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' Über die Bestimmung von M bei Olbers ' Methode der Berechnung einer Koraetenbahn

Ans dem XCll. Bande der SitzK der kais. Akad. der Wisscnsch. 11. Alilh. Ücc.-Hi.ft. Jahrg.

Über die Bestimmung von M bei Olbers' Methode

der Berechnung einer Kometenbahn, mit besonderer

Rücksicht auf den Ausnahmefall.

j

Von Prof. Dr. E? Weiss,

tcirklichem ilitgl teile der kaiserlichen Akademie der Wiasenurhnften.

(Vorgelegt in der Sitzung am 17. December 1885.)

Olbers hat in seiner berühmten Abhandlung „Über die leichteste und bequemste Methode die Bahn eines Kometen zu berechnen" als Grundgedanken seiner Methode die Annahme hinbestellt, dass die Chorden der Kometen- und Erdbahn von ihrem mittleren Radiusvector im Verhältnisse der Zeiten ge- schnitten werden. Er zeigt hierauf, auf rein geometrische Be- trachtungen gestützt, dass unter dieser Annahme das Verhältniss der geocentrischen Distanzen des Kometen in der ersten und dritten Beobachtung durch die einfache Relation pg z=z Mp^ gegeben erscheint, und dass die Bahn dann nicht durch den mittleren Kometenort selbst, sondern nur durch den grössten Kreis hindurchgeht, der durch diesen und den mittleren Sonnnenort gelegt ist. Das Letztere ist eigentlicli von vorneherein klar, in- dem alle Radien der Kometen- und Erdbahn im Mittelpunkte der Sonne sich schneiden, also je zwei immer in einer Ebene, oder auf die Sphäre projicirt in einem grössten Kreise liegen müssen: merkwürdigerweise wurde aber mit der Zeit gerade dieses Moment als das eigentlich characteristische der 01b ers'- schen Methode so sehr in den Vordergrund gestellt, dass die ursprüngliche Idee, welche den Verfasser zum Auffinden der- selben leitete, nach und nach fast ganz verschollen ist. So sagt schon Encke im Berliner Jahrbuche von 1833 bei der Darstel- lung der Olbers'sclien Methode: „Das Olbers 'sehe Princip kann mit Bessel am einfachsten so ausgedrückt werden, dass die Bahn, während sie in aller Schärfe durch die äussersteu

1

2 Weiss. [14-.71

Örter ?:eht, auch dem, die mittleren Örter der Somie und des Kometen verbindenden grössten Kreise entspricht". Indem man überdies als das Princip der Olbers'schen Methode hinstellt, fuhrt man in das Problem der Bahnbestimmung einen neuen Begriff, die Neigung eines grössten Kreises ein, der dem'^elben völlig fremd ist nnd nur die Erkenntniss der \'crliältnisse er- schwert hat, welche bei der Berechnung von 31 massgebend sind. Dass diese Behauptung nicht unbegründet sei, erhellt wohl schon daraus, dass, wie eben erwähnt wurde, Erwägungen ganz anderer Art Olbers zur Erfindung seiner schönen Methode führ- ten; noch klarer aber erkennt man es durch Behandlung der Frage vom analytischen Standpunkte aus. Legen wir nämlich unseren weiteren Betrachtungen als Fundamentalebene die Ekliptik All Grunde und bezeichnen wir mit Xa, ijn, ^a die geo- centrischen Coordinaten eines Himmelskörpers, mit X„, !'„ die Coordiuaten der Sonne, indem wir dem Index a den Werth 1, 2 oder 3 beilegen, je nachdem sich die Coordinaten auf die 1., 2. oder 3. Beobachtung beziehen; bezeichnen wir ferner mit [r„ ?•&] den doppelten Flächeninhalt des von den Radien r„ nnd r* ein- geschlossenen Dreieckes, so liefert der Umstand, dass die drei Orte des Himmelskörpers in einer durch den Mittelpunkt der Sonne hindurchgehenden Ebene liegen, bekanntlich die drei Bedingungsgleichungen :

[r^r,]U-X,)-[r,r,]{x,-X,) 4- |r, r,] {a.-X,) = 0 j ['V-.](2/ -i'i)-l'V'.]Cy2-5V^-^l'V-J(Z/:-i'3) = 0 1)

[^\ 'al h — [''i '':i 1 ^^2 -!- 1 ''i '"2 1 -.1 - ^^ Aus diesen drei Gleichungen kann man nun die drei geo- centrischcn Distanzen Pi, ^^ p-s des Himmelskörpers als Func- tionen seiner Elemente berechnen, oder auch umgekehrt aus drei geocentrischen Distanzen mit Zuhilfenahme der Keppler'- schen Gesetze seine Bahnelemente ermitteln. Dies letztere ge- schieht auch bei der Bestimmung einer Bahn ohne Voraussetzung des Kegelschnittes.

Setzt man jedoch im Voraus die Natur der Bahn fest, also mit Rücksicht auf das Kometenproblem, dass sie eine Parabel sei, so ist die Aufgabe durch die drei obigen Gleichungen be- kiinntlich überbestimmt. Denn man darf jetzt nur noch zwei

[1458J Über (Uc Bestimmung von 31 etc. 3

geocentrisclie Distanzen nls gegeben annehmen und ermittelt aus diesen mit Zuliilfenalirae der bei parabolischen Bewegungen geltenden Gesetze die Bahnelemente, kann daher nicht mehr alle drei der obigen Gleichungen verwenden, sondern muss eine der- selben unberücksichtigt lassen. Mit dem Weglassen der einen Gleichung verzichtet man aber zugleich auch darauf, dass sie durch die Elemente und die der Berechnung zu Grunde gelegten Beobachtungen völlig befriediget werde; mit anderen Worten, dass die gefundene Bahn alle Beobachtungen vollständig dar- stellt.

