FOR THE PEOPLE FOR EDVCATION YOK SCIENCE LIBRARY OF THEAMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY COMMENTA ACADEMIAE SCIENTIARV M IMPERIALIS PETROPOLITANAE. TOMVS VII. AD ANNOS cbbccxxxrv. & cbbccxxxv. ^ ^ ^- PETROPOLI, TYFIS ACADEMIAE» cbbccxL, ,.*./^,,7o;^7.#*^ ;,(* INDEX COMMENTARIORV IN CLASSE MATHEMATICA. Ceorg. Woljjg. Krajjt dc Cauftica Cycloidis. p. 3. Eiusdm de Nuineris perfecftis. p. 7, lob. Bernoidli de motu Corporum fe inuicem percutien- tium. p. 15. Georg. Wofff^. Krafft Enucleatio Problematis Aflronomici a Clar. De Vhle propofiti. p. ^6. Eiusde/n Obferuationes Arithmeticae de feptenario. p 41. heonh. Euleri Solutio Problematis Ariihmetici de inueni- cndo numero, qui per datos numeros diuilus, relin- quat data refidua. p. ^6. Eiusdem de motu Planetarum et Orbitarum determina- tione. p. 6"]. Eiusdem Determinatio Orbitae Solaris. p, S^', Eiusdem Solutio Problematum quorundam Allronomico- rum. p. 97. Eiusdem de minimis Ofcillationibus corporum tam rigido- rum quam fliexibilium, methodus noua et facilis. p.99. Eiusdcm de fummis ferierum reciprocarum. p. 123. Eiusdem de linea celerrimi defcenfus in medio quocunque refiftente. p, 135, Eiusdm de progrelTionibus harmonicis obfemationes, p. 150. J)an. BfrnoulU Demonftrationes Theorematum fuorum dc ofdllationibus corporum filo flexili connexorum et cat^pae vertic^tliter fufpenfae. p. 162, X^onb, heonh- Eiileri de infinicis curuis ciiisdem generis: (eii mc- thoJus inuenieiidi aeqiuitioncs pro inliiiitis cumis eius- . dem generis. p. 174.. 'Emsdem additamentum ad diffcrtationem de infinitis cur- uis ciusdem generis. p. 184.. IN CLASSE PHYSICA. loh. Georg. Du Vernoi circa ftruduram' Tliymi , nouae obleruationes. p. 203. 'Elusdem de Afpedu et conformatione varia vaforum fan- guineorum in diuerfis particuiis \eniriCuli Obfcrua- tiones. p. 111. Ehisdem Continuatio Obferuationum Anatomicarum. p.sid". loh. Fredr. Schreiberi Oblcruationcs Anatomico-praflicae. p„ 22S. Xof. IVeitbreeht de Mutationibus Caloris et Frigoris aquac fluentis Obferuationcs. p. 235. Georg. IVoljfg. Krafft de duobn? Lapidibus figuratis. p, 271. EJusd^m de inuenienda Diftantia Macularum Solarium :i fole. p. 279. XoJ. Wyitbrecht de Circulatione Sanguinis Cogitationes Phy- fiologicae p. 283. Eiusdem Obfcruationcs Anatomicae ad hifioriam et ac^^io- nem mufculorum Frontalium , Occipitaiium , Palpe-» brarum ^ faciei pertinentes. p. 331. IM CLASSE HISTORICA, T. S. Bayeri Eiementa Calmucica. p. 34.5. Eiusdem de Venedis et Eridano fluuio. p. 346". Eiusdem de Confucii Libro Chun ^ieu. p. 362. CLASSIS PRIMA. CONTINENS MATHEMATICA. Tonh ni. A DE DE CAVSTICA CYCLOIDIS AVTORE G. IV, Krafft. DVo cafiis diflingui poffiint circa quaeftionem TabuU ] de Cauftica Cycloidis, vnus, qui eft, cum radii incidentes paralleii funt ad Axem , al- tcr vero , cum iidem paralleli funt ad JBafin , datae Cycloidis. In illo cafti Cauftica haec niliil aliiid eft, quam alia nouaCyclois^ in hoc autem, cum fcil. radii incidentes funt ad Bafin paralleli , Cau- ftica exinde orta talis eft figurac, \'t matrem fuam mi- nime refcrre videatur, ncque ftatim appareat, ad quod- nam genus Curu.irum reduci poifit. Figura fcil: eius ex .111. Hojpitalii Analyfi infinite paruorum ^ 123. huc transiata, talis eft , quae apparet AFKD, vbi radius pig. i, incidens PM ad Bafin BD cft parallelus, radius vero reflexus eft MF, cuius longitudo aequalis effe debet, ex loco cit. applicatae P N circuli generatoris A N B. Proprietates huius Caufticae Hojpitaliiis recenfet has: I . vt puncflum F ab axe fit remotifiimum , radium inci- 4entem debere procedere ex centro circuli generato- A 2 ris 4 BE CjrSTlCJ CTCWIDIS. risfH. 2. Caufticatn hanc habere pundum flexus con- trarii in K. 3. Spatium intra Cyeloidem AM, Caurticam A F , et radium reflexum M F contentum , aequale efle dimidio rpatii circularis APN. Praeter haec enu- merata nihil \lterius neque Audror , neque eius Com- mcntatores langnonlus ^ Croujazius ^ neque Carrms ^ q>ii in Commentar. Acad. Paril. 1703. dc his agit, indi- cant. Cum igitur mihi mirum id vifum fuiflet , fequi in alterutro cadium enarratorum Cycloidem morem fuum , vt ipla fe reddat; m altero vero tam longe ab hac confuetudine abire : inueni , Caullicam pofterioris cafus tamen non ita diuerlam efle. a vulgaribus Cycloidibus, vt ad eas referri nequeat. Generatur enim Cauftica haec ah eodem femicirculo. generatore , quo Cyclois ordina- naria j fcd per tangcntem in vertice CircuH annexam, cuius longiriido variabihs efl:, aequahs nempe fempec apphcatae circuli PN. §. 2. Qiiod vt demonflrem , fit Cyclois ordinnria. A. M D, generata ex Circulo A N B liipra bafin B D vohito- Cauftica radiis incidcntibns P M bafi BD par- flllehs debita , fit AFKD: dico, hanc dcfciibi motu eiu.sdem CircuJi ANB, qui in vertice A annexam ha- bcat Tangentem MF, cuius longitudo variet, vt in quo- libet, ucmpe fitu CEM aequahs fit apphcatae Circuh cor- rferponiaeiiti PN. ; Veuiat enim Circulus generaror in fi- tum.CEiVl', ducantur chorda BN,. ct pnieterea rcdae EM', EF,jet quia EM, EF, funt, prior (^iidcm ad Cydoideiti , ,p^y{ieno'r vero ad Cauflicam ,. normales ;, diitTae' inimirurn ex puhclo defcribente in pundum con~ taclus. DE CAVSTICA CTCLOWIS. 5 «aAiis, (perAnalyf. inf, paruorum §. 43. ) praetereaque ob Cycloidem fit M E ~ B N , et angulus F M E — ^ ..rc. ME=riarc.BN=BAN=:PNB; arque adhuc VHzr: MF, ex hypotii. ernnr triangulaEMF et PNB fimi- lia et aequalia-, quare MF erit orthogonia ad Nouna- lem EF, confequenter Curuae AFKD Tangens. Qiio- niam vero E M F — P N B , per dem-. erit etiam E M t rn PME, adeoque circa Normaiera Cycloidis EM angu- his PME erit Incidenciae, EMF vero Refiexionis; eonfequenter patet,. pundum F generahter efle in Cau- ftica aliqua ; eft vero idem pundum F in Cauftica Cy- cloidis, per demonftrata Hojpitalii, cum ex hyp. fit MF~PN; ergo manifcilum eit , Caullicam didam praefcripto modo gcnerari. Q. E. D. §. 3. Anfim haec milii praebuerunt examinandi ge- neraliter tales curuas, qnae per diclam Tangentem va- rLibilcm generantur. Itaque vniuerlaliter rcm confide- rando, fit Cyclois ordinaria AMD, atque huic annexapjg 3, Curua quaiiscunque AGH. Vcniat CircLilus" generator in fitum MEI, habeatque diametro IM adiundam Tan- gentem M F , cuius longitudo aequahs fit Applicatae P G ,, quaeritur aequatio Curuae hoc modo genitae AFLK. Pofitis igitur Coordinatis orthogoniis A Pzr x, P M —jj AQ_~I', Q_F~u^ PG— s, AB — ^, ducantur chor- da B N , et normalis ad Cycioidenl M E , demittatur perpaidicularis NS, dndoquc praetcrea radio NC^ cum Tangente Ciixuii gcneratoris NR, crmTt oh PNS e£ CNR red-.'S, triangula- NSR er PN-C iimW^\, fcd, ex aatura Cycloidis , radius C N parallelus elt diarrictro A 3 IM3, « DE CAVSTICA CTCLOIDIS, 1 M , confequentcr panlUke etiam eriint rcdae N R » MF, ciim Ytraqne eariin! recl-im efficiat ciim panille- lis CN,IM; fed ob appiicatam Curuae quaefitae Q_F parallelam cnm P M , erunt N K ct M F quoque aequa- les. {iabebicur ergo Analogia , ?N ( V (ax — xx') J: CN(5^):;;rNS(^ -.v):NR( c:), vnde fiet aequatio ^A) ^-^TVT^^z^y Di\d:i porro applicata p7t priori infini- te propinqua, erunt quoque trianguia furiilia NO«, et NSR, vnde habcbitur NO(nc (B), reddet aequationem conftantem ex meris t tt u, eX"» prefTuram proprietates Curuae quacfitac AFKL. §. 4.. Vt, dncfla EF, inueniatur, qu;lem illa a»*» gulum efficiat cum recfla MF, cuiclens eft, in triangu- lo E M F effe E M — B N - y ( «' - ^ .V ^ ; aRguhis E k F rrBNRrxPNB; ergo anguli EMF finus erit - l^ = vd^~hT' ciusdem vero Cofinus - ^^ - V(^'X-] vocato itaquc anguU MFBfinu///, cofinu «, erit EM (Vaa~aJ): MF(5;)=: fmus F(w): fin. E(~^=^). Eft autem hic angulus E diffcrcntia angulorum M, et cxterui DE CAVSTICA CTCLOIDIS. 7 «xterni ipfius F , qunre orietur aequatio fequens , m V {ax —.V^—mz — nia—x); ex qua deducitur ^ — y~!.^.tj~ r::Tangenti anguli EFM. Qiiare fi accipiatur NZ — PG, et ducatur B2, erit angulus EFM=B2N, Si itaque fit PNrzPG, \ti in cafu HoJpitaJiam accidit^ tunc erit angulus EFM redus. DE NVMERIS PERFECTIS- AVTORE G. W. Krajft. DEprehendnntur non paucl errore& authorum , dc caetero docfliirimorum , in modo inueniendi nu- meros perftcflos ; qui certe ex co folo orti (iint, quod careamus hucus]ue infillib:li cliaradlerc numero- rum primorum. Eiiitauit fcopulum hunc Euclides 3(J. IX. cum dicit: Si ab vnitate quotcunque nwneri dei7iceps exponantur in dupla proportione ^ quoad totus compofuus fiat primus , et totus hic in vltimwji multiplicatus Jaciat ali- quem: fa^ius erit perfedus , quorum fendis elt , fi quot- cunque numeri, ab vnitate dupli, in vnam fummam coUigantur , donec haec fumma fit numerus primus : erit numerus fidus ex illo primo in vltimum duplorum , perfedus. Sed vt errorum quoque exempla quaedam allegem> docet. 8 DE NrMEmS TERFECTIS. I. Michael Stifelius ^ infignis alias Arithmeticus , (equeiitem numcroriim pcrfectonim genefin, in Arithm. lutegra pag. lo. Progreffio Geometrica dupla diuidatur in binos terminos hunc in modum 1. 2I4. 8 I i<5'. 32 I64.. i2S[ 256. 512I 1024.. 204.8 I qaorumlibet binorum miior, vnitate minutus, ducatur in fuLim fociuni , fa(9:um erit numerus perfedus \ qua^ fane regula fallit in ipfo fere hmine ; nam fumatur quin- tum par horum numcrorum , \bi 5 11 x25(5 ~ 130815 non elt numerus pcrfedus , quia , fequendo Euchdis ef- fatura , i-|-2-|-4-4-8-hi<5-i-32-|-6'4.-i--i-S-J- £56 — 511 non elt numerus primus, qualis tamen elTe deberet, fi multiphcutus in 25 B quotae 10 DE NFMERIS PERFECTIS. quotae reliquae , prioribus refpondentes , fequentes , -^ , ^ > ^ » Ir 7 ^^ natura vero numeri perfedi fit aequa- tio i-f-w«-i-«-Hr-+-f-i-i'-+-A-t-^-^V'-t-^-i- tA^pAy vnde elicitur A— — — - — -— i-_-£.. ^ q r n m Qiioniam vero A debet effe numerus integer, necefle eft , vt fra(flionis modo exhibitae nominator aequalis fiat vnitati, 49«^ - - " - 3 «—7, 8128 - - - - 4 «=13» 3355033<^ - - - 5 w— 17, 8589859055 - - - g- «=19, 137438591328 - - „ ^ «:=3i, 2305843008139952128 - 8 «=1:41 , 2417851539228158837784575 - 9 «=47, 9903520314282971830448815128 - 10 B 2 In la DE NFMERIS PERPECTIS. In Arithmetica Nicolai Tartaglia Parifiis 161%, cdita, occurrunt fequentes numeri perfedi: 6 _ - - _ I aS - - - - a 495 - - - - 3 8128 - - - - 4 130815 - - - - 5 * 2096128 - - - - 6 * 3355033 =z V ( a a -i- ^ ^ ). lam cum velocitas in centro globi fit mv^ erlt hic velocitas in «? — '^'"^^ ■!;, et quia fingula punda in mp communi velocitate mouentur, erit vis viua Ipatioli mnpq — ^^^^vvd^Vi^^^-^^^^^t^^zil^d ^y(ee-^^)-i-aa^^y(gg-^^)). Huius expreffionis fi fumatur integrale et dein po- natur ^nS, habebitur vis viua quadrautis circuli : In» tegretur ergo per partes ; Efl: autem pars prior (HiJSp ^ ^ ^^y(g8-^^)-(^r-f^^>^(5sr-f);,diui. dendo nimirum et rurfus multiplicando per^'j fi minc ab hac quantitate auferatur j^^^'^l'^'^^~^dt,^^ i'^'^^'' I 5 — ^') et dein illi rurfus addatur , erit illa — ^-^=^p. ( - ^' ^igg^-v^v(es^^-^W'(T^A'^^^v(ggr-f) Huius expreffionis integrale eft =r^^|y.^( eg-^^)"-I- ^,r^vv!d^^V{^^-U)\ cfi itaque/("^!^^.'^^ V(ee-^^))n.-^,^(es-.^^r-^;t^'-^^^/^^nee SE INVICExM PERCFTIENTIFM. 19 Ponamiis nunc ^ rz S et inueniemus vim viuam qua~ drantis circuli ^f^^^^vvfd^V {^"^-^)— (quh Jd^ y(ge-^^)= qiiadranti, quem voco Q)^^^vvQ_-^ crgo vis viua totius circuli zz"-^^^ v v Q. Applicen- tur iam haec ad fphaeram. In hac efl: a zr , />, /;, p^ concentrata in infinitis pundis virgae rigidae AB ofcillarentur. Vt nunc rem clarius ob oculos ponamus , concipiamus Fifiura 6 ^^^^ corpora et quidem P et tt duabus diucrfis laminis rigidis ABctcty affixa, fit autem diftantia corporis P a pun(fto A dupla v. gr. diftantiac corporis tt a pundo fixo ct; impingiint hiiec duo coipora in elaftra DE, $e acqualia, diftantia elaftri DE a puncfto A fit aequa- lis diftantiae elaftri $e a pundo a; erit ex natura •vedis impetus ponderis P in elaftrum DE duplus im- petus ponderis tt in claftrum ^e fi puncla y et c ea- dem velocitate moueantur^ transferatur nunc pondus vr ex Y in f, ita vt eidem virgae AB in medio afiixum vna cum pondere P ofcillctur et impingat in commune elaftrum DE- cum omnia fint eadem , erit etiamim- petus ipfius adhuc dimidio minor impetu pondcris P in claftrum DE: fi nunc pondus P augeatur , vt fiat v, gr. triplum ponderis tt , erit impctus ipfius fextuplo maior impctu huius ; vnde apparet effe fingulorum pon- dcrum SE INVICEM PERCFTIENTIVM. 25 derum impctus proportionales fingwlis maflis dujflis in fuas relpediue diflantias a pundo liispenfionis ; ergo fi infinita fint pondera , erit fumma omnium impetuum proportionalis fummae fingulaiiiin maflarim dud:arum in fuas re(pe velocitds progrefliua corporis B pofl: impiiirum muemetur p — V^ r-^^ -Httl — \ Q.E.I. Scholion. XXXi. In Propofitione praecedenti generaliter ex- prefllmus nitiones inter velocitates globorum progrefliuas et gyratorias poft impulliim per has fradiones ^-, \ , in applicatione vero ad cafus fpeciales pro jtt \ fubftituen- dae erunt rationes qiiae maxime videbuntiir probabiles ; V. gr. fi globi admodum tente moueantur fuper plano afpero, erit rotatio fenfibiliter perfeda (Prop. XX. ) et fingulae harum fracflionum ^,|-,^et7 aequales erunt vnitati. Hunc calirm quia crt rrequcntiffimus 5 in fe- quenti propofitione feorfmi tradlabimnso Problema 5'. XXXII. Tyaia velodtate duonim globorum A et B,. Fig. rotando Je Inuicejn pemitientlum ^ determinare velocitates^ quas babebunt pojl impuljum pofitis ghbis tam ante quain pGJl collifionem perfe&e rotantibus^ Solutio. Pofitis iisdem , quibus in Prop. XXX , nifi quod fit miizc yH — e yfzzg Qt b—ij erit vis viua globi A poft impufl- 32 DE MOTV CORPORVM impulfum =::|^"yM(Prop. XXVI. ), efl: autem eadem Yisviua etiam =; (lmm-^C^^==^~^f )M{?rop.:^XX.) habetur itaquc v~V (^~})im-\-lC^^^~i^^f)-,'i\miYmr inuenitur /> zr V ( p;«-f- 1 (- — y^_^ — ) ). Q. E. I. Corollarium i. XXXIII. Si niaffiie globorum A et B tuerint inter ie aequales erit 'u—.'V{^^mm-\-\nn) et p — V {\nn -\-^mm). CoroUarium 2. XXXIV. Si Ylterius globus B ponatur quieuiflc ante collirionem , erit '■o — m'V\ et p—.fnVf. Scholion i. XXXV. Hinc apparet , li in ludo Billard altcr globorum iii alterum quiefcentcm pcrfedc rotando im- pingat , priorem non elfe qiiietiuum , fcd fbrc vt ambo moiieantnr, ct quidem ea legc vt impingcns retineat ve- locitatem , quae fit ad vclocicatem altcri acquifitam , vt y 2 ad y S '1 tjuod fi globi impingentis rotatio fit im- perfeda , retinere qnidem debet aliquam velocitatem , fed minorem ac fi perfedlc rotaflet; haecque ab expe- perientia confirmanturi hinc ert quod huius ludi periti globum iuum magno propellant impctu , fi colluforis globus propc lacunam in hnea redta fit pofitus; hoc enim pado leges ordinariae obtinent , ( Prop.XX. ) atque globi impingentis motus ipfo impullii fiftitur , globusque alter folus in lacunam intruditur, id quod non fierct »ifi impingeus celcrrime fuiflct motus. Scho- SE mVlCEM PERCVTIENTIFM, 53 Scholion 2* XXXVI. Aliorum praeterea phaenomenorum, in eodem Ibido Billard occurrentium , ratio reddi poterit, confiderato ea qua fecimus ratione , motu duplici , pro- grefliuo et gyratorio. Obferuatur v. gr. globum, digito preflum hocque modo propulfum, primum quidem aUquantum antror- fum , dein vero retrorfum moueri ; huius ratio efl; , quod digitus propellens globum fimul eum retrahat fic- que ei imprimat dupUcem motiim , alterum progrefli- uum antrorfum , akerum gyratorium in fenfum contra- rium , prior ab initio pofteriori praeualet , fed propter afperitatem plani breui cxtinguitur, et fic iUo extindo hoc autem remanente , globus retro mouetur : idem ve- ro non accidit, fi digitus propenens globum madefiat. Porro obferuiitur direcftiones globorum poft impulfum ad le inuicem non effe perpendiculares : hic iterum confi- derandum eft, globum irapingentem ante coUifionem habere motum dupUcem , progreflTiuum et gyratorium ; pofterior , quia , vt faepius didum , non mutatur , re- tinet poft impulfum candem diredionem , quam ha- buit ante : prior vero , nimirum progreflTiuus , poft col- Ufionem tendit fecundum perpendicularem ad diredlio- nem alterius globi, fed propter afperitatem panni ac- cedet infuper globo motus gyratorius fecundum eandem dircdionem ; habebit ergo globus motum tripUcem et ex hoc motu tripUci neceflario oriri debet motus fim- plex rotatorius fecundum direftionem aUquam interme- Tom. VII. E diam 34- DE MOW CORPOWM SE lyjJ^lCEM PERC. di-iTi, hinc minifefl:>i diredloiies globoriim poft im- pulfum conrtituent angulum aliquantum acutum , eoque magis acutum , quo motus fuerit lentior. Vnum adhuc referam phaenomenon, primo haud abfimile quodque eodem modo expUcandum ert , quo illud: fi globus quiefcens vni ex latcribus fit adhaerens (quod Gilli vocant etre coUc) et alter in eum ita im- pingat, vt centra fint in linea perpendiculari ad latus, cui prior adhieret, fiet vt po(t impulfum globus im- pingens per eandem perpendicularem aUquantum refi- liat et dein vel fubito quiefcat vel retro moueaturj ratio huius, vt dixi, mmifeih efl: iis quie liabentur ab initio huius fchoUi ; quodfi vero impulfus fuerit obU~ quus , poterit fieri , vt globus impingens pofi coUifio- nem primjm aUquamum refiUat, dein pcr Uneam cur- uam rurfus retro moueatur , feque in lacuiiam voluat, quia tunc diredlio motus gfratorii non e diametro cll opporita dtreftioni motus progreiruii ; hocque etiam lae- piflime accidere folet. OBSER- PROBLEMATIS ASTRONOMICI Clar. DeUIsIe PR0F05ITI ENVCLEATIO. AVTORE Georg, IVolffg. Krafft. Lemma i. l. POfito finu toto := i , anguli acuti maioris finu Tabul» iii. -nS, cofinu — C, Tangente =iT; anguli Yero acuti minoris finu rrj, cofinu :r:f, tangente — t j remifummae horum duorum angulorum finu ~A cofinu :z:z Bj feni idilFerentiae finu ~a^ cofinu rr^. Erit 1 . Cofinus anguli compofiti ex vtroque dato — Cc—Ss 2. Sinus anguli refidui —Sc-sC. 3. Tangens anguli refidui zzff^. 4. c — C—2aA. 5 . S — s—zaK 6. S-^s:=z2Ah. 7. Sinus angiili dupli — 2SC. 8. Cofin. anguli refidui — Ct.--|-j'S. Demonftrationes horum omnium \'ide in Commcnt. huius Academiae Tomo II. p. 13. feq. E 2 Lcmmt ,.>■ 3 ^8 ENFCLEATIO to i-iirfus iingalo 2PB iicuto, qui eti;im nunquam alius eflc potell; deniqiie erit Tangens C2Q_, qui Azimu- tho DZC efl: deinceps pofitus, —fcvc-j-x'-^^^ ^^^ afliirrki- tur angulus CPQ^ ob angulum ZPL tere fcmper obtu- fum. Fadis his denomimitionibus , ob DZB rcdum, erit tangens hViJ^-yy)::^ infinite mngna , quare fradionis huius nominator /? V ( i — jj )— mj' — nihilo , vnde fit uj zzbVii—jv)^ ob aequales autem AZB, BZC , et DZB rcdum, aequales erunt etiam DZA,CZQ^, quorum tangentes antea inuentae, fi acquentur, fadla fubltitutio- ne ipfius hV {i -yy) pro uy-, emerget aequatio ijV{i-jy) "ibVii-yy^ — ekVii-yy^-^ehVii-yy), quae, cum per incognitam V{i—yy) diuifibihs fit , manen- tibus fohs quantitatibus cognitis if—ih~ek-\-ehindi- cat, quaefitum ex his datis non pofle inueniri , confe- quenter Problema impolfibile efle folutu. Corollarlam r^ IV. Si differcntia Azimuthorum inteUigatur data, Problema foUii poterit, fed fuperfluus erit hoc caiii an- gulus ahquis Temporis, ex. gr. ZPC. Pofita enim co- tangente ipfiiis AZBrr;// , erit ex prioribus 7n—f;^^]'Jyy—;^ (f—b)^iu^yj]-i '^"'^^ oritur V{i—yj)^ flnus Elcuationis YoW ^ (fzif^ 1 quae forniula ficile ad logarithmos de- ducitur, conflderando , quod/— /; flt differentia coflnuum 2PA et ZPB, ponendo igitur fln. ^^5±Pa_^^ ^^ rm, — ~ — —"l^» c^it per Lcmma i. num. 4. f—hziz a CP v) , quod in priori formula fubflitutum etficit fin. Eleu. Poli zz. ~^^j-sr ■> multiphcato numcratore per cubum radii PROBLEMATIS ASTROmMlCI. ^p rtidii R , ad complendas dimenfiones. Ergo log. fin. Eleii. Poli — 3/R-f-/^-(/2-i-/(p-}-/^H-/w)- Sit e.g. 2PA— 31 24. 2PB— 75 2(S. AZBzz 4.5 o. erit ZPA-Hzpg--^.^ 2V^^5=z?^— 22 I. vnde talis cmergit operatio : l 2 — o. 3010300 /0— 9. 5738880 /v) ~ 9. 904.7105 Im rr 10. 0000000 29 7796285 3/RH- /^=39- 716845S 9. 9372172 log. finiis Eleuat. Poli. o / cui refpondent 59. 56. pro Eleuatione Poli , ad quam ex- emplum fuit adaptatum. Corollarium 2. V.Qironiam fi^ipra pofi fadam diuifionem perV(i-jj) remanet aeqnatio haec //— / /^ — ^ fe -|- r /> , poteft afTumi quaelibet harum cognitarum pro incognita , atque exinds nouum Problema folui ; quaeratur ex. gr. Z>,-erit ea zi: f|__fee^ eritque Problema hoc: Datis temporibus ^ quibiis fiella aliqiia fuit in duobus verticalibus a primario aequa^ liter remotis , imenire tempus , quo fuit in lerticali prima- rio. Sit autem fin. ( C P Q^— 2 P A ) — « , erit per Lem- Hia I. num. 2.. fi — ke — a.., fit porro fin. "^"^ — — g, cofin. — f~ — ^— Vi ct huius femidifferentiae finus — 5", erit per Lemma i. num. 6. ^-h/rzagy; deinde quia CPQ^-ZPA duplus eft femidifferentiae HQ^^pj^^ erit quo- -ff ENVCLEATIO quoque a — zy^S', flidlis his llibftitutionibus erit ^~|-, aut bz^^^-f" ad complendas dimenfiones, vnde //; — /R-}-/(5" o / — /g. Sit in allegato exemplo 2PC :=: 129. 40, erit CPQn:5o. 20, vnde opcratio haec eft: IK-\-l$—i9. 2160957 /e= 9 H157776 9. 4003 191. log. cofin. 2PB, o / cui refpondent in Tabulis pro angulo ZPB 75. 2<5. qua- lis antea fuit in Corollnrio praeced. Corollarium 5. VI. Cum infperatum id accidiflet , vt Problema per data fua non determinaretur , inquifiui in caufim huius rei, atque eum in finem Problema generalius concepi , vt nem- pe angulus DZB non fit redus , fcd aUus quicunque datus acutus , cuius tangens — m. Erit ergo ex prioribus , fup- pofitis angulis omnibus ZPA,ZPB,ZPC, acutis,vocatisque y{i-yy) — x,f-b—p, b-k — q,uy—~^, tang. DZA = g^ff^r, tang.DZC — ^:— Hc, hinc perLem. i. n.3. tang". AZB:=zimg-me-\-pm\X):{m'e-{-g-\-pnx), nec non tang. BZC — {mi-mg -+- qm\x) : {m'-i-\-g-qmx) , qui duo valores acquati , pracbcnt acquationem Qiuidraticam hanc : - m"-ig-pm'iX'':^g'-\-ge-2.gpmx-^cigqmx-eqmx-^2.p qm''-x^-\-^nrei--m^eg-{-qenf x-\-gi -{- pijiix—o. Qiiodfi ergo DZB ponatur redtus, cuadct m infinite magna, quare omncs termini, inquibus autnon reperitur w, aut non adeft w/% abiicientur, quo facto oiizm pm' ix — qem' ix ., vn- de patet cur acquatio fupcrius iuueuta per incognitam fit diuifibilis. OB- OBSERVATIONE5 ARITHMETICAE DE SEPTENARIO, AVTOR.E NOtiflimae fiint Arithmeticorum regulae de inue- niendo numeri cuiuscunque diuifore fimplici, quas tradunt, \bi de Fra{flionibus ad minores terminos reducendis agunt. Extenduntur illae ad omnes numeros fimplices , exccpto vnico teptcnario ] id quod anliim praebuit Adriafio Metio ArHhm. Vra£licae Cap. ip. dicendi: Septenarius ., cuius numeri menjurafit^ milla alia via certius exphrari potcjl , quain (riuifionc ipfa. Inucni tamen regulas etiam pro feptciuuii multiplo dignofcendo in •duobiis audloribus, quarum vtramque examinabo^ ad- iundlurus deinde nouam , in quam ipfe ante complurcs annos cafu iucidi. §. 2. Prima efl: Mich. Stifelii ^ in Arithm. Integra^ Lib. l. Cap. 2. vbi haec leguntur: Septenarius quemlibet numerum componit ., et numcrat ., qui coUigitur ex tribus, /f.x', nouem., aut duidecim., terminis proportionaHtatis duplae^ quadruplae ., aut Jedecup/ae. Qiiamuis autcm videatur hanc obferuationem ad enumcratos folos hos modulos reihin- gere: flicile tamen demonftrari potefl, generaliter hoc verum effe , de quibuscunque terminis harum progreffio- Tom. VII. F tium 42 OBSERFATIONES ARITHMETICAE num fibi inuicera immediate fuccedcntibus , quorwm numerus efl: 3 £> ; et de Proportionalitatibus , quiirum denominator generalis efl: 2»?. Nam Tit Progrefli- onis cuiuscunque Geometricae terminus primus — ^, denominator —m , numerus terminorum rr;/ ; erit fumma horum tcrminorum — ^ :— j iam /;/— I vero in allcgato cafu fit ^ — 2^ , pofito r pro numero quocunque integro \ proportionalitas enmi , de qua lo- quitur Stifelius ^ a. quacunque potentia binarii incipere potefl ; n vero abit in 3 £■ , pofito iterum e pro nume- ro quocunque integro ; et ;;; in 2«^; ergo generaliter mukipius lcptenarTi debet elTe numerus quicunque ex- prefiiis per -^^ — - — j cum vero 0.'^ nunquam fit multiplus feptenarii , neceflc eft , vt hoc multiphim con- tincatur in formula s^-Pi*— i, rrS»?*-— i. lam ve- ro notum eft , quod generahter «"— i fempcr admittat diuiforem a~i\ pofitis nempe a et n niimeris inte- gris ; patet ergo , formulam modo allegatam S^? ^^' di- uifibilem femper fore per 8 — i , hoc ell , per feptcna- riunl. Et ficile hinc concluditur, idem appHcari pofle ad ahos qiioque diuifores fimphces numerorum quorumuis inuefligandos Vcrum enim vero quia nihil commodi- tatis exinde flnit, quam tamcn vnicam Arithmctici hoc in ncgotio quaerunt, hanc cxtenfionem non profequar. §. 3. Akemm rcgulam tradit in Arithmetica Ger- manice cdita Anno 1591. Vhnenfis quondam Arithme- ticus , lohannes Krajjt , quac fequcutibus continetur prac- ceptis. ^DE SEPTENJRIO. 4.3 ceptis. Examinandiis fit mimerus S^^^ip^^a^o an fit iTiultipliis feptcnarii. Aifumantiir in huiic finem nu- meri conftantes i. 3. 2. 5. 4.. 5. i. 3. 2. 6. 4.. 5. i. etc. quos Inlhumcntales vocat, et fubrcribantur uumero pro- -^ pofito hunc in modum; I 20 <523I54-G23i a propofiti numeri notis abiiciatur feptenarius , vbicuri- quae id fieri potcfi;, et refidui num.eri luperimponLinturj multipHcetur deinde quiUbet InftrumentaHs cum fiio fu- periori, et abiedis feptenariis a fadis hisce particula- ribus, quotiescunque fieri id potefl:, horum fumma in- dagetur ; vt in hoc exemplo , o-+-a-h-4-l-2-i-o-f-3 -{-i-{-$-\~$-\-6— 2.S^ haec fumma cum fit per 7 diuifibiUs; conchidendum elt etiam , propofitum nu- merum feptenarii multiplum fore. Vel breuius fic enun- ciatur regula , omifTa abieclione feptenariorum , quae compendio tantum inferuit: multiplicetur quihbet In- ftrumentahs cum digito luo fuperimpofito, ct fada haec particularia addantur ^ quorum fumma fi per feptem di- uidi poflit, etiam propofitus numerus erit multiplus fep- tenarii. Demonftratio autem habetur fequens. Sit nu- mcrus propofitus huius formae, vtpote in quam for- main generalem , extentam fi necefTe fit , omnes nu- meri cogi poflunt: loooooo <2-|-iooooo /^+10000 (:-l-iooo^-|--ioo^-l-io/4-^ 999999^-+- 99995^-1- 999^ ''^^ 99^^-^ 9^^-^ lj-\'^'i numcrus inferior eft multiplus feptenarii , et in fupe- riore hterac a ^h .^c .^d ^e ^j^g^ dcnotant digitos nii- ' Fa . meri 44 OBSERVATIONES ARITHMETICJE meri propofiti, adiedis tot cyphris, quot requirit va- lor eoruin localis. Subtrado hoc ab illo , refiduum fit fequens: i «-+-5 Z»-|-4fH- 6^-f-2^-4- 3/-f- 1^^ fi itaque hoc refiduum fit diuifibile per 7 , etiam inte- ger numerus propofitus talis erit, Sed ex hoc refiduo clare apparet, digitos numeri propofiti multipUcandos elfe per fuos refpeftiuos Inrtrument:iies modo indicatos , et Tidendum , an fumma fingulorum horum fadorum fit diuifibilis per 7. Conftat ergo veritas huius regulae, fed paruum exinde fperandum compendium ; citius enim numerus propofitus ipfe per Septenarii diuifionem ten- tatur, quam haec praxis abfoluitur. §.4. Neque diffiteor , quod idem difpendium meam quoque premat regulam , quam nihilommus prioribus adiungam. Q^iomodo autem ea fe habeat mcUus pri- mum exemplo ortenfurus fum. Sit propofitus numerus x6i examinandus an per 7 diuidi queat. Accipio no- tam dextimam i , quae fi per 3 , quem fcmper adhi- beo, diuidi polht, eam diuido ; fine-iueat, tujn a nota proximd finiftcriore fumo tot dccades, quot neceifiriae fiint ad ternarii multipUim conliituendum , id quod lem- per fleri potell, cuiUbet cnim digito poteft adiungi nii- merus ahquis decadum, vt multiphim tcrnarii exfurgat; ct in pracfenti exemplo 2; igitur 21 diuifi pcr 3,. praebent Qiiotum 7, liuic adiungo 16'— 211114, ori- tur 7-i-x4— 21; quod cum fit n.iiltiphim fcptenarii: conchulo, etiam propoiitnm f<5i talem efle. Schema- ta quorundani cx.eropioium , cum fuis compendiis , liic fubiicio^v i73<5" D£ SEPTENARIO. 45 1735^' 2. 4- 173 — 175 ^' 5 -i- i<5 — 21. 14^^ 8+1-2= 7. 21 ('7-1-2 — 2,2=7. 543 ^'' I 4- 54=^ 55^' 5 -H 4 = 9» Cuius opertitionis vt reddam rationes, afliimo numerum qucmcnnque a-\-b^ ita tamen vt Z» deiignet afluniti nu- meri digitum primum , liue in loco vnitatum pofitum,. Ponatur deinde digftus c talis , vt 10 c-\-b^ 3 m , dico ^ fi fuerit Yo a~c-\-mzr:.']n^ numeri propofiti a-\-b men- furam fore (eptenarium. Nam ex pofteriori aequatione deducitur a — ^Qn-\- 10 c—iom ^ ex priori oritur bzz:^ m-ioc, ergo numerus propofitus a~\-b abit in hunc, fa- ftis fubftitutionibus, 70 n-\- loc- iom-{- ^m-iocz^J'^ n-^jfny qui omnino eft multiplus feptenarii. Idem vt exemplo numerico illuftretur , ponvim examinandum efle numcnim 16^17, erit itaque i(5i7zz:i5io-f-7, ergo «m5io, ^— 7. Aftiimo deinde digitam talem 2 — c ( erit cnim c femper vnus ex his tribus digitis 0,1, 2 , ) vt I o f -i- (^' =1: 3 m , hoc eft in lioc exemplo 10.2-4-7 :!:: 3 . 9 vnde ;« ziz 9 ^ fi itaque faerit /o a-c-\-mz:z^ n ^ mimerus propofitus erit multiplus feptenarii. Eii: autem omnino 161 - 2-1-9 zi: i feu oa-\-p minimus numerus (Iitisfaciens, hunc excipit a-i-p, quem porro reqnuntur na-^p^ 3^-+-]!), ^a-\-p, etc. qiii numcri omnes conftituuntj progreliionem arithmeticnm difterentiiim GGnftantein Ih- bentem a, "§. 4.. Hoc expofito fequitur cafus, quo duo diuifo- Tes cum lliis refiduis proponuntur, qui efl: praecipuus, et fequentes omnes in fe complcditur, Nam quotcunque propofiti fuerinc diuifores, quaeftio fcmper ad hunc ca- fum, qno duo tantum proponuntur , reduci poterit, qucm- admodum in fequentibus monftiabo. Qiiaeri igitur oporteat numerum 2, qui per a diuifus relinquat ^, per if vero diuifus rehnquat ^ ; fitque numerus a maior numero b. Cum ergo numerus quaefitusi z ita debeat cfle comparatus \t per a diuifus relinquat p, neccltii- rio in hac forma ?na-{-p continebitiir, eritquc idcirco z::^ma-\-p. Deinde ex altera conditione, qua c; per ^ diuifus rclinquere debeat q^ erit zzznb-^-q. Quam- obren, , cum fit ma-\-pzr-nb-\-q ., determinari debe- bunt numeri intcgri loco m ct ;/ fnbftituendi, vt fit 7na-\-p^nb-{-q ^ quibus inuentis erit jna-\-p ieu« ^-{-q numerus quaefttus z. §. 5. Qiiia ergo eft 7na-]-p—-nb-\-q, erit n rr — =^ (eu pofito p — q — c, erit« — — y~ ' Hanc ob rem definiri oportet numerum »/, vt w^-j-i; diuidi poflit fine reflduo per b. Qiiia eft ^^^ ponatur ^, atque/^>>t' et £•>>«' etc. hac ferie a^ /}, c ^ d^ e , f^ etc. coiitinuanda perpctuo ad minorest numeros deuenitur, ita vt tandem ad tam paruum perueniri oporteat , qui fit pars aliquota feu di- uifor ipiius v. Sunt autem f, d^ e, f etc. continua refulua ordinariae operationis, qua maximus communis diuifor ipforum a et b inueftigari folet, quam opera- tionem liic appono. n~^ f\/,\^ b-g,c-\-d X—^c^ diuifus relinquat , tum enim habetur b' p -\-{b-\- i )q ^ quod per b' ~\- b diuilum relinquit minimum numerum quaeficum. §. 19. Interim tamen minori opera minimus nu- merus (atisficiens rcperietur fe juenti modo : Rcnduum -{~ i remanet, dudo in />; fi id quod relbt fuerit <^b--\-by erit id ipfe numerus quaefitus, fin vero fuerit ^^'-f-^ fubtrahiUur b- -\-b ^ eritque refiduum numerus quaefitus. Vt fi quaeratur numerus , qui per loo diuifus re- linquat 75 et per 10 1 diuifus 37 \ tum addatur loioo ad fadum ex 75 in loi feu 7575 , \t habeatur i-j^^js , hinc fubtrahatur flidum ex 37 ni 100 feu 3.700 remanebit 13975, a quo fi loioo auferan.- tur prodibit 3S75 , qui ell minimus numcrus quaefitus^ §. co, Si quaeratur numerus qui per b diuifus re~ linquat q et per nb-\-i diuifus p\ erit iterum fzrri atque numerus quaefitus z~p — av :zzp — ap-\-aq — {nb-\-i)q—nbp ob az=inb-\-i. Atque omnes nu- meri fatisfacientes continebuntur in hac exprefiione mnb- ^mb-\-{nb-}- i)q — nbp ., ex qua fumto pro ;;/ nu- mero quocunqu^e , inuenietur minimus numerus flitisf;ici- ens, 11 ea expreffio diuidatur per nb^-^-b:, refiduum enim erit minimus numcrus fiuisficiens. §. 21. Cafus porro notari merctur, quo rcfidua p tt q ., quae oriuntur ex diuifione quaefiti numeri per datos liiuifores a et b., funt mter fe aequaha feu p — q- Hoc euim catli fit i;~o, ideoque inuenitur numerus quaefitus z — p. Si igitur fit M minimus communis diuiduus numcrorum a Q,t b ., omncs numcri fitisfacien- tcs contincbuntur in hac formuk ;«MH-p. Eadcm pla- DE mVENIENLO NFMERO QJl TER tc 6% plane formiila quoqne fatisfacit, fi qnotcrncue fierint diuifores a^b^c^d^ etc. per quos fingulos ni n < rus quaefitus diuifus relinquat /) , fi quidcm M dcnctetcm- niiim diuilbrum minin.i;m communem diuicui.m. Om- nes ergo numeri huius-niodi quaeflionibus latisfiicicntes ita funt comparati, vt per M diuifi relinquant p. §. 22. Hinc fatis tritum problema, quo quaeritur numerus , qiii per 2,3,4,5,6 diuilus relinquat i per 7 YCJO nihil rehnquat, folui poteft. Cmnes cnim numcri qui per 2 , 3 , 4., 5 , 6 diuifi rehnquunt i hanc hubent proprietattnv vt per 60 , qui niimerus eft mi- nimus communis diuiduus numerorum 2,3,4,5, et 6 , diuifi rehnquant i . Problcma ergo huc redit vt inueniatur numerus qui per 60 diuifiis rehnquat i , per 7 vero fit diuifibihs; erit ergoA^zzdo, b~^^ p:z: j ^ ^ — ^, et 1'" I. Fadra ergo operatione. 7 5o 56 S + 7 I [=in:Q, 8, I, I. Erg.s~ 0-119-1-420;«. et fi mzz.1 erit ^1^301. 3 + _3 I i I , 8, 9, 17 §. 23. Maiorem difficultatem haberc videtur hoG problema , quo quaeritur numerus qui per numeros 2 , H 3 3,4, 6z. SOLVTIO PROBLEMATIS JrilTHMETICl 3,4., 5,6 diuifus rerpcdUie relinqiuit numeros 1,2, 3,4,5, iit per 7 dinidi queat , propter refidud pro- poiiea inaequalia. Sed iiaec quaeftio congruit cum hac : inucnire numerum qui per 2, 3,4,5,6^ diui- fus reiiaquat -i et per 7 niliil. Illi mni condicioni flitibfiicit forma 6om—i\ quare numerus quaericur qui per 60 diuifus -i, at per 7 nihil rchnquat, fit iraque rt^riKSo , /»1:^7 ,pn:— i , ^ — o , et 'r — -i at- que operatione Yt ante inftituta eft Q^— - i quod in — 17 duftum datH-i7, hocque per b multiphcatura dat 119 numerum quaefitum. §. 24.. Ex his diiobus excmpUs apparet, quomodo huiusmodi quaeftiones, in quibus quotcunque diuilbres proponuntur, quibus autem duo tantum refidua refpon- dent, per fupra datas regulas folui queant; Ibtim cnim quaeitio ad quaeftionem duorum diuiforum reducitur; vti fi omnia refidua funt aequaha , quaeftio perinde Ibl- uitur, ac fi vnicus diuifor fuiffet propofitus. At fi re- fidua funt inacquaha, tum nihilominus repetendis his operationibus , quibus pro duobus diuilbribus vll fumus, fohitio poterit obtineri. Primo enim duobus diuifori- bus fitibficri debet, tum tertius airumi.tur, deinde quar- tus , doncc omnibus erit f\tisfaE INFENIENDO NVMERO QFI PER fc 6$ Qiio minimus numcrus fiitisflicicns prodeat pono w — -- 5.^ eritque s " i -h 102. 17 — 1735 , qui ell: minimusnu- merus quiituor praclcriptis conditionibus latisfociens Omnes autem qui iacisfiiciunt hac continentur formula 11781;« -t-i735' Ex hoc exemplo ergo abunde intelligitur, quomodo omnes huiusmodi quaeiliones llnt rcfol- iiendae. - f. 28. Pertinet huc folutio problematis chronolo- gici (Iitis cogniti , quam , prout ex his rcgulis inueni , apponam , in quo annus a Chrifto nato quaeritur, ex datis cyclis foHs et lunae Yua cum indidione Roirana illius anni. Cum enim cyclus folis fit refiduum , quod oritur diuifione numeri anni nouenario audi per 28; cyclus vero lunae fit refiduum, quod oritur diuifione numeri anni vnitate audi per 19 ; Indiftio vero Ro- mana fit refidnum , quodoritur, fi numerus anni terna- rio audlus per 15 diuidatur, fequens prodiit fohitio. Sit p cyclus fohs, q cyckis hinae et r indicflio Romana \ multiphcetur p per 4S45 ; q per 4200 ; et r per 5915, haec tria produda cum numcro 326'7 in vnam fummam coniiciantur, eaque diuidatur per 7980 ; quod remanebit refiduum erit numerus anni quaefiti. Si annus periodi luUanae requiratur, tum ope- ratio eodem modo inftituatur, nifi quod numerus 3257 negligi debct • quae eft regula iam paffim tradita. §. 29. Multam quidem operam requirit fokitio pro phuibus diuifuribus, fi quidem problema continuo Tom. Vn. I ad CS SOLFTIO PROBLEMATIS ARITHMETICI iyc ad cafum, qiio diuirorum numerus vnitate minuitur, vt in praecedente exemplo fecimus, reducitur ; At ex ea ipfa operatione ftcilior mukoque breuior via fefe prodit , qua rtatim propofita quaeftio , quotcunque etiam fuerint diuifores, ad cafum duorum diuiforum reduci poteft; quae regula ira le habet: Inueniendus fit numerus ,, qui per diuifores a^b^c^d^e., quos nu- meros inter fe primos eflc pono , duiifus relin- quat refpecfliue haec refidua p^q^r^ s ^t. Huic quaefti- oni fatisfacit ifte numerus A^-|-B^-hCr-f-Dx-|-E? ~\-mabcde y in qua exprefllone A eft numerus, qui per fedlum b c d e diuifus nihil rebnquat, per a vero diui- fijs relinquat vnitatem-, B eft nu-merus, qui per acde diuifus relinquat nihil , per b vero vnitatem •, C eft nu- merus qui per a b d e diuifus nihil- rehnquat , per c Tero vnitatem *, D eft numerus qui per ab c c nihil rehnquat, per d vero vnitatem \ atque E eft numerus per ab c d diuifus nihil rehnquat, per e vero vnitatem, qui ergo numeri per regulam pro duobus diuiforibus. iitam inueniri polTuiit.. DE DE MOTV PLANETARVM ORBITARVM DETERMIN ATIONE AVCTORE Leonh, Eulero. §. I. CVm hoc tcmpore lluis conftet, planetas in elli- TabuklV. pfibiis moueri , in quarum altero foco fol fit pofitus, motumque ita efle comparatum, Yt tem- pora areis circa folem defcriptis fint proportionalia ; quae- ll:io de motu planetarum duplex oritur, quarum altera qualitatem ellipfis , pofitionem abfidum fcilicet et ex- ccntricitatem rcquirit, altera vero ipfius planetae motum in fua orbita. Vtramquc hanc quacrtionem hic euokie- re, et quantum calculi difficultas permittet, relbluere conabor. §. 