DU è A aan Eatt FAN 1e LATE na ol HOT \ à! ë tte ne # ir i cu je M qu ü À AO VA HUE 1 Mr Nr RU TE Ha FR nr " (ei: AP ANNE HU ra M br HT FOIS crane Less ME nA HE baie af CARTE : A ï CAE FAR Th À: fu 2 TA au x an EU DEEE KI ne F À Le ni À (à te A AT LU HUFLEUNS Dr. (a CHÈTÉ PHILONATINOUE À © DE PARIS - _ NEUVIÈME SÉRIE. — TOME IX No A. 40 À x + ge. FR 11 Û ae 1907 | PARIS AU. SIÈGE DE LA SOCIÈTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS Tr “ | A: LA SORBONNE 1907 Le Bulletin. parait par livraisons bime trié les. 20083? sas | National Muse 7 7 mat COMPOSITION DU BUREAU POUR 1907 Président : M. BertuEeLoT (Daniel), 3, rue Mazarine. Vice-Président : M. Lécaizzon, 28, rue Berthollet. Trésorier : M. Rapaun, 3, rue Vauquelin. | Secrétaire des séances : M. Winter, 44, rue Sainte-Placide. Vice-Secrétaire des séances : M. Leson, 4 bis, rue des Écoles. Secrétaire du bulletin : M. Counière, 12, rue Notre-Dame- des-Champs. Vice-Secrétgire du bulletin : M. Nevvizze, 55, rue de Buffon. Archiviste : M. Hennecuy, 9, rue Thénard. La Société Philomathique de Paris se réunit les 2° et 4° Samedis de chaque mois, à 8 h. 1/2, à la Sorbonne (salle de travail des Étudiants). : Les membres de la Société ont le droit d'emprunter des livres à la Bibliothèque de l’Université. Ils ont également droit, sur leur demande, à 50 tirages à part gratuits des Mémoires qu'ils publient dans le Bulletin. Pour le paiement des cotisations et l'achat des publica- tions, s'adresser à M. Vézimnaup, à la Sorbonne, place de la Sorbonne, Paris, Ve, BULLETIN SOCIÉTÉ PHILONATHIQUE FONDÉE EN 1788 NEUVIÈME SÉRIE. — TOME IX PR RER PARIS AU SIÈGE DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS À LA SORBONNE = 1907 BL LEP Membres du Conseil pour les années 1905, 1906 et 1907 MM. ANDRÉ, 70 bis, rue Bonaparte. DoxGier, 87 bis, Grande-Rue, Bourg- la-Reine. Grévy, 62, Rue Sainte-Placide. Hennecuy, 9, rue Thénard. LaisanT, 162, avenue Victor-Hugo. Lévy (Lucien), 12, rue du Regard. VaILLanT, 2, rue de Buffon. Membres du Bureau pour 1907. Président : M. Berrmecot (Daniel), 3, rue Mazarine. Vice-Président : M. LéÉcAILLON, 28, rue Berthollet. Trésorier : M. RABAUD, 3, rue Vau- quelin. Secrétaire des séances: M. WIiNTER, 4k, rue Sainte Placide. Vice-Secrétaire des séances : M. LE- BON, # bis, rue des Ecoles. Secrétaire du Bulletin : M. CoUTIÈRE, 12, rue Notre-Dame-des-Champs. Vice-Secrétaire du Bulletin : M. Neu- VILLE, 55, rue de Buffon. Archviste : M. Hennecuy, 9, rue ViNcENT, 207, rue de Vaugirard. Thénard. ABREVIATIONS : M.I. Membre de l'Institut. P.F.S. Professeur à la Facullé des Sciences. P.M. » au Muséum. PIÈCE D au Collège de France. P.E.N. » à l'Ecole normale supérieure. P.E.P. D à l’École Polytechnique. E.E.P. Examinateur id. PAR Professeur honoraire. P.P.C. » à l'École des Ponts et Chaussées. M.A.M. Membre de l’Académie de Médecine. P.E.Ph. Professeur à l'École de Pharmacie. P.C. » au Conservatoire des Arts et Métiers. 1.G.A. Inspecteur Général de l’Agriculture, I.G.M. Inspecteur général des Mines A.M. Assistant au Muséum. P.A.F.M. Professeur agrégé à la Faculté de Médecine. PTA. Professeur à l’Institut agronomique. l 4 O7 E DCAJ£/p £ PÉRAZ ÉTUDE ET AMITIÉ LISTE DES MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS Fondée en 1788 État de la Société en Avril 4907 PREMIÈRE SECTION. — SCIENCES MATHÉMATIQUES MEMBRES HONORAIRES MM. 1859. (12 fév.) Lévy (Maurice), M. L, P.C.F., 15, avenue du Trocadéro. 1860. (2 juin) HarTon DE LA GoupicriÈrE (J.-Napoléon), M.[., 56. rue de Vaugirard. 1861. (13 avril) Tissor (Nic.-Aug.), E.E.P., à Voreppe (Isère). 1863. (28 mars) Rouca£ (Eugène), M.[, 213, boulevard Saint-Germain. 1871. (93 déc.) CorriGxon (Édouard), 6, rue de Seine. — id. Dargoux (Gaston), M.[, (Secrétaire perpétuel), Doyen Hon. F.$S., 36, rue Gay-Lussac. 1872. (27 janv.) Jorpan (Camille), M.I, P.E.P., P.C.F., 48, rue de Varennes. 1875. (26 juin) Fourer (Georges), E.E.P., 4, avenue Carnot. 1876. (23 déc.) Prcquer (Henri), E.E.P., #, rue Monsieur-le-Prince. — id. ANDRÉ (Désiré), P.H., 70 bis, rue Bonaparte. MEMBRES TITULAIRES MM. 1878. (26 janv.) LeauTé, M.[., 20, boulevard de Courcelles. — (9 fév.) LarsanT, E.E.P., 162, avenue Victor-Hugo. = id. Tanwery, Dir. des Sc. E N., 45, rue d'Ulm. 4 LISTE DES MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS 1881. (41 fév.) C. De Pourenac, Radmannsdorf, Carniole (Autriche). = id. Humgert (Georges), M.[., 10, rue d’Aubigny. — (19 nov.) Cueuin, P.P.C., 33, avenue Montaigne. 1884. (3. nov.) Lévy (Lucien), E.E.P., 12, rue du Regard. 1887. (17 déc.) Koenies, P.F.S., 101, boulevard Arago. 1892. (26 janv. | Biocue, P. Louis-le-G., 56, rue N.-D.-des-Champs. 4900. (10 mars) Leau, P. Stanislas, 6, rue Vavin. — (22 déc.) Le Roy, P. Stanislas, 27, rue N.-D.-des-Champs. 1902. (27 juin) Descaamrs, 11, rue du Smet. 1902. (13 déc.) Grévy, P. din Louis, 62, rue Sainte-Placide. 190%. (20 nov.) Perrin R., 1.G.M., 80, rue de Grenelle. 4905. (14 janv.) MAïLcer, ne de Fontenay, à Bourg-la-Reine (Seine), 1905. (27 mai) Servanr, Chef de travaux F.S. 8, rue des Saints- Pères, Paris. 1906. (24 fév.) Leron (Ernest), P. Charlemagne, 4 bis, rue des ie Ecoles, 1906. (42 mai) Tarry (Gaston), 177, Bd. Pereire. — (8 déc.) Farou, astronome adjoint à l'Observatoire, 172, Boule- vard du Montparnasse. — (22 déc ) Herr (Victor), Prep. F.S, 13, rue du Val-de-Grâce. MEMBRES CORRESPONDANTS MM. 1903. (28 mars) Lieutenant-Colonel du Génie Brocarp, 75, rue des Ducs, Bar-le-Duc. 1905. (11 fév.) Berpon Louis, 39, Cadogan Street, Londres. S.W. 1906. (25 juin) Guecra, Palerme. 1907. (9 fév.) Demourin, P. F.S., 10, rue Joseph Plateau, Gand. DEUXIÈME SECTION. — SCIENCES PHYSIQUES MEMBRES HONORAIRES MM. 1860. (24 nov.) Ricue (Alfred), P.H.E.Ph., 44, quai Conti, à la Mon- naie. 1861. (25 mai) Gaupry (Albert), MI., P.H.M.,7 bis, rue des Saints- Pères. LISTE DES MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS 1862. (10 juill.) Troosr (Louis), M.I, P.H.F.S., 84, rue Bonaparte. 1863. (18 juill.) Granpeau (Louis), [.G.A., 4, avenue de la Bourdon- nais. 1864. (31 janv.) Wozr (Charles), M.I., P.F.S., 1, rue des Feuillantines. 1865. (4er juill.) Janssen, MI, Directeur de l'Observatoire physique, = à Meudon (Seine-et-Oise). 1872. (22 juin) GEerxez (Désiré), P.E.N., 80, rue d’Assas. 1873. (12 avril) Frown, Météorologiste tit., 19, rue de Sèvres. 1874. (23 mai) Branzy, Prof. Inst. Catholique, 21, av. de Tourville. 1875. (10 avril) Carzrerer, M.[., 75, boulevard Saint-Michel. 4876. (27 mai) Boury, P.F.S., 9, rue du Val-de-Gràce. 1877. (24 fév.) Liprmann (Gabriel), M.L., P.F.S., 10, rue de l’Eperon. 1880. (13 nov.) Peccar (Henri), P.F.S., 23, avenue de l'Observatoire. — (27 nov.) Becouerez (H.), M.I., P.M., 6, rue Dumont-Durville. 1882. (11 fév.) Cocui, député, 53, rue de Babylone. 1884. (9 avril) Bourcgoïs (Léon), A.M., 1, boulevard Henri [V. 1886. (17 avril) Borpner (Lucien), 181, boulevard Saint-Germain. 1887. (9 juillet) Vazcor (Joseph), Dir. de l'Obs. du Mont-Blanc, 44%, avenue des Champs-Elysées. MEMBRES TITULAIRES MM. 19014. (26 janv.) Vixcenr, P. Lycée St-Louis, 207, rue de Vaugirard. — (14 déc.) Benoist, P. Lycée Henri IV, 26, rue des Ecoles. — (28 déc.) Doncrer, Sous-Direct. de Laboratoire F.S. 87 bis, Grande-Rue, à Bourg-la-Reine (Seine). 4902. (11 janv.) Pownsor, M.C.F.S., Lille. — (13 déc.) MariGnow, M.C.F.S., 17, boul. Carnot, Bourg-la-Reine. 1903. (28 fév.) Winrer, 4%, rue Sainte-Placide. (44 mars) BERTHELOT (Daniel), P.E.Ph. 5, rue Mazarine. = id. Descrez, P.A.F.M., 240, rue Saint-Jacques. — (12 déc.) Darzens, Répét. E.P., 22, avenue Ledru-Rollin. 190%. (23 janv.) Caauveau, Météor. adj. Obs. de Paris, 32, avenue Rapp. — (9 avril) Hanrior, M.M., P.F.M., 4, rue Monsieur-le-Prince. — (29 mai) Moureu, P.E. Ph. , 84, boulevard Saint-Germain. — id. MABLER, ebieu civil des Mines, 2, rue Decamps. 190%. (9 juillet) Marace, 14, rue Duphot. | 1905. (14 janv.) HaruoN, Chef de Lab. C.F., 5%, Faub.-Saint-Honoré. 1905. (11 mars) Vazeur, 142, boulevard Montparnasse. — ({æavril) Gourar, P. suppl. E. M., 60, boulevard Saint-Michel. 6 LISTE DES MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS — (13 mai) Mouneyrar. Prép. F.M., 20, rue Godot-de-Mauroi. 1906. (13 janv.) Mayer, Chef de trav. (Hautes-Études), 33, rue du Faubourg-Poissonnière. 1906. (24 fév.) Joannis, P.F.S., rue des Imbergères, Sceaux. MEMBRES CORRESPONDANTS MM. 4905. (13 mai) Marmias, P.F.S., k%, allées Lafayette, à Toulouse. — (22 juil.) Monrrzcarp, 22, boulevard Saint-Marcel. TROISIÈME SECTION. — SCIENCES NATURELLES MEMBRES HONORAIRES MM. 1856. (20 déc.) PrrzrEux (Ed.), M.I., Sénateur, 14, rue Cambacérès. 1862. (7 mai) Bureau (Id.), P.H.M., M.A.M., 24, quai de Béthune. 1863. (31 janv.) VaizzanT (L.-L.), P.M., 36, rue Geof.-Saint-Hilaire. 1871. (9 déc.) De Seyxes (Jules), P.A.F.M., 15, rue Chanaleilles. — (23 déc.) GRANDIDIER (A), M.L.,6, Rond-pointdes Champs-Elysées. — (26 déc.) Van TreGnEu (Philippe), M.L., P.M., 22, rue Vauquelin. 1871. (26 déc.\ Caarin (J.), M.L., P.F.S.,174, boul. Saint-Germain. 1879. (10 mai) Henneeuy (Louis-Félix), P.C.F., 9, rue Thénard. 1883. (26 mai) Mocouarr, A.M.; 4, rue du Banquier. 1886. (13 fév.) Bouvier (E.L.), M.I., P.M., 7, boul. Arago. 1888. (11 fév.) Moror, A.M., 9, rue du Regard. 1890. (21 fév.) Rocué (Georges), 4, rue Dante. 1893. (11 mars) Hua, 254, boulevard Saint-Germain. — (10 juin) Jousseaume, 29, rue Gergovie. 1893. (27 oct.) De GUERNE, 6, rue de Tournon. 1894. (17 mars) Rorann BonAPARTE, M.L., 10, avenue d’Iéna. MEMBRES TITULAIRES MM. 4899. (14 janv.) Lécaizrow, Prép. C.F., 28, rue Berthollet. 1899. (25 mars) Neuvizre, Prép. Museum, 55, rue de Buffon. 1901. (12 janv.) PecceGrin, Prép. Museum, 143, rue de Rennes. —— (18 mai) Gureysse, à Bois-le-Roï, (S.-et-Marne). LISTE DES MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS 1 1902. (41 janv.) Caauvraun, Direct. adj. de Lab. (Hautes-Études). 9, avenue de l’Observatoire. — (8 fév.) Ragaup, M.C.F.S., 3, rue Vauquelin. (27 juin) Lesace, Médecin des hôpitaux, 49, rue de Lille. (22 nov.) Anruony, Prép. Muséum, 12, rue Chevert. 1903. (28 févr.) Courière, P.E.Ph., 12, rue Notre-Dame-des-Champs. (11 avril) LanGERoN, Prép. F.M., 11, rue Férou. — (27 juin) Noé, Prép. F.M., 51, boulevard Montparnasse. 1904. (9 janv.) GrANDIDIER (G.), 9, avenue Marceau. 1904. (23 janv.) DE Borssieu, 80, avenue d’Iéna. vs (id.) Jouin, P.M., 88, boulevard Saint-Germain. — (26 mars) Gravier, A.M., 55, rue de Buffon. — (23 avril) MéNéGaux, A.M., 55, rue de Buffon. — (29 mai) Mic (Auguste), P. lycée Michelet, 7, rue Nicole. — (9juillet) Launoy (L.), Ph., 93, rue Thiers, Le Vésinet (S. et O.). 1905. (28 janv.) Cayeux, P. suppl. E.M., P.[.A., 6, place Denfert- Rochereau. 1905. (8 juillet) Lemoine (Paul), Prép. F.S., à la Sorbonne. MEMBRES CORRESPONDANTS MM. 1903. (27 juin) L. Perir, 27 bis, rue d’Elbeuf, Rouen. — (28 nov.) Devez, Cayenne. 190%. (23 avril) Buzz, Prép. à l’Institut Marey, 4, avenue Malakoff. — (id.) Tur, Ass. à l’Univ. de Varsovie. — (id.) Mararp, Lab. de Zool. marit., St-Vaast-la-Hougue (Manche). : — (29 mai) MarcEAU, P.E.M. Besançon. 1905. (26 nov.) Maïcnon, Chef des trav. de Physiol., E. Vét., Lyon. . (HA mars) NEvEuU-LEMAIRE, P.A. F.M., Lyon. 1905. (15 avril) Dicuer (L.), 16, rue Lacuée. . (24 fév.) Osmax GaLes Bey, Le Caire (Égypte). 8 EXTRAITS DES COMPTES-RENDUS DES SÉANCES Séance du 11 janvier 1907 PRÉSIDENCE DE M. LAISANT. Il est procédé à l'élection du Bureau de la Société et de la Commis- sion des comptes pour 1907. Sont élus : MM. LécAILLoN, vice-président, RABAUD, trésorier, WIiNTER, secrétaire des séances, LEBON, vice-secrétaire — , CouriÈère, secrétaire du Bulletin, NEUVILLE, vice-secrétaire — , La Commission des caee est constituée par MM. GHaurens Gravier, Tarrvy. M. Laisant, est nommé membre du Conseil en. remplacement de M. Lécaillon, nommé vice-président. M.Laisant, président sortant, adresse ses remerciements à la Société. Il a, dit-il, la satisfaction d’avoir pour successeur le digne héritier d’un nom illustre, qui est une des gloires de la science française. Il a le plaisir de constater la vitalité persistante de la Société, et la perma- nence de ses traditions de sounienne, de solidarité SERRIQNE et d'amitié. PRÉSIDENCE DE M. BERTHELOT. prenant la présidence, M. Berthelot prononce l’allocution suivante : MESSIEURS, Je remercie notre éminent résident, M. Laisant, des paroles trop aimables par lesquellesil vient deme souhaiter la bienvenue. En prenant cette place où votre confiance m’a fait l'honneur de m'appeler, je suis certain d'être votre interprète fidèle en lui apportant l'expression de notre gratitude, pour les services qu’il a rendus à l& Société durant l’année écoulée. M. Laisant, au cours de sa carrière civique et scienti- fique, déjà longue et si bien remplie, a connu sans doute d’autres assemblées plus agitées que celle-ci: je ne crois pas qu'il en ait vu beaucoup où l’on travaillât à la recherche de la vérité avec une ardeur plus pleine et plus désintéressée. Lui même d’ailleurs nous a toujours EXTRAITS DES COMPTES-RENDUS DES SÉANCES 3 donné l’exemple. Je lisais, il ya quelques mois, le petit livre si original etsi pénétrant qu’il consacrait aux méthodes pour initier les jeunes esprits aux mathématiques. Et je ne pouvais m'empêcher d’éprouver unsentiment de respect en songeant que c’est à cette même plume, à qui nous devons de si savantes considérations sur les quaternions, les équi- pollences ou les fonctions hyperboliques, qu'étaient dues ces remar- ques si simples et si volontairement humbles sur la meilleure manière d'enseigner l’A, B, C de l’arithmétique ou de la géométrie à des enfants. Un tel exemple de modestie scientifique, de la part d'un maître de son autorité, n’est-il pas pour nous tous une leçon ? Messieurs, je m'efforcerai de suivre les exemples qui m'ont été donnés par mes prédécesseurs Ce qui fait l’originalité de la Société Philomathique, ce qui la distingue des autres Sociétés scientifiques telles que les Sociétés de biologie, de chimie, de physique, de mathé- matiques,etc., c’est qu’elle n’est pas un groupement de spécialités, c’est qu’elle réunit des chercheurs qui s’occupent des études les plus variées. Et cela estexcellent à un double point de vue. Tout d’abord il est certain que les hommes qui s’y réunissent pour causer familièrement et sans apparat des études spéculatives qui leur sont chères, y nouent en même temps des liens d'amitié personnelle ou tout au moins de bonne confraternité. La Société Philomathique attache à bon droit autant d'importance à la parfaite courtoisie et à la cordialité deses réunions qu'au sérieux scientifique de ses discussions. À un point de vue plus abstrait, je crois que le contact mutuel de savants occupés de recherches si différentes ne peut que profiter au développement intellectuel de chacun. Sans doute, à l’époque où nous vivons, le développement des connaissances a imposé la spécialisation, et nul ne peut se targuer d’embrasser l’ensemble des sciences. Il serait déplorable pourtant de laisser s'établir entre elles des cloisons étanches qui n’existent pas dans la nature. Les exemples abondent des secours qu'elles peuvent s’apporter l’une à l’autre et je n’aurais que lembarras du choix pour montrer que les points de départ des déve- loppements les plus féconds d’une science lui ont souvent été fournis par une science voisine. Quand, trente ans déjà passés, j’étudiais sur les bancs du collège les rudiments de l'électricité, je me souviens de l'importance que prenait dans nos jeunes imaginations la grenouille de Galvani. A la voir ainsi figurée au premier plan dans la découverte du courant élec- trique, nous nous attendions à la voir jouer plus tard un grand rôle. Et nous étions un peu déçus de ne plus la retrouver. Je crois bien que cette grenouille historique a disparu de la plupart des traités de 10 EXTRAITS DES COMPTES-RENDUS DES SÉANCES physique modernes. Je la regrette pour ma part. À coup sûr quand nous entendons les belles communications de aotre collège. M. Dongier sur les courants alternatifs, nous sommes transportés bien loin de ces modestes origines. Et l'ingénieur qui surveille le turbo-alternateur d’une grande station centrale ne pense guère à la grenouille du savant Italien. Et cependant historiquement ceci est sorti de cela, et c’est un physiologiste, qui en mettant un jour à nu les nerfs lombaires d'une grenouille, a aiguillé la science et la civilisation modernes vers les grandioses applications du courant électrique. Citerai-je un autre exemple ? S'il est une science un peu délaissée aujourd’hui — bien injustement à mon sens, — c'est la cristallogra- phie. S'il en est une au contraire qui soit populaire, c’est la médecine: l'inventeur de nouveaux serums est le héros du jour. Mais comment oublier que c’esten partant des considérations les plus abstraites surla symétrie des cristaux que l’esprit de Pasteur fut amené par un admi- rable enchaînement d'idées à l’étude des maladies ? Mais, Messieurs, je n’ai pas à prêcher ici des convertis. Je me contente seulement de souhaiter que nous apportions tous à nos séances durant l’année 1907 la même ardeur et la même assiduité que durant l’année 196. M. Darzens fait une communication sur les résultats de l'hydrogé- nation d'acides non saturés par la méthode de MM. Sabatier et Sen- derens. M. Goutal expose ses recherches sur les proportions de l’oxyde de carbone dans l'air, et sur la présence très ordinaire de ce gaz dans les fontes et les aciers. M. Darzens fait remarquer que l’adéhyde formique, corps réducteur très répandu dans la nature, peut être une cause d'erreur dans la recherche de l’oxyde de carbone par réduction de lacide iodique. Séance du 26 janvier 1907 PRÉSIDENCE DE M. BERTHELOT M. le Docteur Marage expose le principe d’un appareil permettant de photographier les vibrations de la voix parlée et chantée, il montre quelques exemples des curieuses photographies obtenues. M Moureu fait une communication sur les recherches qu’il a pour- suivies, en Collaboration avec M. Valeur, dans le but d’établir la constitution chimique et la formule de la spartéine. M. Darzens fait quelques observations au sujet de cette communi- cation. 11 PHOTOGRAPHIE RAPIDE DES PRINCIPALES VIBRATIONS DE LA VOIX Chantée et Parlée (!) Par le Docteur M. MARAGE. Il peut être utile pour un professeur de chant de faire voir à un élève les fautes qu'il commet. Il faut pouvoir lui prouver immédiatement qu'il ne chante pas en mesure, que sa voix est fausse et qu’elle n’est pas régulière. ù Pour cela, j'ai employé la disposition suivante : un microphone et une pile sont mis en communication avec un téléphone. Les mouve- ments de la plaque vibrante du téléphone sont transmis à un miroir qui reçoit un rayon lumineux: ce rayon, après réflexion, vient impres- sionner une feuille de papier photographique mobile, qui passe ensuite dans un bain développateur, puis dans un bain fixateur. Un dispositif spécial, employé dans le télégraphe extra-rapide, permet au rayon lumineux de se déplacer dans un plan horizontal de manière à écrire des lignes un peu inclinées sur le grand axe du papier : l’ineli- paison des lignes est produite par le déplacement du papier ; chaque ligne correspond à 1/4 de seconde. Les trois figures ci-jointes représentent une gamme sur À: l’une mal chantée (fig. 1), l’autre (fig. 2) chantée avec une voix un peu tremblée et un coup de glotte au commencement de quelques notes: la troisième bien chantée (fig. 3). Les défauts de la première gamme sont les suivants : 1° L'artiste ne va pas en mesure parce que chaque note n’a pas la même durée, et qu'entre chaque note le temps de repos représenté sur la ligne droite n’est pas constant; 2° La voix est fausse, parce que, si on compte le nombre de vibra- tions sur une ligne (1/4 de seconde) et qu’on multiplie ce nombre par L, on ne retrouve pas la note qui devait être chantée ; 3° La voix n’est pas belle parce qu’elle est irrégulière, et tremblée. La gamme de la figure 2 est mieux chantée, et celle de la figure 3 est presque parfaite. (1) Société philomathique, 26 janvier 1907. *(&L°0 e118u2) V Ans auuoq aJUEPU99se UP — ‘€ SIA (:19‘0 a18u9a) "291qu91 XIOA 294% sreux ‘aansatu ua ‘aJUPPUSISE AU) — ‘z ‘aysnf ER ‘(anopurig area ‘areu9q) V Ans 9SIUANEUI JUEPUSISIP WWE — :F ‘SNJ A4 M. MARAGE La figure 4 représente le même exercice bien chanté, à droite, sui- ÉD dEn Le ga re Méthode française. Méthode italienne. Fig. 4. — Même exercice (Echelle, vraie grandeur). vant la méthode italienne et à gauche, suivant la méthode française. Fig. 5. — Voix parlée (Echelle, vraie grandeur). 16 M. MARAGE Le premier tracé, beaucoup plus régulier, indique que dans ce cas la méthode italienne a produit une impression plus agréable sur l'oreille ; de plus, elle permet de chanter plus facilement, car cet exercice a duré moins longtemps que l’autre, cette expérience répétée plusieurs fois a toujours donné des résultats analogues. Ce procédé peut également servir aux professeurs de diction, car on voit facilement la durée de chaque syllabe parlée et la note sur la- quelle cette syllabe est émise. ï Mais cette méthode est inférieure à celle des flammes manomé- triques que j'ai employée en 1898, parce qu’elle ne permet pas de dissocier les vibrations et de faire l’analyse complète d’une syllabe ou d’une voyelle. Telle qu’elle est actuellement, elle peut rendre des services à des chanteurs en leur faisant voir immédiatement leurs défauts, ce qui n’est pas possible avec le phonographe. SUR UNE COLLECTION DE POISSONS RECUEILLIE Par M. E. HAUG, à Ngomo (Ogôoué) Par M. le Docteur Jacques PELLEGRIN M. le pasteur Ernest Haug a fait à diverses reprises déjà de longs séjours au Gabon et n’a pas manqué d’y rassembler des collections zoologiques qui furent l’objet de plusieurs envois fort intéressants au Muséum d'histoire naturelle(1). C’est ainsi que pour n’en citer qu'un exemple en ce qui concerne les Reptiles et les Batraciens, M. Moc- quard (2) a publié ici-même les résultats de ses principales récoltes. Lors de son dernier séjour à Neomo, sur l’Ogooué,M. le pasteur Haug s’est appliqué surtout à recueillir un grand nombre de Poissons et les matériaux ichtyologiques rassemblés par lui et qui seront étudiés ici ne laissent pas d’être fort importants. En effet, des représentants de 18 espèces ont été récoltés, parmi lesquelles 3 sont nouvelles pour la science (3) et plusieurs autres d’une rareté extrême. Toutes les pêches ont été effectuées dans l’Ogôoué, à Nzomo et aux environs immédiats. Bien que cette localité placée à 90 kilomètres en aval de Lambaréné, au point où le lac Zomanghé se jette dans le fleuve, soit située à plus de 200 kilomètres de la mer et que l’eau y soit {oujours complètement douce, on est frappé tout d’abord du nom- bre relativement considérable de formes marines ou saumâtres qui remontent jusque là : £lops lacerta G. N., Syngnathus Kaupi Bleeker, Polynemus quadrifilis G. V., Corvina nigrita GC. N., Psettus Sebai C. V., T'rachynotus goreensis C. V., Cynoglossus senegalensis Kaup, Eleo- tris senegalensis, Steindachner. Gobius lateristriga À. Duméril. (1) Une petite collection de Poissons envoyée par M. Haug du Bas-Ogôoué a déjà été signalée par moi. Cf. Dr J. PELLEGuIN. Poissons nouveaux ou rares du Congo français. Bull. Mus. Hist. nat. 1901, p. 328. (2) Mocquaro. Sur une collection de Reptiles recueillie par M. Haug, à Lambaréné. Bull. Soc. Philom. 8° sér., t. IX, 1896-1897, p. 5. Voir aussi : Bull. Mus. Hist. nat. 1902, p. 407. (3) Des diagnoses de ces espèces nouvelles ont paru dans le Bulletin du Muséum, novembre 1906, p. 467-471. 2 18 JACQUES PELLEGRIN D'ailleurs, en ce qui concerne les Crustacés, M. Coutière (1), a cité un fait du même ordre au sujet d’une espèce nouvelle de la famille marine des Alphéidés, l'Alpheopsis Haugi qui provient également de Neomo, et qui est le « premier exemple certain » d’une forme dulca- quicole chez les Alphéidés. La présence d’une assez grande quantité d’espèces marines dans l’O- gooué, aussi loin de l'embouchure est une constatation fort intéres- sante. C'est un rapport de plus entre ce fleuve africain et ceux qui lui font vis-à-vis de l’autre côté de l’Atlantique, comme l’immense Amazone où les formes marines remontent aussi très loin dans l'in- térieur. Quant à ces Poissons marins en dehors de leur habitat ils ne présentent pas par eux-mêmes un très grand intérêt, appartenant, en effet, pour la plupart à des espèces très anciennement connues, et leur distribution géographique étant en général assez vaste. Il en est tout autrement en ce qui concerne les formes exclusive- ment dulcaquicoles. La faune ichtyologique des eaux doucesdu Gabon, en effet, n’est pas décrite depuis bien longtemps et malgré les travaux d'A. Duméril, Günther, Sauvage, Boulenger et moi-même il resteencore bien des découvertes à faire dans ces régions. comme le prouvent les trois espèces nouvelles rapportées par M. Haug ; un Characinidé du genre Vannocharax, un Siluridé du genre Synodontis, un Cichlidé du genre Pelmatochromis. En outre M. Haug a été assez heureux pour retrouver certaines formes extrèmement curieuses et qui n'étaient connues jusqu'ici que par les types. Il à recueilli notamment, 3 spécimens de l’unique représentant africain de la famille des Nandidés, le Polycentropsis abbreviata, type d’un genre nouveau décrit il y a quelques années par M. Boulenger d’après 2exemplaires du delta du Niger. Cette découverte augmente notablement l'habitat de cette espèce qui offre les affinités les plus remarquables avec des formes se rencontrant dans les eaux douces de l’autre côté de l’Atlantique comme le Polycentrus Schom- burgki Muller et Trôschel de la Guyane et du Brésil, fait qui avec la dis- tribution géographique d’autres Poissons exclusivement duleaquicoles comme les Cichlidés, les Characinidés etc. vient s’ajouter aux preuves déjà si nombreuses des relations étroites qui ont uni à une époque géologique relativement peu ancienne l'Amérique méridionale et l'Afrique. M. Haug a également retrouvé une forme très bizarre de la famille des (1) Courière. Sur une nouvelle espèce d’Alpheopsis, A. Haugi, provenant d'un lac d’eau douce du bassin de l’Ogôoué (Voyage de M. Haug 1906). Bull. Mus. Hist. nal. 1906, p. 316. SUR UNE COLLECTION DE POISSONS DE L'OGÔOLÉ 19 Characinidés l’Hemistichodus Vaillanti Pellegrin, type d’un genre nouveau dont j'ai donné la description en 1900, d’après un unique spécimen rapporté au Muséum en 188, par la mission de l’Ouest africain, dirigée par M. Jacques de Brazza, le frère du fondateur de la colonie. Il à recueilli aussi des spécimens de plusieurs espèces de ces régions décrites par moi il y a quelques années le Barbus Brazzai, le Physailia occidentalis, le Pelmatochromis nigrofasciatus. En ce qui concerne les Cichlidés M. Haug sur mes indications à recherché l’incubation buccale des œufs ou des jeunes par les parents el ses envois permettent de signaler cette pratique curieuse dans deux espèces du genre 7lapia où elle n’avait pas encore été observée. M. Haug, grâce à son séjour de longue durée dans une même loca- lité, a pu rassembler en outre un certain nombre de renseignements sur la biologie de Poissons de plusieurs autres familles. Il m’a aussi fourni pour chaque espèce les noms locaux dans les trois dialectes galwa (g.), nkomi(nk.) et pahouin (p.) qui ne manqueront pas d’être des plus précieux pour ceux qui se proposeront ultérieurement de récol- ter des Poissons dans cetle colonie si riche au pointdevueichtyologique. Ce sont tous ces documents qui feront l’objet, de ce mémoire. Les espèces seront passées en revue famille par famille avec les noms locaux et les indications sur l’éthologie fournies par M. Haug; j'y joindrai toutes les observations qu’elles comportent au point de vue de l’ana- tomie et de la systématique. Elopidæ. A. ELops LACERTA Cuvier et Valenciennes. Un exemplaire. Nom local : nyanga (g.) (nk.). « En bandes nombreuses au milieu des lacs où ces Poissons sautent en l’air. Chassent de petits Poissons près des rives ». C’est une forme marine qui remonte assez loin dans les rivières, du Sénégal au Congo. Mormyridæ 2, Mormyrops zAncLiROSrKIS Günther. Deux exemplaires. Noms locaux : mpouna (g.), mpounè (nk.). Getre espèce ainsi que les suivantes de la même famille se prend d’après M. Haug « dans les marigots, sous les racines des roseaux. Elle revient au fleuve quand les eaux baissent ; elle se plait dans la vase et meurt rapidement dans l’eau claire. » 20 JACQUES PELLEGRIN C’est une forme à museau prolongé en tube qui n’est connue que du bassin de l’Ogooué. Une espèce voisine le Mormyrops Boulengeri Pellegrin (1) existe dans le bassin du Congo. 3. Mormyrops niGxIcaANs Boulenger. Mormyrops nigricans Bourencer, 1899, Ann. Mus. Congo, Zool. I, p. 66, pl. xxn, fig. 2 et 1901, Poiss. Bass. Congo, p. 66- Mormyrops Vaillanti PeLceGriN, 1899, Bull. Mus. Paris, p. 358. Un exemplaire de 280 +30 = 310 millimètres de longueur (2). Nom local : oyogouyogou (g.). Espèce du Congo dont l'habitat doit être étendu à l’Ogôoué. L. PerrocepHALus BALLAYI Sauvage. Trois exemplaires de 130 + 80 = 160, 75 + 17 — 92, 60 + 14 = 7% millimètres. Noms locaux : mpouna (g.), mpounè (nk.). Ge Poisson porte comme on le voit le même nom que le Wormyrops zanclirostris Günther, malgré de grandes différences morphologiques. Les indi- gènes ne donnent pas non plus de nom particulier aux espèces sui- vantes de Mormyridés. Cette forme à laquelle il faut ramener le Mormyrus amblystoma Günther, habite l’Ogooué et le Congo. 5. PETROCEPHALUS sIMuS Sauvage. Deux exemplaires. Ce Poisson se rencontre dans l’Afrique occiden- tale depuis la Liberia jusqu’à l’Angola. 6. Marcusenius MARCHEI Sauvage. Deux exemplaires, de forme un peu plus allongée que dans la figure donnée par Sauvage. Espèce de l’'Ogôoué. 7. MARCUSENIUS BRACHYHISTIUS Gill. Quatre exemplaires. Connu de Sierra-Leone au Congo. 8. GNATHONEMUS MoorEr Gunther. Six exemplaires, d’une longueur comprise entre 120 +24 — 144 et 445 + 25 — 170 millimètres. Plusieurs sont des femelles. L’ovaire est (1) Bull. Mus. Paris, 1900, p. 349. (2) Le premier chiffre indique la longueur du corps, le second celui de la nageoire caudale, le troisième la longueur totale. SUR UNE COLLECTION DE POISSONS DE L'OGÔOUÉ 21 unique, volumineux, gonflé d’ovules dont les plus gros ont un dia- mètre de 4 millimètre 5. Cette espèce est connue depuis le Sud du Cameroun jusqu’au Congo. Notopteridæ. 9. Xenomysrus Nicri Günther. Trois exemplaires. Nom local : ogoré (g.) « Dans les marigots. » L’habitat de cette espèce est fort vaste. On la rencontre dans le Haut- Nil, et dans les fleuves et rivières de la Libéria au Congo. Clupeidæ. 10. PELLONULA vorAx Günther. Sept exemplaires de 38 + 9 = 47 à 92 + 48 — 110 millimètres. Noms locaux : isiga = osendijele (g.) (nk.) « En bancs dont le défilé dure des heures le long des rives. Se tiennent la nuit dans les mari- 2OtS. » Ce Clupe est très répandu du Sénégal au Congo, il joue un rôle important dans l’alimentation des indigènes. Characinidæ. A1. Sarcopaces opoë Bloch. Un exemplaire. Nom local : omwènghè (g.) (nk.) « Près des embou- chures des ruisseaux. » Très commun du Sénégal au Congo, et jusqu'aux lacs Tchad et Neami. 12. ALESTES MACROPHTHALMUS Günther. Un exemplaire. Nom local : ogoundou (g.) (nk.) « Très commun aux abords des villages. » Espèce connue du Gabon et du bassin du Congo ainsi que des lacs Tanganyika et Moéro. 43. ALESTES LONGIPINNIS Günther. Quatre exemplaires adultes d’une longueur de 70 + 22 = 92 à 85 + 923 — 108 millimètres. Nom local : esagayamba (g.) (nk.) « Plus rare que les autres À lestes. » 22 JACQUES PELLEGRIN Les spécimens rapportés par M. Haug justifient au plus haut point leur épithète spécifique : les rayons médians de la dorsale très pro- longés, filamenteux font le double ou un peu plus du double de la longueur de la tête et dépassent l’origine de la caudale; les ventrales sont également très longues et s'étendent fort au-delà de l’origine de l’anale. La coloration bien conservée mérite d’être notée : le dos estolivâtre, les côtés dorés ou jaunâtres. Il existe sur le pédicule caudal une large bande noire qui se prolonge aussi sur la nageoire. On distingue en outre 5 ou 6 lignes irrégulières étroites qui s'étendent transversale- ment sur les flancs et forment comme un fin réticule et une petite tache foncée, un peu en arrière de la fente branchiale, environ au niveau de l’œil. La dorsale est violette. L’espèce se rencontre de Sierra-Leone au Congo. 14. ALESTES TÆNIURUS Günther. Trois exemplaires, le premier d’une longueur de 105 + 95 — 130 millimètres est un mâle adulte, le second une femelle adulte, de 410 + 25 = 135 millimètres, le troisième un jeune de 75 + 22 — 97 millimètres. Il existe un dimorphisme sexuel assez accentué chez les adultes. C’est surtout la forme de la nageoire anale qui permet de distinguer FiG. 1. — Anale chez le mâle et la femelle de l’Alestes tæniurus (gr. nat.). extérieurement les sexes (/#g. 1). Chez la femelle les rayons sont tous coupés carrément si bien quele bord externe est à peu près rectiligne. Chez le mâle les ravons médians de l’anale sont notablement plus longs que les antérieurs et que les postérieurs de sorte que le bord externe de la nageoïire forme un angle très marqué. Des faits analogues ont d’ailleurs été déjà signalés par Günther (1) chez les Petersius, genre extrèmement voisin des À lestes. (1) Pr. Zool. Soc. Lond. 1899, p. 731 pl. XLV, fig. B. Günther s'exprime ainsi à propos du Petersius occidentalis Günther, de la Côte de l’Or : « Anal of the mature male with the anterior rays somewhat enlarged, forming a projecting lobe. ». La seule différence c'est que dans ce cas ce sont plutôt les rayons antérieurs que les rayons medians qui sont prolongés. SUR UNE COLLECTION DE. POISSONS DE L'OGÔOUÉ 23 La coloration est aussi légèrement différente dans les deux sexes. Chez le mâle la bande longutudinale noire qui donne son nom à l'espèce ne commence pas comme chez la femelle sous le milieu de la dorsale. mais un peu en avant, la teinte générale est un peu plus foncée. A l’autopsie de la femelle on trouve deux ovaires gonflés, volumi- neux, nettement séparés, contenant un grand nombre d’ovules d’un diamètre maximum de 1 millimètre 25. L'espèce habite le Cameroun et le Gabon. 15. ALesTEs KinGsceyæ Günther. Un exemplaire. Nom local : mpava (g.) (nk.) « Très commun aux embouchures des ruisseaux faisant communiquer les marigots avec le fleuve. » Cette espèce de l'Ogôoué, n’est pas distinguée par les indigènes de la précédente qui porte le même nom. 16. Perersius HirGENporri Boulenger. Petersius Hilgendorfi Bourencer, 1899, Ann. Mus., Congo, Zool. I, p. 91, pl. XXX VII, fig. 5 et 1901, Poiss. Bass. Congo, p. 168. Huit exemplaires. Nom local : obaka — ondoga (g.) « Le long des rives. » À part un jeune de 37 + 8 — 45 millimètres, tous les autres spéci- Fic. 2. — Nageoires du Petersius Hilgendorf (gr. nat.). mens d’une longueur comprise entre 42 + 11 = 55 et 55 + 15 — 70 millimètres et qui doivent être des mâles ont certains rayons des nageoires très prolongés, filamenteux et cela à un point souvent beau- coup plus marqué que dans la description donnée par Boulenger. C’est ainsi que sur plusieurs individus (fig. 2) quelques rayons de la 24 JACQUES PELLEGRIN dorsale, atteignent non seulement le pédicule caudal, mais sont pro- longés jusqu’à l’extrémité des rayons médians de cette dernière na- geoire. À l’anale le bord externe est non seulement très convexe mais la partie médiane est prolongée en filament. Les ventrales sont fila- menteuses et dépassent parfois de beaucoup l’anale, enfin fait beaucoup plus rare chez les Poissons, les pectorales elles-mêmes, peuvent aussi être prolongées en un filament qui atteint l’anale. Il n’y a que les lobes de la caudale qui ne subissent pas de modifications. Une autre particularité intéressante mérite d’être signalée : chez l’un des spécimens de cette jolie petite espèce se trouvent dans la cavité bucco-branchiale quelques œufs relativement volumineux d’un diamètre de 1 millimètre 75. S'agit-il d’un fait d’incubation buccale comme il en sera relaté plus loin à propos, des Zilapia, est-ce tout simplement un aliment que l’Animal était en train d’avaler ? La ques- tion est difficile à résoudre. Bien des Poissons sont très friands du frai des autres espèces et même comme notre Truite indigène de leur propre espèce, d'autre part l’incubation buccale n’est pas rare dans les régions tropicales chez plusieurs formes carnassières des familles des Cichlidés, des Siluridés. 11 faut reconnaitre toutefois qu'aucun cas analogue n’a encore été signalé, que je sache, dans la famille des Cha- racinidés. Le Petersius Hilgendorfi Boulenger a été décrit primitivement du bassin du Congo, mais son habitat doit être étendu à celui de l'Ogooué. 17. Hemisricaopus VatrLLanTi Pellesrin. (PL. I fig.1) (1). Hemistichodus Vaillanti PeiLecriN, 1900, Bull. Mus. Hist. nat., p. 3%2. Trois exemplaires de 36+8 = 44, 57 +13 — 70, 59 +15 = 74 millimètres. D’après M. Haug, l'espèce qu'on capture le long des rives est très rare et la preuve c’est que le nom indigène lui est inconnu. Ce genre curieux n’était connu jusqu'ici que par le type mesurant 110 millimètres, provenant d’Adouma sur l’Ogôoué et rapporté par la mission de lOuest africain en 1886. Les spécimens récoltés par M. Haug, parmi lesquels se trouve un jeune, permettent de complèter ainsi la diagnose primitive. (1) Le Poisson figuré ici grandeur naturelle est le type. no SUR UNE COLLECTION DE POISSONS DE L'OGÔOUÉ 27 La hauteur du corps est contenue 4 fois 1/4 à 5 fois 1/4 dans la longueur sans la caudale, la longueur de la tête 3 fois 2/3 à 4 fois 1/4. Le diamètre de l’œil est compris 3 fois 1/2 à 4 fois dans la longueur de la tête, 1 fois à 1 fois 1/4 dans l’espace interorbitaire. On compte 6 ou 7 écailles entre la ligne latérale et la ventrale. La coloration est la même chez le jeune que chez les adultes. D. 13-15; A. 11-12; Ec. 70-78 — L'espèce n’atteint jamais une grande taille, le spécimen de 70 milli- mètres est une femelle à ovaires gonflés d’ovules d’un diamètre ne dépassant pas ordinairement un demi-millimètre. 48. NANNÆ'THIOPS UNITÆNIATUS Günther. Deux exemplaires. Nom local : nkozo (g.) (nk.). « Aux eaux moyennes et hautes, en bancs serrés, vers le soir, le long des rives. » Espèce découverte au Gabon et connue maintenant de la Côte de l’Or au bassin du Congo et suivant Boulenger jusqu’au Nil blanc. 19. NanNocHARAXx PARVUS Pellegrin. Nannocharax parvus PEeLLEGRIN 1906, Bull. Mus. Hist. nat., p 469. La hauteur du corps est contenue 3 fois 3/4 à 4 fois 1/4 dans la lon- gueur sans la caudale; la longueur de la tête 3 fois 2/3 à 4 fois. La tête est plus haute que large ; le museau un peu plus court que l'œil dont le diamètre, supérieur à l’espace interorbitaire, est compris 3 fois environ dans la longueur de la tête. La bouche est presque termi- nale; les dents sont peu nombreuses, bicuspides. Les ouïes sont libres sur les côtés seulement. La ligne latérale complète, à tubes droits, suit le milieu du corps. On compte 38 à 40 écailles, à bord libre fortement cilié, en ligne longitudinale #4? en ligne transversale, 4 entre ligne latérale et la base de la ventrale. La dorsale, à 13 ou 14 rayons dont 10 ou 11 branchus, commence au-dessus de la base de la ventrale, elle est plus rapprochée de l’origine de la caudale que du bout du museau ; sa plus grande hauteur en avant atteint environ la longueur de la tête. L’adipeuse est très petite. L’anale, à 11 ou 12 28 JACQUES PELLEGRIN rayons dont 8 ou 9 branchus, est beaucoup plus rapprochée de l’ori- gine de la caudale que de la base de la ventrale. La pectorale pointue fait les 2/3 de la longueur de la tête et n’atteint pas la racine de la ventrale; cette dernière arrive à l'anus. Le pédicule caudal est un peu plus long que haut; la caudale est fourchue. La coloration est brun olivâtre au-dessus, blanc jaunâtre au-des- sous. Une bande noire s'étend longitudinalement depuis le bout du museau jusqu'aux rayons médians de la caudale. Les nageoires sont grisâtres, parfois légèrement noirâtres, À D. 13-14; A.11-12; E. 38-40 UE? 6 1/2 No 06-194. Coll. Mus. — Ngomo (Ogôoué) : M. E. Haug. (1) 5 exemplaires. Longueur : 3646 — 42 mm., 34 + 6 — 40 mm., 34 + 6 — 40 mm., 32 + 5 — 37 mm., 32 + 5 — 37 millimètres. Cette petite espèce qui vient s'ajouter aux sept déjà connues du genre Vannocharax serapproche de N. brevis Boulenger (2) de l'Ouban- ghi dont elle diffère principalement par la pectorale plus courte et par la coloration qui présente une grande analogie avec celle du Nannæthiops unitæniatus Günther. D’après M. Haug ces petits Poissons portentle nom real d’onoungou (g.) ; ils se rencontrent « aux eaux moyennes et hautes, en bancs serrés, vers le soir, le long des rives. » 20. XENOCHARAX SPILULUS Günther. Un exemplaire. Noms locaux : ishogo (g.) (nk.) efwenyi (p.) « Très commun aux embouchures des ruisseaux faisant communiquer les marigots avec le fleuve. » Cette espèce est très répandue du Cameroun au Congo. Cyprinidæ. 21. LABO Macrosroma Boulenger. Cinq exemplaires de 58+ 16 = 74 à 68 + 17 — 85 millimètres. Noms locaux : oroungou (g), otoungou (uk). « Eaux profondes, sur les roches, rares. » (1) Un spécimen de 25 + 4 —29 millimètres appartenant également à cette espèce avait été déjà rapporté en 1892 de Banghi (Oubanghi) par M. J. Dybowski et était passé inaperçu au milieu de Nannæthiops unitæniatus Günther. (2) Ann. Mus. Congo, Zoo!l. Il (2). 4902, p. 27, pl. VIE, fig. 2 SUR UNE COLLECTION DE POISSONS DE L'OGÔOUÉ 2) Je rapporte à cette espèce ces petits spécimens car c’est de cette forme qu’ils se rapprochent le plus mais étant données leurs faibles dimen- sions cette détermination n’est peut-être pas d’une certitude absolue. L'un des types de l’espèce provenant de Matadi (Bas-Congo) ne mesure pas moins, eneflet, de 59 centimètres. 