FOR THE PEOPLE FOK EDVCATION FOR SCIENCE LIBRARY OF THEAMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY (5 COMMENTARn ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE. Tomus IX. AD ANNVM MDCCXXXVII. 1 7 v,- FETROPOLI, TYPIS ACADEMIA^fe^" cbbccxLiv. ^j;; ELISABETHAE PRIMAE RVSSORVM IMPERATRICI ET AVTOCRATORI CETERA, CETERA, CETERA, SACRVM. Vod TWM ejt DOMINA, &• terarum et bonarum artium itl Riifjia nouum incrementum,eim* que argumentum certifjimum^ Tomum hunc nonam Commentariorum Academicorum, TE X 2 /*> felicket imperaiite itt hcM editum, TIBI animo deuotijfimo reddimus , TIBI rnore an- tiquo dedicamus. Haud factle vnquam Jpes maior noflris excitata Miifts eji illa, qua TV in fqfti- gio, benignjjjimum Jidus Imperii et Mufih rum diuque ad reftituendas res expe&atum, effulfifti, fplendore TVO omnia exhilarqfti, vitatnque et animum bonis omnibus reddidiftu ItaqueTJBh AVGVSTISSIMA IM^ PERATRIXj confummationem operis pater- ni Numen referuare voluiffe videtur> TIBI, MAGNI PARENTIS, FILIAE MA* GNAEj quae virtute plus quam virili ht- Jlru&a, a Deo cxcitata, a populo vniuerfo expetita, mira quin miranda nunquam fatis fbrtiwdine , Imperium paternum repetiifti ac vix illudadepta? vittoriis ampliqfti, gloriaque trium- trkimphorum adauBa, pacem populo TVO et vicino dornfti, requiem Imperio et fccu~ ritatem temporibus etiam futuris ftabiliifti3 Duhffimo PETRI MAGNI Nepote, qui TIBIz/z Imperiofuccederet arcejfito, et Prin- cipi incomparabili^ Magnae Duci Catharinae Alexeidi > quae TIBI popidoque TVO in deliciis ejl, defponfato. Quid, quod collapfa quaecunque bona inftauras , noua addis 3 in TVIS erga TE amorem TIBI concihas * reliquos per vniuerfum orbem in admira- tionem TVI rapis et ad mentem MAGNI PARENTIS, magna quaeuis paras > incepta perficis • vbique exemplum eius immortale feqaeris, adeoque Illum Ipfum tanquam re- ducem in terris, exemplo TVO^ Jiftis. Haud quoque ita pridem benignijfjima lege lata, folatium et fpem artium et fcientiarum ctd- toribus nonfolum ampliorem addidifti> fed £Xpe~ exterh etiam laborum noftrorum fociis, an« mta Jfipendia continuari iujftfti. Quid igitur a TE, TVAque proui- dentia, cuius acumen nihil fubterfugk, et no- bis fperare non licet, qui iujfu et au£toritate TVA in excolendis et docendis bonis arti- bus operam nauamus, TVAque benignifftma voluntate fuffulti , ad vtilitatem publicam et nd emolumentum et gloriam Imperii TVI, quantum licuerit^conjerre nunquam defflimus. Adiuua itaque nos DOMIN Kjroftrosque labores et vigorem Academiae, fumma cura ab immortali PATRE TVO jundatae, au~ Stae ab Auguftijfma MATRE, benefich TVO fuftental TE autemadiuuet DEVS, fummus rerum arbiter, diuque faluam con- feruet et fofpitem , et quod prorfus excel- lens in TE eft7 animi excelji decus, quoin- die$ dies magis magisque exfplendefcis , fero re- petat fibi, vt aufpiciis TVIS Imperii fa- lus mimota conftet nouisque efflorefcat hir crementis. Ita jeruido etfncero animo vo~ vet IMPERATORIAE TVAE MAIESTATI Petropoli, Calend. O&ob. A. cbbccxuy. deuotiflima Academia Scientiarum. INDEX COMMENTARIORVM. Commercium Epiftolicum Regiae Hiftoriae Lufittnac Academiae cum Academia Petropolitana. * * * In Claffe Mathematica. loh. BemouIIii Diuertatio Hydraulica de motu aquarum per-vala aut per canales, quamcunque figuram ha- bentea, fluentium. pag. 3. L. Euleri de communicatione mouis, in collifione cor- porum , fefe non direcle percutientium. p. 50. G. W. Kragtii Specimen Algebrae ad Architecturam militarem applicatae. p. 77. L. Euleri , de Conftrudtione Aequationum. p. 85. Eiusdem de Fractionibus continuis. p. 98. F. Moula , de maximis in figuris redtilineis. p. 13S. L. Euleri Variae obferuationes circa feries infinitas. p. 160. Dan. Bemoullii , de variatione motuum a percuflione ex- centrica. p. 189. L. Euleri Solutio problematis geometrici circa lunulas a circulis formatas. p. 207. Eiusdem de variis modis circuli quadraturam nuir.cris proxime exprimendi. p. 222. ln In Claje Vhyfca- G. W. Krafftii de Thermometris DifTertatio Experi- mentalis. p. 241. I. Weithfecbtii Obferuationes Anatomicae ad hiftoriam et actionem mufculorum , labiorum , oilis hyoidis, faucium linguae, laryngis pertinentes. p. 249. Eiusdem Obfcruata in fedtio.ie iuuenis 1735. cuius ma- nus et pedes monftrofi erant. p. 269. Eiusdem Explicatio difficiliorum experimentorum circa afcenfum aquae in tubos capillares. p. 275. I. Ammatii de Alfinanthemo Thalii, feu trientali herba Ioh. Bauhini. p. 310. Eiusdem de Betula pumila, folio fubrotundo. p. 314. G. W . Krafftii Obferuationum meteorologicarum ab an- no 1726. Ysque in iinem anni 1730". factarum , comparatio, praelectio prima. p. 316". Eiusdem - Praeledlio fecunda. p. 344. Eiusdem Obferuationes Meteorologicae anno 1737. infti- tutae. p. 358. In Claffe Hiftorica. T> S. Bayeri Geographia Ruffiae vicinarumque regio- num, circiter annum Chrifti DCCCCXLVIII. cX Conftantino Porphyrogenneta. p. 36*7. Obferuatio Afironomica. G. Heinfii , Obferuatio Eclipfis Lunaris d. 8. Sept, 1737» i\. n. Petropoli habita. p. 425. * * * #¥.% ) o ( IAm plus quinque annorum eft quum tria noftroruro Commentariorum volumina et alios quosdam libel- los Petropoli confedlos ad Regiam Hiftoriae Lufi- tanae Academiam mittebamus, quae tam humaniter arque benigne a Viris illis praeftantiflimis excepta fuere yt fpem noftraro omnem vicerint,, quando praeter ho- noriflcum refponfum et plurima ab Academicis LuGtanis edita opera quae nobis dono rniferant, negotium dede- runt ExcellentirTimo Comiti da Ericeira vt librorum no- ftrorum epitomen * concinnaret, quae quum hoc ipfa anno ad manus noftras peruenerit non differendum pu- tauimus grati animi aduerfus tanta beneficia teftimonium» quod publice ab omnibus noftrarum rerum ftudiofis le- geretur , quam ob rem exemplo Academicorum Lufita- norum , qui epiftolas vltro citroque mirtas ei epitomae inlcri curauerunt, easdem hic repetere, poftremas etiam no.ftras atque indicem librorum nobis donatorum , quod eos a in Extra&os Acadcmkos dos livros que a Academia de Petersburg mandou ^ de Lisboa feitos por ordem da mesma Academia pelo Conde da Eri. ccira, D. Fianciico Xavier de Menezes Hum dos feus Direftores, e •Cenfoves, do Confelho de Guerra, Meftre de Campo General do» Exercitos de Sua Mageftade, e Deputado dos Tres Eftados do Rey« flo , «c. Luboa Occidenttl ^L DCC. XXXVHL in -frto. II i$tf ) ° ( in Germania et finitimis rcgionibus adhuc parum cognitos putamus, addere vifum fuit. Nos quidem fttis mirari non potuimus induftriara et multipliccm foliaamque eruditionem Excellentiffimi Comitis da Ericeim , qui dum noftra fpecimina recenfuit in tam diuerfis rerum argumentis non folum inoffenfo pcde procefiit , fed fuas quoque obferuationes egregias identidem fubiunxit, vbique vero ita nobiscum egit vt facile apparcat nos in iudicem indulgentiftimum incidifTe, qui nec tenuia fperneret, et quae tolerabilia eflent non modo non extenuaret , fed magnis etiam laudibus effer- ret, nihil fane illa Excellentidimi Viri agendi ratione praeftabilius , nihil efficacius eft ad excitanda eorum in- genia qui in ftudiis non publici faporis verfantur atque in hoc genere ad aliquam laudem contendunto Sed inter omnes qui magni huius Viri et totius Aca- demiae Hiftoriae Lufitanae dignitatem , do&rinam et me- rita in patriam penitius intuentur , poteftne quisquam effe tam a litterarnm ftudiis alienus aut omnis humanitatis expers atque ignarus, qnin RegisLufitanorum IOANNLj V. fortitndinem atque fapientiam veneretur, qui toto regni fui tempore terra marique inclitus, claffes Lufitanas tum Venetis tum Perfis fubfidio mifit , Monbacciam recepit , Afros praedoaes in fugam egit, Sicarios feueris legibus fuftu- pjMf ) o ( l^» III fuftulit, immenfis opibus ex India adue alpero tempore atque ad bellum fpe&ante rerum ftatu, fumma prudentia fuftentauit, celebriores artiiices praemiis propofitis Vlyftlpponem arcefliuit, bibiiothecam libris ra- riffimis mirifice auxit, Hiftoriam denique Lufttanam , cui temporis longinquitas "detrimentum attulerat, Iiluftris illius Academiae Collegis tradlandam demandauit, digniflimis certe qui non modo antiqua Lufitaniae monumenta in lucem protrahant, fed quorum praecipue cura ftudio atque diligentia rerum tanti Regis aufpiciis geftarum fama po- fteritati propagetur. A. 1740. d. 23» Sept. C. G. a 2 Lit- IV *g£ ( o ( l'r> Litterae ad Acadcmiam Regiam Hiftor. Lufk. mifBcr A. 1735. d. 7. Iulii. BXCELLENTISSIMIS, ILLVSTRISSIMIS ATQVE PRAESTANTI5SIMIS REGIAE ACADEMIAE VLYSSIPPG- NENSIS GOLLEGIS S. D. lOANNES ALBERTVS KoRFF SERENISSIMAE RVSSORVM IMPERATRICIS CAMERARIV& REGENDAE ACADEMIAE PETROPOLITANAE PRAEFECTVS. ETfi iam a phribus annls tie Regia VlyJJipponenfi Academia eiusque meritis fama ad nos peruenit\ tamen praeter longinquitatem losi varia nobis impe- dimenta objiitenmt y quo minus aliquid opufculorum noftro* rum teftandae erga Vos objsruantiae cauja tuto mittere pof- pmus\ cum vero nuper Vir Clarijfvmus Antonius Ribeira Sancbesr Velras, qui hic artem medicam feliciter et cum maina laude exercet, operam fuam in curandis ad Vos litte.is et lufis quos mitteremus liberaliter jiollicitus ejfetf baw ) o ( $&• V hcinc occafionem fine mora arripiendam duximus. Non quidem nos fugit Academiae Veftrae , quae in Hiftoriarum Lufitaniae monumentis fcrutandis occupatur , diuerfum ab eo inftitutum ejfe quod nos tenemus , quibus et Mathefin et Phjficam et Hiftoriam feu Antiquitatis ftudium colere , et, quae in his doofrinis iam aliorum ingenio eruta fuerant, quoad eius fieri poteft , noftra induftria proferre atque am« plificare incumbit; uerum enim vero quando omnium ar~ ftum ac difciplinarum quaedam infer fe focietas , communio et cognatio eft, non dubitamus quin cbmmercium Iitterarumy quod Vobiscum inftituere cupimus , quemadmodum nobis per- honorificum eft , ita communiter vtile futurum fit , nos vero in iis rebus in quibus Veftro CoIIegio inferuire poterimus curam omnem atque diligentiam adhibituri a Vobis id vi- ciffim petimus , vt hanc noftram voluntatem noftraque in Vos ftudia, quae fumma funt, aeque bonique confulatis* Vakte. Nonis lulii A. cbbccxxxv. a 3 Inde* vi '«&& ) o ( £&<« Index Librorum ad Aaid. Reg. Lufit. miflbrum. Commentar. Academiae Scientiarum. Tom. I.II. etlll. in 4to. Plantarum minus cognitarum Centnr. I. II. III. complecl:. Plantas circa Byzantium et in Oriente obferuatas per I. C.Buxbaum, Acad. Sc. Soc. Petrop. 1730« in 4-to- T. S. Bayeri Hiitoria Osrhoeiu et Edeffena ex nummis illultrata. 1735. in 4to. Sermones Academici in publico Conuentu habiti. 1725. et 1729. in 4to„ Abrege des Mathematiques pour 1' vfage de Sa Maj. Imp. de toutes les Ruflies. Tom. I. II. III. a St. Pet. 1728. in 4to. T. S. Bayeri Mufeum Sinicum, in quo Sinicae Lin- guae et Litteraturae ratio explicatur. in 8vo. Parerga Medica confcripta a Damiano Sinopeo, Medico Ordinario Marini Nofocomji Cronfladienfls. 1734« in 8vo. Litte- HjS ) ° ( &*■ VII Litterae ab Acad. Reg. Lufitana ad Petropolitanam mif- fae A. 1735. EXCELLENTISSIMIS, ILLVST RISSIMIS , ATQVE PRAESTANTISSIMIS ACADEMIAE PETROPOLITANAE COLLEGIS CENSORES ACADEMIAE REGIAE HISTORIAE LVSITANAE REGENDAE PRAEFECTI VTRAMOVE FELICITATEM. Lltterae , quas ad Nos dediflis, quibusque vrbanita- tem, comitatemque nofiram primi laceffitis, tantae humanitatis atque elegantiae plenae erant, vt exi- fiimationem Veftram apud Nos magno cumulo au- xerint. Iis enim plane docemur , praeclaros illos rtimor.es t quos de Societate Petropolitana , etfi non dubios , jama vuh gauerat , maiores tamen atque praecellentiores effe , quam vt h quoquam percipi , menteue comprehendi quirent. Oua~ propter ClariJJimo Viro Antonio Ribeyra Sanches nofirati non agere gratias non pojjumus , qui jedulitate Jua tam ma- gni tamque prolixi itineris Jpatium , quo Vlj/jipo nofira ab Ma Petropoli Jeiungitur, haud Jormidans^ non Epifiolam tantuni vm •*& ) o ( S^ tantUm Veftram, Jed et libms ad Nos perferendos fuscepit. Quod vtrumque peregregium fane mimus, quanti fecerimus , ne mis Vobis patefceret , in pleno Academlae Nojlrae con- feffu decretum eft, vt Librorum Epitome quam breuijfima ab Excellentijfnno Comite da Ericejra, vno e Qimqueviris noftris, conficienda, finml cum Epifiola Vefira Academicis typis traderetur , vt praeclaro illo fpecimine , cum eximiam eruditionem Vefiram , tum gratitudinem nofiram coram omni- bus tefiaremur. Ouin et lllufirijfimo fcrinii nofiri Magiftro iniunctum efi , vt opera a quibusdam Sociis nofiris vsque ad hanc diem edita, ad Vos mittenda curaret, quae qui- dem fi forte a Vobis laudari , probariue contingat , nullum profetlo maius , digniusue praemium laboris fui eorum Au- thores expetituros effe arbitramur. Quod vero Htterarum commercium nobiscum infiituere tam vehementer cupitis , No- bis rem perquam gratam , perquam iucundam facitis , imo iam currentibus Nobis calcar additis, quippe quibus nihil fuauius , nihil honorificentius accidere poffit , quam Vos per Utteras frequenUr adire , Virosque omni dotlrinariim gene- re infiructijfimos , de dubiis nofiris , fi qua occurrent ( oc- current autem bene multa) confulere. Neque enim fentire vobiscum poffumus in eo qubd putatis jrftitutum Petropolita- nae Academiae, quae tota in erudito puluere Mathemati* corum atque Fhyficorum verfatur , ab in/lituto Lufitanae 9 quae in ftudio confcribendarum Hiftoriarum incumbit, quam kngijfime abhorrere^ cum potius e contrario mire inter vtramque ■*& ) o ( l^ IX vlramque conueniat. Scltis enim vt Hiftorici in memoran* das res ab hominibus geftas Je totos conferunt y ita Vhyji- cos atque Mathematicos omnibus viribus atque opibus ela- borare, vt res in caelis atque in terris a Deo praecla- riffime fattas accurate dejcribant. Ilhui igitur a Vobis petimus, atque maiore fiudio rogamusy vt nullam non occafionem arripiatis Jcribendi ad Nos, par pari quam ocyjfime, quamque libentijfime relaturos. Valete Acade- mici Sapientijfimi 9 atque e Veftra FetropoU , non Ruffis tantum, Jed et orbi vniuerjo , pergite, vt Jacitis y ad injcientiam propuljandam , facem praeferre. Ipfis eidibus Decembribus A. MDCCXXXVI. Vljjfipone Occiden- tali. Marchio de Valen$a. Antonius dos Reys. D. Didacus Fernandes de Almeyda. Comes Aflumarenfis, Comes da Ericeira, Nonius Silvius Tellezius. Index Index Librorum. . huc mifforurn,. IN FOLIO.. (x.) Expeditio Hifpanica Apoftoli S. Iacobi Maiori^ affcrta, et ex S. Paulo Apoftolo confirmata, Dif- fertatio Hiftorico - Critica , , acceffere, Appendices tres : ; I.) De aede Caefar-Auguftana a Columna didtil, per Sanctum Iacobum conftructa.. II.) De grauiffima authoritate Breuiarii Romanh III.)SyllogeAuthorum omnium gentium omniumquc Ordinum qui expeditionem Hifpanicam S. Ia- cobi Maioris aflerunt:. Authore Emmanuele Caietano Soufa , Clerico Regulari , Regiae Ma- ieftati a Confiliis,. Bullae San&ae Cruciatae Pro-Commiffario Generali Apoftolico et Re- galis Academiae Quinqueviro Cenfore. Vlyffo. MDCCXXVIL a..Torru. ( a ) De vita et rebits geftis Nonni Alvarefii Pyreriae Lufitaniae Comitis-Stabilis Libri duo. Auftore An- tonio Roderico Cofiio, Regiae Academiae Socio*. MDCCXXIIL Tom. I.. ( 3 ) Coliccao" dos Docurnentos , Eftatutos e mais Me~~ moiras da Academia Real da Hiftoria Portuguezai que nefte anno de 1 721.— 1733. fe compuzeraoV €. fe imprimirao per ordem de feus Cenfores , E Oi ^Qrdenado pelo Marqucz de Alegretc Manoel Telles da Sylva Secretario da mesma Academia. 14. Tom» IN QVARTO. % 1 ) Hiftoria da Academia Real da Hiftoria Portaguefca, compofta por Manoel Telles da Sylva Marquez de Aiegrcte, Secretario da mesma Academia. Tomo Primciro. MDCCXXVII. {2) Memorias Para a Hiftoria Ecclefiaftica do Bis- pado da Guarda escrita Pelo Doutor Manoel Per- eira da Sylua Leal, I. C. Vlyffipponenfe , Colie- gial do Collegio Pontificio de S. Pedro na Vni- verfidade de Coimbra, Cavalleiro da Ordem de Chrifto, e Academico da mesma Academia Real. Tomo Primeiro MDCCXXIX. <3) Memorias Para a Hiftoria Ecclefiaftica do Arce- bispado de Braga Primaz das Hefpanhas efcritas pelo Padre D. Ieronymo Contador de Argote, Clerigo Reguiar, Academico da mesma Academia. Titulo I. Da Geograiia do Arcebispado Primaz dc Braga, e da Geograila antiga da Provincia Bara- «carenfe MDCCXXXII. a. Tom. (4) Apparato para a Difcjiplina , e ritos Ecclefiafticos de Portugal: na qual fe trata da origem, e fun- da$a5 dos Patriarchados de Rorca, Alexandria, c Antiochia, o fe defcreue com efpeciaiidade e Pa- triarchado do Occidente, moftrando que as Igre- b s jas xii *&$ ) © ( jas de Hespanha lhe pertenciao por direito parti- cular &c. Pelo feu Author, D. Francifco de Ai~ meyda , Academico da Academia Real Portugueza, Lisboa Occidental. 