2. Primum quidem orbitam planetae pro cogni- Fig. r, ta habebo, atque motum planetae in ea definire ftude- bo. Sit igitur ADB femiffis orbitae planetae cuiusdam P, cuius abfis fuinma feu aphehon fit in A , pcriphehon vero in B, atque fol fit in foco ehipfis S pofitus. Sit por- ro C centrum orbitae, et ponatur femiaxis AC vel BC — ^, diftantia foci S a centro C feu excentricitas CS — ^, erit femiaxis coniugatus CD~V ( a^ — l?-). Po- namus niinc planetam ex apheUo A peruenilTp in P, 1 2 hinc- 6S DE MOTV PLANETARFM hincqiie momento temporis progredi in j), ex quibiis pundis tam ad S redae, quam ad axem AB perpen- dicula ducantur ; ponaturquc CQpir, erit PQri: ^'" '\'''' '"" \ §. 3. His pofitis exprimit angulus ASP planetae anomaliam veram feu coaequatam , quam ponam— ^. Anomalia vero media proportionalis ell tempori, quo planeta fpatium A P abfoluit , feu areae A S P. Erit crgo area ADBad aream ASP vt angulus duobusreiftisaequalis ad anomaliam mediam. Confideremus nunc circulum radii 1 , cuius arcus fit anomaiia vera z:; ^ , in eodem ergo fi anomaliam mediam inuenire velimus , quae aequalis fit arcui .v \ erit area A D B ad angulum duobus recftis aequalem feu ad duplam aream femiciiculi illius vt AC. CD ad 2, i. e. Tt «y(«' — ^') ad 2. Fiet igitur ^V («- ^l;' y.azzArcA. ASF:x^ vnde cft xz §. 4.. Cum fit anomalia vera z aequalis angulo AS P, erit cius incrementum dz aequaie VSp. Angulus ve- ro ?Sp acqaatur areoiae VSp bis fumtae per quadra- . r-,- , 2 Areoi. ?Sp tum PS duiifae ; crit fcilicet fizz=L -^^p — - — Itt^^blf^- -^t cx fuperiore aequatione erit dx — -;~^_^ Rellat ergo, vt elcmcntum areac VSp idonco modo exprinutur, id quod ex confideratione totius areae fiet. Ei\ enim arca AS?zz'-^^^'^f?il(l^-^^^^'^'^-^^ -s £T ORBITARVM DETERMINATIONE. 6p —7 — "~ a 1 cuius diffcrentiale eit — ^^^T^^i^f^Tj — ^^ quod ergo elt ~?Sp. Hinc igitiir fit elementum ano- maliae mediae d x z:z^2:f-^^_^:zY-\ et elementum anoma- ae verae ^c;=:f72— Krr, ri— ,t>. §.5.His duabus aequationibus continetur relatio , quac inter anomaliam mediam et veram interceditj ad eam ergo definiendam oporter, vt vtraque aequatio integretur, quo tandem aequatio inter z et x elici queat. Qiiod ad priorem attinet, ea ibtim abit in hanc rt^.vzr ^^-=— y i^-j, cuius integralis eft .v=r A.^^^'-'-4-|V(«^ — r=), vbi A fignificat arcum circuli , cuius finus eft quantitas poftfixa cxiftente finu toto — i. Pofito er- go hoc finu ^''\~'- —.f, erit a^A.j-I-^- §. 6. Alter.i acquatio ditHrcntiahs efi: dz—T^'^^^^^^—^. quae cum abfolutc, tum plurimis modis per feries poteft integrari. Prae reliquis vero is modus eligcndus effe vide- tur, qui huiusmodi det feriem , in qua dimenfiones ipfius ^ in numeratoribus crelbant, quo pro exiguis excentricita- tibus luificiat duos vel tres ttrmuu)^ initiales aflumfifie. §. 7. In feriem ergo prmnim conuerto V ( a-h' ), quae erit ifta a ~ -^ - t:^ - rr^^ etc- —a---^,~^ ctc. Deinde eft etiam :^r—T-%-^^-^^^ - 5^-f-etc. Hae ergo duae leries in ie inuicem multiplicata dabunt flVio^— fc^) fcr __ fc^(a^— ;r-) h^r{c^—.r-) 6'^:a;^-f-4a^r^— «>-♦) I /? -H 70 BE MOTV PLaNKTARFM -4- -J-g-rH^r -"'•.)_ ^i^ gj j^^^j^j, huius fcriei finguli termini ducantiir in ^j^zzr^) habebitur elementum ano- maliae yerae dz. Ernnt vero omnes termini prae- ter primum abfolnte integrabilcs, inuenietur enim z::zzA. V(a^— r^) _ ftVC'— r') fc-rV(a-— r^) _ ;,?(a^-t-;r')v(a^— r^) a «- ' ;o+ 6a^ •" £*r(a^.4-,r^)V(j^-r') • n» £tC. §. 8, Dicatiir nunc arcns feu anguhis V, cuius finus cft ■ ° ~''~ £t fignumy denotet polthac linnm angnU pofl:- fcriptij erit .v— V-j- j/V, atque per eundcm anguhim V eiusque fmum vna cum mukipiorum iplius finibus z fequenti modo determinabitur , vt fit ^ — V — i/V-+- ,^/2 V- ^ (/3 V -i- 3 /• V ) -f- 3^. fAV-|-4-> V)- .!^^/5V-|-5/3V-f-iq/V)4-.7^(/3-5 39 §. i5. Denique notnndum eft , fi inucnta fuerit anomalia "vera datae anomalii-.c mediae refpondeub, fa- cili negotio increm.entum minimum anomahae \crae in- ueniri pofle , fi auomaHa media minima particula auge- atur. Augeatur fcilicet anomalia mcdia angulo dx^ crit ^/ X incrementum anomaliae vcrae dz = - 1 — rTn (i-i- -cof.Vf Noftro ergo cafu erit /( i -h^cof.V) — o, 0103573 ct (i + 7CofV;= 1,04885 Qiiare erit dz = Y~Ts zizdx—'-^ fi ergo anomnila media fuerit Si°, erit anomalia -vera 70° , 46^ , a.^' §. 17. Sin autcm quis velit hac mcthodo tabii- bulam anomahum verarum computarc, is fcopum fuum commodius afTequetur, fi non anomahas mcdias pro cognitis affumat, fed angulos, quos Httcra V difignaui, ex his jue angulis tam anomahas mcdias quam veras calculo inueftigct- Hoc enim modo flicile tabulam coa- ficiet. Sumto enim pro kibitu angulo V, erit x=::V-H ^ fW ct z-\- \j.V -i- ^:/2 V- ^ ihV^j^ V) Exera- ph' gratia pro orbita martis pouatur Vzn ET OTtBlTARFM DETEKMINJTIONE. 77 V — 20*. Erit //V — 9, 5340517 fuhtr. ATt liipra 5,7i9-5':4. 3, 6147993 nnm. refp. (5528^^ hoc efl. 1°, 48', 4^^-^ Erit ergo anomalia media 21% 46'' , 40''' et aiiom:ilia Yera prope vera 18°, 11', in'''' Nunc fumatur //2V 9 , 5080075 fubtr. 2/-^ 2, 0673 5 3077<^ num. 284-"'— ^^^, ^^^^' Anom.alia magis corrcda— 18°, i^-', 56'''' Dcnique fumatur/sV— 8660254 et ^jV~ 10160606 I 8920&60 huius log. 10, 2769406 fubtr. 3 /| 3 , 1010325 7, 1759081 fubtr. /12 I , 0791 81 2 6, 0967269 fubtr. 4, 6855749 I , 41 1 1520 num. 2.6^^ K s Ano- 78 DE MOTV TLANETARVM Anomaliii vcni ergo eft i8°, 15'', 30^^ refpondens anomalmemcdiae 21°, 4.8'', 48^^". Hi-iic veroanomaliaeme- diae intabulis rclpondet haecanomalia vera iS'', 16', 14.''''. §. 18. Progredior ergo ad altcram qiiacftioncm , cuiiis initio mcntionem feci , qiiae circa fpcciem ellip- fis, in qua planeta circimifertur , eiusque pofitionem iTjg a. determinandam verlatur. Ad haec inuenienda cogni- tum efle pono tempus periodicum planetae, quod fitzz T. Deinde etiam data elTe oportet tria loca helio- centrica planetae , cuiusmodi fint F S , G S , HS vna cum temporibus inter obferuationes elapfis. Ex locis ergo helioccntricis dantur anguli FSG et FSH, fit- que F S G — / et F S H :zi^. Praeterea fiat vt tempus periodicum T ad tempus inter duas obferuationes , ita 350 gradus, ad angulum qui efl: differentia anomaHarum mediarum inter easdcm obferuationes. Cum igitur dentur difteientiae anomaharum mediarum inter obfervata pla- netae loca , fit ea quae ell intcr loca F etG=:;«, et quae eit inter loca F ct Hzz;?. Ponatur uunc ratio ACadCS vt I ad '"j ; crit -jmc; porro fit anomalia media loci Fizi.v, et anomaha vera fcu anguhis ASF §. 19. His pofitis erit loci G anomalia mcdia —X H- m , et loci H ~ .v -j- « ; loci vero G anomaha vera erit — z H-/et loci Wznz -\-g. Dcinde fit .v— P-f -r/P; x-\--m — Q^-f- R-/^P)-"T:(/3R"/3P-i-a/R-3/P)etC. Priores vero aequationes eHminando x dabunt. ,;,-q_p_h^(/Q__/P) H-R-P-Hi;(/R-/P) ^^"1"® Ponamus terminos in quibus inefl: oj' et akiores pote- ftates euanelcere; erit coniungendis aequationibus-^-=Y^— Q_-P et Q^— P^^-"', atque R — P ^- ^". Per pofte» 8o DE MOTV rLJNErJRFM pt—f pofteriores iiutcm aeqiiationcs efto» :=: ^ — 7±i^._opp — „-£- . Ex his vcro aequaiiODibiis - --f-ilSi^l^^S-/- num vcrfum dcnotat. Ex hac igitur aequatione iam pro- xime inaeiiiri poteft angulus ? \ hocque inuento fimul quoquc valor ipfius v proxime verus innotefcit. ^. 21. Iniiento hac ratione angulo P, ex eo dc- terminctur valor iplbrum Q^ et R per aequationes Qpz p_}_tei et R — P-+-^7^ deinde etiam valor ipfins 17 per aequationem i;:^ ,j-^~f;p. Hi vero valcres hoc modo inucnti nondum fuat veri, fed tantum veris pro- pinqui ; propiores autem inuenientur fequentibus tcrini- nis non ncgligcndis , crit nempe "^-=7^ =3 Q_- P -f- ^ (/2Q.-/^P)-r^/3Q.-/3P-4-3/Q.-3/P) etc. ideo- quc Q=P-i-^-^-?(/2Q-/2P)-+-:-:(/3Q-/3P H-3yQ^3/P) :^t(]ue fimili modo Rz:PH-^--y (/2R-/2P)4-:;(/3R-/3P-K3//i-3/P); in qui- bus exprcflionibus loco , P , Q, R et t; ante inuenti va- lores fubftituantur poft fignum =r ; hocque padlo propic- res pro Q et R valorcs habcbuntur. Pouiitur breuita- tjs gr. Q_:=P-hM et R-P-^-Ncrit v -j^fl-^_^~,— j(p!ll^)—j?- Ex quibus aequationibus inucnitur tang. P (m— Ml/M— (n— N^/M , . . , ^[rn-WF-ii=^, 27° 21^, 47"". Dein- 8» ORBITJE SOLJKIS Deinde eiusdem menfis die 14- enit fol in V 4.°, 17'', iS^''. Atque tcrtio menfe feptembri dic 15 crat foi in ^ 2°, 4.5^, 37''^. Qiiae folis loca ex altitudiiii- bus meridianis cxadi(fime obferuatis deduxit ipfc Flamjledius. f . 4. In liis autem locis fol verfibatur ipfo puncfto veri meridiei , dum per meridianum tranfiebat, Qiia- re quo anomalias m.edias ex Iiis temporibus rede con- cludamus oporret haec tempora ope aequationis tcm- poris corrigere. Qiio fad:o erunt vt fequitur. Temporc mcdio Mart. d. 7. la^ 8^, 24^' Mart. i^d. i2'\ 6^ ^ \$'^ Sept. 15 d. ii^ 51^ 27'^ SoTis loca II S, 27%^i%i7''' oS, 4% 17', 18"' 6 5, 2% 45^37'^ Karum obferuationum primam fvimo igitiu- tanquam terminum , et pono eius anomaliam veram~2, at- que anomaliam mediam — a'. Praeterea i: v mihi denotat rationcm diftantiae mediae ad excentricitatcm, adeo vt hae tres quantitates x;, .v et 1' cx his tribus obferuationibus debcant determinari. Ponatur fccundae obferuationis anomaha vera rz: xj -f-/, ctmediarr .v-j-7;/j tcrtiae vero obfcruationis anomaha vcra~;2-l-^ et mediazra*-!-;;. Qiiae quantitates /, ^ , 77/ et « ex ip- fis obferuationibus immediate dctcrminantur. §. 5. Differentia temporum intcr primam et fe- cundam obferuationem eft ergo<5d, 23^, 57', 51", cui ttni- DETMRMINMIO. $^ pori motiis mediivs refpondet 6°, 53', 52". Cum autem intcr c:i ae'-|uino(flia circiter i" iint retrogrefla , erit dif- ferentia inter anomalias medias primae et fecundae ob- feruationis ;;;ir:6°, 53'', 51". Dilferentia vero inter loca foiis elt 6'', 55', 31", quae fimiiiter minuto fecundo mi- nuta ob praeceflionem aequinodiorum dat differentiam inter anomalias veras primae et fecundae obferuationis y — 6°,55, 30". Deinde diffcrentia temporum pri- mae et tertiac obferuationis eft 191 d. 23^, 4-3', 3" cui motus mcdius rcfpondet 189°, 12', o": hinc motu ae- quinodiorum 26" fubtrado remanet differentia inter anomalias medi:is primae et tertiae obferuationis , nzz: 189°, 11', 34.". Denique diffcrentia inter folis loca primac et tertiae obferuationis 2.6' diminuta dat diffe- rentiam inter anomalias veras primae et tertiae oblerua- tionis ^=185% 23', 24.". §■ 6. His prapaeratis fequitur vt quantitatcm an- guli cniusdam P,qui cl1: anomalia excentri, definiamus, quo cognito ficiie omnia , quae requiruntur , determinare licet. Olkndi autcm in praccedente mea dilfertatione fore proxi- """'" ^— pofito finu toto — I. me tang. ?—'' Qiio igitur illa exprellio per calculum deflniatur , fe- quenti modo opcrationes inftituo. m = 6%53',5i" n^iSg , II , 34- ^-185% 23', ^4' Tom, VII, M Ex $0 ORBITAE SOLARIS Ex his crit fH'-f-=z-i\ 39'!=:- 99" «-^—8°, 4.8', 10"— 13590" atque ^(^)-o, 0072315. Praeterea eft ^'-6', 54^40" et ^ = 187% 17', 29" lam vero eft /^==1203393 atque qiil miiltiplicntus per — (^^)=:o, 0072315 dat —9178. Erit ergo numerator fradionis , cni tang. P aequatur — 1194.115. Praeterea eft {\.~^~-j266i atque fv. '5^zr:.X99i9i30 qni dudus in — (^£^)— o, 0072315 dat —(^^)fv.^-— 144045. Vnde fit denominator zz 216705. Diuidatur nunc fadum ex numeratore in finum totum per denominatorem et prodibit tang. P— 55 103000. Qiiocirca inuentus eft angulus P— 79^,42', 51", qui autcm valor tantum eft vcro proximus, et iequenti modo corrigi dcbct. §. 7. Ex valore ipfuis P fequcntes litterae Q ct R habebuntur , ncmpe cum fit P — 79°,42', 51", erit QpP DETERMINATIO. 91 m — / 257°, o', io". Ex his valoribiis erit v— .-_i-_ :r: vnde patet valorem ipfuis «y fore negatiuum, /K-/P id qiiod indicat diltantiam primae obferuationis non ab apog;ieo (ed ab perig.ieo inuentum iri. Erit ergo l-v m/ j ~ — /(/Q^— /P), in qua expreflione notandum eft, quia iinus cumangulis comparantur, a logaritiimis finuum fubtralii debere 4., (5855704., quo logarithmi minuto- rum fecundorum obtineantur. Ob eandem rationem erit ■^- in mmutis fecundis 1=49, 5 atqus l-^~ i::^ i» 69^60$ 2. lam vero eft /0.= 9982558 et /P — 9839292 ideoque /Q^-/Pr= i4-33<^^ atquc /(/Q.-/P) = 8, 1564482 a quo fubtrah. zr 4,6855704 reftat 3 , 4708778 fubtr. a l^-~= l\^9^^°^^ erit l—v — — 1,7762726 feu v—-^ hic vero valor ficut et reliqui correiftione fequente ha^ bet opus. §.8. Ad hanc correcflionem inftituendam quaeran- tur valores htterarum M et N ex fequentibus foimulis: M % M = 5?2 ORBITAE SOLJRIS vbi a logarithmia finuum fubtrahi dcbet 4,(5855704, Quia \ero fmguli finus multiplicati funt per %'' cuius lo- garithmus eft — 4, 4556^252, a logarithmis finuum (lib- trahi debet ifte logarithmus 9, 1412056' et numerus logarithmo refiduo refpondens dabit numcrum minuto- rum fecundorum. Compendii autem gratia non ell opus vt anguh 2 P , 2 Q^, 2 R ad minuta fecunda vsque fuman- tur : tanta enim accuratio eflec fuperfiua. His praemifli* erit vt fequitur : /2P-/I59", "-6'^/.o%34. /2Q_-/i73%i5'^76°,45'. /2R-/534^ x'zr/5%59. Hinc erit fubtrahatur 9 , 545<^7+5 , 141205(5 ergo %'j2?=z2f , 40446S9 Simili modo //^Q.=^9, fubtrahatur 9, 070i7<5i 141 205(5 ("I), 9289705 ergo r/^Q^-o^S^'" atque^//2R=:ro,75' Ex his prodit IV1= 6\ 5+, 4^" N=.i87% 17', 31". et DETERMINATIO. 03 f 9. Qiiia viilores littenrum M et N -tam paruni discrep-.uit ab ^^^ cf^T~ correftio litterarum P et <& fere crit inienfibilis; interim tameri ad ■vfum regulae a mc traditie ollendendum calculum inliituam. 0(kndi igitar tore tang. P — , „. _ m , -, pofito rinu Lo- to — I . Ad hunc ergo angulum P detegendum fequeriti modo operor ;// — M ~ — 5 o , dp ' ^ n-N—i%s^\ 3,2i'''— 584.3, ^i' er§o-('^) — 0,0074073 ■' Praeterea efl; ,: /M—- 1103003 ;; ergo - ( :^:^ )/N — -9+00 ergo uunierator ^1:1193603 Deinde eft /v. Mzr 7-^70 /"v.N= 19919123 Erit ergo - (^)/v.Nz= 149305 ideoque denorninator :=: 221975 Inuenitur ergo tang. P— 53771000 ideoque P — 79% 27', 54". M 3 §, IQ. 94- ORBITAE SOLARIS §. 10. Sumto ergo lioc ^'ilore pro vcro jingulo ? erirQ^ — P-f-M— 86°, 22', 36" ec R — t^ -h N -: 26'<5% 45 ,25 , atiue ex his erit verus viilor ipfins 'V^ j^r:ji ^/kZ/p» qiiae expreffio vt aute deber traLltri. Px aequati >ne autem v~ r^Erf? prodit /— •!'— — i, 77(51733 qui eft verus valor iplius v, at:iuc diftantia mcdia ad excentricitatem vt 1 00000 ad K574.. §. II. Ex his nunc per praecepta tradita vtraquc anomaha loci foHs in prima obferuatione poterit definiri, in quo autem notandum eft ob valorem ipfius v ncga- tiuum a pcrigaeo anomalia computitas prodire. Erit autem primi folis loci obferuati 11 S, 27°, 21', 27" anomaHa media .v — P-t-i'/P et anomali? vera iszziP — T/P-f-^^y^P etc. ad quos valores inueniendos eft IJ? — ^^ 992619Z fubtr. 4, 6855704 5 , 3070488 l-v — - I, 77<5i733 /-i;/P=r3, 5308755 crgo --y/Pzr^SPS^^S^', 35" lj2?—9, 555<5433 fubtr. 4, 6855704 4, 5700729 /^,' = -4, 1655562 /f/2Pi= 0,7045 1(57 crgo "^^/aP — 5". Ex his ergo fit DETERMINJTIO. $$ x-n% , 31', ly^^aS, 18°, 31', i/ z— 80°, ^4, 34."— 2S,20°, 24.', 34." §. 12. Ciim igitur Sol fnerit A. 16 go. Menf. Martio ^'^^ii^S^iVinecliptica 1 1 S , 27°, 21', 27'', erat iUo tempore aequatio 1°, 53', i5"addenda ad motum medium. Qiiamobrem illo tempore erat motus medius folis 1 1 S, 25°, ^^^i^-"" atque idpo die 7 Martii ipfo meridie iu- xtatempusmediumeratmotusmediusfolisiiS,25°,27',5 2" Ergo A. 1689. completo feu initio anni 1690. erat mo- tus medius folis 9S , 20°, 24', 42", qui locus fi cum tabii- lis motus medii folis in Lexico Harris comparetur, depre- hendetur 40" maior, et hanc ob rem illae tabulae pro ob- feruatorio Greenwicenfi augeri debent 40". Qiiocirca erit A. a C N. Motus mcdius 0 1701 9S, 20% 44, 30" 1721 n 0 f if 9S, 20 , 53 , 34 1741 9S,2i°, 2', 38" 1761 9S, 21 , II , 42 17S1 r" 0 1 ^ II 9S, 21 , 20 , 46 1801 0 0 ' " 9S, :ii , 29, 51 In tabula pro annis intermediis nihil cft mutandum. §. 13. Subtrahatur a vero loco folis anomalia vera inuenta , iiS, 27", 21^,27" prodibit 2S , 20°, 24', 34" k)cus perigaei orbiiae folaris. 9S, 6% 5 6', 5 3" Qiiam- 9<5 ORBJTJE SOLARIS Quamobrein iipogacum orb:tiie Iblaris erat A. 1690. d. 7. M;ut. in 3 S, 6\ 5*5', 53" atque initio anni i^^^o. in 3 S, (5", 56', 4.4." atqiie initio anni 1701. in 3^,7°, 5',5+" Quare a loco apogaci folis ex tabulis aflronomicis ci- tatis inuento perpetuo fabtnihi debet 34.', 16", adco vt in illis tabulis plusquam dimidio giadu apogacum Ijt nimis promotum, §. 14. Logarithmum rationis exccntriciratis ad di- flantiam mediam inuenimus —1,77(51733, ita \t fit diftantia media ad excentricitatem , \t looooo ad 16"" 4. feu vt 5973 ad 100. Si nunc ille logarithmus iuxta regu- lam in fcqu. diff. expofitam addatur ad 5, 61 54-596' pro- dibit 3, 8392863, cui refpondet numerus 6907" pio acqua- tione maxima , eft ergo aequatio maxnna — i°,5 5',7". §.15. Reftat vt definiatur anomaha mcdia, cui maxi- ma aequatio refpondet; id quod per regulam mcam fe- quenti modo fiet. Ad log. finus totius 10,0000000 addatur r^ — — 5, g^^o^^-^^P 4., 0(594-200 qui eft log. finus anguli 14-'" eft ergo ^ zn 1 4.'"^. Deindc ad 5,314.4295 addatur lv~— 1 ^'■]i6i-"^'^ 3^, 53Si5<5^ cui refpondct numeriis 3 45 4" 'eu 5 7', 3 4". Quamobrem crit anomaha media cui aequatio maxima refpondct 90" , 5 7', 3 4"- atque anomalia vera, cui aequatio maxima re- fpondet, erit 89', 2', 27"- ^O- SOLVTIO PllOBLEMATVM aVORVNDAM ASTRONOMICORVM- AVCTORE hconh. Eulero, Problema i. D4ta planetae aequatione maxima , imemre orhitae eiiis excentricitatem. SolLitio. Conuemtiir aequatio maxima in minuta fecunda, fitque eorum numerus — m \ dico fore diftantiam pla- netae a Sole mediam ad excentricitatem \t 412533 ad numerum ;«; fi qiiidem aequatio non fuerit nimis magna. At fi aequatio admodum fucrit ingens, po(i- ta rationc dillantiae mediae ad excentricitatem \t i ad 'V, ^rkv^,^,,-;;^;;^. Q..E.I. Problema 2. Data excentricitate orbitae planetaris , inueHire aeqiia-' tionem maximam. Solutio. Sit I ad 1; \t diftantia planetae a Sole media ad excentricitatem , et fic m numerus miuutorum fecundo- rum aequ;;tit)nis maximae , qui quaeritur , cico fore m — 41 2533 ('x7-i- 1'^ ; vel per logaiithmob Ciit iog. mz=. Tom. Vn. N 5» 98 SOLFTIO PROBLEMATVM QFORFND.ASTR. ^^ 6i^^$g6 -^I('V-\-'^' ). Vbi notandiim c(l: , nifi exccnracitas fuerit vehementer magmi loco qiumtitatis v-\-% ^ami polfe tantum v. Q_ E. I. Problema 5. Data excentridtate orbitae planetaris, inuenire ano- maUam mediam, cui aeqiiatio maxima refpondet. Soliitio . Sit I ad 1? vt diftantia media ad excentricitatem, quae ergo" ratio datur et proinde v. Multiplicctur finus totus per %^ , et f;i(ftum erit finus cuiusdam anguli ex tabulis inueniendi: fit hic angulus q graduum. Haec vero operatio commodius per logarithmos in/lituetur. Deinde quaeratur logarithmus quantitatis i;-^j , vel tantum ipfius i;, ex tabuHs logarith. num. naturahum, fi tuerit V admodum paruum , ifte logariihmus addatur ad hunc 5, 314.4.295, et logarithmi , qui prodit, quae- ratur numcrus relpondens , qui fitw^ \bi notctur ;/' tfTe dimidiam partem aequationis maximae; itavt,fi aequa- tio maxima iam fiierit inuenta hac pofieriori operatio- ne nequiJcm fit opus. Dico fore anomaham mcdiam quaefitam 90° -\-q'' -\- n". Q_. E. I. DE DE MINIMIS OSCILLATIONIBVS CORPORVM TAM RIGIDORVM QVAM FLEXIBILIVM. METHODVS NOVA ET FACILIS. AVCTOPv-E heonh. Etiler. §■ I. QVae ad ofcillationes corporum rigidoriim perti-Tabb.V.Vt nent problcm;it;i , ea Geometrae ad inuentio-. nem centri ofcillationis referre funt foliti. Cum enim corpora rigida fignram fnam, qnantumuis etiam a potentiis oliicitentnr, immutatam retineant; ad eorum ofcillationes determinandas lufEcit eorum of- cillationis centrum noffe. Hac enim ratione tota quae- ftio reducitur ad ofcillationes penduli fimpiicis , cuius motus iam fitis cognitus et extra omne dubium efl: pofitus. Omnes idcirco circa motum ofcillatorium cor- porum rigidorum quaertioncs eo rtdeunt, vt inuenia- tur longitudo pcnduli fimplicis, quod iisdem temporibus ofcillationes fuas abfoluat ; hac enim cognita fimul quoque motus ofcillatorius corporum propofitorum innotescit. §. 2. Qiiod vero ad ofcillationes corporum flexi- bilium attinet, de iis duplex ftcienda eft quacflio. Nam antequam penduli fimplicis ifochroni iongitudo determi- N 2. nari too METHOBFS NOFJ ET FACILJS nari potcft, figiira, qnam huiusmodi corpora flcxibilia iuter otcilLindum induunt, debct definiri^ nifi enim h:iec fit cognita, quid potentiae in ea agentes cffi- ciant , afiignari nequit. Ad motum igitur oscillato- rium corporum flexibilium inueniendum requiritur, vt figura eorum, quam quouis momento inter ofcillandum induunt, determinetur ; quo fii(fto focile erit Jongitudi- nem pcnduli fimplicis ifochroni aflignare. §. 3. Huius generis problcmata iam quacdam a Geometris fimt pertradata , quorum primum , cuius CL Taylorus elegantem dedit folutionem , circa olciilationes chordarum muficarum tenlarum verliitur, quibus oscil- lationibus loni eduntur. In hacq-ie tradatione C/, Tayloms primo curuam, quam chorda vibrata format, determinauit j ex eaqne pallmodum numcrum ofcilKitio- num , quem data chorda dato tempore abfohiit , definiuit» §. 4.. Huc quoque pertinet problema de ofcillatio- nibus fhnis feu catenae perfede flexilis, cuias practcrito anno C/. B.rmullius fohitionem huc tranfmifit; quod- que idem problema polhnodum aha metodo fatis bre- ui et ficih refolui, paritcr hic coram fijcietate prae- ledi. In vltimis vero , quas ad mc dcdit Ch Benwul- Uus y httcris mentionem fccit ofcillationum laminae elafticac akcro termino paricti firmo infixae , atque aequationem mihi pcrfcripfit a fe pro curua , quam lamina ofcillans facit, inucntam cfl": •, de (lua autcm adhuc anceps hacrcbat, vtrum conucniat , an fecus: propterea quod hacc quaeftio tam fit intricata , atque in ea rcfol- iienda crrorcm committere admodum fit prochue. DE MINIMIS OSCILLATIONIBFS CORPOR.ioi §. 5. Ego qiiidem , quamiiis valde fiicilem et latep:itentem eflem adeptus methodum curuam funis perfecfte flexilis ofcilinntis determinandi ■ tamen ex ea parum vtilitatis ad curuam lammae elallicae ofcillantis inueniendam haurire potui. In mentem igitur mi- hi venit aUa methodus Luiirune patens atque ftaticis tantum principiis nitens, cuius ope non fokim has de ofcillationibus laminae elafticae et funis fufpenfi quae- lliones mira flicihtate refohii , fed omnia quae ad ofcil- lationes pertinent promptiflime expedire pofTum. §. 6. Ahis enim, iisquc maxime diuerfis metho' dis funt vfi au(ftoies , qui de centro ofcillationis feu ofcil- lationibus corporum rigidorum egerunt , ahas etiam C/. BernouIIius et ego methodos ad ofcillationes funis fufpenfi flexilis inueniendas adhibuimus. Ex diuerfls quoque principiis Ciariflimi Viri Taylorus , loh BernouUi^ et Hermannus ofcillationes chordae vibratae deriuauerunt. Ea vero methodus , qua problema ofcillationum laminae elafliicae parieti fixo infixae refohii , ita eft compara- ta, vt eius ope quoque fupra memorata problemata omnia fumma cum ficilitate refohii queant. §. 7. Q110 igitur hanc methodum , qua omnia huiusmodi problemata circa ofcillationcs corporum tam rigidorum quam flexibihum refolui poflTunt, commodif- fime exponam, confidero ante omnia pendulum flmplex, et ofcilfuiones, quas peragit: quippe ad quod quorura- que corj:orum ofcillationes funt reducendae. Contem- plor aiitem ad hoc inftitutum ofcillationes minimas tan- N 3 tum 102 METHODFS mfA ET FACILIS tiim , eo qiiod liAe fiint inter fe ifochronae tam in pen- dulo fimplici , qiuun in corpore qnocunque : cum maiores orcilhuiones cum pendulo iimplici ninliimc comparari queant. Figuiai. § 8 gjt- ej.go OM pendulum fimplex in O fus- penfum et in M habens pondus alligatum , cnius rnaflTi fit M. Dcclinet hoc pendulum a IVatu quietis feu rcfta vcrticah OA angulo infinite paruo AOxM, ita vt arcu- lus M A pro reda horizontaU haberi queat • voceturque longitudo huius penduli OM=^/; et ipatiokim AM corpori M percurrendum , donec in (latum quietis per- ueniat— )fe. Vis grauitatis porro, quae corpus M dcor- fum vrget, aequatur ipfius ponderi feu ipfi M. Ex hac vero per refolutionem oritur vis corpus verfus M A vrgens = ^=:^;V^ =T' ^^^^^ ^"■'"^^"^o -^^'« ^' mili triangulo OAM- §. 9. Ponatur haec vis folUcitans corpus M fe- cundum MAzr^; erit g—'j\ vnde oritur /z::-^. Si igitur corpus M fecundum dircdionem MA vrgea- tur vi g , eique percurrendum fit fpatium M A 1:1: ^ , donec in flatum quietis pcrueniat^ erit tcmpus, quo ex M in A peruenit, aequale tempori desccnfiis pcnduU lon- gitudinis y'' ^' qnidem dum corpus pcr MAinccdit, vis ad A vrgens proportionaUs fucrit dillantiae corpo- ris ab A. §. 10. Ex his ergo pcrfpicitiir , quomodo , fi detur maffa corporis et via pcrcurrcnda atqne vis corporis fecundum hanc viam foUicitans, inucniri debcat Umi- gitudo DE MINIMIS OSCILLATIONIBVS CORP: 105 gitudo pendiili fimplicis eodem tempore defccnrum fen femioicillationem flbfoluentis, quo illud corpus viam liiam abfoluit. Illa autem via efl: fpatium , quod cor- pus percurrere debet, donec in ftatum quietis perueniat. Dum vero corpus in hoc (patio mouetur , \:s illud Ibl- licitans femper elt proportionalis diftantiae a ftatu quie- tis , fi quidem minimae ofcillationes fucrint ilbchronae, Id quod ex cafibus deinceps euoUiendis patebit , in qui- bus vis fingulas particulas vrgens proportionahs quoque reperietur diftantiis ipfirum a ftatu quietis.. §. II. Si igitur plura corpora fimul in ftatum quietis peruenire debeant, oportet vt in iis quantitas Y fit eadem. Qiiocirca potcntiae ea corpora fecua- dum direcflionem , in qua mouentur , ibliicitantes debent efle in ratione compofita ex rationibus maffarum et fpatiorum percurrendorum , quibus confedis in ftatum quietis perueniant, feu in quo fitu in quiete perma- nere poterunt. §. 12. In omni ergo corpore ofcillationes pera- gente fpedandus eft ante omnia ipfius ftatus aequilibrii, in quo fi femel fuerit in quiete , in eo perpetuo fit permanfLirum. Hic enim ftatus refpondebit fimi pen- duli fimplicis verticali in quo iblo quiescere poteft. Deinde illud corpus parumper ex hoc ftatu eft detur- bandum , et inquirendum , quanto interuallo quaeque particula ab eo loco, quem in ftatu aequilibrii occu- pabat , diftet ; quod erit fpatium percurrendum . De- nique X04 METHODVS KOVA ET FJCILIS niquc , quo omnes piirticulne iterum fimul in fitnm aequilibrii perueniant, dcbet eire putL-ntia, quae vmun- quamque particulam iecunctum ipfius \iac percurrendae dn-cdionem Ibilicitat, Yt fiicflum ex miffi particuhe in viam percurrendam. §. 13. At fi fiugulae corporis ofcilkntis partes adlii ab aliis viribus atque in aliis diredionibus follicitcntur,tum loco illarum virium aliac fubftitui debent, qu.^^e fingu- las partes iccundum fpatiorum percurrendorum dircdio- nes follicitent , et proportionaks fint fidis ex maflis ipfvi- rum particularum et viis percurrcndis. Haeque poten- tiae tantae funt accipiendae , vt omnes aequiualeant ipfis potentiis corpus aflu ibllicitantibus. §. 14. Cuni igitur hae potcntiae fubfiitucndae ipfis potentiis corpus (bllicitantibus aequiualerc dcb.ant, ex ila- tica condat, fi earum loco potentiae ipfis aequalcs at fecundum dircdioncs contrarias agentes colloccntur , tum corpus cifc dcbcre in acquilibrio. Qiiamobrcm iftc ita- tus aequilibrii erit dcterminandus, quo definito tempus innotefcet, quo corpus fibi relidum oicillationcs fingulas flbibluat. Hac crgo ratione tota circa olcillationcs cor- porum vcrfans disquifitio ad flatica principia rcducitur. Qiiae omnia ex fequentibus cafibus mclius pcrcipicntur. Fig. a. §• 15- Sit virga rigida grauitatc fcn potius omni matcria dcitituta et qnatuor ponduitulis A,B,C,D onuik; eaque circa O ofcillationcs pcragat , dum in fitum acquili- brii Od acccdit, ex coquc in alteram partem reccdit. Huius- DE MINIMIS OSCILLATIONIBrS CORP. 105 Jluiusqiie penduli compofiti requiritur tempus vnius cu- ius]ne orcillationis. PoiTamus longitudinem penduli fim- plicis irochroni efTe _/', quod icilicet pendulum eodem tcmpore dcfcenfum abfohuit, quo tempore virga ODia fitum Or/ pertingit. §. i5. Qiio autem virgA OD in fitum Ort^trans- fcnitur corpuscuiis A,B,C, et D percurrenda funt fpii- tia A(7, Bi!i,Cf , et Dr/, qune ob angulum DOrt^uifi- nite paruum , pro lineis horizontalibus haberi potcrunt, Omnia vcro haec corpuscula in Art' fimul eodemque tcmpore, quo pcndulum / descenfum ablbluit, pcrue- nient, fi ca lecundum dircdiones A ^, B/?, C f et D^ vrgeantur vinbus ^-, -/-', ^- et ^-^ re(peaiiie. Qiiare fi his potcntiis aequales in direclionibus conira- riis Aa, Bg, Cy etD5" applicentur , hae virgam AD ,in hoc fitu AD in acquilibrio feruabunt, §. 17. Singula vero corpuscula A ,B ,C et D rcip- fi vi grauitatis dcorfum tendunt viribus ipfis eorum maf- fis proportionalibus. Quarc hae potentiae deorfum tra- hcntes cum iihs horizontalibus Aa,Eto,Cy et D(5~ in aequi- Hbrio debent elfe conltitutac, At momcntum ponderum A , B , C , D ad virgam circa O conuerteindam efl: — A, Art-H-B. M-i-CCc-i-B.Vd Momentnm vero potentia- , . ,. ,, A Aa. AO-4-B.B5.EO-l-C.Cc. CO-+-D.Dd.DO rum horizontalium elt f Quae momenta cum debeant efle acqualia prodibit /— A.Aa.AO-f-B E6.B0-(-C.Cl-C0-+-D.I>J DO ,, i^ v j i i- xiripBTBfircccZD.Di— , quaeert longitudo penduh fimplicis ifochroni cum pendulo compofito OD. Tom. Vll. O §. 18. ic5 METHODVS NOFA ET FJCILIS §. i8. Sunt aiitem fpatia fingulis corporibus percur- renda A^, BZ',^ f,Dr/ dilbntiis ipiorum a polo O pro- .. „ . -j A Ao--(-B.EO'-t-c. co--+-n. no* portionaiia. Qiiocircii ent/— ^7x0^ b.-Fq-^ c.c oqrD^-Do Qiiae exprcflio crt ea iplii , qaae ex re^ulis iam latis cogiiitis pro diftantia ccntri ofcillationis a polo O inue- nitur. Eit enim didautia ccntri ofcillationis a polo O nil aliud, nifi longitudo penduli fimplicis ipfi compofi- to OD ilbchroni. Cognita crgo longitudine / innote- fcit numerus ofcillationum , qucm hoc pendulum com- pofitum OD dato temporc abfoluit. Figura 3. §. 19. Siu autem pondufculaT quae virgis rigidis inter fe connexa circa polum O olciliari ponuntur, non fuerint in hnca red.i fita, primo cafus acquilibrii cft: fpedandus, qui fit is , qui in figura repracfentatur , ia qua tria pondufcula A,B,C ex polo O luntfuspenla. Ho- rum ergo pondusculorum ccntrum grauitatis erit pofuom in redla verticaU OF. Qiiarc i\ dcmittantur ad hanc verticalem pcrpcndicula AE, BF et CG erit A,AE-|-B. BF — C.CG. §. 20. Conftderetur iam triangulum ABC circa pohim O infinite parum conuerti , ita vt A in ^, B iii i», atquc C in c pcrucniat, crunt haec elementa Aa. Bl?,Cc- inter fe vt AO,BO ct CO. Sit iam/lon- gitudo penduU fimpUcis dcrcenfum eodcm tempore ab- foUicntis, quo tria pondufcula ex fitu al;c in fitum ABC pertingunt. Hoc pofito erit vis quae corpus A in a fe- cundum aA vrget —^'^-j^\ fimiUterque vis corpus B iu- xta Z/B vrgcns rr^^ , et vis corpus C pcrfCvrgtns "z^-^-j- Harum crgo virium momcnuim in polum O crit DE MINIMIS OSCILLATIOmBVS C02?P. 107 erit — j — — . Momentnm vero, qiiod oritiir ex ponderibus corporum A, B, C iii a^b^c (ito- nim inO, e(t - A. AE-^-B. BF-C.CG -f- -^-^"-4- B.O^.Ei , C.OG.Cc . r t A A T- , -n ■ i /-< -g5--H--'co — » "^ ^"'^ formiila A. AE-|- B. i:;! -C. CG ell: — o, propterea quod ABC eft ftatus ae.^uili- brii, §. 21. Cum igitur h:iec duo niomenta inter fe de- 5 /T « 1- • A. An. AO-I-B E&.BO-I-C. Cc.CO A Ac. OB beant efle aequaiia eut ~ — j — ^ — ~a6 ~ . B.B&.OF , C.Cc. OG ^ . ^ A T> 7 /^ r ^ ■ r H- - Bo "-^ ~"co '• Q.^"'^ autcm A^, BZ^ Cf, funt ipfis * /^ T-)/^ /^r^ ■ I- • A. AG--i-B BO--f-C. Cu'* AO, BOetCO proportionalia, erit - — j-^ iz:A.0E-4 B.OF-f-C.OG. Ex qua aequatione ori- r A.AO^-f-B.EO'-HC.CO* T- ■ ^.. . A.OE-I-B OF-f-C.OG tur f- Ax..E-5.orH-c.o— • Fxprimit autem ■ k^y^^c-^ diilantiam centri graujtatis corporum A, B, C a polo O, quod fi ponntur in M , erit longitudo penduli fimpHcis ./- , ■ r A.AO'-HBBO'-t-C.CO' . ^ j ,, ifochroni /— — — _^,b_^,^:;om , quae quantitas dat quo- que dilbnitiam centri oiculutionis a polo O. Ex liac ergo nilcitur fequens regula pro centro ofciilationis cor- poris cuiuscunque rigidi circa punctum fixum. (>fcill.intis inueniendo. QiiaeJibet particiila multiplicetur in quadra- tum dftantiae Juae a poh , et horum factorum jumma di- uidatur p?r majfam totius corporis in diftavtiam centri gra^ uitatis a poh dudam\ (luotusque dabit diftantiam centri of- cillationis a poh feu hni^itudinem pendu/i fimplicis ifchio- ni. Haecque regula fufficir ad ofcilhtiones quorumcunque corporum rigidorum circa polum fixum determinandas. §. C2. Hic quidem pofuimus omncs corpcris ofcil- lantis partes cum polo O in eodem fitas elTe plano , O 2 easque ItWfHODFS NQFJ ET FJCILIS eai ,ac in eodem p!:ino ofcillationes abroliiere ; nihild \ero niinus h.iec eadeni rcgula v.ilet , ii \cl omnes' partes^ non in codem pkno tacrint pcjhtae, vel ofcilln- tioiics noa in eo plano peragantur. His cnmi in ciifi- bus non tantum pohis feu pundum debet confiderari , fed iixis feu hiica horizontahs, circa quam olcilhitiones abfoluuntur Hic enim iterum c]uaeuis particula in qua- dratum diftantiae fuae ab axe ert muhipheanda , et fum- ma omnium ficftorum per fKfbum ex tota ofcillantis cor- poris malfa in dillantiam ccntri grauitatis ipfius ab axe diuidenda , cx qua diuihonc ortus quotus dabit centrum ofcihationis feu potius longitudincm pcnduh ifochroni. Hinc inuenitur Theorema Hugenianum pro globo ex iv.a- teria homogenea conlhmte AB circa pohim O oiciilante, Figura. 4. qiiod fcihcct centrum ofcihationis 2 fcu iongitudo pen- duH fimphcis ifochroni ht OZ — 0CH-|-^ , cxiften- te C centro globi. §. 23. Dantur autcm practer mocum ofcillatorium corporum rigidorum circa pokim fixum , cx quo funt fufpenlh, infinita aha olcihationum genera. Qiiorum ■vnicum fitis notum , nequc tamcn a quoquam , quan- tum mihi condat cxpohtum , hac mcthodo pcrtradabo , untcquam ad corpora flcxibiha progrcdiar. Conrtat au- tem hoc ofciUationum gcnus in motu rcciproco curua- rum vel corporum quorumquc bafi conucxa (iipcr pla- m fupcrficic vaciUantinm. Qiicm motum , necummo- tu olciUatorio modo cxpofito contimdatur , vaciUatorium appeUari conucnit. In hoc motu vcro notandum crt pla- DE MINIMIS OSCILLJTIONIBFS CORP. 109 planiim , fupcr qiio fit, aliquantiilum arperum effe po- nen.Uun , ne curn:ic de loco fuo incer vaciilanuuni di- moueri quc.uit, qiiod eueniret fi pknum maxime foret politum^ §. 24. Sit igitur BAD bafis fen fedio verticalis P'&"" >• corporis liiper plano EF vacillantis, cuius in imo pun- dlo A curuaturae radius fit A C ; in hocque fitu fit cor- pus in aequilibrio, atque M fit particula quaecunquc hu- ius corporis, Qiioniam vero in hoc fitu BAD cor- pus ponitur efle in aequilibrio, erit eius centrum gra- uitatis in recta verticali AC fitum. Qiiamobrem erit fiimma omnium fatftorum ex particulis M in difiantias iplarum MQ_a verticali A C zn o , fimuis nempe diihn- Ciis particul.irum ad alteram partem rccflae AC pofita- rum ncg:uiuis, feu erit /M. M Qzno. lam vacillet hoc corpus parumpcr, vt vcniat in litum baa.dy in quo d eft pnnd:am conta(5lus coiporis cum plano EF et ra- dius «f; quo motu punclum A in a perueniet, et M in 7/;, ita vt fit ;:ng. Ma?;/ fcn MN wz:: C<.-7<.- feu ACa atque elemcntum M//i normale erit ad rec%mMa vei MA. § 25. Pofito nunc corporc BAD \\\ fitu bad^ /, determinari debet vis id rurfiis in ftatiim a dcmilfo cx ;;/ uiEF pcrpendiculo mp. Cum autem fit C A : A a = A M : M ;;/ ; erit M ;;/ n: '^^K" \ - , O 3 vnde ' iio NOFJ METHODFS ET FACILIS vndc crit A M : P M — M ;;/ : V p fcn Fp- —^. Ex his ^t pa- PA-4- Aa-r/>--PA -f- '-^^'^ := PA -+- ^^*. Partiailae ergo M momcntum eil: M.PA-f- — ^x"~' Atqne rLimmn omninm momcntorum erit rr/M. PA-f- /'-^^f^«~y^- , qnia /M. PA acquale elt nihilo. §. 26. PonamU:^ iam longitudiiicm penduli ifochroni rr_/, erit vis punctum ;;/ lu Ivi lolhcit;ins zz ^ jz.—^^'— , . • • M. AM'.Aa /-v liuiusqiie vis momentum in a — ~]^-. Omnium er- , ;- ■ ' , M.AM-.A* ,• Aa. go horum momentornm lumma ent j — q.^ j~ ku-^ /M.AIvi'', ob Aa, CA et / coalhuites quan- titiites. Haec vero momentorum iun-ma acquihs efle debet fummae momcntorum inuentae J — caT— ieu yt / M. CQ^, vnde habebitur ilhi aequutio jJm.C\1—JA. AM', ex qua fit/— jli^, quae expretho uut lon- gitudinem penduh fimplida iibchroni , quod iisdcm t>.m- poribus ofcillationes •abfoUiit, quibus corpus BA D fupcr plano EF vaciUationes peragit. Qiiociica hinc tcmpus cuiusque vaciUationis deiinire hcet. §. 27. In formula autem inucnta defignat/Al.CQ^ diflantiam centri grauitatis corporis a C in malfim to- tius corporis duclam. Si igitur G fucnt ceutvum gra- iiitatis atque maffi totius corporis ponatur C , crit lon- gitudo pendnh fimphcis ifochioni — c.cg"- Ponamus autcm ad comparationem inilituendam cornus in fitu dcor- fum conuerfo circa A ofciUationes abfcUiere, crit lon- gitudo penduU fimphcis ubchroni zz-^^-z^iS^' ^^^^^ ^'^S-^ hac DE MINIMIS OSCILLATIONlBrS CORP. iix hiic peudiiU longitndine per pnorem regalam iniicnt-.i , qiiae fit F; erit F. AG=r/. CG iitque/iz; -^jI— . Si igi- tur inuentae fuerint ofcilhuiones corporis ex A fuspenli, innotelcent (imul viiciUationes fuper piano EF. §. 2S. Sit machina vacillans bafin BAD habens pjgura 6. omni materia dcftituta praeter vnicum pondnfculiuTi M in axe CA fuum. Vacillante ergo hac machina Ibpcr plano EF, erit londitudo penduli fimphcis ifochroni — cTf. Vnius igitur vacillationis tempus erit vt ^jj. Atque quo dato tempore, eo Icilicet quo pendulum fimplex / ofcillatur , vacillationes abfoluantur , debet elfe AM^rr/. AC-/.AM. Qiiare inuenitur AM — -|/-j- V (i/' H-/.AC). §. 29. Conlideremus iam legmentum circulare BAD ^'S"™ T» ex vnifjrmi conllans materia vacillare fupcr reda EF. Ponaciir AC — a:, AHzzzl/., AP=r:.r, erit applicata PMrz" V( 2^.v — jt-.r). lam in elem.ento M?pm, ca- piatur particula [x exillente P[xrr.s; erit ilta particuk z^t/xdZy quae duda in A|x quadratum dat dxdz{x^ -hc;'), cuius integrale pofico .v conftante efl: .v'.s;rt'.vH- ^^-^. Fi.it ^ — y ( 2.