FOR THE PEOPLE

FOR EDVCATION

FOR SCIENCE

LIBRARY

OF

THEAMERICAN MUSEUM

OF

NATURAL HISTORY

COMMENTARII

ACADEMIAE
SCIENTIARVM

IMPERIALIS

PETROPOLITAKAE

TOMVS II.

AD ANNVM cbbcc XXVII,

PETROPOLl

TYPIS ACADEMIAE

cb bcc XXIX.

V^ • nci.d^J atv^X ^^

I N D E X

COMMENTARIORVM.

IN CLASSE MATHE-
MATICA.

lac. Hermarml , de Conflrudionc A^quationis difFe-

rentialis primi gradus. I
F.C. Maieri ^ Trigonometrica. 12
CJmJl. Goldbach , de Transformatione Serierum. 30
lo. Georg. Leutrnan?ii , de Bilancibus et nouis inuentis

ftaticis. 35
F. C. Maieri de Planetarum ftationibus. 8i2
Leon. Eiileri Problematis Traiedoriarum recipro-

carum folutio. 92
Uan. BernouIIi Theoria noua de motu aquarum per

canales quoscnnque fluentium. 1 1 1
Leon. Euleri , de nouo quodam curuarum Tauto-

chronarum generc. 126
lac. Hen/ianmj Theoria generalis motiium. 139
ChriJI. Gnklbach, de diuirione curuarum. 174
F. C Maieri , de yfu interpolationis in folflitiorum

momentis indagandis. iSo
lac. Hermamii, de conftrudlione aequationum difFeren^.

tiaiium. 188
lob. Bernoulli , Thcoremata de conferuationc virium

viuarum, 200

I0.

Dan. BcrnouUi , Deinonftrationes Gcomctricac de
Ccntro viriiim , ofcillationis, et grauitatis. 2o8

G. IV. Krafft , dc lineis curuis quae euolutac ipfae fe
generant. 216

IM CLASSE PHYSICA.

Gcorg Bern. BlVffingeri, de Tabulis capillaribus. 233
lo. Georg. Di Vernoi de Glandulis cordis. 288
Dan. BernoiiUi, de Aaione fluidorum. 304
I. C. Buxbaum^ Noua Plantarum genera. 343
Leonardi Euleri , Tentamen explicationis Phaeno-

menoram aeris. 347
I. C. Buxhauni , Plantae dubiae ad fua genera relatae.

I^. G. D// Vernoi , de Pene Elephanti. 372

G. B. Bidffingeri , de Fridlionibus corporum fohdo-

rum. 403
Obferuationes Anatomicae. 415

IN CLx\SSE HISTORICA.

T. 5. Bayeri, de Cimmeriis. 419

Eiusdem Numi decem Erythraeorum in lonia illuftrati.

'Eiusdem NumusGyrtones illuflratus. 459

Eiusdem Vetas Infcriptio PruQica. 470
Vita UicoIaiBernouUi. 482

***

Obferuationes Aftronomicac. 489

CLAS-

I

C L A S S I S
P R I M A

continens

MATHEMATICA.

ANNAE

RVSSORVM

IMPERATRICI

dedicandiim putarant ^ qiios quidem
a propofito non abilerruit opufculo-
rum tenuitas atque exilitas ^ quando
fruftus non in alieno folo natos nec
fine cura demesfbs ^ fed quales officii
ac muneris ratio poflulabat ^ TIBI of-
ferre non indecorum viftim efl.

Interea fpem omnem in Tua be-
nevolentia ponimus. ReverteDeo
propitio in urbem patriam et inter ac-
clamationes tot nationum^ quarum vo-
tis atque precibus expetita es ^ folium
AvorumTuorumPIA, FELlX, AV-
GVSTA confcende.

Mofcuac NTonis Fcbr.
A* cb bcc XXX.

Academicorum nominc

Chriftianus Goldbachi

De Conftruftlone

AEQVATIONISDIFFERENTIALIS

primi gradus A^, in qua a^b^c^e^f^gy

funt coefBcientes cum {iiis fignis

^ vel — ^ vt libet dati.

gydjzno.

Autore I. Hermanno.

Vm olim in Thorenomia Lib. 11. Cap.
19. de refiftentia medii fufiusi agerem,
fubdidiin Scholio ad Propofitionem 72,
nondum conftarc qua ratione curva re-
fiftendarum conftrui debeat , ne quidem
conceftis quadraturi»; cum refiftentiae funt vt celeritates
Tom. 11. A mobi-

/. Febr
1727.

2 BE CONSTRFCTIONE

mobilis *, conicifliibam taraen curuam ex hypothcfi ifi-i
mirccntem ^ort tranfccndentem. Dedit hoc occafio-
nem Viris d^^d.ifniis , Nkolao BenwuIIi et Comiti Ricca'
to penkius in hanc rem inquirendi cum fucceffu, nam v-
terque eorumreperit curuam quaefitam algebraicam elfe
pofle. Ego quoque ftatim poft editam Vhoronomiam ,
aequationem fupra pofitam A conftruendam mihi fumfl,
quaecuruam refiftentiarum medii,dequa nunc fermoefl,
tanqmm cafum particularem intra ambitum fuum com-
ple^flitur, et cum ineunte anno 171 6. \\\. Momnortium
hac de re certioremfecilTem^htteris die 27. lan. iyi6.
ad me datis , fequentia refcripfit : 11 ejl vrai Monfieur^
quejefuis tres furpris iapprendre de mus , que cette E-
quation adx +bdy -{- cxdx+ eydx-4-fxdy-Hgydy:30,
ejl integrable, les lettres a, b, c, etc. exprimant des nom^
hres quelconques, affe&es defignes aujfi quelconques.

Cum vero cdend le Phoronomiae incumberem et
tantum non omnia per Geometriam 1 nearem absque
calculo in ea tradere conatus fim, conftruAio autem lineae
refiftentiarum in dida hypothefipcrhanc viam pure geo-
metricam non occurreret , idco tunc fcripfi non con-
ftare conftrudionem illius lineae *, quaeftionem enim per
calculum , tunc ne quidem tentaueram.

Nunc vero Analyfin aequationis A, tanto libentius
Academiae iudicio demum expono , quanto fre-
quentior efle poteft ufus eius in refolutione multorum
problematum Mathefeos mixtae. Adducam primum
cam analyfin in quam oHm incidi, cum primum aequa-
tionem illam conftruendam mihi propofui.

Mon-

AFOVATIONIS. 3

Monftrabo deinceps, quomodo per methodnm
praeterita aeftate exhibitam eadem aequatio tradari de-
beat ; ac deniqne tertium addam modum quo aequatio
refolui poteft, in difficilioribus qiioque egregio \fui fu-
turum.

1. Fiant x~p-\-h, etj=rr/-|-/, ubi/)et ^ funt va-
riabiles, h et i vero quantitates conftantes , furrogando-
que in aequatione A-—adx-i'kIj-^cxcIX'-\-fxdy-{-e)'dx
'-\-gydy , in locum indetcrminatarum .r et y et elcmen-
torum earumi/.r, ct dy^ earum aeftimationes modo as-
fumtas earumque elementa, mutabitur aequatio A,in fe-
quentemB — - -i-ch dp-^-fhdq-^cpdp-i-eqdp-i-fpdq-i^

-\-ei -^gi

gqdqzzo.

2. Vt vero in aequatione B, duo prlma membra
euanefcant, oportet vt fiant ch-\-ei-\- a^nio, ttfh-\-gi
H-fcOj ex qui bus eliciuntur valores litterarum affumti-
imumh, et?, nempe /^^^^Bj, ^t i-^|;ipra vero
aequatio B abit in fequentem C-- cpdp-\-eqdp-\-fpdq
H-gqdq zzo

3. Adulteriorem redudlionem aequationis C, as-
fumo qzzkp-^-t^ ubi t efl iterum variabilis k vero con-
ftans , adeo vt fit dqrzkdp-{-dt . Suffedis enim in ae-
quatione C, kp-^ty ct kdp-\-dt , pro q et dq refpediue,

A 2. reliir-

4 DE CONSTRrCTIONE

refultabit inde aequatio D H^k pdp-^-ghilp-^-ghpcft

'^gU^trzo,

4. In hac inttenta aequatione iam prlmus termi-
lius euanefcere debet pofita aeqiiatione gkk-^-ek-^-fk-^
€—0 , ex qua elicietur kzzrl±±i^ , flifta nempe fcr
'[^{ee-\-zef--\--if- — ^^g\ ^am aequatioDtuncmutabiturin
^gktdp-^gkpdt-\-pdt:=zo ,^ vel reltituendo inuentum va-

lorem litterae ^,in fequentem E--- {e-f-^-I) tdp^
(-e'\'f'^l)pdt-+-2gtdezz:o,

<. Ad fummationem aequatioms E, diuidafur ea
^tvpt , et emergetf •^-+- j-|— H-^ ;-^-4— ^- __ ^y
aequatio compofita ex duobus elementis logarithmicis
^P y et 4^-, n vero haec aeqiiatio integrabilis iiar , po-
mtur ^=4^ ^t habebimus -/-^^iL^_W^ f^4-
--zro , quae eft integrabilis , nam integralis eius e(l
^^_^4-/)Lo^^ .p-V-( f-e-^- 1) LogJ-^-l.og . uzizLogD quantita-
tisconftaotisjhuic vero aequationiLog.micae competit ab-

foluta/--^-^'/"'-^^ //=D, hinc^-'=:D'-/=P/^^^

j^e-:^r,adeoque ^^f-{-^l )-Ti ^^^ t -^iu^x
Qgdt , ex hac vero reiultabit fafta Dzniy fequens

Q.gt^-S-^hltz^*''^'^^"^ dt, Huius vero integralis efl:

AEQVATIONIS. 5

$ fjzj^i^ -f- ««-/-+2— ^. Sed aequatio fupra inuenta

^ — ' /-g-4-^

e_/4_i ^1-^-+-^ li^^i , praebet u' -f^^^—pp-f-^^ , pro-

pterea praecedens aequatio integralis,mutatur infequen-

tem F-—pi e-f-hi-\-T t^-f-^^znA. In qua a fignificat
quantitatem conftantem.

6. Surrogando praeterea in aeqiiationc F aedi-
mationes litterarum p ett nempe pro p, x-h vey .r -4-

/-e-j-Z
6£_a£ g^. PJ.Q ^ ^/,_f^£r_f-j/^ id Q[\ lef-^cg ^y^
gf. cz

^e^^ji^:i^^jj_i^i±fzLx^y. Integralis quaefita expri-
metur aequatione G-- - (xH-.jj_^|j x

vel etiam g. -

-r" l V 2cef-2ccg "^^ 2Z ^^^'''^ ^.

Sed haec poderior H refultat ex hypothefi , quod p:=z
kq-^t , cum altera G deriuata fit ex pofuione ipfius
q-=Lkp-{-t.

7. Si aVcg excedit fummam e-{-f^ ambae aequa-

tiones G et H inutiles fient, quia conllrud"o aequationis

A tunc pendet a quadratura Circuli et Hyperboke, quae

A 3 modo

6 DE CONSTRVCTIONE

modo fcqnenti inflitni potefl:. In rcdli indefinita AO,
capiatnr CAi=-i-\ etin AD ad AO normali AB=
^'^-^. Dcrcribantiir deinceps ccntro C , radio CA cir-
culus AFF , ct per B , hyperbola QBK inter afynn-
ptotasCP, CO : quibus praeparatis , capiatur quadrili-
ncum hyperbolicum ABKI— ^^~- fe(floris FCE, faclaque
CG quarta proportionali ad CB, CD , et CA, duca-
tur per pundum G reda GH aequidiftans ipfi AD ; et
fido quadrilineo ABML =quadrilineo GHKI, fiattan-
dem,ut CA ad BD ita CL ad CN. Erunt .rnrCN-f-
^j~^,etj'3=CL-He7E^? coordinatae curuae conftruen-
dae, Ybi tamen meminiffe oportet , quod nunc fit /13:

8. Itaque integralis aequationis iidu— abtidy -\^
jrly—Oj quam D. Cojjies Riccatus dedit pro linea refiften-
tiarum medii cum mobile in caua parte cycloidis delabi-
tur et refiftentiae celeritatibusadualibus mobilis propor-
tionalcs funt, eft tantum cafus particularis aequationum
G vel H (J. 6. exliibitarum ; praebent enim hae aequa-

&-4-V/6&-1

tiones ^^[-hAiVlhh-i.^^yY^^'^^^-' +-2^1
{-huV[hh- 1. ) -4-j)-M:v6b-i — ^ P^^ integrah aequatio-
nis D. Riccati In qua tamen h vnitatem cxcedere dc-
bet, alioqui conftrudio aequationis penderct a quadra-
tura circuli et hyperbolae vt 5. 7. oftenfum.

9. Integralis aequationis fuperioris E [^. 4.) et-
iam hoc modo inueniri poterat , alTumendo aequationcm

Apt''

AEQVATIONIS. 7

Apf-^-Bt^^zzA , nam differentialis eius , quae eft At"^
^piir- aApt""^ (it-\-i^Bl^~^ dtnzo, per diuifionem cum
quantit-ate t""'' , reducitur ad A/r//)^-aA/)^M-pB/^'''
^/=o,quac eiusdem formae e(i,excepto membro pB/^"'^'
^/,cum aequationeE. Quod fi \ero p-a fucritzz i,
ambae aequationes eiusdem prorfus formae euadent,
fintergo A—e--prl, aA-f-e-^-J, adeoque a=3^^;t^^,
et (3rra-f-l^^r|=p ? ^^ denique pBzns^, atque adeo
g-__e^:pxs^ Quare aequatio fupra alTumta mutatur in

T^^^hp/i^f^i-^H^-^J-r^^-^-^^-e-f-^-h^^ Nam

pro conftanti a quaelibet alia pro lubito iilTumi poteft.
Diuidendo porro aequationem Yltimo inuentam per

e-f-hl, refultabitp/e-/-f-z-f-|/^-/H-z'z=A , quae eft ae-

quatio integralis aequationis E j quam fupra \\ 5. iamin-
uenimus.

10. Integralis aeqnationis A , inueniri quoque po-
teft per methodum integrandi quam in Tom l.Comment,
Acad. Sclent. Imp. p. 149. exhibuijidque fine praeuiaae-
quationis integrandaeredudione. Nsm aequatioA cuius
integralis quaeritur , per ea quae ibi in Scholio gcnerali di-
dla funt,eft quantitas,quam per ^K illic defigno , cumque
{hyp.) fit r/K—o, erit etiam RVKzzO , vbi R fignificat
quantitatem quamcunque,etX quoqueexponcntemqueni-
cumque, fit ergo R=a-f-p.r-f-J', habebimusaue perdi-
ftam methodum aequationem Canonicam dlizzh-^-i,

M//R

8 DE COKSTRVCTIONE

M^/R-1-Rr/M,vbi <^K figalficat quantitatem ^ir-f-^^'-f-

lam quia indK—(idx-{-dyy ineft membrum |3r/x,di-
uido omnia membra quantitatis dii pcrdx, in quibus
haec diuifio fuccedit, inuenientur quoti a, cx et ey , fed
loco coefficientium a^ c et e fcribam A, B et C , adco
vt aflumenda fit aequatio MznA^Bx-i-Cy. SufH-
ciendo iam in aequatione Canonica A-|-Ba^-f-CjK, ct a-1-
p v-f-j', pro M et R , nec non 'Rdx-^Cdj et ^dx -{- djj
pro dM et dK, mutabitur aequatio Canonica in fequen-
tem cxdx-^-fxdy-^cydx-^-gydj-^adx-^bdyzii
pxBxdx-^-l^Bxdj-^f^XCydx-l-^kCjdj^^XAdx-^-kAdj
^-2(3B^-B -h(3C +2C -f-(3A -4-A
H-PC 4-B -4-aB ^aC

Collatio terminorum homologorum pracbet

(3=-^, et X= -^
^ — (<?-/-f-Z)r''T e_/-+-z

2cg-Pg-f/-4-gZ ^^.— f {f—e-+.l)S

15_ ^j-| , ct — ^ — 21

Integralis vero quaefita,quacpcr Tbeor. I.locofu.
pra citato efl: MR^"^' =a, ubi Aell:conftans,iam inue-
nietur elTe 0'-i-p.r-4-4^x(Q'-l-Bx-f-A)z=A. As.

fignando litteris affumtitiis a, p, X, A, B , C eos Talo-
rcs quos modo indicauimus. Quamuis vero haec \lti-
ma aequatio afuperioribus G vel H §. 6. cxhibitis, dis-
crepare vidctur-, ad eas tamen facile reduci poterit.

II. Siin aequatione condruendaA, infima mcm-

bra

JEOVATIOKIS.

.<-

br:i -4-^^.v-l-^''i)' defunt; euanefcent quoqne acftimntio-
nes litterarnm A et a, ct incidcmus in cafLUTi quem
Cel. lohann.BernoulU , indi(flis Commentariis pag. 179.
pluribus excuflit, oftendendo quomodo per methodum
fuam integralis aequationis proporitiae,quam ipfe Cano-
nicam primi gradus \ocat, inueniri poffit , et indican-
do quando aequatio ab ipfo inucnta,c(t ad curuiim alge-
braicam , et quando ad lineam retflam.

Ex analyfi vero quam praecedenti ^^. exhibui ,
iterum patet , aequationem inuentam ceifare, quoties
lumma coefficientiLim f-f-/dcficit a quantitate 2i/f^ , quia
hoc cafu / fit quantitas imaginaria.

12. In f. 16. poterat quoque afTumi Mi=:A
-f-B.r-f-C/H-N, vbi N eft noua indeterminata , fuffi-
ciendo enim huius M et ^M Yalores modo indicatos in
fuperiori noftra aequatione Canojnca , perueniemus ad
aequationem H . .
'^a dx-^-bdy-^cxdx -^-fxdy +^y.r-f-^r^=:(X-i- 1 ) N^-f-R^-

- (3XA--XA-pxB -XB -pxC -XC.

- (3A - A-2(2B - B - [3C -2C.

- aB -aC -[3C - B.

Sinunc in finiftra parte huius aequationis H omnia mem-
bra , exceptis duobus primis,euanefcere faciamus , inue-
nientur pro litteris affumtitiis (3 ct X , et pro B ac C ii-
dem valoresquos iam. fupra $. lO. elicuimus , fed re-
manebit aequatio.
I . . -4- ^r/A:-h^r/K==(X4-l)N^R-+-MSr.

-(3XA -XA

--(3A -A

- aB ^a C
Tom. II. B Sc^

10 DE CONSTRFCTIONE.

Sed fi a-{X-\-i )(3 A-aB, faerit ad /'-{XH- 1 ) A-aC
nt (3 ad I , aequntio I integrabilis erit, K . . . ^Qdx-{-
Qdy—{\-t' I )N^R4-R^N,exiftente Q=:-(X4- 1 ) A-aC
^\- b. Atqni ^dx + ^ zz: ^R , ergo aequatio K
abit iiiQJRzz(X-Hi)N^R-f-R^N, ducatur haecinR^-,
nafcetur iiide QR^^R=:X4-iNR^^R-f-R^-^'^N, quae

integrabilisefl:,nam integralis eius inuenietur effezz^^-j—
^-AiiiNR^-^' , adeoque Nz=aR~^~' -^x^t.

13, Superior analogia— (X-}-i.)(3A — -aB-f-^,
^X-^l)A-aC-|-^::(3.ipraebeta(^^/-j;=^

V^^^j^^ut rupra,et Q(i=:-{ X+ 1 ) A-aC+Z;) nunc fiet

_.-(X-Hl.j'^-i-(7iz^T]-i--i--— ei^Tl ^•Inhflcae-

llimatioae vcro quantitatis Q, A eft arbitrariaemagni-
tudinis : \eruntamen fi ipfi is valor detur, quem lupra
pro A inueneramus,euanefcet Q-, et ea ipfa aequatioin-
tegralis inde emerget,quam paullo ante inueneramus. Sin
vero Ar.o,fietquidem M=iCjv-f-Bx-|-N=::Cj-f- B.v

-4-^^i--|-aR~^"~' -jet integralis quaefita
(j'-|-p.r%-a);£^x ^Cj'-f-B.r-i-^^-)-f- conftanti=
alii conftanti. Verum ^^- eadem eft cum quantitate
quam ?. lO. pro aeftimationelitteraeaftumtitiae Ainue-
neramus, adeoque etiam in hoc cafu Integralis haecea-
dem eft cum iam exhibita.

14. Tandem conftrudio aequationis A . . adx-\-
hdy-^cxdx-^-^lcjzio etiam fequenti modo obtineri po-

teft

AEQJ^ATIOIUS. II

tea, ponendo dy:=:zdx , hoc pacfloenim aequatio A a«
bibit in fequentcm adx -^ bzdx -\- acdx -^fxzdx -\- ejdx
^-^r2;^.v=ii^-,quaediuiribilis eftper dx, etprodibit aequa-
tio d-^-bz-^cx-^fxz^ey^gyz—o, ex hac vero elici-
tur aequatio L. . . -4-.r==-( -^^eA-l^^-h-e^ ; hinc ae-
quatio differentiata praebet, dy[zdx)=Zl^±^^^^

{Cg-ef)xdz [ag--he)dz
; r- 2

haec vero rite reduda , fuppeditat fequentem aeqiiatio^,
nem M,quaeintegrabilis ell,M. . .^zr l^?zia_^^

{ag—he)dz

'nr {gzz-^ez-^c ^x{gz^e)x

I 5. Ad conftrudionem eius ponamus

aP^ ^^S~ef)dz pnfnnp ^""S-he dz)

P —igzz-^p-hc ^xfgz-^e^j^^^^^H^^ Jg^^ez^xfg^fy

:=7|EiiVp~5 ^^^^ ^^^^^ ^^^^ aequatio M, abit in hanc
aiteram^__-p--t- ___p_, i^icaiur T^^z^p^ — ^ j
critque ^= p— }-^, et ex hac elicitur xzzpz^ , qui va-

que ds.ziz^l=^J^/pj etfumtis integralibus Q=ia -f-
^7^, hinc .v(=PQ)=aP+^-:^, et (.r+:f:^;)P-

mconftanti a. Sed quidert P ?

Eft autem [£I~^^) l^ .^P\— g^^^, /3rfg

gdz

gz-

ubi funt /— i/(^^^2f/l4-^^rg), jnzn^e

Ipfa vero binomia gs-h?/2 et z-^-n , funt bini fa^fcores

B 2 tri-

12

TRICOKOMETRICA.

tnnomli gzz-^ez-H^. Hinc eft Lo^.?zzaLo^.{gz-\-fu)

^-pLog.^s-hw^-f-Log.f^-is-H^), et aequatio cx hac fe-
rie quantitatum Logarithmicarum refultans eft
P:=(^i^;s4-;;/f ^{z-\-n)^ x(gz-^e). Eft ergo integralis
quaefita

{z-^n)'^^ir^-^er K^^^)zz^.

In hac vero eft ^m-^l^.

TRIGONOMETRICA

F. C. Maieri,

1727.

Ollegi in hoc fcripto theoremata qiiac
diuerfis temporibus in Conuentu noftro
propofui, ad quae prouocaui aliquotics
nntea , ct faepius prouocabo poftliac.
Non omnia quidcm noua funt ,
necelTaria tair.en ad demonftranda fecutura.
Thcorcma gcnerale trado , via analytica reper-
tum, ex quo ficili opera omnia,quae \ulgo habentur,
praecepta trigonometriae fphaericae tanquam confeda^
ria deriuantur. Modum ollendo quo omnes reculas
Trigonomctricas vtcunque compofitas folo finuum ca-
none logaritlimico expcdiie licet, ct, quod hadcnusfor-

ikn

TRIGOKOMETR ICA 13

fan parcc fadum efl: | calculum literalem ad trigono-
metrica problemata difficiliora fic accommodo , vt eius
laus et praeftantia in hac quoque Geometriae parte cla-
rius difpalefcat.

2. Praemfttam theoremata quaedam, quae, licet
ad prima Trigonometriae elementa fpec1:ent, obuia ta-
men non funt vbique, et legentem morari poflent fi alio
ablegarctur. Primum itaque hoc eft : Sifinus et cofi^
nusjtem tangens et cotangens acutiangiili^pofitiut ejfe ce?ifean-
tur , obtufi anguli tangens et finus pfttiui quidem ma-
nent , fed cotangens ipfius et cofmus prniatiui funt : ca^
dunt enim in plagam refpe&u centri oppofitam ei quam a-
cutorumfinus et tangentes occupant, hodem modo intelli-
gitur,quod tangens etfinus aeque ac cotangcns et cofinus
anguli tres quadrantes non excedentis fint priuatiui omnes.

ft vero excedat tres quadrantes tangejitem habet etfinum
priuatiuos \ fed cotangentem et cofinum pofitmos. J^ic et
ipfefinus totus^cui finus anguli acuti^vel gibbi excedentis,
infifiit^pofitiuus eft \ in duobus reliquis cafibus eft priua-
tiuus.

3. Quoniam in triangulis non nifi ncuti et obtu-
fi anguliconfiderandiobueniunt,negligampofthac gibbos*,
Igitur finus et tangentes conftanter pofttiui, cotangenteg,
et cofinus indeterminati, ambigui erunt.

/j., Si anguli acuti maioris finus fit rzS et cofinus
rzC. anguli minoris finus ^s et cofinus mc ; dico , fore fu
num anguH ex duobus hifce acutis compofiti z^i~^ , fitnm

vero refidui —~^'^^pofito radio zzr,

B 3 Sit

14 TRIGONOMETRICA.

^'^•^' Sit anguliis maior (v. fig. i.) r=:GCF ? iinus eins

r=:DF=::S,et corrniisiziCDzzC. Sit porro angulus mi-
njr =iACG , eiusque fnius rr AE=:/, atquc cofinus
zizEC:z:l\ erit hoc modo angulus compofitus rz:ACF
eiusque finus =:FH. Producatur iara FD in B,vt obti-
neantur triangula fimilia AEC, BDC, CHK et BFH.
atquc inferatur.

EC : AE = DC : BD
five c : s zzz C : ~
eftergo BF=BD-l-DF-!l±i£
inferatur dehinc denuo

AC : EC=rBF : FH
fiue r : rzz:— ~- : -^^
Eftcrgo fmus compofiti FHz^^"^^"^. Q. E.Primum."

Si vero io eademfigura maior angulus (it— ACF,
elus fmus— FHrzS , et cofmus =CH rrC , minor angu-
lus i=:ACG 5 eius finus i= AEn/ , et cofmus =iEC=rr,
erit fimis aoguli refiduizrDF. Eft autem
EC : AE— CH : HK
fiue c : .f = C : ~
pcr confequens habetur FK^^FH-HKzi:^

atque exinde

AC : ECzzTK : EF j

Sc-Cs . Sc^sC

r i czz—- — . -^r—

Efl ergo fmus refidui — i^ . Q E. alterum.

«;. Datis prhrihus , errt cofinus anguU compofiti
=r-^«-?L et cofmus refuhi-zz^-^^—'

De.

TRIGONOMEIRICA.

15

Demonftratio poteft ex fchematirmo prioris pro-
pofitionis peti facillima; fed iuuat eam alio modo ador-
nare. In primo cafu datur finus ($. 4 )zz££±l£ ergo

per praecepta communia cofmus erkV{rr—~^ quadr . )

i=:V/(r+-S^ 6-2-2S/Cr-rC') : r eft vero r+ir^/^+c^) x
{S^^C')-S's^--\^S^c^^C's^--i-r-c\ Hoc ergo
valore fubftitutohabetur cofmus compofiti ziz

V{ C ' c^-2SsCc~]~S ^ s ^ )_Cc-Ss. Qui eft cofmus

r r

compofiti, ficuti demonftrandum erat : Alter \ero ca-
lus de cofmu refidui eodem modo demonftratur.

6. Notandum eft de hoc et fimilibus cafibus, cfTe
VlC^c^-QSsCc-^-S^s^^zzCc-Sf non vero -4-(Cf-S/)
formula enim Cc—Sfper fe iam eft ambigua, et duos ca-
fus, quos debet , contrarios perfedle infe continet,quip-
pe cum et Cc^^SJ , et Cr<^S/ eflfe poffit, eoque ipfo
formula et pofitiua et priuatiua fit, valensque fimul pro
cofmu acuti et obtufi anguli , qui in cafibus fpecialibus
performulam determinantur.

6. Sit tmigens anguli aciiti nmioris znT, tangens
mnoris rr/. erit ita tangens compofiti :i=rr— ^^^^(Z-. pro
acuto rr^^ , pro obtiifo rr ^^) tangens vero refidui

, T-r

— ^ ' Triprr *

Ponatur praeterea fecans maioris rzM , minoris
mWjerit ex natura fmuum et tangentium finus anguli ma-

ioris

i6 TRICONOMETRICA.

iorisrr-^=- einsqiiecoriniis-^-,poiTO rinnsminonsrr— .
eiusquc cofinus — ^. cx hifcc formatur (per $^4 et 5.)
fiaus nrcuscompofitizzrr'^- eiusq; cofinus r-^^' ; i-
tem finus refiduimrr^ et cofmus:=r-;J"Ji. Cum igi-

tur fitvt cofinus ad finum, ita nidius ad tiingentem (po-
fito radio pofitiuo fi cofinus pofitiuus et pro acuto fuerit;
priuatiuo autem fi ^ecus {^-2):) habetur Tangens com-
pofiti = rr^^^ et refidui -zzrr^^^ . Q. E. D.

7. Quoniam tangens eft ad radium tvti radius ad
cotangentem , erit cotangens compoliti zn-^^-^ et rejtaut
— "^^^[-(vbi de cotangente compofiti notandum,eam pro
acuto valere fi fit rr>T/,\ici(llm vero pro obtufo:)

8. Sit maioris anguJi acuti JlnuszzS^cofmuszizCyfi'
nus anguli minoris-zzs^ cofimis =c', // p-aeterea femifum-
jnae (ex maiore et minore arcu formatae)y7;2Wj=rA, cofi"
fmus—B et tangcnszzQ^', dico iffe 1^^—^^^=-^
(vbi nrradio)

Fig. U. Ii^ figura fecunda fit arcus maioris finus=:DE=:S,

et cofinusz:iDHrz.C,minoris arcus finus fit^iBCzzx^co-
finusirCH=:r. Prolongctur maior finus in O, et BM
fiat normalis ad EO, vt habcatur KO=:S^-x , KE=
S-s , KM n: ^ 4- C et KB zzc-C . Erit quoque arcus
OB aequalis fummae arcuum propofitorum , huius fu-
matur dimidium ABirAO cuius formetur tangcns
BIznQ. Sinus AhzzA et cofinus HLr^B. Hoc mo-

do

TRIGOKOMETRICA, r/

do obtinentnr triangula rcdangula MKO, EKB, HBI
et HLA omnia fimilia, fiet proinde
TKE : KB=KM : KO =:LH:LA=i:BH:Bl7
l(S-/K^-C)-(r+C):S+.):=B :A =. : Q j
Q. E. D.

9. Retentis prioribus^ fiat infuper finus femidiffe-
rentiae ma, eius^ue cofmuszzib erit \~'-z:i^^—^ et

"2&"^ — '"2* — r •

Inpraecedentefiguraeft chorda EB=2^, hoceft, Tlg. 11.
aequalis duplo linui femidifferentiae ; chorda vcro MO
eft m^Z', fiue aequalis duplo cofinui femidifferentiae ,ar-
cus enim MNO (cui fubtenditur chorda MO) eftzzarcui
NOPH-arc. NM-arc. PO, vel, (quia PB:=:NM et PE
r=PO)=arc. NOP4-arc. PB-arc.PE. et quia PB-PE
narc. BE fiet MNO=:N0P-BE, eft et praeterea
NOPrr 1 80^ =i:femicirculo,et BEndifferentiae arcuum,
fiet itaque i MNO-iBEzrpo^-femidifFerentia ar-
cuum , cuius confequentcr finus duplus efl=: chordac
MO. lam ob fimilitudinem triangulorum ante ($.8.)
allegatorum efl

f KE : BE-KM : MO =HL: AH.7

iiS-^s) : 2^(f+C) : 2k=zB : r j

itcm
fBK : BEzrKO : MOz=AL : AH-T
l[c^C): 2a-[S-^-s)'. 2b:zA: r j

Q. E. D.

10. Tofitis quae fupra §. 8. ponebantm- fitque
Tom. II. C prae^

i8 TRIGOmMETRlCA,

practerca tangens jemidifferentiae zz(\\dico effe^^^^—^{^^

Eft enim in antecedente figura BI=iQ et BRin^,
itemque triangula HBR, BOK , et EKM fimilia , vti et
fimilia funt triangula MKO et HBI. ex quibus fequen-
tes oriuntar analogiae

f KO : BK =:KM : EK :=:BH : BR^
l[S^s)'. [c^C)=z{c^C){S^s):=:r : q J

item
f EK : KO =BR : BI 7 -^ ^

11. Si minor arcus in hac praecedente propofi-
tione euanefcat , erit cizr^fzzOQt ^zztangenti dimidii
arcus maioris (qui nunc folus adeft) per confequens ha-

12. Maneajit fuperiora $. 10. dico quoque ejje
^^—ZZ^^ILL^ , hoc ejfj differentiam coftnuum effe ad
fummam cofinuum vti tangens femifummae adeo tan^
gentem femidifferentiae , vel vti tangens femidifferentiaead
cotangent em femifummae.

Demonftratio poflet ex iigura priorum propofi-
tionum defumi, fed lubet eam hoc modo infledlere:
Quoniam l^zz.^^ per ^. 8. eritquoque (ducendo v-
trumque membrum in '±^1 fZc]^)-^^ ^^^ ^^
~c-i {^' 8.) et ^l,-z\(\ 10.) erit fubftitutis ae-
q^alibus I^:=^^^:=ir^l5^IV^. Q, E. D.

13. Euanefcenteminore arcu , reilabit folus ma-

ior

TRIGONOMETRICA. ig

lor qui promdefimul efl:et fnmmaet differentia, Tpfiusque
dimidium efl: et femifumma et femidifferentia , hoc igitur
cafu fiQtczr:}', et Qpz^ adeoque Ir|z_^— ^zz!I_^^

14. In propofitionibus hadenus allatis non nifi
acuti anguliruppofiti funt, fed facili operq eae accom*
modantur quoque obtufis angulis , fi nimirum cofinus et
cotangentes figno priuatiuo afficiantur (<$<$. 2, 3.) Sic
ex. gr. fi maior angulus obtufus fit, erit locoC fcriben-
dum -C, et fmus compofiti {§, 4.) habebituriz::?^!^.

15. Propofitiones ab articulo 8. vsque ad 13.'
inferuiunt regulis trigonometricis decurtandis et ad con-
cinniorem formam redigendis , quod exemplis idoneis,
data occafione, oftendam , ynicum nunc fufficit, Inele-
mentis fphaericorumWolfii <$. i^dhabeturtheoremacu-
ius ope ex datis tribus lateribus^trianguli fphaerici obli-
quanguli inueniuntur anguli ; in hoc thcoremate forman-
da venit ratio inter difFerentiam et fummam ortas ex co-
finibus crurum , quae vero , fi cofmus logarithmici den-
tur, difficulter exprimitur; aft facilis fit eius formatio,fi
loco crurum fumatur eorum femifumma et femidifferen-
tia , illius enim tangens , atque huius contangens confti-
tuunt eandem rationem (pcr §. 12.) Hoc igitur modo
calculus logarithmicus contrahitur in regula Wolfiana
quae (ic neperianae fimilis fere fada cfl , et eadem cum
llla facilitate gaudet , imo lcvi attentione perfpicitur
unam harum regularum poffe transmucari in akeram.

16. Habent praeterea dictae propofitiones ufum
non contemnendum in iis cafibus , ubi , datis duorum
numerorum logarithmis, inveniendus eH logarithmus

C 2 fum-

20 TRIGOKOMETRICA,

fummae vel differentiae datorum nnmcrorum ,
idqiie per fohim canonem finuum logarithmicum.
Huic ufui maxime infcruit propofitio fub articulo
g. quae in has transformari pot-eft fequentes : r-4-
C-'?L S-^s^'4^ c—C-^ et S—s = '^,
Ex folo enim .intuitu harum formularum patet , in
illis fummas et dlfFerentias duarum quantitatum aequipa-
rari aliis , quae per canonem finmim datae , et logaritlv
mis fimuUdaptatae funt , quippe quae conftant ex folis
in fcfe mutuo duffcis fadoribus datis ; Habeantur itaque
dati logarithmi pro logarithmis fmuum aut cofinuum,
quorum ex canone exccrpantur arcus, arcuum formc-
tur et femifumma et femidifferentia , atque pro hifce de-
nuo excerpantur logarithmi competentes , quae fecun-
dum formularum anteccdentium tenorcm fibi mutuo ad-
dantur et fubtrahantur, vt obtineatur quaefitum. Exem-
pla non addo , quia in fequentibus eorum occafio crit.
luuat potius explicare hic ufum propofitionis fub $.13.
quemhabet in folutione probkmatls de triangulo re^iU-
neo cuius dantur duo latera cum angulo intercepto.etquae-
runtur anguli reViqui : Ponamus maius latus datum :zir,
minus veronf,tangentcmfemifummae angulorum quae-
fitorum znt tangentem vero fcmidifFerentiae quaefitae
zz-y , erit per notam regulam I±L.z=:^, Nuncha-
beatur malus latus proradio, minuspro cofmu alicuius
anguii qui cxcerpatur ex canonc , ciusquc dimidii tangens
dcnuo cxcerpatur quae vocctur Q erit itaque (per f . 1 3)

de-

TRlCOmMETHlCJ, 21

rithmos rem exprimeiido lyzz:lt^2lQ^2lr . Dabo exem-
plum,Ytar autem lc^garithmis neperianis vbi radd logari^
thmus eft zzo. Sit igitur logarithmus lateris maioris
z=- 50899,logar. minoriszzi-j-^^o, angulus interce-
ptusz=:i26^, 41'. 20" et proinde fenpfumma angulo-
rum quaeritorum = 26°, 39'. 20". lam conuertatur.
minus Jatus in cofmum fimplici analogia hac; Yti maius
latus ad minus , ita radius ad cofinum defidcratum *, quae
per logarithmos fic efficitur.

log. lat. min . 460

log. lat.maioris 50899

Cofinus 51359 . --53°, 14; 55//

25 37 ,27itang.=i(59056
duplum =1381127
tang. femifummaen: 68920J

ScmidifFerentia quaefita^^. 1 1'. 22" 207032

Semifumma — 26. 39. 20.

angulusquaefitorum vnus: 19. 27. 58.7

alter 33. 51 42.J

Defumptum eft exemplum ex tabulis rudolphinis
pag. 68. vt condarct artificii huius \fus in calculis aftro-
nomicis. Incidenter annoto , cofinum ex minore late*
re oriundum (51359) elfe ipfam proportionem inter-
uallorum, vti Keplerus vocat, duplam Yero tangentem
(138 112) vocari a Keplero et aliis logarithmum indi-
cis.

C 3 17.1«

22 TRIGONOMETRICA.

Fig.UL jy^ Intriangulore^iUneo K^C^ datis lateribus^

fcilicet ABirA, ACzna et BCzz.b ^ pofito^ue radio zir.
erit cofinus anguli ad Ar^r^::^^^^-— .

Demiifo enim perpendiculo BD , habetur {egmen-
tum AD—^^^^^— (ficuti ex elementis geometriae
conilat). Atqui,vti AB adAD,ita finus totus efl ad cofmum
anguliadA,ergocormusiUee(l=i:r^:±^"-^^, Q. E. D.

Notandum vero efl: cofinum elfe pofitiaum fi fue-
rit^AA-i-i^rtj^Z'^, atque ita valere pro acuto -, valerc
autem pro obtufo fit fuerit ^Z^XAA-f-^^) patet idex
§. 2.

iS. Theorema hoc in gratiam fequcntium addu-
xiyvbi eius praecipuus vfus erif, lubet tamen, liacocca-
fione data , exemplo oftenderc quomodo tales regulae
logarithmis tradari debeant. Sitigiturlog.Aiz:^ 1083.
/^==4.0547 et /^==28768. eftergo log.A^zi:i02i66,
/^"r=8 1094 ^^ /(^'^=:57 536 , quaeratur ab initio log.
(A^-H^^) T ope 5. 9. ex quo adhibeatur aequatio
i:-4-Cr=:^ , habeantur iam logarithmi quantitatum A^

et ^^ pro cofmibus , quorum excerpantur arcus ; vti
fequitur.

arc.

TRIGONOMETRICA, 23

arc. A^zz 65^ 54^

arc. a^ in 63. 36. 45^'
Summa - "■" 132. 30. 45.

Semifumma - ^6. 15. 22i --cofin. -- 90970=3

SemidifFerentia - - - 2 38 37^ - - cofin. - - io7zz.b

91077
69315=1:1.2.

Deinde denuo habeantur et {A-^a^) ct b^ pro
cofinibus, ct pro earum difFerentia inuenienda confide- "
retur aequatio e — Czd^^{&x. §. 9.) eft ergo
arc. (A2-h^^)=:36^ 26', 40".

Summa == 9^ ^2 55

Semifummair: 46 6 27-V--fmus 32752=:^

SemidifF. .-==: 9 39 47i-- ^nus 17^^62:=^

2i 1224

log. A=5io83 . 693i5=/2^

log. /^^40547 ^ l.(A24-^2-P) ^ 14^909

91630

1.2 =69315 log. 2A^ — ^2315

l^^A^ 22315 ang. ad^Arr^^^.^ V. 5 i". = ii 9594

Tentanti hunc caiculum patefcet eum pofTe contrahi,
fed hic voiui dudum legularum fequi , vt exemplum eo
perfedius fit.

18. Datis in triangulo fphaerico ABC trihus Ja- ^'^* ^^'

teri'

Fig. V.

24 TRlGOmMETRlCA.

tcrihus qmdrante mhmilms , pofitisque finu cruris AB
i=S, cofinu ciusdem^C^ fmu cruris BCni/^r/ cofinu-rz.c,
coftnu bafeos ACr:^^/, et radiozzzr •, dico cofmim anguli ad
Bfore^zL^f^r.

Subtcndantur lateribus fuae chordae AB, ACet BC
ab angulis ducantur radii ad centrum fphaerae D , eoque
ipfo pyramis formeturtriangularis, cuius hedrae ADB,
ADC et BDC funt triangiila aequicrura quolibet crure
exiftente— r, anguli hedrarum ad D, (fiue vertices trian-
gulorum aequicrurorum) dati funt , fubtenduntur enim
ab arcubus datis, nimirum ipfis trianguli dati latcribu?.
lam adlineamBD(ab angulo quaefito ad centrumfphae-
rae dudlam) appliceatur duae normales BE et BF, exi-
(lentes in planis hedrarum ABD et BDC continuatis, et
per confequens attingcntes arcustrianguli dati AB et BC;
produdae hae lineae in E et F, (vbi cum lineis AD et
DC protenfis concurrunt) funt datae ob arcus AB et
BC datos, quorum tangentes funt •, angulus vero EBF
iile ipfe eft quem intcrcipiunt crura trianguli fphaerici
dati AB et BC, ct quem inuenirc oportct , ct cuius co-
fuius nobis nuncfit=:r. Praetcrca ob datos finus et
cofmus arcuum AB et BF crit (per regulas tangcntium
et fccantium communcs) tangcns BE=i:^-ct fccans
EDiz:-^. Item tangcns BFin^ ct fecans DEn^
hifce datis , pofitaque EFzzz , formari poteft acquatio
cx tribus trianguli DEF lateribus eiusque angulo ad D
dato(efl: cnim cius cofinusir:^) idquc per theorema ante
{§. i7)demonftratum: Nimiriim fiet

I —

TRIGOKOMETRICA, 25

1 - - ^ r= r —^r^v'

c<
qua acquatione decentcr reducfta , habctur

2 _ .^^rl^irj^^-tllfizrEFquadr.

atque ita deuentum eft ad triangulum EFB in quo iam
omnla dantur latera, quibus (vi i 17 •) determinaturco.
fuius angLiIi quaefiti ad B fequente nequatione

—CC ^~rc '^ CCcc

3 - - yzz 2^s

fiue

^ rrSScc~\-rrssCC-r^ CC^_2r ' qCc — r^cc

4 " ' ^' — ' irsCsc

et quia rrSScc-r^a"=z.rrcc[SS — rr)zz—rrccCC
item quia rrssCC-r^CCzzrrCC{j[f-'rr)iz~rrccCC
fiet

C - _2r^Cc-2rrj^ rq-Cc Q p r)

> - - J QjSCJc ^—'Ss~'' \L' ^' ^'

19 .De hac regula notandum eft , eam facere connum
pofitiuum fi fuerit rq^Cc ct per confequens angulum
quaefitum acutum : fi vero fuerit rq<^Cc^ forc cofunim
priuatiuum qui valet pro angulo obtufo (qui aciito fuo
dcinceps eft). Idem quoque obtinet , fi crura quadran-
te maiora fint, licet enim tum corum cofinus priuatiui
fint (-C et— c) fadtnm tamen Cc pofitiuiim efl: aeque ac
fidlum cofmuum pofitiuorum. Si fola bafis fit qundran-

Tom. 11. D quo

te maior, adeoque eius cofinus zz.—q erit j— -r!:^^^ ex

26

TRIGOKOMETRICA.

quo patet, lioc cafu angulum quaefitum f^^mpcr elTe »b-
tufjm. Si alterutrum crus fuerit quadrante maius , erit
yzn-ir-r'^^ et proinde angulus quaefitus femper j acu -

tus. Eodem modo in aliis cafibus praefciri poteft cuius
fpeciei futurus fit angulus q^uaefitus.

20. Caeterum praxis huius regulae logarithmica
facihseft , obferuatis artificiis .antea ((S. i6et 18) often-
fis •, eam impraefentiamm vno alteroueexemplo illuftra-
bo. Sit igitur crus ABzzdg"" , crus BCiri^y^ ct bafis
AC=34.°. erit proinde log. S— 6873, /J"=3I286
/C=: 102620, et /rz=3827 3. logarithmo cofmus bafeos
non indigemus. Nunc formetur log. {r^-Cc) ope ae-
quationis c-C^^^ defumtae ex §. 9. fiat nimirum

/0=102620
lczn 38273

/(C6-)=z:i4o893 - - eius arcusm 7 5
arcus ipfius /(/7) - - -

Summa - -
Semifumma - -
Semidiffer. - -

.51

'12".

is

Is
l2

6873
31285

69315

34. 0 0

109 51 12

54 55 3^-
£0 5 5 36

- finus -

20038
102953

log (^)

=

122991

1074^4

i:ii)= 107474

log. Cofmus quaefiti zz 155^7
angulus ad B = 31°. 5'

hic

TRIGONOMETRICA ty

hic nngulus efl acutus , quia in praefenti cafu habetur
Tij^Cc. Alterum exemplum hoc eilo : crus AE-^^d^,
crusBC=57°. bafis ACir^^'^. in hoc exe-mplo angu-
lus quaefitus erit obtufus (per ^^. i 9) eft vero praeterea
/5=3294.2 /^=36434. /izzi7594 /^zz63503'. hinc
fit

IC =

35434

k =
1(C.]=

63503

99937. ciiiusarcus= 68°24' 5"

arcus ipfius
Summa =

l(r^)= 95 0 0

163 24 5

Semifum. =

8i 42 2i finus = 1053

SemidifF. =

13 17 57Tfinus = 146953

1S =

32942

f':"-= = 148006

IS =

■ irsp-t

l'l. = 119851

l2 =

69315

cofinus quaefitus = 28155

Tt =

I 198 51

angulus relpondens = 4^° °' 3*^"

cui deinceps = 138 59 30

qui eft angulus quaefitus.

Ita in reliquis cafibus procedendum eft quoque-,ra
kmhoc, Ytmoneam, reftat : quando alterutrum crus
obtufumeft , mutatur quoque fignum ipfius Cr, nam in
formula pro -Cc fit hoc cafu -i-Cc. Igitur logarith-
mus ipfius Cr fit logaritlimus aUcuius cofinus obtusangu-
11 , quiinprioribus exemplis acutangulus fuit.

21. Poffcm regulam logarithmis adaptatam vcr-
D 2 t>is

28 TRIGOKOMETRICA.

bis efTerre qiiibus calculator dirigcretur,a(l: quia prolixior
cil quam altera moxtradenda,efFatu indignam cenfeo.Bie-
vior efl: nulHsque obnoxia cautelis noua mox explicanda
et ex pri()'-e ita dcriuandarQuoniamcorinusanguliquaefi-
ti=:r-^" — crit eius finus ^erfusnzr^r^^^-^f^^^exelcmentis
porro conftat fmum Ycrfum inter et diametrum ( 2r )
elfe mediam proportionalem aequalem chordac didi an-
guli quiefiti , huius crgo chordae quadratum habetur du-
ccndo 2r in f?t!|t£f quod proinde ta-2rrtr^J±Sl.
dimidia haec chorda eft fmus anguH quaefui dimidii,
cius ergo quadratum eft prioris quadrati fubquadruplum
ct per confequens=n-?t^— . Hoc quadratum muta-

SJ^Cc

ri poteainhancformamrrrJI^llfeft autem%^=r

cofmui different^ae crurum (per §. 5.) q"em breuitatis
caufa ponammQ. igitur quadratum fmus dimidiianguli
qiiaefiti flt^if^ ^—1 formctur porro ex differentia cru-
rum et bafi femifumma et femidifFercntia,ponaturque il-
lius fmus zn A, l-iuius=/? , ita fiet per ^. 9-Q.— ^=— -f—
quo valore in praecedente formula (bbftituto , habetiir
quadratum fmus anguli quaefiti dimidii -rzrr-^fj •, quae
quidem regula facillima eft et breuiftima , qua nimirum
duplus logarithmus fmus pro angulo quaefito dimidioin-
.iienitur , qno dato, integer angulus latere nequit. Ce-
terum hanc ipfam regiilim Neperus in canone mirifico
(pag. 48) tradidit dudum , cuius demonftradonem ego
mco more hic concinnare volui.

22.

TRIGONOMETRICA. 29

22. Ex tbeorematc fnpenon (^. 18.) omnia reli-
qua trigonometriae fphaericae praecepta deduci poflluit,
tam ea quae de obliquangalispraecipiiint, quain quae de
redans^ulis. lucunda raaxime eft deriuario regalae pro
inueniendis lateribus ex datis angulis. Sed talia non futit '
huius loci, nolo enim acftam agere *, in eo dim potius yt
iadis his fundamentis noua inaedificem theoremata,
quorum in doftrina aftronomiae fphaerica aliqnis ^fus
efie poteft. Ea vero praefenti fcripto excludo ne id
cxcrefcat nimium, finem igitur imponat feqiiens proble-
ma, quodin medium ideo produco , quia pUiries mihi
:ad illud prouocandum erit.

23. Dafis in trwigulo re&ilhieo duohus crurihus
£um angulo intercepto , innenire anguks rcliquos.

Sit in triangulo ABC crus maius ABziiA, crus mi- E/^. ///.
TiUS ACiz:^, fmusacuti anguli B AC=:/) eiusque cofinus
zz.q. dudo perpendiculo BD erit Yt finus totus ad cofi-
num anguli ad A, italatus AB ad fegmcntum AD , a-
deoque in praefenti cafu, — ^ iic fit aiterum fegmentum
DOziz'^-^. Eft €tiam Yt fmus totus ad finum anguli
ii-i A, ita latus AB ad perpendiculum BD, quod exinde
fitnz*^^. Tandem inferendo , vt DC ad DB ita fmus
totus ed: ad tangentem anguli ad C, inuenitur tangensdi^
£ii angdiin-^^^. vbi notandum, angulum hunc foxeob^

tnfim fi fit ra<^Kq. Eodem quoque modo targensan-
g.ili minoris ad B (qui minori cruri opponitur) inuenitur
:^r^^f Iiwcnitur praeterea per vulgaria trigonome-

D 3 triae

30 m TRANSFORMATIONE

triae praecepta anguli maioris ad C fimis —

itcmqiie finiis anguli minoris -Tp;^^^,^-^- eiusque

*^"^'""* =-Tra;75*i7,°?i:<.-5r ' '"'"'" '''^™"''^ "'"''''"'«
pro ^ ponent uTi eft — </. Si angulus datus interceptus
fi:erit obtufus.

DE TRANSFORMATIONE
SERIERVM

Auctore
C. G.

M.Mart. /^ M '^^ Ransformari reriem dico , cum in aliam

1727. H eiusdem fummae conuertitur ; ex quo pa-

I tet ad transformatioiiem datae feriei hoc

-*- requiri, \t , fi finguli termini feriei trans-

formandae A. auferantur ex fmgulis terminis feriei trans-

fjrmatae B. fmgali termini rcfidui transeant in nouam

fericm C=:B— A. ruius fummaziiC'. E contrario, fi feries

quaecunque C. cuius fumma fit=6>. addatur ad feriem

transformandam A. prodibit feries transformata B.

Sed eiusmodi feries C. cuius fumma fitrr^. inflni-
tis modis obtineri poteft ex fubtradione Ynius feriei ab

alia

SERIERVM, 31

alia^fi vtrinsque rummae fint aequales. Confideremus
exempli caufa duas feries

D . . .i-H-i-i-n + f+etc.

cuius formula gencralis eft^-^'— ^^

cuius formula generalis eft ^^^rr)

fummam vero \triusque conftac efle eandem ^r- n"<^<^ fi

iam finguli termini vnius feriei auferanrur ex fmgulis

terminis^^ilterius , refidua ert tertia feriesC=r ±D =;=E.

cuius formula generalis eft (^^77^-2) -t-^x^x-Koy

±x~i fumma vero totius ferieinc?. quamob

remformula^^^^itlf^Ti^ "^i ^- ^'^ numerus quicun^
que, dat feriemquae additaad quamcunquetransforman-
dam A. infiniris modis exliibebit transformatam B. Si-
militer ex formuli. ~^^ et -^— quarum vtra-

que dat feriem—Ti-- deducitur formula feriei C.

-4-7axzpi <;a_ ^^^-^^ fumma nzo. atque iisdem veftigiig

quarum fummacitidcm zzo.

Sit verbi gratia feries transformanda buius form.ae
, ! (quam conftat exprimere aream femicircu-

{4.X-3 j(^x_i ) v-1 r

li cmus diametern:!.) addatur huic feries

^ • • ' Ti:^v^x\^) ^"^"^ fumma , vt f ipra demon-

ilratum fuit, cilzzo. erit feries transfoimata B.

32 DE TRANSFORAUTIONE

qniic e:indem femicirculi arc;im exprimet (limto ^. nu-
mero confhinte (]iiocunque, ex cuiiis exempli confpedu
fliciic reliqua fimilia inteliiguntur.

Intereii non c{[ neceffc \t fcries illa C. cuius fumma
rcquiritur zr?. llimntur cx illis in quarum f >rmula expo-
ncntes potedatnm fmt numeri conftantes , quales fuerc
de qu bus hacT:cn'.is dixi , fcd dimi et am poiTunt exponen^
tiiiles quaecunque, hoc eft, in quarum formula .v. ingre-
ditur exponentem potellatis, ita fi ex feric

i+i-4-i^2-Ho^-f-etc.
cuiiis formula cil -^^— ! auferatnr feries

cuius fbrmu^a eft 2 "" . liimma vero vtriusqne=:i. refi.
dua feries et omnes eius multiplae quas hacc formulii
coir.prehcndit

2 (K -^x)

crunt rr^.

Quem ad modum vero (iimma feriei transforman-
dae A. manet eidem , fiue ei addatur feries ah'a C. cu-
ius fumma zz.o fiue ipfa A. multiplicetur per feriem D.
cuius fumma— I. ita ex hac confideratione ad alteram
camquc generalem methodum transf )rmationis perueni-
mus. Sit fcries quaecunque transformanda
A . . . ^-i-^^-^-4-^H- etc.
fumatur alia quaeuis

D,

SERIERVM, 33

D ... a-f-(3+Y-f-(5"_f-etc.
nbi a. (3. y. etc. fint quantitates cond: ntes quaecunqiie,
modo terminus eius vltimus vel infinitefimus nullus fit vel
infinite paruus, dico feriem A. transformari in

I. II. III. IV.

B . . (^-+-Z»)4-(^-i-^)-i-(^-f-/)-4-fe-H-Z7)-4-etc.
a^d {c-a)cx, {e-c)a {g-e)ct
a^^ (c-a)p {e-c')^
-k-ay {c-a)y
-^-a^
crit enim feries B. produdlum ex ferie A. multiplicqta
per

D . . i-4-a-a-f-^-j3-fY-V-f-etc.zi:i.
Sit exempli caufa data feries

A.. \-m-\-m^-m'^ ^m^-m^^^x.c.

fi fumatur a:

771-

m-+-2

n — m2_f_7n_i a

' (fn-f-2j3 m_+.2

Serles A. transformabitur in

B ..— L— I---J p \ _4- — \ Hetc — -i_

^2 (m^2)2 {Tn_f-2) 3 (m_H2)^ "~" 'm^x

Si vero ponatur ar:"Llzr^-4-' ^a^z^ v— ^. etc.
Series A tranfibitin

^ Scio

34 BE TRAKSFORM. SERIERFM.

Sclo qiiidem plerosqiie flatucre fi in ferie A quan-
titas /;/. fitmaiorvnitate feriemtotam ex praepolkra di-
uifione ' oriri neque adeo huic quantitati aequalem
effe, fed etiam fi ifte modus exprimendi quantitatem fi-
iritam per (eriem infinitam numerorum alternatis (i-
gnis crefcentium nefcio quid infoiiti prae fe ferat , non
tamen video cur omnino reiiciendus fit,cumexhocquod
dedimus exemplo appareat eiusmodi feries tradabiliorcs
fieri atque in alias aequales terminorum continuo dccre-
fcentium commutari poffe ; adde , quod iftac feries (in
quibus termini crefcunt alternatis fignis) non femper ex
praepoftera diuifione , fed aliis eriam modis proueniant
de qua re alio loco dicemus. Ccteriim hac noftra me»
thodo data quuecunque feries A. transformari poterit in
aliam B. ea lege vt ab initio habeat terminos quoscun-
que datos , nam ex quantitatibus a, (3. y. etc. tot po-
terunt determinari per conditionem problematis quot
termini dati fuerint in ferie B adeo vt haec methodus
non folum ad cafus transformationis infimtos , fed ad
omnes poftibiles perducat.

DE

41 ( 35 )B>

DE BILANCIBVS

ET NOVIS INVENTIS STATICIS

Auctore
loh. Georg, Leutmann.

Bllancium y'^^'^'? ^'^^^"'^^^ticiim decet, ye- M.Inn. tt
vz(j\c, Meclianico debetur. Vtraque et in ^''?^* ^7-7-
Theoria et in praxi fundatur , ita , vt hic
theoria absque praxi inanis, praxis absque
theoria infufficiens reputanda fit.

2. Non loquor de bilancibus vulgaribus atquc
cralTioribus, minori aK^i^tia et attentione claboratis ,
quarum vitia facile dignofcuntur et difcernuntur ab accu-
ratioribusjleui adhibito examine. Defudantin his ehi-
borandis opifices, cognitione fuperficialiimbuti, funda*
mentaHs rudes. Subtiliores et accuratiores milii curae
funt. Iliarum firudura ad leges mechanicas examinanda,
vitia detegenda,et corrigenda , et tandem leges dandae,
ad quarum dudum conftruantur, vt perfedlior prodeat
Machina , vfibus aptior.

3. Maxime vcro ea, quae ad firudluram bilan-
cium docimafiicarum et truiinarum pertinent, explica-
bo , et quomodo examina earum rigidiora inftituenda \
deinde noua inucnta addam , et difcrimen monfiriibo

E 2 inter

35 DE BILAKCIBVS.

inter haec et bilances iam notas atque vfitatas , tandem
ea, quae ad gYX^?'^'^^^ ijpedlant, expofiturus. Videa-
inus itaque, quousque ad maximam ax.^iptiav per lcges
Mechanicas , propriam experientiam feu praxin et ope-
ram manuariam curatiorem progredilicuit.

Cap. L
De bilanchm comtructione et correctione.

Reg. I. Bilancis fcapi feii iugi brachia , vt exa-
[tijjime eandem habeant longitudinem necejje

A, Putant rerum non fatis gnari fcrupulofam di-

menfionem brachiorum bilancium non adeo effe neces-

fariam , fed qualemcunque fufficerc , modo aequilibrium

vtrique fit datum. Sed laborant hi praeiudicio , non

confiderantes leges de vedle. Non enim corrigitur per

aequiiibrium brachiis datum praepondium a longiore

vedtis brachio dependens ; fed vitium fe prodit, quan-

do duo pondera ad eiusmodi bilanccmaequantur,etdein-

de commutantur , ita vt finiftrae lanci imponatur pon-

dus in dextra aequilibratum , tunc cognofcitur brachium

longius, perquod praeponderat pondus impofitum ante

commutationem aequilibre cum altero.

K. Criterium itaque atque proba, vti iam diiflum
in eo confiftit , vt diio pondera fmul in binis lancibus
librentur , et reddantur aequalia ', deinde commutentur
pondera , et obferuetur exad:e , vtrum aequalitatem fint

confcr-

DE BILAKCIBVS. 37

conferuatura. Si enim praeponderat alterutrum, indi-
cium eft inaequalitatis brachiorum. Itaque excommu-
tatione lancium atque onerib faepius iterata innotefcit iu-
fla proportio brachioiiim.

6. Corrigitur Yulgaritcr inaequalitas brachiorum, Tab. II.
fi extrema brachiorum auricuhs a inftruantiu-, quarumin-
flexione et reflexione tandem aequilibrium brachiis con-
ciliatur.

7. Vitium itaquc eft in illarum bilancium fcapis,
quorum extrema tantum foraminulo etclauo tra edogau-
dent ad appendendas lances ^, numquam enim hoc mo-
do ipfis exaditudo aequahtatis conciliari poteft , id quod
in maioribus non adeo percipitur ; in minoribus doci-
mafticis vero magna incommoda atque errores parit.
Dimidietur enim duarum drachmarum uni, dimidiume-
ius iterum in duas partcs aequales diuidatur, idque lae-
pius cum qnouis dimidio continuetur , tandem omnia il-
lorum ponderum dimidia coniunL^im vni hinci impo na-
tur, et vltimum dupletur , altera lanx recipiat vnam il-
lam drachmam primo adhibitam , tunc vitium bilancis
facile cognofcetur , fi drachmae pondus vel n- n attin-
gunt, velillud excedunt,cui tamen aequalia effe debent.

8. Quandoquidem vero in maioribus ferreis bi-
lancibus haec incuruatio feu flexio non nifi ignitLi trabis
extremitnte fieri potefl, ex quo de grauitate materiaca-
liquid femper decedit, ita vc iufla proportio haberi ne-
queat grauitatis aequalis brachlorum ; in minoribus vero
bilancibus e. gr. docimafticis facile frangantur auriculae

E 3 . flexio-

3S DE BILANCIBFS.

flexione (Iiepius vexatac : De noiio iniiento allquo folici-
tusfiii, et illud feliciter me expediuiire autumo,duobu5
modis , quorum prior bilancibus maioribus et mediis,
alter minoribus et docimafticis egregie conuenit, atque
ad aKn^Gy.y conducit.

9. Prior modus talis efl: : Incuruentur fcapi ex-
trema farfam in A et deir^de ad lineam fcapo parallelam
donuo fledlantar. Prodeant extrema hac ratione flexa
Ttrinque ad, plus, minns, digitum. Applicetur elater
recuruatus et lemicircularis (3, qualem in figura [3 deli-
neatum dedi. Conficiuntur elateres hi optime ex elate-
rc chalybco in horologiis minoribus vfitato , qui aequa-
lis craHltiei eflbrmatus inuenitur , id quod maxime ne-
ceffarium. Addatur deinde canaUculus quadratusD, li-
bere ante et retro mobilis , inferius ad d auricula traas-
iierfim pofita praeditus, et tandem pcaeponatur cochlea
femina E, qua addada cedit elater,auricula ad axin fca-
pi promouetur, ec brachium abbreuiatur •, reduda pro-
longatur brachium , quia elater canalem D cum uuricu-
la fua C repellit atque protrudit.

10. Omnes vero hae partes applic-mdae cnm iis,
quae alteri brachio conueniunt,feorfimet aequilibrentar,
et eandem recipiant extenfionem atque figuram,

11. Vt vero auriculae vtriusque interior acies cum
acie axicuh iugi inferiore lineam fere redam faciat , id ,
me etiam non monente , bene obferuandum, et obtine-
tur per iacuruaturam extremorum fcapi antea exph'ca-
ta'^ , et pcr lineam IconismiGFH delinearam. Nc-
cefllirium hoc requifitum rede notauit Leupoldus in

Thea-

BE BILANCIBFS, 39

Tiicatro Miichinariim Statico. Part. I. p. 7i2. Qir.indo-
quidem , ciim de Inftrumentis Meteorognofiac fcribe-
rem, atqne hanc Methodum exponerem , non fuccurrit
haec meditatio , quam deinde in conficienda tali bilance
flicile animaduertebam, et Machinam iuxta modum hic
datum pcrficiebam; id quod hic loci indicandum dnxi.
12. Alter modus fcu inuentio in eo confiftit , vt
quatuor vel quinque helices cochlcae incidantur vtrique
cxtrcmitatircapi,lineamre(flamtencntis, et in extremitati-
bus non flexi vt antecedens, fiantque binaecochleae femi-
neaej extremitatibus fcapi applicandae. Cochlearum na^
rum feminearum externa figura torno elaboretur, eisque
incidatur in extremo cuiusuis externo crena feu cauitas nn-
nularis, recipicndc aniiulo chalybeo-,ampJiori foramine
et intus acie praedito apta , vt in crena haerere annuli
hdoris acies , cique filamenta lancium anncdi pofilnt.
Extrcmum cochleae femineae definat in formam rofae,
feu rotulac , vt digitis apprehendi et circumduci qucat,
caeteriim Elateres femicirculares [3 addiintur,vtinpno-
ribus indicatum_.

13. Priusquam vero cochleae illae femineac et
clnteres adduntur, iugi brachia, quantum fieri pote(l,ad
eandem longJtudinem efFormentur, etaequilibrentur ex-
ade ; deinde reliqua applicentur, et ii:erum aequiiibrium
ipfis ope cocMeae concilietur ; tandem lanres eiutdem
exadifiame ponderis apponantur, et obferuetur, vtrum
aequilibriumfitconleruatura bianx,faepius lancibus com-
mutatis.

14. Per haec itaque duo inuenta brachium bilancis

alrcr-

40 BE BILANCIBVS.

alterutrnm et elongari et abbreniari poteft , donec iiida
aequalitas longitiidinis inrra axiculum iugi et pundumfus-
petifionis lancium obtinetur-

Reg. II. Livgula^ feu examenfit adfiapum perpeii-

dkularc, et m medio eius ere&um
Reg. 111. LinguJa , ^uo leuior, co aptior praepon"

diuscu lis indi candis .
Reg. IV. Latior aliquantulum et macilentior lingu-
la praeftat rotwidae , ^uia non tamfacile
vitiatur.
Reg. V. Quilibet fcapus in medio inferius fub lin-
gula habeat praepondusculum lingulam^
a pondcre lanci iniedto incUnatam erigens.
I c. Maximi momenti eil: haec obferuatio m bi-
lancibiis accuratioribus , inprimis in trutina docima-
ftica,id quod bene exprellit Leupoldus inTheatr.Mach.
Aut enim (a) axicuhis F iugi altius fit pofitus, Yt tota
trabs longe infra Uneam appenfionis lancium GH depen-
deat , et grauitatc fua hngulam inclinatam erigat , quod
tamen pigram facit bilancem-,aut ((3) iugum inferius ha-
beat contrapondium L, quod hoc officio fungatur.

l6. Sed caute eius grauitas dimetienda. Maior
enim huiuscontrapondiimagnitudo bilanci facile quidem
aequilibrium demto onere rcftituit, fed difficiieminclina-
tionem examini permittit. Onulculum enim lanci im-
pofitum hoc maius contrapondium remouere nequit,h'nc
fitum non mutat bilanx, et hngula differentiam minime
indicat , maxime fi contrapondium hoc longius depen-
deat. Concrapondium vero minus a minori quidem o-

nere

DE BILAKCIBVS, 41

uere latici alterntri iiiiedo dimouetur e fitu fuo perpen-
diculari, fed quia illud impar grauitati lingulae, erigere
feanc nequit.

17. Necefle itaque efl:, -vt contrapondium hoc a-
liquantulum praeponderet lingulae , et curtafit eius ma-
gnitudo perpendicularis , quae aeftimandaet menfuranda
ab acie inferiore axiculi iugi deorfum : quoenimlongior
illa dependet, eo difficilius mouetur.

18. Nam confidcrandum eft vtrumquc brachium
bilancis^ intuitu huius contrapondii longitudinistamquam
vedis recuruatus , cuius brachium minus dat contrapon-
dii longitudo a^ maius, brachium alterutrum iugi b ; vis
agens eft onufculum lanci impofitum ; onus mouendum;
ipfa et grauitas et longitudo contrapondii ^. Quo br^-
morilla(7^ eo faepius in longiori brachio b continetur*,
quo maior a, eo potentius refiftit virtuti impellenti , cu-
ius nifus in maius contrapondium inanis eft, quia imbe-
cillior, quam vt illud a fitu perpendiculari remoueat at-
quc lingulam inclinet E. g. Confideretur iconifhius a
huius ?. ibi contrapondii longitudoeft a, quae duodecies
continetur in brachio h , ergo onufculum aliquod bra-
chioZ' additum duodecies maiorem vimexferere poteft
in contrapondium ope brachii b , quam onufculum nu-
dum absque brachio If. Iconismus (3 dat brachiummi-
nus a fexies in maiori brachio contentum , ergo vis l/
figurae |3, dimidium tantum valet in ^ , in refpeclu ad
iiguram ct Hinc dupla hic onufculi grauitas requiritur
ad mouendam lingulam et remoucndum contrapondiiim,
id quod in a fimplex tantum efficit,

Tom, IL F 19.

42 DE BILAKCIBVS.

19. Vt itaque proportio contrapondii ad lingu-
lam exade haberi, et curta longitudo brachii minoris es-
fe poflit, fequentem excogitaui methodum : In fcapi me-
tiio fit contrapondium admodum curtum ^, ex cuius ex-
tremo dependeat contrapon.dium lingulae adhuc aliud kj
rotundum feu cylindriforme ad dextram et fmiftram fa-
cile et libere mobile ope articuli, clauulo quadrangulari
in{lrud:um,cuius infima acies in crenula foraminis fpatiofi
et rotundi haereat,in cylindro vero fixus fit clauulus^quod
quidem contrapondium propter fuam leuitatem lingulam /
inclinatam erigere non valeat , incifa tamen illi fit cochlea
mas, cui applicetur cochlea foemina wr, formae orbicu-
laris , tantae grauitatis , quanta eredlioni lingulae fuffi-
ciens iudicatur. Haec tam diu grauitatc fuperflua priue-
tur, donec lingula eta leuifiTimo pondiufculo lanci im-
pofito differentiam indicet, et tamendemto pondiuscu-
lo lingulam iterum erigat.

20. Dico itaque hoc modo facile remoueri con-
trapondium, linguam inclinari , et onufculi grauitatcm
praeponderare poCe , quia breue brachium a vigefies
continetur in brachio b alterutro fcapi, et cum eo con-
flituit vedem recuruatum , cuius hypomochliiim efi: axi-
culus , vis mouens eft aggrauatio lancis , onus mouen-
dum contrapondium k lingulae , et quia hoc onus tan-
tum ad latus eft mouendum , facilius hoc fieri poteft,
quam fi fitus eius perpendicularis in fitum obliquum c?-
fet connertendusjcuiimpar elTevel minimum onufculum
facile percipitur.

Reg.

DE BILANCIBFS. 43

Reg. VI. Axiculi inferior acies F, pauculum fu^
pra lineam GH , pcr punBa fufpenfionis
lancium du&amfit pofita.

21. Satis necefTarium hoc requifitum ab aliisiam
demonftratum, probe obferuandum. a Altius enim po-
fitus axiculus iugi , pigritiem inducit bilanci. [3in ipfa fu-
fpenfionis lancium linea fitus bilancem dat admodum ce-
lerem , et nunquam fere ad quietem redeuntem •, y in-
fra lineam hanc collocatus bilancem plane perdit , vt ea
nunquam horizootaliter ftare poflit , fed dcmilTo alteru-
trobrachio oblique dependeat.

Reg. VII. Non admodmn longe dependcat iugum ab
axe-i alias pigram et fegmoris motus ha-
hehis hilancem,

22. Egregie quidem nutat atque ofcillat diutius
antequam ad quietem redit illud iugum quod axiculum
altius fupra fcapum habet pofitum , fi lances nondum
fint appofitae , ignarisque bilancem promittit celerem
atque iuftam. Sed fpe fruftrantur,qui hanc in mobilita-
te talis fcapi ponunt fiduciam. Appenfis enim lanci-
bus pigram atque inertem experiuntur bilancem. Quo
altius enim axiculus fupra fcapum efl: pofitus,eo tardior
deprehenditur bilanx, quam vt a minori pondere lingu-
la poffit moueri, Contrapondio quidcmlingulae non o-
pus habet talisbilanx, quandoquidem dependens trabs
vices contrapondii gerit , fed eoipfo difficilius mouetur
illa ab onere impofito , cuius ratio Mathcmaticis clarius
patet quam vt prolixa indigeat explicatione, Fiat ita-
quehocmodo.

F 2 23

4+

DE BILANCIBFS.

23, Ducatur linea quae aciem fuperiorem claui-
culorum appenfioni lancium dicatorum , et ac:em infe-
riorem axiculi iugi fere tangat. Latitudini igitur iugi
fiib linea didi in extrem.tatibus inlerantur clauiculi ad
lances appendendas , ita vt eorum acics fuperior hanc li-
team fere tangat. Deinde diiudicetur et rite ordine-
nur quantitas contrapondii lingulae, tunc trabs rede erit
difpofita , e. g. bilanx Tab. II. §. 23. delineata difficul-
ter mouetur , fi lancibus et pondere aliquo oneratur
quanquam lancibus nondum appenfis cekrrimam cdat
vibrationem.

Reg. VIII. Acies axicuTi cis et vlf7'a fcapum i^
linea j'e&a fit pofita , aJias pigram
facit hllancem. frodcat quoqueadan^
giiJos redios ex fcapo in vtroque laters
7ie ad aginam aJlidat JinguJa^ ?iiaximeji
aginafit Jatior,

24. Prius hoc obtinetur, (i loco axiculi^ in me-
dio latioris et in extremis prominentibus \trisque acie
praediti , (iibftituatur axiculns figuram parallelepipcdi b
habens. Ille ita per trabem traiiciendus , Yt \na acies
deorfum altera furfum fpedlet, reliquisduabus ad dextram
ct (iniftram refpicientibus. Pofterins, \t fcil. axiculus
ex fcapo ad angulos redlos Ttrinque procedat, circino
explorandum , nempe ex ore foraminis, pcr quod tra-
iiciendusaxiculus ad diftantiam arbitrariam fignentur pun-
(^a duo in linearedla vtrinque,deinde traiiciatur axiculus
ttespundlis his indagetur diftantia aciei cufpidis,haec fi

ac-

DE BILAKCIBFS,

45

acqiialiter diftabitj indicio erit; axiculum ad angulos re-

ftos effe pofitiim.

Reg, IX. AxicuJi extremajt7it cufpidata^ itata-
men^ vt cufpis ex inferiori acie prodcatj
et cum ea in linea recfa ftet^ furfum i"^-
ro in decliue aheat.

25. Friclio illa , quae accidere folet ct, quando
trabs non in medio aginae Iineret , vnde ad ag'nam alli-
dit a, valde detrimentofa exiftit. Corrigitur illa (3, fi
cxtrema axiculi vtrinque ad lamellas quasdam bh aginae
ab extra apponendas impingunt , et quidem in pundto
tantum, vthocfiat, conducit , ideoque axiculi extremi-
tates (unt cufpidandae , quia itaque cufpis in acie efl: ,
quae centrum axis fcapi in vibratione repraefentat , ideo-
que nulla fcre fricflio vel tantum infenfibilis contingit.

Reg. X. Agina perpendicuhmter dependeat , ita,
^:t , fi infuperiori ?ioduIo , t^/ucm Marga-
ritam vocant , ^rl potius ante illum , fi-
lum cum pondufculo fufpendatur ^ illud fo-
ramtn^ in quo axiculus mouetur ^ accu-
rate hifidat.

26. Obferuatio haec admodum necefTaria eft,fed
difficillime et non fme magna attentiooe obtinetur inten-
tio. Si enim in altemtro latere nginae plus grauitatiseft,
decedit agina a fitu perpendiculari , et lingula ad alteru-
trum latus margaritae , feu noduli fuperioris declinat.
Imo tota forma aginarum vulgarium hoc vitii habet , vt
vacillet, et fitum (ibi mutuo oppofitorum foraminum a-
xiculo deftinatorum vitlct.

F 3 27.

46 DE BILANCIBVS.

'iab IIL ^7' ^^^^ ^^^^^ ^^^^ duplici remedium accom-

modaui, et aginam a vulgari forma plane alienam adhi-
bui 5 quam nunc defcribam : a, (3, y.

Ex lamina vnica latiore A aginam confeci , lamina
fuperius et inferius ^ et ^ recuruata : ita , vt antica pars
aperta remaneret, et lingula nuda yo. crure aginae nuUo
tedla,confpe(flui fe fifteret. In laminaehuius latioris in-
feriore piirte , longum et latum foramen ri* incidi , ita
vt iliud quadret ad recuruatum ct furfum inflexum infe-
rius extremum. IUud foramen inferius vbi defmit , et
pars aginae ima furfum flexa , recipiunt, tanquam fulcra
duo , axiculum fcapi , vt in illis haerere et iugum librarc
fe poiTit. In recuruato illo aginae extremo incidatur
femicircellus d , pifi magnitudine, e regione foraminis
longioris c laminae oppofitae , et in eius medio fiat ri-
mula tenuilfima , in qua quiefcere poffit axiculus , id
qtiod in longiori foramineex oppofito fito etiam fiat,ita,
vt crenae hae duae fibi opponantur mutuo , aptaeque
fmt excipiendo axiculo fcapi, immifHique deorfum tra-
be in aginam,axiculus haereat in duabus iflis crenulis. In
fuperiori aginae fpatio inter latum cius dorfum et cxtre-
mum incuruatum exiftente , aptetur lamella , et in illa
rimula tenuis , duarum circiter linearum longa incidatur,
vt per illam hix confpici, ad inftar lineae lucidae per-
perpendicularis pofllt. Ex ea iudicatur lingulae per-
pendicularis, fitus, fi fcil. medium aginaeoccupat, ci:m
rima ifta lucida lineam redam conftituit, et nec ad dex-
tram, neque ad fuiiftram defledlit. Lamella ifta per
cochleam perpetuam^^ transuerfim pofitam mobilisfit,

vt

DE BILANCIBVS.

M

vt in vtrumque latus promoueri, et fi redlum {Itum, me-
diumfcil. in agina adquifiuerit , immobilis manerc pos-
fit. Prodeat illa lamella rima inftrutfla / fiipra aginam
eamque cum articulo mobili .r excedat h et fafpendatur
ex vno quadrangulari k in alia lamina firmiore / , ita
firmato , vt durius, fed tamen in gyrum moueri atque
circumduci poflit , id quod obdneri potefl: , fi in tergo
laminae firmioris /ope cochleae;;/bene adducatiir,vtdu-
riorem circumgyrationem nancifcatur, Ope huius vnci
circa fuam axin mobilisjagina et ad dextram et ad finl-
flram agi, etita pcrpendicularisfitus rimulae ad fitum %,
xiculi fcapi obtineri poteft. Cognofcitur vero aginae
perpendicularis fitus , et redle pofitam efle lamellam ,
quae rimam incifim habet, fi ex acicula aliqua n , ante
rimulam/in inciiruato extremo aginae fuperiore a firmata
demittatur filum/) perpendiculare, crenam aginae^, a-
xiculum recipientem ,et rimulamlamellae fuperioris /qui
in arcuMiquo magnitudinem aginae fitus mutati notet.Tan-
dem adinferiorem aginae partem anterioremtegens et oc-
cultans. Addaturadvncum>^ indiculus^, et pofteriorem
lameIluIaeduaex,;fordinentur(v.Tab.IL|3!t.Tab.I f.2 3.|3)
ope aliquot exiguarum cochtenrum , vt ad illas allidant
axiculi cufpides, et fcapus in medio cauitatis aginaeper»
maneat. Fundus aginae u in mediopateat , yt perfo^
ramen patens contrapordium hngulae y'^ transmitti, U-
bereque moueri queat. Ex hac ftrucflura agina nouam
formam adquifiuit, qua mediante et fcapus fine fridione
maiori faciie moueri, allifio ad nginam inhiberi, marga-
rita, vel eius loco rima fuperioris lamellae /ad crenam

d, axi-

4S DE BILANCIBVS.

(\ axiculum excipientem perpendiculariteragi, totaque
bilanx in fitum accuranHimum ponipoteft.

Vitium vero illud leuioribus fcapis ct aginis doci-
mafticarum bilancium frequens , quod fcil. axiculus non
femper ad puncftum imum et perpendiculare foraminum
rotundorum aginae defcendit , fed ad alterutrum latus
perfiftit , vnde lingulae deuiatio accidit, penitus tolli-
tur,alio modo vix corrigibile, Hac enim in agina axicu-
lus femper in crenula fua haerct atque permanet , etiam-
fi leuior fit trabs, perpendicularem alias defcenfum ad
imum foraminum aginae propter leuitatem nonnunquam
eludens.

i28. Denique ad rede inflruendam bilancem hoc
modo agatur :

1 . Dependeat filum p cum pondufculo ex acicula
n fuper rimam fupcrioris lamellulae in medio aginae
conflitutam. Quod fi filum tegit hanc rimam, et con-
ipe(fi:um lucis inhibet , inferne vero crenam axiculo di-
catam etiam occultat, bene fita eft agina, et corredio-
ne non indiget. Sin minus, circumducatur aliquantu-
lum uncus fupcrior quadrangularis k , eousque, donec ad
datam normam dependeat filum p.

2. Imponatur trabs cum contrapondio lingulac
in aginam absque cochleis foemincis et elateribus extre-
mis fcapi dicatis, et fiat , vt lingula in linea reda cum
rima fuperiori lucida/conueniat, id quod obtinebitur
demendo aliquid lima de brachio praeponderante.

3. Conuertatur iugum ita, vt finiftrum quod fait
brachium, fiat dextrumetobieruetur, vtrum rima iucida

et

BE BILANCIBFS, 49

et lingula adhuc re(flam teneant lineam. Ttem ne lin-
guJa allidat , ad latam aginae lamellam, feu dorrum a-
ginae.

4. Eximatur iterum iugum , et applicatis extre-
mitatibus,cochleis foemineis et elateribus , exploretur
circino , vtmm crenae excipiendis annulis filamentorum
lancium deftinatae in aequali diftantia ab acie axiculifca-
pi diflcnt, et accommodentur poftulato. Hoc modo
paratatrabs aginae immittatur, et obferuetur, vtrumad-
huc lingula cum rima transparentc/conueniat. Si iila
deuiat, abradatur aliquid de elatere praeponderantis bra-
chii , eousque, donec aequilibrium erit conciliatum.

5. Tandem appendantur lances aequalis plane
ponderis , et fi alterutra praeponderaret, opc cochlea-
rum ^$. I2.)extremitatum, pauculum id, quod reftat,
corrigatur.

6. Commutentur lances, et fi omniaredle fuerint
obferuata , differentia nulla dabitur ; fm minus , quae-
ratur vitium , et corrigatur ad datas obferuationes ante-
cedentes.

Dico , hac ratione bilancem bene indrudam pro-
dituram , et palam fieri vitia , in antecedentibus nota-
ta et bilancibus plerumque adhaerentia effe corrcda.

Tow, II. G CAP

50 D£ BILAmiBVS.

Cap, IL

Noua bilanx absque lingula admodum
celer atque accurata.

Tcb, iy\ I. Quandoquidem obferuaueram , quod lingula

elusque contrapondium multum impediat bilances , quo
"^ minus leuiffimum onufcultim indicent , eiusque grauita-

tem prodant, de alia bilancis forma folicitus fui, et me-
ditationes meae fequentem optimae fpei foetum , vtmihi
videtur, conceperunt , ipfa deinde praxi obftetricante
Mechanica, inlucem editum , exfpedationique omnino
refpondentem. vid.Tab.lV-

2. Fiat fcapus feu iugum AA, chalybeum , fed
lingula deffitutum , inferius latus aa lineam redlam refe-
rat, reliqua vero latcra in medio fcapi h turgefcant^ etad
triplam partem craffitiei fcapi in latum et aitum exfur-
pnt, craflioresque ibi relinquantur,

3. Medio in latere inferiore excauetur fcapus ad
c , et <€micirculare ei incidatur foramen inferne aper-
tum. Huic foramini e in fuperiori medio incidatur cre-
na transuerfa , vix ocuHs confpicienda , fed tamen , fi
cultelli aciei imponatur iugum , Tt fenfibiliter in ea hae-
reat. Sit illa crena exacfte claborata , lima fubtili , an-
gulum in acie 90° habente , leuiter incifa , et tali etiam
chalybe politoriooptimelaeuigata. Crenula haec pua-
clum erit fufpenfionis , grauitatis, et quietis, quod inaliis
biiancibus axiculus fuppeditat.

4.EX

DE BILANCIBFS.

51

4. Ex hac crenulaV vtrfqne bmchio conciiietur
exad^e ncquaiis longitudo. Incidantur extremitatibus
cochleae niares d, ct aptentur cochkae foeminae y, qua-
ies etiam ^. I ^.Cap.praec.Tab.Lfub litera y delineauimus,
vna cum elateribus (3 et annulis latis x. In quauis extre-
tnitate fcapi prodeat lata kmellula /, fed non crafla.De-
iriitur fcil. ad duas vel tres lineas digiti cochkae pars
craflitiei fuperior et inferior , rclicfla in medio latitudine
extremitatis , ita vt lamellula ifta/, in eius cufpide ad 3.
vd 4. lineas promineat, tt (capus bilancis erit paratus,
5. Deindefiat Uneale orichalccum BEB , in ex-
tremitatibus ad digitum dimidium incuruetur gg ad angur-
los re<flos ita , "^t in antica parte duae pinnulae gg pro-
deant, cum lineali angulum redum conftituentes.

6, Cuiuis harum pinnularum adaptetur ab extra,
cochlea perpetua h in fuis fuftentaculis mn mobilis, infi-
tu perpendiculari , quo mediante lamelkila quaedam />,
I lineam craffa, et 3 lata furfum atque deorfum agi poffit.
Excedat lamella in longitudine pinnulas , et prodeat k
ante eas verfus centrum linealis. Rimula etiam admo-
dum angufta ^ prominentiis iftis incidatur , ita , vt linea-
le cum iftis rimulis lineam reftam et parallekm faciat.
In linealis latitudine, poll illas rimulas e regione fiat fo-
ramen r amplum 3 vel 4 linearum in diametro , luci
admittendaedicatum, ita, vt per rimulam linea ^ lucida
tranfpareat,

7. Lineale in medio / ex vtroque latere craflius
reddatur, adfirmatis dtiobus fruftulis orichalceis , //, et
per ea perfringatur foramen t tres lineas longum et

G 2 duas

52 DE BILAKCIBFS,

duas latum , inferne duos angulos redos habens, fupernc
fennicirculare. In medio femicirculari incidatur leuis-
fima crenula , quae aciei cultelli impofita in ea haereat,
€X qua deinde Hneale fulpendi atque librari poteft.

8. Dependeatetiam ex medio linealis lamina W
fat grauis, "vices perpendiculi gerens, quod lineale ecre-
nula t fufpenfum ad fitum horizontalem femper dirigat,
atque in co conferuet. In perpendiculari ifta lamina
W dimidium digitum infra foramen t fufpenjfionis fiatj
foraminulum u, ex quo dependeat filum cum pondus-
Gulo j'. Et fic lineale hoc etiam erit confecftum.

•9. lam de fuftentaculo vtriusque et lcapi A , et
linealis B perpendiculo praediti folliciti fimus. Fiat la-
mella 5 circiter digitos longa C,dimidium lata, et fefqui-
lineam cralTa.In fuperiore extremo pertundatur foramen
.r, ex quo fufpendi lamina poteft, Vnum digitum etfe-
milfem infra hoc foramen x prodeat cultellus 2; aciem
furfum vertens. Huic aciei imponcndum primo lineak
B, deinde iugum bilancis A.

10. Quandoquidem vero onerato hoc modo cuU
telio Zj lamina C, ex fitu perpendiculari recedit, eteffi-
cit, vt etiam cultellus fitum nancifcatur decliuem, ideo
in infima parte laminae e tergo prodeat cochlea mas e,
duos digitos longa, cui applicetur rota O grauior,coch-
lea foeminea in medio incifa, Reduda ad extremum
cochleae hac rota , contrapondii vices recipit, laminam
C ad fitum perpendicularem adigens , et cultello z hori-
7.ontalem reftituens ^ adducla , nimiam laminae propen-
fionem retrahens.

II. Con-

DE BILAKCIBFS.

53

II. ConftriKflionem quod attinet atque iuftifica-
tionem bilancis , haec fequentem in modum inftituatur,

I . Sufpenfo lineali B fuper cultellum z fuftenta -
culi C cxploretur ope fili perpendicularisjK infra crenam
fufpenfionis t lincalis B aptati, vtrum linealca vel rimac
^ in pinnuiis gg verfatiles redlam tcneant lineam horizon-
talem ; fi non, ea inducenda ope cochleae perpetuac b,
cuilibet pinnulae^ applicatae.

2. Imponatur cultello z etiam fcapus A , absque
clateribus et cochleis, et aequilibretur , donec lamellae
extremitatum fcapi / cum rimulis lucidis ^ lamellarum
verfatilium in reda ftent linea horizontali , et conuerfo
fcapo, vt brachium dextrum fiat finiilrum , idem con-
tingat.

3. Scapo hoc modo praeparato apponan-
tur cochleae foeminae y , absque elateribus , et ex
crena fufpenfionis t ope circini concilietur aequidiftan-
tia crenulis S cochlearumfoeminearumy fulpenfioni lan'»
clumdicatarum.

4. Sufpendatur iterum fcapus A et aequilibretur;
demendo de fuperflua grauitate cochleae foeminae prae,
ponderantis.

$. Addantur elateres (3 , et fi aequilibrium ab
iis fuerit vitiatum , tantum lima ab elateribus dematur,
quantum opus fuerit ad aequilibriumfcapo reftituendum,

6. Tandemaddantur lances exade aequipondc-
rantcs.

7. Quod vero in aliis bilancibus lingulae officium
cft, idpraeftabit in hac lamellula /'alterutra in extremi-

G 3 tati^

54 DE BILANCmVS

tatibus fcapi prominens. Si itaqne per rimiilam tj k-
minae verflitilis /> linea lucida conrpicitur, iudicetur, V-
trum lamellula alterutra / <;um ea redam conftituat li-
neam, quodfi contingit, onus omnino ciim ponderecon-
cordat, fin mimis, diflfcrentia inter vtrumque manifefta-
tur , adiedis ponderibus determinanda. Quod v^ro ce-
leritate eximia haec bilanx gaudeat, et minimum onus-
culum prodat , hoc ex co eft , quod onufculo nullum
linguae contrapondium obftat, et praepondium eiusim-
pediL Caeterum regulac ad bilances in praccedentibus
datae, non funt negligendae, in quantum applicari hic
polTunt: e, gr. Vt pundum fufpcnfionis lancium pauxil-
lum infra aciera cultelli adornetur, qui hic vices axis
fcapi gerit, et quae funt huius generis alia.

12. Praerogatiuara et vfum quod concernithu-
ius bilancis, ille in re Metallurgica maximi eft momen-
ti , praecipue in probationeO, 'vbi minima corpufcula,
et fere atomi fub cenfuram atqiie examen trahuntur.

13. In ponderibus probatoriis,maxime ad Dena-

rium probatorium conficicndum apprime officio fuo fa-

tlsfacit , adeo^ vt , cum vulgarium bilancium probato-

riarum celeritas vix vulgaris pondoparticulam elemen-

tarem fc. tttoT2 i"^i^^^ ? ^^^^ bilanx omnino

^_.^_}--j--^ particulam vnius Pondo oculis fiftat , et

• _^ partem vnius Drachmae trahat.

14. In experimentis Phyficis accuratiorem inda-

gationem poftulantibus , vtet aliis infenfibiljbus graui-

tatibus corporum naturalium expifcandis egregie condu-

cit. Et quae funt reliqua,

X5. De

VE BlLAKClBrS. 5$

I 5. De hac bflanee vereor , vt qiiis artificum io-
ueniatur, qui iuftificare eannpoffit , quandoquidemflru-
(fbura facilis efl: , iuftificntionem vero mille difFicultatl-
bus implicatam et tantum non impofiibilem inueni , re i-
pfa tamen a me praeflitam et Societati noftrae inclutae m
eoncione demonftratam dedk

Exactis/ma manudnctioad iustificationem
huius bilancis confequendam.

I. Quandoquidem haec bilanx facilioris quidem
elaborationis eft quam aliae docimafticae , iuftificatio
tamen proptcr fummam accurationem atque celeritatem,
minimum etiam praepondium indicantem , admodum dif-
ficiiis, imo, regularum artis ignaro , plane impoflibilis
erit, hinc modum laboriofum quidem fed certum atque
fincerum docebo , quo negtedlo nuila alia dabitur via ex
his tricis Mq explicandi et iuftificationem bilancis ob-
tinendi :

1 . Scapus A absque cochleis et elateribus extre-
morum aequilibretur exade : Id vt fieri poflit,quando-
quidem lingula deftituitur fcnpus, hoc modo agatur.

2. Sufpendatur lineale B ex laminae C cultello
z vt perpendiculum linealis w refpondeat perpendiculo
jpfi additoj' et filum hoc cum linea ilHus perpendiculari
concordet, id quod obtinetur grauitarem praeponderan-
tis brachii linealis B minuendo , et tunc recfle fe habebit
firus linealis horizontalis.

3. Addntur fcapus A et ante liaeale eidem cultel-

56 . DE BILAKCIBFS,

lo ^ imponatur , absque cochleis y ^t elateribus (3, et
obferuetur quantum illius lameilula/a linealucida ^fini-
fl:rae auriculae diftet.

4» Linea illa lucida q ope cochleae b lamellam p
et rimulam ^ dirigentis,adducaturadlamellulam/exbra-
chiis fcapi prodeuntem,et cum ea faciat redam lineam.

5. Conuertatur fcapus et obferuetur quantum
fcapi lamella altera / diftet a rimula ^ auriculae lu-
cida.

6. Dematur a praeponderantis brachii fcapi A
grauitate, vt lamella/dimidiam partem propius accedat
ad lineam lucidam ^.

7. Linea lucida ^ akeram dimidiam partem ac-
' ce(tionis abfoluat^et ad lamellam/promoueatur , addu-

cendo et reducendo cochleam eius perpetuam^.

8. Conuertatur fcapus et videatur vtrum concor-
det eadem linea lucida ^ cum lamellula/ alterius bra-
chii , fi non , corrigatur vitium ex ante didlorum mo-
nitis.

g. Tandem omnia ita difponantur , vt lamellac
^vtraequecum vtrisque lineis lucidis tj/tj accurate con-
ucniant et conuerfo etiam fcapo idem femper eueniat,et
quiindo omnia rede fe habebunt,fcapi correcflio et ae-
quilibratio erit abfoluta , lineaeque lucidae horizontali-
ter erunt pofitae.

10. Cochlefe iam foemineae absque elateribus ap-
ponantur ad fcapum , et ex centro grauitatis fcapi (ca
crenula fufpenfionis t ope circini menfuretur fitjs feu
diftmtia crenarum cochleis foemineis ii incifarum vt

ambae

m BILANCIBVS, 57

ambae ii eandem nancifcantur diflantiam ab Ifla crena t
fcapi.

1 1. Sufpendatur fcapus A et de praeponderan-
tis brachii cochlea foeminea y in extremo tantum ab-
radatur quantum ad aequihbrium brachiis reftituendum
fufficit , conuerfo faepius fcapo.

12. Addantur ad cochleas foemineas elateres (3
et reconciliata crenis ii acquid:ftantia a crena media t,
fufpendatur iterum fcapus et redigatur ad aequihbrium^
grauitatem elatcris (non cochleae foeminae) brachii prae-
ponderantis minuendo , et conuerfio fcapi non negliga-
tur.

1 3. Appendantur lances diligentiffime ad eandem
graultatem redadae et obferuetur vtrum aequilibrium fer-
uet biianx ; fi ab eo defledit dematur aliquid de prae-
ponderantis brachii cochlea foeminea (non de elatere)
donec acquiiibrium fere/ed non totum, fuerit indudum,
et denuo remoueantur lances, et fcapus absque lancibus
reducatur iterum ad aequilibrium imminuendo grauita-
tem elateris (non cochleae) praeponderantis brachii.

1 4. Sufpcndantur iteriim lances et agatur ad prae-
fcriptum (J. 13. Cap. praecedent. idque quod in <Sf. 1 1.
12. 13. didum repetatur (aepius, donec bilanx pro-
deat omnibus modis abfoluta et correda.

I 5 . Tandem examen rigorofum fubeat bilanx. O-
neretur vtraque lanx tanto pondere quanto fcapus fuffi-
cit ferre e. g. cuiuisimponatur vnavncia, etaequilibren-
tar ambae exacWime, deinde commutentur lances,quod
fi aequilibrium iis manet, rede fehabetbilanx, fmminus,
Tom. II. H quae-

5» DE BILAKCIBVS,

qaaeratar error iiixta praecedentium §§. moiiita et cor-
rigatur donec defideriis erit fatisflidum.

2. NB. Obferuatio lamellularum / ct linearum
lucidarum q ita inftituatur : Bilanx ad feneftram concla-
uis locetur , vt per foramen r et rimulam ^ lux transpa-
reat. Deinde oculus obferuatoris ita fituetur, vt lineae
lucidae cjq in medio foraminis r confpiciantur et neque
altiores neque demilfiores appareant fed diametrum ho -
rizontalem referant foraminis rotundi r ad hoc fi atten-
ditur , tunc fcmper ex eodem puncHiO vifionis obferua-
tiones rite et aequaliter erunt adornatae.

Methodus lances ad aequale pondus re-
digendi.

3. Cum vero vulgaris trutina feu docimaftica mi-
nimum illud praepondium alterutrius lancis non prodat,
in hac ipfa vero bilance fumma aequalitas lancium requi-
ratur tali modo agendum vt lances eandemrecipiantgra-
uitatem.

1. Quando fcapus , cochleis foemineis ii et elate-
ribus fuis ioftrudlus, aequilibratus eft , ct, conuerfus fae-
pius, cum rimula lucida ad fmiftrum latus femper con-
cordatftcuti §. i. momento 12. traditum tandem ap-
pendantur lances cum fuis filamentis et annulis latis.

2. Notetur in auriculae g margine promincnte al-
titudo lamellacfcapi/

3. Deinde commutentur lances \t dextra fiat fi-

niftra

DE BILAKCIBVS. 59

niftra et lamellae / altitudo iterum fignetur in marginc
prioris auriculae^.

4. Diftantia duorum iftorum fignorum dimidie-
tur ct figno notetur.

5. De lance praeponderante et infra hoc fignum
defcendcnte tantum abradatur lima , vt tandem cum Ci-
gno praedido conueniat lamella/

6. Commutentur iterum lances, et fi lamella/ad
datum fignum repetit fuam ftationem , res erit perada,
et lances habebis exadiflime aequiponderantes.

7. Tandem agatur ad pracfcripta monitorum
§,I. membri 13. if.

Cap. IIL

De bilance cum centro feu axlculo fcapi
mobili.

1. Quandoquidem vero in accurata bilancium
conftruiflione operationem fere impoffibilem reddunt,
planeque defatigant artificem tria haec neceffaria requifi-
ta (i) inueftigatio centri bilancis fcapi ad aequalem bra-
chiis longitudinem dandam. (2)Induclio aequalis gra-
uitatis brachiorum,quae modo ordinario peragitur lima,
aliquid vel a dextro vel fmiftro brachio demendo , cum
leuiori nihil addi poteft. (3) Conciliatio concordiae,in-
ter aequalitatem et longitudinis brachiorum et grauita-
tis quia inquifitionem in aequalem longitudincm etgraui-
tatem fimul,opus longe difEcillimum inueni. Elongato
enim breuiori brachio, alterius grauitas vitiatur j corre-

H 2 (ft;!

6o LE BILAKCIBVS.

da grauitatc , elongatio iterum eft cuftiganda , donec
proportio inter vtriusque corrcdioncm obt.nctur, quae
fi non cafu tandem inutnitur , exercitatiffimum etiam mc-
chanicum profternii atque a labore vlterius profequendo
deterret, quia trabem faepms limatam graciliorem, eto-
neri fercndo imparem vtplurimumreddit,ideoque plane
inutilcm atque deperditum.

£>. Annifus itaque fum vtrisque prioribus defide-
ratis fubuenire , vt tertium eo facilius obtiiieri pofllt, et
deperditio totius operis praecaueatur. Id fequenti in-
uentione feliciter confecutus fum, et feliciffime expediui,
ita vt haec et trutinis feu docimaflicis fubtilioribus,etbi-
lancibus maioribus, ponderationi centenarii et vltra di-
catis , fiue illa lingula inftrudae , fiue absque lingula ad-
ornatae fuerint , applicari posfit, et fic accurationem bi-
lancium ad fummum fere perfedlionis failigium addudam
arbitror. Inuentionem indicabo:
y^^ Y^ 3. Fiat fcapus A pcdem longus cuius extremis

et VL cochleae mares bb incifae fmt , ad longitudinem fcre di-
giti. Crefcaut eius brachia pedetentim centrum verfus,
vsque dum tantum incremcntiacquifiuerint, vt fpifiiores
cochleae mares aa vtrique brachio prope centrumfca-
pi, incidipoflint, ad longitudinem dimidii digiti, vthoc
modo earum foeminae ee fme impedimento et libere ad-
mittantur ab illius maribus bb tenuioribus. Medium d
fcapi fiat quadrangulare , latitudine craflitiem dorfi fu-
perans , longitudo fere femidigitahs fit. In maioribus
bilnncibus omnia adornentur ad proportionem.

4. Fiat ephippium D dorfo fcapi proportionale

cuius

DE BILARCIBVS, 6i

cuiiis latera pliina anterius a et poflerius b formam ha-
beant in fig, D. cxpreHlim. Inferior pars L.terum \a
extremitat^bus duabus cochleis cc transuerfis connedlan-
tur, cochleae autem cylindruhs cauisjyj , et mobihbus
intra ephippium induantur, \'t in cauo ephippii fcapus
fuper eos commode porro et retro verlari poffit. De-
pendeatvero anterius latus in forma trianguU y dig'ti
infra fcapum deorfum L Per vtrumque latus cphippii
fiatforamen/in pofteriori latere apertum inferius,inan-
teriori in angulum perquam acuium definens, fuperna in
parte fit vtrumque femicTCulare, in quorum apicibus
incidatur crenula, hypomochlio dicata, perpendiculari-
ter fupra angulum inferiorem acurum , ex quo angulo
fufpcndendum erit filum illud orichaiceum pondufculo
g oneratum , quod fcapo polt librationcm fitum hori-
zontalem reftituit.

5. Ad extrema fcapi applicentur rotulae cochleis
foemineis patulae zz ex vna tantum parte , ex altera
claufae, vt extremis fcapi firmiter applicari pollint , ex
claufa parte rotularum prodeant lamellae 00 perpendicu-
lariter pofitae et tenues, horizontalibus crenulis donatae,
longae fmt 2.hn. latae i-^ lin. craffae ^ lin. Rotulis il-
lis crena circularis torno incifa fit cx qua lancium funes
annulo latiori xx annexi dependeaut, eodem modo vt
in praecedenti bilancis defcriptione Cap. II. §. ^, tt
Cap. I. §. 12. indicatum.

6. Ad rehquam partem cochlearum marium bb
vtriusque extremitatis fcapi applicentur binae cochleae
foeminae ; vna in forma rotulae y altera u in eadem for-

H 3 ma

62 BE BILANCIBVS.

ma, ita tamen vt duo corniia prom^neant ex latltudinc,
ad circumducendam cochlcam. Hae cochleae foemi-
neae :)j et uti in longioribus cochleis maribus bb cis etvl-
tra gyrari poflunt ad aequilibrium brachiis inducendum.
Duplicatae fint, vt vna ad alteram durius adduda, vtrae-
que fibi firmius incumbant, ne aleuiattadu locodepcUi
pofllnt, fed immotae locum aflignatum feruent.

7. His itaque peracftis componatur tota bilanx
hunc in modum : Scapus A immittatur in ephippium
E. Duae cochleae maiorcs cc cis et vltra ephippium
addantur. Deinde vtriusque cruris cochleis mafculis
minoribus bb applicentur binae matrcs jy ^t uu , quae
fe inuicem tangant. Porro apponantur ad cxtremabra-
chiorum cochleae zz crena annulari donatae , quibus
deinceps imponantur annuH xx cum dependentibus lan-
cibus. Tandem fufpendenda erit tota bilanx per fora-
men medium/ephippii D.
Tab. VL 8. Antequam vero fufpendatur haecbilanx con-

ficiendum erit Hneale BBB cum fua lamina perpendicu-
lari w quemadmodum hoc defcriptum extat Cap. II. $.
5. (T. Non tamen neceffe efi:,vthoc lineale in vtrisquc
extremis eandem habeat fbrmam quam ibi dehneauimus
fed brachium fmiftrum formam illam habeat necefle efl,
dextrum vero defmat in cochleam craffiufculam marem
2. digir. longam a , cui adiiciantur binae cochleae foe-
minae , quarum vna h inftar rotae feu orbiculi , altera
d cum manubriis binis efformata fit. Hae cochleae ad
centrum fcapi dudae brachium hoc linealis leuius, redu-
dae grauius faciunt.

9. Sus-

BE BILANCIBVS, 63

9. Sufpendatur hoc lineale ex cultello F tanquam
clauo furpenfionis et linealiset bilancis; ita vt perpendi-
culi j filum, lineae pcrmedium laminaedefcendenti re-
fpondeat,quod cochlearum foeminearum Z» et Jpromotio-
ne obtinebitur Hisredle fefe habentibusfufpendaturexeo-
dem cultello F tota bilanx per foraminis medii/ephip-
pii D crenulam fuperiorem cuius inferiori angulo adda-
tur pondufculum g tunc tota machina erit adornata.

10. luftificatio bilancis hoc modo inftituatur:
Redigatur ad aequihbrium fcapus •, id quod ex crena
brachii, crenae linealis BBB in linea reda refpondente
cognofcitur. Hoc Tt eueniat ducatur epbippium ope
adiacentium cochlearum cc quantum fieri potefl: ad m.e-
dium fcapi pundlum et cochlcae combinatae/// brachii
praeponderantis "vlterius verfus ephippium promouean-
tur, fic grauius brachium leuiusredditur, et alterum le-
uius grauitate augetur. Non itaque necefle habebis li~
mando grauitatem praepondernntis brachii minuere.

II. Rccfte conftituta hoc modo bilance , binis
lancibus imponantur binae vnciae accuratifiime iam ae-
quilibratae , et obferuetur vtrum bilanx rede adhuc fe
babeat, an vero vnum brachium praeponderet, quod fi
pofl:erius, indicio eft, brachia aequalis longitudinis non
efie, hinc praeponderans brachium abbreuietur promo-
tione ephippii per cochleas appofitas, et aequalitas gra-
uitatis brachiorum,hac ratione per protrufioncm ephip-
pirvitiata corrigaturper cochleas compofitas yu. Id-
que continuetur tam diu, donec bilanx et cum impofi-
tis iftis vnciarum ponderibus , et fine iftis , fitum eun-

dem

64 DE mtAKClWS.

demretineit, crenulaeque extremitatum lineam rei^am
conferuent et fic iuftificatio bilnncis erit perfedla.

12. Haec de bilancibus absque lingula. Si vero
bilanx lingula expetatur inflruenda , firmetur in epliip-
pio lingula exafle fuper crenula hypomochlio dicata,
reliqua omnia fiant vt in antecedenti defcriptione tradi-
ti, modo per ephippium traiiciatur et prodeat axiculus,
ille inrtruatur vt Cap. I. ^. 21. 23. 24. 25. didum et
tunc fcapus in ephippio erit mobiJis. Trabs yero im-
ponatur in agindmiuxta Cap.T. Reg. X. §. 27. adorna-
tim. Lineali vero BBB cum lamina pcrpendiculari w
hic opus non erit. Ad hunc modum maiores etiam bi-
lances adornari polTunt, ita vt ad praepondium oneris
minimum indicandum aptae inueniantur.

Cap. IV.

De bilance docimastica singtilari pon-
duscula probatoria mole octies auctio^
ra admittente.

y^^ jri I . Animum denique ^induxi eiusmodi bilancem

probatoriam conficere quae ponderibus ordinariis odies
maioribus onus odies minus indicare valeat, eum in
finem vt pondera probatoria eo exadlius in minima di-
uidi pofTuit. E. g.Onus drachmagraue aequipondera-
bit ponderi 0(^:0 drachmarum feu vnciae. Si itaquc
drachma in loo partes diuidenda, tunc loco drachmae

vncia

DE BILANCIBFS, 65

vncia in 100 particiilas difpefcatur quarum quaeuis cen-
tefimae draclimae parti aequiualebit. Nondifficilis fa-
ftu mihi res videbatur quam aggreffus hunc in modum
perfeci.

2. Primo elaboraui lineale BBB cum lamina per-
pendiculari w et pcrpendiculo ex filo fuper linea verti-
cali dependente , quale Cap. II. §. 5. et Cap.III. §. 8.
defcriptum,

3. Scapum confeci cuius brachia inaequalis erant
longitudinis,fupcrabat enim finiftrum A odies dextrum
2 fcil. fi fpatia intra punda fufpenfionis lancium, et hy-
pomochlium feu pundum fufpenfionis fcapi confideres,
vlterius vero extendebatur illud brachium Z ad vnum
digitum a pundlo illo fufpenfionis lancis. A finifiro A
dcpendebat lanx ab extremitatis pundo fixo , dextrum
vero brachium 2 prope hypomochlium bilancis erat
quadratum a et definebat in cochleam marem r.

5 , Prope hypomochlium affixum erat elafirum s
quod nitebatur in cylindrum t in medio foramine qua-
drangulari praeditum , brachio z proportionale , vt cy-
lindrus ibi fit mobilis. Ad cylindriextremum transver-
fe traiedlus erat axiculus m lancis appenfioni dicatus , a
cuius prominentibus extremis dcpendebat longior auri-
cula p. cum vnco h. Vltimo loco cochlea foeminea ^
ct / addebatur , qua mediante cylindrus t cum axiculo m
fufpenfioni lancium inferuiente ad crenulam / feu pun-
£lum fufpenfionis fcapi , propius adduci vel remoueri
potefl: ad elongationem et abbreuiationem brachii 2.

6. Scapus lingula enit deftitutus et fufpendeba-,
Tom, II. I tur

$(5 LE BILAKCIBFS.

tur In crenulii/fuper cukelloFvt antecedentes bllanccs.
Brachiuin longius A in vltima extremitate dcfinebat in
tcnucm iamellam z crena o incilam, quae etiam ex ante-
cedentibus iam nota funt.

7. Tandem ad brachii breuioris z auriculam de-
pendentem p apponebatur cylindrus ^auus X in fupe-
riori parte cochlea b claufus cum foramine k quod ad
fufpenfionem cylindri X fl icit , inferius orificium cylindri
erat imperuium, vnco tamen^ etiam praeditum ad reci-
piendam lancem cum fuis funiculis. Haec totius machi-
nae ftruduram abfoluebant.

8. luftifiationem huius bilancis quod nttinet , ea
tali modo adornetur : Sufpendatur bilanx ex fcapi cre-
nula/, fpatiumintra pundum fufpenfionis lancis etpun-
dlum fufpenfionis fcapi/brachii maioris A diuidaturin
odo partes aequales, et fiat alterum illud fpatium mino-
risbrachii 2 odies minus , ita vt -1- tantum longum fit,
Deinde tantum iniiciatur plumbi diminuti in lancem mi-
noris bracliii 2 quantum fufEcit ad fcapum in fitum ho-
rizontalem ducendum , vt crenulae 0 extremi fcapi et k
linealis BBB horizontalem lineam conflituant. Poflea
in lancem minoris brachii 2 ponatur l uncia feu 8 dra-
chmae, et inlancem maioris brachii A l drachma , v-
trisque ponderibus exa^fle ad trutinam parads , et obfer-
netur vtrum fcapus leruaturs fit fitum priorem fcil. hori-
zontalem. Sibrachium minus 2 praeponderabit , exi-
matur aliquid plumbi ex eius lance , et adducatur cylin-
drus t cum axiculo ;;; aliquantulum ad crenulam / ope
cochleae^. Si vero bradiium A grauitatc praeualeat,

adda-

DE 3ILAKCIBVS. 67

addatnr pauxlllum diminuti pliimbi ad alteram lancem
brachii 2 et fimul cochlea q reducatcr. Idque tam diu
iterctur atque tentando inuedigetur, donec bilanx etcum
ponderibus et absquc ponderibus rede fuo fungatur offi-
cio et tunc omne plumbum ex lance eximatur , cylin-
drus X apcriatur eique iniiciatur , vt qui ad eum fintm
fadlus eil, claudatur itcrum, et bilanx defideratum dabit
eiFediim.

9. Huius bilancis ope pondera probatoria maio-
ra fiunt mok , et tamen ordinariis ponderibus aequi-
polient, e, g. i. \ncia \icarius eft i. drach. i. loth vi-
ces gerit -^ drachmae,et fic porro, ita vt ponderafem-
pcr odies maiora onere ponderando emergant.