1735- 3* Vol. (5) Hiftoria Genealogica Da Caza Real Portugueza Desde a fua Origem ate o Prefente, com as Fa- milias llluftres, que procedem dos Reys e dos Se- reniftimos D.iques da Braganc,a, por D. Antonio Caetano de Soufa Clerigo Regular, e Academico do Numero da Academia Real. MDCCXXXV. 2. Tom. (tf) Memorias Para a Hiftoria de Portugal, que com- prehendem o Governo dei Rey D. JOAO I. Da Anno de mil e trezentos e oitenta e tres,, ate o» anno de mil e quatrocentos e tr-inta e tres y escri* tas pelo Academico Iofeph Soares da Sylua. MDCCXXX. XXXI. XXXIL XXXIV. 4.Tom, (7) Catalogo Chronologico-, Hiftorico, Genealogico^ e Critico das Rainhas de Portugal, e Seus Filhos Ordenado por D. loze Barbofa, Clerigo Regular, Academico Real da Hiftoria Portugueza , e Chronifta da Sereniftima Cafa ds Braganga. MDCCXXVIL i. Tom. (&) Geografia Hiftorica de todos os Eftados Soberanos de Europa Com as mudancjas, que houve nos feos dominios, efpecialmente pelos tratados de Vtrecht, Raftad , Badden &c. Com as Genealogias das Ca- aas Reynantes , e outras mui principaes. Compofta poi te£*l ) o ( M* XIB por 15. Luis Caetano de Lima Cierigo Regular Lisboa Occidental 1734» *• Vol. (p) Memorias da Ordem Militar de S. 10 AO de Malti. Por Fr. Lucas de S. Catharina da Ordem dos Pre^.i- dores, feu Chroaifta, e Academico da Academia Real. TomoPrimeiro MDCCXXXIV. (10) Supplemento Hiftorico ou Memorias e Noticias da Celebre Ordem dos Templarios, Para a Hirtoria da admiravel Ordem de Noflb Senhor Jefu Chrifto efcri- to por Alexandre Ferreira Natnral da Cidade de Porto, Dontor Graduado na Faculdade de Leys pela Vniver- fidade de Coimbra &c. MDCCXXXV. 2 . Tom. IN OCTAVO, (1 ) Tradado do modo o mais facil e o mais exa&o de fazer as Cartas Geograficas, aftim da Terra, como do mar, e tirar as plantas das Pragas, Cidades, e edifi- cios com inftrumentos e fem inftrumentos , para fer- vir de inftrucgam a fabrica das Cartas Geograficas, da Hiftoria Bcclefiaftica e Secular de Portugal , Tirado dos melhores Authores, e compofto por Manoel de Azevedo Fort-es , Academico da Academia Real da Hiftoria , Cavalleiro ProferTo na Ordem de Chrifto , Brigadeiro de Infanteria dos Exercitos de Sua Mage- (lade, que Deos guarde, e Engenheiro mor do Reyno MDCCXXII. b 3 Litte- Litterae ad Acad. Reg. Lufit. miffae. EXCELLENTISSIMIS, ILLVSTRISSIMIS ATQVE PRAESTANTISSIMIS ACADEMIAE REGIAE HISTORIAE LVSITANAE PRAEFECTIS s. n. Carolus de Brevem SERENISSIMAE RVSSORVM IMPERATRICIS CONSILIARIV5 STATVS, ACADEMIAE PETROPOLITANAE PRAESES, ORDINIS S. ALEXANDRI NEVENSIS EQVES. QVae Vobis ante hos quinque annos Vif Illufiris Ioannes Albertus de Korff reddenda curauerat com- > mentariorum nofirorum volumina, non Jolum perhu- maniter accepta fuijfe ex litteris Vejlris iam diu intelleximus , fed nuper etiam fingulari atque inopinato beneficio nos obli- gatos agnouimus , quum V. C. Antonius Ribejra Sanches Imp. Domus Medicus librum nobiscum communkaret , quo Excellentiffimus Comes da Erkeira commentarios illos ar- tkulatim ita recenfuit , c> oppidum procurreret quod cum impigre obiiffet ad Re- gem tunc epulis accumbentem intromiffus eft rogatusque quid afferret de hoftium numero atque itinere, reipondrt magnas erte copias , led ita incompofite et negligenter per hofticum iter flicere vt non dubitet quin parua manu fundi poilint , modo dux bonus adilt. Hos animos et prudentiam in puero mirantibus omnibus , Regina prae- cipua beneuolentia profecuta eft, Regem alloqnitur ro- gatque vt Nonnum inter honorarios domefticos fibi at- tribuat, id mereri puerum notae nobilitatis et iam fpe- ct.itae virtutis. Qiiod Rex non conceftit folum fed etiam ex ipfa vxoiis oratione admonitus nobilium adolefceentium virtutem remunerandam elfe et accendendam , Didacum Aluarefium Pyreriam qui vna eum Nonno fratre hoftes explorauerat in fuorum familiarium numerum fibi affumpfif. pag. 10. Septimum decimum annum attigerat Nonnus cum ei pater vxorem dare decreuit. Verum is a re vxoria haud parum abhorrebat — . Quare.cnm non minimum ne- gotium pater habuiffet vt eius animnm ad vxorem acci- piendam appelleret , parenti demum praeceptis paternis Eleonoram Albinam primariam foeminam atque admo- dum diuitem Ferdinando Rege nuptias conciliante , collo- cauit , ex quo matrimonio breui tres liberos fufcepit , e quibus priores duos ftirpis virilis ftatim amifit; tertiam autem prolem fequioris fexus ac Beatricem nominatam, pag. n.cum Per aetatem licuit , Alphonfo Ioannis Regis filio notho in matrimonium dedit vnde clariffima orta eft fo~ boles ad quam Principes Lufitani paternam originem , caeteri omnes fere maternam referunt. Non *§*f ) o ( %%* XXI Non tnulto pofi ftagrante helk inter Ferdinandum Lu- fitaniae et loannem Baetkae Regem Ferdmandi Ancom Alcantarenfium Equitum Magftri jttium Nounus per epi- ftolam ad certamen prouocat cuius certaminis conditio- nes erant vt nouem fibi focios vterque deligeret omnesque paribus armis inttrudi aequo in loco equetiri pugna di^- micarent. Prouocationem Ioannes Ancorius (hoc eratpag. xa» iuueni nomen) aiacri animo excepit, idque Nonno re- fcripfit, qui denegata fibi a Rege dimicandi facultate iram omnem in hoftes conuertit quorum cum non paucos cecidijfet^ et iam conjojjo equo in Jummo vitae periculo ipje verjare- tur Vasquii Annii Cotii et Jociorum ope Jeruatus eft , paub poft cum ex vrbe egredi a fratre prohiberetur ferro Jibip. 18.19. viam per excubitores vrbis patefecit ad Regis exercitwn\ fed mox pace inter Reges inita Beatrix Ferdinandi Regis p. 20, filia Baetico Regi paffa eft. Mortuo Rege Regina rerum ftimmae praepofita, itap. 26.27. enim conuenerat pa&is dofcalibus, et foedere cum Rege Baetico inito , vt ipla , fi fuperites marito foret , Lufi- tano interim moderaretur imperio, donec qui nafceretur ex Beatrice fecundo loco fllius annos attigiiTet tantae moli pares Coutra plebs interim fremere pro libertare, ar- ma pofcere et omnia cumuitu mifcere ac turbare--, in- p, 28» tcriiffctque adeo respublica, libertasque Lufuana impotenti Baeticorum dominitu oppreda foret, nifi Ioannes Auiilen- fium Equitum Magifter andVore et adiutore Nonno tan- to periculo patriam liberandam fuscepiflfet, Primum tanti moliminis confriicm fait loannem Fer- dinundum Anderium (Djnaftam Aurenenfem ,. qui magpity- c 3 dine xx!1 -\ ) o ( s*g* fim apud ReffMam^ xit cadt p. - - cc iere, :c yehementer Mgcb.it Nonnus. i^i- qua< tempos monclxu, Anderuim Q u. p 30, A.v ■ \ t NQmms inuitis ac fruflra re- ttribus ( tem *d Magtftrum conuolauit, - • s et aaribus Lenfit cu- ircis std colloquium vocat, Qlumque igendo4 uadendo., p , eo perduxit \t pe- m Regina fuppetias ferret ol p» 31. ns4 urccm n, Moxque exac" s, curn ;:.. ejt 1x4«, /■'.•. : .-. 7 -.:. ': :.:'.; ;?:./ Xo:;::;:m decreuit Eficert k:s ci ac po- s n ■ -. ■ - ■ Praefecl n milii ..'..;:. mi publkain rexn F 5 • F 55- . : . «::.; .-;.:_.. : .= ... ie- d::-;::c:;i ; r . E.i forrnjdinc motum Akcmmn ef :/ ■•'•"-*■ -■' co::r.:;;; ;.:.:::: ;yr. _.;.:; ;;;;.; manuaue vafi- ; -^ :: : id .: alia cafhlla eo :quuntur qun: moc- . ane- -$gg ) o ( V'£<* XXIII Premebat interim Baeticus graui obfidione Olifipo* nem qua capta oppreiToque ibi ac dcprehenfo belli auct;re part;umque duce fummae rei compocera fc fjre putaaaat rotumque bellum eo luccerTu confki. Interea Baetico variis modis pugnam detreclante Norh- p. cTr, nus Pa/mellam et Almadam oppida capit , nec multo poft p. 6%, Bacticua Rex victa conftantia peftilentiae damm iam Iiaud quaquam tolerabili obfidionem foluit; vnce Norinus p. 6*9. -- ir^etum capir recedentem Regem in itinere aggre- p.-^, dier.di quod confilium cum loanrii et pluribus amicis 1 probaretur Nonnus depofita fpe inuadendi Regis ad Trans p. 74.75 taganos redit, paullo pojl Porreliam capit, Eboram re- greditur, ViUairmflblam per infidias inuadit, fed irrito p. -<5. fucceuTi,. eandem rwjus vi aperta az&ediev.s tormentis p. 7$. quatit continuata nocte dieque verberatione quo plus ter- roris incuteret, neque vilum tempus eo horrore vacaret. Principia magno pauon efle ingens fragor quo ea- rr.a- china globcs excutit cogente flamma nitrato puluere con- cepta, mox intellectam eft plus ftrepitus quam damni afrerre, rudibus fcilicet etiam tunc eius srtis initiis, non- dum enim improba hominum ingenia nitrati pulueris te- p. -9^ hementiam aur frmentorum magnitudinem eo prouexe- rant, quo prouecu noftra ac parentum no(tro:um \\ aetas fuam in perniciem ingeniofnTime nequanT. Plures dies ea oppugnatio tenuit fed vei nnllo vel Ieui efF.cTu - -- vbi ergo Nonnos trahi in longum ob- fidionem videt, ftmul ipfe morae w Prouinciae neceilitatibus vrgentibus ibluere obf coactus e(i loan- XXIV "#$ ) o ( p.$tf.S7' loarmes in Conctto Lufitanorum Rex defignatm Non- num Comitem ftabilem creat, qui eft proximus JR/£io faftigio gradus quafi afliduus Regi Comes, particepbque imperii Interea Baeticus reparare vires, nouum militem legere, nouas ciarTes aedifiairc, vt Auifienfem plus co- piarum cientem aggrederetur. Confuitiflimum autem pu- tabat, fi Olifiponem haud dubie rerum caput ej^oannis fidiflimurp praefidium interclufis maritimis commeatibus fame premeret , eaqua de caula Hispalim proficifcitur ad vrgendum .claflis molimen. Itaque eo inftante fpe cele- rius adornata claflis Hispali folnit breuique portum Olifi- p. 88. ponenfem inuehitur . ClalTi fatis erat virium ad oc- vcupandas portus fauces maritimamque nauigationem im- pediendam , non tamen ad oppugnandam vrbem copiae fuppetebant, fed impeditis mantimis fubuectionibus gratie incommodum opulentae vrbi afferebat. Qua de re loan- nes crebris Olifiponenfium nuntiis admonitus opem fi- demque eius implorantium , cum Nonno de liberanda ciuitate agit ; neque is ad iuffa ac pericula capeffenda fegnis eas partes libenter fuscipit. Igitur Portucale vr- bem , quae erat alterum Lufitanae libertatis propngnacu- lum , fe confert, at tommunicato cum primoribus eius «- p. pq. uitatis confilio agnouit Nonnus difrkulratem iuftae ckflis parandae , itaque alio cogitationes conuertit. Maxima pars regionis eius, quae Miniana a Minio flumine dici- tur et Interamna, quod duos inter amnes Durium ac Minium iacet, Baetici Regis partes Sacramentumque fus- ceperat. Commodiflimum igitur vifum eft regionem in- gredi ) 0 ( £&• XXV gredi infefto exercitu , vt Lufitanis nouo Regi ftudenti- bus fiduciae ac tutelae effet, caeteris veio terrori. Igitur Nonnus Interamnam regionem infefia manu in- greffus Neiuae Cafiellum recipit, Viannam vrbem, Cerue-p*9l-9^* rianos , Monfarenfes , Bracherenfes atque vna cum Rege 93« loanne Pontemelinam oppidum intercipit. 94* Fuit hoc bellum , ciuile externumque fimul , ideo- 96". que ea tempeftate magna transmutatio fortunarum fa- €t\ eft in vniuerfa gente Lufitana; nam cum plerique Lufitanorum Baeticorum partibus adhaefiffent , creuit noua nobilitas translatis bonis eorum in nouos homines qui Ioannem fequebantur. Olifiponenfes non iam metus inftantis nouae obfidio- p. 97. flis follicitabat, verum ipfa obfidio coepta, vrgebat. Igi- tur Ioannem orabant ne tam bene de fe mererites nouo atque integro obfidio premi pateretur. Ioannes pofi va- riam deliberationem Olifiponenfium precibus, fecundum Nonni p. 100. fententiam affenfus efi et cum hofie pugnam committere fia- p. 104. tuit in qua A. cIdccclxxxv. Baeticorum Regem vicit. p. 110. Nonnum cuius potitlima opera tnntam victoriam adeptus fuerat loannes Aurenenfis Comitis dignitate oppidique im- perio et redditibus ornauit. Paucos poft dies quieti datos Nonnus in Tranftaga- p. utf. nam regionem proficifcitur - - neque enim holtibus permittendum exiftimabat vt animos tanta clade percui- fos colligerent - - Stremotium igitur totius regionis prae- fidiis conuocatis pri noribusque in confilium adhibitis fibi d in xxvin •*«)©( ?&* Nonni libcralitatem verbis amplificant, non regiae folum. aequant, fed fupra iptam etiam attollunt. p. 161. Haec Regis animum commouiffent nifi infita pru- dentia exaggerata a. veris dittinguere nouiflet et Nonni fidem tam exploratam habuiflet vt labefacftari nullo mo- do poffet, At tamen priuati hominis magnitudini mo- dum cenfuit adhibendum eundemque caeteris primoribus quibus oppida aut redditus dominici iuris donauerat , im- p. 163. ponendum, quae controuerfia inter Regem et Nonnum per fontificem Eborenfem compofita eji. 164., ^t elapfis fexennalibus.induciis. cum nec prorogatae fuhTent, nec pax: conueniffet, bellum refumere neceffe 16$. fuit. Dionyfius enim Petri Lufitanorum Regis ex Agnete filius quum regio nomine infignitus regnum inuaderet Non- nus comperta eius; irruptione non, expectatis Regis fui mandatis qui ad extremos Lufitaniae fines in Calaicis ob fidione Tudis vrbis tenebatur, fumma feftinatione copias colligit et quam maximis itineribus obuiam Dionyfio ire %C6. contcndit. At Dionyfius iam antea certior factus Non- num cum copiis aduentare , exercitum reducit» . 168. Interea Baetici tantis. malis. fracti-- coepere ferio dc finiendo exitiali bello .. cogitare. . Binos vterque Regum induciarum pacisue conciliatores decreuit qui ad vtriusque regni confinia conuenirent vnusque communi vtriusque Regis confenfu Ambrofius de Marinis nominatus eft vt in pari numero tamquam in iudicio, vnde maior iu- dicum pars ftaret , ea vaieret fententia Lufitanus Nonnum etPontificem Conimbricenfem elegit qui pa&is prius trium men- •#*§ ) o ( JS<« XXIX menfium induciis vt de pace concilianda aut longi tem- poris induciis tuto tra&ari poftit. ineunte Februario anni DominL cbcccxcix. Oiiuentiam profe&i funt. At con- fumto per, difputationes induciarum tempore foluto^ con- grelTu Nonnus Eboram, \bi tunc Rex erat, fe recipit, ei- que venienti idem Rex fex millia pafTuum obuiam progre- dituiv. Defperata pace et apparatis — quae ad bellum opus^o-^* crant Ioannes Alcantaram oppugnare decreuit. Sed cum J73« obfeflis maiora in dies auxilia aduenirent. inde. deducere J74» exercitum vifum eft. Tandem in decennium induciae pac- tae , , redditis vtrinque oppidis et cafteftis dimiflisque fine pretio captiuis anno a Chrifto nato cb.ccccvn. caeterum annitente poftea Catharina Baeticae Regina quae foror erat Philippae Lufitaniae perpetua pax aequa . lege fancita i eft. anno cb.ccccxi., Erat Nonno filia nomine Beatrix: tantarum opum p- J7$° liaeres nam liberos ftirpis virilis quos fusceperat breui 17^ amifit. Rex qui periculofum ducebat eas ad priuatum hominem peruenire — Alphonfum quem caelebs fusce- perat collocandum puellae in matrimonium decreuit , id- que Nonnus libentiftime probauit; paratisque fumma cum omnium laetitia nuptiis in generum Barcellenfem Dy- naftiam multaque alia oppida et vectigalia transtulit Re~ gemque orauit vt generum Comitis dignitate exornaret, fe enim in illius gratiam pacto renuntiare de non crean- do Comite , , fe fuperftite \ indeque Alphonfns Comes Bar- cellenfis fa&us, qui poftea primus Brigantinus Dux fuit , a quo Reges Lufitamae flirpem virilem deducunt , cae- teri Chriftkni Orbis Reges foemineam d 3 P°ft xxx «&■; > 8 1 §*3 .