22. Barsus BRazzat Pellegrin. (PL. I. fig. 2) (b). Barbus Braz:æ PELLEGRIN 1901, Bull. Mus. Hist. nat. p 330 ; BOULENGER 1902, Ann. Mus. Congo. Zool. Il. (2) p 31. Un exemplaire de 58 + 21 — 79 millimètres. Noms locaux ndjoulou (g.) (nk.\, ndze mengouvwa (p.) Cette espèce a été décrite d’après un seul spécimen de 110 millimèe- tres provenant de Mobaka sur la Sanga et dû à la mission de l'Ouest africain dirigée par M. J. de Brazza. Elle est surtout remarquable par Pabsence de barbillons. Sur le spécimen rapporté par M. Haug il existe, à vrai dire, de chaque côté un vestige, à peine perceptible d’ailleurs, de la paire postérieure, mais l'individu se rapprochetrop du type par l’ensemble de ses autres caractères pour qu'il me semble possible de l’en séparer. Le D.U; A8; .KEc. % . vw 23. Barizius Kincszeyx Boulenger. Opsaridium fasciatum Vaircanr 1886 (nom. nudum), Revue Scientifique 3e sér. XII. p. 18. Barilius bibie (nec Joannis 1835) Günruer 1896, Ann. Mag. Nat. Hist. (6) XVII, p, 277, pl. XV, fig. C. Barilius Kingsleyæ BouLencer 1899, Ann. Mus. Congo, Zool. I. p. 103 et 1901 Poiss. Bass. Congo. p. 233. | Quatre exemplaires de 95 +20 — 115 mm., 90 + 20 = 110 mm., 40 + 12 — 59 mm., 21 + 7 — 28 millimètres. Nom local : 6yôyo (g.) (nk.) «Le long des rives » : (1) Le Poisson figuré ici grandeur naturelle est le type. 30 JACQUES PELLEGRIN Chez l’alevin de 28 millimètres de longueur, le museau est plus court que l’œil, les 14 ou 15 barres verticales du corps non encore visibles, mais la tache noire de la base de la caudale est déjà fort nette. L'espèce qui atteint une quinzaine de centimètres est connue du Cameroun au Congo. Siluridæ. 94. CLARIAS ANGOLENSIS Steindachner. Un exemplairede 290 + 40 = 330 millimètres. Noms locaux : nyozi (g.) (nk.), ntoumouli (p.) « Ces Poissons montent sur les berges, en rangs serrés, surtout de nuit, quand le début de la crue coïncide avec une averse, et vont se jeter dans les marigots. » On sait, d’après d'assez nombreuses observations faites aussi bien en Afrique qu'aux Indes que les Clarias sont de véritables amphibies et qu'ils peuvent, grâce à l’appareil arborescent qui Romont leurs branchies, demeurer à terre très longtemps. D'après M. Haug un gros Clarias voisin de celui por par lui émigre par centaines d'individus qui, au dire des indigènes, font alors à terre dans la nuit un bruit comparable à celui d’un troupeau de Bœufs en marche. ‘Le Clarias angolensis Steind. décrit d’abord de l’Angola remonte au Nord jusqu’au Niger. 25. EurroPius GRENFELLI Boulenger Un exemplaire de 160 + 40 = 200 millimètres. Noms locaux : oyara (g.) omwara (nk.) « Très commun aux eaux moyennes. » L'espèce avait été signalée jusqu'ici au Congo et au Tchad. 26. PaysaïciA occinenraLis Pellegrin. Ailia occidentalis PezceGriN 1901 Bull. Mus. Hist. nat. p. 331 Deux exemplaires de 60 + 12 — 72 mm., et 50 + 12 — 62 milli- mètres. Nom local : ebiolo «En bancs serrés pendant les crues, pressés contre les rives. Confondus avec les jeunes de l’£utropius. » SUR UNE COLLECTION DE POISSONS DE L'OGÔOUÉ 31 Cette espèce n’était connue que par un spécimen de 85 millimètres, provenant du Cap Lopez et dû à M. Boisguillaume. Elle se distingue des deux autres espèces du genre par la moindre longueur de son anale qui ne comprend que 57 à 61 rayons, au lieu de 65-72 chez Physailia pellucida Boulenger (*) du Ht. Nil, et de 69-72 chez Physailia somalensis Vinciguerra (?) de Ganana. Le caractère des denticulations de la pectorale est assez variable, difficile à observer et ne saurait, semble-t-il, être pris en très impor- tante considération. 27. CarRysICHTHYS KiNGSLEYÆ Guünther. Unexemplaire de 175 + 52 = 227 millimètres. Noms locaux : nkémbè (g.) (nk.) nkeme (p.) « Dans les creux des rochers et des troncs immer- gés. Creusent quelquefois, en bandes de 5 à 10, les berges argileuses pour s’y loger. » Ce Poisson n’est connu que de l’'Ogôoué. 28. SynoponTis Haut Pellegrin. (PL. I. fig. 3) Sgnodontis Haugi PELLEGRIN, 1906. Bull. Mus. Hist. nat. p. 470. La hauteur du corps est contenue 3 fois 3/4 dans la longueur sans la caudale ; la longueur de la tête 3 fois 1/2. Le museau obtus, réguliè- rement arrondi fait la moitié de la longueur de la tête. L'œil est su- père, son diamètre est compris 5 fois 1/2 dans la longueur de la tête, un peu plus de deux fois dans l’espace interorbitaire qui est très légè- rement convexe. La bouche a les lèvres assez développées ; les com- missures labiales sont épaisses, fortement papilleuses. Les barbillons maxillaires simples, non membraneux s'étendent très peu au delà de l'origine de la pectorale ; les mandibulaires externes portant 7 ou 8 filaments unisériés, se terminent au niveau de l’origine de la pectorale ; les mandibulaires internes portant 5 ou 6 paires de filaments rameux, robustes, atteignent seulement le niveau du centre de l'orbite. Les (4) Ann. Mag. Nat. Hist. 1904 (7) VII, p. 445. (2) Ann. Mus. Genovu 1897, (2) XVIII, p. 346. 92 JACQUES PELLEGRIN dents intermaxillaires forment une plaque courbe transversale. Les dents mandibulaires principales, très petites, crochues, mesurant moins de la moitié du diamètre de l’œil sont au nombre de 50. On ne distingue pas de dents mandibulaires postérieures. La fente oper- culaire ne s'étend pas au-dessous de la base de la nageoire pectorale. Le prolongement nuchal est obtusément relevé en toit en arrière, couvert de fines granulations et vermiculations-anastomosées ; les poin- tes latéro-postérieures triangulaires, à sommet arrondi, dépassent très peu le bord postérieur de l’épine de la dorsale. Le prolongement huméral caréné, est triangulaire, élevé, sa hauteur faisant la moitié de sa longueur ; son angle postérieur aigu se termine légèrement au delà de la pointe latérale du prolongement nuchal. La peau est recouverte de villosités bien marquées sur les flancs antérieurement. La dorsale a 7 rayons branchus ; son épine, un peu moins longue que la tête, est striée sur les côtés, granuleuse antérieurement et porte en arrière une trentaine de petites denticulations réclinées. La dorsale adipeuse séparée de la première dorsale par un espace égal à la base de celle-ci est près de deux fois plus longue ; sa hauteur est le quart de celle du corps. L’anale a 11 rayons dont 8 branchus. L’épine de la pectorale égale environ l’épine de la dorsale mais est plus robuste, elle porte une quarantaine de petites dents sur son bord antérieur ; en arrière On compte environ 30 dents plus fortes, réclinées. La ver- trale n’atteint pas l’anale. La caudale est médiocrement fourchue, l'angle supérieur dépassant légèrement l’inférieur. La coloration est uniformément chocolat, sans trace d'aucune tache. DEAN PAUITS EAP ONE PANEMCE No 06- 209. Coll.Mus. —Ngomo (Ogôoué) : M. Haug. Longueur 210 + 60 = 270 millimètres. Cette espèce que je me fais un plaisir de dédier à M. Haug est extrè- mement voisine de Synodontis polyodon Vaillant (4) des mêmes ré- gions. Elle s’en sépare toutefois par le moindre nombre des dents mandibulaires (50 au lieu d’au moins 75) {2) caractère qui aux yeux de la plupart des ichtyologistes, n’est pas sans valeur. (3) Elle pré- (1) Bull. Soc. Philom. Paris,’1895, p. 48 et N. Arch. Mus. 3° sér. t. VILL 1896, pd27, plXl fs 4 ME tb: (2) La taille des deux exemplaires types de S. polyodon provenant d’Adouma (Ogôoué) etdüs à la mission de l'Ouest africain est respectivement de 175 + 48 —223 millimètres et de 124 + 41 — 163 millimètres. (3) & D'accord avec Vaillant et G. Pfeiffer, écrit M. BouLenGer (Poiss. Bass. Congo. 1901, p. 303), j'attache grande importance au nombre et à la grandeur des dents mandibulaires antérieures grêles et mobiles. » SUR UNE COLLECTION DE POISSONS DE L'OGÔOUÉ 33 sente également quelques affinités avec S. melanopterus Boulenger (1) du delta du Niger. D'après M. Haug ce Synodonte porte le nom d’ikogo (g.) (nk.), «il fait entendre au fond de l’eau un son semblable à un grognement ». Beaucoup d'auteurs ont signalé déjà chez les Synodontes l'émission de sons paraissant produits par l’action des muscles qui entourent la vessie natatoire compressible à volonté et par le grincement des épines de la dorsale et des pectorales. Cyprinodontidæ. 29 HAPLOCHILUS SPILAUCHEN À. Duméril. Un exemplaire de 40 + 10 = 50 millimètres. Nom local obongo (g). « En petites bandes, à la surface, près des rives, en toute saison. » Cette minuscule espèce est commune du Sénégal au Congo. Syngnathidæ. 30. SynGNaATHUS Kauprt Bleeker. Trois exemplaires de 100, 79 et 74 millimètres de longueur totale. Nom local : nghènè (g.) « Près des rives vaseuses. » C'est une espèce marine des côtes de Guinée. Polynemidæ. 31. POLYNEMUS ouapririLis Cuvier et Valenciennes. Un exemplaire. Noms locaux : ntsèna (g.) (nk.), ntsina (p.) « Très fréquent dans tout le bassin de lOgôoué. » C’est une espèce marine répandue de l’embouchure du Sénégal à celle du Congo qui remonte plus ou moins haut dans les rivières à la façon de certains Muges. (1) Pr. Zool. Soc. Lond. 1902, p. 327, pl. XXIX, fig. 1. 34 JACQUES PELLEGRIN Anabantidæ. 32. ANABAS NIGROPANNOSUS Reichenow. Quatre exemplaires de 90 + 2% — 114 à 130 + 38 = 168 milli- mètres. Nom local : konyenda. « Surtout dans les ruisseaux et mari- gots. » ï Ce Poisson est répandu au Gabon, dans l’Ogôoué et jusqu’au Bas- Congo. 33. ANABAS KINGSLEYÆ Gunther. Deux exemplaires de 135 + 35 — 170 mm. , et 195 + 50 = 245 millimètres. Nom local : nyenda (g.) (nk.) « Surtout dans le flenve » Il y a lieu d’insister sur la taille tout à fait remarquable près de 25 centimètres, d’un de ces spécimens, qui parait être le plus gros qu’on ait signalé jusqu'ici dans l’espèce. Boulenger (1) indique, en etfet, comme longueur totale pour celle-ci 165 millimètres. Cet Anabas habite depuis la Sénégambie jusqu’au Congo. Nandidæ. 34. POLYCENTROPSIS ABBREVIATA Boulenger. Polycentropsis abbreviata Boulenger, 1901, Pr. Zool, Soc. Lond. p. 8, pl. IL, fig. 2,2 a. ; Trois exemplaires de 39 + 11 — 50 mm, 58 + 12 — 70 mm. , 60 + 14 — 74 millimètres. Nom local : ébôkô z’aghèma (g.) (nk.) (en mot à mot : hanche ou bassin du peuple des Singes. ) « D’après les indigènes le plus vieux de tous les Poissons. Dans les ruisseaux herbeux, rare partout. » La découverte à Ngomo dans l’Ogôoué de trois spécimens de ce genre curieux, unique représentant en Afrique, de la famille des Nan- didés (2) est des plus intéressants. Les deux exemplaires types, du delta du Niger, mesuraient 68 mil- limètres. Ceux rapportés par M. Haug se rapportent très exactement (1) Poiss. Bass. Congo. 1901, p. 316. (2) Les Nandidés sont de petits Poissons carnivores perciformes habitant les eaux douces de l’Inde et du Sud-Est del’Asie, ainsi que celles de l'Amérique méridionale. Jusqu'à ces dernières années on ne connaissait que les genres asiatiques Nandus, Catopra et Badis et les genres américains l'olycentrus et Monocirrus. SUR UNE COLLECTION DE POISSONS DE L'OGÔOUÉ 35 à la description donnée par M. Boulenger, ainsi qu’on peut s’en rendre compte par la comparaison des formules. Spécimens typiques : D.XV-XVI 11: A.X 9; Sa. 32-35 + ; Br.i0. 17 ? Spécimens de M. Haug: D. XV-XVI 9-10; A.IX 8-9; Sq. 31-33 18-19 ? Br. 10-11. Sciænidæ. 39. CORVINA NIGRITA Cuvier et Valenciennes. Un exemplaire. Noms locaux : mongo (g.) mpogozandamina (nk.) « Près des embouchures des ruisseaux. » C'est une forme marine, décrite d’abord du Sénégal, qui entre dans les rivières ainsi que plusieurs espèces du genre. Scorpididæ. 36. Psertus SEBAI Cuvier et Valenciennes. Un exemplaire. Noms locaux : ighenghe (g.) (nk.) avanga (p. « Charge avec avidité les Pellonula. » C’est encore une forme marine comme la précédente qui remonte : les rivières du Sénégal au Congo. Cichlidæ. 37. HeMIcHROMIS FAsCraATUS Peters. Un exemplaire. Noms locaux : orindi (g.) (nk.) eso (p.) « Com- mun partout. » C’est une espèce des plus répandues dans les cours d’eau de l’Ouest- africain du Sénégal au Congo et au Chari. 38. HeMICHROMIS BIMACULATUS Gill. Sept exemplaires. Nom local : eworo (g.) (nk.) « Pendant toute l’année, commun partout. » 30 JACQUES PELLEGRIN Ce Poisson a une distribution géographique des plus vastes; ïl habite le nord de l'Afrique au sud de l’Atlas, le Tchad etle Nil et toute l'Afrique occidentale. 39, PecmarocHromis REGANr Pellegrin. (PI. L. fig. 4). Pelmatochromis Regani PezreGriN 1906, Bull. Mus. Hist. nat. p. 471. La hauteur du corps égale environ à la longueur de la tête est contenue 2 fois 2/3 dans la longueur sans la caudale. Le profil du museau descend en ligne droite, sa longueur fait un peu plus de 2 {ois le diamètre de l'œil qui est contenu 4 fois 4/2 dans la longueur de la tête, ! fois 1/3 dans l’espace interorbitaire. Le maxillaire s'étend légè- rement au delà de la verticale abaissée de la narine. Les dents sont en 6 ou 7 séries à chaque mâchoire, la série externe largement séparée des séries internes est composée de dents beaucoup plus volumineuses à pointe brune, à peine dirigées vers l’extérieur sur les côtés de la mandibule. On compte # rangées d’écailles sur la joue ; les écailles operculaires sont volumineuses. Les branchiospines courtes, élargies, à bord supérieur frangé, sont au nombre de 14 à la base du 1 arc bran- chial, Les écailles ne sont pas denticulées. La ligne latérale supérieure estlimitée à la portion caudale. On compte 28 écailles en ligne longi- tudinale 21? en ligne transversale. La nageoire dorsale se compose de 44 épines et de A1rayons mous, les épines sont inégales, la dernière fait le 1/3 de la longueur de la tête. L’anale est composée de 3 épines croissantes et de 7 rayons mous prolongés en pointe comme ceux de la dorsale. La pectorale qui n’arrive pas à l’anale est arrondie et fait les 2/3 environ de la longueur de la tête. La ventrale pointue dépasse l'anus. Le pédicule caudal est à peine plus haut que long. La caudale est arrondie. La coloration est brun olivâtre au-dessus et sur les côtés, avec des traces de 5 à 6 fasciatures sombres, violacée et jaunâtre au-dessous. Il existe une large tache noire operculaire. Les nageoires impaires sont grisâtres, avec des séries de petites taches claires sur la dorsale molle et surtout sur la caudale. Il n’existe pas de points noirs sur la membrane interépineuse de la dorsale. DENINEAU ES AMIE NP US POP CES EU L. lat. n° 10 10 N° 06-229. Coll. Mus. - Ngomo (Ogôoué) : Haug. Longueur: 130 +35 — 165 millimètres. SUR UNE COLLECTION DE POISSONS DE L'OGÔOUÉ 31 Cette espèce que je dédie bien volontiers à M. Tate Regan, du British Museum de Londres, qui a publié récemment une révision des Cichli- dés américains, se rapproche surtout de Pelmatochromis Guentheri Sauvage de la Côte de l’Or et de P. Pellegrini Boulenger (1) du delta du Niger. Elle s’en distingue principalement par ses séries de dents plus nombreuses aux deux mäâchoires (6-7 au lieu 2-3) et par une ran- gée d’écailles de plus entre la ligne latérale supérieure et l’origine de la dorsale. AE D’après M. Haug ce Poisson porte les noms locaux de nkondo mbo- wolia (g.) (nk.) — nkorè (g.), engwala (p.), il est relativement rare et sa présence n’est constatée seulement qu’en septembre-octobre. 40. PELMATOCHROMIS NIGROFASCIATUS Pellegrin. Paratilopia nigrofasciata PELLEGRIN 1900, Bull. Mus. Par. p. 353 et BouLencER 1901. Poiss. Bass. Congo. p.421. Pelmatochromis Batesii BouLencer 1901, Ann. Mag. N. H.(7) VIIL p. 114. Pelmatochromis nigrofasciatus Pellegrin 1904 Mem. Soc. Zool. Fr, 1903, XVI p. 280, pl. VI, fig. 2. Un exemplaire de 65 + 20 — 85 millimètres. Non local : ndianga (g). « Pendant toute l’année, commun partout. » Cette espèce a été décrite d’après deux spécimens de 90 et 75 milli- mètres provenant de Nganchou et rapportés par la mission de lOuest africain. Les types de Pelmatochromis Batesi Boulenger proviennent de la rivière San Bénito. Chez le spécimen recueilli par M. Haug la dernière épine de la dor- sale fait presque la moitié de la longueur de la tête. Voici les nombres relevés sur cet individu : D. XIV 10; A.IHS8: Éc. 28 + : Br. 41. 41. TILAPIA FLAVOMAGINATA Boulenger. Quatre exemplaires adultes de 180 + 45 = 225mm., 18515 — 230 mm. , 200 + 40 — 240 mm., 210 + 50 — 260 millimètres. Nom: local ntsèvi (g). M. Haug fournit sur ces Poissons les renseigne ments suivants qui s'appliquent égalementau T. melanopleura À. Dum. : « Se rencon- A —————_—_—_—_—————————————————— (l) Pr. Zool. Soc. Lond. 1902, p. 328,pl. XXIX, fig. 2. 38 JACQUES PELLEGRIN trent rarement aux hautes eaux (octobre-décembre, mars-mai). Très communs aux basses eaux(surtout juillet-septembre), pendant la saison sèche. Il sont alors l’objet d’une pêche très importante à l’épervier et à la senne. Ils se tiennent de préférence sur les fonds de sable ou d'argile de 20 à 60 centimètres. Ils creusent des excavations de 30 centi- mètres à À mètre de diamètre et de 10 à 30 centimè- tres de profondeur. OEufs en août, jeunes dans la bouche de l'adulte au commencement d'octobre. » ) Parmi les spécimens recueillis par M. Haug, celui 7 _ de 230 millimètres est particulièrement intéressant. La gueule est remplie d'œufs jaunes, de forme AE ils ovoïde, relativement volumineux (#g. 3). Leur marginata (gr. grand diamètre mesure 3 millimètres 5 à 4 milli- deux fois). ù PAC a mètres, leur petit diamètre de 2 mm. 5 à 3 milli- mètres. (1) Leur nombre est d’une centaine. Ils remplissent complètement la cavité bucco-branchiale à la partiesupérieure de laquelleilsont marqué une empreinte très nette. Le plancher inférieur de la bouche est dis- tendu par eux etforme une saillie notable, visible à l'extérieur (/#g. 4.) Les œufs sont retenus en bas et en arrière par les branchiospines qui les empêchent de s'engager entre les lamelles branchiales. Antérieu- rement une disposition anatomique des plus curieuses et déjà signalée par moi à propos du Pelmatochromis lateralis Boulenger (2) des mêmes régions les empèche de faire issue au dehors ; en effet, il existe aux deux mâchoires une membrane que l’on peut nommer ovigère, qui s'étend transversalement en arrière de la surface alvéolaire. A la -mâchoire supérieure la partie médiane de cette membrane n’a pas moins de # millimètres de hauteur, elle ne mesure que2 millimètres à la mandibule. La disposition et les dimensions de ces voiles mem- braneux sont telles que pendant l’incubation la bouche distendue étant légèrement ouverte, les œufs ne sont pour ainsi dire pas visibles à l'extérieur et que leur issue au dehors n’est pas possible. L'exemplaire est une femelle, l’autopsie révèle des ovaires flasques, réduits, avec des ovules à divers états de développement mais d’un diamètre généralement compris entre 0 mm. 5 à 1 millimètre. L’incubation des œufs et des jeunes dans la cavité buccale est un (1) Bouzencer (Tr. Zool. Soc. Lond. XVIIL (4), 1906, p. 539) indique que chez un Cichlidé peu éloigné du genre Tilapia, l'Haplochromis (ou Astatolilapia) Desfontai- nesi Lacépède les œufs également ne sont pas complètement ronds : « The egg of this fishist not pefectly round, the upper pole being somewhat pointed ». (2) Mém. Soc Zool. Fr. XVI 1903 (1904) p. 115, fig. 28. SUR UNE COLLECTION DE POISSONS DE L'OGÔOUÉ 39 fait maintenant assez bien connu chez bon nombre de Poissons de la famille de Cichlidés et particulièrement dans le genre 7ilapia, mais n’avait pas encore été signalée chez le Z'ilapiu flavo- marginata Boulgr. En outre, les zoologistes ne sont pas d'accord sur le sexe qui pro- tège ainsi sa progéniture. Certains à la suite de Lortet et Günther ont prétendu que c'était le mâle qui se chargeait ainsi des soins donnés aux œufs et aux alevins. L’exemplaire rapporté par M. Haug vient Re fortifier - cpiaiee contraire et confirmer. vomarginata portant ses ainsique je l’ai montré à plusieurs reprises œufs. (réduite.) (4) et comme l’admet également M. Bou- lenger, que c'est la femelle qui chez les Gichlidés africains s'occupe de ses descendants. | M. Haug fournit aussi quelques renseignements curieux et nou- veaux sur la durée de cette incubation qui s’étenderait d’août au com- mencement d'octobre. Pendant cette longue période de près de deux mois il semble bien difficile que le Poisson puisse prendre la moindre nourriture et il doit se trouver dans des conditions physiologiques assez particulières pour pratiquer ce long jeûne. Il y a, en tout cas, encore bien des observations curieuses à recueillir à ce sujet. av J. PEL A2. TILAPIA MELANOPLEURA À. Duméril. Un exemplaire de 210+ 70 — 280 millimètres. Nom local : ikorra (g). D'une façon générale les Cichlidés sont désignés par les indigènes par les termes : nkondo (g.) (nk.), ekouni (p.). Ce spécimen fut pris en octobre 1905 dans une nasse placée dans un barrage, 10 ou 15 jours après le commencement des pluies et de la crûe des eaux de l’Ogôoué. D'après M. Haug, le Poisson capturé et mis hors de l’eau laissa échapper de sa gueule en se débattant quelques petits alevins. Ceux-ci mesuraient de 1 em. à { cm. 5. Leur nombre total n’était guère que d’une vingtaine, mais il ne faut pas oublier que l’animal avait séjourné plusieurs heures dans la nasse où il avait pu perdre quelques-uns de ses petits. Ceux qui restaient dans la bouche ont disparu d’ailleurs durant le voyage. Néanmoins c’est OR ne ce SAM RUN ser (1) Op. cit. p. 117; CR. Congr. Zool. Berne 1904, p. 330. 40 JACQUES PELLEGRIN une nouvelle espèce à ajouter à la liste déjà longue des Cichlidés qui pratiquent l’incubation buccale. Ce Tilapie se rencontre du Sénégal au Congo et jusqu’au Chari et au Chiré. Carangidæ. 43. TRA CHYNOTUS GOREENSIS Cuvier et Valenciennes. Deux exemplaires. Nom local : evoune. «Relativement rare, dans les lacs ». C’est une espèce marine de la côte occidentale d'Afrique qui s'étend dans l'Atlantique jusqu’à la mer des Antilles. Il est fort curieux que ce Poisson se soit adapté ainsi à la vie dans les eaux douces et il n’est pas étonnant que sa présence y soit encore rare. Pleuronectidæ. 4. CYNOGLOSSUS SENEGALENSIS Kaup. Un exemplaire. Nom local : Ogoré wa gô ntchoua (g.). Ces derniers termes indiquent la provenance marine du Poisson. « Assez rare, sur les roches. Pêché jusqu’à 400 kilomètres de la mer. » Cest une espèce marine qui remonte les rivières du Sénégal à l’Ogôoué. Gobiidæ. 45. ELEOTRIS SENEGALENSIS Steindachner. Deux exemplaires de 145 + 45 — 190 mm.., et 115 + 30 — 145 milli- mètres. Nom local : nkeni (g.). Les nombreuses espèces du genre £leotris sont tantôt marines, tantôt dulcaquicoles. L’Æleotris senegalensis parait plutôt être de ces der- nières, il remonteles rivières du Sénégal à lOgôoué. D’après Günther (1) il se rencontrerait dans ce fleuve jusqu’à Kondo-Kondo. 4 Ann. Mag. Mag. Hist. (6) XVII, 1896, p. 267. SUR UNE COLLECTION DE POISSONS DE L'OGÔOUÉ 41 : 46, GOBIUS LATERISTRIGA À. Duméril. Deux exemplaires de 80 + 20 — 160 mm., et 40 + 9 — 49 millimé- tres. Nom local : petou (g.) «très commun la nuit le long des rives et sur les bancs de sable. » Voici quelques indications au sujet du plus grand de ces deux spécimens qui permettront de compléter la diagnose un peu sommaire de Duméril. La hauteur du corps est contenue 6 fois dans la longueur sans la caudale, la longueur de la tête 3 fois 3/4. Le grand diamètre de l’œil est compris 5 fois dans la longueur de la tête, 1 fois 1/2 dans la lon- gueur du museau qui fait la moitié de l’espace interorbitaire. Les dents sont crochues, en plusieurs séries, celles de la série externe plus volumineuses à la mâchoire supérieure, il n’y a pas de canines. Le maxillaire s'étend jusqu’au-dessous du tiers antérieur de l'œil. On compte 60 écailles en ligne longitudinale à partir de la fente bran- chiale, celles de la nuque et du ventre sont beaucoup plus petites. La caudale est arrondie. D. VI-[10; A,140; Ec. 60. Sur les deux exemplaires types de Duméril mesurant 112 et 89 mil- limètres provenant du Gabon et dûs àAubry-Lecomte, on compte 57 ou 58 écailles en ligne longitudinale. 11 n’y a pas de canines. Le maxil- laire n’arrive qu’au dessous du bord antérieur de l’œil. La caudale est arrondie. Les très nombreuses espèces du genre Gobius sont en général marines, quelques unes cependant entrent dans les rivières et s’y sont même plus ou moins complètement adaptées. Mastacembelidæ. 47. MasTAcEMBELUS MaRCREI Sauvage. Un exemplaire de 115 millimètres. Nom local : nghènè (g.) Non dis- tingué de l’espèce suivante. « Dans les roches. Les Galwas croient sa morsure venimeuse. «On n’en guérit qu’en commettant un inceste. » Les Pahouins le mangent après avoir coupé le bec. » À l'arrivée lexemplaire avait le dessous du corps d’un magnifique jaune safran. L’espèce est spéciale à l’Ogôoué. 42 JACQUES PELLEGRIN 48. MASTACEMBELUS 60R0 Boulenger. Mastacembelus goro BOULENGER 1902 Ann. Mus. Congo, Zool. II (2). p.54, pl. XV, fig. 3. Deux exemplaires de 222 et 196 millimètres. Je rapporte à cette espèce décrite de l’Oubanghi ces deux individus dont la coloration s’écarte un peu de celle indiquée par Boulenger. Chez les spécimens dûs à M. Haug la teinte du fond est chocolat, le ventre est jaune ou orangé, le tout marbré de taches arrondies, irrégu- lières, inégales, d’une nuance jaunâtre parfois bleutée ; toutes les na- geoires molles impaires sont finement liserées de blanc. Il y a XX VIIT épines à la dorsale. Bar-le-Duc. — Imp. Comte-Jacquet, FacpoueL, Dir. PIE VE TE VE PS … TABLE DES MATIÈRES DU FASCICULE I f 4 Pages. Liste des membres de la société . . . . . . . . . . . . Rte Het . Extrait des comptes-rendus des séances. .. . . . .. Re A Fa 8 M. Marage. — Photographie rapide des pRnCIpeles ete de la voix chantée et parlée RD NE DE APE DNS PAS PACA Na IC a APTE SE AR AURA 11 _dJ. Pellegrin. — Sur une collection de Poissons recueillie par M. E. Haug 4 Nebmo: (OS00RÉ) 4 0 PA RL te tee PA Peer Aa ‘ : : t L J \ L 7 ; [l S LE PRIX DES TIRÉS À PART EST FIXÉ AINSI QU'IL SUIT : . 25:ex. | 50 ex. | 75 ex. |100 ex. 1150 ex.|200 ex.|250 ex. ‘Une feuille .. . . . . | 4.50 | 5.85 | 7.20 | 8.10 | 10.60 | 12.85 | 14.85 Troisquartsde feuille. | 4 » | 5 » | 6.40 | + » | 9 140.60 112.15 Une démi-feuille. . . | 3.45 | 4 » | 5 » | 5.60 | 7.20| 8.10] 9 » Un quart de feuille. . | 2.70 | 3.60 | 4.25 | 4.75 | 5.60| 6.30] 8.85 Unhuitièmedefeuille. | 2 » | 2.70 | 3.45 | 3.60 | 4.05] 4.50! à » Plusieurs feuilles : & » | 5.40 | 6.30 | 7.20 | 9 »|44.70!14 » DR RE DR PP PR BA PRE PIE ET PRE LE RER PT nu nee tee) EE A Fe 3 2 {re série : de série : 3e série : 4e série : 5e série : 6* série : 71° série : 1789-1805 1807-1843 1814-1826 1832-1833 Chaque année pour les Membres de la Société. pourrie publiei see AE ER URe tles. sciences naturelles, à : Z A L'OCCASION DU 1788-1888 PUBLICATIONS DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE NOR 3 volumes in-4° 3 volumes in-2° 13 fascicules in-4° 2 volumes. in-4° 28 fascicules in-4° 13 fascicules in-8° 11 volumes in-8 ‘5: francs 42 francs RE TMT Mémoires origmaux publiés par Ja Nociété Philomathique -- Le recueil des mémoires originaux publie par la Société philomathique à l'oc- casion du centenaire de sa fondation (1788-1888) forme un volume in-k de 431. . pages, accompagné de: nombreuses figures dans le texte et de 24 planches. Les travaux, qu'il contient sont dus, pour les sciences physiques et mathématiques, à : MM. Désiré André ; E. Becquerel, de l'Institut ; Bertrand, secrétaire perpétuel de l’Institut; Bouty ; Bourgeois ; Descloizeaux, de l'Institut ; | Hardy ; Haton de la Goupillière, de l’Institut ; Laisant ; Laussedat, de l’Institut ; : Léauté, de l'Institut ; Mannheim ; Moutier ; Peligot, de l'Institut; Pellat. Pour MM. Alix ; Bureau ; Bouvier, de l’Institut ; Chatin, de “ l'Institut > Drake del Castillo ; Duchartre, de l'Institut ; H. Filhol ; Franchet ; Grandidier, de l’Institut ; Henneguy; Milne Edwards, de l’Institut ; Mocquard; Poirier; A. de Quatrefages, de l’Institut; G. Roze ; L. Vaillant. Fouret; Gernez ; En vente au prix de 35 francs. s AU SIÈGE DE LA SOCIÉTÉ, A LA SORBONNE Bar-le-Duc. — Imp. Comte-Jacquet, FAcnouer, Dir. PHILONATHIQUE DE PARIS FONDÉE EN 1788 NEUVIÈME SÉRIE. — TOME IX No2 DR RS = = ‘ 1907 ER PARIS au sièGe DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS A LA SORBONNE 1907 Le Secrétaire-Gérant, H. COUTIÈRE. + gas. néonie ah | In sù£, COMPOSITION DU BUREAU POUR 1907 Président : M. BerrneLor (Daniel), 3, rue Mazarine. Vice-Président : M. Lécaizcon, 28, rue Berthollet. Trésorier : M. Rasau», 3, rue Vaüquelin. Secrétaire des séances : M. Winter, #4, rue Sainte-Placide. Vice-Secrétaire des séances : M. LeBon, 4 bis, rue des Écoles. Secrétaire du bulletin : M. Counière, 12, rue Notre-Dame- des-Champs. : Vice-Secrétaire du bulletin : M. Nevvize, 55, rue de Buffon. Archiviste : M. Hexnecuy, 9, rue Thénard. La Société Philomathique de Paris se réunit les 2° et 4°. Samedis dé chaque mois, à 8 h. 1/2, à la Sorbonne (salle de travail des Étudiants). Les membres de la Société ont le droit d'emprunter des. ' livres à la Bibliothèque de l'Université. Ils-ont également … droit, sur leur demande, à 50 tirages à part gratuits des Mémoires qu'ils publient dans le Bulletin. Pour le paiement des cotisations et l'achat des publica- lions. s'adresser à M. Vézmaup, à la Sorbonne, place de la Sorbonne. Paris. Ve. 45 EXTRAITS DES COMPTES-RENDUS DES SÉANCES SÉANCE DU 9 FÉVRIER 1907 Présidence de M. Berthelot. M. Demoulin est élu membre correspondant dans la {re section. M. Tarry expose comment on peut trouver le jour correspondant à une date donnée, sans se servir de table, au moyen de certains nom- bres qu’il faut retenir. Le calcul est rapide. M. André présente quelques observations ; il fait connaître une bibliographie qui se rapporte à cette question et rappelle le procédé proposé par Edouard Lucas. SÉANCE DU 23 FÉVRIER Présidence de M. Berthelot. M. Tarry reprend l’étude, commencée à la précédente séance, de la détermination du jour qui répond à une date donnée. M. le Président lit une notice sur les travaux et la carrière scienti- fiques de M. Le Roux, Professeur honoraire à l’École Supérieure de Pharmacie, membre de la Société, mort récemment. Au sujet du banquet annuel, fixé au 25 février, la Société examine une proposition tendant à reculer dorénavant la date de ce banquet. SÉANCE DU 23 MARS Assemblée générale — Présidence de M. Lécaillon. La séance du 9 février n’a pu avoir lieu par défaut d'éclairage (grève des électriciens). IL est donné lecture d’une lettre de M. le Ministre de l’nstruction publique accordant à la Société sa subvention annuelle. M. le Président annonce à la Société la mort de deux de ses mem- bres : Marcellin Berthelot et le Colonel Laussedat : MESSIEURS, J'ai le plus profond regret:de vous annoncer la mort de notre illustre confrère M. Marcellin Berthelot. Vous appréciez tous la perte irrépa- rable que viennent de faire non seulement le monde scientifique, mais, 4 46 EXTRAITS DES COMPTES-RENDUS DES SÉANCES on peut le dire, l’humanité tout entière. Je ne puis retracer en ce moment, même très succinctement, l’œuvre de M. Berthelot, car cette œuvre, par l'importance des découvertes dont elle enrichit les branches les plus importantes de la science, fut véritablement grandiose. Aussi bien, des voix plus autorisées que la mienne, analysant parti- culièrement ses travaux sur la synthèse organique, sur la thermochimie, sur la physiologie même, rappelleront les titres qui font de M. Berthelot admiration des savants du monde entier et aussi ceux qui lui assu- rent une place à part dans la reconnaissance de tous les Français. M. Marcellin Berthelot faisait partie de la Société Philomathique depuis plus d’un demi-siècle, car il avait été élu en 1855. Ainsi qu’il le déclare lui-même dans sa notice sur les origines et sur l’histoire de la Société Philomathique, il en suivit les travaux d’abord comme titulaire, puis comme honoraire. Il en recueillit, dit-il, « les tradi- tion orales des vieillards d'alors, dont plusieurs avaient connu les fon- dateurs de la Société ». Et de fait, le grand intérêt que présente la notice à laquelle je viens de faire allusion, et dans laquelle M. Berthelot nous fit si bien connaître l’histoire de notre vieille Société, montre bien en quelle faveur celle-ci était auprès de l’illustre savant. Messieurs, au nom dela Société Philomathique, j’adresse respectueu- sement, à la famille de M. Berthelot, à notre Président, M. Daniel Berthelot, l'expression de notre très sincère condoléance. MESSIEURS. Avant de vous proposer de lever la séance en raison du deuil qui atteint la Société par suite de la mort de M. Berthelot, il me reste encore un pénible devoir à remplir. J'ai le très grand regret de vous faire part du décès de M. le colonel Aimé Laussedat, survenu le 20 mars dernier. M. Laussedat fut répétiteur puis professeur du cours d’Astronomie et de Géodésie à l'Ecole polytechnique. Puis il fut directeur des études à cette Ecole. II fut enfin, en 1881, directeur du Conservatoire des Arts et Métiers. M. le colonel Laussedat a fait toute une série de travaux estimés en géodésie et en topographie. Il faisait partie de notre Société depuis 1860. J’adresse à la famille de M. le colonel Laussedat, au nom de la Société Philomathique, l'expression de notre très sincère condoléance. Avant de lever la séance, il est donné lecture par M. Tarry du rapport de la Commission des comptes sur l'exercice 1906, qui n’a pu être présenté dans la précédente séance. Les conclusions en sont approuvées par l’Assemblée, qui se sépare aussitôt après. DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS 47 SÉANCE DU 13 AVRIL Présidence de M. Laisant. M. le Président présente dans la {* section, la candidature de M. Chapelon. Une commission, composée de MM. Laisant, André, Tarry, est chargée d'examiner cette candidature. M. Coutière fait une communication sur les Alpheidæ américains du genre Synalpheus, dans lesquels il a rencontré de très nombreuses espèces nouvelles. Chez deux de ces espèces, recueiilies ensemble dans une même station, on observe un grand excès de mâles, qui semble en rapport avec les conditions d’existence défectueuses dans une station surpeuplée. 48 RAPPORT SUR LES COMPTES DE 1906 par M. G. TARRY. MESSIEURS, Au nom de la commission que vous avez nommée, j'ai l'honneur de vous présenter le rapport sur les comptes de l’année 1906. Les recettes se sont élevées à 2,558 francs, donc voici le détail : Subvention ministétielle MN NOTE Cotisations des membres titulaires . . . . . 980 » _ _— correspondants. . . 440 » o2Ù Abonnements et vente du Bulletin . . . . . . . . . . 177 50 IntérétstdemostondeplacEs PE RP RE 252 90 Recettes accidentelles. . . . . . . nee RAR 2 60 ToraL des recettes. . . . 2.553 » Il a été perçu, en outre, unesomme de 25 fr. 20 pour remboursement de tirages à part ; nous en tiendrons compte en la déduisant des sommes payées pour les tirages à part. Les recettes accidentelles proviennent de bénéfice de change sur des cotisations payées en monnaie étrangère.Pour la clarté des comptes, il a paru préférable de ne plus confondre ces recettes avec celles des cotisations. Comparativement à l’année 1905, nous avons une augmentation de 457 fr. 27, qui porte sur les cotisations, proportionnellement à l’ac- croissement du nombre des membres de la Société, les autres recettes variables n’étant soumises qu’à de très légères variations. Nos dépenses se sont élevées à 1868 fr. 87, dont voici le détail : A Bulletin : impressions et tirages à part, déduction faite des remboursements sur tirages à part . . 973 » 1.086 36 bulletine pholostayures MER RE US SC Frais de bureau (affranchissements, impressions, reliure, GC) a LE PE Pen LR AN en ON Re Ae 252 52 Allocation à M RevKaert NP 2 DURS) Appointements à M. Vézinaud . . . . . . . 300 » 330 » Étrennes à divers 0e OO SNS CS) Torac des dépenses. . . . 1.868 88 RAPPORT SUR LES COMPTES DE 1906 49 En comparant ces dépenses avec celles de l’année 1905, on constate une diminution de 1.224 fr. 05, soit 40 p/0. Cette diminution porte presque entièrement sur les dépenses du PBulletin (1.078 fr. 45); la différence (145 fr. 90) doit être attribuée à la réduction des frais de bureau et à l’absence de dépense extraordinaire. Cette année 1906 présente un excédent de recettes sur les dépenses de 684 fr. 13. Les fonds en caisse, au 1°" janvier 1906, étaient de 991 fr. 97 ; ils se sont élevés, au 1e janvier 1907, à 1676 fr. 10, savoir : ANA SÉUMLTÉSOTIEl A LT EU Se A DIS Axunamedelasentie 4 1ont2h Gta Lande à 57 95 ToTaz égal. . . . 41.676 10 Notre actif comprend encore des fonds plaçés, dont les titres, d’un prix d'achat de 7.513 fr. 05, représentent actuellement une valeur supérieure d’un millier de francs environ. En résumé, toutes les recettes ont augmenté, toutes les dépenses ont diminué, le déficit de l'an dernier, causé par le trop grand développe- ment du Pulletin, se trouve compensé par l’excédent de recettes sur les dépenses de cette année, et la situation financière de notre société est excellente. Votre Commission vous propose d'approuver Les comptes, de voter des félicitations à notre dévoué trésorier, M. Rabaud, dont elle a pu constater la parfaite exactitude et le soin consciencieux, ainsi qu'à M. Vézinaud, pour son zèle et sa ponctualité. 30 UN CALENDRIER PERPÉTUEL MENTAL par G. TARRY. Nous allons faire connaître une règle nouvelle, pour déterminer le jour de la semaine qui correspond à une date quelconque du calen- drier grégorien. Une date quelconque se compose de quatre données : G numéro du siècle grégorien, À numéro de l’année dans le siècle, R quantième ou numéro du mois, M nom du mois. À chacune de ces données est attachée invariablement une cote, nombre ne dépassant pas 6. Additionnons ces quatre cotes et divisons le total par 7. Le reste de cette division, ou ce reste diminué d'une unité pour les mois de janvier et février d’une année bissextile, représente Le jour de la semaine de la date considérée, en désignant par { dimanche, 2 lundi, 3 mardi, # mercredi, 5 jeudi, 6 vendredi, 0 samedi. Voici comment nous établissons ces cotes : G, cote du siècle grégorien. Les restes de la division par 4 du nombre des centaines du millé- sime sont 0, 1, 2 ou 3. À ces restes nous faisons correspondre respec- tivement les cotes, 6, 4, 2, 0 que l’on retient rapidement « à la six, quatre, deux » ... À, cote de l’année du siècle. Au numéro a de l’année dans le siècle on ajoute l’entier de son quart (2) (5) et le reste de la division par 7 est la cote de A. Q, cote du quantième du mois. La cote est égale au reste de la division par 7 du nombre qui repré- sente le quantième. M, cote du mois. UN CALENDRIER PERPÉTUEL MENTAL 51 Les cotes correspondant aux ditférents mois de l’année figurent sur le tableau suivant : 1 janvier, À février, 4 mars, 14% = 12° 0 avril, 2 mai, Juin, 025 = 5° O0 juillet, 3 août, 6 septembre, 036 = 6? L'octobre, 4 novembre, 6 décembre, 146 = 14% +2 Les cotes du 1‘ trimestre forment le carré de 12, celles du 2% le carré de à, celles du 3° le carré de 6, enfin le nombre du 4° trimestre est égal à celui du premier plus deux. Ces remarques permettent de retenir facilement la cote de chaque mois. Exemples : 1° Déterminer le jour qui corresponde au 15 octobre 1582 (origine de la réforme grégorienne). 10 reste3 G—=0 4 82 82 + (=) A=4 Réponse. U 145 Q=1 Octobre M=I Vendredi. Total —=6 En France, le retranchement de 10 jours dans le calendrier n’eut lieu qu’au mois de décembre suivant, et le dimanche 9 décembre 1582 fut immédiatement suivi du lundi 20 décembre 1582. 2° Déterminer le jour qui correspond au 1° janvier 1908 (date com- prise dans les deux premiers mois d’une année bissextile). es PAPE G= 0 r 8 8+ ( PC 1 Q—=1 Réponse. janvier M—1 Mercredi. Total — À déduire il D Reste 52 G. TARRY 30 On demande quand, pour la première fois, dans la 7° année du siècle, la fête du 14 juillet tombera un 2 lundi, ou un 4 mercredi ou un 6 vendredi. xæ G=6,4,2ou0 { +) la 7 + UC M = Réponse. 1% Q—=0 Juillet M=0 Jamais. Total = 0, 5, 3 ou 1 Pour étendre le calendrier perpétuel à l’ère julienne, il suffit de remplacer la cote séculaire grégorienne G par la cote séculaire julienne J, qui se calcule ainsi : | J, cote du siècle julien. On ajoute trois unités au nombre de centaines du millésime, on divise le total par 7, et l’on retranche le reste de 7. Exemples : 1° Déterminer le jour qui correspond au 4 octobre 1582 (veille de l’origine du calendrier grégorien). —15—3 J—=3 82 + (+) À = ? Réponse. k Q=24 Octobre M=1 Jeudi. Total . 20 Déterminer le jour qui correspond au 12 octobre 1492 (décou- verte du nouveau monde). —14—53 J—=4 9 92 9 99 + ( n ) À = Réponse. 