(7.v— .v.v) , erit fumma fadlorum ex fingulis elementi m P particulis in quadrata diftantia- rnm ab A ~ dx{ '-^ -|- '-^- ) V ( 2 ^.v— .v x)^ cuius duplum -"^— (^-l-.v) V [^ax-xx) relixindebit toti elemento MMww. Haius uifl-reatialis intcgrile denuo fumtum dat 3 a^Jdx l^ y ( 2ax - .v.v ) - ( ^^^ )(->'? X - X X ) '. Ponatur .v — b prodibit j'M. AfU^ j-ro toto fegmento BAD::=^-r.BA DB-iZ.BiP-iAIliiH^ §.30. jii METHODFS NOVA ET FJCILIS §. 30. Ad runimam Ycio ipdirum M.CQ_ innenier)- dain , multiplicecur clemcntum M M ?« ;/; — 2 dx V ( 2^?,?; — XX ) per C P zn . Si ergo virga fuerit perfede flexilis ; euancfcet V , idcoque haec aequatio 'Ex-{-Yy-{-J?dx-\-fQJjz=io^ dabit naturam. curuae quaefitae. Figura 9. §. 3^. Sit funis perfede flexilis B^r ex B fuspen- fus, qui ad ofcillationes minimas peragendas fit impul- fus, ita vt in medio cuiusque olcillationis in fitum B« perueniat^ ad quam legem quascunque ofcillationcs -vt libet initio irregulares reduci cxpericntia deraonftrat. Sit nunc BMA figura, quam funis inter ofcillandum induit , quae , quia infinite parum a verticali B a decli- nat , erit A a linea horizontalis , et arcus B M A zr: B/7. Exponant applicatae Nm curuac DN craflities fiinis in refpondentibus locis M. Ex A ducatur vcrticalis AP^ voceturque AP — .r — ^?;/, et PM— >' atque N7Ji—q. Erit ergo qnam proxime arcns AM~AP = .v, atque hinc pondus clcmenti arcus AM erit — qdx. Pona- tiir ha^b., et M/« — w, erit y — h-u. %. 35. Sit porro longitudo penduli fimplicis ifo- chroni rz/; nccclfe cfl: vt quaeuis particula M , quae eft qdx foliicitctur \erius Mw vi, quac cft ='^-jr^, eft cnim yim^^u fpatium particulae M percurrendum , quo in ftatum acquilibrii pcrucniat. Eundem igitur hae poten- tiac in finguhs pundis apphcatac eifcclum produccnt , qucm vis grauitatis, qua fingulae particulae funis deor- fum vrgcntur. Qiiamobrcm fi in finguhs pundis M po- tentiae '^ verfus contrariam plagam M P applicatac con- cipian- D£ MINIMIS OSCtLLJTIONIBFS COR?. 115 cipiantnr, funis BMA ab his potentiis et propria gra- uitate follicitatiis erit in acquilibrio. Cum auicm P de- notet fummam omnium potentiarum MP, eritPrr /^* Pondus porro particulae M cft — ^^^a' et fecundum MQ^ tendit , quae diredio illi , quam in generali propofitio- nc alTumfunus eft contraria ; hanc ob rem erit Qjzz—Jqdx, E vero et F euanefcent. Ex his inuenitur ifta pro cur- ua BMA aequatio /^A'/^-7^i=./ atque .v — 57^ x m ar- cum circuli cuius finus elt j exiftente finu toto —l;. §. 44, Sit tota chordac longitudo AB— ^, quac ex acquatione inuenta prodire dcbet, fij altcra vicc eua- nelccre ponatur. Hoc vero cuenit, fi artus ilie civniU aequa- JDE MINIMIS OSCILLATIONIBFS CORP. 121 aequalis fit femiperipheriae , quo fado erit x~a. Sit ergo 1:7: ratio diametri ad peripheriam erit iilfkmi- periphcria circiih radii b. Quamobrem erit a—~i7^ feii V/— ^f atque f:zz%%^ quae eft longitudo penduli fimplicis ifochroni , in qua F pondus choi-dam tendens, a longiuidinem chordae, et ga Itii fgdx pondus (eu maflam chordne fignificat. Sit autem pondus chordae z^p erit/— ^. Singularum igitur vibrationum tem- pora erunt in ratione compofiia fubduphcata ex direcftis longitudinum et ponderum chordarum et ex inuerfi pon- derum cliordas tcndcntium. §. 45. Qi\o autem appareat, quoC ofcillationes chor-' da dato tempore fcihcet minuto fecundo edat • confiderari debet longirudo penduii fimphcis finguhs minutis fecundis ofciUantis quae ert 3,i , erunt A,/)-A, 2/)4-A, Sp-A, 4-p-^A, 5P-A, 6p-\~A etc. item --/» — A , — 2/)-+- A , — 3/) — A, — 4/)-+- A, — S p-A ^ etc. omnes arcus, qiiornm finus eft idem ^. Q]iam igitnr luirc afTumfimus feriem a7 b ^ c ? d» ^^<^- ^^ transmutatur in hanc i, ^, ZTp^x^ 7p'-^\^ Zrr?-f-"Ai riz^A ) ::rTFiA , ^T-hTS , =77+1 etc Horum ergo omnium termi- SERIERrM RECIPROCJRFM. 127' tcrminoriim riunma cfl: —3, ; fiimma aiitem fii(florum ex binis terminis huiiis leriei elt aequalis o \ fumma fado- rum ex ternis ~~ly^ fumma fadorum ex quaternis nro; fumma fiicflorum ex quinis — , , "^'tV" ? fum- ma fiidorum ex fcnis ~o. Atque ita porro.- §, S. Si autem habeatur feries quaecunque a-\-B -^c~\-d-{- e-\-f-\- eic. cuius fumma fit a, fumma fadorum ex binis terminis ~S; fumma fadorum ex ternis ~y; fumma fi(ftorum ex quaternis —o^ etc. erit fumma quadratorum fiugulorum terminorum, hoc eft a- H- />' -I- c-- -f- ^' -h etc. — a- — 2 ? ; fumma vero aiborum a^- -\-b^ 4-^"' -i-^'etc.~a'-3 ao-H 3 y ; fum- ma biquadmtbruni ~ a* — ^a^S-j-^ay-l-sS'— 4.1^. Qiio autem clarius appareat, quomodo hae formulae pro- grediantur, ponamus ipforum terminorum «■, b\ c^ d, etc. fummam elfe ~P,/ fummam quadratorurh — Q, fum- mam cuborum — R, tiimmam biquadratorum =:S , furn- m.am poteftatum quint.irum — T, fummam fextarum~V ctc. His pofitis erit P — a ; Q_3:Pa— 2 g; R — Q_a — Pg-H3y;S=i:Ra-Q_g-|-Py-f-4^; T:=:Sa-Rg H^.Q_y-P(5^-f-5e; etc, §■. 9. Cum igitur in noftro cafu feriei A 1 f — A' — p-A^ rpVx^i ^^4::^' 7p^^ ^^rf^A etc. fumma omnium ter- minorum fcu a fit —3,; fumma ^iiftarum ex binis leti t- o , atque vlterius y 3: ^^^ ; ^ — o ; g — TTT^r^'. ^— :o ; etc, erit fuinma ipforum illorum terminorump—j; &mma* quadratorum. illorum terminorum Q_— -— j^; fumma 128 DE SFMMIS rumma cubomm illoriim terminorum R :^ 3^ — 7:773, i ^um- mn biqnadnitorum 3:=:-^- ^r^- Atque porro T — j __Q-_4_ L_-. V — ^-^^H-— ^— • W-- i.2.3.j)( ^^ i.2.3.+.jy 7 * — y 1.2. 3. j I 1.2.3. +.5.5' > " — y rrT^H-, -7X7:^3? -■-7-±7.T3- ^^ qua lege facile reli- quarum altiorum poteftatum iummae determinantur. §. 10. Ponamus nunc finum P M "j aequalem ra- dio, Yt fit .7—1, eritminimus arcus A cuius finus cft i qu.irta peripheriae pars, — 5/», feu denotantc ^ quartam peripheriae partem erit h — q et p~^q. Supcrior er- go feries abibit in iftam | , ^ , 7^ , - ^ , vi ' + ;? 7 - ,\'> — 7„ , + Iq , -H p\ , ^•^c. binis terminis exilkntibus aequa- iibus. Horum ergo terminorum fumma, quae eft — (i-i-i-|-i-|-s-Tf-+- etc. ) aequalis eft ipfi P~ i. Hinc igitur oritur i — i -|- 1 - i -i- ■._-■_ -^- etc. — f —%. Huius ergo fcriei quadrupkim aequatur femipcriphcriae circuU , cuius radius elt i , fcu toti peripheriae circuli, cuius diameter eft i . Atque haec eft ipfa fcries a Leib- nitlo iam pridem prolata, qua circdi quadraturam de- finiuit. Ex quo magnum huius methodi, fi cui forte ea non fatis certa videatur , firmamentum clucct ; ita vt de reliquis, quae ex liac metliodo dcriuabantur , omnino non liceat dubitaii. §. II. Sumamus nunc inuentorum fermiriorum pro calu qiio yzri , quadrata, prodibitque haec feriesH-^s -^q^ + s1^-+-,r^-Hi^H-2T^-^etc- ciiiiis fumma eft -z( W- 5 -+- 5' -H h H- etc. ) , quae ergo aequahs efle de- bct ipfi Q^r:zP— i. Ex quo fequitur huius feriei i -|-| S'— ■^' crit miniiniis nrcus liiiic finui refpondens 60°, idcoqne A — ^p. Hoc ergo Ciifu le- quens prodibit feries terminorum ^ ^ \ — — — - -i- ^ -+-^:^ etc. quorum terminorum fumma aequalis el^ ipli ^ -;.. H.ibebitur ergo f^ — i-]-i~i-i-^L-^-^^ — /f-f- etc. Summa vero quudratorum illorum tcrmi- norum eft — ^ ~ ^ ; Ynde fequitur fore %^—i-{- i-f- i\ -h 3J-1- +'9-+-5+H-etc. in qua ferie defunt termini ter- nario conftantes. Pendet autem haec feries quoque ab i(b I -f- r! -I- 5 -f- T 5 etc. cuius fumma erat inuenra ~ ^' • nam fi haec feries fui parte nona minuatur prodit ipfi fupcrior feries , cuius ideo fumma debet efle ~ ^J' ( i — i) ^%^. SimiU modo fi alii aflTumantur finus , ahae pro- dibunt fcries, tam fimplicium, quam tcrminorum qua- dratorum altiorumque poteftatum , quarum fummae qua- draturam circuU inuoluent. §. 16. At fi ponatur / n: o , huiusmodi feries non ampUus aflignari poternnt, propterjin denominatorem pofitiim, (eu aequationcm initialem per j' diuidmi. AUo autem modo feries inde deduci poterunt , quac cum fint ipfae feries 'x-\-^^~^\-\-\^ etc. fi n cft num.erus par: quemadmodum harum fericrum fummae fint inue- niendae , feorfum ex hoc cafu quo j— o deducam. Po- fito vero y — o ipfa aequatio fundamentalis abitin hanc o —j-— ^-^-h ,.,',.,.;— ,., 3.1;. 6.7-+- etc. cuius aequatio- nis radices dant omnes arcus, quorum finus eft n:o. R 2 Ert 13 2 DE SVMMIB Eft autcm vna minimnque radix j- — o , quare aequnt ^ per s diuifa exhibebit reliquos arcus omncs, quorum fr- nus eft —O^ qui arcus proinde erunt radices huius ae- quationis o :zi i -.-£-{- 7;—:— - 7-7-^— -^ ctc. Ipji irero arcus quonim finus eft — o funt ^,— ^,-j-2j5, — 2p, 3p, — 3/> etc. quorum binonuTi aker altcrius cft negati- uus , id quod qnoque ipla aequatio propter dimenfiones ipfius s tantnm pares indicat. Qiiare diuiforcs iUius ae- quationis erunt i — | , i ^-f , ^ — 4' ^ "^i^ ^'■^" ^^^\^^ coniungendis binis horum diuiforum erit i — .t^t "^ TTTTs - {Tjr^^iT}-^^^^' — ( I -jp ) ( I -;p)( I -s"pO( i-rfi-f-) etc. §. 17. Manifeftum iam eft ex natura aequationum, fore coefficientem ipfius ss feu — aequalem ^-f-;p -i-^-HTrf^-l-etc. Summa vero fad:orum ex binis terminis huius feriei eric =: , ^ ' ;^^ ; fummaque fii(floruni ex ternis —ttZITZTTT^^^- ^-"^^ ^^ ^^^ ^"^^^ i\x^t% §•8- ^ = ±3^ ^^rTTTrr; Y^TXTTT.— .; etc. atque pofita quoque fumm.a terminorum ^2-h -^i -f-7p H- r^ -f- etc. ".::: P , et fumma c]uadratorum corundem teimi- norura — Q_; fumma cuborum =:::R; iiirama biquacra- torum —^\ etc. erit per §. 8. V — a — ^^—\\ Qpi Pa-28=r/,iR=::Q,a-Pg-|-3Y-5^^;S'=Ra-(;^8 -f-PY-4^ = ,i,,;T=i:Sa-Rg-4-Qy-P^H-5e- ,,!,,; V=rTa-Se + RY-Q.^-hPe-^<^=^^.S.;is etc. §. 18. SERIERrM RECIPROCARFM. 133 §. 18. Ex his ergo deriuantur fummae fequentes: H-^4-f?-{-^.~-|-p etc. =f;i=:P 3-l-?*-i-r*-i-4^-H,4 etc. — fg— Q_ I H-ra -^-^ 4-75 H-r« etc. — t'i = R i-H^T-f-jT-f-^T-h^. etc. —5^/5=: S I -i- ,To 4- j^ -i- TTo -f- jfo etc. — pf 5 °s ■=: T i4-r--l-3-^^4-;^-Hp-^etc.=:^-=:V. quas leries ex data lege attamen multo lahore ad al- tiores poteftates produci poffunt. Diuidendis autem lin- gulis feriebus per praecedentes orientur fequentes aequa- tiones: p^ = 6?-'-^=::^^=i~'='£=z'-^cic. qui- bus expreflionibus fuigulis quadratum peripheriae cuius diameter eft i , aequatur. §. 19. Cum aiitem ftariim (erierum fummae etiamfi vero proxime &cile exhiberi poflent , tamen non mul- tum adiumenti afferre queant ad peripheriam circuli ve- ro proxime exprimendam propter radicem quadratam , quae extrahi deberetj ex prioribus feriebus eliciemus exprefliones , quae ipfl peripheriae p flnt aequales. Pro- dibit autem vt fequitur: R 3 P=4 %UDE SmMlS SERIERrM REClfROCARVM, 4 (i_H-i-i-|-i-,V-4-etc.) -( = 3 =v( Ldi I — I — 1-4- 1 + •etc -Hr^ - fj-}-p - ,-pH-etc. -i-,4-l-;^H-,-.4-,i.-4-etc + T; -i- f* -f - ^ -i- ^+ -i- etc _|-4_ ^^_|_-^__i,-}-etc -|-,T— ~s-\--k — r,s -\- ctc. -f-,-^ -f-rs -h-/« -i- rr^-i- etc etc. etc etc ) ) ) ) ) :) DE DE LLMEx\ CELERRIMI DESCENSVS IN MEDIO (^v/OCVNQVE RESiSTENTE. , AVCTORE 0 Leonbc Euler^ V;ie ciiruae ad certum quendam motum produ ■ tabuk viiif cendum in \;icuo nou multo labore inueniun- tiir, eaedem in medio refiftente non (olum labo- rem muito maiorem , Tcd etinm plus rolleriiae et cautio- nis requirunt. Saepenumero quoque' euenit , vt multa problemata in hypothefi medii refillentis Ibkitionem vel omnino refpuant \clin particularibus tantum cafibus admit- tant. Cuiusmodi ell problema tautochronarum , de quo an in aHa refillentiae hypothefi, praeter hmplicem et duplicatam celeritatum rationem refokii queat, \ehemen- ter dubito. f,- 2. Pertinet huc quoque probkma hneae brachy* fiochronfie feu cekmimi defccnfus, quod a Cel. loh. BsrnQuHi in hypothefi vacui Geometris propofitum mox pkires easque differcntes midum efl: foiutiones, quas in Adis Lipfienlibus, Transad. AngL Comment, Parifinis,, pkiribus.|ue ahis hbris videre hcet. Idem autcm prcble- ma in medii refiftentis hypothcfi ego primum in Acflis Lipf. A. i^id". fokiendum propoftii, cum ob eius nora eontemiiendam elegantiamy tum ob fmguhirem circum- 13^ DE LINEA CELERRIMl DESCENSVS fpevHiionem, qua in eius foiiitione vti oportet, ne quis in errc^rem incidat, §. 3. Poftquam autem hoc problema propoiiifrcm Celelf. Rennannus id dignum iudicauit, cuius folutionem diflcrtutioni dc motibus variatis Tom. II. Comment. infereret. Sed copi.i rerum , quas in hac differtatione per- tiaft.uiitviro ceLeriim perfpicaciflimo non pcrmiiifle vide- tur vt hoc problema, quod paucis Lantum attigerat, latis perpenderct, et folutionem inucntam accurate examinaret. Ex quo fadum ert , \t curuae ab illo aliignatae probkmati non conueniant, nec brachyftochronismi proprietateni poflidcaiit. Monui etiam hac de re beatae mcmoriae Vi- ruro per litteras, ipGque meam folutioncm a fua difcrepan- tem transmifi, vt in caufim difcriminis inquireret, ad quae mihi refpondit , fe vtique de fua folutione dubitare coepif- fe, et quam primum negotia conceflura eflent , emendatio- ncm fe perficere velle, quam etiam , nifi mors interuenis- fet, pio eius eximia integritate iam certe haberemus. §. 4.. Qiiod igitur ipfefeciflet, fi vixiflTct, non ar- bitror (.|uenquam aegrc laturum , fi idem ego fecero atque eius folutionem correxero. Hoc non (ohim non iniquum puto , fcd etiam ad id me oblhidum credo , ne forte poft- hac alii fint accclfuri , qui Vin eximii famam et exiflima- tioncm irto lapfu imminuere (iiflineant. Atque cum oflcn- dcro, quantam circumfpcdioncm adhuiubmodi errorcscui- tandos adhiberi oporteat, tum vnusquibque eo faciiius Viro dcfnncflo hoc crratum condonnbit, tum etiam mcum infli- tuti'm non reprthcndct, quo gcnuina metliodo problema a me pj.opofuum itfolucrc flatui. § 5. IN MEDIO OrOCrNQVE KESISTENTE. 137 f. 5. Praecipunm , ad quod in rolutione huius prob- lcmatis attendere debcmus , ell lcmma ex natura maximi et minimi petitiim , per quod dilpofitio duorum elemen- torum contiguorum curuae quaefitae determniatur, quo corpus ea breuiori tempore abfoluat defcendendo, quam quaeuis alia elemeiita inrra eofdem terminos pofita, Hu- iusmodi propofitio habetur a Uugenio demonrtrata , eaque vfus ell: Heniiawms in fua folutione : fed Yti mox apparebit, phis ei tribuit , quam oportebat, atque ad reftridionem, quam i!lii propofitio requirit, non fatis attendebat. Qiiam- obrem ct hoc Lem.ma Eiigeniamim et ahud latius patens atque ad quosuis cafus accommodatum in medium profe- ram. §. 6. Oporteat igitur in rccla FG definire punrtum M ex quo ad datos tcrminos L et N ducftae hneae LM, '^'^" '' MNa defcendente corpore tempore breuifiimo percurran- tur: fit autem celeritas corporis iupra FG~7;/ et nifra eam zz«, quocunquc aflfumto pundlo M in FG. His igitur pofitis debebit w^r ir ^^^ minimum , quia hac quantitate tempus per L M N afllgnatur. Qiiod Yt efficia- tur, punclo M proximum 7// e(l accipiendum , et dudis Lw, luN tcmpora per LMN et L7;/N aequaha facienda. Hi 1 I -^ LM , MN Lm , mN j uic ergo habebitur - -+- - — - -h — , ex quo de- fcriptis centris L et N arcuhs M/ et mg prodibit haec acquatio '^—~ feu ifta analogia 7nf:Mg~7n:n. Efl: vero mf ad M^ vt cofinus anguh L M F ad cofinum anguh G M N. Qiiocirca cofinus angulorum , quos haec duo elementa cum reda FG conftituere debent, funt celeritatibus, quibus illa elementa defcribuntur , propor- Tom. Vll. S tiona- 13 8 DE LINEA CELEKRIMI DESCENSVS tionales. Atqiie hoc efl: lcmma Hu^enianum , quo vfus Hcrinannus ad futim problematis Iblutionem peruenit. §. 7. Q_iio autem perfpiciatur , quam late pateat hoc lemma et quibus in cafibus pofnt adhiberi , ad hoc eft adaertendum , quod in eo ponitur , elemcnta omnia infra redlam FG fumta eadem celeritate n abfohii. Qiiamo- brem , nifi corpus in hisce omnibus elementis, pundo M vbicunque afliimto , eandem habuerint celeritatem , hoc lemma perperam adhibetur, atque in erroneam folutio- nem inciditur. Euenit autem hoc in medio refiften- te , atque ita efi: fiidum , vt Cel. Hemannus , poftquam hoc lemmate in inueniendis brachyflochronis in vacuo fe- liciter eflet vfus , pro mediis refillentibus eodemlemmate a reda via fuerit fedudus. §. 8. In vacuo tamen etiam res ita efi inftituenda, vt ftdiA FG ad dire(flionem potentiae folhcitantis \bique f;t normaUs. Tum enim id , quod requiritur , obtinctur , et corpus ex L ad quodque reftae FG pundum descendens idem femper acquirit celcritatis incrementum, ita vt fin- gula elementa intra F G fita aequah celeritate percurran- tur. Curua igitur his in cafibus, fcihcet in vacuo, erit bra- chyflochrona, fi celeritas corporis in quouis elemento pro- portionahs fuerit finui anguU , quem hoc elementum cum diredione potentiae folhcitantis conftituit. Qiiamobrem ope huius regulae inueniri poterit curua celerrimi defcenfus in vacuo , quaecunquae fuerit potentiae folhcitantis lex. §. 9. Ex his iam fitis perfpicitur datam regulam in- ueniendac brachyftochronae ad medium refiftcns accom- modari IN MEDIO QVOCrNQVE RESISTENTE. 139 modari non pofle. Namque celeritatis incrementa, qiiae corpus descendendo ex L ad quaeque redae F G punda acquirit , non (unt intcr fe aequalia , etiamfi reda F G ad potentiae follicitantis dire^ftionem fit normalis ; fed prae* terea ab inclinatione elementorum percurforum pendent , quemadmodum ex natura refiftentiae facile apparebit. Pro his igitur cafibus peculiare lemma ftabiliri oportet , in quo celeritates per inferiora elementa vtcunque variabiles ponuntur , pro diuerfis locis in quibus pundum M in F G accipitun §. 10. Sumtis igitur vt ante pundis M et w pro- ximis, et du^is elementis LM, MN ac Lw,wN,fit celeritiis per elementa L M et L»/ — ^ , celeritas per M N zn^-i-dt^ at ea per elementum w/N ~^-j-fl'i^-i-fl'^^. Incrementum fcilicet celeritatis per LM acquifitum po- nitur dt^ et id, quod per L ;« acquiritur , ponitur^/-H ddO. Quo igitur tempus per LMN fiat minimum, oportet id aequale fieri tempori per L;;.'N. Ex quo habebitur ^ -h ^^ di = f "+- ^qrdM-dda > ^^9"^ ^^ hoc prodibit f — ^^ -4- x^^^^~:^^^ {t\x{q-\-^q dt-^r dt^-^qddO-\-dtddO)mf—{q''^ qdt-^qddO) fA g -^q.mN.ddd. Eft vero m]~—^ et M^r^ -xwT Qiiibus fubftitutis et negleflis negligendis orietur ^(^ — }^)-mdt-^^- Qiiae, cum ddO femper ita per M;/^ determinetur vt fit huius formae Z.Mw, ahas quantitates non inuoluet, nifi quae a pundo M pende- bunt. S 2 §. iz 140 DE LINEA CELERRIMI DESCENSFS §. II. Si aeqiialia pomintiir elementa LF,NG, dicantiirqiie r/.v, atqiie fiat FM — ^j, LM=:, pofita vi grauitatis zr i . Rcfiftat por- ro medium in ratione quacunque multipHcata celerita- tum , cuius exponens fit i n , atque haec rcfiftentia ita fe habeat , vt aequaUs fit vi grauitatis i , fi corporis ce- leritas debita fuerit altitudini c. Lim fit corporis in L celeritas tanta , quanta acquiricur laplii grauis pcr alti- tudinem v. Qiiibus pofitis erit vis refiftcntiae, quae motum corporis ab L ad F G ingredicntis retardat , ~ —^, ^.13. A potentia p corpus^ fiue pcr LM fiuc pcr Lm defcendflt idem accipit celeritatis incrementum , quui FG ad dircdionem potentiae normahs ponitur. Alti- tudo autcm 1; capiet augmcntum znpdx. Rcfiftentiii autem ita rctardabit corpus pcr L M defccndens , vt de- cremcntum altitudinis v fit ziz — LM.. At fi corpus per c L;« iucedcrc ponitur, crit dccrementum altitudinis •r~ IN MEDIO OJVCrNQJ^E RESISTENTE. i+i ~L;«. Qimrc celeritns, qua elcmenta L M ct L ;;/ per- curuuitiir, debetur akitudini ^'- celeritiis Ycro pcrMN altitudiiii 'v-]-p^Jx — -^L]Sly et celeritas per wiN alti- tudini v-\-pdx— ~Lm. §. 14.. His cum noftro lemmate comparatis habe- bimus q^'u\ q-^-dtzzV {v-\-pdx- — LM)=zyc4- p^,,-^.LM. ^^^^^^^^^ dtzr^P^'^-^^'. Atque^4- fl'^H-^^a-y(rj-f-/)^;i~^L;/0-"l^-^-i-^^^^ '^nLM-L;;/) in.YUMm Ex his fiet ergo dd^~ -j^ -'Vc^nTvI) dd^ nj^^dj ^ . . ... confequenter -^^^^-^^.y^s Seq"^"^ iS^^""^ <^^ '^'^ orietur aequatio fmgmis per 2 V 1' multiphcatis , — 573— pdxdy '■J^dv 'o^dy ^ , , , , , , — -T— — - — ^ H ^ feu 2 1; r/.x' «'^/j ir: jD rt> ds-. Hanc igitur proprietatem , -vt fit o? — f^.^^, curua bra- chyftochrona habere debet , ex eaque focile erit eam in- uenire, S 3 §-i5' 14 ^ DE LINEA CELERRIMI DESCENSFS §.15. Qiiia ii termini , in qnos refiftentia — in- greditur Ceih mutuo deftruunt, hoc lemma latifllme pa- tet et ad quamcunque rcfiftentiam poteft acc.nmodari, fuie vlki mutatione. Haec eft igitur proprietas \niuer- (alis omnium brachyftochronarum tam in -vacuo , quam in quocunque medio refiftente. Sed quo fiicilius illud lemma memoria teneri queat, aliam formam ti inuu- cemus. §. i^. Aequatio inuenta t^Lvdxddy—pcljd/ fi diuidatur pcr ^i^ abit in hanc f^^^^^^y — t^y ^ in qua '^^^- exprimit vim normalem refclutione vis foUic tantisp or- tam. In altero membro -'^'^jf-^ fignificat ^j^- radium os- culi curuae LMN fecundum plagam F porrt(flum. At quia curua verliis F eft conuexa radins olcuU in plagam oppofitam G erit diredus, et habet idcirco valorem nega- tiuum. Eius ergo longitudo erit ^xd.y- Qiiare pofito radis ofculi ~ r , et vi normali ziz K habebitur ifta aequa- tio ^rzN. Denotat autem ^ vim centrifugam , qua corpus, quatenus in recfla hnca progredi nequit, curuam, in qua mouetur , premit. Hanc ob rem omnis brachy- ftochrona hanc habebit proprietatem, vt vis normahs ae- qualis fit vi centrifugae. Figurt t. §. 17. Notandum autem eft omne corpus, quod a quapiam vi iblhcitatum fiue in vacuo (iue in medio refi- ftente fuper concaua partc curuae cuiusdam AMB incedit, curuam dupUci vi premere , vi fcihcet normali a potentia foUicitante orta, et vi fua centrifuga. Sit MI potentia folU- IN MEDIO OJ^^OCVNOVE RESISTENTE. 145 follicitiins corpus iii M^ haec rcfolui folet in duas alias MK, K I , quarum illius direclio M K normalis eft iu curuam et propterea vis haec normalis appellatur, alterius KI di- redio eft fecundum curuae tangentem et tangentialis vo- catur. Peripicuum igitur eft harum virium normalem fo- lam corpus ad curuam apprimere. Secundum eandern direcliouem M K praeterea curua A M B in M premitur a vi centrifuga , quae fe habet ad vim grauitatis, vt altitudo celeritatem generans v ad dimidium radii ofcuU M O. §. 18. Si ergo curua AMB fuie in vacuo fiue inme- dio relillentc quocunque ita fuerit comparata , vt corporis fuper ea dcfcendentis ambae vires, quibus curua premitur fcilicet normalis et centrifuga , inter fe fuerint aequales , airua femper erit brachiftochrona , feu corpus fuper eami- nori tempore ex A ad M defcendit , quam lliper alia qua- cunque liuea per A et M transeunte. Haec igitur aequalitas inter vim normalem ct vim centrifugam vera et vniuerfilis eft lex omnium curuarum brachyrto- chrouarum , eiusque beneficio in quaainque et potentiae lc^llicitantis et refiftentiae hypothefi in promtu erit curuas brachyftochronas determinare . §. 19. Qiiia in vacuo fecundum Tbeorema Huge- niamiin celeritas proportionalis elTe debet finui anguli , quem curua cum diiedione potentiae conltituit, i.e. ipfi jfY , erit M^o" proportionale ipfi M K feu ^ ipfi MI. MO. Omnes igitur brachyftochronae in vacuo hanc habent proprietatem , vt finus anguli , quem diredlio po- tentiae cum ciuua facit, vbique fit proportionalis radio ofculi Figura 3. S44. D£ LINEA CELERRIMI LESCENSVS ofciili et potentiae (bllicitflnti coniundim. Qirare hiiins regulae ope iine celeritatis determinatione omnes bra- chyftochronae in vacuo facilc inuenientur. §. 20. Initium autcm curuae A , in quo omnes defcenfus ex quiete fieri debent, lempcr in eo cfl loco, in quo curuae tangens in direftionem potcntiae incidit. In hoc enim loco in vacuo ipHt corporis ccleritas pro- pter angulum curuae cum diredione potcntiae euanefcen- tem fit aequalis o. In medio autem refiflente ipftim motus initium a vacuo non differt, et hanc ob rem etiam hoc cafii tangens initii curuae cum potentiae di- redione congruere debet. Huius vero ratio efl haben- da in adicdione conlhmtium quantitatumj quando aequa- tionem differeiitio - difFcrcntialem brachyftochronae intc- gramus, et efficere debemus, vt curua datum habeat initium et per datum pundum transeat. §. 21. Ilhifiremus regulam §. 19. pro brachyflo- chronis inueniendis m vacuo datam cxcmphs , fitque po- tentia follicitans conftanszr^, eius diredio verticahs fe- cundum P M. Brachyf1:ochrona vero cjuaefita fit AM ct ablcifTae in rcda horizontah AP pcr initium curuae transeunte accipiantur. His fiuflis fit APzrj/, PM:^.v, A M iz: j" , eritque finus anguli , quem P M cum curua conficit —-/s-, et radius oicuU zrj-^,pofito ^.v con- fi.uite, qui ob potentiam conftantem proportionahs efTe dcbet ipfi f,. Fiat igitur -^^^ — —^^ fcu ob ^dj' = -^y- hoc modo ds^ — adxdds. Diuidendo per ^.f' et intcgrando prodit s—Q — ^^. Qiiia flido .^-jzio ficri debet. IN MEDIO OVOCVNQ_VE RESISTENTE. 145 debet et radius ofcuh erit —^^. Qiiare vi regulae erit |- vt -—j-^ — feu Azdz — j'»-<-- dj , cuius integralis eft C -f- A z' —j'"^-^' . Q^Liia ^\ j—a fi t ^ = o , erit C -— «"'-+-^ , et confequenter A;s- — ^*""^'— j/'"-+-' , arbitraria A ne- gatiue fumtii. Haecque aequaiio omnes brachyftochro- nas, quae circa centra virium exiftunt, compleditur. §. 23. Reuertamur autem ad medium refirtens in ratione quacunque multiphcata celeritatum , cuius expo- nens fit 2;/. Potentia folhcitans vero ponatur conftans zng et habens diredlionem verticalem vbique ipfi AP parallelam. Sit AMB curua celerrimi defcenfus inue- Ftgura 5. nienda, in qua ponamus AP — o.", PMrzj et AM=rj-. Celeritas porro in M debita fit altitudini v , quare re- fiftentia in M erit ~^. Vnde ex follicitatione po- tentiae et effedu rcfiftentiae fimul habebitur ^/-yzr ^^.v — — — . Brachyftochronismus vero dat ivdxddjzzgdjds^ Tom. VII. T po- 145 DE LINEA CELERRIMI BESCENSVS poCxto dx conft:inte (§. 14.)- Ex quibns aeqiwtionibiis coniiincftis exterminata littera v prodibit aequatio pro ciirua brachyltochrona quaefita. §. 24. Propter dx conftans erit ddy~^-~~ ideoque V — idKdUl- ^^?P "^ — zdxdds' -"IS valoribus fubftitutis in aequatione dv—gdx — —;^ ha- gdsdy'd's-:^gdfdds^ ^ ds""-^' df-'' bebitur "-7^7^7 -iWa^'^^'"'^' ^z . ^fj ci e \ 'L . Hacc aequatio , fi medium refiftcns fit infinite rarum feu in vacuum trans- mutatur, quo cafu fit c — c^^ abit in ds d'' S— ^^dds- ^ cuius integralis eft adxdds — ds\ Qnxo. quod fit ad cydoidem §. ::ii. oftendimus. §. i^. Ad aequationem autem generalem conftru- endam pono dsz=:pdx, vt fit ddszzdpdx et d\^ — dxddp. Hinc erlt ^j - dx V (/)^ - i ) et c» - ^-^^^^f^. Ipfi autem aequatio abibit in Iwnc pddp— :^dp' — -5 i.^_— ^-^^ — . Ponatur porro dx—qdp, dpdq ^ - , ,• pdq-:iqdp critque ddpzz- - .Qiio lubftituto prodibit- - ,,-3 .n-H. ( ft^-l )"— ^p ;;2i '^ — ^ K—,"^; • MultipUcctur hacc ac- nuatio per 72 />""'""' ; quo fido habebitur ■ IN MEBIO QVOCFNQVE RESISTENTE. 147 ~ q"—' ~~ 2''— t'' ,n — I .,n. _ ^(/)^- !)"-' Liiius integralis elt — r— — z—— = f- „ -. Po- natur breuitatis gratui -^rj^J j^ ^— P-^quae quantitas conceffis quadraturis , fi integnitio non fucce- dit, femper potert exhiberi. Qiio ergo pofito erit p^ q-iziV^ atque ob q-iz.£p^ fiet dx—^,^. Confequenter X =J -f , X —J Y' et j/ =j -^ '. Quare ni qun- cunque medii refiikntis hypothefi brachyftochrona hoc modo potcrit conftrui. §. ^6. Si refiftentia medii fit vt quadratum cele- ritatis erit «.- i , ideoque P—^^/f?^^-^,-^- f^'^ Quare fiet P=i~?; atque r^^^'^-,-^^ feurt^.vzr #fF^.), cnius integralis efi .v=^H- ^-|-|/2^^:^^_|- dV -i- a ^ ~dr- • Ii^ q"'^ aequatione , quia fado .v = o , debet efie ds~dx., fiet b — — c — ^l{i-a). Habebi- tur ergo pro curua quaefita haec aequatio .vzz- ^^^~ -^ -\- ^ ^ds-lds- Vel fi aequatio a logarithmis libera de- fideretur, haec differentio- diftcrentiaHs , acdx dds~df — adxds- pofito ^.v confiante. Haec aho modo dis- pofita abit in hanc '^-^-^^ rr. d s - a d x ^ cuius integrahs eft s — ax'zz.ac—'^^;^ Ceu sds — axdszzacds-acdx.QuaQ s integrata dit s — ci'~c^^7^' ^" e^~ ( c-ac) — s- ax -i-c — ac. Huius curuae pundum infimum B ibi eiit T 2 \bi 14S DE LINEJ CELERRIMI DESCENSFS vbi efl: s — ^(x-\-c). Hoc igitur cafu erit A B ir ^ I^-^^ et ACzz^l^^-c. ^. 27. Si autem Thearemate Ht^eniano tanquam ad hunc cafum idoneo vfi eflemiis, iktim hanc habuifl*e- mus inde aeqnationem 17 — ^^-. Hincque dv~^^^^^ a^dy''' ^ a''dr'' ^gdx- ^^^^^^_, feu c!.adx^ddy—gdxds'--^—^. Quae fi 7:^b li^i^c habent proprietatem , \t differentiae extremorum a me- dio fint iplis extremis proportionales. Scihcet eft -^^ - a-i^b ■ ^b - ^o = VJ^b ■ ^b ■ Cum autem haec f.c proprictas proportionis harmonicae \ \ocatae funt ilhus- modi fractionum feries progrefliones harmonicae. Vo- cari etiam poflent reciprocae primi ordinis , quia in ter- mino generali ^_^.'j^_-;, indcx ti \nicam eamque ncgati- uam Ivabet dimcnfioncm. §. 2. Qiianquam in his fcricbus tcrmini pcrpctuo decrefcunt ; tamcn fumma huiusmodi fcrici in iiifinitum continuatae femper cfl iniinita. Ad hoc dcmondran- dum non opus efl: methodo liasce fcries fummandi ; fcd vcritiis ficile ex fcqucntc principio ciucebit. Scries quac in infinitum continuata fummam habct fuiitam , ctiam- fl ea BE PROGRESSIONIBVS HARMONICIS. 151 fi ea duplo longius continuetur nuUum accipiet augmen- tum , fed id quod port infinitum adiicitur cogitatione , re vera erit inlinite paruum. Nifi enim hoc ita fe ha- beret, fumma feriei etfi in infinitum continuatae non eflet determinata et propterca non finita. Ex quo confequitur , fi id , quod ex continuatione rltra termi- num infiaitcfimum oritur, fit finitae magnitudinis, iiun- mam ferici necellario infinitam efle dcbere. Ex hoc ergo principio iudicare poterimus, vtrum feriei ciiius- que propofitac fumma fit infinita an finita. §. 3. Sit itaque feries f, ^ , ~^ etc. in in- finitum continuata, terminusque infinitelimus o_^1;j;j^, denotante / numerum infinitum , qui fit index huuis ter- mini. lam haec feries vlterius continuetur a termino ^^^ vsque ad terminuni ^:^,^,— ,)i cuius exponens eft ni. Horum terminorum igitur iniuper adiedorum nu- merus e(l («-i)i; Summa eorum vero minor erit quam ~^- maior vero quam a^i^l;^- Sed quia i cfl: infinite magnum , evanescet a in vtroque denomina- tore. Qiiare fumma maior erit quam -"~^' ^" at mi- nor quam -^'- , Ex quo perfpicitur hanc fummam efle finitam , atque confcquenrer feriei propofitae ^, ^-^ri,? etc. in infinitum continuatae fummam infinite niag- nam. §. 4. Huius autem fummae terminorum ab i ad ni limites propiores ex fequentibus proportionis harmo- nicae proprietatibus eliciuntur. Scilicet omnis proportio harmonica ita e[\ comparata, vt tcrminus medius minor fic rs^ OBSEWATIOI^ES . fit qnam pars tertia fummae tcrminonim omnium. Hnnc ob rem terminiis medius inter ^^r^ et ^iji;^;;!., qui cfl c {^ii^iL.,), ■) ductus in terminoriim numerum («— i)i, (i —i — o (n-i)ic . . ^ ^^^ ~ I (m-^-f-,) , nimor crit quom fumma termuioriira a-f- — - — ^ Siue tcrminorum fumma hinc maior erit quara \^]jb ob /■ infinitum. Praetcrea medium arithnicti- cum inter terminos cxtremos maius e(t parte tcrtia fummae terminorum. Ex hoc fequitur fore etiam in ierie harmonica terminorum fummam minorcm quam (« — I ) i iu mcdium arithmeticum terminorum cx- tremorum, quod eft ['"aXlV^Tni^lh ^f,^i.^|^'^'' ' ^"' dlum. Quare fumma erit minor quam ^ ^nb "^ ^ -^^ ^^ hi duo hmites fint jn-^,]Y et ^",^'^'', adeoque fumma proxime — ^^j^ quod eft medium proportionale inter limites. §. 5. Ex his colligere licct, quibus cafibus haec c c c feries magis vniuerfaHs -, — — :, — ; — —, etc. in infi- c nitum v&que ad r— habeat fummam finitam vcl in- * a-\-i"-b finitam.Sequantur enimterminum vltimum termini(;2-i)/, ^ . {n-\^c eritque horum lumma mnior quam -r^^zirr' » ^^ maior {n-\)c quam — ^«^— . Quare fi ftierit « numerus vnitate maior DE PROGRESSIONIBrS HARMONICIS. 153 maior , llimma hoium teiminorum fequentium erit zro, et propterea liimma progrelilonis finita. At fi fit a < I , (iimma terminorum fequentiumi erit infinita ; quo- circa ipfius progrefliones fumma in iniinities maiore gra- du erit infinita. Inter has igitur progitflwncs fola har- monica , in qua a — i , hanc habet proprietatem , vt fumma eius in infinitum continuatae fit infinite magna , terminorum vero fequentium pofl terminum infinitefi- mum fumma finita. §. 6. Qiianta vero fit fumma terminorum a ter- mino indicis i ad terminum indicis ni fequenti modo inueftigo. Ponatur fumma feriei ^ , j:^ fl'-t-^i~7)6 ad terminum indicis / vsque ~j-, quae eft quan- titas ex a^b,c et i determinanda. Crefcat i vnitate, habebitque s pro augmento terminum fequentem a-ttb' Qiiare erit di : ds—\:^z^^ leu ds~~:^y Vnde in- uenitur .f zr C-i-f /(^ H-i/>) , denotante C quantitatenci quandam conftantem. Apparet quoque ex hac forma fummam eiusdem feriei ab initio ad terminum indicis ni continuatae fore —C-\-^l(a-\~nilf). Harum igitur fummarum differentia jl ^^^rr f In (euanefcente a) da- bit fummam terminorum ab ^^zjt, vsque ad a-i^mb •Q.nia autem huius fummae hmites fupra afllgnauimus erit ^//f maior quam j;^^^l° atque minor qiiam ^"^,^'^^, feu /« ^ - n-H. atque In ^ -^. §. 7. Infra oftendemus quantitatem illam conftan- tem C elfe finitam, eamque definire conabimur. Eua- Tom. VII . V nefcet 154 OBSERJ'ATIONES nefcet ergo C in fumma, fietque progreffionis j, B- -i ^rz^sr^ exidente terminorum numero inii- nito — 7, fumma ^zz^ / {a-t-ilf) zizjli. Qiiamobrem fumma erit vt logarithmus numeri terminorum , hinc- que infiaities minor qtiam radix qiiantumuis magnae potcftatis ex numero terminorum ^ nihilo tamen minus elt infinite magna. §. S. Ex hac confideratione innumcrabiles oriun- tur fcries ad iogarithmos quoramuis numerorum dcfi- gnandos, Sumamus primo hanc progreflionem harmo- nicam i -H^-i-i^-i-}- etc. pro qua fit «— i,/;— i, ^— I. Differentia igitur inter hanc feriem i-f-i-f-| i ad terminum indicis i continuatam, et eandcm I -{- 1-1- i ,1, ad terminum indicis Jii continua- tam, erit— /;?. Qiiare illa feries ab hac fubtracfta re- linquit /;/. Qiiia autem hiiius fjriei numerus termino- rum cft 71 vicibus maior quam ilhus, ab ;/ terminis fe- rici i-i-i i fubtrahi oportet vnicum alterius fe- riei i -{-', ',, qno fubtradio in infinitum eodem modo pofiit perfici. Qiiare erit /;;— i -f i ^ . r,-}-r7rlp7-----3ii+etc- Si iaitur inferioris leriei finguli termini a fupra fcriptis terminis fupcrioris ferici adii fubtrahantur, et pro ;/ numcri in- tcgri lcribantur 2,3,4 -- - etc. fucccffuie fcqueutcs lo- garithmorum ferics obtincbimus. /2 DE PROCRESSIONIBrS HJRMONICI^. 155 /3 = I -f- 1 - 1 -f- 1 -I- 1 - §H-i-f-|-i-|- i, -^Z, - ,^ etc, /^^i-Hi-f-y-l-M-H^-f-i-H-^-l-^-l-rT-^ etc / 5 == I H- = + 54-i - 1 -i- ^ H-7-+-^+5-/5-}-TT-i- ,'. etc, /^ =: I -i- ^ -i- IH- l-i-^-l-\-j-h^-hl-{-^o-^u - i^ etc. etc. etc Vnde pro cuiiisuis numeri logarithmo fiicile feries con- uergens inuenitur. §. 9. Ex his feriebus aliae eiusdcm formae , quae fummam habeant rationaiem , polTunt deriuari , Nam, quiii feriti — /n duphim aequale ell /4, fi feries i -|- i-l-i-i etc. fubtrahatur ab liac 2 — i-|-| -|etc. refiduum^ nempe haec feries i -i-f-lH-H- , -5 etc erit ~o, feu i — i-fi-i-i-H-iH-l -f-i- /g etc. Similiter fi feries / 6 exhibens fubtrahatur a fumma lcrierum /2. et /3 exhibentium , refiduum , nempe i -l- !-{-{- l--\-l H-7-;-|-t"o etc. erit =0 Ibu i — i-f-|-|-i- i- |- i -h I -t- i -h yg etc. Pari modo huiusmodi fenes in- numerabiles poterunt inueniri. §. 10. Serics illae log.irithm.os exprimentes con- uergunt quidem , fed admodum tarde , quare, quo ea- rum ope logarithmi commodc erui queant, requiritur aUquod fubfidium. Ad quod inueniendum notari opor- tet eas feries non aequabiliter progredi, fed certas ha- bere reuoUitiones , quae tot termuiis ab(o{uuntur, quot n habet vnitates , tot igitur terminos fimui fumtos vnum feriei membnim vocabo. Ita in feriei pro /2 duo termini conftituent vnum membrum , in ferie pro /3 , tres, in ferie pro /4 quatuor et ita porro. Membra igitur irta V 2 aequa- 1S6 OBSERFATIONES aequabilem conftitiient feriem , et ad logarithmos iniie- niendos oportet aliquot membra addi. Ponamus iam ;« membra efle addita ad logarithmum binarii inueniendum ; poteritque loco omnium fe-qiientium addi ^ , id quod eo propius accedct, quo miior fuerit numerus m. Ad /3 in- inueniendum ad m m^robra iam addita loco omnium fe- quentium addatur ~. SimiUter pro /4 addi dcbet ,^ et ita porro. Fluuit hiec ex modo fummandi (§-6) adhibito, in quo cum ;« debeat efle quantitas valde magna, neglexi in diff.;rentiaU numeros ipfi ?n adiedos, ne intsgratio a logarithmis pendeat. §. 1 1 . Qiio autem feriei i-i-l-hH-i "T fumma, etiamfi infinita accurate determinetur , fingu- los terminos fequenti modo exprimo, Ed: i=r/i-4-i-i-hi-^-f-^-7etc. atque ^=n-{'~-i:--hf7l-r7^ etc. 1 — /s_i_J i— _u —1 - — etc ♦ ■ ♦ ' 216 J. 64- ' ♦. 2SS J.I024 ^"-^* His feriebus additis prodibit i-K-fl i3:/(i-hi)-hKi4-^'|-s-l-.'4-etc.) in infin. --;(i-Hi-l-5?-l-.'4-hetc.) -f-i(i-l-.'.-hiV-H-sb-i- etc. etc. Qiiae DE PROCRESSIONIBFS HARMONICIS 157 Qiuie feries, ciim fint coniiergentes , fi proxime fum- mentiir prodibit i-f-i-j-f ir:;/(i-i-i)-i- 0,577^18 Si fumma dicatur j, foret, \t fupra fecimus , dszi^r,^ ideoque jrr /(i-4- i)-f-C. Huius igitur qiiantitatis con- ftantis c valorem deteximus, quippe eft C—o, 577218. §. 12. Si feries i-\-{-\-'^ 1 vlterius in infinitum continuetur , et in membra diuidatur , quorum quodvis "vt ipfi feries i terminos contineat; erit mem- brum inter 7 et ^ contentum~7 2, (equcns zr/i, ter- tium— /^, etc. Atque cum ipfius feriei fumma fit log. infiniti, poterit ad analogiam poni /5. Hocque modo^ fequcns fchema obtinebimus non parum curioliim Series, r-\-^ -l Siimmae' /5 l /| §.13. DiiScile quidem videatur has easdem pro- prietates progreflionum harmonicarum et logarithmorum exprefliones analytice , eoque modo , quem ahbi ad fe- ries fummandas tradidi , inuenire. At rem attentius per- pendenti hoc non folum fieri , fed multo generahus etiam fieri pofle deprehenfum eft. Confidero enim non fim- plicem progreflionem harmonicam , fed cum geometri- ca coniumaam, cuiusmodi eft '-^ -hi^-hj^b-\-ji^h g— ^ etc. Huius fummam pono s, et vtroque per Ifx &- "s^Jl bcx^ bcx~T~ bcx b muhiplicato erit bx * j— ~\- — r+ — . — T ^ a a-\-b a~\- ib a — b a — jb Sumtisquc differentialibus habebitur /'D.;i' ^ s:izdx[CX~b V 3 . -i- 3 Z! 4i SZ r- I /i /^ etc. 158 OBSERrJTIONES a—b a—b g — b ir^ r X b dx cx"-^ fx b dx gralibnserit/^a' ^ s-^cJ —^-^ — atqiie s^^y J ^ZIJ' /.v^ A-.m p-.m Ab hac ferie lam fubtraho hanc -— -\- -rj-rj/^T^^^lj m[g — h) etc. cuius fumma fit /. Multiplicetur per ^-'^' ^' erit- m'£-^b) mjg-i-ih) '"ts-A) _jhxf" fhx ^b' fhx' }ng m{g~\-h) ?n(g-\-2h) m{g — h) mg-h Sumtisque difFcrentiahbus fiet ^D .v '^ tzzdxifx '' mg — /; m[f.