«-■ p. 176 * Poft Tuec Nonaus cum filiam ex ariimi fententk collocauitfet, folutus iam publicis priuatisque curis, aedi- ficandis facris aedibus totus incubuit. Scd cum eflTet p. 177. Eborae fiineftus nuntius de filiae obitu fupra modum tanti viri animum afflixit, vt videretur eum cafum nequaquam pro caetera animi magnitudine tulifle. Caetcrum Ioannes' Rex bellum Mauritaniae inferre p. 179. (latuit — fadoque ingcnti apparatu et magna claflfe vna cum tribus libcrorum natu maximis et Nonno Olifipone p. 1S1. foluit anno Dnnini cbccccxv. Capta xn. Cakndas Jeptembris anrii Domhii cbccccxv. Septa vrbe Rex Nonno expugnandae arcis curam dedit quam poflero dic | cepit. p. 183. Haec — expeditio fuit Nonno vltimum operum bel- licorum cum annum aetatis ageret quinquagefimum quin- tum. Septem inde annos priuatus vixit, nullo nec mi- litari nec ciuili magiftratu funclus quos domefticis rebus componendis infumpfit perficiendoque operi templi Car- melitani - - illudque perfectum Deiparae cum dedicaflet Carmelitani inftituti fodalibus tradidit, feque eornm col- legio adiunxit , rebus humariis valere iuflis vt totus Diui- nis vacaiet et ne quid vmbrae dignitatis eo in ftatu reti- neiet , Sacerdotis gradum rccufauit, vt humillimis quibus- que rhinifteriis quae ad non initiatos fpectant, mancipa- tus degeret; coepit deinde per vrbem mendicare, neque Comes-Stabilis appellari iinebat, Nonni tantum nomine contentus. Sepul- »>&3 ) o ( £&• XXXI I Sepultas eft - - in cella maxima Carmelitani Templi p. 187. Olifiponenfis - - ad dextrum cornu arae maximae ma- gnifico in tumulo ex candidiflimo marmore. Sepulturae honorandae affuit Rex, liduardusque fiiius natu maxi- mus cum omnium nobilium coetu. Statura fuit modica, colore candido, facie oblonga, oculis paruis fed acribus, corpore obefo quam graciii propior. Firma valetudine vfus eft nec nifi femel atque iterum morbo tentatus. Nullum confilium cepit, nec vllam vnquam rem aggref- fus eft nifi prius adorato Numine inuocataque Deiparae ope et votis nuncupatis quae non folum fedulo foluebat,. fed etiam augebat. Multi vndique pietatis caufa ad eius fepulchrum conueniebant , idque diu celebratum eft, cum omnibus firma perfuafio eiTet per eius merita praefentem a Deo opem impetrari ad pellendos. morbos, fi aegri terram ex fepukhro fumptam in aqua ebibifient. Sed p« i^S, quanquam hac aetate concurfus ille vulgi refrixerit, ma- net, manfiiraque eft in fapientum animis firma opinio et exiftimatio de eximia viri virtute ac fandlitate, habent- que oxnnes perfuafiftimum Caeleftium numerum auxiffe. CLAS- Emendanda. Pag. IV. lin. 17. ct pag. XIV. lin. tf. ieg. Riteyro, Pag. V. fin. penult. leg. rfftptf. CLASSIS PRIMA CONTINENS MATHEMATICA. Tom. IX. A DIS- DJSSERTATIO HTDRAVUCA DE MOTV AQVARVM i%R VASA AVT PER CANALES QVAMCVNQVE FIGVRAM HABENTES FLVENTIVM. AVCTORE loh. Bernoulli. PRAEFATIO. HVdroftatka , quae agit de aquis ftagnantibus in Tabuia t vafis inferius claufis , habet fuas leges demonftra- tas atque principia ex ratione deducia , vnde ef- jecius et phaenomena clare et dilucide explican- tur , ita vt circa hanc fcientiam vix amplius quid defide~ rari poffit. Aliter fe res habet in Hjdraulka , vbi mn tantum de grauitatione aquarum earumque preffwnibus agi~ tur : fed praeterea motus qui inde nafcitur , fi aquae per datam aperturam pojjunt effluere , autfi ex vno tubo in a/ium diusrfae amplitudinis transire coguntur , atque aiii ejfeclus admirandi , qui eum motum comitantur, demonftratiue deter- minari debent. Haec certe fcientia , vulgo Hydraulica diclay admodum eft ardua, neque adhuc ad leges regulasque me~ shankas reuocata habetur \ quicquid Auclores ea de re feri- A fc pferunt. 4 DE MOTV AQJARVM pferunt , vel fola nituntur experietia, vel rationibus incer* tis omnino parumque foliditatis habentibus. In opere hydrodynamico , qttod non ita pridem in /«- cem edidit Fi/ius meits , fettcioribus aujpkiis aggreffus efi materiam ijlam , fed fundamento nixus indire&o , conferua- tione Jcilket virium viuarum , licet verijfimam atque a me demonllatam , nondum tamen ab omnibus Ihilofophis rece- ptani, primus ego hanc hypothefin adhibui in Dynamicis folidorum, {pofiquam Hugenius fimili principio pro centro of- cillationis determinando vfus efi) oftendique eandem confian- ter ex illa hypothefi folutionem e/ici, quam dant ordinaria principia dynamica , ab omnibus Geometris admiffa °, quae fane perpetua fo/utionum , vtraque via erutarum , conformi- tas vel fola fitjjiceret ad conuincendam aduerfariorum obfii- natimem. Diredmi methodum, qua a priori et per fo/a dynamices principia inueftigari pofflt natura motus aquarum ex vafis per foramina erumpentium aut per cana/es non vniformis amp/itudinis fluentium , hattenus dedit nemo. Miratus vnde tanta difficu/tas , vt in fluidis nm aeque ac in fo/idis fuccedat prlncipiorum dynamicorum ap- p/icath, tandem rem acrius animo vo/uens detexi veram difficu/tatis originem , quam in eo conffiere deprehendi , quod pars quaedam virium prementium impenfa informandum gur- gitem (a me ita diciwn, ab a/iis non animaduerfum) tan- qnam nul/ius momenti fuerit neg/ecla et infuper habita , non aliam ob caufam, quam quia gurges conflatur ex quantitate fliidi perexigua ac ve/uti infinite parua, qua/is jormatur quotiescimque fluidum transit ex loco amp/iori in anguftio- rem ve/ vice verfa ex angufiiori in amp/iorem. In priori cafu PER VASA AVT PER CANALES FLVENTIVM. 5 caft jlt guges ante tranfititm, in altero poft tranfitum. Demonft a» au^m ad jormandum gurgitem , quantumuis par- uam hubeat mokculam , requiri tamen vim prementem non infnfibilsm nedum ivjinite paruam, Jed Jinitam ac determi- natam , adeoque neutiquam contemnendam , Jed dignam omni-* no vt in computum veniat: Nam vis illa ad hunc ejfeClum requifita, qmd mirum vidri poteft , plane non dependet ab extenfione gurgitis , qui maior minorue concipi poteft , modo concipiatur vt valde paruus , Jemper eandem ad Jui forma- tionem abjumit partem virium prementium, manentiuus cae- teris circumftantiis. 0'iid fit gurges ac quomodo formetur , ex ipfa rei tra- Batione inteUigetur , fimulque patebit , formationem gurgitis peragi fine dtypendio fenfibili virium viuarum refpeclu quan- titatis earum, quae eft in totali majfa aquea ; hinc elucfcit ratio, cur tuto et fine errore adhiberi pojfit theoria virium viuarum in Hydraulicis, etiamfi ad gurgitem non attendant illi, qui hac Theoria vtuntur ; ditmmodo gurgitis exiftentiatn non ignorent , vidmntque illum nihil derogare virium viua~ rum conferuationi , Jecus enim contendere non pojjunt , Je rei veritatem perjecie et Jcientijice conjecutos ejfe. Disquifitionem hanc abfluam duabus partibus \ Inpri- ma confiderabo phaenomena aquarum fluentium et effluentium psr vafa cylindrica aut prismatica , fiue fint fimplicia , fiue ex phribus compofita, vt fint canaks ex variis diuerfae amplitudinis tubis Jeu Jyphonibus cylindricis coagmentatis. In altera parte perjcrutabor omnia vniuerfali/fime , cuius- cunqite fint figurae tam regitlaris quam irregularis vafa per~ jorata ipfisque adaptati canales ac tubi. A 3 Ai 6 DE MOTV AOVARVM Ad clariorem rerum intelligentiam praemitto definitib* nes atque lemmata fequentia, quorwn veritas ex Djnami- ris tum ex Hjdroftaticis cfi manijefta. i. Vis acceleratrix vniformis eft , quae dato corpori dato tempore velocitatem imprimit. 2. Vis motrix eft , quae quando agit in corpus quie~ fcensy illud in motum concitat , aut quae corpus iam mo-* tum vel accelerare vcl retardare vel eius direclionem mu~ tare poteft. 3 . Vires motrices funt in ratione compofita ex ratione maffarum et virium acceleratricium: Sic ex.gr. ad mouen- dam maffam duplam cum vi accekratrice tripla , aut qi&d idem eft ad mouendam maffam triplam cum vi acceleratnce dupla requiritur vis motrix fextupla. 4. Vis motrix diuifa per maffam dat vim acceleratri- cem, per hanc vero diuifa dat maffam. 5 . Grauitas abfoluta g , feu caufa grauitatis , quaecunque illa fit , eft vis accekratrix , quae cum animat determina- tam maffam corporis m , producit in illa vim motricem ~gm; Ucebit autem in mente noftra eam feparare a corpore et ita confiderare tanquam extrinfecus in corpus ageret: con- cipimus vtique idem illud corpus grauitatis expers a vi mo~ trice externa gm eadem lege acceleratum iri% qua acce- leratur naturaliter. lllam autem vim gm extra materiam exftentem, vocare lubet vimmotricem immaterialem ; vnde fi illa aliorfum translata agat in aliam maffam M , ac- celerabitur haec vi acceleratrice zz.g^. 6. Vis PER VASA AVT PER CANJLES FLVENTIVM.^ 6. Vis motrix immaterialis atque inuariabiUs , agensfine impedimento in corpusy eodem modo illud accelerat fiue ad- huc quiefcat fiue iam fit in mo$u\ cum enim vis illafem* per comitetur corpus , nullum inter fe habent motum rela- tiuum , adeaque vis motrix eodem modo agit in corpus mo~ tum , ac fi vtrumque omnino quiefceret. Haec caufa eji cur corpora grauia inter cadendum continuo et vniformi- ter accelerentur fecimdum tempora •, fuppofito fcilket inten- fitatem vis acceleratricis non mutari inter agendum , hoc efty neque augeri neque minui,ficuti reuera vis grauifatis eandem continuo feruat intenfitatem in corpore graui defcen- dente aeque ac ab initio defcenfus. 7. Intenfitas vis motricis inuariabilis 7 dicitur menfum fecundum quam in corpore mouendo producitur maior minorue vis acceleratrix : Sic grauitas in corpore verticaliter caden- te maiorem habet intenfitatem, quam ea in eodem corpore fuper plano decliui delabente \ in primo enim cafu maior producitm" vis acceleratrix quam in altero, in vtroque au- tem grauitas efi inuariabilis. 8. Vis' mofrix variabilis efi cuius intenfifas mufafur w etgendo, fic ex. gr. vis elajiri fen/i ab inifio relaxationls maiorem habet intenfitatem, per confequens mawrem impri-* mit corpori propeilendo vim acceleratricem quam in pro- grejfu relaxationis \ De his haec habetur regula : Sit fpa- tium a corpore percwfum zz x r maffa corporis propulfi zn m, vis motrix in fine fpatii percurfi zz p , velocitas acquifita =rv, tempus per x~t, proinde dtrr^; erit ^— feu ^V = #v r ideoque f p d x cr l rn v v \ id quod notijjimwn eft. 9. Pdf~ 8 DE MOTV AQVARVM 9. Partes inferiores aquae in vafe aliquo contentae pre~ muntur a juperincumbente majja aquca fecundum folam pro- funditatem , quamcunque vas habeat Jtguram , hoc efi , fi mafja aquea cogitatione diuidatur in firata horizontalia in- finite paruae crajfitiei , vnumquodque ex ilhs ftratis tantun- dem premitur ac fi illi incumberet cylindrus aqueus eiusdem altitudinis quam efi ea^ quae in vafe refpondet pnjundttati ipfius firati. 10. Hinc recte colligitur: Si amplitudines firatorum ean- 1 u III dem crajfitiem infimte paruam habentium fint m,m , m , m, 1 11 iii etc. eorumque adeo ponduscula propriafint etiam vt m, m,m,m etc feparari poterunt per mentis abftra&ionem afiratis ipfo- rum grauitationes , ita vt eorum fola fuperfit materia fine pondere , fed fi ablatarum grauitationum Ioco totidsm aliae fubftituantur , quae iunclim premant jupremam aquae fiiper- ficiem, obferuando nimirum in fingulis hanc analogiam, vt fit amplitudo cuiuslibet firati ad amplitudinem fupremae fu- perficiei ita grauitatio propria firati ad grauitationem fub~ fiituendam: Orietur inde in fingulis firatis eadem prejfio , ac fi manfijfent in fiatu fuo naturali. 11. Voco translationem jubjlitutionem illam mentalem: Vt me explicem , habeat ftratum aliqu d ex injerioribus atn- plitudinem zz m , eius grauitatio vel p mdusculum proprium zzn\ amplitudo firati fupremi zz h, erit grauitatio trnns- *ata ad fuperficiem fupremam zz~ir, quae cum reliquis omnibus ita translatis cvftituit totam vim motricem imma- terialem, qua omnis aqua in vafe deorfum vrgetur eoaem modo ac fit naturaliter. Mo- PER VASA AFTPER CANALES FirENTWM^ Monitum. Monere iam conuenit in anteceffum, me per totam hanc traffationem de motu aquarum fluentium abflrahere a confideraticne impedimentorum peregrinorum et accidentalium , quae aherare poffunt motum per regulas determinatum^ Tdlia impedimenta Junt aquarum imperfeffia fluiditas , item tllarum adhaefio atque jri&io ad Iatera vaforum, nimia tuborum gracilitas , foraminum feu luminum anguflia , iench citas particularum fluidarum ob quam non facillime a fe inuicem fecedunt , et quae funt alia huiusmodi ad quae non attendo. Hoc quoque notari velim, non effe abfolutae ne- ceffitatis vt femper aquarum flrata in fitu horizontali con- cipiantur , commodius illa finguntur perpendicularia ad dire- ITionem motus aquae^ fic ex.gr. cum aqua ex vafe am~ pliori transfluit in tubum angufliorem horizontalem cuius orificii vel luminis area fit in plano verticali et ad latus tubi re&o, aqua in tubo contenta re&ijfime diuidi concipi- tur in ftrata verticalia et plano luminis parallela , eoque magis quod ipfa natura hunc quafi fitum affeffat \ videmus enim columnam aqueam in tubo aliquo duas lineas in dia~ metro non multum excedente habere ambas fuas fuperficies extremas dispofitas ad fitum perpendicularem lateribus tubi^ quamuis tubus ipfe fit ad horizontem obliquus vel omnino horizontalis. Linea coniungens centra grauitatis ft atorum, fme flt recia vt in tubis re&ilineis , fiue curua vt in tubis cumilineis , vocabitur Linea centrica vel fimpliciter centri- ca; flngula quippe ftrata quoad materiam in centris fuis colle&a eum habere motum cenfentur quam ipfa habent ftrata. Tom. IX. B DIS- io DE MOTV AQVARVM DISSERTATIONIS HTDRAFLICAE PARS PRIMA AGENS DE MOTV AQVARVM PER VASA ET CANALES CYLINDRICOS QVF EX PLVRIBVS TVBIS CYLINDRICIS SIBI INVICEM ADAPTATIS SVNT COinFLATL D 5.. x. Figura 1. ^Etur primo canalis A B C F D E compofitus ex duo^ bus tubis cylindricis diuerfae amplitudinis AGDE et GBCF, quorum ille fundum GD apertum habeat fbramine GF per quod communicet cum tubo angufliori BC. Sit vero totus canalis BE plenus liquo- re homogeneo, per fe nullius grauitatis, fed vrgeatur a parte orificii AE data vi motrici ~^>, quae aequaliter premendo expandatur per totam fuperficiem liquoris A E ; quaeritur lex accelerationis , qua liquor per canalem pro- fluet. Suppono autem canalem femper manere plenum liquore, quod fit concipiendo, fuppeditari iugiter aliunde nouam materiam liquoris eadem quouis momento veloci- tate in tubum GE fubingredientis ad refarciendum id, quod per alterum orificium G F egreditur in tubum G C, atque ex hoc ipfo per lumen BC in auras dilabitur. §. 2. Ex hydroftaticis affumfi vim motricem p im- m.uerialem, qua premitur fuperficies liquoris AE, propa- gari TER VASA AV^PER CANJLESFLVENTIVM.il gari in inftanti ad fuperficiem GF liquoris in tubo BF contenti, idqae fiue ftagnet liquor in toto canali , fiue fluat diimmodo plenus maneat. §. 3. Dum tranfit liquor ex vno tubo in alterum , mutabinir vtique velocitas in ratione reciproca amplitu- dinuni; at nulla mutatio eft fubitanea, fed fuccefliua et gradualis, procedens per omnes poflibiles gradus inter- medios a minori ad maioremi, vel a maiori ad inino- rem. §. 4. Hinc quando fluit liquor motu parallelo, ita vt quolibet momento eadem inftt velocitas fingulis par- tibus liquoris in dire&ione ab A E verfus G D , antequam partes ipfi GF proximae perueniant ad orificium GF, oportet vt per diftantiam (altem minimam HG, inci- piant accelerari et accelerando pergant donec in ipfo in- grelTti GF acquifmerint velocitatem liquoris per tubum BF fluentis motu pariter paralielo fingulisque partibus communi. §. 5. Formatur itaque pro latitudine indefinite par- ua HG, aliquis quafi gurges IFGH ex lato in angu- ftum coar&andus , per quem iiquor continua acceleratio- ne, fed tamen per gradus, adauda perlabi debet, ma- nente portiuncula quam minima liquoris (quae replet fpa- tiolum IFD) in quiete perpetua. §. 6. Sit curua IMF terminans gurgitem cuiuscunque naturae, neque enim necefle eft eum fupponere alicuius determinatae figurae \ mox enim demonftrabo, eandem lemper requiri vim motricem ad id vnice deftinatam B 2 vt n de motv aqvarvm liquor per gurgitem cogatur, qualemcunqje habeat lati- tudinem HG, modo fit infinite parua, cx cuiuscunque fit naturae linea I M F , quae connedit extremmtes I et F. §. 7. Nemo putet vim illam motrkem (cpie exi- guam adeo imo infinite paruam portiunculam Hquoris per gurgitem protrudit) debere et ipfam effe infinite par- uam adeoque contemni poffe. Eft enim omnino finitae quantitatis illa vis motrix, ideo quia fi quantitas mate- riae mouendae eft infinite parua , ex altera parte vis ac- celeratrix debet effe infinite magna* ad id nimirum vt tempusculo infinite paruo, quo liquor percurrit fpatiolum HG, generari tamen poffit mutatio finita in velocitate, vtpote ea quae fuerat velocitas in H ad eam quae iam eft in G, fe habet vt GF ad HL §. 8. Negle&io huius vis motricis, tanquam nullius momenti, in caufa fuit, cur nemo ad hunc vsque diem extiterit, qui ex principiis ftaticis et pure mechanicis dare potuerit leges liquorum per canales non vniformes fluentium, fed quicunque fusceperunt illas exacfte deter- minare , recurrerunt meo quidem exemplo ad principium virium viuarum , de cuius applicatione ad hoc negotium aliaque in folidis aeque ac in rluidis forfan nunquam co- gitaffent, fi me praeeuntem non habniffent, qui quippe primus docui hunc vfum deriuare ex conieruatione vi- rium viuarum. Sed ipfe ego non fatis contentus indi- recta hac methodo, vtpote fiandata in theoria illarum virium a multis nondum admiffi , non deftiti inquirere in methodum dire&am, quae niteretur vnice ^principiis dynamicis a nemine negatis > donec tandem p@ft medita- tionem PER VASA AVT PERCANALES FLVENTIVM.i$ tionem longiusculam anno iam 1729. votikcompos fa- clus vidi totins rei cardinem verfari in contemplatione gurgitis, antea a nemine animaduerfi ; nunc itaque in- uenta mea, Amicis quibusdam priuatim explicata, etiam cum puMico communicare confultum duco: hunc in fi- nem gargitis generatione iam indicata, inceptum lubet qua potero perfpicuitate profequh §. 