192 Q=5 Octobre M =l Vendredi. Total = 6 UN CALENDRIER PERPÉTUEL MENTAL 59 L’avance du calendrier julien sur le calendrier grégorien est de C — (+) — 2 jours, c étant le nombre de centaines du millésime. Depuis 1900, cette avance est de 43 jours ; il suffit donc d'ajouter 13 jours, à une date de notre calendrier, pour avoir la date correspon- dante du calendrier russe. L’avance sera de 14 jours au mois de mars de l’année 2100. Des congruences J—G = c — la) —2 et J=—c—3, on déduit ; + (©) «+ =s(i(5)) = — 7 — 1. r est le reste de la division par 4 du nombre de centaines du siècle, et nous avons obtenu la formule suivante, qui est la nôtre sous une forme moins simple : G, cote du siècle grégorien. Ajouter une unité au double du reste de la division par 4 du nombre de centaines du siècle, diviser par 7 et retrancher le reste de 7. a —c—3 et A = «a+ lu n De ces congruences, on déduit les suivantes : Dans le calendrier julien, J — PA cat (5) 5 = 125c + a + Co L 4 100c N JA = 10000 (ET) 3 = N+ (+) de \ N est le millésime de l’année. Pour se rappeler la cote d’un mois, on a encore imaginé la formule suivante, dans laquelle m est le numéro du mois. Mn ( Le, en considérant respectivement janvier et février comme le treizième et le quatorzième mois de l’année précédente. En employant cette for- mule ingénieuse, on n’a pas à s'occuper des années bissextiles. Alors, le jour de la semaine qui correspond au Q° jour du m° mois de l’an- née N, anno domini, est toujours le reste obtenu en divisant par 7 l'expression Q + 2m + (=) + N + (+) — d. 54 G. TARRY Dans le calendrier julien d— 0 et dans le calendrier grégorien Cr On appelle concurrent d’une année le complément à 7 de la lettre dominicale de cette année, et l’on sait que les années bissextiles ayant deux lettres dominicales ont aussi deux concurrents. JA dans le calendrier julien, ou G-+-A dans le calendrier grégorien, diminué de 7 au besoin, est égal, dans une année commune, au concurrent de l’année et, dans une année bissextile, au second con- current, qui sert pour les dix derniers mois de l’année. C’est pourquoi nous avons diminué notre reste d’une unité pour les deux premiers mois d’une année bissextile. On pourrait faire porter la réduction d’une unité sur la cote mensuelle et alors, pour les années bissextiles, la cote de janvier serait 0 et celle de février 3. A l’inspection du tableau des cotes mensuelles, on voit immédiate- ment qu'il y a toujours un vendredi 13 dans les 9 premiers mois d’une année commune et dans les 10 premiers mois d’une année bissextile. La réforme grégorienne ayant été opérée dans le dernier trimestre d’une année commune, cette année a eu aussi un vendredi 43. Ainsi, il y a toujours eu un vendredi 15 en France, chaque année de Père chrétienne. Mais le changement n’a été adopté qu’en 1752 en Angleterre, en 1600 en Ecosse, en 1700 dans les provinces luthériennes de l'Allemagne et en 1782 en Irlande. Il est possible que dans l’un de ces pays, il n’y ait pas eu de vendredi 13 l’année de la réforme. Aux amateurs de curiosités de trouver ce pays, s’il existe. Pratique du calcul mental. Le calcul de À, tel qu’il se présente, est trop long et il convient de l’abréger. Posons n = 12p+r, il vient x An+r (5) = (42+3)p +r = n ) = p+r+(e). D’où cette règle expéditive : Diviser par 12 le numéro de l’année du siècle, ajouter au quotient le reste augmenté de l’entier de son quart et diviser par 7. Le reste est A. Application à n = 66. UN CALENDRIER PERPÉTUEL MENTAL 55 Nous dirons : 5 fois 12 font 60, reste 6, 5 plus 6, plus 1, égale 12 ou à. Dans la pratique, on calcule d’abord A, comme nous venons de le dire, on ajoute G (0 pour ce siècle et 2 pour le précédent), puis Q et enfin M, en ayant soin, après chaque addition, de retrancher 7 autant de fois que faire se peut. G. TARRY. THÉORIE DES TABLETTES DES COTES pour la recherche des facteurs premiers d’un nombre inférieur à N = 317? — 100489 et non divisible par 2, 3, 5 ou 7 par Gaston TARRY Je me propose de construire de nouvelles Tables des facteurs premiers des nombres, pour les douze premiers millions, en les rédui- sant au moindre volume. ; Je vais exposer rapidement la théorie de la méthode que Jj'appli- querai, en prenant pour exemple les Tablettes des cotes que je viens de publier. Divisons N par la base choisie 20 580. Le reste de la division sera inférieur.ou supérieur à 10 290. Dans le premier cas nous écrirons N sous la forme sm» 20 580 + n et dans le second cas sous la forme m 20 580 — n, de sorte que n sera toujours inférieur à 10 290. Ensuite divisons n par 210 et soient 9 le quotient et r le reste. Nous aurons mis le nombre N sous la forme. Nr 2 0S0 A OQPINE 0) Supposons d’abord que nous ayons le signe plus. Pour qu’un nombre premier p, plus grand que 7, soit facteur de N, il faut et il suffit que p divise le produit a (m 20 580 + q 210 + r), le nombre a étant assujetti à la seule condition d’être premier avec p, c’est-à-dire de ne pas être un multiple de p. Profitons de cette latitude pour donner à « la valeur associée à 20 580, par rapport au module p, déterminée par la congruence. a 20580 = 1, (mod. p) ce qui sera toujours possible, puisque 20 580 ne posséde pas d’autres THÉORIE DES TABLETTES DES COTES 57 facteurs premiers que 2, 3, 5 et 7. Nous aurons alors : am 20580 + q 210 + r) = m + aq A0 + ar (mod. p) Soient g' et r’ les restes minimés, positifs ou négatifs, des divisions de ag210 et ar par p il viendra : m + ag 210 + ar = m+Qq +7 (mod. p) J’appelle matricule de N le nombre m, et cotes de N par rapport à p. les nombres q' et »’. De ce qui précède résulte la propriété suivante : Pour que p soit facteur de N, il faut et il suffit que la somme de son matricule et de ses deux cotes, par rapport à p, soit divisible par p. Nos Tablettes se composent de deux séries de colonnes, comprenant les unes les cotes 9’ et les autres les cotes 7’, par rapport aux diffé- rents nombres premiers de 11 à 313. La disposition adoptée est telle, que l’on peut toujours placer l’une quelconque des colonnes de cotes g' à côté de l’une quelconque des colonnes de cotes r’, de manière que les cotes q' et »’ et le nombre premier correspondant p se trouvent sur une même ligne Voici maintenant la manière d’opérer. En effectuant les divisions par 20580 et 210, comme il a été dit, le nombre N détermine un matricule m et deux colonnes de cotes q' et », que nous placerons à côté l’une de l’autre. Cela fait, examinons les couples de cotes g’ et r»' etlesnombres premiers p situés en même ligne. Il est clair que les facteurs premiers de N seront les nombres p pour lesquels se vériliera la congruence m+g + = 0. (mod. p) Or les nombres m, Q', r’ sont tous trois inférieurs à la moitié de p. Par conséquent, si ces trois nombres ne sont pas de même signe, la congruence équivaudra à l'égalité m+g'+r = 0, et s'ils sont tous trois de même signe à l'égalité m + Q + = p. Et tout le travail se réduira à la vérification mentale d’additions de 2 ou 3 nombres. On ramène le cas de l'addition de 3 nombres à celui de 2, par l’artifice suivant : se Mettons comme indice à la cote g' le nombre a — Ê ee net el SE il à la cote »’ le nombre db — —— — 7, Ona a+b=p—{(q +7) et la vérification de l'égalité m+g'+7r —p devient celle de T0 GES De 58 GASTON TARRY Supposons maintenant que N soit de la forme N = m 20580 — (q 210 + r). Pour que N soit divisible par p, il est évident qu’il faut et qu’il suffit que (— m) 20580 + q 210 + soit divisible par p, et nous sommes ramenés au cas précédent, en donnant au matricule m une valeur négative. En résumé, notre procédé revient à substituer aux divisions succes- sives du nombre considéré, par les différents nombres premiers p, des vérifications d’additions de deux nombres inférieurs à la moitié de p. Il est à remarquer qu'on sera arrêté 9 fois sur 10, après avoir additionné seulement les nombres des chiffres des unités. Comme on le voit, la simplification apportée est équivalente à celle introduite par les logarithmes dans le calcul des divisions. Nos Tablettes des cotes sont de véritables Tables de logarithmes, spécialement appropriées à l’objet de nos recherches. Nous plaçant à un autre point de vue, nous pouvons dire que notre méthode du matricule diminue d’une entrée la Table à n entrées, en remplaçant l’une de ces entrées par lenombre du matricule. Dans la Table à double entrée, il est préférable de changer les signes des cotes. M. E. Lebon a appelé caractéristiques les cotes prises avec le signe contraire. En augmentant le nombre des entrées on réduit l’espace occupé par la Table, mais cette économie de place amène une complication dans les calculs, en augmentant en même temps le nombre des termes des additions à véritier. C'est pourquoi mon choix s’est fixé sur la méthode de triple entrée La méthode de double entrée, inventée par M. Ernest Lebon, et que je rencontre comme cas particulier de la méthode du matricule, se présente sous un aspect beaucoup plus séduisant. Elle posséde de nombreuses supériorités sur celle que j’ai choisie ; je citerai seulement les trois suivantes : 4° — Suppression de tous les calculs d’addition. En effet, il n’y a plus qu’une Table, et il suffit de jeter un coup d'œil sur la colonne des cotes (caractérisques) pour trouver immédiatement les facteurs de N, attendu que ces facteurs sontles nombres premiers p» qui se trouvent en regard des cotes égales au matricule. 2° — Dans la Table, il suffit de faire figurer les cotes qui ne dépassent par le maximum que peut atteindre le matricule, pour la limite de N THÉORIE DES TABLETTES DES COTES 59 dans la base choisie. Les restes minimés n’étant d’aucune utilité, on prend les restes simples et toutes les cotes deviennent positives. M.E. Lebon a remplacé par des points les cotes supprimées. 3 — On peut employer la représentation symbolique pour les nombres. Dans son mémoire de la séance du 24 novembre 1906, M. E. Lebon a montré le parti que l’on pouvait tirer de cette représentation, pour faire occuper aux nombres de la Table beaucoup moins d'espace. Malgré ces supériorités incontestables, je persiste dans le choix de ma méthode pour la construction des Tables des diviseurs premiers des douze premiers millions, parce que la publication de Tables volumineuses coûte beaucoup trop cher. En s’arrêtantseulement à N— 510510, la méthode de M. E. Le- bon nécessite 5 760 colonnes et la mienne n’en exige que 170. Dans ce cas, en mettant en balance les avantages et les inconvénients des deux méthodes, il me semble qu'il y a équilibre. Mais pour N—9.699 690, au lieu de (2— 1) (3 — 1)...(17 — 1) ou 92.160 colonnes, j'ai constaté qu’il m'en fallait seulement 180, c’est- à-dire cinq cents fois moins. Dans ces conditions, je crois que la balance penche en ma faveur. J'estime qu’il me faudrait environ quatre mois de travail pour construire la Table des diviseurs premiers des douze premiers mil- lions. Pour construire seulement la Table des nombres premiers des douze premiers millons, en suivant le procédé connu sous le nom de crible d'Eratosthène, le nombre de chiffres que l’on devrait com- mencer par écrire serait (en supprimant les nombres pairs) : 42.444.445 Il serait bien difficile d'employer moins de quatre ans rien qu'à ce travail préliminaire On voit donc que le procédé indiqué dans la plupart des Traités d'Arithmétique est impraticable pour les grands nombres. Il est vrai qu’on ne sera jamais obligé d'effectuer les calculs jusqu’au bout, et la raison en est bien simple, c’est qu'avant d’arriver à la fin on sera mort. Nous proposons de remplacer la méthode du crible par celle du atricule appliquée à la triple entrée. : pue nl | à G. TARRY Bar-le-Duc. — Imp. Comte-Jacquet, Facpouez, Dir. % sir 4 Liu | a TR 2 SE N7 10 TABLE DES MATIÈRES DU FASCICULE II Pages. Extrait des comptes-rendus des séances. . . .. . . . RE LR RCE Le: Tarry. — Rapport sur les comptes de 1906. . : : 48 HSE — Un: Calendrier perpétüelmental "2.2: 17: an, 50 Ê — — Tablettes des cotes pour la recherche des facteurs premiers 1. ŒUNNONMOrE. OU CAT SENS RES sr RE 56 1 al: LÉ PRIX DES TIRÉS A PART EST FIXÉ AINSI QU'IL SUIT: 25 ex. | 50 ex. |75 ex. 100 ex. 150 ex. [200 ex. [250 ex. Une feuille . . . .. 4,50 | 5.85 | 7.20 | 8.10 | 10.60 [12.85 | 14.85 Trois quarts de feuille. RD NOTE DOC O EN LE En 9.» [10.60 | 12.15 Une demi-feuille.… . | 3.45 | £ » | 5 » | 5.60 | 7.20| 8.10| 9 , Un quart de feuille, . | 2.70 | 3.60 | 4.25 | 4.75 | 5.60] 6.30] 8.83 Unhuitièmedeteuille. | 2 » | 2.70 | 3.48 | 3.60 | 4.05! 4301 » » … |Piusieurs feuilles | 4 » | 5.40 |.6 30 | 7.20 | 9» 11.70 |44 » PUBLICATIONS DE LA SOCIÉTÉ. 415 série. : 41789-48057) 06 4 SR RE ENS Noluntes in=#0 Ds série 2 1807-1813 0e pu EUR rs 3 volumes in-4° Sosérie 18144806. Se ee APRES 13 fascicules in-46 ° Ze série : 4832-1833 . LL , ! 2). . : . 2 volumes in-4 | hs 5e Série TAS36- 18631 TER 1.1.1 0 28 fascicules in-4° 2 6: série : 1864-1876. . . . | SAME AR “13 fascicules in-8° HA 1isérie ABS NT ee Net 11 volumes in-8° À | Chaque année pour les Membres de A SOCIÉEÉ AA eee LE AE 25 francs = pour 1e pRbhC SE Sn AQU ec AT RS 42 francs / Mémoires origmaux publiés par Ja Société Philomathique A L'OCCASION DU CENTENAIRE DE SA FONDATION. 1788- 1888 FER: # 4 Jai S%. ie û AN Te, 124 4 A G. 54 Le récueil des mémoires originaux publié par ci Société Shilomatiique à l'oc- A à casion du centenaire de sa fondation (188-1888) forme un volume in- de 431 | pages, accompagné de nombreuses figures dans le texte et de 24 planches. Les. Si qu'il contient sont dus, pour les sciences physiques el mathématiques, pr : MM. Désiré André; E. Becquerel, de l'Institut; Bertrand, secrétaire. perpétuel ours Bouty ; Bourgeois ; Descloizeaux, de l'Institut ; Fouret;: Gernez: Hardy de de la Goupillière, de l’Institut ; Laïisant ; Laussedat, de l'Institut : . Léauté, de l'Institut ; Mannheim ; Moutier ; Peligot, de l'Institut ; Pellat. Pour À. les sciences naturelles, à : MM. alu Bureau ; Bouvier, de l’Institut ; Chatin, de l'Institut ; Drake del Castillo: Duchartre, de l'Institut ; H. Filhol ; Franchet ; _ Grandidier, de l’Institut ; Henneguy; Mine Edwards, de l’Institut ; Mocquard; Poirier; À. de Quatrefages, de l’Institut; G. Roze; L: Vaillant. va k J D PNR UE PER SC FENTE D NS En vente au prix de 35 francs. :: ST AU SIÈGE DE LA SOCIÉTÉ, À LA SORBONNE Bar-le-Duc. — Imp. Comte-Jacquet, FacboueL, Dir. BULLETIN DE LA SOURTÉ PHILONATHIOUE FONDÉE EN 1788 NEUVIÈME SÉRIE. — TOME IX N°3: PARIS AU SIÈGE DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS À LA SORBONNE 1907 Q na F B & wi Ve es Le Secrétaire-Gérant, H. COUTIÈRE. Le Bulletin paraît par livraisons bimestrielles. COMPOSITION DU BUREAU POUR 1906 Président : M. BerrueLor (Daniel), 3, rue Mazarine. Vice-Président : M. Lécaizcox, 28, rue Berthollet. Trésorier : M. Rapau», 3, rue Vauquelin. Secrétaire des séances : M. Winter, 44, rue Sainte-Placide. Vice-Secrétaire des séances : M. Lemon, 4 bis, rue des Écoles. Secrétaire du bulletin : M. Counèrg, 12, rue Notre-Dame- des-Champs. Vice-Secrétaire du bulletin : M. Necvize, 55, rue de Buffon Archiviste : M. Henwgçuy, 9, rue Thénard. La Société Philomathique de Paris se réunit les 2° et 4° Samedis de chaque mois, à 8 h. 1/2, à la Sorbonne (salle de travail des Étudiants). Les membres de la Société ont le droit d'emprunter des livres à la Bibliothèque de l’Université. Ils ont également droit, sur leur demande, à 50 tirages à part gratuits des Mémoires qu'ils publient dans le Bulletin. Pour le paiement des cotisations et l'achat des publica- tions. s'adresser à M. Vézmau», à la Sorbonne, place de la Sorbonne, Paris. Ve. 61 EXTRAITS DES COMPTES-RENDUS DES SÉANCES Séance du 27 avril 1907. PRÉSIDENCE DE M. D. BERTHELOT. M. le Président s'excuse de n’avoir pu assister aux deux dernières séances à cause du double deuil qui l’a frappé. Il rappelle que Marce- lin Berthelot fut l’un des membres les plus actifs de la Société. M. André lit le rapport sur l'élection de M. Chapelon. Le vote est remis à la prochaine séance. M. Pellegrin fait hommage à la Société d’un exemplaire imprimé d’une conférence faite par lui, en 1906, au Muséum, sur les poissons d'eau douce de Madagascar. [l présente des photographies relatives à _ce sujet. _ Séance du 11 mai 1907. PRÉSIDENCE DE M. LÉCAILLON. Il est procédé à l’élection d’un membre titulaire dans la 1" section. M. Chapelon est élu à l'unanimité. M. Tarry expose la construction d’une nouvelle table des facteurs premiers. M. Coutière fait une communication sur certaines larves anormales de grande taille appartenant à des Crustacés Eucyphotes. Séance du 25 mai 1907. PRÉSIDENCE DE M. D. BERTHELOT. M. Lécaillon expose à la Société qu’il a été retrouvé dans les Archi- ves des plis cachetés très anciens. Il est décidé à ce sujet de rechercher d'abord la trace des dépôts de ces plis dans les procès-verbaux des séances de l’époque, et de soumet- tre la question à la délibération du prochain Conseil. Cr 62 EXTRAITS DES COMPTES-RENDUS DES SÉANCES M. Berthelot montre à la société des figurines en papier confection- nés en 1875 par Vant’ Hoff pour matérialiser la notion stéréochimique de la tétratomicité du carbone. M. Laisant fait une remarque, déjà publiée par lui antérieurement, sur le problème de l’interpolation. Séance du 8 Juin 1907. PRÉSIDENCE DE M. D. BERTHELOT. M. le Président rend compte de l'ouverture des plis cachetés exa- minés en séance du Conseil. [l résume le contenu de ces pliset fait res- sortir l'intérêt qui s’y attache. Ces plis, dont il avait été question dansla précédente séance, sont de : 1) Chevreul (1819) : expériences sur le zircon. 2) Peltier (1840) : note d'électricité statique. 3) Schmersahl (1841) : note sur une nouvelle matière grasse. L) Du Moncel (186%): note sur l'isolement des spires d’un électro- aimant. M. Mahler rend compte d’un travail de M. G. Bastien, sur la gamme normale dans les instruments à sons fixes. Ce travail est renvoyé à l'examen de la commission de publication. M. Lebon expose un procédé de calcul qui permet de simplifier la méthode classique de recherche des facteurs premiers — Cette com- munication donne lieu à un échange d’observations entre MM. Laisant, Deschamps et Lebon. Séance du 22 Juin 1907. PRÉSIDENCE DE M. DoNGteR. M. Pellegrin offre à la Société un exemplairede son ouvrage : Zoolo- gie appliquée en France et aux Colonies. M. Pellegrin fait ensuite une communication sur un poisson fossile Acanthoptérygien, (groupe des Perciformes), de l’éocène supérieur (Monte-Bolca), nouveau comme genre et comme espèce. M. Deschamps aborde la question des tables de nombres premiers, en reprenant la méthode dite du «crible d’Eratosthène, » dont il montre le véritable objet et les applications. 63 REPRODUCTION D'ANCIENS PLIS CACHETÉS PROVENANT DES ARCHIVES DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE Déposé à la Société Phylomathique le 28 août 1819 par M. Chevreul. Expériences sur le Zircon. Analyse: En traitant le zircon réduit en poudre fine par l’eau régale on dissout du fer et du titane et ce qu’il y a de remarquable c’est que faisant passer un courant d'acide hydrosulfurique dans la liqueur privée de son excès d’acide, on précipite de l’oxyde de titane mêlé de soufre. Le zircon épuisé par l’eau régale chauffé avec 2 fois son poids de potasse dans un creuset d'argent est complètement attaqué, l’eau appli- quée à la matière fondue dissout de la potasse presque pure, mais il y en à une portion qui reste en combinaison intime avec la silice et la zircone ; ce composé triple est formé de : Silice Zircon } dont j'ai déterminé la proportion avec soin. Potasse On en fait l'analyse en le dissolvant dans l’acide hydrochlorique très étendu, faisant évaporer à siccité, appliquant l’eau au résidu pour séparer la silice et dissoudre l’hydrochlorate de zircone et le chlorure de potassium. On précipite ensuite la zircone par l’ammoniaque, on filtre, on lave le précipité et on le calcine en faisant évaporer laliqueur filtrée à siccité, et faisant rougir le résidu on obtient le chlorure de potassium . La zircone obtenue par le procédé précédent contient des traces de fer. Pour l’obtenir pure il faut la fondre avec 4 fois son poids de potasse, lessiver la matière fondue à l’eau bouillante, on obtient une combinai- zircone 88 potasse 12 On met cette combinaison dans une fiole mince, on y verse de l’acide son soluble formée de dipl! tnib péghritique & 06 à É- {6 ad NE 2 EppeuEcee du L CA —_—_—_— fa Pr ete et 2e pra ji pas baux cute os tra de 1 e d'u Tone” « 72772 Te PULL Lette” “ 7 RTE us cœursif dés. Ca ARTS M uen frurec Îedon épée Dar D 222 pupitre À Le = les cards D tenpe RENE fou fone. Le 2? fra si open Chr oi? auret À 272 plots ui À ou Fos Rs : to ss ordre ROLE II D ES oer < héro ken % 7 : PES ie usle. æ 20 cf hgrts à ADE SA la æ Q_— e Œ Loir Aerc Ape- Erè Java Île Slt s = + joe DATE del | @e ddensts sr le Frrper ec fo se CS 5 REPRODUCTION D'ANCIENS PLIS CACHETÉS 65 hydrochlorique concentré. La combinaison a lieu avec des phénomènes analogues à ceux que présente la fixation de l’eau par la chaux, c'est- à-dire qu'il y a production de chaleur et dégagement de vapeur avec sifflement. Le dégagement de chaleur peut être assez grand pour faire casser la fiole. On laisse réagir les corps pendant deux jours puis on y ajoute assez d'acide hydrochlorique concentré pour en faire une pâte molle, on met le tout dans un petit cylindre de verre terminé en un tube effilé à la lampe; si on laisse égoutter l’hydrochlorate de zircone qui n’est que peu soluble dans l’acide hydrochlorique concentré, l’hy- drochlorate de fer, qui y est soluble se trouve, par là séparé. On passe de Pacide hydrochlor*que concentré sur l’hydrochlorate de zircone jus- qu’à ce qu'il ne se colore plus et ne laisse plus par l’évaporation à sic- cité dans une capsule de verre ou de porcelaine d’hydrochlorate de fer. L’hydrochlorate de zircone est parfaitement incolore, en cristaux aiguillés satinés, ils ont une saveur d’une astriction extrême, ils sont parfaitement solubles dans l’eau. Cette solution est précipitée en jaune - avecla noix de galle, et ce qu'il y a de remarquable, c’est qu’ellese prend en gelée quelques minutes après le mélange. Le prussiate de potasse étendu et sans excès peut la précipiter en flocons blancs. Si on sépare la liqueur filtrée et qu’on y verse du prussiate, il ne s’y produit pas de précipité. Si on verse dans l’hydrochlorate de zircone concentré du prussiate de potasse en excès on obtient un précipité d’un jaune citron. | L’hydrochlorate de zircone chauffé, se fond en se boursouflant, laisse dégager son acide ; on obtient un résidu parfaitement blanc. Pour obtenir la zircone pure, on précipite l’hydrochlorate par l’am- moniaque, on lave le précipité à l’eau bouillante et on le chauffe dans une capsule de verre ou de porcelaine, car en le chauffant dans un creuset de métal la zircone retiendrait de l’oxyde de ce dernier ; elle m’a paru favoriser l'oxydation de l’or, de l’argent et du platine. On voit d’après ces propriétés que la zircone a les plus grands rap- ports avec l’oxyde de titane, si ce n’est cependant qu’elle a sensible- ment plus d’alcalinité. Nora. — J'oubliais de dire que pour obtenir un sel soluble de zir- cone à l’état de pureté cela était facile, parce que la zircone précipitée par l’ammoniaque est un hydrate pur quand il a été lavé à l’eau bouillante. 4. Il y a aussi du chlorure d’argent provenant du creuset, 66 REPRODUCTION D'ANCIENS PLIS CACHETÉS Paris, le 30 mai 1840. MonsIEUR LE PRÉSIDENT, Lorsqu'une sphère creuse est chargée d'électricité statique, l'inté- rieur en possède une quantité dépendante de la tension extérieure. La quantité libre que lon peut prendre dans l’intérieur est toujours une fonction très petite de la totalité de la charge et d’autant plus petite, que le rayon de courbure de la surface intérieure est plus court: il faut donc pour obtenir dans l’intérieur d’une sphère creuse, la quan- tité d'électricité nécessaire pour vaincre l’inertie d’un électroscope, une charge d'autant plus considérable, que la sphère creuse est plus petite. Il y a des rapports entre le rayon de courbure de la surface intérieure et la tension nécessaire pour recueillir une quantité donnée d'électricité; ce sont ces rapports que je n’ai pu encore étudier sufñ- samment qui me font déposer, sous la forme de paquet cacheté, l'énoncé de ces expériences, afin de m’en assurer la priorité. Recevez, Monsieur le Président, l’assurance de ma considération dis- tinguée. PELTIER. Dépôt accepté par la Société philomathique le 30 mai 1 840. Liouville, président, E. Delafosse, secrétaire. Ayant observé une matière grasse nouvelle obtenue par la distil- lation de l’alcool qui a servi à la purification des acides stéarique et margarique, et ayant étudié déjà quelques propriétés de ce corps, je ne dépose cette lettre que pour prendre date, me proposant de présenter plus tard un mémoire complet. SCHMERSABL, Préparateur au Conservatoire des Arts et Métiers. Paris, ce 23 janvier 1841. Accepté le dépôt le 23 janvier 1841. Peltier, président. REPRODUCTION D'ANCIENS PLIS CACHETÉS 67 Note sur l'Isolement des Spires d’un électro-aimant muni d'un fil de fer très fin sans couverture. J'ai démontré, dans un mémoire présenté à l’Académie des Sciences dans sa séance du 16 janvier, que deshélices d’électro-aimants consti- tuées par un fil très fin comme le fil n° 33 qui a 0"",08 pouvaient être aussi bien isolées, ce fil étant nu, qu'avec une couverture de soie. Comment peut-on expliquer un pareil fait, lorsqu'on sait qu’un fais- ceau de fils métalliques fins réunis par simple contact peut constituer un conducteur d’une conductibilité presqu’aussi grande qu’un fil métal- lique du même diamètre, c’est ce que je vais chercher à expliquer. Les dérivations qui tendent à s’établir dans le sens de l’axe de l’hé- lice ont toutes la même direction et sont par rapport au courant circu- lant dans l’hélice presque perpendiculaires, elles constituent donc, en se manifestant, des courants croisés qui, d’après la théorie d'Ampère, devraient avoir pour effet, en réagissantles uns sur les autres, de créer une tendance à un parallélisme de direction et à une marche concor- dante de ces courants dans ie même sens. Cette tendance est encore augmentée par la réaction du fer qui, en fournissant un courant magné- tique circulant en spirale dans le même sens, réagit par attraction sur les dérivations. Or, suivant que cette tendance est plus ou moins com- battue par celle qui a pour etfet de déterminer la dérivation, l'isolation de l’hélice doit être plus ou moins grande, et quand il y a égalité entre les deux forces, aucune dérivation ne peut plus se faire. Dès lors l’iso- lement devient complet pour ainsi dire. Or, avec du fil fin, le nombre des résistances au passage étant très grand, une énorme résistance est constituée et cette résistance peut être suffisante pour laisser aux spires une action prépondérante. B. pu MonceL. Paris, le 21 janvier 1865. 68 OBSERVATION SUR L’'INTERPOLATION PAR C. A. LAISANT La remarque dont il s’agit n’est pas nouvelle. Je lai présentée jadis à la Société Mathématique de France, qui l’a insérée dans son Bulletin (1891, p. 44). Si-je me permets de la reproduire, c’est qu’à mes yeux le problème de l’interpolation est de la plus haute impor- tance pour l’application de la méthode mathématique aux données fournies par l’expérience. J’ai eu l’occasion, il y a plusieurs années déjà, de mettre en pratique l’observation dont nous parlons. De plus, il n’est pas mauvais, ce me semble, de revenir sur ce problème si intéressant et si utile de l’interpolation, à une époque où on l’a expulsé des programmes classiques, dans lesquels il avait longtemps figuré, sans qu’on puisse deviner les causes de cette expulsion. On sait qu’en général la question de l’interpolation se pose de la manière suivante : î Connaissant n valeurs uw, w,... u, d’une fonction, correspon- dant aux n valeurs %is Ps... En de la variable, déterminer cette fonction U (x). Le problème est évidemment indéterminé, car par n points on peut faire passer une infinité de courbes. On le précise en assujettissant la fonction U à être un polynôme en x de degré n +1 au plus. La formule de Lagrange, et celle de Newton qui en est un cas particu- lier, en donnent alors la solution. Mais cette hypothèse, que U est un polynômeentier, est fort souvent contradictoire avec la nature de la question concrète qu’on veut résou- dre, et par cela même inadmissible. Or, de la formule de Lagrange, on peut déduire une infinité d’autres, permettant de substituer à un polynôme entier une fonction dont la nature peutêtre choisie à volonté, OBSERVATION SUR L'INTERPOLATION 69 Cette formule de Lagrange peut s’écrire sous la forme U(x) = X,u, + Xous +. + X,u,, X; étant un polynôme en x, qui devient égal à À pour x = x; et qui s’annule pour les n— 1 autres valeurs données x,, æ>, ..., différentes de x;. Cela étant, considérons une fonction arbitraire o(z), et désignons par Y(z) la fonction inverse. Il en résulte que e[ v()] — 7%, et que 4] o(z) | — 7. Si par exemple © est un sinus, 4 sera un arc sinus ; si + est un logarithme, Ÿ sera une exponantielle, etc. Et, à la place de la formule de Lagrange, écrivons = e| X,U(u) + XU(u2) +: + X,b(u,) |. Pour une valeur x; donnée à la variable, X,, X,, ... s’annulent, sauf X; qui devient égal à l’unité, et il vient U(x) = alu) ] = w, Ainsi, les conditions remplies par la formule de Lagrange sont encore remplies, et l’interpolation est obtenue au moyen d’une fonc- tion + complètement arbitraire. La méthode de Lagrange prend ainsi une extension et une souplesse extrêmes, qui lui donnent une incontestable valeur pratique. On peut étendre la généralisation ci-dessus à toute autre formule d’interpolation que celle de Lagrange. Soit en effet MG} SANS ERP EOr UE eo) une telle formule. Pour x =#x;, la fonction F doit se réduire identiquement à u.. Si on y remplace tous les u par Yu), Née, du) us) PU) se réduira donc à Y{u;); par conséquent U(x) = e[ re. on or (0) ds Hu) | donnera U(x;) = e(4(u;)) = v;, si bien que nous aurons encore une formule résolvant la question d’interpolation posée. 10 POUR LA THÉORIE DES NOMBRES PAR ERNEST LEBON. Sur la Recherche des facteurs premiers d’un nombre (?). 4. Lorsque l’on recherche, parle procédé élémentaire, si un nombre est premier ou composé, on peut notablement abréger les calculs en procédant comme il suit : Soient Q le quotient et R le reste obtenus en divisant un nombre N par un nombre premier P. Le plus souvent Q et R admettent un ou plusieurs des facteurs premiers 2, 3, 5, 11; on peut alors rapide- ment trouver les autres facteurs de Q et R. Quelquefois on voit immédiatement que Q et R ou ces facteurs admettent des facteurs premiers autres que les précédents. Si Q et R ont un même facteur premier p, N est divisible par p. En divisant N par p, on trouve un quotient entier N’, et on est amené à considérer N' au lieu de N. Si QetR n'ont aucun facteur premier commun, N n’est divisible par les facteurs premiers ni de Q ni de R. Les restes r obtenus après avoir multiplié chaque chiffre du quotient par le diviseur premier et plus grands que ce diviseur seront aussi 1. Communication faite à la Société Philomathique de Paris, dans la séance du 8 juin 1907. 2. Cette Note se trouve aussi, sauf pour les quotients q et les restes », dans le Bulletin de Sciences mathématiques et nhysiques, Paris, 1er juillet 1907, POUR LA THÉORIE DES NOMBRES 71 décomposés en facteurs premiers, lorsqu'il sera évidemment possible de le faire. Il en sera de même avec les quotients partiels q formés par les chiffres successivement mis au quotient, ces chiffres étant sui- vis à droite d’un nombre de zéros égal à la différence entre le nombre des chiffres que doit avoir le quotient et le nombre des chiffres trouvés. Il suit de là que, pour reconnaitre si N est premier ou composé, il est inutile d’essayer les facteurs premiers reconnus dans Q, R, q, r. Donc la solution de ce problème est souvent beaucoup abrégée. On peut supposer que le nombre N dont on cherche les facteurs premiers ne contient pas les facteurs premiers 2, 3, 5 ou 11, faciles à découvrir dans un nombre et à enlever du nombre. Lorsque la décomposition de Q et de R en facteurs premiers exige quelque recherche, il n’y à presque pas intérêt à la faire; c’est en appliquant à plusieurs exemples le procédé que je vais exposer que l’on reconnaît l'exactitude de cette remarque, car on voit que beau- coup de facteurs premiers se reproduisent plusieurs fois. En employant ce procédé, le nombre des nombres premiers que l’on élimine est généralement plus grand quand on essaie les nombres premiers en ordre décroissant; ce fait résulte de ce que Q et R peu- vent alors contenir des facteurs premiers différents qui n’ont pas été essayés ; d’ailleurs R ne peut contenir de tels facteurs si les nombres premiers sont essayés dans l’ordre croissant. De plus, dans ce dernier ordre d’essai des nombres premiers, la décomposition de Q est alors moins évidente et plus longue ; il en résulte souvent des facteurs premiers supérieurs à VN. 2. Soit le nombre 510481, non divisible par 2, 3, 5 ou 11. Le plus grand nombre premier à essayer est 709 ; il ÿy a donc 123 nombres premiers à essayer, si le nombre 510 481 est premier. Diviseur 709 : Q — 720, R =1. On voit immédiatement que Q et R ne renferment aucun des facteurs premiers qu’il faut essayer. Diviseur. 701: Q—= 728 = 8.9, R— 153 —3.31. Donc il sera inutile d'essayer 31. On ne s'arrête pas à la décomposition de 91 en ses facteurs 7 et 13, si l’on ne la voit pas immédiatement. Diviseur 691: Q — 738 — 2.9.M, R — 523, g — 730 — 10.73. Donc il sera inutile d’essayer 41, 73 et 523. Diviseur 677 : Q = 754 — 2.377, R — 23. Doncil sera inutile d'essayer 23. On ne s’arrête pas à chercher la composition de 377. Diviseur OT RO M68 = 02-379 SAT re — 5731 — 11527, Donc il sera inutile d'essayer 347, 379 et 521, 712 POUR LA THÉORIE DES NOMBRES On continue ainsi avec les diviseurs -premiers qu’il faut essayer, 661, 659,653, ... Pour le Diviseur 607, on trouve R — 601; donc il est inutile d'essayer 601. On essaye 607, 613, ... Et on arrive à reconnaître qu’il sera inutile d'essayer les 55 nombres premiers sui- vants : 601, 523, 521, 463, 439, 379, 347, 311, 277, 269, 263, 257, 229, 297, 211, 199, 197, 193, 181, 179, 173, 167, 163, 151, 149, 139, 137, 131, 127, de 113 à 7. Comme il aurait fallu essayer les 123 riom- bres premiers 7, 13, ..., 701, 709, on conclut que le nombre 501 481 n’est divisible par aucun d’eux et par suite est premier. Un calculateur un peu habile s’assure vite si un quotient ou un reste est divisible par le nombre premier 7 et même par d’autres ; par suite il arrive, grâce à un petit calcul, à éviter des essais d’autres diviseurs premiers que ceux que l’on trouve en ne se servant que de 2,5, 5,10 3. Soit le nombre 11 857 non divisible par 2, 3,5 ou 11. Le plus grand nombre premier à essayer est 107. Il y a au plus 24 nombres premiers à essayer. Lorsque l’on arrive au 6° Diviseur 83, on trouve Q —142— 92.71, R—71 Donc 11857 est divisible par 71. En divisant 11857 par 71, on obtient pour quotient le nombre premier 167. On n’a eu par suite que 6 nombres à essayer. 4. Il est bon de noter que la méthode que je propose a l'avantage d’être beaucoup moins fastidieuse que la méthode élémentaire suivie. Il Sur la Recherche du PGCD de deux nombres (!). 1. Lorsque l’on applique la méthode des divisions successives pour trouver le PGCD de deux nombres, on peut simplifier très nota- blement les calculs indiqués par la règle connue. D'abord, si les nombres proposés admettent tous deux, en même nombre, un ou plusieurs des facteurs premiers 2, 3, 5 ou 11, ce que l’on voit immédiatement, ou d’autres facteurs premiers dont la pré- sence dans les nombres est évidente, on divise ces nombres par le 4. Cette Note se trouve aussi dans Mathesis, Gand et Paris, 1907, POUR LA THÉORIE DES NOMBRES te: produit de ces facteurs qui leur sont communs ; il est à peine utile de dire que dans le cas de 2, 3, 5 ou 11, le quotient s'obtient mentale- ment. Lorsque l’on peut appliquer cette remarque, les divisions suc- cessives se font avec des nombres moins grands. Ensuite, si les nombres ainsi obtenus renferment un ou plusieurs des facteurs premiers 2, 3, 5 ou 11, et même d’autres que l’on puisse immédiatement reconnaitre, ces facteurs n'étant pas communs aux deux nombres obtenus, on peut remplacer ces derniers par les quo- tients qu’ils donnent en les divisant par le produit de ces facteurs premiers que chacun renferme. Il résulte de là un genre de simplification qui a l'avantage quelque- fois de ne pas obliger à faire des divisions successives, souvent d’en faire un nombre beaucoup moindre qu'en opérant par la règle connue. Soit à trouver le PGCD des deux nombres 179373320, 12421794. 2. Je présente d’abord les calculs tels qu’ils sont ordinairement faits, en simplifiant un peu les écritures de nombres ( Z'ableau I). Tableau TX 14 2 3 1 2 1 k 7| 1793733201124217941546820411485386110120461473340165366115778|2254 55155380 0 Le PGCD cherché est 2254. 8. Voici comment je propose de diriger le calcul. On voit immédiatement que les deux nombres proposés sont divi- sibles par 2 ; les quotients de ces nombres divisés par 2 sont (1) 89686660, 6210897. On voit facilement que le premier de ces nombres est divisible par 20, le second par 3 et par 11 ; en divisant le premier par 20, le second par 3 et le quotient ainsi obtenu par 11, on obtient les quotients (2) 1481333, 188209. Il est évident que le PGCD des nombres (1) est le même que celui des nombres (2). Alors je commence comme l'indique la règle »onnue. Le quotient est 23, le reste est 155526. Or ce reste est divisible par 6; pour conti- nuer le calcul, au lieu de prendre pour diviseur ce reste, je prends le quotient 25921 obtenu en divisant 155526 par 6. Le quotient est 7, le reste est 6762. Or ce reste est divisible par 6; pour continuer le calcul, s 74 POUR LA THÉORIE DES NOMBRES au lieu de prendre pour diviseur ce reste, je prends le quotient 1127 obtenu en divisant 6762 par 6. Le quotient est 23, le reste est 0. Dans la pratique, il suffit de faire le Z'ableau I. Tableau A 93 ÿ 93 2484333 | 188209 | 25921 | 4427 720153 6762 3381 155526 0 Le PGCD cherché est 2.1127 — 2254. 4. On peut souvent simplifier plus encore en remplaçant les restes obtenus après chaque chiffre mis au quotient par le nombre obtenu en divisant ces restes par 2, 3, 5 ou 11, si cela est possible. On a divisé 720153 par 9 et 28175 par 25 (Z'ableau Il). Tableau III 20 CN MONET 4484333 | 188209 | 80017 | 1127 7120153 28175 1127 0 Si l’on peut diviser un tel reste partiel par un nombre premier autre que 2, 3, 5 ou {1, il faut voir si le diviseur en question l’admet comme facteur ; si cela a lieu, on divise le reste partiel et ce diviseur par ce nombre premier. Il faut multiplier le PGCD que l’on trouve par le produit de tous les facteurs communs aux deux nombres et enlevés au début et dans le cours de l’opération. nl Sur une Détermination rapide de l’entier du quotient de 10” : D. 1. Supposons que 10 DEA « ayant les valeurs 1, 2, ... Les « premiers chiffres du quotient de 10” : D sont des 0. POUR LA THÉORIE DES NOMBRES 15 Je suppose que ces « 0 soient écrits en avant du chiffre supérieur à O obtenu en divisant 1071 par D. L’entier du quotient de 10%: D, n =>4«, est formé d’une première suite de n chiffres, les « premiers à gauche étant des 0. Soit R, le reste de 10” : D. Lorsque l’on divise 10?* par D, l’entier du quotient est formé d’abord par la suite précédente de » chiffres, puis par une autre suite aussi de n chiffres; cette dernière suite est le quotient de 10R, : D. Soit R, le reste de 10?" : D ou de 10°7R, : D. J’appelle segment de l’entier du quotient de 10? : D chacune des deux suites précédentes. Soient S, et S, ces deux segments. 2. De US DSERRS on tire (4) 1078, = DSiR, + R?2. Or, en divisant 107R, par D, on a (2) 107R, = DS; + R. Deux cas se présentent en comparant les égalités (1) et (2). 4 Si R? < D, on trouve S = Si, R2 = R?. 2° Si Ri> D, on trouve, en désignant par &{N : D) et @{N : D) l’entier et le reste du quotient de N:D, S2 = Sil + GR : D), R: = BR: : D). 3. Dans le cas 4°, si 82, quand Ré £D< RE, on considère des segments S,, S:, ..., Sp41 ayant chacun n chiffres. Alors S3 — SR, R° cd D, Se — SRE !, Ri < 18. de l’embryon. Mais c’est tout : l'aire transparente, très réduite, longue de 1 mm. 1 et large de 0 mm. 8%5, porte une trainée plus sombre de l’ectoderme épaissi — la ligne primitive avortée. En avant de celle- ci, on voit deux épaisissements courts et symétriques, qu'on pourrait, peut-être, considérer comme les lames médullaires réduites. Les dimensions du blastoderme étaient de 4 mm. 6. et de 3 mm. 85 (Hg. 6). V. OEuf pondu le 9/nr. Durée de l’incubation 44 heures. Le dia- mètre du blastoderme, 19 mm. seulement. Le corps de l'embryon 88 JAN TUR occupait sur ce blastoderme une place inaccoutumée : il était comme repoussé en arrière, de sorte que la distance entre le bord postérieur de son aire transparente et le bord correspondant de la périphérie du blastoderme était de 4 mm. 2 seulement. L’embryon, entouré par une aire vasculaire très faiblement pro- noncée, composée d’ilots sanguins épais, mais peu nombreux, sans Fig. 7. — Poule no 619, œuf V. Micrographie. x{18. _ anastomoses, était long de 2 mm. 8., portait les lames médullaires bien développées et une ébauche de l'intestin céphalique bien marquée (fig. 7). Deux ou trois paires de protovertèbres, au début de la différen- ciation, mais peu distinctes. Cet embryon, que nous devons classer parmi les normaux, était pourvu d’une formation curieuse et peu ordinaire : dans la partie postérieure de son aire transparente, il y avait comme un « pont » de rempart vitellin, qui séparait l’aire transparente principale d’une aire accessoire, beaucoup plus petite, pourvue d’un épaississement central en forme de nœud, dont l’indépendance de la partie caudale de la ligne primitive de l’embryon était bien évidente. C’est là, une forme très rare d’une formation n’apparaissant chez les embryons de la poule qu’exceptionnellement, et qui peut être SUR UNE SÉRIE D'ÉMBRYONS MONSTRUEUX 89 rattachée à ces cas de « nœuds », auxquels Rückert (VI, VIL) a récem- ment attribué un rôle si important dans la formation des premières ébauches de l’aire vasculaire. VI. OEuf pondu le 12/ur et incubé pendant 44 heures. Un germe frappé d'un « arrêt » complet, très précoce, et comparable aux em- bryons [, IL, et II de la même série. VIL. OEuf pondu le 15/1 Incubé pendant 44 heures. Diamètre du blastoderme, 27 mm. L’embryon tout à fait normal, long de 4 mm 54, pourvu de vésicules cérébrales, optiques etauditives muni de 16 paires de protovertèbres, logeait au milieu d’une aire vasculaire très forte- ment développée, à sinus terminal bien constitué. Les ilots sanguins, constituant des vaisseaux perméables, contenaient déjà le sang coloré en rouge. Il est à noter que les ilots et les vaisseaux en voie de formation possédaient ici un calibre très fort, ce qui, peut-être, n’est pas sans importance pour l’explication' d’une anomalie de l’aire vas- culaire que nous trouverons chez l'embryon suivant. VIT. OEuf pondu le17/im, incubé pendant 48 heures. Le blastoderme Fig. 8. — Poule n° 619, œuf VIIT. Partie caudale de l'embryon et la lacune ‘hypertrophiée dans l'aire vasculaire. Microphotographie. Grossi 18 lois. 90 JAN TUR a envahi presque la moitié de la surface totale du jaune. — Position de l'embryon déviée à droite à 45°. Embryon tout à fait normal, long de 5 mm 5, avec 20 paires de protovertèbres. L’aire vasculaire montrait, avant la fixation, la coloration rouge du sang, surtout dans son sinus terminal. Les vaisseaux étaient ici — encore plus que chez l'embryon précédent — d’un calibre qui surpassait sensiblement le calibre ordinaire des vaisseaux de ce stade. Cette augmentation du diamètre des vaisseaux a abouti même, dans un seul endroit, à la formation d’une lacune (#9. 