Um die Beobachtungsfehler möglichst unschädlich zu machen, wird man es stets vorziehen, die Elemente aus den äus- sersten Orten zu berechnen, daher p^ aus zwei der Gleichungen 1) eliminiren. Welche zwei man hiebei verwendet, hängt von Um- ständen ab. Wollte man beispielsweise nur die Länge der mitt- leren Beobachtung benützen, so müsste man die erste und zweite der Gleichungen 1) mit einander combiniren, würde die erste mity^j tue zweite mit a.\ multipliciren, und dann beide subtra- hiren. Das Resultat wäre;

['-2 ^-J li/2GPi -^i) - '^'2(y— Y,)] -:- [r, r,] y, X^—x^ Y,] -t-

+ ['■. >\] W^-^'-^-i^-^hiv,- Y,)\ = 0. 2)

Diese Gleichung kann durcli o^ cosjSg dividirt werden, weil sowohl a-, als 1/2 diesen Factor enthalten. Dadurch fallen p^ und ß^ vollständig aus, und es wird die zwischen p^ und p^ stattfin- dende Relation, abgesehen von den anderen darin vorkommen- den Grössen, blos von der Länge des zweiten Ortes, nicht aber von seiner Breite abhängen. Einen solchen Vorgang wird man indess wo möglich vermeiden, weil man sich dadurch schon von vornherein des Vortheiles begibt, die Relation zwischen der ersten und dritten Distanz des Kometen auf die einfache Form p^ = Mp^ zu bringen, worin ja eben der Vorzug und die grosse Kürze der Olbers'schen Methode begründet ist.

Zählt man nämlich die Längen nicht vom Frühlingsnacht- gleich(«npiinkte, sondern von einem Punkte aus, dessen Länge 11 ist, so hat man :

.r„ =: p„ cos ,3„ cos (/„— 1 1 ) X, =: 7?, COS {La—\X) \

;ia — pa eos ,3„, sin (/„— 11; r„ z= /?„ sin {L^—U) ( 3)

z„ = p„amX Za =0. j

1*

4 Weiss. [ur.ir;

Dies in die Gleicliung 2j eingeführt, liefert nach Abkürzung mit ^2 cos [\

\r^ '3! (j-'i C0Sj3i sin(/2 — /,) — ^, sin(X2 — L^)) + [r^ r^]Ii^ sin(?.2 — L^)^ -+- [r, r^] (&3 cos p, sin P>2— ^^3)— ^3 sin {\—L^)) = 0. 2 *)

Es ist daher durch die Elimination von p^ cos [y^ auch der Avillkürliche Winkel H wegfallen, und damit die Möglichkeit, den in der Gleichung vorkommenden Parametern bestimmte Werthc zu ertheilen.

Eliminirt man hingegen r.^, ans der Combination zweier anderer Gleichungen, etwa aus der zweiten und dritten, so erhält man zunächst auf leicht ersichtliche Weise:

h\ r,] \z,(y- y\)~z,y^] -+• [r, r,]z, Y^+ [r, r,] \z,(y.,— Y^)—y^z,] =0 4)

Substituirt man nun darin wieder für die Coordinaten ihre Werthe aus 3), so resultirt nach der Division mit dem gemein- samen Factor p^ :

[rgrgjoj (cosßj siUjSg sin(/, — 11) — sin^j cos^g^^^P-z — 0)) +

+ [»'i ''zl^sCsin 1^2 cos ?^ sin (?^3~^) — ^o« ^2 ^i» 1^3 ^i" O'z—^)) =

= (kz ''al^i sin (^1— n)— [rj r3]/?2 sin (I^— n)-4-

+ [r, r,] R, sin {L,-T[)] sin ^, = 0 4 *)

Die Verbindung der ersten und dritten Gleichung würde zu keinem von diesem verschiedenen Kesultate führen: es liefe blos auf eine Vertauschung der Achsen der .v und y oder auf eine Substitution von 11 + 90° statt 11 hinaus.

Die obige Gleichung, welche eine der Fundamentalgleichun- gen des Kometenproblems darstellt, unterscheidet sich von der früheren 2*) dadurch, dass in ihr nicht blos die Länge, sondern auch die Breite des mittleren Ortes, also dieser vollständig vor- kommt, und dass in ihr noch die völlig willkürliche Grösse FI enthalten ist, über die man zur Erzielung von Erleichterungen und Vereinfachungen im Allgemeinen frei verfügen darf.

Dividirt man die Gleichung 4*), um sie in eine für ihre Berechnung bequemere Form zu bringen durch cos ß^ &m(/^^ — II) und führt man zur Abkürzung die Hilfsgrösse J ein, mittelst der Substitution:

[14(iU| Über die Bestiiiimung vou 31 etc. 5

so nimmt sie die etwas geschmeidigere Gestalt an:

['"z^'slpi [cos/Sj sin(Äj — II) tgJ — sinj3,| +

[i\ r^]p^ (cos jBg sm(k^ — n)tgJ — sinjSg} =

==isJ{[r,r,]n,sm{L~n]-[r,r,]R,sm(L,-\\) +

+ \r,r,]R,sm(L,--n)\ 6)

Der Winkel J spielt hier einfach die Rolle einer zur Erleich- terung der Berechnung eingeführten Hilfsgrösse, und hat iu Folge dessen auch für das Problem keine andere Bedeutung als alle jene Hilfsgrössen, die man zu ähnlichen Zwecken so vielfach benutzt. Will man ihn aber geometrisch interpretiren, so stellt die Gleichung 5) allerdings einen grössten Kreis vor, der von der Länge n aus unter dem Neigungswinkel J durch den mittleren Konietenort gelegt ist. Da nun in der Gleichung 6) die Coordinaten der mittleren Beobachtung nicht weiter vor- kommen, anderseits aber eine der Grössen IT oder J völlig will- klirlich ist, kann man freilich das Einführen des Hilfswinkels J auch so deuten, dass dadurch die mittlere Beobachtung durch irgend einen durch sie gelegten grössten Kreis ersetzt wird. Es ist nun zweifellos eine sehr bemerk enswerthe Thatsache, dass man die Elimination von /^ aus zwei der Gleichungen 1) auch als ein Ersetzen des mittleren Kometenortes durch einen grössten Kreis auffassen kann: allein das weitere Verfolgen dieses Um- standes führt in das Problem blos ohne Noth ein fremdes Ele- ment ein. Denn die Sachlage ist und bleibt doch immer ganz einfach die, dass in die Gleichung 4*) und in die ihr äquivalente 6) der mittlere Kometenort vollständig eingeht, dass er also zur Bestimmung der Relation zwischen der ersten und dritten geocentrischen Distanz des Kometen vollständig herangezogen wird, dass aber bei der Berechnung einer Kometjnbahn die mittlere Beobachtung lediglich zu diesem Zwecke dient, und bei der eigentlichen Bestimmung der Elemente nicht weiter in Verwendung kommt, während sie bei der Berechnung einer Planetenbahn auch für das letztere gebraucht wird.

