FOR THE PEOPLE
FOR EDVCATION
YOK SCIENCE
LIBRARY
OF
THEAMERICAN MUSEUM
OF
NATURAL HISTORY
COMMENTA
ACADEMIAE
SCIENTIARV M
IMPERIALIS
PETROPOLITANAE.
TOMVS VII.
AD ANNOS cbbccxxxrv. & cbbccxxxv.
^ ^
^-
PETROPOLI,
TYFIS ACADEMIAE» cbbccxL,
,.*./^,,7o;^7.#*^
;,(*
INDEX
COMMENTARIORV
IN CLASSE MATHEMATICA.
Ceorg. Woljjg. Krajjt dc Cauftica Cycloidis. p. 3.
Eiusdm de Nuineris perfecftis. p. 7,
lob. Bernoidli de motu Corporum fe inuicem percutien-
tium. p. 15.
Georg. Wofff^. Krafft Enucleatio Problematis Aflronomici
a Clar. De Vhle propofiti. p. ^6.
Eiusde/n Obferuationes Arithmeticae de feptenario. p 41.
heonh. Euleri Solutio Problematis Ariihmetici de inueni-
cndo numero, qui per datos numeros diuilus, relin-
quat data refidua. p. ^6.
Eiusdem de motu Planetarum et Orbitarum determina-
tione. p. 6"].
Eiusdem Determinatio Orbitae Solaris. p, S^',
Eiusdem Solutio Problematum quorundam Allronomico-
rum. p. 97.
Eiusdem de minimis Ofcillationibus corporum tam rigido-
rum quam fliexibilium, methodus noua et facilis. p.99.
Eiusdcm de fummis ferierum reciprocarum. p. 123.
Eiusdem de linea celerrimi defcenfus in medio quocunque
refiftente. p, 135,
Eiusdm de progrelTionibus harmonicis obfemationes, p. 150.
J)an. BfrnoulU Demonftrationes Theorematum fuorum dc
ofdllationibus corporum filo flexili connexorum et
cat^pae vertic^tliter fufpenfae. p. 162,
X^onb,
heonh- Eiileri de infinicis curuis ciiisdem generis: (eii mc-
thoJus inuenieiidi aeqiuitioncs pro inliiiitis cumis eius- .
dem generis. p. 174..
'Emsdem additamentum ad diffcrtationem de infinitis cur-
uis ciusdem generis. p. 184..
IN CLASSE PHYSICA.
loh. Georg. Du Vernoi circa ftruduram' Tliymi , nouae
obleruationes. p. 203.
'Elusdem de Afpedu et conformatione varia vaforum fan-
guineorum in diuerfis particuiis \eniriCuli Obfcrua-
tiones. p. 111.
Ehisdem Continuatio Obferuationum Anatomicarum. p.sid".
loh. Fredr. Schreiberi Oblcruationcs Anatomico-praflicae.
p„ 22S.
Xof. IVeitbreeht de Mutationibus Caloris et Frigoris aquac
fluentis Obferuationcs. p. 235.
Georg. IVoljfg. Krafft de duobn? Lapidibus figuratis. p, 271.
EJusd^m de inuenienda Diftantia Macularum Solarium :i
fole. p. 279.
XoJ. Wyitbrecht de Circulatione Sanguinis Cogitationes Phy-
fiologicae p. 283.
Eiusdem Obfcruationcs Anatomicae ad hifioriam et ac^^io-
nem mufculorum Frontalium , Occipitaiium , Palpe-»
brarum ^ faciei pertinentes. p. 331.
IM CLASSE HISTORICA,
T. S. Bayeri Eiementa Calmucica. p. 34.5.
Eiusdem de Venedis et Eridano fluuio. p. 346".
Eiusdem de Confucii Libro Chun ^ieu. p. 362.
CLASSIS PRIMA.
CONTINENS
MATHEMATICA.
Tonh ni. A DE
DE
CAVSTICA CYCLOIDIS
AVTORE
G. IV, Krafft.
DVo cafiis diflingui poffiint circa quaeftionem TabuU ]
de Cauftica Cycloidis, vnus, qui eft, cum
radii incidentes paralleii funt ad Axem , al-
tcr vero , cum iidem paralleli funt ad JBafin ,
datae Cycloidis. In illo cafti Cauftica haec
niliil aliiid eft, quam alia nouaCyclois^ in hoc autem,
cum fcil. radii incidentes funt ad Bafin paralleli , Cau-
ftica exinde orta talis eft figurac, \'t matrem fuam mi-
nime refcrre videatur, ncque ftatim appareat, ad quod-
nam genus Curu.irum reduci poifit. Figura fcil: eius ex
.111. Hojpitalii Analyfi infinite paruorum ^ 123. huc
transiata, talis eft , quae apparet AFKD, vbi radius pig. i,
incidens PM ad Bafin BD cft parallelus, radius vero
reflexus eft MF, cuius longitudo aequalis effe debet,
ex loco cit. applicatae P N circuli generatoris A N B.
Proprietates huius Caufticae Hojpitaliiis recenfet has:
I . vt puncflum F ab axe fit remotifiimum , radium inci-
4entem debere procedere ex centro circuli generato-
A 2 ris
4 BE CjrSTlCJ CTCWIDIS.
risfH. 2. Caufticatn hanc habere pundum flexus con-
trarii in K. 3. Spatium intra Cyeloidem AM,
Caurticam A F , et radium reflexum M F contentum , aequale
efle dimidio rpatii circularis APN. Praeter haec enu-
merata nihil \lterius neque Audror , neque eius Com-
mcntatores langnonlus ^ Croujazius ^ neque Carrms ^ q>ii
in Commentar. Acad. Paril. 1703. dc his agit, indi-
cant. Cum igitur mihi mirum id vifum fuiflet , fequi
in alterutro cadium enarratorum Cycloidem morem fuum ,
vt ipla fe reddat; m altero vero tam longe ab hac
confuetudine abire : inueni , Caullicam pofterioris cafus
tamen non ita diuerlam efle. a vulgaribus Cycloidibus,
vt ad eas referri nequeat. Generatur enim Cauftica haec
ah eodem femicirculo. generatore , quo Cyclois ordina-
naria j fcd per tangcntem in vertice CircuH annexam,
cuius longiriido variabihs efl:, aequahs nempe fempec
apphcatae circuli PN.
§. 2. Qiiod vt demonflrem , fit Cyclois ordinnria.
A. M D, generata ex Circulo A N B liipra bafin B D
vohito- Cauftica radiis incidcntibns P M bafi BD par-
flllehs debita , fit AFKD: dico, hanc dcfciibi motu
eiu.sdem CircuJi ANB, qui in vertice A annexam ha-
bcat Tangentem MF, cuius longitudo variet, vt in quo-
libet, ucmpe fitu CEM aequahs fit apphcatae Circuh cor-
rferponiaeiiti PN. ; Veuiat enim Circulus generaror in fi-
tum.CEiVl', ducantur chorda BN,. ct pnieterea rcdae
EM', EF,jet quia EM, EF, funt, prior (^iidcm ad
Cydoideiti , ,p^y{ieno'r vero ad Cauflicam ,. normales ;,
diitTae' inimirurn ex puhclo defcribente in pundum con~
taclus.
DE CAVSTICA CTCLOWIS. 5
«aAiis, (perAnalyf. inf, paruorum §. 43. ) praetereaque
ob Cycloidem fit M E ~ B N , et angulus F M E — ^ ..rc.
ME=riarc.BN=BAN=:PNB; arque adhuc VHzr:
MF, ex hypotii. ernnr triangulaEMF et PNB fimi-
lia et aequalia-, quare MF erit orthogonia ad Nouna-
lem EF, confequenter Curuae AFKD Tangens. Qiio-
niam vero E M F — P N B , per dem-. erit etiam E M t rn
PME, adeoque circa Normaiera Cycloidis EM angu-
his PME erit Incidenciae, EMF vero Refiexionis;
eonfequenter patet,. pundum F generahter efle in Cau-
ftica aliqua ; eft vero idem pundum F in Cauftica Cy-
cloidis, per demonftrata Hojpitalii, cum ex hyp. fit
MF~PN; ergo manifcilum eit , Caullicam didam
praefcripto modo gcnerari. Q. E. D.
§. 3. Anfim haec milii praebuerunt examinandi ge-
neraliter tales curuas, qnae per diclam Tangentem va-
rLibilcm generantur. Itaque vniuerlaliter rcm confide-
rando, fit Cyclois ordinaria AMD, atque huic annexapjg 3,
Curua quaiiscunque AGH. Vcniat CircLilus" generator
in fitum MEI, habeatque diametro IM adiundam Tan-
gentem M F , cuius longitudo aequahs fit Applicatae P G ,,
quaeritur aequatio Curuae hoc modo genitae AFLK.
Pofitis igitur Coordinatis orthogoniis A Pzr x, P M —jj
AQ_~I', Q_F~u^ PG— s, AB — ^, ducantur chor-
da B N , et normalis ad Cycioidenl M E , demittatur
perpaidicularis NS, dndoquc praetcrea radio NC^ cum
Tangente Ciixuii gcneratoris NR, crmTt oh PNS e£
CNR red-.'S, triangula- NSR er PN-C iimW^\, fcd,
ex aatura Cycloidis , radius C N parallelus elt diarrictro
A 3 IM3,
« DE CAVSTICA CTCLOIDIS,
1 M , confequentcr panlUke etiam eriint rcdae N R »
MF, ciim Ytraqne eariin! recl-im efficiat ciim panille-
lis CN,IM; fed ob appiicatam Curuae quaefitae Q_F
parallelam cnm P M , erunt N K ct M F quoque aequa-
les. {iabebicur ergo Analogia , ?N ( V (ax — xx') J:
CN(5^):;;rNS(^ -.v):NR( c:), vnde fiet aequatio ^A)
^-^TVT^^z^y Di\d:i porro applicata p7t priori infini-
te propinqua, erunt quoque trianguia furiilia NO«, et
NSR, vnde habcbitur NO(nc (B),
reddet aequationem conftantem ex meris t tt u, eX"»
prefTuram proprietates Curuae quacfitac AFKL.
§. 4.. Vt, dncfla EF, inueniatur, qu;lem illa a»*»
gulum efficiat cum recfla MF, cuiclens eft, in triangu-
lo E M F effe E M — B N - y ( «' - ^ .V ^ ; aRguhis E k F
rrBNRrxPNB; ergo anguli EMF finus erit - l^
= vd^~hT' ciusdem vero Cofinus - ^^ - V(^'X-]
vocato itaquc anguU MFBfinu///, cofinu «, erit EM
(Vaa~aJ): MF(5;)=: fmus F(w): fin. E(~^=^).
Eft autem hic angulus E diffcrcntia angulorum M, et
cxterui
DE CAVSTICA CTCLOIDIS. 7
«xterni ipfius F , qunre orietur aequatio fequens , m V {ax
—.V^—mz — nia—x); ex qua deducitur ^ — y~!.^.tj~
r::Tangenti anguli EFM. Qiiare fi accipiatur NZ —
PG, et ducatur B2, erit angulus EFM=B2N, Si
itaque fit PNrzPG, \ti in cafu HoJpitaJiam accidit^
tunc erit angulus EFM redus.
DE
NVMERIS PERFECTIS-
AVTORE
G. W. Krajft.
DEprehendnntur non paucl errore& authorum , dc
caetero docfliirimorum , in modo inueniendi nu-
meros perftcflos ; qui certe ex co folo orti (iint,
quod careamus hucus]ue infillib:li cliaradlerc numero-
rum primorum. Eiiitauit fcopulum hunc Euclides 3(J.
IX. cum dicit: Si ab vnitate quotcunque nwneri dei7iceps
exponantur in dupla proportione ^ quoad totus compofuus fiat
primus , et totus hic in vltimwji multiplicatus Jaciat ali-
quem: fa^ius erit perfedus , quorum fendis elt , fi quot-
cunque numeri, ab vnitate dupli, in vnam fummam
coUigantur , donec haec fumma fit numerus primus : erit
numerus fidus ex illo primo in vltimum duplorum ,
perfedus. Sed vt errorum quoque exempla quaedam
allegem> docet.
8 DE NrMEmS TERFECTIS.
I. Michael Stifelius ^ infignis alias Arithmeticus ,
(equeiitem numcroriim pcrfectonim genefin, in Arithm.
lutegra pag. lo. Progreffio Geometrica dupla diuidatur
in binos terminos hunc in modum
1. 2I4. 8 I i<5'. 32 I64.. i2S[ 256. 512I 1024.. 204.8 I
qaorumlibet binorum miior, vnitate minutus, ducatur
in fuLim fociuni , fa(9:um erit numerus perfedus \ qua^
fane regula fallit in ipfo fere hmine ; nam fumatur quin-
tum par horum numcrorum , \bi 5 11 x25(5 ~ 130815
non elt numerus pcrfedus , quia , fequendo Euchdis ef-
fatura , i-|-2-|-4-4-8-hi<5-i-32-|-6'4.-i--i-S-J-
£56 — 511 non elt numerus primus, qualis tamen elTe
deberet, fi multiphcutus in 25 B quotae
10 DE NFMERIS PERFECTIS.
quotae reliquae , prioribus refpondentes , fequentes , -^ ,
^ > ^ » Ir 7 ^^ natura vero numeri perfedi fit aequa-
tio i-f-w«-i-«-Hr-+-f-i-i'-+-A-t-^-^V'-t-^-i-
tA^pAy vnde elicitur A— — — - — -— i-_-£..
^ q r n m
Qiioniam vero A debet effe numerus integer, necefle
eft , vt fra(flionis modo exhibitae nominator aequalis fiat
vnitati, 49«^ - - " - 3
«—7, 8128 - - - - 4
«=13» 3355033<^ - - - 5
w— 17, 8589859055 - - - g-
«=19, 137438591328 - - „ ^
«:=3i, 2305843008139952128 - 8
«=1:41 , 2417851539228158837784575 - 9
«=47, 9903520314282971830448815128 - 10
B 2 In
la DE NFMERIS PERPECTIS.
In Arithmetica Nicolai Tartaglia Parifiis 161%,
cdita, occurrunt fequentes numeri perfedi:
6 _ - - _ I
aS - - - - a
495 - - - - 3
8128 - - - - 4
130815 - - - - 5 *
2096128 - - - - 6 *
3355033 =z V ( a a -i- ^ ^ ).
lam cum velocitas in centro globi fit mv^ erlt
hic velocitas in «? — '^'"^^ ■!;, et quia fingula punda
in mp communi velocitate mouentur, erit vis viua
Ipatioli mnpq — ^^^^vvd^Vi^^^-^^^^^t^^zil^d
^y(ee-^^)-i-aa^^y(gg-^^)).
Huius expreffionis fi fumatur integrale et dein po-
natur ^nS, habebitur vis viua quadrautis circuli : In»
tegretur ergo per partes ; Efl: autem pars prior (HiJSp ^ ^
^^y(g8-^^)-(^r-f^^>^(5sr-f);,diui.
dendo nimirum et rurfus multiplicando per^'j fi minc
ab hac quantitate auferatur j^^^'^l'^'^^~^dt,^^ i'^'^^''
I 5
— ^') et dein illi rurfus addatur , erit illa — ^-^=^p. ( - ^'
^igg^-v^v(es^^-^W'(T^A'^^^v(ggr-f)
Huius expreffionis integrale eft =r^^|y.^( eg-^^)"-I-
^,r^vv!d^^V{^^-U)\ cfi itaque/("^!^^.'^^
V(ee-^^))n.-^,^(es-.^^r-^;t^'-^^^/^^nee
SE INVICExM PERCFTIENTIFM. 19
Ponamiis nunc ^ rz S et inueniemus vim viuam qua~
drantis circuli ^f^^^^vvfd^V {^"^-^)— (quh Jd^
y(ge-^^)= qiiadranti, quem voco Q)^^^vvQ_-^
crgo vis viua totius circuli zz"-^^^ v v Q. Applicen-
tur iam haec ad fphaeram. In hac efl: a zr -j- .v , g—
V(2l?x-xx ), Qj=^n.(2bx — xx) (per ji intelHgo ex-
ponentem rationis inter peripheriam circuli et radium)
adeoque 7^^^ i"u Q. = ji^Ty'^'^'' ( 8 aabx^i6abxx
-h 4-lfbxx — 4.a axx-[- ^.bx' — 8 ax' — 3 x*) , quod du-
(ftum in dx altitudinem fcihcet ftrati dabit eius vim viuam
~3(a-+-6)^'^'^'^''^''v ^aabx-i-i6abxx~\- ^.^lfxx — ^aaxx
-\-^bx' — 8ax'—:^x'')^ huius integrale eft z^-^^^—^^»
vvi^aabxx-^-^^abx' -^-^bbx^—^aax^-^-bx —zax*
— |.v^). In hac exprefiione fi ponatur x~2by obti-
nebitur vis viua totius fphaerae ofcillantis —lnb'vv
(a a -4- 2^b -4- ? /»/A _
(TIjI^^^ ^— (fi hnb^ irtpotc mafla globi YO-
,,. aa-\-2ab-\-\bb ,, ^ t- t
cetur M) — -^ —^ — 'y-yM. Q. E. I.
Corollarium r.
VH. Si ponatur fl-rrco, habebitur vls viua globi
folo motu progreffiuo moti — i^-yM, plane vt fieri
debet.
Corollarium 2.
VIII. Vis viua motus compofiti ex progrefliuo et
gyratoiio , quoiurn velocitates funt inter fe aequales , in-
C 2 ue-
lo DE MOTV CORPORFM
uenitiir , fi pouatur ^ — o , hoc cafu expreflio generalis
abit in hanc ^vvM.\ ergo vis viua progreffiua fe habet
ad vim viuam ofcillatoriam , vbi pundum fuspenfionis
cft in peripheria globi, vt 5 ad 7.
Scholion r.
IX. Nihil determinati dat exprcflio noftra procafu,
quo pund:um fuspenfionis concipitur elTe in centro , id
cft, quo globus omni motu progreftiuo deftitutus tan-
tum circa axem fuam gyratur ; hoc enim in cafu , quia
a~lf et proinde velocitas centri nulla (Prop. V.),erit
cxpreflio rioftra — §: Vt itaque determinemus vim vi-
uam gyratoriam , vocemus c velocitatem , quac eft in
peripheria globi ofcillantis et erit velocitas centri — ^^ ^;
hoc valore fubftituto pro v in expreflione noftra ge-
1- ... -11 • 1 aa-^-iab-^-^bb ,,
nerah , mutatur illa in hanc — c c JSl \
au ^
iam fi in hac ponatur a-=:. — b^ habcbitur vis viua gy-
ratorii gbbi — fr^-M. Eft adeo vis viua progrefliua
ad vim vniam gyratoriam globi, vt 5 ad 2.
Theorema.
X. Si in ghbo ofiillante motiis gyratonus feparatlm
eonftdcretur a motii progreffiuo et in vtroque motu fimplici
vis viua fumatur^ aggregatum virium viuarum rurfus ex-
hibebit vim viuam ofcillatoriam.
Demonflratio.
Sint rurfus diftantia pundli fuspcnfionis a fl;pcrficie
globizz, radius— ^, velocitas centri i::i'y, erit (Pr.V.)
velo-
SE INVICEM PERCFTIENTIFM, 2.1
Yelocltas , qiia piindum in periphcria circa centriim gy-
ratiir, —~^v^ vis Yiiia gyratoria :=z-;^^ij^y^vvM ^
(Prop. IX.), ^is viua progrefliua —vvlS\ (Prop.Vll);
... aa-\-aah-\-\bb ,,
fumma liarum virium viuarum ~ — ; vvm.^
{a-\-by-
qui valor idem eft, quem antea pro vi viua ofcillato-
ria inuenimus. (Prop. VI.)
Corollarium.
■ XI. Licct adeo in globo ofcillante duas vires vi-
uas, nimirum progreiiiuam et gyratoriam feparatim
confiderare.
Problema 2.'
XII. Bata velocitate duorum corporum A ^/ B, ojcil- Figurs 3.
lai,ido circa puncta F et G Je inuicem percutientium , de-
termiitarc 'veiocitatein quam hahebunt poft coUifLonem.
Solutio.
Sit radius globi A — A, ipfius malTa r= M , radlus
alterius globi — B, huius maflii — N, diftantia pundi
fuspenfionis a globo A — a , diflantia pundi fuspenfionis
a globo B — § , velocitas in centro globi A ~ w , ve-
locitas in centro alterius globi — n , erit vis viua pro-
grefiTiua globi A — mtnM atque (Prop. IX.) eiusdem
vis viua gyratoria :zr-^~^zmmM. , fimiliterque vis viua
progrefiiua globi B:=:«;zN, eiusque vis viua gyratoria
= 57|:^Bp««N. Notandum efi : Q^iod ponam centra
globorum tempore collifionis efle in iinea horizontali.
C 3 Poft
2 2 DE MOTV CORPORFM
Pofl: colUfiouem motus gyratorii , quia neuter illo-
rum agit in alterum , non mutabuutur , ( id quod dcin-
ceps aliter demonrtrabo ) , fiet ergo fohun immutatio in
motibus progrediuis et quidem , iuxta regulas receptas ,
ita, vt pofl impulfum velocitas progrefliua corporis A ,
fit ^^"^^j^— , vclocitas progrefliua corporis B=r
«^uM^mji^. ^,.^ jj,j^^^ ^-.j^ progreffiua globi A=;
^^^^M^ir^—M; huic fi addatur eiusdem vis viua
gyratoria, quam vidimus effe nzj^^^^^i^tmfnM ^ prodi-
bit ipfius vis viua totahs feu ofcillatoria '■^(j^t+^jjzmm
-^(^^^^-S^-)')^i;§lobivero B visjiua progref-
fiua poft impulfum erit ~(^^-^^_^'"^' j N, quae ad-
dita eiusdem vi viuae gyratoriae dat ipfius vim viuam
totalem feu ofcillatoriam pofl: impuHiim zzzi^^^^^tun
-+-(^'S— )^)N-
Dicatur nunc velocitas quaefita in centro globi A— i?,
velocitas quaefita in centro globi B—p^ erit vis viua
ofcillatoria giobi A poft impulfum -°t^H-saA-4-?AA
(a-h-Ar
vyM, (Prop. VL) — eidem vi viuae ofcillatoriae poll
impulfum quam modo inuenimus effe ~(^^|^7^yi?«7« -f-
^mM-^^^^^» M. Simihter erit vis viua ofcillatoria cor-
poris B poil impulfum rr ^r~ PP^ ~
(,:^^r^nn-\-C^=^^))N; vnde ehcitur ^-
SE INFICEM PERCVTIENTIFM. a^
T/ / ^BB „ „ _. s(e-t-B)» /-nN— 7iMH-imMx« x
"^ ( s(e-|-B)'H:-2BB « » -T- 5(g_4_B)^_HzBB ^ M-^-N ^* /'
(^. E. L
Corollarium i.
XIII. Si aaS~oo, prodibunt regulae comrmmes
pro corporibus iblo motu progrefliuo motis; hoc enim
r -^ mU — TnN-(-:nN ^ . nN — nM-(-2mM
cafu erit i;— — ^^ et pzz — ^^ — .
Corollarium 2.
XIV. Si «aS — o, qui cafus efl: pro corporibus
ofcillantibus , in quibus motus gyratorius aequalis eft
motui progrefliuo , erit vzzV (^mm-hrC^^^!^^^) y,
-^ ^ i/ ' - , c/^N — nM-+-;mM,i \
etp— Ku««-I-|( m^ — ) ).
Scholion.
XV. In Prop. Xll. aiTumfimus motus gyratorios
duorum corporum ofcillantium ab impulfu non mutari ;
Iftud , quia nonnuUis fcrupulum mouere pofTet, feor-
flm nnnc demonftrabimus. Qiiaeremus impetum cor-
poris ofciilantis & inueniemus eum non efTe maiorem ,
quam fi folo motu primo progreflTiuo corpus effet motum.
Sit itaque primo planum horizontale CF, (iispen-
fum ex filo verticali AB atque ofcillans in dTredliione
C F ; Si "velocitas pundi A exprimatur per hneam AB ,
exprimatur velocitas puncfli F per lineam BF, fed haec
velocitas, cum habeat dirciflionem obhquam fecundum
F D perpendicularem ad B F , non tota impenditur in
impetum; de componenda itaque efl; in FE et DE,
quarum
Flgum 4,
«+ D£ MOTF CORFORFAI
qiwrum prior fola impenditnr in impetiim; Efl: fliitem
(ob triimgula fimilia FED, BAF) FE. FD::BA.
B F , ergo velocitas , qua fit impetus puncfli F exprimc-
tur pcr lineam AB, adeoque erit aequalis \elocitati
punrti A ; idem dicendum de omnibus reliquis pundlis
f^ /, plani ofcillantis ; ti\ ergo totius plani impetus
aequalis toti maflae dudae in \elocitatem , quae eft in
pundo A , hinc confiderari poteft planum tanquam
concentratum in A.
Si iam loco plani habeamus corpus ofcillans , idcm
Figura 5. crit ac fi infinita pondcra /> , />, /;, p^ concentrata in
infinitis pundis virgae rigidae AB ofcillarentur. Vt
nunc rem clarius ob oculos ponamus , concipiamus
Fifiura 6 ^^^^ corpora et quidem P et tt duabus diucrfis laminis
rigidis ABctcty affixa, fit autem diftantia corporis P
a pun(fto A dupla v. gr. diftantiac corporis tt a pundo
fixo ct; impingiint hiiec duo coipora in elaftra DE,
$e acqualia, diftantia elaftri DE a puncfto A fit aequa-
lis diftantiae elaftri $e a pundo a; erit ex natura
•vedis impetus ponderis P in elaftrum DE duplus im-
petus ponderis tt in claftrum ^e fi puncla y et c ea-
dem velocitate moueantur^ transferatur nunc pondus vr
ex Y in f, ita vt eidem virgae AB in medio afiixum
vna cum pondere P ofcillctur et impingat in commune
elaftrum DE- cum omnia fint eadem , erit etiamim-
petus ipfius adhuc dimidio minor impetu pondcris P
in claftrum DE: fi nunc pondus P augeatur , vt fiat v,
gr. triplum ponderis tt , erit impctus ipfius fextuplo
maior impctu huius ; vnde apparet effe fingulorum pon-
dcrum
SE INVICEM PERCFTIENTIVM. 25
derum impctus proportionales fingwlis maflis dujflis in
fuas relpediue diflantias a pundo liispenfionis ; ergo fi
infinita fint pondera , erit fumma omnium impetuum
proportionalis fummae fingulaiiiin maflarim dud:arum
in fuas re(pe velocitds progrefliua corporis B pofl: impiiirum
muemetur p — V^ r-^^ -Httl — \ Q.E.I.
Scholion.
XXXi. In Propofitione praecedenti generaliter ex-
prefllmus nitiones inter velocitates globorum progrefliuas
et gyratorias poft impulliim per has fradiones ^-, \ , in
applicatione vero ad cafus fpeciales pro jtt \ fubftituen-
dae erunt rationes qiiae maxime videbuntiir probabiles ;
V. gr. fi globi admodum tente moueantur fuper plano
afpero, erit rotatio fenfibiliter perfeda (Prop. XX. ) et
fingulae harum fracflionum ^,|-,^et7 aequales erunt
vnitati. Hunc calirm quia crt rrequcntiffimus 5 in fe-
quenti propofitione feorfmi tradlabimnso
Problema 5'.
XXXII. Tyaia velodtate duonim globorum A et B,. Fig.
rotando Je Inuicejn pemitientlum ^ determinare velocitates^
quas babebunt pojl impuljum pofitis ghbis tam ante quain
pGJl collifionem perfe&e rotantibus^
Solutio.
Pofitis iisdem , quibus in Prop. XXX , nifi quod fit
miizc yH — e yfzzg Qt b—ij erit vis viua globi A poft
impufl-
32 DE MOTV CORPORVM
impulfum =::|^"yM(Prop. XXVI. ), efl: autem eadem
Yisviua etiam =; (lmm-^C^^==^~^f )M{?rop.:^XX.)
habetur itaquc v~V (^~})im-\-lC^^^~i^^f)-,'i\miYmr
inuenitur /> zr V ( p;«-f- 1 (- — y^_^ — ) ). Q. E. I.
Corollarium i.
XXXIII. Si niaffiie globorum A et B tuerint inter
ie aequales erit 'u—.'V{^^mm-\-\nn) et p — V {\nn
-\-^mm).
CoroUarium 2.
XXXIV. Si Ylterius globus B ponatur quieuiflc
ante collirionem , erit '■o — m'V\ et p—.fnVf.
Scholion i.
XXXV. Hinc apparet , li in ludo Billard altcr
globorum iii alterum quiefcentcm pcrfedc rotando im-
pingat , priorem non elfe qiiietiuum , fcd fbrc vt ambo
moiieantnr, ct quidem ea legc vt impingcns retineat ve-
locitatem , quae fit ad vclocicatem altcri acquifitam , vt
y 2 ad y S '1 tjuod fi globi impingentis rotatio fit im-
perfeda , retinere qnidem debet aliquam velocitatem ,
fed minorem ac fi perfedlc rotaflet; haecque ab expe-
perientia confirmanturi hinc ert quod huius ludi periti
globum iuum magno propellant impctu , fi colluforis
globus propc lacunam in hnea redta fit pofitus; hoc
enim pado leges ordinariae obtinent , ( Prop.XX. ) atque
globi impingentis motus ipfo impullii fiftitur , globusque
alter folus in lacunam intruditur, id quod non fierct
»ifi impingeus celcrrime fuiflct motus.
Scho-
SE mVlCEM PERCVTIENTIFM, 53
Scholion 2*
XXXVI. Aliorum praeterea phaenomenorum, in
eodem Ibido Billard occurrentium , ratio reddi poterit,
confiderato ea qua fecimus ratione , motu duplici , pro-
grefliuo et gyratorio.
Obferuatur v. gr. globum, digito preflum hocque
modo propulfum, primum quidem aUquantum antror-
fum , dein vero retrorfum moueri ; huius ratio efl; ,
quod digitus propellens globum fimul eum retrahat fic-
que ei imprimat dupUcem motiim , alterum progrefli-
uum antrorfum , akerum gyratorium in fenfum contra-
rium , prior ab initio pofteriori praeualet , fed propter
afperitatem plani breui cxtinguitur, et fic iUo extindo
hoc autem remanente , globus retro mouetur : idem ve-
ro non accidit, fi digitus propenens globum madefiat.
Porro obferuiitur direcftiones globorum poft impulfum ad
le inuicem non effe perpendiculares : hic iterum confi-
derandum eft, globum irapingentem ante coUifionem
habere motum dupUcem , progreflTiuum et gyratorium ;
pofterior , quia , vt faepius didum , non mutatur , re-
tinet poft impulfum candem diredionem , quam ha-
buit ante : prior vero , nimirum progreflTiuus , poft col-
Ufionem tendit fecundum perpendicularem ad diredlio-
nem alterius globi, fed propter afperitatem panni ac-
cedet infuper globo motus gyratorius fecundum eandem
dircdionem ; habebit ergo globus motum tripUcem et
ex hoc motu tripUci neceflario oriri debet motus fim-
plex rotatorius fecundum direftionem aUquam interme-
Tom. VII. E diam
34- DE MOW CORPOWM SE lyjJ^lCEM PERC.
di-iTi, hinc minifefl:>i diredloiies globoriim poft im-
pulfum conrtituent angulum aliquantum acutum , eoque
magis acutum , quo motus fuerit lentior.
Vnum adhuc referam phaenomenon, primo haud
abfimile quodque eodem modo expUcandum ert , quo
illud: fi globus quiefcens vni ex latcribus fit adhaerens
(quod Gilli vocant etre coUc) et alter in eum ita im-
pingat, vt centra fint in linea perpendiculari ad latus,
cui prior adhieret, fiet vt po(t impulfum globus im-
pingens per eandem perpendicularem aUquantum refi-
liat et dein vel fubito quiefcat vel retro moueaturj
ratio huius, vt dixi, mmifeih efl: iis quie liabentur
ab initio huius fchoUi ; quodfi vero impulfus fuerit obU~
quus , poterit fieri , vt globus impingens pofi coUifio-
nem primjm aUquamum refiUat, dein pcr Uneam cur-
uam rurfus retro moueatur , feque in lacuiiam voluat,
quia tunc diredlio motus gfratorii non e diametro cll
opporita dtreftioni motus progreiruii ; hocque etiam lae-
piflime accidere folet.
OBSER-
PROBLEMATIS ASTRONOMICI
Clar. DeUIsIe
PR0F05ITI
ENVCLEATIO.
AVTORE
Georg, IVolffg. Krafft.
Lemma i.
l.
POfito finu toto := i , anguli acuti maioris finu Tabul» iii.
-nS, cofinu — C, Tangente =iT; anguli Yero
acuti minoris finu rrj, cofinu :r:f, tangente —
t j remifummae horum duorum angulorum finu ~A
cofinu :z:z Bj feni idilFerentiae finu ~a^ cofinu rr^.
Erit
1 . Cofinus anguli compofiti ex vtroque dato — Cc—Ss
2. Sinus anguli refidui —Sc-sC.
3. Tangens anguli refidui zzff^.
4. c — C—2aA.
5 . S — s—zaK
6. S-^s:=z2Ah.
7. Sinus angiili dupli — 2SC.
8. Cofin. anguli refidui — Ct.--|-j'S.
Demonftrationes horum omnium \'ide in Commcnt.
huius Academiae Tomo II. p. 13. feq.
E 2 Lcmmt
,.>■
3
^8 ENFCLEATIO
to i-iirfus iingalo 2PB iicuto, qui eti;im nunquam alius
eflc potell; deniqiie erit Tangens C2Q_, qui Azimu-
tho DZC efl: deinceps pofitus, —fcvc-j-x'-^^^ ^^^ afliirrki-
tur angulus CPQ^ ob angulum ZPL tere fcmper obtu-
fum. Fadis his denomimitionibus , ob DZB rcdum,
erit tangens hViJ^-yy)::^ infinite mngna , quare fradionis
huius nominator /? V ( i — jj )— mj' — nihilo , vnde fit uj
zzbVii—jv)^ ob aequales autem AZB, BZC , et DZB
rcdum, aequales erunt etiam DZA,CZQ^, quorum
tangentes antea inuentae, fi acquentur, fadla fubltitutio-
ne ipfius hV {i -yy) pro uy-, emerget aequatio ijV{i-jy)
"ibVii-yy^ — ekVii-yy^-^ehVii-yy), quae,
cum per incognitam V{i—yy) diuifibihs fit , manen-
tibus fohs quantitatibus cognitis if—ih~ek-\-ehindi-
cat, quaefitum ex his datis non pofle inueniri , confe-
quenter Problema impolfibile efle folutu.
Corollarlam r^
IV. Si differcntia Azimuthorum inteUigatur data,
Problema foUii poterit, fed fuperfluus erit hoc caiii an-
gulus ahquis Temporis, ex. gr. ZPC. Pofita enim co-
tangente ipfiiis AZBrr;// , erit ex prioribus 7n—f;^^]'Jyy—;^
(f—b)^iu^yj]-i '^"'^^ oritur V{i—yj)^ flnus Elcuationis
YoW ^ (fzif^ 1 quae forniula ficile ad logarithmos de-
ducitur, conflderando , quod/— /; flt differentia coflnuum
2PA et ZPB, ponendo igitur fln. ^^5±Pa_^^ ^^
rm, — ~ — —"l^» c^it per Lcmma i. num. 4. f—hziz
a CP v) , quod in priori formula fubflitutum etficit fin.
Eleu. Poli zz. ~^^j-sr ■> multiphcato numcratore per cubum
radii
PROBLEMATIS ASTROmMlCI. ^p
rtidii R , ad complendas dimenfiones. Ergo log. fin.
Eleii. Poli — 3/R-f-/^-(/2-i-/(p-}-/^H-/w)- Sit
e.g. 2PA— 31 24. 2PB— 75 2(S. AZBzz 4.5 o. erit
ZPA-Hzpg--^.^ 2V^^5=z?^— 22 I. vnde talis cmergit
operatio :
l 2 — o. 3010300
/0— 9. 5738880
/v) ~ 9. 904.7105
Im rr 10. 0000000
29 7796285
3/RH- /^=39- 716845S
9. 9372172 log. finiis Eleuat. Poli.
o /
cui refpondent 59. 56. pro Eleuatione Poli , ad quam ex-
emplum fuit adaptatum.
Corollarium 2.
V.Qironiam fi^ipra pofi fadam diuifionem perV(i-jj)
remanet aeqnatio haec //— / /^ — ^ fe -|- r /> , poteft afTumi
quaelibet harum cognitarum pro incognita , atque exinds
nouum Problema folui ; quaeratur ex. gr. Z>,-erit ea zi:
f|__fee^ eritque Problema hoc: Datis temporibus ^ quibiis
fiella aliqiia fuit in duobus verticalibus a primario aequa^
liter remotis , imenire tempus , quo fuit in lerticali prima-
rio. Sit autem fin. ( C P Q^— 2 P A ) — « , erit per Lem-
Hia I. num. 2.. fi — ke — a.., fit porro fin. "^"^ — — g,
cofin. — f~ — ^— Vi ct huius femidifferentiae finus — 5",
erit per Lemma i. num. 6. ^-h/rzagy; deinde quia
CPQ^-ZPA duplus eft femidifferentiae HQ^^pj^^ erit
quo-
-ff ENVCLEATIO
quoque a — zy^S', flidlis his llibftitutionibus erit ^~|-,
aut bz^^^-f" ad complendas dimenfiones, vnde //; — /R-}-/(5"
o /
— /g. Sit in allegato exemplo 2PC :=: 129. 40, erit
CPQn:5o. 20, vnde opcratio haec eft:
IK-\-l$—i9. 2160957
/e= 9 H157776
9. 4003 191. log. cofin. 2PB,
o /
cui refpondent in Tabulis pro angulo ZPB 75. 2<5. qua-
lis antea fuit in Corollnrio praeced.
Corollarium 5.
VI. Cum infperatum id accidiflet , vt Problema per
data fua non determinaretur , inquifiui in caufim huius rei,
atque eum in finem Problema generalius concepi , vt nem-
pe angulus DZB non fit redus , fcd aUus quicunque datus
acutus , cuius tangens — m. Erit ergo ex prioribus , fup-
pofitis angulis omnibus ZPA,ZPB,ZPC, acutis,vocatisque
y{i-yy) — x,f-b—p, b-k — q,uy—~^, tang.
DZA = g^ff^r, tang.DZC — ^:— Hc, hinc perLem. i.
n.3. tang". AZB:=zimg-me-\-pm\X):{m'e-{-g-\-pnx), nec
non tang. BZC — {mi-mg -+- qm\x) : {m'-i-\-g-qmx) , qui
duo valores acquati , pracbcnt acquationem Qiuidraticam
hanc : - m"-ig-pm'iX'':^g'-\-ge-2.gpmx-^cigqmx-eqmx-^2.p
qm''-x^-\-^nrei--m^eg-{-qenf x-\-gi -{- pijiix—o. Qiiodfi
ergo DZB ponatur redtus, cuadct m infinite magna, quare
omncs termini, inquibus autnon reperitur w, aut non adeft
w/% abiicientur, quo facto oiizm pm' ix — qem' ix ., vn-
de patet cur acquatio fupcrius iuueuta per incognitam fit
diuifibilis. OB-
OBSERVATIONE5 ARITHMETICAE
DE
SEPTENARIO,
AVTOR.E
NOtiflimae fiint Arithmeticorum regulae de inue-
niendo numeri cuiuscunque diuifore fimplici,
quas tradunt, \bi de Fra{flionibus ad minores
terminos reducendis agunt. Extenduntur illae ad omnes
numeros fimplices , exccpto vnico teptcnario ] id quod
anliim praebuit Adriafio Metio ArHhm. Vra£licae Cap. ip.
dicendi: Septenarius ., cuius numeri menjurafit^ milla alia
via certius exphrari potcjl , quain (riuifionc ipfa. Inucni
tamen regulas etiam pro feptciuuii multiplo dignofcendo in
•duobiis audloribus, quarum vtramque examinabo^ ad-
iundlurus deinde nouam , in quam ipfe ante complurcs
annos cafu iucidi.
§. 2. Prima efl: Mich. Stifelii ^ in Arithm. Integra^
Lib. l. Cap. 2. vbi haec leguntur: Septenarius quemlibet
numerum componit ., et numcrat ., qui coUigitur ex tribus,
/f.x', nouem., aut duidecim., terminis proportionaHtatis duplae^
quadruplae ., aut Jedecup/ae. Qiiamuis autcm videatur hanc
obferuationem ad enumcratos folos hos modulos reihin-
gere: flicile tamen demonftrari potefl, generaliter hoc
verum effe , de quibuscunque terminis harum progreffio-
Tom. VII. F tium
42 OBSERFATIONES ARITHMETICAE
num fibi inuicera immediate fuccedcntibus , quorwm
numerus efl: 3 £> ; et de Proportionalitatibus , quiirum
denominator generalis efl: 2»?. Nam Tit Progrefli-
onis cuiuscunque Geometricae terminus primus — ^,
denominator —m , numerus terminorum rr;/ ;
erit fumma horum tcrminorum — ^ :— j iam
/;/— I
vero in allcgato cafu fit ^ — 2^ , pofito r pro numero
quocunque integro \ proportionalitas enmi , de qua lo-
quitur Stifelius ^ a. quacunque potentia binarii incipere
potefl ; n vero abit in 3 £■ , pofito iterum e pro nume-
ro quocunque integro ; et ;;; in 2«^; ergo generaliter
mukipius lcptenarTi debet elTe numerus quicunque ex-
prefiiis per -^^ — - — j cum vero 0.'^ nunquam fit
multiplus feptenarii , neceflc eft , vt hoc multiphim con-
tincatur in formula s^-Pi*— i, rrS»?*-— i. lam ve-
ro notum eft , quod generahter «"— i fempcr admittat
diuiforem a~i\ pofitis nempe a et n niimeris inte-
gris ; patet ergo , formulam modo allegatam S^? ^^' di-
uifibilem femper fore per 8 — i , hoc ell , per feptcna-
riunl. Et ficile hinc concluditur, idem appHcari pofle
ad ahos qiioque diuifores fimphces numerorum quorumuis
inuefligandos Vcrum enim vero quia nihil commodi-
tatis exinde flnit, quam tamcn vnicam Arithmctici hoc
in ncgotio quaerunt, hanc cxtenfionem non profequar.
§. 3. Akemm rcgulam tradit in Arithmetica Ger-
manice cdita Anno 1591. Vhnenfis quondam Arithme-
ticus , lohannes Krajjt , quac fequcutibus continetur prac-
ceptis.
^DE SEPTENJRIO. 4.3
ceptis. Examinandiis fit mimerus S^^^ip^^a^o an fit
iTiultipliis feptcnarii. Aifumantiir in huiic finem nu-
meri conftantes i. 3. 2. 5. 4.. 5. i. 3. 2. 6. 4.. 5. i. etc.
quos Inlhumcntales vocat, et fubrcribantur uumero pro- -^
pofito hunc in modum;
I 20
<523I54-G23i
a propofiti numeri notis abiiciatur feptenarius , vbicuri-
quae id fieri potcfi;, et refidui num.eri luperimponLinturj
multipHcetur deinde quiUbet InftrumentaHs cum fiio fu-
periori, et abiedis feptenariis a fadis hisce particula-
ribus, quotiescunque fieri id potefl:, horum fumma in-
dagetur ; vt in hoc exemplo , o-+-a-h-4-l-2-i-o-f-3
-{-i-{-$-\~$-\-6— 2.S^ haec fumma cum fit per
7 diuifibiUs; conchidendum elt etiam , propofitum nu-
merum feptenarii multiplum fore. Vel breuius fic enun-
ciatur regula , omifTa abieclione feptenariorum , quae
compendio tantum inferuit: multiplicetur quihbet In-
ftrumentahs cum digito luo fuperimpofito, ct fada haec
particularia addantur ^ quorum fumma fi per feptem di-
uidi poflit, etiam propofitus numerus erit multiplus fep-
tenarii. Demonftratio autem habetur fequens. Sit nu-
mcrus propofitus huius formae, vtpote in quam for-
main generalem , extentam fi necefTe fit , omnes nu-
meri cogi poflunt:
loooooo <2-|-iooooo /^+10000 (:-l-iooo^-|--ioo^-l-io/4-^
999999^-+- 99995^-1- 999^ ''^^ 99^^-^ 9^^-^ lj-\'^'i
numcrus inferior eft multiplus feptenarii , et in fupe-
riore hterac a ^h .^c .^d ^e ^j^g^ dcnotant digitos nii-
' Fa . meri
44 OBSERVATIONES ARITHMETICJE
meri propofiti, adiedis tot cyphris, quot requirit va-
lor eoruin localis. Subtrado hoc ab illo , refiduum fit
fequens: i «-+-5 Z»-|-4fH- 6^-f-2^-4- 3/-f- 1^^ fi
itaque hoc refiduum fit diuifibile per 7 , etiam inte-
ger numerus propofitus talis erit, Sed ex hoc refiduo
clare apparet, digitos numeri propofiti multipUcandos
elfe per fuos refpeftiuos Inrtrument:iies modo indicatos ,
et Tidendum , an fumma fingulorum horum fadorum fit
diuifibilis per 7. Conftat ergo veritas huius regulae,
fed paruum exinde fperandum compendium ; citius enim
numerus propofitus ipfe per Septenarii diuifionem ten-
tatur, quam haec praxis abfoluitur.
§.4. Neque diffiteor , quod idem difpendium meam
quoque premat regulam , quam nihilommus prioribus
adiungam. Q^iomodo autem ea fe habeat mcUus pri-
mum exemplo ortenfurus fum. Sit propofitus numerus
x6i examinandus an per 7 diuidi queat. Accipio no-
tam dextimam i , quae fi per 3 , quem fcmper adhi-
beo, diuidi polht, eam diuido ; fine-iueat, tujn a nota
proximd finiftcriore fumo tot dccades, quot neceifiriae
fiint ad ternarii multipUim conliituendum , id quod lem-
per fleri potell, cuiUbet cnim digito poteft adiungi nii-
merus ahquis decadum, vt multiphim tcrnarii exfurgat;
ct in pracfenti exemplo 2; igitur 21 diuifi pcr 3,.
praebent Qiiotum 7, liuic adiungo 16'— 211114, ori-
tur 7-i-x4— 21; quod cum fit n.iiltiphim fcptenarii:
conchulo, etiam propoiitnm f<5i talem efle. Schema-
ta quorundani cx.eropioium , cum fuis compendiis , liic
fubiicio^v i73<5"
D£ SEPTENARIO. 45
1735^' 2. 4- 173 — 175 ^' 5 -i- i<5 — 21.
14^^ 8+1-2= 7.
21 ('7-1-2 — 2,2=7.
543 ^'' I 4- 54=^ 55^' 5 -H 4 = 9»
Cuius opertitionis vt reddam rationes, afliimo numerum
qucmcnnque a-\-b^ ita tamen vt Z» deiignet afluniti nu-
meri digitum primum , liue in loco vnitatum pofitum,.
Ponatur deinde digftus c talis , vt 10 c-\-b^ 3 m , dico ^
fi fuerit Yo a~c-\-mzr:.']n^ numeri propofiti a-\-b men-
furam fore (eptenarium. Nam ex pofteriori aequatione
deducitur a — ^Qn-\- 10 c—iom ^ ex priori oritur bzz:^
m-ioc, ergo numerus propofitus a~\-b abit in hunc, fa-
ftis fubftitutionibus, 70 n-\- loc- iom-{- ^m-iocz^J'^
n-^jfny qui omnino eft multiplus feptenarii. Idem vt
exemplo numerico illuftretur , ponvim examinandum efle
numcnim 16^17, erit itaque i(5i7zz:i5io-f-7, ergo
«m5io, ^— 7. Aftiimo deinde digitam talem 2 — c
( erit cnim c femper vnus ex his tribus digitis 0,1, 2 , )
vt I o f -i- (^' =1: 3 m , hoc eft in lioc exemplo 10.2-4-7
:!:: 3 . 9 vnde ;« ziz 9 ^ fi itaque faerit /o a-c-\-mz:z^ n ^
mimerus propofitus erit multiplus feptenarii. Eii: autem
omnino 161 - 2-1-9 zi: i feu oa-\-p minimus numerus (Iitisfaciens,
hunc excipit a-i-p, quem porro reqnuntur na-^p^
3^-+-]!), ^a-\-p, etc. qiii numcri omnes conftituuntj
progreliionem arithmeticnm difterentiiim GGnftantein Ih-
bentem a,
"§. 4.. Hoc expofito fequitur cafus, quo duo diuifo-
Tes cum lliis refiduis proponuntur, qui efl: praecipuus,
et fequentes omnes in fe complcditur, Nam quotcunque
propofiti fuerinc diuifores, quaeftio fcmper ad hunc ca-
fum, qno duo tantum proponuntur , reduci poterit, qucm-
admodum in fequentibus monftiabo. Qiiaeri igitur
oporteat numerum 2, qui per a diuifus relinquat ^,
per if vero diuifus rehnquat ^ ; fitque numerus a maior
numero b. Cum ergo numerus quaefitusi z ita debeat
cfle comparatus \t per a diuifus relinquat p, neccltii-
rio in hac forma ?na-{-p continebitiir, eritquc idcirco
z::^ma-\-p. Deinde ex altera conditione, qua c; per
^ diuifus rclinquere debeat q^ erit zzznb-^-q. Quam-
obren, , cum fit ma-\-pzr-nb-\-q ., determinari debe-
bunt numeri intcgri loco m ct ;/ fnbftituendi, vt fit
7na-\-p^nb-{-q ^ quibus inuentis erit jna-\-p ieu«
^-{-q numerus quaefttus z.
§. 5. Qiiia ergo eft 7na-]-p—-nb-\-q, erit n
rr — =^ (eu pofito p — q — c, erit« — — y~ ' Hanc
ob rem definiri oportet numerum »/, vt w^-j-i; diuidi
poflit fine reflduo per b. Qiiia eft ^^^ ponatur —
&.b-\-c-j €tit nzz.ma-\ ^ j oportet crgo vt mc
DE INFENIENDO NVMERO QFl PER a^c. 49
-1-1; diiufionem per ^ admittat; funt autem a et c
numeri cogniti , qiii reperiuntur ex diuifione ipfuis d
per ^; erit enim a quotus et e rcfiduum. Pon.itur
porro ^iHrt? — A, erit tn — !^~^\ quare numerum A in-
ueniri oportet, vt Ah — v diuidi queat pei c. Si eue-
niat, \t V per c diuidi poflk, oper.uio iam poterit fi-
niri; fiimto enim A — O, erit ;;/—-- et ^ — — ^
-\-p quae expreflio, eti;imfi euadat negatiua , tamert
ad infinitos numeros affirmatiuos pro z inueniendos eft
idonea.
§. 6. Sin autem v per c non potefl: diuidi, quo
xb^ fiat numerus integer, pono b—^^c-^-d^ feu di-
uido 6 per ^ , dicoque quotum — § et refiduum — d.
Quo fiido erit ^-^ - A S -f- '^ := ;;; , debebitque
M=:^ efTe numerus inteeer fit is— B, fiet Aiz:^^'".
Si nunc v per // diuidi poterit , facio B — 0, eritque
A==:^, et w^^^J- Sin autem v per ^ non eft di-
uifibile, pono porro c-=zyd-\-e\ eritque Azr By-4-
t^p. Atque pono ^"^ — Q ut fit B:=-^^. Si
nunc V per diuidi poterit, pono Q—o eritque B=i
^l^ et A — -^ atque mzz-^^^-'^-^ fin ^^ non-
e' e' e e 1 e
dum fuerit integer numerus, pono d~^ e-\-f., eritque
B=:zC(^-H^^i atque ficio ^"i: — D , ut fit C —
Bfr^, vbi videndum eft vtrum v per/diuidi poflit ati
fecus, atque in vtroque cafu vt fupra operatio debet
inftitui.
Tom. VII. G §. 7. Qi
uu
50 SOLVTIO PROBLEMATIS ARITHMETICI
§. 7. Quia autem ^>^, atque/^>>t' et £•>>«' etc.
hac ferie a^ /}, c ^ d^ e , f^ etc. coiitinuanda perpctuo
ad minorest numeros deuenitur, ita vt tandem ad tam
paruum perueniri oporteat , qui fit pars aliquota feu di-
uifor ipiius v. Sunt autem f, d^ e, f etc. continua
refulua ordinariae operationis, qua maximus communis
diuifor ipforum a et b inueftigari folet, quam opera-
tionem liic appono.
n~^ f\/,\^ b-g,c-\-d
X—^c^ |cjy cz=yd-i-e
^—c_d-v ;j7|^ d—Be-\-f
C-^±- f]7U e=:ef-\-g
^^^-^ Sm f=-^S-^h
■E-^^ b\irA g-y^h-\-i
Gz2^ k
§. 8. Haec ergo operatio , qua ad maximnm^com-
miinem diuiforem numerorum a ttb vti Iblemus, eo-
usque eft continuanda , donec ad refiduum peruenatur,
quod diuidat i;, Qiio imiento fequenti modo inucftiga-
bimus numerum m. Si 'D iam per b diuidi poterit,
fiet m — o. Si V per f diuifionem admittat , fict A~o
et w~=^. Si 1; per ^ diuidatur, fietB~oetA~|-
atque ?« — j^ — "^— x ^^ b— ^ e -i- d. Qiio autem
valorcs ipfius m flicilius reperiantur primo valor ipfuis
A per
m INFENIENW NVMERO QVI PER &c. Si -
A per B, tum valor ipfiiis B per C et ita porro ex-
primi dcbet, vade nata ell ifta tabula.
Ab — V
I. ;«=:-^,
3. ;«=:^^^
4 ;«_ j
^ „„ E£ — ^(5-g-t-e'V5"£H-gg-4-g7-4--r)
5. m — g
6. m — — fo ) ^^^-
De his valoribus efl: notandum , figna ipfius v alternari
hoc modo — 1 1 h etc. Deinde coefficientes
ipfuis V lianc tenent legem;
I , g, &y-}-i, gy<^-f-(5^-f-e, &y5^e-}-^e-f ge-t-Sy-f-i, etc.
cuius progreflionis quisque terminus efl: aggregatum ex
termino praecedente in indicem fupra fe fcriptum mul-
tiplicato et termino hunc praecedente.
§. 9. Si igitur 1; per b diuidi poterit, eritf»rro;
fi 'U per c diuidi poteft erit 7n—^ propter Arzo; fi
1? per ri diuidi poterit, fiat B — oj eritque »/— J- S.