9. Concipiatur abfcifla HL = *, applicata LM SV-i at9ue prioris elementum Llzzzdt\ dicaturque tubi HE amplitudo AE feu Hlzzzh, tubi GC amplitudo BC feu GF =:;;/, lkjuoris in tubo GC velocitas zzzv, adeoque liquoris in tubo HE velocitas erit zzz^v, funt enim velocitates amplitudinibus reciproce proportionales , ob eandem rationem erit in quolibet gurgitis loco liquo- ris LMml velocitas -=f^= — cr*I*i vnde emergit s — ^=r— ^,, id quod dat hoc Tbeorema hydraulkum. Theorerm. §. io. Sit vas cylindrkum AGFE vertkahter ere- Fi&m *< Etum injiru&umque ad fundum tubo cylindrko horizontali F B vtrinque aperto ; fit item tam vas quam tubus aqua iugiter plenus , vt nimirum tantum aquae eadem velocitate quam habet aqua in vafe continuo fuppeditetur per A E , quan- tum effluit per lumen BC: Dico velocitatem aquae effluen- tis (fi illa nafcatur ex quiete) conuergere citijfime ad eam quae acquiritur a graui libere cadente per altitudinem — 'hh—mm*) a^us' ^eritas patet ex CoroII. 3. praec. Corollarium r* Vnde fi lumen BC fit valde paruum refpectu am- plitudinis vafis AE , adeo^ vt mm negligi poflit refpedlu hhT prodibit zzzar hoc eft, velocitas aquae efHueritis ex tubo erit aequalis- ei, quam graue libere delapfum ex al- titudine EF acquirit. Qiiod eft theorema notiffimum, fed ex principiis dynamicis nondum hucusque demonftra- tum, praefertim fi adfuerit tubus BFadaptatus, cum an- tea creditum fuerit theorema valere tantum pro parua foramine ad F fuppofito, Corollarium 2, Quo maius eft lumen BC refpeftu amplitudinis va- fis AE, eo maior fit velocitas maxima aquae eifluentis ; au&o i* DE MOTV AOVAWM auclx> enim m augetur valor fra&ionis -hh™mm : donec euadente mzz:h, velocitas maxima fit infinita, quod ve- rum effe vel hinc quoquc patet, quia tunc et vas et tubus funt eiusdem amplitudinis, formantque \num con- tinuum tubum reflexum, adeoque vis ponderis aquae in parte A F femper plena accelerat totam maffam aqueam , vt tandem eius velocitas tempore infinito generata fiat et ipfa infinita. Nam dicendo longitudinem.tubi FC=z£, mafla omnis aquae in tubo refiexo AGC erit zzha -\-hb, eaque non aliter accelerabitur quam corpus ali- quod folidum quod animaretur vi acceleratrice ~-f£p&T = C?+-T> ta*e vticlue corPus cadendo per tempus infini- tum acquireret velocitatem infinitam. Corollarium 5. Si vero m maius effet quam h, id eft, fi tubus liorizontalis amplior efTet quam vas verticale, velocitas maxima nunquam et ne quidem tempore infinito dare- tur, foret enim ^zr^ negatiuum ; indicio quod durante fluxu in aeternum acceleratio aquae effluentis incremen- tum capere non definet: Hoc enim in cafu fiet in tubo gurges inuerfus refpiciens orificium BC, qui vt ex fe- quentibus patebit eam habet naturam, vt vim motricem adiuuet potius quam diminuat, dum kCe quafi fubducit prefiioni a tergo venienti, quo aqua in vafe liberius de- fcendere queat. Scholium. Hucusque confiderauimus vas et tubum aquae con- ftanter plenum , atque effluentem aquairr in maxima fua velo- FER VASA AVT PER CANALES FLVENTIVM, Vj velocitate adeoque aequabili feu vniformi, quo fit vt nulla amplius requiratur vis motrix ad aquam acceleran- dam neque per vas neque per tubum , led vis motrixp tota vfurpetur ad coercendum gurgitem, qui fbrmatur ante ingreffum ex fpatio ampiiori in anguilius. Nunc con- templabimur velocitatem fiuxus aquae tanquam crefcen- tem atque initium fuum a quiete fumentem ; ita vt ad acceierationem procurandam tam in \afe quam in tubo fua pariter peculiaris pars \is motricis^ requiratur. Exa- minabimus primo cafurn, quo vas cum tubo conftanter plenum fupponitur. §.u. Sit x longitudo fpatii quam aqua ex quiete in tubo percurrit, erit ™x longitudo quam eodem tem- pore percurrit in vafe; fic pariter exiftente velocitate in tubo — v , erit quoque velocitas in vafe zz ™ v ; vnde vis acceleratrix in tubo ^, eaque multiplicata per maf- ^ i i i • • mbvdv -,.,,_» /„_>« fam aquae mb dabtt vim motncem zz — -^- » quae (per §. 2 ) translata in vas dabit aequipollentem — j^- , a qua nimirum illa in tubo ^x- produci poteft. Ita quoque vis acceleratrix in vafe zz^vdv.^dxzz -^- , quae _. - _ . . _ mavdv % du&a in marTam ha, dat vim motncem = dx aa aquam in vafe propellendam , atque fic fumma tnum vi- rium motricium per gurgitem , per tubum et per vas debet aequare vim motricem totakm />, \nde brec no- i • r, • hh — mm , hbvdv . m v v — .. bis refultat aequatto - 2b vv-h-jx- -+- *x - Pi Efto igitur, vt ante, p ipfum pondus columnae aqueae — gha, et fiat vt in Coroll.3. §■ 9- gzzz\vv, quibus r \ a- ,.. • 1 • hh—mm„ , hbdz mad% iubftitutis prodibit haec aequatio — — £ -r- ~d^~ H" dx Tom. IX. C == ha> 1$ DE MOTV AQVAKVM zzzha, fe\\(hh-mm)zdx~\-{hhb~\~hma)dzzz:hhadxy vnde Jx-^gjjfc^, quae debite tradata et inte- . ., . . . ,bbb-+-bma. lf bha . grata per loganthmos dabit X~(-kb=nm~ )x/iftra+«) vnde progrediendo ad numeros (alTumendo izz./f)y zzzz (t^^t) x C1 ~7~m^ )• , id qnod dat cafum maximae velocitatis , ad quam fluxus conuergit ent , i : j %hb-+-bm~a~ x — ° > adeoque zzzzh°^mm pro grauitate naturali^, quod omni- no conforme eft Coroll. 3. §. 9. atque fi praeterea m eft infinite paruum refpeftu ipfius #, prouenit zzzza, pror- fus vt habetur in CorolL 1. §. 10, quae methodum egre- gie confirmant. Figum 2. §. 12. Expendamus nunc cafurn , vbi vas AFaqtia non manet plenum , fed pro menfura aquae efHuentis paulatim exinanitur eiusque fuperficies AE continuo de- fcendit. Finge aquam in tubo horizontali percurriffc lon- gitudinem x , proinde ex eo effiuxifle ( fuppono enim vas et FER VASA AVT FER CANALES FLVENTIVM. iP ct tubum ab initio plcnum efle ) quantitatem aquae zzmx hoc eft, — cylindro aqueo cuius bafis eft m et longitu- do x\ Qiiod fl igitur in E F fumatur pars EIz=~r perfpicuum eft, horizontalem HI efle locum fuperfkiei lupremae ad quam aqua defcendit in vafe , poftquam aquae pars mx effluxit per tubum : Reftabit ergo in vafe co- lumna aquea Gl~ha-mx, cuius pondus g(ha-mx) iam eft id ipfum quod vocanimus p. Sic itaque vis ac- celeratrix aquae reftantis in vafe ( quae jn §. IIb gene, raliter inuenta eft zz:1^— ) fi ducatur m maffam aqueam quae nunc eft ha~mx, habebimus vim* motricem rz: Tjr(ha-mx) quae competit aquae per vas detruden- dae, vnde iam colligendo tres vires per gurgitem, per tubum et per vas, aggregatumque aequando ipfi py hoc eft, ipfi g(ba-mx), lucrabimur hanc aequationem hb — mm . . , hbvdv . mvdv , 7 „ s f T -7h—vv-+--te7.^ Wd^-(ha-™x)~g(ha-mx), vbi fubftituendo gdz pro vdv, et gz pro tvkf-, vt fe- cimus in Coroll. 3. §. 9. mutabitur noftra aequatio in hanc ,. hh—mm , hbdz , mdz,*^ s / z. t. i •. -, aliam — 5 — z -f- TiT-^rTdk (" a~m x) — (hha-h m x)dx. Qiiae vera eft aequatio , ex qua fi eruatur valor ipfius z , habebitur altitudo per quam graue libere delapfum acqui- ret velocitatem quaefitam, nempe aequalem illi quam habebit aqua in tubo poftquam quantitas mx ex eo e£- fluxit: Poteft autem aequatio inuenta, in qua indetermi- natae permixtae reperiuntur , per regulas noftras (ope lemmatis mox fequentis) integrari , atque ita innotefcet valor ipiius z in terminis finitis: interim hoc loco ei negotio diutius non eft immorandum, iufricit mihi pro- C 2 blema ,o DE MOTV AOVARVM blema reduxine ad aequationem differentialem vtendo prin- cipiis pure mechanicis, quod an a quoquam alio ante me praeftitum fuerit haud recordor me voquam vidiffe. Scien- dum vero ipfiftlnam hanc aequationem inueniri per me- thodum virium viuarum, ita vt et hoc nomine vfus il- larum atque bonitas feie commendet contra Aduerfa- rios. Corollarium r* Vr *w,rrr»'netur maxima velocitas liquoris effluen- tis, tum et ea in vafe defcendentis , ponendurn eft tan- tum dzzzo, quo fadlo aequatio noftra fuppeditabit (bb — m m zzzhha — h m x , proinde z = -h sEjjEr > quod ,. cum adhuc ipfum x incognitum in fe contineat, nihii quidem determinat, nifi valor ipfius z fimul etiam ex aequatione generalt eruatur. Corollarium 2. Si m fit valde paruum refpectu ipfius h, aequatia generalis hanc induit formam zdx-\-bd z~adx , vnde bdz a ixzz— , quod dat zzza-j-^, ; Ergo vt in hoc cafii z fit maximum oportet x e(fe infinitum , et tunc fier zzza, quod quidem ex ipfo dx ~ \zz\ > feu ex dx (a-z)zzbdz ftatim colligi poteft, taciendo eriim pro- pter maximum z, ipfum dzzzo, ac proinde zzza. Vnde iterum liquet in vafe ampliflimo aquam per an- guftiflimum tubum erHuentem ftatim acquirere velocita- tem maximam ac poltea femper aequabilem atque aequa- lem ei quam graue libere cadens ex altitudine vafis ac- quireret , vc fupra in Coroll . i . § . p. inuenimus ; hoc quippe in PER VASA AVT PER CANALES FLVENTIVM. 21 in cafu vas confiderari poteft tanquam femper plenum, quia ob vafis infinitam quafi amplitudinem refpedtu ha- bito ad tubi anguftiam , requireretur vtique tempus etiam quafi infinitum antequam in illo defcendat aqua fenfibi- liter. §. 13. Ecce nunc alium cafum: Sit tubus (qui ab initio ante fluxum vsque ad C aqua plenus ponitur) in- deflnite continuatus, ita fcilicet vt defcendente aqua in vafe, nihil extra tubum eftTuere poftit fed femper quic- quid liquoris ex vafe defcendit in tubum id vna cum eo quod iam inefTe fupponitur iunctim propulfum intra tubum fluere cogatur: Qiiaeritur lex accelerationis et velocitas ipfa pro quolibet fpatio intra tubi cauitatem percurfo; vis acceleratnx in tubo hic etiam, vt in §. 11. often- fum eft, erit ~*^, fed mafTa aquae propellendae nunc eft zz.?nb-{-mXy per quam vis acceleratrix ^~,mul- tiplicata dat vim motricem in tubo — 2j2^H±tef quae tran&lata ad amplitudinem vafis dat vim motricem 11 r bbvdv-\-bxvdv <. r aequipollentem m \afe zz. j~ } Atque fic con- iunclis tribus viribus motricibus per gurgitem , per tu- bum et per vas, iisquc aequatis vi motrici totalip, pro- dibit pro vafe femper pleno ab affluente noua aqua haec A »:^ bh — mm n%mm , bbvdv-4-bxvdv mavdv , aequatio -^— vv-i d- -f--^ — __ pzzgha, (conf. §. 11. ). Sed pro vafe nihil noui liquoris acci- piente, haec altera »^vi+^^b»52i»+^ (ha — mx)—pzzg[ha — mx), conf. §. 12., fiibftituto^ pro \ v v , aecjuatio prior dat ha nc (hh~ m m ) z dx-{- (hhb-\-hma-\-hhx) dzzzhhadx \ pofterior vero C 3 faanc DE MOTV AQVAWM hanc (hh-mm) zdx-\-(hhb-\- hma-\-hhx-\-mmx) dzzz(hha-hmx)dx. Vtraque autem aequatio inte- grari poteft per lemma fupra promifliim, quod nune demonftro. Lemma. §. 14. Sit aequatio integranda (ct quidem fine ne- ceftitate feparandi indeterminatas ) azdx-\-(%-\- yx)dz zzz{e-\-^x)dx\ fcribendo y pro £ -f- y x , vnde dx ~ ^, aequatio mutatur in hanc ^zdy-\-ydzzz (e-\- Qx) dx\ qua multiplicata perj^""1 habebtfnr^s/f-T1^ ^y^dzzz(e-\-Qx)dxxy^~*zz(e-^Qx)x^-hyx%-1 ydx\ integrando prodibit y~zzzf(e -\-Qx)x^(%-\-yx) '^ydxzz^-^yx)^(e-{-^)--J^^yx)^ydx-^ (%-\-yx)^*(e-\-to)-zzz^(%-\-yx) *-y- - £ ^07 4- ^l^y E—1^. Notetur hic, duos poftremos terminos adiectos efTe more folito ad re&ificandam aequationem , vt ni- mirum euanefcente x , etiam euanefcat z. Diuidatur nunc aequatio per y~ hoc eft per (§+yi)*, vt emergat valor verus ipfius z , nempe z zz * (e-\-$x) - zzj^z(%-\-yx) \aa-t-ya 7 a 7/ *) — ■ §. 15. Vt igitur huius applicatio fiat ad priorem aequationem (hh-mm) zdx -\- (hhb-\- hma-\- hhx) dzzzhhadx , erit hic a zz h h — m m , %zzhhb-\-hma, yzzhh, ezz hhay et Qzzo, quibus furrogatis obtine- bitur FER VASA ET PER CANALES FLVENTIVM. ±% U\tn\' ~ hh(t hka (hhb-+-hma) ~~hh~~~~ fl^UJ i z. — hb — mm -\-bbx) hb , vel quod idcm eft, # — . hha v bh 771771 * (bh-4-mm x bb-+-ma \ bb ) c i /i . ^-(^M^a^r&T) A Mn vero ad poftenorem, vbi az-zhh-mm, % = hbb-\-hma , y — hh — mm s ezzzhba, Qzz-bm, refultat z — ^— -j- -jkP-~-— t* 1 ' nb — 771771 i z.[bb — mm)* x(hbb-\-hma-\-hhx-~mmx)-^(7u^^-{hhb-\- hh n hma)~ — hh^i~m- * b bb-h bma)x(bhb-t~bmabbx —mmx)--- , quibus in ordinem digeftis rite proceden- j . i bhax—lhmxx do, emerget tandem z zzz — * «, bbb-t-bma -+- Afc* — mmx Corollarium !♦ Si f» refpectu Z? eft valde paruurn, habebitur prO vafe femper pleno s=:^-x, pariterque pro altero dafu prodit srz.g^, quod quidem omnkio ita euenire de^ cet, quia enim ob m inlinite paruum, aqua tempore infinito opus habet ad effluendum, antequam fuprema eius fuperficies in vafe ampliflimo fenfibiliter defcendat, pa- tet vtique perinde efie ac fi femper plenum maneret vaS 9 ac proinde hi duo cafus in eundem prorfus recidunt. Corollarium 2* Si ^zro, hoe eft, fi in tubo horizontali indeflnite longo F B , ab initio fluxus nihil aquae contineatur , erit / hh 77t77l\ pro cafu vafis femper pleni z - jg-Ai -(*£&) * ) fed 24 BE MOTV AQPAE fed pro altero cafu nihil noui liquoris accipientis, erit z~ bbax-lbMxx _ In hoc poftremo cafu ^ quoque hma-\-hhx—mmx notari dignum eft , quod eo momento quo fuperficies li- quoris ad fundum vsque vafis defcenderit, id quod fic fumendo xzz\*% futurum fit zzzzla, hoc eft, veloci- tas aquae in tubo poft totalem vafis depletionem erit ea quam graue acquireret cadendo ex dimidia vafis alti- tudine. De Canali trium pluriumue tuborum. Figura 3. §. 16. Sit nunc Canalis AL conftans tribus tubis AD , G C , BL ac totus aqua plenus: Sitque vis motrixp, quae expanfo vniformiter per fuperflciem A E eandem premat vel vrgeat, quaeritur acceleratio et velocitas adualis, qua cum aqua ex tubo BL erumpit. Ante omnia hic notandum , duos fieri gurgites breuiflimos , vnum in tranfitu per GF, alterum in tranfitu per BK, qui finguli fuam propriam requirunt vim motricem transferendam ad am- plitudinem AE, quibus dein addendae funt vires motri- ces columnarum aquearum in fmgulis tubis contentarum poft translationem earum virium ad amplitudinem A E \ quo fadto fumma omnium harum virinm translatarum aequanda eft vi motrici totali p, vnde refultabit aequa- tio quaefita. §. 17. Sint igitur longitudines tuborum AGrr^, GBrr£, BMrr £, eorumque amplitudines AErr£, G F— m , BKrz«; dicatur hic etiam velocitas in tubo vl- timo BLrr, velocitas in tubo fecundo GQzzuzz^v* velo- TER VASA AVTPER CANALES FLVENTIVM.i* velocitas in tubo vltimo BLzro?, velocitas in tubo fe- cundo GCzzuzz: ^v. Erit itaque per ratiocinium §. 9. adhibitiim , vi9 motrix in fupcrficie AE requifita pro gurgite per GF~ 1^~l~ uu~ ( fubftituendo valorem ipfius uu qui eft ^vv) !^2Mwj item yis motrix in tubo GC requifita pro gurgite per BR-^-^u, haec vero translata ad ampiitudinem AE, faciendo vt m ad h lta —^— vv ad -7^ — w, dat vim mo- tricem in tubo primo AD ad gurgitem producendum per BK \ adeoque ambae vires fimul fumtae — ^^Jzr^vv -4-*-=£s-™, hoc eft ^~^-vv feu $&*«), ~p. Atque ita determinata eft velocitas fluxus per tres tubos, poftquam iili ad aequabilitatem peruenit. Corollarium. Hinc patet , aquam per tres tubos eodem mo- do moueri , ac fi fecundo remoto tertius immediate pri- mo effet adaptatus, pofito fcilicet fiuxum ad fummam et aequabilem velocitatem peruenifTe^ imo porro nunc liquet, qnotquot fupponantur tubi, vires motrices pcr gurgites fmgulos translatas ad tubum primum et iun&im fumtas , aequiualere in motrici \nicae in tubo primo ad- hibendae ad gurgitem vnicum , qui fieret adaptando im- mediate tubum vltimnm ad tubum primnm , adeoque eandem in vtroque cafu fequi aequabilem velocitatern, ad quam conuergit fluxus , fiue transeat aqua per totum ca- nalem ex omnibus tubis compofitum , fiue tantum omif- Tom. IX. D fi» 2,6 DE MOTV AOJARVM fis intermediis per primum et vltimum fibi inuicem im~ cnediate connexos. Omnia igitur, quae fupra de aequa-- biii velocitate per duos tubos demonftrauimus, applican- da funt ad canalem ex quot libuerit tubis conftantem. §. 18. Confideranda nunc venit acceleratio per ca- nalcm multorum tuborum , quando nimirum fluxus aquae incipit a quiete; primo tamen tubo femper pleno exi- ftente per affluxum nouae aquae , defcendenti eadem ve- Iocitate fuccedenris. Hanc in rem nihii aliud facierr- dum , qtiam vt vis motrix pro mafla aquea protiudcnda per fiugulos tubos- fumta transferatur . ad amplitudinem tul>i primi; aggregatum harum virium motricium trans- latarum", fi addatur ad vim motricem per gurgites, noc eflf, per illum vnicum qui fieret fi vltimus tubtis immediate primo adaptaretur, habebitur vis- omnmm, quae aequalis ef-t faeienda ipfi p. §. 