10. Vfum hunc habet bilanx, vt fi e. g. una dra-
chma in centrum partes diuidenda fit, ex qua diuifione e-
xiles valde emergunt partes, tunc loco i. drachmae di-
uiditur i vncia m 100 partes et -^-^^ vnciae idem prae-
ftat ac -j-~ drachmae, nifi quod haec particuJa vnciae
molc oAies audior ocuhs fe fifiat. Et fic vtilitatcm at-
que commoditatem pracbebit haec biianx non fpeincn-
dam.

Cap.

V.

De fiilcimento quodam hilancium proba-
toriarum commodo.

I. Non poflum quin artificibus metallurgis com-
modum fulcim.entum proponam cuius ope bilances ad

quie-

68 DE BILANCIBFS.

qiiietein rediguntur, ita vt non opus fit eas fusque deque
librare , quod vulgo fit , et nunquam fine vacillatione
niachinulae peragi poteft; fed fuftentaculum , fuper quo
quiefcunt lances , deprimitur incommota manente bi-
lance.

2. Afleruatorii feu ciftulae bilancis fiindus X di-
uidatur in trcs partes aequales lineis duabus ^ et ^ fecun-
dum longitudinem dutftis, quas bifecet transuerfim du-
<fla alia, c.

3. Ex pUndlo interfedionis , quod tergo ciftulae
proximum eft^,parallelepipediumA i^ dig.Rutcn. de-
cimal. latum, i dig. craffum vltra mediam ciftulae alti-
tudinem normaliter aflurgat.

A. Vcrtici parallelepipedi A crcna incidatur i.
dig. long. -| lata e, cui immittatur prominentia alius cu-
iusdam parallelepipedi B priori fimilis, haec prominen-
tia exade quadret in prioris crenam , ita vt duo parallel-
cpipeda, fi fibi mutuo immifla fuerint , vnicum parnllel-
epipedum conftituere videantur. Infcrta crcnae promi-
nentia cum ea articulum efficiat ope axis ferrei g per co-
pulatorum parallelepipedorum mediam craffitiem traie-
di, vt parallelepipedum B vltro citroque moueri pofiit,
jmmobile manente infcriore A.

5. Superius parallalepipedium B in cochleam li-
gneam h definat , quae per foramen b tedli ciflulae Y
longiustransmittatur, vtinclinari et reclinari in foramine
longo h 5 et fupra tedum ciftulae coclilea foemina c fir-
mari pofiTit.

6. Tn.

DE BILANCIBVS. 69

6, Inferius parallclepipedum A -f dig. a fundo
pertundatur in medio quoadlongitudinem fifiiira d 5 dig.
ionga -^ dig. lata.

7. Pone parallelepipedum compofitum AB fere
ad tergum ciftulae erigatur aliud parallelepipedum li-
gneum C 5^ dig. altum et priori aequale in latitudinc
et craffitic , diftet a parallelepipedo A i . dig, filTuram in
fupcrioriparte habeat 5. dig. longam ^ dig, latam^ , ita
vt refpondeat fiffurae d prioris parallelepipedi A.

8. Vlterius ordinetur ad fifluram e afferculus D in
cam inferendus, vt ibi ex axe^' traiedto mobilis fit , et
per fiffuram d parallelepipedi A transeat, longus fit as-
ferculus quantum ciftula intuspermittit, latus i-| digit.
cralTus -f dig." Axis ferreus^ latius caput habeat, poft-
ea quadrangularis , in medio cylindriformis et definat in
cochleammarem,vt percochleam foeminam addudam
fiiTura e cogi poflit ad aflerculum D ardlius ampleden-
dum, motumque eius difficiliorem aliquantulumredden-
dum.

9. In ea parte qua fifuram <^parallcpipedi A tr an-
fit aflcrculus D exfcindatur fruftum fuperius et inferius
per totam aflerculi anteriorem partem , vt refidua eius
portioreferatprifma/quadrangulare -§-dig. crafTum, 4
altum.

10. Huic prifmati/accommodetur alius aflcrcu-
lus E, longus prout ciftulae longitudo admittit , latus
2. dig. craffus i^ dig. In eius medio latitudinis fiatfo-
ramen quadrangulare ^ vt per illud prifma/aflfcrculi D
transmitti pofllt.

Ij II, Ex-

70 EE BJLAKCIBVS.

1 1 . Exrdndatiir et hx jifTercolns IS vtrinqne vt
tantam in medio clypeus cum foramine g remaneat bra-
chiis hh vtrinque prodeuntibus.

12. Brachia hb per mcdiam crafTitiem verticalem
a clypeovsque ad extremeferebrachiorum crenis trans^
folTis kk pateant cochleis GG hgneis gracilioribus impo-
nendis.

1 3. Cochlcae GG infra medium latiori gaudeant
interftitio f/, crenulis brachiorum M? committendo,cras-
fitie coch^earum inferioris partis aequali", fuperior pars //
cochlearum GG craiTior fit , vt in crenularum lateribus
infiftere , cochleis foemineis jy inferioribus addudlis,
poflint.

14. Tandem cuuiis fn pereminenti cochleae //ac-
commodentar duae cochleae foeminie f?im et rm , qua-
rum (iiperiores 7nni referant orbicnium inferiores «w, o-
dlangulares fmt vt vtraeque n in m addudae fibi incum-
bant, nec locum fitus mutent.

1 5. Vltimo loco perforetur prifma /'afferculi D
in anteriori parte 0 foramine oblongo , transmittatur cla-
uus ferreus p capite perforato vt gyrari poffit , et dimi-
diae parti infcriori cochlea fit incifa , indatur illa poft
tran-miiTionem per prifmatis fjramen 0 in cochicam
f teminenm ^ quie furfum et deorfum moueri poffit.
Claiins capite fio Litiori incnmbat in prifma / , et rcftc
c-^^nniitatis omnibas adJucaturcochlea foemina m^ bilis^
ad fundum ciftuiae X vt iirmiter erecflus maneat clauus
absque vacillationc. Sic prifma /altius attollincquibit,

quam

DE BILAKCIBVS. 71

qnam clnui capiit permittit, quanquam deprefiioni omni-
no obediat.

16. Fnlcimentnm hoc tali m.odo -vfui accommo-
datur : In paralleiepipedum fupcrius Bpangatur cultel-
lus z fcapum bilancis recipiens, impofitoquelineali BBB
cum fuo perpendiculo 'Zi;in antecedentibus bilancibusde-
fcripto attendatur , vtrum cultellus z fitum horizontalem
habeat , fi fcil. perpendiculumj hnealis BBB aequaliter
fuperius et inferius diilet a lamina iu linealis BBB depen-
dente, hoc fi non eft, inclinetur vel reclinetur pariiiele-
pipedum B vsque dum defideratus obtinetur perpendicu-
li fitus , tunc adducitur cochlea foeminea c quae fupra
tedum eft, et firmatur parallelepipedum fuperius B.

Dependentibus bilancis lancibus fubiiciantur co-
chleae foeminae m??i orbiculares protrudendo vel retra^
hendo afferculum E in prifmate / aliquantrJum durius
mobilem, vt orbiculis ?;/;// iftis lances immineant.

Porro attollantur gyrando orbiculi nniiy vtin iflos
Icuiterincumbant lances, et cochleae nn adducantur ne
orbiculi vacillent fed ftabiles reddantur. Tandemcla-
iius ferreus p tamdiu cLrcumducatur in fua foemina r,
donec caput eius in ea altitudine cxiilat , in qua omncm
afcenfum prifmatis/impedit,quo lances turbari poffenr,
atque hic fitus claui fcruetur per cochlcam ^ fundo ad-
ducflam.

17- Iniedlis itaque in lances onere atque pondere
deprimatur prifma/, tunc hbere pendet bilanx et one-
ris pondus determinabit. Adrcftituendam bilanci quie-
teni; reducatur prifma/, vt in caput claui impingat^tunc

72 JDE BILAmiBFS.

lances quiefcent , nec tamen bilanx alteratur aut com-
mouetur.

Cap. VI.
De PonJeribus.

maxime quae ad bilancem probatoriam
fpectant.

1. Non tantum devtilitate , fed et de neceflltate
mathematico eft , fcire determinationem nonnullorum
ponderum , maxirae, quae ad bilancem probatoriam per-
tinent , eaque ratione et indolis et formationis intellige-
re. Hinc fequentem breuem quidem , fed lufiicientera
manududionem ad vtrumque fuppeditabo.

2. Ccntenarius eft illud maximum genus ponde-
rum,quoin communi vita, vt in etre metallurgica vtun-
tur artifices in Germania : Eft vero pondus commune
vbique locorum vcplurimum eiusdem grauitatis , fed di-
uerfis in locis diuerfimode diftributus in Pondo. Sic
Centenarius Norimbergae et Lipfiae diuiditur in lOO.
Ibr. Coloniae ad Rhenum in 102. Ibr. et tamen vter-
que Centenarius eandem habet grauitatem : pondo vero
Colonienfe pendet minus Norimbergenfi.

3. Hic vero in Ruftia vulgarirer maximum pon-
dus eft quod vocatur ?ud. Datur quidem apudRutlie-
nos adhuc aliud ingens pondus Ferkoiwitz didum ,
fed non adeo in vfu eft , et fere obliuioni datum , nifi

quod

DE BILANCIBFS. 73

quodNamae eo adhncvtanturquibus vocatiirnn^Bri^^tfftf
5^fu l^. Haec itaque introduda eft uibordiriatio Pon-
derum Rutenicorum :

I Percoiwitz continet 10 Pude
I Pud - - - - ^O Pondo
I Pondo - - - 32 Loth
I Loth - - - 3 Soiotnik

I Solotnik - - - 6 Gran.
4. Diuiditur vt dixi Centenarius Norimbergicus in

XOO Pondo feu libras , et exprimltur figno i C.
I Pondo in 2 Marcas - i Ib.
I Marca in 8 Vncias - - i Mrc.
I Vncia in 2 Lothones - 15
I Lotho in 4 Drachmas - iL.vel-^5
I Drachmain^^ partes - - 15
Dracbma difpefcitur dimidiando femper partesita,vt
I DrachmareuQuintilium(emOucntcf)er()rit ||part
■i; Drachma - — — — ^5

^ Drachma quac vocatur

denarius (cin ^fennfitg pU) ^^

I Drachma Obulus (cm ^effet: ()(♦) ^^

TVDrachma ^ Obulus (^ ^caer) /^

y'^ Drachma ^ Obulus [^ ^eHcr) ^*^

5. Ad normam vero Norimbergicorum (i exa-
minantur pondera Rutenorum , inueni, talem dari pro-
portionem:
Tom. IL K I Ib.

74 DE BILAKCIBVS

I Ib. Ruten. aequatur 28 Loth j^ quentl. Norimberg.

Ergo

512 Ib. Rutenica dant 449 Ib.' Norimbergica

40lb. - - - 35 Ib- ^L. 2 ^N.

10 Ib. - - - 8 Ib. 24 L. 2I ? N.

ilb. - - - 28 L. i ^N.

iLoth. - - - - Syi^N.

6, Medica pondera ita fe habent :
I Ib. Medicum eft 1 2 Vnciarum Norimb.

feu 98 304 Elem»
ij _ — — sL.Nor. fcu 8192

iL. feuilfeuJB^Dr. N. feu 4096

1 3 — — — 3 Scrup. feu 1024

13 — - — 2oGrana fcu 34 ^i

I gr. ^eu i7tV

7 . In re MetaUurgica et Monetaria artifices vt-
plurimum vtuntur Marca vei Norimbergenfi \el Colo-
nienfi. Cum Norica conuenit Lipfienfis.

8. Eft vero inter vtraque pondera ratio tab*s :

102

DE BILANCIBVS. 75

102 Ib. Colonienfia dant 100 Ib. Norimber-
genfia.
131072 Elementa vnius Ib. Col. dant 128 512
elementa Ib. Noric.
I Marca Colonienfis dat i 5 Loth. 11 Vf*
(feu y^ part. drachmae)Noricas.
6y Ducati Colonienfem ficiunt Marcam.
6Si; Duc. faciunt Marcam Nor.
9. Ad aK^i^^oLv ponderum quod attinet, aflum-
ferunt artifices particulas minima>,quarumi. ib. continct
1 3 107 2. Haec elementa ponderum dicuntur, et in eas
refoluitur pondo \niuscuiusque ciuitatis, Mihi vcro ope
bilancis nouiter inuentae et Cap. II. dcfcriptae \lterius
progredi Hcuit, itn, vt i Ib. diuiferm in 419^304 par-
ticuias, quarum difFerentiam haec noftra bilanx prodit.

I o. Solent Metallurgi Argenti pondus efferre, \el
per denarii vel per granorum pondus (^13 fenning linb

Q$ran^@ert)icf)tO

Eft vcro iDen. Q3nvaIor 4^5 vel i2;(5EIement.
I Lothonis valor6 gran. vel 4096
I gran. 3 graen. vel 6S2-J

I graen - - - 227^ Elem.

II. Auripondera vocantur Carrath, Grana , et
Graena (quafi Granilla.)
I Ib. dat 48 Carrath
I Marc jS^Carrath
I Vncia 3 Carrath

I Carrath dat 4 gran.vel 12 graen.
1 Granum 3 graen.

K 2 is.Pro.

7«

DE BILAKCIBFS.

12. Proportio inter iam recenfita pondera eaeft,
quam fequens tabula parallela exhibet:

Pondera

Denaria

eommunia

^fcnnm9::®ctt)uf)t*

I Ib.

I ib.

I Mrc.

I Mrc.

15

15

iL.

iL.

I <5

I ^ feii 4 ?5f.

^"5

i?

2 OJf

i"?

i^

I ^3f.

i^f

i^

i^f.

i
TO

i^/.

l

i©M

ad3

ad OMedica

lEIem.
comm.

Elementa
minima

2 Marc. 48 Carr.

i6Loth.'24.

15
iL.

18 gr.

9

2f

li

18 gr.
9

4i
2i

9

T6"

165

13

15 §«•

7i
. 3^

131072

65536

8192

4096

2048

1024

512

256

128

64

4194304;

20971 5ii

262144

131072

65536

32768

i<5384!

8192I

4096!

2048

1 3 . Obiter hic notanda aureae monetae deter-
minata grauitas.

I Marc feu 16 L. Noricae faciunt

65536
24

68i

Element.

Carath.

Ducatos
71^ Coronas
73^ FlorenosRhen.

Ducati hoc fingulare habent, qnod per vnitates , fic vo-
catas (SuCrtten €^a^^Opoi^^^i"entur, vocantur vulgari-
ter Efclien.

Colonienfes item65 536
24 Carr.
6y Duc.
70 Cor.
72 Flor. Rhen.

62 E-

DE BILANCIBFS. 77

67 Efchen dant 1-5 Colonienfem
6Si Efchen faciunt i-3 Norimbergenfem.
4288 Efchen dant i Marc. Colon. feu 67 Ducatos
64Efchen 978^^ El.Colon. i Ducat.

I Efchen 1 5^-f-El.Colon.
I Imperialis argenteus (ein ^auco Xbattt) aequipondc-
rat 2 Loth Colonienfibus vel 8192 Elem. Colon.
ut et I Loth I 5^ 03 f. Norimberg. vel 8064 El. Noric.
I Duc. pendet95(5^f El. Nor.fedColon. 978^^^!.

I Corona 920^-^ PS^eV

iFlor. Rhen. 888i|- 910^

NE I Ducatus Hungaricus feu Cremnicenfis conftat
9^3 T^TVVAWTf^eu At) E1. Nor. fed Col 98 5tVt

14. Metallurgia docimaftica {ingularia pondera
minuta habet , vices maiorum gerentia, et eorum pro-
portionatam grauitatem fignificantia. Aflumitur e-
nim ab exercitatis Metallurgis vtplurimum 1 Drachmae
ordinariae pondus, et nominatur i Centenarius proba-
torius, exea deinde reliqua pondera maioribus propor-
tionaliadeducuntur. Item i Drachmae pondus aequi-
paratur i Marca feu 16 Loth , cx qua proportionescae-
terorum ponderum probatoriorum deriuantur aequifi-
gnificantes verorum ponderumproportionibus.

i 5. Qui fodinariim mctalliferarum inteftina fcru-
tantur {'^CtQ-^tolnCtCt) vtphirimum vtuntur ponderi-
bus probatoriis fequentibus, eaque in cellulis afferuatoriis
hoc modo coUocant atque difponunt:Diuifam fc. in fuas
partes drachmam,cui centenarii, partibrs vero librarum
Lothottum atque Drachmarum nomen imponunt.

K 3 iDra-

78 DE niLANCIBVS.

I. Drachma valet lOO Ib. et continet elem. IO24

Eius dimidium

50 Ib.

— -

512

fempcr dimi-

25 Ib.

— —

256

diiindo nume-

l61b.

— —

x63|i

rum antece-

8lb.

— —

Sxfl

dentem vsque

4lb.

— —

40|f

ad 16 Ib quod

2lb.

-. —

EOif

alia methodo

Ilb.vel

32 Loth

—

10 1,

inuenitur de

16 L.

quii 5. 16.

8L.

&C.

Poftea dd reli-

4L.

qua pondera

2L.

iterum dimi-

iL.

&c.

diandofit

iL.

progrefTLis

I
X

tV

t

72

"5

&c.

16. Admodum vero difficile ed grauitatem l6
pondo inuenirein ponderibushisprobatoriis, hlncmeam
praxin exponam :

1. Fiat ex filo orichalceo du(fl<-) et tenui (aU(3 cilUt

t)nmen mef3nigcncnClauicordiiSui)ten)pondus 25.1^.

probatoria pendcns.

2. Circin^ d!u;datur illud filum in 5 partes , et for-
ficuU difcmdaturper pun:l:a diuifionis, p.irtes bilanceex-

ami-

DE BILANCIBVS. " 79

amlnentur , vtrum aequale inter fe pondus hnbeant , ct
conkindim conucniant cum pondere 25 Ib. probatorio.
Erit hoc modo vnum fi*uftulum aequalc 5. Ib.

3. Fruftulum -vnum iterum eodem modo diffecetur
in 5 partes aequales, priori modo examinandas. Etda-
bit I fruftulum i Ib.

4. Tandem in lanccm eandem imponantur, 3. frufla
de maioribus et i. de minoribus ethabebis pondus 16
ib. probatoriorum.

5. His aequilibreturvnicumfruftum metallicum, figu-
ram reJiquorum ponderum fimilem referens, et defiderio
erit fuisfii(5lum.

17. Vltra yW drachmae probatorine progredi
neceffe non eft , quandoquidem et haec difpartitio altio-
ris indaginis aft, quam, vt a vulgari bilance docimafti-
ea exfpedari poffit.

18. Monetarii alio modo vtuntur Drachma.
Eius enim valorem i Marcae ; fcu i(5Lothonibus ae-
qualem ponunt , et deinde dimidiatas partes , tamquam
pondera probatoria , veris ponderibus fubilituunt, et
tunc tale emergit fyRcmi ponderum probatorio-
rum.

I Drach-

8o

BE BILANCIBVS.

Elem.

Element.

I Drachma

vulg.

minima.

aequiualet i6 L. et pendet

- 1024^

vel32768El

8L.

—

512

16384

4L. -- -

—

2$6

8192

2L. - "

—

128

4096

Vulgariter i L. — —

-

64

2048

minimum -^L. — —

—

32

1024

pondus eft I ?

—

16

512

T-^ cj Sed i ^
hic etiam i ^ fei

II Q3f.

8

4

256

128

-5-^^^ope i ^

I ^r.

2

64

nouae bilan- t-g- ^

-f/

I

32

cis dctegitur Vz ^

i ^f.

16

atque pro- -g-V ^

*^f.

8

dit. T^-s- ^

tV^^.

4

■STc" ^

"^'^fl-

2

JTZ^

V^^f-

I

1 9. Rei Monetariae Magiftri {^nn^-^ataUin)
-vtuntur in diiudicando feu determinando iufto cuiusli-
bet monetae pretio Denario direaorio {bc^ d{i<f)U^Un=^
ntng^) qui ex elementis pondo vnius conftruitur , cui c-
gregie inferuit diuifio vn'us pondo in 41 94304 Ele-
menta , quandoquidem diuifio i Ib. in 13 1072 Ele-
mentares partes vulga: es ad hunc denarium determi-
nandum infLifHciens omninodeprehenditur, qucmadmo-
dum fequens tabula indicat.

llb.

DE BILANCIBVS.

8i

Eler

n. vulg.

Elem. mi-

E^cm.

Elem.

aimLi.

vulgaiia. minim.

I Ib.continet 13 1072

.194304

1

iMarc.

- 655:6

20971 52

•^T "5 16 512

8L. -

- 327<58

1048576

ri^ ? 8 256

4L. -

- 16384

524288

2J6 ? 4' ^28

eL. -

8192

262144

TTp ? 2| 64

iL. -

4096

13 1072

T"o'2T ^ ^

32

iL. -

2048

65536

16

1 <5 -

- - 1024

32768

^^76" ^

8

i ^B -

- - 512

16384

■8-T3r2 ?

4

i 'i -

- - 256

8192

T 67 "^T ^

2

i <? -

- - 128

4096

T2T0-S- ^

I

-rV<5 -

- - 64I 2048

72 'f -

- - 32

1 1024

20. Haec funt potiflima^quae de ponderibus ac-
curatioribus notatu digna atque fcitu nccefTaria iudicaui y
quandoquidem et Mathemadco etPhyfico multum inter-
efl: ftruduram bilancis , et ponderum proportioncs in-
telligere , eamque diiudicare pofle , fl feliciori paflii
ad intimiora vtriusque fcientiae progredi , et theoriam
ad praxin accommodare, vel praxin ex theoria deduce
re gefliuerit.

To?n. 11.

De

DE PLANETARVM
STATIONIBVS.

Atictore

F. C. Maiero.
I.

KEpIerus in Rudolpliinis png. 72. hoc fibi
problema foluendum propofuit : Cuihbet a -
nomallae planetae fuos commutationis angii-
los ajjignare in qiiibus isfiatJlatio?iarius. EU
dem quoque fuam nauauit operam Hallaeus,cuius folu-
tionem Keilius in ledionibus aftronomicis p. m. 239,
protulit. Duo problematis liuius funt cafus : Primus
tamterrae quam planetae infiiisorbitisdata aflbmit loca,
fed orbitarum fiue apfidum pofitionem non determinat,
quippe quae demum ex inuenta commutatione (lationaria
determinanda vemt-,Alrer cafus datam flatuithjnc pofitio-
nemjVna cum anomalia planetae folius, anomalia autem
terrae ftationaria inuenienda eft. Hunc pofteriorem qui-
dem cafum in animo habuerunt laudati Aftronomi , fed
fi folutiones eorum fpeclo, non nifi primo, nec ei plene,
latisfecerunt : Keplerusfolunone utiturindirecta, regula,
quam vocant , falfinixa*, item,quae tanquam data affumen-
da funt, vnceleritatum ratio, et tangentium anguli, ipfi non
nifi vtprope vera cognitafuerunt, ignorabat cnim theore-
mata quibus data haec determinantur:Hallaeus telluris
orbitam fupponit circularem , quod quidem prope verum

eft,

BE FLANET STATIONIBVS, S3

cfl, nt non ^erifrimnm. Ex foliitione primi cafiis ad-
ornaucrunt folutionem fecundi/ed plane indiredlam , as-
fumunt enim ambo locum terrae vt cognitum ex conie-
(flura , qui tamen quaeriiur, eumque poftmodum , fi ne,
ceffe fit, limant. Hifce naeuis, fi qui funt, in praefenti
fcripto mederi conabor, oftenfurus viam dire^ftam qua
vtriusque cafus quaefita aequationibus algebraicis defi-
niuntur , licet id non nemini impoffibile vifum fuerit.
Nullis ad id indigeo principiis nouis , omnia fere iam
fuppeditat Keilius in le(flionibusa(lronomicis,ficuti ex al-
legationibus pofthic intelligetur. Sunt,praeter hoc pro-
blema; alia de (lationibus apud Mathematicos celebria, a
quibus tamcnnunc abilineo, donec, quae meditatus fum
de illis, melius digeffero.

2.Iuuatabinitiomonerc,mefubftrueredicendisfyfIe-
ma copernicanum,et leges motuum kepler ianas-,Suppone-
re etam orbitasplanetarum ad planum edpticae rcdu-
ctiis. Caeterum definitiones ftationum aliaromque re-
rnm aflronomicarum vulgarium hic non inculco , ledo-
rem poftulans aftronomiae non ignarum. Id vnicum
noto , me per triangidmn parallanicuni inteliigerc tri -
angulum redilineum formatum ab interuallis planetarum
afole,el linea planetas iungente : Terra vero in fequen-
tibus etiam fub planetae nomine veniet , quod breuitatis
caufa facio, et dum de duobus loquor planetis fuperiore
vno, inferiore altero, alterutcr femper pro terra habe.
ri poteft.

3. Propter motum planetamm continuum, angu-
li, in trianguloparalladico, continuo mutantur j mura-

L 2 tio-

g4 BEPLAKETARVM

tionem igltur alicuius anguli tempufculo infinite paruo
flidam vocabo mutationem momentaneam. Item arcum,
quem planeta ex rolevirustempufcnloinfinite paruoper-
eurrere fupponitur , vel eiusdem correfpondcntem an-
gulum ad folem , vocabo planetae incrementmn an-^
giilare,

4. Mutationes mcmcntaneae anguknmij in triaiu
gulo parallactico^ad planetas Jlationarios^fimt aequales in-
crementis adfolem angularibus eodcm tc7npufculofanis,

Tig, I. Triangulo paralladlico OSI ftationario iungatur

aliud Osi, in quod nimirum prius triangulum OSI poft
tempufculum infinite paruum abiiffe cenfendum. eft: Ob
ftiitionis naturam erit linea viforia IS parallela ipft //.
Fiat porro SP parallela lineae Os, et RI parallela ipfi
Oi , vt habeatur angulus PSIzz ang. OS/, item angulus
0/V=iang. RIS , et praeterea angulus PSOzz ang.SOx
an^ulusque RlOnrang. lO/. Sunt autem anguli PSO ct
RIO mutationes momentancae angulorum ad planetas
flatonarios , et anguli SOs atque lOi funt incrementa
ad folem angularia , ergo haec illis aequalia funt ftatio-
num tempore. Q. E. D.

5. Ex fola infpedlione fignrse , qua ad dem.on-
ftrationem vfus fum, intell!gitur,vnam mutationem mo-
mentanesm efle priuatiuam , fi altera fit pofitiua. Vt
haec diuerfitas toilatur , pro angulo ad planetam inferio-
rem (OIS) vfurpabo eiusdem deinceps pofitum , cuius
confequenter mutatio momentanea eodem figao gaiuiet,
quo et altera ad fuperiorem planetam. Id praeterea
quoque patet, elTelumc deiKCepspofitumftationistempo-

^ re

STATIONlBrS. 85

re femper acutum , aeque ac angulus ad fuperiorem
planetam ISO. Cetera notandum cfl: hoc ipfuna
theorema , quod demonftraui , effe fundamentum cui
innititur folutio problematis fequentis. Reliqua enim
quae fequuntur theoremata motum coeleftem in genere
fpeflant , nec ad folas ftationes pertinent , faciunt ta-
mcn ad folutionis dandae perfedionem. ^

6. hicrementa angiihria ad fokmfunt in ratione
compofitayex dire&a fubdupUcata parametri orhitae^ et in-
uerja duplicata dijiantiae afi)le.

Diftantia fuperioris a fole OS ponatur=zD,diftan- F/^. 11.
tia inferioris -znd, Parameter orbitae fuperioris fitzzP
ct parametcr inferioris zzp. Sit practerea incremen-
tum angulare fuperioris zzSOj", et incrementum angu-
lare inferioris zzIO/, demonftrandum eft cfTe SOj:IO/=:
m : %• ^^^ fe^^ores SOs et Oll ( qui propter infini,

tam paruitatem pro triangulis redtilineishaberi queunt)eo-
dem tempore defcripti funt , erit per naturam motus coc-
leftis fedor SOx ad fedorem lO/ vti VF ad Vp (vid.
Keilii lcd. Aftron. p. m. 364) Centro O radiisque
OS ct 01 defcribantur arculi infinite parui SQ et IR,
quipro redis habcantur lincolis ad radios OSet O/nor-
malibus , crit proinde area fedloris fuperioris ad
aream inferioris vti OS . SQ. ad OI . RI. fiue , vt
D.SQ ad ^ . RI; eft vero D. jQ :^. RI =z V?:Vp,
ergo quoque SQRIzz:^: .^^^ Defcribatur noirro arcu-
lus VT radio 01, i7a fiet VT: SQzzr/:D , hanc ergo

L 3 con-

p^ J)E FLANETARVM

confcrcndo proportioncm cnm proxima antcccdente ha-
betiir ex aequo VT : Rl- ^^ % ^t quia VTrRfc

SOs : lOi erit etiam SOn lOfc^fi,:^ . Q E. D.

7. Quoniam ftationis tempore matatio momentanea
nnguliad fuperiorem planetam eft ad mutationem mo-
mentaneam anguli ad inferiorem deinceps , vti in-
crementum angulare fuperioris ad incrementum
angulare inferioris planetae, ("5. 4. et 5.) erit
tempore ftationis mutatio momentanea fuperioris ad

mntationem inferioris , vti ^^ ad ^^^-. Vi antecedentis
thcorematis,

8. Mutdtlo inomentaneafinus mguli ad fuperwrem^
ejl ad mutat'w7iem fmus ad i^iferiorem , vti diftan-
fia ihferionsj a/l dlftantiamfupcrtoris a fole. Propter mu-
tationem quae momentanea e(l , diftantiae planetarum
nil mutantur , ergo ratio fmuum manet quoque eadem,
funt enimilli vti oppofitae diflantiae a folc, manenteaii-
tem ratione eademj neceifeeft augmenta vel decrementa
finuum eandem quoque retinere rationem.Q.E.D.

9. Si arcus vel anguhs aliquis quantitate infmite
Vig, IIL parua crefcat vel decrefcat , erit tale incremejitum arcusy

ad ificrcmentmn quofmus eiusdem augetur eodem tempore^
vti radius ad cofmum di^i arcus. Sit arcus propofitus
=zBE,fmus eius inAB^et cofmus =AC ; incrementum
arcus minimum =B^, adeoque incrementum fmu>=iiD^
habeatur arculus B/; pro redta, erunt hoc modo triangula
ABC et B^D fimilia,confequenter B/; : D/>=zBC : AG.
Q E. D.

10. Ponaturcofmus anguli ad fuperiorem plane-

tam

STATlOmBVS' $7

tam zzC et cofinus ad inferiorem zzzc, Praeterea fit
mutatio momentanea ad fuperiorem :z:m et mutatio ad
inferiorem 1=:«, erit,pcr antecedens theorema,mutatio fi-
nus ruperioris,ad mutationem finus inferioris momenta-^
neam vti mC ad nc.

11. Et quoniam ftationum tempore eft;;/:«r=
— • "^? fi^. 7.) erit hoc in cafu mutatio fmus fuperioris

momcntanea , ad mutauonem InferiorisYti "^J^C ad

PROBLEMA.

1 2. Datis anojnaliis tam terrae quam planetae in-
ucnire commutationem quajlatio accidit,

Propter datas anomalias dantur quoque planeta- F;V. j.
nim a fole diftiintiae, nimirum OS— D et 0\:zzd. Po-
natur anguH intercepti SOI (qui commutationi^deinceps
eft) cofmus zizy erit (per trigonometrica mea hifce com-
mentariis exhibita pag. 29. <5. 23.)cofmus anguU ad

^^n:;:;^?^,!-, et cofmusanguli ad I deinceps^:

- ^(DD — 2Ddytr-^dd)

^y^'^ ., ereo mutatiofmus fuperioris momen-

V^DD~2Ddy:r-^dd) ' ^ ^

tanea eft ad mutationem fmus inferioris momentaneam
(per .«. II.) vt "la:^^^' ad ^f^, eft vero etiam
(per <?. 8.) vti d nd D, ergo faftii aequationis legitiina re-
duciione inuenietur j=rD(/— gjj-^i^^^J^p- Q- E.I.

13-

S8 DE PLAKETARVM

13. Lubet inuentam regiilam exemplo illudrare
defumto ex tabulis rudolphinis pag. 72. \^bi datur
log. D— ■ — 32532 (quae eft diftantia Martis aSole) et
/fc:- 1092 diftantia terrae a fole) item IPzr—i 105 50
et //):=:- 69 2 8 3. Mruam Yero calculum methodo a
meinhifce commentariis pagg.20.22.exhibita. Eftita-.
que/V'Fiii-5 5275 et log. Vpzn-^^^^^l. Aft quia
logarithmi tales priuatiui funt, m.utentur prius in pofiti-
uos vicarios,addendocommunemmaiorem(e. g.(5oooo)
fic fiet

Vic:/l/P— 4725 cuius arcnsz=:72'', 31', 30",
Vic:/i/pz=:2 53 59cuiusarcus=i50, 53, 47,

Semifumma =:6i, 42, 38, log. 127 19

Semidiifer. irio, 48, 5l,antil. 1792

14511"
dematur - 6cooo

'i5g:[/P+y/))--45489
log.DZI-32532
log. fc- 1092

log. rDd{VP-^Vp) ==-79 1 1 3

log.

STATIONIBFS. 89

log. DDrr— 5^064
IVp ^_ 34641

iDDVf^ 99705~~
addatur . . 1 00000

295 arcus ciusrr:8 $^j36', o"
log.^fc-2184
//f=- 55275

-57459
addatur looooo

42541 arcus eiusn^o'^, 48', 22".

Semirumma= 63, 12, 11. logar. r=: 113(50
SemidifFer. =: 22, 23, 49. antilog. =: 7843

19203

dematur looooo

log. {I)DVp^ddVP)-^So7gy
log.rDd{VP+Vp)--yQi 1 3

log.j' ^ = 1584
ergo angulus ad folcm :=: lo'^, 29', 10".
etcommutatio = 169, 30, 50,

Keplerus habet :== 169 53, 30.

cxceirumque committit = - - 22, ^q,

Aliud exemplum idem Keplerus 1. c. adducit, vbi
mercurium et terram in apheliis ponit et commutatio-
nem ftationariam indireda luamethodoeruit::::2 5°^20\
^quac debebateffe =.25°, 33',6".
Tom. II. M 14.

90 m PLANETARFM STAT.

14. Atque ita primo cafui problematis keplc-
riani de ftationibus abunde flitisfadum e(l. Quod alte-
rum cafum attinet, (in quo dantur apfidum ad inuicem
pofitio, vniusque planetae anomalia, quaeritur autem al-
tera ftationaria;) attendenti facile patebit,poire,ope ante-
cedentium , (olutionem eius exhiberi quoque aequatione
algebra ca. Verum quia illa ad fextam dimenfionem
afcendit , nec vUa eam deprimendi fpes eft ,
inutilem prorfiis ad praxin aftronomicam cen-
feo. Quamobrem eius loco commendare malo in-
diredam folutionem , fumendo anomaliam quaefitam
ex coniedura prope veram , atque ita inquirendo com-
mutationem flationariam per problema antecedens, qua
inuenta pofitio prima corrigatur , et calculus repetatur
donec fibi confentiat et veritatem exade prodat.

PROBLEMATIS

Traiedoriarum Reciprocarum

Solutio.

Auctore

Leonhardo EulerO;, Bafil.
I.

M, luU "•"^Roblema , de quo in hoc fchediafmate agere

i:-7- JLJ conflitui , eft celebre illud et in Adis Lipf.

multum agitatum , de inueniendis curuis , quae

intra datas parallelas eaedem redo etinuerfofi-

tu pofitaeet fccundumparallelarum diredionemhinc inde

mo*

p

DE TRJIECT. RECIPROCIS, 91

motae,mutua interfe^lione vbiq-, angulum eundem confti-
tuunt,Problema in Adl.Lipd Suppl.T. VII. a beate hic de-
fundo Nicolao BernouUi propofitum Ita autem cum hoc
problemate res fehabet , Ytinfinitae, tam algebraicae,
quam tranfcendentes curuae fatisfaciant. Quapropter ad
plenam eius et perfedlam folutionem requiritur, Yt exhi-
beatur methodus,qua curuac fatisfacientes omnes inueni-
ri queant , fimpliciifimae autem tam algebraicae quam
tranfcendentes rc ipfa eruantur.

II. Dedi nuper , occafione quaeftionis, quaeCel.
BernouUio cum Anglo quodam eft nomen celante, de
inueniendis traiedloriis reciprocis algebraicis fimplicis-
fimis, in Adl. Lipf A. 1727 methodum , qua exquo-
libet curuarum ordine, excepto fecundo et tertio, (ex
quorumpofteriore quidem alia via curua fatisfaciens in-
iieniri poteft),vna ad minimum traiedoria reciproca ex-
hiberipoteft, vna cum generali modo, omnes traiedlo-
rias reciprocas algebraicas ex curuis cufpide et circa cu-
fpidem ramis fimilibus etaequalibuspraeditisetalgebrai-
cis, deriuandi. Animus hic eft generalem huius pro-
blematis folutionem largiri, ex eaque infinitas formulas
generales algebraicas easque maxime foccundas deduce-
re. Quibus adiungam problematis cuiusdam agnati, de
inueniendis traiedoriis reciprocis vno plures axes haben-
tibuSjfolutionem.

III. Problema ad analyfin magis accommodatum

fic fonat : Inuenire curuam CBD circa axem AB , /^-

Jem^ vt du6iis duabus re&is MP, NQ, ah axe vtri?ique ae-

qmdijlantibus eique parallelis, fumma anguJmim PiME'-4-

M 2 QND

92 BE TRAIECIORIIS

QND,/7i^ vhiqucconjlans, acquah nlnnrum (hpJo angu-
}i DBA , quem axis cum curua conptuit. Inuerla e-
nim CBD circa axem AB, cadct applicata QN fuper
PM,tum moueatur,donecapplicataeQN punflum Niii.
cidat in pundtum M, et curua fic fitu inuerla fit chdo-
portet angulum interfedionis BM^elTe conftantem: Sunt
autem anguli PM^, et QNDaequales, confequenter
fumma angulorum, PMB-hQND, debet elfe conflans.
Crefcentibus ergo ex vna parte axis AB, angulis apph-
catarum cum curua^ex altera parte tantundem decrefce-
je debent.

IV.Dudlaadaxem AB,normaliPQ,eritAP:irAQ,
ducantur duae proximae refpondentes applicatae, />/;/,
ijn, Erit YpzzQ^q. Ducantur ex M et N, tangentes
MR, NS, vt habeantur anguliRM/w, SN;/, quorum ille
ell decrementum anguli PMB , hic incrementum anguli
QND. Quocirca erit ex conditione problematis
RMmz:zSNn, Vnde natura curuae inueftigari debet.

V. Sumatur \bique in applicata MP produdla,
PF , proportionalis angulo RMm , affumto elemento
Pp, abfcilfae AP pro conftante, erit pundlum F in cur-
ua quadam , cuius diameter erit axis traiedoriae BA ,
crit enim vbique PF=:QG. Quare tota difficultas eo
eftredu(fla , Yt ex ciurua FEG data altera CBD ,in qua ele-
' menta angulorum BMP fint refpondentibus applicatis PF
proportionales conftruatur;Et vt curuaCBD euadattraie-
doria reciproca,curuaFEGdebet habere •diametrum, et
circa eam ramos fimiles et aequaks, cuiusmodi eft FEG.

Cur-

RECIPROCIS. 93

Curuii MBN ex ea conftnidla erit traiedoria rcciproca,
cuiusaxis eft EB, diameter prioris curuae.

VI. Sit AP=:.v.PM=:j'PF=:?/, EritaugalasRM;//,
\tddy\{dz^^dy^). Ergo uz^dd]:{dx--{-dj-) pofito r/.v
conftante , ex qua aequatione datis u et vV inueniri
dcbet, y. Ponatur dvTzpdx. erit ddjzzdpdx. ergo

i^a^pd^ ^^ ^^^^-^p' Ex qua aequatione, ob u
ct .r datas, j?)inuenitur,indequcj-,eft autem-p-^ duplura

elementum fedoris circularis , cuius radius eft, i. et tan-
gens p \ erit ergo ifudxzn fedori ifti circulari. Eft vero
fudxzz.'AXQ2it APEF , demta vel addita conftante inueni-
tur ergo per quadraturas , p , indeque rurfus per quadra-
turas ^' fequenti modo.

VII. Sit data quaecunque curua lEK diame- pj^, //,
tro EA praedita ; fupcr recfla AO diametrum EA nor-
maliter fecante, accipiatur pundlum quoduis O, quo cen-

tro et radio arbitrarioOD defcribatur circulus DGH, et
ex D ducatur tangens DQ. Duda quacunque applicata
PF, fpatio PFID aequalis fumatur fedor DOG, ctpro-
ducatur DG in Q. cx Q ducatur ipft DA parallela
QN , occurrens applicatae FP produdae in N ; Erit
pundum N in curua DN tali , \t fit F^znp , ft fit
APiziv. HIc dimidium , quod fuperiore §. inuentum
cft,negligitur, cum enim ^^):(^/.v^+r/)^)faItcm propor-
tionctur ipfi //, etiam /?Wa', tantum proportionalis aflli-
mi potcft, fedori DOG. ynde nihil intereft fuie dimidius
fedlor fiuetotus fumatur, et dein {iuQ Judx ab applicata
DI; fiue ab AF computetur.

M 3 Vlll

94 DE TRAIECTORIIS.

Vni. Inuenta curua DN fucili negotio hibctur
curua DM traiedoria reciproca, cum enini fii dy:^pdx
accipiatur -vbique PM proportionalis areae DPN , erit
pundum M, in traiedoria reciproca, cuius axis cft AB,
diameter curuae lEK alTumtae. Apparet hic fimul, in-
finitas, ex vnica affumta lEK, traiedorias reciprocas in-
ueniri polTe, prout enim transuerfalis DA aUter duci-
tur , pundaque O et D aliter affumuntur , ita aliae reful-
tant traiedloriae reciprocae. Dein etiam pro varia ra-
tione, quaeponitur inter PM fpatium DPN, traiedlo-
riae variae formantur. Vnde patet data vna traiedloria
reciproca , applicatas in eadem ratione augendo vel di-
minuendo, infinitas inueniri alias traiedorias recipro-
cas.

IX. Si fpatiumDPFI aequale accipiatur quadran-
ti ODH , tangens DQ_ ipfique aequahs applicata PN e-
uadit infinita, eritque tum PN afymtotos curuae DN ;
Sin ipatium illud maius fuerit quadrantejapplicata PN e-
rit negatiua. Traie6loriae autem DM applicata PM e-
uadet , vbi PN eft iniinita , tangens ci.ruae. Et de-
inde abeunte PN in negatiuam appHcata PM decrefcet,
quare curua DM habebit in M pundlum reuerfionis. Si
fpat-um DPN , exiftente PN afymtoto, eft infinitum,
applicata PM quoque erit infinita , adeoque afymtotos
etiam curuae DM. (

X. Sit exempli gr. w=r^^^^ ethinc eruaturae-
quatio inter x et y cum fit u , vt ddy : [dx^-^dy^) erit
hdx^^^hdy^—aaddy^xxddy ponatur djzzpdx erit ddynz

dpdx

RECIPROCIS, 95

(^pdx, quibus valoribus fubftitutis habetur hdx+hppclxzz.
mdp^xxdp. Ergo J^^=:j^^ cuius aequationis
vtriusque membri integratio a circuli quadratura de-
pendet. Huc autem aequatio ea reducetur

tcgrata abit in hanc hl^a-^-xV'- i)-h[la-xV-^ l)=i
4i-^pV--i)-4i-;>V-i)-^^//.eritergo(-?--^)' =
^-^^=='-^.f:^-Sitfc.,etfc^^ erit^^:^

'£^y7:^ q^^^ ^^^"^'^ ^^^ ^i-l^^-. Si fit fc2^
manentefcVZ-i erit dy-''^^^^^^' dx. Et ita por-

ro; fed huiusmodi exemplis non immoror, fufius deiis
infra agetur.

XI. Quum curuae genitricis TEK diameter EAfit
axis traiedoriae inde genitae, manifeflum eft , fi iJJa cur-
vaplures vna diametroshibuerit, traiedoriam inde or-
tam plures axes etiam habituram , fi ergo loco curuae
lEK curua infinitarum diametrorum adhibetur , traie-
doria infinitos etiam axes habebit. Quando autem traie-
doria defideratur, quae axium datum habeat numerum,
id aliter interpretandum efl. Vt enim omnis curua v-
na plures diametros habens neceff irio infinitas habet, it*
etiam traiedloria reciproca , quae vno plures, infinitos
neceflario axes habebit. Sed quia traiedoria infinito-
rum axium infinita :habere debet pundla reverfionis , da-
tus axium numerus ad vnamkantum curuae portionem in-
tra duo punda fiexus proxima comprehenfam referen-

dns

95 • m TRAIECTOnnS

dus ed. Defideratiir enim curiia omni irregulorltate,'
cuiusmodi eft flexura et reflexio, deftiuita.

XII. Sit curua lEKf/: infinitis praedita diametris,
F/^. ///, j^^^ j^j^^ ^^^ ^j ^j. ablcindatur area DBTIzz quadran-

ti ODH, linea TB produaa afymtotos erit curuae
DNV, et tanget traiecfloriam in C,vbi eft pundum refle-
xionis. Portio ergo traiedloriae DMC , talis erit , de
qua efl: quacftio numeri axium dati. Haec vero portio
tot habebit axes, quot diametri ftierint in fpatio DBTI.
Quo circainarbitrionoftropofltumerit numerum axium
definire hoc modo : Propoflto numero axium abfcinda-
turfpatiumDBTI eundem diametrorum numerumcom-
prehendens, tum defcribatur circulus ODG tantus vt c-
ius quadrans ODH adaequet abfciflum fpatium DBTI
manifeftum eft , hoc modo generari curuam defldera-
tanx

XIII. Si loco curuae lEK^/: adhibeatur linea reda
ipfl DB parallela , quaelibet apphcata FP erit diameter,
crgo et traiedoriaeDMCquaeuis applicata erit axis. At-
quehaec eft illa curua de qua Cel. Bernoullius fub pan-
togoniae nominc, fliflus in Adis Erud. 17126 egit. Ae-
quatio eius naturam exprimens, erit izzaddy:{dx^ ^dy^)
leu dx^^-^-dy-ziiaddY cuius haec eft proprietas , vt, radiis
fecundum axium diredtionem incidentibus , radii reflexi
omnes flnt inter fe aequales.Facilius autem curua haec
fic conftruetur , vt accipiatur x—f^^^ ^^}—f-^% .

XIV. Methodum hanc inueniendi traiedlorias re-
ciprocas per duplicem quadraturam , non co fine attuli

vt

RECIFROCIS, 97

Tt Inde tralec^orlae reciprocae eruantur , Id quod tIx
praeftaripofTet, fi rimplices ve] algebraicae defiderenrur,
fed Yt inde adipifcar Iblutionem problematis de inue-
niendis traiedoriis reciprocis pluribus vno axibus gau-
dentibus, quod Anonymus Anglus Cel. loh. Bernoul-
lio propofuit. At nunc ad alium pergo modum per-
quam foecundum in exhibendis traiedoriis fimpliciori-
bus, et praecipuc algebraicis. Perfequar autem hic il-
Inm tantum problcmatis cafum , quo angulusinterfedlio-
nis ponitur redlus •, cum facillime reliqui cafus omnes
ad hunc reducantur.

XV. Sit CBD traiec^oria orthogonalis, cuiusa- Fig, /r.
xis fit AB quem ad argulos recftos fecet rCvfta PQ; Du-
cantur duae applicatae PM, QN , axi AB parallelae, v-
trinque aeque diftantes ab eodem , illisque proximae,;?;;/
/jn , nec non bafi PQ parallelae MR , NS. Erunt trian-
gula URin, ;2SN, fimil-a, ob S;;N-H-R;;/M=::rea:o. Sint
AP=.r PM^iy , erunt ?p — ]\\R—dx, R;;/=z^
nec non AQ=i-.r , Q^ziNS=:-^.r ; fit QNms;, feii
S?n=:dz. Ex fimih'tudinc triangulorum MR;;/,«SN de-
ducetur MR (dx) : Rm(dy):=:S7i{dz) : SN(-r/.r) vnde e-
rit djdzzzi—dx - . Ex qua aequatione inueniri dcbet f.
Etcnims ab y dependet , quia in expreflioneipfiusjK;
pofito loco vr,-r, habetur z.

XVI. Ponatur dyzizpdx , eft autem p fundio i-
pfius .r. Abeat ea, pofito -r , loco .r in ^,erit dzii^-qdx
et confequenter Qx\t.pqz=z\. Vndc patet, loco/) talem
fumi debere ipfius x fundlionem, ex qua fadum in ean-
dem , fed loco .r pofito -x adaequet vnitatem. Totum
Tom. II. N ergo

98 DE TRAIECrORIIS

crgo hiiins rolutionis artificium huc redit , "Vt idoneac e-
ligantur fundiones ipfius , x loco p fubftituendae. Ad
hoc autem , nifi fortunae earum inucntionem committe-
re velimus , accuratior fundionum requiritur cognitio.
Cuius , vt quafi prima elementa iaciam, fequenti modo
cas difcernere commodum vifum eft.

XVII. Primo loco notandae funt fun6lione?,quas
pares appello, quarum haec elt proprietas, vt immuta-
tae maneant, etfiloco .r, ponatur— .r. Huiusmodi funt o-
mnes potentiae ipfius x% quarum exponentes funt nume-
ri pares, aut fradliones,quarum numeratores funt nume-
ri pares , denominatores vero impares : Dein quaecun-
que fund^ones ex huiusmodi potentiis vel additione vel
fubtratflione , vel multiplicatione vel diuifione, vel deni-
que ad potentiamquamcnnque elevatione componuntur,

funt itidem pares ut x ^ ,(^x^-f-/AV^^)

XVIII. Secundo fun(!lioncsimparesobfTuo,rune
prorfus fui negatiuas producunt, fi x, abit in— x. Cuiubmodi
funt X ipfum, x^ ^x^ etc. omnes potentiae, quarum ex-
ponentes funt numeri impares , vel fradiones , quarum
numeratorcs et denominatores funtnumeri impares, nec
non fundiones , quae harum potentiarum adJitione vcl
fubtradione, etiam eleuatione ud exponentis imparis di-

gnitatem componuntur, vt, x ^ ^{ax ^ -\-bx '^ )

XIX. Si fundio impar per imparem muhiplica-

tur, f^fflum femper erit f indio par, ut a:^ in.r^dat.r ^
At fundio par inimparcm duda femper quidem impa-

rem

RECIPROCIS. 99

rcm producit, interdum tamen ea fimiil pro pari habe-
ri poteft, Yt xV(aa-^xx) eft fundio fimul par et impar,
<]uippe eadem cum V^acixx^x^)^ quaeeft par. Quod
autem de elevatione fundlionis paris ad dignitatem quam-
uis fupra dicflum eft, quod potentia fit quoquepar , fi ex-
ponens fit fradio , cuius denominator numerus par, v.g.
-^, reftridio adhibenda eft, nifi radix re ipfa extrahi

queat , vt [^-\-2a^xx) " non eft fun«flio par , con-
venit enim cum -^-\-x, Dehuiusmodi autem fundio-
nibus iudicium ficile patet.

XX. Praeterea obferuatu dignae funt funtfliones
reciprocae , quae mihi funt fundiones pofito in iis-.r,
loco vV, abeuntes in tales , quae in illas dudae producunt
vnitatem , vt (^-^))", quae, pofito x ncgatiuo , abit in
hanc (i^f jcuius in illam fidumeft — l. Huc referendae

3

quoque funt exponentiales c^ , {aa-\-xx)^ etc. omnes
nempe fundiones pares eleuatae ad fundiones impares.

XXI. Hifce de fundionibus praemiflis manifcftum
eft , p effe fundionem ipfius x reciprocam , cum fit
pqzizi. Quemadmodum autem huiusmodi fundiones
reciprocae inueniendae ftnt, breui oftendere conabor ;
Sed primo de fundlionibus exponentialibus nihil intermi-
fcere conftitui , cum antc omnia traiedorias reciprocas
algebraicas eruere animus fit. Poftmodum autem de
exponentialibus quaedam (ubiungam.

XXII. Vt autem rem generalius abfoluam , aftli-

N 2 mo

100 jDE TRAIECTORIIS

mo tertiam varlabilem ^, et inueftigabo , quomodo.v ct
j in ^ , determinari debeant, vt traiedoria reciproca re-
fultet , pono itaque dx:=rdt ^ et dyzzpdt. Efficiendum
ergo eft , Yt pofito t negatiuo , et dx in negatiuum a-
beat. Quare loco r ponatur oportet fundlio ipfius t par,
quae fit N-, txitdxzzkdtj et abeunte t in ncgatiuum , e-
rit dxz=i-lkdt. Confequenter ob d dzzz-dx'^ , pofito
in cafu — /, loco p, ^, vt ante, habebitur /j^hiNN.

XXIII. Ponaturp=(P-l-Q)'' denotante P fundio-
ne parc et Q impare ipfms t , erit ^zz(P-Qf adeoque

( pp_QQ. ) ^ =zN^ ergo PP—N"^ -+-QQ,ct Vzn

V/(N^-^QQ)eritergojr>i=:(Q-i-i/(N^+ QQ ))".Nihil

contradicfloriihic latct in nequatione Pn^^(N^H-QQ )
etenim P , quae fundio par effe debet,talLS etiam in aequatio-

ne exhibetur. Atfi Q erueretur,inueniretui QzzV^^N^-PP )
id quod contradictionem inuoluif,nam Q,quae fundionem
imparemdenotat, aequatur hic fundioni pari.Vtfradio-
nes in exponentibus euitem , fcribo loco N^N"" et erit
dx— NV/,et dy-dt (Q-f-V^N'-4-Q'))" poteil hie lo-
coQ,fcribiNQ , ('.ip^et dein loco N^vt ante, Nj
habebitur dx—^t, et ^^r=zNVAQ-V-V(i-hQQ) ^.

XXIV. Vt nouae tormulae refultent,tollo irratio-
nalitatem,ponendoy(N--4-Q')i=:N4-RQeritQz=:.i^^^^

vnde Rfundio impar fitipfius /^neceife efl: , ob Q im-
parem,erit ergoQ-4-V(N'-4-Q')=='^*-^^:!-R -(fcripto io-

coR,

RECIPROCIS. loi

coR,%j^J-^. Dcnotabunt femper P parcs et Q im-

pares fundiones ipfius /. Erit ergo ^azz NV/^, etdjzndt
^jvR^e.^n. ^^^^^^ forniula eodem modo tradata dat,
dx—Wf^et djzz^^dt (5^)\ Huiusmodi formulae ge-
nerales infinitae poffuntinueniri, alias aequationes loco
/>=:(P4-Qf afliimendo : cuiusmodi eft haec formula
dx =: Ndt, et dy =: N^/ ( P -H 0^^

(S4-T/SS-j-(PP-QQ)"^; denotante S fundione im-
pare , fed duabus formulis inuentis tanquam fimplicifll-
mis et foecundiffimis in productionetraiectoriarum alge-
braicarum contcntus ero , quarum altera irrationalitate
cft afFecta, altera verb rationalis.

XXV. Accipioformulam priorem, cafusquibusr/K
integrabileredditur,euoluturus. Sitprimo N=z lerit^a— ^^
unde djm^x (iQ-\~Vi'{-QQ)''. Pono porro Qjzzx
erit dyzzdx {x-^-Vi-^-xxf cuius integrale obferuo
generaliterhaberipofle-jponatur .r-|-i/(i-4-xrt?/, erit
.r="-^;l,confequenter^j':="4!f4-!iX^" ,,,,{,, ^r-iL^'

7l-}_l

go h.c aequatio algebraica generdis infinitas curuas fnn
peditans numeros rationales loco n (hbftituendo

XXVI, Antequam autem ad deriuationcm p.e
quat.oaum determlnatarum exgeueraUpergam inuaeda n
ex aequutione diffcrentiuli d.^ucenda funt, quae cx H e

\

102 BE TRAIECTORIIS

gnita difhciiins eriierentur.Primo palim efl: , fi fitwrrc
tnii ctorKim tum eiTelineam rectam , cum axe angulum
lemirectiim conftituentem, propter ^— //.v. Dein , (i
fuerit;im erit </r=.v^A'|-^A'>^( H-''^^^')*, vnde patet,hanc
aeq-iationem elfe ad traiectoriam reciprocam , quae me-
thodo BernouUiana ope rectificationis parabolac con-
ftruitur , quo vn*co cafu non abfolutc efl: integrabilis.

XXVII . Tertio,etfi loco n ponatur — «,aequatio-
nem nihilominus ad eandem fore curuam^abfciflls faltem ex
nxis altera parte fumtis, feu exiftentibus ncgatiuis. Con-
ueniunt enim duae hae expreffiones (-at-hV 7+rr) "*
e t {x-{-V I ^xx) '"" -> vt cuivis examinanti facile patebit.
Nihil ergo in pofternm kicraturus.enem, loco ?i valores
negatiuos fubftituendo. Quare fubflitutione Humerorum
afH^matiuorum tantum vtar,cum ii foli fufficiant ad vni-
uerfalem aequationem exhauriendam.

XXVIII. Excuffi iam funt cafus , vbi ftzizo , et
?n=:i progredior vlterius, fed integralem aequationcmin
vfum vocando , et pono nzz2. Erit 3/^=20:^4- 3^
^ 2 ^'2xx V^ i-Hr? j ^uae ad rationalitatem reducta
huc redrt \ 2yx^ ^- 1 Sxy-g^y-^-^^xx-^^iizo. Et haec
aequatio quatuor dimenfionum, fine dubio fimpliciffima
efl , pofl illam paraboloidem tertii ordinis : fatisfacit a-
deo quaeflioni , quam Cel. Bcrnoullius Anonymo An-
glo propofuit , et ego repetii in Act. Erud. 1726. de
inuenienda traiectoria algebraica , eam tertii ordinis , in
fimplicitatis ordine proxime excipientc.

XXIX. Si ponatur «==3 prodibit aequatio pro

linea

RECIPROCIS,

103

llnea 5 ordinis haec i2Sjx'^-+-ig2j'x^ -\-^Sj^6^jy
-^Sxx—gzizo. Sit «1^:4 refultabit aequatio 6 ordinisj
et hinc legitima inductione inferri potefl: , aequationem
generalem ad rationalitatem reductam elTe femper ordi-
nis «-+-2. Id quod etiam in valoribus fractis loco n
fubrogatis obtinet. Si fit n—^ aequatio erit ordinis -|.
Quae autem^cum adhuc fit irradonalis , reducta erit ordi-
nis quinti , et generaliter fi fuerit nzz±. aequatio reducta
afcendet ad p-\~2q ordincm.

XXX. Patet ergo aequationem generalem loco n
alios atque alios valores fubiVtuendo , ex quolibet cur-
uarum ordine,fi cxcipias fecundum et tertium , vnam ad
minimum traiectoriam reciprocam exhibere. Et dato
ordine curuarum,quot ex eo ope huius aequntionis inue-
niri poffint traiectoriae, facile determinare er t, nempe
difpiciendum ell, quoties p-^^q numerum dari ordinis
producere queat,fed \ocop et ^numeri faltem affirmatiui
etintegrifubftituipoffuntjetemsmodi infupervtp.v/ad mi-
nores terminos reducinequeat.Sed dehac formula generali
fufius in Act. Lipf 1727. actum eft ame, ideoque liic ad
aliameconuerto,

XXXI. Adhaereo adiiuc aequationi §. XXV. ad
hanc reductae ^ii:^.r(Q+y^QQ4-i))^ Circa quam
obferuaui, nuUis eam fubftitutionibub potonti^irum ratio-
nalmm , quales funt .r^ , .r^ ttc. nec nori a~',vr~^ etc.
loco Qficts, generaiiter intcgrabiltm reddi, quanquLim
vtique paifim reperiantur cafus pnrticuiares intcgrabiles,
quos autem perfequi innitutam minime permitcit. At
fubilituendo loco Q^potenras ipfui^ .r iriat.onales,fed le-

104

LE TRAIECTORIIS

± ± X

gitimas ncmpe functiones impares, quales funt a: ^ ,.r ^ ^x"^
etvbi namerator exponcntis efl vnitas , femper formu-
lam integrabilem reddi obferuaui.

XXXIL Sit itaque Qzizx'^ , erit djzzdx

{x^-^Vx -+-i)' Qiiae vt integretur , pono

.rT_f.v/^v^_^ir-% crit x^-'^ unde .vzn^ ^i^-^h
^adeoque dx^^-^-'^'^ '-^ : ergo ^j'i=

8 1
7i_i_; n 7i_2 ^-+,^ "-1-3

s t dt_ii_ji_it , 2i ^.Confequenter!^!^'

n_+_i n-i n_3 i , 1 "-1-3 J_ , 2 n_f-i

r t t {xJ-{-^/xj-^\_) (^3-f-v^^T-^i)

, o n_i i , 2 *'■

• 7i_j —'^1 7l_3

XXXIIL Sunt autem quidam cafus, quibus inte-
gratio a logarithmis dcpendet , nempe fi fuerit «rzi vel
3 . Ceterae fubftitutiones omnes loco ?i factac fuppe-
ditant curuas algebraicas,idque vtfuperior fecundum cer-
tam legem. Qiiod de fuperiori formula enunciatum eft,
valores ipfius ;/,negatiuos fuperfluos elfe; idem etiamde
hac, nec non de generaliffima tenendum cft. Quemad-
modum et femper obtinet , fi fiat, ?iz:zo, tum traiecto-
riam dcgenerare in iineam rectam.

XXXIV. Cafus huius aequationis fimplicifnmus
fme dubio erit , quo n^2. In eoquc pofito breuitatis

ergo

RECIFROCIS.

105

crgo loco x^^t , reperietur 'yyzr.6t'^ ^ 5^5 _^

( 6^^ -I- 2tt- 4) V ( i-i-// ). Confequcnter ad ra-

tionalitatem reducendo peruenietur ad hanc aequa-

Atque hacc tandem, fubftitutq x^ loco f, abibit in ae-
quationem 8. ordinis. Siponatur mzz^ aequationem ad
10 dimenfiones alfurreduram^facile praeuidere potui.
Et aequationem generalem ad ordinem linearum n-\-6
effe referendam. Vt adeo ethaec formula, ex quolibet
curuarum ordine ad minimum vnam, fi excipiantur 2, 3,
4, 5, 6, 7 et 9, traiedoriam exhibeat.

XXXV. Haec eadem formula , vt et reliquac )
quaeex lubftitutionibus §, XXXI determinatis deducun-
tur , alia via ex altera aequationis generalis forma deri-
uantur. Et qnam ideo paucis hic compledar , quod in-
fuper ex ea piures formulae algebraicae generales, aliun-
de altioris indaginis , fluant. Aequatio generalis haec
eft ,^.r=W/; cJyziJSdt (Q.-f-V/(QQ-4- 1 )T . In qua fi
fiat Qzzx , et fuccefTuie N=vel i vel xx , vel x"^ etc.
necnonvel^-h-to*, rtXAr-f-Z'.r'^ et eiusmodi compofitae
fiindliones pares ipfius .r fubrogentur,aequatio genernlis
femper erit integrabilis et algebraicarum aequationum
fummopere foecunda.

XXXVI. Expofito modo , quo ad aequationes
algebraicas generales peruentur , examinandi funt alii
cafus, quibusquidem aequatio generalis non integrabilis
Tojn. \l O reddi-

10(5 DE TRAIECTORIIS

redditur, nihilo tamen minus infinitis modis facilibusde-
terminatu, algebraicas exhibere poteft aequationes. As-
fumo hanc formulam ^.vznNV/ et dy^dt
(Q-4-V(QQH-NN))%fiatN=i:/^ et Qrn/ erit dx—r^^dt

ttxzz.'^^^ et dyz:zdt{t^tV{ 1+^0)^ Vnde patet
hanc aequationem femper efle integrabilem fi fuerit n
numerus integer imparj id quod facile videre e(l,fi reipfa
ad dignitatem eleuetur.

XXXVII. Sunt autem infuper alii cafus , quibus
formula noftra integrabilis redditur , quos fic inuenio
ponatur t-\-tV {tt-^l)zizutt ^ erit ^zn^^^, ideoque,
^^^_2uudru-^du,^ confequcnter ^j--/"-^' .^%..^o

{uu~\ C 2n-+-2

vnde patet fi fuerit n numcrus ncgatiuus par , foreae-
quationem integrabilem, id quod patebit, fi [uu--i)'~^^^
ipfo fiidlo eleuctur. Plures cafus elicientur , fi fiat

/4-V(//^-i)z:iw/-,etobtinebitur ^=r^«(« 2 -u - ^

(u->2 j"^^) quae erit integrabilis , primo fi fit n quiHbet

numerus impar: dein fi i^^^^ fuerit numerus integer.

Fiatergo^^=i;;?-erit ^jzzi^^ adeoque loco n poni

potefl: fradio ciiius denominator ^^3 et numeratornu-
merus impar.

XXXVIII. Vnicum excmplum attuhffe fufHciat,

3
fit«=i. crit dxz=:ttdt^ et tzz. V^.r ; deinde dyzztdt

^tdtV (H-//): ergo j-^^-^^ilL-^vnde ehcitur

haec

RECIPROCIS. 107

haec aeqimtio ordinis fexti (!2xV'i2.r.r)5 )r::34$6>''
^-125280^ ^432jA:+-2304J''^-288:\rXH-8Kv'*-
-f-^isy^. Poffunt itaque infinitae aequationes alge-
braicae etiam ex hac aequatione dyzizdtlt-^-iVii-^-tt^f
crui, et fimili modo ex aliis formis, loco N vel Q^; a-
lios valores fubftituendo, cafus,quibus hoc contingit,non
fuperiori abfimili modo detegentur.

XXXIX. Qiuie de priori duarum generalium
formularum , irrationali hucusque tradita funt, vfum eius
et foecunditatem fatis fuperque commonftiant. Progre-
dior nunc adalteram formulam rationalem quae eft, dx
zzWdt et dy—dt (-^1?^)^ feu quod eodem rcdit,
^z=:r//(^i^l=fe^)". Non immoror hic deriuandis hinc

curuistranfcendentalibusnempelogaritbmicaefemiredan-
gulae,fi Qzztj^zni. ttnzzi. aut cycloidi,fi n:iz-~. quip-
pe quae ab aliis iamfufius pertratflatae funt, propofitum
mihi eft , vt in priori , quas ea fub fe comprehendit cur-
uas algebraicas , perfequi , et regulas , quibus algebrai-
cae inueniri queant , eruere.

XL. Ne autem fradlio in caufa fit , cur difficilius
cafus algebraici dignofcantur , eam tollo loco N. ponen-
do N (I— QQ, ) Debet enim N elTe fundio par , ipfius

/Habebituria— i/(N-NQ_Q)\t dyzzzdtiW i-hC^)') ^eu
d.r-Wdt{i-Q(lf et ^^=i:NV/(H-Q^)'\ Vt hinc
aequatio algebraica deriuari queat, oportet vt et dx et dy
integrab ile fiat. Po n atur N= i ; erit dxzz:dt[ i - QQj "^ et
dyzzdt [i-^-Oy ', ^it Qpzt: erit dxzzidt{i — //)^

et^'=:r//(n-/)'%ndej=riL±!; -^ergo V (2//-l-i)j/

O2 -I

io8 DE TRAIECIORIIS

— irr/. Vt igitur dx integrari qucat, patet loco n (iib-
flitui debere numerum integrum affirmatium.

XLI. Cum «fitnumerusinteger affirmatiuus, con-
ftituet( I-/0'' jfi Jn feriem conuertatur, progreflionem nu-
meritcrminorumnnitijhanc i-— /^+7^-0-^^— ,^ ^^ 3 ^

etc. Vnde obtinebitur .r=:/-"-^V:i£^L ^li^izJ^
ctc. in qua fi loco t fubftituatur valor inuentus
^'^v^' (2«-l- 1)^-1 habebitur aequatio inter y et x a-
deoque pro curua quaefita. 5

XLII. Sit «=i erit .t—^-f^^ _ -v/^^^^i^i
5 3

( V>-i)^rz >^9X^'-^-f;crgo(.r-+-J+i)'r=9rj\Qiiae
aequatio euadit tertii ordinis , et exprimit parabolamcu-
bicalem femiredangulnm , quae pro fimpliciffima
omnium traiedoriarum reciprocarum algtbrdcarum ha-
betur. De qua Cel. loh E ernouUius in Ad. Erud. 1725.
peculiari fchedia&mate egit. Sunt autem reliquae fub-
ftitutiones loco n fadae minus felices in exhibendis cur-
uis fimplicibus,pofito cnim «=2, aequatio iam \'ltra tri-
gefimum gradum aftijrgit.

XLIII. PoiTunt loco Q^aliae fundiones ipfius t fub-

ftitui , vt Jf % ^'' aut i^ etc, quaeomnes formulam infini-
tis modisintegrabilemreddentjfemper nimirumquando n
fuerit numerus affirmatiuus integer. Simili modo res
fe hiibet fi alii loco N valores fubrogentur. Sit nim'-
rum N:=/^ erit ^.ri=:/'V/(i-QQ.)" et dyzzr^^dt
(i-hQ^)'^ Ponatur Q=:/. crxt^^^^dt^i-ttftuhzzt^^^^dt

RECIPROCIS. 109

(H-O^""- Vnde patet et x etj haberi pofTe modo fit
2;/ numerus intcger. Si enim fuerit mimerus par,fii-
cile patet omnia effe in fimplices terminos refolubilia , (i
Swfuerit numerusimpar crit (l— /^f irrationale, fedlicet
2« fit numerus impar , nihilominus ^^V/ {i-ttf crit in-
tegrabile.

XLIV. Sit znzzi erit (lxz=itdtV{i-n)ttdyzzt(U

^ttdt. Quare x—-^[ i-tt)^ ^tyzz^t^ +|^5 . Erit

igitur fcV^(l- Vgxx) ponatur J4-|— rhabebitur redu-
dlione per ada , haec aequatio fexti gradus
( 1 2UU -4- i24.r.v) ^ zr 69 1 2?^ ^ — 7 3 4.4// ^ XX— 112 3 2//.r ^
— 92i6/^'*'-+-7488/m\r-f-ioi25.r''''i-409(5z/^ . Ahi
loco n , numeri fubflituti alias exhibebunt curuas alge-
braicas, deinde innumerabiles aliae loco Qetloco N
fubftitutiones fieri polTunt, quaefemper,{i «efl: numerus
affirmatiuus integer , algebraicas efficient aequationes.
Et haec praecipua funt , quae de Algebraicis curuis af-
ferri poflunt.

XLV. Hifce coronidis loco fubiungo alias formu-
las gcnerales,quae refultant, fi loco (vid- '§. XXII.) p et
q fundioncs exponentiales kibfogantur. ILibentur au^
tem in exponentialibus et funcliones pares et reciprocae,
vt P^ t?i funclio par,fi fint et P et R fundiones pares , at
fi fuerit R funftio impar-,erit ea funftio reciproca, prio-
ri in cafu abeante .r in —.r manet P^, in pofteriori mu-
tatur in ?"~^.

XLVI. Q^iibus ergo in locis, antea funtflioncs

pares fubilituere opus fuerat , poterunt huiusmodi cx-

O 3 poncii-

iio DE TRAIECTORIIS

ponentiales adhiberi , et loco fiindlionum imparium (i-
miles exponentiales ductae in functionemimparemquan-
dam vt P^Q, exiftentibus P et R paribus functionibus et

Q. impari.

XLVII. Cum functiones reciprocae ita fint com-
paratae, vt factum eariim in fe ipfas , fed loco.v pofito
-.v, aequetur vnitati, patet,quicquid fit;?,femper ei infu-
per eiusmodi functionem reciprocam multiplicatione
adiungi pofle , nempe vbi fuerat dyz^pdt poteft etiam
fumi dy^T^pdt. denotanteTfunctione pari et V impa-
ri. Nihilominus en;m factum ex <^ in fc, fed abeunte
t in "ty idem erit ac ante.

XLVIII. Formulis ergo generalibus §§. XXIII.
XXIV. inuentis adiungi potcrit functio reciproca , im-
mutato earum vfu. Et habebitur r/.vzr N<7/ et dyziz
T^N^/(Q_-V-V^(H-QQ.)f deinde loco formulae ratio-
nalis habebitur ^SN^/ et ^jz^T^Nr//(5^T • Atque
his formulis in ampliflimos curuarum exponentialium,
quae problemati traiectoriarum reciprocarum fatisfa-
ciunt, campos deducimur.

XLIX. Exemplum nobis fit , hypothefis , qua,
;2— <?,Nir:i,T=:^,et V=/=:v;crit dy^cidtziza^^dx quae
eft aequatio ad logarithmicam ordinariam , quae fatisfa-
ciet applicatam fubtangenti aequalem pro axe conucrfio-
nis afliimendo. Pluribus exemplis, quippe curuas igno^
tas cxhibentibus, haec perfequi minime confultum duco.

L. Hifce tandem, quae hactenus attuli, quaeftio-
ni exalTe me fatisfecilTe non dubito , quaecunque enim

ad

RECIPROCIS. III

ad enodatlonem huinsmodi quaeftionum iure requiripos-
fuiit , abunde hic exhibuiffe mihi videor. Dedi enim
primo generahflimas aequationes applicatu faciles: fecun-
do methodum dedi infinitas aequationes vniuerfales al-
gebraicas inueniendijex quibus fimphciffimas reipfa de-
duxi.

Tandem, quae ex tranfcendentalibus curuis cognitac
funt, ctiam ex aequationibus gencralibus facile deriuan-
tur. Hifce omnibus praemifi fohitionem duorum pro-
blcmatum agnatorum , de Pantogonia infinitorum a-
xium traiectoria ct de traiectoriis datum axium numerum
habentibus , quippc quae ex confideratione naturae traie-
ctoriarum reciprocarum fponte fluunt. -

Theoria Nom
DE MOTV AQVARVM

PER CANALES QyOSCVNQVE
FLVENTIVM

j4uctore
Daniele Bernoulli ^ loh. Fil.

MOtum aquarum per tubos determinare ag-
grefiTi funt multi Geometrae iique celeber-
rimi*, fcd pauci aliquid dederunt, quodex-
perientiae elfet conf )rme, nemo autem in-
tcgram tlieoriam ftabiliuit. Aquamin tubo flagnantem

per

/TI. hifi.

1727,

112 BE MOTF

per foramenvalde pariium ea exilire velocitatc, qnapos-
fit alcendere ad altitiidinem fuperficiei aqueae fupra fo-
ramen, a Mathematicis quibusdam recte fuit definitum ;
qui vlterius progredi voluerunt , nihil praeter conicctu*
rasomni experientiae repugnantes protulerunt. Egove-
ro poftquam faepius intellexilTem ex Patre fummum v-
fum , qucm habeat principium conferuationis virium vi-
varum pro infinitis problematis Phyfico - Mathematicis
foluendis, quie alias pro valde difficiiibus,ne dicam dc-
fperatis, habcnda effent, mentem fubiit, nam non idem
principiumpro eruenda theoria aquarum fluentium per
tubos tantopere dcfiderata inferuire poiTit , neque euen-
tus fpem meam fefcllit. Verum vt iam paulo propius
ad rem ipfim accedam, dicam antc omnia, quid per vi-
rcs viuas earumque perpetaam conferuationem intelli-
gendum fit ; Dicitur itaque vis viua , quae inefl: corpori
moto atque menfjratur ex producto velocitatis quadrati
in corporis maffuii ; fi plura corpora moueantur , vis
totalisfeu quantitas virium erit aeftimanda ex aggregato
omniumproductorummodo definitorum. Demonftra-
uit autem Hugenius pofl eumque multi alii effe hoc ag-
gregatum conflans quomodocunque fe inuicem percu-
tiant ipfii corpora , modo fint perfecte elaflica atque
in vacuomota concipiantur. Conferuantur ergo etiam
vires viuaein corporibus elaflicis, Pono autem corpu-
fcula minima fluidum aliquod componentia effe perfecte
elaflica *, nifi enim effent duriffima fummaque clafticita-
te proinde praedita , polfent vlterius fubdiuidi. Hifce
praemonitis manifeflam factum eft , quid fieri debeat,

quan-

AOTARFM. , 113

qnando aqua fluit horizontaliterper tubum non cylindri-
cum , fed v. gr. conicum •, nempe cum omnis aqua mo-
tum (luim in linea re^fla continuare nequeat , particulae i-
pfius impingunt in latera tubi, ct inde refledunt, rur-
fusque alias fluidi partes percutiunt •, interim durantehac
ngitatione eadem quantitas virium perpetuo conferuabi-
tur hacque lege motum fuum in tubo continuabit aqua.
Notandum tamen probe eft , praedidos motus omnes
elTe minimos, ita vt nulla particnla locum fuum mutet,
nifi quatenus cum totafluidimafliimotumhabet progres-
fiuum*, haud fecus, ac videmus multis globis elafticis in
linea redla iuxta fe difpofiris et aequahbus, quorum ex-
tremus fi percutiatur,non totam globorum feriem , fed
folum extremum oppofitum moueri. Et hac ratione
iiaud difficulter quisque videt, pofle quoque in motu flui-
dorum eandem quantitatem virium perpetuo conferuari,
omnino ficut in motu corporum elaflicorum fe inuicem
percutientium ; imo neceifario id fieri ob fummam ela-
fHcitatem fluidorum corpufculis minimis infltam. lam
vero rem ipfam aggrederer , nifi quibusdam velfolum
conferuadonis virium viuarum nomen fl:omachum mo-
uere perfpedum haberem. Horum in gratiam monen-
dumducoprincipium hoc conferuationis virium viuarum
minime difFerre a principio quod primum ab Hugenio u-
furpatum dein ab omnibus Geometris fme vlla contro-
iierfia receptum fuit; nimirum corpora vi grauitatis ad
defcenfum vtcunquefollicitataeam acquirere velocitatem
vt fi fingula rurfiis velocitate fua finali direde afcendant,
vsque ad fl:atum quietis commune centrum grauitatis ad
Tom. II. P pri-

114 DE MOTl^

priftlnam altitudinem redeat ; cui hoc Hugenil prlnci-
pium magis arridet,is eadem facilitate rem expediet, ad-
dendum autem efl: hoc alterum , velocitates fluidorum
per vas inaequaliter amplum fluentium vbique efle am-
plititudinibus reciproce proportionales : Hifce itaque
duobus principiis totum argumentum abfoluemus.

Prop.I Vrohlemci. Data celeritate, qua fuperficies
iiquae in tubo quocunque mouetur , inuenire vim viuam
totius mafTae aqueae.

Solutio. Sit (Fig.I.)vas ABGH , per quod fluat li -
quor CDFE j cuius fitus proximus fit cdfe \ habeat fu-
perficies CD velocitatem , quam acquireret grauc ca-
dendo ex altitudine NO. Patet autem, fore velocita-
tem inLM ad velocitatem fuperficiei CD in ratione re-
ciproca amplitudinum CD et LM vndc fi totum fluidum
concipiatur diuifum in ftrata infinita eiusdem altitudinis,
qualeefl:LMm/, erit vis viva cuiuslibet ftrati , ficuti i-
pfius mafla du(fla in quadratum velocitatis, id eft , ficuti

2

m ""^^ ' ^^^ ^^ m- S""t ^^S° -^hicim vires viuae in re-
ciproca ratione amplitudinum : Hinc intelligitur , quod
fa(fta fuper eodem axe AH alia curua QST tnli, vt fit
MS vbique aequalis tertiae continue proportionali ad
LM et CD fore vim viuam totius maflae aqueae CDFE
zzfpatio DQTFxNO. Si fymbolis vti velimus, habe-
bimus vim viuam quaefitam:r=^^i/- , vbi^ denotat fu-

pcrficieuu CD, v altitudinem , qua graue cadendo acqui-

rit

A^VARVM. 115

rltvelocltatcm iftius fiiperficiei ; dt fignlficat elementum
]\lw, et s amplitudinem vafisin ML. Q^E I.

Frop. 2. Tbeor. Si tubus(fig. i . ) A BGH verticaliter po-
fitus fit , atque maffa aquea fuo pondere defcendat in fi-
tumCDFE, quem mox commutet cumfitu cdfc, erit
differentiale vis viuae feu incrementum vis viuae illo tem-
pufculo acquifitum aequale ei, quamacquiritkpfuperD^ .
cylindrus aqueus cuius bafis eft CD et altitudo DF.

Dem. Vis viua acquifita aeftimanda efl: ex maffa
et altitudine defcenfus : dum vero CDFE peruenit in fi-
tum cdfe 9 idem eft acfi aqua r^FE in fuo loco perman-
fiffet et aqua CDdc in fitum EFfe peruenilfet ; eft ita-
quevis viua de nouo acquifitazr-CDx^DxDFfeu, quod
perinde eft, CDxDFxD^. Q E.D.

Prop. 3. Frobl. Dcterminare velocitatem aquac
qua fluidum fmgulis momentis effluit per tubum vtcun-
que formatum et quocunque foramine perforatum.

Solutio, Sit curua quaecunqua BDFG (fig. 2.) cu-
ius applicatae horizontales DC reprefentent refpecfliue
amplitudines tubi ; Defcenderit aqua ex A in C fitquc
ACz::/, CDzzx amplitudo foramins defignata per LM
fitzz^, altitudo tota AM=^ *, vis viua totalis infita fluido
dum eft in fitu DCMGn: M : veiocitas , quam habet fu-
pcrficies DC , aequalis illi quam corpus acquirit caden-
do cx alt. v\ concipiatur nunc aquam ex fitu DCMLGD
perueniffe in fitum FEONLGF ; Erit ergo per Prop.
Sec. difterentiale vis viuae =:DCxCMxCE=rjx(6— /)x^/
fed poteft idem incrementum aliter ftc definiri, Dum

^P 2 aquae

n<5 DE MOiy

aquae fuperficies effet in DC , crat velocitas in FErz:

.^l—Vu (funt enim \elocitates in reciproca ratione am-

plitudinum) et vis viua aquae FEMLGF eratz=M-j^'^f.
lam poftquam fuperficies aquae ex DC peruenitin FE
habet velocitatcm "/«-4-2^^ vnde cum vires viuaefmt
in duplicata rationc velocitatum, erit aquae FEMLGF

vis infita -{Ms.vdtXV^v^ % ): (_^^)'=:(negleais neglf.
gendis)^-^^^i;^-i-'3Ld=±^ , cui quantitati fi ad-

datur vis guttulae LMON modo e tubo egrefllie, habe-
bitur vis , quam habet aqua poft fitus mutationem • ell
autem particula aquae LM0N=DCEF=/(/^ et habct
velocitatem quacum afcenderepoffet ad altitudinem ^/-r^^

vnde ipfius vis =:= V^^^ ' ^^§<^ ^'^^ ^'^^^ totah's aquae
FEONLGF-^^^^-^^^^^-^fJ^^-^^^^^^^-f-i udt , aqua
proin fi auferatnr M , habebitur differentiale vis viuae
quod adcoque ^^\^ ^-±}2!^22^\ ^L^ ^ Hinc
habetur talis aequatio s {c-t) dt —"^^l^I^^^l^:!!!^

3

-+-' b&^*- ^otQ{\. autem per prop. 2. haberi M et da-
tur s per / ^ habetur itaque aequatio inter ? et w , qua
mediante poteft determinari velocitas aquae in quocun-
que fitu. Q. E. L

Trop. 4. Froblema. Determ'nare velocitates,quibus
aqua fmgulis momentis effluit e tubo cylindrico vertica..

AQVARVM. . 117

li , fiue ipfius foramen fit finitum fiue infinke par-
luim.

Sol Sit amplitudo feu fedio cylindri ad axem
perpendiculariszziw, amplitudoforaminiszzi , altitudo
totius cylindri aquei ante effluxumzrr , altitudo per
quam fuprema fuperficies iam defcendit z=/: Erit ergo
vis viua aquae in tubo refiduae (quam fupra vocauimus
WjZin^c—t^VQX. quod antea vocauimus generaliter vfiam
conftanter eft n ; fubftitutis adeoque hifce valoribus in
aequatione canonica prodibit

n[c—t)dt^zn [c-t) du—nudt^n'^ udt ; ponatur [c—t) zzzz
ttnn—i-zzm et ontim—zdzznzdu—mudz , quae formula
ad diiFerentialia logaritlimica iuxta methodum paternam

reducia atque rite pertradata dat vzz-

n.n_2 nn i

c z-z

nn.— -2
inn — 2 ic

Q:E.I.

Coroll 1 . Si ;;=i, id efl-, fi nullus fit fundus in tu-
bo tmvzzc—z^\t'X vt velocitas aquae eadem fit, acfigra-
ue motu naturaliter accelerato defcendiflret per altitudi-
ntmc—z ; id quod quilibet fmeinftituto caiculo afl*equi
potuiffet ; fuerunt tamen, qui et in hoc cafu crediderunt,
aquam effluere eadem velocitate ftatim ab initio , quam
corpus acquirit cadendo ex tota altitudine aquae.

CoroU. 2. Datur femper locus in tubo , vbi fi
peruenerit fuperficies aquea , fit velocitas aquae effluen-
tis maxima; is locus obtinetur, cum fumitur z~c;

(l;n7i-2) ' :(nn — 2)

(nu— tj iitque tUnC VZZ Cnn^i xnn- '

P 3 -€^^

iiS BF MOTF

*^:n7i-i xu7i_2 ^ ' iiuc -zzc '.y^nrr^ J*' — 'ct

haecqiiantitas datmaximamvelocitateni,qiiaruperricies a-
quaeintubodercenderepoteft',fiveroeandemquaiititatem
muitlplicemus per ?in , habebitur altitudo pro generan-
da maxima velocitateaquae efflaentis quae femper minor
efl: quam r; quod fi vero n fit infinitum, degenerabitea-
dem in c *, vnde per noftram methodum etiam manife-
ftum fit , in cafu foraminis infinite parvi aquam ea exi-
lire velocitate , qua corpus afccndere pofiit ad altitudi-
nem aquae. Hicque folus eft cafus , quem fcriptores
hydraulicae redle affecuti funt. Quod fi n fit numerus
non infinitus, fed tamen fat magnus, erit maxima velo-
citas aquae effiuentis haud muhum minor , quam (i
foramen efTetinfiniteparuum •, nam fi n fiat z=io pote-
rit aqua , maxima fua velocitate eflluens , afcendere ad
-j-9-J^ ipfius c j hancque velocitatem maximam ftatimfe-
re a fluxus principio acquiret, nimirum poftquam aqua
defcendit in tubo per fpatium -^iyC. Haec omnia
conueniunt egregie cum experimentis.

CoroII. 3. Si « fit numerus magnus, et aqua in tubo
iam aliquousque defcendere coepit, erunt velocitates
quam proxime vti radices altitudinum aquae ; quam re-
gulam illi affumferunt, qui de diuifione clepfydrarum
egerunt, veluti Cel. Varignon, Mariotte-, mihi quoque
de clepfydra Sphaericamari adhibenda aliquando agenti
res ita confiderata fuit-, fcd fiilleret tamen paulifper rc-
gulaaprincipio efftiixus, nifi n eflet numerus admodum
magnus. Pro vera diuifionc requiritur, vt integretur

AQVARFM. 119

^i^ id quod femper fieri ncquit ; feries tamen pro hoc
negotio daripoiTiintquibusmediantibus tempus quoque
abfolutum evacuationis habetur quam proxime in fmgu-
liscafibus. Idque mihi occafionem dedit, experimenta
quam plurima inftitucndi cum variis tubis, diuerfisque
foraminibus; et femper tempus depletionis experientia
atque calculo idem fuit deprehenfum, ita, vt nunc extra
dubium pofita fit noftra theoria ; habeo autem alia ex-
perimenta in promtu, quibus res non minus fecurc ad
examen reuocari poteft.

Coroll. 4. Dederunt allegati Authores curuam pro
clepfydra aequabilis defcenfus, id eft, in qua fiiperficics
fluidi aequalibus temporibus aequalicer defcendit •, fcd
fallit illa et in fine ct in principio; atque circa medium
fatisfacit tantum cum foramen efl valde paruum.
Vcra curua deducitur ex noilra aequatione canonica
prop. 3. alfumendo pro i? conftantem et delendo termi-
num vbi ingreditur dv ; fed tantum abeft quin fit alge-
braica, vtperueniamr ad differcntialia fecundi ordinis,ffi
quantitatemM. eliminare velimus, eique fubftituere ae-
quiualentem. Notabile interim eft problemia circa ae-
quabilem effluxum, quod iit algebraicum : Si ni-
mirum (Fig. 3.) AND. curua quaeratur cuius
rotatione circa axem BF generetur foHdum tale , vt (1
fiuiduminjllo defcendat,tanquam incelepfydra,aequalibus
temporibus aequales quantitates efftuant, feu, quod idem
cft,vt velocitate conftante aqua efftuat. Sitigitur FMzr/,
MN=:jK, ^n: altltudini FByfctaltitudini qua grauecaden-
do acquirit velocitatem aquae efiluentis , et erit curua
aequabilis cffluxus expreiTa tali aequationej'^/-^'^/-}-^^/

ino DE MOTF

zzo. habet hacc curna mnltas proprietates , quarum c-
numeratione , ne nimis fim longus , fuperfedeo ; fed
quod minime tacendum puto , eft,qiTod figura haec pro
vafe aequabilis effluxus eadem ell, quae Anglorum
catarada , qua phaenomena aquarum effluentium
explicare contenderunt. Caeterum pro maiori con-
firmatione theoriae noftrae , dicam etiam breuibus dc
■vafis cylindricis , quibus tubi alii cyhndrici anguftiores
annexifunt, fme verticaliter pofiti (quorum phaenomena
nuper publice expofuit Cel. Bulffingerus) fiue horizon-
taliter: fiue abrupti , fiue indefinite longi , quorum po-
lleriorum confiderationem in rem phyfiologicam haud
parum facere, alia occafione oftendam.

Prop. 4 Frobl Aqua currente per cylindrum
ACDB (fig. 4.) cui tubus cylindricus EF infixus, de-
terminare vbique velocitatem, qua fuperficies aquaeGH
defcendit.

SoJ. Poteft hlc cafus tanquam corollarium confi-
derari propofitionis tertiae , atque ita determinari vbi-
que velocitas fuperficiei aqueae, donec tota efftuxerit a-
qua ex vafe ACDB *, motus autem reliquusper tubum
EF per fe facile determinatur , quia fit iuxta leges mo-
tuum corporum vniformiter acceleratorum. Quod fi ita-
que vas ab initio repletum fuerit vsquein AB dicatur-
que AG:zzt, ACrr^ ^FJFzzc fuperficies GUznn , am-
plitudo tubi EF:r:i, altitudo pro generanda velocitate
fuperficiei GHz::i^, mutabitur aequatio canonica fadis v-
bique ritefubftitudonibus in talem ad cafum propofitum

fa-

AQVARFM. 121

dem aequationem modo particulari ita erui. Vis viua
totius aquae fluentisGCEFEDHefl:n;2x(£'--/)xi7-4-«wrj,
cuius difFerentiale t?i{ne-nt-\-7mc)du-midt , cui fi additur
vis viua particulae FP effluxae , quae t^in^^udt habetur
totum incrementum vis viuae illo momento generatum,
quod per Prop. 2. aequnle eft {e-t^c) ndt, ct diuifo v-
trobique per ;/ , oritur iterum (c-^e-t)^^ dtziz[e-t-\-nc)
y.dU'-\'{nnv—v)xdt. Inter has methodos eadiffercntiaeft,
quod priori res multo generalius expediri potuiffet ,
qu.im pofteriori, ponendoneque vas neque tubum cy-
lindricum fed alia figura praeditum. Pro redu-
cenda pofteriori hac aequatione ad quantitates finitas
ponatur tznq-^-e-^-fic et ^'r=r---L__, atque fic illa mu-

tabiturin hanc —qdq^-qdr-^-ljin—i) rdq, quae iterum
obferuata debitae conftantis additione abit in hanc^/' "''"'
^{2r-nnr--q) = {--e~nc)'-'''' ^l^lh^^^l-) ^fd
"^n^^-inc-^-Zc^ne-^-e) : {^n- 1 )x {-e^ncf''-' . Et

realTumtls quantitatibus ^ et v oritur(/-^-«r) '"■"""
^{-nnv-^-av-^-c-t-^-e^:^)—^-- e-nc)'-''''
5<(!li±:^±!!f±il) feu v=:{e-\-c-\-^-t):{nn-2)
^^,^^^).{t^f^mT-' ^(jin^Q^K-e-ncf^-' .

Coroll, I. Si ponatur czzo , oritur theorema
prop. 4.

Tovh II. Q Cor.

122 DE MOTF

CoroII. II. Sicomparetiir velocitAS maxlmacum
Yelocitate maxima aquae effluentis in cafu c—o, inuenie-
tur illa multo maior hac ; et quidem difFcrentia eo ma-
ior efl:, quo longior eft tubus EF. Vnde non mirum,
fi tempora exinanitionum eo fmt minora, quo tubi anne-
xi funt longiores. Pofllint autem haec omnia calculo
exa(flius fubiici tum ratione velocitatum , tum ratione
temporum.

Coroll. III, Si tubus EF fit indeflnite longus , in-
uenietur alio ratiocinio fed non multum abfimili talis ae-
quatio edu-tdu-^mmdt-^nntdu — udtznedt-tdt^
7Jtdt,

CoroII. IV, Si tubus EF in F paulo amplior fit,
quam in E tempus depletionis adhuc minus erit ; po-
tefl: vero amplitudo in F eo vsque augeri , donec aqua
inter effluendum lateribus tubi adhaerefcere defmat.

CoroU. V, Si tujbi EF fuit inclinati paucis mutatis
idem efl: calculus •, quapropter hofce cafus non attingam
excepto illo, quo tubus ell indefinite longus et horizon-
talis, quia is in aliis occafionibus vflii venire potefl:.Quod
fi itaque cylindrus ACDB (fig. 5.) aquaplenus vsque in
AB tubum habeat annexum horizontalem DE, indefi-
nite longum , atque aqua in cylindro defcenderit vsque
ad MN, in tubo autem progrefFa fuerit vsque in R , di-
catur ACzzLu^ amplitudo ABzz;?, foramen zzi , cmzizz
et celeritas aquae MN talis quae acquireretur lapfu ex
altitudine v , dico aequationem inter z' ct v fore talem

zu

AQVARVM, I2J

zv-nnzi} -^nnav — ^zz -^-^aa— o vel i? n:

2

aa—zz

2[Z-nnz~\-n7iaj •

SchoUum, Experimcnta qiioque inftitui cum vafis,
cui tubi ftridiores annexi funt , fed contigit, quod prae-
uidi, tempora exinanitionum femper maiora qKq, quam
pro calculo effe deberent ; id autem fridionibustribuen-
dum eft 5 vbi enim aqua per foramen exilit nulla ferc
eft fridio ; fed cum per canales flridiores fluit , obftacu-
la funt latera tuborum. Efl mihi methodus etiam ad
calculum reuocandi huiusmodi refiftentias fadlo vnico
experimcnto •, fed omni accuratione inflituendo ; neque
enim difficulter apparet efle refiftentias in recipro-
ca ratione diametrorum ,* et direda velocitatum
atque tuborum longitudinum hasque refiflentias
fubtrahi debere a preffione aquamad motum follicitante,
atque vt fpecimcn methodi exhibeam ponam vas aqua
repletum ampliffimum, cui tubus flri(flus cylindricus ho-
rizontaliter infixus, efleque altitudinem aquaefupra tu-
bum=^, diametrum tubi nZ', longitudinemque rzc, ve-
locitatem aquae exilientis talem quae debeatur altitudini
X et erit refiftentia tubi — 22!± (per n intelligitur nume-
rus experimento erutus), qua fubtrada a prefilone a-
quae (qnae in hypothefi foraminis refpedu vafis minimi
proportionalis efl: altitudini aquae fupra tubum) oritur
~l~~^ j qn^e quantitas fimul exprimit akitudinem ad
quam aqua velocitate fua afcendere pofTet •, vnde -^^

Jincc— 2(ihb^ncV(nncc—^/^. abb\
— 2&& •

0.2 Pm.

124 ^^ MOTV

Prop. J. Poteft alio modo concinnius problema
generde propofitionis tertiae folui. Sit nimirum(fig.
6.) BDG curua , cuius axis verticalis eft AMj abfcifHie
MC denotent altitudines aquae refiduacet applicataeCD
exprimant amplitudines vafis in eodem loco feu fuper-
ficiem aquae : GM rcpraefentet fundum vafis et LM fo-
ramen : fiat nunc alia curua SRP fuper eodem axe talis,
vt vbique fitCRmtertiaecontinue proportionaliadDC
et LM : fitque MCzz/; CDz:: /, GMziir, LM=:Z', velo-
citas aquae effluentis LNOM talis , quae generatur lapfu
libero corporis ex altitudine v , et erit CR~y, et (per
prop. I .) vis viua infita fluido DCMG iz: fpatio CRFMxi?;
ponamus autem fpat. CRPMi^N , confideremusque de-
crefcente MC decrefcere N, tetv.ita liabetur incremen-
tumvisviuaeaquaeinvaferefiduaerr— N^y— i'JN feu (po-
nendoloco-^Nvalorem— ^^)rz:— N^r-- ^^^j cuifi ad-

datur vis viua particulae LNOM, quae ell —-svdt^ o-
rietur incrementum totale vis viuae aequandum cum
^stdt', cr^o-'^dv^^±^-svdt—--stdtf vel^v-h^-^
vdt-'-;^ • ponatur ^^-^^L^-dt-dP et l^^zzi^^Q^^ergo dv^
tvdFzizdQ^ , fiat vzdj~^R (intelligendo per h numerum
cuius logarithmus eft vnitas) et erit /j"~^r/R rz: ^Q^et
Rr=://b^^Q, et denique v—h-^fj/dQ^, Q.E. I.

SuperelTentpluraaliadicenda -jVeluti defluidis elafticis,
defluidis exvafeperduoforamina vtcunq; pofitaeffluen-
tibus (quod vltimum problema diflicillimum eftjaliisque;
haec autem nunc fufl[iciant. Caeterum fequitur quoque

ex

AQVAKVM. 125

ex tlieoriii praefente , vtcorollariiim, doclrina fluidorum
in tubis ofcillantium , quod argumentum Newtonus atti-
gitin theor. 35. lib. 2. princ. Math, Piiil. niit. p. 363.
edit. 3. \bi motus ifte olcillatorius redle definiturj atque
conformiter cum noftris, quaeitaegregie confirmantur: ne-
que ccrtequicquam minimam patitur exceptionem ,modo
. duo principia conferuatmns drium viuarum twelocitatum
reciproce ampUtudinibus proportionaUum concedantur;prius
in dubium vocarinequit j fi ad fridiones ahasue refiften-
tias extrinfecas non attcndatur ; qui aliter fentit , totDm
mechanicam reiicit, quippc conferuatio virium aliisyer-
bis ab omnibus fuit accepta ; quod ad alterum princi-
pium , quamuis id non ad rigorem verum fit , poteft ta*
men in plerisque vafis fme \ilo fcrupulo accipi , nempe
omnibus illis , in quibus nullus fit tranfitus fubitaneus :
at fi V. g. vas acciperetur (Fig. 7.) ABCD perforatum in
E, cui quafi faccus qiiidam adhaereret in O , nemo non
videt motum aquae facco O inclufae longe alium fore
quam principium iftud poftularet ; neque adeo theoria
extendi poteft ad huiusmodi vafa valde irregularia ; pu-
to autem in hifce cafibus nihil certi ftatui polTe.

0,3 ^^

D/s/ertcit/o

de nouo qiiodam

CVRVARVM TAVTOCHRO.
NARVM GENERE

Auctore
Leonh. Eulero.
I.

E

M.Iul. W ^ Didit ante annum et quod excurrit D. Sully

1727- l-J Pariliis defcriptionem noui cuiusdam horo-

logii ; quod peculiari modo flibricatum ad
dimenenda mari tempora, etinde determi-
nindam loconim longitudinem , perquam idoneum iu-
dicat. Praecipuum eius inuentum , confiftit in nouo
quodam ofciilationnm genere a vacillatione trochleae
circa axem petito. Idque eflicit ope ponderis , tro-
chleam femper verfus certum fitum foliicitaitis. At
quomodo iftae ofcillationes ifochronae cfficiendae fint,
de eo nondum plane certus eft , cum id pendeat ab
accurata defcriptione curuae cuiusdam lineae ad id requifi-
tae ; quam autem aliter non nifi crebra tentatione cogno-
uit, ciusque figuram crafTa Minema determinauit. De
hac curua ad tautochronifmum defiderata in praefenti
diiTertatione agere animus efl , aliosque exhibere mo-
dos, quibus aequalitas ofcillationum conferuari poterit.

11.

F/i.r.

DE CVRVA TAVTOCHRONA. 1-7

II. Huc fere autem rediicitiir modu5,quo Sully in
trochleaofciJIationes obtinere conatur.In centro troch-
leae C appucat duas laminas incuruatas CE,CF inter
quas dependet filum CP , pondere P oneratum , et hrc
fitus , quo filum neutram laminam tangit, eft naturalis.
Ex quo fipellatur,vt flluminM alterutram laminamtan-

gat , ex natura vedis pondus P vim habebit trochleam p.^ j^
in fitum naturalem loUicitandi. Et ea proptcr ofcilla-
tiones orientur , dum trochlea nunc cis nanc vltra fitum
hunc naturalcm extrauagabitur.

III. Hae ofcillationes, fiue minus fuie magis fint
amphie, vt ifochronae reddantur, id pendet a curua-
tura laminarum afHxarum , vt haec rite determinetur:
et id ipium eft, quod D. Sully defiderat.Efl autem hoc
problema valde intricatum,plurimaque diuerla comple-
iflens , quae diligenter funt cuoluenda et diftinguenda:
Quod rotam attinet , ea cum laminis ita debet effe com-
parata,vt indifFerens fit ad quemi:is fitum recipiendum,
vnde centrum communc grauitatis in axe trocbleae pod-
tum fit oportet. Atque id in poderum affiimam, vt
nimiam calcuH prolixitatem euitcm.

IV. Circa filum confideranda funt, nn fit femper
verticale? an femper verfus eandem plagam dingatur?aa
Tero fecus ? Circa potendam autem fdo applicatam fe-
quentia. i . An ipla habeat vim inertiae ? vt fi pondus
appendatur ; an vero non,vt elaftra fere, Haec probe
funt diflinguenda , potentia enim vi inertiae pracdita
non omnem vim ad trochleam mouendam impendit, fed
quidquam ad fui ipfius motum requiritur. Cum econtra

po-

tng DE crzvA

potentia incrtia deflituta omnem vim ad motnm tro-
chleae impendere queat,

V. 2. An iiniformiter, i.e. femper acqiiali vitra-
hat,vt pondus, vel elaftrum maxime tenrum, cuius vis
in remilfionibus non nimis magnis quafi eadem perfiftit;
an autem modo magis modo minus agat,vt elater,chor-
Vr.lU da tenf^, aer condenfatus , vel rarefacflus. Quaecon-
fiderationes omnes diligenter in computum duci debent,
. vt laminarum curuatura inueniatur. Machina Sulliana
mnxime ex hifce efl: compofita. Filum CD vedi AD
circa A mobili,in B eft alligatum,et vecfli in DpondusP
incumbit , vnde fit , vt nec filum femper verticale ma-
neat, neque pondus vniformiter trahat, et infuper visiner
tiae non exigua adfit.

VI. Cafum autem fimpliciflimum hic primo examini
fubiicere animus ert , et pro eo curuam quaefitam deter-
minare, nec non modum monflrare , quo in praxi com-
mode applicari pofTit : dein quantitatem cuiusvis partis
definiam, vt ofcillationcs abfoluantur dato tempore. Et
tandem alium euoluam cafum,quinon contemnendum in
re nautica vfum mihipraeftarevidetur.SimpIicifllmus vero
mihieft cafus,quo filum perpetuo verticaleperfiftit, poten-
tiavnformiteragens etomniinertiadeftituta applicatur.

VII. Problema hoc fenfu acceptum fic foluo. De-
fignet linea CM laminam alterutram in quouis fitu non
naturali, fitque CB linea vcrticalis, cui parallela erit fi-
li direaio MR curu m in M tangens •, ex punflo conta-
(flus M ducatur in CB perpendicularis MT; erit haec et-
iam normalisin curuam.DucaturredaCO^defignansan-

gulum

Th. ir.

TAVTOCHRONA. 129

gulum BCO,quo machina ex fitu naturali eft deturbata.
Centro C radio arbitrano CB defcribatur circulus BO,
cuius arcus BO metieturangulum BCO,quibus fadishoc
modo curuam detego *, patet potentiam fecundum MR
trahentem trochleam in fitum naturalem perducere co-
nari. Sit ea potentia P,crit illa \is \t P. TM. Eft PM
perpendiculum ex M in verticalcm CB.

VIII. Cum autem haec vis continuo aliter refpe-
<fhi hypomochlii C applicetur, ei quaero aequipollentem
radio CO in O normaliter apphcandam. Producatur
RM in N vsque, vbi occurrat horizontali ex C dudae,
potentia P eundem edit efTedum ac fi radio CN in N
appiicata verfus NR traheret. At ex naturn vedis efl:
potentia in O applicanda et fecundum normalem ad CO
agens , aequ'polIensque potentiae P , ad potentiam P vt
CN fiue TM ad CO. Erit ergo earr^^ feu propor-
tionalis,ob P et CO conftantes , ipfi TM.

IX. Nunc ad curuam determinandam ifochroni-
Ihium confiderare oportet, qui obtinetur , fi acceleratio
Ipatio percurrendo femper proportionatur , poflfunt au-
tem ofcillationes trochieae tanquam ofcillationcs pendu-
li CO fpedlari , quae fi fmt ifochronae, et trochleae os-
cillationes tales erunt. Percurrendus vero eft pundlo O
arcusBO, et huius purufli O acceleratio eft vt vis appli-
cata^^i. e. vtTM',ad obtinendum ergo ifochroni-

fmum oportet, vt arcus BO vel angulus BCO propor-

tionetur ipft TM,

Tom. II. R X.

130 DE CFRrA

X . Quum linea-TM fit in curuam normaIis,in eam-
que CT, ex pundo fixo C , pcrpendicularis , atque li-
F;V. /r. nea CO ad curuam habeat ybique eundem fitum ; Pro-
ff y* blema huc redudum eft, vt , data redla CO pofitione, in
eaque punAo C,inueniatur curua CM huius proprieta-
tis, vt,du(fla normali MT, in eamque ex centro C per-
pendiculo CT,fit linea TM proportionalis angulo TCO,
feu differentiale ipfius TM elemento anguli TCO.
- Fi^. V. XI. Vt obtineam haec elementa , pundo M ac-

cipio proximum m,ct ex eo duco normalem ?}2t, prio-
ri occurrens in R centro circuli ofculatoris ; ia eamque
demitto perpendiculum Ct priorem normalem in^(e-
cans ; eritpT elementum lineae TM*, at elementum an-
guli TCO eft angulus TCp: vt ergo pT elemento ang.
TCp proportionalefit, oportet,vt fit CT confl:ans,quac
eft proprietas fpecifica curuae inueniendae. Patet hinc
punda T et / in R cadere debere > vt pt elementum
ipfius CT fit zzo.

XII. Vt ad huius curuae cognitionem propiusac-
cedam , centro C interuallo CBzzi defcribo circu-
lum BS, qui fecatura radiis CM Cm in S et s, Vocetur
BSyT etCM,^ *, erit Sszizdx et mrzzdy , dudo arculo
Mr centro C*, vnde ob triangula CSj, CMr fimilia , ob-
tinetur Mrzzydx, Cum CT conftans effe debear, pona-
tur CTzzi. Erit TM=VCyj'-i). Dein ob fimilia
AAMn«,MTC habetur CT( i ):TM [V{yy-i)] —?nr{(ly) :
Mr(j^.r)-,vndeelicitur haecaequatio dyVjy-i)-^ydx\ feu
dxz:z%V[yy^i )

XIII

TAFTOCJIROKA, 131

XIII. Ad conftruendam (uccincfHus hanc aequa-
tionem , pono V(jy—i )~z ; erlty zz V (zz-^- i)tt dy
rr fr^ — His valoribus (iibftitutis obtineo hanc aequa-

. 7 zzdz 3 dz

tionem «-^ — aiipr^^^ziipr ' ^"^^ aequatio ergo opc
rec^ificationis circuli conftrui poteft. Centro C radio ^^* ^^*
CBiri defcribatur circuhis NBST, quem in B tangat
reda BP, in qua accipiatur vtcunque BP::=;2j,ducaturque
C? fecans circulum in N; erit arcusBN/^|^,etCP=i:
V(zz-^l)zzj,^ Eft autem x—z-f-^^:(unutm crgo a
pundo B arcus BS=:BP-BN;erit BSzr x.Radius CS in
M producatur,Yt fit CMniCP^/ eritpundum M in curua
quaefita.

XIV. Ciiruam hoc modo conftrudam ex ipfius
circuii NBST euolutione generari obferuo. Ducatur
enim ad curuam in Mnormalis MT, tanget ea circulum
in T, cum ex §. 1 1. perpendiculum CT ex C in cam
normalem demifliim fitzr i. Et infuper cx eodem ^.
normalis TM eft ipfe curuae in M radius ofculij qui cum
circulum continuo tangat , liquet , circulum effe euolu-
tam huius curuae inuentae : adeoque ea facilius et com-
modius euolutione fili circulo circumdudi defcribetur,

XV. Quod iam attinetad tempus abfolutum, id
quoque fiipputandum eft, vt liqueat, quo modo trochlea %
et potentiae fint inftituendae,vt ofirillationes dato tempo-

re abfbluantur. Quare ad tempus totius ofi:illationis
inueniendum confiderabo accelerationem quamuis mo-
mentancam. Sit trochlea CBS homogenea et acqua- p. yr,

Pv 2 biiis '^*

132

DE CrRVA

bilis \biuls : fit eius pondus =^Q.-,et radius eius CBrri.
Praeftet potentia eundem \bique cfFedum ac pondus P
hoc modo innotefcet tempus vnius ofcillationis.

XVI. Dudla vcrticali CB confiftat curuae initium
in loco quovis S ; fitque curua SM, in cuius pun^flo M
tangens MQ fit verticalis : adeoquc radius ofculi BM c-
rit liorizontalis in B terminatus. Erit itaque MQ dire-
dliopotentiae.Defcendat curua infitum proximum, nem-
pe pundnm S in s, abibit M in m et MQin mq\tt\t. denuoB»/
radius ofculi horizontalis. Ducantur radii CS, Cx , et
recflae Cw, CM-,centro C, interuallo C/w, defcribatur ar-
culus WjUL curuae in altero priori fitu in \k occurrens , e-
runt pund:a m , \k duo puiidla homologa et refpoiw
dentia-,ergo ang. wiCpn: SC/.

XVII. Peruenit porro potentia ex Q in^ defcri-
pfit adeo fpatiolum Qjjziz??iix , quare duda qn parallela
BM*, erit QwznMjJL propter eandem fili longitudincm et
ob CSM— Cj^wrzM.M.. Defcendit igitur potentia hoc
momentoperQwjVndegencraridebet visviuaP.Qw, quae
tota in trochleam transferetur : quia potcntia inertiae
expers fupponitur.Vis ergo viua in trochlea, dum motu
angulari SCs gyratur , augeri debct vi P. Qti.

XVIII. Sit velocitas pundi S, aequalis acquifitae
ex altitudine v. Erit vis viua totius trochleac::^'^^.
vnde c-us differentiale-^=:P.Q;/-,ergo dv-^^-^^
Eil autem ob aa fimilia M|-lw, et B/«C',M|ut.: Mm—Bjm

BC

TAVTOCHRONA. 135

BC -, ergo Mp.-?^ : at m.m=Ss ; vnde Mp.-*'"-''

BC

Er gofc l^^^-^^confequcnter momentunn|^zz^^;^2 rz
^^^|-, ob BS euolutam curuaeSM; adeoque aequaiemra-
dio ofcuU BM feu Bm.

XIX. Inuento momento^ facili negotio rcpe-

rletur longitudo penduli ifochroni hoc modorfit pendu-
lum ifochronum OA ofcillans in cycloide NA. Sitquc
arcus ANzzarcui BS et contemporaneus. Sumatur
Nw—S/ , ducaturque verticahs nt , erit momentum per
Nwm^: id quod aequari dcbet momento ^^^ : Sed
ex natura cycloidis eft ^4=^^o-lo > ^rgo AOn^.
Fiat ergo vt pondus potentiae aequiualens , ad pondus
trochleae , ita dimidius radius BC ad quartam , quae e-
rit longitudo penduli ifochroni.

XX. Potentiam ideo adhibui inertia deftitutam,
ne ad velocitatem in ea generandam vis requiratur, Hinc
igitur ficile patet, fi potentia ita fit exigua,vt pondusei
JiiffeAum nuliam ad trochleae pon4us habeat rationem
fenfibilem, vim in eo generandam reiici polfe; adeo-
que loco P poterit, vt Sully vult, pondus fubfl:itui,mo-
do valde exiguum refpedlu Q. Vt autem niliilominus
ofciilationes trocliieae dato tempore abfoluantur BC,
inde determinari debet,fiat enim,vt Q ad 2P ita AQad
BCrfit Q centies maius quam P,fuque AO longimdopen-
duli ofcillantis flngulis minutisfecundis, nemperz^idd
fcrup. ped. Rhen. eritBC=6v fcrup. quae eft quan-
titas fatis magna pro radio BC. Atque hoc fenfii

R 3 pon-

134 ^^ CVRVA

pondiis fatisfaciet appenrum , vt Sully defiderat. Id vt
ad fenrum verticale pcrfcueret , neque ofcilletur , cau-
telic ab Autore adhibitae locum obtinebunt-,praecipue
vero filum fatis longum effe debet, vnde ob radium BC
exiguum , diredio fili fempcr fere verticalis obtinebi-
tur.
Tig, VIII. XXI. Quin et hoc modo commode ifti difficiil-

tati medebimur. Conftruatur trochlea ED multo ma-
ior,quam circulus generator BFcuruae laminis tributae,
hoc modo trochleae ingens erit imprimendus motus,
cum tamen pondus appenfum ob circuli BF paruitatem
• vix moueatur , vt motus in eo generandus merito
refpedtu motus trochleae reiici queat , praecipue fi in-
fuper pondus P ad trochleae pondus exiguam habuerit
rationem. Ilio autem cafudidlo radiotrochleae CDi:i^

crit longitudo penduli ifochroni zr-^-i^. Hac er-
go ratione horologium Sully emendatum , multo maio-
rem praedare poterit vtilitatem.