\'on diesem Gesichtspunkte ausgehend, erkennt man leicht, dass mau die G'eichung 4*) auch durch Einführen anderer Hills-

8 Weiss. 114(53]

Die Glciclmng 8 *) wird allgemein in der Form aufge- schrieben: ^3 rz: i/o, +;«, wobei also bedeutet:

j^j^ r, cos,3^ p sin(P-n) j

•3 C09i33 q sin((>— 11) (

— 1 ^i^2^2sin(L^— n)tg/3^ / 1 r '

"" ~ 2 ■ qcosß^ sin ( (?— II)~" V^ ~ HIj

Die Berechnung von J/ mit Hilfe des Formelsystems 7*) gestaltet sich wohl eine Kleinigkeit weitläufiger als nadi der jetzt üblichen Form, gewährt aber so viele fundamentale Vor- theile, dass dagegen diese geringfügige Mehrarbeit gar nicht in Betracht kommen kann.

In dieser Richtung bemerke ich zuerst, dass man beim Rechnen nach der Formel 9) gar nie eine vorläufige Untersuchung anzustellen braucht, ob der sogenannte Ausnahmefall vorhanden ist oder nicht, man übersieht dies unmittelbar mit einem Blicke. In der Olbers'schen Methode setzt man nämlich 11=: Lg, wodurch wi =: 0 wird; sind jedoch P und Q sehr nahe gleich L^, so darf mau n nicht gleich Lg annehmen, weil sich dann der Quotient

gjjj rp 2y )

— — 77^ — r nicht mehr sicher bestimmen Hesse: es ist eben der sin {Q—L^)

Ausnahmefall eingetreten. Allein auch hier gibt trotzdem die Gleichung 9) ohne Weiteres einen genäherten Werth von M wie man durch folgende Überlegungen erkennt.

Insoweit als die Sicherheit von 31 durch die Wahl von n

bedingt ist, wird sie nur von dem Bruche . ^^ — -~ beeinflusst,

sm [Q — 11) '

indem alle anderen in dem Ausdrucke von 31 vorkommenden Grössen nur aus den Beobachtungsdaten zusammengesetzt sind. Dieser Bruch wird sich nun, als Quotient zweier Sinus desto sicherer bestimmen lassen, je grösser Zähler und Nenner sind, oder da beide gleichbezeichnet sein müssen, je gi'össer ihre Summe ist. Um daher den zweckmässigsten Werth von IT zu erhalten, wird man sin(P — 11) + sin (i^ — n) zu einem Maximum machen, d. h. den Werth von II suchen, welcher die Gleichung erfüllt:

cos(P— n) -f cos (7^-^11) = 0.

[1464] Über die Bestimmung von 3/ etc. 9

Er lautet:

, „ COSP+COS^ , i,/n o\

tg II =: ^— ^ =: — Ctg \/^{P+ Q)

11= \'^(P+Q)-t90. 10)

Würde man es vorziehen, die Summe der Quadrate von Zähler und Nenner, d. i. sin^(P — llj-f-sin^^ — 11) zu einem Maximum zu machen, so erhielte man zur Bestimmung von II:

sin 2(P— II) + sin2(Ö— n) =: 0

^ ^„ sin2P+8in2(? ^ ,„ ^, ^g^^^-cos2PHhcos-2g^^g^^+^^

2n, = P+Q; 2n, = (p+(?)-+-i80.

DerWerth n, ist unbrauchbar, weil für ihn ^. ^ ^ 1 zn — 1

sm(Ö— ri)

wird; H^ stimmt mit dem schon oben erhaltenen Werthe überein,

man erhält daher wieder genau dasselbe Resultat wie früher.

Das Ergebniss dieser Untersuchungen lässt sich also dahin aussprechen, dass man die sicherste Bestimmung von 31 erhält, wenn man die Längen von einem Punkte aus zählt, der um 90° von dem arithmetischen Mittel der Knoten der grössten Kreise absteht; welche durch den ersten und zweiten, und zweiten und dritten Kometenort gelegt sind.

Die Einführung der Werthe von II aus 10) liefert sowohl für den einen als auch den andern derselben:

sin (P—n) _ cos y^{P—Q) _ sin (Ö— 11) ~~ cos %{Q—P) ""

sin(L,— II) _ cos[L, — V,(P+C>)] sin(ö— ri) ~ cosVzCÖ— P)

Bezeichnet man nun die, diesen zweckmässigstenWerthen von n entsprechenden M und m mit J/^ und w^, so findet sich:

_ , _ _ /f,tg,3,cos[/.,-%(/>+(?)]/l ■ '

» ~ ^^'' "2 ^ycos,3.j cos Vz(C>— /*) \rl

10 Weiss. [14(Jü]

Zwischen Mq und dem einer beliebigen anderen Annahme über 11 entsprechenden M findet folgende einfache Iiclation statt:

^^^-^'^» sin(ö-ri) ^

Lässt mau die Grössen Tj , Tg und r^ als Grössen erster Ordnung gelten, so ist auch q als eine Grösse erster Ordnung zu betrachten, daher m^ ebenfalls von der erster Ordnung; es wird desshalb ßl^ auch beim Eintreten des Ausnahmefalles stets einen