-i-b)—h m_(f-t-;fc)— fo ^^, h j m(g—h) fm fx * dx Qiiare habebitur t ::^-—;;^£irh[J Z~^r~- Weoquc o— & mg—h c fx' _J'Ji /"-L-'!-^'' c w s-t:=: -— ^i — - - , m^g^_b)J _ ^m • ^iH^ti a- bX-i,- l—XDX h ' dlio vero ita debet fieri , \t a termino indicis m feriei s fubtraliatiir tcrminus primus feriei t, ct a tcrmino in- dicis o.m illius, tcrminus fecundus huius lcrici et ita porro. §. 14.. Qiio noftras feries logarithmicas eruamus, fit a—b et g = b. Quo fado crit s — |/,Sc — Jr / ,^ / imx—^dx_fl I DE PROGRESSIONIBFS HJRMONICIS. 159 / l ~ -TT". Quo aiitem haec expreflio fiat finita fa- do a;— I , debebit efle -jfzz^^ hanc ob rem fiant omnes 7 I X hae htterae rz i , entque s — t—l, — ——; — l{i -^x ^ X- --.v"''"') Qiiac expreflio dat differentiam in- X* X' X* X' x'^ x^-"* ter has fcries .v-l-- -H -^ -\- - etc. et —-\- 2 3 4. 5 12, -f-' — etc. Quare fi mzn^. erit /( i -i-.v)ii:.v — ""/ -f- 3 ^ ==/-^_"_l_etc. fi jwzzs, erit /(H- x-f-A") — .v-M' - '7^ -h -t -4- f - X -H etc. fimihque modo /( i -\- x -}-.v^-hr jr=.v-hf H-f -T-'-i-etc. In his fi fiat X' zn I , prodibunt eaedem feries prd logarithmis aume- rorum naturahum , quas ante dedimus. ftl — 2 fx^ rmx ^ dx jx rmx ^ §. 15. Si h-^xg, erit t-~J —- Pona'- tur x™ —y , eiu t _ -^ J ,.-y)^y — t" /r — ■V> fa,- 7 I -V-.V ^. ^ , . C] r ■'^ ^ --. Si praetcrea fit a-zzb ent^ — 7/ . /? I— .r" ^ b i—x At j- eft fumma huius feriei f^H-Tir -f-T^ etc. atque m m -m ^ •=!? f ,i^-.v= f.V^ /.V= , fv~ /.v " Z^T^ s- dat hanc iericm -\- \— h i-.vl* g 3^ sg -m I 4-etc, Sit a—i et .e-iri erit j— /.v ' zncl — I — X 160 OBSERJ^ATIONES m f U i±f-=:/^-i^. ,^A1._^. Qj„, ,xp„ff,o quo (iat fiiiita il .V— I oportet fit |— f {tnfzzzc. Sit igitur ^—i, t^ mzz.zn erit rerierum .v -i- ^/ -4- * ' -f- * * etc . et a.v" 2.r-'' a.v^'' ,._ . / i - .r'' etc. differentia ~ I ^ 3 ^ 5 ■ (i-aO(i-+-A-Y Ponatiir « =: 2 erit difFerentia haec zr /, '^^z fadloqiie x—i^ erit ea rz o , quare liaec feries i — i -H 1 -f- ? -l-i-^-l-i etc. eritzro, vt iam fupra inuenimus. $. i Pf" (iiinma progreffionis propofitac. Ert vero -^" ^\—^—] peripheria circuli di- uifa per V3 pofito diametro ir i et ^F"' /,^^^ huius dimidium. Quarc feriei fumma quam proxime erit o,357^- §. 18. At fi etiam ipfa inembra non vnifbrmiter incedunt difficilius (uinma aflignatur. Sumamus hanc feriem i -i_f-i_|-i_ ^_l-^-l-'_|- ^_^^_.^_^ . '__!_... •+/3 — 15 etc. Haec eft differentia inter has feries i -f- /-4-1 ..._.' -.;,_(- --- ita in innnitum continuatas, vt extre- mi termini eundem habeant denominatorem /('-^-).Ha- rum ferierum prioris fumma eft CH-//-f-/(/-f-3 ) — /2, denotante C conftantein §. 1 1 . inuentam,nempe o, 57771 8. Altera feries fubtrahenda in has duas refohiitur ;(i-f- ^H-I-I-^ ?)et i(i-hM-^ ^ir)- ' lllius fuinma efl: |C-l-|//; huius vero ^C — vH-|/(i-l-3). Quac ambae ab ilia fumma C-f-//-f-/(/-f- 3 ) — /2 fubtraiftae rehnquunt — C -f- y — / 2 feii i , 173078 quam proxime pro fumma ferici propofitae. Tom. FIL .X Da- x6z DE OSCILLJTIONIBFS CORPORFM Damelis Bernoulli DEMO NSTRATIONES THEOREMATVM SVORVM DE OSCILLATIONIBVS CORPORVM FILO FLEXILI CONNEXORVM ET CATENAE VERTICALITER SVSPENSAE. D Tabuia IX | ^Edi niipcr theoremat.i de ofcillationibus corpo- riim lilo flexiii connexoriim : dcmonftrationcs iiutem , quas tum non viKnbAt in ordinem redi- gere , nwnc paullo plus otii naftus co libcntius cum pu- blico communicabo, quod multorum aliorum firailium problcmatum folutio indc peti pofiit, eorum praefertim in quibus motus partium non funt inter fc paralleli. Inter huiusmpdi problemata facillimum c(l atque a raultis iam diu fohitum , quod circa centra ofcillationis inucnienda verfatur. Ad ea quoquc pertinet problcma de motu mi- xto determinando, quo corpus cx pluribus diuerfie gra- uitatis fpecificae partibus compofitum in fluido defcen- dit: pertinent porro theoremata, quae in Commentar. Tom. II. p. 200. a Patre cum publico communicata fuc- runt: Praefertim autem mcthodus, quam mox exhibebo, cun» fucccflfu adhibetur, quando in fyftemate corporum plurium lcge aliqua inter fc connexorum , fitus vnius cx fltu alterius coguito non potclt immcdiatc dctcrmi- nari. FILO FLEXILI CONNEXORFM &c. KJ3 nari, veluti cum corpus fliper hypothenufa trianguli in horizonte mobilis defcendit ; hic enim fi vel noueris fitum corporis in hypothcnufi , ipfius tamen trianguli fitus in horizontc incoguitus maiiebit nifi hunc aliunde determinare fcids. Probicma lioc pollremum aliquiindo Patri meo propofueram ct piane inter fe conuenerunt foUitiones noftrae •, Eam , quae a Patre profeda eft , Acadcmia Commentariis liiis uifcri curauit, vid. Tom. V. p. II. Quae ad hanc claflem pertment, nouam me- chanicae partem efficiunt : Principium autem , quo vti Ib- leo ad iiuiusmodi problemata ibluenda , tale efl: : Puta in fyllemate ad momentum temporis corpora fingula a fe inuiccm (blui , nuUa fida attentione ad mo- tum iam acquifitum , quia hic de acceleratione feu mu- tatione motus elementari tantum fcrmo eft: ita quohbet corpore fitum fuum mutante , fyftema aliam accepit fi- guram , quam non-fohitum liabere debebat : Igitur finge caufim meclianicam quam.cunque fj/ltema in debitam liguram reftituentem atque , rurfus inquiro in mutationem fitus ab hac rcllitutione ortam in quohbet corpore ; et ex vtraque mutatione intelliges mutationem fitus in fy- ftemate non foluto, indeque accelerationem retardatio- nemue veram cuiusuis corporis ad ly(kma pertinentis obtinebis. Quomodo haec rcgula ad praefens nofLrum de oC~ cillationibus corporum filo flexili ligatorum aut catenae verticaliter (uspcn(ae detcrminandis, negotium applican- da (it , hic docebo , alia occalione idem fortalle etiam X 2, mon- i54 DE OSCILLATIONIEFS CORPORFM monftifltiirus in probkmatis aliis partim iam a Patre meo tradatis partimque noiiis. Figum I. II. Sit iiliim AHF grauitatis expers , duobus one- ratum ponderibus in H et ¥ , e pundo fixo A luspenfa '. faciant corpora ofcillationes A^eluti mfinite paruas, fintque corimdcrn dirtantiae a linea verticali AC, vt 2M/ ad ;/^L _;/^/^_ M L H- M /4:: V (^ 4///MLL + (?///-H ML ~\- M.I- inL)-). Demonftrandum ert, ofcillationes in vtroque corpore fore ifochronas. Valores litterarum ;«, M , / et L infra dabuntur. Erunt ofcillationes ifochronae, fi fuerint vires ac- celeratrices in corporibus vt diftantlae eorundem a linea verticaH ; nec enim difFcrunt diftantiae hae ab arcubus defcribendis: Has igitur vires accekratrices definiemus: ponatur pars fiH HF cxtendi tacillime , ita vt corpus F nihil ampiius retineat: accekrabitur corpus ifhid verti- cahter deorfum a grauitatis vi naturaH: finge ita acce- krari vt perueniat dato tempusculo ex F in E , dum eodem temporis pundlo alterum corpus filo AH ahi- gatum arcukuTi HL defcribit: dudtae iam intcHigantur horizontaks LB et EC, quae quamuis ceu infinite par- uae confiderentur , fmt tamen arculo LH infinities ma- iores. Apparet ex mechanicis et theoria infinite par- uorum , fore HL~|7^xFE. Pofitis igitur corporibus in L ct E dudisque rccflis AL etLE, erit quidcm fi- lum AL inuariatae longitudinis, akerum autem LE iam maioris erit k)ngitudinis quam fuerat in fitu HF: con- cipiatur igitur caulii , quae fikim LE contrahat ad kiam kMi- FILO FLEXILI CONNEXORFM &c. i6s longitudinem natiimlem : dico ab ifta contradione cor- pus ex E eleuatum iri \sque in u , alterumque retradum ex L in n: fpatiola E«, L« determinabimus, poftquam monuero, quod , du(fla minima recfta F«, "verae acce- lerationes, quae durante alTumto tempusculo accefferunt, feu iplae etiam vires accelcratrices rationem habiturae fint in corporibus H et F \t H;/ et ¥u. Sed \t ra- tio intelligatur inter H« et ¥u, ficiemus AH feuAL i^/:HF leu nu~L: mafHi in corpore liiperiori ~;//j in inferiori z=:M. Producatur AL et ex E in illam perpendicularis ED demittatur. Denique ducantur ho- rizontalis HG et veiticahs FG: erit F /^ ad « « perpen- dicularis cenfenda atque triangulum minimum FEw trian- gulo HFG fimile, iplaque Eu hneolae FE aequahs; vnde fi ponatur B L =r i ; D E — .v ; erit M C — i -f-f i EC--A-H-i-|-r; HG— CE-BL=iA^-f-y,hinc F/^-(f-j--|)xFE: Supercft vt definiatur Hfi. Notctur quod filum LE, dum contrahitur, corpus E direde furfum trahir; dum corpus alterum L obliquc ad diredionem fuam L« re- trahit: hoc igitur titulo erit Ln ad Eu vtDEadLE feu vt X ad L: fed eft praeterea Lw ad Eu reciproce vt maffa corporis L ad mafllmi corporis E , id elt, di- rede vt Madw: compofita ratione erit L«:E/^zzMa': wL; vnde pofita FE pro E«, erit L«~^^xFE; et quia Hf/ii: HL — L«, fequitur fore H«r:(i-||)xFE: fnnt igitur vires acceleratrices ia corporibus H ct F, X 3 vt x66 DE OSCILLJTIONIBFS CORVOBFM vt f -l-f- ad f— ^: ponantur hae vires ad ifochronismum obtinendum proportionales fpatiis defcribendis L B et EC, feu fiat (f-f-r)*(i-£)=i:(-'*''+i4-T)j ntque rc- perietur fada redudtione •■^' 2ML Huic autem fi addatur MC feu i-j-y, habebitur ^ raL_m!-f-ML-t-MZ-^-Vr,mMLL-|-(7nZ_|_ML-t-Ml — mL)'] i, -r C t — ^^-7ni X li L , plane vt habet in parte iiuius argumenti prima thcorc- rna tertium Prop. 7. IIL Pofitis iisdem , erit longitudo pcnduh fimpHcis ifochroni aequalis 2mVl TOL-(-"i'-l-Mi-i-ML::f;V[4m>l L L-4-;7n;-|-ML-HM/ — inlr] 1 cuius rci rationem intelliges cx eo , qiK)d fi pendulum fimplex longitudinis AH fcu / confidcretur , fit vis ac- ccleratrix in lioc pcndulo funplici ad \'im acceleratri- ccm corporis H in pcndulo nollro compofito vt H/ad H;/, idcll, vt /'adj— ^: funt autcm longitudines pcn- dulorum ifochronorum in rcciproca rationc \irium ac- celcratricium ; Erit igitur longiuuio penduli quaefiti ad longitudincm AH Yt [ ad f — |l' ^'"^^ inucnitur longi- tudo penduli ifochroni z:i^_„,^, ct pofito valore pro X fupra inuento , crit eadem longitudo , vt didum cft, aequalis mL-(-m:-)-M/-HML-j-.V[+mMLL-f-(ni'-+-?U.-HMl— "iL)'] Fisura 2. jv. Si filum AG fit tiibus oneratum corporibus in H,FetG, olcillationes flicientibus valde paruas et ifo- chro- FILO FLEXILI CONNEXORFM d^c. i6y chronas, ponatiirque maltii corporis rupremi = w; me- dii — M et infimi — fx: diftantia AH — /; HF — L; FG~X; diftantia corporis H a linen verticiili AP— i; diftantia vcro corporis F ab eadem linca verticalizr .f^ erit {(MMl>.-hMixI\)ss-\-7!i M /X 4- ;/,' |x /L - ;;/ M LX -MM/X-MMLX -h;;/;x,X ~ M/x/X -MjaLX) .f -;;/[x/X -///M/X^K^^fM/X H-- fx/X).f-;//L X-M/X — M L X - |JL /X — fjL L X -f- ;;/ /L ^ ~ ;// ;;/ /x //L L .f. Diftantia autem corporis infimi a linea verticali erit pro quauis radice ipfius s aequalis . mmx _, inX_ _, f , X _, I^ _ ^ _ MMX mmX mx MX -s MX_ X ml ) ^ |aL L • Haec vt demonftrentur , ponatur rurfus filum infi- mum FG flicillime extcndi atquc fic corpus G vi gra- uitatis naturali accckratum , ailumto aliquo tempusculo infinite paruo verticalitcr delccndcrc ex G in s , dum interea ambo corpora fuperiora accelerentur, vti in figu- ra priraa , fliciendo arculos (iios H;/ et Y ii. Patet au- tem , fi G.f in figura (ecunda aequalis ponatur dc(cen- fui FE in figura prima , fore pariter arculos H;/ et F/^ idem in vtraque figura ; erit igitur per praecedentcm pa- ragraphum lln—{\—^)xGs et ¥u—(\-\-~xGs^m' telligendo per x lineolam // M perpendiciilariter ad pro- longatam An dudlam, prouti deinceps per j intellige- mus lineolamj"y, quae perpendicularis eil ad prolon- gatam nir. iamducantur horizontalis FQ_ac verticalis QG, (iimtaque i58 DE OSClLLATlONlBrS CORPORFM fiimtaque « v zi: F G , diicatur Gj. His ita ad calculum praepanuis, nunc rurdis fingendum elt, redlam «.f, in priftinam longitudinem FG contrahi : ita eleuabitur cor- pus ex s injf Yel in r (eft autem jr nuila praeGj); corpora autcm fuperiora iterum retrahentur ex ;/ in o et ex u in fn: atque fic tandem patet fore vires ac- celeratriccs in Imgulis corporibus fecundum dircdlioncs iiias natuiales ad vim grauitatis naturalem , vt fe habent Ho, F/;/ et GjF ad G.r. fupereft igitur vt fingula iiaec elementa exprimantur, probe obferuato arculos H;/, F// ctc. niillos cire prae diftantiis corporum a linea verti- cah. Inucnictur autcm rede inftituto calculo FL^y -{- 1 X -i-j : et quia FG:FQ_rr;G j :Gj', erit G>'-r/ + ^-4-^^lxG.r. lam porro quaerendum eft , quantae futurae fint rctro- gradationes corporum in u et n pofitorum , quae fiunt, dum corpus infimum ex s m y aut in r eleuatur. No- tetur potcntiam filum us contrahenrcm vbique acquali- ter diflfundi. Erit igitur rurliis vt in iiiperiori paragra- pho um ad sy feu ad G.f in rationc compofita tx -vy ad uj et malTae [x ad mafllim M: vndc inuenitur um — j^-^ X G i , qua fubtrada ab F // fcu ab ( / 4- f ; ^ G j , oritur F;;/=:(f-|-J-^i-^)xG.f. - Denique quia ab eo, quod corpus medium cx u in ;;/ cedit, nihil patitur corpus iliprcmum , erit, \t antea , no ad y.f feu Gj" in ratione compofita cx M« ad un ct malTac \k ad malTam wj vnde ;/o— jjlxG i: hac(|ue iub- FILO FLEXIII CONNEXORTM &c. 169 fublata ab «H fea ab (i_^^)xGj-, fiet. Poftquiim fic accelerationes corporiim finpulorum in ve- ris luis diredlionibus inuenimus, erunt hae diikntiis fuis ab linea verticali yV ^ uC et «B feu quantitatibus ( i -4- iH-yH-xH-4A'-Hi'), (x-i-^H-A-) et ( i ) pro- portionales faciendac ifochronismi ergo: Ita duae ae- quationes obtinebuntur valores ;i; et / determinantcs : atque fi deinde ponntur i -f- j-f-Arrrj-, inuenietur aequatio pro s eadem , quam fupra recenfuimus , quam- que demonrtrandam liiscepimus. V. Acceleratio corporis H exprefla perH(?(euper ( ', — ^ — ^ ) X G .f ert ad accclerationcm ciusdem corpo- ris, abfentibus duobus inferioribus expreflfam per jxGj, vt i— ^ — ^ ad 7, feu vt niL — M/x — ix/x ad mL. Sequitur inde longitudincm penduli ifochroni elfe. mll mL — Klx—jj.lx Hanc autem non diffcrre ab illa , quae in parte pri- ma , propofitione decima tcrtia data fiiit , videbis fi ibi, prouti fidlae a nobis denominationes poftulant, intelli- gas per x^ quod hic per s feu per i-i-7--i-.v. VI. Sint iam phu"a et quotcunque volueris corpora, Figura 3. veluti B,C,D,E,F producantur fingula fila defignen- turquc finus angulorum BAN(AN e(t verticalis) CBG, DCH,EDL,FEM. per/),^,r,j,r; maffie autem corporum pcr ipfis litteras iisdem appofitas denotentur, To?n. Vll. Y dico 170 DE OSCIILATIONIBFS CORPORJ M dico pofita vi gnuiitatis naturalir^i, vires jicceleratri- ces corporum recLindum fuas dirediones fore vt fequitut. £ I p mT)z:zp-^q-\-r-^s , in Err./)-f-'7-+-r-hi" — ^^, in ^—p~\-q-{-r-+-s-\-t-, Venim hanc efle virium acceleratricium legem, perci- pics fi fextum corpus fuo filo inferius adhuc appcndi ponas, calculumque deinde ini^ituas, vt fecimus ratione trium corporum paragrapho quarto , fingcndo lcilicet, corpus infimum naturali grauitatis vi verticaliter deor- fum accelerari , reliquis interim fecundum iuam indo- lem vibratis, idemque corpus mox a contradione fi- li iterum eleuari: ita enim legcm hanc accclerationum nunc expofitam a quinquc corporibus ad fex, et inde . ad feptem atque fic qnousque libuerit recfte continuari vidcbis. Ex airiirritis autcrn fingulornmangulorumfinibus, de- ducuntur corporun^ a linea vcrticali diilantiae, ac fiquam- uis diftintium vi accclcratrici refpondcnti proportio- nalcm ficias, liabebis tot acquationes quot incognitas,. fic vt omnia deniquc defiderata inde recfte dcfiniri poflint. VII. Puti nnnc corpora cfl*c numero infinita et Fignr» 4 aequalia , diftantiis minimis et aequalibus a fe invicem pofita: ideam habcbis catcnae vniformis ab vna extre- mitate fuspenfae, qualis eil AC vel AF; In hac ele- meii- riLO FLEXILI CONNEXORVM &c. 171 mentiim confideretur infinite paniiim Mm vel N«, diidis MN et w/w ad AC perpendiciilaribus et nio cidem AC parallela: ponatur Am yel An — s (nec enim differunt quia infinite parum diftant ) ; wM vel «N2rJ.f, quod eiementum conlians alTumatur: longi- tudo catenae integrae A¥~l\ mnzzy^ M(?~^j: erit ( pofita vi grauitatis naturali rr i ) per praecedens theo- rcma vis acceleratrix in ?// aequalis iiimmae omnium finuum angulorum contndus , qui funt inter A et w, diminutae tertia proportionali corpusculi inw,lummae omnium corpusculorum in M F et finus anguli contac- tus in M : fic igitur habetur vis acceleratrix in M —J j-f — —j^—- Qiiia vero ilochronismus pofiulat , vt vis ac- celeratrix fit proporrionalis applicatae M N, erit afliimta « pro conftante/ -df — '^ ~dl^^ — li '■ lumatur integrale ter- mini primi fine additione conftantis , quia hic nulla fii- menda eft : fic fiet g-^^:=-^- Denique ponatur /- s feu F M aut C N = .v , et erit -7^ - d^^ — ^ , fiuc ndydx--\-nxddj — —jdx , quae aequatio denotat naturam curuae AF: quoniam vero integralis eius non apparet, pofui yzz.a.— '^x — yxx~S .V' — e .v* — etc. , r/y rr — S ^.v — 2 y x dx— 3 '3 .v .v dx — 4 £ x"' dx — etc. ''^ddyzzi—^ydx^—i.^.^xdx- — !^.^.. exxd x- — etc. Hisque valoribus fiibftitutis diuifique deinde aequationc per dx' , oritur 17^ DE OSCILLATIONTBVS CORTORVM — g— sya'— 3^i*.v — 4e.v^ — etc. — 2 Y ^— ^- 3 "^ •^'•^— 3 • 4 £ 'V ' — etc. ::= (f , -+-l-\x-ixx--x -etc, ciii aequationi llitisfit ponendo az=.i \^ — ji] y~~^y ^~-^: eiir -~r+ etc. vnde "vbi per i intelligenda eft diftantia pundi infimi F a ■verticali^ et quia pofitA x — /., ed j — o erit fimul I"n-t-:^~4.p7i' ' 4.9.6'i* ea._y, Hinc deriuandus efl valor littcnie 7i , qui exprimct lon- gitudincm fubtangentis in F. Haec dcmonltrant veri- tatem theorcmatis , quod in praccedente diflertationa oftauum eft. VIIL. Vt habeatur rongitudo penduli ifochroni%, quaerenda eft vis acceleratrix in pundo F, quae per §. VI. erit aequalis fummae finiium omnium angulorum contacflus ab A vsque in F, id eftzrj^- feu— ~^^; ponendo fimnlArizzo- et hinc fit ^-J^— ^. Eft itaquc vis acceleratrix in F ad vim acceleratricem naturalem vt 1 ad «: fi vero pendulum fimplex longitudinis / habeatur, erit vis acccleratrix in iIlo~-^ fub eadem diltantia a iinea verticah; ergo 'vis acceleratrix in ex- tremitate catenae eft ad vim acccleratricem in pendu- lo ••fimplici ciusdem longitudinis, vt / ad «: Hincquc erit longitudo penduli fimplicis cum catena fimul vi- brantis — «, vt habct thcorema nonum in praemilTa aiiiicrtatione.. FILO FLEXILI CONNEXORFM ^c. 175 IX. Theoremata aiitem decimiim et vndecimum vnice pendent 11 debitae conftantis additione , eaque proinde ceu nimis nunc facilia hic non attingam : fed duodecimum ex §. VI rurfus, hunc in modum dedu- cetur. Corpuscula nunc confiderentur infinita et aequali- bus diftantiohs a fe inuiccm pofita , fed inaequalis ponderis: ita habebitur idea catenae pro lubitu inae- quahter craffie; fit haec ita formata, vt Jongitudini FM (.V) pondus refpondeat ^, denotante | fundio- ncm qualemcunque ipfius x : Erit ( per §. VI. ) vis ac- celeratrtx in M— /"^- — ^^-^— ^, vel quia dx con- ftans, erit ll^— gg-f-, aut nd^dj-]-n^ddjz:z —jd^dx^ vel denique =^—fjdx, xt fert theorema duodecimum , de quo (ermo crat : demonfl:ratio magis fiet intehigibihs ,, fi fimul conferajr»' tm paragraphus fcptiraus. Y3 SE 174 T)E INFINITIS CVRVIS DE INFINITIS CVRVIS EIVSDEM GENERIS. SEV METHODVS INVENIENDI AEQVATIONES PRO INFINITIS CVRVIS EIVSDEM GENERIS. AVCTORE Leonh. Eulero, §• I- CVriias eiusdcm generis hic voco tales curuas , qune a (e inuiccm non diffcrunt nifi ratione lineae cuiusdam conlbntis, quae alios atque alios va- lores affumens eas curuas detcrmiuat. Linea haec con- ftans a Cel. Hermanno moduhis eft vocatus , ab ahis parameter: quia autem paramctri nomen ambiguitatcm creare potell:, moduh vocabuhim rctincbo. Efl: itaquc moduhis hnea conftans et invariabilis, dum vna infini- tarum curuarum quaecunque determinatur ; varios autem habet valores et ideo variabihs c(t, h ad diuerlas cur- uas refertur. Sic H in acquatione y-zizax fumatur a pro modulo , ex variabihtate ipfius a innumerabiles ori- untur parabolae fuper codcm axe pofitae et commu- nem verticem habentes. §. 2. Infinitae igitur curuae eiusdem generis om- nes viiica aequationc exprimuntur, quam moduhis cjui nobis EIVSDEM CENERIS. i75 nobis femper litera a indicabitur, ingredltiir. Huic enim modiilo, fi (ucccfliue alii atque alii valores tri- buantur, aequatio continuo alias dabit curuas , quae omnes in vna aequatione continentur. Aequationem hanc modalum continentem cum Hermanno modularem vocabiHius \ in qua igitur praeter alias conftantes et eius- dem valoris in omnibus curuis quantitates infunt mo- dulus a et duae variabiles ad ciiruam quamlibet per- tinentes, cuiusmodi funt vel ablciflii et applicata, vel abfciflli et arcus curuae , vcl area curuae et abfciflli etc. prout probicma foluendum poflulat. §. 3. Sint igitur quantitates variabiles x et ;:; , qiiae cum modulo a acquationem modularem ingrediuntur. Perrpicuum eft , fi detur aequatio algcbraica inter x et z Q.t a ^ pro vaica curua, in qua a vt conftans confidera- tur , eandem fore fimul modularem , fcu nd omnes cur- uas pertinere , fi modo a fiat variabilis. At fi inter .r et z non poterit aequatio algebraica dari , difficile erit aequationem modularem inuenire. Nam fit z~J?dxj vbi V m a ^ z et x , quomodocunque detur , feu <^ 3 n; ?(-/!', in qua aequationc a \t conftans confidera- tur ; intelligitur aequationcm modularem haberi , fi in- tegralis ae juationis dzzz.Vdx dcnuo difFerentietur , po- fito etiam a variabili. Sed cum integmtionem perfi- cere non liceat, eiusmodi methodus defideratur^ qua differentialis aequatio, quae prodiret , fi integralrs de- nu ) differentietur pofita etiam a variabih, inneniri poilit, ' f . 4» 1^6 DE INFINITIS CFRVIS §. 4. Ad conftriiendas quidem et cognofcendas cur- Mfls aequatio dz~Vdx Iiifficit. Nam , dato ipfi modulo a certo valore conftruecLir aequatio dzzz-V dx ^ quo f.i(flo habebitur Yna curuarum infuiitarum , eodcmque modo aliae repcrientur aliis ponendis valoribus loco a. Sed fi in his curuis certa puncfla dcbcant aflignari prout pro- blema aliquod poftulat, talis aequatio z—JVdxnon liif- ficit fed requiritur aequatio a fignis fummatoriis libera in qua fi non eft algcbraica , etiam difFcrentialia ipfius a infmt. Ex data igitur aequatione differeutiah pro vni- ca curua dz — Vdx in qua ^vt conftans confideratur, quae- ri oportet aequationem difftrcntialem , in qua et a fit variabilis , baccque erit modularis. Haec vero modu- laris interdum crit difrcicntiahs primi gradus , intcrdum fecundi ct altioris, interdum etiam penitus non poterit inueniri. §. 5. Qiio igitur methodum tradam, qua ex ae- quatione differentiali dz—?dx, in qua a cft conftans, modularis poflit inucniri , qu;ic a \t varialulaii ccn- tineat; pono primo P cflc fundionem ipfirum a et .v tantum, \t fVdx filtcm per quadraturas cxhibcri pos- fit. Erit igitur z—f?dx, in integratunic ipfuis Vdx., a pro conflanti habita. Qiiaeritur nunc differentiale ipCms fVdx fi etiam a vt variabilis tradctur; quo in- uento ipfique dz aequah pofito habcbitur acquatio mo- dularis. Diflfcrcntiale autcm ipfius JVdx habebit hanc formam Vdx-i-Q^da^ critque dzzzVdx-\-Q_da ae- quatio raodularis, fi modo valor ipfius Q_ cfllt co- gnitus. EirSDEM CENERI^. 377 f. 6. Ad inueniendiim autem valorem ipfiiis Q_fe- 'quens inieruit tiieorcma. Quantitas A ex duabiis n:a>ia~ bilibiis t et u vtcunque coinpofita , fi dijjerentietur pofito t sonflante ^ hocque differcntialc denuo dijj erentietur pojdo u conjlante et t variaDili , idem rejultat acfi inuerjo ordine A primo dijjerentietur pofito u conftante hocque djj erentiak denuo differentietur pofito t conjiante et u 'vaiiaoili. Vt fit Azz: y (/'-+-;///'}, ditFerentietur porito t conftiuite , habebitur j^^-^xy Hoc denuo difFcrentietur pofito u ^ ... . —ntudtdu T j .conltante et prodibit . lam orduic muer- ( r -f-- ;/ w ; i fo difFerentietur V {f- ~\- nu'' ) pofito u conftnnte , eritque difFcrentiale yr-r:;.„7^Tj , quod denuo difFerentiiitum pofito t CL . :\ \ ■ —i^' i^dt du . , , conftante dabit , id quod congruit cum prius (?^-l-;Hr;l inuento. Atque fimilis conuenientia in quibusque aliii» exemplis cernetur. §. 7. Qj.uimuis autem huius theorematis veriratcm exercitati facile perfpiciant, demonftrationem tamcn fe- quentem adiiciam ex ipfius dJfFerentiationis natura peti- tam. Cum A fit funclio ipfirum /etz/, abeat A in B fi loco t ponatur t-\-dt\ at pofito u-\-dii loco z/ ab- eat A in C. PoGto autem fimul t -\- dt loco t et u-\- du loco u mutetur A in D. Ex his perfpicuum cft, fi in B fcribatur u-\-du loco u prouenire D; fimihque modo fi in C ponatur ^-h fl'^ loco / proditurum quoque D. His praemiffis , fi difFcrentietur A pof to t conilante prodibit C — A, nam poiito u-\-du loco ;/ abit A in C, Tonu VII. Z dif- 17$ DE INFINITIS QVRVIS difTerentiale aiitcm efl; C— A. Si porro in C — A po- natiir t-{-dt loco t prodibit D — B, qnare diffeicntiale erit D — B — C -h A. Inuerfo nunc ordine pofito t--\-dt loco t in A habebitur B, eritque difFcrentiale ipfius A pofito tantum t variabili B— A. Hoc differcntiale po- fito u -f- du loco u abit in D — C , quare eius difFeren- tiale erit D — B — C-|-A, id quod congruit cum dif- ferentiali priori opcratione inucnto. Q. E. D. §. 8. Iftud aucem theorema hoc modo infcrnit ad valorem ipfius Q_ inueniendum. Cum P et Q_ fint fun- dliones ip(arum a et .v, fit ^Prr A^/.v-f-Br/a et d(^ — Cdx-^-Tida^ atquc z cum fit— /Pr^.v, erit quoque fiui(ftio iplarum a et .v, pofitum autem etl dzz^Vdx '^-Qda. lam fecundum Thcorema differentictur :: po- fito .V confiante , eritque difRrentiale (^da hoc porro diffcrentiatum pofito a confiante dabit Cdadx. Altc- ra opcratione diffcrcntiale ipfius z pofito primo a con- ftante efi Vdx., huius vero diffcrcntiale pofito .v con- ftante ef^ V>dadx. Qiiare vi thcorematis aequalia effe debent Cdadx et Bdadx., ex quo fit Cnr B. Da- tur autem B ex P ^ differcntiale enim ipfius P pofito x conftantc diuifum per da dat B. Cum igitur fit dQjzz Bdx-^-Dda ^ erit Qn/B^.v, fi in hac integratione a~o. Nam fi in fundione u po- natur.vzr ^j/, omnia a fcfc dcrtruent ct in ea praetcrj' et confiantcs nulla alia littcra rcmancbit. Hancobrcm jn diffcrcntiaU pofl: hanc fubrtitutifmcm aliud diifercn- ;tiale practcr dj non rcpcrictur. Cum autcm fit .v zr ^j cri£ EirSDEAI GEKERIS. 185? crit dx—ady-\-ydaj \i^to(\m du—Kady+Kyda-^-Sda Dcbebit crgo cflc Ky~\-S — o^Jt'U Kx-\-Sa — o. §. 23. Sin vero fiierit u fiindio ;// dimenrionum *- u ipfiimm a et a', atqiie du~Rdx-hSda-, erit -^ fundio iplaium ^ et .v nullius dimenfionis. Differentie- u xdu-iniidx ^ Rxdx-fmidx-+Sxda. tnr igitiir— et prodibit —jrn-^r, — Teu ^^,,,^^, Quod ciim fit differentiale fundionis nuUius dimenfionis eri t R x' — m u x -\-S ax ~o., feu R .r -h- S ^ — m u. Qua- re fi fucrit u fun(flio m dimenfionum ipiarum a ti x\ atque ponatur du zz R dx -\-Sda crit R .r H- S ^- -Jii m u ideoque duzzS\dx-\-'^{mu — Rx) fcu aduzzRadx — Rxda-\- muda. §. 24.. His pracmifiis in dz^^izVdx feu z'~ fPdx fit P fundlio ;/ dimenfionum ipfarum ^ et x^ erit igitur z tiilis fundlio dimenfionum ;2-h i- QLiare fi po- natur fl'c;irPrt'.f-)-Q_^/^, erit ?x-\-Q_a — in-\-i)z. Ex quo vaior ipfius Q fubfl:itutu& dabit aequationem modularem dzzz? dx -\- ~^ in-\- i- )^ — P x ) fcu a dz — (n-\-i)zdazzVadx-Vxda. Quae tantum eft dif- ferentialis primi gradus Cum autem generaliter crat Q_— /Brt^.v, erit hoc cafu (n-^ i )f?dx — afBdx-\- ?x. Ex quo perfpicitur hoc cafu intcgrale /B^a: (em- per reduci ad f?dx. § 25. Eadem aequatio modularis proueniet ex con- fideratione folius P. Pofito enim d? z^ Adx -\-?,d a., erit n? zzkx-\-^a. Cum 2LWt.tm i\t d z zzi? d x -\- d a Tom. Vll. Aa ^ JBdx 1^6 DE INFINITIS CVRVIS JBdXy crit dz — Vdx-\-^f{nVdx-Axdx) in qua intcgmtione a conftans habctur. Erit igitur/«P^x — nz^ et fAxdx — ?x-jVdx oh jAdx — ?. Habe- bitur itiique dz — Vdx-}-~(n-i-i)z — ?x)^ id quod prorfus congruit cum praecedentibus. §. 25. Retinente P fuum valorem n dimenfionum. Sit z —/A P X dx , \bi A fit fundio ipfuis <7 et X ipfius x tantum. Erit igitur ^—J?Xdx. Pofito d? — Adx -\-Bda, (in quo litteni A cum altera quae eft fundio ipfius a tantum non eft confundenda ) erit «P— A.v-^ Ba. Ipfius PX diflfcrentiale igitur pofito .v conftante crit BXda. Confequenter habcbitur d. j; — ?Xdx-\-- daJBXdx=z?Xdx~\-^ Jin?Xdx-AXxdx). Eft vero Jn P X dx i= f ct / A X .v dx =?Xx-J?X dx - J? xdX. Qiiarc fiet d. ^ z=: P X dx - '-f^" -+- ^-^J^ -" -^^J?xdX. Nifi igitur /P.vr/X rcduci potcrit nd J?Xdx vd prorliis intcgrari , aequatio modularis dif- ferentialis primi gradus dari nequit. §. 27. At fi fucrit dzzR/P^/.v, cxiflcntc R fun- d:ione quacunquc algebraica cx a , .v ct ctiam cx z con- rtante, at P fundione ipfarum a ct .v dimerifionum n. Qiiia ell j=J?dx erit d. ^zzP^.v-^^^C-^^-P.v) = ^-^ feu Kadz-zadK-{n-\-x)Kzda — ?K.' adx-?K^ xda. In vniuerfum autem tcncatur, quo- ties z—J?dx ad aequationem modularem rcduci pof- ■fit, totics etiain z:=Kj?dx ad acquationcm modula- fem rcduci pofTe. Nulium aliud enim difciimcn adc- rit, EIFSDEM GENERIS. 187 * rit, nifi quod in illo cafii enit z^ hoc ciiru debeateflTc --. Qiiare fi R fiierit vel qnantitas algebraica , -vel ta- lis transcendens , vt eins difFerentiale pofito etiam a va- riabili poflit fme fiunmatione cxhiberi , aequatio modii - laris per praecepta data reperietur. Qiiamobrem in po- fterum tales cafus, etiamfi latius pateant praetermittere licebit. §.28. Ponamus effe zzizf{ P -4- Qjdx, feu z =/P dx -4-/Q_^A' et P effe fundlionem iplarum a et x dimen- fionum «-I, Q_ vero fundionem earundem a et .v di- menfionum m—i. Cum igitur differcntiale ipfius /P^/.v fit ^-M^^A5}_^^^fnVdx et differentiale ipfius /Q^.v («/P^.v-|-;;;/Q^a'). Ponatur -A^±^^S=ll^-u, critque u—?2j?dx~h?fif(^dx. Si igitur porro diffe- rentietur crit du-'-^^^^^^^^-{-^^(jfJ?dx-i~??f /q^.v). Pofito igitur ^J2L=±L^j:^li±=^^^J--f ^rit tz=r. n'J?dx-\-??i-jQJx. Eliminatis nunc ex his tribus ae- quationibus ipfarum ^, ;/ et 2^ integralibus/Prt^.v ajQJx, prodibit haec aequatio ??i?iz-{?n-\~?i)u-\-t—o. Quae aequatio , fi loco u et t valores affumti fubflituantur , erit modularis quaefita. §. 29. Simili modo fi fuerit ^— /(PH-QH-R)r/.v et P funcflio ;2 - i , Q_ fundio ;;j- i et R fundio /t- i dimenfionum ipfirum ^et.v.Ponatur//zi:^^^^-^^''-^^^' ec T — d^ , et s — j^ ■■ ■ A a 2 Quo i§S DE /A'F;A7T75 CrRFlS Qiio fiirto erit acqiutio modularis hnec : kmnz—{hm -{-kn-\-i}in)u-\-ik-{-in-i-n)t — sz:zo. §. 30. Sit porro r: — 7'( P -+- Q_)* ^.v , vbi P iit fmi- (flio n dimenrioniim , Q vero tunclio ;;/ dimenlionnm iplarnm a et .v. Qirando igitiir clt fl^Pzi: A^.v-f- JW« et d Q_~Q d X -\-T) d a ^ erit ;; P — A .v -H B « et m Qziz C .r -f- D a. Diflfcrcntiale antem ipfuis ( P-H Q_ )* polito X conftante dinifum per da ert fc(B-4-D)(P-hQ/'~'' Hanc ob rem erit dz-[V-{-(lf dx -\- ^ /( P -f- Q)''""' ( B tf -H D ^ ) «'.r. Cum autcm fit B ^ — « P - A .v et D ^ rr:;«Q— C.r, et Adx—d? et Cdx—dQ^ ob a in hac integratione conftans , crit dzzz{?-\- Q/ dx-\~ ^ J V-\-(^f-^{n?dx-\-mQjlx-xd?-xdq),ku dzzz [l±_^naclx_-jaa) d_a p^Q^),_. ^(„^_^ , ^ a a ^ . . ^ adz-i?-\Of(adx-xda)-zda ?dx-\-{mk-\- 1 )Q^.v;. Ponatur ^ , — t{ erit «=r/(;zPr/.v-|-;;/Q^.v)(P-f-Q'=— . Quare fi integrale /( n ? dx -f- w Qrt^.v ){?-\-Q^f— pendet ab intcgrali /(P-hQV.v liabebitur aequatio modularis dif- ferentialis gradus primi ^ fm mirius dif!creiitiatio e(t con- tinuanda. Fit autem du— {n?dx-\-mQdx ) (P-hQ)*-' -\- f - ?(«P-4-wQ)(P-hQ)*-.v-h'?/ hr- ?^dx-h{^~k m n -\-7f-^ m n -\- nr) ? Q^dx -\- k ;«'Q^.v)/(P -+- Q^f-'. adu-uda- {n?-\-mQ) i P-j-Q)*^— ' {adx - xda) Et pofito tzz Ya eri t t — / ikn^?- dx-\-i^kmn-\- ?i~ - ci ;;; n-\-?n-) ? Q_dx ^knf-Q^dx){?-\-Q^f-\ §■ 31- EirSDEM GENERIS. 189 §. 31. Cum igitiir habeuntur tria integralia \iucn- dum ell , num ea a ie inuiccm pcndeant , hoc enim fi fuent, liabebitur aequatio algebraica inter ?, « et 5;, quae dabit loco t et u lubftiti-itis affumtis valoribus ae- quationem modularem difil rentialem (ecundi gradus. Qiio autem facilius in caiibus particuhuibiis pcrfpici pofiit, an pendeant a fe inuicem , ad alias formas eas reduci conuenit. Cum i^itur fit x;~/( P-l-Q^)*'^'.^ erit uzrmz-h{n—m JiV-i-Q^)'^^'?^!' et t — {2km -^n-m^u — i km- — m- -{- mn) z -i- { n — tn y {k— i ) /( P _l_ (^f-^- p= c/x QLraercndum itaque eft an ^(P -f Q^)*— =" PW.rrcduci poHit ad \uecf(?-\-qf-'Vdx er/f P-f-Q_,te Vel an fit /( P -|- Q )''-= P^ dx zzaf[V-\- Q_,*— P dx -f- §y ( P -i- Q_ '*' ^v -f- V deiignante V quantiiatem nlgebrai- cam quamcunque pcr a ct .v datam , ct a ac i? iiint cocrlicientes ex conftaatiffimis et a compofitae. § 32. Fiac igitur V— T( P -f-Q_/— ' huius dif^ ferentiale pofuo a conftante fit <3^T(P-|- Q_/— '-j- (^-ij^T^P-l-Tfl^Q^^^P-f-Q./-^ Prodibitergo fe- quens aequatio P' ^.v — a P V.v -i- a P Q^ r/.v -|- S P V.r -+■ 2^?q_dx H- eQ;rt'.vH- P^T H- Q^^T-I- 'k-i) T^P-H(.t- I jT^vO, quae per dx diuidi poterit. At T ita debet accipi , vt termini repondentes CeCt deflru- ant, (limris ad hoc idoneis pro a et § valoribus. §. 33. At fi per fPdx non abfolute determinetiir z fed c]uantitas /Q_(/c;, data Q_ vtcunque per a et z^ atque P per a et .v ; habebitur ifta aequatio Q^~~ Vdx in cjua iiidetcrminatae .v et .c; funt a le inuicem A a 3 lepa- i8o DE INFINITIS CVRVIS feparatac. Modiihiris vero acqnatio hoc modo inuenic- tiir : Qiiiii eft jQ^dzzrJV dx differcntietur \trumque membrum ponendo etiiim a \niiabili ope dVzzAdx -\-Bda et dQ^zr.Cdz-{-i:) da. Erit crgo Q_dz-{- dajDclz~Vdx-\'dajBdx feu ddz-z? dx -\-da iJBdx—JDdz). Qiiae aequatio, Ci JBdx ctJDdz poterunt eliminari , dabit modularem quaefitam, §. 34. Sit P fundio '"~' dimenfionum ipfirum a ct X , ct Q_ funclio "~' dimenfionum ipl-u um a et z. His pofitis erit Di^. J ? d x - '^^'■^^"^'^ , et Diff. }q_^~-'!±^-±:^^^:'''). Ex quo eruitur ida ae- quatio {m — 7i)JVdxzz.— — ^'a — d^i — f^t> JVdx zzzjQ^dz. Qiiare fi fuerit?«~;2, crit Q_adz-Q_zda z^V adx — Vxda. quac ell aequatio modularis, feu ia qdz — Tdx « — (^2. — Px" §. 35. Sin vcro m ct n non fint acqualcs, ae- quatio modularis erit differentialis fecundi gradus. Nam r^ 1 \ CV) J CL(adz — zda) — '^[adx — xda) • t^- rr cum lit {m — n)jVdxz:z^^ (^^ erit DifF. Q,(adz — zda) — Fjadx — xda) m(m — W^dafPdx , {m — v^^Tia-ix — xda) da a 1 o~ 7nQj.adz-zda)-nP{adx~xda) „ • n 1 1 • c=z —i . Qiiac acquatio elt modulans quaefita. §. 3<5- Si in acquatione propofita dz-{-V dxmo indetcrminatae non fucrint a fc inuiccm fcparatac, ita vt P fit fundio involucns .v ct x:; ct ^; dcbcbit per quantitatem quandam R multiplicari , quo formu- la Rdz-\-VKdx \t diffcrentiale intcgralis cuiusdam S poffit confidcrari. Erit itaquc dS—Kdz-\-VRdx:zzOy idcoquc EIFSDEM GENERIS. I 8l ideoqiie SnCond. Sed ad quuntitatem R inuenien- d;im, fit d?z=:A(fx-{-Bdz et dK^Bdx-hEdz , vbi -7 tantispei- pro conibinte habemus. His pofitis eiit d.PR=:.(DP4-AR)^x-f-(EP-l-BR)^s, quo- circa debet efTe D=:EP-hBR. At ob D — ^'-^^^- fiet E ^ ~ -1- E P dx -1- B R dx ~dK. Cum \ero fit dz ~\-?dx — o, habcbitur dti~BRdx, et lK=JBdx. Cognita vero eil B ex d;Uo P , ct qui:i B et x: et Jt; in- uohiit, Bdx integrari dcbet ope aequationis dz-i-Vdx ~(?, fi quidem fieri poteli Sit itaque /Br/.vrzK, eritque R ~ ^*^ pofito lenzi. §. 37. Cum igitur fit dS ~ e^ dz-{-e^?dx—o y ad aequationem modularem inuenicndam Cit dliz^Y dx -^Gdz-^Uda, eritque de^—e^(¥ dx-}-Gdz-hBda). Sumatur deinde integralc ipfuis e^Hdz pofito tantum ^ variabili , x vero et a conlbntibus , quo fido erit ae- quatio modnhiris e'^ dz H- e^ ? dx -+- daje^ Hdzzzo , feu diuifo per e^ haec dz-^r-^dx-i-e-^daje^lldz^zo. Aha aequatio modularis inucnitur, pcvfito rt^P z: Art^.v-i- Bdz-\-Cda., erit enim iphus ^'^P difFercntiale pofito x et :; conibnte hoc e^{Cda-\-?Hda). Intcgretur e^dx{C'+-?ll) pofito tantum x variabili , quo fido crit aequatio modularis dz-\-? d x-^-e—^^daJe^ dx{C -t-PH)^(9. Sed huiusmodi aequationes modulares ni(i R poiTit fine aeqnatione propofita «'s-i-P'?!'!'"^ deter- yminari, nulhus fere iiint vfus. §. 3S. Coniideremus igitur cafus particulares, fitque in acqnatione dz-\-?dxzL:Oy ? fundio niilhus dimcn- fionis i82 DE INFINITIS CVRVIS fionis ipdirum x et z , non computntis conftantibus et modiilo a- Formula vero dz-^?dx integrabilis fem- per rcdditur fi diuidiitur per si-hPa', quamobrcm erit S-7t-:t:p-?:r:Conft. Fit autem j^fg^" :./(;:+ Pa-) —J^B^- Dcinde pofito z — tx, fiet P fundio ipfius ? tantum quiie fit T. Qiiare erit S =: /(^H-P.v)-j ~j- quod per quadraturas poteft exhiberi. §. 39. Ad aequationem modularem igitur inue- iiiendam nil aliud ert agcndum , nifi \t J^I^p^'' diffc- rentictur pofito quoque modulo a Yariabili. Ponntur igitur liac aequationc dz-\-V dx — O continentur, refolutionem adiiciam. Namque reperitur ex (§.38) /(5;-f-P.v!=/4Ji.zz/(/4-T)-/4^- vbi Jii:^ ec T — P. Prodibit igitur. Av-f-/-:^^ — ^' ^^u ad- ieda EIVSDEM CENERIS, 183 dt ieda conftante l-—ffzpf' ^t fi propofita fit aequatio 71 xdz-\- dx y ( x^ -4- J2* ) m «> fiet P — ^- ^ '\^~^ ^" ^ , po- fitoque z=:tx, erit T := '^^ idcoque / ^ -/T^Tii^i^^^^^fjy fiiit V,x-^U)=zt-\-s erit /=:■=" et ^f — =-^;t££>. Qiuire erit /^ —j (-;i:;:7jiz.(H:=:7)^ — S^ /i 4- ^r^, /(^( n-i) s-—n — i). §. 41. Qiio tamen vfus calculi §.36' in cafu fpe- ciali app.ueat, fit aequutio propofita dz-{-pzdx — qdx znOy in qua p et q vtcunque in ^ ct .v dantur. Qiiae aequatio cum illa generali dz~{-?dxz=o collata dat ?