Vnde fequens oritur lex:
Gi Si
52 SOLVTIO PROBLEMJTIS ARITHMETICI
Si eft niimerusl
integer
b
ent
m~— c
m^-^-l
m—-^K'^y-\-r')
»« = - I ( gy deH- (S^E-j- gg -1- e y -+. I )
\m:
Si nunc hi ipfuis m valores in aequiitionc Z — 7na-\-p
fubftituiintur , reperietur vt fequitur:
Si eft integer
erit
hv
Z=,q-~OL
zz^q—j(a^y-\-a-{-y)
bv ,
■ — q-^-jla^Sy^ 4-a§-f-«(5"-f-y(J-|-i)
z —q — j{a^y$s--\- aSy-f-aS£-l-a(5e4-y ^e+a4-y-|-e)etc
§. 10. Ad inueniendum ergo numerum z^ qui per
a diuifus relinquat /), et per Z> diuifus relinquat , pofi-
to p — q:zzv fcqucntem habebimus regulam ; Inltituatur
operatio ad maximum communem diuilbrem inter ^ ct ^
inueniendum, eaque eovsque producatur, donec ad refi-
duam perucniitur , quod fit diuifor ipfius v , tcncatiirque
quotus
DE myENIENDO NFMERO QVI PER d^c. 53
qiiotus ex diui^ne ipCus q; per illud refiduum refultans,
qui fit Q_, vbi operatio abrumpatiir Deinde in ferie
fcribantiu: quoti a,g,y,etc. in hac diuifione orti , ex
iisque conltruatur , noua feries i^a^ag-i-i^agy-l-
st-i-y,etc. quae ex illa quotorum ferie formatur , atque
covsque continuari debet, quovsque per illam feriem
fieri potert. Sub hac noua ferie fcribantur figna alter-
nantia H 1 etc. vltimiisque terminus cum llio figno
mQltiplicetur per Q^, atque etiam per minorem diuiib-
rem propofitum ^, ad fa,
tum enim habetur b' p -\-{b-\- i )q ^ quod per b' ~\- b
diuilum relinquit minimum numerum quaeficum.
§. 19. Interim tamen minori opera minimus nu-
merus (atisficiens rcperietur fe juenti modo : Rcnduum ,
quod ex di r.fione quaefiti numeri per b oritur, multi-
plicctur pcr /;-f- i , fadtumque addatur ad numcium pro-
nicum ipfius b puta ad/i^-i-^, hinc fubtruhatur fadum
H 2 ex
^o SOLVTIO PROBLEMATIS ARITHMETlCr
ex refiduo p , qiiod ex diiiifione niimeri qnaefiti pcr l>-{~ i
remanet, dudo in />; fi id quod relbt fuerit <^b--\-by
erit id ipfe numerus quaefitus, fin vero fuerit ^^'-f-^
fubtrahiUur b- -\-b ^ eritque refiduum numerus quaefitus.
Vt fi quaeratur numerus , qui per loo diuifus re-
linquat 75 et per 10 1 diuifus 37 \ tum addatur
loioo ad fadum ex 75 in loi feu 7575 , \t
habeatur i-j^^js , hinc fubtrahatur flidum ex 37 ni 100
feu 3.700 remanebit 13975, a quo fi loioo auferan.-
tur prodibit 3S75 , qui ell minimus numcrus quaefitus^
§. co, Si quaeratur numerus qui per b diuifus re~
linquat q et per nb-\-i diuifus p\ erit iterum fzrri
atque numerus quaefitus z~p — av :zzp — ap-\-aq —
{nb-\-i)q—nbp ob az=inb-\-i. Atque omnes nu-
meri fatisfacientes continebuntur in hac exprefiione mnb-
^mb-\-{nb-}- i)q — nbp ., ex qua fumto pro ;;/ nu-
mero quocunqu^e , inuenietur minimus numerus flitisf;ici-
ens, 11 ea expreffio diuidatur per nb^-^-b:, refiduum
enim erit minimus numcrus fiuisficiens.
§. 21. Cafus porro notari merctur, quo rcfidua
p tt q ., quae oriuntur ex diuifione quaefiti numeri per
datos liiuifores a et b., funt mter fe aequaha feu p — q-
Hoc euim catli fit i;~o, ideoque inuenitur numerus
quaefitus z — p. Si igitur fit M minimus communis
diuiduus numcrorum a Q,t b ., omncs numcri fitisfacien-
tcs contincbuntur in hac formuk ;«MH-p. Eadcm
pla-
DE mVENIENLO NFMERO QJl TER tc 6%
plane formiila quoqne fatisfacit, fi qnotcrncue fierint
diuifores a^b^c^d^ etc. per quos fingulos ni n < rus
quaefitus diuifus relinquat /) , fi quidcm M dcnctetcm-
niiim diuilbrum minin.i;m communem diuicui.m. Om-
nes ergo numeri huius-niodi quaeflionibus latisfiicicntes
ita funt comparati, vt per M diuifi relinquant p.
§. 22. Hinc fatis tritum problema, quo quaeritur
numerus , qiii per 2,3,4,5,6 diuilus relinquat i
per 7 YCJO nihil rehnquat, folui poteft. Cmnes cnim
numcri qui per 2 , 3 , 4., 5 , 6 diuifi rehnquunt i hanc
hubent proprietattnv vt per 60 , qui niimerus eft mi-
nimus communis diuiduus numerorum 2,3,4,5, et
6 , diuifi rehnquant i . Problcma ergo huc redit vt
inueniatur numerus qui per 60 diuifiis rehnquat i , per
7 vero fit diuifibihs; erit ergoA^zzdo, b~^^ p:z: j ^
^ — ^, et 1'" I. Fadra ergo operatione.
7
5o
56
S
+
7
I
[=in:Q,
8, I, I.
Erg.s~ 0-119-1-420;«.
et fi mzz.1 erit ^1^301.
3
+
_3
I
i I , 8, 9, 17
§. 23. Maiorem difficultatem haberc videtur hoG
problema , quo quaeritur numerus qui per numeros 2 ,
H 3 3,4,
6z. SOLVTIO PROBLEMATIS JrilTHMETICl
3,4., 5,6 diuifus rerpcdUie relinqiuit numeros 1,2,
3,4,5, iit per 7 dinidi queat , propter refidud pro-
poiiea inaequalia. Sed iiaec quaeftio congruit cum
hac : inucnire numerum qui per 2, 3,4,5,6^ diui-
fus reiiaquat -i et per 7 niliil. Illi mni condicioni
flitibfiicit forma 6om—i\ quare numerus quaericur
qui per 60 diuifus -i, at per 7 nihil rchnquat, fit
iraque rt^riKSo , /»1:^7 ,pn:— i , ^ — o , et 'r — -i at-
que operatione Yt ante inftituta eft Q^— - i quod in
— 17 duftum datH-i7, hocque per b multiphcatura
dat 119 numerum quaefitum.
§. 24.. Ex his diiobus excmpUs apparet, quomodo
huiusmodi quaeftiones, in quibus quotcunque diuilbres
proponuntur, quibus autem duo tantum refidua refpon-
dent, per fupra datas regulas folui queant; Ibtim cnim
quaeitio ad quaeftionem duorum diuiforum reducitur;
vti fi omnia refidua funt aequaha , quaeftio perinde Ibl-
uitur, ac fi vnicus diuifor fuiffet propofitus. At fi re-
fidua funt inacquaha, tum nihilominus repetendis his
operationibus , quibus pro duobus diuilbribus vll fumus,
fohitio poterit obtineri. Primo enim duobus diuifori-
bus fitibficri debet, tum tertius airumi.tur, deinde quar-
tus , doncc omnibus erit f\tisfaE INFENIENDO NVMERO QFI PER fc 6$
Qiio minimus numcrus fiitisflicicns prodeat pono w — -- 5.^
eritque s " i -h 102. 17 — 1735 , qui ell: minimusnu-
merus quiituor praclcriptis conditionibus latisfociens Omnes
autem qui iacisfiiciunt hac continentur formula 11781;«
-t-i735' Ex hoc exemplo ergo abunde intelligitur,
quomodo omnes huiusmodi quaeiliones llnt rcfol-
iiendae. -
f. 28. Pertinet huc folutio problematis chronolo-
gici (Iitis cogniti , quam , prout ex his rcgulis inueni ,
apponam , in quo annus a Chrifto nato quaeritur, ex
datis cyclis foHs et lunae Yua cum indidione Roirana
illius anni. Cum enim cyclus folis fit refiduum , quod
oritur diuifione numeri anni nouenario audi per 28;
cyclus vero lunae fit refiduum, quod oritur diuifione
numeri anni vnitate audi per 19 ; Indiftio vero Ro-
mana fit refidnum , quodoritur, fi numerus anni terna-
rio audlus per 15 diuidatur, fequens prodiit fohitio.
Sit p cyclus fohs, q cyckis hinae et r indicflio
Romana \ multiphcetur p per 4S45 ; q per 4200 ; et
r per 5915, haec tria produda cum numcro 326'7
in vnam fummam coniiciantur, eaque diuidatur per
7980 ; quod remanebit refiduum erit numerus anni
quaefiti. Si annus periodi luUanae requiratur, tum ope-
ratio eodem modo inftituatur, nifi quod numerus 3257
negligi debct • quae eft regula iam paffim tradita.
§. 29. Multam quidem operam requirit fokitio
pro phuibus diuifuribus, fi quidem problema continuo
Tom. Vn. I ad
CS SOLFTIO PROBLEMATIS ARITHMETICI iyc
ad cafum, qiio diuirorum numerus vnitate minuitur,
vt in praecedente exemplo fecimus, reducitur ; At ex
ea ipfa operatione ftcilior mukoque breuior via fefe
prodit , qua rtatim propofita quaeftio , quotcunque
etiam fuerint diuifores, ad cafum duorum diuiforum
reduci poteft; quae regula ira le habet: Inueniendus fit
numerus ,, qui per diuifores a^b^c^d^e., quos nu-
meros inter fe primos eflc pono , duiifus relin-
quat refpecfliue haec refidua p^q^r^ s ^t. Huic quaefti-
oni fatisfacit ifte numerus A^-|-B^-hCr-f-Dx-|-E?
~\-mabcde y in qua exprefllone A eft numerus, qui per
fedlum b c d e diuifus nihil rebnquat, per a vero diui-
fijs relinquat vnitatem-, B eft nu-merus, qui per acde
diuifus relinquat nihil , per b vero vnitatem •, C eft nu-
merus qui per a b d e diuifus nihil- rehnquat , per c
Tero vnitatem *, D eft numerus qui per ab c c nihil
rehnquat, per d vero vnitatem \ atque E eft numerus
per ab c d diuifus nihil rehnquat, per e vero vnitatem,
qui ergo numeri per regulam pro duobus diuiforibus.
iitam inueniri polTuiit..
DE
DE
MOTV PLANETARVM
ORBITARVM DETERMIN ATIONE
AVCTORE
Leonh, Eulero.
§. I.
CVm hoc tcmpore lluis conftet, planetas in elli- TabuklV.
pfibiis moueri , in quarum altero foco fol fit
pofitus, motumque ita efle comparatum, Yt tem-
pora areis circa folem defcriptis fint proportionalia ; quae-
ll:io de motu planetarum duplex oritur, quarum altera
qualitatem ellipfis , pofitionem abfidum fcilicet et ex-
ccntricitatem rcquirit, altera vero ipfius planetae motum
in fua orbita. Vtramquc hanc quacrtionem hic euokie-
re, et quantum calculi difficultas permittet, relbluere
conabor.
§. 2. Primum quidem orbitam planetae pro cogni- Fig. r,
ta habebo, atque motum planetae in ea definire ftude-
bo. Sit igitur ADB femiffis orbitae planetae cuiusdam P,
cuius abfis fuinma feu aphehon fit in A , pcriphehon vero
in B, atque fol fit in foco ehipfis S pofitus. Sit por-
ro C centrum orbitae, et ponatur femiaxis AC vel BC
— ^, diftantia foci S a centro C feu excentricitas CS
— ^, erit femiaxis coniugatus CD~V ( a^ — l?-). Po-
namus niinc planetam ex apheUo A peruenilTp in P,
1 2 hinc-
6S DE MOTV PLANETARFM
hincqiie momento temporis progredi in j), ex quibiis
pundis tam ad S redae, quam ad axem AB perpen-
dicula ducantur ; ponaturquc CQpir, erit PQri: ^'" '\'''' '"" \
§. 3. His pofitis exprimit angulus ASP planetae
anomaliam veram feu coaequatam , quam ponam— ^.
Anomalia vero media proportionalis ell tempori, quo
planeta fpatium A P abfoluit , feu areae A S P. Erit crgo
area ADBad aream ASP vt angulus duobusreiftisaequalis
ad anomaliam mediam. Confideremus nunc circulum radii
1 , cuius arcus fit anomaiia vera z:; ^ , in eodem ergo
fi anomaliam mediam inuenire velimus , quae aequalis
fit arcui .v \ erit area A D B ad angulum duobus recftis
aequalem feu ad duplam aream femiciiculi illius vt AC.
CD ad 2, i. e. Tt «y(«' — ^') ad 2. Fiet igitur ^V («-
^l;' y.azzArcA. ASF:x^ vnde cft xz
§. 4.. Cum fit anomalia vera z aequalis angulo AS P,
erit cius incrementum dz aequaie VSp. Angulus ve-
ro ?Sp acqaatur areoiae VSp bis fumtae per quadra-
. r-,- , 2 Areoi. ?Sp
tum PS duiifae ; crit fcilicet fizz=L -^^p — - —
Itt^^blf^- -^t cx fuperiore aequatione erit dx — -;~^_^
Rellat ergo, vt elcmcntum areac VSp idonco modo
exprinutur, id quod ex confideratione totius areae fiet.
Ei\ enim arca AS?zz'-^^^'^f?il(l^-^^^^'^'^-^^
-s
£T ORBITARVM DETERMINATIONE. 6p
—7 — "~ a 1 cuius diffcrentiale eit — ^^^T^^i^f^Tj — ^^
quod ergo elt ~?Sp. Hinc igitiir fit elementum ano-
maliae mediae d x z:z^2:f-^^_^:zY-\ et elementum anoma-
ae verae ^c;=:f72— Krr, ri— ,t>.
§.5.His duabus aequationibus continetur relatio , quac
inter anomaliam mediam et veram interceditj ad eam
ergo definiendam oporter, vt vtraque aequatio integretur,
quo tandem aequatio inter z et x elici queat. Qiiod
ad priorem attinet, ea ibtim abit in hanc rt^.vzr ^^-=— y
i^-j, cuius integralis eft .v=r A.^^^'-'-4-|V(«^
— r=), vbi A fignificat arcum circuli , cuius finus eft
quantitas poftfixa cxiftente finu toto — i. Pofito er-
go hoc finu ^''\~'- —.f, erit a^A.j-I-^-
§. 6. Alter.i acquatio ditHrcntiahs efi: dz—T^'^^^^^^—^.
quae cum abfolutc, tum plurimis modis per feries poteft
integrari. Prae reliquis vero is modus eligcndus effe vide-
tur, qui huiusmodi det feriem , in qua dimenfiones ipfius
^ in numeratoribus crelbant, quo pro exiguis excentricita-
tibus luificiat duos vel tres ttrmuu)^ initiales aflumfifie.
§. 7. In feriem ergo prmnim conuerto V ( a-h' ), quae
erit ifta a ~ -^ - t:^ - rr^^ etc- —a---^,~^
ctc. Deinde eft etiam :^r—T-%-^^-^^^ - 5^-f-etc.
Hae ergo duae leries in ie inuicem multiplicata dabunt
flVio^— fc^) fcr __ fc^(a^— ;r-) h^r{c^—.r-) 6'^:a;^-f-4a^r^— «>-♦)
I /? -H
70 BE MOTV PLaNKTARFM
-4- -J-g-rH^r -"'•.)_ ^i^ gj j^^^j^j, huius fcriei finguli
termini ducantiir in ^j^zzr^) habebitur elementum ano-
maliae yerae dz. Ernnt vero omnes termini prae-
ter primum abfolnte integrabilcs, inuenietur enim z::zzA.
V(a^— r^) _ ftVC'— r') fc-rV(a-— r^) _ ;,?(a^-t-;r')v(a^— r^)
a «- ' ;o+ 6a^ •"
£*r(a^.4-,r^)V(j^-r')
• n» £tC.
§. 8, Dicatiir nunc arcns feu anguhis V, cuius finus
cft ■ ° ~''~ £t fignumy denotet polthac linnm angnU pofl:-
fcriptij erit .v— V-j- j/V, atque per eundcm anguhim
V eiusque fmum vna cum mukipiorum iplius finibus z
fequenti modo determinabitur , vt fit ^ — V —
i/V-+- ,^/2 V- ^ (/3 V -i- 3 /• V ) -f- 3^. fAV-|-4-> V)-
.!^^/5V-|-5/3V-f-iq/V)4-.7^(/3-5 39
§. i5. Denique notnndum eft , fi inucnta fuerit
anomalia "vera datae anomalii-.c mediae refpondeub, fa-
cili negotio increm.entum minimum anomahae \crae in-
ueniri pofle , fi auomaHa media minima particula auge-
atur. Augeatur fcilicet anomalia mcdia angulo dx^ crit
^/ X
incrementum anomaliae vcrae dz = - 1 — rTn
(i-i- -cof.Vf
Noftro ergo cafu erit /( i -h^cof.V) — o, 0103573
ct (i + 7CofV;= 1,04885 Qiiare erit dz = Y~Ts
zizdx—'-^ fi ergo anomnila media fuerit Si°, erit
anomalia -vera 70° , 46^ , a.^'
§. 17. Sin autcm quis velit hac mcthodo tabii-
bulam anomahum verarum computarc, is fcopum fuum
commodius afTequetur, fi non anomahas mcdias pro
cognitis affumat, fed angulos, quos Httcra V difignaui,
ex his jue angulis tam anomahas mcdias quam veras
calculo inueftigct- Hoc enim modo flicile tabulam coa-
ficiet. Sumto enim pro kibitu angulo V, erit x=::V-H
^ fW ct z-\- \j.V -i- ^:/2 V- ^ ihV^j^ V) Exera-
ph' gratia pro orbita martis pouatur Vzn
ET OTtBlTARFM DETEKMINJTIONE. 77
V — 20*. Erit //V — 9, 5340517
fuhtr. ATt liipra 5,7i9-5':4.
3, 6147993
nnm. refp. (5528^^
hoc efl. 1°, 48', 4^^-^
Erit ergo anomalia media 21% 46'' , 40'''
et aiiom:ilia Yera prope vera 18°, 11', in''''
Nunc fumatur //2V 9 , 5080075
fubtr. 2/-^ 2, 0673 5 3077<^
num. 284-"'— ^^^, ^^^^'
Anom.alia magis corrcda— 18°, i^-', 56''''
Dcnique fumatur/sV— 8660254
et ^jV~ 10160606
I 8920&60
huius log. 10, 2769406
fubtr. 3 /| 3 , 1010325
7, 1759081
fubtr. /12 I , 0791 81 2
6, 0967269
fubtr. 4, 6855749
I , 41 1 1520
num. 2.6^^
K s Ano-
78 DE MOTV TLANETARVM
Anomaliii vcni ergo eft i8°, 15'', 30^^ refpondens
anomalmemcdiae 21°, 4.8'', 48^^". Hi-iic veroanomaliaeme-
diae intabulis rclpondet haecanomalia vera iS'', 16', 14.''''.
§. 18. Progredior ergo ad altcram qiiacftioncm ,
cuiiis initio mcntionem feci , qiiae circa fpcciem ellip-
fis, in qua planeta circimifertur , eiusque pofitionem
iTjg a. determinandam verlatur. Ad haec inuenienda cogni-
tum efle pono tempus periodicum planetae, quod fitzz
T. Deinde etiam data elTe oportet tria loca helio-
centrica planetae , cuiusmodi fint F S , G S , HS vna cum
temporibus inter obferuationes elapfis. Ex locis
ergo helioccntricis dantur anguli FSG et FSH, fit-
que F S G — / et F S H :zi^. Praeterea fiat vt tempus
periodicum T ad tempus inter duas obferuationes , ita
350 gradus, ad angulum qui efl: differentia anomaHarum
mediarum inter easdcm obferuationes. Cum igitur dentur
difteientiae anomaharum mediarum inter obfervata pla-
netae loca , fit ea quae ell intcr loca F etG=:;«, et
quae eit inter loca F ct Hzz;?. Ponatur uunc ratio
ACadCS vt I ad '"j ; crit -jmc; porro fit anomalia
media loci Fizi.v, et anomaha vera fcu anguhis ASF
§. 19. His pofitis erit loci G anomalia mcdia —X
H- m , et loci H ~ .v -j- « ; loci vero G anomaha vera
erit — z H-/et loci Wznz -\-g. Dcinde fit .v— P-f -r/P;
x-\--m — Q^-f- R-/^P)-"T:(/3R"/3P-i-a/R-3/P)etC.
Priores vero aequationes eHminando x dabunt.
,;,-q_p_h^(/Q__/P)
H-R-P-Hi;(/R-/P) ^^"1"®
Ponamus terminos in quibus inefl: oj' et akiores pote-
ftates euanelcere; erit coniungendis aequationibus-^-=Y^—
Q_-P et Q^— P^^-"', atque R — P ^- ^". Per
pofte»
8o DE MOTV rLJNErJRFM
pt—f
pofteriores iiutcm aeqiiationcs efto» :=: ^ — 7±i^._opp
— „-£- . Ex his vcro aequaiiODibiis
- --f-ilSi^l^^S-/-
num vcrfum dcnotat. Ex hac igitur aequatione iam pro-
xime inaeiiiri poteft angulus ? \ hocque inuento fimul
quoquc valor ipfius v proxime verus innotefcit.
^. 21. Iniiento hac ratione angulo P, ex eo dc-
terminctur valor iplbrum Q^ et R per aequationes Qpz
p_}_tei et R — P-+-^7^ deinde etiam valor ipfins
17 per aequationem i;:^ ,j-^~f;p. Hi vero valcres hoc
modo inucnti nondum fuat veri, fed tantum veris pro-
pinqui ; propiores autem inuenientur fequentibus tcrini-
nis non ncgligcndis , crit nempe "^-=7^ =3 Q_- P -f- ^
(/2Q.-/^P)-r^/3Q.-/3P-4-3/Q.-3/P) etc. ideo-
quc Q=P-i-^-^-?(/2Q-/2P)-+-:-:(/3Q-/3P
H-3yQ^3/P) :^t(]ue fimili modo Rz:PH-^--y
(/2R-/2P)4-:;(/3R-/3P-K3//i-3/P); in qui-
bus exprcflionibus loco , P , Q, R et t; ante inuenti va-
lores fubftituantur poft fignum =r ; hocque padlo propic-
res pro Q et R valorcs habcbuntur. Pouiitur breuita-
tjs gr. Q_:=P-hM et R-P-^-Ncrit v -j^fl-^_^~,—
j(p!ll^)—j?- Ex quibus aequationibus inucnitur tang. P
(m— Ml/M— (n— N^/M , . . ,
^[rn-WF-ii=^, 27° 21^, 47"".
Dein-
8» ORBITJE SOLJKIS
Deinde eiusdem menfis die 14- enit fol in V 4.°, 17'',
iS^''. Atque tcrtio menfe feptembri dic 15 crat foi
in ^ 2°, 4.5^, 37''^. Qiiae folis loca ex altitudiiii-
bus meridianis cxadi(fime obferuatis deduxit ipfc
Flamjledius.
f . 4. In liis autem locis fol verfibatur ipfo puncfto
veri meridiei , dum per meridianum tranfiebat, Qiia-
re quo anomalias m.edias ex Iiis temporibus rede con-
cludamus oporret haec tempora ope aequationis tcm-
poris corrigere. Qiio fad:o erunt vt fequitur.
Temporc mcdio
Mart. d. 7. la^ 8^, 24^'
Mart. i^d. i2'\ 6^ ^ \$'^
Sept. 15 d. ii^ 51^ 27'^
SoTis loca
II S, 27%^i%i7'''
oS, 4% 17', 18"'
6 5, 2% 45^37'^
Karum obferuationum primam fvimo igitiu- tanquam
terminum , et pono eius anomaliam veram~2, at-
que anomaliam mediam — a'. Praeterea i: v mihi
denotat rationcm diftantiae mediae ad excentricitatcm,
adeo vt hae tres quantitates x;, .v et 1' cx his tribus
obferuationibus debcant determinari. Ponatur fccundae
obferuationis anomaha vera rz: xj -f-/, ctmediarr .v-j-7;/j
tcrtiae vero obfcruationis anomaha vcra~;2-l-^ et
mediazra*-!-;;. Qiiae quantitates /, ^ , 77/ et « ex ip-
fis obferuationibus immediate dctcrminantur.
§. 5. Differentia temporum intcr primam et fe-
cundam obferuationem eft ergo<5d, 23^, 57', 51", cui
ttni-
DETMRMINMIO.
$^
pori motiis mediivs refpondet 6°, 53', 52". Cum autem
intcr c:i ae'-|uino(flia circiter i" iint retrogrefla , erit dif-
ferentia inter anomalias medias primae et fecundae ob-
feruationis ;;;ir:6°, 53'', 51". Dilferentia vero inter loca
foiis elt 6'', 55', 31", quae fimiiiter minuto fecundo mi-
nuta ob praeceflionem aequinodiorum dat differentiam
inter anomalias veras primae et fecundae obferuationis
y — 6°,55, 30". Deinde diffcrentia temporum pri-
mae et tertiac obferuationis eft 191 d. 23^, 4-3', 3" cui
motus mcdius rcfpondet 189°, 12', o": hinc motu ae-
quinodiorum 26" fubtrado remanet differentia inter
anomalias medi:is primae et tertiae obferuationis , nzz:
189°, 11', 34.". Denique diffcrentia inter folis loca
primac et tertiae obferuationis 2.6' diminuta dat diffe-
rentiam inter anomalias veras primae et tertiae oblerua-
tionis ^=185% 23', 24.".
§■ 6. His prapaeratis fequitur vt quantitatcm an-
guli cniusdam P,qui cl1: anomalia excentri, definiamus, quo
cognito ficiie omnia , quae requiruntur , determinare licet.
Olkndi autcm in praccedente mea dilfertatione fore proxi-
"""'" ^— pofito finu toto — I.
me tang. ?—''
Qiio igitur illa exprellio per calculum deflniatur , fe-
quenti modo opcrationes inftituo.
m = 6%53',5i"
n^iSg , II , 34-
^-185% 23', ^4'
Tom, VII,
M
Ex
$0 ORBITAE SOLARIS
Ex his crit
fH'-f-=z-i\ 39'!=:- 99"
«-^—8°, 4.8', 10"— 13590"
atque
^(^)-o, 0072315.
Praeterea eft
^'-6', 54^40"
et
^ = 187% 17', 29"
lam vero eft
/^==1203393
atque
qiil miiltiplicntus per — (^^)=:o, 0072315 dat —9178.
Erit ergo numerator fradionis , cni tang. P aequatur —
1194.115. Praeterea eft {\.~^~-j266i atque fv.
'5^zr:.X99i9i30 qni dudus in — (^£^)— o, 0072315
dat —(^^)fv.^-— 144045. Vnde fit denominator
zz 216705. Diuidatur nunc fadum ex numeratore in
finum totum per denominatorem et prodibit tang. P—
55 103000. Qiiocirca inuentus eft angulus P— 79^,42',
51", qui autcm valor tantum eft vcro proximus, et
iequenti modo corrigi dcbct.
§. 7. Ex valore ipfuis P fequcntes litterae Q ct R
habebuntur , ncmpe cum fit P — 79°,42', 51", erit
QpP
DETERMINATIO. 91
m — /
257°, o', io". Ex his valoribiis erit v— .-_i-_ :r:
vnde patet valorem ipfuis «y fore negatiuum,
/K-/P
id qiiod indicat diltantiam primae obferuationis non ab
apog;ieo (ed ab perig.ieo inuentum iri. Erit ergo l-v
m/ j ~ — /(/Q^— /P), in qua expreflione notandum eft,
quia iinus cumangulis comparantur, a logaritiimis finuum
fubtralii debere 4., (5855704., quo logarithmi minuto-
rum fecundorum obtineantur. Ob eandem rationem erit
■^- in mmutis fecundis 1=49, 5 atqus l-^~ i::^ i»
69^60$ 2.
lam vero eft
/0.= 9982558
et /P — 9839292
ideoque /Q^-/Pr= i4-33<^^
atquc /(/Q.-/P) = 8, 1564482
a quo fubtrah. zr 4,6855704
reftat 3 , 4708778
fubtr. a l^-~= l\^9^^°^^
erit l—v — — 1,7762726
feu v—-^
hic vero valor ficut et reliqui correiftione fequente ha^
bet opus.
§.8. Ad hanc correcflionem inftituendam quaeran-
tur valores htterarum M et N ex fequentibus foimulis:
M % M =
5?2 ORBITAE SOLJRIS
vbi a logarithmia finuum fubtrahi dcbet 4,(5855704,
Quia \ero fmguli finus multiplicati funt per %'' cuius lo-
garithmus eft — 4, 4556^252, a logarithmis finuum (lib-
trahi debet ifte logarithmus 9, 1412056' et numerus
logarithmo refiduo refpondens dabit numcrum minuto-
rum fecundorum. Compendii autem gratia non ell opus
vt anguh 2 P , 2 Q^, 2 R ad minuta fecunda vsque fuman-
tur : tanta enim accuratio eflec fuperfiua. His praemifli*
erit vt fequitur :
/2P-/I59", "-6'^/.o%34.
/2Q_-/i73%i5'^76°,45'.
/2R-/534^ x'zr/5%59.
Hinc erit
fubtrahatur 9
, 545<^7+5
, 141205(5
ergo %'j2?=z2f
, 40446S9
Simili modo
//^Q.=^9,
fubtrahatur 9,
070i7<5i
141 205(5
("I),
9289705
ergo r/^Q^-o^S^'"
atque^//2R=:ro,75'
Ex his prodit
IV1= 6\ 5+, 4^"
N=.i87% 17', 31".
et
DETERMINATIO. 03
f 9. Qiiia viilores littenrum M et N -tam paruni
discrep-.uit ab ^^^ cf^T~ correftio litterarum P et <&
fere crit inienfibilis; interim tameri ad ■vfum regulae a
mc traditie ollendendum calculum inliituam. 0(kndi
igitar tore tang. P — , „. _ m , -, pofito rinu Lo-
to — I . Ad hunc ergo angulum P detegendum fequeriti
modo operor
;// — M ~ — 5 o , dp '
^ n-N—i%s^\ 3,2i'''— 584.3, ^i'
er§o-('^) — 0,0074073 ■'
Praeterea efl; ,:
/M—- 1103003 ;;
ergo - ( :^:^ )/N — -9+00
ergo uunierator ^1:1193603
Deinde eft
/v. Mzr 7-^70
/"v.N= 19919123
Erit ergo
- (^)/v.Nz= 149305 ideoque
denorninator :=: 221975
Inuenitur ergo
tang. P— 53771000
ideoque P — 79% 27', 54".
M 3 §, IQ.
94- ORBITAE SOLARIS
§. 10. Sumto ergo lioc ^'ilore pro vcro jingulo ?
erirQ^ — P-f-M— 86°, 22', 36" ec R — t^ -h N -: 26'<5%
45 ,25 , atiue ex his erit verus viilor ipfins 'V^ j^r:ji
^/kZ/p» qiiae expreffio vt aute deber traLltri. Px
aequati >ne autem v~ r^Erf? prodit /— •!'— — i, 77(51733
qui eft verus valor iplius v, at:iuc diftantia mcdia ad
excentricitatem vt 1 00000 ad K574..
§. II. Ex his nunc per praecepta tradita vtraquc
anomaha loci foHs in prima obferuatione poterit definiri,
in quo autem notandum eft ob valorem ipfius v ncga-
tiuum a pcrigaeo anomalia computitas prodire. Erit
autem primi folis loci obferuati 11 S, 27°, 21', 27"
anomaHa media .v — P-t-i'/P et anomali? vera iszziP
— T/P-f-^^y^P etc. ad quos valores inueniendos eft
IJ? — ^^ 992619Z
fubtr. 4, 6855704
5 , 3070488
l-v — - I, 77<5i733
/-i;/P=r3, 5308755
crgo --y/Pzr^SPS^^S^', 35"
lj2?—9, 555<5433
fubtr. 4, 6855704
4, 5700729
/^,' = -4, 1655562
/f/2Pi= 0,7045 1(57
crgo "^^/aP — 5". Ex his ergo fit
DETERMINJTIO. $$
x-n% , 31', ly^^aS, 18°, 31', i/
z— 80°, ^4, 34."— 2S,20°, 24.', 34."
§. 12. Ciim igitur Sol fnerit A. 16 go. Menf. Martio
^'^^ii^S^iVinecliptica 1 1 S , 27°, 21', 27'', erat iUo
tempore aequatio 1°, 53', i5"addenda ad motum medium.
Qiiamobrem illo tempore erat motus medius folis 1 1 S,
25°, ^^^i^-"" atque idpo die 7 Martii ipfo meridie iu-
xtatempusmediumeratmotusmediusfolisiiS,25°,27',5 2"
Ergo A. 1689. completo feu initio anni 1690. erat mo-
tus medius folis 9S , 20°, 24', 42", qui locus fi cum tabii-
lis motus medii folis in Lexico Harris comparetur, depre-
hendetur 40" maior, et hanc ob rem illae tabulae pro ob-
feruatorio Greenwicenfi augeri debent 40". Qiiocirca
erit
A. a C N.
Motus mcdius
0
1701
9S, 20% 44, 30"
1721
n 0 f if
9S, 20 , 53 , 34
1741
9S,2i°, 2', 38"
1761
9S, 21 , II , 42
17S1
r" 0 1 ^ II
9S, 21 , 20 , 46
1801
0 0 ' "
9S, :ii , 29, 51
In tabula pro annis intermediis nihil cft mutandum.
§. 13. Subtrahatur a vero loco folis
anomalia vera inuenta , iiS, 27", 21^,27"
prodibit 2S , 20°, 24', 34"
k)cus perigaei orbiiae folaris. 9S, 6% 5 6', 5 3"
Qiiam-
9<5 ORBJTJE SOLARIS
Quamobrein iipogacum orb:tiie Iblaris erat
A. 1690. d. 7. M;ut. in 3 S, 6\ 5*5', 53"
atque initio anni i^^^o. in 3 S, (5", 56', 4.4."
atqiie initio anni 1701. in 3^,7°, 5',5+"
Quare a loco apogaci folis ex tabulis aflronomicis ci-
tatis inuento perpetuo fabtnihi debet 34.', 16", adco vt
in illis tabulis plusquam dimidio giadu apogacum Ijt
nimis promotum,
§. 14. Logarithmum rationis exccntriciratis ad di-
flantiam mediam inuenimus —1,77(51733, ita \t fit
diftantia media ad excentricitatem , \t looooo ad 16"" 4.
feu vt 5973 ad 100. Si nunc ille logarithmus iuxta regu-
lam in fcqu. diff. expofitam addatur ad 5, 61 54-596' pro-
dibit 3, 8392863, cui refpondet numerus 6907" pio acqua-
tione maxima , eft ergo aequatio maxnna — i°,5 5',7".
§.15. Reftat vt definiatur anomaha mcdia, cui maxi-
ma aequatio refpondet; id quod per regulam mcam fe-
quenti modo fiet.
Ad log. finus totius 10,0000000
addatur r^ — — 5, g^^o^^-^^P
4., 0(594-200
qui eft log. finus anguli 14-'"
eft ergo ^ zn 1 4.'"^.
Deindc ad 5,314.4295
addatur lv~— 1 ^'■]i6i-"^'^
3^, 53Si5<5^
cui refpondct numeriis 3 45 4" 'eu 5 7', 3 4". Quamobrem
crit anomaha media cui aequatio maxima refpondct 90" ,
5 7', 3 4"- atque anomalia vera, cui aequatio maxima re-
fpondet, erit 89', 2', 27"- ^O-
SOLVTIO
PllOBLEMATVM aVORVNDAM
ASTRONOMICORVM-
AVCTORE
hconh. Eulero,
Problema i.
D4ta planetae aequatione maxima , imemre orhitae eiiis
excentricitatem.
SolLitio.
Conuemtiir aequatio maxima in minuta fecunda,
fitque eorum numerus — m \ dico fore diftantiam pla-
netae a Sole mediam ad excentricitatem \t 412533 ad
numerum ;«; fi qiiidem aequatio non fuerit nimis
magna. At fi aequatio admodum fucrit ingens, po(i-
ta rationc dillantiae mediae ad excentricitatem \t i ad
'V, ^rkv^,^,,-;;^;;^. Q..E.I.
Problema 2.
Data excentricitate orbitae planetaris , inueHire aeqiia-'
tionem maximam.
Solutio.
Sit I ad 1; \t diftantia planetae a Sole media ad
excentricitatem , et fic m numerus miuutorum fecundo-
rum aequ;;tit)nis maximae , qui quaeritur , cico fore m
— 41 2533 ('x7-i- 1'^ ; vel per logaiithmob Ciit iog. mz=.
Tom. Vn. N 5»
98 SOLFTIO PROBLEMATVM QFORFND.ASTR.
^^ 6i^^$g6 -^I('V-\-'^' ). Vbi notandiim c(l: , nifi
exccnracitas fuerit vehementer magmi loco qiumtitatis
v-\-% ^ami polfe tantum v. Q_ E. I.
Problema 5.
Data excentridtate orbitae planetaris, inuenire ano-
maUam mediam, cui aeqiiatio maxima refpondet.
Soliitio .
Sit I ad 1? vt diftantia media ad excentricitatem,
quae ergo" ratio datur et proinde v. Multiplicctur finus
totus per %^ , et f;i(ftum erit finus cuiusdam anguli
ex tabulis inueniendi: fit hic angulus q graduum.
Haec vero operatio commodius per logarithmos in/lituetur.
Deinde quaeratur logarithmus quantitatis i;-^j , vel
tantum ipfius i;, ex tabuHs logarith. num. naturahum,
fi tuerit V admodum paruum , ifte logariihmus addatur
ad hunc 5, 314.4.295, et logarithmi , qui prodit, quae-
ratur numcrus relpondens , qui fitw^ \bi notctur ;/' tfTe
dimidiam partem aequationis maximae; itavt,fi aequa-
tio maxima iam fiierit inuenta hac pofieriori operatio-
ne nequiJcm fit opus. Dico fore anomaham mcdiam
quaefitam 90° -\-q'' -\- n". Q_. E. I.
DE
DE
MINIMIS OSCILLATIONIBVS
CORPORVM
TAM RIGIDORVM QVAM FLEXIBILIVM.
METHODVS NOVA ET FACILIS.
AVCTOPv-E
heonh. Etiler.
§■ I.
QVae ad ofcillationes corporum rigidoriim perti-Tabb.V.Vt
nent problcm;it;i , ea Geometrae ad inuentio-.
nem centri ofcillationis referre funt foliti.
Cum enim corpora rigida fignram fnam, qnantumuis
etiam a potentiis oliicitentnr, immutatam retineant;
ad eorum ofcillationes determinandas lufEcit eorum of-
cillationis centrum noffe. Hac enim ratione tota quae-
ftio reducitur ad ofcillationes penduli fimpiicis , cuius
motus iam fitis cognitus et extra omne dubium efl:
pofitus. Omnes idcirco circa motum ofcillatorium cor-
porum rigidorum quaertioncs eo rtdeunt, vt inuenia-
tur longitudo pcnduli fimplicis, quod iisdem temporibus
ofcillationes fuas abfoluat ; hac enim cognita fimul quoque
motus ofcillatorius corporum propofitorum innotescit.
§. 2. Qiiod vero ad ofcillationes corporum flexi-
bilium attinet, de iis duplex ftcienda eft quacflio. Nam
antequam penduli fimplicis ifochroni iongitudo determi-
N 2. nari
too METHOBFS NOFJ ET FACILJS
nari potcft, figiira, qnam huiusmodi corpora flcxibilia
iuter otcilLindum induunt, debct definiri^ nifi enim
h:iec fit cognita, quid potentiae in ea agentes cffi-
ciant , afiignari nequit. Ad motum igitur oscillato-
rium corporum flexibilium inueniendum requiritur, vt
figura eorum, quam quouis momento inter ofcillandum
induunt, determinetur ; quo fii(fto focile erit Jongitudi-
nem pcnduli fimplicis ifochroni aflignare.
§. 3. Huius generis problcmata iam quacdam a
Geometris fimt pertradata , quorum primum , cuius CL
Taylorus elegantem dedit folutionem , circa olciilationes
chordarum muficarum tenlarum verliitur, quibus oscil-
lationibus loni eduntur. In hacq-ie tradatione C/,
Tayloms primo curuam, quam chorda vibrata format,
determinauit j ex eaqne pallmodum numcrum ofcilKitio-
num , quem data chorda dato tempore abfohiit , definiuit»
§. 4.. Huc quoque pertinet problema de ofcillatio-
nibus fhnis feu catenae perfede flexilis, cuias practcrito
anno C/. B.rmullius fohitionem huc tranfmifit; quod-
que idem problema polhnodum aha metodo fatis bre-
ui et ficih refolui, paritcr hic coram fijcietate prae-
ledi. In vltimis vero , quas ad mc dcdit Ch Benwul-
Uus y httcris mentionem fccit ofcillationum laminae
elafticac akcro termino paricti firmo infixae , atque
aequationem mihi pcrfcripfit a fe pro curua , quam
lamina ofcillans facit, inucntam cfl": •, de (lua autcm adhuc
anceps hacrcbat, vtrum conucniat , an fecus: propterea
quod hacc quaeftio tam fit intricata , atque in ea rcfol-
iienda crrorcm committere admodum fit prochue.
DE MINIMIS OSCILLATIONIBFS CORPOR.ioi
§. 5. Ego qiiidem , quamiiis valde fiicilem et
latep:itentem eflem adeptus methodum curuam funis
perfecfte flexilis ofcilinntis determinandi ■ tamen ex ea
parum vtilitatis ad curuam lammae elallicae ofcillantis
inueniendam haurire potui. In mentem igitur mi-
hi venit aUa methodus Luiirune patens atque ftaticis
tantum principiis nitens, cuius ope non fokim has de
ofcillationibus laminae elafticae et funis fufpenfi quae-
lliones mira flicihtate refohii , fed omnia quae ad ofcil-
lationes pertinent promptiflime expedire pofTum.
§. 6. Ahis enim, iisquc maxime diuerfis metho'
dis funt vfi au(ftoies , qui de centro ofcillationis feu ofcil-
lationibus corporum rigidorum egerunt , ahas etiam
C/. BernouIIius et ego methodos ad ofcillationes funis
fufpenfi flexilis inueniendas adhibuimus. Ex diuerfls
quoque principiis Ciariflimi Viri Taylorus , loh BernouUi^
et Hermannus ofcillationes chordae vibratae deriuauerunt.
Ea vero methodus , qua problema ofcillationum laminae
elafliicae parieti fixo infixae refohii , ita eft compara-
ta, vt eius ope quoque fupra memorata problemata
omnia fumma cum ficilitate refohii queant.
§. 7. Q110 igitur hanc methodum , qua omnia
huiusmodi problemata circa ofcillationcs corporum tam
rigidorum quam flexibihum refolui poflTunt, commodif-
fime exponam, confidero ante omnia pendulum flmplex,
et ofcilfuiones, quas peragit: quippe ad quod quorura-
que corj:orum ofcillationes funt reducendae. Contem-
plor aiitem ad hoc inftitutum ofcillationes minimas tan-
N 3 tum
102 METHODFS mfA ET FACILIS
tiim , eo qiiod liAe fiint inter fe ifochronae tam in pen-
dulo fimplici , qiuun in corpore qnocunque : cum maiores
orcilhuiones cum pendulo iimplici ninliimc comparari
queant.
Figuiai. § 8 gjt- ej.go OM pendulum fimplex in O fus-
penfum et in M habens pondus alligatum , cnius rnaflTi
fit M. Dcclinet hoc pendulum a IVatu quietis feu rcfta
vcrticah OA angulo infinite paruo AOxM, ita vt arcu-
lus M A pro reda horizontaU haberi queat • voceturque
longitudo huius penduli OM=^/; et ipatiokim AM
corpori M percurrendum , donec in (latum quietis per-
ueniat— )fe. Vis grauitatis porro, quae corpus M dcor-
fum vrget, aequatur ipfius ponderi feu ipfi M. Ex
hac vero per refolutionem oritur vis corpus verfus M A
vrgens = ^=:^;V^ =T' ^^^^^ ^"■'"^^"^o -^^'« ^'
mili triangulo OAM-
§. 9. Ponatur haec vis folUcitans corpus M fe-
cundum MAzr^; erit g—'j\ vnde oritur /z::-^.
Si igitur corpus M fecundum dircdionem MA vrgea-
tur vi g , eique percurrendum fit fpatium M A 1:1: ^ ,
donec in flatum quietis pcrueniat^ erit tcmpus, quo ex
M in A peruenit, aequale tempori desccnfiis pcnduU lon-
gitudinis y'' ^' qnidem dum corpus pcr MAinccdit,
vis ad A vrgens proportionaUs fucrit dillantiae corpo-
ris ab A.
§. 10. Ex his ergo pcrfpicitiir , quomodo , fi detur
maffa corporis et via pcrcurrcnda atqne vis corporis
fecundum hanc viam foUicitans, inucniri debcat Umi-
gitudo
DE MINIMIS OSCILLATIONIBVS CORP: 105
gitudo pendiili fimplicis eodem tempore defccnrum fen
femioicillationem flbfoluentis, quo illud corpus viam
liiam abfoluit. Illa autem via efl: fpatium , quod cor-
pus percurrere debet, donec in ftatum quietis perueniat.
Dum vero corpus in hoc (patio mouetur , \:s illud Ibl-
licitans femper elt proportionalis diftantiae a ftatu quie-
tis , fi quidem minimae ofcillationes fucrint ilbchronae,
Id quod ex cafibus deinceps euoUiendis patebit , in qui-
bus vis fingulas particulas vrgens proportionahs quoque
reperietur diftantiis ipfirum a ftatu quietis..
§. II. Si igitur plura corpora fimul in ftatum
quietis peruenire debeant, oportet vt in iis quantitas
Y fit eadem. Qiiocirca potcntiae ea corpora fecua-
dum direcflionem , in qua mouentur , ibliicitantes debent
efle in ratione compofita ex rationibus maffarum et
fpatiorum percurrendorum , quibus confedis in ftatum
quietis perueniant, feu in quo fitu in quiete perma-
nere poterunt.
§. 12. In omni ergo corpore ofcillationes pera-
gente fpedandus eft ante omnia ipfius ftatus aequilibrii,
in quo fi femel fuerit in quiete , in eo perpetuo fit
permanfLirum. Hic enim ftatus refpondebit fimi pen-
duli fimplicis verticali in quo iblo quiescere poteft.
Deinde illud corpus parumper ex hoc ftatu eft detur-
bandum , et inquirendum , quanto interuallo quaeque
particula ab eo loco, quem in ftatu aequilibrii occu-
pabat , diftet ; quod erit fpatium percurrendum . De-
nique
X04 METHODVS KOVA ET FJCILIS
niquc , quo omnes piirticulne iterum fimul in fitnm
aequilibrii perueniant, dcbet eire putL-ntia, quae vmun-
quamque particulam iecunctum ipfius \iac percurrendae
dn-cdionem Ibilicitat, Yt fiicflum ex miffi particuhe
in viam percurrendam.
§. 13. At fi fiugulae corporis ofcilkntis partes adlii
ab aliis viribus atque in aliis diredionibus follicitcntur,tum
loco illarum virium aliac fubftitui debent, qu.^^e fingu-
las partes iccundum fpatiorum percurrendorum dircdio-
nes follicitent , et proportionaks fint fidis ex maflis ipfvi-
rum particularum et viis percurrcndis. Haeque poten-
tiae tantae funt accipiendae , vt omnes aequiualeant ipfis
potentiis corpus aflu ibllicitantibus.
§. 14. Cuni igitur hae potcntiae fubfiitucndae ipfis
potentiis corpus (bllicitantibus aequiualerc dcb.ant, ex ila-
tica condat, fi earum loco potentiae ipfis aequalcs at
fecundum dircdioncs contrarias agentes colloccntur , tum
corpus cifc dcbcre in acquilibrio. Qiiamobrcm iftc ita-
tus aequilibrii erit dcterminandus, quo definito tempus
innotefcet, quo corpus fibi relidum oicillationcs fingulas
flbibluat. Hac crgo ratione tota circa olcillationcs cor-
porum vcrfans disquifitio ad flatica principia rcducitur.
Qiiae omnia ex fequentibus cafibus mclius pcrcipicntur.
Fig. a. §• 15- Sit virga rigida grauitatc fcn potius omni
matcria dcitituta et qnatuor ponduitulis A,B,C,D onuik;
eaque circa O ofcillationcs pcragat , dum in fitum acquili-
brii Od acccdit, ex coquc in alteram partem reccdit.
Huius-
DE MINIMIS OSCILLATIONIBrS CORP. 105
Jluiusqiie penduli compofiti requiritur tempus vnius cu-
ius]ne orcillationis. PoiTamus longitudinem penduli fim-
plicis irochroni efTe _/', quod icilicet pendulum eodem
tcmpore dcfcenfum abfohuit, quo tempore virga ODia
fitum Or/ pertingit.
§. i5. Qiio autem virgA OD in fitum Ort^trans-
fcnitur corpuscuiis A,B,C, et D percurrenda funt fpii-
tia A(7, Bi!i,Cf , et Dr/, qune ob angulum DOrt^uifi-
nite paruum , pro lineis horizontalibus haberi potcrunt,
Omnia vcro haec corpuscula in Art' fimul eodemque
tcmpore, quo pcndulum / descenfum ablbluit, pcrue-
nient, fi ca lecundum dircdiones A ^, B/?, C f et D^
vrgeantur vinbus ^-, -/-', ^- et ^-^ re(peaiiie.
Qiiare fi his potcntiis aequales in direclionibus conira-
riis Aa, Bg, Cy etD5" applicentur , hae virgam AD
,in hoc fitu AD in acquilibrio feruabunt,
§. 17. Singula vero corpuscula A ,B ,C et D rcip-
fi vi grauitatis dcorfum tendunt viribus ipfis eorum maf-
fis proportionalibus. Quarc hae potentiae deorfum tra-
hcntes cum iihs horizontalibus Aa,Eto,Cy et D(5~ in aequi-
Hbrio debent elfe conltitutac, At momcntum ponderum
A , B , C , D ad virgam circa O conuerteindam efl: — A,
Art-H-B. M-i-CCc-i-B.Vd Momentnm vero potentia-
, . ,. ,, A Aa. AO-4-B.B5.EO-l-C.Cc. CO-+-D.Dd.DO
rum horizontalium elt f
Quae momenta cum debeant efle acqualia prodibit /—
A.Aa.AO-f-B E6.B0-(-C.Cl-C0-+-D.I>J DO ,, i^ v j i i-
xiripBTBfircccZD.Di— , quaeert longitudo penduh
fimplicis ifochroni cum pendulo compofito OD.
Tom. Vll. O §. 18.
ic5 METHODVS NOFA ET FJCILIS
§. i8. Sunt aiitem fpatia fingulis corporibus percur-
renda A^, BZ',^ f,Dr/ dilbntiis ipiorum a polo O pro-
.. „ . -j A Ao--(-B.EO'-t-c. co--+-n. no*
portionaiia. Qiiocircii ent/— ^7x0^ b.-Fq-^ c.c oqrD^-Do
Qiiae exprcflio crt ea iplii , qaae ex re^ulis iam latis
cogiiitis pro diftantia ccntri ofcillationis a polo O inue-
nitur. Eit enim didautia ccntri ofcillationis a polo O
nil aliud, nifi longitudo penduli fimplicis ipfi compofi-
to OD ilbchroni. Cognita crgo longitudine / innote-
fcit numerus ofcillationum , qucm hoc pendulum com-
pofitum OD dato temporc abfoluit.
Figura 3. §. 19. Siu autem pondufculaT quae virgis rigidis
inter fe connexa circa polum O olciliari ponuntur,
non fuerint in hnca red.i fita, primo cafus acquilibrii
cft: fpedandus, qui fit is , qui in figura repracfentatur , ia
qua tria pondufcula A,B,C ex polo O luntfuspenla. Ho-
rum ergo pondusculorum ccntrum grauitatis erit pofuom
in redla verticaU OF. Qiiarc i\ dcmittantur ad hanc
verticalem pcrpcndicula AE, BF et CG erit A,AE-|-B.
BF — C.CG.
§. 20. Conftderetur iam triangulum ABC circa
pohim O infinite parum conuerti , ita vt A in ^, B
iii i», atquc C in c pcrucniat, crunt haec elementa Aa.
Bl?,Cc- inter fe vt AO,BO ct CO. Sit iam/lon-
gitudo penduU fimpUcis dcrcenfum eodcm tempore ab-
foUicntis, quo tria pondufcula ex fitu al;c in fitum ABC
pertingunt. Hoc pofito erit vis quae corpus A in a fe-
cundum aA vrget —^'^-j^\ fimiUterque vis corpus B iu-
xta Z/B vrgcns rr^^ , et vis corpus C pcrfCvrgtns
"z^-^-j- Harum crgo virium momcnuim in polum O
crit
DE MINIMIS OSCILLATIOmBVS C02?P. 107
erit — j — — . Momentnm vero, qiiod
oritiir ex ponderibus corporum A, B, C iii a^b^c (ito-
nim inO, e(t - A. AE-^-B. BF-C.CG -f- -^-^"-4-
B.O^.Ei , C.OG.Cc . r t A A T- , -n ■ i /-<
-g5--H--'co — » "^ ^"'^ formiila A. AE-|- B. i:;! -C.