8) remplie de sang et des dimensions inaccoutumées. Déjà, pendant la fixation de cet embryon, mon atten- tion fut attirée par une grande tache d’un rouge foncé, située en arrière et un peu à droite de l’extrémité caudale de l’embryon et faisant une saillie du côté ventral du blastoderme. C’était une énorme lacune, ne communiquant pas avec les vaisseaux 7 Rs Los” Fig. 9. — Microphotographie d’une coupe transversale, menée par la lacune de la figure précédente. Grossi 50 fois. voisins, mesurant À mm 1 en diamètre et contenant un amas de globules rouges. Les dimensions de cet amas étaient O mm 98 et 0 mm 87. Cette lacune était éloignée de 4 mm. 1 du téloblaste de l’em- bryon et de À mm. 4 du sinus terminal. Les coupes sériées, menées transversalement au corps de l'embryon, ont montré que cette lacune vasculaire (fig. 9) avait O mm. 5 environ en épaisseur, et l’'amas de corpuscules rouges de 0 mm. 35. Je n’ai Jamais observé jusqu’ici de telles lacunes anormales; elles ne sont dues, évidemment, à aucune sorte d’embolie, maïs présentent un SUR UNE SÉRIE D EMBRYONS MONSTRUEUX 91 élargissement spontané, produit par une hyperprolifération localisée dans un îlot sanguin primitif. Ce n’est pas — selon toute évidence — une malformation capable d’influencer d’une façon fâcheuse le cours ultérieur du développement. Ainsi nous devons compter cet embryon parmi les rares «normaux » de notre série. 5. Poulen° 620. — I. Premier œuf, pondu le L/nx, incubé pendant 43 heures. Blastoderme aux dimensions très réduits : long de 12 mm. et large de 10,5 m. Aire vasculaire aux îlots évidemment arrêtés et dont l’aspect rappelle celui des embryons! et II de la série 2. Le corps Fig. 10. — Poule n° 620, œuf {. Microphotographie. >< 18. embryonnaire, long de 2 mm. 53 est entièrement dépourvu de proto- vertèbres (fig. 10) et ses lames médullaires, — aboutissant à la tête arrondie et sans traces des différenciations cérébrales — ont des contours très vagues et comme se dissolvant. En somme, cet embryon rappelle, à s’y méprendre, quelques-uns de mes embryons obtenus à l’aide des rayons duradium (VII). Je dois ajouter que, jusqu'ici, jen'’ai jamais obtenu de malformations de ce genre au cours de l’incubation normale. * IE. OŒuf pondu le 6/1. Mème durée de l’incubation et même réduc- 92 JAN TUË tion des dimensions du blastoderme (12 mm. et 10 mm) ; toutefois on peut remarquer qu’il y avait ici une « tendance » de la part du bord externe du blastoderme à poursuivre le cours de son accroissement normal : autour de ce bord périphérique de l’aire opaque on apercevait une zone, rappelant l’aspect des bords périphériques des blastoder- mes de certains anidiens : c’est le parablaste qui se différencie sans le concours de l’ectoderme. Le diamètre de notre blastoderme, cette zone d’accroissement secondaire comprise, était de 24 mm. Le corps de l’embryon, long de 3mm.025 et entouré d'une aire vasculaire semblable à celle de l'embryon précédent, était pourvu de rangées de protovertèbres à peine reconnaissables et d’un fort amas ectodermique dans le téloblaste. Les ébauches cardiaques étaient ici presque normalement développées. Les deux embryons de cette série étaient ainsi, presque au même titre, incapables d’un rétablissement du développement ordinaire. 6. Poule n° 624. — Un seul œuf, le premier d’une poule primi- Fig. 11. — Poule n° 521; embryon platyneurique. Microphotographie. X 18 pare, qui, depuis, a cessé de pondre. Pondu le 4/nx, incubé pendant SUU UNE SÉRIE D'EMBRYONS MONSTRUEUX 93 46 heures. Le diamètre du blastoderme était de 2: mm. L’embryon, situé au centre d’une aire vasculaire, montrant quelques anoma- lies d'importance secondaire, présentait un très bel exemple de plaiyneurie totale, c'est-à-dire de cette monstruosité singulière que je viens de signaler récemment (IX), et qui consiste en la propaga- tion du processus cyclocéphalien [développement diffus du système nerveux en une lame largement étalée — Et. Rabaud (I[)] — sur toute la longueur du corps de l’embryon. Celui-ci était, dans ce cas, long de 3 mm. 3 (les restes de la ligne primitive comprise), et la largeur de la lame nerveuse platyneurique était de O0 mm.87 dans la région céphalique et de 0 mm. 74 dans celle des protovertèbres (fig. 11). Celles-ci, — comme il advient toujours — d’après mes observations — quand le processus platyneurique se propage vers la région thora- cique — présentaient une différenciation dans la direction transver- sale, compliquée dans le cas présent par des courbures étranges. En outre, deux des protovertèbres, éloignées des autres, s'étaient disposées - sur la ligne médiane — au-dessous de la corde dorsale, ce que j'ai déjà observé une fois (op. cit. page 8, fig. 7 et 8). 7. Poule N° 622. — Deux œufs, pondus successivement à un inter- valle de 12 jours. [. Premier œuf, pondu le 5/unr, incubé pendant 46 heures. Un cas très typique et remarquable de « blastoderme zonal » (III), ressemblant à beaucoup d’égards à celui de Loisel : l'anneau blastodermique entourait un trou central, au centre duquel on apercevait une tache blanchâtre de 3 mm. 5 de diamètre, présentant l’aspect d’une « cicatricule parthénogénétique » (?). Les dimensions de tout le blasto- derme étaient de 22 mm. et de 21 mm., les diamètres du trou central de 14 mm. 5 et de 42 mm. 2. La largeur de l’aire opaque variait de 7 mm. 7 à 2 mm. 7, car celle-ci était plus élargie au voisinage de la tache centrale et même s’étendait vers celle-ci en forme de promon- toire. Pas de trace quelconque des restes de l’aire transpärente ni de l’aire vasculaire. Il. OEuf pondu le 17/ur. 48 heures d’incubation. Le blastoderme a envahi juste la moitié de la surface du jaune, en s'étendant jusqu’au niveau de l'insertion des chalazes. Aire vasculaire normale, montrant la coloration rouge dans les vaisseaux. L’embryon, long de 6 mm. et avec 20 paires de protovertèbres était parfaitement normal. 8. Poule N° 623. — Cette poule m'a donné une série de trois 94 JAN TUR embryons, tous gravement monstrueux, mais Chacun d'eux présentant un type particulier de malformation, sans aucune parenté récipro- que. Il est à noter qu'entre le premier œuf et les deux suivants il y avait 19 jours d'intervalle. [. Premier œuf, pondu le 6/ux, incubé pendant 43 heures. Le blas- toderme long de 18 mm. et large de 16 mm. (au début de la fixation ; après l'inclusion dans le baume de Canada — 16 mm. et 15 mm). La structure de l'aire vasculaire, aussi bien que celle du corps de l’em- bryon rappelait exactement celie de l’embryon N° I de la poule N° 620 — aux protovertèbres diffus et à peine reconnaissables. La longueur de l'embryon était de 2 mm. %5. IT. OEuf pondu le 18/11, incubé pendant 44 heures. Diamètre total du blastoderme. 25 mm. L’axe de l'embryon a dévié à droite suivant un angle de 90°, de la position normale sur le jaune. L’aire vasculaire, assez normale avec les premiers vestiges de la formation du sinus terminal,entourait l’aire transparente. Le corps embryonnaire montrait Fig. 12. 623, œuf IL. Microphotographie. X< 18. un retard assez sensible comparativement à l’état des ébauches vas- culaires ; il n’a pas dépassé le stade des premières ébauches des lames SUR UNE SÉRIE D'EMBRYONS MONSTRUEUX SE nerveuses, prononcées à une courte distance en avant du nœud de Hensen (#g. 12). En outre, le long de cet embryon on voit trois plis d’une nature étrange, qui se sont disposés transversalement et un peu obliquement. Le premier de ces plis s’est logé juste au niveau du repli proamniotique et, probablement, ne représente qu’une exagération de celui-ci ; le second s'applique du côté droit juste au niveau du nœud de Hensen et affecte la disposition d’une gouttière primitive acces- soire ; enfin le troisième pli croise la gouttière primitive en son tiers postérieur, ds à une formation de ce genre décrite par À. Banchi (X — Tar. IV, fig. 75). Je compte soumettre cet embryon curieux à une . . dans un autre travail. . AIT. OEuf pondu deux jours après le précédent. Incubation pendant 44 heures. Diamètre du blastoderme, 31 mm. Un cas très typique de Platyneurie (Gyclocéphalie) totale — prononcée sur toute l’étendue Fig. 13. — Poule n° 623, œuf III, Platyneurie. Microphotographie. X 18. du corps de l'embryon, et accompagnée par un dédoublement latéral des protovertèbres très accentué (fig. 13). Ainsi toute cette série a donné des monstres incompatibles avec le rétablissement du cours normal du développement, 96 JAN TUR 9. Poule N° 608. —— Un seul œuf incubé pendant 46 heures, m'a donné un embryon long de 3 mm. 16 et pourvu de 12-13 paires de protovertèbres, entouré par l'aire vasculaire aux malformations insi- gnifiantes. Le corps de l’embryon portait les ébauches cardiaques normalement constitués. C’est la tête seulement qui était fortement malformée : le tube nerveux, dans la partie céphalique, était contourné et plissé plusieurs fois d’une façon bien étrange, mais ne rappelant aucun des types monstrueux connus. L'étude détaillée de ce monstre trouvera sa place dans mon travail traitant les malformations des jeunes stades du développement du système nerveux. 10. Poule N° 625. — Un seul œuf. Incubation pendant 44 heures. Diamètre du blastoderme, 34 mm. environ, ce qui est bien normal. Fig. 14. — Poule no 625. Microphotographie. x 18. L’aire vasculaire normale. L’embryon, long de 2 mm. 5, était atteint d'une malformation que je n’ai jamais observée jusqu'ici (fig. 14). À première vue, l'embryon pouvait être considéré, comme atteint simplement de Platyneurie totale : la lame nerveuse étalée, mesu- rait 0 mm. 69 en largeur. Dans la région antérieure du monstre, pourvue d’une ébauche de l'intestin céphalique assez bien prononcée, SUR UNE SÉRIE D’EMBRYONS MONSTRUEUX 97 les bords:de la lame platyneurique se montraient sensiblement épais- sis et même comme soulevés en festons irréguliers, affectant la disposition métamérique. Mais, outre cela, sur la ligne médiane de cette lame nerveuse étalée — dans la même région céphalique, se dressent les deux autres bourrelets médullaires, très rapprochés l'un de l’autre et rappelant assez exactement la disposition normale de l’ébauche nerveuse dans cet endroit. L'ensemble donne l'impression d’une lame platyneurique étalée au milieu de laquelle se serait produit une différenciation nerveuse normale... 11. Poule N° 653. — I. OEuf pondu le 9/rr, incubé pendant 45 heu- ” res. Diamètre du blastoderme, 33 mm. Embryon disposé transver- salement sur le jaune, la tête à droite. Dans la partie postérieure de l'aire vasculaire on apercevait, avant la fixation, la coloration jaunâtre Fig. 15. — Poule n° 653, œuf I. Platyneurie. Microphotographie. x 18. du sang. Embryon long de 3 mm. 57 et à corps courbé dans la région des protovertèbres, atteint de Platyneurie totale (fig. 15), quoique l’étalement de la lame platyneurique ne fut pas ici trop exagéré : sa largeur ne dépassait pas 0 mm. 63 dans la région de la tête. Parallèlement à cet étalement peu sensible, quoique très typique, de 98 | JAN TUR la lame nerveuse — les protovertèbres s'étaient ici allongées dans le sens transversal, mais sans se dédoubler. IT. OEuf pondu le 13/n1, incubé pendant #5 heures. Un très beau cas d’anidie « zonale » (fig. 16). L’anneau blastodermique, un peu élargi dans la région tournée vers le bout aigu de la coquille, mesurait Fig. 16. — Poule n° 653, œuf II. Blastoderme zonal détaché du jaune (où est resté la tache centrale). Photographie prise à la lumière réfléchie (blastoderme. non coloré et plongé dans l'alcool à 900). Grandeur naturelle. 28 mm. en longueur et 26 mm. en largeur !. Les dimensions corres- pondantes du trou central étaient de 16 mm. et de 15 mm. 5. Le bord plus épais de l’anneau blastodermique était large de 8 mm. 5 etle bord opposé à celui-ci de 5 mm. Dans le trou central, à une distance de 5 mm. du bord interne le plus élargi de l’anneau blasto- dermique, se trouvait sur la surface du jaune une tache blanche, de 2 mm. 9 en diamètre, entourée par une zone blanchätre, dont le diamètre total était de 5 mm. J'ai fixé cette « cicatricule parthénogé- - nétique » à l’aide du liquide de Rabl, et, malgré l’extrème fragilité de cette formation, j’ai réussi à la débiter en coupes sériées. Sa struc- ture ne ressemblait en rien à celle de la cicatricule inféconde : c'était un amas de détritus, provenant évidemment de la décomposition de la partie centrale du blastoderme, qui a été atteinte par des processus nécrotiques localisés, qui ont provoqué la formation de l’anidie « zonale » (XD). Je dois mentionner encore une en enen se de ce blastoderme, que je n'ai pas rencontrée jusqu'ici chez les anidiens zonaux spontanés, obte- nus par la voie de l’incubation normale : le bord interne de l'anneau blastodermique, à l’endroit où il était plus large, était garni d’une région (1) Ce sont les mensurations, prises sur le germe immédiatement après qu'il fut plongé dans le liquide fixateur (acide nitrique à 3 °/). Après la fixation et le montage dans le baume de Canada, il y avait, comme toujours, un léger resserre ment du blastoderme. SUR UNE SÉRIE D'EMBRYONS MONSTRUEUX 99 en forme de croissant, longue de 9 mm. environ et large de 1 mm., où se présentaient des traces non équivoques d’une aire vasculaire, refoulée par l’élargissement progressif du trou central. On voit ici les ilots sanguins très forts, remplis de corpuscules rouges et s'anastomo- vant en un réseau tout à fait normal. 42. Poule N°606. — Premier œuf, pondu le 23/1 etincubé pendant 46 heures, m'a donné un blastoderme (qui a envahi plus d’un tiers de la surface du jaune) pourvu d’une aire vasculaire normale et d’un embryon long de 4,3 mm. et avec 11 paires de protovertèbres. Cet embryon, sauf un léger rétrécissement des vésicules cérébrales, accom- pagné, d’ailleurs, par un développement tout à fait normal des vési- cules optiques, ne présentait aucune anomalie. Alors j'ai conseillé à M. Schôünfeld de mettre les autres œufs de la même femelle à l’incuba- tion artilicielle. Le second œuf, pondu le 1/1, miré après 7 jours d'incubation, s’est montré « clair » : c’était un anidien sans aire vas- culaire, d’un diamètre total du blastoderme de 13 mm. Cette note, n’ayant pour but que d'attirer l'attention des tératogé- nistes sur les œufs des primipares, est très incomplète, car la plupart des blastodermes monstrueux, dont j’ai décrit ici la configuration in toto n’ont pas encore été examinés sur des coupes sériées, ce qui est indispensable et que je compte faire pour chaque type monstrueux. En résumaunt les faits qui viennent d’être ici brièvement exposés, je crois que leur ensemble nous permet de conclure à l’extrème insta- bilité morphogénique des œufs de poules primipares, au moins au début de la première ponte. IL est à noter que les œufs pondus dans le même temps que ceux qui ont servi d'objet pour cette note, mais qui provenaient de poules plus âgées, mises en incubation artificielle par M. Schônfeld au commencement de Mars, ont donné des résultats très satisfaisants : à savoir 70 °/, d’éclosions réussies. De même, douze œufs de ces mêmes poules plus âgées, après avoir subi le même traite- ment d'emballage, de transport et de « repos », et puis mis en incuba- tion en même temps que les œufs des primipares, m'ont donné tous des embryons parfaitement normaux. Ainsi, nous devons conclure que la primiparité est bien un facteur non négligeable de cette série monstrueuse. Évidemment, les vraies causes de cette instabilité évo- lutive des germes des primipares nous échappent jusqu'ici compléte- ment; la variété et l’hétérogénéité des types monstrueux qui s’y rencontrent ne font qu’obscurcir le problème de ces causes. ... En tous cas, nous avons ici une indication toute empirique que les œufs 100 JAN TUR des primipares constituent un matériel qui «mérite l’attention des tératogénistes, vu surtout, que ceux-ci sont, malheureusement, jus- qu'ici condamnés à chercher les matériaux pour leurs études en se confiant au seul hasard. Varsovie. Laboratoire Zootomique de l'Université. Mai 1907. OUVRAGES CITÉS I. J. Tur : « Sur quelques blastodermes monstrueux du poulet. » — Travaux de la Société des naturalistes de Varsovie. 19014. Il. Etienne Rabaud : « Recherches embryologiques sur les Cyclo- céphaliens. » Journal de l’Anatomie et de la Physiologie. 1904-1902. Il. G. Loisel : «Les blastodermes sans embryon ». Comptes rendus de l’Académie des sciences. TC. XXXII. 1901. IV. J.Tur : « Sur le développement anormal du parablaste dans les embryons de la poule (Parablaste sous-germinal). » Bull. de la Société Philomathique. 1906, N°3. V. Etienne Rabaud : « Fragments de tératologie générale. L'arrêt et l’excès de développement. » Bulletin scientifique de la France et de la Belgique, 1901. VI. J. Rückert: « Ueber die Abstammung der bluthaltigen Gefäs- sanlagen beim Huhn und über die Entstehung des Randsinus beim Hubhn und Torpedo. » Sitzungsberichte d. math.-phys. el. d. Akad. d. Wiss. zu München. 1903. VII. J. Rückert: «Œntwickelung der extraembryonalen Gefässe der Vôgel » Handbuch d. vergl. u. exp. Entwickelungslehre der Wirbel- tiere. v. 0. Hertwig. Lief. 27/28. 1906. VII. J. Tur: «Sur les malformations embryonnaires, obtenues par l’action du radium sur les œufs de la poule. » G. R. des séances de la Société de Biologie. 190. IX. J. Tur: «Les débuts de la Cyclocéphalie (« Platyneurie em- bryonnaire ») et les formations dissociées. » Bull. de la Société Philo- mathique. 1906. X. Arturo Banchi : « Le anomalie della linea primitiva negli embrioni di pollo. » Monitore Zoologico Italiano. A. VIIL. N. 3. 1897. XI. J. Tur : « Sur l’origine des blastodermes anidiens zonaux. » Comptes-rendus de l’Académie des Sciences. 6 mai 1907. Bar-le-Duc. — Imprimerie Comte-Jacquet, Facpouez, Directeur. TABLE DES MATIÈRES DU FASCICULE III £ Pages. Extrait des comptes-rendus des séances . RE EH A En SE LT Le ne ne 61 Reproduction d'anciens plis cachetés de Chevreul, Peltier, Schmersahi, du-Moncel: 2.7 SR TRE à PE AR 0 Ne PE ne 63 C.-A. Laisant. — Observation sur l’interpolation : . . + : . . . 5. . . 68 EE. Lebon — Pour la théorie des nombres. + : td, 2/7 n 7 10 J. Tur. — Sur une série d'embryons monstrueux provenant dés Poules primipares.. _ . . . a il er me dE 78 LE PRIX DES TIRÉS À PART EST FIXÉ AINSI QU'IL SUIT : 25 ex. | 50 ex. | 75 ex. 400 ex.|150 ex. |200 ex. |250 ex. Une feuille . . . . . | 4.50 | 5.85 | 7.20 | 8.10 | 10.60 | 12.85 | 14.85 Troisquartsde feuille. | & » | 3°» | 6.40 | 3 » | 9 ‘» 110.60 | 12.15 ea Ho] = Une dentelle (0 Las le da e0 8.101 9 » À 2% 8060-1630 Un huitième defeuille. DNS) .10 | 3:15: | 3.60 4.05! 4,50!1.5 » Plusieurs feuilles . . | 4 » | 5.40 | 6 30 1,20 9- »|11.70! 1% » (e,0] QC OC Un quart de feuille: . | 2,70 D © & S> (=æ) Æ> t (213 = PUBLICATIONS DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE Hreisérie TB ISO MANN Re 3 volumes in-40 Dtcérier 180 721819 2e ee 3 volumes in-4° 38..séries : AAA 182 610 SUN DE RUN . 13 fascicules in-4° HÉLSÉTIER MSI2EL8 33 NN EN CRIER ; 2 volumes in-40 Hrrsénie OS CES 6 RP EE rer 28 fascicules in-4° GE série LEASOA TRI RTE LD PF EN 13 fascicules in-$° MSC LISTE LS CMS AN EE . . 11 volumes in-8° Chaque année pour les Membres de la Société. : . .: : . - : . . . 5 francs — DOuRAe-publite) Aer USE SeUree HR Ne LÉO 42 francs Mémoires origmaux publiés par la Jociété Philomathique A L'OCCASION DU CENTENAIRE DE SA FONDATION 1788-1888 Le recueil des mémoires originaux publiè par la Société philomathique à l’oc- . casion du centenaire de sa fondation (1788-188S) forme un volume in-4° de 431 pages, accompagné de nombreuses figures dans le texte et de 24 planches. Les travaux qu'il contient sont dus, pour les sciences physiques et mathématiques, à : MM. Désiré André ; E. Becquerel, de l'Institut; Bertrand, secrétaire perpétuel de l'Institut ; Bouty ; Bourgeois: Descloizeaux, de l'Institut; Fouret ; : Gernez ; Hardy : Haton de la Goupillière, de l'Institut ; Laisant ; Laussedat, de l’Institut ; Léauté, de l'Institut ; Mannheim ; Moutier ; Peligot, de l'Institut : Pellat. Pour les sciences naturelles, à : MM. Alix; Bureau; Bouvier, de l’Institut ; Chatin, de l'Institut ; Drake del Castillo : Duchartre, de l'Institut : H. Filhol ; Franchet ; Grandidier, de l’Institut ; Henneguy: Milne Edwards, de l’Institut ; Mocquard; Poirier; A. de Quatrefages, de l’Institut; &. Roze; L. Vaillant. En vente au prix de 35 francs. AU SIÈGE DE LA SOCIÉTÉ, À LA SORBONNE mm Bar-le-Duc: — Imp. Comte-Jacquet, FAcpouez, Dir. BULLETIN SOUIÉTÉ PHILONATHIOUE FONDÉE EN 1788 NEUVIÈME SÉRIE. — TOME IX D RE PARIS AU SIÈGE DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS A LA SORBONNE 1907 Le Secrétaire-Gérant, H. COUTIÈRE. Le Bulletin paraît par livraisons bimestrielles. COMPOSITION DU BUREAU POUR 1907 Président : M. Berruecor (Daniel), 3, rue Mazarine. Vice-Président : M. Lécaizcow, 28, rue Berthollet. Trésorier : M. RapauD, 3, rue Vauquelin. Secrétaire des séances : M. Winter, 44, rue Sainte-Placide. Vice-Secrétaire des séances : M. Leon, 4 bis, rue des Écoles. Secrétaire du bulletin : M. Counère, 12, rue Notre-Dame- des-Champs. Vice-Secrétaire du bulletin : M. Neuvire, 35, rue de Buffon. Archiviste : M. Hennecuy, 9, rue Thénard. La Société Philomathique de Paris se réunit les 2° et 4° Samedis de chaque mois, à 8 h. 1/2, à la Sorbonne (salle de travail des Étudiants). Les membres de la Société ont le droit d'emprunter des livres à la Bibliothèque de l'Université. Ils ont également droit, sur leur demande, à 50 tirages à part gratuits des Mémoires qu'ils publient dans le Bulletin. Pour le paiement des cotisations et l’achat des publica- tions, s'adresser à M. Véznaun, à la Sorbonne, place de la Sorbonne, Paris, Ve. 101 EXTRAITS DES COMPTES-RENDUS DES SÉANCES Séance du 13 juillet 1907. PRÉSIDENCE DE M. BERTHELOT Le procès-verbal de la précédente séance est lu et adopté. M. Coutière présente, au nom du D" Jousseaume, un ouvrage inti- tulé : « De l'attraction et autres joyeusetés de la science ». Cette présen- tation donne lieu à une échange d’observations entre MM. Coutière et Berthelot. M. E. Lebon fait une communication sur un moyen de déterminer m rapidement le quotient de = Séance du 27 juillet 1907. PRÉSIDENCE DE M. BERTHELOT Après lecture et adoption du procès-verbal de la précédente séance, M. le président signale, parmi la correspondance, le programme du prochain Congrès des sociétés savantes qui se tiendra à la Sorbonne en 1908. Il annonce, en outre, la mort de M. Ponsot, membre de la société, et rappelle ses principaux travaux. M. Deschamps analyse un travail de M. de Polignac sur les nombres premiers publié en 1849. M. Dongier fait quelques remarques au sujet des « Brontidi », bruis sismiques ou atmosphériques, d’après Alippi. 102 SUR LA MÉTHODE D'ÉRATOSTHÈNE par M. Joseph DESCHAMPS. [. — Considérations générales. La méthode dite du crible d'Eratosthène est ordinairement regardée comme ayant pour but la construction des tables de nombres pre- miers. Ainsi envisagée, elle mérite assurément le reproche grave qui lui est adressée d’être longue dans son exécution et d’exiger des écritures qui sont, non seulement nombreuses, mais encore inu- tiles, puisqu'elles aboutissent à la suppression de la majorité des nombres écrits. C'est pourquoi on la simplifie dès le début, en omet- tant immédiatement d’une part tous les nombres pairs supérieurs à 2, et d'autre part dans la série des nombres impairs les multiples de 3 et de 5, lesquels sont directement reconnaissables. Il n’en reste pas moins vrai que, malgré ces importantes simplifications, le tra- vail à accomplir reste considérable et peut exiger un temps très- long, si l’on veut atteindre une limite élevée. En raison de cette difficulté d’ordre purement matériel, il est vrai, en raison aussi de la qualité spéciale du nombre premier, on a cherché s’il n’était pas possible d’échapper à la méthode d’Eratos- thène, en s’efforçant soit de trouver des caractères particuliers appar- tenant exclusivement aux nombres premiers et permettant de les reconnaître sinon à première, du moins à seconde vue ; soit de re- connaître si la succession des nombres premiers se présente sui- vant certaines conditions de régularité permettant, leur suite une fois commencée jusqu à une certaine limite, de la continuer d’après une loi de succession déterminée. On est malheureusement obligé d’avouer que tous les efforts tentés jusqu’à présent sont restés sté- riles et que le nombre premier reste la grande énigme et presque le scandale de l’arithmétique. A quoi tient cette stérilité d’efforts ? Est-ce à une impuissance particulière de l'esprit humain qui reste incapable d'analyser le nom- bre qu'il a cependant créé, alors qu’il a pu surmonter tant d’au- tres obstacles et faire d’autres analyses infiniment plus délicates ? SUR LA MÉTHODE D ERATOSTHÈNE 103 Non :iln'ya rien de cela. Nous nous trouvons simplement en face d’une de ces questions mal posées et toujours ainsi envisagées par la force del’habitudeet d'une véritable routine passée à l’état de dogme scientifique. /{ est faux en effet, que la méthode d’'Eratosthène ait pour but exclusif la construction des tables de nombres premiers. L'esprit de cette méthode est beaucoup plus étendu. Pourjustifier cesassertions, cherchons à faire usage dans un cas par- ticulier d’une table de nombres premiers supposée construite. Soit un nombre donné, 8249 par exemple, dont nous avons àrechercherla for-- mation par voie de produit. Si ce nombre se trouve dans la table des nombres premiers de 1 à 40 000, laquelle est à notre disposition, il est premier lui-même, et dès lors la question proposée est résolue. Comme il ne se trouve pas dans cette table, la question resteentière, et nous avons à rechercher tout au moins un diviseur premier du nombre. On sait que, pour faire cette recherche avec méthode, on essaie la division par les nombres premiers successifs contenus dans la table, en commençant par les plus petits. Dans le cas présent, une * de ces divisions réussit nécessairement, et c’est elle qui fournit le plus petit diviseur premier du nombre proposé, lequel diviseur est ici 73. La connaissance de ce premier diviseur conduit, par répéti- tion du même procédé, à la décomposition complète du nombre proposé. Restons-en donc à la recherche de ce premier diviseur, et revenons à la méthode du crible qui nous a permis de construire la table dont nous avons fait usage. D’après la tradition la plus ancienne, qu’on n'hésite pas à faire remonter jusqu’au créateur de la méthode, on enseigne qu’il faut supprimer, c'est-à-dire anéantir jusqu’à en perdre toute trace, les multiples des nombres premiers successifs à partir de leurs carrés. C’est ainsi que dans cette œuvre de destruction, nous avons supprimé les multiples du nombre premier 73, et qu’en par- ticulier nous avons fait disparaître le nombre actuel 8249, qui cepen- dant avait été introduit dans cette première écriture, dont on faittant degrief à la méthode. Et c’est pourquoi, l’ayant fait disparaitre, nous ne savons plus à quel groupe il appartient, et par un nouvel et fati- gant effort, nous sommes obligés de faire desrestitutions successi- ves, restitutions isolées qui ne servent que pour chaque cas particulier et sont toujours à recommencer. Or, toutes ces difficultés auraient été supprimées si, dans la cons- truction de la table dont nous avons fait usage et après avoir écrit la suite naturelle des nombres simplifiée comme nous l'avons dit plus haut, nous avions, non pas supprimé, mais déplacé les multiples 104 JOSEPH DESCHAMPS des nombres premiers successifs, de façon à réunir, dans un même groupe, tous les multiples du même nombre premier à partir de son carré, et à former autant de groupes qu'il y a de nombres premiers utilisés. De la sorte, aucun nombre ne disparaïtrait, et, si un nom- bre donné ne figure pas dans la liste des nombre restant qui sontpre- miers, il figure dans un des groupes successivement formés en qualité de multiples du nombre premier qui est la tête de liste et qui cons- titue, en cette qualité, son plus petit diviseur premier. Il suffirait donc de rechercher et de trouver le nombre proposé dans cette suite de listes, pour être immédiatement renseigné; et, c'est ainsi que, sans faire tant d’essais inutiles, nous aurions trouvé le nombre 8249 dans la liste des multiples de 75. On objectera peut-être que cette manière de faire augmentera en- core l'étendue des écritures et que par suile, au lieu de simplifier le procédé, onle compliquera Or, il est facile de voir que, même en- dehors de toute simplification susceptible d'intervenir, cette objec- tion est de peu de valeur, car non seulement cette transcription des multiples d’un nombre s'opère rapidement et sans difficulté, mais encore pour quiconque a essayé de construire une table de nombres premiers par l'application stricte de la méthode du crible, il a été facile de constater qu'au lieu de compter sur la liste les nombres de æ en p pour effacer les multiples du nombre premier p, il est beau- coup plus commode et plus rapide de former préalablement et di- rectement les multiples de ce nombre pour les effacer ensuite dans la liste naturelle des nombres. Pour toutes ces raisons, nous formulons la proposition suivante: La méthode d'Eratosthène, envisagée dans toule son étendue au point de vue de son principe et de son application, a pour objet de for- mer et de détacher de la suite nulurelle desnombresinférieurs à une certaine limite, les listes des multiples des nombres premiers successifs, en commencant par les plus peiits et en continuant tant que la chose est possible, c’est-à-dire en s’arrétant au nombre premier immédiatement inférieur à la racine carrée de la limite fixée. Les nombres non déta- chés forment alors la liste des nombres premiers inférieurs à cette limite. Ainsi définie, la méthode ne s’exécutera pas en suivant la marche adoptée jusqu’à présent. Au lieu d’écrire a priori la suite, simplifiée ou non, des nombres impairs, on formera directement les listes des multiples des nombres premiers successifs, à partir de leurs carrés ; en commençant par les plus petits. La seule précaution préalable à prendre pour former ces multiples et pour éviter les doubles emplois consistera à écrire, en s’arrêtant à la racine carrée de la limite, la suite SUR LA MÉTHODE D ÉRATOSTHÈNE 10% naturelle des nombres impairs débarrassée des multiples de 3 et de 5. La suite ainsi formée indique les rangs des multiples à former du nombre premier, 7, immédiatement supérieur à 5 ; elle indiquera aussi les rangs des multiples des nombres premiers, 11, 13, ... su- périeurs à 7, à condition d'y supprimer les multiples de 7, puis de 11, de 13, ete, qui peuvent s y trouver. Ainsi, pour fixer les idées, supposons que la limite fixée soit 2 500. Nous écrirons la suite sans dépasser le nombre 357 quotient de 2500 1, 14) 49, 470 019,23, 29, 31, 37, 41, 43, AT, RO RSS RD DIET AE 10 083 280 01 07 MOI 103 par 7. Nous formerons alors les multiples de 7 suivants ASTON =, PEU EE TE SNL NMES EUR) Supprimant alors dans la suite précédente les multiples de 7 qui peuvent s’y trouver, savoir 49, 77, 91, etc., jusqu’à 357 = 71>=<51, nous formerons la liste des multiples de 11 : EUR EN RIRE ES PE TRE DIT OP 53088 melc- ce puis, supprimant encore les multiples de 11, qui se trouvent dans la liste, nous continuerons, ainsi de suite, en formant les multiples des nombres premiers successifs inférieurs à la racine carrée, 50, de la limite 2500. Nous aurons ainsi, dans le cas présent, douze listes contenant les multiples des nombres premiers 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, M, 43, 47, listes dont l'étendue va en diminuant de la première à la dernière, celle-ci ne contenant que les deux nombres 472 — 2909, 47 <53 —2491. Tout nombre, inférieur à 2500, non contenu dans l’une de ces listes, est premier. Cette manière de procéder, qui est aussi complète que logique, puisqu'elle conserve tout et donne réponse à tout, met en évidence le caractère du nombre premier, qui est presqu’entièrement négatif : le nombre premier ne figurant dans aucune liste de multiples, est le résidu de ces listes ; mais il est destiné à devenir lui-même tête de- liste. Il est donc inutile de chercher à lui trouver des caractères par- ticuliers ; ce sont au contraire les nombres non premiers qui ont des: caractères spéciaux, ainsi que cela apparait pour ainsi dire à pre- mière vue en ce qui concerne les multiples des nombres premiers. simples 2, 3, 5. Ces caractères distinctifs existent aussi pour les multiples des nombres premiers plus élevés, mais sont plus compli- qués et de recherche plus difficile. Mais, sans porter l'attention de ce côté qui ne peut conduire à aucun résultat pratique, nous allons. 106 JOSEPH DESCHAMPS montrer qu'une analyse plus approfondie de la méthode d’Ératosthène fait apparaître dans la succession des multiples des différents nom- bres premiers des circonstances de régularité remarquables qui suf- fisent à les caractériser et vont nous permettre en outre de réduire les écritures dans des conditions telles que le défaut tant incriminé jusqu'ici tombe de lui-même et que. par conséquent, le fameux re- proche, qui est d’ailleurs le seul, puisque le principe de la méthode est intangible, cesse d’être justifié. Nous allons, à cet ézard, démontrer les théorèmessuivants,qui énon- cent les propriétés que nous avons en vue, et qui doivent être regar- dées comme le complément indispensable de l'exposé de la méthode d'Eratosthène. Nous ferons remarquer que, pour la commodité du lan- gage, nous parlons de la suppression des multiples des nombres pre- miers successifs ; mais il reste entendu que ces multiples, suppri- més dans la suite naturelle des nombres, continuent à être réunis dans les listes dont nous avons parlé. Il. — Propriétés de la méthode d’Eratosthène. THÉORÈME [. — Lorsqu'on supprime dans la suite des nombres les multiples du nombre premier p après avoir supprimé les multiples des nombres premiers inférieurs à p : 1° Les résidus forment une suite périodique ; 2° la valeur de la période est égale au produit 2.3... n.p. Nous remarquerons d’abord qu'après la suppression des multiples de 2, les nombres résiduels forment une suite périodique dont la période est égale à 2, les éléments de chaque période étant en nom- bre égal à 1. On doit ensuite supprimer dans cette suite tous les multiples de 3, à partir du carré 9 de ce nombre. Or, si nous grou- pons les nombres résiduels supérieurs en groupes composés de 3 des périodes antérieures, les groupes ainsi formés sont évidemment périodiques, la valeur de la nouvelle période étant égale à 2.3 ou 6.Il en résulte que les nombres correspondants de cette nouvelle période sont en même temps, ou non, multiples de 3, chaque période com- prenant d'ailleurs certainement un multiple de 3 etun seul. Dès lors, si l’on supprime tous les multiples de 3, les nombres résiduels for- ment une suite périodique, pour laquelle la période est égale à 2.83. Nous remarquerons en outre que le nombre des éléments de chaque période est égal à 2. Le théorème énoncé est donc vrai pour p = 3. SUR LA MÉTHODE D ÉRATOSTHÈNE 107 Cela étant, pour démontrer le théorème dans toute sa généralité, il suffit de démontrer que, s’il est vrai pour un nombre premier n, il est vrai pour le nombre premier immédiatement supérieur p. Supposons donc qu'après avoir supprimé tous les multiples du nombre premier n, les résidus forment une suite périodique pour laquelle la période soit égale au produit 2.3. ... n de tous les nom- bres premiers jusqu’à n, et proposons-nous de supprimer dans la suite restante Îles multiples du nombre p immédiatement supérieur à n, à partir de son carré p?. Pour cela, groupons les nombres rési- duels supérieurs à p° en groupes formés chacun de p des périodes précédentes. L'ensemble de ces groupes forme une nouvelle suite périodique pour laquelle la période est égale à 2,3. ... n.p. Or il est clair que les nombres correspondants de cette nouvelle suite sont en même temps, ou ne sont pas, multiples de p. Lors donc qu’on y supprime tous les multiples de p, les nombres résiduels consécutifs à cette suppression forment une suite périodique pour laquelle la période est égale au produit 2.3. ... n.p, ainsi qu'il a été annoncé. Or le théorème étant vérifié, comme nous l’avons vu, pour n — 2, est vrai par suite pour p = 3, et ainsi de suite indéfiniment pour tous les nombres premiers consécutifs. COROLLAIRE. — Pour supprimer les multiples du nombre premier p, il suffit d'écrire un seul groupe formé des p premières périodes cor- respondant au nombre premier n et supérieures à p?, et d'y suppri- mer les multiples de p. Les nombres restant forment la première période correspondant au nombre p, et l’on forme les autres périodes par l’addition de la période 2. 3, ... n.p. Tuéorème IL. — Le nombre des multiples du nombre premier p que l’on supprime directement dans le groupe formé des p périodes conséculives correspondant au nombre premier immédiatement infé- rieur n, est égal au nombre des éléments de cette dernière période. Ecrivons en effet ces p périodes les unes au-dessous des autres de façon que les éléments correspondants se trouvent sur une même ligne verticale, et considérons une de ces lignes. Sur les p nombres qui les forment, et en raison de leur différence constante 2.3, ...n non divisible par p, il y en a un et un seul qui est divisible n. Donc le nombre total des multiples de p dans le groupe est égal au nom- bre des colonnes, c’est-à-dire au nombre des éléments qui corres- pondent au nombre premier # immédiatement inférieur à p. Le théorème est donc démontré. 108 JOSEPH DESCHAMPS THéorRèME III. — Le nombre des éléments de la période correspon- dant au nombre premier p est égal à (2 — 1) (3—1) ... (n— 1) (p —1). Supposons le théorème vrai pour le nombre premier n; je dis qu’il est vrai pour le nombre premier immédiatement supérieur p. Le nombre des termes de la période correspondant au nombre n étant par hypothèse égal à (2 —1)(3—1)... (n —1), le groupe formé des p premières périodes comprend (2 — 1) (3 — 1) . (n — 1) p éléments. Comme le nombre des éléments supprimés dans ce groupe en tant que multiples de p est, en vertu du théo- rème précédent égal à (2—1)(3—1)...(n—1), le nombre des éléments restants, c’est-à-dire des éléments formant la période qui correspond au nombre p est égal à (2—1)(3 —1)...(n—1)p — (2 —1) (3 —1) ...(n —1) = (2 —1)(3 —1)...(n —1)(p — 1), ce qu'il fallait démontrer. Or le théorème est vrai pour le nombre premier 2, puisque le nombre des éléments formant la période correspondante est égal à 1—2—1; il est donc vrai pour le nombre premier 3, et par suite pour tous les autres nombres premiers. CoRoLLAIRE. — Les multiples du nombre premier supérieurs à son carré p forment une suite périodique dont la période est égal à 2, 3, ... n.p. et dans laquelle le nombre des éléments de la période est égal à (2—1)(3 —1)...(n — 1). L’exactitude de cet énoncé découle de l’ensemble des théorèmes I, IT et III. Taéorème IV. — Le rapport du nombre des multiples du nombre premier p que l’on supprime dans le groupe formé des p périodes consécutives correspondant au nombre premier inférieur n, au nom- 1 bre total des éléments de ce groupe, est égal à a En effet le nombre total des éléments du groupe, est égal à (2— 1) (83—1) ...(n—1)p, tandis que les nombres des multiples Supprimés est (2—14)(3 —1)...(n —1). Le rapport de ce dernier Lee nue QUE au nombre précédent est donc égal à pi On voit par là que, dans le groupe considéré, les multiples res- tant du nombre premier p se trouvent répartis en moyenne de p SUR LA MÉTHODE D'ÉRATOSTHÈNE 109 en p, c’est-à-dire comme ils le sont, mais alors exactement, dans la suite naturelle des nombres. CoRoOLLAIRE. — La suite des nombres premiers tend vers un régime permanent ef périodique. En résumé, l'application de la méthode d’Eratosthène fournit les résultats suivants : 4° Les résidus consécutifs à la suppression du nombre premier p for- ment une suite périodique, dont la période est 2.3. . . . n. p, et dont le nombre d'éléments est (2 — 1) (3 —1)...(n—1)(p—1); 20 Les multiples du nombre premier p forment eux aussi une suite périodique, dont la période est 2.3...n.p et dont le nombre d’élé- ments est (2—1)(3 —1)...(n—1): 3° Les rangs des multiples du nombre premier p sont les nombres qui forment la suite périodique consécutive à la suppression des multiples du nombre premier n immédiatement inférieur à p. VÉRIFICATION DES THÉORÈMES PRÉCÉDENTS. — Îl est facile de constater la réalisation successive des faits qui viennent d’être énoncés. Ainsi, nous avons déjà fait remarquer que la supression des mul- tiples de 2, laisse comme résidu la suite des nombres impairs qui constituent une suite périodique dont la période est 2, le nombre des éléments de la période étant égal à 2 — 1 — 1. Prenons trois de ces périodes : ) 7 à cet ensemble contient un multiple de 3 et un seul qui est 9. Dès lors : 1° Les multiples de 8 constituent une suite périodique dont la période est 2.3 — 6, le nombre des éléments de cette période 9 15. 21 restant égal à 1 ; 2° La suppression de ces multiples de 3 laisse à la suite du carré 9 de ce nombre une suite périodique de période 6, et dont le nom- bre des éléments est (2 — 1) (3— 1) = 2. Cette suite est A 1 17019 23 25 410 | JOSEPH DESCHAMPS Ecrivons maintenant 5 de ces périodes 11 13 IP) 23 25 29 51 39 97 Cetensemble à deux colonnes contient nécessairement dans cha- que colonne un multiple de5et un seul et alors comme précédemment: 4° les multiples de 5 forment une suite périodique composée de 2 éléments et dont la période est d'après le théorème I, égale 2.3.5 ou 30. Gette suite est | 25 35 5 65 85 75 20 les résidus consécutifs à 5 forment une autre suite périodique, dont la période est encore 30, et danslaquelle le nombre des éléments est (2—1)(3 — 1)(5 — 1) = 8. Le premier de ces groupes est 29 1000097 1 43 47 49 53 Ecrivons à nouveau 7 de ces groupes: 29 3! 