=pz-q, ex quo fiet B—p, et IR—Jpdx feu R — f-^^'*^. Cum igitur fpdx per quadraturas poflit af- fignari, cognitus ell: vaior ipfius R, idcoque aequatio propofita per e^^'^^ multipHcata fit integrabilis : erit igi- tur ef^^^dz-^-e^^^^^^pzdx-e^^^^^^qdx — O huiusque in- tegralis e^^'^'' zz=:fe^^^'' qdx feu z—e-^P^^^^fe^P^^qdx. DifFerentiari itaque debet £>— /f"^^/^/? -^-^ q ^x pofitis et a - et X variabilibus, et difFerentiale ipfi dz aequale poni, quo fado habebitur aequatio modularis. Pofitis igitur dp—fdx-\-gdactdq — hdx-\-ida prodibit ifta ae^ quatio modular is dz zz: - e~^P^^ {pdx-h d afg dx )fe^P^* q dx -h q dx -\- e-^f''='dafe^'f'^'= ( i dx -j- q dxfg dx ) , feu pofito breuitatis gratia/5'-'f''*t_^, , ex quo idoneus ipfius P -valor eft quaerendus. Eucuit hoc fi P rz «""' , erit enim integrale ^-|-f. Qiiare erit vniuerfahter P — «''"' .V P f(--4-(r), id quod contingit fi — ^^ eft fundio ipfa- rum a et x nullius dimenfionis feu P funbi D fit tundio ipfius a^ et R fundio iplli- rum a. et x ex conditionibuo fequentibus determinanda. Erit igitur dO- D Qj/a~m dx -\-Kda, fit Dda zz^. et diuidatur vtrioque per H proaibit -^ — ^ — — jj . • In qua aeqiuitione , cum illud membrum fit integrabile, tale quoque hoc "''^^^'eft: efficiendum. Fiet igitur per praeceucntem methodum M-~ -j/ f ( X-f-A) ct R::z: f(X-f-Aj. Qiiare fi in exemplo quopiam propo- da Hi A , fitoex P reperiatur M taiis valoris, crit N— ^„ f(X-f-A) H-^,-"' ^"-P^-^*) PO^'^^ H^ 1"^*^ D et ^^^J^ loco Q. Atquc hinc in promptu crit aequatio niodularis. §•. 24. DE INFINITIS CFRVIS EIVSDEM GENER.ig^ §. 24.. Si N non a Q_ led n z pendeat , ka vt fic Nz=:R-i-C.s, denotante C fundiionem ipfius a (\mm- cunque; erit dQ_—Qzda~M.dx-\~Kda. At quia eft d^z — (^da — P dx , addatur huius multiplum F dz — QF^^^ zrPF^AT, exidente F fundlione ipfms <«', quo fido orie- tur aequatio dQ_-Q¥ 4a-\~^ dz-Czda zzi{fA-\-?^) dx-\-Kda. Ponatur ¥da~-^ et ir"'— "^, ita vt fit F~3^ et C — 3^^. Perfpicuum itaque eft «'Q— QFda integrabile reddi fi diuidatur per B feu multi- plicetur per |, fdz — Czda autem' fit integrabile , ff multiplicetur per p^. Qiuirc qiio idem facfcbr fummam horum difterentialium reddat nitegrabilem debebit elfe FG=:B feu g^zzB, vnde fiet G zn -3^. Hancobrcm alterum quoque membrum per B diuiium efl: integrabile eOTciendum fcilicet ^-^^^^^^f^^. Qiiocirca tacio Kz=: ^f(X-^A) et M-i-PFz=:^^f(X + A)i=:M-|^ B^. Inuefligari igitur debet propofito exeraplo , an lo- co A , B et X talcs fiHKftiones inueniri queant , quae cx- hibeant forir,uIam ^j^ f ( X -h A ) aequalem i pfr M. -H,- sXa- Hisque mu&ntis ent N z^-^v ^ (^^-+- A )+-EGd^2 exi- llente G ~ ^g- , qui valor in aequatione M «'.v-f- N da^ d,^^j~ fubllitutus dabit aequiilionem modularem. §. 25 . Sit nunc generalifllme N ~ R -}- DQ^-f- C z^ > tenentibus R , D et C iisdem quibus antc valoribus. Erit ergo dQ- D Q/Ia — Czdazt M dx -\-Rday addatur ad • hanc aequatio Fd'.^ — FQ_^^— rPF^.v, quo Ih.b atur d(^ ^DQda-¥(lda-{-¥dz-CzdazziM-\-?F)dx-i- Gc 3 - Kdd X95 ADDITAMENTVM AD DISSERTAT. R da. Pofitis aiitem vr ante Dda—ii-, Y d a—^. Cda dC et -p — d 1 ^^ dQ;~T)Qjfa-f(^da integrabilc fi du- Cfltur in ir^, et Ydz-Qzda integrabile fit diidLim in ^Q. Qiiare debebit cfle HB^YQzz^ ttia—-^ ^t^i^e («±^^|±Mf reddendum eft integrabile: fiet er- go fado HBzrE, R- %^ f(X-4- A) et M-f-PF- f(X-|-A). Qiiocirca in cafu propofito A, X, E IdX dx Ec/X, ei F fi fieri poteft ita dcbent definiri, vt-^f(X-l-A) aequale fiat ipfi M-i-PF. Hocque inuento erit N — ^f(X-hA)-|-Hi?^(^^-P^.v)-i-~if, vndeaequa^ tio modularis reperitur. §. :i6. At fi nequidem differentialis fecundi gradus aequatio modularis obtineri poterit • ad difFcrentialia ter- tii gradus ent procedendum.Fiet ergo Nzr — ^-^ da atque hinc pofito dN~sdx-Y-tda^ cvksdx-\-fda — d /^( y^")-M^-y\ j).^tiu. jiu^cm j cx M , cum fit sda diffcrentiale ipfius M, quod prodit, fi x ponatur conftans. Q_aamobrem t tantum debebit inucfiigari. Sit ergof — RH-EN-hDQ_-f-C:3, idcoque ^N-EN^<2 -^DQj/a -Czda — sdx-^-Kda. Cuni fit autcm (/Q_— Nque in hoc tempus inftitutarum (pcdat, omni ex partc abloluta et perfeda meo iudicio cenfcretur. Ea piofccflo 1 atione , ante me , vt credebam , ftrudura intc- rior Thymi pcuitus delitekebat : Quod tamen iudicium, re meUus petfpcda ct pro ftudio veritatis improbaui , poftquam apud Tbomam Baytholinum primmn, hinc apud Vetrinn Uionyfium pracfatam ftrucfluram iam indicatam , a lunioribus vero omiftlim fuiftc haud fmc admirationc <:o- gnouerim Thomas BarthoUnus Anatom. quintum renov. Lib. 11. Cap. "VT. Cauitatem in medio Thjmi Hafiiiae 1652. manifefto a fc obfcruatam cfle primus teftatur : Qiiae, inquit, etiam poftea vifii Graefw humore limpido replcta. Vctro Dionyfio obrcruante, Anatoniie de Thomme trofieme edition, fixieme demonjlration des parties de la foitrine. La Fagoue ejl une Glande conglomeree ..... on remarque quelle a dans fa partie moyenne une carj^itc qui eji pleine de Lymphe. §.3. Si prjmum Thymi cxteriorcm confbrmatio- ncm contcmplemur, Is triplici glandula in foctu vt Tbo- mas Barlholinus 1. c. indicat , vel melius tripartito iu omni actatc diftinguitur. ludicii enim ratio, cur is vt tri- mrjE oBSEnrATiONES. ±0$ tnpkx glandnla creditur , eft adhuc, opinor, nimis in- certa , \t aliquid tuto definire liceat. hobos appclinre eas diuifiones niagis rationi confonum eft. a. Q;-.m Verhevenm , "vt rcm apparentem tradir, ^fidelicet prae- fatorum Loborum fubdiinfionem in minores lobulos , eft profe(flo realis et fenfui manifefta compolitio e plinimis lobulis eiusdem figurae , videlicet oblongae , quam poll de- tradum commune feu exterius inuolucrum attingere pro- cliue ert , fi quae pracfatis lobulis intercepia lunt inter- ftitia feu membranas tenuillhnas pellucidas eos disiungen- tes animaduertendo , hinc hnfta leui incifione dirtrahendo, in aqua limpida perluftraueris ; Qiia ratione totam (iiper- ficiem externam Thymi , paralleiis et a fe inuicem dis^ iuadis lobulis coagmcntatam efte conlpexi. §. ^. Porro praefata interrtitia fingula ramis vafcn- Tofis per ea excurrentibus funt occupata , \ nde ad lobulos incredibilis copia minimorum ramulorum propagatur. Qiiam valbrum hic luxuriantium muiiitudiocm. et ordinem haud fine magna admiratione fum contemplatus. Kis, \t eft ■vifum , accedit fubrtantia quaedam alba lobulorum parie- tibus interpofiia : Facile enim eft Yuum colorem ab al- tero internofcere , quia color lobulorum ert opacus ad rii- bedinem vergens. An fint nuda , an podus pinguedine perFnixta vafi? in dubio reiinquitur. Caeterum memini, Thymum e Cadauere optimo exfedum , hinc vafi liiper ignem impofito iniecffum , vt pinguedinem , calore fblii- tum et Uque&diim fuifle. ??. ^c.r CIKCA STRrCWRMl THTMl, §. 5. Haud vna exteiifionis ratio in pniefatis lobr.- lis eft obreruata. Sunt qui 9. lin. longitudinem acq'.iant, fed latitudine parum a fe inuicem dilcrepant, vid. 3. lin. quos poftremo propria membrana tenuiiiima pellucida ob- uolutos eife haud praetermittcndum elt. §. 6. Dixi praefatis lobitlis ct interftitiis totam fu- perficiem externam loborum coagmentatam cfle, docente primum Verhejenio. Num vcro tota moles Thymi ex omni partc iitiusmodi lobulorum fit compages ? numque corpus denfum et vacui expers fit nec ne? id quidem ha- (ftcnus fuit incompcrtum : Nam praefata molcs a Vcte- ribus vt corpus Glandojum^ a lunicribus vt Glandula con- glomcrata, et quod hinc confequitur, vt corpus haud (1- nuofum fed (blidum , efl propofita : Qiiam ftruduram intcriorcm Thymi , fi obferuiuionibus nolhis minus fum deccptus , haud in ea particularum ratione , fed in re longe diucrfa nuper a me inuenta , politam effe didici :: Cuius tamen inucntionis laudem, ante me Bartholino, ct poft illum , T)!onjfio debitiim cffc, fupra lubens tcftatus fiim, §. 7. Itaquc Thymus interius ampla cauitate fcu fmu poiliccm fcre admittente eft inftrudus , vt oblcrua- tioncs nofirae primum inftitutac fidcm ficiurit. Flunc fupra memorata involucra vidclicet mcmbrana extima., hinc lobulorum (ubftantia carnis fpeciem aemulans exte- rius ambiunt cumque terminant. Poftquam praefata fub- ftantia ad ambitum cauitatis pcrucnit, tarnctfi vkcrius ad cxtvcmum Thjmi prolongetur , haud iftiusmodi finu cft inftruda, fed compicfia, et cauitatis cxpers cft, Cactc- rum , nOVAE OBSERJ^rmOKES. 207 rnm , qiiando femel ac iteriim infignem cauitatem iii Thymo confpexi , propterea iv.uid exillimandiim ell , in omnibus et linguHs cadaueribus eam inueniri : quam fi contemplari femper procliue efict, Eius inuentio vt vide- tur haud ad hoc t^mpus dilata fuifiet. §. 8. Qiiam difficukatem profcdo haud nouam cfle, iam fitis ex Anatome eft compertum, imprimis ia partium cauitatibus, quae mutationibus frequentcr funt ob- noxiae; fcd, inquis, fi Tliymo cauitas naturaliter elt con- ceffi , eius ad minimum fubobfcura vciligia adhuc intcr- nolcere procUue erit : Qiiod iudicium , intcr alia Glandulae Renaies Eujlachil confirmantj Sinum cnim peramplum, quo eas Natura indubie iurtruxit, interdum prima infpe- (ftione inuenies : Nonnunquam dclitcfcit et ftre oblitc- ratur, refcrens vidclicet, corpus denfum et folidum caui- tatisqiie expers , quod tamen exercitatum Anatomicum minus vetat, quin imprefiiones fubobicuras oblitcrati finus nonfolum perfpiciat , verum etiam dilhadione parictum «undem reilituat. §. 9. Itaque parietes Thymi leniter diftnihendo , manifel^o obferuaui , illam quoque fubfiantiam , quam ca- uitatis expertem et compreflam fupra credebam , paula- tim dehifcere, nihilque aliud effe quam finum iam obli- teratiim , Cauitatisque fupra memoratac continuatioiiem. Porro in aliis Cadaucribus , quorum Thymus idiusmodi maniferta cauitate Iiaud erat inftrudus , primum difficile erat vefiigium finus internofcerc ; Spatio tamen aliquot dierum , laxata eiiis compage, exiguum intcrfiitium ob- feruabam , cuius difiradioue , coepi manifefio animaduertcrc, Tom. VII. E e ifiuis- 2c8 CIRCA STRJVWRAM mTMT, iftinsmodi vcnim et icgulare interftitium , totum tracTtnm Thymi longc latcque penctraie, idque uiliil aliud effe qu.mi finum contraclum et imi obliteratum , \t e quarumdam partium Anatomc alias compcrtum clL §. 10. A Lobulis praefiitam cauitatcm circiimam- bientibus , efformata funt inniimera ipatiola in toto am- bitu cauitatis conCpicua, colore opaco (iibrubro notata iic interftitiis candido corpore repletis interflinda , vt vel pri- ma infpedione intellexi. E praefiui corporis, qao inte- rior fuperficies magna partc cil contcxta , rucente alBe- dine , ct arcarum diuedae magnitudinis fubrubcnte colore et m.ultitudine , fpecies Cvorporis maculati (cu cancellati cf- ficitur. An e nudis vafculis, vel permixto adipe, album corpus fit contcxtum ncc nc? in re tam difficili et oB- nubilata deiinirc minus procliue efl. Vafcula , quantnm affcqui potni ,- (iib vclb practenui pofita , canaliculorum fere vnifbrmium , brcuium , l lin. latorum , ac (e(e mu- tuo itiofculantiuin congeriem , hinc arcarum (eu cancclib- rum irrcgiilaris (igurac ct magnitudinis incrcdibikm nume- r.nm cffo!:mant. Qiiod pracfito opcri cfl fupcrextcn(i;m tcnuidimum vclum, in eo (blcrtiaG ct opiiicii admirabilis fpecimcn (iim contcmplatus: videlicet, haud men;branam feii tclam , ("ed gcjius vermicularium ct exiliilimorum canaliculorum , totam inreriorcm liiperficiem vt fila- mcnta (iibtililiima perrcptantium : Nam fupcraffula aqua, dcprclii prius et cornplicati canaliculi , vi aquac cos ex- plicante ct clcuantc , innatare vifi (unt : Qiiam ftrudu- ram ante finguLis arcas admirabile reticulum cfformantem, taincifi vUra arcas (upcr intcdtitia fit propagata , proptsr eiusdem.' NOFAE OBSEKVATIONES. 209 eniSLlem infigncm albcdincm , qiuie interftitiis quoc,iic eft ccmceflii , in his miniis facile, quam in illis intcrnolccre potiiL §. II. Ifliusmodi arcis reticulatis, nonnulla corpu- fcula eflc appenfo , de quibus iam dicendum cfl , anim uuuertiflL' niihi vilns fum. Ad quinarium , earum area- ri.rn numerus crat limitatus: Caeterac enim omnes areac quas diu mnltumque contcmplabar , rcnlii iudice, prviefatis corporibus carcbant. Quum ftylo leuiter admoto, ocu- liscjue intcntis, iftiusmodi corpulculorum indolem inue- fligarem , c medio ac fuper vnam quamque praefatarum quinqnc arearum quac a fc inuicem longe diflabant, Mium corpulculum egredi eique implantari , et ftyli agitationi tam facilc oblequi , \t hinc inde eius motum obleruarem , plane ac indubie perlpexi : Et quum eandem agitationem laepe inttitu.iflcm , cogutnii , haud fub areae reticulo , led ftipra et extra rcticulum , corpufculnm pofitum cfle , hinc in cauitate quam liipra defcripfi libcrc fluduare Ei, Yt porro animadivcrti , incrcdibil-is tenuitatis filamcntum crat annexum , quod altero extremo in areae fundo pc- uetrare indequc ortnm trahere videbatur, ficuti in fingu- iis conrtantcr fum contcmplatus. Cacterum , tam exiii mole ea corpufcula confiant , \t tametfi in cauitate fluvftuent, in ea incidere minus pro- cliue fit , quorum proptcra inuentionem , cuidam colori Cis proprio debitam eflTe fatendum eft. Nam , quia carnis colorem aemulantur, ex aduerfo jnterflitia vt fupra indi- caui, albo colore funt pracdita, ea ratione muhum diuque perueftigando, rem felicinime fum aflfecutus. Porro oua- E e 2 lem 210 CmCA STRVCT.TnTMI,N07:QBSERr, km %ur:im, et laeiiigatam fupcrficiem iisdem corporibus coacedam effe iam lupra obleruaui. §. 12. Dudu fibmenti , quod e profundo arcat «mergere , et cum corpufculo nexum habere dixi , inte- riorem conditionem et compofitionem lobulorum , fun- duin nreae occupantium , attingere conatus lum. Vtcunque ea derefit, coloris fimilitudine, tam Lobuli, quam Cor- pufcula praefita, plane conuenire ^ifa limt, \idelicct fub- rubente carneo colorc, vt vel prima inlpeclione intellcxi. Quos lobulos, et praetata corpulcula, fi haud plane dc- ceptus fum , vnum idcmquc corpus elfe , iam absquc haefi- tatione compertum hahco. Qiiae enim corpulcula intra cauitatem Thynii flu(ftuare prius obllruaui, ca (imt diftra- (flae et quafi auullae , et filamento lupra mcmorato lobulis annexac, hinc fupra arcas eminentes particulae ; Lobuli autem eaedem funt particuhie , fed profundins fitae , in vnamque aream colledae , vt in plexibus glandulofis te- nuium intcftinorum. Num, cum intellinorum crafforum foHtariis glandulis , altera corpufcula quae a lobulis funt auulla, rcifle confcrantur nec ne ? Alii viderint. Profiremo haud pluribus, quam vno plano praefatorum corpulculorum, vt clare perfpexi , finguli k^buli erant compofiti , quod planum vero in nonnullis latius ct longius , in ahis contraftius et minus oblongum apparcbat : In illius plani tam interna quam externa ficic , exiliffima corpu- fcula veficulis feu globulis fimiha , proptereaque veficula- rem fupcrficiem conlpcxi , vt duo vidclicct haemilphae- riola. vtrinque protubcrantuu DE DE ASVECTV ET CONFORMAT. VARIA 2 1 1 DE ASPECTV CONFORMATIONE VARIA VASOilViVl SANGVINEOIIVM IN DIVERSIS PARTICVLIS VENTRICVLI, Obferuationes. AVCTORE loh.. Georg. Du Vernoi,. NOn folum in fundionis Nobiliflimae Machinne, in: qua Alimenta intra breve temporis (patium , in fomno aeque ac extra Ibmnum, in tuccum alibi- lem conuertuntur ] Ycrum quoque in eiusdem depraua- tionum iudicio, (iimma diligcntia m hoc inquirendum ert, num quando in defimdlis rubicunda fiicies \entriculi vt plurimum efl: extinda , eiusdemque fibrae et membranae (unt albae et palUdae , id propterea Va(a (luiguinea hic minus abundare , Yere indicet nec ne ? Porro eo fludio et diligentia ea de re eft tradlandum, vt nonioium genc- raliter caudices Yaforum , quiim quidem cognitionem gene- ralem haud improbo , fed eam praecipue indolem afTe- quamur , quam vafit progrediendo acquirunt , fuper vnum qnodque pJanum tunicarum, iuxta ordinem et reriem, qua kk f;ibrica. ventriculi (e(e inuicem excipiunt.. E e 3. §. £-0. 111 m ASTECTV ET CONFORMAT rARlA §. 2. D.iplicem varculofum contcxtum in ventri- culo dari Tbovias JllJls primus efi: Aucflor. lajajan- guijera inquit qii. redii ad labores meosj. ct iuueni D. 7. lunii. Therm. in aere aprico, nubibns fp;irfiSj vento forti N O. humili aqua , gr. 1 1 5. in aqua gr. 1 2-]^. D. 8 . lunii ,. nebulofae nubes tranquillae , hora oiflaua Therm. in aere quieto aperto gr. 129. in fole transpa- rente continuo per femilionim gr. 109. in aqua 128^. Pofl: meridiem ,. hora fecunda , Ventu^ aliqualis W, coelo clarificato, Thcrm. in aere quieto gr. 108. in fole per duo minuta gr. 103, in acre "vehto expof. fine fole per tria mmuta gr. 118. in aqua gr. 128. Pofl: occafum, horizonte feptentrionali \alde nu- bilo, Tlierm. in aere aprico gr. 128. in atjua gr. 1285. D. 9. lunii. hora odtaua , Vcnto SO. Coelo nii- bilo, Therm. in acre quieto gr. 121. in ible gr. 120, in aqua gr. i^S^- Meridie, ventulus SW. pluuiola, Therm. in aere libero gr. izo-k. in aqua gr. 128. Pome- ET FRIGORIS AQVAE FLVENTIS. 243 Pomeridie continuo haeret circn gr. 122 , mox fupra mox infra. Hora odaua gr. 123. in aqua gr. i 27^. D. 10. lunii. Summo mane , extra folem crat Therm.gr. 1231. hora odaua, coelovdo, fereno, tran- quillo gr. 115. in aqua gr. 128. Meridie in fole gr. 100. in aere fine fole gr. 1 10. in aqua gr, 127. Pomeridie extra folem verlatur intra 115. et 120. in aqua 126^. Velperi in aere Therm. gr. 125. in aqua gr. 127. D. II. lunii. Mane hora fexta coelum fudum , fme vento. Therm. iii aere aprico gr. iio. in aqua i 27. Hora vndecima Therm. in aere Ubero , finefolegr. 100. in aqua gr. 1 16. Hora duodecima, nubes fparguntur, quae traiedum foli& nonnumquam impediunr , cadit igi- tur Therm. iii aere Hbero ad gr. 105. Hora prima , in fole gr. 95- mox rcdcuntibus nubibus ad gr. 107. fur- git ex S. ventus mox in NW. mutatus. Vefperi pofi: occalum , coelo nebulofo Therm. in aere gr. 125, in aqua gr. 126. Ambo dies cafidilfimi. D. 12. lunii. nodle antecedente pluit, mane nebu- lofum pluuiofum , Therm. in aere hbero gr. 132. in aqua gr. i 2 61. Meridie, Ventus N. fortis furrexit, nubes, pki- uiola, Tlierm. in aere quieto gr. 130^. in aqua gr. 126. Audum eft frigus pomeridie (enfim fenfimque vc efiet vefperi hora odlauo Therm. gr. 134. in aqua gr. 1.26. Venius N. Nil igirur de caiore amifit aqua. li 3 D, J3> «44 D^ MVTATlOmBrS CAWRIS D. 13, lunii. hora feptima Therm. in aere quieto gr. 125. NB. aer reuera temperatior eft, coclum po- tillimam partcm purum , in aere libero poft remihoram gr. 122. in aqua gr. 128. NB. Si inftrumentum aqua eximo , cadit adhuc Mercurius , tam dum teneo iu aere liipra aquam quam intra domum. Sine dubio illc aer adhuc frigus iiiura rednuit ab hefterna die, nec fohs energiam expertus eft, vti ille, in quo Thermometrum obferuare foleo. Meridie, Thcrm. in aere quieto gr, 115, in fole gr. no. in aqua gr. 127. fi adhucdtim eximo, cadit. Ventus fortis W. Yt creicat aqua. Vefperi , Thcrmom. vcnto expof. ma^no W.. gr. 130. in aqua gr. 128.. D. 14., lunii. Manc, vcntus W. fortis, nubcs vagan- tcs, Thcrm. in aere quieto ernt gr. 128. in aere fupra aquam vento expof gr. 132. in aqua gr. 129. neceffe igitur poft cxtradlionem itcrum cadit. Benc attendcndum igitur mihi in pofterum ad calorcm aeris fuper aqunm. Meridie, W. contiuuat, nubibus vagantibus, Ther- momctrum in .lere quicto gr. i2q^. in aere fcptcntrio- nali vento cxpof. cadit intra minutum dimidium ad gr. 127. intra horam gr. 13I5. in aqua gr. 128^. Vcfperi in aere (eptentr. vcnto cxpofuo , ventus W. fortis Thcrm. gr. 132^. aqua gr. 128^. D. 15. luuii. Mane hora fcxta Thcrmom. in aere quieto gr. 135. poft horam , gr. 128. fupcr aqua pcr minutum gr. 130. in aqua gr. 128;^. Vcntus W. nu, bcs multae vagantes. Mcri- ET FRrCORlS AOrAE FjrEKTlS. 345 Meridie, Thermometrum in loco qiiieto gr. 118. in aere meridiomili aperto, (ed extra lolem gr. 121. vcrfo iiiil:riimento in (ble per 7. miniita a(cendit ad gr. 115. in loco (eptentrionali vento \V. expodtum per (emihoram gr. 129. in codem loco, led a vento vediim gr. 130, alio loco leptentr. led quieto gr. 128^. in a^qua gr, 128. lam venaio mutatur verlLis S. Vefperi, Therm. in aere quieto ordinario ell: ad gr. 131. in libero meridionali gr. 130 in aqua gr. 128^. Ventus S W. (cd paululum (cnlim minuitur. D. 16. lunii. Manc hora feptima, Therm. in loco quieto gr. 128^. in loco a fole irradiato , led a fole vcrfum Thermometrum pcr lemihoram gr. 128. in aere fuper aqua gr. 128. fuper aqua , fed in iongiore a ripa dittantia gr. 128^. in aqua gr. 129. Meridie in loco quieto gr. iii. in irradiato aucr- fim gr. 115. in fole gr. iio. fuper aqua gr. 128I. in aqim gr. 128. Vefpcri in loco quieto gr. 127^. fuper aqua gr. 128^. in aqua gr. 128. Tota dies amoena , quieta, ferena. D. 17. lunii. Mane, S W. Therm. in loco quicto gr. II 5. fuper aqua gr. 125^. in aqua gr. 128;^. Ma- ne clarum. Meridie, Therm. in loco quieto gr. 110. fuper aqua gr. 126. in aqua gr. 128. Vefperi in loco aperto gr. 115. fuper aqua gr. 124. in aqua gr. i27|. Tota dies amoena fcrena. D. 18. n^6 DE MVTATlONIBrS CALORIS D. i8, lunii. Pluuia. Therm. mane in loco qiiieto gr. 125. fiiper aqn.' gr. 126. in aqua gr. 127I:. Poit jneridiem hora tertia Therm. in loco quieto gr. 117. fuper aqua gr 122. in uqua gr. 127. S W. ferenafcit. Vefperi in loco quicto Therm. gr. 125. fuper aqua gr. 125-126. in aqua gr. i^-j^. Seren. Tranquill. D. 19. lunii. Manc, Therm. in loco quieto gr. 123. in loco irradiato, auerfim gr 123. fuper aqua gr. 129-}-. in aqua gr. 1285. ventus NO. frigidiulcuhis. Scrcn. Meridie, Therm- in loco quieto gr. iii. fuper aqua gr. 1 26. in aqua gr. 1 27^. Vefperi antc fohs occafum in loco aperto Therm. gr. 127. fuper aqua gr. iz6. in aqua gr 127.^. Tota dies maximam partem lerena & tranquilla. D. 20. lunii. Mane, Therm. in loto quieto gr. 1 14^, jn loco irradiato , (ed auerfim gr, 108. fuper aqua gr. 124.. in aqua gr. 127. Coelum ferenum , tranquilliim. Poft meridiem hora quinta Therm. in loco quieto gr. 115. ftiper aqua gr. 120. in aqua gr- 125^. Vefpcri in loco quieto gr. 124. (iiper aqua gr. 127 , in aqua gr. 125,,-. Pomeridie toto ventus magnus W. ju N- qui aeftum aeris infignem pauluhim repicifit. D. 21. lunii. Mane fercno Therm. in loco quicto gr. 118. in aqua gr. 126. Pomeridie in loco quicto gr, 105, in fole per quinquc minuta gr. 95. in aqua gr. 125. D. 23. ET FRIGORIS A^Vje FVEKTIS. ^+7 D. 23. lunii. Manc, Theim. in ioco quieto gr. 115. in aqua gr. 124-q:. yentus O. (ercn. Meridie in loco quieto gr. 108. in fole gr. 100, extra folcm gr. 115. in aquu gr. 123:^. Sercn. ied "ven- ti l^co feptcntrionali gr. 1232« iupcr aqua gr. 1^3-^. in nqua gr. i2o|. vcntulus N; exuigit. D 10. £T FRiaORlS aQJ-AE FLFEKTIS. z$i D. lo. lulii. Mane, Therm. in loco qiiieto gr. 1 18. (bper aqua gr. 123. in aqua gr. 121. Coelum nubilurn; Ventus N. aer frigidiufcnlus. Port meridicm, Therm. in loco quieto gr. 115- fuper aqua gr. 122.-]- in aqua gr. 120^, Aer fri^diu- fculus ob \entum fortcm N O. Nubes (pifTae pluuiofae,, ferenitatem interrumpentes. Vefperi, Thcrm. in loco quieto gr. 124. fuper aqua gr. 123;^^. in aqua gr. 121. lerenum, crudus aer, ventus- NOl D. II. lulii. Mane, Thermometrum in loco quieto gr. 114. fupcr aqua gr. 122-123. in aqua gr. 121^. Tempeftas hefterna, Ventus O. Meridie, Thermometrum in loco quieto gr. 112. (iiper aqua gr. 122. in aqua gr. i2ij|:. Tempeftas paulo mitior , ventus O; lenis , nubes pluuiofae feremim coeliim hinc inde tegences. Vefperi, Therm. in loco quieto gr. 123. fuper aqwa gr. 12-2-^. in aqua gr. 121^. Tempeftas e.adem. D. 12. lulii. Manc, Thermometrum in loco quieto gr. 124. fuper aqna gr. 123^. in aqua gci^i;^. ven- tus nuUus, aer frigidiulculus , pluuiola. Poft meridiem , Therm in loco cpii^to ordina- rio gr. 106. fuper aqua gr. 117. in nqua gr. 120^. Toto hoc die ventus lenis S W. fed nubes , tonitru prae- gnantes curfu contrario ambulant. Obferuo etfi aer {\i cali- dior aqua, mcrcurium tamen , momento quo extraho, paulum cadere, id vero fiine dubio a dilatatione vitri de- piendere debet. Kk.3. Vefpe-^ ns i m MFTATxonmvs caloms Vefperi, Thermom. in loco qiiieto gr. 123 --24« fupcr iiqua gr. 120, in aquii gr. 120^. Coeliim Vimiim. D. 13. Iiilii. Mane, Therm. in aere quieto gr. 122. fuper aqua gr. 121- 122. in nqua gr. i^i^^. Nebula fi- ne vcnto. Hora oftaua nebula dildititur, et Tlierm. iti foie per minuta tria gr. 105. Meridies calidiffima. Ve(peri, Therm. in acre quieto gr. 118. fuper aqui gr. 119. in aqua gr. 121. Vefper placidiffimus. D 14.. luiii. Mane, feren. ventus S W. Therm. in aere quieto gr. 112. fuper aqua gr. 119. in aqua i2o|:. Poft meridiem , hora quarta , Thcrm. in loco quicto gr. 108. iiiper aqua gr, 117. in aqua gr. ii9|-. ierenitas, W. mibes vagantes. VeliDeri, Therm. in loco aperto gr. 118. fuper aqua gr. 118. poftquam immerfum fuerat aquae, et ex- emptum dcnuo fibi relidlum gr. 120. circiter ^ in aqua gr. 120. vcntus jdeficit. Ex hac obferuatlone video, me numquam fatis ac- curatum gradum caloris aeris (iiper aqua expifcari poflc , fed, dum Thcrmometrum fiio ligno affixum eft, fempcr adhuc aliqucra calorcm a ligno accipit, fi illud antea in aere iicco aut plane irradiato confiitcrat. Si vero lignum aqnae immerrnm fuir , tum ct illud fuum prirtinum ca- lorem in aqua amittit, nec quicquam Tliermometro cora- inunicare poteil. D. 15. lulii. Mane, port nubiia fcrenitas tranquilla, Thcrmomctrum in loco quicto gr, 116, iiipcr aqua gr. 119 -120. in aqua gr, i2o|. Mcridie , Ef FRlGOm JQJ-^JE FLVENTIS. 2^3 Meridie hora fcciinda, Therm. in loco quieto gr, 104. fiiper aqua gr. 115. in aqiia gr. 119^. nubes, aer noii adeo purus , hinc aeitus folis per Yapores eo penc- trantior. V^ntuhis S. Vefperi poft occafum, Therm. in loco quieto gr. Ji6^. fuper aqua gr. 117. in aqua gr. 119^. fupcr aqua Gtiam omnes eosdem gradus ii8. 119, etc. retinet, quos in aqua obtinet, fi fuccelfiue extraxeris et immcrieris. D. 16. lulii. Mane hora feptima (erenum, tranquil- him , Thern7. in loco quieto gr. 1 16. fuper aqua gr, 117. in aqua gr. 1 20I.. Aellus intenfus,. ventuUis S.. Nubes interdum folem occiiltantes. Meridie, hora fecunda , Therm. in loco qiiieto gr. 99. fuper aqua gr. 112^. in aqua gr. ii8|. in fole gr. 87. Ventulus Tariat, nunc au(h"alis, nunc occicicntalis. Therm. hora iexta gr. 118^. Veiperi Nubes coelum plane obducunt , \cntulus idem, Therm. in loco aperto gr. 117, fuper aqua gr. 117, in aqua gr. iiS^. D. 17. lulii. Mane, hora feptima nubes, ventulus S W. Therm. in loco quieto gr. 120. fuper aqua gr. 120. in aqua gr. 119^. Hora nona, nubcs hinc inde dilpercunt, Therm. in loco aperto gr. 11 o. fuper aqua gr, ii8. in aqua gr. 119^. Mcridie , Therm. in loco quicto gr. 106". fuper aqua gr. 118. in aqua gr. 118.^. Ventus SW. fortior. Nubes, fol, Pomeridle ventiis fortis W. Vefpe- »54 DE MVTATlOmBFS CALORIS Vefperi ventiilus S. deficit fenfim, Therm. in lo- co quieto gr. ii8. liiper aqua gr. 121 -122, in aqua gr. ii8|. Dics aefliuorus, ni ventus tcmpernftet aerem, D. 18. lulii. Manc, hora fexca, Coclum nubilum, ventus W. Therm. in loco quieto gr. 122. (liper aqua gr. 122^, in aqua gr. 120. Port mcridicm , Tlierm. in loco quieto gr. 112. fuper aqua gr. 118, in aqua gr. i.xS^. vcntulus W. fri- gidiufculus. Vefperi, nubes coelum tegunt, Therm. in locn quieto gr. 120. fupcr aqua gr. 120. in aqua gr. 119^. D. 19. lulii. Mane, Therm. in loco quieto gr. 115. liiper aqiia gr. 122. in aqua gr, 120, nubes pcreunt, coe- ium ferenum, xalidum. Meridie, hora tertia, Thcrm. in loco quieto gr. 107. fuper acjua gr. 1 11 -112. in aqua gr. iiS. nubes redeunt. Hora (juinta oritur (iibito turbo vehemcntifiimus ex W. nubes infimac fcqucbantur eius diredioncm , (ti- periores autcm rctincbant adhucdum curfum cx S W. iR.emifit (enfim ventus, et terniinatus e(l pliuiia. Therm. fenfim cecidit, vt eifet Ve(peri, hora oiflaua, Tiicrm. in loco aperto gr, lail. fuper aqua gr. lai^. in aqua gr. iiS^. D. 20, lulii, Mane, Therm. in loco qiiicto gr. 120, poft horam in (blc gr. 100. in aere (epteutni)nali gr. 122, luper aqua gr. 124. in aqua gr. 119, Ventus frigidus N. aer fcrenus, flumen altum, Meridie , ET FRiaom JQFAE FIVENTIS. ^ss Meridie , Therm. in loco quicto gr. 96. fuper aqua gr. 113. in aqua gr. ii7:|. flumen altum. Vefperi poft occafum , Therm. in loco aperto gr. 130. fuper aqua gr. 126^. in aqua gr. 11 8^- aqua cecidit, Ventus plane remifit. D. 21. lulii. Mane, hora nona, Therm. loco quieto gr. 113. fuper aqua gr. 121-122. in aqua gr. 119. Ven- tus O. Seren. Nubes, Meridie, Therm. in loco quieto gr. 107. in folc gr. I o I . in aere feptentrionali gr. 118. fuper aqua gr. 121. in aqua gr. ii8|. Ventus O. aeftum foiis repri- mit. Seren. Vefperi, hora fexta, Therm. in loco quieto gr. 120. fuper aqua gr. 121. in aqua gr. 118^. Ventus O. Node Therm. gr. 124. D. 22. lulii. Therm. in loco quieto gr. iiS. fu- per aqua gr. 122. in aqua gr. 120. Ventus O. frigi- diufculus feren. Meridie, Therm. in loco quicto gr. 105. in fole gr. 100. fuper aqua gr. iio. in aqua gr. 118-I. Ven- tus O. feren. nubes fpifliie, vagantes. Yefperi, Therm. in loco quieto gr. 118. (iiper aqua gr. 1 1 8-^^. poftquam extracftum erat ex aqua , gr. 1 2oi, in aqua ipfa gr. 119. aer placidus , mitior , coelum ferenum. D. 23. lulii. Mane, hora fexta, Therm. in loco quieto gr. 124.. fuper aqua gr. 125. in aqua gr. 120. Coelum ferenum tranquillum. ToiihVlh Ll Poft tS6 DE MVTJTIONIBFS CALORIS Pofl: meridicin , Thcrm. in loco qmeto gr. lo^. in loco fcptcntiionali gr. 112. in fole gr. 95. fiiper aqua gr. 116^. m aqiia gr. 118. Vcntiis NO. fumum ex fyl- iiis ardentibus (uper vrbem pellit. Vcfpcri, Thcrm. in loco quieto gr. 118. fuper aqir.i gr. 120-121. in aqua gr. 118^. Ventus remittit. D. 24. lulii. Mane, hora odaua, Therm. in loco quieto gr. 106. fupcr aqua gr. 120. in aqua gr. iiS^. Aer fereniifimus , VentuUis ONO. placidiliimus. Meridie, Therm. in loco quieto gr. 99. in fole, fed fl fubtiU fumo impedito gr. 94. in loco leptentrionaU gr. 1155- fuper aqua gr. ii(5^. in aqua gr. ii7|. Dies acftuofiflimus. Vefperi , hora fcptima , Therm. in loco quieto gr. 115. fuper aqua gr. 118, in aqua gr. 117^. hora nona, Tliermometrum in kico quieto gr. 116. fuper aqua gr. 119 in aqua gr. 117^. D. 25. lulii. Mane, hora feptima, Thcrm. in loco quieto gr. 109. fuper. aqua gr. 120. in aqua gr. i iS. Ma- ne fercnum, placidum, fumofiim. Meridie, hora tertia, Therm. in loco quleto gr. 95. in fble gr. 94. non altius propter fumum , in loco feptentrionali gr. loS. fuper aqua gr. 115. in aqua gr. 116^. Acr fcrenus, fumofus, proptcr Vcntum ONO. Vefpcri, Thcrmometrum in loco apcrto gr. 119. fiiper aqua gr. iib;^. in aqua gr. 117. D. cl6. Inlii. Manc, Coelum nubiliim, hora fepti- ma , Therm. in loco quicto gr. iis^- hua ir-^nicnte pUmia ET FRiaORlS AQf^AE FLFENTIS. 257 pluuia gr. 12.1-L. pofl: pluumm gr. 121. fuper aqua gr. 121. in aqua gr. ii^^. aer nubiius, tranqujiius, refrige- rans, aequalis. SO. Meridie, Tiierm. in loco aperto gr. 11 5. trans- eunte pluuia in (bic gr. 100. Ibie tedo gr. 106". in lo- co feptentrionali gr. iio. fuper aqua gr. 115. in aqua gr. 117. SO. Vefperi, Tlierm. in loco aperto gr. 118. fuper aqua gr. 118. in aqua gr- 117. D. 27. lulii. Mane, Tlierm. in pluuia gr. 122. in aqua gr. 117^. SSO. Meridie, nubila disieda, Tlierm. in ioco quicto gr. II o, fuper aqua gr. 115. in aqua gr. 117:^. Vefperi, Tliermom. in loco quicto gr. 117. fuper aqua gr. 117. in aqua gr. ii^;^. D. 28. lulii, Mane, Tliermom. in loco quicto gr. 115. in loco feptentrionali gr. 118. fuper aqua gr. 120. in aqua gr. 1175. Poft meridiem, hora quinta, Tliermom. in loco quieto gr. iii. fupcr aqua gr. 112. in aqua gr. 117. Hoc die lereno fitis, ventus ex SO, fenfim mutatur ia SSW. et W. nubibus interim ex SO. currentibus. D. 29. lulii. Mane, Tlierm. in loco quieto gr. 112. in loco feptentrionali gr. 115. fuper aqua gr. 118. in aqua gr. 1 1 7^. Ventus denuo S O. feren. Meridie, liora duodecima , Tlierm. in loco apcrto gr. iio^. fuper aqua gr. 11 ^^- i'i ^q^i^ SS' i^7- "i ^^^^ gr. 84., L 1 s Pome- 25 S m MVTATlONIBrS CALORI^ Pomeridie, hora quarta, poft folis aeftiim nubes fpifHie ex oriente furgunt, Ventus O. Tiiermom. in loco aperto gr. 112. in aqua gr. iKSi. Hora quinta furgit pluuia ingens cum tonitru , jTherm. in loco expofito pluuiue gr. 115. Ventus varius. O. NO. N. NW. N. O. Vefpcri, Thcrm. in loco ordinario gr. 120. in aqua gr. 117. D. 30. lulii. Mane, nebula, quae fcnfim difllpatur, feu ahius alcendit. Therm. in loco aperto ab hora (exta ad feptimam a gr. 121-117. fuper aqua gr. 118. in aqua gr. 118. Meridie, in fole gr. 82. hora tertia in loco a- pertogr. iio. fuper aqua gr. 114.- 115. in aqua gr.i i(S^. Vefperi in loco aperto gr. 120. fuper aqua gr. 121. in aqua gr. ii6|. O. Dies ferenus, fparfis nubibus. D. 31. lulii. Mane, hora feptima gr. lao. in loco aperto, fuper aqua gr. 121. in aqua gr. 118. Dies le- rcnus-j fparfis nubibus. Meridie, Therm. in loco apcrto gr. 106. fuper aqua gr. 117. in aqua gr. i i6i. Ventus O. mutatur in W. Vcfperi, Therm. in loco aperto gr. 121. fuper aqua gr. 120I. in aqua gr. 116-^. Vcntus denuo O. AVGVSTVS. D. I. Auguft. Mane, Thcrm, in loco apcrto gr. 121. rupcr aqua gr. ixpi;. in aqua gr. 118. O. (cren. Mcridic, Thcrm. in loco apcrto gr. 11 5. fuper aqua gr. 118. in aqua gr. ii^^- Vcfpcri , ET FRiaORlS AOrjiE FIVENTIS. 259 Vefpcri, Therm. in loco aperto gr. 120. in aquii gr. T18. Hodie, licet Ventus O. fiuuii>s tamen altus. Poll meridiem ferenum. D. c. Augufl:. Mane, Therm. in loco aperto gr. 1 20^. fuper aqua gr. 1 20^. in aqua gr. 118. flumen altum. Meridie, Therm. in loco aperto gr. 99. in fole gr. 84. fuper aqua gr. 115. in aqua gr. 116^. horis pomeridianis fluuius cecidit. Vcfperi, Therm. in loco aperto gr. 114. fuper aqua gr. 118. in aqua gr. 117^;. Totus dies ferenus , Ventus ONO. NB. Qiiamuis per meridicm et vcfperam fit aeftus fummus, nihiiominus nodlu et mane aer eft trigidus. D. 3. Auguft. Mane, Thermom. in loco ordinario gr. 124. fuper aqua gr. 12^, in aqua gr. 118. Coe, lum nubiium frigidum. V. ONO. Meridie, Therm. in loco aperto gr. ii^^-- fuper aqua gr. 121. in aqua gr. 118. Coelum incipit clare- fcere. Ventus ONO. fortis et frigidus. Vclperi, Therm. in loco aperto gr. 121. fuper aqua gr. i20-i.. in aqua gr. 118. Coeliim ferenum, aer paulo mitior. Ventus remittit. flumen cediderat ad 4. pedes. D. 4. Aug. Mane, Coelum fcrenum , fed aer fri- gidus, ita vt node antecedente multum (udarent feneflirae. Ventus O. Therm. in loco aperto et feptentr. hora fexta gr. 126. hora nona gr. 123. fupcr aqua gr. 124. in aqua gr. 120. L I 3 Meridie, t6o DE MFTATXONIBFS CJLORIS Meridie , Theim. in fole gr. 104.. fupcr aqna gr. 119. in aqiu gr. 1 1 8-|:. flquii adhuc ad tres pedes creuit. O. exigaus. Vefperi in loco npcrto, Therm. gr. 121. fuper aqua gr. 121. in aqua gr. 119. D. 5. Augurt. Totus dies nubilus. Mane, Therm. in loco aperto gr. 125. meridie gr. 115. (uper aqua poft meridiem gr. 118. in aqui gr. 120;^. fine Vento. D. 6. Augafl:. Totus dies nubilus fine vento. Mane, Thcrm. in loco apcrto gr. 124. mcridie gr. 116. fuper aqua poit meridie gr. 120. in aqua gr. 121. D. 7. Augurt. Mane nubilum , ventulus N. Therm. in loco aperto gr. 124^. luper aqua gr. 124. in aqua gr. 121^. Meridie , Coelum nubihim , fed aer paullo clc- mentior tamen, forte ob mutatum vcntum in W. Therm. in loco aperto gr. 118. liiper aqua gr. 122. in aqua gr. 1221.. dum Thcrmometrum extrahis , mercurius adhucdum cadit fere ad i^s-g-. dcinde demum iterum alcendit ad gr. 122. hoc partim fit ob dilatationcm vitri in acre aqua calidiore ; partim fortaffe proptcrea , quod aquae guttulae vi- tro adhaerentes in aere libcro expanlac cxhalcnt ct frigidiores fiant,vndc ct ^ rcfrigcratur : hacc autcm refrigeratio ell tanto fcnfibilior, qiio magis frigus aquae et aeris inter le aequantur, quo calidior aer co minus fenfibilis lapfus , ita , vt tandem in fola quiete mcrcurius fubfilbt^ quofrigidiorcontraaer, cocelc- rius mercurius labitur,quando cxtrahitur. Denuo ctiam obfcr- 110, mcrcurium non ad cam labi altitudLuem, quando Machina ex ET FRICORIS Jff:AE FIVENTIS. 161 cx aere aperto fiiper aqua tenetur , ad quam labitur , quando per momentum vnum vel alterum in aquam immeri;i fuit j idque ob rationes iam fupra allatas. d. 14-15. lul. Poft meridiem coelum paulum clarefcit. Vefperi, Therm. in loco aperto gr. lio. fuper aqua gr. 124.. in aqua gr. laa^* D. 8. Augufl. Mane , Coelum ferenum , vcntulus WSW. Thcrm. in loco aperto feptentrionali gr. 12.2.^. fuper aqua gr. 123. fed mox extraft. ex aqua gr. 123-^, in aqua gr. 1235. Meridie, Serenitas, Nubibus fparfis ex feptentrio- ne oriundis. Therm. in loco foli cxpofito gr. 84. in lo- co aperto feptentrionali gr. 1 1 2 . fuper aqua propter folcm non experiunda altitudo , in aqua gr. 123. Ventulus WSW. D. 9. Auguft. Mane, nubila , mox pluuia ingcns, Ventulus S. inde quoque nubes Thermom. in loco aperto gr. 1 27. in pluuia et (iiper aquam gr. 128. in aqua gr.i 23I. Meridie in pluuia gr. 122. in fole transm.icante gr. iio. fuper aqua gr. 125. in aqua gr. 123. Poftmeridiem, coelum clarefcit, folis radii aquae incumbunt, ventus nuUus. Vefperi, Therm. in loco aperto gr. 127I. fuper aqua gr. 1272- in aqua gr. 122-2. D. 10. Auguft. Node antecedent epluuiac ingcntes. Ventus W. frigidior. Thcrm. in loco apcrto gr. 125. fuper aqua vltra gr. 126. in aqua gr. 123. Meridie, Therm. in loco aperto gr. 119. fuper aqua gr. 119. in aqua gr. i2 2;|. Vefperi , t6z D£ MVTATlOmBVS CALORXS Velperi, Therm. in loco aperto gr. 125. fuper aquii gr. 126. in aqua gr. 123. D. II. Auguft. Mane, nubes, hora nona ferenafcit , Therm. in loco aperto gr. 120. fuper aqua gr. 128. in aqua gr. 123. Venms O. Meridie, Therm. in loco aperto gr. 115. diper aqua gr. 124.. ni aqua gr. 122^. Ventus O. fortior. Nu- bes fpadae. Vefperi, Thermom. in ioco aperto feptentrionali gr. 128. fuper aqua gr. 127^. fortaflre propterca , quod aqua iam exhalct, et accumbenti aeii calorcm luum com- municet; in aqua gr. 122^. D. 12. Augufl:. Mane, hora fcptima, Therm. in loco aperto gr. 132. in alio apcrto ieptentrionali gr. 132. fuper aqua gr. 129-^. in aqua gr. 123^. Ventus O. fri- gidus, nubibus fparfis coelum obdudum. Propter excurfionem Peterhofiam fidam , obferua- tiones per dies aUquot omifllic funt. Fuit autem d. 13. 