Bf die r infinitesimalen Trans- formationen unserer Gruppe, aufgefasst als transformirend nicht allein wy, sondern zugleich die Differentialquotienten yo. ..ym. Und also (Götting. Nachr. 1874, p. 537; Math. Ann. XVI, p. 462—463) bestehen r(r—1) 1 9 Relationen der Form Bi (Be F)) — Be (Bi™(f)) = Zoo Barf, in denen die cixs Constante sind [die überdies von der Zahl m unabhängig sind]. Soll nun Cine Differentialgleichung Sf (ayy'...y™)=90 unsere Gruppe gestatten, so ist hierzu erforderlich und auch hinreichend, dass sie die r inf. Transformationen Bf ge- stattet*). Und dies kommt darauf hinaus, dass die r Gleichungen df df df 1 & — + Mi —- + (VU +... + „(m © dæ” "ay" ay id dy) i vermöge f=0 identisch bestehen sollen. Die weitere Discusion stellt sich verschieden jenachdem r gleich, kleiner oder grösser als m + 2 ist. Lass uns zunächst annehmen, dass m+2 = r ist. Dann *) Denn dann gestattet f = 0 jede infinitesimale Transformation ZCx Bk(mf der Gruppe und also zugleich jede endliche Transformation derselben, die ja durch Wiederholung einer inf. Transformation erzeugt werden kann. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 195 ist zum Bestehen der r Gleichungen (1) erforderlich, dass die Determinante Alam m0... | verschwindet. Dabei können wir vorläufig von dem Falle, dass A identisch verschwindet, wegsehen, indem dies, wie wir später zeigen, nur ganz ausnahmsweise eintritt. Daher muss die Gleichung A =0 vermöge / = 0 bestehen. Es ist anderseits nicht schwierig zu beweisen, dass die Differen- tialgleichung A = 0 immer unsere Transformationsgruppe ‚gestattet. Für eine synthetische Auffassung ist dies un- mittelbar evident*).. Wünscht man einen analytischen Be- weis, so bemerke ich, dass ich für den Fall m = 1 schon einen solchen Beweis geliefert habe (Sieh Math. Ann. Bd. XVI p. 475), dass ferner der Beweis für einen allgemeinen Werth von m in ganz entsprechender Weise geführt wird. Hierauf halte ich es nicht für nothwendig hier näher einzu- gehen. Ich bemerke nur, dass man im Folgenden bei jeder An- wendung des betreffenden Satzes seine Richtigkeit leicht direkt verificirt. Lass uns sodann annehmen, dass m + 2< r ist. Dann ist zum Bestehen der Gleichungen (1) erforderlich, dass alle in der Matrix Ane ee u: mim) | enthaltene Determinanten gleichzeitig verschwinden; und da dieselben nicht identisch gleich Null sein können, indem A nach unserer Voraussetzung nicht identisch verschwinden soll, so müssen die soeben besprochenen Determinanten, die offen- bar ganze Funktionen der Grössen y"” sind, einen gemein- samen Faktor (A) enthalten; dabei ist klar, dass diese *) Ein Werthsystem zyy’.....y(-2) genügt nämlich der Gleichung À =0 dann und nur dann, wenn dasselbe nicht vermöge der Gruppe in jedes benachbartes Werthsystem übergeführt werden kann. 13* 196 Sophus Lie. Grösse (A) ebenfalls ein Faktor von A sein muss. Dies giebt uns nun zunächst den Satz: Satz. Sucht man alle bei der vorgelegten Gruppe B,f...B.f invariante Diferentialgleichungen SMEG De Si) OW) deren Ordnungszahl m nicht grösser als r — 2 ist, so muss man die Determinante Name N bilden. Verschwindet dieselbe nicht identisch, so liefern ihre Faktoren gleich Null gesetzt die gesuchten Differential- gleichungen Als Corollar fliesst hieraus der Satz. Gestattet eine Differentialgleichung f = 0 m** Ordnung m + 2 oder noch mehrere infinitesimale Punkttransformationen, so kann man ohne Beschränkung annehmen, dass f eine ganze Funktion der Grössen y ist. Dieser Satz ist im Vorangehenden nur unter der Vor- aussetzung erwiesen, dass die Determinante A nicht identisch verschwindet. Dersel e ist indess allgemein gültig, wie wir später nachweisen werden. Es bleibt übrig alle bei der Gruppe invariante Differen- tialgleichungen f(x y y‘ . . . y'™)=0, deren Ordnungszahl m grösser als r — 2 ist, zu finden. Dabei schliessen wir wie früher vorläufig den Ausnahmsfall A = 0 aus. Unter dieser Voraussetzung bil en die r Gleichungen (1) nach meinem früher eitirten Satze ein vollständiges System mit m+2—r gemeinsamen Lösungen. Sei zunächst m+ 2 = r + 1, dann giebt es eine Lösung @,, die durch Integration gefunden wird*). Dabei hängt gp, nur von æyy' ... yt ab. Sei *) Diese Integration kann immer geleistet werden, wenn die endlichen Transformationen der Gruppe bekannt sind. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, 197 darnach m + 2 = r + 2, dann giebt es zwei Lösungen, unter denen @, die eine ist; die zweite Lösung 9, hängt von æyy ..y" ab. It m + 2 = r + 3, so giebt es drei Løs- ungen 9, 9, und 9,, welche letzte von ayy’.. yt) ab- hängt. Für einen beliebigen Werth von m giebt es m —r + 2 Lösungen 9, 9-2 ... Pm-r+% Es ist nun leicht zu sehen, dass jedenfalls nur die beiden ersten ox nehmlich p, und @, durch Integration bestimmt werden brauchen. Kennt man 9, und 4,, so findet man die übrigen x fol- gendermassen durch Differentiation. Es ist die Gleichung Ps — AG, 0 mit den beiden arbitråren Constanten a und b eine invariante Ditferentialgleichung rt Ordnung. Differentiirt man nun hinsichtlich æ, so ist die hervorgehende Gleichung dp; dø, dx x dæ =) oder die aequivalente des dæ Se dp, On dø, dæ eine invariante Gleichung (r+ 1)!” Ordnung mit einer arbi- trären Constante. Also kann die Grösse dø, ‚do, dæ * dæ als Grösse @, gewählt werden. Dementsprechend kann dp, , dø, dæ * dæ als Grösse P4 gewählt werden u. s w. Dieses Bildungsge- 198 Sophus Lie. setz zeigt, dass 9, hinsichtlich y"+", dass , hinsichtlich y+?) linear ist u. s. w. Satz. Jede bei der Gruppe B,f... B:f invariante Dif- ferentialgleichung, deren Ordnung grösser als r — 2 ist, besitzt die Form Q(P1 9393 +++ ) = 0. Zuletzt nur noch einige weitere Bemerkungen über in- variante Differentialgleichungen f(æy.. ye) =0, deren Ordnung p nicht r — 1 übersteigt. Lass uns wiederum annehmen, dass A nicht identisch verschwindet und sei A; ein Faktor von A, der von den Grössen æ y y‘... yi abhängt. Dann enthält das Integral von A;=0 r—i— 2 arbiträre Constanten: page Saar) = 0; d. h. die Gleichung A;=0 hat "> Integraleurven. Bei den Transformationen der Gruppe werden diese Integralcur- ven unter sich vertauscht, und zwar wird jede einzelne Inte- graleurve durch i +2 unabhängige infinitesimale Transforma- tionen der Gruppe in sich selbst transformirt. Ist insbesondere A, ein Faktor*) von A, der die Grösse y=) .enthält, so ist A, = 0 eine invariante Differentialglei- chung, unter deren Integralcurven jede zwei unabhängige infinitesimale Transformationen der Gruppe gestattet. Ent- *) Die Form der Determinante A zeigt, dass A, hinsichtlich y(r—2) linear ist, Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 199 hält A kein Faktor A, der y*-? wirklich enthält, so heisst dies, dass es keine Curve giebt, die zwei und nur zwei infi- nitesimle Transformationen unserer Gruppe gestattet. Betrachten wir endlich die invariante Differentialglei- chung (r — 1)** Ordnung. EB deren arbiträre Constante a, einen bestimmten Werth erhal- ten hat. Diese Differentialgleichung hat ~' 1 Integraleurven, die durch die r unabhängigen infinitesimalen Transformationen der Gruppe unter sich vertauscht werden. Also schliessen wir, dass jede Integralcurve durch eine und nur eine infini- tesimale Transformation der Gruppe in sich transformirt wird. In den drei ersten Paragraphen dieses Abschnittes be- trachten wir successiv alle Gruppen von Punkttransformationen der Ebene, indem wir sie auf die von mir bestimmten ca- nonischen Formen gebracht voraussetzen. Für jede solche canonische Gruppe bestimmen wir die zugehörigen invarian- ten Differentialgleichungen. In dem letzten Paragraphen zeigen wir, wie eine beliebige vorgelegte Gruppe auf ihre canonische Form gebracht wird. En Gruppen, die keine Differentialgleichung 1. O. invariant lassen. In meiner Aufzahlung aller Gruppen von Punkttransfor- mationen einer Ebene (Göttinger Nachr. 1874, Math. Ann. Bd. XVI) theilte ich alle derartigen Gruppen in gewisse Hauptelassen jenachdem die betreffende Gruppe eine, keine 200 Sophus Lie. oder mehrere Differentialgleichungen erster Ordnung inva- riant lässt. In diesem Paragraphen betrachte ich jede Gruppe, die keine Differentialgleichung erster Ordnung invariant lässt, und bestimme alle zugehörigen invarianten Differentialglei- chungen höherer Ordnung, unter denen sich immer eine von zweiter Ordnung findet (welche durch passenden Coordinaten- wahl die lineare Form y" =0 erhalten kann). Die betreffende Gruppe enthält entweder acht, sechs oder fünf Parameter. Sie ist aehnlich mit der allgemeinen projectivischen Gruppe der Ebene, oder mit einer Unter- gruppe derselben, die sechs oder fünf Parameter enthält. Wir denken uns im Folgenden unsere Gruppen auf die soe- ben genannten canonischen Formen gebracht. 1. Jede fünfgliedrige Gruppe, die keine Differential- gleichung erster Ordnung invariant lässt, kann auf die cano- nische Form*) P, 9% 29, XP 19% YP gebracht werden. Die Determinante A erhält für diese canonische Form den nicht identisch verschwindenden Werth: 1770,20 0 0 O7 0 0 0 ASD SD NG! 0 0 = 9y'”, æ -y - 2y' si 3y" be Ay 7 0 Le y" Ed 3y'y" = 4y'y"" åå Su >) Statt af und 7 schreibe ich, wie ich pflege, » und g. So z. B. schreibe ich rp — yg statt x a — y ot um die infinitesimale Trans- formation < ör="6bt, öy=—y6t zu bezeichnen. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 201 Daher ist y"=0 die einzige invariante Differentialglei- hung, deren Ordnung kleiner als vier ist. Zur Bestimmung der Grössen q, und 9, bilden wir die folgenden linearen partiellen Gleichungen, in denen wir, wie immer im Folgenden, yx statt y schreiben: d B,f= =o B,f- = 0 Bf ol = å Bjf=at -y 2-3, Fra? — rev By Byt =ydl = Yi" By yy, +39?) i = 8919. +10y,9) 7 2 - (69135 + 15324 Oye) Få -0 und suchen ihre beiden gemeinsamen Lösungen. Die drei ersten Gleichungen zeigen, dass Å, und 9, nicht von x y oder y, abhängen. Die beiden letzten Gleichungen erhalten durch Reduc- tion die einfachere Form a Sey gg AT > Ale ERBE sa Den dr, df df » af = 2_ I LCA, CA ea D. Va gy, Wide + ly aus 1037) 7,0. Wir integriren B; f = 0 in der gewöhnlichen Weise, führen sodann ihre Lösungen 202 Sophus Lie. BE) 35 Yo Pa = 3YaYyı —9Y3 På = 3Ya’Ys —DPaY3 — 3 Ys als neue unabhångige Variable in d df d B, f= B, yo. = +B,p Pa dp, + Byps 7-0 ein, und erhalten hierdurch die Gleichung = = ao: deren Lösungen Diez 22, Poe Pa. %Y33 Ye eben die gesuchten Grössen p,**) und m, sind. Es bleibt nur übrig die früher gefundenen Werthe der Grössen p, und p; hineinzufiihren. Man bemerkt, dass 9, linear hinsicht- lich y,, und anderseits pg, linear hinsichtlich y, sind. Da 9, hinsichtlich y, irrational ist, so kann es zuweilen zweckmässiger sein die Grösse 4,3 als 9, zu wählen. Eine aehnliche Bemerkung lässt sich mehrmals später machen. 2. Jede sechsgliedrige Gruppe, die keine Differential- gleichung erster Ordnung invariant lässt, kann die cano- nische Form P, 9, &9, YT, YP, YP *) Die Grösse på erhält durch die Substitution p, = 3ysy, —dy;” den Werth 40 Pa=3ya’ys — 1dygysya + 3 Ya” Es ergiebt sich später, dass die Gleichung på = 0 eine bemerkenswerthe geometrische Bedeutung besitzt. **) Man verificirt leicht, dass jede Integralcurve einer Gleichung @, = Const. wirklich eine infinitesimale lineare Transformation unserer Gruppe ge- stattet. Ich erinnere daran, dass Klein und ich in einer gemeinsamen Arbeit die Theorie dieser Curven eingehend entwickelt haben. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 203 erhalten. Die Determinante A wird für diese canonische Form gleich 170,08 '0 0 0 Olt 70.0 0 0 ell POE 0 0 mi 0 y Yi % Ya Vi ey). æ 0-y, -2y, -3%5 -4y, y 0-y,7-84,%Y9-4Y1Y3 -8ys* -541V1-10Y-Y3 Es giebt daher zwei invariante Differentialgleichungen, de ren Ordnungszahl kleiner als fünf ist nehmlich Yr = 0, und 5y,° — 3y2gy4 = 0*) Zur Bestimmung der Grössen gy, und g, müssen wir nach unseren gewöhnlichen Regeln sechs lineare partielle Differentialgleichungen zwischen 2% %Y} %, ...Y, bilden. Drei unter diesen Gleichungen d d d d Bf - 4-0, Bys 5-0, Byf- af + FL = 0 sagen nur aus, dass q, und 9, von x y und y, unabhängig sind; die drei übrigen Gleichungen erhalten durch eine ein- fache Reduction die Form *) In der gewählten canonischen Form besteht unsere Gruppe aus allen projectivischen Transformationen, bei denen die unendlich entfernte Gerade ihre Lage behält. Die Integralcurven der Gleichung 5y,2 = 3y,y, sind alle Parabeln, d. h. Kegelschnitte welche jene Gerade berühren. Jede solche Curve gestattet wirklich zwei unabhän- gige inf. Transformationen unserer Gruppe. 204 Sophus Lie, fs ann d B,f Ys dy "say, ar + Ye un d df DP df df df = g (A7 un Sy AU Bf 3Y» dy, + 104,43 dy, + (15y,y, + 104 Je - d + (214, Y, +39 Y3Y4) “Leo. Ye Die Lösungen von B, f = 0 nehmlich 3Yy,Y4-5Y3” = Ga 35 40 BY 2°Ys 9924375 Vs = 03 = 0 Ys-15Y a4 sat 3 Ys” 3 a] 7 10 2 4 Y2°Yo- Gays 0243 -35y3*=04 Fan å 35 =3y5%,-21Y3"4Y3Y5+35y>Y3"Y4 - 3 Ya“ führen wir als neue Variabeln in die Gleichung B,/= 0 ein und bringen sie hierdurch auf die Form Die entsprechenden Lösungen nehmlich 6: où 64 SFR (PE Go befriedigen als Grössen nullter Ordnnng hinsichtlich y,y; ... 4, ebenfalls B, f=0 und können daher als die gesuchten In- varianteu p, und 9, | *) Auch jetzt gestattet jede Integralcurve einer Gleichung g, = Const. eine infinitesimale lineare Transformation und gehört somit der von Klein und mir untersuchten Categorie. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 205 gewählt werden. Auch jetzt sind œ, und , ganze Funktio- nen von y,y, und dabei ist 9, linear hinsichtlich y,, 9, linear hinsichtlich y,. 3. Wenn eine achtgliedrige Gruppe keine Differential- gleichung 1. O. invariant lässt, so kann sie auf die cano- nische Form Ps 9, 29, 99, XP, yp, xp + æyg, æyp+ Y°q gebracht werden. Die Determinante A erhält durch Aus- führung und eine einfache Reduction die Form Ya Y3 Ya Ys Ye u. 2 3%; 4Y 6 A= 0 Sy, 104,43 199294 + 10y3* 21y,Y5 + 3dY3Yi 0 Sy: QUE 159, 24y, 0 0 Gy," 304, 4, 6045 Y4 + 4043? Zur Berechnung derselben subtrahirt man von den Gliedern der dritten Reihe zuerst diejenigen der vierten Reihe multi- plieirt mit y, und darnach diejenigen der fünften Reihe mul- tiplieirt mit 3; dann verschwinden alle Glieder der dritten 2 Reihe ausgenommen das letzte und es wird Ya 2Ya 3%; A 2 40 3 = (159,493 Ys - 3Y2°Y5 ne ) By, 8ys 15%: 0 By," 30y,y3 oder A=-2y, (94Y2"Y5 - By Ys Ys + 40459), 206 Sophus Lie. sodass A nicht identisch gleich Null ist. Es giebt zwei in- variante Differentialgleichungen, deren Ordnung kleiner als 7 ist*) nehmlich y, =O und (2) 927s -38Y2Y3Yı + 4045? = 0. Um jetzt die Grössen &, und ®, zu berechnen müssen wir nach unseren gewöhnlichen Regeln acht lineare partielle Differentialgleichungen in den Variabeln x y y, . - . Yg (den acht infinitesimalen Transformationen p, 9, xq, yq xp, xp + xyp, yp, cyp + y°q entsprechend) bilden. Die drei ersten unter diesen Gleichungen d d d d B, f= =0, B, f=) -0, Byf-ag + FL 0 sagen nur, dass 9, und ®, von æ y und y, unabhängig sind. Diejenige Gleichung, die der inf. Transformation æyp + y?’q entspricht, brauchen wir nicht zu bilden; sie ist nehmlich wegen der Relation (yp, vp + 299) = vyp + y°q eine Consequenz der übrigen. Die Grössen ©, Ø, sind daher bestimmt als Funktionen von y,y, . . . y4 durch die Glei- chungen *) Das Resultat des Textes war a priori evident. Denn es giebt ja nur zwei Curven, die gerade Linie und der Kegelschnitt, die mehr als eine infinitesimale und lineare‘ Transformation in sich gestatten. Halphen hat zuerst die obenstehende Differentialgleichung (2) der Kegelschnitte wirklich aufgestellt. Ebenfalls hat Halphen zuerst die später anfge- stellten Grössen ®, und ®, berechnet. 207 Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 8 Lh (FATA og + Å "Apg + *h *h9g) + Tr GA + Flog + "AR gg) + 9% 9h Th ts “Fp Chhge+ hhte) +, (28401 + "AT GT) + vr SK Ch OT + TE sig = fg Nine tip %p fp FR p Ship fier + —= Meg + ESF er ef cf AN sp OM ras Sp VO" Ip A Ten Å ja "hp, "hip hp are SEG ER 27.9 fy > ve © fo a Pye ten one Sophus Lie. 208 Wv='0%g ‘= Kg ‘o= Kg dy =1d0'g 'h= ig kh ="%"g 1y918 JOO] uem OIM YS UNN ur ed a Dul DÅ Sar = ~ fg ‘Oo: J'g ut ujaqerre À onou sje *Å Ju u9mwmesnz YoruIep 9IS uaiqn; pun „eh —E— ~60 fi gggg-*0,opr 91 - 9, Ace p- 20 "hgp-"hy Ying = "0 Å 8 4th, "ht AQg) 2h, 2h, R O8 + VASE GOT - A, Eh 248 og. sh 8 tg igpy - ot lieg-th, fig = "0 Gr OOL- 087 ‘col 6 =< 082 ‘O02 "OF 1 IGG - 16 0-00 + KEN hpe- hs %e= hi = 9 §figg-*d®/ig-9h,*lig =*d (or + "AE hep- À sig)? = Ae eng? h,ehg=°d „chr- "hehe=°d hath qoymygeu /="g UOA UISUNSOT IP JS10NZ IM USP[IQ usqjesiop ® pun TH uosunsgy uowesuiowmes op sunmuwuysog ANZ Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 209 also erhält B, f=0 in den neuen Variabeln die Form und B,f=0 die Form df df df Je dy, FF AR eg: = 0 sodass B,f=0 sich auf GA dyp redueirt. Ferner ist klar, dass B, f=0 die Form a _ dys y annimmt. Zur Einführung der pr als Variable in B,f = 0 bilden wir die Ausdrücke B; pa = 645°Y5 B,p,=9 Bz py =-3Y_" ps + 2040" Ys Pa B, ps =Y2"(- 214 + 8503") + ¥27y3.105 95 By, Pg = Yo7(- 8695 +3.126 Py P53) + Yo7Y3(5040,+ 210 p,°). Also erhält B, f=0 durch Division mit y,? die Form AC gå. 4200, À 105, + (504p, + 2109.) 2 + 3 pe + (- 21 p4 +35 på) 4 -H-36pg+3 126 pa po)gt Ho welche letzte Gleichung sich wegen = 0 in zwei spaltet. » 3 Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. 14 210 y Sophus Lie.. Die gesuchten Grössen ®, und ©, sind daher bestimmt als Funktionen von p, p; . . . På durch die drei Gleichungen ER d d ( 20, gå Ran + Bp, 1 = 0 107 - =6 = Å +200, 2, + 105p3; 1604, +210p, 5) _ = 0 E. pe m +(-21p,+35p, 2 #(-36p,+3.1260505)9— = 5 [unter denen die erste aussagt, dass 9, und 9, Funktionen von den Verhältnissen der Grössen p,? p33... pg* sind]. Wir bestimmen die Lösungen von Cf=0, nehmlich 5 Ps, Us = Pa 3 Po” 35 å UTG Ps 7 = Po 9 Pr - 84 p Ua und führen sie als Variable in Df=0 ein. Nun ist Dp,;,=0, Du, =-3p3, Du, =-214,, Du, =-36u; und also erhält Df=0 durch Division mit - 3 die Form Ps = + Tun +12, =o. Die entsprechenden Lösungeu sind DIE P31 9=2p3us- Tu" =2p3;p; - 35 p:p3° -T(p4 73 Pa") 66 »,, 14 LS PEU EU P3 DAD EN “BD 5 2805 =Pslpe-84p2pPat3P2 )-12(P5-3 PaP3)P4" 32 )+ (Parga). Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, 211 Und da die gesuchten Grössen 2, und , Funktionen von den Ver- håltnissen der Grössen p,? p3®... pg sind,so können wir setzen: Ho la ® =; P3° Ps 1 Hiermit ist diese Untersuchung zum Abschluss gebracht *) § 2. Gruppen, die zwei und nur zwei Differentialgleichungen erster Ordnung invariant lassen. Im vorangehenden Paragraphen behandelten wir alle Gruppen, die keine Differentialgleichung erster Ordnung in- variant lassen, und bestimmten ihre zugehörigen invarianten Differentialgleichungen höherer Ordnung. Jetzt erledigen wir dasselbe Problem für alle Gruppen mit zwei und nur zwei invarianten Differentialgleichungen 1.0. Dabei können wir nach meinen früheren Untersuchungen (Gött. Nachr. 1874 Math. Ann. Bd. XVI) annehmen, dass diese beiden Gleichun- gen 1. 0. eben sind *) Im Laufe dieser Abhandlung benutze ich håufig den folgenden be- kannten Satz: „Bilden 4, f = 0... Af=0 ein vollstän” diges System in æ, . . . zn, So kann die Integration desselben folgen- dermassen geschehen. Man sucht die Lösungen 2, ... @n-1 von d 2450, bildet sodann 1. F=0= Asp, SL +0. tag 2 Sind die Verhältnisse der 4,@, nicht Funktionen von 9, ... ?n-ı allein, so zerlegt die Gleichung 4, f= 0 sich in mehrere. Wir integriren eine beliebige unter ihnen und führen die entsprechenden Lösungen #, ... Wn—2 : d etwa in 4,/=0 ein. Die hervorgehende Gleichung 4, db, 55 +..=0 1 behandeln wir dann in analoger Weise u. s. w. 14* 212 Sophus Lie. dy da Ahi JE a und dy y und dass dementsprechend die betreffende Gruppe die eine unter den folgenden canonischen Formen besitzt: 1 q p | q 1 q yq yq q yq YI ya Ir p zp+eyg | p y°q y°q q on Da xp p 12 yq q pra cn wae DM y°q | vg ap + YG xp P | | ya) | epeya | Wir werden der Reihe nach diese 9 Gruppen betrachten und ihre zugehörigen invarianten Differentialgleichungen zwei- ter und höherer Ordnung bestimmen. 4. Zuerst betrachten wir die zweigliedige Gruppe 9, yq- Die zugehörige Determinante QD a A= Oy verschwindet identisch; dies beruht darauf, dass jede Curve (d. h. Gerade) der Schaar æ = Const bei der Gruppe inva- riant bleibt. Zur Bestimmung der invarianten Differential- gleichungen m!® Ordnung fæyn +++ Ym) = 9 bilden wir die beiden Gleichungen år Yo Wal ar: df a Ul incre ny PES aie 0. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, 213, It m > 1, so ergiebt sich, dass f eine arbitråre Funktion der Grössen Yı Yı Yi ist. Wenn dagegen m = 1 ist, so können die beiden Glei- chungen af _ df af _ dy IE 0, yNayı“ 0 nur dann gleichzeitig bestehen, wenn y; =O ist; es ist nehm- lich an sich unmöglich, dass / nur x enthält. Zu den hier- mit gefundenen invarianten Differentialgleichungen muss die Gleichung 1 : Vi gefügt werden. Dieselbe entgeht uns bei unserem Coordina- tenwahl. Dieselbe Bemerkung ist bei allen Gruppen dieser Paragraphen zu machen. 5. Die zu der Gruppe p, 9, yq gehörige Determinante 1 0, 0,| Ar = OO 0 y yı verschwindet nicht identisch. Sie liefert die invariante Dif- ferentialgleichung erster Ordnung y, = 0, wozu wie soeben die Gleichung ae O zu fügen ist. ar Die invarianten Differentialgleichungen f=0, deren Ord- nung grösser als 1 ist, werden bestimmt durch die Rela- tionen df af _ af df af 47 0 dy — 0, Yay dy, Ba. aa 214 Sophus Lie. und somit ist / eine arbiträre Funktion von 6. Die zu der Gruppe p, 9, yq, xp gehörige Determi- nante NO, 00 190 et OR 20 =-YiYe DEN alls æ 0 -y, -2y, verschwindet nicht identisch. Es giebt drei invariante Dif- ferentialgleichungen, deren Ordnung kleiner als 3 ist, nehmlich 1 V1=0, 7-90, 7-0 Zur Bildung der invarianten Gleichungen höherer Ordnung f(&y : - : Ym) = 0 bilden wir vier lineare partielle Differen- tialgleichungen, unter denen zwei nur aussagen, dass / von x und y unabhängig ist. Die beiden übrigen Gleichungen af af af erst Tech use —— = 7, oO OI Å to : af df af Yo dye are CN are zeigen, dass f eine arbiträre Funktion von Ys NY Ya Um Yo" ? Yo ; ist. 7. Die zu der Gruppe p, g, «p+cyq gehörige Deter minante Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 215 No: LAO =(c-1)y; |æ cy (c-ly, verschwindet identisch dann und nur dann wenn c = 1 ist. Diesen Ausnahmfall berücksichtigon wir nicht in diesem Pa- ragraphen, indem die Gruppe p, 9, ep+yq einfach unend- lich viele Differentialgleichungen erster Ordnung, nehmlich jede Gleichung der Form Yi = Const. invariant lässt. 3 Wenn c verschieden von 1 ist, so lässt unsere Gruppe nur zwei Gleichungen erster Ordnung nehmlich y, = 0, und 20 Yı invariant. Die invarianten Gleichungen höherer Ordnung f = 0 werden bestimmt durch df df x df 1 df DE an dy” 0, (c Dry, +(c 2) gay Tt Te Ye ae so dass f eine arbiträre Funktion der Grössen Yo i Ym 9 Oo oF 0 em ut VE sein muss. Diese Bestimmung bleibt auch dann gültig, wenn m gleich einer unter den Zahlen 2, 3, .. . m ist. 8. Die zu der Gruppe 9, yg, y’q gehörige Determinante KO 7710 216 Sophus Lie. verschwindet identisch, indem jede Curve (d. h. Gerade) der Schaar æ = Const. bei unserer Gruppe invariant bleibt. Zur Bestimmung der invarianten Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung bilden wir die Gleichungen df ne RCE nen d Vi'dy, By Hanna +80) TE re deren Lösungen sind 33 Yi Ys ~9 92 Paints. Doz pese Mier st a Yi Yr Ya + 34, 4919245 ee Y1° Man verificirt leicht, dass gm, (Sieh die Einleitung) eine Funktion von x, @, und 5 ist, indem då dP» Ps = dr ist. Jede bei der Gruppe g yq y*9 invariante Differential- gleichung von dritter oder höheren Ordnung hat somit die Form dp, & ee wo 9, den obenstehenden Werth besitzt. 9. Die zu der Grupppe p q yq y°q gehörige Deter- minante LNG DD Ko Leo 0 A = |= 2y,° ORY RER, 0 y? 2yy, 2yy2+2y,? Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 217 verschwindet nicht identisch; es giebt, sieht man, keine. in- variante Differentialgleichung zweiter Ordnung. Durch Rech- nungen, die mit denen der vorangehenden Nummer fast identisch sind, findet man zur Bestimmung der invarianten Differentialgleichungen dritter und höherer Ordnung die Werthe De p Me ie p _ dp, _ V1 Va ~4Y1 2 Ys +3 Yo? ! yy +" : da 9 und überhaupt dEo = de Die betreffenden invarianten Differentialgleichungen ENGE die Form | f(91 Po». . px) =0: 10. Die zu der Gruppe p+g, æp +yq, ap + y°q gehö- rige Determinante Tilde 0 Mele gr 0 = 2(y-«) y; wy? Ay-æ)y, verschwindet nicht identisch. Die Gleichung y-æ=0 bestimmt eine invariante Curve. Die invarianten Differential- gleichungen zweiter und dritter Ordnung werden bestimmt durch die Gleichungen ar, df =0, de dy ed ar, car af 4 Zen + Yay Ve dy, "sy, .d af d Weg, + 2-42) urn + [y - 64) y5 ++ 69192 GITE = ip), 218 Sophus Lie. unter denen die erste uns lehrt, dass f die Grössen x und y nur in der Combination u=æ-y enthält. Die beiden letzten Gleichungen erhalten durch Einführung von w als Variable statt x und y die Form ING df Im "Yo dy, Po 2uy, FL 8uy,-2y*+2p1) = +[4uYs - 6%, Y5 +64,] Få 0. Wir führen die Lösungen der ersten Gleichung nehmlich Yir Ua = Var WY3 = Va als Variable in die letzte Gleichung ein; dies giebt PN Bip oe 7 + Bu - 2y,2+ 2y,) å + avr TE 0. Die entsprechenden Lösungen -3 I -3 Va Y: +2 (y,° + Ya )=9, å 1 ba ; V3Y1 +6Q, (y,° + Yi 2) - 6(y, +911) = 9» sind die gesuchten Grössen p, und py. Es bleibt nur übrig die Werthe von v, und v, einzuführen. 11. Die zu der Gruppe p, 9, ya, xp, y’q gehörige De- terminante 10.2020 0 0 12,04 11,0 0 AO Va =4y1"(0143- 31: æ 0 -y; '-2y, -3Y3 O y 2yy, 2YYat2Y1 2yys+6y1y> Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 219 verschwindet nicht identisch. Es giebt ausser y, =O und +_ouw eine invariante Differentialgleichung, deren Ord- 1 nung nicht 3 iibersteigt, nehmlich 2Y1Y3 -3Y,” = 0*). Zur Bestimmung der Grössen 9, 9, bemerken wir, dass sie als Funktionen der drei Grössen dæ y: yy" yi? 3 (3) lu, _ dw, _ Ya 49242 , 392 I _ wi _Ys. 5294 | LES +17 2248 Ya gl CTA Y1° Y1° Y1° Yı“ durch die (der infinitesimalen Transformation æp entspre- chende) Gleichung af B,f=Yr dy, EL af = Ya +89 +4ysz,- = du ts a bestimmt sind. Nun aber ist B,w; =2w,, Biw, =3w,, B,w, =4w, und also wird 0-20, + u Er nn Die Lösungen dieser Gleichung *) Die invariante Differentialgleichung der Textes bestimmt alle Kegel- schnitte durch zwei gemeinsame Punkte. Diese Kegelschnitte werden durch passenden Coordinatenwahl alle Kreise der Ebene (oder alle Kreise einer Kugel). 220 | Sophus Lie. Ws Ws PP 3? ge m: Wi 1 sind die gesuchten Grössen 9, und ø,. 12. Die zu der Gruppe | D Q ya ap y’a xp gehörige Determinante Ya -4y, 100 0 0 PG 0 HA DEG OG Yo Ys Ne æ 0 AU 20 JV; 0 y 2yy, 2Yy2+2Y,? 2YYs+0Y1Y2 2YYi+8Y1Y 3 +027 æ 0 -2æy, -Axy,-2y, -62y3-6Y, -8æy,-12y3 hat den nicht identiseh versehwindenden Werth A=-4y,(2y1Ys - 392)”. Es giebt daher ausser y, =0 und 70 nur eine invariante 1 Differentialgleichung, deren Ordnung kleiuer als fünf ist, die folgende nämlich: 2y1Y3 3%, = 0. Die zu der Gruppe gehörigen Grössen p, und g, sind Funktionen von den früher (3 ) gefundenen Grössen 3 VI Vane 2° *) We = Na 4293437 2° Wz =5-5 7994-47374 110999 -Im,* wWi=%3"61575=187574 + 217004 + 482003 - 810213 + 3673" *) Im Texte setzen wir überall mi statt 1 Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 291 und zwar genügen sie (den Transformaticnen wp und xp entsprechend) den beiden Gleichungen AVD df df En er + 273 dns a eas ee RR af af af ds Pi de: + 37» de + 673 ne De A Nun ist Aw, = 2w,, Aw, =3w,, Aw, = 4w,, Aw, =5w,, Bw,=0, Bw,=2w,, Bu,=5w,, Bw, =9w,. Daher sind 4, und 9, bestimmt als Funktionen von den wx durch die Gleichungen 20, G+ BW) = + 4w, = + Bu Gå 0, 20 ae + Ban, Gå + Iw, a = 0 deren Lösungen sind 2 4Aw,w, -5w, w,? Pa ? 2 j Å 3 9 Po 2) wı Führt man hier die Werthe der Grössen wx ein, so erhält man die Ausdrücke von 4, und g, als Funktionen von den yx. | Such Gruppen, die eine und nur eine Differentialgleichung erster Ordnung invariant lassen. Gruppen, die eine und nur eine Differentialgleichung 1. O. invariant lassen, können (Göttinger Nachr. 1874, Math. 992 Sophus Lie. Annalen, Bd. XVI) aut eine unter den folgenden canonischen Formen gebracht werden, wobei X; eine Funktion von x, e und c Constante bezeichnen. 9. X] X19 . X,9 X14 q ö Å a a X,9 p q Arq Aq Ar æ'q yq p Ag Yq p+eyq p æp+eyg q | g | q | q xq æg | xq | xq xg æg | xg xg p ya ip p æp+[(r+ly+atH]g p \2aeptryq| vg ap |x°p +rxyq| xp | æp+ræyg å » va æp + yg à æp æp+2æyg| |xp+æyg Wir werden successiv diese canonische Gruppen betrachten und ihre invariante Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung bestimmen. 13. Die zur der Gruppe p, ap+yq, xp + 2xyq gehörige Determinante Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 29 Qo Ae a AE 0 |= 2%? a? 2oy 2y verschwindet nicht identisch. Die invariante Gleichung 1. O.: ro Vi ( entgeht uns bei unserem speciellen Coordinatenwahl. Die Grössen p, und p, haben als Lösungen der Glei- chungen df _ df df af da: Y ay en ne df ark ——+y, —— = 0 4 dy, 1 dy, die Werthe P1=2YY2-V1": Pa =YY3- 14. Die zu der Gruppe yg, p, xp, xp + xyq gehörige Determinante 23010‘ VE A Yo æ 0 04 -2Y 5 x LY Y-LY, dy, verschwindet nicht identisch. Die Gruppe lässt daher eine Gleichung zweiter Ordnung und zwar y, = 0 invariant, was darauf hinauskommt, dass die Gruppe eine lineare ist. Die Grössen 9, und 9, befriedigen die vier Glei- chungen 294 Sophus Lie. df = df df df df ye age + ya, = 0, und haben somit die Werthe Ya +3Y: pule Vi Y Ys _ BY YoY - Ayy.” Po = Yo 15. Die zu der Gruppe X,q... ÆX:q gehörige De- terminante verschwindet identisch, da jede Curve (d. h. Gerade) der Schaar æ = Const. bei der Gruppe invariant bleibt. Zur Be- stimmung der invarianten Differentialgleichungen (GU Ge 66 yo) 0 bilden wir die r Gleichungen df df af i fst... + XM] © dy ay, Å Ym 7 die nur wenn m > r - 1 ist, andere gemeinsame Lösungen als x besitzen können*). Für m = r ist, wie man leicht verificirt, ausser æ zugleich die Determinante *) Der Schluss im Texte beruht darauf, dass die Xx in dem Sinne unab- hingige Funktionen von x sind, dass keine Relation der Form * Z ci Xi=0 mit constanten Coeffieienten besteht. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 225 20 sss Me kne oe XO DEE oe Yr eine Lösung. Wir können daher P,=%, @, = D*) setzen. Setzt man überhaupt JG end 2G CEE EM DAT UE NE ED) U sn oe eo å Yr—1 Yr+i | so ist D; immer eine Lösung der Gleichungen (4), dabei vorausgesetzt dassm>r+i. Man kann daher Pi = D; setzen. 16. Die zu der Gruppe X,q... X.q ya gehörige De- terminante A verschwindet identisch. Die invarianten Diffe- rentialgleichungen / = O sind bestimmt durch die (r+ 1) Gleichungen lo: Ar, dı, d Um Aar GE FL ay ole Ym ie =0; Dieselben haben (ausser x) keine gemeinsame Lösung wenn m Po D etc. setzen können. Die px sind Brüche, deren Zähler und Nen- ganze und lineare Funktionen (mit constanten Coefficienten) von ¥¥,y¥, - . . Sind. 19. Die Determinante A der Gruppe qæaq....ælgp xp + cÿq hat den Werth 1 Ce U ee ee 0 0 1 Ore ea oes à : 0 0 Gå 1 0 ol Gala ee. ee 0 æ cy (c-ly, > > . (¢-r-1)yr4 (c-7) yr d. h. es ist, wenn wir einen nicht verschwindenden Faktor wegwerfen A — (c = 1) Yr. Å verschwindet daher nur, wenn c=r ist. Ist ¢ Zr, so ist yr = 0 (ausser = = 0) die einzige in- variante Differentialgleichung, deren Ordnung nicht r über- steigt*). Die Grössen 9, @, ... sind (Nummer 15) Funk- tionen von 2 D D, ... und erfüllen überdies die Rela- tionen di. pe af Gin ae eae an 0, Dag OG + (c- Du . =0. *) Auch jetzt soll der Fall r = 1 ausgeschlossen sein. | Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 231 Nun aber ist, wie man durch Ausführung findet, indem man unwesentliche constante Faktoren wegwirft D=y, Dy = yeti, Do = Yr42--- Also wird Yr+1 V Yr+2 Pur e-r=17 Dose e-r-2? Yr e-r Yr c-r Zurück steht der Ausnahmfall c=r. In diesem Falle verschwindet A identisch. Man findet, dass = = 0, yr = Const.*), yr41 = 0 Ent die einzigen invarianten Differentialgleichungen sind, deren Ordnung nicht r + 1 übersteigt. Die Grössen 9, gp, sind Funktionen von Vis Vito Yi. bestimmt durch die Gleichung df f df r SEP AE + 2 r Tr: + v.= 0 Yr+1 dyr Yr+2 dyr42 Yr+3 dyr4s Daher wird Yr+2 Yr+3 = Ur = = etc. P1 = Yr, Po Yi? F3 Yan 20. Die Determinante A der Gruppe g æq... xq p ap+(ry+ 2")q hat den Werth gå N=yfr-1). i 362.1 *) Ist insbesondere »=c=1, so giebt es «o! invariante Differentialglei- chungen 1. O. (Sieh $ 4). 232 Sophus Lie. und verschwindet somit weder identisch noch für specielle Werthe der Variabeln. Ausser = 0 giebt es daher keine i invariante Differentialgleichung, deren Ordnung nicht r über- steigt. Die Grössen 9, 9, sind bestimmt durch die Re- lation df dyr+2 ener, r(r-1)... Bool age ee - = und haben daher, wenn man zur Abkürzung r(r-1)... 3.2.1 2 setzt, die Werthe (0%) 2&y. 30 Pi = Ye oe Pa = Yr+2€ N, P3 = Yr+3 é Ir etc. 21. Die Determinante der Gruppe q aq... @ lq yg p ap hat den Werth: K= Yr Yr+1 Es giebt daher drei invariante Differentialgleichungen, deren Ordnung kleiner als r+2 ist, nämlich 1 | K ert Yr = 0) Die Grössen 9, pg, ... hängen nur von yr, Yr+1 Yr+2 . » ab und erfüllen dabei die beiden Gleichungen df df d et Yr Yr — = Y dy, Yr+1 je Ya yi 0 df df Yr+1 dyr + 2Yyr42 Re 1. =0. *) Der Fall »= 1 ist im Texte ausgeschlossen. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 233 Sie besitzen somit die Form Yr Yr+2 Er ne ”Yp43 re ya“ 22. Die Determinante A der Gruppe | Q, æQ,.... a9, p, 2xp + (r - 1)yg, .æ°p + (r - 1)xyg besitzt (wenn wir von einem nicht verschwindenden constan- ten Faktor wegsehen) den Werth: y,”. Es giebt daher ausser 0 nur eine invariante Gleichung nämlich y,=0*), deren 1 Ordnung nicht r + 1 übersteigt. Die Grössen 9, 9, . sind Funktionen von y;y:4; . . . und erfüllen dabei die bei- den Gleichungen af af ee +(r+5) por .=0 Bf=(r+ 1) pepe (+3) af ane 2 (r + 2) Yr+1 AEG + 3) ? Yr+2 df d (r => 1) Yr d an er: Die Lösungen der letzten Gleichung sind Yr, (r + 1) Yr Yroe = (r +2) Yrqa? = u (r+ 1)’ y Yr+s = 3(r+ 1)(r Le 3) YrYr+1Yr+2+ 2 (r+2)(r 95 3) Yr =%- Fihrt man dieselben als Variable in B Vie 0 ein, so kommt die Gleichung af af af (r+1) yr 458 2(r+5) u dat Sr +3) u] ea mit den Lésungen *) Der Fall r=1 soll im Texte ausgeschlossen sein. 234 Sophus Lie. Pi 2r+3) Yr r+1 Uy De 343) de 23. Die Determinante À der Gruppe q æq... «lg yq p xp xp +(r-1) æyg hat den Werth A=yrlr+2) Yoo? = (r + 1) Yr Yıra] dabei vorausgesetzt, dass wir von einem constanten, nicht verschwindenden Faktor wegsehen. Es giebt daher ausser EN nur zwei invariante Differentialgleichungen, deren Ord- Yı nung nicht r +2 übersteigt. Die eine ist y. = 0 *), die zweite kann auf die bemerkenswerthe Form 1 u pop gebracht werden. Die Grössen @, @, . . . unserer Gruppe sind Funktio- nen von den px der vorangehenden Gruppe. Ueberdies er- füllen sie, der Transformation yg entsprechend, die Relation af | af 1 r =r r: et r — + sad = 0; y dy, un Yr+2 1 daher können wir, indem wir die Symbole uw, w,, u, in der- selben Bedeutung wie in der vorangehenden Nummer brau- *) Der Fall»=1 soll im Texte ausgeschlossen sein. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 235 chen, den Grössen px unserer Gruppe die folgenden Werthe beilegen: un Us Pye mue Po 7: u U 8 4, Gruppen, die unendlich viele Differentialgleichungen 1. O. invariant lassen. Wenn eine Gruppe unendlich viele Differentialgleichun- 1. O. invariant lässt, so kann sie auf eine unter den drei folgenden canonischen Formen gebracht werden > FAU RTE | q q D xp + yq zp + yq Wir werden successiv diese drei canonische Gruppen betrach- ten und ihre invariante Differentialgleichungen bestimmen. 24. Die Determinante A der Gruppe p q ap + ya: 100 A=0 10 ee AY) verschwindet identisch. Die invarianten Differentialgleichun- gen sind bestimmt durch die Relationen . ao, 2 0, Zar lei 0 dy, 236 Sophus Lie. Daher sind Yi = Const, y, = 0 die einzigen invarianten Differentialgleichungen, deren Ord- nung nicht 2 übersteigt. Die Grössen 9, @, ... haben die Werthe : verschwindet nicht identisch. Die Gerade”x=0 bleibt bei der Gruppe invariant. Die Grössen 9; sind bestimmt durch die Relationen ET yt SE Vay NOTED Oe me do das Aula lem gere EO und haben daher die Werthe: pP," Ya; Po = V3 2,0, VAT. > 25. Wenn endlich eine Differentialgleichung die einzige infinitesimale Transformation p gestattet, so besitzt sie die Form FG Yaga Ya) =0. Hiermit kennen wir canonische Formen aller Differen- tialgleichungen zwischen æ und y, die eine Gruppe von Trans- formationen zwischen æ und y gestatteu. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 237 S 5. Reduction einer beliebigen Gruppe auf ihre canonische Form. Wenn eine beliebige Gruppe von Transformationen zwi- schen x und y vorgelegt ist, so lässt sich immer, werden wir zeigen, durch ausführbare Operationen entscheiden, auf welche canonische Form sie gebracht werden kann. Ist diese Bestimmung geleistet, so verlangt die Reduction der vorge- legten Gruppe auf ihre canonische Form in den meisten Fäl- len nnr ausführbare Operationen; ausnahmweise wird jedoch die Integration einer Gleichung 1. O. nothwendig. Hieraus folgt, dass die Bestimmung der zu einer beliebi- gen Gruppe gehörigen invarianten Differentialgleichungen im ungünstigsten Falle die Integration einer Gleichung 1. 0. verlangt. 26. Wir zeigen’in dieser Nummer, wie man durch aus- führbare Operationen entscheidet, auf welche canonische Form eine vorgelegte Gruppe gebracht werden kann. Man bestimmt zuerst durch Determinantenbildung, ob es keine, eine, zwei oder unendlich viele invariante Differential- gleichungen 1. O, giebt. Existirt keine solche Gleichung 1. O., so hat die Gruppe 5, 6 oder acht unabhängige infinitesimale Transformationen. In jedem unter diesen drei Fällen giebt es nur eine ent sprechende canonische Form so dass eine weitere Discussion überflüssig wird. Giebt es zwei und nur zwei invariante Gleichungen 1. O., so fragt es sich zunächst, ob A identisch verschwindet oder nicht. Verschwindet A nicht identisch, so hat die Gruppe 3, 4, 5 oder 6 unabhängige infinitesimale Transformationen, und dabei ist die canonische Form vollständig bestimmt wenn die Zahl der inf. Transformationen gleich 5 oder 6 : 238 Sophus Lie. ist. Enthält unsere Gruppe drei infinitesimale Transforma- tionen B, f B, f B,f, so kann sie entweder die canonische Form p, 9, æp + cyg oder die canonische Form p + q, xp +yq, æ?p + y’q erhalten. Diese beiden Fälle lassen sich dadurch charakterisiren, dass die inf. Transformationen (B; Bx) in ersten Falle eine zweigliedrige Untergruppe bestimmen, wäh- rend sie im letzten Falle eine dreigliedrige Gruppe, nämlich die ursprüngliche Gruppe liefern. Enthält unsere Gruppe vier infinitesimale Transformationen, so kann sie entweder die canonische Form g yq p xp oder die Form q yq y’q p erhalten; diese Fälle lassen sie dadurch charakterisiren, dass die (B; By) im ersten Falle eine zweigliedrige Untergruppe im zweiten eine dreigliedrige Untergruppe liefern. Ver- schwindet A identisch, so kann die Gruppe entweder auf die canonische Form g, yg, oder auf die canonische Form 9, YI ya gebracht werden. Die Zahl der unabhängigen infinitesimalen Jens someone entscheidet, welcher Fall vorliegt. Jetzt setzen wir voraus, dass eine vorgelegte Gruppe Bf... Bsf eine und nur eine Gleichung erster Ordnung df a As apt Ya =Af=0 invariant lässt: Unter den infinitesimalen Transformationen k, B, +... + ks Bs giebt es einige etwa B,/, die eine Rela- tion der Form BOF = px (ay) Af erfüllen; es giebt ja nämlich jedenfalls r—3 inf. Transfor- mationen, die jede Integralcurve von 4f = 0 invariant lassen. Wir haben also 4 wesenllich verschiedene Möglichkeiten zu berücksichtigen. DBefriedigt eine jede inf. Transformation Bxf eine Relation der Form Buf = Pu (ap) AS, Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 239 so kann die Gruppe entweder auf die canonische Form X,g... Avg oder auf die Form X,g ... “iq yq gebracht werden. Das erste tritt ein, wenn alle (B; Br) =0sind. Die zweite Hypothese findet statt wenn die (B; By) nicht såmmt- lich verschwinden. b) Giebt es unter den s Ausdrücken B; f s-1 etwa B,’f... Bs, die eine Relation Bf = pay) Af erfüllen, so bilden die s-1 Transformationen B,/ eine Untergruppe, die der Categorie (a) angehört. Verschwinden alle (BX B®), so hat die Gruppe B,f die canonische Form vg. . X,q p + eyg, Wo & ohne Beschränkung gleich Null gesetzt werden kann. Verschwinden die (Bi B,®) nicht sämmtlich, so ist Xq... X,q yq p die gesuchte canonische Form. ce) Giebt es s-2 Ausdrücke B,/, die eine Relation - BOf=o. Af erfüllen, so bilden die Transformationen (B; B,) eine Unter- gruppe, die der Categorie (b) gehört. Eine zweite Untergruppe bilden alle Bx®f. Verschwinden die (B;® By) nicht sämmt- lich, so hat die Gruppe die canonische Form q aq... 2°!q yq p xp. Verschwinden dagegen alle (B,° B,°), so kann die Gruppe entweder die Form q 2q...2°— p xp + Kyq oder die Form qæq... æg p æp + (ry + æ')q erhalten. Um zwischen diesen beiden Möglichkeiten zu scheiden, bildet man die De- terminante A. Ist A ein nicht identisch verschwindender Differentialausdruck (s - 2)!" Ordnung, so hat unsere Gruppe die canonische Form q vq... 6 p ap + Kyq > Kar Verschwindet A identisch, so hat die Gruppe ebenfalls die soeben geschriebene Form, nur mit dem Unterschiede, dass 240 Sophus Lie. K=r ist. Wenn endlich A eine nicht identisch verschwin- dende Funktion von æ und y ist, so kann unsere Gruppe die canonische Form g 29... ag p ap + (ry + x") q erhalten. d) Giebt es s-3 infinitesimale Transformationen B,, so sind vier verschiedene Fälle möglich. Ist s=3, so kann die Gruppe die canonische Form p æp+yq æp+2xyg erhalten. Ist s = 4, so ist YI D ap xp+æyq die gesuchte canonische Form. Ist s > 4 und sind dabei (Bi By) = 0, so ist À q aq... ag p, 2æp+(r-1) yg, xp + (r-1)æyg die gesuchte canonische Form: Sind dagegen die (B;0B,0) nicht sämmtlich Null, so kann unsere Gruppe die canonische Form q xq... ag, yd, p, xp, x”p+(r-1)æyq erhalten. Wenn endlich eine vorgelegte Gruppe unendlich viele Gleichungen erster Ordnung invariant lässt, so kann sie auf eine unter den drei Formen 054, P+eyg;p q 2p+ ya gebracht werden. Die Anzahl der unabhängigen inf. Trans- formationen entscheidet, welcher Fall vorliegt. Also ist es uns wirklich gelungen durch sehr einfache, im- mer ausführbare Rechnungen zu entscheiden, welche cano- nische Form eine vorgelegte Gruppe besitzt. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 241 27. Hat man nach den soeben entwickelten Regeln die zu einer beliebig vorgelegten Gruppe gehörige canonische Form bestimmt, so stellt sich die Frage, wie die Ueberfüh- rung auf diese Form wirklich geleistet wird. Ich gebe eine kurzgefasste Erledigung dieser Frage. Lass uns zunächst ein einfaches Beispiel betrachten. SeiB,f.. . B,f die vorgelegte Gruppe und p,, 91, 21014191 ihre canonische Form. Bilde ich dann die (2; Bx) so erhalte ich eine zweigliedrige Untergruppe, die überdies in der vier- gliedrigen invariant ist. Sei B, B, diese ose Ich bilde die Gleichungen (c; B, +05 B,, B,)=k,(c,Bı +c, By) (c,B, +c,B,, By) =k, (¢, By +c,B,) in denen c; c, k, k, Constante bezeichnen sollen. Das Ver- hältniss 2 wird bestimmt durch eine quadratische Gleichung, 2 deren Wurzeln ich ohne Beschränkung gleich 0 und ~ setzeu kann. Alsdann sind B, und B, die beiden einzigen invari- anten Transformätionen unserer Gruppe; sie entsprechen daher p, und g,. Darnach wähle ieh B, und B, so, dass die fol- genden Relationen bestehen (B,B;)= B,, (B,B,) ae 0, (B,B,)= B, (B,B;) = 0, (B,B,)=0. Setze ich sodann . B,=&,p+19=p1,, B, = &,p + 739 = qi B, = &3) + 439= 4101, By -8,P +49 = 9191 so finde ich Ga ts ' Cr Ta == ; i Ei pe LIDE gr UE Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 8 B, 16 242 Sophus Lie. Durch Einführung der hiermit bestimmten Variabeln +, y. erhält die vorgelegte Gruppe B;f ihre canonische Form. Als zweites‘ Beisplel betrachte ich eine dreigliedrige Gruppe B,f B,f B,f, die auf die canonische Form 41 %19, Y19, gebracht werden kann. Ich bilde die drei Aus- drücke (B; B,), die eine zweigliedrige Untergruppe etwa B,° B,° bilden. Dabei kann ich ohne Beschränkung an- nehmen, dass B,° B,° und B, unabhängige infinitesimale Transformationen unserer Gruppe Sind; durch Mnltiplieation von B, mit einer zweckmässigen Constante erreicht man, dass Relationen der Form (8,"B,%=0, (B,°B,) = B,°, (B,° By) = B,° bestehen. Sodann setze ich B,"=&,p+m9>4 B,"=&,p +7297%% B,"=8&,p+139= 9191 woraus durch Elimination von q, (8: -2,81)p + (m -20,7,)4=0 (3-Y1 51) P + (75 - Yy,9,)9=09 und ul 1 1 &z 17 Vi et) UD 1 fr Hiermit kennen wir eine Punkttransformation, vermöge deren unsere Gruppe auf ihre canonische Form gebracht wird. In den beiden vorangehenden Beispielen hat die Reduc- tion der vorgelegten Gruppe auf ihre canonische Form weder Quadratur noch Integration von Differentialgleichungen Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 243 sondern nur Differentiation und andere ausführbare Opera- tionen verlangt. Als drittes Beispiel betrachten wir eine dreigliedrige Gruppe B, B, B, mit der canonischen Form q æg p. Wir bestimmen wie in der vorangehenden Nummer die invariante Gleichung 1. O.: Af = X a Y ar. und suchen darnach dæ dy ‘ alle infinitesimale Transformationen B°, die eine Relation der Form Bio f= pr(ay) Af erfüllen. Lass mich annehmen, dass B,f und B,f in dieser Lage sind. Dann kann ich ohne Beschränkung voraussetzen, dass die folgenden Relationen bestehen: (B, Bs) = 0, (B, B;) i B,, (B, By) = 0. Alsdann setze ich B,=&,0+71,9=49 B,=8&,0+7139=%,91 B,=63P +34 =P woraus zunächst bo _ Me æi, = a 71 hervorgeht. Die Grösse y, ist eine Lösung der Gleichung af BA ed dæ, =0= 837 %N3 dy (4) und diese Gleichung gestattet die bekannte infinitesimale Transformation 9,=8&,0+7,4; daher findet man ohne weiter einen Integrabilitåtsfaktor und für y, den Werth | : 16* 244 Sophus Lie. Y - [fé 3 ay - pr å &,13 "637 Als viertes Beispiel betrachten wir eine zweigliedrige Gruppe B, B, mit der canonischen Form 9, æ,p,+%191- Wir können ohne Beschränkung annehmen, dass (B,B,)=B ist. Wir setzen B,=-X,p+Y,q=qı B, = A,p + Yo: = 2, Pi + 4191. Dann ist x, eine Lösung der Gleichung af oxy A dy: eg tee mit der bekannten infinitesimalen Transformation B, f. Also ist der Ausdruck N = dy- Y, dæ JE SET, eine Funktion von +, und zwar, wie wir jetzt zeigen, gleich log. æ,. . Es ist nach meinen bekannten Formeln (4,4;)=0, (tip: + Yı9ı #1) = ay das heisst dæ, da, _ da, | dæ, _ an 0, AL ne aah gee woraus re a) re (at pies y,) dog a en Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 245 und X, dy - Y, dæ u NE wie behauptet wurde. — Zur Bestimmung von y, bilden wir die Gleichungen (di Ya) = 1, (01P1+ 41915 Yı)=Yı oder die aequivalenten woraus die Relationen eae ba | (A,Y,-%, Er FG d (Xi Fr Kr VG ir vermöge deren y, durch zwei successive Quadraturen be- stimmt wird. Als fünftes Beispiel betrachten wir eine zweigliedrige Gruppe B, B, mit der canonischen Form g, y,q,. Dabei können wir annehmen, dass (B,B,)= B, ist. Wir setzen B,=Xip+Yiq=q% B, = X,p + Y,q = yıqı woraus \ Xi me 1 er) Die Grösse x, ist eine ganz beliebige Lösung der Gleichung 246 Sophus Lie. d X] x, thay, -- 0, _ deren Integration somit erforderlich ist. Sei jetzt überhaupt B, ... B, Bi- Korg, eine beliebige vorgelegte Gruppe und C, ... C, ek C; f= Sig Ni dy; ihre canonische Form, die nach den Regeln der vorangehen- den Nummer bestimmt wird. Wir können in jedem ein- zelnen Falle die B;f derart wählen, dass die r Gleichungen B, f=C,f; B,f=C,f, GO B,f=C,f bestehen können. Können diese Relationen zwischen æ y p q und &, y, 2, 9, hinsichtlich x, y, aufgelöst werden, so ist hier- mit die gesuchte Punkttransformation gefunden. Ist eine solche Auflösung unmöglich, so bildet man zunächst die Ausdrücke Ga, Gy, die bekannte Funktionen von x, und y, sind und setzt sodann dæ, Bia, - Xi +72 - Gay. B una 20 Yı “da Ha Dies giebt 2r Differentialgleichungen 1. 