19. Vt hanc regulam applicemus ad canalem trium ruborum, quorum longitudines fint a,brc, am- plitudines h, ?n,n, fitque x longitudo fpatii quam aqua in tubo vltimo feu tertio ex quiete incipiens percurrit, et v velocitas acquifita in hoc tubo. Erit ad imitatio- nem operaiionis §.■ 9. \x longitudo quam aqua eodem ternpore percurrit ra tubo fecundo , et ~v eius veloei- tas acquifita ; ltem f x longitudo percurra in tubo primo et \v veloc tas acquifka. Hinc vis- acceleratrix in tubo tertio rr: j- , eaque multiplicata per mr>fT m aqueam Ib tooc tubo ncy dabit vim motrkem ^"-^^- , quae trans- PER VASA AVT PER CANALES FLVENTIVM^ lata iti tubum primum dab-it aequipollentem feffi1} Sic quoque vis aceeleratrix in tubo fecundo —^vdv: ^dx ~^Ti c\me dll(fbl in ma^m aquae mb tubi fecuudi, dat vim motricem *^— , quae translata in tubum pri- miiffl gignit mL'y : Sic tandem etiarn vis acceleratrix in tubo primo ~ nad^ - , quae cum iam fit in tubo pri- mo vlterius non eft transferenda , tres iftae vires funt „ . bcvdv bnbvdv n.avdv r \gX®L -35— , -^dir ■> inr > quarum fumma addita ad yim per gurgites, habebitur -^w+(H^+W) ^zzvi totali p. §. 20. Sint nunc quatuor tubi , qtiorum longitudi- nes a,b, c, e, amplitudines h,m,n,q, fuque x lon- gitudo in vltimo tubo percurfa, v velocitas acqui&a in vltirno tubo: Ad obferuandam vniformitatem et legem progreffionis ab vno tubo ad alterum , incipiam a primo in quo vis acceleratrix -zz^vdv: fdx, e(t enim ye- locitas = "-f-s>, et elementum fpatii percurrendi $£Jt® et elementum velocitatis zr. f dv , vt et elementum fpa- tii percurrendi ~\dx, habetur itaque ex lege aceele- rationis vis acceleratrix — Uvdv: ^dxzz^—, eamque mulriplicando per maflam aquae mouendae ha, oritur vis motrix -^J^ , quae quia iam eft in primo tubo non indiget vlteriori translatione , fed in tubo fecuado yis acceleratrix z^^vdv: ^dxzn^ dudta m maf- D 5 ftm 28 DE MOTV AOVARVM £im aqueam mb dat vim motricem in tubo fecuudo rz Etii^i* e tr.iniiatll in tubum primum dat aquipol- lentem zzhJ^iP , eodem modo vis motrix translata ex tubo tertio in primum erit z=ihJ^jjv , et vis motrix translata ex quarto in primum —b\e^-\ omnes ergo hgav 'v b jbvdy . b LLV dv _i_ h qevdv fimul fumtae zz — ^j~ r- mdx "T" nd* ~t~ q "+" ( F "+~ _ ■+- 7T -H w ) * —iJ^—pi vel fcribendo £2 pro |«y,Yel (**-««) *u/*4-(|-r-„i-t-_- ^>hhudz~{pdx* Corollarium r. Si longitudines a et it tuborum primi et vltimi,. nec non longitudines intermediorum , manent inuariabiles r primi nempe per continuum affluxum et vltimi per ef- fluxum , erit feries ^-f-^-f-f f- _ conflans , quae vocetur M , et p-jzgha, vnde haec aequatio prodit *^x+™g*=bay Vel (A4-«a»)«^H- M*Aca dz PER VASA AVT FERCANALES FiyENTIVM.29 dzzzhhadx, cuius x conftruitur per logarithmos in z datos, ipium vero z per numerales datos in x. Corollarium 24 Qiiodfi vero nulla afHuente aqua noua depleatur pri- mus tubus, efflnente nimirum per vltimum datae longi- tudinis, ficuti fieret, fi primus tubus inftar vafis vertica- liter erecti contineret liquorem proprio fuo pondere pref- fum, dum per canalem horizontalem, quem reli^ui con- fhtuunt, expelieretur : Erit , C\ x vocetur fpatium per vl- timum tubum ex quiete percurfum , altitudo liquoris re- flantis in vafe cylindrico zza — ™£, adeoque a ferie -£-f- S-f-fH h £ auferendum iam eft "£, et pro *-p fcribi debet ha-ux, id quod dat hanc aequationem (hh-o)u)zdx-\-Mhhttdz — uuxdzzz(hha — hux)dx. Quea per iemma §. 14, poteft integrari. Corollarium 5. Porro fi tubus vltimus fit indefinite prolongatus , ita. vt aquae fuperficie fuprema defcendente in vafe , aqua ex tubo vltimo non quidem efrluat, fed in eo continuo magis magisque protrudatur , fcribendum eft m ferie non tantum a-^ pro #, fed etiam n-\-x pro 7: , et ita pro hoc cafu acquiremus hanc alteram aequationem {hh -ttu)zdx-\-Mhh®dz~®uxdz-\-hhxdzzz (hha— hux)dx. Qiiae per idem lemma integrabilis eft. Corollarium \> Si computando vas ipfum pro primo tubo habeatur F — m — ^ zz ~ , hoc eft , fi longitudines tuborum, D 3 quo- 3o DE MOTV JQVARVM quorum numerns fit N , \bique fint proportionales fuis refpediue amplitudinibus , generalis noltra aequatio mu- tatur in hanc (hb~-Qto)z4x-\-Nabtodz~lzhpdx. Corollarium 5* Si \ero excepto vafe \el tubo primo habeatnr ^ ~£ — S > fitque numerus reliquorum tuborum zz N, erit \tique (bh — (j)M)zdx-t-bawdz-\- — —^- zr | hp dx. Corollarium 6* Efto nunc numerus tuborum infinitus, fed \nusquisqe eorum excepto primo longitudinis infinite paruae , ita \t omnes fimul fumti repraefentent canalem conoidicum trun- catum, cuius amplitudo antica zzm, et poltica z:w, Kgura 8 qualis eft figura 8. RSTV, qui fi concipiatur fe&us duobus planis proximis sr%tu ipfis SR,TV parallelis, erit srut \nus ex iftis tubulis habens pro longitudine ru elementum longitudinis RV totius canalis, et pro am- plitudine planum sr\ \nde vt habeatur jfumma feriei -^ — 1— ^ — |— ^- , integrari debet ~.7 quod in pluribus exemplis fieri poteft algebraice, ex. gr. fi ST fit linea recfta, h. e. fi SRVT fit conus decurtatus ordinarius ; Item fi ST fit arcus hyperbolae cuiusuis generis ad afymt. RT. §. 21. Illuitremus rem ipfam in priori exemplo: Sit nempe SRVT conus decurtatus, cuius amplitudo antica SRz=?#, poftica TVzzu, proinde earum femi- diametri \t Ym et Veoj Porro dicatur abfcifTa VazzJ, eius FER VASA AVT PERCANALES FLVENTIVM.31 eius elementum urzndt, femidiameter amplitudinis tu—y^ towque tubi iongitudo RV-L, iauenietur^^^M? ipfo vero amplitudo sry quae eft tt ^ifi&=^afiS% quare ^^(TT^^VtvT^» cuius integrale debito mo- do retfificatum ^^««^«^"s, adeoque per totum ca- nalem RSTV, fumendo nempe Wu feu t — VR=:Lt habetur integrale quaefitum =^=z |-f-f h^; Atque fic aequatio noftra generalis §. 20. (hh — uu)zdx -4- (£-+-»-+-£ h -£)££(»>, ita yc in co aqna propulfa femper con- tineatur, atine percurrat ab initio motus per ipatium x- Erit tunc (hh-um^zdx-JrM.bhudz—wuxdz-{-hb xdz~(hba- buxjdx. Scholium Generale. §• 23 • Poflent ex his denuari plura alia corollaria vtilia non minus quam curiofa et ekgantia; Nam qrrae a4 32 DE MOTV AQVARVM ad hanc fpeclant materiam, omne fuum fundamentum habent in iam traditis et explicatis, licet id non indi- cauerim expreftis verbis ; ex. gr. fuppofuimus quidem aquam aliumue liquorem in primo duntaxat tubo tanquam in vafe grauitare, indeque vrgeri per canalem fitum ho- rizontalem habentem , per quem dum mouetur aqua , de- ftituitur quafi fua propria grauitate. Interim fi m lpfo canali, feu in tubis qui illum componunt, retineat quo- que grauitatem fuam fiue totam fiue faltem partem , fic vti accideret fi tubi non elfent horizontales, fed vel ver- ticales vel diuerfimode inciinati ad horizontem, id nul- lam prorfus habet ditficultatem , poteft enim aquae pro- pria grauitas ex quolibet tubo (per § 2.) transferri in vas vel in tubum primum , adeo vt aqua in reliquis tu- bis confiderari poifit tanquam deftituta grauitate , ied translatae grauitationes vna cum pondere aquae in vafe vel tubo primo iunclim fumtae fpectari queant pro eo, qnod vocauimus p feu vim motricem fundamentalem, a qua fluxus totius maflae aqueae generatur. Vt fcilicet Figura 4. fi canalis E G B L conftaret tribus tubis diuerfae am- plitudinis AD,GC,BL, quorum primus AD haberet amplitudinem AE vel GD, alter GC amplitudinem GF vel BK, tertius BL amplitudinem BK vel ML; Pri- mus vero debet effe verticalis, fecundns faceret cum ho- rizonte angulum GBN, tertius angulum BMO: Sint amplitudines A E zz h , G F zzl m , B K zz n ; vis grauitatis feu acceieratrix naturalis zzg ; Erit vis motrix in tubo AD aqua pleno —gbxAG. Item ob GB. GN:.tl^- ^z vi acceleratrici aquae liquoris in tubo G C *, Item B M . BO:: PER VASA AVT PER CANALES FLVENTIVM.^ BO:;£ ^r ==Vi acceleratrici aguae in tubo BL. Hinc ^I^-kwZ» feugwxGN dabit vim motricem aquae tubi fecundi, fimiliter gnxBO dat vim motricem aquae in tubo tertio. Sed transferendae iam funt vires motrices ex tubis obliquis GC et BL, in verticalem , faciendo mb::gm GN.J^xGN, et n. b: 'gnxBO.ghxBO, hunc itaque in mo- dum confiderari potelt aqua vniuerfa in tubis tant carens grauitate, fed eius loco preltli prima columna AD vi motrici expanfi vniformiter per fuperficiem AE, quae vis effet — ^(AGHr-CN+BO)=='(ob AG-+-GN + BO= toti altitudini verticali canalis , quae fit A ) gbxA~p. Atque ita reduximus hunc cafum aliosque fim.iles ad methodum noftram generalem. Nota, fi vnus pjuresue ex tubis oblique furfum dirigatur, erit pro eo aut pro iis vis motrix translata in tubum primum ne- gatiua , eritqne fumenda pro A excelTus quo affirmati- uarum fumma f iperat fummam negatiuarum, aut viciffim ; vno verbo, A erit excefliis vel defectus, quo fuperficies aquae in primo tubo akior efl humiliorue fupra hori- zontem, quam eft fuperficies aquae in tubo vltimo. Hoc inferuit determinationi legis, fecundum quam liquores ofcil- lantur in tubis recuruis qualibuscunque : Huc etiam refer problema fequens a Filio mihi propofitum ante fex fe~ ptemue annos, fed paulo generalius conceptum. Problema Hydraulicum. §.24. ABCD eft vas aqua plenum vsque ad EF; Figurt j, G I eft tubits cjlindricus , cuius pars K I aqua pariter ple- Tom. IX* E na 34- DE MOTV AQVARVM na e/l : ObduEio pollice fuper orificium G O , tubus immer- gitur aquae in vafe contentae , fed ita tantum vt pars tubi M I maior quam K I intra aquam externam penetrct vsque ctd MN; Remoto nunc pol/ice afcendet ( ob praeualentem pre/fimem aquae externae ) ftperficies K L atque ab impetu concepto pertinget fupra fuperficiem E F vsque ad P Q. Quaeritur altitudo MP vel NQ, quousque nempe aqua in tubo afcendere valet. Solutio. Dicatur pars tubi immerfa HMz:^, pars eius H K primitus aqua plena ~b minor quam a, amplitudo va- fis EF~Z>, amplitudo tubi GOvelHI — #z. Iam vero aqua tubum circumdans et deorfum nitens fuo pondere per orificium apertum HI ingredi et afcendere conatur propellendo partem aquae H L fuperincumbentem ; Actio- nem iftam atque efFeftum hoc modo concipio:. Sit ad orificium HI adaptatus alius tubus deorfum fpectans am- plitudinis vafis ~h et altitudinis HMzr^; Sit hic tu- bus plenus aqua , fed tali aqua , quae leuitaret , hoc eft, quae furfum niteretur et quidem tanta vi praecife quan- ta deorfum grauitat aqua ( cuius loco illa in tuba per mentis fictionem fubftituitur ) in vafe altitudinis MH; proinde erit vis motrix aquae m hoc flclitio tubo fur- fum tendentis zzgba, et fic huius refpectu erit vis mo- trix in tubo HO aquae HL negatma —gmb, quae translata in tubum fictitium dat ghb, quae vtpote con- traria ipfi gha, ab hac fabducenda eft, et relinquet gha-ghb feu gh^a—b) pro vi motrice, quam voca- uimus/>; Cui igitur aequandae fnnt vires motrices, quae a gra- PER VASA AVT PER CANALES FLVENTIVM.$$ a fluxn generantur per gurgitem formandum ad ingref- fumHI, per tubum HO fluendo et per tubum fictitium afcendendo. Hinc fi x vocetur fpatium ab aqua intra tubum H O percurfum incipiendo a K L , adeoque fpatium quod fuperficies aquae in tubo fiditio percurrit afcendendo zz f x. Itaque ad imitationem ratiocinii §.13. habebimus vim acceleratricem in tubo HOzt^, quae multiplicata per maflam aquae furfum peilendae mb-\-mx, dat vim motricem in hoc tubo z(fflHwi)^, transferen- dam in tubum fidlitium , vt inde habeamus vim mo- tricem aequipollentem =r. (hb-t-bx)'1^ ; Et cum prae- terea in tubo fictitio (in quo aqua afcendit velocitate %-v per fpatium jx) vis motrix propria, non amplius trans- ferenda, fit zr (ba-mx)1^^] quibus ergo binis viri- bus addita porro ea quae ad formandum gurgitem re- quiritur, obtinebimus vim motricem totalem — tJt^w + {bb + bx^ + {ba-mx)n%£L', Verum quia hic p cll z^gh(a-^x-b-x) feu g(ha-hb-mx — bx)y refultabit aequatio pro determinanda velocitate op- pofitione fundi, ob aequalitatem inter aftionem et rea- (ftionem : Refiftentia vero inuenitnr , fi more folito quae- ratur vis retardatrix ,. quae velocitatem columnae tluidi imminuit; illaque mnltiplicata per mafiam columnae, id eft, per ha dabit refiftentiam vel prelTionem in fun- dum ; rem ita perago: Aequatio §. n. expofita T™™®10 "l : iTx P+mS« V=Pf m praefenti cafu (vbi longitudo tubi vtpote abfentis #:no, et pondus columnae fluidi in vafe pro) mutatur in hanc aequationem particula- „.m ^o — 77im , mavdv i • zem — b — vv-\ ^-zro, et ponendo 8 pro v in hanc fimilem h-^m-^uu + ^^- = o. 2. Per 4o DE MOTV JQVARVM 2. Per redtictionem et fcribendo dy pro dx (nnnc enim x eft conftans, dum x-\-y eft iongitudo indeter- minata et variabiiis cylindri fluidi egredientis ) proueiut aequatio fub hac forma -^— dy-\-1~2 — o \ atquc integrando ^=^(x^y)^ma!u=malvH-h-^-x^ hoc ita fcribo adiiciendo duos poftremos terminos con- ftantes re&ificationis gratia, eum in rinem, vt euanel- cente y et incipiente u ab v\ ipfa aequatio fiat identica, Habebitur itaque mal(^)zz— ( — jjf—)y\ vnde trans- eundo ad numeros et ponendo izzlf, oritur uuzzivv ( bb— mm „ 3. DifFerentiando probe inuentam hanc aequatio- nem (fumto nimitum v pro conftante) habebitur udu {hb-mm)y ~_^^(fc^=^j:/ *** . Eft autem in vafe vis ac- celeratrix negatiua, hoc eft, abit illa in vim retarda- (fyb— mm)y tricem =gp, quae itaque erit =M(*aiSr>/ *ma" . 4. Haec vis quae nobis vfui in primo tantum mo- mento poft abolitionem vel ceflationem fuppofita.m gra- uitatis, quam antea columna fiuidi in vafe verticaliter eredo habebat , erit vtique jr o , etvvzzzzgz, adeoque iis illa inuenta erit zzzgz(hhbJ™m ), vid. art. n. vbi zzg ({bb—mm)x\ x_f **» )> quo igitur fubftituto, repe- / {bb — tnm) x \ rietur vi» retardatrix zzzg \ 1 - 1 ,f bma ) , ac proin- de PER VASA ET FER CANALES FLVENTTVM 4.1 Hoc TERVASA AVT PER CANALES FLVENTIVM.^ Hoc autem ita perago ; Ad imitationem operationis ad- hibitae in §. ix. inuenietur pro fuigulis tubis vt fequi- tur: Pro tubo primo, *=*k^*(i^t:/^s.y) Pro tubo fecundo, «= t (^g^ „ (f_, -/^S-f) Pro tubo «ertio , *= | ( -££. } x (l_ x :/"^J* j ; Atque fic porro. i ii nr i n m Quoniam itaque z, z, z, vt et x9 x9 x pcr fc i ii ni i inuicem dantur, eft enim .szz-^ 5?— 22.3, atque arzz^ 7 TO77» 17177* 7 * 77» !I Ilt ^- i- # ; Subftituantur valores fingulorum z et x per vnum exprefifos, et habebuntur tot aequationes, vna pauciores, 1 n iii quot funt tubi vel quot fpecies grauitatis g,g,g etc. 1 11 in nempe ex. gr. pro tribus , leruato z ad quod reliqua z> z 11 111 1 funt reducenda vt et xy x ad feruatum x: habebuntur 1 hae duae aequationes: # vel -^^^j^i I:fmbo j 1 II II /" m*n—nn ■ n v x mm. nttfi£vmm — titi' vv J ' > ww I que lllud primum etiam =: 2-£. ( ™c- )xVi~i:/ * Cl &— ' mmb{hh—n«) niuc Ulimia I II reliquaderiuantur^nempe^rz:-^^, et z~ -^J^, prorfus confentanea iis, quae fupra demonftrata dedimus. Item preftiones in fundum cuiuslibet tubi facillime eruun- tur: Qiiia enim finguli tubi confideran pofllmt, tanquam effent lblitarii, adhiberi debet formula, quam inuenimus fupra (pag. 40. n 4 ) pro tubo primo et vnico, fcriben- do tantum httems, quae cuilibet alii tubo, tanquam vni- co feu folitario confiderato, conueniunt: Cum itaque pro illo vnico inuenta fit preflio totalis zzgba-\-gha* (h& — mm y,\ i — i:f bma ' y, fcribendum hic erit pro primo tu- Chb — mm ,„\ I-lf bma )9 pro fecun- PER VASA AVT PER CANALES FLVENTIVM.& (77tm — nn N I - I :/ mnb~ X J prQ III tertio ~gnc-t-gncx\.i--i:f n*c v ) ; Atque fubfti- i ii iii tutis valoribus ipfirum g, g, g, vel quia applicationem facimus ad duos tantum tubos, et quidem vbi arzzoo. i ii nonnifi ipfarum g et g valores fubftitui debent, qui funt i n _, gnn(hb — mm) nt „ — gbb (mm — nn) , , . . — S— m^Sa=kW et ^-L*-^. habebitur preflio prima -a^xgg^, et prefiio fecunda ^S». Si praeterea h~co fed m ct n finitae, erit prertio prima rzsg-^tfx^zzco, vt fieri par eft, fed preifio fecunda — *^x(mm — n*i)zz finito. Hac metbodo probe obferuata inuenientur pro $ tu> i ii m iv v bis, grauitates g, g, g, g, gy vt fequitur: i ~ — lhhssa{bb—mm)_ » bhmma(bh — ss) II _. .. — hhhssa(mm — nn) « mmnnb[t)b — ; s) III o- — gfc^55 a (nn—qq} <> nnqqc(hb — ss ) IV ~ — ?hbssa(qq — rr) o qqrrd(bh-~ ss) V „ _ ggfo£g(r_sr) *> Trsie(hb-ss) Ex hoc laterculo plus fatis elucet lex progreffionis pro *m quocunque numero tuborum: Adeoque in canali conoi- dico truncato FB, vafi cyiindrko AF adaptato, qui ca- nalis ?ER VASA AVT PER CANALES FLVENTIVM.