14. Aug. tempcflas turbida et phiuiofi , d. 15. coelum clarefccre quidcm cocpit , fed vento flante O. frigido, forti. interea D. 15. Augull:. Poft meridiem , Therm. in aqua fiiit gr. 126. D. 16. Augun:. Mane (crcno, tranquillo, Therm. in loco apcrto gr. 130. fupcr aqua gr. 128. in aqua gr. 128. Sed NB. quamuis mercurius ad candcm altitudinem ftabat , extracfio tamcn Thcrmometro ftatim defccndit ad gr. 129. quod confirmat thclln dc guttulis aqucis adhaerefcentibus. Cur ET FRIGORIS AQFAE FlVENTlS. £<53 Ciir nunc aer ruper aquam non aeque frigidus aut frigidior eft quiim in loco aperto ct lcptentrionali ? an propter aquam caiidiorem nunc exhalantem ? vid. d. ii. 12. Aug. roft mcridiem, Thcrm. in loco aperto gr.127. Vento forciliimo N O . expofitum gr. 129. fupcr aqu. m gn 127^ in aqua gr. 127^. pc^fl extracftionem fupcr aqua ad gr, 130. Ob valetudinem, quae me intra conclaue dctinuit, iterum omiifi obfefuntio: interea fuit tempeftas mediocris. D. 21. Auguft. Po'l meridicm, Therm. in (ole gr. p5. fuper aqua quo fol nondum penetraucrat , gr. 127. in aqua gr. 128 fine vento. D. 22. Augurt. Mane, ncbula, Thcrmom. m loco aperto gr. 132. poll biram in loco fepfiiUivMuh gr, 1 28. fuper aqua gr. li-jl. in aqua gr. 128^. itcrum luper aqua gr. 12-.^. Vcntus nullus. Port meridicm , hora prima in fole , coelo non fatis claro, gr. 98. extra (olem in loco (eptentr. gr. 117. fupcr aqua gr- 119. in aqua gr. 1^7^. iterum (uper aqua gr. 123 Ventus nuUus- vcl certe paruulus SW. D. 23. Auguft. Mnne, nebula, finevento, aer frigi- diufculus. Therm. in loco aperto gr. 130. in aqua gr. 128, D. 27. Augiift. antecedentibus diebus pluuiofis duo- bus , mane , ncbula , Thcrm. in loco aperto gr. 130. fuper aquam gr 128. in aqua gr. 127^. denuo in aqua gr. 129. fme vento. Tota dies pluuiofa, nubibus a fole nonnumquam diuifis. Vcfperi, Thcrm in loco aperto gr. 125. ia aqua gr. 127. fuper aqm gr. 126. Tm.Vll, Mm III. EX *(?4 DE MVTATIOmBrS CAIORIS III. COROLLARIA DEDVCTA EX OBSERVATIONIBVS. Aqnae Calor, dum fub glacie te qui folius eti.mi manus agitatione in priftinam are- nam conteri facile poiTunr. laccbant mei non multura inter fe diifiti , et libefi, in fuperficie arenae , atque aliud quiddam inuellig.uiti (ponte (e obtulerunt, ■vtrumque vera quamuis fine opcra obtinucrim, plures tamen poftea, ex indurtria quaerens, inuenire non potui. §, 3. Tota exterior figura horum bpidum ita com- parata eil , vt ficile perfuadere iibi quis poiTet , ortum' illos fuum debere fpinae dorfi cum inferta medulla , ani- malis cuiusdam aquatici ; atteutiuS vero cus coniideranti' diiiingui merCntur in lis quatuor praecipue i. Vatellaej 2 . Alueolus , 3 . vtriqiis hwiun adhaeniis Matcrla tcfta- cea^ ct 4. hapis cvmmufiis toti inajjae q/Jixus. fateilae, ab vna" parte funt concauae , conuexae ab altera , et vtrum- quc circulariter, ad fenfum , ita quidcm vt in Figura A rcda concauitatem iiibtendens fit 130 partium millenma- rum pedii Rhenani, quas in fequentibus qnoque adhibeoj in Figura B autem 152. Intcnuilluni, quo vna patclla ab altera diftat, ba, eft \bique fere idem, et in vtroque 40 partium, In Figura B, in cuius originah patellas a et b leparaui a reliquo lapide, vti paulo poil dicetur, di- ftiiidas viderc licct teibe cuiusdam rcliquias, \alde tenues, leues, et albicantes: extrado quocjue alueoli fruito c ex- adle patet, quod hac materia tciticea intcgra patellae con- cauiuis et conucxitas fucriut indudae et obdudac. §. 4- §. 4. Pcrforatae conrpiciuntiir hae puteilae, in ea- riim peripheria Alueolo in redam extenfo, rotnndo, co- «ico. Nempe in Figura A inueni diametrum huius al- iieoli maiorem apud c 50. fed apud d 47. partium , ita vt haec diamete^: a loco c vsque ad d in longitudine 211. partium, aUquantum decrefcat. Ipfe vero hic al- «eolus cimduris non efl , fed hlJiptiiUs in rationc axis raaioris ef ad minorem gb \ti 16. ad 15. (ed in fi- gura B diameter maior apud c eft $6. apud d vcro ^6. partium, ita vt hic ahicolus in longitudiue 214. partium multo magis decrefcat, cjuam prior. Erit ergo ahieolus Figurae A fi aequaHtcr a bafe ehfg porrcctus efiet s-g- pedum Rhenan. in Figura V, autem multo breuior, ncm- pe ly. pedis Rhen. Id vero ccmmune eft vtrique la- pidi , quod alueoUis a concauitntc patellae ad conuexita- tcm ipfms progrediatur decrefcendo. In Exemplari Fi- gura B r^praefentato , conucxitatem c)'Hndricam atterendo ■adimi iufll , vt ahieolo planities 96'. partes lata induda fuerit; quo fado alueohim in e diffrndum inueni ita , vt adhibita aliqua opera, potuerii eius pars d e extrahi, fi- mul etiam duo patellarum a et h frngmenta auferri. Ex- trado igitur hoc alueoli frufto, obferuaui m eius parte inr- feriori , qua per patellas tranfit , non modo veftigia di- ftinda hnearum ellipticarum , quae iuncluris patellarum jcxade refpondent ; fed praetere.1 quoque refiduum ahcH- ius mnteriae teftaceae adhaerefcentis, quae facile abradi pot- efl. Perfpiciuir etiam , quod haec matcria tefbcea circa ahieohim conftituerit tubum transuerfim per patehas trans- €untcm , id quod non minus ex originaH Figurae A con- .ckdi poteft, Yt pote in cuius extremitate r, quam fimi- Nn 2. liter a74, -DE BVOBVS LAPIDIBVS lirer atterendo iii planitiem rediici ciirani, f-icies elliptici alneoli peripheria lutei coloris cinda ell: , quam nihil ' aliud efle puto , nifi peripheriam extimam eiusdem tubuli tclbicei alueolum ambientis. Appareni quoque in Figura A , in cuius • dorfo cyhndrico alueolus prominet , lineolae transuerfae k i , vel w « , o p , corpufcuia transuerfa Toca- tae 'A CL Gmelino Dijjertationis Juae §, 7. quas vero ni- hii aliud effe crcdo , quam continuationes, aeris iniuria non nihil deformatas , antecedentium linearum elliptica- rum , patellarum iunduris refpondentium , quas in extrada alueoli. partc .ed. Figura B detexi , . §. 5. Lapidis communls maflfa informis affixa eft ' vtrique noftro lapidi . in parte Figurarum A et B auerla ^ qua fine dubio, ^xom cx-DijJertationis.GmeUnianae §. 16"» patet, aliis olira'lapidibn3^fueruni"annexi, cafu vero quo- dam , fucceffii temporis, ab iisdem abrupti. Apparet haec maflli lapidis communis in Figura A iub literis tqrv^ et jii. Figura.B fub.literis fg^ h. ■ §. 0. Dc materia. tejlaceanm dixi, cam in qui- busdam- locis. diftindam apparere, noii. folum circa mas^ fim lapideam alueoli ^; fed. etiam: in-concauitate' ct con- uexitatc parellarum ,: quibus: hocivnicum- addo , quod in Figura B fruftulum. aliquod .• fati: ■ paruun': ■ flicilc feparauc- rim , q;:od.:manifef>.e. tcflaceae cuiusdam matcriae facicm et natunam. tcnet .; crafTitiem ■ vero> habet: 2.; partium mil=. lefimanim- pedis* Rhenani . . ■ '■> §.7. Vtriusqtie lapidis magna' cura- etiarriexami" ■aadi j)«J^ ,• iUque. inucni.: lapidis. A.fiiifTa. pondtis in: aerc 44-55" FIGVRATIS: 275' 4^55: granorum , in nqua vero tantum ii7 et iam nunc implenda : omnino fiet , \t fanguis arteriis inftifiis , remoto etiam omni impetu a \i cordis concepto, fua propria grauitate tandem per extre- mitates capillarcs aliosue dudus communicantcs , ccteris paribus, in venarum alueos transeat. Qiiamuis cnim non ncgandum fit, arterias capiilares, quales ftrudura corporis nnimalis nobis exhibet , longe fubtiliorcs efle , quam vt vUa arte illarum anguftias imitando obtinere poflimus: manent illae tamen nihilominus tubi peruii penetrabiles, ct hinc ad obtinendum effcdum qiracfitum idonci. Atque in hoc ca(u aflentiendum omnino erit GidHebmno. At vero 2.) fi (anguis grauitatione (ua vna fcmel vice angu- ftias capillarium fuperauit , atque ad acquflibrium perdu- dus cft : tum grauitas in aeternum nihil amplius ad mo- tum eius confert; fed quicfcet ille, vi huius ipfius naturac grauitantis in venis tanj diu, donec altitudo eius in arte- riis per nouam additionem auda fuerit. Atquc hacc pro- prietas conftans raanet , etiamfi , eadem mancntc venac capacitate, arteriac diametcr ad varias diftantias extenda- turj fiquidcm nihil in acquilibrio fluidi mutatur, etiamfi figura i. tiibum B a rcfpedu tubi A vel centies amplicaiicris. Tantum igitur abeft , vt fuiguis grauitate fua (e promo- ueat, COGlTATlOnES FHTSlOlOGlCAE. 289 ueiit , pofito femel aequilibrio , vt potius motum fui in venis ob eandem caufllim impediat. §. 14. QLioniiim Yero viidi naturaliter non funt in- ania , fed p/ena , et nos fcire oportet , quid in hominc perfedo reuera accidat, non, quid accidere poffit? omnis quaertio eo reducitur, vt iciatur , an tubus venofus bre- uior fit, quam arteriofus , et hinc fuiguis , quum aorta vltra libellam repletur , ex vena in cor delabatur , et quanto temporis (patio hoc peragatur ? Sit igitur aequili- brium languinis tam venofi quam arteriofi circa terminum infertionis venae in cor , ad lineam A B. Augeatur fan- Figu™ j^ guis arteriofus additione noua, vndecunque ilk fada fue- rit , vsque tid angulum aortae C. Qiiodfi grauitas vllo modo tiliquid contribuere poteft ad motum fanguinis , id omne a folo hoc cxcelfu altitudinis, CB, proueniat, ne- ceffe cfl:. Cum vero experimenta doceant (f. 12.)) quo fubtiliores fint tubi capillares , et quo altiores fint colu- mnae fluidi , eo difliciliorem effe transitum , eoque lon- giorem moram trahi ; cum practerea fanguis tenacitate fua raulto vehemeniins refitlat , quam aqua , et hinc motus lentilfimus efficiatur, qui cum ccleritate motus cordis minimc refpondet ] cum porro bafis capillarium in quam prelfio exercetur, minimafit; cum denique in homine perfedo et fano circa lineam A B aequilibrium fingere abfurdum fit , fi- quidem (anguis in vafis AD et AE continuus, et longc fu- pra libellam ABet FC, eleuatusfit: ita fubducendus mim calculus videtur, vt enunciandum fit, finguinis transfufio- nem grauitatione fua aut plane nihil, aut certe adeo parum promoueri , vt haec vis refpedu aliarum potentiarum infigni celeritate agentium pro infenfibili et nulla habenda fit. Pp z §. 15. 290 DE CIRCFLATIONE SANGFINIS § 15. Ne vero huic (anguinis grauitiuioni omnem fuam vtilitatem dcnegemusj non ncgligcnda erit conditio, quam hacftenus vafis nollns communicantibus (§. 12.) ta- cite affinximus. Confidcrauimus nempe effedus , quafi cum tubis rigidis res nobis eflct , qui tamen in animali- bus elartici funt (Cap. I. §. 9.) et cxtenfiles. Qiiamuis igitur probabile non videatur (§§. 13. 14.), pcr illam promoueri poffe transfufionem per extremitatcs capillares^ aut effufionem in cor : tamen , qma fanguis non folum in bafin vatorum , (ed ct ad latera illorum (Cap.I. §.^.9,) premit : catenus hacc preffio promotioncm (anguinis in aorta defcendente adiuuare cenfenda eft , quatenus latera cius extendcre nititur , et capacitatcm pro languine rcci- piendo ampliorem rcddit. §. 1(5. Rcfhit, vt examincmus, quid dc tubis afccn- Fisura 4, dentibus (§. 11.) dici poffit. Vcrum quidem cll , fi tubi A et B, per capillarem C cohacrcntes aqua implcantur, fore vt haec effluat ex tubo longiore, B, ctiamfi tubulus C ca- pillaris fuerit : vnde fequeretur, rationcm (iifficiciitcm adefie circulationis per vafi capillaria ccphalica, imprimis, quia pauUo inferior vcnae inlcrtio in cor huic opinioni plurimum fiuiere videtnr. At\'cro, primo, vt experimentum fucce- dat, fupponi dcbct, tubos cffe replctos : crgo ianguis in ar- tcrias vacuas numquam a(ccndct. Dcindc, fi ille quoque pcr alian quamcunque potentiam non (olum a(ccnderit, fed- et capillarcs tubulos iam transiucrit, \t in venis fuo (blo pondcrc dcfccndcrc poflct : id tamcn mimquam propter fimilitudincm valtirum cum fiphone (cd alias ob cauffas cucnict. Qiiia enim raiio pli} fica cxperiiDcnti in preffionc acris COGITJTIONES ?HTSI010G1CJE. 291 acris a grniiitantc humore adiuta , atque in altcrutro tu-i bo fuperata confirtit; in venis autem et arteriis nullus fe- paratus aer cum atmofphaera extcrna communicans, (ed aut plenitudo aut vacuum (Cap. I. §. 10.) locum hjbct : hinc, pofita plenitudine, fnnguis haerebit • pofito auteni vacuo cordis antro poil: fyftoiem , omnino quicquid in ve- nis eft, defcendet ob grauitationem fuam naturaliter deor- fum tendentem , non autem , quia ille in tubo commui nicante longiore continetur. Atque his fub limitationrbus (peciofic Guilielmini argumcntationes verae quidem efle videntur ; fed fi fcaphara fcapham dicere veh'mus , fi- gmenta potius quam foiida adiumenta funt. Qiiid enim hicri dcnique fccimus? Nihil (ane. Defcendat enim fan- guis grauitate ftia in \^na : quia fimihter in arteriarum trasflu nuUa atmofphaerae prcfTio ob allegatam cnuflam lo- cum hal^et, nullus quoque finguis furfiim premetur, qui defcendentem a tergo (equi polht. Vt taceamus de infi- gni fubtilitate tubulorum capillarium in cerebro, quae ne- cefliirio per hanc preffionem fuperari deberet , fi experi- mentum hoc fub initium huius Panigraphi allcgatum ad exponcndam cauffim tranfitus (anguiiiis per vafi fuperiora applicari polfet. .§. 17. Qiii deniqnc pcrpcndit, conditionem pofi- tionis vaforum perpendicuhuis , quac necefllirio fiipponi de- bet, {i aliqua ex grauitatione vtiHtas redundet, (§. 11.) adeo particularem eflc , vt non folum in homine non fem- per erec^o , fed cubante , nuUum locum habeat , fed ec \n pluribn;, animalibus plane exulet; cum tamen in omni hoc cafii nihilominus (•uiguinis motus acque bcne et com- P p 3 mode api DE CIRCVLATIONE SANGVINIS mode procedat ; quemadmodum pluia nnimalia fitum quem- cunque e gr. dechnationem capitis in pafcuo, fine turba- tione circuli Harueiani feliciter affedare pofllint: ille pe- nitus conuidus erit, quam parum virium in fangiiinis gra- uitationc pro motu eius facilitando, quaerendiun fit. §. i8. Ponderatis itaque et excuflis vtrinque mo- mentis, fequentes emergunt propofitiones : I.) Sanguis in arteriis et 'venis inferioribus deorjum tejidit, inje vicijfim grauitat ^ et acquiponderat (§5.12.). 2.) Sanguis in arteriis Juperioribus et venis inferioribus grauitate Jua motum Jui impedit (§. 5. 13. i(J.). 3 .) Sanguis in vcnis Juperioribus Juo pondere , conceff» loco , dejcendit , Jed non pojl Je trahit fanguinem arteriojum (§.5. i5.). 4..) Grauitatio Janguinis mutua aequilibrium producens (§ 18,1.) eji minima, ob bafin capillarium infi- nite paruam , relpedu altitudinis vaforum. 5.) Grauitatio Ja^iguinis a&ionctn Juam exjerit potius in latera vajorunr^ quam in extremitates capilla' res (§.15.). Nam prcflio grauium aeflimatur ex fa- do jvltitudinis in bafin: atqui in capillaribus bafis eft infinite parua : ergo haec prcfllo in bafin, rc- fpcdlu prefllonis ad latcra cft nuUa. 6.) Grauitatio Janguinis non poteji annumerari 'viribus , quarum a&ione ille ipje in 'vafis inferioribus pro- mouctur et tranfunditur\ fiue: ivV grauitatis ra- tione reUquarum potentiarum motum fanguinis ge- nerantium ejl nulla (§. 7. 14-.). Aequilibrium cnim non producit motum , fed quietem (§.13.)- Sedio COGITATIONES VHTSIOIOGIC AE, aps Sedio 2. T)e a&ione et virikis Cordis. §. 19. Diim in caufllim, quae fiinguinem ex cor- de expellit, inquirimus: fedulo abftjnebo, ne coufiderando momenta Iiypothefium explofiirum de ebullutione , fer- mentatione, flammula cordis etc. tempus inutiliier teram, quod meditationis genus pro peccato philofophico femper habendiim duxi. Eft enim modus alius magis rationalis, qui accuratius expendi meretur , et qui in adione cordis confiftit. §. 20. Cordis flutem a^io hac fere ratfone (e ha- bet, Yt ventriculorum latera, quibus cauitates iJHus ad ple- nitudinem vsque repletae terminantur, propius ad fe acce- dant, et harum ipflirum cauitatum capacitatem minorem cfficiant, quam vt priftina (anguinis quantitas in illis con- tineri queat: cuius efFedus igitur proximus ille eft, vt id, quod contineri non poteft, extra cauitates cordis aliorfum exprimaturo §. 21. Haec a&iofiis idea (f 20.) non nifi phae- nomenis fuperftrudla a nemine in dubium vocatur : fed cx diuerfb confiderandi modo diuerfae quoque aeftimatio- nes virium illam adlionem producentium obortae funt, quas l^itis graphice lurinus perftrinxit, qiiarumque defedus praecipuos indicauit. Ceterum fi nojira methodus ad veritatem et naturam magis accefTcrit , aliorim fententiis damnandis ac refutandis immorari eo ipfb fuperfedebimus. 494 C^ ClKCVLATlOnE SJNGVimS §. 2 2. Nullus aiitem datur motus , qiii maiorem fimilitudinem habet, et flKilius comparari poteft cum prae- dida contracftione cordis et inde produda expulfione fan- guinis (f. 20.), quam motus fluidi intra canalem aliquem fcu tubum contenti, ab vrgente embolo fuperficiei alter- utri applicito in motum concitati. Nam dum Embolus truditur, capacitas tubi continuo minuitur, ct tantum ^ui- di extra tubum eiicitur , quantum in Ipatio , quod em- bolus fenfim (enfimque occupauit ac transiuit , poterat contincri. Cum igitur quantitas fluidi expulfi depcndeat praecife ab anguftata tubi capacitate : pcrinde erit , qno- rnodocunque capacitas minuatur , fiue trudendo embokim , fiue, applicando ad (e propius latcra canalis: et, fi dccre- mcntum cauitatis aeqnale eit in vtroque cafn, eodem tem- pore ; \olumen expulfi fluidi eodem tempore etiam ae- quale futurum eft. §.23. Qiiando embolus in fluidum oppofitnm agit: tum vis tota cmboli quouis momento adplicita quouis momento itcrum confumitur , totum fluidi volumen in motum ciendo j et quo momento embolus agcre ccfllit , motus quoque fluidi intra canalem contenti fiflitur , et fola illa fluidi p:irs , qiiae proiecfta fuit , motum fuum data vclocitatc continuat. Qiiando igitur motus totius fluidi per datum tcmpus dnrare dcbet • vis quoque illa tota , quouis tempuiculo , fiue intcgro illo tempore denuo et' continuo inflnurari ac rcpcti debet. Contra vero fe res habct in percnfiione corporum folidorum; fi enim corpus folidum, A, vi data, in aliud folidum , B, impingit, 11- lique omnem , quo polluit , motum communicat : tunc cor« cocmTioms thtsioiogicae^ 295 corpore A in qniete fubfiftente, nihilominns totum corpus B motum fuum, pro \irium excitatarum quantitate conti- miat. Adio igitur cordis non in percuflione, \el fimplici quodam i(flu confiftit : fed nulla comn.odiore et magis propria appellatione , quam Triifioms voce infigniri pot- efl: ; quae quidem Trufio , ejl cmitinuata et temporlbus ivfi- nite paruis per Jummam Jpatlolorum infinite paruorum npe- tita emboU ad fluidum (fme , fa[ta applicatione , Jaterum cor- dis adjanguinem) mouendum applicatio \ et quantitas Trufio- nis ejl quantitas et Jumma omnium i&uum , quibus vis cor^ dis per Jpatium datum , tempore dato , Janguinem oppofitum in motmn egit. Si quis autem efl: , cui haec trufionis vocula non arridetj et qui prejfionem fubftituere malit; illi noH re- fragabor: modo per illam non intelligatur nuda et mortua foUicitatio ad motum , fed per quam motus adu producatur talis, qualis in data definitione noflra detcrminatur ac re- ftringitur. ^. 24. Qiiando cor acftionem fiiam excrit (§.20.), illius volumen fecundum omncm dimenlionem decrefcit; ablbluta autem adione ad piiftinam extenfionem reduci- tur. Atque haec dimenfionum variatio reciproca per vi- ciflitudines aequabiliter ad fenfum continuatur. Ea autem proprietas, qua fibrae certa vi dilatatae feu tenfiie, fub- lata illa vi ad priftinam figuram redeunt , non aliunde prouenire fcitur , qiwm ex eo , quod fint elafticae. Vis igitur cordis eji Elajiicitas cordis. §. 25. Qiiia Cordis adio in eo confiftit, vt latera ventriculorum propius ad fc accedant , atque iterum di- moueantur (§.20.ji Vis ventricuH cuiuslibet ejl elajlicitas Jom.VlL Q^q late- i95 m ciRCviATioNE SAmvims> laterimi ; hiicc aiitem ehfticitas hteriim eft aequalis J:im- ?nas elajhcitatum hiic conlpirantiiim fingulariun fibrarim, ex quibus latera ventriculi componuntur. §. 16. Qtia?ititatem Virium cordis fi determinare velimus : ante omnia aequiuocas et vagas fignificationes femouere oportet : quaeftio enim triplici lenUi proferri, atque in tres alias diuidi poteft , quae bene inter fe di- ftingui debent , fi futficienter refpondere velis. Vrimum enim problema hoc eft : Qiianta eft vis feu elafticitas cordis ablohita \ fiue : quanta celeritate latera ventriculo- rum ad fe accedunt , fublata omni refiftentia ? Altera quae- ftio haec eft : fi cor agit tota elateris fui intenfitate , et languis exprefliis pcr medium non refiftens traiici dcbetj quanta eft illa vis, qua fanguis exprimitur ? fiue, quanta eftceleritas, qua finguis cordis ventriculos egreditur? Ter^ tius problematis fenfus hic eft : fi fanguis per mcdium refiftens traiici debet ; quanta eft illa vis cordis , quae fan- guinem in vafis promouet? fiue, quanta celeritate flinguis mouetur in arteriis elafticis, plcnis, vi cordis? §. 27, Facile patet intelligcntibus , quod fcnfus pro- blematis primi (§• :i<5 ) proprie inuolu.it viin cordis ahjo^ lutam^ fubicdiuam , et cordi ipfi inhaerentem, effentiali- ter confideratam , et ab omni efFcdiu abftiadnm \ patet porro, quod haec vis fubiecfliua mancat conftans et lem- per eadem , mutatis vtcunquc conditionibus aliunde acce- dentibus ; patet denique , qiiod aequalis fit illi vi , qua fan- guis inxta (Infum problcmaris (ecundi et tertii eiici dcbet ex corde per mcdium ftuc refiftcns , fiue non rcfiftens. Si jgitur huius Vis feu Elafticitatis quantitas afllgnari pof- fet COGITATIONES ?HTSI0L0GICAE. 297 fet mendira qnadam , omnia dida problematd fiicile refb- luta forent. Vbi enim Vis ell eadem ; ibi efFediis quo- que idcm erit quantitate , et nonnifi diuerfo applicandi modo difTentiens. Agedum igitur, et profequamur, vs- que dum licet inftitutum , inueiiigando et comparando pro- prietates illas , quae ex (peciali elatlicitatis confideratione atque applicatione pofTunt deduci. En autem lequentes. §. 28. Fibra eadem elaflica diucrfo tempore va- rios elateris gradns poflidere potefl, qui quidem maximc ab eius laxitate aut rigiditate pendent. Vis autem cordis cft elafticitas cordis (§.24.): Crejcente igitur lioc eJatere, ciiius fibrae laterum (§.25.) capaces iiint, aut decrejcente^ vis cordis au^etur vel minuitur, §. 29. Fibra elaflica eadem diuerfo tempore magis et minus tendi ac produci potefl. Idem accidere potcfl fibris duabus aequalibus , eodem tempore. Fibra autcm tenfli et produda vires maiores adquirit, quo magis pro- ducitur, et auifta elaieris intenfitate augetur virium quan- titas. J^is igitur cordis pro tcnfione fibrarum fuarum , fiuc pro intenfitate elateris fui varie ifitendi ^ minui atque au- geri potejl ; et duo corda fibrarum e/ajiicitate aequalia eodem tempore diu.rja elafticitatis et virium intenjitate pofTunt gaudere. §. 30. Experientia conflat , cordis adionem eflc nunc celeriorem nunc tardiorem ; nunc fortiorcm , nunc debiliorem. Adu igitur eueaire difcimus, cuius pofllbi- litas ex natura rei (§ 28. 29.) elucefcit : quod videlicet ^is cordis fua patiatur au^menta et decrementa. Q.q 2 § 31* 298 DE CIRCVLJTIONE SANGVimS §.31. Qiiui variaiitc intenfitiite viriiim cordis mime- rns fibrariim latera ventriculi componentiiini conlkns ma- net: vis elaftica cordis non a fibrarum numero folo pro- ducitur , fed aliunde fibris fuperadditur. Non igitur ivx corcfis ejl in ratione majfae, nifi fingulae fibrae elallicitati- bus refpe/'7///^ fcdio diuiditur, omnibusFi&uia u- globnlis in arca fcftioriis iilius contentis motus communi- catur , et dum locum cedcre irruenti globulo coguntur, fibi ipfi nouum fpatium , quo fe proripiant , quaerere an- nitantur. Excrcent autcm preffionem tam ad latus aor- tae, quam in fupcrincumbentem (angninis maflimi, a qui- bus vicilfim duplicem readlionem patiuntur. Etiamfi au- tem fiiperincumbens mafla non nifi fuo pondere rcfUtat, et 510 DE CIRCVLATIONE SANGVINIS. et tamqiiam vis mortuii absque vUa velocitate confidcran- da fit : tamen , quia ( (iiblata extenfibilitare arteriarum) vi impenetrabilitatis fuae (Cap.I. S.5.) ilta loco cedere non poteft, quin et totalis mafla fanguinii- tam arteriofi quam venofi ai]tecedens fimul prcimoueatur : non modo prima ilia pyramidis guttula, led et tota lecl:io refpcdn maffae finguinea vniuerfae , pro infinite parua , et vis fua , qua columnam reliquam impetit pro nulla , aut ccrte non pro ' tanta haberi potcft, quanta ad fuperandam re;i(fti()ncm re- quiritur. Cohimna igitur ipla in hoc cafu imn.ota per- fiftit. At vero longe alia ratio eft inter aream primam fmguincam , et fedionem lateris elaftici afntae ipfius . Qiiia enim aorta plena vbiquc cft, ct b.inc perimctcr ipfi- us finguini vbique arde accumbat : nulliim pundlum in illa perimctro concipi poteft , quod non ab accumbcnte fanguine preflionem fuftineat. 77^" igitur o/AWi, qiiam area ijla a prima guttida concepit , in extender.da pirmet. o aortae conjumltur , quae cxtenla lccum conccdit guttulae, quem fuperincumbcns maflli dcnegabat. §. 54. Qiiae huic prUnae guttulac C§. 52.^ circa primam (cctionem i§. ss.j accidunt • ca omiiia , cctcris paribus 'm Jecunda ^ tertia ctc. Sedlione repetuntur, co- usque , donec omnis guttulae vis fit confumta. Neque putandum eft, poftquam haec guttula primam fedlionem transgrefla fuerit , perimctrum acntae flatim itcrum con- trahi atque coardari. Dum cnini in mediate proximae pyramidis guttuiae antecedentcm prjmam a tcrgo inlequun- tur, illae diametrum aortae iam dilatatam non fblum in eo ftutu feruant fed etiam pro ratione quantitati& vltcrius dila- COGITATIONES ?HTSI0WGICJE, 311 dilatant j qiiod omne de reliqua pyramidis portione , \e- riim effe piitandum eft. H;iec autem dilatauio laicrum aortae tam diu durat , donec aut vis fanguinis irruei.tis ip(k minuatur , aut aorta vltcriorem expanliuncm non ferat, fed elatere fuo fpeciem rigiditatii induat, aut vtrum- que fiat, et proiedioni fanguinis terminus figatur. §. 55. Mifla autem ifta confideratione , aliqua et- iam ponderatione opus elt jmles Janguinls quauis J^^flole e corde proiecii. Pletique fcriptores pliyfiologi, circa de- terrriinationem virium cordis occupati, quantitatem (angui- nis in ventricnlo contenti et eiedli vnam candemque au- dader ftatuunt, et in calculis (uis vnciam vel vnam vel duas adliibent , et hinc ventriculos totaliter depleri aut aperte afiirmant , aut tacite fupponunt. At vero fateor mihi omnia fufpeda videri et dubia , quae in iifui^modi rebus nondum flitis expofuis, abique demonrtrationibus ac precario pro veritatibus ftabiliuntur. Nemo igitur vitio mihi vertet , fi hypothefui iftam , quae quantitatem fm- guinis eiedi ad cap.icitatem ventriculi menfurat , flilfitatis arguere audeam. Non nego, omnem (anguinem in ven- triculo contentum in motum ciri, id enim ex nitura fy- ftoles (§.20.22.) necefliu-io (equitur ; fed de eo dubito, an omnis ille Janguis etiam vnica Jyjhk extenninetur^. §. 55. Nondum quidem locus cft , integram de- monftrationem veritatis, quaecunque illa deniquc (uerit, hic intexere : quia tamen nihil eorum in hoc capite omittendum cenfeo, quae ad mcnfuram virium cordis quodammodo flicerc pofTunt; rehdis iis, qiiae de inten(itate illarum §.28-35.) didla huc transferri poITent , vnicum momentum indi- Tom.VIL Ss cabo, 312 VE CIRCVIATIONE SAKQVimS cabo , quod confidenitio mcmonitae pynimidK (§.50.) (iinguinene nobis ruppeditat. Supponimus nimirum , \ini fanguinis e corde irruentis tantam , -vt refiftentias tam a grauitatione columnae lauguineae , quam aliunde obortas Yincere poffit, Non dubium cd , quin haec duo in fe inuicem reagentia (§.40-43.) fub finem fydoles ad ae- quilibrium primo reducantur, mox \ero impetus ille fan- guiuis a refirtentiis didis ■viciilim fuperctur. Qiiodfi igi- tur vel maxime probaueris, ventriculorum latera exadis- fime claudi tempore ryiioles: ceilante tamen illa nihil eft, Figuva la.quod ftnguinem a intra limites valuularum l? confifleiitem vlterius protruderc poflit. Qiiaproptcr fi nullus alius, iUe laltim Janguis tempore (licjjloles in veniriculos relalntm\ §. 57. Diu fliteor hacHt meditatio noflra circa vni- cum hunc anguhim (§.40.)^ quae tamen \el lioc f(>lo nomine fertiiifrima dici meretur, quod tam foccundas et omnino vtiles confiderationes nobis (uppeditauif: fiquidcm inter aiia denuo luculenter patet tam neccfliras quam ra- tio iam aliquoties allegati phaenomeni HarueiaJii ',Ci;p.I. §. 18,)^ quod nimirum in momcnto fyltoles cordis aor- ta proxime applantata dilatetur, \nde iam diuerticulum il- lud («§.51.) quadantenus innotefcit. Quamuis autem fa- cile concedam, naturam multo citius ncgotium fiium ab- foluerc, quam nos aut cogitando aut fcribendo kgendoue affcc^iii valeamus : hoc tarnen ctiam ncutiqu.im erit diffi- tcndum, illam, etfi velociflimc , non tamcn per faltus, fed pededentim proccdere , ct hinc co cautiorcs pediffe- qiKis porccrc , quo ficilius in tanta fcflinationc ab ipfius via vera dcclinarc, ct in crrorum labyrinthum dclabi pos- fimus. tOGITATIOnES THTSIOIOGICAE. 3^3 fmus. lam vero promoucamus pcdem aliquantulimi , ct preflms infilhmus aiteriarum dilatationi , indagaturi , quo- 'iisque illa eodem Jyjloles Jynchronismo Jecundum traCtum ramorum feiminetiir^. Ad hanc cnim quaeftionem fi fuffi- cienter refpondere poffimus , fiicile ei-it diiudicatu , quo- modo difputatio illa (§.41.) de quantitate maflae a cor- de mouendae, dirimi debeat. Ad quem fcopum vt per- tingamus, duo imprimis problemata fimul nobis cnodanda occurrunt, quae autem omnia mirifice inter fe cohaerent ; nempe : an arteriae omnes et fingulae in toto corpore fi- vud dilatentur , vi eadem cordis iiiica ? et quanta in ge- nsre diktatio ejfe Joleat ? SeGio 5. T)e a&ione Arteriarum. §. 58. Sepofita tantispcr quaeftione prima refpicia- mus ad altcram ; quanta nimirum dilatatio efTe foleat ? ^ine omni dubio generatim refpondendum efl, illam efTe tantam , quanta requiritur , n)t moles Janguinis e corde pro- ie&i locum JufficieHtem nancijcatur (Cap. I. §. 17.). Qiiod- fi igitur arteriae omnes fimul puKant eodem temporis mo- mento, quo, vi cordis, ifle (anguis proiicitur: necefrario nuUa arteriii eft, quae non aliquantam illius maflae por- tionem intra cauitatem fuam tum temporis dilatatam re- cipiat. Sanguis igitur proiedus, ceteris paribus, per to- tum fyftema arteriofum aequaliter diftribuetur. Qiiodfi igitur data fuerit quantitas proiedi finguinis , maflaque fanguinis arteriofi, et arteriarum ciApacitas: quantitas quo- que dilatationis , fitie difterentia diametrorum non difficilis erit determinatu. Ss a §. 5p. 314 JD^ CIRCFLATXONE SJKGVINIS §. 59. Liceat autem loco infinitarum diuifionnm aortae aflfumere vnum canalem arterioium , eiusdem \bi- que capacitatis , et tantae longitudinis , quanta requiritur, a tota mafla (iiguinis arteriofi ; quod ad calculum facili- tandum nemo non concedet. Porro aeftimabimus malTam {•uiguinis arteriofi , quando arteriae in rtatu dilatato effe concipiuntur, ad minimum quinque libnirum, fiue — 60 vnciam ; vncia autcm languinis occupat (patium i-i- digi- torum. Sunt igitur vnciae fiuiguinis 60 zz 90 digit. 1^90000 lin. Diamcter aortae dilatat.ie iuxta plerasque obieruationes.eft 1=: i o lin. erit igitur fcclio cius zr ^^ lin. et confcqucnter longitudo canalis artenofi, qui quinquc li- bras languinis continet — 1146.^!^ iin. zr 1 1 ped. 4 dig. 6X\-^ lin. quae longitudo, fiue artcria dilatetur, fiue con- traliatur , conflans efl , vt cuiuis attendenti flicile patet. Qiiodfi iam concedere velim, quod inafla (anguinis pro- iedi acqualis fit duabus vnciis (§. 56.): erit maflir fiinguinis arteriofi , tempore contradlionis rr 60 vnc. — 2.— 5 8 vnc. zz 87000 lin. ct diifcrentia diamctrorum — 10— Vpd^ lin. — 10 — 9 i iin. quam proximej fi vero mafliim flinguinis proicdi vnciae aequalem ponas , quod magis verofimile efl , erit differentia diametrorum~ 10 — V^S^— 10 — 9|4. lin. Sin denique vaa fyftole dimidiam vnciam proiici tlatuas, quod omnium maxime probabile ell : diffcrentia diame- trorum vix ciit aiiignabilis. §. 60. Qins antem efl', qui non primo quoque obtutu videat, hanc diffcrentiam, qiiae iu primo cafu vix j lineae, in alcero circit-r ~j lir.tae , in tcrtio vero propemodiim ni- hilo aequaiis tft, adco paruam cflc, vt pianc non rcfpondcat ideae , COGITATIONFS ?nTS10L0GICAE. 315 idene, quam communiter de puKii et dilatatione arteriarum concipimas. Si cnim confideramus vebementiam puKiis in ar- teriis carpi , et temporum , quae propemodum minimae funt illarnm, quas tadlu explorare folemus; harnm ipfarum di- tatio maior omnino efle vidctur. Quodfi antem vafii mi- ^ nora iltum terminum transgrediuntur , quanto magis vafa maiora ampliabuntur. Non igitur erramus, fi difFerentiam diametrorum canalis arteriofi contradi et dilatati vni lineae aequalem ponamus. Qiiapropter fit diameter minima ca» nalis arteriofi — 9 lin. erit fcdio erus zn '-^^^ lin. quae duda in longitudinem fupra indicatam ~ 114.6^4^ lin. dabic maflam fonguineam in arteria contrada contentam — 72900 lin. — 72 .j?- dig. differentia igitur maflarum erit — 171 00 lin. — i^L-Ldig. — ii|- vnc. fanguinis, quae aequalis eft portioni fanguineae , quae vna fyftole in aortam proiici debebat. lam vero magis vero fimile eft , in tradu arteriarum multo plns (anguinis continferi , quam quinque libras et fortafle non erraneris , fi illam mafliim decem' libris aequalem ftatuere velis ; in quo cafu , ft dia- meter aortae (it ~ i o lin. erit longitudo canalis arteriofi zz 22 ped. 9 dig. 2 |1|: lin. Sit autem diameter minor ~9 lin. tum (edio arteriae — ^'00^^ dudla in hanc lon- gitudinem dabit volumen (eu malfam minorem (anguinis — 14.5800 lin. quae quantitas a decem libris (eu 120 vnciis z::: 180 dig. —180000 lin. fubduda, relinquet dif- ferentum — 34.200 lin —34. j dig — 22|vnc. fmg. At \' ven» cum impoflibilc fit, ( fiue lari quinque fiue decem libras fanguinis in arteriarum tradn contineri aflTumferis,) vt vel maximum , quod homini dari potert, cor tantam quantitatem (anguinis, nimirum vncias vndecim aut viginti Ss 5 duas 315 DE CIRCFIATIONE SANGVmiS dms capere, nednm iii aortam traiicere qucat, et praete- rea a Tcra malla, qiianta probabilircr (§.5 -61.) Jt?m!t^neum omniiim: artcriarum puljum fuppofuimus : videamus , quatenus haes: hypothefts admitti poftit. Arterias fingulas limul dilatari qui autumant, ad experientiam prouocant, iudicem in hoc ca(u non tam failacem , quam minus imelligibilem. Certe interualla puliationum adeo breuia funt, vt indubia expe- rimenta capcre res praeceps ftt ac difticilis. Non igitur hoc argumentandi genus ita pcrfuncftorie admittendum cft, nift certus fis, obferuatorem omni poffibili cautela vfura fuifle; quamquam, fi in animahbus viuis experimenta in- ftituerc velis, velocitas pulfus beftiae hgatae et anhelantis omnem fere diligentiam eludat, vt hac methodo paium pro- ficere poflimus. lam quod ad me attinet , illa ipfa expe- rientifl in meo corpore capta conuidusin fententi.am contrn- riam trahor \ deprehcndo enim ex. gr. pulfum arteriae iugu- , Uiris non efle fimultaneum cum pulfu arteriae carpi. Qiiia autem ex noftra dc(criptione pulfationis (§. <5i.) accidere poteft , iilam tunc quoque feutiri pofle , quando arteria in 31 S DE CIRCFLATIONE SANGVINIS iii priftinam Cmm figiiram rcftituitur: fequitur ex hac dif ferentia temporis niliil certi poffe concludi. Qiii \ero tempus (yrtoles cordis et puKus arteriarum inter fe con- ferre fitagunt, fimiliter rem (umme arduam adgrediuntur, quia arterias in pundo puKare , cor autem motum pro- tradiorem exercere perienti(ces , ncc quodnam pundum fyiloles pundo puKationis rcfpondeat, facile determinaue- ris. Certum e(t quidem, momentum illud temporis, quo apex cordis laiera pec^oris ferit, non coincidere cum ap- puKii arteriae carpi aut carotidis: fed eo ip(b, c]uia fyftole cordis non fit in infianti, nec ergo (ciamus, an ilUid mo- mcntum fit principium , an medium , an finis fyfioles* inde inferre non licet, fyfiolem cordis et puKlim arteria- rum non efic fimultancum ; quemadmodum \icifilm ex fimultaneitate fyrtoles et puKiis cx. gr. arteriae carpi non fequitur , quod cor (anguinem vsque ad arteriam illam eodem momento in motum ciciit , quia alia quaedam cauf- lii huius fimultaneitatis , ipiii videKcet variata puKationis perceptio , (ubcflTe potefi. Inrerea , quia tempora inter- ualK)rum , queis tam puKationcs inter (c , quam (yfioie et puKationes differunt, non adeo infignia (iint, vt alternatiua et vtrinque aequaK menftira (e inuicem (iibfequantur • quia etiam artcriarum (ociarum , ex. gr. carotidum , in cavpo, temporibus, pcde , puKiitio exacfle corrc(p( ndent , quod ficri non po(fct, nifi ab vna eadcmque potentia communi vr- gercntur; quia porro accelcnito aut rctardato motu cordis puK-itioncs arteri.u-um coincidcntes eodem momento fimi- liter accclcrantur aut rctardantur, quod fimiliter non fieri poffct, nifi (anguis in arteriis immcdiate a corde in-pel- leretur : 'V.ro/imile cjl omniiio , puljum , etfi non eodem tempQ' COGirATlONES FHTSIOLOQICAE. 319 Umporis monmito , tamen eodem vnius fjjloks fynchronis^ mo per omnem arteriarum tractwn continuari. Denique fanguis grauitatione fua in latera Yaforuni premit, et ex- tenfionem illorum adiuuat (§.15.): augetur haec preflio, au(5la mole, et quidem in inftanti ; in fyflole autem fan- guinis arteriofi moles augetur: tempore igitur fyfloles la- tera arteriarum per fanguinem audum et grauitate fua prementem ad maiorem extenfionem ac dilatationem fol- licitantur, et quidem in inftanti ac (ecundum omnem tra- dlum arteriurum , quousque fanguis grauitans pertingit. No- ftra igitur fententia , quod arteriarum puljus cum Jjjlole cordis coincidat , ex his rationibus probabilior euadit ac corroboratur. §. (J3. Demonflraui alio loco , dari in tubis ca- pillaribus refiftentiam aliquam , non a \'i attradiua aut fluido contraponderante , fed ab illorum anguftia deriuandam j quae humana induflria adeo augeri poflit , vt ad infigncm al- titudinem fuperincumbens fluidum in quiete feruetur. Vafa autem capillaria in corpore animali omni imaginatione fubtiliora atque angufiiora funt: ergo illorim rcfiflentia fi- militer fe habet. Prefilo autem eft in ratio bafeos et al- titudinis fluidi ^ fi igitur feftio arteriolae capillaris mini- ma eft, quae pro bafi haberi dcbet ; tum refiftentia erit maxima , et infinitae altitudinis columna fuperincumbens immota haeret. §. 