CG ell: — o, propterea quod ABC eft ftatus ae.^uili-
brii,
§. 21. Cum igitur h:iec duo niomenta inter fe de-
5 /T « 1- • A. An. AO-I-B E&.BO-I-C. Cc.CO A Ac. OB
beant efle aequaiia eut ~ — j — ^ — ~a6 ~
. B.B&.OF , C.Cc. OG ^ . ^ A T> 7 /^ r ^ ■ r
H- - Bo "-^ ~"co '• Q.^"'^ autcm A^, BZ^ Cf, funt ipfis
* /^ T-)/^ /^r^ ■ I- • A. AG--i-B BO--f-C. Cu'*
AO, BOetCO proportionalia, erit - — j-^
iz:A.0E-4 B.OF-f-C.OG. Ex qua aequatione ori-
r A.AO^-f-B.EO'-HC.CO* T- ■ ^.. . A.OE-I-B OF-f-C.OG
tur f- Ax..E-5.orH-c.o— • Fxprimit autem ■ k^y^^c-^
diilantiam centri graujtatis corporum A, B, C a polo O,
quod fi ponntur in M , erit longitudo penduli fimpHcis
./- , ■ r A.AO'-HBBO'-t-C.CO' . ^ j ,,
ifochroni /— — — _^,b_^,^:;om , quae quantitas dat quo-
que dilbnitiam centri oiculutionis a polo O. Ex liac
ergo nilcitur fequens regula pro centro ofciilationis cor-
poris cuiuscunque rigidi circa punctum fixum. (>fcill.intis
inueniendo. QiiaeJibet particiila multiplicetur in quadra-
tum dftantiae Juae a poh , et horum factorum jumma di-
uidatur p?r majfam totius corporis in diftavtiam centri gra^
uitatis a poh dudam\ (luotusque dabit diftantiam centri of-
cillationis a poh feu hni^itudinem pendu/i fimplicis ifchio-
ni. Haecque regula fufficir ad ofcilhtiones quorumcunque
corporum rigidorum circa polum fixum determinandas.
§. C2. Hic quidem pofuimus omncs corpcris ofcil-
lantis partes cum polo O in eodem fitas elTe plano ,
O 2 easque
ItWfHODFS NQFJ ET FJCILIS
eai ,ac in eodem p!:ino ofcillationes abroliiere ; nihild
\ero niinus h.iec eadeni rcgula v.ilet , ii \cl omnes'
partes^ non in codem pkno tacrint pcjhtae, vel ofcilln-
tioiics noa in eo plano peragantur. His cnmi in ciifi-
bus non tantum pohis feu pundum debet confiderari ,
fed iixis feu hiica horizontahs, circa quam olcilhitiones
abfoluuntur Hic enim iterum c]uaeuis particula in qua-
dratum diftantiae fuae ab axe ert muhipheanda , et fum-
ma omnium ficftorum per fKfbum ex tota ofcillantis cor-
poris malfa in dillantiam ccntri grauitatis ipfius ab axe
diuidenda , cx qua diuihonc ortus quotus dabit centrum
ofcihationis feu potius longitudincm pcnduh ifochroni.
Hinc inuenitur Theorema Hugenianum pro globo ex iv.a-
teria homogenea conlhmte AB circa pohim O oiciilante,
Figura. 4. qiiod fcihcct centrum ofcihationis 2 fcu iongitudo pen-
duH fimphcis ifochroni ht OZ — 0CH-|-^ , cxiften-
te C centro globi.
§. 23. Dantur autcm practer mocum ofcillatorium
corporum rigidorum circa pokim fixum , cx quo funt
fufpenlh, infinita aha olcihationum genera. Qiiorum
■vnicum fitis notum , nequc tamcn a quoquam , quan-
tum mihi condat cxpohtum , hac mcthodo pcrtradabo ,
untcquam ad corpora flcxibiha progrcdiar. Conrtat au-
tem hoc ofciUationum gcnus in motu rcciproco curua-
rum vel corporum quorumquc bafi conucxa (iipcr pla-
m fupcrficic vaciUantinm. Qiicm motum , necummo-
tu olciUatorio modo cxpofito contimdatur , vaciUatorium
appeUari conucnit. In hoc motu vcro notandum crt
pla-
DE MINIMIS OSCILLJTIONIBFS CORP. 109
planiim , fupcr qiio fit, aliquantiilum arperum effe po-
nen.Uun , ne curn:ic de loco fuo incer vaciilanuuni di-
moueri quc.uit, qiiod eueniret fi pknum maxime foret
politum^
§. 24. Sit igitur BAD bafis fen fedio verticalis P'&"" >•
corporis liiper plano EF vacillantis, cuius in imo pun-
dlo A curuaturae radius fit A C ; in hocque fitu fit cor-
pus in aequilibrio, atque M fit particula quaecunquc hu-
ius corporis, Qiioniam vero in hoc fitu BAD cor-
pus ponitur efle in aequilibrio, erit eius centrum gra-
uitatis in recta verticali AC fitum. Qiiamobrem erit
fiimma omnium fatftorum ex particulis M in difiantias
iplarum MQ_a verticali A C zn o , fimuis nempe diihn-
Ciis particul.irum ad alteram partem rccflae AC pofita-
rum ncg:uiuis, feu erit /M. M Qzno. lam vacillet
hoc corpus parumpcr, vt vcniat in litum baa.dy in quo
d eft pnnd:am conta(5lus coiporis cum plano EF et ra-
dius «f; quo motu punclum A in a perueniet, et M
in 7/;, ita vt fit ;:ng. Ma?;/ fcn MN wz:: C<.-7<.- feu ACa
atque elemcntum M//i normale erit ad rec%mMa vei
MA.
§ 25. Pofito nunc corporc BAD \\\ fitu bad^ /,
determinari debet vis id rurfiis in ftatiim a dcmilfo cx ;;/ uiEF pcrpendiculo mp.
Cum autem fit C A : A a = A M : M ;;/ ; erit M ;;/ n: '^^K" \
- , O 3 vnde '
iio NOFJ METHODFS ET FACILIS
vndc crit A M : P M — M ;;/ : V p fcn Fp- —^. Ex his
^t pa- PA-4- Aa-r/>--PA -f- '-^^'^ := PA -+- ^^*.
Partiailae ergo M momcntum eil: M.PA-f- — ^x"~'
Atqne rLimmn omninm momcntorum erit rr/M. PA-f-
/'-^^f^«~y^- , qnia /M. PA acquale elt nihilo.
§. 26. PonamU:^ iam longitudiiicm penduli ifochroni
rr_/, erit vis punctum ;;/ lu Ivi lolhcit;ins zz ^ jz.—^^'—
, . • • M. AM'.Aa /-v
liuiusqiie vis momentum in a — ~]^-. Omnium er-
, ;- ■ ' , M.AM-.A* ,• Aa.
go horum momentornm lumma ent j — q.^ j~ ku-^
/M.AIvi'', ob Aa, CA et / coalhuites quan-
titiites. Haec vero momentorum iun-ma acquihs efle
debet fummae momcntorum inuentae J — caT— ieu yt
/ M. CQ^, vnde habebitur ilhi aequutio jJm.C\1—JA.
AM', ex qua fit/— jli^, quae expretho uut lon-
gitudinem penduh fimplida iibchroni , quod iisdcm t>.m-
poribus ofcillationes •abfoUiit, quibus corpus BA D fupcr
plano EF vaciUationes peragit. Qiiociica hinc tcmpus
cuiusque vaciUationis deiinire hcet.
§. 27. In formula autem inucnta defignat/Al.CQ^
diflantiam centri grauitatis corporis a C in malfim to-
tius corporis duclam. Si igitur G fucnt ceutvum gra-
iiitatis atque maffi totius corporis ponatur C , crit lon-
gitudo pendnh fimphcis ifochioni — c.cg"- Ponamus
autcm ad comparationem inilituendam cornus in fitu dcor-
fum conuerfo circa A ofciUationes abfcUiere, crit lon-
gitudo penduU fimphcis ubchroni zz-^^-z^iS^' ^^^^^ ^'^S-^
hac
DE MINIMIS OSCILLATIONlBrS CORP. iix
hiic peudiiU longitndine per pnorem regalam iniicnt-.i ,
qiiae fit F; erit F. AG=r/. CG iitque/iz; -^jI— . Si igi-
tur inuentae fuerint ofcilhuiones corporis ex A fuspenli,
innotelcent (imul viiciUationes fuper piano EF.
§. 2S. Sit machina vacillans bafin BAD habens pjgura 6.
omni materia dcftituta praeter vnicum pondnfculiuTi M
in axe CA fuum. Vacillante ergo hac machina Ibpcr
plano EF, erit londitudo penduli fimphcis ifochroni —
cTf. Vnius igitur vacillationis tempus erit vt ^jj. Atque
quo dato tempore, eo Icilicet quo pendulum fimplex /
ofcillatur , vacillationes abfoluantur , debet elfe AM^rr/.
AC-/.AM. Qiiare inuenitur AM — -|/-j- V (i/'
H-/.AC).
§. 29. Conlideremus iam legmentum circulare BAD ^'S"™ T»
ex vnifjrmi conllans materia vacillare fupcr reda EF.
Ponaciir AC — a:, AHzzzl/., AP=r:.r, erit applicata
PMrz" V( 2^.v — jt-.r). lam in elem.ento M?pm, ca-
piatur particula [x exillente P[xrr.s; erit ilta particuk
z^t/xdZy quae duda in A|x quadratum dat dxdz{x^
-hc;'), cuius integrale pofico .v conftante efl: .v'.s;rt'.vH-
^^-^. Fi.it ^ — y ( 2.(7.v— .v.v) , erit fumma fadlorum
ex fingulis elementi m P particulis in quadrata diftantia-
rnm ab A ~ dx{ '-^ -|- '-^- ) V ( 2 ^.v— .v x)^ cuius duplum
-"^— (^-l-.v) V [^ax-xx) relixindebit toti elemento MMww.
Haius uifl-reatialis intcgrile denuo fumtum dat 3 a^Jdx l^
y ( 2ax - .v.v ) - ( ^^^ )(->'? X - X X ) '. Ponatur .v — b
prodibit j'M. AfU^ j-ro toto fegmento BAD::=^-r.BA
DB-iZ.BiP-iAIliiH^ §.30.
jii METHODFS NOVA ET FJCILIS
§. 30. Ad runimam Ycio ipdirum M.CQ_ innenier)-
dain , multiplicecur clemcntum M M ?« ;/; — 2 dx V ( 2^?,?;
— XX ) per C P zn .
Si ergo virga fuerit perfede flexilis ; euancfcet V , idcoque
haec aequatio 'Ex-{-Yy-{-J?dx-\-fQJjz=io^ dabit
naturam. curuae quaefitae.
Figura 9. §. 3^. Sit funis perfede flexilis B^r ex B fuspen-
fus, qui ad ofcillationes minimas peragendas fit impul-
fus, ita vt in medio cuiusque olcillationis in fitum B«
perueniat^ ad quam legem quascunque ofcillationcs -vt
libet initio irregulares reduci cxpericntia deraonftrat.
Sit nunc BMA figura, quam funis inter ofcillandum
induit , quae , quia infinite parum a verticali B a decli-
nat , erit A a linea horizontalis , et arcus B M A zr: B/7.
Exponant applicatae Nm curuac DN craflities fiinis in
refpondentibus locis M. Ex A ducatur vcrticalis AP^
voceturque AP — .r — ^?;/, et PM— >' atque N7Ji—q.
Erit ergo qnam proxime arcns AM~AP = .v, atque
hinc pondus clcmenti arcus AM erit — qdx. Pona-
tiir ha^b., et M/« — w, erit y — h-u.
%. 35. Sit porro longitudo penduli fimplicis ifo-
chroni rz/; nccclfe cfl: vt quaeuis particula M , quae eft
qdx foliicitctur \erius Mw vi, quac cft ='^-jr^, eft cnim
yim^^u fpatium particulae M percurrendum , quo in
ftatum acquilibrii pcrucniat. Eundem igitur hae poten-
tiac in finguhs pundis apphcatac eifcclum produccnt ,
qucm vis grauitatis, qua fingulae particulae funis deor-
fum vrgcntur. Qiiamobrcm fi in finguhs pundis M po-
tentiae '^ verfus contrariam plagam M P applicatac con-
cipian-
D£ MINIMIS OSCtLLJTIONIBFS COR?. 115
cipiantnr, funis BMA ab his potentiis et propria gra-
uitate follicitatiis erit in acquilibrio. Cum auicm P de-
notet fummam omnium potentiarum MP, eritPrr /^*
Pondus porro particulae M cft — ^^^a' et fecundum MQ^
tendit , quae diredio illi , quam in generali propofitio-
nc alTumfunus eft contraria ; hanc ob rem erit Qjzz—Jqdx,
E vero et F euanefcent. Ex his inuenitur ifta pro cur-
ua BMA aequatio /^A'/^-7^i=./ atque .v — 57^ x m ar-
cum circuli cuius finus elt j exiftente finu toto —l;.
§. 44, Sit tota chordac longitudo AB— ^, quac
ex acquatione inuenta prodire dcbet, fij altcra vicc eua-
nelccre ponatur. Hoc vero cuenit, fi artus ilie civniU
aequa-
JDE MINIMIS OSCILLATIONIBFS CORP.
121
aequalis fit femiperipheriae , quo fado erit x~a. Sit
ergo 1:7: ratio diametri ad peripheriam erit iilfkmi-
periphcria circiih radii b. Quamobrem erit a—~i7^
feii V/— ^f atque f:zz%%^ quae eft longitudo penduli
fimplicis ifochroni , in qua F pondus choi-dam tendens,
a longiuidinem chordae, et ga Itii fgdx pondus (eu
maflam chordne fignificat. Sit autem pondus chordae
z^p erit/— ^. Singularum igitur vibrationum tem-
pora erunt in ratione compofiia fubduphcata ex direcftis
longitudinum et ponderum chordarum et ex inuerfi pon-
derum cliordas tcndcntium.
§. 45. Qi\o autem appareat, quoC ofcillationes chor-'
da dato tempore fcihcet minuto fecundo edat • confiderari
debet longirudo penduii fimphcis finguhs minutis fecundis
ofciUantis quae ert 3,i , erunt
A,/)-A, 2/)4-A, Sp-A, 4-p-^A, 5P-A, 6p-\~A
etc. item --/» — A , — 2/)-+- A , — 3/) — A, — 4/)-+- A,
— S p-A ^ etc. omnes arcus, qiiornm finus eft idem ^.
Q]iam igitnr luirc afTumfimus feriem a7 b ^ c ? d» ^^<^- ^^
transmutatur in hanc i, ^, ZTp^x^ 7p'-^\^ Zrr?-f-"Ai
riz^A ) ::rTFiA , ^T-hTS , =77+1 etc Horum ergo omnium
termi-
SERIERrM RECIPROCJRFM. 127'
tcrminoriim riunma cfl: —3, ; fiimma aiitem fii(florum ex
binis terminis huiiis leriei elt aequalis o \ fumma fado-
rum ex ternis ~~ly^ fumma fadorum ex quaternis
nro; fumma fiicflorum ex quinis — , , "^'tV" ? fum-
ma fiidorum ex fcnis ~o. Atque ita porro.-
§, S. Si autem habeatur feries quaecunque a-\-B
-^c~\-d-{- e-\-f-\- eic. cuius fumma fit a, fumma
fadorum ex binis terminis ~S; fumma fadorum ex
ternis ~y; fumma fi(ftorum ex quaternis —o^ etc.
erit fumma quadratorum fiugulorum terminorum, hoc
eft a- H- />' -I- c-- -f- ^' -h etc. — a- — 2 ? ; fumma vero
aiborum a^- -\-b^ 4-^"' -i-^'etc.~a'-3 ao-H 3 y ; fum-
ma biquadmtbruni ~ a* — ^a^S-j-^ay-l-sS'— 4.1^.
Qiio autem clarius appareat, quomodo hae formulae pro-
grediantur, ponamus ipforum terminorum «■, b\ c^ d, etc.
fummam elfe ~P,/ fummam quadratorurh — Q, fum-
mam cuborum — R, tiimmam biquadratorum =:S , furn-
m.am poteftatum quint.irum — T, fummam fextarum~V
ctc. His pofitis erit P — a ; Q_3:Pa— 2 g; R — Q_a —
Pg-H3y;S=i:Ra-Q_g-|-Py-f-4^; T:=:Sa-Rg
H^.Q_y-P(5^-f-5e; etc,
§■. 9. Cum igitur in noftro cafu feriei
A 1 f — A' — p-A^
rpVx^i ^^4::^' 7p^^ ^^rf^A etc. fumma omnium ter-
minorum fcu a fit —3,; fumma ^iiftarum ex binis leti
t- o , atque vlterius y 3: ^^^ ; ^ — o ; g — TTT^r^'.
^— :o ; etc, erit fuinma ipforum illorum terminorump—j;
&mma* quadratorum. illorum terminorum Q_— -— j^;
fumma
128 DE SFMMIS
rumma cubomm illoriim terminorum R :^ 3^ — 7:773, i ^um-
mn biqnadnitorum 3:=:-^- ^r^- Atque porro T — j
__Q-_4_ L_-. V — ^-^^H-— ^— • W--
i.2.3.j)( ^^ i.2.3.+.jy 7 * — y 1.2. 3. j I 1.2.3. +.5.5' > " — y
rrT^H-, -7X7:^3? -■-7-±7.T3- ^^ qua lege facile reli-
quarum altiorum poteftatum iummae determinantur.
§. 10. Ponamus nunc finum P M "j aequalem ra-
dio, Yt fit .7—1, eritminimus arcus A cuius finus cft i
qu.irta peripheriae pars, — 5/», feu denotantc ^ quartam
peripheriae partem erit h — q et p~^q. Supcrior er-
go feries abibit in iftam | , ^ , 7^ , - ^ , vi ' + ;? 7 - ,\'>
— 7„ , + Iq , -H p\ , ^•^c. binis terminis exilkntibus aequa-
iibus. Horum ergo terminorum fumma, quae eft —
(i-i-i-|-i-|-s-Tf-+- etc. ) aequalis eft ipfi P~ i.
Hinc igitur oritur i — i -|- 1 - i -i- ■._-■_ -^- etc. — f —%.
Huius ergo fcriei quadrupkim aequatur femipcriphcriae
circuU , cuius radius elt i , fcu toti peripheriae circuli,
cuius diameter eft i . Atque haec eft ipfa fcries a Leib-
nitlo iam pridem prolata, qua circdi quadraturam de-
finiuit. Ex quo magnum huius methodi, fi cui forte
ea non fatis certa videatur , firmamentum clucct ; ita vt
de reliquis, quae ex liac metliodo dcriuabantur , omnino
non liceat dubitaii.
§. II. Sumamus nunc inuentorum fermiriorum pro
calu qiio yzri , quadrata, prodibitque haec feriesH-^s
-^q^ + s1^-+-,r^-Hi^H-2T^-^etc- ciiiiis fumma eft
-z( W- 5 -+- 5' -H h H- etc. ) , quae ergo aequahs efle de-
bct ipfi Q^r:zP— i. Ex quo fequitur huius feriei i -|-|
S'— ■^' crit miniiniis nrcus liiiic finui
refpondens 60°, idcoqne A — ^p. Hoc ergo Ciifu le-
quens prodibit feries terminorum ^ ^ \ — — — - -i- ^
-+-^:^ etc. quorum terminorum fumma aequalis el^ ipli
^ -;.. H.ibebitur ergo f^ — i-]-i~i-i-^L-^-^^
— /f-f- etc. Summa vero quudratorum illorum tcrmi-
norum eft — ^ ~ ^ ; Ynde fequitur fore %^—i-{- i-f-
i\ -h 3J-1- +'9-+-5+H-etc. in qua ferie defunt termini ter-
nario conftantes. Pendet autem haec feries quoque ab
i(b I -f- r! -I- 5 -f- T 5 etc. cuius fumma erat inuenra ~ ^' •
nam fi haec feries fui parte nona minuatur prodit ipfi
fupcrior feries , cuius ideo fumma debet efle ~ ^J' ( i — i)
^%^. SimiU modo fi alii aflTumantur finus , ahae pro-
dibunt fcries, tam fimplicium, quam tcrminorum qua-
dratorum altiorumque poteftatum , quarum fummae qua-
draturam circuU inuoluent.
§. 16. At fi ponatur / n: o , huiusmodi feries non
ampUus aflignari poternnt, propterjin denominatorem
pofitiim, (eu aequationcm initialem per j' diuidmi. AUo
autem modo feries inde deduci poterunt , quac cum fint
ipfae feries 'x-\-^^~^\-\-\^ etc. fi n cft num.erus
par: quemadmodum harum fericrum fummae fint inue-
niendae , feorfum ex hoc cafu quo j— o deducam. Po-
fito vero y — o ipfa aequatio fundamentalis abitin hanc
o —j-— ^-^-h ,.,',.,.;— ,., 3.1;. 6.7-+- etc. cuius aequatio-
nis radices dant omnes arcus, quorum finus eft n:o.
R 2 Ert
13 2 DE SVMMIB
Eft autcm vna minimnque radix j- — o , quare aequnt ^
per s diuifa exhibebit reliquos arcus omncs, quorum fr-
nus eft —O^ qui arcus proinde erunt radices huius ae-
quationis o :zi i -.-£-{- 7;—:— - 7-7-^— -^ ctc. Ipji
irero arcus quonim finus eft — o funt ^,— ^,-j-2j5, — 2p,
3p, — 3/> etc. quorum binonuTi aker altcrius cft negati-
uus , id quod qnoque ipla aequatio propter dimenfiones
ipfius s tantnm pares indicat. Qiiare diuiforcs iUius ae-
quationis erunt i — | , i ^-f , ^ — 4' ^ "^i^ ^'■^" ^^^\^^
coniungendis binis horum diuiforum erit i — .t^t "^ TTTTs
- {Tjr^^iT}-^^^^' — ( I -jp ) ( I -;p)( I -s"pO( i-rfi-f-)
etc.
§. 17. Manifeftum iam eft ex natura aequationum,
fore coefficientem ipfius ss feu — aequalem ^-f-;p
-i-^-HTrf^-l-etc. Summa vero fad:orum ex binis
terminis huius feriei eric =: , ^ ' ;^^ ; fummaque fii(floruni
ex ternis —ttZITZTTT^^^- ^-"^^ ^^ ^^^ ^"^^^ i\x^t%
§•8- ^ = ±3^ ^^rTTTrr; Y^TXTTT.— .; etc. atque
pofita quoque fumm.a terminorum ^2-h -^i -f-7p H- r^
-f- etc. ".::: P , et fumma c]uadratorum corundem teimi-
norura — Q_; fumma cuborum =:::R; iiirama biquacra-
torum —^\ etc. erit per §. 8. V — a — ^^—\\ Qpi
Pa-28=r/,iR=::Q,a-Pg-|-3Y-5^^;S'=Ra-(;^8
-f-PY-4^ = ,i,,;T=i:Sa-Rg-4-Qy-P^H-5e-
,,!,,; V=rTa-Se + RY-Q.^-hPe-^<^=^^.S.;is
etc.
§. 18.
SERIERrM RECIPROCARFM. 133
§. 18. Ex his ergo deriuantur fummae fequentes:
H-^4-f?-{-^.~-|-p etc. =f;i=:P
3-l-?*-i-r*-i-4^-H,4 etc. — fg— Q_
I H-ra -^-^ 4-75 H-r« etc. — t'i = R
i-H^T-f-jT-f-^T-h^. etc. —5^/5=: S
I -i- ,To 4- j^ -i- TTo -f- jfo etc. — pf 5 °s ■=: T
i4-r--l-3-^^4-;^-Hp-^etc.=:^-=:V.
quas leries ex data lege attamen multo lahore ad al-
tiores poteftates produci poffunt. Diuidendis autem lin-
gulis feriebus per praecedentes orientur fequentes aequa-
tiones: p^ = 6?-'-^=::^^=i~'='£=z'-^cic. qui-
bus expreflionibus fuigulis quadratum peripheriae cuius
diameter eft i , aequatur.
§. 19. Cum aiitem ftariim (erierum fummae etiamfi
vero proxime &cile exhiberi poflent , tamen non mul-
tum adiumenti afferre queant ad peripheriam circuli ve-
ro proxime exprimendam propter radicem quadratam ,
quae extrahi deberetj ex prioribus feriebus eliciemus
exprefliones , quae ipfl peripheriae p flnt aequales. Pro-
dibit autem vt fequitur:
R 3 P=4
%UDE SmMlS SERIERrM REClfROCARVM,
4 (i_H-i-i-|-i-,V-4-etc.)
-(
= 3
=v(
Ldi
I —
I —
1-4-
1 +
•etc
-Hr^ - fj-}-p - ,-pH-etc.
-i-,4-l-;^H-,-.4-,i.-4-etc
+ T; -i- f* -f - ^ -i- ^+ -i- etc
_|-4_ ^^_|_-^__i,-}-etc
-|-,T— ~s-\--k — r,s -\- ctc.
-f-,-^ -f-rs -h-/« -i- rr^-i- etc
etc.
etc
etc
)
)
)
)
)
:)
DE
DE
LLMEx\ CELERRIMI DESCENSVS
IN MEDIO (^v/OCVNQVE RESiSTENTE. ,
AVCTORE
0 Leonbc Euler^
V;ie ciiruae ad certum quendam motum produ ■ tabuk viiif
cendum in \;icuo nou multo labore inueniun-
tiir, eaedem in medio refiftente non (olum labo-
rem muito maiorem , Tcd etinm plus rolleriiae et cautio-
nis requirunt. Saepenumero quoque' euenit , vt multa
problemata in hypothefi medii refillentis Ibkitionem vel
omnino refpuant \clin particularibus tantum cafibus admit-
tant. Cuiusmodi ell problema tautochronarum , de quo
an in aHa refillentiae hypothefi, praeter hmplicem et
duplicatam celeritatum rationem refokii queat, \ehemen-
ter dubito.
f,- 2. Pertinet huc quoque probkma hneae brachy*
fiochronfie feu cekmimi defccnfus, quod a Cel. loh.
BsrnQuHi in hypothefi vacui Geometris propofitum mox
pkires easque differcntes midum efl: foiutiones, quas in
Adis Lipfienlibus, Transad. AngL Comment, Parifinis,,
pkiribus.|ue ahis hbris videre hcet. Idem autcm prcble-
ma in medii refiftentis hypothcfi ego primum in Acflis
Lipf. A. i^id". fokiendum propoftii, cum ob eius nora
eontemiiendam elegantiamy tum ob fmguhirem circum-
13^ DE LINEA CELERRIMl DESCENSVS
fpevHiionem, qua in eius foiiitione vti oportet, ne quis
in errc^rem incidat,
§. 3. Poftquam autem hoc problema propoiiifrcm
Celelf. Rennannus id dignum iudicauit, cuius folutionem
diflcrtutioni dc motibus variatis Tom. II. Comment.
infereret. Sed copi.i rerum , quas in hac differtatione per-
tiaft.uiitviro ceLeriim perfpicaciflimo non pcrmiiifle vide-
tur vt hoc problema, quod paucis Lantum attigerat, latis
perpenderct, et folutionem inucntam accurate examinaret.
Ex quo fadum ert , \t curuae ab illo aliignatae probkmati
non conueniant, nec brachyftochronismi proprietateni
poflidcaiit. Monui etiam hac de re beatae mcmoriae Vi-
ruro per litteras, ipGque meam folutioncm a fua difcrepan-
tem transmifi, vt in caufim difcriminis inquireret, ad quae
mihi refpondit , fe vtique de fua folutione dubitare coepif-
fe, et quam primum negotia conceflura eflent , emendatio-
ncm fe perficere velle, quam etiam , nifi mors interuenis-
fet, pio eius eximia integritate iam certe haberemus.
§. 4.. Qiiod igitur ipfefeciflet, fi vixiflTct, non ar-
bitror (.|uenquam aegrc laturum , fi idem ego fecero atque
eius folutionem correxero. Hoc non (ohim non iniquum
puto , fcd etiam ad id me oblhidum credo , ne forte poft-
hac alii fint accclfuri , qui Vin eximii famam et exiflima-
tioncm irto lapfu imminuere (iiflineant. Atque cum oflcn-
dcro, quantam circumfpcdioncm adhuiubmodi errorcscui-
tandos adhiberi oporteat, tum vnusquibque eo faciiius Viro
dcfnncflo hoc crratum condonnbit, tum etiam mcum infli-
tuti'm non reprthcndct, quo gcnuina metliodo problema a
me pj.opofuum itfolucrc flatui.
§ 5.
IN MEDIO OrOCrNQVE KESISTENTE. 137
f. 5. Praecipunm , ad quod in rolutione huius prob-
lcmatis attendere debcmus , ell lcmma ex natura maximi
et minimi petitiim , per quod dilpofitio duorum elemen-
torum contiguorum curuae quaefitae determniatur, quo
corpus ea breuiori tempore abfoluat defcendendo, quam
quaeuis alia elemeiita inrra eofdem terminos pofita, Hu-
iusmodi propofitio habetur a Uugenio demonrtrata , eaque
vfus ell: Heniiawms in fua folutione : fed Yti mox apparebit,
phis ei tribuit , quam oportebat, atque ad reftridionem,
quam i!lii propofitio requirit, non fatis attendebat. Qiiam-
obrem ct hoc Lem.ma Eiigeniamim et ahud latius patens
atque ad quosuis cafus accommodatum in medium profe-
ram.
§. 6. Oporteat igitur in rccla FG definire punrtum
M ex quo ad datos tcrminos L et N ducftae hneae LM, '^'^" ''
MNa defcendente corpore tempore breuifiimo percurran-
tur: fit autem celeritas corporis iupra FG~7;/ et nifra
eam zz«, quocunquc aflfumto pundlo M in FG. His
igitur pofitis debebit w^r ir ^^^ minimum , quia hac
quantitate tempus per L M N afllgnatur. Qiiod Yt efficia-
tur, punclo M proximum 7// e(l accipiendum , et dudis
Lw, luN tcmpora per LMN et L7;/N aequaha facienda.
Hi 1 I -^ LM , MN Lm , mN j
uic ergo habebitur - -+- - — - -h — , ex quo de-
fcriptis centris L et N arcuhs M/ et mg prodibit haec
acquatio '^—~ feu ifta analogia 7nf:Mg~7n:n. Efl:
vero mf ad M^ vt cofinus anguh L M F ad cofinum
anguh G M N. Qiiocirca cofinus angulorum , quos haec
duo elementa cum reda FG conftituere debent, funt
celeritatibus, quibus illa elementa defcribuntur , propor-
Tom. Vll. S tiona-
13 8 DE LINEA CELEKRIMI DESCENSVS
tionales. Atqiie hoc efl: lcmma Hu^enianum , quo vfus
Hcrinannus ad futim problematis Iblutionem peruenit.
§. 7. Q_iio autem perfpiciatur , quam late pateat
hoc lemma et quibus in cafibus pofnt adhiberi , ad hoc eft
adaertendum , quod in eo ponitur , elemcnta omnia infra
redlam FG fumta eadem celeritate n abfohii. Qiiamo-
brem , nifi corpus in hisce omnibus elementis, pundo M
vbicunque afliimto , eandem habuerint celeritatem , hoc
lemma perperam adhibetur, atque in erroneam folutio-
nem inciditur. Euenit autem hoc in medio refiften-
te , atque ita efi: fiidum , vt Cel. Hemannus , poftquam
hoc lemmate in inueniendis brachyflochronis in vacuo fe-
liciter eflet vfus , pro mediis refillentibus eodemlemmate
a reda via fuerit fedudus.
§. 8. In vacuo tamen etiam res ita efi inftituenda, vt
ftdiA FG ad dire(flionem potentiae folhcitantis \bique f;t
normaUs. Tum enim id , quod requiritur , obtinctur ,
et corpus ex L ad quodque reftae FG pundum descendens
idem femper acquirit celcritatis incrementum, ita vt fin-
gula elementa intra F G fita aequah celeritate percurran-
tur. Curua igitur his in cafibus, fcihcet in vacuo, erit bra-
chyflochrona, fi celeritas corporis in quouis elemento pro-
portionahs fuerit finui anguU , quem hoc elementum cum
diredione potentiae folhcitantis conftituit. Qiiamobrem
ope huius regulae inueniri poterit curua celerrimi defcenfus
in vacuo , quaecunquae fuerit potentiae folhcitantis lex.
§. 9. Ex his iam fitis perfpicitur datam regulam in-
ueniendac brachyftochronae ad medium refiftcns accom-
modari
IN MEDIO QVOCrNQVE RESISTENTE. 139
modari non pofle. Namque celeritatis incrementa, qiiae
corpus descendendo ex L ad quaeque redae F G punda
acquirit , non (unt intcr fe aequalia , etiamfi reda F G ad
potentiae follicitantis dire^ftionem fit normalis ; fed prae*
terea ab inclinatione elementorum percurforum pendent ,
quemadmodum ex natura refiftentiae facile apparebit.
Pro his igitur cafibus peculiare lemma ftabiliri oportet , in
quo celeritates per inferiora elementa vtcunque variabiles
ponuntur , pro diuerfis locis in quibus pundum M in F G
accipitun
§. 10. Sumtis igitur vt ante pundis M et w pro-
ximis, et du^is elementis LM, MN ac Lw,wN,fit
celeritiis per elementa L M et L»/ — ^ , celeritas per M N
zn^-i-dt^ at ea per elementum w/N ~^-j-fl'i^-i-fl'^^.
Incrementum fcilicet celeritatis per LM acquifitum po-
nitur dt^ et id, quod per L ;« acquiritur , ponitur^/-H
ddO. Quo igitur tempus per LMN fiat minimum,
oportet id aequale fieri tempori per L;;.'N. Ex quo
habebitur ^ -h ^^ di = f "+- ^qrdM-dda > ^^9"^ ^^ hoc
prodibit f — ^^ -4- x^^^^~:^^^ {t\x{q-\-^q dt-^r
dt^-^qddO-\-dtddO)mf—{q''^ qdt-^qddO) fA g
-^q.mN.ddd. Eft vero m]~—^ et M^r^ -xwT
Qiiibus fubftitutis et negleflis negligendis orietur ^(^ —
}^)-mdt-^^- Qiiae, cum ddO femper ita per
M;/^ determinetur vt fit huius formae Z.Mw, ahas
quantitates non inuoluet, nifi quae a pundo M pende-
bunt.
S 2 §. iz
140 DE LINEA CELERRIMI DESCENSFS
§. II. Si aeqiialia pomintiir elementa LF,NG,
dicantiirqiie r/.v, atqiie fiat FM — ^j, LM=:,f, erit
MGzi: dj-hddy et MN — ds-\-dds. Qiiibus fubfti-
tutis fuperior formula transibit in hanc ^— ^^ — -^.''' ^ — ^ —
^-^-^, fcu ob dsdds — djddy pofito dx con-
n ^ • 1 qdx^ddy dy dt dsddi ». „ u „„ /t
ftante, in hanc ' ^,- - — -^^- — -^y^ . Atque hoc elt
lemma , quo loco Hugeniani ad inueniendas brachyfto-
chronas in medio refiftente vti debemus.
§. 12. Sit nunc potentia (bUicitans quaecnnqiie, eius
vero diredtio, \t antc, normalis ad rcdam FG. Po-
natur ea dum corpus elementum LM \'el hm defcri-
bens vrgct =r/>, pofita vi grauitatis zr i . Rcfiftat por-
ro medium in ratione quacunque multipHcata celerita-
tum , cuius exponens fit i n , atque haec rcfiftentia ita
fe habeat , vt aequaUs fit vi grauitatis i , fi corporis ce-
leritas debita fuerit altitudini c. Lim fit corporis in L
celeritas tanta , quanta acquiricur laplii grauis pcr alti-
tudinem v. Qiiibus pofitis erit vis refiftcntiae, quae
motum corporis ab L ad F G ingredicntis retardat , ~ —^,
^.13. A potentia p corpus^ fiue pcr LM fiuc pcr
Lm defcendflt idem accipit celeritatis incrementum , quui
FG ad dircdionem potentiae normahs ponitur. Alti-
tudo autcm 1; capiet augmcntum znpdx. Rcfiftentiii
autem ita rctardabit corpus pcr L M defccndens , vt de-
cremcntum altitudinis v fit ziz — LM.. At fi corpus per
c
L;« iucedcrc ponitur, crit dccrementum altitudinis •r~
IN MEDIO OJVCrNQJ^E RESISTENTE. i+i
~L;«. Qimrc celeritns, qua elcmenta L M ct L ;;/ per-
curuuitiir, debetur akitudini ^'- celeritiis Ycro pcrMN
altitudiiii 'v-]-p^Jx — -^L]Sly et celeritas per wiN alti-
tudini v-\-pdx— ~Lm.
§. 14.. His cum noftro lemmate comparatis habe-
bimus q^'u\ q-^-dtzzV {v-\-pdx- — LM)=zyc4-
p^,,-^.LM. ^^^^^^^^^ dtzr^P^'^-^^'. Atque^4-
fl'^H-^^a-y(rj-f-/)^;i~^L;/0-"l^-^-i-^^^^
'^nLM-L;;/) in.YUMm
Ex his fiet ergo dd^~ -j^ -'Vc^nTvI)
dd^ nj^^dj ^ . . ...
confequenter -^^^^-^^.y^s Seq"^"^ iS^^""^ <^^ '^'^
orietur aequatio fmgmis per 2 V 1' multiphcatis , — 573—
pdxdy '■J^dv 'o^dy ^ , , , , , ,
— -T— — - — ^ H ^ feu 2 1; r/.x' «'^/j ir: jD rt> ds-.
Hanc igitur proprietatem , -vt fit o? — f^.^^, curua bra-
chyftochrona habere debet , ex eaque focile erit eam in-
uenire,
S 3 §-i5'
14 ^ DE LINEA CELERRIMI DESCENSFS
§.15. Qiiia ii termini , in qnos refiftentia — in-
greditur Ceih mutuo deftruunt, hoc lemma latifllme pa-
tet et ad quamcunque rcfiftentiam poteft acc.nmodari,
fuie vlki mutatione. Haec eft igitur proprietas \niuer-
(alis omnium brachyftochronarum tam in -vacuo , quam
in quocunque medio refiftente. Sed quo fiicilius illud
lemma memoria teneri queat, aliam formam ti inuu-
cemus.
§. i^. Aequatio inuenta t^Lvdxddy—pcljd/ fi
diuidatur pcr ^i^ abit in hanc f^^^^^^y — t^y ^ in qua '^^^-
exprimit vim normalem refclutione vis foUic tantisp or-
tam. In altero membro -'^'^jf-^ fignificat ^j^- radium os-
culi curuae LMN fecundum plagam F porrt(flum. At
quia curua verliis F eft conuexa radins olcuU in plagam
oppofitam G erit diredus, et habet idcirco valorem nega-
tiuum. Eius ergo longitudo erit ^xd.y- Qiiare pofito
radis ofculi ~ r , et vi normali ziz K habebitur ifta aequa-
tio ^rzN. Denotat autem ^ vim centrifugam , qua
corpus, quatenus in recfla hnca progredi nequit, curuam,
in qua mouetur , premit. Hanc ob rem omnis brachy-
ftochrona hanc habebit proprietatem, vt vis normahs ae-
qualis fit vi centrifugae.
Figurt t. §. 17. Notandum autem eft omne corpus, quod a
quapiam vi iblhcitatum fiue in vacuo (iue in medio refi-
ftente fuper concaua partc curuae cuiusdam AMB incedit,
curuam dupUci vi premere , vi fcihcet normali a potentia
foUicitante orta, et vi fua centrifuga. Sit MI potentia
folU-
IN MEDIO OJ^^OCVNOVE RESISTENTE. 145
follicitiins corpus iii M^ haec rcfolui folet in duas alias MK,
K I , quarum illius direclio M K normalis eft iu curuam
et propterea vis haec normalis appellatur, alterius KI di-
redio eft fecundum curuae tangentem et tangentialis vo-
catur. Peripicuum igitur eft harum virium normalem fo-
lam corpus ad curuam apprimere. Secundum eandern
direcliouem M K praeterea curua A M B in M premitur a
vi centrifuga , quae fe habet ad vim grauitatis, vt altitudo
celeritatem generans v ad dimidium radii ofcuU M O.
§. 18. Si ergo curua AMB fuie in vacuo fiue inme-
dio relillentc quocunque ita fuerit comparata , vt corporis
fuper ea dcfcendentis ambae vires, quibus curua premitur
fcilicet normalis et centrifuga , inter fe fuerint aequales ,
airua femper erit brachiftochrona , feu corpus fuper eami-
nori tempore ex A ad M defcendit , quam lliper alia qua-
cunque liuea per A et M transeunte. Haec igitur
aequalitas inter vim normalem ct vim centrifugam
vera et vniuerfilis eft lex omnium curuarum brachyrto-
chrouarum , eiusque beneficio in quaainque et potentiae
lc^llicitantis et refiftentiae hypothefi in promtu erit curuas
brachyftochronas determinare .
§. 19. Qiiia in vacuo fecundum Tbeorema Huge-
niamiin celeritas proportionalis elTe debet finui anguli ,
quem curua cum diiedione potentiae conltituit, i.e. ipfi
jfY , erit M^o" proportionale ipfi M K feu ^ ipfi MI.
MO. Omnes igitur brachyftochronae in vacuo hanc
habent proprietatem , vt finus anguli , quem diredlio po-
tentiae cum ciuua facit, vbique fit proportionalis radio
ofculi
Figura 3.
S44. D£ LINEA CELERRIMI LESCENSVS
ofciili et potentiae (bllicitflnti coniundim. Qirare hiiins
regulae ope iine celeritatis determinatione omnes bra-
chyftochronae in vacuo facilc inuenientur.
§. 20. Initium autcm curuae A , in quo omnes
defcenfus ex quiete fieri debent, lempcr in eo cfl loco,
in quo curuae tangens in direftionem potcntiae incidit.
In hoc enim loco in vacuo ipHt corporis ccleritas pro-
pter angulum curuae cum diredione potcntiae euanefcen-
tem fit aequalis o. In medio autem refiflente ipftim
motus initium a vacuo non differt, et hanc ob rem
etiam hoc cafii tangens initii curuae cum potentiae di-
redione congruere debet. Huius vero ratio efl haben-
da in adicdione conlhmtium quantitatumj quando aequa-
tionem differeiitio - difFcrcntialem brachyftochronae intc-
gramus, et efficere debemus, vt curua datum habeat
initium et per datum pundum transeat.
§. 21. Ilhifiremus regulam §. 19. pro brachyflo-
chronis inueniendis m vacuo datam cxcmphs , fitque po-
tentia follicitans conftanszr^, eius diredio verticahs fe-
cundum P M. Brachyf1:ochrona vero cjuaefita fit AM ct
ablcifTae in rcda horizontah AP pcr initium curuae
transeunte accipiantur. His fiuflis fit APzrj/, PM:^.v,
A M iz: j" , eritque finus anguli , quem P M cum curua
conficit —-/s-, et radius oicuU zrj-^,pofito ^.v con-
fi.uite, qui ob potentiam conftantem proportionahs efTe
dcbet ipfi f,. Fiat igitur -^^^ — —^^ fcu ob ^dj' =
-^y- hoc modo ds^ — adxdds. Diuidendo per ^.f' et
intcgrando prodit s—Q — ^^. Qiiia flido .^-jzio ficri
debet.
IN MEDIO OVOCVNQ_VE RESISTENTE. 145
debet
et radius ofcuh erit —^^. Qiiare vi regulae erit |- vt
-—j-^ — feu Azdz — j'»-<-- dj , cuius integralis eft C -f-
A z' —j'"^-^' . Q^Liia ^\ j—a fi t ^ = o , erit C -— «"'-+-^ ,
et confequenter A;s- — ^*""^'— j/'"-+-' , arbitraria A ne-
gatiue fumtii. Haecque aequaiio omnes brachyftochro-
nas, quae circa centra virium exiftunt, compleditur.
§. 23. Reuertamur autem ad medium refirtens in
ratione quacunque multiphcata celeritatum , cuius expo-
nens fit 2;/. Potentia folhcitans vero ponatur conftans
zng et habens diredlionem verticalem vbique ipfi AP
parallelam. Sit AMB curua celerrimi defcenfus inue- Ftgura 5.
nienda, in qua ponamus AP — o.", PMrzj et AM=rj-.
Celeritas porro in M debita fit altitudini v , quare re-
fiftentia in M erit ~^. Vnde ex follicitatione po-
tentiae et effedu rcfiftentiae fimul habebitur ^/-yzr ^^.v —
— — . Brachyftochronismus vero dat ivdxddjzzgdjds^
Tom. VII. T po-
145 DE LINEA CELERRIMI BESCENSVS
poCxto dx conft:inte (§. 14.)- Ex quibns aeqiwtionibiis
coniiincftis exterminata littera v prodibit aequatio pro
ciirua brachyltochrona quaefita.
§. 24. Propter dx conftans erit ddy~^-~~ ideoque
V — idKdUl- ^^?P "^ — zdxdds' -"IS
valoribus fubftitutis in aequatione dv—gdx — —;^ ha-
gdsdy'd's-:^gdfdds^ ^ ds""-^' df-''
bebitur "-7^7^7 -iWa^'^^'"'^'
^z . ^fj ci e \ 'L . Hacc aequatio , fi
medium refiftcns fit infinite rarum feu in vacuum trans-
mutatur, quo cafu fit c — c^^ abit in ds d'' S— ^^dds- ^
cuius integralis eft adxdds — ds\ Qnxo. quod fit ad
cydoidem §. ::ii. oftendimus.
§. i^. Ad aequationem autem generalem conftru-
endam pono dsz=:pdx, vt fit ddszzdpdx et d\^ —
dxddp. Hinc erlt ^j - dx V (/)^ - i ) et c» - ^-^^^^f^.
Ipfi autem aequatio abibit in Iwnc pddp— :^dp' —
-5 i.^_— ^-^^ — . Ponatur porro dx—qdp,
dpdq ^ - , ,• pdq-:iqdp
critque ddpzz- - .Qiio lubftituto prodibit- -
,,-3 .n-H. ( ft^-l )"— ^p
;;2i '^ — ^ K—,"^; • MultipUcctur hacc ac-
nuatio per 72 />""'""' ; quo fido habebitur ■
IN MEBIO QVOCFNQVE RESISTENTE. 147
~ q"—' ~~ 2''— t''
,n — I .,n.
_ ^(/)^- !)"-'/>
Liiius integralis elt — r— — z—— = f- „ -. Po-
natur breuitatis gratui -^rj^J j^ ^— P-^quae
quantitas conceffis quadraturis , fi integnitio non fucce-
dit, femper potert exhiberi. Qiio ergo pofito erit p^
q-iziV^ atque ob q-iz.£p^ fiet dx—^,^. Confequenter
X =J -f , X —J Y' et j/ =j -^ '. Quare ni qun-
cunque medii refiikntis hypothefi brachyftochrona hoc
modo potcrit conftrui.
§. ^6. Si refiftentia medii fit vt quadratum cele-
ritatis erit «.- i , ideoque P—^^/f?^^-^,-^- f^'^
Quare fiet P=i~?; atque r^^^'^-,-^^ feurt^.vzr
#fF^.), cnius integralis efi .v=^H- ^-|-|/2^^:^^_|-
dV -i- a ^ ~dr- • Ii^ q"'^ aequatione , quia fado .v = o ,
debet efie ds~dx., fiet b — — c — ^l{i-a). Habebi-
tur ergo pro curua quaefita haec aequatio .vzz- ^^^~ -^
-\- ^ ^ds-lds- Vel fi aequatio a logarithmis libera de-
fideretur, haec differentio- diftcrentiaHs , acdx dds~df
— adxds- pofito ^.v confiante. Haec aho modo dis-
pofita abit in hanc '^-^-^^ rr. d s - a d x ^ cuius integrahs
eft s — ax'zz.ac—'^^;^ Ceu sds — axdszzacds-acdx.QuaQ
s
integrata dit s — ci'~c^^7^' ^" e^~ ( c-ac) — s- ax
-i-c — ac. Huius curuae pundum infimum B ibi eiit
T 2 \bi
14S DE LINEJ CELERRIMI DESCENSFS
vbi efl: s — ^(x-\-c). Hoc igitur cafu erit A B ir ^ I^-^^
et ACzz^l^^-c.
^. 27. Si autem Thearemate Ht^eniano tanquam ad
hunc cafum idoneo vfi eflemiis, iktim hanc habuifl*e-
mus inde aeqnationem 17 — ^^-. Hincque dv~^^^^^
a^dy''' ^ a''dr''
^gdx- ^^^^^^_, feu c!.adx^ddy—gdxds'--^—^.
Quae fi 7:^b li^i^c
habent proprietatem , \t differentiae extremorum a me-
dio fint iplis extremis proportionales. Scihcet eft -^^
- a-i^b ■ ^b - ^o = VJ^b ■ ^b ■ Cum autem haec f.c
proprictas proportionis harmonicae \ \ocatae funt ilhus-
modi fractionum feries progrefliones harmonicae. Vo-
cari etiam poflent reciprocae primi ordinis , quia in ter-
mino generali ^_^.'j^_-;, indcx ti \nicam eamque ncgati-
uam Ivabet dimcnfioncm.
§. 2. Qiianquam in his fcricbus tcrmini pcrpctuo
decrefcunt ; tamcn fumma huiusmodi fcrici in iiifinitum
continuatae femper cfl iniinita. Ad hoc dcmondran-
dum non opus efl: methodo liasce fcries fummandi ; fcd
vcritiis ficile ex fcqucntc principio ciucebit. Scries quac
in infinitum continuata fummam habct fuiitam , ctiam-
fl ea
BE PROGRESSIONIBVS HARMONICIS. 151
fi ea duplo longius continuetur nuUum accipiet augmen-
tum , fed id quod port infinitum adiicitur cogitatione ,
re vera erit inlinite paruum. Nifi enim hoc ita fe ha-
beret, fumma feriei etfi in infinitum continuatae non
eflet determinata et propterca non finita. Ex quo
confequitur , fi id , quod ex continuatione rltra termi-
num infiaitcfimum oritur, fit finitae magnitudinis, iiun-
mam ferici necellario infinitam efle dcbere. Ex hoc
ergo principio iudicare poterimus, vtrum feriei ciiius-
que propofitac fumma fit infinita an finita.
§. 3. Sit itaque feries f, ^ , ~^ etc. in in-
finitum continuata, terminusque infinitelimus o_^1;j;j^,
denotante / numerum infinitum , qui fit index huuis ter-
mini. lam haec feries vlterius continuetur a termino
^^^ vsque ad terminuni ^:^,^,— ,)i cuius exponens eft
ni. Horum terminorum igitur iniuper adiedorum nu-
merus e(l («-i)i; Summa eorum vero minor erit
quam ~^- maior vero quam a^i^l;^- Sed quia i
cfl: infinite magnum , evanescet a in vtroque denomina-
tore. Qiiare fumma maior erit quam -"~^' ^" at mi-
nor quam -^'- , Ex quo perfpicitur hanc fummam efle
finitam , atque confcquenrer feriei propofitae ^, ^-^ri,?
etc. in infinitum continuatae fummam infinite niag-
nam.
§. 4. Huius autem fummae terminorum ab i ad
ni limites propiores ex fequentibus proportionis harmo-
nicae proprietatibus eliciuntur. Scilicet omnis proportio
harmonica ita e[\ comparata, vt tcrminus medius minor
fic
rs^ OBSEWATIOI^ES .
fit qnam pars tertia fummae tcrminonim omnium. Hnnc
ob rem terminiis medius inter ^^r^ et ^iji;^;;!., qui cfl
c
{^ii^iL.,), ■) ductus in terminoriim numerum («— i)i,
(i —i — o
(n-i)ic . . ^
^^^ ~ I (m-^-f-,) , nimor crit quom fumma termuioriira
a-f- — - — ^
Siue tcrminorum fumma hinc maior erit quara
\^]jb ob /■ infinitum. Praetcrea medium arithnicti-
cum inter terminos cxtremos maius e(t parte tcrtia
fummae terminorum. Ex hoc fequitur fore etiam in
ierie harmonica terminorum fummam minorcm quam
(« — I ) i iu mcdium arithmeticum terminorum cx-
tremorum, quod eft ['"aXlV^Tni^lh ^f,^i.^|^'^'' ' ^"'
dlum. Quare fumma erit minor quam ^ ^nb "^ ^ -^^ ^^
hi duo hmites fint jn-^,]Y et ^",^'^'', adeoque fumma
proxime — ^^j^ quod eft medium proportionale inter
limites.
§. 5. Ex his colligere licct, quibus cafibus haec
c c c
feries magis vniuerfaHs -, — — :, — ; — —, etc. in infi-
c
nitum v&que ad r— habeat fummam finitam vcl in-
* a-\-i"-b
finitam.Sequantur enimterminum vltimum termini(;2-i)/,
^ . {n-\^c
eritque horum lumma mnior quam -r^^zirr' » ^^ maior
{n-\)c
quam — ^«^— . Quare fi ftierit « numerus vnitate
maior
DE PROGRESSIONIBrS HARMONICIS. 153
maior , llimma hoium teiminorum fequentium erit
zro, et propterea liimma progrelilonis finita. At fi fit
a < I , (iimma terminorum fequentiumi erit infinita ; quo-
circa ipfius progrefliones fumma in iniinities maiore gra-
du erit infinita. Inter has igitur progitflwncs fola har-
monica , in qua a — i , hanc habet proprietatem , vt
fumma eius in infinitum continuatae fit infinite magna ,
terminorum vero fequentium pofl terminum infinitefi-
mum fumma finita.
§. 6. Qiianta vero fit fumma terminorum a ter-
mino indicis i ad terminum indicis ni fequenti modo
inueftigo. Ponatur fumma feriei ^ , j:^
fl'-t-^i~7)6 ad terminum indicis / vsque ~j-, quae eft quan-
titas ex a^b,c et i determinanda. Crefcat i vnitate,
habebitque s pro augmento terminum fequentem a-ttb'
Qiiare erit di : ds—\:^z^^ leu ds~~:^y Vnde in-
uenitur .f zr C-i-f /(^ H-i/>) , denotante C quantitatenci
quandam conftantem. Apparet quoque ex hac forma
fummam eiusdem feriei ab initio ad terminum indicis ni
continuatae fore —C-\-^l(a-\~nilf). Harum igitur
fummarum differentia jl ^^^rr f In (euanefcente a) da-
bit fummam terminorum ab ^^zjt, vsque ad a-i^mb •Q.nia
autem huius fummae hmites fupra afllgnauimus erit ^//f
maior quam j;^^^l° atque minor qiiam ^"^,^'^^, feu /«
^ - n-H. atque In ^ -^.
§. 7. Infra oftendemus quantitatem illam conftan-
tem C elfe finitam, eamque definire conabimur. Eua-
Tom. VII . V nefcet
154 OBSERJ'ATIONES
nefcet ergo C in fumma, fietque progreffionis j,
B-
-i
^rz^sr^ exidente terminorum numero inii-
nito — 7, fumma ^zz^ / {a-t-ilf) zizjli. Qiiamobrem
fumma erit vt logarithmus numeri terminorum , hinc-
que infiaities minor qtiam radix qiiantumuis magnae
potcftatis ex numero terminorum ^ nihilo tamen minus
elt infinite magna.