31 A 43 47 49 53 29 61 67 71 73 F7 79 83 89 91 97 101 103 107 109 113 119 121 127 131 133 137 139 143 149 151 157 161 163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 203 209 211 217 221 223 227 229 233. Cet ensemble formé de 7 colonnes contient nécessairement dans chaque colonne un multiple de 7; ces multiples soulignés dans le tableau précédent constituent le premier groupe des multi- ples successifs lesquels forment une suite périodique dont le nom- bre d'éléments reste égal à 8, et dont la période est 2.3.5.7 — 210. 49 77 91 133 161 203 217 259 287 301 343 371 413 427 Il est donc très facile d'une part de former la suite des multiples de 7 jusqu’à telle limite que l’on voudra, d’autre part de déterminer Jes rangs de ces multiples qui ne sont autres que la suite des nom- SUR LA MÉTHODE D 'ÉRATOSTHÈNE 411 bres résiduels,à partir de7, à la supression des multiples de 5, savoir DOUTE M ARNO 109820 00m 1 DAS RON AO NS SONO ME disposée en une suite périodique dont la période est 30. Il n'y a qu'à continuer de la même manière pour former les suites périodiques des multiples de 11, puis de 13, de 17, et ainsi de suite autant qu'on voudra. La période des multiples de 41 est 2.3.5.7.11 — 2310, et le nombre des éléments (2 — 1) (3 — 1) (5 — 1) (7 — 1) = 48 ; pour 13, la période serait 2.3.5.7.11.13 — 30030, et le nombre des éléments (2 — 1) (6 — 1)(5—1)(7 —1) (11 — 1) — 480. Ces nombres augmentent, comme on le voit, très rapidement ; et cette rapidité très grande devient trop promptement un obstacle presqu'insurmontable à l'application de la méthode. Il n’en est pas moins vrai que, appliquée ou non, la méthode subsiste en entier, et que laformation et lasuppression des multiples d’un nombre premier quelconque laisse toujours après elle un résidu présentant une grande régularité, dans lequel des nombres disparaïîtront encore comme multiples de nombres premiers supérieurs tandis, que d’autres res- teront pour constiluer avec ceux déjà conservés la série des nombres premiers. D’après cela, il est impossible que la suite des nombres premiers présente une régularité permanente; elle n’est, en effet, qu'une partie d’une suite qui, étant régulière, subit des suppressions qui altèrent cette régularité. Néanmoins, la suite des nombres premiers présente des vestiges de cette régularité dus à ce qu’ils entraient dans des suites périodiques dont les périodes étaient les nombres 6, 30, 210, 2310, etc. Pour en donner un exemple écrivons quelques nombres premiers à partir de 11; la période 30 s’y manifeste comme on peut le voir, mais avec des lacunes, par le tableau-ci-dessous : 11 13 17 19 23 29 31 37 Pa 43 7 » 39 59 61 67 71 73 » 79 83 89 » 97 101 1403 107 109. 115 » DATE La même chose aurait lieu pour les périodes 210, 2310, dont cha- cune est un multiple de toutes les précédentes. On peut donc dire que, si à un nombre premier on ajoute un des nombres 30, 210, 119 JOSEPH DESCHAMPS 2 310, 30 030, ..., il y a un assez grand nombre de chances pour que le nouveau nombre ainsi obtenu soit premier. Le nombre de ces chances augmente d'autant plus qu'on s’élève plus haut dans la suite des nombres premiers après la suppression d’un plus grand nombre de multiples de nombres premiers inférieurs, car, ainsi que nous l’avons démontré, la suite des nombres premiers {end vers un régime permanent périodique, régime qui n’est jamais rigoureusement atteint. II. — Construction de tables pour décomposer les nombres en produits de facteurs premiers. Les tables des multiples des nombres premiers successifs cons- truites d’après la méthode même d’Ératosthène sont, au point de vue pratique, plus utiles que la table des nombres premiers qui en est lecomplémentimmédiat, mais qui peut disparaître sans inconvénient quand ona à sa disposition les tables de multiples. L'ensemble de ces tables représente lasuite naturelle des nombres jusqu’à la limite qu'on s’est fixée, et par conséquent, en faisant abstraction du point de vue utilité, il mérite également le reproche constamment adressé à. la méthode. Il est donc nécessaire de rechercher s’il n’est pas pos- sible de trouver et d'employer des procédés simplifiés permettant d’abréger les écritures, tout en laissant subsister le principe de la construction des tables de multiples. Le fait de la périodicité des multiples successifs d'un même nombre met sur la voie d’une simplification possible ; toutefois, comme cette périodicité est variable d’un nombre à l’autre, nous retenons sim- plement le fait et nous convenons de lui donner de la fixité en l’ap- pliquant de la manière suivante. Soit a un nombre quelconque, premier ou non. Supposons qu’on ait formé un certain nombre de multiples consécutifs de rangs m, Me, . . -, M, du nombre a ; nous nous proposons de rechercher s'il est possible, à l'aide des seuls multiples am,, am:, . . ., am,, de reconnaitre dans la suite des nombres les multiples de a de rang supérieur à my. Prenons pour cela un nombre p que nous appellerons La période et choisi de telle façon que le nombre m, + p, soit le rang de multi- plicité immédiatement supérieur à m,. D’après cela les rangs de multiplicité supérieurs à m, seront SUR LA MÉTHODE D ÉRATOSTHÈNE 1153 M + P, Ma + pP, one My + D Ma + 2p, M2 + 2p, EE My + 2p Mi + kp, M2 + hp, ace m, + Ep Par conséquent un nombre N multiple de a et d'ordre de multi- plicité supérieur à m, sera de la forme N = a(m, + Kp) ; il en résulte : 1° que la différence N — am, est divisible par p, et que par suite, les deux nombres N et am, fournissent le même reste à la division par p ; 2° que, si l’on divise par p les deux nom- bres am, et N, la différence des deux quotients, qui est aK, est divisible par a. Examinons maintenant si la réciproque est vraie, c’est-à-dire si un nombre N satisfaisant à cette double condition est un multiple de a. La double condition ainsi supposée se traduit par les égalités (1) amy = pq +r (2) N = p(q +ak)+r, d'où par soustraction N — am, = akp ou (3) N = afm, + hp). Donc N est multiple de a. Eu résumé, pour qu'un nombre N soit multiple de a, il faut et il suffit : 1° qu'il fournisse à la division par p le même reste qu'un certain multiple am, de a compris dans la suite des multiples con- nus aMy, AM, ..., AM; 2 que la différence des deux quotients soit divisible par p. En outre, quand il en est ainsi, l’ordre de multipli- cité de N relativement à a se détermine immédiatement d'après l'égalité (3), et par suite la décomposition de N en un produit de _deux facteurs est effectuée. On remarquera que la démonstration précédente n'implique aucune hypothèse particulière relative aux nombres a et p, et par consé- quent dans les applications ces deux nombres peuvent être absolu- ment quelconques. Prenons par exemple a—=7, p—30. En négligeant les multiples de 7 qui sont aussi multiples des nombres premiers inférieurs 2, 3, 5, nous formerons, en remarquant que 37 = 7 + 30, les multiples de 7 des rangs TT 1 NIUE MIS: HN = Gby = US) Ho, = IDR RL FN SU 114 JOSEPH DESCHAMPS qui sont respectivement égaux à 49, ÿile Ji 119, 133, 161, 203 0 217 et nous divisons ces nombres par 30, ce qui nous donne par la mise en évidence des restes le tableau suivant 1 7 Al 13 7.15 | 3 Su LT 7.93 | 5 7.19 | 4 17 19 DA 29 2 AA To 1229806 TETE qui correspond aux égalités O1 = 7.13 = 30.8 +1, MES = DEEE NE ERRE Ce tableau va nous permettre de reconnaître très rapidement si un nombre donné est, ou non, multiple de 7. Soit par exemple le nombre 4157, non divisible par 2, 3, et 5; la division de ce nombre par 30 nous donne pour reste 17 et pour quotient 138 Reportons-nous au reste 17 du tableau ; nous trouvons 2 comme quotient correspondant ; retranchons alors 2 de 138, comme la dif- férence 136 n'est pas divisible par 7, nous pouvons affirmer que le nombre 4157 n'est pas divisible par 7. | Considérons encore le nombre 2933. La division par 30 nous _ donne le reste 23 et le quotient 97. En nous reportant au reste 23, nous trouvons 6 pour quotient correspondant ; nous formons alors la différence 97 — 6 — 91, laquelle est divisible par 7; nous en concluons que 2933 est divisible par 7. Pour avoir, sans faire la di- vision directe, le quotient de 2933, nous remarquerons d’une part que, sur le tableau, le multiplicateur de 7 correspondant au reste 93 est 29, et d'autre part qu’en divisant le reste 94 par 7 on trouve D'hEMEUS. Il en résulte, d’après la démonstration faite plus haut 2933 — 7 XX (29 + 30 X 13) = 7 X(29 + 390) 2933 = 7 X 419. On voit, par cet exemple, que l'emploi du tableau exige une sous- traction et la division par 7 de la différence obtenue, laquelle est un nombre inférieur au nombre proposé. Or, cette division elle-même, peut être évitée par l’emploi du même tableau. Aïnsi dans le cas pré- sent, pour reconnaître si 91 est divisible par 7, on le divise par 30, ce qui donne le reste 1 et le quotient 3; en se reportant au reste 1, on trouve et finalement SUR LA MÉTHODE D ÉRATOSTHÈNE 145 précisément 3 comme quotient correspondant et en regard le produit 7.43. Donc 91 = 7.13. Toutefois, pour pouvoir employer le tableau à cet usage, il faut s'assurer que la différence, 91, n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. C’est ainsi que dans le premier exemple, on avait trouvé la différence 136 divisible par 8 ; il faudrait donc d’abord faire cette division, ce qui donne le nombre 17 qu’on reconnait non divisible par 7, sans qu'il soit nécessaire de faire usage à nou- veau du tableau. Toutefois, pour montrer comment même dans ce cas simple on pourrait en faire usage, nous remarquerons que, en divisant 17 par 30, on trouve le reste 17 et le quotient O0 ; or le reste 17 du tableau comporte le quotient 2. La soustraction 0 — 2 étant impossible, le nombre 17 n’est pas divisible par 7. Cela étant, pour former une table permettant de trouver les diviseurs premiers d’un nombre inférieur à une certaine limite, il suffit de faire, pour tous les nombres premiers inférieurs ou égaux de la racine carrée de la limite, ce que nous avons fait pour le nombre premier 7; et, comme la division par 30 ne fournit pas d’autres restes que ceux dejà trouvés, on n’a qu’à réunir en un même tableau les produits fournissant le même reste et à mettre en regard de chaque produit le quotient correspondant de sa division par 30. Nous retrouvons ainsi le principe des tables construites dans le même but par M. Lebon et dans lesquelles il donne aux divers restes servant de base aux groupements le nom d'indicateurs. Mais nous al- lons apporter à la forme de ces tables des modifications importantes ayant pour effet de les transformer presque complètement. La na- ture de ces modifications résultera pour nous de la mise en prati- que des principes suivants : 4° Faire choix de la période ou des périodes les plus avantageuses ; 2° Adopter le dispositif réduisant autant que possible le nombre des écritures ; 3° Chercher à transformer des tables fermées en tables ouvertes, susceptibles d’être étendues au-delà des limites primitivement choi- sies, et cela au gré de l'opérateur et suivant les circonstancés, moyennant l'emploi d’une clef ou méthode simple très facilement applicable. 1° Choix de la période. — La période peut être envisagée au dou- ble point de vue de sa grandeur et de sa valeur. En parlant de sa grandeur, nous entendons par là qu’elle peut être un nombre plus ou moins élevé. Cette circonstance de la grandeur de la période influe directement sur la limite à atteindre ; il est clair 116 JOSEPH DESCHAMPS qu'une grande période permet d'atteindre directement une limite élevée. Le choix de la grandeur de la période se trouve donc subor- donné à celui de la limite, l'élévation de l’une entraïnant l'élévation de l’autre et aussi, d’une façon plus rapide encore, l’étendue de la table. Comme il s’agit de s’opposer dans toute la mesure du possible à cette exagération d’étendue des tables, nous avons dû chercher un artifice permettant de rendre jusqu’à un certain point la limite à at- teindre indépendante de la grandeur de la période ; nous ferons voir plus loin comment, avec une période relativement faible, nous pou- vons arriver jusqu’à des limites très élevées. En ce qui concerne la valeur de la période, une circonstance semble dominer pour son choix toules les autres : c’est celle de sa composition en tant que produit de facteurs premiers. Si par exem- ple nous faisons choix de la période 30 — 2.3.5, déjà indiquée, nous écartons de nos recherches tous les nombres divisibles par les facteurs premiers 2, 3, et 5, cette divisibilité pouvant d’ailleurs se constater au premier coup d'œil. Les divisibilités par 7 et par 11 étant également faciles à reconnaître, on voit qu’on peut pour les mêmes raisons faire choix des périodes 29 0 AU NC NS TA 027310; Ces choix concordent d'ailleurs parfaitement avec les résultats trouvés plus haut dans l'étude des propriétés de la méthode d'Era- tosthène. Or, si nous ne perdons pas de vue que nous devons diviser par la période, d’une part tous les multiples de nombres premiers qui doivent figurer dans la table, d'autre part tous les nombres à essayer, et trouver les quotients et les restes de ces divisions, nous voyons qu'il y a un avantage majeur à choisir de préférence les périodes permettant de faire ces divisions rapidement et sûrement. Il importe, en effet, d’éviter toute cause d'erreur à la fois dans la construction des tables et dans les opérations d'essais. C’est pourquoi, malgré les avantages incontestables des périodes précédemment indiquées, nous n’hésitons pas à leur substituer les périodes décimales, c'est-à- dire les puissances de 10. Sans doute ce choix a pour effet de n’écar- ter des essais que les multiples de 2 et de 5, et d'y laisser rentrer les multiples de 3 et de 11, qui sont de détermination directe, sans le secours d'aucune table; mais cet inconvénient ne balance pas l’a- vantage considérable qui résulte de l’emploi du calcul décimal, ainsi qu'il est facile de le montrer par un seul exemple. Ainsi, en faisant le produit de 137 par 171, on constate que ASTM OS TE SUR LA MÉTHODE D'ERATOSTHÈNE A LTÉ Supposons que la {période choisie soit 100, ce qui nous oblige à diviser 23427 par 100, nous trouvons, immédiatement et sans aucun calcul, que le reste est 27 et le quotient 234, et, comme dans notre table nous devons faire figurer ces deux éléments enmême temps que la composition en facteurs du nombre considéré, nous emploierons le dispositif déjà adopté 27 137.171 | 234 correspondant à l’égalité 23427 = 100.234 + 27 dispositif qui met tous ces éléments en évidence, et en même temps. laisse subsister en entier le nombre donné partagé, il est vrai, en deux parties; mais cependant immédiatement reconnaissable. Avec. une période non décimale, la période 30 par exemple, la division serait plus longue, et, en outre, pour conserver la trace du nombre, il faudrait l’écrire en entier, et adopter la disposition suivante of 23427 — 137.171 | 780 le reste étant encore ici 27, mais le quotient 780 ; et cela ne ferait qu'augmenter l'étendue de la table. Nous accordons donc la préférence exclusive aux périodes déci- males, et nous donnons ci-après deux modèles de tables, l’une de base 10, l’autre de base 100. La période 30 déjà employée nous sera cependant commode pour les explications qui nous restent à donner sur le mode de construztion et sur le dispositif de nos tables. 2° Dispositif simplifié de construction. — Soit à construire la table de période 30, qui exclut, comme nous l'avons dit, les multiples de 2, 3et5. Nous devons former, parmi les multiples des nombres pre- miers supérieurs, ceux dont les rangs diffèrent de moins de 30. C’est ainsi que nous avons déjà formé les multiples de 7 dont les rangs sont 1 11, 13, 19} 19 23, 29, 31; le rang suivant, 37, étant égal à 7 + 30 est le premier écarté. Si l’on se conformait strictement à la méthode d’Eratosthène, il faudrait, en passant au nombre premier suivant 11, former de même les multiples à partir de 41, multiples dont les rangs seraient A1, 13, 47, 19, 23, DONS 31, le suivant 41 étant égal à 11 + 30. Or, si l’on remarque que le mul- tiple de 11 >< 7 a déjà été formé comme multiple de 7 et comme tel introduit dans la table, on en conclut aisément que l'introduction du multiple 11 > 37 est inutile d’après le principe même de la méthode, 9 118 JOSEPH DESCHAMPS puisqu'il suffit de former les multiples pour chaque diviseur dont les rangs diffèrent de moins de 30. Donc le produit 7.11 qui figure dans le tableau (page 114), sous le reste 17, y figure aussi bien comme multiple de 11 que comme multiple de 7; et par conséquent, lorsqu'on donnera un nombre à essayer au point de vue dela recherche de ses diviseurs, l'essai devra porter sur les deux facteurs 7 et 11, c'est-à-dire que l'on devra rechercher si la différence que l’on doit fournir d'après la règle indi- quée plus haut, est divisible par l’un ou l’autre des facteurs 7 et 41. Il y a donc aussi simplification à la fois dans les écritures du tableau et dans les essais. En procédant ainsi pour tous les autres nombres premiers et en s'arrêtant au diviseur premier 31 qui clôt la série des multiples à former, la division par 30 de tous les produits obtenus nous fournit, par réunion dans un même groupe de tous ceux que fournissent le même reste, la table suivante 1 11 17 23 FAC IS 7.23 | 5 HE ED 1290 ALI | 4 AL.S1 l'A 13.29 | 12 11.13 | 4 17.93 | 13 1070) Er SSI) CRETE LT 19.19 12 1920018 19.93 | 1% 23.31 | 23 2020025 31.31 | 92 7 15 19 29 TNA ENT 7.19 | 4 T7 1 T7 IS AACAZA VEUT 25108 11.29 | 10 AA AIN 13.19 | 8 13 31 | 15 13.13 | 5 15.23 | 9 2 20h22 17.29 | 16 HR TR IPS) 29.31 | 29 19.31 | 19 : 23.23 | 17 Cette table suffit, malgré son extrême simplicité, à trouver le plus petit diviseur premier de tous les nombres inférieurs à 57° — 369. Soit par exemple le nombre 1241 ; la division par 30 donne le reste 11 et le quotient 41. Nous reportant dans la table au reste 11, nous retranchons de 41 successivement les quotients 5, 41, 7, 18 qui figurent au-dessous du reste 11, et regardons si les différences obtenues sont divisibles par l’un ou l’autre des facteurs des pro- duits en regard. Nous trouvons ainsi que la différence 41 — 7 = 34 est divisible par 17, facteur du produit 13.17 correspondant au quotient 7, et comme JANINE QE SUR LA MÉTHODE D'ÉRATOSTHÈNE 119 nous en concluons 1241 = 17 << (13 + 30.2 — 17.(13 + 60) et finalement DANONE Dans le cas où aucune différence n’est divisible par le facteur en regard, le nombre est premier. 30 Moyen d'étendre les tables et de les maintenir ouvertes. — La table précédente est une table fermée et ne peut servir pour les nombres supérieurs à 1369 que si leur plus petit diviseur premier est inférieur à 37. Cette limitation des tables, si étendues qu’elles soient, est toujours un immense inconvénient ; car, malgré tout le travail dépensé, elles deviennent un instrument inutile, dès qu’on se trouve en présence d’un nombre supérieur à la limite, et pour lequel les seuls essais que peuvent fournir la table sont restés in- fructueux. Est-il possible de supprimer cet inconvénient si grand, et pou- vons-nous commodément étendre au-delà de ses limites une table déjà construite ? De plus, la règle à suivre pour cela est-elle assez simple pour que cette extension puisse se faire par chaque opéra- teur, suivant les circonstances, si bien que la table, au lieu d’être fermée, devienne et reste une table réellement ouverte ? La réponse à cette question va résulter des explications suivantes. Soit ab un produit de deux facteurs premiers ou non, tel qu’en le divisant par la période p, on ait un quotient g et un reste r, conformément à l'égalité (4) ab = pq+r. Ajoutons à chacun de ces facteurs un même multiple Æp de la période ; nous aurons : (a+ kp\b + kp) = ab + kpia + b + kp), d'où, en tenant compte de l'égalité (1) (2) (a + kp)(b + kp) = p | g + ka +0 + kp) | +r. Donc : 1° le nouveau produit fournit à la division par la période p le même reste que le précédent ; 20 le quotient de cette division se déduit du quotient primitif d'une façon simple exprimée par la formule précédente. Dans le cas particulier de’ k — 1, le nouveau quotient q, a pour expression (3) EN GARE 0) 120 JOSEPH DESCHAMPS en d’autres termes, il se déduit du quotient q, en ajoutant à celui-ci la somme des deux facteurs du premier produit et la période. Par conséquent, si l’on forme une série de produits en ajoutant la période à chacun des facteurs du produit précédent, on obtient une série de quotients tels que chacun peut se déduire du précédent par la règle précédente. En résumé, d’une façon ou de l’autre, les quotients successifs peu- vent toujours se calculer facilement et rapidement. Cela étant, pour étendre la table précédente au-delà de ses limites actuelles, on remarquera que cette extension revient à la formation d’une nouvelle table qui devra commencer au nombre premier 37, alors que la première commençait au nombre 7, et qui se construira d’après le même procédé, c’est-à-dire en formant les multiples de 37 et des nombres premiers suivants dont les rangs commencent à 37 et diffèrent de moins de 30. Sans doute, pour ne pas faire de double emploi, ilfaudrait,enappliquantstrictementlaméthoded’Ératosthène, supprimer dans ces rangs de multiples ceux qui sont multiples de nombres premiers antérieurs ; seulement, dans le cas précédent, la scène est dominée par la simplicité et la symétrie résultant de l’em- ploi et de la conservation de la période. C'est pourquoi, sans qu'il soit besoin de se préoccuper du fait que les nouveaux diviseurs, ainsi que les rangs de leurs multiples, sont premiers ou non, cette nou- velle table se construit en ajoutant la période 30 à chacun des fac- teurs des produits de la première table. On obtient ainsi de nouveaux produits, qu'il est inutile de former, puisque, en vertu de la démons- tration précédente, les restes se conservent et que les nouveaux quo- tients se déduisent facilement des anciens. Il est même inutile d’é- crire les nouveaux produits ; il suffit, en effet, d'indiquer en tête de la nouvelle colonne de quotients, qu’il faut ajouter 30 à chacun des facteurs des produits placés à gauche de chaque trait vertical du tableau. Il est clair qu'une troisième table peut de la même manière se superposer à la seconde, ce qui nous donne une troisième colonne de quotients en tête de laquelle nous indiquons qu'il faut ajouter 60 aux facteurs des premiers produits et ainsi de suite indéfiniment. C’est ainsi que nous avons étendu notre première table par l'addition de deux périodes, ce qui nous conduit à la limite 72 = 9509. a dt nn dt à SUR LA MÉTHODE D'ÉRATOSTHÈNE 121 TABLE DE BASE 30 POUR DÉCOMPOSER EN PRODUITS DE FACTEURS PREMIERS LES NOMBRES DE 1 À 9.509. 4 30 60 17 go 60 7.13 SES 468 7.11 DHNSONIES ail PP RAUIES . 13.29 12 84 26 17.23 13 | 83 213 17.31 17 08 35 19.49 12 80 208 19.23 1E USENN as 29.90 | 99 116 264 31.31 32 124 276 CE 7.1 T'AS 7 D 11.29 10 80 210 7.31 7 75 203. 13 43 SG Ge 411.17 CCS 17.17 CS Er 13.19 3 60 10 19.34 19 99 9239 23.29 22 104 246 93.23 11 93 229 11 m 60 23 go 60 1.23 ÉNNLES ASS 7.29 6 72 19% 11.31 11 83 245 11.43 PODESNUTrE 19.17 DE AT 17.49 10 ‘76 202 19.29 EU COM 93.31 23 107 951 13 CE 29 mo 7.19 CORRE 7.47 SET A 11.23 Su T2 196 11.19 SEULE 13.31 13 87 92 13.23 OMR so 1 17.29 16 92 228 29 31 29 419 269 On voit par là comment, à l’aide d’un artifice d'une extrême simplicité, nous avons pu étendre considérablement les limites de la première table, sans augmenter sensiblement son étendue. Le mode d'emploi de cette seconde table est d’ailleurs le même que celui de la première, avec cette particularité que le nombre des essais possibles est augmenté et que lorsqu'on fait usage des quotients contenus dans la deuxième et troisième colonnes, il faut ajouter 30 ou 60 aux produits de gauche, conformément aux indi- cations faites en tête de ces colonnes. Considérons, par exemple, le nombre 4717; la division par 30 donne le reste 7 et le quotient 157. En nous reportant au reste 7, nous voyons d’abord que nous n’avons pas à nous occuper des nombres de la troisième colonne qui sont tous supérieurs à 157. Nous avons donc simplement à retrancher de 157 les nombres des deux premières colonnes, et à rechercher si les différences sont divisibles par l’un ou l’autre des facteurs des produits correspon- 122 JOSEPH DESCHAMPS dants. Or, on a 157 — 104 = 53 ; comme 104% est dans la seconde colonne, le produit correspondant est, non pas 23.29, comme il est écrit sur la table, mais (23 + 30) (29 + 30) ou 53.59 ; la différence 157 — 104 — 53 étant divisible par 53, le nombre donné 4717 est divisible par 53,et, d'après la règle déjà appliquée, 1617 = 53.(59 + 30 1) — 53.89. L'addition d'un plus grand nombre de périodes reste toujours possible, et les quotients correspondants peuvent se calculer sans la moindre difficulté. La table reste donc complètement ouverte, avec celte particularité que son extension peut être limitée à tel reste que l’on veut, sans être appliquée à la table entière. Il est donc possible, ainsi que nous lavions fait pressentir plus haut, de rendre la limite à atteindre indépendante de la grandeur de la période servant de base à la construction de la table. Toutefois une extension trop grande aurait l'inconvénient, surtout en faisant l’usage de périodes faibles, comme 10 ou 30, d’obliger à faire des essais sur des nombres presque aussi grands que le nombre productif et pour lesquels la difficulté reste du même ordre. Tables décimales. — La période 30 nous a été très commode pour donner nos explications sur le mode de construction et sur l’usage des tables. Cette tâche terminée, et pour les raisons exposées plus haut, nous revenons aux périodes décimales qui sont les seules vrai- ment pratiques. Nous avons construitdeux de ces tables, la première de base 10 dont une seule colonne de quotients donne la limite 100, a été étendue, par l'addition de neuf périodes, jusqu à la limite 10000 ; néanmoins cette extension relativement très grande ne complique pas la table, qui reste de très simple apparence et consti- tue à tous les points de vue la table pratique par excellence, puis- qu'elle s’applique à tous les nombres n’ayant pas plus de quatre chif- fres, lesquel sont les plus usuels. La seconde table de base 100, pour laquelle une seule colonne de quotients donne la limite 10000, a été étendue, par l'addition de deux périodes, jusqu’à la limite 100 000. Elle peut ainsi servir pour tous les nombres ayant cinq chiffres, et pas davantage, lesquels sont déjà de grands nombres. L’addition de neuf périodes, comme dans la table de base 10 aurait conduit à la base 1 000 000 ; cette extension n'aurait pas compliqué cette table plus que la précédente, mais lui aurait donné une étendue disproportionnée à celle de ce simple SUR LA MÉTHODE D ÉRATOSTHÈNE 193 mémoire, auquel elle fait suite en qualité de modèle de table à construire. Construite isolément, elle serait vraiment très courte. Une table de base 1000 qui par une seule colonne de quotients conduit à 1 000 000, conduit, par l’addition de deux périodes, à la limite 19000000, et par l’addition de neuf périodes, à la limite 100 000 000. L’addition de 30 périodes conduirait à un milliard. Enfin la table de base 10000 qui conduit directement à 400 000 000, conduirait, par l'addition de 2, 9 et 30 périodes, aux limites un milliard, dix milliards, cent milliards, alors que la table de base 30030, proposée par M. Lebon, conduirait seulement à 900 000 000 environ. Sans doute les dimensions de la table de base 10 000 seraient assez considérables, mais elles seraient loin d'être exagérées. Quant à celles de la table debase 1 000 qui permet d'atteindre un milliard, elles sont relativement restreintes, si l’on considère les grands nombres qu'elles servent à décomposer ; elles se composent en effet de 400 tableaux comprenant les uns 400, les autres 420 lignes horizontales. On peut donc considérer comme résolue la question de la décomposition de tous les nombres, même les plus grands, en pro- duits de deux facteurs, et par suite en produits de facteurs premiers. À l’aide des tables décimales que nous proposons, cette décompo- sition se fait automatiquement, par un simple jeu d'écriture, sans opérations autres que les soustractions et les divisions immédiates par 2 et par 5. Il y a évidemment un certain nombre d'essais à effec- tuer, ce qui est toujours long et fastidieux ; mais il faut bien savoir sacrifier un peu de temps pour obtenir des résultats qui, sans ces méthodes de simplifications, doivent être considérés, dans beaucoup de cas, comme inaccessibles. : Nousavons fait remarquer que l’addition des périodes pour l’exten- sion des tables a l'inconvénient d'introduire des facteurs non premiers, en sorte que ces tables permettent simplement la décomposition d’un nombre en un produit de deux facteurs dont aucun n'est néces- sairement premier, décomposition qui n'en est pas moins d'une grande utilité, puisqu'elle est le point de départ des décompositions ultérieures. Pour éviter des essais inuliles, nous avons placé des astériques à la droite ou à la gauche, ou encore à droite et à gauche de chaque quotient lorsque le facteur de droite ou le facteur de gauche du produit correspondant est premier, ou qu'ils le sont tous les deux. | 124 JOSEPH DESCHAMPS TABLE DE BASE 10 POUR DÉCOMPOSER EN PRODUITS DE FACTEURS PREMIERS LES NOMBRES DE 1 À 10.000. 1,4: 0000 00/20 ph ST En Ne OP SE AS ATTESTANT N ED OOGES 828 SD OU ON A2 O0 SUD ED NS UND EDS 908 MS 6 SLT se NOT O AS MT LENS SE SL 00 3 10 . 20 30 40 50 60 70 80 50 13 CD MR IS MO ATEN POED MINES LS SIG ENS EE 7 OMG ON MA 300 SG TAG COS ET ENOET 7 10 20 30 40 50 60 70 80 90 LM OM TIS D NS GIE O7 02 00 DT DS NS CNE ANS 5e 300 NE Or NE OS D ee SE TD ES O0 9 LORD 30 40 50 60 70 80 90 LOM ON 20 MOD A2 0200 SO ML DOS 602 RU 3 08 6 SMS ARE SOS AO Mo CSS SG ER ES SE ON IS MOTO NS PE NS SP SSD ARE EM OUT 461% 808, X87L 6€L 9€L S89, Y€9 ALP Fc9 186 LG9, g9g, 186 6€7 LES x819, GTS 866 687 1877 008 028, GES ©CT8, Ye8 x96L €OL, 189 1049 089, €09 € 19 1LG, SG, ©L9 OL x9FGx QE c9Y GP TX x69G 0cY 4 008 TEE, *GRE CSC, MAS xC08 798, O£& x8FCx x CCx FLY, F7c x68F, *L61 GET €GF, MAT £9T, cOC, YF, ar 007 08€, LGE CIE :9CE+ 90€ xCLCx+ 66& 07G 8SCx £rC ECG 66}, *C81 106, 606} 9SY 68F CE Ps £GT 78, 0FF, Gex 007 L9 | €8°T8 91 | 66°LL 97, | 69°L9 LS, | 1665 87, | 16€ LE |EL°TS .98, | 19°€# ee, | LG 6€ 68, | 6L°LE OF, | €g FE Se, | L8°68 Er | 6722 er | €9°1e Æ- | 61 LT | AE OF, | #G°VT 76 Ce Go a x0+ £C. 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J. WINTER (!) Dans un précédent mémoire (?) jai montré que, pendant la diges- tion gastrique, la concentration du mélange alimentaire se modifie constamment. Pour le repas de pain, auquel serapportent tous les faits que j'ai cités dans ce mémoire, cette concentration diminue du commencement à la fin du cycle digestif. Les concentrations qui, vues isolément, semblent disparates et sans aucune utilité, revêtent, ainsi systématisées, un caractère pratique de premier ordre. J’en ai déduit, directement, quelques applications : signification des liquides à jeun ; courbe évolutive normale pour le repas de pain; limite physiologique de la digestion de ce repas. Cette conséquence est, tout particulièrement, importante et pratique. Le mémoire en question n’étant qu'un exposé de faits ne contient ni théorie ni hypothèse. Dans le mémoire actuel j’étudierai les causes générales de ce sin- gulier phénomène qu'est l’évolution de la concentration. Elles en expliquent le mécanisme, la marche et la limite et mettent en lumière quelques nouvelles conséquences que l'observation exclusive de faits relatifs au seul repas de pain ne permet pas d’entrevoir. Quand ces causes seront connues le phénomène évolutif nous parai- 1. De même que les deux précédents (ce bulletin : 1905 et 1906), ce mémoire contient la substance d’un chapitre d'une monographie, quiparaitraultérieurement. Tous les éléments en sont inédits et tous les exemples cités sont tirés de la col- lection de mes recherches personnelles (Winter). 2. Bulletin de la Société Philomatique, Paris, Série 9, tome 8, page 140 (1906). 130 ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES tra simple et naturel, et certaines notions, obscures jusqu'ici et étri- quées, seclarifieront et prendront de l’ampleur. Pour préciser la pensée et simplifier le langage, je me servirai assez fréquemment, dans ce mémoire, de la représentation symbolique de la concentration. Cela est fort avantageux pour la discussion et n’introduit aucune complication spéciale. * NADE Quelles sont les causes qui font évoluer la concentration pendant la digestion gastrique ? Au lieu de les demander à d’incertaines hÿpothèses, je vais les dé- duire de l'expression elle-même de la concentration, en donnani à cette expression une extension qu’elle comporte. Ces causes nous apparaîtront ainsi sans effort et sans la moindre incertitude. Au début de mon précédent mémoire (1906) j'ai dit que la con- centralion (r) répond à la relation : tes AR V (V) étant une portion quelconque du contenu stomacal, celle que l’on utilise pour y doser la matière dissoute (R) qu’elle renferme. R Ce rapport (+) ne change pas si, au lieu d’une fraction arbi- traire de ce contenu gastrique, on y fait figurer son volume total actuel et toute la matière (R) que ce volume tient en dissolution. Pour les besoins du sujet je désignerai ce volume total (V) par (G + E), où (G) représente la proportion actuelle de sécrétion gastrique qu’il contient et(E) ce qui y reste de l’eau primitivement ingérée avec le repas d'épreuve. La concentration peut alors s’écrire : ps R à NW, GE Cette relation signifie, à présent, que la concentration (r) dépend, à tout instant et sans ambiguité, de la matière (R) dissoute dans le mé- lange gastrique, de la quantité actuelle qui y reste du liquide ingéré et de la quantité actuelle de sécrétion qui y est mélangée. Il en résulte avec une évidence indiscutable, que toutes les causes qui peuvent modifier l’une quelconque des quantités (R), (G) et (E), modi- fient également la concentration (r). Voyons quelles sont ces causes. J. WINTER 131 Dans l’estomac, la quantité totale de matière dissoute (R) ne peut changer que 1° sous l'influence de la dissolution chimique opérée par les ferments digestifs ; 2’ par l’adjonction des matériaux sécrétés ; 3° par l'évacuation gastrique, y compris la résorption éventuelle de certaines substances particulières. La quantité (G) (sécrétion) ne peut changer, augmenter et diminuer, que par l’acte sécrétoire et par voie d'évacuation. L'eau ingérée (E) ne peut diminuer que par évacuation. Négligeons, tout d’abord, la résorption qui, dans l'estomac, est tout à fait problématique pour les matières organiques. Il ne nous reste plus alors, pour agir sur la concentration, que trois causes fondamentales: l’action chimique des ferments digestifs, la sécrélion el l'évacuation pylorique. Comme ce sont là les trois facteurs de l’acte digestif lui-même de l'estomac, la conclusion s'impose : les fluctuations de la concentration dépendent intimement de celles des trois facteurs essentiels de la diges- fion gastrique. Ces facteurs, on n’en doutera pas, présentent, par excellence, les caractères d’agents physiologiques que la maladie peut modifier indivi- duellement ou en bloc, et non pas ceux d’agents physico-chimiques extérieurs à la vie organique de lindividu. La concentration, élément d'origine chimique, constitue leur lien commun ; par ses variations, liées à celles de ces agents physiologiques, elle devient donc elle-même un élément et un indicateur physiolo- giques à la merci des mêmes causes morbides que ses générateurs. C’est à cette propriété, ainsi dûment établie, que la concentration doit son importance. On n'avait jamais signalé cela avant mes recherches. Parmi les remarques multiples que ces considérations suggèrent, il en est une qui frappe immédiatement ; les autres viendront mieux dans le courant ou à la fin de ce chapitre. La voici : la concentration est la clef à l’aide de laquelle l'analyse gastrique parviendra, peu à peu, à pénétrer dans l'intimité de toutes les fonctions stomacales (chimique, sécrétoire, motrice) et non pas de l’acte chimique séulement, comme on s’est toujours plu à Île croire jusqu'ici, Pawlow notamment. La concentration n'y suffira pas à elle seule, certes ; mais elle ouvre vers ce but une voie nouvelle qu’il est important de suivre. * + * Ce sont ces trois grandes causes digestives que je vais étudier dans leurs rapports avec la concentration. Je m’attacherai, avant tout, à 132 ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES montrer que l’on peut, sans opération chirurgicale, sans fistule, par le simple moyen de la sonde, mettre directement en évidence leur existence et leur influence individuelle sur la concentration. Puis j'analyserai leur action combinée dans quelques cas particu- liers. Il se dégagera, en effet, de l’examen des faits, que la concentra- tion n’évolue pas de la même façon pendant la digestion des divers aliments. ; Une courte analyse de quelques cas spéciaux qui nous touchent de près nous fournira l’explication simple de ces divergences d’évolution ; elle sera également pour nous la source de remarques nouvelles et précises sur quelques régimes alimentaires. * Action chimique. GASTÉRINES. -— Si l'estomac est vraiment capable de dissoudre cer- tains aliments, cette dissolution considérée isolément ne peut qu'aug- menter la concentration du milieu. Les faits très nombreux cités dans le mémoire précédent nous ont appris qu'avec le repas de pain, la concentration diminue constam- ment. Ces faits ne sauraient donc être invoqués directement comme preuves de l’existence d’une action chimique dans l’estomac ; leur témoignage est plutôt négatif. Il convient de rechercher cette preuve en comparant les concentra- tions des liquides digestifs exempts d'aliments. à celles des mélanges alimentaires en digestions. Voici d’abord, pour fixer les idées, quelques concentrations de gasté- rines (!) de M. Frémont. On pourrait s’en passer, comme on va le voir; mais comme elles existent, elles fournissent un excellent point de départ. 1) . . . . 0,00945 (du 14 novembre 1895). 2) AE 000960 3) . . . . 0,01071 À (d'avril 190%). h}n NS PO AS? Je dois les trois derniers échantillons à l’obligeance de MM. Lesage et Dongier qui ont effectué d'importantes mesures dela résistance élec- trique de ces liquides. Nous reconnaissonsimmédiatement dans cesconcentrationsde chiens, (1) La gastérine est du suc gastrique pur de chien (Estomac isolé ; Frémont, 1895). ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 133 les valeurs mêmes que nous avons déjà vues chez les liquides à jeun humains (mémoire précédent). Cette similitude est fort sug- gestive. Ces exemples démontrent aussi qu’une sécrétion gastrique, si pure soit-elle, n’a pas une constitution chimique constante. Cette dernière remarque, très importante et dont je m’inspirerai souvent, doit être rapprochée de certaines observations que j'ai for- mulées dans les considérations introductives placées en tête du précé- dent chapitre. Retenons que ces concentrations de gastérines sont plus petites que celles des repas de pain et se placent à l'extrémité inférieure de leur échelle évolutive. Eau nisriLLée. — Lesdigestionsde l’eau distillée constituentun moyen excellent pour étudier certains phénomènes gastriques. Avec l'aliment solide en moins, les repas d’eau nous placent dans des conditions opératoires très analogues à celles desrepas alimentaires. Ils ne violentent pas l’organe et ses fonctions à la façon des interven- tions chirurgicales (fistules, etc), et représentent des cas digestifs très communs et absolument physiologiques. En introduisant de l’eau distillée dans un estomac vide, on se donne, en somme, l'avantage de recevoir la sécrétion dans un milieu qui, s'il la dilue, ne saurait aucunement la modifier chimiquement. Le mélange extrait à la sonde n’est, en fait, ici, que de la sécrétion pure diluée par de l’eau. Je me suis beaucoup servi de ce moyen aussi simple que fécond et je suis surpris qu’il n’ait jamais tenté aucun physiologiste. Les résultats qu’il fournit sont peu compliqués ; ils ont toujours servi de guide à mes recherches qu’ils ont aiguillées vers d’autres points de vue que ceux qui sont classiques. Ces résultats seraient incompréhensibles si certaines théories admises étaient exactes. L'étude de la concentration des mélanges gastriques d’eau et de sécrétion est fort intéressante. L’aliment et l’action dissolvante chimi- que faisant défaut ici, les concentrations de ces mélanges ont une ori- gine simple : la sécrétion. Leur évolution éclaire le phénomène digestif d’une vive lumière de vérité et crée une analogie élémentaire et suggestive qui, tout à l'heure, me permettra d'interpréter aisément les évolutions alimentaires quel- conques. Cette notion d'évolution que les digestions d'eau mettent si nettement et si simplement en évidence, échappe totalement à l'étude exclusive des. sécrétions gastriques pures. Cette étude fut par cela mème la source: 10 134 J. WINTER d'erreurs théoriques dont quelques unes sont tout à fait amusantes (1). Voici quelques séries digestives d’eau distillée chez le chien. J'en donnerai la théorie plus loin. Chien A. — Ingestion de 400€ d'Eau distillée (10 mars 1893). Série continue. Durée de la digestion en [ DINUSES EN TR RnE 22' 32 62' 82' Concentralions. . . . 0,00050 0,00053 0,00110 0,00249 0,0040 Estomac vide après 82 minutes. Série continue a —— Il Durée de la digestion en NES 0 | 46 0 12° 36' 13 Concentralions. . . . 