6/i^. Confidera igitur: dilatationem tuborum ar- terioforum incipere in principio aortac [§.35); et con- tinuari per omnem tradum arteriarum (§.62.) ; P^r illnin vero nihil intendi a natura, nifi vt locus concedatur eie- Tom,ril Tt &o 320 DE CIRCVLATlOnE SAKGVINIS do ex corde fiinguim (§• 55- 5<^' 5S-) i h"nc liuiguinem per omnes arteriarum anfradlus aequaliter et commode di- ftribui (§.58.); confidera practerea, eam efTe inter aortam et arteriae ramos maiores et inter extremitates vltimas capillares proportioncm , vt hae minimam poitionem illius maflae diftribuendae (brtiantnr , huius igitur portiunculae vim efle minimam, refilkntiam contra angurtiarum capillarinm efle maximam (§. <53.) ; An non magis magisque \erofimile videtur, has cxtremitates capiUares quali pro claufis haberi pofle , et motui (iuiguinis terminum in illis tigi , donec haec refifleiitia a viribus maioribus aliunde accedentibus fit fuperata? nulliim is,itui- Janj^uinem tcvipore Jjjioks cordis m vmas tran.sjundi (§.4-i-j w cordis^. §. 6$. Arteria dilatata , plena, elaftica in reftitii- tionem fui nititur: fublata igitur vi extendente contradio adu lequitur \ quia igitur hoc modo capacitas vafis mi- nuitur , vt tantum languinis denuo expellatnr quantnm a corde fufceptum fnit ( Cap. I. §. 23. ) : non dubium eft, qnin haec ipfi vis fe contrahendi pro principio habcri de- beat, vnde hic traicdus derinandns fit; de cnins adionis natura et quantitate paucis nunc nobis erit difjpiciendum. §. 66. Qiiia contradio artcriarum effcdus eft ek- fticitatis iilarnm : tota ctiam haec adio iisdcm lcgibus fub- iesfla cft, qiias natnra elafticitatis requirit, quasqne fiipra, cum de vi cordis agercmus (§.28-34.), commcmora- uimus. Et qnidem gcneralitcr elafticitas artcriarum de- pciidct a roborc ac firmitate fibrarnm , ex quibus illac com- ponnntur Qiio robuftiores jgitnr fibrae , eo maioris elafticitatis fiuK capaccb: quo debiliores fibrae, ad eo mi- norem COGITATIONES THTSlOlOClCAE. 321 norem gmdum fe patiuntiir extendi. Neque minub arte- ria robulla maioreni virium extendentium impetum lufti- net ■ arteria debilis minorem. Porro intenfitas ipla vi- rium elarticarum arteriae, qucis in fui rellitutionem niti- tur, fequitur intenfitatem virium , queis ipla fuit extenfa feu produda. Atqui haec extenfio prouenit ab augmento (anguinis certa velocitate irruentis , augmentum et celeri- tas finguinis a vi cordis illum intrudente. Jls igitur nr- teriae , qua fe contrahit, eji in ratione compnftta numeri fibrarum conjpirantium , quantitate elateris , et intenj.ta- te eius\ ac refpondet vi cordis", quatenus haec per exci- tatum fanguinis irruentis impetum effecit arteriae extenfio- nem. Qiio intenfior igitur adio curdis, quo maior dila- tatio arteriae : eo fortior quoque efl illarum contradio; e contra, quo languidior adio cordis eft, eo minor di- latatio, eo debihor quoque contracftio nrteriae erit. Haec et plura fimiha theorcmata absque vheriori argumentatio- ne ex natura elafhcitatis fluunt, atque experientia confir- mantur; fiquidem phira adhuc corollaria inde deduci pos- fent , quae ad ilhiflrandas veritatcs phyfiologicas ac pa- thologicas ficerent , ni nimium a propofito noftro defle- dleremur. Haec igitur generahter dida fiuis fiinto. §. (J7. Qiiodfi iam magis praecife in quantitatem virium , queis arteriae in finguincm expehendum agunt, inquirere vehmus, tanta fohicitudine opus non effe puta- uerim , quanta vires cordis indagare oportuit. Quia cnim intenfitas aiflionis iUarum dependet ab adione cordis (§. 66.): quantitas virium , queis arteriae fe contrahunt , facile de, terminari a priori potefl , fi cognita fuerit quantitas vi- T t 2 rium 322 BE CIRCFIATIONE SANGVmm rinm cordis , quiie in arteriis dilatandis impenduntiir ac confumuntur, Ex effcdu autem , fi illa concludi dtbet , dicendum eft in genere : Yim nrtcriarum (efe contrahen- tium tantam efle, Yt portio (anguinis per fyftokm cordis in ip(as intrufa denuo terminis fuis eiiciatur , antequam fyftole fequente noua nouus quoque (anguis irrumpat Ad quod problema ftridius foluendum oportct noflfe, i.) quan- ta fit mallii mouenda ? quae pro capacitate arteriarum , et pro hypothefi pulfus varia e(fe poteft. 2.) Qiia ccle- ritate motus (iat? quae quidem, quamuis itidem varia eft pro ratione interuallorum temporis inter duas puIfatiGnes, in hoc tamen conttans eft , vt fempcr dimidium inter- ualli tempus receptione f\nguinis, alterum dimidium cx- pulfione illius confumi licite fupponamus. Via autcm , quam ma(fa mota emctitur, partim a modo, quo con- tradio arteriae atque fuiguinis eiedio fit, partim a quan- titate (anguinis adu expellendi (§.5 €.) Pulmonem in perpetua adlione et voluminis fui ra- riatione efle. 7,) Sanguinem ex vena pulmonali in auriculam finiftrana et ventriculum non fola preflione a grauitate fua orta, illabi: fed impetu concepto ex adione pul- monum, vi viua irruere. 8.) Sanguinis motum nullam patimoram, adionem igi- tur potentiarum non debere oflicio fuo deefle, fed indefefliim continuari temporibus et rhythmis deter- minatis. p.) In ventriculis et auriculis poft fyftolem fuam vacuum exiftere refpedu totius capacitatis fuae« 10.) La- 3i5 DE CIRCl^LATIOKE SJmVXNlS lO.) Latera ventriculorum in diaftole non nifi ad cer- tiim gradum relaxari, et hinc vi quadam extranea vlterius extendi debere , •vt apta fiant ad nouam fyftolen. Omnes hae propofitiones partim ex iis , qua in Capi- fe primo , et in hoc fecundo iam ftabilivi , partim ex ad- fcititiis principiis anatomicis ita fiicile pofllint dcmonlkari, Mt earum ampliori dedudione fupcrfedeam. Propercmus jgitur ad conclulloncs. §. 72. Qiiando Cor in fvftole eflc incipit ; con- tradio auricularum finita cft. Si igitur tum auricularum latera velles diducfla , neccflTario vacuum haberes, Vbi autem vacuum efl, ibi reliltentia eft nulla. Sangiiis igi- tur ex 'vtraque Caiia in auricidam dextram^ et ex vcna puhmnaU in auricuhm finijlram celeritate qualicunque in^ fluity et illarum capacitatcs adimplet, ac dilatat^ §. 73. Auricula dilatata, elaftica in fui reftitutio- Bem nititur. Vis huius nifus eft in ratione numeri fibra- rum ad contradioncm correfpondentium , quantitatis , ct intenfitatis clateris fui. Hac vi fua ingenita , exprimunt fanguinem^ finita a&ione cordis , hi irntriculos refpd/iuos ruacuos. Qiiantitas malTae detcrminatur a capacitate auri- cularum, non ncgledlis iis caiitclis, quas in detcrminanda quantitatc languinis e corde prorumpcntis (§. 56.57.) itcm- que in Capite I. §. 27.28.29. allegauimus. Celeritas autem, qua in latera ventriculorum irruit , a ccleritate , qua mulculi auricuLirum fe contrahunt, et ab orificio, quo auricula in \entriculum hiat, depcndct, et ex idea cmboli, capacita- tem tubi minucntis (§.22.23.) fimili modo dediici pnteft. §• 74. COGITATXONES THTSIOIOCICAE. 327 §. 74. Laxatii veiitriculorum latera vi extrar.ca di- latari debent (§.75. n. 8.10.). Qiiia autem motus in vena caua inferiore eft lentiiTimus ( n. 2 . ) , ct eius celeri- tas minima ; neque minus , quia \is iiuiguinis , defcendentia (n.4.) in (ola prefiione confiilit: pr^tet Jjinc necejfitas au- riculae dextrae , ^ot mju fuo fe rcflltuendi motum nouum imprimat fanguini, non folum fuo, fed et alteri ex \'ena caua Yiraque (n.i.) allabenti , quae vtraque mafla iundim fumta, celeritate concepta, in laxata yentriculorum latcra irruit, et iila fubito, quantum necefie efl: (n.io.), ex- tendit. Neque miiKis patet nece/Jitas auriculae Jhiijlrae, !Vt nimirum latera ventriculi fini/lri per (anguinem ycIo- citate concepta iniedum fuMto ^xtendantur ; quia circula- tio (angujnis moram non patitur, §. 75. Qiiia ianguinis motus in cauis efl: lentus (§.75.^.2.4..): igitur omnis eius acceleratio a fola a&io- jie auricuJue dextrae projicifci debet. Qiiia e contrario liUigais ex pulmone in cor fuiiflrum vi viua et cum ce- leritate (n.7.) irruit: igitur omnis vigoratio, qua ^rntri- culo finifiro opus ert , non a fola auricula fmijlra ingene- ratur, fed illa a quantitate impetus (anguinis ex aurii-ula €t vena pHlmonali prorumpentis aggregata proficiicitur. Ea veram caufl-mi phyficani et finalem , quare auricula dextra capacior et fortior fit et effe dcbeat, quam finiflra. Qiii ad rationem huius inaequalitatis reddcndam , denfita- tem et (contradicflorie plane) fluiditatem maiorem (angui- nis, quam in pulmonc nancifcitur, ((jmniant , illi tcne- bris circumfufi caligant , et oleum ac operam , quam in- anem ludebant, pcrdidere. Tom.Vll. Vv Sedio 328 DE CXRCFIATIONE SJNGVINIS SeCtio ^. De AttraCtione wfonmi capillarmn. §. 76', Saepe accidit, vt, qiii in explicaiidis phae- nomenis naturae occupati funt , tales caufas in medium pro- ducant, quae non nifi fpecicm quandam vcri habent: cu- ius quidem erroris nulla alio ratio cft , quam quod nec cfFedus nec cauflae ideam diftindam habcant , Icd fola (pecioni aliqua fimilitudine partiali, quae tamen nihil ad rhombum ficit , decipi fe patiantur, vt miros paralogis- mos committendo et fibi et aliis fucum vendant. Horum ex numero funt illi, qui poftquam gcneraliter intellexc- runt , aquam in tubulo capillari furfum alccndcre , hanc legem ad motum (iuiguinis explicandum applicari pofle au- tumantes, fli.itim concludunt: Ergo extrcmitatcs capillares venarum fanguinem attrahunt; Ergo hac attradione ftn- guis ex artcriis in vcnarum alueos facilitatur. Scd fi di- ftindre quaeflucrimus ex natura, illa quoque dillinde re- fpondebit. Figura 14. §. 77. Sit Tubus capillaris AB, qui fupcrficicm aquae , in vafc V tangens , replcbitur fupra libcllam v^que - ad altiaidincm BC ; fi remoueris tubum ab aqua ; illa portio rccepta et attrada in fpatio BC immota haerebit. Si profundins immerferis tubum ad altitudincm BD, tum et aqua in tubo aiccndet vsque ad altitudincm F, ita vt fit BCzrDF, et BD— FC; (fi nimirum angii- ftia tubi vbique fibi aequalis cfl , quod ad facilius intel- ligendurn experimentum fupponimus)- Si extraxeris tu- bum, aqua iterum defcendet, donec ad priftinam ahitu- dinem BC perucnerit. Si COGITATIONES VnTSlOlOGlCAE. 329 Si tiibum AB iniiertas, "Vt extremitas B furfum fpe- £tet: aqua in cauitite CB hnerens defcendit ex BC \s- que in EA , et reliquum fpiitium BEzrAC aqiu va- cuum relinquit. Sit Tubus AB maioris diamctri AS, qui dcfinat inFigura 15, tubulum capiliarem BC, cuius attraclio tanta fit, vt, fi fuperficiem aquae tangat , fluidum in illo afcendat et haereat ad akitudinem DC. Si repleueris totum liunc tubum A C fiuido , tum illud dcfcendet , et effluet per foraminulum C, tam diu, doncc fiiperficies fluidi fupe- rior A S peruenerit vsque ad terminum D ; et ex tota inafla fluidi nihil remanebit refiduum , nifi quantum an- gufla tubi capillaris capacitas CD virtute attradionis ca- pere et retinere poteft;. Procedit hoc experimentum , fiue Tubi AC repicti cxtremitas C fuperficiem aquae tangat , fiue totus tubus libcr fit circumquaque. Idem erit phaenomenon, fi tubus capillaris EC cnm Figma ks. tubo maiori AC non in dircdum iaceat, fed illi nd an- gulum quemcunque ita inclinentur , vt capillaris TC in fi- tu infi-a horizontem HO dcprefib, maior autem AB in iitu fupra horizontem eleuato conleruetur. §. 78. Ex his experimentis (§.71.) fequitur: i.) vim attra&icem non agere nift ad certiim aJiquem termi- num, quem mimquam transgrediatur \ 2.) hanc vim non ejje tantam , vt Juptrincumbentem aUam. majjam Jujpenjam tenere poj/it , fed potius (uperatam illius mafliae luperin- cumbentis pondere, dejcenjum cedere ilH^ donec retinen- dae portioni fuae determinatae refiduae denuo par fit. 3.) V V 2 Tan- 350 d:e circvlat- sangk coGiT.nmiOL. Timnim igitur ahejje , it tuhm capHlaris ^'Itra dehitain altitadnem repktus ^ et altero orificio imniijjUS jluido cui- dam , phis vltra recipiat , i'/ potius , quac Juperjiua Junt it oncrofa^ demittat. §. 79. An igitur extrcmitatcs capillares n:enarum fanguinetn jugunt , et motum eius jacilitant ? id quulem , ex dcmonftratis (§.71.72.) puto nemo intelligens concejjmt* Attrahant illae quidem per me fanguinem , fi vacuae fue- rint , attrahant ad ingentem altitudinem', quousque propter anguftiam vaforum iicebit. Qiiia venae naturaliter plenae funt , et iam \ltra terminum altitudinis fixum replctae : ifta vis attraciliua adeo non plus attrahet , aut fullinebit languinem venofum , vt potius defcenlum concedciet, qur.m aicenfum iuuaret, fi nulla alia vis in corpore adeflct, cuae huic defcenfui valide refifteret. Qiii igitiir phaeiicn cna ifiia de applicatione emplaftrorum , cataplasmatum , vnguen- tornmy quorum partes aquofis, oleofas, fpirituofas, a fu- perficie corporis ablorberi experimur , explicare aggredi- iintur, ad principia longe alia , ex hydraulicis eruenda con- fiigrre dcbcnt ; quia in attradione tubulonim capiUarum parum folatii inuenient. OBSER- OBSEBJ: ANAT. JD mST. ETACTION. tc. 3 3^ OBSERVATIOiMES ANATOMICAE AD HISTORIAM ET ACTIONEM MVSCVLORVM FRONTALIVM, OCCIPITALIVM , PALPE- BRARVM , FACIEI AVTORE lofia Weitbrecht^ M Vftuli frontales , fnperciliornm et palpebrarum itaTabuia xv; inter le neduntiir , \t de \no nihil exade re- ferri queat , quin ct fimul alterius mentio fint. Sed nec de frontalibus atque ovcipitalibis quicquam Ib- bile dici pottft , quin accuratii incumbentium ac fubftra- tarum membranarum cognitio praemittatur : in quarum recenfione omnium accuratiflime Cel. W instotvius fe ges- fit, \t pauca adiicienda liiperfint- quae tamen prorlus ne- gligenda non funt, quia detcrminatio fitus, adionis ac ne- xus mufculorum diftorum inde dependet, '\ IL Subter pingucdincm cuti cafuariae immediate ac- cumbentem detegitur tunica aliqua fingularis , quam \el cum Jefalio panniculum carnolum , \el cum Winslowio wembranam pellicularem dixeris , perinde efl: ; quamuis polleriorem denominationem cum idea rei ipfius magis conuenire fiitear. Haec membrana in tota extcriore fuperficie fua plurimas fibras disiicit , quae ipfam mas- fam pinguedinis penetrant, illam in cellulas diuidunt, et V V 3 fubiu- 33^ OBSERV.ANJT.JDHISTOR.ETACTION. fiibinde anlijfiinam , cum ca atqiie ipdi ccte , connexio- iiem^ imprimis in 'veytice fecundiim longitudinem futurae, efficiunt. Obtegit illa porro omncm nmplitudinem capi- tis in regione frontali, temporali, verticali atque occipita- li; nec tamen eande-m \bique crajfiticm fcruat. III. Membranam pellicularem (II.) fubfequitur Galea aponewotica ex duabus lami?iis , per tunicam cellularcm di- ftindis conftans, et fimiliter toti caluariae ita obduda, vt etiam ad orbitae crepidinem Ysque continuari, imo et la- mellam aliquam fuper ipiam palpebram fuperiorem proii- cere videatur. Tenuior cft (upra mufculum temporakm , ad cuius circumferentiam infertionis circularcm firmitcr accre- fcit; tenuiffima autem fub mufculis frontalibus, et circa in- feriora tcmporum , ybi verfus os Zygomaticum demittitur. IV. Intcgnmentorum numcrum complet periofiutn., fimiliter ex dupHci tunica contextum , quarum exterior laxa et mobiiis mufcuhim temporalem extcrne obducit, interior Axro cranio ipfi flridifilme inhaeret. Figura I. V. Mufculi occipitales paullo fupra lincam ncutnm transuerfalcm (lit. ^.) e rcgione fuius cruciformis offi occipitis adnafci (blent. Vtplurimum maflli illorum carnea quadrilatera ert , ita vt linea infcrtionis vtriuEque (lit. b. c.) non eandem diredioncm (cruet , fed quadante- nus verfus (e inclincntur [Wt.d,^. Oblique furfijm pro- greffi proicdiones fuas tendineas laminae exteriori gnleae aponeuroticae (III.) intcxunt, vel potius , vbi crebriores funtj ipfiffiiiiam lianc laminam conllituunt. Propter fuum et progrelfum mufculorum obliquum fibrae iftac tcndineae vtrin- MrSCVlORVM FROnTAllVM,OCClP.&c. 333 \trinque verfiis mcdiam atque elatiorem mufculoriim tem- poralium feclcm diiiergunt (lit.^), tantum abell, ^t, quod Santorinus perperam po(iiit, circa verticem fe decuffcnt. Eidem huic laminae exteriori innafcuntur aponeuro(es mu- fculorum ekuatoruin auris , inter quarum texturam fibrac occipitaliuin denique definunt. VI. Mufculi frontaJes cum Galca nponeurotica ni- hil commune habeni: , nifi folam conti^uitatem , et forte fibrofitates quasdam cellulares interiedas. Immediate enim fub cutis pinguedine ita intexuntur ipfiffunae illi niembra.' nae pslHculiri (II ), vt vnam eandemque maffiim in re- gione frontali conrtituant; vnde fequitur, il!os gaieae fim- pliciter injlerni non autem complicari. Porro nuHibi ojji alicui innalcuntur^ (ed, quemadmoduin de membrana di- ximus , illam fibris disiedis cuir» pinguedine commiiceri : ita etiam hi mutculi frontales tota fupcrficie fua externa fecundum omncm latitudinem cum eadem pingueciine, et confequenter cum cute ipja committuntur. Fibrarum mulcularium extremitates jup:riores fcnfim in membrana omnem carnofitatem deponunt. Infeiioruin autem aliquae, quae circa mediain frontem fedem (iiam na^ftae (iint, pro- fundius didudae cum pyramidalibus narium coalefcunt; reliquae circa deprefjores (uperciliorum et orbicularem pal- pebrarum plane euanefcunt ; de qua connexione inferiiis (X.) plura affcremus. VII. Relidis iis , quae de inceffu et quantitate fi- brarum in mufculis frontahbus vuigo diiputantur , et a Mor- gagno , Santorino^ Winsloivio fitis difcuflli funt: eam tan- tummodo quaertionem examiuabimus , quae ad a&ionem tam 3 34 OBSER^^AT ANATOMICAE JD BISTOR, tam frontaUun^ qunm occtpitaUum pertinet : an nimirum miifculi cii^ajirici Jint^. an igitur ad eandcm actiomm con- Jpi.ent^ et fe adiuiicntl an vero dnierfimode agant^. Mu- lculorum diga-tncorum , ex. gr illorum , qui ad maxil- liim inferiorcm €t os hyodes perdncnt, et fi quos alios, qui tcndineas iiifcriptiones hubcnt , huc referre velis, ea proprietas eft, vt dii) 'Ventres carnei per imiim in medio interiedum teudineni i'0:v. }' Portio mufculi frontalis ad na- fum defcendentis. ^'. Pyramidalis narium. /. Mufculus inciforius. ;/;. Mufculus Zv^gomaticus maior. ;;. Mufculus Zy^omaticus minor. 0. Fouea, vtplurimum pinguedi- ne turgens. Flg. 3. rt. Limbus maxillae inferloris. b. Cutis reflexa. c. Portio platysmatis myoidis. d. Digaftricus dexter ad maxillain tendens. e. Digaflricus finifler. /. Mylohyoides fubiacens. g. Fafciculus mufcularis planus, in- fta mentum circulariter fub- duftus, et commifTuram mu- fculorum triangularium labii conltitucns. CLAS- CLASSIS TERTIA CONTINENS ISTORICA. Tom.VU, Yy ELEMENTA CALMVCICA. AVCTORE T. S. Bayer. 'jr^^Vperioiibus in Commentariis littenituram Mangiuri* ^^ cam explicatam dedi, Nunc de Calmucica quae- k ^ dam adiicienda iudicaui , tantummodo vt illius ab Mangiurica diuerfitas cognofcatur. Primum Calmu- cica quaedam in Nkolai Juitftnii opere inueni. Deindc Frideriais Groffiiis, collega nofter, quem honoris caufla nomino, a lcgato Principis populi Songar elementa litte- raturae huius Mofcuae impctrauit et ad me Petropolin transmifit. Ad extremum nadus fum haec elementa Grw - fianis ferme congruentia, (cripta manu Lo/jfar^ Ifbi. Is quondam fcriba apud Songarenfes fuit, inde captus a Rus- fis chrillianae religioni (ele tradidit ; ex quo nomen ei Bafilius Timothei filius, nunc efi. Vltima littera p, o- mifia a Bafilio , a legato autem defcripta , plane efl: Tan- gutana. Finales quoque adiedae funt in Schemate. Ce- tera ex coUata litteratura Mangiurica facile (iippleri poterunt. Nomen Bafilii fubieci , hoc modo : Kalmatski ime (Cal- mucicum nomen) Lo.fang Jfhi , Orofki (Rubfice) krfht- fchona (baptizati) ime (nonien) lajiii J ifnofeief i B-<\{\\m Timothei filius). Haec Rdfica funt, (cripta litteris Cal- TOucicis. Yy 2 DE 34^ DE VEnEDlS DE VENEDIS, ERIDANO' FLVVIO. AVCTORE T. S. Bayer. QVonuim ex Herodoto Eridaniim ct Venedos his locis ad ]5alticiim mare pofui , cius rei rationem vtreddamus, tempus eft. His autem -vcrbis eius, vt ita fiicercmus, commoti fumus (^): «re ydp EyaJYe tK^iSoyla £5 S-aT^aicrav 1"/;^ Trgog p3ge'>iv av£|J.o>', aTrd rcij To viXeHl^ov' CPoiTrv Xo'yo5 gg-i, sre v^vfo-as dtoa nacai- TeQiSas gscrag, £K t" o Kaara^LreQos y^fklv (Pofla. Ty1(/ jxev yap 'HgKJ^avcg atild K.a]'viyog£(j rd avojj.a, wg f^t EAX^iviKdy K,a| srt |3a(j!?a^iKdt' , uTid TTOfvilcjIv o? rivdg TrctViOty. yre ^e ilfJej-dg c.L/lj-crlew yevo[j.zVy , y «5':i;'ajj(.cx|. dKycra^ ryro ixeXPiSy oVwg ^-aX^-.cTfra £5"i ra e-GrtKH^cc 'Eu^fjj-cr-v]^. £^ e^arvjg 5' ojv 6 Kao^criregog •^J^jxT/ CPoflo!' K, ro Ti.AeK.lgov' Keque emni , inqnit , w/7'i perjiiajiint ejl ; Eridmuim vosari apud harbaros fluuium , ^////'' /)y^(?- ^//;/»v^ in jcptemtrionale tnare , iv/rt'^? Juccinum p^rferri di- cunt : 7ieque injulas noui Cajfltc ridas , 'onde Jtnnmmi ad ms perjrrri praedicatit : nmn quod Eridanum attinet , ipjum illud nomen opinionem Jamamque rei euerttt , Graecum enim ejly non barbaricum ^ a poetarum aliquo conjiclum. Ne- irin?m ia) Lib. 111. Cap. 115. ET :erWANO FIVFIO. 34-7 uimem fane cognoid, qiii eas ^ciderit terras^ neqiie ^ eum id maxime agerem hiteUige^e potui^ quem in modnm ma^ re ad •vlteriorem Europam fe habeat. Id vtique con^ flat , ab extrema Eiiropa et Jlanmim et fuccina ad nos per^ ferri. Duo acceperat Hcrodotus , primum ( luccina et ftanuum ab extrema Europa et oceano feptemtrionali per- ferri , quoi vel ipfo ludice , fine contrauerfia erat , mer- catoribus lonicis et Ponticis,) Adriaticis et Atticis referen- tibus : altcrum, fiuuium a quo fuccinum perferatur Eri- danum et infulas vnde ftannum Cafliteridas appellari ; quod Herodotus veretur ne ex vano haufium fit et a poetis confi- «flum. Caufla ea efl:, quod^Het^ai^cV «, Ka(j(T\\sQi§ tq vy, (orores fuifle poft enm alii cecinerunt, veluti id aptius fabulae inftruendae eflct. In- ter extremos ApoIIonius Rbodius excolendae ftibulae urti- fex qui Eratoftlieni condiicipulo in Alexandrina bibiiothe- ca fucceffit (iib Ptolemaeo Eucrgete. Aratus Solenfis et Eratofthenes aequales fuere. Vter alterius excmplo Eri- danum in catafterismis pofuerit, non Uquet. Vterque lime habet C^j . ApoIIonius Rhodius autem in Argonauticis (/) A«\|/ava/ 'EQiSavoio 7roX'jKXa:;$-y TrolafxcTo, fibulis iam ita adultis vt non modo Phaethontis lorornm , fcd ctiam Apollinis ipfius lacrumas fucciua cffe diccrcnt, -Eledridas iufulas et Eridanum ad feptcmtrioncm collocat. UQyiV y\X£K]gi$a yvjcrov 'AT^acov vtiyaryiv , 7:o1ctp.s c^^^eSo]/ 'H^iSayU Jacram EleBride inju/am Omnium extremam , iuxtra Eridanum Jiuuium Irthic ait Argomutas pcnctraffe vsque in Eridaniim ha r sicri TTuXocj X, eSe^XioL V'j>C]og , vbi portae et cubilia no- £fis (* Aiiatus in phoeimmciiis v 359 V. Nonnu in Dionyf. 1 23 v. a^O. 1. 38.90. fcq V. 430. fcq Dion. Afci v. 290. feij. (S) Lib.lV. v 507. ET ERWANO EtVVlO. 3 5 ^ diis funt, hoc efl fub vltimo borea. Attamen Eridnnum cum Rhodano et Pudo mifceri uddit. Malo id tx icho- lialbe eius verbis inteiligere tc , quam ex Apollonii ipriiis verfibus: '?o^a.vog 7ro1c.p.og KsAlwyfg rqT 'HgKJa^^w cru/x- p.iy^iy|jL£^'05 H, %ii^o[xei/05 , r.^ ii.h iiq iIiKzavzi^ ^iQ^-' tou[ y r^ (^£ H, £is tzv 'loviov KrjX-wov , r^ .9 1 E15 ro SagcJ^oVioy TTjXayog. Rhodaniis fluulus Ceitkae Eri- dano mijliis ac rurjiis in diuerja ita abit , vt paiiem in oceanum (feptcmtrionakpn ) partem in lonium leu A- driaticum , partem in Sardonum hoc eft Ligufticum ex- oneretur. Ilihic ad Eridanum ait ApoUonius Phaethonta femiuihilatum caeleftibus flammis in lacus profundiflimi oflium ab caelo cecidifle. Lacum teterrimum odorem fpirare , circa eum autem lacum Heliadas in aiyfigyg feu populos (vt Plinius et Hyginus in fabulis interpretan- tur) mutatas flere : lacnimas ab humo exceptas folc aefluante ficcari cum lacus inundat terram , fuccina de- uolui in Eridanum, Alii adliuc illud fabuiae adiiciunt, Celtas narrare, Apollinem cuin ad Hyperboreos accede- ret caelo, ob iurgia cum loue, relidro, quod Aflilcpius Apollinis e Coronide filius a loue efllet fulmine idus, aut, vt (choliafta Apollonii addit, cum Apollo ob Cyclopum eaedem cogeretur coelo exulare ifthic apud Hyperboreos, nec edifie, nec bibiffe, fed fua fleuiflTe fiiccina. lam velim mecum confideretis, quod vcrifllmum fit in his fibulis , atque quibus ab cauffis vcris admifla fue- rint tum vana , tum obfcura. Eridanum dico Dunam efle fluuium prope Rigam. Nam quae nunc Duna , ea olim 'PS^^ojv Rhudon^ ita vt abiedo principio, extiemum vo- Tom. VII. Z z cabuk 3^2 m FENEmS cabuli jid hoc vsqiie tempus perfeuerauerit. Marciatms Heradeota: jjLeli Bt taq EKSoXa^ rS" 'Ouiig-yXa Trolaix? EK^J^gpj^ovlaf X^foVa TTolaji.y, e^^i^s eicn 'Py^JoIvog Trolajxa iK&oKau[. 'O (Je 'Pa^J^wv Trolajxog gx, ry 'AXau/y ogyg (pEgelotf. Jl/lulae, Cbroni, Khudonis ojlia Je demceps exripium. Rbudoji ex Alauno monte fertur Claudius Vto- kmaeus : Ty 'Oi/ig-yXa TrolajjLa eK^SoXtxi XgoVy 7ro1a|j.y ex.^SoXoui 'Py§wK05 TTolajJiy £h?oAoc( TygyVly 7ro1a|xy eKSoXoj Jljlulae ojlia Chroni ojlia Khubonis ofiia Turunti ojUa - - 56. -g 58.^ Rhubonem perperam dicit , vt ex Marciano intelligrsv Qiiiimquam autem fecundum Ptolemai rationcs orientalioi* e(l Rhudon quam Duna , tamen ab eodem littus omne maris feptemtrionalis , \t illi dicebant , feu Baltici magis ad orientem fummouetur. Nec adco conftare poterat Ptolemaeo longitudinis et latitudinis cxacla ratio. Sed (! Viftulae fitum cnm Rhudonis oitiis comparamus , nihii efl: manifeftius , quam Dunam effe Rhudonem \eter;'m'. Scio quid hic Olaiis Kudh.ckius tumultuatus fit, (cd iiuic mihi \ideor alibi fiitisfeciffc {g) , nec tanti eft , \t hoc loco quidquam ampliub dicam. Qiiod autem Mardanus dicit, Rhudoiiem ex Alauno monte fluere, id nos etinm confirmat. Nam a veteribus Boryflhenis qucxjue fontcs po- (g) Du numo Rhodio p. ii. •Xi p-e Vq y vy ' T * 45' 50. S6, S6. 53- 57- ET ERWANO EtVVlO. 353 ponuntur in Alaunicis montibus. Non quod aliqui ifihic niontei) fuiit , \nde Danapris fuit , fed quod \'iri boni e montibus plerumque flumina oriri nouerant, eo, montes irtliic coUocarunt , vbi Danapris fontes elTe accipiebant. lara nec Dima ex monte aliquo Alauno praccipitatur : attamen ex iisdem fere paludibus, ex quibus Bonyfthenes. Hoc prifci homines acceperant. Hi yero barbarum vo- cjbulum Rhudonis, in Eridanum mutarunt, vt aptius es- (ei ori Graeco. Eridano conftituto, iam cctera in vado fumus. At, inquies, nulliim ad Dunam fuccinum eft. Nempe prifci mortales tantum mercatus fuccini ad Eridanum inlHtui acceperant, vt Herodotus ait; cc^cro rtD y^kzyOQQV (^oCiaiv X:'yo5 gg-i, a qiio Eridano Juccinum perferri , ft- ma eft. Hoc fatis erat ad longam de Eridano fabulum cudcndam veluti illic (iiccina legerentur. Haec autcin ratio mercatus docet, fuccina primum a populis ad Eri" danum transmifia elTe ad Scytas et fecundo Boryfthenc ad cararadas , hic excepta efCQ a Boryfthenitis Graecis , Gui fe Olbitas dicere malcbant. Mea enim fententia, vt uunc eft, Olbitae vltra cataradas nou nauigarunt. Nam primum ex Conjlantim Vorphyrogenneta de adminiftrando imperio fuis apparet , quae cataradlarum illarum natura et quam impenetrabiles illis temporibus atque ea ruditate nauigandi Graecis fuerint. Tura vero Herodotus tcfla- tur, folos qaadraginta dies Boryfthenem nauigari potuifte, Qiiod fi refte confideres aduerfo fiiimine fpatium fuit in- tra cataracftas et taraetfi aliter fenfi olim , in eo me nunc ip(e reprehendo. Cetera quae in fabulis illis funt ad mercatum antiquilTimum et naturara fuccini , vt tunc cxplicari poterat, refero. Hoc infigniter pjffet confir- Z z 2 mari 354 D-E VENEDIS'^ rnari fi exftaret h fcriptor, ex qiio Eiiftathiiis ad Diony- fiiim Afrum v. 311. de Panticape , qui fiipra cataradlas fluit, habet, nd eum fluuium r§v<^avy\q yiXiyC^QOi^ \>-y\vy\q ag^oixeV-vig aLi^elccj, oiarij dvyy\. De arboribus luccini- feris etiam Sotaciis apud VUnium (A). Sotacus (.redidit i?i 'Britannia arboribus effluere. quas ekctridas vocauit. Malc hoc in Britarmia. Ceterum tametfi Hardiiinus ex Manufc. legit : petris effluere , tnmen potius crcdidcrim Sotacum illum peruulgatae opinionis de arboribus , quam nouac ien- tentiae de petris audorem fuiffe. Orta efl: opinio ex con- iedura. Videbant enim fuccina refinae fimilia efle et in. cendi et fluere et olere refinofum. Inde nihil aliud in mentem Yeniebat, quam ab arboribus fuccina Itillare, \t in Pruflia quoque multorum iudicium fuit, Phacthontem ahquando fufpicatus liim Graecum fuifle ciucm e Ponticis coloniis, qui cum mercatus liiccinarii caufa feptemtrionem ■verfus profedus euerfii naue in aquis perierit : HcUades autcm iorores feu focios iflius mercatus calum iilum do- luifle. Scd forte verius ttiam hoc totum ad naturae com- mentationem traducas, cum \iderctur fol 6 -y^^AicgCpiasOojv' aut radii folarcs, ramquam filius aliquis folis matura ficere in arboribus (uccina , idcirco erimi fiibulae audorcs non forores fed filias Vhaethontis prodidere HeUadas. Niccas apud Tlinium , folis radiorum fuccmti intel/i^^i i-o/uit : hos circa occcfum credit vehementius in terram a^os , pin. guem fudorem in ea parte oceani re/inquere , deinde aejli- bus in Germanorum /ittora eiict. Veriora ahquantum comperit Tjthcas McJfi/ienfiS Tlinius fic ait : Tytheas Guttonibus Germaniae genti auo/i aejjua- (b) Lib. XXXVII. Cap. 2. ET ERIDANO FIVVIO. 55$ cefuaritm oceani M.eittonomon nomine , Jpatio Jladiorum fex tniiiiwn : ab hoc dici naitigatione ivjulam abejje Abalum : illuc vere fiuciibiis aduehi et ejje concreti maris purga- ?nentum : incolas pro ligno ad ignem vti eo , proximisque Teutonis 'vendcrc. Hi/ic et Tinuieus credidit , Jcd injulatn Baltiam vocauit. Hiiec poflea interpretabimiir. Id enim propofito noftro (atis efl: , qiiod intelligimus i-am tum , hoc cft, ante Vhilippum Amjntae Macedonem (iiccinariiim a Tutonis exercitum fuifle. Is quoquc Vlinius audor efl:, Romanos primnm fuccina accepiflfe a Venetis ad Adriam, fed oflendi , cum de numis Romanis in agro Pruflico repertis dicercm, antea Tarentinos iam cognouiflTe. Haec liint illa tempora cum maxime fuccinaria fibula efl: con- flata ct quoniam ad Padum mercatus illius gemmae in- fliitnerentur a Tarentinis, is fluuius nomen Eridani com- meruit. Ab Italis Alexandrini acceperunt. Nain etiam nomen Italicum fuuini vulgatum efl: in Aegypto, vt ex Clementis Alcxandrini Stomatis colligo (/). To 8ockqvw^ inquit , Ts (Tu^isy e -ancr-trSriXj ra KaQ^y\ k, ro yXbk-^ tQov rag d^xyQixcis dvoKiva. Cum in honore eflet A- lexandriae, i^sQOvivy\ dici coepit (vnde vernicem adhuc di- cimus) et corruptum ex eo ^eQViKaQiov. Nicomedes in gloflis : ^oiQViKy.Qiov virQov eQV&Qoy , 01 Ss yXeXr^oVj 01 $s ^eQoviKy\v. Credo a Beronice Vtolejnaei et Arfi- mes filia Vtokm.iei Soteris coniuge , cuius crines Conon Samius et C«///;«.'7c'^//j' confccrarunt, dniotas fJaui verticis exwii is , vt Catwlus loquitiir. Qiiod exemplum Nero Cacfir imitatus, quodam in carminae Pappaeae crines fiic- cina vocauit. Et fic Nonnus Fanopo/ita (k). 2 z 3 i<; (i) i. 370. (fe^ D.onyl. Lib. XHi. 25. 355 DE FENEDIS eig cre KO[xioi/Cj» Awga ^'lag-iXSoylct (J^ggai/yeog 'HgK^ctvto ^RXidSu^y 6' oKov oa^Sov e-wouxvu^ C\ov to ncQl.Kvyy^,- <;y\V. Theophrajlus in Liguria ejffodi dixit, inquit Vlinius. Sic alii apud Plinium. Nemo tamen eos lepidius exagitauit quam Lucianus Samofatenfis. Erant enim fuccina tcfte Plinio etiam apud Macedonas Syros in honorc. Lucianus autem («) ita ridet , vt adpareat homincm ob fuccini luxuriam ab Nerone ante fe natum inucdlam , non ignorafle , vnde lliccina perterentur. Itaquc fingit , fe profccflum naui ad Eridanum , fe Padum Italiae, id vnum fpcdlaffc , quomo- do expUcato finu cadcntes Hcliadum lacrumas excipcrct, W£ Q^ Lib.II. Cap.i6, Qn) tte^i Ai^WK f. 6- C") ToinU. p.369. ET ERWAKO FLI^VIO. 357 teg yiXeyOQOV e^oiev , vt et ipfe (iiccina, rem adco pje- tiodim hiiberet. Sed cuni proficifceretiir aduerfb fiumine, nec arbc^res iftas (uccini feraces vsquam locorum vidifie , nec elecftrum nec notum Pli lethontis nomen et adeo car- minibus celebratum apud Tatauinos inaudiuiffe : quaereii- tem etiam ex nautis, quando tandem ad illa feracia fuc- ciiiis loca peruenturi effent, irrifum infuper interrogatum- que fuifTe , quae fibi fuccina diceret , quem Eridanum ? Narraffe fe fabulam omnem veluti ad gnaros: tum vero illos fcifcitatos effe , quis impoftor haec tam manifefte vana ipfi narraffet: neque enim fe aurigam caelo lapliim audiuiffe , neque eiusmodi arborcs : fi quid eius rei apud fe nafceretur, nae fe non duorum mercede obolorum re- migaturos, cum pofTent e colledis arborum lacrumis opes vel regias comparare. Itaque fe perturbatum fpe omni peregrinationis excidiffe, veluti fuccinum mox finu exci- piendum, rem adeo caram et pretiofim aliquis excufTiffct, cuin iam fecum computaffct , quantus ex vna re frudus fibi rediturus effct. Sic ille Graeculos nafo adunio fu- fpendebat. Alii cnm animaduerterent Rhodanum in Iberia ali- quid eiusmodi habere, quod Eridano conueniat, hic pu- tarunt fe fuccina reperturos, In eorum numero, nec di- cam poetas, Theophraftus quoque fuit. Theopbrajlus in- quit Vlinius , oceam id exacjluante , ad fyrenaei promonto- rium eiici: quod et Xenocrates crcdidit, qui de iis nu- perrime Jcripfit. Athenaeus [o) Hieronem Syracufanorum regem in naui aedificanda fcribit aliam ex Italia mate- riam , aliam ex Iberia petiiffe , KavvaStv re h, Kirlov sk Qo) Lib. V, Cap. jo. y 358 DE VENEDIS Ty 'HgK^^oJi^y fic etiim legit Eu/latbiu^ ^ cum Caffaubonus c codice liio edidit 'Po^^a^S ry Trolap.Q'. Hae ciim tam difcrepantes cflcnt fententiae , acceflit Apo/IoniHs Rbodiiis^ qui omnes inter fe conciliaret. Cre- didit enim Eridanum tribus alueis et in feptemtrionakm occanum et in Adriaticum Lignfliciimqiie mare efFundi. Rbodanum dicit et Vadum et illum ignotum , at illulh-em poetarum monumentis Eridanum. Coniedura haec erat nixa fide vanorum hominum , nec nifi poetae condonan- da. Argute fuie VUniiis ; faciliorem 'veniam facit is;no- rati fiiccini^ tanta orbis ignorantia. Alia quoque cauflli eft , quamobrem Eridanum cre- derent effe Padum. Audiuerant ab Eridano perferri fucci- na, audiuerant quoque a Venetis perferri. Lim Veneti ad Padum erant , idcirco in opinione fua confirmabantur. Sed nos in his oblhnati fumus. Scilicet audiuerant, fuccina legi a Venedis. Venedae igitur in his fucciniferis regio- nibus colusre et (iiccina transmiferc ad Rhudonem feu Eridanum. Scylax Caryandcnfis: [xeli. ^z K^Xlys 'Eve- roi eWiv zhoq K, 7rolo!|jLos 'Hgi^Jav:? iv diTloiq. Non latis apparet inaudiueritne Scylax aliquid de Venctis Cir- cumpadanis, an de Venedis nofiris. Nam profedo ne dicam Scylaci , Hcrodoto quoque Ittus omne Adriatici maris ita ignorabatur, \t huius Baltici. Celtas autem di- cebant etiam vctercs non modo popnlos ad Rhenum, Tcrum etiam omnes Gcrmanos ct Ephorus id nomen pro- tendebat Ylque ad Vifl:ulam. Inde rurfum noui errores. Paufanias [p) Eridanum per Gallos vohii ait, ferius au- tem Cf ) f. 10. ET ERWANO FLVVIO. 359 tem Gnllos toc:Uos , qni antea Celtae dicerentnr. (Scho/ia 'Hcjwdi Theog. V. 338. 'Hgi-Javog 7ro1«fjLos KsXIojV.) In his teniiibns fane Aefligiis confecutns fum Vene- das coluifle antiqniflimis temporibus a Viftuk admodi.m ad Dunam fluuinm. Hic ergo Eiedrides quoque iniiilae feuere. Credo Graecos de Sembia et \traque Neringia in PruflTiae littoribus inandiuiflTe, fortalfis etiam de infulis, <\me, Linoniae praetenduntur. Tlinius de Eledridibus: va- nitatis certifllmnm documentnm: adeo^ "Jt quas earutn de~ ftgnent Graeci^ haud 'Vfnquam conjiitcrit. Saluae e con- trario nunc res funt, -vbi fitns locorum infulas continenti praetentas omnium oculis obiicit. Hic (uccina proueninnt, hic Elcdridcs fnnt. Pollquam Venedas fuis in locis conftituimus , quae gens , ¥nde orta fit , qnaercmus. Habet fnos Venetos Homerus in PaphJagonia (q). Prolixns in iis eft pro fua confueuidine Homerus tt ad Euftathinm ct ad Periegetcm. In qnibus id qnoque eft, veteres 'Ovev^eliay quinque iylla- bis pronuociatiaflTe , iuo tempore Bevfliay dici. Nihil dicam de his, quae de Venetis ad Padum iiiornm e Cap- padocia colonis referuntur. Nihil cnim facilius eft, quod Grotius prudenter monuit , quam vt in longe difl~itarum gentium nominibiis, fi forte aliquo fono congruant, deci- piamur. De his nofl:ris Venedis dicam. lornandes fic nit: ab vna exorti Jiirpe tria mnc nomina reddidere le- Tom. Vll. A a a neti , ii) U. B, 852, Schol. AroiU. ad Lib.IL v- 358. 36o DE VEKEBIS neti, Antcs, ScJaw. Leibnitiiis in mifcellnne^s Bcral^ nenfibus Antes et Vcndos eosdcm cflc opinatiis ert et folai' pronnnciatione differre , littera iv , ( vt pajfim fit ) nunc praepnjita, nnne omjja. In eo ego deliberandum cenfeo, propendet tamen in diueria animus. Sed qui poflfunt eiubdem ftirpis et Vencdae et Sclaui efle, qui toto gcnerc linguae discreparunt. Hartenoebiits Sclauonice fuiffe iocu- tos contendit, quod nrac Vinidi eo fcrmone vtantur. Ve- nim enim vero fi rem cxplorari ab ftirpe oportet, Ve- nedae nequaqunm Sclauonicc funt locuti. Nam illi qui adhuc in agro Luneburgico fuperfunt, raedii inter Gcrma- nos, adlciucrunt quidem quaedam Gcrmanica , fed totum adhuc lcrmonem frnteniami qualis olim fuit Lituanicum Curonicum conferuant , vt eorum lingua tantum differaS a .