§. S. Ex hac confideratione innumcrabiles oriun-
tur fcries ad iogarithmos quoramuis numerorum dcfi-
gnandos, Sumamus primo hanc progreflionem harmo-
nicam i -H^-i-i^-i-}- etc. pro qua fit «— i,/;— i,
^— I. Differentia igitur inter hanc feriem i-f-i-f-|
i ad terminum indicis i continuatam, et eandcm
I -{- 1-1- i ,1, ad terminum indicis Jii continua-
tam, erit— /;?. Qiiare illa feries ab hac fubtracfta re-
linquit /;/. Qiiia autem hiiius fjriei numerus termino-
rum cft 71 vicibus maior quam ilhus, ab ;/ terminis fe-
rici i-i-i i fubtrahi oportet vnicum alterius fe-
riei i -{-', ',, qno fubtradio in infinitum eodem
modo pofiit perfici. Qiiare erit /;;— i -f i ^ .
r,-}-r7rlp7-----3ii+etc-
Si iaitur
inferioris leriei finguli termini a fupra fcriptis terminis
fupcrioris ferici adii fubtrahantur, et pro ;/ numcri in-
tcgri lcribantur 2,3,4 -- - etc. fucccffuie fcqueutcs lo-
garithmorum ferics obtincbimus.
/2
DE PROCRESSIONIBrS HJRMONICI^. 155
/3 = I -f- 1 - 1 -f- 1 -I- 1 - §H-i-f-|-i-|- i, -^Z, - ,^ etc,
/^^i-Hi-f-y-l-M-H^-f-i-H-^-l-^-l-rT-^ etc
/ 5 == I H- = + 54-i - 1 -i- ^ H-7-+-^+5-/5-}-TT-i- ,'. etc,
/^ =: I -i- ^ -i- IH- l-i-^-l-\-j-h^-hl-{-^o-^u - i^ etc.
etc. etc
Vnde pro cuiiisuis numeri logarithmo fiicile feries con-
uergens inuenitur.
§. 9. Ex his feriebus aliae eiusdcm formae , quae
fummam habeant rationaiem , polTunt deriuari , Nam,
quiii feriti — /n duphim aequale ell /4, fi feries i -|-
i-l-i-i etc. fubtrahatur ab liac 2 — i-|-| -|etc. refiduum^
nempe haec feries i -i-f-lH-H- , -5 etc erit ~o,
feu i — i-fi-i-i-H-iH-l -f-i- /g etc. Similiter fi
feries / 6 exhibens fubtrahatur a fumma lcrierum /2. et
/3 exhibentium , refiduum , nempe i -l- !-{-{- l--\-l
H-7-;-|-t"o etc. erit =0 Ibu i — i-f-|-|-i- i- |-
i -h I -t- i -h yg etc. Pari modo huiusmodi fenes in-
numerabiles poterunt inueniri.
§. 10. Serics illae log.irithm.os exprimentes con-
uergunt quidem , fed admodum tarde , quare, quo ea-
rum ope logarithmi commodc erui queant, requiritur
aUquod fubfidium. Ad quod inueniendum notari opor-
tet eas feries non aequabiliter progredi, fed certas ha-
bere reuoUitiones , quae tot termuiis ab(o{uuntur, quot
n habet vnitates , tot igitur terminos fimui fumtos vnum
feriei membnim vocabo. Ita in feriei pro /2 duo termini
conftituent vnum membrum , in ferie pro /3 , tres, in
ferie pro /4 quatuor et ita porro. Membra igitur irta
V 2 aequa-
1S6 OBSERFATIONES
aequabilem conftitiient feriem , et ad logarithmos iniie-
niendos oportet aliquot membra addi. Ponamus iam ;«
membra efle addita ad logarithmum binarii inueniendum ;
poteritque loco omnium fe-qiientium addi ^ , id quod eo
propius accedct, quo miior fuerit numerus m. Ad /3 in-
inueniendum ad m m^robra iam addita loco omnium fe-
quentium addatur ~. SimiUter pro /4 addi dcbet ,^
et ita porro. Fluuit hiec ex modo fummandi (§-6)
adhibito, in quo cum ;« debeat efle quantitas valde
magna, neglexi in diff.;rentiaU numeros ipfi ?n adiedos,
ne intsgratio a logarithmis pendeat.
§. 1 1 . Qiio autem feriei i-i-l-hH-i "T
fumma, etiamfi infinita accurate determinetur , fingu-
los terminos fequenti modo exprimo,
Ed: i=r/i-4-i-i-hi-^-f-^-7etc.
atque ^=n-{'~-i:--hf7l-r7^ etc.
1 — /s_i_J i— _u —1 - — etc
♦ ■ ♦ ' 216 J. 64- ' ♦. 2SS J.I024 ^"-^*
His feriebus additis prodibit
i-K-fl i3:/(i-hi)-hKi4-^'|-s-l-.'4-etc.) in infin.
--;(i-Hi-l-5?-l-.'4-hetc.)
-f-i(i-l-.'.-hiV-H-sb-i- etc.
etc.
Qiiae
DE PROCRESSIONIBFS HARMONICIS 157
Qiuie feries, ciim fint coniiergentes , fi proxime fum-
mentiir prodibit i-f-i-j-f ir:;/(i-i-i)-i- 0,577^18
Si fumma dicatur j, foret, \t fupra fecimus , dszi^r,^
ideoque jrr /(i-4- i)-f-C. Huius igitur qiiantitatis con-
ftantis c valorem deteximus, quippe eft C—o, 577218.
§. 12. Si feries i-\-{-\-'^ 1 vlterius in
infinitum continuetur , et in membra diuidatur , quorum
quodvis "vt ipfi feries i terminos contineat; erit mem-
brum inter 7 et ^ contentum~7 2, (equcns zr/i, ter-
tium— /^, etc. Atque cum ipfius feriei fumma fit log.
infiniti, poterit ad analogiam poni /5. Hocque modo^
fequcns fchema obtinebimus non parum curioliim
Series, r-\-^ -l
Siimmae' /5 l /|
§.13. DiiScile quidem videatur has easdem pro-
prietates progreflionum harmonicarum et logarithmorum
exprefliones analytice , eoque modo , quem ahbi ad fe-
ries fummandas tradidi , inuenire. At rem attentius per-
pendenti hoc non folum fieri , fed multo generahus etiam
fieri pofle deprehenfum eft. Confidero enim non fim-
plicem progreflionem harmonicam , fed cum geometri-
ca coniumaam, cuiusmodi eft '-^ -hi^-hj^b-\-ji^h
g— ^
etc. Huius fummam pono s, et vtroque per Ifx &-
"s^Jl bcx^ bcx~T~ bcx b
muhiplicato erit bx * j— ~\- — r+ — . — T
^ a a-\-b a~\- ib
a — b a — jb
Sumtisquc differentialibus habebitur /'D.;i' ^ s:izdx[CX~b
V 3 . -i-
3 Z! 4i SZ
r- I /i /^
etc.
158 OBSERrJTIONES
a—b
a—b g — b
ir^ r X b dx cx"-^ fx b dx
gralibnserit/^a' ^ s-^cJ —^-^ — atqiie s^^y J ^ZIJ'
/.v^ A-.m p-.m
Ab hac ferie lam fubtraho hanc -— -\- -rj-rj/^T^^^lj
m[g — h)
etc. cuius fumma fit /. Multiplicetur per ^-'^' ^' erit-
m'£-^b) mjg-i-ih)
'"ts-A) _jhxf" fhx ^b' fhx'
}ng m{g~\-h) ?n(g-\-2h)
m{g — h) mg-h
Sumtisque difFcrentiahbus fiet ^D .v '^ tzzdxifx ''
mg — /;
m[f.-i-b)—h m_(f-t-;fc)— fo ^^, h j
m(g—h)
fm fx * dx
Qiiare habebitur t ::^-—;;^£irh[J Z~^r~- Weoquc
o— & mg—h
c fx' _J'Ji /"-L-'!-^'' c w
s-t:=: -— ^i — - - , m^g^_b)J _ ^m • ^iH^ti a-
bX-i,- l—XDX h '
dlio vero ita debet fieri , \t a termino indicis m feriei s
fubtraliatiir tcrminus primus feriei t, ct a tcrmino in-
dicis o.m illius, tcrminus fecundus huius lcrici et ita
porro.
§. 14.. Qiio noftras feries logarithmicas eruamus,
fit a—b et g = b. Quo fado crit s — |/,Sc — Jr / ,^
/ imx—^dx_fl I
DE PROGRESSIONIBFS HJRMONICIS. 159
/
l ~ -TT". Quo aiitem haec expreflio fiat finita fa-
do a;— I , debebit efle -jfzz^^ hanc ob rem fiant omnes
7 I X
hae htterae rz i , entque s — t—l, — ——; — l{i -^x
^ X- --.v"''"') Qiiac expreflio dat differentiam in-
X* X' X* X' x'^ x^-"*
ter has fcries .v-l-- -H -^ -\- - etc. et —-\-
2 3 4. 5 12,
-f-' — etc. Quare fi mzn^. erit /( i -i-.v)ii:.v — ""/ -f-
3 ^
==/-^_"_l_etc. fi jwzzs, erit /(H- x-f-A") — .v-M'
- '7^ -h -t -4- f - X -H etc. fimihque modo /( i -\- x
-}-.v^-hr jr=.v-hf H-f -T-'-i-etc. In his fi fiat
X' zn I , prodibunt eaedem feries prd logarithmis aume-
rorum naturahum , quas ante dedimus.
ftl — 2
fx^ rmx ^ dx
jx rmx ^
§. 15. Si h-^xg, erit t-~J —-
Pona'-
tur x™ —y , eiu t _ -^ J ,.-y)^y — t" /r —
■V>
fa,- 7 I -V-.V ^. ^ , . C] r
■'^ ^ --. Si praetcrea fit a-zzb ent^ — 7/ .
/? I— .r" ^ b i—x
At j- eft fumma huius feriei f^H-Tir -f-T^ etc. atque
m m -m ^
•=!? f ,i^-.v= f.V^ /.V= , fv~
/.v " Z^T^ s- dat hanc iericm -\- \—
h i-.vl* g 3^ sg
-m I
4-etc, Sit a—i et .e-iri erit j— /.v ' zncl —
I — X
160 OBSERJ^ATIONES
m f
U i±f-=:/^-i^. ,^A1._^. Qj„, ,xp„ff,o quo (iat
fiiiita il .V— I oportet fit |— f {tnfzzzc. Sit igitur
^—i, t^ mzz.zn erit rerierum .v -i- ^/ -4- * ' -f- * * etc . et
a.v" 2.r-'' a.v^'' ,._ . / i - .r''
etc. differentia ~
I ^ 3 ^ 5 ■ (i-aO(i-+-A-Y
Ponatiir « =: 2 erit difFerentia haec zr /, '^^z fadloqiie
x—i^ erit ea rz o , quare liaec feries i — i -H 1 -f- ?
-l-i-^-l-i etc. eritzro, vt iam fupra inuenimus.
$. i Pf" (iiinma progreffionis
propofitac. Ert vero -^" ^\—^—] peripheria circuli di-
uifa per V3 pofito diametro ir i et ^F"' /,^^^ huius
dimidium. Quarc feriei fumma quam proxime erit
o,357^-
§. 18. At fi etiam ipfa inembra non vnifbrmiter
incedunt difficilius (uinma aflignatur. Sumamus hanc
feriem i -i_f-i_|-i_ ^_l-^-l-'_|- ^_^^_.^_^ . '__!_...
•+/3 — 15 etc. Haec eft differentia inter has feries i -f-
/-4-1 ..._.'
-.;,_(- --- ita in innnitum continuatas, vt extre-
mi termini eundem habeant denominatorem /('-^-).Ha-
rum ferierum prioris fumma eft CH-//-f-/(/-f-3 ) — /2,
denotante C conftantein §. 1 1 . inuentam,nempe o, 57771 8.
Altera feries fubtrahenda in has duas refohiitur ;(i-f-
^H-I-I-^ ?)et i(i-hM-^ ^ir)- ' lllius
fuinma efl: |C-l-|//; huius vero ^C — vH-|/(i-l-3).
Quac ambae ab ilia fumma C-f-//-f-/(/-f- 3 ) — /2
fubtraiftae rehnquunt — C -f- y — / 2 feii i , 173078 quam
proxime pro fumma ferici propofitae.
Tom. FIL .X Da-
x6z DE OSCILLJTIONIBFS CORPORFM
Damelis Bernoulli
DEMO NSTRATIONES
THEOREMATVM SVORVM
DE
OSCILLATIONIBVS CORPORVM
FILO FLEXILI CONNEXORVM ET CATENAE
VERTICALITER SVSPENSAE.
D
Tabuia IX | ^Edi niipcr theoremat.i de ofcillationibus corpo-
riim lilo flexiii connexoriim : dcmonftrationcs
iiutem , quas tum non viKnbAt in ordinem redi-
gere , nwnc paullo plus otii naftus co libcntius cum pu-
blico communicabo, quod multorum aliorum firailium
problcmatum folutio indc peti pofiit, eorum praefertim
in quibus motus partium non funt inter fc paralleli. Inter
huiusmpdi problemata facillimum c(l atque a raultis iam
diu fohitum , quod circa centra ofcillationis inucnienda
verfatur. Ad ea quoquc pertinet problcma de motu mi-
xto determinando, quo corpus cx pluribus diuerfie gra-
uitatis fpecificae partibus compofitum in fluido defcen-
dit: pertinent porro theoremata, quae in Commentar.
Tom. II. p. 200. a Patre cum publico communicata fuc-
runt: Praefertim autem mcthodus, quam mox exhibebo,
cun» fucccflfu adhibetur, quando in fyftemate corporum
plurium lcge aliqua inter fc connexorum , fitus vnius
cx fltu alterius coguito non potclt immcdiatc dctcrmi-
nari.
FILO FLEXILI CONNEXORFM &c. KJ3
nari, veluti cum corpus fliper hypothenufa trianguli in
horizonte mobilis defcendit ; hic enim fi vel noueris
fitum corporis in hypothcnufi , ipfius tamen trianguli
fitus in horizontc incoguitus maiiebit nifi hunc aliunde
determinare fcids. Probicma lioc pollremum aliquiindo
Patri meo propofueram ct piane inter fe conuenerunt
foUitiones noftrae •, Eam , quae a Patre profeda eft ,
Acadcmia Commentariis liiis uifcri curauit, vid. Tom. V.
p. II. Quae ad hanc claflem pertment, nouam me-
chanicae partem efficiunt : Principium autem , quo vti Ib-
leo ad iiuiusmodi problemata ibluenda , tale efl: :
Puta in fyllemate ad momentum temporis corpora
fingula a fe inuiccm (blui , nuUa fida attentione ad mo-
tum iam acquifitum , quia hic de acceleratione feu mu-
tatione motus elementari tantum fcrmo eft: ita quohbet
corpore fitum fuum mutante , fyftema aliam accepit fi-
guram , quam non-fohitum liabere debebat : Igitur finge
caufim meclianicam quam.cunque fj/ltema in debitam
liguram reftituentem atque , rurfus inquiro in mutationem
fitus ab hac rcllitutione ortam in quohbet corpore ; et
ex vtraque mutatione intelliges mutationem fitus in fy-
ftemate non foluto, indeque accelerationem retardatio-
nemue veram cuiusuis corporis ad ly(kma pertinentis
obtinebis.
Quomodo haec rcgula ad praefens nofLrum de oC~
cillationibus corporum filo flexili ligatorum aut catenae
verticaliter (uspcn(ae detcrminandis, negotium applican-
da (it , hic docebo , alia occalione idem fortalle etiam
X 2, mon-
i54 DE OSCILLATIONIEFS CORPORFM
monftifltiirus in probkmatis aliis partim iam a Patre meo
tradatis partimque noiiis.
Figum I. II. Sit iiliim AHF grauitatis expers , duobus one-
ratum ponderibus in H et ¥ , e pundo fixo A luspenfa '.
faciant corpora ofcillationes A^eluti mfinite paruas, fintque
corimdcrn dirtantiae a linea verticali AC, vt 2M/ ad
;/^L _;/^/^_ M L H- M /4:: V (^ 4///MLL + (?///-H ML
~\- M.I- inL)-). Demonftrandum ert, ofcillationes in
vtroque corpore fore ifochronas. Valores litterarum ;«,
M , / et L infra dabuntur.
Erunt ofcillationes ifochronae, fi fuerint vires ac-
celeratrices in corporibus vt diftantlae eorundem a linea
verticaH ; nec enim difFcrunt diftantiae hae ab arcubus
defcribendis: Has igitur vires accekratrices definiemus:
ponatur pars fiH HF cxtendi tacillime , ita vt corpus F
nihil ampiius retineat: accekrabitur corpus ifhid verti-
cahter deorfum a grauitatis vi naturaH: finge ita acce-
krari vt perueniat dato tempusculo ex F in E , dum
eodem temporis pundlo alterum corpus filo AH ahi-
gatum arcukuTi HL defcribit: dudtae iam intcHigantur
horizontaks LB et EC, quae quamuis ceu infinite par-
uae confiderentur , fmt tamen arculo LH infinities ma-
iores. Apparet ex mechanicis et theoria infinite par-
uorum , fore HL~|7^xFE. Pofitis igitur corporibus
in L ct E dudisque rccflis AL etLE, erit quidcm fi-
lum AL inuariatae longitudinis, akerum autem LE iam
maioris erit k)ngitudinis quam fuerat in fitu HF: con-
cipiatur igitur caulii , quae fikim LE contrahat ad kiam
kMi-
FILO FLEXILI CONNEXORFM &c. i6s
longitudinem natiimlem : dico ab ifta contradione cor-
pus ex E eleuatum iri \sque in u , alterumque retradum
ex L in n: fpatiola E«, L« determinabimus, poftquam
monuero, quod , du(fla minima recfta F«, "verae acce-
lerationes, quae durante alTumto tempusculo accefferunt,
feu iplae etiam vires accelcratrices rationem habiturae
fint in corporibus H et F \t H;/ et ¥u. Sed \t ra-
tio intelligatur inter H« et ¥u, ficiemus AH feuAL
i^/:HF leu nu~L: mafHi in corpore liiperiori ~;//j
in inferiori z=:M. Producatur AL et ex E in illam
perpendicularis ED demittatur. Denique ducantur ho-
rizontalis HG et veiticahs FG: erit F /^ ad « « perpen-
dicularis cenfenda atque triangulum minimum FEw trian-
gulo HFG fimile, iplaque Eu hneolae FE aequahs;
vnde fi ponatur B L =r i ; D E — .v ; erit M C — i -f-f i
EC--A-H-i-|-r; HG— CE-BL=iA^-f-y,hinc
F/^-(f-j--|)xFE:
Supercft vt definiatur Hfi. Notctur quod filum LE,
dum contrahitur, corpus E direde furfum trahir; dum
corpus alterum L obliquc ad diredionem fuam L« re-
trahit: hoc igitur titulo erit Ln ad Eu vtDEadLE
feu vt X ad L: fed eft praeterea Lw ad Eu reciproce
vt maffa corporis L ad mafllmi corporis E , id elt, di-
rede vt Madw: compofita ratione erit L«:E/^zzMa':
wL; vnde pofita FE pro E«, erit L«~^^xFE; et
quia Hf/ii: HL — L«, fequitur fore
H«r:(i-||)xFE:
fnnt igitur vires acceleratrices ia corporibus H ct F,
X 3 vt
x66 DE OSCILLJTIONIBFS CORVOBFM
vt f -l-f- ad f— ^: ponantur hae vires ad ifochronismum
obtinendum proportionales fpatiis defcribendis L B et EC,
feu fiat (f-f-r)*(i-£)=i:(-'*''+i4-T)j ntque rc-
perietur fada redudtione
•■^' 2ML
Huic autem fi addatur MC feu i-j-y, habebitur
^ raL_m!-f-ML-t-MZ-^-Vr,mMLL-|-(7nZ_|_ML-t-Ml — mL)'] i, -r
C t — ^^-7ni X li L ,
plane vt habet in parte iiuius argumenti prima thcorc-
rna tertium Prop. 7.
IIL Pofitis iisdem , erit longitudo pcnduh fimpHcis
ifochroni aequalis
2mVl
TOL-(-"i'-l-Mi-i-ML::f;V[4m>l L L-4-;7n;-|-ML-HM/ — inlr] 1
cuius rci rationem intelliges cx eo , qiK)d fi pendulum
fimplex longitudinis AH fcu / confidcretur , fit vis ac-
ccleratrix in lioc pcndulo funplici ad \'im acceleratri-
ccm corporis H in pcndulo nollro compofito vt H/ad
H;/, idcll, vt /'adj— ^: funt autcm longitudines pcn-
dulorum ifochronorum in rcciproca rationc \irium ac-
celcratricium ; Erit igitur longiuuio penduli quaefiti ad
longitudincm AH Yt [ ad f — |l' ^'"^^ inucnitur longi-
tudo penduli ifochroni z:i^_„,^, ct pofito valore pro
X fupra inuento , crit eadem longitudo , vt didum cft,
aequalis
mL-(-m:-)-M/-HML-j-.V[+mMLL-f-(ni'-+-?U.-HMl— "iL)']
Fisura 2. jv. Si filum AG fit tiibus oneratum corporibus in
H,FetG, olcillationes flicientibus valde paruas et ifo-
chro-
FILO FLEXILI CONNEXORFM d^c. i6y
chronas, ponatiirque maltii corporis rupremi = w; me-
dii — M et infimi — fx: diftantia AH — /; HF — L;
FG~X; diftantia corporis H a linen verticiili AP— i;
diftantia vcro corporis F ab eadem linca verticalizr .f^
erit
{(MMl>.-hMixI\)ss-\-7!i M /X 4- ;/,' |x /L - ;;/ M LX
-MM/X-MMLX -h;;/;x,X ~ M/x/X -MjaLX) .f
-;;/[x/X -///M/X^K^^fM/X H-- fx/X).f-;//L X-M/X
— M L X - |JL /X — fjL L X -f- ;;/ /L ^ ~ ;// ;;/ /x //L L .f.
Diftantia autem corporis infimi a linea verticali erit
pro quauis radice ipfius s aequalis
. mmx _, inX_ _, f , X _, I^ _ ^ _ MMX mmX mx
MX -s MX_ X
ml ) ^ |aL L •
Haec vt demonftrentur , ponatur rurfus filum infi-
mum FG flicillime extcndi atquc fic corpus G vi gra-
uitatis naturali accckratum , ailumto aliquo tempusculo
infinite paruo verticalitcr delccndcrc ex G in s , dum
interea ambo corpora fuperiora accelerentur, vti in figu-
ra priraa , fliciendo arculos (iios H;/ et Y ii. Patet au-
tem , fi G.f in figura (ecunda aequalis ponatur dc(cen-
fui FE in figura prima , fore pariter arculos H;/ et F/^
idem in vtraque figura ; erit igitur per praecedentcm pa-
ragraphum lln—{\—^)xGs et ¥u—(\-\-~xGs^m'
telligendo per x lineolam // M perpendiciilariter ad pro-
longatam An dudlam, prouti deinceps per j intellige-
mus lineolamj"y, quae perpendicularis eil ad prolon-
gatam nir. iamducantur horizontalis FQ_ac verticalis QG,
(iimtaque
i58 DE OSClLLATlONlBrS CORPORFM
fiimtaque « v zi: F G , diicatur Gj. His ita ad calculum
praepanuis, nunc rurdis fingendum elt, redlam «.f, in
priftinam longitudinem FG contrahi : ita eleuabitur cor-
pus ex s injf Yel in r (eft autem jr nuila praeGj);
corpora autcm fuperiora iterum retrahentur ex ;/ in o
et ex u in fn: atque fic tandem patet fore vires ac-
celeratriccs in Imgulis corporibus fecundum dircdlioncs
iiias natuiales ad vim grauitatis naturalem , vt fe habent
Ho, F/;/ et GjF ad G.r. fupereft igitur vt fingula iiaec
elementa exprimantur, probe obferuato arculos H;/, F//
ctc. niillos cire prae diftantiis corporum a linea verti-
cah. Inucnictur autcm rede inftituto calculo FL^y
-{- 1 X -i-j : et quia FG:FQ_rr;G j :Gj', erit
G>'-r/ + ^-4-^^lxG.r.
lam porro quaerendum eft , quantae futurae fint rctro-
gradationes corporum in u et n pofitorum , quae fiunt,
dum corpus infimum ex s m y aut in r eleuatur. No-
tetur potcntiam filum us contrahenrcm vbique acquali-
ter diflfundi. Erit igitur rurliis vt in iiiperiori paragra-
pho um ad sy feu ad G.f in rationc compofita tx -vy
ad uj et malTae [x ad mafllim M: vndc inuenitur um
— j^-^ X G i , qua fubtrada ab F // fcu ab ( / 4- f ; ^ G j ,
oritur
F;;/=:(f-|-J-^i-^)xG.f. -
Denique quia ab eo, quod corpus medium cx u in ;;/
cedit, nihil patitur corpus iliprcmum , erit, \t antea ,
no ad y.f feu Gj" in ratione compofita cx M« ad un
ct malTac \k ad malTam wj vnde ;/o— jjlxG i: hac(|ue
iub-
FILO FLEXIII CONNEXORTM &c. 169
fublata ab «H fea ab (i_^^)xGj-, fiet.
Poftquiim fic accelerationes corporiim finpulorum in ve-
ris luis diredlionibus inuenimus, erunt hae diikntiis fuis
ab linea verticali yV ^ uC et «B feu quantitatibus ( i -4-
iH-yH-xH-4A'-Hi'), (x-i-^H-A-) et ( i ) pro-
portionales faciendac ifochronismi ergo: Ita duae ae-
quationes obtinebuntur valores ;i; et / determinantcs :
atque fi deinde ponntur i -f- j-f-Arrrj-, inuenietur
aequatio pro s eadem , quam fupra recenfuimus , quam-
que demonrtrandam liiscepimus.
V. Acceleratio corporis H exprefla perH(?(euper
( ', — ^ — ^ ) X G .f ert ad accclerationcm ciusdem corpo-
ris, abfentibus duobus inferioribus expreflfam per jxGj,
vt i— ^ — ^ ad 7, feu vt niL — M/x — ix/x ad mL.
Sequitur inde longitudincm penduli ifochroni elfe.
mll
mL — Klx—jj.lx
Hanc autem non diffcrre ab illa , quae in parte pri-
ma , propofitione decima tcrtia data fiiit , videbis fi ibi,
prouti fidlae a nobis denominationes poftulant, intelli-
gas per x^ quod hic per s feu per i-i-7--i-.v.
VI. Sint iam phu"a et quotcunque volueris corpora, Figura 3.
veluti B,C,D,E,F producantur fingula fila defignen-
turquc finus angulorum BAN(AN e(t verticalis) CBG,
DCH,EDL,FEM. per/),^,r,j,r; maffie autem
corporum pcr ipfis litteras iisdem appofitas denotentur,
To?n. Vll. Y dico
170 DE OSCIILATIONIBFS CORPORJ M
dico pofita vi gnuiitatis naturalir^i, vires jicceleratri-
ces corporum recLindum fuas dirediones fore vt fequitut.
£ I p
mT)z:zp-^q-\-r-^s ,
in Err./)-f-'7-+-r-hi" — ^^,
in ^—p~\-q-{-r-+-s-\-t-,
Venim hanc efle virium acceleratricium legem, perci-
pics fi fextum corpus fuo filo inferius adhuc appcndi
ponas, calculumque deinde ini^ituas, vt fecimus ratione
trium corporum paragrapho quarto , fingcndo lcilicet,
corpus infimum naturali grauitatis vi verticaliter deor-
fum accelerari , reliquis interim fecundum iuam indo-
lem vibratis, idemque corpus mox a contradione fi-
li iterum eleuari: ita enim legcm hanc accclerationum
nunc expofitam a quinquc corporibus ad fex, et inde
. ad feptem atque fic qnousque libuerit recfte continuari
vidcbis.
Ex airiirritis autcrn fingulornmangulorumfinibus, de-
ducuntur corporun^ a linea vcrticali diilantiae, ac fiquam-
uis diftintium vi accclcratrici refpondcnti proportio-
nalcm ficias, liabebis tot acquationes quot incognitas,.
fic vt omnia deniquc defiderata inde recfte dcfiniri poflint.
VII. Puti nnnc corpora cfl*c numero infinita et
Fignr» 4 aequalia , diftantiis minimis et aequalibus a fe invicem
pofita: ideam habcbis catcnae vniformis ab vna extre-
mitate fuspenfae, qualis eil AC vel AF; In hac ele-
meii-
riLO FLEXILI CONNEXORVM &c. 171
mentiim confideretur infinite paniiim Mm vel N«,
diidis MN et w/w ad AC perpendiciilaribus et nio
cidem AC parallela: ponatur Am yel An — s (nec
enim differunt quia infinite parum diftant ) ; wM vel
«N2rJ.f, quod eiementum conlians alTumatur: longi-
tudo catenae integrae A¥~l\ mnzzy^ M(?~^j: erit
( pofita vi grauitatis naturali rr i ) per praecedens theo-
rcma vis acceleratrix in ?// aequalis iiimmae omnium
finuum angulorum contndus , qui funt inter A et w,
diminutae tertia proportionali corpusculi inw,lummae
omnium corpusculorum in M F et finus anguli contac-
tus in M : fic igitur habetur vis acceleratrix in M —J j-f
— —j^—- Qiiia vero ilochronismus pofiulat , vt vis ac-
celeratrix fit proporrionalis applicatae M N, erit afliimta «
pro conftante/ -df — '^ ~dl^^ — li '■ lumatur integrale ter-
mini primi fine additione conftantis , quia hic nulla fii-
menda eft : fic fiet g-^^:=-^- Denique ponatur
/- s feu F M aut C N = .v , et erit -7^ - d^^ — ^ , fiuc
ndydx--\-nxddj — —jdx ,
quae aequatio denotat naturam curuae AF: quoniam
vero integralis eius non apparet, pofui
yzz.a.— '^x — yxx~S .V' — e .v* — etc. ,
r/y rr — S ^.v — 2 y x dx— 3 '3 .v .v dx — 4 £ x"' dx — etc.
''^ddyzzi—^ydx^—i.^.^xdx- — !^.^.. exxd x- — etc.
Hisque valoribus fiibftitutis diuifique deinde aequationc
per dx' , oritur
17^ DE OSCILLATIONTBVS CORTORVM
— g— sya'— 3^i*.v — 4e.v^ — etc.
— 2 Y ^— ^- 3 "^ •^'•^— 3 • 4 £ 'V ' — etc. ::= (f ,
-+-l-\x-ixx--x -etc,
ciii aequationi llitisfit ponendo az=.i \^ — ji] y~~^y
^~-^: eiir -~r+ etc. vnde
"vbi per i intelligenda eft diftantia pundi infimi F a
■verticali^ et quia pofitA x — /., ed j — o erit fimul
I"n-t-:^~4.p7i' ' 4.9.6'i* ea._y,
Hinc deriuandus efl valor littcnie 7i , qui exprimct lon-
gitudincm fubtangentis in F. Haec dcmonltrant veri-
tatem theorcmatis , quod in praccedente diflertationa
oftauum eft.
VIIL. Vt habeatur rongitudo penduli ifochroni%,
quaerenda eft vis acceleratrix in pundo F, quae per
§. VI. erit aequalis fummae finiium omnium angulorum
contacflus ab A vsque in F, id eftzrj^- feu— ~^^;
ponendo fimnlArizzo- et hinc fit ^-J^— ^. Eft itaquc
vis acceleratrix in F ad vim acceleratricem naturalem
vt 1 ad «: fi vero pendulum fimplex longitudinis /
habeatur, erit vis acccleratrix in iIlo~-^ fub eadem
diltantia a iinea verticah; ergo 'vis acceleratrix in ex-
tremitate catenae eft ad vim acccleratricem in pendu-
lo ••fimplici ciusdem longitudinis, vt / ad «: Hincquc
erit longitudo penduli fimplicis cum catena fimul vi-
brantis — «, vt habct thcorema nonum in praemilTa
aiiiicrtatione..
FILO FLEXILI CONNEXORFM ^c. 175
IX. Theoremata aiitem decimiim et vndecimum
vnice pendent 11 debitae conftantis additione , eaque
proinde ceu nimis nunc facilia hic non attingam : fed
duodecimum ex §. VI rurfus, hunc in modum dedu-
cetur.
Corpuscula nunc confiderentur infinita et aequali-
bus diftantiohs a fe inuiccm pofita , fed inaequalis
ponderis: ita habebitur idea catenae pro lubitu inae-
quahter craffie; fit haec ita formata, vt Jongitudini
FM (.V) pondus refpondeat ^, denotante | fundio-
ncm qualemcunque ipfius x : Erit ( per §. VI. ) vis ac-
celeratrtx in M— /"^- — ^^-^— ^, vel quia dx con-
ftans, erit ll^— gg-f-, aut nd^dj-]-n^ddjz:z
—jd^dx^ vel denique
=^—fjdx,
xt fert theorema duodecimum , de quo (ermo crat :
demonfl:ratio magis fiet intehigibihs ,, fi fimul conferajr»'
tm paragraphus fcptiraus.
Y3 SE
174 T)E INFINITIS CVRVIS
DE
INFINITIS CVRVIS
EIVSDEM GENERIS.
SEV
METHODVS INVENIENDI
AEQVATIONES PRO INFINITIS CVRVIS
EIVSDEM GENERIS.
AVCTORE
Leonh. Eulero,
§• I-
CVriias eiusdcm generis hic voco tales curuas , qune
a (e inuiccm non diffcrunt nifi ratione lineae
cuiusdam conlbntis, quae alios atque alios va-
lores affumens eas curuas detcrmiuat. Linea haec con-
ftans a Cel. Hermanno moduhis eft vocatus , ab ahis
parameter: quia autem paramctri nomen ambiguitatcm
creare potell:, moduh vocabuhim rctincbo. Efl: itaquc
moduhis hnea conftans et invariabilis, dum vna infini-
tarum curuarum quaecunque determinatur ; varios autem
habet valores et ideo variabihs c(t, h ad diuerlas cur-
uas refertur. Sic H in acquatione y-zizax fumatur a
pro modulo , ex variabihtate ipfius a innumerabiles ori-
untur parabolae fuper codcm axe pofitae et commu-
nem verticem habentes.
§. 2. Infinitae igitur curuae eiusdem generis om-
nes viiica aequationc exprimuntur, quam moduhis cjui
nobis
EIVSDEM CENERIS. i75
nobis femper litera a indicabitur, ingredltiir. Huic
enim modiilo, fi (ucccfliue alii atque alii valores tri-
buantur, aequatio continuo alias dabit curuas , quae
omnes in vna aequatione continentur. Aequationem
hanc modalum continentem cum Hermanno modularem
vocabiHius \ in qua igitur praeter alias conftantes et eius-
dem valoris in omnibus curuis quantitates infunt mo-
dulus a et duae variabiles ad ciiruam quamlibet per-
tinentes, cuiusmodi funt vel ablciflii et applicata, vel
abfciflli et arcus curuae , vcl area curuae et abfciflli etc.
prout probicma foluendum poflulat.
§. 3. Sint igitur quantitates variabiles x et ;:; , qiiae
cum modulo a acquationem modularem ingrediuntur.
Perrpicuum eft , fi detur aequatio algcbraica inter x et
z Q.t a ^ pro vaica curua, in qua a vt conftans confidera-
tur , eandem fore fimul modularem , fcu nd omnes cur-
uas pertinere , fi modo a fiat variabilis. At fi inter .r
et z non poterit aequatio algebraica dari , difficile erit
aequationem modularem inuenire. Nam fit z~J?dxj
vbi V m a ^ z et x , quomodocunque detur , feu
<^ 3 n; ?(-/!', in qua aequationc a \t conftans confidera-
tur ; intelligitur aequationcm modularem haberi , fi in-
tegralis ae juationis dzzz.Vdx dcnuo difFerentietur , po-
fito etiam a variabili. Sed cum integmtionem perfi-
cere non liceat, eiusmodi methodus defideratur^ qua
differentialis aequatio, quae prodiret , fi integralrs de-
nu ) differentietur pofita etiam a variabih, inneniri
poilit, '
f . 4»
1^6 DE INFINITIS CFRVIS
§. 4. Ad conftriiendas quidem et cognofcendas cur-
Mfls aequatio dz~Vdx Iiifficit. Nam , dato ipfi modulo a
certo valore conftruecLir aequatio dzzz-V dx ^ quo f.i(flo
habebitur Yna curuarum infuiitarum , eodcmque modo
aliae repcrientur aliis ponendis valoribus loco a. Sed
fi in his curuis certa puncfla dcbcant aflignari prout pro-
blema aliquod poftulat, talis aequatio z—JVdxnon liif-
ficit fed requiritur aequatio a fignis fummatoriis libera
in qua fi non eft algcbraica , etiam difFcrentialia ipfius a
infmt. Ex data igitur aequatione differeutiah pro vni-
ca curua dz — Vdx in qua ^vt conftans confideratur, quae-
ri oportet aequationem difftrcntialem , in qua et a fit
variabilis , baccque erit modularis. Haec vero modu-
laris interdum crit difrcicntiahs primi gradus , intcrdum
fecundi ct altioris, interdum etiam penitus non poterit
inueniri.
§. 5. Qiio igitur methodum tradam, qua ex ae-
quatione differentiali dz—?dx, in qua a cft conftans,
modularis poflit inucniri , qu;ic a \t varialulaii ccn-
tineat; pono primo P cflc fundionem ipfirum a et .v
tantum, \t fVdx filtcm per quadraturas cxhibcri pos-
fit. Erit igitur z—f?dx, in integratunic ipfuis Vdx.,
a pro conflanti habita. Qiiaeritur nunc differentiale
ipCms fVdx fi etiam a vt variabilis tradctur; quo in-
uento ipfique dz aequah pofito habcbitur acquatio mo-
dularis. Diflfcrcntiale autcm ipfius JVdx habebit hanc
formam Vdx-i-Q^da^ critque dzzzVdx-\-Q_da ae-
quatio raodularis, fi modo valor ipfius Q_ cfllt co-
gnitus.
EirSDEM CENERI^. 377
f. 6. Ad inueniendiim autem valorem ipfiiis Q_fe-
'quens inieruit tiieorcma. Quantitas A ex duabiis n:a>ia~
bilibiis t et u vtcunque coinpofita , fi dijjerentietur pofito t
sonflante ^ hocque differcntialc denuo dijj erentietur pojdo u
conjlante et t variaDili , idem rejultat acfi inuerjo ordine
A primo dijjerentietur pofito u conftante hocque djj erentiak
denuo differentietur pofito t conjiante et u 'vaiiaoili. Vt
fit Azz: y (/'-+-;///'}, ditFerentietur porito t conftiuite ,
habebitur j^^-^xy Hoc denuo difFcrentietur pofito u
^ ... . —ntudtdu T j
.conltante et prodibit . lam orduic muer-
( r -f-- ;/ w ; i
fo difFerentietur V {f- ~\- nu'' ) pofito u conftnnte , eritque
difFcrentiale yr-r:;.„7^Tj , quod denuo difFerentiiitum pofito t
CL . :\ \ ■ —i^' i^dt du . , ,
conftante dabit , id quod congruit cum prius
(?^-l-;Hr;l
inuento. Atque fimilis conuenientia in quibusque aliii»
exemplis cernetur.
§. 7. Qj.uimuis autem huius theorematis veriratcm
exercitati facile perfpiciant, demonftrationem tamcn fe-
quentem adiiciam ex ipfius dJfFerentiationis natura peti-
tam. Cum A fit funclio ipfirum /etz/, abeat A in B
fi loco t ponatur t-\-dt\ at pofito u-\-dii loco z/ ab-
eat A in C. PoGto autem fimul t -\- dt loco t et u-\- du
loco u mutetur A in D. Ex his perfpicuum cft, fi
in B fcribatur u-\-du loco u prouenire D; fimihque
modo fi in C ponatur ^-h fl'^ loco / proditurum quoque
D. His praemiffis , fi difFcrentietur A pof to t conilante
prodibit C — A, nam poiito u-\-du loco ;/ abit A in C,
Tonu VII. Z dif-
17$ DE INFINITIS QVRVIS
difTerentiale aiitcm efl; C— A. Si porro in C — A po-
natiir t-{-dt loco t prodibit D — B, qnare diffeicntiale
erit D — B — C -h A. Inuerfo nunc ordine pofito t--\-dt
loco t in A habebitur B, eritque difFcrentiale ipfius A
pofito tantum t variabili B— A. Hoc differcntiale po-
fito u -f- du loco u abit in D — C , quare eius difFeren-
tiale erit D — B — C-|-A, id quod congruit cum dif-
ferentiali priori opcratione inucnto. Q. E. D.
§. 8. Iftud aucem theorema hoc modo infcrnit ad
valorem ipfius Q_ inueniendum. Cum P et Q_ fint fun-
dliones ip(arum a et .v, fit ^Prr A^/.v-f-Br/a et d(^
— Cdx-^-Tida^ atquc z cum fit— /Pr^.v, erit quoque
fiui(ftio iplarum a et .v, pofitum autem etl dzz^Vdx
'^-Qda. lam fecundum Thcorema differentictur :: po-
fito .V confiante , eritque difRrentiale (^da hoc porro
diffcrentiatum pofito a confiante dabit Cdadx. Altc-
ra opcratione diffcrcntiale ipfius z pofito primo a con-
ftante efi Vdx., huius vero diffcrcntiale pofito .v con-
ftante ef^ V>dadx. Qiiare vi thcorematis aequalia effe
debent Cdadx et Bdadx., ex quo fit Cnr B. Da-
tur autem B ex P ^ differcntiale enim ipfius P pofito x
conftantc diuifum per da dat B. Cum igitur fit dQjzz
Bdx-^-Dda ^ erit Qn/B^.v, fi in hac integratione a~o. Nam fi in fundione u po-
natur.vzr ^j/, omnia a fcfc dcrtruent ct in ea praetcrj'
et confiantcs nulla alia littcra rcmancbit. Hancobrcm
jn diffcrcntiaU pofl: hanc fubrtitutifmcm aliud diifercn-
;tiale practcr dj non rcpcrictur. Cum autcm fit .v zr ^j
cri£
EirSDEAI GEKERIS. 185?
crit dx—ady-\-ydaj \i^to(\m du—Kady+Kyda-^-Sda
Dcbebit crgo cflc Ky~\-S — o^Jt'U Kx-\-Sa — o.
§. 23. Sin vero fiierit u fiindio ;// dimenrionum
*- u
ipfiimm a et a', atqiie du~Rdx-hSda-, erit -^
fundio iplaium ^ et .v nullius dimenfionis. Differentie-
u xdu-iniidx ^ Rxdx-fmidx-+Sxda.
tnr igitiir— et prodibit —jrn-^r, — Teu ^^,,,^^,
Quod ciim fit differentiale fundionis nuUius dimenfionis
eri t R x' — m u x -\-S ax ~o., feu R .r -h- S ^ — m u. Qua-
re fi fucrit u fun(flio m dimenfionum ipiarum a ti x\
atque ponatur du zz R dx -\-Sda crit R .r H- S ^- -Jii m u
ideoque duzzS\dx-\-'^{mu — Rx) fcu aduzzRadx
— Rxda-\- muda.
§. 24.. His pracmifiis in dz^^izVdx feu z'~
fPdx fit P fundlio ;/ dimenfionum ipfarum ^ et x^ erit
igitur z tiilis fundlio dimenfionum ;2-h i- QLiare fi po-
natur fl'c;irPrt'.f-)-Q_^/^, erit ?x-\-Q_a — in-\-i)z.
Ex quo vaior ipfius Q fubfl:itutu& dabit aequationem
modularem dzzz? dx -\- ~^ in-\- i- )^ — P x ) fcu a dz
— (n-\-i)zdazzVadx-Vxda. Quae tantum eft dif-
ferentialis primi gradus Cum autem generaliter crat
Q_— /Brt^.v, erit hoc cafu (n-^ i )f?dx — afBdx-\-
?x. Ex quo perfpicitur hoc cafu intcgrale /B^a: (em-
per reduci ad f?dx.
§ 25. Eadem aequatio modularis proueniet ex con-
fideratione folius P. Pofito enim d? z^ Adx -\-?,d a.,
erit n? zzkx-\-^a. Cum 2LWt.tm i\t d z zzi? d x -\- d a
Tom. Vll. Aa ^ JBdx
1^6 DE INFINITIS CVRVIS
JBdXy crit dz — Vdx-\-^f{nVdx-Axdx) in qua
intcgmtione a conftans habctur. Erit igitur/«P^x —
nz^ et fAxdx — ?x-jVdx oh jAdx — ?. Habe-
bitur itiique dz — Vdx-}-~(n-i-i)z — ?x)^ id quod
prorfus congruit cum praecedentibus.
§. 25. Retinente P fuum valorem n dimenfionum.
Sit z —/A P X dx , \bi A fit fundio ipfuis <7 et X ipfius x
tantum. Erit igitur ^—J?Xdx. Pofito d? — Adx
-\-Bda, (in quo litteni A cum altera quae eft fundio
ipfius a tantum non eft confundenda ) erit «P— A.v-^
Ba. Ipfius PX diflfcrentiale igitur pofito .v conftante
crit BXda. Confequenter habcbitur d. j; — ?Xdx-\--
daJBXdx=z?Xdx~\-^ Jin?Xdx-AXxdx). Eft
vero Jn P X dx i= f ct / A X .v dx =?Xx-J?X dx -
J? xdX. Qiiarc fiet d. ^ z=: P X dx - '-f^" -+- ^-^J^ -"
-^^J?xdX. Nifi igitur /P.vr/X rcduci potcrit nd
J?Xdx vd prorliis intcgrari , aequatio modularis dif-
ferentialis primi gradus dari nequit.
§. 27. At fi fucrit dzzR/P^/.v, cxiflcntc R fun-
d:ione quacunquc algebraica cx a , .v ct ctiam cx z con-
rtante, at P fundione ipfarum a ct .v dimerifionum n.
Qiiia ell j=J?dx erit d. ^zzP^.v-^^^C-^^-P.v)
= ^-^ feu Kadz-zadK-{n-\-x)Kzda — ?K.'
adx-?K^ xda. In vniuerfum autem tcncatur, quo-
ties z—J?dx ad aequationem modularem rcduci pof-
■fit, totics etiain z:=Kj?dx ad acquationcm modula-
fem rcduci pofTe. Nulium aliud enim difciimcn adc-
rit,
EIFSDEM GENERIS. 187
* rit, nifi quod in illo cafii enit z^ hoc ciiru debeateflTc
--. Qiiare fi R fiierit vel qnantitas algebraica , -vel ta-
lis transcendens , vt eins difFerentiale pofito etiam a va-
riabili poflit fme fiunmatione cxhiberi , aequatio modii -
laris per praecepta data reperietur. Qiiamobrem in po-
fterum tales cafus, etiamfi latius pateant praetermittere
licebit.
§.28. Ponamus effe zzizf{ P -4- Qjdx, feu z =/P dx
-4-/Q_^A' et P effe fundlionem iplarum a et x dimen-
fionum «-I, Q_ vero fundionem earundem a et .v di-
menfionum m—i. Cum igitur differcntiale ipfius /P^/.v
fit ^-M^^A5}_^^^fnVdx et differentiale ipfius /Q^.v
(«/P^.v-|-;;;/Q^a'). Ponatur -A^±^^S=ll^-u,
critque u—?2j?dx~h?fif(^dx. Si igitur porro diffe-
rentietur crit du-'-^^^^^^^^-{-^^(jfJ?dx-i~??f
/q^.v). Pofito igitur ^J2L=±L^j:^li±=^^^J--f ^rit tz=r.
n'J?dx-\-??i-jQJx. Eliminatis nunc ex his tribus ae-
quationibus ipfarum ^, ;/ et 2^ integralibus/Prt^.v ajQJx,
prodibit haec aequatio ??i?iz-{?n-\~?i)u-\-t—o. Quae
aequatio , fi loco u et t valores affumti fubflituantur , erit
modularis quaefita.
§. 29. Simili modo fi fuerit ^— /(PH-QH-R)r/.v
et P funcflio ;2 - i , Q_ fundio ;;j- i et R fundio /t- i
dimenfionum ipfirum ^et.v.Ponatur//zi:^^^^-^^''-^^^'
ec T — d^ , et s — j^ ■■ ■
A a 2 Quo
i§S DE /A'F;A7T75 CrRFlS
Qiio fiirto erit acqiutio modularis hnec : kmnz—{hm
-{-kn-\-i}in)u-\-ik-{-in-i-n)t — sz:zo.
§. 30. Sit porro r: — 7'( P -+- Q_)* ^.v , vbi P iit fmi-
(flio n dimenrioniim , Q vero tunclio ;;/ dimenlionnm
iplarnm a et .v. Qirando igitiir clt fl^Pzi: A^.v-f- JW«
et d Q_~Q d X -\-T) d a ^ erit ;; P — A .v -H B « et
m Qziz C .r -f- D a. Diflfcrcntiale antem ipfuis ( P-H Q_ )*
polito X conftante dinifum per da ert fc(B-4-D)(P-hQ/'~''
Hanc ob rem erit dz-[V-{-(lf dx -\- ^ /( P -f- Q)''""'
( B tf -H D ^ ) «'.r. Cum autcm fit B ^ — « P - A .v et D ^
rr:;«Q— C.r, et Adx—d? et Cdx—dQ^ ob a in
hac integratione conftans , crit dzzz{?-\- Q/ dx-\~ ^
J V-\-(^f-^{n?dx-\-mQjlx-xd?-xdq),ku dzzz
[l±_^naclx_-jaa) d_a p^Q^),_. ^(„^_^ , ^
a a
^ . . ^ adz-i?-\Of(adx-xda)-zda
?dx-\-{mk-\- 1 )Q^.v;. Ponatur ^ ,
— t{ erit «=r/(;zPr/.v-|-;;/Q^.v)(P-f-Q'=— . Quare
fi integrale /( n ? dx -f- w Qrt^.v ){?-\-Q^f— pendet ab
intcgrali /(P-hQV.v liabebitur aequatio modularis dif-
ferentialis gradus primi ^ fm mirius dif!creiitiatio e(t con-
tinuanda. Fit autem du— {n?dx-\-mQdx ) (P-hQ)*-'
-\- f - ?(«P-4-wQ)(P-hQ)*-.v-h'?/ hr- ?^dx-h{^~k
m n -\-7f-^ m n -\- nr) ? Q^dx -\- k ;«'Q^.v)/(P -+- Q^f-'.
adu-uda- {n?-\-mQ) i P-j-Q)*^— ' {adx - xda)
Et pofito tzz Ya
eri t t — / ikn^?- dx-\-i^kmn-\- ?i~ - ci ;;; n-\-?n-) ? Q_dx
^knf-Q^dx){?-\-Q^f-\
§■ 31-
EirSDEM GENERIS. 189
§. 31. Cum igitiir habeuntur tria integralia \iucn-
dum ell , num ea a ie inuiccm pcndeant , hoc enim fi
fuent, liabebitur aequatio algebraica inter ?, « et 5;,
quae dabit loco t et u lubftiti-itis affumtis valoribus ae-
quationem modularem difil rentialem (ecundi gradus.
Qiio autem facilius in caiibus particuhuibiis pcrfpici
pofiit, an pendeant a fe inuicem , ad alias formas eas
reduci conuenit. Cum i^itur fit x;~/( P-l-Q^)*'^'.^
erit uzrmz-h{n—m JiV-i-Q^)'^^'?^!' et t — {2km
-^n-m^u — i km- — m- -{- mn) z -i- { n — tn y {k— i ) /( P
_l_ (^f-^- p= c/x QLraercndum itaque eft an ^(P -f Q^)*— ="
PW.rrcduci poHit ad \uecf(?-\-qf-'Vdx er/f P-f-Q_,te
Vel an fit /( P -|- Q )''-= P^ dx zzaf[V-\- Q_,*— P dx -f-
§y ( P -i- Q_ '*' ^v -f- V deiignante V quantiiatem nlgebrai-
cam quamcunque pcr a ct .v datam , ct a ac i? iiint
cocrlicientes ex conftaatiffimis et a compofitae.
§ 32. Fiac igitur V— T( P -f-Q_/— ' huius dif^
ferentiale pofuo a conftante fit <3^T(P-|- Q_/— '-j-
(^-ij^T^P-l-Tfl^Q^^^P-f-Q./-^ Prodibitergo fe-
quens aequatio P' ^.v — a P V.v -i- a P Q^ r/.v -|- S P V.r
-+■ 2^?q_dx H- eQ;rt'.vH- P^T H- Q^^T-I- 'k-i)
T^P-H(.t- I jT^vO, quae per dx diuidi poterit. At
T ita debet accipi , vt termini repondentes CeCt deflru-
ant, (limris ad hoc idoneis pro a et § valoribus.
§. 33. At fi per fPdx non abfolute determinetiir
z fed c]uantitas /Q_(/c;, data Q_ vtcunque per a et z^
atque P per a et .v ; habebitur ifta aequatio Q^~~
Vdx in cjua iiidetcrminatae .v et .c; funt a le inuicem
A a 3 lepa-
i8o DE INFINITIS CVRVIS
feparatac. Modiihiris vero acqnatio hoc modo inuenic-
tiir : Qiiiii eft jQ^dzzrJV dx differcntietur \trumque
membrum ponendo etiiim a \niiabili ope dVzzAdx
-\-Bda et dQ^zr.Cdz-{-i:) da. Erit crgo Q_dz-{-
dajDclz~Vdx-\'dajBdx feu ddz-z? dx -\-da
iJBdx—JDdz). Qiiae aequatio, Ci JBdx ctJDdz
poterunt eliminari , dabit modularem quaefitam,
§. 34. Sit P fundio '"~' dimenfionum ipfirum a
ct X , ct Q_ funclio "~' dimenfionum ipl-u um a et z.
His pofitis erit Di^. J ? d x - '^^'■^^"^'^ , et
Diff. }q_^~-'!±^-±:^^^:'''). Ex quo eruitur ida ae-
quatio {m — 7i)JVdxzz.— — ^'a — d^i — f^t> JVdx
zzzjQ^dz. Qiiare fi fuerit?«~;2, crit Q_adz-Q_zda
z^V adx — Vxda. quac ell aequatio modularis, feu
ia qdz — Tdx
« — (^2. — Px"
§. 35. Sin vcro m ct n non fint acqualcs, ae-
quatio modularis erit differentialis fecundi gradus. Nam
r^ 1 \ CV) J CL(adz — zda) — '^[adx — xda) • t^- rr
cum lit {m — n)jVdxz:z^^ (^^ erit DifF.
Q,(adz — zda) — Fjadx — xda) m(m — W^dafPdx , {m — v^^Tia-ix — xda)
da a 1 o~
7nQj.adz-zda)-nP{adx~xda) „ • n 1 1 •
c=z —i . Qiiac acquatio elt modulans
quaefita.
§. 3<5- Si in acquatione propofita dz-{-V dxmo
indetcrminatae non fucrint a fc inuiccm fcparatac,
ita vt P fit fundio involucns .v ct x:; ct ^; dcbcbit
per quantitatem quandam R multiplicari , quo formu-
la Rdz-\-VKdx \t diffcrentiale intcgralis cuiusdam
S poffit confidcrari. Erit itaquc dS—Kdz-\-VRdx:zzOy
idcoquc
EIFSDEM GENERIS.
I 8l
ideoqiie SnCond. Sed ad quuntitatem R inuenien-
d;im, fit d?z=:A(fx-{-Bdz et dK^Bdx-hEdz ,
vbi -7 tantispei- pro conibinte habemus. His pofitis
eiit d.PR=:.(DP4-AR)^x-f-(EP-l-BR)^s, quo-
circa debet efTe D=:EP-hBR. At ob D — ^'-^^^-
fiet E ^ ~ -1- E P dx -1- B R dx ~dK. Cum \ero fit dz
~\-?dx — o, habcbitur dti~BRdx, et lK=JBdx.
Cognita vero eil B ex d;Uo P , ct qui:i B et x: et Jt; in-
uohiit, Bdx integrari dcbet ope aequationis dz-i-Vdx
~(?, fi quidem fieri poteli Sit itaque /Br/.vrzK,
eritque R ~ ^*^ pofito lenzi.
§. 37. Cum igitur fit dS ~ e^ dz-{-e^?dx—o y
ad aequationem modularem inuenicndam Cit dliz^Y dx
-^Gdz-^Uda, eritque de^—e^(¥ dx-}-Gdz-hBda).
Sumatur deinde integralc ipfuis e^Hdz pofito tantum ^
variabili , x vero et a conlbntibus , quo fido erit ae-
quatio modnhiris e'^ dz H- e^ ? dx -+- daje^ Hdzzzo , feu
diuifo per e^ haec dz-^r-^dx-i-e-^daje^lldz^zo.
Aha aequatio modularis inucnitur, pcvfito rt^P z: Art^.v-i-
Bdz-\-Cda., erit enim iphus ^'^P difFercntiale pofito
x et :; conibnte hoc e^{Cda-\-?Hda). Intcgretur
e^dx{C'+-?ll) pofito tantum x variabili , quo fido
crit aequatio modularis dz-\-? d x-^-e—^^daJe^ dx{C
-t-PH)^(9. Sed huiusmodi aequationes modulares ni(i
R poiTit fine aeqnatione propofita «'s-i-P'?!'!'"^ deter-
yminari, nulhus fere iiint vfus.
§. 3S. Coniideremus igitur cafus particulares, fitque
in acqnatione dz-\-?dxzL:Oy ? fundio niilhus dimcn-
fionis
i82 DE INFINITIS CVRVIS
fionis ipdirum x et z , non computntis conftantibus et
modiilo a- Formula vero dz-^?dx integrabilis fem-
per rcdditur fi diuidiitur per si-hPa', quamobrcm erit
S-7t-:t:p-?:r:Conft. Fit autem j^fg^" :./(;:+ Pa-)
—J^B^- Dcinde pofito z — tx, fiet P fundio ipfius
? tantum quiie fit T. Qiiare erit S =: /(^H-P.v)-j ~j-
quod per quadraturas poteft exhiberi.
§. 39. Ad aequationem modularem igitur inue-
iiiendam nil aliud ert agcndum , nifi \t J^I^p^'' diffc-
rentictur pofito quoque modulo a Yariabili. Ponntur
igitur
liac aequationc dz-\-V dx — O
continentur, refolutionem adiiciam. Namque reperitur
ex (§.38) /(5;-f-P.v!=/4Ji.zz/(/4-T)-/4^- vbi
Jii:^ ec T — P. Prodibit igitur. Av-f-/-:^^ — ^' ^^u ad-
ieda
EIVSDEM CENERIS, 183
dt
ieda conftante l-—ffzpf' ^t fi propofita fit aequatio
71 xdz-\- dx y ( x^ -4- J2* ) m «> fiet P — ^- ^ '\^~^ ^" ^ , po-
fitoque z=:tx, erit T := '^^ idcoque / ^ -/T^Tii^i^^^^^fjy
fiiit V,x-^U)=zt-\-s erit /=:■=" et ^f — =-^;t££>.
Qiuire erit /^ —j (-;i:;:7jiz.(H:=:7)^ — S^ /i 4- ^r^, /(^( n-i)
s-—n — i).
§. 41. Qiio tamen vfus calculi §.36' in cafu fpe-
ciali app.ueat, fit aequutio propofita dz-{-pzdx — qdx
znOy in qua p et q vtcunque in ^ ct .v dantur. Qiiae
aequatio cum illa generali dz~{-?dxz=o collata dat
?=pz-q, ex quo fiet B—p, et IR—Jpdx feu R
— f-^^'*^. Cum igitur fpdx per quadraturas poflit af-
fignari, cognitus ell: vaior ipfius R, idcoque aequatio
propofita per e^^'^^ multipHcata fit integrabilis : erit igi-
tur ef^^^dz-^-e^^^^^^pzdx-e^^^^^^qdx — O huiusque in-
tegralis e^^'^'' zz=:fe^^^'' qdx feu z—e-^P^^^^fe^P^^qdx.
DifFerentiari itaque debet £>— /f"^^/^/? -^-^ q ^x pofitis et a -
et X variabilibus, et difFerentiale ipfi dz aequale poni,
quo fado habebitur aequatio modularis. Pofitis igitur
dp—fdx-\-gdactdq — hdx-\-ida prodibit ifta ae^
quatio modular is dz zz: - e~^P^^ {pdx-h d afg dx )fe^P^*
q dx -h q dx -\- e-^f''='dafe^'f'^'= ( i dx -j- q dxfg dx ) , feu
pofito breuitatis gratia/5'-'f''*^,v=rT erit dz — — e~^^^*
Tpdx-\-q dx -\- ^--^? •'^ dafe^^^^ i dx - e-^^'^'' dafTg dx.
Ex qua operatione intelligi potefl;, nd aequationem
modularem inueniendam id maxime effe efficiendum ,
vt in aequatione propofita indeterminatae a fe inui-
cem feparentiir.
Tom. Fli. Bb AD-
xS^ ADBITAMENTFM
ADDITAMENTVM
AD DISSERTATIONEM
DE
INFINITIS CVRVIS
EIVSDEM GENERIS,
AVCTORE
Leonh. Eulero,
IM fiipcriore dKTertatione, in qiui mcthodiim tnuiidi
aeqiuitionem pro infinitis ciiruis ciusdem gcncris in-
ueniendi, ipfius Q_ viilorcm in aequatione dzzz:
Vdx-\-Qjla determinare docui , ex data aequatione z
—JVdx. Namqiie fi P ex.v, et a cum conlbntibus
vtcunquc fuerit compofitum ; manifcfhnri eft fi JVdx
diiferentietur pofito non folum .v icd etiam a variabili,
prodituram effe huius formac acquationem dz—Vdx
-\-Q^da^ in qua valor ipfius Q_ neceiHirio a quantitate
P, quae cfl: cognita, pendcbit. Dcmonlhaui fcilicet,
fi differentiaie ipfius P pofito .v conftante flierit Bda^
fbre ipfius Q^ differentialc pofito a conftante, B^/.v, cx
quo pendentia ipfiiis Q^ a P fatis perfpicitur.
§. 2. Cum autem inuentus fiierit valor ipfius Q,. aequa-
tio dzzz.Vdx-\-Q^da cxprimet naturnm infinitarum cur-
uarum ordinatim datarum , quarum fingulae feorfim con-
tinentur acquatioiie dz — ?dXy a fe inuiccm vero dif^
difie-
DE INFINITIS CFRFIS EIFSDEM GEN. 185
diffcrunt diuerfitate parametri feii modiili a. Et hanc
ob rem aequationcm dzz:::V(/x-\-Q_da in qna modu-
his a tanquam quantitas variabihs ineft, cum Cel. Her-
manm uequationem modularem vocaui.
§. 3 Si Vdx integrationem admittit, feu fi cur-
U-ie ordinatim datae omnes funt algebraicae aequatio z
znJVdx fimul erit modularis; nam quia nulla adfunt
diffcrcntiaUa, iroduhis a aeque variabihs ac x tt z po-
terit confiderari Sin autem P^.v inregrari nequit , ae-
quatio ctiam modularis non erit algcbraica , exceptis ca-
fibus quibub ell P — AX-f-B Y-f-CZ etc. exiflenribus
A, B, C etc. fundionibus ipfius a et conftantium, atque
X, Y, 2 etc. fundidnihus ipfius x et coni1:antium tan-
tum , modulo a ipfis non ingrcdiente. Etiamfi enim
ipla acqiiatio dz — Vdx fit differentiahs , tamen aequa-
tio modularis z— A/Xr/.vH-E/Y dx-\-Cj7.dx etc. in-
ftar algebraicae efl: confideranda.
§. 4. Nifi autem P talem habuerit valorem acqua-
tio modularis vel erit differentiahs gradus primi vel al-
tioris gradus. Differentiahs quidem primi gradus erit,
fi Q_ vel erit quantitas algtbraica, vel integrale ipfius
Vdx inuokiet, hoc enim cafu z loco J?dx fubihtutum
tohet quoque fignum fummatorir.m , ita vt aeqiiatio n:o-
dularis differentiahs pura fit proditura.
§. 5. Deprchendi vero in fupcriore differtatione ,
Q_ toties algebraicum habere valorem quoties P tahs
fuerit ipfarum ^ et .v fundio , vt numerus dimenfionum,
(juas a et .v confiituunt fit vbique idem atque — i , ieu
Bb 2 quo-
jS6 ADDITAMENTFM AD DISSERTAT.
quoties Pjl' ycI Va fucrit fundio ipfirum a et x nuWius
dimenfionis. Deinde eciam obferunui , quoiies in P lit-
terae a et x eundem tantum \'bique conftituant dimen-
lionum numerum, toties Q_ ab integratione ipfuis Tdx
penJere. Ex quo, cum tam eximia confeqaaarnr fub-
fidia ad aequationes modulares inueniendas, maximeiu-
uabit inueftigate, num forte aliae dentur huiusmodi fun-
(fiiones ipfius P, quae lisdcm praerogatiuis gaudeant.
Has igitur a priore inueftigare conftitui , quo fimul me-
tliodus tales fundliones inueniendi aperiatur.
§. 6. Si P eft fundio ipfirum a et x dimenfio-
num — I , feu z fundio ipfirum a et x nullius dimeii-
£ionis, oftendi fore P .v -+- Q^rt' zz o , fcu Q_— — -^. Su-
mamus igitur efte Qjrz — ^^ et quaeramus, qualis fit P
fuadio iplarum a ct x: At fi Q^^r — -^^ erit dz — Vdx
— — ^-- Qiiamobrem P talis efte debebit fundio ip(a-
rum a et x,, vt dx—'^-^ per eam multiplicatum euadat
integrabile. Hic autem pcr integrabile non Iblum in-
teiligo,. quod integratione ad quanutatem algebraicam ,
fed etiam quod ad quadraturam quamcunque reducitur.
Si igitur generaliter inucnerimus quantitatem , in quam
^x — ^ dudlum fit intcgrabile , ea erit quaefitus valor
ipfius P, eius proprietatis , vt fit Q_rz: — -^.
§. 7. Fit autem ,v — \- intcgrabile fi multipli-
catur pcr ^, intcgralc enim erit ^-Ht', defignante c
qiiantitatcm conftantcm quamcunque ab a non pcndcn-
um. Qiiocirca , fi f ( J -|- 1' ) denotet funftionem quam-
cunquc
DE INFINITIS CFRVIS EIFSDEM GENER. 1S7
ciinque ipfuis -fH-f, fiet quoqiie dx — ^-^ integrabile,.
fi multiplicctur per ^f (-f -(-f). Qui VLilor cum fit
maxime generalis, erit P— ^/f f -i-c-), et Q_=-^.
Eft A^ero /( f -f- <;■ ) fimt_^, , ex quo idoneus ipfius P
-valor eft quaerendus. Eucuit hoc fi P rz «""' , erit
enim integrale ^-|-f. Qiiare erit vniuerfahter P — «''"'
.V P
f(--4-(r), id quod contingit fi — ^^ eft fundio ipfa-
rum a et x nullius dimenfionis feu P funbi D fit tundio ipfius a^ et R fundio iplli-
rum a. et x ex conditionibuo fequentibus determinanda.
Erit igitur dO- D Qj/a~m dx -\-Kda, fit Dda zz^.
et diuidatur vtrioque per H proaibit -^ — ^ — — jj . •
In qua aeqiuitione , cum illud membrum fit integrabile,
tale quoque hoc "''^^^'eft: efficiendum. Fiet igitur
per praeceucntem methodum M-~ -j/ f ( X-f-A) ct R::z:
f(X-f-Aj. Qiiare fi in exemplo quopiam propo-
da
Hi A ,
fitoex P reperiatur M taiis valoris, crit N— ^„ f(X-f-A)
H-^,-"' ^"-P^-^*) PO^'^^ H^ 1"^*^ D et ^^^J^ loco Q.
Atquc hinc in promptu crit aequatio niodularis.
§•. 24.
DE INFINITIS CFRVIS EIVSDEM GENER.ig^
§. 24.. Si N non a Q_ led n z pendeat , ka vt fic
Nz=:R-i-C.s, denotante C fundiionem ipfius a (\mm-
cunque; erit dQ_—Qzda~M.dx-\~Kda. At quia eft
d^z — (^da — P dx , addatur huius multiplum F dz — QF^^^
zrPF^AT, exidente F fundlione ipfms <«', quo fido orie-
tur aequatio dQ_-Q¥ 4a-\~^ dz-Czda zzi{fA-\-?^)
dx-\-Kda. Ponatur ¥da~-^ et ir"'— "^, ita vt
fit F~3^ et C — 3^^. Perfpicuum itaque eft «'Q—
QFda integrabile reddi fi diuidatur per B feu multi-
plicetur per |, fdz — Czda autem' fit integrabile , ff
multiplicetur per p^. Qiuirc qiio idem facfcbr fummam
horum difterentialium reddat nitegrabilem debebit elfe
FG=:B feu g^zzB, vnde fiet G zn -3^. Hancobrcm
alterum quoque membrum per B diuiium efl: integrabile
eOTciendum fcilicet ^-^^^^^^f^^. Qiiocirca tacio Kz=:
^f(X-^A) et M-i-PFz=:^^f(X + A)i=:M-|^
B^. Inuefligari igitur debet propofito exeraplo , an lo-
co A , B et X talcs fiHKftiones inueniri queant , quae cx-
hibeant forir,uIam ^j^ f ( X -h A ) aequalem i pfr M. -H,-
sXa- Hisque mu&ntis ent N z^-^v ^ (^^-+- A )+-EGd^2 exi-
llente G ~ ^g- , qui valor in aequatione M «'.v-f- N da^
d,^^j~ fubllitutus dabit aequiilionem modularem.
§. 25 . Sit nunc generalifllme N ~ R -}- DQ^-f- C z^ >
tenentibus R , D et C iisdem quibus antc valoribus. Erit
ergo dQ- D Q/Ia — Czdazt M dx -\-Rday addatur ad •
hanc aequatio Fd'.^ — FQ_^^— rPF^.v, quo Ih.b atur d(^
^DQda-¥(lda-{-¥dz-CzdazziM-\-?F)dx-i-
Gc 3 - Kdd
X95 ADDITAMENTVM AD DISSERTAT.
R da. Pofitis aiitem vr ante Dda—ii-, Y d a—^.
Cda dC
et -p —
d 1 ^^ dQ;~T)Qjfa-f(^da integrabilc fi du-
Cfltur in ir^, et Ydz-Qzda integrabile fit diidLim in
^Q. Qiiare debebit cfle HB^YQzz^ ttia—-^
^t^i^e («±^^|±Mf reddendum eft integrabile: fiet er-
go fado HBzrE, R- %^ f(X-4- A) et M-f-PF-
f(X-|-A). Qiiocirca in cafu propofito A, X, E
IdX
dx
Ec/X,
ei F fi fieri poteft ita dcbent definiri, vt-^f(X-l-A)
aequale fiat ipfi M-i-PF. Hocque inuento erit N —
^f(X-hA)-|-Hi?^(^^-P^.v)-i-~if, vndeaequa^
tio modularis reperitur.
§. :i6. At fi nequidem differentialis fecundi gradus
aequatio modularis obtineri poterit • ad difFcrentialia ter-
tii gradus ent procedendum.Fiet ergo Nzr — ^-^
da
atque hinc pofito dN~sdx-Y-tda^ cvksdx-\-fda — d
/^( y^")-M^-y\ j).^tiu. jiu^cm j cx M , cum fit
sda diffcrentiale ipfius M, quod prodit, fi x ponatur
conftans. Q_aamobrem t tantum debebit inucfiigari. Sit
ergof — RH-EN-hDQ_-f-C:3, idcoque ^N-EN^<2
-^DQj/a -Czda — sdx-^-Kda. Cuni fit autcm (/Q_—
N<^ — M//.V et dz — Q_daz=:Tdx, addantur horum mul-
tipla ad illam acquationem , \t prodeat haec acqtiatio
<^N - EN^/tf-FN fl'^ -f- Frt^Q-DQr/^-G Q^'^-1-Grt'c:
-Cc:^^ = (.f-|-MF-i-PG irt^.v-f-R^^. Sit Eda-{-
r^ , df Vda-i-Gda d /; ^ Cda db r ^ r t^
Ydazzj, — j :zz / ct -^--1^, fiutquc fz=-Yg
zz.Qh.
DE INFINITIS CVRVIS EIFSDEM GENER.i^-?
■zzQh. Q310 fiicto aeqiwtionis imientiie prius membrum fit
integnibilc aunlum pery; mnc ob lem et ■ -j~ —
efficiendum efl; integrabilc. Poncndum igitnr eft R — -^(^-
f (X-f-A) et .fH-MF-f- PG — ^„'' fi X -4- A ). In aequa-
tione ergo propofuii, quia s et M ex P dantur, de-
benC F, G et / et X ex hac aequatione determinari.
Qiio fidlo (iimatur ^g- = f et Z; ~^ , et C — ^ , et D=:
g-^ — G et E~j-(- — F. Atque ex his cognita erit ae-
quatio /nrR-j-EN-f-D Q^-h C 2; , ex qua aequaiio
modularis facile conflatur. Simili modo ex his intel-
hgitur quomodo pro altioribus diffcrentialium gradibus
operatio debeat inftitui, vt ad aequationes modulares
perueniatur.
§. 27. In compendium nunc, quae hacftenus tra-
didimus, redigaiTius tum quo facilius quaeuis aequatio
propofita reduci queat, tum quo procefllis ad cuiusque
gradus differentialia clarius pcrfpiciatur. Propofita igi-
tur aequatione dzzzzVdx^ ponatnr x conrtans et ^ tan-
tum variabik fitqne dVz^Mda^ dM.—pda, dp~rda etc.
Sit porro (^—-^^,N — -~j^~,qz=.-^^—tt szn
-''ll "" etc. vbi «'Q^, r/N, et ^(/^etc. funt dilFerentialia
ipforum Q_, Net^, quae ex valoribus '-^i^, ^- eC
'-~d^ -, inucniuntur pofitis ^, .v et z variabilibns.
Hanc igi.tur ob rcm cognitae ernnt M,/),retc. ex fo-
lo P, ex his vero habebuntur Q^, N, ^ etc. Sint prae-
terea A,B,C,D,E,F etc. fundiones ipfius a et
confl:an.tium 5 etX,Y etc. fundiones ipfm& x non in-
uolucntes a.
:ique in hoc tempus inftitutarum (pcdat, omni ex
partc abloluta et perfeda meo iudicio cenfcretur. Ea
piofccflo 1 atione , ante me , vt credebam , ftrudura intc-
rior Thymi pcuitus delitekebat : Quod tamen iudicium,
re meUus petfpcda ct pro ftudio veritatis improbaui ,
poftquam apud Tbomam Baytholinum primmn, hinc apud
Vetrinn Uionyfium pracfatam ftrucfluram iam indicatam , a
lunioribus vero omiftlim fuiftc haud fmc admirationc <:o-
gnouerim Thomas BarthoUnus Anatom. quintum renov.
Lib. 11. Cap. "VT. Cauitatem in medio Thjmi Hafiiiae
1652. manifefto a fc obfcruatam cfle primus teftatur :
Qiiae, inquit, etiam poftea vifii Graefw humore limpido
replcta. Vctro Dionyfio obrcruante, Anatoniie de Thomme
trofieme edition, fixieme demonjlration des parties de la
foitrine. La Fagoue ejl une Glande conglomeree .....
on remarque quelle a dans fa partie moyenne une carj^itc
qui eji pleine de Lymphe.
§.3. Si prjmum Thymi cxteriorcm confbrmatio-
ncm contcmplemur, Is triplici glandula in foctu vt Tbo-
mas Barlholinus 1. c. indicat , vel melius tripartito iu
omni actatc diftinguitur. ludicii enim ratio, cur is vt
tri-
mrjE oBSEnrATiONES. ±0$
tnpkx glandnla creditur , eft adhuc, opinor, nimis in-
certa , \t aliquid tuto definire liceat. hobos appclinre
eas diuifiones niagis rationi confonum eft. a. Q;-.m
Verhevenm , "vt rcm apparentem tradir, ^fidelicet prae-
fatorum Loborum fubdiinfionem in minores lobulos , eft
profe(flo realis et fenfui manifefta compolitio e plinimis
lobulis eiusdem figurae , videlicet oblongae , quam poll de-
tradum commune feu exterius inuolucrum attingere pro-
cliue ert , fi quae pracfatis lobulis intercepia lunt inter-
ftitia feu membranas tenuillhnas pellucidas eos disiungen-
tes animaduertendo , hinc hnfta leui incifione dirtrahendo,
in aqua limpida perluftraueris ; Qiia ratione totam (iiper-
ficiem externam Thymi , paralleiis et a fe inuicem dis^
iuadis lobulis coagmcntatam efte conlpexi.
§. ^. Porro praefata interrtitia fingula ramis vafcn-
Tofis per ea excurrentibus funt occupata , \ nde ad lobulos
incredibilis copia minimorum ramulorum propagatur. Qiiam
valbrum hic luxuriantium muiiitudiocm. et ordinem haud
fine magna admiratione fum contemplatus. Kis, \t eft
■vifum , accedit fubrtantia quaedam alba lobulorum parie-
tibus interpofiia : Facile enim eft Yuum colorem ab al-
tero internofcere , quia color lobulorum ert opacus ad rii-
bedinem vergens. An fint nuda , an podus pinguedine
perFnixta vafi? in dubio reiinquitur. Caeterum memini,
Thymum e Cadauere optimo exfedum , hinc vafi liiper
ignem impofito iniecffum , vt pinguedinem , calore fblii-
tum et Uque&diim fuifle.
??.
^c.r CIKCA STRrCWRMl THTMl,
§. 5. Haud vna exteiifionis ratio in pniefatis lobr.-
lis eft obreruata. Sunt qui 9. lin. longitudinem acq'.iant,
fed latitudine parum a fe inuicem dilcrepant, vid. 3. lin.
quos poftremo propria membrana tenuiiiima pellucida ob-
uolutos eife haud praetermittcndum elt.
§. 6. Dixi praefatis lobitlis ct interftitiis totam fu-
perficiem externam loborum coagmentatam cfle, docente
primum Verhejenio. Num vcro tota moles Thymi ex
omni partc iitiusmodi lobulorum fit compages ? numque
corpus denfum et vacui expers fit nec ne? id quidem ha-
(ftcnus fuit incompcrtum : Nam praefata molcs a Vcte-
ribus vt corpus Glandojum^ a lunicribus vt Glandula con-
glomcrata, et quod hinc confequitur, vt corpus haud (1-
nuofum fed (blidum , efl propofita : Qiiam ftruduram
intcriorcm Thymi , fi obferuiuionibus nolhis minus fum
deccptus , haud in ea particularum ratione , fed in re
longe diucrfa nuper a me inuenta , politam effe didici ::
Cuius tamen inucntionis laudem, ante me Bartholino, ct
poft illum , T)!onjfio debitiim cffc, fupra lubens tcftatus
fiim,
§. 7. Itaquc Thymus interius ampla cauitate fcu
fmu poiliccm fcre admittente eft inftrudus , vt oblcrua-
tioncs nofirae primum inftitutac fidcm ficiurit. Flunc
fupra memorata involucra vidclicet mcmbrana extima.,
hinc lobulorum (ubftantia carnis fpeciem aemulans exte-
rius ambiunt cumque terminant. Poftquam praefata fub-
ftantia ad ambitum cauitatis pcrucnit, tarnctfi vkcrius ad
cxtvcmum Thjmi prolongetur , haud iftiusmodi finu cft
inftruda, fed compicfia, et cauitatis cxpers cft, Cactc-
rum ,
nOVAE OBSERJ^rmOKES. 207
rnm , qiiando femel ac iteriim infignem cauitatem iii
Thymo confpexi , propterea iv.uid exillimandiim ell , in
omnibus et linguHs cadaueribus eam inueniri : quam fi
contemplari femper procliue efict, Eius inuentio vt vide-
tur haud ad hoc t^mpus dilata fuifiet.
§. 8. Qiiam difficukatem profcdo haud nouam
cfle, iam fitis ex Anatome eft compertum, imprimis ia
partium cauitatibus, quae mutationibus frequentcr funt ob-
noxiae; fcd, inquis, fi Tliymo cauitas naturaliter elt con-
ceffi , eius ad minimum fubobfcura vciligia adhuc intcr-
nolcere procUue erit : Qiiod iudicium , intcr alia Glandulae
Renaies Eujlachil confirmantj Sinum cnim peramplum,
quo eas Natura indubie iurtruxit, interdum prima infpe-
(ftione inuenies : Nonnunquam dclitcfcit et ftre oblitc-
ratur, refcrens vidclicet, corpus denfum et folidum caui-
tatisqiie expers , quod tamen exercitatum Anatomicum
minus vetat, quin imprefiiones fubobicuras oblitcrati finus
nonfolum perfpiciat , verum etiam dilhadione parictum
«undem reilituat.
§. 9. Itaque parietes Thymi leniter diftnihendo ,
manifel^o obferuaui , illam quoque fubfiantiam , quam ca-
uitatis expertem et compreflam fupra credebam , paula-
tim dehifcere, nihilque aliud effe quam finum iam obli-
teratiim , Cauitatisque fupra memoratac continuatioiiem.
Porro in aliis Cadaucribus , quorum Thymus idiusmodi
maniferta cauitate Iiaud erat inftrudus , primum difficile
erat vefiigium finus internofcerc ; Spatio tamen aliquot
dierum , laxata eiiis compage, exiguum intcrfiitium ob-
feruabam , cuius difiradioue , coepi manifefio animaduertcrc,
Tom. VII. E e ifiuis-
2c8 CIRCA STRJVWRAM mTMT,
iftinsmodi vcnim et icgulare interftitium , totum tracTtnm
Thymi longc latcque penctraie, idque uiliil aliud effe qu.mi
finum contraclum et imi obliteratum , \t e quarumdam
partium Anatomc alias compcrtum clL
§. 10. A Lobulis praefiitam cauitatcm circiimam-
bientibus , efformata funt inniimera ipatiola in toto am-
bitu cauitatis conCpicua, colore opaco (iibrubro notata iic
interftitiis candido corpore repletis interflinda , vt vel pri-
ma infpedione intellexi. E praefiui corporis, qao inte-
rior fuperficies magna partc cil contcxta , rucente alBe-
dine , ct arcarum diuedae magnitudinis fubrubcnte colore
et m.ultitudine , fpecies Cvorporis maculati (cu cancellati cf-
ficitur. An e nudis vafculis, vel permixto adipe, album
corpus fit contcxtum ncc nc? in re tam difficili et oB-
nubilata deiinirc minus procliue efl. Vafcula , quantnm
affcqui potni ,- (iib vclb practenui pofita , canaliculorum
fere vnifbrmium , brcuium , l lin. latorum , ac (e(e mu-
tuo itiofculantiuin congeriem , hinc arcarum (eu cancclib-
rum irrcgiilaris (igurac ct magnitudinis incrcdibikm nume-
r.nm cffo!:mant. Qiiod pracfito opcri cfl fupcrextcn(i;m
tcnuidimum vclum, in eo (blcrtiaG ct opiiicii admirabilis
fpecimcn (iim contcmplatus: videlicet, haud men;branam
feii tclam , ("ed gcjius vermicularium ct exiliilimorum
canaliculorum , totam inreriorcm liiperficiem vt fila-
mcnta (iibtililiima perrcptantium : Nam fupcraffula aqua,
dcprclii prius et cornplicati canaliculi , vi aquac cos ex-
plicante ct clcuantc , innatare vifi (unt : Qiiam ftrudu-
ram ante finguLis arcas admirabile reticulum cfformantem,
taincifi vUra arcas (upcr intcdtitia fit propagata , proptsr
eiusdem.'
NOFAE OBSEKVATIONES. 209
eniSLlem infigncm albcdincm , qiuie interftitiis quoc,iic eft
ccmceflii , in his miniis facile, quam in illis intcrnolccre
potiiL
§. II. Ifliusmodi arcis reticulatis, nonnulla corpu-
fcula eflc appenfo , de quibus iam dicendum cfl , anim
uuuertiflL' niihi vilns fum. Ad quinarium , earum area-
ri.rn numerus crat limitatus: Caeterac enim omnes areac
quas diu mnltumque contcmplabar , rcnlii iudice, prviefatis
corporibus carcbant. Quum ftylo leuiter admoto, ocu-
liscjue intcntis, iftiusmodi corpulculorum indolem inue-
fligarem , c medio ac fuper vnam quamque praefatarum
quinqnc arearum quac a fc inuicem longe diflabant, Mium
corpulculum egredi eique implantari , et ftyli agitationi
tam facilc oblequi , \t hinc inde eius motum obleruarem ,
plane ac indubie perlpexi : Et quum eandem agitationem
laepe inttitu.iflcm , cogutnii , haud fub areae reticulo , led
ftipra et extra rcticulum , corpufculnm pofitum cfle ,
hinc in cauitate quam liipra defcripfi libcrc fluduare Ei,
Yt porro animadivcrti , incrcdibil-is tenuitatis filamcntum
crat annexum , quod altero extremo in areae fundo pc-
uetrare indequc ortnm trahere videbatur, ficuti in fingu-
iis conrtantcr fum contcmplatus.
Cacterum , tam exiii mole ea corpufcula confiant ,
\t tametfi in cauitate fluvftuent, in ea incidere minus pro-
cliue fit , quorum proptcra inuentionem , cuidam colori
Cis proprio debitam eflTe fatendum eft. Nam , quia carnis
colorem aemulantur, ex aduerfo jnterflitia vt fupra indi-
caui, albo colore funt pracdita, ea ratione muhum diuque
perueftigando, rem felicinime fum aflfecutus. Porro oua-
E e 2 lem
210 CmCA STRVCT.TnTMI,N07:QBSERr,
km %ur:im, et laeiiigatam fupcrficiem iisdem corporibus
coacedam effe iam lupra obleruaui.
§. 12. Dudu fibmenti , quod e profundo arcat
«mergere , et cum corpufculo nexum habere dixi , inte-
riorem conditionem et compofitionem lobulorum , fun-
duin nreae occupantium , attingere conatus lum. Vtcunque
ea derefit, coloris fimilitudine, tam Lobuli, quam Cor-
pufcula praefita, plane conuenire ^ifa limt, \idelicct fub-
rubente carneo colorc, vt vel prima inlpeclione intellcxi.
Quos lobulos, et praetata corpulcula, fi haud plane dc-
ceptus fum , vnum idcmquc corpus elfe , iam absquc haefi-
tatione compertum hahco. Qiiae enim corpulcula intra
cauitatem Thynii flu(ftuare prius obllruaui, ca (imt diftra-
(flae et quafi auullae , et filamento lupra mcmorato lobulis
annexac, hinc fupra arcas eminentes particulae ; Lobuli
autem eaedem funt particuhie , fed profundins fitae , in
vnamque aream colledae , vt in plexibus glandulofis te-
nuium intcftinorum. Num, cum intellinorum crafforum
foHtariis glandulis , altera corpufcula quae a lobulis funt
auulla, rcifle confcrantur nec ne ? Alii viderint. Profiremo
haud pluribus, quam vno plano praefatorum corpulculorum,
vt clare perfpexi , finguli k^buli erant compofiti , quod
planum vero in nonnullis latius ct longius , in ahis
contraftius et minus oblongum apparcbat : In illius
plani tam interna quam externa ficic , exiliffima corpu-
fcula veficulis feu globulis fimiha , proptereaque veficula-
rem fupcrficiem conlpcxi , vt duo vidclicct haemilphae-
riola. vtrinque protubcrantuu
DE
DE ASVECTV ET CONFORMAT. VARIA 2 1 1
DE
ASPECTV
CONFORMATIONE VARIA
VASOilViVl SANGVINEOIIVM
IN
DIVERSIS PARTICVLIS VENTRICVLI,
Obferuationes.
AVCTORE
loh.. Georg. Du Vernoi,.
NOn folum in fundionis Nobiliflimae Machinne, in:
qua Alimenta intra breve temporis (patium , in
fomno aeque ac extra Ibmnum, in tuccum alibi-
lem conuertuntur ] Ycrum quoque in eiusdem depraua-
tionum iudicio, (iimma diligcntia m hoc inquirendum ert,
num quando in defimdlis rubicunda fiicies \entriculi vt
plurimum efl: extinda , eiusdemque fibrae et membranae
(unt albae et palUdae , id propterea Va(a (luiguinea hic
minus abundare , Yere indicet nec ne ? Porro eo fludio
et diligentia ea de re eft tradlandum, vt nonioium genc-
raliter caudices Yaforum , quiim quidem cognitionem gene-
ralem haud improbo , fed eam praecipue indolem afTe-
quamur , quam vafit progrediendo acquirunt , fuper vnum
qnodque pJanum tunicarum, iuxta ordinem et reriem, qua
kk f;ibrica. ventriculi (e(e inuicem excipiunt..
E e 3. §. £-0.
111 m ASTECTV ET CONFORMAT rARlA
§. 2. D.iplicem varculofum contcxtum in ventri-
culo dari Tbovias JllJls primus efi: Aucflor. lajajan-
guijera inquit qii. redii ad labores meosj.
ct iuueni
D. 7. lunii. Therm. in aere aprico, nubibns fp;irfiSj
vento forti N O. humili aqua , gr. 1 1 5. in aqua gr. 1 2-]^.
D. 8 . lunii ,. nebulofae nubes tranquillae , hora oiflaua
Therm. in aere quieto aperto gr. 129. in fole transpa-
rente continuo per femilionim gr. 109. in aqua 128^.
Pofl: meridiem ,. hora fecunda , Ventu^ aliqualis W,
coelo clarificato, Thcrm. in aere quieto gr. 108. in fole
per duo minuta gr. 103, in acre "vehto expof. fine fole
per tria mmuta gr. 118. in aqua gr. 128.
Pofl: occafum, horizonte feptentrionali \alde nu-
bilo, Tlierm. in aere aprico gr. 128. in atjua gr. 1285.
D. 9. lunii. hora odtaua , Vcnto SO. Coelo nii-
bilo, Therm. in acre quieto gr. 121. in ible gr. 120,
in aqua gr. i^S^-
Meridie, ventulus SW. pluuiola, Therm. in aere
libero gr. izo-k. in aqua gr. 128.
Pome-
ET FRIGORIS AQVAE FLVENTIS. 243
Pomeridie continuo haeret circn gr. 122 , mox
fupra mox infra. Hora odaua gr. 123. in aqua gr. i 27^.
D. 10. lunii. Summo mane , extra folem crat
Therm.gr. 1231. hora odaua, coelovdo, fereno, tran-
quillo gr. 115. in aqua gr. 128.
Meridie in fole gr. 100. in aere fine fole gr.
1 10. in aqua gr, 127.
Pomeridie extra folem verlatur intra 115. et 120.
in aqua 126^.
Velperi in aere Therm. gr. 125. in aqua gr. 127.
D. II. lunii. Mane hora fexta coelum fudum ,
fme vento. Therm. iii aere aprico gr. iio. in aqua i 27.
Hora vndecima Therm. in aere Ubero , finefolegr.
100. in aqua gr. 1 16. Hora duodecima, nubes fparguntur,
quae traiedum foli& nonnumquam impediunr , cadit igi-
tur Therm. iii aere Hbero ad gr. 105. Hora prima ,
in fole gr. 95- mox rcdcuntibus nubibus ad gr. 107. fur-
git ex S. ventus mox in NW. mutatus.
Vefperi pofi: occalum , coelo nebulofo Therm. in
aere gr. 125, in aqua gr. 126. Ambo dies cafidilfimi.
D. 12. lunii. nodle antecedente pluit, mane nebu-
lofum pluuiofum , Therm. in aere hbero gr. 132. in
aqua gr. i 2 61.
Meridie, Ventus N. fortis furrexit, nubes, pki-
uiola, Tlierm. in aere quieto gr. 130^. in aqua gr. 126.
Audum eft frigus pomeridie (enfim fenfimque vc
efiet vefperi hora odlauo Therm. gr. 134. in aqua gr.
1.26. Venius N. Nil igirur de caiore amifit aqua.
li 3 D, J3>
«44 D^ MVTATlOmBrS CAWRIS
D. 13, lunii. hora feptima Therm. in aere quieto
gr. 125. NB. aer reuera temperatior eft, coclum po-
tillimam partcm purum , in aere libero poft remihoram
gr. 122. in aqua gr. 128.
NB. Si inftrumentum aqua eximo , cadit adhuc
Mercurius , tam dum teneo iu aere liipra aquam quam
intra domum. Sine dubio illc aer adhuc frigus iiiura
rednuit ab hefterna die, nec fohs energiam expertus eft,
vti ille, in quo Thermometrum obferuare foleo.
Meridie, Thcrm. in aere quieto gr, 115, in fole
gr. no. in aqua gr. 127. fi adhucdtim eximo, cadit.
Ventus fortis W. Yt creicat aqua.
Vefperi , Thcrmom. vcnto expof. ma^no W..
gr. 130. in aqua gr. 128..
D. 14., lunii. Manc, vcntus W. fortis, nubcs vagan-
tcs, Thcrm. in aere quieto ernt gr. 128. in aere fupra
aquam vento expof gr. 132. in aqua gr. 129. neceffe
igitur poft cxtradlionem itcrum cadit. Benc attendcndum
igitur mihi in pofterum ad calorcm aeris fuper aqunm.
Meridie, W. contiuuat, nubibus vagantibus, Ther-
momctrum in .lere quicto gr. i2q^. in aere fcptcntrio-
nali vento cxpof. cadit intra minutum dimidium ad gr.
127. intra horam gr. 13I5. in aqua gr. 128^.
Vcfperi in aere (eptentr. vcnto cxpofuo , ventus
W. fortis Thcrm. gr. 132^. aqua gr. 128^.
D. 15. luuii. Mane hora fcxta Thcrmom. in aere
quieto gr. 135. poft horam , gr. 128. fupcr aqua pcr
minutum gr. 130. in aqua gr. 128;^. Vcntus W. nu,
bcs multae vagantes.
Mcri-
ET FRrCORlS AOrAE FjrEKTlS. 345
Meridie, Thermometrum in loco qiiieto gr. 118. in
aere meridiomili aperto, (ed extra lolem gr. 121. vcrfo
iiiil:riimento in (ble per 7. miniita a(cendit ad gr. 115.
in loco (eptentrionali vento \V. expodtum per (emihoram
gr. 129. in codem loco, led a vento vediim gr. 130,
alio loco leptentr. led quieto gr. 128^. in a^qua gr, 128.
lam venaio mutatur verlLis S.
Vefperi, Therm. in aere quieto ordinario ell: ad
gr. 131. in libero meridionali gr. 130 in aqua gr. 128^.
Ventus S W. (cd paululum (cnlim minuitur.
D. 16. lunii. Manc hora feptima, Therm. in loco
quieto gr. 128^. in loco a fole irradiato , led a fole
vcrfum Thermometrum pcr lemihoram gr. 128. in aere
fuper aqua gr. 128. fuper aqua , fed in iongiore a ripa
dittantia gr. 128^. in aqua gr. 129.
Meridie in loco quieto gr. iii. in irradiato aucr-
fim gr. 115. in fole gr. iio. fuper aqua gr. 128I. in
aqim gr. 128.
Vefpcri in loco quieto gr. 127^. fuper aqua gr.
128^. in aqua gr. 128. Tota dies amoena , quieta,
ferena.
D. 17. lunii. Mane, S W. Therm. in loco quicto
gr. II 5. fuper aqua gr. 125^. in aqua gr. 128;^. Ma-
ne clarum.
Meridie, Therm. in loco quieto gr. 110. fuper
aqua gr. 126. in aqua gr. 128.
Vefperi in loco aperto gr. 115. fuper aqua gr.
124. in aqua gr. i27|. Tota dies amoena fcrena.
D. 18.
n^6 DE MVTATlONIBrS CALORIS
D. i8, lunii. Pluuia. Therm. mane in loco qiiieto
gr. 125. fiiper aqn.' gr. 126. in aqua gr. 127I:.
Poit jneridiem hora tertia Therm. in loco quieto
gr. 117. fuper aqua gr 122. in uqua gr. 127. S W.
ferenafcit.
Vefperi in loco quicto Therm. gr. 125. fuper
aqua gr. 125-126. in aqua gr. i^-j^. Seren. Tranquill.
D. 19. lunii. Manc, Therm. in loco quieto gr. 123.
in loco irradiato, auerfim gr 123. fuper aqua gr. 129-}-.
in aqua gr. 1285. ventus NO. frigidiulcuhis. Scrcn.
Meridie, Therm- in loco quieto gr. iii. fuper
aqua gr. 1 26. in aqua gr. 1 27^.
Vefperi antc fohs occafum in loco aperto Therm.
gr. 127. fuper aqua gr. iz6. in aqua gr 127.^.
Tota dies maximam partem lerena & tranquilla.
D. 20. lunii. Mane, Therm. in loto quieto gr. 1 14^,
jn loco irradiato , (ed auerfim gr, 108. fuper aqua gr.
124.. in aqua gr. 127. Coelum ferenum , tranquilliim.
Poft meridiem hora quinta Therm. in loco quieto
gr. 115. ftiper aqua gr. 120. in aqua gr- 125^.
Vefpcri in loco quieto gr. 124. (iiper aqua gr.
127 , in aqua gr. 125,,-.
Pomeridie toto ventus magnus W. ju N- qui
aeftum aeris infignem pauluhim repicifit.
D. 21. lunii. Mane fercno Therm. in loco quicto
gr. 118. in aqua gr. 126.
Pomeridie in loco quicto gr, 105, in fole per
quinquc minuta gr. 95. in aqua gr. 125.
D. 23.
ET FRIGORIS A^Vje FVEKTIS. ^+7
D. 23. lunii. Manc, Theim. in ioco quieto gr. 115.
in aqua gr. 124-q:. yentus O. (ercn.
Meridie in loco quieto gr. 108. in fole gr. 100,
extra folcm gr. 115. in aquu gr. 123:^. Sercn. ied "ven-
ti l^co feptcntrionali gr. 1232«
iupcr aqua gr. 1^3-^. in nqua gr. i2o|. vcntulus N;
exuigit.
D 10.
£T FRiaORlS aQJ-AE FLFEKTIS. z$i
D. lo. lulii. Mane, Therm. in loco qiiieto gr. 1 18.
(bper aqua gr. 123. in aqua gr. 121. Coelum nubilurn;
Ventus N. aer frigidiufcnlus.
Port meridicm, Therm. in loco quieto gr. 115-
fuper aqua gr. 122.-]- in aqua gr. 120^, Aer fri^diu-
fculus ob \entum fortcm N O. Nubes (pifTae pluuiofae,,
ferenitatem interrumpentes.
Vefperi, Thcrm. in loco quieto gr. 124. fuper
aqua gr. 123;^^. in aqua gr. 121. lerenum, crudus aer,
ventus- NOl
D. II. lulii. Mane, Thermometrum in loco quieto
gr. 114. fupcr aqua gr. 122-123. in aqua gr. 121^.
Tempeftas hefterna, Ventus O.
Meridie, Thermometrum in loco quieto gr. 112.
(iiper aqua gr. 122. in aqua gr. i2ij|:. Tempeftas paulo
mitior , ventus O; lenis , nubes pluuiofae feremim coeliim
hinc inde tegences.
Vefperi, Therm. in loco quieto gr. 123. fuper
aqwa gr. 12-2-^. in aqua gr. 121^. Tempeftas e.adem.
D. 12. lulii. Manc, Thermometrum in loco quieto
gr. 124. fuper aqna gr. 123^. in aqua gci^i;^. ven-
tus nuUus, aer frigidiulculus , pluuiola.
Poft meridiem , Therm in loco cpii^to ordina-
rio gr. 106. fuper aqua gr. 117. in nqua gr. 120^.
Toto hoc die ventus lenis S W. fed nubes , tonitru prae-
gnantes curfu contrario ambulant. Obferuo etfi aer {\i cali-
dior aqua, mcrcurium tamen , momento quo extraho,
paulum cadere, id vero fiine dubio a dilatatione vitri de-
piendere debet.
Kk.3. Vefpe-^
ns i m MFTATxonmvs caloms
Vefperi, Thermom. in loco qiiieto gr. 123 --24«
fupcr iiqua gr. 120, in aquii gr. 120^. Coeliim Vimiim.
D. 13. Iiilii. Mane, Therm. in aere quieto gr. 122.
fuper aqua gr. 121- 122. in nqua gr. i^i^^. Nebula fi-
ne vcnto. Hora oftaua nebula dildititur, et Tlierm. iti
foie per minuta tria gr. 105. Meridies calidiffima.
Ve(peri, Therm. in acre quieto gr. 118. fuper
aqui gr. 119. in aqua gr. 121. Vefper placidiffimus.
D 14.. luiii. Mane, feren. ventus S W. Therm.
in aere quieto gr. 112. fuper aqua gr. 119. in aqua i2o|:.
Poft meridiem , hora quarta , Thcrm. in loco
quicto gr. 108. iiiper aqua gr, 117. in aqua gr. ii9|-.
ierenitas, W. mibes vagantes.
VeliDeri, Therm. in loco aperto gr. 118. fuper
aqua gr. 118. poftquam immerfum fuerat aquae, et ex-
emptum dcnuo fibi relidlum gr. 120. circiter ^ in aqua
gr. 120. vcntus jdeficit.
Ex hac obferuatlone video, me numquam fatis ac-
curatum gradum caloris aeris (iiper aqua expifcari poflc ,
fed, dum Thcrmometrum fiio ligno affixum eft, fempcr
adhuc aliqucra calorcm a ligno accipit, fi illud antea in
aere iicco aut plane irradiato confiitcrat. Si vero lignum
aqnae immerrnm fuir , tum ct illud fuum prirtinum ca-
lorem in aqua amittit, nec quicquam Tliermometro cora-
inunicare poteil.
D. 15. lulii. Mane, port nubiia fcrenitas tranquilla,
Thcrmomctrum in loco quicto gr, 116, iiipcr aqua gr.
119 -120. in aqua gr, i2o|.
Mcridie ,
Ef FRlGOm JQJ-^JE FLVENTIS. 2^3
Meridie hora fcciinda, Therm. in loco quieto gr,
104. fiiper aqua gr. 115. in aqiia gr. 119^. nubes, aer
noii adeo purus , hinc aeitus folis per Yapores eo penc-
trantior. V^ntuhis S.
Vefperi poft occafum, Therm. in loco quieto gr.
Ji6^. fuper aqua gr. 117. in aqua gr. 119^. fupcr aqua
Gtiam omnes eosdem gradus ii8. 119, etc. retinet, quos
in aqua obtinet, fi fuccelfiue extraxeris et immcrieris.
D. 16. lulii. Mane hora feptima (erenum, tranquil-
him , Thern7. in loco quieto gr. 1 16. fuper aqua gr, 117.
in aqua gr. 1 20I..
Aellus intenfus,. ventuUis S.. Nubes interdum folem
occiiltantes.
Meridie, hora fecunda , Therm. in loco qiiieto gr.
99. fuper aqua gr. 112^. in aqua gr. ii8|. in fole gr. 87.
Ventulus Tariat, nunc au(h"alis, nunc occicicntalis.
Therm. hora iexta gr. 118^.
Veiperi Nubes coelum plane obducunt , \cntulus
idem, Therm. in loco aperto gr. 117, fuper aqua gr. 117,
in aqua gr. iiS^.
D. 17. lulii. Mane, hora feptima nubes, ventulus S W.
Therm. in loco quieto gr. 120. fuper aqua gr. 120. in
aqua gr. 119^. Hora nona, nubcs hinc inde dilpercunt,
Therm. in loco aperto gr. 11 o. fuper aqua gr, ii8. in
aqua gr. 119^.
Mcridie , Therm. in loco quicto gr. 106". fuper
aqua gr. 118. in aqua gr. 118.^. Ventus SW. fortior.
Nubes, fol,
Pomeridle ventiis fortis W.
Vefpe-
»54 DE MVTATlOmBFS CALORIS
Vefperi ventiilus S. deficit fenfim, Therm. in lo-
co quieto gr. ii8. liiper aqua gr. 121 -122, in aqua
gr. ii8|.
Dics aefliuorus, ni ventus tcmpernftet aerem,
D. 18. lulii. Manc, hora fexca, Coclum nubilum,
ventus W. Therm. in loco quieto gr. 122. (liper aqua
gr. 122^, in aqua gr. 120.
Port mcridicm , Tlierm. in loco quieto gr. 112.
fuper aqua gr. 118, in aqua gr. i.xS^. vcntulus W. fri-
gidiufculus.
Vefperi, nubes coelum tegunt, Therm. in locn
quieto gr. 120. fupcr aqua gr. 120. in aqua gr. 119^.
D. 19. lulii. Mane, Therm. in loco quieto gr. 115.
liiper aqiia gr. 122. in aqua gr, 120, nubes pcreunt, coe-
ium ferenum, xalidum.
Meridie, hora tertia, Thcrm. in loco quieto gr.
107. fuper acjua gr. 1 11 -112. in aqua gr. iiS. nubes
redeunt. Hora (juinta oritur (iibito turbo vehemcntifiimus
ex W. nubes infimac fcqucbantur eius diredioncm , (ti-
periores autcm rctincbant adhucdum curfum cx S W.
iR.emifit (enfim ventus, et terniinatus e(l pliuiia. Therm.
fenfim cecidit, vt eifet
Ve(peri, hora oiflaua, Tiicrm. in loco aperto gr,
lail. fuper aqua gr. lai^. in aqua gr. iiS^.
D. 20, lulii, Mane, Therm. in loco qiiicto gr. 120,
poft horam in (blc gr. 100. in aere (epteutni)nali gr. 122,
luper aqua gr. 124. in aqua gr. 119, Ventus frigidus N.
aer fcrenus, flumen altum,
Meridie ,
ET FRiaom JQFAE FIVENTIS. ^ss
Meridie , Therm. in loco quicto gr. 96. fuper
aqua gr. 113. in aqua gr. ii7:|. flumen altum.
Vefperi poft occafum , Therm. in loco aperto
gr. 130. fuper aqua gr. 126^. in aqua gr. 11 8^- aqua
cecidit, Ventus plane remifit.
D. 21. lulii. Mane, hora nona, Therm. loco quieto
gr. 113. fuper aqua gr. 121-122. in aqua gr. 119. Ven-
tus O. Seren. Nubes,
Meridie, Therm. in loco quieto gr. 107. in folc
gr. I o I . in aere feptentrionali gr. 118. fuper aqua gr.
121. in aqua gr. ii8|. Ventus O. aeftum foiis repri-
mit. Seren.
Vefperi, hora fexta, Therm. in loco quieto gr.
120. fuper aqua gr. 121. in aqua gr. 118^. Ventus O.
Node Therm. gr. 124.
D. 22. lulii. Therm. in loco quieto gr. iiS. fu-
per aqua gr. 122. in aqua gr. 120. Ventus O. frigi-
diufculus feren.
Meridie, Therm. in loco quicto gr. 105. in fole
gr. 100. fuper aqua gr. iio. in aqua gr. 118-I. Ven-
tus O. feren. nubes fpifliie, vagantes.
Yefperi, Therm. in loco quieto gr. 118. (iiper
aqua gr. 1 1 8-^^. poftquam extracftum erat ex aqua , gr. 1 2oi,
in aqua ipfa gr. 119. aer placidus , mitior , coelum ferenum.
D. 23. lulii. Mane, hora fexta, Therm. in loco
quieto gr. 124.. fuper aqua gr. 125. in aqua gr. 120.
Coelum ferenum tranquillum.
ToiihVlh Ll Poft
tS6 DE MVTJTIONIBFS CALORIS
Pofl: meridicin , Thcrm. in loco qmeto gr. lo^.
in loco fcptcntiionali gr. 112. in fole gr. 95. fiiper aqua
gr. 116^. m aqiia gr. 118. Vcntiis NO. fumum ex fyl-
iiis ardentibus (uper vrbem pellit.
Vcfpcri, Thcrm. in loco quieto gr. 118. fuper
aqir.i gr. 120-121. in aqua gr. 118^. Ventus remittit.
D. 24. lulii. Mane, hora odaua, Therm. in loco
quieto gr. 106. fupcr aqua gr. 120. in aqua gr. iiS^.
Aer fereniifimus , VentuUis ONO. placidiliimus.
Meridie, Therm. in loco quieto gr. 99. in fole,
fed fl fubtiU fumo impedito gr. 94. in loco leptentrionaU
gr. 1155- fuper aqua gr. ii(5^. in aqua gr. ii7|. Dies
acftuofiflimus.
Vefperi , hora fcptima , Therm. in loco quieto
gr. 115. fuper aqua gr. 118, in aqua gr. 117^. hora
nona, Tliermometrum in kico quieto gr. 116. fuper aqua
gr. 119 in aqua gr. 117^.
D. 25. lulii. Mane, hora feptima, Thcrm. in loco
quieto gr. 109. fuper. aqua gr. 120. in aqua gr. i iS. Ma-
ne fercnum, placidum, fumofiim.