Grössen erster Ordnung in Bezug auf denselben, also eigentlich Grössen zweiter Ordnung vernachlässigt. Hält man nun daran fest, die Zwischenzeiten als Grössen erster Ordnung aufzufassen, so werden auch die während dieser Zwischenzeiten erfolgten Änderungen der Längen und Radienveetoren der Sonne als Grössen erster Ordnung zu bezeichnen sein; es werden folglich auch li^ sin(A2 — 11) und

i^, sin(Lj— 11) = (/?2 + [/?i— //2])sin(;/>2— ri-h[A,— L,]) /.'3sin(/.3-n) = {R, + [n,-Ii,J),m{L,-lU.[L,~L,\)

nur um Grössen erster Ordnung von einander abweichen; man kann daher in m denFactor B^ sin [L^- — ü) auch durch H^ m^{L^ — H) oder ^3sin(/v3 — II) ersetzen, ohne dadurch die bisher einge- haltenen Grenzen der Genauigkeit zu ändern, indem man damit wieder nur Grössen zwei! er Ordnung vernachlässigt, die, wie bereits erwähnt wurde, ohnehin auch schon in dem Nähe- rungsausdrucke für ni weggelassen sind. Es darf freilich nicht verschwiegen werden, dass die Coefficicnten der Glieder zweiter Ordnung beim Einsetzen von R^ sin(Lj — 11) und ^3sin(L3 — II) statt /?2 ^'"^(A — ^^^ wesentlich grösser ausfallen; indess werden auch bei 31 schon Glieder gleicher Ordnung vernachlässiget, die sich mit denen von m auf die verschiedenste Weise combiniren können, wodurch dies viel von seiner Bedeutung verliert. So viel ist indess jedenfalls klar, dass man m nicht blos für II^rLg, sondern für jeden zwischen L, und L.^ liegenden Werth von n als verschwindend klein betrachten kann, und dass es selbst dann

[14G()J Über die Eest mmuugen von J/ etc. 11

noch von sehr geringem Einflüsse sein Avh-d, wenn man fl auch nm einige Grade ausserhalb der eben gegebenen Grenzen an- nimmt.

Dieser Umstand ist, so viel ich weiss, noch nie hervor- gehoben worden; er hatte bisher auch keine praktische Be- deutung. Denn wenn man, wie es jetzt allgemein geschieht M durch Einführen der Neigung eines grössten Kreises als Hilfs- winkel berechnet, hat man es mit zwei Veränderlichen li und J zu thun, und kann daher ohne die lästigen Formeln, welche zur Kenntniss von M führen, stets wieder von Neuem völlig durch- zurechnen, den Eiufluss einer Änderung von J oder 11 auf diese Grösse nicht beurtheilen. Bei Gleicbung 12) hingegen erkennt man dies unmittelbar; ausserdem gibt die zweite Gleichung von 1 1 auch noch, ebenfalls so gut wie ohne Eechnung den Werth m^ den m bei der günstigsten Wahl von n annimmt. Man kann daher beim Eintreten des Ausnahmefalles nicht nur sofort beurtheilen, in welchem Sinne und Betrage man sich mit n \on />, entfernen muss, um M mit genügender Sicherheit zu erhalten, sondern auch, wenn man in der Berechnung bis o^, r^ und r^ vorgedrungen ist, sich durch eine geringlügige Arbeit sofort überzeugen, wie nahe das angenommene M an dem Besten liegt, das sich aus dem benutzten Beobachtungsmaterial gewinnen lässt. Die sicherste Relation^ die man den gegebenen Verhältnissen gemäss zwischen o, und 03 finden kann, lautet nämlich:

P, = [M,-^^J 0,^31,;., 13)

Berechnet man sicli daher gleich Anfangs auch uochw^ soweit es von rg unabhängig ist, so ist man in der Lage, sobald man mit irgend einem angenommenen M die Rechung bis zur Vollendung der Versuche durchgeführt und dadurch genäherte AVerthe von pj, i\ und ^3 erlangt hat, nach Gleichung 13) ohne erst die Elemeutenrech nung vorzunehmen M^ zu suchen, und zuzusehen, ob es von 31 so weit abweicht, dass eine Wiederholung der Rechnung sich lohnen würde. Den Werth von r^, den man zu diesem Zwecke benöthiget, braucht man nur ganz beiläufig zu kennen: es gentigt daher die An- nahme /-g r=: , i^r^+r.^) oder auch log Tg =: ^ (log i\ -+- log r.j) oder

12 Weiss. |U(;7i

bei sehr ungleichen Zwischenzeiten r^ = r, -+- — (/•3 — >\) oder

logr.^ r= log- 7-, 4- '} (logrg— log ;-j) völlig.

Die Grössen P und Q sind ausser bei einer sehr iinregel-

mässigen Bewegung des Kometen einander stets sehr nahe

gleich; dasselbe gilt daher auch von P — n und Q — II. Ich habe

nun aus vielfacher Erfahrung die Überzeugung gewonnen, dass,

sobald P — Le, (oder was nach dem eben Gesagten fast stets auf

dasselbe hinauskommt Q — L^) um mehr als ±10° von 0° oder

180° abweicht, man die Olbers'sche Methode noch ganz gut

anwenden kann, vorausgesetzt, dass man hiebei M nach den

Formeln 7*) und 9*) und nicht mittelst Einführen des Hilfs-

tg3 winkeis: tgjzr: . ,r'^^ .. < berechnet. Dieser Vorbehalt ist darin 8in(/2— IJ

begründet, dass man nach diesen Formeln M^ stets, auch beim

Ausnahmefalle, mit jener Sicherheit erhält, die mit den zu Grtinde

gelegten Daten erreichbar ist, und die Unsicherheit erst durch

den Factor . ^^ ~ bedingt wird, während man durch das

sm(ö— ri)

Einführen von tg J nicht selten gleich anfangs eine Unsicherheit in die Rechnung hineinträgt und dann durch alle weiteren Stadien mitschleppt.

Weicht jedoch P—L^ von 0° oder 180° weniger als ±10°

gjß (p j^ \

ab, so fängt der Quotient . ;^ — ^\ an, erheblich unsicher zu

werden. Entfernt man sich aber mit 11 von L^ so weit, dass P — II von 0° oder 180° einmal um -+-«° das anderemal um — a° ab- weicht, so wird der Quotient . ^, ^J. in beiden Fällen sehr ' ^ sm(Ö— II)

nahe den inversen Werth annehmen, d. h. es wird sehr nahe sein:

sin (P— n+,) _ ^ sin (P— II,,)

sin ((?— n7,) ~ ' sln( (>-lI_,)

Der Grund dieser Erscheinung liegt darin. Aus Gleichung 13) ist ersichtlich, dass 3/, ^tW,, sein wird, je nachdem w^^O, d. h. positiv oder negativ ist. Das Zeichen von t»^ wechselt aber nach 11) je nachdem r^^H^ i^tj es wird daher von den Quo-

[1468] Über die Bcstiininiingeu von i/ etc. 13

tienten -^-^— — — ^ der eine dem Falle i\>H^, der andere dem

sin(ö— ri) ^ ^

umgekehrten Tg <Ä2 eutsprechen.