^lauonica, quantum Lufitanica ab Islandica et Romana a Graeca. Id alias pluribus oftendam, cum cognatas liry- guas inter fe conferam in tabnla , ad conftituendam po- pulorum Scythicorum neceflitudinem. Nunc rantum pre- ees fuidiffimas domini deique nolki ex lo Georgii Ec- cardi hiftoria ftudii Etymologici in teftimonium produ- cam. Caue fcopulum (v. Leib. CoII Ct. ecym.). Sunt in his plurima Germanica, quacdam Sclauonica , quod Ve- nedae inter eas gentes coiucruut, at manent adhuc vcfti- gia veteris linguae Scythicae , qnae non nifi ab antiquis- fima llirpc. Nifi qui dicere malit , ct Scythas ct Sar- matas) in vnum corpus confluxiife. Id vero iplum no- men ET EBJDAm FLVVIQ. ^6i men Venedarum indicare videtur. Num Venden liis , quas dixi linguis fignificat Jocietatem coUigere , quod ■, eru- fimilius efl: £rt//jLov', quam Matthaei Praetorii, qui quafi fanaitas , rerum dominos diCtos putauit. Sed Venedi in Hexapoli Lulatiae ob longum vfum linguae Sclauonicac magis adhuc degenerarunt. Venedas autem Sarmatici cor- poris non fuifle , etiam Cornelius Tacitus audiuerat : J^e^ nedi multum a moribus Sarmatarum traxerunt : nam quid- quid inter Peucinos Fennoscjue Jyluarum ac montium eri" gitur^ latrociniii pererranf. hi tamen inter Germanos po_ tius rejeruntur , quia ct domos figunt et Ju&a gejlant et pedum vju ac pernicitate gaudent , quae omnia diuerja Sarmatis Junt , in plaufiro equoque viuentibus. Aaa 2 D£ -6^. BE COmVCn LIBRO DE Cbun cku, j AVCTORE E X omni copia Sinicorum libronim pauci quidnm publica audoritate et kgibus imperii fic coinpro- bati fuerunt, ^t (ecundum eos iuucncus erudiatur, prouedi aetiite ftudiisque litterarum examinentur et pro portione cognitionis eorum (cientiaeque , dignitatum gra- dus confequantiir, denique, i/t quidquid ad morum difci- plinam , ad rempublicam adminiftrandam , conteri;plan- dam naturam , Yetuftifllmam rerum geftarum memoriam proponatur , ex iisdem diiudicari oporteat. Hos libros Miflionarii omnium ordinum percommode clajficos voci- tarunt , vt quondam ciues Romani cLiflici fuciunt didli, qui in prima clafle propter facultates fu:is cenfebannir , cum infra clajjem diceientur , fecundae ceterarumque ciues , qui minorem fummam aeris apud cenfores profiterenuir , pro- letarii et capite cenfi in extrema confiftcrent, aut potius nuUo loco haberentur.. Eum in modum, librorum Smi- corum quntuor clafles conftituere milii ■videor pofle , vt in prima fint Kiin. Kim , proprie , fila reCta in opere p'„m*ari j^^f.vA^rw , (kii Jiamefi, fignificat, vtGiv;', transuerfa Jila ^ feu Jubtewen. Inde illarum vocum notatio ad caelum re- lata fuit , vt kim dicantur Jlellae fixae , aufer et feptem- trio^ Chun ^ieu. ^S^j trio, feii latitudo afironomica : gvey econtrario, planetae, oriens et occidens^ feu longitudi ajlronomica. Rehita quo- que fuit ad alias res, ertque kim, norma ., ratin regula- que^ lecundum quam aliquid exigatur. lam caufta appa- ret, cur V kim^ quinque libri., et(\m{\fentateuchus nuu- Figura [2 ] cupentur, qui primum dignitatis gradum tenent atque hoc ordine recenfentiir. Primum eft Te kim deinde X« kim., [3] [4] poftea Xi kimt tum hy ki, et quinta loco Cbun ^iV?/ [5][6][7.] Altera in clafle fiint libri Su xu, feu quatuor libri et quafi ^s] Tetrateuchus. Tres, inquam , Confuciani , T« /?w , C/'z/w [9] ywn, et Lunjii: quarto loco fcripta Mem ^u, feu Mem [10. 11. 12] cii philofophi , qui annis ccntum et odo pofl; Confucii mortem natus efl (a) . Hi libri fic pauUo minori in di- gnitate funt , quam V kimy vt ceteroqui fint in liimma. iJcirco V kim et Su xu commiini nomine dicuntur ho kjm,. id eft, Jex Kim, Ceu Jex lihri clajfici (b) . Intra has duas clafles Piiilippus Coupletus et ex eadem Socie- rate cctcri omnes conftiterunt , praeter vnum Nicolaum 'Longibardum. Hic commotus teftimonio Michaelis Do- ftoris Sinici , fed , qui Chriftianum nomen profeflTus fuit (6*), non modo illos, quos dixiy libros, fed eorum quo- qu3 veteres interpretcs et philofophiam Sim ly et annales Tum kien clafficis inferuit. Antonius de S. Maria, Mis- fionariorum ex familia Francifci praefedus (d) , eosdem A a a 3 eadem (Oy Aiue A C. 372. (6; Vidcatur Phihppi Coupleti declaratio P;oi:- niialis ad Conrucium p. 15. (c) p. 259. inter epirt)las Leibnitiaiias loino II. ed Kortholti , vSi pro Tien kien legi opoitet Tum kien. (d ) Perperam^ ihi quoquc Ta civen Jing ly. 35+ DE CO^FFCn IIBRO eadem audoritiite eflc contendit , qiia fint antea a me commemorati libri. Coupletus, neque interpretes qui fue- Fi&ura 13 ii"t 5 reticuit , neque quae illa philofophia naturalis Sim Iv ta civen , quanta denique eorum omnium apud Sinos fit aucloritas, dillinuilauit, Nequc eo inficias, cum hi- P . Itoricorum multitudo exftet prope infinita , annales Tim kien , qui multis voluminibus omnium memoriam aeta- tum compleduntur , quorumue maxima pars ex officina [15] Cu chi in bibliotheca Rcgis Prulfiae Berolini eft repofita, ceteris chronicis fvma et exiftimatione eruditorum longe anteire. Itaque nihil me vetat , hoice libros , quod et ipfi publica audoritate funt confirmati, in clafle ponere, flttamen tantummodo in tertia. Proletarii denique nobis erunt quarta in clafle , cum priuati fint omnes et quafi fine cenfu. At lcfuitae cum claflkos tantummodo appel- lant ho kup, , feu Jex vohtmina , quae in prima clafle et in (ecunda recenfuimus , tum Sinorum iudicio , tum fuo quodam iure agunt. Vt in Romanorum ciuiiim claflibus cenfus grauis aeris, fic in hac controuerfia, antiquitas de- cernit. Recepti funt igitur omnes hi libri , at dignitate fortunaque diuerfa. Non potuerunt vel Nicolaus Longo- bardus, vei Antonius de S. Maria, vel Nauarreta, cetc- rique lefuitarum aduerCarii diflnteri, illam de natura com- mentationem , aufpiciis Tiim Jo Impcratoris , circiter A. C. 141 5 promulgatam fuiflfe. Interpretum Sinicorum, item vt audorum chronici Tum kien diuer^ie fuenint ae- tates , vniuerfi tamen , Sinis ipfis teftantibus , Confucio multo recentiores exftitcrunt. Itaquc lefuitae, cum hos vel a prilcorum Sinomm fentcntia, vel alioqui a vero ab- errafle dcprchcndant , non admittunt tamquam claificos , hoc Chun qieu. 3<5"5 hoc eft, quod culuis iicet fapienti homini, ab eorum opi- nionibns iid \etem monumenta prouocntionem fibi dari poftnlant. Vt li de Ariftotelis philofophia dilceptiitio oriatur, non modo Conimbricenfes , et Schoiafticos, fed etiam Porphyrium ceterosque interpretes Graecos, tametU prilcos, non huius faciemus, vbi in Ariftotele mens ereda €t fiibtilis omnia alia reperiet. At Sini peregrinos lio- mines vetera m.onumenta fuae gentis eorum arbitratu ex- plicare non ferent , non patientur. Ne iflhuc quidem in Ariftotele ftatui aequo animo pafli funt Schoiaflici, tii* men vis veritatis tempusque, quantum potuerint, non ob- fcurum eft. Irriius eft a Bonzio aduerfirio Matthaeus Rkrius , vt Zongobardus teftatur , econtrario collaudatus idcm eft a litteratiflimis inter Sinas viris, neque vnqnam lediitis fraudi fuit, ab omnium intcrprctum fententia dis- fenfifle, cum praefertim aliis in difciphnis demonftraffent, quantum Europaei et ingenio et fcientia Sinos antecellant. Sed tametfi hi libri claflici tanta in audoritate funt, at- tameu eorum non eadem (emper fuit ccmditio. Nam liber ChiW cicii fcro ad fummum gradum cft euecflus , cum quidam ex pliiloiophis, vt Tu ju, dignum iudicas- fent, qui ceteris Kifu aequipcretur , immo cum Lieu chi ki antiquiiate quoque cum X// kim comparaffet. Rece- ptus eft deniqiie in primam daflem fub dynaftia Sy Hia, quae vt ad R P. Stephanum Soucietum (e) relatum fuit, in Ken Sy ceterisque occidentalibus prouinciis extra moenia rcgnauit, cum dynaftia Sum orientales teneret, donec 5/ Wa circiter A. C. 1226. a Gingifiane debellata ct delera fuit. («; Objervations Altttbematiques 4ftronomi(iu*$ ett. Tomo M- p. %. 355 DE COKFrClI LIBRO fiiit. Sed omninrn libroriim clafTuoium tantiim fuigmenta h:ibemus. Nam Imperator Xi Hwm ty anno unte C. N. 213. omnes libros toto imperio, quod prim.us omui- um Imperatorum fummo domnvatu rcxit , moenikbqiie ad feptemtrioncm ct occidentcm cinxit, opere, nifi ad- hnc exllnret, ad pofleritatem incredibili, omnes igitur li- bros , praeter medicos et iuridicos mandato feuenlTimo conquifitos exufllt. Tanto eorum flagrauit odio , it anno poft, Htteratos homines coniplures viuos lub terra defo- deret, credo, quod fimul cum chartis iplam rerum fen- tentiarumque , quas in iisdem damnabnt , memoriam in his eruditis viris fuperftitcm , exllindam vellet , ne ali- quando ex ea Ubri ipfi ab obliuione atque intcritu "vindi- cari poffent. Annis pofl:, tribus et leptuaginta 1 u Ty ^ cx dynaflia }iia regnare coepit , Imperator , quenjad- modum Sini iudicarunt, ita fortiflamus rebui-que gertis cla- riflTimus, -vt fingulari fuit fiipientia. Is vndique toto im- perio fragmenta librorum maximo cum difcrimine occul- tata congeffit, partem etiam ex dccloivmi hcniinum me- moria requifiuit. 11'ius etiam fludio iterum digtrti en.en- datique funt prifci libri, et commentariis illuftrati: qui in- terpretes fub familia Hia , oninium , qui eos conlccuti funt, duces et antefignani fiierunt. Itcm igitur his in \\- bris euenit, quod Romae poft exufium ciuiH inter opti- mates et Marianam fa6:i(mcm bcllo Cnpitc^lium , Sibylli- nis carmjnibus accidit. Nam quacfitis Sam>o, Ilio, Ery- thris, pcr Africam quoque ac Siciliam et Italicas colonias Cumaeae Sibyllae cetcrarumque , fi quae fuerunt aline , car- mini- Chun qieu, 3^7 minibiis, datum faccrdotibus et corum magiftris negotium ell , quantum humuna ope pojjent , vera dijcernere (/). Vcreor autem, ne idem deinde Sinicis libris quoque ae- ciderit , quod Sibyllinis , quibus non modo ita integris, fed etiam vitiatis (ufpedisque poftta vfi funt Pvoniani, quamobrem a C. Tiberio Caelare accepimus f^) , quia muHa 'vana Juh nomine celebri ^culgabantur , Janxijje Au" gujium , quetn intra diem ad praetorem 'orbanum dejer- rentur ^ neque habere priuatim liceret. c_ _ Venio nunc ad Confucii Chun geu (peciatim rccen- fendum. Is liber hiftoriam multorum annorum com- pleditur. Enimuero neque de ea hiftoria , neque de toto Jibro dicere me pofle fentio , priusquam explica- tum a me fit , qui ftatus imperii Sinici et antea fue- rit , ct iliis temporibus , quae liber Chun qieu com- prehendit. Tres dynaftiae feu familiae Imperatoriae , quae in Sinis primae fuerunt, fibique fuccefferunt , maxi- ma feruntur fima, quod earum res partem in Xw kim, <— — partem in Chun cieu ceterisque libris clafficis traduntur : fed mnlto, vtopinor, maximc, quod ftatus imperii, qui tam fuit , a X/ Hoam Tr , quem fupra commemoraui , penitus fublatus, ncque \mquam, imminuta Imperatorum maieftate , reftitutus , immenfum fui defiderium , apud ob- ftinatos hbertatis recordatione animos, et nullam imperii, etiam multo fapientius, iuftius clementiusque et recundiftTi- ma ex merito gloria gerendi geftique felicitatem , extra illam libertatis conditionem, fitis aeque adfenfu ferentes, Tom.VIL Bbb reli- (/) Tacitus Annaliiim Lib. VI. Cap. iz. ^g} Tacitus ibidcm. 368 DE CONFVCII IIBRO rcliquit. Mirticulo fuTiile eft, potuiffe tantum impcriiim ruiniur» atque iutei-itum poft tot fecula tffugerc , in qua libri fint legum au *a» Giu Fra lang. At fcribae alituius hic cnor fuit, qucm Anciieas Mulkr non fuiTulit totum. Apparct, fcriptum fuiffc a Bcidiiuaco CH^i\._j *» ♦a»- TJcheu f'u fang ^ ie.Cbeu, (vt rccepto morc lcribimus, TJcheu) dynafliiic rcx, nomine f'!» yon. Chun qleu. 373 Chuin Dilatauit Japienter Fi °ura 22. " chiin et ponderauit vnius aiiusquc merita rr i fu Vam Imperatot' yam S • ke qui vicit et jubcgit "KanK dynafiiam imperii fccundam Xam. ,. i terrartt7n orbem ^ Jeu ., Imperium Si7ucum. Poftquam deinde narrauit, quemadmodum quindecim fra- tres huiusce J'u Ja?n et quadraginta ex Hi fim , feu fci [jj.] coniugis eius familia , regnis audi fuerint , ita deinceps fatus eft audor: Cio O^fi.ioruin dignitatumque cum adfignatis redi- [24] tibus {fummt) u quinque (^ pin ordines : eulh et tu terrarum (^adfignatarum fuerunt ) fan tres tem. fpecies. Cum, Eius qui Cum dicehatur ^ Heu {et eius) qui Heu dicebatur^ pe centuni ti. fkdia Sinica fuerunt^ 574 ^^ CONFFCU LIBRO P^, Ehis., qui Ve apeliabatur cie } /y. Jiadia Sinica fuerunt. Cii, Eius , qui Cu vocabatur, Na?i, et eiusj qui Nan appe/Jabatur , u } y 50 xe > ly. jladia Sinica fuerunt. Poflimus Cum vocare Regulum , Keu vero ethnarcham , P et fefe mutuo deuoranmt. mie. j So Numerando pe centmn nien annos kien, intra, lie Chun cieu% 375 Ue diflnbuta qve regiia viao penitiis cin. fidelia fuerunt. Chun 1 ,_ _ \ Libn Chun cieu cmi \ ^ chi J xi , aetate , 'kien jcilicct ^}[ > in hoc libro {commemoraicte) kim > chuen ? dignitates cum prouentibus ad pojleros hac" (chs S reditate propagatae qiim m Jumma Jhni J^ 1 pe I eulh \- 1 24 xe I fu J qve. regna. Qiicmadmocliim igitiir regiili et principes minores intra centum annos in fide ImpenUoris et ob(ec]nio perltiterunt , port autem eidem refragari atque inter fe fimultates fere- re, et foedera paflim ferire coeperunt, ita T Tam Im- perator ex familia Cheu nonus, qui 228 annis poll; con- ditam fmiiliam imperio potitus eft, tum ob mentis debi- litatem, tum, quod regulis, qui ad comitia Yeniebant , ni- Tom. Vll. C c c imium 3733- - 7- [•59.] 627. - 7- [70.] 620. - 14. [71-: 6q6. - 7- C7^a 599- - 19. [73] 580. - 8. [7+a 572. - 15. [750 557. - 26. [7^] 531. - 6. [77-} 525. - 14. [7^-] 511. - — [79.3 In eius 31. anno Chun qieu definit. C c c 3 rv. SSo DE CONFySlI LIBRO. TabuU XVr. Figuia 80. [81.J [82] [83-3 [84] [85.] [86.] C87I [88] [89.] [$0] [9«3 l!93.> [95] [96.] TabulaXVlI Figura I. IV. Gvey, cuius reguli omncs Cum. Huon ciim. Eius 13. annus congruit cum primo anno Tn aim in Ln : i ^(9 cuniy - - 518. - 28. [p.] cA _ Cy^/ra cum, - - 490. - — [lo] <_ - Eius in an^ 10. Cbun qieu definit. VI. Chhn, Reguli dicfli C7mt. C"] <_ — Chuam cum. Eius 22. annus congruit cum i. anno [^2.3 Tn cum^ reguli in Z«. 43. quo mortuus eft, , cum A. aute C. N. 701. Ven cum^ Mo cwn, Siam cumy < » _ Chidi cimiy V _ 111 cum, N _ Kien cum^ 700, annos i 28. [13-] 672. - 45. [h] 627. - 23- [i5-3 594. - 20. [16] 584. - 14. [^7.] 570, - 5- [18.] 565. - 49. [19-] Tim sSa DE CONFVCII LXBRO Tab. XVII, „ ' Fisma20. 1 VJl CW/l , - - 529. - l6. [21.] Hien am, - - 513. - 13- [22.] X«« cum, - - 500. - — Iii eiiis £0. anno dcfmit Cbim cjcu. [23.] VII. CaO; cuius reguli Cum. [24.] Hmn cum. Eius annus i^. congruit cum anno pri- N _ V mo Tn cum dynaftac in L//: annus eiubdem 55. quo mortuus eft, cuni anno ante C. N. 702, I25.J Gbuam cuin, ab A. antc C. N 701. annos 40. [26.] Cbao cum, - 661. 9. [27.] Cum cuin , - 6S2. - 35. [23.] Ven cum., - ^17. - 23. [29-] Shen cu?n, - 594- - 17. .£30]. Chim cum ., - 575- - 23- [31.] Vu cum., - 554-. - 27. [32.] Vim cum ., - 527. 4, [33-] Tdo cum y - 523. 9. [34-] "Kim cum., - 514. 5- [35-] Tn cum , m. <■ 509. 4, [3«.] CiiJi cum, A - 505. 4. [37.1 Tajn cujji, - 501. — Eius anni 21. dcfuiit libci Cbun cieu. VIII. Ch nn geii. 383 VIII. Chinj cuius regnii cum didi fueie, Huon aim. Eius annus «3. congiuit cum priino anno Tn cinn reguli in hu : annus 38. quo anno eft mortuus, cum A. ante C. N. 707. Ly cuni ^ ab A. ante C. N. 706. annos 7. c _ - Chuam cum^ Siven cum, Mo cum, Cum cum, Lim cwu, Chim cum, Gai cum, dynoftia Chin , pofl: 35. Gai cum annum aut potius eo ipfo mie , dAeta ejl. 529. - 24. 505. - 4. N _ Min cum. - - 501. - — In eius 21. anno definit in Chun qicu. cx _ IX. Ki. Eius dynaftiae reguli didli Cum. Vu cum. Eius 29. annus congruit cum auno pri- mo T/2 cum reguli in l.u: annus 47. quo obiit, conuenit cum A. ante C. N. 704. Tom.Vll. Ddd Cim 699. 7- 692. - 45. 647. - j6. 631. - 18. «^13. - 15. 598. - 30- 558. - 35- Hoei cum eam reftituit Hoai cum, Tab xvir. Figuiit 38. [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] i:47j [4S] [49] [SO.] [51] [52.] 384. DE CONFFCn IIBRO Tabuiaxvii Cim ctm . ab A. ante C, N. 703. annos a-a» Fjgur.i 53. _ ' ' '^ >» [54] Cum cum^ - - <58o. - 8, [55.] Hoei ciim^ - - (J72. - 1 3. [s<5] Qhim cum^ - - 6$\, - lo. A fjy.] VLuon cum^ - - 636. - 70.. [58] Hiao cum, - - 566. - 17. [59] i^^^^ ^''w, - - 549. - 14. [;6o.] Piw^ t7<7«, - » 535-- 18, [61.] Tao cum, - - 517, - 12. [62.3 Hi ciim, - ~ 505. - 19. [■fijj Mi?? cimy - - 48 (J. - — Eiiis m aono 5. definit Cbiin qicu, [64] X. 5?/^. Eios dynafliac rcgiili dicfti (iint Cum. [65] M.0 cum. Sed ipfo in Caritiicio {m) vocatur HOy £66] vcl Ho. Qiiem vero errorcm -vel typi , vel potiiis ciianidae vcLcri in cortice litterae effc opi- nor : nann piuiUo poil ctiam in Confticio Mo cuni reperio. Eins 7. anniis congruit cum an- no primo T« cwn in Z«: Annus eiusdem po- ftrcmus cum A. ante C. N. 720. [;67 j ,_ ^ cum^ ab A. ante C. N. 719. annos 10. Chuam ) - „ [68.] ^ cum, - - 709- - 18. M)n (m) Lib. II. p 13. Chun qieu. 38S Min am, - - (?pi. - 10, occifiis efl:. Hiion cim^ - - 681.-31. Siam am, - - 6^0. ^ 8. Ab hoc 8. ;mno nullam interpres Sinicus men- tionem ftcit regulorum Sum , neque caufTam , vt folet, in tiibulis pofuit. Chim vitmj Chao cum, occifus eft. Ven ciim, Cum cMHy Vim cum^ Tven cum, Kim cum, C- _ lUius ia anno 35. definit Cbun qieu. XI. Cin , eius dynaftiae reguli didi funt Cum. Ven cum. Eius 44. annus congruit cum anno pri- mo Tn cum in Lu: 50. qui vltimus eius fiiit, cum A. ante C. N. ^16. Cho qUy Vu cum^ Te cumj Siven cm, D d d a Chim Tabnls XVll Figuia 69. [70.] ■ [7^0 636. - 17 619. 9 610. - 22 588. - 13 575. ■ - 44- 531. ■ ■ 15. 516. - — C73.1 [743 [75] [76] [77.] £783 [79-] [80.] 715. annos 12. [81.3 703. - 6' C82.) die 27 cycli dierum JexagenariL Ngo Ego ge proje&us Jum Fam. in Fam. In difpofitione totius opcris , nullum cycli vel an- norum vcl menfuim vedigium repcritur, quod cum etiam in ^n ) Lib. 111. p. 1. {0) Addit commeii atoi' ta /u , feu cx inaio- ribus Hiagiftratibus cum fuiffc, (fj) Commciuaior ; fam dynaftiae Lhim •ppidum fuit. Chim cku. 391 in cetcrib Kiin obferiiaueriin , reticere me propter vete- rcm Sinici populi chronolc^giam non oportet. Ncque hic fccundum Imperatorum . led fecundum regulorum m JJl annos digertus eft libcr. Et quamqunm complures 07w, feu reguli aec]uaU dignitate fucrunt, tamen quotiescumque fine dynaftiae nomine Cwn dicitur, regulum Lu dici ap- paret. Hoc elt , quod dixi , me mouere , Yt crtdam , auclorem primum huius libri ceterosque deinccps, ita \t iplum Confucium ex hoc regno fuiffe ortos atque in eo- dcm mag^ltnuus geiliffe. Impcratoris cuiusdam nomen nusquam toto in Hbro occurrit, Si qua vel mortis eius vei aUa caufla, Imperatoris mentio incidat, tantum fine nomine certo Tim J^am., Caeli vel Caekjlis Kex dicitur^Figuia 113. quod modeltiae cauffi ficflum videtur, vt adhuc apud Si- nos fieri a(I()let. Cum autem de eo fermo incidit, pe- culiaria fiepenumeio vocabula adhibentiir. SoU Impera- tores dicuntur puin , cum inortui fuerint. Vt ad 15. annum Kim cTun reguU in hu , cum de rnorte Hudn Viun Impcrarorib refcrrur, ita proditum clT: iq : jan rve , je r/, tien vam pum : tertio ?//enfe , re -vi jeu 32. die [114] crcli fexagena>ii, CaelijVis K^^x obiit. De ceterorum. re- gulorujn morte quoties prooitur, alia et littera et vox e(l. Nam regtili dicuntur hiun, qui magiflratus minores geffe- ["J-] rant , q/ fcilicet hoc item vt ah'a eiusmodi , ad prifcas i^^^li gentis cacremonias pertinet , ciim is honor Imperatori- bus haberetur, vt de iis aUter loquerentur, quam vel de ceterii in dignitate viris, vel de priuatis. TnurVJI. Eee Anni (,5; Liti. VJ. p. 8, 392 D£ COmVClI LIBRO Anni dcinde regiim Lh, f\ non ita panci flnt, ite- ram in Kam , ptiores , chum , mcdlos et hia , pojlremos diuiduntur , annorum numeiis et recenfione , non inter- rupta ferie procedentibu&, Interpres Sinns mea in edi- tione minoribus litteris et Imperatorum dynallarumque nomina et fingulorum annos et anni eiusdem ex cyclo (exagenario appellationem fubiecit. Quamuis mea in edi- tionc numeri paflim vitiofe fint exarati , tamen errores ex fuccefiionibus perpetuis f-icile poffuiit animaducrti. Hinc cognouimus, primum annum Tn eum in L//, cum 49.. Tab. XVII. cA A Figuia ii7. anuo Tim Ikm Imp?ratoris er cum 55 anno Cycli XXXIIL componendum effe ,. vndc in calcnlo annns ante C. N^ 722. exiit, qiieai tamquam verum recipimus, licct chro- nologia Sinica nondum fitis excuffa fit. Nam cum cy- clus annorum et menfiura fex:jgenarius Confucii aetatc fue- rit nullus, quidquid aliquot poft feculis eruditi chronologi- (iib dynaftia Hia^ ex rcgnm liiccetlione , dierum cycloy. eclipfibus , forte ct tabulariis publicis in tanta monumen- torum clade 5. hic effeccrunt in cyclo annorum fiipcrioris aeui, non maiorem firniitatcm habere potcft, quam \ci Fabii Pidoris, tcI Catonis, vel Tercntii Varronis in A. V. C. regibus , conliilibiis , practoribus difponendis im- penfa fedulo opera. Tametfi cnim in his chronologiac Romanae triumuiris , diuerfitas, quae intcr eos interccdit et aliorum diffenfio, falU eorum vnumquemquc potuiffey non planc dcmonflraret , tiimen infinita (iint ab eruditis- noflra memoria fjpcriorique (eculo rctecla et propofita , ex quibus eorum errores redarguantur. Vnusquisquc an- mis cuiuscumque rcguli a primo die veris recenlctur, fo:- lidus- Chiin qieu, 393 Kdnsque ad eundem pcrtinet, quacumqne anni parte de- ccfferit. Chao aim reguli in Lii initia ponnntur in vere, cum initio nnni nntc C. N. 54.1. Et iic Confaciub ipfe c_ A - _ / ^ ^ (r): ClHin, -vam chm rie , Ciun cle gvey Teye, Impe- rutorio primo menfe , Regulus mijpkci.tus ejl regnum. At- tamen Confucius (i) (iiperiori libro, de Siam cum patre .' huius Chao cum , dixerat : Tum , xe j-ve , qvei jcu qarfi ^^^ j^^^^ ngo kiun Siam cum. Hjcme, decimo tmvfe, qvei jcL^i^m^ ns. Jiue 10. die cycli Jexagcnarii Jtpultus eji wijier vencrabi- lis reguhis i.qusm proceres et populus venerati Junt) Siam cwn. Hoc jplum in tota Chronologia Philippi Coupleti - ab vnoquoque hiud aegre animaduerti poterit. Nelcio an hoc ieculo aliquid in eo fit mutatum , aut an haccce ratio non ex more recepta fiierit a chronologis, (ed com- penJii caudli ant per inaducrtcntiam. Nam cum calen- darium A. 1723. iam effet excufum typis in^criptumque Ta Cim Kam Hi lo xe eulh nien , Magnae dynafliae Cim Kam Hi Impcratoris 62 anno, Imperatore eo anno defunin.o , ijieo in exemplari pcnicillo adfcriptum fuit /0 o xe eulh nien ,, cie gvry Tum chim yven nien , 6z anno [up.] fcilicct Kum Hi Imperatoris, ineuntis imperii lum Chim primo anno. Calcndarium proximi 1724-. anni iam ty- pis exprimit eiusdem Tum chim fecundum annum. Annis illum in modum ordinatis , vnumquemque audlv^^res libri in quatuor ttmpciVatcs, verem, acjlatem, au- tumnum et hiemem dilpefcucrunt , quae tempora vbiquQ \* e e 2 primo ;rj Lib.AXlV. p. i. i^s j LiD. XXIll, p. 10. 394 ^E CONFVCII LIBRO primo loco ponuntur. Sic Thucydides annos belli Pelo- ponenfKici fecundum aeliiuem atque hicmem diihibuit, y/- yQa-wloJi ^' ^^"^S ^^ eKa^a eyiyvslo Ka\a S-eQoq ^ '^(^uixSua. Nihil igitur vero eft fimilius , qunm Chun qieu^ id eft, Jh'em et autumnwn hbrum didum fuiffe a duabus ex his tempellatibus , Tt , fi Thucydidis hiftoria infcriberetur S-sijog k, 'yj^.\xm. Nam quac Vhilippus Cou- pletus de hoc nomine (enfit ( ? ) , ea funt quidem mihi , wg iv di\.ny\x.arr\.. Titulum oprris fui , inquit, petiuit ah luere et autumno , prnpterea quod cum virtute japientiaque Frineipis ejjlorejoat amoenijjimi veris injlar respuhliea , iti e contrario cum eiusdem jlultitia et inrprobitute , ceu au- tumnaJi caelo frondes ac Jiores diffluere totam , marcefcere et confenefcenfis inftar , tandem emori necpjje ejl. Illa quidem argute eleganterque dida fi cui magis allube(cent, quim mca haec opinio, non pugnabo: nnm mea me de- ledat funplicitas. Menfes deinde (ubiccli (unt (ingnlis au- (ftumnitatibus quaterni , fic vcro , vt numcri men(iiim \sque ad duodecimum procedant, neque ex cyclo fexagenario de- fignentur. Dicuntur chim yve , eulh yve , fun yve et xe FigwA 120. yve , dccinms menfis , deinde xe ycu ye yve ^ decimus et primus menfis et xe yeu eulh yve , decimus atque feiun- dus menfis. Primus veris menfis fcmpcr nuncupatur 1%n [i2i.] ^.jyi^jj y^,^ ^ Imperatorius primus mevfis. At fi forte ille non cxftet , alter fimilitcr 1'am euib yve , Imperatorius fecundus menfis , et fi hic quoque dcfit , tcrtius vocitatur Vam fan yve. Hoc cnim Imperatorum honori tributuni <_ ^A fuit, vt qui Tien Vam, Caeli reges vidcrentur cfTc. Bis occur- (^t) Iii procmiali ikcl.irationc p. 19, r_ Chiin cicn. 395 occurrit Tun yve, intercalaris mcnfis . A. 'x-i. cycli XXXV. '^*''- ^^"- *^ . l'igui'a 122, hiemc, poit decimuni menicm tt A. 48. cycii XXXVIL etiam hieme. Sed neque autumuitLites illiie , neque mcn-, (cs ponuntur, nifi fi quid raemoriii dii;num anuotad opor- tucrit. Sunt quidem nonnumqnam et menfes et men- fium quoqae dies appofiti , vacuo deinde Ipatio , led hoc lacunam indicat, quam in hiice fiagmentis non (iint aufi fiipplcre interpretes. Hac de re fic Martinus Martinius m Hifioria Sinica {ti): Sed eoriini Jeruandi mirabilem mO' dum reperio. Aiunt enim quandam anitm Ubrorum aman- tem., Confutii Mcntiique ., nec non alioiuin nonmilhrum li' bros diuifis puginis ad domus parietes agglutinajje. Non~ d:im ea tempe/Iate pjpyrus erat in vfu., fed arborum cor- ticibus ac foliis animi decreta maiidabant ^ vt nunc Indi folent. Et qumiam erant e materia folida candidaque calce obliti , mn difficulter latuere ^ quiad exJlmLta Cina Jlrpe , ab baeredibus vetulae funt ex prompti fattiqm iu- ris p'{'>Iici. Qiiamquam aliqmt litterae vel tempus vel corticis huii finitis culpa kgentium oculis fe fubduxerant, prafertim in Confucio. Quas litteras licet., qualcs fue- rint aut efe debeant ., non ignorent , cum tamen illius li- bros recudunt , eas inferere mn audent , fed notant in niirgine. Tanta enioi ejl Confucii librorum aeliimatio, vt aliquid in iis eHaiii aperte mutilatuin emendare ncjas pH^ent. Litteras vetuftate euanidas \cl putredine quas fci- ant Sini quales fuerint, tamen non audere reponere, noii ita, vt rcs fe habet, pronunciatum efi , verum vt locus daretur argutae (ententiolae , qoae iis verbis fubiicitur, et a nobis, vtpote quac huc non pertineat, practcrmiflli efl:. R e e 3 Qnie Cu) Lib VI, p, 240. ed, Auuk!. 1659, 39 Tn Cwn , fm , Tn ReguU in Lu ^^6"« i- Cuin 3 "Kam. priini anni. Tven Trimus C+^ F f f 2 nien. (a) Apud A. Gellium Lib. IV. Cap, i8. 4.oa DE CONFVCn IIBRO nien. amms. Figuia 5. C/.nin. f ere. [5.] Vatn Imperatoris chitn primus jn:e. 7nenfis. Nihil ad hunc menfem annot;uum eft. [Yj San Tertius jnenfis. [s.j Cwn Regulus y fdlicet in Lu, iiomine Tn et Chu djnajliae reguliK T fii iurarunt feu foedus icerunt mie. in Mie. Fu, hoc accentu fcribendum monet Commen- tarius Sinicus , cum alioqui etiam fii pronuncie- tur. Ex eodem teneo, Mie, rcgioncm fuifle in Lu fitam. luraic autcm iblcbant prilci mor- talcs in Sinis , epoto animantis languine : ani- mantem defodiebant et (anguine lcribebant iura- menti formuhun in cortice. [9] Rid Aejlate rio] u Ouintus jyve, menfis. ^^ Chint «r— _ Chun qieu. 403 Tab XVIII. Chim } ■ Chim pe, Jeu Chim regni Dux pe 3 ke 1 tuon i. occupauit pcirticuJam yfi j Ten. terrae Jeu regionis Ten. Scholiafta Sinus , Ten monet hoc accentu le- gendum efTe, regionemque in regno Chim Cieu. Autumno. [12.3 Cie S ptimus [13.] yve. menfis. Tien Vam ?• Imperatoris (fcilicet, Tim Jam^ nomine) J^l J minijler > qui i hiven \ ) lay venit qvey et recepit fe JJoei , ad Hoei, Cum Reguli Tn Cum, in Lu chiim alterum ex tribus cu > chi S filium 1 Fwn. in Fum. Fffs c7i 404 DE CONFFCII UBRO. Cai biven , proprie fignificat , gubernaiorem feu praefeCtwn magni noihinis , \idctiirquc hic tiiulus honoris irmgiftratui cuidain tributus fuiffe. Ad Fiim fcholiafta addit : J^ IJ}^ /7" ^^ Fim , fciin fum fwn fan. Funi, fuit pars Fibn regionis rchellis. Tab XVI ri. figuia 15. kicu Noims yve. nienfis. [16.] kie Etiani Siiin Swn, reguU gin miiiijler riiiin yli i mrault Sicu. et Sicu regulus. Scholiaftii cxplicat: Lu , Siiin , Sieu , Jan ^cv, cTiin gvcj mim. Lu, Swn ct Sicu , tria re- gna , inter fe foedus icerunt. [17] Tiiin Hicme. [18.] xe JCU 1 y (hndccinms eulh J j've. menfis. [19] Ci pc ( P" ph f<^^h 9^ djnajliae Bux lay joediis icerunt fiu Tani. in Tani. Scholiarc.i : Tam, regio m Lu. Kieu Nonus jve. menfis. Kl VraefeCtus ki, (lafu., fiiifle Scholiafta monet) nomine Lj fiu £32.] iaj ^'enit '^'fi l j. rr^^ j y vt Tm duceret vxorem. mu. j Scholiafta docet in Lj' fu , fecundum chara- derem fiu pronunciari oportere : nam etiam teii efFerri potcft. Tilm. Hieme. r -j Xe Decimus q^] yve. vienfis. ,. r ?e ki (reguli Lu coniux, vt Scholiafta monet) Tom. Vll. G g g ^vel [35.] 40 8 D£ CONFVCII LIBRO ^'J^^ i recepit Je Ki ad Ki praefe&um. Addit Scholiiifta : %^^ ^/f ^^ ^ lie fiufo Tm cbe ^ fidit onmtum, (ncfcio quem,) 7nuliebrem quem Tm habuit. Videtur caeremo- nia indicari , qua regina aut defpondit virginem ct elocauit, aut nouis nuptis honorem exhibuit. Tab. XVIII. v-, ■) Figma36, ' C M/« Lj ftu , 111 Ki digwtate pe Dux ^'" l et djnafta KiU qu S 7nim ) ffj^^iij iniuerunt ju S -^ o « Mie in Mie. Interpres : Mie p ^ kiu je. Mie eft in dy- naftia Kiu, 'vilia moenibus circuvidata. C37] X^ -) [. duodecimus s 7nenfis. [38] die 5 2 . cjcli fexa^enarii. ry Fu gin C» Cbim qieu. 40^ ^_^' i qii xi, (Jecundus natu Jilius) hum. mortuus ejl. Scholiafta: Cu xi , ^^l^\/i^ Chum qu yh fiJius natu jmindus fuit. Chhn. Djnafiiae Chim, '^ptuf^"" gin populus fa vicit Gvey, reguJum G^vey. San Tertius U^^ nien. anmis reguJi Tn cum, in JJt. Chm. Vere. [42.] Vam Imperatorius [43-] euJh Jecundus y-ce. menjis. r., i Jexto die cycli Jexagenarii. Ge JoJis yeu Juit xe cJn. r rp ,■ Tab XIX, jan iertnis Figuia i. ecJipJs. Tertius yoe. menjis. G g g 2 Kcm 410 DE CONFVCll LIBRO 47. die cycli fexagenarii dierum ^^' > Imperator, fc. Vim Vam, Rex ^ obiit. Aejlate. Qiiartus jfienfis. 2 8 . die cjcli fexa^enariL Tiin xiy qo. 7nortuus ejl. <— _ Interpres : Tien cu ta fu. hnperatoris inan- dannus ex maioribus magijlratibus. [8.] Ci^cu. Autumno. Tabula XIX. Figuia 2. Km \ fio [ l [3] Tien Vhm J [4.] pum. Hia. C5.] Sii [6.3 yve. Sin ? mao. s t70 Tiin xi, \ Ju xi djnafta, qui ., (tefte Scholiafta ,) ^^«i Imperatorem , Ta fu-, fuit , [9.] ^« 1 xi \- lay vcnit , kieu vt Jeu peteret , feu exigeret fii. ffuptus ad funus. Forte Imperatoiiiim, Nondiim enim vncauit interpretis commentariura hoc loco excutcrc. [to] Pa O^tauus jve. mcnfis. Kem Chwi qleu. 411 Kem') r r r •■ Tabiik XIX. _^ C 17. d:e cych jexagaMni Figurau. X lil j Sim Sum, dj nojliae [12.] Cum regulus H» Ho, W9;«m^ op. mortuus ejl. Tum. Hieme. Cn-] Xe ^ ■ [1+] jeii [ duodeiimus eulh 3 jn)e. menfis. Ci Ci bs-1 heu ethmrcha CZ?i/7/ et dynapae Chim pe Dux mim ) r j . ■ ^ y foedus inierunt Ju S -^ Xc } . ^ y in Xe muen. mucn ^ < A CommentnriuS': regionem in rcgno Ci , fuifle dcclarat. ^, > die 20. cycli fexagcnarii ^^^-^ qam fepultus ejl [i^] fum fum djnajiiae regulus Ggg 3 Mo 412 DE CONFVCII IIBRO Mo cfim Mo iwii. Is ipfe , qui paullo ante dicebatur alio chara- dlere Ho cim. Chun qkii kiven chi eulh , Jcu Jecundus Jibellus. Tabula XIX;. Figura i8. ' Tn Cu/ji ^ Tn Cum, reguli in Lu chum. media actas. M Su Qitartus nien. annus, . [20] c_ Cbun , Vere, [21.] l Itm Imperatoris eulh jccundus jve. menfis. C"] Kiit T)ynajliae Kili gin minijler fa Ki 'vicit Ki regulum ciu occupauitque Meu lcu. 1 i Meu leu Scholiafta : je , ku Yillam in rcgno Ki fuiflc refert. Fii Chiin (ileii. 413 Vu 1 1- T r .. '^■itula XIX, Xin S 45- ^«^ '->'" y^^-Y^^"^»^'"" F.i>ura23. Gvey Gvej regulum [wmine, Huon Cfm) [24] Cbeu hiu Chm hiu xi ^ occidt f ki qui Idun partes fuas perfe&e impleuerat buon et cofiferuauerat (popu/um) Interpres tradit, eum fuifle Gvej> cum ^ii, Gvey reguli dynafam. Hia Aejlate [25.] Cum Keguhis in "Lii, (Tn Cum) [26.] kie et Sum Cum reguhis In Sum, {Cbuam cum, nomine) ^ i firn caenmoniis confiietis conuenerunt ju S -^ Cim. in Cim. Scholiiifta : Cim , viJla in dynaflia Gvey. Sum ( Sum dynajliae reguhis, (nomiiie, Cbuam [a?,] Cum , >) Cum ) Chin ( Chin dynajlias etnarcba , (nomine, Huon Heu , 3 Cum) Ci 414- D^ CONFVCIl LIBRO Ci 1 Ci djnapae ?ninjjler , i?w?!!ine Si^'en , quo 110- gin vi mine etia!n reguhis ipfe dicebatnr) Gvey 2 ^t Cvej dynajliae niimfter ( ilk , Cbeu /jiu , gin S ^^^^^^ /(/>/*« noininauerat) ja Juperarunt Qhiiu. Chiin reguliim. Tabula XIX. Q- AufUinUO. Fjgura 28. -' >, s Jhi. Maiidarinus facius efl. [30.] lioei CongreJJi Junt ^^^J" i Sum reguhis', Ctim ^ > Chin ethnarcha, Hcu S -'/ y Ci dynalliae mmifter , gin <^ - ^ ^ J ^ Gvev } n ' j n- ■ -n , " ^ Gvey dynajliae ?mniner^ gln S -^ ^ J J •> fa et jiiperarunt Chiin. Chim reguhun. [32] Gvcj } Kicu Nonus jve. menfis. ^^ Gvcj djnajliae minijler xa Chun qku. xa 1 ^'if''^ {. damnauH Cbcu hiu hiu I ju s in Vo Gvey dynajliae minijler 415 Scholi;\fta: Po, regio in djnajlia Chiiu Fum Hicme. Xe ^ jeu ^ duodecimus eulh J j-ve. menfis. Gvey > gin S Ue firmauit et Jlabiliuit Cin. Cin dynajliam. u Qitintus nien. anmis. Chun. Vere. Cuin Regulus Lu, (Tn Cum) qvon ^ yii \ diligenter injpexit pijces , Jeu pijcaturam Tam. in Tam. Scholmfta ; Tam, regio in Jji. Tom.Vll. Hhh Tabula XIX. Figuia 33. [34-: [35-] [36.] [37-: C38.] Hiat 4i(J DE CONFFCII LIBKO TaV.uTaXlX. ,_. Figiiia 39. U/a. Aejtate. [40.] ^^ Qj^ "'^^^^ yve. tnenfis. [41 •] qam Jepidtus ejl Gvey djmajliae Gvey reguhis Huon ;■ ^\ ^- > Huon cufn. Luiu. > [42.3 Cieu. Jntiinmo. [43.} Gr^/ Gy^ dyn flpiia Lham co Sclioliafta: Cham co vUia in dynajlla Chiin, 'labulaXIX. "^ ^ Fisuias4. LO SeXtUS nkn. annus, CssO Chim. Vere. G6.] Chiin Ri^uli Chlm ^in mitn/hT lay 'uenit Xu 7 . ^- piin 5) [57] Hia, Aeflate. Tabula XX. Tr r\ • , F-gur» I. ^ ^initUS yve. 7mnfis. ^ S^. die cych Jexagenarii. (Ij.] C«/;/ Reguhs in Lu hori amicc congrejjus ejl Ci Heu, tmin jn j. in T. Scholiafta; T re^io djnajliae Ci cum etnarcha in Ci^ foedus inierunt ^ieif Chitn cjeu. 41 P sjeu. Aunimno. ''^J^^ cie Scptimus . [5] j^i? menfis. Nihil annotatum eft. Twn Hieme C^] 5?//^« Snm rcgiiU t7] ^7« 7mmjler m occiipauU ^ 0/91?;« i'o. cl J Scholiafta: Cham co , 'vWa in djnajlia Chiin. cie Septimus {■8.3 nien. miniis. ^ < _ Chiin. fere. \s>l E".3 Intcr» 420 DE coKrycii Limo. Interpres fcribit , fuifie hanc xo ki ~^w\ V' ^ Jororem natu mimrcm , reginae Ve ki de qua itcm, \'t de hoc Ki, fupra didum e(l. < A < A T»buh XX. j^ff^ Bynaliiae Jem Figura 12. "^ •' heii etnarcha qo. mortims ejl. Ui3-] Wa. Aejlate. [14 ] Chim Moenia diicla irl renouata Junt Chum Kieu Interpres: Chum kicu, i'i//a in regvo Lii. i in Chum kicu. [15-] V^^ ? Ci ethnarchae heu ) Ju Mandarinus ki ty nien lay venit Vim. in Vim [16.] Cif«. Autumno. [-j.^-| Cum Rcgu/us in Lii fa vicit Chfi. dxnajlam Cbn. [iS.] Tum. Hieme. Tien Chun qieu* 421 (_ -j Tabula. XX. -^'- V Imperatoris ^ Vani 3 J;^ mimjler fan ? A " ^ -^ \ > Ftf/i jt)^ praejeaus ( r (' ?im. in ?im. Interpres: FanTe, tcrra Jub ditione Imperatoris Sio Sio djnajia [aa] > 7 F^/// i T. - L vicit Fan Fe praefe&um pe f qu Cu djnafla kieu } • / - ^ V m kieu y qvei, fe rccepit. [21.3 Chun i :ieu klven chi Jan ,feu tertius iibellus Tn Cum l s \ _ Tn cum , re£;uli in Jjt hia pa extrema Ociauus aetas. nim. anmis^ [22] Cbiin 4^2 DE CQNFFCII LIERO Tabula XX. Figura 23. Cb'm. Vere. M Sum / Cum } ) Sum regnhis 1 heii i et Gvey etnarcha. yil } Jil s fim caeremoniis comenerunt cA in Cbui. Iiuerpres: Cbui, regio m regno Gxey La$j San Tcrtius yve. meiifis. 1 0 ' \- Chiin etbnarehae i M.and^rinus [260 Chim pe Tven T-ven nomine Uiy qvey rvenit et recepit Je I^am. in Fam. I nterpres: Fafn viUa In Cbim [27] Khn A yn ISIgo i 27. die Cycli Jcxagenarii. Ego ge Fam. profectus Junt in {eandcm vlllam F qo. mortuus ejl, Kieu Nomis ^'^^'^^ nien. annus. Chun. Vere, ^+9-] ^.'- > [50.1 ^l^^ Y Imperatoris Vam y (ii mimjler ^!^'" l nomim Nan ki h y Jay venit. Tim. in Vim.- San Tertius ^^''^ jve. fnenjis. ^. y die 10. (ycli Jexagenarn Ta Mafna [53.] Tu pluuia 425 DE COKFVCn IIBRQ Cbun qieiu fwe et mx. • T»bu1a XX. jj^-^ m^ Fi£Uia 54. qo. mortiius efl. Interpres ; H/V , reguH in Lu , t^ fu. [sj.] Hia. Aejlate. [56-] I Chim Moenia ducta funt Juhm. circa ham Interpres: ham ^ villa in Lu. [57-3 Cieu. Autumno. [58.] Cie Septiimis yve. 7nenfis. Nihil additur. [59-] Tum. Hieme. E60.] Cum Regulus Lu hoei 1 amice congrejfus ejl .6 lO y-niimnt AcaJ .Jcw7^:Torfi^]I.Tab . iT.v.i^g . ^fl^.-Jl. ^ 3r B e p ^o c> Cimn7i^nt AcaJ.Sciai:Ti^ifiMr.Tab. H.p.qi^ . 1 r ^ p x6 Ji^:J2. E 7X mntAc.icL- Jc:Toin.riL'Ial'. YIL.y. 115 CommentAcad.Jc:Toin.rKTal: W.y.ll5 . \'''27f2etThJx-a .JS2. . J^..-3.^ JV" ^^^ Cof}i?ne77t^Lai/Jc.Toi?i. WTai.Hrp .loS. s T^abir Cjni^nt. Acad. Jc . Tjiti . VJL. Tab JJT.p . -171 , 'onUTtt. A.-a.t .«■.- . Tinn . VJL . TA XtC.p . -2. 7J Tiq.A. Tu.Ji 'o77i?miitAj:ad. Sc.To7?i.\ir.T(ihJIK.p . i"p. X loJuuientA^ad. Sc.Ti^iiim.TahM.p. -zlj. 3!< •^-^- if-A : \i7/iiti^/i^. ^•.ijj^.ra/n . MT.T.ibllY. f.iiS.i '""'""•"'■-^r.,./,j-,',TM„. ,2r.T„/,_ K,:,,. .^zj. 'tnwnt. ^^,;r,/.Sr.Tc'/',. m. T,;/,. .1/;. (%.^ 2- (JZf^^ ^^^ '«-^. 1# _^ > 1^./ J S^^^f££^££^^^w^^ i^,:rai. m. l^ s X. 7. fm i 4£i 5( 4^ ^A □ a a Jc f A fi 0.6 -ti nk t^^Mo,i. ,rc. ra„i /-wriiA xirv^c -t t /L txn rrn /r\ m iii. ia 4^' k^ = E trn tfl. ■fcUl •J-L ^' a X Mf a o o nfl i£ v/ ■14- FT X Lf^ ^ I ^i /^ E1 C3 Tf \ T^ rxa 'f 1=- /tIl' r^,r-(fi /tT ^^- 1"» t-> TD j- ^ ' ' 'I ■ dtfl i-^i 17 D 7,J /7t ■•^<' I V >1t ■ V ^ >" -'■' V\ 'J ^^^ t E JS.|t fi" 17 Ht X I -I- ''X C^nmen^A,^, J,. 7t,„, m.Tat Jm: f, . .,,,. A vvf\ -1-' / ^^ll./^- Comvient-^cad. Sc.l^om. TTI.Tah JMr. f> . JgS. K ft F1 \P^ rm. ^ ^ T A A if t 4- /^ /£ nn t: A fi. >IL 1:^ AA % ^\ /v EICU f- A-^^ lE 'K nm V/- '^ i. Pl % Fl ^r :$S~rri^'^^^^^ ^i^m^ f] Ai ^ '^„M^ |nji ti'iM' Kfi 'V "fTA iti^^' flTl^ -- — ' — :^ — L — t_J_:>t«^ •i-« - tscho A" /ch J ^ .1 .. , >,-/- 9 ^ csJ /^o 0i. J' a ^ 3 .//. if A/ tst^i x/ /^"<^ -o5 /^^^ ca/'ct »- /f^' Car-et- ^- nao i\> ^hh h C>/ v5 -^ S) /f// /!»■ s ■ cT u 6r JJ tj-cho y<7 MO po ^^ ii jr ^l:> .//; ct A'; .1 ^,0. ¥ ^^ /?-/; ^ imL-nt ^^ciitZ. ij;- . Tom llTpStS. ELEMENTA CALMUCICA IL -4 X i^ i^ li 11 c/ui •P5 '^% n\ faret ?7 \'t X \ r ^ T ^^/e \ r./-^ 1 S/ir /?