0,00151 0,C0187 0,00527 Estomac vide après 73 minutes. Chien B. — Ingestion de 400 d'Eau distillée (22 mars 1893). Série continue. ER LEE — Chien B. — Ingestion de 400€ d'Eau distillée (4er février 1893). Darée de la digestion en MIDULES RSR dé 14 51” 58° Concentralions. . . . 6,00100 0,00203 0,00710 0,01036 | À la 58e minute il ne restait plus dans l'estomac qu'à peine assez de \ liquide pour l'analyse. Remarque. — Dans les séries [ et IT les dernières concentrations, respectivement 0,0040 et 0,00527, ne sont guère que la moitié de celles des gastérines de Frémont. Dans la série IT la valeur finale (0,01036), correspondant à la vacuilé presque complète de l'estomac, les égale sensiblement, bien que cette série III soit du même chien que la série Il et procède des mêmes conditions de repas. 3 Des deux conséquences que suggère cette remarque, retenons seule- ment celle-ci: l’évolution et les valeurs absolues de la concentration ne dépendent pas exclusivement de l'individu et du repas; elles dépendent aussi de conditions encore imprécises du moment que l’on devine aisément d’ailleurs. Chien C. — Série intermittente. Ingestion de 400 d'Eau distillée (1904). Série intermittente. EE Dates EME 3 fév. Dfév. AOfév. A12fév. 19fév. 16mars 18mars IV Durée de la diges- lion en minutes. 10° 21" 32! A 50° 56° 66° Concentrations . 0,000818 0,000637 0,00123 0,00100 0,00194 0,00387 0,00457 (1). J'en rappellerai une dans le chapitre consacré au chlore total. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 135 Cette série qui, pour le même chien et le même repas répété, embrasse une période de six semaines, ne diffère des précédentes que par quelques oscillations bien marquées dans la marche ascendante de de la concentration. Cela confirme l’esprit de la remarque que je viens de formuler à l’instant sur les autres. Etant intermittente — un seul prélèvement par repas — elle pré- sente un intérêt tout spécial qui se dégagera bien ultérieurement quand j'analyserai l’action combinée de toutes les causes réunies sur la digestion. La concentration la plus élevée que j'aie pu en tirer est, comme dans les séries [ et Il, sensiblement la moitié de celles des gastérines pures. REMARQUE GÉNÉRALE. — Dans toutes ces séries avec de l’eau pure l’évolution de la concentration est ascendante. DIGESTION DE LA VIANDE. — Voici, pour compléter mon enquête expé- rimentale sur l’action chimique dans l’estomac, quelques séries avec des repas de viande et d’eau. | À Viande 2008* Ch AR ane 5h ES En cetiilés Pod Série continue. (du 10 février 1893). oo V Durée de la digestion en minutes. . AE dl 14 21e 28" 61" 124 Concentrations . . . O0,0140 0,0160 0,0430 0,0131 O0,0184 0,0350 L’estomac est vide après 124". Chien B. — Repas : | Viande 2008" du 24 février 1893) | PES * } Eau distillée 400c | (01 % ve Série continue. VI“ $ e em Durée de la digestion en MINUTES: 10 21” 30’ 61” mois Concentrations . . . 0,0180 0,0180 0,0181 0,0270 0,0290 L’estomac est vide après 71. Chien D. — Repas : viande et eau distillée (de 1900). Série continue. NN = — —— VII Durée de la pésuon en minutes. . . 31” 44 62’ 80’ Concentrations . . . (0,0240 0,0242 0,0270 0,027 (1) Ces séries V et VI ont été publiés en1896 (J.W. Arch. d. physiol.t. 8, page 302). 136 J. WINTER Chien E. -— Repas: viande et eau. Concentration du repas ingéré : 0,0138 (de 1900). Série continue. = —— — VIII, Durée de la digestion en ANS 6 5 0 0 à 31° 44 61’ Concentrations. . . . 0,0169 0,0136 0,0280 Toutes les concentrations successives sont done plus élevées que celle 0,0138 du repas ingéré. Voici, pour finir, un repas de viande sans eau (repas sec) : Chien Berger. — Repas : 200 gr. viande, sans eau (de 1905). IN Après une heure, la concentration du mélange alimentaire est : 0,0350 ; elle est donc de même ordre de grandeur que celles que l’on obtient avec les repas de viande et d’eau, vers la fin de leur digestion. Je résume : de la comparaison des repasd'’eau, de pain et de viande, il résulte que les digestions alimentaires fournissent toujours des con- centrations plus élevées que celles des repas d’eau. Cela est vrai même quand on fait prendre l’aliment sous sa forme insoluble. C’est le cas de l'exemple IX ci-dessus. L'animal n’y a pris que de la viandebouillie et débarrassée de la solution. Le liquide que l’on à retiré après une heure ne pouvait être que de la sécrétion; il n'aurait donc fourni, s’il n’y avait pas eu dissolution chimique dans l'estomac, qu'une concentration égale, tout au plus. aux plus élevées de l’eau ou des gastérines. Il a fourni, au contraire, une concentration relativement élevée, bien plus élevée que les plus fortes des repas d’eau. Il faut conclure de là que l’estomac exerce bien réellement une action dissolvante sur l'aliment et constitue bien l’un des facteurs qui aies sur la concentration, G.Q.F.D. Cette action dissolvante est, d’ailleurs, déjà bien connue. Mais elle ne l’est que par la voie indirecte du tube à essai. La concentration la révèle directement. De là découle une remarque intéressante. Du moment que la matière dissoute est l’effet immédiat de l’action chimique de l'estomac, pour- quoi ne pas la prendre comme élément de mesure de cette action au lieu de s'adresser, pour cela, à ses agents {pepsine, etc), presqu’insaisis- sables dans leur matérialité et dans leur mécanisme ? (Voir mémoire précédent). N'est-ce pas ainsi que l’on procède dans l’application d’autres sciences ? Cette question, plus loin, se posera avec une entière netteté, dans un cas alimentaire particulier. Cela nous éloignera et nous reposera ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 137 un peu des préoccupations du passé, trop imprégnées de pepsine et d'HCI, et nous fera entrevoir, pour le chimisme gastrique, d’autres horizons que celui de la digestion vue et appréciée à travers le tube à essai. * * X À côté de cette conclusion sur l'influence de l’action chimique, con- clusion qui se rapporte directement à mon sujet, les exemples qui précèdent suggèrent d’autres remarques générales. Bien que celles-ci s'écartent un peu de la question principale en cause ici, je tiens à en souligner immédiatement l'importance. Voici : 1) Les concentrations les plus élevées des repas de viande sont bien inférieures aux plus élevées des repas de pain (Voir tableaux du précédent mémoire). Elles ne s'élèvent jamais beaucoup au-dessus de la concentration des repas ingérés. 2) Dans les digestions de la viande, la concentration augmente pro- gressivement, bien que faiblement au début. C'est donc l'inverse de ce qui se passe avec le repas d'Ewald chez l’homme; mais c’est exactement ce que l’on observe dans la digestion de l’eau distillée. La raison de ces constatations ne saute pas immédiatement aux yeux ; il y a là une énigme. Nous aurons à la déchiffrer et à expliquer cette double singularité des digestions de viande. Mais ce qui frappe aussitôt, c’est la question pratique que soulève ce changement du mou- vement évolutif de la concentration quand on passe d’un aliment à un autre. Cette question est celle des repas d’épreuve. Il importe d’être très prudent dans le choix de ce repas et surtout très sobre dans les modi- fications qu'on apporte à ceux qui sont établis et étudiés dans leur évolution générale. Beaucoup de médecins réalisent ces modifications avec une incon- science quiest très préjudiciable à la cause pratique du chimisme gastrique. Il est clair, d’après cela, qu’une funeste incohérence doit régner parmi les documents établis sur des bases expérimentales aussi hété- rogènes que celles qu’engendre l'arbitraire variété des repas d’épreuve. Sécrétion. Je rappelle qu’il ne s’agit pas ici d’une étude particulière de la sécrétion gastrique, de sa genèse, de sa quantité et de ses qualités. Cette étude sera faite en détail dans un chapitre spécial. 138 J. WINTER Il s'agit seulement, comme plus haut pour l’action chimique, de s’assurer de son existence et de l'influence qu’elle est susceptible d’exercer sur l’évolution de la concentration. La faible concentration de la sécrétion gastrique pure (gastérines) fait pressentir que son action sur la matière dissoute, considérée indé- pendamment de son activité chimique envisagée plus haut, est, avant tout, une action diluante. On peut, très facilement, mettre cette influence diluante du suc gas- trique en évidence par la sonde stomacale. En voici un exemple très simple, pris parmi plusieurs autres simi- laires de la même époque (1893). Ils n'ont jamais été publiés et repo- sent sur l’étude de la concentration elle-même. Chien À (le même que série I ci-dessus). (Expérience du 8 juillet 1893). Ingestion à la sonde de 300 cc d’une solution de peptones dont la concentration, très élevée, est : 0,2950. La quantité totale de peptones ingérée est donc de 88%,50. Après 56 minutes je vide l'estomac ; j'en retire 353cc de liquide dont la concentration est descendue à : 0,1850. Le volume ingéré avait donc augmenté d’au moins 53cc, soit d’au moins un Ce environ à la minute, et la concentration diminué nota- blement. Cela suffirait déjà à prouver l’existence d’une sécrétion fort active et à donner une idée du pouvoir diluant de l’estomac. Mais il y a plus. La quantité totale de peptones ingérée avait été de 88 gr ; je n’en ai retrouvé que 65 grammes. 26 °/,, soit 1/4 environ de ces peptones, manquaient donc à l’appel. Comment avaient-elles disparu ? Par résorption ? je ne le crois pas; tous les faits connus sur cette question démentent la résorption gastrique de la peptone et de la matière organique en général. Si elles n'ont pas été résorbées elles n’ont pu que disparaître dans l'intestin avec un certain volume de liquide. Je ne chercherai pas ici à apprécier ce volume. Il est au moins égal à l’excédent (53 cc) trouvé directement par la sonde. Il s’est donc produit une sécrétion très respectable d'environ deux centimètres cubes par minute. Dans le chapitre relatif à la Sécrétion je préciserai les quantités et j'en formulerai la loi. L'exemple qui précède suffit amplement à mes besoins actuels. Il prouve que la sécrétion stomacale est très active pendant la digestion et que l’on peut s’en assurer directement à l’aide de la sonde. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 139 Dans une autre expérience semblable, chez un autre chien, j'ai pu retirer {oute la peptone ingérée ; le liquide s'était simplement dilué sans évacuation, Cela indique bien que la résorption des peptones est nulle. Je vais compléter ces renseignements par ceux que peut fournir la digestion de l’eau distillée. Ce cas digestif, grâce à la concentration, nous offre le moyen de suivre très simplement et avec une grande approximation, l'enrichissement progressif du mélange stomacal en suc gastrique. Mais il me faut pour cela effectuer un petit détour. Cette excursion nous sera d’ailleurs très profitable. Nous y glanerons quelques con- naissances nouvelles telles que, par exemple, la notion explicite de limite évolutive de la concentration, notion que l’analyse ultérieure confirmera et précisera. Tout cela est ignoré et l’idée vague et un peu compliquée que l’on se fait volontiers de la digestion n’a rien de commun avec la netteté et la simplicité du phénomène tel qu’il se révèle à l'analyse. Eau pisTiLzée. — En 1893, première étape de ces recherches, je n'avais d’autre point de repère que les digestions d’eau distillée. On ne parlait alors que de sécrétion chimique (HCI, acidité, pepsine;, ce qui n’équivaut, en fait, qu’à qualifier la sécrétion. Les gastérines de Frémont n'étaient pas nées et personne, à l’époque, n'aurait pu m'indiquer, ni la quantité de suc gastrique pur mélangé à un liquide stomacal donné, ni les variations que sa quantité et sa constitution chimique peuvent subir, ni amplitude éventuelle de ces variations. Les travaux plus récents de Frémont et de Pawlow n'ont pas dis- sipé l'obscurité de ces diverses connaissances du domaine pratique : la plupart n'étaient pas dans leurs programmes et ne sont pas da- vantage dans leurs résultats. Jai, n'ayant pas de gastérines à ma disposition, tenté de les deman- der à l’eau distillée. Je fis un très grand nombre d'examens de diges- tions de ce liquide, les uns en séries, comme les exemples cités plus haut, les autres isolés. Je tenais surtout à connaitre les concentrations les plus élevées de ces digestions, celles que l’on ne trouve que sur leur fin. Le motif de cette préoccupation va se dégager immédiatement. La valeur la plus élevée que j’aie pu trouver dans ces conditions est : 0,01036 ; c’est celle que j’ai citée plus haut (série III, chien B.). Mais habituellement elles n’atteignent pas 0,010. Je pouvais doncconsidérer ce résultatcomme un maximum pour l'eau. 140 J. WINTER Dès cette époqueaussi les digestions de pain chez l’homme (tableau [, chapitre précédent)(!) m’avaient appris que la concentration 0,010 doit, approximativement, constituer un minimum pour ce repas. Les nombreuses observations accumulées depuis (voir tableau 77 et ZIT, chapitre précédent), soit repas d’épreuve, soit liquides à jeun, ont pleinement confirmé cette présomption. Les digestions de viande elles-mêmes, lorsqu'on a la chance, rare d’ailleurs, de les surprendre à leur extrême limite, montrent leur ten- dance à ramener leurs concentrations finales vers 0,010. De cette opposition qui place le même point 0,010, déjà souvent mentionné, à l'extrémité supérieure des digestions de l’eau et à l’extré- mité inférieure des repas alimentaires, il faut conclure en généralisant que : ; . 1) Toutes les concentrations digestives, ascendantes et décroissantes, aboutissent, chez l’homme comme chez le chien, à une zone commune où celles de l’eau cessent d'augmenter et celles des repas alimentaires de diminuer. Il) Si cette zone, ce carrefour, est ainsi l’aboutissant des concentra- hons de tous les liquides digestifs, c'est qu’elle appartient à ce qu'ils ont tous de commun : LE SUC GASTRIQUE LUI-MÊME. Cette zone commune est, en somme, le champ des oscillations cons- titutionnelles de la sécrétion gastrique, dont la constitution n’est pas constante comme on le dit communément. Elle varie, elle aussi, entre deux limites et ses fluctuations sont subordonnées à des nécessités physiologiques du moment que je chercherai à préciser ailleurs. Rien ici n’est livré à l’arbitraire. La concentration 0,010 n’est donc pas une limite fire ; c’estun point de ce champ d’oscillation. J'ai déjà fait pressentir cela ailleurs. Les gastérines de Frémont sont venues, depuis, confirmer cette in- duction. C'est pour cette raison que je désignerai désormais ce champ d’oscillation par l'expression : ZONE DES GASTÉRINES, qui signifiera : zone constitulionnelle de la sécrélion gastrique pure. REMARQUE. — Expérimentalement cette zone s'étend entre les concen- trations 0,007 et 0,011. Cela veut dire que l’on est susceptible de rencontrer dans la pratique toutes les valeurs comprises entre ces deux nombres ; mais, en fait, on rencontre surtout les plus élevées (0,009 ; 0,010 et 0,011). En cela l'expérience confirme la théorie que je déve- lopperai dans un autre chapitre. (1) 3. W. Bulletin de la Société Philomathique. t. 8. 1906 p. 121. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 141 La remarque, toutefois, fait entrevoir que la limite inférieure extrème de la concentration se trouve, si elle existe, dans le voisinage immé- diat de 0,007. Mais elle fait entrevoir aussi qu’à cette extrémité l’es- tomac doit être rigoureusement vide. Pratiquement on ne rencontrera donc jamais cette sécrétion idéale dans un estomac physiologique. Cette dernière observation, qui s’éclaircira pas ailleurs, incarne en . quelque sorte toute la physiologie du travail sécrétoire, Appliquons, à présent, ces renseignements à l’objet particulier de cette étude. Du moment qu'un suc gastrique quelconque possède toujours et nécessairement une concentration voisine de 0,010, (zone des gasté- rines) il en est de même de celui qui s'épanche et se dilue dans l'eau distillée introduite dans un estomac vide. Il devient, dès lors, facile de calculer la quantité relative de suc gastri- Ue que contient, à un moment donné, cette eau mêlée à la sécrétion. Ce calcul est très simple et répond à l’expression: G = V - » où (G) est la quantité de suc gastrique contenue dans le volume (V) du mélange retiré de l'estomac. |r) est la concentration de ce mélange ; sa valeur est fournie par le dosage. (r,) est la concentration du suc gastrique pur ; pratiquement sa valeur peut être considérée comme constante puisqu'elle est toujours voisine de 0,01. Comme 0,01036 est la concentration la plus élevée que m’ait four- nie l’eau distillée et qu’elle appartient à la lisière supérieure de la zone des gastérines, je vais la prendre comme valeur constante de (75). Dans ces conditions toutes les quantités calculées pour (G) seront des minima très voisines de la réalité. Pour plus de commodité je rapporte ces quantités, dans les exem- ples qui suivent, à /00cc de mélange. Il suffit pour cela de faire dans la formule précitée, V = 100. Voici alors les richesses centésimales en suc gastrique que donnent les séries [. IT. II et IV, rapportées plus haut. | Chien À. — Ingestion de 400 d'Eau distillée (du 10 mars 1893). Série continue. ms, Ï … Durée de la digestion en ONAOUESS où 0, JO 29’ 32: 62’ 82 Centim.cubes de sécrétion dans 100€ de mélange extrait . . . 4,82 8,11 10,61 24,03 38,61 142 J. WINTER Chien B. — Ingestion de 400 d'Eau distillée (1°" février 1893). Série continue. RE — IT ©! Durée de la digestion en minutes, . . 12/ 36! 1e Centim.cubes de dcrtion dans 100cC du nee Ne x (re e 14,57 18,05 50,86 Chien B. — Ingestion de 400 d'Eau distillée (du 22 mars 1893). Série continue. — —— III Durée de la seu en : minutes. . . : 1 14’ GP 58 Centim. Dean dans 100cc du men extraite 9,65 19,59 69,49 100 Chien C. — Ingestion de 400: d'Eau distillée (février 1908). Série intermittente. oo IN Dates" . Bfév. fév. 10fév. 12fév. 19fév. 16fév. 18 mars. Durée de la digestion enr : minutes. . . 10! 91! 32’ 41° 50° 36" 66 Centim. or dans 1000 de mélange. 7,89 6,14 11,87 9,65 18,72 31,35 44,11 Ainsi les digestions d’eau distillée démontrent, avec une grande simplicité opératoire, que les mélanges gastriques s’enrichissent progres- sivement en sécrétion. Elles permeltent même, avec tout autant de sim- plicité, de préciser les quantités exactes de sécrétions que ces mélanges contiennent. Ces quantités s'accroissentrapidement; et cesaccroissements prouvent combien la sécrétion est active pendant la digestion. C’est ce je voulais démontrer. Il est bon d’ajouter qu’une autre cause que l’activité secrétoire hâte cet accroissement centésimal ; j’en parlerai dans un instant. On remarquera que l'enrichissement progressif des mélanges gastri- ques en sécrétion n’est pas absolument régulier dans le temps. Dans la série IV qui est intermittente, cette irrégularité est très sensible mal- gré l’uniformité absolue de toutes les conditions extérieures. Cela prouve, comme je l'ai déjà dit plus haut, que ce qui est apparent dans le travail gastrique n’est pas exclusivement fonction du repas et de lindividu. Certaines conditions abstraites y apportent aussi leurs influences momentanées ; mais ces influences demeurent au second plan ; elles ne bouleversent pas l’orientation de la marche des choses mais y introduisent des oscillations. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 143 . Si l’on considère, par exemple, le chien B(séries [Let Ill), on constate que, d’un jour à l’autre, les accroissements relatifs de la sécrétion dans les mélanges retirés de son estomac ne sont pas les mêmes. Mais on note, malgré cela, chez lui une tendance très marquée et permanente à enrichir ses contenus plus vite que les autres chiens examinés. Cette tendance, qui est la caractéristique de l’évolution digestive de ce chien B, estévidemment une manifestation de sonindividualité ; elle domine la scène et imprime au phénomène en cause son allure spé- ciale que les influences secondaires du moment parviennent à troubler mais nullement à modifier. L'eau distillée peut être utilisée chez l’homme; mais son emploi ne donnera son plein effet que plus tard, quand la loi de la digestion sera bien établie. On peut placer ici une remarque qui, si elle sort du sujet, n’en est pas moins intéressante. J'ai pu déterminer la zone des gastérines et la richesse en sécrétion de liquides gastriques, non pas en m'attachant à la valeur absolue de nombres chimiques, selon une mauvaise habitude courante, maïs en étu- diant des limites de cycles. Ï a suffi pour cela que je compare l’une à l’autreles digestions de l’eau et du pain, dont les concentrations respectives évoluent en sens con- traire, el que je considère leur limite commune comme un état statique vers lequel tout liquide stomacal tend toujours à revenir quand ilena été écarté transitoirement par la dissolution chimique des aliments. J'avais, du reste, déjà énoncé ce principe en 1896 (Arch. de Physiol). Il s'applique à toutes les humeurs. À toutes correspond un étatstatique fixe dont le dynamisme organique tend à les écarter et vers lequel elles reviennent toujours, par le jeu naturel des fonctions, après des oscillations plus ou moins étendues. Mais je fis alors cette démonstration par la méthode cryoscopique, plus appropriée, en général, que la concentration. Pour l’estomac, le jeu normal de ses fonctions se comprend mieux par l’étude de la concentration dont la signification immédiate est plus simple que celle du résultat cryoscopique. La cryoscopie, toutefois, y apportera aussi ses précisions, comme on le verra ailleurs, et les deux questionsne feront pas double emploi. Influence de l’évacuation stomacale. L’estomac humain évacue ses aliments au bout d’un temps assez court. Cela est connu de tout le monde comme une nécessité physiolo- 144 J. WINTER gique courante ne réclamant aucune démonstration expérimentale spéciale. L’évacuation partielle par le pylore ou par la sonde ne modifie pas la concentration du contenu; le liquide qui s'échappe possède identi- quement la même constitution que celui qui reste. L’évacuation n’a donc aucune iufluence directe sur la concentration ; mais elle en a une sur son évolution. É C'est la seule question que je soulèverai ici concernant l’évacuation stomacale. Il est, par voie expérimentale, impossible d'isoler l'influence que l'évacuation exerce sur l’évolution, decelle qu’exercent simultanément l'action chimique et la sécrétion pendant une digestion alimen- taire. Il me faut donc recourir à un exemple analytique pour obtenir, sur cette influence, un renseignement positif indépendant. Cela peut d’ailleurs se faire sans difficultés particulières. Considérons une digestion alimentaire pendant un temps détermi- née, une demi-heure par exemple. Supposons qu’au début de cette demi-heure d’observation l’estomac renferme 200cc d’un liquide dont la concentration soit, à ce moment, 0,09. Supposons, en outre, que pendant cette demi-heure, l’estomac four- nisse 120cc de sécrétion. Chez l’homme c’est là une quantité relative- ment minime. Imaginons enfin que l’action chimique reste suspendue pendantl’ob- servationet qu’ilne se produise aucune dissolutionalimentaire nouvelle. Cette dernière condition s’est trouvée réalisée plus haut dans l’expé- rience de la peptone et se réalise toujours avec l'eau distillée. à Au bout de la demi-heure d’attente vidons l'estomac et détermi- nons la concentration du liquide extrait. Cette concentration sera différente suivant que, pendant la demi- heure considérée, l’estomac aura ou n’aura pas évacué une partie de son contenu. Premier cas. L’estomac n’a rien évacué. Son contenu n'a subi que l’action diluante des 120cc de sécrétion. Voyons quelle sera la concentra- tion finale. Au début de l'observation, les 200cc du contenu, de con- centration 0,09, tiennent, par hypothèse, en dissolution un total de matière égal à 200 >< 0,09 = 18,00 grammes. Les 120cc de sécrétion amènent dans le mélange : 120 % 0,01, soit sensiblement 1,20 gr. d’éléments dissous. À la fin de la demi-heure il y a donc : 18 + 1,20 — 19,20 grammes ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 145 de matières dissoutes dans le mélange dont le volume est devenu : 200 + 120 = 320ce. La concentration dece mélange, au moment du puisement, est donc : 19,20 ose R 320 G+E C'est le résultat exclusif de la dilution produite par la sécrétion dans le temps considéré. G — 120; F — 200). Deuxième cas. L’estomac a évacué par le pylore une partie, la moitié por exemple, de son contenu au bout de 15 minutes. Au moment de cette évacuation pylorique, l'estomac contenait, en vertu de considérations analogues à celles qui précèdent : 260°° de mélange (E + G) 18,605 de matières dissoutes (R). Aussitôt après cette évacuation qui, par hypothèse, a entrainé la moitié du contenu du moment, il ne renfermait plus que : | 130°° de mélange. 9,305’ de matières dissoutes. C’est sur ces dernières quantités que, dans les 15 minutes suivantes, la sécrétion dont je suppose la vitesse constante, a continué à exercer son influence. Au moment du sondage, à la fin de la demi-heure d’observation, on trouve donc : 190°° de liquide (= 130 + 60), 9,95" de matières dissoutes (= 9,30 -- 0,6), Ce qui conduit à la concentration finale : 029 190 au lieu de 0,06, valeur trouvée dans le premier cas. Il n’y a, entre les deux cas, qu’une seule différence : une évacuation pylorique partielle de l'estomac pendant la période d'observation. Cela a suffi pour activer la chute de la concentration dans le cas où elle s’est produite. Cette activation de chute de: 0,06 moins 0,0521 — 0,0074, représente la part prise par l'évacuation à l’évolution. Allons plus loin. Supposons que l'unique évacualion envisagée se produise à d’autres moments qu'à la 15° minute de l'observation. Si elle a lieu à 25 minutes, par exemple, la concentration finale sera : 0,05705. Si elle se produit à 5 minutes, on trouvera : 0,04809, etc... — (be 146 J. WINTER Je condense ces résultats dans le tableau suivant : : : {/ sansévacuation . . . 0,0600 (effet exclusifde la sécrétion), Concentrations diver- ses du mélange puisé | yne évacuation de Fu a effets combi- après 30’ d’observa- la moitié du li- Re me 1 DS nés de la sé- tion. Concentration |} quide du mo- Es 8 94809 ( ‘Crétion et de initiale — 0,09. ment : P Lee l'évacuation. Il résulte de ce petit tableau, primo, que l'évacuation influence franchement l'évolution de la concentration ; secundo, que cette influence est d'autant plus marquée que l'élimination se produit à un instant plus rapproché du début de la digestion. Cela s’explique aisément d’ailleurs, surtout pour une concentration initiale élevée, car si l'évacuation est hâtive, la même sécrétion agit plus longtemps sur un moindre volume et sur moins de matériaux ali- mentaires. Je n’ai supposé qu’une seule évacuation pylorique ; si l’on en suppose plusieurs, leur influence réunie sur la concentration n’en sera que plus marquée. J'ai également admis que la vitesse de sécrétion est constante. Si on la suppose variable, l'influence de l’évacuation variera en conséquence, mais n’en subsiste pas moins. Je n’insiste pas ici sur ces questions secondaires ; elles se retrouve- ront ailleurs.[l me suffit d’avoir montré que l’évacuation agitsur l'évolu- tion de la concentration et qu’elle en est bien l’un des facteurs. REMARQUE. — Jen’ai pas spécifié, dans ce qui précède, le genre d’éva- cuation. Mais il est évident que les résultats mentionnés concernent l’éli- mination par la sonde au même titre que l’évacuation pylorique. Il en résulte que de forts prélèvements successifs par la sonde préci- pitent la marche de la concentration. C'est là un renseignement prati- que considérable qui intéresse tout particulièrement l'étude de la di- gestion par la méthode des séries continues. | C’est ainsi qu'avec le repas d’Ewald, dont les concentrations diges- tives initiales sont très élevées, les prélèvements copieux et trop nom- breux accélèrent notablement l’abaissement de la concentration. C’est afin d’éviter cette cause d'erreur que, pour établir la courbe évolutive physiologique de la concentration pendant le repas d'Ewald, Je me suis adressé non pas à des séries, mais à la fréquence maxima, dont j'ai développé le mécanisme et les indications dans mon précé- dent mémoire (1906). Les séries continues sont indispensables pour mettre en lumière cer- tains phénomènes, ou pour établir la continuité ou la discontinuité de certains caractères que l’on ne peut connaitre que par ce moyen. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 147 Elles sont également très utiles pour démontrer l’existence même de l’évolution de la concentration ; mais elles ne sauraient fournir la notion exacte de la vitesse évolutive. Elles ne peuvent donner de cette évolution qu’une image qui sera d’autant plus raccourcie que les prélèvements successifs effectués au- ront été plus fréquents et plus copieux. Cette remarque doit mettre en garde contre les indications de séries établies avec trop de fantaisie, comme cela se voit parfois dans les services hospitaliers où les tubages sont exécutés sans discernement par des infirmières. Mais elle ne doit pas conduire à s’exagérer les erreurs inhérentes aux séries continues et à les condamner. ‘ Voici à ce sujet une règle de conduite : Pour une série de 4 ou 5 termes, espacer les puisements et n’extraire, chaque fois, que 25 cc environ, pour le repas d'Ewald. Les séries rapportées et reproduites en courbes dans le mémoire précédent et celles, continues, du mémoire actuel, se rapprochent de ces conditions. L'évolution vraie n’y est donc que faiblement défor- mée ; elle l’est néanmoins dans une certaine mesure. Pour les besoins courants de la clinique, quand il ne s’agit pas de recherches mais seulement d’un diagnostic, deux tubages, après 60 et 90 minutes, suffisent amplement pour préciser la marche évolutive, surtout si l’on a soin de vider l’estomac au deuxième (90). Un prélè- vement avant 60 minutes doit être évité, et quand on le juge néces- saire, il convient de le faire avec parcimonie. Les résultats numériques que je viens de présenter sur les eflets de l’évacuation, ne sont pas absolument théoriques et fictifs. Ils ont été modelés sur les indications fournies : 1) par les liquides de digestions de l’eau distillée dont l’enrichissement rapide en suc gastrique serait incompréhensible sans le concours très actif de l’évacuation ; 2) par l’étude très étendue du repas d’Ewald sucré et par celle des repas de peptones. Tousles documents positifs ainsi réunis se groupent convena- blement autour d’une conception générale que je formulerai en d’au- tres circonstances. ; On remarquera aussi que pour établir le petit tableau ci-dessus, je me suis placé dans le cas d’une action chimique nulle. Bien qu’inapplicable aux digestions alimentaires, aux repas d’épreuve notamment, cette condition, simple fiction, n’amoindrit en rien la valeur des résultatssignalés ; car il ne s'agissait que de dégager, d’une manière quelconque, l'influence propre de l'évacuation sur l’évolution. Si je ne m'étais pas virtuellement mis à l’abri de l’influence chimique, je n'aurais pas pu atteindre ce but. 148 J. WINTER Action combinée des trois facteurs digestifs. Des faits et considérations qui précèdent il résulte que chacune des grandes causes physiologiques de la digestion gastrique exerce une influence réelle et propre sur la concentration du milieu ; chacune, en se répétant, l’augmente ou l’abaisse suivant sa nature et son acti- vité du moment. Dans la réalité, cescauses que jusqu'ici je n’ai envisagées qu’inviduel- lement, agissent ensemble. C’est, d'ailleurs, au résultat seulement de ce concours qu’il convient d'appliquer le mot digestion que, par une in- convenable erreur théorique, on attribue couramment à la seule cause chimique (peptonisation), De cette action combinée des trois causes, résulte nécessairement une influence combinée sur la concentration. Celle-ci apparaît alors comme la résultante de cette action commune ; elle augmente ou diminue, pendant la digestion, en fonction de cette action multiple et suivant les besoins physiologiques en vue desquels les causes agissantes se sont coordonnées; et savitesse évolutive, qu’elle croisse ou décroisse, dépend, à tout instant, de l’activité respective de ces causes dont, à l’état pathologique, l'harmonie normale peut se rompre par la prédo- minance ou la défaillance de l’une d’elles. La vitesse évolutive de la concentration se modifie alors en conséquence et signale l’anomalie dans l’analyse. Ainsi émerge l'intérêt clinique qui s'attache à la connaissance de la concentration des liquides gastriques : l’harmonie des fonctions digestives de l’estomac se traduit, avant tout, par l'état évolutif de la concentration. L'expérience nous a appris (voir mémoire précédent 1906) comment la concentration évolue avec le repas d’Ewald. Cette évolution est, habituellement, fort régulière et son mouvement est toujours orienté dans le même sens. Les séries digestives d’eau et de viande chez le chien, que j'ai rap- portées tout à l'heure, nous offrent le même spectacle de régularité et d’uniformité. Cela prouve que la coordination des causes digestives de l’estomac est remarquablement stable. Mais alors comment expliquer une divergence fondamentale qui s’est révélée entre les repas d’Ewald et les repas d’eau et de viande ? Pourquoi, sous l'influence des mêmes causes et d’une même coordination fonctionnelle, la concentration du repas d’Ewald va-t-elle systémati- ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 149 quement en diminuant et celle des repas d’eau et de viande en augmen- tant ? Cette énigme qui nous est apparue à travers les faits, dès le début de ce chapitre sur les causes, et qui subsiste en dépit de la connais- sance de ces faits et de ces causes est quelque peu troublante. Il importe d’en rechercher la solution parce qu’elle intéresse la pratique au plus haut point. L'analyse un peu serrée, mais aussi un peu abstraite, des effets sur l’évolution des trois causes digestives combinées, va nous renseigner très simplement. Cette étude se prêterait à de grands développements. Mais en raison du cadre pratique et restreint de ce mémoire, je n’examinerai que les trois types de repas qui nous intéressent particulièrement. Cette courte analyse, très élémentaire, sera utile à tous ceux qui, n'ayant jusqu'ici vu ces questions qu'à travers l’imprécision de la cli- nique, ont le désir d'approfondir l’enchainement réel des faits. Elle nous conduira à quelques connaissances nouvelles et permettra à chacun de reconstituer dans sa pensée la marche générale de la digestion gastrique dans un cas donné. Comme plus haut je symboliserai les éléments à considérer. Il en résulte une vision plus nette des choses et une image de l’acte digestif dégagée du vague dont on enveloppe d'ordinaire ses éléments, Reprenons l'expression donnée plus haut de la concentration : AE ner dans laquelle (GE) est le volume total actuel du mélange gas- trique et G la sécrétion mêlée à la quantité E qui reste de l’eau ingérée avec le repas. (R) est le poids total des matières dissoutes dans le volume (G+E). C’est cette expression que je vais suivre à travers la digestion, en analysant les modifications que peuvent lui faire subir, collective- ment, les trois grands facteurs, maintenant connus, de la digestion. Notons, d'abord, quelques remarques générales pour n’avoir pas à y revenir à chaque instant. 1) Le liquide E ingéré avec le repas, tout de hasard par consé- quent, ne peut pas augmenter dans l'estomac ; il ne peut qu’y diminuer graduellement ; chaque onde propulsive de l’organe en élimine une certaine fraction. 11 150 J. WINTER 2) La sécrétion (G) y arrive, au contraire, incessamment ; mais une fraction en disparait avec chaque onde évacuatrice. Il en résulte que la sécrétion se renouvelle plus ou moins complèlement pendant la digestion. 3) La sécrétion G et le liquide initial E étant intimement mélangés dans la cavité stomacale, l’onde évacuatrice les entraîne simultanément G, moment précis de l'évacuation. L) La matière dissoute (R) qui figure au numérateur de la concen- tration (r), ne peut augmenter dans l’estomac que par voie chimique. Elle y diminue par évacuation, comme E et G, et peut aussi y dimi- nuer, momentanément, par action chimique. Tel est par exemple le cas de la caséine du lait qui, dissoute à l’origine, est insolubilisée momentanément par le ferment lab et se redissout plus ou moins complètement par la suite. Mais cette précipitation momentanée ne nous intéresse guère, car elle se fait dès l’origine de la digestion et nous place, par conséquent, dans le cas d’un repas dont l'aliment sénat ingéré sous sa forme insoluble. 5) Quand le repas ingéré est sec — aliment solide sans eau — la PUR E est nulle et l'expression de la concentration se réduit alors dans le rapport (5) sous lequel ils se trouvent dans le mélange au eo signifie que, dans ce cas, tout le liquide que l’on peut rencontrer dans l’estomac, à un instant quelconque, provient de la seule sécrétion (G). À la faveur de ces remarques, que l’on ne doit pas perdre de vue, notre analyse va se développer très commodément et très rapidement. Premier type : Digestion de l’eau distillée. L'action chimique sur l’aliment est nulle ici et la matière dissoute ne peut avoir qu'une origine sécrétoire ou comme source une réaction s’exerçant sur les substances sécrétées. Je commence par l’examen de ce cas parce que la simplicité même de l'exemple prête au raisonnement, qui se répétera par la suite, une allure très élémentaire. Chaque centimètre cube de sécrétion qui se déverse dans l’eau ingérée y amène, en même temps que du liquide, un poids (r,) de matériaux dissous. (G) étant la quantité du suc gastrique pur que renferme le contenu actuel de l’estomac, (Gr,) est, par suite, le poids total des matières dissoutes qui s’y trouvent. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIOUIDES GASTRIQUES 151 On a doncici: R—Gr,. Si dans la formule de la concentration: on remplace R par Gr. elle devient : Gr, I : Ta à d Plaçcons-nous, d’abord, à l’origine de la digestion. L’estomac ne ren- ferme encore que l’eau distillée ingérée et aucune sécrétion ne s’y est encore mêlée. Cette condition annule (G), mais annule aussi, par cela même, la concentration; car si dans l’expression (1) qui précède, on annule (G), elle se réduit à zéro. Cela est, d’ailleurs, évident à priori, la concentration de l’eau distillée,. encore exempte de sucgastrique, étant évidement nulle. Ainsi — etc’est cela que je veux mettre en relief — dans la digestion de Peau la concentration part de zéro. Voyons, à présent, comment elle doit évoluer pendant la digestion de cette eau. A cet effetje vais mettre l'expression (1) qui précède sous la forme équivalente mais d’un usage plus commode que voici : F = To = ———-. Ter G (r,) étant sensiblement constant (zone des gastérines) ou pouvant ici être considéré comme tel, puisque sa valeurexpérimentale est toujours voisine de 0, 010..., cette nouvelle expression de (r) ne peut varier qu'avec son unique terme variable = Nous n’avons done qu’à suivre les variations de ce terme; elles ne dépendent que de la sécrétion et de l'évacuation. Je rappelle que dans les intervalles de temps où l'estomac n'évacue pas l’eau ingerée (E) ne peut pas changer. Plaçons-nous d’abord dans un pareil intervalle. La sécrétion (G) augmente incessamment ; E étant invariable, la frac-" tion = diminue et, par suite, la concentration (r) augmente avec la sécrétion. Cela est forcé. Si, maintenant, l'estomac évacue une portion de son contenu, cette évacuation, (voir plus haut) ne modifie pas le rapport G du moment, EN puisqu'elle entraine des quantités proportionnelles de (E) et de (G) mélangés. Mais dans l'intervalle suivant ce rapport diminuera plus. 152 J. WINTER vite que dans le précédent, parce que, l’eau éliminée ne se régénérant pas, la prédominance relative de la sécrétion qui se renouvelle inces- samment, va en s'accentuant d'un intervalle à l'autre. Là est, vraiment, le secret de l'influence de l’évacuation sur la con- centration. Donc lerapport diminue constamment: et, comme dans l'expres- E G sion ci-dessus, toute diminution du dénominateur provoque une aug- mentation corrélative de (r), il s’en suit qu’au cours de la digestion de l’eau, la concentration partant de zéro ne peut qu’augmenter par le jeu normal des fonclions en cause. Cette augmentation s’accélèreavec l'activité de la sécrétion et de l’éva- cualion ; Ces deux causes agissent dans le même sens. On peut les réunir sous le non d'action mécanique. Voilà ce qui dit la théorie et cela est rigoureusement conforme aux indications expérimentales des séries rapportées plus haut et les explique. On peut dire aussi que la vitesse d'évolution de la concen- tration, est, pour le cas de l’eau, proportionnelle aux vitesses de sécré- fion et nan. Il est facile de préciser la limite supérieure à laquelle s’arrêtera (r) dans sa croissance progressive. Il suffit pour cela de remarquer que l'expression considérée sera maxima quand le rapport = sera minimum, C'est-à-dire quandil sera égal à zéro. Pratiquementcette condition est réalisée quand (E) s’annule, c’est-à-dire quand l’estomacs’est fotalement débarrassé du liquide ingéré avec le repas. Cela n’est possible qu'avec la fin physiologique de la digestion, quand l’estomac s’est vidé complètement une fois au moins. Car l’eau étant intimement mélangée à la sécrétion, les évacuations pyloriques successives n’entrainent que du mélange sans y opérer de sélection.