+* nalis confideratar tanquam conflatus ex innumeris tubis infinite paruae longitudinis, inuenietur pro qualibet am- plitudinc NO, fpccies grauitatis, qua ftratum aquae in- finite paruae crafiitiei animatur, quando ad aequabilem fiuxum peruenerit: dicendo enim amplitudinem NOz=.y, craflitiem firati aquei zz: dx , reliquasque litteras adhiben- do quas hactenus vfurpauimus, erit grauitas animans hoc flratum ^r^BK^==|roBSSSi Proin P°ndus ']^mri huius ftrati feu preflio qua vrgetur prodibit, fi multipli- catur per quantitatem materiae ydx\ Erit igitur haec preflio zz^t^y Huic autem addendae funt prefiio- nes omnium ftratorum (equentium ab O vsque ad extre- mnm B, fed per translationem ad locum O colledae, ficuti poftulat methodus noftra ab initio expofita, hunc in finem ponuntur tantisper y conftans, et alia amplitu- do variabilis RSzzt, erit huius ftrati tdx preflio q: ^gzJsp, quae transferatur ad locum inuariabilem NO, faciendo vt / ad y, lta ^(«fShSST ad nui-irt > cuius integrale debite corre&um dat s^Sfe^«8S?3i"» \bi nunc ponendo tzzy , habetur ^bj-fz^rf^ preflio- jai totali, qua nimirum aqua in NO comprimitur. Vt igitur reperiatur z altitudo cylindri aquei cuius bflfis eft y et pondus aequale huic preflioni , faciendum n zbba(yy — tow) . , bh{'yy — toco) A j i eft gyz^-yW^^' vnde z—y-yTU^zr^y Adhanc itaque altitudinem N M haerebit aqua in fiftula in loco N inferta; Notandum vero, canalem FPBC, confiderari tanquam FER VASA AVTVER CANALESFLVENTlVM.^g tanquam habentem diametros amplitudinum maximae FP et minimae CB (Iitis paruas refpedhi longitudinis PB, vt nimirum hoc modo tangens curuaturae F N C in quo- libet punfto N fociat angulum acutimmum cum horizon- tali P B , ne alias ex allifione aquae inter mouendum ad canalis latus nimis curuum FNC oriatur noua vis pref- fionis (quam hic tanquam accidentalem negleximus) quae priori fuperueniens augeret altitudinem N M ; quemad- modum id reuera accidit, fi canalis FBdefinit in lami- narn perforatam foramine amplitudinis riatus manebit.. §. 13. Iffa motus progrefliuf alteratio eadem fem> per eft, quemcunque corpus fimul habuerit motum gy- rationis,, (ed ab eadem potentia quoque ipfe motus gy«* rationis. affickur et turbatur y ilte autem potentiae folli- citantis cflecfu& irr motu. gysatorfo perturbando fequentr Fignrs 7. modo definietur.- Sit corpus A , quod praeter motum progrefliuum habeat motum circa axem verticalem per centruro grauitati* A transeuntem ? quaeriturque , quomo- do iffe motu& gyratorius a potentia Qc alteretur. Fiat motus gyratorius fecundum fenfum CgH fitque celeritas puncti C circa Azzu^ et diftantia A Czzf exprimet j celeritatem angularem. Multiplicentur iam omnes cor- poris particulae per quadrata diftantiarum fuarum refpe- &me ab axe rotationis,. fitque horum factorum aggrega- tum ~S. Sit porro potentia Cezzpr et finus anguli AQczzm°r atque tempusculo dt fiet duzz1—^- , fen celermus anguians j decrementum j erit zz ~~s • Hinc perfpiciurr. fi Qc produ&a per centrum grauitatis A transeat^ tum pctentiam iroturr. gyratorium omnino non ^friccre.. Ec> maior auterrr- erit motus gyratorii a!-» tertio, quo maiores fucrint tum diftantia ACr tum fi- nusanguli AC*\ §.1 + IN COLLISIONE CORPORVM. 61 §. 14, In coilifionibus primae fpeciei ergo , iu qui- bus diredio impulfus per vtriusque corporis centrum gra- tiitatis tranfit, a perculfionis vi ia neutro corpore mo- tus gyratorius generari goteu% nec, fi corpora iam antc confliftum motum gyratorium habuerint , is in percuf- fione mutabitur. Ad motum ergo ex huiusmodi colli- fionibus ortum determinandum futricit prius principium noffeT quo alteratio motus progrefliui e(t definita. At ad coliifiones fecundae atque tertiae fpeciei omnino alte- ro quoque principio opus> habemus. In fecunda enim fpecie in altero corpore motus gyratorius vel generabi- fur vel alterabitur, atque in tertia fpecie in vtroque cor- pore tam gyratorrus motus producetur, quam mutabitur, propter impulfus- direftlonern- per neutrius corporis cen- trum grauitatis transeuntem. Cum igitur leges percuf- nonis primae fpcciei iam fatis fint inueftigatae atque co- gnitae,. a fecunda fpecie- ordirr conueniet, ffi qua, qua- lis mutatio- ex collifione; oriaturr determinabo, §. 15. Qniefcat igitur corpu^ I H C A f cuius tiii. centrum grauiratis fit in Ar. eiusqie mafla =r:ArFlSUra, .in idque impingat corpus- B diredte motum celeritate b in direclrione £'B r ita vt reG. Ponatur H 3 AG €.1 DE COMMVNIQATIONE MOTFS AG— /, et diftantia BG = £, in ipfo impulfus ircitio, quae diftantia k propter imprciiiones, quas corpora du- rante confli&a fibi inducunt, diminuitur. Quare fi cor- pora fiierint elaftica conflicTns tam diu durabit, donec interuallum BG priftinam obtinuerit longitudincm k ; fin autem corpora non fuerint elallica tum confli&us mu- tuaque adtio ceffabit, quando interuallum BG fuerit mi- nimum. Sit dcnique fumma omnium corpoiis A parti- cularum per quadrata fuarum ab axe yerticali per A trans- eunte diflantiarum multiplicatarum ~S. §. io\ Durante ergo confli&ii vtrumque corpus in C follitabitur a potentia , cuins directio eft in planum contadrus normalis , ideoque corporis B motus diminue- tur, dum eius diredio immutata manet. Corpori vero A motus progrefiiuus imprimetur fecundum directionem Aa parallelam directioni £B fen BC (§. 12.). Simui vero corpori A motus gyratorius circa axem verticalem per centrum grauitatis A transeuntem imprimetur, quia di- rectio impulfusEG non per centrum grauitatisAtransire po- nitur (§. 13.). Durante autem confii&u potentia,qua vtrum- que corpus vrgetur eo erit maior,quominoreuaciitlineaBG; ita vt quantitas huius potentiae a diminutione interualli BG pendeat. Generatim igitur iam conftat efrccftus, qui ex tuiusmodi colliflone oritur. fcilicet poft conflictum cor- pus B minorem quam ante habebit celeritatcm , eandem tamen dire&ionem. Corpus vero A duplicem acquiret motum , alterum progrefliuum fecundum d i re c~t ionem A a parallelam directioni SB alterum gyratcrium circa axcm verticalem per A transeuntem in flnfum CHI. §. i7- IN COLLISIONE CORPOWM. 63 §. 17. Quo igitur, quanti fint poft conflidtnm hi Fgura av iinguli motus , definiam , fit durante ipfo coniiidtu cor- poris A centrum grauitatis in A , corpuris B in B. Erit, quia conflicfhis pun&o temporis abfoiuitur et imprefliones funt quam miuimae, vt ante AGzr/, et finus anguli ACJ]r»;; interuallum vero BG fit ~x, quod quam minimae a k diffcrat. Sit potentia, qua vtrumque cor- pus hoc ftatu follicitatur ~'^, quae ergo erit functio quaedam ipfius x , euanefcens fi fit x zz k. Sit corporis B celeritas, quae ipfi adhuc fupereft in diredfrone SB •=zv\ corpus vero A iam habeat motum progrcfliuum in directione Act parallela ipfi SB, cum celeritate zz.11. Celeritas vero anguiaris, quam corpus A acquifiuit iit zzzr\ celeritatem autem angularem metior cderitate,. quam punctum qaoduis circa axem gyrationis habet, diuifa per eiusdem pun&i ab axe diftantiam ; hic enim quotus fem- per eft conftans. Sbpra vero lam efl oflenfum , quo~ modo celeiitatis angularis hac ratione expreflac incremen- tum a data potentia. nactum determinetur. §. 18. Perueniant iam elemento temporis dt in fi- tus proximos; fcilicet Aja a\ Bin£; Ging. Eritque Bbzzzvdt'] Acczzudt. Ad motum vero arigularera co=- gnofcendum diiCatur ay paralfela ipfi AG, erit gay angulus tempusculo dt motu angulari genitus; qui cum fit vt cekritas angularis r et dt coniunftim- erit 1AqZzz fdt feu gy—frdf. Quia vero ante erat BGr.r, erit nunc bgzzzx-\-dx. Cum ergo habeatur Bgzzzx -hudt-\rfrdtzzzvdt-\-x-f-dx^ fiet dxzz. dt(u- — f^B ? corporis A vero celeritas, qua eius centrum grauitatis progreditur rzx^, celeritas gyratoria vero euanefcit^ quae regulae apprime conue- niunt IN COLLISIONE CORTORVM. 67 ueniimt cum iam inuentis: fin autem corpora fuerint ela- teris expertia, erit corporis B celeritas poft conflhftum z± b- a^Tb, et corporis A celeritas — ~&. Ex his cr- go cam inuentis formulis comparatis intclligitur corporis B poft confiidum celeritatem eo maiorem futuram eflc, quo maius fuerit interuallum AGzr /; cont a \ero ceie- ritatem corporis A eo minorem fore. Celeritas vero gy- ratoria erit zz o , tam fi fzz o quam fi fzz 00 ; maxi- rna ergo erit , fi fuerit ( A -f- B ) S zz A Bff. hoc eft , ft Bz:A-Fs, G quidem Aff>$. §. 23. Operae pretium iam erit inueftigare , quid in huiusmodi collifionibus conleruetur , vtrum ante et poft conflictum quantitas virium vitiarum, an vero quantitas motus maneat eadem. Illi enim qui motus quantitatem conferuari ftatuunt, leges communictftionis motus in col- lifionibus primae fpeciei allegare folent, in quibus vtique tam pro corporibus elafticis quam non elafticis conferua- tio quantitatis motus perfpicitur ; etiamfi corpora non elaftica ad huiusmodi conferuationem euincendam non idonea videantur. Nam quicquid vis nomine imelligi- tur in coliifione corporum non elafticorum portio quaer dam virium neceflario perire debet, cum ad impreflio- nes faciendas vi opus fit, eaque in corporibus non amplius reftauretur. In corporibus vero elafticis ea vis, qnae ad impreftiones impeuditur iterum in cor- pora transfertur, dum impreffiones Cc(q reftituunr, ita vt quomodocunque vires metiri velimus, eadem virium quantitas in collifione corporum elafticorum conferuari debeat. Cum autem in collifionibus corporum elaftico- I 2 rum 6S DE COMMVNICATiONE MOTVS rurn primae fpeciei tam motus quam virium viuarum, prour appellari iblent, quantitas conferuetur, lis adhuc iiib iudice verfatur; quam ex. collifionibus fecundae fpe- ciei dirimere licebit. §. 24. Inuenimus autem pro corporibus tam ela^ fticis quam non elafticis hanc aequationem B(£ — t)z:A% quae dat B£ = Bi;-hA ?/, ex qua aequabiliscentri.com- munis grauitatis progrefiio coliigitur. Eft vero Bb quan- titas motus ante confli&um, Rv quantitas motus in cor- pore B poft conflidtiim ; quare fi modo ku exhiberet quantitatem motns in corpore A poft confliclum r. con- ieruatio quantitatis motus etiam hic locum teneret. Sed cum corpus A praeter motum progrefliuum celeritate u habeat motum gyratorium circa centrum grauitatis, ma- lorem habebit motus quantitatem , quam fl folo motu? progreflino moueretur. Ex qno perfpicitur in hu- iusmodi fecundae fpeciei coliifionibus quantitatem motus augeri, fiue corpora fint elaftica fiue minus; cum ergo vires verae a nihilo multipiicari nequeant, iatis mtellt- gitur vires per facta ex maflis in celeritates perperam menfurari. Qiiod autem ad quantitatem virium viuarum attinet, ea in his etiam coliifionibus mirifiee conferuatur; fi qnidem corpora ponantur elaftica. Corporis enim A poft conflictnm celeritate progrefliua u et gyratoria r htv vis viua eft zr Nuz -f- SrK Corporis B vero vis viua poft conflicTurn eft — Bi?2, ita vt fumma* virium viua- rum — A u2 -f- B v2 -4- S r2 , quae fi loco u , v , et r v-a- lorcs luuenti §'. 20, fubftituantur , prodibit B£- vis- viua inte coirfti&imr. 1N COLLISIONE CORPORVM. ^ Interea vero paralielepjpednm circa axem verticakm per A transeuntem. gyrabitur celeritate angiilari ~zr ~ (AH-B)(£2-t-s2)-H-5B/g- Si corpora non fuerint eiaftica loco coeflkientium 2. et 6 niedietates 1. et 3 debent colio- carL §. 26. In quaeftione §. 15. pofiiimus corpus A, in Fi£«" *• qnod alterum B impingit, quieicens, fed folurio non fit diuiciliort fi corpus A tam rnotum progreflhium in. di- re&sone Aa parallela dire&ioni g/>, quam motum gy- riuna circa ixem vertrcalem per centrum granitatis A I 3 trans- 7^ DE COMMFNICATIONE MOTVS transeuntem tribuamus. Sit itaque celeritns corporis A progrefliua zza, celeritas angularis =r c, quae fiat in fen- fum CHI. Manentibus ergo iisdem, quibus fupra vfi fumus ratiociniis, obtinebimus fcquentes aequationes, dx zzdt(u-v~\-fr) atque Bib-v^zzAiu-a) — ^^- Praeterea fi corpora fuerint elaftica erit — v-\~u~\-jrzz b—a—fc, at fi non fuerint elaftica habebitur — v-r-a ~\-jrzzo, Quamobrem fi corpora fuerint elaftica , erit polt conftictum celeritas corporis B in directione SBzz b-il+tyl-fMfi corPoris A Yero ce^eritas progrefliua in direftione A a ent zz.a-h (a^^Ts^Tb}?- Corpons de ^ nique A celeritas angulans, qua puft conflictum circay axem per A transeuntem gyrabitur, erit zz c H^llX^^&Sf Hae vero eaedem exprelTiones pro corporibus non ela- fticis valebunt, fi modo coefBcientes 2 omittantur. Figura 4. §• 27- Quamquam in hac foiutione pofui vtriusque corporis A et B celeritates elTe in directionibus inter fe parallelis et ad planum contactus normaiibus, tamen ex eadem folutione facile quoque ii cafus refoluentur, in quibus corporum A et B celeritates ante conflictum quasuis habeant dire&iones. Moueatur fcilicet corpus B ante conflictum in directione bB celeritate vt bB, et corpus A in directione Aa celeritate vt Aa. Refoluantur hi motus in binos laterales inter fe normales B£, Bq et Aa, Ap, q^orum alterrrum dire&iones B£ et Ao- fint inter fe parallelae et in planum contactus normales, alterae vero Bq et Ap ad priores tmrmales. Cum igi- tur iam conitet, motus in direftionibus #Bet Ap fadtos a con- IN COLLISIONE CORTORVM, 71 a conflictu non turbari , ponanttir corpora B et A mo- tibus gB et Acl tantum ferri, atque ex §. prae edcnte definiatur vtriusque motus poft confli&nm. Tum \ero iiti motus ex conflicTa orti iterum coniungantur cum mo- tibus fecundum dirediones ^B ttkp, et motus ex com- pofitione orti erunt veri corporum motus poft confliiftum» Motus vero gyratorius corporis A neque ab hac refolu* tione nec compofitione motus afficietur» 5. 28. Qirin etiam ex his flmul intelligitur, fi di~ rediones, in quibus corpora A et B ante conflicftum mouentur, non fuerint in plano horizontali, in quo cen- tra grauitatis corporum A et B vna cum puncto impul- fus C effe ponimus, motns poft conflidum fimili modo determinari poffe. Hoc autem cafu vtriusque corporis A et B motus in ternos inter fe normales refolui debent, quo- rum vnus fit in plano horizontali ad planum contaftus novmalis, fecundus quoque in plano. horizontali kd pla- no conta&us paralleius, tertius vero in linea verticali et proinde etiam plano contacTus parallelus. In confli&u deinceps primi tantum motus confiderentur , quippe qui foli a 'conflidhi perturbantur , et quantam ex confliciu mutationem accipiant, oefiniatnr. Denique hi motus refultantes cum reliqnis fecundnm leges compofitionis rro- tus iterum coniungantur, hocque padto obtinebuntur vtraisque c rporis motus poft conflicftum. Motus vero gyratorius corporis A tam ante quam poft conflicTim alius concipi non poteft, nifi circa axetti verticalem. Principia enim , de aubus etiamnum conftat, ad alios motus gyratorios nonfunc fufficientia. §. 19. 72 DE COMMVNICATIONE MOTVS §. 29. Progrediamur igitur ad collifiones tertiae fpe- ciei inueftigandaSj fitque corpus quodcunque A quiefcens cuius mafla fit ~A, et centrum grauitatis in A, in id impingat aliud corpus B , cuius mafla fit B , et centrura grauitatis in B; fit directio corporis B recta £B paral- lela directioui impulfus, et celeritas eius — b. Sit C punctum impulfus et E F planum contactus , ad quod per C ducatur normalis GH, in eamque ex A et B perpendi- cula AG et BA demittantur, erit GH directio impul- fus parallela directioni mouis £B corporis B. Cum igi- tur in conflictu vtrumque corpus vrgeatur a vi, cuius directio eft G H , corpori A inducetur motus progrefTi- uus fecundum directionem Aa parallelam ipfi HG, cor- poris B vero celeritas progreifiua b in directione g B mi~ nuetur , directione eius , quia eft parallela ipfi H G , non mutata. Vtrique vero corpori in confiictu motus gy~ tatorius circa axem verticalem per eius grauitatis cen- trurn transeuntem inducetur, quia recta GH per neutrius centrnm grauitatis transit. ^ Sit ergo AG~/, BH:r:Z?, et ipfo impulfus initio GHz:L Denique fit fumma omnium particiilarum in quadrata diftantiarum fuarum ab axe gyrationis multiplicatarum in corpoie AzzS ; in cor- pore B vero =: R, Figui» 6. §• 30. Durante confLictu teneat recta GH cum corporum centris grauitatis A et B fitum jn figura iis- dem litteris repraeientatum , erit vt ante AGzzf, et BHrr^, at cum in conflictu corpora aiiquam impref- fionem fecundum GH fibi inducant, erit diftantia GH minor quam fc, fit igitur ea zzx~. Hoc porro in ftatu fit corporis B celeritas progreftiua zzv, eiusque celeritas angu- IN COLLISIONE CORPOWM. 