Meridie, hora tertia, Therm. in loco quleto gr.
95. in fble gr. 94. non altius propter fumum , in loco
feptentrionali gr. loS. fuper aqua gr. 115. in aqua gr.
116^. Acr fcrenus, fumofus, proptcr Vcntum ONO.
Vefpcri, Thcrmometrum in loco apcrto gr. 119.
fiiper aqua gr. iib;^. in aqua gr. 117.
D. cl6. Inlii. Manc, Coelum nubiliim, hora fepti-
ma , Therm. in loco quicto gr. iis^- hua ir-^nicnte
pUmia
ET FRiaORlS AQf^AE FLFENTIS. 257
pluuia gr. 12.1-L. pofl: pluumm gr. 121. fuper aqua gr.
121. in aqua gr. ii^^. aer nubiius, tranqujiius, refrige-
rans, aequalis. SO.
Meridie, Tiierm. in loco aperto gr. 11 5. trans-
eunte pluuia in (bic gr. 100. Ibie tedo gr. 106". in lo-
co feptentrionali gr. iio. fuper aqua gr. 115. in aqua
gr. 117. SO.
Vefperi, Tlierm. in loco aperto gr. 118. fuper
aqua gr. 118. in aqua gr- 117.
D. 27. lulii. Mane, Tlierm. in pluuia gr. 122. in
aqua gr. 117^. SSO.
Meridie, nubila disieda, Tlierm. in ioco quicto
gr. II o, fuper aqua gr. 115. in aqua gr. 117:^.
Vefperi, Tliermom. in loco quicto gr. 117. fuper
aqua gr. 117. in aqua gr. ii^;^.
D. 28. lulii, Mane, Tliermom. in loco quicto gr.
115. in loco feptentrionali gr. 118. fuper aqua gr. 120.
in aqua gr. 1175.
Poft meridiem, hora quinta, Tliermom. in loco
quieto gr. iii. fupcr aqua gr. 112. in aqua gr. 117.
Hoc die lereno fitis, ventus ex SO, fenfim mutatur ia
SSW. et W. nubibus interim ex SO. currentibus.
D. 29. lulii. Mane, Tlierm. in loco quieto gr. 112.
in loco feptentrionali gr. 115. fuper aqua gr. 118. in
aqua gr. 1 1 7^. Ventus denuo S O. feren.
Meridie, liora duodecima , Tlierm. in loco apcrto
gr. iio^. fuper aqua gr. 11 ^^- i'i ^q^i^ SS' i^7- "i ^^^^
gr. 84.,
L 1 s Pome-
25 S m MVTATlONIBrS CALORI^
Pomeridie, hora quarta, poft folis aeftiim nubes
fpifHie ex oriente furgunt, Ventus O. Tiiermom. in loco
aperto gr. 112. in aqua gr. iKSi.
Hora quinta furgit pluuia ingens cum tonitru , jTherm.
in loco expofito pluuiue gr. 115. Ventus varius. O. NO.
N. NW. N. O.
Vefpcri, Thcrm. in loco ordinario gr. 120. in
aqua gr. 117.
D. 30. lulii. Mane, nebula, quae fcnfim difllpatur,
feu ahius alcendit. Therm. in loco aperto ab hora (exta
ad feptimam a gr. 121-117. fuper aqua gr. 118. in aqua
gr. 118.
Meridie, in fole gr. 82. hora tertia in loco a-
pertogr. iio. fuper aqua gr. 114.- 115. in aqua gr.i i(S^.
Vefperi in loco aperto gr. 120. fuper aqua gr.
121. in aqua gr. ii6|. O. Dies ferenus, fparfis nubibus.
D. 31. lulii. Mane, hora feptima gr. lao. in loco
aperto, fuper aqua gr. 121. in aqua gr. 118. Dies le-
rcnus-j fparfis nubibus.
Meridie, Therm. in loco apcrto gr. 106. fuper
aqua gr. 117. in aqua gr. i i6i. Ventus O. mutatur in W.
Vcfperi, Therm. in loco aperto gr. 121. fuper
aqua gr. 120I. in aqua gr. 116-^. Vcntus denuo O.
AVGVSTVS.
D. I. Auguft. Mane, Thcrm, in loco apcrto gr.
121. rupcr aqua gr. ixpi;. in aqua gr. 118. O. (cren.
Mcridic, Thcrm. in loco apcrto gr. 11 5. fuper
aqua gr. 118. in aqua gr. ii^^-
Vcfpcri ,
ET FRiaORlS AOrjiE FIVENTIS. 259
Vefpcri, Therm. in loco aperto gr. 120. in aquii
gr. T18. Hodie, licet Ventus O. fiuuii>s tamen altus.
Poll meridiem ferenum.
D. c. Augufl:. Mane, Therm. in loco aperto gr.
1 20^. fuper aqua gr. 1 20^. in aqua gr. 118. flumen altum.
Meridie, Therm. in loco aperto gr. 99. in fole
gr. 84. fuper aqua gr. 115. in aqua gr. 116^. horis
pomeridianis fluuius cecidit.
Vcfperi, Therm. in loco aperto gr. 114. fuper
aqua gr. 118. in aqua gr. 117^;. Totus dies ferenus ,
Ventus ONO.
NB. Qiiamuis per meridicm et vcfperam fit aeftus
fummus, nihiiominus nodlu et mane aer eft trigidus.
D. 3. Auguft. Mane, Thermom. in loco ordinario
gr. 124. fuper aqua gr. 12^, in aqua gr. 118. Coe,
lum nubiium frigidum. V. ONO.
Meridie, Therm. in loco aperto gr. ii^^-- fuper
aqua gr. 121. in aqua gr. 118. Coelum incipit clare-
fcere. Ventus ONO. fortis et frigidus.
Vclperi, Therm. in loco aperto gr. 121. fuper
aqua gr. i20-i.. in aqua gr. 118. Coeliim ferenum, aer
paulo mitior. Ventus remittit. flumen cediderat ad 4. pedes.
D. 4. Aug. Mane, Coelum fcrenum , fed aer fri-
gidus, ita vt node antecedente multum (udarent feneflirae.
Ventus O. Therm. in loco aperto et feptentr. hora fexta
gr. 126. hora nona gr. 123. fupcr aqua gr. 124. in
aqua gr. 120.
L I 3 Meridie,
t6o DE MFTATXONIBFS CJLORIS
Meridie , Theim. in fole gr. 104.. fupcr aqna
gr. 119. in aqiu gr. 1 1 8-|:. flquii adhuc ad tres pedes
creuit. O. exigaus.
Vefperi in loco npcrto, Therm. gr. 121. fuper
aqua gr. 121. in aqua gr. 119.
D. 5. Augurt. Totus dies nubilus. Mane, Therm.
in loco aperto gr. 125. meridie gr. 115. (uper aqua poft
meridiem gr. 118. in aqui gr. 120;^. fine Vento.
D. 6. Augafl:. Totus dies nubilus fine vento. Mane,
Thcrm. in loco apcrto gr. 124. mcridie gr. 116. fuper
aqua poit meridie gr. 120. in aqua gr. 121.
D. 7. Augurt. Mane nubilum , ventulus N. Therm.
in loco aperto gr. 124^. luper aqua gr. 124. in aqua
gr. 121^.
Meridie , Coelum nubihim , fed aer paullo clc-
mentior tamen, forte ob mutatum vcntum in W. Therm.
in loco aperto gr. 118. liiper aqua gr. 122. in aqua gr.
1221.. dum Thcrmometrum extrahis , mercurius adhucdum
cadit fere ad i^s-g-. dcinde demum iterum alcendit ad
gr. 122. hoc partim fit ob dilatationcm vitri in acre aqua
calidiore ; partim fortaffe proptcrea , quod aquae guttulae vi-
tro adhaerentes in aere libcro expanlac cxhalcnt ct frigidiores
fiant,vndc ct ^ rcfrigcratur : hacc autcm refrigeratio ell tanto
fcnfibilior, qiio magis frigus aquae et aeris inter le aequantur,
quo calidior aer co minus fenfibilis lapfus , ita , vt tandem in
fola quiete mcrcurius fubfilbt^ quofrigidiorcontraaer, cocelc-
rius mercurius labitur,quando cxtrahitur. Denuo ctiam obfcr-
110, mcrcurium non ad cam labi altitudLuem, quando Machina
ex
ET FRICORIS Jff:AE FIVENTIS. 161
cx aere aperto fiiper aqua tenetur , ad quam labitur , quando
per momentum vnum vel alterum in aquam immeri;i fuit j
idque ob rationes iam fupra allatas. d. 14-15. lul.
Poft meridiem coelum paulum clarefcit.
Vefperi, Therm. in loco aperto gr. lio. fuper
aqua gr. 124.. in aqua gr. laa^*
D. 8. Augufl. Mane , Coelum ferenum , vcntulus
WSW. Thcrm. in loco aperto feptentrionali gr. 12.2.^.
fuper aqua gr. 123. fed mox extraft. ex aqua gr. 123-^,
in aqua gr. 1235.
Meridie, Serenitas, Nubibus fparfis ex feptentrio-
ne oriundis. Therm. in loco foli cxpofito gr. 84. in lo-
co aperto feptentrionali gr. 1 1 2 . fuper aqua propter folcm
non experiunda altitudo , in aqua gr. 123. Ventulus WSW.
D. 9. Auguft. Mane, nubila , mox pluuia ingcns,
Ventulus S. inde quoque nubes Thermom. in loco aperto
gr. 1 27. in pluuia et (iiper aquam gr. 128. in aqua gr.i 23I.
Meridie in pluuia gr. 122. in fole transm.icante
gr. iio. fuper aqua gr. 125. in aqua gr. 123.
Poftmeridiem, coelum clarefcit, folis radii aquae
incumbunt, ventus nuUus.
Vefperi, Therm. in loco aperto gr. 127I. fuper
aqua gr. 1272- in aqua gr. 122-2.
D. 10. Auguft. Node antecedent epluuiac ingcntes.
Ventus W. frigidior. Thcrm. in loco apcrto gr. 125.
fuper aqua vltra gr. 126. in aqua gr. 123.
Meridie, Therm. in loco aperto gr. 119. fuper
aqua gr. 119. in aqua gr. i2 2;|.
Vefperi ,
t6z D£ MVTATlOmBVS CALORXS
Velperi, Therm. in loco aperto gr. 125. fuper
aquii gr. 126. in aqua gr. 123.
D. II. Auguft. Mane, nubes, hora nona ferenafcit ,
Therm. in loco aperto gr. 120. fuper aqua gr. 128. in
aqua gr. 123. Venms O.
Meridie, Therm. in loco aperto gr. 115. diper
aqua gr. 124.. ni aqua gr. 122^. Ventus O. fortior. Nu-
bes fpadae.
Vefperi, Thermom. in ioco aperto feptentrionali
gr. 128. fuper aqua gr. 127^. fortaflre propterca , quod
aqua iam exhalct, et accumbenti aeii calorcm luum com-
municet; in aqua gr. 122^.
D. 12. Augufl:. Mane, hora fcptima, Therm. in
loco aperto gr. 132. in alio apcrto ieptentrionali gr. 132.
fuper aqua gr. 129-^. in aqua gr. 123^. Ventus O. fri-
gidus, nubibus fparfis coelum obdudum.
Propter excurfionem Peterhofiam fidam , obferua-
tiones per dies aUquot omifllic funt.
Fuit autem d. 13. 14. Aug. tempcflas turbida et
phiuiofi , d. 15. coelum clarefccre quidcm cocpit , fed
vento flante O. frigido, forti. interea
D. 15. Augull:. Poft meridiem , Therm. in aqua
fiiit gr. 126.
D. 16. Augun:. Mane (crcno, tranquillo, Therm.
in loco apcrto gr. 130. fupcr aqua gr. 128. in aqua gr. 128.
Sed NB. quamuis mercurius ad candcm altitudinem ftabat ,
extracfio tamcn Thcrmometro ftatim defccndit ad gr. 129.
quod confirmat thclln dc guttulis aqucis adhaerefcentibus.
Cur
ET FRIGORIS AQFAE FlVENTlS. £<53
Ciir nunc aer ruper aquam non aeque frigidus aut frigidior eft
quiim in loco aperto ct lcptentrionali ? an propter aquam
caiidiorem nunc exhalantem ? vid. d. ii. 12. Aug.
roft mcridiem, Thcrm. in loco aperto gr.127.
Vento forciliimo N O . expofitum gr. 129. fupcr aqu. m gn
127^ in aqua gr. 127^. pc^fl extracftionem fupcr aqua
ad gr, 130.
Ob valetudinem, quae me intra conclaue dctinuit,
iterum omiifi obfefuntio: interea fuit tempeftas mediocris.
D. 21. Auguft. Po'l meridicm, Therm. in (ole gr.
p5. fuper aqua quo fol nondum penetraucrat , gr. 127.
in aqua gr. 128 fine vento.
D. 22. Augurt. Mane, ncbula, Thcrmom. m loco
aperto gr. 132. poll biram in loco fepfiiUivMuh gr, 1 28.
fuper aqua gr. li-jl. in aqua gr. 128^. itcrum luper
aqua gr. 12-.^. Vcntus nullus.
Port meridicm , hora prima in fole , coelo non
fatis claro, gr. 98. extra (olem in loco (eptentr. gr. 117.
fupcr aqua gr- 119. in aqua gr. 1^7^. iterum (uper aqua
gr. 123 Ventus nuUus- vcl certe paruulus SW.
D. 23. Auguft. Mnne, nebula, finevento, aer frigi-
diufculus. Therm. in loco aperto gr. 130. in aqua gr. 128,
D. 27. Augiift. antecedentibus diebus pluuiofis duo-
bus , mane , ncbula , Thcrm. in loco aperto gr. 130.
fuper aquam gr 128. in aqua gr. 127^. denuo in aqua
gr. 129. fme vento.
Tota dies pluuiofa, nubibus a fole nonnumquam diuifis.
Vcfperi, Thcrm in loco aperto gr. 125. ia aqua
gr. 127. fuper aqm gr. 126.
Tm.Vll, Mm III. EX
*(?4 DE MVTATIOmBrS CAIORIS
III. COROLLARIA DEDVCTA
EX OBSERVATIONIBVS.
Aqnae Calor, dum fub glacie te qui folius eti.mi manus agitatione in priftinam are-
nam conteri facile poiTunr. laccbant mei non multura
inter fe diifiti , et libefi, in fuperficie arenae , atque aliud
quiddam inuellig.uiti (ponte (e obtulerunt, ■vtrumque vera
quamuis fine opcra obtinucrim, plures tamen poftea, ex
indurtria quaerens, inuenire non potui.
§, 3. Tota exterior figura horum bpidum ita com-
parata eil , vt ficile perfuadere iibi quis poiTet , ortum'
illos fuum debere fpinae dorfi cum inferta medulla , ani-
malis cuiusdam aquatici ; atteutiuS vero cus coniideranti'
diiiingui merCntur in lis quatuor praecipue i. Vatellaej
2 . Alueolus , 3 . vtriqiis hwiun adhaeniis Matcrla tcfta-
cea^ ct 4. hapis cvmmufiis toti inajjae q/Jixus. fateilae,
ab vna" parte funt concauae , conuexae ab altera , et vtrum-
quc circulariter, ad fenfum , ita quidcm vt in Figura A
rcda concauitatem iiibtendens fit 130 partium millenma-
rum pedii Rhenani, quas in fequentibus qnoque adhibeoj
in Figura B autem 152. Intcnuilluni, quo vna patclla
ab altera diftat, ba, eft \bique fere idem, et in vtroque
40 partium, In Figura B, in cuius originah patellas a
et b leparaui a reliquo lapide, vti paulo poil dicetur, di-
ftiiidas viderc licct teibe cuiusdam rcliquias, \alde tenues,
leues, et albicantes: extrado quocjue alueoli fruito c ex-
adle patet, quod hac materia tciticea intcgra patellae con-
cauiuis et conucxitas fucriut indudae et obdudac.
§. 4-
§. 4. Pcrforatae conrpiciuntiir hae puteilae, in ea-
riim peripheria Alueolo in redam extenfo, rotnndo, co-
«ico. Nempe in Figura A inueni diametrum huius al-
iieoli maiorem apud c 50. fed apud d 47. partium ,
ita vt haec diamete^: a loco c vsque ad d in longitudine
211. partium, aUquantum decrefcat. Ipfe vero hic al-
«eolus cimduris non efl , fed hlJiptiiUs in rationc axis
raaioris ef ad minorem gb \ti 16. ad 15. (ed in fi-
gura B diameter maior apud c eft $6. apud d vcro ^6.
partium, ita vt hic ahicolus in longitudiue 214. partium
multo magis decrefcat, cjuam prior. Erit ergo ahieolus
Figurae A fi aequaHtcr a bafe ehfg porrcctus efiet s-g-
pedum Rhenan. in Figura V, autem multo breuior, ncm-
pe ly. pedis Rhen. Id vero ccmmune eft vtrique la-
pidi , quod alueoUis a concauitntc patellae ad conuexita-
tcm ipfms progrediatur decrefcendo. In Exemplari Fi-
gura B r^praefentato , conucxitatem c)'Hndricam atterendo
■adimi iufll , vt ahieolo planities 96'. partes lata induda
fuerit; quo fado alueohim in e diffrndum inueni ita , vt
adhibita aliqua opera, potuerii eius pars d e extrahi, fi-
mul etiam duo patellarum a et h frngmenta auferri. Ex-
trado igitur hoc alueoli frufto, obferuaui m eius parte inr-
feriori , qua per patellas tranfit , non modo veftigia di-
ftinda hnearum ellipticarum , quae iuncluris patellarum
jcxade refpondent ; fed praetere.1 quoque refiduum ahcH-
ius mnteriae teftaceae adhaerefcentis, quae facile abradi pot-
efl. Perfpiciuir etiam , quod haec matcria tefbcea circa
ahieohim conftituerit tubum transuerfim per patehas trans-
€untcm , id quod non minus ex originaH Figurae A con-
.ckdi poteft, Yt pote in cuius extremitate r, quam fimi-
Nn 2. liter
a74, -DE BVOBVS LAPIDIBVS
lirer atterendo iii planitiem rediici ciirani, f-icies elliptici
alneoli peripheria lutei coloris cinda ell: , quam nihil '
aliud efle puto , nifi peripheriam extimam eiusdem tubuli
tclbicei alueolum ambientis. Appareni quoque in Figura
A , in cuius • dorfo cyhndrico alueolus prominet , lineolae
transuerfae k i , vel w « , o p , corpufcuia transuerfa Toca-
tae 'A CL Gmelino Dijjertationis Juae §, 7. quas vero ni-
hii aliud effe crcdo , quam continuationes, aeris iniuria
non nihil deformatas , antecedentium linearum elliptica-
rum , patellarum iunduris refpondentium , quas in extrada
alueoli. partc .ed. Figura B detexi , .
§. 5. Lapidis communls maflfa informis affixa eft '
vtrique noftro lapidi . in parte Figurarum A et B auerla ^
qua fine dubio, ^xom cx-DijJertationis.GmeUnianae §. 16"»
patet, aliis olira'lapidibn3^fueruni"annexi, cafu vero quo-
dam , fucceffii temporis, ab iisdem abrupti. Apparet
haec maflli lapidis communis in Figura A iub literis tqrv^
et jii. Figura.B fub.literis fg^ h. ■
§. 0. Dc materia. tejlaceanm dixi, cam in qui-
busdam- locis. diftindam apparere, noii. folum circa mas^
fim lapideam alueoli ^; fed. etiam: in-concauitate' ct con-
uexitatc parellarum ,: quibus: hocivnicum- addo , quod in
Figura B fruftulum. aliquod .• fati: ■ paruun': ■ flicilc feparauc-
rim , q;:od.:manifef>.e. tcflaceae cuiusdam matcriae facicm
et natunam. tcnet .; crafTitiem ■ vero> habet: 2.; partium mil=.
lefimanim- pedis* Rhenani . .
■ '■> §.7. Vtriusqtie lapidis magna' cura- etiarriexami"
■aadi j)«J^ ,• iUque. inucni.: lapidis. A.fiiifTa. pondtis in: aerc
44-55"
FIGVRATIS: 275'
4^55: granorum , in nqua vero tantum ii74. gr. ita
ykin aqua amifcrit 169 1. gr. lapidis \ero B pondus in-
ueni in aere 44-95. gr. in aqua autcm 2.758; gr. qui
ergo amifit in aqua 1-737, gr. vnde ceduxi denfitatcm
lapidisAiri 2. et iam nunc implenda : omnino fiet , \t
fanguis arteriis inftifiis , remoto etiam omni impetu a \i
cordis concepto, fua propria grauitate tandem per extre-
mitates capillarcs aliosue dudus communicantcs , ccteris
paribus, in venarum alueos transeat. Qiiamuis cnim non
ncgandum fit, arterias capiilares, quales ftrudura corporis
nnimalis nobis exhibet , longe fubtiliorcs efle , quam vt
vUa arte illarum anguftias imitando obtinere poflimus:
manent illae tamen nihilominus tubi peruii penetrabiles,
ct hinc ad obtinendum effcdum qiracfitum idonci. Atque
in hoc ca(u aflentiendum omnino erit GidHebmno. At
vero 2.) fi (anguis grauitatione (ua vna fcmel vice angu-
ftias capillarium fuperauit , atque ad acquflibrium perdu-
dus cft : tum grauitas in aeternum nihil amplius ad mo-
tum eius confert; fed quicfcet ille, vi huius ipfius naturac
grauitantis in venis tanj diu, donec altitudo eius in arte-
riis per nouam additionem auda fuerit. Atquc hacc pro-
prietas conftans raanet , etiamfi , eadem mancntc venac
capacitate, arteriac diametcr ad varias diftantias extenda-
turj fiquidcm nihil in acquilibrio fluidi mutatur, etiamfi
figura i. tiibum B a rcfpedu tubi A vel centies amplicaiicris.
Tantum igitur abeft , vt fuiguis grauitate fua (e promo-
ueat,
COGlTATlOnES FHTSlOlOGlCAE. 289
ueiit , pofito femel aequilibrio , vt potius motum fui in
venis ob eandem caufllim impediat.
§. 14. QLioniiim Yero viidi naturaliter non funt in-
ania , fed p/ena , et nos fcire oportet , quid in hominc
perfedo reuera accidat, non, quid accidere poffit? omnis
quaertio eo reducitur, vt iciatur , an tubus venofus bre-
uior fit, quam arteriofus , et hinc fuiguis , quum aorta
vltra libellam repletur , ex vena in cor delabatur , et
quanto temporis (patio hoc peragatur ? Sit igitur aequili-
brium languinis tam venofi quam arteriofi circa terminum
infertionis venae in cor , ad lineam A B. Augeatur fan- Figu™ j^
guis arteriofus additione noua, vndecunque ilk fada fue-
rit , vsque tid angulum aortae C. Qiiodfi grauitas vllo
modo tiliquid contribuere poteft ad motum fanguinis , id
omne a folo hoc cxcelfu altitudinis, CB, proueniat, ne-
ceffe cfl:. Cum vero experimenta doceant (f. 12.)) quo
fubtiliores fint tubi capillares , et quo altiores fint colu-
mnae fluidi , eo difliciliorem effe transitum , eoque lon-
giorem moram trahi ; cum practerea fanguis tenacitate fua
raulto vehemeniins refitlat , quam aqua , et hinc motus
lentilfimus efficiatur, qui cum ccleritate motus cordis minimc
refpondet ] cum porro bafis capillarium in quam prelfio
exercetur, minimafit; cum denique in homine perfedo et
fano circa lineam A B aequilibrium fingere abfurdum fit , fi-
quidem (anguis in vafis AD et AE continuus, et longc fu-
pra libellam ABet FC, eleuatusfit: ita fubducendus mim
calculus videtur, vt enunciandum fit, finguinis transfufio-
nem grauitatione fua aut plane nihil, aut certe adeo parum
promoueri , vt haec vis refpedu aliarum potentiarum infigni
celeritate agentium pro infenfibili et nulla habenda fit.
Pp z §. 15.
290 DE CIRCFLATIONE SANGFINIS
§ 15. Ne vero huic (anguinis grauitiuioni omnem
fuam vtilitatem dcnegemusj non ncgligcnda erit conditio,
quam hacftenus vafis nollns communicantibus (§. 12.) ta-
cite affinximus. Confidcrauimus nempe effedus , quafi
cum tubis rigidis res nobis eflct , qui tamen in animali-
bus elartici funt (Cap. I. §. 9.) et cxtenfiles. Qiiamuis
igitur probabile non videatur (§§. 13. 14.), pcr illam
promoueri poffe transfufionem per extremitatcs capillares^
aut effufionem in cor : tamen , qma fanguis non folum
in bafin vatorum , (ed ct ad latera illorum (Cap.I. §.^.9,)
premit : catenus hacc preffio promotioncm (anguinis in
aorta defcendente adiuuare cenfenda eft , quatenus latera
cius extendcre nititur , et capacitatcm pro languine rcci-
piendo ampliorem rcddit.
§. 1(5. Rcfhit, vt examincmus, quid dc tubis afccn-
Fisura 4, dentibus (§. 11.) dici poffit. Vcrum quidem cll , fi tubi A
et B, per capillarem C cohacrcntes aqua implcantur, fore
vt haec effluat ex tubo longiore, B, ctiamfi tubulus C ca-
pillaris fuerit : vnde fequeretur, rationcm (iifficiciitcm adefie
circulationis per vafi capillaria ccphalica, imprimis, quia
pauUo inferior vcnae inlcrtio in cor huic opinioni plurimum
fiuiere videtnr. At\'cro, primo, vt experimentum fucce-
dat, fupponi dcbct, tubos cffe replctos : crgo ianguis in ar-
tcrias vacuas numquam a(ccndct. Dcindc, fi ille quoque
pcr alian quamcunque potentiam non (olum a(ccnderit, fed-
et capillarcs tubulos iam transiucrit, \t in venis fuo (blo
pondcrc dcfccndcrc poflct : id tamcn mimquam propter
fimilitudincm valtirum cum fiphone (cd alias ob cauffas
cucnict. Qiiia enim raiio pli} fica cxperiiDcnti in preffionc
acris
COGITJTIONES ?HTSI010G1CJE. 291
acris a grniiitantc humore adiuta , atque in altcrutro tu-i
bo fuperata confirtit; in venis autem et arteriis nullus fe-
paratus aer cum atmofphaera extcrna communicans, (ed
aut plenitudo aut vacuum (Cap. I. §. 10.) locum hjbct :
hinc, pofita plenitudine, fnnguis haerebit • pofito auteni
vacuo cordis antro poil: fyftoiem , omnino quicquid in ve-
nis eft, defcendet ob grauitationem fuam naturaliter deor-
fum tendentem , non autem , quia ille in tubo commui
nicante longiore continetur. Atque his fub limitationrbus
(peciofic Guilielmini argumcntationes verae quidem efle
videntur ; fed fi fcaphara fcapham dicere veh'mus , fi-
gmenta potius quam foiida adiumenta funt. Qiiid enim
hicri dcnique fccimus? Nihil (ane. Defcendat enim fan-
guis grauitate ftia in \^na : quia fimihter in arteriarum
trasflu nuUa atmofphaerae prcfTio ob allegatam cnuflam lo-
cum hal^et, nullus quoque finguis furfiim premetur, qui
defcendentem a tergo (equi polht. Vt taceamus de infi-
gni fubtilitate tubulorum capillarium in cerebro, quae ne-
cefliirio per hanc preffionem fuperari deberet , fi experi-
mentum hoc fub initium huius Panigraphi allcgatum ad
exponcndam cauffim tranfitus (anguiiiis per vafi fuperiora
applicari polfet.
.§. 17. Qiii deniqnc pcrpcndit, conditionem pofi-
tionis vaforum perpendicuhuis , quac necefllirio fiipponi de-
bet, {i aliqua ex grauitatione vtiHtas redundet, (§. 11.)
adeo particularem eflc , vt non folum in homine non fem-
per erec^o , fed cubante , nuUum locum habeat , fed ec
\n pluribn;, animalibus plane exulet; cum tamen in omni
hoc cafii nihilominus (•uiguinis motus acque bcne et com-
P p 3 mode
api DE CIRCVLATIONE SANGVINIS
mode procedat ; quemadmodum pluia nnimalia fitum quem-
cunque e gr. dechnationem capitis in pafcuo, fine turba-
tione circuli Harueiani feliciter affedare pofllint: ille pe-
nitus conuidus erit, quam parum virium in fangiiinis gra-
uitationc pro motu eius facilitando, quaerendiun fit.
§. i8. Ponderatis itaque et excuflis vtrinque mo-
mentis, fequentes emergunt propofitiones :
I.) Sanguis in arteriis et 'venis inferioribus deorjum tejidit,
inje vicijfim grauitat ^ et acquiponderat (§5.12.).
2.) Sanguis in arteriis Juperioribus et venis inferioribus
grauitate Jua motum Jui impedit (§. 5. 13. i(J.).
3 .) Sanguis in vcnis Juperioribus Juo pondere , conceff»
loco , dejcendit , Jed non pojl Je trahit fanguinem
arteriojum (§.5. i5.).
4..) Grauitatio Janguinis mutua aequilibrium producens
(§ 18,1.) eji minima, ob bafin capillarium infi-
nite paruam , relpedu altitudinis vaforum.
5.) Grauitatio Ja^iguinis a&ionctn Juam exjerit potius
in latera vajorunr^ quam in extremitates capilla'
res (§.15.). Nam prcflio grauium aeflimatur ex fa-
do jvltitudinis in bafin: atqui in capillaribus bafis
eft infinite parua : ergo haec prcfllo in bafin, rc-
fpcdlu prefllonis ad latcra cft nuUa.
6.) Grauitatio Janguinis non poteji annumerari 'viribus ,
quarum a&ione ille ipje in 'vafis inferioribus pro-
mouctur et tranfunditur\ fiue: ivV grauitatis ra-
tione reUquarum potentiarum motum fanguinis ge-
nerantium ejl nulla (§. 7. 14-.). Aequilibrium cnim
non producit motum , fed quietem (§.13.)-
Sedio
COGITATIONES VHTSIOIOGIC AE, aps
Sedio 2.
T)e a&ione et virikis Cordis.
§. 19. Diim in caufllim, quae fiinguinem ex cor-
de expellit, inquirimus: fedulo abftjnebo, ne coufiderando
momenta Iiypothefium explofiirum de ebullutione , fer-
mentatione, flammula cordis etc. tempus inutiliier teram,
quod meditationis genus pro peccato philofophico femper
habendiim duxi. Eft enim modus alius magis rationalis,
qui accuratius expendi meretur , et qui in adione cordis
confiftit.
§. 20. Cordis flutem a^io hac fere ratfone (e ha-
bet, Yt ventriculorum latera, quibus cauitates iJHus ad ple-
nitudinem vsque repletae terminantur, propius ad fe acce-
dant, et harum ipflirum cauitatum capacitatem minorem
cfficiant, quam vt priftina (anguinis quantitas in illis con-
tineri queat: cuius efFedus igitur proximus ille eft, vt id,
quod contineri non poteft, extra cauitates cordis aliorfum
exprimaturo
§. 21. Haec a&iofiis idea (f 20.) non nifi phae-
nomenis fuperftrudla a nemine in dubium vocatur : fed
cx diuerfb confiderandi modo diuerfae quoque aeftimatio-
nes virium illam adlionem producentium obortae funt,
quas l^itis graphice lurinus perftrinxit, qiiarumque defedus
praecipuos indicauit. Ceterum fi nojira methodus ad
veritatem et naturam magis accefTcrit , aliorim fententiis
damnandis ac refutandis immorari eo ipfb fuperfedebimus.
494 C^ ClKCVLATlOnE SJNGVimS
§. 2 2. Nullus aiitem datur motus , qiii maiorem
fimilitudinem habet, et flKilius comparari poteft cum prae-
dida contracftione cordis et inde produda expulfione fan-
guinis (f. 20.), quam motus fluidi intra canalem aliquem
fcu tubum contenti, ab vrgente embolo fuperficiei alter-
utri applicito in motum concitati. Nam dum Embolus
truditur, capacitas tubi continuo minuitur, ct tantum ^ui-
di extra tubum eiicitur , quantum in Ipatio , quod em-
bolus fenfim (enfimque occupauit ac transiuit , poterat
contincri. Cum igitur quantitas fluidi expulfi depcndeat
praecife ab anguftata tubi capacitate : pcrinde erit , qno-
rnodocunque capacitas minuatur , fiue trudendo embokim ,
fiue, applicando ad (e propius latcra canalis: et, fi dccre-
mcntum cauitatis aeqnale eit in vtroque cafn, eodem tem-
pore ; \olumen expulfi fluidi eodem tempore etiam ae-
quale futurum eft.
§.23. Qiiando embolus in fluidum oppofitnm agit:
tum vis tota cmboli quouis momento adplicita quouis
momento itcrum confumitur , totum fluidi volumen in
motum ciendo j et quo momento embolus agcre ccfllit ,
motus quoque fluidi intra canalem contenti fiflitur , et fola
illa fluidi p:irs , qiiae proiecfta fuit , motum fuum data
vclocitatc continuat. Qiiando igitur motus totius fluidi
per datum tcmpus dnrare dcbet • vis quoque illa tota ,
quouis tempuiculo , fiue intcgro illo tempore denuo et'
continuo inflnurari ac rcpcti debet. Contra vero fe res
habct in percnfiione corporum folidorum; fi enim corpus
folidum, A, vi data, in aliud folidum , B, impingit, 11-
lique omnem , quo polluit , motum communicat : tunc
cor«
cocmTioms thtsioiogicae^ 295
corpore A in qniete fubfiftente, nihilominns totum corpus
B motum fuum, pro \irium excitatarum quantitate conti-
miat. Adio igitur cordis non in percuflione, \el fimplici
quodam i(flu confiftit : fed nulla comn.odiore et magis
propria appellatione , quam Triifioms voce infigniri pot-
efl: ; quae quidem Trufio , ejl cmitinuata et temporlbus ivfi-
nite paruis per Jummam Jpatlolorum infinite paruorum npe-
tita emboU ad fluidum (fme , fa[ta applicatione , Jaterum cor-
dis adjanguinem) mouendum applicatio \ et quantitas Trufio-
nis ejl quantitas et Jumma omnium i&uum , quibus vis cor^
dis per Jpatium datum , tempore dato , Janguinem oppofitum
in motmn egit. Si quis autem efl: , cui haec trufionis vocula
non arridetj et qui prejfionem fubftituere malit; illi noH re-
fragabor: modo per illam non intelligatur nuda et mortua
foUicitatio ad motum , fed per quam motus adu producatur
talis, qualis in data definitione noflra detcrminatur ac re-
ftringitur.
^. 24. Qiiando cor acftionem fiiam excrit (§.20.),
illius volumen fecundum omncm dimenlionem decrefcit;
ablbluta autem adione ad piiftinam extenfionem reduci-
tur. Atque haec dimenfionum variatio reciproca per vi-
ciflitudines aequabiliter ad fenfum continuatur. Ea autem
proprietas, qua fibrae certa vi dilatatae feu tenfiie, fub-
lata illa vi ad priftinam figuram redeunt , non aliunde
prouenire fcitur , qiwm ex eo , quod fint elafticae. Vis
igitur cordis eji Elajiicitas cordis.
§. 25. Qiiia Cordis adio in eo confiftit, vt latera
ventriculorum propius ad fc accedant , atque iterum di-
moueantur (§.20.ji Vis ventricuH cuiuslibet ejl elajlicitas
Jom.VlL Q^q late-
i95 m ciRCviATioNE SAmvims>
laterimi ; hiicc aiitem ehfticitas hteriim eft aequalis J:im-
?nas elajhcitatum hiic conlpirantiiim fingulariun fibrarim,
ex quibus latera ventriculi componuntur.
§. 16. Qtia?ititatem Virium cordis fi determinare
velimus : ante omnia aequiuocas et vagas fignificationes
femouere oportet : quaeftio enim triplici lenUi proferri,
atque in tres alias diuidi poteft , quae bene inter fe di-
ftingui debent , fi futficienter refpondere velis. Vrimum
enim problema hoc eft : Qiianta eft vis feu elafticitas
cordis ablohita \ fiue : quanta celeritate latera ventriculo-
rum ad fe accedunt , fublata omni refiftentia ? Altera quae-
ftio haec eft : fi cor agit tota elateris fui intenfitate , et
languis exprefliis pcr medium non refiftens traiici dcbetj
quanta eft illa vis, qua fanguis exprimitur ? fiue, quanta
eftceleritas, qua finguis cordis ventriculos egreditur? Ter^
tius problematis fenfus hic eft : fi fanguis per mcdium
refiftens traiici debet ; quanta eft illa vis cordis , quae fan-
guinem in vafis promouet? fiue, quanta celeritate flinguis
mouetur in arteriis elafticis, plcnis, vi cordis?
§. 27, Facile patet intelligcntibus , quod fcnfus pro-
blematis primi (§• :i<5 ) proprie inuolu.it viin cordis ahjo^
lutam^ fubicdiuam , et cordi ipfi inhaerentem, effentiali-
ter confideratam , et ab omni efFcdiu abftiadnm \ patet
porro, quod haec vis fubiecfliua mancat conftans et lem-
per eadem , mutatis vtcunquc conditionibus aliunde acce-
dentibus ; patet denique , qiiod aequalis fit illi vi , qua fan-
guis inxta (Infum problcmaris (ecundi et tertii eiici dcbet
ex corde per mcdium ftuc refiftcns , fiue non rcfiftens.
Si jgitur huius Vis feu Elafticitatis quantitas afllgnari pof-
fet
COGITATIONES ?HTSI0L0GICAE. 297
fet mendira qnadam , omnia dida problematd fiicile refb-
luta forent. Vbi enim Vis ell eadem ; ibi efFediis quo-
que idcm erit quantitate , et nonnifi diuerfo applicandi
modo difTentiens. Agedum igitur, et profequamur, vs-
que dum licet inftitutum , inueiiigando et comparando pro-
prietates illas , quae ex (peciali elatlicitatis confideratione
atque applicatione pofTunt deduci. En autem lequentes.
§. 28. Fibra eadem elaflica diucrfo tempore va-
rios elateris gradns poflidere potefl, qui quidem maximc
ab eius laxitate aut rigiditate pendent. Vis autem cordis
cft elafticitas cordis (§.24.): Crejcente igitur lioc eJatere,
ciiius fibrae laterum (§.25.) capaces iiint, aut decrejcente^
vis cordis au^etur vel minuitur,
§. 29. Fibra elaflica eadem diuerfo tempore magis
et minus tendi ac produci potefl. Idem accidere potcfl
fibris duabus aequalibus , eodem tempore. Fibra autcm
tenfli et produda vires maiores adquirit, quo magis pro-
ducitur, et auifta elaieris intenfitate augetur virium quan-
titas. J^is igitur cordis pro tcnfione fibrarum fuarum , fiuc
pro intenfitate elateris fui varie ifitendi ^ minui atque au-
geri potejl ; et duo corda fibrarum e/ajiicitate aequalia
eodem tempore diu.rja elafticitatis et virium intenjitate
pofTunt gaudere.
§. 30. Experientia conflat , cordis adionem eflc
nunc celeriorem nunc tardiorem ; nunc fortiorcm , nunc
debiliorem. Adu igitur eueaire difcimus, cuius pofllbi-
litas ex natura rei (§ 28. 29.) elucefcit : quod videlicet
^is cordis fua patiatur au^menta et decrementa.
Q.q 2 § 31*
298 DE CIRCVLJTIONE SANGVimS
§.31. Qiiui variaiitc intenfitiite viriiim cordis mime-
rns fibrariim latera ventriculi componentiiini conlkns ma-
net: vis elaftica cordis non a fibrarum numero folo pro-
ducitur , fed aliunde fibris fuperadditur. Non igitur ivx
corcfis ejl in ratione majfae, nifi fingulae fibrae elallicitati-
bus refpe/'7///^ fcdio diuiditur, omnibusFi&uia u-
globnlis in arca fcftioriis iilius contentis motus communi-
catur , et dum locum cedcre irruenti globulo coguntur,
fibi ipfi nouum fpatium , quo fe proripiant , quaerere an-
nitantur. Excrcent autcm preffionem tam ad latus aor-
tae, quam in fupcrincumbentem (angninis maflimi, a qui-
bus vicilfim duplicem readlionem patiuntur. Etiamfi au-
tem fiiperincumbens mafla non nifi fuo pondere rcfUtat,
et
510 DE CIRCVLATIONE SANGVINIS.
et tamqiiam vis mortuii absque vUa velocitate confidcran-
da fit : tamen , quia ( (iiblata extenfibilitare arteriarum) vi
impenetrabilitatis fuae (Cap.I. S.5.) ilta loco cedere non
poteft, quin et totalis mafla fanguinii- tam arteriofi quam
venofi ai]tecedens fimul prcimoueatur : non modo prima
ilia pyramidis guttula, led et tota lecl:io refpcdn maffae
finguinea vniuerfae , pro infinite parua , et vis fua , qua
columnam reliquam impetit pro nulla , aut ccrte non pro '
tanta haberi potcft, quanta ad fuperandam re;i(fti()ncm re-
quiritur. Cohimna igitur ipla in hoc cafu imn.ota per-
fiftit. At vero longe alia ratio eft inter aream primam
fmguincam , et fedionem lateris elaftici afntae ipfius .
Qiiia enim aorta plena vbiquc cft, ct b.inc perimctcr ipfi-
us finguini vbique arde accumbat : nulliim pundlum in
illa perimctro concipi poteft , quod non ab accumbcnte
fanguine preflionem fuftineat. 77^" igitur o/AWi, qiiam area
ijla a prima guttida concepit , in extender.da pirmet. o
aortae conjumltur , quae cxtenla lccum conccdit guttulae,
quem fuperincumbcns maflli dcnegabat.
§. 54. Qiiae huic prUnae guttulac C§. 52.^ circa
primam (cctionem i§. ss.j accidunt • ca omiiia , cctcris
paribus 'm Jecunda ^ tertia ctc. Sedlione repetuntur, co-
usque , donec omnis guttulae vis fit confumta. Neque
putandum eft, poftquam haec guttula primam fedlionem
transgrefla fuerit , perimctrum acntae flatim itcrum con-
trahi atque coardari. Dum cnini in mediate proximae
pyramidis guttuiae antecedentcm prjmam a tcrgo inlequun-
tur, illae diametrum aortae iam dilatatam non fblum in
eo ftutu feruant fed etiam pro ratione quantitati& vltcrius
dila-
COGITATIONES ?HTSI0WGICJE, 311
dilatant j qiiod omne de reliqua pyramidis portione , \e-
riim effe piitandum eft. H;iec autem dilatauio laicrum
aortae tam diu durat , donec aut vis fanguinis irruei.tis
ip(k minuatur , aut aorta vltcriorem expanliuncm non
ferat, fed elatere fuo fpeciem rigiditatii induat, aut vtrum-
que fiat, et proiedioni fanguinis terminus figatur.
§. 55. Mifla autem ifta confideratione , aliqua et-
iam ponderatione opus elt jmles Janguinls quauis J^^flole
e corde proiecii. Pletique fcriptores pliyfiologi, circa de-
terrriinationem virium cordis occupati, quantitatem (angui-
nis in ventricnlo contenti et eiedli vnam candemque au-
dader ftatuunt, et in calculis (uis vnciam vel vnam vel
duas adliibent , et hinc ventriculos totaliter depleri aut
aperte afiirmant , aut tacite fupponunt. At vero fateor
mihi omnia fufpeda videri et dubia , quae in iifui^modi
rebus nondum flitis expofuis, abique demonrtrationibus ac
precario pro veritatibus ftabiliuntur. Nemo igitur vitio
mihi vertet , fi hypothefui iftam , quae quantitatem fm-
guinis eiedi ad cap.icitatem ventriculi menfurat , flilfitatis
arguere audeam. Non nego, omnem (anguinem in ven-
triculo contentum in motum ciri, id enim ex nitura fy-
ftoles (§.20.22.) necefliu-io (equitur ; fed de eo dubito,
an omnis ille Janguis etiam vnica Jyjhk extenninetur^.
§. 55. Nondum quidem locus cft , integram de-
monftrationem veritatis, quaecunque illa deniquc (uerit, hic
intexere : quia tamen nihil eorum in hoc capite omittendum
cenfeo, quae ad mcnfuram virium cordis quodammodo flicerc
pofTunt; rehdis iis, qiiae de inten(itate illarum §.28-35.)
didla huc transferri poITent , vnicum momentum indi-
Tom.VIL Ss cabo,
312 VE CIRCVIATIONE SAKQVimS
cabo , quod confidenitio mcmonitae pynimidK (§.50.)
(iinguinene nobis ruppeditat. Supponimus nimirum , \ini
fanguinis e corde irruentis tantam , -vt refiftentias tam a
grauitatione columnae lauguineae , quam aliunde obortas
Yincere poffit, Non dubium cd , quin haec duo in fe
inuicem reagentia (§.40-43.) fub finem fydoles ad ae-
quilibrium primo reducantur, mox \ero impetus ille fan-
guiuis a refirtentiis didis ■viciilim fuperctur. Qiiodfi igi-
tur vel maxime probaueris, ventriculorum latera exadis-
fime claudi tempore ryiioles: ceilante tamen illa nihil eft,
Figuva la.quod ftnguinem a intra limites valuularum l? confifleiitem
vlterius protruderc poflit. Qiiaproptcr fi nullus alius, iUe
laltim Janguis tempore (licjjloles in veniriculos relalntm\
§. 57. Diu fliteor hacHt meditatio noflra circa vni-
cum hunc anguhim (§.40.)^ quae tamen \el lioc f(>lo
nomine fertiiifrima dici meretur, quod tam foccundas et
omnino vtiles confiderationes nobis (uppeditauif: fiquidcm
inter aiia denuo luculenter patet tam neccfliras quam ra-
tio iam aliquoties allegati phaenomeni HarueiaJii ',Ci;p.I.
§. 18,)^ quod nimirum in momcnto fyltoles cordis aor-
ta proxime applantata dilatetur, \nde iam diuerticulum il-
lud (Ǥ.51.) quadantenus innotefcit. Quamuis autem fa-
cile concedam, naturam multo citius ncgotium fiium ab-
foluerc, quam nos aut cogitando aut fcribendo kgendoue
affcc^iii valeamus : hoc tarnen ctiam ncutiqu.im erit diffi-
tcndum, illam, etfi velociflimc , non tamcn per faltus,
fed pededentim proccdere , ct hinc co cautiorcs pediffe-
qiKis porccrc , quo ficilius in tanta fcflinationc ab ipfius
via vera dcclinarc, ct in crrorum labyrinthum dclabi pos-
fimus.
tOGITATIOnES THTSIOIOGICAE. 3^3
fmus. lam vero promoucamus pcdem aliquantulimi , ct
preflms infilhmus aiteriarum dilatationi , indagaturi , quo-
'iisque illa eodem Jyjloles Jynchronismo Jecundum traCtum
ramorum feiminetiir^. Ad hanc cnim quaeftionem fi fuffi-
cienter refpondere poffimus , fiicile ei-it diiudicatu , quo-
modo difputatio illa (§.41.) de quantitate maflae a cor-
de mouendae, dirimi debeat. Ad quem fcopum vt per-
tingamus, duo imprimis problemata fimul nobis cnodanda
occurrunt, quae autem omnia mirifice inter fe cohaerent ;
nempe : an arteriae omnes et fingulae in toto corpore fi-
vud dilatentur , vi eadem cordis iiiica ? et quanta in ge-
nsre diktatio ejfe Joleat ?
SeGio 5.
T)e a&ione Arteriarum.
§. 58. Sepofita tantispcr quaeftione prima refpicia-
mus ad altcram ; quanta nimirum dilatatio efTe foleat ?
^ine omni dubio generatim refpondendum efl, illam efTe
tantam , quanta requiritur , n)t moles Janguinis e corde pro-
ie&i locum JufficieHtem nancijcatur (Cap. I. §. 17.). Qiiod-
fi igitur arteriae omnes fimul puKant eodem temporis mo-
mento, quo, vi cordis, ifle (anguis proiicitur: necefrario
nuUa arteriii eft, quae non aliquantam illius maflae por-
tionem intra cauitatem fuam tum temporis dilatatam re-
cipiat. Sanguis igitur proiedus, ceteris paribus, per to-
tum fyftema arteriofum aequaliter diftribuetur. Qiiodfi
igitur data fuerit quantitas proiedi finguinis , maflaque
fanguinis arteriofi, et arteriarum ciApacitas: quantitas quo-
que dilatationis , fitie difterentia diametrorum non difficilis
erit determinatu.
Ss a §. 5p.
314 JD^ CIRCFLATXONE SJKGVINIS
§. 59. Liceat autem loco infinitarum diuifionnm
aortae aflfumere vnum canalem arterioium , eiusdem \bi-
que capacitatis , et tantae longitudinis , quanta requiritur,
a tota mafla (iiguinis arteriofi ; quod ad calculum facili-
tandum nemo non concedet. Porro aeftimabimus malTam
{•uiguinis arteriofi , quando arteriae in rtatu dilatato effe
concipiuntur, ad minimum quinque libnirum, fiue — 60
vnciam ; vncia autcm languinis occupat (patium i-i- digi-
torum. Sunt igitur vnciae fiuiguinis 60 zz 90 digit.
1^90000 lin. Diamcter aortae dilatat.ie iuxta plerasque
obieruationes.eft 1=: i o lin. erit igitur fcclio cius zr ^^ lin.
et confcqucnter longitudo canalis artenofi, qui quinquc li-
bras languinis continet — 1146.^!^ iin. zr 1 1 ped. 4 dig.
6X\-^ lin. quae longitudo, fiue artcria dilatetur, fiue con-
traliatur , conflans efl , vt cuiuis attendenti flicile patet.
Qiiodfi iam concedere velim, quod inafla (anguinis pro-
iedi acqualis fit duabus vnciis (§. 56.): erit maflir fiinguinis
arteriofi , tempore contradlionis rr 60 vnc. — 2.— 5 8 vnc.
zz 87000 lin. ct diifcrentia diamctrorum — 10— Vpd^ lin.
— 10 — 9 i iin. quam proximej fi vero mafliim flinguinis
proicdi vnciae aequalem ponas , quod magis verofimile efl ,
erit differentia diametrorum~ 10 — V^S^— 10 — 9|4. lin.
Sin denique vaa fyftole dimidiam vnciam proiici tlatuas,
quod omnium maxime probabile ell : diffcrentia diame-
trorum vix ciit aiiignabilis.
§. 60. Qins antem efl', qui non primo quoque obtutu
videat, hanc diffcrentiam, qiiae iu primo cafu vix j lineae,
in alcero circit-r ~j lir.tae , in tcrtio vero propemodiim ni-
hilo aequaiis tft, adco paruam cflc, vt pianc non rcfpondcat
ideae ,
COGITATIONFS ?nTS10L0GICAE. 315
idene, quam communiter de puKii et dilatatione arteriarum
concipimas. Si cnim confideramus vebementiam puKiis in ar-
teriis carpi , et temporum , quae propemodum minimae funt
illarnm, quas tadlu explorare folemus; harnm ipfarum di-
tatio maior omnino efle vidctur. Quodfi antem vafii mi- ^
nora iltum terminum transgrediuntur , quanto magis vafa
maiora ampliabuntur. Non igitur erramus, fi difFerentiam
diametrorum canalis arteriofi contradi et dilatati vni lineae
aequalem ponamus. Qiiapropter fit diameter minima ca»
nalis arteriofi — 9 lin. erit fcdio erus zn '-^^^ lin. quae
duda in longitudinem fupra indicatam ~ 114.6^4^ lin.
dabic maflam fonguineam in arteria contrada contentam
— 72900 lin. — 72 .j?- dig. differentia igitur maflarum erit
— 171 00 lin. — i^L-Ldig. — ii|- vnc. fanguinis, quae
aequalis eft portioni fanguineae , quae vna fyftole in aortam
proiici debebat. lam vero magis vero fimile eft , in
tradu arteriarum multo plns (anguinis continferi , quam
quinque libras et fortafle non erraneris , fi illam mafliim
decem' libris aequalem ftatuere velis ; in quo cafu , ft dia-
meter aortae (it ~ i o lin. erit longitudo canalis arteriofi
zz 22 ped. 9 dig. 2 |1|: lin. Sit autem diameter minor
~9 lin. tum (edio arteriae — ^'00^^ dudla in hanc lon-
gitudinem dabit volumen (eu malfam minorem (anguinis
— 14.5800 lin. quae quantitas a decem libris (eu 120
vnciis z::: 180 dig. —180000 lin. fubduda, relinquet dif-
ferentum — 34.200 lin —34. j dig — 22|vnc. fmg. At \'
ven» cum impoflibilc fit, ( fiue lari quinque fiue decem
libras fanguinis in arteriarum tradn contineri aflTumferis,)
vt vel maximum , quod homini dari potert, cor tantam
quantitatem (anguinis, nimirum vncias vndecim aut viginti
Ss 5 duas
315 DE CIRCFIATIONE SANGVmiS
dms capere, nednm iii aortam traiicere qucat, et praete-
rea a Tcra malla, qiianta probabilircr (§.5.) transfiindi
potefl: , vehcmenter difFerat : hacc tria neccflLirio inde fe-
quuntiir : Aut enim pu/fus et dilatatio arteriarum non /it
in omnlbus arteriis fimul\ aut idea puljus , qualem baCiC'
nus iml^o concepimus , falfa ejl idea j aut boc 'Vtrufnque
locum habet.
%. 6\. Vulfus , definientibus ita praecipuis fcriptori-
bus, ejl perceptio impetus arteriae in digitum tangentem\
aeflimamus huius impetus quantitatcm ex robore et im-
preflione , quam in partcm tangentem fieri perfentifcimus,
Abfit , vt negem phaenomenon \ omni iure differentiam
diametrorum arteriae contradae et dilatatae vni lineae ae-
qualem fiipra ;§ <5o.) pofuimus, ita enim reoera apparet:
fed caufHim phactiomeni vt admittam , vix mihi patior
perfuadcri. Videlicet, aut arteria tota pulfat, autparseius;
Vtroque modo poteft obtincri efftdus idcm, phaenomenon
idem. Demonftrauimus autem (§. -61.) Jt?m!t^neum omniiim:
artcriarum puljum fuppofuimus : videamus , quatenus haes:
hypothefts admitti poftit. Arterias fingulas limul dilatari
qui autumant, ad experientiam prouocant, iudicem in hoc
ca(u non tam failacem , quam minus imelligibilem. Certe
interualla puliationum adeo breuia funt, vt indubia expe-
rimenta capcre res praeceps ftt ac difticilis. Non igitur
hoc argumentandi genus ita pcrfuncftorie admittendum cft,
nift certus fis, obferuatorem omni poffibili cautela vfura
fuifle; quamquam, fi in animahbus viuis experimenta in-
ftituerc velis, velocitas pulfus beftiae hgatae et anhelantis
omnem fere diligentiam eludat, vt hac methodo paium pro-
ficere poflimus. lam quod ad me attinet , illa ipfa expe-
rientifl in meo corpore capta conuidusin fententi.am contrn-
riam trahor \ deprehcndo enim ex. gr. pulfum arteriae iugu- ,
Uiris non efle fimultaneum cum pulfu arteriae carpi. Qiiia
autem ex noftra dc(criptione pulfationis (§. <5i.) accidere
poteft , iilam tunc quoque feutiri pofle , quando arteria
in
31 S DE CIRCFLATIONE SANGVINIS
iii priftinam Cmm figiiram rcftituitur: fequitur ex hac dif
ferentia temporis niliil certi poffe concludi. Qiii \ero
tempus (yrtoles cordis et puKus arteriarum inter fe con-
ferre fitagunt, fimiliter rem (umme arduam adgrediuntur,
quia arterias in pundo puKare , cor autem motum pro-
tradiorem exercere perienti(ces , ncc quodnam pundum
fyiloles pundo puKationis rcfpondeat, facile determinaue-
ris. Certum e(t quidem, momentum illud temporis, quo
apex cordis laiera pec^oris ferit, non coincidere cum ap-
puKii arteriae carpi aut carotidis: fed eo ip(b, c]uia fyftole
cordis non fit in infianti, nec ergo (ciamus, an ilUid mo-
mcntum fit principium , an medium , an finis fyfioles*
inde inferre non licet, fyfiolem cordis et puKlim arteria-
rum non efic fimultancum ; quemadmodum \icifilm ex
fimultaneitate fyrtoles et puKiis cx. gr. arteriae carpi non
fequitur , quod cor (anguinem vsque ad arteriam illam
eodem momento in motum ciciit , quia alia quaedam cauf-
lii huius fimultaneitatis , ipiii videKcet variata puKationis
perceptio , (ubcflTe potefi. Inrerea , quia tempora inter-
ualK)rum , queis tam puKationcs inter (c , quam (yfioie et
puKationes differunt, non adeo infignia (iint, vt alternatiua
et vtrinque aequaK menftira (e inuicem (iibfequantur • quia
etiam artcriarum (ociarum , ex. gr. carotidum , in cavpo,
temporibus, pcde , puKiitio exacfle corrc(p( ndent , quod ficri
non po(fct, nifi ab vna eadcmque potentia communi vr-
gercntur; quia porro accelcnito aut rctardato motu cordis
puK-itioncs arteri.u-um coincidcntes eodem momento fimi-
liter accclcrantur aut rctardantur, quod fimiliter non fieri
poffct, nifi (anguis in arteriis immcdiate a corde in-pel-
leretur : 'V.ro/imile cjl omniiio , puljum , etfi non eodem
tempQ'
COGirATlONES FHTSIOLOQICAE. 319
Umporis monmito , tamen eodem vnius fjjloks fynchronis^
mo per omnem arteriarum tractwn continuari. Denique
fanguis grauitatione fua in latera Yaforuni premit, et ex-
tenfionem illorum adiuuat (§.15.): augetur haec preflio,
au(5la mole, et quidem in inftanti ; in fyflole autem fan-
guinis arteriofi moles augetur: tempore igitur fyfloles la-
tera arteriarum per fanguinem audum et grauitate fua
prementem ad maiorem extenfionem ac dilatationem fol-
licitantur, et quidem in inftanti ac (ecundum omnem tra-
dlum arteriurum , quousque fanguis grauitans pertingit. No-
ftra igitur fententia , quod arteriarum puljus cum Jjjlole
cordis coincidat , ex his rationibus probabilior euadit ac
corroboratur.
§. (J3. Demonflraui alio loco , dari in tubis ca-
pillaribus refiftentiam aliquam , non a \'i attradiua aut fluido
contraponderante , fed ab illorum anguftia deriuandam j
quae humana induflria adeo augeri poflit , vt ad infigncm al-
titudinem fuperincumbens fluidum in quiete feruetur. Vafa
autem capillaria in corpore animali omni imaginatione
fubtiliora atque angufiiora funt: ergo illorim rcfiflentia fi-
militer fe habet. Prefilo autem eft in ratio bafeos et al-
titudinis fluidi ^ fi igitur feftio arteriolae capillaris mini-
ma eft, quae pro bafi haberi dcbet ; tum refiftentia erit
maxima , et infinitae altitudinis columna fuperincumbens
immota haeret.
§. 6/i^. Confidera igitur: dilatationem tuborum ar-
terioforum incipere in principio aortac [§.35); et con-
tinuari per omnem tradum arteriarum (§.62.) ; P^r illnin
vero nihil intendi a natura, nifi vt locus concedatur eie-
Tom,ril Tt &o
320 DE CIRCVLATlOnE SAKGVINIS
do ex corde fiinguim (§• 55- 5<^' 5S-) i h"nc liuiguinem
per omnes arteriarum anfradlus aequaliter et commode di-
ftribui (§.58.); confidera practerea, eam efTe inter aortam
et arteriae ramos maiores et inter extremitates vltimas
capillares proportioncm , vt hae minimam poitionem illius
maflae diftribuendae (brtiantnr , huius igitur portiunculae vim
efle minimam, refilkntiam contra angurtiarum capillarinm
efle maximam (§. <53.) ; An non magis magisque \erofimile
videtur, has cxtremitates capiUares quali pro claufis haberi
pofle , et motui (iuiguinis terminum in illis tigi , donec
haec refifleiitia a viribus maioribus aliunde accedentibus fit
fuperata? nulliim is,itui- Janj^uinem tcvipore Jjjioks cordis m
vmas tran.sjundi (§.4-i-j w cordis^.
§. 6$. Arteria dilatata , plena, elaftica in reftitii-
tionem fui nititur: fublata igitur vi extendente contradio
adu lequitur \ quia igitur hoc modo capacitas vafis mi-
nuitur , vt tantum languinis denuo expellatnr quantnm a
corde fufceptum fnit ( Cap. I. §. 23. ) : non dubium eft,
qnin haec ipfi vis fe contrahendi pro principio habcri de-
beat, vnde hic traicdus derinandns fit; de cnins adionis
natura et quantitate paucis nunc nobis erit difjpiciendum.
§. 66. Qiiia contradio artcriarum effcdus eft ek-
fticitatis iilarnm : tota ctiam haec adio iisdcm lcgibus fub-
iesfla cft, qiias natnra elafticitatis requirit, quasqne fiipra,
cum de vi cordis agercmus (§.28-34.), commcmora-
uimus. Et qnidem gcneralitcr elafticitas artcriarum de-
pciidct a roborc ac firmitate fibrarnm , ex quibus illac com-
ponnntur Qiio robuftiores jgitnr fibrae , eo maioris
elafticitatis fiuK capaccb: quo debiliores fibrae, ad eo mi-
norem
COGITATIONES THTSlOlOClCAE. 321
norem gmdum fe patiuntiir extendi. Neque minub arte-
ria robulla maioreni virium extendentium impetum lufti-
net ■ arteria debilis minorem. Porro intenfitas ipla vi-
rium elarticarum arteriae, qucis in fui rellitutionem niti-
tur, fequitur intenfitatem virium , queis ipla fuit extenfa
feu produda. Atqui haec extenfio prouenit ab augmento
(anguinis certa velocitate irruentis , augmentum et celeri-
tas finguinis a vi cordis illum intrudente. Jls igitur nr-
teriae , qua fe contrahit, eji in ratione compnftta numeri
fibrarum conjpirantium , quantitate elateris , et intenj.ta-
te eius\ ac refpondet vi cordis", quatenus haec per exci-
tatum fanguinis irruentis impetum effecit arteriae extenfio-
nem. Qiio intenfior igitur adio curdis, quo maior dila-
tatio arteriae : eo fortior quoque efl illarum contradio;
e contra, quo languidior adio cordis eft, eo minor di-
latatio, eo debihor quoque contracftio nrteriae erit. Haec
et plura fimiha theorcmata absque vheriori argumentatio-
ne ex natura elafhcitatis fluunt, atque experientia confir-
mantur; fiquidem phira adhuc corollaria inde deduci pos-
fent , quae ad ilhiflrandas veritatcs phyfiologicas ac pa-
thologicas ficerent , ni nimium a propofito noftro defle-
dleremur. Haec igitur generahter dida fiuis fiinto.
§. (J7. Qiiodfi iam magis praecife in quantitatem
virium , queis arteriae in finguincm expehendum agunt,
inquirere vehmus, tanta fohicitudine opus non effe puta-
uerim , quanta vires cordis indagare oportuit. Quia cnim
intenfitas aiflionis iUarum dependet ab adione cordis (§. 66.):
quantitas virium , queis arteriae fe contrahunt , facile de,
terminari a priori potefl , fi cognita fuerit quantitas vi-
T t 2 rium
322 BE CIRCFIATIONE SANGVmm
rinm cordis , quiie in arteriis dilatandis impenduntiir ac
confumuntur, Ex effcdu autem , fi illa concludi dtbet ,
dicendum eft in genere : Yim nrtcriarum (efe contrahen-
tium tantam efle, Yt portio (anguinis per fyftokm cordis
in ip(as intrufa denuo terminis fuis eiiciatur , antequam
fyftole fequente noua nouus quoque (anguis irrumpat Ad
quod problema ftridius foluendum oportct noflfe, i.) quan-
ta fit mallii mouenda ? quae pro capacitate arteriarum ,
et pro hypothefi pulfus varia e(fe poteft. 2.) Qiia ccle-
ritate motus (iat? quae quidem, quamuis itidem varia eft
pro ratione interuallorum temporis inter duas puIfatiGnes,
in hoc tamen conttans eft , vt fempcr dimidium inter-
ualli tempus receptione f\nguinis, alterum dimidium cx-
pulfione illius confumi licite fupponamus. Via autcm ,
quam ma(fa mota emctitur, partim a modo, quo con-
tradio arteriae atque fuiguinis eiedio fit, partim a quan-
titate (anguinis adu expellendi (§.5
€.) Pulmonem in perpetua adlione et voluminis fui ra-
riatione efle.
7,) Sanguinem ex vena pulmonali in auriculam finiftrana
et ventriculum non fola preflione a grauitate fua
orta, illabi: fed impetu concepto ex adione pul-
monum, vi viua irruere.
8.) Sanguinis motum nullam patimoram, adionem igi-
tur potentiarum non debere oflicio fuo deefle, fed
indefefliim continuari temporibus et rhythmis deter-
minatis.
p.) In ventriculis et auriculis poft fyftolem fuam vacuum
exiftere refpedu totius capacitatis fuae«
10.) La-
3i5 DE CIRCl^LATIOKE SJmVXNlS
lO.) Latera ventriculorum in diaftole non nifi ad cer-
tiim gradum relaxari, et hinc vi quadam extranea
vlterius extendi debere , •vt apta fiant ad nouam
fyftolen.
Omnes hae propofitiones partim ex iis , qua in Capi-
fe primo , et in hoc fecundo iam ftabilivi , partim ex ad-
fcititiis principiis anatomicis ita fiicile pofllint dcmonlkari,
Mt earum ampliori dedudione fupcrfedeam. Propercmus
jgitur ad conclulloncs.
§. 72. Qiiando Cor in fvftole eflc incipit ; con-
tradio auricularum finita cft. Si igitur tum auricularum
latera velles diducfla , neccflTario vacuum haberes, Vbi
autem vacuum efl, ibi reliltentia eft nulla. Sangiiis igi-
tur ex 'vtraque Caiia in auricidam dextram^ et ex vcna
puhmnaU in auricuhm finijlram celeritate qualicunque in^
fluity et illarum capacitatcs adimplet, ac dilatat^
§. 73. Auricula dilatata, elaftica in fui reftitutio-
Bem nititur. Vis huius nifus eft in ratione numeri fibra-
rum ad contradioncm correfpondentium , quantitatis , ct
intenfitatis clateris fui. Hac vi fua ingenita , exprimunt
fanguinem^ finita a&ione cordis , hi irntriculos refpd/iuos
ruacuos. Qiiantitas malTae detcrminatur a capacitate auri-
cularum, non ncgledlis iis caiitclis, quas in detcrminanda
quantitatc languinis e corde prorumpcntis (§. 56.57.) itcm-
que in Capite I. §. 27.28.29. allegauimus. Celeritas autem,
qua in latera ventriculorum irruit , a ccleritate , qua mulculi
auricuLirum fe contrahunt, et ab orificio, quo auricula in
\entriculum hiat, depcndct, et ex idea cmboli, capacita-
tem tubi minucntis (§.22.23.) fimili modo dediici pnteft.
§• 74.
COGITATXONES THTSIOIOCICAE. 327
§. 74. Laxatii veiitriculorum latera vi extrar.ca di-
latari debent (§.75. n. 8.10.). Qiiia autem motus in
vena caua inferiore eft lentiiTimus ( n. 2 . ) , ct eius celeri-
tas minima ; neque minus , quia \is iiuiguinis , defcendentia
(n.4.) in (ola prefiione confiilit: pr^tet Jjinc necejfitas au-
riculae dextrae , ^ot mju fuo fe rcflltuendi motum nouum
imprimat fanguini, non folum fuo, fed et alteri ex \'ena
caua Yiraque (n.i.) allabenti , quae vtraque mafla iundim
fumta, celeritate concepta, in laxata yentriculorum latcra
irruit, et iila fubito, quantum necefie efl: (n.io.), ex-
tendit. Neque miiKis patet nece/Jitas auriculae Jhiijlrae,
!Vt nimirum latera ventriculi fini/lri per (anguinem ycIo-
citate concepta iniedum fuMto ^xtendantur ; quia circula-
tio (angujnis moram non patitur,
§. 75. Qiiia ianguinis motus in cauis efl: lentus
(§.75.^.2.4..): igitur omnis eius acceleratio a fola a&io-
jie auricuJue dextrae projicifci debet. Qiiia e contrario
liUigais ex pulmone in cor fuiiflrum vi viua et cum ce-
leritate (n.7.) irruit: igitur omnis vigoratio, qua ^rntri-
culo finifiro opus ert , non a fola auricula fmijlra ingene-
ratur, fed illa a quantitate impetus (anguinis ex aurii-ula
€t vena pHlmonali prorumpentis aggregata proficiicitur.
Ea veram caufl-mi phyficani et finalem , quare auricula
dextra capacior et fortior fit et effe dcbeat, quam finiflra.
Qiii ad rationem huius inaequalitatis reddcndam , denfita-
tem et (contradicflorie plane) fluiditatem maiorem (angui-
nis, quam in pulmonc nancifcitur, ((jmniant , illi tcne-
bris circumfufi caligant , et oleum ac operam , quam in-
anem ludebant, pcrdidere.
Tom.Vll. Vv Sedio
328 DE CXRCFIATIONE SJNGVINIS
SeCtio ^.
De AttraCtione wfonmi capillarmn.
§. 76', Saepe accidit, vt, qiii in explicaiidis phae-
nomenis naturae occupati funt , tales caufas in medium pro-
ducant, quae non nifi fpecicm quandam vcri habent: cu-
ius quidem erroris nulla alio ratio cft , quam quod nec
cfFedus nec cauflae ideam diftindam habcant , Icd fola
(pecioni aliqua fimilitudine partiali, quae tamen nihil ad
rhombum ficit , decipi fe patiantur, vt miros paralogis-
mos committendo et fibi et aliis fucum vendant. Horum
ex numero funt illi, qui poftquam gcneraliter intellexc-
runt , aquam in tubulo capillari furfum alccndcre , hanc
legem ad motum (iuiguinis explicandum applicari pofle au-
tumantes, fli.itim concludunt: Ergo extrcmitatcs capillares
venarum fanguinem attrahunt; Ergo hac attradione ftn-
guis ex artcriis in vcnarum alueos facilitatur. Scd fi di-
ftindre quaeflucrimus ex natura, illa quoque dillinde re-
fpondebit.
Figura 14. §. 77. Sit Tubus capillaris AB, qui fupcrficicm
aquae , in vafc V tangens , replcbitur fupra libcllam v^que
- ad altiaidincm BC ; fi remoueris tubum ab aqua ; illa
portio rccepta et attrada in fpatio BC immota haerebit.
Si profundins immerferis tubum ad altitudincm BD,
tum et aqua in tubo aiccndet vsque ad altitudincm F,
ita vt fit BCzrDF, et BD— FC; (fi nimirum angii-
ftia tubi vbique fibi aequalis cfl , quod ad facilius intel-
ligendurn experimentum fupponimus)- Si extraxeris tu-
bum, aqua iterum defcendet, donec ad priftinam ahitu-
dinem BC perucnerit.
Si
COGITATIONES VnTSlOlOGlCAE. 329
Si tiibum AB iniiertas, "Vt extremitas B furfum fpe-
£tet: aqua in cauitite CB hnerens defcendit ex BC \s-
que in EA , et reliquum fpiitium BEzrAC aqiu va-
cuum relinquit.
Sit Tubus AB maioris diamctri AS, qui dcfinat inFigura 15,
tubulum capiliarem BC, cuius attraclio tanta fit, vt, fi
fuperficiem aquae tangat , fluidum in illo afcendat et
haereat ad akitudinem DC. Si repleueris totum liunc
tubum A C fiuido , tum illud dcfcendet , et effluet per
foraminulum C, tam diu, doncc fiiperficies fluidi fupe-
rior A S peruenerit vsque ad terminum D ; et ex tota
inafla fluidi nihil remanebit refiduum , nifi quantum an-
gufla tubi capillaris capacitas CD virtute attradionis ca-
pere et retinere poteft;.
Procedit hoc experimentum , fiue Tubi AC repicti
cxtremitas C fuperficiem aquae tangat , fiue totus tubus
libcr fit circumquaque.
Idem erit phaenomenon, fi tubus capillaris EC cnm Figma ks.
tubo maiori AC non in dircdum iaceat, fed illi nd an-
gulum quemcunque ita inclinentur , vt capillaris TC in fi-
tu infi-a horizontem HO dcprefib, maior autem AB in
iitu fupra horizontem eleuato conleruetur.
§. 78. Ex his experimentis (§.71.) fequitur: i.)
vim attra&icem non agere nift ad certiim aJiquem termi-
num, quem mimquam transgrediatur \ 2.) hanc vim non
ejje tantam , vt Juptrincumbentem aUam. majjam Jujpenjam
tenere poj/it , fed potius (uperatam illius mafliae luperin-
cumbentis pondere, dejcenjum cedere ilH^ donec retinen-
dae portioni fuae determinatae refiduae denuo par fit. 3.)
V V 2 Tan-
350 d:e circvlat- sangk coGiT.nmiOL.
Timnim igitur ahejje , it tuhm capHlaris ^'Itra dehitain
altitadnem repktus ^ et altero orificio imniijjUS jluido cui-
dam , phis vltra recipiat , i'/ potius , quac Juperjiua Junt
it oncrofa^ demittat.
§. 79. An igitur extrcmitatcs capillares n:enarum
fanguinetn jugunt , et motum eius jacilitant ? id quulem , ex
dcmonftratis (§.71.72.) puto nemo intelligens concejjmt*
Attrahant illae quidem per me fanguinem , fi vacuae fue-
rint , attrahant ad ingentem altitudinem', quousque propter
anguftiam vaforum iicebit. Qiiia venae naturaliter plenae
funt , et iam \ltra terminum altitudinis fixum replctae :
ifta vis attraciliua adeo non plus attrahet , aut fullinebit
languinem venofum , vt potius defcenlum concedciet, qur.m
aicenfum iuuaret, fi nulla alia vis in corpore adeflct, cuae
huic defcenfui valide refifteret. Qiii igitiir phaeiicn cna
ifiia de applicatione emplaftrorum , cataplasmatum , vnguen-
tornmy quorum partes aquofis, oleofas, fpirituofas, a fu-
perficie corporis ablorberi experimur , explicare aggredi-
iintur, ad principia longe alia , ex hydraulicis eruenda con-
fiigrre dcbcnt ; quia in attradione tubulonim capiUarum
parum folatii inuenient.
OBSER-
OBSEBJ: ANAT. JD mST. ETACTION. tc. 3 3^
OBSERVATIOiMES ANATOMICAE
AD HISTORIAM ET ACTIONEM MVSCVLORVM
FRONTALIVM, OCCIPITALIVM , PALPE-
BRARVM , FACIEI
AVTORE
lofia Weitbrecht^
M
Vftuli frontales , fnperciliornm et palpebrarum itaTabuia xv;
inter le neduntiir , \t de \no nihil exade re-
ferri queat , quin ct fimul alterius mentio fint.
Sed nec de frontalibus atque ovcipitalibis quicquam Ib-
bile dici pottft , quin accuratii incumbentium ac fubftra-
tarum membranarum cognitio praemittatur : in quarum
recenfione omnium accuratiflime Cel. W instotvius fe ges-
fit, \t pauca adiicienda liiperfint- quae tamen prorlus ne-
gligenda non funt, quia detcrminatio fitus, adionis ac ne-
xus mufculorum diftorum inde dependet, '\
IL Subter pingucdincm cuti cafuariae immediate ac-
cumbentem detegitur tunica aliqua fingularis , quam \el
cum Jefalio panniculum carnolum , \el cum Winslowio
wembranam pellicularem dixeris , perinde efl: ; quamuis
polleriorem denominationem cum idea rei ipfius magis
conuenire fiitear. Haec membrana in tota extcriore
fuperficie fua plurimas fibras disiicit , quae ipfam mas-
fam pinguedinis penetrant, illam in cellulas diuidunt, et
V V 3 fubiu-
33^ OBSERV.ANJT.JDHISTOR.ETACTION.
fiibinde anlijfiinam , cum ca atqiie ipdi ccte , connexio-
iiem^ imprimis in 'veytice fecundiim longitudinem futurae,
efficiunt. Obtegit illa porro omncm nmplitudinem capi-
tis in regione frontali, temporali, verticali atque occipita-
li; nec tamen eande-m \bique crajfiticm fcruat.
III. Membranam pellicularem (II.) fubfequitur Galea
aponewotica ex duabus lami?iis , per tunicam cellularcm di-
ftindis conftans, et fimiliter toti caluariae ita obduda, vt
etiam ad orbitae crepidinem Ysque continuari, imo et la-
mellam aliquam fuper ipiam palpebram fuperiorem proii-
cere videatur. Tenuior cft (upra mufculum temporakm , ad
cuius circumferentiam infertionis circularcm firmitcr accre-
fcit; tenuiffima autem fub mufculis frontalibus, et circa in-
feriora tcmporum , ybi verfus os Zygomaticum demittitur.
IV. Intcgnmentorum numcrum complet periofiutn.,
fimiliter ex dupHci tunica contextum , quarum exterior
laxa et mobiiis mufcuhim temporalem extcrne obducit,
interior Axro cranio ipfi flridifilme inhaeret.
Figura I. V. Mufculi occipitales paullo fupra lincam ncutnm
transuerfalcm (lit. ^.) e rcgione fuius cruciformis offi
occipitis adnafci (blent. Vtplurimum maflli illorum
carnea quadrilatera ert , ita vt linea infcrtionis vtriuEque
(lit. b. c.) non eandem diredioncm (cruet , fed quadante-
nus verfus (e inclincntur [Wt.d,^. Oblique furfijm pro-
greffi proicdiones fuas tendineas laminae exteriori gnleae
aponeuroticae (III.) intcxunt, vel potius , vbi crebriores
funtj ipfiffiiiiam lianc laminam conllituunt. Propter fuum
et progrelfum mufculorum obliquum fibrae iftac tcndineae
vtrin-
MrSCVlORVM FROnTAllVM,OCClP.&c. 333
\trinque verfiis mcdiam atque elatiorem mufculoriim tem-
poralium feclcm diiiergunt (lit.^), tantum abell, ^t, quod
Santorinus perperam po(iiit, circa verticem fe decuffcnt.
Eidem huic laminae exteriori innafcuntur aponeuro(es mu-
fculorum ekuatoruin auris , inter quarum texturam fibrac
occipitaliuin denique definunt.
VI. Mufculi frontaJes cum Galca nponeurotica ni-
hil commune habeni: , nifi folam conti^uitatem , et forte
fibrofitates quasdam cellulares interiedas. Immediate enim
fub cutis pinguedine ita intexuntur ipfiffunae illi niembra.'
nae pslHculiri (II ), vt vnam eandemque maffiim in re-
gione frontali conrtituant; vnde fequitur, il!os gaieae fim-
pliciter injlerni non autem complicari. Porro nuHibi ojji
alicui innalcuntur^ (ed, quemadmoduin de membrana di-
ximus , illam fibris disiedis cuir» pinguedine commiiceri :
ita etiam hi mutculi frontales tota fupcrficie fua externa
fecundum omncm latitudinem cum eadem pingueciine, et
confequenter cum cute ipja committuntur. Fibrarum
mulcularium extremitates jup:riores fcnfim in membrana
omnem carnofitatem deponunt. Infeiioruin autem aliquae,
quae circa mediain frontem fedem (iiam na^ftae (iint, pro-
fundius didudae cum pyramidalibus narium coalefcunt;
reliquae circa deprefjores (uperciliorum et orbicularem pal-
pebrarum plane euanefcunt ; de qua connexione inferiiis
(X.) plura affcremus.
VII. Relidis iis , quae de inceffu et quantitate fi-
brarum in mufculis frontahbus vuigo diiputantur , et a Mor-
gagno , Santorino^ Winsloivio fitis difcuflli funt: eam tan-
tummodo quaertionem examiuabimus , quae ad a&ionem
tam
3 34 OBSER^^AT ANATOMICAE JD BISTOR,
tam frontaUun^ qunm occtpitaUum pertinet : an nimirum
miifculi cii^ajirici Jint^. an igitur ad eandcm actiomm con-
Jpi.ent^ et fe adiuiicntl an vero dnierfimode agant^. Mu-
lculorum diga-tncorum , ex. gr illorum , qui ad maxil-
liim inferiorcm €t os hyodes perdncnt, et fi quos alios,
qui tcndineas iiifcriptiones hubcnt , huc referre velis, ea
proprietas eft, vt dii) 'Ventres carnei per imiim in medio
interiedum teudineni i'0:v.
}' Portio mufculi frontalis ad na-
fum defcendentis.
^'. Pyramidalis narium.
/. Mufculus inciforius.
;/;. Mufculus Zv^gomaticus maior.
;;. Mufculus Zy^omaticus minor.
0. Fouea, vtplurimum pinguedi-
ne turgens.
Flg. 3.
rt. Limbus maxillae inferloris.
b. Cutis reflexa.
c. Portio platysmatis myoidis.
d. Digaftricus dexter ad maxillain
tendens.
e. Digaflricus finifler.
/. Mylohyoides fubiacens.
g. Fafciculus mufcularis planus, in-
fta mentum circulariter fub-
duftus, et commifTuram mu-
fculorum triangularium labii
conltitucns.
CLAS-
CLASSIS TERTIA
CONTINENS
ISTORICA.
Tom.VU, Yy
ELEMENTA CALMVCICA.
AVCTORE
T. S. Bayer.
'jr^^Vperioiibus in Commentariis littenituram Mangiuri*
^^ cam explicatam dedi, Nunc de Calmucica quae-
k ^ dam adiicienda iudicaui , tantummodo vt illius ab
Mangiurica diuerfitas cognofcatur. Primum Calmu-
cica quaedam in Nkolai Juitftnii opere inueni. Deindc
Frideriais Groffiiis, collega nofter, quem honoris caufla
nomino, a lcgato Principis populi Songar elementa litte-
raturae huius Mofcuae impctrauit et ad me Petropolin
transmifit. Ad extremum nadus fum haec elementa Grw -
fianis ferme congruentia, (cripta manu Lo/jfar^ Ifbi. Is
quondam fcriba apud Songarenfes fuit, inde captus a Rus-
fis chrillianae religioni (ele tradidit ; ex quo nomen ei
Bafilius Timothei filius, nunc efi. Vltima littera p, o-
mifia a Bafilio , a legato autem defcripta , plane efl: Tan-
gutana. Finales quoque adiedae funt in Schemate. Ce-
tera ex coUata litteratura Mangiurica facile (iippleri poterunt.
Nomen Bafilii fubieci , hoc modo : Kalmatski ime (Cal-
mucicum nomen) Lo.fang Jfhi , Orofki (Rubfice) krfht-
fchona (baptizati) ime (nonien) lajiii J ifnofeief i B-<\{\\m
Timothei filius). Haec Rdfica funt, (cripta litteris Cal-
TOucicis.
Yy 2 DE
34^ DE VEnEDlS
DE
VENEDIS,
ERIDANO' FLVVIO.
AVCTORE
T. S. Bayer.
QVonuim ex Herodoto Eridaniim ct Venedos his
locis ad ]5alticiim mare pofui , cius rei rationem
vtreddamus, tempus eft. His autem -vcrbis eius,
vt ita fiicercmus, commoti fumus (^): «re ydp EyaJYe
tK^iSoyla £5 S-aT^aicrav 1"/;^ Trgog p3ge'>iv av£|J.o>', aTrd rcij
To viXeHl^ov' CPoiTrv Xo'yo5 gg-i, sre v^vfo-as dtoa nacai-
TeQiSas gscrag, £K t" o Kaara^LreQos y^fklv (Pofla. Ty1(/
jxev yap 'HgKJ^avcg atild K.a]'viyog£(j rd avojj.a, wg f^t
EAX^iviKdy K,a| srt |3a(j!?a^iKdt' , uTid TTOfvilcjIv o? rivdg
TrctViOty. yre ^e ilfJej-dg c.L/lj-crlew yevo[j.zVy , y «5':i;'ajj(.cx|.
dKycra^ ryro ixeXPiSy oVwg ^-aX^-.cTfra £5"i ra e-GrtKH^cc
'Eu^fjj-cr-v]^. £^ e^arvjg 5' ojv 6 Kao^criregog •^J^jxT/ CPoflo!'
K, ro Ti.AeK.lgov' Keque emni , inqnit , w/7'i perjiiajiint
ejl ; Eridmuim vosari apud harbaros fluuium , ^////'' /)y^(?-
^//;/»v^ in jcptemtrionale tnare , iv/rt'^? Juccinum p^rferri di-
cunt : 7ieque injulas noui Cajfltc ridas , 'onde Jtnnmmi ad
ms perjrrri praedicatit : nmn quod Eridanum attinet , ipjum
illud nomen opinionem Jamamque rei euerttt , Graecum enim
ejly non barbaricum ^ a poetarum aliquo conjiclum. Ne-
irin?m
ia) Lib. 111. Cap. 115.
ET :erWANO FIVFIO. 34-7
uimem fane cognoid, qiii eas ^ciderit terras^ neqiie ^ eum
id maxime agerem hiteUige^e potui^ quem in modnm ma^
re ad •vlteriorem Europam fe habeat. Id vtique con^
flat , ab extrema Eiiropa et Jlanmim et fuccina ad nos per^
ferri. Duo acceperat Hcrodotus , primum ( luccina et
ftanuum ab extrema Europa et oceano feptemtrionali per-
ferri , quoi vel ipfo ludice , fine contrauerfia erat , mer-
catoribus lonicis et Ponticis,) Adriaticis et Atticis referen-
tibus : altcrum, fiuuium a quo fuccinum perferatur Eri-
danum et infulas vnde ftannum Cafliteridas appellari ; quod
Herodotus veretur ne ex vano haufium fit et a poetis confi-
«flum. Caufla ea efl:, quod^Het^ai^cV «, Ka(j(T\\sQi§ tq vy, (orores fuifle poft enm alii
cecinerunt, veluti id aptius fabulae inftruendae eflct. In-
ter extremos ApoIIonius Rbodius excolendae ftibulae urti-
fex qui Eratoftlieni condiicipulo in Alexandrina bibiiothe-
ca fucceffit (iib Ptolemaeo Eucrgete. Aratus Solenfis et
Eratofthenes aequales fuere. Vter alterius excmplo Eri-
danum in catafterismis pofuerit, non Uquet. Vterque lime
habet C^j . ApoIIonius Rhodius autem in Argonauticis (/)
A«\|/ava/ 'EQiSavoio 7roX'jKXa:;$-y TrolafxcTo, fibulis iam
ita adultis vt non modo Phaethontis lorornm , fcd ctiam
Apollinis ipfius lacrumas fucciua cffe diccrcnt, -Eledridas
iufulas et Eridanum ad feptcmtrioncm collocat.
UQyiV y\X£K]gi$a yvjcrov
'AT^acov vtiyaryiv , 7:o1ctp.s c^^^eSo]/ 'H^iSayU
Jacram EleBride inju/am
Omnium extremam , iuxtra Eridanum Jiuuium
Irthic ait Argomutas pcnctraffe vsque in Eridaniim ha r
sicri TTuXocj X, eSe^XioL V'j>C]og , vbi portae et cubilia no-
£fis
(* Aiiatus in phoeimmciiis v 359 V. Nonnu in Dionyf. 1 23 v. a^O.
1. 38.90. fcq V. 430. fcq Dion. Afci v. 290. feij. (S) Lib.lV. v 507.
ET ERWANO EtVVlO. 3 5 ^
diis funt, hoc efl fub vltimo borea. Attamen Eridnnum
cum Rhodano et Pudo mifceri uddit. Malo id tx icho-
lialbe eius verbis inteiligere tc , quam ex Apollonii ipriiis
verfibus: '?o^a.vog 7ro1c.p.og KsAlwyfg rqT 'HgKJa^^w cru/x-
p.iy^iy|jL£^'05 H, %ii^o[xei/05 , r.^ ii.h iiq iIiKzavzi^ ^iQ^-'
tou[ y r^ (^£ H, £is tzv 'loviov KrjX-wov , r^ .9 1 E15 ro
SagcJ^oVioy TTjXayog. Rhodaniis fluulus Ceitkae Eri-
dano mijliis ac rurjiis in diuerja ita abit , vt paiiem
in oceanum (feptcmtrionakpn ) partem in lonium leu A-
driaticum , partem in Sardonum hoc eft Ligufticum ex-
oneretur. Ilihic ad Eridanum ait ApoUonius Phaethonta
femiuihilatum caeleftibus flammis in lacus profundiflimi
oflium ab caelo cecidifle. Lacum teterrimum odorem
fpirare , circa eum autem lacum Heliadas in aiyfigyg
feu populos (vt Plinius et Hyginus in fabulis interpretan-
tur) mutatas flere : lacnimas ab humo exceptas folc
aefluante ficcari cum lacus inundat terram , fuccina de-
uolui in Eridanum, Alii adliuc illud fabuiae adiiciunt,
Celtas narrare, Apollinem cuin ad Hyperboreos accede-
ret caelo, ob iurgia cum loue, relidro, quod Aflilcpius
Apollinis e Coronide filius a loue efllet fulmine idus, aut,
vt (choliafta Apollonii addit, cum Apollo ob Cyclopum
eaedem cogeretur coelo exulare ifthic apud Hyperboreos,
nec edifie, nec bibiffe, fed fua fleuiflTe fiiccina.
lam velim mecum confideretis, quod vcrifllmum fit
in his fibulis , atque quibus ab cauffis vcris admifla fue-
rint tum vana , tum obfcura. Eridanum dico Dunam efle
fluuium prope Rigam. Nam quae nunc Duna , ea olim
'PS^^ojv Rhudon^ ita vt abiedo principio, extiemum vo-
Tom. VII. Z z cabuk
3^2 m FENEmS
cabuli jid hoc vsqiie tempus perfeuerauerit. Marciatms
Heradeota: jjLeli Bt taq EKSoXa^ rS" 'Ouiig-yXa Trolaix?
EK^J^gpj^ovlaf X^foVa TTolaji.y, e^^i^s eicn 'Py^JoIvog Trolajxa
iK&oKau[. 'O (Je 'Pa^J^wv Trolajxog gx, ry 'AXau/y ogyg
(pEgelotf. Jl/lulae, Cbroni, Khudonis ojlia Je demceps
exripium. Rbudoji ex Alauno monte fertur Claudius Vto-
kmaeus :
Ty 'Oi/ig-yXa TrolajjLa eK^SoXtxi
XgoVy 7ro1a|j.y ex.^SoXoui
'Py§wK05 TTolajJiy £h?oAoc(
TygyVly 7ro1a|xy eKSoXoj
Jljlulae ojlia
Chroni ojlia
Khubonis ofiia
Turunti ojUa - - 56. -g 58.^
Rhubonem perperam dicit , vt ex Marciano intelligrsv
Qiiiimquam autem fecundum Ptolemai rationcs orientalioi*
e(l Rhudon quam Duna , tamen ab eodem littus omne
maris feptemtrionalis , \t illi dicebant , feu Baltici magis
ad orientem fummouetur. Nec adco conftare poterat
Ptolemaeo longitudinis et latitudinis cxacla ratio. Sed (!
Viftulae fitum cnm Rhudonis oitiis comparamus , nihii
efl: manifeftius , quam Dunam effe Rhudonem \eter;'m'.
Scio quid hic Olaiis Kudh.ckius tumultuatus fit, (cd iiuic
mihi \ideor alibi fiitisfeciffc {g) , nec tanti eft , \t hoc
loco quidquam ampliub dicam. Qiiod autem Mardanus
dicit, Rhudoiiem ex Alauno monte fluere, id nos etinm
confirmat. Nam a veteribus Boryflhenis qucxjue fontcs
po-
(g) Du numo Rhodio p. ii.
•Xi
p-e
Vq
y
vy
' T *
45'
50.
S6,
S6.
53-
57-
ET ERWANO EtVVlO. 353
ponuntur in Alaunicis montibus. Non quod aliqui ifihic
niontei) fuiit , \nde Danapris fuit , fed quod \'iri boni e
montibus plerumque flumina oriri nouerant, eo, montes
irtliic coUocarunt , vbi Danapris fontes elTe accipiebant.
lara nec Dima ex monte aliquo Alauno praccipitatur :
attamen ex iisdem fere paludibus, ex quibus Bonyfthenes.
Hoc prifci homines acceperant. Hi yero barbarum vo-
cjbulum Rhudonis, in Eridanum mutarunt, vt aptius es-
(ei ori Graeco. Eridano conftituto, iam cctera in vado
fumus. At, inquies, nulliim ad Dunam fuccinum eft.
Nempe prifci mortales tantum mercatus fuccini ad Eridanum
inlHtui acceperant, vt Herodotus ait; cc^cro rtD y^kzyOQQV
(^oCiaiv X:'yo5 gg-i, a qiio Eridano Juccinum perferri , ft-
ma eft. Hoc fatis erat ad longam de Eridano fabulum
cudcndam veluti illic (iiccina legerentur. Haec autcin
ratio mercatus docet, fuccina primum a populis ad Eri"
danum transmifia elTe ad Scytas et fecundo Boryfthenc
ad cararadas , hic excepta efCQ a Boryfthenitis Graecis ,
Gui fe Olbitas dicere malcbant. Mea enim fententia, vt
uunc eft, Olbitae vltra cataradas nou nauigarunt. Nam
primum ex Conjlantim Vorphyrogenneta de adminiftrando
imperio fuis apparet , quae cataradlarum illarum natura
et quam impenetrabiles illis temporibus atque ea ruditate
nauigandi Graecis fuerint. Tura vero Herodotus tcfla-
tur, folos qaadraginta dies Boryfthenem nauigari potuifte,
Qiiod fi refte confideres aduerfo fiiimine fpatium fuit in-
tra cataracftas et taraetfi aliter fenfi olim , in eo me
nunc ip(e reprehendo. Cetera quae in fabulis illis funt
ad mercatum antiquilTimum et naturara fuccini , vt tunc
cxplicari poterat, refero. Hoc infigniter pjffet confir-
Z z 2 mari
354 D-E VENEDIS'^
rnari fi exftaret h fcriptor, ex qiio Eiiftathiiis ad Diony-
fiiim Afrum v. 311. de Panticape , qui fiipra cataradlas
fluit, habet, nd eum fluuium r§v<^avy\q yiXiyC^QOi^ \>-y\vy\q
ag^oixeV-vig aLi^elccj, oiarij dvyy\. De arboribus luccini-
feris etiam Sotaciis apud VUnium (A). Sotacus (.redidit i?i
'Britannia arboribus effluere. quas ekctridas vocauit. Malc
hoc in Britarmia. Ceterum tametfi Hardiiinus ex Manufc.
legit : petris effluere , tnmen potius crcdidcrim Sotacum
illum peruulgatae opinionis de arboribus , quam nouac ien-
tentiae de petris audorem fuiffe. Orta efl: opinio ex con-
iedura. Videbant enim fuccina refinae fimilia efle et in.
cendi et fluere et olere refinofum. Inde nihil aliud in
mentem Yeniebat, quam ab arboribus fuccina Itillare, \t
in Pruflia quoque multorum iudicium fuit, Phacthontem
ahquando fufpicatus liim Graecum fuifle ciucm e Ponticis
coloniis, qui cum mercatus liiccinarii caufa feptemtrionem
■verfus profedus euerfii naue in aquis perierit : HcUades
autcm iorores feu focios iflius mercatus calum iilum do-
luifle. Scd forte verius ttiam hoc totum ad naturae com-
mentationem traducas, cum \iderctur fol 6 -y^^AicgCpiasOojv'
aut radii folarcs, ramquam filius aliquis folis matura ficere
in arboribus (uccina , idcirco erimi fiibulae audorcs non
forores fed filias Vhaethontis prodidere HeUadas. Niccas
apud Tlinium , folis radiorum fuccmti intel/i^^i i-o/uit : hos
circa occcfum credit vehementius in terram a^os , pin.
guem fudorem in ea parte oceani re/inquere , deinde aejli-
bus in Germanorum /ittora eiict.
Veriora ahquantum comperit Tjthcas McJfi/ienfiS
Tlinius fic ait : Tytheas Guttonibus Germaniae genti auo/i
aejjua-
(b) Lib. XXXVII. Cap. 2.
ET ERIDANO FIVVIO. 55$
cefuaritm oceani M.eittonomon nomine , Jpatio Jladiorum fex
tniiiiwn : ab hoc dici naitigatione ivjulam abejje Abalum :
illuc vere fiuciibiis aduehi et ejje concreti maris purga-
?nentum : incolas pro ligno ad ignem vti eo , proximisque
Teutonis 'vendcrc. Hi/ic et Tinuieus credidit , Jcd injulatn
Baltiam vocauit. Hiiec poflea interpretabimiir. Id enim
propofito noftro (atis efl: , qiiod intelligimus i-am tum , hoc
cft, ante Vhilippum Amjntae Macedonem (iiccinariiim a
Tutonis exercitum fuifle. Is quoquc Vlinius audor efl:,
Romanos primnm fuccina accepiflfe a Venetis ad Adriam,
fed oflendi , cum de numis Romanis in agro Pruflico
repertis dicercm, antea Tarentinos iam cognouiflTe. Haec
liint illa tempora cum maxime fuccinaria fibula efl: con-
flata ct quoniam ad Padum mercatus illius gemmae in-
fliitnerentur a Tarentinis, is fluuius nomen Eridani com-
meruit. Ab Italis Alexandrini acceperunt. Nain etiam
nomen Italicum fuuini vulgatum efl: in Aegypto, vt ex
Clementis Alcxandrini Stomatis colligo (/). To 8ockqvw^
inquit , Ts (Tu^isy e -ancr-trSriXj ra KaQ^y\ k, ro yXbk-^
tQov rag d^xyQixcis dvoKiva. Cum in honore eflet A-
lexandriae, i^sQOvivy\ dici coepit (vnde vernicem adhuc di-
cimus) et corruptum ex eo ^eQViKaQiov. Nicomedes in
gloflis : ^oiQViKy.Qiov virQov eQV&Qoy , 01 Ss yXeXr^oVj
01 $s ^eQoviKy\v. Credo a Beronice Vtolejnaei et Arfi-
mes filia Vtokm.iei Soteris coniuge , cuius crines Conon
Samius et C«///;«.'7c'^//j' confccrarunt, dniotas fJaui verticis
exwii is , vt Catwlus loquitiir. Qiiod exemplum Nero
Cacfir imitatus, quodam in carminae Pappaeae crines fiic-
cina vocauit. Et fic Nonnus Fanopo/ita (k).
2 z 3 i<;
(i) i. 370. (fe^ D.onyl. Lib. XHi. 25.
355 DE FENEDIS
eig cre KO[xioi/Cj»
Awga ^'lag-iXSoylct (J^ggai/yeog 'HgK^ctvto
^RXidSu^y 6' oKov oa^Sov e-wouxvu^ C\ov to ncQl.Kvyy^,-
<;y\V. Theophrajlus in Liguria ejffodi dixit, inquit Vlinius.
Sic alii apud Plinium. Nemo tamen eos lepidius exagitauit
quam Lucianus Samofatenfis. Erant enim fuccina tcfte Plinio
etiam apud Macedonas Syros in honorc. Lucianus autem («)
ita ridet , vt adpareat homincm ob fuccini luxuriam ab
Nerone ante fe natum inucdlam , non ignorafle , vnde
lliccina perterentur. Itaquc fingit , fe profccflum naui ad
Eridanum , fe Padum Italiae, id vnum fpcdlaffc , quomo-
do expUcato finu cadcntes Hcliadum lacrumas excipcrct,
W£
Q^ Lib.II. Cap.i6, Qn) tte^i Ai^WK f. 6- C") ToinU. p.369.
ET ERWAKO FLI^VIO. 357
teg yiXeyOQOV e^oiev , vt et ipfe (iiccina, rem adco pje-
tiodim hiiberet. Sed cuni proficifceretiir aduerfb fiumine,
nec arbc^res iftas (uccini feraces vsquam locorum vidifie ,
nec elecftrum nec notum Pli lethontis nomen et adeo car-
minibus celebratum apud Tatauinos inaudiuiffe : quaereii-
tem etiam ex nautis, quando tandem ad illa feracia fuc-
ciiiis loca peruenturi effent, irrifum infuper interrogatum-
que fuifTe , quae fibi fuccina diceret , quem Eridanum ?
Narraffe fe fabulam omnem veluti ad gnaros: tum vero
illos fcifcitatos effe , quis impoftor haec tam manifefte
vana ipfi narraffet: neque enim fe aurigam caelo lapliim
audiuiffe , neque eiusmodi arborcs : fi quid eius rei apud
fe nafceretur, nae fe non duorum mercede obolorum re-
migaturos, cum pofTent e colledis arborum lacrumis opes
vel regias comparare. Itaque fe perturbatum fpe omni
peregrinationis excidiffe, veluti fuccinum mox finu exci-
piendum, rem adeo caram et pretiofim aliquis excufTiffct,
cuin iam fecum computaffct , quantus ex vna re frudus
fibi rediturus effct. Sic ille Graeculos nafo adunio fu-
fpendebat.
Alii cnm animaduerterent Rhodanum in Iberia ali-
quid eiusmodi habere, quod Eridano conueniat, hic pu-
tarunt fe fuccina reperturos, In eorum numero, nec di-
cam poetas, Theophraftus quoque fuit. Theopbrajlus in-
quit Vlinius , oceam id exacjluante , ad fyrenaei promonto-
rium eiici: quod et Xenocrates crcdidit, qui de iis nu-
perrime Jcripfit. Athenaeus [o) Hieronem Syracufanorum
regem in naui aedificanda fcribit aliam ex Italia mate-
riam , aliam ex Iberia petiiffe , KavvaStv re h, Kirlov sk
Qo) Lib. V, Cap. jo.
y
358 DE VENEDIS
Ty 'HgK^^oJi^y fic etiim legit Eu/latbiu^ ^ cum Caffaubonus
c codice liio edidit 'Po^^a^S ry Trolap.Q'.
Hae ciim tam difcrepantes cflcnt fententiae , acceflit
Apo/IoniHs Rbodiiis^ qui omnes inter fe conciliaret. Cre-
didit enim Eridanum tribus alueis et in feptemtrionakm
occanum et in Adriaticum Lignfliciimqiie mare efFundi.
Rbodanum dicit et Vadum et illum ignotum , at illulh-em
poetarum monumentis Eridanum. Coniedura haec erat
nixa fide vanorum hominum , nec nifi poetae condonan-
da. Argute fuie VUniiis ; faciliorem 'veniam facit is;no-
rati fiiccini^ tanta orbis ignorantia.
Alia quoque cauflli eft , quamobrem Eridanum cre-
derent effe Padum. Audiuerant ab Eridano perferri fucci-
na, audiuerant quoque a Venetis perferri. Lim Veneti ad
Padum erant , idcirco in opinione fua confirmabantur. Sed
nos in his oblhnati fumus. Scilicet audiuerant, fuccina
legi a Venedis. Venedae igitur in his fucciniferis regio-
nibus colusre et (iiccina transmiferc ad Rhudonem feu
Eridanum. Scylax Caryandcnfis: [xeli. ^z K^Xlys 'Eve-
roi eWiv zhoq K, 7rolo!|jLos 'Hgi^Jav:? iv diTloiq. Non
latis apparet inaudiueritne Scylax aliquid de Venctis Cir-
cumpadanis, an de Venedis nofiris. Nam profedo ne
dicam Scylaci , Hcrodoto quoque Ittus omne Adriatici
maris ita ignorabatur, \t huius Baltici. Celtas autem di-
cebant etiam vctercs non modo popnlos ad Rhenum,
Tcrum etiam omnes Gcrmanos ct Ephorus id nomen pro-
tendebat Ylque ad Vifl:ulam. Inde rurfum noui errores.
Paufanias [p) Eridanum per Gallos vohii ait, ferius au-
tem
Cf ) f. 10.
ET ERWANO FLVVIO. 359
tem Gnllos toc:Uos , qni antea Celtae dicerentnr. (Scho/ia
'Hcjwdi Theog. V. 338. 'Hgi-Javog 7ro1«fjLos KsXIojV.)
In his teniiibns fane Aefligiis confecutns fum Vene-
das coluifle antiqniflimis temporibus a Viftuk admodi.m
ad Dunam fluuinm. Hic ergo Eiedrides quoque iniiilae
feuere. Credo Graecos de Sembia et \traque Neringia
in PruflTiae littoribus inandiuiflTe, fortalfis etiam de infulis,
<\me, Linoniae praetenduntur. Tlinius de Eledridibus: va-
nitatis certifllmnm documentnm: adeo^ "Jt quas earutn de~
ftgnent Graeci^ haud 'Vfnquam conjiitcrit. Saluae e con-
trario nunc res funt, -vbi fitns locorum infulas continenti
praetentas omnium oculis obiicit. Hic (uccina proueninnt,
hic Elcdridcs fnnt.
Pollquam Venedas fuis in locis conftituimus , quae
gens , ¥nde orta fit , qnaercmus. Habet fnos Venetos
Homerus in PaphJagonia (q). Prolixns in iis eft pro fua
confueuidine Homerus tt ad Euftathinm ct ad Periegetcm.
In qnibus id qnoque eft, veteres 'Ovev^eliay quinque iylla-
bis pronuociatiaflTe , iuo tempore Bevfliay dici. Nihil
dicam de his, quae de Venetis ad Padum iiiornm e Cap-
padocia colonis referuntur. Nihil cnim facilius eft, quod
Grotius prudenter monuit , quam vt in longe difl~itarum
gentium nominibiis, fi forte aliquo fono congruant, deci-
piamur. De his nofl:ris Venedis dicam. lornandes fic
nit: ab vna exorti Jiirpe tria mnc nomina reddidere le-
Tom. Vll. A a a neti ,
ii) U. B, 852, Schol. AroiU. ad Lib.IL v- 358.
36o DE VEKEBIS
neti, Antcs, ScJaw. Leibnitiiis in mifcellnne^s Bcral^
nenfibus Antes et Vcndos eosdcm cflc opinatiis ert et folai'
pronnnciatione differre , littera iv , ( vt pajfim fit ) nunc
praepnjita, nnne omjja. In eo ego deliberandum cenfeo,
propendet tamen in diueria animus. Sed qui poflfunt
eiubdem ftirpis et Vencdae et Sclaui efle, qui toto gcnerc
linguae discreparunt. Hartenoebiits Sclauonice fuiffe iocu-
tos contendit, quod nrac Vinidi eo fcrmone vtantur. Ve-
nim enim vero fi rem cxplorari ab ftirpe oportet, Ve-
nedae nequaqunm Sclauonicc funt locuti. Nam illi qui
adhuc in agro Luneburgico fuperfunt, raedii inter Gcrma-
nos, adlciucrunt quidem quaedam Gcrmanica , fed totum
adhuc lcrmonem frnteniami qualis olim fuit Lituanicum
Curonicum conferuant , vt eorum lingua tantum differaS
a .^lauonica, quantum Lufitanica ab Islandica et Romana
a Graeca. Id alias pluribus oftendam, cum cognatas liry-
guas inter fe conferam in tabnla , ad conftituendam po-
pulorum Scythicorum neceflitudinem. Nunc rantum pre-
ees fuidiffimas domini deique nolki ex lo Georgii Ec-
cardi hiftoria ftudii Etymologici in teftimonium produ-
cam. Caue fcopulum (v. Leib. CoII Ct. ecym.). Sunt
in his plurima Germanica, quacdam Sclauonica , quod Ve-
nedae inter eas gentes coiucruut, at manent adhuc vcfti-
gia veteris linguae Scythicae , qnae non nifi ab antiquis-
fima llirpc. Nifi qui dicere malit , ct Scythas ct Sar-
matas) in vnum corpus confluxiife. Id vero iplum no-
men
ET EBJDAm FLVVIQ. ^6i
men Venedarum indicare videtur. Num Venden liis ,
quas dixi linguis fignificat Jocietatem coUigere , quod ■, eru-
fimilius efl: £rt//jLov', quam Matthaei Praetorii, qui quafi
fanaitas , rerum dominos diCtos putauit. Sed Venedi in
Hexapoli Lulatiae ob longum vfum linguae Sclauonicac
magis adhuc degenerarunt. Venedas autem Sarmatici cor-
poris non fuifle , etiam Cornelius Tacitus audiuerat : J^e^
nedi multum a moribus Sarmatarum traxerunt : nam quid-
quid inter Peucinos Fennoscjue Jyluarum ac montium eri"
gitur^ latrociniii pererranf. hi tamen inter Germanos po_
tius rejeruntur , quia ct domos figunt et Ju&a gejlant et
pedum vju ac pernicitate gaudent , quae omnia diuerja
Sarmatis Junt , in plaufiro equoque viuentibus.
Aaa 2 D£
-6^. BE COmVCn LIBRO
DE
Cbun cku, j
AVCTORE
E
X omni copia Sinicorum libronim pauci quidnm
publica audoritate et kgibus imperii fic coinpro-
bati fuerunt, ^t (ecundum eos iuucncus erudiatur,
prouedi aetiite ftudiisque litterarum examinentur et pro
portione cognitionis eorum (cientiaeque , dignitatum gra-
dus confequantiir, denique, i/t quidquid ad morum difci-
plinam , ad rempublicam adminiftrandam , conteri;plan-
dam naturam , Yetuftifllmam rerum geftarum memoriam
proponatur , ex iisdem diiudicari oporteat. Hos libros
Miflionarii omnium ordinum percommode clajficos voci-
tarunt , vt quondam ciues Romani cLiflici fuciunt didli,
qui in prima clafle propter facultates fu:is cenfebannir , cum
infra clajjem diceientur , fecundae ceterarumque ciues , qui
minorem fummam aeris apud cenfores profiterenuir , pro-
letarii et capite cenfi in extrema confiftcrent, aut potius
nuUo loco haberentur.. Eum in modum, librorum Smi-
corum quntuor clafles conftituere milii ■videor pofle , vt
in prima fint Kiin. Kim , proprie , fila reCta in opere
p'„m*ari j^^f.vA^rw , (kii Jiamefi, fignificat, vtGiv;', transuerfa Jila ^
feu Jubtewen. Inde illarum vocum notatio ad caelum re-
lata fuit , vt kim dicantur Jlellae fixae , aufer et feptem-
trio^
Chun ^ieu. ^S^j
trio, feii latitudo afironomica : gvey econtrario, planetae,
oriens et occidens^ feu longitudi ajlronomica. Rehita quo-
que fuit ad alias res, ertque kim, norma ., ratin regula-
que^ lecundum quam aliquid exigatur. lam caufta appa-
ret, cur V kim^ quinque libri., et(\m{\fentateuchus nuu- Figura [2 ]
cupentur, qui primum dignitatis gradum tenent atque hoc
ordine recenfentiir. Primum eft Te kim deinde X« kim., [3] [4]
poftea Xi kimt tum hy ki, et quinta loco Cbun ^iV?/ [5][6][7.]
Altera in clafle fiint libri Su xu, feu quatuor libri et quafi ^s]
Tetrateuchus. Tres, inquam , Confuciani , T« /?w , C/'z/w [9]
ywn, et Lunjii: quarto loco fcripta Mem ^u, feu Mem [10. 11. 12]
cii philofophi , qui annis ccntum et odo pofl; Confucii
mortem natus efl (a) . Hi libri fic pauUo minori in di-
gnitate funt , quam V kimy vt ceteroqui fint in liimma.
iJcirco V kim et Su xu commiini nomine dicuntur ho
kjm,. id eft, Jex Kim, Ceu Jex lihri clajfici (b) . Intra
has duas clafles Piiilippus Coupletus et ex eadem Socie-
rate cctcri omnes conftiterunt , praeter vnum Nicolaum
'Longibardum. Hic commotus teftimonio Michaelis Do-
ftoris Sinici , fed , qui Chriftianum nomen profeflTus fuit
(6*), non modo illos, quos dixiy libros, fed eorum quo-
qu3 veteres interpretcs et philofophiam Sim ly et annales
Tum kien clafficis inferuit. Antonius de S. Maria, Mis-
fionariorum ex familia Francifci praefedus (d) , eosdem
A a a 3 eadem
(Oy Aiue A C. 372. (6; Vidcatur Phihppi Coupleti declaratio P;oi:-
niialis ad Conrucium p. 15. (c) p. 259. inter epirt)las Leibnitiaiias loino II.
ed Kortholti , vSi pro Tien kien legi opoitet Tum kien. (d ) Perperam^
ihi quoquc Ta civen Jing ly.
35+ DE CO^FFCn IIBRO
eadem audoritiite eflc contendit , qiia fint antea a me
commemorati libri. Coupletus, neque interpretes qui fue-
Fi&ura 13 ii"t 5 reticuit , neque quae illa philofophia naturalis Sim
Iv ta civen , quanta denique eorum omnium apud Sinos
fit aucloritas, dillinuilauit, Nequc eo inficias, cum hi-
P . Itoricorum multitudo exftet prope infinita , annales Tim
kien , qui multis voluminibus omnium memoriam aeta-
tum compleduntur , quorumue maxima pars ex officina
[15] Cu chi in bibliotheca Rcgis Prulfiae Berolini eft repofita,
ceteris chronicis fvma et exiftimatione eruditorum longe
anteire. Itaque nihil me vetat , hoice libros , quod et
ipfi publica audoritate funt confirmati, in clafle ponere,
flttamen tantummodo in tertia. Proletarii denique nobis
erunt quarta in clafle , cum priuati fint omnes et quafi
fine cenfu. At lcfuitae cum claflkos tantummodo appel-
lant ho kup, , feu Jex vohtmina , quae in prima clafle et
in (ecunda recenfuimus , tum Sinorum iudicio , tum fuo
quodam iure agunt. Vt in Romanorum ciuiiim claflibus
cenfus grauis aeris, fic in hac controuerfia, antiquitas de-
cernit. Recepti funt igitur omnes hi libri , at dignitate
fortunaque diuerfa. Non potuerunt vel Nicolaus Longo-
bardus, vei Antonius de S. Maria, vel Nauarreta, cetc-
rique lefuitarum aduerCarii diflnteri, illam de natura com-
mentationem , aufpiciis Tiim Jo Impcratoris , circiter A.
C. 141 5 promulgatam fuiflfe. Interpretum Sinicorum,
item vt audorum chronici Tum kien diuer^ie fuenint ae-
tates , vniuerfi tamen , Sinis ipfis teftantibus , Confucio
multo recentiores exftitcrunt. Itaquc lefuitae, cum hos
vel a prilcorum Sinomm fentcntia, vel alioqui a vero ab-
errafle dcprchcndant , non admittunt tamquam claificos ,
hoc
Chun qieu. 3<5"5
hoc eft, quod culuis iicet fapienti homini, ab eorum opi-
nionibns iid \etem monumenta prouocntionem fibi dari
poftnlant. Vt li de Ariftotelis philofophia dilceptiitio
oriatur, non modo Conimbricenfes , et Schoiafticos, fed
etiam Porphyrium ceterosque interpretes Graecos, tametU
prilcos, non huius faciemus, vbi in Ariftotele mens ereda
€t fiibtilis omnia alia reperiet. At Sini peregrinos lio-
mines vetera m.onumenta fuae gentis eorum arbitratu ex-
plicare non ferent , non patientur. Ne iflhuc quidem
in Ariftotele ftatui aequo animo pafli funt Schoiaflici, tii*
men vis veritatis tempusque, quantum potuerint, non ob-
fcurum eft. Irriius eft a Bonzio aduerfirio Matthaeus
Rkrius , vt Zongobardus teftatur , econtrario collaudatus
idcm eft a litteratiflimis inter Sinas viris, neque vnqnam
lediitis fraudi fuit, ab omnium intcrprctum fententia dis-
fenfifle, cum praefertim aliis in difciphnis demonftraffent,
quantum Europaei et ingenio et fcientia Sinos antecellant.
Sed tametfi hi libri claflici tanta in audoritate funt, at-
tameu eorum non eadem (emper fuit ccmditio. Nam
liber ChiW cicii fcro ad fummum gradum cft euecflus ,
cum quidam ex pliiloiophis, vt Tu ju, dignum iudicas-
fent, qui ceteris Kifu aequipcretur , immo cum Lieu chi
ki antiquiiate quoque cum X// kim comparaffet. Rece-
ptus eft deniqiie in primam daflem fub dynaftia Sy Hia,
quae vt ad R P. Stephanum Soucietum (e) relatum fuit,
in Ken Sy ceterisque occidentalibus prouinciis extra moenia
rcgnauit, cum dynaftia Sum orientales teneret, donec 5/
Wa circiter A. C. 1226. a Gingifiane debellata ct delera
fuit.
(«; Objervations Altttbematiques 4ftronomi(iu*$ ett. Tomo M- p. %.
355 DE COKFrClI LIBRO
fiiit. Sed omninrn libroriim clafTuoium tantiim fuigmenta
h:ibemus. Nam Imperator Xi Hwm ty anno unte C.
N. 213. omnes libros toto imperio, quod prim.us omui-
um Imperatorum fummo domnvatu rcxit , moenikbqiie
ad feptemtrioncm ct occidentcm cinxit, opere, nifi ad-
hnc exllnret, ad pofleritatem incredibili, omnes igitur li-
bros , praeter medicos et iuridicos mandato feuenlTimo
conquifitos exufllt. Tanto eorum flagrauit odio , it anno
poft, Htteratos homines coniplures viuos lub terra defo-
deret, credo, quod fimul cum chartis iplam rerum fen-
tentiarumque , quas in iisdem damnabnt , memoriam in
his eruditis viris fuperftitcm , exllindam vellet , ne ali-
quando ex ea Ubri ipfi ab obliuione atque intcritu "vindi-
cari poffent. Annis pofl:, tribus et leptuaginta 1 u Ty ^
cx dynaflia }iia regnare coepit , Imperator , quenjad-
modum Sini iudicarunt, ita fortiflamus rebui-que gertis cla-
riflTimus, -vt fingulari fuit fiipientia. Is vndique toto im-
perio fragmenta librorum maximo cum difcrimine occul-
tata congeffit, partem etiam ex dccloivmi hcniinum me-
moria requifiuit. 11'ius etiam fludio iterum digtrti en.en-
datique funt prifci libri, et commentariis illuftrati: qui in-
terpretes fub familia Hia , oninium , qui eos conlccuti
funt, duces et antefignani fiierunt. Itcm igitur his in \\-
bris euenit, quod Romae poft exufium ciuiH inter opti-
mates et Marianam fa6:i(mcm bcllo Cnpitc^lium , Sibylli-
nis carmjnibus accidit. Nam quacfitis Sam>o, Ilio, Ery-
thris, pcr Africam quoque ac Siciliam et Italicas colonias
Cumaeae Sibyllae cetcrarumque , fi quae fuerunt aline , car-
mini-
Chun qieu, 3^7
minibiis, datum faccrdotibus et corum magiftris negotium
ell , quantum humuna ope pojjent , vera dijcernere (/).
Vcreor autem, ne idem deinde Sinicis libris quoque ae-
ciderit , quod Sibyllinis , quibus non modo ita integris,
fed etiam vitiatis (ufpedisque poftta vfi funt Pvoniani,
quamobrem a C. Tiberio Caelare accepimus f^) , quia
muHa 'vana Juh nomine celebri ^culgabantur , Janxijje Au"
gujium , quetn intra diem ad praetorem 'orbanum dejer-
rentur ^ neque habere priuatim liceret.
c_ _
Venio nunc ad Confucii Chun geu (peciatim rccen-
fendum. Is liber hiftoriam multorum annorum com-
pleditur. Enimuero neque de ea hiftoria , neque de
toto Jibro dicere me pofle fentio , priusquam explica-
tum a me fit , qui ftatus imperii Sinici et antea fue-
rit , ct iliis temporibus , quae liber Chun qieu com-
prehendit. Tres dynaftiae feu familiae Imperatoriae ,
quae in Sinis primae fuerunt, fibique fuccefferunt , maxi-
ma feruntur fima, quod earum res partem in Xw kim,
<— —
partem in Chun cieu ceterisque libris clafficis traduntur :
fed mnlto, vtopinor, maximc, quod ftatus imperii, qui
tam fuit , a X/ Hoam Tr , quem fupra commemoraui ,
penitus fublatus, ncque \mquam, imminuta Imperatorum
maieftate , reftitutus , immenfum fui defiderium , apud ob-
ftinatos hbertatis recordatione animos, et nullam imperii,
etiam multo fapientius, iuftius clementiusque et recundiftTi-
ma ex merito gloria gerendi geftique felicitatem , extra
illam libertatis conditionem, fitis aeque adfenfu ferentes,
Tom.VIL Bbb reli-
(/) Tacitus Annaliiim Lib. VI. Cap. iz. ^g} Tacitus ibidcm.
368 DE CONFVCII IIBRO
rcliquit. Mirticulo fuTiile eft, potuiffe tantum impcriiim
ruiniur» atque iutei-itum poft tot fecula tffugerc , in qua
libri fint legum au *a» Giu Fra lang. At fcribae
alituius hic cnor fuit, qucm Anciieas Mulkr non fuiTulit totum. Apparct,
fcriptum fuiffc a Bcidiiuaco CH^i\._j *» ♦a»- TJcheu f'u fang ^ ie.Cbeu,
(vt rccepto morc lcribimus, TJcheu) dynafliiic rcx, nomine f'!» yon.
Chun qleu. 373
Chuin Dilatauit Japienter Fi °ura 22. "
chiin et ponderauit vnius aiiusquc merita
rr i fu Vam Imperatot'
yam S •
ke qui vicit et jubcgit
"KanK dynafiiam imperii fccundam Xam.
,. i terrartt7n orbem ^ Jeu ., Imperium Si7ucum.
Poftquam deinde narrauit, quemadmodum quindecim fra-
tres huiusce J'u Ja?n et quadraginta ex Hi fim , feu fci [jj.]
coniugis eius familia , regnis audi fuerint , ita deinceps
fatus eft audor:
Cio O^fi.ioruin dignitatumque cum adfignatis redi- [24]
tibus {fummt)
u quinque
(^
pin ordines :
eulh et
tu terrarum (^adfignatarum fuerunt )
fan tres
tem. fpecies.
Cum, Eius qui Cum dicehatur ^
Heu {et eius) qui Heu dicebatur^
pe centuni
ti. fkdia Sinica fuerunt^
574 ^^ CONFFCU LIBRO
P^, Ehis., qui Ve apeliabatur
cie }
/y. Jiadia Sinica fuerunt.
Cii, Eius , qui Cu vocabatur,
Na?i, et eiusj qui Nan appe/Jabatur ,
u }
y 50
xe >
ly. jladia Sinica fuerunt.
Poflimus Cum vocare Regulum , Keu vero ethnarcham ,
P, Ducem , nnm reuera ^mcyw Z^i?/// flgnificat, Cu, et fefe mutuo deuoranmt.
mie. j
So Numerando
pe centmn
nien annos
kien, intra,
lie
Chun cieu% 375
Ue diflnbuta
qve regiia
viao penitiis
cin. fidelia fuerunt.
Chun 1 ,_ _
\ Libn Chun cieu
cmi \ ^
chi J
xi , aetate ,
'kien jcilicct
^}[ > in hoc libro {commemoraicte)
kim >
chuen ? dignitates cum prouentibus ad pojleros hac"
(chs S reditate propagatae
qiim m Jumma Jhni
J^ 1
pe I
eulh \- 1 24
xe I
fu J
qve. regna.
Qiicmadmocliim igitiir regiili et principes minores intra
centum annos in fide ImpenUoris et ob(ec]nio perltiterunt ,
port autem eidem refragari atque inter fe fimultates fere-
re, et foedera paflim ferire coeperunt, ita T Tam Im-
perator ex familia Cheu nonus, qui 228 annis poll; con-
ditam fmiiliam imperio potitus eft, tum ob mentis debi-
litatem, tum, quod regulis, qui ad comitia Yeniebant , ni-
Tom. Vll. C c c imium
3733-
-
7-
[•59.]
627.
-
7-
[70.]
620.
-
14.
[71-:
6q6.
-
7-
C7^a
599-
-
19.
[73]
580.
-
8.
[7+a
572.
-
15.
[750
557.
-
26.
[7^]
531.
-
6.
[77-}
525.
-
14.
[7^-]
511.
-
—
[79.3
In eius 31. anno Chun qieu definit.
C c c 3
rv.
SSo
DE CONFySlI LIBRO.
TabuU XVr.
Figuia 80.
[81.J
[82]
[83-3
[84]
[85.]
[86.]
C87I
[88]
[89.]
[$0]
[9«3
l!93.>
[95]
[96.]
TabulaXVlI
Figura I.
IV. Gvey, cuius reguli omncs Cum.
Huon ciim. Eius 13. annus congruit cum primo
anno Tn aim in Ln : i ^(9 cuniy - - 518. - 28. [p.]
cA _
Cy^/ra cum, - - 490. - — [lo]
<_ -
Eius in an^ 10. Cbun qieu definit.
VI. Chhn, Reguli dicfli C7mt. C"]
<_ —
Chuam cum. Eius 22. annus congruit cum i. anno [^2.3
Tn cum^ reguli in Z«. 43. quo mortuus eft, ,
cum A. aute C. N. 701.
Ven cum^
Mo cwn,
Siam cumy
< » _
Chidi cimiy
V _
111 cum,
N _
Kien cum^
700, annos
i 28.
[13-]
672. -
45.
[h]
627. -
23-
[i5-3
594. -
20.
[16]
584. -
14.
[^7.]
570, -
5-
[18.]
565. -
49.
[19-]
Tim
sSa DE CONFVCII LXBRO
Tab. XVII, „ '
Fisma20. 1 VJl CW/l , - - 529. - l6.
[21.] Hien am, - - 513. - 13-
[22.] X«« cum, - - 500. - —
Iii eiiis £0. anno dcfmit Cbim cjcu.
[23.] VII. CaO; cuius reguli Cum.
[24.] Hmn cum. Eius annus i^. congruit cum anno pri-
N _ V
mo Tn cum dynaftac in L//: annus eiubdem 55.
quo mortuus eft, cuni anno ante C. N. 702,
I25.J
Gbuam cuin,
ab A. antc C. N
701.
annos 40.
[26.]
Cbao cum,
-
661.
9.
[27.]
Cum cuin ,
-
6S2.
- 35.
[23.]
Ven cum.,
-
^17.
- 23.
[29-]
Shen cu?n,
-
594-
- 17.
.£30].
Chim cum .,
-
575-
- 23-
[31.]
Vu cum.,
-
554-.
- 27.
[32.]
Vim cum .,
-
527.
4,
[33-]
Tdo cum y
-
523.
9.
[34-]
"Kim cum.,
-
514.
5-
[35-]
Tn cum ,
m. <■
509.
4,
[3«.]
CiiJi cum,
A
-
505.
4.
[37.1
Tajn cujji,
-
501.
—
Eius anni
21. dcfuiit libci
Cbun
cieu.
VIII.
Ch
nn geii.
383
VIII. Chinj cuius regnii cum didi fueie,
Huon aim. Eius annus «3. congiuit cum priino
anno Tn cinn reguli in hu : annus 38. quo
anno eft mortuus, cum A. ante C. N. 707.
Ly cuni ^ ab A. ante C. N. 706. annos 7.
c _ -
Chuam cum^
Siven cum,
Mo cum,
Cum cum,
Lim cwu,
Chim cum,
Gai cum,
dynoftia Chin , pofl: 35. Gai cum annum aut
potius eo ipfo mie , dAeta ejl.
529. - 24.
505. - 4.
N _
Min cum. - - 501. - —
In eius 21. anno definit in Chun qicu.
cx _
IX. Ki. Eius dynaftiae reguli didli Cum.
Vu cum. Eius 29. annus congruit cum auno pri-
mo T/2 cum reguli in l.u: annus 47. quo obiit,
conuenit cum A. ante C. N. 704.
Tom.Vll. Ddd Cim
699.
7-
692.
- 45.
647.
- j6.
631.
- 18.
«^13.
- 15.
598.
- 30-
558.
- 35-
Hoei cum eam reftituit
Hoai cum,
Tab xvir.
Figuiit 38.
[39]
[40]
[41]
[42]
[43]
[44]
[45]
[46]
i:47j
[4S]
[49]
[SO.]
[51]
[52.]
384. DE CONFFCn IIBRO
Tabuiaxvii Cim ctm . ab A. ante C, N. 703. annos a-a»
Fjgur.i 53. _ ' ' '^ >»
[54] Cum cum^ - - <58o. - 8,
[55.] Hoei ciim^ - - (J72. - 1 3.
[s<5] Qhim cum^ - - 6$\, - lo.
A
fjy.] VLuon cum^ - - 636. - 70..
[58] Hiao cum, - - 566. - 17.
[59] i^^^^ ^''w, - - 549. - 14.
[;6o.] Piw^ t7<7«, - » 535-- 18,
[61.] Tao cum, - - 517, - 12.
[62.3 Hi ciim, - ~ 505. - 19.
[■fijj Mi?? cimy - - 48 (J. - —
Eiiis m aono 5. definit Cbiin qicu,
[64] X. 5?/^. Eios dynafliac rcgiili dicfti (iint Cum.
[65] M.0 cum. Sed ipfo in Caritiicio {m) vocatur HOy
£66] vcl Ho. Qiiem vero errorcm -vel typi , vel
potiiis ciianidae vcLcri in cortice litterae effc opi-
nor : nann piuiUo poil ctiam in Confticio Mo
cuni reperio. Eins 7. anniis congruit cum an-
no primo T« cwn in Z«: Annus eiusdem po-
ftrcmus cum A. ante C. N. 720.
[;67 j ,_ ^ cum^ ab A. ante C. N. 719. annos 10.
Chuam ) - „
[68.] ^ cum, - - 709- - 18.
M)n
(m) Lib. II. p 13.
Chun qieu.
38S
Min am, - - (?pi. - 10,
occifiis efl:.
Hiion cim^ - - 681.-31.
Siam am, - - 6^0. ^ 8.
Ab hoc 8. ;mno nullam interpres Sinicus men-
tionem ftcit regulorum Sum , neque caufTam ,
vt folet, in tiibulis pofuit.
Chim vitmj
Chao cum,
occifus eft.
Ven ciim,
Cum cMHy
Vim cum^
Tven cum,
Kim cum,
C- _
lUius ia anno 35. definit Cbun qieu.
XI. Cin , eius dynaftiae reguli didi funt Cum.
Ven cum. Eius 44. annus congruit cum anno pri-
mo Tn cum in Lu: 50. qui vltimus eius fiiit,
cum A. ante C. N. ^16.
Cho qUy
Vu cum^
Te cumj
Siven cm,
D d d a Chim
Tabnls XVll
Figuia 69.
[70.] ■
[7^0
636.
- 17
619.
9
610.
- 22
588.
- 13
575. ■
- 44-
531. ■
■ 15.
516. -
—
C73.1
[743
[75]
[76]
[77.]
£783
[79-]
[80.]
715. annos 12.
[81.3
703. - 6'
C82.)
die 27 cycli dierum JexagenariL
Ngo
Ego
ge
proje&us Jum
Fam.
in Fam.
In difpofitione totius opcris , nullum cycli vel an-
norum vcl menfuim vedigium repcritur, quod cum etiam
in
^n ) Lib. 111. p. 1. {0) Addit commeii atoi' ta /u , feu cx inaio-
ribus Hiagiftratibus cum fuiffc, (fj) Commciuaior ; fam dynaftiae Lhim
•ppidum fuit.
Chim cku. 391
in cetcrib Kiin obferiiaueriin , reticere me propter vete-
rcm Sinici populi chronolc^giam non oportet. Ncque hic
fccundum Imperatorum . led fecundum regulorum m JJl
annos digertus eft libcr. Et quamqunm complures 07w,
feu reguli aec]uaU dignitate fucrunt, tamen quotiescumque
fine dynaftiae nomine Cwn dicitur, regulum Lu dici ap-
paret. Hoc elt , quod dixi , me mouere , Yt crtdam ,
auclorem primum huius libri ceterosque deinccps, ita \t
iplum Confucium ex hoc regno fuiffe ortos atque in eo-
dcm mag^ltnuus geiliffe. Impcratoris cuiusdam nomen
nusquam toto in Hbro occurrit, Si qua vel mortis eius
vei aUa caufla, Imperatoris mentio incidat, tantum fine
nomine certo Tim J^am., Caeli vel Caekjlis Kex dicitur^Figuia 113.
quod modeltiae cauffi ficflum videtur, vt adhuc apud Si-
nos fieri a(I()let. Cum autem de eo fermo incidit, pe-
culiaria fiepenumeio vocabula adhibentiir. SoU Impera-
tores dicuntur puin , cum inortui fuerint. Vt ad 15.
annum Kim cTun reguU in hu , cum de rnorte Hudn
Viun Impcrarorib refcrrur, ita proditum clT: iq : jan rve ,
je r/, tien vam pum : tertio ?//enfe , re -vi jeu 32. die [114]
crcli fexagena>ii, CaelijVis K^^x obiit. De ceterorum. re-
gulorujn morte quoties prooitur, alia et littera et vox e(l.
Nam regtili dicuntur hiun, qui magiflratus minores geffe- ["J-]
rant , q/ fcilicet hoc item vt ah'a eiusmodi , ad prifcas i^^^li
gentis cacremonias pertinet , ciim is honor Imperatori-
bus haberetur, vt de iis aUter loquerentur, quam vel de
ceterii in dignitate viris, vel de priuatis.
TnurVJI. Eee Anni
(,5; Liti. VJ. p. 8,
392 D£ COmVClI LIBRO
Anni dcinde regiim Lh, f\ non ita panci flnt, ite-
ram in Kam , ptiores , chum , mcdlos et hia , pojlremos
diuiduntur , annorum numeiis et recenfione , non inter-
rupta ferie procedentibu&, Interpres Sinns mea in edi-
tione minoribus litteris et Imperatorum dynallarumque
nomina et fingulorum annos et anni eiusdem ex cyclo
(exagenario appellationem fubiecit. Quamuis mea in edi-
tionc numeri paflim vitiofe fint exarati , tamen errores
ex fuccefiionibus perpetuis f-icile poffuiit animaducrti. Hinc
cognouimus, primum annum Tn eum in L//, cum 49..
Tab. XVII. cA A
Figuia ii7. anuo Tim Ikm Imp?ratoris er cum 55 anno Cycli XXXIIL
componendum effe ,. vndc in calcnlo annns ante C. N^
722. exiit, qiieai tamquam verum recipimus, licct chro-
nologia Sinica nondum fitis excuffa fit. Nam cum cy-
clus annorum et menfiura fex:jgenarius Confucii aetatc fue-
rit nullus, quidquid aliquot poft feculis eruditi chronologi-
(iib dynaftia Hia^ ex rcgnm liiccetlione , dierum cycloy.
eclipfibus , forte ct tabulariis publicis in tanta monumen-
torum clade 5. hic effeccrunt in cyclo annorum fiipcrioris
aeui, non maiorem firniitatcm habere potcft, quam \ci
Fabii Pidoris, tcI Catonis, vel Tercntii Varronis in A.
V. C. regibus , conliilibiis , practoribus difponendis im-
penfa fedulo opera. Tametfi cnim in his chronologiac
Romanae triumuiris , diuerfitas, quae intcr eos interccdit
et aliorum diffenfio, falU eorum vnumquemquc potuiffey
non planc dcmonflraret , tiimen infinita (iint ab eruditis-
noflra memoria fjpcriorique (eculo rctecla et propofita ,
ex quibus eorum errores redarguantur. Vnusquisquc an-
mis cuiuscumque rcguli a primo die veris recenlctur, fo:-
lidus-
Chiin qieu, 393
Kdnsque ad eundem pcrtinet, quacumqne anni parte de-
ccfferit. Chao aim reguli in Lii initia ponnntur in vere,
cum initio nnni nntc C. N. 54.1. Et iic Confaciub ipfe
c_ A - _ / ^ ^
(r): ClHin, -vam chm rie , Ciun cle gvey Teye, Impe-
rutorio primo menfe , Regulus mijpkci.tus ejl regnum. At-
tamen Confucius (i) (iiperiori libro, de Siam cum patre .'
huius Chao cum , dixerat : Tum , xe j-ve , qvei jcu qarfi ^^^ j^^^^
ngo kiun Siam cum. Hjcme, decimo tmvfe, qvei jcL^i^m^ ns.
Jiue 10. die cycli Jexagcnarii Jtpultus eji wijier vencrabi-
lis reguhis i.qusm proceres et populus venerati Junt) Siam
cwn. Hoc jplum in tota Chronologia Philippi Coupleti -
ab vnoquoque hiud aegre animaduerti poterit. Nelcio
an hoc ieculo aliquid in eo fit mutatum , aut an haccce
ratio non ex more recepta fiierit a chronologis, (ed com-
penJii caudli ant per inaducrtcntiam. Nam cum calen-
darium A. 1723. iam effet excufum typis in^criptumque
Ta Cim Kam Hi lo xe eulh nien , Magnae dynafliae
Cim Kam Hi Impcratoris 62 anno, Imperatore eo anno
defunin.o , ijieo in exemplari pcnicillo adfcriptum fuit /0
o
xe eulh nien ,, cie gvry Tum chim yven nien , 6z anno [up.]
fcilicct Kum Hi Imperatoris, ineuntis imperii lum Chim
primo anno. Calcndarium proximi 1724-. anni iam ty-
pis exprimit eiusdem Tum chim fecundum annum.
Annis illum in modum ordinatis , vnumquemque
audlv^^res libri in quatuor ttmpciVatcs, verem, acjlatem, au-
tumnum et hiemem dilpefcucrunt , quae tempora vbiquQ
\* e e 2 primo
;rj Lib.AXlV. p. i. i^s j LiD. XXIll, p. 10.
394 ^E CONFVCII LIBRO
primo loco ponuntur. Sic Thucydides annos belli Pelo-
ponenfKici fecundum aeliiuem atque hicmem diihibuit, y/-
yQa-wloJi ^' ^^"^S ^^ eKa^a eyiyvslo Ka\a S-eQoq ^
'^(^uixSua. Nihil igitur vero eft fimilius , qunm Chun
qieu^ id eft, Jh'em et autumnwn hbrum didum fuiffe a
duabus ex his tempellatibus , Tt , fi Thucydidis hiftoria
infcriberetur S-sijog k, 'yj^.\xm. Nam quac Vhilippus Cou-
pletus de hoc nomine (enfit ( ? ) , ea funt quidem mihi ,
wg iv di\.ny\x.arr\.. Titulum oprris fui , inquit, petiuit ah
luere et autumno , prnpterea quod cum virtute japientiaque
Frineipis ejjlorejoat amoenijjimi veris injlar respuhliea , iti
e contrario cum eiusdem jlultitia et inrprobitute , ceu au-
tumnaJi caelo frondes ac Jiores diffluere totam , marcefcere
et confenefcenfis inftar , tandem emori necpjje ejl. Illa
quidem argute eleganterque dida fi cui magis allube(cent,
quim mca haec opinio, non pugnabo: nnm mea me de-
ledat funplicitas. Menfes deinde (ubiccli (unt (ingnlis au-
(ftumnitatibus quaterni , fic vcro , vt numcri men(iiim \sque
ad duodecimum procedant, neque ex cyclo fexagenario de-
fignentur. Dicuntur chim yve , eulh yve , fun yve et xe
FigwA 120. yve , dccinms menfis , deinde xe ycu ye yve ^ decimus et
primus menfis et xe yeu eulh yve , decimus atque feiun-
dus menfis. Primus veris menfis fcmpcr nuncupatur 1%n
[i2i.] ^.jyi^jj y^,^ ^ Imperatorius primus mevfis. At fi forte ille
non cxftet , alter fimilitcr 1'am euib yve , Imperatorius
fecundus menfis , et fi hic quoque dcfit , tcrtius vocitatur
Vam fan yve. Hoc cnim Imperatorum honori tributuni
<_ ^A
fuit, vt qui Tien Vam, Caeli reges vidcrentur cfTc. Bis
occur-
(^t) Iii procmiali ikcl.irationc p. 19,
r_
Chiin cicn. 395
occurrit Tun yve, intercalaris mcnfis . A. 'x-i. cycli XXXV. '^*''- ^^"-
*^ . l'igui'a 122,
hiemc, poit decimuni menicm tt A. 48. cycii XXXVIL
etiam hieme. Sed neque autumuitLites illiie , neque mcn-,
(cs ponuntur, nifi fi quid raemoriii dii;num anuotad opor-
tucrit. Sunt quidem nonnumqnam et menfes et men-
fium quoqae dies appofiti , vacuo deinde Ipatio , led hoc
lacunam indicat, quam in hiice fiagmentis non (iint aufi
fiipplcre interpretes. Hac de re fic Martinus Martinius
m Hifioria Sinica {ti): Sed eoriini Jeruandi mirabilem mO'
dum reperio. Aiunt enim quandam anitm Ubrorum aman-
tem., Confutii Mcntiique ., nec non alioiuin nonmilhrum li'
bros diuifis puginis ad domus parietes agglutinajje. Non~
d:im ea tempe/Iate pjpyrus erat in vfu., fed arborum cor-
ticibus ac foliis animi decreta maiidabant ^ vt nunc Indi
folent. Et qumiam erant e materia folida candidaque
calce obliti , mn difficulter latuere ^ quiad exJlmLta Cina
Jlrpe , ab baeredibus vetulae funt ex prompti fattiqm iu-
ris p'{'>Iici. Qiiamquam aliqmt litterae vel tempus vel
corticis huii finitis culpa kgentium oculis fe fubduxerant,
prafertim in Confucio. Quas litteras licet., qualcs fue-
rint aut efe debeant ., non ignorent , cum tamen illius li-
bros recudunt , eas inferere mn audent , fed notant in
niirgine. Tanta enioi ejl Confucii librorum aeliimatio,
vt aliquid in iis eHaiii aperte mutilatuin emendare ncjas
pH^ent. Litteras vetuftate euanidas \cl putredine quas fci-
ant Sini quales fuerint, tamen non audere reponere, noii
ita, vt rcs fe habet, pronunciatum efi , verum vt locus
daretur argutae (ententiolae , qoae iis verbis fubiicitur, et
a nobis, vtpote quac huc non pertineat, practcrmiflli efl:.
R e e 3 Qnie
Cu) Lib VI, p, 240. ed, Auuk!. 1659,
39 Tn Cwn , fm , Tn ReguU in Lu ^^6"« i-
Cuin 3
"Kam. priini anni.
Tven Trimus C+^
F f f 2 nien.
(a) Apud A. Gellium Lib. IV. Cap, i8.
4.oa DE CONFVCn IIBRO
nien. amms.
Figuia 5. C/.nin. f ere.
[5.] Vatn Imperatoris
chitn primus
jn:e. 7nenfis.
Nihil ad hunc menfem annot;uum eft.
[Yj San Tertius
jnenfis.
[s.j Cwn Regulus y fdlicet in Lu, iiomine Tn
et
Chu djnajliae reguliK
T fii
iurarunt feu foedus icerunt
mie. in Mie.
Fu, hoc accentu fcribendum monet Commen-
tarius Sinicus , cum alioqui etiam fii pronuncie-
tur. Ex eodem teneo, Mie, rcgioncm fuifle
in Lu fitam. luraic autcm iblcbant prilci mor-
talcs in Sinis , epoto animantis languine : ani-
mantem defodiebant et (anguine lcribebant iura-
menti formuhun in cortice.
[9] Rid Aejlate
rio] u Ouintus
jyve, menfis. ^^
Chint
«r— _
Chun qieu. 403
Tab XVIII.
Chim
} V <; ^^"f^ "•
>■ Chim pe, Jeu Chim regni Dux
pe
3
ke
1
tuon
i. occupauit pcirticuJam
yfi
j
Ten.
terrae Jeu regionis Ten.
Scholiafta Sinus , Ten monet hoc accentu le-
gendum efTe, regionemque in regno Chim
Cieu.
Autumno. [12.3
Cie
S ptimus [13.]
yve.
menfis.
Tien
Vam
?• Imperatoris (fcilicet, Tim Jam^ nomine)
J^l
J
minijler
>
qui i
hiven \
)
lay
venit
qvey
et recepit fe
JJoei ,
ad Hoei,
Cum
Reguli Tn Cum, in Lu
chiim
alterum ex tribus
cu >
chi S
filium 1
Fwn.
in Fum.
Fffs c7i
404 DE CONFFCII UBRO.
Cai biven , proprie fignificat , gubernaiorem feu
praefeCtwn magni noihinis , \idctiirquc hic tiiulus
honoris irmgiftratui cuidain tributus fuiffe. Ad
Fiim fcholiafta addit : J^ IJ}^ /7" ^^
Fim , fciin fum fwn fan. Funi, fuit pars
Fibn regionis rchellis.
Tab XVI ri.
figuia 15.
kicu
Noims
yve.
nienfis.
[16.]
kie
Etiani
Siiin
Swn, reguU
gin
miiiijler
riiiin
yli
i mrault
Sicu.
et Sicu regulus.
Scholiaftii cxplicat: Lu , Siiin , Sieu , Jan ^cv,
cTiin gvcj mim. Lu, Swn ct Sicu , tria re-
gna , inter fe foedus icerunt.
[17]
Tiiin
Hicme.
[18.]
xe
JCU
1
y (hndccinms
eulh
J
j've.
menfis.
[19]
Ci
pc
( P" ph f<^^h 9^ djnajliae Bux
lay
joediis icerunt
fiu
Tani. in Tani.
Scholiarc.i : Tam, regio m Lu.
Kieu Nonus
jve. menfis.
Kl VraefeCtus ki, (lafu., fiiifle Scholiafta monet)
nomine Lj fiu £32.]
iaj ^'enit
'^'fi l j. rr^^ j
y vt Tm duceret vxorem.
mu. j
Scholiafta docet in Lj' fu , fecundum chara-
derem fiu pronunciari oportere : nam etiam teii
efFerri potcft.
Tilm. Hieme. r -j
Xe Decimus q^]
yve. vienfis.
,. r ?e ki (reguli Lu coniux, vt Scholiafta monet)
Tom. Vll. G g g ^vel
[35.]
40 8 D£ CONFVCII LIBRO
^'J^^ i recepit Je
Ki ad Ki praefe&um.
Addit Scholiiifta : %^^ ^/f ^^ ^
lie fiufo Tm cbe ^ fidit onmtum, (ncfcio quem,)
7nuliebrem quem Tm habuit. Videtur caeremo-
nia indicari , qua regina aut defpondit virginem
ct elocauit, aut nouis nuptis honorem exhibuit.
Tab. XVIII. v-, ■)
Figma36, ' C M/« Lj ftu , 111 Ki digwtate
pe Dux
^'" l et djnafta KiU
qu S
7nim ) ffj^^iij iniuerunt
ju S -^
o «
Mie in Mie.
Interpres : Mie p ^ kiu je. Mie eft in dy-
naftia Kiu, 'vilia moenibus circuvidata.
C37] X^ -)
[. duodecimus
s
7nenfis.
[38]
die 5 2 . cjcli fexa^enarii.
ry Fu gin
C»
Cbim qieu. 40^
^_^' i qii xi, (Jecundus natu Jilius)
hum. mortuus ejl.
Scholiafta: Cu xi , ^^l^\/i^ Chum qu yh
fiJius natu jmindus fuit.
Chhn. Djnafiiae Chim, '^ptuf^""
gin populus
fa vicit
Gvey, reguJum G^vey.
San Tertius U^^
nien. anmis reguJi Tn cum, in JJt.
Chm. Vere. [42.]
Vam Imperatorius [43-]
euJh Jecundus
y-ce. menjis.
r., i Jexto die cycli Jexagenarii.
Ge JoJis
yeu Juit
xe
cJn.
r rp ,■ Tab XIX,
jan iertnis Figuia i.
ecJipJs.
Tertius
yoe. menjis.
G g g 2 Kcm
410 DE CONFVCll LIBRO
47. die cycli fexagenarii dierum
^^' > Imperator, fc. Vim Vam,
Rex ^
obiit.
Aejlate.
Qiiartus
jfienfis.
2 8 . die cjcli fexa^enariL
Tiin xiy
qo. 7nortuus ejl.
<— _
Interpres : Tien cu ta fu. hnperatoris inan-
dannus ex maioribus magijlratibus.
[8.] Ci^cu. Autumno.
Tabula XIX.
Figuia 2.
Km \
fio [
l
[3]
Tien
Vhm
J
[4.]
pum.
Hia.
C5.]
Sii
[6.3
yve.
Sin
?
mao.
s
t70
Tiin
xi,
\
Ju xi djnafta, qui ., (tefte Scholiafta ,) ^^«i
Imperatorem , Ta fu-, fuit ,
[9.] ^« 1
xi \-
lay vcnit ,
kieu vt Jeu peteret , feu exigeret
fii. ffuptus ad funus.
Forte Imperatoiiiim, Nondiim enim vncauit
interpretis commentariura hoc loco excutcrc.
[to] Pa O^tauus
jve. mcnfis.
Kem
Chwi qleu. 411
Kem') r r r •■ Tabiik XIX.
_^ C 17. d:e cych jexagaMni Figurau.
X lil j
Sim Sum, dj nojliae [12.]
Cum regulus
H» Ho, W9;«m^
op. mortuus ejl.
Tum. Hieme. Cn-]
Xe ^ ■ [1+]
jeii [ duodeiimus
eulh 3
jn)e. menfis.
Ci Ci bs-1
heu ethmrcha
CZ?i/7/ et dynapae Chim
pe Dux
mim ) r j . ■ ^
y foedus inierunt
Ju S -^
Xc } . ^
y in Xe muen.
mucn ^
< A
CommentnriuS': regionem in rcgno Ci , fuifle
dcclarat.
^, > die 20. cycli fexagcnarii ^^^-^
qam fepultus ejl [i^]
fum fum djnajiiae regulus
Ggg 3 Mo
412 DE CONFVCII IIBRO
Mo
cfim
Mo iwii.
Is ipfe , qui paullo ante dicebatur alio chara-
dlere Ho cim.
Chun qkii kiven chi eulh , Jcu Jecundus
Jibellus.
Tabula XIX;.
Figura i8. '
Tn
Cu/ji
^ Tn Cum, reguli in Lu
chum.
media actas.
M
Su
Qitartus
nien.
annus, .
[20]
c_
Cbun
, Vere,
[21.]
l Itm
Imperatoris
eulh
jccundus
jve.
menfis.
C"]
Kiit
T)ynajliae Kili
gin
minijler
fa
Ki
'vicit
Ki regulum
ciu
occupauitque
Meu
lcu.
1
i Meu leu
Scholiafta : je , ku Yillam in rcgno Ki fuiflc
refert.
Fii
Chiin (ileii. 413
Vu 1 1- T r .. '^■itula XIX,
Xin S 45- ^«^ '->'" y^^-Y^^"^»^'"" F.i>ura23.
Gvey Gvej regulum [wmine, Huon Cfm) [24]
Cbeu hiu
Chm
hiu
xi ^ occidt f
ki qui
Idun partes fuas perfe&e impleuerat
buon et cofiferuauerat (popu/um)
Interpres tradit, eum fuifle Gvej> cum ^ii, Gvey
reguli dynafam.
Hia Aejlate [25.]
Cum Keguhis in "Lii, (Tn Cum) [26.]
kie et
Sum
Cum
reguhis In Sum, {Cbuam cum, nomine)
^ i firn caenmoniis confiietis conuenerunt
ju S -^
Cim. in Cim.
Scholiiifta : Cim , viJla in dynaflia Gvey.
Sum ( Sum dynajliae reguhis, (nomiiie, Cbuam [a?,]
Cum , >) Cum )
Chin ( Chin dynajlias etnarcba , (nomine, Huon
Heu , 3 Cum)
Ci
414- D^ CONFVCIl LIBRO
Ci 1 Ci djnapae ?ninjjler , i?w?!!ine Si^'en , quo 110-
gin vi mine etia!n reguhis ipfe dicebatnr)
Gvey 2 ^t Cvej dynajliae niimfter ( ilk , Cbeu /jiu ,
gin S ^^^^^^ /(/>/*« noininauerat)
ja Juperarunt
Qhiiu. Chiin reguliim.
Tabula XIX. Q- AufUinUO.
Fjgura 28. -'
>, s
Jhi. Maiidarinus facius efl.
[30.] lioei CongreJJi Junt
^^^J" i Sum reguhis',
Ctim ^
> Chin ethnarcha,
Hcu S
-'/ y Ci dynalliae mmifter ,
gin <^ - ^ ^ J ^
Gvev } n ' j n- ■ -n
, " ^ Gvey dynajliae ?mniner^
gln S -^ ^ J J •>
fa et jiiperarunt
Chiin. Chim reguhun.
[32] Gvcj }
Kicu Nonus
jve. menfis.
^^ Gvcj djnajliae minijler
xa
Chun qku.
xa
1
^'if''^ {. damnauH Cbcu hiu
hiu I
ju
s
in Vo
Gvey dynajliae minijler
415
Scholi;\fta: Po, regio in djnajlia Chiiu
Fum Hicme.
Xe ^
jeu ^ duodecimus
eulh J
j-ve. menfis.
Gvey >
gin S
Ue firmauit et Jlabiliuit
Cin. Cin dynajliam.
u Qitintus
nien. anmis.
Chun. Vere.
Cuin Regulus Lu, (Tn Cum)
qvon ^
yii \ diligenter injpexit pijces , Jeu pijcaturam
Tam. in Tam.
Scholmfta ; Tam, regio in Jji.
Tom.Vll. Hhh
Tabula XIX.
Figuia 33.
[34-:
[35-]
[36.]
[37-:
C38.]
Hiat
4i(J DE CONFFCII LIBKO
TaV.uTaXlX. ,_.
Figiiia 39. U/a. Aejtate.
[40.] ^^ Qj^ "'^^^^
yve. tnenfis.
[41 •] qam Jepidtus ejl
Gvey djmajliae Gvey reguhis
Huon ;■ ^\
^- > Huon cufn.
Luiu. >
[42.3 Cieu. Jntiinmo.
[43.} Gr^/ Gy^ dyn flpiia Lham co
Sclioliafta: Cham co vUia in dynajlla Chiin,
'labulaXIX. "^ ^
Fisuias4. LO SeXtUS
nkn. annus,
CssO Chim. Vere.
G6.] Chiin Ri^uli Chlm
^in mitn/hT
lay 'uenit
Xu 7 . ^-
piin 5)
[57] Hia, Aeflate.
Tabula XX. Tr r\ • ,
F-gur» I. ^ ^initUS
yve. 7mnfis.
^ S^. die cych Jexagenarii.
(Ij.] C«/;/ Reguhs in Lu
hori amicc congrejjus ejl
Ci
Heu,
tmin
jn
j. in T.
Scholiafta; T re^io djnajliae Ci
cum etnarcha in Ci^
foedus inierunt
^ieif
Chitn cjeu. 41 P
sjeu. Aunimno. ''^J^^
cie Scptimus . [5]
j^i? menfis.
Nihil annotatum eft.
Twn Hieme C^]
5?//^« Snm rcgiiU t7]
^7« 7mmjler
m occiipauU
^ 0/91?;« i'o.
cl J
Scholiafta: Cham co , 'vWa in djnajlia Chiin.
cie Septimus {■8.3
nien. miniis. ^
< _
Chiin. fere. \s>l
E".3
Intcr»
420 DE coKrycii Limo.
Interpres fcribit , fuifie hanc xo ki ~^w\ V' ^
Jororem natu mimrcm , reginae Ve ki de qua
itcm, \'t de hoc Ki, fupra didum e(l.
< A < A
T»buh XX. j^ff^ Bynaliiae Jem
Figura 12. "^ •'
heii etnarcha
qo. mortims ejl.
Ui3-] Wa. Aejlate.
[14 ] Chim Moenia diicla irl renouata Junt
Chum
Kieu
Interpres: Chum kicu, i'i//a in regvo Lii.
i in Chum kicu.
[15-] V^^ ? Ci ethnarchae
heu )
Ju Mandarinus
ki
ty
nien
lay venit
Vim. in Vim
[16.] Cif«. Autumno.
[-j.^-| Cum Rcgu/us in Lii
fa vicit
Chfi. dxnajlam Cbn.
[iS.] Tum. Hieme.
Tien
Chun qieu* 421
(_ -j Tabula. XX.
-^'- V Imperatoris ^
Vani 3
J;^ mimjler
fan ? A " ^ -^ \
> Ftf/i jt)^ praejeaus
( r ('
?im. in ?im.
Interpres: FanTe, tcrra Jub ditione Imperatoris
Sio Sio djnajia [aa]
> 7
F^/// i T.
- L vicit Fan Fe praefe&um
pe f
qu Cu djnafla
kieu } • / - ^
V m kieu y
qvei, fe rccepit.
[21.3
Chun i
:ieu klven
chi Jan
,feu
tertius
iibellus
Tn
Cum
l
s
\ _
Tn cum
, re£;uli
in Jjt
hia
pa
extrema
Ociauus
aetas.
nim.
anmis^
[22]
Cbiin
4^2 DE CQNFFCII LIERO
Tabula XX.
Figura 23.
Cb'm.
Vere.
M
Sum /
Cum }
)
Sum regnhis
1
heii
i et Gvey etnarcha.
yil }
Jil s
fim caeremoniis comenerunt
cA
in Cbui.
Iiuerpres: Cbui, regio m regno Gxey
La$j
San
Tcrtius
yve.
meiifis.
1 0 '
\- Chiin etbnarehae
i
M.and^rinus
[260
Chim
pe
Tven
T-ven nomine
Uiy
qvey
rvenit
et recepit Je
I^am.
in Fam.
I
nterpres: Fafn viUa In Cbim
[27]
Khn
A
yn
ISIgo
i 27. die Cycli Jcxagenarii.
Ego
ge
Fam.
profectus Junt
in {eandcm vlllam F
qo. mortuus ejl,
Kieu Nomis ^'^^'^^
nien. annus.
Chun. Vere, ^+9-]
^.'- > [50.1
^l^^ Y Imperatoris
Vam y
(ii mimjler
^!^'" l nomim Nan ki
h y
Jay venit.
Tim. in Vim.-
San Tertius ^^''^
jve. fnenjis.
^. y die 10. (ycli Jexagenarn
Ta Mafna [53.]
Tu pluuia
425 DE COKFVCn IIBRQ Cbun qieiu
fwe et mx. •
T»bu1a XX. jj^-^ m^
Fi£Uia 54.
qo. mortiius efl.
Interpres ; H/V , reguH in Lu , t^ fu.
[sj.] Hia. Aejlate.
[56-] I Chim Moenia ducta funt
Juhm. circa ham
Interpres: ham ^ villa in Lu.
[57-3 Cieu. Autumno.
[58.] Cie Septiimis
yve. 7nenfis.
Nihil additur.
[59-] Tum. Hieme.
E60.] Cum Regulus Lu
hoei 1 amice congrejfus ejl
.6 lO
y-niimnt AcaJ .Jcw7^:Torfi^]I.Tab . iT.v.i^g .
^fl^.-Jl. ^ 3r
B
e p
^o c>
Cimn7i^nt AcaJ.Sciai:Ti^ifiMr.Tab. H.p.qi^ .
1 r
^ p
x6
Ji^:J2.
E
7X
mntAc.icL- Jc:Toin.riL'Ial'. YIL.y. 115
CommentAcad.Jc:Toin.rKTal: W.y.ll5 .
\'''27f2etThJx-a .JS2. .
J^..-3.^
JV" ^^^
Cof}i?ne77t^Lai/Jc.Toi?i. WTai.Hrp .loS.
s
T^abir
Cjni^nt. Acad. Jc . Tjiti . VJL. Tab JJT.p . -171 ,
'onUTtt. A.-a.t .«■.- . Tinn . VJL . TA XtC.p . -2. 7J
Tiq.A.
Tu.Ji
'o77i?miitAj:ad. Sc.To7?i.\ir.T(ihJIK.p . i"p.
X
loJuuientA^ad. Sc.Ti^iiim.TahM.p. -zlj.
3!<
•^-^-
if-A
: \i7/iiti^/i^. ^•.ijj^.ra/n . MT.T.ibllY. f.iiS.i
'""'""•"'■-^r.,./,j-,',TM„. ,2r.T„/,_ K,:,,. .^zj.
'tnwnt. ^^,;r,/.Sr.Tc'/',. m. T,;/,. .1/;.
(%.^ 2-
(JZf^^
^^^ '«-^.
1# _^ >
1^./ J
S^^^f££^££^^^w^^ i^,:rai.
m.
l^
s
X.
7.
fm
i
4£i
5(
4^ ^A
□ a a
Jc
f
A
fi
0.6
-ti
nk
t^^Mo,i. ,rc. ra„i /-wriiA xirv^c
-t
t
/L
txn
rrn
/r\
m
iii.
ia
4^'
k^
= E
trn
tfl.
■fcUl
•J-L
^'
a
X
Mf
a o o
nfl i£
v/
■14- FT X Lf^
^ I ^i
/^
E1
C3
Tf
\
T^
rxa
'f
1=-
/tIl'
r^,r-(fi
/tT
^^-
1"» t-> TD
j- ^ ' ' 'I ■
dtfl i-^i
17
D
7,J
/7t
■•^<' I V
>1t
■ V ^ >" -'■'
V\ 'J
^^^
t
E
JS.|t
fi"
17
Ht
X
I -I-
''X
C^nmen^A,^, J,. 7t,„, m.Tat Jm: f, . .,,,.
A
vvf\ -1-' /
^^ll./^-
Comvient-^cad. Sc.l^om. TTI.Tah JMr. f> . JgS.
K
ft
F1
\P^
rm.
^
^
T
A
A
if
t
4-
/^
/£
nn
t:
A
fi. >IL
1:^
AA
%
^\
/v
EICU
f-
A-^^
lE
'K
nm
V/-
'^
i.
Pl
%
Fl
^r
:$S~rri^'^^^^^
^i^m^
f]
Ai ^
'^„M^ |nji ti'iM' Kfi
'V
"fTA iti^^'
flTl^
-- — ' — :^ — L — t_J_:>t«^
•i-« -
tscho
A" /ch
J ^
.1 ..
, >,-/-
9 ^
csJ /^o
0i.
J'
a
^
3
.//.
if
A/
tst^i
x/ /^"<^
-o5 /^^^
ca/'ct
»-
/f^'
Car-et-
^-
nao
i\>
^hh
h C>/
v5 -^
S)
/f//
/!»■
s ■
cT
u
6r
JJ
tj-cho
y<7
MO
po
^^ ii
jr
^l:> .//;
ct
A';
.1
^,0.
¥
^^
/?-/;
^
imL-nt ^^ciitZ. ij;- . Tom llTpStS.
ELEMENTA CALMUCICA
IL
-4 X i^ i^
li
11
c/ui
•P5
'^%
n\
faret
?7
\'t
X
\ r
^
T
^^/e
\ r./-^
1 S/ir
/?■
cP
cT
//
d-
9" ,„;(..
S)
ij/j
(p
?13
iii
cA „.;
S'/.
«rn M
^
i_^/^.
4?,/,^/;
^d-
5-
^
i-
i .«
.1;
a)
^
^
7?l"
1 ^
'H
H
I J
I