XXII. Ex didis patet praecipuam difficultatem
circa diredionem fili,quod non femper vcrticaleperfiftat,
verfiri. Hoc veroincommodumfeqnentis curuaeconftru-
dlionetolletur.Ducatur filum ante,y quamipfi potentiaap-
plicetur,per foramen quoddam fixum, hoc modo fiet,vt
filum perpetuo verfus datum pundlum diredum fit.Quae-
fiui igitur pro hoc cafu curuam tautochronifmum
producentem , et incidi in fequentem proprietatem.
Fig. IX. Sit C centrum trochleae, BM curua quaefita A pun-
dum illud fixum feu foramen, per quod filum femper

tranfit

TAVTOCHKOKA, 135

tranfit. Didisuncn AC=:^,et quouis radio CM==)'. Sit
porro PM normalis in curuam, et CP normalis in MP
pofitis CPz=/> et PMzr^ , defignanteque b conftantem
pro lubitu accipiendam , hanc obtinui aequationcm natu-
ram curuae cxpcrimentem bV [aa-tt^—hp^zzpV^aa—tt).
Ex hac aequatione,cum fit algebraica, per notas regulas
curua defiderata ope circuli redificatione conftruetur ,
iimili modo , quo in ?. 13. carua ibiinuenta erat con-
ftruda.

XXIII. Obtinetur autem data aequatio hV{aa--tt) Fig, X
^hp^pV^aa—tt) hoc modo : Sit C centrum trochleae,

O punclum fixum ad quod filum fcmper tendit, feu in O
fit foramen per quod filum eft du(flum,cui infra foramen
potentia inertia carens fit applicata , vt filum perpetuo
per hoc foramen O tranfeat : Sit CM fitus quiuis cur-
uae inueniendae , quam tangat reifta OM , diredio fili,in
hoc curuae fitu ex centro irochleae C dcmittatur in OM
produdam ? perpendiculum ; CN exprimet haec CN
quantitatem vis,quam potcntia filo infra foramen appli-
cata , ad trochleam mouendam impendit , cum poten-
tia ea ponatur conftans.

XXIV. Ex ifochronifmi principio autem vis ad
trochlcam mouendam applicuta debet^clTe, vt via defcri-
benda, donec in fitum naturalem reuertatur , haec via
defcribenda menfuranda eft ex angulo, quo fitus hic CM
a naturali diftat, ducatur linea CB quiie ex natunili fitu
peruenit in CO; erit angulus BCOille,qui exprimit viam
defcribendam , oportet ergo vt fit linea CN, quiic ex-
primit vim ad mouendam troclileam in fitu CM , pro-

por*

13(5 BE CVRVA

porcionalis angulo BCOjfeu ex pundo M ducaturMP
normalis in curuam in pun flo M, et ex C in eam demit-
tatur perpendiculnris CP, erit MPmCN adeoque debet
effe MP, vt angulus BCO.
fig^Xl. XXV. Sit iam CB in fitu naturali , fiatque ea ac-

qualis dillantiae foraminis a centro trochleae C , fitquc
CM curua inuenienda , accipiatur pundum quoduis M
in curua , in eoque tangatur curua a linea MO , centra
C, radio CB defcribatur arcus circuli fecans tangentem
in M in O , erit hoc pundlum O foraminis fitus relpon-
dens punfto curuae M. Ducatur linea CO; erit angulus
BCO idem cum angulo BCO in fig. X. cx M erigatur
perpendicularis in curuam MP, cui in P occurrat per-
pendiculum CP ex C in eam demiflfum , oportet hanc
MP proportionalem efie angulo BCO, feu elemcntum
ipfius MP proportionale elemento anguli BCO.

XXVI. Vt obtineam haec ekmenta afiumo pun-
Cto M proximum m , et ducantur lineae refpondentes
viOj mpy illa tangens in m , et haec mp perpendicularis in
m j quae in p fecetur a perpendiculari Cp in ipfam; fe-
cabit haec Cp priorem perpcndicularem in t , eritque P/
incrementum normalis PM. lungantur pundla C et O^
reda Co , erit angulus OC^?, incrementum anguli BCG:
ad determinationem curuae CM quacfitae igitur requiri-
tur , vt fit Vt proportionale elemento angulari OCo,
Efl: autem P^ vt angulus PC^ dudus in radium PC , erit
crgo ang. OCo ad PC/. CP in data rationc , quae fit I
ad b vt per confequens fit OCo : PCfcCP/ : b.

XXVII. Concurrant perpendiculares MP , wp

inR,

TAVTOCHROKA. 137

inR , centro circuli ofculatoris in M erit nng. VCtrz
MRw 00 AA PCV etpRt fimilia , fed angulus MRwzr
ang. OMo, qui formatur a tangentibus proximis OM,
om \ ergo PC^ inOiVlo , oportet ergo fit OC6>:OMo=r
CPiZ^iproducatur tangens OM in S^donec occurrat per-
pendiculo CS in fe demilfo , erunt demiffo ex O in mo
perpendiculo O;?, triangula Ow^, OSC fimilia; ergoOo :
OwizrCO: OS. Sunt autem anguli OCo : OMozr
?^ : S^^4? '' Im i^uhaitmls loco O. et On pro-
portionalibus OC et OSjznOM ; OS. Eft crgo OCo :
OMozzOM : OS.

XXVIII. Cum autem reqniratur, vt fit OC^ :
OMt?z=:CP : b, obtincbitur haec analogia CP:Z?=zOM:
OS , quae tota ab angulis libera efl , et inde habetur
haec aequatio CP.OSzz^.OM. Efl autem ob aCOS
ad S redlang. OS=:\/(CO^-CS^)z= (ob OCnCB et
CS— PM)=y(CB "-PM ^ ). Dein eft OM= OS-SM
=zOS-CP— y(CB '-PM-)-CP;vnde haecaequatioob-
tinetur CP^/(CB ^-PM ^ )—bV[ CB ' -PM ^)-^. CP. Vn-
de curua defiderata dcterminari debet.

XXIX. Applicentur fymbola , et vocetur CB
didanda centri trochleac a foramine a, CP,/>,etMP/j ha-
bebitur pro curua quaefita haec aequatio pV[aa tt]zi:
bV(aa—tt)—bp , quae eadcm eft cum ea quam §. XXil.
exhibui. Eritergo pzz^^;^^''^^. Ex qua aequatio-

ne curua conflrui poterit atque ad vfum applicari. Si
foramen ponatur infinitc didans a centro trochleae, erk
Tom, II. S fili

138 DE CVRVA TAVTOCHR,

iili diredlio fibi femper parallcla , adeoqne habetur cnfus
prior , quo inuenta erat CP femper condans. Pofuo
enim a infinito , abibit V [aa-tt) in a et obtnebitur
pzz-^^zz ob b relpedlu ipfius a in denominatore e-

iianefcens.

XXX. Si ctiam in hac machina loco elateris
pondus applicarc commodius vifum fuerit , id vt in prio-
ri cafu quoque praeftari poterit , iisdem ob(eruandismo*
nitis , vt pondus fatisexiguum appendatur, radiustro-
chleae diminuatur , audo eius pondere , idque tantum,
quoad error a vi inertia ponderis oriundus infenfibilis e-
uadat , machinaeque irregularitatem, quae animaduerti
nequeat, inducat. Cum autcm curuae ad idam machi-
nam requificae conftrudlio valde fit operofa , contra
vero curua priori cafui, quo diredio filiad eandem per-
petuo plagam tendit , conftrucftu fit facillima , priorem
modum huic pofteriori fere praeferendum exiftimo.

THEO.

•>^(i39)g<*

THEORIA GENERALIS
MOTVVM

Qjii nafctmtur a Fotentiis qiiibusuis in
Corpora indesinenter agentibus ^ fiue
haec Corpora in vacuo ferantur siue in
medio resistenti.

Auctore
lac. Hermanno.

ETfi multa eorum quae in hoc fchediarmate M.hm,
traduntur , a celeberrimis quippe Geome- ^^^?-
tris iamdudum praeoccupata , nunc peruul-
gata , vfu trita et \rix digna iudicabuntur,
quae denuo hoc loco exhibeantur , non tamen abs re fo-
re arbitratus fum, fi principiorum inftar praefternerem
folutionibus meis Problematum quorundam nouorum,
quae in hoc argumento de motibus Yariatis proponi pos-
funt et in hac Diflertatione expedicntur, Geometrarum
curiofitate forte non minusdigna, quameaquae iumpas-
fim cognita habentur.

hemma Generale

I. fotentia indefmenter agens (P) dii&a in elemen"
tum temporis {dt) aequipolkt fa&o ex majfa corporis (M)

S 2 _ cui

140 JUIGRIA MOTFVM

cid potentia appTicata cfl, et elcmento cekritatis (dc) quod
tempiifculo iU) prodiicitur.

Deni, Potcntia quaecunqiie mntrix catenus tan-
tum potentia ell: quatenus corpori applicata motum ali-
qucm producit , et per potentiam indefinenter agcniem
intelligitur illa quae ad produccndum fuum motum tem-
pore opushabet. Facftum ex hac potent-a et tempore
adionis , denotat quantitatem a6tionis^ et facflum exmaC
f-i corporis et celeritate , feu quiintitas motus produdi,
fignificat id , quod a(flione illa efFe(fi:um eft , et quantita-
ti asftionis aequipoUet; necefllirius enim eft nexus et in-
diuulfus inter quantitatem adionis et quantitatem efFe<flus,
et hunc nexum per aequipollentiam vnius cum altero in-
terpretor •, hancque aequipollentiam per notum (Ignum
aequalitatis deinceps indicabo , quod femei monuilTe
fufficiat.

Hoc pofito fi tempufculo ddt , potentia P producit
motus quantitatcm MddC, vbi ddt, et ddC, fmt elemen-
ta temporis et celeritatis fecundi gradus , poiTent eo-
rum loco adhiberi elementa vltcriorum graduum *, ha-
bebmus vi eorum quae iam probata funt , formulam
fddtzzMddc. Eadem haec potentia P producet fecun-
do tcmpufculo ddt aequali primo, eandemac prius,mo-
tus quantitatem M.ddC, quia inter aequales quantitates a-
dtionis vnius eiusdemque potentiae idcm indiuulfus e(l
nexus , qui inter earum cfFedus , adeoque fiet iterum
VddtzzMddC , et addendo hanc formulam ad priorcm,
refultabit 2Yddtzz-2lAddCy pro tertio tempufculo ddt^ re-
liquisaequali, reperiturpariter P^^/iziIVUiC, qiiacprio-

ri

VARIATORVM, 141

rif(Kmulae addita praebet, '^?ddti=:^MdilC-^ pari argu-
mento elicicntur ^Vddtziz^MddC, '^?ddt—'^MddC,ctc,
\mo nVddt—niAddC^ vbi n defignet numerum quemcun-
que; fi n eftinfinitus, iient nddl:^dtj et nddC—dC , a-
deo Yt vltima formula n?ddt[zi- nMddC , iam abcat ia
VdtzzMdC. Quod erat etc.

Haec conclufio ex praemiffis aeque neceflario fluit,
ac necefl*ana veritaseft, quod aequalitas fit inter totum
et omnes eius partes fimul fumtas. Std obiicietur for-
te , quid, fi Deus talia corpora creaffet in quibus non
potentia ipfa, fed eius quadratum , cubus vel alia quae-
cunque fundlio in temporis elcmeutum duda celeritatis
elemento proportionalis effet , \t fane talia creare po-
tuit , nonne propofltio ifta , potentia mobili applicata
in tempufculum duda , proportionatur elemento celeri-
tatis ; eft tantum contingenter vera ? ego iudico quod
non, et huius rei ratio eft, quod non id, quod potentia
vel fi mauis preflio dicitur , reapfe fit potentia agens;
fed (vi {iippofitionis) eius fundlio fit vera potentia acce-
lerans*

2. Coroll. I. Si fingulae moleculae corporis cu-
iusque vrgentur potentia aequali, quam nominabimus/>,
in dircd onibus parallelis verfus eandem plagam , po-
tenria P vniuerfum corpus vrgcns fiet zzpM, defignante
littera M , vt fupra , corporis maflam •, hoc per fe Yu
quet , potentia enim totJis P aequat omnes potentias
partiales p in corpus agcntes , fcdliae omnes aequantur
fado ex potentia p in malHim totlus corporisM.Quodfl

S3 efl>

i|2 THEORIA MOTVFM

cfl:, forinnla ?.//!=: IM'/C, qinm clicuimus, iam mutabi-
tiir mpWt-^rJSldC vel diuidendo per M, m pdtzzxiC.

Ex hac fbrmula vero cognofcicur , quod omnibus
corporibus , fiue magna fint, fiue parua, ab aequalibus
potentiis p tempore aequali , aequales acquirantur cele-
ritates; fepofita refiftentia aeris etc.

3. CoroII. 2. lisdem pofitis , fequitur vim viuam
et abfolutam (V) corporis cuiusque cuius mafla eft M,
et celeritas C, effen:^ MCC Nam i . nemo non fa-
tebitur , corpus iflud nuIHs externis rebus impeditum,
nullaque alia vi ; quam quae ipfi propter celeritatem C
infita eft, citum,motum fuum cum celeritate C, aequa-
biliter continuare, in quacunque demum linea redla mo-
ueatur, vimque eius durante hoc motu neque intendi ne-
que remitti , Ccd eandem manere. Ade0que2.fi vis
eius vel minimum incrementum dV capere debeat , id a
potentia aliqua nouiter in corpus agente tantum proue-
nire poiTe. Itaque 3. fi potentia fmgulas minimas cor-
poris moleculas inceffjnter vrgens dicatur p , et duratio
aftionis dt , erit iam JV=: quantitati motus iam corpori
infiti MC in pdt, id eft=:MCp^/, atqui per CoroII. praec.
eft pdt-zndC quod in aequalitate fufFedum praebct JVz=:
MC^C, quare fumtis integralibus, fiet Vzn^MCC.

Probkma generale.

/^. Si 7noMIe qiiodciincjue vrgetur potentiis inces^
fanter agentibm fed pro lubitu variajitibus (P) , quarum
direBlones conuer^unt in pun&um pofitione datum , definire

mO'

VARIATOKVM. 14.3

motus variatos inde proucmentes , m quacunque dtmum
linea rc&a vel curua feratur ^ in vacuo aut in f)lc?io,

Hoc Problema duas habet partes qinuum vna rc-
fpicit motus in vacuo altera vero motus m medio vtlibet
refiftente.

5. Confidcremus ergo primiim motus redilineos
in vacuo , quo nomine intelligendum eft medium quod
motui corporum nullum impedimentum aut adiumentum
afFerat.

Moueatur ergo mobile quodcunque in linea quacun-
que AO tranfemite pro centrum G in quod dire^fliones
potentiarum P conuergunt, motumque fuum a quietein-
cipiat in pundo A, dicantur fpatium AB tempore quo-
cunque ^, transmiiTum =S , celeritas corporis in B ac-
quirita=:C, eius elementum zndC. His pofitis erit {§. i.)
P^/=:M^C,vel (<J. 2.)pdt—dCy ct pCdt — CdC / fed
CdtzzidS , ergo pdSzz.CdC , et fumtis integralibus CC
■zz2fpdS^ adeoque CzzV{2fpdS).

Hoc fignificat, quod, {1 ordinatae Aa , BD figurae Fig. /.
curuilineae A«DF exponantur pev p , celeritas mobili
in B acquifita cxponaturperlatusquadratum duplae areae
A^DB.

6, Igitur in hypothefi grauitatis vniformis in qua
p ed: quantitas conftans linea curua ^DF abit in lineam
redamaxi AG aequidiftantem , et celeritas in B acquifi-
ta eft vt l/AB , atque Iiinc omnia ea facile derinantur,
quae Galikus de defcenfu grauium in lineis redis more
fuo demonftrauit , quae tamen vtpote iam futis cognitn

inta-

144 THEORIA MOTVVM

intada praeteribo. Hoc vnum yero ex ifl:a hypothefi,
qiiippe in fequentibus \iui futurum adhuc deducara,
^ nempc:

7. Quia aequatlo pdtrzdC , praebet ptzi:C , et C
cfli/2pS,crit/=:z^-|i-y(^).

8. Si p cft vt BQ diftantia loci B a centroG , ct
Aa:=zb, item AG=:^, AB=S, erit BD(=;>)=:!^ , et
2 X A^DB =: l^^iii ; adeoque celeritas in B, hoc eft,
Q^y^2ahs~hss_^ per §, 5. et t feu tempus per AB=z/^

^TI^r^-'^^ ?oC^'^ ^^=-^^^ ' ^tque adeo
fc^, atqui JQrr^-^^^^-^^ fignificat angulum cuius fi-

nus eft=:y(2rt!S— SS) exiftente radiorr*^. Adeoquera-
F/|; • JJ' dio AG dudo circulo AH , tempus per AB erit
_ang^G^VAG^ ct tcmp. pcr AGzz"-!^^^!^.

Similiter fi mobile defcenfum a quiete in B inchoa-
ret. inuenietur temp. per BG -'iH^j;'^-^'^

ans, rect^y.^AG

-^Aa. •

Hanc ob caufam fingulae AG, BG, hG , ttc. aequa-
li tempore percurrerentur, fi mobile in his punclis A,
B, ^, etc. defcenfum a quiete inchoauerit.
p. Tjr g. Si mobile incedat in linea reda AbO quac eft

tota extra centrum G diredionum fecundum quas poten-
tiae/) in corpus agunt, motusque a quiete incipiat in A.
Ducantur ex centro dircf^ionum reda GA per initium
motus A , et altera GO normalis ad AB, et dicantur

AO

VARJATORVAl.

H5

AO-jt,GO—h, GB=:t, eritqiieBO=ry(A\r-i^^). His
pofitis.

Rcfoluenda efl potentia {p) fecundiim BG in fuas
laterales OG et BO quarum h.;ec , quae fecundum BO
motum accelerat , ilia Yero fecundum OG retiinditur a
plano vel linea AB , nihilque ad motum gencrandum
confcrt, eft vero potentia per BG ad potentinm perEO
\t BG(-r)adBO[/(A\r— /;i')], quare potentia accelerans in
direaione BO fit zz. M^-^ziil. Et AB(=zS)=z^-
V{xx—bh)'^ adeoque dSziz^^.^^^. Surrogatis ergo in
formula(:5. y)C^V[2fpdS) , inuentis aeflimationibus
p^..^^ et ,-^-%^ pro p tt dS , inuenietur C
z:rV{2f-pdx). Hoc eft , fada vbique Gp=:GB, defcri-
ptauuecirca AG tanquam axem curua <7DFcuius appli-
cat;ie (3D potentias centrales /; exponunt •, Celeritas(C)
in B acquifita defcenfu per AB, exponetur pcr latusqua-
dratum duplae areae Ai^Dp, ex quo et <^. 5. cognofci-
tur, quod celeritas in B acquifita , defccnfu obliquo per
AB,et velocitas in (3 acquifita defcenfu redo pcr A(3ae-
quilcs fmt, exiflentibus pundis B et [3 centro G aequidi-
ftantibus , in vno eodemque potentiarum uccelerandum
Syftcmate.

Ex demonftratis etiam fequitur motum in hac linea
obliqua AB fore acceleratum a puncflo A vsque in O,
atquc deinceps a puntflo O vcrfus b retardatum vsque
dum in H penitus euanuerit in diftantia OH a pundo O
aequali, diftantiae AO. A pundo veroH regredietur
TQtn. II. T mo-

146 TBEORIA MOTVVM

mobile Yerfus A accelerato motu vsque in O et abhlnc
retardato motu vsque i\\ A •, haecque motus reciproca-
tio qua corpus inter pundla A et H a medio O aequali-
ter didantia vltro citroque mouetur,continuaretur ininfi-
nitum, nifi medii refiftentia vcl alia impedimenta externa
huic motui obftarent. Hadtcnus de motu redilineo in
vacuo-jdifpiciendum quales fmt leges motus curuilinei.

10. Defcendat nunc mobile citum potentiis vtli-
bct variantibus (P) diredis ad pundum pofitione datum
G', in curua quacunque ABO, et definire oportet mo-
tum corporis in hac linea

Delapfum fit corpus in arcu curuae AB motum
fuum a quiete incipiendo , et dicatur cderitiis in B '-^c-
quifitazrw ; centroque G defcripti uitelligantur arcus
circulares AE, BF, bf^ etc. porro defctipta fit circaa-
xem EG , fcala potentiarum accelerantium , EOKIH
cuius appHcatae FI exponunt potentias centrales p, qui-
bus mobile ad centrum G vrgetur. Repraefentet BN
potentiam P in mobile agentem (ecundum diredionem
BG, cum eft in G , dudisque per N redla NL parallela
tangenti curuae in B, et BL huic tangenti perpendiculari
et exponet redta NL potentiam tangentialem iuxta quam
motus corpors in B accelcratur *, Sit B^ elementum
curuae per cuius terminum b dudus fit centro G arculus
^(3, et fient triangula NBL et BZ^jB fimilia, proptereafiet
LN— ^, adeoque fi in formula ( . 1.) PfcM^C,
pro P et^C , iam ponantur -^, et du^ inuenietur
^^xdt—Wu, vel qu:a V—pm, tJixr//— ^/?/,ducatur

VAniATORVM, 147

hoc In w, fietqne t^^udt-iudu, ntqiii f/J/ziB/; in figu-
ra, quare ;)xB(3 (Conflr.)— Flxl/zrw^//, etwttzi: 2xEHIF,
ac pcr confequens , u leu celeritas in B ucquifita fitn
V(2EHIF).

Tempus vero defcenfus per AB exponetur per
f-TlTEHiE] ^'^^ ^^ fignificat elementum arcus AB.

II. Si in eadem fig. 4. potentia tangentalis LN
rr^/, exiftente /— OB, etBNznFI—;?, eritareaEHIF
= ^^tf/)-ite. Nam fupra (^. 10. inuenimus LNiz:

arcaEHIF=://'^<3^J- refpedu arcusAB, hoc efl=|^.^^
^■^bss , fi arcus totus ABO dicatur nza. Cum autem
generaliter inuenerimus w=:l/(2EHlF)erit in praefenti
cafu n—V{aab-bss) celeritas in B acquifita defcenfu per
AB ; adeoque celeritas in O acquifita defcenfu per to-
tam ABO inuenietur ^/y^.Tempus per AB(=:/^p^^-y )
iam ert :==^^a'a&:z^— 1|^ j vbi Q denotat angulum cu-
ius finus recftus eft m V{aa—ss) et radius zna , quare fi
szizo fiet angulus Q^redus , et tempus defcenfus per to-
tam ABO exponetur per ^vl"-^- ^^^ eandem hanc
fradionem exponcretur tempus defcenfiis per alium
quemcunque arcum curiiae BO , terminatum in imo ad
punAum O , fi mobile defcenfum fuum in fuperiori ar-
cus termino B a quiete inchoauerit. In hac ergo cur-
ua omnes eiusmodi arcus AO , BO etc. aequali tempo-

T 2 - re

X48 THEORIA MOTVVM

re defcribentnr, ipfaque adeo curua eft Tautochrona in
omni pofTibili potentiarum accelerantium fydematc.

12. Sit in ead. fig. 4. arculus curuae infimu^RO
indifinite paruus , adeo \t inftar arcus circularis centro
X defcripti, fpcdari poflit , centro G ducatur per pun-
dlum curuae R arculus RS qui aequabitur altcri RO ? \t
demonftratu flicile eft. SintOXme', GOinf, OKzzg,
arculus RO vel RSzizd?n, erit OS fumma finuum ver-

forum arculorum OR, RSiii^-ibpi:!^ . Inm ficut ( '. 1 1.)
area FMliO^i^ab y ita etiam FlKDrz^hss , atque a-

deo SkKO zz^ldm^. Atqui area S/fcKO — OKxOS

2
e^^^dm ^^g^ '■+f^^gdm^zzUdm- , atqiie adeofc^

^gzz.fj, pofitafcf-f-/

13. Si TT defignet peripheriam circuli cuius ra-
diuseftiri , erit ^tt menfura anguli recli, cum vero
temp. defc. per AO, vel BO , aut RO fit ii:'-^^-- ^^t
hoc:=r!^^, cuius duplum ^^ exponit durationem v-

nius ofcillationis minimae penduli XO=f , in omnigra-
uitqtis hypotheft , et fi centrum grauium fit infinite di-
ftans, aequabuntur /et ^, et duratio vnius ofcillationis
penduli exponetur per |^|, quod femper rationem cir-
cumfcrentiac ad radium inuoluit , quantaecunque exiJita-
tis fint ofcillationes penduli.

14. Hoc idco tantum monere volui , quod Cl,
Parent in fuis Difquifitionibus Mathematicis Kugenium
de errore accufare fuftinuit , eandem durationem vnius

pen-

VARIATORVM. 149

duli ofcillationis menriiram affignantem in Horologio
Orcillatorio, qnam modo in praecedentibu^ eruimus ;
arbitrabatur enim Farentius tempus dimidiiie ofciliatio-
nis minimae non difFerre pofle a tempore defcenfus ac-
celerati ex dupla penduli longitudine. Sed falfus efl Vir
do(ftus fundamento in fe \ero fed male applicato , quod
arcuJus circuli imkfinite pariius fuhtenfae fuae aequalis
cenferi poffit , nam ab aequalitate huiusmodi arcus cum
fubtenfa argumentari non licet, vt Vir Cl. fecit, ad ae-
qualitatem inter tempora dcfcenfus per arcum et per
cius chordam, nam tempus per arcuium eft ad tempus
defcenfus per chordam eius, vt circumferentia circuli ad
quadruplam diametrum. Oftcndi hoc poteft ex ipfis-
fimo principio Dn. Parent , aequalitatis inter arculum
indefinite paruum et eius fubtenfim.

15. Sit ergoPendubm GO, fliciens circa pundlum G
dimidiam ofcillationem in arcu ABO,quaeritur duratio hu- ' ^^* *
iusdimidiaeofcilIationis,fiarcus AO etomneseius partes
fubtenfisfuis aequales ftatuuntur. SintGOzrp,fimisverfus
OD arcusAOzz/Jgrauitas ?;,et ponamus defcendiffe mo-
bile inarcuAB,dudaqucBEparalleIaGO,dicatur — i%a-
deoque FOn:/— r, et (iibtenla arcus OB \el, /?)'/> ) arcus
}pCQ—V{2ef—2ex)j eiusque elementum negatiuum , id efl
clemcntum arcus AB , quod eft BZ'— -,-zh!'^^ ~
^z^tj-' Celeritas defcenfu per AB acquifita, feu uziz
V2gx,tr^o tempusperelementum ^K—^~2ViTi^^g-^)

zrl^, exiftente dQp:^^-^ , adeoquc temp. dcfc.

T 3 per

^i 50 THEORIA MOTFVM

per AB::^^^, vbi Q eO: anguliis cuius {im\s:^V(fv-xx)
ad radium ^f. Cum vcro x fit zizf, angulus Q aequat
duos reaos feu rriTr, et ^Qjizj^i:. Qiiare temp. defc.
per AOn::'^, eiusquc duplum , feu "^ exponit dura^
tionem ofcillationis minimae penduli , \t fupra iam ($J
I3.)inucnimus.

Tempus vero defcenfus per duplam penduli longi-
tudincm, vel per chordam arcus minimi {§. 7.) exponi-
turper V -', quare tempusdimidiaeofcillationis minimae,
hoc ell , tempus per arculum indefinite paruum , eft ad
tempus defcenfus per ciiordam eius , vt ^^^ ad ^ , hoc

cft, vt TT ad 4, feuvt peripheria circuli ad quadruplam
diametnim, vt dicebatur. Haec vero obiter didafint,
reuertor ad Isochroruis.

16. Quoniam (§• 1 1.) eft: area 2FIKO— /^J"/ , fi
trcus OB dicatur zzs , ct fi haec duplaarea dicatur— R,
fiet ss— ~, et J-=:V4 , et diiferentiando ^/=1^, vo-

cando ordinatam FIz=/>, GB=2:, adeoque ^J^zizfY—dzj
fit praeterea arculus ^(3z=:^, inuenieturque dz'^-^dji'^

{-ds = )- ^^ , atque inde dy-^^^^, Et haec

cft generalis aequatio difFerentiah's pro omnibuslj-^tr^ro-
nis in vacuo. Nam p algebraice data efl in z et con-
ilantibus, R item , fed faepiirime tranfcendenter tantum,
ct fcft , quarc curua optata per quadraturas conflrui
potefl.

17-

VARIATORVM, 151

17. S\p conftans eft et r:^, ac manente, \t fupra,
GO—f, fietR— ^^z-2^ , et aeqnatio gcneralis dy—
dj^^P-^^ mutatur in dy-'-^'^^^^_2T^^ ^^ ^^^^ ^^-
qii.atio conftrui poffit fiat fradio ^^±^z=:xx , iniie-
nietarque 2^^=z^r^-^-h?:=,£^--^ , pofita k-
___- , aaeoque ^ — ift::;!!^ , et -^—^^^^k xx^i'
Ipfa vero aequat. different. Ifochronae abit in dyzizxdZr

dy_xdz_oxxdx_2xxdx__ 2dx __ ^hdx • dy ^

>t;i -^ — ^ — xx-^-k xx-i-\ — xx^i xx-^k '^'-H"^ z

fignat in figura 4. angulum elementarem BGb, ergo
ang BG^=^-=^ -|l^,. SintrfA--i^,etrfB =
_:^^;j , et fiet ang. BGb:=z2dA-2dBVk , adeoque angu-

lus BGO=r2A-2 BV^/t^- A. Sunt vero A et B anguli
quorum communis tangens eft znx , fed diuerfos radios
habent, cum anguli A radius fit i , alterius vero B,
zziVk. Aflumta vero a denotat condantem aliquem
anguhim addendum vel fubducendum ntque reqiienti ar-
gumento eliciendum , fi BG(— ;3) euadit zz OG;/), eua-
nefcit angulus BGO, fed hoc calu .r fit infinita, et angu-
li A et B quorum communis tangens fadla eft infinita
(imt ambo redi , quare fi r fit notaanguli redi, praece-
dens aequatio ang. BGQ=i2A-2Byy&-f-A , iam abit in
{2-oVk)r, -\-A—o, et Azz(2Vk-2)r adeoque aequatio
ang. BGOzi:2A-2B^/^.-4-A , mutatur in ang. BGO=:2 ^^' ^^*
(r-By^-2(r-A) Qaae concinnam praebct confiru-
(ftionem, capiendo nempe in linea indefinita CE partcs
CA— I, CD—Vk, ccinexcitataperpendiculariexpun-

ao

1^2 theoria motvvm

a.0 C , abrcin Jendo CB=:.r , dii(fl"squc BA et BD, con.
Orncndo deinceps anguliim CBE, qui fit ad angulum
CBD vt Vk ad l , nam alio non opus eft , quam vt in*
fig. 6 et in Inea GN capiatur GBzrs, erit enim pun-
(flum B in Ifochrona quaefita.

Eft vero >t^^-f^-^:= i+-/,^=|i^^reft^^^^^
pro 2^/Tuum valorem ^ et pro h^ e-^f

l8. Sin vero fit/^^i^-^ , fiet R-i^-^-^^, adco-
que formula generalis ^jzzil^^Uunc mutatur in

^y-^^^V/(iii:M2i^±^^' )-,ponatur iterumi^^:^^/-=:.vr,

^ ^^bfzz—h/ hffzz-hf

ct inuenietur zzzz.^^^]^ , pofita /=:^ ; adeoque
% ^::^-^: ^ ^tqui ang. BGK=4^):.^=:=^

dB^4^i''> qware fit iterum ang. BGO==:B^'/-A-+-a,

cxiftentibus etiamnunc A ct B angulis quorum radii

fant I et V/ , quique communem tangentem x habent.

Et hi quoque anguli redi fiunt , li z fitzzf, quo cafu re-

peritur per fimile ratiocinium,vt fupra AZ^{l—VJy , at-

Fig.ril. ^u^ ^^^^ ^"S- BGO=(r-A)-(r-B)l//, quod hanc fup-

peditat conftrudionem : Capiantur iterum in linea ali-

quaindefiRitapartes CA:=i, et CDny/, et perpendi-

cularis CB=::.r, duAisque BA et BD, fiat anguIusCBE

ad CBDj vt V//ad i , etin fig. 4. angulus OGN aequa-

lis angulo ABE in fig. 7 , fadaque in fig. 4,GBz=:s, e-

rit

VARIATORrM, 153

rlt puncfliim B in Ifochrona optata. Inuenietur haeccur-
m ABO , ex Epicydoidiim genere , nam exiftentibus
XOzr^ (fig. 4.) OGzii/; XG—/J, GE— y//jethocra.
dio circulus AE defcribatur , curua ABO orietur rota-
tione circuli cuius diameter 0'E—-~f-{-Vfhy incauapar-
te circuli AE. Hoc idem iam alia via geometrica o-
ftendi in Vhoronomia Prop. 1 9 Lib. I.

19. Pergo ad alteram partem Problematis con- F/^» ^^^-
cernentem motus variatos in medio quocunque refiften-
ti. Initium faciam a motu redilineo. Moueatur er-
go corpus in linea reda AH citum potentiis p^ quarum
dirediones in pundum aliquod G , extra lineam AH fi-
tum, conuergant. Sit quaelibet BG=:a:, et perpendi»
cularis GOzz^, eritque BOzr V' (.r.r— Z^Z») , etpotentia ac-
celerans in B, vt fupra ( i 9.) ?^H , refiftentia in
loco BznR, celeritas ibi acquifita z=/^ , et du eius incre-
mentum •, tempufculum vero quo id generatur zzdt. Po-
tentia ergo in medio refiftenti motum accelerans erit
nuncLt2:^-=^-Rquare(i 2.) habebimus ^^^
-Kdi^du , et ducendo hanc in u , fiet t!^^^±i^^^udt

zzudti , at vero udtzzidS elemento fpatii percnrfi,quod
elementum aequatur elcmento negatiuo lineae BOzz.V
(xx-bb), id eft, y^i^^VjJ^^^^^S^-^^G^go^^ioc valorepro
udt , in praecedenti aequatione difFerentiali , inuenietur
-pdx-^^^^^^J^-^-zziidu, hinc varia deriuantur.

I . S\p—o \ fiet -^^—zziidu , pro motibus'in
Tom, II. V me-

154 THEORIA MOTFFM

medio refiftenti a primitiiie vniformi atqiie infito deriua-
tis , nam pofita zmV (xx—bb) formula mutatur in Mdz
•zzudu , fit vero fpatium abfoluendum ABzz)' eritque
dzzn—dy et —Rdj—udu. Ex hac formula omnia dedu-
ci poffunt, quae paffim ab Autoribus tradita et demon.
ftrata funt •, imo plura ; nam ad quamcunque refiftentia-
rum hypothefui extendi poteil j fed fpecialioribus non
immorabimur.

2, Si^ et R in x et conftantibus dataefint, cele-
ritas vbique acquifita u per quadraturas exhiberi poteft.
Scd quaeftio paulo altioris indaginis efl: cum refiftentiae
medii per celeritatcs iam acquifitas fed nondum deter-
minatas dantur. Nam

3. Si R^zzeu^"^ , vbi n quemcunque numerum 11-
gnificat , formula in hoc §. inuenta mutabitur in -pdx

2«
eu xdx

-^lh^bk —^^^^ y ^^^ P^^^^^ uuzizs , erit -2/>JAr-^

Zes xdx — j.

Si tnzi, QeVixx-hb^—Log.Q^, erit j-mQ/^^ ; a-
deoque u=:V{QJ^^). Et hoc ita obtinet in hypothe-
fi , quae plerisque aHis magis verifimilis eft , quod re(i-
ftentiae medii fint vt euu , id eft in compofita ratione
denfitatum et dupHcatae celeritauim adlualium mobilis.

4. Si b^o , mutatur aequatio N. 3- inuenta in
"-Zpdx—zes^^dxzz.^ s , vel mutando ftgnum clementi dx,
in ^pdx—^es^dxzzds , ex qua obtinetur dxzz If — -

2f — 2es j

quae conceflis quadraturis conftrui poteft , fi p conftan^

ert,

VARIATORFM.

155

crt, hlc cafus obtinet, ciim mobile in linea pcr centrum
potentiarum tranfcunte incedit.

GeneraliiTima tantum hic refero , nam fi ad fpccia-
liora et rpecialiflima defcendendum cflet , vix integrum
volumen huic rei fufficeret. Pergo ad motus curui-
lineos.

20: CadatergomobileincauapartecuruaeABO, FJg. IV.
citum a potentiis p iuxta lineas BG in pundlum G ver-
gentes ipfiim vrgentibus , et inquirendum fit quanta futu-
ra fit velocitas (?/) in quocunque curuae pundlo B acqui-
fita fi eo inpundo refiflentia medii dicaturR. Dicatur
BGins et curuae AC clementum Bb^ds^ item BNznp,
et refoluenda hanc BN in fuas laterales potentias BL et
LN, quarum haec elemento V^b parallela altera vero BL
eidem normalis. Eft vero propter triangula fimiha
BLN et B^(3, linca LN=:-:Ml, et haec exponit poten-

tiam acceleratricem , abftrahendo a refiftcntia medii,
quia nunc vero ratio eius quoque habenda eft , potentia
acceleratrix nunc erit -^"^J-— R, detradla nempc refi.
ftentia medii R a priori potentia tangentali , erit ergo
(<J. 2. ) - ^//^/-R^/=:r///, vel ducendohanc mu, ifta
^t^udt-^Rudtrz.iidu ^ vel quia udtzzds , habetur -/>^2r-
Rdszzudu , quae acquatio conftrui poteft , conceflis
quadrjturis fi />, R et ds datac funt in z , conftantibus
etdz

Sedfi, vtfupra($. 19. n. 3), R cft vt f/^^'', acqua-
tio -pdz-Kdszzudu , abit in hanc —pdz-cu-^^dszzuduy

V 2 vcl

156 TEEORIA MOIVFM

vel in \(['im—2pdz—2er^dszziJr flidla nempe uuizir, Ex
hac vero clicitur, fi «ini, vel R \t etiu, et Log. Qpzes^
aequatio r=:^- , er /< - yr)zi:y(-^^-^). Verum in

aliis refiftentiae hypothefibus vbi R modificatur celerita-
tibus actualibus mobilis , hae celeritates per quantitates
finitas hoc modo non aeque facile exhiberi polTunt.
Fig.VIlL 21. Si mobile defcendens in quacunquc curua

ABO vrgetur in quohbet eius pundo B , potentia tan-
gentali , quam generaliter T nominabo , quae fit vt bSy
vbi b eft quantitas aliqua conftans , s vero defignat ar-
cum curuae BO , inter pundum aflumtum B et infmum
O. Celeritas mobilis in O acquifita defcenfu ex AO
incipiente motu a quicte in A , exponetur per AOxVZ»
et fi mobile dcfcenfum a quiete in B inchoet, celeritas
eius defcenfu per arcum BO in O acquifita exponetur
per BQyVb ', et ambo arcus AO et BO omnesque rell-
qui ad pundum O terminati , acquali tempore percur-
rentur , hoc eft curua ABO Ifochrona erit , ct hoc ita
eife vidctur fiue mob:le in^y^n/cimoueatur, fiueinPir;/^,
ctfi potentiae tangentiales T aliae fint in vacuo , quam
in medio refiftenti. Nam in vacuo ipf\e T non modi-
ficantur per celeritatesaflualesmobilis f/,quemadmodum
in medio reftftenti fiet, hoc tamen non obftante Tr//z=
r/z/, et Tudt-mudu, vel Tdszzudu, fi T defignet poten-
tiam tangentialem in B, u celeritatem acquifitam in B de-
fcendi mobilis ex arcu AB, et ds elcmentum curuaeB^,
quomodocunque T exprimatur per fundiones celeritatis
aliasaue quantitates indeterminatas , nam quia etinm eft

T(hyp.)

VARIATORVM. 157

T (hyp.) ^l^s, erit hds [zzTds )—udu , adeoque uuzn
(aa—ss)b, et uzzV{aa—ss.b\ nominando arcum AOina *>
inuenietur ergo celeritas in O defcenfu ex AO acquifita
n^i^y/^jexiftentehoccafu /:=:(?. Simillimo argumento inue
nietur celeritas ex BO acquifita zizaVb , fi a arcum BO fi—
gnificct. Etfupra iam demonftratum eft, quod ftantibus
hifce , arcus AO, BO, etc. aequali tempore defcriban-
tur , fi mobile in vacuo defcendit.

Videamus iam an haec cum praecedcnti (^, 20.
confifterc poflint. Centro G dudi fint per punda B et
O, arcus BM et OP, fi linea AG iangat initium curuae
A centro G. Et lineas AM, AP, etc. per z indicabi-
mus, cum antea hneas GA, GB,etc. hoc nomine infi-
gniuerimus vocandoque iam arcusadu defcriptos ABzzir,
eorum elementa Bb—dr^ et refiduos BO=i, vt ante.
Cum vero fupra §. 20. Tfueritzz:-^— R iam fiet T
— -4-^-R— /'j- •, adeoque/)^2;=:R^r-i-^J-^r=R^r-
hds—eu^^^dr-bsdszn-b^^ciaa-ssfds-bsds, propter uuin
[aa—ss)hj vel conuertendo binomium(^^— .a)" in feriem
\mitmtmpdz--a^''y'eds^ na'-''-^ b^^cssds^^^j^l
^^''-^ h^^es^^ds-^-ttc.-bsds , et intcgrnndo /J^^sizz-^^''
h^^es^l^na'''- ' b^es' — "-^;^ ^^"-^^^ es ^ ^ etc. - \bss

-4-A, vbi A eft quant. conflans//)^s fignificat omnia/^^s
quaein AM continentur, fed definienda eil quantitas a,

V 3 in

1 5g THEORIA MOTVFM

iii A vbi fpclzzzo, ftt J=:^ , adeoqne A:r:(a^^^
^J-ftfw^''-^' 4-^^^^^'''"^' -etc.)^''^^--!^^^ , aut fi po.
natur ad abbreuiaiidum C=: i -y «4-^^^ - etc. crit
A 3= Crt^'^'^' b'' e -\- \ (lah . Qime fpdz contentarum in
AM zzCa'''-^' y^e-^^aah, --a^Ves^^na^^^-H^^es^
^''J!^.a'-''—'^b''es'^'\-Qtc.-ihss^ctfpdz contentarum in

totaAPrzCrt^"'^' Z'''^H-i^^Z'-, vbi^arcui AO-,eua-
nefcente s, Slmiiitcr Jpdz contcntarum in MP^nCZ»'*
^/^H-i -i-i/^j-j-Atqui^^/s cont. inAM+/?J^scont.inMP
— C^^^'-^'/'''^+i^^^,-^''^''^J--4-iwr/'"-=Z'Vj-^--"^^
^2n_4 ^n^^s ^ctc- ^tor::: /^^21 cout.in tota AP~C^ ^"^^
y^g^^aah et deletis delendis, inuenietur Ch^^es^^-^^^
a-V es-^j-na ^"-^Z^" ^^'-"-Srf ^' ''-^''es' +etc.=^,
vel diuidi hac ferie per Z^^ ^/, Ci^^-^^^^^-f m'^-^
j-j-_!LL!zi ^^'^~'^j'^-l-etc.r=:o, quare indeterminata s , es-

fet fimul detcrminata , quod eft abfurdum. Itaque eo
quem expofui modo Tautochronain medio refiftentinon
obtlnetur. Hanc dedudlionem Yel difcuflionem ideo
fupprimere nolui , quia expofitus Tautochronam inuefti-
gandi modus mihi ipfi fpecie fua impofuit et alios adhuc
decipere polTet, meUoremtamen methodum non exlii-
beo quia nunc primum defedus ilhus animaduerfus milii
cft dum fchedamin Academiae Conuentupraeledlamre-
uideo et tranfcribo , et tempore nunc excludor quo mi-
nus in aham inquirere poflim.

22.

VARIATORVM. ij9

22. Commimicabo tamen eiiis loco m.odum in-
ueniendi Brachistochronam^ feu line. m celeriimi defcen-
fiis in omni poiTibili grauitatis variabilis hypothefi cum
mobile in vacuo mouetur, et pro cafu particulari graui-
tatis vniformis et diredtiones parallelas habentis , cum in
medio refiftenti incedit. Ad id autem necelTc eft inqui-
rere quanam lege duo curuae elementa ad lineam ali-
quam pofitione datam infledlenda fint, vt , dum vnum-
quodque eorum particulari fua celeritate motu vniformi
abfoluitur, breuiori tempore percurrantur ambo , quam
li iisdem celeritatibus duo elementa aliter inflexa trans-
milTa fuilTent. Ad hoc propofitum fequens faciet lem-
ma.

23. Datis pofitione circulo DBE centro O defcru
ptOj et du.bus pun&is A et C^ hoc in caua circuJi parte^
altero in conuexa , ex quibus du&ae fint ad pun&um ali-
quod B circuli modo nofninati , duae re&ae AB, CB bac
Jege, vtfinus anguli ABG fit adfmmn a?jguli OBC in da-
ta ratione Mad^. Dico quod mobile defcribens lineolain
AC celeritate vt M, et deinceps lineolam BC celeritate
vt N, bremori tempore peruenturum fitex A in C, quam

fi iisdem cekritatibus per quaslibet alias Ab et bC inces-
Jiffet.

Etfi hoc lemma in cafu fimpliciori nempe quando p^^ /x.
linea pofitione data DBE quae hic circularis eft , cft re-
da, Hugemus iam pridem demonfl:ratum dedit in Tra-
datu de Lumine p. 40, 41. Eius tamen demonftratio-
nem hic apponere e re vifum eft. Sit pundum b alteri
B indefinitc vicinum, dudisque Ab, Cb, et centris A ct

Cde-

y

t6o THEORIA MOTFFM

C defcripti fmt per B et /?, arculi Bj3 et hy. His iam
pofitis ex natura Minmi , oportet vt temp. per AB-f-
temp. per BC fit = temp. per Ab -f- temp. per Z»C,
et t. per Ah- t. per AB=i t. per BC— t. per bC , vel
quia ambae AB , Ab eadem celeritate vniformi, M , et
BC, bC eadem celeritate N pertranfiri fupponuntur, e-
rit t. per pto. per By , atque adeo ^— ^, feu N>c

pfcMxBy, confiderandovero arculum BZ» inftar finus
totius , erit pZ? finus anguli jSBZ? vel ipfi aequalis ABG,
et By finus anguli BZ^y? ^^i OBC, quare fufficiendo in
aequalitateNxj3fcMxBy,pro ^btt By, /ABG,/CBO,
nafcetur Nx/ABG:=Mx/CBO , atque adeo/ABG.
yCBO::M.N. Q,E.D.
^Fig.lV. 24. Hoc lemmate iam pofito , muemre opoftet

curuam ABO in qua clefievxlcrs graue minori tempore a
termino A ad terminum O perueniat , qua^n fi in omni a-
lia curua intra hos termmos du&a defcendijfet.

Per ea quae fupra(\ 10.) oftenfa funt , ccleritas
mobilis defcenfu per AB in B acquifita exponetur per
latus quadratum ex duplo areae EHIF, dicatur hoc la-
tns quadratura Q, et exponet Q^ celeritatem mobilis in
B, fed per lemma praecedens propter breuifllmum de-
fcenfum , exponitur quoque eadem celeritas per fmum
nnguli (SB/;, quem vocabimus m, et cofmum nz=LV[ i-^vim)
radio exiftente i , eft ergo wm^^, ti n\pzV [i-mm]']
__Jj^^Sj_^ dicanturB (3=1-^2;, etarculus Z^prr^r-, erit-
que m,n::h(^[dy)l^^{-dz\ vndeelicitur dyz^^r^lpv

In

VAEIATORVM. i6i

In graultate Yniformi flt area EHIF re(!langiilum
j^^gs, fi OEdicatur/, OB vel OFr:3^,etFI=:EH=:^,

fldeoque (^-V{2fg—2gz) , et dy {-^l^^^) -

-ss, eritque 2^s=lii±^:g^-n«) exiftente fc^V,

1 — rfs; —2sds . 2sds ^t. dy / —sdz \ —nssds ,

adeoque __-jj^-g-t-_, et i-i=~)=-j^_^^-\'
-^^--''-.^s-^-.^^^^rfAy/^-siB, pofitis dA-J':!i,

ss~^\ ss-{-h ^j-f-i ' -i^ ss-^hl

et ^B, =,-rn"» eruntque A et B anguli communem tan-
gcntem s habentcs, quorum radii funt Vh^ tti, Fra-
(flio vero % defignat angulum BG^ , adeoque BGZ^n

zdAVb-^dB , etintegrando ang. BGOz=i2A"l//:?-2B
-l-A j vbi A ed quantitds conftans quae dete. minatur ex
fuppofitione anguli BGOzz^», quod contingit in pundo
O. Sit GOzz:^ , fietque hoc cafu z—e adeoque
^^y/l^^^ig)^ dicantur anguli quorum communis tangens
eftir^-^^^ei; ^^ ^^^''^ ^""^ V/^ et i, G ct H , inuenietur
qGVIj—^K-^a-^z^o , adeoqueA=:2H-2Gy/7, iteiri atig.
BGO(=:2Al//^-2B-f-A)— -f-2Al//:;-2Gy/;-4-2H~oB,
quae hanc conftruclionem fuppeditnt. Abfcindantur in ^'^s- ^-
linea indefinita partes AC— V/;, et DCzzi , et inper-
pendiculari ad has capiantur BC=i:-^^^^-_ et CFzn ^
v^-^^f^^K-j 5 duaisque ex A et D ad punda B et F ,.
lineis AB, AF et DB, DF, fiat angulus NAF qui fit
ad angulumBAF,vt Vb ad i, et in fig. 1 1. condituatur
Tom. II. X angu-

N

i62 TEEORIA MOTFP-M

angulus BG0r=2BDB-2NAF, erit fadaGBn:^, pun-
diim B, in Brachijlochrona quaefita.

Si h efl: numerus quadratus Ynitate maior Brachi-
ftochrona fiet Algebraica.

25. Generalius fi fit

^\_[ss+aa)^^{ss-^hbY^]^ : s^'-^^ , vel

— -2- X h '

z=:z[{css-^aa)-^ ^{ss-^-bb^^-^x^ss-^ccy-^x etc.] ;

— ^ JL
'^^^Z' -^ «^ etc. , et potentia accelerans pzr-aasf:

(j"j-hi)^5 exiftente /=^ > Brachlftochrona fempcr alge-
braica erit, quoties a, (3, y, etc. fuerint numeri ratio-
nales quaecuaque fuerint quantitas conftantes^, h^ c, dcc,
tth,

Haec vero de lineis celerrimi defcenfus in vacuo
fufEciant, pergo ad eas quae in mcdio refiflenti defcri-
buntur.

26, Sit ABO Brachiftochrona quaefita in qu i du-
dis ad ccntrum potentiariim acctkrantium G, radiis
AG , BG , etc. OG , centroque G defcriptis arcubus
BM , OP , vocentur nunc AAl — ;s , arcus AB— r,
et fic formula §. 2Q. reperta — pdz — Kds =
udu , iam mutatur in pdz— hu^'' ds:zz udu , exi-
ftentc nunc R—^b/r". Dicatur fmus anguli GBO~/, fi-
nus complementi =rw— y (i— //) fi radius fit— i. lam
cum / fit ( ). 23.) vt celeriias in B acquifita defcenfu ac-
celerato in arcu AB, fiat ergo uzzaJ, eft etiam ds-iz:^^

qui-

VARIATORVM. 163

quibns in ^eQunlontpdz-bir^dsziztuhi ruiTedis, orietur

pdz-^^—^—znaahU , m qiia p datiir per z et conftan-

tcs , et Tfi per / , nam a et /; funt conftantcs perinde ac
exponens 2« , fed aequatioita generaliter fped:ata irre-
ducibilis cft. Sedfi p fit conftans, fiet dzzz ^'IJ-^—

mp—a hl 9
- i„_^.,^ ^ /• aalmdl aalldl

tdeoque ^__/ ^,-^ , , ii.,__ ^.— — .^ ^^.

m^-a fcZ ^^"^V -nJ—mp-a hl , ^»- ^"-

gulusAGB,zi:/_^'ii— -- .. ^ ,. ^.

m^«-a'fcz^\. Verum fi direaioncs

grauium parallelae fint , et in figura 12 fiant abfciffa Fig-XIl

""^ mp^a^V"^^ etapplicata EBzizf^^^^^^n^n ^
pundum B erit in Brachiftochrona quaefita.

Atque hoc efl problema quod Doclifr. nofter Eu"
Jerus Geometris propofuit in Adis Erudit.

Std fi fmt te^/— --^4- r , et z^— VfoH-^l!!^

r y(i_nj 7 «-1-2 5

curua conftrui poteft : Fiat enim angulus AGBii: F/^-^///.

«4-2

Jf-u:r2 ^ ) et capiatur AM (=zs) zz:

U -+-fa-f-2)cjxV(i-/Z.

a-H2

"cHTr^-^-^ — ? «rit pundlum B in Brachflochrona,

modo cL non fit =-2 . Polfunt inueniri adhuc aliae le -
ges potcntiarum p ad id yt Brachiftochrona in medio
refiftenti defcribenda , concelTis quadraturis , conftrui
poflit. Sed his iam non vacat diutius immorari.

X 2 27.

i54 THEORIA MOTVVM

27. Si dirediones potentiarnm {p) non fint con-
Bcrgentes ad pundum aliquod pofitione datum, yt huc-
vsque afUimfimus , fed curuam quamcunque FGe: con^
tingant , inquiremus iam in legem \ariationis potentia-
rnm (/>) , quae efficiant , \t mobile fecundum lineam
quimcunque proiedlum in mediorefiftenticuruam ABO
defcfibat.
F' X7/ Tendat miffile ex A in B, et huc delatum vrgeatur

fecundum diredionem BG curuam EG in G contingen-
tem, potentia aliqua quam nunc ^ nominabimus , adhi-
bituri deinceps aliofenfulitteram/? quaeiusmodi potentis
hucusque defignauimus, adexprimendasperpendiculares
GDintangcntes curuaeBD demiifis. Dicantur praeterea
tangentes BD ^? pundo contadlus vsque ad perpendicula
in ipfis demiflli zn^, radii vedlores GB—S. radius ofcii-
li in B, hoc eft , BCznr •, celeritas in codem pundo B
acquifita znu ; elementum curune Wj^ds ^ tempufculnm
qtro percnrritur hoc elementum z:zdt , Per alterumter-
minum elementi curuae duda fit tangens hd , et huic
perpendicularis gd ^ item^g;E aequidiftans QD j ac deni-
que Gh parallela BE. Nominentur praeterea Ee—di,
gh—dl , et G^ elementum curuae YGzzuim. His po-
fitis,

I. Potentia tangentalis cuius dircdio BEexcen-

trali g deriuata eft -^ , a qua detradla refiftentia medii
R , reftat potentia accelerans mobile in pundo Bz=|?
— R, itaque (5. 2.) ^-dt-Kdt—-A-duzzadu , vbi a figni-

ficat

VARIATORVM. 165

iic.it vnitatem affirmatiuam vel negatiuam pro vtroque
cafu defcenfus et afcenfus mobilis in curua , atque inde
elicitur ^^-Kdsi=:ciudu , exiftente udl~ds,

2. Ducatur per b redula h^ parallela BG tangen-
ti BD occurrens in p , motusque in elemento curuae
B^ fpedari potcft tanquam compofitusmotibus ifocbro-
nis per tangentem B[3 et per lineolam (3/;, quorum hic
acceleratus eft potentia g , illc vero vniformis, quare

(5. 7.) dt-VC^) vel anaIytice=zi/(^)=z,/.V/(^)=z:

^ , vel uu—lt:^ Nam ^b inuenietur — ^^ •

3. Diuidatur aequatio (N. I.) inuenta £^-R^j
rzzcv.idu per modo inuentam wwiz:^, reperietur ^'-^zz.^
--gpr (^^^^ ^"i^ proportionalitas linearum BC(r), 'Eh[ds),
BD(^), ct Ee{di) praebet qdszzirdi)-^-^ (vel quia
-^dpzzadp:::igd'QTizzge-gE'\-g^-GTi—-di^dl , at-
que adeo ^/=:-^>-|-^/)-=:^-j-J^^5gl (aut fi ^ =
^ flat=:^f )=z^-^-|-«f-^ , adeoque'^-z^4-
"?""If^ , quae per tranfpofitionem terminoium et pcr
multiplicationem cumfradlione^, mutetur in /^^/:/-4-
hidp-pudk—-rh^il (vcl propter R=^/r" et g=z:^3^)

^ (dic;itur hoc) =r M.'fP , et habebimus

^(^^)=:'l^';;^^^^P,etfumtisintegralibus^=^

X 3 vel

,(5(5 THEORIA MOIVVM

«• 2 7t cn— I 21—1

2^-2

ifta vero vltcrius redu(fla,praebet ^^"^''(/Pzr-"^' 0,^2»
fumtisqueintcgralibus, debitisque rediaionibus inftitutis
inuenicturP^(21^^i^I%)

fietLog.P-/=i^-i.

4. Inueniinus ergo aeilimationem litterac afllim-
titiae P per indeterminatas ad curuam AB pertinentcs,
ct reperta efl (N. 3-)^^^^' ^^(^- 2.):==^(zi:7,)=i:

fcfezPP

■ — 3" (^^^ omnia erant inuenienda-

28. Si curua FG contrahitur in pundlum G , vt
in Fig. 14- Mutabitur ^ in i, fientque adeo ic:^^^ et
^rr^, vel ^/)^fi=:2PP , et hoc nobis viam fter-
nit inueniendi lineam proicdlorum in mcdio refiftenti,
Sit enim / finus anguli GB/', et mzzV{ i— //) eius cofinus,
critque pzz:hj €t formula gp^^r — z?? abit in gl ^ rzz=
PP, vel pofitaM=:/V, in^Ms:z— PP, ct differcntiando

1 — 2n
., . dg , idz , dMf 2dP\ 2P /„ 1

logarithmice ^H-— -+-^(-_ ^j^-^^^—^-^ ( vcl quia

p.-2n^P-_^'!_;etP^~^"~^«-"M'-^s2~^^

ap )

^^l^ '""' /2-^"^^'M^Vj, id eft i|+2^4^ J^

irARIATORVM. i6y

^zlll — L^—^zl£L.y hacc aequatiofic generalitcr

ocl"

fumta irreducibiliscfl:.

29. Sed fi g fit conftans, ct dircdliones potentia-
rum g ad infinitam tantum diftantiam fint conuergentes,
id elt, parallelae,cuanefcent ambo membra logarithmi-

n— i 2 n— 2 n_ I

ca ex aequatione, quac ideo in "^^ — ^ ' ' ^ ^ ^'

M 2 7r_j_i

al

mutabitur , cx ifta vero propter kzn i ; et ds—~, pofi-

fitaque^I, fit ^1=:::^^ et haec praebet M~^-^

^^—fn^ . et fumds integralibus M-^-/ ;7^. ^.

quarcMi3/^r— ^^V'-'' r /> /i- •

Vaz^-^m/ ' Inuenta fic aeftimatio-

nc literac aifumptae M, coordinatac lineae proiedorum

tion difficulter inuenietur , concefiis quadraturis.

Fiant enim (Fig. i 5.) AC=f^^J, et CB=:/^

l mm -'

vbi wrz^^fi— //),eritque pundum B in linea proiedorum
quaefita. Huius lineae conftriiclionem iam dedi in?Z'^-
ronomia Anno 17 15 edita pro cafu refiftentiae fecun-
dum duplicatam rationem celeritatnm mobilis proceden-
tis , eiusdemque conflriidionem dederunt Cel. lohannes
et NicoJaus BenwiiUiy in Adis Erndit. 1719. Menf.
Maio pro cafu quando 'Rzzeu^'^ , fed nihilo difficiuorefl:
analyfis pro hoc cafu generaliori quiim pro altero.

In praecedentibus vbi quantitates integrandae oc^

cur-

1(53 THEORIA MOTVVM

currerant, Integralibiis earnm quantltates con{l:antes bre-
uitatis cauifa non addidi , quae alias addi iblent, adeo-
que per fummam vbique intelligendum ell integralecom-
pletum quale quaeftioni cuique competit. Quod hoc
loco monendum effe dux^; ne quis exiftimet additionem
illam quantitatum conftantium per incuriam omiiram
fuiffe.

30. Sed fi dirediones potentiariim g conuergunt
in pundum G , vt in fig. 14. et dicantur O^J-^, exi-
ilente L quantitate vt libct data per / et conftantes, M=:

^ I :3-27t ^ 2-2" s i ;i_n

(3-2?lO) '•^-'Titque^zirM-^Ns"^ curua proiedo-
* rum etiam conftrui potert. Fiat enim angulus AGBzz:
pj^----- , et capiatur in linea GM pars GB^::
(3-2«0)''^""'', eritpundum B in curua quaefita.

1 t3 -2n

In hac curua erit rziz^^^jr^f^^n^o) - Qi^^^ ^^ ^^
ro L fueritzr/'^, et j-~^ quilibet numerus rationalis ,
curua erit algebraica. Sed de his fiitis.

Fv XVI 3^* •^■^ fimilibus principiis varia alia Problema-

ta facilem folutioncm admittunt. Vty/ corpus B incur^
ua quacunque CB grauitate fua defceudat poft fe tamen
trahens alterum minus corpus A filo ACB fuper tro-
chleam C mobile annexiwi, quodque ajcendere cogatur i?i
altera curua AC , et quaerantur celeritates horum cor- '
porum 'Vbiuis acquifitae. Analyfis infiitui poteft, vt fe-

que-

VARIATORVM. i6g

quetiir, poftqnam lineis et lineolis ad rem faclentibus
nomina dederimus : Sintergo CB"^^:, EBzrjK, elem.
curutie bBzizds^ Bjizndx et BOrzdyj celeritasin curuae
pundoB— 7/, celeritas corporis Aindiredione ACzni;
item am^dpzzdx ; alzndq ^tt Aazidr. Sunt vero Am
et bn arculi centro C defcripti, ct A/ ac ho lineolae ho-
rizontali DE parallelae. His pofitis ita argumentor.

I .Inquiro in potentiam qua corpus B propter gra-
uitatem vrgetur fecundum diredionem Z»B,adiddico vt B^

to) ad B(9 {dy) ita pondus B ad ^,et haeceft potentia

qua grauitas corpus B vrget fecundum bB. Sed non-
dum eft tota vis accelerans, namcorpusA grauitate fua
ipfi refiftit.

2. Propter fimilem rationem "^ eft potentia
quae corpus A propter grauitatem-fnam vrget iuxta A^
ct fi fiat Aa[dr): ma[dpy.:'^' -^^^^^ethocexponetpo-
tentiam qua filum Ca vel BC trahitur ex B in C.Dicatur
praeterea B^(^j) : Bn{dx):>^^ : :1^?^ et haec vlti-

dr dr^ds

ma fradlio exponit refiftentiam,quam defcendens corpus
B ab altero A in diredione bB fubit. Hanc ob cau-
(am potentia mobile B accelerans reperitur ~^^^ .

jldpdqdx
dr ds

3. Incrementum celeritatis in AC vel CD eftrr
^v , adeoque incrcmentum celeritatis corpori A com-
Tom. II. Y peten-

W>'

I70 THEORI^ MOTVVM

petentismdireaionetB-'-^="#, quia u: vr. ds-Jx,
go quantitas motiis in vtroque corpore geniti r^Rdu,

4. Cum potentia accelerans du^a in tempufcu-
lum— , producatmotusquantitatemBiw-4-*^^, habe.
bimus^-'^^^-^B^w-4-^^, atque adeo Br/>' —

udr

'iil^^^zziBudu-^Avdv f et fumtis integralibus BjK —

dr

rAdpdqdx_^x]^uu-^iAm (velpropter 'vzz'-^):=.iBuu

dr

^uv^Ldx_ . Atque hinc elicitur uuzz:

, jlvdv

2
2ds

iH-- QuarefrfiatTV=:

2
Bds -^^^

/ et graue libere cadat ex hac alti-

dr

2 2"

Bds ^Adx

tudine T V , in V acquiret tantam celeritatem , quan-
tam corpus B acquifivit in curua CB.

Si curua CA fiat linea reda verticalis parallela ipfi
EB , fingulae dp, dq et dr fient =z^.r,et habebimus hoc

cafuTV-i^^J^'

2 2,

Bds ^Adx

Hoc vnum eft ex Theorematis illis quae V. Cel,

loh.

rARIATORFM. 171

Job. BernouUi litteris XT. Od. 1727. datis fine. demon-
flratione mifit; et ex conferuatione virium viuarum ip(e
deduxit.

32. Slt graue alupiod figurae cuiuscunque BFG,
culus centrum grauitatis fit in C, ex quo et radio CA,
defcriptus circuhis AHL repraefentet axem cui circum-
fuolutum intelligatur filum fecundum ordinem litterarum
EALHALHAL etc. Jpfum vero corpus grauitatefua
defeendat^ quod allter fieri nequtt quam rotando circacen--
trum C , filo fefe euoluente fecundum ordinem litterarum
AHLH etc. Qiiaeritur quanta fet celeritas centri C
pofequam graue ex altitudine EC vel EA cecidit,

Sint EC vel EA altitudo ex qua mobile rotando ce-
ciciditmR, eius elementum CcnzdK , velocitas centri ^* ^^•^^-
C=:«,eius incrementum tempufculo dt ortum zndu. Ra-
dius axis CAzr^ . Maifa totius corporis compofiti ex
BFG et axe ALHzzM. Diftaritia eius centri ofcilla-
ionis a pundo Ar=D ; quodlibet elementum P totius
malfae Mzizdp, eius diftantia PA ab axe rotationis [n A
parallelo axi cylindri ALUizzq. Eritque centrum gra-
uitatis totius malTae M etiam in C quia corpus BG eius-
que axis ALH commune habent grauitatis centrum C.
His pofitis

Quia vniuerfum corpus BG+ALH , rotatur circa
axem A, incrementum celeritatis cuiusque particulae e-
ius P inuenietur zz^, et eius momentum refpedlu axis
Azz^^l-^ , quare fumma momentorum , id eft vniuer-

Y 2 fus

172 ♦ THEORIA MOTVVM

fiis motiis gcaitiis UzizdufS^ ( id eft , ^w^itv fqqdp eX

natura centri orcilIationisz=^DM)=:zDM<fi!/.

Sed potcntia accelerans eftrzMx ACm^M fi graui-
tas fit r=:i, erit ergo r^Mr//— DM^//,veI adtziiDdu , feu
audtzz.T>udUy id efl-, propter udtz=.dK , habetur ^r/R —
D?/^/^ vel rumtis integralibus 2^Rr::=D:^/7 j atque adco
iiji^z^^ Iccirco corpus in vacuo liberc cadens graui-
tate naturali ex altitudine zzzi^ , in imo huius altitudi-

nis celeritatem acquiret aequalem illi , quam centrum
grauitatis C mallae M acquifiuit cadendo cx altitudine

EC.

Et hoc quoque vnum eft ex theorematibus illisquae
laudatusBcrnoulliusper Cl. Filium Academiae commu-
nicauit, fed fme demonftratione.

V.XVlll. 3^, S ed quanta celeritas acquiretur glolo DBEf

fi in cmia parte curuae cuiuscunque ABO rotando de-

fcendat ? Sint iterum celeritas globi in B=rw , radius glo-

bi BCmrt) radius circuli ofculatoris curuae in B , feu

BF=:^*, B^=:B^=:</x*, B(3=i:^Ar \ inuenietur arculus

^^-llizflli , et fi feaores Z^B^ et C^c fimJles
(int , erit Cc elementum fpatii tempufculo defcri-
bendi , :z: ^l-±)^ Eft vero potentiu accele-
rans vis tangent. grauitat. x BC x M , fed fi gravit. = i ,
erit ^^ vis tang. grau. quare potentia accelerans eft ziz
'J^ -j motus vero genitus inuenitur iterum vt in praeced.

VARIATORVM, 173

zzDMdu, fiD centri orcillationis diftantiam a pundoB
vcl alio quocunque fuperficiei pundlo, et M maiTam glo-
bi defignent , erit ergo °_^^=DM^r/ , feu ^^ —
VtidH, atqui eft udtz=:Ccz:z(!JZ^\ cigo C-^)dx=:
Dudii, fumtisque integralibus etpoftea inftitutisredudlio-
nibus inuenietur «z^=:^-2/^ (propter D r= ''^")=:

M oadx

-nX-f^^. Verum vocando ftnum anguli ABH
quem applicata ^""B cum curua facit =/,fiet dzzzrdl, ex-
iftente fmu toto zni , adeoque '!^z=adl ^ linc uu
^^ox^jo^oai. ^ ^^ ^ fignificet fmum comple.
menti anguli quem curua AB cum axe AH ficit. Vo-
candoque BHzr.v , AHzzj, erit Iz=.^/^ , hanc ob cau«
fam habebimus uuzzl2f^±±^^I^''^,

Itaque graue quodcunque libere cadens in vacuo ex
altitudine^iri-i^^ii^f-i^iil-^^^celeritatem acquirct ae-

qualem illi quam globus DE rotando acquifuiit ineuruae
puncfloB.

Sed fi idem globus DE rotando dcfcendiffet in
plano inclinato, tunc fuiifet ;^:::z^y;nam hoc cafu fit b^s
quoque :zzdj.

DE

•€ ( 174 ) B<'

DE DIVISIONE CVRVARVM

In partes quotcunque quarum fubtea
fae fint in data progreffione.
Auct.
C. G. ^ .

E

M. hil. W *^ Tfinon ignorabam iam diu a Celeb. lohan-

1126. H J ^^ Bernoullio inuentas elTe formulas ad di-

uifionem anguli indatas quascunque partes^
tamen quia easdem memoria non tenebam,
feci ipfe inueniendi periculum.

Sit diuidendus arcus BD in partes quotcunque ae-
^^^'^* quales DE , EF, FG etc. daraque fit perpendicularis
CD-zzni et radius circuli ABiz:^,ponatur fubtenfa par-
tis quaefitac DEcr.r.

Primum quaero perpendicularem EK determinan-
dam per x et qiiantitates datas hoc modo : ponatur
EK=:?^j erit (pro angulo acuto) EL\el (pro angulo ob-
tufo) bLmKCrry.f 237^7^2 , fed ACz^Vj^~iiii
ergo AK-[gAC±KC]- __^

^a ^'^^^ x^-m-'^'2my-y-l:=^ya-~y^ ex qua

/2 2^ y7~2 2T7 2 2N

aequatione hty—^ '—=^ — ^ •'

haec y fi pooatur zzo obtinebitur valor x determinatus

per

DE mVlSlOKE CVRVARVM. 17 ;

per quantitates datas a ttm pro angulo in nullas partes
diuidendo feu fubtendi ipfius arcus dati BDrz:

Ex pcrpendiculari EK iam determinata per x eC
quantitates datns, fimili modo eruuntur dcinceps rcli-
quae FM, GN, HO donec perueniatur ad perpendicu-
larem ex B ducendam quae fit =z<? atque ex hac aequa-
tione tandem determinatur fubtcnfa quaefita x.

Ponamus igitur compendii caufa "''^ "".• —f et

2 2

-4-aC

2

-m^:

•a

\ — r-

zna.

fd-^-pVa^-

=(3.

—y.

fry^ pVa 2 -Y ^—^. etc.

pro arcu in duas partes diuidendo determinabitur x per
aequationem (3=io*, pro arcu in tres partes diuidendo de-
terminabitur x per aequationem yzno ; in quatuor , per
aequationem fc^. etc.

Si vero numerus partium , in quas diuidendus eft
arcus non fit rationalis , fed furdus quicunque n flatuatur
feries terminorum quos modo produximus
cH-13H-y-4-^4- etc.

ct per methodum interpolandi quaeratur terminus me-

dius

17(5 DE DIFISIONE

dius exponcnti illi furdo n refpondens , qui termlnus abi-
bit in fenem infinitam
x:iz a

-l-etc.
■pi ii^ Ex diuifione arcus facile deducitur modus eundem
multiplicandi. Sit datus arcus multiplicandus BH. Rad.

ABrr^, perpendicularis HOnrWjBOzr^— V^^— w^^ir^.
SumtaHGi=BH=i:yP-i-7;/^ ponatur perpendicularis
qnaefitaGN ::=:j, fiet GL zz-j-m^ HL zz. VP-y^^2my,
-ON.

Ergo AN=:AB-BO-ON=:^-Z>-V^ ^-y^-^amy

=^AG^-GN-=:V^^^j2.

vndcfitji=:-i^'--^^=:GN perpendiculari arcus du-

plicatiBGjCx qiia per fimilcm aequationem AM=:AN
— MN=V AF ^ -MF^ eruitur FM perpendicularis arcus
triplicati BF etc,

Haec dinifio et inultiplicatio arcus quamuis genera-
lisfit, tamen cognito fonte inuentionis confiderari pot-
eft vt cafus fingularis huius problematis multo genera-
lioris : data ratione inter abfciiTas ct applicatas alicuius
curuae , diuidere eandem curuam in partes quotcunque
datas, ita vt fubtenfae paitium fint in rationc data qua-
cunque.

Sit

CITRVARVM, 177

Sit cnrna data AB, diuidenda in partcs quotcnnqnc ^'^- ^^^-
qnarum fubtenfae fint inratione data numerornm i, ^,/J
ctc. Abfcifla data AC=:^,applicata BCzzZ', ponatur
fubtendi incognita BDna^ et determinabitur ex natura
curuae pcrpendicnlarisren applicataDFper x ct qnanti-
tates datas a et /'jatqne fi in hanc ipflnn formulam omni-
bns locis vbi reperitur a fubftituatur valor inuentus pro
AF ; A^bi reperitur b fubftituatur valor inuentns pro
DF et omnibns locis vbi reperitur .r,fub{lituatnr f.r, ba-
bebitur applicata EG determinata per .r et quantitates
datas a^ Z», e et fimili modo reliquae inueftigabuntur, do-
nec perueniatur ad vltimam euanefcentemjqna pofitanro
determinabitur fubtenfi .r per datas quantitates a,b^ ^,/,
etc.

Exempl I .

Dinidatnr arcns circuli datns BD in partes quot- F/.?. V^-
cnnque DE, EP", FG, etc. quarum iubteiifae fmt in ra-
tione data numerorum I,^ , /, etc. Sit datus vt fupra
radius ABiTrtjperpendicnlaris DCz=:w,ponatur fubtenfa
incognita DEru , crit perpendicularis.

Prima EK^'-^"^"^V^^^ - -^.

SecundaFM^ -^^ -' "" '"+" '^^°'' -/ ^ '"'''" — 'll)- ^_

Tcrtia nN^^^V^')^rir/^"^(^V)U^'-/V) _-.,,etc

2 — JT'

2«

Tom. II. 2 donec

-H4w = f+

-l5;«=^+

- 2«+

+8«+

-}-I

-I6«2?"

-1-8«=

-8

Fi^. V.

178 DE DIFISIONE

donec peruenmtur ad perpendicularem 'cuanefcentem.
Qiiodfi igitur datus arcus diuidendus fit in duas partes
quarum fubtenfae fint vt i ad ^ dcterminabitur fubtenfa
quaefita .r(euanefcentefcilicctperpendiculari fecunda) per
aequationem (3zr^, vcl, fi totam aequationem explicare
placeat ;

-jze^

-i-i<5

fi datus arcus diuidendus fit in tres partes quarum fnb-
tenfae fint in ratione numerorum datorum i, ^ , /, de-
terminabitur x per aequationem yzzo, etc.

Exempl, Q.
Sit diuidenda curua AB cuius abfciflae ad applica-
tas fint vt cu ad ii" (abfcifla data AC=r^,applicata BC
ziza') in partes quotcunque , quarum fubtenfae fmt in
progreiTione data numerorum i , ^ , /, etc. Ponatur
fobtenfiquaefita BDz=zx,T>E—ex, EUzzfa, etc. fi fiat

DF==r,erit AF —cf , ergo FC=DL=f^-rj^=i:

yx^.^a^^y)- et quadrando vtrumque

c-a^^-^C^ iiy^^c''}''''zzx--a-''-^2a'y-y^.
iam valor ipfius jkihDF per hanc aequationem expreffus
ponatur ^a, et fiatEGzns , erit DK=:a-2;, DEzzex,

EK

CVRVARVM. 179

EK^l^^^ri-a^-Hsas-z^^FG, ergo AG— AF-

X '__

FG^^^^-CcL^-Ve^x^—ct^-^^oLZ—z^ qnae fi diuidatur per
c et quotiens eleuetur ad poteftatem n dabit

(^a"" — ^ ^ "^^ -hi^— y ri;s, = perpendiculari fc-
cundae EG et fimiliter applicatae reliquae inueftigabun-
tur donec perueniatur ad vltimam euanefcentem , qua
pofita nzo determinabitur x per datas quantitates.

Vt cafum aliquem determinatum huius exempli e- ^iz. VL
uoluamus , propofitum fit datam parabolam AB vbi ab-
fciffae ad applicatas fint vt cu ad u- et data abfciflli AC
zizca, BC=^2 , ita diuidere in D vt fubtenfa BD fitzi:
applicatae DF. Fiet «zzia, jrr.r, ergo fubtenfa quaefi-

6 24 42 32 l7 2 2

ta BD— 1 ^'' -4-g c -f-g c ^^a c V 2a -^c .

{2a'-c')

Atquc ex his iam fatis conftare arbitror quomodo
data aequatione inter abfciflas et applicatas alicuius cur -
uae diiiidi poffit ipfa curun in partes quotcunque datam
progreffionem fubtenfarum feruantes , nam quae fupra
de numero furdo partium in quas diuidendus fit arcus et
de multiplicatione ipfius arcns diximus , ea in quanis cur-
ua cuius datur aequatio , fuccedunt. Negari interea
non poteft, fi in multas partes diuidenda fit curua pro-
pofita , aequationes pro determinandis fubtenfis mirum
in modum crelccre et difFerri , fed haec qualiscunque
difficultas ex ipfa curuiirum natura , non vitio methodi
quam fecuti fumus, oritur.

2 2 DE

•>Jg(t8o)^*
DE VSV INTERPOLATIONIS

IN SOLSTITIORVM MOMENTIS
INDAGANDIS

Auctore
F. C. Maiero.

D

M Sept. Vj "^^ Ifficilis et anccps ab Aflronomis iudicari fo-

^7^7- I ■ ^^^ folftitiorum inuentio •, mim ob infend^

bilem fere declinationum folftitialium mn-

tationem , incertum efl , quo die etmomen-

to fol in maxima declinatione extiterit. Hallcius ta-

men modum excogitauit , quo folftitiorum momenta

certius deteguntur quam ab aliis vnqunm fidum fuit :

(vid. D. Greg. Elem. Aftr. p. 221. etc.) Contigit et

m^hi vnum alterumue modum comminifci queis forfan

paria praeftare licet. Prim.us nititur interpolationis me-

thodo a Neutono tradita (vid. Pr, Ph N. p. m. 44<5.)

quem et hoc fcripto exponere conflitui. Cum vero

theorema Neutoni ad aliam formam redegerim, oppor-

tunum mihi vilum eft totam interpolandi dodrinammeo

more breuiter recenfereprius, eique fuperftruere folfli-

tiorum inuentionem. Alterum modum quem repcri

alio tempore communicabo quoque,

Ca-

DESOLSTITIIS iSi

Caput. I.
De Interpolationibus.

I. Exponantur duae quantitatuni datarum fcries
quaccunque

I--- mnpqrs--^
2--- abcdef^^^

ita vt cuiuis quantitati prioris feriei refpondeat fua com-
petens in fecunda ferie, qiiae fit ex priori fecundam cer-
tam legem geniti , dicantur autem prioris feriei qunnti-
tates radices , pofterioris feriei fun&iones fuarum radi-
dicum. Hic igitur duae poterunt oriri quaeftiones ; fi
cnim intermedia alia quaeuis radixafliimatur , quaeri pot-
cft quae fit eius fiindio competens ? et vicifllm , fi
intermedia quaeuis alia fundlio afliimatur , quaeri poteft,
quae fit eius radix competens ? Solutio harum quaeftio-
num vocatur alioquin Interpolatio,

2. Si lex cognita fit qua fundiones ex fuis radi-
cibus generantur , in promtu eft quaeftionum (oiutio.
Eo igitur res redit , vt lex quaedam pro feriebus ex-
poficis inueniatur. Eiusmodi legi inueniendac Neutonus
theorema generale praefcripfit. Qiiomodo vero tale
theorema inueniri poftit , in eo fum vt oftendam.

2 3 3- Po-

i8£ DE INDAGAKDIS

3. Ponam primo feries datas duabus foliim coft*
(larc quantitatibus, fint eae tales:
I - - - - 77/ «
Q • ' - ' a b

Supponatur lex qua fundliones ex radicibus gene-
rantur hac exprimi formula, a-f-(3.r,vbi x quamcunquc
radicem fignificat , a autem et p fint conftantes ex datis
w, w, rt et ^ determinandae hunc in modum.
pofito xznfJi erit

1 - . _ a-Hj3;;/z=^ adeoquc

2 - . - azna-^m

deinde pofito xzizn erit

3 .^ - - a-^^n~b adeoquc
4, ' • ' az=:b-'pn

cx fecunda et quarta aequatione fit porro
j - , - b-^nzzja-<^m

7 - - - P_^.

ex hac et fecunda fiuc quarta habetur

^ gre — &m

© - " - '''^' — iniTTr'

ergo lex quaefita crit

«^^-^.z^^rfiue/r-r^-^M'^:!!

4. Secundo ponam duas feries trimembrcs tales

1 . ' ^ m n p

2 . ^ ^ a b c

carumque legem gcneralem a-^-^x-^-yx^ , Valorcs
itaque conftantum a, (3; et y eodem modo reperiuntur

quo

SOLSTITIIS 183

quo ante, ((J. 3.) vtnecefrenonfit calculum integrumhuc
apponerc ; iftis legitime fubftitutis habebiturlex quae-

(n— m) (f -mj (p— '^)

5 . Tertio , pofitis duabus feriebus quadrimem-
bribus

I — - - m n p q

2— - ^ a h c d

carumque legca+p^+YJ^r^ -4-^;f ^ eructur,ficut ante,
quaefita lex

^ *J [-+- (n-m)c\^

^ ^[p^n){q--n){q-p)a ^
J -(p-m) (q-n)(q-)p)h \ (^-m^^-n) r^^^)

] -\-^n-??i)(q-m)q-n)c {(''~'^){'p-'"'-)^i-''^iiP-n^(q_n)(^qSf)*
l -{n-m){p-m))p-n)cl ]

Sic pergere Hcet ad reliquas lerierum fpecies , fed
co opus nan efl , quia ex inuentis formulis earum cogna-
tio mutua iam afFulget. Quaelibet cnim fequens ma-
ioris feriei formula conftat ex antecedenti formula no-
uo auda membro. Huius autem noui membri geni-
tura ex formatione reliquorum cognofci potcft leui ad-
hibita attentione.

7. Superfedeo ergo defcriptione generation»
membrorum , addoque hic duntaxat mcmbium quod

acce-

1^4 M IMDAGANDIS

accc<lit priori (1 5.) formiiiae, vt ex ea formetur lex fe-
rierum quinquimembrium.

Ecce illud!

^^ip-n) [q-n) (r-«) {q-p) [r-p) {r-q)a ^

I _ ( p^tn){q-m){r--m) (q-p) [r-p) 'r-q)b \

+-{ _|-(«-w) [q-m) [r-m)[q-n) (r-fi) (r-q)c h

'1 - [n^-m) (p-m) r-m)(p-m) (r-n) (r-p)d \

l^ (n-m)(p-m) (q-m) (p-n) [q-n) (q-p)e S

[x-fn) [x-n) (x-p)[x-q)

[^ji{)^ni)[q-7n)(r-m)[p-n)[q-7i^^^^^

8. Hoc ilkid theorema cft , quod ( "^. 2. ) inuenien-
dum mihi propofiii, qnodque , vt apparct, alius eflfor-
niae quam theoremaNeutonj.Speciale fit hoc theorema
fi loco radicum generalium ?//, w, p etc. Sumanturnu-
meri naturaliter progredientes i. 2. 3.4 etc. Erit
emmhoccaru^-|-(^-^)^4-(^-2^+^]^^^--^>
^(d-^c^^h-a) ±±-«^."-^ etc.

9. Poffunt radices pro abfciffis et funcliones pro
applicatis alicuius curuae haberi , (quod fecit Neutonus)
atque ita problema foluere iicet de inuenienda curua
paraboHci generis quae per data punda tranfeat. Sed
propofitum meum non fert vt plura de hac

re

SOLSTITIIS. 185

rc dicjim. Siiperen: , vt Yfum interpolatlonis in fol-
ftitiis indagandis commonfttem.

Caput 11.
De inueniendis fohtitiorim momentis.

10. Obferuentur ante et poft folftitium altitudines
folis meridianae, ex quibus eligantur quatuor qualescun-
que. Ex. gr. hoc quem agimus anno 1727 Petrobur-
gi obferuatae lunt fequentes altitudines fupcrioris limbi
folaris

lunii die, fl. v.

4toeratalt. O = 53^ 39'. 40''.

7 - - =: 53. 46. 10.

II - - z= 53. 49. 10.

14 - - = 53- 4^. 45-

eligo autem quatuor , quia hic numerus omnium com-
modiffimus eft. PofTem plures , fi prolixum calculum
non fallidirem-, polTem pauciores fi laxuseffe vellem.

1 1 . Porro, vt calculus omnium fiat compendiofis-
fimus , pro numero qui diem primae obferuationis fignat
(hicpro 4.)ponaturO, itcmque pro altitudine meri-
diana prima. Reliqua fequantur fuo ordine. Hoc ni-

nnrum:

Dies

Altitudlnes

0

- - - 0" =:

0.15

- 3

- . . 390" =

26.15

7

- - - 540" -

38.15

10

- - - 425" =

29.15.

Tom. II.

A a

Iino

i85 BE INDAGANDIS

Imo vt omnis vitetur prolixitas , negligendo com-
munem fadlorem fundtionum, fiant

dies - - - O. 3- 7- ^o-
altitud. - - - o. q6, 38. 29.
12. Habeantur dies pro radicibus et altitudines
pro fundbonibus , vt formula condi poflit generalis quae
omnes altitudines ad datos quoscunque dies dierumque
momenta contineat , idque per formulam §. 5 . exhibi-
tam, in qua mzzo, nziz'^ , pzzy, q=io, ^=10,^26,
^11:38 et (tz2^, Quia yero in hoc negotio breuitatis
gratia femper ponitur m-zza zzo ideo formula didla
commodiori hac forma poterit exhiberi
, / . 6?^ 1^^ -4- ^t )r

l^^jr^j^^Tn) (5^n) !> ^-nj > g-l>)~gcq-n) (^g-l^)'' '
, / , & c i^ ^ )^v'

1 3.Surrogatis furrogandis habebitur communisforrriu-
la omnium altitudinum - ^p^^ox. -.x. ^ ^^^^ ^^^^

vniuerfahtate etiam compledtitur maximam altitudinem,
hocefl,(olftitialera.

14. Vtigitur momentum maximae altitudinis (h.
e. valor ipdus .r.) impetretur , formulac elementum nihi*
to aequandum eft, ficuti praecipitur in methodo de ma-
ximis et minimis, quo fido fequens emergit aequatio.

3^-^-^-320^-2309=0.

1 5 . Reduda hac aequatione > fiet,
^=^6.784.

jBasima ergo ahitudo incidit in diem 6. 784 fed huic

diei

SOLSTITIIS. 187

diei quaternarius eft addendus (obf. ll.) vt emergat

folftitii momentunafa(n:umIuniidie 10.784=1048.19.

16. Subftitutohoc valore ipfius .v. {$. 15.) infor-
mulaaltitudinum, (J. I3.)adhibitaque dexteritate, cu-
ius te admonet articulus 11, erit fuperioris folaris mar-
ginis altitudo maxima

= 53^ 49'. II".
auferatur iemidiam. 0 r= 15. ji.

alt. max. centri O = 53. 35. oq.

auferatur refradlio rz: 55.

alt. max. O. vera 1= 53. 32. 24.

auferatur declinatio O max. zz 23. 29.

alt. aequat. rr 30. 3. 24.

alt. Poli Petroburg. = 59^ 56'. 3(5.

17. Manfredi Ephemcrides hoc momentum fta-

tuunt ad lunii diem 10« 16. 32.

meae vero tabulae folares ad lunii D. 10. 15. 26.

18. Ex aliis altitudinibus inueni idem momcntum

lolftitii incidilTe in lun. lo. 15. 2 1-7 quibus ta-
item ex aliis , in lun. lO. 15. 7.J bulae
meae pulcre congruunt.

A a 2 DE

De Conftructiom Aequationum Diffe-
rentialium primi gradus per viam fe-
parationis indeterminatarum.

Auct.
I. Hermanno.

POfteaqiiam in Commentariis fuperioris Anni
pag, l^i^.feqq, theorcmata quaedam pro inue-
niendis integralibusquantitatum differentialium
exhibui , quae pluraiitas indeterminatarum ct
fecunda differentialia non morantur , atque adeo latc
patenda Tunt , \t pluribus excmplis ibi addudis id mon-
flraui. Communicabo nunc aliud Theorema non mi-
nus vtile , cuius opc innumerarum aequationum differen-
tialiiim primi gradus , quae tbrie aliis methodis inacces-
fae haberi poflint, per viam feparationis indeterminata-
mm cum fuis difFerentialibus a fe inuicem , conftrudlio,
conceflis quadraturis , exhiberi poteft. Omnes aequa-
tiones illae ad hanc j rz Rr H- Q^reuocantur , in qua
X tiy funt coordinatae curuae conftruendae , P vero et
Q vtlibet compofitae fmt ex tertia indeterminata z ct
conftantibus. Ex hac aequatione inueniri poffunt aefti-
mationes indeterminatarum .r et y per z et conftantes
((tiltem tranfcendenter) in hypothefi, quod ^zrsfl^.r. Huc
facit fequens

BE CONSTR. AEOVAT. DlFFEllINT, 189

Thcorema.

Sifiit Log. ]l—f{d? ; sIl-FR) et cfy—zdx , crurt
.vinRS, et j :zz?K.S -\- Q^hideterminatae aequationisy-z.
P.r-f-Q. PofTet hoc ftatim fynthetice deinonftra-
ri , ted malo anaiyfm eius hoc loco adducere. Ae-
quatio y ~ Vx -f- Q_ difFerentiata praebet djzziVdx-^-'
xdV^dQ^, ct diuidendo hanc per (s— P) .r proucnict

dZ)—^^-\-^2L,tt multiplicando aequationem per R.r,in-

nenieturR^a—.r^R+RA^^2, vel etiam^^:j"-i^z=-^^^

(velreftitutovalore^Z)==:-^^^p=i^S, et fumtis integra-

libus R""'.riz:S, et a— RS, abit ergo j'i=:P.r H-Q, in >'=:
PRS-HQ,quare CiLog. Rzzzjid?: z-?l et Sr:/(^/Q:sR-PR)
erunt a:=RS, et jziPRS-i-Q. Primo intuitu hoc theo-
rema nuliius aut exigui faltem vfus cffc ^ videbitur, fed
exempla quae fequuntur^et plura aha,quae propter tem-
poris angufliam intada praeterire cogor , oftendent
quam late patens fit.

Exemplum r.

S\t adx-]rhdy-+'Cxdx^exdy-{-fydx aequatio con-
ftruenda ; haec vero per hypothefm dy—zdx , mutatur
ma-^-bz-^-cx-^-ezx-^-fyzzo. Ifta vero ad formam
theorematis redigetur,ponendo Yziz{—ez — c); f\ et Q=i
( — bz — a) ; f , inueniuntur autem ^P; z — Pzz: — edz::
(e-\-f z-^c)-R~'dR , hinc R-) [(e-{-f) z-hc]-'''-^^,
ct dS{-dq:zK'-?R)-[{e-\-f)z-hc]-^''-^^Mz, cuins
A a 3 inte-

190 DE CONSTRVCTIONE

intcgralls eft SzzA-lKe-^-f^z-^c] "''-^^ , cxiftentc x
conftanti quantitate , hinc elicitur x ( rr RS ) ::= A
[(^^y)2^^.]-^:^-h/_-i_, exifta vero deriuatur fequens

[(^z^f^z-^cY-^^^^^iex-^h^-zze Azz. ex acquatione vero
a-^-hz-^-cx-^ezx^-fy—o, obtinetur {e-^-f^z-^-czz.
^cfx-(cef-^ff)y--^<^~<^f qu^re inuenta aequatio abit in

{cfx-^-efi^-i-jjj-^-ae-^-af-^-hc)' x {ex-^-hYzizC , vbi C
crt alia quantitas conftans.

Exemplum q.

Si quaeratur curua huius proprietatis , vt quaelibet
eius tangens, fit ad partem axis inter tangcntem et ini-
tium curuae , in data ratione « ad i , inuenietur aequatio
diiferentialis eius effe nxdy-nydxzzyds , quae iterum
conftrui poteft ponendo dyzzzdx, et fi praeterea fiat nn
V{zz-\-i) , mutabitur aequatio in nzx-nyzzry, eritquc

adeoP^^, etQ=.. Atqui'^^^"^-,-^:^,.^-^-
(propter zz-rr-i )^:-^^=\-ir-^-ir^-^^

rr^nr

r—\

r^^n

, binc elicitur R=(;-- 1 f' "- x(r-f-;/): (rH- 1 f-^ -^^rzz^c.
Vel [r- 1 )^- ' [r-^n)~ rx (r-Hi f 2 , vel (/'- 1 )\ [r-^nf
zzrrxx {r-^-if , fed aequatiow.rs— wj=^^ praebet szz
2; 1=1 «;/Ar 1' -4- Q j' : nnxx—yy , exiftente Q.=
'V[nnxx-\-nnyy—yy) adeoque r(zznxz—Tiy : j)ziz nyy-\-
nQx : nnxx —yy. Qiiod fi in praecedenti aequatione
fubftituatur , proueniet ( nyy -{-yy — nnxx -H «Qa^)"

AEQVAT, DIFFERENTIAL. 1 91

^ (nyj-^nQxfxx. Aequatio curuae quaefitae , ex qua
cognofcitur eam fore algebraicam quoties n eft numerus
rationalis.

Si ?i~i, fiet Qzizx, etpraecedens aequatio muta-
bitur in xx—2cj-jj^ flida nempe Czncc.

Si nznQ, fiet (^="/(4.^^+3 ij) et aequatio genera-
lis mutabitur in fequentem { '^yj — A.xx-^-^Qx )

X (^x-\-Qxyaz={^xx-{-2Qx-\-jj)x{Qx^jj)x.^,

Plures folutiones Problematis huius exempli, quod
Cel. loh. BernouUi Geometris olim propofuit, a praeftan-
tiffimis eorum iam pridem exhibitae fuere, ^td nulla ad-
huc, quod fciam, anaiyfis eiuspublice extitit.

Exemplum 3.

Sit condruenda aequatio.r^:r-4-^^:ir^ry(.r^-4r)/},

quae fa6la dxzizzdj mutatur in xz-^-j—zVxx^^jj , ex

qua elicitur xzzi-^^zz-^- 1 )j : Sjz^quare Pni— (^zz-\- 1 ) :

Q.z^—Zz-iz , et z— P~ 32-1- 2^s , propterea inuenitur

R-'JR(=:^:^-P) = ^^_i-||if_,adeoque(6^s-f-i)^

y^—az , fed propter xz-\-jz=:zV[xx-'/!^jj)':z:Qz , pofi-

ta nunc QzzV^xx-a^jj)^ et zzzj: Q-.r, et (6xz-\-\)z=:

Qxx-^-^jj-^Qx : zxx-^^jj—^Qx'^ fiet

-1 £

102 DE CONSTRVCTIONE

haec vero aequatio, inftitutis dcbitis redudlionibus, redu-

JL ^

citur ad fimpliciorem (■^x-\-^(^y{x-Qj'^ ziza^ .

Hoc exemplum ex Cel. Gabrieli/Manfredi Tra^fl.
de ConftniL^lione aequntionum difFerentialium primigra-
dus pag. 137. fumtum eft, ^bi etiam curuae aequa-
tionem algebraicam ab hac in fpecie difFerentem,(ed re-
flpfe confcntientem non modo inuenit^redanalyfin fuam
quoque expofuit. Haec aequatio naturam illiuslineac
explicat quae omnes parabolas circa communem axem
defcriptas quarum Paramctri diftantiis verticum a dato
in axe puncflo aequalcs funt , ad angulos redos traiicit.
Huius Traiec^oriae Cl lob. Bernoulli etiam aequationem
algebraicam exhibuit inComm. Acad. Scient.Parifienfis.
Exemphm 4.

Diuidere Parabolam Conicam cuius ParametjCr eft
zza^ in data ratione n ad i. Dicantur abfcifiae, maior
j et minor x , et inuenietur aequaiio differentialis dy
V{^j-{-a)zzndxV{^x-{-a) ^ fiat nunc iterum djzizzdx, et
inuenicturj— ''^"^^-l-''-!^^!^, quare fiint in hoc exem-

plo Vzizfin : zz^ et Qzz(a?m—azz) : Ass, adeoque ^rr—
Qmidz : s^ , ct z— Fz=:(z'^ —fm) : zz , hinc R~' dK
(■=~d? :z-?) z=- 2}mdz: z^^-nnz.et ^Q= - anndz :2z^ .

Fiat z^zzznnu, feu zzzn^u^, et fiet f (::^^)=-z^^^

__?i_" - ^ ., atque adeo Kzzu'^ x(u-i)''^ , et ^S

[■zz^^^^^zn—l-adu: u^y- (u—i)^ ,et fiimtis integralibus

— 2 2

Szn^—^au ^x(//-i)"^ 'y Ybi A eft conflans. Verum x

AEQrAT. DIFFERENT. 195

(r=:RS)=:A X ?/^x(?/~ ] ) "^- J-^ , adeoque (^.r 4- ^ ) rr^A

xM^^x^w- 1 ) '3". Aequatio vero j~^-4-"l"-^^^ , prae-

bet zz=:u^{^x-\-ay x (4^+^) ^ , adeoque u{z=iz'^ :nn)

=i«x(4,r4-^) ^ x(4j/-^/z) 2 j qui valor in aequatione pau-

lo anteinuenta4r-l-/7=i:4Ax?^^x(«-i) ^ fufFedlus , et
reliquis neceflariis redudionibus peradis, fuppeditabit

aequationemj|/r=:-^.'7-+-i [n{4x-\-a)^-{n-i)a^]^ , qua
magnitudo abfcifTae j definitur, arcus parabolae, qui de-
bet effe ad alterum arcum cuius abfcilfa x, in data ra-
tione « ad i .

Hoc theorema efl: prorfus nomim , etfi enim Cel.
lok BerncuIIi in A6iisErudit. 1698. elegantem mo-
dum cxpofuit , quoper comparationem trapeziorum
Hyperbolicorum cum arcubus Parabolicis , duo arcus
aflignaripoffunt, datam ad fe inuicem rationem hiben-
tes , et poft ipfum lllujlr. Uofpitalius ex eodem funda-
mento , fed ah'am viam fecutus in Tra&ritu Analytico de
Se&ionibus Conicis , tales arcus pariter eh'cuit, non funt
tamen hi arcus datnm rationem habentes terminati ad
verticem , immo neutereorum, fed maior minorem
femper includit. In hac vero formula ambo arcus pa-
rabolae datam rationem feruantes incipiunt in verticepa-
rabolae.

Scholium I .

Methodus noflra in altioribus aequationibus non
Tom. II. Bb ces-

194 ^^ CONSTRVCTIONE

ceffat j modo hae aeqnationes altiorcs in diios flidlorcs
difcerpi poflint, qiiorum vnus indeterminatasjK et x tan-
tum in primo gradu confiftentes contineat, quod, finon
femper , faepe tamen effici poteft. Sit v. gr. aequatio
Ajy-^-Rvy-^Cxx-^-Dj-hEx^Fzno , in qua litterae
capitales A, B, C, D etc. quantitates ex tertia indeter-
minata z et conftantibus vtlibct compofitas dcnotant.
Aequatio duos fadlores cfjK + {3.r -f- y , ttj — $x-i-s ad-
mittet , exiflentibus
a-A

pz=:iB-4-^K, pofita K—y^BB-^AC)
Y=:(-2AE-4-BD): K
^z=:(-BH-K):2A

5=(2AE-BD-hDK): 2AK, modo F fit
= (2AE-BD-+-DK)x(-2AE^-BD):2AKK.
Vterque fic1:or ad rem faciet , nam ponendo aj-\-(^x
-\-y—o , inuenientur P— — p : a, et Qz=— y : a , vbi fin-
gulae a, [3, yper A; B, C, D, E (quae ipfae conti-
nent indeterminatam z et conftantes) datae funt , adeo-
que aequationes Log. R=z/^/P:2;— P , et dSzizdQ^: zK—
PR, conceflis quadraturis coiiftrui poffunt.

Sin vero miflb fadore ay-\-> (^x-\-y ,^\tCYum j-^x-\-s
adhibere velimus fient Pzr^, et Q=-£, ethaequantita-
tes etiam datae erunt per z et conitantes atque adeo per
quadraturas aequatioipfa conftrui poteft.
Scholium 2.

Quia vero modus fcholii praecedentis conditione
_aliqua Jimitatur , quaeimpedit quo minus aequatio gcne-

ralis

AEQVAT. DIFFERENT. 195

ralis Ajj -H Bxy 4- Cxx + D/ -4- Ex 4- F=:o conftrui
poiHt , alia via eft indicanda.

Si alfumantiir M~y-\-rLX-b, et N=rfj|/4-.r-i-/ , vbi
a, b, c et/fLint coefficientes alTumtitiae, inuenientur
j>—-M'\'^-af-b) : ac-i, et x^cU-^-^-bc-^p.ac-i.
]^mcAMy-\-C^x~Ayy-\--Aaxy-\-Cxx^Aby-\-Cfx

-\-Cc
=:-AMM-4-ArtMN-CNN.(A^/-4-A^)M-HC^r4-C/)

N : ac-i (aut pofitis A^-f-C^rzB, ci-zz-Aaf-Abjtt ^z=.
C^r+C/)=:-AMM-j-BMN-CNN-}-aM-i-f3N :ac- 1 .
Quod fi praeterea fint -A^^ziD , vel ^zn-D : A , et C/ziE
feu /i=E: Cjfiet Ayy-\-'^xy^Cxx-\-'Dy-\-Fx—-AmM
4-BMN-CNN-f-aM-1-(3N: ac-izzo , fed acquatio
--AMM-f-BMN-CNN-|-a?/[-^(3Nzi:4praebet2AM
=:-|-BNH-a4-V[KKNN-f-(2Ba-|-4Ap)xNH-aa],
exiftente, vt antea,K— ^/(BB-^AC), fed vthaecvitima
rationalis fiat , faciamus Ka=;Ba-f-2Aj3, aut fcribendo
ad abbreuiandum G pro B-K, erit -Ga— _2A[3 , vel re-
ftituendo aeftimationes litterarum a et (3 , fiet AQaf-^-
AGb-=z2ACbc-\-2ACf,[\d propter Afc -D , et/z=
E:C) -^rt— DGz=:-2CD^+2Afi, hinc enim eli-
cientnr,

Bb 2 a —

ig6 DE COKSTRrcnONE

«zz(2ACEh-CDG-2CCD^) : AGE , et propter Aa

-i-Cc~B , repcrietur
tfz=(2ACE-BEG-i-CDG) : sCCD-CGE. et
^ii:(8 ACCDE-2BCDEG -2 ACEEG-f-^CCDDG-

CDEGG) : (2CD -EG) x AFE. Item
«zi:(8 ACDE-2BDEG-2AEEG+2CDDG -DEGG) :

(2CD-EG)xG
18-(-AEEG-hBDEG- CDDG) X (2CD-EG) X A

Ex aequatione vero 2AM— BN4-<:^-f->^[KKN-4-
(2Ba -4- 4Ap)N -4- cta] fit 2AM=(B + K)N-|-2a
-— HN-H2.aporitaHz=:B-f-K. Atqui 2AM=:2Ar-{-
QAax^2Ab:zi2Aj^2Aax-2D, et HN -{-2ci:z:llcy
^-H.r4-H/4-2a, Ergo 2AMz=:HN4-2a producit

Pzi:(2A^-H) : ^H-2A,et Qzz-<D-f-/H-|-2a) ; rH-2A
htibebimus jzzP.rH-Q^, et iJc reduda eft aequatio
Ayy-^Bxj-^-Cxx-^-Dj-^-Ej-^o , ad formulam requi-
fitam, fi litterae capitales A, B, C, D et E datae fint
pcr indeterminatam z et conftantes , nam fingulae a, bj
Cyf] a et PperharceA,B,C,etc. datae runt,atque adeo
aequntioA)^'-f-B.rj''f-etc.zz(? conftruipoteftper quadia-
turas, Sed conftrudio fecundum hunc modum perficien-
da aliquas reftridiones patitur , nempe excipiendi funt
cafus Ybi azz^, aut ^zz2A :H, vel 2CDz::EG.

Ex-

AEQI^AT. DIFFEREKT, 197

Exempl. 4.

Si conftrncnda fit aeqiiatio (tyydy-^-hryih-^cxydy
-f- exydx --{-fxxdy -\-gxxdx-\-hydy -\- kydx -\- Ixdy-^-
mxdxzz.0. Fient fada dy^zdx , A— ^^-l-Z' , Bzrzcz-^-e
Cz=:.jz-\-g,'Dz=:hz-\-k , et E— /s-l-^;^ , hae quantitates
in formulis praecedentibus , valores iitterarum alTum-
titiarum definientibus furrogatae , praebebunt P et Q per
z et conftantes exprelfas , adeo \t aequatio per quadra-
turas conftrui poflit. Sed ad vitandam prolixitatem in
aequatione differentiali conflruenda , fint a,g, h et m^Wi-
gulae z=(?, et hf— ce , et hfzzce reperientur fiiuo errore
calculi litterae aifumtitiae, nempe
hznkib \ czn-rb : cz '^fzz.I:f
a—(J?fkl-bell)z-\-cekk'2ell)'.efk-ed\Gzz2e et Fizz^cz^
azz{2cceck'cefk-ceel) z-\-2effkk) : befklbeell
Sed hoc cafu fit rHniaA , quare praecedentes deter-
minationes in cafu quod^^nz/^f, non inferuiunt , fed fi
^; ^j ^j / ^^^^ quaecunque aliae quantitates aequatio per
praeccdentia conftrui poterit.

Ahter adiiuc aequatio Kyy -^-'^xy -^ Cxx -\-l^y
•4-E.r-i-Fz=(?, deprimi poteft , quomodocunque coef-
ficieates A, B, C, D, E, et F compofitae fint ex ter-
tia indeterminata z , et quantitatibus conftantibus , affu-
mendo has duas aequationesj— /-f-^?/— /; et xzzt—u-\-Cy
in quibus , vt apparet , t tt u funt nouae indetermina-
tae, et a^ b^ c funt coefFicientes a(iiimtae. Nam fi hae
xiouae indeterminate / et u , in aequationem datam Ary
Bxy-^-Cxx-^-By-^-Dx-^-Fzzo , introducantur, nafce-
tur aliaaequatio, quae,facb's

Bb 3 e-

tpS BE CONSTRVCTlOm

f:z:(ABE-2ACD4-BBE-2BCD-f-BCE-2CCD):
(4A AC- ABBH-4ABCH-4 ACC-B ^ -BBC).

/rr(BDEH-BEE-l-CDD-CEE-(B-f-2C)=F) :

4AAC-ABB-f-4ABC+4ACC-B'-BBC)

czz[(2A-hBJb-E'] : (B-f-sC)
^^(BZ^-sC^-E) : (2AZ;-B6-D)

mutabitur in (Am-Bh-C) tt^{2Aa-+-Ba-B'2C)tu^
{Aaa-Ba-\-C ) tiuz:zo, haec vero, fadlis
2f—{2Aa^Ba-B^2C) : (A-hB+C) ,
^(A^^-B^^C):(AH-B-i-C), ctk—'f-\'V(ff-h) abit
in tzizhi. Sed aequationes a^umt-^xcj—zt-^-mi-b, et
xzzt'U-\-c, praebent quoque /zrCj-l-^-v-f-Z^-^O : ^-l-i,
et uzzfv -x-^-b-^-c) : a-^- 1 . Adeoque ex aequatione in-
nenta tzzku, elicietur (i/O J^-C^-f-^^^^^-i-^^+^^-H
(ck-b) , erunt ergo ? zz{a-^ k) : { k — i ) et Qzz
{ac-{-bk-{-ck-b): {i-k) ct aequatio finalis ^zr.P.r + Q,
quae inuenienda erat. Nam cx catalogo praecedenti li-
quet fingulas litteras affumtas ajj, c, e,f /?, et k atque adeo
P et Q datas elTe in A, B, C, D , E, et F : itaque per
theorema noftrum aequatio propofita Ajj-^-Bxj'-^
Cxx-^-T^y-^-Ex-^-YzzOj conceflis quadraturis, conftrui
potefl.

Sub hac eadem aequationc continetur quoque ifla
d^zzax^^dx-^-hx^j^dx circa quam tum Kob. Covi.Riccatus^

tum

AEQVAT. DIFFERENT. 199

tum CI. CI. BernoulU Fratres Kicohusa Dmel, multa cu-
riola et elegantia iam inuenerunt , nemo autem quod
fciam , gencraliter eius conftrudiionem obtinuit , aut fal-
tem dedit. Alia vero occafionc eam exhibebo.

Hac occafione monendum effe duxi , in vtroque mco
fchediasmate de Theoria generali Motuum mrlatormn , et
in praefenti de ConJhuCtione Aequationum , praecipua
quidem iit Conuetitibus Societatis ordinariis praekfta fuis-
fe , fionnulla vero quoque occafwne fic ferev.te recens acces-
fiffe. Kik; pertinent Theorcmata nomiulla Eernoulliana
quae in Schediasmate illo dcmonjlrata exhiheiiiur , quae
Celeberr. eorum Autor diu pojfquam fcriptum illud in Crn^
uentu legi , huc mijit., fed oh materiae ajpnitatem tamen
ea in diCio Schediasmate attingere volui. Sic reuidendo aU
teramfchedam de ConftruBione Aequationum differentia-
lium , non abs re iudicaui fi nonnuUa exempla iis quae
praelegeram nunc recens adiicerem.

THEO'

THEOREMATA SELECTA
PRO CONSERVATIONE VIRIVM

VIVARVM DEMONSTRANDA ET EXPE-
RIMENTIS CONFIRMANDA.

Aiict.
lo. Bernoulli^

Excerpta cx F.piJioJis datls ad fiUum Danielem , 1 1 . 'OcL
et 20. Tiec. [JliJ. twu.) 1727.

Theorema I.

VEIocitas aqnrtCjper foramen valde paruum in
fundo vafis exilientis tanta eft , quantam
graue acquirit libere cadendo ex altitudine
aquae fupra foramen,
Theorema II. Sit curua data C/^B, (/^. i.)per
quam delcendat graue B pofl: fe fn altum trahens aliud
graue minus A ope funiculi ACB trocbieam C ambien-
tis. Qpaeruntur velocitates ponderum A et B. Sit
CB— c, EB—jy, earumdiffer. B/in^^A^Borrr^^^^Bfcr/j,
altitudo verticalis TV 7 per quam graue liberum cadens
celeritatem acquirit,quam mobile B habet :z:t ^ erit /zz

ds',By^:zx ^ Haud difficilius efl problema , fi etiam

graue A fuper curua aliqua data moueatnr.

Tlmr. III. Sit tubus cylindricus ACBH (fig.2.)
Ttrobique apertus atque inflexus in duo cruraBA etCH

ad

THEOR. DE COm. VIR. VIV. 201

tid partem liorizontalemBC ; fit finiis angiili ABCr=:/> et
finusanguli HCB— .7 exiftente nimirum finu toto :zri.
Sit porro ille tubus aqua plenus vsque ad horizontalem
MNj voceturque L longitudo partis tubi MBCN aqua
plenae. Erunt agitati liquoris in hoc tubo ofcillationes
tam maiores quam minores omnes tautochronae atque
ciusdem durationis cum ofcillationibus minimis pen-
duli alicuius fimplicis, cuius longitudo ^^^ .

CoroU, Si anguli ABC et HCB funt redli , qui V-
nicus cafus eft a Newtono folutus , erit longitudo pen-
duli fimplicis , quod ofcillanti aquae ifochronum eft,
i=-^L vt inuenit Newtonus.

Theorema 4. Ciiorda mufica datae longitudinis
et ponderis tenfa a dato pondere inuenitur facere vibra-
tiones, quemadmodum definit Taylorus in transadio-
nibus Londin.

Theorema 5. Sit iam chorda ALB (fig. 3 )
craftltiei et ponderis expers , onerata in medio pondufcu-
lo dato perexiguo L tenfaautcm dato pondereP magno*,
dico numerum vibrationum huius chordae durante \m
ofcllatione penduli datae longitudinis D fore zz

Theorema 6- lisdem pofitis fit chorda AB^fig.^.)
onerata duobus pondufculis aequalibus et aequidiftanti-
bus , cum a fe inuicem tum ab extremitatibus A et B.
Vocetur vnumquodque pondufculorum -r-L , dico fore
numerum vibrationum (ofcillante femel pendulo datoD)

Tom, II. C c Thec-

202 THEORhMATA

Theorema 7 . Si mancntibiis reliquis , fmt tria
pondufciili fingala— -^L,erit numerus \ibratiomimchor-

dae n: 2Vy^El^^-B^ ) Si pondufcula fmt quatuor fmgii-

lam^L crit numerus \ibriitioiuim , quem vocabo, Ni=:

que pondufcula, quorum vnumquodquezz-J L, habebitur

N=:^l/('^^^5xL''~~}-'^i''^^ t^ndem pondufcub iex, fm-

gula -kU erit ^-y (^E^^^^J^^I^ , vbi

notandum , per a me intelligere numerum qucmlibetpro
lubitu alfumtum , atque tum .r eife radicem huius aequa-
tionis x"^ —axx—zaax-^a'^ zzo. Eadcm mcthodo, quam
hiibeo, progrcdi pofllim ad detcrminandos nr.meros vi-
brationum pro pluribus pondufcuhs quibus chorda^ one-
rata fupponi poteft, fedpergo ad alia.