(E) ne peutdonce s’annulerqu'avec la vacuité totale del’organe. Cela étant, si dans l’expression de la concentration on fait : E = O, elle devient : PME (ro) qui est la concentration du sue gastrique pur, est donc la valeur maxima que puisse atteindre la concentration d’un contenu so macal issu d’une digestion d’eau distillée. Cela justifie et précise ce que j’ai dit plus haut des digestions d'eau dans leur rapport avec la zone des gastérines. Il est évident, d’ailleurs, que l'estomac peut être vide avant que cette limite supérieure (r,) ne soit atteinte; cela dépend de l'intensité des ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DFS LIQUIDES GASTRIQUES 153: ondes évacuatrices. Les séries citées [, II, IL, et IV, sont très caracté- ristiques à cet égard. [l se dessine là, du reste, un problème nou- veau qui ne saurait être traité ici et qui apparaît des plus importants. On voit, en somme, que, pour les digestions d’eau, toutes les données. de l'expérience s'expliquent aisément par l’analyse théorique. REMARQUE. — Je viens de dire que l'expression : 7 = Te est LE maxima, quand pratiquement (E) s’annule. Ce « praliquement » pose une restriction ; elle est intéressante. Pour que cette expression s’annule il faut, en effet, non pas seule- ment que (E)se réduise à zéro, maisque _ s’annule, C’est là la con- dition générale. Et elle est satisfaite de deux manières différentes: avec E= O0 et G—= infiniment grand. Cette idée d’infiniment grand apparaissant ici à propos de sécrétion et d'estomac, toutes choses dont les dimensions sont parfaitement limitées dans le temps et dans l'espace, n’évoque pas immédiatement l’impression d’une réalité physiologique vraisemblable. Mais en l’envisageant de près on s’aperçoit qu’elle recèle, par le fait, la théorie de la sécrétion continue, avec ou sans sténose pylorique, suivant que E décroit ou ne décroit pas. Je ne tiens pas à approfondir cette question ici. Je désirais seule- ment faire constater queles deux solutions théoriques quesoulève l’exa- men de la concentration sont, l’une et l’autre, susceptibles d'une in- terprétation physiologique et se rapportent à des phénomènes réels, si mystérieuse qu’apparaisse la seconde sous le voile de la notion d’in- fini. Deuxième type digestif. Repas d’aliments solides et liquides. Les repas alimentaires ingérés peuvent d’avance tenir en dissolution dans leur liquide une certaine quantité de leur substance. Tel est, par exemple, le repas d'Ewald, additionné de sucre, selon la modification que j y ai apportée. Tels sont aussi tous les repas de viande. Je développerai les considérations qui suivent comme si ces concen- trations préalables n’existaient pas. Mais là où il sera nécessaire d’en tenir compte je le signalerai et en indiquerai les conséquences. * * X 154 J. WINTER Ce qui se dissout dans l'estomac même, aux dépens de laliment ingéré, s’y solubilise à la faveur d’actions fermentatives quelconques, indépendantes ou dépendantes du sue gastrique. De là deux groupes généraux, que je vais examiner séparément. . PREMIER GROUPE. — La genèse, dans l'estomac, de la matière dissoute (R) est indépendante de l’action propre de la sécrélion gastrique. J’examinerai plus loin s’il existe, dans la réalité, des digestions répondant à cette condition. Ce qui est certain, c’est que l’on peut concevoir plusieurs modalités digestives de ce type. A fin de ne pas étendre inutilement le champ de cette discussion, je ne retiendrai de ces modalités possibles que celle dont l'analyse est la plus simple. Il sera, ensuite, facile d’y rattacher les types réels similaires. Cette modalité est celle où les aliments se dissolvent en masse dans l'estomac dès le début de la digestion. Cette nouvelle condition implique, évidemment, sinon l'arrêt immédiat de l’action chimique, du moins sa rapide décroissance. Supposons qu’elle s'arrête presqu'aussitôt. Cela nous place alors dans une situation analogue à celle d’un repas ingéré sous une haute concentration préalable, tel que celui que que je fis prendre à mes chiens sous les espèces d’une solution très concentrée de peptones (voir plus haut). | L'analyse de ce cas est facile : c’est une simple dilution qui s'opère ; ilest aisé de s’en convaincre, en suivant le phénomène sur la formule : r = Temp elle-même, En effet, dès l’origine on se trouve, par hypothèse, en présence d’une concentration élevée, maxima : tel le repas d’Ewald sucré. Dans les intervalles où l'estomac n’évacue pas (R) et (E) sont dèslors inva- riables et la quantité de sécrétion gastrique (G) est seule à varier et à augmenter. Comme sa concentration propre (r,) est trop faible pour, à ce moment, compenser son action diluante, il se produit forcément une dilution proportionnelle à l’activité sécrétoire. La concentration (r) ne peut donc que diminuer dans ces intervalles. Quand l’estomac évacue, cette évacuation, je l’ai déjà dit, ne modi- fie pas les rapports respectifs de (R), de G) et de (E); elle favorise seulement, d’un intervalle à l’autre, l’action diluante de la sécrétion. Donc, dans l'hypothèse d'une action chimique suspendue dès les premiers moments de la digestion, la concentration ne peut ici que diminuer constamment. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 159 Admettons, à présent, que cette action chimique, au lieu de s’arrè- ter dès l’origine, se poursuive encore plus ou moins longtemps, mais en décroissant selon l'esprit de l’énoncé de la question. Dans ce cas encore la concentration diminuera, mais plus lentement et avec, peut-être, quelques oscillations. Car (R) ne se régénérant que partiellement et de moins en moins et : R UE (G) augmentant régulièrement, la fraction : r — GE décroi- tra forcément. Il est tout aussi facile que pour les digestions d’eau de déterminer ici la limite inférieure à laquelle s'arrêtera la concentration (r) dans sa chute progressive. Il suffit, pour cela, de mettre en ligne les éléments dissous sécrétés. Je les ai négligés ci-dessus parce qu’ils étaient négligeables devant (R), aux phases digestives considérées. Nous savons par l’étude de l’eau distillée que si l'estomac contient, à un moment donné, (G) ec de sécrétion, il s’y trouve aussi, par cela même et en plus des éléments (R) d'origine alimentaire, un poids Gr, de matières sécrétées. L'expression vraie de la concentration est donc ici, à tout moment : Gr, +R Too Les évacuations successives éléminant peu à peu R et E qui ne se régénèrent pas ou peu, et, d'autre part, G et Gr, se renouvelant inces- samment, R et E tendent de plus en plus vers zéro et finalement, s’annulent, tandis que l’expression ci-dessus tend progressivement vers cette autre : Gr, T — Er = To) qui représente la limite théorique vers laquelle évolue la concentra- tion de tout repas analogue au type théorique considéré. On remarquera que cette limite (r,) est la même que celle des diges- tions de l’eau distillée ; c’est la concentration de la sécrétion gas- trique elle-même (gastérine). La comparaison serrée des faits nous avait plus haut fait deviner cette communauté de limites ; l’analyse théorique vient ici la confirmer en en précisant la signification concrète. La concordance entre les faits et la théorie est done jusqu'ici complète et l’existence de la zone des gastérines, territoire d’aboutissement commun à tous les liquides de digestions gastriques, ne saurait plus faire de doute : L’étendue de 156 J. WINTER cette zone correspond, je l’ai déjà dit, à l'amplitude des fluctuations éventuelles de (r,). Remarque |. — La concentration d’un liquide alimentaire du type considéré n’atteint pas nécessairement la limite (r,). Les ondes motri- ces peuvent expulser brusquement les dernières portions du mélange stomacal avant cette étape ultime. Il semble même que cela soit physiologique, parce que cette éventualité implique réellement l’exis- tence d’ondes évacuatrices qui ne s’affaiblissent pas trop vite. Avec des mouvements qui déclinent trop rapidement, la concen- tration peut osciller fort longtemps autour de sa limite sans jamais l’atteindre tout à fait. Chez l’ orne cela constitue certainement une anomalie. Pour un repas du type en cause ici de même que pour l’eau pure, l'estomac doit donc étre vide ou ne plus contenir que des quantités infimes de liquide quand la concentralion a atteint la zone des gasté- rines, cest-à-dire quon P = fe Ce principe que j'avais déduit des faits dans le mémoire précédent découle donc très clairement aussi de l’analyse théorique. REMARQUE IL. — Si le repas du type en cause est sec, l’expression générale de sa concentration devient : 7 = r, + ei Il est facile de voir qu'avec les conditions posées, la concentra- tion évolue comme dans le cas général et ne peut atteindre sa limite que pour R = 0, ou G = infiniment grand. J'ai déjà dit comment il convient, pratiquement, d'interpréter la notion : G& = infini ; je n’y reviens pas. REMARQUE III. — Le schéma théorique que je viens d’esquisser pré- sente, chose curieuse, les caractères principaux de la digestion du repas d'Ewald. Mais il ne les présente pas tous et pour les retrouver inté- gralement, il faut y joindre quelques-uns de ceux du deuxième groupe digestif que je vais examiner et qui se LOIS à un autre type d’ali- ments. DEUXIÈME GROUPE. La genèse chimique de la matière dissoute (R) dépend de l’action propre de la sécrétion gastrique (G). Cet énoncé signifie qu'une mutuelle dépendance enchaïne ici le développement de l’action chimique à l’afflux de la sécrétion. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 1517 Cette condition n’existe pas dans le cas précédent; mais nous l'avons déjà rencontrée avec l’eau distillée. Elle est d’ailleurs facile à formuler. Si chaque centimètre cube de suc gastrique est capable de dissou- dre un poids (p) de substance alimentaire, la quantité totale (R) de sustance dissoute par le volume (G) de sécrétion sera Gp; d’où Re Gp. Dans l'expression générale de la concentration on peut donc rem- placer (R) par Gp; elle devient alors, si l’on néglige les substances sécrétées : Gp p Ho MD, G qui correspond à des repas composés d'aliments solides et liquides et rappelle celle que nous avonsutilisée pourles digestions d’eau distillée,. On peut en inférer de suite que le mouvement évolutif de la concen- tration aura la même orientation générale ici que là, si les fluctuations propres de l’élément (p), qui nous apparait pour la première fois, ne troublent pas cette orientation. Ce facteur nouveau (p) étant la quantité de substance qu’un centi- mètre cube de sécrétion est capable de dissoudre, peut être désigné par : coefficient de l’activité chimique du suc gastrique. Si cette acti- vité se rapporte à la peptonisation, par exemple, (p) sera le coefti- cient de l’activité peptique etc. Par sa nature de coefficient, (p) n’est pas susceptible d’être influ- encé par l'évacuation gastrique ; il dépend de conditions organiques antérieures à l'acte digestif. La quantité (Gp) seule tombe sous les influences digestives (actions mécanique et chimique). Pour suivre ce nouveau type de repas à travers la digestion nous admettrons d’abord que le coefficient (p) est invariable pendant toute la durée du travail gastrique. Cette condition première nous place alors dans une situation abso- lument analogue à celle des repas d’eau pure; et en répétant ici, pas- à-pas, ce qui a été dit pour l’eau distillée, on arrive à la même conclu- sion générale que voici : le coefficient {p} étant supposé constant, la concentration ne peut qu'augmenter du commencement à la fin de la digestion. Si, maintenant, l’on admet que (p) est variable, on reconnait immé- diatement qu’une variation ascendante de ce coefficient ne peut qu’ac- centuer le mouvement ascensionnel précédent de la concentration. 458 J. WINTER Mais une variation descendante de (p) change totalement cette phy- sionomie simple du mouvement évolutif. Par sa chute progressive le numérateur (p) de la fraction —— Ie G tend à imprimer à la concentration une orientation différente de celle qu’engendrerait le dénominateur (5) s'il variait seul. Comme il y a ici deux variables antagonistes, le sens du mouvement évolutif dépend à . , e E 4 tout instant de l’état respectif de ces deux termes : p et À Prati- quement l'analyse de ce cas peut se ramener aux considérations sui- vantes : Comme, dans cet ordre de phénomènes, il ne se produit aucun saut brusque on peut prévoir que, d’une manière générale, la concen- tration augmentera d'abord puis baissera. Elle passera donc par un maximum en cours de digestion. Ce maximum sera d'autant plus vite atteint que l'évacuation, par exemple, sera plus rapide ; il se montrera, au contraire tardivement quand l’évacuation sera lente. On peut donc, avecce type théorique de repas, prévoir deux marches évolutives de (r\: l’une croissante quand (p) reste constant ou va en augmentant ; l'autre croissante d'abord, décroissante ensuile, avec un maximum entre les deux, quand (p) baisse constamment. _ Les fluctuations de (p) jouent donc ici un rôle prépondérant et il importe de les étudier de plus près (voir ci-après). REMARQUE 1. — La limite à laquelle s'arrêtera la concentration est facile à déterminer dans le cas d’un coefficient (p) rétrograde. Cette limite est encore {r,). Car (p) diminuant incessament tend vers zéro. On s’achemine donc ainsi vers le premier type alimentaire, étudié tout à l'heure et dont la limite est (r,). Quand (p) reste constant ou s'accroît pendant la digestion, la con- centration augmente, on vient de le voir, du commencement à la fin du cycle digestif. [l semble donc que la limite soit un maximum très différent de /r). Cela est vrai, théoriquement et pratiquement, tant que l'estomac contient des aliments susceptibles d’être attaqués par la sécrétion. Mais il est évident que l'évacuation qui entraine, peu à peu, les aliments solides aussi bien que le liquide, finit par éteindre l’action chimique en soustrayant les substances solubles. Alors, si active que soit la sécré- tion, (p) tend à s’annuler par défaut d’aliments et l’on retombe fina- lement dans le cas précédent. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 159 Il est, d’ailleurs, facile de se convaincre que cette éventualité ne saurait se produire qu’aux confins extrêmes de la digestion physiologi- que parce que les dernières substances solides ne sontentraiînées qu'avec les dernières portions de liquide auxquelles elles sont intimement mêlées. Traduisons cela, comme précédemment, à l’aide de l'expression elle-même de la concentration, en y faisant figurer les éléments sécré- tés ("). Cette expression générale est ici : T = G(P + M) ne lo) . G+E En y faisant tendre (p) et (E) vers zéro, elle aboutit, in extremis à : = M510%40k Heu Il est d’ailleurs indifférent, pour ce résultat, que (p) s’annule par défaut d'aliments solides ou par appauvrissement progressif de la sécrétion. La première de ces deux éventualités correspond, je viens de ledire, à (p) constant ou croissant. Cest celle qui — remarque curieuse — s’adapte à toutes mes séries de viande. — On a vu que (r) y croit jusqu’à l'extrême limite de la digestion. Elle retombe ensuite brus- quement à (r,), si brusquement qu’on ne réussit à le constater qu’à la faveur du hasard dans les derniers centimètres cubes du contenu. La seconde éventualité, dont je ne possède pas d'exemple, corres- pond à (p),régulièrement décroissant avec, par conséquent, un maximum en cours de digestion. En somme, entre ce deuxième groupe d’aliments, où l’action chi- mique ne se développe que progressivement avec l’afflux de la sécrétion et le premier où cette action sur l’aliment pendant la digestion stoma- cale est indépendante de la sécrétion gastrique, la différence est pro- fonde par rapport à l’évolution de la concentration. Cette différence, inconnue jusqu'ici, n'implique nullement un changement dans la coordination des causes digestives quand lPali- ment change ; elle implique seulement l'intervention, pour des ali- ments différents, d'agents également différents, les uns étrangers à la sécrétion gastrique, les autres propres à cette sécrétion. Cette constatation, suscitée par l'étude de la concentration, est tout à fait remarquable. Elle devra peser d’un grand poids dans le choix, aujourd'hui tout arbitraire, des régimes, choix que j'effleu- rerai légèrement à la fin de ce chapitre sans toutefois y insister longuement. 160 J. WINTER * * *X Les aliments que je viens de mettre en scène, je les ai supposés homogènes dans leur constitution chimique ; ce sont des aliments théoriques, à peu près inexistants dans la nature où l’on ne rencontre que des aliments complexes. S'ils existaient, leurs influences individuelles sur l’évolution de la concentration se rangeraient dans l’un des deux groupes que je viens d'étudier. | Nous sommes donc avec eux dans le champ de la théorie pure. Dans la pratique, en raison de la constitution habituellement com- plexe des substances alimentaires, ces deux influences sur l’évolution peuvent s'exercer côte à côte pendant la digestion d’un même aliment. Ce point de vueestimportant, notamment pour le choix d’un repas d’épreuve qui devrait être aussi simple que possible. *X * Détermination du coefficient (p). Parmi les aliments directement attaquables par le suc gastrique lui-même, la viande est l’un des plus homogènes. On peut la consi- dérer comme le type pratique des aliments du second groupe. Les séries digestives (V, VI, VIE, VIID citées plus haut et obtenues chez le chien avec des repas de viande, nous offrent des évolutions croissantes de la concentration. Cela s'accorde entièrement avec les digestions théoriques de ce second groupe quand on y suppose le coefficient (p) constant ou croissant pendant la majeure partie de la durée de la digestion. Voyons s’il en est ainsi pratiquement; c’est là un problème tout nouveau. Par rapport à la viande et aux matières albuminoïdes (azotées) en général, le coefficient (p) peut prendre le nom, plus spécifique, de coefficient de l’activité peptique. Supposons que le repas ingéré soit sec. (E) est alors nul puisque (E) représente le liquide ingéré avec le repas. Annulons donc (E) dans la relation générale du second groupe : D APE mn) - Elleseréduità: r =p+ro, d’où l’on tire: G+E P=T— To. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 161 Ce résultat remarquable exprime que, dans les digeslions de repas secs de l'espèce en cause ici, le coefficient de l’activité chimique de la sécrétion gastrique est toujours, à un terme constant près (ro), égal à la concentration r du moment. Nous voilà donc en possession d’un moyen très simple et inconnu jusqu'ici pour déterminer (p). Mais il n’est encore applicable qu’à la viande qu'il est facile de faire prendre sous une homogénéité relative convenable. Il est d’ailleurs indifférent que la détermination du coef- ficient de l’activité peptique se fasse à l’aide de la viande ou de toute autre matière albuminoïde. Pour appliquer ce moyen on fait ingérer la viande (ou toute subs- tance azotée suffisamment homogène) sous sa modification insoluble et sans eau, et on dose la concentration à un moment où la digestion est encore en pleine activité. Si du résultat de ce dosage on retranche 0,01, valeur toujours très voisine de (r,), on a assez exactement la valeur de (p) à ce moment. Ce moyen est beaucoup plus commode et plus sûr que les digestions artificielles ën vitro. Il fournit le coefficient (p) en poids de malière dissoute, tandis que les digestions artificielles, incertaines et suspectes, expriment le pouvoir peptique en unités conventionnelles et arbi- traires de pepsine. Pour faire prendre la viande dégraissée sous un état convenable, il est bon de la faire bouillir avec de l’eau, de rejeter la dissolution des matières extractives ainsi obtenue et de ne faire absorber que la partie insoluble. J'ai effectué de la sorte quelques déterminations de (p). En voici quatre obtenues dans de bonnes conditions de temps et de repas chez un chien de forte taille (28*) auquel je faisais prendre 200 grammes de viande bouiliie, sans eau. J'opérais deux prélèvements: l’un à trente, l’autre à 60 minutes ; dans chacun des échantillons je titrais la concentration. Les quatre valeurs de (p) trouvées deux à deux, sont : ( après 30 minutes après 60 minutes ; p = 0,045 0,025 | 0,021 0,033 Ces quatre nombres, qui correspondent à deux digestions différentes, forment entre eux une proportion sensiblement exacte (t). » (1) Cette proportionnalité semble être la conséquence d'une relation plus géné- rale qu'il serait prématuré de rappeler ici. 162 J. WINTER [ls prouvent que (p) va en augmentant bien que faiblement jusqu’à la soixantième minute au moins. Avec ce repas et ce chien jeune, robuste et plein de santé, je n’ai, du reste, jamais trouvé de liquide après 75 minutes. L’augmentation progressive de (p) se poursuit donc sûrement jusqu’au voisinage immédiat de la fin digestive quand les conditions générales de l’expérience sont physiologiques. J’ignore s'il en est de même à l’état pathologique. Ce résultat établit définitivement l'accord entre l'évolution réelle, expérimentale, des séries digestives à la viande et l’une des évolutions théoriques prévues pour les digestions des aliments du second groupe dans lequel la viande se classe comme un vrai type. La théorie en somme s'accorde entièrement ici comme pour l’eau distillée, avec les faits, c’est-à-dire avec la réalité de tous les instants. Elle a su en prévoir la succession et le développement grâce à la con- centration. Il a suffi qu’elle subordonne la marche de cette concen- tration non pas à une cause unique, l’action chimique, mais aux trois causes fondamentales qui représentent réellement la digestion gas- trique. Toutes ces causes intéréssent également le médecin. L’analyse chimique en a ignoré deux jusqu’à ce jour. Il n’est donc pas étonnant qu'elle n’ait abouti qu’à des déboires. Remarques. — Les valeurs du coefficient peptique (p) que je viens de mentionner et leurs variations suggèrent quelques remarques secon- daires intéressantes. D) Du moment que pour les repas secs du second groupe la concen- tration ne dépend que de (p) et ne traduil, par cela même, que l'activité chimique de la sécrétion, c’est que les repas de cette espèce sont im- propres à refléter l’évolution digestive par cette concentration. Pour que cette évolution et ses trois causes reparaissent dans ses valeurs successives, il est nécessaire que le repas ingéré contienne de l’eau. Cela se dégage clairement de l'expression générale de la concentration relative à ce groupe alimentaire : = sr), ACESE En y annulant E on la ramène à: r—p+r,, que je viens d'utiliser pour déterminer (p). Ce coefficient est alors la seule variable qui y figure ; comme il est indépendant de l’acte digestif stomacal il en résulte que (r) en estéga- lement indépendant. ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 163 Les repas secs ou, ce qui revient au même, l'étude de l’activité peptique des sécrétions, sont donc impropres à définir l’état digestif. Cest pourtant ce que l’on fait couramment sans en discerner l’inutilité. [1) Les valeurs de (p) qui précèdent montrent que, chez le même sujet, ce coefficient est susceptible de varier, non seulement du com- mencement à la fin de la digestion, mais aussi d’un jour à l’autre malgré l'identité des conditions extérieures de l'expérience. Pawlow qui à mesuré la capacité peptique d'heure en heure, par des digestions artificielles, l’a trouvée décroissante. Ses résultats obtenus sur des chiens mutilés sont sûrement d’ordre pathologique ; l'énorme durée de ses digestions le prouve suffisam- ment. [l se peut, dès lors, que, dans son cas, cette évolution de (p} soit exacte. Mais il est possible aussi que s’il avait rapproché ses con- trôles au lieu deles faire d'heure en heure seulement, il eût, comme moi, trouvé cette évolution croissante au moins pendant la première heure et peut-être décroissante ensuite en raison de la longue durée des digestions et de l’état précaire de ses sujets. .. [ne faut pas oublier, en effet, que la capacité peptique (p) est essentiellement fonction de l’état général de l’individu. ID) Jai volontairement négligé dans mes développements, l’éven- tualité d’un repas de viande et de liquide ingéré avec une certaine concentration préalable. Cette éventualité se réalise loujours dans la pratique parce que l’eau du mélange dissout certaines matières extrac- tives de la viande avant toute digestion chimique. Il se crée de la sorte, dans le repas absorbé, une concentration initiale arbitraire. J'ai rapporté plus haut (série VIII) un exemple numérique de ce genre. Cette concentration « a priori » se comporte dans l’estomac comme celle du premier groupe alimentaire théorique : elle y diminue pro- gressivement pendant la digestion. Celle qui dérive de l’action gas- trique, que j’appelerai la portion chimique, y augmente. Il en résulte qu’au cours de la digestion la concentration totale (r) subit simulta- nément, dans ses parties, une double évolution antagoniste. De là une certaine hésitation dans l'accroissement de (r), hésitation sensible surtout dans la première phase digestive où la concentration préalable prédomine encore. L'expérience révèle très nettement ce phénomène. Consultons les séries à la viande. La con- centration s’y met en plateau ou oscille ou diminue même parfois pendant quelque temps. Son augmentation systématique ne s’ac- 164 J. WINTER cuse définitivement qu’à partir de l'instant où sa partie chimique devient manifestement prépondérante. On voit que toutes les irrégularités expérimentales s'expliquent bien naturellement. IV) La capacité peptique (p) étant, à une constante près, égale à (r) dans un repas de viande sec, on voit que cette concentration (r) peut être substituée aux digestions artificielles pour-définir l’action chimi- que. C’est ce que j'ai fait pressentir dans la première partie de ce mémoire. Quand, dans la relation 7 = Lier re qui correspond aux diges- G+E tions de viande, on saura attribuer à (G) une valeur expérimentale ou théorique précise, on pourra toujours en déduire directement la valeur de (p), que le repas soit sec ou liquide. Cette question sera examinée ailleurs. | Repas de pain. J'ai dit plus haut, à propos du premier groupe théorique d'aliments solides, que leur schéma digestif rappelle, par l’évolution de la con- centration, la digestion du repas d'Ewald. J’ai ajouté que certaines particularités seulement les distinguent et j'ai réservé le pourquoi de cette similitude. Je vais l’examiner ici. Je rappelle que, pour les conditions posées, la concentration ne peut que baisser du commencement à la fin de la digestion théorique des aliments homogènes de ce groupe. Il se trouve que c’est sensiblement ainsi que se déroule la digestion du repas de pain sucré (voir mémoire précédent). Il faut donc néces- sairement que les deux conditions fondamentales du problème théo- rique s'appliquent à la digestion du pain. Voici ces conditions (voir plus haut): 1) — La genèse, dans l’esto- mac, de la matière dissoute est indépendante de l’action propre de la sécrétion gastrique. 2\ — Les aliments se dissolvent en masse dans l'estomac dès le début de la digestion. La chute progressive et continue de la concentration n’est compa- tible qu'avec ces deux conditions. Il faut donc qu'elles soient à la base de la digestion du pain où la concentration suit réellement cette marche. Elles le sont, en effet, car on sait depuis Leuchs (1839) que la ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 165 matière amylacée, dont le pain est très riche, ne se solubilise qu’à la faveur de ferments salivaires. Tout le mystère est là: Ces ferments salivaires sont totalement étrangers à la sécrétion gastrique et leur action est réellement maxima au moment où l'aliment amylacé, impré- gné de ces ferments, pénètre dans l'estomac, c'est-à-dire au début de la digestion gastrique. De là les hautes concentrations initiales que l’on remarque dès l’origine avec le repas d'Ewald, surtout quand il est sucré (voir mémoire de 1906). En ce moment-là, toute la matière dissoute n’est guère formée que de maltose ; l’azote y est très faible- ment représenté comme on va s’en assurer dans un instant. Cette action salivaire baisse, d’ailleurs, très rapidement. Il est facile de le contrôler au moyen de la liqueur de Fehling. La réduction chimique du cuivre est très puissante dans la première phase digestive, mais s’amende très rapidement par la suite. Elle peut même jusqu’à s’annuler dans les périodes avancées, quand l’évacuation pylorique se fait bien. En somme, ici encore la théorie s'accorde entièrement avec les faits. Une remarque importante découle de cette constatation ; c’est celle- ci: Si l'expérience n'avait pas depuis longtemps déjà démontré l’exis- tence des ferments salivaires et leur action sur la matière amylacée, l'étude théorique de l’évolution de la concentration les eût, à elle seule, démasqués comme étant la condition nécessaire pour expliquer la marche évolutive de cette concentration pendant la digestion du pain. Cette remarque est intéressante parce qu’elle démontre l'utilité des conceptions et de l’analyse théorique dans l’étude des phénomènes de la vie. L'aliment théorique considéré, supposé homogène — de la matière amylacée pure par exemple — évoque une évolution digestive égale- ment homogène et une action chimique totalement indépendante de la sécrétion gastrique. | Le pain n’est pas homogène ; il contient à la fois de la matière amy- lacée et de la matière azotée (gluten). Son cycle digestifne saurait donc être tout à fait homogène. Car si les hautes concentrations du début, dues aux hydrates de carbone, s’abaissent rapidement, la dissolution de la matière azotée doit, en revanche, s’accomplir suivant le schéma _des aliments du second groupe et la concentration corrélative doit Bélerer progressiveme nt. 12 166 J. WINTER Nous retombons ainsi dans les conditions de la remarque II du paragraphe précédent sur la coexistence dans la concentration, de deux mouvement évolutifs antagonistes. Cela se vérifie, d’ailleurs, expérimentalement. Mais ici, avec le pain, cet antagonisme ne devient sensible que vers la fin du cycle digestif, quand la concentration générale (r) arrive au voisinage de 0,03. On peut alors constater des oscillations franches de la concentration ; et quand l'évacuation est suffisament rapide on peut même observer une ascension assez persistante de (r), due, cela s'ex- plique maintenant, à l’active dissolution du gluten. Cest là la différence à laquelle je faisais allusion tout à l’heure, entre l’évolution du repas théorique et celle du repas d'Ewald. Comme, dans la pratique des examens gastriques, on fait l’extraction du repas de pain après une heure de digestion, l’effet contrariant du double mouvement évolutif antagoniste n'apparaît pas encore, physiologique- ment, dans l’analyse à ce moment. C’est même là l’un des avantages. marqués de l’emploi du pain comme aliment d’épreuve. Mais dans les évacuations très hâtives et dans les examens en série continue avec des puisements trop copieux, cet effet peut devenir très apparent et suggérer l’idée d’une marche irrégulière de la digestion. Il est bon que l’on en soit prévenu et de se rappeler que les concentrations, liées à la dissolution chimique de la matière azotée dans l’estomac, ne s'élèvent jamais qu’au voisinage de 0,03, tandis que les concentra- tions liées aux matières amylacées peuvent, un début du cycle, atteindre des valeurs telles que 0,18 et 0,19 (voir le tableau de mon précédent mémoire (1906.) On s'assure facilement de la marche ascendante de la matière azotée dissoute pendant la digestion des repas de pain. Il suffit d’y doser l’azote. J'ai effectué un grand nombre de ces dosages, les uns avec la colla- boration de M. le D' Faloise (de Liège), les autres avec M. Guéritte. Ces dosages ont été publiés en leur temps. Je donne dans le tableau ci-après quelques-uns desrésultatsobtenus. L’azote y est exprimé en unités de peptone en remarquant que 1 gr. de peptone correspond sensiblement à 0,15 d’azote. À côté des valeurs de l’azote-peptone, rapportées à un ce de liquide gastrique, le tableau contient aussi les concentrations (r), correspon- A dantes et les rapports _ . Il est, en outre, classé suivant les valeurs décroissantes de (r), pour rappeler leur évolution décroissante pendant la digestion du pain. Il ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 167 se trouve alors que ce même tableau semble presque classé aussi sui- L AZ s RE ne vant les valeurs croissantes de +» ce qui est très significatif pour la démonstration. TABLEAU des valeurs de l'azote dissous, pendant la digestion du repas d'Ewald. Az 7 — AZ à (ou unités de peptone) 0,1167 0,063 0,00739 0,0932 0,127 0,01691 0,0925 0,137 0,01271 0,0910 0,113 0,01042 0,0850 0,137 0,01172 0,079% 0,121 0,00965 0,0731 0,109 0,00796 0,0712 0,150 0,01072 0,0675 0,113 0,00763 0,0662 0,111 0,00739 0,0657 0,196 0,01292 0,065G 0,137 0,00899 0,0656 0,119 0,00784 0,059% 0,088 0,00526 0,0575 0,150 0,00865 0,0515 0,196 0,01012 0,0487 0,113 0,00552 0.0480 0,151 0,00725 0,0428 0,223 0,00955 0,0417 0,17% 0,00730 0,0292 0,236 0,0069?2 0,0289 0,162 0,00470 0,0275 0,288 0,00792 0,0260 0,332 0,00865 0,0190 . 0,436 0,00830 0,0168 0,368 0,00619 0,0105 0,589 0,00619 (à jeun). 0,0092 0,518 0,00479 (à jeun). 168 J. WINTER Ce tableau démontre, jusqu’à l'évidence que, durant la digestion du AZ repas d'Ewald, la proportion relative d’azote (= augmente, dans le résidu, au fur et à mesure que la concentration diminue. Comme, pour ce repas, la concentration diminue du commence- ment à la fin de sa digestion, c’est done que la matière dissoute s'enrichit en matière azotée pendant cette évolution. La transformatien peptique du pain obéit donc à la même loi que celle de la viande : elle s’accentue progressivement avec la sécrétion gastrique elle-même dont elle dépend ici comme li. En d’autre termes, si cette matière azotée, qui se dissout pendant l'évolution des repas de pain, était seule dans le résidu (r), celui-ci y augmenterait graduellement comme avec le repas de viande, au lieu d'y diminuer, C. Q.F.D. Pour compléter ces renseignements, voici quelques exemples de quantités d’azote trouvées dans les résidus d'une digestion de viande. C’est une série continue chez un chien. Elle est tirée des recherches que nous avons faites en Commun, M. le Dr Falloise et moi. Repas ingéré : viande et eau.  5 AZ r ss (en peptone). Après 31 minutes . . 0,0169 0,483 0,00817 Après 44 minutes . . 0,0176 0,512 0,00901 Après 61 minutes . . 0,0280 0,529 0,01480 Il semble que ce petit tableau fasse suite au précédent malgré la barrière de repas d’épreuve très différents qui se dresse entre eux. L’azote, exprimé en peptone, y est toujours sensiblement la moitié du résidu lequel y est, partout, plus élevé que la concentration propre (ro) de la sécrétion gastrique elle-même. Ce second tableau confirme donc la conclusion déduite du premier : vers la fin des repas de pain, la proportion d’azote dissous y devient égale à celle des repas de viande. De l’ensemble de ces dosages se dégagent encore d’autres consé- quences qu'il y aura avantage à signaler ailleurs. Avant de résumer les éléments développés dans ce chapitre, d’en ÉVOLUTION DE LA CONCENTRATION DES LIQUIDES GASTRIQUES 169 présenter quelques conséquences et d’en tirer quelques indica- tions pratiques, relatives, notamment, aux régimes alimentaires, je désire ajouter quelques mots sur une condition évolutive spéciale aux repas de pain. C’est celle qui détermine le maximum général de la concentration pour ce repas L'expérience nous a, en effet, appris (voir le mémoire de 1906) que ce maximum doit être voisin de 0,190. Je ne possède pas beaucoup d'éléments positifs sur ce point spécial encore à l’étude et ne saurais en fixer la loi avec la certitude qui m'a permis de préciser la limite inférieure (r,) de la concentration, abso- lument générale d’ailleurs. Voici ce qui se dégage de plus clair de nos connaissances. Théoriquement la concentration, d'après ce qui précède, sera maxima quand l’action salivaire sera elle-même maxima pour une sécrétion gastrique minima (nulle). Cela a toujours lieu au début de la digestion et c’est en effet à ce moment-là que l’on rencontre toujours avec le pain les plus fortes concentrations. Cela peut se produire aussi en cours de digestion, si la sécrétion gastrique venait à s’arrèter brusquement. Mais cette condition ne suffit pas pour répondre à la question posée. L'observation des faits en suscite une autre, plus précise et plus impor- tante au point de vue biologique pur. L'étude pratique du chimisme montre, en effet, que l’activité chimique diminue quand la concentration augmente et tend même à s’annuler pour une certaine valeur de (r). L'action chimique, en d’autres termes, est entravée dans son milieu par les produits de son propre travail. L'action mécanique ayant pour mission de diluer le milieu et de le débarrasser de ces produits, on voit que l’activité chimique baissera très vite quand l’action mécanique devient insuffisante. C'est là, vraisemblablement, la cause fondamentale qui détermine la limite maxima 0,190 dans les repas de pain.On peut l’énoncer sous cette forme générale : La concentration 0,190 des digestions de pain apparaît comme équi- valente à une résistance voisine de la plus élevée de celles que les ten- sions chimiques de l’estomac peuvent vaincre. Pour qu’elle se produise il faut que l’action mécanique de l'estomac soit minima. | Cela cadre fort bien avec les faits. C'est à cette action régulatrice de la concentration que je faisais 170 J. WINTER . allusion quand, dans le mémoire précédent, je discutais les incerti- tudes des digestions artificielles. Pratiquement elle est au premier plan des phénomènes dyspep- tiques soit comme cause, soit comme élément révélateur dans l'ana- lyse chimique. (A suivre.) Paris, le 20 septembre 1907. (] 174 SUR UN POISSON ACANTHOPTÉRYGIEN ÉOCÈNE Parapygæus polyacanthus nov. gen. nov. sp. par M. le D' Jacques PELLEGRIN La connaissance des Poissons fossiles est encore loin d’être com- plète et il en sera ainsi longtemps à cause dela rareté et de l’imper- fection des documents géologiques. Bien que le gisement éocène supérieur du Monte-Bolca, près de Vérone, en Italie, figure parmi les plus anciennement étudiés etqu'ilait été l’objet de travauxremarqua- bles de la part de naturalistes éminentscommeG. $S. Volta, L. Agassiz, A. de Zigno, F. Bassani, C. R. Eastman, etc., elc., on peut encore y rencontrer des formes nouvelles fort intéressantes. C’est ainsi que grâce à l’obligeance de M. P. H. Fritel, qui me les a communiquées, j'ai pu examiner l'empreinte et la contrempreinte d'un Poisson acanthoptérygien perciforme de cette localité qui ne me paraît devoir être rapporté à aucun des genres décrits jusqu'ici. Il s'écarte, en effet, de tous les spécimens existant dans la magni- fique série du Monte-Bolca de la galerie de paléontologie du Museum d'histoire naturelle de Paris, collection dont M. le P' Boule et M. Thévenin, assistant, auxquels je tiens à adresser ici tous mes re- merciements, m'ontconsidérablement facilité l'accès. M. le D' Sauvage dont la compétence est bien connue pour tout ce qui touche les poissons fossiles, a vu cet échantillon qui lui semble différent des nombreux types examinés ou décrits par lui. Enfin, dans tous les ouvrages que j'ai pu consulter, aucun Poisson, parmi les Acanthopté- rygiens perciformes, n’est semblable au spécimen, type d'un genre nouveau, dont on trouvera la description ci-dessous. Parapygæus (!) nov. gen. Corps moyen, non élevé. Bouche petite, subterminale. Verte- bres au nombre de 24. Ecailles de dimension moyenne, forte- ment sillonnées Aénoïdes. Portion épineuse de la dorsale et de l’a- (1) De Liap&, auprès et Pygœus, nom générique. 172 JACQUES PELLEGRIN nale beaucoup plus étendue que la portion articulée. Dorsale conti- nue, commençant au niveau de la fente operculaire, comprenant 18 épines subégales et 8 rayons mous non prolongés. Anale correspon- dant à la dorsale mais un peu moins étendue, composée de 13 épi- nes et de 6 rayons mous. Ventrales thoraciques. Caudale nettement fourchue. 4 PARAPYGÆUS POLYACANTHUS NOV. Sp La hauteur du corps est contenue 2 fois 2/3 dans la longueur sans la caudale ; la longueur de la tête 3 fois. La bouche est petite, pro- tractile et parait munie de petites dents coniques. On ne distingue pas de denticulations au préopercule. L’œil est contenu 3 fois environ dans la longueur de la tête. Il existe 11 vertèbres précaudales, 13 caudales. Aucune épine neurale ou hémale n’est dilatée; les cô- tes sont minces, grèles. Les écailles de dimension moyenne sont marquées de forts sillons ; il en existe sur la joue et sur l’opercule. La dorsale commence au niveau de la fente operculaire, elle com prend 18 épines subégales à partir de la %e,la dernière étant conte- nue 2 fois 1/2 environ dans la longueur de la tête ; les rayons mous au nombre de 8 sont à peine plus longs que les épines. L’anale dé bute très en avant, environ sous la 7° épine de la dorsale, elle est composée de 43 épines, égales à partir de la seconde, un peu plus longues et un peu plus fortes que celles de la dorsale. Ces deux na- geoires paraissent être reçues à la base dans un fourreau écailleux. Les ventrales thoraciques, peu nettes, ne semblent pas toutefois comprendre plus d’une épine et de 5 rayons mous. Le pédicule cau- dal est plus haut que long. La caudale est nettement fourchue, à lobes égaux, aigus et comprend 18 rayons principaux. D. XVILIS; A. XIII6:, Ver: 112143 — 24. . Eocène supérieur du Monté-Bolca. Longueur 56 + 15 —71 millimètres, Le nom générique de Parapygæus, donné à ce Poisson indique certains rapports avec le genre Pygæus fondé en 1838 par Louis Agassiz (!) pour plusieurs espèces d’Acanthoptérygieus du Monte- Bolca. Les principales formes de ce dernier genre se rapprochent des Ephippus et des Chétodons ; aussi les Pygées, sont-ils classés (1) L. Acassiz. Recherches sur les Poissons fossiles, IV, p. 16 et 251. SUR UN POISSON ACANTHOPTÉRYGIEN ÉOCÈNE IL Te Empreinte et’contrempreinte du Parapygæus polyacanthus nov. gen. nov. sp. SUR UN POISSON ACANTHOPTÉRYGIEN ÉOCÈNE 4175 par beaucoup d’ichtyologistes et notamment par A. S. Woodward (!) parmi les Chétodontidés (?). Il est évident, toutefois, que l’on a réuni sous le nom de Pygées des formes assez dissemblables, et appartenant à des groupes un peu diffé- rents. Agassiz d’ailleurs, l'avait reconnu dès le début lorsqu'il s’expri- mait ainsi : « [l faudra donc probablement démembrer un jour ces espèces et en faire autant de genres qu’on y reconnaitra de types différents, en les étudiant d’une manière plus complète ; ce qui sera d'autant plus difficile que les Pygées sont fort rares dans les col- lections. La plupart des espèces ne sont connues que d’après un seul exemplaire, ou même une simple plaque. » Le caractère le plus remarquable du Poisson acanthoptérygien perciforme, décrit ici, est certainement le développement considé- rable, tout à fait inusité, de la portion épineuse de la nageoïire dor- sale et surtout de l’anale, tandis que, par contre, la portion articu- lée est fort réduite. D'une façon générale, chez les Acanthoptérygiens perciformes, on ne rencontre pas plus de 3 épines à la nageoire anale ; c’est ce chiffre, de beaucoup le plus fréquent, qui peut être considéré comme normal dans ce groupe, si riche à l’époque actuelle. Parfois même ce nom- bre n’est pas atteint, c’est ainsi que chez les Percidés proprement dits, par exemple, on ne trouve qu'une ou deux épines à l’anale, chez les Pomacentridés toujours deux seulement. Il n’existe qu’un fort pelit nombre de familles actuelles, — et le plus souvent dans quelques genres seulement, — possédant plus de trois épines anales, ce sont parmi celles à os pharyngiens inférieurs séparés, les Centrarchidés, les Nandidés, les Osphroménidés, les Teu- thididés et parmi les Pharyngognathes les Cichlidés et les Labridés. Il est donc très intéressant de trouver déjà chez le Parapygæus polyacanthus, Poisson relativement assez ancien dans le groupe, puis- que les Acanthoptérygiens datent de l’époque crétacée, une telle prédominance des rayons épineux et surtout ce chiffre de 15 épines à l’anale. Cependant, il faut remarquer que chez les Pygées éocènes plu- sieurs espèces possédaient également plus de 3 épines anales mais sans jamais atteindre un nombre aussi élevé que chez le Parapygæus. RE EEE (1) A. S. Woopwarp. Catalogue of the Fossil Fishes in the Bristish Museum, IV, 1901, p. 556. (2) Pour le Pr Jordan ce genre serait un type généralisé ayant des rapports ancestraux avec les Chétodontidés, les Acanthuridés et les Siganus (Amphacan- thus). Science, N. S. vol. xx. n° 503, 1904, p. 246. 176 ._ JACQUES PELLEGRIN Le tableau suivant, tiré de C.-R. Eastman (!), indique les formules des principales espèces du genre Pygaeus. Pygæus bolcanus Volta D. X-XII 20. Pygæus nobilis L. Agassiz D. XIL 12; A1 TL U12; Pygæus Agassizi Eastman D. X 9; AVS Pygæus coleanus L. Agassiz D. XIV 15; A. IX 11. C’est donc de cette dernière espèce que se rapproche le plus, sous le rapport des nombres des rayons, le Poisson décrit ici. Toutefois, malgré cette relation évidente, l’ensemble’ de ses caractères anato- miques ainsi que son aspect ne semblent pas devoir le faire rentrer dans la famille des Chétodontidés, avec les Pygées typiques. Quant à la division des Chétodontiformes, séparée de celle des -Perciformes par certains zoologistes comme Woodward (?), elle est peut-être commode au point de vue pratique, mais paraît basée sur des caractères assez secondaires en ce qui concerne les familles des Chétodontidés et des Acronuridés (°) ; avec Boulenger (*) il semble naturel de faire rentrer celles-ci dans le vaste groupe des Percifor- mes dont elles ne sont pas essentiellement distinctes. Cette énorme section des Téléostéens ne comprend pas moins de 36 familles, à l'heure actuelle, d’après cet auteur. Il s’agit de rechercher lesquelles se rapprochent du Parapygæus polyacanthus. Les formules des nageoires impaires de ce Poisson, caractère très objectif et parfaitement net sur l’échantillon restrei- gnent, d'ailleurs, considérablement le champ des investigations. Il sera donc facile de passer en revue les différentes familles pré- sentant un nombre considérable d’épines, particulièrement à l’anale, et d'indiquer les rapports ou les différences ss pes avec. le spécimen étudié ici. Les Osphromènidés auxquels on a souvent réuni les ASabantidés (à) sont des Poissons pecroïdes habitant aujourd'hui les eaux douces du Sud de l'Asie, avec un genre en Afrique dans l’Ogôoué. On cons- tate chez eux de grandes variations dans la disposition des nageoires ; (1) G.-R. Easruan. Descriptions of Bolca Fishes. Bull. Mus. Comp. Zool. Har- vard Coll. Cambridge, XLVI, 1904, n° 1, p. 32. (2) Loc. cit. (3) Les Balistidés et Gymnodontidés, placés par Woodward parmi les Chétodon- tiformes appartiennent au contraire à un groupe très différent, les Plectognathes de Cuvier. (4) BouceNGER. À. Synopsis of the Suborders and Families of Teleostean Fishes. Ann. Mag. Nat. Hist. Ser. 7, XIII, 1904, p. 178. (5) Les Anabantidés sont placés par Boulenger parmi les Percesoces. SUR UN POISSON ACANTHOPTÉRYGIEN ÉOCÈNE AE certaines formes ont le nombre des aiguillons tout à fait réduit, d'autres, au contraire, présentent un développement extraordinaire de la portion épineuse aussi bien à l’anale qu’à la dorsale. C’est ainsi que le Polyacanthus opercularis Linné, de Chine, a pour formules : D. XIV-X VIIL 8-7 ; A. XVIII-XX 11-12. Toutefois, dans cette famille, il existe un appareil respiratoire spécial, supporté par des lamelles osseuses, surmontant les branchies et destiné à respirer l’air en nature et à permeltre un séjour plus ou moins long hors de l’eau. Or il n'existe pas, sur le spécimen fossile, de vestiges de cet organe acquis secondairement chez des Poissons dulcaquicoles soit pour résister à la sécheresse, soit pour aller à terre à la recherche de la nourriture. .. Les Nandidés constituent une famille assez restreinte de petits poissons carnivores d’eau douce comprenant, à l'heure actuelle, 3 genres dans le Sud-Est de l’Asie, un dans l’Ouest africain, 2 dans l'Amérique du Sud. Chez le Polycentrus Schomburgki Müller et Trôschel, de la Guyane, on observe pour formules : D. XVI-XVII 8-7 ; À. XIII 7, chiffres tout à fait comparables à ceux du Parapy- gæus polyacanthus.Toutefois, malgré des rapports incontestables, ce n'est probablement pas à ce groupe que ce dernier doit être rap- porté. Les Cichlidés forment une vaste famille dont on connaît aujour- d'hui plus de 300 espèces peuplant les eaux douces de l'Afrique, de Madagascar, de la Syrie, de l’fnde avec Ceylan et de l'Amérique centrale et méridionale. On rencontre chez eux quelques genres à épines anales multiples : c’esti ainsi que le Cichlasoma spinosissimum Vaillant et Pellegrin, du Guatémala, a pour formules : D. XVIII-XIX 7-8; A. XI-XII 7-8. C’est un Poisson qui présente, sans conteste, de grandes analogies avec l’espèce décrite ici. Cependant chez les Cichlidés, les os pharyngiens inférieurs sont toujours plus ou moins complètement unis, quoiqu’à un moindre degré que chez les Labri- dés où la suture médiane disparaît. En l’absence de caractères précis indiquant sur le Parapygæus une fusion des pharyngiens inférieurs, il semble difficile de ne pas admettre que ces os se com- portent chez lui comme dans la majeure partie des cas chez les Acanthoptérygiens, c’est-à-dire qu’ils soient séparés. Il reste alors seulement une famille dont le squelette est tout à fait analogue à celui des Cichlidés et qui possède des pharyngiens infé- rieurs séparés, c’est celle des Centrarchidés. Ce petit groupe, long- temps réuni aux Percidés dont il est assez difficile à distinguer, est composé, à l’heure actuelle, de Poissons carnivores en majorité dul- 178 JACQUES PELLEGRIN caquicoles, mais entrant dans les eaux saumâtres, surtout répandus dans l'Amérique du Nord, aux Etats-Unis (!). Un genre, le genre Dules où Auhlia rapporté par Boulenger à cette famille, se rencontre non seulement dans les bas fleuves et dans les estuaires, mais aussi sur les côtes de l'Est africain et de Madagascar, et dans les diverses îles de l'Océan Indien et de l'Océan Pacifique ainsi qu’au nord de l'Australie. - C’est donc très vraisemblablement des Centrarchidés qu’il faut sur- tout rapprocher le Parapygæus polyacanthus, D'ailleurs si l’on ne trouve pas aujourd'hui dans cette famille d'espèces à formules tout à fait semblables, il existe encore des genres comme les Pomoxys et les Centrarchus possédant 7 à 8 épines anales. Le Centrarchus macro- pterus Lacépède, par exemple, a pour formule : D. XI-XIIT 12-14 ; A. VIL-VIL 15. Un autre caractère du Parapygæus mérite de fixer l'attention, c’est celui du nombre des vertèbres 24. C'estun chiffre qu'on retrouve chez les Acanthoptérygiens primitifs et d'autre part chez un assez grand nombre de formes actuelles des mers tropicales. Les Acanthoptérygiens, en effet, dérivent d’un type crétacé plus ou moins voisin des Éeryx et chez lequel le nombre des vertèbres était justement de 2%, Encore aujourd’hui beaucoup d’Acanthopté- rygiens habitant les mers chaudes du globe ont un nombre de ver- tèbres peu élevé et se rapprochant de 24 (10 abdominales ou précau- dales + 14 caudales. Günther) (?) dès 1864 avait déjà remarqué cette particularité chez les Labridés, et Gill la même année, avait géné- ralisé cette notion en montrant que la majorité des types tropicaux sont des Acanthoptérygiens ayant 24 vertèbres, tandis qu’au con- traire les espèces à vertèbres nombreuses et particulièrement les Malacoptérygiens prédominent dans les eaux septentrionales. Plus récemment, Jordan (°) dans des travaux fort documentés sur les re- lations de la température avec le nombre des vertèbres chez les Pois- sons, accumula les données à cet égard. En outre, dans les groupes comprenant à la fois des espèces mari- nes et d’autres dulcaquicoles, celles-ci ont habituellement plus de vertèbres que celles des eaux salées, les formes des grandes profon- deurs aussi. (1) Plusieurs espèces de Sun-Fishes, c'est ainsi qu'on les appelle aux États-Unis, viennent même d'être acclimatées en Europe. (2) A. Günraer. Cat. Fish. Brit. Mus. IV p. 65. (3) Jorpan. Relations of temperature to vertebræ among Fishes. Pr. U. S. Nat. Mus. XIV, n° 845, 1891, et Temperature and vertebræ. A study in evolution, 1893. SUR UN POISSON ACANTHOPTÉRYGIEN ÉOCÈNE 179 Le Parapygæus confirme ces faits. Plus voisin des types primitifs, vivant sans doute dans des eaux marines ou saumâtres chaudes, il pos- sède naturellement intact ce chiffre de 24 vertèbres qu'on verra s’aug- menter peu à peu chez les Centrarchidés actuels par suite d’adapta- tions diverses. En effet, il n’y a plus aujourd'hui qu’un genre de Centrarchidés dont le chiffre des vertèbres se rapproche de 24, c’est justement le genre Dules ou Auhlia qui en possède 25(10-11 + 14-15) parce qu'il est resté semi-marin et tropical (1). Chez les Centrarchidés devenus dulcaquicoles, et habitant des ré- gions plus tempérées comme les fleuves des Etats-Unis, on voit le nombre des vertèbres augmenter progressivement comme on peut en juger sur le tableau suivant : AbOMoONsMCNENOURUIUS EEE 00 AU DONOUSRPR ESRI EE 09030 LEPOMIS EU RE ares LUS Centrarchus, 2poibtes PRET MN Ole MICRO DIEU EN RE C2 00: JAGIRCE MEN AN EEE ER EE ME Ces exemples intéressants semblent démontrer que chez les Acan- thoptérygiens une des formes de la psc ane est l'augmentation du nombre des vertèbres. Tels sont les faits principaux mis en lumière par ce genre remar- quable de l’éocène du Monte-Bolca, genre qui paraît devoir prendre place parmiles Acanthoptérygiens perciformes vers la base des Cen- trarchidés, groupe étroitement uni d’allieurs au point de vue ostéolo- gique aux Cichlidés dont il ne se distingue que par l’absence de soudure des pharyngiens inférieurs. (1) Il est intéressant de noter que L. Agassiz a signalé deux Dules, à 24 vertèbres parmi les Poissons du Monte-Bolca : le Dules medius L. Agassiz que Woodward assimile au Cyclopoma (?) micracanthum L. Agassiz et le Dules temnopterus L. Agassiz, dont la place zoologique paraît mieux établie. TABLE DES MATIÈRES DU FASCICULE IV Extraits des comptes-rendus des séances . . . . . . DURS ep des so MIUE Joseph Deschamps. — Sur la méthode d'Eratosthène . . . , . . . . . 102 J. Winter. — Çauses générales de l'évolution de la concentration des Hquidés sastriques rs ne ER Ro AR ER QUe 129 D: Jacques Pellegrin. — Sur un Poisson acanthoptérygien éocène. Parapygœus polyacanthus n. gen., n. Sp. . . . . . . . . . . . . . . . . LE PRIX DES TIRÉS À PART EST FIXÉ AINSI QU'IL SUIT : 25 ex. | 50 ex. | 75 ex. |100 ex.1150 ex. 200 ex. [250 ex. Unerfeuille 292 4,50 | 5.85 | 7.20 | 8.10 | 10.60 | 12.85 | 14,85 Trois quartsde feuille. | 4 » | 5 » | 6.10 | 3 » | 9 » [10.60 | 12.15 Une demi-feuille.. . | 3.18 | 4 » | 5 » | 5.60 | 7.20 | 8.10! 9 » Un quart de feuille. . | 2.70 | 3.60 | 4.25 | 4.75 | 5.60 | 6.30| 8.85 Un huitième defeuille. | 2 » | 2.70 | 3.15 | 3.60 | 4.05! 4.50! 5 » Plusieurs feuilles . . | 4 » | 5.40 | 6 30 | 7.20 9 »|111.70|14%4 » PUBLICATIONS DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE dresérie : 1189-1805. . : . . . TE SE aies 3 volumes in-40 de'série.: 1801 Bla Se en 7 3 volumes in-4° de Série ASIA PR re 2. 13 fascicules in-4° LeSéTIe = MSA EU one 2 volumes in-40 5° série. 2: 1836-4863. : D + 28 fascicules in-4? Ércsénie ASC Se ee _: 43 fascicules in-8° 1e série : 1811-1888 . . . : - CE er 14° volumes in-8° Chaque année pour les Membres de la Société. . . . .: . « . . 2% 5 francs - — pour le public. . . . : . RS RE SR 27. 427francs Mémoires originaux publiés par Ja Vociété Philomathique A A L'OCCASION DU CENTENAIRE DE S2 FONDATION 1788- 1888 Le recueil des mémoires originaux publié par la Société philomathique à l'oc- casion du centenaire de sa fondation (1788-1888) forme un volume in-k° de 431 pages, accompagné de nombreuses figures dans le texte et de 24 planches. Les ravaux qu'il contient sont-dus, pour les sciences physiques et mathémaliques, à : MM. Désiré André ; E. Becquerel, de l'Institut ; Bertrand, secrétaire perpétuel de l'Institut; Bouty ; Bourgeois; Descloizeaux, de l'Institut: Fouret; Gernez; Hardy : Haton de la Goupillière, de l'Institut ; Laisant ;: Laussedat, de Pinstitut ; Léauté, de Finstitut ; Mannheim ; Moutier ; Peligot, de l'Institut : Pellat. Pour les sciences naturelles, à : MM. Alix; Bureau ; Bouvier, de l’Institut ; Chatin, de l'Institut ; Drake del Castillo ; Duchartre, de l'Institut ; H. Filhol ; Franchet; Grandidier, de l’Institut: Henneguy; Milne Edwards, de l’Institut : Mocquard; Poirier; À. de Quatrefages, de l’Institut; G. Roze; L. Vaillant. i En vente au prix de 35 francs. AU SIÈGE DE LA SOCIÉTÉ, À Le SORBONNE Bar-le-Duc. — Imp. Comte-Jacquet, FAchouEz, Dir. Re BULLETIN AS NOCIÈTE PIILONATHIQUE FONDÉE EN 1788 NEUVIÈME SÉRIE. — TOME IX NOADE 1907 NT PS rh Ne PARIS AU SIÈGE DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS A LA SORBONNE LA! Le Secretaire-Gerant, H. COUTIÈRE. Le Bulletin paraît par livraisons bimestrielles. COMPOSITION DU BUREAU POUR 1907 Président : M. BerrueLor (Daniel), 3, rue Mazarine. Vice-Président : M. Lécaizcon., 28. rue Berthollet. Trésorier : M. RapauD, 3, rue Vauquelin. Secrétaire des séances : M. Winrer, 44, rue Sainte- Place. Vice-Secrétaire des séances : M. Lebon, 4 bis, rue des Écoles. Secrélaire du bulletin : M. Counère, 12, rue Notre-Dame- des-Champs. | Vice-Secrélaire du bulletin : M. Nevvire, 55, rue de Buffon. Archviste: : M. HexxeGuy, 9, rue Thénard. La Société Philomathique de Paris se réunit les 2 et 4° Samedis de chaque mois, à 8 h. 1/2, à la Sorbonne (salle de travail des Étudiants). Les membres de la Société ont le droit d’ emprunter des livres à la Bibliothèque de l'Université. lis ont également droit, sur leur demande, à 50 tirages à part gratuits des Mémoires qu'ils publient dans le Bulletin. Pour le paiement des cotisations et l'achat des publica- Lions, s'adresser à M. Vézinau»s, à la Sorbonne, place de la Sorbonne. Paris, Ve | 181 EXTRAITS DES COMPTES-RENDUS DES SÉANCES Séance du 26 Octobre 1907. PRÉSIDENCE DE M. LÉCAILLON, VICE-PRÉSIDENT. M. Tarry fait une comruunnication sur la magie arithmétique. M. Laisant souligne l'importance de cette communication. - M. Deschamps fait connaître une manière d'appliquer la méthode graphique aux opérations arithmétiques. Séance du 9 Novembre 1907. PRÉSIDENCE DE M. BERTHELOT, PRÉSIDENT. M. Laisant présente la candidature de M. Jean Becquerel à la place vacante dans la section des Sciences physiques. Une commission composée de MM. D. Berthelot, Dougier et Mahler est nommée pour examiner les titres de M. Becquerel. M. le D' Marage fait une communication sur le travail développé pendant la phonation et rappelle les expériences qu’il a effectuées, à ce sujet, sur une personne munie d’un larynx artiliciel. Son sujet a pu faire à la faveur de cet artifice, un travail triple du travail ordinaire. M. Deschamps rappelle que le travail qu'il a exposé à la précédente séance, est la suite d’une idée émise par M. Laisant en 1891 au Congrès de Marseille. M. Laisant ajoute que le travail de M. Deschamps cons- titue une grande simplification apportée à son idée personnelle. Séance du 23 Novembre 1907, PRÉSIDENCE DE M. BERTHELOT, PRÉSIDENT. M. le Président donne lecture du rapport de la commission sur la candidature de M. Jean Becquerel. Le vote sur cette candidature est renvoyé à la séance suivante. M. Mahler qui a pris l'initiative d’une médaille de la Société, entre- tient l’assemblée de son projet. M. Deschamps présente des tables graphiques se rapportant à sa communication du 26 Octobre dernier. MM. Lebon et Deschamps échangent quelques observations à propos de cette communication. 182 LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE par G. TARRY 1. — La numération écrite de base p. « Tout nombre inférieur à p” est égal à Di SE Din ee DE les coefficients a, b, ...,s,t variant de 0 à p—1. Par convention nous représenterons ce nombre sous la forme ADRESSE Les coefficients différents de O0 sont les chiffres significatifs du nombre ainsi écrit dans la numération de base p. Pour une base » supérieure à 10 les chiffres significatifs peuvent être figurés par plusieurs caractères, qui sont des chiffres de la numé- ration décimale. Mais cela ne saurait présenter d’inconvénient, attendu que les chiffres significatifs différents sont figuvés par des ensembles différents de signes, et que les points qui séparent les chiffres s’oppo- sent à toute confusion dans la lecture du nombre. Dans l’étude des propriétés d’ordre que nous entreprenons, c’est ane obligation de considérer 0 comme le premier des nombres entiers, et d'écrire tous les nombres employés avec le même nombre de chiffres, en complétant au besoin avec des 0 à gauche. 2, — La somme numérale. Soient aæ.a> ... a et b1.b, ... b, deux nombres écrits dans la numération de base p. J’appelle somme numérale de ces deux nombres, par rapport à la base p, le nombre c;.c, ... c, dont les chiffres sont déterminés par les congruences G = 4 + bi, Co —= 2 + bo, HS (y= A+, (mod p) LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 183 et j'écris l’égalité sous la forme DC CE MUR Ga er 05e CRE) Exemple : 12.8.11.10+3.16.0.10 = 15.7.11.3. (base 17) J'avais songé à imaginer un nouveau symbole pour désigner cette nouvelle nature d'égalité, puis il m’a paru plus rationnel et plus pra- tique de me servir du symbole d’égalité pur et simple, comme la fait M. Laisant dans ses études sur les donleueEs, en admettant une ue pour toutes qu’il s’agit d’un cas spécial d'égalité. Ensuite je me suis aperçu que j'avais quand même créé un nouveau symbole — (base p) composé de l’ensemble du signe — et du signe (base p) indicateur de la base. JP Les quatre opérations numérales. De l'addition numérale on déduit immédiatement la soustraction numérale. Exemple : 5.1.4 — 5.1.5 — 2.0.6. (base 7) La conception de la somme numérale entraine celle de la multipli- cation numérale par un nombre.entier. Exemple : 3<2.9.9 — 2.3.5 2.3.5 +2.3.5 = 6.21. (base 7) Mais de la multiplication numérale par un nombre entier on ne peut pas déduire la division numérale par un nombre entier, excepté lorsque le nombre p de la base est premier, parce que dans ce eas particulier il existe toujours un nombre x et un seul (à un multiple près de p) tel que x] — à. (mod p) Soit le nombre a.b ...n à diviser par q. Il s’agit de trouver un nombre x.y ... { tel qu'on ait bete nr (base p) Désignons par x’, y', ...t{' les valeurs de x, y, ... { satisfaisant aux congruences 59 = &, yq = D, ... lg =n. (mod y») Il est clair que nous aurons | CRE) 0 en _ (base p) et que x’.y' ... {' sera le quotient de la division de «.h ... n par q. A 184 G. TARRY Comme application, calculons la valeur de l’inconnu dans cette équation numérale du premier degré : 6245 = DYTÈE= ———— (base 7) e) Résolvons les congruences 3x = 6, JY— 2, De = ||, Jo D) (mod 7) Nous obtenons Lo = 2 ù = =. D ce qui nous donne 6.2:1.5 DOS es RE, 3 Soit g' la valeur de x qui satisfait à la congruence 6) =, (mod p) On dit que g' est l'inverse de G. Il est évident que diviser par q c’est multiplier par g'. Ainsi dans l'exemple précédent diviser par 5 c'est multiplier par 5. À 6.2.1.5 3 - Dans tout ce qui suit nous supposerons que les nombres sont tou- jours écrits dans une même base p, et que p est un nombre premier ; par conséquent nous pourrons toujours effectuer les divisions numé- rales par un nombre entier quelconque. | Comme toutes nos opérations numérales seront relatives à la même base p, nous nous dispenserons de faire mention de cette base, même dans les formules. 16 24 5><5 22" "04 4. — Les séries numérales du premier ordre. J'appelle série numérale du premier ordre, par rapport à la base p, et désigne par le symbole (r,) la suite des p nombres de la progres- sion arithmétique numérale de raison r, et de premier terme 0, DA RN e (Go l chaque terme étant égal à la somme numérale du précédent et de la raison r,. Le nombre », est la clé de la série numérale. Ainsi les 5 nombres de la série numérale (4.1.3) de clé 4.1.3 et de base 5 sont 0:00 HAS 2 A0 ST 2 R bases) PROPRIÉTÉ DE NON-RÉPÉTITION. — On voit que dans les p termes dela série (r.) les p chiffres d'un même rang sont tous différents si le chif- LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 485 fre de ce rang est significatif dans la clé, et il est évident que les chif- fres d’un même rang sont tous 0 si le chiffre de cé rang est O0 dans la clé. Il résulte de là que tous les termes de la série sont différents, numéralement et réellement. Sitous les chiffres de la clé sont significatifs, un petit calcul démontre que la somme réelle des p termes est égale à la somme magique d’un espace magique à autant de dimensions qu'il y a de chiffres dans la clé. é Ces séries sont dites magiques et les autres d’invariation. PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE. — La somme numérale AaXnm+bK2i+... +nx<(p— ir dans laquelle les coefficients des termes de la série numérale (r,) sont des nombres commensurables quelconques, positifs ou négatifs, ou des 0, est toujours égale numéralement à un terme de cette série. Cela résulte immédiatement de ce que la somme numérale et la dif-. férence numérale de deux termes est toujours égale à un terme de la série, et quil en est de même du produit et du quotient d’un terme par un nombre entier quelconque, et par suite par un nombre frac- tionnaire quelconque. 5. — Les séries numérales du deuxième ordre. Considérons maintenant, toujours dans la même base p, une deuxième série numérale (r,) dont la clé r, n’est pas un lerme de la série numérale (r,). Si l’on ajoute successivement aux p nombres de la série (r,), suivant la loi de l'addition numérale, les p nombres de la série (r.), on obtient p suites de p nombres, soit p? nombres. J'appelle cette suite de p? nombres série numérale du deuxième ordre et la désigne par le symbole (r,,r2). Les nombres 7, et r, sont les deux clés de cette série PROPRIÉTÉ DE NON-RÉPÉTION. — Les p? nombres d’une série numérale du deuxième ordre sont tous différents. Soient ar—br, et c,—<+dr, deux termes différents de la série (1, 2), a, b, c, d étant des nombres entiers parfaitement déterminés par les rangs des deux termes. Il nous suffira de démontrer l’impossibilité de cette égalité numé- rale DEN = Gr eV Si b était égal à d légalité ne pourrait exister que si à était égal 186 G. TARRY à c, mais alors les deux termes se confondraient au même rang. Pareillement si a était égal à c. Nous n’avons donc à considérer que le cas où a est différent de c, et b différent de d. Mettons l'égalité sous la forme (b— d}r, = (c — ar divisons les deux membres par b—d et nous aurons nm CA : Done Il résulte de la propriété générale de la série numérale du premier à = ordre que (0) : 2-0 n. um, r,, et par suite »,, est un terme de la série (r:). Or le nombre 7, est précisément assujetti à la seule condition de ne pas être un terme de la série (r1). Donc l'égalité est impossible. Ge qui démontre que les p? termes de la série (r,, r,) sont tous diffé- rents. PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE. — Il est évident que la somme numérale &e deux termes quelconques d’une série numérale du deuxième ordre est un terme de cette série. (ar, + br) + (cri + dr) = (a + cr + (b + d}r. On en conclut qu’il en est de même de la différence de deux termes, du produit ou quotient d’un terme par un nombre commensurable quelconque, positif ou négatif, enfin que la propriété générale des séries numérales du premier ordre s'étend aux séries numérales du . deuxième ordre. 6. — La table d’addition numérale. à Placons les p suites de p nombres de la série numérale (r,, »,) les unes au dessous des autres dans les cases d’un échiquier. Notre série numérale du deuxième ordre se présentera sous la forme de la table suivante : 0 7 2, …. (p—1ljn T2 Vi + lo 27, + To …. (p—li + 2 Pre Dr 2r, + 2r; .... (p—1)n +9 (p ru L)r> Fa =E (p—1}rs PA + (D — Lr: se (p—i)r, —+(p —1)r2. La première ligne est formée par la série numérale (7), la pre- mière colonne par la série numérale (r;), et tout nombre de la table, LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 187 situé au croisement d’une ligne et d’une colonne, est égal à la somme numérale du nombre de la série (r,) situé en tête de la colonne et du nombre de la série (r,) en tête de la ligne. Nous avons construit une table d’addition numérale dont tous les nombres sont différents. Donnons deux chiffres aux clés r, et ».. La table d’addition sera construite avec les p? premiers nombres entiers, de 0 à p?— 1. Représentons les positions de chaque case par son point central, et prenons pour axes de coordonnées des x et des y la ligne des centres des cases de la première rangée et la ligne des centres des cases de la première colonne. Représentons aussi en position au point central le nombre situé dans la case, qui s'appelle affixe de ce point ou de cette case. Enfin prenons pour unité de longueur le côté d’une case. La position d'une case æy, dont les coordonnées sont x et y, sera fixée par les grandeurs de x ety. Ainsi la case 35 sera placée dans la 3° colonne après la première et dans la 5° rangée après la première. La propriété de notre carré d’être une table d’addition numérale s’'énoncera ainsi : L’affixe d’une case xy est égal à la somme numé- rale rx + roy. Jappelle groupes équipollents deux groupes d’un même nombre de cases, Ai, À, ... A, et B,, B, ... B,, tels que les droites A,B,, AB, ... À,B,, qui joignent les centres des cases correspondantes soient égales et parallèles de même sens. Soient æxiy1 Toÿo, -.. Ænyn les positions des cases A,, À, ... A,. Les aflixes de ces points sont numéralement égaux à PA ToUa Tale loup; TAln tr lon. Lesdroites A,B,, AB,, ... A,B, étant égales et parallèles de même sens, leurs projections sur l’axe des x sont toutes égales à une même longueur a etsurl’axedes y àune même longueur b. En conséquence, les affixes des points B,, B:, ... B, sont numéralement égaux à Pi(t + à) + rai + b), Mi(da + a) + rA(ye + D), . Pin + 4) + TYn + 0) c'est-à-dire aux aflixes de A, A+, ... À, augmentés numéralement d’un même nombre r, a + r, b. Et réciproquement, si l'on augmente numéralement d’un même nombre tous les affixes d’un groupe de cases, les aflixes obtenus appartiennent à un groupe équipollent de cases. Il est évident, géométriquement et arithmétiquement, que deux groupes de cases équipollents à un troisième sont équipollents entre eux. 188 G. TARRY On remarquera que si un groupe se -compose de p cases en ligne droite et équidistantes A,;, À,, ... A,, les droites A, À, À, A, ... A, A, sont égales et parallèles de même sens, et par conséquent les affixes de ces p cases sont les p termes d’une progression arith- métique numérale, et réciproquement. Comme des cases pourraient se trouver en dehors du carré de notre table d’addition, nous supposerons que tout le plan est recouvert par un échiquier, dans les cases duquel on a placé des tables d’addition identiques à celle qui nous occupe. Alors, si une casetombe en dehors de la table, nous saurons qu'elle se trouve sur un autre échiquier à une place homologue à celle que lui assigne son affixe dans la table, et nous l’y reporterons par la pensée. De cette manière, nous ne serons plus forcés de déformer des figures régulières pour les faire rentrer dans l’espace congruent du carré de la table d’addition. Pour additionner numéralement les affixes des points A;, A, À:, . À, il est clair qu’il suffit de construire le contour polygonal OA, A’, — A’, ... A’, dont le premier côté est OA, O étant la case d’affixe 0.0, et dont les autres A; A, A’, A',, ... A’, , À, sont respective- ment égaux et parallèles de même sens à OA, OA;:, ... OA,. La somme cherchée est l’affixe de la case située en A’, sur l’échiquier qui recouvre tout le plan, On voit que la méthode numérale est similaire à celle des équipol- lences, et on pressent que la théorie résultant de la conception de la somme numérale peut être aussi féconde en arithmétique de position que la théorie des équipollences en géométrie pure. Aussi ne sera-t-on pas surpris d'apprendre que la théorie numérale a révélé l'existence de carrés magiques aux n premiers degrés, quelle que soit la grandeur de n, et a même donné une méthode très élé- mentaire pour Construire ces carrés presque automatiquement, et les représenter entièrement par des symboles. 1. — Les lignes magiques. Revenons à notre table d’addition numérale de clés 7, et »2. Toute série numérale du premier ordre, dont les deux chiffres de la clé sont significatifs, renferme le nombre 0.0 et p—1 autres nombres qui ont leurs deux chiffres significatifs. Dans notre table il y a (p — 1)? nombres à leurs deux chiffres signi- ficatifs. Soit 4,.b, l’un d'eux. La série numérale (a,.b;) comprend p — 1 de ces nombres, qui avec 0.0 sont les aflixes de p cases équidistantes LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 189 en ligne droite. Une ligne de p cases ainsi réparties s'appelle ligne arithmétique. Soit a&,./, un autre des (p — 1)? nombres à deux chiffres signiti- catifs, et non compris dans les termes de la série (a.b,). I est clair que les nombres de la série numérale (a,.b,) sont tous différents des nombres de la série (a,.b,), à l'exception de 0.0, et déterminent par leurs affixes un autre ligne arithmétique de p cases dont p— 1 sont nouvelles. Pareillement, si un autre de ces (p — 1)? nombres, a;.b,, n’appar- tient à aucun des nombres des séries précédentes, (a,.b,) et (a:.b), la série numérale (a,.b,) assignera par leurs atfixes les positions de p cases, dont p — 1 nouvelles, et ainsi de suite jusqu'à la (p — 1)° série numérale (4, 1.0, 1). Ces p — 1 séries numérales du premier ordre, qui sont magiques, déterminent par leurs affixes p— 1 lignes arithmétiques appelées lignes magiques. Ces p — 1 lignes magiques passent par la case 0.0, et leurs (p — 1)? autres cases sont les (p — 1)? cases du carré dont les affixes ont tous leurs chiffres significatifs. De même les deux séries numérales (0.1) et (1.0), qui sont d’inva- riation, déterminent deux lignes arithmétiques appelées lignes d'inva- rialion ; elles passent par la case 0.0 et occupent les 2(p — 1) cases dont les affixes ont un 0 parmi leurs chiffres. Aïnsi toute case du carré de la table se trouve nécessairement sur une ligne arithmétique, magique ou d’invariation, qui passe par la case (0.0. En ajoutant successivement aux diines de la ligne arithmétique correspondant à la série (a.b) les p nombres d’une autre série numé- rale (c.d), dont la clé n’est pas un terme de la série (a.b), nous savons qu’on obtient p lignes arithmétiques équipollentes ou parallèles, etque ces p lignes parallèles sont toutes magiques ou toutes d’invariation ; elles occupent les p? cases de la table et caractérisent ce qu’on appelle une direction. On a toujours deux directions Hé nne et p — 1 directions magi- ques. Conclusion. LA TABLE D’'ADDITION NUMÉRALE EST UN CARRÉ HYPERMAGIQUE. 8. -- Les constellations magiques. C’est M. Gabriel Arnoux qui a découvert les carrés hyper magiques. Dans son admirable étude sur les espaces arithmétiques hypermagi- 190 G. TARRY ques, il expose toute la théorie de ces carrés par une méthode qui fait ressortir leurs propriétés avec un caractère de quasi-évidence. Tous les termes techniques de magie dont je me suis servi, ont été emprun- tés à l’ouvrage cité. Le seul avantage de ma méthode, psychologiquement la même, est d’être applicable à la construction des carrés magiques à tous les degrés. Nous allons faire voir que les carrés hypermagiques sont encore plus hypermagiques qu'on ne croyait. J'appelle constellation magique tout groupe de p cases de la table d’addition, dont les p aflixes ont tous leurs chiffres différents au pre- mier et au second rang Il est évident que la somme réelle des p afti- xes d’une constellation magique est bien la somme magique du carré de la table d’addition. Considérons l’une quelconque de ces constellations, et augmentons numéralement chacun de ses p affixes successivement de 0.1,0.2,... 0.p — 1. Nous savons que nous obtiendrons de la sorte les affixes de p constellations également magiques, que les p*affixes de ces p cons- tellations sont tous différents, et que nous avons réparti les p? cases de l’échiquier en p constellations magiques équipollentes. Au fond nous avons translaté la figure de la constellation magique parallèlement à elle-même, suivant la direction de la ligne d’invaria- tion (0.1). Nous aurions obtenu le même résultat en effectuant la translation parallèle dans la direction de l’autre ligne d’invariation, c’est-à-dire en augmentant numéralement les aflixes de 1.0, 2.0, ... p — 1.0. Par deux translations successives suivant l’une et l’autre direction, les p cases d’une constellation magique peuvent être amenées à occu- per une position équipollente quelconque, et nous en concluons que tous les groupes de p cases équipollents à une constellation ma- gique quelconque sont aussi des constellations magiques. Il est aisé de voir que le nombre des constellations magiques est égal MD 90 DU Miactomellede El Elles se répartissent en p—1 lignes magiques et en (p=— 11-20 (pie 2) 4] constellations magiques ennemie dites. Les constellations magiques sont mieux cachées que les lignes magi- ques, et c'est pourquoi on n'était pas encore arrivé à les découvrir. Placons une feuille de carton sur notre carré, et découpons dans ce carton p petits carrés de manière à mettre à jour p cases du carré. Nous avons fabriqué une grille, et si nous faisons glisser cette grille LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 191 sur le plan du carré, parallèlement à elle-même, elle découvrira suc- cessivement tous les groupes équipollents de p cases. Nous pouvons maintenant énoncer la propriété générale du carré hypermagique sous cette forme élégante : Dans tout carré hypermagique de base p, il y a des grilles magiques en nombre égal à la factorielle de p—1A. La méthode de la table d’addition a l'avantage de mettre à nu la structure des carrés hypermagiques, mais elle ne peut donner que les carrés hypermagiques dans lesquels les p affixes de toutes les lignes arithmétiques, magiques ou d’invariation, sont les termes d’une pro- gression arithmétique numérale. On obtiendra tous les carrés hypermagiques en permutant de toutes les manières possibles les chiffres de chaque rang dans les affixes des tables d’addition. Il est d’ailleurs évident qu'après cette transformation les lignes et les constellations magiques conservent leurs propriétés magiques. Un calcul très simple établit que le nombre total des carrés hypermagiques est pp + LD(1.2 ... p}? se répartissant en p(p—1}(p+1) carrés mis à nu et D (DIU ESS 12) A carrésyoilés: 9. — Les carrés panmagiques types. Dans un carré il y a quatre directions qui sautent immédiatement aux yeux, ce sont les deux directions parallèles aux côtés du carré et les deux directions parallèles aux diagonales; les autres se trouvent un peu masquées, de sorte que leurs propriétés magiques n’ont frappé que plus tard l'esprit. C’est pourquoi l’attention s’est portée plus par- ticulièrement sur les carrés qui donnent la magie dans ces quatre directions, et que nous appellerons carrés panmagiques. Nous allons faire connaitre une méthode très simple pour construire tous les carrés panmagiques, en partant de quelques-uns d’entre eux que nous appellerons carrés types. Les carrés que nous choisissons pour types sont les tables d’addition numérale, figurant des séries numérales du deuxième ordre (1.1, a.b) dont la première clé sera invariablement 1.1 et nous servira de passe- partout. Pour que la série soit numérale ou, en d’autres termes, pour que les p? nombres de la table d’addition soient différents, il faut et il suffit que la clé a.b ait ses deux chilfres différents, puisque tous les termes de la série (1.1) ont leurs deux chiffres égaux. 192 G. TARRY Toutes les lignes horizontales de notre carré sont magiques, par le ‘fait seul que le passe-partout 1.1 a ses deux chiffres significatifs. Pour que toutes les colonnes soient aussi magiques, il faut et il suffit que les deux chiffres de la clé a.b soient significatifs. La première diagonale, partant de la case 0.0, passe par la deuxième case de la deuxième ligne, qui a pour affixe le nombre dont les deux chiffres sont congruents à a + 1 et b +1. Par conséquent, pour que la direction de la première diagonale soit magique, il faut et il suffit que ces deux chiffres soient différents de 0, c’est-à-dire que a et à soient différents de p — 1. La ligne parallèle à la seconde diagonale qui passe par la case 0.0, passe aussi par la dernière case de la deuxième ligne, qui a pour aflixe le nombre dont les deux chiffres sont a — 1 et b — 1. Par con- séquent, pour que la direction de la seconde diagonale soit aussi magique, il faut et il suffit que a et b soient différents de 1. En résumé, les conditions nécessaires et suffisantes pour que le carré soit panmagique sont les suivantes : Les chiffres de la clé «.h du carré doivent être tous deux différents de 0, 1 et p — 1, et de plus différents entre eux. Par exemple, la table d'addition numérale (1.1, 2.3) figurera tou- jours un carré panmagique de base p. On remarquera que le sym- bole (1.1, 2.3) représente et détermine une infinité de carrés panma- giques, dont la base est un nombre premier plus grand que #. Il est presque évident que le nombre des carrés types différents est (p— 3)(p — 4). Il suflira ensuite de permuter de toutes les manières possibles les chiffres de chaque rang dans tous les carrés types, pour obtenir tous les carrés panmagiques différents, dont le nombre s’élève à (p — 3)(p —4)(1.2 ... p}°. J'entends par carrés différents, conformément à l'usage, ceux qui paraissent différents aux yeux d’un spectateur immobile devant le tableau. En réalité, le nombre des carrés panmagiques différents est 8 fois moindre, parce que chaque carré peut être vu sous 8 aspects différents. Observations. Toutes les propriétés des carrés magiques que nous venons de pas- ser en revue, sont des conséquences immédiates de la méthode ima- ginée par La Hire, retrouvée et perfectionnée par M. G. Arnoux. LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 193 Nous avons voulu les faire voir en nous plaçant au point de vue d’où l’on découvre la magie supérieure. Après ce que nous venons de dire, nous sommes en mesure d’expo- ser en quelques pages la théorie des carrés magiques et panmagiques à tous les degrés, qui est d’une simplicité véritablement magique. 10. — Les grilles. Je complète cette esquisse de la magie au premier degré par quel- ques remarques sur les grilles. La figure symétrique d’une grille magique, par rapport au centre d’une case quelconque du carré, est toujours une grille magique. En choisissant la case centrale, on voit que si l’on fait tourner une grille magique d’un angle de 180° autour du centre du carré, on obtient une autre grille magique. Or toute grille a 8 orientations, 4 par face. Par conséquent, dans les 8 orientations d’une grille magique quel- conque, ? au moins sont toujours magiques, Dans les carrés panmagiques, pour que les 4 orientations d’une même face soient magiques, il suffit que les deux lignes d’invariation soient perpendiculaires ; ce qui s’exprime par la condition ax b= —1 (mod p) le carré type étant la figuration de la série numérale (1.1, a.b). Pour que 4 orientations, dont 2 sur chaque face, soient magiques, il faut et il suffit que les deux directions d'invariation soient égale- ment inclinées sur les côtés ou les diagonales du carré; ce qui se tra- duit par la condition a + D — 0 ou ax b = +. (mod p) Les conditions axb—= —1 et axb—=+1l sont contradic- toires, et dans les carrés panmagiques on ne peut avoir à la fois ax b=—1 et a + b = 0. parce qu’il en résulterait a—=+1 et b— —1, et les lignes d’invariation seraient parallèles aux diagonales du carré. Enfin, pour que les 8 orientations de la grille soient magiques il faut et il suffit qu'on ait ax