0. zwischen x, y, y und æ, die im Allgemeinen zur Bestimmung von æ, y, Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 247 durch Quadratur genügen. Nur wenn die canonische Form ‚die eine unter den drei folgenden ist 915 In Y1913 A1 YiN Ya Qi ist die Integration einer Differentialgleichung 1. O. noth- wendig. Wenn eine beliebige Gruppe von Transformationen zwi- ‚schen x und y vorgelegt ist, so entscheidet man zuerst durch Differentiation auf welche .canonische Form sie gebracht werden kann. Ist dies geschehen, so-verlangt die Reduction auf diese canonische Form im Allgemeinen nur ausführbare Operationen. Nur wenn die betreffende Form eine unter den folgenden ist, 9; HYG 29, 9 wird die Integration einer Gleichung 1. O. nothwendig. 28. Sucht .man alle bei einer beliebig vorgelegten Gruppe zwischen æ und y invarianten Differentialgleichun- . gen, so bringt man die Gruppe zuerst auf ihre canonische Form und stellt sodann ohne weiter die betreffenden Differen- tialgleichungen auf. Dies giebt den folgenden Satz, der die wichtigsten Er- gebnisse dieser Abhandlung resumirt. Ist eine ganz beliebige continuirliche Gruppe von Trans- formationen zwischen x und y vorgelegt, so findet man alle invarianten Differentialgleichungen ohne Integration von Diffe- rentialgleichungen, wenn die Gruppe mehr als drei infinitesi- male Transformationen enthält. Giebt es drei inf. Transfor- mationen mit der canonischen Form q yq y’q oder zwei inf. Transformationen mit der canonischen Form q yq oder end- dich nur eine inf. Transformation, so wird die Integration einer Gleichung 1. O. nothwendig. In allen anderen Fällen genügen Diferentiation und Quadraturen. 248 Sophus Lie. In diesem Satze wird vorausgesetzt, dass nur die infini- tesimalen Transformationen der vorgelegten Gruppe bekannt sind. Kennt man zugleich die endlichen Transformationen . dieser Gruppe, so kann man immer, auch in den drei Aus- nahmfällen die zugehörigen invarianten Differentialgleichungen ohne Quadratur oder Integration angeben. Januar 1883. Classification und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen X y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten, (Abhandlung 2) SOPHUS LIE. L der vorangehenden Abhandlung bestimmte ich die Form aller Gleichungen F(GYi Ya ++ Ym) = 0, die eine continuirliche Gruppe von Transformationen gestat- ten. In dieser zweiten Abhandlung entwickele ich die allge- meine Integrationstheorie aller derartigen Gleichungen, indem ich meine allgemeine Integrationstheorie von linearen par- tiellen Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen für die betreffenden Beispielen in Detail durchführe. ey Meine Abhandlung zerfällt in mehreren Paragraphen, deren jeder sich an einem bestimmten Paragraphen der ersten Arbeit als Fortsetzung anschlisst. Die dritte Abhandlung über diesen Gegenstand wird baldigst erscheinen. 250 Sophus Lie. SE Integrationstheorie von Differentialgleichungen mit be- kannten infinitesimalen Transformationen der Form X&)p+Y(yg. In diesem Paragraphen integrire ich succsessiv alle Differen- tialgleichungen 2** und höherer Ordnung mit einer bekann- ten Gruppe, deren infinitesimale Transformationen sämmtlich die Form X(x)p+ Y(y)g besitzen. Es wird dabei voraus- gesetzt, dass die | etreffende Gruppe keine andere Differen- tialgleichungen 1. O. als y'=0 und Til» 0 invariant lässt. 1. Gestattet eine Differentialgleichung m!* Ordnung die Ya 1 du = (ous. O08 dam? =(, Gruppe q, vg so ist sie, wenn wir = =~ setzen reductibel auf die Form Man integrirt diese Gleichung (m - 2)" Ordnung und erhält hierdurch eine Relation mit m-2 Constanten Ya -yı flea, :++ Am-2), aus der durch wiederholte Integration y be g/t) ax it y = fa 2 ft) ax 2. Gestattet eine Differentialgleichung m‘* Ordnung die Gruppe p, 4, yg, 80 ist sie, wenn wir hervorgeht. Ueber Difterentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 251 setzen, reductibel auf die Form dv d»-3y ) our... =0, Durch Integration dieser Gleichung (m-3)'** Ordnung erhält man eine Relation mit m-3 Constanten Va Ya )-0 1) Gen, dj... Am- = vga a die wir auch folgendermassen schreiben können Å Yo — (2) a) N P\y, dry)" ) = Man erhält daher jedenfalls durch eine, Quadratur eine Glei- chung, y, =y, F(z), die nach den Regeln der vorangehenden Nummer durch zwei Quadraturen integrirt wird. Nach der soeben angegebenen Methode verlangt die Integration einer Gleichung der Form % ra) (2) LA gi drei und zvar drei succssive Quadraturen. Ich entwickele jetzt in Uebereinstimmung mit meinen alten Integrations- theorien eine etwas verschiedene Methode, die allerdings ebenfalls drei Quadraturen, nicht aber drei successive Qua- draturen verlangt. Die Gleichung (2) ist aequivalent mit der linearen partiellen Differentialgleichung d d d d Af= ey, oe re n FFE =o, welche die drei infinitesimalen Transformationen d B,f=-_, Be lord” B ; f = yål y ay, "Ya ay, 252 | Sophus Lie. gestattet. Jetzt kann man in zwei Weisen ein dreigliedriges vollständiges System mit einer bekannten infinitesimalen Transformation bilden. Einerseits gestattet nehmlich das vollständige System Af=0, B,f=0, B,f-0 die infinitesimale Transformation B,f und daher hat die aequivalente totale Differentialgleichung y, Fady, -y, dy, = 0 einen bekannten Integrabilitätsfaktor nehmlich À wo ey Hs nF 1) O05 804% 0 A= [eye yk. 0120.20 OPE 2a Dies liefert ein Integral von Af=0 nehmlich (3) : JEG Y. AY» 2 Gore: Anderseits aber gestattet das vollständige System Af=0, B,f=0, B,f=0 die bekannte infinitesimale Transformation B,/f und daher liefert meine alte Theorie auch das Integral ne Yai) dat ya dy, -Y; dy, Const RIENE von Af=0. Aus den beiden hiermit gefundenen Integral- gleichungen erhält man durch Auflösung y, als Funktion von a, und darnach durch eine neue Quadratur y als Funktion von æ. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, 253 3. Gestattet eine Differentialgleichung mt Ordnung die Gruppe p, q, xp + cyq, wobei die Constante c von Null und 1 verschieden sein soll, so kann sie, indem wir PG a Po = Zs, Jet wien setzen, auf die Form d . d= -3 Å 10) Ber pea) 0 reducirt werden. Durch Integration dieser Gleichung (m-3)'* Ordnung erhält man eine Relation mit m-3 Constanten f(9,9,4,.:. ans) = 0. Kommt in derselben nicht 9, vor, so findet man durch Auf- lösung fo} Q MH 1 y, = K.y, und darnach y als Funktion von æ durch zwei (unabhängige) Quadraturen. Hat man dagegen zur Integration eine Glei- chung der Form å y YEYE F| = ye so setzt man woraus d erd ae = YU F| | = Ÿ (4) Diese Gleichung 1. O. zwischen den Variabeln y, und y, ge- stattet die infinitesimale Transformation | 254 Sophus Lie. af d (e- Ny ot, + (c - 2) Yo à und daher ist ) x 1 Vig (c-2y,-(e- Dy, 8 (e-1)yı (0-2) y, ein Integrabilitåtsfaktor und somit dy, - Ody, J (c-1)ys-(c-1)y,9 ein Integral von (4). Nachdem hiermit eine Relation zwi- y, und y, erhalten ist, bestimmt man y als Funktion von — x dureh zwei (unabhängige) Quadraturen. = Const. 4, Gestattet eine Differentialgleichung mt Ordnung die Gruppe » q yq xp, So ist sie, wenn wir von der unmittelbar integrablen Gleichung y"= 0 wegsehen, reductibel auf die Form D KØ) CARRE = wo 9, und 9, die Werthe Y1Y3 Yi Va P:1 = Ya” » P,= SN haben. Durch Integration dieser Gleichung (m - 4)!” Ordnung erhält man eine Relation zwischen pg, gy, und m - 4 Con- stanten: Pa =f (P,) wobei wir von dem einfachen Falle einer Relation 9, = Const. wegsehen. Es handelt sich also darum eine Gleichung der Form Je, Yt Ya = Ya 2 7 (ht) Yor Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 255 zu integriren. Wir setzen GLE: Ya CA dann wird du Yi Ys~ YoUs _ y Po~ Pa dy Y, Yon p,-1 u u P;, = ye? 9,15) ye sodass wir eine Differentialgleichung 1. O. der Form du (2) ey ee dv v? integriren müssen. Dieselbe ist homogen in « und v?, und also ist du-v F dv "ur = Const. eine Integralgleichung. Hiermit ist Alles redueirt auf die Integration einer Differentialgleichung dritter Ordnung der Form u=1(v) oder ne) 1 Dieselbe kann nach den Regeln der Nummer 2 erledigt wer- den. Es ist aber möglich einen anderen und einfacheren Weg zu gehen, wie ich jetzt in Uebereinstimmung mit meiner alten Integrationstheorie zeigen werde. Die vorgelegte Gleichung å Yo? = Y3 ) i VG yy" f Yo" ka: ist aequivalent mit der linearen . partiellen Differential- gleichung 256 Sophus Lie. d d d d Af = LE ee ae Wa = ’ welche vier boken infinitesimale Transformationen nehmlich 4 Me EE df df Bif=ar y dy, op dl Zen gestattet. Dabei bilden einerseits die Gleichungen Af=0, B,f=0,B,f=0, B,f=0 * ein vollständiges System mit der bekannten infinitesimalen | Transformation B,f und dem entsprechenden Integrale NE W) dy, + (yı W -Y2Y3) Wo + Yo"? - YıY3) Us, Ya Ya - 2Y1Y3° + 4142 W : und anderseits bilden die Gleichungen Af=0, B,f=0, B,f=0, B,f=0 ein vollständiges System mit der bekannten infinitesimalen Transformation B,f und dem entsprechenden Integrale = -2y, W) dy, + (9, W-3y 245) dus + 2ys* - 4145) dys Y2’Ys 7 2919s + Y192 W Eliminirt man y, und y, zwischen der vorgelegten Gleichung - = W und den beiden gefundenen Integralgleichungen, so erhält man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung P (Yo y,)=d, die durch zwei (unabhängige) Quadraturen erledigt wird. Ueber Differentialgleichungen, die’ eine Gruppe gestatten. 257 5. Gestattet eine Differentialgleichung mt Ordnung die Gruppe p +9, æp +ygq, xp + y’q, 80 ist sie, wenn wir Py =(@-Y) YoY 24242 +9,*) Da =(2-YW’Ysyı? + 69, (v1? +9?) -6m +19) setzen, reductibel aui die Form d”?9 O (9, 9: 5-10 mee Wir integriren diese Differentialgleichung (m - 3)' Ordnung und erhalten hierdurch eine Relation mit m-3 Constanten F(P1Pa 4 + d= 0. Enthält dieselbe nicht die Grösse 9,, so integrirt man die betreffende Gleichung 9, = Const., indem man nur die infi- nitesimalen Transformationen p +q und zp+yq berücksich- tigt. Dagegen ist es unmöglich eine Gleichung der Form Pa = F(9,) allgemein zu integriren; wåhrend man sie allerdings auf eine Riccatische Gleichung erster Ordnung redueiren kann. Dies soll jetzt gezeigt werden. Als Variabeln wählen wir die Grössen y, und g,. Es ist wie eine einfache Rechnung zeigt: dy, _ vile, n 2y,*-2y,*) dø, P2- FP; - 12. oder wenn wir / y, = z setzen o 4% _ zo, -22°-2 dp, F(9,)-$9,-12 Ist D(y,p,) = Const. eine Integralgleichung der soeben ge- fundenen Riccatischen Gleichung, so findet man die beiden Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 8 B, 17 258 Sophus Lie. er Integralgleichungen von 9, = F'(@;), durch Differen- tiation. Setzen wir nehmlich ; d Bi = a9) + y? D +2 - ai FE 7 a 291) 5 so ist nach mir B() = Const. und B(B(S)) = Const. ebenfalls Integralgleichungen von 9, = F(9,), und es genügt daher nachzuweisen, dass die drei Grössen 9, BØ und B(B(®)) unabhängige Funktionen von x y y, und y, sind. Es ist, da Bo, verschwindet: dd B(®)-2y-2). 9.5 | d do dd ee ee PY ril c 2_ m2 Sea B (B(Ø)) = 4(y Da Io: le x)y, Te und also sind die Grössen 9, BØ und B(B(9)) unabhängig hinsichtlich æ y y, und @, womit der Nachweis geführt ist*). 6. Gestattet eine Differentialgleichung mt“ Ordnung die Gruppe 9, yq, y?q, so ist sie reductibel auf die Form dw d”3 w = 0 (> En . open = 0 *) Die Entwickelungen des Textes liefern das einfachste Beispiel zu einem allgemeinen Theoreme in meiner Theorie der Transformationsgruppen. Gesetzt in der That, dass ein vollständiges System 4,f=0. .4rf=0 in den Variabeln x, .... zn 2- r inf. |Transformationen B,f .. Bn-rf gestattet, und dass es nicht gelingt ein Integral durch Differentiation zu bilden. Dann kann man ohne Beschränkung annehmen, dass die Bi f eine Gruppe bilden. Sei diese Gruppe nicht zusammengesetzt, und sei B,f.... Bof eine Untergruppe mit der grösstmöglichen Zahl Pa- rameter. Dann bildet man das vollständige System 4, f=0...Arf=0, B,f=0... Bpf=0. Gelingt es dasselbe zu integriren, so findet man immer die fehlenden Lösungen des Systems Ai/=0 durch Differentia- tion. In dieser Arbeit setze ich diesen Satz, den ich im Uebrigen früher in viel allgemeinerer Form aufgestellt habe, nicht als bekannt voraus. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 259 wo gesetzt ist. Wir integriren die Gleichung (m - 3) Ordnung Q = 0 und erhalten hierdurch eine Differentialgleichung 3. O. der Form 2 die wir jetzt auf eine Riccatische Gleichung 1. O. reduciren werden. Setzen wir ONE VAT so wird dz Ya Yr dæ y Y:° oder dz Ao å + F(a). (5) Ist W(z a) = Const. eine Integralgleichung dieser Ricca- tischen Gleichung, so findet man die beiden fehlenden Inte- gralgleichungen von w= F(x) folgendermassen durch Diffe- rentiation. Setzen wir © y° a+ 2Y 4% = + 2yy; + 2y FL = Eh so sind B W- Const. und B(B(W)) = Const. bekanntlich Inte- gralgleichungen von w= F(x); es genügt daher nachzuweisen, dass: W, BW und B(B(W)) unabhängige Funktionen von æ y y, und y, sind. Es ist B(x) =0 und Å dW dW B(W)=-7, B=-2,9:" dW dw BB(W)) = 4 +60 un 260 _ Sophus Lie. sodass W, BW und B(B(W)) wirklich hinsichtlich y x y, und 2 unabhängig sind. Hiermit ist die Integration von w = F(x) auf diejenige der Riccatischen Gleichung (5) zurück- geführt. | 7. Gestattet eine Differentialgleichung m*'* Ordnung die Gruppe 9 yq y?q p, So ist sie reductibel auf die Form dw A KØ) (w AR: ee dar = 0 wo wiederum co |< gesetzt ist. Man integrirt die Gleichung (m-3)* Ordnung, die offenbar immer auf eine Gleichung (m - 4)!* Ordnung reducirbar ist. Die hierdurch gefundene Differentialgleichung 3. O. von der Form w = F(x) wird darnach nach den Regeln der letzten Nummer auf eine Riccatische Gleichung 1. O. zuriickgefiihrt. 8. Gestattet eine Differentialgleichung mt Ordnung die Gruppe 7 49 Y°q P XD, so ist sie*) reductibel auf die Form wo w' RE ET P| Be? LA Wine re FAG ee *) Wenn wir von der unmittelbar integrablen Gleichung: 2y,y,-3y,2=0 wegsehen, Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 261 gesetzt ist. Man integrirt die Gleichung (m - 5)!" Ordnung Q=0 und findet hierdurch eine Differentialgleichung Po = 9) die wir folgendermassen schreiben w' U= wer ( 3 I WW: Diese Differentialgleichung gestattet zwei bekannte infinitesi- male Transformationen df af af af ay a und Va” Yı ae ke die in den Variabeln æ und w die Forn af af = ae und & A = 2w — besitzen. Also ist w' dw‘ - w°f. dw Zn 7 Const. eine erste Integralgleichung. Hiernach findet man durch Auflösung und Quadratur eine Differentialgleichung der Form w = F(a), die nach den Regeln der Nummer 6 auf eine Riccatische Gleichung 1. O, reducirt wird. Man kann im Uebrigen die Integration der Gleichung Pa=f(p;) in etwas anderer Weise durchführen, wie hier kürzlich angedeutet werden soll. Setzt man in der That u = Vu 3 y, 2 so wird 262 Sophus Lie. Ist diese Riccatische Gleichung integrirt, so findet man durch Differentiation zwei weitere Integralgleichungen von der Gleichung @, = f(p;), die man darnach auf eine Differential- gleichung zweiter Ordnung mit den beiden infinitesimalen Transformationen p und zpredueirt. Durch zwei Quadraturen findet man daher endlich y als Funktion von z. 9. Gestattet eine Differentialgleichung m** Ordnung die Gruppe Q YI YO p xp xp so ist sie, wenn wir von der integrablen Gleichung 24, y,-3y,7=0 © wegsehen, reductibel auf die Form qm 2) 10) (m DEE dor)” wo 4ww"-5w*” Didar TE 4 w°w""'-18wuw'w"+15w" Po = 9 und wie früher gesetzt ist. Durch Integration der Gleichung (m - 6)‘ Ord- nung Q=0 erhält man eine Relation der Form Pa = f(P1) die eine Differentialgleichung 3. O. in den Variabeln æ und w darstellt. Dieselbe gestattet drei bekannte infinitesimale Transformationen p, æp, æ?p, die in den Variabeln x w die Form df df Ce Chr af a NE UT UNI re Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 263 besitzen. Zur Integration unserer Differentialgleichung 3. O. führen wir die Grössen 3 u=w:w, p, =4w?w" -503%" als neue Variable ein. Dann wird (6) are Ist Wu p.,) = Const. eine Integralgleichung dieser Riccatischen Gleichnng 1. O., so findet man folgendermassen durch Differentiation die bei- den fehlenden Integralgleichungen von p, = f(@,), aufgefasst als Differentialgleichung 3. O. in w und x. Setzen wir af » n af dn’ - (zw + 10w!) x: dw Bf= x? - 4æw a (6æw' + 4w) so ist Bp, =0 Bie pa EM du du 2 BBW =16 Wa - Saw? aw du? du und da die Grössen W, BW und BBW hinsichtlich u 9, æ und w unabhängig sind, so findet man durch Elimination von x und 9, zwischen den drei Gleichungen (7) W = Const., BW = Const., BBW = Const. die Grösse w bestimmt als Funktion von æ: w= F(x). Diese Gleichung ist nun selbst eine Differentialgleichung 3. O. in y und x, die nach den Regeln der Nummer 6 ver- möge einer Riccatischen Gleichung 1. O. integrirt wird. 264 Sophus Lie. Hiermit ist die Gleichung sechster Ordnung 9,=f(9) vermöge zwei Riccatische Gleichungen 1.0. integrirt. Dabei ist indess zu bemerken, dass wir erst nach der Integration der ersten Hülfsgleichung (6) die zweite Hülfsgleichung 1. O. aufstellen könnte. Es ist aber nicht schwierig einzusehen, dass man die Integration von 9, = f(~,) auf die Integration zweier von einandern unabhängigen Riccatischen Gleichungen 1.0. zurückführen kann. Man bemerke in der That nur, dass die beiden Gruppen q yq y’q und p ap æ°p vollständig gleich- berechtigt sind. Vertauscht man daher im Vorangehenden die Grössen æ und y, so erhält man eine mit (6) analoge Riccatische Gleichung deren Integration ebenfalls drei Inte- gralgleichungen W, = Const, CW, = Const., COW, = Const. von @95=/f(@,) liefert. Dabei ist es einleuchtend, dass diese drei neue Integralgleichungen von den drei früheren (7) un- abhängig sind. Und also ist wirklich die Gleichung sechster Ordnung 9,=/(9,) auf zwei unabhängige Riccatische Glei- chungen 1. O. zurückgeführt. SI Integration von Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen der Form X(æ)p+ V(ay) a. In diesem Paragraphen entwickeln wir die Integrations- theorie von allen Differentialgleichungen von zweiter und höherer Ordnung mit einer bekannten Gruppe, deren sämmt- liche infinitesimale Transformationen die Form X (x) p + n(æy)g besitzen. Dabei wird ausdrücklich vorausgesetzt, dass die Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 265 betreffende Gruppe keine andere Differentialgleichung erster Ordnung als “70 invariant lässt, Gestattet eine Differentialgleichung m‘ Ordnung die Gruppe p, xp + yg, ~2p+2xyq, So ist sie, wenn wir 2YY. -Y1? = Pi, Y°Y3 = setzen, reductibel auf die Form dm-3 2. (9,2, ... P2) =0. dp,” 3 Man integrirt diese Gleichung 3. O. und erhält hierdurch eine Differentialgleichung 3. O.: Po =f (Pi), die wir jetzt auf eine Riccatische Gleichung 1. O. reduciren werden. Wir führen neue Variable ein, nehmlich y, undg,; dann wird dy, _Yı? +91 dp, Ap, — Sei W(y,@,) = Const. eine Integralgleichung von der soeben erhaltenen Riccatischen Gleichung: und sei Bf=-@ 4 + ae er Um (2y, -22y,) = Ya dann wird BW=2——y 1 W dw = 4y2 Dad BBW=4 ag, nnd da die Grössen W, BW und BBW offenbar unabhängig sind, so geben die Integralgleichungen 266 Sophus Lie. W = Const., BW = Const., BBW = Const. durch Elimination von y, und 9, die Bestimmung von y als Funktion von x. 11. Gestattet eine Differentialgleichung m‘* Ordnung die Gruppe VI D, ap, up + xyg so ist sie, wenn wir von der unmittelbar integrablen Gleichung y, = 0 wegsehen, reductibel auf die Form 0. (9122... eo) 0 wo 9, und 9, die Werthe: =y2yo*ty, + By? yi yo? Pa = BYYo Yai 4YYo Ys” haben. Wir integriren die Gleichung (m - 4)**Ordnung © =0, und erhalten hierdurch eine Relation Pr Sa) das heisst eine Differentialgleichung vierter Ordnung, die unsere Gruppe gestattet. Dieselbe soll jetzt auf eine Ricca- tische Gleichung 1. O. reducirt werden. Wir führen @, und u=(9%,"43)* als neue Variable ein. Dann wird du up,-2-2u? AP, %9,-39,2+6 Ist W(up,) eine Integralgleichung von der gefundenen Ric- catischen Gleichung, so setzen wir Bf = x? Å wy PAT BYG a -3 vy, GL -Geys+3p)gl Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 267 und bilden die Ausdrücke aw = BE at vn då d a 2 -2 aw 277. -2 1 BBW = u Su yt ys tte Syn? -2eyys) die offenbar von einandern und von W unabhängig sind. Daher erhält man durch Elimination von w und 2, zwischen den Gleichungen W=Const. BW=Const. BBW = Const. eine Relation der Form yy, = F(a), woraus als definitive Integralgleichung pe ke hervorgeht. Man kann im Uebrigen die Integration der Gleichung 2, = f(Q,) in etwas anderer Weise durchführen, wie ich hier kürzlich angeben werde. Bringt man in der That die vorgelegte Gruppe auf die Form Bj f=p,B,f=2xp+y9 B,f-ap+ayg B,f=yg so bilden B,f B,f B,f eine dreigliedrige Untergruppe und dabei bestehen die Relationen (B, B,)= 0, (B, B,) =0, (B; Bj)=0 (die, wie ich beilaüfig bemerke, aussagen dass B, B, B, eine invariante Untergruppe bilden). Bringe ich daher die Gleichung 9, =f(p,) auf die Form Ya = F(zyyıYsY3) 268 Sophus Lie. und ersetze sie darnach durch die lineare partielle Differen- tialgleichung af df df nie af Af= da * 41 ay ray, + Ys dy, rer 0, so bilden die Gleichungen Afi=0, Bf =0, B.f=0, B, fi="0 ein vollständiges System mit der bekannten infinitesimalen Transformation B,f. Das entsprechende Integral, das man ohne weiter aufstellen kann, liefert eine Differentialgleichung 3.0. mit der bekannten Gruppe 9, 22p +yg, xp +æyq. Sie wird nach den Regeln der vorangehenden Nummer auf eine — Riecatische Gleichung 1. O. reducirt. 13. Gestattet eine Differentialgleichung mt“ Ordnung die Gruppe 4.9, AG. Ag, so ist sie reductibel auf die Form 2(z DE ae 0, d gmt wo Be x” EO ON OG 09 DO 07500 0,0 Zen Ar X;' Ax; OP eo do Yr gesetzt ist. Durch Integration der 'Gleichung (m - r)® Ord- nung Q=0 erhält man eine Relation D = F(a) das heisst eine lineare Differentialgleichung ”'* Ordnung, die bekanntlich nach Lagranges oder Cauchys Regeln inte- Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 369 grirt werden kann, indem das allgemeine Integral von D =0 bekannt und gleich 30; X; ist. Ist die vorgelegte Gleichung m‘* Ordnung linear, so ist auch Q:=0 linear. Der bekannte Satz, dass eine lineare Gleichung m!” Ordnung mit r bekannten Partieularintegralen sich auf eine lineare Gleichung (m -r)!* Ordnung reduciren lässt, ist somit ein sehr specieller Fall unserer soeben ent- wickelten Theorie. Auch die oben besprochene Reduction der Gleichung D = F(x) auf die einfachere Gleichung D-0 fliesst als sehr specielles Corollar aus meinen alten Integrationstheorien. Ich werde diesen Zusammenhang in zwei etwas verschiedenen Weisen begründen. Sei die Gleichung D = F(z) auf die Form yr = Vo oder die aequivalente Form sg Oh Øko Sem ee gebracht. Diese lineare partielle Differentialgleichung ge- stattet r bekannte infinitesimale Transformationen: NE af Af (r-1) af Bf= BG + Mig +... +X ey) die paarweise in der Beziehung. (B; By) = 0 stehen. Also bilden die Gleichungen Af 0° BIO Be EDGE Os, Bop ein vollständiges System mit der bekannten infinitesimalen Transformation B,f; und daher findet man die entsprechende Lösung Wy durch Quadratur. In dieser Weise findet man 270 Sophus Lie. r unabhängige Lösungen von Af=0, deren Integration hier- mit geleistet ist. Die hiermit ausgeführte, prineipiel einfache Integration von D = F(x) ist insofern unvollkommen, wie sie nicht die explicite Formel der Grösse y als Funktion von x liefert. Daher füge ich die folgenden Bemerkungen hinzu. Setze ich X, DE OMD AGRE") eee + © © © © ee © + + 2 @ so kann die Gleichung D + F(x)=0 nach dem Vorangehen- den auf die Form aD. r dx + p(x) D. + f(x)j= 0 gebracht werden. Ordnen wir die letzte Gleichung nach den Grössen y;, so kommt (29 Ag 300 X,162) {y + @. Yr1} IPO 0 + f(x) = 0 und anderseits erhält D +F(x) durch Entwickelung, wenn wir zur Abkürzung | (AG AG NA setzen ; die Form: Ay. + Yr-1 To... + F(a). Durch Vergleichung findet man daher die folgenden Werthe von p(æ) und f(x): p(x) = En 7 f(a) = Fe) Ke N) Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 271 gesetzt ist, Also kann D+ F(æ)=0 die Form dD, | dlog A A, aot ge Dit Fla) =0 erhalten. Und durch Integration kommt 2 D, = À for Far Analoge Ueberlegungen geben uns die r Formeln Dix fa Fda, @=1...n und da die r Grössen D; linear und homogen in den Grössen Y Yı-.. %-ı Sind, so findet man durch Auflösung die be- kannte Formel der Grösse y. Man sieht leicht, dass diese beiden Integrationstheorien der Gleichung D+ F(x) = 0 im Wesentlichen identisch sind. 13. Gestattet eine Differentialgleichung mi“ Ordnung die Gruppe X19.-.. Xg Yq so ist sie reductibel auf die Form d log D drtlog D Dee de nz )- 0 wo D dieselbe Determinante wie in der vorangehenden Nummer bezeichnet. Durch Integration dieser Gleichung (m -7 - 1) Ordnung erhält man eine Relation d log D MOLE Å TE FP und durch Quadratur die lineare Gleichung D = ol F.dx 272 Sophus Lie. die nach den Regeln der vorangehenden Nummer. integrirt wird. 14. Gestattet eine Differentialgleichung m** Ordnung eine Gruppe der Form un X19.... Ag p, so ist sie reductibel auf die Form pie dnT op 2 P de der wo @ eine lineare und homogene Funktion mit constanten Coefficienten von y y,... y. darstellt: P=CY+CiYi +... + CrYre Man integrirt (= 0, die als eine Gleichung (m - r - 1)* Ord- nung zu betrachten ist. Hierdurch findet man eine Differen- tialgleichung rt Ordnung der Form Cy +... + y = F(a), die in der bekannten Weise integrirt wird. 15. Gestattet eine Differentialgleichung m‘* Ordnung die Gruppe X,q... Mg vg p, so ist sie reductibel auf die Form r-2 0 (9, 9» SEN Sj 9; p, und p, haben die Werthe 7. 22 p de da? 1 p 2 p wo @ wie soeben eine ganze und homogene Funktion mit constanten Coefficienten von y y,... Yr bezeichnet. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten 273 Durch Integration der Gleichung (m-r- 2) Ordnung Q2=0 kommt eine Relation Po =f (i) oder whe iti: LEERE pda dx . oder endlich Pen (2982). en) Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung erledigt man durch zwei Quadraturen, und erhält so eine Gleichung p = Fe) die in der bekannten Weise integrirt wird 16. Gestattet eine Gleichung mt“ Ordnung die Gruppe r—1 > q ©... Bq, p, xp + oyg CUT so ist sie reductibel auf die Form dp?) ? 1 wo Yr+1 > Yr+2 Pierce Tire re Yr * r Yr Car Durch Integration der Gleichung (m-,r- 2) Ordnung Q=0 erhält man eine Relation dy, er Yr+1 Ger Yr er (91); die eine Differentialgleichung 1. O. in den Variabeln y, und Yr+1 darstellt. Diese Gleichung gestattet die infinitesimale Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B 18 274 Sophus Lie. Transformation GA GEN ap wee HÅC=7) Yr df af dy. (ce-r-1)y4 dy” und also giebt eine Quadratur eine Bestimmung von y.…, als Funktion von y. Darnach giebt eine zweite Quadratur y, als Funktion von æ und endlich findet man vermöge r neuen Quadraturen y als Funktion von æ. 17. Gestattet eine Gleichung m‘* Ordnung die Gruppe qaq...æ"9paæp+ryg, so ist sie, wenn wir von den integrablen Gleichungen Yr+1=0 y' = Const. vegsehen, reductibel auf die Form å d=-r-? Å a (pe... rent) = 9, wo Yr+2 PL bao) PE = Yr+1? Durch Integration der Gleichung (m-r- = Ordnung Q=0 erhält man eine Relation Yr+2 = Yı+1? f (Yr) oder dyr ar = Yr AUDE woraus : f(y_) dy Verena und Hierdurch ist y, bestimmt als Funktiou von æ und daher findet man y durch r weitere Quadraturen. 18. Gestattet eine Differentialgleichung m!" Ordnung die Gruppe Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 275 gq aq... a lq p æp +(ry + x) q, so hat sie die Form qm-t-2 wo Pa = Yr CY, Po = Vita er e1.2....(e-d)r. Durch Integration der Gleichung (m - r - 2)!” Ordnung Q=0 erhält man eine Relation 9, = /(@,) oder dy: : Yr-H Få = = 62% fly, eh), r 8 das heisst eine Differentialgleichung 1. 0. zwischen y, und yr+1 mit der bekannten infinitesimalen Transformation af n df I ar df “at (ry + Del en, Daher bestimmt man zuerst +, als Funktion von y, durch Quadratur, darnach y. als Funktion von x durch eine zweite Quadratur und schliesslich y als Funktion von x vermöge r Quadraturen. 19. Gestattet eine Differentialgleichung m!” Ordnung die Gruppe q ag... aq yg p æp, so hat sie, wenn wir von den beiden integrablen Gleichungen yr= 0, Yı+ı=0 wegsehen, die Form — Q (pi pr... ge) 0 wo 15* 276 Sophus Lie. Yr Yr+2 Yr Yr ES P1 = y To » Po = Yr ae: Durch Integration der Gleichung (m = - Byer Ordnung Q<0 erhält man eine Relation 2, =/(@,), das heisst eine Differen- tialgleichung 2. O. in y, und y,4;: Yr+s _ dYrts Yr? f Yr Er) - ak en) Yr+1 dyr Yr? Yrit? am mit zwei bekannten infinitesimalen Transformationen df df Deri ul Wenner Hier fiihren wir n = log y:+1, &= logy: als neue Variabeln ein, dann wird Ya dy din, ody? dy Pie nn de EN enge sodass die Gleichung @, = /(p;) die Form annimmt: D = PS) Daher geben zwei Quadraturen 7 als Funktion von 3, das heisst y;4; als Funktion von y. Eine neue Quadratur giebt vr als Funktion von x, wonach y durch r Quadraturen als Funktion von æ bestimmt wird. 20. Gestattet eine Differentialgleichung mt Ordnung die Gruppe gg... tg p 2ap+(r-1)yg wp + (r-1) æyg so ist sie, wenn wir von der unmittelbar integrablen Glei- chung y,=0 wegsehen, reductibel auf die Form Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 277 Q (0, Pa... ad) 0 wo m, und 9, die Werthe -2(r-+8) -Xr+3) = pt (+ 1) yx yır2 - (r + 2) vr?) = yz tl ou h -8(r+3) Po == Yr r+1 u; = -3(r+3) EE (+1: Yr 37 (r+ 1 (r+3 yr Yr HA (r+2) rd) yr ») haben. Durch Integration der Gleichung (m-~,r-3)'* Ord- nung 2=0 erhält man eine Relation p,=/(p,) die nicht allgemein integrabel ist, wahrend sie, wie jetzt gezeigt wer- den soll, immer auf eine Riccatische Gleichung 1.0. reducirt werden kann. Wir wählen 9, und r+3 V = Ur Edel Yr+1 als neue Variable. Dann wird dv _ wt, _v?+9, Toe mA Ist W(vp,) = Const. eine Integralgleichung von dieser Ricca- tischen Gleichung, so findet man zwei weitere Integralglei- chungen von 9, =f(p;) durch Differentiation. Setzt man in der That Bf=(r+1) aye Tle Bayete g d aaa so ist Bp, =0 während die Ausdrücke 278 Sophus Lie. BW= Dns yy, BBW=- or + 1)?y,2 + (r + 1)? nye Å. von W unabhängig sind. Daher sind die Relationen W = Const., BW = Const., BBW = Const. unabhängige Integral- gleichungen von 9, =/(p,). Un ddaher erhält man durch Elimination von %Y:+1 Yr+2 und y. eine Differentialgleichung der Form yr= F(a) (mit der bekannten Gruppe g aq... æ"lq) und schliesslich geben r Quadraturen die Bestimmung von y als Funktion von x. 21. Gestattet eine Differentialgleichung mt Ordnung die Gruppe Q æg.... a g p, ep va wp+(r-1)ayq so ist sie, wenn wir von den unmittelbar integrablen Glei- chungen 1 u ye-0, (vr) =0 wegsehen, reductibel auf die Form da r-4q å (gigs desea dp," r-4 wo -3 2 . Pı wu, Po = WU während vu u, und w, dieselben Werthe wie in der voran- gehenden Nummer (sieh auch Abschn. I, Nummer 23) haben. Durch Integration der Gleichung (m-r- 4)! Ordnung Q=0 erhält man eine Differentialgleichung (r- 4)!" Ordnung Ueber Difterentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 279 = /(p,), die allerdings nicht allgemein integrabel ist, während sie immer, wie jetzt gezeigt werden soll, auf eine Riccatische Differentialgleichung 1. O. redueirt werden kann. Um dies nachweisen betrachten wir 9, =/(p,) als eine Dif- ferentialgleichung vierter Ondnung zwischen y, und æ In diesen Variabeln erhalten die bekannten inf. Transformationen D, xp, ya, xp +(r-1) æyg die Form de, Å Of une AT af da’ dx’ * dy,’ Pale: (Ge dyr Setzen wir 1 n = yr HÅ, so erhalten wir eine Differentialgleichung vierter Ordnung zwischen 7 und æ mit den vier bekannten infinitesimalen Transformationen De SEE då dx’? “dx? Wan len 744 Daher findet man nach den Regeln der Nummer 11 vermöge einer Riccatischen Gleichung 1. 0. die Grösse 7 bestimmt als Funktion von æ ee) 9 = Yr TT = F(a), woraus = F(a) (r+1) ; hiernach genügen r Quadraturen zur Bestimmung von y als Funktion von æ , 280 Sophus Lie. $ 3. Integration von Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen der Form X (xy) p+ Y¥(xy) q. In diesem Paragraphen integrire ich alle Differentialglei- chungen mit einer bekannten fiinfgliedrigen, sechsgliedrigen oder achtgliedrigen Gruppe; dabei wird ausdriicklich voraus- gesetzt dass die betreffende Gruppe keine Curvenschaar p(æy)=4 invariant lässt und dass sie daher in Ueberein- stimmung mit meinen alten Untersuchungen auf die Form einer linearen Gruppe gebracht worden ist. Ich sehe weg von den unmittelbar integrablen Gleichungen Ya =9, 5Yy5°-3Y,Y4 =9, 9y°y 5-45 yoysy, + 40y,° = 0, unter denen die erste alle gerade Linien, die zweite alle Pa- rabeln, die dritte alle Kegelschnitte der Ebene xy bestimmt. 22. Gestattet eine Differentialgleichung, deren Ordnungs- zal m grösser als 2 ist, die Gruppe Pq xq ap YA YP so besitzt sie die Form d CES På. EE 0 wo =Yo = Po, P2 = Yo “Ps und Po = 3Y2Ya = 0Y3 På=3Y2"Y5 - 15Y2Y3Ya + 49 3°. Man integrirt die Gleichung (m -5)'* Ordnung € = 0 und erhält hierdurch eine Relation P2 = F(p:) 281 Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten das heisst eine Differentialgleichung*) fünfter Ordnung, die wir jetzt auf eine Riccatische Gleichnng 1. O. reduciren werden. Wir führen neue Variabeln ein nämlich 9, und - 4 På uU=Y, SV; dann wird, wie man leicht findet du _ 1pP2+Y3 dp, ® Yråps Po oder NUE PA dp, * Fo) Ist W(u p,) = Const. eine Integralgleichung dieser Riccatischen Gleichung, so fin- det man folgendermassen zwei neue Integralgleichungen von F(@,) durch Differentiation. Man setzt df af a a Bf= = -Yı a: 3y142q = a re dann ist Ba, =0, Bu=-3y, und Bw: 2 dw 2a’? W BBW =9y,3 We +6y,%,° m’ sodass W = Const., BW = Const., BBW = Const *) Wir sehen im Texte weg von der unmittelbar integrablen Gleichung , = Const. 282 | Sophus Lie. drei unabhängige Integralgleichungen von 9,=F(e,) dar- stellen. Eliminirt man zwischen ihnen die Grössen y5, y, und y,, so erhält man eine Differentialgleichung zwischen y, und y,, die durch zwei Quadraturen erledigt wird. * 23. Gestattet eine Differentialgleichung m‘* Ordnung (m > 4) die Gruppe Pq ag Yd UP YP so besitzt sie die Form dø, ana) £2 (mo: RT aga) wo Pi = P22 Ps, Pa = Po Pa ; und Pa = 3Y2Ya- 5y3° P3= 3Y2"Y5- 19Y2Y3Ya + Ys’, Pa = BY Ye 21 Y 07 Ys Ys + BOY oY 374 = PYs"- Wir integriren zuerst die Gleichung (m - 6)" Ordnung Q =0, und erhalten hierdurch eine Relation mit m - 6 Constanten*) 9,-=F(9,) oder yg = W(y1... Ys) die selbst eine Differentialgleichung sechster Ordnung dar- stellt. Wir reduciren dieselbe durch Quadratur auf eine Gleichung fünfter Ordnung, die nach den Regeln der letzten Nummer vermöge einer Riccatischen Gleichung 1. O. erledigt werden kann. | Die bekannte sechsgliedrige Gruppe enthält nämlich die invariante fünfgliedrige Untergruppe Pq vq XP -yI YP *) Wir betrachten nicht im Texte die unmittelbar integrable Gleichung. p, = Const. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 283 Daher bildet die mit der vorgelegten Gleichung y, = W æqui- valente lineare partielle Differentialgleichung zusammen mit den fünf Gleichungen : a. -2- Das GÅ aq u af af | " Sf Sa a de ee SEG 2 Bf Fed, Od OD =0Q ein vollståndiges System mit der bekannten infinitesimalen Transformation df df df af B,f = DT mia ap Ur en de ah Daher liefern meine alte Theorien durch eine Quadratur das Integral U( ) = Const. des vollständigen Systems. Nun aber ist U= Const. eine Dif- ferentialgleichung fünfter Ordnung, welche die Gruppe Pq x9 æp-yg yp gestattet, und welche somit nach den Re- geln der vorangehenden Nummer vermöge einer Riccatischen Gleichung 1. O. integrirt wird. Um die hiermit skizzirten Rechnungen in einfachster Weise durchzuführen ist es zweckmässig folgendermassen zu - verfahren. Wir führen in p,=F(9,) neue Variabeln ein nämlich Wy = Yo 3 Pa = 3 Y28 Ya = 9 Ya 8 Ya” aa = Yo 03 = 8 Yo "Ys - 154245 Ys + Yo Yo 984 | Sophus Lie. Dann wird å OW Wet 2 da, _ Yo Pa 341 Yok _ A1 (Po ~ 3) da, Yos Mo a> und Pi = Ps Pg = Aa, woraus Ge CHENE = 2 —*4+3=Fi(a,3a Po a, da, 3 ( 1 2) Die hiermit gefundene Differentialgleichung 1. O. zwischen a, und a, gestattet die infinitesimale Transformation an Une Aa ae te I aan er und wird daher durch eine Quadratur integrirt. Die hervor- gehende Relation zwischen a, und a, ist eine Differential- gleichung fünfter Ordnung die nach den Regeln der voran- gehenden Nummer vermöge einer Riecatischen Gleichung 1. O. erledigt wird. 24. Gestattet eine Differentialgleichung m!" Ordnung (m > 5) die allgemeine lineare Gruppe Py 9, £9, YI LP, YP, xP + æyg, zyp + y?g so ist sie, wenn wir die Symbole px 6, 9, und ®, in derselben Bedeutung wie in Nummer 3 des ersten Abschnittes brauchen, reductibel auf die Form m-8 ö (0,0 dø, dso, dD) ans dø, . j Durch Integration dieser Gleichung (m - 8) Ordnung erhal- ten wir eine Differentialgleichung achter Ordnung D, Er F(®;), die wir jetzt in Uebereinstimmung mit meinen alten allge- Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, 285 meinen Integrationstheorien auf eine Gleichung zweiter Ord- nung*) reduciren werden. Da nämlich die allgemeine acht- gliedrige lineare Gruppe sechsgliedrige Untergruppen (dage- gen keine siebengliedrige Untergruppe) enthält, so ist es nach mir möglich zwei*) Integralgleichungen von ®,= F(®,) durch Integration einer Gleichung zweiter Ord- nung herzuleiten. Aus diesen beiden Integralen findet man dann nach meinen allgemeinen Regeln neue durch Diferen- tiation, und zwar findet man in dieser Weise alle, da die achtgliedrige Gruppe keine invariante Untergruppe enthält. Um die Rechnungen in einfachster Weise durchzuführen, ist es zweckmässig neue Variabeln einzuführen und zwar 9, und die Grössen A=ps-3p3, B=p."p,, (wir brauchen wie schon gesagt die Bezeichnungen der Num- mer 3 meiner ersten Abhandlung). Wir berechnen die Dif- ferentialquotienten vo Å B und 2, hinsichtlich + und finden darnach durch Division die Differentialquotienten von A und B hinsichtlich 9,. Zur Ausführung dieser Rechnung bestim- men wir zuerst die nachstehenden Werthe der Differential- quotienten hinsichtlich x von den Grössen px: Ya Po = P3 + YsPo, Ys Ps = Pa = à Pa? + 5Y3 ps, Yo Pa =% M5 = SPaPa + 7s Ya Pa) Ya Ps = EPs 7 Po Pa + Å YzPs- Folglich wird *) Nach einer neueren Bemerkung von mir, die ich der Gesellschaft der Wissenschaften in Christiania in Septb. 1882 mittheilte, genügt es sogar ein Integral dieser Gleichung 2. O. aufzufinden. 286 Sophus Lie. dA_B-3-34 ae” Ys pr dB ©, 45+194-124B +7(B - 3)? A! de 6 Yo pa? dø, _p:6-56p;"_ 59-8 dæ pss Yo Pas und dA. (B- D 4 - 3 Ai dd, 2 ©, - 35 dB 9,4: + 19 A® - 12 45 B+7(B- 3)? 48 dd, 6(% 9,-35) Da , eine gegebene Funktion von 9, darstellt, so kennen wir hiermit ein gewöhnliches simultanes System zwischen A Bund 9,, das offenbar mit einer Differentialgleichung zweiter Ordnung aequivalent ist. Unser simultanes System erhält durch die Substitution a = AŸ (B-$), få = 43 (B - 3)? - 4 die bemerkenswerthe Form da _ ®,-2a’+ß jae, 49, - 210 (L) lap 28,0-20ß- 6 + lis.” 46, -210 *) Interpretirt man a und ß als Cartesische Coordinaten in einer Ebene, Ø, als die Zeit, so definiren die Gleichungen (L) eine mit der Zeit Fre lineare und infinitesimale Transformation der besprochenen Ebene. Ueber Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 287 Setzt man endlich Eee dad, 46, -210 so erhält unser simultanes System die lineare Form da, > dæ, pr Pee: @,,+@, 20,4,-6%, 24, 49,-210 und kann daher, wenn man es vorzieht, durch eine aequiva- lente lineare Differentialgleichung 3. O. ersetzt werden. Kennt man die Lösungen W, W, des Systems (L), so ist nach meinem früher eitirten Satze die Integration von D, = F(9,) als geleistet zu betrachten. Dies sieht man auch -so ein: Die Gleichungen W, =a, W,=b mit zwei bestimm- ten Constanten geben x Integralcurven, deren Inbegriff alle lineare Transformationen gestattet, bei denen die unendlich entfernte Gerade ihre Lage behält. Man führe jetzt durch eine lineare Transformation diese Gerade in eine neue Lage gi über. Gleichzeitig erhalten W, und W, die Werthe W,® W,®. Wählt man nu vier Gerade g, 95 95 94, 80 be- stimmen die acht Gleichungen W =a, W,"=b; G=1 234) mit acht bestimmteun Constanten eine Schaar von Integral- curven, deren Inbegriff alle lineare Transformationen gestat- tet, bei denen g, 9, 93 g, invariant bleiben. Haben daher unsere vier Gerade eine allgemeine Lage, so geben die acht Gleichungen eine einzige Integralcurve, sodass die Integra- tion geleistet ist. Aus meinen in 1874 gegebenen allgemeinen Integrations- theorien folgt, wie schon gesagt, als Corollar, dass eine Gleichung m!“ Ordnung welche die allgemeine lineare Gruppe 288 Sophus Lie. gestattet, vermöge zweier Hülfegleichungen von (m - 8) und zweiter Ordnung integrirt wird. Dass die Hilfsgleichung zweiter Ordnung mit einer linearen Gleichung 3. O. æquiva- — lent ist, bemerkta Halphen in der Sitzung 3 Novbr. 1882 in societe mathématique. Ist jetzt eine beliebige Gleichung f(x y y, -..)=0 mit einer bekannten Gruppe B, f ... Bf vorgelegt, so be- stimmt man zuerst nach den Regeln des ersten Abschnittes die canonische Form der Gruppe, und bringt sie darnach auf diese Form. Hiernach verfährt man nach den Regeln dieses Abschnittes. Ich discuttire spater näher die Fälle der cano- nischen Formen 9; q yq; 9 yq YQ. Im nächsten Abschnitte zeige ich, wie man die Gruppe eirer Gleichung in einfachster Weise bestimmt. März 1883. Spor efter Istiden i Chile. af L. Sundt. (Uddrag af Brev til Stipendiat A. Helland). | Santiago, 10de Januar 1883. Ærede Ven! Under en nylig foretaget Reise over Cordillererne til den Arjentinske Republik har jeg seet gamle Moræner lang bortfjernet fra nuværende Gletschere. Det er mig aldeles ube- kjendt om man i Europa har nogen Kundskab om en Istid paa den sydlige Halvkugle. Jeg har spurgt den gamle Prof. Ignacio Domysko, Rektor ved Universitetet i Santiago og mangeaarig Lærer i Mineralogi og Chemi, om Spor efter en gammel Istid er ham bekjendt i Chile. Han sagde mig »Neic og at hverken Darwin eller Poepfig havde iagttaget noget saadant. Senere har man fortalt mig, at Agassiz har seet gamle Moræner langt nedigjennem Amazonas Dalføre. I den Tro, at det muligens kunde være af Interesse for Videnska- ben at kjende, hvad jeg har iagttaget, meddeler jeg Dig Nedenstaaende for at Du kan gjøre den*Brug deraf Du finder for godt. Jeg gjorde Reisen fra Valparaiso over Cordille- rerne til Mendoza i den Arjentinske Republik paa den alfare Vei (en simpel Kløvvei), der passerer Uspallata. Jeg fore- satte mig fra Begyndelsen af, at være opmærksom paa gamle Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 8 B. 19 290 L. Sundt. Moræner og det varede heller ikke lenge inden jeg traf paa dem. Første Gang paa chilensk Side paa et Sted, der kaldes »Qjo de agna«, paa Grund af en stærk Vandstrøm, der væl- der frem ved Foden af Morænen. Den danner en Vold tvers over Dalen af omtrent 50 Fods Høide, gjennemskaaret af to eller tre Smaaelve, der har delt den i flere isolerede Partier. Nøiagtige Angivelser af dens Bredde og Høide kan jeg des- værre ikke give, da Tiden ikke tillod mig at stige af Hesten. Middeltallet af to Høidemaalinger, tagne med en Lommeaneroid paa Frem- og Tilbagereise, give sextusinde og nihundrede Fod over Havet (6900’). Denne Moræne ligger hvor en Side- dal i næsten ret Vinkel støder sammen med Hoveddalen. Den andeu Moræne ligger en Fjerdingsvei længer inde i samme Dalføre ved en Hytte, kaldet »Juncal«. Den ligger ligesom den foregaaende tversover Hoveddalen, netop ovenfor Foreningspunktet med en Sidedal, der kommer ind i næsten ret Vinkel. Dens Høide er omtrentlig 100, et hundrede, Fod over Dalbunden og dens Høide over Havet efter to Maalin- ger syvtusinde tohundrede Fod (7200). Veien fører fra nu af opigjennem den før nævnte Side- dal. Her ser man strax nogle hundrede Skridt foran sig en uhyre Mur, der aldeles afspærrer Dalen i hele dens Bredde, undtagen længst tilvenstre, hvor Elven har indskaaret sig et dybt Leie. Veien gaar i Zikzak opover dens steile Skraa- ning, opfyldt af større og mindre Klippeblokke, Sten og Grus Her er i Virkeligheden ikke en, men to Moræner, hver sexhundrede Fod høi. Indenfor den første og en Snes Fod lavere end Morænens Kant, ligger en ganske flad Slette, be- - dækket med Sand, Grus og mindre Stene; den repræsenterer rimeligvis en forhenværende Fordybning, der efterhaanden ved rindende Vand er fyldt med det forhen omtalte Material. Den anden og høiere Moræne har en betydelig Udstrækning efter Dalens Længderetning; dens Overflade dannes tildels af saa uhyre Klippestykker, at jeg paa Fremreisen var i Tvivl Spor efter Istiden i Chile. 291 om det var fast Fjeld eller ei. Paa Tilbagereisen forsvandt dog hver Tvivl, da jeg ved Morænens Fod saa en rivende og vandrig Bek vælde frem ligesom ved »Ojo de agnac. Morænens Overflade er meget ujevn, og fuld af Fordybninger, der dannes af Sandflader, som den forhen omtalte. Ved sin øvre Ende afspærrer Morænen en Indsø, hvis Længde, seet med Kikkert i en Fjerdingveis Afstand, jeg beregner til en anden Fjerding. Ved Søens øvre Ende saaes et Dalføre, forholdsvis fladt og fyldt med Sne ligetil Søens Bred. Dog var der ingen Gletscher, saavidt jeg kunde se. Første Morænes Heide ‘over Havet efter 2 Maalinger ottetusinde, tohundrede Fod (8200’), den anden ottetusinde, ottehundrede Fod (8800). Fra Toppen af den anden Moræne dreier Veien ind i en Sidedal, hvor vi i et betydeligt høiere Niveau, endnu passe- rede en mægtig Endemoræne. Denne Sidedal havde forresten lidet Sne og Veiens høieste Punkt, 12,400 Fod over Havet» er om Høsten ganske snefrit. Paa den Arjentinske Side passerede vi i 10,000 Fods Høide over Havet en Moræne, der paa sin øvre Side var 100 Fod, og paa sin nedre Side 400 Fod over Dalbunden. Denne Moræne kaldes »Para millo del Inea«. Paa 7500 Fods Heide ligger »El Para millo de Los Vacasc, rimeligvis ogsaa en Endemoræne af 600 Fods Høide. Fra dette Punkt og til Uspallata, 6300 Fod over Havet, kunde jeg ingen Moræne se. Mellem Uspallata og Mendoza er Elveleiet saa uveisomt, at Veien er lagt tværs over en 9600' hei Bjergkjæde, der er adskilt fra den egentlige Cordil- lera, og saaledes ogsaa fra dens Snemasser. Om der i Elve- leiet mellem Uspallata og Mendoza findes Moræner, vides altsaa ikke. I Peru og Bolivia har jeg ogsaa for nogle Aar siden havt Anledning til at passere Cordillererne fra Tacna over Corocoro og »La Paz« til de tropiske Lavlande paa den øst- 19* 292 | T md lige Skraaning, hvor Vandene flyde til Atlanterhavet. Cor- dillera’en bestaar her af to Kjæder. Kystkjæden, bestaaende af sekundære Lag med Ammoniter, af Diorit, Porphyr og vulkanske Toppe, der hæve sig indtil 20,000 Fod over Havet. Den store bolivianske Høislette, der her har en Høide af 12,000 til 14,000 Fod og en Bredde af 40 til 60 Liguas, ad- skille Kystkjæden fra den østlige Kjæde, »Cordillera Real med Toppe indtil 24,000 Fod (Himani Illampu). Denne Kjæde bestaar af Lerskifre og Sandsten med Trilobiter, gjennem- brudte af Granit. Ved den østlige Fod ligge Chloritskifre og Phyllod. De høieste Toppe bestaa af de lagdelte Bergarter, hvis Skiktninger, dels lodrette, dels fladt liggende, betinge Toppens Form og skjelnes tydeligt paa lang Afstand. Nedbøren, og altsaa ogsaa Snemængden, er langt større i den østlige Kjæde end i den vestlige. Under Opstigningen fra Tacna passerer Veien (paa Kyst- kjædens Vestskraaning) en uhyre Ansamling af trachytiske Klippeblokke, der næsten ganske afspærrer Dalen med en Heide af 400’, firehundrede Fod. Jeg siger med Forsæt »næsten«, thi Stenmassen er adskilt fra begge Dalsider ved to Bække, der have skaaret sig ned næsten til Dalens Bund, og fra den foranliggende Fjeldsnævring ved Foreningen af de samme to Bække. Nævnte Fjeldsnævring er ganske trang. og der kan vel neppe være Tvivl om, at Stenmassen forhen har støttet sig til samme, saavelsom til begge Dalsider. Kløvveien snor sig med Vanskelighed i Zikzak opover Sten- massens bratte Side. Er man engang oppe, befinder man sig paa en næsten horizontal Flade med dyrkede Marker. . Stedet hedder »Palcac og ligger, saavidt jeg erindrer 10,000 Fod, (titusinde) over Havet Jeg vovede dengang ikke at tro, at det kunde være en Moræne. Det forekommer mig dog nu det sandsynligste. AfGletschere findes nu ingen paa de om- liggende Fjelde, kun Sneflækker af ringe Udstrækning i Høi- der over 17,000 Fod. Spor efter Istiden i Chile. 293 En Fjerdingvei fra »La Paz« og i en Heide af 14 à 15,090 Fod passerer Veien til »Los Yungas« udmærket smukt skurede og stribede og polerede Fjeldsider, aldeles ligesom vi have dem i Norge. Flere Systemer af Striber krydse hinanden. Paa Østsiden af »La Cordillera Real« er Veien indskaaret i Bund- og Længdemoræner med stribede Klippeblokke og strax nedenfor er Dalen afspærret af en Stenvold, en Snes Fod høi, der har opdæmmet en Myrslette. Denne ligger om- trent 13,000 (trettentusinde) Fod over Havet. I omtrent 15,000 Fods Høide sees flere mindre Gletschere liggende paa Fjeld- siderne. Veiens høieste Punkt ligger 15,000 Fod over Havet og var snefri, da jeg passerede (i Juni, d. e. den tørre Tid). Længere nede kunde jeg ingen Spor af Moræner finde; men det er vel muligt, at en nøiere Undersøgelse finder dem. Den tætte Vegetation ifra 10,000 Fods Høide og nedover vanskeliggjør lagttagelserne. Dette er hvad jeg har at sige om gamle Moræner. Det vilde være interessant at vide i hvilket Aldersforhold Boliviens gamle Moræner staar til den uhyre mægtige Af- leinig af Sandlag, Lerlag og Gruslag (blandt hvilke ogsaa forekommer 2 Lag af trachytisk Material), der bedækker en stor Del af den Bolivianske Høislette. Sletten helder i det store taget mod Syd; den er ofte i en Udstrækning af flere Mil uden betydelige Forhøininger. Udsigten til den sneklædte »Cordillera Real« er derfor overordentlig smuk og storartet, som den ligger der i Solskinnet med sin uafbrudte Række af snehvide, vældige Masser og Tinder, og tilsyneladende hvi- lende paa Høisletten, der synes at afskjære dens Fod med en Linie saa.regelret, som var den optrukket efter en Lineal. Nærmer den Reisende sig »La Paz, fordybet i Synet af »Illimanisc og »Huaina Potosis« Kolosser, standser han plud- selig forbauset, ja jeg kan vel næsten sige slagen af Rædsel, ved Kanten af en uhyre Kløft; og sextenhundrede Fod (1600') under hans Fødder ligger »La Paz«, Sædet for den Bolivi- 294 L. Sundt. anske Regjering. Tilskuerens Standpunkt er efter-min An- tagelse 13,200 Fod. Denne Kløft er helt indskaaret i oven- nævnte lagede Formation. Selv ikke i Bunden kommer fast Fjeld tilsyne. El »Rio de La Paz« strømmer skummende midtigjennem Staden, der er opbygget paa Elvens stærkt skraanende Sider. De øverste 1000 Fod af Dalvæggen er særdeles steil, store Lerfald have fra Tid til anden fundet Sted. I selve Byens Udkanter ere Teglværker, der bearbeide de mægtige Lerlag, derover følge Gruslag, hvori de oven- nævnte Trachytlag. Om Forsteninger i denne Formation kjender jeg Intet. Grundlagene bestaa for en stor Del af granitisk Material med store afrundede Blokke. Lerlagene, der ere blaalige turde vel have sin Oprindelse i de siluriske Skifre. El »Rio de La Paz« udspringer paa Vestsiden af La »Cordillera Realc, gaar først mod Syd, dernæst mod Øst og gjennembryder Cordilleraen for at sende sine Vande til Ma- deirafloden og Atlanterhavet. Hvor Elveleiet har naaet ned til en Høide af 6000 Fod over Havet, har den paa sin Nord- side »Illimani« med sin 24,000 Fod høie Top og paa Syd- siden »Tres Cruces«, over 20,000 Fod hei, en Niveaudifferents af 18,000 Fod. Det er i Sandhed en Portal, som den ikke findes anden Gang paa Jorden. Jeg er kommen opigjennem denne forfærdelige Kløft ligefra det tropiske Lavland, 3500 Fod over Havet til »La Paz«, en Strekning af 30. Leguas. Netop hvor Cordilleraen hæver sine høieste Toppe paa begge Sider er Kløften smalest. Dens hele Bredde udgjør paa et Sted 6 til 8, sex til otte Fod. Her gaar Veien i selve Elve- leiet og kar naturligvis kun befares i den tørre Tid. En enkelt Gang lykkedes det mig at se »Illimanisc Top, 18,000 Fod over mit Hoved; men i Almindelighed ser man ikke meget paa Grund af Kløftens Steilhed og Smalhed. I alle disse 30 Leguas sees meget lidet Vegetation, Dalbunden er i Regntiden ganske overflømmet fra Bred til Bred, og frembyder Spor efter Istiden i Chile. 295 i den tørre Tid en Flade bedækket med Granitblokke. Tør- ken var forresten ikke større end at jeg mindst halvtred- sindstyve Gange maatte krydse Elven med Vandet til Hestens Bryst. Fjeldsiderne ere ogsaa meget golde. Af Sidedale komme meget faa ned til Hoveddalen. Kun i Nærheden af »La Paz« sees dyrket Land. Kommer man derimod en tu- sinde Fod op over Dalbunden ere »Illimanisc Sider bedæk- kede med frodig Vegetation og endogsaa henrivende Land- eiendomme, der frembringe alleslags Produkter ligefra de tropiske, indtil ved Snegrændsen al Plantevækst forsvinder. Jeg er imidlertid kommet fra mit egentlige Emne, som var den store Formation af Ler- og Gruslag. Denne For- mation ledsager »El Rio de La Paz« et langt Stykke nedover med sin Overflade hældende i samme Retning. Heldnings- vinkelen maaske noget større end det nuværende Elveleies. Længere nede hvor Dalen bliver trangere, forsvinder Forma- tionen næsten ganske. undtagen enkelte Rester, der i lange Linier sees hængende høit oppe paa Fjeldsiderne. Hvis den gamle Istid (hvis Existents bevises ved de om- talte Skuringsmærker i Nærheden af La Paz og ved Morænen paa Østsiden af »La Cordillera Real«) har bredt sine Sne- masser udover den 18,000 Fod høie Høislette, da maa vel den store Formation af Ler- og Gruslag have været yngre. Hvorledes forklares ellers Høislettens uforstyrrede Lagnings- forhold? Hvorledes Mangelen paa Moræner i det i den la- gede Formation indskaarne Dalfgre? En forudgangen Istid kunde vel have bidraget til at opdæmme »Rio de La Paz«s Dalføre, hvori denne Formation har afsat sig og til at søn- dermalme det Material, hvoraf det er dannet. Dog nok herom. Jeg skal endnu kun tilføie, at Høislet- ten vestenfor »El Desaguadero«, der fra Indsøen Titicaca gjen- nemstrømmer Høisletten fra Nord mod Syd, er dannet af mægtige Afleininger af Trachyttuffe med Pimpsten, der dels danne isolerede Plateauer med horisontale Lag af nogle 100 296 L. Sundt. Fods Heide, i Afstand lignende Fæstningsværker, dels Aas- rygge, der hæve sig mere end 1000 Fod over Sletten med stærkt mod Øst faldende Lag. Store Udvaskninger maa her have fundet Sted. Strandterrasser ere meget almindelige paa den chi- lenske Kyst. Reiser man med Dampskib langs Kysten, ser man dem paa lange Strækninger, undertiden vel udviklede, undertiden mindre, undertiden slet ikke. Jeg har i længere Tid boet paa en af dem. Den høieste, jeg har maalt, havde en Høide af sexhundrede Fod over Havet. De danne et Forland, der undertiden er indtil en halv norsk Mil bredt. De strække sig ind i Dalførerne, hvor man kan se dem paa begge Sider. Medens de langs den aabne Kyst synes at være skaarne ud af det faste Fjeld med kun lidet overliggende løst Materiale, ere de i Elvemundingerne og langs Elvebredderne, opbyggede af Afleininger af Sand, Grus og større og mindre Sten. Dette er Aarsagen til at saa faa eller ingen Fjorde og Bugter fin- des paa en stor Del af Chiles Kyst, den nemlig at de først ere fyldte op til Havets Niveau og dernæst hævede. Jeg har tænkt mig Terrassernes Dannelse paa følgende Maade. Klipperne opvarmes stærkt af Solen ved Lavvande. Begynder Havet at stige, blive de pludselig og stærkt af- kjølede; ved Sammentrækningen dannes en Mængde smaa Spring og Sprekker; Bølgeslaget gjør da Resten. Stenen forvandles til Sand, der føres væk. Er Grundlaget, saaledes undergravet, styrter det overhængende Fjeld efter, dets Brud- stykker slynges af Brændinger mod det faste Fjeld og for- øger saaledes endmere Brændingens Virkeevne. Bliver nu Havets Niveau konstant vilde der paa denne Maade tæt un- der Havfladen dannes en horisontal Flade, begrændset af en brat opstigende Fjeldvæg. Stiger derimod Kysten langsomt saa faar man istedetfor en horisontal Flade en svagt hel- dende. Har der nu i Tidens Lob dannet sig en saadan Spor efter Istiden i Chile. 297 skraanende Flade og Kystens Stigning ophører, da kan Ha- vet atter avancere, det vil ødelægge en Del af Skraafladen og danne en ny brat Fjeldvæg med en ny -undersgisk Hori- sontalflade. Begynder atter Kystens Stigning vil da det samme Spil gjentage sig osv. dsv. Paa den Del af Kysten, jeg kjender, under Høivande eller Stormfloder, om ikke lige- til Foden, saa dog neppe en Meter lavere (i vertikal Retning) ~ end Foden af den bratte Fjeldvæg, der alt efter Fjeldets Haardhed, (f. Ex. i Valparaiso let opsmuldrende Granit, an- detsteds haard Kvartsskifer) varierer fra 20 til 100 Fods Høide over Havet. I den Række af Aarhundreder, som Ha- vet har brugt for at æde sig ind til den bratte Fjeldvæg, skulde altsaa efter dette den chilenske Kyst ikke have hævet sig mere end høist en Meter, hvilket just ikke stemmer med den almindelige, men sandsynligvis høist ugrundede, Tale om Kystens Hævning i Nutiden. . Sænkning af den chilenske Kyst. Jeg har i et Aars Tid bestyret en Forsøgsdrift i det forhen meget rige Guldvaskerdistrikt Casuto, en Snes Leguas Nord for Valpa- raiso, og har der havt Anledning til at gjøre følgende Iagt- tagelser, hvoraf synes at fremgaa, at forud for den omtalte Hævning af Kysten, har en tilsvarende Sænkning fundet Sted. Guldet forekommer i et forhenværende Flodleie, der nu er fyldt med laget Materiale, bestaaende af Sand, Grus og Rullesten, indtil Overfladen af den øverste Terrasse (600 Fod hei) som det gjennemskjærer. Dette gamle Flodleie ligger indtil tredssindstyve (60) Meter under den nuværende Over- flade, og det dybeste Lag, det eneste, der indeholder Guld i drivværdig Mængde, er udarbeidet ved et stort Antal Schak- ter af indtil tredssindstyve Meters Dybde og ved Feltorter, der have en Længde af et Par Tusinde Kilometre; disse Ar- beider lade ingen Tvivl tilbage om, at Leiestedet virkelig er et gammelt Flodleie, saaledes som jo ogsaa saa almindeligt 298 L. Sundf. er Tilfældet i Californien og Australien. Den ubetydelige Elv har skaaret sig et nyt Leie af indtil 50 Meters Dybde, dels i meget haard Kvartporphyr, dels i Kvartsskifer og blød Glimerskifer, og krydser et Par Gange det gamle Flodleie. Terrassen er indskaaret i fast Fjeld og er ikke opbyg- get af laget Materiale, naar undtages det gamle Flodleie, som - forhen omtalt. Flodleiets Bredde i Bunden varierer fra nogle faa Meter, indtil tyve Meter. Det forekommer mig nu utvivlsomt, at det gamle Flod- leie med sit Guld, existerede forinden Terrassen blev dannet. Eller er det ikke urimeligt at antage, at Leiet udgravedes i den allerede hævede Terrasse, at det dernæst igjen fyldte sig akkurat til Terrassens Niveau, saa akkurat at paa Over- fladen ingen Fordybning, ingen Forhøiniug lader formode Tilstedeværelsen af det underjordiske Flodleie, at dernæst Elven paany kom i Besiddelse af sin udgravende Kraft og grov sit nye 50 Meter dybe Leie? Jeg antager derfor, at det underjordiske Flodleie med sit Guld existerede førend Terrassen blev dannet, og da dette skete i og under Havets Niveau, har altsaa Kysten maattet sænke sig. Hvor stor har denne Sænkning været? Det nærmest Havet bekjendte Punkt af det gamle Flod- leie ligger nu et hundrede Fod over Havets Niveau. Antage vi, at Flodleiet virkelig ikke strækker sig videre, at altsaa her den gamle Fiod har udmundet i Havet, maatte altsaa Havet i hin Tid have staaet 100 Fod høiere end nu. Kysten maatte altsaa sænke sig femhundrede Fod forat den sexhun- drede Fod høie Terrasse kunde danne sig. Men nu er der ingen Grund til at tro, at det gamle Flodleie ender her og de omtalte femhundrede Fods Sænkning, angiver blot at Sænkningen ikke har kunnet været mindre, men vel meget mere, maaske mangedobbelt. Men isaafald maatte Cordil- - Spor efter Istiden i Chile. 299 leraen have været meget høiere, hvilket vilde give en natui- lig Forklariug paa Sneens forhenværende større Udbredelse. Det vilde være interessant, om lignende Slutninger kunde gjøres i de Californiske Guldleier. Ligeledes i hvilket Aldersforhold Sænkningen staar til den vulkanske Virksomhed i Cordillererne. Endvidere hvor store Dele af det amerikanske Kontinent har samtidig været underkastet disse Hævninger og Sænk- ninger, og om overalt i den samme Grad. Af de 60 Meter løst Materiale, som dækker det guldførende Lag i Casuto, har den øverste Del Jernoxydets Farver, medens de lavere Lag er blaalige. Dette staar udentvivl i Forbindelse med en Reduktion af Jernoxydet. Som et Bevis paa denne Reduk- tion tjener det Faktum, at afrundede og tydeligvis af Van- det slidte Guldklumper oftest er bedækkede med smaa fast- voxede Svovlkiskrystaller, der har alle sine Former uskadte og altsaa ikke have været udsatte for Vandets Slid, men er dannede paa Stedet. Disse blaa Lag findes ogsaa i Califor- niens og Australiens Guldleier og synes at angive at overalt i en vis Dybde Reduktion foregaar. Bidrag til Kundskaben om Æggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet af | JAC. G. OTTO, Amanuensis ved det fysiologiske Institut. Det karakteristiske ved Albuminstoffenes Peptonisation ved Trypsin bestaar som bekjendt deri, at de først omdannes til en Globulinsubstants derpaa til Pepton. Ved Mellemledet Globulin adskiller ovennevnte Proces sig skarpt fra Pepsin- fordgielsen, hvor det første Omvandlingsprodukt er Acidal- bumin (Syntonin). Om de ved begge Fermentindvirkninger dannede Endeprodukter, Peptoner, viser forskjellige Forhold, er hidtil — saavidt mig bekjendt — et aabent Spørgsmaal, uagtet der idetmindste findes cn Undersøgelse i denne Retning af Kistiakowsky!). Hans Resultater er imidlertid temmelig ube- stemte og af forskjellige Grunde saa afvigende, at en fornyet Undersøgelse med Nutidens Hjælpemidler ikke kan være uvigtig, saamegetmere som flere Punkter ligger aldeles ube- svarede. Jeg har derfor foretaget en nærmere Undersøgelse af de ved Pankreasfermentets Indvirkning paa Fibrin frem- komne Produkter og skal her meddele Resultaterne af samme. Min Opgave bestod først og fremst i at fremstille de for- skjellige ved Trypsinfordøielsen dannede Stoffe i muligst 1) Arch. f. d. ges. Physiol. Bd. IX. S. 438. Æggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. 301 ren Tilstand for derpaa efter nøiere Studium af disse at sam- menligne Processen med Pepsinfordøielsen. Det maatte da især være mig magtpaaliggende at forhindre Indtrædelsen af Forraadnelse, saa at den normale Fordøielse ikke skulde blive modificeret ved samtidige Forraadnelsesprocesser, noget som paa Grund af Pankreaskjertelens bekjendte Egenskaber me- get let sker. For at undgaa dette har jeg ved mine - Fordøielsesforsøg som antiseptisk Middel anvendt Æther og altid kontrolleret, om der under samme havde dannet sig væsentlige Mængder af de bekjendte Forraadnelsesprodukter, Hydroparacumarsyre og Indol. Som Forsøgsmateriale tjente udelukkende godt udvadsket Blodfibrin og som Fordøielsesvædske et vandigt Udtræk af Oxepankreas. Fibrinet blev efter Udvadskningen fint hakket, derpaa rørt sammen med Penkreasextrakten til en tyk Væl- ling i en stor Kolbe og det hele hensat ved almindelig Tem- peratur efter Tilsætning af saameget Æther, at Blandingen lugtede stærkt deraf. Efter ca. 12 Timers Henstand var i Almindelighed alt Fibrin opløst, hvorefter en Prøve af Væd- sken efter Filtrationen undersøgtes paa muligvis dannede Forraadnelsesprodukter, og Resten anvendtes til Fremstilling af de ved Fordøielsesprocessen dannede Stoffe, nemlig: 1) Globulinsubstants, 2) Propepton, 3) Pepton og 4) Antipepton. 11e Pankreasglobulin. For at fremstille den i den erholdte Vædske indeholdte Glo- bulinsubstants, mættedes samme med Magnesiumsulfat i Kul- den, hvorved Globulinet, som bekjendt, udfældes. Bundfaldet frafiltreredes, udvadskedes med en mættet Opløsning af Magne- 302 Jac. G. Otto. / siumsulfat, opløstes i en liden Mengde Vand og udfældtes endelig igjen ind ved et stort Overskud af samme og længere Tids Gjennemledning af Kulsyre. Efter at Fældningen havde sat sig godt af, udvadskedes den først ved Dekantation med Vand, filtreredes derpaa, udvadskedes endelig fuldstændig med absolut Alkohol og terredes hurtigst muligt i Vacuum over koneentreret Svovlsyre. Fremstillet paa denne Maade danner Pankreasglobulinet et svagt gulagtigt Pulver, som i sit kva- litative Forhold i ingen Henseende adskiller sig fra Serum- globulin. Ligesom dette koagulerer det ogsaa i fortyndet Kogsaltopløsning ved 70—75° C. og besidder overhovedet ingen Egenskaber, der tyder paa en Forskjellighed fra sidst- nævnte. De af mig fremstillede Præparater af Pankreas- globulin indeholdt 0,25—0,73 % Aske og Elementarana- lysen af den ved 110° C. tørrede Substants gav følgende Verdier: iste Præparat: Anvendt Søsans NO SSD Gr FandethKulsyre SANN FELL SN epee AGE eam EAA AT SAR SEES to OMD 2 Anvendt: Sabstars SA AA Eu OO TEE Kundetekvelstoter tape nee GR 003097 Anvendt Substants; GNR 102222 Fundet Baryumsulfat Ne SN ROO» 2det Præparat: Anvendtssubstants . 1 SANTO Fondet Kalsyre re.) m ANDRE GN ODS — Vand RE SURE ORS GENE Anvendt#Substantsw. NNN 0 a OOK ms Fundet KvælstorL ia: feo) SJ 0 00.0002896006 Æggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. 303 Af Analyserne fremgaar følgende procentiske Sammen- sætning : Ae Då Middel. STOR 530. 15327 0! bo hg % WaT SGOT te eee oe eae > 1.35 » og veks Ut Sk TS GPS | 15.91 D Al OUR) VO Wier an a el > — LIT » Hammarsten!) fandt som Middeltal for Serumglobulin (af Hesteblodserum) C. = 52.71 %, H. = 7.01, N. = 15.85, S.= 1.17; men hans enkelte Analyser viser ikke ringe Uover- ensstemmelse i Kulstof- og Kvelstofgehalten, saa at man ikke kan lægge for stor Vægt paa den fundne Forskjel i Kulstofgehalten hos Pankreas- og Serumglobulin; som det sees, stemmer de øvrige Værdier meget godt overens. For at skaffe mig videre Holdepunkter for Bedømmelsen . af Pankreasglobulinet har jeg ogsaa bestemt dets specifike Dreining i 10 %’s Kogsaltopløsning. Bestemmelsen skeede ved Hjælp af et fortrinligt Polaristrobometer af Lippich?) for Natriumlys og i 200™™ Rør. Følgende Tabel indeholder i første Rubrik Gehalten paa Globulin i 1 Kem. Opløsning, i anden den aflæste Vinkel (Middeltal af 20 Aflæsninger) og i 3 den efter Formelen: a Dal. (ai beregnede sp. Dreining: 1) Arch. f. d. ges. Physiol. Bd. 22, S. 502. ?) Beskrevet i Hoppe-Seyler, Handbuch d physiol. u. pathol. chem. Ana- lyse 5 Aufl. 1883. S. 39. 304 Jac. G. Otto. Koncentration. Afl. Vinkel. Sp. Dreining. | 0.0552 Gr. 5.308 ° 48.08 0.0665 » 6.400 » 48.12 0.0453 » | 4.355 » 48.07 Middeltallet af disse godt stemmende Bestemmelser bliver: (a)s = 48.107. Frederieq fandt for Serumglobulin af forskjellige Blod- sorter (a)y — 47.5, et Tal, der staar i ganske god Overens- stemmelse med den af mig fundne sp. Dreining for Pankreas- globulin. Sammenfatter man paa Grundlag af ovenstaaende Pan- kreasglobulinets hele kemiske og fysikalske Forhold, viser dette sig saa tilsvarende til Serumglobulin, at man, i alle Fald saalenge til nye Synspunkter her kan gjøre sig gjæl- dende, vel tør være berettiget til at anse disse Stoffe som identiske. | 2. Propepton. Ved Pepsinfordøielsen danner der sig som bekjendt temmelig betydelige Mængder saakaldet Propepton (Hemi- albumose) som Mellemprodukt mellem Acidalbumin og Pepton Man kan her forsaavidt adskille to Propeptoner, som man først faar et Bundfald ved at mætte den neutrale fra Acidal- bumin befriede Vædske med Kogsalt, og derpaa i Filtratet herfra nok et ved stærk Ansyren med Saltsyre. Begge disse Fældninger viser i øvrigt, forsaavidt de er undersggte, et fuldstændig analogt Forhold. Det var nu af Interesse at undersøge, om der ogsaa danner sig lignende intermediære Produkter i væsentlige Æggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. 305 Mængder ved Trypsinfordøielsen, saamegetmere som Angi- velserne herover er særdeles ufuldstendige og kun indskræn- ker sig til, at der rimeligvis ikke ved Trypsinvirkningen opstaar væsentlige Mengder Propepton. For at afgjøre dette Spørgsmaal, mættedes den neutrale, fra Globulinet fnldstændig befriede Vædske med Kogsalt ved at lade den henstaa et Døgn med Stensaltstykker. Her- ved opstod imidlertid intet Bundfald, saa at der altsaa ikke ved Indvirkning af Trypsin paa Fibrin dannes Propepton, som er feldbar ved Metning med Kogsalt i neutral Vædske. Ved Tilsætning af Saltsyre til denne Vædske erholdtes derimod et rigelig seigt, hvidt Bundfald, som vistnok for Størstedelen indeholdt udfældt Chlornatrium, men ogsaa gav de for Propepton karakteristiske Reaktioner. For at befri det fra Kogsalt, frafiltreredes det, afpressedes mellem Fil- trerpapir, opløstes i Vand og udfældtes med Alkohol; det er- hoïdte Bundfald behandledes nok en Gang paa ovenstaaende Maade, hvorpaa den til sidst erholdte Alkoholfældning frafiltreredes, udvadskede med Alkohol til Filtratet ikke læn- gere gav .Chlorreaktion og tørredeså endelig i Vacuum over Svovlsyre. Det saaledes fremstillede Præparat dannede et fint, hvidt Pulver med en Askegehalt af 0.15—0.43 %, og fuldkommen opløseligt i Vand med neutral Reaktion. Oplas- ningen gav samtlige for Propepton karakteristiske Reaktioner, Fældbarhed ved Salpetersyre i Kulden, ikke ved 100°, Fæld- harhed ved Eddikesyre og Ferrocyankalinm, i udpræget Grad, og gik i syruptyk Vædske let og snart over til et i Varmen koagulerbart Albuminstof. Udbyttet er meget ringe, saa at flere Fremstillinger var nødvendige for at skaffe det til Ana- lysen nødvendige Materiale. Elementaranalysen af det ved 110° C. tørrede Præpa- rat gav: [ste Præparat: AmvendrfsSubstants u DIDDEN.IE. DE, 09020086 Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, SB, 20 206 Jac. G. Otto. Fundet ‚Kulsyreim:osaamiar oc mh 1e 08m ICE — Vand Eau pole hen Je ao DZ EEE Anvendtssubstants fas I SOR Dundet@kvselstof! 1 Sankt GA 20V 2det Præparat: Aınvendtasubstants ter FET ON Fundet Kulsyre ATT 8 TM em eS LOO ES ES — Vand EEE SN OE NE DIT Te) AnvendtSubstants SUR RE VOSS Punderkvektør Nr BR OKO Saar, Af» Analysen fremgaar følgende procentiske Sammen sætning: 4, ; 2. Middel. Koiso AN Me OG OGSA 50600 Vandstorsr a a Bar 6.83 » 6.67 » Gl » rast of FE SEG 60 > Flere Analyser, specielt o0:saa Svovlbestemmelser er vistnok her øuskelige, men paa Grund af Vanskeligheden ved at skaffe Materiale turde de meddelte faa Bestemmelser dog have sin Vigtighed, saamegetmere som det ved nærvæ- ‘rende Undersøgelse dog er konstateret, at der ved Pankreas- fordøielsen dannes en vedMætning med Kogsalt i sur Vædske fældbar Propepton om end i ringe Mængde. At dette Mel- lemprodukt er nær beslægtet for ikke at sige identisk med. det ved Pepsinfordøielsen fremkomne, viser følgende Angivel- ser over den ved nævnte Proces dannede, i neutral Vædske ved Mætning med Kogsalt udfældte Propeptons Sammensæt- ning og Egenskaber, som Hr. Dr. Landwehr i Strassburg har været af den Godhed at meddele mig: - Æggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. 307 | 1. | 2. | Middel. RO NEA 1505327450427 150, Våindstor STUVE ME 6.70 » 6.66 > 6.68 » Kveelstof ro N 3 16.90 » — 16.90 » Analysen af dette Stof viser saaledes en særdeles god Overensstemmelse med mine Bestemmelser og det samme er Tilfældet med dets hele kemiske Forhold, idet det giver samtlige for Propepton karakteristiske Reaktioner og ikke i noget bekjendt Punkt adskiller sig fra Propepton, udfældt i sur Opløsning. Specielt fremhæves, at begge Stofe med den største Lethed (allerede ved kort Henstand i vandig eller svag alkoholisk Oplesning) gaar over til koagulerbar Æggehvide. 3. Pankreaspepton. Den ved Indvirkning af Trypsin dannede Pepton adskil- ler sig ikke i nogen hidtil bekjendt Reaktion fra Pepsinpep- ton. Vistnok fandt Kistiakowsky!) noget mindre Kulstof deri end i sidstnævnte; men da hans Analyser hidtil ikke er bekræftede og der kan hæves vægtige Indvendinger mod hans Fremstillingsmethoder, kan man ingen afgjorende Slut-. ninger trække deraf. En fornyet Undersøgelse af Pankreas- pepton og af den af Kübne?) løseligt beskrevne Antipepton var derfor saamegetmere nødvendige, som man kunde være berettiget til at haabe sikrere Resultater med Nutidens især af Hofmeister uddannede Methoder til Fremstilling af Pep- tonerne. 1) Arch. f d ges. Physiol, Bd. IX. S. 438. 2) Verhandl. des naturhist. Vereins zu Heidelberg. N. F., I. P. 196. 20* 308 Jac. G. Otto. Jeg skal i det følgende først beskrive mine Forsøg i denne Retning nærmere og derpaa diskutere Resultaterne. For at fremstille Pankreaspepton fjernedes først Ægge- hviden af den ved Fibrinets Fordøielse erholdte Vædske ved Kogning med eddikesurt Natrium og Jernchlorid efter svag Ansyren med Eddikesyre saa længe, til Filtratet ikke gav Bundfald med Eddikesyre og Ferrocyaukalium. Efter Fil- tration og Udvadskning med Vand, til den afløbende Vædske ikke længere gav Peptonreaktion, tilsattes det samlede Fil- trat ca. 5 % koncentreret Svovlsyre og udfældtes derpaa fuldstændig med Phosphorwolframsyre. Bundfaldet frafiltre- redes, udvadskedes med 5 %,'s Svovlsyre, udrørtes derpaa med pulveriseret Barytbydrat og tilsattes endelig mættet Barytvand til stærk alkalisk Reaktion; efter Bortfjernelse af den overskydende Baryt med Kulsyre filtreredes, udvadskedes med Vand, og inddampedes Filtratet temmelig meget, hvor- paa den i Forbindelse med Pepton værende Baryt nøiagtig udfældtes med Svovlsyre, idet der droges Omsorg for at undgaa væsentligt Overskud afsamme. Efter Filtration fra det udskilte Baryumsulfat inddampedes Vædsken ved svag Varme til et lidet Volum og fældtes endelig med et meget stort Overskud af absolut Alkohol. Sædvanligvis maa Bundfaldet igjen op- løses i Vand og fældes med Alkohol før det viser en saa ringe Askegehalt som muligt. Efter den sidste Udfældning filtreres den udskilte Pepton fra, udvadskes grundig med Alkohol og tørres hurtigst muligt over koncentreret Svovl- syre i Vacuum. - Fremstillingen af nogenlunde større Kvan- titeter muligst ren Pepton er forbunden med adskillige Vanskeligheder, som det hidtil ikke er lykkedes mig fuld- stændig at overvinde. For det første er nemlig den rene Pepton slet ikke ganske ubetydelig opløselig i Alkohol, saa at en temmelig stor Del deraf ikke udfældes, og Udbyttet derved bliver adskillig forringet, og for det andet besidder Bundfaldet en udpræget Tilbøielighed til at blive gummi- A Zrggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. 309 astigt, saa at det let kleber sig fast til Karrets Vegge, hvorfra det vanskelig lader sig fjerne, eller det bliver først gummiagtigt under Tørringen og kan da ikke senere løses fra Filtret, uden at Papirtrevler gaar med. Undertiden lykkes det dog at undgaa alle disse Vanskeligheder og er- holde Peptonen som et fint Pulver, der let sætter sig af og uden Besvær lader sig filtrere, udvadske og tørre; men de nærmere Betingelser, hvorved dette sker, har det ikke været mig muligt med fuld Sikkerhed at faststille. Det synes imid- lertid som Reaktionen af den Opløsning, hvori Fældningen foregaar, her spiller en væsentlig Rolle, idet denne maa vær svag, men tydelig svovlsur; har man sat formeget Syre til, opløses ofte næsten hele Bundfaldet i Alkohol, og Resten bliver udpræget gummiagtig, gul og kleber sig fast til Kar- væggene, og har man sat mindre Svovlsyre til end nødven- digt for at fjerne Baryten, faar man visnok en bedre Fæld- ning, men Bundfaldet bliver stærkt askeholdigt (Barytpepton). Jeg har ogsaa forsøgt at fælde i ganske svovlsyrefri Vædske; idet jeg fjernede Overskudet af Syren med Blycarbonat og det i Opløsning gaaede Bly med Svovlvandstof, men uden bedre Resultat. Foruden svag svovlsur Reaktion synes stærk og vedholdende Rystning af Vædsken lige efter Fældningen at være heldig og befordre Peptonens pulverformige Afsæt- ning; men trods alle Forsigtighedsregler, indtræffer alligevel ikke ganske sjelden de omtalte Eventualiteter. Den paa ovennævnte Maade fremstillede Pankreaspepton er et fint, svagt gulagtigt Pulver af 0.3—0.6 7, Askegehalt; det giver de sædvanlige Reaktioner og er undertiden saa stærkt elektrisk, at det flyver væk ved at rives i en Porcel- lænsmorter. Et ganske hvidt Præparat tyder altid paa en stor Askegehalt og maa derfor renses videre. Ellers har jeg ikke fundet den ringeste Forskjel i de kvalitative Reaktioner mellem Mave- og Pankreaspepton; specielt fremhæves at sidstnævnte gaar over til Æggehvide ved alle de Processer, 310 hvorved det har lykkedes at overføre Mavepepton dertil; allerede den blotte Henstand i nogenlunde koncentreret Op- løsning er nok for delvis at overføre den til Propepton og Albumin. Elementaranalysen foretoges med Præparater, som først længere Tid var tørrede ved 100° og derpaa ved 110°C. til konstant Vægt. hvad før er sagt. Analyserne gav: iste Præparat: Anvendt Substants . Fundet Kulsyre — Vand Anvendt Substants . Fundet Kvælstof Anvendt Substants . Fundet Baryumsulfat 2det Præparat: Anvendt Substants . Fundet Kulsyre — Vand Anvendt Substants . Fundet Kvælstof . Anvendt Substants . Fundet Baryumsulfat . ddie Præparat: Anvendt Substants . Fundet Kulsyre . — Vand Anvendt Substants . Fundet Kvælstof . _ Anvendt Substants Fundet Baryumsulfat 4de Præparat: Anvendt Substants . For de enkelte Bestemmelser gjælder, 0.2060 Gr. 0 3763 0.1256 0.2402 0.0380 12427 0.0977 0.2421 0 4450 0.1486 0.3024 0.0476. 0.9432 0.0669 0.2357 0.4306 0.1438 0.2532 0.0404 1.0330 0.0850 0.2525 Æggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. Fundet Kulsyre Vand ARE Efter Analysen bliver den beis Sammensætning 911 0.4623 Gr. 0.1563 » af den ved 110° C. terrede Pankreaspepton folgende: 9, il 3, 4, Middel. Kulstof ....... 50.08 7/,| 50.12 Y,| 49.88 /,| 49.93 -/, 50.00 °/, Vandstof . ..... 6.77 »| 6.82 »| 6.78 »| 6.88 »| 68 Kvælstof ...... 15.82 » 15.71» | 1597 »| — 115.53 » Sm |) ereres 1.08 » | 0.97 » I 1.13 » = 1.06 » Kistiakowsky') fandt for Pankreaspepton af Fibrin C = 42.70, H. = 7.13, N. = 15.92, 8. = 1.03 %; men hans Pepton var behandlet med Sølvoxyd og derfor rimeligvis oxyderet. Under alle Omstændigheder frembyder den af mig anvendte Fremstillingsmethode meget større Garanti for den erholdte Peptons Renhed end de tidligere brugte, og Analyserne viser ogsaa en saa god Overensstemmelse, at det allerede deraf fremgaar, at jeg stadig havde faaet et meget ligeartet Pro- ‘dukt, hvilket i sig godt Holdepunkt for Renhedsbedømmelsen. Tager man dernæst ogsaa Hensyn til de benyttede Præparaters hele Forhold, deres ringe Aske- gehalt o. s. v., saa er det i alle Fald meget usandsynligt, at de kan have indeholdt væsentlige Forurensninger. Vistnok er det for nærværende neppe muligt at skaffe sig en fuld- stændig Sikkerhed for Peptonpræparaters kemiske Renhed ; men en hei Grad af Sandsynlighed er dog her tilstede. Som det sidste Middel til Rensning kunde jeg vel have grebet til Dialyse; men afseet fra de derved bevirkede store Tab, har Processen aldrig givet mig tilfredsstillende Resultater, idet og for er 1) Lo. P. 438. 32 Jac. G. Otto. Vædsken i Dialysatoren snart bliver grumset, og det ikke varer længe for de bekjendte Propeptonreaktioner indtræder. For atAette Overblikket sammenstiller jeg her Resulta- terne af Analyserne af Fibrin og den deraf ved Trypsin er- holdte Pepton: Fibrin’) Pankreaspepton. Kalstote 0.192682, 50.00 % Wand stole i 026:85305 6.81 » Kkælstot . 210.910 Her > SOC 4 OG. 1.10 » 1.06 » Det fremgaar heraf, at Penton indeholder mindre Kul- stof og Kvælstof end Fibrin, et Resultat, hvortil forevrigt tidligere Kossel*) er kommen ved Mavepepton, medens Maly, Henninger o. fl. har fundet, at Æggehvide (Fibrin) og Pepton har samme Sammensætning. Her staar altsaa to forskjellige Angivelser ligeoverfor hinanden, som er fundamentalt for- skjellige, og det kan derfor være af Interesse at undersøge, hvorfra denne Forskjellighed hidrører. Det er allerede før omtalt, at ingen af de tidligere Forskere har fremstillet Pep- ton ved Fældning med Phosphorwolframsyre i den fra Pro- pepton og Æggehvide fuldstændig befriede Vædske, en Me- thode, hvis Overlegenhed strax falder i Øinene. Naar man ikke opererer paa den Maade, er det nødvendigt for at overføre den dannede Propepton i Pepton at arbeide med meget kraftige Fordøielsesvædsker, en Betingelse, som saa- vidt mig bekjendt kun Kossel bar opfyldt, idet Maly og Henninger anvendte Pepsin, renset efter Krasilnikofis Methode, medens Kossel benyttede det kraftig virkende saltsure Infus af en Svinemaveslimbinde. Det er derfor en bei Grad af Sandsynlighed for ikke at sige Vished derfor, at Maly's og Henningers Præparater var stærkt forurensede med Propep- 1 Efter Hammarsten. 2) Zeitschr. f. physiol. Chem. Bd. 3, Pag. 58—60. Æggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. 313 _ ton, ja maaske saagar med opløselig Æggehvide, Forurens- ninger, der i Kossels Forsøg stærke Fordøielse falder væk, paa Grund af den anvendte hvorfor ogsaa hans Analyser stemmer ganske godt med mine, sml.: Kossel. Otto. Kulstof . 49.69 % 500007 Vandstof 6.96 » 6.81 » Kvalstof — 15.83 » Svovl — 1.03 » Efter den experimentelle Afslutning af dette Arbeide er ogsaa udkommen en Undersøgelse af Kühne og Chittenden’), som bekræfter den af Kossel og mig fundne Sammensætning af Pepton (sml. især Sammenstillingen l. c.P.201). De oven- nævnte Forskere adskiller forøvrigt saa mange Arter af Pep- toner, at en Sammenligning af deres med mine Analyser ikke godt er mulig. Ogsaa Kühne og Chittinden antager Grunden til de tidligere omtalte Autorers afvigende Resultater i en Forurens- ning af deres Præparater med Propepton (Hemialbumose). Efter det meddelte maa det vel nu betragtes som fastslaeet, at Pepton er at betragte som et Slags Hydrationsprodukt af Æggehvide, omendskjønt vistnok den gamle Anskuelse for- svares i et nylig udkommet Arbeide af Pöbl*); de Grunde der an- føres er imidlertid nogle temmelig problematiske polarimetriske lagttagelser, saa det nævnte Arbeide i saa Henseende neppe kan tillægges større Værd. For den af Kossel, Kiihne og Chittenden samt mig repræsenterede Anskuelse taler ogsaa den bekjendte Tilbageforvandling af Pepton til Æggehvide, idet samtlige Processer, hvorved dette sker, maa betragtes som vandafspaltende’). 1) Zeitschr. tor Biologie Bd. XIX P. 159 —208. *) Ueber die Bildung des Pepton und dessen Rückverwandlung in Eiweiss. 3) Sml. Hofmeister Zeitschr f. physiol. Chem. 2, S. 206 Henninger Compt- rend. T. 86 P. 1464. Danilewsky No. 42. Centralbl. f. d. med. Wessensch. 1880, 314 Jac. G. Otto. Det var nu af Vigtighdd at afgjore, hvorvidt Mave- og. Pankreaspepton er identiske. Begge Stofles kvalitative Reak- tioner taler stærkt derfor, og at heller ikke den kvantitative Sammensætning lægger Hindringer i Veien for en saadan Opfatning, fremgaar af den før opstillede Sammenligning mellem Kossels og mine Analyser af Mave- og Pankreaspep- ton. Men jeg indrømmer gjerne, at videre Beviser er nødven- dige og skal i det følgende forsøge at levere enkelte saadanne. Kossel') har i Særdeleshed gjort opmærksom paa, at Mave- pepton indgaar eiendommelige Forbindelser med Salte og har ogsaa fremstillet og analyseret en saadan af Pepton og Chlorealeium. Jeg har iagttaget det samme Forhold ved Pan- kreaspepton, og det syntes mig derfor af Vigtighed for Identitetsspørgsmaalet * at undersøge, om Chlorcaleium- forbindelsen af Pankreaspepton har samme Sammensetning som den tilsvarende af Mavepepton; thi man kunde let tænke sig, at en Forskjellighed i begge Peptoner her vilde gjøre sig gjældende, og paa den anden Side vilde en Overensstemmelse i Sammensætningen give et ikke uvigtigt Bidrag til Iden- titetsbeviset. Fremstillingen af Pankreaspeptonens Chlorcaleiumforbin- delse er meget let, idet man kun behøver at sætte en kon- centreret (alkoholisk eller vandig) [Opløsning af Chlorcalcium til en ligeledes meget koncentreret Opløsning af Pankreas- pepton for strax efter Tilsætning af en stor Mængde absolut Alkohol at erholde et Bundfald af Forbindelsen. Dette Bund- fald afsætter sig godt, lader sig let filtrere og udvadske med Alkohol, har ingen Tendents til at blive gummiagtigt og mangler overhovedet Pankreaspeptonens ubehagelige Egen- ska'er. Efter Udvadskning og Tørring i Vacuum over kon- centreret Svovlsyre er den et hvidt, let Pulver, der er opløse- ligt i Vand og giver de sædvanlige Peptonreaktioner. 1) Arch. f. d. ges. Physiol. Bd. 13, P. 309—320. Æggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. 315 Analysen af det ved 110° C. tørrede Præparat gav: Iste Præparat: AvendtaSubstants 4 FN LM. ar tie u 0,2622. Gr. Bader Rulkpre MØ STAVEN AER «GANGE ls 904834 nen NAS to NN EL AO) AE TED ora ha 0) 1548: 55 Amend troubstants: ss LEN SUK VET an) A 018538 ui HøndetKkvælstof 01 UN ur OAL 99. ro 200495385 PingendusSubstantse MJØEN oat). rare, MI ESB 22 eo Bundetnbaryuansulfat 2 „ul ern 0.0.09 00963005 Anivendimoubstants (9.02 Ge ner rbk nah, 14458905 Hunder Chloisalvn...., eee ØRN SOLØR 15 AmvendtiSubstantstat Ove) SL mare sale. går x. 61.0530...» HuuderrKalkt. 150. HKN SEN SSE OL 0400 020.0798105 2det Præparat: ArvendtSubstantseh ard a que (dew ir. eo 020350 5 Harnlerkvælstok 4 Daun. ISSN. SEA 100281205 Anvendt: Substants 24 26 Ira al eon an! 09558 yo BundetsBaryumsulfats. 22. 400, sans GA Denn 01064615 Arvrendt4Substantsd ans 2p, un. NOGET HE »1u:0946 ia PondetyChlorsaly ysis urnes) ennsln009681065 AnvendtnSubstantsitt. så Nl mes KAL nrk ler 2348 25 mundete Kalk jedi Sessel a od GUO 09074005 Af Analyserne fremgaar følgende procentiske Sammen- sætning: | ik 2. Middel. ET Wandwtof Henge imal UN] 16560 ul 6.56 » Kvælstor Ua ap nn A TATOO) NIMES 29/8 |. 18:01 SION ERA JARED BTID NONE 95 0950 0.96 » een bu 24 msslob yell gass aan ha Calcium 19196 194. „ma 552 » 5.63 » 5590 *) Bestemmelsen af Kulstof og Vandstof skeede ved Forbrænding med Bly- chromat. 316 Jac. G. Otto. Kossel fandt for den tilsvarende Forbindelse af Mave- pepton C. = 45.13, H. = 6.23, N. = 13.96, S. = 1.07, Cl. = 2.34, Ca. = 5.68 %,, altsaa Tal, der staar i den ønskeligste Over- ensstemmelse med mine. Paa hvilken Maade denne Forbin- delse er konstitueret, lader sig for Tiden ikke med Sikkerhed afgjøre. Kossel (I. ce. P. 318) har anstillet nogle Betragtnin- ger derover, hvortil jeg ikke ved at foie noget nyt; alle hans Forudsætninger giver imidlertid, naar man deraf forsøger at beregne Peptonens Sammensætning, for lave Resultater lige- overfor de direkte fundne, saa at det neppe er rimeligt, at det rigtige er truffet. Men en vigtig Støtte giver disse Analyser af Mave- og Pankreaspeptonens Chlorcaleiumforbindelse for Antagelsen af de betræffende Peptoners Identitet; thi det er ikke sandsynligt, at to forskjellige Stoffe, selv om de skulde være isomere, giver 2 saa aldeles identiske Forbindelser med et anorganisk Salt. Eor begge Peptoners Identitet taler ogsaa som sagt det hele kvalitative Forhold, saavelsom den kvantitative Sammensæt- ning, medens saavidt mig bekjendt kun Kistiakowskys Ana- lyser og Bechamps') Undersøgelser kan anføres som Modbevis. Hvad de første betræffer, kan man ikke tillægge dem større Betydning at de før anførte Grunde og med Hensyn til de sidste, taler mine nedenanførte Forsøg ikke til Gunst derfor. Bechamp sammenlignede Indvirkningen af Trypsin og Pep- sin ved at bestemme den sp. Dreining af Fordøielsesproduk- terne. Medens denne ved sidstnævnte Proces omtrent holdt sig uforandret, sank den ved førstnævnte temmelig betydelig, og Bechamp slutter deraf paa en Forskjellighed mellem Mave- og Pankreaspepton. For at undersøge dette Forhold har jeg søgt at bestemme den sp. Dreining for Pankreaspep- ton, omendskjønt jeg strax fra Begyndelsen af ikke lovede mig meget af en saadan Bestemmelse. Der hefter nemlig 1) Rechercher sur les albuminoses pancreatique Comte Rendus, 94, P. 383 —836. Zöggehvidestoftenes Forandring ved Pankreasfermentet. 317 en Feilkilde, saameget vigtigere som dens Størrelse ikke lader sig bedømme, ved Bestemmelsen af de anvendte Op- løsningers Koncentration, idet Methoderne til at faststille en Vædskes Gehalt paa Pepton, er forbundet med væsentlige Mangler. Dette kan ske paa 2 Maader, enten ved simpel Inddampning af et vist Vol. af Opløsningen og Veining af det tørrede Residuum eller kolorimetrisk ved Sammenligning mellem Biuretreaktio- nens Styrke ved den anvendte Vædske og en saadan af be- kjendt Peptongehalt. Hvad den første af disse Methoder an- gaar gaar Pepton som bekjendt ved Inddampning og Tør- ring for en stor Del over i Propepton og Æggehvide og veies altsaa tilsidst som en Blanding af disse Stoffe, men beregnes som Pepton, og med Hensyn til den anden, da er den ubrugelig til en nøiagtig Koncentrationsbestemmelse alle- rede af den Grund, at Biuretreaktionens Farveintensitet ikke © alene afhænger af Peptonopløsningens Koncentration, men ogsaa af den tilsatte Kobbersulfatmengde. Jeg har holdt mig til Gehaltbestemmelsen ved Inddampning og Torring, idet denne dog forekommer mig sikrere end den kolorime- -triske Methode, og har altid henført mine Bestemmelser til det ved 110° C. til konstant Vægt tørrede Residiuum. | Appa- ratet og den anvendte Rørlængde var de samme som tidligere beskrevet og Bestemmelsen skeede for Natriumlys og ved 20° €. Resultaterne følger i nedenstaaende Tabel, idet jeg med Hensyn til Betegnelserne henviser til P. 308. Koncentration. Afl. Vinkel. | Sp. Dreining. 0.0621 Gr. | 8094 ae, + 65.17 0.0536 » 7.002 » | MODO 0.0485 » 5.706» | » 65.58 00352 » 4650» |» 65.87 0.0288 » | 3.800 » | 650 318 Jac. G. Otto. Af Tabellen synes at fremgaa, at den sp. Dreining for Pankreaspepton tiltager med Oplasningens Fortynding, et Resultat, hvortil ogsaa forresten Pöhl er kommen. Mavepep- tonens sp. Dreining er efter Hofmeisier') — 63.5, efter Pohl fra — 61 til — 65. Omendskjent altsaa de forskjellige Be- stemmelser ikke giver særdeles overensstemmende Resultater, taler de heller ikke mod Identiteten af de omhandlede Pep- toner; tværtimod leverer de før et Bevis derfor og staar i ethvert Fald i Strid med Bechamps Angivelser. Men jeg læg- ger som sagt af de oven anførte Grunde ingen særdeles stor Veet paa disse Bestemmelser, saalænge Peptonopløsningens Gehalt ikke kan faststilles paa en mere tilfredsstillende Maade; dog er jeg tilbøielig til ifølge hele denne Undersøgelse at antage, at Mave- og Pankreaspepton er identiske, og saa meget er i alle Fald sikkert, at nogen fundamental Forskjel mellem dem ikke existerer; alle Kjendsgjerniuger taler derimod. 4. Antipepton. Efter Kühne?) skal den ved Pankreasfordøielsen dannede Pepton ved videre Trypsinindvirkning dekomponeres til et eiendommeligt Stof, Antipepton samt Leucin, Tyrosin o. s. v. Da videre Angivelser over denne Substants ikke existerer’) har jeg trukket det ind i min Undersøgelseskreds, saameget hellere som den jo paa en vis Maaie skal danne Endepro- duktet af den normale Trypsinfordøielse, idet den først ved Forraadnelse skal dekomponeres videre. Ved Fremstillingen af Antipepton var det først og fremst nødvendigt at fortsætte Fordøielsen i længere Tid uden at 1) Zeitschr. f physiol. Chem., Bd. 4, P. 272. *) Verhandl. der naturhist. Vereins zu Heidelberg, N. F. I. P. 196 % Kühnes og Chittendens før citerede Arbeide er som sagt udkommen efter Afslutningen af disse Undersøgelser. ZÆggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. 319 samtidig Forraadnelse indtraadte. Dette er lykkedes mig ved Anvendelse af Æther paa den før beskrevne Maade, idet jeg derved har kunnet lade Trypsinet indvirke ligetil 10 Dage, uden at der havde dannet sig mere end et Spor af Hydroparacumarsyre, medens Vædsken var ganske fri for Indol og Bacterier. Det gjaldt dernæst at undersøge, om virkelig Pepton ved længere Indvirkning af Trypsinfermentet forandres paa den af Kühne angivne Maade, i hvilken Hen- sigt jeg anstillede følgende Forsøg: 48 Gr. fugtigt Fibrin, svarende til 18 Gr. Tørsubstants fordøiedes med Trypsin paa den ovenfor angivne Maade. Efter 2 Dages Henstand deltes den derved erholdte Vædske i 2 ligestore Dele, hvoraf den ene strax forarbeidedes paa Pepton, den anden først efter endnu 8 Dages Henstand. Af begge Oplosninger fremstilledes Pepton efter den tidligere omtalte Methode, kun med den Forskjel, at jeg efter Phos- phorwolframsyrebundfaldets-Dekomposition med Baryt og Ud- fældning af Overskuddet af sidstnævnte ikke fældte Peptonen med Alkohol, men inddampede direkte til Tørhed for at ud- vinde al Pepton. Det var mig nemlig her ikke om at gjøre at faa et rent Præparat, men kun at undersøge det kvantita- tive Forhold ved Dekompositionen. Det viste sig da, at Vædsken efter 2 Dages Fordøielse gav 17.3 Gr. Pepton, me- dens den efter 10 Dages Henstand erholdte kun indeholdt 10.2 Gr. Dette Resultat stemmer ganske godt med Külhnes An- givelser (1. c. P. 196), at den i Begyndelsen dannede Pepton ved videre Pankreasfordøielse dekomponeres i Antipepton, Leuein, Tyrosin ete: paa den Maade, at der dannes en Anti- peptonkvantitet omtrent lig Halvparten af den til Forsøget anvendte Æggehvidemængde. For at studere denne Anti- peptons Egenskaber nærmere fremstilledes den ved 10 Dages Fordøielse af en større Mængde Fibrin nøiagtig paa samme Maade som sædvanlig Pepton, og rensedes ved gjentagen Opløsning i Vand og Udfældning med Alkohol, samt tørredes 320 Jac. G. Otto. sluttelig over koncentreret Svovlsyre i Vacuum. Saaledes fremstillet, danner den et svagt gulagtigt Pulver, som er fuld- kommen opløseligt i Vand med sur Reaktion og ikke fældes ved Kogning, Salpersyre eller Eddikesyre og Ferrocyaukalium, men giver de almindelige Peptonreaktioner. Tørret ved 100 —110* C. indeholdt de af mig fremstillede Præparater 0.67 % Aske og gav ved Elementaranalysen følgende Resultater : Iste Præparat: Anvendt Substants 0 SJØL SS GDS ANG Rundet Kulsyre NE ENO 2009 Vande 0 PIRA SI SE JA EØS EN VAAR 0-1418 » Anvendt Substans ROSE Kıundet Kvelstt SN oe OOS Oram 2det Præparat: Anwendt SUSE, bu NN NONE Bundet"Kulsyren AO Vande MY Aer Me Ment Me EEE OMS AnvendtSubstanise > ONS Fundet Kvælstor SS ee. 20.025 Beregnet i Procenter bliver herefter Elementarsammen- sætningen: 1. 2, Middel. Kulstof. . 2 . . . . . 49.70 % | 49.48 +, | 49,59 %, Vandetotttaes) count ot eo hor vælsto te å nn Dora Denne Sammensetning svarer paa faa Tiendedele til den for Pepton fundne og stemmer heller ikke slet med Kühnes og Chittendens Analyser af Antipepton, kfr.: Kühne & Chittenden. Otto. Kulstor 09 FET 48.95 % 49/97 Vandstofs Ne SE 6.75 » 6.92 » Kvælstot «and KPMG 15.89 » 15.79 » Æggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. 321 Vistnok finder en liden Uoverensstemmelse med Hensyn til Kulstofgehalten Sted; men deres Præparater indeholdt 2.74 % Aske, som simpelthen er fratrukne, og forøvrigt er Differentsen heller ikke betydelig. I ethvert Fald kan jeg bekræfte Kiihnes Angivelser forsaa- vidt, at der efter længere Tids fortsat normal Trypsinfordøi- else bliver en udekomponeret Pepton tilbage, hvis Mængde omtrent er lig den halve Vægt af det fordøiede Fibrin; men om deraf kan sluttes, at Pepton er en Blanding af to — Anti- og Hemipepton —, hvoraf den sidste da ved videre Pankreas- fordøielse skulde dekomponeres, vil jeg lade staa uaf- gjort og med Hensyn til de derfor anførte Argumenter hen- vise til Kühnes og Chittendens tidligere citerede Arbeide. ‘ Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, SB, 21 Bidrag til de norske kyststrøgs Geologi Ill. (med Kart og Profiltavle) af KARL PETTERSEN. Ne: Finmarken dannes af tvende større hovedled, nem- lig kyststrekningen med sin ørække og fastlandsstrøgene. Til den første er at henføre Bergshalvøen med de smaa tilliggende øer Silden og Loppen, Stjernø, Seiland, Sørø, Kvalø, Rolfsø med Inge samt Magers tilligemed de mindre tilliggende øer Maasø, Havø og Hjelmesø. De vidt udbredte fastlands- strag skyder mod nord frem i den anseelige Porsanger halvø, mod øst begrænset af den dybt indskaarne fjord Porsanger. De geologiske bygningsforholde, saaledes som de træde frem over de nævnte øgrupper, skulle her søges nærmere fremstillede : a. Bergshalvøen har et fladeindhold af omtrent 10 n. kv. mil (= 1276 [] km.). Ved de transversalt mod hinanden i øst-vestlig retning sky- dende fjordløb Langsund og Lille Alten og det lave, omtrent 63 m. høje Altejde, der adskiller bundene af de nævnte fjordløb, er Bergshalvøen helt udskilt fra de egentlige fast- landspartier. Den er saaledes nærmest at opfatte som en ø, Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 323 ligesom den ogsaa i orografisk som i geologisk henseende er nærmere knyttet til øgruppen end til fastlandsstrøgene. Fra halvøens nordlige side skjærer den 17 km. lange Øx- fjord sig ind i lige sydlig retning og fra bunden af samme fører et kort ejdefar — Øxfjordejdet med: en kulmination af omkring 120 m. over til gaarden Tappeluft ved Langfjord. Fra halvøens nordvestlige side skjærer Bergsfjord sig ind i sydsydvestlig retning gjennem en længde af 22 km. Fra Bergsfjordens inderste bund fører et fjeldskar med en kul- mination af omkring 250 m. over til et kort dalføre, der munder ud i Jøkelfjord. Denne sidste skjær sig fra Kvæn- angen ind gjennem halvøens fjeldmasse gjennem et løb af omkring 17 km. i øst-nordostlig retning. / Gjennem disse forskjellige indskjæringer er halvøens fjeldmasse udsondret i trende mere selvstændige fjeldpartier, nemlig: a. Langfjorddraget — østenfor Øxfjord, fø. Centralpartiet mellem Øxfjord og Bergsfjord. y. Kvænangsdraget — vestenfor Bergsfjord. Langfjorddraget, der indtager et fladerum af omkring 3 norske kv. mil (882 [] km.) er i det hele mere mildt og ensformig bygget. Efter kystlinjerne mangler her ganske enhver dybere indskjæring af fjorde eller fjordlignende bugter. Centralpartiet danner derimod et højt og et af de mere vildt byggede fjeldpartier inden det nordlige Norge. Fra sammes nordlige side skjærer et par smaafjorde nemlig Nufs- fjord og Ulfsfjord sig ind i lige nord-sydlig retning. Langs den vestlige side og indover langs efter Bergsfjord udmunder forskjellige korte dalfører, der skyde sig frem mellem stejle, til næsten lodrette fjeldvæge med rækker af ofte ejendomme- lig formede tinder. Indad afsluttes disse dalfører oftest som udprægede botndale og afstænges her ved stejlt faldende endevægge, der højere op gaa over i stærkt stigende høifjelds- 21% 324 ; Karl Pettersen. indskjæringer og saaledes snart føre op til det egentlige højfjeld. Dette danner her en større op mod 3000' (941 m.) højtliggende bølgeformig fjeldmark. Denne er dækket med anseelige sammenhængende masser af sne og is, og herfra udsendes til alle kanter talrige jøkelbaand, der gjennem de forskjellige udadheldende fjeldindskjæringer fører ned over de stejle afhæng til dal- eller fjordbundene. Saadanne glet- scherbaand fører saaledes ned til Ulfsfjord, til Ørdal ved den nordvestlige side, ned til Bergsfjorddal, hvor den naar ned til omkring 430° (135 m.) o. h., ned til Isdal (280' = 88 m.) samt til Jøkelfjordbundeu, hvor de naar ned ligetil havfladen. Endvidere skyder en større gletscher ned til Tverdal ved Øx- fjordens nordvestlige side. Forøvrigt sees højfjeldsisens ud- . gaaende paa mangfoldige steder at stikke frem langs efter højfjeldets øverste murkant. Hojtjeldsisen antages her at skulle indtage et fladeom- raade af omkring 1 [] mil (127 kv. km.). Kvænangsdraget, der i strøget om Bergsfjord og Jøkel- fjord viser et med Centralpartiet ensartet karakterpræg, indeslutter ogsaa her forholdsvis ret anseelige partier af evig sne og is. Mod nord afsluttes det ved tvende lave, mildt formede halvøer paa begge sider af Frakfjord. Fra gaarden Langstrand ved Bergsfjord fører saaledes færselsvejen langs foden af højfjeldspartiets nordlige afhæng over lave aasdrag til den indre del af. Frakfjord og længere ud fører det om- kring 320' (100 m.) høje Bogenejde ligeledes fra Bergsfjord over til Frakfjord. Fra bunden af Frakfjord fører et poget højere skar over til Olderfjord, — en sidefjord til Kvæn- angen. Bergshalvøens naturforholde har tidligere været omhand- let af: Leonald v. Buch: Reise durch Norwegen, Berlin 1810. I dette skrift findes enkelte spredte bemærkninger ved- Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 325 rørende bergbygningsforholdene langs Altejdet. iste del pg. 473 ff. Keilbau: Gea norvegica. 2 B. Kristiania 1840, pg. 274. Karl Pettersen: Fjord- og daldannelsen inden det nordlige Norge. Archiv for Math. og Naturv. 2 Bd. Kristi- ania 1877 p. 326 ft. — Det nordlige Norges gabbrofelter. Tromsø Museums Aarshetter 1. Tromsø 1878, pg. 34 ff. — Kvænangen. Tr. Mus. Aarshefter IV. Tromsø 1881. 1 Langfjorddraget. Dette fjeldparti er delvis bygget af gneisartet og gneis- granitisk bergart, paa sine steder gjennemsat af gabbroartede masser, Navnlig treder gabbro frem om de indre partier af Øxfjord og staar her over Øxfjordejdet i mere sammenhen- gende tilknytning til Centralpartiets store gabbrofelt, — der senere nærmere skal blive omhandlet. Naar strøget langs østsiden af Øxfjord fraregnes, har dette landparti forøvrigt ikke været nærmere undersøgt. At slutte fra forholdene, saa- ledes som de træde frem under forbisejling, er der dog grund til at forudsætte, at den østlige del af draget er bygget af skiferstrata, tilhørende en yngre gruppe — antagelig Tromsø glimmerskifergruppe — ældre afdeling. 2. Centralpartiet. Bergsfjords handelssted, fig. 1. a. gneis og gneis-granit, strøgretning 30° fald stejlt nv. b. gabbroartet sten. Prøve fra denne lokalitet har Amund Helland undersøgt mikroskopisk og benævnt som »horn- blendeførende diabas«, der forøvrigt i flere henseender staar nær gabbro”). *) Mikroskopisk undersøgelse af en del bergarter fra det nordlige Norge. Tromsø Museums Aarshefte. I pag. 13, Tromsø 1878. 326 C. a. b. Karl Pettersen. Højfjeldet bygget af den samme gabbroartede diabas. Denne bergart optræder eneraadende efter Bergsfjord- dalen langs begge langsider og fortsætter videre fra da- lens indre afslutning over det herfra opstigende højfjeld. Fig. 2. Profil lidt udenfor handelsstedet Bergsfjord. Hornblendeførende diabas. å haard gneis med samme sireg og fald som efter rits 1. Maro skyder som en liden holme op fra fjorden i nærheden af handelsstedet Bergsfjord. Fig. 3 viser bergbyg- ningsforholdene her. a. b. gneisartede lag i nord-sydlig strøgretning med stejlt vestligt fald. Bergarten er indfældt med røde granater. amfibolitisk ulaget sten. Bergarten dannes af helt for- herskende sort glindsende amfibol med sparsomt ind- blandet diallag. Bergarten er mikroskopisk undersøgt af Am. Helland") og opføres af ham som diallagførende amfibolit. Da olivin forøvrigt ogsaa er at paavise som underordnet bestanddel indlejet i hornblenden, antager han, at bergarten ogsaa kan være at opfatte som en hornblendeførende olivingabbro, i hvilken plagioklasen ganske er fortrængt, og hvor hornblenden er bleven over- vejende. Følges kystlinjen fra Bergsfjord nordover til henimod Lørsnes ved indbøjningen mod Rognsund, findes de lavest liggende landpartier under foden af de stejle bergvægge i regelen byggede af gneislag i veksling med gneis-granit. Over det opstigende højfjeld bryder derimod gabbroartet sten ene- raadende frem. Saaledes træder forholdet frem indtil hen- imod Ørdal, — omtrent midtvejs mellem Bergsfjord og Lørs- nes. Længere nordefter bryder den massive gabbroartede sten vistnok oftere frem inden gneisafdelingen, men her dog i regelen som mere underordnede partier. Lidt nordenfor Ørdal følgende profil fig. 4. Fen: Bidrag til de norske kyttstrøgs geologi. 327 a. rodlig gneis-granit. b. lag af graa gneis strøgretning 40°, fald 60° nv. Gneisen og gneis-graniten veksler saaledes her gjen- tagne gange under temmelig regelmæssige forhold. Silden er en høj bjergfuld ø, der rejser sig op i gabet af Bergsfjord. Den har et fladeindhold af 0,38 kv. mil (48 kv. km.). Den største del af øen er antagelig bygget af gneis og gneis-granit, — ofte dog rimeligvis gjennemsat af gabbroartede massiver. Efter det sydostlige parti af øen, — det eneste strøg, hvor der har været anledning til at anstille nærmere undersøgelser — optræder saaledes forskjellige gabbroartede partier i veksling med eller gjennemsættende den her optrædende gneis og gneis-granit. Ved øens sydostlige hjørne — den saakaldte Sildspel — dannes den mørke basiske bergart af en snart storkornig snart mere finkornig sten. Helland har mikroskopisk under- sagt tre forskjellige prøver herfra"). Den ene prøve er af ham betegnet som olivingabbro og er sammensat af plagioklas, diallag, hornblende i ikke ringe mengde samt olivin foruden lister af magnesiaglimmer og krystaller af apatit. Den anden prøve — en finkornig sten fra samme lokalitet — mangler diallag, medens hornblenden optræder temmelig overvejende og opføres i henhold hertil som en diorit. Den tredje prøve, der dannes af plagioklas og hornblende som væsentlig bestanddele benævnes ligeledes som en diorit. Plagioklasen i de to sidstnævnte prøver viser forøvrigt en mikrostruktur, saaledes som den plejer at findes hos gabbroerne. Da disse prøver imidlertid tilhøre en og samme bergartmasse, saa antager Helland at der, trods det at diallagen mangler paa sine steder, er grund til at betegne dem med samme navn og antager han, at det mest passende navn i saa tilfælde vilde være gabbro-diorit, i lighed med Tornebohms benævnelse for bergarten fra Radmansgen. Ne 323 Karl Pettersen. Noget nordenfor Sildspelen ved øens sydostlige side op- træder langs stranden gneisartede lagrækker under strøgret- ning 160° og med stejlt dels østligt og dels vestligt fald, — altsaa med foldninger. Gneisen gjennemsættes her hyppig af en smaakornig dioritisk bergart, der træder frem som smalere eller bredere baand, dels med skarpere dels med mere uregelmæssige grændselinjer mod gneisen. Hejere op: bliver dioriten mere fremherskende — fremdeles i veksling med gneis, der her ofte gaar over til en gneis-granit, hyppig rigt indsprengt med røde granater. Højere op bliver den maaske eneraadende. Forholdene her vilde nærmere findes belyste ved profil- rits fig. 5, der fører gjennem en lengde af 35' (11 m.). Dio- rit (b.) veksler her gjentagne gange med gneis (a.). Mellem diorit og gneis er der oftest skarpe grændser. Dioriten er i regelen udsondret i pladeformige masser fra et kvarter til et par fods mægtighed (16—60 ctm.), og desforuden ogsaa gjen- nemsat af transversale-spaltningsflader. Hvor dioriten i kon. takten mod gneisen har været udsat for stærkere destrueren eller udras, saa aabne rum her er fremstaaet, sees oftere mindre brudstykker af diorit fæstede som gjenstaaende rester til gneisens udgaaende skiktflader. Gneisen optræder her typisk — i forskjelligt farvede, -vekslende baandlag. Paa ritset fig.5 danner (y) et lag af ren kvarts, der skyder frem gjennem dioriten og derunder mærkelig nok viser en strøg- retning og en faldvinkel, der ganske falder sammen med den, der raader inden de forskjellige med dioriten vekslende gneispartier. Som det af ritset vil sees, optræder dioriten som lejeformige partier i gneisen. Paa et sted saaes dog: fra dioriten at udgaa en gangartet forgrening (x), der gjen- nemskjær gneislagene transversalt. Følger man fra handelsstedet Bergsfjord indefter langs fjorden, saa træder gneisen ogsaa her frem i de laveste par- tier. Snart afløses imidlertid gneisen af den dioritiske berg- Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 329 art, der noget længere ind ganske fortrænger samme og op- træder eneraadende ligefra havfladen. Den taber imidlertid efterhaanden sit dioritiske præg og gaar over til en renere gabbroartet eller diabasisk bergart, — under stadige veks- linger af mere eller mindre storkornige og mere smaakornige afændringer. Fra Bergsfjord ligesom ogsaa fra Jøkelfjord ere prøvestuffer mikroskopisk undersøgte af Helland’) og bergarten betegnes af ham som hornblendeførende diabas. Den er sammensat af plagioklas og augit, hvortil endvidere som væsentlig bestanddel kommer hornblende, der optræder i endog rigeligere mængde end augiten. En anden prøve fra Jøkelfjordbotn — en særdeles smuk storkornig afæn- dring — betegnes som olivinfri gabbro og er sammensat af plagioklas og diallag, den sidste ledsaget af lapper af horn- blende, der opfattes som et omdannelsesprodukt af diallagen. Fra Jøkelfjordbotn udover langs fjordens sydlige side fortsætter den gabbroartede bergart eneraadende til ud imod Sletnesdal. I strøget vestenfor denne dal afløses gabbroen af en haard kvartsrig gneis, der optræder i bænkedelte lag under en strøgretning af 70” med? stejlt nordvestligt fald. Forøvrigt gjennemsettes gneisen her ofte af en dioritisk sten. Saaledes træder forholdet blandt andet frem straks udenfor handelsstedet Havnebugt ved Jøkelfjordens udmun- ding. Fra Jøkelfjordens udmunding indover langs efter Kvæn- angen optræder eneraadende haarde gneisartede strata under en strøgretning af 40° med 60° nv. fald. I fjeldpartiets sydlige afhæng ned mod Altejdet optræ- der langs efter sammes vestlige del fra ejdet opover til en højde af omkring 1000' (314 m.) lagrækker af krystallinsk glimmerrig skifer, der indeslutter eller veksler med lag af kornig krystallinsk kalksten. Som tilfældet saa hyppig er CME 330 Karl Pettersen. inden grændsestrøgne mellem de her optrædende gabbro- eller diabasartede bergarter og skifer, er den sidste ogsaa her saa uren eller i petrografisk henseende saa ubestemme- lig, at det vil være vanskeligt at give!den et systematisk fuldt betegnende navn. Da disse skiferdannelser imidlertid irdeslutte lag af kornig kalksten, vil der maaske i geologisk henseende være mest grund til at henføre dem som led under Tromsø glimmerskifergruppe. Over skiferen træder diabasen (gabbroen) trem og udbreder sig herfra nordover Centralpar- tiets højfjeldsmarker. Længere østlig langs ejdet sænker gabbro-massivet sig længere og længere ned og naar ved bunden af Langfjord og herfra videre frem til handelsste- det Sopnes og gaarden Tappeluft ved Langfjord lige ned til fjordfladen. Ved Tappeluft ligesom ogsaa for en stor del efter Øx- fjordejdet optræder bergarten som en tildels storsornig Hy- persthenit (Norit) og indeslutter her gangpartier af en hvidlig sten, sammensat af feltspath med biotit og hyppig indsprængt med korn eller klumper af magnetit (eller titanjernsten). Den mere storkornige bergart om bunden af Øxfjord, — der af Helland betegnes som en olivingabbro — gjennem- sættes af indtil 2’ (0,6 m.) mægtige gangmasser af en sort smaa — til finkornig sten, der i petrografisk henseende maaske nærmest vil være at opføre som diabas. Disse gange optræde i regelen med skarpe grændselinjer. Hvor langt gabbrofeltet strækker sig udefter langs efter den vestlige side af Øxfjord har der ikke været anledning: til nærmere at undersøge. Den paa kartet optrukne grændse for feltets udbredelse mod nord støtter sig saaledes ikke til mere direkte aflæsninger. — Forøvrigt kan der være nogen sandsynlighed for, at feltet ikke optræder ganske saaledes sammenhængende som paa kartet angivet, men at det paa forskjellige steder vil findes udstykket ved mellemliggende partier, enten af grundfjeldets gneis eller af lagrækker, til- i Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 331 hørende Tromsø glimmerskifergruppe. De store bølgeformige højfjeldsmarker inden centralpartiet synes maaske ligesaa- snart at skulle pege derhen. 3. Kvænangsdraget. Det høje og vilde fjeldparti, der fra Jøkelfjorden breder sig frem nordefter vestenfor det tidligere omhandlede Jøkel- fjord- eller Bergsfjordsskar og videre nordover langs Bergs- fjord til henimod gaarden Sandland, er i orografisk som i geologisk henseende at sammenstille med centralpartiets store gabbrofelt. Langs Bergsfjorden stiger det op i stejle styrtninger. Mod'nord afsluttes det med stejlt afhæld efter en linje fra den ovennævnte gaard Sandland ved Bergsfjord. over til Frakfjord, hvor det gaar over i et vidstrakt af lave, mere monotont formede aasdrag gjennemsat underland. Et lignende forhold træder frem langs efter Kvænangen. Dette høje fjeldparti danner saaledes her et udpræget kjededrag. Kjededraget er bygget af de samme gabbro-artede af- ændringer, der træder frem inden centraldraget, — under- landet langs den nordlige og vestlige side derimod af gneis- artede strata, skiferafdelinger, nærmest højfjeldsdraget og til- dels ogsaa af yngre skiferafdelinger over de længere frem- springende nesformige dannelser. Ved Sandland bryder gabbroen endnu tildels frem efter underlandet langs strandpartierne. Her findes gabbroen hyp- pig gjennemsat af aarer af en kvartsrig halvt granitisk sten. Lidt længere udover optræder haard gneis eneraadende. Ved Hættekjeila paa østre side af Frakfjord hen mod bunden af samme optræder en smuk tyndlaget glimmerskifer. Strøgretningen øst-vestlig, faldet oftest nordligt. Lagstillin- gen udmærker sig forøvrigt her ved stærke og smukke fold- ninger eller snoinger. Kalkstensindlejninger mangler her ganske. ‘Om denne skiferafdeling skal være at indordne un- der Tromsø glimmerskifergruppe maa indtil videre henstaa 332 Karl Pettersen. uafgjort. Lagstillingen med sine stærke foldninger og man- gelen paa kalkstensindlejninger kunde maaske pege hen paa, at denne afdeling ligesaasnart kunde være at indordne under Dividalsfeltet og i saa tilfælde at henføre til en af denne gruppes yngste led. Ogsaa de længst fremspringende partier af halvøen paa begge sider af Frakfjord, er efter de iagttagelser, som der i saa henseende har været anledning til at gjøre under for- bisejling, bygget af lagrækker af tyndlaget sten, der efter al sandsynlighed maa være at sammenstille med skiferafdelin- gen om Hattekjeila og at henføre til samme geologiske ni- veau som denne. . Den udenfor Bergshalvgen liggende ø Loppen er bygget af glimmerskifer med kalkstensindlejninger og saaledes at indordne under Tromsø glimmerskifergruppe. Lagstillingen viser her nordvestlig indskyden’). Bergshalvøen er i henhold til de her fremlagte aflæsnin- ger bygget afgrundfjeldets lagrækker, hvortil endvidere kom- mer enkelte mere underordnet optrædende skiferafdelinger, tilhørende Dividalsgruppens yngste afdeling samt Tromsø glimmerskifergruppe. Halvøens stærkest fremtrædende byg- ningsled dannes imidlertid af en massiv basisk bergart, der i petrografisk henseende kan variere ganske stærkt, men som dog som et hele nærmest kan være at betegne som en gabbro. a. Gneis-afdelingen er at indordne under kyststrækningens gneis-granitiske felt og dannes af mere karakteristisk udpræget gneis i veksling med eller med overgang til gneis-granit. Gneisgraniten op- 1) Gea norv. 2 B. pg. 288. Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 333 træder dog her i det hele mindre karakteristisk udpræget end tilfældet er efter kyststrækningens søndenfor liggende strøg. Denne afdeling optræder som forherskende bygningsled inden Langsfjordsdragets vestlige mod Øxfjorden grændsende parti, bygger fremdeles den nordlige del af Central-partiet, hvor den træder frem i et bredere bælte, og træder endvidere frem som smalere baandstriber i de lavest liggende niveauer langs efter Bergsfjordens østlige side. Efter halvøens vest- lige hovedparti optræder den i bredere belter over de smaa halvøer paa begge sider af Frakfjord ligesom ogsaa langs efter Kvænangen. Den store ø Silden, der skyder op i Bergsfjordens gab, er for en væsentlig del bygget af gneisartede lagrækker. Med hensyn til lagstillingen, saa bøjer denne sig inden Centralpartiet, hvor der i saa henseende har været anledning til at gjøre forskjellige aflæsninger, efter kystlinjerne og efter de i orografisk henseende mere bestemmende fjordind- skjæringer. - Faldvinkelen er i regelen stejl — 60 til 70°, med indskyden snart ind mod land snart ud fra samme. Gneisen optræder paa mangfoldige steder i umiddelbar kon- takt mea gabbroen. Gneisafdelingen er antagelig af laurentisk alder. - ß. Tromsø glimmerskifergruppe. Lagrækker af tyndlaget kvartsitisk glimmerskifer, der ofte skyde frem under stærke foldninger, bygger fjeldgrun- den over de ytre længst mod nord fremspringende partier af de to smaa halvøer paa begge siden af Frakfjord De inde- slutte 1 henhold til de hidtil gjorte aflæsninger ikke kalk- stensindlejninger. For tiden lader det sig vistnok ikke med mere bestemthed afgjere, om disse skulle være at indordne under anden Tromsø glimmerskifer eller maaske ind under Dividalsgruppen. Forelabig opføres disse lagrakker under glimmerskifer-gruppen. 334 Karl Pettersen. I Centralpartiets afheng mod Altejdets vestlige side fra dalbunden op til en højde over havfladen af omkring 320 m. optræder lagrækker af i petrografisk henseende mindre ty- pisk. udprægede skifere med indlejninger af krystallinisk kalksten. - Disse indlejninger synes nærmest at pege hen paa, at lagrækkerne her tilhøre Tromsø glimmerskifergruppe. Højere op afløses de af Centralpartiets gabbromasser. y. Gabbro danner halvøens stærkest fremtrædende og ogsaa i orografisk henseende mest betegnende geologiske bygningsled. Efter Langsfjorddraget bryder gabbroen frem paa forskjellige ste- der i mindre mere isoleret udskilte partier, men stikker des- foruden ogsaa paa flere steder frem mere underordnet inden gneisafdelingen eller i veksling med gneisen. Over Central- partiet, og efter Kvænangsdraget bygger den derimod et større sammenhængende, forøvrigt ved et 800' (251 m.) højt- liggende fjeldskar i tvende hovedpartier udskilt felt. Gab- broen taarner sig her op til omkring 3000' (941 m.) høje fjeldpartier, der ere prægede af den samme vildhed i de ydre former, der i saa høj grad karakteriserer flerheden af de af gabbroartede massiver byggede strøg inden det nord- lige Norge. Fra Bergshalvøens gabbrofelt har 9 forskjellige prøve- stuffer været underkastet en mikroskopisk analyse af Am. Helland og er resultatet deraf fremlagt i Tromsø museums aarshefter I. (1878). Af disse betegnes afhandlingens no. 1 (fra Oxtjord), ligesom no. 5 fra Sildspelen som olivin-gabbro, no. 6 fra Jøkelfjordbunden som gabbro, no. 11 (fra Jøkelfjord- bunden) og no. 12 (fra Bergsfjord) som hornblendeførende diabas, ro. 13 og 14 (fra Sildspelen) samt no. 16 (fra Tret- tingnes paa Silden) som diorit og endelig no. 15 (fra Marø) som diallagforende amjibolit. Det vil heraf fremgaa, at den massive bergart inden grændsestrøgene mod gneisen i rege- Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 335 len optræder som en dioritartet sten, medens den længere ind mod de mere centrale partier antager et renere gabbro- artet præg og, i petrografisk henseende, kan være at be- tegne enten som olivingabbro eller som olivinfri gabbro. Paa den anden side betegnes imidlertid ovennævnte no. 5, der er hentet fra grændsestrøget, som olivingabbro, og der- imod no. 11 og 12, der ere hentede fra de mere centrale partier, som hornblendeførende diabas. Da samtlige disse bergartprøver imidlertid geologisk ere at henføre til et og samme bergslag, saa vil deraf fremgaa, at bergarten inden Bergshalvøens gabbrofelt kan variere saa væsentligt, at den efter den nu almindelig vedtagne systematik her maatte op- træde under en række af mere selvstændige hovedformer. Dette synes imidlertid i sig selv lidet rimeligt. Snarere vil dette vidne for, at den petrografiske systematik i dette stykke er bygget paa forudsætninger, som forholdene ude i naturen ikke kunne godkjende. Otto Lang har i sin afhandling »Ein Beitrag zur Kennt- niss norwegischer gabbros«!) nærmere fæstet sig ved de her nævnte af Helland beskrevne gabbroartede bergarters variabili- tet. Han fremhæver, at dette forhold, saa forunderligt det end kan synes ved første øjekast, dog nærmere beseet ikke kan være saa ganske uventet. Imellem diallag og augit vil der saaledes ikke være nogen saadan præeis grændseforskjel, at det altid vil kunne lade sig gjøre at skille mellem disse to pyroxen-arter. En finkornig gabbro vil saaledes meget vel kunne fremtræde som diabas. Med hensyn til de af Helland omhandlede dioriter, saa antager han, at den i samme iagttagne hornblende, ligesaasnart kan være at op- fatte som omdannelsesprodukter efter pyroxen og i saa til- fælde rimeligvis efter diallag. Lignende sekundær oprin- delse antager han tilkommer amfiboliten saavel i den 1) Zeitschrift d. d. geol. Gesellschaft XXXI. 1879, pg. 489 ff. 336 Karl Pettersen. hornblendeførende diabas som i den diallagførende amfi- bolit. Saaledes som forholdet efter den her leverede fremstil- ling opfattes afLang, stiller sagen sig vistnok langt simplere og mere naturlig, idet de mange her optrædende i systema- tisk henseende saa forskjelligartede species som sekundære afændringer føres tilbage til en enkelt mere oprindelig hoved- form. Det gjælder imidlertid her at føre beviset for disse afændringsformers sekundære oprindelse, men et saadant foreligger neppe for tiden. Tvertimod synes saa- ledes de dioritiske afændrindsformer efter Sildens sydostlige hjørne ligesom ogsaa den paa Marø optrædende amfibolit ligesaasnart at maatte være at opfatte som en mere oprinde- lig afændringsform. Navnlig gjælder dette det sidstnævnte sted, hvor stenen i ret anseelig mægtighed optræder i over- lejningsforhold til gneisen og her danner en storkorning og overalt temmelig ensartet bergart, i hvilken hornblenden op- træder næsten eneraadende. I henhold til Hellands beskri- velse danner den omkring 90 pCt. af bergartens masse. Grændseforholdene mellem gneisen og gabbroen ere ofte helt ubestemmelige og i grændsestrøgene kunne de paa en vis maade synes at gaa over i hinanden. Skarpere grænd- ser vil her i regelen neppe være at paavise. Petrografiske overgangsformer synes ofte at træde frem, med hensyn til hvilke det i ethvert tilfælde ikke vil være let at afgjøre, hvorvidt de skulle være at henføre til gneisen eller til gab- broen. Disse overgangsled vise fremdeles en mørk grund- farve, den augitiske bestanddel er afløst af hornblende, berg- arten indeholder endvidere glimmer og noget kvarts, og plagioklasen synes efterhaanden 1 rigere og rigere maalestok at skulle vige for orthoklasen, indtil man endelig naar frem til den mere bestemte gneis-granit. Overgangsformerne kunne her maaske snarest være at betegne dels som dioritiske dels som syenitartede afændringer. LA Bidrag til de norske kyststrogs geologi. 337 Ret mærkelige ere grændseforholdene mellem gneisen og gabbroen (dioriten) efter Sildens sydostlige hjørne. Navn- lig maa henvises til den paa rits fig. 5 fremstillede regel- mæssige veksling mellem diorit og gneis. Igjennem en længde af blot 35' (11 m.)*) sees 6 forskjellige dioritiske lag under en mægtighed af fra 0.5' til 10' (0,15 m. til 3 m.) at veksle med i mægtighed ligesaa varierende gneislag. I et af de dioritiske lag optræder endvidere et lag af ren kvarts, — i en med gneisen konform lagstilling. Disse vekslende lag af gneis med diorit synes neppe at kunne lade sig for- klare ad anden vej end gjennem en forudsætning om en samtidig og ensartet oprindelse for disse i petrografisk hen- seende saa vidt forskjellige led. Den gangartede forgrening (x) fig.5 — der fra et af dioritlagene skjærer sig transversalt ind gjennem gneisen —, vilde vistnok, naar den alene saa hen til denne, kunne pege hen paa dioritens eruptive oprin- delse, men ligeoverfor dioriten i dens optræden forøvrigt vil den i saa henseende neppe kunne vere at tillegge nogen bestemmende vægt. Paa den anden side er der derimod al rimelighed for, at dioriten her i geologisk henseende er umiddelbart tilknyt- tet til Bergshalvøens gabbro. Et større mere sammenhæn- gende parti, der indeslutter saavel dioritiske som gabbro- artede afændringer, dukker nemlig frem straks søndenfor det punkt, hvorfra nævnte profil er hentet. At dette parti lige- som ogsaa den diallagførende amfibolit paa Marø er at ind- ordne under Bergshalvøens gabbrofelt maa ausees som utvivlsomt. I grændsestrogene mod gneisen gaar ogsaa gabbroen i regelen — som tidligere fremhævet — over til en dioritisk afændring. Profilet fig. 5 er saaledes hentet fra et punkt, der maa være at betegne som liggende i de egent- lige grændsestrøg mellem gneisen og gabbroen, og der vil ') Profilet kunde paa lignende maade udstrækkes endnu videre. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. SB, 22 338 Karl Pettersen. derfor omvendt være al grund til at drage den slutning, åt dioriten her geologisk tilhører gabbrofeltet. Men medens saaledes de med gneisen vekslende dioritiske lag med hen- syn til oprindelse paa engang ere at knytte saavel til gneisen som til gabbroen, vil det dog derfra neppe være berettiget videre at drage den slutning, at gabbrefeltet i sin helhed ligeledes skulde være at henføre til gneisen. Gabbroen op- træder nemlig her'over et saa vidtstrakt omraade og overalt under i det væsentlige saa ensarrede strakturforholde, at det synes nødvendigt at maatte tildele den en fra den krystal- liniske skifer afvigende oprindelse. Den eneste rimelige for- klaringsgruud vil — saavidt det kan sees — være den, at gab roen efter grændsestrøgene har afgivet materiale til den sedimentære gneisafdeling. Men i saa tilfælde maa altsaa gabbroen være ældre end gneisen og gneis-graniten. b. Stjernø har et fladeindhold af 2 n. kv. mil (260 kv. km.). Øen er høj og bjergfuld. De højeste toppe naa en højde af omkring 920 m. Den har ikke været underkastet nogen nøjagtigere geologisk undersøgelse og har alene været betraadt paa et par punkter langs den sydlige side og et punkt ved det nordvestlige hjørne. Efter de saaledes gjorte aflæsninger er den bygget af gneisartede lagrækker, der ved den sydostlige side gjennemhrydes af et gabbrofelt, der antagelig herfra skjærer sig tvertover til dens nordlige side. Henimod det syd- vestlige hjørne gaar gneisen over til en gneis-granitisk sten. Ved Nor mandnes paa gens nordvestlige side bygges fjeldgrundeu af lodret staaende lag af en hornblendeskifer, der stryger i retning nv. til so. (140°). Skiferen veksler med lag af grovkornet kalksten. I kalken er paavist krystaller af apatit. Skiferens hornblende er kulsort og glindsende og ligner glandskul. Paa sine steder i skiferens dagflade ligge Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 339 de kulsorte glindsende hornblendenaale kastede om hinanden og dække derunder paa det nærmeste dagfladen. Hornblenden i denne skifer minder om hornblenden i Marøens diallagførende amfibolit ligesom ogsaa om hornblenden i forskjellige dioritiske partier, der optræde paa Sorøen i grændsepartierne mod gneisen. Der synes at kunne være grund til at forudsætte, at materialet til hornblendeskiferen ved Nordmandsnes er udgaaet fra en oprindelig med Marøens diorit nærstaaende bergart. c. Seiland har et fladeindhold af 4,7 n. kv. mil (593 kv. km.). Den syd- lige og vestlige del af øen danner et vildt fjeldparti, der i regelen stiger stejlt op fra havlinjen og breder sig udover den forholdsvis største del af øens indland. Efter øens nord- lige del og dens østlige side skyder sig derimod frem et lavere forholdsvis bredt underland. Ved den fra den nord- vestlige side indskydende fjord Eidvaag og det til samme knyttede af alluvialmasser byggede Ejdvaagsejde er øens nordligste stærkt indtungede fremspring helt udskilt fra den sydlige hoveddel. Seilands højeste toppe naa op til omkring 3400’ (1067 m.) Over det vide højfjeld udbreder sig en anseelig is- og sne- mark og fra denne udsendes langsefter øens vestlige side forskjellige gletscherbaand ned efter det indre afhæng mod de her indskaarne korte dalfører. Seilands naturforholde har tidligere været omhandlet af Keilhau i Gæa norv. 28 d. pag. 284, af Pettersen i det nordlige Norges gabbrofelter — Eukriten paa Seiland (et par notitser herom i geol. för. forhdl. Siockholm 2 B. pag. 125 samt i Neues Jahrbuch für Min., jahrg. 1876 pg. 174. Kvisnesfjord. I de lavest liggende niveauer øjegneis indflettet med store røde granater, derover i kornform lag- 22* 340 Karl Pettersen. stilling tyndlaget glimmergneis, ligeledes indflettet med røde granater. Strogretning n—s, fald v. Vasbugten. Brunlig glimmerskifer (glimmergneis) fald sv. Komagnes. Hornblendeskifer i veksling med kvartsitisk skifer, strøgretning n—s., fald v. Russeev. Kvartsitisk skifer, strøgretning n—s., faldet indtil 30° v. Molvik eller Rastebynes. Haarde gneisartede skifere i veklende sorte, røde og lysere baanglag, n—s. fald 30 a 40° v. Opover fjeldsiderne ved Rastebynes kvartsitiske skifere i smuk lagdeling, strøg 160°, fald 30° v. Olderfjord. Haarde gneisartede lagrækker i veksling med hornblendeskifer og kvartsitisk skifer. Strøg n—s., fald 40° v. Fra vestre side af Store Bekkarfjord optræder en massiv gabbroartet bergart snart mere smaakornet snart grov til storkornet. Denne bergart er sammensat af plagioklas, der af Des Cloizeaux og Pisani!) betegnes som anorthit, samt af augit og er bergarten i henhold hertil at betegne som en eukrit. Helland, der har undersggt den mikroskopisk og i sin fornævnte afhandling nærmere har beskrevet den pag. 7, antager at det augitiske mineral nærmest er at betegne som diallag. Da bergarten endvidere indeholder olivin om end i ringe mængde, benævner han den olivin- gabbro*). Denne ejendommelige bergart viser stærkt vekslende strukturforholde, væsentlig betinget af plagioklasens og den augitiske bestanddels gjensidige vekslende kvantitative for- hold. Snart optræder nemlig de to hovedbestanddele i nogen- 1) Annales de chemie et de physique 5te Række, 9de Bind 1876. pag. 492. *) Leop. van Wervcke omtaler en ejendommelig tvillingdannelse af Felt- spaten, der er bemærket i denne eukrit. Neues Jahrbuch fir Min. etc. Jahrg. 1883, II. Bind, pag. 98 og 99. Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 341 lunde jevn fordeling og bergarten er da oftest temmelig storkornig. Denne afændring danner en overordentlig smuk bergart, som for slibning og polering vil afgive et for- trinligt materiale. Snart kan plagioklasen træde mere til- bage, den sortebrune augitiske bestanddel derimod mere frem, ofte endog i den grad, at den, alene sparsomt spættet med smaa hvide korn af plagioklasen, danner bergarten saagodt- som eneraadende bestanddel, Disse stærke vekslinger i struk- turforholdene træde overordentlig hyppig frem, saa der som oftest vil være rig anledning til at udslaa haandstykker, paa engang sammensatte af de grovkornede, plagioklasrige og de brunligmørke, mere smaakornede plagioklasfattige afændrings- former. Det er navnlig i partierne om store og lille Bekkarfjord, at eukriten (anorthit-gabbroen) optræder mest typisk ud- præget. Udenom Nes ved Bekkarfjordens munding stikker i de de lavest liggende niveauer fra strandpartierne opad lagræk- ker frem af en ejendommelig i høj grad krystallinisk udvik- let gneis, — saa rigt indflettet med smaa røde granater, at bergarten vil være at betegne som en granat-gneis. Granat- gneisen skyder ind under gabbroen. Granatgneisen optreder i strøget mellem Bekkarfjord og den anseelige i syd-nordlig retning indskydende Kofjord temmelig udbredt langs efter Seilands sydostlige hjørne og overalt i samme forhold til gabbroen, stikkende frem i de lavest liggende niveauer og skydende ind under gabbroen. Denne sidste fortsætter herfra videre indover efter højfjelds- partiet, og bygger langs efter de indskaarne smaafjorde vilde takkede og ofte forunderlig formede fjeldtinder. Navn- lig danner saaledes den lille Kjerringfjord, der er omkredset af høje tildels ubestigelige og grotesk formede fjeldpartier, et overordentligt vildt fjordparti. Ved Kjerringnes optræder granat-gneisen fra de lavest 342 Karl Pettersen. liggende niveauer opover og skyder ogsaa her ind under gabbroen. Denne synes her tildels ogsaa gangartet at gjen- nemsætte granatgneisen. Ved Seilstennes optræder gabbroen eneraadende ligefra strandniveauet. Lidt udenfor Seilstennes skyder granat-gneisen frem under o.—v. strøgretning og med 45° nordligt fald og bygger her fjeldgrunden fra stranden opad fjeldsiderne, saa langt øjet kan naa. I nærheden af Seilstennes optræder lejeformig i granat- gneisen et 14 å 16’ (4 å 5 m.) mægtigt lag, dannet af rødlig orthoklas, hist og her indfældt med klumpformede aggregater af mørk magnesiaglimmer. Ligeledes findes gabbroen her hyppig gjennemsat af gangpartier, dannet af hvidlig feld- spath og ofte røgbrun kvarts, — i en forbindelse, der tildels kan ligne skriftgranitens. Feldspathen som kvartsen-er ind- fældt med røde granater og brunlig, storbladet magnesia- glimmer. Korn og Magnetit sees indsprængt i gangstenen. Ved bunden af Kofjord stikker en amfibolitisk sten frem, der snart kan optræde som en laget hornblendegneis under nord—sydlig strøgretning og med østligt fald, snart som en ulaget dioritisk bergart. Amfiboliten gjennemsættes af gangartede partier af rødlig orthokias med noget kvarts, — indsprengt med korn og magnetit. Disse her hyppigt op- trædende gangpartier vise i regelen en øst—vestlig strøgret- ning og kunne naa en mægtighed af opimod et par fod (0,6 m.). Langs den vestre side af fjordbunden optræder igjen den lyse granat-gneis regelmæssig lagdelt. Strøgretning 140°, fald stejlt no. Granat-gneisen veksler her hyppig med en mørk amfibolit (diorit). Ved Kofjordens munding langs sammes vestre side optræder granit-gneisen eneraadende under en strøgretning af 140° med stejlt sydvestligt fald. Bidrag til de norske kyststøgs geologi. 345 Om bunden af den dybe bugt, der straks vestenfor Ko- fjord skjærer sig ind i syd-nordlig retning, optreder granat- gneis i regelmæssig lagdeling. Strøg n.—., fald 45° ø. Ved Junkerhavn fremdeles granatgneis. En liden holme ved Kvalfjord i nærheden her er bygget af hornblendeskifer. Strøg 160°, fald stejlt v. - Lidt vestenfor Junkershavn: a) nederst langs stranden grovkornig kalksten, hvori ind- vokset klumper af sort hornblende. b) derover en ulaget sten sammensat af graalig feltspath, som hovedbestanddel med klumper afsort hornblende og indsprængt med magnetit (maaske nærmest en diorit). Afdelingerne a) og b) synes her at gaa over i hinan- den. Den nederste afdeling (a) indeslutter ogsaa partier eller brudstykker, tilbørende afdelingen (b). Hojviknes. Her lagrækker af granat-gneis. Paa nes over til Baardfjord fremtræder gneislag under øst-vestlig strøgret- ning og stejlt nordligt fald. Udimod Baardsfjord derimod hornblendeskifer med indlejninger af krystallinisk kornig kalksten, under øst-vestlig strøgretning og i vertikal lagstil- ling. Disse kalkstensførende lagrækker maa antagelig være at indordne under Tromsø glimmerskifer-gruppe. Langs den søndre side af Baardsfjord optræder inden strandbeltet en hel række af mer eller mindre udviklede jettegryder. Ved bunden af Baardsfjord bygges fjeldgrunden af diorit. Denne fortsætter herfra over aasdragene eneraadende op til højfjeldet. Dioriten vil her antagelig findes mere umiddel- bart tilknyttet gabbroen langs efter Seilands sydøstlige hjørne om Bekkarfjorden og vil i lighed med de før omhandlede forholde ved Bergshalvøen ogsaa her nærmest være at opfatte som en afendringsform under gabbroen. Dioriten indeslutter udskilninger eller gangartede partier w 344 | Karl Pettersen. af en tildels labroderiserende feltspath. I dagfladerne findes dioriten oftere indfældt med kulsur kalk. Baardsvæggen er bygget af haarde gneisartede lagræk- ker med overgang til gneis-granit. Ved indløbet til Søndre Bomandsfjord optræder diorit eneraadende fra stranden opover. Paa et sted fandtes her et 1 favn (1,9 m.) mægtigt lag af en kvartsitisk sten at skyde sig ind mellem den dioritiske grundmasse. Dette lag viste en nord-sydlig strøgretning med 60 å 70° østligt fald. Søndre Bomandsfjord danner en vild bugt, omkrandset af spidse taggede fjelde. Underlandet langs fjordbunden er oversaaet med udrap af store, tildels mægtige dioritiske blokke. Paa nordre side af Sondre Bomandsfjord optræder en laget amfibolitisk bergart. Strøgretning 160° fald ø. Straks indenfor 3die Bomandsfjord en laget amfibolitisk bergart, sammensat af hornblende og plagioklas med udpræ- : get tvillingstribning. Strøgretning omkring n.—s., fald 60° ø. Gyfjorddalen skjærer sig fra bunden af Gyfjord ind mod højfjeldet under dettes nordlige afhæng. Bergarten dannes her overalt af tyndlaget amfibolit. Højfjeldsisen sender her enkelte gletscherbaand ned mod Gyfjorddal. Hvor isen afsluttes, danner den i regelen stejle endevægge. Endemoræner ere her ikke at paavise, derimod mægtige samlinger af rullestensblokke, strøede om ned efter lierne. Flerheden af disse dannes af gabbro eller diorit, men mellem disse findes ogsaa blokke af en smuk hvid grovkor- nig kalksten. Antallet af disse vokser, eftersom man naar op mod den fra højfjeldet nedskydende bræ. Antagelig maa disse kalkstenes hjem være at søge op over det egentlige højfjeld, der altsaa foruden gabbro ogsaa maa indeslutte lag- rækker af krystallinske, kalkstensførende skifere. Ved indre side af Tverfjordejdet lagdelt amfibolit. Strøg- retning n.—s., fald 30° ø. Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 345 Denne her oftere nævnte lagdelte amfibolit er upaatvivle- lig ikke andet end en afændringsform under den ulagede diorit. I ethvert tilfælde maa dioriten have afgivet materiale for afsætningen af den lagdelte amfibolit. Ind mod bunden af Hønsebyfjord optræder gneisartede lagmasser. Gneisen er her rigelig indfældt med røde grana- ter. Strøgretning 140°, fald stejlt sv. Det ytre nes meliem Skrejfjord og Gyfjord ligesom og- saa det ytre nes mellem Gyfjord og Hønsebyfjord ere byg- gede af gneis. Imellem Tverfjordvand og Hønsebyfjord ligger grændsen mellem gneisen og indlandets store mere sammenhængende gabbro- og dioritfelt. I overgangsstrøgene ere bygningsfor- holdene stærkt vekslende, idet gneispartier og dioritiske af- ændringer noget uregelmæssig ere kastede om hinanden. Ved Nordmandsnes ved udmundingen af Hønsebyfjord stikker en granatrig gneis (granat-gneis) ind under amfiboliten. Vinna — en liden ø udenfor Hønsebyfjord — er bygget af gneislag. Lagstillingen nærmer sig ofte horisontalfladen. Lille Fagervik. Gneislag med 30° østligt fald. I gneisen optræder her en flere favne megtig lagrække, i hvilken gnei- sen findes sparsomt indsprængt med kobberkis. Ejdsvaagens smale landtunge hæver sig blot nogle faa meter over havfladen og er bygget af alluvialmasser. I henhold til de her fremlagte aflæsninger bygges Sei- land af lagrækker tilhørende grundfjeldet samt Tromsø glim- merskifer-gruppe og desforuden af et udstrakt sammenhæn- gende felt af gabbro og diorit. 1. Grundfjeldet bygger fjeldgrundan over øens nordligste ved fjorde og bug- 346 Karl Pettersen. ter sterkt udtungede halve og skyder derfra videre frem i et bælte efter østsidens forholdsvis brede underland. Berg- arten dannes efter øens nordligste parti af en glimmergneis, der veksler med hornblende-skifer, glimmerskifer og kvartsi- tisk skifer. Langs øens østlige side træder den mere typiske gneis ganske tilbage og afløses her af kvartsrig glimmer- skifer og kvartsitisk skifer, hvilken sidste her danner det stærkest fremtrædende led. Ved Kvisnesfjorden ligger tynd- laget glimmerskifer under konform lagstilling over gneisen. At slutte fra forholdet paa dette sted — det eneste, hvor der forøvrigt har været anledning til at paatreffe gneisen og glimmerskiferen i umiddelbar kontakt — maa glimmerskife- ren med den til samme knyttede kvartist være yngre end gneisen. Da glimmerskiferen med kvartsiten optræder helt eneraadende langs øens østlige side, synes der at kunne være nogen grund til at betragte glimmerskiferen her som en yngre mere selvstændig afdeling inden grundfjeldet. Efter den nordlige og østlige del af gen ligger lagstil- lingens stregretning i regelen omkring nord-syd, idet denne dog temmelig bestemt og nogenlunde regelmæs- sigt bøjer sig efter øens kystlinje. Langs den nordvestlige side af øen er faldet østligt, efter den østlige side derimod vestligt — altsaa med stadig indskyden ind mod land eller fra kystlinjen. Langs den sydlige side af øen optræder grundfjeldet of- test alene i smale strimler, skydende op fra havfladen efter. de lavest liggende niveauer, idet det her danner det umid- delbart liggende for en gabbroartet bergart, der taarner sig op i mægtige masser og herfra breder sig videre ud over gens vidstrakte højfjeldspartier. Grundfjeldet dannes imid- lertid her ikke af glimmergneis, men derimod af en lys, graalighvid granatgneis, dannet af en feldspathartet grund- masse, saa rigt indfældt med smaa røde granater, at disse maa være at betegne som en af bergartens hovedbestanddele. Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 347 Paa sine steder kan granat-gneisen dog ogsaa brede sig ud- over større mere sammenhængende omraader langs efter kystlinjerne, — hvilket navnlig er tilfældet langs den vest- lige side af Store-Koford. Ogsaa efter øens nordvestlige side træder granatgneisen frem paa forskjellige steder — her dog vistnok i det hele mere lokalt. I kontakten med gabbroen skyder granatgneisens lagdelte strata altid ind under samme under en faldvinkel af op imod 60°. Granatgneisen optræder over Seiland overalt i petrogra- fisk henseende karakteristisk og ensartet udpræget. Da den ogsaa i geologisk henseende altid optræder som et mere selvstændigt bygningsled,:bør den antagelig udskilles som en særskilt afdeling under grundfjeldet og i saa tilfælde opstil- les som et led ældre end den kvartsitiske glimmerskifer. Granatgneisen: optræder udpræget lagdelt. Lagstillingen bøjer sig regelmæssig efter kystlinjen. Efter den sydlige del af øen viser den saaledes en regelmæssig øst-vestlig strøgretning med stejlt nordligt fald, langs efter Kofjorden er den derimod afbøjet i mere nord-sydlig retning. Grundfjeldet paa Seiland vil saaledes blive at udskille i følgende underafdelinger nedenfra opad. a. gneis. b. granat-gneis. c. glimmerskifer i veksling med hornblendeskifer og kvart- sitiske skifere. Denne afdeling kan forøvrigt ogsaa indeslutte lag af en feltspatbrig gneisartet skifer. 2. Tromsø glimmerskifer-gruppe. Lagrækker tilhørende denne gruppe optræder, saavidt iagttaget, kun paa enkelt lokalitet, nemlig ved Baardsfjord ved øens sydvestlige side, hvor de bygge de længst frem- springende dele af det lave nes ved fjordens sydlige side. Lagrekkerne her dannes af hornblendeskifer med indlejninger 348 Karl Pettersen. af krystallinsk kornet kalksten. Skiferens hornblende er antagelig udgaaet fra dioriten, der her bryder frem lige i nærheden. At slutte fra den hyppige forekomst af rullestensblokke af grovkornet kalksten, der fra højfjeldet findes ført ned efter fjeldskraaningerne mod Gyfjorddal, er der grund til at forudsætte, at en megtigere afdeling af til glimmerskifer- gruppen henhgrende lagrekker træder frem over højfjelds- partierne mod sammes nordlige afslutning. Keilhau") steg i sin tid omtrent fra samme strøg op til øens højeste punkt. "uden dog her at bemærke kalksten-forende afdelinger. An- tagelig maa saadanne her være overdækkede af sne og is. 3. Gabbro og diorit bygger et anseeligt sammenhængende felt, der indtager det vesentligste af gens store hajfjeldsparti. Langs den sydost- lige del af øen træder bergarten frem som en anorthit-gabbro (eukrit) og finder saaledes mest typisk udpræget om Store- Bekkarfjord. Her stiger den dels umiddelbart op fra hav- fladen, brydende frem i stejle til lodrette styrtninger og byg- ger derunder vilde og sønderrevne fjeldpartier med rækker af ejendommelig formede spidser og tinder. Paa andre steder bygges de lavest liggende niveauer af fjeldafhænget af en granatgneis, der under en faldvinkel af fra 45 til 60° skyder ind under gabbroen. Gabbroen findes her ofte gjennemsat af gangartede par- tier, sammensat af en rødlig orthoklas indblandet med klum- per af tildels storblodig magnesia-glimmer. Gangstenen fin des ligeledes indsprængt med smaa korn af magnetit (eller titanjernsten). Efter øens vestlige side og navnlig efter sammes nord- 1) Gea 2 B. pg. 274. Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 349 lige del gaar gabbroen i grændsestrøgene mod gneisen over til en diorit. Forholdet her falder i saa henseende ganske sammen med det feromhandlede efter Bergshalvøen og Silden. Paa forskjellige steder langs den vestlige side af øen stikker en laget amfibolitisk bergart i de laveste niveauer ind under den mere udprægede massive bergart. Denne lagede amfibolit, der er sammensat af hornblende og plagio- klas, maa nærmest være at opfatte som en skifrig afændring af dioriten, altsaa som en dioritskifer. Der har ikke været anledning til nærmere at undersøge forholdene over sens indre hgjfjeldspartier, der ogsaa for en stor del ere sne- og isdækkede. Der er imidlertid, at slutte . fra aflæsninger under forskjellige korte exkursioner ind over højfjeldsstrøgene, al grund til at forudsætte, at gabbro og diorit forøvrigt under forskjellige mer eller mindre stærkt varierende afændringsformer optræder i et stort sammenhæn- gende felt, og at det egentlige højfjeld for en væsentlig del er bygget af disse. I Nyt Magasin for Naturvidenskaberne 1847 omtaler Scheerer, at der ved det sydostlige hjørne af Seiland skal være paavist en syenit, der førte zirkon og elæolit. Da jeg temmelig nøjagtig fulgte bergbygningsforholdene her, uden nogetsteds at støde paa nogen syenitisk bergart, tror jeg med al bestemthed at kunne fremholde, at zirkonførende syenit her intetsteds vil være at paavise som en mere selv- stendig optrædende bergart. Skal zirkon her i virkeligheden være at paavise, vil den antagelig snarest være at søge i de mange forskjellige gangartede dannelser — maaske uærmest at betegne som granitliggende sekretionsmasser, — der gjen- nemsætte gabbroen langs Seilands sydostlige hjørne- 350 Karl Pettersen. d. Sore har et fiadeindhold af 7,6 kvadratmil (971 kv. km.). Den er i hej grad indskaaret af rækker af tæt paa hinanden føl- gende fjorde. Disse vise langs gens sydlige og østlige side mod Sørøsund et helt ringe længdeløb og flere af dem ere snarere at betegne som fjordlignende bugter end som fjorde. Langs øens vestlige og nordvestlige side optræder fjorddan- nelsen derimod langt stærkere udpræget. Her naar saaledes Bredvikbotn, Aafjord, Bølefjord og Dønnesfjord en længde af opimod 1 mil (11,13 km.) og den anseelige Sandøfjord eudog en længde af noget over 1,5 mil (17 å 18 km.). Naar Sandefjord og et par mindre smaafjorde undtages, der ere at betegne som Sundfjorde!), danne de øvrige langs efter Sørøen optrædende fjorde i det hele ret udpregede Botn- fjorde. Af ejder, der gjennemskjer gens fjeldmasse, kunne mærkes: . 1. Sandfjordejdet, der fra gaarden Sandvik ved Bredvik- botten fører over til bundenjaf Sandfjord. Kulmination omkring 400‘ (125 m.). 2. Nordfjordejdet, der fra bunden af Nordfjord, — en side- fjord til Dønnesfjord, — fører over til gaarden Kobber- dal ved Sandøfjord. Ejdets kulmination omkring 400‘ (125 m.). 3. Langstrandsejdet (eller Latterejdet), der fører fra gaar- den Latret ved Langstrandsfjord over til Baadsfjord i Sandøfjord. Kulmination omkring 400' (125 m.), læng- den 3 km. 4. Værstrømejdet, der fører fra den nordøstre side af Lang- strandsfjordbunden over til Værstrømmen i Sandøfjord. Kulmination omkring 500' (157 m.), længden 3 km. 1) Cfr. »Det nordlige Norge under glacialtiden<, Tromsø musæums Aars- hefter V., pag. 77. Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 351 5. Akkerfjordejdet (eller Akkersanden), der fører fra Akker- fjordbunden ved øens østre side over til Akkersanden ved øens vestre side. Dette ejde har en længde af 1,5 km. og naar kun en højde af 3 m. 6. Gamvikejdet, der fra handelsstedet Mefjord ved øens nordostlige hjørne fører over til Gamvik ved øens nord- vestlige side. Ejdets kulmination omkring 500' (157 m.), længden 5 km. | 7. Kjødvikejdet, der fra handelsstedet Kjødvik fører over til Gamvik, — lidt nordenfor Gamvikejdet. Ejdets kul- mination omkring 500‘ (175 m.), lengden 5 km.) Af disse ejder er Akkerfjordejdet det eneste, der er bygget af alluvium. / Ved Langstrandejdet er Sørøen udskilt i tvende hoved- dele, hvoraf den nordlige med sine mange fjeldgjennemskjæ- ringer danner et mindre, men samtidig sterkt udstykket fjeldparti. Efter den. sydlige hoveddel rejser sig langs Sørøsundet et højt kjededrag — Sørøsundsdraget — der fra Hasfjord i nærheden af handelstedet Hasvik spænder sig frem i øst- nordøstlig retning gjennem en lengde af omkring 4 mil (45 km.) og med en brede af opimod 0,8 mil (8 km.). Draget stiger stejlt op fra Sørøsundet, falder langs den vestlige side ligeledes stejlt ned, men her mod et noget over 1000' (814 m.) højt liggende, dels bølgeformet, dels af lavere aasdrag gjennemsat højplateau. De højeste toppe naa anta- gelig op til henimod 2500' (784 m.). Draget er forøvrigt transversalt gjennemsat af enkelte højere liggende fjeldskar, der fra Sørøsundet fører over til højplateauet. Fra kjededragets vestlige afhæng breder højplateauet ') Fortegnelsen over ejderne efter gens nordlige del, som jeg selv ikke har havt anledning til at befare, skyldes meddelelse fra lensmand Hauan i Hammerfest. 352 Karl Pettersen. sig vestover mod bundene af de fra vest indskydende fjorde og herfra videre frem mellem disse som rækker af højere aasdrag eller rygge. Enkelte af disse halvøformede fremspring - afsluttes udad i vildt byggede fjeldpartier, — saaledes navn- lig Staalet mellem Dønnesfjord og Sandøfjord, der i stejle styrtninger falder ud mod havet. | I orografisk henseende danner Sørøens sydlige hoveddel saaledes som et mellemled mellem kyststrækningens øvrige øer paa den ene side, i hvilke fjeldmassen i regelen vil fin- des i høj grad udstykket i forskjellige belt udskilte fjeldpar- tier og paa den anden side, øerne Ringvatsø, Arnø og Sei- land, der hver paa det nærmeste ere udfyldte ved en enkelt større, mere sammentrengende fjeldmasse. | Hasvik. Fra handelsstedet udover det lave forbjerg Haaen bygges fjeldgrunden af lagrækker af graa glimmer- gneis i veksel med lag af en mørk glimmerskifer indsprængt med røde granater. Strøgretning 30 å 40° med vestligt fald. Denne graa glimmergneis optræder her under en smuk og regelmæssig udpræget lagdeling. Den fortsætter nordover til Bredvikbunden. Nordenfor Hasvaag falder lagene 20° mod vest, og her forekommer forskjellige auseelige huledan- nelser, saaledes Kvithellerne og Knotneshulen '). Ved Hasvik bryder en mørk grovkornet gabbro frem, der her ligesom længere ind mod Hasfjord hyppig veksler med gneis og gneis-granit og det tildels under ret mærkelige forholde. Snart gjennemsætter gabbroen gneisen som gang- artede partier under en paa gneislagenes strøgretning lodret vinkel, snart gjennemsættes gabbroen af gangpartier af gra- nitartet sten af indtil 8' (25 m.) mægtighed, der gjennem nordsydlig retning kunne være at forfølge i en længde af opimod 100 m. I gabbroen sees endvidere paa sine steder 1) Helle- og tunneldannelser i det nordlige Norge: Geol. foren. förh., Stockholm, 2 Bd. Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 353 at stikke frem pladeformede masser af indtil 25 ctm. tykkelse af en storkornet granitartet sten, sammensat af lys feldspath med kvarts. Forholdene ere i saa henseende ogsaa her saa vekslende, at man nok kan komme i tvivl med hensyn til fastsættelsen af det gjensidige aldersforhold mellem gneisen og gneis- graniten paa den ene side og gabbroen paa den anden. Fig 6. Profil fra Hasvaag op over Navern, — en fjeld- højde, der stiger op lige i nærheden af Hasvik. a. glimmergneis med vestligt fald. Længere frem gaar glimmergneisen over til en granatgneis, der i meget ligner granatgneisen paa Seiland uden dog at optræde saa typisk udpræget som denne. b. den mørke amfibolitiske gabbro. Ved nes mod indbejning til Hasfjord ed: en granit-gneis, rigt indfældt med store røde granater, gjennem- sat af klumpformige partier af en renere granitisk sten med orthoklas som forherskende bestanddel. Langholmen (Flatø) er bygget af gneislag, der efter holmens sydlige del viser en øst-vestlig strøgretning med nordligt fald, medens strøgretningen længere nordefter svin- ger om til nord-sydlig med vertikal lagstilling. Fig. 7. Profil fra bunden af Hasfjord over til Bredvik- botn. a. gneis, — tildels amfibolitisk med overgang til en syenit- artet sten. | b. et større gabbrofelt, der herfra antagelig staar i sam- menhængende forbindelse med gabbroen om Hasvik (og Naverns gabbro). ce. ved øverstliggende fjeldvand, — hvortra bøjes ned til Bredvikbotn — gneis-granit, strøgretning 30 å 40°. d. laget gneis, tildels gneis-granitisk, stragretning 30 å 40° med nordvestligt fald. e.ogf.opover top optræder gneisen flere gange i veksling Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. 23 354 Karl Pettersen. med en storkornet amfibolitisk sten. Hornblenden i samme er kulsort med kullignende glands. 9. nede ved Bredvikbotn (Havnen) smuk laget gneis i regelmæssig lagning. Strøg 30 å 40° med svingninger i faldretningen. Veines. Rødlig gneis, østvestlig strøgretning med nord- ligt fald i veksel med rødlig, temmelig ren granitisk sten (gneis-granit). Længere frem graa glimmergneis, strøgretning 30 å 40°, fald 30° østlig. Sandvik. Lidt udenfor dette sted optræder graa gneis i det lavest liggende niveau og derover lagrækken af glind- sende tyndlaget glimmerskifer med sammenhængende glim- mer — ofte med gul efflorescent.— Denne milde tyndlagede skifer, der paa sine steder er overordentlig rigt indsprængt med røde granater, ligger med afvigende lejning over gnei- sen og synes straks at pege hen paa, at man her har for sig et led af en gruppe, der er yngre end gneisen. At saa ogsaa i virkeligheden er tilfældet træder end bestemtere frem, naar man forfølger forholdet udover mod handelsstedet Bredvik. Fig. 8 vil tjene til at belyse bergbygningsforholdene her. a. glimmerskifer indvokset med smaa søjler antagelig af staurolith. b. tyndlaget grovkornig kalksten. 160° fald, 45° v. c. tyndlaget mild glimmerskifer med lejer af kvarts og grov- kornet kalksten. Skiferen er tildels rigt indsprængt med svovlkis og træder stærkt rustfarvet frem i dagen. Lag- afdelingen (c.) kan forfølges gjennem en lang strækning og har en ret anseelig mægtighed. d. derover igjen kalksten, — af en graalig til blaalig farve. lagrækker af glimmerskifer, grønlig skifer tildels ogsaa mildere lerglimmerskifer i veksling med haardere kvart- sitisk lag og med lejer af kalksten. Over ejdet fra Bredvik til Sørværbugt optræder en glindsende glimmerskifer med sammenhængende glimmer i Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 355 veksling med kvartsitisk glimmerskifer (med glimmerskjæl) under en strøgretning af 30°, men forøvrigt med svingninger i faldretningen. Denne skifer er at parallelises med den før omhandlede glimmerskifer ved Sandviken. Ved Stabben — bekjendt af den anseelige tunnel, som gjennemskjærer det hele fjelddrag’) — optræder haard gneis- artet kvartsit i veksling med glindsende glimmerskifer. Sørvær. Gneisartede lagrækker. trøgretning n.—s., fald under stærke foldniuger snart mod øst snart mod v. Fig. 9. Profil fra Sørværbotn over til Sandfjord. a. gneisartede lagrækker, strøgretning nord-sydlig. b. glimmerskifer (med mørk skjællet glimmer). Nord-syd- lig strøgretning. Op over højfjeldet i stærke foldninger. Aafjordnæringen er ligeledes bygget af stærkt bøjede og foldede lagrækker. Fra Sandfjordbotn over til Vejnes ved Bredvikbotn — efter Sandfjordejdet — er fjeldgruuden bygget af en tem- melig mild glimmerskifer, fattig paa kvarts. Lagstillingeu er i det hele temmelig svævende. Fra Vejnes over til Aafjordbotn. Kulmination omkring 700' (220 m.) — er fjeldgrunden bygget af en laget, sand- stenagtig kvartsit, tildels i veksling med hornblendeskifer. Strøg n.—s., fald stejlt vest. Nede ved Aafjordbotn haard gueisartet glimmerskifer. Fig. 10. Profil fra Aafjord over til Bøle. a. glimmergneis i stejl til vertikal lagstilling. b. glimmerskifer (feldspathfri). Streg n.—s,, i stejl til ver- tikal lagstilling. c. glimmerskifer med mørke kulstofholdige skifere — i stærkt snoet lagstilling. 1) Hule- og tunneldannelser i det nordlige (Norge: Geol. fören. förh. Stockholm, 2 Bd. 23* | 356 Karl Pettersen. Bøleholmen er bygget af haard glimmerskifer med ind- lejninger af graalig kalksten, Strøgretning o.—v., fald n. Ved bunden af Langkjeila glimmerskifer rigt indfældt med granater. Strøgretning 0.—v., fald s. Fra Langkjeila over ejdet til Vejnes ved Dønnesfjord — kulmination omkring 600' — overalt feldspathfri glimmer- skifer med brunlig glimmer. Strøg 0.—v., fald s. Ned mod Vejnes mørke kulstofholdige skifere med ind- lejninger af kalksten, tildels ogsaa i Veksel med glimmer- skifer. Strøg 70°, fald stejlt til vertikalt. Straks nordenfor Vejnes afløses denne mildere skiferzone af graa glimmergneis, og denne igjen længere ud af rødlig gneis, tildels gaaende over til gneis-granit, der bygger fjeld- partierne Oxen og Skamnæringen. Se fig. 11. a. rød gneis. b. glimmergneis. c. den mildere skiferzone med indlejninger af kalksten. Langs østre side af Dønnesfjord: - Fjeldpartiet Staalet, der stiger op fligeved handelsstedet Galten, er bygget af haard gneis, der nærmest er at betegne som en gneis-granit, sammensat af hvidlig til rødlig ortho- klas, kvarts og brun magnesiaglimmer. Paa sine steder kan stenen antage et konglomeratartet preg. . A. von Lasaulx, hvem en prøve af Staalets gneis-granit har været oversendt til mikroskopisk analyse, udtaler sig om denne saaledes: »Stenen dannes af kvarts, orthoklas, meget mikroklin, no- get plagioklas og glimmer. Kvartsen er meget klar og viser kuns meget sjeldent de ellers saa hyppige hulerum med vædsker. , Orthoklasen, der i det hele træder meget tilbage i stenen, er i almindelighed her overordentlig frisk. I polariseret lys viser den undertiden en traadig mikroklinartet struktur. Mikroklin er rigelig tilstede. I polariseret lys viser den Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 357 paa en smuk og fuldkommen maade den karakterisliske git- — terstruktur. Plagioklasen viser i regelen en ringe udslutningsvinkel og er antagelig oligoklas eller albit. Den her optrædende mørkebrune glimmer er stærk pleo- chroitisk. Ere spaltningsretninger paralle, 9: glimmerens vertikalakse lodret paa hovedsnittet af den nedre nicol (po- larisator), saa er farven lysebrun og gaar ved præparatets drejning om 90° over til mørkebrun. Hyppig og paa lov- mæssig maade forbundet med denne glimmer optræder tem- melig rigelig en svag pleochroitisk glimmer, der sandsynlig- vis staar margariten eller perleglimmeren nær. Allerede i almindeligt lys viser den en palmeartet struktur, der i paral- lelt polariseret lys træder frem overordentlig smukt. Dette hidrører fra glimmerens finskjællede beskaffenhed. Epidot findes ofte nært knyttet til denne hvide glimmer. Beklage- ligvis lod det sig ikke afgjøre om denne hvide glimmer er optiske en- eller to-axet. Denne hvide glimmer findes ogsaa i plagioklasen. Titanjernsten med titanomorfit lader sig paa- vise i samme. Det skal endvidere nævnes, at der i den foreliggende prøve paa et sted fandtes noget granat.« Fra Staalet indefter langs fjorden fremdeles den røde gneis. Ved Pompervik. Rød gneis under en strøgretning af 30 å 40° og i stejlstaaende lagstilling. Opefter Kobberdalsejdet (Nordfjordejdet), Kulmination opimod 5 å 600' (157 å 190m.) bygges fjeldgrunden af brun- lig storskjællet glimmerskifer. Strøgretning 50 å 60°, faldet stejlt sydligt. Over ejdet en frodig jordbund med rig græs- vegetation, der saaledes danner en stærk 'modsætning til de vegetationsfattige, udenfor liggende, af gneis byggede strøg. Ved Kobberdal grovkornig kalksten, 60 à 70° fald, 45° n. 358 Karl Pettersen. Mebotn ved bunden af Sandøfjord. Fjeldgrunden byg- get af gneis-granit, der paa sine steder viser sig idetmindste tilsyneladende ulaget, medens den dog forøvrigt oftere op- træder bestemt laget. Strøgretning o.—., fald stejlt nord. Stenen er sammensat af feldspath, kvarts og mørk magnesia- glimmer, hertil kommer oftere sort hornblende, og bergarten vil da ligne en diorit. | Fig. 12, Profil fra Sandvik udefter til Gammelhjem. a. gneis. b. mildere tildels kulstofholdige skifere og glimmerskifer, der herfra breder sig frem gjennem en bredere zone over til Baardsfjord. Hvorvidt dette mildere skiferfelt herfra strækker sig videre nordover, kan for tiden ikke siges. Der bar nemlig ikke været anledning til at udstrække undersøgelserne udover de nordenfor Baardsfjord liggende strøg. Derimod synes fjeldpartierne ovenfor Sandvik udimod Langstrandsejdet at være bygget af graa gneis. Fig. 13. Profil fra Mebotn over til Kobberfjord. a. rødlig, temmelig ren granitisk sten. b. mørk dioritisk sten, sammensat af grønlig hornblende som forherskende bestanddel med hvidlig feldspath, an- tagelig plagioklas. c. gneisartede strata, — strøgretning omkring 70° med stejlt nordvestligt fald. d. glimmerskifer indfældt med smukke røde granater. Øst- vestlig strøgretning, lagstilling vertikal. Glimmerskiferen veksler med en glimmergneis ligesom ogsaa med lag af gneis-granit (e). 7 f. glimmergneis. glimmerskifer med kalkstensindlejninger. Denne afdeling Gg tilhører efter ‘al sandsynlighed Tromsø glimmerskifer- gruppe. Man er nu naaet frem til højfjeldsdraget og profilet føres frem efter et skar, der gjennemskjerer draget, og herfra Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 359 fører ned til bunden af Kobbefjord. Efter skaret optræder først en gneis-granitisk sten i mangfoldig veksel med en mørk bergart, der snart kan optræde som laget amfibolit, snart som en diorit, indtil man efterhaanden naar frem til en renere gabbroartet sten. Fra bunden af Kobbefjord er denne gabbro videre at følge frem udover til fjordens munding. Den gabbroartede bergart optræder saaledes her i det hele under stærkt vekslende petrografiske forhold. Foruden de nys nævnte overgangsformer fra diorit til gabbro, efter retning fra kontaktstrøgene mod det vestenfor liggende ski- ferfelt østover, optræder der ogsaa stærkt afvigende afændrings- former af mørkere og lysere grundfarve inden den renere gabbroafdeling. Den mørke afændring, der i det hele er mere smaakornig, og i hvilken den augitiske bestanddel op- : træder mere forherskende, veksler her hyppig med partier eller lag af en lys vingul afændring. Denne viser en mere storkornet struktur, og i denne optræder en gulagtig plagio- klas som næsten eneraadende bestanddel (med 90 % af den hele masse). Den augitiske bestanddel dannes af tildels om- vandlet diallag. Olivin optræder sparsomt. Bergarten beteg- nes af Helland, der nærmere har beskrevet den pag. 7 i fornævnte afhandling, som en olivingabbro. I gabbroen nede mod Kobfjord iagttoges paa et sted en gangartet dannelse af omkring 2 meters mægtighed, i hvil- ken begge sahlbaandene dannedes af en granitlignende sten . (sekretionsmasse!), midtpartiet derimod af ren kvarts. Det er rimeligvis fra lignende sekretionsmasser, at den store eleolithfgrende blok, der fandtes ved bunden af den i ner- heden af handelsstedet Gaaskop indskydende Komagfjord, maa have sit oprindelige hjemsted. ') I >Ein Beitrag zur Kenntniss norwegischer Gabbrosc i Zeitsch. d. D. G. Gesellsch. 1879, pag. 484 ff. omtaler O. Lang disse dannelser og antager, at de snarest maa være at betegne som granitlignende sekretions- masser. 360 Karl Pettersen. Nede ved handelsstedet Gaaskop gaar bergarten igjen over til en dioritartet afænäring, og denne optræder her of- tere og det navnlig inden de lavest liggende niveauer ud- præget laget og vil saaledes her nærmest være at betegne som en dioritskifer. Ved Gaaskop viser dioritskiferen en strøgretning af 60° med nordligt fald. Længere ud ombøjes strøgretningen til nord-sydlig med vestligt fald. Over Gaaskopholmen optræder den smaakornige diorit- skifer som sorte baand i veksel med tynde striber af en rød- lig sten, — sammensat af rødlig orthoklas med kvarts. Den findes tildels ogsaa gjennemsat af vus af en mere stor- kornet granitisk sten. Fra Gaaskop er gabbrofeltet forfulgt nordover til Fella og herfra saaes det fremdeles at bygge fjelddraget nordefter. Antagelig naar gabbrofeltet til henimod Langstrandsejdet. Mod syd er feltet at folge i sammenhæng ligetil Has- fjord, idet bergarten dog ogsaa her efter denne linje ligesom ved Gaaskop ofte efter de lavest liggende niveauer optræder som en dioritskifer. Ved nes mod indbøjniugen til Hafsfjord optræder en . gneis-granit rigt indfældt med store røde granater. Fra gneisgraniten skyder frem klumpformige partier af en renere granit. Gneisen eller gneis-graniten gjennemsettes hyppig af mørke gabbroartede eller dioritiske gangpartier. Fjeldgrunden paa Sørøen bygges saaledes af lagrækker tilhørende grundfjeldet samt Tromsø glimmerskifer-gruppe. Af massiver optræder diorit og gabbro i et vidtstrakt sam- menhængende felt. Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 361 1. Grundfjelldet optræder her dels i et større sammenhængende felt, der ind- tager øens egentlige centralparti, dels i enkelte mere udskilte partier efter de halvøformige fremspring, der stikke frem langs øens nordvestlige side mellem de herfra indskydende fjorde. Ligesom paa Seiland kan grundfjeldet her blive at ud- sondre i trende mere selvstændige led, nemlig nedenfra opad. a. kyststrekningens gneis med den til samme knyttede gneisgranit. b. granatgneis, der forøvrigt paa Sørøen optræder ganske underordnet, nemlig i profilet opefter Navern ved Hasvik. Granatgneisen paa Sørøen er i ethvert tilfælde ikke som bygningsled at tillægge den mere selvstændige be- tydning, der tilkommer Seilands granat-gneis. e. Vest-Finmarkens glimmergneis. Med dette navn beteg- nes en smudsig graa, udpræget lagdelt gneis, sammensat af kvarts og mørk glimmer, men i det hele med saa sparsom indvokset feldspath, at den oftere synes at nærme sig en kvartsitisk glimmerskifer. Denne glim- mergneis træder især frem langs øens vestlige side og navnlig i strøget fra forbjerget Haaen ved øens sydvest- lige hjørne nordover mod Bredvikbotn. Nejagtigere nndersøgelser ville antagelig godtgjøre, at den findes langt stærkere udbredt paa Sørøen end paa kartet an- givet. Den optræder, som nævnt, som en regelmæssig laget bergart, der med lethed lader sig klyve efter skiktpladerne. De paa Sørøen optrædende hule- og tunneldannelser ere saa-' ledes knyttede til denne lagede glimmergneis. Denne glimmergneis har ikke været paavist som under- afdeling under grundfjeldet indenfor de søndenfor liggende partier langs det nordlige Norges kyststrøg. Langs Vest- Finmarken træder den derimod frem som et mere selvstæn- (Sy) 62 Karl Pettersen. digt led ikke alene over Sørøen og Seiland, men ogsaa over den nordvestlige del af den til fastlandsstrøgene hørende Porsangerhalvø, der skyder nordover langs efter den lange Porsanger. ene à 2. Tromsø glimmerskifer-gruppe. Lagrækker tilhørende denne gruppe optræder paa for- skjellige steder i smalere eller bredere zoner langs øens vest- lige og’ nordvestlige side, saaledes ved handelsstedet Bredvik, ved Bølefjord, ved Aafjord samt over Nordfjordejdet (Kobber- dalsejdet). Endvidere er lagrækker tilhørende denne gruppe bleven paavist inden centralpartiet efter grændsestrøget mod det vestlige afhæng af det af .diorit og gabbro byggede Sørøsunds-drag. Der har imidlertid ikke været anledning til at undersøge grændseforholdene her udenfor en enkelt mere begrændset lokalitet. Der kan saaledes være mulighed for, at gruppen gjennem nærmere undersøgelser vil findes stær- kere udbredt langs Sørøsunds-dragets vestside end paa kar- tet angivet. Gruppens lagrækker dannes af forskjellige afændringer af glimmerskifer i veksling med bergglimmerskifer og grøn- lige skifere og hyppig med indlejninger af krystallinisk kalksten. Dior 02% Ea bjoro optræder paa Sørøen i et større sammenhængende felt, byg- gende det omkring 45 km. lange kjededrag, Sørøsundets drag. Bergarten bryder i den sydlige del af feltet frem mel- lem lagrækker af gneis og gneis-granit og her tildels under saadanne vekslende forholde, at det ofte kan synes vanskeligt at drage mere afgjørende slutninger med hensyn til fastsæt- telsen af det gjensidige aldersforhold mellem gneisen og gneis- graniten paa den ene side og den gabbroartede bergart paa den anden. Langs den nordvestlige side bryder gabbroen frem Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 365 langs lagrækker tilhørende Tromsø glimmerskifer-gruppe, der paa sine steder her læner sig til gabbroen med fald fra samme. Sørøens gabbro er i regelen en mørk bergart. Denne har imidlertid ikke været underkastet nogen nærmere mikro- skopisk analyse, og det lader sig saaledes for tiden endnu ikke med bestemthed afgjøre, med hvilket navn den ifølge den gjeldende systematik kan være at betegne. Der er imid- lertid paa forhaand al sandsynlighed for, at ogsaa her en lignende variabilitet vil findes trædende frem, som den der tidligere er paavist at være raadende inden Bergshalvøens gabbrofelt. Antagelig staar bergarten her i det hele de dioritiske eller amfibolitiske afændringer, der træder frem efter Bergshalvøen i grænsestrøgene mod gneis-graniten, nær- mere end den mere rent udprægede gabbro. Hornblende danner saaledes i ethvert tilfælde paa forskjellige steder bergartens mest fremtrædende bestanddel. I strøgene om Bredvikbotn optræder denne amfbolitiske bestanddel frem med en ejendommelig stenkulglands, saaledes endog, at be- folkningen derpaa har bygget en formodning om forekomst af stenkul paa Sørøen. Plagioklasen er af en smudsig graa- lig farve og i de mere storkornede afændringer træder den ofte frem med en frisk udpræget tvillingstribning. Inden feltets nordlige del optræder i regelløs veksel med den mørke afændring hyppig mer eller mindre mægtige par- tier af en ejendommelig lys bergart, i hvilken en gul plagio- klas danner den helt forherskende bestanddel (med omkring 90 %). Denne afændring er af Helland i hans førnævnte afhandling nærmere beskrevet pag. 7, og der betegnet som en olivin-gabbro. Navnlig efter feltets nordlige del mod Sørøsund gaar den mørke dioritiske afændring hyppig over til en udpræget laget dioritskifer. Denne træder saaledes frem efter lange 364 Karl Pettersen. strøg inden de lavest liggende, umiddelbart fra havfladen opskydende niveauer. Som forholdet her træder frem, synes det aabenbart, at dioritskiferen her paa det mest umiddelbare er knyttet til den ulagede gabbro og diorit. e. Kvalø har et fladeindhold af 2,7 n. kv. mil (339 kv. km.). Den er gjennemsat af lavere aasdrag og den antages at naa sin største højde i Tyven straks søndenfor Hammerfest med 1330' (417 m.). | Af lavere liggende ejdefar findes paa Kvaløen alene føl- gende to:!) 1. Kvalfjordejdet, der fører fra Storvandet ved Hammerfest over til Kvalfjord ved sens nordvestlige hjørne. Ejdet naar sin kulmination med omkring 400' (125 m.). 2. Forsøl-ejdet, der fører fra Fuglnesbugten ved Hammer- fest i nordostlig retning til Forsøl ved øens nordostlige hjørne, — lidt vestenfor Kvalfjord. Ejdet naar sin kul- mination med omkring 300' (94 m.). Øens vestside mangler saagodtsom enhver indskjæring, naar fraregnes den lille Hammerfest-vaag (Hammerfest-havn). Dens østlige side er derimod noget mere indskaaret af for- skjellige mindre fjordlignende bugter, saaledes Kvalfjord og de 3 smaa Torskefjorde. Kortere dalfører fører ned til Torske- fjordene. Kvaløen har ikke været underkastet nogen nærmere un- dersøgelse. Hos Leopold v. Buch, Vargas Bedemar, Everest og Keilhau findes enkelte spredte notitser. Forfatteren heraf har alene havt anledning til at anstille enkelte undersøgelser 1) Meddelt ved lensmand Hauan, Hammerfest, Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 365 i nærheden af Hammerfest ligesom langs en del af øens syd- ostlige side mod Kvalsund og Samelsund. Ved "Hammerfest mellem Mollen og Fuglnes byggedes fjeldgrunden af gneislag, der viste en nord-sydlig strøgret- ning med 30° vestligt fald. 4 I nærheden af byens kirke gneis, strøgretning 140”, fald 45° no. Aasdraget Sadlen, der stikker op lige bagenom byen langs dens sydlige side, er bygget af gneislag med strøgret- ning af 30° med østligt fald. Samme lagstilling fortsætter herfra sydefter opefter Tyven. Bergarten er nærmest at be- tegne som en glimmergneis, i regelen indfældt med røde granater. Navnlig er dette tilfældet i partierne om Storvan- det, hvor granatkrystallerne tildels kunne naa ganske an- seelige størrelser. Ved Hammernes — ved øens sydside mod Kvalsund — optræder en temmelig tyndlaget kvartsitisk glimmergneis, med svagt nordvestligt fald. Ved Storbugt fremdeles tyndlaget kvartsitisk glimmer- gneis, strøg 150°, fald 30 å 40° no. 3/4 mil nordenfor Kvalsund skal i henhold til notitser hos Vargas optræde i tildels mægtige masser en finkornig kalksten, antagelig som indlejning i glimmergneisen. Tilfæl- dige omstændigheder hindrede mig i under en fra Kvalsund foretaget exkursion for nærmere at undersøge dette forhold, at naa frem til det af Vargas paapegede punkt. Det synes mig ikke usandsynligt, at der her kan være indløbet en fejl i Vargas notitser — i ethvert tilfælde vilde det være af ikke ringe interesse at faa dette spørgsmaal nærmere udredet. Efter de her fremlagte visnok meget sparsommn aflæs- ninger er Kvaløen bygget af lagrækker, tilhørende grund- fjeldet, men som nærmest maa være at indordne under sam- mes yngre afdeling, nemlig Vest-Finmarkens glimmergneis. 366 Karl Pettersen. Den ældre gneis med overgang til kyststrækningens gneis- granit er i ethvert tilfælde intetsteds paavist. Massiver henhørende til gabbroens familje ere ikke fundne brydende frem her. At slutte fra en notits hos Everest kan der dog være mulighed, at en mindre afdeling af gabbroartet bryder frem efter øens nordlige del. f. og g. Rolfsø og Ingo have ikke været undersøgte. Kyststrekningens øgruppe i strøget fra Lofoten nordover til Nordkap er i orografisk som i geologisk henseende at udsondre i tvende ret skarpt udskilte hoveddele. Den syd- ligste af disse, der kan betegnes under navnet Nordlands- gruppen, afsluttes mod nord ved øerne i Karlsø præstegjeld og finder her sin naturlige afgrændsning ved det brede Fuglesund mellem Vanø i Karlsø præstegjeld og Arnø i Skjervø præstegjeld. Den nordligste hovedafdeling, der for- øvrigt indtager et forholdsvis lidet omraade, og dannes af øerne Seilands og Sørøens nordligste halvøformige fremspring samt af Kvalø, Havø, Hjelmesø, Maasø og Magerø, hvortil endvidere vil blive at føje de længst mod nordvest fremstik- kende øer Rolfsø og Ingø, vil blive at betegne under navnet Vest-Finmarks-gruppen. De mellem disse hovedafdelinger opskydende ger Arnø og Løkø i Skjervø prestegjeld og end- videre de i denne afhandling omhandlede ger Stjernø, Sei- land og Sere tilligemed den store Bergsfjordhalvø danner derimod saavel i orografisk som i geologisk henseende et overgangsled mellem Nordlands og Vest-Finmarkens øgrupper. I geologisk henseende er Nordlandsgruppen at betegne som et gneis-granitisk felt, idet gneis-granit med de til sam- me knyttede petrografiske afændringsformer paa det nærmeste helt eneraadende her bygger fjeldgrunden. I Vest-Finmarks Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 367 gruppen er gneis-graniten paa det nærmeste helt tilbagetrængt, og fjeldgrunden bygges her af lagrækker af en udpræget lagdelt gneis, der i petrografisk henseende afviger saa. væ- sentlig fra den til gneis-graniten knyttede gneis, at den utvivlsomt maa være at udsondre fra denne. Ligesaa fremtrædende er forskjellen i orografisk hen- seende. De til Nordlandsgruppen henførte øpartier ere karak- teriserede ved fjeldmassernes stærke udstykning, saa hver enkelt i regelen vil findes udsondret i et større eller mindre antal øformige fjeldpartier, ofte rig paa høje alpeformede tinder. Fjorddannelsen med de til samme knyttede lavtlig- gende i regelen af alluvialmasser byggede ejdefar er her stærkt udpræget. Flerheden af fjordene her er derfor ogsaa i regelen her at karakterisere som udprægede Sundfjorde. Helt forskjelligartet herfra fremtræder derimod Vest- Finmarkens ger i sine ydre formforholde. Alpeformige tinde- dannelser mangle ganske. Fjeldpartierne vise en stadig aftagende højde i retning fra syd nordover. De er derfor i regelen snarere at betegne som aasdrag end som egentlige fjelde. Sees derimod hen til de strøg, der ere opførte som over- gangsled mellem Nordlands og Vest-Finmarksgruppen, saa vil man efter Bergshalvøen vistnok endnu gjenfinde stærke drag af den samme karakter, der præger den nordlandske øgruppe. Gneis-graniten møder man saaledes her fremdeles som et af de mere bestemmende geologiske bygningsled, hvorvel den dog ingenlunde 'træder saaledes forherskende frem, som tilfældet er inden Nordlandsgruppen. Ogsaa over Stjernø træder gneis-graniten frem i et ret bredt belte. Over Sørøen træder gneis-graniten yderligere tilbage, hvorvel den ber hyppig er at paavise, om end mere underordnet, mens den dog paa enkelte lokaliteter endnu kan findes brydende frem i mere samlede smaafelter. Efter Seiland synes gneis- graniten paa det nærmeste at være tilbagetrængt, — den 368 Karl Pettersen. har her alene været at paavise højst underordnet paa en- kelte punkter langs gens vestlige side mod Sørøsund. Kval- øen synes derimod — at slutte fra de aflæsninger, der her ere gjorte, men som dog ingenlunde omfatte den hele ø — at ligge helt udenfor gneis-granitens omraade. Gneis-graniten viger saaledes inden den her omhandlede overgruppe mer og mer tilbage i retning fra Bergshalvøen nordefter og afløses derunder af Vest-Finmarkens gneisafde- ling. Lagrækker tilhørende denne afdeling er vistnok ikke paavist efter Bergshalvøen, — muligt dog at saadanne ville findes optrædende efter halvøens østligste del, hvor der hid- til ikke har været anledning til i saa henseende at anstille nærmere undersøgelse. Over Seiland og Sørøen optræder den imidlertid allerede som et mere bestemmende byg- ningsled. Men med disse gradvise forandringer i landstrøgenes geologiske bygningsforholde indtræder samtidig ogsaa dertil knyttede afændringer i orografisk henseende. Bergshalvøens fjeldpartier optræder vistnok noget stær- kere masseformig udpræget end tilfældet er under det til Nordlandsgruppen henførte omraade. Paa den anden side naar fjeldmassen her en lignende højde, ligesom ogsaa fjord og ejdedannelsen paa sine steder stærkt minder om forhol- dene inden Nordlandsgruppen. Seilands fjeldmasse stiger op til lignende højde som Bergshalvøens. Wens højeste top naar op til 3430”. Naar det nordligste lave og stærkt indtungede halvøformede til Vest-Finmarksgruppen henførte fremspring fraregnes, dan- nes Seilands store sydlige hovedparti af en enkelt sammen- hængende fjeldmasse. Fjord- og ejdedannelsen er her i høj grad tilbagetrængt. De her optrædende fjorde ere samtlige at betegne som udprægede botnfjorde. Stjernø er i orografisk henseende nærmest at sammen- stille med Seiland. | Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. 369 Sørøen danner derimod i flere henseender som et ejen- dommeligt mellemled mellem Bergshalvøen og Seiland paa den ene og mellem disse sidstnævnte strøg og Kvaløen paa den anden side. Igjennem fjorddannelsen staar den Bergs- halvøen nærmere, i enkelte andre formforholde derimod nær- mere Seiland. Sørøens højeste toppe naa neppe over 2500‘ Ligesom Seiland afsluttes Sorgen mod nord i et stærkt ind- tunget halvøformigt fremspring, der naturligen er at ind- ordne under Vest-Finmarkens øgruppe. Medens saaledes Bergshalvø og Stjernø samt Seilands Sørøens sydlige hoveddele paa den ene side i flere henseen- der danner overgangsled mellem Nordlands og Vest-Finmarks- gruppen, ere de paa den anden side igjen prægede ved et særligt karakterdrag. Gabbro og diorit, der inden Nordlands- gruppen vistnok kan findes brydende frem, men altid dog i underordnet optræden og i den egentlige Vest-Finmarksgruppe kun højst sparsomt, danner derimod inden de her omhandlede overgangsstrøg det stærkest fremtrædende bygningsled. Gjen- nem dette tildeles fjeldpartierne her et ydre formpræg, der stikker stærkt af ikke alene mod Nordlandsgruppens af gneis- granit byggede fjeldformer, men mod Vest-Finmarkens af gneisen byggede aasdrag. I saa henseende er disse strøg nærmest at knytte til det vidtstrakte, vistnok af petrografisk noget afvigende af- ændringer byggede landpartier, der fra det indre af Bals- fjorden skyder frem nordover langs Lyngshalvøen, over Kaa- gen, Arng og Løkø samt over Kvænangstindernes halvø. Saaledes seet vil det nordlige Norges kyststrøg natur- ligen lade sig udsondre i følgende 3 større hovedled, nemlig: 1. Nordlands kyststrøg fra Lofoten nordover til Vanø i Karlsø præstegjeld. 2. Tromse kyststreg. Lyngshalvøen, Kaagen, Arne, Løkø, Kvænangstindernes 24 Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 8 B, 370 Karl Pettersen. halvø, Bergshalvø, Stjernø samt Seilands og Sørøens syd- lige hovedpartier. 3. Vest-Finmarkens kyststreg, de nordlige fremspring af øerne Seiland og Sørøen, end- videre Kvalø, Rolfsø, Ingø, Havø, Maasø, Hjelmsø og Ma- gerø samt den nordvestlige del af Porsangerhalveen'). Tromsø den 21de Oktober 1883. 1) Med hensyn til det afhandlingen ledsagede kart skal bemærkes, at op- maalinger ikke har fundet sted uden for kystlinjernes vedkommende. De ækvidistante kurvelinjer — optrukne for hver 500' (157 m.), kunne saaledes ikke gjøre krav paa at være særdeles nøjagtige, men ville dog nogenlunde tjene til at belyse de orografiske bygningsforholde i det hele og store. Classification und Integration von gewöhnlichen Diffe- rentialgleichungen zwischen x y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. Ill. Von SOPHUS LIE. Die nachstehende Abhandlung bildet die Fortsetzung von zwei früheren Arbeiten, die in diesem Bande, p. 187 und p. 249 publieirt worden sind. In der ersten unter ihnen be- trachtete ich successiv alle continuirliche Gruppen von Trans- formationen zweier Variabeln xy, reducirt auf canonische Formen und bestimmte ihre zugehörigen invarianten Diffe- rentialgleichungen; hierdurch erhielt ich insbesondere, wie ich in 1874 angekündigt hatte, eine vollständige Classification von allen Differentialgleichungen F(vyy'...y™) =O mit einer continuirlichen Transformationsgruppe. In. der zweiten obenci- tirten Arbeit entwickelte ich für alle derartigen Gleichungen mit einer bekannten Gruppe eine detaillirte Integrationstheorie, die im Wesentlichen als eine Illustration meiner alten Inte- grationstheorie von vollständigen Systemen mit bekannten in- finitesimalen Transformationen aufzufassen war (Gesel. d. W. Christiania 1874; Math. Ann. Bd. XI 1876). In der nachstehenden Abhandlung‘), die ebenfalls als 4) Ein vollständiges schematisches Resume derselben gab ich in Dechre 1882 in dieser Zeitschrift. 94% 372 Sophus Lie. Ausführung eines Theils derjenigen Ideen, die ich in 1874 Göt. Nachr. andeutete, aufzufassen ist, denke ich mich eine ganz beliebige Gleichung Fayy'...y®)=0 vorgelegt, und entwickele eine allgemeine Methode erstens zur Entscheidung, ob sie eine continuirliche Gruppe gestattet zweitens zur Bestimmung dieser Gruppe, wenn sie existirt, durch die einfachsten Hülfsgleichungen. Da die nachstehenden Entwickelungen nach der Natur der Sache theilweise eine ziemlich abstracte Form haben, halte ich es für zweckmässig im ersten Paragraphen ein specielles Beispiel, das an und für sich bedeutendes Interesse darbietet, selbständig und ausführlich zu behandeln. Hoffent- lich wird es mir hierdurch gelingen einerseits das Verständ- niss der späteren Entwickelungen zu erleichtern, andererseits die Wichtigkeit und die Tragweite meiner allgemeinen Theo- rien zu illustriren. Allerdings ist das betreffende Beispiel insofern ungünstig, wie es nur die Reduction einer Gleichung 2 O. auf eine lineare Gleichung 3. O. leistet, während die späteren Paragraphen viele Beispiele auf eine ganz anders grosse Integrationsreduction liefern. | Sil Ueber Differentialgleichungen 2.0, die auf die Formy"=0O reductibel sind. Lass mich annehmen, dass ich weiss, dass eine vorgelegte Differentialgleichung 2. O. y" = Hayy) ein allgemeines Integral der Form Y(z y) + Const. X(æy) + Const. = 0 besitzt, so dass sie durch Einführung der (unbekannten) Grös- sen Yund X als neue Variabeln anstatt y und x dis Form Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 373 dx erhalten würde. Dann ist es möglich, wie ich in der ersten Nummer dieses Paragraphen zeigen werde, die Integration von y" = F auf diejenige einer linearen Gleichung 3. O. und gewisse Quadraturen zurückzuführen. In der zweiten Nummer beweise ich sodann, dass die besprochenen Quadraturen durch Differentiationen ersetzt werden können, und gebe gleichzeitig den synthetischen Schlüssel zu der entwickelten Theorie. 1. In der Gleichung 0 führe ich neue Variabeln xy durch die Substitution y= Yay), x= May) ein. (Im Folgenden bezeichnen x und æ verschiedene Grös- sen, ebenfalls y und y, D und Du. s. w.) Setze ich dann zur Abkürzung, welche auch die Grösse U sein mag, immer Ug dU dr re so erhält unsere Differentialgleichung in den Variabele vy die Form d'y 2) e ar 4 (å da ser) 2 + 0+20)% +a=0 wo røper, B= i a EG On ee Le eye ey ETE fyl SG ga TT Er x'y,—Y'x,? x'y,—y'x,? JED Soll daher unsere vorgelegte Gleichung y"=F auf die Form y"=0 reductibel sein, wie wir vorausgesetzt haben, so muss sie unter allen Umständen die Form dy (2) (åg dy at Pola) + Fe +F,5 + F=0 a= 374 Sophus Lie. besitzen. Und zur Bestimmung von den beiden Grössen xy als Funktionen von æ y erhalten wir die vier Differential- gleichungen (1) Ae re PO GE HEEN EN auf deren allgemeine Integration unser Problem zuriickgefiihrt ist, indem ja Alles darauf hinauskommt die vorgelegte Gleich- ung auf die Form y‘ =0 zu transformiren. Die sechs Grössen A, B,C, a,b, ¢ sind, behaupte ich, welche Funktionen von wy auch die Grössen xy bezeichnen mögen, immer durch die vier folgenden Ditferentialgleichun- gen verbunden: ay dg TB. c(b+c)+Ca=0 dC db er ee =0 pa po = tr db (B+0)+e4-0 de dB | | han rn =0; unter denselben genügt es die beiden ersten direkt zu verifi- eiren; vertauscht man sodann in ihnen æ mit y und dement- sprechend A mit — a, B mit —b, C mit — c,so erhält man die beiden letzten. Ich werde im Uebrigen in der nächsten Nummer zeigen, wie ich ursprünglich die Existenz dieser Re- lationen erkannte. Durch Combination derselben und Benutzung der Rela- tionen (1) erhält man einerseits die beiden Gleichungen ( ons po pics nn, dæ dy (3) | | dC wy N 1dF, 2dF, en ee er Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 375 ‚andererseits die analogen Gleichungen HR C+F, e+ FE, | 1dF, , 2dF, Nd de 2 pap oe Gå Rh; | welche vereinigt zur Bestimmung der beiden unbekannten Grössen c und C genügen. Gleichungen dieser Form sind ~ in gewissem Sinne analog der Riccatischen Gleichung 1. 0,, indem sie sich durch die Substitution on 0- in lineare Gleichungen umwandeln lassen. Setzt man näm- lich; wie man kann u in Br tre so erhält man die beiden linearen Gleichungssysteme Gu Furl, + FF,) | Eeg ae Mur 3 F,w | sine nie | ns hart Pout (Ge —F, Fu (6) a Fu welche immer die Integrabilitätsbedingungen erfüllen, wenn dies, wie vorausgesetzt mit den beiden Systemen (3) (4) der 376 Sophus Lie. Fall ist. Ein jedes unter den erhaltenen linearen simultanen Systemen- ist offenbar aequivalent mit einer gewöhnlichen linearen Gleichung 3. O. Und überdies redueirt sich nach bekannten Theorien die Bestimmung derjenigen Grössen u, v, w die sowohl (5) wie (6) erfüllen, auf die Integration einer einzigen gewöhnlichen linearen Differentialgleichung 3. O., die eine arbiträre Constante enthält (Sieh Note I): d'A ar da Denken wir uns diese lineare Gleichung 3..0. integrirt, so erhalten wir Werthe der Grössen c © mit zwei arbitråren Constanten. Es ist nun leicht zu verificiren, dass alle Entwickelungen dieser Nummer ungeändert blieben, wenn wir statt der vier Grössen B, C,b, c die vier folgenden 4 4 x! Yu y X,, X, _X, y, Y X, x, 10 4 4 2 9 C,= 4 4 + DA Ay. X, x XV) ae X, x 4 4 4 d 4 4 ty yr IK NE Sy ea 4 ‘ xy,7)X% x 1 ) Ca eingeführt hätten. Zur Bestimmung der Grössen C, und c, erhielten wir identisch dieselben Gleichungen (3,4), die uns zur Bestimmung von C und c gedient haben. Wir können daher nach der Integration der linearen Gleichung 3. O. (7) auch für ©, und ec, Werthe mit zwei arbiträren Constanten angeben. Nun aber ist x >% te=0,-0 —=0—c x 1 7x 19 so dass eine Quadratur uns den Werth von x mit fünf ar- biträren Constanten liefert. Setzt man andererseits Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 377 BESTEN LAN NE N å X y, Y & y 7 > A x, y ; KE TE 2 ee es UP A ‘ 4 Ai ? 2 ‘ ‘ XY, 7Y& y th Roar) es Re) so erkennt man, dass auch C, und c, den beiden Systemen (3,4) erfüllen, sodass man unter den früheren Voraussetzungen ihre Werthe mit zwei arbiträren Constanten angeben kann. Dabher liefern die Gleichungen ao a durch eine Quadratur die Bestimmung von y. Die Bestimmung der Grössen y und x, und gleichzeitig die Integration der vorlegten Gleichung y" = F ist also hier- mit reducirt auf die Erledigung einer gewöhnlichen linearen Gleichung 3. O. zusammen mit zwei Quadraturen, Die gefun- denen Werthe von y und x enthalten acht arbiträre Con- stante, die sämmtlich wesentlich sein müssen, indem die allgemeinste Werthe von y und x sich durch zwei particuläre Werthe y, x, durch die Formeln Ly, + Mx,+N Lsyo + M,x6 + Ne ise Liyg+ M, Xt Ny EE N, (8) mit acht wesentlichen Constanten L, M...M,, N, ausdrücken. 2. Die Entwickelungen der vorangehenden Nummer beruhen eigentlich auf die soeben gemachte, an sich evidente Bemerkung, dars die allgemeinsten Werthe von xy sich durch zwei particuläre Werthe x, y, vermöge der Formeln (8) ausdrücken. In den Gleichungen A=F, B+20=F,, b+2c=F,,a=F haben in Folge dessen die vier Differentialausdrücke, 4, B+2 0, DNG - i> Sophus Lie. b+2c, a die fundamentale Eigenschaft invariant zu bleiben wenn in ihnen die Grössen x, y durch Ly+Mx+N L.y+M,x+N Ly+M,x+N, Ly+M,x+N, ersetzt werden, welche Werthe auch die Constante L, M... M,, N, haben mögen. Die Ausdrücke 4,B+2 0, b+2c,a sind daher Diferentialinvarianten bei der allgemeinen pro- jectivischen Transformation der Grössen x y. Es lässt sich andererseits leicht nachweisen, dass eine Jede unter den sechs Grössen A, B, C, a,b,c, wie auch ihre Differentialquotienten hinsichtlich + und y sich bei allen line- aren Transformationen der Form (G1) (x)= Ly + Mz+N, (y)= L,y+ M,x+N als Differentialinvarianten verhalten. Um dies zu beweisen suchen wir, indem wir wesentlich wie im ersten Abschnitte p. 194 u. f. verfahren, die Definitionsgleichungen aller Funk- tionen von xyx'X,y'y,x"...etc., die sich bei der sechs- gliedrigen Gruppe (@,) als Invarianten verhalten. Hierzu miissen wir die sechs infinitesimalen Transforma- tionen unserer Gruppe, nåmlich ak Gf. Of did dy dx’ dy’ X dx J dx’ Kay’ Yay df df betrachten. Bei der inf. Transformation — (oder =) erhal- dx dy ten die Grössen x’ x,y'y,.. x() etc. keine Incremente. Daher schliessen wir sogleich, dass die gesuchten Invarianten die Gleichungen erfüllen, und somit x und y nur als Differentialquotienten enthalten, Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 379 Bei der inf. Transformation u erhält x das Increment x Ôt, y das Increment Null, x’ das Increment’) x’öt; x, das Increment x’ dt, x" das Increment x" dt... überhaupt x\ das Increment x) 6¢; die entsprechenden Ineremente der Grössen y® sind sämmtlich Null. Also erfüllen die gesuchten Inva- rianten die Gleichung df 4 ER 0 = -xŸ +X x! ax * RN a Eine analoge Behandlung der infinitesimalen Transfor- mationen Yq a liefert die Gleichung d d d Ve ae = bn ge AV gaat We tg te die von unseren Invarianten erfüllt werden muss. Dement- sprechend liefern auch die inf. Transformationen ye 2 zwei einfache Definitionsgleichungen. — Alle Differentialinvarianten der Gruppe (G,) sind somit bestimmt durch die sechs Gleichungen a = 0, 3 x) dr =0, 2 yw) joghVe g dx k dæ ee k dy; ii) df _ df TEE iy 0, 3 xv dy = OF aye dx® © 0. Die Form dieser Relationen zeigt nun, dass die Grössen A,B,C,a,b,c Invarianten von G, sind. Dass auch ihre 1) Aus der Gleichung dx =x" de+x,dy folgt nåmlich 6 dx = 6x! dx + 6x, dy = d 6x = dx Ôt und , dx dx Öx' = å öt, Öx, ay 6¢ u. 8. W. 380 Sophus Lie. Differentialquotienten hinsichtlich 2 und y Invarianten sind beruht darauf dass die Gleichung I(xyx'y,...)=I[(&) (y) @).--J-@ die Relation nach sich zieht. Es giebt eine und nur eine invariante Gleichung erster Ordnung nämlich x'y,—x,y'=0. Da die vier Differentialquotienten erster Ordnung und die sechs zweiter Ordnung durch vier unabhängige Relationen verknüpft sind, die ein vollständiges System bilden, so giebt es sechs unabhängige absolute Invarianten zweiter Ordnung. Da die Zahl der Differentialquotienten dritter Ordnung gleich acht ist, so giebt es acht wesentliche Invarianten dritter Ordnung. Also schliessen wir, dass die zwölf früher bespro- chenen Invarianten 3. O. nämlich die Differentialquotienten 1. O. von A, B, C,a, b, c hinsichtlich z und y mit den Inva- rianten 2. O. jedenfalls durch vier Relation verknüpft sind. In dieser Weise erkannte ich zuerst die Existenz der Relationen (2). Die Reductibilität der simultanen Systeme (3) (4) auf eine gewöhnliche lineare Gleichung 3. O. ist ein sehr specieller Fall einer allgemeinen Theorie, auf die ich indess bei dieser Gelegenheit nicht eingehen werde. Es muss hier genügen, dass ich die Reduction wirklich durchgeführt habe. Ersetze ich nun in der Gruppe (Gy) DP; XP, YP, 39, YY und in ihren Invarianten A, B, C, a,b, c die Grössen x und y durch — "und, so erhalte ich wiederum eine sechsgliedrige Gruppe nämlich Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 381 xp + XY, XYP+ YD, 9,39, JG XP (G2) mit ihren Invarianten Å, By, Ci, 4,5 by, © wo B, C, b, c,, die in der vorangehenden Nummer angege- benen Werthe haben, während A, = A und a, =a sind. Und da die Gleichungen (2) identisch bestehen, welche Funktionen von æ und y auch die Grössen xy Sein mögen, so erfüllen c, und €, die simultanen Systeme (5) (4) und werden daher bestimmt durch Integration der linearen Hülfs- gleichung 3. 0. (7). In ganz aehnlicher Weise können wir in der Gruppe (G,) und in ihren Invarianten 4, B, C, a,b,c die Grössenxy durch = und — „ ersetzen. Hierdurch erhalten wir die sechs- gliedrige Gruppen (Gs) D, XP, YP) YU XP + XY, XYP + y°q mit ihren sechs Invarianten zweiter Ordnung 4,, B,, C,, a,,b,,¢€,, welche die früher angegebenen Werthe besitzen. Dabei ist klar, dass C, und c, die Gleichungen (3) (4) er- füllen und dass somit ihre Werthe mit zwei arbiträren Con- stanten nach der Integration der linearen Gleichung 3. 0. hingeschrieben werden können. Also finden wir, ganz wie in der ersten Nummer ange- geben wurde, die Werthe der vier Grössen RE Ya). als Funktionen von æ und y mit sechs Parametern. Es ist nun leicht vorauszusehen, dass die in der ersten Nummer zur Berechnung von xy ausgeführten Quadraturen erspart wer- den können. Man führe in der That auf die Gruppen (G,) und ihre sechs Invarianten irgend eine Substitution der Form (8) aus. Hierdurch erhält man eine neue Gruppe G, mit LX, x x 382 Sophus Lie. ihren Invarianten A,, B,, 0, å; b,, 03, deren Werthe als Funk- tionen von æ und y mit zwei neuen arbiträren Constanten angegeben werden können. Durch Vereinigung von den hier- mit gefundenen Relationen mit den früheren gelingt es (im Allgemeinen) die Grössen x und y als Funktionen von æ und y mit acht arbiträren Constanten algebraisch zu berechnen. Hier nur noch die folgende Bemerkung, deren Richtigkeit sich leicht erkennen lässt. Die Gruppe G, besteht, geome- trisch aufgefasst, aus allen projectivischen Transformationen der Cartesischen Ebene xy, welche die unendlich entfernte Gerade invariant lassen. Dementsprechend lässt die Gruppe G, die Gerade x =0, die Gruppe G, die Gerade y = 0 und endlich die Gruppe G, eine gewisse Gerade g invariant. Die obenstehende Bestimmung ohne Quadraturen von x und y wird nur in dem speciellen Falle illusorisch, wenn die Gerade g entweder durch Origo x=0, y =0 geht oder mit einer unter den Coordationen x =0, y=0 parallel ist, d. h., wenn unter den vier Geraden, welche die vier Gruppen G, G, G, G, de- finiren, drei durch denselben Punkt gehen. § 2. Ueber den Inhalt dieser Ahhandlung. 3. Ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zwischen zwei Variabeln Sey y... y) = 07) (m> 1) vorgelegt, so ist es immer möglich durch ausführbare Opera- 1) Wir setzen im Texte voraus dass m grösser als 1 ist. Dies beruht dar- auf, dass die Gruppe einer Differentialgleichung 1. O. von einer arbi- trären Function abhängt, während die Gruppe, venn m>1, höchstens arbiträre Constante enthält. Gesell. d. W. Christiania 1883, Gott. Nachr. 1874. Die Bestimmung einer infinitesimalen Transformation einer Gleichung 1. O. ist nach mir aequivalent mit der Auffindung eines In- tegrabilitätsfaktors. Gesell. d. W. Chr.a 1874. Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 383 tionen, d. h. durch Differentiation und Elimination zu ent- scheiden, ob sie eine continuirliche Gruppe von Transfor- mationen gestattet, anders ausgesprochen, ob sie gewisse in- finitesimale Transformationen etwa | d ; d Bey) Get nen, EP +049 zugiebt. Die hierzu erforderlichen, haüfig sehr weitlaüfigen Rechnungen, die im nächsten Paragraphen schematisch ange- geben werden, geben gleichzeitig die Zahl der Parameter der betreffenden Gruppe, d. h. die Anzahl der unabhängigen inf. Transformationen der Gruppe Man bestimmt hiernach wie viele Curvenschaaren p(y x) = a bei der Gruppe invariant bleiben, anders ausgesprochen, wie viele Differentialgleich- ungen ersier Ordnung die Gruppe gestatten, und entscheidet gleichzeitig, ebenfalls durch ausführhare Rechnungen, auf welche unter den früher (Sieh z. B. Math. Ann. Bd. XVI) aufgestellten canonischen Formen die Gruppe reductibel ist. Die endliche Bestimmung.der Gruppe, die in mehreren Weisen — geleistet werden kann, verlangt immer gewisse Integrations- operationen, die indess im Allgemeinen entweder auf Quadra- turen oder jedenfalls auf die Erledigung von linearen Gleich- ungen zweiter Ordnung hinauskommeu. Es giebt nur drei Gruppen, die nicht in dieser Weise bestimmt werden können; sie werden indess immer durch die Integration einer gewöhn- lichen linearen Gleichung zwischen zwei Variabeln gefunden. Und da die Ordnung der Hilfsgleichung jedenfalls nicht grösser als m + 1 ist, so giebt meine Theorie immer eine Integrationsvereinfachung, dabei vorausgesetzt, dass F=0 eine continuirliche Gruppe gestattet. Wenn eine vorgelegte Gleichung F =0 eine unbekannte Gruppe mit mehreren Parametern zugiebt, so kann der Fall eintreten, dass man gewisse andere Gleichungen 9 = 0, 4 =0 kennt, welche eine Untergruppe der besprochenen Gruppe 384 Sophus Lie. gestatten. In diesem Falle ist es vortheilhaft zunächst die Untergruppe zu bestimmen. § 3. Aufstellung von den Definitionsgieichungen der Gruppe einer gewöhnlichen Differentialgleichung. 4 Wünschen wir die Forderung analytisch auszudrücken, dass eine vorgelegte Differentialgleichung y= F(ayy'... ye) eine gewisse infinitesimale Transformation Ox = E(x y) ot, dy = n(x y) ot die wir auch folgendermassen schreiben df på Or US gestattet, so müssen wir zunächst diejenigen Incremente dy‘ dy” dy’... berechnen, welche die Grössen y'y"y""... bei unserer infinitesimalen Transformation erhalten. Es ist gg = = À (dy — y' dex) = ae —J ds da = dn — y' dë + "de dn ‚ds (Ay ‚ds IUT - (2 de —y' 2.) dx + a 77 ) dy St de, und da dieser Ausdruck nach der Substitution dy = y' dæ ver- schwinden soll, folgt die Formel oy’ _ dy (7-2) , då 42 6t dx \dy da)” ~ dy? ? die man auch folgendermassen erhalten kann. Es ist Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten 385 dd 6 dx da I — dy” dy! Ody _ ôt ot ôt 6t de — dæ” und durch Vertauschung der Symbole d und 6 folgt die Gleichung dy! _ dy — y' dé ot da 0; die durch Ausführung wiederum den soeben gefundenen Werth von dy’ liefert. Eine ganz analoge Ueberlegung giebt dy) CASIO HAE STD) dyit) g 6 dy. d 6t y = dt dt de — dæ Setzen wir daher überhaupt so wird das Increment öy*+" bestimmt durch die Formel dyit) dYV— yt +0 dg = ylit) dt dæ ENG Å wobei die Differentiation hinsichtlich æ als eine totale aufzu- fassen ist. Die Grössen Y; hängen ab von y'y"...y" und den Differentialquotienten erster, zweiter... kt* Ordnung von & und y, welche letzten Diferentialquotienten sämmtlich linear auftreten. 5. Die soeben gefundenen Werthe der Ineremente öy' éy...dy™ tragen wir in die Gleichung dF dF dr. dF (m) = E= £ = fylm—1) dy'™) ae Öæ vs oy + dy" Oy’ +. aa que oy hinein, ersetzen sodann die Grösse y™, die nach der bespro- chenen Substitution links auftritt, durch ihren Werth y™ = F, und verlangen endlich, dass die erhaltene Relation identisch = Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B, 25 386 = Sophus Lie. besteht, d. h. dass sie für alle Werthe der Grössen y‘ y"'... y™—) stattfindet. In dieser Weise erhalten wir zur Bestimmung von & und 7 eine Reihe linearer partieller Differentialgleich- ungen ds ds (9) 0=A:§ + Bin Ge + Ej = oc deren Coefficienten A; B;... nur von æ undy abhängen. Die allgemeine Theorie der Differentialgleichungen lehrt in jedem einzelnen Falle zu entscheiden, ob unsere Gleichungen von zwei zusammenhörenden Funktionen &7 befriedigt werden. Sind &, 7, ein System Lösungen derselben, &, 7, ein zwei- tes System, so liefern die Ausdrücke C1 81 +0,89 C1 M1 + Co Mo mit den beiden arbiträren Constanten c,c, ein allgemeineres System Lösungen. Die Gruppe der vorgelegten Gleichung y™ = F enthält eine gewisse und zwar begrenzte!) Anzahl etwa r Parameter und genau ebensoviele unabhängige infinitesimale Transformationen rer os u Bf=& 7 dy (i=1,2...r7) durch deren Combination die allgemeinste in der. Gruppe enthaltene infinitesimale Transformation der Form co, Bf+0s5 Bsf+...+0: Bf hervorgeht. Die allgemeinsten Lösungen &7 der Gleichungen (9) enthalten keine arbitråre Funktionen, sondern nur gewisse arbiträre Constanten. Daher giebt es immer eine solche ') Ich setze wiederum hier als bekannt voraus, dass die Gruppe einer Gleichung y(m) = F, deren Ordnungszahl m gleich oder !grösser als 2 ist, nie arbiträre Funktionen, sondern höchstens arbiträre Constanten ent- hält. Dies folgt aus meinen Untersuchungen über unendliche Gruppen Gesell. d. W. Christiania 1883. Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten - 387 ganze Zahl p, dass die Differentialquotienten pt Ordnung von & und 7 hinsichtlich x und y vermöge der Gleichungen (9) . und der aus ihnen durch Differentiation hervorgehenden Re- lationen vollständig als Funktionen von a, y, 3,7 = PONT PA 5 a bestimmt sind. Diese Ueberlegungen zeigen, dass es dy immer durch Differentiation und Elimination also durch aus- fiihrbare Operationen gelingen muss ein mit (9) aequivalentes Gleichungssystem (A) d On as + bin tS +... (10) aufzustellen, welches die folgenden Eigenschaften besitzt: 1) Es enthält a, Gleichungen nullter Ordnung Aoi & + Doi n= 0 und zwar ist die Anzahl derartiger Relation entweder gleich 1 oder gleich Null. 2) Es enthält a, Gleichungen erster Ordnung ds d Et bunt on Get + fig =O (=12...a,) (a, < 5) die unter einander und von den a, Gleichungen nullter Ord- nung (algebraisch) unabhängig sind. Unter den besprochenen a, Gleichungen erster Ordnung finden sich insbesondere diejenigen £, Gleichungen, die aus den a, Gleichungen nullter Ordnung durch Differentiation hervorgehen. Hierzu kom- wen unter Umständen y, weitere Gleichungen erster Ordnung. 3) Es enthält a, Gleichungen zweiter Ordnung d’n > dy (é= 1,2...0,) a, < 7 O=a,å+bynt... [A die von einander und den a, + a, soeben besprochenen Gleich- 25* 388 Sophus Lie. ungen algebraisch unabhängig sind. Diese a, Relationen umfassen insbesondere diejenigen 6, Gleichungen, die aus den a, Gleichungen 1. O. durch einmalige Differentiation hervorgehen. Hierzu kommen unter Umständen y, weitere Gleichungen zweiter Ordnung p) Es enthält ap-ı Gleichungen (p-—1)!* Ordnung, die von einander und von den a, +a,+. .+ap_2 Schon bespro- chenen Relationen unabhängig sind. Diese ap, Gleichungen umfassen die 8,1 durch einmalige Differentiation aus den ap-2 Gleichungen (o—2)* Ordnung hervorgehenden Rela- tionen. Hierzu kommen unter Umständen yp_, weitere Gleich- ungen (p—1)!* Ordnung. Wir können ausdrücklich feststel- len, dass die Zahl ap , höchstens gleich 2p — 1 ist, sodass die 2p Differentialquotienten (ep — 1)!" Ordnung nicht algebraisch bestimmbar sind. p + 1) Es enthält 2p +2 unabhängige Gleichungen, welche die Differentialquotien pt Ordnung bestimmen. Unter ihnen finden sich insbesondere diejenigen /, Gleichungen pt“ Ord- nung, die durch einmalige Differentiation aus den ap_; Gleich- ungen (p--1)t" Ordnung hervorgehen. Es ist dabei unmöglich aus ihnen durch Differentiation neue Gleichungen herzuleiten, deren Ordnnng kleiner als (p + 1) ist. Ein Gleichungssystem, das alle diese Eigenschaften be- sitzt, ist unbeschränkt integrabel. Ihr allgemeinstes System Lösungen &7 enthält: (2 —a9) + (4 —a,) + (6 — ag) +-.. + (2p-ap1)=" oder pip + 1) — ag — å, — ++. —= ap 1 = arbitråre Constanten, was darauf hinauskommt, dass die be- treffende Gruppe r unabhängige inf. Transformationen und also gleichzeitig r Parameter enthält. Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 389 Bei dieser Gelegenheit gehen wir nicht näher ein auf die elementaren Operationen, die unser unbeschränkt inte- grables System (10) liefern. Doch soll schon hier hervorge- hoben werden, dass zu jedem Werthe von m gewisse Maxi- mumswerthe von p und r gehören, die in jedem einzelnen Falle leicht aus meinen früheren Untersuchungen hergeleitet werden können. 6. Ist ein Gleichungssystem (9) vorgelegt, so entscheidet man wie wir später zeigen ($ 5 u. fg.), durch ziemlich einfache Operationen, auf welche unter den von mir aufgestellten ca- nonischen Formen (Gött. Nachr. 1874, Math. Ann. Bd. XVI) die betreffende Gruppe reductibel ist. Bei dieser Discussion spielen die im Vorangehenden definirten Zahlen P,ra0; B1Y15 Bo Var ++ Bp-1 Yp- Bp eine fundamentale Rolle. In einigen Fällen genügt das Kenntniss dieser Zahlen zur Bestimmung der canonischen Form unserer Gruppe. Haüfig ist doch eine weitergehende Discussion nothwendig, wie später ausführlich anseinandergesetzt werden soll. Hier be- schränken wir uus auf die folgende Bemerkung, die uns im Folgenden nützlich sein wird. Sind | Bf-8Ÿ +9 V wrote = zwei infinitesimale Transformatienen einer Gruppe, so gehört auch die infinitesimale Transformation B(B(f)) — BB) = (BE — B'&) Ÿ + (Br! — BD. d = B;f=&; a +n À dieser Gruppe an. (Gött. Nachr. 1874). Die charakteristischen Definitionsgleichungen (A) unserer 390 Sophus Lie. Gruppe werden daher selbsverständlicherweise auch vou 3, 7, erfüllt. Hierbei können indess zwei wesentlich verschiedene Hauptfälle eintreten. Es ist denkbar, dass man Bf und B'f derart wählen kann, dass B,f eine ganz beliebige infinitesi- male Transformation unserer Gruppe darstellt. Es ist aber auch möglich, dass die Transformationen B,/, wie auch die Transformationen Bf und B‘f gewählt werden, immer einer bestimmten Untergruppe angehören!). Bildet man daher, wie immer möglich, die charakteristischen Definitionsgleichungen (4,) der Transformationen B,, so ist es allerdings unter allen Umständen sicher, dass diese Gleichungen (A,) die Relationen (A) umfassen. Es ist aber keineswegs sicher, dass diese beiden Gleichungssysteme identisch sind, indem es denkbar ist, dass unser System (4,) ausser der Gleich- ungen (A) noch weitere Relationen enthält. Es ist insbeson- dere denkbar, dass die Gleichungen (4,) die Form 3, =0, 71 = 0 haben, indem alle Ausdrücke (B; By) identisch verschwin- den können. Ist das Systeme (A,) verschieden von dem Systeme (A), so kann man in entsprechender Weise weiter gehen. Man kann zwei infinitesimale Transformationen Bf elwa B',f und B" f wählen, darnach den Ausdrück (B/ B") = Bf bilden, und endlich dasjenige Gleichungssystem (A,) aufstel- len, das alle inf. Transformationen B,f definirt. Hierbei können wiederum zwei Fälle eintreten, jenachdem die Sy- steme (A,) und (A,) identisch oder verschieden sind. 1) Ist es möglich die r inf. Transformationen B, B, ...Br,...Br derart zu wählen, dass für alle möglichen Werthe von : und % Relationen der Form (Bi Bx) = Cik1 B, + Cik2 B, +... + oikr’ Br’ bestehen, so ist die Gruppe jedenfalls zusammengesetzt (composé). Dabei bilden B, B, ... Br eine invariante Untergruppe. Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 391 Diese Entwickelungen geben uns wichtige Merkmale, die uns im Folgenden nützlich sein werden. § 4. Ueber die*Integration von den Definitionsgleichungen einer continuirlichen Gruppe. 7. Lass mich annehmen, dass die charakteristischen Defi- nitionsgleichungen (A) einer continuirlichen Gruppe in den Variabeln vy ds mbt+bnt+a g,*:::=0 (A) vorgelegt sind, und dass man diejenige canonische Form in den unbekannten Variabeln xy df df AT Tr ay = Bf schon kennt, auf welche die betreffende Gruppe reductibel ist. Sind d aEtbgte Get ...=0 (A) die charakteristischen Definitionsgleichungen der canonischen Gruppe Bf, so stellt sich die fundamentale Aufgabe die Grössen xy derart als Funktionen von wy x = May), y= Yay) zu bestimmen, dass die Gleichungen (A) bei der Substitution x=-X,y=-Y die Form (4) annehmen. Ist diese Aufgabe erledigt, so sind gleichzeitig die endlichen Gleichungen der gesuchten Gruppe in den Variabeln wy als bekannt zu be- trachten. Unser Problem findet ihren analytischen Ausdruck in gewissen partiellen Diflerentialgleichungen dx dx Q(æy Eg 0 392 Sophus Lie. über dessen Form wir sogleich einige beachtenswerthe Be- merkungen machen können, obgleich wir uns erst im Schlusse dieses Paragraphen mit der Aufstellung dieser Relationen beschäftigen werden. Sei x= May), y= Y(ay) ein particulares System Lösungen von Q;=0, und x, y, das allgemeinste System Lösungen mit einer gewissen Anzahl arbitrårer Constanten!) a,b,c. Alsdann bestehen Relationen der Form jzı=M(xyabe...) G (9) ly, =N (xyabe...), die eine continuirliche Gruppe von Transformationen bestimmen. Die Richtigkeit dieser Behanptung beruht darauf, dass die Form des Gleichungssystems (A) oder was auf dasselbe hinaus- kommt, dass die Form der canonischen Gruppe Bf bei dem Uebergange von den Variabeln xy zu den Variabeln x, y, ungedndert bleibt, sodass, wie wir fiir das Folgende bemerken, fiir jedes i Relationen der Form d d d ; d Biyf= & (xy) rå + mi (TY) a Z Cx (a(x, Yi) mrd) mit constanten Coefficienten c« bestehen. In gewissen Fällen ist die Gruppe (G) identisch mit der Gruppe Bf. In den meisten Fällen sind jedoch diese beiden Gruppen ‚verschie- den, indem die Transformationen Bf eine in (G) enthaltene Untergruppe bestimmen. Um dies zu beweisen ist es zweck- mässig die infinitesimalen Transformationen der Gruppe (G), die ') Ansnahmsweise enthalten, werden wir sehen, die Grössen x, y, nicht allein arbiträre Constante, sondern zugleich arbiträre Funktionen. Wir sehen im Texte vorlaüfig von derartigen Fällen weg. Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 393 heissen mögen, durch eine direkte Methode zu bestimmen. Unser Verlangen zu den D/ kommt darauf hinaus, dass der Inbegriff der inf. Transformationen By = EG y) E+ may) oe bei Einführung der von xy unendlich wenig verschiedenen Variabeln X,=X+ X(xy) 6t, Ye = y-+ Y(x y) dt ihre Form behalten soll. Nun aber ist d d Bf =Bix, Å +Bıy,. = 2 sun df ( : a -(&+B xs) + m+ BY.6) und wenn wir inf. Grössen zweiter Ordnung wegwerfen, folgt &(xy)=& (x, — Kt, y: — Yt) = & (X2 Ya) — 64. DE RTE bi nie ie etre )= i (%e Ye) — €. D Also wird A d d Br a(x y) Å + ntxy) = EG à) = + n(x, yy) À dy» + bt [cB x - De) À fr + Bi 7 — Då | und wenn wir noch einmal inf. Grössen zweiter Ordnung weg- werfen!) Byf= Ex, ya) D RCE = _ + 8t. (BD) 1) Im Texte ersetzen wir in dem Faktor der Grösse öt die Differenti- af af d alquotienten - 25 durch ax und = die von ihnen um inf. Grössen erster Ordnung enced sind. Die Formel des Textes wird hierdurch selbstverständlicherweise nur um eine Grösse zweites Ordnung geändert. 394 Sophus Lie. Unser Verlangen zu der infinitesimalen Transformation Df ist daher erfüllt dann und nur dann, wenn für jedes i Rela- tionen der Form (Bi D) = ci, Bf + cio Ba f+... + cu Brf bestehen. Wir fassen die obenstehenden Entwickelungen dieses Paragraphen im folgenden Satze zusammen: Satz. Alle endlichen Transformationen X, = M(xy ab...), y, = N(xy ab...) welche die Form des Gleichungssystems (A) ungeändert lassen, bilden eine continuirliche Gruppe, deren infinitesimale Trans- Formationen Df dadurch definirt sind, dass sie r Relationen der Form | (BiD)=c, Bf +--.+ cir Brf mit constanten Coefficienten cix erfüllen. Daher gehören alle B;/ der Gruppe Df an. 8. Die Gruppe Df bestimmt nun eine Reihe Differen- tialinvarianten, die in den folgenden Untersuchungen eine fundamentale Rolle spielen. Um sie in einfacher Weise defi- niren zu können, setzen wir wie früher zur Abkürzung, welche auch die Grösse U sein mag, immer dU dU d?U à ; de day aan) ca WE Dieses vorausgesetzt sagen wir, dass eine Funktion von xy x'x,x" x"...y'y,y"... eine Differentialinvariante der Gruppe Df ist, wenn sie von allen endlichen Transformationen dieser Gruppe in ungeänderter Form reproducirt wird. Da alle end- lichen Transformationen unserer Gruppe durch uendlichmalige Wiederholung einer infinitesimalen Transformation Df erzeugt sind, so redueirt sich unsere Forderung darauf, dass unsere Funktion von allen infinitesimalen Transformationen D/ repro- dueirt werden soll. Um diese letzte Forderung analytisch Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 395 auszudrücken, ist es nothwendig die Incremente dx; dy; der Grössen x;* y;* bei der infinitesimalen Transformation df, yf og zu berechnen. Es ist 6 (dx — x' dæ — x, dy)=0 = döx — 6x'. dx — 6x, dy woraus döx Ox! = — = X'dt, 6x, = X, Ôt, 6x" = X" bt... dæ dy’ = OY - veg, by, = Yet, dy" = Yr et und überhaupt Å Ôx;E = ZX; öt, Ôyi* = Yr öt Soll daher eine Funktion f von xyx'x,...y'y,... eine Differentialinvariante der Gruppe D/ sein, so muss sie alle Gleichungen der Form UN x Of k d At Yip was ARSE ce Y; dre OD erfüllen. Giebt es nun s unabhängige infinitesimale Trans- formationen Df etwa D, D, ...so giebt es auch & Aus- drücke D’/, die sich als infinitesimale Transformationen der Grössen xyx’...y’y,... auffassen lassen. Dabei ist klar, dass die infinitesimalen Transformationen D‘ eine Gruppe bilden, und dass sie somit paarweise Relationen der Form (Di Dr’) = 30% D;‘f erfüllen, wobei die Constanten cix dieselben Werthe wie in den Relationen (Di Di) = Ze; Dif besitzen. Hieraus folgt nun, dass die s Gleichungen D‘f=0 ein vollständiges System bestimmen, dessen Lösungen die gesuch- 396 Sophus Lie. ten Differentialinvarianten sind. Unter diesen Invarianten finden sich insbesondere immer die beiden Grössen æ und y. Ist die Grösse I(xyx'y'...) eine Invariante, so sind eben- falls die Differentialquotienten von I hinsichtlich æ oder y Invarianten. Aus der Gleichung VY. oe) ST a See) folgt namlich dllxy...) _dxıYı dæ dæ å womit die Richtigkeit meiner Behauptung erwiesen ist. Soll eine Gleichung der Form p(zyxyx...y"'...)=0O (oder ein System von derartigen Gleichungen) die Gruppe D‘f gestatten, so müssen die s Relationen D,'p=0, D,'p=0... bestehen. Dabei sind indess zwei Fälle möglich jenachdem p-0 eine singuläre Lösung jener Gleichungen ist oder nicht ist. Im ersten Fall lässt sich @ definiren als eine Determi- nante oder als der gemeinsame Faktor von gewissen Deter- minanten, welche die Grössen xy nicht enthalten. Im zweiten Falle lässt sich g = 0 immer als eine Relation zwischen den obenbesprochenen Differentialinvarianten (x and y darunter miteinbegriffen) darstellen. 9. Er ist nun klar, dass die im Anfange dieses Para- graphen besprochenen Gleichungen Qi(zyxyx"...)=0 die Gruppe x, = M(xy ab...) y, = N (3y ab...) gestatten; sie bleiben nåmlich fortwåhrend erfillt, wenn wir in ihnen xy durch x, y, ersetzen, welche Werthe auch die Constanten ab... haben mögen. Dabei lässt sich einsehen, dass es nicht denkbar ist, dass eine-oder mehrere unter den Gleichungen Q,=0 singuläre Lösungen von Dx‘f= 0 sind. Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 397 Wäre nämlich dies der Fall, so enthielten die betreffenden Glei- chungen die Grössen æy nur implicite und zwar in den Diffe- rentialquotienten; sie blieben ungeändert, wenn wir die unabhän- gigen Variabelen xy durch zwei andere ganz beliebige Grössen #1 y, ersetzten, indem die Form der Grössen Dx‘f durch den Uebergang von xy zu x, y, ungeändert blieb. Die Existenz einer bei dem Uebergang von xy zu x, y, invariante Relation zwischen xy und xy ist jedoch an sich absurd. Daher kön- nen keine unter den Gleichungen Q;=0 singuläre Lösungen des vollständigen Systems D;'f=0 sein. Dies giebt uns nun den folgenden fundamentalen Satz: Diejenigen Gleichungen Q(æyxyxy"...)=0 welche x und y derart als Funktionen von x und y bestim- men, dass die Definitions-Gleichungen (A) die canonische Form (A) annehmen, lassen sich immer auf eine solche Form bringen, dass sie eine Anzahl Relatimen Q;' (I, I, ....æy) = 0 zwischen den Diferentialinvarianten der Gruppe x, = M, y, = N dar- stellen. Durch Differentiation der Gleichungen .Q;'=0 bildet man beliebig viele neue Relationen zwischen den Invarianten der Gruppe (G). Durch Combination von diesen Relationen muss es, behaupte ich, gelingen jede Invariante der Gruppe (G) als eine bekannte Funktion von x und y darzustellen. Ist nämlich U eine ganz beliebige Funktion von xyx‘y’... so lässt sich dieselbe immer durch Benutzung der Gleichungen Q;=0 definiren als Function von æ und y, und zwar als die Lösung von gewissen partiellen Differentialgleichungen Wiley. ...5-0 Ist nun U insbesondere eine Invariante, so soll die Integra- tion des Gleichungs-Systems W,=0 weder arbiträre Con- 398 Sophus Lie. stante noch arbiträre Funktionen einführen. Und also geben diese Gleichungen die endliche Bestimmung von U als be- kannte Funktion von æ und y. Dies giebt uns den folgenden wichtigen Satz. Die Gleichungen Q;=0 bestimmen jede Invariante der Gruppe G als eine bekannte Funktion von x undy. Daher sind diese Relationen reductibel auf die Form In (xy x'y’...) = Bu(xy), wo die Ix Invarianten, die Bu gegebene Funktionen von x und y bezeichnen. 10. Fiir alle Gleichungssysteme der soeben gefundenen Form 1x = By lässt sich eine merkwürdige Integrationstheorie entwickeln, die ich in einer späteren Arbeit ausführlich be- gründen werde. Hier begnüge ich mich mit den folgenden Andeutungen, die ich im Laufe dieser Arbeit an einer Reihe Beispiele anwenden und ausführen werde. Ich nehme eine in der Gruppe G enthaltene Untergruppe G‘ mit der gröstmöglichen Anzahl Parameter. Nach meinen Untersuchungen über Transformationsgruppen einer Ebene hat G im Allgemeinen nur ein Parameter mehr als die Unter- gruppe. Wenn jedoch die Gruppe G mit der allgemeinen projectivischen Gruppe der Ebene gleichzusammengesetzt ist und also acht Parameter enthält, so hat die zugehörige Unter- gruppe nur sechs Parameter. Hat die Untergruppe keine Invariante (m — I)te Ord- | nung, während sie Invarianten m‘ Ordnung besitzt, so giebt es unter ihnen im Allgemeinen nur eine (7°) [und höchstens zwei (I' 1")] welche nicht gleichzeitig Invarianten der Gruppe G sind. Es ist andererseits klar, dass man die Invarianten (m +1)! Ordnung [oder höchstens (m +2)! Ordnung] der Untergruppe derart wählen kann, dass sie gleichzeitig Inva- rianten der Gruppe G sind. Hieraus schliessen wir, dass die Differentialquotienten von /’(und 1") hinsichtlich æ oder y Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 399 sich als Funktionen von 7,(I"), # und y ausdrücken lassen Wir erhalten daher entweder zwei Relationen der Form dr ner de =f (I zy), ape p (l'xy) oder auch in dem besprochenen Ausnahmfalle vier Gleichun- gen der Form dr 4 Ju al" 4 Jil de HET 29 gg FALT wy) dr ar OE OE Wir verificiren später und das lässt sich a priori voraussehen, dass sich diese Gleichungen immer auf Quadratur oder auf eine gewöhuliche lineare Gleichung zweiter (oder dritter) Ord- nung reduciren lassen. Ist I’(und I") bestimmet, so ist die Bestimmung von x und y jedenfalls wesentlich gefördert. § 5. Discussion des Falles, dass die Definitionsgleichungen einer Gruppe eine Gleichung nullter Ordnung enthalten. Indem wir jetzt die im Vorangehenden skizzirten Theo- rien in Detail ausführen werden, zeigen wir zuerst, wie man durch Betrachtung von den charakteristischen Definitionsglei- chungen (A) einer unbekannten continuirlichen Gruppe, ohne Integration entscheidet, auf welche, unter den von mir auf- gestellten cononischen Formen unsere Gruppe reductibel ist. Und zwar diseuttiren wir in diesem Paragraphen den verhält- nissmässig einfachen Fall, dass sich unter den besprochenen Definitionsgleichungen eine Relation nullter Ordnung etwa BE — An=0 findet 400 Sophus Lie. 11. Befriedigen die infinitesimalen Transformationen Ep + 79 einer Gruppe neben gewisser Gleichungen höherer Ordnung insbesondere die Gleichung nullter Ordnungs BE — Ay =0, so haben sie die gemeinsame Form Apr Bø)- - (4, +82 wo Q eine Funktion von wy bezeichnet, die für die verschie- denen inf. Transformationen selbstverständlicherweise ver- schiedene Werthe besitzt. Führen wir daher neue Variable xy dx dx ein, die derart gewählt sind, dass der Ausdruck A da FP TG gleich Null ist, so erhalten unsere infinitesimale Transforma- tionen die gemeinsame Form Die gesuchte canonische Form unserer Gruppe ist daher (Math. Ann. Bd. XVI, p. 490) eine unter den drei folgen- den, die wir der Reihe nach betrachten werden q X,q u yq #24 y2q 5 X,— 14 itil fbusilod eA ft old HOLME a) Die Gruppe q yq y*q lässt sich definiren durch die Gleichungen lie &=0, 20,4 yt = 0. Die entsprechenden charakteristischen Definitionsgleichungen (A) sind somit &=0 dé OG ds -0 dy dx ”dy ’ dx = Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, 401 des ds des dy dy dx? dxdy dy? dx? dx dy In diesem Falle haben daher die früher (§ 3, n. 6) bespro- chenen charakteristischen Zahlen die folgenden Werthe: dy =1; 8, =2, 71-15 Bp =5, Ya=0; B3= 7, ya=1 ESN plo: Soll andererseits eine gewisse Gruppe auf die Form q yq y°q reductibel sein, so ist es jedenfalls nothwendig, dass die cha- rakteristischen Zahlen von den betreffenden Definitionsglei- chungen die soeben geschriebenen Werthe haben. Diese Zahlen bleiben ja nämlich ungeändert bei der Einführung von neuen Variabeln statt x und y. b) Die Gruppe X,q...Xq lässt sich definiren durch drei Gleichungen der Form nn 4 _0 U4 &=0, Fre dx: +...+/(x)7=0 Ist r=1, so haben die charakteristischen Zahlen die Werthe ay =1; 8,=2,y,=2,r=p=1. Ist dagegen r>1, so haben diese Zahlen die Werthe: a =1; 6, =2, Yı=1; fy =D... By =2r4+1, yr-=1; r= op. ce) Endlich die Gruppe X,q... Xı-ıqyq lässt sich definiren durch vier Gleichungen der Form r—1 dy dy nd nr. ( dy _ )=0 3 0, 50 Fee vd al +... +/(x) Y dy N Ist dabei r=2, so haben die charakteristischen Zahlen die Werthe Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 8 B, 26 402 | Sophus Lie. ag =1; B,=2, y,=1; fa=5, ya = 1 p=r=2. Ist dagegen r>2, so haben unsere Zahlen die Werthe ay = 1; 6, =2, y1=0 ete. 12. Die einzige Betrachtuug der charakteristischen Zah- len genügt im Allgemeinen zur Feststellung der gesuchten canonischen Form. Ist in der That r>3, so fragt es sich, ob y, gleich Null oder Ein ist. Hat y, den Werth Null, so ist X,q...X. 1qyq die gesuchte canonische Form; ist dagegen y, =1, so ist X,q...X,q die entsprechende cano- nische Form. Ist andererseits r=1, so ist X,q oder einfach q die canonische Form. Ist dagegen r gleich 2 oder 3, so ist eine mehr ein- gehende Discussion nothwendig. Sei zunächst r=2, dann ist entweder X,q X,q oder qyq die entsprechende canonische Form. In beiden Fallen haben die charakteristischen Zahlen die gemeinsamen Werthe ao = 1; Pı=23 Yi =]; Ba =9, Ya=1; r=p=2, sodass die Bestimmung derselben nicht hinreichend ist. Zur Entscheidung der vorliegenden Frage verfahren wir wie in ‘ Nummer 6 angegeben wurde. Wir denken uns, indem wir die beiden unbekannten infinitesimalen Transformationen unserer Gruppe mit B'f B"f bezeichnen, den Ausdruck df d (B' B") = 51 a 71 a Bir gebildet und darnach die charakteristischen Definitionsglei- chungen (A,) der Transformation B,f aufgestellt, was immer möglich ist. Haben die Gleichungen (4,) die Form 3, = 0, 7,=0, so ist X,q, X,q die entsprechende canonische Form. Sonst liegt der Fall qyq vor. Sei endlich r=3. Ist dabei y,=0, so ist unsere Gruppe reductibel auf die Form Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 403 X,q X,qyq. Ist dagegen y,=1, so ist sie reductidel auf die eine unter den beiden Formen q yq y’q oder X,q X,q X,9, auf welche lässt sich nicht durch Betrachtung der charak- teristischen Zahlen entscheiden, indem dieselben in beiden Fällen die gemeinsamen Werthe: a,=1; 6, =2, Yı=1; fa =5, Ya =0; fig =T7, y3 =1 besitzen. Auch jetzt genügt es indess die Gleichungen (A,) zu bilden. Haben dieselben die Form &,=0, 7, =0, so liegt der Fall X,q X,q X,q vor; ist dagegen das Gleichungs- system (A,) mit dem Systeme (A) identisch, so liegt der Fall q yg y?q vor. 8 6. Discussion des Falles, dass die Definitionsgleichungen keine å Gleichung nullter Ordnung enthalten. 