73 angularis quam iam acquifmit zzzs. Corporis A vero ce- leritas progreffiua fit zzu, et celeritas angularis rr. Iam temporis elemento dt„ transferantur pundla A, B, G,H in loca #,£,£,£, et ducantur ay, by\ parallc- lae ipfis AG, BH. Erit ergo Aazzudt, Bbzzvdt, atque ob motus angulares habebitur g y zzfrdt, yhzzz hsdt. Interuallum vero gh erit zzx-\-dx. At cum fit Hgzzzx -\-udt-\-frdtzzx-\-dx-\-vdt-hsdt erit dxzzzdtru-v-+-fr-\-hs) feu dt zzz^j^^. Sit porro vis, qua vtrumque corpus vi compreliionis vrge- tur =p9 erit dvzz^-, duzz^; drzzz^ atque dszzz^. Hinc ergo fiet fpdt zzzB{b-v)zzAuzz^ — b * §. 31. Si nunc loco dt fubftituatur u—v-+jfzjtt* habebuntur fequentes aequationes: -pdx — B vdv—udv—frdv — hsdv udu-v du-\-fr du-\- h s duzz^ fudr-fvdr-\-ffrdr-\-fhsdrzzS1^- huds-hvds-hfhrds-^hhsdszz1^ quae aequationes inuicem additae et integratae dabunt fequaentem aequationem v2 -\- if -\-f2 rz •+■ frs2 — iuv — zfrv — 2 h sv -\- 2fr u -\- 2 h s u -\- ifhr s zzz z(i-^-^-\-j-\-hi)fpdx-\-b\ Integrali fpdx ita ac- cepto vt euanefcat pofito xzzk. Si ergo corpora fue- rint perfe&e elaftica, conflictus cefrabit, fi x iterum fiat zzz.k, quo cafu fpdx cuanefcit. Si igitur *?,«,r,etj", Tom. IX. K cor- 74 DE COMMVNICATIONE MOTVS corporum eeleritates poft conflictnm denotent, habcbitur pro corporibus elafticis haec aequatio, poftquam radix quadrata eft extracta u-v-\-fr-\-hszzb, quae cum ante inuentis B(b-v) zz Auzz.~zz\s coniuncta dabit j 2ARS& . . fl?-:i7""(A4-5)RS + A'B(R//-+-Sfeb)» iBRSB ■ U (A-+-B/BS-+-AB(R.//-f-S&/j) 1 __ ;ABR/6 _# f ■ (A-l-B)RS-+-AB(R//_+-Sbb) \ 2XBS_hb . atque s — (a-+-b)sr-+-ab(r//-+-s&&) • §. 32. Si corpora omni eiafticitate careant loco aequationis u-v-\-fr-\-bs — b, hac \ti oportet u-v ^-jr-Y-hs — o. Nam cum hoc cafu confTidus mifc- tuaque aCtio cefTet5 quando impredio Ytrinque fa&a eft maxima; hoc eueniet quando fit dxzr.o. Sed quia efl dx — dt{u- v -h fr -+- h s) , erit fco, fi fuerit u-v ^-fr-Y-frszzo. Quamobrem fi haec aequatio cum ante inuentis B ( b -v ) ib A u zz y- — ^- coniungatur , prodi- bit , ARS& . V 0 ( A -+-B ) RS-+- A B( R//-+-S ,- b ) * ___ BRS_& U (A-+-B)RS-+-AB(R// -+-&&■) ABRJ& T (A-+-B)RS-+-AB(R//-+-Sfc&) . ABS&& atqUe S— (A-+-B}Trs^AB(R// -+-::/>&)• Hae igitur funt motus communicationis leges pro colli- fionibus tertiae fpeciei, ex quibus fi ponatur hzzo. orientur leges pro collifionibus fecundae fpeciei; atque fi fiat IN COLLISIONE CORPORVM. 75 fiat fzzzo et hzzo, tum prodibimt leges notae pro col- lifionibus fpeciei primae. Ex his vero regulis pro cor- poribus elafticis iterum conferuatio virium viuarum con- fpicitur. §. 33. Si corpus A ante conflidum non quiefcat , fed moueatur celeritate a in direcrione Aa parallela di- rectioni SB et directioni impulfus GH; habeatque iam ante conflictum vtrumque corpus motum gyratorium cir- ca axem verticalem , in eum fenfum vt in coniiictu vterque augeatur. Sit corporis A celeritas angularis zzzc, et corporis B celeritas angularis zzze. Quibus in calculum introductis prodibunt loco fuperiorum aequationum fe- quentes B (b-v)zzz A(u-a) zzz s-^ zzz ^, ntque u-v-\-fr-\-hszzzb-a—fc — he pro corporibus elaiti- cis, at huius loco u — v-\-fr-\-hszzz o pro corporibus non elafticis. Poft conflictum ergo, fi corpora ponan- tur elaftica, erit corporis A celeritas progrefliua a~T- ( A-f-B)RS-+-AB(R//-+-(S6&)' eiusque celeritas angularis ABR/(& — a—fc — b e ) fr "• (A-hB)-+-RSAB(R//-hS/j/rr- Corporis vero B poft conflictum celeritas erit 7 _ 2 ARSffr — g— fc — -be) ^"~(AH-B)K +AB(V/4-SWj) et eius celeritas angularis 2ABSfr(5 — a —fc — he) e~Z\ (A-+-B)RS-+-AB(R//-+-Sfc&) ' Eiedem formulae omifiis binariis inferuiunt pro corpo- ribus non elafticis. K * § 34- 7* DE COMMVNICATIONE MOTVS &>c. §• 34« Quando ergo corporum direftiones motus progrefliui ante co»flicTaim paralleiae fuerint dire&ioni im- pulftis, tum in conflictu directiones non mutantur. Ex qno intelligitur fi hae directiones non fuerint parallelae diredioni impulfus, tum motus vt fupra fecimus in la- terales efle refoluendos, quorum alteri fint normales in planum contactus, alteri eidem parallelL Perfpicuum enim eft ex principiis mechanicis motus perpendiculares tan- tum a confli&u turbari , alteros omnino non afHci. Qua- re poft conflidum ope compofitionis motus vtriusque corporis motus progrefliuus poterit determinarL Quod autem ad motus gyratorios attinet, ii a motibus pro- grefliuis nullatenus afliciuntur, et hanc ob rem easdem fequentur leges , quascunque motus progreiliui teneant di- rectiones. Omnes igitur tres collifionum fperies hic ex- plicatas dedi duplici tamen reftricftione , quarum prima corpora fibi ita occurrere ponit, vt eorum centra gra- uitatis com diredione impulfus in eodem plano iint po- fita; altera vero corpora talia requirit, quae circa axem per centra grauitatis transeuntes et ad illud planum nor- males libere gyrari queant. Cafus autem in quibus hae conditiones locum non habent, per principia cognita tra- ctare non licet; fed eorum explicatio maiorem mecha- jiicae promotionem requirit. SPE- -*SS| ) ° ( %&» 77 SPECIMEN ALGEBRAE AD ARCHITECTVRAM MILITAREM APPLICATAE, AVCTORE Georg. Wolffg. Krafft. §. i. SOlent hodie Architefti militares fubinde ad refolu- Ta^a lf« tionem Problematum quoru-ndam admouere Alge- bram, cuius inltituti hinc et inde iam ab aliquo tempore fpecimina publice apparent; et quod eo maio- rem laudem meretur, quo propius fic grauiiTima mu- niendi fcientia ad Geometricam veritatem accedit. Idem inftitutum hic perfequar, adlurus de Propugnaculis mu- nimentorum, Gallice Bafions , quantum quidem per co- gnitionem harum rerum bellicarum mihi licebit. §. a* Anguli propugnaculorum quantitas, vt ab ar- ckitedlis militaribus determinetur , fequentes adhibentur ab eis Regulae et Axiomata. Nempe (i.) Anguhs pro- pugnaculi par fit violentiae tormentorum , vnde non fit minor 60 gradibus , quia talem fufficere vfus docuit. (2.) Re- ttus pnpugnaculi angulus optimus efi. Inueniunt nempe ictas tormentorum rs\ rs, ad Faciem propugnaculi per- Figum 3, pendiculariter direcfli , maius obftaculum in angulo pro- pugn.iculi rec1:> BAC, quam acuto BAC; quod idem adhuc magis patet in angulo propugnaculi obtufo; vnde K 3 etiam 7* SPECIMEN ALGEBRAE etiam angnlus propugnaculi obtufus probatur , ct in mul- tis muniendi modis antiquis aeque ac recentioribus lae- p uTi m e a d h i b i tu s £1 i t . ( 3 . ) Propugnaculi amplitudo ea fit, quae Jufficicntem armitorum numerutn capiat , et Jatis prae- beat Jpatii ad tormenta dirigenia , caeteraque militaria mu- nia obeunda\ cuius regulae fundamentum per fe quam m.xime intelligitur. Ad hanc itaque praecipue atten- dam , dum , datis Facie et Aia propugnaculi alicuius, inquirere volo in magnitudinem anguli propugnaculi , quae ipfum propugnaculum ex his conftruendum ehaciac tale , vt fpatium eo contentum inter omnia reliqua pof- fibilia fit maximum. § 3. Problema igitur huc pertinens hunc in modum formare licet. Sit Munimenti alicuius regularis radius Figuw 2. maior DA, hnic fit applicata Facies AB longitudinis #, et Ala BC longitudinis b\ pofitio vero huius Alae ta- lis fit, vt, continuata vsque ad punctum G radii maio- ris, effkiat ibi angulum conftantem CGH, cuius finus fit m , cofinus n , pofito finu toto ±z 1 . Formabi- tur fic dimidium propugnaculi alicuius A B C , cuius fpatium debet effe inter omnia reliqua poffibilia ma- ximum , quaefito ad liunc finem angulo BAK, cuius finum pono ~ x9 cofinum ~.y. Demittantur ex B et C perpendiculares BK et CH in radium maiorem, et orietur fpatium ABCH, ita determinandum , vt fit maximum. Habebuntur ergo fequentes Analogiae: fin. G{m): Gr. AWrBA(tf):BG(f), hinc CGzr *£■-£. In triangulo CHG redangulo eft fin. totus (1): fin. G (m)zzCG(^r-b): CH{ax~bm). In triangulo BAK reclan- AD ARCHITECTVKAM MILITAREM. 79 irc^angulo, eft finus totus (i): fm. A(x)zzBA(a): BK(tf.v). Q?ra anguius ABG eundem finum ■ habet cum fuo deinceps pofito, et hic deinccps pofitus aequalis eft fummae angulorum A et G, habebitur finus ABGzz my-\-nx, vnde oritur fin. G{m): fin. ABG(my-i-nx) =z A B ( a ) : A G ( qT7i:y^"-a— ), Tandem etiam fit in Trian- gulo recftapgulo C H G , ilnus totus ( i ) fin. C ( n ) — C G ( ^ - b ) : G H ( c-^p ~bn). Ex his inuenietur area Trian- f a "D /"• AG.BK a2 m x y -+- a2 n x2 ^ • *• guli A B Ixzz - — zz ^ , et area 1 nanguli /T.Tf HCxCH a2nx2 — iabmnx-+.b2m2 n c i n. i CHGzz — : — zz ;= . Subtradta hac 2"l area a priori, refidua erit area dimidii Propugnaculi AB CHzz — •— • Haec , Tt nat maxima, per cognitas regulas de Maximis et Minimis, debet differen- tiari, ec difForentiaie eius poni no Sed ob jzz V(i — x2)^ erit ^3~ — y^, quod fubftitui debet, vt habeatur aequa- tio, facla prius diuifione per adx, haec fequensr ay2 -+- 2 £/y zz # j*;2 , vel ob x2 zz i -yz , haec y2 -f- ^j/ zz^, et extracfta radice aequ.itionis reperietur tandem y zz: ^v(--o2-H&2a ;— ^ gj verQ fLinieretar quantitas- radicalis negatiue accepta, totus valor ipfius cofinus y eftet nega- truus, confequenter angulus lpfe BAK fieret obtufus; quare hoc cafu fpatium nullum verfus partem D com- prehenderetur , fed verfus oppofitam } itaque lemper afTumi debet y^±^^%±^ •J za $. 4. Quoniam in methodo muniendi antiqua Ba- tauorum an^ulus Alae et Cortinae femper rectus eft.: So SFECIMEN AWEBRAE erit, du&a LCM perpendiculari ad alam BC, LC pars Cortinae, et L M Polygonum interius • confequenter LDM angulus ad Centrum in munimento regulari. Demitta- tur DN perpendicularis ad LM, eruntque GC et DN parallelae , confequenter angulus C G A , cuius finum vo~ caui my et cofinum fl, erit idem cum NDA, hoc eft, cum dimidio angulo ad Centrum , in quocunque muni- mento regulari. §. 5. Vt iam cofinus y, qui propngnaculo maxi- mam aream tribuit, commodius per Loganthmos inue- niatur, pono a~^> vndeerit^ — *-£. Subftituto hoc valore &ty== Vc*f£^', aut pyV 2 zzV{p-\- 1)- 1. Figura 3« Sit defcriptus femicirculus ADE, radio ACzzi, ex A ereda Tangens ABtr-^, erit fecans BCzzV (pz-\- 1 ) confequenter BDzz.V (p2-\-i)— 1 zz pyV 2 , aut verojzr: JTli erS° y Poterit inueniri per folos Logarithmos, fi tantummodo BD cognita fnerit. Sed haecBD obtine- tur etiam per folos Logarithmos , confiderato Triangulo BDA. Nam angulus BCA talis eft, vt eius Tangens fit p, aut ^r; euoluta igitur hac Tangente obtinebitur angulus DCA, qui vocetur A. Demittatur ex C per- pendiculum CF in AD, quo facto angulus ACD bi- fectus erit; efnxiet vero tam BAD quam FCAreclum cum FAC, quare erit BAD=rFCAz=|A. Erit vero BA(/)):BD-fin.BDA:fin.BAD=:fin.CDA:fin.BAD fm C AD:fin.FCA = FC:FArzi :tang. ^A; quare fi haec tangens ipfius \ A vocetur T , erit BD zzp. T, aut vero jrz^iz:^, vnde obtento femel angulo A faciilime repe- ritur/. §. 6\ AD ARCHITECTVRAM MILITAREM APPLIC.lt §. 6. Facilitatis gratia applicationem regulae vnico exemplo illuftrare placet. Sit ex. gr. computandus an- gulus propugnaculi pro Decagono regulari. Quoniam in methodo muniendi Bataua antiqua Facies femper eft 24 perticarum Rhinland. erit a~ 24. Alae longitudo eit numerus laterum munimenti binario auctus, quod ve- ro tantum valet vsque ad Decagonum inclufiue , in reli- quis Polygonis Ala conftanter ftatuitur 12 perticarum, quare in noftro exemplo erit bzz.12. Ex §. 4. apparert n efTe cofinum 180, quia ergo pzzz-^3, vel vocato finis toto r ad reftitnendam homogeneitatem , pzz r-^ , erit 2 Irzz 20. 0000000 Ibzz 1.0791812 lazz 1. 3802112 Inzz 9.97820^3 j/2= O. I505I5O H.0573875- 21. 5307262 II. 0573875 Ipzzio. 4733387 vnde reperitur A = 7i° 24', et |Arr35° 42*. ITzzg. 8564708 i/2 — O. 150515O cui refpondent in Tabulis finuum 59° 2&% ^t adeo Pr0 Decagono regulari anguius propugnaculi , qui hoc maxi- mum et fpatiofiifimum efficiat, debeat elfe 11 8° 56*. Hac methodo conttruxi fequentem laterculum, in quo nu- merus fuperior indicat numerum laterum, in Munimen- Tom. IX. L to %2 SPECIMEN ALGEBRJE to qaodam regulari ; medius angulum propugnacuil eumr qui erTicit propugnaeulum fpatiofiirimum ; inferior autem oftendit angulum propugnaculi eum , querrv alfumit Frei- tagius , in rnethodo muniendi Bataua , IV. | V | VI. 1 VII. 1 VIII. 1 IX. 1 X. | XI. i XII. 102° 4.6'|io6 2,8|ioq 3o|ii2 io|ii436|n6 52|n8 56,119 8|ii9i6 ^ — — ■ _________________——-_—_———■ — — . 6o° o'| 72 p\ 80 o| 85 43I 90 o| 90 o| 90 o| 90 o| 90 o quae quidem diuerfitas inter angulos propugnaculi Frei- tagianos et meos valde notabilis eft ; fed ,, vt taceam , omnes Architedlos militares negare fe comprehendere pos- fe , qua ratione adductus Freitagius angulum propugnaculi afTumferit aequalem f anguli Polygoni : mea propugna- cula obtukingula Freitagiana robore fuperant, iuxta i& quod §.2. allegaui, atque id infuper largiuntur, vt Freh* tagianis Hiit fpatiofiora, imo fpatiofiffima.. $. 7. Sed fateor oriri fic aliud , et quidem multo1 maius incommodum, ex hac propugnacula conftruendi methodo: nempe Facies aut defenfionem plane nullam,, autexiguam, accipiunt ab Alis fuis oppcfitis; plane nul- lam accipiunt in Quadro-to regulari ; valde paruam ia Pentagono , maiorem vero in Hexagono , et reliquis ; in nulio autem talem quae fufficere pofTet; Yti facile patet Figuris his defcriptis. Quare negligenda plane eft haec conftru&io propugnaculorum , quae nihil vtilitatis praeber. §. 8. Alia itaque ratione idem inftitutum aggrediar, rig%4jnempe fequente: fit AD Polygoni cirusl^bet latus ex- terius *. FD, GA, fint duae, line„e defendentes: eritigi- ttur AD ARCHITECTVRAM MILITAREM APPLIC.H tur quam maxirne ad has lineas refpiciendum , quod in priori folutione non factum eft , vt propugnacula ex Alis dcbitam fuam defenfionem nancifcantur. Itaque ad hunc fcopum obtinendum Facies AH propugnaculi afliimenda erit in ipla reda AE, et Ala HK demitti ita debet, vt ivi punfto lineae defenfionis DKF finiatur ; quo fadto tota haec Ala ad defenlionem Faciei in D conftruendae Ytilis erit, fiue cum Pagano et recentioribus Authoribus perpendicalariter infirtat lineae defenfionis, fiue non. Pot- erit etiam ficile fic obtineri Ala fecundaria, quam requi- rit methodtis Bataua antiqua , fi nempe Alae breuiores H M afTumantur , et Cortina L M coniungantur. His pofrtis quae- ratur angulus BAE talis, vt is efficiat triangulum AEF maximum inter omnia poftibilia; quo ipfo etiam area propugnaculi AHKF, vtpote pars quaedam conftans pno- ris trianguli AEF, maxima inter poflibiles reliquas ha- bebitur. §. 9. Qiiia autem arfumitur munimentum regulare, €rit duifta CB perpendiculari ad AD, re&aBA — BD, angulus AEB = DEB=:FEC; atque hinc area AEF fequenti modo inuenitur. Sit B A zz a, B A C finus p , cof. q tang. m\ BAE finus x cos. y tang. t\ erit EAF finus zzpy—'qx\ pofito finu toto =1; finusDFAau- tem — py-\-qX. In triangulo redlangulo ABE habe- bitur fm. BEA(j>); BA (a)zzzi: AE(^; porro in Triangulo DFA erit fin.DFA(|»j' + fv):DA(2^)r fin. T>(x)\ AFr^, atque fic obtinebitur area Tri- anguli AiF=ABJI^^S^=^i cuius diffe- L 2 rentiale 84- SPECIMEN ALGEBRAE diffcrentiale ad obtinendum maximum debet poni zzo* Qind fi fiat, fubrogato -*£? pro dx, et reducatur ae- quatio, praebebit illa hanc q1 x2 -\- ipqxy — p2y*y aut vero pofitis J^:/, et |rr/;/, orietur tzzz mV z-m vel *— 7^, vnde fit BE3+^. Datis igitur Po- lygono exteriori A D , quod Paganus in Forma regia maiori ioo perticarum affumit , et angulo DAC , ex numero laterum munimenti regularis definiendo, perpen- diculum BE facillimo calculo determinatur. §. 10. Hinc enata e(l fequens Tabula, in qua pro quolibet numero laterum munimenti regularis, perpendi- culum BE reperire licet3 in perticis, et eius partibus centefimis : 1 III. l iv . 1 V 1 VI . | VII. 1 VIII. | IX. | X ! xi 1 X' ps BACI3 o°o' l+^c o'K 4- >0'|- riabilis ac x vel z. Huiusmodi ergo aequatio, quam cum Hermanno modularem vocaui, tres continebit va- riabiles zrx\ et a, quae autem in aequationem duarum variabilium abibit , fi vel ipfi z vel x determinatus vei ab a pendens valor tribuatur. Talis vero aequatio quam- cunque habuerit formam, et cuiuscunque fit gradus dif- ferentialis, femper ope aequationis zzzfPdx conftrui poterit. Nam fi pro dato quoque ipfius a yzlortfPdx exhibeatury quod per quadraturas fieri poteft, et z vel x illi valori affignato aequale capiatur, determinabitur altera ipGirum z vel x per a , eiusque ideo quantitas innotefcfc Qtiocirca hac ratione pro dato aiterius inde- termihatae valore , alterius quantitas poterit reperiri, in ^io ipfa aequationis cuiusuis conitru&io confiftit. I 4» 88 DE CONSTKrCTIONE JFQVATICKTM. §. 