De grauibus rotando defcendentibus in plano in-
clinato vel in curua aliqua vel etiam verticah'ter furpenfis
cx filis circa axes circumuokitis fefe euoluendo, fequen-
tia hnbe.

Thcor. 8. Sit graue ahquod cuiuscunque figurac
BFG, (fig. 5,)cuius centrum grauitatis fit C, ex quo et
radio CA defcriptus AHL circulus repraefentet axem,
cui circumuolutum intelligatur filum aliquod fecundum
ordinem litterarum FALHALHAL etc. Ipfum vero
graue fua grauitate defcendere concipiatur, id quodfieri
non poteft nifi rotando, dum nimirum axis ex filo fefc

euol-

DE COmERVAT. VIR, VIF, 203

ciioluit hoc litterarum ordine AHLAHL. Quaeritur,
podquam ex altitudine EA quacunquc defcenderit gra-
ue, quiinta fit velocitiis centri C.

Sohttio. Vocetur D diftantia centri ofcillationis
figurae rotantis a puniflo fufpenrionis , quod vbicunque
in circumferentia AHL fumi poteft. Sitradius CAzza',
EA altitudo verticalis , per quam graue rotando de-
fcendit =:R, altitudo quaefita per quam graue aliquod
liberum defcendere debet , vt acquirat velocitatcm ae-
qualem illi quam habet grauis rotantis centrum grauitati»
Cr= s;; dico fore sm^^.

Coroll. I. Si graue BFG efl: circumfcrentiacircu-
li vel fuperficies cylindrica , cuius radius CB^b , erit
srr ^^R: [aa-^bb.)

Coroll. 2. Si vero fit ipfe circulus vel cylindrus,
trkz^zaaR: [2aa-\-bb).

Coroll. 3. Si fit fupe^ficics fphaerica , habebitur
«z=:3r7^R : {"^ag-^zbh).

Coroll. 4. Et tandem fi (it globus grauis , fiet z
zri^yaaR-.^^aa-^-^bb). Notandum, in his omnibus,po-
ni axem AHL grauitatis expertem.

Scholion. Poffent experimenta inftitui , vt pateret
an centrum C haberet velocitatem , quam hic afllgnaui-
jnus , quo ipfo cuilibet manifefta fierct conferuatio vi-
rium viuarum , cum praefertim pro lubitu temperare li-
ceat defcenfum , vt centrum tam lente, quam volumus,
defcendat , adeoque tempus defcenfus per quamlibet al-

C c 2 titu-

204 THEOREMATA

titudinem EA commode comparari polTit cum defcen-
fu naturali grauium cadentium , quac nimiriim \no fe-
cundo I 5. ped. Reg. Paris. circiter a quiete delabuntur.
Vt cnim lentifTime defcendat , minuenda eft tantum quan-
tum fatis ratio C A ad CB. Pofllint quoque ex princi-
pio conferuationisviriumviuarum determinari legescom-
municationis motus pro corporibus perfede elafticis,
quae rotando fe mutuo impcllunt , fed breuitatis gratia
eas hic non exprimo , fufficit monere eas ex parte de-
pendere a figura corporum rotantium. Multa alia nunc
tacco, quae commodc per theoriam virium viuariim ex-
plicari aut folui poflunt , quae vero ex aliis principiis
difliculter nec fine am.bagibus determinantur , quibus
annumcro , quae fuperius dixi circa vibrationes chor-
darum et ofcillationes fluidorum in tubis reflexis , nec
non ea , quae de grauibus rotando defcendentibus vel
de corporibus rotando infeinuiccm impingentibus ex-
pofui. Caetera argumentum plane eft nouum et nulli
haAenus quantum fcio confideratum, Demonftrationcs
alia vicc mittam.

Monltinn,
5, Experimenta defiderata infchoIioTheorematisS.
„ fuerunt inftituta accuratiflime in diucrfis corporibus,
„ eaque plane cum Theoria conucnirc obferuatum fuit
„ In fequenti epiftola ad filium data talia ad hoc argu-
3, mentum pertincntia atque in Jatimim fermonem verfa
5, refi:ripfithorum theoremauim Audor.

Non dubitaui , quinfacile inuenires demonftratio-

nes

DE COKSERFAT. VIR. VIVAR. 205

ncs theorematum nieorum ope principii conferuatiohis
virium viuarum et gaudeo, te alia eruifle fimiliargratum
quoque fuitex teintelligere,tam egregie theoriamiflam
cxperimentis confirmari. Sententiam meam de tenfio-
ne fili corpus rotans fuftinentis in theoremate odlauo,
quam fcire cupis , iam tecum communicabo, ex qua
patebit, elTe tenfionem fili conftantem durante toto de-
fcenfu mobilis rotantis , cuiuscunque fit figurae. Sit
IKL (fig 6.) fcala velocitatum naturalium , cuius nempe
applicatae MK,' NL defignent velocitates acquifitas mo-
bilis libere cadentis ex altitudinibus IM, IN. Sit alia
curua IRSjCuius applicatae PR, QS exprimant velocita-
tes centri grauitatis mobilis alicuius ex filo fufpenfi ro-
tando ab initio I defcendentis per euolutionem fili. A-
gantur ex pundlis infinite propinquis K , L rcdae KT,
LS axi IQ parallelae fecantes curuam IRS in R et S ; e-
runt duAisappIicatis RP, SQ ex natura velocitatiim mo-
bilis rotando defcendentis (nominatis IP vel IQpR , et
IM vellN=:2,PQ-.^R, MNzi:^2)2iz:-f (vid. cpifio-
lam meam anteriorem) , hoc eft , D.ay. R.2: : IQ, IN ; :
IP. IM::PQ. MN •, vnde ob conftantem rationem inter
IQ_et IN vel inter IP et IM, patct curunm IRS efie ct-
iam parabolam ; hinc ob velocitates PR , MK aequales
erit tempufculum per PQ ad tempufculum per MN vt
PQad MN, feuvtlP ad 1M::R.2::D. ^.SumtaiamPO
zrMN , ducflaque applicatis parallela OV fecans KR
produdlam in Y et elementum parabolae RS in X -jfinga-
mus filum, qnando mobile peruenit in P fubito rr.mpi ,ita

Cc 3 vt

no5 THEOREMATA

vt acqaifitii fua velocitate PRnMKpergat libere defcen-
dcre, qiiare in O habebit velocitatem OVzzNL , et in-
crementum velocitatis momentaneum erit YVrzZL.
Quia autem non rupto filo , incrementum velocitatis,eo-
dem momentoacquifitum efttantum YX ,liquetreliquum
XVimpediri a filo, idemque adeo impendiintenfionem
fili. Vnde ita argumentor : Incrementa et decrementa
velocitatis in eodem corpore et eodem tempufculo pro-
dudla funt vt vires, quae ea producunt ; eft ergo tenfio
fili,quae dicatur T,ad vim grauitatis mobilis rotantis,hoc
eft , ad eius pondus , quod vocetur P , vt VX ad VYzz:
ST , adeoque vt SV ad RT vel vt OQ ad PQh. e. vt
PQ-MN ad PQ. Vnde T ad P : : dK-dZ. dK: :R-2. R
::D-r?.D, proindeT=^^%P-, Q. E. L

Coroll. I. Si mobile graue BFG ( vid. fig. 5. ) eft
circumferentia circuli vel fuperficies cylindrica, cuius
.rudius CB-h erit Dzz!^, adeoque T=^^xP.

CoroH. 2. Si BFG fit ipfecirculus vel cylindrus,
cuius radius — ^ , erit D— i^— , vnde Ti=.^^^-^xP.

Coroll. 3. Si fit fuperficies fphaerica, cuiusradius
:=J,eritD=^=ii; Hinc T=:^^xP.

CoroJl. 4. Si fit globus folidus , cuius radius zizhj
erit Dr.i^i!5, proinde T=:.^4^,xP.

Corollar. 5. Sit iani mobile gnuie BFG (fig. 7.)
nonrotundum, fedex. gr. trianguliim ifofceles redangu-
lum in G, reda perpendicularisex Gia hypotenufam de-

mis-

T)E COKSERVAT. VIR, VIV. 207

mlfTair^. CA radiiis circuli AHL (qui repraefentat a-
xein, cui iilum circumuolutum eft , et qui pro centro
Iiabet centrum grauitatis trianguli BYG):iza : Erit Dzi:
, ideoqueT=i---|;l'_xP, fumendo hic et-

iam P pro pondere trianguli. Atque ita in aiiis.

SchoUon. Haec Corollaria tanquam totidem theo-
remata non parum curiofitatis habent , fiquidem fa-
ciHimum efl: ea per experientiam confirmarc ; appenda-
tur ex. gr. praedidum triangulum quod rotando defcen-
dere debet ad extremitatem vnius brachii librae et ad al-
teram eius extremitatem alligetur pondus — — zlL^ x P.

Dico enim pondus hoc minus in aequilibrio feruaturum
pondus maius trianguU P , quamdiu hoc rotando defcen-
dit. Vel etiam hunc in modum inflitui poflet expcri-
mentum : fmt duae trochleae in centris fuis parieti infi,
xae, quasambiat filum QMNA axi ALH inuolutum,
fitque huius axis centrum C in centro grauitatis trianguli
ifofcelis BFG redlanguli in G, cuius pondus rrP^ ad al-
teram fili extremitatem Q_ appcndatur pondus S:=:
-^^— xP. Dico pondus S in quiete manfurum , dum

triangulum BFG per euolutionem fili rotando defcen-
dit.

Dan,

M, Nov.

172(5.

C

^ (208) >>

Dan. Bernouili I. F.
DE MVTVA RELATIONE CEN-

Till VIRIVM , CENTRI OSCILLATIONIS
ET CENTRI GRAVITATIS

Demonftrationes Geometricae.
I.

Vm perlegerem theoremata Paterna ex prin-
cipio conferiiationis virium viuarum dedu-
da, haud difficulter vidi , omnia illa , quae
circa motum corporum rotantium verfan-
tur , pendere a debita centri virium determinatione. In-
telligo autem per centrum virium pundlum tale , in quo
fi tota maffa concipiatur vnita , eadem ex motu ipfius
oriatur virium viuarum quantitas , quae corpori moto
ineft.

II. Tbeorema generale. Diftantia centri virium
a pundo fiue axe fufpenfionis aequalis eft mediae pro-
portionali inter diflantias centri grauitatis et centri ofcil-
lationis ab eodem pundlo feu axe.

Demonjiratio. Sint duo corpora M et N (Fig. 8.)
quorum centrum grauitatis fit in B : Rotentur corpora
circa pundlum fixum A ; dicatur maffa corporis M:=:M
maffa alterius corporis z^N , diftantia prioris a pundo
Az=^ , diftantia alterius corporis ab eodem puniflo izz^;
AB=:C et crit AD feu diflantia centri ofcillationis a
pundo fufpenfionis ^^■''-^l^^—- Sit iam centrum virium

in

LEM. GEOAl BE CEKTR. etc. 209

in C , dicatur AC^.r, concipiaturque corpora ita ro-
tari, vt Yelocitas centri grauitatis fit —v ; et erit velo.
citas corporis M=:°^, yelocitas corporisN~^ et ve-
locitas centri virium 'm^ ; yis viua autem corporis M
erit '-^, vis viua alterius corporis zn^-^. , et fi v-
trumque corpus haberet maflam fuam concentratam in
pundo C effet ipfius vis viua ~^(J^^ . ^nde habe-
tur taHs aequatio !^ ^-^i^-^^.^^.). ^^^

x^VC-^^^)^Vr:^^^c) id eft=:radiciexpro-
duAo diftantiae centri ofcillationis in diftantiam centri
grauitatis.Patetporro polTe corpora quotcunque confide-
rari fiue in cQdem plano fiue in planis diuerfis , adeo vt
tlieorema generale fit.

II. CoroUarium. Si circulus culus radiusm ex
punfto in peripheria fumto fufpendatur , erit diftantia
centri virium a pundlo fufpenfionis zzlV^;. Si iisdem
conditionibus peripheria circuli fufpendatur, iietdiftantia
illa zzV2\ fi fphaera , fiet zzV\^ fi ex alio pundo figurae
(iae corpora fufpcndantur, aliud habebitur centrum vi-
rium -jquaeritur autem vbinam fit hoccentrum futurum,
fi axis fufpendonis tranfeat per centrum grauitatis ; re-
gula generalis oftendit effe diftantiam centri virium ae-
qu.ilem mediae proportionah intcr nihilum et infinitum ;
ex quo cum nihil cognolci poffit , hic cafus fpecialiter
tentandus eft; folutionem illius dabo in fequentibus,

III. Scholion. Triangulum AMN confideratur
vt rigidum,grauitatis expers ct duobus ponderibus M et
Tom.W, Dd No.

2IO DEMONSTRAT. GEOMETR.

N oneratum: his autem pofitis manifeftum eft , pondera
non aliter moueri, ac fi fola \irga MN rigida elTet, of-
cillarcturq-, pun^ftum B circa punflum A,dum interea rota-
tur motu angularifimili ct contrario \irga MN circa pun-
dlumBretcummotusanguIarisrimilisfit, eritMB adBA,
ficutivelocitas, quacorpus M rotatur circapunftumB ad
velocitatem, quapundum B fertur circa A : data itaque
relatione quae eft inter Yelocitates , deterrninare licebit
rationem diftantiae corporis a centro grauitatis ad di-
ftantiam centri grauitatis a pundo fufpenfionis.

Lemma. Si corpora M et N circa centrum gra-
uitatis B rotentur velocitate vniformi quacunque, fimul-
que ipfum centrum B feratur alio motu cuiuscunque \e-
locitatis vnifbrmis , dico vim viuam ex toto motu reful-
tantem in omni fitu efle eandem et acqualem ilJi , quae
prodit j (i vterque motus fmgulatim coniideretur.

'Demcnftratio, Sint (fig. 9.) duo corpora in M et
N, quorum centrum grauitatis efl in B , circa quod ro-
tentur , ita vt corpus M defcribat circulum MGO et
corpus N alium conccntricum NHS moueaturque fimul
punc^um B fecundum diredionem lineae BK, quam fup-
pono eandem habere rationem ad BM , quae eft inter
Yelocitatem pundi B et velocitatem qua corpus M
rotatur circa punftum B , vndc BM et BN re-
praefentabunt velocitates corporiim M et N ra-
tionc mouis rotatorii et BK exprimet velocitatem
puncfti B ratione alterius m.otus ; et ipfa corpora M et
N exprimentur per lineas BN ct BM, quia malfae reci-

pro-

DE CENTR VIR. OSCILL. ET GRAV. 211

proce proportionales runtvelocitatibus. His ita difpo-
fitis, fmtcorpora in fitu M et N quocunque: fitque GH
perpendicularis nd MN ; fiKflis parallelogrammisBGLK
et BHIK, dudisque diagonalibus BL etBI , patet has
iplas diagonales exprimere polfe velocitates corporum
M et Nex vtroque motu refultantes-jhincquc \im viuam
corporis Mexprimendam efle per BL ^ xBN feu BL ^ xBH
et vimviuamalterius corporis perBI^xBM fcuBI^xBG:
vnde demonftrandum reftat effe BL - x BH-i-BI ^ x BG
conflantis magnitudinis. Per centrum B ducatur QR
perpendicularis ad HI et ad producflamGL^fic eritBL^
-:rBG'^-BK--f-2GRxBK,atqueBl2=:BH^-f-BK^-
2HQxBK , vnde BL ' xBH+BI ' xBG = (BG - x BH-f-
BK'xBH-h2GRxBKxBH)-|-(BH'xBG-|-BK2xBG-
2HQxBKxBG). Suntautem in quantitatibus parenthe-
fibus inclufis duo vltimi termini aequales , quia GRxBH
nrHQxBG; efl itaque fumma virium viuarum ex motu
compofitooriunda:=:(BG^^-BK-)xBH-HBH^-hBK-)
xBG ; et confequenter in omni fitu eadem, quod erat
primo ioco demonftrandum Nunc fi \'terque motus
fingulatim confideretur , habetur vis viua motus rotato-
rii pro corpore MzzBG^xBHet pro corpore NzzBH^
xBG et denique vis viua alterius motus n:BK"x (BH-f-
BG), ergo fumma virium viuarum ex vtroque motu fed
non compofito oriundair:BG^xBH-f-BH-xBG-|-BK-
x(BH-4-BG)z=(BG-H-BK-)xBH-i-(BH--f-BK = )
X BG ,ergo eadem quac ante:quod erat fecundo loco de-
monftrandum.

D d 2 V. C(?.

212 BEMONSTRAT. GEOMETR.

V. CoroIIarimii. Seqiiltur ex hoc lemmate ct ex
fcholio (J. 3. poffe corpora M ct N confiderari tanquam
ofcillantia circa pimcflum K ita vt angulus KBN con-
ftans fit : vnde fi ponatur corporum ita ofcillantium
centrum ofciilationis effe in U , erit T (ficfla KT media
proportionali inter KB et KU)centrum virium, etpro-
i<nde tanta erit fumma \irium viuarum , quanta foret, (i
ambo corpora elTent in pundoTconcentrata ofcillaren-
turque circa pundum K velocitate tali , vt puntom B
priftinam fuam velocitatem conferuet.

VI. Problema. Determinare centrum virium in
corporibus circa centnim grauitatis rotatis.

Solutio. Sint corpora in M et N rotata circa
ccntrum grauitatis B: Concipiatur ccntro grauitatis a-
lium motum imprimijcuius velocitas fit ad velocitatem,
qua corpus M rotatur ficuti BK ad BM : ergo (per
praeced. lemmaet coroll.) eritvis viua totius motus ea-
dem ac fi corpora concentrata in T mouerentur circa
puncftum K velocitate quae eft vt KT ; ergo vis viua to-
tius motus erit vtKT^ feu vt KBxKU, a qua fi aufera-
tjr vis viua (quae orta fuit ex motu concepto, qua(i im-
preffus fuiflfet pundo B, quaequceft vtKB") rcmanet
vis viua corporum rotatorum , quae proin erit vt KBx
KU-KB-=KBxBU : ergo velocitas centri virium debet
eife vt VKBxBU ; adcoque diftantia centri virium a cen-
tro fufpenfionis feu centro grauitatis erit ml/KBxBU.
Vnde tilis oritur regula ; alfumatur arbitraria quaecun-
^ue KB; conridereturque pundumK vtpundum fufpen-

fionis

DE CENTR. VIR. OSCILL. ET GRAV. 2 1 3

fioms,erit media proportionalis inter affumtam ct dU
llantiam centri ofcillationis a centro grauitatis aequalis
diftantiae centri\irium a centro grauitatis. QE.F.

VII. SchoUon. Patet iterum demonftrationem
procedere, quotcunque fuerint mafHie M, N, fiue fint in
codem plano et fuperficiem efforment ,fiue in diuerfis pla-
nis et corpus conrtituant ; fi itaque circulus e centro fuo
fufpendatur, erit diftantia centri virium a centro, pofita
\mmc pro radioznV-^ ; fi peripheria circuli, fitzzi , et
fi Iphaera fumatur, fifzzVj.

VIII . CeroJL i . Cum KB fit flrbitraria, et tamen quan-
titas haec VKB x BU vcJ etiam eiusdem quadratum KBxBU
fitconftans, flatim apparetpropofitioquamCel. Huge-
nius horologio fno ofcill. inferuit p. 125. prop. ip.his
•verbis : „ Si magnitudo eadem nunc breuius nunclon-,,
gius fufpenfa agitetur •, crunt, ficut diftantiae axium of„
ciUationis a centro grauitatis intcr fe , ita contraria ra-„
tione diftantiae centrorum ofcillationis ab eodem gra-„
uitads centro. Eadem facilitate ex theoria noflra de-
ducitur eiusdem propofitio 16. p 119. quae talis eft
„figura quaeuis fiue linea fuerit, fiue fuperficies , fiue fo-„
lidum *, fi aliter atque aliter fufpendatur agiteturque,,
fuper axibus inter fe parailelis , quique a centro graui-,,
tatis figurae aequaliter diftent , fibi ipfi ifochronae eft „
Cum enim in hac propofitione poftrJetur , vt KB fit
conftantis magnitudinis , erit quoque BU conftans et
confeqnenter etiam KB-f-BU. Sequitur quoque hinc
theoremanon inelegans , quod in fequenti propofitione
compleclar.

D d 3 IX.

214 DEMORSIRAT. GEOMETR.

IX. Thcorema. Corpiis qiiodcunque fi e centro
vlriuni fi. 6. deternainato furpcnfum agitetur brachifto-
chronum eft , id eft , ofciilationes facit minoris dura-
tionis , qunm fi ex quocunque alio pundo fufpendatur ;
ct erit tunc femper diftantia centri ofcillationis a centro
grauitatis aequalis dillantiae centri grauitatis ab axe (a^
fpenfionis.

Dcmonjlratio. Sit piindum A (fig. 8.^ puntflum
fufpenfionis ; B centrum grauitatis ; D centrum ofcilJa-
tionis ; fit ABrz.v, BDnir ; et erit longitudo penduli
ifochroni x-^-y^ quaecum fit minima , erit dx——dj •,
fed.rj cft n conftanti (^per §, S.j ergo xdyz=:ydx , quae
duae aequationcs combinatae dant xzz^' ; yndc iam pa-
tet fecunda pars propofitionis. Porro centri virium
^, 6. deiiniti diftantia a centro fufpenfionis eft— V.rjCTvY;
ergo AB debet eidem diftantiae elTe aequalis ; vnde iam
quoqueprior pars propofitionis manifefta eft. Q;E.D.

X. Qiiae hadenus ditfla funt , inferuient ad redle
intelligendum motum corporum , quomm partes fitum
parallehim non feruant ; fic motus pendulorum , cor-
porum gyratorum, rotando progredientium etc. inde de-
duci poteft et faepe aUter fere non poteft.

XI. Placet hic adiiceretheorema fimile illi,quod inter
theorcmataPatrisodauuTTieft ,ct in cuius gratiam proble-
ma <J. 6.praemifi,op€Cuiusfacile demonftratur,ftt graueu-
]iquod cuiuscunque figurae {'fig. lO.^ CBA, cuius ccn-
trum grauitatis fit in D, ex quo et radio DM defcriptus
intelligatur circulus MNP , cui filum circumuohitum eft
PMNPMNetc. cuius nli extremitati-appenfumfitpondus

DECENTR, FIR.OSCILL.ETGRAF, 215

Qj qiiod defcenfu fiio graue CB A in gyrum agit circa
centriim gnuiitatis D , dico velocitatem corporis Q fe-
qiicntem in modum determinare poffe. Sit MDnz^*,
confideretur corpus fufpenfum ex pundo M ofcillari,
elTeque centrum ofcillationis in O, fitque DOzn^; pon-
dus grauis totius CBAzz:P-,pondus corporis appenfi —p,
altitudo ex qua corpus Q delapfum eft— R j altitudo quae-
fita per quam graue aliquod libere cadendo acquirere
poffit velocitatem corporis Q.-=::c; -, dico fore z— "^^ -

et (i tempus quo corpus naturaliter cadit per altitudinem
R dicatur / , erit tempus infumtum a corpore Q~(
2^^it:^il, id quod experientiae conforme effe plurimis
mftitutis experimentis femper inueni.

XIL SchoTium. Liqiiet ex determinatione prae-
cedente velocitatis corporis Q, haud fecus illud defcen-
dere dum corpus ABC circumagit , ac fi libere cadc-
ret in fluido cuius grauitas (pecifica effet ad grauitatem
Ipeclficam ponderis Q ut h? ^d ap-^h? .Std manifeftum
cft, tantum tendi filum NQ inter defcenfum corporis Q,
quantum hoc corpus fuftinctur a fluido fi in fluido mo-
iieri ponatur : efl: autem vis , qua fuftinetur a fluido
= „f%> "g« " tenfio fili=rJ||-^ : fi a=o ,'
iit illa tenfio -zzp. Eodem modo inuenitur tenflo fili
EA ^fig 5^ in theoremate 8. Patris pag. 203,
(vocando P pondus corporis rotati BTG et retnencto

cae-

£i6 DE LINEIS

cacteras denominationes a Patre adhibitas)=:i^"xP. I^
demquoque et quidem diredle, inuenit Patcr, \ti poft.
modum ex ipfius litteris ad me datis intellexi. vid.
png. 206,

DE LINEIS CVRVIS,

QVAE EVOLVrAE IPSAE SE GENERANT
Auctore
G. W. Krafft.

C

M. Bec, ^"^ Vrnae , quae euolutae ipfae fegenerant, non
^ vno die in lucem protradae funt *, fed origi-

nem fuam diuerfo tempori et diuerforum fa-
gacitati debent quaelibet tamen earum No'
bilemlnuentorem nada eft. Prima quidem Cyclois vul-
garis a Chr. Hugenio talis deprehenfa fuit , a qua deinde
mox non cxigua volitas ad temporis momenta accura-
tiui diftinguenda permanauit. Cum vero dubitarctur
pluresne vna polTibiles fint huius indolis , nec ne : non
longe poft TfchirnhufiusCaufticis fortafle fuis probe in-
tentus fecundam inucnit , Caufticam ncmpe femicirculi
quae Epicyclois efl, quam protulitdeinde in Adlis Lipf.
1682. M. Nouembri. Tertia denique Logarithmica
Spiralis, lacobo BernouUio ob mirabilis huius proprie-
tatis inucntioncm infignis laetitiae argumentum praebuit,
vti apparet ex iisdem Adlis 1 692 M. Maio. Cum ve-
ro non meminerim , vUibi publice exftare talem metho-

diun

DE LIN£I5 CFRVIS QFAE etc. 217

dum , quae Problcmahoc, difficile tamen Leibnitio di.
dlum in Commercio Epift. p. 92, itaexcutiat, vt per
cam fingulac fupra didlaium eruantur , probeturque plu-
res in pofterum inueniri non pofle ; quanquam priuatim
praeclaros huius rei modos cognitos effe non dubitem ;
quorum vnum , a fequenti quidem diuerfum , apud Ce-
lcberr. lac. Hermannum videre licuit,Quem non finc
grata recordadone aua:ae fcientiae qualiscunque meac
nomino ; exiftimaui non abs re futurum elTe, fl , quid
in hoc Problemate non plane iniucundo proficere mihi
contigerit, hic commemorem.

ProbIe?na i . Inuenirc curuam AFB Fig. i . eius
naturae , vt i. Flexum contrarium non habeat ; 2.
Si ducatur radius ofculi quilibet DE , capiaturque a
termino quodam fixo B arcus BF in ratione quacunque
data ad hunc radium DE , demittantur deinde ex pun-
dlis F et D perpendiculares DC , Fl, ad redam GH
quamcunque, pofitionc datam : Anguli CDM, ILF,aut
anguli CDM, IFL, comprehenfi radiis ofculi DE , FK,
atque redis DC , IL, FI , femper habeant differendam
datam.

Refohtio. Qiioniam duplex cafus Problemate con-
tinetur,fitl.angulorumCDMetILFdifFerentiaconftans,
quaeritur naturacuruae AFB.Ponantur in hunc finem I a -
dii ^E, /K, prioribus infinite propinqui , cum fuis per-
pendicularibus dcj fi, voceturque radius DE, r, alter ve-
ro FK, R ; et ratio data fit a: b. Erit itaque , DE (r);
BF=^ : h , hoc efl , BFi=^^- , et Ffziz^. Cum vcro
Jom. II. E « ra.

fii8 DE LINEIS CFRVIS OTAE -

radius FKeandem naturamhabcre debcat , quam habet
alter DE •, erit quoque FK (R) : BDzna : b , vnde BD
zzz'^ et Dfc— ^ , ybi figniim priuatiuum ponitur, quia
crefcente arcu BF, alter BD decrefcit. Quoniam por-
ro differentia angulorum u et x conftans effe debet, erit
u—xnz angulo conftanti , adeoque chi—dxzzio et duzizdx^
hoc cft, incrementa aut decremcnta angulorum in fitu
infinite propinquo, funt aequalia ; quapropter ob angu-
lum externum .r— j^-f-E , erit .r-jzzE*, et pariter, ob
r/ii:/-hK, ?/— /zrK, hoc eft , incrementa angulorum
CDM et ILF funt anguli ad E et K, qui ob aequal tatem
fuam efficiunt fedlores EDd ^ KF/fimiles , quapropter
critDE(r):D4-^)=FK(R) : F/(^)hocefl-RJR=:

rdr^ etlntegrandohabcbitur C^— R-^rr^, adie(5la con-
flanti C ne Problema ob V— R^zzr imaginarinmfiat,Yn-

de emergit y/CC-RR=r,et-^ rzBF -^jlSi. Ob v-
trum.que autem radium ofculi femper eodcm figno affir--
mat uo acceptum , verfus eandem partem illi fcmper re-
Ipicicnt ; adeoque curua flexum contrarium non admit-
tet.

2. Sit iam angulorum CDM et IFL differcntia
confl.ans , qnaeritur ratura curuae AFB. Manifeflum
cll: , quod rurfus Yt ante , ob nz:im~\-\^ , fit n—mzzK , a-
deoqueobdccrementaanguIorumCDMetlFLin fitu in-
fin'te pro ninquo,aequalia,i{erum fedores EDr/,KFf fim.les
habentur.'Oriiuritaq-,denuo,DE(r):D^(-^),~FK(R):

F/[^), atque-R^Rrzr^r, vel integrando VCC-RR— r

et

■EVOLVTAE IPSAE SE GENERAKT. 219

ct -7r==i^r — — - — . Cum igitiir in Ytroque cafu idera
valor arcus BF emergat , patet vnam eandemque cur-
uam \trique cadii latisfacere.

Corollarium i. Vt vero conftruatur arcus inuen-
tus BF , ponatur conftans C=iI!^^A , in quo vaiorc
noua conflans indetcrminata k affumitur •, et radius ofcu-
li Rr:^^— , cui valori iam noua variabilis u ineft, ha-
bebiturBF=^..^c^l^"I),quemdico effe arcumEpi-

cycloidis Fig. 2. in qua radius circuli immobilis OEzna^
diameter circuli mobilis ABiz:^. Sit enim chordaquae-
uisBErr?^, radio OE, centro O , defcriptus arcus cir-
culi EM, et MC conueniens radius ofculi : Erit ex natu-
raEpicycloidis(\\ loi. Analyi. Infiaitor.) arcus AM
ad chordam AE(ykk-uii\ vti eft fumma diametrorum
<^a^k ad radium bafeos OB (^) , itaque AM=:
2^xvU:^)-BF. Fig. I. Ob aflumtumvero Rn:
?±^^ , elicitur Z^rzil^^; in Epicycloide autem

eH:, OA : OBmMG : GC , ergo inuertendo et com-
ponendo OB-f-OA : OA=: GC + MG : MGhoc efl :
Q.a-\-k : OAzrR : MG(?/), ob MGi^EB, per §, loo.
1. c. n. 3. ergo OA=^J±l^=:Z'. Vnde patet, ratio-
nem datam problematis a : b ^ effe ipfius OB ad OA.
CoroUarium 2. Quodfi ratio data rt : Z» fit aequaH-
tatis , habebitur BF=VCC-RR , et fi ftatuatur C=:2f,
Rzi2M , erit BF^^ay^^-wz^ , qui eft arcus Cycloidis or-
E e £ din:i*

220 DE LINEIS CVRVIS QVAE

dinariae, in qna diameter circuli mobilis ize, Sit enim
Fig. 3. Cyclois BDE, atque in ca AB=if,chorda quae-
libet AC zziu , erit arcus BD — duplo chordae BCiz.
^V^e^—tr^rzBY. Fig. i. Sunt igitur curuarum quaefi-
tarumduae, nempe Epicyclois, fub quauis proportio-
nc circuli mobilis ad immobilem , et Cyclois ordinaria ;
qiiarum vtrique vterque Problematis cafus refpondet.Q.E.
I. Cum vero hae proprietates vtriusquc Cycloidis anim-
aduerfae hadenus fortalTe non fint : ex ipfa harum curua-
rum natura eas adhuc deducere conabor.

Tbeorema i. SitFig. 4. Cycloisordinaria BFMA,
ducatur in ea radius ofcuU quicunque MC , capiaturque
huic aequalis arcus BF, et ducantur applicatae MP, FI,
ad axem AD perpendiculares , cum normali ad curuam
FG : Erunt triangula PMH, IFG, fimilia, ita vt angu-
lus IFG aequalis angulo PHM.

Demonjiratio, Ad diametrum circuli generato-
ris BD ducantur perpendiculares FR et MS , quae fe-
cabunt circulum in T ct V. Sint igitur chordae per
puncla interfecflionum dudae BT, BV, TD, VD ; atque
critpernaturamCycloidis radius ofculi MCzts chordae
VD , et arcus BF=2 chordae BT, hinc ob BF=
MC per hyp. erit sVDzrsBT , hoc efl, chordae VD,
BT erunt aequales , vnde triangula DTB et DVB
fimilia et aequalia fiint. Ob parallelas autem FG et
TD , MH et VD , per naturam Cycloidis , triangula
IFG et DTB, PMH et DVB funt fimilia ; igitur etiam
ipfa PMH et IFG triangula ita funtfimilia, vt angulus
PHM-GD V^nVBDiz^TDBiiilFG. Q. E. D .

Co.

EFOLFTAE IPSAE SE GENERANT. i22i

Corollarium. Sit iam reda YD pofitione datajfub
nngulo quocunqnc ADY cum nxe AD ; prolongentur
normales ad curuam in E et N, et dcmittantur perpen-
dicuhires MK , FL. Erit d-azze , et per Theor. i.
prgi^e , hinc d-azi:f-\-g, et d-a-fzzg. porro b^gzz
c-\-d, et h-c—d-gzzd-d-^a-^-f^^a-^-f Ob triangu-
la autem FIO, OLD fimilia, eil/— angulo conftanti a,
hinc h-czz2a, hoc eft, difFerentia angulorum b ct c fub-
contrarie pofitorum eft conftans. Eft autem porro
/;— 90-^, ergo ob h- c=z2a , erit go-g-c~2a, et
-^-rms^-po Ybi angnlus g fignum priuatiuum accipit,
quia in alteram partem radii FG cadit : igitur difFerentia
quoque angulorum ^ et ^: diredle pofitorum eft conftans.
Quamobrem manifeftum eft, quod inCycloide ordinaria
femper duci pofTit reda aliqua YD , in quam demilTae
perpcndiculares MK, FL, efHciant modo aequalitatem,
modo difFercntiam conftatitem , angulorum fubcontrarie
aeque ac direde pofitorum , ficut calcuii efFatum id
iubet.

Theorema 2 . Sit iam Epicyclois A;;/MD genita
cx reuolutione circuli mobilis A^EB fiipra immobilem
BGDr/, cum radio ofcnli MC produdo in L , atque arcii
Am ad radium ofculi MC in ratione conflanti ipfuis OB
ad OA. Sit deinde pundi m normahs mN, et applica-
ta ?;//>, nec non pundi M applicataMP : Dico, difFeren-
tiam angulorump;«NetPML eflein quohbetEpicycloi-
dis pundo conftantem , nempe aequalem angulo dOD ;
fi fcilicet BDr/ fit circuli qiiadrans.

Bcmonfratio, i. Centro O, radiis OM, Om de-
E e 3 fcri-

22^' BE LINEIS CTRVIS QVAE

fcribanuir arcns circularcs ME,?;;^, et diicantur chordae
BE, Af, cum radiis KE, Kt^, vocenturque OB,/; KA, a»
Atque erit pernaturamEpicycloidis MG:GCz=:2^-+-^;
b, et GC^^MG,=:^-^, BE, ob BE-MG , igitur
MC=:M€+GC==:BE-+-GC=:\^^ BE. Perhypothe-
fin cft MC : AwrzOB : OKz=:b: aa-^-b , ergo erit
A?//zi:^^MCzz^-^±^^BE. porro per naturam curuac
habetur Am : A^rr2^-4-2^: b^ vnde Amzi:''.^^ At.
Erit itaque ^--'^t'" BE-^-±ti^ A^, hoc eft, chordae BE
et Ae erunt acquales.

«2. E centro circuli mobihs R ducatur in conta-
dam G re^fl-i RG , atque e ccntro F in contadum H re-
dix FH, quae produdlae concurrent in centro O. Etquo-
niam arcus circnlares funt in ratione compofita angulo-
ruiii etradiorum •, ent H;z: HB=:HF?2x^:HOBxZ', inde
ob, H^^rzHB deducitur HOB=:4 HF«.

3. E(l itaque angulus ;;/NP— HOBH-OHNrr
HOB -f- /f/HF=-HOB -f- iHF« =r-JHF«-4-iHF/2=:
-.^^HFw. Quoniam autem chordae /;/H, ^B aequales
funt, ex natura Epicycloidis, erit quoqueH?/— A^~EB.
dem. n. i. et HFwrzEKB ; igitur ;//N/) i=:£±f ' HFwzz:
^^EKB , atquc ob re(flum inp, angulus ;?;«N— 90-
f«N;)ir90-^^EKB.

4 Pari modo angulus PMLrrMGR-MQGn:
EBK-MQG=rEBK-'//OGi=:EBK--DOG-r/OD ; fed

ob

nVOl-VIAE IPSAE SE GENERAKT. 223

ob arcum MG=DG, angulus DOG— 4 MRGrr^-EKB;
Ergo PMLr=:EBK-4EKB-^OD=EBK-i-i^EKB -^,
EKB - ^ EKB-rfOD =EBK -+- + EKR-£^1eKB-

r/0D=:90^ - ^^^1 EKB-r/OD .

5. Ergo tandem elicitur/JwN-PMLmpo— ^

o-h&

EKB-90-H^^ EKB+^/OD ; hoceft ,/)/«N-PML=z
angulo conftanti ^OD. Q: E. D.

Corollarhim i. Quoniam DB : BEA~DOBx^:
iSox^; erit ob DBn: BEA, DOB:=|- i8o; et angulus
D0r/=90-D0B — 90-^180. Sit iam difFerentia
data angulorum nuJla , Yt triangula j);;/N , PML liant fi-
miiia , erit 903=^180, aut h^zrza Iioc eft, OBzzBAj

qui efl: cafus fimpliciflimus, ^bi nempeEpicycJois termi-
natur in fine quadrantis d.

CoroUarlum 2. Poterit vero inqualibetEpicycIoi-
deobtineri,Yt (iib iisdemconditionibusTheorematis, an-
guh intra radios okuli et perpendiculares ad reiflam ali-
quam pofitione datam demiffas, fmtaequales, confe-
quenter triangula illorum angulorum fimilia. Dncatur
enim Fig. 6. reda AN , fub quouis angulo NAO, nt-
que ad eam perpendiculares demittantur MS , ;;/Q, erit
perTbeorema 2^e-i-f-cz=:k, et ob triangula MSR,RAP
fimilia, hzzj:zid. \g\im e—czzik — h^ et ^ — r — ^zrangulo
conftanti k—2h. Itaque fi ponatur h—^j^k , erit e-c-d
:::zo^ et ez:z.c^d.

Por-

S24 DE LmEIS CVRFIS ^VAE

Porro habetLir ^=90- .r, itaque ob e-c—dzzk
— 2^,erit go~x-c-d:zzk-2h, et—Ar—^r—fc^— 2^—90.
Vbi X iteram figno priiuitiuo afficitur , quia in alterum
latus radii ofculi cadit. Adeoque apparet , quod etiam
inEpicycloide quauis femperducipoflit redla aliqua AN,
in quam demilTae perpendiculares MS, 77/Q efficiantmo-
do aequalitatem , modo difFerentiam con(lantem,an§u-
iorum fubcontrarie aeque ac diredc pofitorum.

Theorema 3. Sit Fig. 7. curua AFB talis, vt i.
fiexum contrariiim non habeat •, 2. dudo pro lubitu ra-
dio ofculi DE , fumptoque arcu BF a pundlo quoddm
fixo B in ratione quacunque conftanti ad radium DE
trianguLi DGP,FHI, comprehenfa normalibus ad cur-
uam FI, DP, atque perpendicularibus FH, DG, ad re-
dlam SC pofuione datam , fint fimilia : dico , curuam
hnnc generari euolutionealterius fimilis ipfi curuae AFB,
fed fitu inuerfo pofitae. Et fi curua AFB euolutam fi-
bi fimilem habeat fitu inuerfo pofitam : habere ipllim
qu oque praedidam proprietatem.

Demonftratio. Qaoniam enim curua AFB flexum
contrarium non habet , adeoque verfus eandem partcm
concauaeft : admittet euoIutam,quae conuexitatem con-
tinuo obuertat pund:o C , et quae , vti prior , concaui-
tatem habeat continuam. Cum autem nulla pars curuae
libera fit a proprietate affignata : opus efl, vt radius ofcu-
li ab initio in A nullus fit , confcquenter euoluta ipfius
AFB principium fuum capiat ab A. Sit igitnr haec e-
uoluta AEK , tacla a radio ofculi in E Ducatur KL
ipfi SC parallela, fitque normalis EN, atque ad redam

KL

YVOLVTAE IPSAE SE GEmRANT. 225

KL demiffa perpendicularis EM, produc^a in /;. Eterit
obredumDEN, angulus uzzjzzz^ adeoque triangula
DGP et ElSlM fimilia. Sed per hyp. triangulum DGP
fimile eft ipfi HFI , igitur HFI et ENM triangula funt
fimilia',TOiqueautem horum fimile efl: triangulnm curuae
infinite paruum /FQ et EfR, ergo et haec fimilia funt,
Denique ob DEz=:AE,arcus AE, BF, funtin raticnc
conftanti , per hyp. ergo etiam hypothenufae triangulo-
rum F/et Ee in eadem ratione funt. Idem demonilra-
ri poteft de triangulo infinite paruo proxime fequenti v-
triusque curuae , nec non de reliquis omnibus , continua
ferie procedentibus. Conftabit ergo vtraque harum
curuarum ex hypothenufis conftanti ratione Mq refpi-
cientibus, triangulorum rcfpedliue fimilium , et continua
ferie progredientium ; igiturcuruae erunt fimiles, ita, vt
parseuolutae A , refpondeat parti genitae B, hoc eft,
habebunt fitum inuerfum. Qiiod erat primum.

Sit iam euoluta AEK fimilis genitae AFB, fed fitu
inuerfo pofita : Erit itaque arcuum aliquis a B compu-
tatorum fimilis arcui AE. Sit ille arcusBF; erit ita-
que triangulum HFI fimile ipfi ENM. Sed huic fimile
eft triangulum GDP,perindependenter ab his demonftr.
et arcus AE=:radio DE *, igitur triangula HFI, ctGDP
liint ftmilia, fub hac conditione, vt radius DE (zzarcui
AE) fit in ratione eadem ad arcum BF , in qua eft ar-
cus AE ad fimilem arcum eundem BF, hoc eft, in ratio-
neconftanti. Q.E.D.
Tom. II. F f Co'

226 DE LIKEIS CVRVIS QVAE

Corollarhim. Cum igitur pcr Problema i . propric-'
tas haec, ad curuas , quae euolutae ipfae fe inuerfo fitu
generant, requifita, nuUis competat, nifi Cycloidi ordi-
mriae, et Epicycloidi : patet, hasfolas elTe, quae euo-
luta^ fuas habeant fibi fimiles , aut aequales , Xitu inuerfo
pofitas , nec praeter has dari pofle alias.

Trohlema 2. Inuenire curuam j quae euoluta ipfa
fe generet, ita qu^dem , vt immediatearcus geniti et euo-
luti femper fmt aequales , aut fimiies.

RefolutioSit Fig. 8 .curuaAGB ta1is,vt gen*tnm fuam
AC habeat aequalem et fimilem.Quoniam curuae AC axis
AD perpendicularis elTe debet ad elementum primum
curuae ex euolutione genitae AC , elcmentrm autem
hocce primum coincidit cum elemento redue AM , eui-
dens eft , axem AD etiam ad redliim MAP hoc eft ad
axem euolutae perpendicularem effe debere Conftituant
igitur axes AD , AE , angulum DAE redum , et du-
catur radius ofculi FG ; congruet igitur arcus genitus
AF aut ip(i AG, aut cadet fupra G in H, autinfra Gin
I. Cadat primo in H , ita Yt arcus aequa es et fim.iles
fmt AF et AH , fitquc in H radius ofcuii PK , cont'n-
gens euolutnm curuae AB, qunecadem f-rit cumi Ytraque
priorum, in K ; producnntur KH in L, GF in M, et fint
applicataeGN, KO. Qioniam igitur AFmAH , m
curuis iisdem ; erit punfti F r id^is ofculi aequalis radio
ofcuh in H, adeoque FG— HK ', eft autem FG— arcui

AG,

EVOLVTAE IFSAE SE GENERANT. 227

AG, etHK=arcui AK, crgo arciis AG ct AK funt
aequales et fimiles , \nde anguhis OLK— IS MG. Trian^
gula ALP ct MFQ. habent angulum MPQ communem,
et angulus TA^L per demonftr. ergo tertius tertio aequ;i-
lis , hoc eft , ob redum in A, per hyp. erit etiam ad Q
vtrinque rcdlus, Ducatur pundi H tangens HR ? feca-
bit earadium FG alicubi, ex. gr. in S •, quia, nifi curua
AIB habeat alicubi flexum contrarium , quem vero ca-
fum excludo , elementum curuae in H cum nullo aHo
parallelum effe poten:. Verum ita angulus KHR , et
confequentcr LHR erit redlus •, ergo in triangulo HSQ
funt duo redli ad bafin HQ, quod eft abfurdum. Idem
flicile euincitur, in cafu fecundo , fi arcus AF congruat
arcui AI : Ergo neuter horum cafuum eft poflibilis.

Congruat ergo arcus genitus AF ipfi euoluto AG,
Fig. 9. et ducantur re^flae AF, AG^quaie aequaleserunt.
Ducantur quoquc applicatae GC , FB , ad axes homolo-
gos AR, AD ; erunt etiam hae aequales , nec non ab-
fciCie AC , AB ; itaque habentur triangula AFB,
AGC aequalia etfimilia^vndeangulusrtzz^^et^H-^-i^Z^-f-r.
Eft autem b-^-crcdius per demonftr.,ergo etiam ^4-i' rc-
ftus eft, atque ob AF=AG,angulus AFG femireaas.
Sit iam pund^i F tangens FE erit etiam EFA femire-
dus in omnibus curuae pundlis. Curua igitur AF ta-

Ff2 lis

228 BE LINEIS CVRVIS QVAE

lis efl , Yt ex eius pundlo quouis F , duda tangens FE^
cum rcda alia F A dudla in pundum fixum A , faciat
angulum conflanter rernireclum,quae nulla alia eft, quam
Logaritbmica fpiralis-, igitur ea ipla eft curua quaefua.
Q. E.I.

CoroJlarhm i. Quodfi defiderentur arcus fimi-
les folum , cadem curua proueniet. Sit enim arcus
AF fimilis arcui AG •, erit triangulum AFB adhuc fi-
mile ipfi ACG , et angulus FAG iterum redus ; pro-
ducatur G A , Ysque dum occurrat tangenti in E : erit ob
EFG et EAF redlos , EA : AF= AF: AG = AB :
AC. Scd AB: AC ratio conftans efl: , quia funt ab-
fcilTae arcuum fimilium •, igitur etiam EA ad AF in ra-
tione eadem conftanti, et angulus EFA iterum conftans
efl: , quae generalis efl: proprietas Logarithmicae fpi^
ralis.

CoroUariiim 2. Sit autem Fig. lO. arcus AF fi-
mih"s et aequaHs ipfi AG , direde fiimpto , axes homo-
logi vero AD, BE fint paralleli , et affumantur ahi duo
arcus acquales et fimiles AK, AL, euidens efl, ita, cre-
fcentibus applicatis HF , KM , homologas alteras Gl,
LN decrefcere , quod fimilitudini curuarum omninore^
pugnat, adeoque cafum praefentem excludit.

EVOirTAE IFSAE SE GENERANT. 229

Theorema 4. Curuae, quae euolutae ipfae fe ge-
nerant , funt i. Epicycloides omnes , fub quauis pro-
portione circuli mobilis ad immobilem. 2. Cycloi-
des ordinariae. 3. Logarithmicae fpirales omnes, lub
quocunque angulo tangentis et redae ad pundum fi-
xum dudae •, neque praeter has dantur aliae.

Vemonjfratio, Linea curua , quae euoluta fimi-
lem aliam generat , pofita erit ad ir.tegram hanc ge-
nitam in fitu vel inuerfo vel direcflo. Ad fitum in-
uerfum requiritur per Theor. 3. vt dudo radio os-
culi quocunque , et capto a conftanti quodam pun-
do eiusdem curuae arcu in data ratione ad hunc ra-
dium , triangula com.prehenfa radio ofculi primum
deinde ab altero extremo arcus inuenti , dudo at-
que perpendicularibus ex vtroque honim pun^orum
curuae, ad re(5lam pofitione datam , demiffis , flnt fi-
milia : Sed per Probl. i. nullae aliae huius naturae
inueniuntur curuae , quam Epicycloides , fub quauis
proportione circuli mobilis ad immobiiem , Cor. i.
ct 2. Probl. i. et Cycloides ordinariae Cor. 2. Probl
I. Igiturhae duae folae funt , quae fitu inuerfo fuas
genitas referunt. Ad fitum vero diredum requiritur,
vt axes homoiogi fint inter fe normales; nam axes paralleli
deducuntadabfurdaper Probl. 2. CorolJ. 2. Si vero a-
xes homologi normales fint , requiritur neceflario cur-

F ^ 3 ua ,

C30 DE LINEIS CVRVIS. etc.

ua , culus tangcns cum redla in punclum fixum dud^a
faciat angulum conftantem , per Probl. 2. quae funt
Logarithmicae fpirales. Itaque hae enumeratae folae,
cuolutae generant fibi fimiles y nec praetcr has dan-
tur aliae. Q. E. D.

CoroUarium, Ex praeccdentibus manifeftum quo-
que cft , quod Cyclois ordinaria ; et Logarithmica fpi-
ralis cuius angulus conftans eft femiredus , generent
euolutae alias non modo fimiies, fcd etiam aequales;
Epicycloides vero omnes, et Logarithmicae fpirales,
quarum angulus conftans eft maior aut minor feoii-
redo , referant tantum genitas fibi
ftmiles.

CLAS-

C L A S S I S
S E C V N D A

Continens

P H Y S I C A

•>^ 233 ^^

DE

TVBVLIS CAPILLARIBVS

Diflertatio Experimentalis

Prima
Georgii Bernhardi Biilffingeri.

I.

ji^J Ccidit aliquando , vt vifa natiirae obfcu-
riora , cum earundem gencfis requiri-
tur , ad phaenomena tubulorum capiU
larium reducantur. Sic vfu venit, cum
indicari cauffa debet , quae in fpon-
gia aquam attollit , quae in pannorum laciniis, in terra
ficca et porola, in pane varii generis, in vafis arenaple-
nis-inplantis quoque^etin ipfismontiuminterioribus.Ipfa
Torn. II. G § autero

MM.Tebr,
ct Aiig.
172(5.

m

DE TVBVLIS

aiitem nquae In fiftulis gracilioribus vltra libellam eleua-
tio variis vtique modis explicari vulgo folet.

II. Non admodum diu e(i, quod eruditis innotuit,
exceptionem duri pro tubulis gracilibus a recepta alioquin
hydrollaticae regula , quae poflulat , vt fluida in tubis
communicantibus eleuentur ad altitudinem grauitati fpe-
cificae reciprocam. Cum Fafcalius fuperiori feculo de
liquorum aequilibrio commentaretur, nondum id expe-
rimenti cognitum erat publice. Teftatur id opurculo-
rum Pafcalii poftumorum Editor, Monito I. poft prae-
flitionem ; idemque primae obfcruationis gloriam Gal-
liae fuae, inuentorum phyficorum feraci , vindicof, ad-
ftipulante , qui primam phaenomeni notitiam Angliae
intulffe creditur 'Rob. Boylio ; repugnante autem , qui
Florentiam experimenti patri^m uonumt^ Honorato Fa-
hri apu^i Stiirmium m CoU. Curiof. P. I Audlar. adTent.

viii p. 77.78.

III. Vix innotuit elegans phaenomenon , cum
mrie illud a variis exponeretur. Non pofTumus ireper
omnia : placet tamen ita rem perfequi , vt intclligatur,
quomodo a rudioribus initiis fubinde magis magisque
excultae fmt fadi huius explicationes. Nam primi fere
in generalibus fubftiterunt : et fucceffores eorum , quae
primos incommoda preiTerunt, nouis femper aut reftrt-
aionibus aut fupplementis conati funt euitare. Praeci-
pue illud attcndi meretur , menfurarum apud anteriores
mentionem effe rariffimam •, apiid recentiores fcriptores
perpetuam. Quodnam vtriusque methodi momentum
fitj id vero ex fequentibus patebit.

IV,

CAPILLARIEVS. 235

IV. Vhaenomena tubulorum capUIarium generalia
haecfere rccmCQtSturmius in Colleg, Curiof.P.I. Tent.

VIII. p. 44- 45-

i.Obferuatumeftjincanaliculis vitreis anguftio- p^^^^ j

ribus,e. gr. cauitate fuapifi aut lenticulae magnitudinem,

plus minus , adaequantibus , cum aperti vtrinque in a-

quam aliquousque demitterentur ; hanc , fiue calida elfet,

fiue frigida , fupra reUqiiae aquae , canaliculum extra

mhkntis, fuperpciefH notabiliter eleuari -, et quidem ,

2.Quo ar^iior effet canaliculus, eo altius. Confer g

AB,CD,EF.fxg.i.

Quo altius emineret tubulus fuper aquie fuper-

ficiem , eo altius in ipfo afcendere aquam , ce<

teris paribus contcndit vir dodlilfimus,vid. Tubulos GH

et IK. fig. I. Sedfallitur \ forte , quod id ita futurum

ratus ex hypothefi fua, non fatis folicite attenderit fadlo

naturae ; forte etiam , quod inaequalis tubi amplitudo,

vel (uperficiei internae humedatio ex accidenti diuerfi-

tatem fecerint in cJeuatione aquae. Certum enim eft,

repetitis foiicite experimentis :

3.Si tubulus fueritlongiorGH, fig. l.idemque 3*

merfus vsque in G. Si altitudo eleuationis fuerit GO,

eandem illam fore , ceteris manentibus paribus , poft-

quam pars HX a tubulo illo feparata fuerit, et tubulus

ia G vsque fub aqaam immerfus. Ceffant vero hic fufpi •

ciones de circumftantiis negotio alienis : eftque haec na-

turae conuenientior corredio,quam iila ipfius Sturmii in

Auflario p. 79. qua differentiam eleuationis in natura

minus , quam in fchematifmo fuo • imo vix ac ne vixqui-

G g 2 deni

2 3<5 DE TFBrilS

dem renfibilem effe confitctur. Pergit autem Vir Cla-
nfTmemorans, l.c.
Pbaen,^, ^..Affumto licet breuiore tnbo ML , et eousque

immerfo , vt pars eminens LM minor elfet fegmentis a=
liorum longiorum et aeque amplorum, ab aqua fuperc-
minente IN vcl GO occupatis : non tamen afcendere a-
quam vltra canaliculi labia, nec effluere.

5« 5.Canaliculum humeEtatim prius, altius admitte-

re aquam in cauitate fua alcendentem , quam id fiat ab
exficcato.

6. 6 Si canaliculus digito fupcrne tegatur ante immer-

fionem , non afcendere aquam : remoto autem digito
ftatim afcendere, etiam poft immeifionem.

7 ^ 7 .Dum intra tubulum laxiorcm aqua plenum mer-

gatur anguflior^ accidere, vt nunc intra laxiorem, nunc
intra angulHorem altius eleuetur aqua , prout fcil. maior
minorue fit cauitas laxioris refidua, quam cauitas mino-
ris. V. fig. 2.

V. Ifta igitur generaliora funt tubulorum capilla-
rium phaenomena , quae ex Honorato Fabri Sturmius
excerpfit. Addam fubinde plura , partim accepta ab
aliis 5 partim nouiter excogitata. Sed intertexam illa
explicationum ^ulgarium cxamini, vt varietatedicendo-
rum filli potius ledorum patientiam,quam fitigaricontin-
gu. Sunt Ntxotres explicationum chffcspraecipuae.Prima
fl lido prementi externo imputat hofce effedus. Secun-
da adhaefionem aquae ad vitri latera cauflQitur. Teriia
accuHu vitri et aquae mutuas ad le inuicem attradliones.
Singulae in ramos abeunt , fed nolo oninia minutim fe-

care:

CAPILLARIBVS. 237

care ; Fdciat id , et ex dicendis difcerpat , cui volupe
eft.

VI. Explicationem ab B.onorato Fahri propofi'

tam t.ilem in compendio Sturmius exhibet , et appro-

biit, laltim ab initio •, namque in Audlario mutgt fen-

tentiam. ^' Conil^tj inquiunt P^iri Do&i, aeremno-,,

Ilrum efle non graucm folum, fed et comprelTum.Gra-,,

uitatem agere non fecundum molem, fed altitudi-,,

nem , pofita bafi eadem. Sed comprelTum corpus,,

quaquaverfum agere , et tanto magis , quo eft copio-,,

fius. Id fontes artificiales per compreflum aerem o-„

perantes , et bombardas teftari pneumaticas , quo e-„

nim plus aeris iflorfum compellas cogasqucjtanto for „

tiorem eflfe efFedum. Aquam igitur in tubulis capil-,,

laribus attolli ab aere externo, non quatenus grauitet,,

perpendiculariter deorfum ; fed quatenus compreflus,,

valde quaquaverfum vrgeat. Exteriori acceflfum eflfe,,

iiberum , et in maxima copia ad vrgendam aquam fibi,,

fubiedam j fcd interiorem aquam nonnifl ab ea parte,, F/^. /.

aeris attingi , quam conus ibk completftatur : ita-„

que eleuari aquam interiorem ab exteriore , quam ma-„

gis vrgeat incumbensmaior aeris moles. ,,

VII. Sapit aetatem fuam haec explicatio : abuti-
tur enim ambigua locutione ; negligit menfuras •, im-
pingit in theorema hydroflaticum , nunc vulgo notum *,
et ad commune fuperioris aeui afyJum , aeris operam,
confugit, Verum efl:, corpus compreflfum agere tan-
to fortius , quo efl: (in eodem fpatio) copiofms , id eft,
compreflius. Falfiim, agere fortms , fi (in maiori fpa-

G g 3 tio)

r>3? D£ TFBVLIS.

tio) copiofius eft , fed aeque denfum. Indublum efl;
fcriptoribus hydroftaticis , pofita bafi eadem , et aere
aeque comprelTo, tantundem agere vim aeris reftituti-
iiam fiue parua , ftue magna aeris copia adfuerit. Id a-
liis in locis ipfe Sturmius annotauit , cum Henrico Mo"
ro aeris grauitatem et elaterium neganti occurreret in
CoU. Curiof P. II. Epift. ad Morum $. 63. p. 82. Non
igitur ob maiorem aeris externi copiam fortius vrgebitur
aqua exterior , quam interior. An liberior acceffus a-
liquid efHcere valeat, mox dicam,

VIII. Illiid primo ftatim loco annotari debet:
Aerem accufari praeter meritum. Monet BojUus, et ex
illo vniuerfi fcriptores Phyfici.

P/ /7gn^ ^ • ^^ tubulus fub campana aere vacua collocetur,

* aquam in eo fufpenfam haerere. Vidi etiam ipfe non
femel,
g^ g.Si tubdus antea humedatus in vacuo demum

aquae immergatur ; (quomodo id fieri poffit , nemo ho-
die ignorat) aquam perinde in tubulo afcendere fub cam-
pana, ac in libero aere ; faltu vtique celerrimo : nec
profundamhic immerfionem requiri , fed fufficere con-
tadlum tubuh et aquae fubiedae. Conficitur autem ex
didlis , nifi aetheremaeri fubftituas, adum effe de fluidi
prementis ad hoc phaenomenon cxplicandum auxiiio.

IX. Non id vero fine exemplo efl , vt in eius-
modi cafibus aerem fuum vsque adeo fubtilem faciant
au6lores,vt aetheri fimilis cum iilo trans campanam ire,
fi non Uberrime poffit , pofTit tamen* Excluditur igi-

tur

CAPILLARIBVS. 239

tur per di(fla prius phaenomena cralTioris opera, non-
dum fubtilioris et aethcrei aeris. Excluditur difcrimen
preflionis internae atque externae , a mafori minoriue
neris aeque denfi copia oriundum. v. J. 7. Quod ipfum
ctiam , fi vel maxime inuitis hydroflaticae legibus admi-
feris , nontamenphaenomenis confentiet. Neque enim
conuenit tertio , fuperius §, 2. enarrato , cuius contra-
rium ipfe ex hac fua hypothefi intulerat inuentor hypo-
thefeos. V. Sturm. CoU. Cur. P. I. p. 45. Concluf 3. Ac-
ceduntautem et alia, quae ifiam per conulos fiue aeris fi-
ue aetheris incumbentes , et eorundem premendi diffe-
xentias explicationem refpuunt. Talia funt :

lO.AlTumto tubulo longiori, cuius cauitas ab v- fhaen lo-
na extremitate ad alteram nonnihil minuebatur fuccefli-
ue , aequalis erat aquae lupra libellam eieuatio, fiue pars
anguftior merfa fuerit, fiue amplior ; modo fuprema a-
quae eleuatae fuperficies vtroque in cafu eundem tubuli
locum attingeret.

lam fi hoc ad hypothefin contuleris , primo in ca-
fu ob partem tubi ampliorem aquae fupereminentem
amplior conus eft , quam in fecundo : itaque minor de-
bebat efte eleuatio aquae, ob minorem aeris eo conulo
contenti difFerentiam ab externo in aquam vafis premen-
te. Tum vero etiam illud notari debet , quod median-
te hoc tubulo fieri poftTit , vt conulo exftente minore e-
leuatio aquae fupra libellam fit minor*, cum deberet per
hypothefm maior effe . Nimirumfig 3.

1 1 .Si pars tubi ftridlior crat extra aquam , mi-

nor

240 DE TVBVLIS

nor fubinde fiebat eleuiitio aquae fupra libellam^quoma-
gis extrahebfltur tubulus. Eo autem in cafu minorem
femper conulum fuilTe incumbentem , id vero erat extrt
dubium.

X. Non itaque naturae congruit aut fatisfacit hy-
pothefis Fahriana rudior ; Fortafle cultior fada conue-
niet ? Bina mihi emendatio innotuit , Ytraque digna in-
genio Audlorum. lac. BernouUi^ ex diuerfa fiuidi pres-
fiOHC fontem repetiit horum phaenomenorum in dilT.
de Grauitate aetheris iam A . 1683. edita, p . 2 3 9. f Vcr-
¥jg, IV. ba hacc funt : „ Sit abcd fiftula cylindrica immcrfa fu-
„perficiei aquae (lagnantis ed^ cui infiftat alius praeterca
„cylindrus fimih"s atmofphaericus efgh. Fingamus au-
„tem vtriusque diametriim in fe recipere certum nume-
„rum particularum aeriamm ,v. g. feptem, itavtfcptem
5,tales particulae (quas fphaericas nunc effe fuppono) in
„dircdum pofitae exhauriant cylindrorum latitudinem,
„notabimusque rarifilmum efle contingens , fi globuli
„ifti ita fint difpofiti , vt extremi praecife radant tubi la-
„tcra, atque omnes feptem fine obftaculo in eius cauita-
,,tem admittantur (vti fit in ferie globulorum U) plerum-
,,que enim, imo femper continget , vtfummi cylindro-
,,rum marginesvtrinque primum etodlauum excipientes
„nonnifi fex intermediis tranfitum praebeant. Quod et
„intelligendum de quauis alia aftlgnabili ferie globulo-
„rum , quorum perpetuo bini extremi in cylindrorum
„margines incidere fubfumi debent. Hinc etenim fiet,
„vt totus ille globulorum orbis, qui circumferentiam fu-
^jpremi orlficii fijfulae occupat , cum tota globulorum

„ca.

CAPILLARlBrS, 241

catena perpendiculariter fibi imminente am, hn, omntm,,
fuam prelTionem terminet in fummitate laterum fiflu-,,
lae , 7iecjue pojjit pertingere ad liquorem fubicdum ^r;„
qui proinde ea tantum preflione afficitur, quae profi-,,
cifci poteft a cylindro aerio , diametrum op fex dun-„
taxat globulorum obtinente. Aliter vero fe res haber,,
in cylindro aerio efgh , extra fiftulam afllimto in alia,,
quadamparte fuperflciei ftagnantis aquae, vbi extremi,,
globuli ab eius lateribu.sgf, ct//, quae pure funtima-,,
ginaria , non impediuntur, quin libere defiuant, et to-„
ta fua latitudinc fuper liquore fubiedo grauitent. Cui,,
confequens eft , vt liquor extra fiftulam tanto maiore,,
preflione afficiatur, quam qui intra fiftulae latera con „
clufus eft , quanto numerus globulorum illi incumben-,,
tium excedit numerum globulorum fuper hoc premen-,,
tium:Vnde liquor ab externapreflionepraeualentcfem „
per nonnihil altius impellendus in tubum. „

XI. InfequentibusmonetVirCl. i . difFerentiam
hanc prefllonum in tubis ampUoribus effe infenfibilem^ in
ftridioribus vero portionem aeris impeditam a tubi mar-
ginibus maiorem femper rationem habere ad portionem
aeris non impeditam : 2. fequi ctiam ex hac iiypothefi,
quod liquores fpecifice leuiores ceteris paribus altius at-
tolli debeant grauioribus , ea proportione , quac eft in-
ter fpecificas eorum leuitatcs: 3. aquam fuperne «c;/pos-
fe ejfluere , etfi minuatur tubi fiipra aquae fuperfieiem e-
leuatio- orificio^enlm tubi vtrique aequalem imminerc
aeris portionem : 4, porro luperficiem mercurii m tali-
bus fiflulis debere confiftere infra liheUam , fi particulas
Tom, II, H h cius

2^2 DE TVWLIS

cius conciplas grojjlores aereis , vt extremis earum / et
/ tubi margini implicatis plus decrementi patiatur preflio
mercurii ex imo furfum , quam preflio aeris dcfuper : 5.
Denique ex his didili fuperficiem aquae in fiftula conca»^
uam fore , et mercurii conuexam. vid. fig. 5 .

XII. Addam curiofitatis cauffa vfum hypothefeos
rariorem. Menfurauit Vir ingeniofus ex hifce affum-
tis dlametrum vnius globuli aerei , ex cognita latitudinc
fiftulae, ct altitudine eleuationis aquae fupra libellam.Sit
enim diameter cauitatis fiftulae ziia , altitudo aquae in-
ternae fupra libellam zizb ; altitudo cylindri aquei aequi-
ponderantis cylindro aeris atmofphaerici eiusdem bafeos
mr, diameter globuli aerei quaefita —X : Erit diameter
cylindri aerei fuperius in aquam prementis in^— .v , et a-
rea eiusir-I-ifl^-i^^tl-L?^ , area autem totius cauita-

tis zz-Llii- , ct confequenter area annularis vitro conti-
gua , cuinullusaer incumbit, il^^^LrzlIiL*. lam vero
per experimenta aer areae hulc annulari infiftens ad alti-
tudinem atmofphaerae aequatur columellae aqueae cius-
dem bafeos ad altitudinem datam c porrec^ae: et perhy..
pothefin haec columna aequatur aquae in tubulo fupra li-
bellam eleuatae. Igitur ll^^lfl^czzll^>^b ; adeo-
q\Q2acx-cxx::zaab^&i aequatione redudla x^zza—a^V^-^ ,
Qiiodfi igitur ^zr g- poll fc:^ poll. czi^OO poll. erit
xzz-j-^j-^-^ poU. exprimens diametrum vnius globuli ae-
rei , vel potius diftaatiam a centro vnius globuh ad cen-
trum alterius j quoniam globuli ob interfluentem mate-

riam

CAFILLARIBVS. 243

riam aetheream non funt contigiii. Qiiin Imo , cum ex
alio arguir.ento idem Vir dodiiTimus , libro cit. p. 102.
intulcrit , inter duo quaeuis corpufcula aerea quatuor ac-
quales materiae fubtilis portiones interiedlas efTe, ideo
diameter vnius globuli aereiemerget z=:-g-_l-- poll.

XIII. Non poenitet me prolixae recenfionis.-mc-
retur illam fententiae amoenitas ; cui praeter haftenus
didla etiam illud commode accidit, quod calculus expe-
rimento refpondeat , vi cuius cognitum eft, quod

iS.Altitudo aquae fupra libellam in pluribus fi- fhaetlit
ftulis fit inuerfe vti diameter cauitatis, hoceft, fi duo-
rum tubulorum T et t diametri fint ^ et a , atque aliitu-
dines aquae /7 et (3, quod fit a : 0Liz^:b.

Dicam inferius , quomodo hoc experimentum fieri
debeat : hic illud moneo , per computum jj. prioris effe
d- a V'i=?— \— a-aVi^ : ex quo fequitur 0L:a-zzi -V^^
I-V^^ j quae analogia vix differt apriori a : a^zzh :
p, ob quantitatem c admodum magnam refpecflu b et p.
Sit enim per experimenta mea ^m"', bzz^"' , azz~'*
pz=3o"' etf=: 4800"' erit a : a^i : 10. et V^zz

V^-=2=:i2 17 : 2169, quod cum analogia priori conuenit.

XIV. Fateor tamen , effe aUquattmw , quae as-

fenfim morantur noflrum , alia aliis fortiora. Quod

particulae aereae fint aqueis maloreSy dubium videri de-

bet , donec id liquidis euidum fuerit experimentis. Ha-

t^enus in ambiguo res eft. Vid, Me?mrias Acad,Scient,

Hh 2 Paris,

244 I^£ TVBVLIS

faris. ad A. 17 14. p. 71. feqq. Flulda lcuiora cete-
ris paribus ahhis eleuari fequitur ex hypothefi, et ab in-
uentore ipfo infertur : fed in expcrimentis cognofcitur,

r,, 13 .Fluida fpecifice leuiora , vinum et fp. yini

mmus alte eleuari, quam aquam. oic exemph gratia
"vidi, eleuationcs in fpiritu"vini , vino rubro, etaqua fe
habuiffe vt4,7,et 12.

Igitur autfententia detrimentum patietui ,aut dicen-
dum erit , cetera non effe paria ; quod de oleis non dif-
ficulter conceffero, quorumfingiminor diuifibilitas pot-
efl : an de vino, et fpiritu vini idem valeat , non dixero
cum fiducia. Illud, fateor , me anxium habere,quomo-
do dici pofllt , quod „ totus ille globulorum orbis , qui
* „circumferentiam fiipremi orificii fiftulae occupat, cum

„tota globulorum catena fibi perpendiculariter imminen-
„te am , bn , omnem fiiam prcflionem terminet in fum-
5,mitate laterum fiflulae , neque pofTit pertingere ad li-
„quorem fijbiedlum /jr, qui proindc ea tantum prefTione
,,afficiatur, quae proficifci poflit a cylindro aereo, dia-
„metrum op., fex duntaxat globulorum obtinente. „ Aut
totus ille annulus cylindricus,fjoatio oq Yel/>rcircaaxem
rotato genitus aere vacuus concipitur , aut non : Si va-
cuus , cur non ad altitudinem 30 pedum afcenditaqua
vitro contis^ua , adeoque ad fupremam vsque tubuli ex-
tremitatem ? Si vacuus : quis ita ordinate globulos col-
locauit acrios , vt in nulla cylindruli fedione totam tubi
latitudinem occupent, in tanta praecipue aeris agitatio-
ne interna et elateris vi ? Si vacuus : cur in fpatium illud

annu-

CAPILLARIBFS, 245

annnlare non {uccedit aqiia , cum tubulus mergltur di-
gito obturatus ? Sin vacuus non eft ab aere: premetv-
dque aer non Iblum pro bafi fuprema op , fed pro ea ,
quam obtinet aer aquae proximus ; vel quae ratio eft,
cur iri viciniu aquae non totam occupent tubi latitudinem
globuli aerci , cum certum fit, fluidum elafticum etcom-
preifum accommodare fe fpatio, cui includitur, eame-
tliodo, vt maximum , quod poteft, fpatium occupet.

XV. Quid fitubus alTumatur, cuius interna caui-
tas fenflm fenfimque minuitur ; et pars amplior extra a-
quam collocetur , merfa ftridiorc : annon aer fuperne
intrans ope fedionum fucceffiue minorum ita fefe fpatio
interno accommodabit , vt totam tubuli amplitudinem
replcat , non relidlo eiusmodi vacuo , cui integrae pos-
fent particulae inferi aereae ? faltem certum eft , quod
hoc in cafu dici non poflit , impediri aerem ab orificil
fupremi circumferentia ; et eleuatnr tamen aqua fupra
libellam, Vidi,

14. Siue amplior pars mergatur , fiue ftridior , fhaenM-
femper eleuari aquam , quantum conuenit illi fedioni fi-
ftulae , quam fiiprema attingit aqua ; vnde proimmerfio-
nis profiinditate plus, minus, vel aequaliter eleuatur emi-
nente extra aquam parte tubi ampliore , aut ftridiore.

Conucnitid hydroftaticae , vi cuius neque amplior
in tubulum irgrenus nocet, neque ftridior iuuat eleuatio-
nem , fcd tota res redit ad bafm aeris prementis: Non
id vero conuenit explicationi a fupremo fiftulae orificio
defumtae,fi adlitteramintelligatur \ mox enim videbimus,

Hh 3 quid

C45 DE TVBVLIS

quid pro adiumento explicationis dici aduerfus hunc m*
fcrendi modiim poflit.

XVI. Nimirum vbi experimenta mea de capilla»
ribus coram focictate inftitui , et de caufTa eorum fen-
tentias amicorum rogaui , vt ad illas meam , fiopus es-
fet, exigcrem.-ClarilT, CoUega, Daniel BernouUms ^wq^
fcius adhuc , quid de lioc argumento Patruus fcripferit,
expUcafmem priori fimilem , fed capgatiorem hanc fup-
peditauit. Repetit aquae internae fupra libellam cutH
externa eleuationem ab impedita fuperne in fillula flui-
di incumbentis, non aerei folum^fed praecipueaetherei,
preflione libera. Vult bafm fiuidi huius aereo-aetherei
aquae contiguam , non tam plenam elTe ad margines
vsque internos fiftulae , quam plcna eft eodem fiuido
fuperficics priori aequalis, fed in libero aerc fita , vel
quam plena eft fluido aqueo fuprema aquae fuperficies.
Id vndecunque eueniat, perinde eft. Interim feu ex-
empli feu coniedlurae loco ponit , particulas eius fiuidi
clfe aqueis maiores. Quodft enim fuper plano aliquo
pofitos concipias globulos maiores , fuper altero mino-
re s, vtrosque fine ordine , fed fibi contiguos*, fi apertu-
ra circini quacunque , in plano prioribus parallelo , et
per mcdium liorum globuloriim tranfeunte , defcribas
circulum : tranfibit vtique peripheria haec per globulos
complures. Erigatur fuper hac peripheria fuperficies
cylindrica •, et fint globuli illi indiuifibiles : excludentur
e cauitate cylindri omnesilli globuli, per quos peripheria
tranfiit modo memorata ; et maius relinquetur vacuum
m iiio circulo, qui per globulos dudlus eft maiores. Mi-

nor

CAPILLARIBVS. 247

nor itaque , aut minus replcta bafis efl: , quam globuli
formant maiores , ac altera minoribus formata. Quod-
(i igitur maiores funt aqueis globuli aereo aeiheri , fedio
tubuli globulisifllsdeorfum prementibusminus adaequate
plenaerit, quam aqueis furfum vrgentibus. Hinc ele-
uatio , donec aliunde redeat aequilibrium. Qiiaeautem
ratio aquam eleuat in fiftula fluido immerfa,eandem vult
cflc fufpenflonis cauflam , in eadem extracfla. Cumque
mercurius aeque ac caetera fluida fufpendatur , vult
candem mercurii et ceterorum fluidomm fortem cfle.
Phaenomenon vero mercurii , intra fiflulam mercurio
merfam, deprefli potius infra libellam , quam eleuati fu-
pra eandem , aliunde deriuat ; ratus , mercurium in vafe
contentum tanta vi ad fe traheremercurium, vt ct re-
fiftatpriori caufl*ae,et eandem cxcedat.

XVII. Idem Vir Cl. eodem x.tm^oxc fequentihus
hypothefin fuam phaenomenis applicuit. Obferuauit :

I 5.Altitudinem liquoris fupra Hbcllam cfle con- pr
flantem, fmefiftulam profundemergas, fiuefecus^quin ' ' ^
imo etiam , cum extrahatur tubulus ; quo in cafu fiepe
accidat, vt in extremitate tubuli gutta pendeat aquca.

i6.Hanc guttulam diminui, flinclinetur tubulus;
quod aqua tamdiu fiftulam ingrediatur , donec altitudo
perpendicularis in fiftula inclinata aequetur akitudini
priori.

i^.Euanefcente guttula liquorem non amplius 17.
afcendere , etfi augeatur inclinatio , nifi tubus verfus fu-
periora ftridior fuerit ; quo in calu liquor non ceflct
progredi, quamdiu tubulus inclinetur.

18

16.

248 DE TVBFLIS

Pte;;i8 18. Mox memorata duo experlmenta riiccedefc

qnoque inmercnrio, poftquam is fudione in tubulum at-
tra(flus,et tubulus linguae attndu claufus extra mercurium
in vafculo flagnantem extra^fcus fuerif, eflevero altitudi-
nem mercurii ita rufpenfi inter fubfextuplam et fubfeptu-
lam altitudinis aquae.
19. 19. Eundem ita fufpenfum , fi vafculo fiftulam

denuo velis immergere,effluereomnem e tubulo, quam-
primum mercurii ftagnantis fuperficiem contingit •, quod
argumento effe poiilt , eile in mercurio vim attrahendi
feipfum ; quae etiam renitatur eleuationi eius in fiftuk
ad libellnm cum externo.

Denique monuir, non abfolutam particularum ae-
rearum vel aetherearum magnitudinem ex huiusmodi
phaenomenis inferendam eife, v. §. 12. fed proportio-
% Rcai fjlum magnitudinis particularum in fluidis diuerfi
generis. Ita per phaen. 18. collata akitudine mer-
curii fubfeptupla cum pondere bisfeptuplo refpedlu a-
quae , inferri pofTejOb duplex mercurii fufpenfi pondus,
duplo fubtiliorcs effe ilhus , quam aquae particulas.

XVIII . Multa huic hypothefi co7nmode eueniunt.
Ceffant difTicuItates a vacuo venientes J. 8 . *, nequit enim
huic fiuido trans campanam iter denegari.Euitantur plera-
que omnia , quae §. 14. et i 5 oppofuifententiae prio-
ri : non enim vacuus ab aere fingi annulus vitro proxi-
mus debet •, non eadem globulorum in omni fedione po-
fitio ', non impedimentum repeti a fupremo tubuli orifi-
cio. Non eft impoffibile^vt aqueis maiorcs fmt globuli
aereo aeiherei ,_tanto etiam rariores : neque fortaffis ne-

cefTum

CAPILLARIBFS. 249

ceffum eft nd magnitiidiiiem referre cnufTam bafeos mi-
nus plenae. Coniienit etiam huic fententiae cum menfu-
ra altitudinis phaen. 14. §. 15. fequitur enim aquae in
diwerfis fiftulis eleuatae quantitas proportionem periphe-
riae fuperioris ; cui aequum eft proportionalem credi
exclufionem globulorum acreo-aethereorum a periphe-
ria oriundam. Conuenit cum phaenomenis J. fuperio-
re enarratis : Conuenit etiam cum aHis.

XIX. Fateor tamen , indulgente veniam iftam
C/. Autore , quod in nommllis haeream. Fortalfe iiiinus
diificile eft occurrere illis,quae ad hanc expofitionem at-
tmcnt fpecialiter. Itaque qtiaejlionibus illa comprehendo,
non obie(flionibus. Si particulis aereo-acthereis trans
vitrum aditus patet, cur fpatium fefe vacuum relinquunt
in vitri vicinia , et maius quidcm , quam aqua aut mercu-
rius ? An acris craflioris nulla plane opera accedit inhac
hypothefi ? Saltem in experimentis nulla deprehenditur,
ob eandem fluidi in vacuo et in aereelcuationem. Cum
in tubo humedlato aer aut aether vitro proximus me-
diante illa crufta aquea lateribusvitriadhaerente autfor-
tius, aut faltem aequaliter premere deorfnm pofnt, ac in
ficco , cur altius euehitur aqua in humido , quam in fic-
co ? Cur circa extimam tubi fuperficiem aqua ambiens
non alTurgit, cum ficcus eft \ eleuanda, fi madidus fue-
rit ? Si eadem eft forsmercurii etceterorum quoqueflui-
dorum , cur aquae in tubulo fufpenfae altitudo fequitur
proportionem peripheriae fuperioris, et altitudo mercu-
rii proportionem inferioris ? Niminim :

20. Si tubus inaequaliter amplus mergatur in Pbaen.zo
Tom, II. I i aquara

2 50 DE TVBFLIS

aquam totiis , et extrahatur digito obturatus : remoto di-
gito aqua ad eam altitudinem fufpenra hacrebit,quaecon-
uenit tubulo cylindrico cius diamctri , quam habet fu-
prema aquae in tubulo adhuc pendulae fuperficies.

Fbaen. n, 21. Si mercurio idem tubulus impleatur, et ex-

trado tubulo fibi relinquatur mercurius,altitudo fufpen-
fionis erit ea, quae conuenit tubulo cylindrico eius dia-
metri, quam habet infima mercurii in tubulo fuperficies,
hoc eft , orificium tubuli inferius.

Haec duo experimenta et mihi cafu obtigerunt,cum
phaenomeno 1 3, et fimiUbus attenderem , et fifiula v-
terer inaequaliter ampla : fed et eadem ab aliis,praecipue
lac. liirmio iamiam annotata fiiilfe , poftea cognoui.
vid. TransaCf. Abrigd. by Hctir. lones T. IV. P. I. pag.
426. et 434.

XX. Sunt alia vero, quae gmcraliter \identur ob-
llare, quo minus a dififerentia preflTionum fuperae et in-
ferae deriuetur eleuatio aquae aut fufpcnfio fupra libel-
lam. Viderint, qni huic fententiae accedunt , an ea fuffi-
ciateleganti phaenomeno, quod lac. lurinius annotauit

T'ig, VL 1. c. Sit tubus amplior AB definens fuperne in capilla-
rcm BC ; fit altitudo aquae fupra libellam, quae ampli-
tudni partis AB conuenit zr^, et altera, quae anguftiae
partis BC competit, zzb.

fhaen.11, 22. Immergatur aquae pars tubi amplior rerit

altitudo eleuationis fupra libellam ea, quam per a deno-
tauimus ; extracftoque paululum tubo defcendct in illo a-
qua , quantum tubulus extrahitur , fic vt eadcm femper
altitudo ekuationis fupra libellam maneat. Madefiat fu-

perio-

CATILLARIBVlS. 251

perior tiibuli ciipilkris extremitas, diim vel e dlgitopen-
dens guttuh illi admouetur , \t fupremum obtegatur a-
qua orificium fiftulae capillaris C Poterit tubus extra
aquam extrahi , fic vt aqua in DE contenta non defcen-
dat, donec columna aquae fupra libellam eleuatae fup&-
ret altitudinem h antea defignatam.

Velim autem, meminerint, qui hoc phaenomenon
cxaminabunt : idem in vacuo non minus , quam in acre
libero , fucccdere. Namquefcio, dfficiliorem eiiis in
vacuo explicationem fore : ImpolTibilem tamcn nun
dico. Faciant rei periculum, quibus volnpeeft : aduertant
vero fmiul ad ea, quae inferius dicemus, mtertiae clalfis
cxaminc, <5. ^s.etfeqq.

XXI. Grauioris , flc arbitror , momenti efl: phae-
nomenon, c]uod,ncfcio , annon experimentum criicis vo-
care liceat in hac explicationum clalfe. Inquifuurus, an
omnino liber aeri aditus pateat in tubos capiilures, cogi-
taui, id ope Barometri poffe decidi , fi in vafcwli locum ^'^- ^^^*
tubus fubditueretur capillaris , per quem atmofphaera
premere fnbiedum fibi mercurium deberet. Si enim
aer trans fiftulam capillarem fufpendere mercurium pot-
efl: ad altitudinem ordinariam , non vtique ab e:usim-
pedita preffione oritur eleuatio aquae fupralibellam in tu-
bulis ordinariis multum capillari meo amplioribus. la
cum finem

23. Adhibui tubum longiorem ordinariis, et gra- ?haen. 2:
cilem, Barometrifimplicisrecuruiin modum, nifiquod
•vice vafculi tubus defmeret in fiftulam verc capillarem et

li 2 aper- ^

2 52 r)E TVBVLIS

tam. ^ In criire longiore mercurius efl: , et fupra eum
vacua ab aere tubi portio adhuc fiiiis longa. Inftrumen-
to ad modum Barometri eredlo , guttatim cffluxit e ca-
pillari fiilula mercurius , qui in tubo nimius crat. Ces-

fant«

Fortaffe maius hulc experimento pretium ftatueretur
ab aliquibus LeBorum ,/metbodum conftruendi tu-
bos eiusmodi reticerem. Malo autem , vt et ab a.
liis facik fiat ^ quod a mefa&um eft fine indu/Iria fin^
gulari. Sume tubuhmBarometricum longiorem , et
nonnihil graciliorem , vt facilior eius infiexio fieri pos-
fit, Sit ille in altera cxtremitate claufus hermeti^
ce , in altera apertus, Impleatur mercurio , fnore
quidem recepto , fed diligenter et exa6te , ad altitudi^
nem vsque quatuor pedum ^ aut amplius. Pars mer-
curio vacua infie&atur ad perpendicuhm tubi reliqui^
applicando lampadis flammam in aliquali a mercurio
dijlantia , v. gr. i . pollicis , fi tubus fuerit gracilis \
in maiori , fi crafjior. Pars refiexa denuo in difian-
tia circiter i ^ poUicis ab angulo , Uquefiat ad lam-
padis vim , et in tubulum capillarem ducendo exten-
datur, Tubus ita paratus , fi pro mo folum aut
altero experimento feruire deberet ; relinqui in hoe
Jfatu poffet^ et inuerti in fitum ere&um. Mihi pla-
cuit^ crus horizontale ma cum annexafibififtula ca^
pillari denuo refieciere , vt alteri cruri parallelum ex^
eurreret : atque tum demum erigere tubum more Ba-
rometri , etfpe&are eius phaenomena»

CAPILLARIBFS. 253

fmtc fluxu menfuraiii altitudinem eius in tubo longiore
fupra libellam eiusdeni in crure capillari : et deprehendi
cam duobus ctamplius digitisexcedcrealtitudinemmer-
curii in Baromctro fimplici. Variata poftmodum at-
mofphaenie grauitate , mutata etiam efl altitudo mcrcu-
rii in hoc tubo. Obferuaui id in capillari fiftula, nam-
que in altero crure id non fuccederet: neque proportio-
nales funt hae mutationes illis , quae in Barometro fiunt
{[mplid ; quoniam capillaris tubuli amplitudo vix fup-
j>oni poteft eadem per fpatium nonnihil longius.

Fallor ? an inferre Ucet? Siaer in vere capillaribus
jpoteft fufpendere mercurium ^d totam , quae grauitati
cius refpondet , altitudinem : cur in ordinariis multo am-
plioribus non fufficit eiusdem preffio ad componendam
fiftulae interiorem aquam cum externa ad libellam ? Di-
xi , ad totam : quod enim maior fuit altitudo mercurii ;
id alteri tribuendum eft cauifae , quam prefTioni aeris.

XXII. Succurrit et aliud, quod attendi meretur,
experimentum.

24. AfTumfi fiftulam valde gracilem , fregi eam Pbaeti.iA,
in mediOjCt obferuaui altitudines,ad quas eleuaretur o-
leum oliuarum in vno , et vinum rubrum in altero fruftu-
lo , immerfis fcil. extremitatibus , quae prius cohaefe-
rant, vtfenfibiliter eadem elfet fiftularum capacitas. E-
ratolei altitudo i. poll. 3I. lin. vini rubri i. poll. 8- lin.
pedis Regii Parif. Admifi in alterum vioi columeliam
ad altitudinem circiter 8. lin. et mcrfi orificium infe-
rius fub oleo ad profanditatem trium linearum. Intra-
uitoleum ad libellam cum exteriori : ibique fubftitit. Ex-

li 3 cra-

$^4 ^^ TFBVLIS

tra(flam Igitur fiftulam vino iterum immerfi ad profunr
ditatem fere eandem : vidique vinum ingredi non folum
pro fubmerfionisprofunditatc^fedaltius longe, donec vini
fuperi atque inferi , et intercepti inter vtrumque olei co-
lumna aequaret altitudinem memoratam i . poll. 8. lin.
Annotaui fimul columeliam oiei fuilfe fuperne et infer-
ne fenfibjiiter conuexam.
Fhaen.i^. 25, Idem obferuare phaenomenon licuit, quo-

ties fiftula oleo non fuerat madefada abinito : Si oleum
trans fiftulam fuxi ante , quam vino immerfi , afcen-
dit oleum quoque fupra libellam , et vinum ante fepro-
trufit. Tota tamen eleuationis akitudo minor fuit,
quam eft altitudo fojius vini , ant olei. Repctii haec ten-
tamina in diuerfae cauitatis fiitulis : et deprehendi futis
conftantia.
26 ^5. Vbi alteram adhibui fiftulae partem , quae ab

initio ftatim oleo , noti vino tinda erat , admifique in
eam olei columellam ad 5^ lin. et extradam vino im-
merfi ad profunditatem linearum circiter 4, nonnihil in-
clinatam : afcendit vinum ad lineas omnino decem, fic
vt tota altitudo extra iiquorem fieret 1 2. lin. Ha 'fit-
qiie extrada fiftula omnis hic liquor fufpen^s ad altitu-
dincm lin. 1 6. Repedtis tentaminibus altitud o vini fii-
pra libellam varia fuit, fed femper tamen notabjlis.

Fateor hic , fi a differentia prefiionum fluidi fu-
perne et inferne urgentis pendet eleuatio liquorum, ne-
fcireme, cur oleum vel plane non afcendat fupra libel-
km phaen. 24. vel laitim minus afcendat , quam fine vi-

ni

CAPILLABIBFS. 255

Mi pniefentia feciflet ? phaen, 25. Mihi quid in hoc ne-
totio yideatur, fiio tempore indicabo.

XX ni. Acccdo ad cbjjem expHcationum y?«/;/-
(ia?n : ct fimili ordlnc a rudioribus initiis ad maiorem hy-
pothefeos culturam fucceifiue pergo. Sumit haec clas-
fis, quantum memini,principium '^hlfaaco Vqfflo, et per
Borellum tranfit ad Carreum , nouiifimum eius et inge-
niofilfimum cultorem. Notam huius clafiis charatfleri-
fticnm flicio adhaefionem aquae ad yitri latera, cuius ope
minus grauitare cenfetur aquafiftulisinclufi graciUoribuSi
quam externa amplioris vafcuH Hbere circunifui^a tubu-
Jo. Ifaacus igitur Vojfius L. de Nili aliorumque flumi-
num origine cap. 2. ita philofophari dicitur apudl. C
Sturmium in CoUeg. Cur. P, I. Audar p 81.^' Aquam,,
natura fua vifcofam eflfe *, adhaerere illam vitro , et ab,,
eodem fuftineri ; partem aquae fic fufpenf-m non pre-,,
mere in aquam fubieclam , fed grauare vitrum *, patercj,
id cum fiflula aquae merfa iterum extrahatur , neque,,
cnim omncm decidere humorem-jfufpendi a vitro,quan-„
tum latera valeant fiifiinere : Aquam igitur in anguftio-,,
ribusfiftulis ideo affurgere, quoniam prima aquae por-„
tiuncula fiflulam ingrcffa , cum iam fuihneatur a fiftu-,,
4a , adeoque refpcAu portiunculae fucccventis ponde „
re careat , ab illa attolLitur fjpra hbramentum aquac,,
nnnbientis. Quanto minutiores fucrint fiftulae , tanto,>
altius aquam afcendere , quia minr^res plus habeant fu-,,
perficiei , et plura pundla contacftus p^o fua capacitate,,
quam maiores , et fic aquam e pluribiis fui pundis fu-,,
ipenfam tanto facilius fuftineant. Hydrargyium care-,,

jre„

2 5<5 ' DE TFBFLIS

,,re ca vircofitate refpedbi vitri, eiusque infuper aequilU
„brium rctundi ab anguftia fiftulae minoris ; ideoque mi-
„nus alte ipfum in fiftulis, quam in fpatiis latis eleuari.
Ifta loc. cit.

XXIV. Eamus per fingula. Vult aquam efl^e
■vifcofiim Vojfius^ ct adhaerere vitro : fic vulgo videmus.
Vultfuftineri ab eodem, et grauarc vitrum. Hoc ve-
ro efi: , quod multi negant. Qiioshadenus audiuimus,
non a vitro aquam fufpendunt , fed mediante fluido ex-
terno fuftentant in vitro. Quid ergo ? Examinetur
quaeftio ad bilancein, Sic facile cuiuis videbitur , fal-
tem primo intuitu. Accipe igitur , quid geftum fit ?
Eft Vir exiinius , qui adhaefionis iftius veritatem cogno-
fcere cx tubuli aqua fua inftrudli pondere inftituit hac
methodo. Tubulum fuperne cera obturatum, ne fcil.
ingredi per inferius orificium aqua polfit, nonnihil aquae
immerfum reduxit cum contrapondio ad aequilibrium: Re-
mota autem cera, etin lancem congruam repofita, ele-
uata eft in tubulum antea humidum aqua, et pondus fi-
ftulae audum. Id folers indagator expedauerat , eo
quidem confilio , vt ex audlo pondere adhaefionem a-
quae et fufpenfionem a vitro cognofceret. Animad-
uertit autem , re denuo expenfa , nihiihic concludipos-
fe. Tubulus enim claufus ante ingrefllim aquae tantum
a pondere fuo perdlderat , quantnm aqua, fpatium a
tnbulo et cauitate eius fubmerfa occupatum aequans,pon-
derauerat : led aperto fuperiori orificio et ingreflli in fi-
ftulam aqua, perdidit folum pro maflli ipfius tubuli. Ita-
que audum videri debuit pondus fiftulae, etiam indepen-

den-

CAPILLARIBVS. 257

dcnter ab adhaefione aqiiae ad latera Conf. Mcmorias
Aca(lem.Stientiarum?aris,A. 1705. p. 318. edit.Batuv.
XXV. PolTet in mentem yenire , quoniam hic im-
pedimento eft diuerfitas tubuli fuperne claufi vel aperti ;
itemque profunditas immerfionis : Tentandum id expe-
rimenti fub aJiqua variatione in tubiilis fempcr apertis,
et minus profunde immerfis. Videri enim poflet , fi
fufpenfio aquae a diuerfitate prefllonis fluidi ambientis
pendeat,fore idem tubulivacui, et aqua inftrudi pondus:
Videri etiam,exmenfurapraepondii , fiquodfuerit,faciIe
iudicium fore, an illud toti,quae tubulum intrauit, aquac
refpondeat , an fecus ? Si enim vitri lateribus nqua ad-
haereat , pondus aquae totum acceffurum effe ponderi
ipfius tubuli. Feci pcriculum rei , afTumds tribus tubulis
ad fenfum aeque amplis, et fuperne in modum fiphonum
inflexi illos , vt ope fili ferici fufpendi ad bilancem pos-
fent. Reduxi illos cum contrapondio ad ae(}uilibrium
vucuos quidemj fed interne humidos : Tum vero obfer-
uaui;

27 QuamprimuminferioratuborumorifiCia,quae ?haen.2y
fenfibiliter in eodem horizontali plano erant , aquam at-
tingerent , eleuari illam , et rumpi aequilibrium bilancis
grauioribus fxlis hifce tubulis, Vidi etiam, manfiffe
diutius praepondium , etfi paulatim immerfi in aquam
tubuli de pondcre fuo aliqu'd amitterent.

28. Manfit praepondium, cum extrahcrentur ^g
fiftulae extraaquam,et fingulae aliquid fecum aufferrenf,
Licuit autem annotare, re ad menfuram exada,

^Q.Augmentum ponderis tubulorum adhuc non- ^9*
Tom. II. K k nihil

25? DE TVBVLIS

nihil mcrfurum maius fuilTe, qiiam eorundem extradlo-
nim :Illud grani vnius , et amplius ; hoc ab vno grano
nonnihil deficiens. Quod augmcntum, vt id obiter di-
cam , arginibus imputo , qui externae tubiilorum fuper-
ficiei adhaerebant.

XXVI. Certum igitur eft ponderis augmentum:

fed ;;//v7tamen egimus omni hoc conatu. Vtra<qiue nimi-

rum fententia idem ponderis augmentum requirit. Quic-

quid vitro adhaeret^ grauat in vitrum, fi ab eo fufpendi-

tur. Inde pondcris augmentum. Sed idem vitro ac-

eedit , fi aqua fufpenditur a differentia prejfionum flui-

di fupra et infra vrgentis. De hoc fi dnbites; rem fic

habe: Cum in Jibero aerevacuus et cylindricus pendet

tubulus , eadem efl prementis atmofphaerae adio in v-

tramque bafm, fuperiorem et inferiorem. Vocetur il-

la Air^ -4-^-4- r ; exprimatque a partem preflionis,

quae lateribus tubi femper incumbit , fiue merfa fint o-

rificia (ub aquam, fiue fecus-,exponat h eam portionem,

quae per hypothefin innititur interiori laterum fuperfi-

ciei , cum in aere eft orificium , et quae aquam dicitur e-

leuare, cum iiiferius orificium aquae immergitur : deni-

que c fignificet partem preflionis , quae fit in cauiratem

tubi Mergatur tubulus vna fui extremitate fub aquam,

manct fuperior prefTio inuariata , ziza-^h^c. Sed in

prefhone inferiori accedit variatio. Vrget adhuc tubi

latera nifus ^, vrget cauitatem preiTio c : Verum preffio

b non amplius tubum \rget y fed aquam fultentat. Igi-

tur preffio tubi deorfum exccdit preffioncm , qua fiirfum

yrgctur, parte ea, quam b diximus , et quae per hypo-

the-

CAPILLARJBVS. 259

th.Tin acqualis efl pondcri aqime in tLibdum elcnatae,
Idcm obtmet, qiiando tubus mvI cum eleiiata intus a-
qua extnihitur, eandemquefurpenGim conferuat. Non
igitur hoc experimentum quicquam concludit aduerfus
illos, qui elcuanonem aquae a diffcrentia preflionis per-
pendicularis fiirfum et deorfum fiidae deriuant For-
llin illis obeft,quos §.6. diximus cauffam elenationis non
in hac prefTione, fed in libcia vel impedita aeris motita-
tione et ad expanfionem conatu quaerere.

XXVII. TJemus VofTio tamen, aquam adhaere-
;t, etfufpcndi a latcribus vitri •, demusque id tanto lu-
bcntius , quod experimentis folicite factis mihi conftat,
tantundem praecife aquae eleuari in tubulo , quantum
comprehendit gutta maxima , quae extuboillo pendens
adhuc fuftentatur , cafura quam primum augeatur. De-
dit huic teutamini occafionem \ox vnica, apud MarioU
^,v;7z obuia du Mouvem. des Eaux P. II. p. 105. lin. 6,
edit. Parif 1700. Examen hoc fuit. Sumfi tubulum
capiliarem fatis aequabilem, et annotaui altitudinem , ad
quam aqua haereret fufpenfa in tubulo : tum vero merfi
eousque tubulum fub aqua , vt denuo fupra libellam a-
qua afcenderct , quantum prius fecerat. Sic duplum a-
quae in tubulo continebatur ; quem digito fuperne ob-
turatum extraxi jvidique remoto digito

30 Defcendentem fucceffiue aquamcolligiad Pfe^».3c,
inferius tubuli orificium in guttulam ct fufpenfam haere-
re , ficauerem a fuc iifTione aut tremulatione tubuli. Si
plus aquue in tubulum admiffum fuerat, cadere guttulam:

K k 2 Sin

£(Jo DE TVBVLIS

Sin minus, fufpendi eam ficile , nec diuelli a motitationc
tubuli non nimis violenta.

Ita igitur intellexi , tantum aquae ingredi in tubu-
lum , quantum ab eius orificio fufpendi poffit, non am-
plius. Vclim autem, vt, quibus ifta placebit repetere,
caueant circumdantias alienas , et fallaciam accidentis
facillime generaturas. Ceterum non diffiteor , me vel
ob hanc cauflam facile admittere , quod pendeat a late-
ribus vitri et fuftentetur aqua.

XXVIII. Nondum tamen confequitur, quod folum
grauet vitrum^ neque fubiedlam fibi aquam premat. Si
prima aquae portiuncula firtulam ingrefla pondere ca-
ret refpedu fuccedentis fecundae : carebit et fecunda fi-
ftulam ingreffa refpedtu tertiae : namque et fecunda late-
ribus adhaerebit fibi contiguis. Sic item tertia refpedu
quartae : et quis erit finis fucceffionis ?Quae ratio eft,cur
non in omni fiftula ad fummitatem aqua alcendit, cum
nulla fiftulam ingrefla deorfum prcmitinfibi fubiedam?
Tii.VW. Sufpenditur, /«^«/j, quantum latera valent fuftinere. Be-
ne eft. Si latera inde ab A ad B poffunt fuftinerequan-
titatem AB : poterunt et latera ab A ad C fuftinere
quantitatem AC, et ftc porro , donec ad ftnem laterum
in D peruenias. Quodft columella Aa eleuata eft in
tzB, quoniam vitrum folum grauauit, non fubiedam fibi
aquam preffit : cur non eleuatur r/B in BC \ namque et
tfB vitrum f>lum grauat, non fubiedam ftbi aquam pre-
mit. Trcieterea^ fi aqua vitrum ingreffa iUi adeo tenaci-
ter adhaeret, vt nihil deorfum premat , cur aqua in tu-

bulo

CAVILLARIBVS. ^6i

biilo extradlo fufpenni , deorfum fertur , (i tubulum in-
uertas :

31. Quodfi enim fiflula fuerit nonnihil longior Fhaen.y.
altitudine ea, ad quam eleuatur aqua fupra libellam , ea-
demque extradla inuertatur , defluetaquam ex vna fiftu-
lae extremitate ad alteram. Idemque accidet , fi extra-
Cto tubulo aqua fuAione nonnihil eleuetur, et ea ceffan^
te fibi denuo relinquatur : defcendit enim fme mora. Igi-
tur non ita adhaeret, vt deorfum premerenon pofTit , fi
ceterae faueant circumftantiae.

XXIX. Eftoautem, adhaereat prima ^o^mt^ot-
t\o vitri lateribus adeo , vt fuftentetur ab ea adhaefione
iQta deorfum grauitans preflio : Kon ideo ekuabitur a
fuccedente. Ceffauerit grauitas : fucceftit illi vis aequi-
poUens, eteleuationi renitens ; ipfa fcil. ad vitrum ad-
haefio, quae non minus diuulfioni fuae renititur , quando
furfum vrgetur a fuccedente aqua, quam vbi deorfum ni-
titur fuo pondere. Quae eft vis illa , qua vinci-
turhaec refirtentia, dum aqua furfum vrgeri debet, et
omnino eleuari grauis fimul , et adhaerens vjtri lateri-
bus.

XXX. Praeterea, etfi redle dicitur (J. 23. in fi-
ftuHs anguftioribus pliira efte contaAus puncfla pro
capacitate fiftulae : non tamen inde fequitur , aquam-
e pluribus fiifpendi pun(flis , et ideo facilius fiftine-
ri. Patebit in fequentibus , aquam non fufpendi a
tota fuperficie interna tubuli , verum a fola fupremae
fedionis peripheria, Cumque per phaen.l2. $.i3.al-

Kk 3 titu-

e52 DE T/BrUS

limdineseleuntionisrintreciproceproportlonales dinme.
rri's cau:tiitnm'^ , patetin fillulis amplioribus aut anguflio-

ribus

^ Sacpe vtar hoc pbdaiomeno^ itaqiie operae pretium
fuerit , vclin notis monere , qua methodo iil cognoue-
yim. Altitudimim menfura difficultatis fiihil habet , fed
menfura diametrorurn , praecipue minorum, Fquidem.
menfuratione per circifium aCtuali non potcfi exa6fc defi-
niri diameter adeopHfilla. VuJgare artificmm per in-
fertionem fetarum vcl pllorufn equi otfini caret accura-
tiofie. Menfura capacitatis per pofulus Uquoris datam
infiflula altitudinem occupatitis, phiribus obnoxia efl dif
ficultatihus , oh defe&us bilanciufu in mifuitiis, et ifiae^
qualitates tuhorum in fnaiori lotigitudifie , qualis neces-
faria effct , n)ix euitahiles. Suhflitui igitur aliudfaci-
lius et fifiiul cxa&ius ffimfurandi gefius. Adhibui tu-
bulum longiorem circiter 30 poll. afiguflum fatis , fed
cuius amplitudo ah ^ofia extreffiitatt ab alteram fenfi?n
feffmque nofifiihil rtiifmeretur \ hmiedtaui ilhm fugendo
aqucnn trans totim tuh^dim : tufn vero ?nerfa fiOfmihiJ
extrcfftitate amphore achfiodutn leniter extraxi tuhulufn.^
<vt aqua vltra debitnm altitudifiefn ifigrcffa effiuerety
neque in extraBione faltus fieret^ vbi aquam tubulus de-
ferebat Mefifiiraui altitudincfn aquae in tuho lufpcffae
ma: et conuerti tubuhim in fitum Imizoftti inclmatuffi
fic , ut fuperiorem partem aqua occuparet , claufo ha-
6Iefius orificio tuhi oppofito. Refuoto poflea digito^ ddi
defcendere aquam pro ifwlinatiofiis mcffm^afatis tarde:

elau-

CAPILLARIBVS. 263

ribus ncc pliira nec paiiciora elfe fiifpenrionis punda

pro

claufoqiu et aperto altemis orificio alterutro potui illcm

fjlcre in Joco tubi quocu7U]ue , et ex mcnfurata cohaneU

lae aqueae hmgitudine definire rationes diametrorum ca-

uitatis. Cwn ad extremitatem tuhi angu/fiorefu aqua

peruenijfet^ metifus fum longitudinem , quam in tuho oc-

cupahat , nb : et ere&o verticaJiter tuho vidi effJuere

nomiibil aquae^ et reJiquum fdfpendi. Annotaui et hcmc

altitudinem ii:c, et conuerti denuo tuJjum , vt cadem a^

quae copia in parte ampJiori confijleret^ mefifuranda de-

mo illius Iongitudi/:e zzd. His fa&is potui confcrre a

ct b, itcmque c et d, competentes eidem aquaemoli^ma^

iori prhnoy dein jninori. Fuit autcm a: b=::d:c, vt de

honitate operationis nihil duhitarem. Potui vero etiam

contendere a: c , vidique cffefvie fenfihili difcrimine a : czn

V'MVh—Vdi'.Vc. lam ex elementis notum elt^pofitadia-

metro maiore p , minore q, effep \ qirYb ^Va. Vnde

fequitur a : czzq:p Jjoc e/I:aintudines clcuationis ejfere-

ciprocas diamelrorum ampJitudinis. Ohiter noto., cauen-

dum ejfc^ne et extenia tubidi latcra aliquid aquae fup"

peditent : poft fuCtionem aquae trans tuhum praeftare^ 'ot

etaerfaltem fcmel transfugatur per fiJJulam^ ctquae

Junt fimiJia , attento fcrutatori facile ohuia. Praeterea

etiam diuerfiste^' fnethodus adhiheri potcft fiftulis, fii

earundem orificia dextre noris fibi ifiuiccm appIicare.De-'

niqne^cum miuerfia hoc menfurandi ratio fiit ^ qualemhic

quaerlmusj-elatiua , potcft abfokua/m,// %mus {olum tu-

huli diametriim nQrisdeJmire inlincis, autlincaepartihus.

\

2(54 DE TVBFLIS

pro quantitatc aqiiac rurpenfac. Sunt enim hae quantita-
tcs peripheriis , quas dixiinus , omnino proportionales.
Sufpcndatur autem , fi ita velis , aqua ex tota tubuH in-
terna fiiperticie : erunt per idem phacn.l2.(^. i ^.fuperfi-
cies abfolutc lo-juendo aequales , et refpcdlu capacita-
tumin anguftioribus maiores. Curigiturin anguftiori-
bus minor aquae moles (ufpenditur , et maior in smplio-
ribus ; fi praecipuc ftcilius fuftinetur in gracilioribus?\ti
Vofflus 'mCtor Qi\. <$. 123.

XXXI. Melior e(l IoI.\ Alph. BorelH cau(ra-,non
enim generalKTime folum aduocauit aquae ad vitri latera
adhaefionem , fedmechanicam magis magisque determi-
natam moHtus eft explicationem. Pertinent huc verba
eius in Trad. de Motiombusa Granitate naturali pcnden-
^^tihus : Propof 1S5. p. 239 edit. Lugd. Batav. „ In
„canitatibus,/;/^////, fubtilium fiftularum internus aquae
„contadus grandisefl: et amphis,refpedu illius aquae mo-
,,leculae ibidem exiftentis: ergo fubito ac infimum fiftu-
„lae orificium attingit aquam , efficitur in eius interna
„et caua perimetro efficaci^Timus contadtus, a cuius ad-
„haefione fulciri fuftinerique potert maius pondus, quam
jjhabet pufiUa aquae particula infmuata , etideo gradus
^pracdidae virtutis fufpenfiuae et adhaefionis exercetur
„in aqua fubieda , et proinde ea reddetur aliquo pado le-
„uis, feu minus ponderofa , quam fit aqua collateralis li-
,,bere premens. Et, quia minimae aqiiae particulae,
„porofitatibus et afperitatibus intcrnis firtulae innixae,
„efficiuntur operanturque , vt totidem vc&es , quae fle-
^dipolTunt et interne rotari, neceiTe efl , \tpartesa-

quae,,

CAPILLARIBVS. q6^

quae collaterales magis compreflae a totali cnergia fu i„
ponderis vim fliciant , impellendo furfum particulas a-,,
quae,quae minus comprimuntur avedibus fupra didlis;,,
ct ideo rotando excurrere poflfunt inferius efformando,,
tumorem, vcl monticulum aqueum, qui excurrendo la-„
teraliter altioribus fiftulae porofitatibus infinuabitur,ad-„
haerebitque , et ideo denuo imminuetur eius vis com-„
preffiua , renouabiturque cauffa ulterioris fufpenfionis-,,,
et proinde altius aqua intra fiflulam impelletur, etfic de„
nouo eminentioribus lateribus adhaerendo fucceffiue al- ,,
tius impelletur , quousque ad fupremam et maximam,,
ilJam altitudinem aqua perduda , in qua aequilibrium,,
cum aqua collaterali libere premente efiiciatur : tunc,,
quidem quies eius fubfequetur , nec altius eleuari pot-,,
erit.,,

XXXII. In hac cleuationis oeconomia muha hene
habent : funt aUqiia tamen , quae auxilhm aliundc rc-
quirunt. Adhaeret , aiSy vitro aqua fiftulam fubingreffa, et
cx hac aha quoque quafi pendula fuflinetur : Eoque colu-
mna aquea fiflulae fubiedla non adeo fortiter deorfum
premit , ac circumfufa collateralis. Efto id, fi ita velis.
Anindefequitur,eleuarialtius columnam aquae priorem?
Videturid expedare Borellus : fed credo, grauitatem co-
lumnae huius aqueae intercedere huic fiduciae. Sitpon-
dus columellae ita pendulae abfohitum —a-\-b , et pars
eius , quae per adhaefionem non fulcitur — ^. Sequi-
tur fubiedam huic columellae aquam premi fola portio-
h: fed non ideo eleuabitur haec columna per alteram fi-
bi vicinam , cuius pondus efl: a-\-b, Ad eleuationem
Tom.ll, Ll enim

266 DE TVBFLIS

enim non hoc fblnm requiritur , Tt prefTio b fupcretur,
Ced A t totum pondus columellac (zz^^-Z») eleuetur ub a-
dione alterius contignae , cuins pondus itidem eft
':z.a-\-b. Finge pro particulis aquae globulos maiores
folidosjCt proviadhaefionis ac ^ifcofitateaquae funiculo?,
quibus globuli vitro proximi ex parte fui fufptndantur a
\itro : Minor erit illarum preflio in fibi fubiedos, fednon
ideo tameneleuari poterunt a coUateralibus. Dum enim
eleuari debent, totum illorum pondus furfum vrgeri de-
bet, nec adhaefio eleuationem /)^r /^/^ adiuuat.

XXXIII. Fortalfis inde peti fubfidium poteft:
quod p.irticislae porofitatibus innixae efficiuntur operan-
turque vt totidem ve&es^ qui flefli pofTunt etc. Vellem
Vir egregius hanc rem diftinAius et fpecialius enuntias-
iet , vt conferri cum efFedu fuo caufFae menfura poflet.
Eft, quid id fecerit : cuius dida mox cxpendam cura-
tius. Hic illudnota, monticulos ct tumores , quos ap-
pellat Vir Clar. in eleuatione aquae , fi redle mentcm
affequor , non ita obferuari. In tubulis madefadlis cele-
rior eft eleuatio,quam vt definiri figura fupremae fuper-
ficiei certius poffit. De ficcis autem hoc notaui :
p* 32.Dum aqua in fiftulis ficcioribus fuccefTiue e-

'^ leuitur, in parietibus primoafcendit, et valdeinaequa-
liter •, non in medio tubuli.
33 33.Eademque in omnibus tubnlis pofteleuatio-

nem habet fuperne concauam potius , non vero conue-
xam fuperficiem.