13. Indem wir uns jetzt zu dem Falle wenden, dass es keine Definitionsgleichung nullter Ordnung giebt, betrachten wir zuerst zwei ganz besonders wichtige wenn auch specielle Definitionsgleichungen erster Ordnüng und zeigen, dass ihre Form bei dem Uebergange von den Variabeln wy zu den neuen Variabeln x, y, in gewissem Sinne ungeändert bleibt. Bei einer solehen Variabeln-Aenderung erhalten & und 7 neue Werthe 3, 7, nämlich da, , , dø dy; da” dy? dy §,=6 dy & dy, TEN & dæ + 7 Also wird de hd dø da, , dë dy de, „an dæ dæ, 4 dn dy dæ, dz, dxdx, dæ dydx, dæ dxdx, dy dydæ, dy +(..)E+(.. )n 26* 404 Sophus Lie. dn, då dæ dy, | dg dy dy, | dn dx dy, „an dy dy, dy, dædy, de dydy, de dady, dy dy dy, dy CHEN woraus ee dye) AO Hiermit ist nachgewiesen, dass jede Definitionsgleichung = dn bei dem Uebergange von den Variabeln æ y zu den neuen Varia- beln x, y, ihre Form behält, indem nur die Coefficienten a ß neue Werthe erhalten. Eine erschöpfende Discussion von allen derartigen Definitionsgleichungen gab ich im Uebrigen in den Verh. d. Ges. d. W. zu Christiania 1885, No. 12. p. 17—20. Hier kann ich mich auf das Vorangehende be- schränken. Durch Differentiation von dem früher aufgestellten Werthe der Grösse 5, kommt dé, (dé de „ds dy\ da, , (dn de dn dy \ dx, dy, \dady, dydyı) dx de dy, dydy,/ dy (Bar Nun aber bestehen, wenn wir dæ dy dæ dy dæ, a dy, de, setzen, die Relationen dæ „de dy nn gaan ay” AR à Also wird ds, AEG dæ CR a dæ, dæ, dnyda, ] dy, dy D dæ dy dx me) D. 7 Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 405 Hieraus geht nun zunächst hervor, dass jede Gleichung der Form d& (då -2)- _ 2 dn a dp = ag + fin =0 durch Einführung als neues æ von einer Grösse æ,, welche die Relation Dons à dy dæ erfiillt, die specielle Form då, dy, +a, å +B, 71 =0 erhält. Wir schliessen ferner, dass jede Gleichung der Form (v) bei dem Uebergange von den Variabeln xy zu beliebigen neuen Variabeln ihre Form behält, indem nur die Coefficienten v,a, ß neue Werthe erhalten. 14. Die erhaltenen Resultaten geben uns fundamentale Merkmale, die uns bald nützlich sein werden. Sind nämlich die charakteristischen Definitionsgleichungen (A) einer Gruppe vorgelegt, so erkennt man leicht, wie viele Gleichungen der beiden invarianten Formen ds dn dg ds GT (2% = (v) bei Combination der Relationen (A) hergeleitet werden können. Es ist dabei klar, dass entweder keine oder auch nur eine Gleichung der Form (A) sich finden lässt. Dagegen kann die Anzahl der Relationen von der Form (v) gleich Null, Ein, Zwei oder Unendlich sein. Es lässt sich zeigen, dass jede Relation der Form (7) nur aussagt, dass die gesuchte Gruppe eine gewisse Differen- tialgleichung erster Ordnung nämlich 406 Sophus Lie. invariant lässt; anders ausgesprochen, dass die Anzahl von den Relationen der Form (v) mit der Anzahl von den bei der Gruppe invarianten Curvenschaaren f(x y) = Const identisch ist. Bei dem Beweise dieses wichtigen Satzes beschränken wir uns zunächst auf den einfachen Fall, dass sich unter den Gleichungen (A) nur eine Gleichung erster Ordnung und zwar eine von der Form (v) findet. Wir bringen diese Gleichung zunächst durch Einführung von zweckmässigen Variabeln auf die Form ds el Seien 7 ein System Lösungen von allen Gleichungen (A) und X Y ein zweites derartiges System. Dann sind die Grössen et ds d& Ua el kay © EG nach meinem bekannten Satze ein drittes System Lösungen. Dies giebt die Relation Gx ax QUE 25 dEdX dY\ dX/d& dy oan dy dy? dr dy i Å | de dy | dy on ia VOR HAE rå av dY dr Ze tal Gr Head od: af (åg tn gait saa nd oder die aequivalente ee) oder endlich Differentialgleichuugen, die eine Gruppe gestatten. 407 0- rn (az + pg) (IE di an Ya. Die letzte Gleichung verschwindet unter den früheren Voraus- setzungen identisch, was wieder heisst, dass a und £ gleich Null sind, und dass daher unsere Definitionsgleichung erster Ordnung in den neuen Variabeln die Form dé da = 0 besitzt. Enthalten daher die Gleichungen (A) nur eine einzige "Gleichung erster Ordnung und zwar eine von der Form (v), so sagt dieselbe nur aus, dass die Gruppe eine Curvenschaar læ y) = Const. invariant lässt, diejenige nämlich, die durch die Gleichung df af _ dy m bestimmt wird. Enthielte das Gleichungssystem (A) zwei und nur zwei Gleichungen erster Ordnung, welche dabei beide die Form (v) besassen, so könnte man immer solche Variabeln xy wählen, dass unsere Gleichungen 1. 0. die Form ds dn 4 HR Ada. ran ADIT © erhielten. Sodann zeigte eine mit der soeben ausgefiihrten ganz analoge Rechnung, dass a=f5=A=B=0 sind. Enthalten daher die Gleichungen (A) zwei und nur zwei Gleichungen 1. O, und zwar die beiden 403 Sophus Lie. ds dg d AN (nr + 28 + Bn = =0, dé ag aaa sr Ba =O so sagen dieselben nur aus, dass die Gruppe zwei Curvenschaa- den f(x y) = Const., fj = Const. invariant lässt, diejenigen näm- lich, die durch RE df 0 af, df, =0Q dy de * dy da bestimmt werden. Finden sich unter den Gleichungen (A) eine von der Form (A) und eine oder zwei von der Form (v), und sonst keine Gleichung erster Ordnung, so folgt ebenfalls aus dem Vorange- henden, dass jede Gleichung der Form (v) eine bei der Gruppe invariante Curvenschaar liefert. In entsprechender Weise könnte man jetzt weiter gehen und alle möglichen Fälle, in denen keine Gleichung nullter Ordnung auftritt, erschöpfend diseuttiren. Man würde immer finden, dass jede Gleichung der Form (v) eine selbständige bei der Gruppe invariante Curvenschaar liefert. Wir können uns indess diese Rechnungen ersparen. Wir werden nämlich so- gleich alle Gruppen der Reihe nach in canonischer Form be- trachten und ihre Definitionsgleichungen aufstellen; gleich- zeitig lässt sich leicht für jeden einzelnen Fall die Richtigkeit unseres Satzes verificiren. Wir können daher denselben als allgemein wahr betrachten. Wir bezeichnen im Folgenden die Anzahl von Relationen der Form (v) mit (v); und eben- falls die Anzahl von den Relationen der Form (A) mit (A). 15. In dieser Nummer betrachten wir der Reihe nach alle Gruppen mit zwei und nur zwei invarianten Curven- schaaren f(x y) =Const., und stellen ihre Definitionsgleichun- Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 409 gen auf!). Gleichzeitig lernen wir zu entscheiden, auf welche unter diesen canonischen Formen eine durch ihre charak- teristische Definitionsgleichungen bestimmte Gruppe reduc- tibel ist. Die Gruppe q,yq,p lässt sich definiren durch die Glei- chungen Also haben ihre charakteristischen Zahlen die Werthe , a, =3; B2 =5, Y2=1, (v)=2, (A)= Die Gruppe p, q, yq,y’q lässt sich definiren durch die Gleichungen Also haben die charakteristischen Zahlen die Werthe a,=3, B,=5, y2 =9, B,=1, ys =1 (v)=2, (A) = Die Gruppe p,q, xp+eyq (c 0! c Å 1) låsst sich definiren - durch dE , dn dq _ „& in An sodass ihre charakteristischen Zahlen die Werthe 1=3, B, =6, (v)=2, (A)=0 besitzen. Die Gruppe p+q, xp+yq, x*p+y’q lässtsich definiren durch d d d d Nr) —2E—2) -0 sodass ihre charakteristischen Zahlen die folgenden sind: !) Doch sehen wir von den schon früher erledigten Fällen, in denen eine Definitionsgleichung »ullter Ordnuug auftritt, weg. 410 [Sophus Lie. a; =3, B,=6, (v)=2, (A)=1 : Die Gruppe p, q, yq, xp wird definirt durch die Gleichungen dee, ir ads d’n dy Q, ax 0, dx: ? FAN sodass ihre charakteristischen Zahlen die folgenden sind a, =2; By = 4, Ve =2; (y) = 2, (à) = 0 Die Gruppe q, yd, y*Q, p, xp wird definirt durch die Rela- tionen den RER ET, apap ea aie € var und besitzt daher die folgenden charakteristischen Zahlen a,=2, fy = 4, ys=1, B3=1, y3=1, (v)=2, (A)=0 Endlich die Gruppe q, yq, y’q, p, xp, xX’p wird definirt durch die Relationen und daher haben ihre charakteristischen Zahlen die Werthe a,=2; Pa =4, Y2=0, Pa =6, V3 = 2; (v) =2, (A) = 0. Man sieht, dass die Zahl (y) wirklich wie früher behaup- tet, immer gleich 2 ist. Man erkennt ferner unmittelbar, dass die aufgestellten charakteristischen Zahlen nie für zwei unter den aufgestellten Gruppen dieselben Werthe haben. 16. In dieser Nummer betrachten wir in canonischer Form alle Gruppen mit mehr als zwei invarianten Curven- schaaren f(x y) = Const. und stellen ihre charakteristischen Definitionsgleichungen (A) auf. Dabei sehen wir auch jetzt von dem Falle weg, dass die Relationen (A) eine Gleichung nullter Ordnung enthalten. Die Gruppe q, p +cyq wird definirt durch die Glei- chungen Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 411 und besitzt somit die hante ner Zahlen a; =4, (v)=<, (A)= 1 Die Gruppe p, q, xp + yq wird definirt durch die Glei- chungen d d d d 10 10, en Daher ist a, =3; 6, =-6, ()=, A=0 Mehrere hierher gehörige Gruppen giebt es nicht, und daher liefern unsere Zahlen die hinreichenden Merkmale. 17. Weitlaüfiger wird die Discussion von allen Gruppen, die eine und nur eine invariante Curvenschaar f(æy)= Const. bestimmen. Wir werden dieselben der Reihe nach betrach- ten, indem wir jedoch von den Fällen, in denen eine Defini- tionsgleichung nullter Ordnung auftritt, wegsehen. Unter den r infinitesimalen Transformationen der Gruppe, welche sämmtlich die Curvenschaar f = Const. invariant las- sen, giebt es einige und zwar jedenfalls r — 3, welche eine jede Curve der Schaar f= C invariant lassen. Ist die Differentialgleichung der Curven f = ©, die immer aufge- stellt werden kann, so haben die s soeben besprochenen aus- gezeichneten Transformationen die Form df um P dy” dæ = (Oi Setzt man in den vorgelegten Definitionsgleichungen der ge- suchten Gruppe n=9,85=-—opv, 412 Sophus Lie. so erhält man die Definitionsgleichungen der Gruppe Cy, unter denen sich immer eine von nullter Ordnung findet. Es ist daher immer möglich und zwar nach den Regeln des Para- graphen 5 zu entscheiden, ob die Gruppe Of die cano- nische Form X,q...X.q oder die Form X,q... X,; 19 yq besitzt. Gleichzeitig findet man die Zahl s. Ist s=r-1, so hat die Gruppe entweder die canonische Form X,q... X-19p (r>2) oder die Form X,g... X,2q yap (r>3). Welcher unter diesen beiden Fällen vorliegt, wird entschieden, indem man die Gruppe Of in der soeben angegebenen Weise diseuttirt. Ist s=r- 2, so hat die Gruppe entweder die canonische Form qxq...xq, p, xp + (cy + kx'—?)q oder die Form Qxq:..x", yq, p, xp. Welcher unter diesen beiden Fällen vorliegt, entscheidet man durch Aufstellung von den Defini- tionsgleichungen der Gruppe Of und Discussion derselben. Ist im ersten Falle die Constante c verschieden von r-2, so kann k bekanntlich gleich Null gesetzt werden; ist c=r-2, so kann % entweder gleich Null oder gleich 1 gesetzt wer- den; wir gehen indess erst später auf die Bestimmung der Constanten c und & ein. Ist s=r-3, so sind vier Fälle möglich. Ist r=3, und also s=0, so hat die Gruppe die canonisehe Form p, XP + yq, X’p + 2xyq. Ist r = 4, und also s=1, so hat die Gruppe die canonische Form ; yd, P, Xp, Xp + xyq Ist r > 4, so hat die Gruppe die eine unter den beiden cano- nischen Formen q xq... xq p 2xp+(r-4) yq, x°p + (r- 4) xyq q xd... x7 5, yd, P, Xp, x°p+(r-5) xyq (r > 5) Diese beiden Fällen lassen sich scheiden: durch Aufstel- Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 413 lung von den Definitionsgleichungen der Gruppe Of und Discussion derselben. In allen diesen Fällen verificirt man durch Aufstellung von den betreffenden Definitionsgleichungen, dass es jedesmal nur eine Gleichung der Form (v) giebt, nämlich die Relation Lässt eine Gruppe keine Curvenschaar f=C invariant, so ist ihre canonische Form eine lineare Gruppe mit 5, 6 oder 8 Parametern. Die Definitionsgleichungen einer sol- chen Gruppe enthalten keine Gleichung erster Ordnung der Form (y). Findet man daher unter den charakteristischen Defini- tionsgleiehungen einer unbekannten Gruppe eine und nur eine Gleichung erster Ordnung von der Form (v) nämlich ds ds sil dn dy V de ‘dy = 17 day 1 ea + Bu=9 so ist es sicher, dass die Gruppe eine und nur eine Curven- schaar f(x y) = Const. invariant lässt, und dabei ist / bestimmt durch GREEN ars! dy —= 4 dr — 0, Daher ist es immer möglich die Definitionsgleichungen der früher besprochenen infinitesimalen Transformationen d d aufzustellen. Hiermit kennt man dann die beiden Zahlen r und s. Unterwirft man sodann die Gruppe Cf wenn noth- wendig eine einfache Discussion nach den friiher augegebenen Regeln, so findet man diejenige canonische Form, auf welche unsere Gruppe reductibel ist. 414 Sophus Lie. 18. Enthalteu die Definitionsgleichungen einer unbe- kannten Gruppe keine Relation der Form (v), so ist es sicher, dass die Gruppe keine Curvenschaar f(x y) = Const. invariant lässt. Und also ist die canonische Form, wie soeben be- merkt, jedenfalls eine lineare Gruppe, die entweder fünf, sechs oder acht Parameter besitzt. Man entscheidet daher, welcher unter diesen drei Fällen vorliegt, indem mau nur untersucht, ob die Zahl r gleich fünf, sechs oder acht ist. Also Sind die charakteristischen Definitionsgleichungen einer continuirlichen Gruppe vorgelegt, so entscheidet man immer durch ausführbare Operationen, auf welche canonische Form sie reductibel ist. ST Bestimmung durch Integration von Gruppen mit zwei inva- rianten Curvenschaaren f(x y) = Const. Sind die charakteristischen Definitionsgleichungen mEtbn tas +...<0 (A) einer continuirlichen Gruppe vorgelegt, so entscheidet man zunichst nach den soeben entwickelten Regeln, auf welche canonische Form in den Variabeln xy die gesuchte Gruppe reductibel ist. Hiernach stellen wir die charakteristischen Definitionsgleichungen - eg met bgt eget... (A) d dieser canonischen Form auf, und versuchen darnach die Grössen xy derart als Funktionen von æy zu bestimmen, dass die letzten Gleichungen (A) in den Relationen (A) über- gehen. Hierdurch erhält man (n. 9) zur Bestimmung von xy gewisse Relationen Difterentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, 415 L(xy x'y'...)=Bılay), deren rechte Seiten bekannte Funktionen von wy sind, wäh- rend die linken Seiten Diferentialinvarianten einer früher (n. 7) definirten Gruppe D/ darstellen. Die Integration der Gleichungen L.= B, reducirt sich, wie schon früher angekün- digt, auf die Erledigung von gewissen linearen Hülfsgleich- ungen zwischen zwei Variabeln. Ist diese Integration gelei- stet, so führt man die gefundenen Werthe von xy in die gegebene canonische Gruppe ein und erhält hierdurch den Ausdruck der gesuchten Gruppe in den Variabeln x y. In diesem Paragraphen werden wir diese Theorie suc- cessiv: für alle Gruppen mit zwei und nur zwei invarianten Schaaren f(x y) = Const. in Detail durchführen. 19. Die canonische Gruppe | p q ya (Bf) wird bestimmt durch die Definitionsgleichungen dé dE dg dg ay” aa gp 0 Die Gruppe Df wird andererseits definirt durch die Rela- tionen (p, Df) = (p, Xp + Yq) = Ip + mq + nyq (a, Xp +Yq)=/;p+m;q+n;yq Ga Xp + Yq) = up +m,q+n,7yq, aus denen die folgenden hervorgehen ee OX de dx — ? dy 19 J ay = 2 a + ae + ar Y > Te ny, ae M199 y — Ma TNoY sodass X=Ix+1, Y=myyt+yp 416 Sophus Lie, Die Gruppe D/ besteht somit aus den vier infinitesimalen Transformationen p xp q y; DAN unter denen sich wirklich die drei inf. Transformationen Bf finden. Die Differentialinvarianten I der Gruppe Df sind bestimmt durch | dI dl Fer à =0 ln az "dx, dx" 010 Die infachsten Invarianten sind daher x! x" x,’ x, x! MX NX NT D Va: VEG We HR KO eV und dabei können die Werthe derselben als Funktionen von a und y nach meiner allgemeinen Theorie ohne Integration angegeben werden. Ist z. B. Ku? x, x 210.277) Sr Pa so wird log x= (9 de+@, dy. Nachdem x‘ durch diese Quadratur gefunden ist, bestimmt man x, ohne Quadratur, indem das Verhältniss x’:x, selbst eine Invariante ist. Hiernach findet man x durch eine neue Quadratur xm [xde+x,dy Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 417 In ganz entsprechender Weise findet man y durch zwei successive Quadraturen. Wir werden schliesslich etwas näher andeuten, wie unsere Invarianten ohne Integration als Funktionen von æ und y berechnet werden können. Es ist dx dy dy f= EG ur le Ge Van und wenn wir de dy _ de dy _ À dx dy dy dx setzen und dabei die bekannten Formeln dy dæ == Lay dy — ear N dy dx dæ” dy dæ benutzen, ta DA he 7 dx dx a) dr] (ee y = ue dx dy — dæ ag il * ay \d (2) NG (&)- oe de dy dy dé da (és) ( dæ \dy dæ! dy dæ dy\d Pene dx \dy dx (dæ EIN d& dx dy d&dx dy In dx dy , dn dx dx dæ dx dy dy dx dx dy dy dx dx dy dy ae) dx \dx) ” ” ax \ay/ ? Unter den charakteristischen Definitionsgleichungen der unbekannten Gruppe finden sich drei Gleichungen erster Ord- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 8 B. 27 418 Sophus Lie. nung, durch ‘deren Combination sich zwei een der Form (v) herleiten lassen. Seien daher dé (2 an) 7? 7 + 0,6 + Bi =0 dy de dy ds ds A dn ee dy va? + ard + Ban = 0 næ pl Es 0 dæ dy dx dy unsere Gleichungen erster Ordnung. Er ist nun klar, dass die beiden ersten unter diesen drei Gleichungen mit den beiden ersten unter den drei obenste- henden Gleichungen identisch sein miissen. Also bestehen entweder die beiden Era dx ak dy dy (1) He HO oder die beiden dx _ dx dy dy dy "da dy de 2) Welche unter diesen Relationen die richtigen sind, zeige ich spåter. Es ist ferner klar, dass man drei solche Funktionen A, A, L von æ und y wählen kann, dass die folgenden Relationen bestehen, Ama DENE DA Re Yaa, +A, LB - AF 2- Å VHA VIF ED —A, vi?—A,v2+ LO Differentialgleichuugen, die eine Gruppe gestatten. 419 + may ay +h, ay + LE 2 635 ee ir USE Dr Durch Elimination von A,A, und L erhält man daher drei Relationen zur Bestimmung von xy als Funktionen von = und y. Weitere Relationen erhält man, indem man die Grösse ya durch Einführung von x und y als unabhängige Variabeln wirklich berechnet und darnach verlangt, dass die hervorge- hende Relation mit einer Gleichung des Systems (A) identisch sein soll. Die hiermit im Wesenthehen geleistete Bestimmung un- serer unbekannten Gruppe kann übrigens auch in anderer Weise ausgeführt werden, wie jetzt angegeben werden soll. Wir setzen wie soeben voraus, dass wir die beiden in dem Systeme (A) enthaltenen Gleichungen der Form (y) wirklich gebildet haben. Sodann bemerken wir, dass unsere unbe- kannte Gruppe infinitesimale Transformationen von den Formen (f+), dø df dy "de > (Gy a dy? dx enthalt, und zwar eine (p) von der einen Form und zwei (q yq) von der zweiten Form. Setzen wir daher in den Rela- tionen (A) einmal &=— V1 Pi 7= Pi ein andermal = — V3 Pay M = Pas so erhält man gewisse lineare Relationen zur Bestimmung von p, und 9, als Funktionen von æ und y. Und dabei ist klar, dass die Differentialquotienten von log 9, oder von log 9, hinsichtlich x und y, lass uns sagen die Differentialquotienten 26 420 Sophus Lie. von log 9, sich als gegebene Funktionen von x und y be- rechnen lassen. Hiernach finden wir 9, durch eine Qua- dratur. Zur Bestimmung von gp, erhalten wir lineare Glei- chungen zweiter Ordnung, die sich indess durch successive Quadraturen erledigen lassen. Es bestehen ja nämlich zwei Relationen der Form a= pr (G ve ov) = BY va (En) 27 Und wir kennen die Definitionsgleichungen der Gruppe B®, B; daher finden wir in der bekannten Weise die Definitionsglei- chungen der einzigen Transformation (B’ B)=(9, y9)=q= B" . Hierdurch erhalten wir die Bestimmung von den Differential- quotienten der Grösse log g,° hinsichtlich æ und y als Funk- tionen von æ und y. Eine Quadratur giebt daher o,°. Hiermit kennen wir eine Particularlösung von den linearen Gleichun- gen zweiter Ordnung, welche , bestimmen. Daher giebt uns eine neue Quadratur @, selbst. Nun ist Man | df ar Pax Pile | dy dr | df a | dy | "dr" dy Cig een in Bee Yay | mec Also folgt zunächst Pre Ye AK Ferner kommt, wenn wir f successiv gleich x und y setzen Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 421 dx dx d d re Mea ee — pin Di an dx dx d d ir ne kl Gest Pe gy =I Durch Auflösung erhält man daher eine Bestimmung von dx dx dy dy dæ” dy’ dæ” dy als Funktionen von æ und y, sodass eine Quadratur uns x und y liefert. Hierbei haben wir gar nicht unsere frühere Bestimmung von æ, benutzt. 20. Lass uns jetzt annehmon, dass die gesuchte Gruppe die canonische Form q, yq besitzt. Die Definitionsgleichun- gen dieser canonischen Gruppe sind d d? E=0, nao ay? "©. e Dementsprechend findet sich unter den Definitionsgleichungen unserer unbekannten Gruppe eine Gleichung nullter Ordnung CE — An=0, sodass die infinitesimalen Transformationen dieser Gruepe die Form p(Ap + Cq) besitzen. Wir setzen die Werthe &-= PÅ, n= p C in unseren Definitionsgleichungen ein und erhalten hierdurch zur Bestimmung von @ gewisse lineare partielle Differential- gleichnngen zweiter Ordnung. Setzen wir nun q=Bf, yq= Bf und (B° B) = p° (Ap + Ca) = B*, so können wir immer die Definitionsgleichungen der Trans- 422 Sophus Lie. formationen B°=q aufstellen. Daher finden wir die Grösse p° und also auch B* durch eine einzige Quadratur. Hiermit kennen wir eine particulare Lösung von denjenigen linearen Gleichungen, die m bestimmen. Daher finden wir p durch eine neue Quadratur. Man könnte im Uebrigen auch folgendermassen verfah- ren. Die canonische Form unserer Gruppe ist q yq. Also werden die infinitesimalen Transformationen Df-X = +Y 2 bestimmt durch Relationen der Form (q, Df) =4q +m ya (yq, Df) = 1,4 +m, ya, oder durch die aequivalenten dy 0, ET dy dY ar en Va A woraus X= F(x), Y=a+ fy wo F eine arbiträre Funktion von x, a und £ arbiträre Con- stante bezeiehnen. Hieraus folgt nun zunächst, dass die Diffe- rentialinvarianten I der Gruppe D/ keine Differentialquotient von x, und auch nicht x selbst enthalten. Dabei ist sodass die einfachsten Invarianten sind; ihre Werthe als Funktionen Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 423 von æ nnd y lassen sich ohne Integration angeben; und daher findet man y durch zwei successive Quadraturen. Nun aber wissen wir, wie früher angegeben, dass die infinitesimalen Transformationen unserer Gruppe die Form re) besitzen. Dabei können wir der Grösse @ zwei solche Werthe Po und 9, beilegen, dass Øo|A +02). 4 dy” Pi wird. Setzen wir hier f=y, so wird dy |- | dy, od are] -1, m4 +08 )-y (arr womit @, und 9, bestimmt sind. Zur Bestimmung der Grösse x ist die Integration einer allgemeinen Differential- gleichung erster Ordnung erforderlich. 21. Seien jetzt vorgelegt die Dofnitiondgleichunge (A) einer Gruppe mit der canonischen Form P» 9, Yay Xp. (B) Die entsprechenden infinitesimalen Transformationen D/ sind, wie man leicht verifieirt, identisch mit den Transformationen (B) Daher sind die Differentialinvarianten der Gruppe D, deren Werthe ohne Integration angegeben werden können, die folgenden ZN NUN Lex PIX Boah Fri! Ve. und daher findet man sowohl x wie y durch zwei successive Quadraturen. 424 Sophus Lie, Man könnte im Uebrigen auch folgendermassen verfah- ren. Zuerst bildete man die Definitionsgleichungen der Un- tergruppe p xp, und zugleich diejenigen der Untergrnppe q, yg. Hiernach fand man leicht die Definitionsgleichungen der Transformation p und zugleieh diejenigen der Transfor- mation q, sodasssowohl p wie q durch je eine Quadratur be- stimmt werden können. Ist nun df df 5 -5, + Å i af af Te ge 72 Ay’ so folgt dx dx 34 at dy’ Ores atm dy’ Os a ig “m 2 Li =. da ae 2 iy sodass sowohl x wie y durch je eine Quadratur gefunden werden. Auch nach dieser Methode wird somit sowohl x wie y durch zwei consecutive Quadraturen gefunden. 22. Kennt man die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form B,=q, Bz-ya, B; =y°a, (B) so fragt es sich zunächst nach der allgemeinsten infinite- simalen Transformation Df = Xp+ Yq, die drei Relationen der Form (BD) C, Bre Baste, Bb. erfüllt. Man erkennt leicht, dass X eine arbiträre Funktion von x sein kann, während Y nur von y abhängt und zwar die Form Y=ata,y+ta,y’ Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 425 besitzt. Die Invarianten I der Gruppe enthalten daher keine Grösse x;* und auch nicht x selbst, während sie die drei Re- lationen he ye en ÅL =0 dy HT dy‘ y, dy, Vy dy" Wy dl al dl dI Ber ur Ir A op MEN dry lå er yy, FR Dr Y Fi, El gr erfüllen. Die einfachste Invariante ist daher Als ueue abhängige Variable wählen wir eine Invariante der Gruppe q yq etwa å EF Qi: y_ y‘ Es ist tid 4\2 eg -(&) Ir, Daher finden wir uw als Funktion von + durch Integration einer Riccatischen Gleichung erster Ordnung. Hiermit ist, behaupte ich, gleichzeitig y als Funktion von x bestimmt worden. Setzen wir in der That Wer 9 EN yi y so kommt dv — ie, sodass auch v unserer Riccatischen Gleichung 1. O, erfüllt. Setzen wir endlich so wird wiederum 426 Sophus Lie. dw 1 aa = 1, Ar 2 w?. Nach der Integration unserer Riecatischen Gleichung erster Ordnung, kennen wir somit eine jede unter den drei Grössen als Funktion von w Und da u — W y pg ae v —w ist, so finden wir hierdurch y als Funktion von æ. Der gefundene Ausdruck enthält als Integrationsconstanten drei arbiträre Funktionen von y. In ganz entsprechenden Weise fände man y als Funk- tion von y durch Integration einer Riccatischen Gleichung 1. ©. Und nach bekannten Theorien (Note I) reducirt sich die Erledigung von unseren beiden Riccatischen Gleichungen 1. ©. auf die Integration einer einzigen derartigen Gleichung. Hiermit ist also y gefunden. Versucht man auch x zu bestimmen, so erkennt man leicht, dass hierzu die Integration einer allgemeinen Gleichung 1. O. erforderlich ist. Dagegen ist es nach der Bestimmung von y möglich die endlichen Ausdrücke der gesuchten Gruppe ohne Integration aufzu- stellen. Wir kennen in der That eine Gleichung NE dy dæ die von x erfüllt wird. Daher giebt es eine solche Funktion p von æ und y, dass die Relation es: besteht. Setzen wir hier f=y, so kommt Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 427 womit mp gefunden ist. Also wird d ,% aia oe da Sen dy da Multiplieirt man hier einmal mit y und einmal mit y?, so er- hält man eine allgemeine Bestimmung unserer Gruppe. 23. Kennen wir die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form q ya y’ap so können wir u. A. folgendermassen verfahren. Unter den besprochenen Definitionsgleichungen giebt es zwei von der Form (v). Daher können wir zwei Gleichungen erster Ord- nung aufstellen — ——U_ — dt å da af dy dx dy Mana unter denen die erste von f=x, die zweite von f=y erfüllt wird. Setzen wir sodann ; &=-—0Qv, N=9, so finden wir die Definitionsgleichungen der Gruppe q yq y’q, die hiernach nach den Regeln der vorangehenden Nummer vermöge einer Riccatischen Gleichung 1. O. bestimmt wird. Setzen wir sodann 8=—P1Vy 7=Pu so finden wir die Definitionsgleichungen der Gruppe p, die durch eine Quadratur bestimmt wird. Nachdem y und df df 428 Sophus Lie. gefunden sind, erhålt man x durch eine Quadratur. Es ist ja nåmlich einerseits dy dæ und andererseits dx dx sodass eine Quadratur uns x liefert. 24, Kennen wir die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischeu Form % YG yd, P, XP so können wir folgendermassen verfahren. Wir bilden zuerst ganz wie in der letzten Nummer die Definitionsgleichungen der Gruppe q yq y’q und finden hiernach y durch die Integration einer Riccatischen Gleichung 1. O. Darnach bil- den wir die Definitionsgleichungen der Gruppe p xp und bestimmen darnach wie in Nummer 20 die Grösse durch eine Quadratur. Sodann wird x selbst gefunden durch eine neue Quadratur durch die beiden Relationen 25. Kennen wir die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form (G) % yd, Y P, Xp, Xp so bilden wir einerseits die Definitionsgleichungen der Gruppe d, yd, Y’q andererseits diejenigen der Gruppe p, Xp, x°p und bestimmen sodann einerseits y andererseits x durch eine Riccatische Gleichung 1. O. Führen wir sodann die gefunde- nen Werthe von x und y in die canonische Gruppe (G) Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 429 hinein, so erhalten wir den analytischen Ausdruck der gesuch- ten Gruppe in den Variabeln æ und y. 26. Kennen wir endlich die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form p+q, xp+yq, p+y’q (Br) so suchen wir zunächst die allgemeinste Transformation Df= Xp + Yq, die drei Relationen der Form (B; D) = Ci; B, SP Cig B, + Cis B, erfüllt. Dies giebt zunächst die Relationen, dX dX 2 Way Che LICH ER dX d 3 len me en: +X xt Get 9 Go =o torg X + 055 KR und aehnliche Relationen zur. Bestimmung von Y. Durch Integration derselben nach bekannten Regeln erkennt man leicht, dass D/ die Form | p+rq+e,&p+ygq)+e,(®p+y’d besitzt, sodass die Gruppe Df mit der Gruppe Bf iden- tisch ist. Die Invarianten der Gruppe Df werden bestimmt durch die Relationen | Of naiss RR EN diRequNar ‚pol I dx ay = 0, dt! ax +. HE AT ons ...=0 df df df , df Brad Eh 2 at = x gr 22X a, eee a Lie 0 so dass 430 Sophus Lie. xy; VS x (x — y)?’ he en die einfachsten Invarianten sind. Als neue abhängige Vari- able wählen wir eine Invariante der Untergruppe p+q, xp+yq und zwar die Grösse I Dann wird sodass u als Funktion von x durch Integration dieser Ricca- tischen Gleichung 1. O. gefunden wird. Weitere Lösungen dieser Gleichung sind, wie man leicht verificirt, die Grössen yx (y + 1) x’ 2 a md day deren Werthe als Funktionen von x und y daher nach der Integration der besprochenen Gleichung angegeben werden können. Gleichzeitig findet man die Grössen ju yt+l % x "u” x+1 u und also y und x als Funktionen von «x (Sieh Note I)*). § 8. Bestimmung durch Integration von Gruppen mit einer ein- zigen invarianten Curvenschaar f(a y) = Const. Jetzt integriren wir successiv die Definitionsgleichun- gen von allen Gruppen mit einer einzigen invarianten Cur- 1) Man kann übrigens u. A. auch folgendermassen verfahren. Man be- x‘ 3x2 Û rechnet zuerst den Werth der Invariante en als Funktion von zy; findet sodann x durch Integration einer Riccatischen Gleichung und darnach y algebraisch durch Benutzung von der Invariante 7,. Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 431 venschaar, also solche Gleichungssysteme, die nur eine ein- zige Gleichung der Form (v) enthalten. 27. Wir werden zuerst annehmen, dass wir die Defini- tionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form p, 2xp+yq, x"p+xyq (Bf) kennen. Er ist a priori klar, dass die infinitesimalen Trans- formationen D/ die Form X(x) p + Y(xy) q besitzen miissen. Dabei bestehen Relationen der Form X'=a4 + 2a, x+a, x? 2æX'—2X=b,+2b, x +d, x? uv? X' — Qa X =09 +20, X +60, x sodass X die Form a+a,x+a,x* besitzt und dabei ohne Beschränkung gleich Null gesetzt werden kann. Daher sind die Constanten a; b; c; sämmtlich gleich Null. Die Grösse Y wird bestimmt durch | dY dY dY TEA aay 7 dY dY Dj EE == x al xY=0 sodass Y=Const.y wird. Die Gruppe D/ besteht daher aus den vier Transformationen P, XP, YG Xp +xyq (Df) Die Invarianten der Gruppe Df sind bestimmt durch dl al dl dl —=0, x’ +x,-— +x” —_ +...=0 dee, de eae dx" ar dl Bear Fe 432 Sophus Lie. BIO NAT, dI > 42 2 1504 as 0 = 2x a + 2x, da +6xx FE a oe | ‚al dI i AS + yx 7 VEE + (yx" +2y'x Jay" Spå Die einfachsten Invarianten sind =” a 3 E) X,,, AE 3 (22), x! DENT) 5x 2 \x , eg y x! ? y x 7 Daher findet man zuerst x durch Integration einer Ricca- tischen Gleichung 1.0; darnach genügt eine Quadratur zur Bestimmung von y. 28. Seien jetzt vorgelegt die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form (BS) P; Xp, yd, X°P + xyq In diesem Falle ist die Gruppe D/, wie man leicht verificirt, identisch mit der Gruppe (Bf), und gleichzeitig identisch mit der Gruppe Df der vorangehenden Nummer. Daher findet man auch jetzt zuerst x durch Integration einer Riccatischen Gleichung 1. O; darnach y durch eine Quadratur. 29. Seien vorgelegt die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form q xq...x°q ya P xp (B) (s > 0) Die entsprechenden Transformationen Df besitzen offenbar die Form X (x) p + Y(xy) q Dabei ist X bestimmt durch die Relationen X'=a,+4,X x X'— X=b, + b,x, Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 435 sodass X=c,+c,x ist und gleich Null gesetzt werden kann. Die Grösse Y genügt zwei Relationen der Form dY FE CARTE + 05 X° + ay xy = Bot... + Asx + By und besitzt daher, wie wir ohne wesentliche Beschränkung annehmen können, die Form Y= Y(y). Dabei soll eine jede unter den Grössen dr Å pl „a AVES VAN LOVE V dy sich als Summe der Form VO SN TI PK TAN ausdrücken lassen, sodass Y=cy gesetzt werden kann. Die Gruppe Df ist daher identisch mit der Gruppe Bf. Indem wir jetzt die einfachsten Invarianten berechnen werden, beschränken wir uns auf den Fall s=2. Dabei suchen wir nur solche Invarianten, in denen nur Differential- quotienten hinsichtlich & (oder nur hinsichtlich y) vorkom- men. Wir schreiben zur Abkürzung dU dU, Aa, UT, sen OF etc. Die gesuchten Invarianten sind dann bestimmt durch dI al dl ap gp da À dl al Pa À Te dl dl al = Beane Sieh ZN en. 0=x, 2 + 3X, X, =, + (4x, x: + 3x, day, Die einfachsten Invarianten sind daher Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 8 B. 28 434 Sophus Lie. = [Dieselbe ist von s unabhängig] und x,Åy, Ky Va (Bat 3X, ”) MG må x) ay T ee PN) N Man findet daher zuerst x durch zwei Quadraturen. Hiernach wird y bestimmt als Funktion von æ durch eine lineare Glei- chung 4. 0. der Form PEN wo f eine bekannte Funktion der unabhängigen Variabele be- zeichnet. Unter den Lösungen dieser Gleichung 4. O. kennt man schon drei particulare nämlich: 1, x, x”. Daher findet man die allgemeine Lösung durch Quadratur. Ist s verschieden von 2, so findet man in ganz entsprech- ender Weise zuerst x durch zwei Quadraturen, und darnach y durch Integration einer linearen und homogenen Differen- tialgleichung (s + 2)" Ordnung mit s+1 bekannten particu- laren Lösungen nämlich 1, x... x°. 30. Seien vorgelegt die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form (B) ae ET yO DED) Xap 7 xy (s > 0) Diese Gruppe ist in keiner mehr umfassenden endlichen Gruppe als invariante Untergruppe enthalten. Daher giebt es keine andere infinitesimale Transformationen Df als die B selbst. Unter den Invarianten der Gruppe findet sich zu- nächst die Grösse sodass x durch Integration einer Riccatischen Gleichung erster Ordnung gefunden wird. Um darnach die Bestimmung von x durch Quadraturen. Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 435 an ein einfaches Beispiel zu illustriren beschränken wir uns auf den einfachsten Fall s=1. Verlangt man sodann zunächst Invarianten gegenüber allen Df ausgenommen x?’p+xyg, so findet man u. A. die Grössen In sr ea = 9) = Xj Xo Y1— X1 Ve 7 soll dabei eine Funktion f von &, und a sich gegenüber der ausgeschlossenen infinitesimalen Transformatien x’p+xyq als Invariante verhalten, so ist es erforderlich und hinreichend, dass die Relation besteht. Daher ist Xs Yi — Xi Ys Xo JY1 yy eine Invariante der Gruppe Df. Also findet man y, nachdem x bestimmt ist, durch Integration einer linearen Gleichung 3. O. mit den beiden Particularlösungen 1 und x, d. h. durch Quadratur. Hat s einen allgemeinen Werth, so bestimmt man eben- falls zuerst x durch Integration einer Riccatischen Gleichung 1. O., und darnach y durch Integration einer linearen Gleich- ung (s +2) Ordnung mit den s+1 Lösungen 1, x... x“. 31. Kennt man die Definitionsgleichungen einer Gruppe . mit der canonischen Form _ 3 Xe 5 x, q x=q... xq, p, 2xp+syq, x*p+sxyq, (B) s>0 so sieht man leicht, dass die Gruppe Df ausser der (B) nur noch die infinitesimale Transformation yq enthält. Man ver- fährt daher gauz wie bei der Bestimmung von der Gruppe der vorangehenden Nummer. 28* 436 Sophus Lie. 32. Seien jetzt vorgelegt die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form q xq... xq, p, xp +(cy +kx*tl)g wobei k wenn ce von s+1 verschieden ist, gleich Null gesetzt werden kann; ist dagegen c=s+1, so kann k gleich 1 oder Null gesetzt werden. Ist s=0, so sind (wenn cZ0) dE _ dE 4 .p RL: dn 9 ; = dy dx dy dx dx die Definitionsgleichungen der canonischen Gruppe. Wir kön- nen daher annehmen, dass c gleich 1, und & von Null ver- schieden und gleich 1 ist, indem sonst zwei Gleichungen der Form (y), und demzufolge zwei invariante Curvenschaaren f(xy) = Const. aufträten. Die Form der canonischen Gruppe wird somit q p xp+(y+x)q Da x=Const. die einzige invariante Curvenschaar liefert, so haben die Transformationen Df die Form X(x) p + Y(xy) q und bilden dabei, wie man leicht verificirt, die Gruppe q, P, Xp+y4, xq mit den Invarianten Xo Xo Y1 — X1 Yo ? 2 xX xy Daher findet man zuerst x und darnach y durch Quadratur. Ist s>0, so giebt es unter den Definitionsgleichungen der canonischen Gruppe nur zwei erster Ordnung, nämlich Eu d (Ao) dy ‘ax ay Dementsprechend giebt es unter den Definitionsgleichungen Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 437 der unbekannten Gruppe in den Variabeln æy zwei von erster Ordnung dE (d& dn yan 0 ds på ,d dn Ai, + B TE AE + £$+ Fn = 0 | und zwar sollen die Gleichungeu (A,) durch den Uebergang von den Variabeln xy zu den Variabeln æy in die Rela- tionen (A) sich umwandeln. Dies giebt nun eine gewisse An- zahl Relationen zur Bestimmung von x, y als Funktionen von æy. Zur Bestimmung der Constante c ist es, wie ich hier nicht ausführlicher nachweisen werde, nothwendig und hinreich- end die Gleichungen zweiter Ordnung zu bilden. Ist dabei c verschieden von s+1, so setzen wir k=0. Ist dagegen c=s+1, so kann % entweder gleich Null oder auch gleich 1 gesetzt werden. Um zu entscheiden, welcher unter diesen beiden Fällen vorliegt, muss man wiederum die Definitions- gleichungen höherer Ordnung berücksichtigen, worauf ich doch nicht hier näher eingehe, Hat die canonische Gruppe die Form q xXq...x'q p xp +cyq, (B) (c 3 s+ 1) so enthält die Gruppe Df ausser der Bf nur noch die Trans- formation yq. Die weitere Behandlung dieses Falles wird daher ganz analog der in Nummer 29 entwickelten Theorie, Hat die canonische Gruppe die Form G...Xq p xp+(s+1)yq (B) so enthält die Gruppe Df ausser Bf noch die beiden infi- nitesimalen Transformationen xstlq, yq 438 Sophus Lie. Auch in diesem Falle geschieht daher die Behandlung nach der in Nummer 29 entwickelten Theorie. Hat endlich die canonische Gruppe die Form g...xq p xp + ler 1) vet lie so enthält die Gruppe Df ausser der Bf nur noch die Trans- formation x°+1q. Wir behandeln diesen Fall etwas näher unter der speciellen Annahme s=1. Die einfachsten Invarianten der Gruppe (D) q xq x°q p xp+2yq sind We Oke, GP ET BES, N) ? 4 X1 xX) Daher findet man zuerst x durch zwei Quadraturen, und dar- nach y durch Integration einer linearen nicht-homogenen Differentialgleichung 3. O., die ebenfalls durch Quadraturen erledigt wird, indem 1, x und x? drei bekannte Partieularlös- ungen der entsprechenden homogenen linearen Gleichung 3.0 darstellen. Die Behandlung des allgemeinen Falles gelingt in ganz entsprechender Weise durch eine Anzahl Quadraturen. 33. Seien jetzt vorgelegt die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form (B) X, 94 X,q... X,q Ist r=1, so findet man selbstverständlicherweise die be- treffende infinitesimale Transformation durch Quadratur. Ist r=2, so können wir offenbar X, =1, X,=x setzen, sodass (B) q xq unsere canonische Form wird. Die entsprechenden infinite- simalen Transformationen D/ sind p, xp, X*pyt xygq,'yga, F(x)q, Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten 459 wo F eine arbiträre Funktion von x bezeichnet. Unter den Invarianten der Gruppe Df findet sich die Grösse 2 X3 __ 9 Xp" 2 ia erie sodass x durch Integration einer Riccatischen Gleichung 1. O. gefunden wird. Weitere Invarianten sind aM "(x'y, — X NE dx og {x y, Pa 2 Ce — à =e dy DO yr x, YN 5 Daher findet man nach der Bestimmung von x die Grösse x‘y,— x,y’ durch Quadratur. Hiernach integrirt man eine Gleichung der Form xy, x, y = f(x y) was nur Quadratur verlangt, indem y=x eine particulare Lösung der reducirten Gleichung x'y,— x, y‘=0 darstellt. Ist r>2, so muss man eine andere Methode benutzen, was darauf beruht, dass die X, unbekannte Funktionen von x darstellen, unter denen allerdings immer X, =1, X, =x gesetzt werden können; dagegen lassen die Werthe der übri- gen X, sich nicht ohne Integrationen feststellen. Unter den vorgelegten Definitionsgleichungen der unbe- kannten Gruppe findet sich eine von nullter Ordnung etwa BE — An=0. Daher haben die unbekannten infinitesimalen Transforma- tionen in den Variabeln x y die Form p(Ap+ Bq), wo A und B gegebene Funktionen von æy sind, während die unbekannte Grösse @ die Form PE GP GPS RE Cs 440 Sophus Lie. besitzt. Daher genügt g einer bekannten linearen Gleichung rt Ordnung, durch deren Integration p gefunden wird’). Ist die besprochene Gleichung r'* Ordnung integrirt, so wird x gefunden durch Division von zwei Particularlösungen etwa von @, mit g,. Zur Bestimmung von y bilden wir die Gleichung woraus Nun aber ist x eine bekannte Lösung der Gleichung ue daher verlangt die Bestimmung von y nur Quadratur. 34. Kennt man die Definitionsgleichungen (A) einer Gruppe mit der canonischen Form (B) X,q... Xq ya, so kann die Bestimmung dieser Gruppe dadurch geleistet werden, dass man zuerst die Definitionsgleichungen (4,) der Gruppe (B' B") = B, d. h. der Gruppe X,q... Xq aufstellt, was bekanntlich immer ohne Integration möglich ist. Sodann bestimmt man wie in der vorangehenden Nummer die Transformationen XY = px(Ap + Bg) 1) Diese lineare Gleichung »ter Ordnung ist im Allgemeinen nicht reductibel. Um zu entscheiden, ob eine Reduction möglich ist, sucht man ihre Gruppe. Gestattet sie infinitesimale Transformationen, bei denen die unabhängige Variable x transformirt wird, so kommen die Theorien der folgenden Num- mern zur Anwendung. Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 441 durch die Integration einer linearen Gleichung rt“ Ordnung, womit gleichzeitig x gefunden wird. Um jetzt den Ausdruck von der fehlenden infinitesimalen Transformation yq in den Variabeln xy zu finden, nehmen wir wiedernm die linearen Gleichungen (A), unter deren r +1 Lösungen schon r parti- eulare gefunden sind. Daher bestimmt man die fehlende yq durch Quadratur, womit gleichzeitig y gefunden wird. 35. Seien jetzt vorgelegt die Definitionsgleichungen (4) einer Gruppe mit der canonischen Form Ad. Adi Pi (s > 1) Unter den Definitionsgleichungen (A) der canonischen Gruppe finden sich drei von erster Ordnung Er. (a gal dx, © dy,” Te a) Dementsprechend finden sich unter den Gleichungen (4) drei von erster Ordnung etwa RE aly do) yn dy \dw dyl mr ll | ds ds dn dn À N a ed (a) ds | Aya. + a... + Fin =0 | Wir bemerken, dass die Gleichungen (a) die wnendliche Gruppe Pis A) di (b) mit der arbiträren Funktion f bestimmen. Dementsprechend bestimmen die Gleichungen (a) eine aehnliche uendliche Gruppe. Wir bemerken ferner, dass die der Gruppe (b) ent- sprechende Gruppe d(f) die infinitesimalen Transformationen (d) p, xp, F(x)q, yq 442 Sophus Lie. mit der arbiträren Funktion 7 enthält. Also findet sich unter “i den Invarianten der Gruppe (d) die Grösse ') _ sodass x durch Quadratur bestimmt werden kann. Eine weitere Inva- riante ist die Grösse Yan, uo Sy Raia ne Mn 12 XEN AYE Te EV EI a Man kann sich nun denken, dass die soeben bestimmte Grösse x schon als æ gewählt worden ist. Unter dieser Vorausset- zung erhält die soeben aufgestellte Invariante die einfache Yu , Funktion von æ und y Form und dabei kennt man den Werth dieser Grösse als n = flæy). Dies giebt eh y= je” ay Man sieht, dass der gefundene Werth von y die Form y=®,(@)yo + P;(%) besitzt, wobei 9, und 9, arbiträre Funktionen von x, y, eine gegebene Funktion von æ und y bezeichnet. Wir setzen ©,=0, ©, =1 und führen sodann die Grös- sen x, y als neue Variable ein. Dann erhalten die gesuch- ten infinitesimalen Transformationen, die x invariant lassen, die Form X(x)q. Und dabei genügt X einer bekannten line- aren Gleichung rt“ Ordnung Some EI +a; X +aX=0 !) Die im Texte besprochenen Invarianten der Gruppe (4) werden berech- net, indem man verlangt, dass die Gleichungen « durch die Einführung von den Variabeln zy die Form (a) annehmen. Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 443 Dabei soll es möglich sein statt y eine solche Grösse ya A P(x) Då als neues y einzufiihren, dass die Grösse X, = O(x) X einer linearen Gleichung rt Ordnung mit constanten Coeffi- cienten AE cu DE. Ne, =0 genügen, und dabei kann man sogar verlangen, dass die Con- stante c,_ı gleich Null ist. Hierdurch wird 9 vollständig bestimmt. Man integrirt die gefundene lineare Gleichung mit con- stanten Coefficienten, und findet hierdurch alle infinitesimalen Transformationen die x invariant lassen. Darnach wird die fehlende infinitesimale Transformation pt Yayı)qı durch Quadratur bestimmt. Und durch Einführung einer zweckmässigen Grösse der Form Ye = y + (x) als neue y gelingt es endlich die gesuchte Gruppe auf ihre canonische Form zu bringen. 