4. Aequatio autcm modularis erit vel differentia^ lis primi gradus vel fecundi \el tertii \el altioris cuius- dam , prout fiinftio P fuerit comparata. Ad quod dig- noscendum et ipfam aequationem modularem inuenien- dam, oportet fequentes quantitates ex P definire. Pri~ mo fcilicet difFerentietur P pofito x conftante ct a varia- bili , hocque difFerentiale pcr da diuifum fit Q. Tnm eo- dem modo Q_ differentietur poftto a tantum variabili , et difFerentiale per da diuidatur; quod prodit ponatur R. Porro fimili modo differentiando R et per da diuidendo orietur noua quantitas S , ex hacque vlterius T , V etc. Omnes ergo hae quantitates Q_, R, S, T etc. ex data fun&ione P erunt cognitae. His iam inuentis pofitoque a iterum conftante , fi fuerit jQdxzz. aJVdx~\-K , vbi a vtcunque datum effe poteft per a et conftantes , K vero denotat functionem quamcunque ex #, x et conftantibus conflatarrt} tum aequatio modularis erit differentialis pri- mi gradus, cjuae ex illa obtinetur, fi XocojYdx fubftituatur z et d-^fad~ *oco fQdx> ^vlt erS° aequatio modularis haec d-^a?d-—az-\-K. Haec vero quantitas K, quia quantitate conftante quacunque poteft augeri vel minui , ita eft accipienda, vt euanefcat pofito j~o, fi quidetn integrale ipfius Vdx ita accipi debeat, vt euanefcat po- fito xzzo\ quod in fequentibus perpetuo eft obferuan- dum. Loco K ergo femper fcribi poterit K-C, eftquc C quantitas, quac prodit, fi in K ponatur X—O. §. 5. Si fQdx non pendeat a fVdx, ideoque ae- quatio huius formae jQdxzz af?dx-{-K inueniri ne- queat, videndum eft, num fit jRdxzzajQdx-\-£J?dx-hK vbi DE CONSTRFCTIONE AEQVATIQNVM. 1$ "vbi iternm a et g per a et conftantes, K vero per a,% u et conftantes dari ponitur. Si talis formae aequatio poterit formari, tum aequatio modularis erit dirferentia- lis fecundi gradus, reperieturque perhas formulas,/P^ •^ da " J da Simili modo fi vkerius progrediamur ad aequationes, in quibus fSdx, fTdx etc. iniunt, tum aequatio modula- ris dirferentialis erit akiorum graduum, atque reipfa in- uenietur tum ex iftis formulis tum ex fequentibus, quae d («'■*£-) -w*) __ R , \fo\nt\ f&dxzz v. */# ^ EtfTdx acquatur difTerentiali huius quantitatis ipfo Sdx minuto et per da diuifo. Hocque modo vlterius eft progrediendum , fi aequa > modularis ad difTerentiaiia al- tiorum graduum afcendat. §. 6. His praemiflis praeceptis confiderabo hanc ae- quationem fpecialem zzzfeaxXdx, vbi X functionem quam- cunque ipfius x et conftantium ab a non pendentem fi- gnificet. Atque primo quidem inueftigabo, qualem va- lorem X habere debeat, vt aequatio modularis -jfiat tan- tum difFerentialis primi gradus ; fimulque cuiusmodi aequa- tiones ope formulae zzzfe«xXdx conftrui poffint. Eft vero e numerus, cuius logarithmus eft vnitas, atque in- tegrale ipfius eaxXdx ita fumi pono, vt euanefcat pofito y.—.o. Ciun igitur fit ?zzeaxX, et X ab a non pep- deat, erit eaxXxda eius dirTerentiale pofito .v conftante, Tm. WE- M ideoquc 5o DE CONSTRVCTIONE AEQVATIONVM. ideoque QzzeaxXx. Quo ergo aequatio modularis fit dirTerentialis primi gradus, oportet iit jeaxXdxzzafeax Xdx-hK-C Ponamus KzzzeaxXp et fumantnr dif- ferentialia pofito a conftante habebitur eaxXxdxzzaeax Xdx-\~eaxXdp-\-eaxpdX-\-eaxaXpdx feu Xxdx zzaXdx-{-Xdp-±-pdX-\- aXpdx. Vnde oritur «=xi,-«i,^d^d,> ybi pm p talis yal()r in ^ accipi debet, vt X ab a omnino non pendens prodeat; at a. vtcunque. ab a, pendens effici poteft.. §.. 7.. Inuentis autem hinc: idoneis, valoribus pro X crit aequatio modularis dz — eaxXdxzzazda-\-(eaxXp — Q)da. Ponamus primo effe p conftans .zz: w, erit tt-rtsz&pj^;. fiatque arhma-b feu azzb- ma, ita vt b et m. ab a non pendeant; erit 4r ^3 ^=^— et /X~ ^— atque X:=* 277V ; conftans vero C erit — m.. Quamobrem ex aequatione z zzz fe dx, oritur. ifta aequatio modularis dzzzz x2 — 2&3C-+-2 max (b-ma)zda-mda -\-e 2m (dx -t-mda). Haec ergo aequatio ,, cuicunque functioni ipfius a quanti- tas x aequalis, ponatur, vt duae tantum variabiles z et. a, fuperfint,, femper conftrui poteft; quod quidem aliunde. iam patet,, quia altera variabilis z vnicam; habet dimen- fionem.. At fi ipfi Zz datus per a. zx. conftantes valor tribuatur, habebitur aequatio inter variabiles a et x tan- tum, quae. confueto morej minus. tradiabilis videtur:. inte- rimi BE CONSTRFCTIONE AEOVATIONVM. 91 Trim tamen hoc modo conftrui poterit, pro quouis ipfius a valore conflruatur curua, cuius applicata abfciflae x re- fpondensfitir? in hacquc curua fumatur area aequalis eidem ipfms a fun&ioni, cui z eft aequalis, erit abfciffa hoc modo determinata verus valor ipfius x. §. 8. Prodierunt haec ex pofitione pzzzm, atque m et b erant quantitates conftantes a non inuoluentes. Ponamus autem porro p = g -f- y x , erit -^ — Kdx— %dx — ydx — tadx — yadx rr ^y~x > quae expreiTio, quo a ex ea excedat ponatur ^ ^^mlZ^r^ vbi /,£, m et ;z non inuoluant a, erit 6 zz. j~^a , yrrjqr^ et a — 2^=-^, atque i> = 7^. Hinc oritur IXzzf-^^f-^^l(mx + n) fx. — /n — gm ax-+-fx atque X = tf'm (/m + «) m* " , et K zr e m (mx m'g — /n — gm m* —fn — g ffl ^ m2' -W*) m* '.(f-hma), ideoque Crz-y^ — ' Ponatur fzz o , quod fine detrimento vniuerfalitatis fieri poteft, erit zzzfea*(mx-\-n) mdx\ vnde fequens orie- {g — m ~ n a) z d a tur aequatio modularis dzzz -h — g m— g ggy(»/^ + «) m{madx-\-nda*\-mxda) n m d a. nla ma Detur quomodocunque z per a ita vt fit */# -f- M £ » m m— g DE CONSTKTCTIONE AEQVATIONVM.. n m da — (g—m — na)zda Add , . .. a 2 ZZ — 1<2 : ^ habebitur conftru* :=£ tYto huius aequationis A^n^x(«Ji + w) m(madx -±-nda-\-mxda)> quae quidem fa&a fubftitutione x,=s *=~ facile feparatur. §. 9. Cum igitur hae aequationes,. quae ex aeqtia-»- tionibus modularibus difFerentialibus primi gradus eliciuntur, receptas regulas conftrudionum non fuperent , pregredieor dum eft ad aequationes modulares differentiales fecundi gradus. Retinebo vero priorem fbrmam z~feaxXdx ct inueftigabo, cuiusmodifiincfrionem ipfms x effe opor*- teat X? quo aequatio modularis ad dirTerentio-dirTererr- tialia afcendat. Erit vero P=^XX, Q=zeaxXx, et R~eaxXxz. quare pono Jea xXx2dx~ afea x Xx dx -fa- IS^"X.^+R.-C Sumatur K.=:*aacXp:, habebitur fiimtis dhferentialibus Xx2 dx~aXxdx-\-%Xdx-\-X Jp+pdK+aXpdx, vnde fit *-***-**>-**-*■-<**« Pomtur /» = t— ^.<— " erit £ = ^ -f- ^-ggfe^TTT^- Sit * V + ^- aa=/ fea' «=Y -*-£•— 4 et 6=f-— y^, exiftentibus y, $,etf,g,. quantitatibus ab a non pendentibus. Erit ergo y--~- -4-{x--y)(^) at(lue /X — /<•— 7r-T /U-y)-+- &£$-+* l (*■-& ) ^u X ==*■(*- Y)-^^" §5 so0. DE CONSTRFCTIONE AEQJrATIONFM. 9% f. io. Ponatur #=&***=* et Or^dfe^ crit/=X-f-^-f-2 et j: = yfx.+ ^X + Y-f-^ Hinc erit X = c(x-y)x(x~$)»y a--v-f-^-^~-f=-2 et fc^i±3±L.v^ atque K^^^^Lill a a et Qzz . Quocirca fiet z^jeax{x —y^ix—Sy-cdx^ quae dabit fequentem aequationenx /dz-eax(x-y)xXx-$ fcdx\ modularem d ( -— J — $*■+* da ' e"S ' 3n qaa litterae e> £ *i ? 'i *j M- deno" tant quantitates conftantes ab £ non pendentes. §. ii. Tribuatur ipfi x valor. vel conftans vel ab a quomodocunque pcndens,. et fumto du> conftante loco emoium terminorum, in quibus non ineiljs fcribatur Ada M 3, deno- 94 £>E CONSTRVCTIONE AEOVJTIONVM. denotante A fun&ionem refultantem ipfius a et conftan- tium. Quo facto abibit aequatio modularis in fequentem aequationem duas tantum variabiles z et a inuoluentem: jj i r^ i 9 , *-*-v--h*^j„ i ^^+'J i il*±.ll_i_ , erit />zzo fii:X.4-[A..-r-2, /zz-Z?2, et .gz= X Z? ~ jjl Z? = A(A— jx).. atque aequatio fundamentalis abibit in hanc : z=zfeax(b- xfib-hx^dx-hfe-™ (b~\-x? (h~-xfdx: In qua fi fumatur xzz.b et # tanquam variabilis tracte- tur. prodibit: fequens aequatio inter z et #, fi da conftans^ ponatur: ^z_^^ + (/_|_f )^z= o , quae in, aequa- tionem differentialem primi gradus transmutabitur fac1:0' zz~eftda, prodibit enim dt-\-rda.-\-CJp--\- (f-h -f ) <£# — o Ponatur/ J i-25 2(4-1 )etc. etc. cuius veritatem per iaductionem fatis confirmat, fed , qnod caout eft, anaiyfin non atfert, qua ad hoc theorema fit peruentum. §. 5. Commode autem atque facile ex data huius- modi fractione continua valor eius vero proximus poteft determinari, quin et limites deflnire licet, intra quos ve- rus valor contineatur, vt, fi quadratnra quaepiam vel alia quantitas tranfcendens hoc modo fuerit exprtfla , facili ne- gotio ea ij (a proxime aiTignari queat. Oftendam hoc ex generali fractionum continuarum forma: N 3 *■+. io* DE FRACTIONIBVS CONTINVIS. ct d-+-S etc. in qua omnes quantitates ingredientes affirmatiuas pono. Apparet autem valorem vero propinquum obtineri , fi fra&io continua alicubi abrumpatur, atque eo propiorem valorem inuentum iri, quo longius fraftio continuetur, Ita fumendo tantnm a habebitur valor minor vero, cum annexa fradlio tota negligatur. Sumendo autem a -f- f- , valor habebitur maior vero , quia in fractione denominator b eft iufto minor. Sin autem fumatur c habebitur iterum valor iufto mi- nor ob fradlionem ^-, indeque denominatorem b-\-^ ni- mis magnum. Atque hoc modo fractionem continuam fuccefliue abrumpendo alternatiue valores iufto maiores et minores prodibunt; vnde quamtnmuis prope ad verum fractionis continuae valorem accedere licebit. §. 6. Sequens igitur habebitur expreflionum feries: a7 a-\-a, ct-*r& , a-\-ct b b~t % b-t-£ , etc. c c-\-y d qua- DE FRACTIONIBVS CONTINVIS. 103 quarum, quae funt ordine impares, vt prima, tertia, quin- ta, etc. minores funt vero fra&ionis continuae valore: pares autem erunt maiores eodem. Quare cum terminus te tius maior fit primo, quintus maior tertio et ita por- ro; termini iirpares creicendo tandem vcrum fra&ionis con- tinuae valorem attingcntj termini pares vero, qui conti- n 10 decrefcunt, decrefcendo tandem ad ve»um fractionis c mtinuae valotem defcendent. Si autem hae exprefifio- iks in fractiones fimplices transmutentur, fequens prodibit earunJem exprefFionnm feries: a . ofr-f-a . abc-+-ct c-f-gg . abc d-+-*c d-+-ta d-+- 7a&H-&V *> b ' 6c-f-g » bcd-t-td-n-yb quae fi attentius infpiciatur, facile colligttur lex, qua ifti termini progrediuntur ; cuiusquc ope fine operofa fractio- num illarum compofitarum redu&ione has fra&iones, quo- usque libuerit, continuare licet. Nimis quidem hae fra- ftiones ftatim fiunt prolixae; fed in exerrplis quibus hae litterae numeri* exprimuntur, perquam commodc haec fe- ries conrinuatur. §, 7. Lcx autem progreffionis harum fractionum ex fequente fchemate clare percipietur: a b c d e 1 . a . ab-j-et. m q 5 c -f- g c -f-gq m gbcd-i-* ^d -t- f aji -+-yab-+-ciy ' ' b y 6c-f.g '•) bcd-*-%i~-+-yb" ct S y $ £ Scilicet hts fndlionibus fupra fcripti ftfat denominatores fracftionis continuie, infra vero nun .eratores tanquam indiccs; ipfis auterri foiftionibus praefxa efl frnclio i, quip- pe qiue ex ipfa lege mox declaranda in hunc locum pcr- tinet. io4 DE FRACTIONIBFS CONTINVIS. tinet. Lex iam progreflionis in hoc conftftit vt cuiusque fra&ionis numerator per indicem iiipra fcriptum multipli- catus vna cum numeratore praecedentis fra&ionis per fuum infra fcriptum indicem mukiplicato praebeat nume- ratorem fequentis fractionis : Atque eodem modo cuiusque fradlionis denomin.tor per indicem fuum fupra pofitum multiplicatus vna cum denominatore praccedentis fra&io- nis per indicem fuum infra fcriptum multiplicato praebeat denorginatorem fradtionis fequentis. Lex quidem haec ex ipfa inlpectione harum fractionurrr, fi vlterius continen- tur, facile obferuatur \ fed eadem etiam ex ipfa ftactionum continuarum natura deduci poteft: quam demonftrationem autem hic apponere fuperfluum iudico. §.8. Si iftarum fraftionum dirferentiae capiantur, fubtrahendo quamque a praecedente, fequens orietur feries : 8 ag a€7 etc. 3 f. b~T~ 6(6c-+-g) (6c-+-g)(6cd-+-gd-+-,V&) cuius numeratorum progreflio per fe eft manifefta , deno- minatores vero ex binis denominatoribus praecedentibus for- mantur. Cum igitur fuperioris feriei vltimus terminus , qui verum fracrionis continuae valorem exhibet, componatur ex primo, quem reiecto l fumamus #, et omnibus dif- ferentiis, erit verus fractionis continuae propofitae va- lor = ; _ , « " «e , _«17 _ *&*: _„„ a "T" ,. b ~~b (6c-+-g) "T"(6c-+-g) (6cd-Hgd-KV&) {bcd-+-$d-i-Vb)(bcde,ZZC' Habemus adeo feriem infinitam primi generis, cuius termi- ni additione et fubtracrione inter fe coniunguntur, valori fra&ionis contmuae propofltae aequalemj haecque feries valde DE FRACTIONIBFS CONTINFIS. xoj Valde conuergit, atque ad valorem illum proxime inue- niendnm admodum e(t apta. Si bini termini coniungan- tur aiternarioriis fignorum euitandae caufa, reperietur ea- dem fradtio continua aequalis fequenti feriei: _ac _ ,_ ettye *-T-i(6c-+-6) "T" (Ach-6 ){bcde-+-%a<-i-yoe-i-SbcJ£jr)-h ^tCo cuius numeratorum et denomuiatorum lex ex fuperiore fponte fe prodit. Vehementer autem haec feries con- uergit, atque eius ope citifllme vero proxima fumma in- ueniri potsft. §. 9. Quo magis igitur haec feries vltima inuenta conuergit, eo magis etiam ipfa fractio continua conuer- gere cenfenda eft; quia datus terminorum fenei numerus dato fra&ionum numero fractionis continuae refpondet, Perfpicuum ergo eft fractionem continuam eo magis con- uergere , quo minores fint eius numeratores a , & , y , etc. maioresque denominatores #, £, c, etc. Omneh autem hos numeros tam numeratores quam denominatores intc- gros ponere licet ; nam fi eflent fra&i per notam fra&io- num reduftionem in integros transmutari poifent, fmgu- larum fcilicet fra&ionum numeratores et denominatores per eundem numerum multiplicando. Pofitis ergo om- nibus numeris tam a, &, y, etc. quam #, £, cr etc. integris fractio continua maxime conuerget, fi omnes nu- rneratores a, 6, y, etc. aequentur vnitat ; deinde vero conuergentia eo erit maior, quo maiores fuerint denomi- natores a, b, c, d, etc. Vnitate fcilicet numeratores minores eife nequeunt, fi enim alicubi numerator erTet ~ o ; ibidem fracYio continua abrumperetur , foretque fradtio nnitS, Idem quoque accidit, fi dcnominatorum ali- Tom. IX. O quis io6 DE FRACTIONIBFS CONTINVIS, quis fiat ==: oo , ibidem enim pariter fraftio continna ab- rumpetur atque in fhuftionem tinitam transibit. §. 10. Si igitur fequens propofita fit fractio con- tinua, cuius omnes numeratorcs fuit \nitates; tf-f-i b-\-\ 6--r-i /H- etc. ad eius valorcm appropinquabunt fra&iones fequentis fe- riei a b c d e i . a . afr-t-t . afrc-f-c-+1g t abcd-+-cd-+-ad-\-ab -f-r 5) t'? b •) 6c-t-x j &cd-+-d-+-6 quae feries ope vnicae indicum ayb,Cid, etc. progref- fionis continuatur. Scilicet cuiusque fractionis tam nir- merator quam denominator per indicem multiplicatns et praecedentis fractionis numeratore et denominatore re- fpecr.iue auctus, dabit numeratorem et denominatorem fequentis fra&ionis. Valor deinde huius fractionis conii- nuae aequabitur fummae fequentis feriei: «"T-i.6 ~6(&c-+-i) "T~ (&c-f-i)(6cd-r-d-+-5) (6cd-+-d-+-6)(6cde etc vel fummae huius, in quam ifla transmutatur ) ^( 6c-+-i ) (6cfU-+-d €-+-£« -+-6 c-+-t) etc. cuius LE FRACTIONIBVS CONTINVIS. 107 cuius feriei denominatores formantur ex alternis denomi- natoribus feriei fra&ionum fuperioris j ideoque facile con- tinuantur. §. 11. Si in tali fra&ione continua, cuius numera- tores omnes funt vnitates, denominatores fuerint numeri fradi, expediet talem fra&ionem continuam in aliam transformare , in qua tam numeratores quam denomina- tores fint numeri integri. Ita fi kuiusmodi propofita ef- kt fradio continua. #■4-1 c- + I £** J-Hi etc. haec tollendis fra&ionibus particularibus transmutabitur irj fequentem formam: 0-4-B £-f-BC CD *?-i-DE etc. Simili modo vicifllm quaeuis fra&io continua in aliam transmutari poteft, cuius omnes numeratores fint vnita- tes, denominatores vero numeri fradi, erit (cilicet; O 2 a-\~ 208 DE FRACTIONIBVS CONTINFIS. b-T-% £-i- i ac g 4- ■ i e-h£ f^-h i etc. 6 5/ . • ^v^1 . : etc. quae poftcrior forma ex priore facile forrnatur. §. ii. Cum igitur data fractione continua eius va- lor vel verus ipfe , fi quidem fractio abrumpatur , vel vero proximus per fractionem ordmariam exhiberi queatj vicillim quoque fractio ordinaria in fracftionem continuam transformari poterit. Quae transmutatio quomodo fit n- ilituenda in fra&ionibus continuis, quarum numeratores omnes fint vnitates, denominatores vero numeri integri, primum oftendam. Omnis autem fractio finita, cuias nu- merator et denominator funt numeri integri finiti in hu- iusmodi fra&ionem continuam transformatui , quae alicubi abrumpitur j frasflio autem cuius numerator et denomina- torfunt numeri infrnite magni, cuiusmodi dantur pro quanti- tatibus irrationalibus et tranbcendentibus, in fr ftionern ve- re continnam et in infinitum excurrentem tranfibit, