BB

mfflrTO!

^

■

1

1

i . ■ ' V ■

^'i

1

t

I

FOR THE PEOPLE

i FOR EDVCATION

1

1 FOR SCIENCE

LIBRARY

OF

THEAMERICAN MUSEUM

Of

NATURAL HISTORY

/

Bound
lA.M.N

COMMENTARII

ACADEMIAE

SCIENTIARVM

IMPERIALIS

PETROPOLITANAE,

^ TOMVS VI.

AD ANNOS clgDccbsxxii. & cbbcayixii|»

PETROPOLI,
TYPIS ACADEMIAE. cbbccxx

-i^.lOXd'^ fi-/3^-^if

^f#

€^

INDEX

COMMENTARIORVM.
IN CLAS5E MATHEMATICA.

Gmg. Tf^olffg. Kr^f Obferuatio Solftitii Aeftiui , fa-
da Petropoli Anno 1730. p. %•.

Eiusdem de Vngulis Cylindrorum varii generis. p. 13

Leonb. Euleri Solutio fingularis Cafus circl Tautocliro-
mfmum. p, zS,

tacobi Hermannl de fuperficiebus ad Aequadones loca-
les revocatis y variisquc e^inim AfFe<ftionibuSi p. ^6\

teonh. Euleri |Methodu3 getieraiis fummandi progreffio-
nes, p. tfS-

^. G. Criteria quaedam Aequationum , quarum nuUa
radix rationalis eft p. 98.

Lconb. Euleri Obfervationes de^ tKeoieriiate quodum Fer-
matiano, aliisque ad flijmeros primos Ipcdantibus-.
p. 103V

i>an. Bernoulii Theorcrifata de orciliationibus corporum
filo fiexili connexorurn- et catense verticaiiter fus-
penfae p. ro3\

Leonb Euleri problematis Ifoperimeaici in latijTimo
fenfu accepti folutio genehilis. p. 123^.

€eorg. ^offg. Krafft de Lunuhs qiifldr.ibiUbns , e va-
riarum curuarum combiilaticne ortis'. p; i'5<5.

Leofib.

Leonb. Eiikri ipeci^en de Coiifti-iKftione Aeqiiatia-

nuiTi (iiffcnTiti;ii:iim ■ frne' incietcrmin;itiuum Icpara-

' '■ -^L -■/'<•■ r T ■■■•■•■» '^.
tione. . p. 4 6%. - '•'.. C«.i'l*Vi y,.,* *

Eiusdet^i de foluripne Problematum Diophantaeorum per
'ni>meKx* inttgros^p. '175.

l^f. HernHftinl de qnakifaiurdtxuniarum Algebraicaxum,»
quarum iicqu.itione^ locakiv coordinatas fibi. inuicem
permixtas inuoUuint. p. 189.

Emdem Supplementum ad fcLiedara in menfe Augufto
Aftorhm Enfditorum i'7i9'.' circa problema a Tay-*
loro Mathemuticis non AngUs propofitum , editam,.
p. 200.

Leonh. Eiikri dc formis Radicum aequationum ciuusque
ordiuis coniedlatio , p. 2i(J.

Eiiisdem Conflrudlio Aequationis UifiEcrentialis ax^dxirz
dj-\-y'dx. p. £131.

IN CLASSE PHYSICA.

y. G. D. dc Mutilatione Braehiorum in Fuero, cuius
Tom. 111. Commcnt. ficla ell commemoratio ,
Diflwrtatio Auacomico-Pliyfiologica. p. 249.

yoj. fFeitbyceht de Cordibus villofis. p. 126 S.

Eiusdem de Circiilitione Sanguinis Cogitationes Phyfio-
logicae. p. 27«?.

J. G. D. Aortuc et Spinae Dorfihs mira Corruptio,
praemittuntur Animaduerfiones generaies fuper Ipi-
nae. dorfalis ttrudluram. p. 302.

IN

IN CLASSE HISTORICA ET CRI^

TICA.

Thcop. Sie^f. Bajeri De Litteratiini Mangjurica. p.325.

Eiusdem de Lexico Sinico Ci\ gvey. p, 339.

Eiusdem de RulTorum prima Expeditione Conftantino-
politana. p. 365»

IN OBSERVATIONIBVS ASTRON.

Jof. Nlo. De Vlsle Ecclip.^es Satellitum louis , obfer-
uatae in Imperiali fpecula Aftronomica , quae Pe-
tropoli eft, per integrum annum 1738. p- 395-

CLASSIS PRIMA.

CONTINENS

MATHEMATICA.

Comjtit&nt.- Acad.- Sc.-Tam.- VI .Tah.J. rf. 3.

C

^

IT

'A:a: 2

I.

II

(Jifnijrncjtt.- Aca^- •JcT^rn .' rl .lao:^ . P ■ *^

D

r; B H M

[^,,-— —

I -~--„^^^

^^G

K ^\^

/"

F

^^.. \

A

E,

\

OBSERVATIO SOLSTITII

AESTIVI,

lACTA ANNO MDCCXXX. PETROPOLI,

a.

Georgio Woljfg. Krajft*

AEftas fernida, quam hoc nnno trnnsegimus, TaS». r
cum Allronomis quam Agricoiis magis pro--
pitia effet, ac praecipue circa Solllitii dies
Sokm pcr aliquot feptimanas fere femper
punim et ab omni nnbe libenuri odcnde-
ret: facile cocli cultoribas perruafit , vt ierenitatem lianc
aeris in Ailronomiae corrmoda tralierent, et maximc
momcnto exado Solititii aefliui infidiarentur. , Fadum
id fcio fumma cum cura ct uiligcntia in Obferuatono
Imperiali. Volni tamcn et cgo eo, quo licuit vti ,
minori inflrumentoru-m apparani , eundcm lnmc fco
pum mihi proponere. Qua vcro ratioue , et ciua via,
icm meam exegerim

praefenti fcripto hoc expiicarc

fCOJaftitui,

1 a.

4 OBSEBJ^^jriO SOLSTITII AESTiyi.

§, 2. InflTumcnta quibus antiquiores maximam

Solis declimuioncm obieruare laborarunt, copiole de-

lcribit Proclus in lib. I. Hypotyp. Allron. Pofit. Gno-

mones praecipue in hanc rem aahibiti fucrunt; qua-

lcm Lacedaemone ercxit Anaximandcr , refcrente Stra-

bone, hb. I. et Diog. Lacrt. lib. 11. Maximam ccle-

britatem inter hos acquifunt a Pythca eredus Mafliliae,

cuius obferuationcm idcm Strabo rccen(et, nec non

Gaficndus in \ita Peircfcii. Conicnfcrunt in eandem

methouum receutiorcs, maxime Cafikius, qui praccla-

ro ilio Gnomone Bononiae ftatuto inuenit, altitudines

Solflitiales , (aepe dimidio fere minuto primo diuerias

fuiife : cuius rei varias cauffis adducit in Mcmoire^

de la Mathcm. et Phyfique. i6^j.

§. 3. Tutiores autcm longe cas cffe Obfcruatio-
nes , quae circa aciliuum Soiftitium fiunt , mcrito iu-
dicat Dau. Grcgorius, in locis ncmpe, quac ab Ae-
quatore verliTS Polum Boreum fita funt ; quia ob ma-
iores Solis akitudines non adco tmbant fubtile ncgo-
tium rcfradiones. Qiiamurs autcm hoc fequaris mo-
nitum , non tamen inflgnes difficultates euftabis , nifi
Inllrumcnta ad manus iint , de quorum magnicudine
ac fidc nihil dciidcres. Heuclius cap. IV. Prodr. Aflron.
propria expeiientia edotfhis flatuit„ Solfhitia , hcct op-
timis et maxunis Inflrumentls ,. etiam ab omnium cx-
ercitatilVimo Obfcruatore deprehendantur , nequaquam
tamen pofic in ipfls minutifhmis detcrminarj.

§. 4., Variis hisce impcdrmcntis noi c-etcrritus ,
fcq'icnte coofiho rem aggrcfTas flim. Adhibui (^iia-

dran-

OBSERVATIO SOLSTITII JESTin. j

dnntem ferreum , ciiiiis limbus orichalco obdudiis fm-
gulii minuta prima lineis tiiinsuerfilibus exh bet , radi-
us vero ell duorum pedum Panlinorum cum 2^ di-
gitis. Qiiadrans liic in Angha primum flibricatus , ean-
dem plane corrciftionem paflus ell, quam iUe quem
defcribit Clariff. D^ r Is/e h\ Tomo 11. horum Com-
mentar. pag. 4-97. feqq. adcoque eius vlteriore delcri-
ptione non opus eft. Qiiohbet porro die poft acqui-
fitam fohs altitudinem meridianam ad notas quasdam
correfflorias eius errorem indagaui \ interiedlo autem
tempore fjmma induftria caui , ne tadu ahquo rudio-
ri telefcopium lateri affixum e fitu fuo dimoucrctury
nihilque eorum omih, quae fubtihtas tahs Inhrumenti
reiiurere potelL

§. 5 . Qiiamuis itaque non haberem , cur fidcm
Inflrumenti in dubium Yocare poflcm : mahii tamen ,,
vt in re tam fubtih etiam minutias fecftarer ,, \kcrio-
rcm adhiK adiicere dihgcntiam. Frimo quidcm co-
gitani , in Infh-umento huius magnitudlnis non fiicile
committi errorem in diuifione ihorum graduum , qui
tofam Qiiadrantis hmbum in partcm dhnidiam , ter-
tiam , qiiartam etc. fecant ,, adeoque poffc diuiflones gra-
duum 45 , 30, i5,etc. aut in genere quintum cucm-
hbet gradum pro maxime tutis afliimi ; practerea , ne
quid fuspicionis rch'nquerem , hos gradus ope circini ah-
cui'is maioris dcniio exam.inaui per chordas e dato ra-
dio computatas, quibus omnibus has diuiflones kgiti-
me fict.is inueni. Cum ita ue memor effcm mcrho-
di illius, qiLim in horum Commentariorum Torri>lV„

€ OBSERf^JTlO SOLSTITII AESTIFI.

pjg. 115. §. 6. propofui, qiia ex datis diiabus altitu-
dinibus quibuscunque , \na cum difbmtiis \eris a meri-
die, altitudo aftri mcridiana elici potcft; propofui mi-
hi hanc viam li^quendam; idque eo magis, quia mu-
tationcs Deciinationis , quibus illa mctiiouus in Sole
fubicda eil, circa SoKtitii dics acmouum paruae funt
in Ipatio 5 vel 6 horarum*, quas tamen non c mnino
neglexi , vti in fequentibus apparcbit. Hinc Solcm bis
obfcruaui in altituuinibus quantiim hcuit tahbus, de
quarum fide certus enim ; atque dcinde ex tempori-
bus ope h(wlogii oidllatorii cxa<flc ad meridicm com-
pofiti acquifitis, altitudincm folis mcrioianam calculo
fatis improbo ct molelto venatus liim , eamque ciim
inuenta in ipfo mcridie per Qiiadrantcm comparaui ,
vt hoc modo dc altitiidine folis meridiana quouis dic
obtenta eo magis certus efle poirim. Verum quoniam
tempora ctiam maxime in confidcrationcm hic \cnire
video : neccffe eft , vt exponam qua ratione mcridiem
obferuaucrim , atquq ad illum horologium meum di-
rexerim,

?. 6. Cum affuctiis effem il'imcthodo, qua Cla-
riffimus Dei^Isk mcridiem obferuare folet exaftiiiime,
ope mcridianae alicuius capillaris, quam imago Soiis
in conclauc obfcuratum pcr foramen immiffi pcrcurrit ;
facile iudicaui , exadiorem \iam \ix inueniri poffe.
Sed dencgabant mihi circumftantiae eiusmodi concla-
uc, in nuo feneftris claufis no^ftcm cfficere poilem,
Igitur cura mcntem fjbiit, an fortafse in mufeo a So-
le illuminato idcm efticerc liceat, filua rci cxaditu-

dine.

OBSERJ^^JTIO SOLSTITII AESTIFL. 7

dine. Qiiapropter in hunc finem parieti lapideo fc-
neftrae illius conclauis in quo obleruare datur, infixi
horizontaliter cylindrum orichalcinum cauum, cuius
apertura aequat 7 Hneas pedis Parif. eui aperturae im-
mifi cylindrum alium folidum, in priori cauitate ho-
rizontaliter volubilcm, femper tamen firmum, qui in
extremitate fua annuium affixum gerit j cui vitrum po-
linim commode inferi poteft. Ex piuribus vitris fe-
legi tiile , quod imaginem Solis exceptam in diftantiam
5 vel 6 pedum proiiceret dirtindam , et vtroque limbo
exadilfime termin;itam ; elfeci autem vt cyfindrus hic
mobihs gyrari poflit in immobih , vt varias altitudincs
Solis meridianas fequi femper pofsem^ et imago inde
procreati quouis anni tempore in charta perpendicu-
iariter obieda rotunda exacle appareret. Porro huic
machinae oppolui capilluni tenuiliimiim verticaliter ex-
tenfum in dilbntia trium pedum , fuperius atque infe-
rius firmatum , quibus omnibus non fme voluptate ob-
tinui , vt imaginis folaris appulfum ad \mbram huius
capilli in dimidio quoque minuto fecundo horologii
propinqui notare potuerim , etiam in conclaui non ob-
icurato, fed a fole illuminato, Quo fado per obfer-
uationes altitudinum aequahum Sohs ante et pofl me-
ridiem multis diebus repetitas deprehendi, meridianam
hanc verticalem oftendere meridiem 495 fecundis iufto
citius, atque adeo ab omni meridie per eam inuento
fubtralii debere haec minuta, vt verus habeatur. His
itaqne fubfidiis negotium meuin percgi ; et practcrea
Refraflionum Tabulam vfurpaui eam , quam Cel. Cafi^
fiiius in Commentariis Acad. Scientiar. Parif. AmiO'

8 OBSERVATIO SOLSTITII AESTIVI.

1714. publiciuiit , qiiaeqiie eadem eft Cum ilk , qiiam
exhibuit in Trad itu , cui titulus eft : Les Elemcns de
r Aftrononiie \crifics par etc. Vt \ero quoque alti-
tudini meridianae per calculum inuentae adiicerc vcl
demcre polllm partcm conucnicntem , quam Declina-
tio intcrea temporis llibiit : adiicio hic laterculum , ex
quo illa apparet. Erat ncmpc altitudo vera centri
Salis mcridiana pcr Qiiadrantcm inucnta

0

/

//

lunii 8

53

31

2+

9

- - -

—

0-

0

10

_ _ _

—

3^

15

12

_ _ _

—

3^

0

^3

_ _ _

—

3^

5

^. 7. Cum igitur methodus illa, qua ex duabus

flltitudiuibus Solis, vna cum tcmpore A^ero, obferua-

tis, altitudo Solis meridiana quaeritur, cautioni Dccli-

nationis fubicAa fit : non posfum non indicare quoque,

qua medela vliis fuerim cx hac parte. Repraefcntct

pi^ , in hunc fincm DBAE Meridianum , CP Acquato-

rom, obferuetur altitudo Solis in K; fi iam in eodcm

paraliclo I K O L H Soi pergeret conftantcr moueri :

obfcruarctur tcmpore BAL in loco L ; fcd auxic in-

terca tcmporis fuam decHnationem , acieoquc codem

temporc BAL obfcruatur in N, quafi in alium pa-

rallclum remotus csfct. Sed in triangulo L M N , quod

ob paruitatem pro rccftilinco haberi potcft , latus LN,

quoj t\\ augmcutum dechnationis a prima obferuatio-

ne ad fccundam , admodum paruum eft j angulus MLN

in

nBSERrjTro solstitii ae^ivt. ^

In meridic eiwnercit pliWie , adeoque circa mcridiem
ell: admodum parims, conlequcnter eo magis LMN
refto appropinquit ; adeoque ML , NL latera ad fenfum
llint aeqiialia ; porro ob anguliim LBO valde paruum, ia-
tera MB, NB, fere etiam acqualia liint; hinc LB— .,
NB-LB-MB— LMrrLN; vnde LBizrNB-^i^;;!'

o M-n T -^T n' -kV

LN, nutqL — 90 -LB = 9o -NB-,LN = RN

— L N ; ex quo apparet , quod al> altitudirtc propius an-
te meridiem inuenta liibtrahi tantum dcbeat augmen-
tum Declinationis quod Sol ab obfcruatione matutina :
ad fequcntcm acquiiiuit, vt habeatur quitm proxime
illa, quam Sol eodem tempore habiturus fuisfct, I1'.,
lemper in codcm parallelo motuS fuiifct; illud vera
augmentum ehcitur ex collationc duarum altimdinum
meridianarum , adeoque ex immediatis obfcruationibus,
fupponendo nempe , quod in diftantia non valde ma-^ <
gna KN Dcchnationes tcmporibus proportionahter cre-.
fcant. Rcdu(fta itaque altitudine inuenta R N ad al-
tituduK^ Q_L in eodem parallclo H L O K 1 , calcuhis
inftituimr, ac fi Sol nuUam Declinationis mutationcra
palTus fuiifct, et obtmetur altitudo mcridiana fida DH,
quac deinde, aciedla ad ipfim parte proportionah pro
intcruallo tempo-is ab obfcruationc prima ad mcridicm
FH, mutatur iw altitudincm racridianam veramDF.

§. S, Igitur die 8 lunii ftyh veteris, obferuaui
temporibus veris ante mcridiem fequentes akimdineg
yeras centri SoUs, nempe

Tom. J'l. B ^

%a OBSERrjriO SOLSTITII AESTIJ'1.

H / // o / //

6 41 7 -5 15 33

9 25 53 44 44 57

cx qiiibiis, adhibita corredionc praeccdcntis panigraphi,
inucnta tiiit altitiido vera meridiana ccntri Solis cius-

dem diei 53 31 20. Dic <> lunii nadub tiii fequentcs
obieruationes

H / // <» / //

<5 35 52 - - - 24 43 51

9 25 49 4-4-44- 57

CX qiiibus calculus produxit akitudinem mcridianam fc-

/ //

qucntem 53 31 54. Pro lunii 10 non potui prae-
fiita commoditate \ti , adeoque coadus fiii altitudincm
meridianam in Quadrante inuentam retinere. Qiioniam
autem video , altitudincs duas calculatas miuores cire

// //

per Qiiadrantcm obteruatis 4 et <J , hinc alfumo me-

//
diam intcr has ditfcrcntias 5 , camque ab akitudinibus

in Qiiadrante repertis liibtraho , \t adeoque altiti*''^*ii<-"*'

veiras centri SoUs habeam lcqucntcs :

lunii 8 ---53 31 20

9 3^ 54-

10 - - - — 32 10
12 _ 31 53-

13 31^ o

cx quibus Solftitii momcntum potcrit dcfiniri.

§. 9. Sequar autem primo mcthodum Ccldb.
JHalleii, quam cxpofiiit in Transa(ft. Anghc. A. 169,?,^
rcpetiit dcnide Dau. Grc^orius in Alkon. Fhyl'. ct Gco-

mctr.

f

OBSERrJTIO SOLSTITII AESTIVL ii

metr. Elementis pig. 2^1. Edit; Oxon. eamque ap-
plic:ibo ad callim illum , quem altitudines tres priores
exiiibere polfunt. Refenit idtirco DHM. Tropicum cj l^
C;uicri , ct curuaEFGH illam lineam , quitm Sol mo-
tu fuo proprio circa Solititium defcribit. Qiioniam
puncta E , F , G , non multum dirtant a purnflo Sol-
rtitiali H, erunt lineohe GB , CF , ED, \ti quadrata
arcuiim HG,HF,HE, \el vti quadrata his proximc
acqualium B H , C H , D H , aut G I , F K , E L , per '
Lemma XL Principp. Newtoni. Quarc curiia EFGH
erit quam proxime Parabola communis Apolloniana;
atque, pro inuenicndo punclo H, data erunt reqiien-
tia , DC,CB, diiliintiae obleruationis primae et fe-
cundae , iecundae ct tcrtiac ; L K , K I , difFerentia al-
titiidinis primae et fecundae , fecundae et tertiae. Po-
iiantur crgo DB=^, CB — z), LI=:?«, KI = «,BH
— .r, Hlzrj, et \ocata Parabolae parametro — j^ , eft
T./)F — .V-, \t\p — ~. \\. pj-^-pnzzb'^ •-\-2.bX'^
X' , in. py -i-pm — a'-i-z ax -\- .r^. Subftituto va- •
lore ipfius p in H. fit -^i—^^—y^ in HL fit J^^^ax
— " r ; hinc itCquatis -yaloribus ipfiusj, eft xzi-°^^^^^-^-

< 0- Qiiodii iam appHcatio fiat ad obferuatio-

^-]tas, crit «— 2 , ^— i , w/~ 50 , «ri: i<5,
-■''■ /; /

adcoqiie xzz:-^\zzi9 20, vnde concludo Solilitii mo-

h /

mentum fuiife Petroburgi die lO lunii ft. v. 9 co,
:'^ nierdicm temporis \cri ; quo tcmporc Tabuke

Hireanae exhibcnt locum Sohs in 3129 59 ^9, ^]ui

B a a vero

rz OBSEm^JTlO SOLSTmi AESTirt,

//■
i vero Solftido noiv nifi 31 differt. PofTem qiioque

•ilias tres altiriidines airumcrc^ atque ex iis momen-

tum SollUtu rcpcnre : lcd quia nuUis magis fido , quam

ttibus prioribus, in liis acquierco.

§. II. Qiiodfi cx iisdem datis inquiratur in Sol~
ftitii momentum iuxta mctliodum b. Alajeri noitri , in
T.II. Commentar. Academiae huius publicatam p.185.
crit , liibtrac^a altitudine prima a reliquis duabus , i'e-
ries altitudinum o. 34. 50. dierum vero o. i. z. po-
fito itaquc dierum numcro .v, crit formula pro exhi-
bendis altitudinibus 43.V — p.v^, cuius differcntiale ae-
qu-atum, nihilo, ex mcthodo de maximis et minimis,
exliibebi.C 4^3 c/.v— . iS,v//.v— o ,, vel- x- ~ 2 -5-^ , vndc
additis diebiis S ab initio iiibtradis oritur Solilitii mo-
mcntiun luaii lo-pf idcm qaod antc cx metliodo Hal-
ieii; id quod ex tribus aflumtis altitudinibus ncceiHi-
rio lcmper fict , cum vtcrquc in hoc. cafu pcr tria da-
t\ punfta Parabolam communem. dcfcribat. Cum ve-
ro in Hallciana Sohitionc non liceat plura iunulquam
tria piinfta cHgcrc, ^tpotc pcr quac Parabola ordina-
ria dcterminatur . id Juigiilar^ habet methcxius Mai«-
iiana , (juod cx pluribus iimul quam tribus punc^Q^^
llitiiim dcterminare poifit. Vcrum enim tc' • ^^^
calli neccfTc eft, vt Curua motus Solaris R^ > -^
niatur clTe Parabola altioris gcncris, non .wix. ^iv
tiaria , id qucxi dcmonftrationi Hallcianac, quod ncm-
pc Curua EFGH lit Parabola vulgaris, ccnitrariarii
vjdetiir .

Comni^nt. Autd: Sc sTertiVJ. TaS.H^^. /^-

B

r'^. 3

Comment. AutdSc /Em VJ. Tai.H.^ /O.

A '^c^ ^

\

oBSERrjriO aOLSTlTir AKSTiri. 13

$. 12. Quod ;id altitiidinem Solftitialem attinet

«a ex methodo Halleiiina deducitiir fuiire 53 32 n.
Sin igitur alfumimi Obliquitatcm Eclipticae in Tomoll.
horum Commentar. pag. 512. :\ Clanir. Deflsle pu-

o / //

bhcatam, 23 -^8 30, eruitur exmde Elcuatio Aequa-

o / //

toris PcQopoHtana 30 3 4-1 , quae noii male congrijit
cum eii , quac media elt inter vtramquc loca cit. rty-

pertara, uempc 30 3 5.8..

DE VNGVLIS CYLLMDIIOIIVM

VARII GENERIS,
AVTHORE

Georgio JVolJfg. KraJJh

INueniuntur pairun apucl fupcrions fecuh Geomctras^'^"""^
Thcorcm.ita de, Vnguhs viuiorum Cyhndrorum ,
quas quihbcL eorum propria hbi mcthodo , et ma-
gno ingenio, examinauit. Praccipuam libi laudcm in
hac matcria comparauit Gregonus a Sancto l^lncnitio ,^
qui integro^ tradatu egit dc Vngula Cyhndri. Circub-
ri* atquaParabohci,. vbi omncs earum proprietitcs acute
admodum eruit,. ita: vt mira fit ibi copia: Propofitio
num, quac Calcuh Integrahs hodic imperio fubfunc,
cuius fehciltjmae inucutioni ihc ingenio liio propius quafv

1

B 3 prae-

X4. DE VNCrUS CTUNmORVM

pnclurit. Occiirnint fubindc ali:i inucnta huius gene-
ris Rob.rualli , ff^allifii , aliorumque , quaclibct Aufto-
rum fuoruin acumine dignn ; oltcnditquc Ccl. Halkius
phyficum uHqucm c:irimi vilim , in exhibcndo propor^-
tionah gnidu caloris Solnris, qu:imdiu in loco :ihquo
d:ito Sol cft fupra horixontem. Vid. Trans:i(ft. Anglic.
16^93. p:ig. 878. Triphci autcm cura omncs circa
hacc corpora verfiti funt, dum aUi foUditatem eorum,
aHi fuperficicm, alii vero vtrumc]ue, examinaucrunt j
methodo autcm non vna omnes vfi fucrunt, fcd qiii-
Hbct taicm fibi ielcgit opcram, in qua maxime ver-
fitus eflct. Fateor, ncgotium no(h-a aetate non am-
pliib , qua tum , diiiicultate prcmi : dcdi tamcn opc-
ram , vt in hoc lcripto , ope mcthodi a rcccntioribus
inucnt.ic , ct liodie pulcherrime excultac , eidcm filo
inuentionis dincrlorum labores innccftim , adiiciamquc
praeterca Cylindros hucusque non examinatos, in quo-
rum Vnguhis, carumque foliditatcm in.juiro. Qiiamuis
cnim \ia :id hoc Propofitionum gcnus cuka admodum
hodie fit, et ftrata : nou eam tamcn ob id minus tre-
c]uentandam eire cenfeo ; quippc quac inuentaeit, non
vt impediret, icd vt adiuuarct Geometriam, ciusquc
nobis foccunditatcm indicaret.

§. CL. Notiifima eil: Fudulis Deiinitio Cvlindri ,
quod ncmpc fit, foHdum ortum cx rotationc rc^T:ui-
guli circa l;itus altcrutrum pro axc aiTumtuiTi. Cum
•ycro hacc Deiinitio non comprchcndat nili Cylindros
Circulares: melius pro mco initiruto allimiam dcfcri-
ptionem Sercni , qui , ailumto plano hor-zontali circu-

lari ,

FJRH GENERIS. i$

liiri , fupponit , illud furrum moueri motu fibi fempcr
piinillelo. Prout igitur moais hic perpeiidiculariter
proccdit ad phuium horizontale pro bafe afTumtum ,
aut inclinate , Cylindrus vcl Redus , tcI Obliquus ex~
exfurgit. Ad hanc itaque imitationcm afllimam pla-
num horizontalc pro bafe , loco Circuh curua quacunquc
defuiitum , furllim motu fibi femper parallelo moueri;
qua ratione Cylindri diuerfi , pro diuerfa natura Curuae
in plano alTumtac , oriuntur. Atque Obhquorum qui-
dem Cyhndrorum tradationem pecuharcm praeteribo ,
fjuoniam quicquid de Redis dcmonrtratur , debito mo-
do adhibito ad Obliqnos ficilc poteft apphcari. Itaque
appcUabo Vngulam , fohdum ortum ex fcdione Cy-
lindri cuiuscunque ad axem' eius obhque facfla , et in-
choata in altcrutra cuisdcm Cyhndri bafe.

- §. 3. Leui autem attentione patet, duphci fc(flio-
nis modo polTe erui ex Cylindro Vngulam , prout
nempe fectionis initium fit aut in ordinata ahqua , aur
■vero in ipfo Axe , bafis Cyhndricae. Ihas vocabo Vn-
gulas per Ordinatam , has vero Vngulas per Axcm.
Ita ex.gr. pofito axe AB, apphcata normah B C , efl: Fig. i. '
ABCH Icmi-vngula per Ordinatam • fedABCHfemi-
vngula per Axem ; vtque liabeantur Vngulae integrae , ^'^' ''
ibi addenda eft aequahs femi-vngula ex parte ipfius AB,
hic vero ex parte ipfius BC. Videbimus mox, has
Vngulas inter fe efle diuerfifhmas ; quamuis hacc di-
ftiuAio apud citatos Aucflores nonoccurrat; vtpotc qui
modo hanc modo iham elegerunt, prout viiam altera
commodiorem methodo adhibendae iudicarunt.

§. 4-

i(^ DK FNCrus cvnKmoBrM

^. 4.. h\ qiialibet fectionc Cylindri ciiiii^iinquc
efficitur ninu Ciirua , in iinxiiiicic Cylinciri tciniinuta ,
(juae primo loco erit £xaminanda. Sit iginir lemi-
r>e I- cylindriis ABCDKF, ciiius Ixiicb iijnt ABCetDt.F,
plana terminata curua quacunque AC, DF^ transeat
primo iectionis planum per ordinatim applicatam BC,
quae lit normalis ad Axem AB, \t exinde oriatur
lcmi-vngiila per ordinatam BCKHIBA. Apparer
itaque, ex hac fcftione ortam cii*e nouam Curuam CKH ,
cuius axis idem ci\ cum iixe ledicHiis, HB. Pcr pia
num noua hac icdione terminatum intclligatur trans-.
ire balis L I G K M , parallela bafibus Cyhndri , ct com-
munis fedio phuiorum fit IK; ibtim, intelhgitur, duas
hasce curuas communcm liabere ordinatim apphcatam
IK, abicii!:is \cro GI et Hl ciTe in ratione reftarum
conihmtium AB,BH, ob triangiihi HGI, et HAB
fuTiiha ; adcoque abundc patct , curuam ex tali ic<ftio^
iic oriundam dimeniioncm baicos iliae nunquam mutare ,
fed ad candcm indeterminatarum dimenlloncm allurgcre ,
ad quam curua pro baic ailimita aiTurgit. Ita ex. gr.
fj bails ilt Parabola Apolloniana , cuius acquatio, voca-
ta Paramctro /; , eil p.GlzrAK- , crit , ob G I ; Hl

nrAB: HB, GI^-^^B^^, ct acquatio altcrius curuae

HKChaec: ^xHlnrlK-, quae lul^ebit Paramc-

trum ^^ , \ti illa habuit folam p. Atquc hoc c(t
quod cicmonflrat <-) Satidio Vbh-cmtio^ cx lcdionc Cy-
iindri Parabohci rwfus cmcrgcrc Parabolam , icd diucr-
(iie Parametri. Rcferri liuc ctiam potcit inucntum Sc -
reni , quj intcr Vctcrcs primus docuit , F.lhpiin producL

quoquc

yjRII GENERIS. ' 17

qiioqiie pofle ex fedione Cylindri; talis enim fedio
producit curiiam vngiiLirem , quae , vti oftenfum eft , a
dimenfione bafeos fuae nunquam recedit. Idem plane
ratiocinium eft in Curua tali orta e fedione per axem
AEH. Eft enim et hic DEiziPM, et abfcifla noua
HD ad priorem CP in ratione conftanti ipfius HB
ad CB.

§. 5. Indagare niinc igitur oportet formulas ge- jabuia 11.
ncrales harum Vngularum , et primo quidem earum ,
quarum fertio incipit in ordinatim applicata BC ad axem
bafeos AB normali, et continuatur fub angulo ABD Fig 3.
quocunque oblique ad axcm Cylindri B F vsque in D.
Sit in hunc finem femi-cylindrus redus quilibct, ortus
ex defcenfu figurae ABC per perpendicularem ADE.
Cuniae AMC axis fit AB, ortliogonaliter applicatae
P M , B C , et fiat fcdio per ordinatam B C , termi-
neturque in D, vt inde cxfurgat femi-vngula ABCD.
Ducatiir applicata quaeuis P M , cum alia infinite pro-
pinqua p m \ ex pundis M , 7« , P , /» , demittantur per-
pendiculares M N , 7« « , P O , /)(? , et coniungantur pun-
di O N , 0 /7 , vt habeatur Eiementum Vngulae dimi-
diae P77. Pofitis itaque ABrr ^,BC~<^, AD=:f,
B P zr .r , P M nnj , erit Elementum areae YpmNi.~ydx ;
ex analogia AB(^): AD M^PBCr) ^PO^^^^^rrMN,
fiet elementum femi-vngulae per ordinatam , quam ex-
primam per ^Vzn^; fed Integrale ipfuis ita fumi
debct, vt fido in eo .x— o, fiat V = o. Eademfe-
re fbrmula fit femi-vngulae per axem. Sit enim et
hic KV> — a, BCzz^, CD = t-, APi=.v, PMz=7.

C Ex

i:8r DE vmVLlS CTUNDRORVAl

Ex fimiUmdine triangulomm PMN et BCD orictur ana-
logiii haec : B C (Z^) : C D (f) ri P M ( J ) : M N ( ? ) ■, ergo
area PMN^ quae el\—-^, duda in elcmcntum Pp-
vcl «'.v, exliibebit elementum femi-.ngulae per axem.
lecflae, qunm exprimo pcr (fu—--jj~\, cuius Integrale-
ita fumendum, vt hOiOj—o^u euanefcat.

§. 6. In iisdem Figuris eruitur quoque clementum)
fuperficici vtriusque fcmi-vngularis. Nempe ex prio-
£^.3. ribus iiabetiur M/«— V («'.v ^ -f-^j' ^ ) , adeoquc pro
femi-vngulis per ordinatam N M x Mm ~ ""^ ^\ ~^^-'' ^—
^S, quae formula erit pro determinandis fuperficicbus
femi-vngularum pcr ordinatas cfectirum; eius vcroln-
tegralc ita fumcndum, vt fidta .vzr o , liat S=r o. Pro.
fuperlicicbus vero femi-vngularum per axem ficlis , crit
MmxMN = ?-2^^^-^z:^^.f, cuius Intcgrale ita fu-
mendurn , . vt fida j :=^ o , fiat .f zz: o . .

Fig 4-.

^, 7. Accedam nunc his pracmiffis propius ad cxcu-<
ticndai; . variorum Cylindrorum Vngulas, et primo qui-
dcm ad... eas , quac ongincm fuam dclx:nt Cylindro com-
TnbKia ni. ixiiiui^ fcii Circulari.. Sit igi^tur fcmi-cylindrus Circu-
^^'-^' laris AF,.atque. efecctur. ex eo Vngula dimidia EOD ,
pofitis B P - .V , P M — j' , B A :3. ^ , B O — l^ , C A ra-
dio circuii' "?', crit AP~<7 — .v, atque ?K — 2r — a.
-+-.V, vnde, obPM = — APnPK, crit j'~V(2ar-

a~ -+- 2.-a,v~-2r x — x ,-')■, vndc fi t — ^j x dx — x <ix
y_!^nj^y^ (1? ^ 2;^ .V — 2 r .V — .V " ) =r ( xdx — a- r. dx )

y,( 2^r-«,- --H za x-^r x-x~')-\- a-r.j.dx. . Quac.

forrau.-

J^JRII GENERIS. \^

lioimuh fi intcgretiir fic , vt fado .r ~ c , fuit V — o ,

oritiir V =:^^-2'- -h'-^PBOM; vndc patct, gc-
neralcm totiiis vngiir.ie Cubaturam dcpendere a Qiia-
dratura fpatii Circularis PBOM. Si vcro fecftio intel-
ligatiir fieri per ipfum centrum bafeos C , tum fict ^~r,
l) — t\ quo fa(fto membrum fuperius non - intcgrabile
cuanefcit, fitque V z:z^-~~~. Pro tota Vngula dimi-
dia obtinenda ponatur jirro , veKrrr^, eritque V^ —
'ij, hoc elt: fcmi-vngula per ordinatam Cylindri Cir-
cularis , cuius fcdlio transit pcr ccntrum Circuh C , ae-
quahs ert Pyramidi quadrangulari , aiius bafis ell Qiia-
dratiim radii CA, et altitudo AD.

§.8. Pro cruenda fohditate femi-Vngulac per aXcm
'eiusdem Cyhndri, alfunii debet AP pro abfcilfa ; qua-
re retentis reliquis prioribus , et vocata abfciift APir .v,

•erit nmic j- =: 2rx— .1"- , et —^—j-dx—trxdx—
x-dx^ cuius Intcgrale fumtum ita-, vt pofito x—o
euanefcat « , cd: « — -^ — gy , vnde patet , hanc Vn-
gulam pcr axem abfohite integrabilcm eife. Si pona-
tur x — a, erit femi-vngula integra r~~|' — -|^; fi ve-
ro fit f7~r, erit etiam b~r ^ quare lohditas Vngu-
lae per axem hoc cafu crit 'ij^ , cadcm quae prioris
Vngulac per ordinatam in eodem calii.

§.9. In codem Cylindro Circulari , pofitrs omni-

b?isvd;n§.7.eruiturV(fl^.v=-4-^/-)=:vr?^a'-_i^---57^i^-

— I£!5 V rl -fi — — x^[dx"-^diy'^) xdx — c — r.dx

' IM 1 VilUC 111, ^„ *— -, *r/ 0^1' r.2 1 n /T VI rt 1

C 2

80 DE FNGFLJS CTLINDRORJ^M

a — r- dx

y

^ quac aequAtio integrata fic , vt pofito xzrOy
et coufequcnter ^'~/', fiat Sz::o, abit in hanc Srz:
cr~.cry-+-c.a—r.ow.^ cx quo patct , Qiiadraturam gcnera-
lem fpatii vngularis dependerc a rccflificationc arcus cir-
cularis OM. Si vero ponatur rurfus fcdio transire
per Centrum C , erit ^ — r , ct Z» zr r , quo cafu fit S—cr
— cj, et abcunte „v in r , hoc eft , fiKfto j —O^ erit
fpatium integrum femi-vngulare ODA~cr~ Reftan-
gulo ADxAC; vel deniquc pofito firrr, erit idcm
fpatium ODA — r^, id eft, aequalc Qiiadrato radii ;
quod Tlicorcma Fajcalio adicribitur in Comment. Acad.
Scicnt. Parif Anni 1707 , pag. 330. Edit. Parif occur-
rit vcro idem quoque in Gregorii h Sancto l^incentio
Tracfl.itu dc Vngulis Cylindricis Prop. LV. Tajcalius
quidcm Theorema pronunciauit de fummafinuumomnium
redorum totius Qiiadrantis ab arcu AO perpendicula-
riter demilforum : fed facile eft demonftrare , f nus hoc
modo demiifos fupcrficiem Vngularem modo expHca-
tam cfficere in taU Cylindro.

§. 10. Pro fiiperficie femi-vngulari per axem fe-
da, fit iuxta du^ftum §. 8. j/rrV ( 2;\r- .v - ), ct
Vidx^dy^)-''^, quare '4^-j-V {dx^- -\-dj^- ) z=z
rdx^ et fatfta integratione fic vt abcunte x in 0,
et confcquenter j ~o^ fiat j- — 0 , prodit s —
^, atque tahs fuperficies abfokite eft quadrabihs. Po-
fito igitur .vzr^, eft fuperficies intcgra zn"!-, ficfla «
izr, et conlequentcr Z>— t, eadem fupcrficics eft cr^
et pofito deniquc rizr, eadem cft— r=; hoc eft, ea-
dem cum illa , quae exlurgit ex Vngula per ordinatam
hoc modo fedvu §. 11.

FJRII GENERIS. 21

§. II. Sit Cylindrus Pambolicus AEOEGF, po- ^'^- 3-
niintur ia eo AB = ^, BO — Z», ADzz^-, BP — x,
P M — j , parameter — I , erit APzz:^ — „t, atque pro
infinitis Parabolis erit AP — PM"", aut vero <?—;(;— j'^ ,

vnde deducitiir V — / ^ ^^' ^^^my^^^dy — a my "^ dy , quae
aequatio integrata fic vt pofito X—O^ confequenterj'"^,

fiat V-=o, dabit hanc: V= ; 7-^"^;-^^-^^^

quia nempe efl: etiam a — b'^. Ponatur x ~ a ., aut
quod eodem recidit j := 0 , habebitur ibliditas integrae

femi-vngulae ABOD — ;; ; — -. Igitur pro

^ (2 m-\' i^im-i-j) ° ^

Parabola ordinaria , in qua m=i 2. ^ obtinebitur fohdi-
tas femi-vngulae per ordinatam ^7-^ , hoc eft , aequa-
lis Pynimidi quadrangulari , cuius bafis eft Redangukim
ABxBO, altitudo autem f AD.

§. 12. Pro eiusdem Cylindri Parabolici Vngula
per axem , aflfumenda erit aequatio fequens x—y'^,

quare - — —y-dx—my^^-^WIy^ quae aequatio inte-
grata fic vt pofito y:i^o^ fiat quoque u~ 0 ^ dabit « ~

—7 — - — ■• pofito v — b. emcrgit foliditas femi-vngu-

lae per axem integrae— — . Fit ergo pro Pa-

2. (;;;-!- 2)

raboiis ordinariis, in quibus w~2, foliditas femi-vn-
gulae per axem — '.Jf — 5^'^' ob ^zr^% hoc efl, aequa-
iis Pyramidi quadrangulari , cuius balis eft Redangulum

C a AB'

&1 DE rNCFLIS CYLINDRORrm

ABxBO, akitudo Aiitcm ^r. Eft itaque Vngula prior
tid hiinc in mtionc 1 6 ad 15.

§ 13. Pro (upcrficicbus hinim Vngiilarum refu-
matur acquatio §. 11. a — x—y'^^ ne autem calculus
euadat nimis molellus, alTumamus tantum, pro Para-
bola Yulgari, a — x—j', erit itaque V ( r/.r - -f-^j-)
:=djV{^y--\-i), hinc v = .vVC^a- -{-«>= )rr

{ady~y-dy)V{^y--\-i )— ^[^y^.^\ ) —

^'^^'J(Xy^Tf~~\ cuiub Intcgrale vthabeatur, pa-
no illud appariturum cflc fub hac forma («>'— pj^)
y ( ^y- -4- I ) _|- y/y-—^-^ ; fada diffcrentiatione hu-
ius e.xpreirionis , ct tcrminis homologis comparatis, in-
licnitur a — — 5-5 — , p~^, y— — j^-'~-> quibus lub-
flitntis oritiir : S == f ( '^^T'j - i/ ^ ) "^' ( 4-J'' H- 1 ) -

~3l^~*^vl+3'^H^~^ '+'*^"'^'"''^'^ diqua. Scd notum eft,
jncmbrum huius aequationis inintcgrabilc dcpcndcrc a
Qiiadi-atura Hy.perbolae^ quarc etiam luperiicici huius
Vngiilaris Qiiadratura ab cadcm pcndet.

§. 14.. Pro fupcriicie vcro Vngulac Pai-aboHcie

per axem afTumo .viz: j-, vnde V {dx--{-dy- ) zzdy

y(4./2_|_i)^ et ~=yV{dx--^-dy-)—ydyV{^

j^-hi), quae aequatio fic integrata, vt pi^fito yzzo

^ ■■ r c{^y--\-i)-- c ;
fiat .f~c>, efficit fequentcm : .fzn — — ;

ex quo apparcr, liaiic Vngulam per axem Gcomerri-
icam haberc fupcriiciem , quac , pofitoj— /', integra

,. c{^b- -\-i)^ — c

cuadit — -IZ !

i:ib

§. 15.

/

Commrnt Ac^d Sc Tomn.Tabm

•/'=*

P C HIJ

'. Z

FAKII GENERIS. 23

Tabula 111;

§. 15. Adumumus nunc CylindiiUTi Eliipdcum A "^^p^^
GREF>; in quo fit EUipfcos femi-axis maior AC=;;;,
femi-axiV minor C G n^ ;; , A B — ^ , B O — Z/ , B P — .v,
PM.— j',, critque APz^rt^-.v, FKzzzm-a-h-x^ atque
ex nota Ellipfcos proprietate habebitur — zzlV {ae~i~
fx — ■V- ) pofitis nempe '2.111— a—Cy atque a — e ni:/, vnde
onetur "^ -xdxV{ae-^fx-x^ ) - {xdx-^fdx^Viae-^fx '
_v^ )-\-^fdxV{ae-\~fx~x-)—{xdx-^fdx ) V (^ae-^fx
-X')-r- VnJ^^ > ciiius Intcgrale ita fumtum, Yt porito x—o>

J X 4

,. ,j , , . TT a^e^^cii-ai^ae-^-fx — x^)-,

«uandoit V, dabit Vzr ^ -^ -f-

:^am

^xPBOM, ex quo patet, gcneralem Cubaturam hu--
ius Vngulae per ordinatam dependere a Qiiadratura fpa--
tii Elliptici PBOM , ct conrcquenter a Qiiadratura Cir-
culi. Si vero ponatiir /— 0, hoceft, ^ — £>, fi fcili-
cet fupponatur, fectionem transirc pcr ipliun ccntrum
EUipfcos , quo cafu cfl: jn~a^ n — b\, tum euanefcet-

membrum aequationis non - Intcgrabile , eritque V rr:

3

la'^ c-n-e!i{m^ — x-)^ . ^ , ^ . .
— ; itaque n x abeat m ;//■, m-

m -

ucnictur foliditas tahs Vngnlae dimidiae integra haec
'y^, hoc cft, iir Cyhndro EUiptico fcmi-Vngula per
ordinatam , cuius fedio transit pcr ccntrum , par eft
Pyramidi quadrangulari , cuius bafis efl Redangulum AG
xCG, altitndo vero AD.

§. 16. Si quaeratur eiusdem Cyhndri EUiptici Vn -
gtila. per axem, tunc erit, vocata iara AP,.r, mancn:-

dbusj

£4- DE FNCrUS CTUNDROIWM

tlbus reliquis vt modo ante, y^ —"^-^^"^^^ vnde ~^

~y(/x—. m- ■) cnuis Integmle debito mo-

I

do lumtum emcit : u — — ^2^ , ex qno perlpici-

tnr, talis Vngulac Cubaturam abfolutam dari. Abeun-

te ,v in a crgo, erit Ibliditas talis femi-Vnguiae per

i

axcm nitegra ~ — ■^hm^ ; et fi leetio termnietnr

in centro Elliplbos, hoc efl:, fi fucrit a—m., bzi^n.,
erit z/— Y^, hoc eft, aequaHs Pyramidi quadrangulari ,
cuius bafis eft redangulum A C x C G , akitudo vcro A D.
Superficies antcm harnm Vngularum, cum non nifi
prohxo calculo ernantnr ; nec non Vngulas Hyperbo-
licas, cum facile ex EUipticis, mutatis tantnm fignis,
deducantiu:: breuitati ftudens, lubens praetcreo.

§. 17. Examinatis itaque VnguHs qnae ex Cylin-
dris fedionum Conicarnm orinntnr, transco ad ahas
qnasdam Curnas \ vbi quidem primo praeterire non pof-
fum illam Cnruam,cuius Celeberr. loannes Bernoulli men-
tionem ficit in Adis Lipf. Anni i6g$. p. 550. et quac
exprimitiu- aequatione diffcrcntiali hac x^ dx-\-y- dx
zzia-dy\ cuius Indeterminatae feparari nequennt. Do-
cet ibidem Cclebcrr. Vir inucnirc aham Curuam , quae
per puncfta flexns omnium Curnarum aequationi alle-
gatae competentium transeat. Eandem curnam admit-
tere quoque Integrationem abfolutam Vngnlae fuae per

axem , Itatim in oculos incnrrit. Eft enim in ea %f

1

' — — =^^ —du^ confequcnter u~ ^b — ^^-

§.i8.

rjRII GENERIS, a5

§. iS. Sit Cif!^)is AMK^ cuius circulus genera- "^^pf * ^^
tor ANEB. Pofids AP:=/, ?I\{^j, AB=2r, '^' ^-
liat llclio pcr oruinni<im HK, it;i \t iint AH — <7,
HKzr(^^ at«.]ue crit, cx natura Ciflbidis, aequatio f^
— 2 rj' - tj- \ vocatd igitur H P ~ .v , vt tbrmulae uo-

n .. • • • . odV j (a — x) <2.xd.X -n

Itrac natura rcqumt, orietur ~—yxax~);jY£^—^.Vo-'
natiu: denuo a — xznt ^ et iiibdituatur hic valor in ex-

3

,v • . •.. "'^V t-^(tdt—acSt) t'dt—ai^dt ^ ■

preflione inucnr.i, cnt — — ■ v( : r~^n~ — vTyr^P)- Q^^^
sutcm praeuidco, Integrale huius formulac habiturum
eiTe lianc faciem generalem, ( ct^- -1-S/-+-'V)^'-^^'"^*)
-f- ^J''-^{2ri—'F) 1 comparo terminos homologos poil fa-
Ctam diiferentiationem , ct innenio ctrr— ' ^-—^^ — »

y — —2 , 0 — —^ , qnibns fubftitutis , et ex-

preiTione fic ordinata, vt abeunte t in a, fiat V — O^
habctur Integrak complctum f - (-'-^^"- -+- -3^-^ / - 1
r)V(2r/-/=)-(5r-.3^)NCI~*-^-i^:^V^(2^
r — a-)-^ vndc patct, Cubatur.im generalcm huius Vn-
gulae per ordinatam dependcre h redificatione arcus ■ -
Circularis NI. Si dcfiderctur fohditas fcmi-vngulae
intcgra, ponatur t~o., qno fido fiet NCI — ACI,
atque habebitnr V ~ -'■ ' ~'^1~'^'^''
i-xACI. vnde fi ponatnr a:

hoc eft, fi c^a\ crit haec vngula aequaUs Cyhndro,
cuius bafis efl Circulus generator, altitudo radius AC.
Cum vcro recti BF, perpcndicularis ad Diametrnm AB^
fit Afymptotus Cifloidis AK, cuidcus eft fcmi-vngn-
gulam ralem , cniiis feclio fit iuxta orduiatam BF , por-
Tom. n. D rigi

Fig- 4-

26 DE VNGVUS CTLINDKORVM

rigi verfus F in infinitum • qiiare huiiis folidi infinitc
magni foliditas erit finita j id quod olim miriim \idcba-
turGaJ]}ndo^?hyi'. Sc€t. I.lib. 3. cup. 5. Opcr.Tom. I.
poftquam yidcrat Caualleriuni ct ToyiceUium fnnile quid
dcmondralfe de alio quodam folido infinite longo. Si
vero ponatur a — i{., euanelcct fedor Circularis, et
femi-vngula per ordinatam hoc modo genita crit —
-^^, hoc cft, aequalis Pyramidi quadrangulari , cu-
ius bafis acquahs quadiato radii A C , altitudo ve-

ro ~ — c. Eiusdem vcro Ciflc)idis Vngula per
axem inuenictur depcnderc a Log;arithmis.

§. 19. Sit denique Curua CMA C}'clois, orta
ex reuohitione Circuh gcncratoris CEB, fintque AP
~ .V , P M zz:y , B C ~ Z» — 2 r , et fiat fedio iuxta axem
A B , ita vt oriatur femi-vngula per axem \ erit acqua-
tio ad Cycloidem y-jy^=^— ?~) — ^-v , quarc — "— j^d^A,'
— vTfr/:rj^)i cuius Integrale pono habcre hanc for-
mam { a.y- -^'^j -\-y )V {zry -y- )-\- (5/y^^j_^j ,
vnde fida differentiatione , et comparatis terminis ho-
mologis , fiunt a =: - .} , S 1=: - L'* , y ■- _ y' , ^— %\

tiL quo oritur ^"~ A-(.' j^-f-yV-f. ^^'•')y (20>-j2)

"^ 5^/vi:7>=>^i ex quo patct, Vngulae huius fohdi-
tatem depcndere ex Qiiadratura fecloris circularis. Con-
cipiatur vero fpatium Cycloidale ABCMA vohii cir-
cii axcm AB per circuhim MON: erit pofita ratione
radii ad periphcriam zz i ; 7: , pcripheria intcgra MON ,
radio PM=r;/ defcripta, zznxjy ct arca intcgri illius
Circuh — "^^^ quac ducla in clcmentum Vpzndx et

Co-

FARII GENERI3. a«7

Conoidc , ex hac reuoliitione oito , pofito zn k , dabit dk

— ■ny''dx — -ny^dy _ ^ , , ::bdv. — . y^dy ^

— o sVlirjy j') ) ^ c "^{^ry jy")' ^^^

Txy >dy Tibdu -^ j 7 Ttbdu

2-^'(1r-j-^ — -?— > ergo erit dfe— -— , quae aequa-
tio fic integrata , vt pofito .v in o , « euanefcat , efficit k

— — - , aut ?/— -3, vel erit Vngula mtegra zu^—^
Si ergo ponatur ^^ zr i , vel c~'^ — peripiieriae
Circuli gencratoris, habebitur ^ — w, hoc eft: fi fue-
rit altitudo Vngulae integrae aequalis peripheriae Cir-
cuh generatoris: Vngula integra aequalis erit Conoidi
orto ex integra circumrotatione femi-Cycloidis AMC
circa axem A B , quod Theorema eft JJ'aUifii m
Tradatu de Cycloide pag. 501. Praeterea fuperfi-
cies femi - Vngulac per axem eruitur 37737] —
^/j^^yy 7 cuius Integrale fic fumtum , vt pofito jzzzo ,

Ut S = 0, dabit 8^cr_(cWJ:r)V(4>-'-20)__^_ ^^^^^^_^

te vero j' in 2.}\ erit .f— . ^^'"- vnde fi altitudo femi-
Vngulae fiat -|;', erit eius fuperficies aequalis Qiiadra-
to radii Circuli generatoris.

?:if

D £ SO-

aS SOLVriO SI^OFLARIS CASVS

SOLVTIO

SINGVLARIS CASVS

CIKCA

TAVTOCHRONISM\M.

AVCTORE

Leonh. Eulero.

c

§. I.

Tabiiia IV, | ^j^ jintc annos tres CLiriflT. Betmulii methodiim
innumcras ciiriias tiuitoclironas in vacuo inutnien--
di proponerct, mcntioncm fccit problematis non parum
clcgantis, cuius Iblutioncm hac fchcda datiuus fum..
DitRcillimum quidem co tcmpore videbatur hoc pro-
blcma , ct proptcrea parum Ihidii ad id fohicndum im-
pcndcbam. Poftmodum vero cum diligcntius in taii-
tochronas pro fluidis inquifiuiflem , vniucrCilcm dctcxi
mcthodum problcmata huiusmodi omnia fohiendi , quae
€tiam mc ad. folutionem problcmatis illius manuduxit.

•Ig. T.

§. 1.. Problcraa auccm hoc cfl: Datae cumae A
N B in B acliun^erc cuniam B M C ciiis proprictatis., vt
cinnes cJeJccnJiis grauis aJlcithi in curiia BMC incipitntes
'vsque ad imum punilum A fiant temporibus aequalibus^
Oportct crgo inucniri curuam B M C , ex hac condi-
tionc, vt (iimto in curua BMC pro hibitu puncto M
Ecmpiis dclccnfus pcr M B N A fit coniI<uis , neque pen-

deat

CIRCA TAFTOCHRONISMFM. 29

deat a loco pundi M. Seu tempus defeenlus per M
BNA aequiile efTe debet tempori dcfcenfus per cur-
uam datam BNA; qui eft cafus mcidente puudo I\l
in B.

§. 3. Dcfcendat ergo corpus ex pundo M, et
quaeramus defcenfus tempus per arcum MB et BMA,
Dudla verticali BP, ponatur BP~^, quae igitur li-
tera, quia locum pundi M definit , in expreirione tem-
poris per MBA inelle non poteit. Curuae datae al-
titudo AD {\t~c'. AfliuTiantur in \traque curua ap-
plicatae quaeeunque Q_N , et XY iisque proximae ^n
et xy. Dicantnr AQ_— /,AN=rr et BX~.v,BY
31: ij quarum intcr t et r aequatio eir data, inter x
et s defideratur. Celeritas quam corpus in N habebit
eft y(fl'-|-f — /) = "i/(PB-4-DQ^). Adeoque tempus
quo arcus AN abfoluitur eft ~f^.^^^^-_^y Qiiod in-
tegrale ita debet accipi, vt fiat ~o, fi iit / — <?,

§. 4. Deinceps fi ponafur f~r, habebitur fem-
pus per integram curuam datam B N A , quod igitur
erit expofitiim formula ex a et conilantibus compofita.
Nonnullos computaui caftis fpecialcs , ct \idi tcmpus dc-
fcenius per curuam BNA initio defcenfus pofitoinMy
feniper exponi pofie fequente ferie k--aa-^a'^—ya^-§a'^
— ttc.—^V a—YiaV a- & a~ V a— etc. ciiius in c]uoiibet cafii
fpeciali coefficientes a,§,etc. et k poterunt determi--
nari. Hoc tempus igitur additum ad dcfccnfus tem-
pus per M B , conltans eife debet : atque v.t in fummai
omnes tcrmini litera a afFccti fefe tollant, neccflc cIL

D 3 f . 4,

-o SOLVTIO SINGVLARIS CASVS

§.5. Ad tempus derccnfus per curuiim MB in-
uciiiendum, elt ceieritas in Y -zzV {a — x) ct elemen-
tiim tcmporis — i/jiV (^ — .v). Huius integrale ita af-
fumtum, vt fiat =ro fi X — o dabit tcmpus dcfcenfus
perYB, in quo ergo fi ponitur x — a prodibit de-
fcenfus tempus per M B , qiiod cum priorc conflantem
quantitatem ab a liberam coniicere debet. Si puncflum
M incidit in pundtam B, i. e. fi ^euancfcit, intcgrum
tejBipus dcfjcnfus crit tempus defccnfus per curuam BMA,
quod ex fupcriore formula euadit rr/;. Hanc ob rem
ctiam tempus dcfcenfus pcr MBNA dcbet efle —k.
Proindc tempus per MB debebit elfc -—aa-^-^a^-^
y<?'-hetc. 'i-^Va-j-yiay a~]-$a-Va-+-ctc.

§. 6. Koc Yt fiat afliimo pro curua quacfita fe-
quentcm aequationem dsznAdxV x-^Bx^xV x-i-
Cx-dxV X -t- etc . H- E dx -+- F x dx -f- G .v = ^.v-f- etc .
Tempus ergo defcenfus per arcum MB erit — /v(£^*

, /-BxdxVJC ■ fCx'dx^Jx . f E_dx . r Vxdx , ^

-r-7 vT^^ ~T~J V(a-a} -T- ttC. -Jr-J V(a— X) ~T~J V ( a—x ) ~^

/y^^^) -i- etc. lcilicet li intcgralibus his ita iumtis vt
fiant ~o li X — o ponatur vbique x—a. Determi-
nentur ergo coefficientes A,B,C, etc. ita, vt fint

—^^a-J^f—^^—yiaVa-J^^^^-^^a^^Va etc. Af-
fumfi vero ilUim loco ds valorem, vt litterae A,B,C,
etc. non ab a pendentes determinentur.

§. 7. Intcgratio huius 7(^z^ pcndet a quadratu-
ya circuli \ At fi ope logarithmorum imaginariorum in-

tcgre-

CIRCJ TAFTOCHRONISMFM. 31

tegretiir Yt decet, atque ponatiir x — a prodibit ^Aa
y — I , /— I quod aequale e^c debet a a lit ergo A rr
p^27,- Simili modo, j^-^^ integratum dabit \^^
B.«2y_i./_i — g^2^ ftt igitur B=r7^f^— .
Atquc porro prodibit C — ^f^''^^^!, j_, , etDzr — —
773:^7?'. V=nzr, etc. Datis ergo ^,§,7, <5' etc. quae
ex curua BNA nota inueniuntur, determinantur coef-
ficientes pro curua quaefita A , B , C , D , etc.

§. 8. Pro altera parte, quae cft rationalis, efTe
debet / y^lV — ^^'a\ fit autem / yfaTZ^) == 2 E V ^ ,
ex quo prodit Ezr|^. Dcinde J ^ ^—x] ^'^ ~j-^¥a ^
y^, idque aequari debet huic y]aVa^ reperitur ergo
F =: 1;^, iimiliter proueniet G =z |;^| ; atgue H =i;^i:2
et ita porro. Hac igitur rationc detcrminatis A,B,
C , D , etc. cognita erit aequatio pro curua quaefita ds
:=zA(/xVx i-Bx(/xV x-i-Cx- dxV x-\-ttc. -}-E(fx .
--{-Fxc/x-hGx^ dx-{- etc. Qiiac quanquam in infi-
nitum plerumque continuetur, tamen fieri poteft, vt
laepe eius fumma pollit definiri , ficciuc inueniatur aequa-
tio fmita pro curua quaefita.

§. 9. Sit ANB linea retSa ad horizontem incli- Fis.a-
uata ita vt iit A N : A Q_— n : i feu r zz n t et dr—ndt.

Ex quo fit /-yil-^re-— T)— /v(4^— ' ^^"^^- - 2« V
{a-\- c — t) Conftans "vcro haec ert rz 2 /2 y ( <5' -j- c) po-
natur iam t — c prodit tempus defcenfus perEAna//

l-Jc 4.2cVo 8.2.3.c'Vc I 6 .2. 3. 4.C 3yc

etc. — 2 « y (? , in feriem y ( «4- c ) refoluta . Corapa-

retus

32 SOLVTIO SINCJ^LJRIS CASVS

retui" haec forma cnm hac k — aa-'^a-—ya^ — ^a^
— etc.—^Va — y^aVa — e.tc. prodibit k — 2.nVi'., a.~

1.21 £ 1 . I . 2 'I «, -I -1 3-21 ^ \. 1 .3.'; ■ 271

~2^-~ ■• ~^.2.cVc^ ' 8.2-3c'V--'> ° 16.2.S.4-.CJV': '

etc. ct <^ ~: 2 « , >] — 0 , ^ =. 0 , 2 — 0 etc.

§. 10. Cognitis his A^aloribus prodibimt A , B, C,

ctc. Nt icqiumtur. A 1=: ^Ez^Tzrr » ^ — 77^ jr, , C n-

Y,4^c.-izri , D r= 77^j:]z.t etc. E r^ ;/ , F := 0 , G — 0
etc, Pro curua igitur quaefita BMC inuenitur ifta

acquiitio , ^jrr 777=^::i ^ 3^v-=7.i^ ~ ^Tv^c.i::^^- e^C.
-t-«^/.v, cuius integnilis kiec cll s n: ;; .v — .JZc.i^

<T.T YTc ^'' '^~T~T- " i-lJTT^— + ctc. ).^ Facihus au-
tem erit aequationciji ditfcrentialem in cxprcliionem tini-
tam transmutare, ei\ autem ca ivaec ^/.f — ;/ ^.v — :^;r^'^
V "^ -^ 37^"?c= 7^j-T-ctc.;. Qiiac feries expri-
mit arciim circuli , cuius tangcns eil V.v pofito radio

yr, hanc ob rem crit dszzn(/x — i~ ^ ^^^'^-

§. II. Acquatio hacc inuenta ^szLnclx—i— i^J^J^^^^
poteft integrari , proditque poll: intcgrationcm hacc ac-

quatio szz nx—.;^—^fzri- jzrr S'c-v— ^- fhc ipfius s

valor ope redificationis circuli conftruitur fequente mo-

Fig. 2, do. Fiat circuli qnadrans cuius radiusACrrr, duca-

tur tangens ATrr Vtw ct fecans TMC, erit j — —

~ — ' — ^"TcTxE • Namquc cx natura circuh

eft ABrr:-^; et AMm^/^^-^^, \ndc data
couftrudlio ficile fcquitur.

§. 12.

CmCJ TAinrOCHKONlSMVM. 33

§. 12. Ex iiequatione as — nax — f^^ ' v^^jt^ "^P"'
parct cfTe ds-^ndx nili in ctfu a":i-6', quo cl); ^j^jzl.:
n dx : h:ibebuiit enim cui luic A B et B C femper in B Fig r.
tingentem communem. Ex quo uppiiret ciuuam qnae-
fit;im eife concauam verfus axem BP, atque eousquc
fciJicct m C afcendcre , quoad eius tangens fiat vcrti-
calis , in eoque punfto C curuam haberc cuspidem, Al-
titudo igitur huius curuae B E inucuietur , fi in aequa-
tionc ponatur dszizdx. In noftro ergo cafu, quo cur-'
ua data eft hnea reda , dabit x altitudinem BE ex ae-
quatione (n— i ) l— i~ n /^c—^^ic ^^i-i h^c — i ~~_~

n n

n _.

V — .v)i— 1 — 0. Vel etiam fumatur arcus AM— 'i— '^

Al'

AB, et duda eius tangente AT erit xc altitudo cur-
iiae quaefitae.

§. 13. Si aequatio difFerentiaUs inuenta denuo dif-
ferentietur pofito dx conftante prodibit aequatio haec

dds — ^;^^i^z.x.i— i' ■) q^Ja^ pofita ratione peripheriae ad
diametrum 7:: i congruit cum hac dds~^f^^_^^pf^,-^. Ex
bic aquatione cafus, quo c-~(? et « — 00, ita tamen,
vt fit nVi;—Vl/., ficile cognofcitur. Euenit hoc, fi
redla data cft infinitc parua et angulum infinite paruum
cum horizonte conftituit, ita vt tempus defcenfus per
eam tamen fit finitum nimirum zzi^V b. Erit igitur
AMzzAB, ideoque tangens AT infinita rcfpcdu ra-
dii c, abibit ergo c-\-x in .v.^ atque curua quacfita

anc habebit aequationem dds~-^j:^ fcu rfj- — -^svF
To?n. VL E atque

34- ■ SOLVTIO SINGVLJRIS CASFS

afqiie s~^^. H.inc ob rcm curua quaefita erit cf-
dois, vt natura rci rcquirit.

§. 14.. Si curua data hanc habuerit aequatione dr

hfdt
— f-dt^ erit elcmentum temporis y- — - • pona-

tur a-{-c—f ct f-t — z" , erit t=:f-z- et ^— /"

— t/ -^1.2/ - 1.2.3-./ -'i-

etc. et ,';lLi)---~hdz. Hinc.prodibit /^^^ -
Conft. -^hf-z-^-^^j^-^z^-T^-j^^-^-z' -^
T^^' i^/ " ~ ^ -^ "^ - etc . Qiiod cum hao t—o leii
z—.Vf euanexe^-e debeat, erit Conli zzzhj "" Vf{ i —
-^.7-i-';^' - " ."i^"i^-hetc. ). Ponaturdciude ^rif
feu zzziVa, prodibit tempus defcenfus per BAzz^h

1 __1_. "• 'I — !■

§. 15. Ponamu.^ brcuitatis caufli i — j— ^ -+• ^ ^ ^
— etc. —^, erit ilibftituto <7-4-t' loco / defcenfus per

tf2_^etc. - 2/.;.-"y^r=-^^ ^hc''-' aV a — ^~=-
2.^.-"-= «= V^-^l=-'^^. 2^r"-3./ ^Va- ctcet.
Haec fonna comparata cum fn-ma §. 4.. dati k — aa —
g^2 _y ^3 — etc. — <^y <? — >].7y^-Gi/- y<? — ctc. cnt-

n.hpc''-^,,

CIRCA TAirOCHRONISMFM. 35

^hpc^--^ y — -L^-+-2H'i-2)("^J5.) -bpc''-- etc. atque

§. 16. Inuementur igltur littcrae A, B, C, etc,

7l~l

ifi leqmtur A — vZT.tz— l^' — , i^tque 13 —

n-3 «-L

— : ;>( : n-t-i )(2n— 1-)^": 2 (^ _ 2 /;( 2 n-f- ij( ;n- 1 )( :n- 3 )pg ^ ^ ,.-

■ r7^3 . v_ 1 . ;_ 1 ' 1.3 s . V— i -i— i ^'■^'

n— i
hnc

Atque E = /.6% F=:'-'^ , G = ^(ZL-'),-^, H rzH

;j.n.(n— i)'n-2)^.n— 3 £[--. Pj-Q curiui ittique quaefita re-
1.2.3

Tt J_

perkur ifta acqnatio d s — ^:^^]^^ ( H^ c ^ H-

n — 3^ n — 5_

,(2 71-4-1 ).(_2±nlJr 2 .^. I . (;>:-+-i:(:?i— I j(;n— 3), 2^-i;2_j_

etc.'; 4- /^r/.v(c-«^-^.— .v-l-'^T^V"-^v^-|-^^^^

^-3_^etc.)=./.u--+-A0''^/A--B^-T rr:^; -i-

{ 2n-|-i) (j:_n^M_)x I ( 2n-(-i )(2n- 1 )(:n-3)j:- ■ .

i. 3.' cyc ^^ 1. 3. ?. c^vc -T- eic;

§. 17. Qiianquam hic pro curua data hacc tan-
tuin aeqnatio dr — hf^dt cll affiimta , tamen ad omnes
prorfus curuns cxemphim hoc accommodari poteft. Sit
enim curua data iib expofita aequatione d r ~ ht"-dt
'-\-'^t^dt-\-Qt'^ dt~\- etc. Tum quaeratur aequatio
pro curua quaehta primo ex hac tantum aequatione dr
~At*^dt^ et fit aequatio rdiiltans ds — Vdx. Dein-
de fumatar aequatio dr — Bt^dt proueniatque aequatio
d£Zz.Qjix. Similiter ex aequationibus dr zz.Qt^ dt ^

Tabula IV.

35 SOLFTIO SINGFJ.JRIS CASlS ^c.

drrzHt^ (It etc . cmergant iflic ds —Kdx.,ds — S d x
etc. erit aequnrio pro curua quaefita haec dsziz (PH-Q^
H- R -f- S -i- etc. ) </a" , 11 icilicet curua data habuerit aa-
quationem dr — Af^dt-i-Bt^dt-^- etc .

§. 18. Apparet etiam ex aequatione §. 16. fi ftier-
rit « — - ^ vel 2 7 1 j -| etc. fericm abrumpi , atque fta-
tim haberi aequationem 6aitam ; fit dr—bt ~-^ , cur-
ua fciUcet data cyclois^ erit n — — -k ■m]ue ds—:^i~>,
Ex qiio cognofcitur ciuuam fuperiorem anncxam cum
data infcriorc eandem cuiuam continuam uimirum cy-
cloidcm conrtitucre.

DE SVPERFICIEBVS AD AEQ^' A-

TIONES LOCALES REVOCATIS , VARI1SQ.VE.
EARVM AFFECTIONLBVS.

AVTHORE.

lacobo Hermamia.

' Eymetrae de aliis Superiiciebus quam de pra--
uis, aur etiara dc liis quac cx reuohiaonc fi-
gurae cuiusque curuiUneac circa hneam quau-
dam in gyrum adae , vix cogiuuauit liibinde ^ tametfi
infuiities iniijiita genera daufur, ad quae ipceics illae
reuocari non pttHiint. Aequauoncs lucales,quibus omniuni
£ipciikicrum indoics exponi dcbet, trc*. t)mnino mde--
tcrmin.itas inuoluunt,. cum tamcn aequationes ad hncas

curuas.

CommcntAcacLSc.Totn: VJ . Tal M^v.<3t7.

i:-=-UK:s=ar^.vSKS

y

CoTnmcnt.-AcacUSc.Tam: VJ.la,6:I^^'.Jc

f'S-^

E

■

c

H

M

X

^

X

/

V

-H

Zi

P"^^

B.

Y yy- 5

Y B Z

DE S^PERFICIEBVS AD JEOFATIONES.d-c^r

ciiriuis in plano duftis ordinarie duas tantuni indeter-?.
minatas,, coordinatas nempe curuae , complcdantur. Ae-
cellio \ero tertiac indeterminat;\c ad duas illas, quae
•figuris quibusuis liifficiunt, calculum faepe prolixum ef-
ficit. Et haec ealculi proiixitas probabilis caula efi:,,
propter quam Geometrae a contcmplationc nouorum.
generum fuperficierum animiim abitinuerunt.

In. iis vero quae fcqucntur , nonnuUas fiiperficies
qxiatenus aequationibus iocalibus exprimi polfunt , con-
templabimiir , earumquc aequationes quae lele primum
nobis fortuito obtulerunt cxcutiemus, ollonliiri quomo-
do Maximae aiit Miniraae applicatae intcr fiiperficies-
illas et fiibie(ftum aliquod planum duci, tum c-tiam p!a •
na fiiperficies tangentia inucniri , aut quomodo in fii-
pcrficie ipl-i intcr duo dati pundla linea breuiiliraa. de-
terminari dcbeat.

T. Si fiiperficies quaecunque gibba \el eaua EGFH ^-
iiiper plano liorizontali Y C Z , extct , ct in hoc pla-
no honzontali duAi fit pro lubitu reda indcfinita VZ^
hanc porthac direttricjm vocabimus, eum in finem , \t
ex quohbct fiipcrficiei pundo D , demiira perpendicu -
Liri DC,, et alia CB cx C in diredricem Y2, na-
tura iiiperficiei exponi polfif per aequationem , quae re-
lationem , quas indetcrminatae AE~.r, BCznj', et
CDzrx:, intcr fie fcruanr, indicat. Ad id autcm pun-
itmn quoddam fixum A in dircdricc aiTum! debet, ;i
quo ablcii&e initium ducant. Caetcrum Direclrix ct in
ea pundiim fixum A pro Inbitu poni polTunt prout jr;.i •

E $ gi*

5$ DE SFPERFICIEBFS

' gis commodiini vidcbitur. Trcs illae indetcrminatae z^
j, et A", in act]iiationes locales lcmpcr ingrediiintiir , paii-
cis exceptis c-.ilibus , cum fupcrficei natura non pcndct
ab indctcrminata illa quae in aequatione fuperficiei ab-
efl. Scd fcpofitis exccptionibus illis , diipicicndum quo-
modo acquationcs localcs trcs indetcrminatas inm^lucn-
tes tra-JlAri dcbcant. Aflumamus primum aliquot ex
iimpliciilimis carum , fintque iideo nequationcs cx;uni-
mndae cac quae fequuntur.

I. a z ~\- bj -\- c X — e- zn 0. lll.. z- —xy~o.

II. z^ —ax — /n' — o. W .z'--ax'^-b.x-cj'^'-ex-fy—o

V. az--\-bjz-\-cj--e.xz-\-fx'^~{-^z- hx — o.
T. u'~j- —X- ~o.

Aequatb I. a z -\- bj ^ c x — e^ — o.

II. Haec aequatio ei\ Locus plani , cuius pofiiio

ex ncquatione eit indicanda. Ad id ponamus prinuim

jzzzo^ et .x'~(9, rcmancbit acquatio az — e-zzo ., quag

Fig. 4. pracbct zzz~. Hinc fi in punAo fixo A ad hon-

zontis planum pcrpcndicularis AF cxcitetur ~ ^" 1 '^i'i'^
pundum F in plano optato. Faciendo dcinde in ca
dem acquationc ;s C- 0 , j' rr 0 , rcmancbit cx — e^zzo^

quac dat xzz.'-. Capicndo crgo in dirccftricc YZ,
partem AE — j-, puuiflum E erit aliud pundum in
plano quaefito. Tcrtio tadis zzzo., et xzzzo., inuc-
nietur bj — e-zzo., atque adco/~^, quare duccndo

AH pcrpeudicularcm ad AE ct zzj-, pundtum H da-
bit tertium punclum in plano quacfito ; proptcrca pla-

num

JD JEQT^ATIONES LOCALES REJ^OCATIS. 39

iiiim , qiiod per tria pimcfla F , E , H transit , eft locus
aequationis propofuae a z -{- bj -i- c x — e' :rz 0.

Per qiiodiiis pundiim D plani FHEplanumlGB
transire inteiligatur plano F H A parallelum , eritquc DC
horizonti normalis in plano I G B et parallela ipfis 1 B
€t FA. Dicantur AB — .v, BC— j, et CD — ^.
Triangula fimilia E A H , E B G ^ praebebunt B G rz ^-^
fldeoque CG~ ^ 'l^ ^, et Triangula fimilia FAH^
DCG, dant D C n^ '-^^- ~ ^ , atque adeo az-\-by
-^cx—e'~o. Q. E. I.

Efl: ergo HE feitio plani inclinati FHE et ho-
rizontis, dutfloque per FA plano FKA quod rciflac
EH ad angulos recftos occurrat, angulus FKAindica-
bit inclinutionem horum planorum alterius ad altenim^
et fmus huius anguli inuenietur elTe ad fnium totum^,
vt -V{b--\-c') ad ^\cr^b~^c^-)..

HI.. Si indcterminatae, quae in aequationem pofi-
tioncm plani FHE indicantem ingrediuntur , non in
fubiecfl) liorizontis AHE plano' iaceant, fed in plano
ihclinato FHE: vt, fi FI — ^, ID— «, erunt 1'=:^
y—-lj., exirtentibus FE— /, etFH— ^^; Qiiibus iwz
— — ^— {uftectis, proiiemtjc;—^^^^^^ — ■. Hoc vium
fuum aiiquando habere poteft, cum figura ex pi-ino ho-
rizontah proiici debet in planum FHE, aut vicilran.

IV. Ex confideratione- ibla P^ramidis EAFH ^'^- ♦-
omnia problemata ,, qiiac circa. triangiila Iphaerica re-

dang^ila:

40 DE SrPERFlCIEBrS

(Jl.mgiili occurruiit cxpcdiri poilunt. Vertcx enim E
retert ccntrum Splincnic, iinguli FEA , HE A bina cru-
ra circ:i angulum rc(flum , ct tinguius HEF hypothe-
aui-im , ungulus. vero ycOius c(\, quem plana FAE, HAE
contuicnt, ct rcUtiui auguh iunt, qui planis AHE,FHE,
et AFEjHFE iiitercipiuntur. His pofitis:

I. Si ex datis tiuobus cruribiis circa ringulum re-
^fliim , id e(t, datis angulis FEA, HEA inuenire opor-
teat augulum K altcri cruri \cl -angulo HEA adiacen-
tcm, res fine vllo ad Sphaeram rclpcftu , facilhma eft.
Nam in a:'« AKE ad K rcaangulo, clt AK.AE::
fm. AEK. fin. tot. , et in a'°. reclangulo FAE ha-
betur, AE. AF::fin. tot. , tang. AEF, quare ex aequo
A K . A F : : fin. tot. . tang. K ; : fin. A E K . tang. AEF. Hinc
conficitur: Vt finus crwis an^. quaefito adiactutls ^ ad
fm.tJt.^ita tang. cruris aJterius .^ ad tang. an^uli quae-
fiti.

1. Si datis crurc FEA et hypothenufa FEH in-
uenire oportet anguhmi cruri oppofitum K. Biim aa
AKE ct FEK fubminiftrant hanc regulam feu analo-
giam , vt tang. hjpothemfae ad tang. cruris dati , ita
ftn. tot. , ad Cofin. anguH quaefiti K.

3. Si datis hypothcnula FEH et angulo K quae-
rantur crura AEH et AEF. Idem p;ir triangulorum
FEK et AEK fiippeditat has duas analogias in quaellio-
nis foUitionem , nempc: Vtfin.tot. ad cofin. ang dati,
ita tang. hjpothemifae ., ad tang. cruris dato angulo ad--
iacentis : dcindc it fn. tot. adfn. ang. dati , ita fn. hy"
pothenufac adfin. cruris dato angulo oppofti.

Reli-

^D JEQJ^iTIONES WC^irS RKFOCJTIS.^x

Rcliqua problematJi triiingnlonim rc<flangulorum ex
hisce facile quoqiie foiuiintur.

V. Qiiod ad Triangula Sphaerici obliquangula at= Pig. 4«
tinct, eadcm Pyramis eonim relblutioni inleruit, mo-
do flugulus FAH iam fit obliquus, manentibus tamen
angulis FAE , HAE , redis. Quod vnico exemplo ex
difficilioribus oftendam ; nempe cum datis angulis FEA »
HEA , HEF , quaeritur angulus FAH , quem plana FAE,
HAE comprehcndunt j quod in Trigonometria Sphao-
rica redit ad illud , vt ex datis tribus lateribus trianguli
inueniautiir ungtiliu.

Dicantur nunc AF— <?, AH— ^,AE=r, EFzrr,
EHrr/, coriniis anguli dati FEHr:r^, et cofinus anguli
quacfiti FAHiz?/, inucnietur in a'° . FAHlatus FH — V
"a'^-i-t}--za'ju)^ct in a'° . FEH, idem latus reperitur, rr:
y(a--\-i>'-\-*c''-^cfg)-, quare a-'\-b- — labu^a^
^^--{-2 0' — ^iefg^ ex qua deriuatur «r:^^'^^'. Di-
cantur practerea fuius angulorum FEA , HEA , / et m ,
eorum cofinus X, p. , et fnius totus i, erunt a—el,
b—ftii, c- — eXzz:fix , quibus in u -. '-^^ /ufFedis,
reperitur u~^-^^. Sit praeterea finns dimidii anguli
quaefiti FAH zr j , crit w — i — c .f 2 , et j- — '"'"^,,^^-"^
quod ii pnieterea fit fui. (^AEF-f--JrFEH-4-l. AEH
- AEF ) =r p , et fui. ( i AEF -|- '^ FEhVa AEH-AEK)
rr^, per gencrales finunm pi-oprietatcs inuenietur Im
'Ar-'h\x~g~zpq ^ quod in pmcccdenti acquatione fur-

TvOgatiim , praebet j"— ^. Atque fic inopinato incidi-
Jmu. VI. F II1U5

42 DE SVFEKFICIEBVS

mus in piilcerrimam regulam ab aliis iam pafTim tra-
ditam foluendi trianguium quodcunque ipliacricum, da-
tis tribus cius lateribus, ita vt non nccelfe (it duda pcr-
pendiculari triangulum propofmim in duo triangula re-
dangula diuidere.

Atquc pauca liacc fufficiunt ad oftcndendiim , qiio-
modo ex confideratione Pjramidis \niuer(a Trigonome-
tria Sphaerica, absque vlla ad Sphacram attentione ,
tradi poifit.

Aequatio II. z~~ax -by — o.

Fi^. 1.' VI. Haec acquatio inuenietur elTe ad (iiperficicm;

cunei Parabolico Cylnidrici..

1. Nam fi xrzro, habcmus —ax — hyino.^ qnac
aequatio cit iocus lineae rcdlac ita condruendae : Sit VT
dircdrix, ct pundum A origo ablciflarum .v, ducatur
redla indefinita HAl hac legc , \t \bique AB fit ad BH,
\t b ad a. Haec rcL^i.i HAl communis erit fedio fu-
perficici et horizontis.

2. Sij'~(?, fiiperficici aequatio pracbct xj - zr «■.v^
Parabolae aequationem, quare fedio \crticalis folidi per
dircdricem BAE eft parabola paramctrum habcns rr^.

3. Si .v~o, fupcrficiei r.ejjUatio abit in z-:zibj.^
quae efi alius parabolae aequatio , quo cognofcitur tjuod
fecftio AGF cum horizonti tum diredrici V T ad nor-
mam infillens quoquc fit Parabola , fi;d cuius Parajne-
tcr — b.

4. Omnis fcelio EEDC plano AGF parallela eft
Parabolae portio, cuius parabolac \crtcx cft in H, et

quae

Cortirrunt: AccLcL ScTom.VI .TaS.K v.^/tl

Commeni: Acad Sc X>ni VI Ta6 Vp.-^tZ.

H

M
£

A
T

V

^

j

\

B c

/

T

A F

Md

/iV. .5

JD JEOFJTIONES LOCJLES REFOCJTIS.^a

parametrum habet zr ^. Item omnis fcdlio FCDG pla-
no A-BE p.inillela ell portio rarabolae, cuiiis \'ertex
cft in eadem reda HA nempc in 1 , cuiusque parame-
ter —a.

5. Omnis fedio folidi per planum horizonti pa-
rallelum elt hnea reda paraliela Hneae HAl atque ex
hoc cognofcitur, quod folidum FEACDGA fit Cuneus
paraboUco Cyhndricus, nempe bafin habens parabolicam,
cuius parameter ~y («--H-.^" ) et planum tum redie
Hl tum horizonti perpendiculare fit, ct pcr pundiim
A transeat,

Vn. Si in fuperficie AD maxima applic^ita , C\
quam habet , in-Jagari debeat , fequenti modo procecen-
dum erit. Diifcrentiata aequatione fupeificiei pofitis pri-
miim z et y manentibus orta inie aequutio poftqu;:m per
rlx diuifi fuerit, fignctur A.

• Differcntiata deinde eadem aequatione fuperficiei po-
fitis z et .r inuariat"s, orta poft diuifioncm per dv^
aequatio fignetur B. Ope aequationum A et B ehci-
entur aeilimationcs indeterminatarum .v , etj pcr quau-
titates datas , vcl per tales et tertiam z , quibus in ae-
quatione (iipcrficiei furrogatis , orietur noua aequatio ma-
gnitudinem orainatae maximac aut minimae z dcfiniens.
Sed fi aequationes A , B niillam indcterminatam inuol-
uunt, indicio eit, liiperficicm propo.itam nuiiam ma-
ximam minimamue capere.

Si lam ae ]uationem 5;" — ^.v — /^ynro, iuxta prae-
cepta modo tradita trademus, inuenicntur aequationes
A..ie:r:o,etB..Z'~o, quae cum nullam indeteimina-

F 2 tam

44- ^£ SrPERFICIEBiS

tam iiiuolimnt , concluditur fuperficiem nulLim maxi"
miim , minimamue applicatam z admitterc.

Fig. «. VIII. Qiiantum ad plana tangentia attinet pcr da-

ta in quibusuis iliperticiebus punda , quariim aequatio-
nes datae funt , ducenda : methodus huc facicns , ita \vx~
bet. Ducatur primum tangens curuae ED, quac eft le-
(ftio fuperficiei ad horizontcm rccfta et diredrici nor^
malis •, fit haec tangens DH, et fubtangens CH. Po-
llea ducatur tangens DI ad curuam GD , quae eft com-
munis fc<ftio plani fccantis horizonti normahs et paral-
U diredrici , ipftusque fupcrficici curuae ; ct planum per
duas tangcutes D H et D 1 muisicns , iiiperficiem in D
continget.

Praxis autem hacc eft: Diflferentietur aequatio fu-
pei^cici z- z:zax-~^lf)' y pofita primum .v manentc , erit
2zdz:zz bdy , quare C H ( =: ^ ) — -^- = ''"'^"- • Dif^
ferentietur porro eadem acquatio icd pofita j manenti,

^\e.t izdzzrzadx ^ ct CI( = j^) — ^ — '^^^^. In-
ucntis vero C H et C I reUqua facile cxpedientur. Nanr
iiibtangens paraboke HED pcrtincns ad piinftum D eft
— 2. C H , et fubtangcns. Parabolae E G D in eo-
dem punfto D eft :iCI, quare communis fccflio
plani tangcntis et horizontis fict paraUcla Uneae HI,
et ipfum planum fuperficiem non modo in piincto D,
fed in tota Unca rcd.i quae in- fuperficie cyUndrica du-
ci poteft eidem HI paraUcla , contingct.

Liuea-^

JD AEQTATIONES LOCALES REVOCAVIS.j,^

Inuento pkno tangente fiicile eit liiperficiei in D"
perpendicukrem ducere , aHo euim opus nou eft quam'
vt in piuido coutadus D plano tangente perpendicu-
l^ris ducatiu-. Saepe tamen pracllat per meciiodum di-
redam duccre perpendicukires ad ruperlicies , absqiie prae-
CippoHta notitia modi ducendi plana tangentia.

IX. Hic modus diredus duobus \erbis exponi pot-
eil. PerpendicuLiris enim ad liiperfkiem eft breuiifi-
ma diibntia iuter puniflum horizontis , in quo perpen-
dicularis ipii occurrit et iuperficiem propofitam. Hanc
ob caufam perpendicularis in quacunque iiiperiicie per
methodum de maximis i'eu minimis uiueitigari poteft.
Sit ergo P puu(ftum illud in plano liorizontis ex quo
breuiilimam lineam ad fuperficiem ducere oportet, ex quo p-;g. ^.
perpendicularis PM in dircAriccm VT dcmiiia iit.
Deinde ex pun<flo D iiiperficiei ctiam dcmiifi fit DC
OTthogonaliter in horizontem , ductisque ex C duabus
CB et CN, liic ad VT, iUa vero'ad PM parallchs,
dicantur C N =r B M zi: ;« , N P rr ;/ , D C -- :c, et PD^p,
iuuenietur pnrV (;«--+-«- -i- c;- ), quae mmima eiie
debet. Qi.iare differentiando aequationem p-zi:m--\-n^
-]-z-^ pofita primum m conftanti , fit Jidn-A-zdzzz:
pdp—.o^ vel propter 'MP~j'-\-n inuariatam neceifc
efl, \t f\t dj --{- dn = 0 , vel dn — -dj^ ~-ndj-\-zdz
~o, adeoque « — ^. Sed aeqnatio fuperficiei z- zr.
ax-\-bj^ cum X manens eft , pracbet •zzdz-~bdy ^
adeoque ^^~^b^ quare nzzz-^^b.

Simihcer diferentiata p- — ?n- -'i- n- --\- Z' pofita ^
eoiifhmti pr aebet m dm -+- z d z— p dp zz o ^ e t quia A M

F 3, • —A

4^ DE SFPERFICIEBVS

■zzx-\ ni^ imuriaui manct, fit <//;/— -</a, adeo-
qne -~mdx~V-zdz — o ^ et ;« — ^r. Aecjiutio vero
z-—ax-\-L>]\ m qua nunc j inuariata mancat, dif-
ferentiata fuppcditat izdzzr-adx ^ et -^ — ^^, con-
fequentcr habemus m:zz-^~ —^a. Ad ducendum igi-
tur pcrpcndiciilarcm DP fcquens ed; conftrudlio: in
rcda CN parallcla VT capiatur intcruaiium CV—^a,
dudaque NP panillcla BC capiatur intcruallum NB~
4-/», redla DB iungcns puniflum datum D fupei-ficiei
et inuentum punftam P in plano horizontis liipcrlicici
propofitae ad angulos re<ftos occurret, et m.inima erit
omnium carum quae ex pundo P ad fupci-ficiem duci
poffunt.

Asquat'10 III. Z' — xj — 0.

X. Hacc acquatio practer moncm ipcm et opinio-
cem ortcndetiu' e(fe ad Conum. Faift s enim x— mt.^
QX yzzznt .^ in quil^us /// ct // funt magnitudincs inuaria-
biies, diuii t eft variabilis, et fuffcdiis hisce in aequa-
tione, prouenict z-~mnt' .^ et z^zitVmn, quae efl
acquatio ad lineam redim, docens, quod communis
lciflio plani cuiusque ad horizontem rcdi , et fuperficici
iplius , lit hnca recl: i , nempe cum planum fccans per
originem ablciifarum .v, id eft, per punftum A transit ,
ex quo omnino fequitur quod fiipcrficics illa fit Conica
verticcm in punv.T:o A , habens. Ducatur praetcrea AZ
dirccT:rici VT normahs et inucnictur quod omnis fe<flio
^'S 4- ipfi AZ parallcla , c|ualis ejl BCD fit Parabola vcrti-
ccm habcns in rcda VA et parametrum rrrAB. Itcm

quod

JD JEQl^^ATIONES LOCJLES REVOCJTIS.^i

qiiod omnis fedio FCD diredrici VT parallela fit alia
Pambola verticem in reda AZ et parametrum ~AF
habens. Sed ex hiscs nondiim cognofcitur qualis lit
Conus cuius fuperficies propofita aequatione exponitur.
Indaganda efl ergo bafis huius Coni. Hunc in fincm Fig. 5
fit VA d're(fi:rix, MH linea per quam transit bafis
Coni ad iiorizontem inclinata anguio, cuius finus ell ad
finum totum vt r ad i. Ducatur ex origine abfciiTa-
nim A, recfta AE perpendicularis ad MH Sit pun-
(ftum C proiecftio pundi D liiperficiei in planum ho-
rizontis, et ducatur per C recfla HL parallela EA, et
CB perpendicularis ad MV. Dicantur AVzrr^ , VEirZ',
AErrc-, indeteiminatae ABzz.v, BCrrj', HE~m, CH

— .ff, \bi jnrV ( I — >-- ) j erit Z — rt^ nam indcter-
minatae / et u funt coordinatae in plano inclinato iitac.
Similitudo vero aa™'". AME et LBC ilippeditatjzi;

au bst , , ^ .fii^sf, -1

'~-7~ — H~^i ct X — -h c ''T -^<7-, quibus in ae-
qnatione xj — z-zzo^ fuf!c(ftis, ct rt pro s; , refultabit

—2 i-7T f«-i-7z-/2 — ■-]-al/—o^ \t haec ae-

qnatio liat Circuh aequatio, cuius circuli diameter iu
planum horizontis proieda coincidat cum A E , pono
a- s-b- szn-o ^ adeoquc a — b., adeoquc t- zz ^ V 2 , de-
inde abs- — c-r- zrL — ab .^ quod propter azz-b^ prac-
bet j- — 2 r^ — — I , et r^zz | , s-—^ , quare praecedens
aequatio «bit in -^ii^ - :Lf^ ^^ -^^ a- — o , vel u-~

— t^ — 2.atV ^ ^ -f- 2 .7- , quae iequenti modo conftrui-

tur ; In fig. 6. capiatur A V rr V M — . V E = ^ , iunga- r"'S ^
tur ME et producatur in N vs.^ue dumficEN— EM

znAE.

4« DE SrPERFICIEBrS

r=:AEzr/zy2, crigatiir dcinccps AH ad angiilos rc-
«flos fhpcr plano horizontis , et fiat ~ 2 <« , iungatiir H E
ct in hac fitiim erit centrum circuh , fit EO— i^V^,
eric O cencrum quaclitum , et OHz=.OMnONzz-»
/?y.] , radius circuli , et pars coni MHAN emincn*
fupra piaiinni horjzontis eit iocus aequationis z^^^xyzizo.

Nam ii in aequatione bafis coni ~\-u- -\-t- -{- 1
«'/V.|— 2r/- — <?, pro / liiffic iatur —j V ^ — xV ^-^a
Vd, et pro u quantitas — jV i -l--v V^, quac ex ae-
<]uation:bus j ~ ~— — -\-/>^ ct x ir -^ — -^, -}- <?, ta-
€tk in i^'sdc4n h-^a^c~ay i^ et jzizy^ dcriuatae
funt, ct pro ^- , u- i^iantitatnm illarum quadnita, pro-
uenict acquatio, quae pcr 2 diuiia pracbcbit ->'-l-.t;;
— A'- H— + .7r-T-4-<'7.v — 4.^- ~o. . A. Dcindc z-imr-
t- )—^t' , producjrj--f-.v-— 4-^/ — 4<^.vH- ^a- — z-
~o..B. Additis vero aequationibus A ctB, rc(uka<
omnino .vf — i'— 0, vel Z'-'Xj—0. Ql E. D.

Aequatio ir. z- —ax- — bxj — cj- —cx-fj~o.

XI. Haec aeqiiatio eft ad fiiperficicm alicnins Co-
noidis, aiius bafis cxponitur aequatione cj^ -hhxj-jr-
/ix- -i-fj-\-gx~ 0 ., quac pro diuerib habiru cocffi-
cientum , ad fingiiJas fecftiones conicas fpeftat. Altitn-
do conoidis fiipra planum liorizontis efi —'V{^^-^^'^^' )■

Aititudo iila inuenitur per methodum de Maxi-
niis et Minimis fiipra §. Vll. expofitam. Nam dif-
rentiata aequatione propofita, pofitis z et r manenti-

bus.

JD AEgrJTIONES WCJLES REJ^OCJTIS.^9

bus , oritur z a x -\~ hj ~\- e ~ 0. . A. Poftea e:idcm ae-
qu;itione difFereutiatii , cum z et .v manentes funt , pro-
iienit 2c-j~\-/jx-{-fz:zo. .B. Ex binis vero aequa-

tionibus A et 15 elicumtur A*i:=:j,i_^ac7/ — 6»-^c> ^1^-
bus ia acquatione propofita furrogatis inuenietur Ma-

6p/-+-

-4.00

xima applicata «zzy(-pzr^'^^ — ;•

XII. Idem per communem Algebram quoque in-
ueniri potert: ae<-|UAtio enim quae propofitae aequipol-
let cj^— — hxj — ax^—fj — ex-\-z^yd\iAS rftdices ha-
bet, nempe

zcj=z~i,x-f-{-V (Z>^ -^gT.^t^H-^^- 4 (-• e- x-\-f *-4-4£-:5^).
uj—-b x—f- V io^-^a(;..x^-{-2i?J-4.ce.x-hf^^-\-A^'^^)'
In cafu Maximi hae radices, quae generaliter inaequa-
les funt, aequales lieri debent , quare fuint zcj^—lfX
-/, ye\j = ^=^, et J^^Vc:x'-^7l;f-^^.x-\-J-
-f- 4 -2^—0, ifta vero etiam duas radices habet,

(^2 ^^c-)x—2ce-bf-\-y{^ef'-^cef-\-^c-e^ -b~ -^Ar^c. 4^z-).
{b'-^ac)x—2ce-bf-V{^acf^ -^cef-\-^-^e^-b^-\-^ac. 4^2^ )•

Aequalitas harum radicum praebet x ~ ^i^rjgc i.>(— ~^^
— I'i^7 et ^acf^-^bcef-\-^c^e--b^-\-xnc.^cz'^
~o, et haec vltima definit in z^ — ii_^^i — > et zzi:
yC-t-^-i^). prorfus vt ante.

Pofitio plani fuperficiem in quolibet eius pundo
D tuigcntis, per methodum §. VIII. traditam inuenie-
tur, fi in Tab. V. Fig. 2. huic exemplo appHcata ca-
Tm. Fl. G piatwr

50 DE SFPERFICIEBFS

pi:Uur^CH(-*-^i^-) = 5-^c^-:r/. et CK-^)-
"2?^^6j3p7' ^^ P^^ ^"^'' rcdas DH, DI fuas rcfpe-
(ftiuas curuas t-angentes pkinum transirc intclligacnr , pla^
num iftud luperlicicm in puuclo dato D coatinget.

Aqiiatio F. az- '\-bjz-\-cj'-—exz-]rfx--\~gz-bx—o.

XIII. Haec aequatio cft ruperficiei conoJdis Elli-
ptici vel llibindc etiam Coni Elliptici. Nam flida .c;~<?,
aequatio remancns cy'^-\-jx-—hx~o efl: aequatio bafis
Conoidis^ quam appa-ret clTc Elifpfm, cuius axis trani-
ucrfus ^j ■, et cius coniugatus ^j^j-

Vertex Conoidis inuenitur vt in exemplo § prae-
cedcntis , aequatioiics vero A et B in pracfcnti exem-
pro fiint Pi.. .bz-\- icyzizo^ et ^ . .ez— 2fx-r- h~o.,
et fuffccftis aeltimationibus liisce elicitis, proueniet (Z;/*
— ji^acf-\- cs- )z-^i_ ^cfs— 2 veh)z -ch- ., aequatio-
magmtadinem maximae applicatae z dcfaiiens.

Tabuia VI. Porro circa direflriccm AZ. dcfcripta fit Ellipfis

AFG,. in qua AGF, in qua AGrrj ^ Sit VPrr;i:~
maximae applicatac Zy atque adco-V \ertex Conoidis,
demiflTunie normali EZ in dircdricem quantum opus
eli produdam, dicantur AZ~/, et VT. — m.. Sub-
ftitutis-r^Ue in aequationibus iiipra inucntis A ct B , pro
is, X et j', litteris /;, /, ct w, inucnicntur b~^"' , \bi
fignum priuatiunm denotat puncftum P fitum efle in
oppofita. prrte dircdricis intuitu pund:i F, et g~- ^^ ■"
tertia rero ;ictM'iatio ( hj - — \a cf-\- ce" ) z- zz. etc. prac-

bet g zn j^r- Videa-

Comme^vt Acod: Sc.Tom.Vl. Tab.Vl .^. J^i7.

D

Cemnie-ri/.AcoJ: Ji-I^ni yiTat VI p ^iP.

D

fy-'-

\]

0

A

R

'^

I

G

L N

\

T
[ B

1

-Mn;-.

M

>>• ^-

AD AEQVATIONES LOCALES RErOCATIS.st

Videamus niinc qualis feAio nafcitiira fit , cum pk-
mrni lecaiis per VP transic. Per punclimi F ducatur
ordinata FE ad diametrum AG , et alia quaecunque
CB paraliela FE. Nominentiir AE— p , FE:=:^ , AB
rzTA', BC~j', FC=r«, ct tandcm PF — «, liantquc
breuitatis cauHi r~/— p, .f rz/;/-!- ^, eruntque .vi::/?-^-

ru

"— ^ etj — ^--^, et (iiffetT:is liisce eorumque quadra-
tis et flidtis in aequatione ad fuperriciem, orietur ae-
qu:itio lidionis optatae , in qua etfi p , </ , r , j- in fe
fped.itae variantes funt iutuitu tamen indcterminata-
rum .V,)', ;set//, manentes funt, ell vero aeqiiatio ea,
quae lequitur , az- - ( — — ) « .s H- ( —iT— )ir ^{bq —
ep-+-g) z - ( ^^S^^^=^)u-^cq^-i-jp- - hp-Q.
CojTipendii caula coefRcicntes lecundi , tcrtii , quarti et
quiuti terminorum, dicantur p,y.(5",£, (]), aequatio
rautabitur in (t Z' — ^uz-^r^ z- tu-\- (^zizo. Haec
autcm aequatio pro aiuerfo habitu cocfficientum eft ad
fingulas fediones Conicas , vel iiibinde etiam ad lineam
redam.

Cum efi: ad lincam re(!^am , Conoides abit in Co-
num EUipticum. Hoc autcm ipecialius ollendere li-
bet, non quidcm ope aequationis modo inucntae , fed
naturalius ope aequationis propofitae Conoidis. Ex-
trahantur ergo ex hac acquatione radices, tradando y
tanquam incognitam , erit zcy — --bz-\~V{—+cix--\-
^cexz-\-b- — ^ac.z- -^ ^chx- ^cgz). Dicatiu- pars
furda-huius aequationis — R, eritque icy-\-bz— -h R,
ieu ladta ^ — ==%-, exiftente 'VZk-z, obtinctur

G " i£5?

k

52 DE SFPERFICIEBVS

^ — -f-R. Sed -^cfx' \-^-exz-^/,^^-^ac:z^-{-^f
bx-44-gz^K^ , praebet /;c» =exz-{- -'-^'z^ -f- bx
^gz- ^c^^ y ^^ extrahendo radices zJx-z^ez-^-b-A^V
{e-'^^^^z^-^ieh-^jg.z-^h^-iK^)~Sit
jnunc c^4_-i±^/-=/g-i^'^ et fubftituatur hoc in fu-
periori aequatlone {ce^ — ^ac-f-i-lf-f)z^:zi{^cfg-2c
eb)z--ch\imi£metur(^^f^)- z^-2{ t2.fg-eh)z-\-b^
zzOy et extrdiendo radicem ~^^ z — h~o^ quare k

— Hi=^> ^'^ 2/^-^^==fe"» propterea fit — V^^ ^

(j— — V~>— pr qui lupra in y( ^-—^z^ -^-

^b—^fg. z-i-b^ — fK^) fubftituta , producunt zfx—
fZ-+-b±y{'^f-^-^h'-{K^), et proptcy rj-k
—Zy fit 2fx—ez — b=z-^y{'']^J—-^-f). In hac vero
polita ^ — pro ey tt deinceps ftatuatur ^j; — /2; — ^i?^
aequatio abit in =i^^- h- V(^r-^r), et qua-
drando ^^,- — '~kr~~^ W — 'W ~V 1 quare dele-
tis delcndis ct rcduda aequatione inuenitur R 2 — i^^^^^i^^^f
< — ^^ — , quare diuila hac .lequatione per -p- -, i"e~
Miat Mtique c- q- zt- h p —fp^ ^ aequatio ad Ellipfin^
exiftentibus AE:^:^,, et EF" ^.

Binae vero aequationes 2cky-h^kz—zc^v^et
kx — lzzz:pv y fum ad lineam reclam VF ex Coni
vertice V ad punchim bafis F ducftam. Agatur enim
DC paralleFa VP, et DS aequidiftans FP; habebimus
DC.VP;:FC.FP,::EB.Eq, id cft DC (;s). VP(yt):;EB
{x-p).EQj^l-p): liaec amilogia pracbct bx — lz — pv.

raiicer

AD JEQFJTIONES LOCALES REV0CJT1S.$%

Pariter {VT{m^q). PRCw-hrJ-CFP. CP::VP(/{:).VS(i;),
qiiare km-^-kj—mv-^-qv — km — mz-^-qv^ adeoaue

qvzizky-\-mz ( propter f;/=|-^)=^^'-^, quare
2.cqv — 2ckj-\-bkz.^ adeo vt ex hisce appareat, bi-

nas aequationes /j— -^r^, et q — -^^2Tz-> reuera in-
dicare iineam redam VF , ^vbicunque in peripheria El-
lipfis pundlum F alTumtum fuerit. Ex hisce ergo co~
gnofcitur quod aequatio az'-{-bzj-\-cj-—exz-\-fx~-\-'
gz—hx~o , lit locus fuperficiei conicae , fi coefficienti-
bus aeftimationes, quas fupra indicauimus, tribuantur.

In cono redlo vbi VP incidit in centrum Elhpfis,
inueniuntur azz^r^ h~ , b—o ^ ezz ^ b .^ g—^i^.

— /.

In cono redo circulari a-=z.j^ky b — 0je~0jCt

— JiL

S ZCk'

XIV. Aequatio az'^—bxz-cjz-\-ej-—o., eft etiam
ad fuperficiem conicam , quae tamen ad planiim hori-
zontis aHum fitum liabet, quae in cafu §. praecedentis.
Sit j — mx., vbi m eft conftans rcfpedu indetermina-
tanim .v^y^et 2, et aequatio mutabitur in hanc alte-
ram az-—{cm-^b)xz—em^x'^ , adeoque 'xaz—{cm-\-b)
:c-l- V(«,-2-4<7^. m^^x^^-^-^bcm-^-b- . x^—{cm-^b-\-^
{c--^ae. m'^-\-'2.bcm-\-b'^)x.^ haec aequatio vero eft

hx

ad lineam redtim. Si mzzio ., erit 2:rr- vel rrro,
indicat quod conus planum horizontis per totam dirc-

hx

ftricis longitudinem contingar, et 2;—-, qnod fedio'
plani verticalis per direcftricem du<fli et fuperficiei co-
nicae fit linea reda inclinata ad diredricem. angulo cu-

G 3 ius

54 r>E SITERFICIEBJ^S

iiis finiis eft ad cofimim \t h \\d a. Et ciira .v ct z
fiimi'1 ab r; incipiiuu , indc concludcndum , a erticcm co-
ni lu iplb phuio horizontis et origine ublcilTiu-iun iitum
circ.

Si vcro ;;;— ^^L^"' , \A\\m horizontaiia quac in-
fiftunt locis j'~;/;.v, liiperficiem coni contingunt; nara
quia m geminum hiibct Yalorem propter fignum anibi-
gnum -4- in numer:irore , idecj aequiitio j—mx , duas
diucrHis lincas dcnotat.

Fii, ,8. XV. Praetcrca pofitio bafis circularis huius conicac

fupcrficiei fequenti modo indagari debet. Sit V L di-
redrix in plano horizontis et EH Hnca quaccunque re-
ferens fedioncm plani fccantis HF, et horizontis.Du-
catur AEG pcrpendicularis ad HE, fitque EF fcdio
plani TcrticaUs horizonti , rcdtae AE infilkntis , ct pla-
ni inchnati HF , critque adeo FEG inchnaiio plani HF
jid horizontem. Ex quolibct pundo D plani inchnati
dcmilfa fit iu horizontcm pcrpcndicularis DC" x:, et
in plano H E , perpendicularis DF in EF , quae D F
proinde aequidiftans, crit HE, cadet itcm FG pcrpen-
dicularis in horizontcm, ct linca CG iungcns pundlaC
ct G , ipiis HE , ct DF parallela erit ; fit paritcr CB
pcrpcndicuLiris ad VE, ct dicantur VB~.v, CEzr j',
EF— HD-?, DFmCG— HE— ;/, DC-FG— ;r, VE
rzZ?, VA— ), kE—g—-V{j^-^h^). Sinus anguh F
EGzrDHC— ;-, eius cofmus — .f— Vfi-r"). His po-
fitis triungula fuiMlia AVE , LEH et LCB praebentjn:
^yi^ , .V- -^^^^^ et triang. FEG, ficit, vt"' fit

JD JEOFATIONES LOCALES RFVOCATlS. $•$

z~rt. Suffedis hisce in lociim indeterminatarum .v,.
j y ec c; in aequicione propofita Goni , inuenietur aequa-
tio eh^^u^-^-iiptu-^-a^-r^^t- — hg-hrt—O .^ iam vt haec
•^hjgr —bgrs
-cghr -cfgrs ,

-\-ej-s-
aequatio fit ad circulum, fiant eh^-zziag-r^^ — hgbrs-^
vfg rs-^ef- s- .) et 2.ejh s -+- bfg r — cghr — o. Nam
aeqikitio tunc abit in zr-|-/-— |^'/ — o , quae eft ad

cirailum cuius diameter ~ ^/j- , et hacc diameter coin-
cidec cum EF. His pofitis OjUia i"=:i— r^, aequa-
tio 2 efhs -h bfgr — eghr~o., praebet r ^ — — — "

(Pj^fc— nPcff^g^H- 4^V''fc^ y et flltera aequatio ag-r^
- bghr s - etc. —eh-, dat r- — (6 vzts^Sm^+^^iTW'

quare aeqiiatis his acfEimationibus , inuenieiur {b-f^ —
i-- h^ -\-4-a ef- h- )g^ zz 4 e-f^ h"" , quod fi pro g^ fuf-
■b-

— 6

iiciatur/= -l-Z?2 ^ nafcetur b-j^ -H wf^^h' -^■^aefh'^

-\-^b- -Vb-

-C- -26-2

-c-h^^—o, aut fada f-—h-r, imienietur b-T^
-\-^aeJ--{-4.aeT — (;-z=:o.^ inuenta autem T op&
H-2F H-Z»= • ■

-c^ -ic-

iiuias aequationis eubicae, innotefcet etiam/~^VT.

Poaa'-

5<J DE SrPERFICIEBrS

Ponatiir praeteren S^— T^-i- i,inuenienir diameter qun©-

fita -S'=^vT6W-;:^^T^*T^l6^vTl, et finus incliua-^

tionis circuli ad horizontem, i. <i-f:^-^ipisn:^^^s^~i-^e*T^£Sc^Y^
Atquc fic omnia en quae ad pofitioncm et mngnitudi-
nem bafis circularis coni indicandas inferuiunt ex aequar
tionc locali iplius coni elicuimus.

XVI. Ex hisce iam confcquitur folutio maximt
naturalis Problcmatis, quod Cartefti aeuo fummorum
Geomctrarum indulhriam exercuit: Nmpe datis pofUio^
ne et fmgnitiuline quacimqiie fdione Conica Parabok,
Hyperbola aiit Elhpfi , et punClo extra planum earum ,
mienire pofitionem et ma^nitudinetn circuli , qui bajis ftt
Coni , ^.v qiio hae figurae jecari pojjwU.

Fig. a. gj(. generaliter aequatio fedionis datae ur-\-qt^~

ptzzio^ in qua coefficicntes/) ct q datae funt, dein axi&
datae feftionis conicae fit EF , angnlus FEG inchna-
tionem plani fc^^ionis ad horizontcm , qui anguUis pro-
pter datam pofitioncm figurae datus eit, fit eius fmus
/ et cofuius /« — V(i— /=), producatur deinceps GE ia
A, et demittatur pcrpendicularis VA. Dicantur VE
n:/? VA~/,AEr=/fe, et omnes hae hncae datae
funt, quare in aequatiouc §. praeccdcnti inuenta eb-U'
'^ zefhstu-i-ctQ. zzo^ tmtummodo pro / et g fuf-
— etc.

ficienda i et ife, item / et m pro r et j, et habebitiu*
aequatio lequen» ~{-eh-u' -\- lehimtu-^- ak' l- 1' —

-i-hikl ^lhklm

^ckkl — Clkli:i

-t-ei^m'

bbk-lt

AD AEQVATIONES LOCALES RErOCATIS.$i

bhk'lt~o. lam vt haec aequatio formam propofitae
induat, oportet vt fiant zehim ~\- bikl—chkl— o^
ak'^1'^ —bhkhn — ciklm-\-ei'^ m^ —eh^^q^ et bhk^l~
eh-pt ex quibus elicientur g~ ^ .n.p-^.e _^^-e_m_ ^ jj—^^t

c~^^2j^—. Surrogatis deinde his aeftimationibus lif
terarum a^ b^ c^ in aequatione Cubica fupra inuenta
i^^^T^-i-^aeT^ -{-^aeT—c'^zz.0, et in reliquis deter*

C^ —2C^

minationibus circuli, eiusque inclinationis ad horizon-
tem ; et inuenta funt , quae inuenienda erant.

XVII. Haec folutio ad omnes tres feftiones co-
nicas ex aequo fe extendit. Nam fi fedlio data eft £/-
iipjis y quam aequatio u^ -\-qt' —pt^o., indicat coef-
liciens q debet effe affirmatiua , fi Hyperbola eius fignum
tantum mutari debet in aeftimatione literae a , et de-
nique membrum illud in quo q ineft prorfus eft deien-
dum, cum feftio data eft Parabola.

Solutionem huius problematis adducere placuit , vt
vfum tiieoriae fuperficierum ad aequationes fuus locales
reuocatarum in folationibus problematum difficiliorum
oftenderem. Caeterum Cartefms in Epift. 75. Part. 3.
Epiftolarum primus aliquam huius Problematis fohitio-
nem exhibuit. llle propofitionem ibi in tres cafus di-
ftinguit, quorum primus eft, cum data fcdio eft El-
lipfis et centro eius datum pun«flum perpendiculariter
Tom. VL H ia-

5S DE SFPERFICIEBfS

n

incLimbit; fecnndus efl; cnm perpcndiailaris a piinclra
diito cadit iilibi in iixem Ellipleos , aiit vtilibet in axem
dittae hypcrbohie aut parabolae \ tertitis denique cum extra.
axes cadit. Pro duobus prioribus conrtru<ftiones geo-
metricas ibi tradit , et pro Iblutione tertii , quem in pa-
rabola tantum aggreffus eft y aequationem Cubicam ia-
iienit , et circa Ellipfm aut . Hyperbolam aliquanto loiir
giorem et prolixiorcm fore fuemr, uequutionem ta-
men quartum gradum non efle excelTuram. IHuJlns
Hqfpitalius hoc idem quoquc Problcma cxcuflit n. 44.1.
Trasftatiis fui Analitici dc Sedionibus Conicis , et ci^-
ca Farabolam et Hvpcrbolam datas iu aequationes Cit-
bicas itidcm incidit. Via vero quam in folutionibus
fuis iniuit a Cmtefiana et multo magis a noftra tiif^
fcrt.

Acquatio VI. u-—x-—y-—a.
XVIII. Haec aequatio ad omnis geueris folida ro-
tunda fpe(ftat. Per u enim defignatur quantitas vt libec
Fig. 3. compofita ex tertia indetcrminiUa z et conltantibus. Sit
enim circulus AHL bafis iblidi , eiusque ccntro F per-
perpendiculariter incumbat iixis FE circa hunc axcm:
vcro dcfcripta lit curua quaecunque EDFH , fit diame-
tcr baiis. AL diredrix, ct dicanttrr FB..n.v, EC quae
dirccflrici pcrpendiciilaris rr j', et CD axi pacallela — xj,,
ducT:aque DG parallela CF dicatiu* zizu.^ eritque adeo
CH(DG)z::a. TriimguJum' vero rcclangulnm, CBF
p?acbct «- — x^ '\-y' , itdeoque «- — x- —J',Z: 0 , efl
locus Iblidi rotuiidi orti ex reuolutiojic ligiuac EDHF
circa axtm EF.

Si

AD JEQyJTIONES LOCALES KEVOCATIS. 59 '

Si «'~fl!'^— y^, abit aeqiiatio folidi in x-.-\-j'^
"+-^ — «•-, aequationem Conoidis Parabolici exifteiii

2 2

tibus AFn:^ , EFmj^. Si u- — a---j^ , aequatio mit^

tatiir in x--\-j--{-'"-^—a" ., aequationem Conoidis EI-

liptici, quod in fphieram mutatur cum azz:!;. Eft '

crgo .V- H-j ^ -i-.c' — rt" aequatio fuperficiei fphacrif

ca©. .... ',

■■■ '■■■'-■■'■ ' \ - ''non arifl

'';''-'> ^-■- ,' ':ii ;•] non 4;i:J;uT m;-.?
XIX. Eadem aequatio «^— ju^-^^— :<?, etiam omnis pj*

generis folida conoidea bafi obliqua.ex,ponit modo axis
ad horizontem obUquus fit, vt in Tab. VI. Fig. 4.. et
applicitae DC — s;, huic axi EF parallcke fint: etfi
enim fcdiones per axem EAF et EDHF inaequales •? ■5'''*
funt, earum tamen aequationes eandem omnes formam
leruare polfunt.

Mcthodus ducendi plana. tangentia ad huius gene-
ris fuperficies obHquas eadem efi: curn ea, quam fiipra
expofuimus; nam fi ducatur CK diredrici AL paral-
lela et ~^, vbi ^~ j|, portca BCet producatur in I
ct fiat.CI=^y?\j planum quod per punda K, D, I
transit fuperficiem in pundo D continget. Et quo-

niam (conltr.) CK.CI( ::^-^.^f ::;-. a-)::BC. BF, li
quct lineam F C produftam alteri K I punda K , I iun-
genti ad angulos rc<f^os in L occurrere. Sunt enim
AA. CKI et CBF fimiha, quare angulus I~BFC~.
nng. KCL, et ang. BGFiii: ling. LCI, adeoque ang.
C L I — ang. CBF rr rcdo. Hinc ergo fequinu- , quod
re(fla LD" pnndla L et D iungcns curuam EDH in
pundlo D contingat.

H 2 Huc-

FiS i-

60 DE SFPERFICIEBFS

Hiicusqiie fiiperficies tantiim planas, cylindricas,
conicas uut conoideas conttmplati fumiis, ideo quod
aequationes quas pro lubitu raaxima ex parte affumfi-
mus tales fuperficies indicent , imo varias fediones ho-
rum liiperficierum breuititis caufla filentio praeteriimus,
quae tamen confidcrari merebantur alia fortaffe occa-
fione refumendas. Nunc excutiendae eflent ad-
huc nonnullae fuperficies, quae ad fpecies praeceden-
tium referri non poflimt. Sed quia hoc fchediasma iam
nimis longum videbitur , vnicum tantiim Cono-Cuneum
fVaJlifii exanfinabimus.

XX. Fft autem Cono-Cuneus folidum termina-
tum redangulo GF, quod in radio AF plano qua-
drantis circuli AEF ad angulos redos incumbit , trian-
gulo redangulo GAE, quadrante AEF, et fuperficie
curua ELFHG, ita comparata, vt dufto ex quolibet
qiKidrantis pundo L rcda LK , parallela radio E A ,
et cx K , K I parallela A G vel FH , linea reda L I
iungens punda L , I , fuperficiei per totam fuam longitu-
dinem congruat. Quaerenda eft primum aequatio lo^
calis huius fuperficiei.

Ex quolibet eius pun<flo D demifla fit in pla-
num quadrantis perpendicularis DC~s et ex C per-
pendicularis CK in radium AF, planum ILK trans-
iens per DC et CK eft triangulum re(ftangulnm per
naturam huius fuperficiei. Dicantur AEinAFzr:^,
AGzzFH — ^, et CB parallela kYzz^ , ABzzx , erit

LK =

JD JFQVJTIONFS LOCJLES REVOCJTIS. Ct

IK — Via^-y^), et hC=r-x~^V(a^-j^), et aa
finiilia LCD, LKl praebent aequationem (if—z)V(a^~y^}
:zibx fuperficiei propofitae, quae aequatio a furditate
hhtvxt^ ^t.j-z^-zby^z-a^z^-^b^^y^-^-b^^x^-^-^a^bz
'-a^b'^—0. Ex aequatione -v ero (b-z) V (a^—j^)z:zbx
cognofcitur.

1 . Quod omnis fedlo Cono-Cunei horizontis pla-
no aequidiftans , fit Quadrans EUipfis , cxceptis duobiis
cafibus, cum z—Oj tunc enim fedio abit in quadran-
tem Circuli AEF, qui Cono-Cunei bafis eft, deinde
cum ^zz^, tunc cnim feftio contraliitur in lineam re-
Oxm GH.

2. Quod omnis fedlio plano AH parallela fit fi-
giira quarti gradus, exceptis cafibus cum x=zo, tunc
enim fedio abit in re<flangulum GF, et cum x~a^
hoc cafu enim fedio euanefcit in pundum E.

g. Qiiod omnis fe(flio plano EGA parallela fit
triangulum , excepto cafu quo j — a, tunc enim itdiio
euanefcit in lineam redam HF.

4. Qiiod omnis fedio , cum planum (ecans transit
per GA, fit linea quarti gradus, cuius aequatio eft
(b-z)V (a^n--mH^) — bt j exirtence n—V(m^^i).
Exceptis cafibus cum tnmsit per AF vel AF.

5 . Quod , dudta qualibet M N parallela E A , et
alia NQ vtcunque obliqua ad GA, et plano fecante
transeunte per MN et NQ, fedionis MPQN aequatio
futura fit, (aJb-a€h)V (h^~t^) — bb'^u, vocando

H 3 GN

6i DE SVVERFICIEBrS

GN-HZ — £-, GN^— /, NZ— /^, NOrz/, et OP— «.
' Giirua jMPZ habebit piuiftum flexus contrarii m P , Ca-
piendo N O aeqnalem rubtenfac arcus fub tripli eiub cu-
jus fubtcnfa eftzn-^^, et radius ziz.h'V j.

6. Si in produda BC capiatur CV=?^^^^ig^"
planum pcr punda D , L , V rransiens fuperficicm in
pundo D continget.

7. Portio fuperficiei inter re<flas' E G ^ L I pendet
partim a quadratura circuli , partim ctiam a quadratu-
ra curuae, cuius applicata zz.1^ {'^—^■2.) et abfciifa «,
et GE~f.

Pliura alia circa Cono -Cuneiim annotari potiiificnt
nifi brcuitati cflet confulendum. Cetenim fFallifius in-
tcgrum Tradatum circa hoc folidum confcriptum ad
calccm fuae Algebrac edidit. ^««

PofTunt eiusmodi Cuna Cunei excogitari , quorum
bafes non quadrans circuli , fed aliae cuiniac eflent. Re-
flat vt paucis adhuc agamus

Dg Linea breuiffima in quaamque fuperjicie propofita in-
ter duo data punda ducenda.

Fig 6. XXL Si in fuperficie quacunque cuma inter duo

data punda E et F breuifhma linea EDF diKcnda fit ,
aliud non vidctur agendum , quam vt ex mcdioP h-
ncolac EF data punda E, F indefinite vicina iungen-
tis, ad hanc lincolam brcuilfima perpendicularis quac-
ratur, quae intcr fuperiicicm et lunc liueolam inter-

cipi

JD JEQVATIONES LOCALES REFOCATIS.6^

cipi poflit , occiiifiis enim huius perpendicuhris et fuper- '
ficiei videtur indicare piui«5lum medium D lineae bre-
uillimae EDF.

Principium tamen iftud non effe admittendum vel
ideo patet , quod linea PD ex pundo quidem medio P,
fed fuperficiei ipfi non \(Jro lineolae EF perpcndicula-
riter dndix praebeat lineolas ED , DF , quarum fumma
minor {^t liimma lineolarum priore modo ducftarum.
Ad hoc probandum ducatur in Schemate feparato E F f"'i- 7-
aequalis hneolae data puncfti in fuperficie data iungen-
tis , cuius pundo medio P ipfi ad normam infiftat PH
aeqiiahs breuiifimae perpendiciilari ad E F quae inter
hanc et fuperficiem duci potell j et P G aequaiis illi li- ' ;'
neoiae quae ex punAo P perpendiculariter in fuperfi-
cicm cadit. Eritque PG minor quam PH; nam quia
P G quippe acqualis ilU qiiae ex P perpcndiculariter in
fupcrficiem cadit minima efi hnea omnium carum quae
ex eodem punsfto P ad fiiperficicm duci polfunt , et P H
diuerla efi a PG, quippe quae aequat illam qme non
iliperficiei fed rediulae EF perpcndicularis e(l ^ Qiiar,e
duAis E G , EH et F G , F H , erit EG -f- FG < EH-f-
FH, et hoc quidem in hyix>tlidi quod lineoia PD quac
perpendiculariter in fuperficiem cadit, fimui etiam ad
EF perpendicularein eflc : verum tale qiud raro con-
tingjit, fed plemmque lineolae EF obliqua eft. Sit er-
go in aitera parte figurae 7. triangCflijm EDF ilkid ipfuin
triangalum quod producitur in fig. 6. cum PD per--
pendiciilariter ia fiiperficiem cadit et lineolae EF obli-
qui eftj ec oftendam quod ED-i~FD<FG-i-FG
adeariue adhoc <EH-i-FH> E(l

6^ DE SFPERFICIEBFS

Eft enim a^-^za^p^-^"-m^p^^p^<^a^ -i-i^a^
p2^p+^ vel fumtis radicum duplis aV («+-|-2<2'p'
^2a'p--+-p'^)<^^a^-^^p^ ■, quicquid tf , »/, etpfigni--
cent, add-.itur vtrmquc la'-^ 2p^^tv'[tqut2.a^-\-2p'^-^2V
(a'^-+-2a-p^-'Za^}frp'''\-p'^)<^^a^--\-4.p'^ et fumtis
radicibus V {a^-{-zamp-i-p^)-\-V{a^'-2amp-\-p'^)
<^zV(a^-\-p^). Qiwrc fi dicantur EP— FPzr«,PG
z— PD=:/>, fin. ang. PDL — ;«, et radius zr_ i , erunt
TD~V(a'-{-2amp-i-p^), ED—y(a^-2amp-\-p^)
et EG-¥G-V(a--{-p^),{it FDh-ED<<FGh-EG
<^FH-t-EH. Qiiod erat demonftratum.

,. . XXn. Qiiod fi. vero folutionem problematis ita

velimus tentarc, vt in curua MN quae communis eft
feAio plani liorizonti paralleli et fuperficiei propofitae,
quaeratur punftum D hac lege , vt fumma recflarum ED
FD euadat minima , res quidem effcdu erit facillima ,
alio enim ad id non opus eft quam , vt quod vt iam
inuentum confideramus , alterum ^ vicinilfimnm alfuma-
mus et du<flis deinceps lineolis E</, F</, centrisque E
ct F arculis D^ et dj\ incrementum ed lineolae ED
aequale feciamus decremento D/ alterius FD. Nam
dudla tangente I K ad curuam in D , demiflisquc ex E
et F perpendiculis E I , FK in hanc tangentcm refulta-
bunt inde duo triangiilomm fimilium paria , nempe
EID, Bed, ctFUd.djD, quae praebent ED.DI
i-.Dd.ed^ et D F . D H : : D </. D/, quare propter D/—
ed., fit ED. DI;:DF. DH , ex quo conficitur quod
ratio DE ad Dl fit vbique eadcm, ex quo principio
deinceps aequatio differentialis curuae illius quae eft proie-

aio

\^

AD JEQJ^ITIONES LOCALES RErOCJTIS.6s

(flio practenf-ic breuiffimae lineae fuperriciei in j:i.uium
horizontis faciie iiiueniri poteft.

Sed etliim hoc prlncipium flillax cfl : Nam dcmiiHs
in planum curuae MN pcrpendiculis E G , Fli , fi l.ae
aeqnalcs iint, planum GMN lecabit liueolam E F data
puncl.i iungcntcm in eius medio P , et lineoia ex pim-
cio D ad P ducti, quae fita eil: in plano curuae MN
horizonti parailelo, fiipei-fici^i non potefl pcrpendicu-
laris eile, ideo per praecedcntia fiimma linearum ED,
F D maior efl quam tumina lineoLiriun ED , F D , in

XXIII- Ex liisce crgo, qnae in duobus §§. prae-
cedcntibus ofknfa f "iint , vitro fequitur , quod fumm.a
lineolarum ED, FD futura fit minima, cum DP quae
per medium lineoiae EF transit fuperficiei curuae per-
pendicuiaris efl, vel quod eodem redit, cum planum
tangens in D et planum trianguli EDF fibi inuicem
ad anguios redios occurrunt.

Ponamus ergo Iioc ita efTc, demifTisqne ex pun-
dis E , F , D ct P perpendicularibus in planum iiori-
zontis EG , FH , DC et P<1 , produdaque DP vsquc ad
occurilim. O cum iiorizonte ; punda C, Q^, O erunt in
vna eademque linea rtCtl C O : lineae enim DC , P Q_
in eodem flmt plano verticali DCO, reft.ique GO
commimis efi: fedio iiuius plani et horizontis. lun-
gnirair G C , li C , duclisque ad dircclricem AT per-
pendicularibus GI, 11 K, CB er QT; ducantur practerea
■Tom. VI. 1 GL,

P'S' 5.

66 DE SFPERFICIEBVS

GK , C M , CN pamllebe AB , nec non O N parallela
CB, hisqiie pnieparatib, dicantur Al — x.lG—j, EG
— z , GL=:fl'.v , LGz=4y , EG-DC—dz , eriint C S =-^
ddx, SQp^lddy, et reda PR parallela CO , T>K-ydz.
Et quia DPO ( hyp- ) ad fuperlicicm perpendicularis crt ,
dicantur CN == w, ONmw, et CO^p. His poiitis
AA fmiiha CSQ^, CNO, nec non DPR et DCO,
praebent ddx-=z-=^\ ddyz=i''^. Sint hneolacGC,
H C proiediones cknieutorum ED , FD hneae breuif-
fimae inter duo punda E et F in planum horizontis,
et radius ofcuh curuae GCH in G, dicatur r, et ha-
bebimiis generahter rdxddy-rdjddx—d.O, in qua
fi in locum elcmentouim ddx^ddj fubftituantur -— *
et "— , proucniet nrdxddz H- mrdyddz — zds"^ ,
exiftcntc G C rr ^.f , quare ddz r= ^rTdl^^irfd^ \ propterea

ficnt ddx ~- ^Td^H- w rdy 1 ^f day— Srax-i-mTa^- ^^^^^^
gcncraha funt pro omni fuperficie in qua pinnum tan-
gens anguUim rcdam continct cum plano trianguh EDF ;
fcd fi idem planum tangens fuperficicm in D anguhira
quemcunquc oWiquum formare debcat cum.plano rrian-
mh EDF , cuius fuuis fit =zg , et cofinus — h , erunt

^ , , — 771 dsf . j

quidem, vt paulo ante, rfrf.vzr ^777^.^^^^,, et aay^
—^.'1--^ , fcd aefhmatio elementi ddz aha inuenie-
tur , ncmpe ddz — j^^^^J,%^,Yr ; ad abbreuiandum ,
fiant "e.=zgz ^hp',Y zz.gp-hz, ct du—mdv-^ndXy
erunt t\%o ddx—^^ ., ddy — ,7^^, aaz^f^^^.

Sit dz=zAdy-\-Bdx ae ]uatio difFerentiahs fnper-
ficiei propoHtae, in qua A,B fignifiouit magnirudines

TTt

AD JEOrATIONES LOCALES RErOCATIS.6-j

\t libet diitas per x\jctz-^ quae ad feciindas differen-
tias rediida praebet, ddzzzzAdc/j~\-Bddx--\-ac/}'-
-^-'Sdx- ^ "vbi a et S fignificant fnidiones ci^ i j^-
SufFedlis ergo in aequatione hac difFercntio- difFerentiaU
"=^1 Si\ et IJ-^, proddx.ddjtt ddz, et redu-
(flionc acquationis refultantis inuenietur acflimatio lit-

terae r, nempe r= (adjM-ii^^dll^- E^ etiam rr^

d£^ Bp— AFn-f-BFm., i , .

dxddy — dyddx ■) ^^''^^^ {ady'-^-^dx'']Vdu dxddy—dyddxy "^''^'^
II j jj j jj {(t,iy--{~%dx'^){m.iiy-^ndx)V

habctur dxddj - dy ddx — ^ £p_af>i-^-b^ , aequa-

tio difFerentialis curuae GCH, quae quidem ita gene-
raHter lumta irreducibihs efl, nec nifi particularibus qui-
busdam cafibus ad aequationem differentialem primi gra-
dus reuocari potefl. Priusquam vero reductio eius ten-
tetur , fufhcienda efl in ea aeftimatio tertiae indeter-
minatae z per j , .v et conftantes ex aequatione data
fuperficiei. Sunt praeterea w~B5;, «== Axj,^ — Cs; ,
exiftente C~y ( A^ -l-B^ ) , nec non adj^—dAdj^

Ux^-dBdx, quare dxddj-djddxzz^-^^g^^-;!^^;^^'^-

I a ME

«S METnODFS GENERALIS

METHODVS GEXERALIS SVM-

MANDI PROGRESSiONES.
AVCTORE

heonh. Eulero,
§. I.

PRoporiii anno pmeterito methodum inniimcras ^m-
greliiones fummandi , quae nt)n ibkim tc ad ierie*
algcbniicam liimmam habcntes extendit,(cd carum etiam,,
qiiae algebraicc lummnri neqiieunt^ fummas a quadra-
turis curuarum pendcntes exhibet. Synthctica tum \lii*
fum mcthodo • generaUbus enim affumtis formulis quac-
fiui f<»i-ics , quarum fummac iis formulis exprimercntur^
Hocque modo plurimas feries generales adeptus fum ^
quarum fummas potcram aff:gnarc. Propofita igitur
qnapiam progrclHune fummanda , neceflfc erat eam cum
illis formalis coraparare ,. et indtigare , num m aliqua
carum contineatur. Potuiflcm autcm numerum earum
geueraliiim lcrierum in infinitum multiplicarc , ct pro-
pterea fieptus mihi feries occurrerunt , quae etiamfi m
datis gencralibns non comprehenderentur, ip(a tamen'
methodo poterant (iimmari. Qiio igitur ficilius ma-
gisque in proaitu fit feriei cuiubcunqne propofitae fum-
mam, fi qaidera fieri potell:, inuenirc, conimunicab»
liic methodum analyticam , qua ex ipfius fcrici natiira
terminum fummatorium exuerc hcet. Latiff.me-ea pa-
fiet; non (ohim enim omnium earum ferierum , quarum
femraae tot diucrfis rtiodis iam funt erutae, icd infnii-'
....; - tariim;

SrMMJNDI PROGRESSIONES'. _ 4^

i:trum aliarum fiimmas fimili et fadli operatioBC inue-
nire docet. -7

§. 2. Si aeque effet ficile dato termino generall
inuenire fiunmatorium , ac inuerfe ex fummatorio ge-
neralem maximum hoc effet fubfsiium in fummatione
fcrierum. Potell quidem inter terminum fummatoriunrj
et gencralem dari aequatio , at quia ex infinitis conltaS
Eerminis ,. ex ea non multum adiuuamur. At tamen
infvgne inde nafcitur compendium ^ ad psogrefiionum al-^
g;cbraicarum llimmas exhibendas. Sit terminus gene-
ralis fcu is, cuius- exponens ell n in progreflicne qua-
eunque t , ct terminus fummatorius feu liim.ma omniurf$
serminorum a primo Tsque ad /zr.f ; erit t~ tSi^ 'TYJ^'^
-H Tr2TlT"crP ^" 1.2. 3 "4..dn-^-~i~£te. in qua aequatione po-
fitum eit (/?i conftans. Transmutari antem haec aequa-
ao poteft m hanc s-ft^n-i- at^^^' ^^^ ^-'/^l
-4-etc.. in qua coefficientes a, g, y etc. fequentes ha~
bent valorcs, a — ^- S-^-J,; y~ i-|-|- > ; ^-

:^-|-4--=' -_i_- g — t_l_U S _ « _4_ >" ■ Ptr

■I c^^^24 i'2a''^ — 2 e^^sT T20" ' T2'o5 ^*^^''
Fiet autem s-^jtdn-^i-^jl^--^^,-^^^^.
€tc. Qiio*ties igitur t eiubmodi habet yalorcm, \t fe-
rics s praebens vel ahGubi abrumpatur, vel fiat fiimma-
bihb, tum ope huius aequationis reperietur s ex t. Eue-
nit autcm iliud, fi t efl: funclio algebraica rationahs ipllus
n., et praeterea fi eft fracfrio, modo n non in determinato-
?em ingrediamr. E.g.ft ^-- ;2- -|- ^", erit dt—andn
•^- 2 dn , ddt— 1 dn'^ , d^^t — o etc. Erit ergo s—C

{n^- -f- ^.n) ^;2_|-^:t^"_|_ =^= -n^_l_ 3f , 1j.

i 2 —7 -r- 2

6

I ;j

S'

70 METHODFS GENERALIS

§. 3 . Methodus autcm , quam hic fum expofitu-
nis, ita Ic habct, vt progreirio propofita certis quibus-
dam operationibus vel ad aliam fimpliciorem , quae
fummari poteil, \el itcrum ad fe iplam reducatur- \troque
enim modo fumma progrcfllonis propofitae conftabit.
Opcrationcs, quibus in hisce transformationibus vtor,
funt vel vulgares vt additio, fubtracftio etc. vel ex al-
tiori analyfi , fumtae vt differentiatio et integratio. Illa
quidcm ahis feriebus non inferuiunt , nifi quarum liim-
matio iam ell cognita et algebraice aillgnari poteft ;
His vero etiam. progrclfionum iiimmas algcbraicas non
habentium liimmae a curuarum quadraturis pendentes
reperiuntur. Omnes autcm leries ad quas haec metho-
dus accommodari poteft, in fe compkcftuntur progreftlo-
nem geometricam , et huiusmodi habcnt f()rmam a.v"
_l_ g X °-^^ -{- y x"^'^ H- 5 X «-*- 3 1 ^ etc . Id quod non
impedit , quo minus progrcflio quaecunque in hac for-
ma contineatur.

§. 4. Vt a fimplicilfimis incipiam , fit progreflio
propofita geometrica , .v'^ -f- x "-^-^ -\- x "-^'^ -f ;i-"-^- 3^^-

^.c_H(7i_i)&^ if^ q^j.^ extremus ter-minus eft

is cuius index eft «, atque hoc in fequentibus femper
notetiir, terminum vltimum effe eum , cuius index cft
11 , ne opus habeam indices adfcribere ; et proinde etiam
fcmper linnmam A^squc ad terminum indicis n exhibe-
bo. Ponatur fumma progrcllionis propofitae Sy erit

S—x''-hx"-^^-i-x"'^"^ ^_.v«-^;"-0& tunc fiet

s-x^^z^ x"-^^ -h- .V "-^='' h .v''-*-^"- ' '* , addatur

Ytrinque .v"-^"^ ct diuidatur pcr .v^ , prodibit ^ j — -

X

— x"

$VMMANBI PROGRESSIONES 71

::^ x^^-^-x"-^^ a'''-^-^'"- ' ^^ — j. Hubemus igitiir

aeqiuitionem j — .V^-ha'"'^'''' rzjw^, cx qua iauenitiir

/z::: ^ — ; quae eft liimma progreflionii) geometri-

cae propofitae. Eft ergo hoc exemplum , quo progrefTio
propofita in ie ipl-im transmutatur. Si fuerit .v liadio
vnitate minor et n numerus infuiite mugnus , erit x"'^^

rro atque s~-^ j, fummam praebebit progrcffionis

I —X

geometricae x^^-hx^-^^-^-x"-^-^ etc. in infuiitum

continuatae, Si fuerit x—i patet efle s—n^ id \ero

diflicilius apparet ex aequatione s — " —^^ — ,quia nu-

merator et denominator euanefcunt. Vt vero \aIor
hoc in cafu inueniatur, ponatur .rmi — w, denotante
u quantitatem infinite paruiun, erit .v^zni — ^u , x"'-^"^ —

i — (a-\-nlf)(jiCtx^:^i—l>()i. Hincque fit .f— ^-~ — «.

Apparct etiam fi terminus gcneralisferiei fuerit ca""'-''" ' •*"

fore terminum fummatorium

a.V'- ax''"*-"^

i-.v^

§. 5. Sit nimc propofita ifta progreilio .v'' -H i A'""+'^

3 .v""^'^-! h //.v"-^^"^' -^ cuius fumma po-

natur s. Erit .r - .v^zr 2x"^^-i- 3 .v"-^ ' ^ nx"-^'''- ' ^

addatur fequens terminus (n-\-i )x^-^"^ et diuidatur per
^ . s-x''-+-(n-hi)x''-*-^ ^ , « .6

.v^
(«-i-i):t'''^'"— '^^, Subtrahatur ab hac ferie prior (cili-

cet

7* MErmu^S CENERALIS

cet ipui propolitti prodibit -^ s zz.

x—xr
Iwc inuenitur im -, — ■ -\- r

Qiii e(l tcrniiniis (i)mmatorins refpondcns tcrmino genenili
^^ ^..7-+-i,i— 1;5_ gj {acvii: Jf<^ i et ponutiir «nzoo pro-
dibit (erici propofitiic in infiaitiim continuatac fum.ma —

• — ^, — . Si autcm fiat .vir i prodive ticbct liimma
(i-A*)= ^

progrcifionis i -+- - -H 3 -h 4 n^ hic vero eadem,

quae antc oritur difficultas, numeratore et dcnomina-
tore euancfccntibus •, pono igitur itcrum .vrr i-w erit
j -.V* - /; w ; .v^ m - tf 00 -h 5^^^- ; .1-"-+-'''^ - \-{a-\-nb)

^^'. Practcrca fi terminus gcneralis fit %nx^^''''—'^^
erit terminus fummatorius i^— ^ ^ — '- — -, — '-

§. 5. Simili modo inucnicntur termini fummato-
rii, fi termini generales fmt ;;" .v'''^'"-''^,;/^^"-^^"— ''*
etc. fcmpcr enim fummatio reducitur ad fummatioiicm
ferici gradus infcrioris. Ex cjiio iuteiligitur hac ratio-
uc inuciiin poiTe gcnerahtcr terminum lumiTuitonum

fpon-

SFMMJNDI PRQCRliSSIONES. -73

fpondentem termino gcnemii (a-\-^7i-{~yn--{- ctc.)
,^^,a-t-(;i— 1 )o_ jj^ i^j. autcm ftbfoluendis longius non im-

moror, quia iam dudum fntis funt cognita. Ideo haec
tantum attiili , Tt methodi vis etiam per vulgares ope-
rationcs patefcat. Progredior igitur vltra , et quaenam
feries ope difTerentiationis et integrationis in fummam
redigi queant, inueftigabo. Primo quidem etiam pro-
grclliones algebraicac modo tradatae fummantur, et
fummae inueniuntur a iam datis non differentes ; atta-
men earum inuentio per has operationes videtur fici-
lior ct breuior. Hanc ob rem ab his Jterum incipio.

§. 7. Sit progrcflio fummanda A-i-c.v^-f-^.v^-}-

ij-.v+ nx"- ponatur ca =:.r, diuidatur per .r et mul-

tipUcetur per ^.v , erit '-^ =1 dx -+- ■2. x dx -J- 3 .v- dx -
nx^^-^^c/Xy fumtisque intcgralibus habctur/'-|^ —

X -{-x--\-x'^ x" — ' — — . Ex aequatione igi-

f ^ V V — t"^ '

tur f- '- ~ ' — ^ — - diffcrentiata inuenietur s. Erit

■^ .V i-.v

. sdx ^.r-(«-i-i).vV.v-h«.v"-+-' r/.v .

enim -— =: s • , vnde

.V (i-.vj-

.v-f;7-f-i).v'=+'H-«.v"-^= . . <
prodit .f — — ^ — , vt antc §.5. fi

(i-.vj-

ibi loco a ti b (cribatur i. Ex hoc inteliigi potefl;
quomodo progrelTionis <?.v* -i- {n-\-b) .v"-*"^ H- ia-\- ib)

\°-^-^ H {a~\-{n-\)b) .v«-+-"~ ' '^ rjmma fjt in-

ucnienda. Ponatur enim haec fumiria quaciita j, et mul-
tipliccti!r per .v"" dy , erit .v'^ sdyziLa x^'^"^ dy -\-[ a-\r-b)
Tom, VJ. K ' .v«-*-^^-'

7+ METHODVS GENERJLIS

X

.a-4-e-+-'T

dy ( a-i- (n-i)b) x^-^'"- ' "-+-' r/j. Fiat

iam x''^''—^-' , et .^«-4-s^-^— j°-i-&-i • erit .v^zr/
ct x—/'-^. Hincquc fieta^^-^^v^^^^^^^rrj^-^.Er-
go erit Trzz^^— -. Atqiie.v*-^^'^''^-^-^— j"^-''''-'^*-'

His pofitis erit .v t^ sdjzzay'-' dj ^-{-i a -\- b)
y^b- , ^y ^ ( ^ _^ („_ I ) h)j''-^'^''- ' )';- ' d'j' , (iim-

ta- Ot ■— e
tisque integralibus Jx ^ sdjzrzj" -i-j''-^ -\ -

^^,c-H(;i_ !)&_-. 2 — ^^ Qiua vero ert/— v^- erit

e £—6. ea--«!)— fc

j — .v^ et ^=:-.v 6 ^.v, hisque fiibftitiitis ?-/v . '='

sdx—'^ ~'^ 5 .. Haec eadcm acqmtio pot-

i-.v*^

efl: flicilius fine pcrmutationc variabilis .v inueniri hoc
modo: Multiplicetur progreffio propofita pcr px^^dx^

crit /)i-^jr/.vi:J)^:i*-^-^r/.v-l p {a-^ [n- i)b)

^ft4-(u— 1 )g-f-7r ^^ .^,_ Detcrmincntur p et tt itaYtfita-H
(,;_ i)g_f-7r— ^ (tf-f-(?i-i ^Z»)- I fcu a-f-7r-4-
(«-!)§ — rfp -!-(«- i)/'/)-i. Ex qua, quia p et n
ab « peiuiere nequcunt , duae refurgunt aequationcs §rr
bp et a-i-TT — rf^— I, -vnde prodit ^— -^ et tt ~
,e— a&-&^ j^;^ fubilitutis, et intcgniHbus fumtis, pro~

«eniet vt antc ^/.v t?~' sd.x—x'^ -f-.v *

«C-H(n-J^)fc3 ^6 _ ^- 6

^. 8. Sit progrefllonis propofitac terminus»- ordine
».'„ hic. {an-i-b){c-n-\-^ )^^a-i-[n— i ;e . ponatur hifus tcr-

Biiuns

SVMMANDl PROCRESSIONES. 75

minus (limmatorins s : cnt s^ia-^-l?) ( r -f- ^ ) a-* -H

(2^-h^) (26-4-^).i« ^-^H ^(an-\-d) (c-n-\-e)

^^,a-f-;,i— i;p^ mnltiplicetur pcr /).r'^^/.v, fiet psx^dx~p

{a'^h)ic-]'e)x'^ '^'' d X -\ ^p^an-\-b){cn^e)

^^a^[n- , JP^-TT^/,,^ Sit p cn ~hpe — a H- // (3- (S-f-Tr+i ,

debebit elfc /)=rf- ec 7r~ ^-^''^'"'"^ Ergo fijmtis

integralibus erit f-/7r'".f</.v2r(^-hZ').v*'^'^'+'' H ■

( ^ /7 -4- ^ ) .v'^-^-^'^- ' :P-+-^^- ' . Mnltiplicetur denuo per q x^
dx , er it f- ^ x^dxfx'' sdx — qia-^b) .v^^+^^^-^-^ • rt^.v-t-
q^an^b)x «-»"(''- ' ' P-+-^-+-?-^ ' ^.v , fiatque a n q

--{-bqzza.-\-n^ — ^-{- 7r-f-^-4--, hinc erit ^— f"

et ^—- k — ac~^- Sumtisque inte-

gnilibus proueniet ^-Jx^dxfx'"sdxz:zx''-^'^-+-^-^^ H

,.a-4--n--t-p_)_2_ .,a-|-7i[3_f-7r-4-p -+-2
1 .a-f-(«— 1 )P-l-7r-+-?-f-2 — ■_ •«'

■^ — i_;^p

P&c— [3..e— nc |3£_+_pc-_a£— c

feu baec aequatio ^^fx «'^ rf^.v/v c sdx:=z

_^,— T— _ V a -" Pj£lt^^ / 1 - V" ^\

operatio eft inftituenda , fi plurcs duobus fidores fue-
rint in termino gcneraU , ex quo fimul apparet , tot
prodire figna integralia, quot funt fadorcs in cocffici-
ente termini generalis.

§. 9. Si fuerit progrefTionis fummandae terminus

;\^.a-+-(fi— I )(3

generalis , operatio a priori in hoc tantum

^ an-\-b

differt, quod liic differentiatione abfolui debeat, quod

K 2 ibi

7<? MKTRODVS GENERAUS

ibi integralibiis iiimcndis pcrficiebatur. Sit igitur ter-

minus fummatorius quaeiitus j, erit s~ 1

a-\-b

an-\-b a-\-b

■C _-. Sumantur difFercntialia prod^bit tx^

an ' '- ^

r/j- -i-/' TT .V^ ' J- ^.V ZZ.^

a-\-b

. Fiat pa-\-pn^

an-\-^

^p^-^-pnx — an-^-b^ evit p~f et 7r:z:(3-a-f-?.

^.vP-^-+-'j^ ^.f _|-(^Q-.^«-|-Z,Q) .vP-^-^-f"" ' s dx

Ergo ■ — ^ ?~

^dx

a P-4-Ap— g n.,|3-)-'P-a o(?-t-.'(?— •

:r: X -\ V- .^ — X

vcl .?=|-.v « /.v "^ ^ATTrrO" -^" ^^'^^

formula integralc ita dcbct accipi \t pofiio xzzo^ ipfum
euanefcat. Si dcfidcretur liimma ieriei propciitae in

iniinitum continnatac, fict «— oo ct .f^a'^ *

7 " -5 Si lit x~\. in cxprcilione quidcm

fumma .r,quia dilf;rcntialia iniimt, non potcd poni .v — i,
ied poit integrationtm iiat .v— i . Atnuncn pcrinde

eft

SVMMANDI PROGRESSIONES. 77

efl qiiales niimeri loco a et (3 fubftitiuintiir , fit igitiir

a"P — I- Erit j-^r^ijri*^"" ^^6 '~~in;i-'6~ —

j ^_ /i — v^^x

. r,.'» (/.v ( — ^ ). Atqiie pofl integrationem fieri

debet xzizi. Qiiemadmodnm in differtatione defiim-
mationibus initio citatn inucneram,

§. 10. Sit propofita progrelfio , cuius terminus or-

dine n eft ^, affumo hic tantum a" lo-

(an-i-lf)ic-n-\-e)

co .v«-i-''— ' (^ tum compcndii ergo, tum quia haec po-
tentia in illam fociU negotio poteft transmutari. Sit

terminus rummatorius j, erit /).v^j — — i— -^

{a-{-l;)ic--{-e) \

/).v^-^-" . , diff:/).v^.f
- '- ^ — Adeoque '

(an-{-l;)ic-n-]-e) dx

p(7r-f-i).r" ^ /)(7r-+-;/).v--+-"-'

-^— — — I . riat p TT

(a^b)ic-^-e) (an-\-b)(cn-\-e)

-\-pnr:zMn-\-b., erit pz=:a ct tt— -. Ergo habctur

liiiiL— = 1 [-- . MultipHce-

Hx c-\-e cn-\-e

b &_

tur denuo per px^ . erit -i- — , —'- -1 —

dx c-\-e

b_ b

.V <^ -+'«-+--^- 1 apd(x'^d(x'' s))

i— — . Hnicque proditJ !: --

cn-\-e dx

b_ &_

p [■- -\- TT ) -v» -^''- ' , , p(l-\-n-\- r. - 1 ^.v* -+--^-+-^-2

c n -f- e
K 3 Fiac

7» METHODFS GENERALIS

Fiat ? -4- pw^- /)?:-/>— f«-|-^; eiitp—c et 7:~ i
— ~r~^r- His liibllitiitis cmergct i(t;i acqiiatio

--e^)

l — b -+- e_ h_

acx ^ <= (7'(.i".0 __

Siimantnr iterum integtnlia , erit

dx

b e

fxe dx( ) : hincquc s zz. r-/A'« "<= ~ ' dxfx'' dx

/ i-v;'\ _x^-^fxhxii=i) -fx ^ dx ( ;-^^ ) ^^.^^^^^

' a

hic notandus eft , ^\bi;:iz.ae^ qno fitj — ^. Erit au-

I -^ /'t - v"\

tcm iuxta priorem formam S — r-/-/^'''^.v( — '— )

, , • , Ixfx^^dxi 1=^ ) -fx^dx (l^) / X
quae mutatur in hanc sziz^ ' — ^ -^ ■— ^ ^

acx''-

Callis hic accidit, fi dcnominatores {an-\-b){cn-\-e)
fuerint quadrata vel horum quacdam multipla. Si fue-
rit .V zr I , haec liibilitatio vt ante dcmum pofl in-
tegrationem fieri debet in quantitatibus figna intcgralia
prae fe habentibus, at in finitis ftatim ficri poteft x—\,

^ . f( x^ - .V" )dx(^ 1:=^ ) „

Erit ergo s:=^ - - '^t-L. Ex quo apparet

bc — ae

f_ b_

ii x" —x^ potefl: diuidi pcr i— .v fummam progrclfio-
pis cflc aigcbraicam. At calii quo bczz^ae^ liet Ix

SVMMANDl PROGRESSIONES. 79

rro, fi fcilicet fit x~i. Qiiocirca erit .f — ^

ao-

§. II. Simili modo intclligitur fi n in denomi-

niitore 3 pluresue dimenfiones habeat, quomodo fam-

mam inueniri oporteat, ita vt opus non fit .pluribus

exemplis operationem illuftrare, Sit progrefiio propo-

v"
jGta haec cuius terminus generahs eft — '■ —

(an-{-lj]{c-n-\-eyfn+-g)

fumma huiiis fit ,f. Haec progrelTio eodem , quo praec.
cedente §. modo tradata dabit poft duas ditferentiones

acd{x '^-^'^ d{x": s)) x^ " __ _^.r-4-«— «

:rr ( p. §. 9 . ) j^ .v^ — / — ' fx s dx ( ~=^ ) liimantur intc-

I — n e_ b^

.. .^ acfx b^o d{x^ s) c '-l- , , ^ ,
graha erit —^ -— -—jx" i—^dxfxf dx

(1=^), et denuo acfx'^ s—fx°^~^~^ dxfx'''^-^ dx

^ ■ >i b e <■ g

fx / dx ( -^-^ ) , adeoque s — — l— ^ fx ^~ ^— ' dxfx^-J' *'

acfx-

dxfx / ^A- ( Y~). Ne phira figna integraha poft fe
inuicem fint pofita, haec forma in fequentem transmu-

-£_ g_ n — e_ e n

/x A' ffxfdx{l^=^) cx ^ fx'' dx '-^

(^/- ag) {ef-cg) {bc~ a e) {c^-efy

y

80 METHODVS GENERJLIS

•~b_ ^ h_ tt

-f-___r _Lif__. Ex hoc fimul apparct , h plu-

( ae—bc)[ag—bj)

res fuerint facflores in termino gcnerali , quam formani

habitura fit fumma. Sit enim tcrminus gcneralis

.v''

crit terminus fumma-

iaJi-{-b]{c-n-\-e){Jn-j-g' {hn-\-k)

I b € t_ f ^ - !l

torius sz^: — ■ Jx^'" ~ Va'/.v<^ ~T~ ' dxjx^''- " '

acjhx-^

—bb_ n «

, r r j /i-r", ax ^Jx^dxi^^)

{ae-bc) ( ag-bj ) [ a k-b h ]
c^r^Jr^xii^) ^ Jx~fjxhx[i^^

-X \

[bc-ae) [cg-ef] [ck-eh) ^ bj- ag ) [ej-cg ! [Jk-gk)

k k

kx '>Jxl' dx[^^) c- j r. r

■^ L '-^ _. Si defideretur fumma ca-

bh-ak){eh- ck ' \ gh -J k)
fu, quo x-i. erit pro termino generali [an^bysn-i-e^ijl^)

Jdx[^^]Ciaef-bcf\x7-\-[bcf-a
termnuis fummatoruis s—i iLrjLlll^J. ±_ . - —

ae—bc] [ ag—bj ) [ cg—ejj

e

b

^•p-W ^(^^■(r-aef]X'' ) r^ ■ . ■ ...

ji- ^ — i- — -. viuoties igitur quantitas ui dx

n

/Lr£-) dud:a dividi potcfi: pcr i— .v tnnc progreffio
propofita algcbraicam habct limimam. Accidit lioc fi
^ — 7 et l-—j- funt numcri integri. Praeterea hoc etiam
eft notandum omncs huiubmodi progrcniones vcl algc-
braice efle fummabiles, vel a logaiithmis fuic rca-

iibus

SVMMANDI PROGRESSIONES 8i

libiis fiue imaginariis pendere , neque Yllam aliam qiia-
draturam huiusmodi progreiTioue polTe exprimi.

§. 12. At cum difficile fit has formulas ad eos
cafus accommodare , quibus deuominatorum fadores funt
aequales , Ubet hic hos cafus in fpecie trudare : fit itaque

progreflionis lummandae terminus generalis — ^ et

fummatorius j, erit s—. j-J-f^-Jx'»- dx{ '-^ ) id

a

quod fequitur ex §. ii. vbi fit c—f~a et e—gzzJ)-.

*_ «

haec forma transmutata abit in hanc j— %1 '. — —]_z±i

a
a

.v" . [Ix ^^/.v^ dx
fuerit terminus generaUs ^- — r-T,ent jti:— — ±.

V-^)--^[h\^JxhxJx[:-^) -f- '^lxJx-dx{lx){'-A\-Jx^dx^x) \ i£^)

Ex his apparet quomodo pro reiiquis potcntiis valor
ipfuis s progrediatur : generaiiter enim fi terminus ge-

r ^ x"" . , {lx)-^-'Jx-dx
nerahs eft , erit fumma szn

( 15^") -[^^] {lxr-'J-}'dxlx{ ^ ]-\-{^]!V}r2 ]{lx)^-ijx^dx{lxf{lj=^ )

I. 2. 3. {m-x]d^xi-

Tom. VI. L -etc.

$2 METHODFS GENERALIS

— etc. Valores hi multo fiiint fimpliciores, fi pomunr
a*— I , erit enim /x—o. Termino generali enim Tan^^

fxTdx07)(^)
refpondet hic fiimmatonus i—xj.^ tcrmnio

b n

fx^dx(/-)~i '^^ )
gcnerali j—p^yr hici: L_f_ — izz£_- atque termino

generali hic •' __f___li— fL_ —

Jx^dx{/^)^^{^-^) . ,..,,,
— — - ^ \— — : quae mteeraha ita debent ac-

cipi vt pofito xzz-o tota fiimma cuancfcat ,. tum autem
poni debet .v — i , ct quanticas refiiltans vera erit fiim-
ma. Porro notctur fi finnma defidcretur in infinitum
continuatae progrefiionis ^ vbiquc tantum Icribi dcbere

n
I — X

■Tzr^ loco ,_^-

§. 13. Duae iam pertraiHiatac fiint progrefllonum
clafles, quarum illa habebaf terminum gcneralcm A.i'^

hacc vero ^ denotante A quantitatcm algebraicam ex
n et confiantibus confiantcm , ita tamcn , vt « non ha-
beat alios exponentcs,, nifi integros affirmatiuos. Ex

n
Ax

y

his oritur tertia clafils pro termino gcncrali habcns ^ >
vbi A et B eiusdem modi quantitates algcbraicas de-
iignant. Talis progreifio reducitur etiam ad progrefllo-
aem geomctricam toUcndo numcratorem A ope intcgra-

tioms

SVMMANDI PROCRESSIONES. 83

tionis , et denominatorem B ope difFerentiationis , qiiem-
admodiim in vtraque pertraiflata leoriim fii(ftiim eft. Sit

n

progreffionis Himmandae terminus generalis ^f^^fp ^'^^^" _
ius terminus fummatorius ponatur s-^ erit szz ■'^^^■~

^ [_.^tJf__ Multiplicetnr haec aequatio per

p .v^, erit px^^s— '—^^ _j- - ^ - > _l- X ^^

fumantur differentialia , erit pd{x^s) — ^'''-^ ' jiff^~

H h^^^^SB -, fiat /,«-+-/> TT-

4(n-\-b, erit p=:^ et tt— ^-Ergo t^ad{x<^ j)=i(aH-g>r« ^'
-1 — --{-ian-^-t x^ dx. M ukiplicetiirdenuo per px"" eric

fe_ fo-+-7r

«/» .vV i :c« .f ) =/> ( «H- e ;.v« dx -\ V-p{ ctn-i- g)

6-j-TT-i-n — I

ii-o' ^.v. Sumantur integralia habebitur apjx^^d

i-t-TT-Hl S-l-Tr-i-»

(X" f)— — H ~"~r-— ^

d-i-aTz-ha b-{-aT:-\-an

Fiat aapn-^a^^p — an-^-a-n-^-b'., tmp—^ et tt—
?- — ^. Propterea eft l-/jc»~^^(a''' j-jzz:^,'» H

-f-A'« — a'« (tEI)- Ex hac aequatione prodit jr=

a.fv<^ — * d/^v * , ' — ^ ) ) « . .

•^' ir ■ — ^ 'Z. Si fiicnt termmus genera-

lis -^niy^^'' , huiusquefummatoriusponatur j, pro-

L z dibit

84- METHODFS GENERALIS

dibit iisdem , qiiibns modo , abroliitis opcrationibus , ^

A'* , miiltipliceuir itcriini pcr p.vV.v et fumantiir in-
tegralia , prodibit '^-^tfx^^dxjx^ "« ^(.v» j-^-^l^— __

-^-+-1

f H-Tr-t-ri-H i

_^ }-_£_L — I i Fiat ay/>«-|-

gH-a7r-i-aw-i-a

a(57>3i:a-i-g-f-a7r-l-a'i, crit p=r;^ ct i: — y~-^^

5 g— i 1 ^ ^ ^-+-'
Ergo ^ /.v ^ - = dxfx=^ - « </( .v« .f ) - • .v v H h

«;_^.7i £_Hi " ^ av /'.vn~«rf'(.A*^^ d{X^ ' \)^z^\

.v7 — A-^ ('^^^)- Quare j— _Ll__— y\--x),

ax^-dx

a

Sed huiusmodi progreflionibus liimmandis diutius non
iramoror, ilifficit enim methodum tradidifTc, qua omnes
rumrrlari poiTint. Interim tamcn et id valet , quod §. 1 1 .
dixi , omnes lciUcet huiusmodi progrclliones vcl alge-
braice poilc fummari , vcl fummam a iogarithmis fiue -"'
realibus fiae imaginariis pcndcre.

§. 14. Progredior minc ad aliud progreflionum
gciuis, quarum termini gencralcs algebraice exprimi
non pofilint, (cd <mae ad claflcm ferierum hypergco-
metri'ai-nm pertinent. Huiusmodi feries cft (a-l-S).v

-f-ra-l-§)(2a-f-ei.v= H-- - - (■a-h^)i2a-\-^'

(an-ir^S^x^. Ponatur huius iiimma j, et multiplicetur

per^.v"^, erit px'^s=:pia-\-^)x'"-^' -i \-pia-\-^}

(2a4-ej

SVMMJNDI PROGRESSIONES. 85

(,2«-}-gt ia;i-t-e).r"-*-^ £t huiiis in dx diidae

integralis pjx j r/.v ~ "

7: -f - 2
. iiat

j)aMH-^ g — ;/ -4- 7r-i- I erit p— ^- et 7:i=^-i.Vn-
de prodit aA'" i^.v~.va H- a -f- g i.va' -j ►

€_-H-rt

-f- (a-i-g) (2a-|-§) (a ;;-i ) -h. § /.v^ . Diui-

datiir per .vi--^' habcbitiu- •^'— — - — i —^ a-f-S) vV-}-

"■ ax-^ I ■

a '

(a -hg';2a-h§J ;a(«-i)H-§'.v"— '. Qiiae

eft ipia progreHio propofita truncata termino vkimo.

_e— i ■

Erit igitur ■ — ?. — ;^ — ^— i =/ — (a-HSi^a-hg)

(a;/-|-S}i~r j-— A. Huiusmodi autem formas finita ex-
prcflione expofui in aha iam praelc(fl;i diiTertatione de ter-
minis generahbus progreflionum transccndentaliiim , ex
qua fi hbct finitus vaior loco A dcfumi poteft. Erit

ergo jT.va .f^.v— aa-a -f-a.v» j— aA.v« ,atqne

x» -f</.vzr;(a-l-gl.v«r/.v-f-(a-hg',v«.v^.v-}-^A'=^ ds

f_-+-Tl

— (a-hg-ha«) Aa« dx feu sdx— ( a-j- § ) ^i-^/.v H-

n-f- 1

(a-hg-.rj-^.v-hax=fl'.f-( a-h-§-ha;/)A.v ^a\ Ex
qua aequarione valor ipfius s enitus dabit liimmam pro-
greffionis propofitae. Fieri etiam poteft, vt fiiclores
in termino fequente non vna tantum, fed duobus plu-

L 5 ribusttC

85 . METHODVS GENERAUS

ribusue augcantur. Accedant femper duo de nouo , vt
prodeat ilb progrcillo (a-l-S^v-T-(a-hS:(2aH-g;( 3 «

"f-e).v=H h(a-HSj(^a-i-l?)--(a(2«-i)

g^.v". Huius liimma \ocetiir j-, erit pjx^ sdx^

/>ra-|-gj.v^-^_j p(a-hg.)(2c^-f-gj piaiz

7t-i-2 n-\-

TT— j— I

TT-f-i erit/)zz£^, et ttzt !=!.«. Vnde -{iLlI^ jJll

= ^^-^"-1 |_(a-he)(2a-f-g) (aC2«

~ 2 } -i- e ) x'irt-±=.?. Atque iterum ^-^ 5.?

^* 2a

2.ap x^-^l '^H-TT sap (a-h S )

^ - + •

g-hSa-i-saTr S-f-a

(cc(2«-2)-he).v''-^-^-»-!±? ^ , . . o

^ ^ .. SiL, Fiat 4.;ja=«-4i>a=-|-2;)ae

:.a/i— H 2 7ra
rz:2a«-l-2 7ra-l-a-i-Si crit p^ii, et ttzz-^; ■

.3 t—za.^

«t— e ^j^

2a 2

r /"jC V.v/.V 2a j^v , ,

, conlcquenter -^ ^ — ^ — •?—(«

^a^.v/

^- g) A^H (a-hg)(2a-f-g) - - - (a(2;i-3)+ g)

.v"-'-.y-A.v^ pofito A = (a-f-g)(2a-he) («

(2«—i )-}-&). Ex qua aequatione i innotefcit.

^. 15.- Simili modo opcnitioncm inditui
oportet, fi in coefficiente termini fcqucntis, trcs plu-
resue f;idores dc nouo accedant. Dc quo notantium

eft,

SFMMANDI PROCRESSIONES. i^

cfl, tot femper in aeqnatione refnltantc figna intcgra-
lia fibi inuicem eile iiindra quot funt fiKftores, quibus
fequens quisque tcrminus augetur. Itaprogrcflionis(cc-j-g)
x-\ -+- (a-4-§j («(3«-^ j -I- S) -v" lumma

s determiniibitur ex hac aequationci v j^ i^_ ^dx

g^^,=r:j-(a-|-§) (a(3;/-:i) -4- g)x^ Ex qua,

vt indudio ad fequentes cafus fieri poflit , notandum eft, ,

j-jgZ:^ efl^ terminum progrcflionis propofitae ante pri-

mum feu eum cuius indcx eft o. Si tadores qui in

potentias ipflus x ducuntur non confliniant progreflio-

nem aritiimeticam , i(;d aliam algebraicam altioris or-

dinis, opcratio fimiliter debet inflirui ; \t flt progrcf-

fio propofita (a-i-§) (y-H<^).vH h(aH-6;(2a '- •

-j-g) (an-i-^){y-\-$){2y-\-S) (y!l-^§}x''

\ ■ r ■.^r-Kj p(a-\-^){y-\-S)x'^-^^
ponatur huius fumma j, ent pj x^ sax—- '±1—! — i_

7r-i-2.

, p(cc-\-^) (a?j-\-^)(Y-h$) (nx;f_f-^\v«-t-'^-»->

— r' 1— • '

— ?=3'. Ergo JlZylilZ— (a-\-^jxy~

n-f-5'

y

Ponatur /)y;7-f-p(5~ — ;?-|-7r-l- I ; erit j5—:^; et tt

v__

r

(a4_g) (a;2-l-g) (y^^) (y(n-i)-\-§)x

Forro erit PJ^-^dxJ^-^ s^x ^ypia-^ ^)x'^^-

y §--\-iy-\--r:y

_i y_yp g+-g) - ---COT-4-e)(Y-t-y) - --.7-,i— r;-t-5-)x y

Fiat pv.yn-\-p%y^yn-\-'Ky-\-^-\-y., erit /» —

88 METHODFS GENERALIS

J- *1 ^'J±Ly_llL^—x • H l-(a4-g)

ay

(a(n- 1 ) +gXY-^ '^) ---(yin-i )-f- <J)a|- "^

Confequenter -i^^ ^ -''^- ^ '^-- i = J-ABa-

ay.vV'
Pofito A=(^-|-p)--(a«-i-p) et B=^(v4-<5') - - ^

(y«-l-(5"j. Hic eii cafiis fi progrcHionis, qiuim f-idores

conficiunt termnius gencnilis ell ( a;;-f p) (yw-f-o) feu

« y ;z - -f- ( a (J -f- (3 y ) ;/ '-f- p (J . Comprehenduntm- er-

go liib hiic forma omnes progrcfliones ordinis fecundi.

Superior autem formulii ex qua j- determinatur tnins-

(^y-ad)x^^ (a6'-^y)x

mutatiir in hanc

I -f-J— AB.v". Ex qua facilius forma lequcntium in-
telligi potelt.

§. i6. Confidcrabo nunc harum fericrum.recipro-
cas, in quibus potcntiae ipfius .v funt diuific pcr id,
per quod ante erant multipUcatae. Sit igitur feries fum-

manda haec ^n^^ ~^ (a^Tpxa^i^T) ~^ (a-+-(B) -rru^p)

X

(IT-j-pj -(^i^i^J h»i"s lumma ponatur s.

1T TT TT-f- I

nt dj: — a-f-p ^(5^:(3H2a-+-p) H h

TT-t-rz^l

(^[if^zTTrra^y Fiat /)«-}-/> tt — a ;; -f (3, crit /;— a,

ct Trzzirt. Quamobrcm ent j _.iKi-f-

' ^ dx a-hp

^

SrMMANDI FKOGRESSIONES. Sp

.j * — 1 . : . Et

e
propterea -^^^--~— i-\-s—~ pcilto vt ante A ;=

X ^ d X A

(f^_^g) ■ ~ (a;;_|_g). Aeqiiatio haec euoluta p^-

e -f-n

g_ g— tt s_ L v^ ^t

bit a a;« </i -H § .v * s dx — x<^ ^.v-f a'« j-^.v-: -•

A
e — I
quae diuilli per .x* tninsit in ^.vrt'.f-i-Sj^'V~AV.v

a-"^^/.v ^ , , gj</.v ,,,^ dx x^^dx.

-\- X s dx - — - — , feii ^i -H --«==— ' -7 —

A cLX " ct Aa

Multiplicetur haec aequatio per c '^.i* , \bi c eft nu-
merus, cuius log. eft i , fict ea integiubilis, prodibitque

_a: g Z? £ * "1? ~^ , — * J.

^aA:«"i— a/t" °'A-art^.V(l-^). Atqiie J— ^t a.v<^V *A-a ^A,'

(i— Y^-^^^i"** progrefTionis in infinitum continuatae fumma

igitur erit ^ ^«'a' *jV "«.va ^x— §(S-a)(g-2a)

_e _x g^ g_^^ e(g-a) oL

* V- xi-

^ a.

{i fuent g — (7, erit liunma — c» — i. Sin fit g— a

X

erit {i.imma — _^ — i-". Si vero ponatur §~2a.

.V

fumma feriei crit i — 1_ _ • ct ita porro,

.v^ X .v^

Ex quo intelligitur, quoties S fit multiplum ipfius a,

fummam feriei finita et integrata expreliione cxhiben

Tom. VL M pofle.

go ■ METHODFS GENERALIS

polTe. Si flutem - euadat fradtio formuh inucnta in-
tegrari non poteft.

§. 17. Crcfcat terminus quisque duobu fadorlbus,
mbebitur progrcllio hiiec (^z^i^ -^ {^[i^TZ-r^i:;-^)

x'^

. ,^ ,. . pdix'"^] P't:-\-i)x'^

cuius lumma ponatur s. Jint - — l

^ dx a-hS

p(Tv-\- 2.)x''-^' , _ p{T:-\-n) x''-^'''-'

"T"

(aH-e)---(3a~4-S) (a-f-ei {a{2n-i)-^^)

fit p'n-+-pn—ian-'CL--'r-^ i erit p— ia et 7r~ -^
g— a e-^-g

.V 2a

- , . ladix ~<^ s) ^-:df-
idcirco , ~zx -- -f--

ax (^a-i-Sx^a-hSj

t — Zje. -4-n
T 2a

-4 ^-^ . Atqu-i iterurrt

(a-f-g; -;a(in-2)-|-ej

«ia/>«^.v- d[x^s)_ p(g-alf-2a7r) ^-=ilg^
l)fg-3a-f-2a;7-f-2a7r).v" 2« -+-«-Hir

- - - -C- ^' . -^... . tiilt p b

2a;a^e;(2a-l-b) -(a(c«-2)-+-e)

— 3pa-f-2.^a;2-T-2pa7r~4a-A;— 4a^ -f- saS, frit

^pmaa^ et 7t — A;. Vndc prodit ~

e— "tt ^. 2«

dx-
4.3

•^x 2« _] 1-

SVMMANDl PROGRESSIONES.

6 — ; g € — 2 X y. 2 0, -+-'*

■zztx 2* -I-a; :* j"

Simili modo operatio eft mftituenda , fi terminiis quisque
pluribiis f-i(ft'jribus iii deaommatore creicLit. Kec non
iatis apparet , fi progrelfio , quam fiiclores denominato-
rum conftituunt, non fueiit aritlimetica fed al^^ebraica
^ltioris ordinis, quomodo ad aequationem, ex qna fum-
ma determiiiatur, perueniri oporteat. Sciiicet tjuilibet
faJlor in fidorcs fimpiices ert refoluendus, vt §, 15»
fa(ftum eft , vbi terminus generalis fi<ftorum eft (a/^-hb)
( y w -H (5' ) , qui omnes aequationes ordinis fecundi fub
fe complciftitur. At ne hoc quidem opus eft fi fc-
quenti rnodo operati iibuerit. Vt propofita fit pro-

X . X- x^ .v+

— 1

I 1.7 I. 7. 17. 1.7. 17- 3--

^ -, fumma huius ponatnr s,erit l—^ — J

1.7. [zn -i) ' dx

^p(T:-hi)x'^'\ ^__j_il.- .Atque de-

1.7 (r.7r-i )

dx-

- — 1— ■ ^ ■ — ; r laf

1.7 ^^'^'^^ ^

prr -\- 1 p 11 n -\- p ^n - p n -^ p i\~ -\- p ix ^ — p -n — in'^

— I, erit pzri^ jSf.ix-\- i^-~ z—o feu ^~i— 27r.
A :que — 2 tt " zn — i fcu tt — V ^ et ^zr 1-V2. Qiia-

, , ,. zdix^-^^-dix 2.0) -VJr

re habebitur — ■ -—- — ~v ^^\~~- 1-

dx^

M 2 X

S>2 METHODFS GENERALIS

2«— 2 — V2

— : X ^ — 1 — .V 2 f '
\

1.7 ( 27i^— 4;;4-i) " "' ^- "

A-"

-,)

Sunin.';?. vero huius ferici in
1.7. (2«-' — i)^'

VjL

infiiiitiim iniicnietiir cx hac aequatione x—^^-dx ^j-j-l-

Vj^ — V2

a .V"' - dd{x -s) — {^-iV i)x ^- dx ds-\-{Vi-z)
* 2 .frt^.v' -f- 2.V 2 dds^^V ix~^ dsdx-^-

— ;. — y2 . V2 . V2

( I — V 2 ) .V "^ .r (/x'= — x ~ dx^-V- X ^~ J ^^.v^ =::

— V2 — 2 — V2 2 — V2

zx-dsdx-x ^ .*7/.v=-f-2.v 2 //^/x. Seii 2.Vf/r/j—
— -f- rdsdx — dx' -^sdx- ^ cx qua aequatione ir-
riitionalia omnia euanuere.

§. 18. Si ficftores dcnominatorum conflituant pro-
grefTionem potentiarum , h>iiusmodi progreirionwm liim-

mas inucftigabo: vt fit progrelho propofita (^^^:^^~'f
x^ .v"

.H-

(ct4-g)^2a-i-gr (a-hSj^ (wa4-g)2

ponatiir fumma j, ent pd- — ^

dx (a-f-S/

(a-hi3r--(;.'a-f(3)=' ^

►f-p, erit p — a et 77 = ^-. Propterea ^'^^ •'^>Li2 =^

" adx

i P

__l i_ Porro

(aH-f3) (a-i-f3 = — i«a-i-p)

SVMMANm FROGRESSIONES. 93

ap d( x^ d X'*' s') ^-pii^-^a-n) x^ -+-''- '

a(a-i-pr (««-f-pj ^ -^^H-r-

P

Vnde eft —m — >va ^ j^

3J2 (a(;i-i,H-^3)=^''*'^-'"\'"

.r"

— j. Et fiimma progrcfTionis

(a-f-p)^ (a«-^P)

(3.

in iiifinitum dcferirinabitiir aequatione ^^"'•'^"'''^>/

y^^dx""

flC

— I -I- j. Similiter fi faclores fuerint cubi lumma pro-

grelTionis "ir^l^-f-^Ti-ppII^pjj -t- etc. in infinitum J

(3_
inueifietur ex h;.c aequatione '^^dix_d_x^)2l_,

— I -h i. Atque itii porro pro fequcntibus.

§. 19. Sint nunc coefHcientes potcntiarum ipfius
X fracliones, quarum tam numeratores cuam den( mi-
natores fmt fadla ex ccrto fadorum numero pro indi-
ce, cuiusquc termini crefccnte conllantia. Ita fit pro-
§^f:^F;^fi^a haec ^-|-[f^f^^^ _l-_-+-

[a-+-t3) (« ipi-^'''^ huius fumm.a ponutur s^ erit pfx^^s

M 3 dx-

94- Mm^HODJ^S CENERALIS

x^-^"-^ ' . i^ ut ap « -H ^;? — 7r 4- ;2 -i- I , cric p^-^
ct TT — V- Adeoaue -^ = < H

— t[^-^a-\-a]x^ ^ ~^-n__i , p(f.-t-.n-4-.7-;T);<7-4-5^ .- -{j[^.-\)-^b)

^ c(c-+-t;) ' T^ ^- j(a-4-P) (a.i-(-P7

P 6_ _ b—a_

ent p — a , et 7T - ^ - -. Vude ent —^— -/- -'

^•"'^^-«%y:^^|!.v''). Ex qua aeqir.uionc j dctcr^
minare licet. Si rumm;! progrcdionib propofituc in in-

P_ 6_ b—a
r . j rj ■ CLd\X*^~<^fx a sdx) ^- , '

nnitum dcfidcretur , cnt zi..va-f-

adx

A'* .«• , feu - '^^ - *L ) .ra — " — ' r.v " .<• //.•>• -f- "- .v^ — ' .f —
x<^ -f- .v* .f. Qiuic abit in h;\nc ( P- - *^ ) .v "Jx " .frt';^

6--a h

_i- * ,f — X H- .v .f , vcl hanc ( ^- - "■' W.v « .vr/.v -[- * .i«-
siizx « -\- X « j. Hijcc differentiata dat (^- — '^'.v «

a a-
6 & — ci b b~i-a

sdx-{- '^ x^ ds-h^lx^^sdx^zz-l^^^' x'' d x -\- x^^" d s

h

^-.ih-±°^x'' sdXy quac reducitur ad hanc ^.r^.vH-?.
- ..-, xds

\

SVMMANBI PROCRESSIONES ^5

— «71-«;«»" -c,:::!!:,^-- iViiHtipliccuir h:\cc aeciia-

tio per f^ ac-.\:x^- yel per .r«fa — (7.r;'^ ~ «-*-'. Erit

jr« ( a — rt^.v ; " ~ * "*" ' .9 zz ( <^ -4- <7 )j.-i« (a— ax ]a — oi dx.

Atque j__ -g— ^^3—-. bi

f~- ~- — ^^3 — - . bummii igi-

jv^-(a-^x!^ «

tiir algebrAice poterit iifrignari lii \cl ^ \el -—^ fiie- ,
rit mimcn.is inte:<er afiiim;itiuas.

§. 20. Si progreflio fiicrit cx huiiismodi ipfuis "
.V cocilicientibus et algebr.iicis ccmpofita •, primocoef-^
ficientes algebraici ditf.rcnti-.vtione et integratione de-
bent tolli , vt ibi ert fac^^um , et tum progrclfio reful-
tans modo hic expofito tradari. Vt fit progrclfio

propofita — -\- ^ — -H — — --H h— —

I 1.1 1.2.3- i-2.3 n

fumm;i huius ponatur .r, erit pfx"^ sdxzn-^ \-

(7T-t-2)l

1 ^ C . twt inp — p —

(7r-h/i-+-i (1.2.3—- ^O

7r-f-?;-f-i, erit ^=1^ et 7r~--|. Ex qiio erit

Jx ^sdx x'^ , x^ . .r 2

^ — _^ — H Mul-

2 1 1.2. I---3 — •«

• —3

tipli'Xtiir per .v"^ erit '^^i-±l ^ — 1 — 5^.-4- _1 — -4-

2 1.2

1.2.3

96 METHODrS CENERJLIS

' -. Ergo "- — -, : — I

I. 2. 3 1.2.3 n 2 «v

I I. 2 i.2.3---(,;;-i) 2

.v"*

— , ex qua acqiiatioiie j- inucnictur. Erit

1.2.3 "

— 1 L —1

^X^ 2.V 2 1.2. 3---«

— J.

Ponatur 1.2.3. nzizK^ crit porro ( i — 2 v )7 .v '^

j^.v~4..v - — — — -^-^^ . Sumina progrcr.ionis pro-

.v^ A

pofitae in infinitum continuatae vcro dcfinictur cx ifta
aequatione Jx g.y</v — ^^^-^^- ; quae diffcrentiata dat

x^ix — tT— 2jci'av^ ♦ ^^" xax-\-2.

X' dx - s xdx — 2 .f .V - dx — x d s -\- z x- d s :^o. Qji.ic

, . , , , , sd.x{ 1 -^Zx) dx{\-i-2x) /->.

reducitur ad hanc </j-4- ^^-^x — t^Tx"' v!.»ae

multiplicata per ; fit intcgrabihs, piodit autcm

, X

rjlj ^IjZ1^:J±^ = '1 I. Atqnc hinc s^i

I-2V ;;i — 2.VJ^ I — 2.V

— c* ( r - 2.V). Q\\xxc \\ fuerit x — ; crit s~\. Adcoquc

^^-hi-^i^-^rh^-^-r^^-T6 -l-cfc. in infm.

§. 21. Ex his apparet ad quas psogtcfijoncs fum--
mandis m^thodus hic diflcrtationc cxpofita fc exrcndat:
lciiicct ad omncs eas progrcdloRcs , quac compichen-

duntur

SFMMANDI PROGRESSIONES, pj

duntiir hoc terrnino generali ^x^"^^, vbi A et B
deCignatit terminos ordinis ;; , quanimcimque progreflio-
num aigebniiCcirum. Et P eft fiid:um ex yn-i-S ter-
minis progreilionis cuiusque aigebmicfle , itemque Q_efl:
fimile fadum cx en-{-^ terminis etiiim cuiuscunque pro-
grelfionis algebrnicae. Omnino autem fummae huiusmodi
progrelhonum tribus modis expofitae inuenientur. Vel
euim prodit llimma prorfus algcbraica, ycI aifignatur qua-
dratura quaepiam, a qua fumma pendet. Vel tertioaequa-
tio reperitur , cuius \'ariabiles quantitates s et .v penitus
non poffunt a fe inuicem feparari , vt filtem conilet ,
Ytrum progreflio fummam habeat algebraicam , an a cu-
ius curuae quadratura pendeat. Qiiamuis vero haec me-
thodus tam late pateat , tamen innumerae occurrere pof-
funt progreiliones per eum non fummabiles , quarum qui-
dem vel nullo alio modo fummae aliignari poffimt, vt

huius I -f- — 1---+-^ — H •--!- ■ — , vel qua-

rum fummae etiam conitant, vt huius .^-i-^-f-^-f- '_ {-

' -f-T^'^ -i- etc. termino generaU exiilente , in

quo tf et a numeros quoscunque integros praetervnitatem
denocant ; cuius iummam elfe ~ i demonfhauit Celeber-
nm;us Gokibachlus. Qiiia autcm eius tciminus gcncrahs
pr-oprie fic dicius non poteft exhiberi , miruni noii cft,
eaui iiac methodo non polfe fummari.

Tom. Pl^ ' N - CRl-

9» CRITERIJ OVAEDAM AEOVATIONFM

CiUTERIA aVAEDAM AEaVA

TIONVM (^VARVM NVLLA RADIX
RATIONALIS EST.

AVCTORE

C. G.

VTriim aequatio data qnartam poteftiitem exce-
dens radicem rationalem admittat methodis ad-
liiic cognitis non aliter indagari poterit quam
yltimi termini , qucm abfolutum vocant , diuilores omnes
inucltigando et diuifioncm aequationis per quantitatcm
incognitam cum huiusmodi diailbre figno -+- vel —
coniuiidim tentando \ etfi vcro de lehgcndis diuifori-
bus vltimi termini ad hanc rcm idoneis praccepta qu:ie-
dam dari non ignorem, negari non poteft, fi coetfi-
cientes et ipfe numcrus abfolutus pcrmagrfi fucrint hoc
tentamen operofnfimum licri , quodfi praeterea coeffi-
cientes vel ipfe terminus abfolutus ex quantitatibus in-
determinatis compofici fuerint , praeccptorum huiusmo-
di de ieligcndis diuilbribus vfiis vix vllus erit; animad-
uerti autem innumeris cafibus fieri poiTe, vt qiiamuis
magni et quantitatibus indeterminatis permixti fint co •
efficicntes et terminus ablbkitus , tamen aeqnationem da-
tam radicis rationahs omnino expertem efle ex natura
coefficientiiun et termini ribfohiti vno quafi momento
appareat, de quibus cafibus nunc dicere conftitui:

Litteris a. h. c. x. a. (3. etc. item nomine numeri,
diuiforis et rcfidui in fcquentibiis dcnotabuutur nunicri

inte-

Ql^ARVM NFLLA RADIX RATIONALIS EST.99

intcgri ; X vero rignificabit feriem quiiirxunque finitnm
huiiis formiie ct-f- j3 7T-f- y.v- -f- etc. igitur fi oltendi
podit in aequatione data , v. gr. a-"— X, terminum ab-
Ibiutum a. iiuius elfc naturae , \'t addims ad p.v-hY.^"^
-{- etc. non poifit producere numerum potefiatis w.
eo ipfo demonltratum erit aequationem x^^ — X nul!am
admittcre radicem rationalem , id vero innumeris mo-
dii acciderc certum eil.

Ante annos complures in litteris ad amicum quen-
dam atfirmaueram numerum intcgrum datum , quantiim-
uis magnum mutata vnica nota eo perduci potfe, vt
notae illius omnes quacunque ratione transpofitae nun-
quam admittant radicem rationalem vllius potetbtis ; id
fcilicet etfici ollendebam , fi datus numerus in aliiim
eiusmodi transmutetur , vt diuilii* per 9, relinquat 3,
vel 6 , cum vero in numeris vel centum notarum ta-
ciie vnius aiteriusue minuti temporis fpatio dignotci pof-
fit quinam numerus fit liiblatis omnibus nouenariis re-
fiduus, patet breuilfimo tempore proprietatem aliquam
liuiiis numeri demonttrari , ad quam aliunoe otlcndcji-
dam , fi quis ingentem numerum omnium transpofitio-
num potfibiiium , et in quoque caiii opert)tum teai-
tamen extraiiendarum tot radicum perpendat , mui-
tos annos iiaud tiitiicere tatebitur , fed omnes mi-
meri praeter binarium ita comparati tunt, vt, fi alii
numeri certarum potefiatum per eosdcm diuidantur,
mnnifi certi aliqui refidui maneant , fin vero alius re-
fuiuus fit, tuto affirmari pofiat numerum fic duiifum ra-
dicem rationaiem iliius poteflatis non liabere^ id quod
exemplis deciarabimus :

N 2 Omnes

soo CRITERU QFAEDAM AEQrJTIONrM

Omnes nimicri potcrtutis lccundae diiiifi pcr 3 ,
relinquuQt vmiin ex his: o. i. cmnt caim omncs hii-
ius formac d^in-i;,^ (31^1-2 r ^'el i:ifn)- ,. primo et
'fecundo diuifo pcr 3 . remanet i . tcrtio diuifo pcr 3 . rc-
manct o. vnde fequitur

(I.) miUum numerum huius fbrmae 3/>-|-2. eflc
quadratum , vel pofito figno =3= pro aequatione impoffi-
bili, fcmpcr fore j,-^rr:3^-|- 2.

lisdem veftigiis infiftendo demonftratur niimcros po-
Ccftatis tertiae,quincae, leptimae ctc.\el gencratim .v-^-^^
diuifos per 4.. rehnqucre vnum ex his o. r.^.adeoque.
nuUum numcrum qui diuiliis pcr 4. reUnquat 2. ha-
bcre radiccm ratioualem poteftatis zq-^-i. neque vl ■
lum numerum qui diuifus pcr 4. relinquit 2. vei ^u-
ladicem IbcuiuHae potcllatis, lioc efl:

I^ X' zr:^p-\- a. Ci a fucrit — 2 , vcl 3;..

(lU ^'^ x-zrz^ p-{- a. fi. a fiicrit 2, \el 3.
^ '^ l^ x^^-z^^Sp-^-a. il a fucrit 2,3, vcl ^-

(IV.) x^ -^s^^^p-j-a. fi- a— 2 ,. vel 5.
(V.) x^^^^-jp-i-a.

fi ^— 2. ct oc— 3,5, vel 6.

fi ^— 3. ct arr2, 3, 4, vel 5-.

fi ^— (J.. Gt c^zi: 2, 3, 4, 5-, vei 6.

[ x-^ %p-\- a „ fi a ZL-. 2, 3 , 5 , 6 vel 7..

(.VI.)-^ .V='^^'-:r: 8 /)-{-«. fl a.- 2 ,, 4 , VCl 6.

l .v^-H^^8p-Ha. Ilacz2, 3,4,5,^,vel 7..

iVU.),

Q_VARVM NVLLA RADIX RATIONALIS EST. i o i

(VII.) x^i^^gp-^a.

fi ^ — 3/;;-4- I. et a=r2, 3, 5, <j, g.
fi ^ — 6. et «3:2, 3,4-, 5,^,7,8^
fi ^=6";«- 3. et a=r 2, 3, 4, 5, 6, 7,
fi q — 6ni^i. et arr 3 , <J.

Atqiie eodem fflodo reiiqiiornm niimerorum refi-
ixii , qui iudicant numeriim aliquem diuifum non hnbere
riidicem r;uionalem certac alicuius potell.itis , erui po-
terunt; quod fi iam diuilbr huiusmodi vocetur d\ nu-
merus ex diuifione refiduus ;'; numerus datae potefta-
tis e • numerus iple datus .r* , fitquc p. numcrus qui-
eunque ,. fcmper erit .v^ — r//)-|-r, hunc numerum refi-
duum r, brcuitatifr caula vocabimus cVHgri/uin , quia ncm-
pe aptus eft ad demonfu-andum numerum aliqucm noii
habere radieem rationalem ccrtae aiicuius poteflaiis,
ct cum p. fit numerus quicunque , fubftitui pro eo po-
terit X. et fiet x^ = dX-^r. fit v. gr. aequatio data
.v-'^ zz: 3 crx'^ -+- 3 /) .V H- 3 ^-f- 2 .
ficf (?— 277; f/-: 3 ; Xi=:^A'^--f-^.V-|^f- rz=:2.
fed antea ofteuium ell nullum numerum quadratura' fi
diuid.itur per 3. rclinqucre 2. quod tamen fierct in hac
aequatione, fi poifibilis effet, ergo .v" in hac aequatione
non ell numerus rationahs adeoque nec x rationahs (nam
n. X. et rehquae htterae hic nonnifi numeros integros
fignificant).

Haec rnethodus ad omnes cafiis pertinet, quibus
aequatio data dispefci potefl in duas partcs <.niarum vna
fit X,.ad quaracunque poteftatem eleuata, altera vero per"
aUquem. diuiforem d. diui:a relinquat numerum congniunr'.,i

102 CRITERIA QJ^AEDAM AEQl^ATIONVM

fit acquatio dati

x^^^ix^ -\-x' -{-no-x -6
hanc nuUam haberc radiccm rationalem^ ex eo oftcn-
ditur, quod addcndo vtrobique 6x^-\-9. numuur in
hanc

.V' o-j- 6.v^ -I- 9 :zi 7 •^•^ -4- 7 -1^^ -H 7 ^--v H- 3.
cuius prior pars continct numerum quadratum, polkrior
diuidi pcr 7 relinquit numcrum coni^ymm 3. et gcne-
ratim A;''^/)"'XH-p.

fi fiierint e. et ;//. numeri vnitate maiores, et p. nu
merus pnmus:, quod lic dcmonllratur : cum p"'y^-\-p.
fit diuifibilis per p\ erit etiam .x' (. fi vera ert acqua
tio) diuifibilis pcr p. et cum p. fit numcrus prhfius .,
erit X. vcl ^p. vel diuifibilis per p. ponatur ergo .v.
z^ap. vbi a. fit numerus quicunqiic, fiet a^p^zizp^X
-{-p. vel a^p^^^ ^p^~^ X.-i-i. quam acquationem
vtique impolfibilem efle cx co patet , quod altera pars
aequationis per p. diuidi potcil, altera ncquit, vnde
condat nullum numerum qui diuidis per p"* rclinquit p.
habere radicem rationalem vllius potcftatis, fi p. fit
numerus prbmis^

OB-

■■«¥.% )o( iH-- 103

OBSERVATIONES DE THEO-

RK.viAiE (^VODAM FERMA i lAi\0, ALilSi^VE
AD NVMEkOS PRIMOS SPECTANTiBVS.

AVCTORE

Leonb Eulero.

"T

Oaim eft hanc quantitatem a"- -]- i fempcr ha-
bere diuifores , quotics ?i fit numerns impar ,
vel per imparem praeter \nitatem diuifibiiis.
Namque tf="*-+-' -j-i diuidi potcft per a^ i et ^*(=^^-«)
-4- I per «? -}- I , quicunque etiam numerus loco a
fubftituatur. Contra vero fi n fuerit eiusniodi nume-
rus, qui per nullum numerum imparem nifi vnitatem
diuidi pofllt, id quod euenit, quando ;; eft dignitas bi-
narii , nuUus numeri «''-f-i poteft afllgnari diuilbr.
Quamobrem fi qui fimt numeri primi huiusformaetf"-!-!,
ii omnes comprehendantur neceflTe eft in hac forma
tf»™ -+- I , Neque tamen ex hoc poteft concludi ^/*"'-|- 1
fempcr exh.bere numerum primum quicquid fit a ; primo
enim peilpicuum eft, fi a ftt numerus impar,iftam formam
diuiforem habiturum 2. Deinde quoque , etiamfi a
denotet numenim parem , innumeri tamcn dantur ca-
fus, quibus numerus compofttus prodit, Ita haec fal-
tem formula a^^-i-J poteft diuidi per 5, quo-
ties eftrt-zzi^^-l-s, et 30^-hi poteft diuidi per
17, et 5o--f-i- per 41. Simili modo io+-|-i habct
duiirorem 73; 6^-{-i habet diuiibrem 17, et 6'-^
I eft diuifibilis per £57. At huius formae 2»'"H- i

quan-

104- OBSERVJTIONES

quiuitum ex tabulis numerorum primorum, quae qui-
dem non \itra looooo extenduntur, nulius dctegitur
cafus, quo diuifor aliquis locum habeat. Hac tbrte
aliisquc rationibus Fermatius adductus enunciare non
dubitauit ::^"'-|-i lcmper cflc numerum primum ,
hocqnc vt ex'mium theorcm.a frallijio ahisquc Mnthc-
maticis AngUs demonftrand m propofuit. ipfe quidcm
fitctur (e eius demonftrationem non habcre, nihilo ta-
mcn minus alT-rit eifc veriirimiim. Vtilitatem eius au-
tem hanc potiirunum pracdicat, quod cius ope facile
fit numcrum primum quc uis dato maiorcm cxhibcre ,
id quod fine haiuhmodi \niLicrlali theoremate fm-ct dif-
ficiUimum, Leguntur baec in IFalhfii Commcrcio Epi-
ftolico Tomo Eius Operum fccundo inferto, epiiloki pen-
ultima. Extaiit ctiam in ipim:>Fermafii operibus p-i 15.
fcquentia, "Cum autcm numergs a binano qimtlraticc
*'in fe dudos et vnitate auotos eife femper numeros
"primos apud' me conftct, ct iam dudum Anal} (lis il-
" lius theorcmatis veritas fucrit fignificata nempe efle
*' primos 3 , 5 , 17 , ^57 , <^55 37 , etc. in infmit. nuUo
"negotio etc,

Veritas idius theoremaMi chicct, vt iam dixi , fi
pro 111 ponatur 1,2,3 et 4. , proJciiut enim hi numcri
5, 17, 257, ct ^5537, qui omucs inter numeros pri-
mos in tabula rcperi uKur. Sed ncfcio, quo fito eue-
niat, vt (latim fequ 'iis nempc 2-^ -f- i cCtTct cflc nii-
merus prinuis, obferrmi enim his diebns longe aha
agens po(fc hunc numeriim diuidi pcr 6^1. vt cui lUe
tcntanti (litim pat^bit.

Eft

DE THE0RE3IJTE QVODAM FERMJT. 10$

ECi enim 2-' -4- i — 2^- -|- i — ^^^^pp^^ap^. Ex
qiio inneiiigi poteft, theorcma hoc etiam iu nliis, qui
feqaiintiir , cuiibiis faliere , ct hanc ob rem probkma
de inuenicndo niimero primo quoiiis dato maiore etinm
iiunc uon ciTe Iblutum.

, Confidenibo nunc etiam formnlam 2."— i, quac
quoties n non eft niunerus primus, hiibet diuiforest neque
tantum 2*—! fcd lUinm .2"— i. Sed fi n fit numcrus
primus, \idcri pofTet etinm 2"—! femper talcm- exhibere :
hoc tamen- affcuerure nemo eit aufus quantum fcio,
cum tam facile potuiflct refelii. Namquc 2' ' — li.e,
2047 diuiibres habet 23 et 89 et 2-3 _ x diuidi potefl:
per 47. Video autem Cel. IFoJjium non folum hoc^
in Elcm. Mathefeos editione altera non aduertilTe , vbi
numeros perfcclos inueftigat, atque 2047 inter primos
numcrat; fed etiam 511 feu ^»— i pro tali liabet,
cum tamen fit diuiiibihs per 2 3-i i. e. 7. Dat au-
tem ^^^^^^^^— i) numerum perfeclum, quoties2"— i
eft primus, debet ergo etiam n effe numerus primus. ^
Operae igitur pretium fore exiftimaui eos notare cafus ,
quibus 2"— I non eft numerus primus , quam.uis ;/ fit tahs.
Inueni autem hoc iemper fieri, fi fit n — ^vi— i , atque
8/w-i fuerit numeras primus, tum enim 2"- ilemperpo-
terit diuidi per 8///— I. Hinc exckidendi iiint cafus ie-
quentes, 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, etc. qui nu-
meri pro n fubihtuti reddunt "i^—i numerum compo-
fitum. Neque tamen reliqui numeri primi omnes lo-
co ;/ poiiti fitisficiunt , fcd plures infuper excipiuntur,
fic ob eruaiii 2"^*'— i diuidi pofle per 223 , 2^^3 — 1 per
Toin. VL O . 431 7

io6 OBSERFJTIONES

431,2=9-1 per 1103,2^^-1 per 439, omnes t?.-

men excludere non elt in poteliate. Attumen aiTerere

aiideo pr;icter hos cifns notatos, omnes numeros pri-

mos minotes qiuim 50, ct fortc quam 100 ^ efficcre

^ri—i ^o"— i) cffe numerum perfcdum, feqiicntibus

mimeris pro n pofitis, i, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31,

41, 47, vnde II. proacnimit numeri ptMfc<fli. Deau-

xi liAs obfcruationes ex Tlitoremate quodam non ine-

ieganti , cuius quidem demonlh-ationcm qtioque non ha-

beo , verum tamen de eius veritate fum certiflimus,

Theorema hoc c(t, ci^-lf- ^ fcmpcr poteft diuidi per

»-}- I , fi n-\-j fiierit numcrus primus atque a et i>

non polfint pcr cnm diuidi ^ eo autcm difficihorcm

pnto cius dcmonfoationem clfc , quia non crt vcruni

nifi ;^-f- 1 lit numerus primus. Ex hoc rtatim fequi-

tur 2^^— I iempcr druidi, poffe per «-f-i , fi fucrit ;/-j-i

nwmerus primus, feu cum omnis primus fit impar prae-

ter 2, hicqne ob conditioncs thcorcmatis, qui:i eft a

:z: 2 , non poifit adhibci-i, potcrit 2-"*— i fempcr di-

uidi per 2j}i-\-i fi 2.m-\-i fit niTmerns primus.Qiiarcetiam

vel 2'^-i-i vel 2^*— I diuidi potcrit per 2m-\-i. Dcpre-

hcndi autcm i^^-i-i poffe diuidi, fi fuerit m— 4-p~\-i vel

4p-}-2, at 2^—1 habebit diuiforem 2;;/-}-i,fi/;/— 4/) vel

4^—3. Haec perfccutns in multa aiia incidi thcore-

mati non minus elegantia, quac eo magis acfrimanda

efJe puto, quod ■vcl dcmonilrari prordis nequcant, vel

ex eiusmodi propofitionihus fequantur , quae dcmon-

flrari non poffiint , primark igitiu: hic adiungere viliini

DE THEOREMJTE (^VODAM FERMAT. 107

Thcorcma I. Si fuerit ?t numeiais primus, omnis po-
tentia exponentis 71—1 per ti diuilii vel nihii vef
I rclinquit,

ThcGrema II. Mancnte n numero primo, omnis po-
tentia , cuius exponens cft ;2 "~ ' ( ;z — i ) , diuila
per ;/'"■ vei 0 vcl i rclinquit.

Theorema III. Smt ;;/,;/,/>, ^, etc. numeri primi in-
aequalcs , fitque A minimus comm.unis diuiduus
eorum vnitate minutorum, puta ipforum m—i^
;; — 1,^—1^ ^— I, ctc. his pofitis dico omncm
potentiiim exponentis A vt «^ diuifiim per ;;;;;/> ^
ctc. vei 0 Acl I relinquere, nifi a diuidi poffit
per aliqucm horum numerorum , ;;/, «,p,^ctc.

Theorema IV. Denotante in~\-i numerum primum
poterit s''-}-! diuidi per in-\-i.y fi fit vel n
zzz6p-\-z vel ;/ = (?/> -1-3: at 3"—! diuidi po-
terit per in-\~i fi fit vel ;;— vel 6p vel n—6p—i.

Theorema V. s^-hi" potcft diuidi per in-\-i
fi fit ;/— vel i2p-f-3, vel i2j>-f-5, veJ.
i2p-\-6, vel iip-i-S. Atque 3''— 2'' pot-
eft diuidi per in-\-i ., fi fit n ~ vel i ip
vel iip-\-i^ vel i2p-|-9, vel i2^-|-ii.

Theorema VI. Sub iisdem conditionibus quibus 3 "-f-
2" potcrit ctiam 6"-|- i diuidi pcr in-\-i j atque
6^—1 fub iisdem. , quibus 3^^— 2"-

D^

Tabula VII.

10$ THEOREMATA

Damelis BernouUi
THEOREMATA DE OSCILLA^

TIONIBVS CORPORVM FILO FLEXILI CON-

NEXORVM ET CATENAE VERTICA-

LITER SVSPENSAE.

IntroduGio ad Argiiirientum..

T

'lleoritie orcillationum, quiis adhuc Audlorcs-pro

corporibus dederunt folidis , inuariiuiim partium

fitum in illis poniuit, ita ut fmgula communr

motu flngulari ferantur. Corpora autem , quac ex filo

flexili fuspendimtur , aliam pollulant theoriam, nec

fufficere ad id ncgotium "videntur principia communi-

ter in mechanica adhiberi fohta , incerto nempe fitu ,

quem corpora intcr fe habcant, codemque continue

variabili. De his cogitandi anliim mihi ahquando dc-

dit catcna verticalitcr ilispenfa et motibus oscillatoriis

agitata, hancqiie tunc vidcns motibus valde irregulari-

bus iadari, primo mentem fubiit ,, ad quamnam cur-

«am catcna effct inflccftenda, \t omnibus eius partibus

fimul moueri incipieutibus hac quoque \na in fitum

peruenireut lincae verticahs pcr punc^tum fuspenfionis

transeuntis : hoc modo ofciilationcs aeauabiles fore in-'

tcUexi atque talcs quarum tcmpora definiri ponent:.

Mox vero fenfi difhcile effe hanc dcterminare curuam ,,

ni'i disquifitionis initium liat a cafibus fimphciilimis.

O fus itaque fim has meditationes a corporibus duobus.

fe-O flexiii in data diltuitia cohaercntibus \ poftca tria

confl-

Cortxment:Acad:Sc:Tom:ri Tai : VII /^. /0^^.

M':^ -^

-l^hG

Con^.mcnt:Acad:Sc:Tcm ri Tah : VII p /JS.

J^--

' Sc

DE OSCILLATIONIBrS CORFOWM. lo^

confideraiii moxque quatiior, et tandem numerum eo-
rum dilbntiasqne qualescunque ; cumque numerum cor-
porum infinitiim flicercm , 'vidi demum naturam oscillan-
tis catenae fiue aequalis fiue inaequalis craflitiei fed 'vbique
perfede flexilis. Suo fingula percurram ordine ; demon-
ilrationes autem quas nunc adornare non Yacat in ali-
am ocCiifsonum referuabo. In folutione nouis vfus fum
principiis, proptcreaque volui theoremata experimen-
tis confirmare , ne de eorum vcritate dubium efle pof^
fct, iis praefertim, qui hisce rebus liia natura aUquun-
to difficihoribus non omnem dare potcrunt animi at-
tentioncm , quique fic faciie in fiiUam incidere poflent
fohitionem. Caeterum alias ofcihationes non confide-
labimus, quam quae minimae fint et ifochronae: pro ex-
perimentis tamen fine notabih errore paulo maiores il-
las effi.cere licebit.

Theorefflii r.

2. Fueritfihm perfe&e flexik nongrmie AHF fiifpen- Fig. i. 3..
fum ex pun&o A habeatqne in H ,?/ F dm alligata pon-
dera aequalia : tantum autem diftet corpus inferius a fu~
periori quanfwn hoc a puntto fufperifionis., Sit porro /i~
nia ABC vertiealis y. et ab hac corpora H ^/ F vcJuti
infinite parum diftent\ Denique ducantur horizontales mi~
nimae B.B et F C : Dico fi ambo corpora fimul ofcillari
incipiant , fore 'vt eodem temporis puncto perueuiant infi-
tum lineae verticalis atque hoc modo ofcillationes fias
miformiter perficiant , cumfumitur C F : BH:= i-f^V i-.i,

' Corollarium.

3,. Igitur duobus modis ofcillationes iiunt VAifor-
O 3; mes-^

iio THEOREMATA

mes; nempe cum fiimitur, vt figiira prima oftcndit,
C F zz( I -+- T^ 2 ) B H ; tiim etiam cum ad normam H-
gnrae iecundac fit C F — ( i — V 2 j B H.

Theorema 2.

4. Fa&is ojdllcitionibus corporum H et F ^^nifor-
vtibus , crit longitudo peiiduli finip/ids tautochroni cz.^^^^-
A H -irl j^j^i . A C , c^i Jignuin alfirmatiuum i-alet pra
ojcillatiombus contrariis figurae Jecundae , f^num ne^ati-
uum pro conjpi. antibus figurae primae.

Corollarium.

5. Multo itaquc cclerius olcillationes contrariae
abfoluuntur, quam coalpirantes: illarum enim 2,31 nu-
merabis, dum hae centies fuerint rcplicatae. Confpi-
rantes autcm parum diffcrunt ab iis quae fierent liib
iisdem circumllantiis pofito filo AHF rigido: panllo
tamcn celcrins ofcillantur corpora in filo rigido quam
flexili, erunt ncmpe numcri ofcillationum ac(]uali tcm-
porc peradlarum practerpropter \'t loia ad 1000.

Scholium.

6. Vr ad expcricntiam rcuocarem hascc propo-
fitiones, vfus fum globis phimbcis pcrfedc aequahbus,
qni dum fundcrcutur in medio tcnui foraminc pcrfo-
rati mancbant ^ traied:o filo fcricco globisquc opc no-
dorum firmatis ita vt infcrior duplo magis diltaret a
pundo fuspcnfionis qu.un iiipcrior. Digitis dcduxi glo-
bum infcriorem in fitum F tcnlo filo : mox orcillatk)-
nes fiebant vnifi)rmes, et opc diuifionum in paricte
iidarum. diltindc cognoui excurfioncs corporum H ct

F in

DE OSCILLATIONIBrS CORPORFM.

11%

F in %ura i. fuiife vt loo ad 241 , id eft, vt i ad

i-^-V^ (§.2.): Numems etiam ofcillntionum dat©
tempori conLieniens accurate reCpondit longitudini pen-

duli fimplicis ilbclironi TiTTa ^ ^ i" P^^P- 4- definitae.
Deinde ta^fta FC — (i— VijBH m figura (ecunda , de-
tinui manibus globos in fitu F et H liiosque mox eo-
dem temporis pundto dimiii: ofcillationes ortae funt
fic latis vniformes fecus atque fiebat cum alia propor-'
tione dillantiae FC et HB fumerentur : numerus ofcii-
lationum accurate rurlus fuit, qui conucnirct longitu-
dini penduli fimplicis o^-^-v^AH ifochroni prop. 4.

Theorema 5.

GENERALE PRO DVOBVS CORPORIBVS.
7. Fiicrit iam pars fili AHrz /; HFzr L; pon-
dns corporis H — w , alteriusqiie F ~ M : dic-o fore oJciU
lationes vmformes fi fit

i^ c — "^~2m7 xB H, ^

pngitudimm autem penduli fimplicis ijochroni fore

mL-f-77i?-f-Mi-l-MLH,.V(4-fiMLL-i-(m2-|-ML-f-Mi— 77iL)^)>

mit .^ pofito L-l-/— A ct M -I- w =1: [X ,

1m\] — ■imll

[aXhI;v'(h.)xXX — 4^TJt)j.JX-{-4-m|j.U)'

Theorema 4.

8. Si loco duorum corporum aequaTnim ponmihir
iria tantum a fe inuicem dijiantia , quantum fupremum
a puncio fufpsnfionis A dijlat, potenmt trihus diurrfls ^'^- ^- '^■^-
■modii ofcillationes fieri miform.es : pximus eft quem figura

tsriii» ■

Xlt

THEOREMATJ

tertia indkat , cum prfita B H — i , Jumitur C F — 2 ,
2,92 et DG~3,92,2: jrcundus , qui jigura quarta re-
pracfaitatur , obtirwtur faciendo CFzzi,353i'f DG —

— I , 04.4. ac tc-itius cum Jit ^ it in fguia quinta^ CF
rr — o , 64.5 et D G — o , 122,

Eit nempe C F aeqiialis nccipienda tribiis radiciUis bu-
ius aeqiiationis

4.r'"i 2.v.v-h3.i-'i- 8—0,
tumque pro qu.uiis radice fumcnda eft
D G zn 2 jx — 2 .V — 2.

Thcorema ^.

9. Fa^iis^ -vt mododictum^ ofciUationVms miformi-
bus^ erit loHfitud') penduU ftmplicis ifcbroni incajujigu^
r-xe tcrtiac proxime aequalis 2,4.05 AH; in cafujgn-
rae qnartae r=o, 4.36 AH et in cafu Jlgurae quintae

— o, 159 AH; Ejl Jci/icet /onyjtud) penduli ijOcbrojii zz:
—^^ X A H , poftto rurfus 4.V ' — i 2 .v.v -H 3 ■'^' -H S:zro.

Scholium.

10. Ambo haec theorcmata experimento accurate
confirmaui in cafu figurae tertiae , deduClo tantum cor-
pore intimo extra fitum hneae verticaHs mox dimit-
tendo : quamuis enim in primis olcillationibus inacqua-
litas quaedam lentiri potuerit, tamen haec liia fponte
et citiihme abiit, ita vt excurfiones fuigulorum cor-
porum pUiribus vicibus fuccciliuis , quantum ocuiis dis-
cerni potcrat, eaedem mancrcnt; fumtis autem earun-
dem mcnfiu:is, tahs inter eas reperta fuit proportio

qua-

DE OSCILLATIONIBFS CORFORFM. n^

qualem theorema 4. indicat: niimerus quoque ofcilk-
tionum perfede refpondit theoremati quiiito: duo re-
liqui calus maiorem indurtriam requirunt: potui tamea
vtriusque generis ofcillationes (litis exade efficere, vt
▼eritas theorematis quinti appareret,

Theorema 6.

GENERALE PRO TRIBVS CORFORIBVS.

II. Fuerint mnc rurjus pondera corporum H,F,G
^ualiacwique finmlquc dijlantias eorundem a pun&.o Jujpen-
Jionis rationsm habuerint quakmcunque : fU nempe pondus
eorpons H zr ;;/ , corporis F m M , corporisque G ~ (x ^
tumque AHzr/, Hp — L et FG — X; dico ojcilktiones
mijormes futiiras ej]e Ji pofita BH— i,GF=i:.r Jiai
^ ( MM/A-1-M|J^/X ) A\r -I- ( ;;; M /X -i- ?y/ ^ /L - w M L X
~MM/X- MMLX-i-w jjL/X-M|UL/X-M[xLX);tf
-w^/X — ///M/X^x^^^M/XH-jjL/XJAr-wLX-M/A
— M LX — p. /X — jx L X -H ^^^ /L ^^////«IJL //LL Jtr.
fimulque Jumatur pro quauis radice

«X_MXw,_MX_X_
m. ml '" HL L '

Corollaria.

11. L Ponatnr maflir corporis infimi /x = 0 , di~
uidaturque aequatio fundamentahs fuperioris paragraphi
per f;i(florem alterum ceu radicem inutilem \ fiidor igi-
tur prior erit— o, hincque iiabebitur M /a^a:H-(»//—
»iL~M/-ML).r-»2/j=:o, vel

, ml— TO.^-^-ML-f-Mf^Vf^TfiMn-t-tm!-— TTil^M? — ML)*) .

A 2 MZ »

Tom, VI, P No-

H4. THEOREMJtA

Notandum niitem cft , non ^ifFerre hiinc valorem aB^
illo qiiem dedimus in theorcmate tertio , qiiamuis quan-
titates ab vtraque parte figno radicali iuuolutae diuer-
fam habeant formam. -^

II. Si vero mafili corporis medii indicata psr M'
ponatur = o , tunc , vt appareat conlcnfus inter theo-
rema tertium et fexmm, erit in iloc poilcrioii intel-
ligcndum per L-f-A et [a., quod defignatum fliit in
altero pcr L et M , ipfaque linea DG in praccedente
paragrapho definita comparanda erit cum linea CFad
theorema tertium pertinente. Ad haec qui animum
iiduerterit, vtriusquc theorcmatis aequationes easdem
clfe reperiet inilitoio calculo;

IIL Denique cum ponitur corpus fummum H in*
dicatum per wrr o, potell: in aequatione fundamentali.
§. 1 1 . vterque fadlor ponizro, et vtroque modo ob-
tinetur CF feu jf~i-4-^-, prouti natura rei poftulat,
quia timc lincae A H et H F , vt patct , dcbent in di-
redum iacere. Excui'fio autcm corporis infimi ex ae-
quatione dignofci non pctcft , nifi id particulari metho-
do fiat. Ita nec ofciilationes definiri nnmediate pof^
funt per theorema fextum , cum dao corpora vniuntur
cuanefcente altemtra lougitudinum L vei X,

IV. Fieri poted in figura quarta, vt fit CF— ^r^
qiio in caui, quia durante tota ofciltatione diilantiae
corporum a linea vcrticali eandem perpetuo inter- fe
rationem feriiant, corpus medium F quieitit , dum am-
bo rcliquA hiuc inde agitantur ; atque tunc perfpicuum
stl , iongitudinem penduhiibchroni fore ~X, quia cor-
pus inijirmm vcluti cx pundo fixo C fufpenliim ofcil-

lauir y

DE OSCILLATIONIBrS CORrORVM. ix%
latiir • Ifte Ycro cafiis , dc qao loqiiimiir , obliaetur po«

m1 L

nenuo .•v — <?, icu x — 7nL-i-x-i/-f-'ML-j-n i-+-m£*

Theorema 7^

QVOD GENERALITER PENDVLVM TAVTO-

CHRONVM PRO TRIBVS GORPORIBVS

OSCILLANTIBVS DEFINIT.

1 3 . Rete?itis denomhiationibus et aequcftionibus theO"
rematis Jcxti dico ojdllationes fingulomn corpO''um ifoehro^
fias fore cum oJciUationibus penduU fwiplicis ^ cuius lov^itud^i

Corollarium.

14.. In cafn .v — o, quem modo allegauimus , fit

longitudo penduli ifochroni — 7ni.^HMi-t-MLVR/-4-M.x — ^>
quod conuenit cum CoroU. 4. Theorem. 6. Si praeteresi.
ponatur hzzil, fit longitudo pcnduli ifochroni feu K

— fSiTiiWM' Conuenit hoc cum problcmate i. quod
Pater ?neus in Coniment. Acad. Petrop. Tom.III p. 1$.
•dedit: idque vnicuique manifeftum erit, qui confidera-
bit pondus P, quod ibi ab vna parte ehordae efi: ap«
penfum, hic efle fummam ponderum G et F audiini
dim^idio pondere H.

Scholium Generalco '

1$. Poffiim fimiles aequationes dare pro quatiior,
q^.iinque et quot hbuerit corporibus : femper autem ae-
quatio ad tot affurgit dimenfiones quot funt corpora,

P 2 ee

S

tiC THEOREAIATA

ct eft plerumqiie admodum prolixa: attamen quia ae-
quiitio finalis oritur ex pku-ibus acquationibus radicali-
bus linearibus , lex apparet ex mcthodo qua \im fum,
cuius auxilio cx tempore omnia determinari polfimtj
quae ad aequationem determinand.im concurrunt.

Theorema g^

DE FIGVRA CATENAE VNIFORMITER
OSCILLANTIS.

Jfig. ^. 16. Sit catena AC mijomiter grauis et perfeSfe

flexiHs Jujpenja de puntla A , eaijne ojdllationes jacere

miformes intiUis^atur : pcrucnerit c-atena in fitum AMF;

, Jueritque longitudo catenae ~ /: longitudo cuiuscunque par-^

tis F M rz .v , Jumaturque n eius val&ris , ^'t fit

Tonatur porro dijlantia extrcmi puncii F aa linea i^ei-ti-*
caJi nz I , dico fore d/Jlantiam pun&i vbicunque ajfumti M
ab eadem Un:a •veiticali aequalem

T . *- - 1 -^ _£l_ —4 — — I

n.~*~4';Ti 4. ^iC^ ^-9 i6n* 4.^». i 6 .2 S ..* "• ^*'^'

Scholiiim.

17. Per methodum, quam dedi in Comm. Acad.
Tttrop. Tom. V. de rcfolutiom acquafionum fine Jine progre-
dlentium.,. inucnitur brcuillimo cakulo n~ proxime o ,
6^1 1: Igitur fi fucrit v. gr. puncfliun M in medio ca-
tenac , illud diftabit a Hnea verticali practerproptcr dua-
bus quintis, ycI accuratius, trccentis nonaginta 0(flo
partibus millcfu"nis dilbnLiac puncli infimi F ab eadem
linea verticali. Habct autcm httera n iulinitos valores
aUo3= Theo-

DE OSCILLJTIONIBFS CORPORFM. 117

Theorema 9^

18. Seruatis pofulonibiis thsorematis ocfaui ^ dico
hn^ttiidincm penduH ftmplicis ifochrom cum ofcillante ca-
tena ejje — n , feu fiibtangenti C P curuae A F in infimo
fiinCto F ; aut proxime aequakm fexcentis nonaginta et
mi partibus miUefmis totius catenae in cafu fgurae
Jextae.

Corollarkim.

ip. Tardius igitur hoc modo ordluitur catcna ^
quam baculus rigidus aequabilis craflitiei , eiusdem cum
catena flcxili longitudinis \ huius enim ofcillariones ifo-
chronae fnnt cum oCciilationibus penduli fmiphcis , quod
in longitudine duos baciili trientcs habet.

Scholium r.

20. Poflquam plurimos globulos plumbeos acqua-
les ad diftantias minimas aequales filo connexi, Yt iii
panigrapho fexto didliim , eo catenae loco viiis fum
ad expcrimentum inlliaicndum : filum itaque globis o-
neratum ex puncflo lirmo fofpendi : dedudaque ad k-
uis extremitate F, eaquc ruriiis dimifla rationem ob-
feruaui, ofciilationibus iam vniformibus tacT:is, inter di-
ilantias puncfti cxtremi F et medii M a linea verticali
A C , eamque rationem eandem deprehendi , quae pa-
ragrapho decimo feptimo indicatur: numerum quoque
ofcillationum conuenire obferuaui cum longitndine pen-
duli fimplicis iibchroni , quae in theorcmatc nono ex—
bibetur,

II S THEOREMATA

Scholium 2.

21. Qiiia iiequatio in theoremate odauo exhibi-
ta , ncmpe

£,_/!_ Zf_ I . l" 15_

^ n ' 4na 4.. y. n^ "^4 9- 1 6 K* 4. c; i 6.: ? .n* ^^^^C 0.

habet inlinitas radices reales, ideoque catena infinitis
moais inflsdi potcd , vt ofcillationes fiant vniformes :
fempcr autem littcra n minorcm atque minorcm va-
.lorem adlimit, ita vt t.indem pcne cuaneP:at, eftquc
U-ngitado pcnduli fiinplicis ilbchroni conftanter ~«,
fcu {iibtangci3ti C P : vnde ctiaro oicillationes tandcm
ficiit vcluti iRfinite celcres. Gifus qui fingi poflfunt
OJ.imes huc redeunt , primo , vt catena hneam vertica-
lcm in -aUo pun&o noD interfecet practer pundum fu-
fpcnfiTnis , qni repracfcntatnr figura fcxta et pro quo
conuenit longitudo penduU fimphcis ifochroni ;/zzo,
(J91 /, vt vidijiius in antcccdentibus : vel vt catena h-
neam vcrticalcm in vno infuper puncfto immobiU fe-
cet, qu.ilcm figura feptima indicat, vbi praedidum. in-
tcrfedionis punftum ert B: in hoc cafu eft longitudo
penduU ifochroni «zro, 13/, et ofcillationes numcro
viginti tres fient, dum in cafu fignrae fextae deccm ab-
fokmntur: Unea CB crit proxime rzo, jp/: CN puu-
fto maximae excnrfionis M conucniens "0,47/:
iplaque MN practcrpropter ~|FC. Pofi hunc ca-
fum fequitur ille, qui figura odiiua filUuir: vbi hnea
verticalis ia duobus punftis fiixis B et G a catena of-
cillante interfecatiir : deinde cum tres fiunt intcrfedio-
nes et fic porro. Arcus inter duo interfe(R:ionis pua-
<lta proxima inccpti eo maiorcs funt, quo aitius po-

iiti;

xjx:^ oSCILLJTIOmWS CORPORFM. ii^v

fiti : Iii catena aiitem inSnite qiiafi longa arcus
fummus non differt fenfibiliter a figiira chordae mu-
ficae tenfae, quia pondus iftius arcus veluti nullum;
eft refpe(flu ponderis catenae Lotius. Neque diffi-
cile efle theoriam chordarum muficarum ex theoria .
ifta deducere, quae plane conuenit cum illis, quas-
Tajlonis et Fater meus dederunt, primus in tra^at,
Jm de meth')do mrementorum ., alter in Comment. Acad.
Sc. Petrop. Tom. III. Similes quoque interfedioiies m
chordis muficis, quae in catenis vibratis effici poffe.
experimentum docet , quod chartula chordae quihusdam:
in locis impofita non decidat , cum chorda annexa Yh"
bratur,

Theorema. lo.

2'2 . Si catena AQ e Jilo L A mn graul Jnfpenfa pjg _ „
fuerit., ponaturqus longitudo partis ad libitum afuntae
F M — A' : diflantia fupremi puncii N a linea verticali
zz S : fieque porro n fumatur eius valoris vt fit

* -n. 1 4.n,t 4-.-i;-i^ "* 4.9.16^1* ^'^^. y,

dieo in GfciHationibus mijorinibus fore vbiqus diftantiam
pun5ii M a linsa verticali aequalem,

/j x_ t XX x^ I 3:* r \ /7 ' 1- — 4— _1L_

^ 7t "• 4un 4. y.^»~' 4.y. i^n+^^l^C.j p : ( I — ^ -1-^ ,j^ ^

4. 9.7i^"T~4. 9. 1 6n* eiC.)

nieoque dijiantiam puncli injimi F futuram ejfe aequaJem

H'i^ n"^ ^nn 4,9«^"' 4. 9. 1 6 n+ ^tc- y.

Erlt porro longitudo penduli fimplicis ifochroni , -ct antea
~ ?i , fni in cafii ftmplicijfimo proxime , zr

2 1 r^<--f-8 4-4'^X-t-i < 'i 6 HXK-+- 1 4 4 o 'X '-)- < T 6 X*
2Qi^l'-^^ i 2UK-+- 1 i 5 2/XA-j-S 7 6\*

Coiol>

i2t THEOREMJTA

Corollarium.

£3. Sit V. gr. longitiido fili eadem quAC longrtii-'
do cateniie , id ell: , /iz-X^ erit longitudo penduli fim-
plicis ijochroni feu « proxime ~i, 56 1: diilantiaeque
pundoriim extrcmorum F et N a linea verticali (e fe-
re habebunt vt 1 1 ad 1 : plures tamen praeter hunc alii
cafus liitisfiicienc fimiles ilhs, quos in paragrapho 21.
cnumerauimus : ita poft dictum cafum iequitur is , quo
fit n fereiziy/; pundumque C excurfiones contrarias
faclt cum pundo A atque triplo maiores.

Theorcma ir.

?ig. !o. 24. Pojitis omnihns vt In thcoremate decimo ^ fi ca^

tena in origine A pondere onerata fuerit tanfo , quantum
incjl cat.nae parti lons^itudinis L ; erunt omnia vt in eo-
dem tbeoremate decimo , fi modo nunc fiat

* i(I.-f-0 ~^ 4.^112.(^-1-') ~ 4. (^nJii_j_Z)

, (i6;i-f-LX-f-L;^-}l;i-f-4:^X) _

Fueritnj.gr. LzrA:^/, ^? /V^ i _ |^_4_L^_ ^:!i^_^
-^^j;^ — ^/f. — 0, hincque habebitur proxime «— i, 37/;
fiTfw/i autcm a pun[tis catcnae infimo ct fiipremo dcfcripti
erwit vt 100 ad 39.

Theorema 12.

GENERALE PRO CATENIS VTCVN(^VE IN-
AEQVALITER CRASSIS ATQVE GRAVIBVS.

25. Yuerit denique catena vtcunque inaequalis firu-
iiurae ita vt pofiito hngitudine partis catenae FMzz.v,

m OSCILLJTIONIBFS CORPORFM. las

Jit pmdus eius ^ , intsUigemto per ^ quakmcunque fun-^
6iionem ipfius x: voeetur porro dijiantia pun5li M ad li^
hituni affimti a Jinea verticali —y. dico curuaturam F
M N hac djiniri aequatione.^ fumta dx pro co;f:ante, fy
tf^~— "^-^; huicque aequationi poftquam in quolibet ca-

fu particulari re&e fatisja£iuf?i fucrit , fore longitudinem

penduli fmpUnis ifchroni — fi.

Corollaria.

H6. I. In cateiiis aequibilis craflitiei quariim pondus
intcgrum zri , efl ^ zr j : pro his igitiu: talis inferuit
aequatio j[)'r/A'~— '^^^ , cx qua omnia deduci poffunt^
quae a paragrapho decimo fexto ad \igefimum tertium
.dida liinr.

JI. Fuerit pondus catenae integrae rurfiis zz i :
longitudo cius=:/: fitque \bique ^ — ff:, erunt diftan-
tiac pundorum F et M a hnea vcrticaU vt i ad fum-
mam huius feriei

Eft autem n longitudo taUs, "vt fit

Z_ , j_Z^ _ J^_ _ ZJ; ll

n l ■^nn 3.6;:^'"' 36 1 on+ 3.6. 1 0. 1 <; «s 1 ctC. — 0.

cui conditioni proxime fitisfit, cum fumitur ;;~|i./-
tantaque elt longitudo penduli fimphcis ifochroni : erit
autem excurfio pundi infimi F fere tripla eius quam
flicit pun<i]lum mediiim M.

Scliolium Generale.

.27. In omnibus quas confiderauimus ofciliationi-
bus diftantiac fingulorum punclorum a Unea verticali,
Tom. n. Q^ quafi

122 THEOREMJTA DE OSCILLJT. CORTOR.

quafi iufinite piuiiac cenlcndae funt nitionc lougitudi-
nis fili corponi connedtcntis aut catcnae, imo etiam
ratione arcuum catenae, de quibus in paragrapho 21.
diximus, ita vt v. gr. in figura fcptima etiam dillan-
tia F C infinities minor efle dcbeat linea C B , ad quod
animus elt aduertendus in inftituendis experimentis ,
quamuis a magnitudine ofcillationum non ftciie error
admodum notabilis oriatur.

Si hacc pendula in turbinem agantur, eandcm
figiiram induent, quam ipfis in ofcillationibus alfigna-
uimus, et gyros fuos duplo abfohicnt tempore, quo
ofcillationes i» eodem perficiunt plano.

PRO-

Comn^ntAcad.Jc .Tonu VI TabVlIl ./^. /fJ.

Q g_

Qoinment.Acad.Sc Joni. Vnahn^Il f /2J.

PROBLEMATIS ISOPERIMETRICI

IN LATISSIMO SENSV ACCEPTI SOLVTIO

GENERALIS. . . '

AVCTORE " ' -

Leonh. Eulero.

§. r.

Piloblcmata , qiiae curuas maximi minimiue pro- TabuiaViii
prietate praeditas requirunt, ct adliuc a Gcome-
tris tradata liint , ad duas claffes commode refe-
runtur. Qiiarum prima omnia ea compleditur , qu.ie
inter omnes prorfus curuas eam poduiant, quae ma- #
ximi Yel minimi cuiusdam habeat proprietatem. Ad
fllteram vero clalTem omnia illa pertincnt problema-
ta, quae non cx omnibus, ted iis tantum curuis ,
quae communi quadam gaudent afFecflione , maximi mi-
iiimiue proprietatem habentem determinare iubent.
Comprehenduntut hae polkriora omnia in (-ur.^fo ifo-
perimetrico problemate latiori (enfu accepto, cuius fo-
lutionem Celeberrimi Geometrae lacobus et loannes
BernouHii , Taylorus et Uermannus iam pridem dedcrunt.
Qiianquam enim hi Viri inter omnes tantum curuas eius-
dem longituajnis, eam , quae maximi minimiuc pro-
prietatem liabeit, quaefnierunt ; tamen eorum metho-
di &cile ad eas quoque quaertiones extendi pofliint , quae
quaefitam curuam ex omnibus alia communi proprietate
praeditis requirunt. Vt fi ex omnibus curuis, quae cir-
ca axem conuerliie folida gencrant aequaiia, ea inue- X

nicnda fit, quae folidum minimae fuperficiei producat.

Q. 2 §. 2.

124. SOLFTIO CENERJLIS

§. 2. Prioris generis froblemata duo potifrimiim
agitatti fiint, nd definicndAS curiias celerrimi defcenfus et
minimae refilbntiac , quae vtique inter omncs prorfus
curuus fuimi proprictntem maximo fiuc minimo polfideut
gnidu. Perfpicuum luitemert, quac curua inter omnes
minimam patiatur refiftentiam , vcl celerrimum produ-
cat delcenfum , eandcm hanc pracrogatiuam habcrc in-
ter omnes curuas eiusdcm longitudinis, \el alia qua-
cunque proprietate praeditas. Viciffim Ycro non valet
confcqucntia , vt, quae intcr omncs cimias eiusdem lon-
gitudinis ell: brachyllochrona , eadem inter omnes omni-
no curuas taUs fit^ lUius enim gcneris dantur innu-
mcrabiles, cum tamen in hoc practer cycloidem nulla aha
{•uisficiat. Ex quo colhgitur, priorcm clalfem efle
quafi fpecicm poitenoris , hancque multo latius patere
- qiwm illam.

§. 3. Flaec confiderans in eam incidi cogitationem ,

an fortc tertia quaedam clafiis cxiibt, cuius fecunda

tantum eflet ahqua fpecies? et hoc modo progredien-

do , an dentiir ctiam quarta , quinta , pUiresque hoc or-

dine fequcntcs huiusmodi claflcs? Atque reipta ita fe

rem habere deprehcndi : cognoui enim ad has vlteri-

orcs claflfcs perueniri, fi curuae eae, ex quibus, qu;K

maximi minimiuc proprictatem habcat, detcrminari de-

l:>£t , phires vna habueriut affcdiones : vt fi inter omnes

ciuuas eiusdem longitndinis et candem comprehendentos

arcam ca requiratur, quae circa axem conuerla maxi-

mum generct folidum. Aequatio autem, quam pro hac

cimra adcptiis ix\m , magis erat gencralis , quam fi cur-

uas

PROBLEAUTIS ISOPERIMFTRICL 125

«as tiintiim Ycl eiusdem longitiidinis , vel eiusdem ca-
pacitatis pofuiffem. Atque fme dubio aequatio magis
genemlis proditura fuillet, fi ad duas has proprietates
adhuc vnam phiresue fuperaddidiflem. Ex quibus , quod
forte admodum paradoxum videbitur, intelhgitur, quo
magis curuarum propofitnrum numerus reflxingatur , eo
pkires quaefito fatisficientes reperiri.

§. 4. Has igitur claffes in fequcntibus quaefHoni-
bus compledar maxime vniuerfdibus. I Ex onmibus
prorfus curuis eam detcrminare ^ quae proprietatem A
maximo vel mininw gradu contineat. II. Ex omnibus
curuls proprietate A aeqnaliter praeditis ., eam dctermi-
nare , quae proprietatem B maximo vel minimo gradu con-
tineat. III. Ex omnibus ■ curiiis et proprietate A et pro-
prietate B acqualiter praeditis ., eam determinare ^ quae
proprictatem C maximo minimoue gradu contineat. IF.Ex
omniinis curuis proprietatibus A etV> etQ fmgulis aequa-
liter praeditis , eam determinare , quae proprictatem D ma-
xim) minimoue gradu co^itineat. Simih modo quinta claf-
fis curu.is quatuor proprietatibus praeditas contemplabi-
tur et ita porro fcquentes.

§. 5. Harum quacftionum probe efl notanda pro-
prietas ifta, quod proprietates curuarum datarum cum
ea, cjiiam quaefita habere debet, poflint commutari.
Ita fecunda quaeflio , nam in prima haec commutatio 16-
cum habere ncqiit, congruit cum hac : Ex omnibus cur^
uis proprietate B praeditis , eam dcterminare , quae pro--
prietatem A maximo minimoue gradu habsat, Et tcr-
■ Q. 3 tia

■ \

i%6 SOLFTIO GENERJLIS _

tia qiuieftio tribus cnodis poteft commutari, prout curua
imienienda vcl proprietntem A vel B vcl C in fum-
mo quodam gradu continere debeat , dum intcrim cur-
iiae propofitae duas reliquas proprietates aeqiialiter pof-
fideant. IIoc autem ex modo foiuendi apparet, cum ca
curua maximi vcl minimi habcat proprietatcm , quae
eandem in fita proximo retinet ; id quod etiam in cur-
Vias eadcm proprietate gaudentes competit,

§. 6. Proprictas vero maximi vel minimi , quam
curua in his problematibus quaefita habere debet, ita
• intelhgenda cft, ut nuHa intra eosdcm terminos detur
cnrua , nifi ipla quacfita , qaae praefcriptas habeat affe-
d:iones, et tam magno vel tam paruo gradu propo-
fitam proprietatem contineat. Ita cyclois hanc habet
naturam , vt nulla alia curua intra eosdem tcrminos da-
ri poHit , fuper qua corpus defcendens ab altero ad al-
terum minori temporc pcrueniat. Et praeter catcna-
riam per duo punftA transcuntem , nulla datur aha cur-
ua eiusdem longitudinis et intra eadcm duo pundla con-
tenta , cuius centrum grauitatis in infcriore loco fit po-
fitum. AlTumi vero poifunt pro termiuis his duo quae-
cunquac punfla , per quae curua quaefita tranfit. Sic-
^'^' ^" quc in circulo, qui vt conftat, eft omnium fignrarum
capaciffima, alTumtis duobus quibuscunquc pundis AB,
non poteft inucniri inter ea punda aha curua eiusdem
longitudinis , quae maiorem fedorem quam ABC, com-
prciiendat.

§. 7, Ad problcmata primae claftls foluenda fufhcit
duo curuae elcmcnta contigua coufiderare , qucmadmo-
i-i dum

FWBLEMATIS ISOFERIAIETRICL 1 27

dnni ex folutionibiib , quae piirim inuenmntiir , Jineae
brachyftohronac , et Iblidi niinimae relilkntiae uppuret.
Secundae vero c.ailk problemnta reiolui ncm pofluat riirs
tria elemsnta ciiruae in computum ducantur. £x hisque
coilegi ad iblutionem problematum ad tertiam claiiem
pertinentium quatuor opus effe curuae elementis. At-
que ita porro pro quarta ciafTe quinque elcmenta , pro
quinta autem iex reqiiiruntur et iic deinceps. Ex qno
intelligitur folutionem problematum continuo euaderc
ditficiliorem , quo magis iuxta has claffes progrediaris.
Difficultas quidem in prolixitate calculi tantiim connflit,
qui eo fit operolior, quo piura elementa curuae de-
bent confiderari. Vehementer is autem poterit abbre-
uiari fi debita compendia adhibeantur.

§. 8. Qiio autem facihus intelligatur, qua meto-
do in fingulis claffibus Yti conueniat, iis ctiam quas hic
non attingam , pkirimum iuuabit duas priores etiam clas-
fes percurrere. Qiianquam hae vero iam latis futit tra-
(ilatae, vt vix quicquam noui in iis detegi poffe vi-
deatur \ tamen eas methodo paulisper diuerla et multo
iatius patente fum perfecuturus , quae ad fequentes etiam
claffes magis ell: accommodata. Praeterea quoque haec
inde nafcetur vtihtas , quod quaehbet proprietas , quam
curua cjuaefita habere debet, in prima et iecunda claffe
ad calculum perducfla, in rehquisetiam fi parum immu-
tetur, poffit infemire: Multo autem maiore labore opus
effet hunc cakulum in fequentibus demum claiTibus de
nouo perficere,

f 9'

iiZ SOLFTIO GENERJLIS

FJS- «' §• 9- Oportcat igitiir primiim inter omnes puorfiis

ciiriws dcterminiire cam oa, qmic datam proprietutem
maximo vel minimo gradii contineat. Ad hoc prae-
flandiim liimatiir pro lubitu axis O A , ad quem curua
quaelita referatur. Accipiantur huius elementa AB,
BC aequalia, hiiquc refpondcant in curua ipfa duo ele-
mcnta alf ct /n- ^ quae in appUcatis praebeant elementa
^M , et ilN. Vocetur arcu* oa^s] abfcifl-i O A,a: j appli-
cata Aa^j. Erunt ABizi BChk/.v, /^Mrr^j', et
<-//;zi: (/s, Atque porro fIS!~ dy -1- ddy et dczn
//s -{- dds. Deindc manifeltum ert, quam rnaximi
minimiuc proprictatcm habeat tota curua o^, eandem
liabcre d-berc qnamuis eius partemj .crgo etiiun .duo
elementa al? ct bc. Qiiamobrem -non diici ^ioterunt
alia duo elementa \t a<^ et j3f, inter teiminos « et f,
quae contineant praeicript-am proprictatem rr.aicTe yel
minore grad.i. Cum vero maximi et mini-mi propri-
etas in hoc confiftat, vt omnibus in fitum proximum
translatis , proprietas praeicripta (latum fuum tamcn re-
tineat; confidcrari debebunt duo elementa proxima ^7(3
et p^- intra cosdem tcrminos a ct t', contenta. In
haec igitur praeicripia proprietas aeque compctcre de-
bebit, ac in priora a/y ct bc. Ex quo pofitio elc-
' • mentoriim ab ct bc hincque iplii curua quacfita o ^ iii-
notefcet.

§. 10. In hoc autcm fitu proxim.o tf^transitin
at^ bc \\\ tc\ et M/» in Mg, ac cN \\\ cK-b^.
Crcfcit igitur clementum rt'/' particula g/;/, elcmentum
vero bc decrcfcit particula bii. 5iinilitcr b^l angctur

parti-^

PROBLEMATIS ISOPERIMETRICL 129

particiik Z-p, et cN minmtiir particula ^j3. Priores .'
vero particiiliie j3/// ct bn poflfmt etinm ad ^p redu-
ci per fnnilitudinem triangulorum p ;>///, ^^M et (3 -'«,
cbNy ex qiia rcperitar p///— — ,,-, tx_ bn — —^. bi~
tu ergo proximo migrat au m ab-^-j-'., bc ni Z/t'
--^f; b^ in Z-MH-Z^jS ; et cN in c-N-^(3, ab"
fciflae vero elemenia AB et BC interim manent in""
uariata. Deinde etiam iplli applicata BZ» crelcit elc"
mento /'(^, et arcus oab particula [3///, i. e. —^ . Qiiae,
quantjuam laepiirime negligi polTunt, tamen in genere
retineri debent. ' «

§. II. Curri autem praefcripta proprietas, quam
curua oa maximo vel minimo gradu continere debet ,
tanta debeat reperiri in elementis ab^bc., quanta in
proximis ^(3 , ^c j in vtroque calii eam proprietatem
ad calculiim reuocare conueniet, et exprefnones rcful-
tantes a fe niuicem fubtrahcre; id enim, quod reftat
aequale erit ponendum nihilo. SinguH vero huius re-
fidiii termini vei affedi erunt particula ;>j3, vel ^m
et bn-. quae autem , quia ad bi^ reduci poflunt, to-
tum refidunm erit per b p diuifibHe , quo ficto prodibit
aequatio , in qua nulla prorfus quantitas a puncfto j3 pen-
dens reperietur, fed tota ex x^y et s cum conilanti-
bus confl:abit. Ex hac igitur natura curuae quaefitae '^

determinabitur.

§. 12. Ponamus curuam oa eam habere debcre
proprietatem , vt in ea /.vVj minorem habeat vaio-
Tom. JT R rem.

/^

I30 SOLVTIO GENERALIS

rem , qnam in alia qnaecunque linca per punda o et
a transeunte. Hanc eandcm igitur proprictatcm habe-
bunt elementa ab^bc, Qiiare O A". rtZ>-f OL". Z^f
debebit etiam efTc minimum vel aequale huic quanti-
tati OA''. ^(3-1- 0B".(3f. His a fe inuicem liibtradis
reftabit haec aequatio OA". (3w=i OB''. /»;/, vel loco

(3w et bn valoribus niuentis lubititutis, haec !-

' ab

OB".6N.(^3 r OA^^M OB^.fN ..

— ti, fuie — — Uuae

bc ab bc

aequatio ita eft comparata, vt pofterius membrum fic

ipfum prius differentiah fuo audum. Propterca diffe-

O A'^ Z/M
rentiale huius '- erit — o, ideoque ipfi haec

ab
quantitas aequahs erit quantitati conllanti, quae fit a^.
In fymbohs igitur fequcns habebitur aequatio x^dy^
a^ds^ ex qua curua quacfita cognolcitur. Pcrfpicitur
ex his fimul, fi tahs requiratur curiia , vt jP</j-, vbi
P fundlionem quamcunque ipfius .v defign-.it, in ea fit
minimum, prodituram effe aequationem hanc Vdj —
hds^ pofito A pro conftanti homogenea ipfi P. At
fi P ftierit fundio ipfiusj', permutatis coordinatis x etj,,
prodibit aequatio VdxznA.ds.

§.13 Si requiratur vt fn curua quacfita fit fcmper

Jx^^fds maximum velminjmum^critOA^^.As^.tfM OL'".

Bb^.bc- OA"'. Aa\ ^(3-t-OB^'. Bp^(3c- OA™.A«^r/(3-H

OL"^. B(3"- ' b^. (3f. -t-OL'^. B^'—' . Bb. (3r, pofito B^

■bQ loco B(3. Ex qua aequatione oritur illa

OL"^.

PROBLEMATIS ISOPERIMETRICL 131

OB^^.Blf^.c-N.bQ OA™.A«".MVl.^i3 ^^^
— ; ■- ~ n. O B .

B^"-'. hc.b^-n. OK^^.hd"-' .ab.b<^. Prior autem

pars vbiqne per b^ diiiila, exprimit diifcrentiale hu-

. . OA^.A^^^M ^ r , ,• r,

lus quantitiUis . Qiiare lymbolis lub-

ah

ftitutis, prodibit ifta aequatio d. — ■- — -~nx^.j^~^ ds,

ds

quae fumendo ibi re ipfa differentiale , et pro dds po-

nendo valorcm ^^^, abit in hanc '^^'^^^ ~\- mj dy

— nxdx~o. Reduci haec quidem ad ditfcrentialem
flcquationcm primi gradus potell; fed ea fit ita com-
plicata, vt, an feparari poliit, non appareat. Sijx^
s^ds debeat efle maximum vel minimum, reperitur

haec aequatio d. — ^ — ^ — ;2.r™j"— ' </j', quae porro

mutatur in iftam xdxddj -{-in ds^ dj~o. Ex quo
apparet exponentem n ex calculo euanefcere, ita vt
eadem prodeat curua, ac fi requireretur/.v"*//.? pro ma-
ximo; ea vero integrando reducitur ad hanc x'^ dj —
a^^ds., vt iam fupra ert inuentum.

§. 14.. Oporteat inuenire curiiam , in qua fit /

d (^d v"
- — --— maximum vel minimum. Hic ftatim appa-

ret, quia ^.v ponitur conftans, id tantum effici debe-
re vt Jds^ dj'"- fit minimum vel maximum. Propterea
erit ah'^.by[^-\-bc'^. cn^^ — a^"^. p M«^-(3t-"'. (t-iM

— b^f. Hinc refultat ifta aequatio nah"^. ^M"" ' -\- m.

R 2 ab

i3a SOLVTIO GENERALIS

ex qiia iteriim concliiditur nab^^.bNi^—^ -\-7ii.ab^~^

^M""^' debere efTe conftans. Qiuimobrem pro cur-

lia quaefita haec inucnietur aequatio nd^^dj^~^ -f-;«

ds"^-- dj'''^' —adx^-*-''-'' , quae fcmper cft pro li-

nea reda. Si vero pro maximo minimoue iiaec quan-

fx^d\'^dy'^
titas data fuiflet, —r^r-r — ^ — ■> tum prodiiflet ifta ae-
tf .V ■*" '

quatio n .v'' ds^ dj''- ' H- vi x^ds^-^df-+- ' — a V.r'"-+-"- '

fV ds^ dy"^
Atque generatim fi proponeretiu: ifta quantitas"^ -^

curua quaefita fequenti determinabitur aequatione nVds^
dj""-' -\-mVds'^--dj''^' zzkdx'^^''-' \ vbi P de-
notat fimdionem ipfiuis x quamcunque. Si denique
id , quod maximum vel minimum eife debet , habue-
rit hanc formam sjx ds , reperietur eodem modo , fci-
licet elementis ab et bc ita conftituendis vt /[ ^j/.v^i
~\-sxds) fit maximum vclminimum, haec aequatio,
sds- dj -\- dx ddj ( s x -hjx ds )—o.

§. 15. His autem primariis cafibus primae clafiTis
expofitis , pergo ad iecundam , in qua non ex omnilui»
prorfus curuis, fed iis fohim quac communem quandam
habcnt proprietatem , dctcrminari debct curua , quac nia-
ximi vel minimi quandam habeat proprictatcm. Qiiacri
igitur oportcat curuam oa, quae inter onjncs curuas
atfccflioncm quandam A acquahtcr contincntcs, habcat
aliam qiundam proprictatem B in maximo vel mini-
mo gradu. Ad hoc problcma fblucndum tria neccffe

eft

^

PROBLEMJTIS ISOPERIMETRICI. 133

cft confidenire elementa ciiriiiie quaefitae. Hiincobrem in Fig 3'
axe pro liibitu afliimto OA accipiantur tria elem.enta
A B , B C , C D , quae fint inter fe aequalia,hisque refpon- . '
deant in curna tria elementa ^/^, <^f, et cd. Ducan-
tur porro , v t ante , applicatae A « , B /? , C t' , D ^/ , axique
parailelae ^'M, /'N, 6'P. Didis ergo OA,a'; Aa',/;
eto^,j-; erit AB=:BC=:CD--^.v:^M — ^j- et ^^ '
~ds^ porroque c-N — dj-{- d(lj'\ bc — ds-\- dds\ at-
due d^^-^zdj-^-i ddj -h d^^y et cd— ds ~\- ^dds-\-d^s.

§. i6. Deinde ducawtnr alius cuiusdam curuae per -
puuwti ^ et ^ transeuntis , elementa rt' p , (3 y , et y rt', ad
eadem axis eiementa rclata. Haec autem ita debcnt efle
comparata, vt proprictatem A aeque contincant ac priora
ab., bc ., et cd\ aliae enim hic curuae non confiderantur ,,
nili in quas proprietas A aequaliter competat. At ni-
hilominus haec elementa infuiitis modis infledi poffunt ,
quia a pofitione duorum pundlorum (3 ct y pendent.
Quocirca altcra proprietas B adhuc in computum duci
potelt; quod , fi duo tantum elementa vt in anteceden-
te cafu afllimta fuilTcnt, fieri non potuiiiet. At ex natura
maximorum et minimorum elementa <Yp,(3y, y^pro-
prietatem B aeque compkcfti debent, ac illa ab., bc^
cd., ex quo intelligitur curuam quaefitam oa prodire,
fe hae duae elementorum triades ita aiTumantur , ¥t
vtramque proprietatem A et B tf<tquah gradu compre-
hendant; in hotque fimul ratio commntationis propri-
etatum A et B , cuius mentio iam eft fafla , confilHt.

§• 17- Qitando autem eiementa ab^ bc ., cd int

R 3 fitum

134 SOLVTIO CENERALIS

fitiim proximum ^p, (^y^yd tiiuisferuntur , augetur
ab particuh pw, /n' minuitur fumma purticuhuum /;jj.
-f-fv, et c-(i iterum augetur particuh yn. Similiter-^
bM crclcit particuhi /?(3, et fN decreldt fumma />p
-f-6'y, atque ^P crefcit particuhi ty. Poifunt vero
illa etiiim accrementa et decremenni reduci ad O^ et cy
per fuTiilia triangula, lit enmi p7;i~-^,/'[A— j^.

CN.C7 dP.cv T-) j ^

f i/ — -^ et y ;2 ZL -^^. Propter duas autem pro-
prietiUes A et B propolitas, quae communes elfe de-
bent vtriqueelemcntorum triadi , prodibunt duae aequa-
tiones , quarum fuiguli tcrmini affcdi erunt vel piyti-
cuht /^(3 vel c-y. His igitur eliminatis elicitur aequa-
tio, in qua nuUae amplius infunt quantitatcs a pundis
|3 et y pendentes , feu fymbolis introdudis , tota con-
ftabit ex x,j.,s et conftantibus. Ex qua propterea
curua quacfita cognofcitur.

§. i8. Duac vero illae aequationcs , quae ex con-

fideratione duarum propofitarum proprictatum A ct B

oriuntur, huiusmodi habebunt formam P./^(3 - Q^. fy

z-n et R. /^p— S.ty ~o, in quibus quantitates Q_ et

S plcrumque ita funt comparatae, vt fit Qzr P -h ^P

et Sir;R-f-</R. Si vero huiusmc:)di formam non ha-

buerint, poterunt femper multipHcando vel diuidendo

aequationes ad talcm reduci. Hoc fi fi(flum erit, dico

fore femper ?-{-aK—0., vbi pro a quantitas conftans

quaccunque accipi potert. Nam expulfis Z» (3 et f y ori-

tur irta acquatio QRzizPS, quac fubrtitutis P-f-fl^P

et R-i-^R loco Q_et S, abit in hanc R^P— P^^R

cx

PKOBLEMATIS ISOPERIMETRICl. 135

ex qua integmta proiienit ?-{-aK—o. Hnec neqiiatio
fioc modo produd.i erit pro iplii curua quiiefitn ^ quare
fi illiie iieqUcUiones ex proprieuitibus propolitiS dedudae
praefcripto modo inftituiuitur, in promtu erit in quouis
Giifu iieqUcttionem curuiie quaeiitac exhibere,

§. 19. Safficiet igitur pro fingulis proprietatibus ,
quae pfoponi p;)liLint, aequationes dido modo ador-
nalle vt habcant formam P. Z» (3 — ( ?-{-(/? ).cy — 0.
Buiusmodi enim duabus coniundis obtinetur aequatio
pro curua quaefita : dummodo eae aequationes ex pro-
prietate , quae omnium curuarum ex quibus quaefita
determinanda eft, communis elfe debet, et ex ea , quam
quaefita maximo gradu continere debet , eliciantur. Pro-
pofita ergo fit primo quantitas //" r/.v , quae vel com-
munis efle debeat curuarum datarum , vel maxima mi-
nimaue in quaefita : vtrumque enim eodem redit. Hanc
ob rem ob dx conftans, debebit elfe A^^^-BZ^^^-f-
C 6-'^ = A ^'^ -f- B ^'' -t- C y " , vndc prodit ifta aequatio
BjS"""' .b^-Qy^^—^cy—O., quae praefcriptam iam habet
propvietatcm. Atque in fymbohs quantitas ipfi P refpon-
dtns eft /"' . Si pofitum iui^ttjx^dy prodiillet .r'^"'
refpondens quantitati P. Et ex afliimta quantitate/T^.r,
defignante T fundionem quamcunque ipfius j, inue-
nietur pro littera P haec fradio j^. Simih modo pro-
diilTet ^ tx jTdv., fi T fuerit fundio ipfms x.

§. 20. Exprimat /v^rt^j- proprietatem , quae in
elementis ab, bc , cd, et «p, (3y , yd aeqnahter in-
^^z debcat- erit OA^rt-^-hOB^ bc-\-OC'. cd —

OA«

i3<J SOLVTIO CENERALIS

O A^ ^(3 -f- O B^ p y 4- O e y d. E(l autem

71

= '-^-1 q"-'!!-^ ifta prodit aeqiiatio QA".^;,^^ -^'^^
O ii\ ^N . f y , O C^ dV.cy _

ZL.o. Hacc iam ha-
/> t- f « -

bet reqiufitiim proprietatcm , e(l enim fliclor in /;(3 dii-

diis ciim luo diffcrentiiili , acqualis fiid ri per qucm

— fy eft multiplicatum. In hoc igitur cafu eft P —

OX\m OB^.fiM r , .

— , liue huuis negatuio, quod m

alf tjc

o^ dy
fymbolis eft d. — -. Simili modo fi propofitum fuilfet
ds

JXd.! etX denotatfuncflionemquamcunque ipfius .r,reper-
tum fuiflet pro P, d. '^/^. At fi proponatur/>'V.<-, tumre-

pcrietur pro P , d . -— ^ — «j"'" ' ds. Atque ex hoc

ds

porro perfpicitur cx quantitate JYds., defignante Y

fuuvftionem quamcuuquc ipfius y , repertum iri pro P

hauc quantitatcm d. -^--^y .

§. 21. His attentc infpicicndis poterimus , quac
quantitas ipfi P rcrpondcus prodicura fic, definirc, fi
generaliorcs formulae accipiantur. Vt propofita fit for-
mula /T</.v, vbi T dcnotet funclionem quamcunqnc
jpfirum X et j, fitque t/Tzz-j-M <//-+- N^.v, inue-
nitur ?z:z-{-i)/[dx. Atque propofita formula/T^ify ma-
nente T vt ante, erit P — — Nt/.v. Dcniquc fi pro-
pofita fuerit formula /T ds^ reperietur P :^ -i- M ds — d.
J/^-^-ir^-^Hf^-Td.ri^. Dcdi hic hos valorcs,

prout

/

PROBLEMJTJS ISOPERIMKTRICL i6$

^iroiit calculo immediate iaueiuiintur , fi proprietas prae-
ifcripta ad elementa ad^ bc^ c </, accommodata fubtra-
hatur ab eadem ad eiementa ^P, |3y , Y^/accommo-
data ; neque figna mutaui , neque per quantitates conftan-
tes vel multiplicaui vel diuifi. Ex hoc non parua
Eafcitur vtilitas ifta , quod valor ipfius P etiam inue-
niri queat , fi fbrmuh praefcripta habeat valorem com-
pofitum , \t fTds-\-Jtdy. Si enim fiierit dtziztudj
-\-ndx., manente dT vt ante, erit P fumma eo-
E.urn , quae pro quoHhet membro feorfun inuciiiiintiir ^
fclHcet P — ^-^- — ^^^ — T d. f^ — « dx.

i. 22. Hi funt cafus, quando in fbrmula propo-
lita quantitas T, quae vel in dx vei dj vel ds eft
duda , eft fundio quaecunque iplarum x tty. In hisque,
vti conftat, ftatim ad aequationem peruenitur, quae
formam habet P./^g — (P-|-</P j^-y. At fi etiam s
in T contineatur, non peruenitur ad huiusmodi aequa-
tionem , fed ea demum ad talem debet reduci. Vt (it
propofita haec formula/j^^f/jf oportebit effe ob dx con-
(lans, o<z"-+-oZ'''-j-Of"zz:(?«"-i-op"-+-()y", feu ob^
Of^ — og^H-oy". Eft vero ot —'- ob -\-^mzzob

H--56-? et oy — oc-\-^m — ^\L—cv — oc-\--ii, —

fN.^g cN.cy ^ „„ ,. n.ob^-^.b^.b^

— •-. Ergo o^"- — ob^zz

bc bc ab

n n noc^^-^bU.b^ fi.oc^^-^.c^. bt
et oy^—oc"^—

ab bc

j- . Qiionim refiduorum fumma, cum

Tom. VL S debeat

1^8 SOLVTIO CENERALIS

debeat euanefcere erit ({ob''-'-i-oc''—' & - ^''"~'''if;

ab bc

^g=: -i. Ponatur — =3^, ent — —q

bc ab bc

■^-dq^ et pro ob pofito.f, erit Ofii:j-l-i^.f,. habebi-

turque (2/-' ^-4- n-x)s''-^qds-s''—Hq-\-dq)-{n-i')

s^^-^qds^b^ — is-' q-\-i''-' dq-^iH-i^s^^-^qds)

(y, Ex qua formatur ifta aequatio V. b^-—'P.cy

:i:;P-f-^P, vt prodeat requifitus valor ipfius P. Fiet
autem ex ifta aequatione 2 Pjy/^ -{-(«— i ) P^^/.f~

sq dP. Huiusque integrale j"— ' q- —? y feu P —————

Si propofita fuiflet haec formula /S dx , vbi S denotat
fimdioncm quamcunque ipfius /, prodiiflet PmjjjT^
Et huic formulae JSXdx refpondet valor P— iz:
^^—^. Atque generatim fi fuerit T fundio quaecunque
ipfarum i^jetx; erit pofito dT ■:zz?ds-^M.dj -{-^
Hdx, P = t{i|li(L^-^M), fcripto q loco ^^

u--

§. 23. Propofitus nnnc fit hic caliis, quo- jTds
(\bi T vt ante eft fun<flio quaecunque ipfirum .v,j' et /,
ct dTz:::.Lds^Mdj-\-Ndx) in duabus curuis
proximis debcat efle idem. Erit ergo T. ^^-H(T-i-
dT)bc-\-(T-{-2dT-hddT).cd—T.a^-i-(T-{-dT)
€y-{^i:T-]-2dT-^ddT)yd. At difFerentiaha //T
et ddT in vtroque mcmbro non funt aequalia, fed
differunt pro pundis § et y. Ponantur autem primo-
xequaija. erit refiduum fr ilhid membrum ab hoc fub-

traha-

PROBLEMATIS ISOPEKIMhTmcL ijp

trahiitiir — bt. d. T q -{- r y d (T ~i- dT ) (q -^ dq) '^ po^
fito ^ loco ^-(. Ponantur iam ^ S , § y q.z y d in aequa-
lia ipfis <7i^, bc., et cd^ et qu^Acratur diffcrentia ^ quae
ex \:iri:i rignificutione dT ct ddT oiitur. Eil Ycro
ipruiii LdSy tranrim taiflo ab eicmentis ^^, ^r, i-*^
ad elementa <7(3 , ^Sy , y i, incrcmentum L.p;»— Lfc
^|3, ipiuis M^j' vero M^j3. NVx non mutatur. Si-
mili modo iplios 2hds-+-d. Lds incrementum eft (L
~\-dL)(^m-l^lJ.-cY) = (L-{-dL)i-dq. l^^-(q
-h dq) cy )^ et ipfius 2M ^7 -h </. M «/7 incrementum cft
— <M-|-^M)fy. His fmgulis incremcntis per ^r et
sd refpediue m.ultiplicatis , cum ante inuento rcfiduo
in vnam fummam coniedis , et r=o pofitis, prodibit ifta
aeqiwtio ^'^(-^.T q-^-Lqds-^^^ds-Ldsdq^-^cy
(d.{T-^dT)(q-^dq)-Lqds-Lqdds-qdLds-
Mds—M.dds— dMds)~o. Affumo hic autem Z^^; pro
^i,eti-^pro ds-i-dds^ quia ab non occurrit.Si haec aequa-,
tio cum Fb^S — iF-^-dV^cy — O conferatur , reperic-

r Ids^dq

tur P — r'^''^^^^^ — Ndgd^v — Tdstjq ( ndx^—^dxdy—Tdsdq^ .^^^

c fignificat numerum , cuius logarithmus eft i . Simi-
liter, fi formula propofita fuerit /Td^j, reperietur P

__ r Idsdydq

— f Jidx^-i-^dxds (^tdx^^dxdj^^ j^jc ^j fueritNz=»

Ldx

erit Vzn^ua-

§. 24. Confideremus adhuc hanc vnicam formu
hm JXds^^dfdx'-'^-^ in qua X funclionem tan-
tum ipfius X dcnotat. Negledo igitur dx vt conftan-
ic, £rir Xa/r-.bW^-^fiX-i-dX^.bc^^.cN^^-h^X-^

S 2 2dX

I40 SOLVTIO GENERJLIS

s^X-f-^/^^X V<r .^''— X .tf e^*. eM»-4- (X-+-^X) gy "^ («-ivy
-^ e-^Y)^ -h (X-H 2 iX H- </^X ) V ^(^P-f-tY ;".Cu-
ius aequationis illa parte ab hac lUbtrada relhbit — Z»^
d. X ( /;i^Z»"*-2 . ^M"-^' H-«. «/»'". /'Ar-' ) -f-fY ^. ( X
'^dA){m.k'^-^ . <;N''-+-' -\- n.bc'^. aN"-' ) n-o.Quae
aequatio cum iam habeat fbrmam huius V.bt — [V~\-
d?)cy^o, erit ? — -di.y^{mdf^-'dj'"^'-\-n.ds'^
dj^' )zz-d. yids^'-'dy'-' {mdj'-\-nds''). Si-
mili modo fi propofita fuiflet haec formula /T ds^ dy^
^^,1— m— n^ iii qiia T jfiierit fundio quaecunque ipdirum
X et y, ita vt {\t dT zz.lA dy -\-^ d x . proditura hiif-
fet liaec aequatio Y — yids^df-^.^ds^^-^dy-^iin
dy'-]-nds^). Atque generalillime, fi in jTds^^df
^^.,_77v_n g,gj.jj y fundio quaecutique ipllirum j^j/ et j-,,

atque propterea dT — Lds-\-M.dj-\-Ndx erit ?zz

rLdf^Jfdq

c^ m.ds^dy''-\-Lqds'^df-d.Tds^-'^ dy^^-^mdy^^nds^)
( M ds'^dy''-\-Lqds'^dy''-d.Tds'^-'dy''-\mdy^-^nds^)
Haecque eil fbrmula generalitlima omncs priores in fe
compleftens.

§. 25. Hae fbrmulae inuentae feu valores ipfius
P refpoiidentes omnibus , quae proponi poffunt proprie-
tatibus, vnum tantum fignum fummatorium inuohien-
tibus, quo clarius in confpecftum cadant, atque fiicilius
ad cafus qoosnis poffint accommodari , collegi eas , et in
fequentem tabuiam dispofui.

Pro-

FR03LEMATIS I^OPERIMETRICL 141 ,1

Troprietates , _^y „^ j^,,-_.> Vahres htterae P
propofttae. ' ^ - d^ ' ^' ^^^^"^^ rejpomlentes,

J. /Tdx, dT — Mdr - - -^—mdx.
\\. jTdy.dT — ^^dx - - Y~^dx.
m. jTds,dT-^dx " - P — d. Tf
IV. /Tr/j,^TrrM^j - - Pr::d.T^~M</j
V. /T ^.r , </T— M^/H-Wx -Y—^^dx
VI./T«'/, ^T— M^i^+Nfi^A: - P— N«/.v.
VII./T^j, ^T=M^>-hNfl'.v - P=:d.T^-M^j
VIII./T ^A- , //T=:L^i~f-N^.v - P — L ^-.
IX./T</, ^T— L(/i-i-M^ - PrrL^A-^ ^i^

X JT</;c,iT-L</i"|-M<^4-N«/.v.P =1 ^-^^-hm ( L ^ -h M )

t Ldsdydq

XI./T^',iT=L^i-t-M^jH-N^.v ,P-^- -^ i^d.'^Hd.dsild^^Jj. j

f-Lds^dq

XII./T^i,^T=L^i4-M^-hN^.v,P=^'^^''^^'-^'''''^-'^'^^''5l^^^^|^^^^^A^^
XUl.r^^^^dT—Ndx - V — d.Tds^^-^dj^^^imdy^-^nds^)

XIV .fL^^^dTzMdj-^Ndx jPm d.T^i'"-^^"-- ' {mdj^-\- nds >Mtf j'"^"

XV/^^^;,^TrrL^i-HM^^-f-N^^, P:=:

^ Lds^dy-^dq

fJ {Lq-^M.]ds'^dj''-d.Tds'^'dj''- ' (mdj'-^nds^) ( Lq-^-M^ds^^dj"*-

§. a5. Ope huius taferulac nunc perfacile erit pro-
blemata tum primae tum fecundae claflis refoluere. Qiiod
^uidem ad primam attinet , in qiu quaeritur curua , quae

S 3 omni-

\4i SOLVTIO GENERJUS

«mnium maximiim velminimumhabcatvalorempiopric-
tatis propofltae A \ ad hanc inueniendam fequens habetiuc
regula : Qiiaeratur proprietates A in tabula, et fundionc
T M eam accomodata, accipiatur valor ipfms P re-
fpondens, isque ponatur zro, quae aequatio erit pro
ciirua quaefita. Vt fi quaerenda fit curua brachyltochrona
debebit tcmp:is defccnfus, quod per /y^ exprimitur,
efle minimum. Continetur autem haec formula in ter-
tia, fitque T — ^ cui refpondet P — d. :;^, qui va-
lor cum debeat elTe — o erit ^ — conft. feu ^jVa—

d X yf tt

dsVx, tx. ads^ —adx-—xds''-. Fit igitnr </j- — ;;^::^
et j":^ C — z K^(,^— A') , ex qua inteliigitur , curuum
quacfitam effe cycloidem. Ad inuenicndam curuam oa
quac circa axem Oo ipli oA normalem rotata , gencrat
folidum , quod in fliiido fecundum huius axis dircdiio-
nem morum patiatur rninimam refiftcntiimi debebit/-^jl
effe minimum, continctur lioc in formula XIII, vbi
cfTe debet T=r:.v,w — — 2,«rro, Hiuc fit P — d.—
^p-zzo. Ergo xdx^dy — ads^., ex qua curua ^e-
nerans folidum minimae refitkntiae determinatur,

§. 27. Ad fecundae claflis problemata folucnda
fequens inferuiet regula. Si cx omnibus curuis pro-
prietate A aequahter praeditis ca debcat mueniri , quae
proprietatem B maximo minimoue gradu conrineat^
quaerantur proprietates A ct B in tabula et fiuiiantur
valores ipfius P refpondcntes,corumquc per quasiiis quan-
titates conflantes multiphcatorum fumma ponatur ac-
quaUs niliilo \ quo fido ae(]uatio proucnicns exprimct

natu-

PROBLEMATIS ISOPERIMETRICL ij^i

ffiitumm curiiae quaefitae. Hanc regulam n«nniillis ex-*
emplis illuftrare iuuabit. Qiiaeratur curiia o a , quae in-
ter omnes eiusdem longitudinis maximam comprehen-
dat aream; crit A—s—fds. et B — fjdx. llii au-
tem ex formula lll. refpondct V~dq. huicque ex
prima P zr fl^.v. Qiiamobrem haec aequatio adq—dx
erit pro curua quacfita. Ex illa vero prodit haec aq
z^^-^Y-^x fen 4/ — 7^4^2 i. e. /--^-x^ — a^. Quae
eft aequatio ad circuhim. Rcquiratur nunc curua oay
quae inter omnes ahas eiusdem longitudinis , fi circa
axem Oo conuertatur, producat maximum fohdum.
Erit ergo k—fds et B—fx-dj: quare pro A erit
F — dq^ et pro B erit Vzizzxdx. Ex quibus iuxta
regulam , (\t a- dq—zxdx. Qiiae integrata dat a^ df
nzx^ds-i-b^ds .) qua natura curuae elafticae exprimituro
Inuenienda fit porro curua o^, quae circum- axem Oqh
rotata inter omnes ahas aequaha folida producences ge—
neret minimam fuperficiem, Erit ergo hzzifxxdy ef
Bzrfxds. Ihi igitur ex Tabula respondet P—nxd
AT, huic vero Vznd.xq. Hinc nafcitur aequatio 2.xdx
■zzad.xq feu x ^-{-b'^ ~^^- Qiiae reducitur ad hanc

i/j^iviS-xSu^P")")- Haec efl ad circuhmi fi ^— o,
ct ad catenariam fi fiat a infinitum, et bbzi::
ae. Quaeratur etiam curua oa., quae inter omnes
eiusdem longitudinis habeat centrum fuum gra-
uitatis ab axe Oo maxime remotum. Erit crgo Kzz.
fds et B — '^Y^. Quia autem s in omnibus curuis po-
nitur eiusdem quantitatis, poterit pro B accipi /.v^j".
Sit igitur pro A, Pzizdq et pro B,P — <5?..v^ Vn^-
de liaec oritiu: aequatio adqzzd,xq.^{^\\ aq—xq--h..

144- SOLFTIO GE^ERALIS

Scribatiir x* loco x-a^ Iwbebitnr xq—b feu xdyz:^
bds^ qvme eft aeq.iatio pro catcnaria.

§. 28. Hic non poffum, quin annotem , nifi j fuif-
fet in omnibus curuis eiusdcm longitudinis et propterea
in B reiici potuilTet, problcma cx formulis reiblui
non potuilfe , quia huiusmodi forma y"^ in iis non re-
peritur. Poteii quidem ad propiorem reduci fumcndo
differentiali iterumque praeponendo figno fummatorio,
vt tota quantitas fignum / habeat praefixum, fitque
hoc modo B —/^2- : Verum quia haec quantitas -^
in T , quippe quae littera femper quantitatem integra-
tam denotat, non comprehcnditur , nihil iuuat ad hoc
tabula. Nam quoniam in T non inclle poffunt dif-
ferentiaUa , facile inteUigitur neque integraha ineffe pof-
fe. Hanc ob rem pro huiusmodi cafibus formulae erunt
etiara erucndae. Inueni autem , fi Iv.iec /{^'^fsdxjds

f sqdidx— ndsdqjtdx

fuerit propofita , fore Prr f>^ ~j^j.ix-f:^d:^ ( j«-t-i ^^^
H-s^^dgfsdx). Qiiae in cafu propofito, quo cft nz=:

rsq dsdx-i- ? ':isdqji.ix

-2, dat V — c' s-qd>:-i-sdqjsdx-(^^jiix^dqfsdx>^^ Haecad

problema poftremum foluendum debet aequahs ^oni adq.
Sumtis igitur iogarithmis tumque differentiahbus , pro-

,•1 • ddq s q isdx -f- 2 d(dql'sdxi_ 2 sdqdx-^qdsdx-^-ddqfsdx 2ds ^

QlDlt dj s^qdx-i-sdqjsdx ^" s.idx-i-dqfs.ix s -SiP^^G

abit in hanc '^^ -^rrzzssdqdx, haecque per ssdx
diuifa in qddq—idq^. Integraudo ex hac oritur ^^
dx — — adq., atquc iterum x~°-~"^ ., feu xdyzz:
ads^ quae eft pro catenaria vt ante.

§. ap. Qiio autem generahores huiusmodi formu-
las confequamur, fit haec propofita /Tfl^a/V^/.v. In

qua

FROBmMATlS ISOTERIMETR(CL r^f

qm T et V denonuic fimSiones qnasciinqiie ipfarum :e
r et .f, ita vt lic (i'T :zzLJs-A-M.((y-^-Ndx et dV
— Gfl^i-f-H<(/-f-K('/.r. Ex hac fonriiila muenitiir

r Ldq'! Vdx — TG. jdx — Tliclx

Tzzf'^ iiq-^^mdx (Lq-^M)fy dx. Sit nunc .
haec formula pro.pofita fT dxfWUj in qua T ct V

praecedentes habent viilores, erit Vzzi'^ itq-^M)j vdy^Tv ""

(TV-h(L^-4-M)/V.^/). AtquG pro hac formula

fLdqjVdi-i-TqdV — TOqds—THds

/Ti^.t-/V//j reperitur Pziy;^ (L,j-i-M)/vd3-i--iv«

( T V-^ -i- ( L -^ -i- M )/V -ds) . Huiusmodi tres inueni-
untur etmm, fi fumarur Tf/j verT^/.(- loco T.//.V. Has
autem omnes prout eas iiiueni-;, tanqnam tabu)ac con-'
tiEuationem .adiicix?

Tom. VL T

245 SOLFTIO GENERALIS

Troprktaces propofitae,. VaJores Imeras P rejpondentes'.

fl.dq[ydx--JGqix~-THdx

XVI. fJdxfy dx , P = (r-^ iLq-HM;/vax (L^-f-M ^/V </a-

r LJij/Vdj-t-TdV— TG^.ijy— TH dy

XVII. /T ^.x/V ^j , P = t--' (Li-^Mij vdj^-Tv (TV-f-(L^-4-M)jV i;)

XVIII. fTdxfVds,. ?:=--cJ (l,-+.h)/ vds^Tv, (TVf-V-(L^-4-M)/V^f)

f L(i^i>/Vdy-TGqdxd>-THdxd>^

XIX. /T ^y/V ff.v ,, P— ^-^ (L.ici>-j-Mdjjva*-dTjvdx-Tvd*((L^^'4-M4')/V</A;

-d.T/V^;0

/■ Ldy(ii7/Vdy-|-T<iVd3'--TOgdjy^THdj''
XX. fTdjfV dy , P — ^"^ (L9dj-HMa^)/Vdj-+-TVd:y_dTi-Vdj-VTdj(L^«^j'-f-M

dy^fVdy-^-TVdy-di.^YfVdy)

r IdydqJVds-i-TqdVdy — ^TGi^dsd^-THdld^

XXI .fTdyfVds, 2—c^ {i.qdy^my)j vdi-+;TVgdj-.d.T"j wds ( ( L^^-f-M

<r )/V^j--f-TV^^^d.T / V ds )

/• tdsdq f Vdr—TGdsdx-THdsdx

XXII. /T dsfVdx,V—c^ [Vtis^i.ids}jvdx.~d.TqJvdx[ {Lqds-{-Mds)fVdx —

A.TqfVdx)

fUsdqjVdy-^TdVds-TGqdsdy-THdsdy

yiXlll. fTdsfVdy, Vz=c-^ .iqds-i-m.yvdy^ivds-dTqfvdy (Lqds-hMds J

V dy-^TV ds-d.T qfV dy)

/•Ifydq/VdS-4-T.?dVd5— TCgdf^— THd5*

XXlV.fTdsfVds^V—c' iLgas-^-"M.j)jvd5-+.TVqds-d.T^/vd. ( (L^rfiH-M«/j)

fVds-\-TVqds-d.TqfVds)

Eftque vbique ^T— L(5?j-l-M «'j^^-N^/.v, ct fi?V
=::G^i-i-H^j'-l-K^.v.

§. 30. Qiio vdis hariim formiilamm mcliiis in^ fl

telligatiir, quacri oporteat inter omnes cunias, quas^
catenn cuiuscunque craffitiei formarc poteft, eam quao:
habcat centrura grauitatis fuum a rcda Oo rcmotiil!-
nuun. Patet liic alteiara coniiitionem omnes curuas

?ius-

fROBLEMATIS ISOPERIMETRICL 14.7:

eiusdcm ponere longitiulitik , ex qua oritur Pzr t/^;
airerim refpicere dittautiam centri grauitatis a redla 0(7,
.quae hac formuLi exprimitur, -^^ vbi S pondus ca-
ienae oa repraercntai. Haec vere vt ad formam in.
tabula contcntam reducatur, differentietur , et prodibit
^~r^- vel ponendo/S^:i--H/.r^S loco Sx, lioc
4s£p f^^^^^ i^^jj^j^ integrale/^ eritrr.'^. Sit
JSzzitdSy efl enim S fundio ipfius .f, erit hac ex-
prelTione cinn vigefima fecunda comparata Trr ^ et
VzzS. Atque L~ ^*^^^ ^ pofito dt — crds^ Q — t^
«t M — N ~ H — K n: 0. Ex quibus prodit P —

r ( 2 n-Ss) dsdqfSdx-i-St ^qdsdx

le debet poni adq. Sumantur logarithmi et deindc
differentiaha , prodibit iSSt/f(jdx--\-SScrqdsdx —
?^l^^^Jl_^ qiiae pcr SStqdx diuifa et integrata dat qq
tdx~adq\ quae pro q fubflituto Jf, et jf pro ^, ite-
rum poteft: integrari , proditque Sr/j'~ff^.v. Haecquc
exprimit naturam catenariae , cuius pondus fe habet ad
longitudinem vt S ad s. Potuiffet quidem eadcm ac-
quatio multo tacdius inueniri, fi in %-^ neglexiffcm de-
nominatorcm , quippe qui per priorem conditionem de-
bet in omnibus curuis effe idem. Verum quia hoc
fortuito accidit, mahii vti methodo direda, praefertim
cum conrtituiffem vfum harum formularum offcndere.

§. 31. His de prima et fecunda claffe expofitis
niulto erit faciUus tertiam fequentesque aggredi. Atque
a tertia incipiendo, vt iam vidimus, omnia ad eam

T 2. per-

fi4:8i SOLFriO CENERAUS-

pertincntii problemata iii hoc vniuerl-ili coinpreher,--
diintur,\t qnacratiir curua, quae inter omn.es et pro-
prictate A. ct proprietate B iimul acqualiter praeditasr
contineat proprietatcm C maximo,, minimout: gradu-
Ad huiusmodi problemata roluenda neceire eft quatuor
P% 4- ciuruac inueniendae eiementa coafiderare. Hauc obrem
figuram quartami ita inflitui,, vt quatuor ekmenta,. «^^
bc^cdy ct: de exhibeantur , quae \t in praecedentibus
figuris ad aequaha axis O A elementa A B . B C , C D
et D E referuntur. Totidem. igitiir erunt cti;\m appli-
catarum elementi bM^cN yd¥ et (?Q_ confideranda..
Maneant,, \t ante oazz.S:OK~x et Aa—j^ erunt
A B =: BC =: C D — D E — dx,. bM — dy ,cN — dy-\-
ddy ^dV—dj-^r-zddy-^d^^j ct eQjzzdy-i- ^ddy
-4- 3. ^ ^J'-r- d '^J' i itemque ab~ds^bc~ds-{-dds,
ad— ds. -h'2.dds-\-d' s^ct de zzds-\-3, dds H- 3 df ^-
sMr-d^s..

§. 32. Ducantui; dcindc etiimi curuae- proximae per
terminos a et e transeuntis elementa ad cadem. axii
0:A clcmcnta relatiL ^(3 , Py ^Y (5" et c^^.. Debebunt
crgo qiioque ob' rationem. ante allatam. lingulae treS'
propofitac proprietates in Iias duas clcmcntorum^ quater-
monc? aequaliter competerc. Quaniobrcm proprictatiim
propolitarum-. quaslibct et pro elenientis ^^,^^,^^/,//^
iormula cxprimatur, ct pro eiementis tf (3 , (^y , Y(5~^,
ae-, turaque illa ab hac (iibtrahatur, tt refiduum po—
uatur ~o. Hiiiusmodi ergo tres in qiioiiis cafu pro-
dibuiif: acquationes , quae, omnes tnlem. habcbunt for-
mam. V.b§:—Qj.cy-h-K-d'3 — o, Etcnim fingulii tami
upplicatiJi:um .„ quan>. ar.cuiuT3. incrcmenta vel dccrementai

polTuntr

PROBLEMATIS ISOPERIMETRICL 1^9

goflimt, vt ante eft fiidum, ad haec ^|3,ry, et d^
seduci. Atque P,Q_ et R prorfus in Syj et x dabun-
tur,. neque ab- hoc afTumto fitu proximo pendebunt.
Qiiare cum huiusmodi aequationes P./^(3 — (^. ry-+-R.
d'§' — o tres obtineantur, poterunt particulae b^^cy
et dS eliminari ; quo fado rcililtabit aequatio ab
liiis Uberata,, haecque determinabit naturam- euruae- quae-
litae oa\.

§. 33. Saepe et potiiTimum' in cafibus (impiicicK
ribus accidit, vt fit Q^— P-|-^P, et R — P-|-2^P
-Ar-dd?. Atque ad huiusmodi formam conuenit aequa-
tionem, quoties aham.. habucrit. redixere, fi fieri pot-
eft,, yel multiplicanda vel diuidenda ea. Si autcm ex
omnibus tribus propnctatibus propofitis ad taies aequa—
tiones peruentum fuerit, ficile erit ex iis aequationem:
pro- curua- quaefit» formiare : hoc enim tanaim opus eft.
st quantititum in fingulis pro P prodeuntium:' fumantiir
rjiiaccunque multipla , eorumque fiimma ponatur — 0.
Nam fi tres liabeantur hmusmodi aequationes P.Z^g —
(P_l_^P),-y^-(P_l--^p_l_^r/P) dS — o, p. b^-
{p-\-dp)cy-\-ip-\-'2.dp-\-dd'p)dS — 0y et ix.bo—
(7r-f-</7r )t'y-f-(7r-h 2d7(--\-dd7c)dS — 0 , prodi-
bit eliminatis b^^cy et dS ., haec aequatio j)^/7ri/^P
-7xdpddV-\-T^d?ddp-?dr.ddp-\-Vdpddi:-pd?
ddit—o. Ex qua integrata reperitur P H- /;/^^ -+- « 7t
— 0, in qua m et « quantitates quascunque conilantes
deflgnant. Patet ergo' veritas reguiae datae.

§. 34, Propofita fit pro quapiam proprietate haec
quancitas //'■dx, Erit ob dx' conftans A^^H-BZ»''-^"

1^0 SOLVTIO OENERALIS

Cc^^-hDd^^zzAaJ^-^B^^-^-C y^-h-BS^ ciiius acqiu-
tionis, li iilud membrum ab hoc fubtrabacur, remiine-
bit «.B/»"-'. If^-n. Ce"-' cy -{-n.^Dd"-' .dS zzo.
Qiiae cum iam lnibeat formam praefcriptam erit P— «
B Z»"— ' ~ «;"— ' . Perfpicitui- porro fi alfumta fuilfet
/ Y dx , vbi Y denotat tundlionem quamcunque ipfius y^
proditurum fuijQTe V — dY:dj. Quamobrcm formula
prima in tabuk fuperiore etiam pro clafle hac tertia
valcbit. Si fit propofita hacc formula/ji'"^j, erit OA"
^MH-OE^tN + OO.^/P-i-OD^^?^— OA^^^M
-|-^g)H-0B'»(^-N-/;e-^y)-H-0O d?-^cy-{-dS)
-{- O D" ,, e Q_- d§ ). Hinc iit Z» g ( O A'^ - O B'') - ^- y
( O B" - O C" ; -h </<^ ( O C - O D^' — 0 , qnae cum ha-
beat formam pniefcnptam, apparet elfe P~ — u.v^rt^.v,
atque fmiul intciligitur formulam fecundam tabulae in
hac tcrtia clalfc etiam locum babcre. Gencratim vc-
ro viderc licet, f\ ixi praefcripta formula^ T^/.r ,/T^',
jTds., T ab s non pcndeat^ {latim ad aequationcm
rcquifitam formam habentem pcrucniri , ntque P eun-
<icm rfitinere valorem , quem habet in tabula praece-
dente. Valent ergo in tcrtia claiire etiam formulae I,
II, III , IV, V , VI, VII , imo quoque Xlll, ct XIV,
Atque non folum in tcrtia fcd etiam omnibus lcquen-
tibus cla^hbus fubfiilunr,

§. 35. Cum itaque didae formulae in omnibis
ciaflibus vfurpari poflint, in proratu erit problcma cii-
iuscunque claflrs propofitum refohiere , li modo pn -
prictatcs, quac in iilo occurrunt, in iftis tabulac for-
muHs contincantur. Tiun vero fcquens regula, qiue

pnori

PROBlEMufriS ISOPERIMErRICl 15?

priori (imilis eft , debet adhiberi ; pro fmgnlis fcilicet
proprietatibus , quae in problemate aiferumur qiiaerendi
funt valores litterae P ex tabula, eorumque tum fu-
mannu: multipia qu-aecunque et honim; fammi fiat ae-
qualis nihilo; quo fa<Jlo aequatio proucniens exponet
naturam cuniae quaefitae, Vt fi inuenienda eifet cur-
na , quae inter omnes, quae iimt eiusdem longitudinis ,
et eandem comprehendunt aream , et circum axera O 0
conuerfie genei^ant foiida aequalia, producat circa hunc
eundem axem rotata Iblidum minimae fuperficiei. Oc-
currunt hic quatuor proprietates , quae omncs in deii^
gnatis formuhs continentur. Ex prima,qude dat formulam
fdSr fit^ V — dq- ex fecunda, quae dit Jjdx fit Pm
dx^ ex tertia contenta formula /.v a: ^j , fit V~xdx^
£t ex quarta contenta formula/.v<:/j fit P — ^. xq. Qiio-
circd aequatio pro curua quaefita erit adq-\-bdx-\^
zcxdx-\^d.xq~o.) feu haec aq-hbx-\-cx^ -\-xi^
ir/, hoc t^ adj-\-l;xds-\-cx^ d's-+- x dy —fds^ quae
innumerabiies curuas in fe comprehendit,.

§. 35. Antequam autem eas formulas pro tertls
clafTe contemplor , in quibus T etiam ab j pendet, af^
ferarn quaedam exempla ad' qua^ fokienda memoratae
formulac fufficiunt. Sit iginir propofitum curuam in-
uenire, quae inter omnes ciiisdem longitudinis et ean-
dem aream comprehendentes generec circa axem Q&
conuerfii maximum foUdum. Tres proprietates quae^
hic occurrmit, funt jdsjydx cr: fx^ dy, quibus re-
fpondcnt hi ipfuis P \aI0rc3 dq^^dx et xdx. Ergo
curiw qiiaefitii hanc habebit aeqiiationem adq-\-bdx

JS2 SOIVTIO GENERALIS

-^ cxdx — O feu aq-^lfX-{-xxzzic, i. c. atfy-irk

,xds-\-xxdsz:zi;ds. Qiiacratur nunc intcr ornncs itc-

rum curuas eiusdem longitudinis ct ciusdcm arcac cur-

ua, luper qua gtaue defcendat celerrimc lcu tcmpore

brcuiliimo. Hic pro prioribus dnabus proprictatibus lia-

bct r hos valores ^q et r/.r, pro tertia autcm, cuius

haec ca formula /J^, hunc d. ^^. Habebitur ergo pro

(Curun quacfita haec aequatio, adq-\-dx~\-b A. ^^zzlq

feu aq-^-x-^-^^^-^c , i.^. a (ij-{- xds-^^:^^ ZL.cd s.

Inucnienda lit etiam curua , quae inrcr omnes euisdem

areae, et circa axcm Oo roratas aequaHa fohda genc-

rantcs . producic circa eimdcm nxcm conuerfi f(jhdum,

quod in fluido iecundum huius axis directioncm motum

minimam patiatur refillentiam. Priores duae conditio-

ncs dant pro P hos Yalores dx etxdx, pofterior ve-

ro, iums fonnula vd Jy^-,- hunc d. jj^.' Erit crgo

'n curua -quaefit-a adx-^-ibxd.x-hd-^^-jpr^ — o, fcij

£ix-{-hxx-{-~-jj-^—<:. Qiiae fi ponatur r— o,etA*

flugeatur conllante quadam vel minuatur , abit in hanc

^icds^^zziadx^ flj, quae acquatio cft pro curua alge-

braica , dat enim intcgrata hanc aequacionem quarti or-

dinis j^—^by ^ -h -zx-j --iSbx-j^ .v^ -}- 27 b~X'Z^o

vel y^-^6by'^-\-%x'^y'^ -\- 12 b^y - — 10 b x'y

-f- S/^^j — ^*,a;^ -4-A"'^~(?. Hacc ctiam prodiiffct fi

a et c fuilTcnt pofitac —0. Ex quo lequitur hanc

aequacioncm darc curuam minimac rcfiftcntiac Iblidum

gcncrantem, inter omncs curuas ciusdem capacitati*»

folida producentes,

§• 37.

TROBLEMAriS ISOPERlMETmCL 153

§• 37- QiT^nqiiam aiitem hiiiiismodi problcmata,
quoties formula occurric, quae in tabula ad talcm re-
ferenda e(l, in qua T etiam in s determinatiir , iuxta
datam regulam refolui nequeunt; quia non iiabetur va-
lor ipfuis P pro iiac tertia clalie : tamen fiiepe ficri
potert, vt nihilomuius facile fit folutionem perficere.
Ex collatione enim formularum datas proprictates ex-
hibentium iacpc eae in ahas poiTunt transmutari , qaae
in definitis formuhs contineantur. Vt fi oporteat inter
omnes curuas eiusdem longitudinis et eiusdem areae
eam determinare, in qua fsdx fit maximum vel mini-
mum. Pertinet haec formula/ir/.v ad odauam, qua \ti in
tertia et fequentibus clafiTibus non licet. Verum quia
Js d X zzi s X —Jx ds^ atque per primam proprietatem prae-
fcriptam s in omnibus curuis debet efle eiusdem lon^
gitudinis, habebit j-a; vaforem conftantem, adeoqne/vrt'/
debebit quoque effe minimum vel maximum. Hanc
ob rem pro hoc problemate hac tres formulae pote-
runt rQcipi Jd s ^ Jj d X ctjxds, ex hisque folutio in^
ueniri. Habebit enim P tres hos valores dq^dx et
d. xq^ ex quibus pro curua quaefita fequens obtinetur
acquatio a q -\~ b x -\- x qinc feu ady-\-bxds-\-xdy
zneds. Qiiae, nifi hoc compendio vfi eflfemus, dif-
ficiUime eruta fuilTet. Qiiando vero huiusmodi redu-
diones locum habeant, ficiUus cfl: quouis cafu oblato
perfpiccre, quam per regulam definire.

§. 38. Confideremus tamen huiusmodi formulas,
in quibus ctiam i in T ingrediturj fitque propofitum
\tjs^dx in vtroque elementorum quaternione fit idem.
Erit ergo o\> dx conitans oa"-|-oZ>''-i-<?6"-i-<?</":==o«''
Tom. VI. V H-o

i;54. SOLFTIO CKNERALIS

H-op^^ + oy^-Hoo"- Eft vero o^''-oL'':=znob''^^
q.bg,^ oy^^-^oc^ — noc^-' {-dq.b^- {q-{~ dq)cy )
€t.o§."--od''—nod''~^ i-d.q.b^-i-idq-\-ddq) cy
•^{q-\r^dq-\~ddq)d3).. Fit igitur b^{ob''-^ .q—
oc^'-. dq-od"-'. dq)-cy\ oc""-' .{q-\-dq ^-od"—'
{dq-\-ddq)-\-dS {od'^' ( q-\-2dq-\-ddq) = o.Et
genenitim fi afllimta fuiflet haec formula J.Tdx fignifi-
cetque T fundionem quamcunque ipfius j-, ita. \t fit
TzzL^j, prodituni fiiiflet flequatio ilk b(i{Lq—{z
t-h-2.dL-\-ddL)dq)-cyiLq-^qdL-dLdq-L
ddq~2dLddq-dqddL-ddLddq}-\-d$ {L-\-2d
L-\-ddL)iq-\~2dq-\-ddq)i:io. H;ie \ero aequa-
tibnes nuUo modo ad talem f(")rmam b^.V — cy(?-\-
d? ).-\- d${?-\-2.dP-\- dd? )=:zo reduci poffiint. ,
Qiiamobrem eae aliter adhiberi non poterunt, nifi \t
cum duabus refiqnis aequationibus , quas alterae condi-
tiones fuppeditant, coniungatur, et re ipfi elcmenta Z^p,
cy,ttd§^ ehminentur. Habeant autem rehquac duae
aequationes talem formam , et fuit b^- p — cy(p-\- dp)
-\-d§(p-\- 2.dp-\- ddp):=o et b(i. r—cy {r-\-dr)
-^dS{r-\- 2dr-\-ddr)z=io. Illa vero aequatio fit
breuitatis gratia b^.A—y.B-\-d§.Czzo.. Ex fiis fi
ehminentur ^p, cycfdS prodibit ifta aequatio A{p
dr—rdp-\-pddr—rddp -f- dp ddr — drddp ) — B ( 2 j)
dr— 2 r dp-\^pddr—rddp )-\-C{p dr—rdp ):==<', vel
fi ponatur rzz:pt haec A{ppdt-\-ppddt-\-2pdpdt-\-pdpddt
-pdiddp -h 2 r// dt j-B ( ^pp dt-\-pp ddt-\-2pdpdt)
-\-Cppdt=o. Qiiae determinabit naturam curuae
qmefitae. Poterunt antem loco acquationis ^p. A-c-y .
]B-H<^^»Czr(?, omiies aequationes, quae ex quibus-

cunquej

FROBLEAIATIS ISOFEKIMETPdCL ijf

'Cunqiic formulis oriuiitur, fiibftitui. Atque hoc modo
omnia tcrtiac cLifus problemata foluentur, ia quibus
duac fiikcm conditiones ad formulas in hac ciaffe lo-
cum liabentes dcducunt,

§. 39. In noftro quidcm cafu, fi problema fuerit
propofitum , vt inter omncs curuas proprietates A et B
habcntes ea inueniatur, in qimJTdx {\hi dTzz.hcfs)
fit maximum minimumue, atque proprietates A et B
ad has aequationes b^.p — cy{p-\-dp)-\-d^.{p-{-%
dp~\-ddp) — o et b!^.r — cy{r--'r-dr)-\-d^{r'^^dr
ddr)zz:o reducantur^ reperietur pro curua quaefita fe-
quens aequatio , 3 hpdrddq — ^^Lrdpddq-i-pqdrddL — rqdp
dd L -{-iLrdqddp—hqdrddp-^-rqdLddp- iLpdqddr-^Lqd
pddr — pqdLddr-\-^pdLdr dq — ^rdLdpdq ~o^
quae fida fubftitutione r^zzpt m hanc abit Lpqdpddt
— ^.Lppdqddt-ppqdLddt-^-^Lpp dtddq-\-ppqdtddL — Lpq^
dtddp -^-^Lqdp^^dt-^Lpdpdqdt-^-^ppdLdqdt- ipqdLdpdt
zno. Si altera conditio ponat areas aequales, ita vt
fit p — dx et dp et ddp—o prodibit ifta aequatio ^^*"

== '-^/-Sr^— - Si praeterea fuerit T-s, erit
L^^zi et dL ct ddL — o. Qiiocirca habebitur pro cur-

na quaefita ifta aequatio ^p^^^dcfj ^^ integrando dxdr^
~adq^. Si tertia conditio requirat omnes curuas eius-
dem longitudinis erit rzndq., proueniet igitur haec
aequatio a ddq~ ■=.dq 3 dx vel 'f^ zzidqV dx , quae in-
tcgrata dat a^V dqzi^qV dx-\-bV dx ^ feu (j—^^z — dx
atque .v=: i:|:;y -j-i- — JJf . Qiiae eft eadem , quam
pro eodem cafu in §. 37. inuenimus,

V 2 DE

Tabula IX,

DE

LVNVLIS aVADRABILIBVS,

E VARIARVM CVRVARVM COMBINATIONe'

ORTIS.
AVCTORE

Georgio Woljfg. Kraffi,

L

f s.

Vniihm in genere vocamns Figiirnm , diiobns ar-
ciibus qiiariimuis curuarum terminatam j occa-
fionc fumta a Lunula Hippocratis Chii , quae
gcncratur ab interfecflione duorum arcuum circularium,
quam folam ab antiquis deriuatam ad nos tcnemus.
Qiiamuis autem reccntiori aetate multa praeclara circa
hanc materiam fuerint inuenta : nullas tamen fere alias
Lunulas Geometrac cxaminarunt, quam quae Circulo-
rum funt progentes. Solus, quantum ego quidem fcio,
Cel. Wolffius Lunulas CyGlico-ParaboIicus , hoc ert, arcu-
bus Circukri et Parabolico comprelienlas , contcmplatus
eft in Adis Lipf 1715. pag. 213. Cum vero infi-
nitae dentur Ciiruae , quae quadrabiles habeant Lunulas:
earum quasdam hoc lcripto examinare conftitui. In
quo ncgotio duplex ficiam Lunularum difcrimen. Si
enim curuae in \no tantum cocant pundo, vt effici-
ant Lunulas verfus vnam partcm apertas, eas vocabo
Lunuias Apertas, reliquas vero Claiifas.

Coiiun^nt.Acacl Jc.Tom.VI.TaD:!^. p. /S^,

r

-P

Coni mtnt.Acu u tSc Join.- T7. Tah.I^ . t> . /^/>.

DE LVNVLIS QVJDRJBILIEVS. 157

§. 2. Sit igitur Ciinm BM deferipta ex Polo A,
pofita linea conibiiti B A ; fit praeterea ex eodcm Po- '^' ''
lo A alia Curua defcripta B N : quaeritnr , qualis , data
B M , debcat efle altera B N , vt fpatium interceptum
Lunarc BMN fit quadrabile. Ducantur in hunc finem
reda AM, et huic alia infinite propinqua A;//; centro
A , radiis A M , A N, intelhgantur dcfcripti arcus circu-
lares M E , N F, ex B demittantur pcrpcndicularcs in-
finite propinquae in AM et Aw, quac fint BC et Bc e£
ponantur AB — ^, AMnr/, AN — .2,BC — «, erit er-
go ACrry(«2-«^:i, et ob fedores ANF, AME,. ;
AGt- fimiles, ct\ AGCVaa- uu): Gi(^ </a)~AM(? j:
ME(;,-(^!^,^):^AN(^):NF(:7(^T-)); hinc fe^or ^. ^ ^
AM7,v=r-| AM X M E — 2^^^; feaor ANn ex
eadeni ratione rr jyf^rii:!] , qiiorum difFcrentia ■jif^-r^
efl Elcmcntum portionrs Lunaris BMN. Affiimatur
lam Fundio ipfius //-, quae fit P, tahs, vt Vdu in- '
fegrari po^it, ct ponAtur Elemcntum modo inuentum
:rzVdu^ erit areaBMN quadrabihs; fed fada diiufione
per du^ clicitur valor ipfius z — 'V{t-~i'?'Vaa -uu),
ergo dabitur z in meris 7/, confequentcr obtiaebituf
Ciu-ua BN, quae datam habeat conditionem.

§. g. Sit Ciu na data B M Circulus A B E K , cuius
centrnm G •, afTumatur pundum quodcunque A pro Po-
lo: quaeritur, qiiaUs dcbeat effe Curua BN, vt fpa-
tium inrerceptum BN M fic quadrabile. Dacantur
Diarncter AGE, et demittautur perpendiculares BC,
BF, in AM et AE; erit ergo retentis denominati-

V 3 ojiibus

Fig.

15 S DE UNyUS OrJDRABILIBVS

onibiis §. 2. affumtis, AN — yCt-^z.Waa — uu)",
\t vero haheatur Yalor ipfius t in u, confidcnuidum
eft , quod dudis chordis B M , B E , anguH B M A , B E A ,
infiftunt eidcm -circui AB; quarc ob reclos C et F,
triangula B ^l C , B E F , crunt fimilia ; vnde Yocatis BF
— ^,EFzrf, habebitur analogia BC ju): CM [t^
y^^Q — EF(Z>):EF(^-), hinc f — i^^'-^^"-,

qUO fubflitUtO, flt ^-^Jl^b.Jil^Il^J' b P- V aa-uu^a^b^)^^

quac eft acquatio generahs omnium Curuarum BN?
Circiilo BME fitisficientium. Aifumatur P— y , quo

jyig- j- £ouflr.uatiLr .Hj^peibola A M , cuius latus transuerfum

A.Brr:.-!i<2, paiameter — 7#£x= > ct ductd in Cii-culo
quacuuque xeifld AM ex Polo A, .demiifdque in hanc
perpcndiculari BC , applicetur in defcriptd Hypcrbola PM
:irEC, atque ad axem coniugalum CF erigatur perpendi-
cularis ME,.cui in Circulo fiat aequahs ipla A iSI ,
erit N in Curua BN tali , quac portioncm Lunulae
BMN efficit quadrabilem, nempe aequalem JVdii~

-Yy- — "TT ^ BC- , aut , ob -^ — C M , eadem portio
erit aequalis triangulo rediiineo BCM. Erunt autem
omnes hae Lunulac Claulae. Ad hoc enim requiritur,
•yt ahquod punclum poifibilc fit, in quo t~z^ hoc
cft V {f^ — ^Vl/ aa — uu] — t , fuic u~a. At fi,iii
valoribus modo inuentis ipfuis z aut t^ fubHituatur
a~u ^ orietur z~-Y — t'-, hinc Curua B N Circulura
fecat in K , \bi A K educitur pcrpendicuhris ad datani
AB.

§. 4..

Commtnt: Acad: Sc :Tom:VI Ta6:X.^. /t^!^.

fuf: /

L.ommtnt: Acad: Sc :TomJ^ Ta6:][.f. /«^.9

BE LVNVUS' QJ^ADRJBILIBVS. 159

§. 4. Si verO in Circuio dato ABED,BA fit Pig- 4«-
^iadrans Circuli, et BMA femircclus: erit ob BG
perpendicularem ad AEjZ-rrif, et BC~CM; atque
ih hoc calii iit zzzzay.per valores praemilTos; quare
Curua quaefita AN Circulus iterum eft, defcriptus
radio AB; et hoc cafu prodit Lunula HippocratiSj
cuius portio indefinita BMN ~ triangulo redilineo
BCM,, quemadrnodum inuenit Anglus quidam lob.
Pff^j- , in Adis Philof Angl. ifi'^^, menfe Decembri;
aut vero etiam , demifili in Diametrum perpendicuiari
MF, triangulo ABF, vti Illultr. TJcbinihuJio placuit,
in Acftis Lipf i<J87. m. Sept,. Eft enim ob fcmi-
redos G B A , C B M , aequales , addito communi C B G ^
anguhis MBFrrCBA, adeoque triiingula redangula
MBF, ABC fimilia; liinc AB :BCz::BM:BF, aiit:
AGy2:BC — BCV^rBF, hinc AGxBF — BC^
quare praedi(fta triangnla funt aequalia. Patet vero ex
inuenta fuperiori formula ipfius ~, fimpHcifllmanTi liunc
efie cifinri, quem modo examinaui \ et aequationcs pro-
dire akioris gradus , quas molellum eflet examinare , fi
ahus valor ipfius P afiumatur».

§..5. Sit aequatio curuae datae BM haec, /-==: Tabub x;
b^V aa~\-uu^ erit ciiruae quaefitae BN aequatio .s^zr
t"^ — iW aa—uii—{b~-iY)V aa—uu. Ponatur etiarn'
P aequahs confianti =1-—, erit curuae quaefitae natura
z^—fn^V aa — uu.^ quae aequatio cum fimilis fit datae
t^—bVaa—uu: in hoc cafu vtraquc cunia.;, data et:
qiiaefita, erunt fimiles,,et fimihter pofitae-CircaiPohini A.^,

i6o DE LVNVLIS OVADRJBILIBVS.

atque z : t~Vm : VI;. Hiiiiis autcm curuae , t ^ ~bVaa-uu
aequatio , vti quoquc reliqunrum , focile mutatur in aliam
ati coordinntas orthogoniiis ; vocenrur enim alfumto axe
AB, BPzz:a', PM — j, eritque ob triangula MPA et
BCAfimilia, AMC/j-.PMfj^^^ABC^^iCBfM), hinc
t^f\ porro AM(7^AP(^-£)=rAB(«):AC(y^
— uu)\ vnde / —aa—ax. V aa—uu.^ qui valores aequati

exhibent V ( «=-2ru'-f- X' -^y^ )=:t,et v(.r-.2°^.t-x'-+-F)
zzUy quorum ope aequatio propofita abit in hanc:

2 3

2

{a — .v ~\-y- )^ —ab. a — x. Sed notandum eft, ta-
lem Lunulam fore Apertam A^erfiis B. Nam ab initio,
vbi u — Q, fit t^ ~ba ., et z^ zzma\ in fine vero , vbi
u — aj fit t — Oy zz:zOj vnde Lunula tcrminubitur in
pundo A.

Fig. a. 5. 6. Interfecent fe duo circuli qnicunque , quo-

modocunquc in B et A ; ducatur chorda communis
AB, cum arbitraria AI- et dcmilfi in eam perpcn-
diculari B C , pcr centra transeant reflae A E , AH , de-
miHis perpendicuhs in easdem BF, BG. Erit pofitis vt
ante ABrr^, ADzr^, Alrr^, BC=:«, BF :FErzi -.m^
BG:GHr: I ;w,portio indcfinita curuihnea IBD— jLl=g^)-^_«.

fed ob triangula funiha rectangula BDC et BEF,
nec non BCI ct BGH, lit C B , ^^ ) ■.CDj-Vaa-uu)
— BF:FE— i:;«; hinc tzzmu-\-V aa — uu. Deinde
C B ( tt ) : C I ( V aa-uu -::)=i;BG:GH-i:«, vnde
Z — Vaa — uu-nu-., fubditutis hisce valoribus in for-
mula diffcrcntiaU aUegata, nrodit portionis curuihneac

BID

BE LVNVLIS QJ:4DRJBILIBVS, iSx

J3ID area z='^~^f^^"^-^^~^m-\-n.fudu; quare fi
ponatur m — n., hoc e(l, fi Circuli refe interfecantes
fiierint aequales, erit in omni fitii Circiilorum portio BID
quadrabilis , et eins area —;;/«', quod primo animad^
ucrfum c(t ab 111. HofpitaHo^ in Commcnt. Acad. Scient.
Eirif. Anno 1701 , et facile etiam ex Geometria Ele-
TTientari perCpicitur. Diametro BA defcribatur Circu-
lus, qui transibit pcr punda C et F, in hoc ducatur
fllia Ai-, priori infinite propinqua , erit C A ( V^-rt'— ««) :
Oc{(Iii)-BQ{u):CO( vjf^ ) , ob fimilia trianguk
BCO ct A^O; ergo BC6=^BC><COz=t^"''"

u^-du

con(eqaenter fagmentum B P C —f^^^zzui) , et mm—nn,
f^^^;^i~p^z:z[nim--nn) fegm. BPC, adeoque pofitis Cir-
culis inaequalibus, portio indefiiiita Lunuke BID rr
"^^^^ir -\-{mm — nn) fegm. BPC. Ita eodem modo
elicitur, vocata BL — i' , BNKzn^^^^^i;^ -j-;nz— /;n/?.
fegm. BQ_L. Hac occafione ficiiis quoque emergit
con(tru(ftio fcquentis Problcmatis Geometriae Elemen-
taris, cuius forian alia methodo fitis impedita proue-
niret folutio : nempe, datis Circulis quibuscunque fe in-
terfecantibus in A et B , ducerc ex A duas redas AD,
AK, vt fegment.i intercepta ID,NK, fmt aequalia.
Efl: enim kK~nv-\~y aa — vv ^ A^^-zzV aa-vv-mv\
kV)-—mu-\-Vaa — uu., k\~y aa—uu-nu-^ quam-
obrem ( n -\- m ] v — n -H ;«• u , fuie v zi:u\ accipiendac
gitur funt tantummodo in Circulo AFLduae chordae
B L , B C aequales , et per puncta C et L ducendae re-
die quacfiL.ie ■ aut quoque , fi eaedem chordae B L , BC,
Tom. VI. ' X fii-

i(J2 DE LVNVUS OVADRABILIBVS.

ftimantur in rationc quiiciinque d:ita i :p, cnmt ctiarii
fegmcntt intercepta !D , N K , in eadem ratione i -.p.

Tabuia XI, §.7- Sit curua BM Conchois exterior, in qua

' ^'S- ' • AB,ED, perpendicularitcr fe interfccantibus , fit EiVt

mDB, Si iam vocatis, vt antea, AB— ^,BDrr/?,

AM — t,BC — u, AN~z, fiat ACiVaa-uu]

a a—b

ABia) = AD(a-y):AEi-^:^') fit valor ipfiug

a^^rn

t — b ~\- j-^tziu^) 1 pofito a — b~m. Ponatur P:

. -^ j abmdii ^bmdii , ^bmdu , r-o j

ent P du — ■ — ^ -h ^ , vndey F du

a~—u^ a-\-u a — u

:::z^hm log. a-^u~^^bm\o%. a-u., quare Lunula FB
MN per Logarithmos erit quadrabilis ; et aequatio po-

iaris Curuae FN erit g^zr^^X-u~ " i ^^^ pofita
ts; — 2 Z^ , confequenter ;« — Z' , erit aequatio diftae curuae
^^nvj^^u Ynde diida BR pGrpendiciUari ad AB,

et aequali ipfi A B , crit A R z=: V 2.a a , defcripto prae-
terea femi-K:irculo fupcr AR , ct chorda AS fada — ?/,
erit S R — V ( 2 <z2 — M^ ). Ergo quaeratur tertia pro-
portionalis ad aAC,SR,etAB, transferatur ea in
ductam antea pro lubitu AN ex- polo A; erit puni-
dlum N ni Cunia qiiaefita BN, quae ablcindet a fpa-
tio Conchoidali Lunulam BM N F quadrabiicm per Lo-
garithmos. Si ponatur zi-iio, erit ab ii:iitio Ciiruac
;2;:=-^, et ? — ^, quarc ;3:? — V2 : 2" AF; AB ; fi
vero « jiz ^ , erit js— 00, /" oo-^\a\ quarc Lunula
haec ex vtniqua partc erit apcrta , adeoquc Liinula tau-
tuxn. improprie fic dida.

§. 3,

Comment. Acad: Jl Ihm.VI Ta/'.XI i?. /SiZ.

Coni/iient. Acad: Sc^Vcm.VITitb^Xl.tr./^ii.

Fig- 2,

D£ LVNVUS QJ^A-DKAmUBVS. j6^

§. 8. Sit Qiiadrans Cijrciili AEB, et Polus af-
fumatur in centro A^ erit voeatis AM — /^ AB — <7,
BCzri^, ANnz.^;, aequatio pokris liaec , a — t-^ qua-
rc pro Lunula z^ ~a'^ — iVV aa — uu\ affumatur P

— ^7^"Ciii^), qno pofito Vdu integrari poterit ; atque
crit aequatio curuae quaefitae ::-—«- — ^rz^. Igitur con-
Itiuatur Paraboia , cuius parameter ~ ^ — B A , fiat \i\ ^'^- 3 •
ea BP--tt, erit ?k~a-u, et ?W^—a--au—z^:,
quare fada ANrrPM, erit N in Curna quaefita. Ab
initio Curuae , vbi«j~(?, eit;:^—*?, quare Lunula hacc
claufli erit in B \ fed in fine fit 2; — <? , ergo ibi Lu-
nula eft aperta; fit autem f?du — ^^-'"-=^. Vei pj^ ^
potius , pro mueniendo pundo N , ponatur B O — BC,
et produ:atur radiiis BA in Diamctrum BD, deinde
radio ^OD defcribatur femi-circulus ORD, erit AR

§. 9. Sit Parabola EM, in qua afiiimatur polus '^'s;- <•
m Axe A; et AB — ^, AM~f,BPz=.v, PM— j;
paramctcr Parabolae zi; 4. ^ , \t punctum A fit in Foco
Parabolae ; erit A B ( ^ ) : C B ( i^ ■— A M (t) ; P M (^;' ) , hinc

/=^-, nec non AB( ^)^AC( V^ ^-^^ j — AM( O:
A P ( ^ - .r ) , vnde x — ^-d^zE" ; igiuir ob 4. a x —y - ,

erit aequatio polaris ^a^ —-^a^^ty aa — uu zzit^ «^.

vnde dediicitiir, fada P = ~^% et /P^«zif-^' , szn

^° u^~ : hit^ic ab initio, vbi?^ — <?, eft ^ — 00, in
fine vero , vbi uzza ., zzzzt.

X la §. 10.

Tabula Xir.
FJg. I.

Fig. 2>.

164 DE LFNFLIS OVJDRJBILIBJ^S.

§. 10. Ex conridenitione Lv.nvA-^e Hippocratis h-
cilis fluit Demondriitio Qimdratiimc abfolutae poitionis-
alicuius in Cycloide , cuius mentio fit. in Analyfi mfi-
nitc paruorum 111. Hojplalii §. 99. Sit enim Lunula
y P 17 ^ , et circulo generatore y p 0 dclcripta Cyclois
yCpX; lit radius ayzrr, Qiiadrans circiili c/.j3yz:iQ_,
crit aCpzzapH-|3(f)zrr-i-Yp, ex natura Cycloidis;
hinc rxaCpz=:r--f-rxy[3rz Lunulae H- 2 Q_; porro
eft rxaCj)— Y(3Cp-}-V<5Cj)-l-Q, ergo ob Y<JCp— Q,
quod alias notum efl: , erit rxaCpz=:y(3CpH- -Q;
confcqucnter aequatis his duobus \'aloribus ipfius rxaCp,
erit y pCp-h^Q— Lunulae -f-2Q, aut y (3 Cj) zr Lu-
nulac , quac cum fit quadrabilis : etiam fpatium Cydoi-
dale ipfi aequale quadraturam admittit abfolutam..

§. II. Qiiaeram^ nunc alia adhuc via Lunulas Qua-
drabiics, quae huc redit, \t data Curua A M non qua-
drabih, quaeratur alia AN itidcm non quadrabilis,,
cius tamcn naturac , \t diffcrcntia.vtriusque areae APM
— APN quadraturam admittat.. Id (equenti modo fieri
potcrit. Sit A P := .v , P M zz j , P N — ?/ , et pofita
M Fundionc arbitraria ipfms .v, fiat pro Curua quacfita
ANjWzi:;/— ff. Nam cx hac afliimtione crit uJx
zz.jdx — dM.. nut <?'M zr^rrt^.v- «rt^.v,, quare integrando
fydx—fudx~?A—AMN. Erit autcm p('rro///^.c-
zizfj'dx — M\ hinc, nifi Curua A PM quadrabilis exi—
ilat, neque APN talis erit.

§. 12,. S) M aillim.atur huiiis formac .v"', ct da—
ti.. Curua A .M fit lcdio Conica , hoc clt , jzr. V ( a -\—

CovxmciU:Acad- Sc.ror^i.riTab.m.^Jf-^.

jt P

fw-:^-

1 — V

H

C omtnent.Acad- Sc .Toni.T^I .Tab.-Xll . P /^-^.

X. P

A

\

1P'\D

,/"••'7.-.

H

DE LFNVUS OJ^ADRABILIBFS: i^5>

^■.v-{-c\r " ), prodibit aequiitio Cnnuie qiuiefitae , /^-
-f- 2. m II X "'" ' -f- ;;/ ' x - ' """- -'CX~ — bx — a—0^ quae ,
fi' etiam debeat effe vna fedioniim Conicanim , neceffe
eft , \t lit 2 ;// — 2 — c , aut Tcro ;;/ rz 2- ; quo liibrogato
iit ?/ 2 -I- 4 « .V -f- ( 4. — f ) A,' --/5' X — a—o ] aut ctiam ;;?
~ I , quo kd:o emergit // - -4- ■2.u~ c: x ^ — bx -\- i- —
a:—Oy

§. 13 Sit Curua data AMB fcmicirculns , cuius-
Diameter AB — ^, APzr a',PM =i:j , erit j—Viax:

— a- - ) ; ponatur D/i—.bx'^ , erit ^- — 2 Z? ,r , quare
u ~y — 2 Z^.r , aut // - H- 4. Z» ?/ .T -f- ( 4. ^ /; -f- i ) x '

— ax—o^ quae aequatio c(t ad EUipfin circa Dia-
ametrum AC defcriptam, in qua AC~tf V 4.ii>^-|- i ,
et BC — 2tfZ>. Eric igitiir fpatium Lunare indefini-
tum AMNi=:/^x-, et pofita xziia^ integra Lunula
aperta ANECBMA— ^^=. Vt determinetur pun-
clum interfcdionis G, fiat u—q. vnde oritur AG

-— TfcTi^rr ^^'■g'^ ^i ^~\i ^''oc calii Ellipfis tranfibit
per centrum Circuli dati. Si aflumatur bzn\ ., erit
M — .r - , A G ~ y ^ , B C zz: 2'^ , confequenter P r/ zz 2 .r ,
ct portio Lunaris A N M zz; .r - rz: triangulo A P D ;
addita ergo communi portione EUiptica A N P , trili-
neum Ellipticum ANPD aequalc euadet fegmento
circulari AMP; poterit ergo hac via , dato cuicunque
(egmento circulari, inueniri acquale fcgmentiim EUipti-
cnm.

§. 14.. Sit Curua data Ellipfis A MB,, ni qua' AP'
~.r.5,P lA zz^j , P N — // ,,A B — tf , parametcr. —p .,, eric:

X 3, j-r:

166 DE UTrus cirjDnjBiLiBrs.

qiiiire oriefur u —y — x , aut u"^ -\- iux-\- ^- x - —
pxzz:o^ qiue acqudtio rurliis eft ad Ellipfin , cuius
diameter ACzz^Vs, parameter huius Diamctri —
^, et BC, perpendicularis ad Diametrum Circuli,
rr^; inu-uirur quoque AGrz ^-^•, erit crgo Spatium
Lumu-c Ajv1Ni:i4-.v-— triangulo APD.
p., §• J5- Sit in iemicirculo radius ACrr ,R,AP —

X , P M —y , erit arciis A M —f^^^ l-^-y Huius Ele-
monti Integratio iiat per quantitites imaginarias , iuxti
methodum Cel. loh. Bejviou//i ^ hoc eft, ponatiir V [2.
Kx-x-)z=:p-x.V-i, emerget AM-p^^lj-zz:

R y — I K log. R_x-y7^ ? "V^ ncmpc euanefcente x , fiat
AM~o. (^uo arcu fic obtento , crit itdor ACM
^aj^mc^.r:^ log. ,-3,4,,— , ^'nde fadto ^-rrr^R,
et confequenter j' ^ 0 , crit femi-circuhis A M D ^ ^ ^~'
log. (-1).

§. i<J. Sohiitur exinde Problema clegans a Celcb,
Go/djacbio iam ante pUircs annos propofitum , cuins fo-
hitionem Syutlicticam dcdit, clcgantem lane, Ccicb.
Daniel Bernoul/i in Excrcitat. Mathcmaticis Anno 1724..
editis. Problema Lile cll , \t in duabus Lunulis ex
C ir:uhs inacquahbus, et fe in licem interlecantibus , or-
ti-, refecentur \trinque, hneis aequahbus , partes aequa-
les, ita Yt AI~HB, ct fp-.itium AILzr HEL. Ana-
Fig. +. Liis fequens dari potcfl:. Sit Circulus quicunquc HLT,
cuius ccntrum D , per quod agiitur in infinitiim Dia-
meter HDF, ct huic paraUcla quiiecunque GBEA.

lo

DE LVNFLIS QrJDRJBILIBVS i6-/

thi recl.i G A affLimto pundio arbitxario B, fuit B A "
Di.imctro H I ; in medio E , ipfius B A , erigatur per-
pendicuhris EC — 2EF, deinde centi-o C , radio CJ3,
defcribatur nouus Circulus BLA, qui priorcm intec-
fecabit in I.. Manifeftum efl , fi lcator hic ACB fue-
rit aequalis fcmi-circulo HLl, Probkma folutum effe.
Erit enim ob parallelas GA,HF, etBAniHI, etiam
AIzziBH, quae eit conditio ProWcmatis prima j et
quadrilineum B I A C -' ^ triang. B C A — B H I. QiJar&
ablatis aequalibus BIAC et BHI, hinc a fedore, illinc
a (emicirculo ; ablata quoque portione communi LBJ,
remanebunt fpatia HGLB et LIAaequdia, Fro ob-
tinend.i igiuir aequahtate fcdoris ACB et lemicirculi
HLI, erit pofitis radio HD:r:r, et diftantia EFzn^',

pfer §. praec. area femi-circuh H L I ~ ^~t~' log.(— i).
Porro erit E C nr: 2 E F .— ^ ;? , B A n; H I — 2 r, et con-
fequenter B E rr r ; liinc radius noui Circuh C B =: V

(r2 +4.-), et KEn:KG-EC-.y(r=-f-4^=)~-
2e. S'ab(lituto igitur pro R §. praec. valore ipfius CB
y f;-2H_^.= ), fiet area feaoris K C B ~ '-^-^'^^^ log'.
^''£ffv'il'r ■) ^^^^ ^^^^ fedor ACB— duplo prioiis — ( r-
-+-^£' )V —1 log. j^i^^lj. Qiiare , aequatis hisce va-
loribus , ontur aeqwatio fequens !li^--=J _(/•=_(- 4 ^2 jj^g^

tl""-^^^ ^ ^ ■> ^^''^^ euanefcit, fi pro^ ponaturvalor ^)\
Fit cnim , f.ifta hac lubihtutione , et diuiilone per r^, ae-
qmtio haec /— i — 4^,_y_7 , ct fumtis numeris abiblutjs,

-i — i ,_V, ) '^= (TZ^-T? = _$ = - ^ • Sin itaque fu-
matiir E F iir 2 r , Problemati iati^fiet. Erit autem tunc
CB — rVs, quare ratio radiorum ^/triusqne Circuh erit
Ytii-.y^. SPE-

i6S SPECIMEN DE COXSTRrCTIONE

SPECIMEN

DE CONSIilVCliOXE AEaVA-

TIONVM DIFFERENTIALIVM SINE INDE-
TERMINATARVM SEPARATIONE.

AVCTORE

heonh. Eidero,
§. I.

INdetermin;it;u'nm fcpanitionem in acqmtionibus diffc-
rcntiLiUhiis ideo tam (bUicitc dcfidcnin, quod ex ea
inaeatii acquationis condmdio Iponte iiuat, cnique
in bis rebus excrcitato fAtis pedpcclum efle arbitror.
Integratio practerea aeqnationum difFercntialinm,fiquidem
fuccedit,, oprime indeterminatis fcparandis inllituitur,
Qiian ]uam enim innumerabiics dantur aequationcs, qua-
rum integralcs iine huiusmodi fcparationc mucniri pof-
funt , cuiusmodi methodum exhibuit Celeb. lob. Ber-
noii/Ii in Comm. nolh-orum Tom. I. pag. 16^ -^ tamcn
eae aequationes oranes ita iunt comparatae, vt \c\
per lc obuia fit indeterminatarum feparatio , vel filtcm
ex ip(a integrationc facile dcriuctur. Simihs Ycro
efl: etiam ratio confhHnflionum , quibus adhuc vfi funt
Analyitae , funt cnim omnes huiusmodi , vt aequationi?,
fi nullo alio modo indctcrminatae a fc inuiccm lcparari
poffunt, fcparatio tamen cx ipfa confirudione profi-
cifcatur. Hanc ob rem nuUam adhuc exhibcri poffe
exiflimo aequ.itionem difFerentialcm condriiibilem , cu-
ius feparatio omnes vircs ehiderct.

f. ^-

C onuncnt- A cacLJc- Toin: t^l.lab.Xlil y^ /op

C o/runent- Acad/Sc.Torn: yiHab.XlU n. /<:-> .

.V

^AEQVATlOfWM •DIFFERENTIALIFM. i%

§. £. Nuper autem in ellipfi reftificanda ocaipa-
ttus inopinato incidi in «equasiGnem difFerentiaiem , quam
'Ope leftLticationis eliiplis conftruere poteram , nequc
ttamen indetcrminatarum feparatio uequidem ex ipfo
couftruendi modo inueniri poterit. Aequatio \ero quam
obtinui erat haec i/j'--l--''-j^~;^r:^ Riccatianae ferc
£milis, et forte ad feparandum aeque difficilis ac haec
dj-hj^dxzzix^dx. Cafus hic mihi primum vehe-
menter paradoxus videbatur ; at conftrucTiione attentius
perfpe<fla facile intellexi ex ea non foliim feparationem
indeterminatarum non poffe deduci , fed ctiam , fi alio
modo feparatio haec fuccederet , multo maiora fequu-
tura effe abfurda ; comparationem fcilicet perimetroruoi
ellipfium dilTimiUum , quae , vt mihi quidem videtur,
omnem analyfin fuperat. Conflrudio autem ipfa per-
quam efl fiicihs , perficitur enim elongatione infinitarum
eUipfium alterutrum axem communem habentium, et
hanc obrem confueto per quadraturas confi:ruendi modo
;ionge efl praeferendao

';§. -3. Proponam igitur totam rem, prout ad eam '''*p"'* ■^'^^
penieni. Sit ACB quadrans eUipticus, cuiiis centrum
C, femi-axes vero ACetBC. Ponantiu* A C zr <? et
BC—lf^ et cx A ducatur tangens indcfinita AT, ad
eamque ex ccntro C lecans quaecunque C T , abfcnJcns
-arcum AMmj-, voceturque AT— /, Demiflb ex M
in AC perpendiculo vocetur CP— x, erit ex natura
'cUipfis PM — ^-^^^-^; atque ob analogiam CP:PM

— C A: A T habebitur tx — b V{a^ — x"^ ) feu x ~v(&&-^t(j
l^Qm. VI. Y Suma-

I70 SPECIMEN DE CONSTRFCTIONE

Sumatnr arcnsAM elementiimM7«,ducantnrque nip^Ctpno-
ribiis MP,CT proximac^erk Mw, ds—~ ""av*^--;,:) '"" '

tllf^dt. Qiiiii autcm efl: x~:^j;^-^-j\\ tn\. d x —

— abtdt ^ -./ , r, r. . at ^ ^, ^ .

. , et y(«-— a- — — , ct y(<?^

{b^--{-t'-)l' ' -V{b^^tn ^

— ic^ —b^)x^) — ■ . Ex his conlicituF

ds-=z. -. Ad cuius mtegrale per fe-

{bb-\-tt)l ^ ^ ^^

riem Ciltcm inuenicndum pono ^«-—(«H- i yZ?- , quae

prodeat ^.fzr . ^-^ ^' lupeniisque

irrationiile fit binomium, cuius alterfiim membrum eft
b--{-t~.) alterumque fimplex terminus «/^. Rtfoluo
nvinc.y^^Xi^l-jir-t-^-l-nt- ) per ciinonem notmn in fe-

fiem ftanc C5^-4-?^r

{o^^t-A

etc. in qua breuitatis gratia cll Azr-i-^

Brr^', Ci=:^% D-=^H etc. Habcbitur
ergo rfj' — jTi^jrp- H- -^^.^i;*--!-^ (Piprrji- -i-(j,r_^,»j* -t- etc,
et integer arcus eilipdcus s erit integrak huius ftriei-

§. 4. Notandum hic cft fingnlorum horiim ter-

, - . r . c bbdt f

mmorum mtcgrationem ad pnmi termmi J iiz^ pol-
fe reduci, dat vero /j|i^ -arcum circuli radii ^ cu-
jas tiingcns cft t. Hanc ob rem fmgulos tcrmirios af-
fumto hoc circuian arcu nitegcabo , \'t lequitur :7 (p-^)^

— r,

— a

b-^dt

b'b~i-tt
_. " ■ 3

1
6

bb.-fff

24..

bO-i~tt

AEQyATIONFM DIFFERENTIALIFM. 17«

:^:B-.(6^fr)^-::5-t^SAT^v^^^^ quibus iex iacegL-almin t&-
iiqiTorilm terminorum iam ilitis apparet.

§. 5 . Si quarta perimetri elliptici pars A M B re-
quiratur , oportet facere / iiifinitum , liocque fa<flo omnes
termini algebraici in iiiperioribus integralibiis euanefcimt.
Arcus circularis vero /^::~77- pofito ^r:;<k> dabit quair-
tam peripheriae circuli partem, cuius radins eft b feu
BC, quam defignabimus littera e. Erit proptereaj4^:^p7|-

^ r b^i^^dt ^ g- r b-t*dt l.3.g f fc^f*df i . 3 .< .»

• — ^ fJibb-^tt)^ — -j W(^&-t-ft)* 2.4. lJ(6y-<-ff)* 2.4.T8

ctc Prodibit igitur quarta perimetri elliptici pars AAIB
znei 1 + 2— -4- j:^B«--i-2-|T6C«' -+-2^^674 0«+
-f- etc. ). Atque liibftitutis loco A , B , C , D , etc. \n~
loribus debitis habebitur A M B — ^( i -}- ^-|-|;-|-^'

2. 2. 4.. 4.-6. 6 2.2.4.4..6.6.8.8 "T- etc;

§. 6, Haec feries, fi « eft valde paruum fcu

c*— 6j

id quod euenit , quoties ellipfis admodum propinqua eft
circulo , vehementer conuergit ; hocque cafu igitur ft-
cile ellipfis perimeter inuenitiu". Qiiando vero n eft
quantitas, quam minima, feu «rz ^-}-u, denotmte w
quantitatem quam minimam , erit « — -^ , et A M B
zze(i -\- w)^-P- Q.u^udo vero fit azz.o ^ incidit pun-
«Ttum A in C, et euadit AMB — BC = ^; hoc vero
cafu erit « zz— I , habebitur igitur ^— i — ^ ~ 272^^
— jTy^lr^TViT-e^c, Summa huius feriei ergo exprimit

Y a ratio-

£72 SPECIMEN DE CONSTRVCTIONE'

latibnem, radii ad quartam peripheriae partcm m cir>-
culo..

7-. Qtiemciinque igitiir habeat valorem littcra ti im
ferie §. 5. inuenta, fumma feriei fcmper poterit afli-
gnari ope recSificationis ellipfis, cuius axis maior fe
babet ad, minorem , yt V{n~{-i ) a.d i. Hoc cura
ita fe habeat, vfus fum quoque methodo mea fumma-
tiones ferienim ad rcfolutionem aequationum reducen-
di, quam nuper exhibui, vt inueftigarem, a cuius ae-
qnationis refohitione fummatio inuentae ferici pendcat.
^uo autem haec methodus ficihus poflit adhibcri pono
n~—x'^\ eritque fummanda ifta feries i — ^f- "~-n ;o'^~

— 2.2!4.4!6.6 ~ etc. , huius igitur fummam; pono s.

Erit ergo diftcrentiando jx~-j~~— rri'. 2X^4. 6 —

— etc;. lami denuo> per. AV multiphco , fumoque diffe-
rentiaha- pofito ^x conftante , erit -^r=z— i . x— ~-^~-
"" If::^:^'^ — efc. Porro diuido vbique .v , contraque
per dx multiplico,, fumoque integraha, erit fi^-' —

— X — iTj^ - a".; 4.4— — etc . Denique iterum per dx
multiphco, diuido vero per .v^, et fumo integraiia,,

pfit 7 x^j, x.~ — X 2-2, 2.2.44.- 2.2.4.4 0.6 etc.
Haec: vero feries eft ipla. initiahs per x diuiili :. eius igi—

tur; fiimma eft ^. Qiiocirca. habemus hanc acquatio-

n&m J^sf .5—:=;^, quae fumtis differentiahbus abit in;

hmcix^dsr-sxdx.—J -^-.. Differentietiir haec dc-

%m6 ' prodibit. x^ dds -\- xdxds—s dx~ 1:1—^—1=: dds -f-

■~^~,. Hiiius.> aequationis refolutio . igitur pendeta fum-

- ^ m;itionei

jtEQVATIONFM DIFFERENTIALU^M. 17:^

m»tione. feriei propofitae, qiiae cum per rediificfltionern
ellipfis habeatur, aequationis conllru<ftio quoque dabi-?
Uir„.

§. 8, Cum in ifta aequatione s vbique ynam te-
iret dimenfionem ,,reduci ea poterit per methodum meam
Tom. III, Comm. infertam ad aequationem fimphciter
difFcrentialem , . fada fubftitutione s — c^^^^y \bi c de-
notat numerum, cuius log. ell i. Hoc pofito erit </j
— c^i^^^^pdx et dds — c^^^^ {dpdx-^ppdx-) , atque
aequatio inuenta transformabitur in h-mzx-dp-^-x^^p^
d.x -\-p X dx — dx — dp H- pp dx -f- ^/ , quae diuifi per
x^x — I mutatur in iftam dp -i- pp dx H- ^ z:z^-~r^ -
Ad hanc fimphciorem' efficiendam pono /)3i'^-, et pro-
uenret dy -\- ^^ — ^fzri • Qiiae quomodo fepararii
goflit neque perlpicio ,, neque conftrudionis confideratio^
eo perducit„.

^. 9. Qiio autem ip(;i conftrudio huius aequatio—
nis ex praecedentibus deducatur,, pono illam axis fe--
miffem A C ,, qucm ante httcia a denotaui , aequalcm r,,
qiiia vt vanabihs dcbet confiderari ^ , et quartnm peri-
metri eUipfis partem rcfpondentem q\ erit — .Y.r~;r

^if-^F-, et X— — — •■ Porro. ent ^ — ^j-, efl ve—

ryix: rydx

ro"-- S—c^^^^ — c^ * , quocirca habebitur^rrft'' « ,,

er Jq-le^jy^ „ adeoquejzzfgrr^^^^l Ne au^
tem,,quando r maior eft quam b^ irrationaha proue-
niant, reftituo* loco .vx valorem — ;;, erit -^z::„n, et
His fiibftitutis habebitur iife- aequatio-
Y 3. 2^#'

174 SPECIMEN DE CONSTRVCTIONE

2 dj -4-^- — ^ r 5 q^-^i^ con-ftruetur fiimendis nzz'^-^'
ctj'— '-^-^, teu lam inucnto ;2,j'rr^j^. Hmc
Fjg. 4. feqiiens nafcitur conllrucflio: defcripto quadrimte elliptico
BCA, cuius centrum in C ct iemi-iixis BC conikas
eil putii ~i, pono hic i loco Z», quo facilius homo-
gcncitas polfit feruari. Erit crgo femi-axis AC~r,
ex A erigatur normaUs A D r:; arcui elhptico AB , erit
pundum B in curua ahqua B D , cuius conlirudio hoe
modo eR" in promtu. In ea igitur crit AD~ </. Sit
F huius clhpfis focus, erit CFzz V(f' — i) et ad BF
ducatur normahs FP, erit EP — r- — i = «• Note-
tur hic , quando fit A C < B C et focus F m B C inci-
dit, valorem n fieri negatinum , et ex altera parte pun-
di C verfus B accipi oportere. Deinceps ducatur tan-
gens DT cnruae BD in D, eritAT— -^'", et iunda
A P , ex T dncatur rerta T G normahter leams A P ,
fi opus eft, produdam in O et DA produdae occur-
rens in G, erit ob fimiha triangula PCA et TAG,

AG=r(7^^i4lIi Ip^i ^^ aequahs capiatur CH et
fumta CI — CB— I, ad dndam HI erigatur perpen-
dicularis IK erit C K zr ^■^^^—^^^—j. Huic CK fiat
aequahs P M , eritque M in curua quaefita B M , huius
enim curuae haec eft proprietas, \t, didis CP, n et
PM,/, fit ^dj^''-i^-^J^j.

m

^m X o X ^. 175

DE

SOLVTIONE PROBLEMATVM

DlOPHANTAEOFvVM PER NVMERO^
INTEGROS.

AVCTORE

Leonb, Eiilem
§. I.

QVoties in problematis Diopiiaiitiieis foluendis
perueiiitur ad formuiain , ni qua plus vna inde-
terminata non incft , maxime requiruntur numeri
integri, qui ioco indcterminatae pofiti quacfito latis-
faciant. Hoc vero qnando fieri non potefl, numeris-
fracftis acqaiefcere oportet. Obleruatum autem eft, fi
in illa formula indeterminatae maxima dimenfio fuerit
quadratnm et ipia formula debeat elfe numcrus quadra-
tus , plerumquc infinitos numeros integros problema Ibl-
uere, qui inter fe certa iege coliaereant, et leriem
quandam couftituant. Sed fi formula vel debcat effe
eubu-s aliaue altior potentia , vel fi indeterminatii plures
duabus liabcat dimerdiones , plus effici non poteft , qiiam
vt laltem numcri fradi eruantur.

§. 2.. Itn aatem huiusmodi problematum omninm
ratio efl: comparata, vt vnum numerum latisfacientem
diuinatione inueniri oportont, ex quo deinceps infiniti
alii reperiri queant, Neque enim ad primum detegen-
dum regula potell tradi , cum cafu poffuit occurrere^

qui

:il6 fROBLEMATVM DIOPHANTJEORFM^

qui oinnino niilkm folutionem admittunt, cuiusmodi.
eft 3 .V - -+-2 , qu;ie formula nunquam fieri poteft qua-
dratum. Qiiamobrem iii fequentibus fempcr ponemus ,
Ynicum tantum jcafum efCc cognitum, quo conditioiii
pioblematis fitisfiat, atque reguhm dabimus, qua ^ex
illo innumerabilcs alii eiici poftint.

§. 3. Prtpifita igitur fit haec formula ax^
dx-^-c^ quac .d^beat efle numcrus quadratus. Sintque
,a^h >,t f numcri integri, et requirantur quoque nume-
ri integri loco x fubftituendi. Datus autem fit nume-
rus ;; , qui loco x pofitus reddat forrnulam ax'-^
hx-\-c qusdratum. Erit ergo an- -\-bn-\-c nume-
xus quadratus, cuius radix fit m. lam ad alium iiume-
rum ilitisficientem ex lioc dato n inueniendum., pono
cum eife an -\-'^ -\-y V [an'^ -^-bn-^- c) ^ huncque
yalorem loco x fubftitutum rcddere ax- -\-bx-\-c
quadratum , cuius radix fit hn-\-z-\-l^\^ {an- -\-bn
-l-r). Perfpicuum enim cft illuni numcnim loco :x
fubftituendum fore ratioiLilcm ob an"^ -\-bn-\-c qua-
.dratum , numeros autem integros hoc modo rcpcruri
ii modo fit n numerus integer, mox apparebit.

^. 4. Subftituatiir igitur an-\-t-\-yV {an-
I;n-\-c) loco .v in ax- -\-bx-\-c.f hocquc f icfto pro-
dibit

.aa.-n^-]- zaa^Sn-^-a^^ -\-iaa.yn^
A^y-n"^ -\-aby-n-\-acy--\-ia'^y\ ^, o . , , n
^ ^ba^i -\-bI -\-by\^^'''"^^"-^'^

Scii

PROBLEMATrM DIOFHJNTJEGRFM, 177

Sed quiii hiiius radicem qiiadricem ponimus $ n -\- e
-h- '^ V (a}j^ -t- bii-^c), er it liinc etian i ax^ -\-bx
-\~c iiequiilis feqiienti quanticati.

ac^-n- -Y-bi,-n-\-v^^-\-2B^^

His dn.ibus formis inter fe aequatis, habebutitur fequen-

tes aequationes.

aa--\-a'y"—§^-\-a^'^,iaa&-^aby''-\-boL—2^£-\-b(!,^,

a^--^acy--\-b^-{- c^z^^-^-c^^, a^ay — sa~<

2 ^ § y -1- /? Y — 2. e <^.
Ex quibus ehcitur dz::.''^--- et £Zz;-=-y^^ — , et valoir
jpfius S in prima aequadone fubftitutus dat, a'^ ^"^ -\^
'?y^<^^— ^a- Y' -h^* , quae in duas rcfokiitur <^^ n:
a- , et <^-— <rY'- Hanim autcm pofterior, nifi fit <7
quadratum , locuni habere nequit. Habebimus ergo ^=ra,
et fecunda acquatio fidis fubftitutionibus hisce fimiliter
in has rcfoluctur ay^^—a-y et g — — "^^, quarum
jterum pofterior tantum locum habet. His inueutis ter-
tia tandcm aequatio dabit u—V (ay- -\- i ]: inueniri
igitur dcbet valor pro y^ quo ay--\-i fiat quadratum.

• §. 5. Sit j) ifte numerus, qui loco y fubftitutii^
rcddat ay--\-i quadratum, st huius radix ponatiu- </;
ita vt fit cj- V, ap--\- I ), erit a—q,y~p,^ -^-,
$ — ap, £~-^ et ^~q- Ex his coUigitur fcquen?
Theorcma :

Si a x^- -\- b X -\- c ejl qmdratum cajit qiio xzizn ^ erit

quoque quadratum caju , quo x — q n -\- -f^ -\- p

V ian^^-^-bn-^-c]-^ eiusque quadrati radix erii ap ''^

-i-'-^-\-q^':an--\-bn-\-c).

Tom. VL Z c:

37& DE SOLFTIONE

Si ergo modo bp per 2 diuidi poteft, nidix qiiadrat)
erit niimerus iiitegcr , et propterca quoquc valor ipfiirs .v
crit integer, feu bq — b diuidi poterit per 2«.

§. 6. Quemadmodum autem ex n valore ipfuis x

(dato inuentus eft alius qn-\--~- -'t-pm pofito w loco
y {a7i' -\- bn-\-c)\ ita hic quantitate tanquam « tra-
data, quo cafu loco m fumi debebit apn-\-^-^qm^
eruetur denuo alius valor , qui loco x liibftitunis quae-
fito fitisfacit , fcilicet liic : zap-n-\-bp^ -\-^pqmy

-f-n

quadrati vero hinc orti radix erit 2apq-\-bpq.-\-2ap^m..

—1- m

Confideretur iam illa quantitas vt n et hacc vt m hat-
bebitur quartus valor ipfius x fitisfiiciens liic:

^ap'^qn-\-2.bp-q-\'^ap'^m

-\-qn-\-^-^^-\-:^pm

Et radix quadrati refpoiidentis erity

4</-/)5«--j- ibp'^ -{-^.ap- qm
-\-:^apn-\-^ -X- qm

§. 7. Valores ipfuis x fitisficientcs, vna cum ra-
cibus quadratorum refpondcntium ergo ita le habebunt
f t fequitur :

Vak^

Conxmcivt. lccLcl : Sc :X:in:VI.TcLb:XIVn. /79.

11

j^C P o

D

Coninien t Jca./Jc H^in : VI.Tab.XIKt'. /7<P.

i^'"^rmn^.Jca^:J^.7^^..-lZ7ZA:U-r,./Z<'.

PROBLEMATfM DlOPHANTAEOWM. 179

Valores ipfius x
I. n

bUf-i)

ni. 2q^n-i-2pqm-i g.

— 3 qn —p m \

~-Sq^?i—^pqm
n
etc. etc.

Vfllores V(ax--[-lfX-i-c)
m
apn-{-qm-i-^
2apqn-\- ^.q^^m-^-bp^
— m

^apq-n-{-^q^m-\-2l/pq'

— apn — ^qm-^^
Sapq^n-^^q^^m-^-^hpq^

— ^apqn-^q^m—^bpq
■m
etc.

Huius progreflionis haec Huius progreffionis haec

eft iex.
term. quicunqueA
liuac fequens B

T> A . 6 ( q — 1 )

eJft lex.
a^F-E

H:ie igitur progrefliones , quousque libuerit exiguo k-
bore continuantur.

§. 8. Perfpicitur ex his formis alternos admini-
,mum terminos efficere ax'^ -^bx^c numerum qua-
dratum integrum \ atque omnia omnino quadrata fieri
jQumeros integros fi fuerit bp numerus par. Omnes
autem ipfms x valores erimt numeri integri, ii b{q
— I ) diaidi poteric per ia\ fin vero lioc non fuerit,
ialtem alterni ipfius .v valores erunt numeri integri,
nam qq—^ i- e. ap'^ femper diuidi poterif per ^,
fi quidem , vt ponimus p tx. q fint numeri intcgri. Prae-

Z 2. terea

terea notandnm eft iii terminis iftis etiam w/ negatiue
accipi poflc , qua ratione numerus folutionum quan-
doque duplicatur..

§. 9. Intelligitur etiam, {\ a fit numerus quadra-
fiis ,, folutionem in numeris integris exhiberi non pol-
fe, nifi forte ax^ -{-ifx -]~c' vel ipfum eft.quadratum
vel numero quadrato fieri potert aequale. Hanc ob
rem. exclufimus fupra eos cafus, quibus a erat qua-
dratum, quia hic tantum de numeris integris problema
fohientibus, praecepta tradere inftituimus. Kam fi a
. eft. quadratiuTT ; nullus. numerus integer poteft exhiberi,
qui loco p pofitus efficiat ap ~ -+- i quadratum , prae-
ter 0. Hoc vero cafu omnes valores ipfius x ma-
nent n ^ nulkisque ergo ahus, nifi is qui diuinatione.
eft inuentus , eruitur..

^. 10. Qiioties autem a non eft numenis qua-
dratus , femper numerus integer poteft aflignari , qui
loco^pofiitus efficiat <7j> " H- I quadratum. Quamob-
rem his cafibus, fi, unicum cafum elicuerimus, qno
ax' -{~bx -^- c nt, qiiadratum ; fimul quoque cafus
infinitos exhihere potcrimus, qui. ax"^ -\-bx-{-c iu
quadratum transmutent. Propofita igitur formula ax~
-f- bx-\-c hoc erit agendum :. primo conie(rb.u-a dctegi
debebit valor ipfius x: in integris,, qui reddat ax'^-^-
.b.x,-\^c quadratum. Deindc etiam. quaeri debct valor
ipfius^, qiio ^_p^-f- 1 etiam fiat quadratum. Hisque
inuentis ope progreffionum, inuentarum caliis infiniti in-
jQotelcent.

§. 11«

PROBLEMATFM DIOPHANTJEORFM. iSi

§: II. Si c efl: quadmtum, nempe —dd\ ftatim
appnret Ciirns, quo ax'^ -^bx-\- d'^ e,\!t quadratum , is
enim eil fi x^o. Ponamus ergo w — o , entque tn— dy
et viilores ipfius x flitisfiicientes conftituent hanc le-

riem: o, dp-^-^rr- i^dpq~\~-~

A,B,2^B — A-H "^'-. Qiiadratorum autem , quae
hinc generantur, radices erunt: d .^dq-\--~ .,d{ iq-—i)

-^-bpq.,--- E,F,2^F — E, Harum fe •

rierum lex, Yt et priorum (§. 7.) perfpicua eft, funt
enim omnes reciurrentes , feu quiuis terminus ex duabus
graeccdentibus eft. compofitus.-

§'. 12. Si b~o et ^jr I , vt habeatur haec for^
ma (7x^-1-1,, ad quam, vt ex praecedentibus ap--
paret,, generahs a x"^ -\- b x -\- c maximam partem re-
ducitur; Huius ergo valores ipfius x respondentes in

hac lerie progredumtur : o^p ^ipq^^pq '^—p , •

A , B , 2^B — A , Radices vero quadratorum prodnrto-

rum erunt fequentes ; 1,^,2^^-1,4^^—3^,

fit quadratum' conftat, huiusmodi numeri infiniti habe-
E ,F , 2 ^F— E. Si ergo vnicus caiiis p , quo ap'^ -\-i
fit quadratum confiat , huiusmodr numeri infiniti habe-
buntur, qui in tradatione generahs formulae ^a'--[-
hx-\-c loco p ct q collocari poffunt.

§. 13. Qiio autem haec methodiis ad quosuis ca—
fiis pofTit, accoramodari , videamus primo, quos nume-
ros pro quohbet. ipfius a valore hteris p et q tribui
oporteat. Debet autem p tahs effe numerus qui ap ^H- i.:
j^ddat quadratom,. huiusque radix erit q.. Fedpicuum:.

Z 3 quidemi

i«2 DE SOLFTIONE

qnidem eft, il A^nicus pro p habeatiir valor idoneus,
fimul quoque iRfinitos haberi : nttamen hic vnicum duii-
t;ixat eumque minimum praeter o adhiberi conuenit.
Nam rcliqui fequenteg, qui liint ^pq i^pq^^—p^ ctc.
^blutioiium numcrum non multiplicant , cum \alores tan-
tum lequcntes ipfuis .v in §. 7. praebeant. Minimus
autem ipfius p valor dabit omnes numeros ipfuis x,
fatistftclcntes , tjuod rrui.iores non fiiciimt.

§. 14. Intelligatur igitur, quod fi fuerit a~e^— i ,
jminimum ipfuis p valorem fore i , ipfmsque q^e. De-
inde n fuerit ^- 3z i- ^ -f- i , tum cfle pzzze, et q
— 2e-2-|-x. Atqnc fi fit « — ^^-1-2, erit p~^,
ei q7re^-\- r. Huiusmodi cafus inliniti alii poffunt
deliniri , quorum ingens .numcrus hoc continetur theo-
remate: fi fji: a~a'/?^''^2ae^-~'^f ent pzze, et
.q—.ae'^''^^-}-! vbi pro .a etiam numeri fradb ac-
cipi poffunt, dummodo illi per e'''~^ multiplicati 'ui
integros traiismutentur. Simili modo eriam fi fit azz:.
(a.e^-\-'Se>^)^-{-zoie''-'^ -4-2g^f^— ' , erit p = e,ct
^rra^ ''"^' -}-§6'^'+'' -t-i. Atque etiam fi fit a —
^aL^k'e^^±^ae^-' , erit p—ke, et q — ^ak'^

§. 15. Qiioties igitur a efl: mimems, qm in iflis
formulis contineai"ur , flatim apparct valor ipfius p
et q. At fi a huiusmodi fuerit numerus, qui nuUo
modo ad iilas formulas poteft reduci , peculiaTis ad
inuenienda p ct q adhibenda efl: mediodus, qua olim
iam vfi funt PcUhis et Fcnnatiu.f. Haccquc metho-
•dus etl vniuerf\lis, et aeque fucccdit, quemcunquc nu-
merum deuotet a. Praeterea etiam ideo hic potiflV-

mum

PROBLEMATFM DIOPHJNTAEORI^M. i8$

miim eft commendanda , quod minimum iplius p Ta-*
lorem, qui hoc ioco requiritur, exliibeat.

§. 19. Metliodus hciec extut defcripta in operi-
bus JValliJii., et lianc ob rem eam hic fufius non ex-
pono. Operandi tamen modum in vnico exemplo os-
tendiife iuuabit , cuius infpcdio ad quacque alia foluen-
d;! perducet. Oporteat nimirum determinari minimuni
ipfuis /) valorem, qno 3i^--l-i fit quadratum. Ad
hoc efficiendum fequens inftituitur calculus.

'^(3ip^-{-i)~^- Ergo^>>5/), ponatur itaque q—^p-^-a
6p"^^i-ioap-^a\ p=:'-^^r-^\ pz=a-\-b'

3.^=~8Z-6-H-5.-^-i, b-"^^-^-^, bzz:>,c-Vd

5.=.= 8./-f-3/=-l-i, .= -^^-^\^^-^^^ ez^^f-g
/2z=:i2/g---5l'-hi , /=^^-|-y(3X;f=-f-i)
Tamdiu icilicet liac operationes contmuantur, quoad
in media columna perneniatur ad V( 31^-^ -|-i ) eius-
dem firmae, quam habuit piDpofita "V^lsip *-h i ).
Perfpiaium iam eft li ponatur^g-irfi» fore f— i. Hinc-
qae retrogrediendo liabebitur : ^ nr 2 , d— 7 , t' — 37 ,
,i'— : 118, «—I 55 ,j& — 273 , atque ^1=1520,

§. 17. Qiio autem non tinto opus fit labore ad
valores ipfarum p. et ^ inueniendos pro dato niimero a ,
fequentem tabulam annexere viliim eft, in qua pro fmgu-
lis vaioribus ipfius a exhibentur minimi numeri , qui
loco p fibftituti reddant ap--\r^ quadrkum.

:iS4-

DE SOLVTIONE

a.

J!»-

^.

a.

P

q.

2.

•^
^

3-

37

12

73

3-

I

r>

38

5

37

5-

+

9-

39

4

25

6.

1

5-

40.

3-

19

7.

3

8.

41

320

2049

8.

I

■\^

2.

13

lO.

6

19.

43-

531

34S2

II.

3

10.

44.

30

199

12.

-

"7,

45-

24

i5i

13-

180.

649.

45.

3588

24335

•14..

4

15'

47

7

48

15.

I

4-

48.

i.

7

17.

8.

33-

50

14

99

18.

4-

17-

51

7

50

19.

39-

170.

5^.

90

549

20.

2 ,

9.

53-

9100

55249

21.

12,

55-

54-

66.

485

22.

42.

197.

55-

12.

89

^3-

5

^4- ,

55.

0

15

24.

I.

5. 1

57-

20.

151

25.

10.

5^-1

58.

2574-

19503

27.

5

25. '

59

69

530

28.

24

1^7.

5o

4

31

29.

1820

9801.

5i

2251539S0.

17553 19049

30-

0

II.

52

8

<^3

31-

273

1520.

^3

I

8

32-

17.

6s

16

129

33-

4

-3-

66

8

55

3^-

5

35-

57

59^7

48842

35'

3

6,

08

4

PROBLEMATVM DIOPHANTAEORrM.xi^

§. i8. Hic ftatim occiirrit modns pcrfaciiis extra-
hendi qnam proxime radicem quiidratam ex numcro
quocunqnc non quadrato a. Qiiia enim eft ap- -\-r

■zzq'^ erit V g:zi'*^'^ ~'', et, fi q fit numerns valdc

'magnus, erit Vaii^f qnam proxime. Sed loco p

poiliuit poni fingnli termini feriei o,^, 2p^,4.p^'-/),

A,B, 2^B — A, et loco q fmguli termini re-

fpondentes feriei huius i.^q.^iq~-i.^^q'^~^q

E , F , 0. ^F- E ( §.. 1 2. ). Sit huins lcriei terminus in-
dicis i:::::^(^., et iUius termmus, cuius index etiam / eft
zzP, eritV^^zz^. Qiiia vero , qno magis continu-
antnr liae feries, m.iiores quoquc fiunt teimini Q_; eo
propior reperietur V a fumendis terminis ferierum a
primo longius diftantibus. Sit exempli gratia «—6,
erit /> — - et ^—5, feriesque fibi inuicem fubfcriban-
tur vt (equitur , poikriore loco fuperiore pofita :

1 ) 1 1 4 9 > 48 <) 4 8 O I ; 4 T^SJ 5_i_4T_p 44l9_l4A1A_? ^Aj:. et^- C

O, 2, 20, I 98, I 96 o, 19402, 1 ii2o^ o, I 9u 1 1 98 , etc. ►->UmtlS

igitur vltimis terminis, eiit ^l^^^^^ ita propinquum
radici qnadratae ex <J , vt plus eam non excedat , quam

hac fractione YTT^oTTWiW^- Simili modo patet ra-
dicem ouadratam ex 61 fore proxime aequalem
'■sl^^Tii^^i- Ql^e quidem radix vera ahquanUilum
maior eft, fed exccifus eft minor quam iijz^^chiWo^^^T.

§. 19. Qiiaerantur omnes numeri triangulares , qui
fint fimul quadrati- deT^ebit ^^~ efle quadratum. Qua-
dratum igitur quoque erit 2X= H-2.v, exquofit, col-
latione cum formula a X' -^ b x -\- d~ (§. 11.) inltota
a—'2..,bz=L'2..^ d-~ 0. Sed quia eft a=z2..^ erit ex ta-
Tom. VI. _ Aa bula

i8(J DE SOLmONlE

buLi fiiperiore p-zi 2 et ^ zr 3 . Vnde !oco x fubftltui der.
bcbuat requentes valores o, i, 8, 4.9, 288, 16S1 ,,
9800 , ctc. quo "^"Y^ fiat quadratum. Qiiadratorum
autem hinc ortorum radices tenebunt hanc ieriem , o^ ,
i^ <?, 35, -04i riSp, <5930, etc. Vcl quadrata , quo-
rum radices continentur in hac lerie, erunt numcri trian-
guliircs. Scriei quidem hnius pofterioris termini fiunt
duplo maiores, fi formcntur ex ferie gcnerah </, ^/'</'
-1^'^ yd{iq-—i)-\-bpq etc. fed quia hi termini funt
radices ex 1 x'^ -\- 1 x ^ debebunt dimdi per :2 , quo
habeantur radices ex ^^-

§. 20. Numeri polygonales / laterum exprimun-
' tur hac foiTOula generaU -'"'^'''g"^'""— , . in qua .v de-
notat radicem numeri polygonalis. Qno ergo huius-
modi numerus polygonahs fit cpadratum , oportet 2^1—-)
X- — 2 ( /-^ 4 ) .V elfe quadratiim. Statim autem vnus ca-
fus apparet, quo quaeirto ' tati^ifit , fciiicet fi .v — o^ fit
enim ipfa formula —0. Qiiamobrem habebimiTs «rro
et m — Oy et formula cum generali ax^ -t- bx -f- f com-
parata prodit <? — 2 ( /— 2 ) et i; — -2.il-^}, atque
cz^zo. Fiat igitur 2(/— £)p--f- 1 — ^^ e.runt ipfiiis .r
valores , qiiibus z\l— z) x-- — 2 ( /— 4. ) a" feu huius pars
quarta ^'— -'^'ir^'— 'V^* j. e. ipfe nnmerus polygonahs fit

quadratum , fequentes , o , yuEt^) ■ </— i ) » '^\02] ' ^'- ^ )

A , B, 2 ^B - A - fe-f ( q- I ]. Qiii qtii-

dem numerr omnes, fi />>4, iimt ncgatiui , atfimen af-
firmatiui habebuntur valores ipfiiis x fumto q negatiuo,
tum tnim altcriii teimini erunt athrmatiiii. Deinde

etir.in

mOBLEMJrFM mOTUANTAEOWM.1%1

-ttmn fi iniientus fit mimerus negatiuus pro ,v, qni fit
^ k , poterit mimcrus affirmatiuus ilari , qui eundem
numerum polygonakm producat, erit nempex — ^-f-
\~\ , fed nifi fit J-^v numerus integcr , hi numeri af.
firmatiui fiunt fradi, quos hic exckidimus. Hanc ob
rem alternis terminis fuperioris feriei pofito —q ioco
q contenti elfe debcmus. Radices vero quadratorum
c ( /— 2 ) a;- — 2, ( /— 4. ) a: his cafibus refultantium tene-
bunt hanc progreffionem , o , ( / — 4 )^ , s ( /— 4 jp ^, - -

EtF, 2^F — E.

§. 21. Qiio autem non ahi iiumeri , nifi affirma-
tiui et integri reperiantur, ahum cafum, quo 2.(1—2)
.v^ — 2(/— 4.)^; fit qnadratum, erui oportet, qui erit,
fi .t— I ; prodibit enim 4. Hanc ob rem ponatur «r^i
et »/ — 2, quo fado habebuntur pro .v valores fequen-
tes: i,^_f-2^-y^^^J(^-i), zq--i~^4,pq-^^

(^2-1), A,B, 2qB-A~^-^\q-i). Ra-

.dices iiutem quadratae ex ^-=^=-^^ progredientur

in liac ferie ,i,^-f-^,//)^-l-2^2 — i,

E,F,2^F — E. Qiio autem omnes ipfius x va-
lores fint numeri integri, non quidem loco q mini-

mum valorem, fed eum, qui reddat 2(T-2)(^~^)
mimerum integrum fehgi conuenit, id quod femper
fieri poterit. Vt fi quacrantur numeri pentagonalcs
quadrati, erit /=5, ct ^— <J, atque q erit numc-
rus ex hac ferie i , 5 , 49 , etc. ct iphus p valores
refpondentcs enint o , 2 , 20 , ctc. Qiio igitur Y(iEzf)
iq—i)zz^{q—i) fit numerus integcr, fumi de-
bst^— 49, et^pzzao. Radices ergo numcrorum pen-

Aa s tago-

iSi DE SOLVTIONE PROBLEM. DIOPHANT.

tigoiulium, qiii funt qnadmti, ernnt, i, 8i, 7921,

A,B, 98 B — A— 16, qui numeri etiam in

fiiperiore ferie (§. 20.) continentnr, fi accipiatar ^—
— 5, erunt cnim termini alterni iiffirmatiui. Horum
autem numerorum pentagomilium radices quadratae erunt
1,99,9701, E,F, 98 F-E.

§. 22. Qiiia efl 2(/— 2)/)'-f- i~^-, manifcftum
eft ex praecedentibus , fi fuerit 2 /— 4 quadratum , nul-
lum numerum intcgrum loco p fubftitui poffe. Hanc
ob rcm vel omnes numeri polygonales erunt quadrati,
Ycl tantum nonnulir. Prius euenit, fi /—4 ; nam omnes
numeri tetragonales funt fimul quadrati. Pofterius vero
fi fit 2l—^—i6 feu 36", feu 6" 4. ctc. his enim ca-
fibus alii non erunt quadrati , nifi o et i. Si 2/— 4
.— i5", erit /—10, ideoque numeri polygonales erunt
decagonales^ quorum forma efl 4.V* — 3.V. Nuilusque
numarus dccagonalis eft quadratus praeter o et i iii
Integris.

DE

"'>^.i )0( ^'?i<«" xSp

DE

aVADRATVRA CVRVARVM AL-

GEBRAICARVM , QVAKVM AEQVATIONES

LOCALES COORDiNATAS SIBi INVICEM

PERMIXTAS INVOLVVNT.

AVCTORE

lacobo llermanno.

Vlr Celcberr. loh.Craige inter pliira, qiiae ad fcien-
tiae profeclum condiicunt, perelegantem me-
tliodum tnididit, in Tradatu (lio de CaJcttlo
Fhienthim 171 3. Londini impreflb, quadrandi Figuras
:■ curuilineas, quarum aequationes locales funt fbrmae fe-
quentis y'' — a x'' -\- b x'^}'^ -{- b z x''^' -{- b :^ x^j'' -\-
Gtg. vbi indeterminata y ordinatas curuae , .v abfcifliis ,
a.,b,b'2..,b^., etc. coefficientes, et M,«,p ,^,r, j, etc=
exponentes fignificant.

Aflfiimit enim aream qiiaefitam aequalem feriei
cuidam indefinitae huius formae,/>'rt'x — A.\y' -f-Ba-{>'S
-f- C A" V -f- D x ''j/ ^ -f- etc. in qua, tum coefficientes
A,B,C,D, etc. tum etiam exponentes/,^,^,/, etc.
eliciendi funt ex aequatione curuac propofita. Hunc
in finem geminum valorem elicit elementi dy ^ in .v,
y ^dx et conftantibus , vnum ex ferie modo addufla ,
fed differenciata , alterum ex a^equatione curuae itidem
differentiata ; duas has diuerfis aeftimationes eiementi dy .,
deinceps aequat, indeque nouam aequationcm terminis
finitis exprefluim deriuat, quam Ipfe refultantem vocat,

Aa 3 dico

x^o T>E OVJDRJTFRA

dico femhus finitis ; nam aequatio rcrukans fcmpcr di-
uifibilis eft per dx^ et fmguli tcrmini pofl: Iwnc diui-
fioncm cmergentes fiunt liniti , eorum tnmcn numcrus
efl: indefinitus. Ex comparatione exponentium termi-
norum, et annihilatione coefficientium acquationis re-
fultantis, deinceps elicit quantitatem exponentium et
coetHcientium feriei indefinitac arcam curuae quacfiuun
.dcfinicntis , quae fubinde abrumpens tfl:, cum Curua
quadrabilis efi: , lacpius Ycro in infinitum excurrit. In
fedtione IV. huius Libri pkira exempla curuarum ab-
fokite quadi-abilium aftcrt , quibus ferierum fuanun vfum
ifi cafibus particularibus ilkifinu:.

Cum primum elegantcm hanc mcthodum expo-
fitam Vidiflem in laudato opere, curiofitas animum mcum
incelTerat indagandi , annon eiusmodi curuarum Qiiadra-
turac, ad quadraturas aharum curuarum rcuocari pof-
fent , <qu:irum areae darentiir per quantitatcs Ynicam tan-
tum indcterminatam inuokientcs; inueni rcm iivtis ficiic
fuccedere in curuis Trinomiahbus , fcd in Qiiadrinomia-
'iibu?., aut altioribus, certam inter exponentes terminorum
fdlationem, quod idem quoque in Craigiana methodo
S.ccidic, pracfupponi dcbcre.

I. Ad id in curuls Trinomiahbus ofiendendum ,
diucrlae liippetunt viac ; nam primo fi ponamiisj — M*
N"^, et ArznM^^N^, \bi M et N fint nouae indeter-
minatae, fuccedcntes in locum indeteiminatarumj' ct.v,
ct a , (3 , Y , (3 funt exponentes indetcrminati valoris.

Hae ?icquatioiies vcro praebcnt N — .va^P'»'^*'^-'^'^?^^

CFRFJRFM ALGEBRATCAWM, r^r

M — AraTJ— P7j/«5-pY- quod fi praeterea ftatuamus N=:^
b M , atque in hac aeftimationes modo exhibitas in-

u

determinatariim M et N fufficiantur , proueniet a:*»— P^v

— 7_ — P g —a.

yi^—?y— a -{-bx^^^^y^^—^y^, dudbque in ;i"«6— PV

—7 -a. -tt-P 5-

nafcitur j «*— Pv— <s;js,v«^— PVH-^-va^ — f^V «i— p7 ( A).

II. Habemus ergp aequationem trinomialem A , ad
quam omnes reliquae quae occurrere polTunt, facile re-
ducentur. Sit ergo generahs aequatio curuarum trind-
miahum j'^ ~ ax^ -^bx^y (B) j et A aequatio ad hanc re -

diieetur 7 ponendo ct. — ^^,_^^^_^^, ^—j^i^Jt^^^ Y=

m

<^=::

IIL Pro obtinenda areu aequationis B , aequationes
riflumtaej' — M*.\I^, et .r— M^^N^, pn^ebent j ^ .r rz
( y N dyi +(^ M ^N ) ?/!«-+->- • Nf^-^^- ' . Qiiod fi nunc
ad abbreuiandum , fiant y\~(i-^y ^ 0— p-j-cS^, 'k~y,
-h-^,ct pro N et ^N fcribantur in parenthefi flf-H
^M, et bdlSl^ inuenietur y dx~ {y ad^~\-\b
M^M) M'^"*^^— '. Sit porro / numerus quicunque
affirmatiuus , et h quicunque fra^Sus , atque y\ — l
-f- H. Fadisque deinceps A — ;;^^, 6—^5"^',^,'
C-^f|,D-::^^^i, etc. atque Q.zr/M-^N^"^
^M nec non T r= A M^ -h B M^ ' -\- C M^^ -f. stc.
H- r M *''*'' . Inuenietur primo area quaefita J.fjdx
— N«T-(HH-i)r^Q_.

Sciendum autem in hac prima Qiiadratnrae for-
mula, fore^Oi/A^nN^T fimpUciter, fi h fit=a-,.Tel-

f=^h

ipj DE Q_VADKATVRA

Tinri, fericmqiie T continuandam effe vsque ad ter-
minum illiuTi inclufiue in quo cxponens indetcrminata»
M eft=:o.

2. Si iint TT numerus integer iiffirmatiuus et p fra^
dus, fueritque 0 1=: tt -\-p , ac fiant £ — ^^, P— 1^7:^,

V = EN^-HFN«-'-+-GN^-=H-etc. -f- A N^-»-'.
Inuenietur 2 . ^' (/.v zz M"^ V -f- ( ^ -|- i j A ^ R .

Quare etiam nunc fi^fit=::o, fiet/yrt^.c" M^V,
ct feries V cfl; protendcnda vsquc ad tcrminum in quo
cxponens indctcrminatae N eft zzo.

IV. Qiiae §. §. I, II. elicuimus breuiuJ potuiflent
inucniri hunc in modum ; aequatio propofita j"^ i::^ tf A'"
-^bx^y^ per diuifionem cum .v'' reducitur ad j"' a— "
— «-+-^.v*-V, et fi fiant N — .1—^'^, ct M^.v^""

y^ inucnicntiu- a" — M'"' ^- '"■—'"'» N «■"'-+-"^^""' ,§. II.)

n g — n

^M^^N^ et 1/ — M *""*-+-'"" — "i«N *■'"-+-'"■ — "''rz: Al'''^ ^
vt in §. II. Rcliqua crgo perficicnda rcftarcnt pro qua-
dratura obtincnda , vt fidlum cernitur in §. III.

Oilendcndum crgo fupereft, quomodo formulae illac
generales, ad exempla particularia applicari debeant.

V. Sit aCLiuatio Curuae quadrandae j' ^ -f-.v^ — fA"/,
applicandoquc hanc ad aequationcm gencrakm j"*— ^.v"
-\-bx^y^' , habenair a~—i , bznc^ m — fi—2 ■, ezrr
nz I , adeoque a~— i, P — f, ycz:— i et <J— j.
Hinc -vi(zia-i-v)z:i- 2, e(- PH-(^)--i; A=r-f
lam vero quia '^\ — —z non eft aftirmatiuus : prima

formu-

CVRVAKVM ALGEBRAICAKVM. 153

-formiila qiindmtume nunc inreruire ccmmode non poteft;
quLire altera cit adiiibenda quia 0(~ i j efl niimerus in-
ceger ; inueniuntiir \ero E ( ~ :^ )— — |: — i — |. F

(--=:|i7-l>-|:-^==t=^^-^ Propter ^=-1,
qeare V (=:Ei\I-H-F ) — -E-f-F -HfEM— -^-H
^, adcoque JydxJ-U-^V)-^-^-^ (vel pro^
pter M — ^ ) z::: ~-^ — ^ ( propter x^=i c xxj—xj^)

Exemplum 2-

VI. Qiiacrltur area curuae j''- -^x^^Tiz^x^yy ; funt
ergo lioc cafu in aequatione generali ?;/:r «"4-, i"— 3
et rini^, ^ — — I, b—^ ^adeoquec.zr i,(3~— ^,y~i,
^ — -Jr^item-viC — a-l-y)^^,^^^^-!-^) — -!,^
(3:iy-f-<J)zi:i. Hinc A( -,-i-^)|, B ( = ^^,)

^ -f- , C ( — ^f-T.b ) = -^ Tr 5 JD z:= 0 , etc. adeoque
T( — AM=-{-BM-^C)-|MM-^'-l-^f (pro-

pter M = a-^-T7j'«5-^7 - f ) — ( f j^-i:|^J' -\-\\c cxx)
.xji— % et N { — a-^-bU)—. {yy-cx) c-' x-' , ac

denjquc Jy cix ( — N' T ) — 7-

x^V [yy — cx)"^

rr|i7-4c_v.x;;-' H-4-|<;vA'V~"^ ^^ area quaefita,

Exemplum 5.

VII. Sit acquatio cumae quadrandae j' — ^A-->|-
hx'^y~^'^ , eiTent ergo m — :^ , n— 1,^—3 et r— -18;
T-c/ffi. VI. Bb item

IP4. J^E QrjDRJTVRA

itcm a—g et b—b\ ex qmbiis rcfultarent an— ^,
p — — -g, Y=r: — 4> et ^— — 2 1 ^^d hoc ciifu neque y\
\ — a.-\-y) — -^, neque ^(— (3-4-<J';— -^ •> ^^<-t niirne-
rus integer affirmatiuus, nec tamen inde ftatim con-
cludi debet curuam non efle quadriibilcm,

Nam ducendo aequationem in j' ' ' , inuenitur j'^ *
zngxy^ ^ -{-hx'^ , et, comparando hanc cum aequatione
genera W , inueniuntur »/ — 2 1 , « — 3 , £> — i , r ~ 1 8 ;
a~h^tt b~g^etn-\-nr~-mnzizii ^ adeoque a~:J:v
p = -l,yz=:^,et<Jz=:-|, adeoque >i ( z=z a-\-y ]:=zi,
e( — |3 4-<J)zi:-^; >.{— y -\-^ )—. ^. Inuenicntur
ergo in fbrmulis primis §. III. A(~^:fij^~^, B(~
V_viM<7_ N _ rJl^ C f — J^^"- 1 — -^^ •ideoaue T i —

(propter M=r.v^J^^ja5-Pv— ^i ) — (|j/3<5 _ g^xx^ •
--|ofJ).v-+, item N(=:«-i-/iM)"/^A'.v-hj-j''8>'-2*,

\ n. > 4.? X X y 2 OFfr

Qiiare A' ^:i- ( ir N« T j = T 7^^ ^" =

" x^y^hxx-^-gj'^)'^

Brj-lix^r''-^^,-^'/--, propter hxx-hgy'''-

X

Exempliim 4.

VIIL ^it j ^ =:/)^ x-{- q ' '.v.ij— ^, vel iuxta obfer-
mtiaiiem in praec, exemplo fo(flam , ducendo aequatio-
Retn in / ^ , vt habeatur j' ' "^ zr: ^ ' ^ .v.v -{-p"^ xy ^ ,inue-
liietur curua quadrabihs efle , erunt enim hoc cafi: mrzi^j
R— 2. , e~ I et /11:9 i a~ ' ^ , et b—p'^. InucnienLur

ergo

CVWARVM ALGEBRAICAWM. 19S

ergo e m -\- nr—mn — ^^ adeoque a— 1^> (3~— ^;^

vj-^-O-l. Hinc A(=z^)-4,B(i=V^,^;^^=:

jjj^ p. ( 1— vijBa , 2(?^+ Y^ f (2 — vilCa . -^8.7^6

Etrr^-^i^^^jzi^^ilr^;^, Fi^o, etc. Item M(=::

X 55=p7j a^-P7 ) — a— ' j 9 , et N ( zz ^ -4- ^ M) — ^' 2-H
/)+ a:— ' j5> c propter j' "^ —/)'•■ .v H- ^' ^xxj s» ) ~ jt— 2j, i +.

^-'J' -f-TTpTB , quare >^.v(=rN«T )= i xy-^ |^

V V v-8 -J-—^'* V 3 1/- n _!_!'''-?- v+ ly-2 6 , iAiii- V 1 V- 3 ?
-»'-*/ -r- f)8 '^ J -T~ 3 f> 1 2 •'^ J -t-i ? f,i6-^ J

prorfus vt habet Cel. Craige iii Exempl. 111. Seft.lV.

Exemplum 5.

IX. Silt y^ — ax'^-px'^j''^ ^ vel quia fub hac for-
mi quadratui-a non fuccedit, ducatur aequatio inj'"""',

— I 6 \ j

eaque mutabitur inj 3 —ax^y^^^—px'^^ quare tnzr—^^,
72— I, ^— -^) r — — 7; a — —py et bz=za^ adeoque

=i,0(-p-|-^)--5|zi-|,X(=ry-f-<^)--^°.in-
de_vero A(z=,-i-,)_= - , B(=:^S^^^)=:/3^, M(z=:

A-^^^j^^P^v)— .V "^j-^NC^a-hbM^zzz-p-^-a

.v'"^j--' rzx ^^"V ,etT( = AM^H-BM^-'-^etc.)

— I o V Tj.-T H- _if^ ^ ^^ jeoque // ^a' ( = N^ T ) zr ( ||

Bb 2 8/)A'

ts6 i DE QVADRATVRA

9 _.

'^rfa-- Hiiciisqiie exempla habuimiis Curuarum tantum
quadriibilium , transeo nnnc ad ea quae ducuat ad qua-
iiituram Circuli aut Hyperboiae.

X. Itaque fi in aequatione y^^ — ax^-^-bx^yy

fiierint e-^-^""^-, ^--"2^, vel e:=z^kn-\-2.n
-f- 2 , et r n — 2 ^ /« — ?« -1- 2 , et k numerus
quicunque integer affirmatiuus, Curuae area pendebit
a Qiiadratura Circuli vei Hyperbolae. Erit enim
in primo cafu -vi^^a-j-Y) — ^-^~"ii adeoque
Izrzk.QtK-^^-^^^)-:^; iiiac(^(-/M^\«-»

j^ . r IMVM r MdM_

«xVl; J y(^ J V(a-M-HiMM)'

In lecundo vero ->}( — a-|- y )rr-^, $( — [3-}-5')
:zzk-\-^, id eft it — k, et /> — ^, liinc R(— /M''-"'^

» --fl I frc V r dMV;a-4-6M) r adM-t-5MdM.

i\ «iVi; — ^y yji — j v^(aM-i-6jm) ••

Exemplum r.

/ , 14—1

XI. j* = ^A'3-|-^x ^j '^ tn~n:=z3^ <?='/«
rrr-^, liinc arr|,pzrT^5., y=:|,^3i-f-J;2- in-
ueniuntur ergo >)( =:za-l-y )~ i -f-^ , e((3-l-(^) — i,
^(^Y'^^^)^^' «^"S^ >c:::=^,A(-^-,)-rz=:4'';
Hinc T — ^M"^, atque ndeo />/^A'(=rN*T-(>t^- i )
rtfQ.)~4 M'2 N2_|^ aq. Qiuire fi dicatur ?=zf-J^^

'V(«M-I-6MM)

fiet ||'?Q.= -1-|1JN^-;4"^P. adeoquc/K^.vz=:f|M^'
^HP^^^^iairP. Qiiantitas P pendet a quadratnra

CVRVARVM ALGEBRAICABVM, 197

CircuU vel Hjperbolae^ nempe a qUcUlratura Circuli, fi
b habeat fignum negatiuum ^ et HjferboJap ^ fi habeat

-P (3

affirmatiuum ; adeoque cum fit M (rr .ra^— p^ja^— (3>)
rr.v^j/ ^ , fi R fignificat arcum Circuh, cuius radius
^, et fagitta m.z:ix^y ^\ ^tt Jjdx = {^x^y ^-H
,m)VN-fl^|, exiftente N^^iV (^-^aV^J,

Sin vero b fit coefficiens affia-matiua : ad axem CB Tabuia xjit.
€onfl:ruatur Hypcrbola aequilatera BD, cuius latus trans- *^' "^"
uerfum fit AB — -J, et eapiatnr abfcilHi BE( — Mjnr

x^y ^ , dudaque femiordinata ED, dicatur fedor CDB

— S, tnt fy(fx'^'f^^^x'^j~'^i^}-'' -I y. {a-\-bx^y '•J')^

ExemplLUTi 2.

XII. j5 — «a'^-h-Z'vx-°>'~'^., Smt. ergo wzz»-
=:3,^=r20,r— 13, adeoque azr^, (3=r|7 ,'y— ^^, ^

^n:l|, hiac yi{-=za-\-y)-^, e C^r (3-f- ^):r: J°
= 2-+-i;, adeoque Ti^: 2, et^zz^; X — ^. Ex hisce
autem. inueniuntur M — a*' V~' % N ( — ^-h/^M } — ;«
-h/J.v' V' % nec nonEzr-^, F( — Azr^, adeoque

V(zrENi-hAN2):z:(|^x' V~'^-i-45«)N^;
adeoque jO ^.v ( =: M^ V -|- (^-i- 1 j A^R) — (,j b^x ' >" ' »

^9t.^w"Tj,-Vn--}-"1R. SitSrr/-— ^ _,

erit R:rry(<?M-i-^MM)-h^tfS, fietque j>^;»; feu

Bb 3 u^-d.

tpS DE QJ^ADRATFRA

area quaefita ~ ( | ^ a' " j'" " -^^i a)x^j ^N^ -\-^
y ( « M -i- ^ M M ) -i- ^i S . In hac vero S dcnotat le-
dtoiem Hyperbolae vel CimiH , per phniim conftans di-
uifiim , prout coefficiens b fignum affirmatiuum vel ne-
gatiuiim habuerit.

Innumera alia exempla curuarum huiusmodi proferri
pofTent , quarum arcae pcndent a qradratura Circuli vel
Hyperbolae, vel ab vtraque, fcd nolo proUxior effe. Id
tamen non videtur effe reticendum , per hanc metiiodum
pofle quoque inueniri Centra grauitatis et ofcillationis
in huius generis curuis, cum totum ncgotium reuocari
poflit ad quadraturas curuarum quarum aequationes
non nifi vnicam inuokiunt indeterminatam et conftan-
tes, quemadmodum id iam fitis hquere arbitror ex
praecedentibus. Pergo iam ad Curuas Qiiadrinomiales.

Xin. Earum aeqiiatio t{\. j'^ — ax"--{-bx^y'i-\~
f.vO^S vel -I H-<7.vV~"*-i-^-v^j<'-'^-|-t\v'j^-'"— 0

fint M =: x^^y-"^^ et M N — .v^ j^"'", inuenientur .v =z M^~

ISI' , et j/zzM i Ni exifl:ente l—mp-\-nq — mn^
et liisce in aequatione fuffedis, liabetur — iH-rt^M-H

mp^qr — mn-i-ns — ps ns-h- mr—mn

kMN-\-cM i N ' =0. Sitnunc

; " ' '^ I . mp-\-qr—mn-\-ns —ps—o , vel s rr "^^-^^ ''~~
praccedens aequatio mutabitur in — i -H^fM-l-^MN

-rl-<^N ^ —0. Fiant ?zza-\-bn ^ et 0 = 1

l

CVRVAKVM ALGEBRAICARVM. 199

mr.+-ns-mn

— fN 2 , iniienietur MP-Q=:<7, adeoqiie M=:P— *

vt — q q_ n f—n

Q_, Iiinc elicientui' x--N~^F~i'Qj et j— N' P~i

n — p m-f-jt p^n—q

q~T-. Hincj</A; = (7PQ_^N-f-NP^Q.)N~'i~P~T ^

n — p-i-q

Q_ ^ -I- In hac quantitate vero cum P etQdatae
finc per N et conftantes, ideo patet eLmentum areae
quaefitae redudum effe ad quantitatem non nifi vnicam
indetciminatam N eiusque elementum et conftantes in-
uoluentem, Q. E. L

2. Si fiat n s ~\-mr-mn—o , vel .f— ""~"'', fiet — i

m p-i-q r — m!i-+-ns — p s

"4-«M-H^MNH-<rM i —0. Itaque

mp-i-qr — mn-i-ns — -ps

pofita R— I— ^M— ^M i , aequatio muta-

turin — R-4-^MN — 0, adeoque habetur N~(^— *

(7 m —q m—q m

M-'R, hinc ;c(zr M ^N^i^^ — ^TM R^^^etjC^

n — p n • — n — f n_

M i N' ) = ^ ^M TRz , adeoquejf^^.t-zzi^^lEr-jR^M

— n—q m-p-q m-^-n

-+- ^- M clK ) <^~^M ^ -' R * - ' . Fiat niinc

-^-^ — r^ — —{ propter nsiz.mn-w) —•' i ^ — ^

771 — p — q
•m-t-Tt

•y~-|— . Erit

^^1 rfM zn^-^^M H- ^Y^^M ^M -H ^^^'M VM
7 ^dK— T^^M^M-^rM«^M,ergo

^"■?^7/^i- /( V^M4-2^ ^M^4-'-=^'-^.-^.*^

^iiod

200 SrrrLEMENTFM CIRCJ FROBLEMA

Quod fi pmeterea fiat a=i2,quod contirigit cum funt
r—^n, ct s~ — m^T-oc calii hnbetur

J\WM)MP-' R'^-' ~f[-T^ih^-' </MH-^'^«MPr/M
_^.l:^,.iVlP-+-.^M)R'>'-'.

Siri vero p( — ^^^=^'') fit mimerus integcr pofitiuus,
tt dicantux

* _ — tr -o -fP-f-(P-t-7)A}a p _ -TT-t-Pb— (P— 7-f- ' ) Ba

.(3— i)B-;f3— 7-1-3 )Ca t? __ (P— ;', C— ((3-7-t-3 ^Pa .

— * p_H.27-3,c '-^—^ P-+-2'y-4,o- ^^^'

T zr: A Mi^ -h B Ml^- ' -1- C MP-= D mP-3 -h E MP-+ -

r M -h A , fitque T — y A « , inuenietur

^ -"f ''j3'fl'.v— TR'^. Adeoque curuae hoc cafu qiiadra-
biles funt abfolutae.

SVPPLEMENTVM AD SCHEDAM

m MENSE AVGVS rO ACTORVM ERVDITOR.

MDCCXIX. CIRCA PROBLEMA A TAYLORO

MATHEMATICiS NON ANGLIS PRO-

POSITVM, EDITAM,

AVCTORE

I. Hermanno.

c

tVuuiaXiv. ^'^Vm iacuute anno 1719 IIL D. D^ MoimiM hau(;

s_

formulam a CcL Tavloro Ma-

thematicis extra AngUam degentilxis ad cou(kuendnm
propofitam acccpiflct, Vir humaniflimus candem quo-

ciue

A TAYLORO PROPOSITFM. loi

quc mihi per litteras commeiidarat. Qiiare fequenti Mar-
tio petitam conlti-iitflionem in priu;itis ad Ipiiim litieris
mifi. Interea Cel. nofter lob. BmmHi non modo dedit
conllrudionem, ied modum ctiam rcducendi eiusniodi
fractiones fufe expofuit in AcT:is Erud. Menf lunii il-
lius anni ; cuius perpuklirum fchedialma hac de re, atque
eius praefitio, legi mcrentur. Q_uaenam ego eodem in
argumento praeititerim iudicalit Lcclor ex iis quae in
Menf Augult. eiusdem unni habentur. Qiuie eam in
rem ilhc pubhci iuris fcci occafionem dederunt Viro Cel.
GabricTi Manfrcdo hoc ipliim redudionis negotium la-
tius traftandi, iisque quae tradidi noua adiiciendi , vt vi-
dere eft in Tomo II. Suppl. Diarii Veneti pag. 241.
Tandem vero anno 1722 prodiit in Lucem Harmonia
Menjiirarum , fiue Analyfis et Sjnthcfis per Rationum et
Anguloruni menjuras promotae ., ex qua nobis demum in-
Dotuic , problema ihud Taylorianum non Praeclariffimum
Taylorum ipfum , fed Acutiff dum viucret , Ro^erum Co-
tefium autorem habuifle. Nam maxima pars clegantis
huius operis verGitur circa conftrudiones eiuimodi for-
marum, et conftrucliones illae innituntur tantum non
omnes egregio theoremati dc diuifione Circuh in partes
aecjuales, cuius tamen demonftratio Autoris in hbro eius
polliimo non reperitur. Ex ahquot tentaminibus circa
demonflrationem theorematis fruftra fufceptis, iudicabam
demonftrationem eius debere e(fe akae indaginis, cum
primum in Adis Eruditorum theorema expofitum vidif-
fem , neque poflea aliter ienfi, cuin Cotefii opera in ma-
nvis mihi veniifent, atque ad cakem eorum Anonymi
cuiusdam demonftrationem praefati theorcmiitis vidiffem :
TQm. FL C c Jhanc

202-. SyPPLEMENTFM CIRCA PROBLEMA

hiinc enim demonftrationem pereruditam elle , vt nemO'
negare poteft , ita etiam quiciinque eam legit Ibtim \i-
det, non parum kboris a peritilllmo eius Autorc po-
pofcilTe; de alia vero quaerenda non amplius follicitus .
de toto hoc negotio vlterius non cogitaui , donec ali-
quo ab hinc tempore ex communicatione cuiusdam Ami-
ci, qui iple cuxa eandem demonftrationem iam prae-
clarc veiliitus et elegantem demonlkationcm nadus cfl;,,
Celcberrimi D. De Mohre Mijcellanea analytiea de fe-
riebiis et qiiadratiiris , percurrere mihi hcuiffet, In cru-
dito hoc opere occurrit pulchrum theorema dc diuifione
Circuli in quotcunque partes aequales, ex quo deinceps.
magna breuitate et concinnitate deducit tum demonftra-
tionem theorcmatis Cotefiani de quo fupra , tum etiami
fracfliones conrtruendas ad formas fimpliciorcs. Verum'
tamen quia pofi: kcfiioncm vtHbet attentam. corollariorum^
■^^fum Lem_matis illuftrantium , femper aliquis fcrupuhis.
iGcmanfit, impediens quo minus crcdere polfem Acutilfi-
mi Viri mentem me rcAe percepilfe , id in animum indu-
xr. meum, vt adhibito quidem Lemmate Moivreano^,
mea tamcn demonftratione munito, aliam inirem viam.
iii: applicatione eius ad demonftrandum Theorcma Cote—
fianimi.. Vt vcro ad rcm veniam D. DeMoivre Theore.—
ma, feu potius Lemm.a, iti habct.

Lemmao.

Si in CircuJOyVuius radius cji i^ Jlnt dm arcus A

ct X quorum Cojinus fint l et x .,fitque sX-{-V {xx — iY
i

— f/-'f-V( //-!);'»'' Erlt arcus A ad mum X, i-t n
(id j?. N^iHi

J TJTLOW PROrOSITFM. 203

Nam jf-l-yCrA-i)— (/-4-V(//-i)," praebet fx-^
1/ {xx-x))n,—l-^y {ll~i) et n Log. (x-^Vixx-i))
r= Log. (l-i-V^ //--i )y) , et differentiando nd Log. ^ji--i-V'
(a-.v- 1 j; zr ^Log. ( l-\-V{/l-~ i ) . Atqiie (x-^Vixx- 1 )—

^-^j^ nam ^Log. (x-^V {xx-i))~ ^'L±J^^i} —

x-^-Vixx-i)

^^r-i-xv^^T) (veidmilo niimemtcre et denominatore per
AT -f- y (1- „Y — I ) ) — ^^zr] '■) rimiliter eft d Log. (^ /-f-
y {ll-i) )~ -^jtizT) , quare « «'Log. C or -r- V(i-.v- 1 ))
^d Lr.g. ^ /-f- V ( //- I ) pr_aebet vI^D^ ^^fe-) ==
v;/T.ii7-), et ducendo h:inc in ^7, inuenietur y(,"_^3^) —
y=3Tj, verum ^i'^:^:;), et 7^7^, , funt elementa ar-
cuum X et A, crgo ;ji?X — <^A, adeoque «XnrA-,
cft ergo A:X::«:i. (^. E. D.

Corol larium i.

Dicanftir ^zz 2 , D.- «; En^^^^^' -f- «- 2D ;
F=""^3""-(''^4^-^)D-f-«-4E; G-=2^J^-S

^f_ ( !izz^^-_lJLii4 ) j5 _ ^L-rA. J.-:^ ) E -|- « - (J. F ^ atquc
f\c deinceps. Aecjuatio lemmatis .v -h V(ji\v— i ) —

{/-f-V//-i)" hanc >dabit aequationem /?".v"- D/^"— ^
A'"~M- E /7-4 .1"-* - ¥ h''-^ x""-^ ^- ctc. - 2 /zr 0.3
pro diuifione arcus A in n partes.

Ponendo enim x-{-V { xx— i )—j , elicietur jj/
■'-'a.rfH- I — <?, (ed eft quoque ji— x-i-y{xx— 1}

'— ( -'4- y{ll-ij > , et per conrequens j "— l-^VJl-a ),

Cc 2 ex

204 SVfTLEMENTVM CIRCA PROBLFMJ

ex qua deriiutur j -"— 2 /j'' ^- i = o. In ambabus hi»
aequationibns j/ ell quantitas imaginiiria , fed Cf^rum ope
tolli poteft quicquid in iis imnginani incrt, et peiucnie-
tur ad acquation.m paulo ante exhibitam h^x'^ — !)//^^*
^„_2_j_£/^re-+^^,n-+_gt(,__2^ — ^^ cuins radtces om-

nes funt realcs , et tot habet quot vnitate& in exponentc
n continentur.

Corollarium 2.

Hae vero radices funt Cofinus arcuum huius feriei

k C_A C-HA. 2C— A 2C— A 2C— A. 3 C— A ^ ^ ^

^ '-«- ' 'JT ' —tT- 1 —n^->~T- ■, n retc. pcr tot tcrmi-
nos continuatae,quot vnitates funt in numero n. Nam non
fohun cum arcus A , fed etiam cum arcus C — A , C
~h A , 2 C — A , 2 C H- A , etc. in 7i partcs diuidi debet ,,
fempcr eadem redit aequatio m praecedenti Coroliaria
exhibita;quia omnium arcuum illorum communis eftchor-
da, atque adeo commuiiis Cofinus, exiftente C tota cir-
£un:ifcrentia.

CoroIIarium. 5,

Si Arr-^C, fcribam tunc pro A, Q^notam quadrantiSy
et cum eius coflnus / fit — <?, acquatio diuifioni qua-
drantis inferuicns erit Zj^a.-" - Dy??"— = :i'"— ^ -f-Ey^""*
x^—^-Yh'^-^ x""—^-^ etc. —0, cuius radices funt
cofinus arcuum huius feriei ~',-^,^,^,-^, etc. fub-
ftituendo in ferie arcuum CoroUarii praecedentis Q^ pro
A, et 4Q pro C. Qiiod fi praeterea duphcentur
termini fradlionum in eadem arcuum feric , prodibit hacc

i^ 2Q, «SQ, 1 oa » +Q_ 18Q.21CL ir/i.--w

— 2 0.5 ifta xr X rX? \i\r-irr ctc. denotante S

A TJTLORO PROFOSITFM. 205

(emicirculiim. Hinc idcm eft fine diuidas qnadranterri
in n partes, liiie ilmicirculum in X partes, nam Cofi-

nus arcuum s" ? ir i V 1 11 5 ^f^- ^^ Coiinus arcuum -| ,
XiXiX^ ctc. dant e.isdem radices aequationis /?"a''^-
D^''-\v"-2-f-E/?"-+.v"-^-etc. -0, Verum G.
diuidendus fit S in X partes, aequatio Coroliarii i . huic
cafui applicata praebct b\v^—Db^~-x^~- -j-E /)^""^ a''^"*
— F//— '^.i^""'^ -f-etc. -f- czz:o, conuertendo n m X,
et 7 in — I . In feric vero arcuum in Coroilar. 2. ex-
hibita , mutando quoque A in S , habetur eadem feries,
quae fupra in hoc Corollario, nempe x ) X? ¥1 x" >
X , V 1 Gtc. fed in qua finguli termini geminati confpi-
ciuntur , quod indicio eft numerum radicum inaequaliiun
aequationis b^x^ — &tc. —0 tantum effe ^X feu «, vt
natura rei poftulat, et altera aequatio diuifioni Qiiadran-
tis inferuiens id etiam indicat. Sed diuifio femicirculi
in X partes aliam adliuc arcuum feriem fuppeditat, quo-
rum cofinus alias eiusdem aequationis radices manifeilanty

nempe ^ , x ^ X . i: » x > X ^ etc. quae oritur cum m
ferie Coroll. 2. ponuntur Arr o,C— 2S, et « muta-
tur in X , et termini huius feriei , eas praecile radices
indicant, quae in ferie arcuum x , x" > x" 1 ^^c. erant prae™
termifiiie , fed etiam termini iiiius geminati occurruiit.

Theorema,

M = V( I -2c-z-{-z^ !; N = V(t-2z-hz^), etita^
porro • Deinde a zz fummae omnium a^ i?^ Cy e^ etc^

Cc 3 ^*

-io6 SJ-PPLEMENTFM CIRCA PROBLEMJ,

i|3^ — fummae produftornm omnium, cum feriei ^,^,
^,f, etc. bini quique termini inter le multiplicannir,
y5— {iimmae produdorum cum tcini quique ciusdcm
feriei termini inter le ducuntur. $^ z:^ procaKftorum
fumm;ie cum qu;iterni quique inter fe multipl cantur.
e^ rr aggregato produdorum cum quini quincjue conti-
nuo intcr fe muitiplicantur. (^^ — fummae produdo-
jrum cum, fcni termini quique inter fe micuntur • et fic
porro. Sintque a—o ^ y'^ ~ o ^ e^—O, etc. vcrum (3'Z)'
rr~D, .^+Mzn-hE, Cp^//— -F,etc. \bi liiterae
D , E , F , etc. easdem quantitates denotanr , quas in Co-
roli. I. Lemm. praecedentis , n vero numerum ficf^CH
rum K , L , M , etc «is pofitis crit K= L - M= N = etc,
m H- s^., exridente X —2 n.
Nam K'L^:^i — 2. az-^^abz^ — 2 az^ -h ^^ ]

— 2.b -f-2 —il;

l^^L'y['^—T-2.az-{-^abz^-Sakz^-\-^a/^z'^-2az^-\-z^^
^ib "^-^ac —4« -1-4^^ ~2.b
—zc -\-^hc — 4^ -^^hc — 2f
-1-3 -4t" -4-3

■tt fic porro.

Ex liis formulis produ<3:orum iam apparet, coefficicntcs
terminorum a primo i in quo z nullam , et ab \lti-
ino in quo z maximam dimenfioncm habet , aequaliter
diflantes, aeqirales efle, et ex iisdcm produ(ftum gene-
rale omnium fadorum forc K^ L-M^N^ etc. zni — D;^-^

— K-f£.D 4-«-4-E

n.n—\ n—2
■ 3.3 ~

Qiiia

A TATLORO PROFOSITFM. 2.0^

^iiia' vero^ per CoroU. i. Lemm. font Dzr w; E=r—

(— 2— )4-(;z-2)D; F:= — ^"3 — -C — ^)D-|-
(«-4)E; G=etc. fiet K-L^M^N^ etc. —1+^2»
(verpropter X — 2«) — i •H-^''. Q; E. D.

Corollarium i.

Yimtt-ia~o ^ t-ihz::.o^t-2(;~o ^t-^e—o etc. du-*
disque his omnibus in fe inuicem , inuenietur aequatio

^^ ;i-'; _l_etc. — (?, ifta vero per fuppofitiones theore-
matis abit in fequentem ^*— I)/"-2_|_£^n-4_p^«_5'

-h-etc. — 0, et fada in hac t~hx\ inuenietur h^^x^
-Tih''-' x'^-- -i- E h''-^ a-"-4— F h""-^ A.-"-^ -h- etc. quae
prorfus eadem eft cum aequatione Corollarii i. Lemm»
praecedentis , quaeque per CoroU: 3 . euisdem Lemma-'
tiS' conuerti poteft- iii aequationem inferuientem diuifioni
femicirculi in A partes, h^x^—'Dh^-x^~--\-'Eh'^~'^,'^-^
—F h^-^ x^-^ -f- etc. -}- 2 "0 , cuius radices funt cofi-"

ms arcuum x" 1 1 7 x 1 x 1 >r ■> x' 7 etc« vel cofmus ai^

^ O 2S CS 4S 4$ 6S ^.

Corollarium i-

Fadores quos in. theoremate K , L , M j N , etc
nominauimus ,. deinceps indicabimus per H cum adfcriptO)-
numero ordinis iUius arcus cuias cofinil^ influit in com—
pofitionem fadoris. Hanc ob caufam fadores in quibns

C C nC 5C ^C P C

aafuntcofuius arcuum huiqs feriei x", jr 5 ir ' x 7 x rir?'

etc>^

408 SVPPLEMENTFM CIRCJ PROBLEMA

etc. emnt Hi,H i,H3,H3,H5,H5,etc. et flidores in
quibiib infunt collnus arcuum huius feriei -^ , ^ ^ IT > ¥ »
^^,^,etc. erunt Ho , H2 , H4, H4, H(5, etc. ^

Fig r. Vnusquisque vero fiicflor H eft linea ex pun(flo dato P

in diametro AD femicirculi ABD ccntro O dcfcripti,
ad aliquod circumferentiae pundiim B dudta , nempe
PB, vbi radius AOzri, etOPzzs;. Nam demiffa
ex B perpendiculari BC in diametrum, et \ocando
cofunim arcus AB, qui eft OC,/;, erit BP^~i —
^ksi-hz^y adeoque BPzz-V {i — 2kz-{-z-).

Corollarium 5.

His pofitis , fi exponcns X eft numerus par , feries
arcuum x" , |:, x , ¥, x% "x^ etc. praebet fadores Hi,
Hi,H3,H3,H5,H5, etc. adeoque HixHixHs
:«H3xH5xH5— ]f H-a^

Series vero arcuum x->T'->^i^^->Tr-) ctc. fub-»
miniftrat fiidores H o, H 2, H2, H4, H 4, H 6 , etc. Cum
vero prlmus arcus fit o, et eius cofuuis n: -f- i , \1-
timus vero femper fit S, cum X eft numerus par, et
cofinus S — — I , primus fador erit Ho zr V ( i — 2^
-|-5;2 )— I — s;, et vltimus feu H-y— y( i -{-zz-^-z^)
nz I -\-z; quare cum produdiim Ho>.Hv fit —i—z^ ,
erit HoxH2xH2xH4xH4xH(S:=::i— ^^. Nam fa-
dlores medii H2, H2, H4, H4, etc. quippe qui omnes

bis occurrunt produccnt i 1-~^~^ \bi pun-

^a termmos medios intcr i et x: denotant.

Sia

A TATLORO FROFOSITFM. 205»

Sin vero exponens X fit numerus impa}\ feries

arcuunri x" 5 /7? x •> ^x^ ? V ^ ^'^c- admittit fiidores H i , '
H I , H 3 , H 3 , H 5 , etc, quorum "\dtimus femper erit
zni-^z^ qiiia in arcuara lerie vkimus lioc Ciifu rem-=
per cft S. Qiiure habetur tunc HixHi xH^ xH^xH^
3<etc. n: I -f-;!:^

Series Yero altera arcuum,quorum primus eft <?, admit-
tit f-nfliores H(? , H 2 , H 2, H 4 , H 4 etc. iiiter quos cum
primiis fit H/?— X— s, et omaes reliqui geminati fuit,
ideo HoxH 2XH2XH4.XH4.X etc, —x^^,

Scholium.

Si itaque cxponens X — 5, diuifo circulo AB in f %• »
2X feu 12 partes aequales, du(flisque ex dato puncfto P
per fingula diuifionis punda recftis PBi,PB2,PB3,
etc. erit PB i xPB^ x PB 5 xPB-? xPBp x PBii — i

^. Et PAxPB2xPB4.xPB(JxPB8 xPBio —

J <v.O

Similiter fi fit Xin^, diuifo circulo in 10. par-
tes, duclisque per fingula diuifionis punda redis , vt in
praecedenti cafti, erit PBixPB^xPB^xPB^xPBp
= i-i-sS et PAxPB2xPB4xPB^xPB8i^i-;:^

Problema i.

ReJoJucre fra^thnem — — , in Jijnpliciorcs , cimt

exponons n ejl nwnerus par.

Dicatur binomium i-t-:^» — 2, flntqne Q.' ^ ^ '»
S- fi(f% )res eius pcr Tlicorema praecedens inuenti , crit
Tom VI. Dd erso

410 SFPPLEMENTm CIRCJ PROBLEMA

ergo — — — , ct ditFerentiiindo Logarithmice —

«^^ ^Z «<^2; . nz^"^ dz ndz ndz
in — — , fltqiii —

z Z. z i-h-" z 5;x^i-f-.5'"-)

dT. ndz , n —zdT.
'^-TT- > adeoqiie ^— — -\~ n. Verum

propter Z ( =: i -4- c'» ) =r (^- x R^ x S -x etc. crit f = -^

ttc. Sint iam (^^~ i— laz-^-z"^ , R-— i - ibz-irz'^:^
* ~ I — 2 f ,c; -f- 5;- j ctc. eriintquc -q;^ ~ ^_„^£_^^x—

*~ ^ 1 •" I — 2az-f-:i* j Rdz • 1 — Zaz-i-Z^' ~ ~ - "-7""

— 2 62-+- 2 . — : g --(S :cg- — ^* ^ — 2'-g-4-" _

I — 2ta-j-z* Sda 1 — 2C2H-a^" — ' i — : ca-)-^* *

etc. quare colicftis llngulis partibus, inuenietur -^^
^nz=:-2-2-2- etc. -f- /z -4- T-TaStz* -+•
Uat^-t:^-^ ,-2cz-t-z^ - -f- etc. eft vero «-2-2-i
— etc. pcrpetuo rzo , adeoqne ^^.^- -f- /2 ~ — x^:^^

, 2 — 2fiz , 2 — 2ia , ,-

-+- -,-26^415'» -^- -T-^-Ti^-f.^»- -h etc. et per conle--

I-f-X^V »Zf^.S / Q2 R2

,4- "~^^- --V- ctc,

Corollarlum.

Si exponens n cft impar, ad fa»n:ores Q-,R-,S*y.
ctc» duanim dimcnfionum accedet adhuc foclor V— 3-

H-- z, -vnius dimenfiunis, adeo \t tunc liat n::

' ' 1-4-;!?»

2__2a i^^^^c. 2__2C^ i

»L ^i-i- 2 1.1 -h 5 5-- 4- etc. -H ^.

Pro-

A TATLORO PROFOSITrM. ±tt

Problema 2.

Refoht^re fra^ionefn -^ in fuas primlilias.

X — i — 'Z>

Si n eft numexus par, feries fadorum P, Q_^ , R^,

5= ,V,habebit primum Pz^i— ;z, et vltimum

Vm-f-.c;, vnius diraenfionis, mediosque Q_-,R-,S-,,

etc. trinomiales et duarum dimenfionum , quarc procc-

^ ■»

ckndo \t in Problemate praecedeuti , fit -— — —

Q_= S- S= ^

Sin vero n fit numcrus impar, inuenietur

T — ~'*

•„ ''23 22& 2"c
X — -tjz ly — --~ j:l --<%•

. 71 ' K n_J^ L_ n n_ ~ .. | .. n n_^ . I- £t-c

Problema 5.

Tiiuickre Trinomium i ■^2.lz^-{- z~'^' infuosfa&o-
res priimtims.

Sint hiQ_-=:i-Crt;:i-4--2,R2 — I -^/'.cr-f-S ,
5-1:^1—2^.3-4---, etc, qui in fc inuiccm ducli pro-
ducunt feriem theoremate praccedente cxhibitam. Qiu-
ic fi iu hac feric, vt ibi, omnes poll primum tcrmi-
nos euanefcere faciamus, vsque iid tcrmiuum w''Z»''.c:'',
euanefcent panter omnes fequentcs pofl: hunc vsquc ad
terminum -j-.s^'^, ita vt tota feries tunc in trinomium
J-Hw"/^''^;''-!-;^:^'' abeat, vel pofita w''Z?''— -+- 2/,
in I + '2.lz'^-^Z''^. Omnes reliquae coefHcientes a^,

Dd 2 (32

212 SrPPLEMENTrM CIRCA PROBLEMA

R-h-^Y^h^f etc eosdcm valores habebimt ac iis
didio theoremate^ excepto termino w"/?'' qui ad aefti-
mationem quam in theoremate habet afcifcet adhuc -f- 2/.
Hoc modo lcries- CoroUarii i Theorematis mutabitur in
h''x''-'Dh''-- x"-- -{-Eh''-'^ x"-'^ -¥ h''-^ x"-^ ^h
etc. ^^a/zro, quae ipfiffima elHeries Lemmatis prae-
cedentis pro diuifione arciis A in ?i partcs. Hic au-
tem arcus A erit quadrante minor, cum / cft numerus
affirmatiuus, et quadrante maior, cum eft numerus ne-
gatiuus. Series hic inuenta tot radices habetfpevCo-
roU. 2 Lemm. ) quot funt cofinus arcuum huius fc-

. . A C— A C-+-A CC-A 2C-t-\ 3C— A 3 C-(-A ^^^ ,^^ „ . ^^

terminos continuatae , quot vnitates funt in exponente
n. Q. E. L

Qiioniam / denotat coflnum arcus A cum finus totiis.
eft I , / femper muior effe debet quam i , aut / ~ i .

Scd ft / vnitate maior eft, trinomium i -4- 2/5™
^-js^"' debet primum in duos favSorcs binomios -j-/»4-
z^^y et -I- </ -i- c- '^ refolui , exiftentibus p zzi l-\- 'V {II ~

I ), et ^' — / - y ( //— I ) . FadJs deinccps x —z x « , et

y-z>^''^^, et fienr -±^p-\-z''z:z-^(i-^x'')^p^ct^
q-\- z^ zr. -\- I -hj^x^ j nam binomia i^^.v", ct i -\~y
per Thcorema fuperius in fupcrius in ftdorcs fuos pri-
mitiuos refohii potcft.

Problema 4.

Dluldere fra^msm ; — in JJias fraciiones.

friwitiuas. Di-

K

A TJTLORO PROFOSITVM. 215

DicatuF nunc Trinomium i — £/;:"^-l-^-"~Z, et
zr— , ac diftcrentiando 10-'

ganthmi-ce ^^ -H ; (vel ..

^ i~2lz''-\-z^'' l-:^ ^

reducendo has fradtiones ad eandem denominationem )

[in—zUn)z''-'~'^ dz dT. , znz'^^^ dz , , _

— , -r:: — - -+- , \el duda

iI~z'')xi-2lz''-\-z-'' Z i-z''

, . I-z'' , n-IIn (I-z^^^xdZ '
iiac m , haec „— .

2z"—'dz i-^Iz^^-hz"""' ^z^^-^Zdz

M- n. Sed propter ^^ =: -^^ -i- '-^ -h ^ir^-}-

^ I-z^^xdZ /-aIz"-''-\-Iz'-''-^az-Z'\
etc. fiet — f ■ )

-^K R= r\ ^ )

, /•-i/s'-''H-fe=-»-|-i-fc , /-ffc'-'"-l-/c:=-''-(-i-fS\

-^C- — iT^- — ^l" — s^' — ;

etc quare ;- ( — — - — , ^, , -f-/? ) zz:

{-alz ' -"•4-/5;2 -«-h I -ttz\ r-blz ' -'*4-/s=-''H- 1 -bz

l q5 y +i^ ^^ ■

^ j^-cIz'-''-\-Iz--''^i-cz\ , ^ ... ,.
-f-(^ -^^ J 4- etc. Sit K~

|3~'-«-'r-Ys""'-+-(^^5-n et fjc vsque ad -f-X^;-'^
«litque K <^- - (3 s ' -" -f- V ^=-''-}- <J z ^ -'^-|- ctc, - 2^?^

I^^ 3 4-A^

214- SrFPLEMENTFM CIRCA TROBLEMA

'hz^ vbi K eft codiiciens qujic tcrminiim > praecc-
ditj bicc vero aoqiiiuio mutabitur iii KQf— «-/;:;'— "--/::=-''
_ 2 ^ X -f- X c; , ii a , f3 , y , ^ , etc. dcnotant cofinus ar-

cuum -^^^,-^ vsquc fld "~;,'" • inciufiue per / mul-
tiplicatos. Nominando vero cofinum arcus — ^ ,/,
cxitX— //, et aaX — y. inuenictur effe cofinus -^-— A,
pcr / multiplicatus , eft ergo ^;^?^- xr:;//, quarc eiiadit
KQ_= — ^/.s'-"-/s--^-//-h//^. Hinc -ak^-^^^lz'-'''
--i-i -az:=z-KCl~ -}- i - I / -\-(f/-a]z , ndeoque

-a!z '-"-f- / ~--"-vi-^-__ i-//-(a^f/)z_ ^ .
. ^___ __ ^^ ,

- /» /^ '-'^-H_/c:^-"-hi-/;£_ I -//-(/; -h^^/)g _ j^ ,

-cIz''-'''i-/z^-hJ-c-z_i-//-(c--\-b/)z ^

-^2 ^ - S^ " '"^ '

iefc. Vbi L , M etc. funt feries eodem modo formatae ex
K' cr S- , etc. ac K formata fuit cx Q_-, et^-,/;, defignant

^ (ji— i!(C— A) {n — i)(C-l-A) ^ 1 ,

i cofinus arcuum ^^ ■, f ^, etc. qucmadmodum

jTfignificat cofuium arcus'^^'- ' .Kanc ob cauliun inuenicur
- n-I/n T-//-{a-\-f/]z i-//- {b-\-g/)z

l'~//—{c-{-h/)z , ^ Tr T n^ r I

-i ^-^^ — H- etc. -K-L-M- ctc. Scd

propter a -{- 1) -\- c -\- etc. — o , fit etiam K H- L -|- M

. ^ , «-//« x-//~(a-\-f/)z
-f- etc. rz 0 , adeoque — -^ L_.L_'—

i-2/c:"-l-^''* Q,"

1 1/ f6_)_£l)Si J _//_(r_f_W)j; ., 1- • I J„ ..,„„

•-i ly^ — H-' — =i'.^^= — -h-ctc. ct duudcndo pcr

n-/l

A TJrWRO VROPOSITFM, ai^

n-lln. haec 7r;r^- '^^2-\-'lILJl-tUjl

-l-l_Ili:^i; H-etc. Q. E. L

Corollarlum»

Si l—Oy inuenietur pofito X— 2«,

I

2_ 2az 2 sJz 2 2CZ

^ ~. >-4-^~ ^--f- LZ.X-1- etc. vt in ProbL i.
0^2 K- S^

Problema s*

Diuldi.'t'e fra&ionem ~ in Jitas primiti-

I "~1 2lZ — v~Z~

uas,

Poficii itcrum 2.— 1-^-2.1 z^-hz"^^ ^ Inuenietur fimill

prorfiis procefTu ac in praecedenti problemate

i^zlz''-{-z-'^

— f- ._ ^

h etc. Fiat et nunc K

S^

et erit hic quoque K(^- — alz^~''-lz'-''-2a'K->i-K
•4-A5;, et ~ — — ~/, fcu cofinui arcus A quadrante
maioris, et j -/coflnui arcus ^— , et operando dein--
ceps ad dudum Probl. praec. inuenietur ^

i-^ilz^^-^z-""

&i^m wmis njDicvM a-eqj^ationvm

q. E. I.

Atqiie haec fmit quibtis methodiim mcam jam anno
1719. iii Adlis Emditamm pag.351. exporuambreuitcr
illuftiMic, et occiiG.orie innentorurn Cel. Mqyvrci pau-
hihim extcndere, \ifum cft. Superuacaneiim i d.ico often-
dcrc quom(i)d(*) fuperiores formulae in formas Cotefii
fiiit tr.uibfundcndae , cum hoc fst negotium ad p^irum
calculnm algebraicum fpeclans a -quolibet Analyfta fa-
cile cxpedicndum.

DE FORMIS RADICVM AEQVA-

TiONVM CVIVSQVE ORDINIS CCN-
lECTATlO.

AVCTORE

Leonh. Eulero:

SVmmopere ndmirnndum ■vidctur, qnod, cum ipfis
rei analyticae initiis radiccs aequationum cubicarum
et biquadraticarum clTcnt inucntac , his tamcn tem-
poribus , quibns analyfis maxima augmaita ^ccepit , mo-
dus adhac lateat akiorum aequationum radiccs enieudi;
praefcrtim , cum haec res contjnuo a piaeftantiilimis in-
geniis maximo fbudio fit inucrtigata. Qiio fhidio , quan-
quam c]uaefito parnm efl (atisfadum: cgrtgia tamen ad
quasque nequationes tradandas fubfidiafuntdcte^a. Qnam-

obrem

crJVsorE ordinis coniectjtio. 217

obrcm ncmiucin puto fore, qui hoc mcum inftitutum ,
q'io , quas tbrnias habcant aequationurn nidices , et qua
via eae fbrte inucniri poflint, oftendo , ctiamfi plus non
praeftiterim , fit reprehcnfurus. Ahos enim fortafle ma-
gis iuuare, atque tandem ad intcntum fcopum pcrdu-
cere, poterit.

§. 2. Cum aequatio cuiusqiie poteftatis omnes in-
feriores in fe comprehcndat , facile perfpicitur , metho-
dum quoque radicem ex quaque aequatione extrahcndi
ita efiTe comparatam, vt omnium inferiorum aequatio-
num methodos inuoluat. Quamobrcm inuentio radicis
cx aequatione fex dimenfionum haberi non poteft , nifi
eadcm antca conftet de aequationibus quinti, quarti, et
ttrtii gradus. Ita vidcmus BombeUii methodum, ex aequa-
ti >nibus biquadraticis radices extrahendi, perducere ad
rcl()lutioncm aequationis cubicae; atque cubicae aequa-
tionis radicem definiri non polfe fine quadraticae aequa-
tionis refolutione.

§. 3. Refolutioncm aequationis cubicae feqiienti
modo a quadratica pendentcm confidero. Sit aequatio
cubica .v'— <^.r-H^, in qua fecundus terminus deeft,

i t

huius radicem x dico fore zzv A -+- K B , exiftentibus
A ct B duabus radicibns aequationis cuiusdam quadra-
tic:ic z^ ~az—'^. Qiiamobrem ex natura aequatio-
mim erit A-|-B — a et ABzr g. Sed ad a et g ex

<? et b dcflnieudas fumo aeqoationem .vz=:y A-f-V B,

qaae cnbice miiltiphcara dat x '— A 4- B -i- 3 V B A (y A

H-yB)— 3. vT^AB-l- A-i-B. Quae cum propofita
Tmn. VI. Ee x^

iiSDE FOmiS RADICVM AEQVATIONFM

2 3

X' =zax-\-lf compamta dabit ^ =r. 3 y A B — 3 V g , et
^ — A 4- B =1: a. Fi»t igitiir a — bet g — ~ ; quocirca
aequatio quadratica rerohitioni acquationis .v' =:«aM-^
didio modo inferuicns erit z' — bz—-^^. Huius enim

ladicibus cognitis A et B, erit x-zzV k-^l/B.

§. 4. Sed cum radix cubica ex quaquc quantitate

Iriplicem h.ibeat valorcm, haec formula xzzy A-^-Vl^
om.nes ctiam radices aequationis propolitae complede-
tur, Sint enim \k civ practer vnitatem radices cubicae

ex Ynitate , erit etiam X— [jLT^A-l-J^VByfi modo fit
j^.vzri. Quamobrem [x^tv effe debcbunt ^^^^— et

'rJ -^- g , vel inuerfe. Praeter radicem igitur .v~y A-H

y B f.itisficient quoqne propofitae hae duae alterae radices
X nziilJrtl-rily' A -1^^- -^f B , et .rrr^-i^iiy^A^-^V:!?

yB. Hicqvie ratione aequationis cubicac ctiam , in qua
fecundus teimiaus^- non deeft ,, radices detcrminari pote-
runt.

§. 5.. Aequationes biquadraticae variis modis ad cubi-
cas reduci folent, quorum autcm niilhis inftituto meo^
vtilitatem afferre potefl:, Sed mihi eft peculiaris me-
tliodus idcm cfficiendi, atque priori, qua cubicae ad
quadraticas reducuntur , fimilis, ita vt exinde quodammo-
do conchidi poffit , quomodo acquationcs ahiorum gradu-
Wn debeant tradari. Vt fi propofita. fit liaec aequatio

CFirSQFE ORDINIS CONIECTATIO. 219

X^~ax^ -\-kx-{-c in qiia itidem fecuiidns terminus deeft;
dico fore x-VA-^-VB-^-VC ut A,B et C efle tres
radices ex aeqiuitione quadam cubica z^^—az- -Sz-tY-
Hanc ob rem erit a zz A-i-B-f-C , g ir AB -t-AC-j-BC
et ■y— ABC. Qiio autem a, S et y determinenair,
aequatio .vzrl^A-i-yB-i-l^C ab irrationalitate liberetur,
hoc modo: Snmantiir qnadrata erit x-— A-j-B-f-C-H
syAB-H2>/AC-i-2^/BC liincque x=-a— 2l/AB4-2V^AC
2I/BC. Sumendis denuo quadratis fit x^^-^ax^-^-a-^zz
4AB-|-4AC-f-4BC -i- SV ABC( yA-f-yB-l- /C)
:^4.g-|-8.vyy, feu .v^ — 2a.v= -f- S^yy-i-^g-
a^. Haec aequatio comparata cum propofita .v^z^ax^
-H^-VH-c dabit 2a — a,SVyzzb et 4^ — a-~r;
ex quibus prodit a— |, yizig^^ , g— ^-|-^J. Aequa-
tio ergo cubica relblutioni aequationis biquadraticae in-
feruiens eft ^^ —-1 2'— 't^ =•'*', s-i—|'^. Huius enim radi-
ces , fi fuit A , B , "et C , erit .v =: VA-i-VB -\-VC. At
reliquae trcs radices ex aequatione propofita erunt y A —

VB-vc^yB-yA-ycetyc-yA-yB.

§. 6. Ponatur z — Vt erit f/-t-^-')y/=»j-H
■l^, et fumendis quadratis habebitur ?? -j-^^^-?=_f_

~To"~^-2"-JT6 )^~+~T5W ^'^^^ aequatio ergo hanc habec
proprietatem, vt eius radices fint radices quadratae radi-
cum prioris aequationis , A , B et C. Qiiare fi huius

aequationis radices ponantnr E , F , G , erit x r~ y E -f-

TF-i-yG. Datur itaque aequatio cubica cuius radi-

Ee 2, cum

jiO DE FORMIS RADICFM AEOVATIONVM

aim radices biquadniticac fimul lumtae conftituant radi-
cem aequationis biquadraticac propolitae. Atquc haec
methodus inucniendi radices ex aequatione biquadratica ,
etiamfi fit priori operofior , maiorera habet affinitatem
cum refolutione aequationum cubicarum , cum eiusdeni
poteftatis radix extrahatur ex radicibus aequationis m-
ferioris, cuius eft iplii aequatio propofita,

§. 7. SimiU ratione etiam aequatio quadratica x'
rr flT, in qua fecundus terminus dceft, refohictur ope aequa-
tionis vnius dimenfior^is z — a. Huius enim radix eft
«, atque radix aequationis propofitae x — Va^ vcl x
rz — y <7. Huiusmodi autein aequatianem ordine infcrio-
rem , cuius ope aequatio fupenor fecundo terniino ca-
rens refohiitiu', vocabo aequationem rcfoluentew . Ita
aequationis quadraticae x-—a acquatio refohiens erit
sm^j aequationis cubicae x^~ax-^-b., aequatio re-
foluens erit s' — ^s— |y. Atquc acquationis biquiuira-
ticae x^^ax"^ -\-bx-\-c aequatio refohicns cft z"^ ■zn

{^-i)z^--(:ij^-^^^'\-^^-^)--+-^v7>- Pro qua-
tiratica enim aequationc,. fi aequationis relohientis radix
lit A, erlt .r — VA. Pio cubica vero aequatiouc, fi

refohientis radices flnt A et B, erit x — yA-\-l'B.
Atquc pro biquadracica aequationc,exirteutibus rcfohicntis

lequationis radicibus A,B ct C, crit x— VA-i-yB

§. 8. Ex his etiamfi tribus- tantutn cafibus ramcn
Jionfmc fufticienti ratioiie mihi concludcre videor, fupe-

riorum

CVIVSQyE ORDINIS COmECrjTIO, 221

riorum qiioqiie aeqnationum dari hainsmodi aequationcs
refoluentes. Sic propofita aequatione x'' —ax"^ -\-bx^
-\-cx~\-d coniicio dari aequationem ordinis quarti z'^
zizaz^ -'^z- -\~y z — ^ ^ cuius radices , fi fmtA,B,C

et D, fore x zz: V A -f- V' B -v- V C -{- ■f D. Et gene-
ratim acquationis x^ — a .r"" "^ -\-b x"^" ^ -f- c x^~ '^ -f- etc.
aequatio refoluens , prout fulpicor, erit huius formae, s'^^
— a^;'^"^ — §^""3 _}i_y 2'i-4-_ etc. cuius cognitis radi-
cibus omnibus numero « - 1 , quae fint , A , B , C ,D , etc.

Ti n n n

erit :t.— VA-j-VB-hV/C-l-yD-i- etc. Haec igi-
tur coniecflura , fi elTet veritati confentnnea , atque fi
aequationes refoluentes pofient determinari, cuiusque ae-
qnationis in promtu foret radices aflignare \ perpctuo CDim
peruenitur ad aequationem ordine inferiorem , hocque mo-
do progrediendo tandem Ycra aequationis propofita ta-
dix innotefcet,

%. 9. Qiianquam autcm , fi aequatio propoflta plu-
res quam quatuor habet dimcnfiones, aequationem re-
foluentem definire adhuc non poffum ; tamen praeito funt
non nullius momenli argumenta , quibus ifta mea con-
ieifliira confirmatur. Si enim aequatio propofita ira eft
comparata, vt in aequatione refoluente omnes termini
praeter tres primos euanefcant ; tum femper ipfa aequa-
tio refoluens poterit exhiberi, atque ideo aequationis pro-
pofitae radices alfignari. Aequationes autem , quae hoc
modo refohrtionem admittnnt, funt eae ipftc, qiias Ch
Abr. de Mowre in Transa(ft. n. 309. pertracflauit, Sit
enim aequatio refokiens z"^^ —«^''—2 _ g^'i-3 fe^ z-zzi

S22 DE FORMIS RJDICFM AEQl' ATIOW M

ex hacque aequationem refoluendam ei-ui oportcat. Sint
huius acquationij radices A et B, reliquae cn.m radiccs
omncs euanefcunt, erit aequationis refohiendae radix x

"z^Vk-\-VB. E(t vero a — A-4-B et g=rAB cx

n n

natura aequationum. Hinc ergo erit VA^H-l^B^ z::

n

vV^ - 2 y l^. atque porro

VA^-i-VB^ — a'3_3;iV8
y A4- 4- y B^ ^ ji-''- - 4X= V g -i- 2 V 5=*
y A< -i-y B5 —1-? -5.v3 y g-i- 5 .vV g=^
atque tandcm

yA''-H y B« = jt«-«.v''-=yg-i-^-.v'^-+y g^^

Qiiae efl: aequatio refohicnda , cuius relbhiens cft ^*" *

^ «.s"-- -^z''-^ , feu .c;2 — a - - e.

§. 10. Non fohim autcm hoc modo aequatioms

n n

^n __ „ y;-2 y g _|_ !!J±^) ^^.7t-4 v g = _ etc . =: a vnica ra-

n n

dix inuenitur viziyA-l-VB; fcd fluisflicit etiam

n n

quacUbet aUa v =r fx y A -h v y B , modo fit (x"zrv'* in
[A. V zr I , id quod ;z diuerfis modis fieri potell. Vt fi

fit « n: 5 , aequationis .v ^ - 5 .v ^ ^ g -j- 5 .v >' S - — ct ra-
dices quinque crunt vt fequLuitur:

I.

CVirSQVK ORDINIS CONIECTATIO, 225
I. xzz f A + fB

TTT -.(-vi^v^-i o-(-2V';)^'/ A^t-Vi-^-vi-i o-f-2V^):i/-rt~

Ty — i-4-v<4-V(— f o-av;) //a i-f-v;— v(- 10-^2 vo |/ g

Y - i -t- V ^ — V(- t 0-2_V? / 1/ A _ ' -Hv' "i •+-Vf- ' O-gyS ) y -n

Hi enim coefficientes omnes llint nidices fiirfolidiie eX
vnitate,- et fli(ftam ex binis coniiindis eft~i. Simili
modo praeter iplhm vnitatem liult fex radices potelbtis
feptimae ex vnitate , harumque tria paria multiplicatio-
ne Vilitatem producentia ^ quae funt fex radices huius
aequationis j-*^ -\-y^ -\-j''^~{-j''^ -\~j ' H-J -h^ — <?• Ad
has autem inueniendas tantum opus eft refoUitionc aequl-^
tionis cubicae; omnis enim aequatio potcftatis lexta6
huius formae j'^ -j- aj^ -\-hy'^ -H cy ^ -f ■ /fj^ -{- ay-i~
i~o^ quae non mutamr pofito ^ loco y , refohii poteft
ope aequationis cubicae. Qiiod quemadmodum fiat , cum
fld inueniendas radices ftepe vtilitatem habere polfit ^ bre-
ni fum oftenfurus,

§. 1 1 Aequationes huiusmodi , quae pofito ^ loco
y formam non mutant , voco reciprocas. Hae fi maxi-
fflus ipfuis y dimenfionum numerus eft impar,. femper
diuidi poifunt per/-f-i; et aequatio reiuitans etiam
erit reciproca , in qua maxima ipfius y dimenfio erit
par. Q^nmobrem fufficiet parium tantum dimenfionuni
aeqmtioaes reciprocas confideralfey atque modnm eariim
fefoliKndariUB expoiuii^^ Sit igiwF prinao' aequutiG»

proN

a24 ^E FORMIS RADICFM AEQVATIONFM

propofita quartae poteftatis haec j+-4-<7j' -4-^7^-+-
ay-hizzLO^ ponatur haec fiKftiim ex duabus quadrati-
cis j- -I- a/ --h I iz: 6» et j- ^ H- &/ -i- 1 =11 0. Qiio £\do
fict a-i-^ — a cta^-{-2.~l;^k\\a^ — if-2. Qiiare
« et S eruni duae radices huius aequationis u'^-au-+-
lf-2 — 0., hacque ratione quatuor aequationis propofitae
radice^ ope aequationum tantum quadraticarum imiotes-
cent. Aequ.itLO reciproca icxtae potcilatis j*^ -j-tfj^
-^- ifj'^ -{- 1',)' '^ -hh'^ -i- ay-^izzo^ ponatur fii<^um triiun
harum quadraticarum j- -{-ay-\- i — 0 , j- -i- S/ -f- i
z=zo,ctj'--i-yy-\-i—o. Hinc fiet a 4-g-f-y"<7,
aS-f-ay-l-gy — Z» — 3, et aSyjnr— 2a — 2S— 2y—
c — 2a. •Qtiare a,g, et y crant tres nidiccs liiiiub ae-
qiiationis cubicac u'^ —au- -f- (1^—3 ^u — c -\- lazz-O.
Similiter aequatio reciproca ocTtauae potcftatis y'^ -\-a

jt _|- l;y^ _f- cj^ _1_ ^iy 4 _^ j,-j 3 _|,_ ^j,2 _^_ ^j' _f_ I — d? ,

eft fiiftum ex quatuor aequationibus quadraticis J" -j-
ay -h I =0 , j' = H- g ;■ -h I — 0 , >-= -f- yj' -f- 1 — 0 , et
j/' — f- (5~ T' -f- I — 0 , ex quo prodibit a -f- § -}- y -|- <5'
rr ^ , a § -)- a y -i- a S -\- § y -f- S o -f- y o rz.7> — 4 , a S
y -}-aS(5"-f-ay<5^-f- Sy 0 ~f— 3 rt", et a§y(5iiz</-
a ^ -h 2 . Cocfficientcs ergo a , ? , y , (S" funt quatuor ra-
dices huius aequationis «+— ««^-h(^ — 4)«" — (^"-3^)
«-h^- i^-f-- — 0. Aequatio ordinife decimi j ' ° -|-

^j9 _|^ ^jyS _|_ ^.yi ,^ ^^ 6 _^ ^^ ? _|_ ^l^, 4 _|_ ^.j3 _^ ^j,2

-4- <5'y -i- I — 0 fic^lum erlt harum quinquejy^-i- ay-h i
nzo,/^ -\-'Sj'-{-i r:o,>'--hy,r-hi =19,7- -h<^.y-h
1 ~"0, /^-hej^-h I — ^, in quibus a,§,y,5^,£ fuuc
quinque radices huius aequationis u'' —au^ -{-(^— 5 )

Atqufe

CFirSQJ'E ORDINIS CONIECTJTIO. ii§

Acque generiitim nequatio reciproca j-^^-f-ffj^"— '

hpj^^-l \-jy -i-ey^ -}-<>+ -i-cj^

-f- Ifj'^ -{- aj -{- I — 0 , refoluetur in has nume-
ro n aequ-.itiones quadraticas j^ -|-aj/]-j-i — o, j^
-i-^j'-h I =0 ,y^ -I- yj-\- I —0 ,j" -\-^j-i^i—o
etc. At coefficientes a , g , y , «S" , etc. erunt radices hu-
ius aequationis n dimenfiomim :

-;0 -\-{n-i)a\ -in-2'd( -Hfw-s)^

_ . w (n— 3 )\ _(n-i Hn— 4)^

f^__2Xn-0/,r (n— 3)(n-6)^ f , (n-4)(n— T) j

^^!n— 4)(n— O t i(n-i )(n- 0(^-6) V '---^V" < ^'

J~^ 1.2.3 J

J • 2. 3.

(n-2)(n-6)(n-T)/. j

— r~i ^ I

~ 1.2.34 J

§. 12. Quia cuiuslibet aequationis quadraticae, di-
uidentis aequationem propofitam, terminus extremus e(l
ynitas, perfpicuum elt, binarum radicum aequationis
propolitae ilidam elTc vnitatcm. Huiusmodi igitur duae

n n

femper cum duolrais membris V A et V B font coniun-
gendae, quo aequfttionis §.9 propofitae omnes obtineantur
nidices.

§. 13. Si in aequatione reciproca omnes termini
praeter extremos et medium deficiant, vt in >'^"-+-pj''^
H- I — 0 , diuifores eius j ^ -^ aj -\- i ^ j^ -\- ^j -i- 1 ^
.?^ H-yj'-f- 1 7 etc. habcbuntur fubftituendis pro a,p,
y^o etc. radicibus hujus aequatioms, «"— ««"— '-f-
Tom VI. Ff ^ n{n-z)

etc.

iz6DK FORMIS RADICFM AEQVATIOWM

.^Si=p^^n^^_y'^-z^:^a^-s^ etc. ±p — o, vbi -f-
p iiccipl dcbet fi n clt nnmenis par, et ~p fi n eft impar,
Ex quo iipparet, hanc aequationem conuenire cum acqua-

n

rtione x"^ -nx^-^Vi^-^- etc. -- =:« §. 9 refoluta , et
hanc ob rcm omnes diuifbres poflc aflignari.

§. 14. Magnam ifthaec in fadores refolutio formu-
lae ^^''-f-^^"' -i-i habet vtilitatem in integranda for-

mula differentiali — — ^^-—- iam laepius a Geome-

tris pertraiftata. Denominatore enim in fuos fiKflores
j2 _^ ^^_^ I ^j,2 _j_ Pj,_I_ j ^ etc. refoluto tota integra-
tio ad qu;idraturam circuli vei hyperbolae reducitur.
Praetcrea hoc pkirimum iuuat, quod aequatio z^'*— ««"""^
^^niji-i) ^^n— 4 _ etc. -^p — Oy ex qua a,(3, y etc. de-
terminantur , fedionem arcus circulans in n partes com-
pledatur, atque ita coefiicicntes a , p , y , etc. fiKilUme
inueniantur.

§. 15. Reuertamur autem ad modum ex aequatio-
tiibus rcfoluentibus ipliis aequationes refohiendas eliciendi.
Sitque acquatio refokiens js^rzas^— p^-i-y, cuius
tres radices fint A,B,C; erit ergo aiz: AH-B-f-C*,
(3— AB-i-AC-t-BC et y — ABC. Radix itaque

n n n

aequationis refohiendae .v erit n^yA-j-VB-l-yC,

n n n

ntque ponatur p=: V ABH-VAC-l-y A C . His

fadis erit yA= -1-^ B=H-yC^ z^.v^-a^, et yA^

B2 H-VA^ C=4-y B^ C= —p^ -SA-yy. Atque por-
ro, vt fequitur: ^^

CFIFSQVE ORDINIS CONIECTJTIO. 2^7
■(\/A 3 B^ -h yA.^ C^-\-l'B^C^z=ip^ ^^pxVy-i^^^Yyi

j VA'= B' ^-yA' c^+yB^ c ^ -p'-sp '.vyy-i-^^n^?

^ ^-5/?,v2yy2~5xyy3

Qiiemadmodum haec tabula fit vlterius continuanda fa-
cile perfpicitur. Namque eft yA^^-i-yB^^-l-y C™
:=.v(yA^-' -\- yB™"' _{-yC™-' )-_^(yA'"--Hl
yB^^-^^H-y c^-^^-f-y y. (yA'"-^ -4- y B"'-^
VC^^-s]. Atque T/A^^B^^-hyA^^C^-i-y ^'"C'"^!^

( VA '^- ' B™- ' -4-y A"'- ' c*- ' -f-y B'"- ' C"- ' )-.v y y ,

(yA'^-2B"'-2-|-yA'™-*C'"--H-TB'"--C'^-2^-i-y7^
§. 16". Alias etiam harum progrefrioniim nc.n con-=

m

temneudas obferuaui proprietates. Pofito enim V A

Ff 2 H-

-siS m FORMIS RADICFM JEQVJTIONFM

n

C^^S, erit yA^^-f-VB^^-}- VC^^^rzrR^-aS^et
yAa^Barrt^VA^-^C^^^-HV^V^^C^^^^S^-^Rl/y-^.SimiU
modo eft quoque yA3"».4-y B3"* -Hy C^'"-^^- 3RS
3^7'^, et yA3'"B3'"-f-yA3«C3'^-|-yB3'"C3'"

» n

— S^ - 3 R S yy'"^- 3^7'"*- Atque hoc modo haec
feries procedit prorfus vt ipfa praecedens.

2

§. 17. Si fit «—2; erlt amA"^ — £/) et (3—/)
'— a:»:yy; hisque duabus aequationibus coniun«flls ha-
bebitur .r^iVA-l-yB-i-V/C ct p =yAB-hy A C
-h-yBC, funt autem A, B et C tres radices huius
aequationis cubicae z^ zrzaz^ ~^z-i- y. Ehminata erg»
CX illis duabus asquationibus httera />, prodibit ('^^)*
— a.vyy n:(3 feu .v+ — aa.r^ — SA-yy r=:4(3-a^, cu-
ius aequationis itaquc radix x efl: cognita, quipps rr
VA-h^B-1-^C, quae aequatio illi ell confcntanea,
quae §. 5. eft refoluta. Simiii modo fi quando duae

huiusmodi aequationes occurrent .v ^ _ 3 p jv -f- 3 Vy~a,
£t />3_3^.ry y ^-3 */y2 — ^^ erit x — ^^A-i-YB

-l-I^C et p — V^AB-h V^AC-l-^/BC, exiftcntibus
A , B et C rudicibus aequationis s* — az^ — pc;-|- y ,
ift ante. Vei eliminata littcra p prodibit aequatio in-
ter :f , a , [3 , y , cuius radix .v innotefcet. Eodcm pror-
£xs modo' occufrentibtis duubus liisce acquationibus ^i"'''—

^px^

CFIFSQyE OKDINIS CONIECTATIO. ssp

^px^ -^ji..xyy-{-2.p^ zza et p^-j^.p^ xVy-^-^p'

yy_l_2;c2yy — |3, erit at^iT^ A-H^V^B-I-V C et

prrT^AB-l-yAC-i-V BC, at iterum fiint A, Bet
C nidices huiiis aequtuionis z^ iziciz^ —^z-^-y. Quo
p facilius eliminetur , ponatur a:^ — 2^ — R , etp^—2x

1^Y = S, eritque R^-aSrra et S^-sRVy^ip.
lam cx iliii duabus aequationibus exterminata p habe-*

bitur x'^^ 2.Kx^-\-Sxy y-i- 4S-R- . Comparetur'
haec aequatio cum ifta x^^ — ax^ -f-^x-{-c., erir R"^,.

y Y = i feu y rr ^|!p^ , et S ^ ^ -H fs- Hinc igituj:
habebitur a = ^^-| et ^-■^'s-h^i'\'-5ic-"c%-Q}'^m-'
obrem erunt A, B et C trcs radices huius aequationis

quod mire confentit, cum eo, quod §. 7. eit inuen-
tum.

§. 18. Qiiotles igltur accidit, Tt calculas perdu«
catur ad duas aequationes duas incognitas z et p con-
tinentes , quae reperiantur inter fbrmulas §.15, vtriusque
vaior poterit affignari, etiamfi eiiminata altera aequatio
prodeat maxime corapofita. Hanc ob rem in his cafi-
bus expediet calculum non ad vnicam aequationem, vni-
cam jue incognitam, deducere, fed duas aequationes duas
incognitas inuoluentes retinere, atque inuefiigare, num
forte intcr illas formulas contineatur, id quo(i fiepius^
fi calcuiua recte inllituatur , euenire polTe mihi perfuaftim
eff.

Ff S §. ip.

Q^ojyE FORMIS RADICFM AEOV ATIONVM

§. 19. Qiicmiidmodnm autem aeqiwtioncs rcfoi-
iVentes x:- — a5;-(3 ti z^ zzaz^ --^z-\^y tradauimus,
ita ctiam vlterius eil progrcdiendiim ad atquatiuncm z'^
zzia.z'^ — ^z"^ -\-yz — S fimiii modo pertraftandam.
Scilicct, fi eius radices fint A,B,C, et D, ponatur

yA-f-yB-f-VC-l-yD — .r, et VAB-l-yAC-f'

rADH->^BC-j-yBD-f-yCD-^ atquc V ABC
^■/ABD-i-^^ACD-|-yBCD=r</, ct quaerantur
hinc exprefliones pro y A"* -i- y B "^ -1- ctc. ct V A^B"*

n n

-i-yA^^C^^-l-etc.atque pro yA^B^^C^-f-etc.His pcrfici-
endis fcmper trinae inuenientur acqnationes x ^p et q
continentes pro quouis ipfuis m valore. Atque limili
modo occurcntil^us tribus huiusmodi aequationibus , tres
incognitae conilabuut.

§. 20. Suspicor autem pofito .r~ V A-l-yB-l-

y C-+-y D acquationcm rationalem poffe concinnari , in
qua .V plures quam 5 non liabcat dimenfiones , etiamfi
hoc fcre impoflibilc videatur. Nam qucmadmodum §.17

ex aequationibus x^—.^p x^ -\-^x'V y-{- 2p^ :izct ct

4

p^ — ^p^ X y y -{- ^-p^V y ~\- ^ -r' y y— p eliminanda p
aequationem non plurium quam 4 dimenfionum obti-
nuimus, quod paritcr vix feri poffe Aidcatur , ita ctiam
pro quinta potetlatc forte fimilc artificium vfu vcnirc pot-
cil , vt aequatio x'' ^ax'^ -\-lf x --\-c-x-\-d tandcm
reloluL qucat. Quod vcro maximum in hoc perficicndo

eft

CFIFSQVE ORDINIS CONIECTAT^O. 231

cfl: rubfidium ^ eo redit meo iudicio , vt a , j3 ; y ,
et S\, ex a^b^Cj et d debennt dcterminari , non vtro
viciflim; hoc enim cifu aequatio ad multo altiorem euehe-
retur poteflatem , quam opus eft. Ahis autem , quos
huiusmodi occupationes iuuant , hanc rem perficiendam ,
vel mihi ad ahud tempus, relinquo ; hoc folo nunc con-.
tentus , me fortaiTe ideoneam atque genuinam viam olleii-
difle.

CONSTRVCTIO AEQVATIONIS

DIFFERENTI ALIS a a" dx — dy-\-y^ dx.
AVCTORE

Leonh. 'EnJero.

COmmunicaui niiper cum Societate fpedmen con-
ftrudionis aequationis cuiusdam diffcrentiahs , in
qua non folum indeterminatas a fe inuicem fepa-
rare non potueram , fed etiam monftraueram ex ipfa con-
ftru(ftione huiusmodi feparationem omnino non pofTe
exliiberi. Differt quidem meus ibi datus confbucndi
modus ab vfitatis : attamen hs nequaquam illum effe poft-
ponendum quihbet intelhget , qui hanc fchedam in-
fpexerit. Neque vero tum temporis hanc methodum
vlterius extendere , atque ad ahas aequationes accommo-
dare hcuit, quia ex pofita conftrudlione ad aequationem
demum perueneram , non autem viciffmi data aequatione
conilrudtionem eruere potueram. At deinceps cum hanc

rem

i32 CONSTRVCTIO AEQrATIONIS

xem diligentius contemplatns effem, -voti mei compos
quodimmodo fiim fodus , ita vt hanc methodum inuerte-
re, atque propofltae aequationis conftiudtionem inueni-
re potuerim.

§. 2. Selegi igitur ftatim ad pericnluTn faciendum
hanc maxime agitatam aequationem a x"" d x — dj ~\-j/^
dx^ quam Clar. Comes Riaati primum Geometris -cx-
aminandam propofuit, nemo vero eius conftruftionem ,
nifi pro certis litterae « vaioribus, dedit, Meae vero
methodi benefici© omnes difFicultates fehdter fupenvui ,
atque vniuerlakm huius aequationis conftrudioncm in-
ueni,, in qua nihil omnino dcfiderari queat. Non fo-
lum autem vnicam haec methodus fuppeditat conftiudiio-
■nem, fed phu*es, lOTmo etiam inuumerabiles. Merito
igitur mihi vidcor ifti methodo tantam pracftantiam ad-
fcribcre , vt ad omnes aequationes difFcrcntiales con-
ftrucndas, in quibus aHae methodi trulhra llint adhibitie ,
viam fit comnionftratura.

§. 3. Qiiemadmodum in fuperiore Diflcrtatione arcu
EUiptico fum \fus, ad conftruclioncm huius aequationis

dy -\-^^~^i'JYi it^ P^"o aequatione propoftta aha opus
erit curua, loco Ellipfis fubftituenda. Qiiam vc inue-
jiiam pono vniuerfahifime eius elcmenLum r= VRdz,
m quo P et R funt fundiones ipfius c: tales , quae iisdem
fadis operationibus, vt liipra in elemcnto eUiptico, dc-
ducant ad aequationem propofitam. Pono porro, vt
feries quaedam in confiderationem veniat, R~i-f-A^?
0^4- AB^= (^2 _^ABC^3 0^3 _|_ ABCD^'^ Q+ -Hctc.

ia

DIFFERENTIJLIS. 233

in qua feric eft Q_ fun(flio quaedam ipfius 5;, g linea
daca l'eu quafi parameter cumae, A , B , C ^ D , etc. coef-
licientes couftantes. Ponatur ?Rdz:z:dZ-^ erit crgo
Z=f?dz-hAgJ?(ldz-hABg^f?Q_^</z-\-ABC
g^JVQJdz-^-etc.

§. 4. Ita autem PetQ^afe imiicem pendeant, vt
omnia haec integialia poffint iidj?dz reduci. Sit er-

go jPQdzzzapdz-hOiJ^Cl^^dzzra^f^dz-h
O2., JPQ^^dz—a^yJ? dz-hO 2., exc Denotant liic
O I ,02,03 etc. quantitates algebraicas. Poft peradam
hoc modo intcgrationem ponatur z — h: eft autem h
tnlis quantitas , quae loco z fubftituta faciat omnes eas
quantitates algebraicas Ox, 02,03, etc. euanefcere ,
atque tum fiat/P</2;~H quantitati prorfus conftanti.
Ex his igitur, facflo poft integrationem z~h^ erit 2
:z::H(H-Aa^?--|-ABap^--f-ABCaf3y^'-4- etc. )
Fada iam parametro g variabili obtinebuntur infiniti
valores ipfius 2 pro infinitis ipfius g^ atque ex dato
elemento P Kdz poterit conftrui curua, in qua, fi abfciflae
defignentur littera g^ applicatae fuut z:zZ

§. 5 . Hoc itaque modo poterit conftrui fumma
feriei i H-Aa^-4-ABaj3^^-|-ABCa(3y^' -H etc.
quamuis forte ex fui ipfius confideratione fumma pror-
fus non poftit determinari. Vtor autem ad fummam
huius feriei inueftigandam methodo mea fummae ferie-
rum iuuentionem ad refolutionem aequationum reducendi,
quam anno praeterito expofui , vt nancifcar aequationem ,
cuius refolutio a lerici iilius fumma pendeat. Perfpicuum
Tom. FL Gg eiiim

£34- CONSTRVCTIO AEQJ^ATIONIS

enim eft, vtcimqiie haec aequatio refultans fiierit per-
plexa, eiu!) tamen conftrudionem in promtu fiituram.
Nunc igitur niliil aliud efl fliciendum, nifi \t quanti-
tates A,B,C, etc. et a,(3,Y, ctc. cfficiantur eius-
modi , Yt fummae feriei iftius inuentio ad refolutionem
huius aequationis a x^dx — dy -\-j- dx deducatur. Hoc
Ycro loco id efl: efficiendum vt feries i-j-A^Q^H-A
I3^2Q2 _^ABQ3Q_3_|_ ctc. pofTit in fummam re-
digi , quia ahas valor ipfius R non effet cognitus, et
promde integra conflrudio inutilis. Quamobrem non
licebit loco A,B,C etc. valorcs quosuis pro arbitrio
acciperc , fcd tales ^ quae hanc feriem fiimmabikm red-
dant.

§. 6. Quo igitur appareat, cuiusmodi efTe debeat
feries i -f-Aa^-i-ABag^=-f- ABCaSy^^ _^ctc. vt
cius fummatio perducatur ad refolutioncm aequationis
ax^^dx—dj-^-y^dx:, hanc ipfam aequationem in fe-
liem refoluo.. Qiiod vt commodius eflici pofTit, pono
yzz-i^y fumtcque dx conflante crit ax^^dxzzj^ feu
ax^idx^~ddt. Nunc more confiieto fubftituo loco t
hanc feriem i -|- 5i' a"^-' -f- 25 .r- "-+-+ -f- ^ .v^ «-h<J -i-
etc. erit, ddt—( n-^i](n-h ^ '^x^dx^ -^i 2.;:-\-^)

( 2 « -H 4 ) 33 ^^^"'*" ' '^^ ^ -f- ( 3 " H- ^ ) ( 3 «H-<J C ■'*^ ^ "■*" *
dx^ -f-.etc. Huic igitur ferici aequalis effe debct ax^

tdx- , feu ifta ieries ax^^dx^ -{-^{ax-^-^-dx- -{- ^

^.^.3n-t-+rt?.v- -f-etc. ^ propterca aequales fiicio terminos

homogeneos determinandis littcris 5(^ ^/ ^ etc. pro

arbitrio afTumtis, fietque ^tzr^^ , ^n^^^^^^—^J^^i^-^)

r i xniFFERENTULIS. 235

<E — (juH-oU-f-^fil ^fc, Ponatur tf x"^^ =z f brenltatis
gratia,ent t — i -4-(,>+., ) (~j)~*~ [n-h i xn-+-2;un-f-3 a -niiri")

H-('^l){n_+-2)(2a-}-3 (Z^+^C SR-t-? X3"-t-<5)"+" ^f^. HuiUS

ergo ferici ilimmatio pendet a conitrudione aequatio-
nis propofitae ax^^dx — dy-^-y^^dx, Quamobrem fi
leries i-+-Ace^-l-ABaj3^2_|_etc. in eam poffit trans-
mutari, habebitur fimul conftrudio aequationis propo-
Etae.

5. 7. Sed quo haec feries, quippe quac nimis eft
gcneralis, aliquanto magis reftringatur , et determinatio
litterarum arbitrariarum facilior efficiatur , pono in foi'»

mula YKdz initio affumta P — , et 0=:

— p3 cic.

dz

f__^dz et/PQ^fl';^^/--^-^ ctc. Pof.

funt autem hacc omnia integralia ad primum/

{i-^-b^y*

reduci : eft enim generaliter / , 7, -^— IfT^^l^rr^i

. Hauc

ob rem erit / , rz / - -— -■

•'(i-|-^;i'^/-+'' Z^jJL^^^Ci-l-^^V

I.5r r g"'*^^ lf|JL-HX) ^-

b^viT^bJy'' ^ \i-\-b^^^ "" b^\K^y(^y^)

Gg a /</;?

23<J CONSTRVCTIO AEQVATlOmS

etc. Debebit crgo h eiiismodi effe quantitas , vt loco

z fubftituta faciat -—-^—o. Non vero poterit

dz
effe b^o^ qiiia t\im plerumque fimul quantitas/ -}~^^

euanefccret. Comparatis iam his redudionibus cum fur-
pra affumtis , determinautur litterae a , p , y, <5^ etc. Erit

/-■1- l /1 M-t- • 2|JH-» „^_

fcihcet a —t^ ^ — tl^T+rr) » Y — FmV^Fs-) etc .
, §.8. Definitis hoc modo litteris a., (3, y ete.
confidcro alteras A,B,Cetc. quarum quamlibet video
huiusmodi formam ^ , fciUcct vnitatem diuifam per fa-
dum ex duobus faaoribus , habere oportere. QH^ ^"
tem fimul ferics i 4- A^ Q^-h A B^^ q^^ _|_ a B C^' Q_J
-V-etc. poflit fummari, facio A— ^jfj—p^, '^—(^y?)[^u)
Cz:z^^_^_^f\^^) etc. atque tum feries ope mcthodi
meae vniuerllihs feries fummandi poterit fummari. Po-
no primo breuitatis gratia ^ Q_— ^^ , erit R — i -H
,f(:^)-l-<^^T^^fTT7)-+-etc., facioque R-i=S
pnt S ■=: ^-^ -4- ^T^^.;„$z^^_:mr^) -{- etc MultipUco

if — f

Tt-t

••'f. ,.^ . ,. . pd(7P S)
flunc vbique per g^? lumoque differentiaha, erit^ — ^

— C!.-^ ^ ___|-etc. lam per g multi-

piico fiimoque deuuo diffejjentiaUa ponendo dtj conillaa-

te, prodibit ^ il- i=iq p ^---^— - -f-

etc*

DIFFERENTULIS. ^37

•g — P 'Tt p

C C. ^ «^ 1 7r ( 7r-t-f ) "~< -TriTrH-jjtTTH-.^jiTr-i-spj+^fC.)

Habebimus ergo reftituto S loco lcriei 7rr-n-f-7) "H~ erc.
hanc aeqiiationem ^^ ^^( q ? S ) rr ^ p ^^- -i- ^~Y
S^^^. Pono porro brcuitatis gratia q f SirT,erit

§• 9. Ad hanc aequationem integmndam pono T
^rj, tniddT — rdds-^2.drds-\-sddi\ quibus fub-

ftitutis habetur p" rdds-^ z^drds-h^^ sddrzzq r dq'^ -^rsd
^-quae in diias aequationes discerpatur, ^'^rdds~rsdq^ytt
il^drds-^-^'^sddr—q-'f^dq'^. Harum prior per r diuifa
abit in hanc ^"^ dds—sdq"^ , quae per ds multiplicata dat
hanc ^"^dsdds^sdsdq^ , cuius integralis eft
^"^ds^ —s^ dq^ j fiue haec ^ds—sdq^ quae denuo

integrata dat ^ls — q atque j=rt<' denotante c mime-
rum y cuius logarithmus eft i . Inuento itaque s afTu-

Tt — g

mo alteram aequationem z^'^ drds-\-^^ sddr—q p

</^2 , quae fubftituto ioco s valore inuento tc abit m

'L 1. -~?

iftam i^cP dqdr-{-^-cP ddr—q p ^^'. Ponatur dr

■z^zvdq^ erit ddrzzdvdq atque neqiiatio mutabjtur in

hanc ftmpliciter dififerentialem 2^cp vdq-^-^^iP dv~

2!rz? 3- 2lS

q P dqy quara multiplico per cp , "vt prodeat n^c p

vdq-^-^^^c P dv~fP q p dq^ cuius integralis eft ^^tp

,11 -n — p zn^ 1. ^" — P

v—Jcpq~P~dq. Fit igitur 1; — ^ c p Jcp q~P dq^tifa

Gg 3 dq^

43» CONSTRI^^CTIO AEQVATIONIS

dq, feu r — jifc f dqjcfq p dq. Erit ergo r jzrT

^xfp> Pdqp'q f dq.QtS-rz-rcf q p Jc p dqjc pq p dq.
§. lO. Qiioiiiam in hac forma inuenta duplex in-
uoluitur integratio , notandiim eft eas ita inftitui debere
vt tam S quam 3^fiantizo,pofito^i=(7,quemadmodumex
ferie cuiS eft aequale, apparet. Hisobleruatis habeuir tan-

q p — n — 2q q ""• — ?

dem R=:i4-^tM ^ JcTdqJiP^q p dq. Eft ve-
to q-VgQ,. atque ob Q^-— ^— , erit ^^V

- ^^—. Dabitar igitur ex his /P R dz feu/-— -7"— .

Quare fi litteris tt , ^ , fx et ^/ tribuantur debiti valores
in «, in promtu ent aequationis propofitae ax^dxzn
^y 4-.j2 ^x conftrudio.

§. II. Hoc fiido reuertor ad propofitum, atque
refumo feriem i-}-Aaj:-hABa p^= -h etc . quae po-
fitis loco A ,a,B , (3,C,v, etc. ckais valoribus transmu»

. , , g , . (M-tJj£l

tatUr in nanC I-t-6^v7:(Tr_HP)~'~ 6Vvv7-t-i)7rv7r-(-p)(7r-f-2fJK7r-^-3P)

etc. caius haec cft iex, vt terminus indicisO-j-i diuilus per

. ... [, Cf g: I -+-(g— . v T

termuium mdicis f nt _ ^^ ,_^_ , j^Tr-^-.rs-ajjjjIi^tTcs^T)?) • *"

ferie vero quam §• <5. ex aequatione propofita elicuimus,
eft fimilis quotus termini indicis $ -f- i pcr terminum
indicis 0 diuifi — ^g^_^.;^_f)^„_(_;g).Qiio igitur hacduacfcries
congruant,oportct vthi duo quotifint intcr fc aequales.Fiat
ergo primo ~i,—f fcu gmbf., hoc pofito debcbit eife

aM.-M.-f- 1 \7nAc (»

(#M-f-29— 1 )Wt-|-;^) — (nv-f-u£-M.)(''r-f-2et)-2p)(Tr-f.;Jp-f)-

aequatio fecundum dimcnfiones ipfius (? ordinctur, et
coefficientes cuiusque ipfius 0 potcntiae ponantur ~o,

dcter-

DIFFERENTULIS, /> 239

prodibunt quatuor aequationes ex qiiibus fx,K,7r, et ^
determinabuntur in n. Neque vero vnica datur folutio ,.
(ed funt quatuor diuerfie quae ad nortrum inftitutum
pertinent. Prima dat {jl zz. ^n^^ ,. y zz: i , tt — » -+- 1 , ct
^ri'^-. Secunda dat ^J^— ^^^ , v=i i , ttzzI, et ^
— '^=3^. Tertia dat jJLn 2 , vztJ^^ttzi:^— -. et gzi:
"-^- Qiiartadat iJt.=^ .v^njlr tt— (wH-sjVa et

n-f-2

§. 12, Qiiatuor harum folutionum non vnaquaeque
pro lubitu potefl: adhiberi , fed pro variis cafibus expo-
nentis n aUa atque aha eligi debet. Qiiae diiudicatio
deducenda eft ex ifta conditione §. 7 memorata , quod

T- euanelcere debeat fadro zzrzih, Fit hoc

quidem fi z—o., fed cum praeter hunc ah'us requrratur^y
facile apparet ,, id non euenire polTe ^ nifi ponatnr h
■— co. In quolibet igitur cafu ipfius n talis eligenda

eft folutio , "vt — - — rfiat izra pofito z—co,

Denotat hic autem ^ numerum quemcunque integrum
affirmatiuum non excepta cyphra , quamobrem et v nun-
quam efTe poterit numerus negatiuus, quia alioquin bi-
nomium iH-.c'*in numeratorem vcniret. At (jc tami
affirsnatiuum qmm negatiuum numemm fignificare pot-
eft , ex quo duplex exiftit huius rei confuieratio ,. prout
fuerit \L vel aftirmatiuus nnmerus vel negatiuus. Sit
primo \K numerus affirmatiuusiz:-}-X,.perfpicuum eft quo

=- ;rflac —Or pofito z — cc., oportere maxi-

{i-\-hz^y-^^ ' ^ • ■- -^

mum ipfvus ;; exponentem irt denominatore ,, qui eft A

Z40 C0NS1'RFCTI0 AEQVJTIONIS

y_j_XO maiorem effe eiusdem z exponente in nume-
ratore, qui eft X^-\~t Erit igitur Xy> i. Sin autem

fuerit ik numerus aegatiuus feu =-\ fict_— -— _j^ __
•^ _ quae quantitas vt nat — o pofito z

— co debebit cffe X >/ -H X 5 > X v^-f- i , feu X^> i , idquod
in cafii Qzz.0 fieri nequit. Quocirca (x nunquam effe
poterit numerus negatiuus. In prima igitur folutione,
quia eft / — I , quoties fuerit X i. e. j~^ numerus pofi-
«iuus, toties fimul effe debebit numerus vnitatc maior,
excipiuntur igitur ii caliis quibus f^^ eft i vel vni-
tate minor. Nifi ergo n contineatur intra hos limites
0 ct —^ prima folutio adhiberi nequit. Iii fecunda folutio-
ne, quia iterum eft yzzi^ fimiliter excipiuntur cafus,

quibus X feu ^ir^ cft vnitas feu vnitatc minor. Semper
igitur liaec folutio locum habebit, his tantum exceptis
cafibus , quando n continetiu- intra hos Hmites —4. et 0.
Fro tertia folutione , quia p. iam eft numerus pofitiuus
nempe —2 debebit tantum "^^fy" effe numerus vnitate
iTiaior. Hac igitur femper vti poterimus nifi n continea-
tur intra hos limites —2 ct 0; quoties ergo fecunda
locum habet, toties et tertia poterit vfurpari. In quarta
deni |ue folutione quia fx quoque ert numerus affirma-
tiuus, fcilicet ^, requiritur vt ""nti-V fit numerus vni-
tate maior, id quod accidit, quoties n continetur intra
hos limites — 2 et — |. In his igitur cafibus quarta
folutione vti conueniet. Ex quibus inuicem comp.ira-
tis perfpicitiu: , femper hoc modo aequationis propofitae

a:. a- - COa-

DIFFERENTULIS. 24.1

conftrtictlonem exhiberi poffe, nifi n contineatiir iutra
lios angultoa limites -+ et-2.

§. 13. Qiio autem totum hoc negotium euidentius
percipiatur, accommodabo, quae hacteiub traJita funt,
ad cafum par ticularem , quo eft « ~ 2 , vt itaque con-
llrucnda fit liaec aequatio ax^ dx~dj'--{-y^ dx. Pro
hoc cafu eligo f^lutionem tertiam , eritque propterea
^~. 2, v^rz:^, 11 — ^ — 2.. His valoribus fubtlitutis ha-

bebitur S -- 4 Afc—'^ dqjc^ dq. Eft vero j t- dq—^ c^

q —q — ?

-H / , ergo fc—^dqjc^ dq —/2 c ^ dq -\'ijc-'idq—-c -

— ic ^-f-fe. Confequenter prodit S zz: | f^ — -zf t' ^ — 4*
Qiiia iam pofito q—.o debet euauefcere j, iiabebitur
ifta aequatio ^ — ^ — 4— 0, feufei^i-+-/. Porro cum
^ debeat efle — 0 fi ^ — <?, proueniet i-^k — o. Kamque

eft dS — yrC^dq-^-^c'^ dq., et idcirco ficflo q~o,
fit ^^-— |-h^~o. Ex his igitur conditionibus in-

uenitur / — — ^, et jb — 5 : quamobrem crit S ~ .

^2 _i ^. 2

— ^ , atque R ~ ^ -h — Qiioniam rero «fl:

8

|A— 2 et g — I)f, erit ^f — V ,-:;r65^ , adeoque Rr^-|
-4--g-f^ i-+-62.*-f-^6' ^ »H-6a'. Coufcquenter reperi-

Tom. FL Hh Quod

i4-2 CONSTRFCTIO JEQFATIONIS

Qiiod jntegrale ita capintur, Yt pofito z~o ipfiim llat
— 0, qiio fIi(n:o ponatiir ^ — cv^, et prodibit quantitas,
quae vt fundlio ipfms / poteft fpcdavi. Fiat deinde/
variabilis, eiusque loco ponatur ax'^ ^ erit ifta fundio
per H diuifa — / ( vid. §. 6.). Atque inuento hoc f
erit j/ zr prfi' , qui eft verus valor ipfius j' ex aequatio-^
ne propofita ax^ dx — dj^j^dx.

§. 14. Non difficilior eiiadit conftrudio aequatioi*
nis generalis ax^^dxzzdj-^-j-dx, dummodo ?i non
contineatur intra hos limites 0 et —2. Vti euim po-
terimus folutione tertia, in qi?a fit /x— 2, vrr^-j,

TT^eri:^. Erit igitur S-frL^fc^T^^dqJcTdq.
Integratione fimiii quo fupra modo inftituta, repcritur

$ — yj:P~^c '' — ^2, vbi t et ^ ex his aequationibus de-
bent definiri fe =: i -4- i , ct /: -4- 7 — 0 , eft ergo vt an-

te /— — ^et fc— ;|.Qiiapropter eft Szr^iP -i- wV'' ''-^x

^ — 3

atque R zr I - ^t -f- 5^^ fp + ^, iP vel pofito . loco ^

valore — ^— habebitur R zi: -^?^

Eft «ro vt antc ^ = V igl-, , at Prf.=-_^_

71-- f" *,-

T d !Z

QuAmobrem crit jVKd:^—- -x f- t-^.-zzt

_2<7_ — "q_

( M ( w -V- 4 ) H- 2 <;•"-'- -J-t- 26"-+- 2 ) vbi loco y Y~ i relin-

quo-

T^IFFERENTIJLIS. 24.3

tjwo q. Integmle huius VKdz ita capiatur, vt po-
fito z — o^ ipfum euanefcat, quo flido ponatur s — 00,

denotetque H id quod prouenit , i\ tantum f- ^^^ —

hoc modo integretur \t fiat ~o pofito^zro, et poit-
modum ponatur z~cc. Tum ergo erit integralc ipfius
VRdz praefcripto modo acceptum , quod pofuimus Z
§. 4. fundio ipfius /. Aequale id autem erat pofitum
quantitati H, in hanc feriem i -f- Aaj;-h ABag^-^
-1- etc. multiplicatae , quae feries in fequentem eft trans-
mutata i --!-/„ .,w,._. 3, ~t- ,„,,,,,,,,

(n-f-i \(/:-4-2) (n-f-1 ;(fi-(-2)(2ri-(- 3 J (2n-+-4)

etc. cuius fumma eil ?, yid. §. 6. ^bi _/ dcfignat tf.v""+*-.
Erit ergo "ZzzRt., inquo H ell quantitas confians , quia
in ea non inefl: /, adcoque nec x. Prouenit itaque
/ — H , at cdy:^ f^:ergo pro aequationc propofita ax^dx
ir: dj -\-y'^ dx prodibit j — ^. Ad illam igitur aequa-
tionem conrtruendam habemus hanc regulam : Integre-

tur haec formula - — i-- ^^ («( « + 4.) 4-

♦ 2^Ti-+-2 i-+-6zi_|_ 2fn-f-2 i-t-5»^ ) ita vt euanefcat fa-
fado srzo. Tum ponatur z infinitum , etloco/fub-
ftituatur a^.r"'^-. Id quod prouenit fit Z , quo cogni-
to erit j— z^. Si quem ofFendat , quod poft integra-
tionem debeat fieri z — co.^ is loco z fubftituat -—^
et poft integrationem ponatur « :r: i , quo fido pro Z
idem prodibit valor, qui ante. Qiiamuis autem ana-
lytica pro Z exprefho obtineri non poteft , quando for-

Hh 2 muliA

244 CONSTRVCTIO AE^VATIONIS

iTiiila illa non eft integrabilis tamen, per qnadratnras
vei redificationes valor ipfius 2 conllrui poterit.

§. 15. Qiianquam autem in hac conllrudione ii
cafus excluduntur, in qnibus n continetur intra limites
— 2 et 0 , niliilo tamen minus haec Iblutio pro vniuer-
fali eft habenda. Nam quia, fi aequatio poteft refolui
in cadi « — OT, refolutio quoque habetur in cafu ;;~-
«;~4, vt cdnftat, ex iis, quae de cafibus feparabili-
bus funt deteda j pcrfpicuum cft , fi tn fit numerus in-
tra hmites 0 et — 2 contentus , fore — 7« — 4. intra ter~
minos —2 et —4 comprehenfum , adeoque in fohitio-
ne noftra contineri. Qiiamobrem fi occurrat cafus, quo
« contineatur intra 0 et — 2 , hic ftatim reducatur ad
alium per didnm theorema, qui intra — 2et — ^con-
tineatur , huiusque conftrudio erit in promptu.

§. 1(5". In foTmula differentiali §.13. ernta obfer-
uo , quoties habuerit ^;^^ huiusmodi formam ^ -f- -g ,
vbi k numerum intcgrum affirmatiuum denotat, inte-
gram formulam polfe integrari, et hanc ob rem valo-
rem ipfius Z re ipla exhiberi. His igitur incafibus va-*
lor ipfius j/ quoque poteritdefiniri et aequatio intcgrari.
Fiet tum autem n — ^^^^^ quotics ergo n talem ha-
bucrit fc)imam, aequatio ax^dx—dy~]-j-dx inte-
gr.itionem admittet. Dcinde quia cafus , fi ;/ — : '^^
vel «— — »2=: 4 reduci potcft ad cafum «rr w, inte-
grahiUs etiam erit aequatio fi « — ^^ vel ^t^-
deaotiuite k numenim nitcgriun affii-matiuum. At?]ue

hi

DIFFERENriALIS. 24.3

hi funt illi ipfi cadis integrabiles vel feparabiles, ab
aliis iam eruti , vbi videre licct in noikis Commentariis
A. 1725.

§. 17. Effe autem aequationem integrabilem, quo-
ties fit ^^ — fc-i-2 hoc modo oftcndo. Pono {z^t
— u'^-^ erit zzz::^—^ i-f-^g^~,_^i idcoque^fezr

Fiet igitur , . /J,' — — (i-m2 )

*""'. Hanc ob rem formula §. 14 integranda trans
formabitur in hanc (n-Ha^^vT ( « ( « ^- 4 ) «'« ( i — «^ ^^""^

quae vt facile perfpicitur re ipfi integrari poteft, quoti-
-es k fuerit numerus mteger affirmatiuus. Atque hinc
non parum praeftantiae accedere arbitro huic meae me-
thodo, quad tam fit facilis et perlpicua, vt cafus etiam
omnes qiii reipfa integrationem vel feparationem ad-
mittunt, vno obtutu ©ftendat.

§. 18. Exempli gratia affumo /^zri, erit «— — 4,
qui cafus, vti conllat, eft ficillimus eorum, qui fepa-
Tationcm admittunt. Formula " igitur ~ integVanda abibit
in hanc --^ { c-""^-^^?/ - f «^^ du ) , cuius integralis eft ^
(f"^/ -<;•-•'>'/ j, Conftantem non adiicio quia pofito
5;rz:o, feu quod eodcm recidit «zzro, totum integrale
iam euanescit. Fiat nunc srrcv: feu in noftro cafu u
— I et ponatur ax~^ loco / habebitur Z — -:^.

(f*-f.« ). Hoc inuento, erit vt iam eft oftenliunj/
-' J Hh 3 =

24^ CONSTRTCTIO AEQVATIONIS DIFFER.

:=z^. Differentiato igitiir 2 et differeatiaki per 7dx
diuifo prodibit j — ^ -^/'' '^ ' "t!! \iuc^ _ /'L^ydi-^ ^

quac aequatio cft intcgralis huius diffcr^ntialis ^x^^^dx
— dy-^-y^^dx. Atquc fimili modo pro reliquis cali-
bus , qui fcparatioueni admittunt , aequationes integrales
inucniuntiir.

CLAS-

CLASSIS SECVNDA

CONTINENS

Jl Jrl X ij Jl v> i\i

J

DE

MVTILATIONE BRACHIORVM

IN PVERO,
Cuhis Tom. III. Comment. fa£fa ejl commeinoratlo .,

DISSERTATIO ANATOMICO - PHYSIOLOGICA.

AVCTORE

1. Cj. 1j»

PRoemii loco , ad Generationls feu caufllie effi-
cientis Monrtrorum dilucidationem duce expe-
rientia perlequendam , res ipfa veluti hortari
"videtur.
§. I. Sub molli itaque ac tenui pellicula feu
cortice conglobato fubque communi ea conditione , cun-
Oix Animantia, cuiuscunque fint generis, per maris ac
foeminac congreffum quotidie progigni , porro fub ea-
dem forma fphaeroide in vteri cauum laeuigatum deuo-
luta incrementi cauffi ad certum temporis ipatium ibidem
commorari, hancque Generationis conflantem perpe-
tuamque legem q^c , Naturac peritis fitis fuperque com-
pcrtum cfl. Porro, tamctfi intciledlu plura arcana iii
Animalium conccptione alTequi Ivaud liceat, ignorare
profedlo minus poiTamus, quorumcunquc Animantium
foetus fub praefata conditione in "vtero verlari , vt
Tom. VI. li cor-

250 DE MVTlLATIOm mACniORFM

corpora fepiirata et difliiuT:^, fine vteri et foetus copula,
ficque iftiusmodi nuione foctus ki vtero nutritionem ac
incrementum perfici. Qiiid enim? pro tantilla mora
temporis, quo foetus in parentis finu vitam trahit,
nexu vaforum opus effe, hinc quoties fit noua con-
ceptio eundcm fimiliter inftitui, ficque in illo nexu
foetus nutritioncm circuitumque confiftere exiftimabi-
mus? Enimuero fub primis menfibus, ouum feu Em-
bryo nunquam alligatus obferuatus eft, aft folitarius ac
indeterminatus ;. Interim eo in ftatu robur ac incre-
mcntum eum in dies alTumcre, fenfu iudice interno-
fccre prociiue eft. Verum tamen iftiusmodi forte nexa
progreffu tcmporis opus eft , non fohim ad firmitatem
et ftabilitatem foetus, verum praecipue ad vaforum vm-
bihcalium vterinorumque inofculationem , vt fanguinis
e praefiitis vafis poft partum effluxu manifeftum eft;
Ad qiiod refpondeo , quod impraegnationis initio , tam-
etfi vincula inter vterum et foetum haud manifcfto fint
pofita , per irritationem vel per rclaxationem vteri , idem
effluxus languinis per muliebria, aeque ac in partu le-
gitimo obferuetur , in qtio vice\erfi , vt experientia te-
ftatur , eiusmodi euacuatio intcrdum penitns deficit.
Porro duce Anatome conftat, vteri fums et emiffaria,
itidemque vafa foetus vmbilicalia et placentae rudimen-
tum intcr Chorii lamellas initio acqiie ac progreffu graui-
ditatis eife pofita. Ergo naturae legibus magis cffet con-
fonum, vt irtiusmodi inofculatio celeriter perficci-etur ,.
qucmadmodum in piantis frucftus principio cft alligatus.
fld tiuam profetflo conncxioncm co propcnfior eft f()etus,.
quo minor cft a primordio cius rcfiftcutia. lam vero ,

u

JN TVEKO. 251^

vt miiltiplici experientia compertum eft , in Animantiiim
foetibus, qui a primordio nexus llint expertes, ea conditio
piane omiflii elt. Caeterum , nullo negotio fedem fuam
relidiirum elTe , ac propterea in lubrico verlari foetum ,
quia nexu caret, obiicicnnbus ficile erit refpondere, vide-
licet ceruicis vteri conformationem aeque ac vteri fitum ,
potentiam vinculis aequipollentem liabere : Nam vt fitus
vteri obliquus ac in dorfum inclinatus, foetum ne in
eius ceruicem fiicile prouoluatur retinet, fic profcvflo
«iusdem ceruicis ofculum a Natura eft impeditum et
coardatum , vt Embryonis moles tametli m.inima,
pertransire nequeat,

f.s.Qiiibusnam autem principiis ea quae hadenus prJie-
iiitus fum , innitantur , ex fequentibus phaenomenis iam
intelhgere procliue eft. i. Viuentia in aliorum^miman-
tium vifceribus foeta , tametfi vitam in iis agant et con-
fenefcant , nexus tamen inter fe expertia funt. Pro ex-
emplo fuit vermes , fpermatici, lumbrici, et alia genera
viuentium, fucco feu humori fibi accommodito inna-
tantia et vinculo omni libera. Porro 2. ouua foecunda
in magna parte pennatomm, pifcium , reptilium, infe-
diorumque, in aerem, vel terram vei aquam proieda,
fponte feparatimque, vt fenfibus apparet, extra Parentis
finum , luftentari , educari , ac profpere tandem excludi
certum eft , tametfi iisdcm aequc ac viuiparorum foe-
tibus vafi ATObilicalia communia fuit. Hinc 3. in ma~
gna quoquc parte Viuiparorum Animantinm , vtero con-
tentos foetas hiud eius parietibus vere alligutos , fed
rolunimodo contii^uos ac plaiie liberos effc , aequc ien-

li 2 fibus

2^2 DE MVTILATIONE BRACHIORFM

fibiis perfpicuum cft. 4. Intcr foctus exteriora inuo-
lucra glutinis expanfi fubftantiam refcrcntia, ct inter
vteri parietes: earumdemque mcmbranarum duplicatu-
ram , Lymphae gelatinolae notabilis copia innatat. Vnde
profedo conlequitur, per eam disiungi foetum ab vtero,
ne inuicem coalefcant, dumque ea in illius alimentum
ccdit, haud per vias abfconditas ac progrelfu temporis
fibricatas, feu per canales ex \tero ad foetum tendentes,
fed e contra, per emanationem feu in Yteri cauum ex-
pjlfionem, eiusdem lymphae iter perfici ? Quibus prin-
cipiis portremo , oblbleta notio de incremento foetus in
vtcro, lucem fortuito affiuidit , ncmpe , quod nutritio con-
tinuata generatio, hinc lcgcs vtriusque fint communcs.Iam
vero, a vi foecundante fcminum in vtero effuforum,
hincque partim vteri emiifaria iisque inclufos fuccos,,
partim oiuili poros fubeunte,, formationem foetus per-
fici omnes- llatuunt: Qi.uie propterea acflio efficitur
haud per tubulos inuiccm communicantes , fcd tantum-
modo per vteri ac ouui propriam originalemque flru-
(fliiram ct dispofitionem , quae aeque, vt aharum partium
natura,, conftans et inuariabihs fiitura , et in fine, aeque ac
pnncipio vitae, fme internaifiione eft pcrduratura: Qb eam.
igituE cauffam^foetus in vtero incrcmentum aeque ac eius-
dem gencrationem,haud ptr tubulos vtero et foctuicom-
muncs ac inuicem copulatos , (ed per materiae e finibus
ct ofcuhs vtcri in eius cauum cffufie , hincque per ouui
pclhciilas ct meatus inuifibiles, ducTrusqiie placcntac pro-
prios reforptae haud interruptum motum perfici , foite
miuus a vcro eft aUcnum.

f 3.

IN PVERO. 253

f.3. Hinc profedo, in originis Monftrorum,feii caiiffA-
(Tiim efficientium cxphuiatione , quidnam Yeritnti magis
aut minus propenfum, ac conditionibus vteri f^etusque
fit accommodatum , omnes flicile perlpefturos effe con-
fido. Etenim, quod Grauidarum phantafiae natura foe-
tus fit propenfior , quod vtriusque fenfiitiones fint mixtae,.
ac poftremo , quod per eiusmodi liarmoniam Monftra
generentur, nefcio qua falfi veri fpecie delufi, plures
hodienum fuflinent. Equidem fateor, fi Matris fen-
fationes nnturales, vt funtflimes, Ibmnus , vigiliae , in-
fomnia, dolor, foetui funt communes, nil profedto vetat,.
vtfimiliterpercommemoratam harmoniam, grauidae ima-
ginantis vim in foetum transferri ponibile fit. Interim
tamen fiitendum eft, earum fenfitionum indicia non--
milla fiitura effe ,. quibus de earumdem in fbetu acflione'
feu impreffionibus, deque fenfibilitate fbetus, certiores red-
dantur vtero gerentes.- Hinc autcm tantum abeft',, vt
indiciis quibusdam firmi,s et fblidis ,. iftiusraodi- dodrina'
innitf, quin- ex: aduerfb iisdem per experientiam euerti
poftit: Nam multoties, contra animi voluntatem et de-
fiderium , manifefbm contradidionem inter proprias et
inter fbetus fen(ationes percipere grauidis prociiue eft;
Sic in eiusdem generis, feu in duabus confimifibus fen-
fitionibns, haud vna fed oppofita ratione, in difijmili-
bus viceiierfa , fimili ad fenfum ratione foetum fe(e ge-
fturum eHe^ ipfiemet afi£runt : Num harmonine ea fint
indicia, id veri ftudiofis ac peritis definiendum relrn-
quo? Porro, tametfi foetus eiusque partium refiftentia
perexigua, eaque de cauffa, eiusdem Natura commotio-
nibiis valde propenlii videatur, numquid potius con--

li 3 trai»-

ft54 ^S MVTILATlOm mACmORVM >

trariiim ex CvO inferrc procHue eflet? Niim, qiiiim per
foetus anatomcn fit maniieftum , haud aequalcm fieri
e corde ad cc^ebnim iiinguinis ditlributioncm vt in
Jidulto, eiusdemque porro languinis in tbctu iiere va-
cuam efle conditioncm, ac pollrcmo, cercbri foetus com-
pagcm firmitate et tenfione minima pollere \ Hinc pro-
fedo confequi \idetur, fpirituum in foetu vsque ad eius
exciufioneirj vaide impeditam pcrexiguamque tum gene-
j:atiouem,tum eorumdcm in cerebrifibrillasinfluxum adli-
oncmqne forc: quare ctiam, focrus in vtero vcrlantis fen-
tiendi ficukatem effe vaklc iinpcrfcdam vcrofimilc cft.
Qii:im porro fenfuum imbccillitatcm icu ftnpi^rcm, con-
templatio recens editorum foetuiim coniiimare videtiir:
Nam obleruamus, eos inter tumultum ac vocifcratio-
nes commotioncsque placide dormire, ingrata promilcue
ac dulcia kimbcre ac dcglutire , oculis admota vilu haud
discernere, lac Parentis perterritae aut ira pcrcitac,
impune et absque fubfequcnte valetudinis perturbatione
liiepenumero fngere : Vnde profe(fto, de Ipirituum inertia
vel eorum defedu , et , quod conlcquitur , ad imprcf-
fiones exigua propcnlionc , coniccT:uram facerc prochue
eft.

§.4.Sed, tametfi haud elfct commentitia iftiusinodi fpi-
rituum harmonia, fpiritibusqnc a phantafia Matris mo-
tum ingcntcm imprimi polfe credercmus, tam admi-
rabilia fimt cIFeda in monllris obina, vt per comme-
moratum motum fpirituum ca produci , vt cll multorum
opinio , prorfus fit incredibile : Nam demus, foetiii elfe
communem eiiisdem obiecli idaeam feu iinpretlionem

quaia

IN PFERO. 255

qmm, vt in parente, comitantur fimiles , ant fi vis, gra^
uiores et violentae commotiones ct conturbationes Ipi-
rituum in quvicunque parte corporis, inde flitcor opor-
tet, "Vt in eius textura et humorum circuitu , iuxta ie-
ges omnibus fluidis foiidisque corporibus infitas, certi
et determinati effe^s in fbetu aeque ac matre fequan-
tur, Ecce vero! in monftris incomprehenfibile artificium
rerumque vel inufitatam excellentemque mixturam vafo-
rum, neruornmac partium maxime infigniiimveliadluram
vel translocationem y compofitiones , dcmolidonesque flu-
pendas vita lliperflite , fiinguinis ex vno in aliud corpus
transfiifionem, verbo, milie tefles feu effedus folerciae iu^
dicii , et intelllgentiac fummae, vt e diligentiore con-
tem.platione Monflrorum palam eil.

Hinc itaque ex iam dictis, duce imprimis Ana-
tome , qua videlicet tam matrem quam foetum , tam-
etfi communi fpatio inclufos feparatim absque mntuo
nexu vaforum, vitam ducere euincitur, perfpicere fis
efl , ad originem Monflrorum explicandam» , vim im-
preflionesque phantafiae vtero gerentium., fme vllo veri
fimdamento aflTumi.

Sub flnem tandem huius praefjtionis , aequi verique
ftudiofis illud perpendendum relinquo, an quae a Mu-
iieribus Monflrigeniis , de earumdem phantafia, e cu~
iuspiam obiecfti deformis eonfpecfhi vel auditu enata com"
memorantur, inter res fitis exploratas?- an potius, vt
ego havflenns exiftimo , inter errores populares ab Em-
ditis temere alfumtos fint coUocanda? ISIam nonnuilas

moa-

"V,.

tS6 DE MVTILATIONE BRACmOKJ^M

monftriparas ierenimtem mentis lv.uid intcrruptam rc-
tinuifle, alias yicc vcrla, in quarum imaginatione gra-
ues tumuluis tempcdatcsqnc PiC animi aegritudines,hincque
foetus cauflii, idacae molcltiflraae furcitabantur, prolem
edidiffe omnis labis ct vitii expertem , haud vno ex-
emplo , ac inter aUa nouillimo, quod iam Ibrs obtulit,
mihi compcrtum elt. '•"■-'■

§.5. A parentibus hiftoriae exordium duccntes, a
«niUtis pracfidiani coniugc, iam \ndecics vtero geren-
te, ac iiib ipfcj partu fcre Ipiritum cum fanguine effun-
dente, puer infehx brachiis mancus isque primogenitus,
alterque ci fociatus, fed poftremus feu podcrigenitiis om-
nisque deformitatis expers, Yitam lucemque accepcnmt.
Hic profedo, quia corpus placcntae -vtrique erat com-
mune, mirari fubit, cur tam dispari fortc, Yni fohim-
modo, haud ambobus hmul, vt praefumendum crat,phan-
taliae imprelfioncs funt communes? Nam, qiumi e com-
munis placcntae radicibus, ambo funicuU \mbiUcales erant
contexti, quibus acquabiU ratione vtriusquc fbetus nii-
tritio pcrfici poflet , aequum proftcflo cfTe videtur , vt
fimul in \troque, matris imprefllones aequaUter pro-
pagentur \ Rem autem fecus ie habere , experientia te-
ftacur: ex quo iterum, aduerfus phantafiae vires, in mon-
Itrorum generatione, noua dubitatio exorinir. Caetc-
rum, quonani grauiditatis tcmpore? ac \ndcnam euis-
modi dcprauatio in altcro foctu origincm traxerit , num
aUquando et quanam ocaifione? quibusuc circumftantiis
fubito ac vehemcntius fuerit mcns perturbata ? ipfius de-
nique matris dc eiusraodi cafu iudicium^ qiiibus prac-

fiUa

iN rrERO. ' ii7

fftta dubitatio qiirintum fieri poteft, cxplanari qiieat,
pcrcontitus : Dcus, inquit, qui fcit omnia, idlblusno-
uit ; fc mcmiiiifTe folummodo, prius quam vtero conci-
perct acque ac vtero iam pleno , languore feu deiedlio-
ne fumma virium, imerdum fuific affecftam , vnde cauf-
la fbetus brachiis mutilati forte dcriuari debeat. Et ifta
quoque, de cauifis cffedricibus monftrorum, pro iuiii-
tuti noftii latione nunc fufficere mihi villi funt.

§6. Iam,vt ad Pueri Nof^ri contemplatioiiem deuc'»
niamus, quando corporis fummum et nobihflimum or-
namentum ei erat ademptum , videlicet vtrumque Bra-
chium tam laenum quam fmiftrum , hiiK f^des ifla va-
cna. pkna, nudaquc, in cuius centro papilla feu exigua
virruca cute conflata , oblonga , grani tritici magnitu-
&iue ac rnobiiis erat confpicua ; et quia porro iflius-
m )di tabricae defcriptio, a nemine quantum fcio in lu-
cem adhuc eft cdiw, propterea hic fubiicere pri-
mo Olfa, 2. Mufculos, 3. Vafa fanguinca , ac deni-qiic
4-. neruoS', ( quae profcdo iis qui rerum cognirionc
Aielcdantur fore gratitfima confido , ) duce Anatcme hau4
vibs re erit.

I . E tota compage ofTium , quorum numerus iii
vcroque brachio ad 86. elt definitus , duo vtrinque funt
pafita, cum tcrtii rudimento videUcct, os fcapulae, os
-olauiailae, ac dcnique brcue fragmentum, caput ofiss hu-
a?sieri mentiens ac fcapalae cemici accretum. Caetc-
rum , pofitionem feu fltum cum fcapulae tum dauiculaej
huiKsqae cxtrcmitiftum connexionem cum acromio et
Tm. FL lik fterno.

£5» DE MVTILATIONE BRACHIOWM

fterno, poftremo vtriiisque conrormationcm, legitimam
ac Niitunie legibus accommodatiim inucnimus.

2. Quum fuper totum ambitum fcapulae , plures
infignes mulculi a nutura fint dispofiti, qui vcl motui'
proprio fcapulac, vel aiiarum partium, maxime brachio-
rum motibus inferuiunt , eorum mufculorum iaclura hic
profedlo erat confpicua , qui vno extremo fcapulae, al—
tero, longius infra caput offis humeri implanrantur, vi-
delicet teretes , deltoidcus, bicipites, coracobrachialis :.
Caeteri autem , qui in praefiti capitis confinio tevminan-
tur, tamctfi vt fenfui apparet, vfus planc fint expertes,
omnes erant confpicui, videlicet intrascapularis , fupra
fpinatus, infra fpinatus. Duo porro infignes mulculi,,
pedoralis maior et latifllmus dorfi, eiusdem infertionis-
cum praememoratis erant participes. Qiiod deniquc , ad
caeteros mufculos fcapuhie , brachii motibus liaud infcr-
luentes fpedat, c-^rum diligcnti pcrluftratione ac cnu-
mcratione inftituta , nequaquam omiffos,. fed. vt inahis
Iwminibus pofitos cflc animaduerti. Caeterum, propter
frequentem vadctatem in ortu Mufculi Coracohyoider
IV Celeb. Anatomicis annotatam, hic filcntio haud cil:
praetermir.tcndum , quod neque a procelfu coracoide ,,
neque a fmu ei vicino, neque in vtriusque confinio, Icd
ad angulum fupcnorem. et pofleriorem , eius ortus fit:
manifelto pofitus : ob quam. caulfam , inter ciusdcm mir-
fculi ortum et terminum, maiorem dillantiam quam»
aiuis folet, Iiincque maiorem. eius effe longitudincm-.
uilam. tit.

S' Adt

IN PFERO. 259

3. Ad vadi contemplanda ferebat praeclpue ani-
inus idqiie haiid iinmerito, quaodo quis expcndit, flu-
mina l-uiguinis, e corde per vala inligniii ad vtrumque
bracliium dediida , hinc pcr viilii hiiud minus ampla ad
cor redeuntia, hic vero prorfus deleta, et, quod con-
leqaitur , ob iaduram brachiorum , in corde et caeteris
vafis corporis multo abundantius iiifcepta , ac propterea
vt ex fequentibus inteliigere procUue erit, haud fine
fummo periculo verdis ahas partes dcuokita. Toto
igitur tradu feu Ipatio cor inter et iuguh principium,
conipediis vaforum Naturae legibus exade reipondebat,
videlicet arteriarum, aeque ac venarum trunci et rami
ac eorumdem ortas , inceffus, numexus, coMfo.m"uuio ec
dilh-ibutio, quae omnia, vt dixi, a corde vsqiie ad iu-
guh initium, cuiusuis deformitatis erant expertia. lam
a quo, vafi collo ac capiti propria, a fubclauiis , vt moris
efl:, discedere incipiunt, infohta mutatio fpedacuhimque
nouum, confaetis legibus Naturae minime accommoda-
tum, manifeftari incipit ; Nam poftquam vnius fere 11-
neae interuallo leu latitudine , ambo arteriae aeque ac
venae fubclauiae trunci , a confociis coUi et capitis funt
digreiTi, fubito gradum veluti fiftentes, ac mirum in
modum gracilefcentes , viam longius profequi definunt,
eoque deficiunt, quo ahas in vafa axiharia propagantur,
Ex aduerfo, cohi et capitis vafi proportionem aetati
debitam excedentia, haud minus quam in adulto crafla
et ampla timt confpicua. Interim, quaecunque iit cauflTi
lihus inaequahtatis , corumdem vaforum amphtudo , in
laeuo, haud tanta eft vifa ouam in dextro latere, quia
^t opiaor, artcriae carotidis nexus cum fubdauia ad

Kk s eius-

r

fi^d> M MPTILaTIONE BRACHIOm^-M

ifHiismodi angmcntum cft propenfior. Extrema porro vi-*
iorum fubrckuioriim, omillis, vt iura annotaui,axillaribus^
fn 5 . <5ue exiliores et acquales artcriolas, ac totidem ve-
Dulas immediate defmcatia, hinc ad fupra mcmoratoj.
Hiulculos brcui itincrc propagat;; , ibidcm tcrminum af-
fequuutiif \ifumque effiigiunt..

4. Poil vadi {iingiiinea , fcrcbat quoquc animus e£
nemos hic fpcd*ntes, eorumque condidoncs pari dili-
gentia pcrfcqui ac contempiari. Itaque, coniugationcs
iicruorum ceruicaiium tam liipcriorcs quam inferiorcs ,
hacquc poftracmac, ab cxordio V3que ad earumdcm pcr
incdium mufculi fcaleni cniptionem , a quantiwte , dudu
ct conformatione ordiiiaria hand alicnae , Oculis funt
obl-ataej Vcrum a praefata eruptione, earumdcm prr-
ftinam formam, inccffumue immutamm elfe, inm pro-
cliue erat internofccre : nam funilitcr, vt vala fubclania.-
gracilefcere ae in cxiliores chordas- foiitarias , funplices ,.
inuicem haud implicatas aut iirctitas commutari inci-
piunt , hinc praefmie chordae fupra mcmoratis arterio-
lis venulisque intcrmixtae , nexu tamcn mutuo f quo alias-
elegrmtirhmo artificii gencre nenii funt implicati] ca^
jrentcs, dudu obliquo bi^euiorcqix verlus coftam {bpt-'
riorem fcapulae leparatim inccdunt, ibidemque cum.
mufculis fupra mcraorati^ iuiiftiie, hand longius progre-
di cbfcmantur,

§.7. Iara,qiiac de conditionibus et ftibiica Blonilrorurn-
kic et alibi, (vid. Con-imcn':. Acad. Pctrop. Tom. IIL )■
as aie iiuit expofita ,. hinc. exccilsj.itli.m ilimmumque ar-

m fVEKO^ 3^3:

tifickim , Inteiletflum , et proiiidentiam in iiHubmodi ope-<
ribns obiiiam , quo anirao expofuerim , e praefatioaer
duis inselligitur,Yideiicet,^ Yt fpirituum et pliimtafuie vtero
gerentium etficaciam irapreffionesque yltra quam par ef^
haud exaltemus: Nam,. fi a perturbatione ac mutata
indole fpirituum interdum iimel^i cffedus ortum tra-
here poffunt , haud propterea machinas \el organa ex-
quifitilSma ab iisdera effici poffe exiftimandum eft: la
priore enim cafu iblo impetu , in poftcriore autem cogni-
tione opns eft, In igne ex. gr. 'vis ineft cauftica^ dif-
folaens, in ciueres fea piiluerem redigens aedificia, ligna
etc, aedificium vero aut lignum efti^yiendi focultatie
haud eft- praeditus. Hinc , quo res,. per eiusdem Pueri
de quo liic fermo eft, proprium exemplum, duce Ana-
£orae fiat clarior , potentia aeque ac impotentis^
f)irituum in eo fenfibus erat eiudeutillima , haec in mu-
tilatione brachiorum , illa vero in funeftis effedibus ac
phaenomcnis , in eiusdcm Anatome nobis oblatis , quac;
propterea pro huiusce dilfertatioiiis Coronidc liic adi»~
tiemusv

§. 8. Primo Cjiiidem, per dcxtrae cauitatis tlioKS^
sis-. fadnm- incilionem , materiam feu aquara limpidami
mbellam hic inuauire, et Pulmonem vndiquaque. efle libe-
mira: Ex: aduerfti, in oppofito latere parirer incifo , ca-
iiit3J:era.vacuum,- pulmonemque coftis, diaphrngmatj^et pcs--
siciirdio temicifTime agglutinatnm , earumderaquc partiumi
extira^mi fuperliciem , plurimis tuberculis duris,, fiauo al-'-
Eicantibus, de quibus iiifra , cxafperatam obferuauimrj,.
Miec v€xo Mt ieuia et Yulgaria, hic minu& funt attciir'

a52 DE MFTILATIONE BRACniOM'M

rdenda. lam, dcxtrorfum incifo pcricardio , ^cficae iiibr
inriato, pus lanicmque in eo atrorubicundam , cuius>mojdi
Ibrdibus cordis extenor ruperiicies pariter erat int]uinata^
obleruarc , liinc quimdo finiitri lateris pulmonem com-
primebam , pus in pericardio accumulari , cum mngna
admiratione animaduertere coepi. Dum in co efitm,
obferuo i)i oppofita parte pericardii, in qiio latere piil-
.•mo fmiller ei ncxu fere indilfolubili erat agglutinatus ,
- pcrforationem circultirem magnitudine pifi , qua ad duo-
rum digitorum profunditatem e cauo pcricardii , in fini-
ftri pulmonis lobum fuperiorem , ft} ius pcnetrabat , per
quam -viam e pu!mo.ne in cauum pericardii , a t dixi ,
puris exitus erat feufibus manitellus. Itaque, pulmonis
■a picurac adhaerentiis, et ciusdcm ciim pericardio fe-
re indiffolubili nexu caute Ibluto, hinc peiicardio ad la-
tus inclinato, hiatum feu foflam ob pericardii nexusm
prius occultatam, haud fme horrore ccnfpicio: Kam
ea ad duos digitos profimda , et lUTipiitudinc imperialis
nmbitum exacquans,-"ii mcdio et prolundo praetati lobi
fuperioris Ysque ad tunicam extimam pariter exefam
k^t extendcbat, inque praefatum pericardii foramcfi exi-
tum habebat : vnde ea , pure liibilantiam pulmonis de-
palcentc et graucolcnte en>t replcta. Eum autcm in
modum , ca corrupcio inualuerat , "vt maiorcs rami ar-
teriae venaequc pulmonalis nudi lacerent., vt et mino-
rum tubulorum fragmenta femierola ct vacillantia.

§9. Sed in praefatis, iisdcmque vicinis, vt et qui-
busdam vifccribus imi ventris, ahud acque graue,hinc fcrc
vniuerfile, vitium erat obuium , cx quo quantiim in vi-
ta malorum, ante fupremum dicm Puero luit pcrfercii-

diim ,

-m PVERO. a<JS-

to iiitelligere haud difficilc ell,, nempe toto trrdii^
flui eft a fummitate vsque ad iraum thoracis, tumo-
ram partibus interiedorum ,, easque inuicem fere mdif-
folubili nexu compingentium hincque in earumdem prae-
paratioae, magnam ditficultitem obiicientuim, incredibi-
lis copia ocuUs eii oblata:. Nam^ lugulares, Bronchia-=
Ies,Oefophageae, verbo,, vniuerfae GlandulaeOefopha-
go , Tracheae, vafisque llipra et infra pericardium litis
ac CanaU Chylifcro adlitae,. per quas commemoratae
partes iufto magis compreffiie inuicem: erant congkiti-
natae- fimiUter omnes Glandulae kimbares, melenteri-
cae, vt et fmiftro onficio ventricuU ,- collo veftcae fel~
leae, et fpleniadfitae,, induratae et ad magnitudmem nu-
cis auellanae erant audae. Perkiftranti porro , pericar-
da cumlobofuiiftropulmoms, huiusque ad cauum ems-.
-dem lateris conci-etionem, hinc adliaerentiarum ifta-
rum. cauffiim perquirenti, fuper praefitarum partuim,,
pieurae, coftis ac fepto tr^nsuerfo fuper extenfie,
vt et (liper peritonaei ,. ieptum transuerfum inucftientis
pc poftremo, fuper Lienis vniuerfim iuperficiem, mcre-
dibiUs copia conftmilium. mmorum ouaUum, durorum
et cafeof-i materia ^raueoleutc infardorum , ftd canna-
bini feminis feu lentis magnitudinem haud excedentmm
eft oblata. Hinc,fpeciem Glanduiarum referre,ac a prae-
memoratisglanduUs, mole et fede tantummodo discre-
pare, cumque iftiusmodi corporibus conuenire yideban-'
t ur quae ftiperiore feculo Summi Viri Frid. FJjuvjchms-
ei- Man-ellus Af ^/^/^fc , hic quidem in Pencardio Pue-
m ac in aUo homine ,, cuius fencardium absqui bumo-
r- m mxle Cordl baenbatr '^i ^^^^^^'^^ S^^^^^f^ raperet:

i64 DE MrTILATIONE BKACHIORFM

tordis Jabftantlam ct in Jingu'is vijceribus {Teficardio H
Cordc) Glandulae miliares tartaro turgidae jnanijrfiaban-'
tur. vid. Epiftola dj Stru&rfra Glandulantm conglob. Sa^
cictati RcQ;iac Anglicanac injcnpta A. 1688. Alter vc-
ro, fub timlo Lienis gnmdinibus obfui Thcf. IX.n. 55.
a fe obfcruata fuifle commemorant.

§. 10. Caeterum , fi iftiusmodi a Malpigbio ob-
feruatis corporibus, tumores in noflro Puero \cre fint
fimilcs , hincqnc iisdem fuperftru(5ta Dodrina hraid <:om-
mcntitia , fed vt Grauiifimi Anatomici coniiciunt, ve-
ritati fit m;\xime propenla , rarum profeclo ac perutilc
jTpedl-cuhim hic nobis efle oblatum , ncmpc haud fo-
lum in Pcricardio , vt et Plcura et Peritonaco , (in qui-
bus po(h-cmis partibus tametfiindngatae , haud tamcn ocij-
lis confpicuae Glandul;tc liint ftidae) , led (quodnouum
ct praecl.irum cflct inucnmm ) in pulmonis extcriorc
integumcnto fniKfturam follicularcm manifello paterc fa-
tendum etfct: Cuiusmodi porro innentum, coniefturae
fimul locum daret, exiftentiae fimihum Glandularum
in omni viicere, tam in medio quam imo ventrc in-
clufo , qnae ob fuarum exihtatem et pcjhiciditatem ocu-
lornm aciem cffugiunt , fiquidcm , vt pleurae et peri-
tonaei tcxtura c folhcuhs eft conflata , f\c non fohira
Puhnonis ct Licnis, fed quoque Cordis, Diaphragma-
tis, Renum, Vcficae, Vteri , Tefticulorum in vtroquc
fexu extcriorum rTiembtanarnm quac Pleurae et perito-
naei veras expanfioncs efie crednntur , flmilcm ac cc>m-
muncm texturam fore prol)abile etL Qiiia antcm ea
de re , duce Rbiiyjcbio, inter Grauidimos Anatomicos
hnud vna cll fentcntia, cgo quidcm Vimm Celeb. ac

IN PFERO. a5$

veri ftudiofifllmiim, mngis quam muki exiflimant, Mal^
pighianae dodrinae fuiffe propenfum, ac vel feinfcio fub
portremis 'vitae annis eius veritatem re ipfa agnouiffe
contendo , dum Adiierjar. Anat. Dec. 2. Cap, 3. de ori-
gine materiae quae in articulo genu pone patellam re-
peritur , hunc in modum differit. Caufla , inquit , quac
cpinioni de glandulofa iiic loci fabrica originem dedit,
liaec imprimis eft ; In vafculofo illo apparatu iocantur
vbique exigua mcmbranacea receptacula , fimilia iis }
quae in iHteftino refto imprimis vt et intertinis tenui-
bus obleruantur , quacque verfatiflrmus in Anatomicis Li-
fierus donat nomine agminis glandularum. Circa rece-
ptacula liaecce innumerabilia vafcula finguifera , tela ara-
nearum fubtiliora atque decurfu omnino finguiari dispofita
Videmus. Neque apparere haec vafcula pofiiint , nifi prius
cera rubra bene repleta fuerint , dein radiis folaribus reda
allapfis in coelo fereno , obleruentur per oculos boni mi-.
crofcopii adiumento vfos: vbi enim omnibus his beneficiis
fimul adhibitis non vteris fruftra liaec inquifiueris. — lam,
quia iftiusmodi receptacula re ipfi (unt Malpighiana ,
propterea nullum discrimen eft obuium inter Malpighii^
ac inter modo expofitam Glandulae Idaeam: Omnes
enim ad veram ftruciuram glandulae pertinentes pro-
prietates fecundum Malpighii mentem , loc. cit. a Celeb.
Rhuyjchio aflumtas et defignatas perfpicere procliue eft.
Qiiibus conftat , Virum ingenuum verique Amantiifimum
fub vltimo vitae termino feu decennio , opportunitatem
eam nacftum fuifle, qua vt ipfe p. 1. Aduerf. Anat. L
fatetur , emendaret errata fua Anatomica , quae ipfc forte
in ahis fuis ohm Icriptis commifit. Qiiis nempe , in-
Tom. VI. Ll quid

2(Jcr DE MVTILATIONE 'BRACllIOWM

qiiit, mortalium omiiibus fe horis r;'.pcre iadet? Qui5
ab errore immunis? de me, id vcl cogitet, abfit! fatis
fuperque vidi , atque dolui , hinc iade excidiiTe feftino
quae maturelccntis fenii prudcntia aliter didata veiiet-,
multumque referre , an iuuenih impetu efferantur quae-
dam , an vero ab Odogenario multos prell;i in. annos

prodeant quia impoflibile puto , iti bene fub-

du(5la ad fcripturam ratione eile, vt nihil poflea vel
ipfe corrigeiidum aeftimet. Ipfe gaudebo fane fi quis

in meis deprehenfi vitia in mehus commutet. lam

Vir Eximius in cit. exemplo fatetur a fe vifa fuifle re-
ceptacula exigua, combinataque vafcuhs innumeris, tela
aranearum fubtihoribus , quae ambo (unt re \vCx pro-
prietates verae eir:;ntialesque Glandularum fecundum mcn-
tem Malpighii \ Verum ex aduerfo, ciusmodi rccepta-
cula fatetur a fe haud vifj. fuiffe in caeteris partibus
vt in epidermide , in interioribus cauis cerebri , pleura,
pericardio , peritonaei cauitate ,. tcflium tunica vaginali
ac plurimis ahis partibus, tameth earumdem vafcula con-
Ipexerit tantae tenuitatis, vt in ftata naturae ac poft.
rcpletionem cera rubra fa<3:ara, ftne radiorum foliriumi
ac microfcopiorum optimorura hice effcnt plane incon.-
fpicua. Ciir vero hic vafa feparatim.? Cur non aeque.
vaiii et receptacula fimul combinata vt in priori ex-
emplo ? Priusquim refpoi^deam , cur quaefo in multis
partibus,in tlatu iiaturae alia vafi fiint confpicua ,. alia ve--
xo eorumque pars maxima vt ipfemet Rbujjl-bius fiite:--
rur , lant inconfpicua ,, donec vel cauihs fortiiitis vei fo-
lertia Anatomicorum fiunt fcafibas oibuia. Ergo, vt vafcu-
h- dantur ineffiibtlis tenaitatis,. (|ii.ie tametfi vero exi-

tiUIt-

if.ant multis in iocis iiint inGonrpicua , (Imiiiter in com-
page :sdmir2:tida Animalimn iiitelligitLir , non folum va-
lcula bmnis geueris, Tt diclum eft, contineri ; Verura
varia corpuicula elTe poiita tam indole quam magnitu-
dine discrepantia,.qinKdam acie oculorum conipicua, quac-<
dam vero ob incrcdibiiem tenaitAtem aut pciiuciditatem ,
5iut fitum profiindiorcm fenfibus inconfpicua , interdum
lamen foitiuto vel alia quacunque caulfa reuelanda.

§. 1 1 .Qiuuc, vt ad quaefitum refpondeam , tametfi pro-
prietates lyphonis fint profedo admirandae, propterea
tamcn ex etledlu in valii vniuerfa , inque eorum ramufculos
ct contextus fubtiliifimos , haud confequi effecftum com-
munem ac vniuerfilcm , nempe claram et abfolutam de-
monftrationem texturae ac varietatis particularum ad eam
fpedlantium , minus mirandum eft: Nam i. quando vaf'
Sula m.inima tametfi fmt diftenta , aciem ocuiorum elu-
dunt^ aiiae vero machmulae, fuic nudac , fuie anncxae va-
fis minimis, fme non, e fubftantia fiuidae acmula funt
conflatae , num a cerae \cl cuiusuis materiae in vafa inie-
(flione, eas vifus aciem efFugere mirum eft? 2. Qiiando
ante inic<flionem,earum moles vafcuia aequaret, fi per in-
iedionem omncs ramuli minimi diftenduntur , quanto in-^
ieftio eft perfeclior , niolesque vafcuiorum aucftior et con-»,
fpeclior, tanto cxilior molcs difhciliorque confpetftus ma-
chinnlarum efficitur: Nam,quum earum fabrica fit tener-
ririTa, ficild intelligitur, a praefata diftenfione vafcuiorum.
faruiTidem' rcfilkntiam qiiac cft minima , vinci , hinc co-*
Ardationem tic deniquc m.olis decrementum confequi : vn- \
rie patety 'ad 'inucftiganda Naturac orcana,, iniedionibus
rhaiid vltra j tpAampareft; 'tribuendum e.ne.
■l " ■ h\ z DE

25S DE CORDIBVS FILLOSIS,

DE

CORDIBVS VILLOSIS.

AVTORE

^of, Wejtbrecht^
§. I.

ADmirandi huiiis et rari inter cordis afFedliis phae-
nomeni primo hiitoriam dabo j deinde in cauflas
eius , quantum in re oblcura licet , inquiram.
§. 2. Menfis Augudi die vigefimo primo, i73i-
cum in fedione cadaueris remigis alicuiiisoccupatiisefrem,
qui cx -vlccre profiindo pulmonis fuiiftri vsque ad exteriora
integumenta penetrantis deceflTcrat , habitum cordis exter-
num fmgulari quodam ac miro inuolucro inueihtum de-
prehendi. Erat enim raateria quaedam ad fenliim , lardo-
la; hic tenuis ibi crafla, albicans, tenax, vbique decufTa^
tim quafi incifa, et in crenas diuifi,YtvilIosparuos, varios,
longiores et breuiores , rotundos , quadrangulares referret,
quae non folum fuperficiei cordis exteriori et adiacentis
pericardii parieti toti fuperinduda erat, fed etiam in
omncs finus inter vaia e corde egredientia , imo fuper vafa
jpfii , quantum in cauitate pericardii contineiitur , penetra-
uerat. Poterat haec materia , tamquam membrana con-
tinua vbique dctrahi , vt cor et pericardium in ftatu, qua-
lis naturahs efle folet , rehnquerentur : quippe in ahquibus
locis laxius , in aliis antcm , et imprimis in illis locis ,
vbi fub mcmbrana cordis pinguedo transparebat , fublian-
tia tcnuior , et paucior tcnacius adliaercfcebat.

§ 3.

DE CORDIBrS riLLOSlS, ^^9

§. 3 . Non it;i miilto pofl: in alio cndaiiere iniiolucrnm
jfimile detexi , quod et in Conuentu Academico ni conlpe-
^Lim produxi , in quo aiitem Tiili non adeo mogni adhae-
ffebant, vtpot^ cor cum pericardio aliquibus in locis
concretum erat.

§, 4, Simile velamenrum autem, tertia denique
^ice, Menfe Februario 1732 in cad:mre agnatae alicuiuSj
vna cum Cl. Dn. D. DuVernoi non fine ilupore in-
tuitus fum. Erant autem hic omnia infigniora ; materia
lardoiii non in \illos fimplices vagantes diuidebatur ,
fed in columnas omtiino crafliis, imaginem columnarum
maximarum in fmibus cordis referentes, colore et con-
fiftentia polypornm acmula, quae tamquam trabes ex
eordis lateribus verfus pericardium extenfae , huic ac-
creuerant, atque ita cohaefionem cordis cum pericardio
flabiliuerant. Laborauerat defundla haec Virgo viginti an-
norum vltimis Yitae temporibus obftru(ftione menfiujn y
quorum lluxus irreuocabilis erat j accefierant, diffieilis re-'
fpiratio , tufficula , febricula vaga , dolores pungitiui circa
fcapulas, anxietas, appetitus proflratus, tumor pedum, do-
nec tandem repentina ventriculi inflammatio , cum fubfs-
qnente vomituritione,et fubitanea denique fuiFocatione mi-
feriae finem im.pofuiflet. Praeter phaenomenon autcm
fupra memoratum aderat hydrops pedoris in dextra im-
primis thoracis cauitate;, et in pulmonis fubftantia , praeter
varios duros nodos , olTiculum quoque rotundiufculum ,
lcabrofum, pifi maximi magnitudine innatum.

§. 5. Prima quaeftio, quae fub phaenomeni huius
confideratione , eruenda occurrit, fuic dubio haec eft:

Ll 3 ^ua-^

«70 DE CORDIBFS VILLOSlS.

<]iiiilesnam et cuius natiirie fuit tales excrefcentiac ? Ad
qiuim \'t CLim aiiqiu vcrilimilitudine refpondeamus , ad
experimcnta {idtcndendum .eflc putem, qaae cum hac
matcria inftitai.

§. 6. Portioncm huii» materiae in aqua fimpHci
maceraui ; in qua putreicere , foeterc , et in mucilaginem
denique, quemadmodum aUae partes animalium non pin-
giiedinolaG, fatiicere coepit^ Portionem aham in aqua
fimphci coxi , quae in iiibllantiam multo tenaciorem ac
membnmaccam coahiit, atquc fpcciem coaguli fubalbidi
iuduit. Aiiara dcniquc pin"tioncm in iamina ferrea igni
aper.to impoliii^ \ndc in liibllantiara duram , et fragilem
exaruit. In his variis examinum. modis nullum pin-
gucdiais vefiigium apparuit. Cum vero eadem liaec phae-
nomena in ipfo fcro fuigLiinis liumani deprchendantur,
neque viiuni f.milc fluidum in a^rporc humano cxiilat;
couchidendura omnino cft , hanc mnteriam nou pingue-
^incm eflTe , fcd genuinam feri ipfms progcnicm.

§. 7. De poffibihtate fcparatioiiis materiae taiis fe-.
rofiemullatenus eit dubitandum. Namque in fanguine ani-
mali (iirum cum globulis rubris adco laxe cohaeret , vt
nonnili fola quictc opus fit ad rcfolutioncm iiuius hu-
moris vitalis iu illas iluas partes intcgrantcs. Docct id
quaeuis venac fedio. Imo ne tcnacior quidcm feri ^xi>
cum rubra aequabihrer mirta manct, fcd tamqijam crulia
•membranacca placcntam rubrara fcparatim obtcgit, qucm-
admodum in pleuriticoriuii (anguiue cmifip luculentet
•yjdcrc eii. Dcniquc ipfa polfporum naturii,qui, nou,

-4. »11« t i-*i.

BE CORBIBFS FILLOSI!^. ^jt

Obftante perpetuo fanguinis traiedu in interna cordis cauP'
tat€ nafcuntur , fenim finguinis a rubris partibus diuelii
pofle, abuiide fitis teftatur.

§. 8. Talcs flutcm excrefccntiae fcrofae (§. 2.3.4..)
Bon in cordibus folis inueniuntur, fed experientia do-
cet, in aliis quoque corporis regionibus fiepenumero exi-
ftere. Ita e. ^r. Ci: D. Du Fe?im noftcr mukijDlici ob-
feruatione didicit , inteftinorum gyros imprimis per ma-
teriam talem feroilim et gludnofam , ct in mcmbranae
fpeciem incraflatam ita frbi coalefccre, Yt qu&fi conna-
t?ae videantur , atqae aeg»c a fe inuicem diuelli patiantur.
Neque ab hoc loco alienum mihi Yidstur, aliiid cx-
empium commemorare , quod irr cadauerc ruilici cuius-
dam A. 1729. oculis meis fe obtuiit. Huius pedus
cum aperirem, lartus eius finfflrum aqua lividula ple--
num erat: vix cnim vna aut altera cofta a flerno' folura,
ftatim illa per rim.is pronipit. Ablato aiitcm flerno,
hoc fe exhibuit pliaenomcnon ; Palmonis dcxtri lobus
ille,- qui imer duos-, auc inrerdum trcs, maximus efl,
qua fternum et cofbrum cartilagines adiacct, obdudius
erat materia quadam ex albo fiauefccnte , tamquam mcm-
brana , vigcfiraam cifcitcr pollicis partem crafla-. Abrafs
digitis, collegi in vafcuUim. Adftitit ipedator Ci. D.
fhiieUn. Poftridie examinauix^ius aqua et ignc. Cum-
aquam. inieda eoqaeretur : ueprehendimtis parumquid pin-
gaedinis in fuperficie aquae natantis, qn:ic vcro a digitis
inter fecandum vnguinofis ftdis , queis colJjgrbatur, frciie-
iffiiciri poteratv Reliqua materia in membranam con-'
sriefcebat teriaceiii",: talem-, qualem ex fero fanguinis coir-

£74 r>E CORDIBrS riLWSIS.

fcdlim Ccl. Rujfcbius inThefaiiris fuis exhibct. Quo magis
coquebaraus , eo teiiacior cuadebat. Poll: ehxatioaem ia
lamiiia ferrea igci aperto impofuimus , vnde tandem adeo
iiiiuruit, vt in puhicrcm potuiffet redigi. Partem hu-
ius materiae, ab^que praeuia eUxatione, mcthodo vlti-
mo commcmorata examinauimus, quo fiidum eft, vt
antequam in membranam e,t tandcm iu fubftantiam du-
ram conuerterctur , multae buUulae aereac excitaremur ,
quarum vcro paucae , propter materiae tenacitatem , pcl-
licuiam fuara disrumpere poterant , vt igitiir aer folum-
modo fenfim cxhalare cogcretur. Ceterum pulmo dexter
valde durus erat, fed aequabiliter et fine nodis fparfis;
itemque folito rnaior , fiquidem propemodum duplo plus
ponderabat quam finifter.

§.9. Si de modo formali quaeras, quo excrefcentiac
tales ferofie fcparari atque excerni poftint,dno potiftimum
probabiles eife videntur; aut enim ex vaporibus, qui
ex omnibus vifceribus continuo exhalant, iilae generan-
tur, aut ex ipfis vifceribus llib forma non vaporofi fed
crafliore et fluida expreftlie transfudant: quibus etiam lym-
pha pericardii, fi de cordibus villofis in fpecie fcimo
©ft, tamquam materia proxima annumerari poteft.

f. 10, Qiiod ad vapores attinet, iUi quidem ge-
neraUter ncgari non polfunt: fed in vagis illorum ex-
halationibus nuUa ratio fuificiens dcprchcnditur , quare
tales matcriae non vbiquc in tota aliqua corporis caui-
tate, fed tantummodo e. gr. in hoc praecife lobo pul-
moflis ct non in alio proxime vicino detegantur. Cauflii

tcrtia

DE CORDIBVS FILLOSIS. 273

tertia iocum quidem habere poffe vidcretur , quando de
cordis cxcrelcentiib Iblis quaeftio eflet • hacc vero aliis
phaenomenis a pcricardio remotioribus explicandis mi-
nime fufficeret, nifi fimilem vaporum condenfuionem
in mafliim hquidam (quaUs in pericardii fuui conftans
eft) tam in pedore qnam in abdomine fupponere -vel-
les. Qiiamuis autem taUs iiippofitio per experientiam
quodammodo roborata -videatur, dum quam faepillime
accidat, vt in iftis regionibus aUqua ierofitas hinc inde
diffluat, tamen exinde non lequitur, cur plana fuperficies
puh-nonalis lobi aUcuius, cur inteftinorum gyri variis
diredionibus inflexi tali membrana obducantur ? cum po-
tius iUa, fi quidem poft euaporationem fenfim incraf-
fiiretur, vi grauitatis planitiei diapliragmatis incumbere,
aut in peUiis cauitate deUtefcere deberet. Sola igitur
transfudatio fpecifica determinata in iUis vifceribus, fu-
per quibus tales excrefcentiae expanduntur, reftat, ad
quam ni horum phaenomenorum explicatione confugien-
dum efle putem ] quo vocabulo humoris ferofi violen-
tam extra vafa circulatoria expreflionem per poros fii-
perficiei vifceris inteUedam veUm.

§. 1 1 . Vt vero in corde et pulmonibus materiam ta-
lem ferofim glutinofam et compa^ftam per transfudatio-
nem obtineamus : primo vis aliqua adefle debet , a qua
ifta expreflTio extraordinaria proficifci poteft ; deinde ma-
teria huius naturae fit oportet , vt , poftquam feparata eft,
m formam confiftentem et quodammodo foUdam abeat ,
non autem liquida permaneat.

Tom. VI. Mra f.21.

274 I^E CORDIBVS VILLOSIS.

§. 12. Vis illii eft ipfe motus cordis rolito vehe-
mentior auiTtiis propter impcditum liuiguinis traiedum
per pulmones cx vitio huius orgiuii, qucm immediate
comitatur intenfior folito refpiratio. Intelligimus enim,
in exemplis llipra allegatis femper adfuilTe reipirationis
ditficultntem et puln\onum thoracisue laefionem. Res au-
tem experientiac eft, quo magib tranfitus languinis per
puhnones impeditur, eo maioribus agitationibus cordis
ventriculos contra niti, eoquc celeriorem et magis an-
hdam relpirationem fieri, quae femper maiorem iufar-
(X\\m fuiguinis tam in corde quam in puhnonibus^ ex-
panfionem et dilatationem horum Yifcerum, texturae ra-
ritatem, pororumque minimorum hiatus apertiores in-
uoluit, yx. fcrum forma paullo craffiori, quam quae in
vaporibus et transfpiratione inlcnlibili confpicitur, expri-
mi poflit.

§. 13. Sed ad eonfiftentiam et fluiditads ia(fiuram
non. fnfticit Ibla feri extraualatio et fecretio. Videmus-
enim in finguine venarum emiffb, feparari quidem^ quie-
fcendo, (cd (luiditatem (iiAm non omncm amittere, AWrx
igitnr cau(fi in auxilium aduocanda eft, quam in audo cai-
loris naturalis gradu inuenimus. Notum eft , exaraina feri
aliorumquc Uquorum ipft agnato.rum, e. gr. albumiiais
oui, nos docere, quody cnm in diucrfs caloris gradibus
dcnncantur, fub habitu etiiim longc dinerfo apparcanr.
Imprimis vcro feriun non coit in coagulum nifi in
.iqua calidiifima ; in tcpida autem tantummodo pntrcfcit,
Vtriusquc obfcruationis cxcmpla corpus quoqne animale
exhibcc. lioc enim dare apparct iu abicelfibus purit-

lenus

DE CORmBJ^S riLWSIS. -75

ientis atque ichorofis, qui originem fiiam fero extraua-
fato et in qnictc conftituto, ab ambientium autem par-
tium ciilore foto ncceptam dcbent. Alterum vcro col-
ligcndum eft partim ex confii^entia polyporum in cor-
de, partim ex crulb inflammatoria ijii languine pleuri-
ticorum, aliorumque tcbnbus ardentibus laborantium, in
quibus ob exceflluum fanguinis aellum iam pars aliqua
fcri ad coagulationem efl: difpofita, quae mox confequitur
vbi priraum quics acceflerit.

§. 14. Cum igitur in corporibus iflis, quae tales
lymphae coagulatae extrauafuiones nobis exhibent, ante
mortcm plerumque adfuerint fequcntia j^iaenomena : mo-
tus cordis vchementiores, anxietates, febricula, refpiratio
difficihs, pulmo laefus ; fequitur ncceflTario, etiam calo-
rem fmguinis vkra modum augeri debuifle. At vero
audus calor feri partes aquofis, tcnuiores diflipat, fluidi-
ta tcm cius minuit, gkitinofitatcm augct, illudque ad coa-
gulationcm disponit, quemadmodum §. 13. demonflraui-
mus. Ratio igimr fufiiciens patct, quare in ifliusmodi
pedoris affedlibus ferum exprefliim et efudans in fpif-
fiorem confiftcntiam rcducatur. In cordibus autem fub
villorum leu lacertoriun crafliorum fpecie apparet, prop-
terea, quia motus cordis tumukuofior cft et magis vaga-
bundus, vnde ferum augmentis magis irregularibus accre-
fcit, quam in pulmonibus, quae inter reipirandum aequa-*
bihus exphcantur atque contrahuntur.

Mm a DE

DE

CIRCVLATIOME SANGVINIS

COGITATIONES PHYSIOLOGICAE.

AVTORE

Jof. Weitbrecht.
Cap. I.

Modi Circuhtionis Confiderationes quaedmn generales.

§. I.

Otus perpctuiis (Iinguinis e cauitatc cordis fini-
ftra cgredi , pcr arterias in venas trnnseuntis,
inde in cor dcxtrum redeuntis , hinc per pul-
mones ad fcaturigincni fuam relabentis , nouoque cur-
fui fe fiftentis , iu gencre Circulatio fanguinis dici fo-

jCt.

§. 2. Grauiffuna haec vcritas Haveiana a primo
non folum inuentore fuo , fed et poftmodum a Fecqueto
aliisque, adeo indubitatis experimentis confirmata eft,
vt reuera talem motum in corpore animali cxiftcre ,
lippis hodic ac tonforibus notum fit.

§. 3. Qiiaiis autem fit ille 7notus^ quibus legibus
abfoluatnr, quae 'vires ^ quae illanim quantitas et qui
effectusl id vero eft, in quo aftlgnando multi doftifTi-
morum virorum , Itali potilfimum , atque Angli delli-
daruut. Neque tamen in hoc opere ita progrefii funt,
quin plurima nondum detcrminata, multa partim in-

cou-

M

DE CIRCFLJTIONE SJNGFINIS. 277

congrue, paitiir. ftilfo, piutim contmdid: u-ie did.i, p;iu-
ciffima ad mcnfiiras redicla nobis reliqiicrint ; quamiiis
non tam rcriitatorum attcntio, quam rerum potius mul-
titudo et pcrplexitas ludenus accuiiinda vcnirent.

§ 4.. (^aipropter ad haec omnia indaganda dum
animiim appelleremus, haud parum profuturum effe nobis
intellexmius , ii , quae neceffliria (iint, a minus neceiri.iriis
caute diilinxerimus, nc ad omnia fimul attendendo intri-
catillimis quaeftionibus iisque inutihbus implicaremur. In
confiderando igitur motu fmguinis e re noflra erit,
vt, quae de eius natura et conititutione , de viribus
cordis earumqiie principio et quantitate, de proportione
vaforum inter fe illorumque diretflione,de communicatio-
ne illorum determinata dici poffunt , tantisper ieponamus,
et generaUbus harum rerum notionibus contenti , ilmpH-
cem naturae laborem ocuUs patienter intuentibus profe-
quamur.

§. 5. Sangmnis nomine humorem rubrum in ani-

- malium corde ac vafis adhaerentibus contcntum ac flu-

entem intelligimus, et illum quidem talem, qualcm nu-

dis ocuhs confpicimus , quibuscunque ille particuhs homo-

geneis heterogeneisuc coniliterit.

§. 6. Maffi haec fanguinea cum omnibus corpori-
bus hoc commune habet, quod fit impenetrabihs , et
hinc omne ahud corpus ex loco a fe occupato excUidat;
quod fit mobiUs ac figurabiUs, hinc de loco in locum
transierri, ac in varias fjguras disponi poifit. Cumque
partes eiiis imprelfioni cuique cedant, et cedendo fiicil-
hme inter fe m ).ieantur; fluidi nomen, ct firnui afFeclio-
nei omncs fluido com;ietentes nemv) ilti denegauerir.

Mm 3 _ §. 7-

a78 BE CIRCrLATIONE SAKGFINIS.

§, 7. Praeterea tamquam veriratem indubitatam
cxperimentis fuis roboratam fupponimus: ventriculos cor-
dis contradione liui, Ihnguincm in \xi\\ feu canales quos-
dam fibi accrctos et congruos exprimcre , cuius contra^
cllonis atque exprcfllonis idca idcam vis cordis com-
prehendimus, quae pracfcnti inllituto fufficit. Contra-
(ilionem cordis cum Hanieo jjjlolevi nonnumquam di-
cemus j ille vero cordis Itatus, qui intcr duas contradio-
nes medius eft, nobis Diajlok crit.

§. 8. Qui circulatione fanguinis ndftriienda occii-
pantur, canales, per quos fanguis mouetur, tamquam
duplicis generis vafa nobis exhibent. Harum alia fan-
gumem a corde abducunt, et cx trunco in ramos ima-
ginatione omni fubtiliores diuiduntur: alia fuiguinem
fimilibus tenerrimis fliaminibus recipiunt ac per trunco-
rum fuorum mcatus iterum in cor deponunt. IUa vocari
arteriae^ haec ^cenae foient.

§, 9. Canales^ per qiionim caultates hoc noftrum
fliiidum ( §. 6.) mouetur , ex corporibus eiusmodi con-
flati funt, qnae data vi cxtendi fine rupturae metu pof-
funt, atque iterum rcftituuntur fublata ilta vi aut fupe-
rata , fuie, quae elajlica funt. Cum igitur finguis in
canahbus contentus continuam in latera illorum pref*
fionem exerceat, et vafa extendere annitatur, vi flui-
ditatis fuae {Grauejand. InjVit. §.328.): prefllone hac aucfla
vel minuta , ceteris paribus, maior vel minor canaUum
capacitas exfurgere poteft.

$. 10.

DE CIRCrLATIONE SANGl^INIS 27^

§. 10. Prcmat nmgiiis in canalium latera circum-
quaqiie : contiiuiitantur can-ales elarticitate fua , ita vt
tota langainis prcllio confumatur readlione la((.rum
vincenda , et viciiTim toti laterum nifui refiftat ; iciii-
cet fint vires preilionis atque elateris aequales; ita
vt nulla fequatur ciuiaiium diiatatio aut anguilatio,
vt proinde diameter capacitatis fit per aliquod tempus
eadem , et fluidum quiefcat : in hoc cafu languis et ca-
nalium htcra ita fe inuicem arcfte tangent, vt nullum
aflignari, fpatium fenfibile pollit , matene vacuum : fiue
canales illi tum erunt pleni. lam augeatur preffio fluidi,
vi vndecunque accedente ,, et vincat refiltcntiam late-
riun, vt maior canalis capacitas oriatur (§. 9.): erit
adliuc diun plenitudo, et vacui exilium. Superet ve-
ro canalium elafticitas prellionem liquidi , et capacitis
illorum minuatur: nc fic quidem fpatium lelinquetwr
vacuum , fed omnia erimt plena.

§. II. Apparet, fequi haec omnia ( §. 10. ) ex
idea elafticitatis et fluiditatis (§. 9. 6.): Neque tamen
ea ita vera llint, quin cautionibus quibusdam opus fit.
Videlicet fupponimus, haec ita fieri in corpore lano
et viuo , in quo femper determinata et fufticiens quan-
titas £uiguinis requiritur. Poteft enim liaec ita dimi-
nui , vt aiftionem nullam laterum fefe contrahentium
amplius patiatur : Tum vero nec viuum ant fmum cor-
pus erit. Deinde nimis illi praecipites mihi ^identur,
qui poftqiiam non dari vacuum in canahbus euicerunt,
eo ipfo languine illos plenos elfe concludunt. lllos au-
tem demonftrare antea oportet, nullum aliud peregri-
num corpu5 m ciuiiUibus dcprehendi praeter ianguineiH :

id

aSo DE CIRCFLATIONE SJNCFINIS.

id qiiod aliqua ex piute praertltit Domi?riats Guiliehm-
ni ^ qui a podcriori , \t Logici dicere iimant, often-
dit, quasnas turbas aliena corpora , tam Iblida , quam
fluida , modo cum languinc non milcibilia in ne-
gotio \itae excitent, et exinde necellariam fanguinis
continuitatcm adftruxit. Valii igitur dida languine ple-
na elTe audaclcr iicebit dicere.

§. 12. Qiiia languinis ex arteriis in venas (§.i.8.)
eft transitus : vala haec duo inter fe cohaercre extremitati-
bus fuis, neccfle eft. Qiialiscunque autem haec fit ^o-
haefio, haftenus nobis perinde erit: cum illius ignora-
tio praefenti confiderationi nihil ofiiciat.

§. 13. Tota igitur via , quam fuiguis emetiri de-
bet , antequam ad fcaturiginem fuam redeat , eft longi-
tudo arteriarum et vcnarum (§.12.), quae pro varia
vifcerum a corde diftantia fimiHter varia eft.

§. 14. Numquam tota illa nuiguinis maflli ex cor-
de in arterias proiecfla , pcr vcnas iliibata rcdit, fcd
quaedam iliius particulae e corpore penitus chminan-
tur , quacdam ita immutantur , vt fuis (pccificis vafis
latae per totum corpus oberrent, doncc in viam rcgiam
denuo rclabantur. Ne igitur nimium oneris nobismet
ipfis imponamus : fcrutabimur fohimmodo , quid fangui-
ni' accidat , doncc a corde pcr arterias ad horum ex-
trcma minutiliima, vbi transitus in aha vafi incipit,
peruenerit \ reliquos canales et dudus tamquam vas ah-
quod communc confideraturi , in quod arteriae Uquo-
rcm fuum ctfundant.

§.15. Vbi primum igitur Cor adionem fiiam ex-
ercere incipit , malfa languinea , quam hadcnus intra

vafa'
i.

m CIRCJ^LATIONE SJNCFINIS. aSi

Yafii quiete deliterccntem fiipponimiis , impetiim Cordis
fuftinere cogitur. Locus autem , \.bi prima percuffio
jiccidit, circa principium c. gr. aortae ipfum (de arte-
ria cnira pulmoniiU deinde dicemus), cui \aluulae le-
rRiluniires applantatie funt, quacrendus efle mihi vide-
tur. Cum enim valli omnia plena ( v§. lo.ii. ) fmt,
fanguis autem quaquauerfum ( §. (5. ) premat: valuulae
iftae vi tirudarae lliae ardiflTime fibi apprimuntur, ita,
vt cylindri arteriofi ex corde proxime afcendentis quafi
bafin efficiant, omnemqne inter fluidum cordis et ar-
teriae commimionem tollant. Puljus igitur e finiftro
cordis cauo Janguis ad compreffas valuulas allabitur,
quarum impetus conceptus cum accumbente Janguine .7^-
teriofo exxemplo communicatur.

f. 16. Impetus aiitem ifle fanguini a corde im-
preffus minime Ju/Jicit ^ vt motus inde vllus a&u fequa-
tur, nifi ille tantus fuerit, vt viam fibi inter valuula-
rum rimas aperire pofllt \ id efl: , vt apprefliie fibi val-
uiiltie ab inuicem discedant ., atque aortae lateribus ad-
moueantur. Cum enim et fanguini fua fit vis inertiae,
et vafa non a quouis minimo impetu extendi fe pa-
tiantur: aorta elajlica fanguinis molem tamdiu fuis li-
mitibus prifl^inis coercitam .retinet., donec vtraque a vi
cordis fuperentiir.

•§. i-T. Poftquam pateja&a (§. i6.) via eft: vt
fanguis nouus a corde proiedlus intra aortae cancellos
recipiatur, 'vetus languis nouo tantum fpatii concedcre
debct, auantinn ad afTeruandum. illius voiiimen fufficit;
Tom. J I. Nd plena

j82 DE CIRCFLJTIONE SANGriNIS.

phna enim omnia fimt et impenetmbilia (§.5. lo.).
Cu.n vero hiic noui voluminis additione quantitas maf-
fae languineae prior in arteriis augeatur, vt in eodem
Jpatio contineri non poflit : haec ipfa in alios fecejfus
deturbata promouetur. Loca autem , in quae vetus (an-
guis abiturit, non nifi duy effe poffunt. Aut enim
oportet , vt vafi maiorem capacitatem nancifcantur \ atque
ita ille intra arterias adhucdum detinebitur: aut pofita
capacitate prijiina non ampliata quantitas fanguinis intra
arterias denuo minui ac portio quaedam aUorJum extra
illas dilabi debet. Vtramque autem viafu a natura ipfa
adhiberi, et in fiibfidium vocari experientia et ratione
liquidifTime euincitur.

§. i8. Locus igitur alter (§. i7-) q"0 f<inguis
vetus ab appellente nouo protmditur, funt arteriae ipfae
dilatatae eo vsque, dum proiedla portio Jpatium Juffici^
ens naAa fuerit. Solemus hanc dilatationem quadan-
tenus tadlu ac vifu dignofcerc , ac pulfus nomine ple-
rumque indigitare. Docent obferuationes Harueianae,
contradiionem cordis et aortae dilatationem fieri eodem
momento: quando autem fanguis extra arterias (cpro^
ripiat\ id quidem experimentis non aeque planc coa-
ftat.

§. 19. Haec arteriarum dilatatio (§. 18.), fangui-
nis au^fta prefTio in illarum latera, valuularuni eleuatio,
dependct ab /w/)^?« fanguinis (§. 16. )\ Impetus autcm
huius ab aclione cordis f§. 15.^. Qiio malor igitur eft
haec aclio^ eo maior etiam ell impetus \ hinc latior aper-
tura intra valuul.irum rimas , et hae ipfae propius ad
aortae latera apprimuntur. Cum vero adlio cordis fit

Umpo-

DE CIRCVLJTIONE SANGFINIS. ^83

tetnporanea: necefliirio, ct^xtnx^ caujfa ^ impetus fangui-
nis qiioque et omniii reliqua phaenomena , tamquam ef~
fe^usj aiiquando fimul ceflabunt.

§. 20. Finge iam aftionem cordis_^wV^»/ , et ven-
triculum finiftrum penitus depletum effe: dico, valuu-
las retroprefliis (§. i5. ) iterum coUabi , et communionem
inter aortam ac ventriculum cordis denuo tolli debere.
Id enim nifi fieret, nulla efTet ratio^ quare columna
in aorta iiipra valuulas conftituta, non iterum defcende-*.
ret , et fpatium priftinum euacuatum occuparet , atquc
ita circulatio fuppofita plane abrumperetur. Sed et cauf-
fas coUapfus videamus.

§. ai. Quia corpora elajlica dilatata nituntur in
fui reftitutionem ac contradionem : haec omnia etiam
arteriis (§. 9.) accidunt. Non autem contradlio acftu
fieri , nifi fublatis viribus dilatantibus , poterit , quae funt,
partim impetus finguinis irruentis (§.16,); partim il-
lius au(ffci quantitas. Cum igitur adlio cordis tempo-
ranea fit, iila ceflimte (§.20.) virium ^\€ixn\m altera
tolhtur , et dilatationi arteriarum vlteriori terminus figi-
tur. Neque minus (anguis ipfe naturam faam (§.(J. ) num-
quam exuit , fed continuo quaqua vorfum premit ^ et
'quidem eo fortius illuc, vbi tfiinus eft refiftentiae. Fac
iam conftrido ventriculo cordis ac depleto valuulas per
momentum apertas manere, ac columnam fanguinis in
aorta fupra valuulas haerere immotam: fpatium vacuum
aderit tantiim, quantum eft interuallum inter valuulas
apertis, inter hmites ventriculi et columnam fangui-
neam nominatam comprehenfum. Vbi autem vacuum
cft, ibi refifttntia eft nulia. Cum igitur non folum /w-

Nn s petus

i^S^ DE CIRCFLATIONE SANCyim^.

petus fanguinis ex corde iiv latera valiiulariim JublatUT
lif, ex hypothefi , fed et praeterea vacuumr obortum fit,.
Yt nihil reftet , quod valuulas vltcrius retroprimere pof-
lii!: fequitur fangumm intra aortam ac valuula* conten*
tum vim fuam predbriam in valuulas potius quam aor-
tam exercere, valuulas ergo iterum fibi apprimi, apr-
preflis autem vahiulis- fanguinem aliabi. Cedenti autem^
fengiiini, in reftitutionem fui nitentii arteriae latera a
tergo infequuntur, Mq adu contrahunt , et valuulsirum'
arcfliftimam occlufionem adiuuant.

§. 22. Credo diftindius haec (§.15.1^.20.21.)
ob oculos poni Lcdori polfe Imeis et Jiguris.

Sint enim AB et CB valuuJae (quas ob
fimphcitatem duas lingimus ) in B fibi ac -
cumbentes, qmbus columna finguinea intra'
aortam FABCGF, ex vno latere infi*-
fteris quiefcit. Agat iam cor, et fangiii-
nem proiiciat ex ventriculo A C D-E , ver-
fus lams alterum valuularum. Si impctus
hic a corde fiidus vincit preftioncm colu-
lumnac fuiguineae fuperincumbentis FAB^
CGF; tunc eleuabuntur valuulae, et V€-
nient in fimm talem, akera AB fcilicet, in AHj al-
tera C B in K C ;, et apertiira erit H K . Per hanc aper-
turam finguis ex corde proicdus viam fibi quticrit.
CoUimna igitur dicflii proic(fhi nouo fanguini cedcns-
aortam. dilatat.-, at]UC' in fttiim akiorem pro diffcrentiai
altitudmum ABC etHK, elcuatur: preftio autcm ip(ius<
columnae in valuularum latcra , vtpote nunc minus in-
clinata;, diminuitur. Ceflct a(flio cordis: tunc v:iluulac-

AB

DE CIRCFLATIONE SANGVimS. aSf

AH , CK , nulhim ampliiis impetum liifilncnt \ columiTae
igitiir ranguineae preflio in v;iiuuLis , etfi prUis immi-
nuta, tamen ceflTante cordis impetu infinita euadit. Si
^m fanguinis columna FAHKCGF immobilis mane-
?et per momentiim, valuulis aut in AH', etCKhae-
rentibus , aut proprio pondere in fitum priitinuTn- A B C j.
relabentibus : neceiTirio vacuum- adR^rer tantum , quan-
tum eft fpatium AHKCBA, et capacitas ventricull
ABCEDA: In vtroque igttur cafu languinis cohimna
premens infinita vi , verfus vacuum non refiikns vna et
fimul cum vahiulis ad ahitudinem prifiinam ABC de—
(cendit. Delcendente autem cohimna, illius preffio iu
aortae lacera A F ,. er C G diminuitur ; haec igitur la-
cera contr-anitentia itemm reftituuntur, et appreJJiQnem
valuularum adiuuant,. atqu^ ar<n?iorem eiiiciunto

§■.£'3. Sint iam omnia, 'Oti ah initio (§. is-\ qtu^
efcat ftnguis, atque ab arteriis vbique plenis compri-
matur. Incipiat autem denuo agere cor, et portionenrai
itniguinis nmam verliis aorram proiicere ; faciie appiret,,
ibre quidem , vt ea omnia eodem ordine accidant, quo'
^* TS—zz. decripfimus: vernm , cum quouis iterato^
Gordis i(^i , quantitas maffiie languineae in arteriis no'-
ua portione augeretur, tandemque in irrfinitum crefcer-
TCtj fibrae etiam vaforum eo magis extenderentur ; fed'
et eo fbrtius refifterent: iequitur, aut vim cordis tandenr
fld motum' eontinuandum non' fuffeclurarrr, aut\, fi et
in.iniinicum augeretur, canales ipfos, vtpotc vbiquc tam-
qurtm obturatosi, cum vitae dispendio deJlru&imYuptumu&'
ki. Qiiaproptcr ad vitam requifita motus huius peren^

JN n. 3. nitias

z%6 DE CIRCFL^IONE SANCriNIS.

nitas eruptionem fiingiiinis extra arteriarum alueos per
vias lcgitimas indilpenl.ibili irgct neceflitite. Cum ve-
ro valuulac iemiiunares omnem in cordis caiia recejjum
{§. 20.) languini denegenty idque eo magis, quo fbrtius
hic ab arteriis fe rertituentibus apprimitur i§. 21.2.2.):
quicquid fuperfiuum eft, id omne pcr arteriarum ex-
tremitatcs alteras (§. 17.) cogctur effluere. Hae enim
illa emijfaria funt, quae in alterius generis vafa (§. 14..)
cum quorum primordiis (§. 7.) cohaerent (§. 12.), li-
quorem fuum transfundunt.

§. 24.. Quamdiu igitur incolumis ac naturalis Htn-
guinis motus perennat: tamdiu etiam quauis proieLiione ex.
eorde fa5ia tantundem praecip Janguinis per extremarum
arteriolarum orijicia in cxteros alueos tranfif., quantum ex
corde intra aortae terminos fuit receptutn. Hunc motum
finguinis naturalem voco aequabilem\ non, quod Cmguis
quocunque vaforum loco aequabiliter moueatur, fed quod
interuallo duarum adionum cordis tantum artcriis cxeat,
quantum illas intrauit, quacunque id cekritate fiat. Di-
co autem praecife tantundem extcrminari in ftatu na^»
turali. Qiiodfi enim niinor quantitas elaberetur: cons^e-
Jia finguinis moles aortam illiusque ramos vltra conliie-
tum tcrminus dijlenderet ; quae tiimia difienjio aut , quod
ante (§. 23.) monuimus, rupturam minarctur, aut, fi
robulla fatis vafa torcnt et qiiafi rigida, obturatis emif-
fariis motum cruoris progrefiiuum pcnitus interrumperet.
Fac autem plus exilire per vafa capillaria: totalis fine
dubio arteriarum euacuatio tandem fcqueremr. Vtrumque
autem talem ftauim a natura abhorrcre, vel me ta-
cente, luculentcr patefcit.

DE CIRCVLATIONE SANCriNIS. 287

$ 25. Atqiie huius CoroUarii (§. 24.) propofitio,
inm a Dominico Guilielmino ftabilitn adeo vniiierjaiiUr vei'a
ert, vt nuUa ex parte qiucquam muteuir, quantumcunque
ampla et capacia aut angulta , longa auc breuia lint la-'
Ja m?dia inter aoita pnncipium , et arteriolarum fines
interiecta. Varientur igitur canales arteriofi quomodo-
cunque , diflendantur , coar<ftentur , circumducantur , in-
curuentur, quaquavorfum : quia omnia plena liint'§. ro.j;
femper tamen omne liquidum in iltis canalibus tam va-
rie modificatis tamquam quiefcens confiderari poteft et
debet ita, vt nihil aUud fingere nos oporteat, quam
folam portionem illam fanguinis ex corde proiedam per
intermcdios du(ftus vacuos ademilliiriorum orificia trans^
latam^ atque ibi excuffam. Qiiatenus igitur Hinguis pro-
moueri debuit; plane non neceffe erat, -\t boc rejpe&u
arteriiie certa qaadam proportione diminuerentur, aut in
detenninata a corde diltmtia determinate dccreicerent:
led non modo quidam rami longius a corde diftantes
poterant ampUores elfe propioribus; verum ex ramis
quoque maioribus per lenfibilem diftiuitiam aequaUter
capacibus, ramufcuU minimi poterant deriuari : quem-
admadum iUud exemplo ramorum intercojlalium ad ar-
terias renales relatorum , hoc vero exemplo arteriarum
per piam matrem disperdirum , (iiosque ramufculos ca-
pillares in cerebri corticcm demittentium , nec non ar-
teriarum lienis quorundam animalium ex Anatomicis
egregie demonftrari poteft. Certe , quare in vno loco
capacior quaedam , in altero angujfior arteria deprehen-
datur , longe aliae rationes fubfiint , de qiiibus vero ver-
ba facerc adhuc locus non eft,

f . 25.

;it8« DE CIRCri /tTIONE SA^GFINIS.

^. 26. Sanguinis per arteriariim cmiffaria propulfi
(§. 23. ) pars aut inira vafa qaaedam Ipccifica l"e Uib-
ducit , aut intra venas (.§. 14..) quomodQ(;unquL' {§. 12..}.
Cum vero illa .ipGi vafa humorcs fuos., qui ex corpore
non plaue climinantur , intra venas pollliminio exone-
jarc ex Anatomia pateat: ratione motus (anguinispro-
gnjftui Iblius nil impedit, quo miiuis rem omnem cou-
{idcremu*., tamquam immcdiate e^i arteriis in i-enam ca-
uam trauriiffG!:. Qiiapropter cum iieri non podit,, \t
iiuiguis .jexcra artcrias eliininctur , quin intra nouos al-
U.COS cauac rccipiatur eo ipfo \ Transfufionem languinis
(§. 23.) et illius in ycms Jeceffum pro rc vna atque
eadein iiab.ere iurc poffumus. '

§. 27. QivAc cie aorta ^t cotd^ fhiiftro hniflenufi
(,§.15. — 26. ! iliximus : ea omnia cordi dextro et artcriae
puhnon.ili iimili modo debent apphcari. Ventricuhis
/enim dcxtcr aeque contrahitiir , ac ruiKlcr., fuasque fy-
ftolcs ct dialtoles (§.7.) habct. Sanguis igitur c -^a-
iiitate dextra proiecflus vahmlas ^ artcriae.didiae pari .rsi-
tionc ac aortae applantatas tollit , languinem in illa eon-
tentum loco tnouet^ atquc arteriam iplam (§.15.-18..)
dilatat , vt et illa extenfionem pafiTam pulfu manifclkt,
Tum vero, abpluta .vontra£iione., tt vahiulae (.§.!2o.2i.
St2.) rcftituuntur. Et quae ratio allcgata fuit, quod
fanguis extra aortae cmifl^iria fe effiindat (•§.•23.): ea-
dem et hic fubcft, quare ex firteria pulnionah in ahud
vas illc transcat. Docet autcm experientia, venam /)/</-
moualem drdam .ilhim effe ahieian ^ qui fanguincm cx
puimonibus recipiat, atque io .cauiratCi .cordis fmiltras

.dcpo-

DE CIRCVLATIONE SANQVINIS ±%9

deponat. Quantum igitur fanguinis <ono cordis i6tu in
arteriam pulmonalem propelHtur\ tantum praecije (§. 24.)
intervallo temporis pulftbus illis dejlinato in <vetiam pul-
monalem transfunditur.

§. 28. Vt motus fanguiais aequabilis f§, 24..) per-
ennet, vena pulmonalis tantum fanguinis in cauitate?n cor-
dis finiftram deponit , quantum ex arteria fua cognomine
(§. 27.) recepit: neque minus; quantum deponit ^ tatitum
quoque ex ijia cauitate denuo proiicitur: fi enim portio
minor aut deponeretur, aut proiiceretur : tunc aut ve-
na et cauitas finiftra tandem rumperentur , aut infiifio de-
crefceret, vel plane toUeretur \ id quod hypothcfi repu-
gnat. Similiter nec plus nec minus e ventricuh dextro
in pulmones propeUitur^ ceteris paribus, quam ex Cauis
fuit allatutn.

§. 29. Quantitas igitur finguinis a ventriculo dex-
tro fufcepta^ in pulmonalem arteriam inie6ta (§. 28.),
per venam (§. 27.) pulmonalem cordi finiftro infrfa^
inde in aortam protrufa [§. 2 8.),atquc in venae cauae al-
ueum (§.24..) transfufa., motu fanguinis tiaturali et aequabili
(§.24.) exijlente^ ejl vbique eadem.?Atet haec ita ficri dehere
ex necejjitate naturaei§. 2 4.. 25. 27. 28.); quaccunque de-
Hique fit proportio inter diametros venae et arteriac
pulmonalis, ct aortae • vt vel inde infirmitas fuppofitio-
num Meryanarum (Hiftoire de 1' Acad. des Sc. 1^99.)
hiculenter appareat.

§. 30. Portio fanguinis e corde proiectu, et intra
aortam fe recipiens tantum occupat fpatiiy quantum
Totn, VI. Oo ratione

2po DE CIRCrLATIONE SANGFINIS,

ratione 'voluminis reqiurit (§. i7.)- Sit autem ^. ^r. aor-
ta poUices tres alta, antequam vilus cx illa ramus ex-
eatj et portio vna vice proiecla occupet Ipatium cy-
liadri arteriofi ad altitudinem vnius poUicis : haec por-
tio a iuccedentibus duabus promota , intra tres cordis
puKationes perueniet ad terminum illum , vbi prima
aortae diuifio incipit. Si pullatio quarta nouam portio-
ncm proiiciet : haec prima duas nanciicitur vias, quo le
recipiat, aut enim in maximo aortae canali progreditur;
aut in ramum lateralem dilabitur \ aut vtrinque dillri-
buitur. ,

§. 31. Qiiia fanguis ab arteriae lateribus vndi-
quaque comprimitur, et vicifTun veriiis omnes plagas
nititur (§. 6.9.), atque ilhic omnium maxime acccdit,
quorfum fortiilime premitur, aut vbi minimam expc-
ritur refiftentiam : igitur ad hnnc canahs diuifioncm
indiffsrenter fe liabet, ct nihil eft, quod ipfuis cnrfum
hiic illucue determmet , nifi minor refijlentia motui iiio
progreHiuo oppofita. Refilkntia autem ibi elt minor,
vbi artcria magis enacuata maiorem extcnfionem concedit
ct vbi tranfitiis fanguinis per arteriae extrcma tfijaci-
lior. Pro faeiliori autem tranfitus haberi poteft , fi mi-
nori temporis ipatio per apertiora cmilfaria aut plura
numcro phis mall^ie laiiguineae ehminatur.

§. 32. Sit iam ramus hic primus (§.30.) altero
tanto minor ^ quam truncus ipfe. Si quidcm transjufio
per emiflaria ad vnum omnia, cx vtraquc parte , aequaJi
csleritate perageretiir \ fi ct numerus extremitatum mi-

nima-

DE CIRCVLJTIONE SANCFINIS;. 291

nimarum in ramo , altero tanto minor effet , ac in trun-
co ; fi iisdem giuiderent apertmis : non dubium elt , quin
tertia pars portionis liinguineae in nimum delaberetur,
binae imtem reiiquae tertiae partes in trunco progrede-
rentur. Cum vero hae noftrae liippofitiones inter le
fnit in ratione injinities variabili : igitur diiiifio portionis
fanguineae fimiiiter variari infinities poteft , itn , Yt , fi
fpeciminis cauflli cafum '\Ws.2;\it fmiplicrffimum , et extre-
mitates rami ad vnum omnes obturatas fingere liceret,
omnis res aeque coufiderari poflet, ac fi nulhis plane
ramus adeflfet ; totaque fuiguinis portio tunc relido di-
uiflonis confinio in folo trunco fe contentura , ac portio-
ni nouae a tergo infequenti locum conceflTura eflTet.

§. 33. Patet igitur denuo (§.31.32.), ex quan-
titate et capacitate ramorum , et illorum ad truncos rf-
latione ^ ita nude conflderata nihil concludi poflfe, {t^
dlftributioncm fmguinis ab illius ipfius quantitate ac ce-
leritate^ qua arteriarum extremitates egreditur, depeudeEC
Qiiamuis igitur, vt exempium fupra(§.2 5.jallegatumreti-
neamus, arteriae intercoftalis ramulus minor fit , quam
renalis : fieri tamen poteft , vt portionis finguineae e
corde proieftae pars multo maior intra illum recipia-
tur, quam intra renalem. Similiter res fe habere pot-
eft inter arterias rcnales et reliquum aortae truncum. ■\

§. 34. Portio fmguinea primam ramificationem
(§.30.) transgrefl'1 in aortae trunco pergit , donec per-
uentum fit ad diuifionem nonam. Tum vero ca omnia,
eadem ratione et ordine fc habent , quae de confiniis ra-

Oo 2 mi

i5>2 DE CIRCVLATIONE SANGFINIS.

mi primi (§.31 -3 2- 3 3-) diximus. SimiUa accidiintindiui-
fionibus reliquis, doncc in diuifionc vltima tota iih portia
fic exhiuifta.

§. 35. Scd iam alia ruboritiir quaeftio, quae pau-
lulum enucleanda nobis videtur , antequam languinis pro-
motionem vkerius profequamur : nimirum (§. 18,), an
transjufio illius extra arteriarum carceres fiat eodevi mo-
mento^ quo fit proie&io eius ex corde ., iew in Jyjiole'^. fiue
an id fiat in diajiole^. fiue tempore vtroquel Haec cnim
tria bene inter fe diftinguenda funt ac determinanda, fi
ab erroribus cautos nos praeftare velimus. Qiiod (arj-
guis tempore Jyjloks^ impctu a vi cordis concepto \n
venas transeac, de eo quidem tamquam de re fandif-
fime certa ne dubitare quidem aufi funt Autores ; quia
vero ob diminutam iliius celeritatera non totam por-
tionem vna vice a corde proiectam tranfue pofle arbi-
trarentur: etiam dialtoles tempus addiderunt, atque ad
jnftaurandam velocitatem arteriavum adtionem in (iibfi-
dium vocarunt. Qiio iure id fadiim fit, tortallis non
incongruum erit, paucis examinare. Primo autcm ne
hoc quidem tamquam verum admitti potefl: , quod , fi
fanguis eadem celeritate , qua arteria)T\ ingreditur , pcr
totam viam progredcretur, transfiifio cum lyilole necel-
(iirio coincidat; nifi vafa vbique plena et rigida ede
prins dixeris. Sint enim arteriae rigidae et plenae:
tiinc fluidum in iilis contentum conlidcrari polfct, vt
vmim cc/ntinuum impetui non cedens nifi in fui extre-
mitate patula: dum ergo ianguis nouus \ctcrem m
principio aortac percuteret; vltimae huius hquoris par-
ticulac in cxtremis arteriarum ramufculis motu corrv-

nuiiii-

DE CIRCVLJTIONE SAmVimS. 293

municato tranfirent in alia loca. Nam in hoc cafu
fuppolito omnia lehabent, Yti in fiphone. Sipho enim
eft vas arteriofum rigidum et plenum , liquor contentus
eft llinguib , vis emboli mouens ctl vis cordis : et quem-
admodum in momento trufionis emboli liquor ex fi-
phone profiHt^ ita fimihter in momento adionis cor-
dis (iinguis extra vafa viam fibi quaefiturus effet.

§. 35. Venim enim vero, cum, ^«^^7zwg-/w?<.f (§. 35.)
non exiftant ^ etiam ex hac parte parum proficiemus. Ab-
fit autem , vt ex negata vaforum rigidate , et , fi vel
maxime concederemus , (quod tamen haiflenus ignora-
mus) celeritatem fanguinis in vafculo extremo quouis
feparatim confiderato non eandem efle , quae erat in ar-
teriae principio , abfit inquam , vt exinde concludere vel-
lemus, fyftoles tempore non omnem portionem (§. 24.)
in \enas transfundi . Oportetfane, vt quantitatem illius
celeritatis fciamus, absque cuius menfura ratiocinium
noih-um fluduat. Pofito enim celerititis decremenro,
aut illa omnis euanefcet , aut aliqua filtem reftabit. Si
quidem velocitas nulla foret , tum et effedus virium cor-
dis elfet nuUa, et maflli foret refpecftiue infinita, ver-
bo : nullus plane motus quatenus a potentia cordis de-
penderct, fequeretur, fcd in fyftole cordis fanguis in
extremitatibus perfede quietus fubfifteret ; in hoc igituf
cafii tempus transfufionis a fyftoles cordis tempore dif-
ferret. Sed reftet adhuc aUqua velocitis ; fac illam
tantillam eflc : vnde nouimus angiiftiam viae , vtpote ce-
lcritatis remotam , per multitudinem extremiratum non
compenfiri? Qiiamuis enim vafcula fint ofcuhs praedifa

O o 3 rai-

294 D£ cmCVLATIONE SJNCFINIS.

minimis, vt vix vnicus liingninis globulus minimus per-
tingAt: funt ilLi tamen iniinita numcro, vt, quac por-
tio iimguinis non nili longo tcmporis inteniallo pcr \'ni-
cum odiinn pronunpcre poterat, nunc in infinitas di-
iiidi porciunculas breuiori tempore per portas plurimas
egrcdi poilit, quam faciliime- et totalis transfuiio ly-
ftoles tempore adhuc abfoluatur. Tametfi vero partitis
temporibus illam ticri cum Phyfiologis iiatuere vclimus:
omnium ininime tamen motum ianguinis acquabiicm
( non qualem nos ilipra ( §. 24, ) dciiniuimus led ex men-
te Guilielnmi , BeUini etc. , quafi in quacunquc vaibrum
parte ianguis vbique eadcm cclcritate feratur, ) cxinde
deducerc licebit. Talis enim , vt demonrtretur , opor-
tcbit,vt, non vagc fed, determinate oll:cndatur,eam prae-
cifc proportioncm inter malfam fluidi, illius vclocita-
tem , vaforumque capacitatem variabilcm in corpore con—
(lanter conieruari , quae ad motus aequabilitatem necef-
fario requiritur : liaec autem definiri non poteil , nifi
meufura virium cordis et arteriarum horumque vaibrum
capacitas refpediua exadiflimc fit cognita. Tantum ve-
ro abeit, vt motus fuiguinis in fcdione venae de acquabi-
iitate iiia intra vaia tefletur, vt potius eadem methodo il-
lius inacquabihtatem poilimus dcmonltrare : dum enim
arteria inciia fluidam iiuim per iiiltus profundit, iatis
apparct , motum fuiguinis , ii quidem in venis , at ccr-
te non in arteriis ^ ( quod tamen Autores dicunt,) et hinc
non in vafis omnibus vniformem exifl:ere.

§. 37. Intelligimus, rebus omnibus ita penfitatls,
nos ignorationc priitina (§. 35.3<5,) kborare: quam vt

cxcu-

DE CIRCFLATIONE SANGVINIS. zgs

excutiamiis, viiim a priori diuerfam ingredi-.imur. iSIon
ciiim ex eo, qu.ifi yis cordis mouenaae toti mafllie
languineae noo liifficeret, aut, quod reliftentiae ex at-
tritu illuis ad valbrum latera ortae velocitatem , qua
moueri debebat, ad niiiilum redigerent, vel liiitim mi-
nuefent , led ex ratiouibus et cauliis longe aliis lioc ne-
gotium deriuandum videtur. Oikndimus, vbi primum
cor portionem liuiguinis expreflit , illam valuulas ad aor-
ta latera (§. 16.17.) applicare • ac locum intra illius
cancellos quaerere , mafllimquc antecedentem ad certam
quandam diftantiam vkerius ( §. 30. ) pcrgere. Haec
autem omnia accidunt tempore lyflioles. Sanguinis igi-
tur , fi non tota mafla , portio tamen aliqua fyftoles
tempore in arteriis mouetur. Porro experientia docet,
omnia fluida conflanter quaqua vorilim premere. Non
dubium eft igicur, quin ( §. (5. ) fimilia fonguini accidant,.
qui verfus duo potiiiimum diuerf-i loca liiam preflionem
exercet, diim cor egreditiir; -verliis aortae latera , et ver-
fus portionem iiinguinis antecedentem ,. qiiae pari moda
iiib iisdem conditionibus progreditur. At vero vala ex-
tenfiiia adeo prope languini accumbunt , vt illius impe-
tum tamquam in infliinti experiantur ; e contrario ex-
tremitates arteriarum multo longius difliuit,, quam vt
fluidum in iUis liacrens,, eodem momento ex adione
cordis motum imprimi flbi patiatur. Citius igitur ar-
teriae dilatantur, quam particulae in vafis capillaribus
extiraae ad motum follicitautur. Arteria autem dila-
tata maiorem capacitatem nancilcitur , et proievflae por-
tioui fpatium concedit, quo fe proripiat (§.17. 18.);
Vbi primum vero ianguis locum nadlus fiierit, tum

ratio'

*9^ DE CIRCFLATIONE SANGVINIS,

ratio ceffat, quare et fimul extra arterias efFiindatur.
Tempore igitur fyftoies cordis nihil fanguinis cx arte-
riarum extremitatibus in alterius generis alueos (§. 16.]
dcponitur : fed intra ampliatas arterias tamdiu delitcfcit,
donec hae ipfae elatere fuo (§,21.23.) fe reftituunt,
ac diminuta capacitate , quod fuperfluum eft , exturbant.
Qiiapropter dlfert tempus transfufionls a tempore fyfloles :
Qiiies autem cordis feu diajiole , et arteriarwn contra^iOy
etfanguinis extra illas transfufio eodem temporis momento
accidunt.

§. 38. Apparet ex didis (§. 37.) tam veritas,

quam ratio phaenomeni experientia Harueiana (§. 18.)

deprehenfi. In qua quidcm adftruenda nonnifi princi-

pium plenitudinis atque clafticitatis vaforum , et natu-

ram fluidorum (§. 6. 9. 10.) in fubfidium vocauimus;

neque infufficientiam virium cordis ad mouendam to-

tam fanguinis maffam et fupcrandas refiftentias incu-

(auimus , fed infufficientiam temporis , quo fyftole pera-

gitur, ad producendum motum in capillaribus, cuius

quidem generatio in omni corpore fuccelhua eft, mi-

nime omnium vero in fluidis, quac ahieorum lateribus

extenfdibus et cedentibus coercentur, fimultaneus cfle

poteft: adde, quod pofita dilatationearteriaium , necefl*a-

rio illarum euacuatio , tamquam fiipcrflua res tollatur.

Non enim , quia fanguis ob amiflilmi primam veloci-

tatcm tcmpore fyftoles arteriis cxcedere non potcft,

illae dilatantur et puhant; fcd, quia arteriae dilatantur,

fanguis in illorura cxtremitatilius tantisper quiefcit.

§. 39. Cor agit ct quicscit per viciffi-
tudines : tempore autem quictis artcriae niliil ianguinis

jcci-

M CIRCVLATIONE SJNCriNIS. 197

recipiunt, fed in venas transfundunt (§. 24.) : fimiliter,
tempo^re adionis extremitates arteriarum quiefcunt, et
nihil (§. 38.) per illas in venss transfunditur. Qiiem-
admodum igitur arteriae per vices replentur, et de-
plentur , ita et vcnae per vices fiinguincm recipiunt :
fed tamen diuerfimode. Sanguis in arterias proiicitur
vi cordis ; in venas autem transfunditur vi arteriarum
contradilium. Tota portio vna cordis adione proiefta,
in vnum canalem arteriofum tranfit^ aequalis autem
maffa transfunditur in venas canaliculis partitis , quibus
neceflario fanguinis maffa in portiunculas minimas di-
uiditur. Adio cordis impetuofa eft; transfufio autem
lente, blande ac minutatim procedit.

§. 40. Dum fanguis in venis contentus per accc-
dcntes nouos humores augetur, eadem accidunt, quae
de arteriis (§. 2-3. 24.) diximus. Idem igitur valet ra-
tiocinium in cafu fimili. Aut enim , quia venae ple-
nae funt, audus humor extra venas locum fibi quae-
rit, aut venae debent dilatari, vt maior illarum
capacitas oriatur, foda quauis transfufionc noua. In ar-
teriis vtraque methodus (§. 17.) locum habuit ; quae-
nam autem quando et quopiodo in venis accidant? ea
vero iam videbimus.

§♦ 41. Primo quidem, me non monentc, patet:
non de eo quaeri, an venae etiam fint dilatabiles? id
enim materiae iilarum neceflario {§. 9.) conuenit , neque,
an venae dilatentur nonnumquam ? fiquidem experientia
fatis docemur , venas aho tempore magis , aUo minus
Totn. VI. Pp tur-

2p8 DE CIRCVLATIONE SANCVINIS.

tnrgidas apparere; cuiiis rei caufTa cft, fi vcl tota hu-
morum maflli augetur, ac propterea maius fpatium re-
quirit; vel fi accedente ciilorc ilhi it;i dilatatur, \t iii
volumcn maius fe difFundat: fed id quidem nos lcire
oportere : an venae facla qiuiuis transjufione noua , di-
latentur, morulis interiedis a fydole cordis determina-
tis? Hoc vero fieri in ftatu naturali negauerim. Si
enim venae dilatarentur reciproce , tumore aut pulfu id
patefccret reciproco. At vero nullus fentitur tumor
aut puUlis reciprocus. Dixeris fortaffe : fanguinem non
cum impetu tanto (§.39.) iii venas irruere, quanto
in arterias proiicitur -^ non igitur adcfie debere pulfum :
porro , portiones a ramulis capillaribus minimas recipi ,
inde nec tumorem oriri poflc. At vero, cum reple-
tio venarum , etfi lente et minutatim , per vices tamen,
procedtat, et finguis ex innumeiis ramulis in maiores
ramos fed pauciores congeratur: oporteret certe , vt vel
aliqualis tumefadio reciproca fcutiretur : at , tam pulfus,
quam tumoris vcfiigia plane nuUa : ergo etiam nuUa dila-
tatio reciproca •, ergo nuUa reciproce ampliata venarum ca-
pacitas^ nullum humori nouo intra vcnas diuerticulum.
Oportet igitur , vt ., quo mimcnto venae replentur per ^-num
extremum ^ eodem momento illae depJeantur per alteruin ex-
tremum ^ fnie ^ vt transfufio fanguinis in n:cnarum ahwos
mrmcnto coincidat cum effluxu il/ius nouo in cordis •iv»-
tricuIos\ et quantitas fmguinis in venis fcmper eadem
mancat.

§. 42,. Qjio igitur tempore cor fniftrum quicfcit,
(anguis vi arteriarum in cauam , (§• 37-) ct eodem

ino-

DE CIRCVLATIONE SANCFINIS. 299

momeuto (§.41.) in ventriciilum dexterum detrudftur:
fimiiiter, quo tempore cor dexterum quicfcit, ftnguis
ex arteria pulmonali in venam cognomincm (§. 37.27.)
et eodcm momento (§. 41.) in ventriculum finiftrum
deponitur. Qiio autem tempore ventriculi quiescunt,
fanguinem recipere et in diaftole efle (§. 7.) dicuntur :
Ergo diajlole vtiiusque venUicuU fit eodem momento. Ita
npparet huius fequelae neceflitas per ratiocinium ; veritas
aiitem fadi cum experientia conlpirante probatur. Di-
lcimus enim cum Hanieo : vtrumquc ventriculum cordis
proiicere (anguincm in arterias eodem temporis momen-
to ; quiefcere eosdem et languinem nouum accipere iti-
dem fimul. Cum igitur diaftole cordis et venarum repletio
(§.praefet4i.) coincidant, non mirum eft, venas non pul-
lare(§.4i.),quia eodem momento,quo finguinem recipumt,
eodem etiam in ventriculos cordis deponunt. Non igi-
tur necelfe erat, venarum alueos fieri capaciores dila-
tatione; cum quantitas fanguinis in illis non augeatur
et diminuatur reciproce , fed fingi polfit , quafi portio
quaedam cruoris ex arteriarum extremitatibns congefta
momento vno in ventriculos transfiliiffet, reliqua maf-
fa fanguinis intra venas manente eadem et immota.