Vtrumquehoc ideae repugnat Borellianne , fi mnn-
ticulos fiios intelligit de eleuatione aquae in medio tubi,

Sin

CAFILLARIBFS. 267

Sin forta^xS Tola particnlae \nius aqiieac craffitie diflare
tumores illos a vitri parictibus voluerit , fitendum vti-
que eft, contrarium per obferuationesimmediatas depre-
hendi non poffe. Videtur autem huic theoriacminus con-
gruere phaenomenon aliud a me obferuatum.

34. Sit fipho capillaris , ct ftatuatur ita , vt cru- P^^^^« ^^
ris breuioris orificium a pauxillum tantum fub aqua mer-
gatur •, fitque fiftula interne madida : afcendit aqua ad Fig. /X,
altitudinem eandem dc in crurelongiore, fuie intcgrum
conferues fipliunculum , fiue abrumpas in I; a longiore
crus breuius.

Hic duofunt, quae Borellianaeexplicationiofficiunt:
non eft hic pendens ex orificio immerfo guttula, e cuius
fiifpenfione rumpatur aequilibrium j neque eft altior a-
quae columna orificio incumbens aperto. Tum vero
ipfa aquae columna ab in fiphoneifto non agit Iberrime,
fed pars eius nonnihil fuftentatur a lateribus vitri in crure
breuiore. Quid igitur eft , quod aquam eleuat ex d
in ^?

XXXIV. Deficit etiam BorelHana expofitio in
hoc, quod ncfcias , afi ex mente Viri eximii adhaefio
aquae ad totam t\ih\Ai fuperficiem attendi debeat , vel fe-
cus ? Primum videtur ex difcurfu eo, quo maiorem a-
quae in fiftulis gracilioribus altitudinem explicat. Nam-
que Propof. 188. p. 243. id phaenomeni hinc infert,
quia adhaerentia et connexio aquae parietlbus internis^,
vanalium maiorem proportionem ad molem aquae in-„
finaatae extenfiue et intenfiue in canaliculis fubtilifiTimis,,
habet , quam in araplis et capacioribus.,, Exte?ijiue

Ll 2 quia,i

268 DE TVBVLIS

,,qiua vis adhaefionis menfuratur a contadlibns , et ideo
^afupefficie interna canaliculorum ; e contra refiftentia
^menfuratur a pondere cylindri aquei contenti in iisdem
5,canaliculis ; eftque proportio cylindrorum aqueorum
„eiusdem altitudinis duplicata eius rationis , quam habent
„eorum perimetri internae etc.„ Intenfiue „quoniam
„facultas et energia adhacfionis minus efficax eft , quan-
5,to magis a parietibus remouetur.,, Equidem hic , nifi
me omnia fqllunt , adhaefio confideratur refpedu tatius
fuperficiei internae , quam aqua contingit.

XXXV. Secus rem definire videtur , cum alteri
phaenomeno explicando incumbit. Memorat Propof.
187. p. 1241.
FbaenJ5^ 35- Aquam in fiftula magis demerfa non al-

tius eleuari, quam in ea , quae aquam aut aerem tangit;
quin imo pag. feq. tradit, aquam in aere altius fufpcndi,
quam cum inferius orificium aquae immergitur.

Vt haec cum adhacfione aquae ad vitri latera redu-
cat in concordiam , contend t , aquam fiftula compre-
henfiim,, ?2on reddi leuiorem oh internum conta&umfiftu-
\,Iae ; nam internam fi.([uhe fuperficiem , cum fit madida
j^nibil aut pmmi impedire ^im grauitatis aquae contentae
„intra fiftuJam ; patere id experimento , cum in aere
„transferatur fiftula, tunc enim aquam intra cauitatem e-
5,ius madidam libere moueri et defcendere : praecipuum
,,impedimentum in extremo fiftulae orificio reperiri ; non
,,intra aquam , fed poftquam aerem contigerit. „ Vult
enim infimasaquaeparticulas quofialiquod rete tenfum et
icfulens conftituere in libero aere , cui adeo inniti' por-

tiun^

' CAPILLARIBFS. 269 >

tiuncula quaedam aquae fuperioris pofTit : fed dum illae
aquam contingant, folui rete, et defcendere hanc por-
tiunculam etc. Hic, fateor, videri mihi, quod non am-
plius tota tubuli interna fuperficies veniat in computum
Viri. Q.uid ergo ? Dicendum eft, aut me non aflequi
mentem cius : aut illam fibi non penitus conftarc ; faltem
non omnia hic effe ad liquidum deduda.

XXXVI. Excoluit hypothefm Vir ingeniofus,
Ludomus Carre , cuius meditata legi poffunt in Memo-
rUs Acad. Scient. PariJ. ad A. 1705.^.317. feqq. edit .
Batm. Summa huc redeunt capita. Primo adhaefio-
nem aquae ad tubi latera , eiusdemque ad eleuationem
aquae concurfum ex eo probat, quoniam.

36. Si (ebo liquefado internos tubuli parietes in- P/jaen. 36
unxeris, non afccndit aqua interior vltra libellam cum
exteriore.

37. Atque fi partem folum fuperficiei internae

fic illeueris : aqua ex eo ktere non eleuabitur • eleudbi- ^^ '
turautem ex altero, quo nihil febi tubulus accepit.

38. Praeterea, fi profundius aquae immergatur ^
fiftula , quam febo vnda eft , arcendet aqua fupra libeU ^
lam in tubulo.

39. Denique, fi guttula aquae per exteriorem ^
fiftulae fuperficiemdefcendatjllatubum intrabit dilapGiad
vsque infimum eius orificium, fi febonon inundus fuerit;

fin fuerit, non vtique hiec gottula fiftulam ingredietur.

Secmdo ipfam eleuationis oeconomiam fic concipit:
Dum vitri parietibus adhaeret contigua aquae portio : fu-
ftentatur illa , ct minus grauitat in fundum vafis , quam

L 1 3 col.

270 DE TFByUS

colhitcriiles aquae coluindllae Itaque ab hifce prae-
mlentibus ekuatur. Sit AB fuperficies verticalis ; et
corpus quodcunque FD Yna fiii extremitate innitatur
pundo D ; Sit C eius centrum grauitatis : certum eft, fi
hoc corpus debeatfuflentari in pun£to F per potentiam
quamcunque x , fore DF ad DC, vti efl grauitas cor-
porisDCF deorfum nitens, ad potentiam praedidlam.
Ita igitur particulae aqueae vitro proximae fuftentantur
ex parte a fiftulae lateribus;neque tota fiia vi grauant fiin-
dum vafis : igitur eleuantur a lateralibus columnis tam-
diu , donec altitudo reddat, quod per adhaefionem de
cefiit, atque adeo iterum emergat aequilibrium.

Tertio ex hifce principiis rcfi)luit quaeftiones huic
argumento connexasj. Cur non eademfit eleiiatio in fu-
perficie tuhuli externa , cui non minus adhaerent parti-
culac vitro contiguae ? Quoniam intra tubum (t{Q mutuo
fiiftentant particulae , atque fic eleuationi fiiae auxilian-
tur : non item cxtra tubulum *, vbi accidit , quod intra
ampliorcs etiam tubos fieri videmus. Cur in gracUiori-
bus altior ejl aquae fupra UbeJlam eleuatio ? quoniam vis
adhaefionis menfuratur a fiiperficie interna fiftularum, et
refiftentia ex pondere columnarum aquae contentac ;
fiint autem hae in ratione duplicata diametrorum cauita-
tis , illae in fimplici ; itaque fijperficies amplioris tubi
minor eft refpedu aquae fiiae, et minor vis adhaefionis.
Cur fpiritus vini , leuior aqua, non eleuaturaltius, quam
aqua ? Credibile cft, aquae maiorem eife contadurH ad
vitri latera , quam fpiritus vini , etfi leuioris, et fi^rtaflc
diuifibilioris. Si a columnis aquae collateralibus eleua-

tur

CAFILLARIBVS. 271

tur aqua , cur cxtra&o ex aqua tuhulo eadem non effluit^
kd fufpenditur in fiftula ? quoniam paruulum eius pon-
dus non fufficit ad fuperandam refiftentiam , quam aer
diuulfioni fuac opponit , aut preftlonem, qua corpora
le leuiora furfum pellit. Cur in tubis aequalibus aequa-
liter aut inaequaiiter inclinatis aqua femper afcendit ad
eandem altitudinem perpendicularem ? Quia momentum
aquae non ex pondere eius abfoluto menfuratur, fed per
altitudinem verticalem, vti conftat ex hydroftaticis. De-
nique

40. Si in tubo ficco afcendat aqua vsque in C, fhaen.AO
eadem ia madefidlo afcendetaltius,v. g. in D. Simer-
gas tubum , vt aqua amplius afcendat, et denuo illum
extrahas ; defcendet aqua ct fbrmabit pendulam in B Yig, XI,
guttam •, ipfi tamen haerebit vltra D v. g. in E Sia-
quam denuo attingat gutta B, defcendet aqua ex E inD-,
et ex aduerfo, fi in tubulo extraAo haeferitad C , afcen-
det illa vsque in D, cum aquam attigerit.

Quae iftius rei ratio eft ? Nimirum fequuntur haec
ex perpetuo rerum ad aequilibrium nifu , quo fit , vt a-
qua nimium alte fublata in E vsque defcendat, cum pot-
eft * et minus alta ex C in D afcendat. Haec eft Viri
Praeftantiftlmi Theoria , in compendium redada: appli-
cationem eius ad fecretionis animalis negotium non eft
huius loci attingere.

XXXVII. Equidem haec ita animo blandiuntur,
vt neminem nifi inuitum huic expofitioni contradicerc
poffe arbitrer •, adeo vt mirum non fit, et ipfum Audlo-
rem , et ex eo tempore piures alios eidem acquieuiffe.

Sunt

272 BE TVBl^LIS

Sunt nli^ua tamcn, quae dijjimulari non debent. Fratci^
pmm hoc cft. Ex fententia Carr^ana fequitur : Cum tu-
bulus aequaliter amplus immergitur aquae profundius,
aquam eleuari debere ad altitudinem maiorem. Intuli id
ex eo, quod maior hoc in cafu fuperficies cft interna tu-
buli , cui aqua innititur ; adeoque plus decedit ponderi
columnulae in fiftula contentae ; namque totam fuperfi-
ciem internam vocari in fubfidium vidimus. Sufpica-
rer , me in hac illatione falfum , aut minus perfede
mentem Viri alTecutum effe , nifi bonam f (Te hanc con-
fecutionem Illu/Jris Academiae Hijloricus teflaretur.
„Sequitur, inquit ^ ex hifce principiis , altius eleuari a-
„quam, quando cauitas tubuli eft anguflior, aut immer-

„fio tubuli profundior Secundo cafu maior colu-

,,mnae aqueae , tubum ingreffae , pars fulcitur a lateri-
„bus. Atque hic cafus expHcari per inaequalem aeris
„preffionem non potefl.,, Optime ifla, fed appellemus
experientiam. Vidi repetitis fliepe tentaminibus:
Thaen. 41 4 1 . In tubulo aeque amplo et humedato aquam

eleuari ad eandem altitudinem , fiue merfus fit profunde
tubuIus,fiueattingatfoIum fupremam aquae fuperficiem,
idque in vacuo non minus , quam in libero aere ; et in
omnibus hifce cafibus afcenfum effe promtifTimum. Vi-
di eadem omnia fieri , cum tubuli ioco fiphonem adhi-
bui , qnalem phaen. -54. defcripfimus.

Ego vero, ne fallcrer apparentibus , adhibui tubu-
lum omnino longiorem , eundemque alternis ita immerfi,
Yt aqua eleuata eundem femper locum in tubulo attinge-
ret, mergendo nunc ex vna parte 27. poli. nunc duos

cx

CAPILLARIBFS. 273

ex alterii. Ciim enim cylindrici perfedle tubull vix oc-
cunant , fieri \Lique potell , vt pro maiori immerfione
maior fit aquae fupra libellam eleuatio, fi fcil. tubulus
extra aquam eminens fenfim anguftior fiat : potefl: et-
iam fieri , vt pro maioriimmerfione minor eleuatio fit,
fi augcaturfenfim cauitas tubuli extra aquam refidui. Vi-
di exefnpla fiOii vtriusque, vt adeo necefliim non fit, fi-
qui alingnvi hypothefi phaenomena vidiffe fe teftentur,
folicitare fidem eorum : fed coniicere cauflam liceat in
difFerentias nonnifi poft multam cautionem fenfibilcs.

XXXVIII. Vt haec prefllus exam'nentur, reduci
ad calculum polTunt fcquentem. Hypothefis Carreana
annulo aqueo cyHndrico, fuperficiei internae vitri con-
tiguo, minorem afiferit grauitationem deorfum , quam
pro pondere fuo naturali. Eft enim potentia fuftentans
particulam quamcunque in DF , quae aequatur preflloni
eius in F, ex f. 36. ad pondus abfohitum particulae
{~p) vti DC ad DF. Sit igitur diameter luminis tubi
:=z2k Altitudo aquaecapiliaris,hoceft, eleuatio eiusfu-
pra hbeilam cum exteriore zzd. Profunditas immer-
fionis orificii inferioris in aquam ziza. Latitudo annuii
cylindrici memorati znc. et ratio radii ad peripheriam
circuli =:^ : tt. Erit tota prefllo columnae aque;ie ex-
terniie , cuius bafis aequatur orificio tubuli 7 et altitudo
profunditati merfionis tubuli , zzJ^^p : Et huic per hy-
pothefin aequari debet preflio columnae , aqucae in tu-
bulo contentae. Haec autem preflio fit partim ab an-
nulo praedido , latcribus vitri contiguo , cuius bafis
Tom. II, Mm ==

S74 DE TVBVLIS

•zz-^ ( ahc^cc) et altitudo —a-\-/I, et prefTio ad pondus
abfolutum, vti DC:DF. Ponendo igitur DC:DFr=:7«
erit prelfio huius annuli in fubie^flam fibi aquam :=z-^
{ahc-cc^a-^dytip. atque haec vna pars eft prefTionis a-
quae internae: altera fit a nucleo aquae cylindrico, intra
hunc annulum comprehenfo, cuius bafis -^[h^-c)^ et al-
titudo irrt-4-i ; adeoque pondus abfolutum et preflio ia
aquam fibi fubiedam ■z=:'^{h-c)'^{a'\-d)p, Habemr i-
gitur per hanc hypothefin aequatio fundamentalis

^Mp—^ih-c) - {a-{-d)p-\'^ {ahc-cc) {a-\-d)n?p. '
Siue ahh—{h^c)^{a-\-d)-{-{2hc-cc) {a-\-d}m.

XXXIX. Hic iam fponte fluunt pleraque. Si
aequationem reducas ad literam d pro inuenienda aJtitu-
dine capillari fub datis circumflantiis , fiet

1 2abe—acc—am('2'bc—cc')

~hf^ &c-frccZjlTn^ &C-CC)

•vbi patet, valorem ipfius d fleri variabilem , variata a
profunditate immerfionis : manente enim tubuli amplitu-
dine eadem, h eadem efl per hypothefm, et reademfme
fme dubio : adcoque valor ipfius d propter litteram a
mimeratori formulae inuolutam maior erit pro maiori
iiftulae immerfione, vti §. praecedente 37.iam admo-
Bui. Viceverfa , fi affumta d conflante ex phaenom.
40. reducas aequationem ad c latitudincm annuli vitro
adhaexentis, erit

» V V y a-i-d-rfni-nid — ^ ^^ md-^maZZaird

fiCtque annuli latitudo , in tubo etiam cylindrico, inae-
qualis pro imxnerfionis profiinditate : quod etfi in calcu-

k)

CAPILLARIBVS, 27J

lo nlhll adhuc abfurdi imioluat , phyfice tamen minus
congruum eft. Cur enim plus aut minus adhaereat la-
teri per afperitatem Jateris et ghitinofitatem aquae , (1
plus aut minus profunde merfa fuerit eadem fidula ? vt
nihil dicam de proportione admodum complicata ,
qiiae obtineret inter a et c ^ {{ curari deberet , vt pofita
a arbitraria femper idem valor ipfius d prodiret ?

XL. Melius ifta patent , qun.ndo fubftitutis litera-
rum loco numeris abfolutis et per experientiam definitis
intelJigimus prodirc valores minus vtique commodos.
Dabit experimenta VirlolertifTimus.

42. Monet cnim, fe adhibitis tribus tubulis, quo- «7
rum diametn cauitatis fuerint j , 3- j to "^"^"s lineae, ^

obferuaffe altitudines capillares 10, 18, 30 linearum.
vid. MemoriasAcad Scient.Parif ad A. 1705.^.318.
Liceat quartum addere prioribus,quo cognoui , in Mu-
la diametri i.lineae altitudinem capillarem fuiffe 3.
lin.

Quae vtique omnia fatis conueniunt cum propofl-
tione §^$.i3.et 30, qua iniungitur , vt altitudines capil- ^
lares fint reciprocae dlametrorum cauitatis. Poteft ve-
ro examen propofitum inftitui dupliciter. Certum efl:,
c fiue latitudinem annuli minimam fore , (i fmgas totam
illius annuli prelTionem fuffiaminari, et vitro adhaerere;
adeoque ?«rzo. Videtur vero etiam , naturae id effe
prae ceteris conueniens , vt centrum grauitatis C finga-
tnr in medio particulae DCF , adeoque vt fiat DC :
DFm:2 , et confequenter mzzjr,

XLL Sit primo loco ?nz=io . adeoque czzzb—bV ^^-^.
Mm j2 Sit-

276 DE TVBVLIS

Sitque azni. jin. namqiie ita licet, per phnen. 41. §. 37.
erit (; in primo experimento z:zi- — -^'V-~^~ — ^^ —
V-ji-^ id quod excedit ^ lin. In fecundo erit c~^y^~^
V/Vy=T2-^'i:-Ty 6> 9"*^^ Tuperat Vo lin. In terdo eft
^^^^-o-Wo^TT^sW-"'^ Tsio o ) a'^^od paulo plus eft,
quam ^'y lin. Denique in quarto erit c-~-k—~Viz:z~
— ^^m-i lin. Sit iam fecundo loco , ?«z=^ prodibit va^
lor ipfius cznb-bV^^, hoc eft in primo cafu zizi-i-

V T^-i-l- ,in fecundo ;:=_•_— Jo^tttI , in tertio zr^V
-sW^T^y^ ^ in quarto =:-|— |i/-{-=| , neque pofito
wzzi , euitari poterunt imaginarii valores , nifi a fit
maius , quam d ; vel pofito rtz=:i, et ^ numero quocun-
que maiore , nifi mCit minor, quam ^^, quorum v-
trumque necelTitates obtrudit ab experientia alienas.No-
tandum vero eft circahos valores imaginarios, intelhgi
hac ratione, quodlatitudo illa annuli non facile concipi
poffit vt compofita ex pluribus aquae particulis fibi inui-
cem innexis. Etfi enim hac excufulone euitari polfet
incommodum denimiavnius particuhie aqueae molernon
facile alterum poterit caueri de valoribus imaginariis; hic
enim credibile eft , fore valorem ipfius ^/^1 ? vel et-
tiam omnino maiorem.

XLII. Eftet aliud, quod dubium habere ledlorem
poteft. Latitudo annHli a lateribus fiftulae fuftentati pe-
nitus aut ex parte , per ipfum huncce computum maior
prodit in tubis amplioribiis ^ quam in ftridioribus. Patet
id ex modo dicflis. Sed vero fcriptoribus de hoc ar-
gumento omnibus, ipfique etiam Audori fententiae con-

ftan-

CAPILLARIBFS. ayy

flanter vifum eft , anguftiam tubuli magis fauere fufpen-
fioni iiquorum , quam amplitudinem. Audiuimus Bo-
rellum §. 34. et Carreum §. 3(5. cui adde dicfla IUuftris
Hiftorici, ad A 1705. p. 30. med. Incubuerunt fci-
licet Viri induftrii hiiic curae vt maiorem in fiflulis an-
guftioribus altitudinem explicarent : Cur non etiam illi,
vt maiorcm aquae quantitatem in amplioribus tubulis e-
leuatam reducerent in concordiam fententiae fuae? Ea-
dcm eft in vtroque tuborum genere fuperficies interna:
Si facilior efl: in anguftioribus adhacfio , cur plus aquae
adhaerct amplioribus ?

XLIII. Poffent plura addi fpecialia , cuiusmodi
forent de tubulis fibi mutuo infertisj vbi calculo non \i-
detur cum cxperientia conuenire •, vel A^bi tubulus adhi-
betur inaequalis fub aqua amplitudinis, et fimilia, quibus
nolo immorari. Si quis enim, quae hadenus dixi,fciat
Ctim hypothefi Carreana, redlius fortafiis intelleda , com-
binare , de ceteris non defpero phaenomenis. Vide-
rint itaque , quibus id volupe eft , an reBe inteUexerim
meditata Viri , et confequenter , an , quae hic attuU , ad
rem pertineant,vellecus?FaciIe cedamrediora monen-
tibus.

XLIV. Supereft tertia explicationum cbJJIs.Sup^
peditant iliam Philofophi quidam Angli , gens menfura-
rum et curiofifiima et fcientifiima. Illi caulfiim huius
phaenomcDi quaerunt in attradione corporum mutua.
Creditur enim , a vitro aquam fibi proximam attrahi, et
attrahi fortius, quam aqua trahitur ab aqua : Ex aduerfo
mercutiumtrahi quidem a vitro , fcd trahi debilius, quam

M m 3 a mer-

278 I^E IVBVLIS

a mercurio. Itaqiie fiipra libellam elenari ab hac vltrl
virtute nquam ; et mcrcurium renitentia fua obftantecon-
fiftere infra libellam, quando fiftulae funt graciliores.

XLV. Primus, qui attradionem iftam in fubfi-
dium hoc loco vocauit, quod ego fciam , HauksbduT
eft. Opinatur vero, totam tubuli internam fuper-
ficicm aquac contiguam trahere aquam. Id experimen-
tis minus conuenire , ciuiseius, lac. lurinius admonuit
Nimirum propter phaen. 12. <$. 1 3. et 30. fuperficies in-
terna tuborum, aquae vltra Ubellam eleuatae contigua,
eademeftin omni tubo , eademque fauorabilius confti-
tuta in anguftioribus, quoniam minor eft particularum a-
quae mediarum diftantia a parietibus : Cur igitur plus a-
quae attollitur in amplioribus ? an eadem caufl*a fauora-
bilius applicata efFedlum producit minorem , quam ap-
plicata debilius ? Potuifiet hoc incommodum Hauksbe-
ius praeuiderc , namque et ipfe rationem diametrorum
inuerfam obferuari in altitudine aquae capillari annota*
uerat. v. Curf. Experim. Tab. 10. Pneumat. fig. 4.
et5.

XLVI. Fortius adhuc argumentum eft fub iis cir-
circumftantiis,quibus id lurinius produxit 1. c.
Fhaen.^^. ^^. Si tubus CDE conftat duabus partibus am-

Vig, Xlh piiQ^eet anguftiore , fitque altitudo, ad quam aqua in
anguftiore cylindrico afcenderet , aequalis altitudini to-
tius tubi ^ altitudo vero , ad quam in ampliore cylindri-
co eieuaretur,nonnihil maior altitudine partis anguftioris
in tubo DE : Repleatur tubus aqua , ct mergatur pars
anguftior fub aquam , cadet aqua tubo inclufa vsque ad

eam

CAFILLARIBVS. 279

eam alt'tudinem , ad qunm elenaretur in tubo ampliori
cylindrico •, fui pars amplior meriii fuerit, omnis in tubo
DC rufpenfa haerebit aqua.

Hic eadem eft fuperficies attrahens,non folum ae-
qualls , et diuerfimode conftituta : Cur igitur in vno ca-
fu omnis fufpenditur aqua, in alttro nonitem ?

XLVII. Fraeftat igitur hypothefi pricii lurhj^m,
quae et fufpenfionem aquae repetit abattradlioneeajquae
fit a fola fuperficiei fupremae peripheria,ete]euationem a
proxime contigua. Primo id rationi magis ccnuenit, haec
cnim fola tubi pars eft, a qua fubfidens liquor teneretur
recedere? fola,ad quam afcendens liquor accedit proxi-
me : fola igitur , quae vim fuam attradliuan exerere ad
fuftentationem aquac vel eleuationem nouam poteft. Se-
cundo menfiiris refpondet. Infinita funt [haenomena,
quae docent altitudinem cleuationis refpordere diame-
tro , adeoque et pcriphcriae fnperficiei fuj remae, cum
de aqua quaeritur, et infimae, cum de mer urio-,vtrum-
que ita, vt altitudines fmt inuerfe, et quat itates aquae
vel mercurii fufpenfi in tubulis cylindricis djrede vti dia-
metri. Accipe experimentum Viri eximii.

44. Sit EDC tubus parte ampliori et ftricflio- p?
ri inftru(^us ; dcnotct AF altitudinem eleuationis, quae
lefpondct parti ftridiori , et GB altitudinem capillarem
tubi amplioris: Sit autem DC minus, quam AF- Mer- F/>. XII,
gatur tubi orificium amplius , ct impleatur tubus ad al-
titudinem maiorcm quam GB, defcendet aqua quampri»
mum libera erit , vsque ad altitiidinem GB fupra libel-
lam. Mergatur deniio tubus , vt aqua attingat partem

fiftu-

2So BE IVBFLIS

fiftuliie graciliorem et extrnhatur iterum rucceffiue , fiis-
pendetur tota aquae columna DC.

Equidem bic nihil eft , quod aquam altius fufpende.
re poffit, quam contaAus eius ad peripheriain tubi ftri-
ftioris. Vnde etiam fit, vt inuer^o tubo, mcrfoque o-
rificio ftriAiore , altitndo aquae eleuatae maior obtineri
non pniTi- , quam GB, fi fuprema aquae fuperficies con-
ftituitur in tubo ampliore.

XLVni. Eft hnec adeo amica naturac proportio,
\'t, fitubi ariplioris loco magnum fiftulae graciliori vas
adiunxeris, poftis tamen fufpendere aquam ad altitudi-
nem periphvriae ftridioris tubuli conuenientem. De-
beo hoc moriti eidem lurimo, qui obferuat,
Phaen a< 45-'^^ ^^^^ ampliflimojfed altitudinis paulo mino-

'^ ris, quam qi ae conucniat eleuationi aquae in tubulomox
memorando. afiigatur fiipernc tubulus capillaris minu-
tae admodurr diametri ; fi vas illud aquae immergatur,
donec aqua V bulum ingrediatur : pofle omnem illam in
vafc contentr n aquaemolem ope huius vafis eleuari fu-
pra libellam :um exteriori.

Vnde CoroIIarium fatis />^r^^m/w/ fequitur , polfe
fcil. molem aquae quantamcunque ope tubuli capillaris e-
leuari fupra libellam ambientis.

XLIX. Non debet obiki his didis : Si peripheria
tubi ftridioris nonnifi columnam aqueam altitudinis AF
fuftentare poteft in tubulo gracili cylindrico : quomodo
illa fufficit columnae aeque altae , cum tubus inferne
amplior , et moles aquae maior eft? Vel vice vcrfa : Si
peripheria tubi amplioris CD poteft eleuare columnnm

aeque

CAPILLARIBVS. 2S1

aeqiie amplam adaltitudinem GB; cur non altius eleuarc
poteftaquam,fiparshuiusaltitudinisoccupatur atubo (Iri-
diore , atque adeo minor eft aquae moles ? Refpondet
Vir iudiciofus ex vulgari hydroflatica. Molem quidem
aquae inhis cafibus inaequalem elfe : Sed praeter molem
confiderari et velocitatem debere, qua defcendere debe-
ret fuprema aquae fuperficies, fi inferior aqua efflueret.
Momenta, ///^«i/, vtriusque columnae aqueae fig. 1 2. §.„
47. eadem funt, ac fi tubuli ED et CD vsque ad aquam,,
in AB flagnantemconferuarent amplitudinemeandem ; „
{Iquidcm velocitates aquae, vbi ampliantur vel contra-,,
huntur tubuli , funt ad velocitates prope peripheriam,,
attrahentem reciproce vti fediones harum columna-,,
rum.„ v.l.c.p. 427.

L. Non poffum difTimularc , hypcthefin hanc adeo
commode phaenomenis refpondere^ et eorum ?nenfuris,
\t omnino doleam , mifceri et officere ilii vulgarem de
attradlfonibus Jitem. Placet induflria Viri praeflantis-
rimi,qua hypothefin fuam fic inflruxit^vt ea data fequan-
tur , quue debent. Difplicet imbccillitas mea , qua attra-
(Hiionem proprie didlam in corporibus conciperc non da-
tur. Sed fortaffis folui hoc vinculo poffumus indulgen-
te Aucflore egregio. Quidfi hoc folum velit : Attra-
dlionem aquae ad vitrum effe phaenomenon generale,
quo pofito fpecialia ordine fuo omnia fequantur •, ipfius
vero attradlionis cauffam dari corpoream,fed nobis inco-
gnitam. Nihil in ea excufatione indignum efl hypothe-
fi, nihil a regulis philofophandi alienum. Nimirum,vbi
plenam dare cauffarum analyfin non licet , fubfiftendum
TomAl. Nn cfl

28 1 BE TVBVLIS

eft in caudli proxima fpeciali , aliqnando etiam iii phae-
nomeno generali.

LI. Cum liacc prima vice expenderem , vifum eft
dari phaenomcnon aliud , quod impediat fortwrem aquae
ad vitrum , quam ad reipfam concedi attradionem , et
fortiorem mercurii ad fe , quam ad vitrum.
Thaen,±6 46.Cum aquatranstubum fugitur gracilem , i-

demque madidus horizontaliter reponitur ^obferuare li-
cet , particiilas aquae lateribus fiftulae internis adhac-
rentes, fenfim fenfimque rwr^ in cyTmdndos aqueos,to-
taminternam cauitatem replentes •, terminari illos vero
fuperficiebus concauis.

Ex aduerfo mercurius , a quo coitum in bullulas ex-
pedlaueram, non coire , fed longa ferie continuatus in-
ordinate in tubo ampliore vifus eft quicfcere. Id maio-
rcm Titri attradlionem oftendiffetratione mercurii, nifi
poftmodum animaduertilTem, impurnm eum elfe , qu^
lem diducere etiam fuper charta vel ]igr:o, -^ ,.-u
^ 47. Merciiriiim puriorem in fftula etiam angu-

*' * ftiori coire primo mfphaendas , et,ft illae nugeantur,in
columnulas cylindricas , fuperficie autem conuexa ter-
minatas manifefte patuit repetitis tentaminibus.

Poftremum hoc plane conuenit Iiirinianae hypo-
thefi, ncque phaenomenon aquaepenitusaduerfatur , fi
liuc transferas , quod alia occafione Vir ingeniofus mo-
nuit , cum de gutta mercurii inter duas aquae fuperficies
conftituta d iftereret. Ait enim
.0 48. Si guttulammercurialem ex oppofitis lateri-

bus contingas binis tubulis \itreis,attradionem oriri inter

vitra

CAFILLARIBVS, £83

vitra et merciirium ; fic , \t didiKflis paulifper tubulis fi-
guni giittulaefphaerica iii oblongam tranfeat, fequente
vitri latera mercurio ;

Non, quia fortius attrahitur cetertsparihus a vitro
mercurius , quam a reipfo •, fed quia maior eft numerus
particularum mercurji,quae vitrum contingunt,quamea-
rum , quae a fc inuicem recedunt. Hic enim maior non
eft, quarn pro differentia fiiperficiei genitae ex mutatio-
ne figurae prioris \ ille autem refpondet in:egrae fiiperfi-
cieiplanae, quae vitrum contingit. v. 1 c p. 435. Si
hoc,aut fimile aliquid appUcari ad aquam in phaenome-
no nofi:ro 46. poteft , fiilua eft etiam hac parte fen-
tentia.

LIT. T){(fidUimum fortafilsin omni fententia phae-
nomenon eft , ipfi, quem commendauimus; Audori fi>li-
cite expenfum , illud,quod §• 20. ph. 22. recenfuimus:
"luique non folum in aere, fed

Htiam in vacuo fuccedit experimcntum I. c. Tbaen. 4^
memoratum. Sittubus inaequaliter amplus, etimmer-
gatur in aquam acre fuo purgatam nonnihil profundius,
madefiat fuperne tubulus in vacuo,et extrahatur aliquan-
tum : apparebit altitudinem vtriusque aquae fimul fum-
tam refpondere altitudini, quae conuenittubuloanguftio-
ri , et multo maiorem efle, quam quae ampliori de-
betur.

Hic vero artis eft, oftendere caufilim fiidi. Sitii-
bulus effet cylindricus totus, ficile negotium foret ; dici
enim polTet , adlionem peripheriae D deftrui per adlio-
nem peripheriae C, adeoque rem perinde effe, ac fi co- ^^'^

N n 2 lumel-

£84 DE TVBVLIS

lumella AD et BC elTent contiguae : Fateor tamen et-
• iam hic quaeri poffe , annon fimiliter dicere liceat , a-

dionem peripheriae A deftrui per adionem peripheriae
D , adeoque columellam AD , faltem in vacuo , debcrc
defcendere ; quodfi enim aer occupat locum DEjpoteft
peripheria C fuftentare columellam AD , mediante aeris
interpofitu.

LIII. Pro tubis maequahilibus difficilior res efl et-

iam in ipfo aere. Nihil poteft efl*e amoenius exphca-

tione luriniana, quam p. 429. libri citati legimus. Re-

ducitnonfuie artificio hunc cafum ad alium facihorem,

quo non interrupta eft aere intermedio columna aquae

^j j anguftior etampUor. Preftioni fcil. atmofphaerae inba-

'"^" fin BC opponitur cum pondere aquae in FGCB etiame-

later aeris inter DFG conclufi. Minor itaque eft hic e-

later quam grauitas atmofphaerae pro ratione altitudinis

FB. Idem vero opponitur etiam , et cum attraaione

peripheriae in A aequiualet grauitati aen& externi fuper

A prementis : itaque haec attradio aequatur preftionia-

quae ad altitudinem FB, et fuper baft A, eleuatae. K-

gregie vero ifta omnia , (upcYQii firupulus tantum. Cur

nulla fit mentio pcripheriae infirioris D guttulae AD ?

annon dici poteft, quantiim guttula A flirfum trahitur a

contadlu peripheriae fuperioris , tantundem trahi illam

quoque deorfum a concatT:u inferioris : deftruere igitur

fe inuicem eontrarias tradiones , et rem omnem refol-

ui in peripheriam FG , quae non fufficiat altitudini FB ?

An omnino negligi debet haec fuperficies D deorfum

uahens ? et; cur eo cafu altitudo aquae ^ non fit maior,

CAPILLAKIBVS, 285

ob duas fuperficies attrahentes in A et in FG? An pe-
ripheria FG furfum trahens , et peripheria D deorfum
vrgens femper fibi aequiualent? et quae cauffa e(l,vt am-
plior FG non pro fua diametro trahat, fed pro altera
in D , aut vice verfa ? An etiam hic refte dicitur , quod
(J. 49. didum eft? momenta harum peripheriarum trahen-
tium efle aequalia , et contraria •, itaque deftrui tradio
nem alteram ab altera : fieri hic tradlionem pro fu-
prema peripheria , non obftante , quod fluidiim aqueum
aereo intcrruptum fif, vti in vulgari hydroflatica prcflio
fit pro infima fuperficie , etfi diuerfa fibi incumbant
fluida.

LIV. Notari tamen , (i rede diuinaui , etiam hoc
debet , aeris operam huic expofitioni necelfariam effe.
jQ^//^ igitur facflu opus, cum in vacuo experimenta fucce-
dunt eadem ? H/V a^ua haeret : et haeret pertinacius,
quum ^^elles. Nondum licuit repetere experimentum
Viri Clariflimi, fed memorabilius efl: , quim vt hic o-
mitri poffit.

50. Affumto tubo , cuius longitudo erat 35. Pto?/.50'
poll. diameter cauitatis ^ poll. et fummitas in tubulum
vere capiilarem didudla *, impleuit tubulum aqua ab aere
fuo perpurgata , et vidit omnem hanc aquam fufpendi in
vacuo , vt ante diximus phaen 49. Hic vero iuflum
eft requirere, quae fufpenfionisiilius oeconomia fit ?

Nondeeflfibi aut fententiae fuae ingeniofus Audor.
Accipeverba:„optima,quaemihifiiccurrit, adhanc dif!i-„
cultatem refponfio haec efl : cohaefionem inter aquam,,
fiflulae fupremae capillaris, ettubi infeiiOris , fufiicere ,,

Nn 3 *'ad

£86 . DE TVBVLIS

,,ad{uflentandum pondus columnae furpenfae. Sed quo-
5,usQuebaec cohaefio depcndeat a preffione alicuius me-
3,dii fubtilis adco, Yt penctrare campanam poffit, idve-
,,ro meretur confiderationem. Etfi enim eiusmodi me
„dium non minus aquae quam yitri poros peruadat , a-
„git tamen integra lua preiTione in particulas , vt fic di-
5,cam, folidas fuperftciei aquac in ciflerna contentae :
jjcum ex aduerfo omnes iilae aquae in tubo particulae,
„quac dire(fle fubiacent particulis aquae fuperioribus (in
^^cnpiUciri fijlula contetitis) per easdcm tutae redduntur
;,ab ifthac prefTione. Confequenter preflio huius medii
,,in fiiperficiem quamcunque tubuli amplioris fub capil'a-
„ri fillula pofiti minor erit preffione eiusdem mediiin
,,fuperficiem priori aequalem , fed in vafe ampliore as-
„fumtam; adeo vt differentiaharum preffionum fuften-
5,tet columnam aquae in tiibulo contcntam.,,

LV. Equidem dari fluidum premens aere fubti-
lius, cui trans vitrum via pateat , mu.ta uabis phaeno-
mena perfuadent, quorum partem loco citato videas ab
ipfo Viro Egregio allegatam. Vnum me habet anxium.
F/^.X // Non poteft hoc medio vacuum concipi fpatium DFG*,
quia vitrum peruadit. Quodfi vero plenum eft eo me-
dio fpatium DFG, non video,quomodo preffio eiusin
fuperficiem FG impediatur ab aqua fiftulae capillari AD
inclufi ? Cur fluidum hoc fubdle non agit in totam fu-
periiciem FG , et tota fua preflionis vi , fi contiguum
efl: huic fuperficiei non minus , quam alteri in cifterna
fumtae? Facilius feram , ab eiusmodifluido deriuari ef-
fedum fufpenfionis mercurii aere fuo purgati in tubo Ba-

rome-

CAFILLARIBVS. ' 287

metrlco yltra conruetam altitiidinem , cid Ysqne 70 , vel
7 5 pollices , quod phaenomenon Clar. Autori placuit
huc referre : Dicerem eo cafu , particulas mercurii vi-
tro fuperne contiguas defendi avitreis illis contra prefllo-
nem huius fluidi ; vnde etiam accidat , vt mercurius Jeui
fuccuflione a fupremo tubuli contadu femel auulfus non-
nifi ad ordinariam fuftentctur altitudinem ; nimirum pro
mea coniedatione , hoc fluidum, vbifemel tubum intra-
iiit aliqua fui copia , aequaliter fuprcmam mercurii fuper-
iiciem in tubulo vrget, ac infimam in vafe ampliore aeri
expofitam. Quid ergo , inqids^ de phaenomeno hadle-
mis memorato fiet? commendo illud repetito Autorum
examini.

LVI. Ifla vero de praecipuis phaenomenorum
explicationibus. V idi pltires , quas nolim examinare ;
alias, quoniam nimis commentitiae funt ; alias, quoniam
minus fpeciahter expofitae ab Audloribusfuis. Quid
fnihi videatur, exponam difTertationey^a/??^^ , quae plura
ctiam de his tubulis experimenta continebit , et conclu-
fiones aliquot eisdem (uperftruet. Dum id in feqiiejiti
Commentarijrum VoJumine fiat, cogitabunt Ledlores,///^:-
gi me vice cotis , acutum reddere quae ferrumfolet^ exfors
ipfa fecandi.

DE

•>^ ( 288 ) m^

DE GLANDVLIS CORDIS

Auctore
lo. Georg. DuVernoi.

1727.

p

Oft Elephanti Tias chyliferas, quarum in Com-
^*,_^-^' 1-^ nientariis Academiae ad An. 1726. defcriptio
datafuit, alterum nobile phaenomenum,quod
in huius aeque ac aliorum Animantium difle-
(flionibus a nemine vifum eft nomenque forte rarae ac-
quifitionis ahquando obtinebit , hac vice exponendum
eft. Si in genere Elephantorum diffecfliones rariflimae
funt, id multo magis deillis dicendum eft, ad quas dili-
gentia, tempus fumtusque necelfarii tanquam ad diuitem
fodinam infumti funt. Propterea^quiaUquando tale mu-
nus fufcepturi funt, fciant, non facilem,licuti initio appa-
ret , in haecce antra feu fepulchra dcfcenfum eflc , \bi
forteparum fliufta adlongum tempus pernicialem auram
infpirare ac id foHicite curare oportet, vt poftquamma-
gno molimine folutae et extracflae ordinataeque fuere
partes ftngulae , (id autem molis ratione,quae terribihs
eft, fidlu quam didu difficilius eft , fiquidem ex folis vi-
fceribus oflibusque vidimus haud mediocrem cymbam
totam repletam fuifTe, ) hae inquam partes plurium men-
fium fpatio incorruptae fioridae ct fucculentae confer-
uentur, retineantque toto illo tempore eam, quam ab i-
nitio obtinebant, perfedionem integritatemque. Hifcc

fub.

m CLA^^DFLIS CORDIS. ^^cj

fuhfiJi-s omnes difficultates vincere metamqiie optatam
attingere fas ed .

Incredibile ftatim yidetur, quod quis circa pericar-"^^?'-''^"''
dii mediaftmique exidentinm, in re tameuidenti et f-icili, '"umlwn
sd quam oculis tantum apertis opus eft , lapfum covru obfematum»
mittere poflit : Nam procliue eft , quando pedus aper-
tum eft, videre aut palpare nudum fit nec ne cordis pa-
renchyma. Quanquam nulla difficultas in eo appnreat,
fors Anntomicis fiepe contraria mlit , vt inter eos peri-
cardii Elephandni notio adhuc incerta elTet^ficutiAcla E-
dimburgcnfia C/. Moulins, noftraquc declarant. Aliam
itaque Elephanti difledionem ad hancce litem compo-
iiendam exfpedlare (Iitius efl, quam lcuiter fupponere, a
vitioprimaeconformationishunccemihioblatumdefecftum
pericardiioriginem forte tnihere,ficuti exempla quorun-
dam animalium achominum aliquandovififidemfiiciunt,

Ad cordis Elephantini maffam fimul ac vaforumn-
amplitudinem uire mentoque obflupefcendum efl, ficuti nes cordis
tabulae fequentis infpecflio comprobat. etvajorufn.

Pondus cordis a fanguine polypisque mundati 125 . ^ xvui
Vo. Ruffic. aequabat.

Eiu^dem circumf. poll. 26.

A bafi ad conum longit.

15.

VentricuH dextri longit. int.

10.

4. lin.

Eiusdem femicircumf fuper.

12.

2. lin.

- - femicircumf inf

7.

- - craffities

5.hn.

Ventriculi finiflri longitudo int.

13-

Eiusdem femicircumf fuper.

9.

I . lin.

Tom.W. Oo

femi-

/

290

DE GLANBVLIS

Sententla

Eriidito-

rum de tia-

tura et pro-

frietatihus

cordis

cjuaenam

- - femicircumf inf. poll. 6, 2. lln.

- - cralTities 1 1 . lin.
Septi craffities l6 1.
Auriculae dextrae longit. 3. 6. 1.
Eiusd. femicirc. 13. lin.
Auriculae fmiftrae longitudo 3. 9.1.
Eiusdem femicirc 1 1. lin.
Arteriae magnae diameter inter. 2. 2. 1.
Eiusdem crafTiLies 34-. Hn,
Arteriae pulmon. diameter int. 2. 8.1.
Eiusdem craflities 2-i 1.
Venae pulmon. diameter interior 2. 3. 1.
Eiusdem cralTities 2. 1.
Venae cauae afcend. diameter int. 4. 2. 1.
Eiusdem craffitics 2. 1.
Venae cauae defcend. diameter int. 3.

Eiusd. crafiities 2. 1.

Caetera, vti funt,propria VafaCordis, Valvulae, Pin-
guedo,Nerui, ea magnitudineet copia erant,qua ad veram
nobiJiffimi Iiuius vifceris naturam rimandam aptior toto
mundo inueniri vix poteft.

Eruditorum, fateor, de Corde fpeculationes in fe
fpedlataeaverotantomagisrecedunt, quo notio omnium
eius receffuum magis ignota ac imperfeda femper foit.
Imperfedam notionem eam Toco , quae vna tantum feu
particulari proprietate nititur, cuiusmodi de ventriculo,
de inteftinis , liene , glandulis , vtero etc. a dodiffimis
viris reiedae et derifie funt notiones , poftquam dida-
rum partium maturatae magis ac compietae defcriptio-

nes

CORDIS. 291

nes editae funt. Tota itaqne cognitio cordis ad tria
capita fere reducitur. I. Qiiod vna homogenca
maflli conftet, ficnti mufculus. 2. Quod in motu folo
operationes eiusconfiftant,et 3. quod vcntriculi nec non
fociae auriculae nihil aliud fint,^quam fimplices cauitates
nullum in flnida praeterlabeniia ius peculiare feu pro-
prium obtinentes, adeoque pnra receptacula.

Graues antem canfae funt , quae adhancce do6lri- W^i^^'^'
nam in dubium reuocandam me impelhint, qnae Yt ad '^^^{"^^J^^_
fenfum qua licet perfpicuitate exponantur , diuerforum ceptampro-
animaliumCorda a primafua conflitutione vsque adper- pojmtnr.
fe(flionis,qnam inadultis confequuntur , gradum perfcru-
tari operae pretium efl:. Ac primum, in foetus exor-
dio,quum partium prima flamina fbrmari incipiunt, pul-
chra obferuatio fententiam noftram egregie confirmans
huc trahenda eft : Totum Cor nihil ahnd,quam veflculam
puram cryftallinam nndam exhibet , cnius tamen alter-
na turgentia ac concidentia fenflbilis eft •, Huic poftmo-
dum veficulae, parenchyma feu cortex fuperoritur , flc-
utiNatura in nonnullis partibus,organum purificationi aut
transcolationi alicuius fluidi inferuiens, firmiore et cras-
fiorc tegumento inueftire folet. Exeoquid inferendiim Corexhd-
flt luculenter apparetiDuplex nimirum feu mixtum or- buspartt-
ganum , vnum interius,cuius exiftentia aflioque anterior ^"^J^.^-^/
eft, et cum vita incipit,laeflonGsque mortiferae funt; Al- condat.
terum,exterius,foHdum ac denfnm, volumen feu maffam
cordis efflcienSjCuius vulnera tefte expericntia minus pc-
riculofa funt. Stdi nc quis imaginationi,quae rebus qui-
dcm anatomicis non infrequenter fe immiicet,hanccefor-

O o 2 t«

tL62 BE GLAKVrLlS

tc opiiiionem tribuat, noii aliter cuiuslibct cordis (latus

feu fabricii , qucties fitis diligentiae adhibetur , quam

praedicfla forma oculis a-pparitura efl: , mixta nimirum ex

duplici organo, in quod fpontc fua refolui fe patitur. Et

Uiuftratiir hoc quidem,cum ex fimplici intuitu exterioiis interioris-

exemploos- ^^^^ (IruduriC cordis fatis clare intelligitur, tum ex con-

templatione oflium illuftratur , fiquidem vna ex partc,

quae corticalis eft, fimulque duriflima, motus et firmita-

tis inftrumenta funt : Altera autem, meduUae laborato-

ria magno arrificio conftruda, iucundaque vifui exiftunt.

Cur rogo in olfe folummodo, non aeque in cordc, idem

difcrimen a natura conftitutum , quodque non minus iii

eo palpabile ac perfpicuum eft agnofcimus ? Aut fi a-

gnofcimus, cur non inculcamus ferio? etiamfi vfus forte

adhuc fuerit occultus : Sufficitenim, fi folummodoprac-

dida fibricaedifFerentia vera fit et fatis confpicua. Hanc

vti didum eft, primo intuitu obleruare ac digito mon-

Exterioris ftrare fas eft : Nnm quemadmodum pro fibrofo corpo-

feu cortica- j-g fe^ lacertorum flifciculo conuexafeu exterior cordis

tiaecordh ^^^^^^^^^ optimo iure habetur, iusque illud cousque ex-

firu^unu tendi 5 quousque diredio faciesquc lacertorum continua-

ta oftendi poteft etviceuerfa, fic architeduram iftam

vltra,in caua cordis vsque protendere nimium eft : Non

quidem acftad motum cordis, chylique ac fanguinis cir-

cuitum, parietes vtrinque conftipati ac folidi minus apti

ct conuenientes forent : Contrarium enim perfpicue.cum

ex contemplationeAortae,tum quoquc exemplis mecha-

nicis patet , fiquidem ad fortiorem arftationem, latera

quo itridtiora et compa^^iora funt, co aptiora effe cre-

diHi-

CORDIS. 293

duntiir. Ecce aiitem,loco parietum compadorum , fpon- liitcrwnmi
giofos, cauernofos, vbique terebratos parietes ? Argu- ^^^jfT;!«.
mentOjad contradionem eos minus inferuire, quamTul- Bura.
go afleueratur : Ecce fiftularum , meatuum , fovearum Vuigaris
prodigiofam multitudinem, breuiter, compagem fingu- fTf^
larem , diuerfimque ab exteriori, quam (atis dilucide jiruchras
•verbis exprimere haud poffibile eft,cuius tamen, opinor, "^ih^ rcfu-
ctreliquarum proprietatumj quas in excellenti hac cor- ^^^^^''
dis regione et fpeciatim in membrana interiori,fedulitas
anatomica detexit , a nemine praetexi poceil ignoran-
tiae caufa.

Vt hancce modo cltatam cordis fibricam ; ^_(^^'^ '«^^^
prout naturae conuenit,perfpe(flam habeamus, illud dili- ^^J.^^^/^^\
genter obferuandum eft , quod in folius membranae in- dis^inffecie
ternae gratiam,tota illa admirabilis compages compa- mcmbranae
rata fit ; Equidem huius membranae ea conditio eft , vt ^^f^^'P^'°'
minima fui portione ventriculorum cauitatem inueftiat,
maxima vero rimas, anfratT^us, finusqueomnes anteame-
moratos,vna cum minoribus intra hofce latentibus, qua-
quauerfum peruadat, fuperficiemqueamplifTimamhacra-
tione obtineat : In hunc finem, in fiftulas innumerabi-
les feu procefTus veluti digitos chirothecae excauata et
diuifa eft : Hi poflmodum loculos, ceu vaginas aptatas,
quibus firmiter aggludnati funt , fubingredientes , mox
novasfiftulashaequealias progerminant inuicem conca-
tenatas et continuas , ac per vniuerfim loculorum, cum
quibus eandem diredionem terminarionemque nanci-
fcuntur , fyluam difperfas : Hi loculi mirum in modum
multiplicati , non folum in ventriculorum fuperficie
Vcrum etiam in plures ordines feu ftrata fibi m-
O o 3 uicem

294 ^^ CLANDVLIS

^ uicem fuccedcntia fic diftdbuti funt , \t fub vni locuk).

rum ferie, mox altcra , pofthunc tertia in confpecflum
\eniat, fereque tertia craflitiei cordis pars biiicce mea-
tuum dirpofitioni inferuiat , vnde admodum fungofa ac
fpongiofa euadit : Nam id a fmgulari difpofitione ac
tendentia horum meatuum potiffimum prouenit , quac
talis efl , vt eorum terminus aeque ac initium fimul
refpiciant cavum ventriculorum , vnusque in a-
lium , ab imo vsquc ad fummum , vtraque fua extremi-
tate, per continuatam inofculationem fefe infuuiet, vndc
prodigiofa fofTularum multitudo, ex eaquc rara ac laxa
fubftantia emcrgit. Vltimo, annotatione dignum eft,
quod in tanto numero meatuum , omnes vnam tenden-
tiam obferuent , quantum quidem in variis animantibus
obferuare potui : Nullos a cauitate ad medium vel ex-
timam fuperficicm penetrantes , verum fic difpofitos vi-
di , vt in longum latumque protenfi , ad fiiperficiem in-
ternam paralleli effent.

, " "^^'"' Hifce praemiflis, ad alias proprietates in membra-

kraria cor- , f . , , ,.

dis interior "^ cordis uiteriore contemplandas progredior , inter
fcruia sit ? quas fummorum Virorum autoritate haec collocata eft,
quodper eam vcluti per cribrum naturaliterfanguinisde-
pluuium in cauitates cordis liat , hiantibus eum in finem
vafculorum extremitatibus, quas tamen oculis percipere
graueeft. vid. Kouvelles decoimrtes fur le coeur. Traite
muveau de Ja ftru&ure et des caufes du mouvement naturel
du coeur par Mr. F^aymond Vieujfens. in quo certe tra-
(flatu Vir fummus ita fe geftlt, vt nemo non admiretur:
Quae enim decordispartiumqueeius conftituentium tex-

tura

tnquintur.

CORDIS. 295

tura, proprietatibus, muniisque, in rpecie,de fingulari in-
cefTu arteriarum venarumque coronariarum in eo enar-
rantur,ea absque ingenti animi voluptate ac vtilitate legi
nonpo(runt,vt adeo Triumphum cordis iure meritoque
appellares. Quod itaque vaili huius membranae Hingui- FuhcTio
nea attinet,membranae fuperficiem internam terminan- praedi&ae
tis indifpenfabilis fundlio effe videtur , omnem in cordis ^"^^^^'^^^^^^
fubltantia dirtuium. languinem , cuius per vafa coronaria infuhjianua
exteriorem membranam perreptantia ingens copia fine co.dis dif-
intermilTione affluit; in finu fuo coUigere, quia vaforum f^f"^" f'!^^'
progrefTus hic fiftitur ac interrumpitur , yti confideranti \^-Zfuo7ol-
patet : In liuncce finem,perampla fupeificie fummaque liier^.
tenuitate haec mcmbrana inftrudla eft , vti fupra diximus,
fld praedid:am fanguinis eo tendentis copiam continen-
dam:Quarc huius intuitu (vt calorem cordis feu flammu-
lam vitalem hic nonrefufcitem) ad minimum conceden-
dumeft, membranam cordis interiorem infolita humo-
rum quantitate praegrauatametfaturatam elTe^attentoin-
credibili numero vaforum , quae ex omnibus cordis lo-
cis adueniunt : Ex fbueis enim ,tanquam ex teftis flora-
hbus,quaedam propagines arbufcula mentientcs prodire ■^'"^•''^^

y r I • rr r • .1 memhranas

obferuantur , haeque m egreflu fuo mirum in modum .,,^r^ r.^^_
luxuriantes, modo ad latera fouearum , modo circa co- gumea,
Jumnas chordasque,capreolorum infl:ar,variis modis im- ^^i^^-A,
plicantur j quemadmodum multiplex experientia te- '
llatur.

Vnum folummodo redat , an verc et natnraliter
duftus feu pori in praedidta membrana adfint , per quos
fanguis autfuccus qualiscunque in ventriculos cordis ex-

primi-

29^ I^E CLAKDVLIS

primitnr , pront famn huiiis noui inucntl initio fecii-
11 increbuit: Inuentum lane, multis egrcgiis meditationi-
bus ;ia("\m praebens , quo pulchrius, nobiliusque vix ac
ne \ix excogitari potell. Quam ob rem fcntentinm
meam vt exponam , prius experimenta affero j ex quibus
illa origincm fimul ac fundamentum mutuatrKxperimen-
ta , vti fpero , beneiioli ledores cogitabunt , minus erro-
ri et fraudi obnoxia, perfpicua, veritatisque notam fe-
cum aduehentia: Nam certum eft, quod experimentum
in minutis animalculis faepe incertum ac fallax , in maio-
ribus e contra.in quibus fenfuum fuffragia minusimpc-
dita funt, fine dubio et ambigu.rate inflitui poffint. Per-
luftratis itaquc cordi^ Elephantini, de quo fupra mentio
iniedla fuit, partibus maxime obuiis , exempH gratia fo-
neae, quarum nonnullae poIHcis diametrum aequabant,
columnae polHcem latae , vahiulae peramplae et craffae
fme globuHs tamen feu corpufcuHs , in figmoidearum
Exper- limbo deficient':bns, etcPrimum experimentum hoc fuit,
mennmi. yidere, an poft expurgationem ac elotionemcordis, quod
antea exfangue pallidumque apparebat , dcterfa prius
omni humiditate aduentitia , fanguis per compreffionem
cordis arteriarumque et venarum coronariarum,quarum
amplitudo maxima erat , e membranae poris cxprimi
poffet -, fed conatus irritus fuit. Poff: haec,vnum ventri-
culum cordis aHquamdiu aqua affufamaceraui, adtollen-
dum, fi poffibile effet , omne genus impedimentorum ;
Alter, vti erat,intaduspermanfit; cauitas vtriusque a-
perta et didudla fuit, vt quicquid fieret intus , ftatim in
confpedum veniat. Hinc aquam flauo colore tindam
^ et

CORDIS.

297

et tep'dam per venodi aeque ac arterlofa vafa ad vtrum-
que ventrlculum tendentia diueiris temporibus^omilTii li-
gatura ; liocque fecundum fuit experimentum , in quoet- £v^^>/.
fi iniediones diligenter continuatae ac reiteratae effent, inenta?n2.
fuccefTus tamcndefuit. In vna enim aeque ac inaltera
cauitate , effluxus per poros membranae , in quam de-
fixosoculostenebam, erat imperceptibilis \ e conuerfo
aqua per venam citato curfu redibat. Tertium experi- ^y/^^^.;,
mentum praememorato fimile fuit , excepta foli ligatu- mcntiimi.
ra , quam hic neceifariam elfe duxi, ficuti mox euentus
docuit:Nam quum in praecedente experimento, praeterre-
fluxum aquae per venam, mutatio fiulla in (uperiicie in-
tcriori confecuta fit, nunc in quibusdam locis membra-
nae praedic1:am fuperficiem. inueftientis , exilia vafcula
comparere incipiebant , quae adeo continuata aquarum
iniedione Increfcendo , intra breue tempus per vniuer-
fum ambitum confpicua fada funt , absque tamen aquae
fenfibili effluxu aut humiditatis apparentia. Pro quarto Experi-
experimento , in ipcm meiioris fortunae,aquam non ad- me-ntumj\,.
hibui •, fed fpiritum coloratum ; Deinde mercurium
prius per alutam traiedum; Poftremo flatum. Succes-
fus tamcn nihilo melior fuit , resquc in eodem ftatu per-
manebant. Attonitus quare hic omnes mei conatui ir-
riti , in minoribus contra animantibus tranfitus liquorum
flicilis e(fet , fortem meam infelicem deplorare coe-
pi, experimentis iftis valediclurus, nealia aeque neccs-
faria per obftinationem meam negledla pelfumdarentur.
Quum pofi:ero die,fub aliis negotiis, cor mihi obuium fa-
c1:um eflet, femel adhuc curaui', vt inieda V quantitate
Tom. II. P p fufH'

298 DE CLARDVLIS

Expm- fufficiente , id quod fliclum efl in ventiiculo macerato,
mentum 5. Viifcula , vti (iecet , (Iitis tiirglda redderentur , hisque
praeter flatum, compreilionemmanu fadam fuperaddi-
di, eamque folummodo biandam,citra violentiam. Ac
cidit non diu poH: didlam encheirifin,quum fpes nullafer-
me refidua elTet, vt ex quibusdam folfis, globuli mercu-
riales,ex aliishumores,in cuuitatem vtramque fubitoexi-
lirent , de quo vehementer laetatus fum.
p .^ Sed quia amor ardorque experiundi,veritatemque

txperi- quocunque pretio extorquendi, nos eo faepe abripit, vt
rnentam- triumphum ante vidoriam canamus , quando cx folo c-
frobantur. ^q^^^^ fme examine cxperimentorum, de naturae operi-
bus iudicium ferimus, incertus animiadhuc haereo, quid
concludendumfit, pofl:qnam adeo aegre et tarde, et poft
tantas vexationes eruptio liquoris fada fit. Non infi-
cior , liquorcs in cordis caua vias tandem inueniffe •, {td
nefcio , quid effluxum in principio et vsque ad
vafculorum fummam diftcnfionem retardare potuit.
Magna forte viarum anguftia ? concedo , fed caete-
ris paribus, minor efle debebat in Elephanto, quamin Oue
difiicultas \ Deinde faepe accidit , vt tunica membra-
Bam aut tubulum efformans , a variis caufis praeterna-
turalibus,foluta eius compagc, eum in fl:atum perueniat,
vt cedat contranitenii fluido , quod poftea pcr rimas aut
hiatus,modo fenfibiles modo infcnfibiles,praeter naturae
jnftitutum elabitur. Pari ratione, de nofira membrana
cordis^vafculisqueintertextis cogitandum eft:Nam,quum
huius membranae minima fit refiftentia propter fummam
eius mollitiem , idque in minoribus adhuc magis quam io

gran-

CORDIS. '299

grandlorlbus animiintibus , pcricnlofum erltj rem cum
jpfii habere , quoniam aud:a mollitie et plenitudine y^-
fculorum, nifum perferre amplius nequit , eamque ob
caulam fuccumbens, in fpeciem filtri commutatur. Ad-
dcj quod ruptura Yel excoriatio in nonnullis locis fenfi-
bilis fuerit. Tantum de membranae interioris cordis va-
fisfanguiferis.

Nunc infgnis proprietatis , quae inopinato in ea- Glandu-
dem Elephanti diffeAione oblata eft, mentio poftremo ^""^ '^''"^'^
facienda eft , videlicet,exiguarum glandularum ad prae- imentae,
fatam membranam pertinentium. Dixi inauditam pro-
prietatem , quia cum morbo et (Ine m.orbo dcfundorum
EIephantorum,aliorumque animantium hominumque dis-
fediones,eam filentio praetermittunt:Etcnim,quumhaud Corano^-
maiorem cordi immunitatem a morbis conceffam effe noxmt
quam caeteris partibus, omniaque hafce afficientia mala, ^'^'^<?^^^^T
cordi communia efle conftet , vt primum in haecce cor-
pufcula incidi , ft itim ambigebam,vtrum impreftloni feu
charaderi vitiofo imputandum fit phaenomenum nec ne:
Quare ad veram huius inuenti caufim inueniendam,cor eius-
que fmgulas partes internas et externas diligenter examina-
bam , fpe fore, vt vitium clarius et certius innotefccret;
Aft incaftum : Pallore enim excepto, concretionibusque
lardo fimilibus, maximis , e cordis ventriculis vsque ad
vaforum cauitates protenfis , reliqua fatis bene valere vi-
fa funt, nullo fenfibili vitio , nulla inflammatione autcau-
ftica malignitate extus vel intus apparente ; E contrario,
notae glandularum feu charadler hifce proprius adeoma-
nifeftus erat, vt de earum exiftentia amplius non dubi-

P p 2 tans

300 BE GLANDVLIS

tans ) potinima niinc cura eo conuerfa fit, vt noui liulus

inuenti notitiam accunitam,vnacumdelineatione bona in

Tfum anatomiae acquirercm.

Brfcnitio Harum glandularcm obferuatio fine microfcopii

glanluia- opc flida cft : Eae enim in fuperficie Ttriusque caui-

7w« rori/j. ^,^^jg cordis , intuentium oculis ftatim apparuere ,

BBB. '^^^"^^ Tabula XVIII. exhibet funtque tubercula ,

caput aciculae acquantia , albicantia , quae propter

membranam inftar vitri transparentem inconfpicua effe

nequeunt , etfi tumorem perexiguum efEciant. Pone

hancce membranam,cui ag.glutinata funt , veluti incarce-

rata et comprefla iacent , fpeciemque glandularum foli-

tariarum conftituunt, quia non coniugatimjfed in diuer-

fa a fe inuicem diftantia liinc inde difpofita funt. Quam-

obrem,quid initio dehacce raritate feu fl:erilitate,pro tam

vafta fuperficie , in qua nimis vifie funt disgregatae,

coniicerem , incertus fui. Numerus enim amplitudini

cauitatis minusrefpondebat. Tandem cogitatio incidit

fofTularum, in quibus nonimprobabile vifum fuit, natu-

ram forte aequalem numerum talium glandularum col-

locafTe , ficuti alias in occultandis fuis operibus non in-

frequenter hocce artificio vti folet , quemadmodum in

glandulis intra cauernulas fmuum durae matris contentis,

quas vix ac ne vix eruere fis eft , confpicimus. De fa-

Ltt.CCCC ^Q ^ plures eiusdem generis gkndulae praecedentibus

perfedefimilesjin praefatis foflulis inuentae funt , prout

fjifj^e^ difTcdio comprobauit , neque alia lege eas difpofitas vi-

llanhdae di , quam vtfuntiliae, nimirum difcretae et folitariae:

mdextni Duas enim fimul iundlas obferuare non potui. Porro

\7'icntae niemini,in dextro ventriculo maioicm quam laeuo earum

fre-

CORDJS 301

freqiientiam fefe manifcftafle , ciiius difcrlminis caufa ,
etfi forte folus Deus nouerit, ex iis, quae de Yfu harum
glandularum , in fme expofiturus fum, diuinagda eit. Edrum
De caetero in colore, magnitudine, diftributione, fwtne.
nullumratione ventriculorum dircrimeninternorcerepo- ^^^^^''^'^^*
tui , quamquam haud diifimulandum fit, nonnu!las prae
aliis minus compreifasac magis fiiligiatas apparuiire,Yn-
de hanc fpem concipiebam, fore, Yt fuccum per leuem
cxpreifionem obtinerem , ex quo ipfuis naturam co-
gnofccre poifem ; At fucceifus defuit , idque Yarias ob
cauilis contingerc potuit , Yti experientia teilatur : Vidi
eodem tempore(nontamen in omnibus,)in medio apicis,
pundum exiguum nigricans,quod, Yti puto, folliculiglan-
dulofijVel accuratius loquendo,du6lus excretorii in mem-
brana deiinentisYerumorificium feu cmiilarium eil, quod ^^ ^^'^fi<^'m
in omnibus in quibus confpiciium erat,Yniformem fliciem
obtinebat : Subilantia autem feu corpus ipfum glandulae,
albicans erat, firmitatem feu confiilentiam , quam conii-
miles glandulae habere folent , adeoque inilar earum,
quae in durae matris receptaculis,aut in intedino conti-
nentur , obtinens. Qiiali conformatione ieu compage in*
flrudlae fint praedi(flaegIanduIae,propter earum paruam
molem fcnfu aifequi non licuit. Inutiks ad hunc fco-
pum fuere adhibitae iniediones , fedliones , Yitra melio- Intema
ris notae, quibus poilquam fatis diu meexercuiifem,ni- ^_^"^:^ge^
hilque praeter Iucidam,et nebulae fimilem fubitantiam, "^^"•'^"'^^
in qua indiilindum et confufum quoddam chaos apparuit,
detexiffem, nouo hoc exemplo edocTtus fum, in maximis
aeque acminimis animantibus, aeqiialance Matiiram fiiae
P p 3 7nkro-

i02

DE GLANDVLIS

Cur hi
aiiis ani-
manUhus
glanlulae
cordis in-
confpicuae

hurum

glandida-

rumpro-

ponitur.

Scilicet

fanguinem

fiirumfe-

cernere.

vjicrologiae muneracontulijfe^ quaefortc mortallum ocu-
lis nnnquam pntebunt.

Haec funt , quae experientia duce, ad cordis cogni-
tionem promouendam,in ElephantidifTedlionejnobisnon
infaufta (orte oblata fiint. Sed, ais, ex vno particulari
exemplo nihil concludi potefl, concedo : Neque is fum
qui talem audloritatemmihi tribuo. Interim, quum ino-
mnibus animantibus reliqua bene concordent, folaque
forfitan magnitudinis ratio hoc in cafu confideranda fit,iufl:a
cfl; caufa accufandi obfcuritatem in aliis animantibus,potius
quamabfentiam realem: Addo non extraordinarium efle,
glandulas confpicere in orgnnis analogisv. gr. in finubus
durae matris.Propterea miffis am.bagibus, concludere fas
efl:, praeter impulfumcordis,ettransfufionem fanguinisper
pulmones,et reliquas partes corporis , aliam cordi infi-
tam efle flicultatem, prout fummi Philofophi et Medici
olim folo rationis lumine coniedati funt. Hancce facul-
tatem confidero, tanquam fummum naturae arcanum,
quo nullum implicatius et obfcurius effe potefl : Hunc dc
eo conceptum mihi formo. A quacunque caufa motus
cordis in yitae primordiis fufcitetur, neceffarium efl, vt
vi huius impul(us,ad teneram membranam in cor abitu-
ram ante omnes alias partes pertingcntc, glandulae cor-
diseodem tcmporis momento exfufcitatac et viuificatae,
paululumque compreffaejVirtutem fuam primavice,etan-
te omnes totius corporis glandulas exerceant , quod ex
earum fitu patct. Ante momentum,quo illa primafun-
€tio glandularia perficitur, in corde et duAibus fangui-
neis^fucci purpurei nuUum vefligiura percipere licet- E
conuerfo, limpida ^et cryfl:allina lympha folummodo ap-

paretj

CORDIS. 303

paret , quae fofrularum loculorumqne cauitates replet.
Pulmonis aliarumqucpartiumfundiones,veluti emortuue,
ius in hancce lymphamhaud exercent. Ex ipfa denique Lympha- in
lympha, ceu materia, purpurae originem deriuare minus faniuinern
etiam probabile efl, quoniam naturam alienani,lympha ^.'/^o«Zn'
propria virtute fibi dare non potefl:. Confideretar e- efi.
nim in homine, vel animali adulto, lymphu in duplicifta-
tu in quo inueniri folet, nimirumvafislymphaticis inclu-
fa ac motu perpetuo circumada, aut vafis arteriofis veno-
fisque contenta et malTae fanguineae confufa. In vtro-
que (latUjIympha natiuumcolorem,nunquamnifi cafufor-
tuito pcrmutat, quin e contra, magis clara et pellucida
euadit. Hunc colorem non folum retinet in vafis pro-
priis,in quibus impermixta et pura eft; fed etiam in vafis
fanguineis vbique , nec obflante diuturna flime. Qiiare
erroneum eft credere , chylum et lympham, per certam Sangulfica.
nietamorphofin quam fanguifieationem vocant , in pur- ^'^ '" '^'"^'
pureum humorem commutari fubflantialiter , feu in pu- ^^liaJdltur,
rum fmguinem conuerti. Subtitulo fanguinis,non in-
telligo vniuerfam maflam fanguineam, ^ti^ fuccumquen-
dam fpecifiCum,certo et determinato organo praepara-
tum, morealiorum fuccorum^ex.gr.bilis, feminis, li\- ^iad pro-
dis ctc. a quibus colore intenfe coccinco , inde- priefangnis
lebili,fibi foli proprio difcrepat, quales fere fucci fmgui- ^'^^^^.^"i'
nei,in nonnuUis animantibus intra peculiares folliculos "^^'
ab Anatomicis dudum inuenti furt , ex quibus pretiofi
pigmenta ac tindlurae poftmodum praeparantur. Hu;us
itaque fucci originaliter coccinei,cuius depofitariae et di^
fpenfatrices funt praefluae glandulae cordis , mifcella,

lym-

304 DE FRESSIONE

lympba quidem vel chylus,in fanguinem nunquam neque
in primordiis, neque in progreffu vitae mutatur ; Aft,
quemadmodum alii fucci ex- gr. Bilis,Semen, Lac. etc.fic
fiiccus ifte rubicundus lympliae aut chylo folummodo
aflbciatur , etfi infpicienti , tota malTa purus putus fan-
guis appareat , quem efFe<flum tribuere oportet , excellen-
tiae ac virtuti praefati fucci,acuius colore,reliquorum
fuccorum colores abforbentur etc.

D/sfertatio
DE ACTIONE FLVIDORVM

IN CORPORA SOLIDA
ET MOTV SOLIDORVM IN FLVIDIS

Auct.
Daniele Bernoulli I. F.

Pars Prima
De Preffione Aquarum fluentium. -
I.

M.M.hm. M ^Luida , quae occurrunt folidis quiefcentibus,
etOciohr. Bj eadem remouere conantur : Ktum conatum
^7^^' B ^ voco preffiouem feu adionem. Cum folida
•^^ mouentur in fiuidis (lagnautibus , refiftentiam
patiuntur , quam caeteris paribus eandem effe debere
cum praedida preflione, nemo non videt. Quantimo-
meuti fit preflionem illam feu refiftentiam exade defini-

re,

JQFARVM FLVENTIVM, 305

re , ex fequentibns. patebit ; haec Jiiitem detcrminatio
pendet omnino a modo , quo fluida ngunt in folida ; (ed
potefl: diuerfimodc haec adio concipi , non fine vario
fuccelTu. Vnde nihil (tatuendum mihi propofui , quod
non experientia eifet confirmatum.

II. Si concipiatur fluidum conflare ex pnrticulis
claflicis , quae flatim poft impulfum ad latus defiliantlo-
cumque f-iciant particulis fubfequentibus , tunc preflio-
nem fluidorum fequentem in modum determinare li-
cebit.

Impingat fluidum ABDQfig. I . ) peJ*pendiculariter in
planum BD ponderis cxpers , cui annexum efl: ope tro~
chleaeRpondusMNquodfluidiimpetum fuftinere poflit.
Sumatur in fluido longitudo quaeuis BAzn^ , cuiuspon-
dus ponatur znp, tempus autem , quo fluidum longitudi-
nem afllimtam defcribit — ^ minutis fec. expreflnm,rpa-
tium quod graue libcre cadendo a quiete dcfcribit tem-
pore vnius minuti fec.zrj". Nunc vt determinetur pon-
dusMN, confiderabo planum BD tnnquam alternis vi-
cibus cedens in fitum bd iterumque in locum priftinum
rediens , huncqucitum et reditum toticsfieri, quoties
particulae fluidi impingunt inplanum. Fingam porro
fluidum diuifum efle inmulta flrata pp , 00 etc. "tenuifll-
ma et folida , quorum latitudo fit 1=:/. His ita pofitis
patet fluidum abloluerelatitudinem vnius flrati/)/), inter-
ea dum pondus MN femel afcendit motu vniformiter
retardato per altitudinem Mm , iterumque per eandem
altitudinem motu fimili et reciproco defcendit. Poteft
autem corpus MN eodem tempore quo afcendit et de-
Tom. II. Qji fcen-

3C6 DE FRESSIONE

fcendit per Mm abfoluere fpatinm 4MW , fi vniformiter
progrediatur velocitate fua initiali feufinali, quam ni-
miriim habet in fitu MN. Eft itaque velocitas fluidi
2d velocitatcm initialem ponderis vt / ad 4MW. Mani-
fcftum quoque eft, quodmodo notaui , veJocitatem fina-
lem corporis MN poft defcenfum eandem elfe cum ve-
locitate initiali pro afcenfu ; vnde cum veiocitas lit ea-
dem ante et poft idlum, fequitur pondus ftratl pp feu -|
e^Q ad pondus MN reciproce vt eorundem velocitates,
feu direcle vt 4M/W ad /. Vnde pondus MN=r;^^^-,
fupercft itaque pro abfoluta ponderis determinationc , v^
exprimatur valor ipftus Mm. Is vero ita obtinebitur •
tempus quo fluidum abfoluit (patium / eft n-^ ; ergo
tempus, quod pondus infumit cadendo per Mm eftzZj^,
Sed fpatium tali tempore a corpore vniformiter accele-
ratodefcriptumeft=:ii^; ergo Mmzizl^, quem valo-
rem fubftituendo in acquatione pro pondere MN, habe-
"bitur tandem pondus quaefitum MNhTj^.

III. Cum a fit quantitas arbitraria, poteft illa ac-
cipi 3=x , id eft , =:i6^ ped. Lond. et fic erit pondus
MNn^, eft itaque pondus fluidi longitudinis 16 j pcd.
Lond. ad pondus MN , quod fuftinere valet , vt quadra-
tum numeri exprimentis minuta fecunda , quibus flui-
dum abfoluit pracdidam longitudinem i6^ped. ad v-
nitatem. Et haec propofitio conuenit cum propofitio-
ne quam habet Cel.NewtOBus in Princ. Math. Phil. Nat.

p.325.

AQVARVM FLVENTIVM, 307

p. 325. edit. 3. his vcrbis ; et propterea globus refijlen-
tiampatitur , quae fH ad mm, qua totus eius motus vel
auferrlprjfit velgenerari.quo tempore duas tertiaspartes dia-
metrifuae miformiter progredicndo defcribit , vt dcrfitas
medii ad denfttatem ghbi, Ifta conuenientia manifefta
eritiis, qiii fignificationem verborum Newtoni aflecuti
fuerint. Caeterum , fi bafis ponderis MN eadem fueric
cum fedlione perpendiculari fluidi , atque infupcr cum
fluido eandem habeat grauitatem fpeciflcam, erit ipfius
longitudo n:-^, ponendo femper a-zzs,

IV. Vt experimento cognofcerem num haec ve-
ra fit determinatio preffionum fluidorum , confideraui
fluida cx cylindro perfornto erumpentia. Demonflra-
tum autem eft , quod fi cylindri flnt fatis ampli vel fi
femperpieni conferuentur , velocitatem fluidi erumpen-
tis feretantam fore,quantamgrauel!berecadendoper alti-
tudinem fluidi fupra foramen acquirit. Sit ifta altitudo
zzL , et erit tzz^^^ vnde ^zir^L. Oportcret itaque

pro hypothefi hadlenus affumta , vt pondus quod vena
fluidi per foramen erumpentis fufl:inere poteft , effet ae-
quale quadruplo ponderi cylindri fluidi foramini fuper-
incumbentis. Impleui proin aqua cylindrum AD(fig. 2.)
cuius pondus prius exploraueram vna cum ratione quain
habebat amplitudo AB ad foramen circulare 0 , imple-
tumque rurfus ponderaui , adeo vt iam fcirem pondus
totius cylindri aquei ABDC, ex quo facile erat colliger
re pondus cylindri or foramini fuperincumbentis. Dein
regulam MG ad aequilibrium pofltam fuper fulcro

Q q 2 in F

3o8 BE FRESSIONE

in F , oneraui pondere E , quod cum iii aequili-
brio effet cum impetu vemie aqueae ad diftantiam aequa-
lem ab bypomochlio F incidentis in regulam (id quod
cognofci poteft,quando regula tantumnon eleuatur)com-
parauiilludcum pondere cylindri or^ et vidi iftapondera
cfTeexadleinter fe aequalia cum tamen prius quadruplum
elfe dcbuiirct alterius, adeo vt hypothefis affumta locum
haberc non poHit. Experimentum ab aliis iam fuit infti-
tutum,

V. Si (int^pp^oo etc. (flg. i.)habeant naturam corpo-
rum mollium , tunc infiftendo iisdem veftigiis reperietur
pondus MN duplo minus. Haec vero hypothefis prae-
terquam quod cum experientia nondum conueniat , vcl
ex eo quoque refutatur quod vltimae particulae fluido-
rum tanquam maxime durac, necefllirio fumma elaftici-
tate fint praeditae. Si denique concipiatur ftratum pp
poft impulfum fuum in planum BD iterum reda refllire
(neque enim ftatim ad latus defllire poteft) atque ita im-
pingere in ftratum proximum oo et tunc demum parti -
culas vtriusque ftrati ad latera dilpergi , fiet ut ftrata al-
terna inutilia perdahtur , et preffio fluidi iterum duplo
minor erit,quamquaedeterminata fuit §. 2. effetque haec
hypothefis fatis verae fimilis, fi modo experientiae ma-
gis conueniret.

VI. Exiftimo itaque non pofleprefllonesfeurefiftentias
fluidorum continuorum fingi ut ortas ab impetibus mi-
nimis et faepe rcpetitis particularum vltimarum fluida
componentium ; Neque ahter adionem fuam exerunt
fluida pro meaopinione, quam grauitandoin obftacula.
Id autem , ni fallor, ex fequenti explicatione vnicuique

mani-

AQVARFM FLVENTIVM. 309

manifcftum fict Sit cylindrus ABDC (fig 3.) aqua rc-
pletus , et in fundo habeat foramen on ; cui refpondet ob-
ftaculum am , quod \enam aqueam cxcipit. Sed iam
particulae aqueae nonpercuticnt obftaculum, quin potius
praeterfluent , ficut oba et nbiii. Poffumus itaque con-
cipere , circellum mn pertinere ad cylindrum ipfique es-
fe firmiter annexum, rimam vero ku hiatum inter fun-
dum CD et circellum am iam cfie foramen per quod a-
quaeffluit *, et ita cuilibct obuium eft, non pofle am a-
liter premi , quam a fuperincumbente cyhndr© aqueo
orsn (neghgendo particulam onma) pariter ac omnes cy-
lindri partes premuntur a cylindro aqueo fibi incum-
bente.

Caeterum poffunt omnia fluida , quae funt in mO'
tu, conflderari tanquam fi continuo ex cylindro conftan.
ter pleno per foramen in ima parte cylindri confiitutum
effluerent ; altitudo autem iftius cylindri fidlitii ea fit , yt
graue per illam libere cadendo acquirat \elocitatem
fluidi.

VII. Expraecedente paragrapho fequitur prcfllo-
nem fluidorum effe quadruplo minorein , quam deter-
minata fuit in paragrapho fecundo , vnde retentis fym-
bolis ibidem affumtis crit verum pondus MN::=-^^, fiue
faaoiterum^j-,MN=^^ ,vbiper / intelligitur numerus
minutorumfec.^quibus fluidumabfoluitmotu vniformi fpa-
tiumj-feu i(5^ped.Londinenfium. Sivelocitas fluidi alio
modo determinetur, aliaobtinebiturformula. Ponaturv.
gr. velocitas talis vt tempore vnius min. fec. fluidum ab-

Qq 3 foL

510 DE PRESSIOKE

foliiat na, erit pond. MN=:i«'?/> , vel fi ^ non fit rr/,
erit MNr::— *^ ; fcd calculus fit maxime commodus, fi
a exprimltur per x, adeo \t ponatur vel ^==:i vel rtir^x
\el a^Sy oportet autem mcnfuram femel afTumtamre-
tinere, et omnes magnitudines ad iilam reducere. In-
terim patet ex praedidis formulis efTe prefliones fluido •
rumin ratione (Iiperficierum quaspremunt, dcnfitatum
fluidorum et celeritatum quadratorum.

VIII. Et haec hadlenus de fluidig perpendiculari-

ter in plana incidentibus : pauca iam addam circa cafus

reliquos, cum nimirum fluida vel oblique incidunt in pla-

na vel fub quacunque diredione in fuperficies quascun-

quc. Hic ante omnia monendum puto , quousque ex-

tendendum fit id quod dixi f. 6. fcilicet polfe confidera-

ri obftaculum^w tanquam pertinens ad ipfum cylindrum

ABDC. Scilicct fluidum premit vbique perpendicula-

riter latera cylindri , excepta illa fluidi parte , quae iani

eerefla ex cylindro nifiim facit tantum fecundum dire-

dionem curfus fui , qui fi non fit perpendicularis ad ob-

ftaculum eritprelfio fluidi refoluenda in duas alias, qua-

rum altera fit perpendicularis ad obflaculum , altera ei-

dem parallela , folaque prior adhibenda. Vnde fcquitur

efle caeteris paribus prefilones in ratione anguli inciden-

tiaefinus. Ponamus nunc cfle filum ADB (fig. 4.)

cuiuscunque curuaturae , fed cuius rami AD et DB fint

fimiles et aequales illudque excipere fluidum fub dire-

dione DC et quaeritur ratio prefiionis fluidi ad illam

prefilonem quam exerceret perpendiculariter fluendo in

^ AB.

AQVAKVM FLVIDARVM, 311

AB. Sit elementum cuniae or:=zcIs , elementum abfcis-
faegbziopzzidx, AC~^, prefTio fliiidi in AC—p , ergo

preifio in gb vel opzzi^l""- , et prefTio in or:=:^-^ , quac
refoluenda eft in duas alias fecundum dirediones cg^ et
op ; pofterior deflruitur a fimili prelTione aparte oppo-
fita agente ; vnde prior fola confideranda eft , quae fit

^llh^ cuius integraleyl^^ dabit integram preflionem
in arcumA^), ponendoque dein .mZ', orietur totapres-
fio in AD, qiiae comparata cum p dabit rationem quae-
fltam.

IX. Eadcm ratio fubflflet fl integra fuperficies ge-
nerata concipiatur ex motu curuae ADE circa
axem DC. Sed fi haec eadem curua ADB rotan-
do circa axem DC fuperflciem generet in quam fluidum
impingit , erit prefljo in annulum orzz'-^^^— et preflio

bds"

in annulum g^—— ^-^-^ (n denotante femicircumferentiam

circuli , cuius radius zn vnitati); efl itaque prcflio in to«
tam fuperficiem Ao ad prefllonem in fiiperficiem pla-

nam A^ -vtj^ll^J^ ad ^:||^. Sequitur exindeefie pres-

fionem in fiiperficiem fphaericam dimidiam totius pres-
fionis perpendicularis in circulum maximum. Haecvnit
notiflima, indicare tamen volui, quia explanare et intel-
ledlu fiiciliora reddere poCunt ea , quae in fequentibus
dicentur.

Vars

312 DE VLT VELOCIT, CORTORVM

Pars S^cunda

De vltimis velocitatibus corporum
in mediis refiftentibus.

Vldimus ex pr^ecedentibus quomodo acftimanda fit
ex grauitate et velocitate fluidorum', eorundem
preflio: In fequentibus dabo menfuras efFedluum , quos
huiusmodi prefliones producere valent in diuerfis corpo-
ribus variis legibus motis, Hacc autem fecunda pars
confiderabit potifllmum corpora in fl:atum permanen-
tem et inuariabilem pofita : tametfi enim corpora viae-
quabiii follicitata in mediis reflfl:entibus nunquam perue-
niant ex quiete ad fl:atum permanentem , attamcn ple-
rumque citiflime ad illum conuergunt , ita vt deinceps
nulla fenflbilis difFerentia in motu corporum obferuari
pofllt. Caeterum iam monui reflftentiam , quam cor-
pora in motu flio a fluidis ftagnantibus patiuntur, non
difore a preflTione fiuidorum eadem velocitate contra
corpus quiefcens motorum.

il. Si in fluidoinfinito corpora grauitatefua deor-
fum mouentur , conuergunt ad illum ftatum , quo refl-
ftentia aequalis eft eiusdem ponderiin.fluido. Pondus
equidem conftanseft,quaecunque fitfigura corporis,modo
habeat eandem molem. Sed refiftentia in corporibus
diuer^lae figurae varia eft. Nos vero confiderabimus tan-

tum

IN MEDIIS RESISTEKTIBVS, 3 1 3

tnm globos. Methodi applicatio ad aliasfigurasfaciliserit
ex<$ij.8.et9.part.i.lnhis itaquefi quaeraturvelocitasvlti-
ina,fequentem in modumerit procedendum.Retineantur
fymbola §. 7. part. I. et ponatur velocitas quaefita ta-^
lis , \t abfoluat intra min. fec. fpatium na. Erit refi-^
ftentia globi ^^^ (num rcfiftentiaglobi dimidia eftquam
refiftentia circulimaximi per §. 9. p. i . ct refiftentia cir~
culi maximi eft ^^^ per §, 7. p. i.) •, fit praeterea dia-

meter globi =?;/, et ratio grauitatum fpccificarum inter
folidum et fluidum vt i» ad (T , atque pondus abfolutum
globi =1 , erit pondus globi fimilis fluidi zn-^ et pondus
cylindri fluidi globo circumfcripti =|| ; vnde/)=l^^
et confequentcr refiftentia globi ~^^^^ , quae dcbet
efle z:z ponderi globi in fluido , quod cft zzt^ ; ergo
f^=:^-r,vel«^=4V^fipr, ctpofteriorhaecfor-

mula denotat fpatium , quod globus vltima fua vclocita-
te intra min. fec. perficcrc potcft.

Ill.Si m fit rz -r%s^ id cft , Ci diamcter globi fit 3.

ped. cum quarta partc vnius pollicis , crit praedidlum

fpatium z=:sV^^ , et fi globus fit duplo grauior mole

aequalifluidi, crit rnzns , id eft, globus pcrficiet vcloci-

tate fua vltima 16-^- pedes Anglicos , hancque celerita-

tem corpus libere cadcns acquirerc poteft lapfu ex altitu-

dine :^.r. Et gencraliter vltima celeritas corporis acqui-

ri poteft lapfu fuo libero ex altitudine ^^^f±^ • vnde fi

TomM, Rr '' fc

314: DE yLT VELOCIT. CORPORVM

h zr. 2C ^ globus delapfus in fluido ex altitudine infinita
non maiorem acquireret \elocitatem, quam in vacuo ha-
bcretpoftlapfiim exaltitudinequatuor tertiarum partium
quac diametri.

IV. Eadem methodo etiam folui polTunt quae-
qioncs de vltima Yelocitate nauis in mari. Totautcm
reuiruntar data,vthaec fereomiiivfu careantinpraxi,m«
fi adhibeantur quaedam artificia, quibusbreuius defide-
rata determinantur. Si nauis a vento propellitur, opor-
tet noffe velocitatem venti , numerum et magnitudines
Telorum vna cum eorundem pofitione ♦, ab his pendet
vis naucm propellentis determinatio *, poffunt autem, ni
fallor , fatis accurate haec haberi. Id vnicum obtentu
difficillimum eft , vt habeatur figura exafta illius partis
in naue , quae aquae fubmerfa eft •, ab hac vero pendet
refiftentia aquae , quae vi nauem propellenti debet effe
aequaUs. Ponamustamenhaec omnia data in exempla
quodam particulari , vt fUtem pateat modu«, quo in his
cafibus procedendum. Sint v. gr. vela omnia perpen-
diculariter ad fpinam et diredionem nauis pofita , ha-
bcantque in vniuerfum mille pedes quadratos in fuperfi-
cie , fit velocitas venti talis vt poftlt quinquaginta pedes
intra min. fec. abfoluere. Habeat pars nauis fubmerfa
talem figuram , vt refiftentia cadem fit , quam haberet
planum quadraginta pedum quadratorum , cuius diredio
eft perpendicularis ad planum. Sit denique grauitas
ipecifica aquae ad grauitatem fpecificam aeris vtSooad
I, atque numerus pedum (quos nauis velocitate fua mi-
nima percurrit tempore vnius min. fec.) ^x. Opor-

tet

m MEDIIS RESISTENTIBVS, 315

tet autcm , -vt vis venti eadem fit , quae refiflentia aquae:
Suntque preffiones fiuidorum in ratione quadrata velo -
citatum , et fimplici fuperficierum nec non denfitatum»
ErgopreflTioventieritexprimendaper (50— .r)'x lOOOxi
et refiftentia feu prefTio aquae per vUVx^oxSoo. ergo
2500000 — iOOOOO.r-4- iooOT.r=: 32000:r.r ; vcl
i^O-xzzxV '^Q , vnde .rzzy^-. ped.proxime.Igitur talis
nauis poterit fingulis minutis fecundis conficere circiter
7-^. pedes.

V. Ad normam praecedentis exempli omnes ca-
fus pofTibiles calculo fubiici poiTunt ; cum autem pofitio
velorum efl: ad nauem obliqua, res eft altioris indaginis;
poterit tamen quodam modo folui, fi praedida confe-
rantur cum Patris mei manuaria naut. Caeterum ve-
locitas venti cognofcitur ex vi venti , haec autem ex ane-
mometro haberi potefl , et determinatio illius fuperficici
planae , quae eandem habet cum parte nauis immerfa
refifl:entiam ex eo potcfl: deduci , fi experimento inno-
tefcat, quantum in aqua fl:agnante nauis dato temporeet
data vi tradla promoueatur. Ifla dedudlio patebit ex
fequenti p ara gr apho .

VI. Pes cubicus Londinenfis continet circiter 76
libras romanas aquae duIcis.Pofito iam planum contine-
re tot pedes quadratos , quod continentur vnitates in /J
illudque moueri diredione perpendiculari in huiusmodi
aqua dulci et quidem tali velocitate, vt fingulis min. kc,
conficiat certum numcrum pedum defignatum per n.
Erit prcfljo aquae contra planum -^Jl^ (per J. 7. p. i.)

Rr a ct

3i6 DE VLT VELOCIT. CORPORVM

ct fi pcr /7 intclligere velimus menfuram vnius pedis,erit
pzz tot libris quot continentur vnitates in y6f, vnde
preflio aqiiae contra planum iam eftzzli^^feu '-^^
quae eft aequalis ipfi preftioni mediante qua planum in
motu fuo conferuatur, quaeque proin fi aequetur cumvi
nauem propellente , habebitur numerus defidcratus/.
Ponamus v. gr. elfc nauem ita formatam et oneratam,
vt illam decem homines (quorum acflionem aequipollere
ponemus lOOO libris) tempore duorum minutorum pri-
morum in aqua ftagnante trahere poftintperfpatium mil-
le pedum ; erit in hoc cafu nzn V* y ^^ habetur ±2^
mlOOO , vnde habebitur ponendo pro s valorem i6^\
fzzlZ-^-^. Ergo haec nauis candem habebit refiften-
tiam ac habcret planum 1 2^y ped. quadratorum per-
pendiculariter contra aquam motum. Liceat hic in
tranfitu monere , inepte machinas adhiberi ad protra-
hendam nauem in aqua ftagnante neque vtilius vimimpen-
di pofte quam manibus trahendo funem vel naui alliga-
tum , fi homines confiftant in ripa, vel alicubi fixum, fi
in naui trahant. Quoties autem machinae adhibentur
perditur inutiliter vis in fridliones impenfa : Si tamen
aquae notabilem tenacitatem inefTeponere vellemus, non
reiiciendus elTet illarum vfiis.

VIT. Videmus quoque corpora fluminibus innatan-
tia non omnino eandem habere velocitatem , quam ha-
bet aqua. Id cx nulla alia caufa deducendum quam ex
reftftentia aeris. Hinc fi quaeratur velocitas quam cor-
pus innatans flumini habeat refpedu fluminis , illa ob-

tine-

IN MEDIIS RESISTENTIBVS. 317

tlnebitur fi detnr in corpore tam figiira partis aqiiae
fubmeriae quam iigura partis extra aquam pofitae. Si
refiftentia prioris fit ad refiftentiam pofierioris vt i ad
w, et fi velocitas aquae dicatur n , velocitas corporis x,
corpus mouetur contra aquam velocitate ?i—x et contra
aerem velocitate x ; et cum refifientiae vtriusque fluidi
in corpus debeant effe aequales, habebitur Soo ^{n-xf
-mxx,ydn-x-^, et .-^^;^^^- r , etretardatri^
ab aeris refiftentia , quae exprimitur per n-x^ erit ~

n^m

^m.

^g-o^ ? ex qua preffione patet , non pofTe hanc retjr-
dationem omnino negligi , cum 7n efl numerus admo-
dum magnus, veluti in nauibus,vbinonfacile rainor erit m
quam 50 feu 49. Vnde in his refiftentia aeris haud mi-
norem quam quintam partem velocitati (quam alias ha-
bitura effet nauis) demet. Quod fi vero corpus totum
fluido eft fubmerfum , non potcfl non eandem cum flui-
do velocitatem habcre.

VIII. Non abs re fore puto hic quacdam obiter
monere circa vortices coelefles. Statuitur vulgoplane-
tas a materia fubtili circa folem adla abripi. Si ita fit,
oportet vt planetae habeant eandem celeritatem cum
materia fubtili. Ahi infuper fingunt , materiam iflam
inaequali velocitatc ferri , exinde deducfluri motum pla- '
netarum circa axes fuos. Videamus autem quanta ifla
inaequalitas velocitatum effe deberet- Sit diftantia ter-
rae a fole =:i2000 diametrorum terrae; et fic centrum
terrae mouebitur ^^j^ vicibus celerius motu annuo
quam pundtum aequatoris motu diurno *, vnde maxima

Rr 3 diffe»

51 8 DE VLT. VELOCIT. CORPORFM

difFerentia velocitatnm materiae fiibtilis in regione ter-
rae effe deberet =t-^|^3- velocitatismediae, cumdif-
ferentia diitantiarum exaequat tantum partem duodecies
millefimam diftantiae mediae ; quae rationum inaequa-
litas vix concipi poteft. Si fingatur planetas moueri in
fluido quiefcente, oporteat vt fluidum illud fit minimum
3000000 vicibus rarius quam materia planetae, quia a-
lias non poifet non fenfibiliter planetae motum pertur-
bare, Quis autem tantam fubtilitatem concipiat ? Mo-
tum planetarum in vacuo , multo minus probo.

IX. Notari quoque meretur, quam infufficieng (it
hypothefis Cartefiana pro explicando defcenfu corpo-
rum a grauitate. Praeterquam enim quod corpora noii
verfus centrum fed verfus axem tendere deberent , non
pofTent non abripi a materia fubtiii unaque cum illa in
vorticem agi. Commode admodum fingerctur mo-
tum iftum horizontalem effe infinities minorem motu
verticali , fi modo id (lare pofiet cum folutione fe-
quentisproblematis. Pr^?/;/. SiinvorticcBCD (fig. 5.)cu-
ius ccntrum A,quiefcat globus E grauitatis expers,quae-
ritur ratio impulfus fluidi in fuperficiem globi fecundum
direcftionem tangentialem ad preffionem , quam fluidum
ob vim fuam centrifugam exercet. Sol, Sit diftantia glo-
bi a centro vorticis —r , numerus pedam quos fluidum
vorticis in illa difl:antia abfoluit tempore vnius minuti
fec zzn ; denique pondus globi fluidi zizp. Monftrauit
autem Hugenius , quod fi globus feratur ea velocitate,
quam acquirit lapfu fuo libero per altitudinem ^r , eius
vis centrifu^a aequalis fit fuo ponderi. Ergo cum i-

deai

IN MEDIIS RESISTENTIBFS, 319

dem corpus mouetur ea velocitate qiiam acquirere ca-
dendo ex altitudine ^ , tunc vis centrifuga erit ad po-
dus vt ^ ad ir (per s autcm femper intelligo numerum
pedum , quos graue cadendo dcfcribit intra minutum fe-
cundum). Sed habet fluiduni hanc velocitatem modo
definitam , cH itaque vis centrifuga globi fluidi , feu pres-
fio fluidi in globum foJidum , =:^^^. Vt iam detetmi*
nare poflimus preflionem tangentialem fluidi ingloburr?
ponemus diametrum ipfius zna , et cum fit pondus cy
lipdri globo circumfcripti znj-p , atque preflio fluidi in
fuperficiem fphaericam dimidia fit preirionis perpendi
cularisin circulummaximum,erit (per*!!. 7. p. i ^preflio
tangentalis fluidi m^-^^. Efl: itaque ratio quaeflta vt
^nna^ ad ^^ , vcl vt L ad 3^. Sed a feu diameter
vltimarum particularum grauitantium cft incomparabili
ter minor quam r feu diftantia corporum grauium acen-
tro terrae : ergo tantum abeft , vt motus horizontalis e-
uanefcere poflit prae verticah , quin contrarium potius
obtinere debeat. Caeterum fl corpus in vortice confti^
tutum et quiefcens haberet flguram cubicam, efl^et prae
difta ratio vt r ad Qa flue vt duplum latus cubi ad cli<'
IVantiam eorporis a centro vorticis.

Pars

320 DE ASC. ET DESC, CORFOKVM

Pars Tertia.

De motu corporum grauitate vel le-

uitate fua deorfum vel {urfum moto«

rum,

I.

QVamuis hoc argumentum ita iam fit pertra^^atum
a plurimis Geometris , vt vix aliquid noui fuper-
' addi poife videatur , minime tamen hacfitaui mea
quoque meditata circa hancrem cumSocietate communi-
care , ideo quod non folum varias motuum relationes,
fed ipfas eorundem quantitatcs atque menfuras,adNew-
toni exemplum definio. Et cum calculus experimen-
torum formuiis feu aequationibus innitatur prolixifTimis,
conatus fum illas multo compendiofiores reddere ; Oc-
current quoque theoremata plane noua , quibus occafio-
nem dedcrunt experimenta ab Excellentiflimo Domino
Gynthero cum tormentis bellicis inftituta , quae videre
eft inparte 4.vbi eaadcalculum reuoco. Nonita-
quc deerit campus in tritiftima re , noua nec antea ob-
feruata adiiciendi.

11. Conftat , incrementa velocitatum in motu
corporum femper proportionalia elfe vi animanti dudlae
in elementum temporis. Si itaque velocitas corporis ca-
dentis in fiuido refiftenti dicatur v (exprimam autem de-
inceps v per numerum pedum jquos motu aequabihcon-
ficere poflet corpus tempore vniiis minuti fecundi) et
tempus lapfus defignetur per f, fpatium a corpore prae-

diao

IN MEDIIS RESISTENTIBFS. 321

dido temporc dercriptum zrx , et vis corpus animans
in illo momento fit izp , erit dvzzpdt : et habebitur
p fubtrahendo dc adione grauitatis rcfidentiam fluidi ; fit
grauitas corporis in fluido , feu difFerentia grauitatum
fpecificarum corporis et fluidi , quae conftanter eadem
eft, ir^, etrefiflentia fluidi, quae proportionalis fempef
eft quadrads velocitatum , zznvv (potefl: autem n deter-
minari ex grauitate fpecifica fluidi et figura corporis ca-
dentis per $.7. part. i . et feqq.) et degenerabit aequatio
dvzzpdt in hanc aliam dv:z:{a-nvv)dtj\Q\ dtzz/l ; et
ds^vdtzz-^^^, Oporteat nunc aequationem eruere
inter s ttt purgatam a quantitate 1?, vt nimirum ex alti-
tudine lapfus, tempus determinari|poflit vel reciproce.
Atque hoc praeftabimus in fequenti paragrapho.

III. Ponatur breuitatis ergo ^zzmm , et cum fit

fc,:^ erit iam ndtzz^^, ergo ./zr/^iz^Iog.

(wH-i^H"^ log. (fnm-vv)±^ Conft. C.Sed fl corpora a

pundlo quietis delabuntur, euanefcunt fimul / et 1?, ergo

Cno, vnde aequatio ita fe hAhchk2mntzzQlog.(m-{-v)

-Aog.^mm—vv^vel (pofito ciz illi numero cuius logarith-

mus eft vnitas) ^^^^n^ _^ . ^^^^ :vzz{r''''' m-m) :

(^^"'"^-l-i). Confideremus iam alteram aequationem

^"^=-0^ > vel ndszz^^^^^ ; fumendo autem integralia

habetur «jn:— ^log. (mm-vv)^ conft. C : et cum s et

^ fimul euanefi:cre debeant , erit Crr^^Iog. 7n ; eft

^rgo2ns-\o^,mm-\og (mm^vvy.ctc^^^^zr^^ , vel

denique'yi:i/«y(t''^'-l):^^^ Ex combinatione vtrius-

^^'«- n. S s que

322 JDE ASC- ET DESC. CORFORVM

qiie valoris ipfius v orietur haec aequatio (^.•^'""Ww) ..
jt.,2mnf_^j>j__^^^y^^2ns__^j.^.„5. quac rcdle pertradata dat

^^mr^n._^2run*^ I ; VCl 2^"' =16^'"'''-+-^"'"' ; Vck^'''

^^uT^-hV 0^""'- 1 ),nut denique fc(log . c^ViJ^^):
wn^ et fi pro ;?/ fubftituatur ipfius valor Vl , erit fc
(log 7-'^M^V(7^'''- 0 )• ^^"- P^terit itaque ope vlt mac
huiuh flKiTiulae cognofci / ex s. Si vero reciproce fpa-
tia quaercnda fint ex datis tcmporibus inferuiet haec ae-
quatio s - {\^^.{r' ^ ^--"^)-log. 2) : n =
(log(6-^''^"'-H^-''")-loe;.2):;/.

IV. Aequationes , quas dedi in pracccdente pa-
ragrapho, fi calculo numerico fubiici debeant, vti fecit
Newtonus , calculus fit plerumquc admodum proJixus.
Notandum aurem efl: in omnibus fere experimentis ha-
denus infiitutis, efTe n tx s tales numeros vt vnitas poffit
neeligi prae c'^'^^ , idque omnino absque vllo (enfibili
errore ; tunc autem fit fimpliciter t zz {ns -f- log.
2 ) : V an ct s ziz ( tVan — log. 2 ) : n. Sunt v-
tique hae aequationes fimplicifTimae , poffuntque
fjcilead omnes cafusparticularesapplicari , aHas laborio-
fifTimo calculo vix fuperabiles , quod apparet ex methodo
accuratioriqua Ncwtonus cxperimenta a fe inflituta ad
calcu^um reuocat in lib. 2. princ. pMI. edit. 3. Non
potefl vcro femper tuto negligi illa vnitas refpc^u ^ ^''^;
praefertim cum experimenta inftituta fuerint in medio
valde leui , veluti in aere et fi altitudo , qua corpus de-
fcendit, fit valde mediocris , ac den^que cum corpus fit
iat magn':m. In his tamen cafibus (in quibus nempewi"
eft numeius binarium feu ternaiium haud fu^ erans) cal-

culus

IN MEDIIS RESISTENTIBFS 323

ciilus absque praedido compendio non admodum labo-
riofiis fit.

V. In omnibus praecedentibus aequationibus in<
telligitur per ;z talis quantitas , quae multiplicata per
quadratum velocitatis dat refiftentiam abfolutam j pen-
detitaquedeterminatio ipfius fi a magnitudine et figura
corporis , tum etiam a grauitate fpecifica fluidi ; his au-
tem pro lubitu alTumtis defiderata quantitas ?i petenda eft
cx iis, quae monui §§, 7. 8. et 9. part- i. Hac vice
confiderabo faltcm corpora fphaerica , quandoquidem
cum huiuscemodi corporibus maxima cxperimentorum
pars cum a Newtono tum etiam ab aliis inlHtuta fuit.

Vl.Vidimus in §. y.p. i. quod pofita velocitate ta-
li, vtcorpusabfoluatmotu vniformi intraminutum fecun-
dum fpatiumexprelfum per na , refiftentia fit="^(vbiper
p intelligitur pondus cylindri fluidi datae cuiuscunque
longitudinis a , atque cuius bafis efl fuperficies cui flui-
dum impingit et s defignat fpatium, quod corpus libe-
re cadendo in vacuo aquiete perficit intramin fec). As-
fumamus^ defignare menfuram vnius ped. Angl. et erit
refiflentia ""^, et quiaw exprimit velocitatem, eflnume-
rus multiplicatus cum quadrato velocitatis ^ ; quod fi
autem refiflentia in globum fumatur, eritidem numerus
duplo minor,feu ^j,(vel ponendo pros i6^ped,AngI.)

ttVoP- Si loco ipfius p denotantis pondus cylindri

fluidi longitudinis vnius pedis, cuius bafis efl aequalis cir-

culo maximo globi , velimus introducere pondus fluidi;

S s 2 cuius

324 DE ASC. ET BESC. CORTORVM

cuius moles efl: aequalis globo cadenti, ponemus men-
(iiram vnius pedis fe habere ad diametrum globi Yt i ad
w/, et fic erit pondus cylindri fluidiniyWp •, vnde fi tale
pondus dicatur b tYitpzz?^ ^^TTcoP^^-ji^om' Quod
itaque vocauimus $$. 2. 3. et 4. part. 3. « , id pofito fi-
guram corporum cadentium efle fphaericam degenera-
bit in hanc quantitatem modo didlam ^f^l^. Ergo
reafTumendo litteras ibi affumtas , erit

/-[log (^^^^'^-4-V(r""'^'°-~l))]:y^^

his autem aequationibus, vti notaui §. 4. fme fenfibili
errore fequentes fubftitui poffunt multum fimpliciores,

VII. Et ita quidem determinauimus motum
corporum in fluidis refiftentibus refpe^^u corporum li-
bere cadentium . Supereft praecipuum , fcilicet, vt mo-
tusilie definiatur abfolute ita vt ex dato temporc,v.gr.
numero quodam minutorum fecundorum inferri poflit
Ipatium exprimendum pcr certumet definitum numerum
pedum Anglicorum. Idque obtincri poterit ex compa-
ratione temporum requifltorum pro lapfu per certam
quandam altitudinem tam in medio reflftenti quam non
reflflenti : poflet adeoque deduci ex vnico experimento-,
fed poflumus quoque eo carere , conflderando quod pri-
mo momento , dum velocitas corporis cadentis adhuc-
duminfinite parua eft, medium plane non refiftat, vnde

aequa-

IN MEDIIS RESISTENTIBFS. 325

aequalia funt prima lapfus tempufcula , tam in hypothefi
refiftentiae quam non refiftentiac, ii nimirum fpatiola func
aequalia ; poteftquc exinde inueniri valor ipfius a innu-
meris abfolutis , vti id in feqi>enti §. patebit.

Vlir. Denotet AQ ( fig 6. ) fpatium in vtraquc
hypothefi emenfum ; QO autem repraefentet tempus pro
medio refiftenti et QP tempus pro medio non refiftenti;
et erit (ponendo AQ=j) Q?~V.^^s et QOzz

hs bs ^

[Iog.(t:^^'^^^-f ^/(f"''^^'^"^- i))].V^V2"k- Oportetau.
tem harum quantitatum (QP et QO) fumere difFerentia-
lia , eademque pofito s—o, inter fe aequare : ell difF
QPzrdsVa-^b : 2V1 6^as tt diff. QO eft (ponendo \bi-
que breuitatis ergo e pro ^^^|.^)=i: [c''eds V[c-^'- i )
^c^''eds] : [c''V{c^''ae-aey{-c^'Wae.Vae-]. Inhisquan-
titatibus difFercntialibus fi ponitur szno , fit vtraque infi-
nita atque adeo nihilexearundem comparatione cognofci
potefl. Vt huic incommodo obuiam eatur, multiplico

aequationem per Vi6jas, vthabeatur -kdsV a-^-b,^
{c''edsV{c 2 ''^ I )-\-c^-''edsyV 1 6^as :
(c^^V^c^^^ae—ae^-^-c^^^Vae—Vae^-^^d diuidendo per ds
atq-, negligendo primum terminum in numer atore poflerio-

ris quantitatis, erit ^Va-^-kizc^ * 'eV 1 6-^as'. [c''V{c^''ae
-'ae)-\'C^^^Vae—Vae'], In hacaequatione fi ponitur szizo
atque fimul obferuentur caquae iuxtaPatrem mcummo-
nuitlU. Hofpitalius in Analyfi fua infinite paruorum p.
H5- ^dit. primae, reperietur aizz^t^i^j-lrzz^^Zy-b,

Ss3 I^e-

326 BE 4SC. ET DESC. CORFORVM

Denotat vero a pondus corporis in fluido et h pondiu
fimilis molis fluidi. Vnde fl gmuitas fpecifica corporis
in vacuo flt ad grauitatem fpecificam fluidi vt q

2 1

ad I , erit ^=:32y-l|^, etfci^ : Atque fl hi
valores flibfl:ituant.ur in aequationibus pro J" et ^ circa fi-
nem (J. 6. part. 3. datis, habebuntur acquationes finales,
quarum ope ex data diametro globi vna cum ipflus gra-
uitate fpecifica refpedu grauitatis fpecificae fluidi , pot-
cft rclatio abfoluta haberi inter tempus minutis fecundis
exprefllim et fpatium iam abfolutum numero quodam
pedum Anglicorum definitum. Hic tantum apponam,
quas dixi proxime veras efle. Erit ergo/zi:-v==^|^^
, gj^ 2>/23^— (quam proximeV 108 jK-^4- 1 99^1/^) .*

3 22V27g~2T

Tf _

IX. Si quisiam velit hafce formulas flmpliciflimas
experimentis confirmare , is deprehendet confenfum
inter calculum et experimenta , quem vix ipfe fperaflem:
indicio certiflimo et rciSam a nobis aflumtam efle refi-
flentiae menfuram et nos omni cum fuccelTu eadem v-
fos fuifle pro eruenda theoria motus corporum in mediis
fluidiflimis, id eft, omni tenacitate expertibus. Extant
autem experimenta quamplurima cxadlifilme inftituta a
Cl. Newtono in eiusdem Frinc. Math.Fhil, Nat. p.346.
et feqq. edit. 3. Apponam hic vnicum experimentum
vt pateat formularum noftrarum applicatio.

Experimentunh Globus cuius pondus in vacuo erat

m MEDIIS RESISTEKTIBFS -^27

t <^6\ grnn. et 77. gr. in aqna cadebat pcr altitudinem
112. digitorum tempore quatuor minut fec. etdiaiiie-
ter globi erat -p^^- pedis Angl.

In hoc cafu eft .y-|4|;^zr V^'=: V ^t w=:t^^.
Subflitutis autem hifce valoribus in aequationepriori re-
peritur /nz^-p^^ cum experientia fuerit tzz:^.

Caeterum feci ipfe pliira expcriment 1 , et mire con-»
uenerunt cum theoria. Ahquando tamen de corpore
cylindrico ita ftudiofe fabricato , vt dnm defcenderet
ipfius bafis non poffet extra fitum horizontalem fe po-
nere, obferuaui , multo tardius dcfcendifle, quam pro
theoria debuiffet (deberet autcm ipfiusrefiftentia diiplo
effe maior, quam fuperficiei fphaericae eiusdem diame-
tr ) Vndetunciudicaiiitheoriamnon poffeapplicari, nifi
ad illa corpora quaefindendae aquae aptiora fint-,pote{l
enim in his tenacitas fluidi negligi, cum in fuperficiebus
planis fluidorum tenacitasvtcunquc exigua fenflbikm ta-
men rctardationem producere poffit.Poflea vero conflde--
raui , fuiffe corpus ita tempcratum , vt grauitas ipfius
fpecifica vix aliquantulum maior eflTet grauitate fpecifi-
ca aquae in qua defcendit , vnde fieri potuit vt tenaci-
tas aquae iam non amplius negligenda effet refpectu re-
fiftentiae quae ob lentiflimum corporis defcenfum mini^
ma erat. In eo deinceps plurimis aliis experimends con-
firmatusfui.