Dies ist ein sehr guter Wink für die Behandlung des Ausnahmefalles. Entfernt man sich nämlich, wenn er eintritt, mit II von L^ in jener Richtung so weit, in welcher mit der ge- ringsten Differenz von L^ der Bogen P — II von 0° oder 180° um unsere oben angegebene Grenze +10° abweicht und sei dann der Werth des Quotienten:

sin(P— n)__^

sin(ö^n)

so rechne man mit den beiden Werthen: #' =i IcMq und M" z=. —Mq

k

SO weit, bis man erkennt, ob der Komet innerhalb oder ausser- halb der Erdbahn sich befindet; dies entscheidet über das Zeichen von nif^, und damit darüber, welches von den beiden M' oder M" das richtige ist: mit diesem einen führt man dann die Rechnung zu Ende.

Man kann übrigens bekanntlich, auch ohne das Lambert'sche Kriterium anzuwenden, oft schon von vornherein entscheiden, ob der Komet weiter von der Erde steht oder nicht, und kann sich dann die Doppelrechnung ganz ersparen. Sind z.B. die Elongatiouen des Kometen von der Sonne {-^^ und -^.j) grösser als 90°, so sind 7\ undrg grösser als /?, und B^^, also auch r^ > B^ ; das Zeichen von m^^ ist sohin unmittelbar bekannt, und dadurch sofort das eine, M' oder M'' ausgeschlossen.

Es verdient auch bemerkt zu werden, dass, wenu man darauf verzichtet, sich durch Berechnung der Gleichung 13) zu ver- gewissern, ob der angenommene Werth von M der Wahrheit sehr nahe entsprach, zur Entscheidung zwischen iW und 31" die Be- rechnung von niQ gar nicht erfordert wird, da nur das Zeichen dieser Grösse massgebend ist. Dieses Zeichen hängt aber blos

von den Factoren tg ß^ cosf/.^ — Vzi^+Ö]) und -^ — ~, ab, da

r'g Yi'2

Q — P wohl gar nie 180° erreichen kann; das Zeichen des ersten

dieser Factoren ist unmittelbar gegeben und das des zweiten

wird auch ohne jede weitere numerische Rechnung erkannt,

sobald man weiss, ob i\^fL ist.

14 Weiss. \[W.)\

Endlich nUi^-e iiocli liervorg-eliobcu werden, dass, falls der Ansüahmefall nicht oder mindestens nicht sehr nahe eintritt,

sin ( P L )

die Grösse des Quotienten . ,- — -^^.- ein einfaches Mittel abgibt,

zu entscheiden, ob der Komet bei der zweiten Beobachtung innerhalb oder ausserhalb der Erdbahn stand. Je naclidcm näm-

lieh, . , „ — r4>l ist auch ni..^O und damit das Zeichen von

-^ — 7-;r gegeben. Ich mache darauf spcciell aufmerksnm als auf

einen guten Fingerzeig über die erste Annahme für den Werth von log(rj+r3) beim Beginne der Versuche.

Das hier für den Ausnahmefall vorgeschlagene Eechnungs- verfahren ist demjenigen analog, welches man früher gewöhn- lich beim Eintritte desselben befolgte, nur mit dem Unterschiede, dass man sich damit begnügen musste, beim Anfange der Rechnung einen sehr rohen Näherungswerth für M einzu- führen, und dass in Folge dessen, wie ich mich mehrfach tiberzeugt habe , häufig wiederholte Annäherungen erfordert werden. Wie ich im Folgenden gleich darznthun hoffe, wird man aber beim Rechnen nach den oben gegebenen Vorschriften, kaum je nöthig haben, eine Verbesserung von M' oder M" vor- nehmen zu müssen: dies vorausgesetzt, ziehe ich den hier em- pfohlenen Rechnungsmechanismus, der Berechnung des Aus- nahmefalles, nach der von 0 p p 0 1 z e r in seinem trefflichen Lehrbuche gegebenen Methode vor, obwohl dabei vielleicht zu- weilen die Zahl der aufzuschreibenden Ziffern oder Logarithmen um eine Kleinigkeit grösser ausfallen dürfte. Der complicirte Bau der Formeln von Oppolzer erfordert nämlich im ganzen Verlaufe der Rechnung eine beständige Aufmerksamkeit und ein beständiges Überlegen, während man nach den Formeln der Olbers'schen Methode frischweg mechanisch fortrechnen kann, so dass, selbst wenn es sich als nothweudig erweisen sollte, die Doppelrcchnung mit M' und M" nahezu bis zum Schlüsse der Versuche durchzuführen, man trotzdem noch immer früher zu Ende kommen dürfte, als mit der einmaligen Durchrechnung der Formeln des Ausnahmefalles.

[1470| Über die Bcstiinimuig- von i/ etc. 15

DieBeluinptung-, dass das von mir vorgeschlagene Verfahren stets auf sehr nahe richtige Werthe von M führt, will ich an drei mir bekannten Fällen erhärten, in denen der Ausnahmefall sehr nahe eintrat.

Das erste Beispiel entlehne ich dem ersten Bande von v. Oppolzer's Lehrbuche der Bahnbestimmung. Es bezieht sich auf den Kometen 1869 III; bei den zu Grunde gelegten Beobach- tungen ist bei der Annahme 11 = 2^2 nach Oppolzer die Ge- nauigkeit nur — — derjenigen, welche bei schicklicher Wahl von

n erreichbar ist; „es ist daher Olbers' Methode, die hier vor- aussichtlich nicht einmal eine Näherung abgeben wird, völlig unanwendbar". Die Grundlagen der Rechnung sind:

1869	Beob. Ort	Ortszeit	app. a	app. 5
Sov. 29	Wien ....	. 10"13-3!)'	22^56-57^57	4-15°28'20-0
Dec. 4	Bonn ....	. 9 45 25	23 29 52-32	-^18 23 27-9
9	Krakau . .	. 10 44 4	0 6 22-54	-t-21 5 33-2

Nach Reduction von a und rj auf das mittlere Aquinoctium,

Verwandeln in Länge und Breite & erhält man mit Hinzufügen des Sonnenortes Mittl. Berl. Zeit l ,5 L log R

Nov. 29-41785 351°4G'19-9 -+-20°25' 9''5 247°44'44-8 9-993829

Dez. 4-42404 0 41 17-4 +19 48 37-9 252 49 40-2 9-993509

9-42904 10 8 37-2 -4-18 -^8 59-1 257 54 55-4 9-993228

Diese Daten liefern nach den Formeln 7*)

log p =z 8-764849 P=74°18'55-2 log </ n: 8-791037 0=73 55 12-4

Es ist hier

P—L^ = 178°30'45-0 Q—L^ = 178°54 27-8

der Ausnahmefall also in der That sehr genähert eingetroffen. Die weitere Rechnung ergibt nun:

und unterder Annahme II = 244° 18 '55 -2, die7^~Il=: 190°0'0' liefert, sml^ 0-016844

[14711

16 Weiss.

Wir haben also:

31' =9 • 985793 M' —9 ■ 952105 Nun ist weiter:

L^—'/,{P+Q) -nS°42'3Q'4 A,— /., = 104° r35"l

/g— /..,= 112 13 42-8 Wir schliessen darniis, da ^^ und ^^ grösser als 90° sind, dass i\>li^ und daher -^ — In'^^ ^^^' ferner ist

tgß^ cos(L2— V2fP+ej)<0, folglich />/o>0; es wird desshalb M^ > J/^, und der Werth 17" zu verwerfen sein. V. Oppolzer fand durch die Ausführung der Rechnung nach seiner Methode

log p, = 9-529667 logp,„ = 9-520480

Der Werth von M wäre darnach J/=i 9-990813 in be- friedigender Übereinstimmung mit dem von uns oben ermitlelten: i/''=r 9-985793. Hätte man nach Olbers ohucweiters II = /.„ angenommen, so wäre:

^4^-=^ = 0-144102

und damit:

.¥ = 0-113051

Üppolzer's Ausspruch, dass die directe Rechnung nach Olbers' Methode voraussichtlich nicht einmal einen Xäheruugs- werth für M abgeben dürfte, hat sich daher als völlig zutreffend erwiesen.

Ebenso nahe wie der Komet 1869 III bewegte sich auch der Komet 1877 V am Anfange seiner Sichtbarkeit in einem durch den mittleren Souncnort gehenden grossten Kreise. Die ersten Elemente iür denselben berechnete der damalige Assistent und jetzige Adjunct der Wiener Sternwarte Dr. J. Holetschek. Die- selben sind im Circulare XXVII der kais, Akademie veröffent- licht, und stützen sich nuf die nnch tobenden Beobachtungen:

[14721

Über die BesHmuiiing von Jlf etc.

17

1877

Oct.

J	Beob.-Ort	Ortszeit	app. a	app. 5
2	Maihuul...	ll'-öl-iC	23ti5irl2^58	— 10°35' 6-0
4	Wien	9 3 24	23 43 53-93	12 29 48-2
4	Kiel	9 35 46	23 43 34 ■82	12 32 23-1
4	Mailand. . .	10 28 22	23 43 26-03	12 34 41-6
4	Leipzig . . .	12 57 39	23 43 4-32	12 40 46-0
6	Leipzig. . .	10 33 53	23 36 29-52	14 34 23-6
6	Strassburg .	11 15 5	23 36 21-59	14 36 33 0
6	Pola	13 31 24	23 36 6-65	—14 40 57-0

Es wurde zunächst das arithmetische Mittel aller an einem Tage angestellten Beobachtungen genommen, dann an die so ent- standenen 3 Orte die Reduction auf den mittleren Ort angebracht, hierauf die Verwandlung in Länge und Breite ausgeführt und so schliesslich als Grundlage für die weiteren Rechnungen ge- wonnen.

Mittl. Berl. Zeit l ß

Oct. 2-62722 353°30' 8"5 — 8°43'52"9

„ 4-43823 351 9 57-0 — 9 53 22-0

„ 6-49233 348 42 11'9 —11 3 38-0

L log R

189°57'22-4 9-999998

191 44 32-9 9-999774

193 46 15-5 9-999518

Wir haben hier: log2?=: 8-338505 P= 10°ll'30-8 P— L^ == 178°26'57"1 log^=z 8-353717 0=10 32 25-5 0-/^2 = 178 47 52-6

es bestehen also wieder ganz ähnliche Verhältnisse wie beim früheren Kometen. Es ist jetzt:

log J/o r= 0-042568 \—L^ = 163°32'46^1

X^— Vg(P+Ö) = 181°22'34"7 A3

also:

tg;3,COS(i,-VJP+0])>0

und damit J/j < M^.

Setzen wir hier II zu macheu, so wird:

200°ll'30-8 um P— II rz 170°0'0'

^-^^ 0-015255 31' - 0-057823 M" — 0-027313

(Wei;?s.)

16 Weiss. [li^lj

Wir liiiben also:

37' — 9 • 985793 M' —9 ■ 952105 Nun ist weiter:

7.2— V2 (/"+(?) =:178°42' 36 -4 A,— 7., = 104° l'35-l

/g— 7.3 = 112 13 42-8 Wir schliessen daraus, da ^, und ^^ grösser als 90° sind, dass i\>l{^ und daher — ^ — 7?ä <^ ^^M ferner ist

tgß^ cos(L2— V2[^+ÖJ)<0, folg-lich />^o>0; es wird desshalb M^ > 37^,, und der Wertli 37" zu verwerfen sein. V. Oppolzer fand durch die Ausführung der Rechnung nach seiner Methode

log p, = 9-529667 log p,„ = 9-520480

Der Werth von 17 wäre darnach 37= 9-990813 in be- friedigender Übereinstimmung mit dem von uns oben ermittelten: 37'' = 9-985793. Hätte mau nach Olbers ohucwciters 11 = 7^^ angenommen, so wäre:

'^4^ = 0-144102

sin (ö— 7.2)

und damit:

3/=: 0-113051

Oppolzer's Ausspruch, dass die directe Rechnung nach Olbers' Methode voraussichtlich nicht einmal einen Xäherungs- werth für 37 abgeben dürfte, hat sich daher als völlig zutreffend erwiesen.

Ebenso nahe wie der Komet 1869 III bewegte sich auch der Komet 1877 V am Anfange seiner Sichtbarkeit in einem durch den mittleren Sonnenort gehenden grössten Kreise. Die ersten Elemente iUr denselben berechnete der damalige Assistent und jetzige Adjunct der Wiener Sternwarte Dr. J. Holetschek. Die- selben sind im Circulare XXVII der kais, Akademie veröffent- licht, und stützen sich auf die nnchr-tchendeu Beobachtungen:

[1472] Über die Bestiminiuig- von ilf etc. 17

1S77 Beob.-Ort Ortszeit app. a app. 5

Oct. 2 Mailand ll'-Bl-liJ* 23t'5irl2^58 — 10°35' ß"0

„ 4 Wien 9 3 24 23 43 53-93 12 29 48-2

„ 4 Kiel 9 35 46 23 43 34-82 12 32 23-1

„ 4 Mailand 10 28 22 23 43 26-03 12 34 41-6

„ 4 Leipzig 12 57 39 23 43 4-32 12 40 46-0

„ 6 Leipzig 10 33 53 23 36 29-52 14 34 23-6

„ 6 Strassburg. 11 15 5 23 36 21-59 14 36 33 0

„ 6 Pola 13 3124 23 36 6-65 —14 40 57-0

Es wurde zunächst das aritlimetische Mittel aller an einem Tage angestellten Beobachtungen genommen, dann an die so ent- standenen 3 Orte die Reduction auf den mittleren Ort angebracht, hierauf die Verwandlung in Länge und Breite ausgeführt und so schliesslich als Grundlage für die weiteren Rechnungen ge- wonnen.

Mittl. Berl. Zeit l ß L log R

Oct. 2-62722 353°30' 8"5 — 8°43'52'9 189°57'22-4 9-999998

„ 4-438-23 351 9 57-0 — 9 53 22-0 191 44 32-9 9-999774

„ 6-49233 348 42 11-9 —11 3 38-0 193 46 15-5 9-999518

Wir haben hier: log 2? = 8-338505 P = 10°ir30'8 P—L^ = 178°26'57'1 log^ = 8-353717 Q=zlO 32 26-b Q~L^ = US 41 b2-ß

es bestehen also wieder ganz ähnliche Verhältnisse wie beim frühereu Kometen. Es ist jetzt:

logil/^r^ 0-042568 \—L^z=i63°32'46n h—%{P+Q):=zlSV22"d4cn A3— 7.3 z= 154 55 56-4 also : tgi3, cos {L^—%[P+ QJ) >0

w«o<0 uud damit J/j < JI^.

Setzen wir hier II = 200°ll'30-8 um P— II = 170°0'0' zu machen, so wird:

Ül^i^i:^) 0-015255 M' = 0-057823 31" = 0-027313

(Wei^s.) 2

li^ Weiss. [1473]

Dem Obigen zufolge ist jezt M" der richtige Wertli. Die Be- rechnung nach den für den Ausnahmefall geltenden Formeln hatte Holetsclick ergeben:

logp, =9-967188 log p, = 0-000241

Das daraus folgende i¥ wäre J/ =: 0 • 033053 , Avieder mit unserem, oben gefundenen Werthe M" = 0-027313 für eine erste Bahnbestimmung völlig hinreichend übereinstimmend. Ohne An- wendung des von mir angegebenen Kunstgriffes, hätte man für ll=:L2 erhalten :

vi/ =0-153179

Es hätte daher auch hier die Olbers'sche Annalime l[ = L^ zu keinem Näherungswerthe geführt.

Als drittes und letztes Beispiel führen wir endlich noch den vor Kurzem erschienenen Kometen 1885 III an. Auch für diesen berechnete Dr. J. lioletschek eines der ersten bekannt gewor- denen Elementensysteme. Die Grundlagen der Rechnung bildeten nach dem am 10. September 1885 ausgegebenen Circulare der kaiserlichen Akademie die folgenden Beobachtungen:

app S -l-3G°38' 1-0 -+-37 56 12-0 -i-37 56 24-6 -4-38 48 0-7

Diese Beobachtungen lieferten nach Ausführung der ge- wöhnlichen Vorarbeiten für eine Bahnberechnung die nach- stehenden 3 Orte:

1885	Beob.-Ort	Ortszeit	app a
Sept. 2	Cambridge U. S. .	. 9h 8-0O'	13M2"-28?20
^ 5	Wien	. 9 23 32	13 57 41-60
„ 5	Paris	. 9 31 43 . 8 46 48	13 57 43-12
„ 7	Wien	14 9 2-89

Mittl. Berl. Zeit	1 ^	L	logTJ
Sept. 2-61570	186°21'51^9 4-43°l6'25-8	160°41'26-0	0-0035.^0
5-38462	189 9 10-1 +45 54 32-3	163 22 38-9	0-003256
7 -35766	191 20 21-1 -4-47 45 57-4	165 17 40-8	0-003089

Wir haben hier: logp = 9-011301 P=339°51'54'6 P— /.^ = 176°29' 15- 7 log </ = 8-904972 C> = 339 48 14-0 Q—L^ — llG 25 35-1

M474| Über die Bestimmung von M etc. 10

Es gestaltet sich daher die Sachlage immerhin etwas gün- stiger, als in den beiden früheren Fällen, da die Abweichimg von P— Lg und 0—^-2 von 180° doch bereits SV/ beträgt. Wir er- halten nun weiter:

lüg J/o = 9-993924 Ä,— L, = 25°40'25-9

L-y^(P^Q) = 183°32'34^G l,-L, = 26 2 40-3

Die Elongation des Kometen von der Sonne ist hier so gering, dass man daraus allein auf dessen Entfernung von der- selben keinen begründeten Schlnss ziehen kann. Es ist indess hier die Abweichung von P—L^ und Q—L^ von 180° immerhin schon so bedeutend, dass man wohl berechtigt ist, den Quotien- ten !l^ii_iz^ ^veun auch nicht seinem Betrage, so doch seinem

sin {Q—L^y Sinne nach als richtig anzunehmen. Nun ist:

!!^^ = 9-992497 <1,

also i/j < J/^ und m^^ < 0 zu nehmen. Es ist ferner den oben gegebenen Daten zufolge tg ß^ cos [i^z— Vzi^+ÖjKO, daher

-— 5 > 0 oder ;■„</?„. Die seinerzeit von Dr. Holetschek

'2 ^'2

nach Y. Oppolzer's Methode ausgeführte Eechnung bestätigt

diese Schlüsse vollständig; sie lieferte log r^ =: 9 • 946249 und logr3 = 9-970382; log o^ =0-045704 und log 63 = 0-035789 und damit 3/ = 9 • 900085.

Prüfen wir nun unseren Kunstgriff auch an diesem Bei- spiele, so haben wir zu setzen 11 = 169°51 '54-6; es wird damit P-ri = 170°0'0'

^j^ffi = 9-007374 sin((>— ri)

}V — 0 - 901208 M" — 0 - 096550.

Nach dem Obigen ist der kleinere Werth J/'=z 9-991298 zu wählen, der mit J/= 9-000085 wie er aus Holetschek 's Elementen folgt, ganz vortrefflich übereinstimmt.

Aus diesen drei Beispielen, und mehr wäre ich im Augen- blicke nicht in der Lage zu geben, ersieht mau auch noch, dass

20 Weiss. [1475)

es wohl sehr selten nötliig wertleii wird, mit beiden Werthen 31' und 31'' die Rechnung bis zum Schlüsse der Versuche zu führen: in diesen drei Beispielen wäre es überhaupt gar nicht iiüthig gewesen, erst eine Doppelrechniing zu beginnen, da man, wie wir sahen, in allen drei Fällen schon im Vorhinein entscheiden konnte, welcher Werth von 31 anzuwenden war. Man wird, glaube icli, daraus ferner ersehen, dass man bei Anwendung des von mir angegebenen Kunstgriffes wohl stets einen hinreichend genäherten Werth von 31 erhalten wird, um darnach ganz nach 01b ers' Formeln die Rechnung ausfüliren zu können. Es kann wohl sein, dass es sich im Laufe der Zeit als zweckmässig er- weist, die von mir vorgeschlagene Grenze von +10° für die Amplitude von P — 11 etwas enger oder weiter zu ziehen; allein eine bequemere Methode der Behandlung des Ausnahmefalles dürfte sich wohl nicht mehr leicht finden lassen, da sie sich ja ohnehin eigentlich in der überwiegenden Mehrzahl der Fälle von der Olbers' sehen Methode der Bahnbestimmung eines Kometen schon in gar niciits mehr als der Berechnung von 31 unterscheidet.

Zum Schlüsse möge noch der Übersicht wegen eine Zu- sammenstellung der von mir vorgeschlagenen Formeln, und eine kurze Erläuterung des ganzen Verfahrens zur Bestimmung von 31 hier Platz finden.

Mit den gegebenen Daten berechne man also:

p cos{P—\) = tgß, — tg|32 cos(/2— Ä,) q sm{Q~\) = tgiSg mi{\~\) qcos{Q—Ä^) = —tsß., + tsß^ cos(/3— /,)

_ //, tg .3, cos [L,— y,(P-\- Q)] 1 1 1

'''^' ^cos^gCOS^gCÖ— Pj \rl Rl sinfP-^B)

'0=7.

''^"^^^Q-ll)

Hiebei ist r, =: k\t^—Q &, und logA- = 8-235581.

M476] Über die Bestimmung von M etc. .^l

Weicht nun P—L^ um mehr als 10° von 0° oder 180° ab, so kann man ohneweiters ßl bestimmen aus ,^ sin (P—L.) » sin (Q—L^)

In diesem Falle ist es auch nicht nöthig m^ zu berechnen, sondern nur das Zeichen des Factors ig ß^ cos [Lg — V^iP+Q)] zu ermitteln. Je nachdem nun

sin(P-L,)^ sin (0-^2)'=' ist, ist auch m^ ^0.

Daraus erkennt man in Verbindung mit dem Zeichen von tgß^ cos [Ig — VziP-^Q)] ob r^^It^ und wird darnach beim Be- ginne der Versuche den Anfangswerth von log {>\-{-r^) wählen.

Weicht jedoch P — L^ von 0° oder 180° um weniger als 10° ab, so füge man den Winkel a hinzu, um die Differenz auf diesen Grenzwerth zu bringen; sei dann

sin (P- sin (ö-

so bilde man sich Werthe:

M' = kM^ M" - y #/,.

Hat man nun keine Kriterien zu erkennen, ob i\^R^ und damit, ob w^^,>0 sei, in welchem Falle man für m^^O den grösseren, für m^ < 0 den kleineren der Werthe M' oder 31", zu wählen hat, so rechne man ganz nach Olbers' Formeln mit beiden Werthen M' und 31" so lange weiter, bis man mit Sicher- heit entscheiden kann, ob r^'^Il^ ist, und damit welcher der beiden Werthe dem Probleme entspricht, und führe dann mit diesem allein die Rechnung zu Ende.

Auch in diesem Falle bedarf man nur des Zeichens von m^, ausser man will nach der Beendigung der Versuche sich die Beruhigung verschaffen, ob das angenommene 31 der Wahrheit auch sehr nahe entsprach-, dann hat man zu bilden:

22 Weiss. Über die Bostimmung von .V etc. [i^"*^!

Es dürfte sich Übrigens immer empfehlen, auch wenn der Ausnahmefall nicht eintritt, die kleine Mühe der Berechnung- von w^ und M^ nicht zu scheuen, weil die Übereinstimmung von JI und J/, eine gute Coutrole iür alle bisherigen Rechnungen ab- gibt. Das zur Berechnung von w^ nöthige ;-j, erhält man mit hin- reichender Genauigkeit aus:

''2 = YzC^'i -+-'*3) oder log r^ = 1,., (log r,-t-log;-., ) oder bei sehr ungleichen Zwischenzeiten etwas schärfer aus:

7-2 — J\-\--^^ (ro — 1\) oder logy^^rlogr, -f- ^ \\ogr^ — ^^g^'^]-

Schliesslich sei bemerkt, dass sich die Berechnung vnu />. q, P und Q noch um eine Kleinigkeit vereinfacht, wenn mau

setzt, und dass man ebenfalls eine kleine Zeitersparniss erzielt, wenn man, wie es früher gebräuchlich war, nicht die Entfernungen p^ und P3 selbst, sondern ihre Projectionen auf die Ekliptik (PjCos/Sj und pgCos^j) als Unbekannte in das Kometenproblcm einführt.

li. t. Hof- und Sla-ilsdruckeroi in Wien.

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