§. 43. Non dubito, fore quosdam, qui me erro-
ris cuiusdam arguent , cum dicent , me precario affu-
mere^ quod fmguis ex venis immediate in ventricu-
los cordis illabatur ; elfe enim auriculas ita didas, pcr quas
iangiiis prius transflucre debeat , fiue : deplctionem ve-
narum fieri in auriculas, non autcm in ventriculos,

Pp 2 fyfto--

300 DE CIRCFLJTIONE SANGVINIS.

et hinc necefliirio non cum diaftole cordis, fed cum
ijflole conueaire. His vero tum demum refpondebo,
cum demonftrauerint : nec plus nec minus fanguinis,
qnam in auriculis continetur, vna vicc in ventriculos
promouerij non poffe fmguinem ex cauis et pulmo-
nali vena in ventriculos dilab' , nifi ilie prius in au-
riculis diuerticulum quaefmerit •, auriculas igitur cum
depleantur, eodem tempore viam intercludere venofo
(iuiguini in ventriculos. Sunt fane auriculae capacitatc
fua valde inaequales: non igitur illae mcnfura fmgui-
Bis effe poffant, qui fingulis vicibus a vcntriculis re-
cipi debet \ neque ita a venis disiuncft.ie linit auriculae,
vt feparatum corpus quodpiam conftituant ; quln, po-
tius pro vno continuo canali liaberi debent, qui com-
muni quodam hiatu in vcntriculos fe cxonerat. Qiian-
do igitur auriculae dcplentur, idem eft, ac fi venac
illis continuae depletae fuiffent. Manent igitur hade-
nus inconcufla, quae §. 42. diximus.

§. 44.. Antequam haec finiam, duomihi videntur
monenda. Primo quidem , quae aliquoties de Synchro-
nismo diaftoles cordis et transfufionis flmguinis dixi,
non ita intelle(fta veUm , ac fi negarem tempore fy-
ftoles quicquam in venas recipi , aut recipi faltim p-of^
fc. Cum enim haec flmguinis transfufto a certa quadam
vi artcriarum (§. 23.) cuius quantitatem et modum
agendi hacflenus ignoro , depcndeat : facilc apparet, ce-
leritatcm transfufionis determinari non poffe ; non igi-
tur aftlgnire tcmpus licet, quod requiritur , donec tota
portio fanguinis vna vice iu aortam proicdi itcrum

exrra

DE CIRCFLATIONE SANGFINIS ^ct

extra arterias fe fiibduxerit. Hoc tantum argumenta^
tionibus meis innuo . fi vninerfii maflli (i-mguinea tam-
quam quiefcens fupponatur , et iam cor portionem deter-
minatam in aortam proiiciat; hoc ipfum proiedlionis
tempus non effe momentum illud , quo finguis in
venas transfundi incipiat, fed hanc transfufionem fieri
aut faltim inclioare tempore diaftoles ; quo c^idem ra-
tiocinio intaclam relinquo hanc quaeftionem : quanta iila
morula fit, quae duas transfufiones intercedat ? an aequa-
lis fit tempori diaftoles cordis, an maior, an minor,
an infinite parua? Deinde, quod fecundo loco moncn-
dum duxi, fi qui funt, qui quaerent, quomodo ea, quae
de auriculis dixi (§. 42."), ad vtramque applicari debeant;
cum dextra multo maior fit fuiiflra, et ventriculum
dextrum capacitate fua aequet : iis responfum efto : nec
me caufliim inaequalitatis auricularum nunc allegare pofTe,
nec id inflitutum meum requircre ; quare enim dextera
amphor fit quam finiftra, id ego quidem hatflenus fingo
ignorare. Vidimus ex antecedentibus, et multoties incul-
cauimus, capacitatem vaforum maiorem aut minorem
nullius plane momenti effe in hoc negotio, modo vis
(anguinem pellens femper par fit omnibus obftacuhs
feparandis, id quod in corpore viuenti neceffario fup-
ponitur, CaufFa variatae capacitatis ahbi quaerenda eft.
Dices, me multa nefcire. Ita quidem ell:. Sed hadle-
nus fada qaaefiuimus, et ea quidem aut phaenomena ,
aut ex iidcm immediate eruenda, queis ea, quae nefci-
mus, tandem addifcantur. Praeflat fcire pauca, quam
obtrudere et fibi et difcentibus, ratiocinia praecipitata,
vaga, et apparenter tantum vera.

Pp 3 AOR-

30 a AORTaE £T SPINAE WRSALIS

AORTAE ET SPINAE DORSALIS

MIRACORRYPTIO:

praemittuntur

Ammaduersiones generales fiiper Spinae

dorJaVis Jlni&uram :
AVTORE

J. G. D.

Q

Tabula XV- ^ ^ViUuor \itAc infcparabiliii Fliimina , Chyli, Lym-
phae , Sanguinis cc Succi ncruci , et quod hinc
conlequitur, varia co pertinentia organa,in vnam
fpinam dorfalem funt conieda, vt Anatome vel prima
oculi infpeftione docet. Numquid itaque e fola iftius-
modi fiibricae contemplatione , Summi Conditoris (-x-
pientiam prouidentiamque intelligcre ac praedicarc pro-
cUue eft? Id profeclo in dubium vocare, aut vclle
qucmuis locum et quamuis pofitioncm quibushbct par-
tibus fore accommodatam , ac fine confiho , finc peri-
tia, ct fine intelhgentia, earumdcm fedes efformatas effe,
llimma inlania eft , fiquidem cuidens eft , quod mors vel
vita , eiusdemque felicitas vcl infchcitas, e certa fitus de-
terminatione ortum trahcre polht. Si in quodam ho-
mine, MeduUa fpinahs quauis aha rcgione Thoracis et
Abdominis, et quauis diftantia, cxtra thccam olfcam, in-
ter praefitarum cauitatum 'vifccra, coUocata , ficquc va-
nis percuftionibus , diftorfionibus aliisque iniuriis fuiflet

obno-

MIRA CORRVFTIO. 303

obnoxia ; cenfeo haud periculofiorem flatum et condi-
tionem concipi poire , hinc absque aha cauffii , tahs ho-
minis pernicicm ineuitabilem effe. Si porro quemuis
alium fitum Dudiis Chyhferi comminifcimur, non
iiib vafis intercollahbus , fed fub poffica facie Aor-
tae, aut cxtra pleiu-am, ad Tracheae aut Oefophagi con-
finia, vt vel potus vel aeris gehdi impreffionibus ,
vel vomitus vel tuffis exagitationibus fit expofitus , num-
quid tahs hominis vitam aut nutritionem maximo in peri-
culo verfiri y exiftimandum eff, vt confideranti patct,

§. 1. Hic autem in tranfitu, animadueifione dignum
eft , quod ab muenti Jfelliam et Vecquetiani temporibus
ad huncusque diem, in morborum et cadauerum tanta
varietatc et frequentia , de viarum chyhferarum condi-
tione (eu ftatu praeternaturah , nihil adhuc fit annota-
tum, quas vias tamen , vt funt corruptioni propenf\e, ac
vt eft hodic vitae hominum maxima dcprauatio , ci-
tius quam ahas integritatem eflc amifliiras, rationi haud eft
inconfonum : proptereaque tanto magis ea de re iiim-
ma cum dihgentia inquirendi cauflJii eft, quanto veri
eft fimihus, earamdem viarum laefim aut deprauatam
fiibricam , funeftorum eftec"tuum cauffam lliepius exiftere ;
et quanto turpins eft , opinionibus et adminicuhs te-
mere excogitatis decipi , vt vel folo exemplo Aortae ,
quae interdum contra Medici opinionem , (iib varia fbr-
ma , grauiflimorum affeduum cauflTi eft effedrix , latis
fupsrqae inteUigitur.

Caetcium, iftinsmodi praegrandis et tanta vi pu!-
iantib vafls , talem non vero aham fedcm , Naturam

effe

304- JORTAE ET SPINAE DORSALIS

cflc molitam , efficiendo videlicet, vt vacillationis et flu-
<fbiiationis expcrs, hinc olTco fiiiidamento polUco ftipa-
tum , antica vero flicie, a fupertenla tela duriore ad fpinac
contacftum propius compulfum , denique a vifcerum
confortio fit fcclufiim , id profcclo intcr fabricae huma-
nae perfcdiones et praerogatiuas haud poftrema , hinc
ad feruandum motum dnediLim , et circuitum iiinguinis,
aequabilcm , a liguta, diametro, elafticitate, et redlitu-
dine conftante Aortae pendentem, cil perquam neceflli-
ria.

§. 3. Qiiia autem, verae fibricae fpinae dorfalis
memoria apud me fere obfoleta erat, quanam ratione
per hoscc dies cam fum confecutus, ac porro quid in
eodem fubiedo adhuc animaduerfione dignum rarumque
iit obferuatum, duce Anatome hic exponam. Oflii
itaque fpinae dorfahs , contra aUorum oflium commu
nem indolem , crufta exteriore, quae in ahis oflibus
vitro fimilis, incredibihs flrmitatis (ohditatisquc caufla
eft, haud naturahter obduda vifa funt: Eorum fohim-
modo pars poftica dorium vocata, fupcr quam procef-
fus eleuantur , tam extus quam intus iftiusmodi crufta ,
fed tenui cft inftruda : Ex aduerlo , parte anteriore quac
procefllium ac iftiusmodi cruftae cxpers eft, color ap-
paret atrorubicundus, ciusdemquc coloris fuccus exliidat,
quo deterfo ipiarum ccHularum foramina maguo numcro
iam in oculos cadunt, vt in vcrtebrarum corpore aeque ac
extremis procefliuim, perfpicere procUue cft.

§. 4.. Porro, incredibilis copia minimorum vafcu-
lorum rubentium,fuper praefatam rubicundam fupcrficicm
hixuriantium profundasquc radices intra ceUulas agentium

hic

MIRA CORRFPTIO. 305

hic eft pofitii , vnde forte fiipra memonitus coior ortum
tnihit: Qiiem contextum , "vt fenfibus apparct, membra-
nae circumofliilis vfum praeflare verifimiic elt. s.Con-
geries aeque ampia lequitur exilium et complanatorum
ligimcntorum, coiore ad fericum aibum accedentium , a
quibus cum vafa tum os ipfum comprimi vei ex eo
e(l maniteftum , quod ab vna ora vertebrae vsque ad
alteram incedendo, et CtCc inuicem intcrfecando vsriasque
deculTes efficiendo , eo gradu offi funt connata et tenfi,
vt mucro (calpelli citius frangatur quam eorum cum of-
fe nexus foluatur , cuius flida acie cultri incifione , cauf-
(am protinus cognoui , videlicet quod praefatorum liga-
mentorum nonnuilac produtfliones, iplbs receffus oflis fub-
eant, ac naturam offeam affumant. 3. Antequam fu-
per fpinae olfi, Pleura cum pauco adipe eam. comitante
fit extcnla , aliud proprium integumentum obfcruaui, vi-
delicet peliem craflifiimam, elafticam , firmo nexu lis ag-
glutinatam , cuius craiiities in niedio fesqui lineam fa-
cile aequat, ad latera vero fpinae parum eft imminuta.
Caeterum , vt ligamenti, fic pariter eius fubflantia ert
tenax, elaftica, liinc mirifice accommodata, partim ad
fpinae compagem continendam et firmandam , partim
ad fulcienda corpora quac fpinae dorfali funt impofita
et aliigata, vt funt Ipinaiis medulia, aorta etc.

§ 5. Omiflli liic defcriptione illius vinculi carti-
laginei, quod mucofum, amplum, interiediim fpinae fin-
gulis iunduris , ac vt obferuaui , ita eft comprefliim , vt
in ambitu parnm extrorfum protuberet, de quo vid.
Cel. Mor^^agni Adupri. 3. p. 104. Vndecim limt diftin-
Tom. Vi, Q^q fla

3o5 AORTAE ET SPINAE DORSALIS

d;i ligamenw , in praefaco lubiedo , ad fpinae oniuni par-
ticularem connexionem : Nempe , fub pclle §. 4. defcri-
pta , ad vertebrae anticam lateralem inferioremciue fa-
ciem , vtrinque ligamentum enafcitur , a quo in proxi-
mae vertebrae marginem obliquo incclfu terminatur,
hinc per praefatum geminum ligamentum corpora ver-
tebrarum inter fele firmo nexu Ilint connexa.

Disiundis a fe inuictm praefatis corporibus ver-
tebrarum , et oculis in bafm inferiorem acuti procelfus
conuerfis , duo iterum iigamenta patent , quac in eo a
caeteris ligamentis difFerre viia funt, quod non folum
colore luteo infedta , verum etiam maiore foliditate prac-
dita , hinc minus elaftica fenfibus apparcant ; Praeterea
eorum extrema duritie oflium crant aemula; Inde bre-
ui eoque obliquo incefTu, ad radicem et b-afin fupe-
riorem acuti procelTus infequentis , altero extrtmo funt
alligata : QLiam tametfi validiifimam coniuncflionem pro-
ceiruum acutorum , duo alia ligamenta minus crafla ,
fed magis elaftica perficiunt , qiiae ratione fitus trans-
uerjalia merito appcllari poffunt : Extremo enim al-
tcro in latus proceffus acuti vtrinque implantata , alte-
ro transuerfim infeqnentis vertebrae dorfb funt conne-
xa : Qiiare eum in finem ca hic cf!e pofita , ne pro-
ceffuam acutorum articulatio , facile hixationi eflet ob-
noxia , haiKJ inmierito fufpicor. De qua profefto pro-
cefTuum acutorum articulatione obferuare hic op'orter, fin-
gulos procclfus parte fui fuperiore complanatos et con-
nc:Kos, inferiore autem finuatos ellc , quo efficitur,
Tjt pars gibba et fmuata eiusdem proceifiis, finui et gii)-

bae

MIRA CORWVTIO. 307

bae parti praecedentis et infequentis proceflus fefe mu-
tuo accommodet, id quod Graecis yiyyXu/xo$ voca-
tur. In pmefiita iirticuliuionc duo adliuc funt animid-
uertenda , i . pinguis materia , quae ceteris ianduris of-
fium crt commuiiis. 2. Tendinum mufculorum dor-
falium ncxus cum proceflibus acutis, quem haud ex-
trorfum feu in gibba parte, verum introrfum a dextris
et finiftris fieri obferuaui.

Porro fequuntur, propria ligamenta proceffiium obli-
quorum tam fuperiorum quam inferiorum, quae e to-
to ambitu radicis procelTuum enata , liinc fuper totara
iunduram expanfi validam et claflicam tliecam fuper
eam cfFormant, fub qua praefatorum oflium adio fme
impedimento pei-ficitur. Poft euacuationem medulke
fpinalis, aliud ligamentum, folitarium, teres, et elafticum,
cuius diameter fere 2 . lineas aequat , tliecae ofleae in-
cIufinTi eique forma columnae firmo nexu eft agglutina-
tum : Ibi parum protuberans, et dudlu perpendiculari par-
tem anieriorem thecae redta percurrens , non foUmi ver-
tebrarum corpora compingendi , verum etiam , vt con-
iicio , fpinalcm meduUam a compreftione et allifione of-
fis vindicandi, vim et facultatem forte habet.

§. 6. Hic , ante quam ad alia procedam , exigui
Mufculi minus (iint praetermittendi, quorum fortaifis
defcriptio hadtenus eft omiflii, vel fuper quos, fi Trans-
ue/falium intsriorwn titulo innotucrnnt , ahquid moncre
necefllim eft : Nempe, obliquo et inferiori procefliii ex-
trorlum , altero extremo funt nUigati , alteroque poft

<^q 2 bre-

308 AORTAE ET SPINAE DORSALIS

breuem et obliquum incefliim, infequentis vertebrae
procefliii transuerfo eiusque parti inferiori firmo nexu
agglutinantur.

§. 7. Nunc, quod iam fum expofiturus, nempc
de ofiium fpinae , iisque fuperincumbentis aortae mira cor-
ruptione , id contemplationis eiusdem fubiedi alter fru-
diis eft: vndc fupra mcmorata affcrtio dc vitae infe-
parabili cooiuncftionc fpinae et aortae , et de bonis
aut malis effedibus e tali conditione vel integra vel
deprauara, confequentibus , (atis intelligitur. Qiuim du-
plicem deprauationcm in genere illuihare procliue cft ,
per annofic, multis nodis et excrcfccntiis deformatae
et tumefiidae arboris truncum : ac pone ifium , anti-
quum murum, variis locis pcrforatum , hinc trunci cor-
ticem pcr totidem radices intra praedidas rimas feu ca-
uitates propagatum iisdemque concretum ; Ea profedo
ratione, a 3. dorfi vsque ad 6. eiusdem nominis ver-
tebram inciufiue, aortae ct fpinae dorfalis imago ocu-
lis eft oblata : Caeterum , llipra et infra praefatum fpa-
tium, feu in aorta feu in fpina , nullum \itium, nul-
laque deformitas fenfibus apparuit. Initio, Aortae ex-
teriorcm habitum fum contemplatus , in qua duo erant
animaduerfione digna , vidcHcct i. fuperficici f:il rica , 2.
eiusdem dilatatio. A iufta feu naturah diametro, quae
eft 14. hn. eo excefTu expanfionis crat tumeficTia , vt
cius ambitus acque ac longitudo fcx polHccs cum di-
midio aequarct, vnde cius diametcr fere triplo maior
naturaH enit, et quod hinc confequitur, fpatium qiiod
nunc occupabat, iliud quod naturahtcr occupat, triplo

exce-

/

MIRA CORRFPTIO. 309

excedebat: Ignoro autem, an alicubi in cauo thoracis,
a praefiita mole aortae, et hinc orta angurtia et ct m-
prcliione, cuiuscunque vitii quacdam maniferta et lenfibus
conipicua indicia in viiceribus apparucrint nec ne ? de
eo enim , quoniam me abfente f;i(fhi eil: inuefligatio ,
aliquid certi aiiirmare haud hcet. Caeterum , iiib iftius-
modi habitu , figara aortae fic erat immutata , vt iam
magnae Auis ingluuiem perfe<fte exprimeret. vid. Fig. I.
in qua B Aneurisma , ieu ingluuiem , A et C orifi-
cium fuperius vel p^rtem nrcus extremam , feu gulam ,
et inferius, leu oeibphagum denotat.

§. 8 . Qiiod iam alterum phaenomenum fpecflat ,.
nempe exteriorem fuperficiem , quae haud minus quam
figura mirifice erat deformata , animaduertere oportet
haud folum aequalitatem et laeuitatem , verum quoque
vel ipfam elailicitatem penitus abohtam fuiffe : Tametii
enim manu comprelfa et diflra(fta , haud minus priflinam
violenaim diametrum conftanter ieruabat, et paulo for-
tius comprimendo , haud minus quam in fracftione cor-
ticis rigidi , crepitatio et iiilio diuerfis locis efficiebatur,
vt infra videbimus. Forro, vt iam fupra aliata fimi-
litudine arboris nodofie efl; indicatum ,. vel vt lami-
na metallica profundius malleata , fed auerfa parte haud
complanata , in qua fingula vefligia mallei eminent ac
protuberant; fic quoque variae figurae et magnitudinis
tuberibus, ac in horum interftitio impreifionibus, et ma-
cuhs vniuerfa liiperficies erat exafperata : Qii:)S pro-
pterea maculas coniicio tuberculorum incipientium cffe
rudimenta : nempe fi vis contundens haud intermififiet,ne-

Q,q 3 <^effe

310 AORTAE ET SPINJE DORSALIS

cefTe fuiflet, poft certiim temporis fpatium iftiusmodi
tubercuhi feu pnrua Aneurismata excrcfccre. Eam ob
caulfim, rationi liaud inconfonum eft, cunda hic ex-
ftantia tubercula, aequc \era effe Aneurismata, ac ingens
corumdcmquc Parcns Aneurihma , cum quo communem
originem liabent : Vndc vel e fola foecunditatis con-
Gderatione , Aneurijma monfirojiim merito appella-
tur. In aortae antica facie , de qua hic tantiim-
modo fcrmo eft, nonnuUa ampliifmia erant \t ouum
columbinum, alia vt eiusdem oui dimidium , alia
vt pifum : Caetera autem , fub parte poftica aortae
fita , infra videbimus. Porro , eoriimdcm figura hae-
mifphacricae refpondebat, idque haud praetcrmittendum
eft, quod tada iudice eo craifior et fpiffior fubftantia
tuberculorum fit vi(a , quo extenfio ieu dilatatio ma-
xima ; ex aduerfo , in minonbus mbercuHs , vbi gra-
dus dilatationis fuit minor , ibi maior attenuatio erat :
His praeterea , haud vero illis comprcfiis, crepitatio-
nem vel fonitum , vt in pcrfractioiie teftae oui audire
prochue erat. Poftrcmo nnnotandum eft , iftiusmodi tii-
bercula fuper truncum Aneuriimatis fic dispofita efle ,
vt in parte altiore feu eminentiore , vbi nempe ma-
xima fliit dilatatio , ibi crafliora et maxima , in parte
autem decliuiore minora et paruula tubercula fint po-
fita.

§. 9. Hadenus, exteriore hahitu aortae eiusdemque
conditionibus vt antica ficic ac in fitu adhuc verfinte in
confpedlum vcniunt, diligentcr pcrhiftrntis, animus por-
ro fcrebat , facicm (pinae aucrfim ct contiguam , cultro
aUas fiicilc (cparabilem, antc interioris Eibricae contem-

platio-

MIRJ COKKVFTIQ. 31 f

platioilem aggrcdi , fi id qiiidem aliae cauffae miniis ve-
tenc , vt protiniis fum edodtus ncmpc , per ifliusmodi con-
cretionem , videlicct trunco eiust|ue cortice per profun-
das radices muro contiguo fic conglutinato , vt citra alte-
rutrius laceraciouem auelli , et eradicari nec]ueat , de quo
in praeced. §. Idcirco , ob praefatam ineuitabiiem dilace-
rationcm id vsque ad finem diflferre , ac potius aortam
lccundum eius anticam ^iciem aperire , hinc primum in-
teriorcm fabricam perluflirare flim coadus.

Initio, cauum efl oblatum ingens , et magnae Auis
ingluuiei acquale , vt e fupra memorata diamctro iam
fatis efl pertpicuum. Caeterum , tam fanguine quam alia
quacunque confimili materia erat vacuum. Hic profcdo,
in praefatae cauitatis perlultratione, mirifica phaenomena,
hinc corruptionis haud vulgaris indiciii,, vel prima ocuH
infpedione occurrere fitendum etl , funtque ea duplicis
generis , aha eius flrudluram leu conformationem, aha
texturam fpedant. Hinc i. animaduertendum efl, quod
tuberibus , macuUs , et imprelTionibus in facie conuexa
confpicuis, totidem foffie, fuuis, et ahieoU in fiicie con-
caua refpondeant, quemadmodum in lamina malleata,
pari eminentiarnm numero in vno plano, par numerus
fouearum in oppofito plano refpondet. Mirum autem
dJcftu ! illiusmodi fbffie haud tbhmimodo in aortae an~
tica ficie, ^bi cxtenfio efi: minus ditBcihs, erant excauatae,
veru!n, quod fere cft incredibile, in parte poflica quoque,
tamecfi ad fpinam, ceu ad murum, arda nexu fit alhgata ,
ciiiiis phaePtomeni cairffnn infra expiicaba. lihusraodi
parm ansiwuimta , fub quadruplici diiFerentia obferuare;

rnsfaj

\

312 AORTAE KT SPINAE DORSALIS

mihi vKiisrurn. Nonnuiia formue oblongac, cum \tioquc
margine conniuentc :id profunditatem 2 iin. excauata:
Alia figurae circularis, ct variae profun(.litatis,quorum non
nulla digiti exti-emum facile admittere \idebantur : Alia
obliquo, fuiiiofo, et angurto orificio, quod fubito in am-
plam folfim rotundam, ouo coluiT.bino haud multo mi-
norem erat expanfum , cuiubmodi vna infignis ad luperio-
rem lateralem ct finilham partem aortae erat pofita :
Polhemo intermixtae erant plurimae impreflioncs fere
planac, variae figurae, a re comprimente vel contundente
effidae , quas aeque ac exteriores , de quibus fupra , nihil
ahud efle coniicio, quam incipientium aneurismatum ru-
dimenta. Caeterum, ii^iubmodi follae , finus ct ahicoli ,
vt camim princ pale , fanguinis aut cuiusuis confimilis
materiae erant expertes. 2. Ad tcxturae laefiones hicob-
feruatas, iam rcferri debet nicrcdibilis difiradio feu di-
ftentio fibrarum , hinc per attenuatiohem (iibftantiae , iis-
dem iieque ac minimis valculis conflatae , peUuciditas et
quod confequitur ingens ad rupturam propenfio. 3. In
diuerfis locis fubftantiac incrafllitio monticulos efiiciens,
quorum ahi angufiiores et figurae oblongae , ahi digiti
latitudinem aequantes , membrana conimuni cauum in-
uefliicnte obdudli : qua detracla , fibrarum inuiccm com-
pad:arum, ct vi diflcndente forfan abruptarum hincque
contradlarum agmen efle perfpexi. 4. Profundiorum et
magnarum fofl^trum incrafliitio , mmorum e contra atte-
nuatio , pari ratione huc refcrcndae : Qiiam incrafl^atio-
nem, tametfi ficca ct fibrofa fubflantia vtrique fit commu-
nis, potius e variis lameUis conflatam efle fatcndumcfl,
quarum ahae tcnuiores , ahae crafliores, coloris flauo al-

bicaa-

MIRA CORRVPTIO. 313

bicantis, praeter vnam in mcdio pofitam quae atroru-
bicundo colore erat inted:.i , qiiibus poltrcmo communi
m^mbrana obduiflis , iftiusmodi lameridt. haud aeque a
lympha aut fanguine corrupto , quam potius ab incrafla-
tione et exfoliatioHe propriae (ubllantiae aortae , ortum
maaifefto trahere vel e folo oculorum iudicio perfpicuum
eft. 4. Sub eadem membrana communi , mareria topha-
cea , eiusdemqae in varias fpecies ac in omnes plagas
trunci aneurismarici diftributio : Huic , fub cakulorum
forma^fupra memoratae membranae luperficiei internae ad-
haerefcens , eandcmque diltendens , duriftima tubercula
variae magnitudinis et figurae , eorumque iacredibilem
copiam , et quod coniequitur , cauitatis {iimmam exafpe-
rationem efficiebat , e quibus nonnulla hneam et vltra ,
aha minus prominebant; Caetcrum , figura regulari haud
donata , et a lenticulae , vsque ad vnguis minoris am.pli-
tudinem , fere aucfta : Iftiusmodi autem materia , tamctfi
tadl j iudice, calculo fit fimilis , haud tamen aeque friabilis,
fed flexilior, et quibusdam ia locis fibrofi : porro in aquam
coniedi fubito defceadit , ac igni impofita odorcm ofti-
bus proprium exhalat, hinc , vt intclligere procliue eft ,
fubftantiie ofleae eft propenfior. luxta praefata tubercii-
la, materia tophacea iam latius fefe difflindens , et pla-
nam figuram aiTamens , laminam durilfimam fimplicem
efficit , quae tamcn haud continua , fcd in areas \ari:ie
magnitudinis , per interieda fpatia membranea , a fe inui-
cem erat disiunda : vnde , vel iftiusmodi particularum in-
ter fefe alhfione , vel earumdem perfnoflione , crepita-
tionem feu fimitum , vt a tefta oui confradla , per manus
compreflionem , auditu percipere procliue erat : de qiia
Tom. FL Rr tamen

314 AORTJE ET SPINAE DORSALIS

tamen re , Tidclicct rimarum et fifliimnim Ciuifra , iwm
ante manus compicfliontm , et ante aortae aperturam,
hinc in viuo homine , iam fint excitatae nec ne ? id
profcdo dcfinire minus procline clL

Porro , conditionum pracfiitac kminae in iftiusmodi
arcis , varias diifcrentias pcrfpicicbam , videlicet , a
ccntro lamin.ie , cuius dupla erat craliitics ct iblidita&^
verfus circumfcrentiam attenuatam et pelhicidam :
in quibusciam areis planam et laeuera : in ahis granuhs
flc tubercuhs flivesccntibus obhtimi efTc '■ Qiiibus addeiv
da efl: tandem pofticma , haudque inutihs forian animad-
ucrfio , nempe , iihusmodi Laminae quantitatem feu au-
gmcntum, maius elfe vimra poilerius, in facie fpinae conr-
, tigua, quam in rehquo tradu aneutifmatis, cuius phae>'
nomcni caufEim in ("cqucntibus exphcare conabor»

§. 10. Cur praefitam fiiciem pnfhcam ancnrifmatis.
vsque ad fincm ditfcrre fim coactus , caufTam initio cj».
paragr. indicaui , quam nunc proptcrea fufius fiim cxpo-
fiturus , antequam priorcn\ partcm difiertationis , quae de
aortae corruptione agitur y conckidam. Nempe vt ftr-
pra annotaui, et exemplo ihufkaui, taraetfi in ahis fub-
iedis fit rcs omnis diflicultatis cxpcrs , aortam e Ccdc
fha deturbarc, aut k)co mouere, aut h vis, penitus aufcrre,
plane hic erat irnpoihbile : Hinc neceffuio crat amplc-
Aenda altera via , ieu intcrior et concaua facics ciusdem
pofhcae partis : vnde extcrioris , ac fpinae contiguae fiicici
conditionem, et quod confequitnr, eiusdcmcum fpina adhae^
rentiae caulfim , vtcunque alTequi poffe iudicabam : Vbi
fane praeconcepta animi opiniouc ^ iiiam nempe fa-

ciem

MIBJ^ CORRrPTIO, 315

ciem iniiiriis miniis expofitam fiiiffe , einsqiie concretio-

nem a fimplici et communi caiilfi , vt e(t infiammatio, - -

aliqniindo ortiim traxifie, iiimfillbfurpicatus. Primo itaque

auimaduertere oportct, in toto tradlu aneurifmatis tan-

tam crepitationem , manus compreflione , haud fulcita-

tam effe , et quod confequitur , iitiusmodi matcriam haud

neque abundalfe , quam in poftica , et fpinae attigua ficie

fubque eiusdem communi membrana , quae propterea

loricae liaud multum abfunilis erat : ex quo , aeque ac •-^''

e fubie^ftac fublbntiae aortae fumma attenuatione , eius-

dem elalticitatem fuiife abolitam intelligitur. 2. Huicce

conditioni, iequens emt coniunda, eaque, fi ad aortae

et fpinae conditiones, vt in homine adulto , hinc ad hu-

ius foHditatem et refillcntiam , animum attendere veHs,

di(flumira, videlicet, trium infignium toffirum excaua-

tio , et earumdem in Ipinae fubftantiam incuneatio vel

inclauatio, feu a 3 vsque ad 6. dorfi vertebram profun-

da implantatio,et cum iisdem vertebris ferruminatio : Cae-

terum , orifiicii figura circulari , aeque ac diametro pol-

licem aequante , tres praememoratae folfie inter fefe re-

fpondentes , vacuae tamen , oculis apparebant. Pollhaec

iam , de integritate , hinc dilaceratione aortae minus fol-

licitus , tandem trunci aortae eradicationem feu auul-

fionem , conatu tamen et labore maximo , fum aggreffus :

Qiiare per iftiusmodi violentiam , tota poftica fJicies

tresque foffie' vertebris inclauatae a reliquo corpore

aortae funt feparatae et abruptae, vt Fig. 2. Num. i. '^^p"|.^ ^^'

2. 3. denotat ; unde hiatus ingens feu foramen lace-

rum ht. F. fig. i. originem trahit. f^'S- ^-

R r 2 §. 10.

3i5 AORTAE ET SPINAE DORSALIS

§. 1 1 . Q_uo autem fenfu , vt finguLire ac minus com-
mmie phacuomcnuni,i(tiubmodi aortuc inclauiUio et ferru-
minatio hic fit accipienda , nunc differtutionis parte fccun-
da, per fpinae dorfilis contcmplationem , explanare cona-
bor. Ablata itaque aorta,tria iitiusmodi poftica aneurifma-
ta I. 2. 3. a corpore fcu trunco d.uiia,haud minus c]uam ra-
dices dentium , maxillarum ahieohs infixae, nonnuUis ver-
tebris fpinae tenacilhmc erant impadla , hinc immobi-
Fig. 2. ha , et cuicunque nifui rehdcntia. -vid. Fig. 2. Num. i.
2. 3. Vcl enim prima oculorum infpcd:ione, ea bafi
■vertebrarum haud parallela fohimmodo , iisdcmque fim-
phciter agghitinata effe , verum in oflium propriam
fubftantiam defcendere, et finus feu fof&s ibidcm exca-
iiatas occuparc , protinus pcrfpiciebam. Porro, fpatio
a 3 vsquc ad 6 vcrtcbram dorfi inchila , fic crant po-
fita, vt primum feu fupcrius , et tertium feu inferius,
bafin feu medium fpinae ; ftcundum vero , finiftrorfum
dcchucm et latcralem partcm vertebranim occupet , un-
de figura ^trianguh cfiicitur: Vbi iilud praeterea oofcr-
uare mihi vifiis fiim , quod prioris lcu iuperioris ori-
ficium et cauitas , difpofitionem duobus fequentibus ,
hinc tninco canahs et flinguinis motui contrariam ob-
tincns , haud diredionc horizontaH vt duo fcquen-
tia , nequc deorliim , verum verfus fiiperiora progre-
diatur. Pofi eorumdem iam , cultri apice fidam
efFofiionem et abnifionem , qua integra et nuda confii-
tutio , et coiiiitioncs vcrtebrarum ocuhs patcrcnt , tres
protinus excauatione^ feu tbueae per amplae crant con-
fpicu.ie , haud ahtcr ac fi per tercbram effcnt cfRirma-
tic : intcr quas tamen , mcdiam quae videhcet in ver-

tebrae

MIRA CORRJTTIO. 317

tebrae laterali et finiftra parte eft pofita , diiabus
aliis contradiorem , ac propterea (acculo ancurifinatico
minus proportionatam effc tatcndum efl ] aliarum au-
tem , quae in medio vertebrae lunt pofitae , \bi of-
(eae fublbuitiae portiones infigniores funt ademptae , ca-
iiitas 5 lineas , eiusdemque diameter poliiccm aequare
vifa eft: vnde facculorum incuneatio bic totabs, in al-
tera partiabs erat. Porro animaduertendum eft, iftius-
modi fbfllis , haud vnius vertebrae erofionis feu per-
forationis , verum duarum vertebrarum excauata-
rum effecftum efle : Nam fuper commifruram in
vtriiisque vertebrae limbo , excifio feu excauatio
femilunaris erat confpicua : Hanc ob rem , prior feu
fuprema foflit , in 3 ct 4. m.edia in 4 et 5 . vltima
feu infima in 5 et (5. vertebra , fedem obtinebat: Vnde
iftiusmodi tres fofTie communes efformabantur , fiqui-
dem , quod animaduerfione vaide dignum ef^ , crafTum
cartilagineumque ligamentum , quod vertebrarum corpo-
ribas eft interieclum , ( vid. §.5.) aeque ac fubftantia
ofTea erat conlbmptum , ac propterea inter memoratas
vertebnis Ipatium vacuum transuerfi pollicis intercede-
bat : Qii.im confumptioncm , eousque iam proceiriffe con-
fpexi , vt vix amplius, vnius vel duarum Unearura lati-
tudine, a mcdullae fpinaHs cavitate diftaret. Caetemm,
vel prima oculi intpecftione , ac infequentibus dicbus ,
iftiusmodi foffis confpexi aridas et vacuas, hinc omnis
humoris et oaoris cxpertes, et quod confequitiir , e fbla
ofTe.i , porofi, et afpera fubftantii;! conflatas. Adde po-
ftremo , iiluismodi partes , quas fiiper corpus vertebra-
rum extenfas efu. §. 4,) dixi, videbcet telam vafcu -

R r 3 lolam,

31» AORTAE ET SPINAE DORSALIS

lodim , tel;im ligamentolam , pellem elafticam , hic ma-
nifefto deficere.

§. 12. Nunc, fuper expofitam hiftoriam cumAortae
tumSpinae, ac imprimis \trum Aneurisma, fpinae ex-
cauationis, an haec iftius fit caufl^a , \el vtmm potius
a prima hominis tormatioue , vtrumquc vitium fimul fit
produiftam ? tametfi varia excogitaucrim , hic tamen ,
quia nonnullae fcitu neccffariae conditiones deficiunt , de-
finire vcreor. Cacterum , communis fententia eft , du-
ce Rhuyjchio , Littno , et Freindio , oftlum corruptionem ,
Anturisma vt cauflfam confequi. Vid. Rhuyjchii Obf.
Anat. Chintrg. 37. et 38. Acad. Sc. Faris. A. 1707-
Freind. Hijhire de la Med?cin?: ncinpe , iuxta Rhuy-
Jchii ienientiam , ficuti fudores per cutis poros erumpentes
in aliqulbus adeo funt acres , vt indu/ia , imo ctfubuculae
putredinem breui ex iis concipiant ; Ita etiam humores in
Amurifuiate Jfagnantes , et exinde acrimoniam contrahentes ,
fimile quid praejlare , pauktim tran.fudando et ojfa lente
corrodendo valent. Littrius autem et Freindius , prejfio^
nem fuper membranam periojlii a tumore aneuris?natico fa-'
Cfam., fimul in fubfidium vocant. Interim , tametfi iftius-
modi fententia Dodiilimis Viris placeat, minus mihi
vitio vertendum eft , fi fua fponte , a cauftTis os dcpa-
fcentibus , potius quam a contagio , aut pondere tumoris
aneurismatici , iftiusmodi cariem feu putrefidlionem , vel
corrofionem 'RegionumSeptentrionalium familiarem mor-
bum , ob exceffum frigoris , et fpirituum ardentium ab-
ufum) ortum trahere cxiftimauerim. Qiiomodo autcm
a. fola carie oftis , arteria vtcunque fuia et incorrupta ,

periculo

MIRA CORRVPTIO, 519

periciilo diktationis et corriiptioriis fit expofita : ihaud
enim id perpetLio con!equi oportct) diCo, qnod pleriiquc
\Ak aiterioiii corporis iiumani , ad eorumdtm nempe
reclitudincm , firmitatem, ac forte repercufllonem erli-
ciendam , fulcimento offeo , fecundum naturam fint inftru-
£tii , quemadmodum aorta , carotidcs , \ertebrales , fub-
clauiae , mammariae , brachiales , iliacae , et plures ahae
arteriae, quae oifibus iiuit contiguae. lam \ero, fi iftius-
modi arteria , in confuiio cuiusdam olfis putreficfli fit
pofita , tum ad dilatationem feu circuhun maiorcm , eam
propenfiorem efle verifimile eft , quia bafi ieu fulci-
mento iam eft deftituta ; Vnde principium aneurisma-
tis : Denique , fi malum eo Ysque procefferit, yt ea
contagio putriii oifis fit expofita, non folum exterius
aggUitinationem , verum etiam intus loricationem , feu
bractcarum offearum in cauo ancuriimatis generationem,
ab exundante iucco olTeo fieri , niliil vetat.

§. 13. Caetcrum, hic in fubiedi noftri contem-
planationc, rem hnguhu-em (quae profcclo arduum mihi
problcma eil: Ylla j minus praetermittere oportet , quo-
modo nempe fieri poflit , vt tales vere formidabiles ex-
celTus , et corporis plcna , et ad ieniiim integerrima con-
ditio fimul appareant ; Erat enim homo carnofus, be-
ne coloratus, et 30. annis maior Cuinam caufliie,
quaefo, certiori et grauiori,. tabidae aut hecticae exte-
nuationis fummum gradum hbentius referrem ? quarri vi-
tio principum machinarum corporis humani , vt eft aor-
ta. Mihi namque duphcitcr aorta , nutritioni C. H. in-
feruirc vila eft , i. adione manifcila , qua irruentem ma(-

iani

320 JORTAE ET SPINAE DORSALIS

fam ningiiineam cauo fuo excipere , et a centro fHO rc-
cederc coacta , nifu et reaftionc (pontanea , ad piiorem
fii^nram fibi naturalcm rcdit , hinc contentum fuiguinem
exprimit; ac per omnes partcs C. H. motum locakm ei
conciliat. 2. acflione fpcciali minus manifella , forte vt
caufla occafionalis cuiu^dam motus fermentatiui , in fan-
guine praeexiltcntis , vel \t eiusdcm motus caufla ef-
liciens: vndc particularum fmguinem conrtituentium exi-
miae, et (anitati in cpar.ibiles dotcs ct affcdlones origi-
nemtaihunt. Principium aurem feu agens, fola efl: aor-
tae fiibrica et conformatio naturalis , nempe i . villo-
rum nerueo-tendinofonuTi haud fumma rigiditas aut in-
flcxilitas , vel eorumdcm haud fumma moUities leu flc-
xilitas, iuxta communem legcm omnium corporum ela-
flicorum. 2. vafculorum trunco aortae intcrtextorum
fumnna fbecunditas , quam , tamctfi eorumdem minima
fl:rudura fit adliuc incognita , ad praemcmoratam fpeci«-
lem fundlionem aortae , maximc acconimodatam cfle
verifimile e{\ : e quibus poflrcmo conditiones reiiquas
aortae confequi necefle elt, vtfunt, eius determinata fi-
gura,craflitics, laeuitis fupcrficiei,et poflrcmo fitus. Tan-
tum ita :ue abeit , vt aoitae in fubicdo noflro conditio-
aes, praefitis conditionibus ad nutritionem C. H. ncccf^
iiiriis refponderint , quin vt hiftoria edocet, eas mirifi-
ce deprauatas, et quod confcquitur, ad nutritionem mi-
nus idoneas fuifTc palam fit : Kam ob caufllim, haud
plenitudo , fed nutritionis fummui; defe<fliis , hnic ingens
extenuatio , et macies obfcruari debuifTet.

Scd pofito , ifliusrnodi aortac conditionem haud
tantam fuiflb , vt nutritio neccfTario perturbari pof-

fit,

MIRA CORRrmO. 321

fit, aliam hic, nifi fallor, contra nutritionem difficul-
tatem. perfpicere mihi vifus fum , nempe fufpicor , in
eodem fubie^flo, commeatum Hberum cliyli et lymphae,
per canalem thoracicum interceptum, vel maxime diffi-
ciiem fuiflc. Nam , cognita canahs thoracici fede , iu-
fta eft coniedlura, non lolum fub onere aneurismatis
eum delituefle , verum praefertim , a facculo fmiihorfum
in laterah et decliui parte fpinac inclauato, fimui abre-
pcum, et in eiusdem foflam praecipitatum fuiflfe. Hic
certe liaeret aequa. Num itaque, in fubicdo noftro
duplex eratchyh-et lymphae via. Sunt profeCto wjiniti
cajus ^ vt I. T. Comment. coniiciebam , in quibus du-
plici^ tum receptaculo chyli^ tum canali thoracico ca*'ere
pericuJojum videtur. Qiuire , tametfi eius rei inueftigatio
fit omilfa , haud impolhbile eft , dextrorfum aeque ac fi-
niftrorfum, vel folummodo in dcxtro latere, canalem ex-
titiflfe, vt bis ante 8. annos obferuaui. Vid. cit.T.l.
Comment. Poftremo hic, Riolani et Siualuii ^ qui ne-
ceflltatis tempore, in omnimoda venarum ladearum ob-
ftru(flione , chylum per venas nicfaraicas , vt in quibus-
dam animahbus, tiuae viis chyliferis propriis haud funt
manifefto inftrudla , deferri tradunt , coniedura tor(an
minus elfet reiicienda. Sed de his fatis.

Tom. VI. Ss CLAS-

CLASSK TERTIA

CONTINENS

HISTORICA

ET

CRITICA.

DE

LITTERATVRA MANGIVRICA.

AVCTORE

T. S. B.

MAiores noftri totam Septemtrionalem Afmm TabuiaXVL
et quidquid fere terraium inter Volgam flu-
uium , Cafpium mare , Indiam , Sinas , de-
nique RufTiam interiecftum fuit , magnam Tar-
tariam vocarunt, vt altera effet minor y m Cherrhone-
fo Taurica. Nondum fatis ab hoc errore cauent eru-
diti : eundem tamen aUquando dediffent , cum intra hos
paucos annos tanlum de his regionibus et popuhs edi-
tum fiiit, quantum antea multis feculis non fuit explo-
ratum. lam et Mangjuros redius nouimus , quos ohm
MifTionarii in Sinis Tartaros Orientaks nuncupare fble-
bant: et Mungalos, qui ab iisdem dicebantur Tartari
Occidentaks. Mangjuri a MungaUs fermone vehementer
discrepant: vultu cognationem ab flirpe ^ltima produnt.
At Diirben Oeloht ^ feu Ditrhen Oeroht , qui vulgo a nobis
Calmucci appellantur , non modo in vultii , verum etiam
in li:igua cum MungaUs conueniunt. Linguae ea fere eft
diueriitas, quae fermonis in fuperiori inferiorique Ger-

Ss 3 mania

Sj«f DE UTTEKATVRA MANGIFRICA,

mania. Sed fcriptirra omnibiis his populis eadem eft , tan-

eummodo qaod pro rationc linguiie cuiusque, littcrae non-

nullae vel omilTae vel adieftae ad numerum fucrunt^ aut

quod in litterajum dudibus fuo quisque populusingenio in-

dulfit, Sic quaedam etiam diuerfitas reperitur inter litteras

penicillo fcriptas et typis excufas. Illac cnim liberiori-

bus diicflibus vagantur. Typorum vfuni Sini videntur

cum his populis communicafle : eodem enim modo to-

tas in afiferibus exfculpunt imprimuntque paginas. Nuper

tamciiIoannesRenatus Holmienfis apud Contaifcham prin-

cipem populi Songar ( quos Calmticcos Oricntales vo-

care folemus ( i ) ) typographiam more Europaeorum ia-

ftruxit htreris ft-.mncis, quae aptari poflint in voces et

lineas. Sed ipfi in lapania haruncce htterarum vefti-

gia ex fpeciminibiis Kaempherianis deprehendi. Mun-

gali primi omnium has htteras a Syris vel lacobitis vel

Neftorianis acceperunt, quonim ad eam rem ope Gin-

gifcanus vfus fuit. Enimuero dc his ct diximus ahbi,f2)

ct fortaflii dicemus copiofius alio loco. Nunc enim

conditui Mangjuricam htteraturam producere folam : qua

cognita , parum difficultatis fupcrcft in Mungaiicis htte-

ris , nec ita multo maior in Calmuccicis. Cum cius-

modi diucrfitatcm nondum fcntirem , crebro impegi.

Alphabetum , quod primum in Gcrmania cdidi, ab

amiciffimo Calpare Matthia Roddio , nunc Prcsbytero

Nar

Ci) R.;glonem lUam viilj^o vocant Im^^eriwnConiaijchie ^ quod fub Ce«-
fnijcbo Principc maximc cogujta fuit. Huic Celiin-Sirin fucccdir, vt iam
nomcn iflhiic amplius ininime conucEiiar. (i^ Viiicfis EpJftoiam in itr Hijia-
rit dtr Gelthrjimkeit unjerer Zeiten p. 385. cc Af^orutn Lip£ iapple»
Se&. l. T. IX. p. a», et Av^h ipCi ad A, 1731. p. 297.

DE LITTERATFRA MJNGIFRICJ. 327

Naruenfi A. 1715. accepi, cui id Gabriel quidam
Mungalus in Siberia vtcumque defcripferat. Hoc mihi
adiumento fuit, cum Elementa litteraturae Brahmani-
cae, Tangutanae et Mungalicac typis Sinicis cdita ex-
plicanda fumpfi. ( 3 ) Naftus deinde fum tabulas gcogra-
phicas excufas in Sinis , in quibus \rbes, flumina, mon-
tes , lacus , ioca aha extra mocnia imperii Sinici , nu-
mero fere ad quatuor millia , fcripta crant litteris Mang-
jiiricis et MungaUcis. Et quod me in primis iiic iuuit,
adieda erat feparatis in fchedis interpretatio hominis
Itali. Hic Itahis legere ea ipfe non potuit , quod ex
ilUus aberrationibus haud difficulter fenfi , fed lcdlorcm
adhibuit, cuius vocem, faepe non fatis obferuatam , Ut-
teris ItaUcis retuUt. Praeterea tantum ilUus intcrprcta-
tionis apographo fum vfus , in quo per quarundam Ut-
terarum ItaUcarum inter fc conuenientiam, crratum etiam
fuit (aepius. Vtrumque incommodum tamen fuperaui.
Primum enim , quoniam is Itahis partem quoque Sini-
corum chara(fterum intra murum iisdem in mappis mo-
re fuo defcripferat : ita inteUexi , quam earu-m Utterarum ,
quas adhibuit , pronunciationem effe oporterct. Et cum
in Leao tum nomina locorum paene omnia effent Sini-
ea, Ucteris tamen Mangjuricis fcripta, cx Us. multo ma-
xime fui conftrmatus. Alterum incommodum diUgenti
©bferuatione fuftuU. Ita denique coUato meo alpliabeto
MungaUco, tum Manufcripto quodam Kolefcri de Kc-
res-eer , viri ornatiflimi , et tertio , quod Nicolaus Vuit-
fenius edidit , { 4 ) incredibiU labore nouum et perfeiflum

omni-

(3) Vide hos Commentario» Tomo III. p. 389. ct Tomo IV. p epo,
(4) P- "'' ^'^ piinui ediuonc: njin in fccnndt hoc «Iphabetum oroi/Tu^ dl-

348 DE LITTERATVRA MANGWRICA.

omnibus numeris , vt tum quidcm mihi perfuadebam ,
condidi, fed Mungalicis Mangjuricisque inter le permi-
ftis. Nondum enim Petropoli erat quisquam \nus,
qui iftarum littcrarum vel tenui cognitione elfet imbu-
tus , linguarum tamcn gnari fatis multi erant. Igitur
ducem adfciui Joanncm Francilcum Gcrbillonium S. J.
cuius grammaticam Mungalicam , tametfi fine et nomine
au(floris et litteris Mungalicis , Melchifedecus Theueno-
tiis in coUedione itinerum rarilfima euulgauit. Hic Ger-
billonius cum Joachimo Buueto odo menfes hnguae
Mungalicae operam dcderat , cum Ka77i Hi Imperator
eis, vt tanto magis proficerent, magiftrum in aula de-
dit, Deinde eosdem iuifit artes Europaeas cadem iiu-
gua fibi explicare. ( 5 ) Gerbillonium cum primis in ho-
nore liabuit , eundemque et omnibus in venationibus
fecum duxit et A. i588. legatis fuis adiunxit, qui in
Selinginfca vrbe de pace agerent cum Rulhs , quae pax
anno poft conuenit. Concinnanit idem quoque lexicon
MungaUcum. {6) Poft vbi ad Comitem Bruceum hoc
meum alphabetum Mofcuam mififtem , is pro fingulari
liberalitate fua mecum communicauit alphabetum Man-
gjuricum in Sinis maiori forma imprefliim , adfcripta
pronunciatione RuflTicis Htteris. Accepi ciusmodi aliud
elegantiifima manu Pequini fcripaim et Rulfice expli-
catum. Denique nacflus fum iibellum omnium et vti-'
liftimiim et tutiifimae fidei , qucm Kam Hi Imperator
Pequini curauit typis imprimendum , adiedis charaderi-
bus Sinicis , qui vtcunque fonum pronunciationis Mang-

juri' ae

(5) Buuetus in Iconc R.fc.ia p 6i. cd. Leibnitii. (6^ Vide cpiftolam
Gcrbilonii in Leibnitii Nouiffimis Sinicis editam p. 171. De jtiiiehbus ciui
iBvlU in opcre Duhaldiano rcpcriefi.

^P^va/ j;-.2'/^. 177:rAM7/^.yjy.

£l

9

h

UL

'h

00

*

ou

cry oiL

lONSpNANTES

r ^M^dio Snitio J\Ie.dio

'\ n

1 H

4^/

1

/z.

'1

r

;i t ^i

^

c//

•^

i^

Al

a:

/•

^^1 ///'

^; —

dj-

tfck

(lu,.;,u-,u'./..^./ ■ir.irrr,. MT,/>MT^. ^VJF.

Jfr

4v

XOGALES (7)

\

I f

P)

H

cU

J- dv

1 ]

^ I

^

k\

LO.

ih"^.

^

.0^

4^

DIPHTHONGI

i2iZ

\\

JJi

I

4

d'

^

-i-i

J-i

s)

U17.

i^

M

Jd

fi

*

a

^ 00

^ ^;

^

OIL

CONSONANTES

■j /n£.Qyca/i/^u.i (/0)

■9mtio ^LJxi' Snitic 2Lcbx:

,y\

^K,

^^..

^'h...

M„

DIPHTHOKGI

m o ctu

d

h

r^

.'^^

^\

k .cfcVt

?

,T

HH\f

L

t

f

t

-A

j/

t..

^-H,,

+'

^

/>:--^

LVt'

^ s

M.

1 H

.Tf

tt

u

rs ' '

,1-|

r

..T

t

^

^.l^

1 s^.A

Y

rrzPMt

DE LITTERJTFRJ MANOIVRICA. 329

juricie referrent, riint enim ad eiusmodi aliqurd irfti-
tiitum ineptiilimi. Hic ego nobilem virum Mangju-
rum, nunc Clirillianum , adiiibui, qui yiua voce pro-
nunciationem me doceret., quod ilie , vt fieri eorum in
fciiolis folet, canendo peregit. ,

Libellus hic more Sinico excufus confutusquc, f?)-
lia continet quatuor et viginti. Sed initium ct libri
et paginarum , more Mangjurico , a finiilra eft dexte-
ram veriiis , vt in paginis fmgnlis apud Syros quoque
fit , cum ^j^ajj-aiCPoj^wg fcribunt. Ordo autem pagina-
rum eft diuerlus. Poft nomen officinae librariae iVlang-
juricum, I-tJche Folocho ^ [1] titulus eit , ^^«^7^77/ Tabuk xvi.
geren bidche ^ [2] Mmgjuricarum litterarum liber. Ita L^J L^J
funiiiter poft nomen officinae Sinicum, Sin ke , [3] titulus [3]
Cin xu qiven cie. [4.] Id eih Mangjuricae litteraturae [4]
perje[ia colk^fio. Haec colledio elcmentorum in duo-

decim teu., [5] feu capita diftributa cft. Inde etiam [5J
alphabeto huic nomen Mangjuricum : Tjcbuen tjchue
ii-tjchu^ [6] id eft, cluodecim capita. In primo capite [63
funt Vocales finales et Conlbnantes in Yocalium aliquam
exeuntes. In fecundo capite funt Diphthongi in i ter-
iiiiiiatae et conibnantes his diphthongis exeuntes in ex-
trema vocis iyllaba. Aliae diphthongi in 0 et u deii-
nenres, in decimo capite dem.um exftant. Habct igi-
tur totum hoc infignem difficuitatem , quod neque vo-
cales, neque conlbnantes , vt in mediis vocibus occur-
riint , iiint enim diuerfiffimae , hoc in libro , aut aliis
in alphabetis, quae confecutus iiun , exftant. Praeterea
conibnantes non exftant , nifi cum vocalibus iam de-
tom. VL Tt uindae

330 DE LITTERJTFRJ MJNCIFRTCJ.

uindiie in fylhbas, vt rcdius hoc , more noftro , fyl-
lab.iriiim dicas , quam Alphabetum. Qiuire hic cgo
taatiiper dilcedam a Maugjuris magiftris et Europaea
vtar methodo , quam mihi , vt femel u me deprehcnla
eft, Ytilem fuiflc viflim recordor. Attamen , quantum
fieri potuit, feruabo Mangjurorum in dilponendo ratio-
nem, nulla aha cauflii , quam vt, quahs illa fit ratio,
intclUgatur. Nam ahoqui compcndia vidco , quibus vti
qucam.

Primum quidem ex Scripturae Syriacae ratione ,
in Mmgjurica, Mungahca et Calmuccica hngua retine-
tur, vt hneac htterarum a fumma pagina cxarentur de-
orfum vsque ad imum paginae pedem. Hoc lcribcndi
gcnus Dionyfii Thracis Schohafta ct Euftathius Thes-
liiionicenfis Xaixc/K^oyoy dixerunt , quo vocabulo vt ap-
tiftimo lubenter vtimur. Ita igitur, inquam, fcribunt,
vt Sini , modo tameu alio. Nam Sini hneas iUas fuas
a dextera exordiuntur: Mangjuri item vt Sfri a fini-
ftra. Cum vero hi popuh fchedas luas lcgunt , folent
nonnumquam , iterum ad morem Syrorum , eas vertere,
vt, quae ;)(^a^caC|)35Uf fcripta fuerunt, ea legant a dex-
tera verlirs fmiftram. Idcirco Sinicum (cripturae genus
magis proprie eft Kioy.pov , vt Dionyfiani Scholiailae"
altera voce vtar. Scio , multos fore, qui, quid hic
de Syris dicam , mirabuntur : aft ego vcra et comper-
ta edidi mihique fidem adhiberi voio, ncque enim hic
lociis eft, vt id nunc ex inftituto agam.

Littcrae Jvlangjuricac , Mungahcae ct Calmuccicae
iic fuDt £i*5lae, vt ad cckritatcni fcribcndi magis ctiam

accomo-

DE LITTERATFRA MANCIFRICA 331

accommodatae fuit, qiiam Syriacae. Nam vnaquacqne
Yox fme intemiptione , vna tamquam in linea perpe-
tuo tiadu cohaeret.

Vocales Mangjuricae funt vel fimplices ycI com-
pofitae. Vtrasque vide in Tabula [7.8.9.]. [T^s.g.J '

Nota I. Vocalis e initialis femper aliter fcribi-
Uir, quam fi praecedat in fyllaba conionans.

Nola II. Quaudo vocalis j^ i folitarie po-

nitur , (quod huic vnicae accidit Htterae) vocis
praecedcntis Httera , finalinm litteraium forma fcri-
bitur. Tum vero ilhid i indicat , praecedentem
vocem in genetiuo effe pofitam. Si vox praece-

dens confonante terminetur, hoc if^ pronuncia-

tui /; fin vocah , effertur vt ;//".

Nota III. Diphthongi vel in / vel in <? et «
definunt. Sed diphthongi in 0 et 11 pronunciantur
non vno fono , verum vocahbus diremtis , quod
figni;? §\.axy-/\(jzb}q indicaui. Nimirum ao , vti ^ et 0:
eo , vt ^ ct 0. De his etiam capite decimo di-
cendum erit.

Nota IF. Omnes vocales natae funt ex Syria-

cis ^ '— * ^ a i 0. Vocalcs e et u per pun-

€i\ ad dexteram diftinguuntur ab a et 0. Cete-
rae funt ex his fidie et compofitae. Haec enim
punda vocahum figna apuJ Syros vctuftiora fu.it,

Tt 2 quam

332 DE LITTERATVRA MANGirRICJ

qiiam qiiae ex Graecis a e i vi o funt flida. Ilk
ad S. Ephremum nudorem refcruntur; qui circi-
ter A. C. 373. decclfit , haec ad Theophilum
Edeflenum , qui A. C. 785. obiit. (7) Et his
quidem Maronitae vtuntur: ilUs lacobitae ct Ne-
Itoriani, quorum alterutros Gingifchano httcras for-
mafle diximus. Scd cum Syri puncfia vocaha con-
Ibnancibus frequentiflime apponant, Mangjuri cete-
riquc vocalcm fine iilis fulcris numquam fcribunt.
Hoc ipfum Syris vetuftioribus et Chaldacis in vlli
et confuetudine fuifle opinor, Nam Mendaei ,
quos Ciiriflianos S. loannis nuncupare folemus, U-
bros peruetuflos adhuc habent , pcrmiflis inter con-
fonantcs vocahbus. ( 8 ) Sunt duac ahac vocahum
iCj obfcuro fono , i ct c formae , quae raro oc-
currunt.- Vide infra capite fecundo Syllabas ano^

Tabuia xvr. Confonantium [10] formas, quales funt fine voca-

'■*°-' hbus in principio' et medio vocum, fpciftandas nunc
propono. Sunt autem numero noucmdccim^.

i. 11. Hanc Htteram pun(flum ad finiflram diflinguit
ab a vocah. Mungali hoc, vt omnia figna dia-
critica neghgunt. Mangjuri quoque hoc pundum
omittunt pofl vocalem et ante htteras k Qtg. Omit-
titur etiam in terminationibus ««g-, en^ etc. dc qui-
businfra, etinwfinaU, de quo etiam poika. Non-

numquam

Cy) Vide Aflemani Bibliothecam Orientalem Tomo I. p. 54. 5?. 64. 521.
ct Abrahamuni Eccliellenlem in notisad £6«d /e/u. ^8 ^ AbiTihauiUij Ecchellen-
fis iii notis ad Ebei leju p. 246.

%

m LITTERJWRA MJNCIFRICJ. 533

numqiwm loco piitKfli fcribiint lineolam , vt in ta-
biila. N antc b ct p fere pronunciatur vt ;;/.

2. k^g^cb. Haec littera peculiare hoc h;ibet, quod
tribus illis modis pronunciatur , fed vt vel vocalis
pronunciiitionem certam definiat , vel circcUus ad
latus litterae. Hoc ex fcquenfibus capitibus cogno-

fcetur planiilime. In media littera caue , ne Y

k confundas cum *^. na aut ,^ an , praefer-

tim fi forte pundum ad finiftram praetermifrum
fuerit, quod nonnumquam contingit.

'Nota, Scribitur etiam fic: '^ et in medio .:|
quod in finah k efl; frequentius, vt infra dicemus.
Reperitur etiam ita : ^< et Jch pronunciaturo-

3. I/.-

4. p.

5. sf. Siuc s forti nifu protrufum , t.imqnam fi du-
plex fit s.

6. fch.

7. rt^ et /. Eodcm ferc modo, vt de littera fecun-
dadiximus, pronmiciationis diuerfitate gaudct. Vi-
dc fequentes tabulas. Scribitur fiepe cum barbula

quadam fic: ^Si

8. /.
^. m.

- Tt 3 10. tjch

334- DK LITTERJTFRA MANOirRICJ.

10. tjfh.

11. pgj^ vt Perficum /o , qiiod .1 is licteris La-

tiuis fcriberc foleo.

12. ;.

13. kh.gh.hh. Diffcit a fecimda littera , primo,
qiiod lunuhi ad vcrticem n)inus iii circellrm reflc-
«flitur : fecundo , quod in medio formam fuam fer-
li:it : tertio , quod non iisdcm vocalibus fcmper iun-
gitur, quibus fecundn , quarto quod durius in gut-
ture pronunciatur. Solet etiam iine lunula ad ver-

ticcm (cribi : tum vero magis incuruatur caput -^

vt difforat a quint.i littera. In mcdio occurrit quo-

que duplicata 3 ^'^i fuperius caput fempcr paullo

e(l minus, qu:uii inferum. Tum vero ^vt pronun-
ciatur : neque a me inucnta eft aliqiia in voce , nifi
fi praecederet ;;. e. g. Ang-kuri, TJchifig-ki/ ,
Seng-kky Keng-kun.

14. k. g. ch. Conucnit partem ciim fecundae, par-
tem cum praecedentis natura litterae.

15. r.

i5. /, IV. Reuera duac litterae funt, fcd pro ra-
tione vocalium inier fe pcrmiftae, quod ex tabu-
lis fequentibus planius cognoicetur.

17. zh.

18. /, inolle, vt apud Germanos.

19- g.h vt Arabicum ^, quod gj fcribcre foleo,
Italico fono proiiunciandum.

Nota.

L l^mmcnf ^ A\ii/>X . y?w. Ij ZJAJiV// ^ . ,y3t5 .

ap u t -I.Co njo n a n l&j (J^o ca/iauj tejvn ui atae^ (Jj.j
a (' ^ / c u o c o

V

na

a

'X

^

•/2

?

i

a.

\ 1 \

no

a7'e&

^a 7-ef^

ca, ret

?^

L

?

U

1

ko

O ,'/c>

%.

A^

o

g)

hc

•(!•

riit

mret

car^et

car''t

^^

b

u

'\

noo

} ii

» .ao
^aoo

V c/fi

CfiO

•oo

^i

/3

3

J5

3

^>

o
oo

^

khe

.^^^

_ ^cne

^/

u3J-

?

i

^

'a

3-

^

^

S

-^

J!±

9^

-^

u

9

po

?o

5

.^c

Ai

l

o/e

^ ,n't

J

j lo

J-

<////

^

o I c
u/oo

S>

M

•a

X.

Vz

'7t

o j:ho

3;.

/7.

'7tl

ta.

L

te

t.

/7

6 tv

cf

tlt

d

JC/TOO

$>•

caret

V

/•

u

,i/7/

, acfto

^ CtL

a

t.

t,

u

^,,

S'

Jc

'o

i^

./7

7/

COTet-

..3

L,

a

/a

t

/e

t..

f

/

o

f-

lu

^

toc

y

ji^

^ ma

^

me.

t.

/771

j1

0 //7C

^-

//771

^

/7/ L

rttco

"}■

c//.

a

^ f/c^ti

t.

./rc/i.

\tfc

tfc//i

y //;

■^.

3'

/fc//

•//i

l

, t/'c/70

S

/z.o

'*//a/a

^ /^

^

i.

ML

caret

3

(//^j

acTic

ML

3'

</^t

'WtU

IK.

1

iff/.f'

//-

/co

.^J>

c//

c

L Ifnment^-fca^.^fi. 7em. WZ^A^YVZZ^ ,)^i^.

Cani/t ■I.(onjoaantcoi^^ocaliaiu) t'J-ininataj' (jj)

C* 6' 6*

,1

1 „ i.

j

'fi' r>u

I

T700

/.3

3

Ah^

^

-.jj-ef-

aret

3 ii

3'

i/u

re^

ll^

ca?ef

J2£^

-^ ^f'^-

\x,

■/m

ret

6" cA

..ar.-t

d° "A

^

3

?'

fn.

ip

S)-

^ bo'

DOO

^-

.^^

y

-^

3-

^

?

^

-^

Jl±

g?'

-JliL

^

$•

.-//

J.

u

^

■s^ ^/t'

l.

'J±

o/u

?

.,'.'00

s>

o:\.f.t>a

%.:

n/>.

% //-/4/

0,-/>o

0'/.'/.

IM

^-

A

ta.

L

X,

H

S ..

/

tjt

carcf

p.

.liho

t

Ja

La

%.

itt

C^

Jo

S-

Ju

oare/

1*

5

k.j

^

/a

l^

t.,,

f .

S!

<r'

fOO

y

l

L

£,

d rno

S.

^

tno,

r

,//,;

/^X//.'

/m

Xa^

y^ticAi

tl //;-,

/■lc/a

^V/.-////

^,

, t/'c/io

S)

/(:/-

X

11 ^.to/.z

^

mL

/^

l^

IfM

caret

1

3

iai

^

d',a

■iffi"

Y'>/^'''

5>-
T'

c/u

Ljmmt-n/^.^ary.Si-. Tom. l77a^.IV/^.^. 3JJ'.

U

O 00

rc'

^Jl

'^.

•Jo

n

^ r

o

O ,fo

3.,

u

0'iu

ro

roo\

^

too

anvTnauw

U-S)

c

we

arct-

\

<Jie

Ai

2m

^

r/^Z

t.

Ao

%

' z/ia

caret

^

f/cA^

fj.

a 10

6' /u

caret

t^

^

,r//^

J

VA'

J'

iL

It

f/AzJ^ae tct^mi/mfae r^/^AfAcr^ld

mz

^5

/izi

i>

noi

^

riin

L

i

hei

^

Ir.

II

^

/

■or

%

A

ui

O ^oi

lei

z

k

u

mret

%

t:

zui

ouret

^

)arC<»Cyc^

,a^i/^ >->

^ ,^^'

c/ia.

V

ca

ret

*^ ctlOi

a//a^a^ termir/a/ac //? r (/'^)

A

Tur

per

■i

mr

f

t

//'

7?0?'

y[ /or

f

nur % noir

t

k

ur

Ccrihitur etioj/z

^ kur

->7 nar eic

J.

vr

caret

3

J±

Jl

ur

JflLX

%

LJmmmf.^rai/.Si\ '/im l77aAM///p JJJ'.

tZ

U

o oo

i.

A

I^

1.

i^

O ri

%

Ji.

3„

J-o

K

3-

M

9

7-M

yao

i277omaIaf

1,,.

1,,,

're/^

X.^Aa

u

ll lAi

t

A,

l.

/lU

caret

%t:^^'

X.

i

/''

f

d lo o' Ju

care/

i->^i/a/c

V<y<^ <

,j, >vy<^

£/L

^

:2/L

,^;o

J'

^

-/,-7/00

dz^ijr. Su/h/fae tcrmfnafaf r^t/^/Mcr^ju^

^^7 "i''/\ *1 '!l'l

v>

^*") nn

^

^ ru^i

SUM

2.

^

%

^ ^.^v

L'are/'

\

i ,<i^

careir

%

caret

l>ck<^i^

, \7rer

2. £

J-> cAl/\ V->| c^?/

2.

sk

/v/

1^,..:

(.a^.IIl.^Su//a/?ai' fermina/ae 27? r (/-/)

;/

i-

5?

■^

■^•.

lcribitur ctia/7i

1

J

J

Ij^

f

A',

-v/ /7izr / J^r

^

J

cant

3

f-

> A',

y^

DE WTTERATVRA MANGIVRICA. 335

Nota. Confonantiiim in medio formas accurate

adiecimus. Sed J y ^ l ^^ 'r ^'^^'^"'^

ciim requentibus (ff /J"! «^t y fere confundi. e. g.

Fabtan i^ Nemtems;te ^ Nibtfc-bu,

Flmiius

Selifwa et SeUngens-
koi vrbs ^ in qiia A.
16% 9. pax inita ejl inter RiiJJos et Sinos.

Omnes vocales et quaedam confonantes in fine ali-
ter, quam in principio ec medio lcribuntur. Earum
cauflii a Mangjuris et Mungalis tot capica in his ele-
mentis confumuntur. De fingulis dicemus , quantum fi-
tis videbitur , cetera enim pro fe quisque ex fuperiori-
bus fupplere potcrit. Et potuilfemas haec quoque ma-
iori compcndio tradere: vifum tamen fiiit, vel ea caulfa
Miingjuros eflc fequendos , vt ratio corum tradendi fuas
fyllabas difcipnhs , cognofci queat. Inter docendum di-
fcendumque canunt, quod ad memoriam fableuandam
proficuum efle iudicarunt.

Caput primum vocales finales continet et fyllabas Tabniaxvii.
ahas in confonantium ahquam exeuntes. Vocales fina- ^^^^
les iam fupra dcdi. Confonantes vocaHbus terminatas Tab. xvnr.
prorfus eo ordine et numero , vt in hbro (unt , hic re-
citabo. Recinunt autem Mangjuri inter docendum : na^
ne ^ ni, no^ mi no ^ feii noo ^ et itu porro. In lecundti

httera

33d m LITTERATVRA MANClVKICA.

littera k^ g^ ch ^ iiniinadnertas , qnemadmodnm dinerfo
modo (criptLi pronnncictur et vt foimiie vocaliiim in ea
aliam naturam indnant^ Eadem auimadnerfionc in 7.
13. .14. 1(5. opns eft. In 17. vide fingnbrem vocalis
i notam, qnae vt u feu i c obfcuio fono eifcrtiir. Ite-
"^^P^^Y^'' rnm ea forma inter fyllabas anomalas [12] cum duabus
aliis formis vocaliiirr. hibridis occurrit.

Capnt fecundum continetfyllabas terminatas diphton-
gis in i definentibus. Hae fyllabae fiicile formari pof-
fnnt ex praecedentibus. Idcirco tantummodo paucas ex-
empU cauflii exhibcbo.

j. , Caplte tertio fyllabae dcfinentes in r collocntae funt.

Struclnra eft ptrficilis, fi pauca haec excmpJa videas,
ceteraqne monita, quae fnpra dedirr:us, oblcruaueris.

Sed inneni qnoqne hand raro fic: A Jcbar.

Tabuia XIX. Capite quarto fyllabac terminanrur in n. Tcrmi-

'■^^■^ natio an et en cum teiminationc a ct ^ vocalirm fina-
Hum congrucre videbitur. Aft in c{n et en femj er vo-
cahs eft expreflii, cnm in a et ^ ipfa fmahs hncola vo-
caUs fit , quae contra in hoc capite eft n fine pundo.
Excipe an et en pura, 1. e. nnUa confonantc in fyilaba
praecedente , et ban , ben , pan , pen , quac vocaU opus
non habent, cum a ba^ he ^ pa^ pe finaUbus vel fic
fiicile dignofcantur.

[16] Caput qnintum cxhibct fyUabas terminatas in «_§•,

vt fonum hunc fic cxprimcre mihi Uceat. GaUi eum

habcnt

i ommfn

/.J,a,y.Jc.Tc.m W.T^S.XIX.f.MS.

^Ial?ae iermi/frdae in n {/oj

i

in

caref-

carc

■t

ca7v/

L

i

in

I^.-M

4^ cn

C kon

1

^on_

\^ck-n

X

i

cn

c

i

un

cay\

■e-t

care /

caret

1 .

n

^X^^J^

3- ..

X^c/^c.

t

t^lC

pcn

^ VA^

^ae iermmatas m ri^ (J O)

n

1

Mamfa eip_a,
JcrziunAir

"77

Z ^

caret

f/,

^

f .

^

sc/lC

foc/iona\

^ i^m

f

una

7 c<V,

•/,

£2£

f

/i

7 fcrjqi^ ruTja

<fchcn^

£

/cr^q'

L^^/^ /ermtna/ac irtk^ [i y

rt7

2£.

£.

/W^

£

cA/ri- ■

Jjr/i/'

£

ino

k

^•-.u/q/ok

1

m,

u:k

jfchcfi^^^.hiA 'jtfchok^

1

/i X^u/uk

o/z.

f

?nc

"L

c/q/o/^'

U^rnmrn^ ./cai/Sc Tam T^. j!a6.XL\. ti.^fj^.

LcZ^.iV. L7i/uai>af_ hrm/jzata^ in rz (/0")

l

h

t.

I^.-^^

I..

iL

l

caret

caref

caref-

l

i

care^

v/-

cafe&

L

!/ari \^^^Jien\i..^J>^/'m

i..

I. kc,

t

(7i?/?

r

/zc,

<. /.'^

t

care t

care/

caret-

t

i

H^ kc7

%;^^acn

C .-^'^

l

Oici etia.rn "^ pan cA-
ft^r? vVam/a e/pa.

K^^-/jri\ <^ .^■/zm\<L, v/ca

Jcritun/ar

y?

Lar> V rjy//a/>aw A'rr7/ir?ata£ /a na (J £>)

7 -^ r

^ oc^afiq^ 1

''^y

'cm

■7 lanq J

22

:y raqq -y r

i5S-

i

£2£.

caret

f

^

H£.

''m

i

£21.

/.

oc/icr^g

f

itr^a

f.J,

una '3 ,sc/icr?,i

'31.

f

_/ /■(?.

2£

J/ur^

T.

uria

i

<m.

:/ict

Carj YI rj^//a/>ae termtnci/ai tn /c^ V ■J

rcr^q'

L

a/c

t

nwk-

tfrhar.:\jt)'c/ie/^

i

} eA

L

e/

'L

Ka

d^/f/-

L.

t,

\^/lc/„/c

A

i.^l/l//t/^

L

?/:

£

c/.

c/c/c:

L.

t

^r/.

'A - i,.,_ii//u/:.

l^

'A

f

cL

■A.^pc/wk^

1

j^^//)/-

Lamnii n/: - Ica^/.- tXr. Tffm.- Fl^- Ta^. XK p. 3t>7.

tk.

caret

1

fOf

1

/u/c

lok.

F

b/t

^ kik

caret

1

^uJz

c//

kok

■jrek

1 ^

k.

care

/

L.

lJL

ccnfc ■
nans

X.

CfO^

y c/iot

he

'.k

-C cL

oeaiierts

■/-

'?

car-et

Cjy/lcihae- /e7'/7zin^ta.i in o_ u(^)

■^

CO

i .

i

Zi^

i

Oo

■%-l ^

tfcs

H

%

£.

//</

?

_£

OS

^r-

J^

■^

1

.'-/i.

tffCo

\

rh

'Sfllt<!

\

y/oo

T iJijllahae /erTTiinataz in ^ (^9)

^

et

1

if

c.

t

uf

t

'Z^

f?^'/'

i.

nit

1

/7*7/

1

/?///■

1

niii-

7a

r^et

L

i^ot caref

7Cl

rei-

t

L

/^^y-

^^z" care&

i.

^^/

^"«^

-^^

•/

^^/

1

L

A?;- L-arcf

hi

1

<^^/

1:

L

^/^?

ia/-

l

i?ci-

fed

^ u-/./-

t.

r/^/

1

>>/

t

cJ-/^.

Camrmri/:

.iLu^.Sc.Tim.^ Tim^ r -^r.

• C laT^

J -/ck.

caret

l^/^-t

l^ /«^

J ,ck

■L /t,;^

■'C kik

carit

•C /^^^f

t//

■3L/t^/t

^ .Cfck

? ,-7"^

caret

X. .qt^k

ccriCc -
nani

■t,..-^-

C .-/^./t

•iL cM-

cardt

J cA>,Jk

oeoiuri,<

|x.

Cap-ML ^-Jy//a.Sa& /xrmirxata^ in o_u8j

2^ as

1 .

1 .

i ....

^Z. Oo-

L F^

^ /'<->"

^

^ z^'--

S /..■..

2 /'//cf

2 ppj

5; i s.

\ r

2. ^■•/<f.'-

^^.yi,-

2. oiVtV

2_ t{//.u<

1.-

■4. -^

Caz^:Ylir.'Ju//ac>ae /ermina/az m /f/y

<c..

1..

1.

1...

t..

1..

A^ na/-

'C '?''/

t_ /?./-

1 „,

C ,.//A

C /'.'''

l_ kat

<.'t2

7-et

1^/^../

caref

|_ Xv/

4^ ,/«/-

ca

ret

Cy^^

caret

C .'^'^^

\^r/ij7f

ca

n-t

11. -A..

carck

11 ''^^^

4L ^^

\^Set

C^/

^ /^^

Slw

C ^ck

•i^ ^/-W

'"^L^.o/ed

^.:/;a

i,..

<L </'//'

n^.y^r

c Lfrnnier/^., /rai/. tSc. Ja in .VJ. /a ^.AK/. v. '^i^ 7.

ycce hrminafae irz t' (iio)

//

ct 4

u

/

i^

Y

J/rA//

l

g' /rr/^.

ifr

' ^:^ 5:: V

T

"et

I

/

■o/

e*

jut

f

IfL

rr^'

/

kot

tar-i

■cf

kcf

^ ^ "^

r\^ C^s* c^T'

rre/

I' £^o^

caref

^CJ

\ \ >.

u

■e/

rhi?/-

ri7?r

/

rff

-f- C
rof\ Q

ri/f

c/iot

raf

?i7£ h'rmfna/a^ irz / (2/)

i/

m

■/

i

'^

!>

77C

/

c/cr/d

ref

e hrminatae in ^iphtAo/^c/f^J o etu fk^)

^4r/-^

/

(J) /c

?/

^

u

/•

i

nu.

■/

(J>.

/ff/ur

%

^ /''/

L

^'/>

72P.

■■/

i^dcycl'

!>

/^

'/

7?fU

/flf

mi

'^ ffC
% rc

J7 rcf/

I V w rmnf.. /catl'. tic. j/im . VJ. lo /•.JLX/.p. '^tf Z

■Ll

•JulwPae in /f?i'mn fore rfrm/na/ac' in ^ (-'^7

1

,//

4 ...

i

//

.'/

i

.'7

;^OT*/§^'/"^jg»

I trc

t/c/iai

I z^:-^

I

■^y <il //;-/// g z/:^/

^

' //^/^/// q A"-/^c^/<^^ tNq''-&n3»"'

g

/^/

i-

/^^^

raret

^ M

6'

;.//

L^

4 /•.7Z'

carei'

^ /^z'

.•<//•.'/

,«//

N -^ '^

L

,^a/^

caret

caret

!•

,w/

earef

.'TCt

^ ^"v^r^

•//£7/ earet

caret

r...

■/.7/

1/7/

•.'/

r/^t'/

I /-/z/ll'

/•/-/

f

/•/7-

rcf

i' /•///

/•«</

(i^ at7 IXl. Oijl/aai7^ {t^rrnerza/m in /> (iZj)

L

i

./

i,

^ ct- (1)

t& ^"^

ci

///?/

(i) ///V

i

^

'!.-•/

I

(£> Ja//7A(^ '^V^A iz) '/p/'^

<J;-'^A^

^'^^/

Qy4//'^t'

I CJ) //2/ |<j> //-/ I c

ardi-

(I) /.'/

t>3) /"^

I.

>7

^^. X. . ' Jij//a/ae ferminatae in e/ir/it/i07?i/pj £ efu f'2LL\

■J,

2^

h ne6 O

i^ .;/ J^

*37 //t

■■Is

Jj //<r'i'

'iln'^

DE LITTERAITRA MANGIVRICA. s3*>

habent multts in vocibiis. Compofitus aiitem efl: hic
charadler ex confoniinte n fine pundo et ex vocah ;',
nonnumqtuim , vt in vocaUbus o ^ u , oi ex dupUci n
fme pundis.

Caput fextiun continet fyllabas termiaatas m h. In
iis vidc, quam formara vocahs lecunda et lexta polta- ^j^,
lct.

Capite feptimo fyllabae in s terminaiuur. Harum
forma fyllabarum haud difficultcr ex pauciffimis «xem- Tabd?. xx.
phs iutelligetur. Habent etiuni terminationem in Jcb '-^*-'
et zh. Eam vero tantum in peregrinis vocibus repcri.

Caput ocflauum maioris momenti efl. Syllabae

hic funt terminatac in t. Nam forma haec ahquem ^ , , .^^

ieducere poeeit , vt vocakm o cernere le opmetur , cum [ 19 ]

reuera fit confonans, quam (cptimo loco pofui. Id ve-

ro magis potcft ex CaimiKcica fcriptura animaduerti ,

in qua haec confonans clarius dignofciiur a vocali. Prae-

terea non modo haec fyilabarum in t exeuntiiun ratio

in finrdibus vGcum occunit, vt in ceteris capitibus, ve-

rum etiam in mediis vocibus. Eft hoc iia tota litte-

ritura Mangjurica difficillimum. Idcirco huic c;ipiti fyl- '^'*''"'=' ^-

kbas mediis in vocibns in t litteram excuntcs fubicci.

Caput nonum fyllabas continet definent-es in b , et Tabi-ia xx.

r 4 1 ~i
caput d^etmtim in 0 vel //. In his finahbus- ca- [33 j

viendum cft, et caueri tkile poteft. Nam ter-
minatio b caudam longius producit verfus finiftram^^ ,

altera quafi retrahit d^ . De hac iam dixi fupra in

diphtongis.

Tom. VI. Vv ' Caput

338 DE LITTERATFKA MANGIVRICA'.

Tab. XX II. Caput- vndecimiim in / et caput duodecimum in m'

[^24 0 definentes littcras exliibet.

Ad poftremum obferuari velim, mulbs effe voces
plarium fylliibanim, quas Mangjuri et Mungali raptim
pronnncient ct praecipue vocalibus in mcdio abforptis-i-
Gerbillonius in Mungalicis haec exenlpia edidit:-

Vfiha legc Vs-het

Tofobon ^ -

ToJ-hon

Fufihim - -

Fus-hun'

Vafihun - -

Vas-hun'

Afi-ban —

As-han

Efukieme —

Efkieme

Kctuke/eme ■

Ketoleme. ttc.

His ad aliquam haruncce litterarum notitiam fruamini,.
donec aiii piiura proierent.

DE

i cmm^n/ . /cti//.(X'. Ti^rrt . \7.Ia^.XX//r>. t30S .

'i///i7Pr/i^ ^^rm^y^af/zr ^/? _/ (2^)

t/

l

il

i

o.

/

\s ^

'J

€ .

'/

'/

i

rzi/

As ^ -

/

h

nii

/

4j /zo/

d

1

//d

% A'

/

%

/i^/

|j ^'^/

u

/

i

mi

/

0

77Z47

/

^

777U.

■/

u "^-

/

/

t;

//

4;

/o/

^ /u/

^ /v

•/

ty^/j//a/a£ /^r/n/nii/a/ /n m_ [ £- -^.j

!
\777

1

7777

^i 17777

1

7.U77

2^ om

\

77 im

\

77 C 777

1

num

i

JT^ 770" 777

rare/

4z^7(:o777

car/

/

4

//?/

%. -? •*-.

om

i^ rA/l^

care/

Lorc/

Qf^ <h^ ^V

rare/

i..

/7^/7? care/

^vz

^

/,

7777

•m

\

/

um

li.^/7777

V7

iV

Lare

/

1
1

///7^

</^>7?

i

"^^ //i?77

m

m

'Ur77

1;

'^/^

^ A^'/7?

^ ^^

cvy cvV-c^

%i-/^--
llM-

are/

care/

m

777

Cffmmfn/. -tca/^tfir.ySm .VI.2aiJUlJ/i>. t3tfS

La/y .'X.I .UulL/kic' -ferminata^ in / (2Sj

hJls

,/

jj ^

i

h u^

■J

i) r/

\\ n.l\{s

1l

ni/

As ""-'

k

4j 72c^'/

f ( /a/ S i>,/

i

/l/

li Av

t> ^"^

l .v/

i^nia/

G

i

0

^

•7u/

U "^'-

t

/a/

6' /^.

-t;

^/

i;

/^/

^ u

Ks /v

•/

Gzp . /Xn ^Ju/Zaku /£rmrr?a/v in m (O, -/.)

k

k

^

l^

i

l^

k

k

1

ij. /?.'.

1

21 /^^^

)Q^>Q:V/>!V

L

Laret

j::^/-.'.

4.

^ ,>a/ 1^

^ 5 1

^ bfy 'Q^

carcf

Ciire/-

tarff

^ acr.

k

lOrcJ

carc^

■^./..

i arct

iL A'/-

C

/Jn

CNF^r^ cf/

r

^

i>/m

\.

^ A-'^

JT jc/iar.

1
i_

/^/

h/^n

f^m

ll, .y/}m

1
1

/////

t/'///

il.M'/
^ /'<;'/7i

•^^ /?/,'/7i

Larct

aref

DE

LEXICO SINICO

X s.

Nter cetera Lexica Sinica , non vltimo loco ccnfe-

^^ ^I -?* f^^ ^'^^ ' ^^"^ Bteranm copiofa coU
leEtlQ,, claJjiiMs fuls ct capitihus dipnSfa. (i) Tres edi-
tiones libxi vidi. Prima erat ex officina ^^^ ^*

10 /;>!.. Ambifiofum nomen. ^•imjo^gemmajn et quid"
,quid deinde pretiojum efi , (ignificat , vt ho^c loco To ////j
■pretiofa micornij dicitur. Focmella eft Jin mafculus

r. »t, /:/. Mirifica de hoc animali traduntur , eftquc

Sinorum opinione hic rex , illa regina animantium. Rarg>

-apparet, cum,ricuti aiunt, cex optimus et iapientiflKTius vei

regnaturus fit, vel ingreffus fuerjt imperium : omnem enim

.populi felicittttcm porttjndit. Qiiare in Annalibus Cou-

pletianis ad ccrtos annos rs ki lin vifi mentionem con-

fignatam repcrietis. (2) Et Confucius \fk, m chun cieu
•feii hi(loria fui temporis , ipfo in fine teftatur , tiim ma-

Vv^ xime

»- " ■ ' ■ , ,1.1^1'. i ■ ... I I ■

fi^ C'.£7^ Colieftio, »bundans copia, genevaipft, prouti coniprehfndunc:
.fpe^r^, vel fpccies, quse continent fua indiuidua. Lexicon R.. P. Pairenini.
Xa^^We e. g. Monarcbuc ^inicae tabuljm Cbronolcgicam p .a. j^.

/

540 DE LEXICO SINICO.

ximc /7/2, feii vmcornem vifam fiufle. Altcra editio»

qiiam ipfc poiTidco, ex officina /\s^ J^^^jven puen

prodiit. Totidcm in hac editionc libclli , paginac itcm
llipcrioris editionis p.aginis congruunt , tantummodo mi-
nor huius forma eft, et in extremo codicillo quaedam
immutatA aut practermifT.i fucrunt. Tcrtia cditio offi-

cinam nadla efl ^^ ^t* ^^^" ^^^ ' ^^ quidem ,

it additur , ^k ^^^ ^ lE"^ >'^ 'f''"'

ulh nlen fm ck-en , jimg Tjchlng [ Iwpcratoris ) Jccimdo
anno y editio noua. Is fiiit A. C. i7-+- Praefatio in
ca aUa , in toto autem vohiminc itcrum paginac prio-
rum editionum, huiuscc paginis congrinmt. Nos in hnc
commentatiuncula primam cditionem maxime refpicie-

mus, quae praeterca in titulo dlcitur "^T" "^ff Mi^i

civen chiim tim , editio Jeuere examimta ct corre^a.

Totum huius iexici rokimen , XI\' codicillos con -

tinet, In primo codicillo piimum efi J^ fni i. e.

Praejatio., htteris paulio raaioribus et el gantillimis. Se-

quitur y^^^ l^ '^^'^ ►'''j InduW omnium radicalium

fccundum claffes fuas ipfo in lexico dispofitamm , fnb-
iedo calculo, quot flib quauis radicali iittcrae contine-
antur. lUo ex cakulo numcrum omnium iittcrarum

httius

huius lcxici producam poftea. Eft deinde, ^

xeii ki-ven , prinms codieiUus. ^s) Nimirum praefluio et
index ilie non cenfentur in numero primi codicilli. Pri-

mum autem eius caput efl: ^g^ \p^ -^^^'^ P^^ •>

viotus penieiUi ^ in quo per quinque folia demonflratur ,
quemadmodum littcrae , praefertim magis compofitae ,
quouc du^iuim penicilli ordine fcribcndae fmt. Ponam
hic exemplum duntaxat vnicum-,

p^: In hoc chara^iere^

^^^-fien., prius (Jcribe^ ^ii Jcquitur)

\±i ific inquam)

^y\,<;ii, deinde {Jcribe)

r^-(hunc charaEierem)

''ySju , pojiea

I (hanc Tineolam).

Alterum caput foliis tribus "^ ^L cjm cii ^

/iniplices antiquos cbara^eres continet, qui hodie paullo
aliter fcribuntur , ita vero ,, vt etiam antiqui fere adhuc
■conferiientur. ex. gr. -
Vv 3 (Jlic

(^l) XfcUj proprie, caput hominis, atiimantis, principiusi, et Ihepe nw-

mcri primi loco adhibetur, Kiven, libri totius minor particula, ojialem :«©-
oiilum appellaxe fclco-.

^4-2 fiB LExrco simco,

^^^^ (ff/V tharacter)
/ff ^ > /^/^
/^ qofieri
^^ {in tunc moium)

Orerrium caput folLis duobus j^^iST^ ^^-»

A"? > ( ConformatiD tempamn , ) comparationem ciiarade-
rum nouoram atque oblbletornm complcdlitur , hmtf
in modum;

^ iHic chara^er) ■ r

^/r" ca olim

^^ <io fiebat

n^^ [boc fnore)

<T|iiartiim caput tribus fbliis eiusdemnaturae argvi-»
mcntum coqtinuat modo tituloue alio. Dicitur enim

H| ^m /^^ f^ cii kin tiim ytan , anti^uus et^no-

uus explicatus 'vjus. Charadercs veteres pracmittunti^r
^noui fubiiciuntur , fic,;

{His

ili* (Hfc chara&er^

y^V ^/'i- ^0<^/^-

(Jiiintiiril' capiir eft f^ /^^^ '^'^^ ^u ,' Examefi'

Merarwn. Scilicet , fiint qiiacdim litterae radicales ,
quae diuerfa figura , ad fignificiuionem atquipoll^rit ,
in compofitis autem , pro ratione fitu^ , modo vno mo-i
do, modo altero poni debent, modo^ perinde eft, qui

ponantur. Hae litterae T^^f^ fu-, i. e. cbfijanguineae

di<flae , Hoc ih capite recenrentur. Easdem , vtpote-
cognitu perneceirarias hic defcribaiil ita , vt fupcriof
feries^ charatfbcrem vnumquemque extra compofitionem,'
inferior eiusdem aequipoUent m in compoiGitione ordine^
fuo exliibcat

344« M LEXICO SmCO

8. 7- ^- 5- 4- 3- 2. I.

I. ^w «:^K :/u:^Tl>^

<i w -5,' >• ;?£;t: 'g^-i

^"> >y 5^4> 'J' 'I' s^-^

IV. A)b E- ffi 151 )?a I^F^M

I. Series.

lo ^m, ^(7/«^, vt in feciindo ordine efl: , numqnam
nifi in compofitis et quidem a4 finifti-am tantum
occurrit.

2. cie, tejfera Jidei y fecuiidi ordiuis, tantum in imo
compofitorum.

3. 4. j'^«, (/efe&us non voluntarius ^ cum charncflcri-
bus fecundi ordinis in. coanpofitione permutatur.
Scd primus fccundi ordinis etiam radicalis eftjwi
( origo ) neque huc pcrtinet.

5, 6. 7. pro his primi ordinis charadcribus faepe

fccundi ordinis Jdven^ eaiy ehum ^ vcluti aequipot-
kntcs ponuntiu:. 8.

8. tao^ ciilte}\ gladius. Sed alterius ordinis littera
tantiiinmodo in compofitis et quidem a dextera
exft;it , vnico exemplo inter duas radicales medi-
am vidi in lexico Hai pieiL

IL Scries.

i. 2. k/., poreiis, m compofitis ferc, vt in fecundo
ordinc , et prima quidem earum in fummo.

^. fin^ cor y in compofitis a fmiftra non poteft ali-
ter occurrere , quim in fecundo ordine eft.

4. fin , cor , altera forma feamdi ordinis etiam oc-'
currit , fed non a fniirtra.

5. xeu., manus., in compofitis fic, vt in fecundo or-
dine et tantunnnodo a finidris; vnicum exemplum
in fummo reperi in lexico Hai pien.

7. xu)., aqua , a finiftra tantummodo vt in fecundo
ordine.

8. ho., ignis., in imo tantum vt in fcundo ordine.

III. Series.

I. nieu., bos ., a finiflris, vt fecundo in ordine.

3. )'fl, gernma., a finiftris tantum , vt fecundo in or-
dine , alias vtroquc modo. Ell: et radicalis eius-
modi iv//« , rex , fed ab aucftore huius lexici eo-
dem rcfertur.

3. 4. aequipollent.

5. chab., quadrupedum et volucrum vngues in fummo,
vt fccundo in ordine.

6. /:?«, canis., a finirtris, vt fecundo in ordine.
Tom. VI. Xx 7.

345 DE LEXICO SINICO

7 cb')^ Ugnum transiierjum ^ quj aqua praechuKtu)' ^ a
finiftfis, vt fecundo in ordine.

IV. I. 2. 3. 4.. Hjam, rete^ aeqiiipolieut.

5. j/j, ca^^o.

6. /7 , Jeptemtrh.

7. cham , Juperejje , excedere , et f^a!;« , orjcere ., a
fmiilris compofitorum , vt fecundo ordine.

8. ^^0, he)'ba., in fummo compofitorum tantum vt
fecundo in ordine.

V. Series.

1. ;'<?, villa ^ P^K^i^ -, i" regionum et locomm chara-
<fteribus tantum a dexteris, \'t fecundo in ordine.

2. /«/, roi^ii JerfUis , femper a finiftris, vt fecundo in
ordine. Ambo charadcres cum fcribuntur peni-

cillo , immo etiam in editis , figura fua cum /7

conueniunt.

Sed multo funt plures litterae , quae eodem mo-
do aequipollent et in compofitionibus luam Itacionem
tcnent , ex. gr.

3. cho , arundo, vt in fecundo ordine.

4. hu , tis^ris , in fummo fere , vt in fecundo ordine.

5. j', vjjiis^ vt in fummo in fecundo ordine.

6. j^/>, hjm') , fi in fummo charadleris compofiti ex-
ftec, vt in fecundo ordine, duobus modis.

7-

Cii gvey. 34.7

7. kium^ ia dimmo vt in recundo ordJne.

8. teii^ capiit, hi fummo, \troque modo.

Haec tantiimmodo exem.pU caufTii produximus ,
eflent enim multo plura commemoriinda nobis, fi haec
vellemus pcrlequi. lam necclfe ell, vt characfiicres fe-
cundi ordinis in lexico quacnis, iuxta primi formas or-
dinis , cum plerique fccundi ordinis extra compofitio-
nem littcrariam folae non occurrant.

Denique recenfentur in Lexico qu gvey omnes cha-
Kidercs , qui in fc quodammodo perfedi , raQicahrm
vicem praeftare polfunt , a prima Claife ad XXXllL
Et cum in qii g^vsj^ vt poftea dicam , neque tot clas-
fes , neque tot radicales fint , hic ad charadcres , qui
in alias relati funt claffcs , annotatum fuit , quo fint loco
inueniendi. Qiii index vel maxime huno vtihtatem
praertat, vt in dubiis, multiphcique varietate deuindis
radicahbus cognofcere poflis, ad quam radicalem vnus- >/

quisque in Lcxico relatus fit charactcr. Praetcrea iiio in
indice habemus catalogum omnium fere charaderrm
perfeftorum , qui ex nouem eiementis primis per artcm
combinatoriam conflati , nouas inier fe itcrum conibi-
nati htteras- parinnt. Et claflis quidem XXXIIL fere
vltima efl: , in qua totidem elementa prima charade-
rem vnum cotiftinuinr. Inneni tamcn in Uai pien hunc

charadterem Tluni^ qui cx XLI. elementis et dua-

bus radicalibus htteris compoficus fuit , ita vt fuperior

Xx 2 ciaflcm

548 X)/' LJiXICO SINICO

' ""-m ^s.^-viV cfficiat. Eaimuero hi lexico cii gvey
.L J-?/ /)/>« V;ifti illi charcnfleres ad miiiorus claffes
quomodociiiiqne refcrri Iblent.

Opus ipfam lexici in duodecim codicillos efl:
diuifum : vnuiquisque codicillus ex cyc''-> dao-

demu-io nomen hiibet , adicda Yoce ^ c-ie ^

C N, ( «

vt t^u cie ^ cheu cie etc. Cie autem CoIIeciionem fi^ni-
ficat. Primus ipfius Lexici codiciU"^- , feu lecundus to-

tius operis et vohiminis ,. etiam "^ ye ulh qie fiti

vocatur , duodecim filiorum cor , /\^ in qua appella-
tionc duodecim iiiii ilU , ipfi codicilli funt, qui quafi
na(cuntur. Cum vcro Sinenfes autumant, cor hominis
primum omnium in conceptione exfillere , eo primam
ciaffem elementorum tamquam parentes, lccundam tam-
quam conceptionem confiderant. Haec duodecim cie

compreh^ndunt XVII ^^ hoe , compofitiones litterarias^

quas ego cla\jes vocare loieo. Secundus totius voiu-
minis Uber , qucm primum ipfms lexici iam llipra dixi ,,
comprchendit primam claffcm fcu elenienta prima et
fecundam claffem, in qiia bina elementa prima in fin-
gulas littcras coalcfcunt. Tertius volumiuis et quartus

codicilhis .exliibent clafllm tertiiun , fcu eius tt]T

qihi , partem priorem et <f /5^ hcii , partem pojleriorem.

Qiiintus , fextus et feptiiiius continent clalTcm quartam >

fm«

flne eius J^ xam ^ partem Jtipenorem ^ i. e. priinamj

yb chiimy mediam y i. e. feciiiidam , et T« hia ^ in-^

feriorem^ i. e. tertium. Odaiius codicillus chiffem quin-
tam compleditur. In nono vero codicillo atque deinde
etiam in decimo , claffis eft fexta ; in vndecimo eft
feptima : in duodecimo odaua et nona : in tertio et de-
cimo llint claffes a decima ad fcptimam et decimam.

Vltima claffis ^ vocatur quoque '^ V*4: hoe chi > clas--

/y non phis vltra ^ feu,, pojlrema.

In indice huius lcxici ,, de quo fiipra dixi , non mo-
do radicales lexici ordine fuo recenfentur , fed numeri
quoque compofitarum litterarum fubiiciuntur , ita Yt ra-*
dicalis quisque fub eodem numero comprehendatur. Sunt
igitur.

Claj[es

RadicaJes^

Litti

rae in vniuerjwn.

L

In

ea

6

-

-

lor

II.

-

-

23

-

-•

1810

IIL

-

-

31

-

-

4502

IV.

-

-

34

-

™

13238

V.

-

-

23

-

am

3443

VI.

-

-

29

-

-

5<r2i

VII.

-

-

20

-

-

3209

VIIL

IX.

-

20

-

~

31 15

X. X

VIL

-*

2S

~4)

—

305'>

214.

• 38095-

Xx

«

0

Sic

C+^ Has re(i>exit P. Cima apud Leibnitium in epiftoHs a Korthoko'
aditis T. I. p- 37S. Pluics eniin re vera funt, ^uam in hos lcsico. cocuneiitur.

350 DE LEXICO SINICO

Sic nos calculo inito inuenimus , quamquam in
pr^icfitione lcxici tantummodo 33279 annummemntur.
Sed muki chanicT^eres fub diuerfb radicalibus repetuntur:
hacc res mukitudinem tantam flicile potuit in maius
augere, cum tanti nobis non fuerit vifum hoc negotium,
Tt cuni maximi diipendio temporis , nihil agendo , ne-
fcio quid certi rcperiremus. In lexico autem Hai pien^
de quo aUas dicem.us , chara<fi:erum numerus ad feptua-
ginta miUia afcendit : in iis vero iterum atque iterum
pofitorum , practerea obfoletorum magna e(t copia , ma-
gna aiiorum , qui rariflime occurrunt, muki tamcn in
iis funt non infrequcntes , qui in Cii g-vey , uon repe-
riantur.

Sed videamus nunc interiora huius lcxici. Qiiem-
admodum apud nos in fuprema cuiusque paginae Unea
titiikim vel Ubri vel capitis et numerum paginae poni-
mus , ita Sini id ipfum exhibent in margine. Nam
cum charta Sinica pertenuis litteras aduerfie imprcfl-!';,
in auerfi quoque pracbeat tranfparentcs , ad obtegendam
foeditatem et vt manibus fecurius traftari queant, foUa
in medio compUcantur, extrema autem cornua conlii-
untn-r. In ipfa marginis pUcatura , fumma regione ,
aUis in Ubris , eorum nomina vel fediones , hoc autem
in lexico iUae ex cyclo duodcnario codiciUorum appel-
lationes , in imo margine numcri foUorum ponuntur.
Charader ridicaUs maioribus duftibus , Ubero deinde
Uneae iftius fpatio , vt magis oculos aduertat, defcribi-

tur, adieda tantumm.odo Utttra -^/7 pu-, quod capiit

fignificat , vel feciionem , vei quomodocum.iue noftro

more

Cii gv^f. 35 s

more interpretnri velis. In proxima linca idem clia-
rader radic;ilis, maiori item tbrma repetitiir , (iibicdii
minoribiis littcris explicatione Sinica. iiucceciunt deinde
maioribiis litteris deriuiita et compofita , pro ratione
claUium, ad quas vnaquaeque littera , quae radicali ad-
iungitur, coUocari (blet, diipofit i , intermiftaque mino-
ribus iitteris interpretatione. Hacc ego capita nuncu-
pare foleo. Quotiescumque caput nouum incipit, nume-
rus eius albo colore in circulari nigroque ipatio (atis
grandis ledorem aduertit. Sed in poftremis capitibus
vaitiorum ex combinatione litterarum numeri fere prae-
termitti folent, ita, vt quae poil XV. ClafTem lunt lit-
terae , quarum nonnumquam infignis eft copia , vnum
iliud in caput ab(tru(ae reperiantur. Qjicmadmodum
haec res quaerenti faepe moleita eft , fic alia eft multo
moleftior, de qua nunc dicam. In combinntione poteft
radicalis (ecum componi , poteft ad latus eius dexterum
vel finiftrum , tum vel in fiimmo vel in imo alius cha~
racfter adiici , poteft radicaiis in medio aliarum littera-
rum coliocari , poteft dcnique in fe ipib iniignem mu~
tationem fabire, At Sini in lexicis fuis hoc penfi non
habent. Qiiocumque fitu chanidter alius IFadicali ac-
cedat , eodem in capite reperietur , modo ad eandem
claffem pertineat : ita fit , vt inter quaerendum , ocuh's
varium ad fitum circumferendis , defiitigcmur. Cui ma-
lo vt mederer , meo in lexico , quod paro , fitus va-
rios h'tterarum diftmxi, easque appellnui fe&iones. Igi-
tur cum compofitam htteram in lexico Cti fvej inda-
g:ire \'o1es, qune ex duabus radicalibus aut pluribus in
vnam fit confiata , primum uouifie te oportet , quae ra-

dicales

352 DE LEXICO SINICO

diciiles in hoc lexico veliiri diiccs inucnicndi compofi-
tiis adhibeantui-. Eam autem radicalem in vnii cx XVII.
claliibus reperies. Tum in adiundo charadere numcnm-
tur elementa prima. Si fuerint e. g. odo aut duodecim
ii2 octauo aut duodecimo capite totum charaderem in-
i]euv;& Scd, \'t lioc dilucidius fcias , exemplo rem de-

daraho. Sit characler tibi quaerendus ^i^jl m quo

trcs funt radicaks. Medium fcire tc oportct in qug^-ej^
tamquam radicalem, non occnrrere, ita deinde memi-

ncris charaderein a dexteris, j\ vt fupra monui, efTe

~ JQ.

p ct aiquipoilere ru ^ hunc autcm ex feptem

elcmentis primis conftiu-c , itaque in VII. Claffe repe-
rirj. Sed non pi icuit audori lexici , charaderem iiiiim
compofitum ad Iiunc radicalcm referre, idcirco in ter-
tio qui a fini(h-is eft, et qui tribus clcmcntis conftat,
tcrtia in clalfc rcqtares. lam diio characleres huic ra-
dicaU cohaerentcs , iecundum leges, quas huius audor
lexici filn dedit, cx odo clcmentis primis confcAi funt,
igitur fub illo radicali, capite odauo charadercm dcfi-
deratum inucnies. Non vbique tantum opcrae eft im-
pendcnd.im, in quibusdam .tamcn etiam amplius.

Minoribus littens primo pronunciatio , deindc figni-
ficatio fubieda efi: , hunc in modum :

Illum

Ciigvey. * ^- 35j^

Illiim characterem , fi pronunciare voies, 7110 p de , ex

^ . . . " "

w/(? initiijm, ex /)<? finem abfcinds ^ erit ?;;o. Nam cie

figniliciit, paiilalim^ non 'vno iclujdndere ^ abfcindere ^ di-

fdndsre ^' ei\:[\.ic hic vocabuhim technkom. Cum autem

mo variis. accehtibus pronunciari poflit , adiicitur , j'« ;«(?,

pronimcia mo. Mam hic charadcr plane fic pronuncia-
tur, vti is quem exphcandum fuscepimus. Denique fe-
quitur, jr« jr, oculus ejl. Nonnumqijam ahus. chara-
der, qui fimiiiter pronunciaretur , non occurrit, tum
vero quemcumque accedentem propius ad fyllabam illam
producit audor (fiue omiflb illo jn^ i.^ e.. promncia ^
fuie adiedo ) et accentum quo vox efferri debeat , no-
minat, vc duobus exempUs_declarabo.

33 iih

Tom VI. Y y ,,, ,, x .;■ . . J. Hic

354 ^^ LEXICO SINICO

II.

-^"t^

'■nmio

I. Hic charaAer /<s! f/^« cie , ex ^tf prima Httcra ex r/V/e
vero terminationc disjecta^ pronuncianda eft, ct

^ quidem, vt fequcns charader tien. Sed accentus

alius eft, nimirum, qui vocatur p/w a7;«. De eo

( —

■vide Mufeum Sinicum. (5) Sequitur exphcatio: tieit
che ( che eft expletiua et vocem fupcriorem di-

ftindius determinat ) igitur tien (ijihuc) Jj ,ye ^ nm-'
teria prima ejl ., hmen rationis ^ re[ia rerum ratio^
primum rerum omnium principium immateriale , mate-
ria prima a principio rebus omnibus inhaercns^ res

omnes

C5i>T. i. p. ik.

j

^ii g^oey- 555

0?«??^;' cum fuo pyhhipio. Ift;i enlm omnla chnra-
<flere et Yocabulo ly exprimuntur. Additur alia
lignific" tio : kije , materiale rerum omniim princi-
pium ejl , (^tiod cum immateriali principio , IJ , in~
trinjece res omnes componit.

n. Ex ta iinem , ex kien , initium cie dijfeca , erit pro-

minciandum, vt charadler ^/>«,.-fed^qiiiji accento

dido ge xim ( id eft , tien ) be laii , mg;rim ipbfcu-^

rum ) aurum , jeu teii , item formajura.

Saepe idem <;haradler pluribus modis enimciatnr ,
fententia vel eadem , vel diuerfa. Haec vero fubiici fo-^
lent , priori parte circello quodam finita. Incepit pro-
tinus ^ jeUf vel, item., et fi pronunciatio fucrit alia , eo*
dem modo, vt fupra diximus, res procedit. In cita+^
tionibus audorum et fcriptorum fic egit auftor kxici ,
Vt nomina illa quibusdam odtogonis includeret, quod
in fubiedo exemplo cernetis. In eodem cernetis aliud
artificii genus , quod in reducendo charaderc ad fim-
pliciora elementa, ex quibus compofitus eft, verfatur,
inde iam defcriptionem ipfius rei fieri demonftrat. Sci-
licet, nouem elementa prima, (tot enim reuera funt)
certas ideas comprehendunt , quas in clafTe fecunda ad
definitiones rerum cofnbinare ai)(florem harum litterarum
voUiifTe , non obfcurum eft. In maioribus clallibus hoc
maxime apparet. Nam quaecumque in compofitione
adiundlum habent charaiflerem , auis , pijcis , herbae ,
fi^uae^ canisy ignis^ auri, gemfnae, aliaque eiusmodi,

Yy s eaedein

35^ DE LEMCO SlNICO

enedcm illis fiib generibiis tamqnnm fpccie? continen-
tur, aut tamquam adiundta proprietatesque ad ifta g6-«
nera refcruntur , aut ccrte ex tropo aliquid habent , c^ir
iltae litterae adiedlac fint. Sed neque in omnibus ea-
dem facilitas iilhuc ipfum exphcandi, neque in mino-
ribns characfleribus ratio tahs iteni plane cxpHcari pot-
c(1:. Itaque difTidia inter lcxicographos efle folent , ahis
ahter charaderes fuos deriuantibus , quod cumprimis con-
tingit in rcbus, quac fcnliis humanos fugiunt foloquc
intelledu capiuntur, vbi irtae piifturae ad fimihtudincm
cogitationum idearumque humanarum admodum funt ru-
dcs et obfcurae. Non nego , potuilTe fubado ingcnio
virum ia liis ^' ad naturae idearumque noftrarnm ima-
gines ordinandis , mulco Ihgaciorem fefe praeftare , nunc
nutem, cum tantii in Ly ^u harum , 24.0. ante Dieny-
fianam epocham annis, aucTiore htterarum ficultas non
fait, aiit cum a rudioribus vetuftatis characfleribus lon-
gius difccdere non audcret , fitius eft illam enodandi mi-
norcs charaderes curam practcrmittere. (6) Exempli
corum quae diximus , canlfa , fumemus littcram Yocemque
in maximis contrQucrfiis vcrlatam. (7)

w

^:^ ^^ 1

— j^ cbim }■ Abfcinde ex ir, initium , ex chim finem,
-^ * ." ! 'vt fit pronunciatio charatflcris, xim.) .

.yn

(6) F-x his apparec , quid iudicandura fit dc Lcibaitii fenteiuia in
cpiftolavum Tom. I. p. 395 (7} la i,il livcy, libio 9. p. 73.

Ch gvey, 357

j- _

"^ yn Immo pmmncla vt requentem

^V - r Homo.

■-^ ^ ' > Jnmmus , perfeiius , vt ««9« /)<#/ ///p/'^.

^

^" / Ingenn acumen , /■// ingenium ad res

x>, , 7 1 Cheu xu (liber quartiis eius , qul inter
\- quinqueClaflicos dicitur -^ljt ^T
j a'« kim) fic ait:

^
^

pii Ingenii aamien

M^ xim Japientem : feu , cum ingenii acumine facit
■*^ Japiens y

Yy 3 jeu et

\

. -i,^* ,/V^

358

DE LEXICO SINICO

, ^., f.

J5|S fim ) intelk^u pemtrat el qiiafi peruins rcd
L V ( (lit fcs omres , i;t intellkantur .

Cim

*] Ci/w .vi f/?/i:i'« iibcr fic alt : ( lego

I chuen^ q. d. CQuyddame familiae

XI \ comm:ntarim: aiioqui chnen effet,

, , j Confucianae familiae propagata ad

^ pojleros virtits feu ifi^nitas.)

ju In

AnlU vu non ejl

^Jp/o {locus) aUquid

jC^ pii ( qiiod ) mn

,_ C penctret et reEte introfpicJat (i. e. fi

^M /««« j in rebus agendis nihil fit , quod quis

'^Ji C jion introfpiciat , iilc)

_ f dicitur

hi I

•n

X.

.f*i

J

l^ xim. xim. (Itaque vocabnlum, xim commo«
dc rcddemus fapientcm.)

jeu Item

Cit gviy.

Z$9

P?^ Tcu Item
*^^ pn- famiUa ejl , feu cognomen fafmHae.

•'yt^ Tiu Itcm;

*] Liber xi fa. ( De eo fic ad me R.

xe j P. Parrenin : Lil;er ^ ijuinonjpe-

\- &at ad viuos , fed ad dejmctos

j imperatores , reges , infignesqus

^ f?/<;7/« praefe&os etc. continetque

varias formulas laudationum june-

brium.^ quibus decorari debent refpe-^

&iiie ad vmiiscniiisque praeclare aut

fortiter gejla fculpique in ?nar?nore.)

Publicauit, diuulgauit -^

Tam

xen alieyia merita et fortiter gefla ,

W'V fu recepit parce moderateque

m

n

kien tributum (i. e. Si Imperiitor aiiqiiis diim
viu;it,alioriim ptaeclare geft.i non celet,
fed in lionore habeat, fiqiie tributa mo-
derate exigat, is, fcilicet poH: mortem.j

je dicititr (feu tnerelur dici)

xim xim. (Qiiod reAe nunc reddi potei^, iifflus.,

et \t veteres Komani dicere folebant , c;/r

- fanMJftmus^) kim

^«ro

X)E LEXICO SINICO

^i^ ;t//« (Qiii etiam) honore profe^uUur
^"L pin hojpites

/l^ heu

magnaqiie excipit vrbanltate

i">^ AV"///. AV'///.

(PiuKfliim complctum)

Liber xni vew.

i / 's"''^"^ 5 fnuplicia elementa , (ex quibus charader
/x^ A7'/// crt compofitiis, lunt)

auris et

J^ fZ'//// ^Z» inferiori ad fuperiorem^ ah im ad
fiV.hm quae referuntur (vndc ^ -^

chiin qu , //>//«/ fnpplex )

.Vi/».

Avw. pronunclanfur (in illo cliaradere.),.

V Liber T^wi /i/« ( fic .• habet; ) ^ " I

lun j

» tJfe

^^x -, ..^

fA rf,V ^TTV

Tum Qmpenetrat ^^ .^. ^^

2fc .- 1 , ..^

^Uu ^'"^'^ \ pyaejcit (res per cauflas et["pro|>rie*

■J^-^V^ • I tates fuas) > a-'-'^

0 jve dkitur -»'''''"'

.s^ A^/w. A:/»f. ^ -'^; ;

■^•^" '" ' ■'. ^t

"=^ iv;/ compofitione \ -;^

;HI /'^ Jh { littera, et )
y ^^/>« chim

J^ K^^t' #v7///^

Tmn. FL Zz .T/w,

\:-::-:\ r' -■■■

^52 DE tEXICO SINICO

"/ ( charadcrem , f. quamuis illae fim-
'i9 xim xiin plices litterae hunc charaderesa

efficiant, tamen)

^ ^«^ t Fartkuk Ib

\:

4-,. - _•

i non - - '^

^'3|Sii ,./6 7 aurls ipfa. (i. e. >w« mlsfadt xim feu

'^^ti Jin cor (affimus, ingeniuih,'1fitdBs^r^^
;j^ tum penetrat (adfequitur) _ .

van ?
Jf/m ^ |. omnium rerm

m ^ <•?«« «-^Twj/^j ^ proprletates

-it- - ^ auris
C^ chi

^J^f tum penetrat (et percipit)

J&^ xim \

"^^ ^ 'Doaim Jonos

-^ J'^ i r^

Non poflum , quin hic fubiiciam , quae R. P.Parre^
nin de huiusmodi argutiis ad me fcripfit : Nota , huius-"
modi explicatioiies depromptas ex lexico efle arbitrarias,"
proptereaque variare fcriptores, quia nullum habent fun-"
dame^^^^ro px prima. inftitutione : v. g. funt nonmiUi ,"
qui ifl fcribendo , charaderem xim^ non fuppohunt lit-"

teram ^gf fcd "^ et poftea fic hariolantur , vel pa-"

tius nugantur, dicentes, auris et oris rex, ideft, fa-"
piens qui fcit audire et ioquip *' f : ^'

Pecimus quartus codicillus vocatur ^f^ _^a%^ kiven

mo , likr extremus : nam mo finem fignificat, Primum
in eo occurrit ^^^ ^fv^ piensit^ elucidatip cpa-

ra6temn pmlium inter Je. Sunt autem hae litteraie elus-
modi, inter quas infignis fimilitiido intercedit, fignifi-
catione vei eadem , vel diuerfa. Dispofitae funt in quin-

,^uefe(ftionibus.Primainfcribituryj^p»/ T^iPl S^-^

Zz2 ulb

^64. LE LEXieO SimCO Cii gv^y.

Jh (lufiam sii.) duo chara&eres extemn fmiiUtHdine ^ ir^X^?^
ini clvanKflcrcs intcr le comparad adfimiliuidincniexilant,
diefla illuftratione corum minoribus litteris. Si(;inceteris,
t iii vltima quidem fex charadlercS inter fe conferiirvtur.

Nouum deinde caput 0-S iSjdfe. f''^ ii^^x^tm fcre tra-

dat.Pars veio tertia T^ JH^ ^^ "^^ i«^i><f chc, tii ,
tonorum artis direcfa explanatio Mcx\Ht\\\; ^ cui pars quajr-
ta fubiuni^itur ^S^ § ^^ "^'l^ yfin ja\ toni*

f^m« renrulariiin , mo^Jii, index , et quinta quae poftre*

ni'a.,''|^( /J^ffl ^^"'Hp J^^ f^ ^^^''^ ^"- ^^ ^^^^

%ituc de ;{lQ<ftrina accentuum , <]uam tmti non iudica-
jumus, vt oper.ofc, exGuteremus, _Vide-interiitt,-fl^^,io

Muiio Siiiico (8) de ea re diximus. " '*"^ — '

*■ Sed non polfum R. P. Parvcnini de iisdem iudicium

•"reticerc. (9) Accentus, inquit, adhibiti fiipra fonos Eu-

^'ropaebs res prorfus elt inutilis. Accentus enim Sinenfcs

"non percipiuntiir ocuhs,fed aure difcuntur et vfu, funique

^'quafi imperceptibiles in ore Siuorum, vti aidueitere po-

"^^tiiilH , quando andiuilti leg^Uos loquentcsSniice. Magnus

>'Oj:^^7«'e(l natione Tartarus oji-icntnlis , fcd nfttusPekini,

"valde eruditus in Hbris et hngua. Diccsne iikim cantafTe

"aut fibilaffc, vtAngh? fi quispluropaeus loqucndoSinice

bene ordinet phrafin, id efl:, nqn illam imiertat, femper

intcUigetur a Sinis etiamfi pcccct contra acccntus pim ^

xam , cni , ju. Sed fi transponat verba nuhns capiet , nqn

enimcrit loquela Sinica. DE

C8} T. I. p. ii.feq. (9) In epiftola ad me Pekiui jo.lul. 1734 datt.

tc

u;

DE

RVSSORVM

PRIMA EXPEDITIONE

CONSTANTINOPOLITANA.

T. Tr 4

ILlufh-is res eft, quam e moniimentis tum Rufficis
nun Gniecis exfequar , de Ruflbrum Kiouienlliim pri-
ma expeditioue Coudaiitinopolitana , fcd miiximis
eadem inuoluta difficiiltatibus. ' Ruili lcriptores cum fii-
mam tenerent, nadi duces Graecos parum illis tempo-
ribiis idoneos, fic fludiiant, vt fubleuandi nobis videantur:
Graeci autem nulla aetate magis ad rerum memoriam
litteris prodendam caecutiuerunt , quam'" cum ifla funt
gerta', itaquc erunt ngbis' accuratiffime expendcndi. ' Pri-
mum iri . anrio fusceptae expeditionis diflentiunt iuter
fe fcriptores Riitheni. Chronographus , ita appello vnum
eorum anonymorum, 'quos ab amico conuerfos Latine
mecum habeo, ad A. M. <J374-". A.C. 851. tpnpore' Mi-
fhaelh Bardaeque "Rujfi ducentis Cjmbis. expeditionem Cou"
Jlantinopolitanam Jmcepenmt ^ multasque praedas in Vitto-'
Yibus egerunt : Michael autem et Valriarcha Fhotius\ fadtis
precibus in templo Blachernarum ^ ve/lem B. Mariae inde
canticis comitati ., oram eius mari imnicrjerimt ., .([110- fa&o
magna tempcjlas' oritur et ..tota RuJJorum ^ clajjis periit.
Hifloriographus Ruthenus alter anonymus ad A. M. ^^^v^.
A, C.86(>. a fuperioris anni KaL Septembribus , Ofcol-

2z 3 ■ - '^'-iium

^66 BE RJ^SSORFM PRIMA EXPEDiriONE

4iim ct Diriim hanc expeditionem rusccpilfe aucT:or eft,
puUbsque miiiicuio ilio RulTos, rcdiitrc Kiouiam. Ad
eundcm annum audor StepenniiiiiQ Knigae , pollquum de
Olcoldo et Diro deque expcdicione dixei:it, ermit^ in-
quit, evrum in exerdtu Cumani^ qid ad Pontiim Euxinwn
hahitabant\ hi^ cum in pacis conditionibns Alichaeli hHp.
baptimum condixijfent Jeje Juscepturos , pojl paulh retra-
Ctarunt , miraculwn pojcentes nouae religionis gratia : euan-
gelio in ignem conietto extrattoque fine aliqua noxa defor-
mitatis. Ari:hiipis(;opus C.wnanos baptizauit : petentlous dcin-'
de^ 'Vt Iftteris injlruerentnr ^ Micbael Imp. Metbodium
et Conjl^antinum l^eonis Tbejjahnicenfisjilios mifit , qui cum
pernmltos hbros conu^rtijjent Slauonice , MetBodius Morauiae
epJicopatMn adiit ,^ Confiantinus munachatwn iriduit et no^
tnen Cjrilll, Theodofuis Abbas Kiouienfis omniura his-
toricomm verulliflrimus , cuius Chronicon Rcgiomonte in
l^ibHotheca Regiu intcr Ubros Radxiuiliani legati exftat,
a quo Petrus J^. d-^oy^a^Pov fieri cuniuit , ad A. M.
^372, qui lial. Septembribus A. C. 863. iniit fere a4
vcrbum ex Symeone Logotheta : at cum ne fic quidem
fine crrore narrationem e(fe oportuit, non fatis confi-
"deratQ Symconis lUo loco, turbat, et Impcratorem
cum Pliotip fatriarchi^ Ruflki tumultns cauflli bis
CbnftancinopoUu intrafle fcrinit , ciim neque Photius illo
tempore pedem extra Yrbcm extulit et Imperator vcro,
yrbe obfvHa femcl aegre(jU6 pej ftationes hoftium ii^
eam penetrauit,

Difienfio in anr.is ?x eo orta efl , quod , cum
"Sypeon I.ogptheta ( i ) fcribit, nono aniio Michaelis

CO^STJNTINOPOLITANJ, 3(^7

Imp. et declmo eiusdem anno Riiffos Conftantinopolita-
m cxpeditione defunflos effe , alii alia ratiocinia in illis
annis explicandis fequentes , longiffime inter fe fententiis
difcederent. Michael Trauius ad imperium peruenit A.
C. 842. XX. lan. itaque annus nonus eiusdem A. C.
850. et decimus A. C. 851. xx. lan. iniit. Hiinc plarie
annum ratiocinio fuo refpexit Chronographus , quem
fupra protuli. At cum Symeon Magifter hisce rebus
admifcet et Bardam Caefarem et Photium Patriarcham,
qui poffea fiierunt, aUud tempus et res et audor pp-
iluiant. Exiftimare ahquis poffit , fbedum errorem boc
in teftimonio verfari, nifi fi fciat, quam rationem an-
norum in Michaele Imp. fequatur Logotheta. Eft autem
perfpicuum , fi quis eum paullo attente legerit. Nam pri-
inum numerat annosXlV.quos cum Tiieodora matre ex-
egerit folidos, tum X. annos quos folus et annum vnum
jmerifesque quatuor, cum coUegam habuit Bafilium Ma-
cedonem. (2) Accuratior videtur Symeon Michaele
Glyca, (3) qui praeter annos XIV. cum matre annos
XI. folos Michaeli tribuit, tamquam fi collegam ha-
buerit nuilum; timen etiam Logotheta non fitis cauit,
Reguauit Michael annos in vniuerfum XXV. menfes
quatuor, dies tres, ad fummam quatuor. At hi qua-
tuor menfes collegio Bafilii adfcribendi non fuerunt a
Symeone. Nam Bafilius Macedo collega fuitabA.C,
f>66.X'S.\t. Maii, die Pentecoftes vsque ad A.C. 8^7.
Xxiii. Aprilis, qub die Michael Imp. occliiis eft. Vi-
des totum fere menfem deeffe anno folido, quo col-
iegae fuere Michael et Bafilius, Aflni autem , quos Ib-
ius rerum potitus eft Michael, ineunt ab A. C. S56.
- -^ Tum

(,a) Vjctc p. 248. O) p. 291. 392.

3<?S DE RVSSORVM FRIMA EXPEBITIONE

Tum enim fub acflatem Theodom mater aula eft pul(a.
Eam ob caufllim Lco Grammaticus (4.) et Georgiiis Co-
dinus (5) annos XV. Michaeli et Theodorae tribuunt,
qiiod partem magnam quinti et decimi anni cum filio
imperauit mater. Cum autem ahbi Logotheta rcribit,(5j
Thcodoram aula pulfam XIIL anno , is quidcm crror
eft , at argumento nobis eflc debet, Logothctam A. C.
855. cuius anni acftarc Theodorae matris potcntiam col-
lapHim diximus , folidum tribuere Michaeh tamquam pri-
rnum. Idcirco nonus deinceps crit A. C. 864.. et de-
cimus A[ C.'855. quibus annis expeditio RulTorum in-
fcrcnda eft, quosuc Hiftoriographus Ruthenus et Ste-
pennaiac Knigae aucflor rcfpcxerunt Theodofius Abbas
paenc attigit. Atque huic etiam tempori apti funt Bar-
das daeHir et Photius Patriarcha. Nam Bardas ab A.
C." ^5'8^i C^aeHir fuit (7) adA. C. S66. quo anno caedis
eft jioft Pafcha. Photius Patriarcha fuit ab A.C. 858.
natajibys Chrifti. (8) Hae rationes nos fpatio annorum
&trs anguftp indudunt , ex quo excedere nou poiTumus. ,

Noftrae opinioni aduerfari videtur Nicetas Paphla-
go in vita Ignatii Patriarchae, cui fcriptori , vt coaeuo
plus' trilVuere cupiarn , quam ceteris omnibus , nifi ipfe
fc'l^'inipedlret. ,Eius teftimonio A. C. 860. Rufli ad
Te'rebinthum pcnetrarunt. Nam audor eft, Ignatium
poftquam a Barda Caefuc A. C. 858. circa Natalia Chri-
fti patriarchatu pulfus fuit, Terebinthum, fuiim in mo-

na-

C4") P- 4'!7- Cs") ^n r>r!giiiibu5 Con{biitinopoIitanis p. 77. C6")P'4j5'
C^j") Loa;othcta p. ^»}*). (8) Piacter Hiftoiieos Byzartios, Nicetas Paphlago
in v\ta Isnatii Fatriarchae ab Haiduino iii Conciliis cditus.

iCONSTJNTINOFOLITJNJ. 3%

■Eafterium, fefe recepifTe, anno autem proximo, Augit-

fto menfe Mytilenen deportatum, pdll menfes fcx Fe-

bruario Terebinthum redeundi veniam impetrafle. Ift-

hic cum ageret, inquit Nicetas, Rufll infulam Terebin-

•thum inuaferunt, nec multum tempoiis effluxit, cunra

Fhotius Patriarcha conciiium habuit, cui interfuere Ni-

colai Pont. Romani legati, vt hoc (altem auAore Ni-

•ceta loannes Harduinus id concilium A. C. 859. infe"

ncvQ non potuerit , quando rerum ordo non patitur. Eo

in conciho Ignatius Patriarcha damnatus eft: ne quid

grauius pateretur Terebintho fefe fubduxit et in Propoti-

.tidis infulas fugit. Augufto menfe eiusdem anni feu A.C.

8<Jo. tefle Niceta, ingens Conftantinopoli terrae mofdt

.fuit, cuius tenore portenti perGulfite Bardas Caeiar, Igna-

^tium paflfus c{\ ab fuga redire in Tcrebinthi infulae mo-

•naflerium. Turn fubiungit Nicetas , svS-vs hv 0 (r«<rja.c5

■ s^y\ X, BsXyapoi Ss Tore 'npovoias S-e« §iaiaj Holara-

mevleg Xijjlu , afj-a $e roXg §uipoig rs AvloKparopog S-eX-

,9^3-sVIe? ra o^TrXa Ha1a9'E'|J.evoi rS dyiw Trpaa-vjVecrav

ga7rlto-fji.a1i , il/ico aittem terrae motus deftit et^ Bu/gan

■tunc prouidentia diuina graui adfli6fi famc Jmul et 'mune"

rilfus hnperatoris de/initi , armis pofttis ad fantlum ha"

^tifmum venerunt. In hoc poftremo pauUulum fubfiftam,

vt in nota temporis. Leo GraTnmaticus (9) de fimc

item fcrlpfit : qnidquid eius fit , malo tamen Nicetam cdi-

dilTe peftem, vtpotc cum per ipfam naturam peftis repente

.depelli poteft aut intermitrere, fames non potcft nifi

paullatim luccedsute copia. Qiiare 'kOi\xhv repone in

-hoc Nicetae loco. E coritrario Leoni ad fenium nnn

T&m. VI. Aaa pri',e-

^ ^ a. _

L__X9;i i>. .4)ii — — — — — ■

370 DE WSSORVM PRIMA EXPEDITIONE

pracbeo , cum auctor ell Michaelem Imperatorem terra
marique cxercitum duxiflb in Bulgariam , Bulguros ma-
lo llio attritos pacem petiiffe , principem gentis , (Go-
borem vt Symeon Logotheta (lo) feu Bogorem vt Ce-
drenus habet) (i) a Patriarcha baptizatum et a Micha-
elc Imperatore fuscepium , nomen mutauiire. Nam Ce-
drenus, loannes Curopalata , Zonaras Nicetae Piphla-
goni confcntiunt, Bulgaros fpontc fua ad facra chriltia-
na accefTiirc. Hoc ipliim confirmare videtur epiltola
Photii Patriirchae ad hunc Michaelcm Bulgariae Principem.
At vcro hunc Michaelem a Patriarcha baptizatum fu-
iife, tantum abeft, vt Photius adfirmet ilia in epiltola ,
vt e contrario ne vifum quidem fibi Principcm doleat,
fuam fohunmodo operam in eo conuertendo praedicet.
Fuit igitur in Bulgaris ecclefiae aggregandis magna pars
Photio Patriarchae , quae res occafionem dedit ahis pro-
dendi ab codem Patriarcha fandla myfteria fuscepifle
Michaelem Principem. Symeon Logotheta b-aptifmum
hunc ad quartum annum Michaelis Imperatoris refert,
fiue ad A. C. 859. Hiltoriographus Ruthenus ad A.M.
6^66. BuJ^ari baptizati junt ^ Jeptimo anno Wichaelis.
Haec non cohaerent. Annus ille mundi a Kal. 5eptem-
tribus A. C. 857. fecundum annum Michaelis continet,
feptimus vcro annus A. C. 862. Id ipliim in Grae-
co aliquo reperille videtur Hiftoriographus : nam nihil
certi definiri poteft. Quidquid cius rei fit, cum Ni-
cetas RulTorum expeditionem ante hunc annum ponit,
vitio hborat. Non nego, Ignatium Patriarcham in Te-
rebintho infula fuifie , cum RufTi infulas Propontidis de-
uaftarent hoftilem in modum , attamen cum Nicetas con-

ced't,

00 p. 440. (O P- 540-

CON^ANTINOPOLITANA. 57 «

cedit, inde ab A.C.85o. menfe Augufto, Ignatium conce-
dente Barda Caefare dvevB-woy x, 'dyflov iiqtv\y aJly (jlo^vV»
inquifitioni exemtum et Uberwfi in monaJteriumJuum{2.) Tere-
binthiimdimi(Iumeffe,atque inde iam vsque adBardaeCae-
faris mortem fuiffe,niliii impedit,quin inTerebintho A. C.
8(54.et 855. fuerit, cum Ruffi infulam expilarunt, Nicetas
autem per errorem in fuperiorem aetatem reiecerit , quac
tum gefta fuerunt. Nam fi Nicetam conferas cum Ignatii
Patriarchae de caufla fua ad Nicolaum P. R. epirtola ,
eum in temporum rationibus rebusque ipfis aberraffe
fenties. Ignatio tamen potius ordinem rei geftae nar-
ranti iidem adhibuerim , quam Nicetae Paplilagoni.

Tempore expeditionis Rnfficae conftituto , reuertor

ad rei geftae ordinem. Res iiias narrant praeter Symeo-

nem , tum Leo Grammaticus, tum Anonymus Theophanis

Byzantii Continuator , tum Cedrenus , loannes Curopalata

Saiiizes , Zonaras. Periequar teftimonia , -vbi fcopuli

obfiftcnt, fiftam gradum et iuuabo comiter. Ruflka

clalfis fecundo Danapri adueriiis Conftantinopolin deue-

dix eft, inde ab Kiouia , vt nos curfum iilum e Con-

ftuitino Porpliyrogenneta (3) alibi explicabimus. Profedi

funt igitur, ifto teftc, lunio menfe. Sub exitu aefta-

tis tcL tv\oq Eu^fjva K, -naG-ay dvls Trce^aAiv' to eS-yog

£7To'^9-q X, KctMt^ex^y omncm interioye?n Fontum (Jeulit-

tora Ponti ) vajlauit hic populus et excurftonibus depopula-'

tus ejl , vt Cedrenns ait. (4.) Theophanis Continuator,

(5) toyle IIoVlov dv\oy , a p.v,v x, toy Ev^uvoy hoI-

A aa 2 efXTrlifJL-

f»^ P 97'- ^3") ^e fldminiflrando imperio p. 59. (4) p. 551. Zona»
ns T. II. p. 162. CS) P '2»-

37^ D£ RVSSOmm PRIMA EXPEDmONE

e/X7rijX7Tpcc k, duly)')' ryy ttoXiv 'TTH^ie^oi^^^mv et ipftm

Pontum non iam amplius Hojpitalem gens ea vaJlauU ct

wbem ipfam obfidione cinxit. Cum Rufli Jittora Pon-

tica diriperent, eodem iinno, Symeon Logotheta tia-

dit,(5) Michaelem Imp. ocintvx Agarcnos faifTe profe-

ftum, Leo. Grammaticus (7) contra Srfr^r^^i^-Wi^j. Sic enim

diuerfis nominibus hic popuhis a Graecis editur. Haeo

cum narrant au(fh)res Graeci , fcopulos videntur loqui et?'

lapides, Nam Symeon Logotheta tradit Michaelem iam-

ad Mauropotamum fuifTc , cum dc aduentu Ruflicae ciaf-

fis perferretur ,^ ita eum rediiffe nulia rc perafta. E con=

trario Leo Grammaticus: n.op'J(I)a$ i\xy\vv^t T^v raJ/^

dS-eojv Pus c'Cpi^iv ytvoikivii^v 'lo'^?'^! Koli tav 'M.av^oit^'

<7T-o1a|m.oV,. 0}yphas ab CFIi- Imperatori nunciauit'

(tduetitum itnpiomu Rofforum , quod iam ad Maiiropolamuni'

effent. Georgius Monachus (8) in- eandem fententiam'

Oopu(f)as OL'TT(o TK §ao"iX£U5 {x^i^iy e^ (IjV i\x.sK{roi. >tot^'f

Kalo. yav* ti^x^v ei^yao-afjLiVy , ty\V t(j^v d^-i(j^)> Pcug £/uiv-

VucTcV aCpi^iv, ytytvy^ixivdq ■V}(5'-vj Kola tov Mav^o-no--

^a\xov. K, 0 \xlv S^uriXois ^ '?'% ep^^ofxeyv.g ja.ere%eS-Vjt

5^a, ^ ^'i "yiy ratj1>ii' aCpyKe/j aoey §aa"iXiKoV x, ycy-

^atov eipYao-alo, Oryphas Imperatori ., cum nihil e.v iis<

quac animo coficepcraS j effet exfccufus ^ itnpiorr.m Rojjonwr'

aduentum nmuiat : effe eos iam ad Mauropotamum : eV-

hnpcratnr a fufccpto itinere rciiertit y nihilque corimi^-ob"

quas ifi'rat iter impsratorie atque fortiter peregit. Ergo*

in- diiitrjs fentcntiis confider.indum nobis eft, quae ve^-

ritati- magis conucniau Mf-upcTTolap.ogin- codicc' Pari*- ■

fmo MeXas Trolafj.os, vt:Ioaiincs Boiuinus ad Nicepho- -

ram

CONSTANTmOPOLITJNA', ^jt-

jram Gregoram annotauit, qiii MeAam quoque a Can-"
tacuzeno dici adiecit, \ tmmquc nomtn Nipwn fjiuiwMj
figuificat. Hic tiauius, vt ex. Nieephoro Gregora-Cp.)
et Nic&ta Acomiivato (lo) intelligo , ad occidentem Ghcr^
fonefi Thracicae in Aegaeum mare exonerabatur . EvAt
etiam alius MsXag, TrolajjLog in Pamphiiia, qui item di-
ci potuit Ma-j^o7ro'lafJLcs in Pamphylia tamen Imperator
ad Mauroputamum cfle non potiiit, cam nuncius pcr-
fcrretur de Rulfis, is enim lluuius fere ipfis in finiljus-
imperii Romani fuit, qnod contrarium eft iis , qui tra-
dunt IvAud ita longe ab vrbe abfuiffe Imperatorem eJr:
celcritcr aduolaffi. Ergo Mauropotamus Thraciae tan-
tummodo a nobis fpedari debeti Qtii Rufli)s ad'Mau-
ropotamum iam fuiffe tradunt , . cum ad Imperatorem
uanciaretur , hi quidem qiiid diccrent , non latis penfi
habuere. Necefle. enim fuit,, vt ipfiim Conftantinopo-
lin praetcruecti et tot promontana, Thraciae., occiden'^-
tem petierint , nulla quod appareat caudli et ratione.
Et qui potuit Oryphas hoftes cei-nere ad Byzantium,
nec monere tamen Imperatorem , nifi-cum curfu fitisT
longo deucdi effent ad littori Thraciae occidentalia ?
Praeterea iidem fcriptores a fe diflfentientes tradunt, Rus-
fbs intra le^ov fuiffe ,- cum ■ Iraperator cognito. nuncio
reditnm pararet.. Qiiafi Rufli ex mari Aegaeo adue-
nilTcnt et primum ftationem habiriflent ad Mauropota-
mum deinde Byzantium praeteruecli Is^sy intraflenc, ita.
narrationem fuam perfequuntur ifti fcriptores, vt neque
pes neque caput rei appareat. Qiiae cum cernerem ,
credidi initio , omnino expeditionem RoflTicam faifle

Aaa 3- nullam,,,

(-^^ p. 25+. (;^,o) p. 43- "_ " ^'

#74- />E RrSSORFM VRIMA EXPEDmONE

nuUain , fed Saracenos et piratas a Rhofo vrbc Ciliciae
cum clafTe profedos fufosque ad Coaftant»nopolin occa-
fionem eius expeditionis comminifcendae, nominis con-
uenientia praebuiflc. Auxit fiifpicionem lociis quidam
ex Synopfi Georgii Moniichi, quem poftea producam.
At cetera deinde inter fe contcndens , Leonem Gram-
inaticum et Georgium Monachum corruptos efle fenfi
et fcribendum vtroque loco efle yevoikevt^ vcJti Hola
Tov Mav^oy 'na]a^ci> , vt fit idem fenfus qui in Symeone
Logotheta , Imperatori , cum eflet ad Mauropotamum ,
aduentum Roirorum nunciatum fuifle.

Poftquam hos fcopulos fiiperaui , veritatem rei ma-
gis fequar, quam aucftorum meorum verba. Anno nono
Michaelis autumno , Rolfi in Ponto res geflerunt. Qiii-
bus cnm Imperator fibi videretur fatis idoneam claflem
et Ponticas copias oppofuifle , vt in ignoto hofte in-
cautior , anno pofl: maiori cum cl;!flre aduerfus Sarace-
nos profedlus eft , qui tum in Aegaeo mari potentes
erant. Vrbi Imperaror praefidio reliquit Ho^uCPay vt
Lco , vt Symeon O^jjCpav. Is ipfe eft: , qui a C(mftan-
tino Porohyrogenneta (i) et Continuatore Theopbanis
( 2 ) fub Bafilio Imperat. nomine Nicetas cognomento
O^u^ag Patritius et Drungarius rei nauaiis fuiflTe .^icitur.
Eadem in dignitate fub Michaelc Imp. fliit, vt Nice-
tas Dauid Paphlago (3) et Symeon Logotheta (4) te-
ftantur , tum in Impcratorem tum in Bafilium collegim
fumma fide, quare ctiam pofiea Bafilius Imper. eidem

vrliem

(i) Df A. F. p. 88. C») *" B-iCli» p 1?^' (i) iu vitt

lEnaiii p 96J (4) p. 4ij.

CONSTANTINOPOUTANJ, 375

yrbem tradidit , qiiotieus in expeditionem exire folebat.
Impenitor fiia cjm clafle in mare Aegaeum deuediis
ftationem liabebiit ad Maiiropotamum , vbi , illo ipfo
Impcratore, TiKc;:bftus Sitracenos nanali praelio vice-
rat , telte Georgio Monacbo. (5) Igitiir etiam tunc
Saracenica clains exfpedata efi: , nifi fi Imperator ali-
qnam maiorem expcditionem in Creta , vt aliquanto
tempore poft, aut in aliis Saracenicis littoribus animo
flgitauit. De clafle Agarenica , cui fefe obiecerit iuftam
cauffim coniedandi liabeo, quod Imperator audito Rus-
fos adefle ad vrbcm , claflcm fuam non reduxit , fed folus
aduolauit ad repellendos vrbanis auxiliis hofles. Verum
etiam tenuis belli Saraccnici memoria exftat in epitome
feu argumentis Georgii Monacbi , ex quibus apparet,
nos Georgium hunc integrum non tenere. Sic enim
hoc loco, vbi de bello Ruflico : 0*11 £15 rov Hotj^ov Mi-
5^^aviX KOJi ©eo^to^ag -viX^ov AyapivSlv TrXoia, oug crs eV
r^i Kot^g-avlivy tioXu h, ^^a^ilt rvig 0e<3|jLvil3^(j5 a-Grvi^X-
0OV a7rfaK.1oi x, (5"iaCpOa^]ji.£Voi, tempore Mkhaelis et Theo-
dorae ( de Theodora quidem error efl; , ) 'venerunt naues
Agarenonim diioentae Conjlantinopolin et gratia Matris
Dsi recejferunt nuUa re gejla et clade accepta. Ex du-
centarum nauium et mirnculi mentione coU go , Scho-
liaftam Georgii res Saracenas et Rufficas eodem in loct)
feparjitim a Georgio editas confudifle.

His cum Imperator ageret, Oryphas trepidos nun-
cios mifit , Ruflbs qui m Ponto res geflerant Vrbem
oppugnatum venire et in Hiero efle. If^og Ho^X-crog

finiis

CS) In Tita Ignatij p, 5*9.

37<? D£ RFSSORVM PRIMA EXPEDITIONE

fuius Bofpori Thracici in Afiae littoribus ifiiit, ex quo
finu petehatur Pontus. Ex Ponto autem naues Cyaneas
infulai et Corjicium pi-omontorium Clielasque praeter-
uetftae hunc in rinum icre recipiebant. Dionyfius B/-
zantius; pojl Cbelas Hieron a Byzantiis quidm pojfcjjum^
Jcd commune .receptacuhun omnium nauigantiwtt. Anony-
Kius audor qu£m Arrianum quidam fiiKb ediderunt, in
peripio Ponii Euxini , ( ^ ) ortendit CXX. fcadia inter
Conftantinopnlin atque Hierum interfuiffe : thIo 61 r.o
')^co^io/ a^>f!v|tcV £5"! roy eiq tov TrcvHwv TrXedi^lajv , ah
hoc finu johnmt .^ qui in Pontum nauigant: Totidem Itadia
Polybius ( 7 ) Bolpofo in longitudinem attribuit et ijj
Ponti fuiibus ro Ka.X^ii.evoy U^oy coilocat. Commodis-
lime fituni Hicri -videbis in Petri Gyllii tabula Bofpori
Thracici. (8) 'RmTi igitur ducentis lintribus Hierum
ingrelb. , per comraoditatem ftationis excurfiones facie-
bant et multa cum ftt-age Chriftianorum delaeniebant,
vt Symeon Logothcta et Leo Grammaticus teitantur.
Sed haec curatius explicat Nicetas Dauid Paphlago in
vita Ignatii Pairiarchiie , (9) cuius "vcrba, cum fcrupuhis
de tempore a Niccta iniedus , a nobis fupra exemtus
©(I.5 huc apponam:

K-ar iftHyGV yap rov Ea tempejiate Scvtharum
KaL\{ov rh ixica^^ovdiralovri^y getis crudeliffima ^ Ro/fi diCti^
'^KvSt^v 's'9-yo5 61 XsyojjLEVoi ab Euxino Ponto digrejfi in
Pojg , ^ia Ta Eu^£n/K -rroVly Stenum et omnes regiones ^
'jrfocTKe^co^vi K.o'r£5,TarXtt- omnia Kionajieria praedis^

agen- •

C6) p. I. cdit Hudlon. (7) p. 427. (.8) Confcr ciindem Gylliij»;
•T. II. Impetli Oueotalis Banduriaai p. jai. (9^ P- 964. fi HtrA,

CONSTANTINOPOLITJNA 377

vw, X, Trot/lot [xh %u5ia , agendh peniagafi ^ etiamper

-Trai^la ^a fJLoms-y^ia (5i->i^7ra hijidas circa Bvzantiwn ex~

Koreg fli. <J-v) >{, rdyryBi/^ay- cunenmt^Jupeilcdfilem omnem

riy Trc^ioiKif^ajv x.arec ^ '.jxov depraedantes et argentum ^ho^

yyjdvxiv o"KS'J>] , jxev' Tracra mines autem^ qms ceperant,

X-vjK^ofJLewi ^ ^^vfxala, dv necantcs: praeterea fatriar-

S-g"i7r»$ ^■s rs$'aA.oV1as Trav- chae monajleria barbariis Ju-

rag a7roK.A£iyoyleg. 11^05 015 rore et impctu incurjantes ^

Vj rwv' rS Ilalsia^^^y fxoi^a- omni JupeUetlili ^ quam imiene-

5-vis'i'jjt' pa^Sa^iKw Kolai^^a r<7/zf , direpta ^ viginti atque

p.ovles c^jxvija.ali k Sujxto' , duos ex fidijfimis eius captos

'na.To.v \i.h ry\v eu^z^tlu-av vno in nauigii trochantere

Kry\T\.v aJ^Hkov\o , ewoo-i §i Jecuribus percufferunt miuer

VySvo rcv yvy\(Tiix.(^e^ii)v av- Jjs.
rs KSK^al^viHoVeg o'iKe1oj>, e'Cp'
ivi TT^o^avlvf^i TrXoiy rsj
Travloig d^ivaig KalejxeAKrav.

Stenum dixir Nicetas more veteri Bofporiim
ipfum inter Pontum et CPlin : alioqui illis tem-
poribus 'Erevov a Byzantiis vocabatur Europaeum
Bofpori littus. (10) Nam ita etiam Nicetas alibi (i)

Trpdg rolq ^"e^ioTg ra Srevs fj.fpe(7i, in dexterioribus re^
gionibus Steni Teu in regionibus Afiaticis ad Bofporum.
Erant in Bofporo infulae atque in his 04 ITpivKiTreioi
Vy\(Toi Trpocrayopeudjj.evoi, IlXar-vi,' Talpdg, x, TepepivS-og,
injulae Principes dictae , Plate .^ Hyatros et Terebimhus. (2)
lis in infulis Ignatius Patriarcha , cum adhuc monachus
Tom. VI. Bbb eflet,

C10) AnrelmusBandurius in Conftaiitinumde A. J. P.J34- (.i^ P 9+7"
(2) Nicetas Paplilago p. 950.

37^ DE RVSSOB.VM FRIMA EXPEDITIONE

eifct , ex paternis flicultatibus fratrum confenlii monafte-
lia excitauerat , poft paullo ante mortem e regionc iia-
runccc inliilarum cocnobium Michaelis in contincnti ae-
diiicauit. Poftquam a patriarchatu deiedus eft , iiifTos
eft Tercbintlium in cocnobium liiiim concedcre , hinc
in exilium deportams eft Mit}4enen: ab exilio reuoca-
tus Terebinthi tura maxime agcbat, cum RoiTi excur-
fiones fuas facerent iii Steno. Laeta res^ in -vibe fuitj-
Sum Nicetac Oryphac drungario, tum aliis, qui Pho-
do ftudebant , cum Ignatii polfciliones ferri agique nun-
ciarentur : ipfum Roflbrum manus eiiafilTe , dolori fuit..
Ignatius autem , vt ait Nicctas Paphlago, £j>;^api9w>/.
K, raAS TTpco-eL/^aTg dAidXin{]is>s Trpcs toj/ ^eoi' dm ici~-
yoiJ.BvOj, rvy Trcfp" ci-jla KpiTw x, 'SoYiS-.cActv gTTEKaAeTro^-
lx.ci]MCiy J^ ixa.Tcny ry\v aTro riZv- H^alSK ooxbTVoiV "viytTTa-
o-ojTopiav, Eko gratias agms et orationibiis affidue iriten-
tus ^ a Dco luditium ct auxilium exjpe&abaty vanam ownein
uh his^ qui multum poJ]e videbantur ^ Jahitem iudicabat
Neque tantummodo poifclfioncs Ignatii peffumdabantur,,
fed familiarcs quoque cius ct doratrtici , quotquot in nix-
iius hoftium vencrunt, male muldtati funt et lccuri pcr-
cufli eCP' m Tpo;;(;^av1-vfpi TrXciy. Eft autem rpo^i^^aylvp
in homine quidem oirium circa femoris caput promi-
ncntia, in naue alterutrum latus in proram aut puppim
exfurgens. Erat Tercbinthi jj-acrov TrAalgiag rvs vva-y
v-c^os. ToTg- nrKTapoi.Kzv^.o. fj.apTja".iv , aJls (S^i i.yi\^iva.ry,j
.S-^ojx-yiTopos ewnvjpiov, TSTa T-viv Tpa7Te<^av ci Poig, ty'.-
VY(70-v TTOpS-yvTg. xoleSaXoveig yyVi lyvdr^os hl Ta^jlvji/-
ftoS-ig dvzd-poviTev , in niedio latitudims injulae acdcs qua-
draginta tnartyrum et adiundfum acdi oratorium Mati:.
Dci:- hidui acdis aram y R'^Jfi ■, i^Jnlam '■cajiantes in m --

WNSTJNTINOrOLITJNJ. 37^

^f/im diskcenint^ Ignafms vero eam, rejlitult ^ vt ait Ni"
-ceMs Paphhigo. (3) Inde Photius Patriarcha Ignatio
moleftiam creuiit, quod fec^rdotio exutus, aram dedi-»
c-are efiet aufus,

Haud multimn tcrrporis populationibus Hieri Stc-
nique impeniiim eft: inde Rolli Ryzantium deuedi vr-
bem ducentis nauibus incluferunt. Symeon Logothetfi
(4-) TvepiKiKXacnv' ryiv 'XniXw ^ vbi ■Combefifius improuidc
^rbem mUo cin^imt. Nani ab his ducentis lintribus tan-
tummodo mari vrbs clauni efl: , inde a Propontide vsqu«i
ad Chryfoceras e regione ■Blachernanim. Maximus sm.
terror fliit, cum non appareret, quemadmodum Impe-
fator poflTet intrare: tamen ille folus per ftationes na-
iiium hoftiliiun in vrbem euafit. Cum exercitus in pro-
pinquo non elTct , ncque multum auxilii in vrbana mul-
titudine exftaret , Imperator perfugium ad diuinam opem
recepit. Contlnuator Tlieophanis auftor eft, Roflbfi
^uliy Tc 3-eTov e^iXewcrtfjLEV» ^eias cja4^c3^v)9-£V1«$ 0^^
yxSi Pbotio Patriarcba Deum exorante^ diuina mul&a-'
fos vindicla.^ domum rediifle. At Leo Grammaticus pro~
lixe narrat, Imperatorem cum Patriarcha temphim S.
Virginis in Blachernis adiifle, Dei pacem implorafle^
<et produdo «Ji.aCf)o5ia) cum hymnis proceflilTe ad matte.
Erat autem majoytium^ vt Larini cornipta voce dice-
bant, ^ixa(p-jpiov et ixa(P'pioVy tcla, qua cnput tcgcba-
tur, dcpendcns ad humeros • en ipf-i, qua Calogeri^
Gnieci atque Rufli vtuntur „ qna oh'm -mulicres funt \(ae,
>i,Lmc etiam monialcs. (5 1 Ccnftitutio de moniahbus in

Bbb £ codice

('■j^ y,. g-ri;. C4^ ContinnatoT '1 heophanis p. tST cf -)lii i^^ i \'.xd-
Claudius S3l'Tv.*rius sd Vopif.-um p J41

38o DE RVSSOKVM PRIMA EXPEDITIONE

codicc Coisliniano : (6) vt communio detiir moniaUbus xa<;
cvj-^^s T0T5 jxaCpo^ioig K.£KaXt;(ji.p.£Vca$ , vultus conteais
Jiio quibusqus ?7iajorio. Matonum S. Virgiais Leone
Miicedone imperante CPlin delatum ert , cuius rei me-
moriii in Menologio Biifiliano Julii II. celebratur. Nul-
la ifthic effigies extat in Vrbinatenfi editione , quod pars
ea in elegantiflimo Bafilii Imp. codice temporum iniuria
pcriit. At aliis in picluris eiusdcm Menologii fpedari
poteft monachorum et mulierum fandarum maforium ,
vt S. Theodofii Coenobiarchae , S. Euthymii Presbyteri,
S. Paphnutii S. Melaniae Romanae , S. Domnicae, S.
Euphrofynes. Duo fratres Patricii Galbiiis et Candidus,
cum Hierofolyma peterent , in acdibus cniusdam anus
Ebracae veftem ilbm S. Virginis depofitam reperere mul-
tosquc aegrotos domum iilam frequentare finitatis caufla.
Igitur illi arcam huic fimilcm , in qua erat vcftis, fup-
pofuere , at hanc veram arcam fiibreptam furto depor-
tarunt CPiin et in Biachernis dedicarunt. Sacpe
ilk veftc yfi funt Imperatorcs Graeci maximis in difcri-
minibus rcrum : vt Romamis Lacapenus in Eulgarico
tumuliu. (7) Eam igitur veftcm Photius Patriarcha
aK.,?';.s , vt Symeon Magifter ait, vt Leo Grammaticus,
aK^(^ r /f SaXaa-o-vi TT^oa-egaXe, Ron totam veilem , fed
extremitatcm eius mari intinxit. Resmira, vt ifti qui-
dem narrant : erat fumma coeli marisque tranquillitas,
cum repente turbo ortus naues Ruflbrum adfiixit: fraflae
plcracque , paucae periculum euaferunt. Cedrenus, ne
quid dicam de loanne Curopalata Scylitze , qui Cedre-

num

(6) In Birnardi Montfauccnii Bibliotheca Coisliniana p. iio. (,7)
Incertus auiflor in vita IV.omaiii p. 252.

C0NSTANriN0FOLIT4NJ. 3 S i

niim dercripfit in commentarios fuos , tnm Zonaras , ho-
mines religione tadi , tantnm inim numinis et prouiden-
tiam defendendae vrbis Ruffos lenfiire fcribunt , nullo
miraculi teilimonio. Conlentiunt tamen cum Incerto
Continuatore Theophanis , Roffos non multo pod in
vrbem mififle legatos , qui baptismum flagitarint et ira-
petrarint.

Atque hunc in modum ipfe Photius Patriarcha
in epiftola encyclica ad Patriarchas orientis Roflforum
expeditionem fme miraculi memoria attingit et conuer-
fionem miriiice praedicat. Epiftolam e codice Bibho-
thecae VaUicellanae apud Romam atque ex alio codice
CoUegii Graecorum Fedcricus Metius Latine conuertit,
CardinaUs Baronius ad A. C. 8(53. in Annahbus recen-
fuit , Richardus Montacutius Noruicenfis Epifcopus inter
ceteras Photianas epiilolas dedit etiam Graece. Non
pofl^um praetermittere , quod a Leone AUatio obferua-
tum eft in confenfu orientaUs et occidentahs ecclefiae : (8)
apponam AUatii verba : Slfinnius Photii epijiolam encyclH
c^m^ quam in Latinos ille temeritatis ac audaciae plenam
exercuerat titulo tantummodo immutato et jm nomine Juppo-
fito ad reliquos Patriarchas ipfijfiinis verhis transmifit , ho^
mo nequifjimus , licet multa in ea continentur , quae ad Pha-
tium et Photiana tempora pertinsant , quae ipje non immu-^
tauerat: adso importune ijie ^ verborum magiflri ohjcruator
religiojus ineptit : nifi etiam dicamus , nomen Sifnnii ab aliis
illi epijfo/ae appofttum fuijje. I)e Sifinnii Patriarchae no-
mine fuppofito, etiam Baronins Cardinahs oftendit fibi

Bbb 3 in

(8) p. 6c6. ~~

nti. DE WSSORFM PKIMA EXPEDITIONE

in mentcm venilTe. Qiiae aiitem AlUtius tanta cum bilc
fiicat Phuuauis temponbus migis concordare, quam Si-
fmnii Patnarchae , cqiiidcm non video. N;im quae Pho-
tius dc Latinorum cpi'iCoporum ad orientales ecclefias
cpillola eacycUca ^iabet , ea , te(le Baronio , in Sifmnii
cpi(b:>la funt praetcrmi^Ti , et haec vero (ola tantummodo
fld i{bim Photii caudam pertinent. Si forte rcs Bulga-
ricas Leo re(bexit, qmic cadem in epi(tola attinguntur,
ilbic vero ad Photium vel raaxime pertinuerunt, tameci!
ii^dcm verbis Stiiuniui Patriarcha etiam pofl Photium de
J/atinorum ambitionc conqueri iurc fuo potuit. Dc epi-
ftola (iitis, rcm iplam videamus. P(>ftquam de Bulgarisi,
dixerat Photins , qui Chri(^o nomcn d,ederant, itA (Iitus
,eft: (9).

KuC( yap y ij.ovov ro At Jion Joluni gens iftaji^

't^vo, Tsro , rviv hq X^i5-:;V dcm in Chrijtum aim prijlina

fri^.v rvfe irpleyo^g a.<Tt^i\cig impietate commutauit , zrrum

vXX '"^ctlo , aAXays $y\ x, etiam populus apud multos

ro Tta^i r.sXKolq 'noWaxiq Jaepe Jcrmo^iibus et fama cclc"

B-^jW^siJ^iVzv Vj iiq w^jLor-yjla bratus et tum ob crudeUtatem

Kca (7.ia^(|}cyi'7.v TOiv]^^ ^tv- tum ob Jangulnis humani fitim

li^^S ra.t\'j[Xivov raro (J'»] onmes alios populos pnjl Je re~

Xo ■yiaX^ixevoi' rc Pw^ , OiSy\ PmqHem ^ I^ojfi ■> inquam ^ qui

^ Kola tyc, Puf.?.am>ys a^- pojiquam ^ucinas in circuitu

%^i ra^ rr/^U a.-j\^ (5«Xa}- gentes Jub iugum mijcrwit ^

cra^zvoi KxKyi^iV UTe^oyKa atque ob eam caujJamjHperbia

(!j)^ov*i;ji.aric8'svl£5^~^a^ c>\- elati magnijice de Je Jenti.n'

■ry]^av. aXA' c"p.o$ vuv x, sroi tes contra Romanum imperium

nianu!:

<95 P <€ ''^ ~~

CONSTANriNOFOLrTANA. ^^j;

'Fvv' Tccy X{ig\,avo^y Ka^a^ay tnanus fufiukrmt ^ imnc ta^nen-
X, oDn^^Sv^Ko)^ ^^yp-Kdiav rv^g ct ipfi ChnjUanoraw piirain
'£KKy\ViKy^q Vy a^es ^o^i^s, eV et ineorruptam reJigionem cim-
^, H.arh')(^oi/lo 'n^le^oy, av paga?ia et impia juperjlitione^-
T"viXAa^ax1o , eV u-ro-vjKooay qua antea tenebantur y cam^
arS\lS X, ix^o^i^zmv ra^^aAi mutarunt ^ atque vcJuti obfe-^
ty\ST^^o \k\K(i Ka^' y\\xbiv 'hey\- quentes amicosque fefe gerunt^.
'karrixs , ?(, ra p.eyaXy- toA- aim pauJo ante nos Jatroeiniis-<
l^y]}x.oC\oga.yai:y)]SsiyKala. fuis exagitarunt magnumque-''
S-.v^cravlsg. Kc'i ini Tocrali/ Jacinus aggre/Ji funt . Et adcS'
oculsg 0 rYs OT9£W5 ttd^os ^ i?o.f y/V/f/ defideriuni amorqus.
^yjXoq ct^^eCPXe^Ev ( HaJJAoy incendit , ( P<7//A/.f /?/fcr /yr;7//«
TtaAiv' (3oa-, /jjAoyv^f^. a ©£_ exdaniat: bcncdiclus ftt Beus
'c5£'isT8s, aioi5va5)w5-c k, £7:1- in fecuJa)i:t etiam et epijlo^
CTKa-ttrov H, TTOifxeVar^e^acS-a^, ^//ot ef paflarcm fufceperint y,
Kj.ra,r(^v^p^^qiamyB:^y](TKVJ- cultusqiie ChriJUanos' inuJtia^
fxala (5"id TToXAvfg o-Tryo-vT^g k, Jludiis et fmgna atra compJe^
f 7n|xeX£ia5 aa*7ra^e£Q'0(.f . Ts- £tantm\ Hi cum eum in mo-'-
Tojv "kv s rci) rvfry CpiXav^w- rt?//;;? gratia mifericordis Dei\
TTsi ©«« p(^d^iri , Tb Trdvrag <////' cmnes baminesferuari vuJt
dv^^Trbg- ^f-eXovlos (Tdi^yivai etad cognitionem.^'eritatispey^
Xjiis e^TTiy^^ojoriv^ dX-v^Oaa^ sX- uenirc. prijcos Jiios errores de-
^3v, rcjji^ jiaX^jvLv a-JloTs 00- pofjerunt et eorum in Jocumfm-
^arixard^v ixera.ri^eixiy(j:v k, ceranChriflianorMn Jidem fn~
rvf/ eiXijtj-ii/vfv roj.;' Xj-i^-iat^v fccperunt., fi vefira fraternitas
i^igiv e:K.t5i'wv aXXacFO-ofjLiVaiy Jimui fcfs excitct ad rein.com-
ei $iava<^axy[ ^ ti ujjtele'^» ct- v//^/;.' fiudio- iuuandam excin-
lsX(poT,15<rL;fj.7r^c0'jjaT,$vj'i^af- dcndu.^que et exunndos fioJo-
KjO-uvKare^yda-ac&at £'15 TVj/ m , :« dotnino lefu Chrijlo^
Bt»07r>iy X,. Haucriv rSv 7^«^'«- wrf? D^-i? ^//t/?/'!? conjidimuijo^

384 DE RVSSOWM PRIMA EXPEDITIONE

(J)L/a^aji/ eVKf^to) Ivjo-aXfi- re, 'Dt gt'ex eius longe adhuc
fo) rw aXvjt^var 0£w xia.wv' w^^g^j arjat et vt mp ^a^
nze-noi^irtq zq\Kly^o\ ro Ttoi- tur ^ quod di^um fjl^ c;gn(H
jjLWov a-jTS , eTri TrAeov 'cVi fcent me omnes hiat: a ^atuo
[jLa,XXovai/^viOy'cr£Tat h, 'nXy\- ad magmm.
^uOvicrsroa to /i^ -f/.eVov' , o'ri
Ei^vjcratTi fj.£ Trailes oino fxi-
H^a £0J5 fxsyaAy aiJlaiK

Noiiam adieci verfionem , quod neqne Metiannm
probiire me pofTe fenfi , neque MontDcutianam. Ipfo
in ingrcflii ofFenderunt: Metius, vt fenfus fit oblcunis,
Montacutius, vt fit nullus. De ifto quidem non opus
efl: vt dicam : hic cum in MS. Eodleiano efTct fcriptum
To^Zg^ varie i&Cc torfit et in margine quidem ro-Pouj
ex conieclura quam verilfime appofuit , ipfa autem in
interpretatione ; /<?df injuper quod multoru?n vocibus d.can-
tatur , cum poji fe omnes , qii)d cudelitatem attinet etjan-
gumis fundLmdi cupiditatem , in fecundis reliquerint et iHudy
qmd 'vocatur Rbos , apud eos ita obtinuerit ., vt Romani
imperii fubditos quaquauerfum proximos in feruitutem redi^
gerent. Nimirum, vt ex fubieda nota appaiet , Mon-
tacutius non fenfit , de Ru(fis hoc loco dici atque irthuc
Pws explicuit de claflico Bulgarorum. Subiecit quidem
aliquid etiam ex loanne Curopalata de Roffis, fed vt
nihil vsquam toto in fermone eius cohacrcat. Cnm
Metius i(la rsg tte^i^ dv\(^v §'6k(Si(Ta.\kivoi interprctatus
cft, injinitos populos fibi Jiibiecerunt ., id nimis lurge ct in-
confulte ficflum e(l. Qiio anno Photius epiltolam fcri-
pferit, ex Guntheri et Thcutgadi epi(coporum mentione

intelli-

COl^STANTINOPOLITANA. 385

intelligere mihi videor. Non fane ante A. C. 853.
ad Pliotium Patriarcham querelas de Pontificis Romani
iniuriis deferre iUi potuerunt: eo enim anno ille a ca-
thedra Colonienfi , hic a Trcuirenfi dciedi funt. Teftes
habeo Annales Fuldenfes et Sigebertum Gemblacenfem.
Itaque Baronio adfenfum praebere non pofTum , cum
illo ipfo anno epiftolam Photii fcriptam fuifle contendit.
Immo fcripta ell A. C. S66. Nam, cum Michael Im-
perator BafiUum coUegam fiilutaffet, lioc ti\ A.C.S66.
tefte Niceta Paphlagone,(io) Photius Patriarcha Michaeli
Imp. perfuafit, vt Synodus cogeretur, quae in Pontifi-
cem Rom pronuntiaret fententiam. Ceterum etiam Ni-
cetas quafi digito nobis demonltrat Guntherum et Thcut-
gaudum epifcopos , cum fic ait : dulog $e rvg eixCpurtf
Kola ra ayiy p.'y)vi(5'os ei^elo ^ ruiy yvvicriojv aiTlaS-e-
^aTreinojv', [xaAXov «J^e yo9-ojv, o'Voi5 "^Svyoi^o, xXeTxld^v k,
rais ixoL\mryiiTi rl^y a^tojfJLotroj^' <5'eXea^w>', ^i' aJlcJSy
Tvy Trltpmv ra ayailjy e7r£l>ipf^. Ipfe autem (Photius)
infito odio infanctum (Nicolaum P. R. ) ferebatur et Ger-^
vianos eius fettatores ( epifcopos occidentales ) immo po^
tius fpurios (quia contra P. R. nitebantur) quotquot po~
terat ., furtim ad fe trahebat .^ per qiios innocentis cakcH
neo infidiabatur. Ada fynodi non modo ad Ludouicum
Pium Imp. atque Ingelbertam miffa funt , fed etiam per
Zachariam Cophum Chalcedonenfem Archiepifcopum in
ItaUam. Qiiamobrem Annales Fuldenfes ad A.C. 8<J8.
Nicolaus Pontifex Epifcopis Germaniae duas deftinauit epi-
jlolas , 'onam de fa&ionibus Graecorum , alteram de Theut-
gaudi et Guntharii Epifcoporum depofitione .^ in qua refert
Tom VI. Ccc eos

385 DE WSSORVM PRIMA EXFEDITIONE

eos fsptem capitalia crimina commifi-J? : in Symdo Epifco-

pi nonnulla capitula de vtihtate ecckftajlica confcribentcs ^

Graecorum ineptiis congma edidsrunt r.jponfa. Ifta lub

Maium menfem recitata funt Vormatiae pracfcntc Lu-

douico Imp. Vides duns cauffas, vt erant in Photii

epiftola, a Nicolno coninngi. Et exftant Nicolai P. R.

epiftolae, altera, qua criminationibus Photii relpondet

X. Kal. Dcccmbris, altera de Theutgualdi et Guntharii

cauffli pridie Kal. Nonembris, vtraque IndicT:ione prima.

(ij Ex Indidione vides fcriptas effe A. C. 858. et de-

mum A. C. %6g. Vormatiae effe recitatas. In akcra

Nicolaus Fhotium difertis verbis inceffens: il/a nos com-

mouere videntur , quac nobis , immo vniusrjae occiduae par-

ti a Graecorum hnperatorihus Michacle filicet et Bafi-

lio et ah his qui fibi parent., nequiter ingeruntur. Tum

vero recenfet illa ipfa capita, quae in Photii encyclica

exftant, quae tum etiam Ratramnns Corbeienfis mo-

mchus aggreffus eft libro, qui a Dacherio eft editiis, (2)

ciiius hoc eft principium : Oppofita quibus Michael et Ba-

filius Imperatores Romanam ecchfiam infamare conantur^

veJ falfa^ ^jel haeretica ^ iv/ fuperfiitinfa fore cognofcun-

tur. Hic ordo eft rerum per encyclicam Photii mota-

rum , qui nos pkne adnerfns Baronii fententiam confir-

mat. Si igitur A. C. 855. icripta eft epiftola, dicat

quispiam, quid de Bulgaris fict, quorum in ea ftda

eft menrio ? Vix duos annos in ecclcfia perfeueraffc fcri-

bit Photius, inde iam ad Latinos tranfiiffe; eosdcm ve-

ro

(i) In Conci! H.ird T. V. p. 286. 307. et in Nicolai P R. epiftolis,
fi") Dachcrii Spicilegium Script. T I. p. 63. tdit. poftrcmac. Confer Nicolju
P. R.. cpiftolam ad Hincmarum dc cauffis odii Craccoruin p. 309. ed. Hard.

CONSTANTINOWLITANA. 38-7

fo fupra demonftrauimus A. C. 859. a Photio fuifle
conuedbs. Regino Prumienfis, Eggehirdus Vragienfis,
Annales Francorum Fuldenfes A. C. 867. tradunt Lu-
douicum Pium Imp. Bulgaris petentibus Archiepifcopum
cum ahis Epifcopis et Presbyteris dediffe, fed Romani^
inquiunt, Epifcopi iam tum totam terram illam haptizan"
do et praedicando repkuerant. Quare nihil obftat , quin
A. C. 8(Ji. ad Romanam ecdefiam Bulgari Mq aggre-
garint. Neque vero hoc Baronii fententiae fuffi-aga-
tur, neque noftram vlla parte conueilit: iisdem enim
■verbis Photiiis A. C. 86(5. de Bulgaris fcribere potuit,
at de bello Roftico A. C. 863. non potuit, quodA.C,
8(^5. geftum efle demonftrauimus.

Hanc Roflicam expeditiunem recenti memoria ce- .
lebrat Photius. Id vero nobis percommode accidit ,
qui A. C. %66. poft xxvi. Maii cum Bafilius collega
fic3:us eft, epiftolam ftatuimus fcriptam. Sequitur de-J
inde Epifcopum a Photio Ruflis effe mifl\un A. C. 865.
illico poft cladcm Ruftbrum. Neque hanc partem epi-..
ftolae vel verbo refellit Epifcopus Romanus , cum eum '
quae in Ruffia fierent, fugere non potuere , Bulgaris fre-
qiienter Romam et in Germaniam commeantibus. Qiian-
tum ille Photio infultaffct, vt erat acer, fi ea in re
aduerfmi tantae gloriationi eius famam tciuiiffet. Ta-
men auiflor Knigac Srepcnnaiae negare videtur , RofTos
eo tempore ecclefiae fuiffe aggrcgatos , et eorum in lo-
cum Cumanos fubftituit, nefcio quos: nuilta quoque per-
mifoet non admodum confentanea veris. Nihil Photius
de_miraciilo euangeiii in. ignem conicfti, nihil idem de.

•*' '. Ccc 2 Ar-

38& DE RFSSORJ^M TRlMk EXPEDITIONE

Archiepiicopo , qui mitti non potuit, nifi vbi adcfilnt
Epifcopi inferiori gradu. Epifcopum a Photio milfam
effe Roiris quibusdam pcteutibus, et Txoiix.em fcu Pies-.
byterum non nego , habeo enim auflorem ipfum Pho-
tium. Et cum Roflx omnia tribuunt Photio PatiiarchAe,
vt baptifmum Olgae , vt alia , quae Photii aetnti non
conueniunt, fequitur, hanc eius magnam in ecclcfu Ku-
thenica audoritatem ab nuUa alia ftirpe repeii, quam
quod primus eorum Epifcopus Photianarum partiimi fuc-
rit, non Ignatianarum. Et quamquam fuit irth:ic tem-
pus, cum de Photio acerbius ftatueretur, tamen paul-
latim iftis fadionibus exftin^flis , et Ignatii et Phutii me-
moria in honore fuit, vt apparet ex epiftola Synodi Ni-
caenae ad Alcxandiinam ecclefuim. (3) MinicuUrm v©-'
ro ifthuc ad BafiUi Imp. initia a Graects refertur , ciiitl
iam Ignatius effet reftitutus, Photio pulfo. Habcmus
teftem Conft;mtinum Imp. qui res Leonis patris et Ba-
fiHi aui congeftas anonymo illi Theophanis Continua-
tori defcribendas tradidit. Is ita memoriae prodidit; (4-)
mififle Bafilium Imp. ad Ruffos aurum , argcntum et
(ericas veftes magna copia , foedusque pepigifTe perfua-
fifleque vt Archiepilcopum ab Ignatio Patriarcha reci-
perent: Archiepifcopum eo venifle, x, a^^^^cvlct rsly ye-
yyg conuocafl*e lenatores et proceres in concihum prae-
fidentemque quaefiuifTe ex Archiepifcopo, quam doclri-
nam adrerret: hunc oftcndiffe euangelium et miracula
lefu Chrifti explicaffe : at omnes in concilio poftuIafl!e ,
vt librum coniiceret in ignem ; id vbi Dei paccm et
opem implorans fccit^ igne in cineribus fubfidente il-

lacfufTT

O) ^" Montfaiuonii Bibliotheca Cgislimana p. ^. (4) p. 21L' '

CONSTANTINOPOLmNA: 585

laefam librum repertum fuper fniilla : ergo omnes Ruf^
fos baptifmum recepilfe. Sic Cedrenus, (5) 2onarfls,(6r)
vtcrqiie ex ilto anonymo, at ex aiio audore Michael
Giycas. (,7) Zonarac Synopfis, (8) 07:0:5 ro eSuos -tSq VZg
iig ei:iym(Tn^ ■viAS-e X^i^a. Fragmentum Graecum ano-
nymi e MS. Colbertino ab Anshelmo Bandurio edi«
tum (p) lianc fiimam confirmat. Cum aKeCpictXo/ eft,
multa nis fortaflis ignorare oportet: nam inde demum
narratio incipit , venifle Romam quatuor legatos , infi-
gnes viros, qui, quae ad religionem pertincbant, ac-*
curate perdiicerent ; confideratis omnibus et Pontifice Ro-
mano coniiento rediifle , quaeque viderant retuhflc tt^o^
•f fxeyai^ P/ya , ad magnum Regem. Interim ras cxuv
eKeiv^qj a|^oylas, maxime eos, qui fuscipiendae Chriflia-
hae religionis fiicrant audores , fuafilTe , vt etiam CPlin'
legati mittercntur. Veniunt legati in vrbem , ( rco tc-
He FcofJLaiu^^a-KvfTTr^a i3-tji/3vli, BaGriAeiw C|)>ifxi, TueKM*-
KzSoviaq n^ogb^^^^ov^aj^) ad Imperatorem Bafilium Mace-
donem atqUe inde omnibus exploratis apud f Xa/Ji.-
m^P^cClw Kco^ fJLeyav' \y\ya.v jeyeniljimum et magnum Regem
CPlitartim ecclefiam mirifice extollunt. Ergo rex iega-
tos iterum mifit, qui epifcopos peterent. Bafilius Imp.
mifit d^x}^i'ea pictate et virtilte clarum , et cum eo
duas Kv^.XXo/ h, AS-.amTioy evaper^q x, otJlyg ov]ag ro^
Tiy.vj Xoyiwlal^s k, Cp^onfxojlaryj, Cjrillum et Athana-'
fnm ^ honejlos viros , et tam m Sacra Sc.iptura exsixi^
tatos, quam in hum.mitatis jiudiis. Tum vero de mira-
culo addit auiftor, vt fupra ex Continuatore Theophaiiis

Ccc 3 Bvz' -

^5) 0 5S9. (6) p, ijfv "fom- If. (7; p 298. (,8) Imiierii iJnen-

Vpo DE RrSSORFM PRIMA EXPEBITIONE

Byzantii commemoraiiimus. Ergo de Cumanis nihil eft.
Nam hi Rufli religionem reccperunt, ad quos magna
munera atquc legatos de induciis proferendis mifit Bafi-
lius Imp. Qiii alii quam Kiouienfes , quorum arma CPli-
tani fub Michaele fenferant? Ceterum in hoc fragmento
nihil abfurdi eft. Neque repugno de legatis Romam
miflis: funt enim his fimilia, quae de legatis Bulgari-
cis ad fe miifis Nicolaus P. R. narrat. Cum autem
Bulgari Romanae ecclefiae adiuncfli incredibiii Graeco-
rum odio flagrarent , mihi admodum fit Tcrofimile ^
audores eos fuiffe Ruflls , vt Romanae ecclefiae {e(h.
potius aggi-egarent , quam Byzantiae: contra ea princi-
pes quosdam , qui a Photio epifcopum receperant , pro
CPlitana ecclefia tetendiife. Archiepifcopus miffus vi-
detur, quod iam plures eflent colledlae ecclefiae et vt
epifcopum a Photio ordinatum vel dignitate opprime-
rct. Norae funt illorum tcmporum turbae dc epifco-
pis a Fhotio ordinatis, qiios Ignatius Patriarcha fumma
vi loco atque gradu pellebat. Ceterum cum Ignatius
A. C. S77. XXIII. Odobris ' fuo fundus efl; , ante
eum annum haec accidilTe apparet, et quantum cx illis
flU<floribus, qui exftant, colligere poflfiimus , funt cnim
ndmodum infuites , paullo poft aufpicia Bafllii Impera-
toris. Qiii 01g;i.m reginam primum , deinde Vladimi-
rum rcgcm chrillirinam rchgionem fufcepifle auiflores funt,
vera dicunt, neque cum his pugnantia : nam primi ilH
ex hac domo reccpcrunt. Cum Ofcoldus iam eflfet ini-
tiatus, ab Olego Ingoris ducc pagano in ordinem reda-
(ftiis eft. Inde profuiitas vitflrix fuit , donec in aulaip
regnantis domus admifla cft rehgio. Ne cui autem^ mi-

rum

CONSTANTINOPOLITANA. 391

rum videatar, fuiffe CPli Slaiionicarum linguanim gna-
ros , qui Ruflbs inlliimere potuerint , a multis tempori-
bus Slauos in Yrbe militaife recordcmur et in rei publi-
cae muneribus verlatos efle. Cetcium in Ruflicis mo-
numentis exftat memoria templi S. Eliae quod Kiouiae
ftiit temporibus Ingoris regis, nullo alio magis tempore
conditum , quam hoc , quod illulbamus. Cum autem
Photius de Ruflis fic ait : ^idnos in circuHu populos Jub
iugum mififfe et propterea animis juiffe elatos ^ ea primum
quidem vetullioris nominis Rolfici , quam vulgo ab omni-
bus Icriptoribus proditur, et quidem Kiouienfibus tributi
tellilicatio efl- , tum rerum magnarum quae a Kiouienfi-
bus flnte Michaelem Imp. geftae funt, illul1:ris memoria.
Populos autem puio dici Criuizos , Lenzininos , ahos
ad Pripelium , quos Ofcoldus deuicerit. Cum Graeci
Scriptores tantummodo vnum vel regem vel principem
edunt, Cjui illis temporibus Kiouiam tenuerit , Rutheni
flutem duos nominant , Ofcoldum et Dirum , alio loco
dcmoaftrabo, Gniecos vera tradidilfe , Ruthenos nomea
dignitatis Diar Ofcoldo tributum , voce obfoleta offeii-.
fos, pro principis alterius nomine perperam edidiffe.

OBSER-

OBSERVATIONES

ASTRONOMICAE

IN RVSSIA

INSTITVTAE.

Tom.ri. Ddd EOt

H"A3IM.C

.3ATVTIT?'/ir

tliU .t". ,1.: :!

ECLIPSES SATELLITVM lOVIS,

OBSERVATAE IN IMPERIALI SPECVLA ASTRO«
NOMICA, QVAE PETROPOLI EST,

Per integrim ammm 1738.

REFER.ENTE

Jof. mc. DeLIsk.

OBferufltiones quae hic recenfentiir, vti annis praecc*
dentibus fadtum eft, faepius a diuerfis obferuatori-
bus , variisque tubis inftitutae funt. Quod ad mc
attinet , tubum optimum Catadioptricum 5 . pedum , ex
Anglia mihi comparatum, femper adhibui. D. Hein«
(ius autem, qui iam ab anno praecedente hisce obfer--
iiationibus incumlaere coepit, confuetis meis tubis vfus
eft \ nunc praeftantilfimo Campaniano 1 5 . pedum tubo,
nunc altero 23. pedum. Tertius Yero obferuator et in
iftis obferuationibus iam a me fufficienter exercitatiis ,
nunc ifto nunc illo ex iisdem tubis vfus eft. Quandoque
etiam , quamuis raro, velille, vel D. Heinfius , tubum
Newtonianum 7 . pedum , qui inter Academiae inftru-
menta numeratur , adhibuerunt. Tempus autem verum,
ex motn 3 vel 4. horologiorum , quae optime inter fe
concordabant , fere femper dedudum fuit.

^738.

55>(? ECLIPSES SJTELLljyM lOVlS.

173S.

n. ft .
Ianuar.3

Tempus verum

h. / //
4 25 32

25 47

Febr. 2.

6 34. 40

lulii 18.

13 23 55

■•'.'.'.■'

i;! o:;n
23 57

24 0
24- 3

24..

12 50 5

30-

13 15 53

31.

15 55
i(y 7

14 33 39

1

Emerfio primi, tubo Catad. $1
pedum.

eadem, tubo 23. pedum. Co©-
ium ferenum.

Primus iam emerferat. Prima
emerfio fub nube • fed fktim atque
lupiter ex nube reftituuis fuit , tam
debili luce apparebat fatelles , vt pri-
mam emerfionem 20. min. fec. cir-
tius vix accidiffe credendum fit , tubo
Campaniano 15. pediim.

Immerfio primi , tubo Campani-
ano 15 pedum. ,

Adhuc apparebat idem fatelles,tu*
bo 23. pedum.

Difparuit, tubo Catad. 5. pedum.

Nec amplius appareb.it, tiibo 23.
pedum : coelo fcreno et quieto, fed
crepufculo nimis ingrauefcente.

Emerfio tertii , tubo Catad. 5. pe-
dum ; coeium fiidum.

Immerfio fecundi, tubo Campa-
niano 15. pedum.

eadem, tubo Catad. 5. pedum.

- - tubo refledenre 7. pedum.

Immerfio totalis tertii, tubo Cam-
paniano 15. pedum.

eadem

ECLIPSFS SATELLITVM lOVIS

397

1738-
n. ft.

Aug. 3.

^9

24

31

Sept. 2.
7

II

39

28

39

38

39

57

39

59

9

58

34

58

40

10 17 13
17 41

n 43
'3 6 33

() 51

7 II

13 50 44
51 o

15 4<5 7

eadem , tubis Anglicanis $ . et 7.
pedum ; coelum quidem ferenum et
quietum , fed crepuiculum iam nimis
forte ingruebat.

Immerfio primi , tubo Camp. 1 5 ,
pedum.

eadem circiter , tubo 23. pedum,

- - tubo Newtoniano 5. pedum,

- - tubo Catad. 7. pedum : Ne-
bula quae louem circumdabat, ali-
quantum nocuit.

Immerfio primi j tubo Catad. $-,
pedum .

Nondum adhuc certa, tubo 23,
pedum , loue non fatis alto.

Immerfio fecundi, tubo 43. pe-"
-ium.

eadem, tubo Camp. 15. pedum.

- tubo Catad. 5. pedum.
Immerfio fecundi , tubo Camp, 1 5

pedum.

- tubo refledente 5. pedum.

- - tubo Catad. 7. pedum.
Immerfio primi, tubo i^.pedum.

- - tubo Newtoninno 5. pedum.
Immerfio primi , tubo Camp. 1 5 .

pedum

Ddd3

ea-

39& ECLirSES SATELLITVM lOVlS

ji««§^ Tempiis verum.

n. i\. h. f //

4-<J 37

i8 7 4-4- 55

45 2^

12 12 2^

12 +3

12 51

2510 16 49

27 II

14 9 23

9 33

9 42

a? S 3S 32

I 3S 4.3

1

Oift. 2.13 7 o

1 7 7

eadem, tubo 23. pediim.

- - tubo Catad. 5. pcdum coelo
fereniflimo.

Immerfio fecundi, tubo Camp. 15
jedum.

L

- - tubo Catad. 5. pedum. louc
lon (iitis jilto.

Immerfio piimi, tubo Camp. 15.
pedum.

- - tubo -23. pedum.

- - tubo Ncwtoniimo 5 . pedura.
Immeifio iecundi, tubo Camp. 1 5 .

pediini.

eidemtuboCatad. 5. pedum: coe-
lo fado.

Immcrfio primi, tubo Camp. 15.
pcdam. : j ;

- - tubo refledlente 5. pedum.

- - tuho Newtoniano 7. pedum.
Coclum ferenum.

Imm.erfio primi tubo 23. pedum.

- - tubo Catad. 5. pcdum: coe-
lo fudo.

Immerfio fecundi , tubo 23. pedum.i^.

eadera, tuboNewtoniano 5 .pcdum:
loue prope Meridianum Yerfmte;
coelo fercno.

f.

Immer-

ECLIPSES SATELLITFM lOVlS. 399

2738-
ft. n.

II

«3

Tempus verum.
h. / ,/

15 47 -

31

<5"'5<>

II

Nou. X a X r 1 8 8

if 5 la 54-

Immerfio {ecundi , tubo Catad. 5.
pedum: coelum quidem ferenum:
fed ventus nimis validus obftabat quo-
minus longiores tubos admitteremus;

Immerfio primi , tubo Newtonia-
no 5 . pedum : dubia vero intra ali-
quot minuta fecunda , ob leuem agi*
tationem tubi a veuto, q\iod etiam
tuborum aliorum vfum omnino im-
pediuit.

Immerfio primi, tubo Catad. 5.
pedum : non ita certa ob nimiam fa-
teUrtis.vicinifatem od difcum louis,
quae etiam impedimcnto fuit quomi-
mte alii tubi adhibiti fuerinr.

Primus iam apparebat . ab vmbra
louis liberatus , tubo Catad. 5. pc-
dum. Prima tamen emerfio 8. vel
10. min. fec. citius accidere potuit:
quippe trans nebulam haec obferuatio
perada fuit.

Tertius fatelles iam ex vmbra lo-
uis emerfus videbatur , tubis Camp.

15 ped.

400

ECLIPSES SATELLITVM lOVlS.

1738-
n. ft.

Dec. 30

Tempus verum
h. / //

5 S<5 19

15. ped et Newt. 8. pcd. fed luce
adhuc ita debili, vt primam emer-
fianera vix 8. vel 10. min. fec. ci-
tius accidiffe crediderim. Nimia
anticipatio coeli erga calculum ex
tabulis Aftronomicis in cauiTa fuit,
quo minus nos citius ad hanc obfer-
uationem non accinxerimus.

tubo

Emerfio primi , accurata ,
Newtoniano 5. pedum* Coelum
quidem fatis (erenum crat, at ventus
aliorum tuborum vfum impcdiuit.

F I N I s.