X. Quod fi corpora in fluid"s furfum tendant, id
cft, fi fluida fint fpecifice grauiora quam foHda corpora,
non aliter mutandae erunt aeqnntiones noflrae, quam
quod loco y ^ZTi ponatur V iT^, ita vt habeatur /3=

(108

3oS DE ASC. ET DE5C. CORPORVM

iio^sV^-higgqVm) : lOOoVi-//. et /=z

i^OOtVm-mg-i9 9m<; HatlO cft , qUOd in hoC Cafll lOCO

108 ^

aequationis rtz=2x 16-^—^ in paragrapbo odauo huius
partiserutae, habetur - ^inSx 1 6-5— Z» , quem valorem
fubftituendo in aequationibus circa finem paragraphi 6,
appofitis, oriuntur modo didlae aequationes pro s et t.

Circa afcenfum corporum ob grauitatem fuam ne-
gatiuam furfum tendentium experimenta nulla cxtant a-
pud Newtonum •, feci itaque quamplurima , quae cum
praedidis aequationibus omnino conueniunt,fi differentia
inter grauitates corporis et fluidi fit grandiuscula •, fed fi
differentia fit valde parua , deprehenditur afcenfus cor-
porum multo tardior , quam pro theoria noftra effe de-
beret ; quod phaenomenon me diu ancipitem tenuit,do-
nec tandem obferuauerim,idtenacitatifluidorumtribuen.
dum efle , hancque nuUo modo negligendam effe neque
in afcenfu neque in defcenfu corporum , cum iam diffe-
rentia grauitatum infra trigefimam vcl quadragefimam
partem grauitatis fluidi effeincipit, probe intellexerim,
vti in praecedente paragrapho monui. Caeterum hic
ioquor de afcenfu corporum fluidis fpecifice leuiorum •
nam corpora grauiora furfum proieda aliam theoriam ^
quam quae ex hadienus didlis pateat,poflulant. Atque
de his agam in fequenti capite.

Pars

SFRSFM PROIECTORVM. 329

Pars Quarta

De motu corporum furfum proie-
£lorum ^ vbi ad calculum reuocantur
experimenta ab Excellentiffl Dno Giin-
thero cum tormentis inflituta-

I.

REtinebo hic fignificationcs , qnas dedi litteris a^
«, 'y, j- et /. Sic fe fponte ofFerunt (equentes ae-
quationes initialespro afcenfucorporum— ^^:z:(tf-4-«i;'z;)
dt vel fco^ atque ds-vdt-^^, Oportet nunc
iterum ope harum duarum aequationum tertiam eruere
inter s ttt ^ quam non ingrediatur littera v, Hunc in
iinem analyfin praemittemus pofterioris aequationis
^^^a^^ '" multiplicetur haec aequatio per -2« et
habebitur "andszz^^^^ ct fumendo integrales quanti-
tates —^nszz: log. {a-^nnv)^ quantitate conftanti, quae
pendet a velocitatc initiali ; ponemus ergo velocita-
tem initialem znq et crit — 2«J=:log. {a-\-nvv)- log.
[a-^nqq) •, vel c;— ' "' zr [a-\-nvv ) : ( a-^nqq ) j vel v^

yc xa^nqq—tL

n

11. Poftquam ita inuenimus valorem ipfius T^pos-
iiimus huius loco ponere inuentum valorem in aequatio-
Tom,\\. Tt ne

330 DE MOTFCORPORVM

nc^/:r:~^^- ^atqucfic flatim obtinebinius acquationem
dcrideratam , nempe dt^dsV---^-— vel dtzn

e xa^nqq^a

ns

c dsvn . Exinde fluit conftrudio fequens.Fiat

' \a-^~nqq-c a/

quadrans circuli AGE (fig. 7.) cuius radius ACzzz
V-itf^l, fumatur CF^^-^^S etCBzzi : ex puncflis F
et B erigantur perpendiculares FG et BD , et erit arcus
DG diuifus pcr Va^nq-q xn acqualis tempori infumto in
afcenfum per fpatium s.

III. Ex praecedente conftrudlone fequltur efle
tempus conftanter proportionale angulo GCD : et cum
tempus eft maximum tunc correfpondet angulo ACD.
Cacterum ratio inter AB et BC eo maior efl , quo ve-
iocitas initialis exprelTa per q m lior efl. Vnde fi haec
Telocitas fit infinita euanefcitBCatque angulus maximus
jfit recftus habetque proin rationem finitam ad quemcun-
que alium maximum angulum ACD. Exinde colligo
tale theorema nouum atque elegans

Thcorema. Corpus vi inpnita verttcaliter furfim
proie&tm in medio etiam tenuljjimo temporefinito totum a^
fcenfum vtut infinitum abfoluit fecus ac in vacuo.

IV. Ex praedidis patet , quaenam futura fit ma-
xima altitudo ad quam corpus in medio refiflenti data vi
proiedlum verticaliter afcendere potefl : habebitur nimi-
rum maxima illa altitudo cum fit vzzo •, efl autem per §.

.2ns

I . p. 4. icz^/ xg-t-ngg—a • efl crgo s in hoc cafu ~

^^ „ Si hanc quantitatem ynica littera B in-

dica-

log,a-*-nqq — ^og,<i

SVRSVM TROmCTORVM. 33 1

dicare velimus , habebitur ^^^♦«-h^'?'?-^^^*^ — R vel a—

^c__fl-^ : quem valorem fubftituendo vbique pro q erit
radius ACzzlc"^ , in quo fumendo iterum CFnt;"* et
CB— I eritarcus DG diuifus per e^^^mizz. tempori in-
fumto in afcenfum per fpatium s^ Ex his liquet nihil
poffe affirmari de temporibus absque praecognito valo-
re ipfius Bj hoc autcm cognito omnia reJiqua flicile de-
terminantur. Sed valde difficile eftinexperimentisob-
feruare altitudines maximis ad quas corpora afcendc-
runt , imo id plane fieri nequit , cum alritudines illne
funt admodum magnae , quales funt in globis ferreis ex
tormentis bellicis cxplofis. Id folummodo obferuari
poteft exadc, quantum temporis corpora infiimunt in i-
tu fuo atque reditu , id eft, quot minuta fecunda in ae-
re commorentur. Cogitaui igitur"defequenti problema-
te nodofo equidem fed vtihifimo.

Problema I. Dato tempore , quo datiim corpus
in medio dato verticaJiter furfum proic&um , afcenfum et
iefcenfum ahfoluit , imenire altitudinem totam ad quam
corpus afcendit.

Ex folutione primi huius problematis facile dedu-
citur

Problcm a II. T) atis iisdem inueuire feorftm tempus
afienfus et tempus defcenfus,

Neque maiori induftria opus erit pro folutione al-
tcrius problematis fequentis

Problema III. Datis iisdem inuenire tempus
T t 2 qucd

332 DE MOTV CORFORVM

/juod corpus in vacuo eadem vi proicEtum tn afcenfum
impenderet atque aJtitudinem ad quam afcenderet.

V. Qiod ad primiim problema , folutionem il-
llus dabo per feriem quandam. Sit itaque tempus as-
cenfuset defcenfns fimul fumtum zrT manente fignifi-
cationc reliquarum litterarum. Ergo (per ^, 4 part.4.)
erit tempns totius afcenfus — arcui AD (fumendo ra-
dium znc^ ) diuifio per^^^k'^//. Sinus huius arcus eftli-
neaBD fea yr"^—i);exprimamitaque arcum AD per
A S.V{c'^'^^—i) quodfignificat, arcum correfpondentem
fmmV/(6'^''^-i). AfTumtis his fymbolis tempus afcen-
fus totius tale erit ( A.S. V{c^''^-i ) ) : c^^^an. Porro
tempus defcenfus efl: (per$. 3. p. 3.)==: (log, (^""^-f.
^^^2nB_j>^j.y^^^ Quod fi aggregatum vtriusque tem-
poris aequetur cum dato tempore T habebitur aequatio
mediante qua valorem ipfiusB colligere dabitur. Eftau-.
tem illa aequatio talis

(A.S.V^(^^"^-i)):^"V^«-Hlog.r"^+l/(r^'^^-l)):y^«=:T,
cui tentando (iitisfieri poteft *, fed dabo infuper metho-
dum , qua ad huius modi aequationum radicem appro»
pinquari poteft, quousque libuerit, quaeque in omnibus
fere cafibus vtiliter adbiberi poteft.

VI. Immutetur aequatio ita,vt ab vna parte habea-
tur B purum et ab altera parte fmt quantitates vtcunque
compofitae atqiie fignis fuie a logarithmis fiue a circulo
pendentibusiniiolutae,'qnarum complexum confiderabo
vt funitionem quandam ipfius B : In hac fundione fub-
flitiiatur vbiqiie loco B ciusdem fundio inuenta per pri-
mam aeqnationem ; In noua aequatione idcm repetatur •,
atque fic habebitur feriei fpecies , donec tandem fine fen-

fibili

SVKSVM PROIECTORVM. 333

fibili errore loco quantitatis B poffit quaclibet ad lubi-
tum fubftitui. Haec magis fient manifefta , indicando
funtflionem ipfius B per F(B).Dico itaque conciliandam
cfle aequationi propofitae huiusmodi formam Biz:
F(B\ inque hac pofle loco pofterioris B poni valorem
ipfius , ita vt habeatur B=:F(F(B)) et fic porro , atque
haec \eftigia premendo fore Yt habeatur fpecies feriei

B=rF(F(F(F B ))), TelB=F(F(F(F....C. ...)))

poteft enim loco \ltimi B poni quaelibet quantitas , fi
faepiusipfius fundliorepetatur. Notandum tamen eft,
pofle fundionem talem accipi,vt eiusdemrepetitio diuer-
gere faciat a vero valore quantitatis quaefitae quod vbi a-
nimaduertitur, alia funAio ex aequatione propofita dedu-
cenda eft, et flc poterit appropinquari ad valorem ipfius
B, quousquelibuerit,non obftante quod aequatio in praece-
denti paragrapho data ita fit compofita, vtvnicuique
ftatim appareat, fieri fere non poffe , vt aliquid ex illa
cognofcatur. Nunc ipfam aequationem aggrediar.

VII. Ponatur in aequatione noftra breuitatis caufa
c'^z:::x, et habebitur

(A.S.Vxx— I yxVan-^ilo^. x-^Vxx— i ^Van zz: Tj ex hac
aequatione deducenda eft fundio quae fit aequalis.r. Id
vero obtineri poteft diuerfis modis , fed cauendum neta-
lis feligatur, qnae faepius repetita magis magisque rece-
dat ab affumto valore ipfius x : poterit ergo aequatio
vltimo loco pofita transmutari in hanc

A. SVxx— I i=:T:t Van- .r I o g (.r ^- Vxx— i ).

vel transferendo fignum A.S. ad alterampartem id quod

iit inuerfionelitterarum, ponendo fcilicet S. A. (qiiod fi-

gnificat fmum arcus dati, cuius radius izr.r) habcbitur

Tt 3 Kr.r^i

334 BE MOTV COKTORVM

Vxx- 1 =:S. A.(Xr Van-x log (.r^-V^avr^)), velfumen-
do quadrata , transferendoqiie vnitatem ad alteram par-
tcm atque extraIiendo_denique radiccm^_erit
xzn^ i-^aS.A.iTxVan^xlo^.ix-^-Vxx-i)) , qmc ae-
quatio vt redle intelligatur , dicam efle x talem nume-
rum vt fi fumatur radix ex .r.r— i, eidemque addatur,
fummaeque fumatur logarithmus , qui multiplicatus per
X fubtrahatur dc TxVan , deindeque differentia confi-
deretur tanquam arcus circuli , cuius radius zzx , huius-
que arcus accipiatur finus, vt,inquam , fit radix ex qua-
drato praedic^i fmus vnitate aU(flo aequalis ipfi .r. Cae-
terum cum de logarithmis fermo efl , intelliguntur loga-
ridimi hyperbolici, quihabentur diuidendo logarithmos
tabulae Vlaccianae per 0,43429448 1 9.

VIII. Ad illuftrandam methodum quam dcdi pa-
ragr. 6. pro approximatione ad radiccs aequationis vt-
curtque compofitae , mondrabo exemplum pro vltima
noflra aequatione ita pcrplexa vt prima fronte fa-
cile videatur nihil fere ex illa intelligi poffe. Exem-
plum autem , quod apponam non cft ad lubitum feJedlum
fed ad experimentum , cuius deinceps mentionem fa-
ciam , accommodatum ; quaeritur itaque valor ipfius x
in cafu quo TVan eft =32, 77 1884. Pono ftatim x^2,
vnde ■v/a\Y-i==:i,73, et AT-^V^.r.r-izr^, 73, cuius loga-
rithmus zri , 3 3 9 5 • quem fubtrahcndo deTV^^w^remanet.
1,432384 , quod refiduum iam debcret multipb*cari
per r,quiaautem hic compendium aliquod obferuandum eft,
indicabo tantum multiplicationcm hanc ponendo intcrim

refi-

SVRSVM PROIECTORVM. 3 3 5

rcfiduum illud rr.R ; atque ita habcbitur R.r •, haec vero
quantitas coniideranda eft yt arcus circuli cuius radius
zzx-^ quaeritur ergo quot graduum futurus fit arcus ille-,
is reperieturfumendoquartamproportionalem adx-T-?^'^')
360 et R.r , quae quarta proportionaHs fit 57, 296R.
Poteft adeoque femper negligi multiplicatio quantitatis
R per X , (latimque multiphcari eadem quantitas R
per 57, 2g6 \t habeatur numerus graduum arcus defi-
niti. Dein fumaturin tabula finuum ille finus qui refpon-
det ifii arcuijmultiphceturqucfinusper-ro-^o oo-^f^AC ha-
bebitur S. A. (Rx) in noftro calu n i , 98, cuiusqua-
dratum vnitate audum dat 4, 9204 , huiusque radix
2 , 20 ; Oportet ergo per regulam §. 6. datam ponere
fecunda vice;irzr2, 20, atque fingula repetere, quaemo-
do fada funt, et fic fiet Ar=2, 37, dein .ri=:2, 48 , dein
^ms, 5 3, poftea fit .x~2, 5 5 et deniquc Ar— 2, 56, de-
inde pofui xzz2 ,570, exindeque refultauit vVzz: 2, 57 3.
Poteft itaque tuto affumi a;=2, 575, atque fic certi eri-
mus hunc numerum vix aberrare in millefimis a vcro
numero. In his calcuhs obferuandum eft , effc eo ex-
avSliores vbique numcros accipiendos , quo maius iam
appropinquatum fuerit ad valorem ipfius .r. Cognita
autem .r , faciendum eft Bn:^-^^ , quia pofitum fuit i^
praecedente paragrapho c^^zz:x. Vntje ii n fuerit O,
0002063 erit B=i:45 50.

Et haec fufficiant pro primo probkmate *, id tan-
tum addidero, quod fi .r incipiat cffe tanti valoris, vt v-
nitas poffit negligi prae ipfius quadrato, tunc aequatio no-

ftra

33<5 DE MOTF CORPORVM,

ftra<J. 7. data (latim ab initio degenerat in hanc(A.S.:»;):
xVa?i-\-'{\o^,x-\-\og.2):Van:z:T', Sed(A.S.x):x , nihil
aliiid e(l ob radium zizx , quam ratio quadrantis circuli
ad radium feu 3 5 5 : 226 ; habetur itaque 355: 226 4-
log. X 4- log. 2 . zz.TVan , vel log. xzzT Van-A.og. 2 .—
Il^, et confequenterB='ifil=TV/^-l£%^5VV,,

quae aequatio admodumfimplex eft, fedtamen non accl«
pienda, nifi praeuideatur fore x iam numerum grandius-
culum, qualis fit, cum corpus vi vehementiiTima furfum
iadum fuerit.

IX. Problema fecundum paragrapho ^to propo-
fitum poflulat tempus afcenfus et tempus defcenfus feor-
fim .Tempus autem totius afcenfus eft ( A. Sy (^:^''^- 1 )): c''^
Van quod iam ob cognitum valorem ipfius B facile fumi
poteft ; et ft tempus afcenfus fubtrahatur dc T habebitur
tempus defcenfus. Vel poterit etiam primo loco in-
quiri in rempus dcfcenfus,quod eft (log. c^^-^Vc^—i)'.
Van., hocquc auferri a T vt habeatur dein tempus^fcen-
fus , et hic alter modus praeferendus eft priori-, quia ta-
bulae logarithmorum frequentiores funt tabulis arcuumj
et praefertim quia in vltima operatione,qua valor .Tpro-
xime fint determinatus , iam fumtus fuit logarithmus ex
x-^-Vxx—i^ quem logarithmiim diuidendo per Van^ha^
betur tempus defcenfus ; nam valores duo proximi ipfius
X vix diiferre debent.

X. Solutio problematis tertii petenda eft ex para-
grapho 4. part. 4. vbi vidimus , elfe ^ velocitatem ini-

tia-

N

SVKSVM PROIECTORVM. 337

tialem defignantem =:V'^ — j^^— , vnde tempus , quod
globuseadem vi proiedlus in vacuoin afcenfum atquede-
fcenfum impendiflbt , numero minutorum fecundo-

rum expreflum efliz: j|/^ — |— ,fignificante littera^ nume-
rum pedum,quos graue libere a quiete cadendo tempore
vnius minuti fecundi conficit. Ipfa vero altitudo, ad
quam globus definita vi furfum proiedlus afcendere po»

tuiflet,eft=l^;-^.

XI. Hifce tribus problematis omnia contlnentur,

quae circa afcenfum corporum notatu digna cenfiii. Cae-

terum me non monente id cuique manifeftum eft , po-

fitis corporibus fphaericis , efle iterum ^^^T^lo-m' ^^^

m denotat quoties diameter globi continet vnum pe-

dem Angl. et b fignificat pondus globi fluidi eiusdem

diametri cum globo folido, vti illud expofui paragrapho

6. part. 3. et a erit z^2g — b feu az^^^z^—b per paragr.

8. part. 3. Hifce meditationibus haud parum vtilitatis

accederepofleexifl:imaui,fi adcalculumreuocarem aliquot

experimentorum quae Excellentis. Dominus Giinthcrus

cbram Academicis quibusdam inftitui curauit,ex quibus

apparebunt ftupendi efFedus, quos aerin corpora graui-

tatis fpecificae odlies millefies fere maioris exercere va-

let ; poterunt quoque exinde vires pulueris pyrii exa-

fte inter fe comparari multaque alia vtiliter coUigi. Ex-

perimenta autem inftituta fuerunt quamplurima variique

generis , dequibus ea fcligam, quae in hanc rcmfacere

poflunt , qualia funt cum tormentorum fitus omni cura

Tom,ll Vy ad

338

DE MOTV CORTORVM

ad perpendlculum accommodatus fuit , fimul obferuan-
do quantltatem pulueris pyrii ettempus , quod globus in
afcenfjm et defcenfum impendebat. Continebat au«
tem diameterglobi2 34: centefimas particulas pedis An-
glici ipfeque globus vtpote ferreus grauitatis fpecificae
ponctur incalculo refpecflu aeris , "vt 7^5^ ^d i. aerem
quoque -vbique eiusdem effe denfitatis fingemus. Note»
tur infuperlongitudinemcauitatis internaetormenti fuiffe
yJJ-ped.Angl.PatetergOjelTe^ad/^vt^^^pad i -jetcum
a(it:=z'^2^-hQnib—-^iljy et^zz v-b-It=32,2i8.
Porro diameter globi dat 77i—o, 2375 ^er go «rz-^-l^l^.^.
=zO, 0002063 et Vmizzo , c8 1 526. Hae pofitiones
in fequentibus experimentis erunt eaedem ; et fi ponitur
Tzz^^. vti In exemplo 2. habentur pofitiones §, 8.

Quanti-

Tempus'

Altitudo

Tempus Tempus

Altit.ad

Tempus,

tas pul-

tnuma-

ad quam

afcenfus defcen-

quam

quod ea-

verispy-

fcenfus et

globus

in aerc fus in ae-

globus

dem vi

riiinvn-

defccn-

peruenit

refifi:entcrerefi-

eadem

proiedlus

ciisHoll,

fus.

in acre

fiente.

vi pro-

in vacuo

exprcflui.

refiftente

iecflus in
vacuo a-
fcendere
poteft

in afcen-
fum et
defcen-
fum im-
pendit

-i-

II

486

5,42

5, 58 541

11, 6

2

34

4550

14.37

19,63

13694

5»

121

4

45

7819

16,84

28,16

58750

Prae-

SrRSVM PROILCTORVM. 339

Praedidae obferuationes faifldc fuerunt in tor-
mento longitudinis 7 , 7 pcd. Angl. Dein cum eodem
tormento eodemque globo , fed priori diminuto i , 7
ped. ita vt longitudo animae refidua effet praecifc 6,
ped. fequentia experimenta inftituta fuerunt

Quanti-

tas pulue-

ris pyrii

numero

vncia-

rumex

prelfa.

Num.

min. fec.

per quae

globus in

aere per- uenit per

Alt. fld
quam
glob.in
aere per-

Temp.
afcenfus

num.

"8

manfit
per ob-
fervatio
nes.

20,5

28

32, 5

38

calculum
ped.
Angl.
expr.

257

1665

31S7

4304

5^43

min

I. fec.

expreff.
per calc,

Temp.
defc.
num.
min. fec,
exprcff.
per calc,

3. 95

Alt.glo. fNum. ^
bi eadem min.fec.
vi proie-quacglo
di in va
cuo ped.
Angl.
expreff.

4^05

9j74 10, 76

12, 5,

13j9

15. 5

18, 6

15,54 22; 46

percalc,

274

2404

6604

11810

22394

bus ea-

dcmvi

proiedlus

invacuo

in afc. et

defc. im-

pen'd.

8,__2
24^5"

40,

54' 3

74

XII. Vtraque tabula exadlo calculo conflru-
^afuit:Supereft vt iam quaedam confedaria ex ipfis de-
ducamus prae aliis notabilior a : Maximum tempus afcenfus
^^it 16, 84 min. fec. et pofl hoc tempus afcenfus maxi-
^m eft I j, 54 : dilFerentia efl tantum i, 30 m. f cum

V V 2 tamea

340 DE MOTF CORPORVM

tamen difFerentia altitudinum , ad quas in vacuo peruenit
globus,{it minime contemnenda , quippe quae cxaequat
2176 ped. Angl. Ex hoc folo vnicuique manifeftum
iit , dari tempus , quod globus in afcenfli vtcunque ma-
gno nunquam exeedit •, quod demonftraui §. 3 part.4.
tempus maximum autem eft pro afcenfu =: s^w/rj^uod
in globo noftro fitmp, ^^min, f. Exindequoque con-
firmatur (cquens

XIII. Theorema. Tempus afcenjus et defcenfus
fimuJ fumtum maius eft in vacuo quam in pleno \ pojitis
iisdem ah vtraque parte velocitatibus initialihus : pot-
eji autem in vtroque cafu efje infinitum ^ quamuis in va"
cuo infinities maius tuncfit quam in pleno,

Quod autem tempus afcenlus et defcenfiis
globi vi infinita in medio aequabili et refiftenti
furfum proiedli infinities minus fit , quam cum vi
eadem in vacuo furfum proiedum fuerit , etfi vires gra-
uitatis eaedem fuerint ex illo elucefcit , quod praedidlum
tempus inpriori cafufitrzBy^, dum inpofteriorifitr=(;^^
V—, Sed fi vis explodens fit infinita, erit etiam velo-
citas initialis feu q infinita ; porro B— ^^''^«^Tzi^^^per
g. 4. part. 4 . Ergo etiam B crit infinita exiftente q in-
finita. Conftat vero efTe c^ infinities maiorem quam
B, fi B fit infinita , ergo etiam tunc t"V^ eritinfini.
tc maior quam BV^-^. Q. E. D .

XIV. Theor. Vofitis iterum virihus explodentihus feu
velocitatihus hntialihus aequalihus et infnitis , erit etiam
altitudo ad quam glohus peruenit in vacuo infinities ma-

ior

' SrRSFM HROIECTORVM. 341

ior dltitudine , ad qnam peruenire poteji in medio refi^
Jlefiti. Vtraque vero iterum eji infinita.

Hae propofitiones partim iam in praecedenti pa'
ragrapho demonftratae fuerunt , partim eadem metho.
do adhibitis formulis afcenfuum quantitates denotanti-
bus demonftrari poflunt. Caeterum notari meretur ,
aerem quempofuimus ferro y6 50 vicibus leuiorem, tan-
tam tamen refiftentiam exeruiffe in globum ferreum ,
cum 45. min. fec. in aere commoraretur , \t eidem -J
partes abftulerit in afcenfu.

XV. Licet quoque ex tabulis praemiflls quaedam
coUigere circa vim pulueris pyrii: Sunt vtique vires im-
preffaeglobisvtaltitudines ad quasin vacuoglobus afcen-
dere poteft : In prima autem tabula vidimus altitudines
illas elfe vt 13694 ad 541 feu fere vt 26 ad i, cum
quantitates pulueris erant vt 4 ad i . Vnde apparet vi-
res pulueris in globum propellendum multo maiori ra-
tione crefcere quam eiusdem pulueris pondera. Ratio.
nem huius phaenomeni aliam affequi nequeo , quam
quod maxima pars pulueris accenfi tranfeat per lumen
accenforium etper hiatumilluminterglobum et animam
tormenti interceptum , quodque haec pulueris pars inuti-
lis in longeminori adfitratione,cumingens pulueris quan-
titas adhibetur,quam cum parua.Caeterum id quoque ex
experimentis coUigere licet , confiderando puluerem vt
aerem condenfatiffimum , fcilicet vires aeris denfifTimi
in multo maiori ratione,quam dcnfitates , crefcere ;
iubdu(Sto enim calcuio , inueni aerem naturah quingen.

Vv 3 tie

342 DE MOTV CORFORVM etc.

ties denfiorem elafticitate praedtum effcnaturali aeris e-
lafticitate minimum fexics millies maiorem.

Adnedam hic alia quaedam experimenta cummor-
tario inftituta : Si quis ad calculum ea reuocare voluerit,
id eo plane modo, quem indicaui $. 8. fieri poterit : e-
rat autem diameter animac mortarii 1,05 ped. Angl.
diameter globi 1,01 ped. pondus globi 200 libris HoU
land.

Quantit.pulv.
pyr. in lib.
Holl.

2

I

2

3

4

5

6

Tempus, per
quod globus
in aere man-
fit in min.
fec.

3
1

7; 5

12

1-5,5

20 23
i

25

"ReTiqua^ quaeAu&or clrca motum corpornm in medtls
refiftentibus corm Socktate praeJegit^ infequentem To-
mum differentur.

NO-

NOVA PLAl^TARFM GENERA 343

NOVA PLANTARVM GENERA

Aucu
I. C. Buxbaum.

PRoftant in officinls pharmaceuticisMofqnae fru-
fluh fpongiofi cuiusdam vegetabilis, quodRu-
tlieni vocant Badiaga^ et multi ipfis vfus eft ini
liuoribus oculorum aliarumque partium a ver-
beribus , quos huius puluis impofitus vna node tollere
dicitur.

Ert autem haec Badiaga planta fui gencris aquis per-^
petuo fubmerfa; fpongiofa, ex multis fibrillis lierbaceis
quafi contexta , fragilis et digitis , ficca inprimis, facile
friabiiis , qua in re differt a fpongia , cuius textura tenax
et veluti ex lana compadla. Praecipuam autem diife-
rentiam conflituurit grana rotunda , quibus noflra Bad-
iaga referta efi: , quaeque pro feminibus haberi poffunt.
Et haec etiam ipfam ab Alcyonio feparant.

Tres hadlenus obferuauimus Badiagae fpecies, qua-
rrim^ prima nobis audit Badiaga maior, Figura huios
occurrit in Lofelii Flora Pruffica , \bi appellatur Mu-
fcus aquatkus ^ Ceratoides^ de quo Breyniusin Praefatio-
ne Florae Quafimodogenitae notat , quod fnSpongiae
fpecies elegans noua. Addidit quoque breuem defcri-
ptionem Lofelius, nullam tamen mentionem flicit femi-
^um , quod fecit Ruppius in Flora Icnenfi ; qui pariter

figu-

344

NOVA

figuram exhibet. Exhibere quoque takm videturPlu*
kenetius Tab CXII. fig. 3. fub nomine Spongiae fluuia^
tilis , anfra&tiofae, perfragilis , ramofijfimae. Sed nuUa
adeft defcriptio , quae etiam defideratur in Raio et Hi-
ftoria OxonienfijVnde nihil certi determinare polTumus.
Granula ifta (eu femina in hac maiorifpecie rotundafunt
coloris albidi, in altera parte inftar lapidum cancri ex-
cauata. Odor plantae recentis efl tcter et pifculentus.

Secunda fpecies conuenit cum praecedcnte colore
ex atro viridi et odore graui , difFert vero, quod minor
minusque ramofa et quod granulis croceis et rplendenti-*^
bus rotundis , quales in Hippuride feu Equifeto foetidofub
aquis repente C B. obferuatur. Adhaeret limo aut
Lenticulae trifculae , praecedens vero lignis adnafcitur
purrefcentibus fub aquis latcntibus. Pigrarum aquarum
alumna eft et a nobis dicitur Badiaga minor.

Badiaga cinerea appellari potefl: tertia fpecics , quae
Spongia ramofa fluuiatilis Nezi^toniRai. Kijl 81. Haec
rcliquis longe clegantior cinereo aut albicante colore ad
fpongiam accedit, fed friabilitate et fl'agilitate Badiagae
fimilis. Rami interdum inter fe coalefcunt et vacua
quaedam fpatia relinquunt. Semina in hac non vidi,
quae an fimilia cum praecedentibus ferat, nefcio , ob
conuenientiam tamen in reliquis huc referre placuit.

Secundum genus plantarum nouum a nobis appel-
latur Lupinafter , cuius notae funt : Folia inflar Lupini
digitata. Flores papilionacei , in capitulum, longo
petiolo ex foliorum alis egreflb , fuftentatum, congefti
(iliquae longae dcprefTae , feminibus reniformibus foe«

tae«

FLANTARVM GENERA. 345

tcic, quac notjie ipfiim ?. congeneribns fatis euidenter fe-
parant.

Caules profert hic Lupbiajler femipedc altiores, non
raro pedales, rotundos et (Iriatos, virides , paruis ramis
ex alis foliorum egredientibus praeditos. Folia longa,
acute ferrata , glauca , non tamen hirfuta , eleganter
flriata et rigida. Qiiinque, fex, feptem, imo plura di-
gitatim , inflar foliomm Lupini , communi infident pe-
diculo breui , ex vagina fublutea caulem ampiedentc
prodeunte. In fummo caule et ramulis nafcuntur flo-
res purpureo coerulei in capitulum colledli , exade flores
Trifolii bituminofi referentes , pediculis vncialibus aut
longioribus fuftentati et calyce in multa fegmenta acuta
fcifTo exccpti. Sequuntur filiquae longae depreffae, fe-
minibus reniformibus nigris repletae. Crefcit haecele-
gans planta ad ripas Wolgae intra Aftrakanum et Cza-
rizinam,ob fimilitudincm cum Lupino hoc nomen impo-
ncre placuit. vid. Tab. XX.

FoJiifoIia tertium condituit genus notasqne gerit
Flores monopctalos campaniformes globofos et capfu-
lam m quinquc loculamenta diuifam , feminibus foetam
fubrotundis. Et vt breuitcr dicamus, Poliifolia cft plan-
tae genus florc Arbuti , frudu Cifti.

Mutuati (iimus Poliifoliae nomen ex I. Bauhino , a
quo haec planta vocatur Viti Ideae affinis FoliifoHa mon-
tana. A Raio in Synopf dicitur Ledumpahjlre nojfras
flore Arhiiti ^ vbi haec planta optime defcribitur, cui
deCcriptioni nos addimus petiolos flores fufl:inentcs et
calycem brcuem floribus efle concolores , hoc eft ele^
Tt^w.IL Xx gaa-

34<5 NOVA PLANTARVM CmERA.

ganter purpureos. Figura I. Bauhini non adeo bona,
ncc meliorem multo dat Plukenetius. Occurrit foliis
anguftioribus et latioribus , pofterior vacatur a Scherar-
doLedum paJiiftre foliis latioribiis fuccukntis in Raii Sy-

nopf!

Pertinet ad frutices frucflu ficco \bi poft Chamae-
rhododendron poteft coUocari. DifFert a Chamaeda-
phne difpofitione foliorum et florum imo toto habitu
Ledi nomen a Raio impofitum ideo cum Poliifolia com-
mutaui , q[uia illud longo vfu iam occupauit Cijlus Ledon
foliis Rofmarini ferrugmeis C. B. qui iure nouum confti-
tuit gcnus. His cognata videtur planta Erica Cantabri-
ca flore maximo, foliis Myrti, fubtus incanis Tournef.
Inft. et Erica Hibernica foliis Myrti pilofis fubtus inca-
uis Petiv. Gazoph.

Additur hic flgura plantae Africanae , quam pro
Poliifoliae fpecie, ex floribus conieduram faciens , ha-
beo. Uicmn mqucPoliifoJia Africanafrutjcofa, Flo-
res huic purpurei campaniformes , magis patuli quam
noftratis flores , in quatuor lacinias fecli ; folia angufta
acuta, caules fine ordine cingentia. Frutex eft humi-
lis cortice veftitus dilute rubente vid. Tab. XXI.

Defcribit et delineat C. Bauhinus in Prodr. Cam-
panulae fpecicm quam nominat Campanulam ferpillifo'
Uam^ quae etiam fub Campanulae fpeciebus recenfetur
a Tournefortio in Inft Occurrlt haec copiofe in fyl-
uis uliginofls circa Petropolim, et ego frudum eius exa-
minans ipfum longe a Campulanae frud^u diuerfum re-
peri. Capfula nempe eft oblonga, ouata, foeta kmi-

ne

TENTAMEK EXPLICATIONIS 347

ne vnico albo rimilis figurae , in medio fecundum longi-
tudinem fulcato. Haec capfiila praeter ea inftruda eft
duobus foliolis hifpidis ccu fcutis,quae omnia melius de-
fcribuntur quam delineantur ob exiguitatem , hinc nul-
lam figuram adiecimus. Flos etiam tubulofus magis in-
fundibuliformibus quam campaniformibus accenferi me«
retur. Abieflo igitur Capanulae nomine Scrpillifoliam
vocare vifum eft.

TENTAMEN EXPLICATIONIS
PHAENOMENORVM AERIS.

Auctore
Leonh. Eulero.

QVanquam ad intima rerum penctralia et co- M.Sept,
gnitionem vltimae partium ftrudlurae aditus '7^7.
non itapatet, vt pliaenomenorum , quaein-
^ de oriuntur ratio reddi queat : Tamen , vt
plerumque a Phyficis fadum eft , a corporum natura-
lium proprietatibus, quas obferuauimus , quodammodo
ad ipfam eorum ftruduram concludere licet. Ex qua
pcrcepta corporum ftrudlura , quo plura phaenomena
explicari poflunt , eo perfedior ea eft ; Et , fi ex qua
Theoria omncs prorflis proprietates , quas quidem co-
Xx 2 gno-

348 TENTAMEN EXPLICATIONIS

gnofcere impofl'ibiIc eft , deriuari poflent, dubium non
ert, quin ea vera lit, et re ipfa exiftat.

II. Aeris quam plurima nota funt phaenomena,
caque parum a fe inuicem dependcntia ; vt is profedo
multum praeftitiffe cenfendus fit ; qui eadem theoria o-
mnibus fatisficere pofTet. Sed theoriam ita maxime
conficere conucnit , vt primum excogitetur partium
ftrudura , ex qua vna tantum proprietas fluat ; id quod
plerumque pluribus modis fieri potefl : et deinceps in-
quiratur , num ea caeteris quoque proprietatibus expM-
candis fufRciat ? et , fi plures primum theoriae conce-
ptae funt , tum quaeratur , quae maximae parti vel quae
omnibus fatisfaciat.

III. Inter alias ?ieris, quas cognofcimus, proprie-
tates ea inprimis idonea vifa efl: , fecundum quam flru-
£tiirA aeris adornetur , qua aer kCc continuo expandeqe
conatur, et reipfa fe expandit, fl quaeimpedimentofue-
rant, remoueantur. Haec enim aeris elaflicitas prae
caeteris proprietatibus Hiaxime explicatu difflcilis mdc-
tur , vt eius ratione cognita reliqua fa cile fluere videantur.

IV. Nifl velimus hoc aeris phaenomenon occuU
tae cuidam particularum proprietati et vi infitae adfcri-
bere , alia via non fupcrefl , nifi vt conatus ifte a motu
materiae cuiusdam fubtilis deriuetur. Conatus autem
feu Yis mortua , vti a Leibnitio vocatur , a materia mota
ortum trahere potcfl, fl ea in gyrum moueatur ; quo fit
vt quaeuis particula a centro aufugere conetur, atquc ita
huiutmo-di vortex vim f^i^c expandendi acquirat. Hoc
vfus principio Cel. loh. Bernoulli omnem vim elaflicam

ex-

mAmOMENORVM AERIS. 349

expHcare inftitiut in rchediafmiite de commtoitcattone mo^
ttis Liitetiae nuper impreifo. Qiio yim elaflicam a vi
centrifuga miueriae fubtilis oriri afferit.

V. Scquor itaque hac in re , iftam , vti mihi vi-
detur , mnxime probabilem elafticitatis aeris caufam, at-
quein hac difTertatione examini fubiiciam , quantum ae-
ris ftrucn:ara ex hoc fundamento formata reliquis aeris
proprietatibus explicandis fufiiciat , quantumue minus,
vt nppareat , vtrum aer hanc partium ftrucluram habere
poffit; an vero non? Quo in cafu meliorem oporterct
excogitare aeris conftitutionem.

VI. Suppono igitur aerem conftare aceruo infi-

nitarum minimarum bujlularum , in quibus materia fub-

tilis motu circulari gyratur ct m\ centrifuga bullulas con-

tinuo expandere conatur , easque reipfa femotis obfta-

culis,expandit. Suppono porro bullulas efle pellicula

obdudas ; quod quidem opus non eflet, cum huiusmodi

vorticuli fine pelliculis conllare polTent et tamen mutuo

non permifcerentur. Vnus enim alterum impedit, quo-

minus extrauagetur : Attumen propterea bullulas peJli-

culis obdudlas fuppono , quod aer nunquam tam purus

fit , vt prorfus a vaporibus liber fit. Vapores autcm par»

ticulas aeris ad inilar pcUicuIarum obducere valde pro-

babileeft.

VII. Conftet itaque aer infinito bullularum mini-
marum numero , quarum crufta exterior fit aquea pro
diuerfo aeris ftatu maior minorue ; intra hanc cruftam
gyretur materiafubtilis certa cum velocitate , quae fub-
inde ab alia fubtiliori adhuc materia omnes poios pene-

Xx 3 tran-

3 5 o TEKTAMEK EXPLICATIONIS

trante accclerationes nancifcitur, ne motus tandem con*
fumatur et euanefcat. Conftat enim aerem calorem fe-
mel acccptum fenfim amittere , cum autem aer calore
rarefiat , fequitur materiam fnbtilem motuvehememiore
Jigitari ; celHinte ergo calore , indicio id eft , motum
materiae elfe retardatum.

VIII. Ex hifce de (Irndlura aeris praemiffis con-
fequitur , eum in infinitum fe expandere debere atque
extremum raritatis gradum accipere , quando nihil eft
quod eius conatum compefcat. Sed accedente graui-
tate, aliter fe res habebit , eritque , cjuod vi aeris ela-
fticae fe opponet. Quum enim aer fuperior inferiorem
premat pondere fuo, inferior \Iterius fe expandere ne-
quit, quam quoad eius vis elaftica , quae expanfione con-
tinuo diminuitur , aeqaalis fit \i incumbentis aeris com-
primenti.

IX. Patet porro ex concepta aeris conftitutione,
eum in infinitum comprimi non pofTe , propter grauita-
tem fpecificam , quae in infinitum augeretur. Nam
cum in qualibet bullula certa et determinata materiae
fubtilis quantitas comprehendatur , eaque femper fuper-
ficiei adhaereat ob vim centritugam, necefle eft vt circa
centrum fpatium vacuum relinquatur •, id quod eo maius
effe debet , quo magisaer rarus fueric : Contra autem
contlnuata aeris comprefTione , id fpatium vacuum con-
tinuo diminuetur, donec tandem protfus euanefcat , vl-
tra quem denfitatis gradum aerem comprimere impoffi-
bile erit.

X. Quod ad velocitatem materiae fubtilis attinet,

opor-

PHAmOMmORFM AERIS. 3 5 1

oportet finguHs eius particulis eandem attribuere veloci-
tatem , neque quae a centro remotiores funt, iis maiorem
ct proprioribus minorem adfcriberc velocitatem. Prae-
terea enim , quod hinc tlieoria nafcatur experientiae pe-
nitus contraria, ob vim centrifugam in maioribus bullu-
lis maiorem , ex hoc elucere poteft , quod bullulam con-
denfando vel expanfioni relinquendo velocitas materiae
fubtilis eadem manere debeat,cum nihil fit,quod eamim-
mutet ; Huc enim non pertinet retardatio, de qua §. 6,
quae non propter immutationem bullulac , fed propter
refiftentiam quandam contingit. Quare cum velocitas
materiae fubtilis non a didantia a centro pendere queat
necefle eft eam vbique conftantem ftatuerc.

XI. Sit CAB bullula aerea, quoad fieri poteft ^'^- ^«

comprefla , quae proin efimateria fubtiJi vorticofa pe-

nitus repleta. Circumdata vero fit crufia aquea ADEB,

vt ergo reliquum fpatium CDE materia fubtili implea-

tur. Sit ACzz^, CBznb, Sumatur pro ratione radii

ad peripheriem, i :7r, pro grauitate fpecifica materiae

fubtiJis , n et pro grauitate fpecifica aquae feu cruftae

3
m. Erit capacitas globuli CAB ziz SHA- ^^ ^a-

Z^^h

pacitas globuli CDE = ~. Ergo foliditas
cruftae ADEB zn^ (g^ -P ). Qiiamobrem erit mafia

materiae fubtilis fpatium CDE implentis^i^^ , et

maffae cruftae zz^^~ {^-~. ). Ethac maflarum quan-

tita-

3 52 TEKTAMENEXFLICATIONIS

titates in quantum vis expanfis bullulis eaedem mancrc
debent.

XII. Exprimat k altitudinem , ex qua graue ca-
dendo velocitatem acquirit, materiae fubtilis veiocitati
aequalem ; Vnde fequenti modo vis centrifuga , feu vis,
qua fuperficies globuli CDE premitur , inuenietur. Su-
matur a centro indc terminata CPzzx cuius differentiale
Fpz^dx. Erit crufta fphaerica craflitici ?p et radii CP
rzSTr.wv^r , quae fi ducatur in denfitatem materiae fub-
tilis, datmaflam 27:;a\r^.r, feu pondus. Quumhaec
materia gyretur velocitate ex altitudine k acquifita , fiat
fecundum Hugenium, vt radius x ad duplam altitudinem,
2k ita pondus materiae gyrantis, amixxilx ad pondus
vi centrifugae huius cruftae aequale , quod ergo erit zz:
Airnkxdx. Huius ergo integrale ZTinkx^ exprimit vim
centrifugam fphaerae radii CP. Confequenter vis cen-
trifuga buUulae DE erit z^am^ikhh,

XIII. Confideremus nimc bullulam aeream quo-
'^^* ' modocunque expanfim CAB : Cuius extrema crufta

ADEB defignet materiam aqueam , m.cdia DFGE ma-
teriam fubtilem circa centrum gyrantem , et tertia feu in-
timaCFG,fpatiumvacuum,velquod ad min-mum mate-
ria grauitatis experd fit repIetum.Dicantur ACzi:^,C D~^,
et CF=f. Erit, computo vtfupra inftituto, foliditas cru-
ftae extremae feu aqueae ADEB=:"-^(rt "^-b^). Dein foli-
ditas cruftae mediaefeu quantitasmateriae fubtilis DFGE
^27r^^3_^3j Tertio autem capacitastotiusbullulae erit
rz^-^^' . Sit grauitas fpecifica aeris feu totius bullulae,
i erit pondus eius ^^ a"^ , id quod aequale eft fummae

pon-

fEAENOMENORVM AERIS. 353

pondenimpflrtinm, nempe ^^^ (a^ -h^ )-^^:^^(h' ^b' )^
Eft igitur ia ^ ^ma ^ -mh ^ -^nh ^ -nc ^ .

XIV . Cum et quantitates materiae aquae,et quan-
titas materiae fubtilis aequales effe debeant iis,quae fu»
praerantinuentaein cafubuUulae maxime comprefTae/e-
quentes obtinebuntur aequationes y" [g^—h^^^-zz y"
(^3-^3)et'^/i5— ^(i'^-^'). Qunmobremg^-^^^

a^^^h' tih^^—b^^^c^ Vnde^-^(rt^-^5^Zj3jet

^:::T^(^'-/^^)=^V'(^^-g^)- Si haec fubftituantur in fu-
perioris $. vltima aequatione,reperietnr/^5:=iwg5_^/,i

•^nP . Vnde h ^ -(/^ ^ ~ 71: g ^ ) : (w-^w). Kt porro fc
3 3

V{i-ni^n)a ^ -?;^ ^ ) : {n-m) ac r::i:V(^ ^ __^- 3 j^ j^qc er-

go modo ex calculo excluduntur litterae Z', r, et Z? dcno-
tantes interiorum bullulae partium a centro d.ftantias.

XIV. Vis centrifuga materiae fubtilis in fpatio
DFGEgyrantisvelocitate ex altitudine k produda ex ^.
II. inueniri poteft hoc modo : Vis centrifuga materiae
globiun radii x implentis inuenta eft -iizziinkxx. Qua-
re fe materia fubtilis totum fpatium CDE impleret, fo-
ret eius \is centrifuga iz.amikbh , a qua fi auferatur , vis
centrifuga materiae fpatii CFGzzZTcnkcc ^ reftabit vis
centrifuga materiae fubtilis in fpatio FDEG gyrantis,
cuius quantitas proin erit in 2 iinkihh—cc) et fubrogatis
loco b ^x. c valoribus $.13. inuentis , erit ea zz. 2.i:nk

[(^'""-^u-l"'^-f-(^^-^^)^]- Ponatur/.3=p^^e-
rit , ob ia ^ zz??ig ^ -~mh ^ -^nh ^ , ia^^zz {in-mp-^np ) g ^
Totn. II. Y y vnde

354 TENTAMEN EXPLICATIONIS

vnde g ' —ia ' : (m-mp-hnp). Erit ergo pondus vi cen-

centrifugae aeqiiiualens=:27r«*tfa [("^^^^^O^-

V{m-pni-^pn-i) )•

XVI. Ciim Ti centrifuga efficiatur , Tt bullulac
aereae refecontinuo extendere conentur, erit ea aequa-
lis vi elafticae aeris \ ex inuenta igitur aequatione, quanta
fit aeris clafticitas, inueniri poterit. Verum cum hoc lo-
00 primum lcgem duntaxat , qua aeris vis eladica pro
diuerfis denfitatis , humoris et celcritatis gradibus im-
mutetur , perfequi conueniat , fnflor 2n:n vtpote con-
ftans negligi poterit , eritque vis acris elaftica vt

3 2 ( y {m- i-^pi—pm-\-pn) ^ -V (m-pm-^pn-i ) ^ )

Cum autem fit w^ =(;w-/>///-|-/)«)^Sloco a incompu-
tum duco^ , vt ea tanquam conftans abiici pofTitj Erit

ergo qazzggVC-^'^'^-)^ -, ^"0 fubftituto erit vis elafti-

ca aeris vt k{V(^-^'^^;^^)-J^(^^
Coeteris igitur paribus eft aeris vis elaftica vt altitudo k^
velocitatem matcriae fubtilis inbuUulis gyrantis graui de-
fcendenti imprimens.

XVII. Verum cum vires aeris elafticae inter fe
comparantur , id iit aeris vim expanfiuam in eandem
bafm agentem cxplorando. Quamobrem, vt menfuram
aerisviselafticae,vt confuetum eft, exhibeam, neceffc eft,

vt

PHAENOMENORFM AERIS. 3 5 5

Vt prefTionem aeris in datam bafin inueftigem. Nam,
qiiae liucusque deiftalmenfura tradidi,huc non quadrant,
quia vis tota globuli aeris elaftica efl: fupputata , quae
propterea in tanto maiorem bafin aglt , quanto magis
bullula eft extenfa. Sunt autem hac bafes vt quadrata
radiorum'bullularum ; Et iis etiam vires elafticac pro-
portionantur. Quocirca affumatur conftans quidam
fphaeraeradius^jfiatque Yt a^ ad e^ ita visaeris eMica
inuenta paragr. praeced. ad vim in datam bafm agentem.
Multiplicetur ergo oportet formula praecedens per e'^ :

a ' at vero cft a ^-ggV{^j:^^). Quamobrem ab.
foluta diuifione , abiedtisque ^ ^ et^^^ tanquam conftanti-
bus obtinebitur vis aeris elaftica abfoluta , quae erit vt

XVIII. Euanefcat pars bulJulae aquea ; erit ^^^rdy
etideopni, Quamobrem visaeris elafticahoc cafuerit

k\y i-'-}/'^-^') ) feu multiplicato pcr conftantem

y« ^ , erit ea vt k (^V;2~— V («- 1 ) ^y . Ponatur k feu velo-

citas conftans , vt obtineatur lex clafticitatum pro folis

aeris diuerfis condenfationibus , erit tum vis elaftica , vt

3 3

^/«^— y(n-f)^« Et hlnc (equentes duco confequentias.

Si ftatiis aeris quam proxime ad maximam condenfatio-
nem accedat, erit n—i tantum non zno^ ergo vis elafti-

3
cahocin cafuerit vt V«^ i. e. ea erit conftans. Aere

ergo iam vehementer compreffb , vis eiaftica amplius
fenfibiliter non immutatur.

Yy2 XIX.

3 5 6 TENTAMEN EXPLICATIONIS

XIX. Deindefi / refpcaii jpfius « valde pnruumfit,
feu fi denfitas aeris ad denfitatem materiae fubtilis admo-

2 2

dum cxiguam habuerit rationem erit (w-i)"^!^^'^-^

n '^i , confequenter vis aeris elaftica erit vt-|« "^i fiuc

negledlo ^n ^ vt i. Aere ergo valde rarefadlo elafti-
citates erunt vt denfitates aerls. Quare cum circa ae-
rem naturalem obferucmus quantumuis is comprimatur
elafticitatem propemodemin eadem ratione crefcere,du-
bium non eft, quin acr nofter admodum fit dilatatus re-
fpedu materiae fubtilis, atque rationem fpecificam aeris
ad grauitatem fpecificam materiae fubtilis perquam clTe
exiguam.

XX. Attamen cum ea prorfus negligi nequcat,

2

Oportet feriei , inquam (/2-/)^ conuertitur , non tantum
duosprimos, fed tres accipere terminos , qui variationes
obferuatasfatis exadlemonflrabunt. Hoc ergopadlo erit

2 2 — I -4

(n-l)^zz.fi^-'-jn ^i-^n '^i^ , Atque hinc vis elafli-

-1-4 +

caeritvt-fw '^i-\-^n '^i- feu mukiplicando per 9«"^,
vt 6ni-\-i ^ . Dicatur vis elaflica v fiatque/^zi: 6m-^!i,
Ex hac igitur aequatione ope experimentorum, qua cir-
ca aeris incrementum vis elaflicae eo continuo magis
condenfatOj inftituta funt a Boyleo, inuenietur ratio « : i.
Ex quo intelligetur extremus et miximus denfitatis gra-
dus, ad quem aerem comprimere pofTibile efl.

XXI. Confultum ergo effe duxi experimenta
Boyleana huc tranfcribere, vt ex iis de denfitate fcu gra-

uita.

fEAEKOMENORVM ALRIS.

357

Ditate fpecifica matcrlae fubtilis concludere liccat , et
quamnam adaerem rationem habeat. Aer primo in tubo
fpatium 12. iiigit. Angl. replebat poitea verocumcolu-
mna mercuriali comprimebatur altitudines aeris et mier-
curii fuperafFufi in fequenti tabula exhibentur, cuiusprior
columna A indicat fpatium aeris in tubo, et altera Bal-
titudlnem mercurii comprimentis aerem ; hae yero in di-
gitis Anglic. exprimuntur.

B

A

B

A

B

15

O

8

15 tV

Ili

I tV

7i

17 t4

I I

2 U

7

21 tV

lOi

^44

<5i

2 5 tV

10

6 h

6

29 4*

9k

7^1

5l

32 tV

9

lO-f^

5i

34 4^

8i

12 h

5t

37 4f

5

41

9
t?-

4l

45

4i

48

1 2
T-J-

4i

53

. 1 l
To

4

58

1 2
To-

3l

63

1 ■;

TS

3i

71

T T

34

78

1 1
TS"

3

88

1
TS

XXII. Exhibet igitur haec tubula coliimnammer-
curialem , quae pondere fuo aerem in datum fpatium
redigit. Hoc vero pondus non folum aerem compri-
mit , fed ei infuper adiici debet pondus atmofphaerae,
quod fimul cum mcrcurio in acrem agit. Cum crgo
fumma ponderis mercurii et atmofphaerae ea fit, vis qiia
aer comprimitur , erit ea aequalis vi acris elafticae Vn=
de, fi numeris tabulae B addatur altitudo mercurii pon-
deri atmofphaerae aequalis, quam Boyleus fe 2^^- dig.
y y 3 obiei-

358 TENTAMEK EXPLICATIONIS

obferualTe fcribit ; habebitur relatio inter denritiites ae^
ris et elafticitates. Scd cum ad iftud accurate praeftaii-
dum , exadlilfime altitudinem mercurii athmofphaeram
acquilibrantis obferuafTe nccefle fit ; idque multis diffi-
cultatibus perturbetur : Mallem relida hac altitudinc i
29^ dig. ex experimentis ipfis , quum numeruseorum
abunde fufficiat , deducere pondus atmofphaerae : Scd
quia ad hoc accuratifTima requiruntur experimenta , (in
quibus praefentia haberi nequeunt) altitudinem 29-g- dig.
retinere cogor.

XXIII. Scd denfitates aeris funt reciproce vtvo-
lumina eiusdem maflae aereae ; volumina vero columna
A exhibcantur: Ergo denfitates crunt reciproce vtnu-
meri columnae A. Si igitur denfitas aeris in ftatu natu-
rali ponatur , i *, reHquae denfitates habebuntur fi nu-
merus 12 per reliquos refpondentes numeros columnae
A diuidatur.Deinde elafticitates, vt vidimus, funt vtnu-
meri fecundae columnae B audli numero 294. Cum
vero fit fvzzL6ni-\-n^ atque ex obferuationibus allatis
habeantur in quolibet cafu et 1; et f , duae hae literae /
et n determinari debent ; Id quod duobus quibusuis ex-
perimentis praeftabitur. Sumatur ad Hterum/determi-
nandam experimentumprimumjEt erit fzz:i, efi^zz^^-J-,
vnde 29^^6«-4-i. Ergo/=:^-|^±^ Quo valore
in aequatione fubftituto habebitur ^Sw-J-j-S^yzzi 398«
-|-233fi , confequenter «==TTV-|i-T-8-'u=Tl-V-T4Wf,

XXIV. Vt hinc inueniatur n , oportet experi.
mentorum allatorum ahquod adiungere. Sumatur igi-

} tur

PHAENOMENORVM AERIS 359

tur vltimum , eritfcis: 3=4, etv=S^-i!s-\-29i=:

XI7^SV. Vndc «=f t^|EHl4=^'f^ hinc e.
ritw=r$4) 64. Vtpateat, quantum experimenta in-
ter fe conueniant vel difconueniant , accipiatur id quod
aer in triplo minus fpatium eft redadlumjErit ergo/z33,
et 17 = 58x1-^-29 T-\-=^7v. Vnde habetur n:=z
^%W=f\%\ = -|^^ = $ 8t'2 • At experimentum
quo aer duplo tantum denfior cxhibeturpaulo plusquam
17 pro valore ipfius n exhibet. Ex qua ingenti difcre-
pantia intelHgi poteft, quamparum accurata haec fintex-
perimenta: Id quod praeterea ex faltibus , qui in iis de-
prehenduntur,fatis colligi poteft.

XXV. Id autem ex reliquis experimentis calcu-
lum infUtucHS obferuaui, inde quo minus aer erat com-
preffus , eo minorem ipfius n valorem inuentum. Ex
quo intelligi poteft , reliquis in numeris faltibus negled:is,
vel altitudinem mercurii atmo(phaerae aequiponderantis
non fatfs accurate effe aflumtam , vel tubum nimis fuiffe
anguftum , vt ne facilJime quidem mercurius in eo de-
fcendere potuerit. Prius quidem vix credi poteft : Sed
pofterius eo magis vcrifimiJe eft, quod tanta infit difFor-
mitas cxperimcntis : Vnde concludi debet , mercurium
non fuccefliue , fed quafi per faltus defcendilTe. Ean-
dem difFormitatem in Boylei experimentis circa rarefii»
dlioncm aeris aduertens, inde quicquam concludere no-
lui : fed plenius de denfitate materiae fubtihs iudicium
tamdiu difFeram , donec vel accuratiora cxperimenta in
manus veniant , vel ipfi inftituere vacauerit.

XXVI.

r/r.m.

360 TmTA3IEK EXmCATIONIS

XXVI. Vt aiitem clarius ob oculos ponatur, qua
kgeelafticitatcsacris pro diuerfis denfitatibus crefcant,
tota res flgura geornetrica repraefentari poteft. Ne,
gledis pelliculis aqucis inuenta cft aeris vis elaftica pro-

3 3
portionalis Vn^-Vin-if : Vnde patet , id per parabo-

Jam cubicalem fecundam praeftari pofle. Sit AMC pa-

rabola cubicalis fecunda fuper axe AB , in qua applica-

tae PM ferit in ratione fubfesquiplicata abfciffarum AP.

Capiatur ABinw et erecfla applicata BC, ducatur axi

paralleia CD. Dico fi in ea capiatur CQn:/, applica-

tam correfpondentem QM repraefentare vim aeris ela-

fticam. Nam eft QM r= BC - PM. Sed BC eft vt

VAB" feuy«^ , et PM vtVAP^ , feu, ob APz=AB-

3

BP, (CQ) -zzn-i , erit PM vt ViTH-if, Vt ergo fitQM

33
-vt •Vn'^—-V[n-iY cui quantitati etiam , Yt patct, propor-

tionalis eft V\% aeris elaftica.

XXVII. Si ea accipiatur regula , qua vires aeris
elafticae in ratione denfitatum ponuntur •, Ex hac figura
patcbit quantum ea a vero, fi modo hanc theoriam ve-
ram appellare licet, aberret. Ducatur per pundla C et
M redla CMR perpendicularem AD ex A in AB du-
dam fecans in R ; exprimet haec redla diftantiis fuis a
CD vires elafticas fecundumiftam regulam aeri iuxta ab-
fciftasinlineaCD condenfato refpondentes. SiigiturQM
naturalem aeris vim elafticam.denotet, regula ifta in con-
derjfationibus iufto minorem exhibebitvim elafticam , at
in rarefadionibus iufto maiorem , donec vtraque rcgula
aeri infinite rarefiKilo elafticitatem nullam attribuat.

XXVIII.

mA^NOMEKORVM AERIS 3^1 .

XXVIII- Si certoconftaretratioquamw ad /habet, *
quantum haec regula in quouis cafu a vero aberret , as-
fignari polTet : Nec non aeris vis elafticamaxlma AD,
feu ratio AD : QM. Ob hunc defedum pono faltem
n : izzq-. i. eritque ?jzi:qi, adeoque vis elaftica QM erit

MVq^i^-yC^^-if , diuidatur per Vi vtpote con-

j 3
flantem, erit viselaftica aeris naturalis \tVq^—V[(/—l) .
AfHimatar quiuis alius condenfationis gradus,quo denfi-

tas fit iid naturalem vt j ad i . Erit ea denfitas jf,adeo-

3^3^
que vis elaftica refpondens erit Vqi^^-V^ifsif ,erit ea

3 3
igitur vt l/^^-l/(.7-j-f . Vnde fequitur , elafticitatem

aeris naturalis efle ad elafticitatem aeris s vicibus denfio-

523 2
rlsvt I ad y^i:^^?— ^^^ fcd fecundum regulam vulgarem o-

porteretelfevt i adi-^fii—^tumeritDR—// QM,etADi=:
.1 .QM. Quh vero q valde eftmagnum re-

3 3 2

fpe(flui,erity/-y(^-i)^=: ^^^ *, erit itaque AD=

I q. QM. Regula ergo ea plus dimidio nunquam avero
aberrare poteft.

XXIX. Cognita pro quouis condenfitionis gradu
aeris elafticitate , potcrit inde inueniri quanta effe debeat
aeris denfitas in data quacunque altitudine. Cum enim
aer naturalis comprimatur a pondere aeris fuperin-
cumbentis, neceffe eft , vt , quo altius afcendatur , aer
ob imminutum ibi atmofphaerae pondus rarior iiat.Nam
Tovi. IL Zz vbi-

3<52 TENTAMEN EXPLICATIONIS

vbique eousquc aer dilatatur , quoad prefTio aequalis fit
Fig. IV, ^^"^ elafticitati. Sit igitur curua BMV fcala denfitatum
aeris,cuius nimirum applicatae PM exprimant aeris dcn-
fitates in altitudinibus P. Sit A is locus , quo denfitas
aeris eft maxima , adeoque Ybi ABinw. Accipiatur
locusquicunque P,cuius altitudo AP fuper A dicatur .r;
denfitas vero ibi feu PM— .:;^, erit ibi aeris \is elaftica \t

Vn'^--V{n-)'f , cui proportionalis effe debet preffio ab
aere fupcriore PT orta. PrefTiones autem funt vt den-
fitates et altitudines coniundlim : Quamobrem erit pres-
fio aeris fuperioris vt area MPTV i. e. yt —fydx, Eft

3 3 1_£^^_

itaquc afj'dxz:zV7i^-V{7i-yYM^O(\Mt ciydx—^^^^^y^',^ii\.

de adx:=z-^— feupofitio ^mf , erit dx:=:-j^ —
"iy^i^-y) y^(^ — y)

quae hoc modo integrari debet , vt pofito xzizo , y

iiat znn.

XXX. Si fiat n-zzy erit tum dx infinities maius
quam dy , ergo tangens in B parallela erit axi verticali
AT. Propterea haec curua alicubi pundlum flexus con-

trarii habere videtur *, id quod hoc modo inuenietur.

dy 3

Quia eft ^a~^3,^^_^^ -, erit dy zzydxVift-y). Alfum-

3

to dx pro conftante , tx\iddyzz:dydxV[n-y)--^ydxdy

— 2

(fi-y) '^zzio. Vnde yi—^^yzzy. Confequenter J=|:«.
Quam ob rem pundum fiexus contrarii eo erit loco,
quodenfitas aeris eft ad maximam vt 3 ad 4. Appli-

cetur

PHAENOMEKORVM AERIS, 363

ceturigitur CDr=^ AB,erit in piindlo D pundum fle-
xus contrarii. Eft deinde Ilibtangens hiiius curuae ^
L— . Vnde colligitur fi y fiierit refpedu ipfius n val-

de paruum, tum efic lubtangentem conftantcm ; Vt adeo
hoc in cafii haec curua cum logarithmica confundatur.

XXXI. Poteft quidem aequatio pro ifta curua
(!xzz~^ — ad quadraturam circuli et logarithmos re-

duci : ied inde multo difHcilior enafcitor eius curiiae
condrudio , quam fi per quadraturas conftruatur. Deft-
gnet igitur AMC parabotam cubicalem fecundam, vtin Fi^. F»
fig. 3.fitque CD = ^^. Alfamatar aeris denfitas quae-

uis in CD, puta CQ., ponaturque CQi=^^. Cuius appli-

3 3
cata refpondensQM erit Vn^-V(?i-y) ^, cui proportiona-
lis accipi —Jjdx debet.D icatur QM, z, breuitatis ergorer it-
qnQ-jdxzzdz ctdx-zz^ , atque .m/~f-. Ducatur
PM , quae erit^ , et in ea produda , fi opus eft, capia-
tur PNrr-5 , erit area PBEN ^f^- Quapropter iu
MQproIongata accipiatur QL , quae fit vt area PBEN.
Erit pundlum L in curua quaefita. Eft enim in ea, duda
LH, CR-LQz=:f--p=x, et HLzzCQpzj. Hoc igitur
modo curua DLV determinabitar.

XXXIL Qiiae hucusque aeris proprietates ex
theoria expofita deriuatae funt , eae nihil abfoluti in fe
continentjfed tantum rationem dant , (ecundum quam e-
lafticitas aeris pro diuerfis dcnfitatibus , humiditatibus
et matcriae fubtilis (;eleritatibus exiftimari debeat. Ve-

2z 2 rum

364 TEKTAMEK EKPLICATIONIS

riim niinc abfoluti qiiid tradam altitudincm columnae
mcrcurialisdeterminaturus, quam datus aereus globulns
Fig. VI, fufHnere valet. Sit itaque AB diameter horizontalis
bullulae aereacj de qua intelligi debent, quae §. 14. in-
uenta fiint. Incumbat ei columna mercurialis ABED
altitudinis ADzzf, quae tanta fit, vt in aequilibrio con-
fiftat cum vi, quam bullula habetjfefe expandendi. Haec
autem columna in fingulis bullulae pundlis perpcndicula-
riter agit in cius fuperficiem , idque vi , quae efl: vt alti-
tudo columnae/, et bafis feu fuperficies buUuIae, quam
premit , atque grauitas fpecifica coniundlim. Cum au-
tem femidiamcter AC fit zzia ; crit circulus maximus
bullulae ^, adeoque femifuperficies eius -iziiaa , quae
cft bafis , quae a columna mercuriali premitur. Expri-
matur porro grauitas fpecifica mercurii, refpedlu habito
ad reliquas grauitates fpecificas , litera r, erit prefiia,
quam columna mercurialis in bullulam exercet inizaarf,
XXXIII. Haec autem preflio deftrui debet pres-
fione a vi centrifuga materiae fubtilis orta ? quae etiam
jn fingula fuperficiei puncfta aequaliter agit. Quamob-
rcmvis, qua vis centrifugain liaemifphaerium agit,idque
extendere annititur, aequalis elfe debet vi comprimenti
columnae mercurialis. Vis autem ea efl dimidium vis
elafticaetotiusbullulae, cuius aequale pondus$. 14. in-

27ntkaa 5

uentum eft, ^^^iZ^Z^^^ [Vim-i-i-pi -pm^pn) ^ -

y[m-i-pm^pn)^]] huius ergo dimidio aequari debet
pondus columnae mercurialis iraarf. Vnde fequens e-

nafci-

mAEKOMENORVM AERIS. 365

3
nafcitur aequatio : rfV ( ?n-p rn -f-j) nf zrnk

^Viyn-i-^r-pi-p^n-^-pn) - -V [m-i-pm-\-pn) ^ ] feu/— ^

(^V/rn— i.-f-f>t-^<w-4-f>"\2_y.m-f-j)m-f-j?n\2 J,
V^ m—pm~f-pn / ^ m— |)7ru-f- ■]{)«, / *'

XXXIV. Vt haec aequatio tradatu facilior eua-

dat faltem pro naturali acris ftatu, pono i admodum par-

3
uum refpecflu n',tt propterea crit V[m-i-\--pi—pm-^pn) ^

3 2(fx— i)

=y(///-;>;«--+-;>«)'+3V(,n_i,m_Hf>r^). ^tqueeodem modo

Viin-i-pm-^-pn^^^znW^m-pm-Vpnf ~ ^J^^^^
Quibus valoribus fubftitutis j orietur haec aequatio
rfl^ni-pm^pr^-i^ , vnde/=^=?;-^^-,^. Sed fi

ponatur humiditas in aere euanefcens , erit />— i. Tum
igitur erit/:^:^. Si autem aer vaporibus fuerit infedus
p eo minor erit vnitatCjquo plus vaporum in aerc holpi'
tatur ; ponatur itaque hoc in cafu pzri — ^, erit/rz

3 r ^ gm-pr(ir."q)" ) -fF 3r(gm_f_n(i_<jn ItI '"5ra_f_7;( t rg^^»

XXXV. Cum autem / indicet altitudinem colu-
mnae mercurialis in aequilibrio confiftens , exprimet ea-
dem litera / altitudinem mercurii in barometro. Ex in-
uenta igitur aequatione, dntis velocitate materiae fubti-
lis in bullulis gyranns,aeris et materiae fubtilis grauitati-
bus fpecificis , atque quantitate aquae in aere verfantis,
inueniri poterit altitudo mercurii in barometro. Nam
r ^rauitas fpecifica mercurii , vt et ;;? grauitas fpecifica
aquae aliunde iam condant. Percurram itaque cafus,

Z2 3 qui-

5.5(5 TENTAMEN EXPLICATlONIS

quibus mercurius afcendercjet quibus defcendere debet;
vt inde pateat , quid in aere acciderit et afcendentc et
dcfcendente mercnrio in baromctro. Ad hoc cum tan-
tum ratione opus fit, negligo f-idorem y^ tanquamcon-
flantem, eritque/ vt /Xi-^-^Jp^).

XXXVr. Hinc igitur confequitur manentefado,
ik merciirium in barometro afcendere decrefcente fra-
dioikQ qrrulni , _— ) • Hacc vcro ftadio crefcente ^ et-
iamcrefcit, decrefcente vero ^ decrefcit : Nam cre-
fccnte ^ clemento dtj , fradio crefcct elemento
^ "^j^ — Qaamobrem maneote fado ik mercu-

rius in barometro afcendere decrefcente aeris humidi-
tate ; ea vero auifla mercurius defcendere debebit. At-
que hanc puto e(fe rationem , cur afcenfus mercurii in
barometro plerumque coelum ferenum , delcenfus vero
pluuiam aduerfimque tempeflatem praenunciet : Illo e-
nim cafii aer maximam partem a vaporibus vacuus eft,
hoc vero iis magis infedus.

XXX Vn. Poffunt quidem aliaeconcurrere ratio-
nes , ob quas mercurius afcendcre vel defcendere queat
immutata vaporum quantitate : Quando fcilicet fliclum ik
crefcit vel decrefcit. Sed fortaife hoc fadlum fenfibili-
ter neque crefcere neque decrefcere poteft , propter al-
terutram literam eadem fere ratione audlam , qua altera
diminuitur. Nam velocitas materiae fubtilis , cuius qua-
dratum eft vt y^, augmenta accipit qudo calore, fedidcm
calor aerem rarefacit, et quantitatem i minorem efficit,
vt ergo fadum ik quafi femper conllans permaneat. Ex

quo

FKAENOMENORFM AERIS. 367

qno intelHgitur tute femper larcenfum Yel defcenfum mer~
curii diminutae Yel audlae vaporum in aere verfantium
quantitati attribui poiTe, quanquam negari non poilit
et fadlum f/^quodammodo efFedum humiditatis ct augere
et diminuere pofTe.

XXXVIII. Neque vero hinc inferre licet, baro-
metrum idem ac hygrometrum praeftare oportere; cum
et hoc humiditatem aeris monftret. Sed id confideran-
dum eft, barometri efFe»flus a tota aeris mafla feu totius
atmofphaerae ftatu pendere ; hygrometri autem a folo
aere id ambiente. Qiiamobrem altitudo mercurii in
barometro incrementa accipit , fi vniuerfus aer a va-
poribus hberatur , decrementa vero fi is vaporibus im-
praegnatur. Vnde colligiturhygrometrum fere fummam
ficcitatem oftendere poffe , cum altitudo mercurii mini-
ma fit *, ct fimiliter hygrometrum humiditatem indica-
repofTe, cum mercuriis fummam altitudinem attigerit.
Plus enim immenfa aeris altitudo in barometrum valet,
quam infima haec regio,quae fola in hygrometrum agit.
XXXIX. Si humiditas aeris euanefcat , habetur
iuxta §. 33. haec aequatio/i=H^^ , quam ?i non ingredi-
ditur. Ex eaigitur cum experimentis ratio r: /, vt et al-
titudo/conflet, inueni potefl altitudo ^, exqua grauc ca-
dendo velocitatem acquirit ei,qua materia fubtilis in bul-
lulis aeris gyratur , aequalem •, Efl enim kzz^. Circa
quam expreffionem obferuo eam excepto coefiiciente
numero \ eandem effe cum altitudine gcnerante veloci-
tatem , qua fonus per aerem promouetur , vt ergo ve-
locitas materiae fubtilis conflantem habeat rationem ad

velo-

35S TEWr. EXPLIC. FHAEN. AERIS.

^-elocitatem foni.Hic aiitem animum abdiicaereoportet
humiditate aeris,qua accedcnte k:\\\o modo exprimetur.
XL. Obferuatur altitudo mercurii in barometro a
22. vsque ad 24. et vltra dig Pedis Rhenani. Cum au-
tem aerem a vaporibus vacuum fupponam, attribuo litc-
rae/^naximam, quam habere potert altitudinem, nem-
pe 2460 fcrup. Ped. Rhenani. Dein rationem r ad r
pono vt lOOOO ad i. Quemadmodum ex experimen-
tis de grauitate aeris concluditur. Quibus pofitis erit
^_ j^ojo^jj^tA^—: ^ 5poo pedibus. Adeoque mate-

ria fubtilis velocitate mouetur tanta , quanta a graui ex
altitudine 36900 ped. in vacuo defcendente acquiritur.
Si ergo hacc materia fua velocitate in diredum pergcret,
conficeret vno minuto fecundo i 5 1S3- ped. Rhenanos.

XLI. Ifto hanc differtationem finio , cum defint
accurata experimenta,ex quibus reliqua adhuc defidera-
ta determinentur , et quibus Theoria haec plenius con-
firmetur. Incerta eft adhuc ratio ;; ad / , feu quam ha-
bet grauitas fpecifica materiae fiibtilisad grauitatem fpe-
cificam aeris, Ad hanc vero inueftigandam accuratis
cxperimentis ad id fiicientibus infiituendis opcram fl:u-
diumque adh bebo. Quantitas autem;; fi haberetur,fa-
cile formulae inuentae ad praxin appUcarentur ; atque a-
liis idoneis inftrumentls adhibendis quouis tempore, quan-
tum aquae in aere contineatur, afiignari polTet. Etfor-
fican multa infuper alia, ad quae , iis quae fufficiunt co-
gnitis, quafimanu duceremur.

FLAN-

PLANTAE DVBIAE

AD SVA GENERA RELATAE

Auct.
I. C. Buxbaum.

PRimo loco Mq, hic offert luncifolia fub aquis
nafcensj Cochleariae capfuds Raj, Sjn. qui fa-
tis bene defcribit. Graminibus adnumeratur
in Hifloria Oxonicnfi , -vbi eft Gramen Hy^
hernicum , Thlafpios capfulis Scherardi , et figura fme
floribirs proponitur , nec melior efl figura quam dat
Plukenetius. Ex noftra obferuatione eft genuina Alyfli
fpecies, quae poteft nmcup^Lri Ahjfum palujfrefolio lunci.
Capfulae feminales accurate reipondent capfulis Ahjffi
foliis Polygoni , caule nudo Tournef hift. Reperitur fub
aquis et extra aquas inter Scirpos minores et SteJlarias
"vbi aquae ftagnarunt. Qiiia in Morifonii et Plukenetii
figuris flores omifli funt , nos perfecfliorem dare allabo-
rauimus vid. Tab. XXIII. fig. i.

Androfaces fpeciebus addenda plantuJa, quam C,
Bauhinus Aljines Ipeciem fecit et in Prodromo nomine
Alfmesvernae Androfaces capitulis delcribit. Parkhinfo-
nius equidem Androfacen minimam Yocat , fed p(iftea ob-
liuioni haec planta tradita , omifla etiam cft m Tourne-
fortii Inftitutionibus. luuat itaque hnnc fuolocor^ftl-
tuere ct Androfacen montanamflore minore appeliare.Cre-
Tom,ll Aaa fcit

370 PLANTAE IWBIAE AB SVA

fcit in moiitoris Naruae ripis et primo floret vcre, vld.
lig. 2. Tab. XXIII.

Alia adhuc fpccie noua genus Androfaces augere,
ab hoc loco non eiit alienum. Eft illa Aiidroface Afru
cana ^ flore magno. Defcriptioquantum explantafic-
ca colligere licet fequens eft. Radix craffa, albicans,
redla in terram defcendens. Folia fubrotunda crenata,
leuiter incana , determinate nafcentia , intra quae prod-
eunt cnules aliquot (duo in noftra) rotundi , virides , fb-
liis deftituti , nifi fuperius vbi corolla foliorum exiguo-
nim non crenatorum cingit flores monopetalos quinque
fidos albos, vid. Tab. XXIII. fig. 3.

Plukenetius in Phytographia delineat folia plantac
quae vocatur Ceratlae quodamniodo affinis BenghaknftSj
foUis bigemellis .fiihrotundis filiquis admodum intortis et in
orbes circumflexis ex minis nigricantilmsfru5tu ruhro ma^
€uJa nigra infignito. Fiores huius funt pentapetali ex vi-
ridi albefcentes, tribus petalis latioribus et duobus angu-
ftioribus in orbem pofitis conflati , calyce pariter quin-
quefido fuftentati , in fpicam difpofiti. Hinc non ine-
pte refertur ad Criftam Pauonis Breynii feu Poincianam
Tournef Inft. Licctvim aliquam patiatur Tournefor-
tii deftnitio quatenus ftamina et calycem adiungit , nu-
merofa equidem in noftra adeft ftaminum congeries fed
non fiint incurua et multo breuiora quam in Crifta Pauo-
.nis Breynii , inferius quoque calycis folium aduncum
decft. His adde.noftrae pet-ala eflc aciua manifefte ir-
regiilaria et eolore diuerfa, fuperius enim \iride omnium
maximum, cuius iateralia duo paulo anguftiora,inferiora

vero

GEmRARELATAE. ^yi

vero angufliffima. Kis non obftantibus huc referrema-
Jni quam nouum fabricare genus, inprimis quia Crifta
Pauonis nondum fpecierum multitudine laborat. No-
ftra Tab. XXIV. exhibet ramulum cum fohis minori-
bus (maiora enim anguftia tabulae non capit) et filiquis
iunioribus,

Equifetis accenfuit Breynius plantam Africanam,
quae ipfi Equijctum iunceum nigrhiodum Capitis bonaefpei^
an Arundinis gramineae aculeatae Alpinigenus ? Pertinet
pot:us ad Gramineum genus quam ad Equifeta quod iam
fufpicatus eft Raius. Noftra figura profert ramum ca-
pitulis multis fquamofis fpadiceis onuftum. Poteft refer-
ri ad Scirpum cuius peculiare genus fubalternum confti-
tuit. Dicntur itaque Scirpus Africanus Erpifeti foliis, \id.
Tab. XXV. Cum hoc idem videtur luncus Africanus
lignofo calamo ad nodos inuoJucris nigris circumuoluto^ pa-
nicuk arundinacea ex Prom. honaefpei PIuL Matit. In
hoc fcirpo habes nodos»

Aaa fi DE

•€( (372) ^4.

DE PIMGVEDINE, PROSTATA,

MVSCVLIS , NERVIS , VASIS SANGVI-

NEIS, CORPORIBVS NERVEO- SPONGIOSIS

EORVMQVE SEPTO, BALANO PENIS,VRE^

THRAE BVLBO, EIVSQVE CORPORE

SPONGIOSO

Auct.
lo. Georg. Du Vernoi.

A

M, Nov. jA Nimaduerfione non indignum eft , quod in

17^7* /\^ diffedionibus ordinariis, omnium membro-

rum vnum fit Genitale , cum quo minus fa-

miliares funt fuosque inde oculos et manus

magis retrahunt Anatomici. Hocce faftidium fere v-

niuerfale eft,illud que cum ex defcriptionibus datis, tum

praefertim ex rcrum optimarum obliuione obferuatu haud

difficile eft : Verum enim vero optandum elfet , vt ho-

mincs illud ferio confiderent , quia alias necelfe eft , vt

quando praefatae partcs vitiataefunt, inter imperitorum

manus poenas luant. Caeterum, prout vifcerum in ge-

nere , fic Genitalium inu-eftigationes , euidentiae et cer-

titudin-is caufa, non in homine folummodo , fed fi fie-

ri poteft, in Elephanto et confimilibus animantibus infti-

T.XXr^tui merentar : NamquePenis Elephantinus fere longitu-

TenisEle- dinemhominis,et cruris craftitiem aequare vifus eft, quam-

f ^«f/w^j.^^.^ animal pudibundum fit,vti Plinius refert, aetasque E-

lephanti a me dilTedi ii. annorum tantum fucrit : Ex

quo

DEPENE. 373

qiio,praeternaturali forte caiifae tribuenduni effe videtur,
id quod ^Raio in fynopfi animalium p. 136 narratur.
Penis, inquit, in vagina reconditus minufculus, nec tan-,,
to animali proportionatus videbiitur : verum vagina,,
difcillii expofitus et liber£/7wi;;(?maior erat , non tamcn,,
longior.,, Quem ab ofle pubis refecflum ponderauimus ^-^^
et menfurauimus, 80. Ib. Ruflicas pendebat, nec non 6. duset lon-
ped. X. poll longus erat. Ex qua longitudine nec non S'^"^<^'
facili recuruatione verfus caudam,quae breuiflima efl,i-
tcm ex ftatu eiusdem pendulo , ex defedu tefliculorum
ct fcroti, et denique[ex roftro feu proceflu fere recuruo
in extremitate parteque fuperiore balani exiftente col-
ligi potefl: , Elephantum animal retromingens ac retro-
coiens efle. Figura eius conica efl: , cuius maior ambi- Craijitlci.,
tus2-^ped.inmedio i-^ped. in extremitate lo^ poll.Pro-
ptcrea fl non longifllmus , faltem crafllfllmus omnium
Animalium Penis iure falutari potefl:. Ifta craflities a
quibusnam partibus procedat, haud difliculter detradla
pelle inueftigari potefl: : Nam ipfius pellis litt. A A.cras-
fides quum exigua fit , hanc flngularem praerogatiuam
in caeteris animantibusPenegaudentibus rarius obferua-
tam in eo vidimus , nempe adipem feu membranam adi- Tinguedi-
pofam , qux pofl: feparationem telae crafljoris nerueae «''-^ ^ofia,
ei fuperimpofitae confpicua fadla efl , lit. BB. Hoc no-
uo exemplo manifeftum eft, non impoflTibile efle , prout
Eruditifllmi Anatomici contendunt , vt in pene aeque
ac aliis partibus pinguedo naturaliter coiligatur , quod
adhuc magis ex co elucet , quoniam in cute et fcroto,
cum quo continua funt penis inuolucra,praefata men^bra-
Aaa 3 na

■pingue-ii
nii

374 ^E TEm.

na adipofa mmlme defideratur. Eum vcroinfinemfor-
!^!'.^.'.^f/; ^^ data eft, vt non folum crafTitiem membri augeat, ve-
rum etiam, vt contra vim frigoris,quam perferre minus
valet , illud tutum fartumque conferuet , fimulque ficci-
tatem corporum nerueo fpongioforum arceat.

Tumorem et crafTitiem Penismaximam efficerevlden-
turmalTiiecarneae praegrandes , quaequuminpartetam
fuperiorequamauerfa , propter molem earum infignem
valde confpicuae lunt , fikntio minus praetermitten-
p^Y^ j dac funt. In hac autcm figura , quae dorfum pe-
nis repraefentat , foli mufculi attollentes feu eredlores
lit.CC.ettransuerfales lit.DD, cum portione mufculibul-
bum vrethrae comprimentis litt. E. delineati funt.
Transuerfahum non is erat fitus et inceffus , qualis vul-
Mufculi go traditur : Nam ad penis latus cum dextrum,tum fini-
(Irum adeoque inter mufculum bulbi comprimentem et
attollentcm feu Eredlorem, inflar duarum manuum aper-
tarum aut alarum oblique collocati,et prout diftinde vi-
di, fine tendine , fere afuo principio, corporibus ner-
ueis toco fuo progreflu implantati erant,rehquo fuo cor-
pore , quod planum ac liberum erat,inftar alae expanfa
In medio eorum fedet.

Corpus globofum,durum,pomummaius aequans, vn-
ciasque nouem ponderans, quod.liue litus, liue numen,
iiue inuoIucrorum,fiue tandem fubftantiae ratione, pro
vera Proftata haberi poteft litt. F. Bulbo enim v-
rethrae contiguum, pauloque altius fupra eum et mufcu-
lum vrcthrae comprimentem fitum eft , vbi proftatae
fedes ordinaria inuenitur. Deinde iilud Proftatae etiam

fatis

transucr
fales

DE PENE, 375

fritls coniienlt , vt tunicis admodum crp.iTis et valldis in-
ueftiatur : Extima , connexioni cum -vrethra et cor- inuolucra
poribus nerueo fpongiofis in'eruiens tendinea aut neruea et corpus
vifa eft litt. a eiquc ex quadam arteria huc tendente M"&^(^-
plurimavanifanguinea, fpeciesque corporis fpongiofi in-''^2/pro^
tertcxtarunt.Pofthanccapfulam^murculus concauus adnio- fiatae,
dumque cralTus , qui in tres facile partes fecatur , to-
tum praefatum corpus inueftit litt. M. Vtraque e-
iiim ficle antica et poftica^fcutum craffum carneum inflar
2onae confpicuum eft , cuius fibrae tam exteriores
quam intcriores in obliquum dudae et deculTatacYerti-
ccmmeduimqueproftataecircumambiunt,et tantum non
ad eius partem inferiorem perueniunt. Ad vtrumque
latus appofita et annexa efl muffacarnea, triangukris n-
gurae,eiusdem craffitiei, quae a fummovertice ad imum
vsque, alfumta tereti figura defcendit , ac infra pro-
ftatam , pone vrethram in praememoratam capfu-
lam tendineam vtraque fimul inferi videtur. Poflquam Eiusiem
tres hae fafciae remotae funt , mollis et pulpofi fubitan- J."f J^'"'.
tia,quae tenui mcmbranula tota obducta elt, m conlpe- et jfman^

ra.

dlum venit , haecque rurfus non male ad naturam pro-
flatae referri poffe videtur. Verum quoad intimam eius
ilru^fluram, etfipropter amplitudinem res flicilis appareat,
longo tamen tempore opus fuit , antequam aliquid ef^
fitu dignum acquirercm affeueraremque vt verum. In
parte igitur poflica,duo fpatia parcnchymate interme-
dio feiunila , profunda, ad imum vsque defcendentia,ac rj^^^ y:,„^y
inparte fua ampliore digiti minoris apicem admittentia, prcfunii.
clarc ct dii\in<^e confpcdui oblata iunt , etfi taiia in figu-.

ris

37<5 DEPENE,

ris, et (criptls anatomicis inconfpicua fint. Iftosfinus

exmembranafirma,lucida,albugineaefFormatos,ciimdu-

- flii Higmorianoin tefticulis non ineptecomparare licet.

Horum autemfmuum opeidaiTecutusrumjVtnuncparen*

chima praefatis fmubus circumfufum pauloclarius cerne-

rem, quam alias ante illorum notitiam folebam : Poft

quam enim inieda fufficienti aquae copia, materiaintus

coatenta rite cxpurgata fuilTet , quotics aerem impelle-

bam, perfpicue obferuabam, illud nihil aliud elfe, quam cel-

'. lularumfeu cauernuIarumlit.a\multiplicemcongeriem,ex

celUiUnef' variis pelliculis tenuiffimis^vario foraminum genere per-

formantes. f )rntis , efF^rmatam eaquelege difpofitam, vt per fora-

mina fmgularia in finuhus excauata,humor pcr totamcel-

CelluJa- lularum congeriem efFufus, in praememoratos finus de-

rum f't- jabi, vele conuerfo,per eosdem iniedus in omnes celiu-

-jXT'"^ Jas diffundi poflir , prout aliquoties obferuaui.

Porro citatarum pellicularum vnam vel alteram

Quiift pi-opiijs examinanti, quaedam fubftantia veluti fub rubra

■pcllicuiis nubecula pelliculis fuperextenfa apparuit , a qua color

fuperex- inftar carnibin tota compage excitatur. Sed impoffi-

tenfat \y\\Q ^fiij-jj fuit,inuitis omnibus meis artificiis, perfedliorem

eius rei cognitionem affcqui ; Sufpicari faltem cum ex

colore , tum ex fucco in cellulis contento,tum ex dudli-

bus excretoriis f is eft, opificium effe fecrctioni aptum,

hoceft , ex vafis fanguinem vehentbus conflans , dc

caetero valde occultum et impenetrabile, prout omnia

huius generis organa efTe , fi mentiri non volumus, in-

genue fatendum efl:. Quod dudlus excretorios attinet,

grauis nunc difficultas fefe ofFert, quae dubitare fecit, an

vera

DE PENE. 377 -

vera prodata , aut aliud glandofum corpus , an ^^^^itatio
Yero aggregatum ex Co^ivperi glandulis dicen- 'J,','/^^^^^^^^
dum fit , quoniam notum eft , in iis animanti-
bus , quae proftatam obtinent , in ea vrethrae parte
cui agglutinata efl , pliires breuiflimas fiftulas aream et
formantes fociatim aperiri. E conucrfo, duo folum- ^;^^^^^^
modo cmifraria ad vtrumque latus vrethrae inter hanc et emijfana,
bulbum defcendentia , (quorum fmiftrum dextro paulo
longius eft) ftylum aeneum maiorem admittcntia con-
fpicua funt : Ad haec, verumontaniin hoc loco abfen-
tia : diligens fed fruftranea cum aliarum , tum Coiv^
pm glandularum inueftigatio: item duo veftculis femina-
libus fubiedla et contigua globofa corpora , quae forte
proftatae vices replent , difEcultaiem fupradidam ad-
augere videntur. Propterea, an glandularum Cowperi
inelius quam proftatae idaea hac in partc congruat nec
ne,in dubio relinquitur.

Vltimo circa huius glandulae in medio mufculorum Uanc mu.
transuerfalium pofitum arbitrari fas eft, in illa a(n:ione/^'^^/Vr^//i-
qua hi mufculi inflati penem retrahunt, preflionem quo- ^'^^/^^^^
que laterum praefatae glandulae effici, fine praeiudicio J^^[^*
tamcn illius potentiae , quam inuolucra mufcularia ei (ii-
perextenfaimmcdiate exercent.

Mufculorum alterum, omnium maximum par , in MufcuH
dorfo penis confpicuum eft litt. CC. SinguU enim bra- ^J«^^^'-
chii humani craflitiem ficile aequantes , poftquam me
diantc ligamento craflb nerueo litt. G anterius ligati
funt, praegrandem maflameflbrmant,qua dimidia mem-
bri longitudo contea:a eft. Toto praefato fpat.o non
Tom.lV Bbb aliter

373 DE PENE.

aliter ac diio cylindri partc anteriore connex.ij pofterio.
re autem liberi , absqiie connexione cum corporibus
nerueis Peni tam laxe incumbunt , Tt foluto eorum liga-
mento , pondere et grauitate fua deorfum rapiantur ac
diuellantur , prout in figura cernitur. Abh'nc praedi-
Tjn..,^^, f^i ventres fubito aliam fieuram afllimuntrNam ex cras-
fiulorum fo et peramplo corpore (ubito intcrmittente , gracilis
tendmes /«tendo inftar pollicis craffus exit , ac poftquam aliquot
vnum un&i ^^iYmm fpatio Yterque progrelTus eft , vnus tendo ex
duobus conflatur , isque per medium dorfi, (fic.uti vre-
thraperoppofitae partis medium),redilineo curfii ad ex-
ff tremum vsque progrediens tumorem excitat non abfi-
milem tumori vrethrae , qui in auerfii parte elfe folet.
Canali ^'^^- ^- Ne ex fede fua dimoueatur , femicanalis ner-
nemeo in- ueus crafiifiimus e corporum nerueo-fpongioforumfibris
fUisi, transuerfis in arcum ab vno latere in aliud reflexis con-
textus fadus eft, ad tendinem praememoratum in alio fe-
micanali minus profundo fuperdorfum penis excauato
firmius continendum, quia talis reditudo ad motum ge-
nitalis omnino neceffaria videtur. Prioris femicanalis
principium denotatur litt. L
Eoruma' Ex hacce defcriptione euidcns efl: , quod fi

aioquae- jn homine aliisque animantibus mufculorum ereAorum
mm nO j-^^. CC conftitutio huicce conformis eft, a^io compri-
mendi vafa a Viris folertifiimis excogitata f^tis infirmo
talo nitatur , non folum quia ad illam compreflioneRi
duorum mufculorum combinatac vires cxceflluae ac pc-
riculofae "videntur, quum vnius vis fola fufficiat ; verum
etiam/piatempore quo accidit; tenfio a fanguine diften-

dente

DE PJENE. 379

dente fada , lam adeft , quae propric ceu vera cauHi
comprefTionis praedidlae varorum , propter audlam
inembri conuexitatem et duritiem , potius quam mu- ♦
fculorum adionem , confiderari debet : Comprimatur
enim quantacunque vi manus penis flaccidus ad os-
fa pubis , flacciditatem conferuabit , prout expe-
rientia teftatur. Quare concludendum eft, quoties hn-Fera ccufa
guinis intra penis corpora nerueo-fpongiofainfluxus on~^^^^^[oms
tur, tunc temporis folos neruos in vafa imperium exer-'^^"^^'
cere , prout ex ftrudlurae imuitu manifeftum eft,a quo-
rum proinde roboreTiriIitas,quae vulgo fignum fanitatis
vocatur, vnice dependet. Mufculi ergo eum in finem
folummodo conditi videntur , vt impediant ne mem-
brum fanguine aefluante inebriatum vacillct , magisque
\erlus vnam partem quam verfus alteram inclinet.

Tertium vulgo didlum par mufculoruni , in penis /^^^-^^'"^^"
auerfa feu pofteriore parte qua mufculorum vrethramy^^/^^ ^,^^.
comprimcntium fcdes conftitui folct, fpecie praegrandis ^^^*^t ^/</-
maffae in confpedum venit Litt. E Eaque quantum^'^^^''''^''

PV litlCPS

difcernere potui , ex gemino mufculo haud conflata eft,
ficuti de aliis animantibus hacflenus traditum eft ; Verum
fmgularem videtur conftituere mufculum azygon , qui
cphippio aut fornici peramplo fimiUs dimidiam penis
longitudinem contegens , in fciffuram terminatur , qua
canalis vrethrae fub colatitans,depofito bulbo, egreditur,
iterque fuum verfus extremitatem penis abfoluit. Bul-
bus itaque vrethrae in praefati mufcuh finu, inter hunc ct
corpora nerueo-fpongiofa veluti detentus ac incarceratus
iacet , eoque prout confideranti patet , fpeciali inllituto

B b b 2 Yt

€t

380 DE PENE.

Eusd. ^^ quando canalis vrethrae vna cum bulbo per
mtjju I a contradlionem praedidi mufculi propius ad memo-
rata corpora neraeo - fpongiofa vrgetur , elacula-
tiones praeterlabentium liquorum fortius velocius-
que peragantur , ad quas (cu amplitudinis longi*
tudinisque viae , feu liquorum feminalium caufa , valida
vis necclfaria erat : quae vt cognofcatur, modumim-
plantationis dudhimque fibrarum refpedu bulbi confide-
rare oportet : Arcus enim pene efformant , qui bulbum
ampIexi,moxfiIamentorum coerulefcentium fpecie, cum
cortice nerueo- fpongioforum corporum fimiJibus fibris
in longum dudis contexto fic committuntur, vt fibra-
^ije^tio ^^^ inuicem pcrmixtarum difcrimen agnofcerc amplius
haud liceat.

AccuratamneruorumpenemEIephanti flipantium inue-
Kerul f^igationem abs me inftitutam fuiffe, absque iadantia cfFari
licet,ad quam rara ac infrequens eorundem magnitudo, quac
inftar minoris digitierat, fimuIquehuiusNevrologiaeinho-
mine aliisq-, animantibus defideratae vfus generalis mc folli-
citauitProptereasdem caufas,inea flatimre folutionefuf,
In maximisElephanti neruis omnemlapidem mouendi, ad
cognofcendum artificium, quo admiranda hacc motuum
fenfuumque inftrumenta , in quorum inuefligatione Ana-
tome parum honoris aut lucri adhuc reportauit, a natu-
ra compaginata fint. Videre itaque ct diftincfle perci-
pere licuit, neruum filorum in circulum difpofitorumfa-
fciculum effe, quorum copia poft eorum euolutionem e-
quidem parua, fingulorum e contra craffities nec non in-
tcrmixta pinguedo ad molem nerui conflandam iufta ac

conn-

DEFENE. 381

commenfurata Tifa eft. Pinguedinem nenio inclufam
efTe dixi > Quod fane a nemine antea didum fuifTe rccor- ^^^P*^^^
dor : E contrario , ci intenlam ac noxiam effe, fenfum- dcteaa.
que infringere Anatomici timere videntur. Interim ve-
ram pinguedincm eamque copiofam obferuaui , pofl-
quam exterius muolucrum Nerui, quolaxe inueftitur de-
tradum effet ; Singula cnim filamenta,pinguedinis mani-
feflo folio feu lamina obduda in confpe<flum veniunt, in
qua exilium fimul vafculorum fanguineorum capillamen-
ta diftinifle oculis appareut. Atque ex eo euidens efl) ^.
quam late Mq extendat pinguedinis vfus , quae eum for- ^JfH,^^
ee in finem praefatis filis feu chordis nerueis circumfufa
cft, vt eorum flexilitatem incorruptam fcruet , vimque
adeo impulfuum vehementiorum non nihilretundat,prae-
caueatque, ne vnum filamentum ab altero comprimatur.
Caeterum inter praedidla filamenta fingularia , quorum
numerus in eiusdem magnitudinis neruis femper aequalis
obferuatus efl:, fcil.(9. aut io.)commercium inflar du-
duum communicantium pertransuerfos funiculos inter-
ccdit , qui ex vno filamento enati , alteri implantantur,
hacque ratione prope canalicularis ftrudurae, (adeoque
influxus) idaeam fubminiflrant.

Nunc de trium infignium neruorum fuper dorfb pe-
nis deambulantium difpofitione admodum curiofa et a ne- f'^^^ insi^
minc indicata, dicendum eft. Et quidem , quod prae- ^^^^ ^^""*
fatum numerum ternarium attinet; diu fatcor , in ea o-
pinione fui, ac ^ duo tantum nerui , vnus fuper dextrum,
altcr fuper finiftrum corpus nerueo fpongiofum , peni
proprii effent , prout apud Anatomicos receptum eft :
Bbb 3 Scd

382

VE ?ENE.

Neruus
sinci arj

iejcribjur.

*Is p. t«
Medici
Caftrcnris
officio or-
natus ad
mare Caf-
piumdis-
cclTit, **

fed reuera tres eflfe poftliminio cognoui ; Praeter duo^
eaim praememoratos,qui fuper corpora nerueo fpongio-
fa in focietate vaforum fanguineorum incedunt, vnusae-
que infignis in medio prope iuncflionem feu concurfum
praefatorum corporum iacet, qui demum in confpedlum
venit, poftquam vafa fanguinea fupcrincumbentia dimo-
ta, pelliculacque plurimae inuoluentes feparatae funt.Ab
ifto prius incipiam,quoniam fine pari ac planc fingularis
eft. Is igitur fpatio praedidlo , quod inter duo penis
corpora fpongiofa medium. eft , inclufus , aifumta loco
teretis quam initio habet , figuraplana, fuper tegumen-
tum nerueum feu corticem penis , a quo vix diftingui
poteft, mirum in modum diiFunditur, adeo vt fpatiuni
quatuor digitos ktum iuxta totam penis longitudi-
nem,foIohuius nerui contextu repletum (It. Iftius con-
textus^ac reliquarum rerum quae in Tab. XXVI. fig. l.
continentur , afpec^u , partim naturae magnificenttam,
partim Mmtix.ox tmSchwenteriim'^ depraedicare fasefl.
Eius enim folertiae achumanitatidebemus, quod partium
Eiephanti internarum figuras optimas ac elegantiffimas
totidem tabulis comprehenfas nunc poffideamus : Figu-
ram proptcrea praememorati contextus afpicere folum-
modo oportet , in qua id clare exprcffum efl , quod a-
lias vix ac ne vix defcribi poteft. Haud enim abfimilis
eft telis acu piciis feu texturis artificiofis , incredi-
bili fibrarum neruearum iniplexu conftans, ac ea tenaci-

tate

**ViriCl. et amiciOTuni /0/.7. Georg- Gmclvu M. D. diligcntiaeolla"
taque opcra toto dijfe^ionii tempore hie ([Hcquc laudanda ejl.

m PENE, 383

tate corporibiis cauernofis ngglutinatus , vtauelli ne- Aff^olu-]
nueat Caeterum tum praefiuumfitumfeu aeglutinatio- ^''^^^^'
ncm , tum prodigiof-im loecunditatem vnius nerui, tum infervit,
funiculorum contextum haud fatis admiratus fum , quo-
niam dum caeteri neruorum funiculi mox mox de-
fcribendi, in gratiam hinc mufculorum , hinc vaforum
fanguineorum difpofiti funt , hic otiofi ac fibi relidli ad
volaptatem folummodo deftinati effe videntur. Aft ne
crrorem committam, id quoque repraefentandum eft,
quod per liuius contextus cancellos feu foramina va-
fi plurima fanguinea ex truncis dorfo penis incumbenti-
bus emiflajac corpus vtrumque cauernofum perforantia
transeant, vnde non raale adio coniici poteft , qua fan-
guinis tranfitus in veneris adu determinari debet.

De duobus aliis neruis lateraliter fuper corpora ca- Qactn-'
uernofa in focietate magnorum valorum incedentibusres Remt ft*
clara ac euidens eft , fi rem (vti decet) contemplari «'^.
placeat : Vtrique corpori nerueo-fpongiofo, praeter v-
nam arteriam duasque venas, nernus maximus cumprae-
diclis vafis intra vnum fafciculum comprehenfus incum-
bit, in qua focietate redla deorfum , ad penis extremi-
tatem vsque defcendens , fingularem lefpecflu vaforum
difpormonem,quae pariter hadenus ignotafuit , obtinere ^
vifus eft: Nam toto itinere, tum e dextro quam fmiftro
neruOjfrequentes propagines abfcedunt, quarum nonnu!-
lae ad contextum medium fupra memoratum tcndentes
in eo terminantur , aliae ad truncum recurrentes , eum-
que amplexae compedes efformant , quibus vafa iocia
veluti carcere includuntur , ac in poteftatem fu.iir. re^

ducun-

384

DE PEKE.

Neruoru>ii
jnterior
jimciura
inquiritur.

Tensionh ducuntur. Quamobrem non ab alia caufa, quam ab ifta
fenis cau- mji-jibili ncruorum difpofitione, totum negotium penis-
fajjfigm- jgj^(|Qj^grpfpe(f^ans,penderemanifeftumefl:, absque mu-
fculorum attollentium feu erecflorum minifterio , vti fu-
pra diximus : Nam certum eft, quod in hoc cafuNatura
vafa fanguinea intra nerueos cancellos minimie inclufis-
fet; in quibus necefle efl: , vt ad quoslibet neruorum in-
vigorationes cedant, hincquc via fanguinis in corporibus
nerueo Ipongiofis, per viciflitudines libera vel impedita
fit, prout hui'-is luculentum exemplum in Liene proftat,
de cuius vfu aliquando loquendi occafio dabitur.

Hifce , quae de Neruis ad penem fpedantibus, pro
inftituti ratione exarata funt , relationem obferuatio-
num Nevrologicarum ; feu ftrudlurae neruorum in-
timae,proutinmaximis Elephanti neruis , ea conftanter
mihi oblatacft, defcriptionem fubiungo , eamque , vt
fpero, errori minus obnoxiam , quia moles filamento-
rum infignis (felegi enim talia , quae diametro fesquili-
ncac aut lincae refpondebant) fimulque probitas et prae-
ftantia inftrumentorum opticorum perfpefta fuit. At-
tentio quoque maxima fuit , vt in extracflione aut refe-
<flione et expofitione talium filamentorum, quam minima
vis inferretur. Ncrui tum crudi , tum longa maceratiO".
ne emolliti et laxati in hunc vfum vocati. At in vtris-
que phaenomena eadem obferunta funt. i. Effluxum
fiicci aut humoris. 2. Tenuiflima filula. 3. Tubulo-
fam ftruduram obferuare nunquam valui , etfi fedtiones
optimae fuerint. 4. Neruo transuerfim fedo fupcrfi-
ciem medullarem obferuaui , in qua inaequalitas veluti

plu-

DE PEKE. 355

plurium globulorum feu capitulorum confplcua fuit^quac
veftigiii^'U indicia plicarum mihi vifa funt. 5. In ner-
vo per longum feL^o/ubflaTitiam pariter medullaremob-
feruaui, in qua(lri:ie (iibtilifrimae, ceu flbrae, parallelae,
in longuir. dudae ac parum protuberantes vifae, quas
pro totidcm etiam plicii habeo. 6. Vtroque mododis-
feclum filamentum, podquam fub microfcopio qua li-
-cuit celeritate , expanfumfcit, ecce nihil aliud oblatum
.eft, quam^tek feu membrnnula pellucida , (ed ineffabili
miraeque tenuitatis et pulchritudinis pi(flura ramulorum
jiigricantium infinitis modis concurrentium ornata , ac
plurimum fimilitudinis obtinens cum corticali fubftantia
vcerebri , vel cum pia matre ad RbujfcM methodum
praeparata.Qiiamobrem cogitatio incidit, an nenervus cx AiiKeruu:
membranis puris , aut laminis mcduUaribus complicatis ^^P^^^'^ .
folummodo conftet , prout in oculo pifcis Xyphiae a Zflamnh
Summo Malpighio ^^obferuatum effe legimus. Rogaui medullanb,
autem , huius Academ.iae Socios, Viros amiciflimos ^.^^^^^*^^^^
Georgium Bernhardnm Bulffiiigermn Phyf.ees Profeffo- \[^^'J^a'^'
rem,ac Fridericum Cbriftoph. Maierum, vt cum obfer-
vando,tum delineando mecum facere vellent. I/////j-haec
^e phaenomenis verba funt.

Tofiis , Vir Eximie, vt ego , qmd viderimus,exponam.Gra-
tiorAnatomicisTun erit defcriptio^ propior fcij. rece-
pto inter ipfos fermoni., et aptior condufio?iJhus. Sed
intelligoy quid velis ? Meum efi enarrare vifa , quihus
vti Tuum erit. Contineo me intra bifioriam , fihina
exceperism.cabulaj quae tanquam alierji carcereKhe-
Tom.W. Ccc torU

^ Epift. de Cerebro ad Carol. FracafTatttm.

386 DE PEiVE.

torlco { )concluft. Nihil dico^ nifi (juodvterquevl'
(limus\ nam et vHima, quaefinguJariter hic enuncio , ex
€0 tempore iun^ti facpe fpeBauimus Res omms hucredit,
Suhie&a eft Microfcopiis fibra nerui Elephantini , adDia-
phragma pertinentis: Eamtunica omni 7mdatamfi7ie vi^
tri auxilio fpeciator ocuhs hojnngeneam iudicaucrat.

1 . In transuerja fibrae fe&ione ^ cuius diameter vnamfa^
cile Tnieam aequabat , fuperficies mediocriter au&a al-
hicayjs apparuit vniuerfa. Qiiando minorihus vitris
amplius atque ampJius expanfam vidimus , tra&ihus
ohfcuriorihus tanquam macidis pajfim interjIinEta fuit^
latiorihus illis et ftri&iorihus , varieque inftexis , ^iec ad
fenfiim cohaerentihus. Area omnis reJiqua videhatur
limpidijfima , infinitis fardia corpiifculis mtefcentihus , et
roris in modiim colores fpargcfjtihus . Fapillularuni
illa , vel hullularum dimidia fui parte pro?ni?ientium,
fpeciem referehant , vifa in extremitatihus fe6tionis ., aut

infibrilUs ab reliqua inole diftra&is. Erant autem e-
iusmodi pun&a micantia ipfis etiam , quos dixi , tra&i-
kis ohjcuriorihus pajfim , fed rarius , intexta. (Quare
et:an\)vfu vetiit ^ vt pro variafiperficiei aduerfus fo-
lem expofitione magis aut minus olfcurae, latiores et^
iam aut graciliores viderentur maculae memoratae.

2. SiCtain longitudinem fihra ., iisdemque obie&a microfco-.
piiSjftmpHcihus quidem fed honis, vidimus vtiqueftrias
in longum porre^as ohfcuriores , quarum interftitia
fpJendentibiis , vt ante , corpufculis plenijfima apparuc-

runt. Non iftae multum aparaJIeJifmo ahludehant: Sed
iiftributae crant inaequaliter. AIicuJ?i plures latiores.

que

JDE FEm. 387

^tie ohfcurl tra&iis , fubtWJJimh tantum Uneolis mican-
tibus , tie^jue illis perfi&e coritinuis y dijfin&i: Alihianu
pliores erant nitidij in quihus obfcuriores difcernere li-
neas hac methodo non Jicuit.

Haffenus autem ohuerfa erat foli fuperficies , quam intue-

hamur. Fojica in mentem venit , excurfiones et conne-

xiones horum tra&imm ?nelius perceptum iri^ fiinterfo^

lem et oculum tcnwjfimus fibrae orbiculus transuerfim

fe&usinterponeretur. Id vtique egreghm foret , fer-

viretque ad texturam nerui certius defniendam , fiplu-

res orhiculi fefe inuicem excipientes microfcopio exami"

narentur. Sed intercedit huic confilio fihrarmn tenaci-

citas , quafit, vtfinemultajlrudturaefubtijiffmae of-

fenfa tales a neruo cyjindrulos te?iuiffimos non facile li-

ceat refcindere. Placuit igitur , fuhtile?n a fhra por-

tiunculam cultelliacie^ vtfieri tu?n potuit , feparare^ et

vitro afijxa?nfiiogIuti?ie ad microfcopium aptare com-

pofitu?n. Radios folares co?iuexaIens exctpit ^ iisdem-

que colle&is ohiedta?n Soli particula?n , quoties opus

fuit , illujiriorem reddidit,

3. liic 'uero textura?n apparere ?nirahile?n^tradtihus oh-
fcuriusculis ^ per miuerfia?n porJiu?icuIam excurrentihus^
et ??iirum in modu?n fihi impJexis , fior??ia?itibus injulas
micantihus pun&is rcfertifiimas. Kegabant Iu?nini
tra?ifitum ohficm^i tra&us , nifii direBu?n illud a foh ve-
niret. Fines areoIaru?n translucidarum^ et ohfcu?'io-
rum tra&uum ?iitehant conjpicui iridis coloribus •, pJane
'otfurifoJet.cum res opacaefoJi expofitae trans utreu?n
trianguJare prisma fipi&antur. Vvfui ad latus parti-
Ccc 2 culae

338 DE PENE.

ctilae prlorls portmncuJam mcmbranae , qua neruus iti'

tcgitur, Erat hacc vulgari oculo nigricans , in qua ni-

hilUcehat dijiinguere. Beneficio collcCli luminis , et fub^

ftdiorum ocuUfacies apparuit priori fimiUima .^ nifi quod

micantium pun^orum longe vifa fit pauperior haec por-

tiuncula.

j^. Denique repetitis tentaminihus , adhihitaque cura , vt

fecundumfihrae longitudinem ahfcinderetur filufn micro-

fcopio aptandufn, licuit et hoc percipere \ firias ohfcu-

riores , quales iuxta fierui Jongitudinem porreCtas vidi-

mus 71. 2. etiam inter fefe conne5ti aliis gracilioribus

lateraliterdifcurrentihus, retefimul clegantiffimum et in-

ordinatiffwfum referentihus . Vfusfum microfcopio^quod

tenuispiU crajfitiem adUneaelatitudincfn extendehat-, neq\

tamen excedehattractuum obfcurionm latitudofuhtiUspi-

lifpeciem. llluddici nonpoteft.quantamic antiufn particu-

larufn copia apparucrit^etfifilufn hoc fierueumfimpIiciO'

culotantum non exfuccum videreturVltiffiufn hocphaefio..

mefiony priffia vice, quaplmmm tefnpus erat, adcan-

deJae flamfnafn ohferuaui. NoJIi antcm , quoties ad

id fereno coelo poflffiodufn attefidiffms ^ id fiffiilenohis ct

cofiftans apparuifie. Hadenus Celeb. Biilliiogeriis.

Siinnmn Ea fanguinis tenacis copia Elephanti gcnitaleine-

etvajGrum briatum ac infardlum deprehenrum eft , \t ex hoc folo

£opH. iudicauer'm dc copia et magnitudine vaforum ad tantam

vim humorum tam aduehendnm quam reforbendam ^

prout etium diflecftio iniedioque comprobauit. Prae-

cipua autem cura fuit , veram inueftigandi huius partis

angeiologiaminteriorem exterioremque: vaforum diuer-

fas

' DE PENE. 589

fas fpccies , communicationes , retia , excnrfiones per

varias regiones penis , conformationemqne internam

cxternamue , quae omnia cum in homine, tum caete-

ris animantibus difficilioris indaginis elTe compertum eft.

Totus penis , detradlis folummodo inuolucris communi-

bus, hoc eft, cute , panniculo et membrana adipola , in Vafaex-

crate feu reticulo vafis innumeris peramplis incredibili ^^^^^^-Eo-

artificio contextis exftrudo, ac fuper vniuerfum penem r'ilo,m-

omnibus fuis partibus inftrudum expanfo tam ftridle in- merus, di-

clufiis e(l,vtpjae ipfo ad partes fubiedas viam feu adi- "-'i^iotiei»

tum inuenire impoflibile fit. Hocce autem fpedaculo

nil pulchrius ac elegantius in hocce genere imaginari fas

cft. Cuius formatio talis mihi oblata fuit • Exvtroque et

baiani latereeiusque fpongiofa feuinteriori fubrtantia,tres

quatuorue propagines , mediocris ftyli magnitudine , di-

flindlae apparere incipiunt , quae mox prope balanum

in duas infignes venas digito minimoaequales commuta-

bantur. Haec itaque quatuor vafa, ad latera penis in di-

ftantia pollicis a fe inuicem difpofita , praefati rc-

ticuli firmamenta, et veluti quatuor angulares columnas,

(quibus textura reliqua vafcularis fuper totum penis

ambitum expanfa , interiedla et firmata ell), conftituunt:

Nonnifi vero ad certam altitudinem (fere dimidii pedis)

taies trunci diftindi manent, et a fubtiliore interied:o re-

te eos dignofcere iicet: Nam dum iliud furfum afcendit,

adeo increfcit tum niumerus , tum magnitudo, ttim va-

rictas diredionum vaforum reticularium , \'t quatuor

praefati trunci cuanefcant , difcernique aniplius minime

qucant , id quod circa medium penis praecipue obfcr-

Ccc 3 vatur.

Trneter
mamum

390 DE PENE.

vatur. Illa cnim regione , nihil quam ducfluum duplo
maiorum cralTiorumqwe M^ mutuo fubingredientium va-
riasque cancellorum angulorumue fpecies feu figuras cir-
ca totum penis ambitum efFormantium contextum cerne-
re licet,inquohoc folummodo difcrimen oblatiimeft,quod
anteriori parte praefati contextus, facies amplior ac ple-
nior fimulque robuftior,quam pofterior appareat. Ei-
dem porro magno contextui, aliiparticulares fubtiliores-
Retepefiem ^ue nc minus ampli inter panniculum et adipem confpi-
inciudens , cui , ex venis cutis integumentorumque omnium con-
plurcs ple~ ^^^' continuati liint : Verbo, tanta reticulorum frequen-
xusminO' . '^ ■ n r ^ • •

rcs, tia palfim occurrit, vt finem leu metam eorum inuenire

vix liceat, quam tandem feliciter in medio mufculorum

eredorum, vbi tendinea aponeurofis litt. G. eosiungit,

o-nTZ^o- ^^eciiti fumus : Nam eo loco vcna magna verfus pu-

mnmmra^ bem iiicedens, quam ideo pudendam feuexternam appel-

morumcon- j^re libet , confpicua eft ; In hanc manifefto, ex vtroque

curfujor- 1^^^^^^ nonnullas propagines ex defcripto reticulo emis-

fis, (quae NB. contradiores funt iis, quaedidlum reticu-

lum efformant), afcendere ac terminari vidimus. Vt

haecce infertio , fimulque contextus, quem defcripfimus,

vniuerfus, vnoidu oculi, ac momentoin oculum caderet,

prope balanum flatum venae inicci, qui cito omnesple-

xus et reticula venofa hadlenus defcripta peruadcns, per

didam venam magnam redire vifus eft. Neque hoc

Mntum fufficit : Verum adhuc quaedam alia ,circa eun-

dem contextum haud incuriofa mihi oblata funt : Nam

communicationem admodum euidentem obferuaui, inter

praedidum contextum externum internumque , quoties

in-

mata.

ommuni-
tio inter

DE FENE. 391

infufflatio fa(fla efl:, qua per vtrumque fimul ilatus pcnc-
trauit ; idque gemina via , vna per duplicem venae ra- ^
mum , qui anterius e reticulo abfcedens , ambagioib "jafczexfer-
itinere mufculos eredores hederae inftar amplexus , po- «^^^^'«^^^-
fterius tendit; fefeque penem inter et mufculos praeflitos
infinuans , in finum maximum vaforum internorum de-
fmit. Altera , per ambas itidem propagines , quae mox
iundae breuiori curfu, per medium mufculorum eredo-
rum ad praedida vafa interna penetrant, venamque per-
amplam , de qua mox , efformant. Vlterius in diuerfis I^i quihus-
liuius reticuli locis, llrudura quaedam valde fingularis et ^^^.^'^'^'^
acommuni ftrudlura venarum admodum recedens obla- „^^^^ j;„..
ta eft , (proutfig 2. oftendit), cuius infra occafione ^z/./zr/j.
venarum internarum fimili ftrudura gaudentium, dicen-
di locus erit. Poftremo,fingulaevenae in contextu prae- /- r ;
memorato contentae , peculiari capfula adipofo-tendi- ^/;po/o.
nea crafTiorc^admodum fenfibili inueftitae funt , qua fit, tendmea.
vt cralforum et ampliorum quLim reuera funt , apparen-
tiam vaforum obtineant. Quamobrem, in fubfidium p-..^^^^.^^^
forte venarum data funt praefata inuolucra , vt partim -jfus.'
calorem foueant , partim vim ac refiftentiam ipfirum
augeant, ficuti in pluribus cafibus id neceffarium ac vti-
liffimum cffe cenfendum eft.

In vafis internis profundiusfitis, ad quae nunctrans- Vafainter-
eundum eft^talem capfulam ( quae autem neruea vifa eft:) ua,
Item talia venarum receptacula , prouti citata fig. often-
dit, contemplari fis fuit, diftra(flis tantummodo mufcu-
lis eredoribusfuperea pofitis, licutiinfig. i.iitt.CC.defi-
gnatur.

Vcnis

392 1^^ FtNE.

juejcri- Venis itaqiie , nonnullis locis,machinamentum (quod

ptiosingu- 2.dmodum infolens vifum) a natura conccffum eft, for-

lansfabri- ^g ^^ fanguinem ex variis penis regionibus refluum , ma-

«f/i^r^^S"^^"^ proinde varietate notatum probe mifcendum ^

uatne. vel compendii gratia etiam,ad ingentis vaforum multi-

plitudinis redudionem .; ac forte aliquando in talcm v^

fum, vt turgcntibus illis conceptaculis , tumor ardorque

penis diutius perfeueret, prout eius adioni conuenit. Eft

vero crafiliet ampla cauitas circularis feu faccus advcrti-

cilli figuram acccdens , quoniam in medio foramen pi-

fo aequale vtrinque apertum habet fig. 2 litt. a. Cum

ramis bbbb t\ annexis , prout delineatus -eft , confide-

ratus^ potius figuram quadratam mentitur. Eorumma-

ximus fa(fla dimenfione i/j.. iin. latus ^ II. loia-

gus erat. Alios atque praecipue illos.jqui invenisexte-

rioribus confpicui funt, tum figurae quae magisoblon-

ga eftjtum amplitudinis refpedu, cumpriore rompara-

re haud licet. Cauitatis (cuius diameter ^. linear.)

nuda ac polita fuperficies valuulis chordisque deftituta

^qfa eft : Neque ad oftium ramorum. vllae valuulae ob-

iatae funt : Verum folummodo, in notabili abhacce ca-

uitate diftantia,in venis fupra et infra cam incedentibus

apparere incipiunt, eaeque coniugatae fcu duplices,fau-

Veme in- cibusque fuis verfus pubem obuerfae funt. Omnespor-

ternaedu- j.q yenae internae , hifcc receptaculis cum fupra tum in-

^//^^jor- ^^^ alligatae funt,eorumque ope in duos veluti ordinesdi-

ftinguuntur. Quae infrafunt, illae communi venarutn

cxteriorum ortu, fcil. cx vtroque balanilatere proge-

nitac , dudtus vtrinque binos arteriae aeruoque antea

de-

DE FENE

393

defcripto aflbciatos , acnerueo-fpongiofis corporibus fc- Monea-
cundum eorum longitudinem fufFultoSjefformantL. KK,at- ''"^^^««^'j
que hi toto illo itinere,non folum longam feriem duduum ^mnlur^a^
verticalium breuium , per interualla aequalia e corporum lespenem
praefattruminteriorifubftantiaemergentium, fub forma/^^^^'*^*
peflinis anncxam habent L. dddddiiYLmd enim ajiter , quam
pracdida forma, venae,arteriaeLit . LL. nerui,L.MMM pe-
nis fubftantiamfubeunt: exceptaarteriabulbiproprij,quae
fceundum eius longitudinem incedit.) Verum etiam fre-
quentiffimis ramificationibus inofculationibusque,contex- ^ ^^^ '^^"^'
tvm admiratione dignifTimum, quifuprapraedidos vena-^'^^^/^^^^^
rum, arteriarum , neruorumque truncosretis inftar expan-
fuscft,efFormant,I.NNNN.cuiusretisplurespropagines,
( praeter duas principales venas fupramemoratas,L . KK.fe-
cundum penis longitudinem ad vtrumque latus tendinis mu-
fculorum ercvflorum communis inccdenies),h mc dextror-
fum,hinc finiflrorfum, in illis receptaculis fcu cauicatibus
L. OOearumquepartcinferioredefinunt. Ex altera,hoc
eft,exfuperioreeorundemreceptaculorum parte, nouae ac
ampliores venae exfurgentes , (quarum prope pubem ab- ^[^ ^'™
fcifiarum orificia trium ferc linearum diametrum aequa - ^J^^J^^/^ J^
bant) paucum, quod de itinere vcrfus pubem reftat , fex di-
ftindlis truncis i. 2. 3.4. 5.6. (tribus nempe in vnoquo-
que latere) abfoluunt. Quam ob rem, quum iuxta fex venas ^
tresque neruos hacflenus defcriptos,^. 8. 9. duae adhucar- ^ aeearum-
teriac, 10. i i.(quarum probe pubem abfciffarum diame-:7Mc- inceijus
ter fere 2. linear. efl, ) fimul hic confpicuae fmt, quae de'^^';'''^^^^'
caetero,adinflar venarum fociariimjt Jto itinere perinter-
valla aequidiftantia verticales prop.;gines L. eee. cor-
Tom,\\. Ddd pori-

394

D£ FENE.

Summa
omftiim
truncorum.

T.XXVl.

Fig. 3.
Fenis t£X-
turainte-
rior.

Eitisque

Ca^fula
defcribitur.

Inccrtumy

an vajii
lyfKi hatiea
alsiftt.

poribus nerueo -fpongiofis Hippeditando , forinampc-
dinis aut rallri aemulantur , tranbmiflis quoque ad partes vi-
cinas,adintegumenta,quibusdamramislitt./y^ Quum-
que etiam exterioribus penis partibus vena infignispag.
390.buIboq-, duaearteriae totidemquevcnaepropriaei 5.
concelHie fint, fiimma omnium truncorum arterioforum,
venoforum , nerueorumque peni propriorum , fedecim
erit, de quibus iam fatis.

Hifce perluftratis, nunc penis textura interior, pro-
vt haec per inftitutas quam plurimas ac diuturnas inueftiga-
tiones mihioblata fuit,exponendacft.Peniscapfula eflLitt.
AAconicacfigurae, fepto perpendiculari L. BBB.fecun-
dum totam longitudincm aequaliter diuifa^admodumcrafla
ac coriacea', duo corpora fpongiofa L. CC. proprio inuo-
lucro tenui cinda continens. Singulorum diameter tres pol-
lices ficile aequabat , praeter craflitiem capfulae , quae
digito minori aequalis erat. Quare haec , cum praefatac
craiTitiei, tum foliditatis caufa , ligni duritiem habebat.
In eo ftriae eminentes,redlae ac parallelae, coeruleae, fe-
cundum longitudinem excurrentes extus confpicuae funt,
quibus tota propcmodum fuperficies quafi contexta ac
nonnihil exafperata eft : fed adhuc aliae transuerfales fi-
brae pariter coerulefcentes iisdem intermixtae uc inter-
textae in locis obferuantur,vbitendines mufculorum ter-
minari videntur , quibus mutuo ^cCq interfecantibus ac
contortis validiffima textura efficitur. Vafcula et-
iam fubtilifiima , pellucida , confpicua funt ( an
lymphatica an fanguinea incertum), quae fadlo cir-
cuitu , in venam verius dorfiim excurrentem finire
vifa funt. Atque ex talibus fibris tenacilfimis textura

totius

DEPENE. 395

totlus capfulae compofita efl , in qua malorem folum-

modo fibrarum implexum refiftentiamque inueni. Par- ^^"^^^'^^

te capfulae interna feu concaua , duplex cquitas ,. ad lo- duascmi-

candnm vtrumque corpus nerueo-lpongiofum , confpi- tatcsbi-

cua e(l,eaequefepto infigni adeo interftindae funt, vt v- P^^'^^ta efl.

num corpus ab altero penitus feclufum ac fequeftratum

fit , amboque corpora faciic extrahere fic liceat , vt fe-

ptum immotum ac integrum maneat , pateatque euiden-

ter partem effe, a didlis corporibus perfede dirtindlam ac ^-^^^^^ ^

independentem , etfi de coetero ad eorum funcftionem corporihus

fbrte adiuuandam haud inutilis fit, proutex eiusdemhaud/po«5^o^'^

vulgari tcxtura hariolari Ucet. dijlinaum

Etenim, cum ex ima,tum fuprema internaque capfulae Septi penis

facieL.DDD, fecundum totam longitudinem penis, chor- conjiruciio,

darum infignium,fibi contiguarum,fpatiaque^^^^^ inter fe-

ferelinquentium feries,vna afcendens,altera defcendens ex-

or itur L. EEEE, quae fado breui itinere,propius iuncflae ac

inuicem confufae , in vnumplanum folidumL.FFF. coe-

nnt, quod velutiinferra aut pedlinevtrinq; dentato, vel lami-

navtraque parte in multaslaciniasdiuifa,intermediumeft,

cuius propterea craflities dupla eft chordarum, duarum

nimirum linearum. Originem ftrudluramque interfepti

praefdtam confideranti , haud credibile amplius apparet,

tanta induftria conftrudum fuiife , vt fimplicis ac im-

mobilis parietis feu clauftri vices ageret: Ad hoc, opus

ne eft tot fiffuris laciniisque feu diuifionibus,a chordarum

diftamia feu" diuulfione oriundis ? An ad cruoris com-

meatum reciprocum,ab vna cauitate in alteram ? Hunc

'vero fine tali fabrica Auctores explicant,quamquam v-

Ddd2 fum

395

DE FENF.

Nouiis ■vfliS
fepti expO'
nitur.

Corpera
fpongiofa
penis.

Vtriusf^ie
jnuoUicnm
proprium
'carnojum.

funi huncce ego haud pcn'tus improberrij caetcns fo-
lummodo, quae hic fimul obleruanda funt , probc ex-
plicatis. Nam talcs vtique ac tam grandes filfurae fe-
cundum totam longitudinem , ad folum finguinis tranfi'
tum minime neceflariae Yidentur , quia pcr pauciora ac
minora foramina tranfitus non foium , fed vis etiam ac
foliditas maior fepti fuiffet. Qiiare per bafce amplas
fiffuras, ceu ianuas apertaSyfubftantiam corporumfpon-
gioforum transmitti , ab vno latere in aliud adeoque
confundi, diftinde obfcruabamZ^Z^jquod reuera annotatio-
ne digniflimum eft : Propterea , hifce vifis^credere inci-
pio , huxcc interfepto vim aham nobiliorem infitam es-
fe, qua fupramemoratae chordae veluti totidem lacerti,
aliquando contrahi ac proximiores cffici , fpatiaque iis
interJeda ardlari poffunt , quod toties eucnire neceffs
eft, quoties fubftantia fpongiofa , quae praefatis fpatiis
inclufaeft, altcraque toti fepto contigua , comprefTions
opus habet. Ad huius comprcffionis neceffitatem o-
flendendam, texturam cauernofam,ac per eain effufam
fanguinis copiam vnaque difficultatem regreffus duntaxat
confiderare oportet. Ad haec, fi ftrudura corporum
fpongioforum probe perfpedla Ct, tunc demum res cla^
ra ac euidens fiet.

A d praefata igitur corpora fpongiofa L.CC.fig. i .PP,
nunctranfeundumeft.Acprimoinvolucromembranacco-
mufculari,qu0d cum capfuln,cui agglutinatum eft,haud con-
fundere oportct,vtrumq*, inueftitum ed L. GG : In eo etiam
illudpro raro ac infolentiteincndumeft^quod fibriscarneis
rubentibustotumconfiatumfit , haeque adeoconfpicuae

fadae

DE PEKE. 397

facflae funt , vt mufculam caiiiim rcferrenf : De caete-
ro, quamuis in earum contextu quaedam confufio appa-
Tuerit, haud difiicilc tamen fuit , fub fibris exteiioribus,
quas ideo remouere oportet obliquum inceffum , yt po-
tiorcm ac infigniorem animaduertere. Itaquc, hancce c;-.^ .^^
texturam non ad fimplex velamentum , deftinatam eife, aiiio,
euidentiffimum eft ; fiquidem crafliffimus cortex capfu-
lae ad id fulHciens videtur : Quid ergo ? Ad compri-
mendum , follicitandum vel agirandum contextum fpon-
glofum, cuius, vtiet fanguinis in eo contenti, moles ma-
gna , vires tamen paruae funt : Etfi enim extra himcce
contextum viarum libertas integra effet , fanguis ta-
mcn intus efRifus , fola cellularum vi , (prout e fpongiae
vel arundinis indicae exemplo patet)non exprimetur ,
verum in flagnationis periculo verfabitur.

Acflionem cellularum, e quibus tota compages cor- Cellularum
porum fpongioforum confiata ell, vna concurrere , non ^&io.
quidem fimplici coniedlura , fed ex diligenti earum per-
luflratione mihi compertum efl. Etenim, in amputata
ac probe mundata orbiculari penis particula, totam com-
pagcm perluftrare fas fuit. (Si e contrario,fecundum
longitudinem diffedio fada fit , priorem cellularum fa-
ciemacregulahtatem videre amplius non licebat ) Eae,
veluti in fpongia aut arundine indica , fine certo ordine
iigurave haud difpofitae funt. Nam, ficuti primae celiu-
larum areae feu orbis,fic omnium reliquarum fequentium
per totam longitudinem conformatio non difTimilis ap-
paret •, adeoque cauernulae fortuito ac fme confiiio
haudfaAae funt^quemadmodum in homine ac aliis Ani~
Ddd 3 munti-

Vibrae
?}iiifculdres

398 DE ?ENE.

(7^/,^,/,^,..,„, mantibns Anatomicitradunt; Verum fingulae cellulae,
/truaura apum alveolis fimiles, e tenuiffima membranula confla-
curiofa. ^^Q ^ pentagoni figuram induunt , ficque inuicem iuncflae
€t adaptatae,nexum contextumque admirabilem efFor-
mant. Eodem tempore, inter praedidas celIulas,quaC'
dam filamenta camea, (Warthono^^ carnis glandulofae
fpecies) in confpedum veniunt , exterioribus fupra
memoratis fibris in fuperficie extima confpicuis melius
comparanda,quam vafis fanguineisin rete expanfis : Vi-
fum enim eft , inter exteriores interioresque fibras ali-
quem nexum ac cognationem intercedere , nihilque ad-
eo obftare , quo minus hifce aeque ac illis communem
adlionem tribuamus. Vtraque ergo a£lione cum exter-
na, tum interna opus fuit , ad euitandum, ne fub tanta
mole finguinis,cellularum compages cito eneruetur.Fal-
lor , an non propter eandem caufam illud quoque , de
quo nunc didurus fum,ab animantium Conditore fabri-
catum fit. Transuerfi vel obliqui , ac vna extremitate
Chordae. fepto, altera capfulae annexi funiculi feu chordae, (qua-
les fupra in defcriptione fepti , ac in lamella penisB^te-
7m a Ruyfchio delineatae funt, ) per interualla,fccundum
totam longitudinem penis , praefatum cellularum con-
textum peruadunt litt.HH fig. i-^g.Harummaximae, feu
crafliores in ima feu pofteriore penis facie, numeroter-
no aut quaterno locatae funt, minores feu tenuiores e-
contra medium occupant. Magno infuper robore feu
firmitate , conftant. Ad haec, tota cellularum compa-
ge, iisinftar uvarum racemi adhaerente,inueftitae et obfes-
fae, iftam molem vt et vaforum transuerfos ramosvel-

'^ Adenograph.Cap.j. Vti

DE FENE,

399

vtl fuftinere videntur. Has tamen ad fulclendum fo-
lummodo conditas efTe minus credibile eft : Verum 11- ^hoHarum
lud potius agere videntur , vt fpongiofum contextum ^^ ^^*
comprimendo, cruorem exprimant, ac intra vcnas co-
gendo , penem ab onere citius liberent.

Reftat , vt in praefato contextu, venarum arteria- ^^f^^"^^
rumque flatum , prout is mihi oblatus fuit , poflremo \Zmcdii-
cxponam. Poftquam itaque,in dorfo penis^duplex fe- lis.
ries venarumarteriarumque (vid. pag. 393.) ad contex-
tum intcriorem fpe^flantium formata eft, (quarum alter-
vtra breuibus verticalibusque inftar clauorum , fe-
cundum totam penis longitudinem , vtrinque peni infi-
xisramis, conftat,) omnes diftindis ct transuerfam digi- ^,,
tum a fe inuicem diftantibus foraminibus, penis cauitatem ^/o wim-
ingrefli in ea terminantur ; Arterias primo, ad introitum in vasls
vsque cauitatis perfequenti, nihil ahud conlpedui obla- /j^^''«^-
tum eft , quam iidem rami fubito extenuati,ac in capil- jnolZXa-
lamenta mox vifum effugientia conuerfi , quibus propte- rent,
rea vsque ad eorum infertionem cognofcendis,labor fru-
ftra infumtus fuit : Quare iniedliones etiam inftitutae funt,
quarum vero fucceffus haud profperior fuit^Liquorenim
cito quidem cellulas peruadebat plurimas •, (Qdt pervias
obfcuras acinconfpicuasj Vice verfa,viae reducentesad-
eo patulae etmanifcftae, et a ftrudura venarum confue-» .
ta adeo difcrepantes vifae funt, vt ad fufcipiendas muta-
tiones easque fubitas quibus obnoxius eft, nouum veluti
circuitus genus in pene a natura conftitutum fit, prout
ex tota cius fabrica fere perfpicuum eft. Arteriae fm-. rv
gulari capfula inclufae , lacertis fimies funt. E contra ^j-^aai

ioco

400

DE PENE.

VMait cri- loco venarum du(5lus folummodo cnbnformes , fbrjimi-
hrifomes. nibus vndiquc pertufi ac veluti erofi j a celluli»» aegredi-
icriminnndi, extra capfulam penis, venarum (feu bre-
vium tubulorum verticalium) formam inducntes , in con-
fpeflum veniunt. Caeterum, in homine , praefata vena-
rum penis proprietas,iampridem inuentore Rujfcbio de-
tc(fi:a fuit, hodie autem obliuioni data eft. vid. Riiyfch. ObH
Anat. Chirurg. pag. 1 34. Ad:. Erud. A. i6g\.p, 69.
lob.Guil.FmiU Annot. adloh. van Horne Microcofm.
Lipf A.iyoy. cxcuCp. 24 3 not. 11 Godof Bergeri Phyf.
Med. pag. 453. „ Sanguis per penem et glandem re-
5,dux non perminiitifTimos ramulos, neque per corpus
,,reticulare vt loquitur Malpighius regreditur, fcd perve-
5,narum patcntia et vifibilia okula aut foramina. Ve-
5,nae etiim per penem diflributac, fi non omnes, faltem
5,tot , quot vnquam oitendi , funt poris magnis et vifi-
„bilibus foraminibus pertufae cribriindar, queemadmo-
5,dum quoque in vena (pienica vitulina (vid. fig. 83. et
„84) confpicitur, quod nunquam hadenus obferuatum
^jCffe putem. Einsmodi venarum perforatio in caufa
55e(l, quod fanguis per penem redux cidffime poffit a pe-
5,Tie regredi, penemomento flaccefcente. Addo, quod
Andpfan- quum in pene tum in fplene, (in quo venarum fimilis fa-
gMinh cras- brica a Malpighio deteda) fanguis forte e cellulis refluus
smem. paulo crafTior et pigrior fadus fit , magna opus fit mea-
tuum libertate, ne is praeternaturalem moram ageret

Antequam hiftoriae penis finem imponam , de altera
quoquepenisparteeffential!,proutin Elcphanto k^t habet,
poflremo cGmmemorandum efl. Huic itaque p.arti,quae

verti-

DE PENE.

401

vertlcem penis Imam , totamque Trethram ambit , tria
fucceflTiue nomina tanquam rebus diftindis impofita funt,
bulbus, corpus fpongiofum minus,et balanus, etfmihil
aliud fit,quam homogenea condnuataque fubftantia^crafli-
tiem figuramq-, variam ab imo vsque ad fummum fere penis
aflumens. Ea exterius,propefinempenis,(vbiextenuatio Bsfcrl-ptin
magnaineo obferuatur)ad manustransuerfaelongitudinem Balanu
incipiensjfig. i.L. QQQ. penis folam pofteriorem faciem
adeoque femicircumferentiam inuoluit, anterius vero L. R.
deficit, cuius locum tendo mufculorum eredorum L.H.
occupat.) DumquetumorefuOjpraefatafubftantia aequali»
tatem penis amiffam reftituir,ncque commifllira autinter- ^'^^^^
ftitium , quale vulgo inter glandem ct penem obferua-
tur, apparet, fdfam opinionem glandem deficere, pri-
ma fronte ante diiTedlionem cutis (qua perinde acieli-
quum penis corpus obtedus eft L S )excitat.Caeterum fu-
pra iam annotatum fuit pag. 389. eidem fubftantiae,
quum ^t(Q expandere incipit , vaforum in dorfo penis in-
cedentium extremitates annexas ac implantatas , eaquc
proinde cum peni, tum balano communia efle. Quare Cmnpene
etiam, quin hifce partibus commercium conceffum fit, '^^.^^^^'
hauddubitaui, non obftante eo, quod diftinda quoque
ac propria huicce fubftandae vafainfint , quae autem v-
rethrae magis inferuire vifa funt. Porro nerui omnes,
quotquot iuxta longitudinem penis defcendunt (vid. pag.
383.)hic tcrminantur: Propterea,feu papillarum neruea- Cnufafen-
rum , feu villorum a Celeb. AnatomicisRuyfchio et >^ acmh'
Cowpero inuentorum , adeoque fenfus, qui in hac parte "^'^^*
viuidiflimus eft , caufa perfpicua eft. Ad haec non im-
Tom.lh Eec pro-

Cnu^acom- probabile efl: , quod proptcr eandem cau^am textura in
m-^fl'''''' j^oc loco,reu in balano ftridior fit,quam in alio, etfi fi-
^^""'^' brae quoque tendinis fupraniemorati Lit. H. ad idein
efficiendimi idoneae elTe polTint.

Quum fic origo feu formatio mihi fatis patuiffetjOb-
^j^mlwfum feruflbam vlterius, quodin fpatio , quod pro tranfitu v-
minus vre- rjnae et feminis perforatum eft, fubftantii coiifimilis,ceu
thrae. jjppendix, ad totam vretliram inuoluendam , abfcedatj
quae propterea cum praecedcnte continuum corpus effi-
cit ~ Attamen diltincfto nomine , corpus fpongiofum mi-
Einsq^c nus , ab Anatomicisvocatur, quod eam vrethrae par-
tem, (quae inter mufculumcomprimentemacbalanumin-
clufa eft), inftar diploe compleditur ; foloque proinde
craffidei acfirmitatis gradu difcrepat.Poftquam enim prae-
fatum mufcuium attingit , eandem craffitiem amplius
non habet.Haec pars Bulbus appellata eft, qui tamen ni-
bil aliud eft , quam extremitas corporis fpongiofi fub
Bulhus. jxiufculo comprimente vrethrae,cui firmiter agglutinatur
l!,t,T. incedens, prout pag. 379. indicaui, fed in molemma-
F/g. lil' ximam tumefada. Eius namque circumferentia 7-
LitJ. poll. et 2. lin. Longitudo 14. poll. aequabat. Fi-
gura eius inftar magnae paftinacae : Vrethram inter
fig. I. litt. V. (cui ope vaforum fanguineorum annedi-
tur), ac praefatum mufculum Litt. E. fitus , lateraliterque
£f ad penem fibrarum fuarum ope firmatus eft. Texturam
denique, quod attinet, exterius capfula fibris carneisob-
liquis contcxtajtotum bulbum ac reliL7:.um corpus fpon-
Textura. giofim vrethrae inueftit Literius vero,textura cellula-
rum/proat in penis capfulaj, led fubtiliorum in confpe-

dum

DE FRICT, CORR SOLID. 403

ftum venit , quam vtrinque peruadit arteria vs-
que ad extremitatem excurrens, vrethrae magis quam
bulbo inferuiens , ficuti vafcula numerofifTima ad eam,
transmifTa teftantur. Plurima porro venarum perexi-
guiramuiibul boegreffi, vtrinquevenamN. i ^.lubbuibo
ad latus vrethrac incedentem efFormant. . . .

DE FRICTIONIBVS CORPORVM
SOLIDORVM

Specimen
G. B. Biilffingeri.

I.

NOn admodum diu eft , quod de FriBwmbusm.Sept,
corpomm folidorum coeperunt aliqui Erudi-^y^?.
torum commentari. Vulgares libelli ftati-
ci exponunt machinarum vires fepofitis fri-
ftionibus.Inde flt, vt magnos in praxi errores commit-
tant, qui potentiarum effedusex folis illis regulis com-
putant : non fane , quod fallat inutilis theoria , fcd quod
eandem minus completam applicari ad naturam conti-
gat. Pretium igitur eft operae, quae cognofcendiscor-
porum fridionibus impenditur. Inter Gallos Amonto^
nius experimcnta inflituit , et conclufiones intulit non-
nullas ; quas diuerfo inftituto examinarunt La Hirius et
Eee 2 Pareth

404

DE FRICTIONIBVS

Fareiitius. In Germania de machinarum fridlione non-
nihil dilferuit Leotih. Chrifloph. Sturmins : et Leihnitius
diuidendo fridlionum claffes aliqua rectius diftinxit. Lau-
dabilisomnium cura fuit, cui nihil detradum volo. Da-
bo hoc loco acceftionum aliquid •, fi non alio , faltim eo
iine, Yt rcfricetur Eruditis fridlionum memoria.

II. Non eft incongrua methodus examinandi fri-
(flionum momenta, quam Amontonius fequitur in Memo-
riis Acad. Scient. Parif. ad A. 1699. Placet tamen
varietatis caulla nouam adiungere , in quam incidi , cum
plana inclinata tradtarem alio confilio. Habebit vnaquac-
que fuos prae altera vfus in diuerfis cafibus •, dantur e-
nim, quibus noftra videtur efle fimplicior *, dantur etiam,
quibus altera eft commodior. Vtor autem pianis in-
clinatis , quibus impofita vel quiefcunt vel mouentur cor-
pora , pro magnitudine eleuationis plani, et potentia-
rum corporibus applicatarum.

III. Inueniatur experimento laepius inftituto an-
gulus eleuationis ille , quo dato corpus plano impofitum
tantum non defcendit ; defcenfurum , fi nonnihil augea-
tur ; et haefurum cum aliqua aduerfus defcenfum reni-
tentia, fi minuatur angulus eleuationis. Dicatur autem
hic angulus breuitatis cauffa anguhs quietis, Eoquein-
vento iic inferatur :

Vti finus totus ad finum re^um anguli quietis ; ita
pondus ahfohtum eft Qdfri&ione?n eius fitper ph-
no ad praedi6ium angulumincjinato,
Atque iterum :

Vti finus totus '^d tangentem anguli quietis \ ita

pon-

CORPORFM SOLIDORVM. 405

pondiis ahfohitum eft ^dfri&ionem cmfuperpla^
no horizontali , ciim traliitur in diredione ad
horizontem parallela.

IV. Demonflratio propofitionis vtriusque perfaci- F/^. f,
lis eft. Sit AB, ah^ planum inclinatumiBAC, bac an- ^^ ^^*
gulus quietis niemoratus , et corporis P, />, pondus ab-
folutum 11=^: Eritperordinarias de plano perfede polito
demonftrationes , vis corporis P nitens ad defcenfum in
direaioneplanoparallelai^rr:.^ ; quodfi enim pon-

deri P in diredione memorata GDH opponatur aliud
pondus Qznfi^ , quiefcet corpus P fuperplano polito»
lam in plano afpero in vicem ponderis Q fubit fridio
ponderis P , faciens aequilibrium cum vi deorlum niten-
te. ItaquefridiocorporisPrz^^^, hoc eft^ vti fmus
totus AB, ad finum redum anguli cleuationis BC ; ita
pondus abfolutum a , ad fridioncm corporis fuper pla-
no ad dictum anguhim inclinato , quod erat primtm'

V. lam vt idem transferatur ad planum horizon-
tale : debet grauitas naturalis fecundum lineam DF ni-
tens reduci ad grauitatem fiditiam , quae agat fecundum
diredlionem DE, vt adeo planum inclinatum AB fit il-
lius refpedu horizontale: fiue gencraliterloqucndo, vice
ponderis naturalis abfoluti ^debet confidcrari vis alia h^
qua corpus P ad planum AB apprimitur perpendicula-
riter. Hic notum eft ex ftaticis, pondus illud vicarium,
fiufi vim apprefTionis b efle zr ^-^znf^. Fridio au-
tem huius ponderis , cum trahitur in direcflione ad pla-

Eee 3 Dum

4o5 LE FRACTIOmBVS

num AB para!lela,modo inuenta cft =-^. Adeoquc
pondus vicarium , fed abfolutum b erit ad fridionem e-
ius tanquam tradli fuper plano horizontali in diredionead
planumparallekvti^:-^— AC:BC, hoc eft, pon-

dus quodcunque abfolutum eft ad frictionem eius hori-
zontalcm, vti finustotus AC ad tangentem anguli quietis
BC • (/iiod erat fecundum.

VI. Polfunt haec duo theoremata inferuire exami-
ni propofitionnm hactenus publice exhibitarum. Amonr
tonn fententia eft , ab aliis tamen non femel reuocata in
dubium , quod i fri£tiones Cmt prejfionibus proportima-
Ies\ quod 2. aequentur tertiae parti preflionum*, et quod
3 fuperficiei magnitudo frictionem ceteris paribus nec
augeat, nec minuat. Polfunt fmgulae hae propofitio-
nes examinari facile per plana noftra inclinata *, et , fi
quae abludat a vero, emendari. Incipiamus afacillimis.

VII. In duobus,quos memoraui $. 4. et 5 cafi-
bus funt vtique, ceteris omnibus paribus,frictiones pro-
portionales preftionibus, Eft frictio fuper plano incii-
Bato ^^^ , etfrictio fuper horizontah =-^3^ , adeo-
que ilta ad hanc zzAC : AB , hoc eft , vti preflio cor-
poris P fuper planum hoc inchnatum ad preflionem eius
fuper planum horizontale.

VIII, An id de omnifitu pJani vtcunque inclinati
verum fit , manente corpore et plano eodem : ita cxpe-
rimentis definiri poteft. Fingatur, frictiones effe pres-
fionibusproportionaies, et computetur , fi angulus ele-
vationis fit maior, quam qui $. 3. inuentus eft, quantum

pon-

CORPORrM SOLIDORVM. 407

pondusS rcqiiiratur , ad retinendnm corpus P in quiete
fuper plano inclinato •, Sin minor fuerit angulus eleua- p.^^ ^j^
tionis, quantum pondus R requiratur ad hoc , \t corpus
P tantum non deorfum trahatur fuper plano (iio.

IX. Sit prelilo ad frictionem —m:n. Pondus
iiaturale abfolutum —a. Sinus totus zznn. Sinus re-
ctus anguli elenationis zz x. Hrit preflio corporis P in
planumzrZ^zi:"-^^-^ $. 5. adeoque friaio eius
_ W(mm_£x) jj^g^ ^j.j^-Q ^^^-^^ ponderi S debet ae-

— — mm •••

c]uare nifum corporis deorfum fuper plano. Hic nifus
= "^$.4.iSitur S:^°4-"-:i^™;Ff^. Ex aduerfopres-
fio ponderis P deorfum [:=f~) vna cum pondere R ae-
quatur friaioni corporis : itaque R=z".:^pffl-^^ .

X. Frimum obtinet , quando x maius eft valore
formulae -^^J^,,^^ : Secmdum , quando x minus eft.
Cum verox— -^T^^^^^^p^ euanefcunt pondera S, et R,
manetque aequilibrium inter fridlionem et nifum corpo-
ris dcorC\im: Infervitijue haQcformuIa , tum ad inuenien-
dam ex dato angulo relationcm fridlionis ad prefTionem,
tum ad determinandum cx data hac relatione angulum
quietis. Efto enim ex Amontonil fententia preffio ad
fridtionem^vti^ : i. tmox^tix-=ijL-r:z-jJ^^—\%^^,
Igitur dicendum : vti finus totus m^ ad finum redum x
(=3: —1^=3 1^2 : lOCO) ^ta fmus totus tabularis
lOOOOO ad finum redum eleuationis quaefitae ,31657,
cui intabulis refpondet angulus 18. grad. 27. min. Sit
porro ex fentenda Farentii m : nzz 20 : J ^ eric

/

4oS DE FRICTI0A^IBr5

:r=r-^_— , '^^ zz^T \%-7- Vndc fit w/ : .r =:20:

"^ V(tnm_|_u7l; — V4 49 ^ i ♦ i » >

^4_o^o^o__^2 3.78 : i^O.oozrfinus totiis loo.OOO :
fin. eleuationis quaefitae 33036, cuiin tabulis refpondet
angulus 19"^ 17'.

XI. Si angulum hucusque mutauimus manentc
pondere, potefl: nunc pondus viutari manente angulo. Si
enim fridtioncs funt proportionales preflionibus : dcbet
angulus quietis manere vnus idemque , pofita fo-
perficie cadem et audlo pondere abfoluto. Ma-
nente enim angulo prefliones ad planum funt pro-
portionales ponderibus abfolutis : funt etiam niftis
corporum j quibus defcendere fuper plano conantur.
Obuia hiec (unt omnia : velim autem, vt in experimen-
ds caueatur a circumftantiis alienis.

XII. Infcrviet etiam haec methodus ad compa-
randa inuicem diuerfi generis €orpora. Eandem ferc
fridlionem etfe ferri, cupri , plumbi , ligni mutuo com-
binatorum , f\ axungia illinantur , annotat Amontonius^
Id etiam examinarihac methodo poteft , et cum et fine
axungia : nimimm quaeritur , an idem fit pro omnibus
angulus quietis ?

XIII. Deniqne eadem anguli conftantia requiritur
pro corporibus homogeneis et aequahter politis, aequc
aut minus gv^uihus ^feddiuerfafuperfctei extenfione gau-
dentibus ; fi ex verodixitVirEgregius, quod diuerfa fii-
perficiei extenfio fr dlionem ceteris paribus nec augeat
nec minuat. <J. 6. Poteft id tentari cum corporibus ae-
que grauibus: poteft vero etiam cum inaequaliter graui-

bus

CORFORrM SOLWORVM.^ 409

bus ob $. II, modo fint homogcnca, et aequaliter po-
lita.

XIV. Notari etiam merctur , poffe hac ratione
inueniri relationem fridionum in motu voluente^eimden'
te. Poflunt enim fuper eodem plano inclinato fuccefli-
vc poni corpora , quae Yoluendo fe defcendunt et quae
radendo. Si enim pro vtroque ca(u inuenias angulum
quietis: erit fridlio corporis ^c^^q voluentis fig. 2. — — ^^-

a^BC

et corporis radentis fig. i. z:^-^. Eft igitur illa ad
hanCjprocorporibus in cxperimento adhibitis z=zbc)(.AB:
BCxab hoc eft (propter abzzzAB) znbc : BC , hoc eft ,
vti finus redi angulorum quietis.

XV. Praeterea , pofito fridliones effe preftloni-
bus proportionales , inquiri poteft , quantum requiratur
Pondus T ad corpus P fuper plano fuo furfum trahen-
dum in diredlione plano parallela. Patet enim, pondus
T debere nonnihil excedere corporis nifum deorfum , et
fridlionem eiusfuper plano : proximus igiturante afcen-
fiim hic cafus eft, quandoTzzfridlioniet nifui (imulfum-
tis, hoc eft cx §. 9 . cum t-'_:^-^-)-±^, Vnde de-

nuo ex dato T et a: definiri poteft relatio fridionis ad
prefllonem ; vel ex data rclatione etangulo inueniripon-
dusT-jVcl cx data relatione et pondere T inueniri angu-
lus eleuationis.

XVI. Habet autem haec conflderatio maximum
aliquod : difFerentiata enim folito more , et redudla ae-
quatione per methodum de maximis et minimis prodit
^=V(m?S^iE) Pro maxima vel minima furfum trahendi
Tom. II. Fff difH-

410 DE FRICTIONIBVS

difficultate. Sed maximam cfle patet vtique exvalo-
rum fubftitutionibus. Sit enim ex. gr. rnmzz'^ ; i ex

_ mm ,,^1 mm «

§. lo. atque .r i= ^^^^^-h^ , Yel_-^^^__ ^el

vpi^^:^ ^''^ ^" P^^"^^ ^*'^^" difficultas r^S^ ponde-
ris abfoluti ; in fecundo z=:-|, in tertio i:i-^^/-f , qui v-
terque Tilorprimo minor eft.

XVII. Conuenit autem cum hac maxlma ad fur-
fum trahendum difficultate vis minima fuftentans S , cu-
ius hunc valorem deprehendimus f . 9 . s-'J!15zl^^^
Haec enim formula differentiata , et reduda dat ^h.rzr:

-_!!^ : vbi notandum eft , adhibito figno pofitiuo.

quaeftionem depondereSmotam ftatimtranfire inquae-
ftionem altcram de pondere T ex eodem latere pofitam,
adeoque non minimum aliquod , fed maximum inueniri,
vti patct ex comparatione operationum pro paragrapho
fuperiori, et praefenti. Adhibito autem figno mgati-
Fig W '^^? P^^^^ quidem planum AB mutari in planum LAK,
* / pofita fcil. CK=:-:t^:r:^^^ , atquetum demumpon-
dus S tranfire in alterum latus , et conuerti ibidem in
pondus Ts.id quod vel fine calculo ex ipfa quaeftionis
natura poterat erui. Dum enim r^^^y^^nn) ' «"anefcit
S ; et fi X fiat adhuc minus , fiet S negatiuum , hoc eft
conuertetur S in R fuper plano AB, donec etiam xzzo^
quo cafu R aequatur toti ponderis fridioni horizontali;
quod fi autem porro x fiat negatiuum , fumendum infra
AC,tum pondus Rreuera tranfit in pondus T fphj an-
tcccdentis, fed ex latere prioris oppofito pendulum.

XVIIL

CORFORVM SOLWORVM. 41 1

XVIII. Defllii^ui hiinc computum cautelae pra-.
c^icae , \t fcilicet in ponderibus ope plani inclinati ele-
vandis caueatur angulus , cuius fmus redus xz^mmi
y(mm--\~?m) ; fi fub arbitrio Artificis Mechanici fmt vi-
res trahentes , nec euitato hoc angulo maiores aliunde
genercnturmolcftiae. Equideni tantusprodiitpro mo-
tu radente hic angulus , vt nihil facile ab illo metuen-
dum fit , nifi forte iis in cafibus , quibus onera funis ope
fuper trochleam dudi furfum trahere potentia debet lis
igitur commodum eftnoffe, quod in hypothefi Amon-
toniana ,qua m : nzz'^ : i , angulus maximae difficultatis
fit 7 1 . gr. 35. min. in Parentiana , qua m: nz:z20:y , an-
gulus fiat 70. gr. 44. min. Sin fiierit m : trzz^: i , Tti
pofleamemorabimus, emergat angulus 86. gr. i. min»

XIX. Fatendum etiam, in praxi fricHrionun»! in-
commoda plurimum detrahere Ytilitati planorum inclina-
torum, cum de motu agitur radente. Qiiodfi enim an-
gulus eleuationis fitverbigr. 10. grad. iam tum dimi-
dium oneris trahere debet potentia eleuans in hypothefi
Amontoniana,cum fine fridionibus nondum quinta pars
requireretur. Cumque angulus efl: 50. grad. oncris e-
leuandi refifl:entia iam prope aequat pondus corporis ab-
folutum, vt adeo, nifi aliae rationes accedant , praeflet
planum non adhibere, fed eleuare corpus perpcndicula-
riter, quoties maiorem 50 gradibus angulum eleuationis
circumflantiae depofcerent.

XX. Etfi aurem in maiori angulo difficultaseleua-
tionis ipfiim pondus corporis abfolutum fuperet : In ca-
fu tamen neceflitatis folatii loco elfe poteft , quod hic

Fff 2 ipfc

412 DE FRICTIOmBVS

ipfe excefTus nunquam ingens euadat. Si enim in formii-
la generali qua T(i=:'-^"=^^^)'rubmtuaturpro x
valor eius zzmm : V{?nm~\-nn) emergetT=:^V(77/w-|-w2)
m. Adeoque in fententia Amontonii erit fummp diffi-
cultasm^Vio:^ paulo maior pondere abfoluto, habens
fe ad pondus abfolutum a, Yti ("/10:=) 3, 163 ad 3,000.

Vnde exce(rus=:^^=:J^^:il^-2-z=:o,054i=:-rV
In Parentiana autem fit Tzz,''!^^ _a^j%9_^ y^^^

T:^=2i, 189 : 20,oooet excefius ipfius F fuper^ziz
mi=z:o.059=:TVprox.

XXI. Patet etiam , quo minor fuerit n refpedo
ipfius 7«, hoc efl: fridio ratione prefiionis , eo minorem
elTe hunc exceffum. Et, fi vei maxime fridionem. velis
magnam fupponere,fingendo exempli gratia n-zzmj fore
fummam diflicnltatem ad pondus abfolutum zrVs: izz;
141 : 100 j vt adeo excelTus non poiTit addimidiumab-
foluti ponderis excrefcere , nifi fridio fit ipfa preflione
maior. Ceterum in hypothefi n-ziim^ notari poteft, quod
fumma ad eleuandum difficultas $. 16. cadatin ipfiiman-
gulum quietis §. 10. vbi aequilibrium eft inter fridionem
corporis, et eius nifum deorfum. Acciditvero vtrum-
que, cum angulus elcuationis efl: femireflus.

XXII. Quicquid hadenus dixi , pertinet ad mo-
tum radentem , et fupponit, potentias , quae furfum aut
deorfum trahunt pondera planis impofita, agereindire-
dione plano parallela. Ad ceteros diredionum ca-
fus extendere didla non lubet , quoniam id nemini non
facileeft. De motu voluente nihii certum licuit de-

fimre

COnPORVM SOLIDORVM. 413

finireha(flenus, inflrumenti accuratioris defedu ; quemad
modum et de radente per eandem caulliim determinare-
omnia , vti deftinaueram , nondum valeo.

XXIII . Vnum hoc licet de meis alferere tentami-
nibus : Cum fuper plano buxino, aut quercino , corpora
examinarem varia ; prifmata eiusdem fpeciei lignea ,
quorum nec afpera bafis erat, nec polita , fed fic fatis
glabra; eiusdemque generis orbes metaliicos;cylindros
item eburneos lecundum longitudinem pofitos : eundem
fere angulum quietis prodiifle , non obftante bafium et
ponderum difFcrentia •, nec mutatum, cum oleo corpor-a
et plana inungerem , atque iterum probe abftergerem.
Vnum me malehabuit, quod omnes hi anguli inter 12,
et I y. gradus caderent : adeoque fridio effet ad preflio-
nem , vti i : 4 , fecus atque \ifum eft Antecefforibus
noftris .

XXIV. Nolim vero praecipitare fentcntiam , do-
nec omne examen abfoluero. Illi fequentem deftinaui
tabulam, quam ad hypothefes alias accommodare facil-
limum eft. Hic Amontonium fecutus facio m: «=3:1,
eftque R §. 9. aequalis difFerentiae , quaeprodit, cum FigJH,
finus redus aufertur a cofmu dudto in rationem n : m,

S <J. 9. aequalis difFerentiae,quae prodit, vbi cofinus du-
£lus in rationemw : m , fubducitur a ftnu redo anguliret
T aequalis (iimmae fmus redi, et cofmus dudi in ratio-
nem n:m,Mt adeo facile fit, aut continuare tabulam^aut
ad alias aptare fridionum hypothefes.

Fff s

Ta.

414 CE FRICT. CORP. SOLID.

Tabukpro hypothefifriQ;ionis Amon-
toniana , polito pondere abfbluto

o
5

lO

15

18

20

25
30

55
40

45
46

50
55
<5o

65

70

71

75
80

85

90

10000

partium.

/

ieuat. PotentiaE.

Potentia S

Potentia T.

min.

5.9-

I9.

$.15.

0

0.3333

0.3333

0.2449

0.4191

0.1546

0.5018

0.0631

0.5807

27

0

0

0.6325

0.0287

0.6551

O.1217

0.7246

0.21 13

0.7S86

C.3005

0.8465

0.3874

0.8980

0.4714

0.9427

45

0.4999

0.956S

0.5517

0.9^02

0.6279

1.0102

0.6993

1.0326

0.7654

1.047 1

O.S256

1.0535

35

O.S435

1.0539

0.8796

1.0519

09269

1.0426

0.9771

1 .02 5 1

, 1.0000

, I.OOOO

Ob

OBSERVATIO ANATOMICA. 415

Obferimtio Anatomica
De Keceptactdis CaJioreL

i.Qiium in difredioneCaftoris foerainae ^ fblliculi
Cadoreum continentes Tifoi oblati elfent, optabiim , vt
non (olum ? qnae a Viris dodiff circa ftru£!uram pate-
f idla (imt , ied quoque ( fl fieri poffet) eorum , quae ad-
huc defiderantur notitiam , qua naturae in iflius fucci no->
biliffimi confedione confilium perfpicuum fieret, acqui-
rerem. Quamquam omnia, quae ad hanc rem fpcctant,
(quod fane prima vice et vnica diffectione difficillimum
eft) haud affecutus fim^ obferuationis tamen, quam hic af-
fero, eam vim vfumque fore puto, vt fenfiium imbecil-
litati opem lucemque ierre valeat,

S.Geminae capfulae verum caf!oieum inclndentes,fe-
parata pelle fafciaquemufcularieasinueftiente,(iuxta duas
alias fubicctas materiamfeu fuccum diuerfum continentes)
in confpectum veniunt. Earumlongitudo 3. poll. latitudo
i4- poll. aequabanr. Ad tactum durae etponderofae , in
fuperficie plicis oblongis, quarum fexnumeraui , orna-
tae. Coloris albido-flauefcentis. Primum inuolucrum
mufculare vifiim efl:,2dumNerueum argentiinftarrefplen-
dens, villo(um,necnonfquamulis tenuiflimis conflians^qBii-
rum fingulae papillam fubiectam ^ corpori reticulato fii-
fco nigricanti infidentem,continent 3umVafcuIofiim,ac in-
ftar piae menyngis,plicis fefe infinuans. Duo ofl:ia hifcc
capfulis refpondentia, (praeter 5.alia),intracommunem
cloacam , pollicem lata et rugofa , confpicua funt,

3 . Pofl:haeCjCOntentacapfularum infpicienti^ecceca-

vita-

4-1(5 DE RECEPT. CASTOREI.

vitatem, refinoro (iicco flniiefccnte , admodum fragnnte,
cui nommCafJorei c(t , haud turgidam, fedjprout cauitas
ftomachi , (olummodo iuundam ac profunde imbu-
tam-, gyrosquoque (eu plicab', quae eodem (iicco infedae
erant. Ingenti vero (intuitu huius fucci) , admiratione me
perculfum fui^Te fliteor , in eo inuifcata corticum ramen-
ta aliaque inueniens,qualia in ventriculo intcftinisque pau-
lo ante collecta obferuaueram. Si, prout initio fufpica-
bar, fub iinem vitae,impetu morbi,autca(ii quocunque,eo
compuKa fuifl'ent,aliaeimpuritates,vel figna praeternatu-
ra ia fimul obferuata fuiflent : Aliique (ante me) iam pridem
inueni^fent , eiusque mentionemfeci^Tent.

4. Antequamad conie(fluramtranfeam,nonnulia de
Caftore prius memoranda (iuit , quae eam haud impro-
babilem e(re,teftari videntur. Primo , qui ventriculum
diifecuerunt, nihil intus inuenerunt praeter fegmenta ex
corticibus et radicibus arborum» 2. Ventriculi fuperfi-
cies inftar panni lericei tonfi vifr eft , fuccus vero CaJIo-
rei oJore praeditus. 5. Caftorem,aiunt,ad acuendumet
excitandum appetitum languentem , folliculo pede ex-
pre^To, caftoreum ore lambere et deglutire ; Indosque
laqueos, quibusvtunturad caftores capiendos eo oblinire.

5. Quamobrem,quiaCaftorisalimentum exfuccum,et
concodu difficiilimum eft, 2. quia ftru(fl:ura ventriculi et
receptaculorum Caftorei , item fuccorum odores conue-
niunt -, 5. quia praefatus (iiccus ventriculo horum anima-
lium adeo amicus eft , vt eum (aepe deglutiant •, Quaeri
poteft, num ex noua, quam attuli, obferuatione opinari li-
ceat,haecce receptacula forte data elfe^vt paruorum ventri-
culorum inftar,quaedam ramenta alimentorum,in inteftinis
refidua, Caftorei ope, diifoluant ac incidant, pofteaque, im-
mediateianguineisvafisfuperea ambulantibus infundant^

***
Monftraduo,Carani etPetropoIi in lucem edita, hoc annoexa-
mjni Iubie6la fucre, quorum defcript^ones infcqq. annum refer-
Tare jiccellefuit.

CLASSIS
T E R T I A

CONTINENS

HISTORICA

ET

CRITICA

24a

*m 4^9 i«<-

DE CIMMERIIS

Aiictore
T. S. Bayero

Regiomontano.

Ixi Cimmerios antc Scythamm irrnptio- M. Ff^r
nem inter Boryfthenem et Tanaim co- *727-
luiffe , pulfos deinde, eas regiones reli-
quilfe vidoribus. (i) Quae gens Cim-
merii , vnde orta , quas terras peiierit
poftea , exquirendum nunc duco. Ni-
hil eil magis vero confentaneum , quam quod Bochartus,

Ggg 2 ma-

(0 Iii Aclis fupcrioris anni p, 407. linea 8« rcriptura fuifTc
CCCXLVII. et linea 19. fuifTc fcriptum 8. Gradus cum -peiibui
o. per fe c^uiscjuc facile animaduertet ; moncndum tamen duxL

420 jde cimmerus.

magno vir Ingenio, ct multiplici dodrina, nosdocuite

Genefi , Cimmerios efle diuini fcriptoris Gonnpritas , a

Gomero lapeti filio , prof^dlos ex Armenia fcptemtrio-

nem verfus , - donec campos illos ad vtnimque Tanais

ripam peruagati a longo errore conquieuerunt. Eorum

cognati fuere lones a lauane, etThraces a Tira, qui an-

te eos profedi , vrgentibus Gomeritis a tergo , Gnie-

ciamet regiones ad Iftrum occuparunt Id accidit an-

te lofephi Patriarchae tempora. Nam,fi Genefm recfle

inlpicias , tum illa tibi non vnius Mofis commentarios,

fed ante eum,patriarcharum omnium diaria continere vi-

debitur , quae lofephus denique in vnum corpus colle-

git , Mofcs autem in pentateuchum rcccpit. Non id

nunc ago , vt hanc meam opinionem de fancftiflimo li-

bro operofe explicem aut ftabiliam , dicam tantummodo

quod fentio , a lofepho patriarcha , non modo extrema

illa dcvitafua, verum etiam totum caput vndecimum

de coloniis prifcis et quafi noui orbis geograpliia infer-

ta videri , vt tum res erat notilTima in Aegypto et po-

pulo IfraeHtico. lisdem in locis Homerus fua aetate

Cimmerios degere acceperat. Ita enim cecinit:(2)

EvB-a ^e Kiixixs^ib^v av^^i^v dyjfj.oq rz 7:0X15 rz

Hc'^i ^ vsCpsA-y) KeRaXu/JLpvoi, a^£ Tror' Imic^

H^iog (S^cLi^is^vlnxliqy^trc^ aKri'v£a-a-i,

AXX' £771 vu? ly^oy^ rsroLroui S^^oTdi ^^dro^G-i.

Ifthlc Cimmerioriim gens eft et vrbs Ctmmerhm

NfhuJa 7iuheque ohdu[ta : neque enim eos

Sol

(2) Odyir. A. V. 15.

DE CIMMERIIS. ' 421

Sol omnk colluftrans ^radiis fws refpicit^

Vtpote cum miferabiUs miferabilibus populis incubat

710X.

Orta eft fabula ex vocabuli interpretatione. E Gomeri-
tis lonici populi Ki^^f^fs^ fecere , inde pofteritas cre-
didit,X«fAe^iy$ diclos fuiffe ab hyeine et tempejlatibus, Et
fic quoque in quibusdam Homeri exemplaribus fcriptum
fuiife minora fcholia teftantur, pro quo Kf^^s^ryg repo-
fuit Crates Malleota. Ad vim illius vocis acceftit ali-
qua eorum narratio , qui in Ponto nauigauerant. Nam
quod Thomas Hyde in itinenbus mundi animaduertir,
(3) quodque ab oculatis accepiteftibus , totum Pontum
regionesquelittorumillorum denfaet tenebrofa nebulain-

feftat. Idcirco . Pontus Turcis \j^ ^J^ Karah

Dekfi et hodie Graecis MaU(So9-aXacrcra , vt nobis Ma-
re nigrum vocatur. Id e vetuftis clariftime confirmat
Hippocrates in libro de aere , aquis et locis : (^) aerem
enim in Scythia plerumque totos dies nubilum efle fcri-
bit, fed inimmenfum quoque exaggerat , tamquam vix
paucis diebus aeftas fit, ceterum hiem.s in his regionibus
defaeuiat , et quae funt ex eo genere alia apud Hippo-
cratem. Ob rem tam paruam, tot de Cimmeriis tene-
bris i-un^^iSKki^Bc, g go^^yX^arct e fertili poetarum in-
geno propullularunt. Scriptores argonautici his flibu-
lis fcenam inftruxerunt. lidem Cimmerios fuper Ponto
ad Tanaim protendunt , vt tum fuere fiti , cum herocs

G g g 3 ilii

(3) p. 57^ (*; C.45,

422 BE CIMMERUS.

ilii Colchlda petcrent : Dionyruis PeHcgetes aiitem
(PXuflt^f^ff ,cum iisdemin tradibns Cimmerios fna aeta-
te reponit, deceptns fortaffis a nomine Cimmerii vrbis ,
qnac a vctcribus incolis appellationem ad id tempus re-
tinuit. Maeotin,inqnit, Scythae rjocant matrem Fonti,
Ek. ryfg yk^ IloVroio to ij.v^igv eXK.gr oj v^cj)^

O^B-QV Kijajuis^iy ^ii Bocttc^s. w Tra^a iroXKol
K'fm'^ioi yoiisTiVj y-oro >4^u^^w ttoc^i Tau^y,
Nam ex Ponto multain aquam trahit per medium Bojpo^
rum Cimmerium , iuxta quem fub algidi radicibus Tauri
Cimmerii frequentes cohint. Ad quem locum Euftathius
plane fji fimiUs eft, cum ait Ki/j.<ji^ioi , ro I^kuS-ikoj/
e3-voc. Cum poitea has Cimmerias tenebras adPon-
tum , ita vt Homerus in maius extulerat fingendi licen-
tia , non fentirent Graeci, pro fua in poctam religione,
ne fefellilTc vidcretur,altius fub feptemtrione quaerebant
Cimmerios et tenebras illas horribiles, vt Onomacritus
in Argonauticisj parum fibi conftans , [^'^) de Cim-
meriis ait \

G\, p% re ix^vci

AVyXvig ajxixo^Gi ^(Ti 7rtj^i^^o;xy i^Xi^oto

Ev ixiv yoLP^VincLicy o^os '^ KaX-srio^ avx^y

AvroXi'a5«^Yy(ri,
et quae apud eum plura funt in eam fententiam. Quarc
Pytheas Maflaliota , vt cft apud Cofmam Indicopleu-
(len in topographia chriftiana , gloriatus eft, barbaros o-
Itendiffefibi iza^a.YEVoixivuiev roTs^o^^QroLrois roiTGiq^

C^) V. Illg.

ry/U

DE CIMMhRIlS, * 423

aDror$. Quamquiim , fi ea , quae Cleomedes in me-
teorologicis ex Pythea habet , infpicias, non ille perpe-
tuas fme fole nodles in Thule et feptemtrione prodidir,
fed hanc viciffitudinem diei nodisque , quae pro anni
tempeftatibus obtingere extremis fub polo regionibus fo-
kt. Alii Cimmerios ad tartarum et Plutonios cam-
pos relegarunt , fimul cum Acheronte fluuio, qui haud
procul ab Heraclea in Pontum incidit, alio nomine I^ojo-
ydvryiq. Sed quoniam A;^?^b'a-i'av quoquc propc Cu-'
masadmareTyrrhenum habebant Itali et Auernum la-
ciim inferis dcuotum, idcirco , vt ait Strabo, (4) ^ rl-
ro 'XJ^^iov nXyrwv^ioV ri vurcy^dix^oLVov -^ ryg Kiixixe-
|iy5 lyra-jS-a XsyscG-aj etiam hunc agrum tamquam
flutonium et populos circuifi ea loca Cimmerios commenti
Junt. Haec funt illi (jv.or^v[^ Lycophroni (5) Yi\\L\xk-
^ojy £7raiiXa. Sic Cimmerii funt veluti aliqua Luciani
Hecate , 7:oXtj;j.o^C|)6y r\ 3-c'a^ii.a g aWiSftz d.'KkQ\ov r\
^avr&.^o\xzvov.

Itaque nosHerodoto tantum aufcultabimus. Is tra-
dit , Cimmerios olim intra Boryllhenem et Tnnaitidas
regiones degiffe pulfosque aScythis conceflifle in Afinm.
(6) Ifthic excurfionem fecilfe, et lonicas vrbes infeflas-
fe: nec cepilfe eas,aut euertifle , fed in agris earum prae-
das egilfe. (7) Tum Sardes aggrefli , Ardye regnante,
vrbem praeter arcem expugnarunt. (8)Tandem Cher-

fone-

(4) f. 166. (5) V, S^^, i6) 1. IV. C. 11, C". i- - c p. 6'
(8) U.c. 15.

424 DB CIMMERIIS.

fonefum Sinopicam condiderc, vbi quietam fedem tene.
rent. ( 9 ) HAlyattes eos tota Afia expulit. (10) Ec
Scythac quidem eos a Tanai rcfugientes perfecuti funt,
ied cum Cimmerii porta Caucafea fugiffent in Afiani,
Scythae alio itinere per Cafpias portas fe effuderunt in
Mediam. ( i ) Cum autem Cimmerii tam late coluerunt,
vt podea Scythae , non eft verofimile, omnem gentem
metu Scytharum fe in Afiam praecipitafle. Velim au-
tem animaduertas , quod,cumfama eflet, Scythasa Vol-
ga aduentare, Cimmerii concilium gentis ad Tiram flu-
vium habuerint. Eo in conuentu,aliis fugae audloribus,
regcs manendum bellumque pro aris et focis conferen-
dum cenfuerunt. Ex ca dilfenfione tumultus ortus ca-
ptisque armis , (nam reges et regiae domus , parcs
numero reliquae turbae erant) praelium commilfum , in
quo reges omnes caefi fepultique funt a popularibus eo-
dem omnes tumulo ad Tyram fluuium. Is tumulus ad
Herodoti vsque aetatem exftabat et celebrabatur. (2)
Scythae enim, cum vacuam regionem occupaffent, reli-
gioni fibi duxerunt, fortium virorum rnonumenta viola-
re. Manferunt quoque Cimmerii muri , incertum ta-
men quibus in traclibus , et Cimmerium vrbs cum re-
gioneCimmeriaet SolporusCimmerius prifcum nomen
retinuerunt. (3)Tiras fluuius , ad quem populi conci-
hum celebratum eft , longius diftat a Tanai, vt planefit
a fide aiienum , Cimmerios ab eo fluuio in medium in-

cen-

(9^ I.IV. c. 12. (10) ].I. c. 15. (i) I.IV. c. 12.
(2) 1. IV. c. II. (3) ib. c. 12.

DE CIMMERIIS.

425

cendium fe praecipitafTe et obuiam occurriffe perduelli-
bus , dum Tanain et infeftum Scythicis , quae pcrhor-
refcebant, armis orientem petunt, quioccidentem et a-
uerfas a difcriminetanto prouincias fibivipatefacerepot-
erant. Itaque mihi Herodoti vcrba omnia perpenden-
ti vel maxime probabile videtur , Cimmerios , qui ad
Tiram confluxerant , occidentem et feptemtrionem pe-
tiiffe, alios e locis Tanai vicinioribus , falutem quaefi-
uiffe in Caucafcis faltibus et Afia.

Ita iam nonnulli ante nos fenfere apud Plutarchum
In Mario. (4) Cimbrine igitur a Cimmeriis funt orti?
Nempe,fiaudimusturbam magnam eruditorum, resma-
nifefta eft. Ego neque excedere quafi finibus meis at-
que Cimmerios perfequi cupio , neque admodum curae
cordique habeo , quibus ab llirpibus Cimbri fmt pro-
gnati. Tamen, quoniam haec quaeftio in feptemtrione
jnaxime agitata, infinitos paene errores exclufit , quibus
Scythicarum gentium regionumque harum , quarum hi-
ftoriam tracflandam fufcepi , veteres res propemodum
funt oppreffae , ipfa me neceflitas manu ducit in hanc
difputationem, a qua abftinere aequiore iure maluilfem.
Hugo Grotius,quiad illarum opinionum , quae poftea a
Stirnhielmo,Verelio, Rudbequio funt edudlae,fementim,
fui quaedam femina contulit, non potuit a fe impetrare,
vt cum Cimmeriis confunderet Cimbros. Qiiae autem
ratio induxit,non hos dicam infigni dodrina viros , fed
veteres quosdam omni genere laudis illislonge inferiores,
Tom.ll. Hhh vt

(4) f. 411.

426 DE CIMMERIIS,

Tt Cimbros repeterent a Cimmeriis? Nulla profe(?^o a-
lia, quiim Yocabulorum ad fonum congruentia. Hic
\ero Grotius , vt erat admirabili ludicio , praeuidit ani-
mo, quantum perturbationis in omnem veterem hifto-
riam inuehi poflit , fi incautius paullo nos in hoc ncgotio
geramus , et fenferat hoc ex maiorum in illa via aber-
rationibas. Sapienter ille in prolcgomenis adhiftoriam
Gothicam monuit , pofle populos toto genere et caelo
diuifos idem nomen gerere. Ne Vandalos quidem, qui
ab omni aeuo a fcriptoribus memorantur , ex eodem
fanguine illius populi, qui in Africa rerum potitus eft,
repeti patitur. Sic , quis Nomadas , (quafi Ger-
manus Vandalos dicat) illico putet Scythas eife, cum in
Africa quoque populus id nominis a moribus fuis geffit ?
Borufci aPtolemaeo non longe a Volga feu Ruffa vete-
ri collocantur, a quibns quiBorulfos feu Pruflbs antiquos
ducunt, nae iUi vehementer falluntur. Et vt in hoc ex-
cmplo oftendam, quam facile fit in eo genere falli , cum
in nominis conuenientia cardo et vis omnis coniedlurae
illius vertitur , fugit tamen bonos viros , Prutenos pri-
mum a Vilelmo Gnapheo, et Georgio Sabino et Loti-
chio et ccteris illius aetatis poetis nomenBorufforumac-
cepiife , accommodatius , vt ilii quidcm iudicabant ,
ori Romano et <:armini. Omnis autem antiquitas me-
dii aeui Prutems , Pruzos, Prucios^ Brutios aut ineum
modum vocauit. Teftimonia producere poflem , quae
multas paginas impleant , fi co ingenio eflem , vt in his
me oftentarem, Qui mihi e contrario ante Gnapheum

aut

DE CIMMERllS.

¥■1

gut Sabiniim et antehos Inquamdiicentos annos allquem
producatauLl:orem,cuiBoru(ridicantiir,illum egovero lu-
bens remunerabor:nec verius efl: quidquam , quam quod
Matthiieus Praetorius vidit , vnde Pruteni fe vocauerint
populari lingua , quae fententia antiquis hiftoriarum
monumentis confirmatur. Sed hoc non ago: illud tantum
in exemplo docere volui, quam infirmum omne illuddc
nominum congruentia argumentum fit. At cum Dido
aliquis Aquitanicarum rerum fcriptor(5) Danos a Da-
nais, cum alii a Dacis ct Dahis deriuant , cumEluardus
Tiiecos a Sueuis , cum alii Saxones a Sacis, hoc eft , fi
diisplacet, a Scythis deriuant, ea mehercle vigilantium
fomnia funt , ne quid dicam grauius. Talibus deleda-
ti fiint fcriptores feptemtrionales et Auentinus et ille non
indodlus, vt tunc erat, fibularum parens AnniusVitcr-
bienfis. Satis erat aliqua nominum allufio , vt nouas
conderent hiftorias , vtque probarent plebi eruditorum.
Quid autem tantum eft in Cimmeriorum et Cimbrorum
nomine , vt eorum nos ftirpem populorum mifcere o-
porteat ? Cimmerios a Gomeritis didos fuifle , admo-
dum probabile eft , aut plane paratus fum deierare , vn-
de didi fint , non liquere. At Romani Plutarcho et S.
Pompeio Fefto audoribus,Cimbrorum nomcn Celticum
efle et latronem fignificare compererunt. Id vocabuli
adhuc habent linguae Celticae. Islandicam dico, Nor-
uegicam , Sucdicam , Danicam,Germanicam. In mo-
nofyllabis Islandicis lonae Riigmanni kamp eft Ju6fa, pa^

Hhhs lae/lra

(5) apud Saxoncm Grammaticum f. 5,

428 DE CIMMERIIS,

Jaeftra , plane vt apud nos Germanos. Snorro Stiir-
laeus parte fecpida Eddae heroas dicit, vel Kappar , vel
Kicmpur vel Garpar fuifle, quod Refenius Danice pro-
tulit Herrers, Kiempers, Fidteris. In CelticisLeibnitii:
Campau, ludi, tjuales Olympiaci.

luuat me minc , quoniam in hanc concertationem
incidi, ipfam originem r^gTToXur^oTry ^ ttoXuh^^ Cf)ax-
roLdictq paulio aitius repetere , quoniam antiqua fatis eft.
Cimbri , vt habet in Mario Plutarchus, cum Italiam in-
uaderent, obfcurum Romanis nomen erant,praetcrquam
quod proceritate corporum et caefiis ocuHs Germani-
cam referrent ftirpem. Serius cft co§nitum,Teutoni-
co vocabulo latrones , feu potius bellatores dici atque a
feptemtrionali oceano profedos, traiedlo Rheno, Belgi-
cae fe infudilTe annisque aliquot incubuifle Galliae cerui-
cibus. Ex quo fadum eft , vt Salluftius Gallos diceret,
aduerfus quos a L. Caepionc ct M. Manlio Coss male
pugnatum fuit et Cicero de prouinciis confularibus beU
Iiim Gallicumy quod a C. Mario confcdlum eft, Cimbris
Teutonisque caefis. Ab Rheno mouerunt in Noricum
et ad fines Illyricos profedi, in Carnis ad Noreiam vr-
bem Carbonem cum exercitu fuderunt atque per Helue-
tios Allobrogasque petiere Galliam , donec Hifpaniam
attingerent , vnde per Celtiberos repulft coniuncftique
cum Teutonis , tanto maiori clade adfecerunt Galliam
omnem praeter Belgicam et M. lunium Silanum Cos op-
prefferunt Hinc ille turbo aliquanto poft intcruallo
Italiam inuafit. A Mario fufi fugatique Cimbri, traie-
£toRheno, iuxta Belgas confederunt. Antiquaautem

Cim»

DE CIMMERIIS. 429

Cimbrorum fedes fiib feptemtrione aufpiciis Caefaris
Augufti etTiberii Caediris eft cognita etpaene armispe-
tita. Res h;ie tam planiflimae nadae fimt inanes hario-
latores, Graecoshomines,qui tumultum, quam Cimbri,
conciuere maiorem. Alii apudPlutarchum Cimmerios
ferunt a Scythis pulfos partem in Afiam,Lygdamo quo-
dam ducc,(qucm Herodotus ignorat , Strabo et Plutar-
chus (6) nominant) effufos , partem aliam et raaximam
bellicofilfimamque occidentem verfus fug:lfe. Rede
illud adhuc , quantum iudico , nifi quod denfas et pro-
fundas fyluas vltra Hercyniam incolentibus, contradlio-
res dies produdioresque nod:es , Homero de Cimmeriis
tenebris fabulam fabricandi occafionem praebuifle adii-
ciunt. Ex eo enim conficitur , non animaduertifle cos,
Homeri Cimmerios nondum tum a Scythis fufos fuga
tosque, ad Ponti littora, non autem fub hoc feptemtrio^
ne egiflfe. Alii apud Plutarchum, regionibus omnibus
ab oceano occidentali feptemtrionalique ad Maeotin vs-
quein ardlum contradis,Gallos Scythas in omni illotra-
dlu pofuere, quorum pars cflent Cimmerii feu Cimbri.
ToLuroi fjieV, inquit Chaeronenfis, homo non obefae na-
ris , macrixi^ fxolXkoy , y) KoLroi ^s^aiov igo^ioLU X/ye-
Toq. Adeo ille haec fufpeda habet. Scd quantum in
his Pofidonius ad hariolandum fibi permifit ! Cimbros
ait homines fuifle praedones et in primis vagos(7)(id
eniin erat necefle , vt impetraret , quae vellet , Pofido-
Hhh 3 nius

(6) Strabo f. 57, Plutarchus in Mario f 411. (7) Stra-
bof, 333.

430

m ctMMEms,

Kius) armisque nd Macotin progreffos noinen dedlflc
Cimmerio Bofporo,quari Cimbrico : Boios Hercyniam
fy luam incolentes , cum Cimbri ad fe quoque inarmis
venirent a Maeotide , fi diis placet , regreffi , manus
conferuiife Cimbrosque illata clade ad Taurifcos Gallos
et Heluetios compulilTe , vnde in Italiam impreiTionem
fecerint. Hanc non improbabilem coniedluram vocat
Strabo, cum in ea abfurda funt omnia, gentes resqueet
fecula inter fe confufa. Cimbros dicit ab feptemtrio-
nali oceano ad Maeotin paludem profcdos nomen dc-
diife Cimmerio Bofporo. Cimbri ante Cn. Papirium
Carbonem Cos ct A. V.C. bcxxxx. profedi funt ab
Rheno : Cimmerium autem vrbs iam annis centum et
amplius ante vrboTi conditam Homero nota fuit. At
de illa fupcrioris aeui migratione Cimbrica, qua Cim-
merii funt ad Pontum et Bofporum tanicjuam ver facrum
m coloniam mifTi^nifi fallor , loqueris (o ^ai^oj/ie •,

Ouo teneam viiltus mutantem Protea fiodo l
Qiiem vero audorem habes Pofidoni ? Nempe aegram
fme fomno nodlcm. Scythas pepulere Cimbri, vt vi-
fum efl Pofidonio. Male fit iili Halicarnaffenfi , qui
Cimmerios a Scythis exterminatos tradidit. Nimirum
fcduxit Pofidonium grammaticus. Exftat indicium cius
rci in minoribus Homeri fchohis , vbi aliquis veterum
(8 )i»7r3 Ki|jLjU.e^iW)/ ^ytuS-oL^; i^sXa^^v a\ a Cmmeriis
Scythas ejfe pulfos aflerit et tamen Herodotum citat te-
Hem.

Efi

(8) ad Od. A. V. 15.

CE CIMMERIIS. 431

En cor Zenodoti ! en iectir Crntetis \
Romani noiierant Cimbros a feptemtrione profedos
Rhennm traieciffe patrem amniumrPofldonius iocum pu-
tatRoman im fidem et ab oriente Cimmerios ducit aduer-
fus Boios ad Hercyniam fyluam , inde male mulAatos
in Italiam. Vndique totis vsque adeo turbatur agris.
Dicam ficuti fentio de Pofidonio , philofopho quidem
non indodo , fed in his nofiris infante Quoniam phi-
lofophi haud longe abfunt a deum conditione , vt mun-
dos, quoties volunt , condant nouos , eo credidit Pofi-
donius idem fibi licere in rerum gefl:arum hiftoria. Nec
immer^to vero , cum Cimbros cognouiflet aliquando
profedtos a feptemtrione , Cimmerios autem, vel Home-
ro tefte et Herodoto , incoluiffe Ponti littora. Hoc fa-
tis erat ad exordiendam longam fabulam. Nih 1 tamen
hoc eft adhuc prae eo , quod dicam. Cimmerii in iis-
dem regionibus coluere, in quibus poftea Scythae , vt
quidem Herodotus audlor efl::Cimbri autem, vt Strabo,
Tacitus , Plinius , Ptolemaeus, praetendebantur Sue-
tiae : ergo Suetia efl illa vetus Scythia. Ridi-
culum efl , quod dico , tamen nonnulli in iliiim ^ iv^dum
aciem ingenii fubtilifilmi exeruerunt , cum critices huius,
quae ad hifl:oriarum veritatem exquirendam , necefHiria
eft, plane ignari effent. Nec caruere vitio hoc Graeci
quidam vetuftiores, vtexemplo e(fe poteft 0 S-aujULcdo-iog
Pofidonius. Audiamus tantummodo Geographum Ra-
ucnnatem:(9) interoceanum^procul, magna infula^antiqna

(9) P' 2(?. cd. Porcheronis,

43

2 DE CIMMERm.

Scythia repenttir , quam hifulam plerique pHIofopJji hi/fo-
riographi conlaudant , quam et lordanes (Tornandem pu-
m,) fapientiffimus cofmographus Scanzam appellat, ex qua
infula pariterque gentes occidentales egrcffae funt : nafn
Gothos et Da?ios y immo ftmul Gepidas ex ea antiquitus
exiffe legimus. Qui , nialum, Gothi e Scandinauia?Nem-
pe Ablauius aliquis philofophus cognouerat , proxime
Scythas atque paene inter eos quoque, coluifle Getas, e
Scandinauia autem iam ante cum alii Scythiam fecerant,
ergo tempus erat , vt inde Gothos fliuftis auibus immit-
teret Ponticis regionibus atque inde florentibus prouin-
ciis. Adeo haec pars hirtoriae vario et ancipiti tumul-
tu efl plenior,

Quam magno vento plenum efl mdarum mare.
Ita Suetia fiAa eft ojjicina gentium , aut certe ^velut
vagina nationum ^ vt lornandis verbis vtamur. (lo)
Et lornandes quidem hanc Getarum a Scandina-
uis et Cimbris originem , Getarum carminibus prifcis
paene hiftorico ritu in commiine fuiffe recoli folitam , fcri-
bit , et ego pro mea fimplicitate his carminibus haud
parum fidei detulerim , fi exftarent : nunc mihi E-
picharmus cantilenam illam fuam infufurrat , vci(pe g
ixiixyacro oLing^v. Cum cnim lornandes abhis carmi-
nibus non feiunxit fua illa e Graecis et Latinis , non fatis
conftat , quantum ex obfcuris Getarum carminibus acce-
perit, periculum eft autem, ne pro vetuftis populi Wlm
monumentis , lornandis figmenta ampledlamur , nuhem
pro lunonc. Multa ille a patre et auo ceterisque gcntis

fuae

(lo) f. 193. 194. Muratorii

DE CIMMERllS. ^^3

faae liominibus ante fe gefta accepit, in quibus minime
cft reprehendendns. At \bi explere vetcrem memo-
riam e vetuftis libris , quos tviduana k6tione euoluerat et
nonnuUa ex hifloriisGraecis atque Latinis comienientla ad-
dere conatus eft, in his illi praepropera haec male ceflerunt,
vt ei fides feu nulla, feu admodum circumfpede adhi-
bendafit.Quod autem caputrei efl:,vfum eumeflTe Strabone
reperio, e quo Pofidonii illa infomnia haufit. Igitur e
Pofidonii coniedura tenui fcaturigine manauit opinio ,
quae latiori alueo a lornandis credulitate profluxit , do-
nec a Stirnhielmo, Verelio , Rudbequio aggeribus per-
foflis omnibus , orbem prope vniuerfum inundauit.Qiiot
enim gentes eorum opinione ex Suetia non funt e-
greffae ? Viri illi fuerunt fummo ingenio et exquifita ad-
mirabiiique dodrina , fed in quibus aut patriae amor in-
credibilis veritatem obfufcauit , aut qui \ix quidquam de
his ex animi fententia dixerunt. De lornandis errori-
bus alio tempore accuratius difputabimus. Virum bo-
num dico , ne quis me reprehendat , fed mehcrcle, in
vetuftis temporibus non idoneum audorem. Paruona-
uigio euedum fludlus obruerunt in littore.

Tom,\l, lii Ny.

434 NVMI ERTTHRAEI

N VMI DECEM

ERYTH R AEORVM

IN lONIA
I LLVST RATI

T. S. B.

M. Maio ^r^V Vamquam Erythrae aliae fiue in Locride , vt
.^727. ■ ■ Stephano Byzantio, fiue iii Aetoliae Etti-

^L^^r Kry)r\i finibus , vt Liuio vifum eft , aliae in
^^^^ Cypro (Paphon puta ipfam , vetuftiori no-
mine Erythras) aliae in Libya Cyrenaica fitae fuere , ta-
men duae tantum vrbes exftant et celebrantur, quibus e-
ruditi infcriptosErythraeorum nomine numos acceptos fe-
runt. Plerosque lonico oppido attribuunt, vnumBoeo-
tis vindicauit loannes Harduinus, quem honoris cauffa
nomino. Ita enim ille in numis populorum vrbiumque
iiluftratis fatus eft: '* Erythraein Boeotia. Numusex
" argento perpulcher , formae mediocris , apud Mar-
«'chionem de Montauban , parte antica vultum exhibens
«^Alexandri, tedo capite, pelle leonina , in altera pa-

*^gina

♦« EPY

<« €um auieuJa, claua HercuHs,

« AionEiGHi:

<< pharethra cumtheca.

"Erythras in Boeotia Piinius commemorat. Fuere

^^Boeotiae T hebae {inc^ii ille ibidem) duorum mmmum

ILLVSTRATI. 435

Liheri atque BercuJis , vt volunt^ patria. Claua Her-„
culis, pharetni fymbolum Liberi eft. ThebisabA-,,
lexandro expugnatis, vt Plinius lefert, videtar mone-,,
ta ab eodem fiiilTe translata Erythras.^ Erythrenfis ma-,5
giftratus eft AIOIIEIGHS. Auiculam perdicem,,
elTe , ex Phnio intelligimus , quo tefte, perdices non,,
transuolant Boeotiac fines in Atticam . „

Nobis omnia aliter funt vifa in nouem Erythraeo-
rum numis, quos loannes Ciiriftianus Buxbaumius, nonr^^, 28.
modo a botanices fcientia et excellenti laude , fcd etiam F/^. //.
ob vetcrumftudiumnumorum mutuamqueamicitiammi- '^^^^■^ ^'
hi iucundiftimus, experegrinatione Thracica et Aftatica
fecum tulit Coemerat Conftantinopoli a ludaeo quo-
dam numos Erythraeorum argcnteos , numero ad vigin-
ti tres, pretio non maiori , quam quo argentum non fi-
gnatum venit. Ex his felegit nouem numos magiftra-
tuum nominibus difcrepantes , ceteros diuiftt inter ami-
cos. Summo veteris Graeciae ingenio et artificio ela-
boratosnuUa aetatis iniuria foedauit,vt praefertim in ter-
tio, quarto, quinto, fexto et nono numoperfpicuislinea-
mentis auis quae fit, fine fufpicandi moleftia adpareat :
nam in ceteris paullo altiores habet pedes et erediorem
ceruicem et breuius caput , quam vt fallere haec fpecies
non poflit eos , qui vnum tantum viderint numum , non
inter fe contenderint omnes nouem. Nocflua igitur eft,
non alia auis, nedum perdix, vt ipfum fundamentum, fu-
per quo Harduinus inaedificauit , fubrutum et euerfum
efie fcias. Nihil enim aliud induxit ingeniofiftimum vi-
rum, vt crederet numumfiium Boeoticae fuifle officinae,
quam quod eum numum, in quo perdix elfet , ita demum e
lii 2 Pli-

43^ NFMI ERTTHRAEI

Tah. 28. Plinio fibi vifus eft illuftrare poffe. Appofui decimum
F/^. Xi//. jju^yjp e Carolo Patino, ( i ) qui immanequantum a Ye-
ro deflexit. Nam ex auicula in numo obtrito non per-
fpicue obferuata , aliquid feu clauo, feu pedo, (cu pal-
mae , feu nefcio cui fimile rei fecit. Ceterum Patinus
quoque numum fuum ad Alcxandrum M. refert,illudau-
tem EPT negotium incxplicabile putauit.

lam, quae mea opinio efl:, numi omnes decem E-
rythris in lonia flgnati , no(5luam idcirco gerunt , quod
Mineruae fumma religio eius ciues vrbis teneret: quae vt
eorum animos inuaferit atque a quibus populis fit duAa,
haud abfurde ab ipfa ftirpe repetemus. Agrum illum
vniuerfum primi Cares tenuere , fiue illiex infulis profe-
£li , quae apud Cretenfes fama obtinuit , fiue aborigines
fuerint Lydorum Myforumque cognati. (2) Cuminter
Europae filios contentione orta , Minos per fadionem
fuperior Sarpedonem fratrem et partium focios expulis-
iet , hi quoque ifthaec littora petiere , Lyciique funt didi.
(3) Confedo bello Troiano Calchas Pamphylios ineun-
dem agrum deduxit. At Erythrus Rhadamanthi (is quo-
que Minois frater fuit) filius, tempore non multo poft
e Cretaprofe(fluS;inter Caras, Lycios, Pamphyliospar-
tem neceflitudine,partem focietate Cretenfibus deuindos
confedit , vrbique ab fe nomen impofuit Erythris. Cieo-
pus aut potiusCnopus Codri fllius , colledla ex lonicis
frbibus manu, inter veteres Erythraeos fedem cepit.Ita
lidelicct Erythraeorum. teftimonio Paufanias. (4)

Ery-

(i) In nummis Imperatorum f. 9. (2) lierodotus L i. o^
171. fecju. (3) ib. u 175.^(4; f- 52S- 5^2-

ILLVSTRATI. 457

Erythrus vrbem a fc inftitutam fub Mlneruae tute-
k cfle voluit,eaqae cauflfa AGHNAI^ nOAIAAOSi
delubrum et fimulacrum deae, eximia magnitudine, fe-
dentis in folio et in vtraque manu colum , capite caeli
orbcm gedantis, dedicauit. Non hoc quisquam deE-
rythro planiffime ita prodit, fed probabili quadam inuefti-
gatione verum tenemus. Nam ilJud fimulacrum Mi-
neruae, Erythris fumma religione cultum,Paufania iudi-
ce , (5) Endoei opus fuit : Endoeus autem Athenienfis
Daedalum magiftrum ob caedem Caliexulem fecutusefl:
in Cretam. (6) In hoc temporis quafi veftigio quod ve-
rofimillimum eft deprehenditur. Nam Endoeus ae-
qualis eft Troianis tcmporibus , vt Daedalus Minoi et
Herculi. Itaque haud difficulter confequitur , Endoei
hoc opus a Cretenfibus in Afiam fuilfe deportatum et
ab Erythro dediciJtum in noua vrbe. Sic ab ipfis Ery-
thrarum exordiis Minerua arcis praefes fuit , vt Liuiano
verbo vtar , qui no^kiaBct ^ ixo^ki^^ov Mineruam fic in-
terpretatur. (7) Cum autem Mmerua omnibus in vrbi-
bus colcretur , non tamen Polias aut Poliuchos fuit , nifi
fi qua in vrbe aut arce tutelare numen erat , praecipua
ct ante deos deasue alios religione et deuotionc ciuium
confecratum. Ita TroXicto^o^ IlaXXag apud Camarinos,
quam Pindarus canit, (8) ciues eleganti in numofigna-
runt, (9) ita Minerua Polias Corinthij quae vbi de tutela

lii 3 vrbis

G) f 5H- W Pau^anias f. 62, (7) l.XXXI. ;o. et alibi,.
adi Phornutum de naturadeorum p. 187. ed. Gal. (8)01ymp..E,
Y.23. (9) apud L.BegeruraThef.Brandeburg. T. L f. 378.

438 ^ NVMI ERTJHRAEI

Trbis curo Neptuno certauerat , ex louis iudicio hunc
honorem cum eo diuifit , vt ip(a Polias , Neptunus Rex
diccretur, quarc , inquit Pauianias,(lo) vctuftus eius po-
puli numusl-GTi cTTiiaa habet tridentem etMineruae caput.
Apud Te^eatas Poliadi facra fliciebant iy E^vfxoLTog
i e^$ in aede caftcilifeu arcis, quod Minerua inexpugna-
bilcm fecilTet vrbem , cum de Medufae crinibus angui-
ticos cincinnos Cepheo Alei filio cuftodiendos dedit,
( I ) quare etiam in Tegeatarum numis Mineruac caput
caelatum eft. Eiusdem Mineruae delubrum apud Chios,
Erythraeis proxima cognatione deuincTtos, conftrudtum
fiiit. ( 2 ) Quid dicam de Poliade Athenienfium ? de qua
nonignobile exftat fcolium in compotationibus cani fo-
litum Athenis : (3) IlaXXag r^iroy/v^a, avaa-rra. A-
S-Yiva , o^S-^s r^v^s ttoXij/ rs ^ TroXira^ are^ akyei^y
rs ^ qadz^v ^ S-avarwv/ awgco^'. Vallas iritogenia^
Minerua reginay rege et ciuitatem ham et ciucs , fine ca-
lamitatihus^finefeditionibus^fineintempeftiuisfunefibus. His
enim muneribus tutela Mineruae continebatur. Mirum-
ne adeo, vrbis et arcis praefidem tutelamque nodluae fi-
gno in numis Erythraeorum dedicari?

Id enim commune erat Mineruae ItinV-vi^jLOK^cuius-
modicumque habitus cultusque dcac elTet. Difcrepa-
bant enim in his palladia vrbium. Apud Erythraeos fi-
mulacrum ligneumMineruaeixey^^^ \}Jya,Ka^xix.svov
re gTTi B-^Gv^ j ^ TikaKarv^v iv iKare^a rojv %«^wi/

ix^v

(10) f. i82. (1) Paufan. f. 6^5. (2.) Herodotus 1. 1. c. i(Jc.
(3'; apud Athenaeum u6^\.

ILLVSTRATl. ' 439

£%^^? g s'7rt rv]5 K£Ct)aX^5 iio^kov^m vtratjue mmu '/jXa-
KcLry\v^capite caeli orbtjngeftahat. Vtrumque ob artes,
qucirum Mincrua praefes erat : eius enim erat et contem-
plandi caeli et tradlandaelanae fcientia. HXaKar7)K du
cit Paudinias , qui ^tique colus efl: , vt fcholia minora
HoTieri explicant: (4)^0 yvvaxKHOv i^yoiK^ov , l^ 8 ro
yyjfjLct ey^Ksa^iv . (05 ekS 0 7:oiy\ryiq

HXaytarv) rsrdvvgo lovsCPeq u^oq z^dci. (5)
HXax-ar-y) ejl injlrumentum , ^wo mulieres opus habent : ^r
eo enimftamen trahmt.,vt apud Komerum , (cum Helenae
colum defcribens ait: fuper anrea corbe , in qua ftamen
repofitum), reclinata erat colus reuin^aqut lana purpu-
rea. Ktymologus Magnus e contrario c^y^^^o^^, TrsgT
o^ «Ayo-iv cd yuvaTKeg ro vyjfxoL , inftrujnentum^
circa quod mulieres ar[te ftamina circumagendo whinnt.
Fulum dicit et veriuerbinm refpicit , cum yfKoLKaLry\ eft
yiKoLKry\ rig , Tra^ct ro -y^^Xacrarw In veteri Epigram-
mateE^yariv iuKXthg^ vyjixaroq v^\aK(iroLV. Formam
eius expreflfam habet Plato decimo de republica: (6)
ait en-m oLr^dKr^s feu fufi Parcarum tres elfe partes,
*^\cLKiry\v feu fcapum , ayK^g^ov feu vncum, perquem
ftimen tranfit er cr<^6v^\j\ov feu verticulum cauum , oSg-^
yikcf.Kiry\v ^ioLixiis^es ^id ixsgs £'X^/]X(Xc8-oc| , ita vt fca~
pus per medium verticulum agitetur ^ quo Iimul e rt;juLov
vocis cxpJicatur. Hac quafi pidlura inducor , vt in fe-
milfe apud Fontanam Equitem , (7) fufi a PJatonede- x,,^ ^g^

fcripti big. L

^4^ adll.n.v. 183. (5) OdjfT. A.135. C<5)f47'.472.
ed.Il.retn. (7) Apud Montefalconem Amiquitatum cxplica-
tarum T. Ul.partel. Tab. 89- 5-

440 NVMI ERTTHRAEI

fcripti iconem mihi videre YJdear , ctidcirco muliebre
caput,Minerime effeputem. Fueruntenim prifcaema-
tres Romanae velmaxime domifedaeet lanificii ftudiofae,
vt non puderet Quirites , dea et colo fufoquc fignare fe-
mifles. Cum autem Minerua Erytliraea vtraque manu
geftare -^XccKoiryiv dicitur, non vtiquc folam colum in-
t€lligi velim , fed etinm fufum , quoniam HXaRar^v) v-
trumquefigniftcat, ita, vt Catulliano vcrfu habitum deae
poftis defcribere: (8)

Laeua colum moUi lana retincbat ami&um :
'Dextera tum leuiter deducens fla fiipinis
Formabat digitis , tumprofio inpollice torquens
Libratum tereti verfabat turbinefufum :
Ati^ue ita decerpens aequahat femper opus dens,
Laneaque ariduHs haerebant morfa labellis
Quae prius in leni fuerant exfl antia filo,
Ante pedes autem candentis jnollia lanae
Vellera virgati cuftodiebant calathifci.
Ea vetuftiflima ratio tradlandae lanae fuit : altera com-
modior, quam in moniimento Apolloniae inter marmo-
ra Oxonienfta cernimus, (9) vbi ancillarum vna colum,
altera fufum tenet et dominae miniftrat, quamquampau-
lo rudior pidlura eft , vt vix fatis , quae fit , cognofci
queat. Hoc autem habitu Mincrua eft efFormata ab En-
daeo, quod matres Cretcnfes eo genere operis ftudiole
occuparentur. Manfit ea induftria in colonia Erythraea
et lonicis quoque mulieribus. Quocirca Theocritus

Theu-

(8) cp^gr. LXV. 311. (9) f 82.

ILLVSTRATI, . 4^1

Theugenidi vxori Niciae Milefiii HXaKarviy dono de-
ditin idyllio, cuiiis hoc eft principium:

TXoLVKoiq w CpiXs^^iS-"* d'KaKoira,§^QOv AS^avdag
Tvvai^i yoog oiKb^^PeXeecTcri doq l^^^^oXog,

O colus amica lariae, munus gJaucac Mineruae,
Matronis cura, quaedomumfuam locupletant,
In eum modum Erythrae a Cretenfibus conditae,
Mineruam arcis praefidem accepere. His ego potius fi-
dem adhibuerim,Erythraeis ipfis veterem memoriam ita
recolentibus,quamStraboni,(io) quiErythras lonicasco-
IoniamBoeoticarum,nullo certo audoreprodidit.InBoeo-'
tia Homeri (i) veteres critici vrbem Boeoticam ^agtj-
roVcog EgJ9-ga^, lonicam autem vrbem Qi,vt6v(i^q E^u-
S-gag pronunciari annotarunt. At Homerus , vt nunc
in exemplaribus efl:, Kara ry^v 'kyiydorav Boeoticas e-
nunciat. Tum quoqne in eo difputant critici, accepe-
rintne Erythrae Boeoticae nomen ab Erythro filio Ne-
ptuni et Amphimedufes Danai , an ab Erythra filiaPor-
phyrionis, qui erat Seriphi. Sunt haec commenta ve-
terum grammaticorum, quibus primordia vrbinm popu-
lorumque , fabnlis inferere, eximia voluptas et fumma
gloria fuit. Nulli autem Bocotici aut Dorici generis E-
rythraeo in agro confedere,fed poftremi fecundum.Cre-
tenfes aduenere lones. Quiseos Erythras deduxcrit,ob
diiTenfionemfcriptorum^ambigitur. Velieius Paterculus
(2)principcm et audlorcm harum coloniarum ediditlo-
Tom. II. Kkk nem,

(lo) f. 46(J. ed. H. Pctri. (i)III.B.v.499. (z^I.i.c.^.

44» KFMI ERTTHRAEI

nem, eftque illius caulTa rei ab eruditis reprehenfiis et a
lufto Lipfio propemodum laceratus , donec Thomas
Lydiatus iam vndique circumuentoauxilia fubmifit often-
ditque feu ex vero, feu prob^bili coniedlura , lonem il-
lum non vtique Xuthi fed Codri fuilTe filium , Nelei fra-
trem. Hellanicus in Atticis (3) dedudam Eryihras co-
loniam refert a Neleo Codri filio, a quo caeteras quo-
que lonicas colonias conftitutas fuiifc muhorum opinio
efl:, quos omnes hoc loco teftes producere putidum no-
bis videtur, cum in illius memoria aetatis nihil celebra-
tius Herachdarum autlonum profedlione fit. lonesau-
tem ab Herachdis eV K.a9-o^w ex Acgialea et Ifthmo e-
iedli , cum in Attico agro, (fterili praefertim et inope)
exfuperante multitudine , nouas terras quaerere coge-
rentur , ducem reperere Neleum Codri filium, qui re-
gno Athenienfi per vim occupato exciderat. Namcum
Medon Nelei frater rcgno illo precario potitus elfet ex
Pythii fententia , Neleus lonas fadionis fuae fibi aggre-
gauit Afiamque cum clalfe petiit. Hanc lonum d-
^nomciv vetcrnm quidam centi.m et quadraginta an-
norum interuallo a Troia capta definiunt, a quo tempo-
re chronicon marmoreum non admodum abhorrct,cum
centum et triginta duobus annls ab excidio vrbis £(!>£-
i:ON EPYGPA^ KAAZOMENAi: conditus prodit.
At non vnius ducis , nec anni vnius id opus fuit. Praeter
Ncleum ceteri quoque Codri filii profedi funt diuerfis
annis. In quibus Pherecydes audor ell, (4) Androclum

fre-

(3) apuci Harpocrationem p. 17;. (^) apud Strabo-
ricm7p, 7ii. Is eft PiiercydesSyrus ^ quiCyri:emporibus.pri-
mus hiftoriam Graecam tractauit.

ILLVSTRATI, 4^.3

fi-equentafTc Ephefiim , Cydrclum nothiim Myiintem ,
NaucIumTeum,etCaenopum,Codri item nothum, Ery-
thras. Huc trnho Stephani teftimonium : E^'jSt?a, tto-
X15 lojv^wv, ex.aXttro ^s Ki/WTTBijJoXig a-tco KvooTrB, &r-
//^r^, 'yr/'^ Io«/V^ : voccita efl autm Cnopopolu a Cnopo.
Stephanus aucftorem habct Hecataeum Milefium., cui Yt
nntiquo fcriptori ct rerum admodum gnaro fidem nori
negauerim. Quamobrem Caenopum aut Cnopum con-
ditorem eolonfae lonicae apud Erythras fiiifle cenfeo et
Cleopum Paudniiae ex eo nomine clfe deprauatum. Po-
Jyaenus in (Iratagcmatis (5) narrat, Cnopum cum Ery-
thras appugnaret , ex oraculi fententia ad fe accerfi-
uiffe e T helTalia facerdotem Hecates Chryfamen. Hanc
herbis et carminibns taiirum excantaiTe atqi:e cornibus in-
auratis,corpore fertis et purpura exornato, in confpedu
hoftium ad aram inter duo caflra mediam duxiflc. Cum
autemtaurus oeftro ab incantamentis percitus fe ab ara
proripuiflet ad hoftes, ab iis ominc^-vt rebantur, fluiflo
laetis , diis effe immolatum : at cum eius tauri carne in
facris vefccrentur Erythraei , omnes in vefaniam \erfos
furientium more faltalfe atque ita a Cnopo elfe caefos.
Sic,inquit,Cnopus iKQdry\<JB r'^$ Egi/S-^at'ojv ixo^hzts^q^

Non eft operae prctium, \t, quanta rehgio Miner-
uae aut Athenis aut inlonibus obtinuerit, yel verbo di-
cam : quis enim ab antiquitatis ftudio,vel vitae quodam
inftituto ved iudicioet rationefic abhorret;Vt hoc nefciat?

Kkk 2 No-

(5) 1. VIII. c. 42.

444

NVMI ERTTHRAEI

NouaErythraeorum (Iicra nobibin mcmoriiim reuocat cla-
ua nodofa et corytus Herculis. N:\m quid nobis cum
Libero patre , poftquam ea opinio Jabeficflata efl:, qua
haec Harduini de Libero coniedura fulciebatur. Quis
nefcit Herculis virtutem non minus lagittis infignem,
quam claua ? Stymphalides aues et cerua Dianae etNes-
fus et genu Chironis , ipfe denique Nemaeus lco tefti-
momo funt, Herculem non degencrem Euryti (6) difci-
pulum in fagittandi arte fuilfe. Corytus in omnibus his
numis cximia pulcritudine confpicitur , vt quatuor con-
ftring'tur angulis , vt bullis feu aereis feu argenteis cir-
cum extrema ornatur, vt pars fuperior clathrata eft ad
minuendum pondus , vt m.edia c(l loris deuindla , quae
retroreiecfta pendent, quo leuari corytus poflit et indui
humeris , vt arcus denique infertus eft , prominente ex-
-pf xr. ^r^^o cornu et neruo , ita vt maiori forma defcripfimus, ■
quoniam ea adhuc defiderata eft. Fere endem forma
eft corytorum quibus Sinenfes et Tattari vtuntur e co-
rio , quales funt quaedam in Trnperatorio mufeo. Glos-
fae veteres : y(j)^vroq S-viR-vi ^sQixativYi ^eXojv. Bene
habet , quod corytus e corio confici dicitur , leuitatis
caulfa. Virgilius : (7)

tjueis teJa , Jagittae ,
Corytique leues humeris , et lethifer arcus.
Ob eandem cauffam Herculis pharetram Theocritus
TToXj^^aTrrov (8) dixit. At cory:umfagittarumthe'

cam^

(6^' Heraclifcus Theocriti V. IC5, (7) Aen. x. 1(59. (8)
in Hercule Leont. V. i^j.

ILLVSTKATI. 445

cam^ ftnphnretrainytw\^\{^\m\ non dixerunt. Phare-
tra e(l oi^qo^oycr^ , oi'(;o^y\Ky\ , venena tis gratiUa fagittis^
vt ait Flaccus : fed yis^imlc^ eft S-^i^k-vi ry no^^^^s arcus
tepmentum, vt Critici minores in OdyiTeam (9) ro^^o^
^iy{y\ vtHefychius loannesPediafimus in fcholiisHefiodeis,
(10) follxitediftinguitcorytumetpharetram. Piiaretram
dicit telorum thecam ejfe , in quam coniiciuntur fagittae^
iroL^oi ro Cp/ g«v^ rd rgcocrai ouvcLixevct , quafi quae fe-
rat ea^ quae vulnerare pojfunt : etcorytum efTe , in quo
reponitur arcus , a^orc rS y'^ '^^ X'^^.^ '6 r'^ c^^roy ri
sXKvgov , ro x^^'^^ Sy{ka^'^^ ro iXKvt^hv ^ -Y^ysv ro
ro^ov^ a Y^ et ^urov quorum alterum reciperefignificat^
alteruni autem arcum, qnineruis attrahitur, Sic etiam
Ifidorus Hifpalenfis. E contrario Etymologus magnus,
itavt veteres Gioflac. P. Papinii fcholiafta, {i)cory.
tos didturfagittarum theca ; pharctra, Et quidem hoc
ad mentem Papinii^cum fic ait : caeleftibus tmplet cory^
tum telis. Sm Homerum, vt aequum eft , audimus, co-
rytus vtique diuerfus fuit a pharetra. Nam in OdyfTfea
pharctram interpenetrahadomus VlyfTeae repofitamlic
defcribit : (2)

lo^oKoq , "KoXKoi 0 evsdav govoovreg oigoi,

pharetra tela quae contitiet , multae aute?n in ea erant

ftridulis fagittae pennis, At Penelopen inducit, vt con-

fcendit fcabellum ct dc claao fufpenfum arcum detnihit

Kkk 3 EvS-gy

(9^^ OdyfT. <|). iij. (10) ad Scutum Kerculis v. i2§.
(0 Odyff. e. 53.

446 NVMI ERTTHRAEI

Arcnm de clano porrexit ^fimiil ciini coryto fplendido ^ qui
erat ciraimietius. Ouidius quoqiie in tridibus , (3) co-
ryton et arcum iunxit, cum ait de Sarmatis :
Iti quibus efinemo, qui ?wn coryton et arcim
Telaque dpereo lurida felle gerant,
Seciitus tiimen et\ Papinius audoritatcm Maronis , qui
corytosleues dixit,cumet pliarctram et thecam arcus m
animo haberet. lile vero o"Kor«K3gLycophron, (4) in-
folitarum et amb-guarum vocum auceps,YCs3gi/roV 2!k,'J-
3-v)j/,incertum,an corytum cum arcu dicat, quem Hercu-
les a Teutaro Scytha, vt ait , acceptum dono dedit A-
iaci, an pharetram. Itaque fatis lucide adparct , apud
vetufliores heroas corytum et pharctram difcrepantium
nomina rerum fuilfe. Habuerunt corytos , in quibus
domi arcus conderent. Illorum fuperiori patentique
parti tegumenta impofita fuiffe , ne puluis penetraret,
neruosque corrumperet, verofimile fit etiam ex his nu-
mis, in quibus fupcrior pars ad recipiendum tegumen-
tum accommodata cft. Quod autem Harduinus talem
thecam coryii in numo fe videre cenfet , hoc feu numi
vitio , feu errore oculorum accidit, vt thecam crederet
id, quod extremum cornu arcus eft. Geftarunt quoque
humeris corytos , quod ex loris , quibus hi noftri con -
ftringuntur et ex tota forma intelligitur. Quocirca ia
hoc infigniargenteo numoAugufti,quem(5)PaulusPcdru-

(^)l.V.c. 8. (4)y. 458. (5) tom.II.tab.;X.9.

ILLVSTRATL

447

fms e Parmenfi gaza produxit corytus cum arcu , at- Xab. 28.
quc pharetra cum (Iigittis comunda funt in vno quaficor- F/g. XIV,
pore , quo commodius geftentur. Pofteaquam breuio-
ribus arcubus vti coeperunt (nam veteres heroes gran-
dioribus et rigidioribus dele^flati funt) arcum intcr fagit-
tas pofuere , ita vt pharetra etiam coryti munus nomcn-
que fubiret. Id adparet ex numoferrato, quiin gazo-
phylacio Imperatorio adferuatur, a L. Bcgero quidem e
cimcliis Regis Pruftiae iam antea editus, (^jfed obquan- ^^^- ^^-
dam diuerfitatcm a nobis quoquc producendus. C. Po- ^^^' ^^^'
bliciusQ F Herculern exhibet,qui in eum fere modum,
vt Theocritus cecinit , leonem Nemaeum conficit.
Eft enim corytus cum arcu et duabus fagittis , quoniam
Hercules principio figittis petiit leonem ; eft claua , qua
irruentem beftiam feriit : iam feminccem belluam con-
ftringit et fufFocat, more tamen alio, quam Theocritus
praefcripfit. In plcrisque numis , nc quid difrjmulem,
arcus fine corytis cernimus, fiue in manu , fiue humeris
fufpenfos iuxta pharetras. Praefertimin Dianae fignis,
quae in Poftumiorum , Ti. Claudii Ahenobarbi , Mafli-
iienfis vrbis aliisque numis (pedantur. Ad poftremum
non omnes coryti et pharetrac forma differebant.Nnm
quales hic in noftris numis coryti funt, talis eft pharetra
in numo Antonini Commodi infcripto : HERCVLI.
ROMANO. AVG. (7) quales deinde pleraeque aliac

funt

(C) T. IT. f. 57J, (7) apudBergcrumT.II.f. 679. CS^ib.T.
iii- 4J. ct apu4 Monteiakonem in Antiquit. T. L parte II. tab.
136.

448 NFMI ERTTHRAEI

fnnt pharetrae, talis eft corytus hi nnmo Cocnfiiim, (8)in
quo Herculem louis filium confecrant.

Quam antiquac caeremoniae religionesque in Her-
culem apud Erytbraeos tenuerint, Pauianias declarauit.
(9) Erat fimulacrum dei non Aeginaeo aut Attico aut
Aegyptio Herculi fimile, fed in ratibus ftabat. Tradi-
ditum vero eft , hoc fimulacrum Herculis ab Tyro de-
latum in lonicum pclagus primum ad Heran Mefaten ad-
pulifTe. Ea ab Erydiraeorum portu foluentibus in Chiumi
propemodum medio in curfu ]fuit, Cum rates a pro-
montorio proxime abeffent , Eryihraci et Chii diuerfis
ftudiis ad fuum quisque littus trahebant. Interea Phor-
mio quidnm Erythraeus cx morbo oculiscaptus (is Phor-
mio antea epifcatu vitflum quaefiuerat) admonitus in fo-
ranio Erythraeos adiit , iulTitque vt matres comam ton-
derent atquc vt ex eacomaviri contexto fune ratem tra-
herent. Id veroingenuis mulieribus non eft perfuafum.
Igitur Threiffie , quae hberis natae parentibus, merce-
^iariam vitam in vrbe agebant, tondendas fe praebuerunt.
Exquo , cum Hercules,ieniter fequente rate , Erythras
effet vccflus, folas e Thracia mulieres intrare herois de-
kibrum fas fuit. Funiculum iftum Paufanias ipfe fe vi-
dilfc praedicat. Interfcritur huic loco etiam ea fabula,
quod pifcator hoc fado vifum rccuperauerit. Haec e-
nim illorum temporum infania ethorribiHs caecitasfuit.
Memoriam huius religionis loannes Harduinus iudicat
confecratam fuifle in eo numo , quem lacobus Sponius

in

C9) ^- 533.

XLLVSTRATI. ^49

in itinere Attico confignauit. Ed enim in aduerfa turri-
tum vrbis ca[nit, infcrjptumque EPY0PAI in altera au-
tem parre, prora nanis. A qua opinione non abhorrc'
rem , nifi rates et prora nauis ad artis praecepta fadae,
nimium inter fe difcreparent. Malim igitur ad portus
et nauigationes Erythraeorum in illo numo explicando
refpicerc. DamaftesSigeenfis^Herodoti aequalis, in pe-
nplo(io) audor eft : biremem Erytbraeos primos fecijje,
Fortaflis ille hoc, vt aha, ex Hecataeo Milefio. Co-
libiint Erythris quoque Herculem cognomento Ipodlo-
num, C|)9-a^riRoV rwv^ aL\krtJTeKo(^a.ym iVcav , cjuoniam,
vermes , ^ui vites arrodwit ^ fujlulit. Soli enim Ery-
thraei ab hac pefte non vexabantur, Teftis eft Strabo.
(I) Hae funt cauflae , quae Erytliraeos induxerunt, vt
Herculis corytum et clauam in elegantiffimis numis ar-
gentoquc fuo fignarent. Suo inquam argento : erant e-
nim fodinae argenti in agro Erythraeo , in quibus qme
ratio fLiridendi metallum fuerit, Strabo oftendit. (2)Ex-.
llat praeterea apud Triftanum numus Erythraeus EJaga-
bali cum templo et fimulacro Herculis , tum OtaciHae
et Valeriani quoque numi cum vultu Herculis vifuntur.

A naue ad caput peruen^mus: veteres enim Romani,quam
nos in numo aduerfam , caput dixerunt,nauem autem, quam
KosauerfimnuncappelIamus,vt exMacrobio et auctore
de origine gentis Romanae conftat. Harduinusirinumo
fuo caputAlexandri fe videre putat : fed mea opinione Her-
culis eft. Alexandrum ob genus Macedonum regnm,
dudlum ab Hercule, aKn' rrxwiac, ^ giixjjiaTOc, ^ i:o^(pv^
TowM. Lll \aq

iio) apudFMumLYII.cs^. (i) f.70^. (i).f. 155,

450 NVMI ERTTHRAEI

^aq ^cKTiKiyi^q rw ^eQixciri ry)q Ke(PoLky\q ts y^sovrog
le deuinxiiie , eum(]Lie cultum lliper gemmis ct v-
nionibus aeflimaffejConfliintinus Poiphyr'^genneta ("<]
animaduertit, ^ fjLCLQrvg , inqu^t, d^iowK^og dvro ro vo-
\x\.(T\xaLr'^ Ma>i£<5^oVc$ Kkz^av^^^s roLidvry^ hhoh KaX-
'^(s^^i^oixzvov. Si is hoc non diceret , tamen tot
numi qui e.xft.int, per fe tcftarentur. At non idcirco
omnes numi , qui capita hunc in modum fignata praefe-
runt, illico Alexandrum potius monftrant nobis , quam
Herculem. Vt ille numus Luceri:ie vrbis apud Lauren-
tium Begcrum (4.) et ex eo apud Bernardum Montefal-
conem, qui clauam habet et arcum et pharetram et ca-
put iisdem fere lineamentis , vt Alexandri regis. Quid
Luceriae cum Alexandro magis , quam cum Hercule ?
fiue illa vrbs in Apulia , fiue in Gallia Cifalpina fita fuit,
quac hunc numum feriendum curauit. Nempe fignan-
tur Herculis et Alexandri capita multis in numis ; vt
hominem homni fimilm'em 72umquam videris alterum :
prorfus Yt Syracufani illi Menaechmi. Id quomodo c-
uenerit, non pofTum certo afTeuerare. Poffum fufpica-
li , numos cos ad vnum omnes cufos efle poft Alexan-
drum , Hcrculem autem ad Alexandri vultum fuilfe ef-
fidum imitatione artificiofiffimorum Alexandri numo-
rum, ob admirationem illius herois. Sic eumLyfippus
aere dnxcrat , nam vt ait Flaccus.

Edi&o vetwt, ne quisfe praeter Apellem
Fifjgeret , aut alius Lyfippo duceret aera
Fertis Alexandri mJtumfimuIantia,

Illum

(3) de thematibus f. 22. ed. Bandurii (2) T. l.f.iij.

ILLVSTRATI. ^51

Ilium vero artificem in caclum tulerunt , iilum expri-
mere, fi qua poterat, fecunda gloria fuit. Sic Hercu»
lem cum fignarunt, Alexandri vultum habitumque cor-
poris et leoninam pellcm ex numis eius furripuere. Nul-
lum igitur Alexandrum eo cultu in numis agnouerim,
nifi in Macedonicis , aut vbi nomen eius diferte appofi-
tum reperiam. Non inficias eo, exftitilfe lonum ftu-
dia in Alexandrum ea , vt in luco , qui (iipra Clazo-
menios et Chakidenfes (hi proximi fuere Erythraeis)
fitus erat, Alexandrea agerent Paniones. Teftis eftStra-
bo. ( 5 ) Et exftitere fpeciatim in Erythraeos Alexandri
beneficia : is enim (6) Chytrophoria infulas (pofteaeac-
dem Hippi didae) per duo ftadia continenti iunxit et pla-
nitiem feptem millium et quingentorura ftadiorum inter-
cidi iuftit , vt duos fmus committeret et Erythras Mi-
mante circumfunderet. Sed fi Alexandrum Erythraei
honoris caufla in aere fingere maluere , quam Herculem
fuum, cur nomen eius in tot numis non ediderunt ? Piae-
terea numi omnes decem Alexandro fuperftite fignari
non potuerunt : eo autem defuncflo recentia erant c uita-
tum aut in Antigonum et Demetrium, aut ii^ Seleucum
aliosque principes ftudia et adulationes. Tamcn qnis
mihi ex omni antiquitate proferre poteft numum ciuita-
tum lonicarum iliorum cum vultu regum ? Sit.us eft i-
gitur Herculem agnofcere in numis Erythraeis , cultu
quidem fuo, fed habitu oris ad Alexandri fimilitudinem.
Idfeutantumartificum ftudio imitandi Lyfippi, feuprae-
Lll 2 terca

(5) f 742. (6) Pliniusl. V. c. 29.Pauraniasf 529.

452 NVMI ERTTHRAEI

terea vrbis in Alexandmm quodam honoreflidum fit,
non in.erpretor.

Nomina , qiiae in naiiibus numorum Erythraeo-
rum cufa f lerunt, h lec funt

I. AliKAHniAAHIi AmikAO^ Afclepiades Dc-

madisfiUus,

II. AIIEWAi; Appellas,

III. Kn^TEk^ Arifteas.

IV. AIOnEIGHIi. Diopithes.

V. nEAOniAHli Pelopides,

VI. AIONYIiOIi Dionyfus.

VII. MOAIflN Molion,

VIII. XAPMH^ Charmes.

IX. ANOOEMI^ Anothemis.

X. wanEIPOS Sopyrus.

Hunc Sopyrum e Patino me adieciflc, fupra comme-
inoraui. Quem illi magiftratum Erytbris geffere , vt
corum nominibus numi infignirentur ? Dicam,ficuti fcn-
tio , vbi res Erythraeas inde a principio percenfuero.
Antiquiffimis temporibusErythraei in duodecim loniac
populis cenfebantur et ad Panionium conueniebant.(7)Scd
cum Samiis Chiisque proximiori neceiTitudine ab ftirpe
\sque deuindi, eadcm cum iis dialecflo Ytebantur. At-
tamen fiue per inuidiam fimulacri Hercu]is,fiue alia caus-
h , vt inter vicinos , beilum geifere cum Chiis. Ali-
quando Ae-jKWVicig ttj^i , (quae qualis fit fiue vrbs fiue
regio, liaud fane video) tam infeftis animis certarunt, vt
Chii fe exceffuros fingulos cum chlaena et tunica fpon-

derent.

(7) HcrodotusL L c. 142. :45»

ILLVSTRATL

453

derent. Monentibns tamen coniugibiis , animum recc-
pere ad audaciam et Erythraeos ip(o illo obflin;ito furo-
re perterruerunt. Audor eft Polyaenus. (8) Et erai^t
mutua eorum odia influiabilia, Yt Erytliraei ctiam ho.
fpitali iure , quo inter Graecos nullum maius, fpreto , in-
ter menfas eneduri fuerint Chios , mfi aliquis eos de di-
fcr mine admonuiffet , Yt Anticlides proditum reliquit,
(9) Res quoque cum Milefiis geflere aduerlus Naxios^
vt Andrifcus inrebus Naxicis et Theophraftus audlores
funt. (lO) Libertate funt exuti a Croefo Lydorum re-
ge , vt tribntum ex eo tempore penderent. Cum Cy»
rus aduerfus Lydos duccret , per legatos ad def.dionera
foUicitati ^ conditionem cum ceteris lonibus , praeter
Milefios, refpuerunt : igitur Lydis vi(flis et legatis,quos
miferant ad regem , ab eo reiedlis ,. arraa ceperunt et
defertia Spartanis, quorum auxihum implorauerant, in
dedinonem venerant ,. deterioribu& conditionibus, quam
Lydi.Harpalus, qui Medos Cyro prodiderat, dux eo bel-
lo aducrfus lonas fuit.(i) Vidi captiqueauxilia Perfistu-
lerecontraCaras^CauGona&afosq-^populos.Pertaefiautem
feruitutis, Hiftiaeo Milefio aii(flore, Ariflagora duce, eiedis
tyrannis popularem ftatum vrbis reflitucrunt. Sex an-
nos bdlum efl geflum a Darii Hyftafpis praefedis, do»
nec vidislonibus Ariflagorasad Thracas perfugit, (2.)
Hifliaeus bellum infeliciter reikurauit. ( 3) Hifiiaeus

Lll 5 duce-

(8) 1. V!I1. p. <^47. cd. Cafanb. (9) npnd Athenaenm E
384' (lo)anud Partheniun] Nicaeenfem in Eroricis c, 9.(rHe-
rodotus IJ. c. i69<2) Herod. Ub. V.c.ii^. a;HLeiod.L Yi.c, i.

454 NVMMI ERITHRAEI

ducebat magnam nauium clafTem. Milefii odoginta na-
iies, Prienenfcs duodecim, Miufii tres , Teii feptemde-
cim ,Chii ccntum, Erythraeiodlo, Phncenres tres, Les-
bii feptuaginta , Samii fexaginta praebuerunt , vt cx eo
de potentia fingularum vrbium iudicari poffit. Sed par-
tem proditione, partem difcordia, in ordinem redadi,
Xerxem fecuti funt in Graeciam. In pugna ad Myca-
len,quae eodem die^Leutychide Lacedemonio duce,com-
milTa eft , quo vicftus ad Plataeas Mardonius , lones de-
fecerc ad Graecos. (4) Erythraei Athenienfes maximc
feclad, fra(flis illis vicefimo Peloponnefiaci belli anno,
defecerunt et Chiis contra Athenienfesopem tulerunt,vt
Thucydides audor cft. Poft id tempus tamen Athe-
nienfibus fuierunt ducesque eorum copiis fuis adiuuere.
(5) Alexander benigne egit cum lonibus: Antigonus
ceterique Afiaereges libertati eorum non funt aducrfati.
Hoc maxime cognofcitur ex foedere Smyrnaeorum et
Magnetum pro Seleuco Callinico , quod in Arundelia-
nis marmoribus infignc eft. Romanos rerum dominos
fummo honore coluere. Itaque Attalum Pergami
regem bello Macedonico aPhilipporege maripulfum in
portum receperunt. (6) In bello aduerfus Antiochum
regem Romanis quoque portum praebuerunt , ex quo
maritimas vrbes ad defedionem foUicitarent et triremes
miferunt ad augendam clalfem Rhodiam. (7 ) Quare

beilo

(4) Hcrod. 1. IX. c. 102. "eq. '2) Demoflhcncs deCher-
ronefo f. 38 (^> Polybii excerpt.i p. 1013. (4) Liuius I.
-XXXVl, 45. XXXVll. 8. 11.

ILLVSTRATL

455

bello confcdlo Romani Erythraeos pro fingulari fide,
quam praeftiterant, et agro donarunt ct in omni praeci-
piio h)nore habuerunt. Ita Liuius c Polybio. (8) Hic
praeterea addit , agro donatos , quem iure fuum
oHenderunt eflfe. Bello Mithridatico Erythrae in pote-
ftatc regis fiierunt, a L. Luculio liberatac. (9) Refti-
tut ) Capitolio , quod L. Scipione, C. Norbano Coss.
coiifligrauerat, C. Curio Cos. ad fenatum retulit, vt U-
gati Erythras mitterentur , c^ui carmina SibyJlae Ery.
thraeae conqufita Romam deferrent. Miifi funt P. Ga-
binius, M. Otacilius, L. Valerius, qui defcriptos a pri«
uatis verfus circa mille Romam deportarunt , vt ex Fe-
nel\ella et Varrone et Apollodoro Erythraeo refertLa-
dlantius Firmianus. (10) Herophileilla Sibyllafuit, quam
Erytbraci in antro Coryci montis apud fe natam glo»
riabantur,patreTheodoropaflore, matre nympha co»
gnomento Idaea. ( i .)

Ex his remm Erythraearum conucrfionibus
intelligi poteft , ciues eius vrbis primum a Cno-
po in f )rmam reipubhcae redados , fub Lydis Perfisque
tyrannos accepiffe , quibus eiedis vix fextum in
annum libcrtate potti , iterum iugum fub;erurt.
Puifis tyrannis Ariftagoras e confilio Hiltiaei Milefii

(8) Liuiusl. XXXVIII.39 Polybius p. 1172. C9) Appia-
nusp. 339. cd. Tollii. TacitusAnnaliuml. Vl.c. 12. ctHiftoriar.
1. 111. 72. (lO Infiitutionum diuinarum I.VJ. c, 6^ de ira Dei«
c. 22. (I) Paufanias f. 827.

40 NVMl ERTTm AFI

uitatibus praetorem mum inilitiiit. Audorert,Arifta-
gorae fere aequalis Herodotus. (2) Is magiftratus
qualis apiid Atheiiicnfes fuerit , fatis exploratiim habe-
mus. Sunt autem e Hngulis tribubus quotquot annis le-
&.{ numero ad decem , itavt vndecimus polemarchusad-
iiceretur, tamquam praefcdus. Eorum munus in his fc-
re verfabatur, vt vrbem munirent et cuftodirent resque
ad arma neceflarias feu bello feu pace procurarent : co-
rumquoqueerantegsracr&^.g j^ a-LiJ^r/^t^g, cenfuraequod-
dam genuSjCt tributi pro modo ficultatum defcriptio ad
rrgiTigag^i^aj'', tum iudicia iis de caufiis, fi quis iie^l a-
<7r 0 (f) a o-£a3 g t5' g i:e{\ dvri^-xjEQs poftularetur^-aut fiquis
bellum aciemque deferuiffet: pacis cauifa, feu communi*
cata re cum fenitu , (vtin pfephifmate de legatis ad Phi-
lippum apud Demofthenem de corona), feu ex fui fen-
tentia collegii, (vt in decreto fenitus in Antiphonis vita
inuenio) iegatos mittendi ius hnbebant. Id exemplum
imitati funt Erythraei ceterique lones , nifi quod vnum
praetorem fuflicereputarunt, credo quod non ita magn;^
vrbs eiTet. (3) Non diutiirnus hic (latus fuit, Perfis ty-
rannos reftituentibus , aut potius optimatum in vrbibus
potentiam , cui magis fidebant , vt nouarum rerum mi-
nus cupidae Ceterum iuftum &t aequum imperium fuit,
Tt Arirtotelcs in politicis audor eft : (4) g iv T.Qu^Q(nq
^e i^l rvfg ri^v &acrtXi'^a3V oXiya^^iVg, iv roTg a^-
yjims X^ovQis, Kdi^we^ Kcthf^s eVtp.£Xy^sVooK rwv iv

rv)

C01,Y.c.?S.(3)AriaoteIesPoliticoruml.VJ.c.8.C4)I. V.C.6.

IILFSTRATI.

457

vaKrZv 6Sy]iJ.oqixeri^a\£ T-^vnoXirdav. lirytlms quo-
que^ cum vrhs fuh Perjarumregum mperio paucorum do-
m'matiQ7ie regcretur antiquis temporihus^tawetfi quiprae-
erant , hene rem puhUcam adminiftrahant , tafuen tantum-
vwdo idcirco motus popuhs , quod a paucis regeretur^ rei
puhlicneftdtum mutauit Summa igitiir poteftas ad po-
pnlum deuoluta , qui praetores quotannis e corpore fuo
legit. Qiiemadmodum autem in plerisque loniae vrbi-
bus antiquum Arillagorae inftitutum , iterum excuffa
Perfarum dominatione , fcruatum non eft , vt fummus
magiftratus praetor effet, ita Erythris nihil inuenio mu-
tatum. Milefii fub Imperatoribus etiam archontas ha-
buere , vt in numo Commodi EIIL APX. MENE-
KAEOTI^. In numis Seueri Prytanean et Soterium,
in Aurclii numo Euareflum , in Gailieni Diogcnem
archontem Harduinus vidit. Priencnfes in eum modum
archontem lulium Saturninum in numo Valeriani , Chii
Prafinum iterum ct Aurelium Chryfogonum Epaphro-
ditum et CothyanPrimumarchontem fignarunt.Samii in
numo quodam Eni. AXC AN APO Y. lEPE,/?/^ Lyfandro
Po;;/f/76TjEphefii plcrumque aut A^^ie^e a aut T^aiJ.ixy.rla
pofuerunt. Clazomenii fub Claudio EIII HrEMO-
NOi: AIlKAHniAAOY KAAZOMENXIN in luliae
Domnae numo autem fub Pbilone praetore iterum. Haec
funt teftimonia leuium quarundam iis in ciuitatibus con-
uerfionum. At PhocaeenfeSj Colophonii; Teii, Ery-
thraei non nifi praetores habent in numis. Vt de Ery-
thraeis tantum dicam , in numis fub Traiano apud Har-
Tom. II, Mmm duinum

4)8 NFMI ERTTHRAFI ILLFSTRATI,

diiinum ATT.NEPOTAN.TPAIANON. Em.CTPA.
HPEIMOT in Elagabali nuiiiO EH. CTP. ^TP. Ntl
KflNOC. B ////? Hicone iterum prneiore , in Alexandri
Seiieri numo EH CT H. AI ATTAAOT. TO. B,

Volupe elfct , lios decem praetores fuis annis
sfllgnarc , vt ea re aliquantum iuuari pofTit lonicarum
ciu.tatum hidoria. Nunc, quoniam eius copia nobis
iion fit, id ogemiis, vt ialtem aliquamin aetutemnumos
inferamus. Atque cum Herculis vultus omnia Alexan-
drofimiliahabet in his numis, fequitur ex mea opinione,
fub cxtremam haius herois aetatem et paullo poft cufos
effe. Idem poftulat elcgantia numorum. Nam Grae-
cia his artibus vsque ad ciuile bellum popul Romani eni-
tuit , ita vero vt Alexandri temporibus fummum fafti-
gium confecuta, labi paullatim et deficere fit vifa. Ad
poftremam quae Harduinus de Erythris Boeoticis et de
moneta a Thebis eam in vrbem translata praedicat , ea
vero, vt dicamfme iracundia, in officina ArchontiiSe-
ueri, lepidi fenis, cufa fidlaque funt. Ulis temporibus
cum Thebae euerfae , et poft paullo cum hi numi cufi
funt , Erythrae in Boeotia , vt Tertullianeo verbo alia in
Tevtar, fuere nullae.

NVMVS

NVMVS GYRTONES
VF^BIS TEESSALICAE

ILLVSTRATVS

Auctore
1 . S, B.

1N Graecarnm vrbinm memoria defiderati adhuc M.oa.
funt Gyrtoniorum numi. loannes Harduinus,qui ^7^7-
in vrbium populorumque numis illuftrandis ma>
xima lande paene vnus omnium verfatus eft, huius
vrbis numum alum , quam ex Pyrrhi Ligorii fchedis
nuilum citat. Et illum ne defcribit qaidem , credo quod
djffidebat Ligorii fidei , quem decoxifle (Iitis conftabat.
( I ) Lucas Holftenius antem numum illum e Ligorii
ichedisita defcribit in caftigationibus Stephani Byzant:i:
Circum caput miiliebre rXPTIlNIflN in cuius altera
parte caput iuuenis cumgaka criftata confpicitur ^ iuxta
cidus frontem leguntur duae litterae IIF. quas LigoriuSy
forte non male, UEV?AIBI AN Jlgnificare putat. Equu
dem i-vji^w mald. Hunc , quem produxi , aetieura
numum Buxbaumius ex oriente attulit, tanto artis lumi-
ne nitentcm ,vtalioseius fimiles paucos,ab cJegantiori au-
tem opera et ingenio Graecos viderim nullob. Aduerfa ba-
Mmm 2 bet

(0 VideR,aphaelem Fabrettumin CohmniaTraJametmCollC'
fliofie infcriptiomm pali.m.

46o NVMVS GTRTONES

bet caput virile lanreatum,cuius barbac ramemum metal-
li inter cudendum adhaefit, quod eximiam artem aliquan-
tum obfLiicauit. Eo eft infignior auerfa , quae caput ma-
tronae cum diadcmate refert et hanc epigiaphen rXP
THNI .... Gyrtoiiiorum.

Theffaliam antiquitus Pelafgi incoluere et iuxta eos
Perrhaebi, vtrique teftati et illuftres Homericis verfibus,
cum Theflalicum nomcn nondum exftaret. Eodem au-
jftoreHomero, (2)

Oi K^yid (7 civ^yjnv ^ Ftjsrww^v hi\xovro^
O^S^v, HXwwiv re, ttoXiv r OXoocrcravaXt-DKV
TwK a.u y\yeix6veve 'M.eve'i:To'Ke\xoq noXLcru-o^r-v^g
T105 neig'S-0010 , rov d^civccrcgreKero Zevq..
Qiii Argijpwi tenebcint et Gyrtonem incoUbmit^
Orthen , Elonamque vrbemque OlooJJona albam^
'E^orum dux fiiit {hd\oTio\2L^o) Meneptokmus Polj-

poeteSj
Filius Virithoi , que?n immortalis genuit hipiter,
At Guneus ex Cypho duas et viginti naues duxit, {quem
Enienes et Perrhaebi fequebantur. (3) Fuerc igitur
Gyrtonii cum caeteris ciuitatibus foederatis fui iu-
ris et inter Pelafgos cenfebantur , poftea partem funt
Perrhaebis ^ partem Tlieffalis adfcripti, Strabo Per-
rhaebiae attribuit, quam iuxta Peneum vsque ad mare ar^
tiquitus protendi meminerat, minora vero in Homerum
fcholia Theffaliae , Apollonii Rhodii fcholiafta ( 4 ) ai-
tcrutrij Stcphanus Byzantius vtrique : T^ra^v 7:0X19 0£cr-

craXia^

ii) IL B. V. 758. (5) ib, V. 748. (4) 1. 1. V. 57.

ILLVSTRATFS. 461

G-aKiagn^ mceon^idq ,yi^v Oixy\^oq Tv^r(j)VV[V koKh ,
(j)g lr(^yyiV g Irc^va. (5) Scilicet quod Perrhaebia in
Thefll\lia erat fita. Chuidio Ptolemaeo quid acciderit,
cum illius fitum vrbis defcriberet , non fatis exploratum
habeo , tantum conie(fluris ducor. Ita in editis lc-
gitur :

nEAASriximN

Tovvog ix\ i&. - X'3:L\ i'g.

Gomus 48. 12. — 39I.12.
AoLQKTda V, — X'3-. 9.

Larijfa $0. o. — -39. 6

PZ^^r^f?^ 50^. — 39. 6,

5;ttmoaaia2.

TtJfrwyv] fxV- L' y.- WB: L\

Gyrtone 46^. 3. — 39. f,
EliTIIlTflN.
<Dctigo5 fx'^. ^. - X'3-. Y .

Fhaejius 47. 4. — 39. 3.
ro^Cpoi fJi'^. y. - X'9-. g'.

Gomphi 47. 3. — 39. 6.
GESSAAflN.
X^ara, f»/^. L^y. — X^/)'. L' 'yiy'.

Hj;?^/^ 48^. 3.— 3Si-. 3.

Mmm 3 Stym-

(5) Sic quoque e Stephano Eullathius ad Homeri Boeo-
tiam f. J33. ed. Rom,

4(52 nVMVS GTRTONES

Stymphalla in Arcadibus fult, ad quos nihil aut Gyrto-
ne,aut hic Ptolemaei lorus. Idcirco acutiffimus Palmc-
rius emendauit , Yt elTet 2TYMO AI A^. Stymphaea
regio in Epiro eil, fuper Thefprotiis. Et huicregioni
numeri quoque congruunt graduum , quos in Ptolemaeo
pofitos cernimus Idcirco Gerardus Mercator vrbem
quoque in Epiri finibus collocauit , ad quos nihil perti-
nere , vei ex eo certum eft, quod Gyrtone haud longea
Larilfa fita fuit. Q-iare , vt plerique alii numeri , ita hi
qiioque in geographo corrupti fuerunt , nam verum fi-
tum Ptolemaeus ignorare non poterat. Si itaque gra-
duslongitLidinis emendes, habebis Gyrtonemfuo m fitu
prope Lariffiim. Scribes autem fic
Tv^r(j)yy\ fxB-.Vy-X^. L'. Gyrtone 49^. 3-39^
Ita fcriprilTe videtur Ptolemaeus , dein cum corrupti es-
fentnumeri, vt ad Stymphaeam quadrarent , fciolus a-
liquis id nomen regionis inferuit , ex quo iterum corru-
pto , fada eft denique Stymphalia. Id autem ipie vr-
bium ordo liiadet, Nam Ptolemaeus monuit [6] fe in
qnalibet regione fitns oppidomm a borea profequi , do-
nec in noto deftnat. Itaque Gonni , Lariffa , Pherae,
Gyrtone,altera infra alteram tamquam auftralior ponen-
da fuit. Addidit Ptolemaeus fe fitus quoque vrbium ab
occidente verlus orientem citare. Sed illud in eo nr-n
eft perpetuum. Hoc loco cum Epirum fubiciflam Ma-
cedoniae , in qua Thefllilos , tamquam minores et, vt
tum erat , attributas gentes , cenfet, perpetuorefpicit

et

(9)1.11. cr.

ILLVSTRATVS. 463

ct ad eam paullatim appropinquat, fitus vrbium ab o-
riente "verfus occidcntem perfequitur. Sic Phaedus
Gomphi et omnis Eftiaeotis regio , fic Theflliliotis ad
occidentempon: Pelafgiotas ponuntur et denique Phthio.
tis regio extrema eft, quod et Pelafgiotidi et TliefTalioti-
di ad meridiem praetenderetur. Qiiae cum ita fint , Pe.
lafgiotidi Gyrtona attnbuit Claudius. Hieronymus apud
Straboncm tradit (7) ro KoCK^iixzvov VLzXoLcryiKov tTc-
^iov ?elnfgicum campum , vt tunc 7iuncupabatur , habuis-
fc Yrbci L'irij]am ^Gjrtona, Pheras, M agnet m tt -m^s
qua^dam. Alia videtur efTe Pelafgiotis regio , ad quam
nihil M.ignetis , alius Pelafgxus ager , in quo etiamMa-
gnetis cenfebatur. Kayvyjrig etiam Sophocli etPar-
thenio eft Moiyvy\(ng Magmfia , caput prouinciae eius
nominis. Sed Ptolemaeus nullam prouinciam Magne-
fiam edidit. Vrbem Magnefiam et e us regionis alias
trcs Pelafgiotis , ceteras vrbe^ Phthiotis adfcripfit. Ex
quo vides errorem Plinii , cum Gyrtonain Magnefia collo-
cat,veIutiinterPe!a%^otidaetMignefi.improuinciamnihiI
difcriminis fit.Decipere eum etiam Strabopoterat,(8)qiii
fic fituseflrTrs^i rov \ly^vaov Kfr^vTiYi^k^ov oiydvreg-X^ol
Tvjv Tuort^va. ex^^'^^'^ i ixXoi 7:X«yg ad Feneum etFe-
Jium colunt cum Gyrtonii, tum alli plures. Rede de Pe-
neo fluuio, at Pelius mons in Magnefia potius erat fitus.
Magnefiae igitur vrbs erat Gyrtone , fi Pelio monti fiib-
ie(f^a fuit. Aut denique ex eo natus efl: error , quod
Piinius Gyrtoni finitimam vrbem Lariflam effe accepe-

rat,

(7) f 505- (8) f. 505.

464 NFMFS GTRTONES

rat, eam autcm iudicauit LarifTam dici , quae ad OfTam
in Magnefia fita fuit. Ad fitum autem vrbis confir-
mandam oportebat animaducrti , quod tres iflis in re-
gionibus Lariflae effent. Vna ad Odlun in Magnefia,
non admodum celebrata , nota tamen Straboni et Ste-
phano, altera e-ori S-aXacrcr'/] dida Paufmiae , Crema-
fte cognomine , in Phthiotide,aIiquantOiinteruallo a ma-
ri , tertia Paufaniae Tra^ci rou IlvivwoV.Strabo et ex eo
Stcphanus Cremaften illam etiam UeXaa-yiay didam
taifle tcftantur : fed fortaiTis aliquis error fubrepfit, vtid
nominis attribuendum fitpotiusLariffieadPeneum,quam
nobilem Theflaliae vrbem vocat Liuius : (9) LariJJamj
inquit, nofiillam in Tbeffalia nobikm vrbem, fed altera?nj
quam Cre^naften vocant ^ fubito aduentu cepit. In hac La-
rifla ad Peneum obiit Hippocrates Cous medicorum fa-
cile princeps atque in agro inter eam vrbem atque Gyr-
tona interiedo fepultus eft , vt e vita eius apud Sora-
num Ephefium cognofcimus , cuius ad aetatem monu-
mentum fuperfuit. Ex quo etiam loannes Tzetzes in
chiliadibus (lO) S-ayoiv eT0L(py\ /x^crov $i Aa^{G-<Ty\s g

In antiquis fibulis quoque non obfcura fuit Gyrton.
Fuit quondam proles Elateia^ Caenis,

Thcjfalium virgo pukerrima , perque propinquas
Ferque tuas vrhes [tibi enim popularis AchiUe)
Multorumfruftra votis optata procorum^[i)

II.

(9) 1. XXXI. 46. (10) hiftor. VII. Chn. CLV. 945. (1)

Vide praeterNafonem^SchoIia in Apollonium Rhodiuml, I.v.59,

ILLVSTRATVS. 465

Illius amore \irginis captus Neptunus , voti compos fit
ct poft gaudia optionem permittit, quaevellet, petendi.
Ilia dc amiffo pudorc praefata , in alterius conditionem
fexus tranfire cupit,

graniore nouijjima dixit
Verhafono^poteratqueviri vox iUa lideri,
Sicut erat : nam iam voto deus aeqmris alti
Annuerat.
Scholiafta Luciani , qui Samofatenfi hoc fcurra dignus
obtigit , in Gallo , (2) fabulam hanc lepidiorem fecit,
cum per fe cflet nequiffima. Ait enim , puellam Ne-
ptuno negaffe, ni iuraret , fadurum fe prius, quae ipfa
petiiflet : petiij[fe eo annuente , \t illico e Yirgine effet
mas: fecifle ita Neptunum Stygia numina ct iusiuran-
dum metuentem eaque mala fraude dudlum voto exci-
diffe potiundae pueliae. Nec fic tamen Caeneo
confiftere licuit per Maronem , apud quem Aeneae in
vmbris occurrit

Imenis quondam , nuncfoemina Caeneus,
Rurfus ct in veteremfato reuoJutafiguram.
Vt Ouidius Perrhaebum , ita Palaephatus Peripa-
teticus Theffalum fuiife fcribunt : at Hyginus tradit
(3)Magnefium fuiffe Caeneum Elati filium eundemque
apud Gyrtonios egilfe et ea in vrbegenuiffeCoronumii-
lium. Quid fi cui per infomnmm porta eburnea immit-
tantur hae cogitationes , Caenin et Caeneum vtroque
fexu alternis in numi partibus fpedari ? Quid ? fi Ar-
Tom.W. Nnn chon-

(2) p. 18. (j) p. 34. ed, Munkeri.

46(5 ^ NVMVS GrRTONES

chontlus ille Seuerus hunc quoque numum Rufi) Celfo a-
licui , nut Ceionio luUano aut Fabio Sofinno , aur fi cui
alii fiillendi artifici protulit , hi autem ex virili muliebri-
qne eodem in numo vultu, talem nobis fibuLim et Hy-
ginum excudcrunt ? Plane, vt e numis Sidonis, Tyri a-
liarumque vrbium efRdas efle fjbulas contendis iucun-
diiriTic Hardiiine. Si cui ida non fatis arguta videntur,
hiiic per me licet coaditorem audloremque Gyrtones in
illis fignis quaerere : habemus enim iterum vtriusque o-
ptionem fexus. Phlegyam primum in agro Gyrtonio
confedifle reperio. Nam Strabo teftis efl:, (3) ab eo
Phlegya Phlegyas didlos,qui poftea Gyrtonii did:i,uGyr-
tone Ph^egyae fratre , vt Stephanus Byzantius , aut a
Gyrtona Phlcgyae filia, vt eruditi in Apollonium Rho-
dium critici. (4) Hacc vt intelligas , genealogiam
apponemus

Si.fyphus

HaJmus

Mi^rs^Chryfa

I

fhle^yas

I

Ixionz^^Dia

II

Gyrton

11

Gyrtone

Virithoiis — H.ipp9damia
tolypoetes

CD f.503. (7) L.I.V.57.

Po

ILLVSTRATVS.

4^7

Polypoeten diicem fecuti funt adbellum Troianum,Ho-
mero tefte , Gyrtonii. Is, codem tefte, Pirithoi erat fi-
Jius, Pirithous louis. Nam alii,vt Paudinias et dodi Cri-
tici Apoilonii Rhodii, Diam Pirithoi matrem loui fuccu-
buiffe ferunt , alii Ixioni marito fiiium hunc peperiffe
tradunt, in quibus eft ApoUodorus. IxionLapitharum,
populi ad Peneum , rex , Phlegyam patrem habuit,
vt fcholia minora ad primam rhapfodiam , quamquam
alii diuerfa tradunt : Phlegyas Chryfanmatrem , Halmi fi-
liam,Sifyphineptem, \t Apollodorus y£v/eaXoY«. ^t
Strabo Phlegyam hunc Ixionis fratrem prodit. Ergo Gyr-
ton Phlegyac fecundum Stephanum frater , frater
quoque Ixionis, Gyitone vero Phlegyae filia Pirithousque
patrueles fuerunt. Quod alitcr fuit , fi communem fa-
bularum fidem (equimur. At Onomacritus vetusargo-
nauticorum au(flor Phalerum Alconis filium condito-
rcm vrbis prodit his ver bis. ( $ )

Ax^cojvog ^e (\)cLky\^0(^ Sjtjto A[(jy\^o\o ^odm
HXt;9-ej/,o^g FtJgS-WKog aXig-sCj^s^ €Kri(Tey a^u,
Fbalerus AJcomsfilius ah Aefopo ftumine
Venit^ qui immitam Gyrtonen vrhem condidit,
Deinde eum cum Argonautis profedum effe canit. AI-
con autem ille, Erechthei erat filius, Athcnienfis.

Sed nihilhorum in numo quaerendum eft. Namvt
liquido dicam , nullius ukerius vultus iJle laureatus eit,
quam louis Olympii. Nam eo in agro Gyrtonii colue-
runt, in quo fedcs hufus religionis et r.uminis ad Peneum
fluuium in Tempib ThciTalics ec fummo Olympo fuit.

Nnn 2 Ma^

(5) V. 143. (6) Paufanias f. 412. 417.

468 NVMFS GTRTOWES

Matrona autem in auerfo numo luno Pelafgia eft , a
Theflalis maxime culta, a qua non diuerfam arbitror lu-
nonem Olympiam , nifi quod hoc nomine coleretur a
mulieribus in Elide, cuietiam lunonia celebrabant, quin-
to quouis anno Olympicum (ladium ingreffae.

Numus cufus yidetur florentiflimis Theflalorumre-
bus ct arte fingcndi in aere ad fummum faftigium eueda,
hoc eftjpoft Philippum Amyntae regem. Is enim cum
tyrannos e Theffalia eiecit, refpirare fibi funt vifiThes-
fali et anlmos accipere. Ex eo tempore Philippus tam
beneficiis , quam clandeftina vi , Thedalorum volunta-
tcs obnoxias tenuit, Quare Demofthenes in Phih*ppica
tertia : (7) aXXa 0£rraX'a Trojg ep^ti ; ^'^(^i ras TrdXtig
g rois TToXirtiag atjrojv aCp-vig^virocj ^ rerga^ag%t'a5
KOLrsgyiCe 7ra| dvroTg, iya ixyj ixovcv Ka,rd 7roX«g, aX-
Xa ^ nara e3-yy\ ^sXsuwo-iy ; at^qmftatiis Tbejfaliae ejl^
norine et vrbes ademit ? et flatum rerum piihUcarumper"
uertit et quatuor principatus injiituit , vt non modojingw
lae vrbes , fedgentes quoquefingulae ei feruiant. Id tamen
nihil oifecit Thefldilorum rebus , qui aliter rationes fuas
de libertate inibant, quam populus Athenienfis. Sub
AlexandroMagno mihtarufnt Theffali, fidiffimi omnium
et ab eotemporeMacedoniaeregibusfemperobnoxii A
Philippo deniqucDemetrii filio oppreffiRomanos gratan-
ter acceperunt. Vido rege,T Quintius Flamininus
g'Xeu9-8^ys , ^'(po^oXoyvJryg , voikoiq ^^ojj^jLeVag r6\(^
Trar^i 015, intcr ccteros quoque iuflit ThelTalos et Per-
rhaebos (8) Cum Antiochus Magnus TheMiam cum

ex-
(7) f, 47. ed. Aurelianenfis. (8) Polybius p. lio8. mi^
Liuiusi.XXXilI.32.

' ILLVSTRATVS. 4^9

exercitu ingreifus vrbes partem deditione , partem pu-^
gnando in poteftatem accepit , Lariflli fruftra obreflli,
Gyrton ne petita quidem e vicino armis. (9) Ex quo
intelligi poteft, vrbem fuiffe munitiffimam. Nam et-
iam Perfeus^cum Thcflalos ad focietatem belli aduerfus
Romanos armis cogeret, Mylasque moenibusfirmiffimis
vi cepilfet, non aufus efl: Gyrtonem in propinquo fitam
tentare , quam T. Minucius Rufus ct Hippias Theflralo-
rum praetor quam praefidio intrauerant. (10) Extre-
mum beneficiorum S. P. Q, R. in Graecos ,
libertas Macedonum. Pofl: ea haud longe ab extrema
feruitute Graecorum conditio difcrepauit. Hoc
illud fpatium efl , quo Jibertas Theflalorum cc
Pcrrhaeborum primum a PhiJippo firmata , tum
nequidquam a Philippo Demetrii filio ct Antiocho et
Perfe regibus attentata, Romanis opportuna vindicanti-
bus , poftremo fub initium perturbationum in Romana
repubJica oppre(fa efl:. Artium autem ilJarum , quae
in aere fingcndo metaJJoque verfatae funt , fumma digni-
tas fub Alexandri Macedonis aetatem fuit. Nam Pli-
nius audtor efl:, (i) poft Olympiadem centefimam vice-
fimam artes eas celfaffe , centefima autem quinquagefi-
ma quinta reuixiffc, cum tamen artifices fuere, illis , qui
antea viguerant , longe inferiores. Hic numus tantum
in arte decus feruat , vt ad iJlam priorem artificum ae-
tatem referri mereatur.

Nnn 3 VETVS

r9" Liuiusl. XXXVI. 10. Cio:Liuiusl.XLn.54. Ci)l
XXXlV.c. 8. 5^- W^'

-m (470) w^
VETVS INSCRIPTIO
PRVSSICA
T. S. B.

<ta»_ — . — — ■■ ■ ■ t m

■■■ I I " ■ ■ ■" I — — — ^

Slngulares cfTe has litteras , nec antea in Europa
"vifas, exclamabunt omnes talium curiofi : nosj
vndc eas acceperimus, primum dicemus, tum
fenteitiam nofiram exponemus , quae cupio
quidem , vt eruditis viris pliceat , malim tamen,vt poft
me alii quod veriflTimum ilt inueniant , aut noftram opi-
iiionem amplius confirment : fi^ri enim poteft , vt res

haec

VETVS INSCRIPTIO PRVSSICA. 471

haec tam exilis , aliquem frii(n:um in hiftorinm importet^
fi planius explicetur. Chriflianus aliquis cum Piiilippo
aliisque e Ciftercienfium difciplina inter primos fiiere^qui
in Olaiienfe monafterium Samborii hberalitate inflitutum
concelTerunt. Et Chriflianus quidem FreieuaJdenfis in
in monafterio Coluicenfi litteris , vttumerat, flc fatis
eruditus , in Oliua fadus efl Abbas. Is cum animad-
uerteret, in Prutenis non modo epkbe homines , kd
fummolocoet potentia ad rehgionem veri numinis cc m-
moueri, cum PhiHppofuo profevftus cft Romam ad In-
nocentium III. vt eum de his , quaeinPiufTia fiebant,
quaeque fibi videbantur , admoneret. Roma anno
cbcxcvlii. cum mandatis ad archiepifcopum Gncs«
nenfem rediit, cui, quae epifcoporum muneris elfent, a
Pontifice commendata funt interea^ donec fuos Epifco»
pos Pruteni acciperent. (i ) Anno cbccxiv. Ciiriflia-»
nus Varpodam et Suauabrimum principes viros e Prute»
nis, tamquam primitias Romam deduxit , et Varpoda
quidem Philippi , Suauabrimus autem Pauh nomine ini-
tiati funt. Philippus Laufiwiam, quam tenuerat, Paulus
Lubouiam, dono dedere Ciftercienfium ordini. Inno-
centius anno pofl, donationem confirmauitetChriftianum
PrufTiae primum epifcopum fecit. (2) Infecuta funt ea
tempora,quibus expeditionem facram fijfceperunt equi-
tes Teutonici, fubadlaque quadam Prufliae parte , ann o

cbccxL I

-(1) Haec etcetera omnia ex diplomatibus accepimus^ qac-
rum quaedam in decretis et epillolis Innocentii IIL a Baluzioe-
ditis» alia in Lucae DaL.ids chronico MSto reperiuntur. ( i\ E
bullaPontificisetchronicoMontis Sereni p. lO^.MonachubTnum
Fontium p. ^.ij.^, 445,

472 VETVS INSCRIPTIO

cbccxt I. Chriftianus diem obiit. Is, quae adfuperfti.
tionem Prufforum hiftoriamque veterem et expeditionem
ab equitibus Teutonicis fufceptam pertinebant, diligen-
ter confignauit in Ubro , (3) qui nunc quidem autlatctin
tabulariis aut certe nobis periit. VTi autem eo funt Si-
mon Gruna, monachus Dominicanus et ille pater hifto-
riae Prutenicae Lucas Dauid , qui ante hos centum et
quinquaginta annoset amplius, commentarios fuos excu-
derunt , nondum pubhce editos. Ambo e Chriftiano
epifcopo infcriptionem vexiUi Prutenici fuis fcriptis in-
feruerunt. Quae quia in Simonis Grunae MS. quod a-
pudRegiomontanosin bibUotheca Auguftaexftat,nonni-
hii differt ab ea , quam Lucas Dauidexpreflit in autogra-
pho , ex quo in eadem bibliotheca nos noftrum exem-
plar defcripfimus , idcirco primum e Gruna , tum dein-
de etiam c Dauide infcriptionem fub principio pofuimus.
Cafpar Schuzius quoque numos quosdam cx agro erutos
in chronico producit litteris non abhorrentibus ab illa-
rum forma : de quibus tamcn hoc loco non dicemus.

Duae opiniones de hishtteris obtinuere adhuc inter
populares meos. Nonnulli abotiofis confiftas effe opi-
nati funt : ahi runas efte contenderunt. Vtrique mihi
compendium facere funt vifi. Nam quae quis non in-
telHgit, ea , fi fomnia et nugas dicat elfe , in perpetuum
fe expedire videtur ab inquirenda veritate , ne tamen
confiteatur fe hominem eife et aliquid ignorare: qui au-
tem runas elle perhibent, lii fibi videntur ahquid dicere,

- dum

(0 Cui titulus is fuit: Lihr jHiorum Bellal et de corum fu^ev*
ftit.onlbus.

PRVSSICA.

473

dnm nobili quidem , fed obfcura voce alios abfterrent, ne
quaerant amplius. Hos ego patienter audirem, fi runas
recordarentur a (eptemtrionalibus populis dici cuiuS-
uislitteras gentis, non cas modo , quae in faxis Sueoni-
cis, Noruagicis, Islandicis, Danicis incilae funt. Sic
Grifkar rmiir , Graecas, Ir^ nm/>,Irlandicas, Groe-
landoukarrunir Gronlandicasvocant,tefte Arngrimolo-
na in Crymogaea , et Vplandoukar runir et Venda ru-
nir , ne quid dicam dc Sigrunar feu magicis ad incanta-
tionem chara(fleribus. Iftum in modumper me quisque
has quoque Prutenicas runas nuncupet , dum ne aliud fe
dicere putet, quam uLvro r^^ro^ y Qct\k\xa,r a.At illi noftri
aliter fentiunt. InBritanniaveteres Saxonesrunis feu lit-
teris /eptemtrionalibus vfos eiTe , ex eo coniicit Geor-
gius Hickefius, (4) quod,|cum ab Aelfredo rege ad Ro-
manum Francicumque fcribendi modum Saxonica fcri-
ptura conformata eft, veftigia tamen runici charaderis
manferunt , vt e fpecimine codicis Lichfeildenfis appa-
ret. (5) Francos etiametAlemannosfeptemtrionalibus
his ruinis aliquando vfos fLuffe, Olaus Vormius in litte-
ratura Danica ex Auentino et Lazio colligit. Id quo-
que e Francico alphabeto intelligas , quod Mabillonius
libro quinto rei diplomaticae exhibet. In eum igitur
modum aliqui hos ad orientem populos , .et Prutenos
veteres a Scandinauis runas acccpifle contendent. Sed
tanta in ignoratione runarum feptentrionalium verfantur,
Tom,\l, Ooo vt

(4) TnThefaurolingnar. feptemtrlonal.T.I. praef. f. xxxv,

(5) In Grammatica FrancoTheotifca. L 3. 4,

474

VETVS mSCRIPTIO

lll, iV.

vt operofa confutatione nequaquam indigeamiis.
Qui fidem Chrilliani fufpedam bab ent , duobus
monumentis refelluntur , quae dodilfimus Meffer-
fchmidius Gedanenfis ex oriente defcripta fecum attulit
et Societati nodirae communicauit. In his enim idem
litterarum genus magna cum voluptate confpeximus.
/ *// PfiiTiJm monumentum eft inter Tejcham et iGerbcm
fluuios in lenizeam fe efFundentes in deferto Kirgifico^lo-
co inter agreftes tumulos eminenti,repertum. AJteriim
antem (iixum in editiore coUe Kirgifici deferti ex aduer-
T^^.28. fQ profluentium in Vjbathem Bee et Konach ofliorum
pofitum fuit.

Quales nunc dicemus cas litteras elTe ? Nihil valde
aflfeueranter dixerlm. Attamen intelligere mihi yideor,
populos ad Caucafum atque in omni tradla feptemtrio-
nali vfos efle peculiari hoc genere litterarum. Clemens
AlexandrinusinStromatis (6)exPherecydeconie(5luram
duxit 5 Scythas certa fymbola adhibuiflfe. Scd Fafl:i
Sicnli , qui in Heracleo minore definunt , inter gentes
litteratas recenfent,Sarmatas , Scythas, Cappadocas,
Iberos feu Georgianos et Baflarnas. Et Euflathius in
Homerum , (8) illorum populorum litteras his verbis at-
tigit : ^ rwv 'tweq v^e^ov^KvS-i^v ia-YjixoLWov ^ ct vS-f-
"kov , 'li^iiiKotrwa k, T.oXv^^y] y^aixixiKoi ^eVfxara iy-
yQoi(povrsSy y^roi iyyXv^povrsg 1:1 v a^i, rsrsgi croLviaw
dXXoi aiq rg^ raT^ iK ttJ^cov ; quidam^ inquit , pojierio-

rum

(J5) /. 5<57* (7) P- ^o. ed.Rad. (8) f. 6^2, ed. Rom.

PRVSSICA.

47 S'

n-f?7 aUnte Scythnrum , ^uae vclknt , [ymholis qulhis^

damfcis notohant . variacque du&ns fgurac mfiribehant

mit infculpehafit potius tahulis feu ajferibus^tmn aliisjum

huxeis, Tsg vge^ov l^K.J3-ag vocat iftas, quae yeterem

Scythamm fedem occiiparunt, alteriiis (lirpis et corpo-

ris gentes. Tabulas etiam Graeci veteres adhibuerunt,

ex quo 6 TTiVa? ^ rh 7:v^{ov liber dicebatur, ct^v^v

ycT/ZT/T, vt alibi Euftathius. Sic Romani ab rudium

aetiitum more /'^^^^/^/ appclkrunt feu legum feutefta-

mentorum codices. In Scydiia et Thracia lapides lit-

teratos parfim exftitiife , Herodotus (9) planis verbis

teftatur eosque Sefoftri et Aegyptiacae expeditioni

attribuit. lornandes Geta, feu Alanus potius , fcribit,

auum fuum Periam notarium fuiffe apud Candacem

regem AJanorum inferiorem Moefiam tcnentium. His

Mkiego qiioque^ quamuis agrammatus (Latinis puta lit-

teris nondum inftitutus) ante conuerfionem meam notarius

fui. Suas igitur et peculjares lit&eras Alani adhibuerunt,

Nicolaus Keder digniffimus illa nobilitate et virtu-

tum ct dodrinae humanitatisque gloria , in numis Go-

thicis, quos magna cura collegit, fibi ipfe minime fatis-

fecit , quod runas nulias vsquam reperiret. Nec pote»

rat aliter fieri, cum Scandinauicae runae fruflra quaere-

rentur in uumis nec Sueonicis, nec Geticis. Nam quod

dodilfimi viri mimos Macedonios et Thracios ; ab illa

Ooo 2 elu-

(9) L. II.c. ^06.

47 6 VETVS INSCRIPTIO

eluuione gcntium paffim diffeminatos, Hifpnnicos etilm
quosdam a Godiis fuis conflatos opinantur, in eo nimium
pietati patriae, qua omnes populos antecellunt, tribuis-
fe vidcntur. Is ipfe numus, in quo Kederua amiciflimus
Otliinum fibi reperiffe videtur, ex illa feu Macedoiiuni
feu Thracum officina cxiit. Teftimonio elfe poifunt
numi qui extant indubitatae fidei Macedonici et Thraci-
ci, quos u cum his conferas, de quibus dubitatur, quos-
ue tamquam ex inopia confilii et ex defperatione Gotlii-
cos nonnulli etiam in Italia et Gallia vocarunt , nihii
prius in mentem veniet , quam id quod fentio et dico.
Vnum eximium habet cimeliarchium Imperatorium,pla-^
ne talem, vt funt caeteri omnes , quos Gotbicos dicunt,
Td^, 28. j-gj jj^ q^Q jj Graecum difcrte fcriptum eft , vcluti hic in
'^' * figura vides , vt Perdiccam polTis agnofcere alterutrum,
nam id ego nunc non ago. Tametfi igitur in bis numis
fruftra quaefitae litterae Alanorum ct Getarum, forte et
vetuftiorum Scytharum, tamen meaopinione, his quae
produxi,monumentis conferuatae funt.

Inter primos populos , qui htteras ad fermonem
adhiberent , Syri et Phoenices fuere, a quibus Graecos
edodos fuifte Cms conftat. Dolendum eft tamen , ita
periiffe nobis Plioeniciarum memoriam litterarum,vt ex
numis Punicis et Palmyrenis Perficisque monumentis
nondum planc reftitui potuerit. Bernardus Montefalco
in PalaeographiaGraeca (lO)infeliciter tentauit aliquas

lit.

(lo) L ii8. videDiarumltalicumeiusdcm p. 365.

PRVSSICA.

477

Htteras reducere , vfus eft enim numls prlncipio tmnca-
tislittera vna, vtnumus alius extremo caret apud Nico-
luum Haymum Romanum. (ii) ApudHaymumtamen
is ipfe numus , quem Demetrio infcriptum Monteflilco
exhibet, integris litteris omnibus reperitur. (i) Huic
vni numo multum dcbemus , necdefperandum cfl^inre-
(lituendis litteris Phoeniciis progreffus infignes fieri pos-
fe , fi quis huic negotio fe dedat. Litterae autem Phoe-
nicicae minores exftant in numis,maiores quadrataeque,
forte et antiquiores in monumentis Palmyrenis. In
monte Sinai quoque incifae funt litterae , quas Cofmas
Indicopleuftes luftiniano imperante vidit. Karum ali-
quas Athanafius Kircherus in prodromo Copto et Oe-
dipo edidit, alias mecum communicauit cJariffimus La-
crofus e fchedis Egmontii de Nyenborg nobih's Bataui,
qui anno cb bccxxi. eas de rupibus Sinai montis de-
fcripferat. Plane autem cum Phoenicicis , vt in numis
exftant , conueniunt. Phoenicicae litterae in Perfiam
quoque commigrarunt, vt alibi e Diodoro Siculo mo-
nui. Apparet id etiam ex infcriptionibus Perfepolitanis,
Ab hac ftirpe Parthicae quoque htterae propullularunt,
quibus ad hanc vsque aetatem Gauri,Magorum reliquiae,
pulfae ex Perfia quidem , fed in India receptae, vtuntur.
Primus eas Thomas Hyde Europaeis oftendit. Arme-
ni et Perficis et Graecis litteris funt vfi, tefteMofe Cho»
renenfi in genealogia Armenica pofterorum lapeti. (2)
Is fuo tempore vetufta prouinciarum, vicorum,aedium,
O o o 3 pri-

(ii) N.Theroro Britanico. t. L p, 105, (i) t. I. p, 100^
(2) p. 9. 4.10. cd. Amftelod,

47S VETrS INSCniTTIO

piinatnnim Ikium fl jedcrumqiie ndla Pcrficis Grnccisque
litteris exftitilfe, Armenicas aiitem litteras antc Miefro-
bum neminem inrtituiiTe fcnbit. Rem omnem
ita narrat Alofes Chorenenfis. Cum chnlliima reiigio
aufpiciis Tiritiat's rcgis tertio poft Chriftum nntum fe-
cnlo per S. Gregorium in Armenia radices egi(ret,exeo
tempore Miefrobus Varasdati et Arfacis IV. a (ccretis,
•vir reh*giofus et pietatis augendae cupidus , relida aula
conceflit in monafterium. Atque cum cflet Graecae
linguae peritus,non modo praelegere populo facras fcri-
pturas folebat , fed etiam interpretari. Graeci ahi fa-
cerdotes ignari Haicanje linguae praelegcbant quidem
Graeca, (ed qui interpretaretur? crat nemo. Haec res
commouitMiefrobum, vt apud animum fuum conftituc-
ret, Graeca Armenice traducerc. Ncquidquam hoc
tentabat , nifi fi litterae exflarent , quibus ea commode
tranfcriberentur Communicato confilio cum Ifiaco pa-
triarch-i Armeno,adiit Abelem quendam, quem audiuc-
rat id ipfjm agere , vt efformatis fecundum Graecos h^t-
teris , Haicanum fermonem Jitteratum efficeret. Cum
autem imperfeda omnia ifthic reperiret, ad Danielem
epifcopum in inferiori Mefopotamia et Edeflae ad Pla-
tonem rhetorcm tabulario praefcdum adit formasquc
litterarum fabricari inftituit. Sed cum Plato in tulibus
parum fe proficere videret , Epiphanium commendar
magiftrum fuum , homincm perquam cruditum. Ad
eum profeflus Miefrobus Samofatam , acceptoque,diem
obiiflfe Epiphanium , cum Rufino difcipulo Epiphanii

Grae-

PRVSSICA,

479

Graecis litteris dodliflTimo rem communicat , nec hilum
proficir. Huic loco Mofes Chorenenfis roy 3-eoy diza
jUL-vi^ai^^g aduocnt. (3) Miefrobo vifum viderc iinimi
cOi^.tatione manum infcribere Japidi omHCS Htteraiuin
formas copulationesque Armenicae fcripturae. Proti-
mis Miefrobus ita vt animo conceperat rera , Rufi*
no oftendit et perfecit. Perfecit autcm , vt ait Mofe?,
litterarum formis e Graeco deriuatis, reuerfusque in Ar-
meni.im Ifaaco patriarchae expofuit , bic autem regi
Vramfchapo. Rem placebat conferri cum TlieodufiO
Graecorum imperatore et Attico patriarchaCPlitano,»
interea Ifiacus et Miefrobus mittunt Edeflam , Alexiin-
driam Athenas et CPiin iuuenes, qui Graecis litteris in-
ftituti facras fcripturas Haicana lingua interpretati funt„
Easdem Htteras Miefrobus Iberibus et Georgianis tradi-
dit ; tefte Mofe Chorenenfi(|)

Haec ita de origine litterarum Armenicarum etlbc-
ricarum Armeni. Ego Yt non negauerim , effe quan-
dam Graecarum Armenicarum et Georgianarum htte*
rarum conuenientiam , vt ahae ex aliis fint duflae, ta-
men id potius mihi fentire videor , ex Graecis litteris
fadlas eiTe Ibericas , ex Ibericis demum x\rmenica5 , I-
bericas vero antiquiores elfe, vulgatasque per populos
Scytliicos , Alanicos , Geticos vsque in extremuni
orientem penetraffe. Sane, fi quis haec, quac produxi^
tum Prutenica, tumnefcio cuius populi in difertis Kirgi-

ficis

C3) p, 401. (4)p. 412.

48o VETFS INSCRIFTIO PRFSSICA,

ficis monumentainfpiciet atquc cum Ibericis litteris con-
feret , is minime dubitauerit,, fummam earum litterarum
congruentiam animaducrti. Duo autem funt genera
litterarum Ibericarum , minora , quibus maxime v-
tuntur, fedrecentia, tummaiora, fed vetufta. Primum
quod fcio , alphabetum Ibericum vulgatum eft in Euro-
pa anno clcbcxxix. typisCongregationis Cardinalium
depropaganda fide , cum quibusdam fpeciminibus lin
guae. Sed minores tantummodo litterae eo in libelJo
excufae fuerunt. Eodem anno iisdem typis Stephanus
Paolinus,adiuuantc Nicephoro Irbacho Georgiano mo-
nacho S. Bafilii, edidit lexicon Georgianum etltalicum,
in quo etiam alphabetum illud minus principio libri po-
fitum e(t. Maiores autem htteras primus nobis defcri-
pfit Francifcus Maria Maggius Panormitanus,Clericus
regularis Romae iisdem typis, anno cbbcJ^xx in fynta-
gmate linguarum orientalium , quae in Gcorgiae regioni-
bus audiuntur. In his prima efl: inftitutio Georgianae
linguae. Ex Maggio litteras illas Andreas Mullerus
GrcifFenhagius produxit. Praeterea Romae dodlrina
chriftiana Bellarmini et Litania Mariae Lauretanae edita
funt Georgiana hngua.

Vt igitur Ibericae litterae cum his Prutenicis et illis
Trt^.^S. Kirgificis comparari poffint , appofui eas hic in tabula.
Vnum adhuc aduertet ledorem , quod in monumento
figuram ftatuae plane Aegyptiacam cernit. Hoc nobis
minime aduerlum eft. Nam in Colchide , vnde haslit-
teras profe^flas diximus , multa veftigia Aegyptiacae

flirpis

ILLVSTRATVS.

481

ftirpis cum ab Herodoto tumab aliis animaduerfa funt.
Herodotus fic ait : (5) $atVo)/raf sVm^ 01 KoXp/oi
Atyti^^T^iot, yoy\(Taq $i iroore^ov dnfog , yj aKBcrag
Xs Y^ C^/^-i'/ ddcntiir Aenpii ejffe : /V^/V<7 , ^juod iiidi-
cio quodam meo et fenfu animadum-i^ prius quani ah aiiis
idem referri acccpi. Et Colchi quidcm , quos percun-
(Ttatus eft,e prifca memoriaafTeuerabantjmaiores fuos ab
Aegyptoprofcftos. Aegyptii non ita afleuerate qui-
dcm , attamenTt opinarentur Colchos ab Sefoftrisex-
ercitu iis in regionibus relidos ^ai^t colonos. Argu-
mento erat, quod vultus Colchorum Aegyptiaca ora re-
ferrent, quodque foli illis in tradibus Colchi et Aegy-
ptii linifabricas haberent et quod lingua vtriusque populi
congueret,quod poftremum maximi facio. Dionyfius
Pericgetes {6] idcirco quoque

Wd^^e [;.up(^oVn:Vry, H-sra ;)/9-oVa TtJK(5^a^i(5^ccaJX

KoX^oi vaigraycri , iizrylikij^eq Aiyvixroio.

Adintimujii Fonti recejfum , pojl terram Tjndari-
daruni

Colchi dcgunt, colonia Aegypti.
Itaque mirum non eft , fi e Colchide et Iberia aliquid
Aegyptiacis fimile ad vicinas gentes vna cum litterispe-
netrauit.

(5) 1. II. c. 104. (5) V. 688.

Tom.ll Ppp ]sqi.

-m (482) m

NICOLAI BERNOVLLI

loh. Fil.

F I T A.

C. G.

ANnum cbbccxxvt. vti fingulari CATHA-
RINAE AVGVSTAE clementia me-
morabilem , ita duplici funere luduofum
Societas noftra habuit , quando pauUo ante
publicum illum Academicorum conuentum Imperatricis
praefentia illuftrem,M/Vto/ Burger primus , deinde et
Nicolaus Bernoullius e viuis difcefferunt. DeBurgeri
quidem vita nihil admodum dicendum habemus, donec
certiora nobis documenta offerantur , interea non pos-
fumus quin vitam Nicolai Bernoulli collegae defideratis-
fimi et grato animo rocolamus ipfi , et aliis , quibus res
noftrae ac bonarum artium incrementa curae fuut , fer-
uandam commendemus.

Originem duxit e gente,quae primarias in Hcluetia
dignitates iam inde a longinquo tempore obtinuit. A-
uus eius paternus fuit NicoJaus Berfjoullius fupremi in Re-
publica Bafikenfi tribunalisAjfeffor^ huius filius natu maxi-
mus lacobus Prof. Math. Bafileenfis. Secundus Nicolaus
Reipubh Bafil. Senator Pater Nicolai BernouIIi Profefforis
Log. Bafileenfis.Tcnim lohannes., Profejfor Math. Bafih
Quartus Weronymus , mercator. Mater Nicolai noftri
fuperftes eft Dorothea^DanielisFalkneri filia, cuius auos

pro-

NICOL. BERKOVLLl VITA. 4S3

proaiiosque a multis (aeculis yel inter praefides Telcertc
inter praecipuos qui eiusdem Respublicae gubernacula
tenuerunt,numerari conftat , ita vt dubitari pofllt, vtrum
maiorem haec flimilia claritatem ex amplifiimis muneri-
bus, quibus domi praefcda fuit,acceperit; an maiorem
fuae tamiliae famam atque celebritatem lacobiu BernouU
lius et lohamies frater , huiusque filii et fratris filius in-
credibili rerum peniuis abditarum fcientia intulerit. lo^
hannem nutem BernouUium Nicolai noflri patrem fine e-
logio nominare praeftat , qiiam committere vt tanti viri
merita tam longo tempore ab acutiffimis iudicibus pu-
bUce cognita et commendatamediocri laude minuantur,
Natus eft Nicolaus VI. Calend. Febr./. v. A.
cbbctxxxxv. Bafileae, fed infans vix odlomeflris cum
parentibus fuis Groningam migrauit, qui poft decem an-
nos elapfos tribus audi liberis Bafileam reuerterunt. E-
rat in noflro a prima pueritia ingenium dudlileet fequax,
et quaedem alacritas quafi connata , quam ob rem nihil
omiferunt parentes , q'iod ad primam filii educationem
(erat enim natu maximus) pertineret. OCto annorum
puer germanice , gal'ice , belgice et latine loquebatur.
Vifu^que fuit, dum in Heluetiam ex Belgio redirent,fi qua
in vrbc paullum moraretur et linguam et mores homi-
num imitari ex tempore. Patriae redditus, litteris fedu-
lus incubuit. A. clDbccvi i i. ciuium Academicorum,
A. cbbccxi. Dodlorum Philofophiae numero , patre
T)ecano , adfcriptus , quo tempore cum fextum ct deci-
mum annum egreffus effet,ac de vitae, quod eligeret,ge-
nere deliberaiet, etiamfi amabat littetarum fludia , ta-

Ppp 2 men

484 NICOLAI BERNOFLLI

men qnod aegre ferret vitam illam quafi vmbratilem et fe-
ceflumqiiemrequirunt, pnrumabfuit, quinearelinqueret
omnino,nifi patris cxemplo atque aucftoritate confirma-
tus fuiflfet. Idcirco momentis omnibus probe expenfis
animum ad luris prudentiam conuertit ; erat autem illud
aetatisGeometriae non folum peritus, fed in hac fcien-
tia excellcns, et quae reliquit illo tempore fcriptajoften-
dunt eum Arithmeticae Differentialis ^lntegralis ttEx^
ponentialis iam tunc gnarum ac difficillimis in Mathefi
problematibus foluendis parem fuiffe, quin imo patrem
in fcribendis ad exteros eruditos epiflohs , quarum ar-
gumenta ex recondita Mathefi petitaerant, fubleuabat
identidem , ita vt tanto magiftro vfus, breui tempote plus
fciret quam ipfe fibi didiciffe videretur. Id vero appa-
ruit,cum amore fraterno dud:us,Danielem Bernoullium,
quivndecimum annum agebat, iis ipfis dodrinis inftitue-
ret, quanquam paullo poil agnouit, fe difcipulum nadum
eiTe, cui quod porro difcendum ftatueret vix ipfe inueni-
ret. Sed his rebus occupatus nihilo minus luris pru-
dentiae, quam fibi delegerat, operam dedit, praecepto-
re vfus lacoboBattierio celebri dum viueret luris Ante-
ceffore Bafileenfi , eo fucceflu , vt Idibus Nov. A.
clobccxv. poft publicam de liire detraBus difputatio-
nem,L/V^«^i/7H,quam vocant,adfuprcmos in lure hono-
res impetraret.'

Occafionem deinde fibi a patre oblatam in pere-
grinas terras proficifccndi fnmma cum voluptate arri-
puit, qua in re partim indoli nouarum rerum quas difcc-
ret atque tradaret cupidiflimae obfecutus eft , partim

con-

VITA. 485

confuetudini gentis fuae, qude adolefcentibus nugendae
apud exteros dodlrinae ethumanitatis cauffa quandamvi-
detur peregrinandi legem impofuiire , fatisfecit. Inter
Italos cum aJiquamdiu moraretur,inamicitiam illuftrium
virorum Polem, Mmifredorum ^ Rkcati etc. receptus fuit.
Regbhw autem et Fabrifio , in quibus tam morum ele-
gantiam quam iudicii acumen fpedabat^flimiliariirime v-
fus eft, in Galliam deinde progreflus Lutetiae Parifiorum
Monmortium et Varignonum in primis coluit. lam in
eo erat, vt magnum ex peregrinatione frudlum percipe-
ret , fed morbo repente afflidus, cum fpem per plures
regiones eundi accifam videret , mutato prorfus confi-
lio in patriam, quam primum potuit , curandae valetu-
dinis caulfa remigrauit A. cb bccxvi 11. vbi inftauratis
viribus Mathefin rurfus maiore quam vnquam anrea con-
tentioneexercuit, inuenta fua digefflt et litterarum com-
mercia cum eruditis vel continuauit , vel noua inftituir.
Interea abamiciffimo Fabrifio identidem vt Italiam re-
uiferevellet, incitatus,tandem repugnare non potuit cum
fnnul ab illuftri Vezzio Nobili Veneto qui ad multipli-
cem qua praeditus erat^dodrinam , matheleos quoque
fcientiam adiungere gaudebat , humaniffime inuitaretur.
Huius viri erga fe adfedum ac beneuolentiam faepe prne-
dicauit. Vtebatur autem eius contubernio duos annos
circiter,neca latere illuftris viri difcefTiffet, nifipatris ius-
fu Bafileam fuilfet reuocatus A.cbb ccxxi i . vbi mox
data occafione munus Profefforis iurisprudentiae ambi-
uit etin tribus competitoribus fuit qui forte certabanr. Fo-
ftulant enimlegesBafileenfes,vt candidati,qui dignillimi

Ppp 3 aliquo

486 NICOLAI BmmVLLl *

aliquo munere habentur tres omnino eligantur commu-
nibus fufFragiis , vnus denique ex tribus forte vincat,
quam cum hic aduerfam fibi expertus eflct, paullopoft,
initio annicbbccxxii I. Bernamhonorifico fenatusde-
creto vocatus (ea enim in vrbe forte non certatur) ad fi-
mile munus conceffit et quae folent ingenii atque fciea-
tiae fpecimina edidit.

In hoc ftatu cum ex animi fententia viuerct , atque
in amicitiam Tillieri et Sinneri, primariorum virorum
ciuitatis fuo merito veniffet , ita erat huic vrbi addidlus,
vt ab his amicis et hoc genere vitae, quamuis alio femel
atque iterum aequiflimis conditionibus vocaretur , diuel-
li non poffet. Vnum permolcfte tulit , quod fratris
contubcrnio, qui eo tempore erat Venetiis, tam diuca-
rebat , quem non modo vt fratrem et difcipulum , fed
velut amicum et familiarem , ct fibi maxime neceffarium
diligebat. Fuit quidem certe intcr eos animorum con-
fenfus atque* concordia fingularis , nihil accidebat alteri
quod alter ad fe pertinere non putaret, neque fatis habe-
bant permifcere ac mutuo amorc confundcre quidquid
vterque in Mathefi fuo ingenio excogitauerant , in lucem
edere parabant has ipfaslucubrationes communinomine,
vt omnes intelligerent, hoc inuicem affeflu atque indul-
gentiii fuifle par fratrum BernouUiorum. Ex quo iudi-
cari potefl, quanta cum voluptate oblatum fibi munus in
Academia Petropolitanavterque fufceperint. Praeterea
ct Daniel BernouJUus conditiones atque praemia fub idem
tempus in aha regione fibi deftinata, fpe maioris lucri,
quod in fratris conuidu pofitum erat, repudiauit , ita
vc ambo agnofcerent illuftris Praefidis noftri prouiden-

iiam

VITA. 4^7

tiam , quo auc^ore atque adiutore fadum eft , \t quos fa-
talis quaedam fors iti ipfa patria d.siunxiffet, eos fortuna
minime exfpedlata in terra tam diftante rurfus confocia-
tos foueret, Igitur IsLtcoUus nofter poftquam tertium
fere annum Bernae transegerat,Bafileam rediit ctmox
compofitis ad abitum rebus fe vna cum Daniele fratre
in viam dedit vili. K.\l. Septembr. Petropolin venit
VI. Kal. Nouemb. A.cbbccxxv.

Hic primum valetudine fic fatis fecunda vfus eft,fe-
que totum ad fubtiliflimam mathefin , cui a pueritia ad-
fuetus erat, contulit , Pracfidi noftro inprimis carus, fra-
tri, vt diximus , omni ftudio coniunAus , collegis integri-
tate amicitiae fuauis atquc vtilis , omnibus candore pari-
ter et humanitate commendatiflimus ; vt nihil homini
hoc ingenio ac fortuna ad beate viuendum deefle videre-
tur. Sed quid effe poteil in hac vitaeinconflantia diu?
Poft odto admodum menfes febre lenta, quae principio
minus periculofa credebatur, correptus , deinde afflidlus
etiam et oppreffus VI. Calend Aug. cbbccxxvi .mo-
ribundo fimilis iacuit , et quamquam remittebat dolor,
tamen viribusiamminutisatqueexhauftis biduo, poftho-
ra tertia matutina mentis et rationis ad extremum com-
pos exanimatus eft.

lam feptimo ante obitum die, cum mortem immi-
nentem praeuideret nec fratri difiimulare poftet, epi-
flolas nonnullas, quas fibi fuperftites nolebat, combuflit.
Corporis anatome vomicam inteftini manifeftauit, quae
nulla humana ope fanari poterat. Ingenii fui monumen-
ta tum in adis Lipflenfibus noftrisaue commentariis,

tum

48S KlCOLAl BERKOVLLT VITA.

tiim vcro magnam pnrtcm in fcriptis,quae a Daniele
conleruantur, reliquit. Funus CATHARmA AV^
GVSTA fao fumtu efFerri iultit ct cum in Academiam
veni(ret,voc:ito ad fe defun6li fratre , fuiludusfimul et
clementiae (quae vna erat in hac calamitate maxima con-
folatio) indicium dedit.

Sed quo animo exiftimemus patremfuifle,cum nun-
cium acciperet de morte filii,quem tanta cura educauerat,
in quem tantum contulerat fuae dodlrinae fuarumque vir-
tutum , in quo , vt paucis dicam, nihil inueniebatur,
quod BernoulHano nomine dignum non eflet. Quis iu-
iium neget ex tam improuifo , tam acerbo , tam alte a-
dacflo vulnere dolorem ? quem fi vlla res lenire vel mi-
nuere pote(1-,fuperfttum certe filiorum in patris veftigia
fuccedentium magna indoles et praeclara inftitutio miti-
gabit. Inter omnes qui aliquod inftgne nomen in ma-
theft, noftra memoria, adcptifunt , paucifilios relique-
runt eadem difciplina perfedle eruditos ^lobanni BernouJ.
lio prope dicam foli contigit,vt aetatem ingrauefcentem
filiorum fuorum meritis partim iam confirmatis et in lu-
ce pofitis , partim adhuc in fummam fpem adolefcenti-
bus folari poftet , qui tam profperi euentus quando non
obfcure etiam ad collegium noftrum pertinent frudum-
que nobis ampliifimum promittunt , vehementer cupi-
mus atque exoptamus,vt vir praeftans virtutis ac fcien-
tiae gloria , depofito fiHi ludlu , tantis bonis praefenti-
bus quam diutiflime perfruatur.

OB-

OBSERVATIONES
ASTRONOMICAE

PETROPOLI

F A C T A E.

CONTINUATA RFXATIO

ECLIPSIUM SATELLITUM lO-

' VIALIUM PETROPOLI OBSERVATARUM

a

D. I. N. DeL'Isle.

H*

A. 1728. N.St.
Die

Scpt. 8 16 34 30 X Mmerfio pnmi. Intra

X pauca fcrupula fecunda
tubis 13 ct 15 pedumob.
fervata.
17 12 57 36 Immerfio primi. Intra
1 5" dubia propter nubes
raras , tubo 13 pedum.
Tempus vero uiiico horo-
Jogio conftat.
Odlob. I 1(5 53 ^^ Immerfio primi bona

obfervatio tubo i 5 pedum.
3 II 21 56 Immerfio primi exada,
tubis 1 3 et I 5 pedum.
- 7 13 3 Immerfio quarti^ ,.

15' 5 Emerfio quarti j

I 3 et 15 pedum. Ultra

fcrupula prima nil licuit

definire amplius propter

Qqq 2 ob-

492

OBSERFATIONES

N.St. Tempus
veriim.

1728

obfervationis incertitudi-

nem lento fatellitis motui

■p.- et obliquitati incidentiae

D le . \

H^ 1 // imputandam.

Odob. 8 12 23 45 Immerfiotertii tubo 13

pedum.
14 58 51 Emerfio tertii tubo 1 3
pedum.

10 13 17 23 Immerfioprimitubo 15

pedum beneobfervata.
Nov. 2 13 30 43 Immerfio primi tubo

I 3 pedum exiifle
Dec. 2 1 5 28 41 Immerfio primi tubo

1 5 pedum , dubia intra
aliquot fecunda.
4 9 57 2 Immerfio primi tubo
I 5 pedum.

11 II A.6 5 Immerfio primi tubo

I 3 pedum , dubia intra
plufcula fecunda. Tem-
pus item verum unohoro-
logio tantum definitum
eft.
14 14 24 30 Immerfio fecundi ali-
quot fecundis dubia, tubo
22t pedum : tempus ve-
rum

ASTRONOMICAE. 493

N.St. Tempus
verum.

^7^8 j){q 1*™ uno hoiologio con-

Dec. H, / /, ftat.

18 13 36 30 Immerfio prim. tubo

15 pedum. Satelles lo-

■vi quam proximus fuit.

Tempus vero uno conftat

1729 horologio.

lanuar. 8 14 6 3 Emerfio fecundi paucis

fecundis dubia tubo 22 i

P- ,

Febr. ^3 ^ 51 37 Emerfioprimi tubo r 5

pedum. Satis bene.
27 8 26 42 Emerfio fecundi tubo
1 3. pedum. Mediocriter.
Mart. 6 II 5 55 Emerfio fecundi tiibo

I 5 pedum.
12 39 52 Emerfio primi tubis 13
et I 5 pedum.
7 633 7 Immerfio^ quarti. tubo
10 14 15 Emerfio Ji5pedum,
31 7 30 II Emerfio primi. Tubo
I 5 pedum. Tem.pus ve-
rum duobushorologiisde-
finitum efl.
April. 7 II 7 25 Emerfiofecundi.Tubo

15. pedum.
Qqq 3 Emerfio

494 OBSERVAT. ASTRON.

H.

1720 y^ r . . t.

A 1 14 II 24 12 EmerfiO primi aliquot

^ ' fecundjs diibia. tubo 13. p.

30 9 4^ 9 Emerfiopnmi.tubo 1 5

pedum.Celo fereno.

Maii. 411 62 Emerfio tertii tubis 1 3

et I 5pedum.
Plerasque harum obfervationum tutas praeftiti ab
crrore qui nonnunquam ex eo oriri poteft, fi non nifi u-
nico horologio tempus verum definitur. Licet enim
iftud motui folis duobus iliis meridiebus , quas obferva-
tiointercedit, exadle comparatum fuerit , errori nihilo-
minus locus efl: fi motus horologii non fit uniformis.
Remedio fuerunt quatuor horologia poftremae haclo-
vis apparitione ufiirpata , quae fibi ipfis femper compa-
ravi flatim poft tranfitum Solis in linea mea meridiana
capillari, itemque mox poft alias quascunque five diur-
nas (iue nodturnas obfervationes , fi quidem veri tempo-
ris exadlam poftularunt notitiam. Non fine voluptatc
expertus fum (aepius , quod tempus verum ex fmgulis
borologiis dedudum idem prorfus provenerit. Quan-
doque tria confpirarunt horologia , quartum aliquot fe-
cundis differcbat , quod , fi folum adfuilfet errorem ita
peperilfet. Obfervationes quarum tcmpora vera non
nifi unico aut duobus horologiis potuerunt definiri nota-
tae funta latere praecedeatis catalogi. Ubi niliil nota-
tum eft, ibi (ubintelligereoportet quod eiusmodi obfer-
vatio tcmpus fuum verum ex quatuor aut tribus horolo-
giis confentientibus habcat.

OB-

OBSERVATIONES
ALTITUDINIS POLI

IN

OBSERVATORIO IMPERIALI

QUOD PETROPOLI EST

HABITAE

a

D. I. N. DeLlsle.

AB eo tempore quo in hanc urbem veniniusj
polarem eius altitudinem certo determina-
re , refrncflionesque ibi indagare ftuduimusi,
Pro altitudine poli omnes obfervavimus
folis meridianas altitudines quas caelumper-
mifit ; quadrante ab initio ufi fumus i8 pollicum in ra-
dio, quem ex Gallia attulimus.

Ab II. Martii , anni iy26. novi ftili (qui fextus
dies fuit poft adventum noftrum in hanc urbem) usque ad
2. Aprilis anni 1727, hoc inftrumento ultra 1 50. cepi-
mus meridianas folis altitudines ; Plurimas fixarum ftel-
larum altitudines meridianas tam boreales quam auftra-
les nunc non recenfemus.

Pro refradionibus obfervauimus anno 1726 etab
initio anni 1727 quam plurimas folis altitudines matu-

tinas

49

6 OBSERVATIONES

tlnas aeqne ac vcfpcrtlnas diebus pluribiis continue ca-
ptas , ab liorizonte duodecimum usque gradum , menfe
lunio pro refractionibus acftivis , menfibus autemNo-
vembre, Decembre, lanuario et Februario pro hiber-
nis refradionibus obrervatum eft,

Cum vero Frater meus non multum pofl: aequino-
dlium vernum anni 1727 Aulaeiuffu Archangelopolim
€t Kolam mitteretur easdem ut ibi faceret obfervatio-
nes , atque fecum quadrantem , cuius radius 18 poUi-
cum cft , auferret , coepi fub ipfum folftitium aeftivum
huius anni 17^27 quadrantem , cuius radius trium eft pe-
dum, ufurpare, eoque altitudines folis meridianas , or-
dine non interrupto , obfervavi a 12 lunii ad praefens
nsque tempus , fumma qua potui diligentia , eaque exa-
dlitudine , cuius inftrumenti magnitudo capax eft , eo
fine ut poftea poli altitudo pro hac urbe certius elici
poftit.

Pro refra(flionibus , hoc quoque inftrumento novas
obfervationes inftitui , magnumque numerum altitudi-
num extra meridiem diebus pluribus continuis menle
lunio anni 1728 captas acquifivi ; poftquam ex obfer-
vationibus integri anni hic quadrans mihi omnino per-
fpe(flus erat,

In poftremis hifce obfervationibus refradionum
gratia habitis , quatuor horologiis ofciilatoriis ufus fum,
quae mihi eo profuerunt , ut certitudo maior fuerit de
motibus eorum regularitate , quam quidem fupponere
opus eft in calculo pro refradlionibus mcthodo mihi ufi-
tata inftituto.

Eo-

ALTITUDINIS WLI.

497

Eodem quadrante obfervavi quoque fub fincm anni
1728 , et initio anni fequentis utramque (lellae polaris
akitudinem meridianam , quod quidem hucusque facere
non poteram ob diverfa impedimcnta.

Hae funt obfervationes omnes pofteriori hoc inftru-
mento fadae , quas nunc recenfebo tanquam magis ido-
neas ad poli altitudinem certius definiendam in obferva-
torio imperiali , in quo hae omnes poftremae obferva-
tiones habitae funt.

I.

Defcriptio maioris Qimdrantis methodi-
qiie quo ufusfum in eo veriftcando

QUadrans trium pedum in radio , quo ufus fum pofl:
Fratris mei abitum hucusque, Londini fabrefadus
efl: a I. Rowley , ad modum fextantis cuius defcriptio-
nem et delineationem dedit Flamftedius in tertia parte
Hiftoriae fuae coeleflis non ita pridem in publicum e-
miffae.

Praeter tubum alterutri laterum quadrantis affixum,
alter circa centrum quadrantis mobilis adenit. Mobi-
lis tubus inferviebat altitudinibus aftrorum capienc is,">o-
fito prius inftrumento in fitum verticalem ope ; erp n-
diculi ex centro per divifionis initium pendentis. Sic
tubus mobiiis ad aftriobfervandialtitudinem dirigebatur;
Poterat autem tubus admodum lente moveri ope coch-
leae perennis dentibus infertae qui extremitati limbi in-
cifi funt.
Tom. II. R rr Lim-

498 OBSERVATIONES

Limbo nulli linearum diKflus infculpti fuemnt prae-
ter tninsverfliles dcccm minutorum intervallis a fe invi-
cem diftantes , eorum vero fubdivifio in fingula minuta
extabat in parva regula , five linea fiduciae quae mobi-
lis erat una cum tubo.

Poten-int quoque fubdivifiones transverfalium habe-
ri per circuitus cochlcae perennis •, Verum , quia con-
flru(flio talis mihi nimis compofita , minusque exada
vifa eft, fubftuli tubum mobilem resque ceteras ad eum
pertinentes , ufurus folo tubo lateri quadrantis affixO|
haerente in averfo quadrantis plano.

Nccefle fuit ob hanc caufam dudlus transverfales
ipfos in fmgula minuta prima fubdividere per circulos
concentricos. T>. Vignon in fe fufcepit opus ; fuftulit
apparatum priorem quocentrum quadrantisinftruebatur,
etfubftituit laminam latam orichalceam plano quadran-
tis affixam. In ca centrum notavit, ex quo circulos
concentricos duxit radiis debitis , quibus fubdivifio in
fingula minuta abfolvitur. Quod attinet perpendiculifu-
fpenfionem , eam tam fubtilem rcddidimus quam potui.
mus , namque centro inftrumenti adaptavimus mucro-
nem tenuiriimae acus , quem circumdedit annulo fatis
amplo capiilus , qui pondus cuipareft ferendo, appen-
fum habet.

Tubus quadratus adeft , quo perpendiculum inclu-
ditur et u vento tuetur. Qiiin et ad aeftimandas quam
exadliftime minutorum fubdivifiones in quahbet obferva-
tione, lens adhibetur in regione capilli quae notabiiiter
amplificat.

Ante-

ALTITUDINIS POLL

499

Antequam hoc inftriimentum ad obfervatlones ad-
hlbuimus, fumma diligentiaverificavimus per pluresdies
continuos fitum tubi fixi quem habet refpedlu divifionis;
idque methodo inverfionis a D. Picarto demonfi:rata in
tra(ftatu fiio de menfiira terrae , et poft hunc , a D. de
la Hire ubi agit de ulii fuarum tabularum aftronomica-
rum.

Pofthaec 6 vel 7 notas in obiedlo diflito elegimus^
ad quas direximus quadrantem eadem die et hora, qua
eius errores per inverfionem deteximus , unde verum
notarum fitum refpedu obfervatorii definivimus. At-
quefic in pofterum nil amphus requirebatur pro quadran-
tis examinatione quam ut eum ad notas correclorias diri-
geremus, quod quidemfemperfacimus paulo ante quam^
cunquc altitudinis oblervationemhabendam autmox poft:
habitam *, hoc medio quadrantis error innotefcit, quem
obfervationis tempore habet.

Qiiam ita examinando quadranti impendimus curam,
ea inutilis non fuit *, Nam cognovimus quod quandoque
tubus nihilominus luxatus fuerit, licet omnem adhibueri-
mus diligentiam ut caute et circumfpedle tradaretur, hoc
eft,netubus tangeretur. Verum hoc obfervationibus
nil obeft , quia , veluti iam diximus , quantitatem emo-
tionis tubi deprehendimus quoties obfervatio habetur.

Rrr 2 11.

500

OBSERFATIONES

II.

Ahitudines meridianae ftellae polaris ne-
glecto quadrantis errore.

Akitudines polo altiores

Altitudin

BSpol

0 humiliores

vefperi captae.

mane captae.

•*.fJ2i.*,St.

A, n2S,

N,5^

0 i //

0 f /J

Nov. 29

61 42 30

Nov.

30

57 25 0

Dcc. I

61 42 35

Dec.

I

57 25 0

3

61 42 35

4

57 25 0

4

61 42 40

19

57 30 0

H

61 47 0

20

57 28 40

18

61 47 20

23

57 28 35

19

61 46 1$

24

57 28 40

22

61 46 10

S5

57 28 40

23

61 46 15

24

61 46 IQ

^.1129 2^

61 46 15

lanuar. 8

1 61 46 20

Ex hifce apparet obfervationibus i , quod quadrans
a 29 Novembris ad 4 Decembris nulli fenfibili muta-
tioni obnoxius fuerit. Maxima tum altitudo fuit 61 ^.
42'. 3 5", et minima 57 °, 25'. o". quo diameter paral-
leli fteliae polaris apparens concluditur efle^^. 17'. 3 5.
2. A ip.Decembris vefpere ad finem usqueob-
fervationum quadrans itidem fenfibiliter mutatus nonfuit.
Maxima tum altitudo fuit 61°. 46'. 15". minima ve-

ro

ALTITUDINIS FOLL

501

ro 57°, 28'. 40'', quodenuo diametcr apparens paral-
leli ftellae polaris conficitur effe 4°, 17'. 35". Qiian-
quam itaque quadrans , interea dum binae liae obferva-
tionum feries inftitutae fuerunt immutatus fuerit minutis
3' 40'' , apparens tamen polaris paralleli diamcter
certo fcitur, qualis a divifione quadrantis exhibetur.

III.

Errores Qtmdrantis am obfervarenUir
ftellae polaris altitudines.

QUon'am altitudines ftellae polaris nodlucaptac
funt, non potuit quadrans adnotas dirigi eotem^
■ pore quo obfervatio fadla efl:. Verum quia
quadrans fenfibilem mutationem pcr plures dies palfus
non eft, pro erroribus veris ii haberi poffunt qui obfer-
vati liint quovis meridie obfervationem polarem antece-
dcnee vel fequente.

Hi funt autem quadrantis errores quos hifce meri-
dlebus invenimus , fumendo medium eorum quae quoli-
bet mcridie ex fexillisvel feptem notis deprehenfa fliere.
Error quadrantis additwus.

U«l 7 28 ♦JVo'y*_

30

Jkc^ I

jub meridiem

23 25
22 55
22
23

^uh meridiem

50
la

22 40

Rrr3

19

22
23
24
25

t8
iS
19

19
19
19

25
55
15
10

15

35
Sunt

502 OBSERVATIONES

Simt liic errores qui differunt inter fe , qui tamcii
differre non debebant, cum notum fit ex prioribus ob-
fervationibus quadrantem tum immutatum manfiffe. Ve-
rum maxima harum differentiarum pars provenit a va*
riationibus , quibus, utinotumeft, obnoxiae funt refra-
«Hiiones horizontales , et quae horizonti funt vicinae.
Non multum autem errabiturfi medium eorum arith-
meticum fumatur.

Proprima igitur obfervationum ferie, hoc eft pro
iis , quaeab 29 Novembris usqne ad 4.. Decembris fa-
«flae funt, quadrantis error eft 23' d\ Pro altera ve-
ro ferie obfervationum quae ab 19 Decembris vefperi
ad finem usque fadae funt, habetur error 19' 20", qui
utrinque additivus eft, unde maxima altitudo correda
fit 52^, 5', 35". minimavero ^^^^j^S^.o".

IV.

De electione aliams tabulae refractionum.

MEthodus qaa ad refradiones indagandas utor poli
altitudinem cognitam alfumit, eoque ipfo etiam
refradliones. Circulus tamen vitiofus committitur nul-
lus ; approximatio potius inftituitur quam in eiusmodi
inquifitione vitare non licet , non fecus ac in aliis aftro-
nomicis problematibus fieri aftblet.

Coadlus igitur refradlionibus uti antequam qiiae re-
gionihuic conveniunt repererim, tabuLim eligere debui
quae refradiones exacfle computatab habeat , fecundum
regulam aliquam geometricamfimplicem et experientiae
fatis conformem. Hanc ob caufam aliis omnibus prae-

tuli

ALTITUDINIS POLL 503

tuli quam D. CafHnus dedit in Commentariis Academ.
Parif Anni 1714. p^ig- 33. editionis Parifienfis, in qua
aflumit quod quivis lucis radius per athmofphaeram ar-
cum circularem defcribat.

Utut verofimile non eft curvam radiorum clrculum
effe , attamen , quia curvae quas ad computum refradlio-
num adhibere liceretdifFerentiamattentionemulta dignam
non infcrrent, utar ego fuppofitione Cafliniana tanquam
omnium fimplicilTima.

V.

CompuMtio altitudinis poU ex objervatio^
nibus ftellae polaris.

Apparens ftellae akltudo maxima
Refradlio fubtrahenda
Vera altitudo maxim^

Apparens ftellae altitudo minima
Refradtio fubtrahenda
57 47 23 Vera altitudo minima
4 17 41 Vera diameter paralleli flcllae polaris
2850 Diflantia ftellae polaris a polo.
59 5^ 13 Altitudo poli pro obfervatorio Imperiali
Petropolitano.

VI,

62 5

35
31

da 5

4

57 48

0

37

504 OBSERVATIOKES

VI.

Obfervationes profoUs ahitudine meridia-
na fub folftitio aeftivo.

NOtum eft quod circa folftitia folis declinatio admo-
dum lente variet, quia etiam quantitas variationis
huius nota cft ex variis folis diftantiis a folftitio , fequitur
inde, quodex obfervationibus plurium dierum ante et
poft folftitium altitudo folftitialis certius quam ex fola
meridiana altitudine folftitio proxima concludi poflit.

Obfervationes vero omnes quas comparavi ut ex
iis veram altitudinem folftitialem aeftivam concluderem,
funt fequentes.

Die 1 5. lunii A. 1727. n. St.

53 20 20 Altitudo apparens limbi folaris fupcrioris

19 20 Error quadrantis addendus

^4 Refradlio

6 Parallaxis

15 51 Semidiameter folis

53 23 II Altitudo vera centri folaris

9 14 Declinatioms differentia a folftitiali declina-
tione

5^3 32 25' Altitudo folftitialis.

Dic

ALTITUDimS POLI. 505

1727.

Dlc 18

lunii

1727-

Die 22 lunii 1

0

/

II

0

/ //

53

25

45

53

Q.6 ^o

20

30

43
6

22 30

15

50
^48

5~

15 50

sT

29

32 43

2

49

I

53

32

37

53

32 44

Di

619!

unii

Die 24 Tunu

0

/

//

0

/ '(

53

27

35

53

25 20

20

20

43
6

22 30
43

6

15

50

15 50

53

31

28

53~

31 23

1
32

30
58

I 6

53

yT

32 29

Die 20 lunii

Die 2 5 lunii

0

y

//

0

/ //

53

28

0

53

24. 20

20

20

22 35

43
6

'

15

50

15 50

53

31

53

vT

30 28

32

35
28

2 1(5

5r

53

32 44

Tom. 11.

Sss

Die

5o6

OBS

Die 27 Innii. 1727

0

1 1

53

20 50

22 25

44

6

15 50

53

26 47

5 49

53

32 36

Du

,Iun.i728

0

/ //

S3

6 40

22 20

44

6

/

15 51

53"

12 31

20 19

53"

32 50

Die lalunii

0

/ /•/

53

n 45

21 0

44

6

15 51

53"

16 16

16 27

OBSERF^TiOWES

53 32 43

• 13

. luni

i 1728

0

/

II

53

15

0

21

10

15

51

53~

19

41

12

58

53

I2

39

D.

14. lunii

0

/

/»

53

17

50

21

25

44
6

15

51

5r

22

46

9

55

53"

32

41

D.

19 lunii.

0

,

II

53

28

45

19

30

15

50

53"

31

48
45

5?

32

33

D

le

- ALTlTUDimS WLL 507

D. 20lunii 1728

o ' "

53 29 30

19 25

43

6

II

53

32 39

D.

21 Innii

0

1 11

53

30 30

18 45

43

6

1550

53 32 48

o

53 '32^48
D. 24. lunii

53 28 15

18 45

43
6

15 50

53 30 33

I 57

53 32 30

D. £

!5. lunii 1728

0

/ //

53

26 45

18 50

44

6

15 50

53

29 7

\

3 25

sr

32 32

D.

c5. lunii

0

/ //

53

25 15

18 45

44

6

15 50

53

27 32

5 18

53~

32 50

D.

27. lunii.

0

/ //

53

22 45

18 45

44

6

15 50

5T

25 2

7 38

, 53 32 40
Sss2 I^i*=

5o8 " OB^iERVA-nONES

D. 28 lunii 1728. D. 8. lunii 1729.

53 18 £5

52

53 10

20 30

20 10

44

^l

6

6

15 50

15 5i

53 22 27

52

56 50

10 18

35 41

53 32 45

53

32 31

D. 29 lunii.

D.

1 5. lunii.

0 ' "

0

/ //

53 15 0

53

21 £0

20 30

20 15

44

44

6

6

15 50

15 51

53 19 2

53"

25 6

13 23

7 53

53 32 25

53"

32 59

D.30. lunii.

D.

16. lunii

0 ' "

0

/ //

53 II 40

53

23 40

20 30

20 10

44

44

6

6

15 50

15 51

53 15 42

53"

27 21

16 56

5 32

53 32 38

53

32 53

I

Die

JLTlTUDimS POLI. 509

D. 17. luiiii 1729. D. 20. Iunii-1729.

0

53

/

25

20

//

0

53

28
20

II

35
5

43
6

15

50

15

50

53

29
3

8
36

53

32

13

17

53

32

44

53

32

30

Medinm arithmeticum inter ^J. veras altitudines
meridianas folftitii iiertiui tribus hifce annis repertas e(l
53°. 32'. 40".

VII.

Ohfervationes pro folis dtitiidine meridia-
ha fub folfiitio hiberno.

Die 8. Decembris 1707^ D- 11. Dec. 1727^

0

/

II

7'

23

20

20

20

6

54
10

16

22

7

20

34

45

7

6

35

27

Sss 3

0

7

6

II

30

20

40

7

9
10

16

22

7

3

49

27

48

6

36

Die

5 lo OBSERVATIONES

D. 17. Dec. 1727. D. 10 Tan. 1728.

6

43

45

20

45

7

28
10

16

22

6

40

"50

5

38

6'

35

12

D. 1

[8 D

ec.

0

/

II

6

42

0

20

50

7

30
10

16

22

6

39

8

3

35

6~

35

33

Ds

l.lan 1728.

0

/

II

7

53

25

31

35

6

29

10

i<5

18

7"

52

23

I

1(5

_40

6

35

43

820

21 25

6 23

10

16 18

8

0 54

I

25 14

6~

35 40

D.

14. Dec.

0

/ 1'

6

52 35

18 25

7 22

10

16 22

6

47 26

II 52

6

35 34

D.

ip.Dec.

0

/ //

6

41 25

18 55

7 32

10

16 22

6"

3<5 36

I 2

35 34

Die

ALTITUDINIS POLI. 511

D. 22. Dec. 1728 D. 9. lan. 1729

8 2 20

19 15

6 18

10
16 23

6

40

30

19

15

7

32
10

16

23

6

36

0
II

6

35

49

D.8.Ian.i729.

0

/

II

7

54

0

19

15

6

27
10

16

23

7

50

35

I

H

51

7

59

4

I

23

18

6

35

46

D.

10. 1

.an.

0

/

n

8

II

25

19

15

6

10
10

16

23

8

8

17

I

32

IC

(5 35 44 6 36 5

Media intcr 1 2. has altitudines folftitii hiberni me-
ridianas veras duos intra hos annos acquifitas eft 6"=>

35' 40-

vni.

o

53

32

n

40

6

35

40

45

57

0

23

28

30

30

4

10

59

55

50

512 OBSERVATIONES

VIII.

Althudo Aeqiiatoris et obliqiMas Ecli.
pticae.

Altitudo folftitii aeftivi vera
Altitudo folftitii hiberni vera
Diftantia tropicorum
Obliquitas eclipticae
Altitudo aequatoris
Altitudo Poii Petropolitani in Obfer-
vatorio Imperiali.

Per ftellam polaremhaec altitudo inventa eft, 59°, 56'
I 3" (<5. 5.)differunt igitur inter fe fcrupulis fecundis 23
duae hae poli altitudines duobus diverfis modis erutae,
D. Cadmi refradionum tabulas ufurpando fiiae hypo-
thefi novae fuperftradas.

Si altitudinis folftitii hibernalis refradlio fcrupulis
46'' maior quam tabulae Caffinianae volunt , aflumta
fuilfet, altitudo Polaris prodiret per aititudines folftitio-
rum eadem quae per flellam polarem inventa fuit , uti
ex computu patet fequenti,

6° 35'

ALTnVLimS TOLI 513

6 •^J 40 Altitiido folftitii hiberni(articulo 7.)
46 Augmentum refradlionis fuppofitum

46

57

46

23

28

53

30

3

47

59

5<5

13

59

5<5

13

6 34 54 Altitudo folftitii hiberni
53 32 40 Altitudo folftitii aeftivi
Diftantia tropicorum
Obliquitas eclipticae
Altitudo aequatoris
Altitudo poli per folem inventa
Altitudo poli per ftellam polarem in-
vcnta.

Nec fine ratione fupponetur refracflio folflitii hlber-
ni tribus quadrantibus unius minuti primi maior quam in
tabula D . Caflini habetur. Namque haec augmentatio
non folum conciliat obfervationes ftellae polaris et fol-
flitiorum ; fed et ipfius D. Caflini obfervationes quas
Parifiis habuit (vid. Comment. Acad. 17 14. p. 33.)
maiores refracHiiones produnt (hibernas potilTimum^quam
fua exhibet tabula fuae novae hypothcfi innixa.

Hiemc fuperiorls anni indicium mihi obtigit notatu
dignum , quo refradionis augmentatio circa folftitii alti-
tudinem verifimilis fit. Sunt nimirum altitudines folis
meridianae quas exacflilTime obfervavidiebus2 3,24 et
25 Decembris Anni 1728 , eas in numerum fupra alla-
tarum non retuli , ob hunc ipfum efFedlum extraordina-
rium , fed feorfim eas una cum altitudine folftitiali inde
derivata hic recenfeo.

Tom,ll. Ttt Die

5^4

OBSERVATIONES

Dic 23. Dccembris 1728 N. St.

Altitudo apparens limbi folaris fupe-

rioris
Error quadrantis addendus.
Refracflio
Parallaxls
Semidiameter folis
Altitudo vera centri folaris
Declinationis difFerentia a folftitiali de-
clinationc
6 36 36 Altitudo folftitialis.

D. 24. Dec. D. 25. Dec.

0

6

42

II

0

19

10

7

31
10

16

£3

6

37

26

50

0

6

43

0

0

6

44

20

19

15

19

35

7

30
10

7

29
10

i<5

23

"?

23

6

38
2

32
I

6
6

40

3

36

13
36

6

36

31

37

Media

ALTITUDimS POLI. 515

Medialnter liafce tres altitudo folftitialis eft 6^, 36'
3 5", quae fere rcriipiilum primum integrum p!us habet
quam ea quae antea ex duodecim aliis obfervationibus
eruta fuit (artic. 7.) Unde apparet quod tribus hifce
diebus refrac^io obtinuerituno fcrupulo maior quam vul-
go folet. ' Difcrimen hoc unius fcrupuli fere integri ob-
fervationibus erroneisimputari nequit , congruunt enim
per tres hofce dies intra pauca fcrupula fecunda , quod
exadlitudinis certum indicium eft. Haud vero inutile
erit hic monere , quod barometri fimplicis mercurius
tribus hifce diebus fummam attigerit altitudinem , quam
quidem alioquin per duos hos annos , quolibet meridie
altitudinem mercurii notarc folitus, nondum ob«
fervavi.

Monitum.

CUmD. Prof Maierus p. 185. horum C''^mmen.
tarior. quatuor altitudines meridianas ex his quas
modo attuli {Artic. 6.) ea intentione adhibuerit, ut ex-
emplo aHquo methodum fuam de inveniendis ex obier-
vatione foiftitiis commonftret , easdem vero paulo a
meis diverfas attulerit ; hinc neceflarium duximonere, di-
verfitatem hanc non exinde profe(flam efte, quod diver-
fo a meo inftrumento eas obtinuerit, fedquod hifce meis
obfervationibus corredionem quadrantis applicuerit a
mea nonnihil diverfam.

Ttt 2 Dein-

5i6 OBSERVAT. ALTITUD. POLL

Deinde quod attinet ad veram foftitii aeftivi altitu-
dinem , quamex quatuor ibi addudis altitudinibus , iu-
xta fuam methodum comparatis, i6. lec. minorem dc-
duxit, quam ego illam invenimedium inter 2y. altitudi-
nes fumendo : oritur haec difFerentia quoad maximam
partem ex eo , quod rerrndionem 13. fec. maiorem
quam ego afTumpferit, et praeterea parallaxim folis o-
miferit ; quae poftea etiam praecipua caufa fuit, cur e-
levationem poli Petroburgenfem 23. fec. maiorem re-
pererit quam ego (art. 8. png. 513) Cum infuper et-
iam obliquitatem eclipticae tanquam ex aliunde notam
fuppofuerit in numeris rotundis 23° 29' quam ego pau-
lo minorem deprehendi ex duabus altitudinibus foifti-
tialibus a me obfervatis et meo more corre(ftis. Verum
enim vero de genuina poli devatione huius urbis nihil
ftatuendum cenfeo , nifi demonftratis antea refracflioni-
bus huic uiui adhibendis, id quod in fequentem Tomum
horum Commentariorum refervatum elTe volo.

Erratum.
Pag. ^97. lin. 12, pro qiio lege qua.

In primo Tomo.
Pag. 473. lin. antepenult. pro 1727. lege 17 26.
Pag 4.80, lin. 1 1. pro ?naiorum lege ?nawrem.

lin. vltima 47^ 57' 30'' lege 47*^
57' 30".

EMEN-

EMEx\DAIsrDA.

Cum Autor Difrertatfonum quae fecundo hufc
Commentariorum Tomo infertae funt , De Motibusfa-
riatis^tt Conjlriictione aequationum DiffernitiaJium pri-
tni gradus ^ aVms generis laboribus diftineretur quando
fchediafmata haec prelo fubiiciebantur, impreffionisque
raaturatio apprime vrgeretur , vix aliud fieri potuit,
quam \t nonnulli errores feftinantiffimo calamo fche-
dastranfcribenti exciderent: eorum tamen aliqui Typo-
graphis funt adfcribendi reliqui autori. Ex hifce Yero
omnibus eos hic cum emendationibus annotatos inue-
niet B, L. qui Autori fpecimina fua iam imprelfa cur-
fim relegenti in oculos incurrcrunt.

Pag. 14?. lin 10. pro FlKD lege FIKO.

Pag. 152. lin. 3. pro quam vt in fig. 6. lege,quam
vt angulus FGB .fig 4.) •^equalis fiat ang. CBE {fig, 6,
Ib!-d. lin. 9. lege .^j— ''-^^-^ et lin. 10. lege

Pag. I 54. lin. 3. a fine, lege —^pdx-^-zes^^dxzizds.

Pag. 159. lin. 20. pro AC lege AB.

Pag. 161. lin. 2. prolittera O, fcribatur TbiqueG.

Ibid. lin. 11. deletis iis quae poll haec verba, quan-
titatem Q^iAVh—^dBj fequuntur vsque ad finem para-
graphi, fcribatur in eorum locum : Vel 2dB-2dAVb,
nam fignahisce contrariaindeproueniunt, quod crefcen-
te angulo AGB, decrefcant ipfae BG feu z. Habetur
vero integrando AGB^ 2B— 2Ai/i?. iNam exiftente

51 8 EMENDANDA,

z—f:z: AG , fiet .fr::^, adeoqne didlac fummae nullaquan-
titas conftans addi debet. Id vero hanc conftrusflionem
praebet : in reaa indefinita AD abfcindantur AC^bj
et DC—i , due^laque normali CF , capiantur in ea CF
-r, et CB-:^i^^ , duaisque AF, AB nec
non DF et DB, conftituatur {fig. iO.)ang. «AC adang.
FACin rationedata V^adi. Infg. ii.verofiat ang.
AGBz=:2(t;7^. A?2D , quem DF produdla cum A;; con-
tinet, tadlaque GB=: 2ang. AnD , quem DF duoduda
cum An continet , fadaque GBzr {^[^^^^ , pundum B
erit in Brachiftochmia quaefita. Angulus vero AGO
zzzaang.A^J^ipg. lO).

Pag. 162. lin. 16. fcribaturin margine Eig. VIIL

- Pag.i63.1in.7.Fo/--^^„,fcribamr

aaim

Ibid. lin. 13. deletis omnibus in paragraph. qul in-
cipit:Sed fi fint etc. vsque ad haec verba inclufiue : mo-
do anonfit^-Q, in eorum locum fcribatur : fi fint
p^icthi-^^jaiL'—"; g^. zz=f-^V, exiftente L quantita-

te data per / et conftantes, Mrz^L : dl^ item a cxponen-
te ac j3 coefiicicnte datis , fiatque /ii: AG , et s^ AM
{jig. 8). Curua ABOconftrui poteft. Fiat enim an-
gulus AGB==:/4l- j punc^um B , erit in Brachipcbro^
na optM.

Pag. 164. lin. 9. pro EG fcrib, FG j et lin. II.
pro potentis lege potentias,

Pag.

EMENDARDA. 519

Pag. 155. lin. 6. a fine pro ^, fcribe -*i^.
Pag. l65. lin. 3. a fine, pro ^p^i'' fcribatur

p2-2>t

-^2—-

Pag. 157. Iln. 5. pro ambo , fcribe duo priora
membra. Lin. 6. praefigatur quantitati 2eg^~~^ fignum
-, lin. 7. pro M^/ fcribatur Mdl. Lin. 9. poft r/M pona-
tur fignum :=, denique lin. 12, fcrib. inuenientur.

Pag. 169. lin. 14. icrib. ^% Lin. 2. a fine, pro
CD fi:rib. CB.

Pag. 170. lin. 10. In Denominatore praefigatur
quantitati Adx^ fignum +.

Pag. 172. lin. 5. a fine lege tempufculo dt,
Pag. 173. lin. 8. pro dzizrdl^ fcrib. dxz:z7'dL
Pag. 189. lifl. 2. immediate poft Log. Rrz/^f^P:
s-P), fcribatur S=/(JQ:3R-PR), et Pag. 190. lin. 7.
pro -f-Z^^fcrib. — Z»^. Lin. 17. deleatur fignumzn inter

Pag. 191. lin. vlt. fcribatur aequatio (2rv-2Q.r

-f -2j/r)^x(Q-.r)"Tx)'=:(Q-.r)- ' yaj.

Pag. 192. lin. 5. pro 137, fcribatur 197.

Ibid. lin. 18. proportio elementorum Parabolae
dat aequationem 43:V(4^zt^=:!!^4|+j^) ^ non autem

dyV^/ny^a^^izndxVi^x-^-a^y-vtibi per inaduertentiam
fcriptum efi: , nam haec aequatio pcr fe integrabilis efl;.
Iccirco afliimta non parabolae proportionaliter diniden-
dae conueniunt, et hanc ob caufam cefTat conclufio quae

ibi

520

EMENBAKBA.

ibi appofita efl: , etiamfi exemplum ipfum aeqiiatloni dy
VUy^a^zizndxVi^r-^-a) applicatum , methodi boni-
t atem illuftrat.

Pag. 195. Methodus conflruendi aequationem
Ayy-^Bxj-^-Cxx-hDj-^-Qtc. •zz.o , hoc loco indicata
ita gencraliter fuccedere non poteft ; quia refolutio ae-
quationis in fuos fadlores fine certa relatione inter coeffi-
cienteslocumnon habet.

Pag. 72. lin. penult.7 pro Percoiwitz, lege Ber-
Pag. 73. lin. 4. j cowitz
Pag. 73. lin. 8. pro Gran lege Graen
Pag. 75. lin. 5 . fq. in (^ et O columna ita ponen-
dum

48 Carr.

24 Carr.

■^ Carr.

gr^na
grazn.
2^ grfsn.
ij grsen.
-r^ grasn.

e^ gr«n.
Pag. 68. in margine ^. 2, praeponatur Tab. VIL
Pag 177. lin. i^.inmarg.proFig. VI.lcg.Fig IV,
^2g- 474- ^eqq in marg. pro Tab, 28, kge fem-
per Tab. 29.

2 Marc
16 Loth

I Loth. vel 18
4

.v/z /// . A.. Sc-^-fviilin^Yk /y . ^{7.

^^.^

- —

^.

y^

"~ E.

;^.

•K ■-:

B

I...--7

\\

TsT

D

C IP

It ■

/ ■-. )

\

' '>■■

\

c/^i'-»-

/

U-m m . ylc. Sc.^l"mTI.n!,h. /y. XT.

/

mZ

i-a

/\:

...•■■■■■'....

t.--;

'\-

[ ■■••■■...,

n

c Ip

\

it

\

r

'fir^-

^.■•»'JH ., ■■■'j^g^iffK lar-^y-

\m c- [01

Wi

^^'V

t^

^^^r<^, ir

e

§/3 Bc YO

.<)■■?

f-r.-r

:^?^^^?1^^^^^^:

>">.'?

Li:

^

77 ^

i^

o

P.r^

W

J

0

,-/• vf:- 'i:-,,, 71. -JaA.y ■'■/->

m

.:v... .L.s.-ri:>m:n.i^^-^(t^'

;T;i|CTl!'i'l|l,!'l''il!|!|iiil'iii'l''i'''''i^^^^

'tfi^mmi

A-.X-,. ^•/«W.Zr/vV/

a

•feCB

r.^mw../.: S.-- '/.enrJL ■J.-j k ^ p.Oo .

^"

^-^

«

(V-

^* ,^-:^ r^; =

— ^.'-v-

T: ^ ^

>3

\y/-///^

(0)

;|-^^i|:=^

^i^iinii ..■/■. S,- . '/riiilL 'Irikfiu. (■>(}.

1^^

-^m

ii£-sr.t t

I

I

Clvn m . .L . >!- 7rn! II. lah. 7. o. 70.

i ^ y /^

I Icr j\Ucnu-iiJ

^:-n:,: ./■.):■ i:^nrii i:,i,.7.„

t Jl-r .^Umu,,,

U.uur: . ^£ ^K- - ^/v,^ . IT. ^t./^. ^^f. 86.

/././.

/^y

3> X JJ

f'S/

V/.'V

<:;.«/« ^ic- ^):- . 'y<v« ff z;/.. <s.p so

.JJ.

M <J\- ivn .11 .lab.grJfO.

^/

t.'

",

J>"^

^^^^^^\^

r

\k

O J>

p

>x

^v

^\/

\

\x

.%--^-

/^

\

:s \

o

\ \

n

\^

\

\

\

\

c

\

^lr <i\- 1.v,i .H .'■Lr/' Q pJfO.

^ \vn /// .-/.-. Sc- . 'Jom . jl . 'la/>. fCjty. /2-'

ficr:C>

I> F JE,

71 ci: tl

^y: 7.

-J^. Sc. r^m.-JI ■r'a/,.f0.p.f2-^

.^'.- 7. i

1

fom in .At. Sc . lom . 71. llr^. //. p, /. > S ,

omm.A, S,%m.lL. 'Jlxb. //.,'./.•, S.

Lo/nm . ^r . Sr . 'Ir;rf . 7/ . 'A/'. /?./'./ ^n.

^r. S,-. -/:•„,. n.A/,./7f/.in.

\

^x

\

\

i<

.4.2

>A . i:

i^»-

\k n.

-^

_lc

L lVi: In

-L'. Sr. l'cmJi:ialy.f^.v.f72

) ^ TV

^,_--2l

^c;: iO

c\vtnj: . .^r-ic. Sc. 'lom . JZ .'l^il^ . l-f.v./Vd

:n .M X A

>:

I

/

K

/

A C

:n Ai X A

( lVii ni

.i/c-.Sr. '/lvn.Jl.'/aAfc7.(^.v.::.\T.

./,- S,- ■tcm R ■taUi^. e-t-^'V

A

JI

../^^

^

^z/Tcy.'^

(

m/

\ \/

\

/r

\^

\ ^'\

^\

/ 1

^>^H

\g-

\\\

p

\

t o-. \

s--^

«_77<;7

\

;.///«../- ^S',- .■jlvn.lI-LAM^.pjl^cl

^ .^

'^c/^

/\

/

\ \

/

\ \

^^Juni.Jcad.Sc.J?in.JIJ:il^,ij _ j. , ,^p

cncf.

'ZCCnGGCX>j)7Z

irOGOOOOO /^

n

D

Bl

13

B

c^^7

Ccmui .Jatd. Sc l.-ni.li:!},!^. ,-

pn

ll

icaxoxil
■'caxccnou

</ocooooo /'

":'l

ttcj

&IP

!

L <:V//W

</c'cyr/ .Sl-.Tl'7/i. /f Tr//\fS.f. jrr

r

/-.;./. r.^ r.-:„ /r t,/- ,

Ll

^m ??i ^l S.: yoniJl . 'IccIk , Z n

r

c'omm ^.:/r.Sr.y.',n.J[ /l,',/'.

L\vnm yI.-.Sc.loniMJcih.2f.iJ. .^/^^

Ccmrn y4c-.Sc.j'cm.llJcii\2/.iJ. J"^6>

Clv77i72 :y^c. Sc 1^/71 ; JT . 7aly.\2^ fj.jt'(9.

(:v.n;: ■.^-. S- T^m . H Iht:.

.Ay.- f.

CL^/n 771. yJc.Sc- .'lcvji :JJ. lal\ 1 ^./j.jvl^

{

cf2t2f : t 3

Cl^iu 111. ^■'Jc.SL-.'Lii::Jl.'Ja{-'. Z .^.irJivl

K^Wi

/

^ I

Lcmm..^c.,,^Sc Qom.R^lak^-^/.v. 370.

Uvnni..J.-^^S\- 'M^!nJL.l'aI'.J'/.n. .V/i

'-"V

^"e^ r/^^^-i

^ p

rK

camm. ^lr. Sc. 'Jciii.ll.'lci6. JZ3.v. .^7{P.

Ccnnn /- Sc -lctK 11 Jcib lAjo. ^70.

' ''"' '" -^'■''i'i ''>■■• 'li^ni II ■/:,/> •

<.r

Yio.

lio. II

O.ftlun-rfcc .Pctr.'f.;li .

l .'/// /// . ^Ic- . Sc . 1c,n . Jl . ^/ y /.. . ? 7. ,; . .//./

d

lo-i

T^

aAT

••r ■/- V - '7'' "^

•/\y:Z

\rM.

I^nijl y///?j?,9 .jj.^ss-

^4.-ad.Sc

'(iinJl.Teihjzs . wy;,'f<s-

iiyij:|!jiiiiiii>jiiiii"i -^ ■-■•

Q ^ ^ -<: ^.

^ A O ^ 01. c/OCLT ^-^ Sr- ^ ^A

rm^^^

!'tm^

rETMII^rf^''

,,^^v

\

•>^5^c-';o tr e^"^ e.>- j- i?^-C'-<; o;3^-t-2=i/c5 5--

X > - X ^