36. Unter den Definitionsgleichungen der canonischen Gruppe ER“ X,q... 4:q yq p finden sich zwei erster Ordnung nämlich pt DES (a,) und neben den drei aus ihnen durch Differentiation hervorge- henden noch zwei weitere von zweiter Ordnung nåmlich 2 == 0, — — =0 (a,) 444 Sophus Lie. Dementsprechend enthalten die Definitionsgleichungen einer anf die vorgelegte canonische Form reductiblen Gruppe zwei Gleichnngen erster Ordnung (a,) und 3 +2 Gleichungen zweiter Ordnung (a,). Wir bemerken, dass der Inbegriff der Gleichungen (a,) und (a,) eine unendliche Gruppe d. h. eine Gruppe mit unendlich vielen infinitesimalen Transformationen nämlich alle der Form bf) p, F(x)q, Fi(x) ya bestimmen. Dementsprechend bestimmen auch die Gleichun- gen (@,)(a,) eine aehnliche uendliche Gruppe. Wir suchen alle infinitesimale Transformationen d(f), die zu den Transformationen b(/) in solcher Bezichung stehen, dass eine Relation der Form b(d (f)) — d(b(f)) = ep + G(x) q+ P,(x) yq stattfindet. Diese Forderung wird erfüllt von allen Transfor- mationen der Form (df) p, xp, F(x)q, F(x) ya deren Inbegriff somit die gesuchte Gruppe d(/) bildet. Wir suchen die Grössen xy derart als Funktionen von æy zu bestimmen, dass die beiden Gleichungssysteme (a, a,) und (a, a,) identisch werden. Hierdurch erhält man wie ge- wöhnlich eine Reihe Relationen der Form URS? OS 500) CH) wobei die J Invarianten, und zwar beliebige Invarianten der Gruppe d(f) darstellen, während die B gegebene Funktionen von wy bezeichnen. u Eine solche Invariante ist i woraus folgt, dass x durch Quadraturen bestimmt werden kann. Eine andere Invariante ist die Grösse Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 445 2 ll wll 4 ‘ 4 4 4 au IS Vere x En Vink N Ar X Yn = Y Xn y12 i ET 4 n 1° Ey Ye À} x xy, —Xy SV Ey Denkt man sich nun die soeben gefundene Grösse x schon als + eingeführt, sodass X=2, x= tx, = 0 sind, so geht die letzte Invariante über in die Grösse In, , deren Werth als Funktion von xy somit ohne Integration angegeben werden kann. Daher erhält man durch zwei Qua- draturen eine Bestimmung von y: y = da) yo + 2, (2), wobei ® und ©, arbiträre Funktionen xon x, dagegen y, eine bestimmte Funktion von æ und y bezeichnen. Führen wir die gefundenen Werthe xy statt wy ein, so nehmen die Definitionsgleichungen (a, a,) nach dem Voran- gehenden die Form > 2 2 do dE _ d’n = () d’n Jå Sd dy Ka wozu noch zur vollständigen Bestimmung der gesuchten Gruppe einige weitere Gleichungen hinzukommen. In den gefundenen Variabeln xy haben daher die infinitesimalen Transforma- tiouen unserer Gruppe die Form ep + (ey + X(x)) q wo c und c, arbitråre Constante sind, während _X eine gewisse lineare Differentialgleichung, deren Form von c und c, ab- hängt, erfüllt. Setzen wir vorlaüfig voraus, dass c und c, gleich Null sind, so erhalten wir zur Bestimmung von X eine lineare Gleichung rt Ordnnng ZX + ar X8)4+.., +aX=0 die durch eine zweckmässige Substitution der Form yı-yIlx), X, = XIIG) 446 Sophus Lie. in eine lineare Gleichung mit constanten Coefficienten über- geht, ae ED) und dabei lässt sich sogar erreichen, dass die Constante c 1 gleich Null wird. Dies geschieht, wenn wir I fade VERTE > Xı=X setzen. Durch Integration der gefundenen linearen Gleichung erhalten wir die Ausdrücke der gesuchten inf. Transforma- tionen der Form X(x,)q,. Sodann setzen wir in der früher besprochenen linearen Gleichung, die von c und c, abhieng, c=0, c, =1; dann er- halten wir zur Bestimmung von X eine Gleichung (r + 1)!" Ordnung mit r particularen Lösungen, sodass die allgemeine Lösung durch Quadratur gefunden wird. Darnach setzen wir yi+ X=y,, X=X,=X,. In den hiermit gefundenen Variabeln y,x, hat die ge suchte Gruppe die verlanste canonische Form. 89. Bestimmung von Gruppen mit unendlich vielen invarianten Curvenschaaren. Alle Gruppen mit unendlich vielen invarianten Curven- schaaren sind nach mir reductibel auf vier eanonische For- men, die wir der Reihe nach behandeln werden. 37, Die Definitionsgleichungen einer Gruppe, die aus einer einzigen Transformation besteht, umfassen eine Glei- chung nullter Ordnung Ag + By =0 und vier Gleichungen erster Ordnung, welche die Differen- Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 447 tialquotienten von & und 7 als Funktionen von æ und y be- stimmen. Daher finden wir die betreffende infinitesimale Transformation durch Quadratur. 38, Seien jetzt vorgelegt die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form q, pryq (B) Die entsprechende Gruppe Df besteht aus den infinitesimalen Transformationen qd, P ya, EG (D) mit den Invarianten Mme Xx ok Ex) a = x! y“ — y"(x" + x?) N I. 4 x ? Man findet daher zuerst x durch eine Quadratur. Darnach bildet man die lineare Gleichung dritter Ordnung T=NI mit den bekannten Particularlösungen y=1, y=e“. Die Bestimmung von y gelingt daher vermöge Quadraturen. 39. Kennen wir die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form (B) P so bemerken wir, dass die zugehörige Gruppe Df aus den sechs infinitesimalen Transformationen P, 4; Xp, YP, Xd, Yq besteht. Die weitere Behandlung dieses Falles ist ganz ana- log mit derjenigen Theorie, die wir in Nummer 42 entwickeln werden. 40. Seien endlich vorgelegt die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form (B) P 9, xpt+yq. Die zugehörige Gruppe Df besteht wiederum aus den sechs infinitesimalen Transformationen 448 Sophus Lie. pP, 9, XP, YP, X4, YQ. Was die weitere Behandlung dieses Falles betrifft, verweisen wir wiederum auf Nnmmer 42. § 10. Bestimmung von Gruppen mit keiner invarianten Curvenschaar. * In diesem Paragraphen denken wir uns, dass die Dis- cussion von den vorgelegten Definitionsgleichungen einer un- bekannten Gruppe zu dem Resultate geführt hat, dass sich keine bei der Gruppe invariante Curvenschaar finden lässt, sodass als die zugehörige canonische Form eine lineare Gruppe mit acht, sechs oder fünf Parametern gewählt werden kann. Wir entwickeln für eine jede unter diesen drei Fällen die einfachste Integrationstheorie von den betreffenden Defi- nitionsgleichungen. 41. Kennen wir die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form (B) P; 4 XP, Yd, Xd, yp, xp +xyq, xyp + y“ so bemerken wir dass die Gruppe (B) in keiner mehr umfas- senden endlichen Gruppe enthalten ist, sodass die Gruppe Df mit der Gruppe B identisch ist. Die Gruppe B hat (§ 1) vier Invarianten zweiter Ordnung nämlich, wenn wir 3 ‘ — vi di Gee ‘ A = X, Yu = Yi Xu B = x Miter Y Xn C = x,y, yr X, =7 ? ? XV EE, RR, Ki VX, aol it — x på x, y" y, x ar x’ y'—y'x, En Me ETE) ae Te. Mt ? a ‘ 1 > > XV, — J'X, XV, NR, setzen, die vier Grössen A, a, B+2C, b+2c. Diese vier Grössen können daher als gegebene Funktionen von æ, y be- Difterentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 449 trachtet werden, sodass die Bestimmung von xy nach den Regeln des ersten Paragraphen durch die Integration einer gewöhnlichen linearen Gleichung 3. O. geleistet wird. Man käme übrigens offenbar zu demselben Resultate durch Betrachtung von solchen Invarianten, die nur Differential- quotienten hinsichtlich einer einzigen unabhängigen Variabeln enthielten. Die hiermit angedeutete Behandlungsweise ist für gewisse Gesichtspunkte einfacher als die früher entwickelte. 42. Kennen wir die Definitionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form % P, 34 Ya, XP, YP (B) so bemerken wir zunächst, dass die Gruppe (B) in keiner Gruppe mit sieben Parametern enthalten ist, und dass die zugehörige Gruppe D/ daher mit der Gruppe B/ identisch ist. Die Gruppe Df hat (§ 1) sechs Invarianten zweiter Ordnung, nämlich die sechs Grössen, die wir in der voran- gehenden Nummer mit A, B, C, a, b, c bezeichnet haben. Zur Bestimmung von xy führen wir als Unbekannte ein die Invariante erster Ordnung der fünfgliedrigen (invarian- ten) Untergruppe 4% p, xq, YP, XD — ÿq nämlich die Grösse Ve JAR x Nun ist d log I Sales pil sodass I durch eine Quadratur gefunden wird. Darnach nehmen wir die (nieht invariante) viergliedrige Untergruppe i 4: Pp, XQ, XP—yq von unserer fünfgliedrigen Gruppe. Diese viergliedrige Gruppe hat zwei Invarianten erster Ordnung nämlich. die soeben bestimmte Grösse I und die Grösse Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 8 B. 29 450 Sophus Lie. Es ist YEE dx x“ = — aU?’+(b+c) U—C und der Differentialquotient von U hinsichtlich y drückt sich in aehnlicher Weise aus, sodass U durch die Integration einer Riccatischen Gleichung erster Ordnung gefunden wird. Man verifieirt unmittelbar, dass diese Gleichung fortwäh- rend erfüllt wird, wenn wir der Grösse U den einen unter den beiden Werthen | yo CE) ee) beilegt. Durch Integration von einer Riccatischen Gleichung erster Ordnung erhalten wir somit eine Bestimmung als Funk- tionen der Grössen æy von X, y, x%,+y, x‘? vlg x +y‘ Dabei kennen wir schon früher den Werth von x'y,—x,y'. Also finden wir die vier Grössen x‘, x,, y', y,, sodass x und y durch Quadraturen bestimmt werden. Es ist leicht einzusehen, dass die entwickelte Methode sich in mehrfacher Weise modifieiren lässt. 43. Endlich setzen wir voraus, dass die Definitions- gleichungen einer auf die Form (B) P; 4 Xd, XP—Y YP reductiblen Gruppe vorgelegt sind. Dann bemerken wir, dass die Gruppe B nur in einer einzigen sechsgliedrigen Gruppe (als invariante Untergruppe) enthalten ist, nämlich in (D) Ps 4 xd, Yd, XP, JP Die hiermit gefundene Gruppe D/ bestimmt (sieh die voran- Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 451 gehenden Nummer) die Invarianten A,B,C, a,b,c. Daher geschieht die Bestimmung von x und y genau wie in der letzten Nummer durch die Integration einer Riccatischen Gleichung 1. O. Note 1. Resumé einer bekannten Theorie. P. du Bois Reymond machte zuerst die aüsserst wich- tige, wenn auch fiir eine geometrische Auffassung naheliegende Bemerkung, dass die Integration einer unbeschränkt inte- grablen Gleichung Xda, +... + Xi da= 0 auf die Integration einer einzigen gewöhnlichen Gleichung erster Ordnung zwischen zwei Variabeln fleyy')=0 reducirt werden kann. In gleichzeitigen Arbeiten entwickelten sodann A. Mayer und ich Verallgemeinerungen dieser Theorie, unter denen die von mir herriihrende die weitestgehende war. Ich gebe im Folgenden ein kurzes Resumé von unseren alten Betrach- _ tungen in der Ausdehnung, wie es für das vollständige Ver- ständniss der vorangehenden Entwickelungen erforderlich ist. Seien xy bestimmt als Funktionen von wy durch ge- wisse partielle Differentialgleichungen, deren allgemeinsten Lösungen keine arbiträre Funktionen sondern nur arbiträre Constanten enthalten. Wir können annehmen, dass unsere Differentialgleichungen sich in der Umgebung des Werthsy- stems æ=0 y=0 regulär verhalten d. h. dass x und y sich in Potenzreihen nach æ und y entwickeln, welche ge- wisse arbiträre Constanten nämlich die Anfangswerthe von 292 452 Sophus Lie. Kfiplk 8% enthalten. Wir geben diesen Anfangswerthen bestimmte Zahlenwerthe a,b, c,d... Hiernach setzen wir TL, Y-Yı + Pa, und fassen dabei £ als Parameter auf. Wir führen x, und y, als neue unabhängige Variabeln ein; und suchen diejenige Differentialgleichung welche x (oder y) als Funktion von x, bestimmt. Lass mich annehmen, dass es gelingt diese neue Differentialgleichung, die nicht mehr eine partielle sondern eine gewöhnliche Ditlerentialgleichung ist, zu integriren. Ich wähle sodann für die durch diese Integration eingeführten Constanten diejenigen vollständig bestimmten Werthe, welche den früher gewählten Anfangswerthen a, b,c,d.. entsprechen. Kehren wir sodann zu den unabhängigen Variabeln wy zurück, so erhalten wir diejenigen Funktionen xy von æy, welche den besprochenen Anfangswerthen a, 6, c, d ... entspre- chen. Hiermit ist die Integration von den ursprünglich vorgeleg- ten partiellen Differentialgleichungen reducirt auf die Erledigung einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Eine erste Anwendung dieser Theorie machten wir in S 1, wo wir die Grössen c und C durch die Gleichungssy- steme (3) und (4) bestimmten. Es ist dabei evident, dass diejenigen Gleichungen, welche c und C als Funktionen von x, bestimmen, eine ganz analoge Form besitzen. Daher ge- schieht die Bestimmung von c und C als Funktionen von x, durch die Integration einer linearen Gleichung 3. 0. (§ 1, (7)). Es ist übrigens zu bemerken, dass es hinreichend gewesen wäre ein unter den Gleichungssystemen (3) (4) und ebenfalls ein unter den Systemen (5) (6) aufzustellen. Stellt man indess die Frage, nach den einfachsten Criterien, vermöge deren sich entscheiden lässt, ob eine Gleichung der Form dy al a ae Ver, l+F L+F-0 Differentialgleichuugen, die eine Gruppe gestatten. 453 auf die Form y”=0 reductibel ist, so ist es nützlich sowohl die Gleichungen (3) wie die Gleichungen (4) des Paragraphen 1 aufzustellen. Die Integrabilitätsbedingungen dieser Gleich- ungssysteme, die man leicht berechnet, liefern offenbar die gesuchten Criterien. Note 2. Neue Bestimmung einer continuirlichen Gruppe mit bekann- ter canonischen Form. In der vorangehenden Abhandlung gab ich u. A, eine allgemeine Methode zur Integration von gewissen partiellen Differentialgleichungen, welche xy als Funktionen von æy bestimmten, dabei vorausgesetzt einerseits dass die allgemein- sten Lösungen xy nur von arbiträren Constanten abhiengen, andererseits dass diese allgemeinsten Lösungen sich durch zwei particulare Lösungen x'y' durch Gleichungen x= M(x'y'abe...) | (1) ya Ne vudbe...) ausdrückten, welche eine bekannte Gruppe bestimmen. Ich deute jetzt eine neue allgemeine Behandlung dieses Problems an; ich führe nämlich dasselbe zurück auf meine allgemeine Integrationstheorie von einem vollständigen Sy- steme mit bekannten infinitesimalen Transformationen. Setze ich Qu drundelold'nanis cody Dre ee so kann ich immer zwei solche ganze Zahlen m und g wäh- len, dass die Grössen N BE KV Vene ue Via (2) durch keine Relation verknüpft sind, während x„+ı und Ya+ı 454 Sophus Lie. gegebene Funktionen der söeben geschriebenen Grössen sind: Xu CES å Setze ich sodann d d ee so kommt alles darauf hinaus die lineare partielle Differen- tialgleichung Af=0 zu integriren. Es ist dabei möglich m+q+2 bekannte infinitesimale Transformationen in den Variabeln (2) anzugeben, welche Af=0 in sich transformiren. Die Gruppe (1) giebt ja näm- lich durch Differentiation eine Gruppe der Variabeln (2), und die infinitesimalen Transformationen dieser neuen Gruppe —m SCHEN df B; a 5 sss f= Øk = ie tes Wx dy, transformiren A/=0 in sich. Es bestehen sogar Rela- tionen der einfachen Form Bi (A (f)) — A (Bi (f)) = 0. Dabei giebt es keine lineare Gleichung der Form a Af+ f1B f+f83, Boft...= Hiermit ist in der That die Bestimmung von xy zurück- geführt auf die Integration einer Gleichung Af=0 mit m+q+3 Variabeln, und m+g+2 wesentlichen infinitesima- len Transformationen. Die Erledigung dieses reducirten Problems wird nach meinen alten Untersuchungen geleistet durch successive An- wendung des folgenden Fundamentaltheorems [dessen Ana- logie mit Galois Behandlung der algebrischen Gleichungen Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 455 ich möglicherweise noch nie in gedruckten Arbeiten ausdrück- lich hervorgehoben habe). Sei A0 4-01... 4/0 ein vollständiges System in +, .. a, mit den bekannten infinitesimalen Transformationen Bee Poutine (die eine Gruppe bilden) und dabei keine Relation der Form Z'ai A; f+ SP Bi O erfüllen. Sei Bj+1... By eine Untergruppe und B,+ı1... By eine andere Untergruppe. Ich setze dabei voraus, dass die letzte Gruppe die grösste in By +)... By enthaltene Unter- gruppe ist, welche in B,4,... Ba invariant ist. Gelingt es jetzt das vollständige System Ania, OO Ter Et zu integriren, so verlangt die Integration des vollständigen Systems Aif=0 By+1f=0... Byf=0 nur Ditferentiation. In diesem Satze ist keineswegs vorausgesetzt, dass Bq+1 +++ By die grösste Untergruppe von B,11... Bn bilden. Wenn man indess dieses Theorem zur Integration ver- möge der niedrigsten Hülfsgleichungen von A;f=0 verwer- then will, so hat man zuerst die Annahme zu machen, dass Bgii... By die grösste Untergruppe bilden. In gewissen Fällen (wenn B,+i... B, eine zusammengesetzte Gruppe 456 Sophus Lie. bilden) kann man unser Theorem spåter auch in allgemeiner Form anwenden. Die Anwendung dieser Theorie giebt nun die Bestim- mung von xy als Funktionen von æ und y durch die ein- fachsten Hülfsgleichungen. Dass dieselben immer linear sind folgt a priori aus einer allgemeinen Theorie, die ich früher angedeutet habe, und die ich bald ausführlich darstellen werde. Ebenfalls ist leicht einzuschen, dass die vorangehenden Theorien dieser Note sich auf n Variabeln ausdehnen lassen. Neben der beiden in dieser Note (wenn auch nur in partieularer Form) besprochenen Theorien stellt sich eine dritte, die ich in den Abh. der hiesigen Gesellschaft d. W. 8 Decbr. 1882 N. 22 angedeutet habe. Eine jede unter diesen drei Theorien umfasst für eine gewisse Auffassung die beiden anderen als specielle Fälle. Note 8. Einige Desiderata. Die in dieser Abhandlung (Abh. III) gegebenen Ent- wickelungen sollen nicht als eine definitive Form der betref- fenden Theorie aufgefasst werden. Die vorangehenden Be- trachtungen reduciren nämlich allerdings die Bestimmung der Gruppe einer vorgelegten Differentialgleichung auf die ein- fachsten Hilfsgleichungen. Ich bin aber fast nicht auf die Frage nach der zweckmåssigsten Anordnung der erforderlichen sogenannten ausführbaren Rechnungsoperationen |Differen- tiation und Elimination] eingegangen. . Man kann insbesondere nach den einfachsten algebraischen Oriterien fragen, vermöge deren sich entscheiden lässt, ob eine vorgelegte Gleichung f(æyy ..N=0 eine Gruppe mit einer gewissen canonischen Form gestatte. Auf diese interessante Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 457 Frage hoffe ich bei einer späteren Gelegenheit zurückzukom- men. Die Behandlung derselben beruht auf eine allgemeine Theorie, die ich schon in 1872 ganz beilaüfig berührt habe, nämlich auf die Theorie der Invarianten einer Gleichung f =0 gegenüber allen Punkt oder Berührungstransformationen. Note 4, Anwendung auf algebraische Differentialgleichungen. Gestattet ein System von gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen Æ = O eine continuirliche und endliche Gruppe mit r Parametern, so reducirt sich die Bestimmung dieser Gruppe (d. h. die Auffindung ihrer infinitesimalen Transformationen) jedenfalls auf die Erledigung einer linearen Hülfsgleichung r** Ordnung d'u dr ger UO, ee 00 0 Ar Uu = 0, Sind dabei insbesondere die Gleichungen Fi=0 algebraisch, so ist auch die Hülfsgleichung algebraisch. In diesem speei- ellen Falle wird daher die Bestimmung der gesuchten Gruppe jedenfalls durch Verknüpfung von meinen Untersuchungen mit Poincares bekannten glänzenden Entdeckungen geleistet. Hier- mit ist dann jedenfalls die Integration des Gleichungssystems F,=0 gefördert. (Gesel. d. W. Christiania 1881 N. 15). Im Vorangehenden reducirten wir die betreffende lineare Gleichung auf eine gewisse einfachere lineare Gleichung, die immer auf algebraische Form reductibel ist. Es ist daher naturgemäss zuerst diese einfachste Hülfgleichung vermöge der von Poincaré untersuchten Funktionen zu integriren. Ich 458 Sophus Lie. behalte mich vor hierauf bei einer anderen Gelegenheit zurück- zukommen !). August 1883*). 1) In Nummer 15 der vorangehenden Arbeit bemerke ich soeben einer kleine Ungenauigkeit. Für die canonische Gruppe p g xp + cyq ( eg 0 1) gab ich die charakteristischen Zahlen a,=3, B,=6, (v)=2, (A)=0, die allerdings in Allgemeinen richtig sind. Ist indes e= —1, so wird (A)=1; dieser Ansnahmfall wird ausser durch die betreffenden Zahlen dadurch charakterisirt, dass die Gleichungen A, neben der Relationen A noch weitere Gleichungen umfassen. | *) Die Verspätung in der Publication dieser Arbeit beruht ‘darauf, dass es einige Zeit meine Absicht war, einige Paragraphen umzuarbeiten und insbesondere ausführlicher zu redigiren, um die praktische Anwendung meiner Theorien zu erleichtern. Novbr. 1883. on % VEN AR 2 JE > OG Wat 'STRÖ Farvernes Betvdning x = i Loppen % =| Lise bederkninger (sand, myr) = Se og sne $ Ss MN roms glimmerskifer | ripe N Ari anger = 2 NN Vest Finmarkens glimmergners x x S Gares 5 IS Gneis med Gneisgranit Gabbro ag Diortt (D) E Eukrit 5 R abab'a Hig. Figs $ å 7 == KI 2 5 b fø cb vig tO. Vig Hl, = gle N Profil wersover Söröen fra Staalet til Kobbefjord efter Linien ABC Maalestok for langden 3 gange kartets N N È > orøsundsdraget i 2 å så mr 5 Å ANG = ff > N å ÈS Å RE Sr å SN PG = Ws Glommerskifer eared Kalketersindlean © |Gabbro og Diorit > dGnets grand Dioritskifer Ne 2 u va ; Å & ER: Vi | Archiv - Mathematik og N attirvidenskab Udgivet af Sophus Lie, Worm Müller og G. O. Sars. Ottende Bind. Første Hefte. Kristiania. Forlagt af Alb. Cammermeyer. 18:83. WB ANN Avertissements, Die Natur. Zeitung zur Verbreitg. naturwissenschaftl. Kenntniss u. Naturanschauung für Leser aller Stände. Organ d. „Deutschen Humboldt- ‚ Vereins“. Hrsg. v. Dr. Karl Müller, Halle. Pr. pr. Aarg. ugentl. No. Kr. 17,60. Indh. Die norwegische Nordmeer-Expedition. Konservirungs- Methoden der Lebensmittel. Die Zinn-Insel Biliton. Die Region d. Schotts in Nordafrika u. d. Sahara-Meer. Das elektrische Licht im Dienste d. Schiffahrt. Berg-Erinnerungen aus Tirol. Die Verlegung des Bevölkerungs- Zentrums der Vereinigten Staaten von Nordamerika. Das elektrische Licht im Dienste d. Schiffahrt. Die Franzosen in Afrika. Die Entfernung d. Fixsterne. Aus d. chemischen Werkstätten d. Meiszener Porzellan-Manu- faktur. Schein u, Wirklichkeit in Bezug auf Malerei u. Natur. Wildschat auf Zypern. Kleine Lesefrichte. Literatur Bericht. Geographische Mit- theilungen, ornithologische, geologische, biographische, hortikulturist., natur- wissenschaftl., meteorolog., paläotontol., phytopatholog., museolog., zoologi- sche, etholog., archäolog., botanische, chemische Mittheilgn. Astronomisches. Naturwissensch, Lehrmittel. Briefwechsel. Kleinere Mitth. Anzeigen. Das Ausland. Wochenschrift für Länder- u. Völkerkunde, unter Mit- wirkg. von Prof. Dr. Friedr. Ratzel u. a. Fachmänner hrsg. Jährl. 52 Nr. å 20 S. 4to. Pris pr. Aarg. Kr. 30,80. Indh. Die Polarfrage. Pflanzengeograph. Anhaltspunkte för d. Bestehen einer Landbricke zwi- schen Grönland u. West-Europa zur Eisheit. Die indischen Kariben d. Insel Aruba. Südslawische Land u. Volk. Die Salpeterwiste. Der ser- bische Bauernhof. Geodätische Arbeiten in Norwegen. Adolf Englers Ver- such einer Entwickelungsgeschichte d. Pflanzenwelt. Sibirien. Deutsche Auswanderung nach d. Sandwichs-Inseln. Einige Mittheilgn. über die unabhang, Staaten der Halbinsel Malakka. Am Titikaka. Sibirien. Die alte Ansiedelung d. Salzburgischen Emigranten im Staate Georgien. Nach- trag zu Leutnant Wiszmanns erstem Bericht. Kleinere Mittheilgn. Notizen. Litteratur. i La nature. Revue des sciences et de leur applications aux arts et l'industrie. Journal hebdomadaire illustré. Redacteur en chet Gaston Tissandier. Pr. pr. Aarg. 26,00. Indh. Nourricerie d’enfants au lait d’änesse. Appareil de m. de Coligny pour la traversée des écluses et ca- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab udkommer med 1 Bind (4 Hefter) aarlig. Subscriptionsprisen er fastsat til 8 Kroner pr. Bind. Ottende Binds første Hefte indeholder følgende Afhandling: J. M. Norman. Yderligere bidrag til kundskaben om kar- planternes udbredning i det nordenfjeldske Norge søndenfor polar- kredsen. Alb. Cammermeyer. naux. Les mammifères du Kamtchatka. Le chemin de fer métropolitain de Berlin. Utilisation des eaux d’egout å Liege. Le sauvetage de naufrages. Les ephemeres et le binocle å queue en plumet. La chaudiere du temple. Formation des accumulateurs å lames de plomb. Observatoire du Pic du Midi; spectres lumineux. Le télégraphe de bourse, exchange telegraph com- pany de Londres. L’arboretum de Segrez. Tremblement de terre dans les Vosges. Le bois consommé par les chemins de fer. L’éclairage électrique au théâtre des variétés. Nouveau jumelle de poche. Description d’un type connu de l’ordre des Gallinacés. Pile au bicromate de J- Higgins, La pro- nonciation de noms de lieu par les français. Le naphte en Russie. Curio- sités aérostatiques. L’éclairage à Paris. Bougies et briquettes électrogènes. _ La science foraine, les équilibristes. La lumière électrique par incandescence à New-York. Le dr. Creveaux. Accroissement de la population dans le dé- partement de la Seine. Le canal maritime de Malacca. Locomotive sy- steme Cottrau pour la traversee des fortes rampes. La catoptrique des grecs L’horographe scolaire. Nouv. machine dynamo-électrique å courants alterna- tifs, système Ferranti-Thomson. De léffet de Vhuile pour calmer lagita- tion de la mer. Le zonure géant. L’hiver. Résultats des expériences faites å l’ex- position d’électricité sur les differents systèmes d’éclairage électrique. Lemacaque albinos du jardin d’acclimatation. Le cesium. Expolration dans l’Amerique équatoriale; mission de M. Wiener. Les perturbations magnétiques du llau 21 novbr. 1882. L’invasion de Angleterre par le tunnel de la Manche. Les fermentations. L’arrosage de la ville de Paris et les pompes Greindl. Nouveaux perfectionnements apportés aux accumulateurs électriques. Separateur auto- matique des eaux de pluie, systeme Robert. Effets de la foudre au sommet du Puy-de-Dôme. La cultur de la soie en Hongrie. Le niveau de la mer. Ivoire artificiel, La grande crue de la Seine de decembre 1882. La navi- gation électrique. L’ecliptique, nouveau moteur électrique. Comparaisons des lumières diversement colorées. Les orages du 11 octobre 1882. Transmis- sion du travail à grande distance sur une ligne télégraphique ordinaire. Les isanémones @’été dans l’Atlantique nord. L'Amérique préhistorique. Les cliff-dwellers. Le grand arlequin de Cayenne. Le transport des grandes masses. La grande comète (Cruls). Découverte d’une ville galloromaine. Le moteur simplex. Le praxinoscope à projection. Les plans inclinés de Santos au Brésil. Les harpes éoliennes. Bibliographie. Nécrologie. Corre- spondance, Chronique. Akad. des sciences. Boîte aux lettres. Recettes utiles. Bulletin météorologique de la semaine. = À . Sad ENE JE RE EEE ENT N PA 2 271583 G Archiv Mathematik og Naturvidenskab Udgivet af ! Sophus Lie, Worm Müller og G. O. Sars. Ottende Bind. Andet Hefte. Kristiania. Forlagt af Alb. Cammermeyer, 1883, Avertissements, Das Ausland. Wochenschritt für Länder- u. Völkerkunde, unter Mit- wirkg. von Prof. Dr. Friedr. Ratzel u. a. Fachmänner hrsg, Jähri. 52 Nr. å 20 S. 4to, Pris pr. Aarg. Kr. 30,80. Indh. Die Fulen( Ful- Be) in Afrika u. ihr Ursprung. Zur Kartographie d. Naturvölker. Puerto Princesa auf Palawan. Der Teifun von Manila. Der Panama Kanal. Die projectierte schwedische Forschungs-Reise nach Ost-Grönland. Ueber ge- schichtliche Beziehungen zwischen Buddhismus u Christenthum. Die geolo- gische Landesuntersuchung von Japan. Ueber die wirthschaftl. Verhältnisse d. Königreichs Siam. Weinproduktion in d. Vereinigten Staaten. Politisch- u. wirthschaftsgeographische Rückblicke. V, Australien. Riesige Wachstums- kraft der Tropen. Betrachtungen über Natur u. Erforschung d. Polar- regionen. VI. Giebt es eine Terra Australis? Der dritte deutsche Geogra- phentag in Frankfurt a. M. Ueber die Wirkung der langen Tage in hohen Breiten auf die Vegetation. Mantegazza über die Todas. Eine wiedergefun- dene Rémerstitte. Montenegro. Das offene Polarmer. Eine neue südafri- kanische Republik. Aus dem neuen Nordwesten d. Vereinigten Staaten. Geologische Geschichte des Toten Meeres u. des Jordanthales. Aus Lap- lands Natur und Völkerleben, nach Paul du Chailly. Der geographische Formgedanke in den Verhältnissen d. Erdoberfiäche. Aus Ozeanien. Fer- dinand v. Richthofen’s ‚China«. Poljakow über seine Reise nach Sachalin, Das Feilen d. Zähne bei d. Bewohnern d. ostindischen Archipels, speciell bei n. Javanen. Die Kolonisation “enegambiens. Ueber Süd-Georgien. Eine Schülerreise. Vergleichung des deutschen u. französischen Ausfuhrhandels. Kleinere Mittheilgn. Notizen. Litteratur. ie Natur. Zeitung zur Verbreitg. naturwissenschaftl. Kenntniss u. Naturanschauung für Leser aller Stände. Organ d. „Deutschen Humboldt- Vereins“. Hrsg. v. Dr. Kari Müller, Halle. Pr. pr. Aarg. ugentl. Nr. Kr. 17,60. Indh. Die Kometen. Die industriellen Abfilie u. ihre Ver- wertung. Die Witterungskunde u. d. Hygremeter v. W. Lambrecht, Göt- tingen. Die Observatorien. Ein Paar Glühlampen. Das Silurgebiet um d. Hochkönig im Pongau u. d, »Werfener Schichten«. Die Verbreitg. d. Haus- katze. Die Reinigung des Wassers, um es für gewerbl. Zwecke brauchbar zu machen. Allerhand Wein-Orakel u. Johannissegen. Das Wasser in der Atmosphäre, Kosmisch-physikal. Mittheilungen. Zur Theorie d. Zodiakal- Lichtes. Rotation und Abplattung. Gefüllte Blumen u. ihre Vertheilg. in den Pflanzen-Familien. Der Kryolit-Bruch bei Ivigtut. Literatur Bericht. Geographische Mittheilungen, ornithologische, geologische, biographische, hortikulturist., naturwissenschaftl., meteorolog., paläotontol., phytopatholog., museolog., zoologische, etholeg., archäolog., botanische, chemische Mittheilgn. Astronomisches. Naturwissensch. Lehrmittel. Briefwechsel. Kleinere Mitth, Anzeigen. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab udkommer med 1 Bind (4 Hefter) aarlig. Subscriptionsprisen er fastsat til 8 Kroner pr. Bind. Ottende Binds andet Hefte indeholder følgende Afhandlinger : J. M. Norman. Yderligere bidrag til kundskaben om kar- planternes udbredning i det nordenfjeldske Norge søndenfor polar- kredsen. Sophus Lie. Classification und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen æ y, die eine Gruppe von Trans- formationen gestatten. Alb. Cammermeyer. La nature. Revue des sciences et de leur applications aux arts et Yindustrie. Journal hebdomadaire illustré. Redacteur en chet Gaston Tissandier. Pr. pr. Aarg. 26,00. Indh. Nouvelle machine dynamo- électrique å courants alternatifs. Recherche des cometes. Le lait et le beurre en France Les serres du jardin botanique de Glascow. Sur un moyen pratique d’avoir de Peau chaude le matin. Accidents de chemins de fer, le deraillement de Hugstetten. Voyages d’exploration de m. de Brazza dans l'Afrique équatoriale. L’automate joueur d'échecs. Lakanal å propos de sa statue. Une vigne extraordinaire å La Roche-sur-Yon. Le sac-pu- ‘ pitre du sous-officier. Une lettre de m. F. de Lesseps. Les conférences de - internationales des électriciens. Contrôleur d’aiguilles de m. Lartigue. la période humaine en géologie. Association scientifique internationale. Comp- teur d’eau, systeme Jacquet. Situation actuelle des réseaux téléphoniques dans le monde entier. Transport des navires par chemin de fer å travers Visthme de Tehuantepec. Application domestique de Vélectricité. Carte du relief de ia France, dressée par E. Guillemin. Le fer préservé de la rouille. Petite turbine pour haute chute de Bell. Analyse du lait. La conservation et la dessiccation des fruits. Les téléphones à pile. La mission française du cap Horn. Le pavage en bois. Les moulins de marée. Le chauffage par Vacéte de soude cristallisé. La récolte du vin en France. Un poste de pompe å vapeur å Paris. Application de l’acide carbonique aux pompes å incendie, Le cheval force motrice. Mesureur de liquides, systeme Monroy. Un bicycle marin. Culture des Bruyères: Erica cavendishiana. Frein å air comprimé, systeme Wenger. L'éclairage électrique des ateliers et chantiers de Saint-Denis. La triere athenienne: contre-amiral Serre. Le mouvement perpétuel. Le joueur d'échecs de Robert Houdin. Un chasse-neige pneu- matique. Les origines historiques de lindustrie. Le reboisement des mon- tagnes. Un problème télephonique. La telephone à grande distance. Ba- lance-compteur, systeme Vincent. Éclairage électrique du navire cuirassé le Redoutable. Un nouveau système pour l'extraction du soufre. Physique sans appareils. Une plante roulante dans la vallée du Kansas. La distribu- tion de l'électricité en Angleterre. Le moulins de marées, Le viaduc de Kinzua. L'agriculture en California. Nouveau mode de production de "aluminium. Preservation du fer contre la rouille. Les spectres vivants, L’ouragan du 2 fevrier 1883, observé à Paris. Transport de force à distance par deux machines dynamo-électriques, expériences de M, Deprez. Mesureur liquides, système Héron. Plantes introduites à Queensland. Le viaduc de Garabit en France, et le viaduc de Kinzua aus États-Unis. Filtration indu- strielle des eaux. Emigration aux Etats-Unis. Le masdevalle à fleur de chimère, Tirage des voitures. Emploi du thermomètre dans les usages do- mestiques. Sur les sons produits par le vent. Mantes et empuses. Les origines de la machine à vapeur. Influence des attitudes sur les déforma- tions du corps. La traversée de la Tamise en aval du pont de Londres. Pile à galvanocautere. Physique amusante: une voix mystérieuse; la fille invisible. Confection d’un grand cerf-volant. Bibliographie. Nécrologie. Corre- spondance, Chronique. Akad. des sciences. Boîte aux lettres Recettes utiles. Bulletin météorologique de la semaine. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab Udgivet af Sophus Lie, Worm Müller og G. O. Sars. Ottende Bind. Tredie Hefte. Kristiania. Forlagt af Alb. Cammermeyer. MINE Avertissements. Das Ausland. Wochenschrift für Lånder- u. Völkerkunde, unter Mitwirkg. von Prof. Dr. Friedr. Ratzel u. a. Fachmänner hrsg. Jährl. 52 Nrn. a 20 S. 4to. Preis pr. Jahrg. 30,80. Indh. Die Vergletscherung d. deutschen Alpen. Südslawisches Land u. Volk. Nachträge u. Nachspiel der »Jeannette<-Expedition, Eine holländische Stimme über Niederlan- disch-Indien. - An die Freunde deutscher Afrika-Forschung, kolonisato- rischer Bestrebungen und der Ausbreitung des deutschen Handels. Die Zeit- schriften in Ungarn. Köpfeschnellen im südlichen Borneo. — Ferd. v. Richt- hofens >Chinac. II. Zentral Asien. Ein lamaistisches Kultusbild. Die Die Viehwirthschaft d. Herero. Ueber die Eintheilg. d. Erdolerfläche in Klimazonen. -— Bericht üb. den Stand d. deutschen Polarforschg. an d. deutschen Geographentag in Frankfurt a. M. Der Ueberfall bei Mowa. — Zur Geschichte u. Geographie Südarabiens. Prof. Keller’s zoolog. Untersuch- ungen am Roten Meer. — Der Barilochi-Pasz. Ein wiederentdeckter Weg über die Anden. Das Saharameer. Rumänien ein Industriestaat? Die De- lagoa-Bai. Ein Rohnephritfund in Steiermark. — Deutsche Arbeit im Bat- talande. Die Farbenbezeichnung der Samojeden und Queensland-Australier nebst vergleichenden Hinblick auf diejenige der Nnbier u. Ainos. Zum Un- terricht in der mathematischen Geographie ind. unteren un mittleren Klassen höheren Schulen. Genji Monogatari. — Bericht über die Thätigkeit der Zentral-Kommission für wissenschaftl. Landeskunde von Deutschland. Leigh Smith’s Ueberwinterung in Franz-Josephs-Land. Der kürzeste Weg in das Innere von Afrika. — Madagaskars Lage u. Hilfsquellen. Die Wotjäken. — Pogge's Rückmarsch von Nyangwe nach Mukenge. — Geographische und ethnographische Spitznamen in Spöttgeschichten. Der Wenden Fischerei. Die Italiener in Assab u. den Gallalåndern. — Deutsche Flottenstation in Kostarika. Die Alpenbewässerung im Kanton Wallis. Land u. Leute im oberen Nil- u. Uellegebiet. Ein Vorschlag zur Ausfüllg. d. Lücken in geo- graph. Lehrmittel-Apparat. — Die hundert Katarakte des Yguazu in Mis- siones. Zur Nephrit- u. Jadeitfrage. Ueber d. Klima v. Bosnien u. d. Her- zegowina. — Kleinere Mitteilgn. Notizen. Litteratur. Die Natur. Zeitung zur Verbreitg. naturwissenschaftl. Kenntniss u. Naturanschauung für Leser aller Stände. Organ d. »Deutschen Humboldt- Vereins«. Hrsg, v. Dr. Karl Müller, Halle. Pris pr. Aargang (ugentl. Nr.) Kr. 17.60. Indh. Die Region d. Schott’s in Nordafrika und das Sahara-Meer. Kosmologisches, Das Nordlicht u. seine kosmische Beziehungen. Allerlei - Mystik. — Der Ometepe in Mittel-Amerika. Die Akkumulatoren. Andeutung- en über Wesen u. Ursache d. elektrischen Erdströme. — Die tägliche Va- riation d. Windstärke. Die Feinde d Weinstockes. Ein praktischer Pilz d. ' Waschschwammes. — Spektroskop und astronom. Fernrohr im Dienste d. Meteorologie. Schilderungen aus China. — Die Methoden d. physischen Archiv for Mathematik og Naturvidenskab udkommer med 1 Bind (4 Hefter) aarlig. Subscriptionsprisen er fastsat til 8 Kroner pr. Bind. Ottende Binds tredie Hefte indeholder følgende Afhandlinger: Sophus Lie. Classification und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen & y, die eine Gruppe von Trans- formationen gestatten. L. Sundt. Spor efter Istiden i Chile. Jac. G. Otto. Bidrag til Kundskaben om Æggehvidestoffenes Forandring ved Pankreasfermentet. Karl Pettersen, Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. III. Alb. Cammermeyer. Astronomie. Ueber die Temperatur-Veränderungen bei Fortschritten nach d. Tiefe u. Höhe senkrecht zur Erdoberfläche. — Emin Bei u. die Erschlies- zung Afrika's. Die Orientirungs-Sinn d. Brief-Taube. Schilderungen aus China, von Henningsen, Telegraphen-Verwalter in Amoj. — Die Herkunft, Domestikation u. Verbreitung d. gewöhnl. Feigenbaumes. Die Sinnes-Organe d. Insekten. — Literatur Bericht. Geografische Mittheilungen, ornithologische, geologische, biografische, hortikulturist., naturwissenschaftl., meteorolog, pa- läontolog., phytopatholog., museolog., zoologische, etholog., archäolog., bota- nische, chemischen Mittheilungen. Naturwissensch. Lehrmittel. Breifwechsel. Kleinere Mitth. Anzeigen. La nature. Revue des sciences et de leurs applications aux arts et Pindustri. Journal hebdomadaire illustré. Redacteur en chef Gaston Tissan- dier. Pr. pr. Aarg. 26,00. Indh. Sur un poisson des grandes profondeurs de l’Atlantique, ’Eurypharynx pelecanoides. La perforatrice hydraulique Crampton. Hygiène scolaire. Des conditions de l’audition dans l’école. Pro- pulseur dynamo-électrique pour aérostat allongé. L’organina mignonnette. — Les ruines de Sanxay (Vienne). Chaufage économique au moyen des combu- stibles pulverulents; foyers et grilles Michel Perret. Escapade d'un aérostat. Les organismes microscopiques destructeurs des matériaux de construction. Utilisation des mardes. Nouvelles recherches téléphoniques et microphoniques. — La forêt de cédres de Teniet-el-Haad. Bateau rapide de m. Raoul Pictet. Station magnétique de l’observatoire du parc Saint-Maur. — Les canaux dérivés du Rhône, L’éclairage å Nantua. Les guériments ou sousterrains préhistoriques de la Vienne. Ascension du ballon Phorizon. Locomotive sy- steme Compound. — Ascenseur de sauvetage pour les incendies. Sur les sensations tactiles. La téte qui parle et s'évanouit en fumée. Le grand orgue du Palais de Cristal, å Londres. Nouveau contact électrique automa- tique avertisseur de passage des trains. — Indicateur électrique automatique du passage des trains de chemins de fer, systeme Ducousso-Breguet. La consommation du lait a Paris. L’industrie des eaux gazeuses artificielles. — Les trains express en 1883. Mitrailleur de poche. Les mines de diamants du Cap. Les spectacles scientifiques; les armoires à disparition. — Papillons de Amérique méridionale; les Hætères, Chemins de fer; rapidité de la pose de la voie en Amérique. Le voyage de la Vega autour de l’Asie et de l’Eu- rope. Moteur å vapeur domestiqus. — La fabrication des conducteurs élec- triques. Le Tong-Kin. Un chemin de fer sur la glace — Imitation des phénoménes électriques par les courants liquides ou gazeux. Les tricycles å l'exposition de -Stanley-club: å Londres. — Les phares américains. Obser- vatoires scientifiques circumpolaires. La photographie des vibrations du son. Le réseau téléphonique de Reims. La locuste géante. Mécanisme de latti- tude verticale. — Un nouveau lys (Lilium Harrisii). Nouveau tourniquet, hydraulique å siphons. Eclairage électrique des rues å San José (Californie). Lançage du viaduc de Garabit. Le bronce silicieux. Les mutilations dentai- res an Mexique et dans le Yucatan. Le photophore élecirique frontal. — Bibliographie. Nécrologie. Correspondance. Chronique. Academie des sciences. Boîte aux lettres. Recettes utiles. Bulletin météorologique de la semaine. Er beta te ug 18. yo å Archiv Mathematik og Naturvidenskab Udgivet af Sophus Lie, Worm Müller og G. ©. Sars. Ottende Bind, Fjerde Hefte. Kristiania. Forlagt af Alb. Cammermeyer. | 1883 Avertissements. La nature. Revue des sciences et de leurs applications aux arts et Pindustri. Journal hebdomadaire illustré. Redacteur en chef Gaston Tissan- dier. Pr. pr. Aarg. 26,00. Indh. Le Clytoceyx Rex. Elévateurs å grains. La nitrification. La consommation de charbon et de vapeur des machines motrices modernes. — La statue des frères Montgolfier. Le mouvement perpétuel. La préfecture de police à l’exposition d'Amsterdam; l’identifica- tion des récidivistes. — La station zoologique »volante hollandaisec. Hi- stoire de la marine. Le blanchiment par l'électricité. Le chemin de fer métropolitain de Vienne. — Tour en fer à claire-voie de l'observatoire météorologique de Brécourt, à Saint-Marie-du Mont. Les anesthesiques des jongleurs. Le canon, la machine à vapeur, l’homme et l’insecte, con- sidérés comme moteurs mécaniques. — Le potager royal de Frogmore. Action érosive des agents atmosphériques sur certaines roches. Le grand tremblement de terre de Java. Train automatique à air comprimé de Car- penter. — Nouveau bateau à vapeur mu par un propulseur à reaction hydraulique. Une fabrique d’aérostats. — La fabrication du pain chez soi. Nouvelle appareil pour la fabrication d’hydrogène. Les Proto helvètes. Le transport des grandes masses. Physique sans appareils. — Les kal- mouks du jardin d’acelimatation. Véhicule à traction normale. Les fourmis américaines, les fourmis à miel. Nouvelle étuve de laboratoire. Construc- tion de la gare centrale d'Amsterdam. Le Cryptoméria. Nouveau radeau de sauvetage. — Une exposition d'appareils de chemins de fer à Chicago. Le transport des grandes masses. L’aérostat dirigeable électrique. Le soleil de minuit au cap Nord, souvenir de voyage. — Les Iguanodons de Bérnissart. Nouveau procédé de gravure par la photographie. L’observa- toire météorologique suisse de Santis. — Un tricycle aquatique. La vie pélagique. Les anestésiques des jongleurs. Le camp retranché de Stras- bourg. Une chambre claire. — L'observatoire de Kautokeino en Norwège, pour l'étude des aurores boréaies. L'expédition du professeur Nordenskiöld au Groenland. Les mouvements lents et périodiques du sol. Canal entre Manchester et Liverpool. — La cuscute. Les accumulateurs Faure-Sellon- Wolckmar. Durée de visibilité des bolides. Les fourmis américaines, la fourmi moissonneuse. — Le tremblement de terre de Smyrne. L’exploi- tation des forêts et les chemins de fer å rails en bois en Amérique. Les fortifications cuirassées. Le photocalque. — Les peaux-rouges au jardin d’acclimatation. Les mammifères. — Les tramways funiculaires de Chi- 3 å Eee RÅ ea ET TT ee ee JE ER SA EV EEE EE a SS PENG EE SE EE EN LE AEG | Archiv for Mathematik og Naturvidenskab udkommer med 1 Bind (4 Hefter) aarlig. _ Subscriptionsprisen er fastsat til 8 Kroner pr. Bind. Ottende Binds fjerde Hefte indeholder følgende Afhandlinger: Karl Pettersen. Bidrag til de norske kyststrøgs geologi. (Fortsat). Sophus Lie. Classification und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen æ y, die eine Gruppe von Trans- formationen gestatten. II. Alb. Cammermeyer. cago. Les petroles de Bakou. Le tricycle aquatique. — Pavillon d'isole- ment pour les maladies contagieuses. Les constructions mobiles. Les savants de la renaissance. Un jouet magnétique. — Pont mobile å sou- levement vertical, de Syracuse aux États-Unis. — Les leptocirques. Type curieux d’echinoderme. Les peaux-rouges au jardin d’acclimatation de Paris. — Restauration de reptiles fossiles au museum d'histoire naturelle de Paris. La panclastite. Le »ferry-boate de Melbourne. Vélocipède à patins. — Ondulations atmosphériques produites par l’éruption du Kra- katoa. Moteur à gaz domestique, systeme Forest. Explorations sous marines. — Le telphérage. Sondeur électrique et avertisseur de niveau. Exposition internationale de Nice. Les animaux savants exhibés, à Paris. Sur un moyen d'empêcher l’état sphérodial de l’eau dans les vases metalli. ques surchauïfés. — Turbine atmosphérique. Le nouveau camp retranché de Paris Wagon aérien glissant sur des câbles métalliques. Les défauts de l'oeil et de la vue. L’art préhistorique en Amérique. Die Natur. Zeitung zur Verbreitg. naturwissenschaftl. Kenntniss u. Naturanschauung für Leser aller Stände. Organ d. »Deutschen Humboldt- Vereins«. Hrsg. v. Dr. Karl Müller, Halle. Pris pr. Aargang (ugentl. Nr.) Kr. 17,60. Indh. Ueber die Temperatur. Veränderungen bei Fortschritten nach d. Tiefe u. Höhe senkrecht zur Erdoberflache. — Emin Bei u. die Erschlieszung Afrika's. Die Orientirungs-Sinn d. Brief-Taube. Schilder- ungen aus China, von Henningsen, Telegraphen-Verwalter in Amoj. — Die Herkunft, Domestikation u. Verbreitung de gewöhnl. . Feigenbaumes. Die Sinnes-Organe de Insekten. — Literatur Bericht. Geografische Mit- theilungen, ornithologisehe, geologische, biografische, hortikulturist., natur- wissenschaftl., meteorolog., palåontolog., phytopatholog., museolog., zoolo- gische, etholog., archåolog., botanische, chemischen Mittheilgn. Naturwis- sensch. Lehrmittel. Briefwechsel Kleinere Mitth. Anzeigen. Das Ausland. Wochenschrift für Länder u. Völkerkunde, unter Mit- wirkg. von Prof. Dr. Friedr. Ratzel u. a. Fachmänner hrsg. Jährl. 52 Nrn. å 20 S. 4to. Pris pr. Aarg. Kr. 30,80. Indh. Ferd. v. Richthofens »Chinac. II. Zentral Asien. Ein lamaistisches Kultusbild. Die Vieh- wirthschaft d. Herero. Ueber die Eintheilg. d. Erdoberfläche in Klimazo- nen. — Bericht üb. den Stand d. deutschen Polarforschg. an d. deutschen Geographentag in Frankfurt a. M. Der Ueberfall bei Mowa. Zur Ge- schichte u. Geographie Südarabiens. Prof. Keller's zoolog. Untersuchungen am Roten Meer. — Der Barilochi-Pasz. Ein wiederentdeckter Weg über die Anden. Das Saharameer. Rumänien ein Industriestaat? Die Dela- goa-Bai. Ein Rohnephritfund in. Steiermark. — Deutsche Arbeit im Bat- talande. Die Farbenbezeichnung der Samojeden und Queensland-Australier nebst vergleichendem Hinblick auf diejenige der Nubier u. Ainos. Zum Unterricht in der mathematischen Geographie in d. unteren u. mittleren Klassen höheren Schulen. Genji Monogatari. — Bericht über die Thätig- keit der Zentral-Kommission für wissenschaftl. Landeskunde von Deutsch- land. Leigh Smith's Ueberwinterung in Franz-Josephs-Land. Der kürzeste Weg in das Innere von Afrika. { Ad 3 2044 106 230 220 CC < = U. | - CCE. nn KE Fa, LG 7 = = RER So Gs EK ET” AG EE mé Æ CC Å SGK å re AT a ee Cae, SE ee eC ee UE DR SSS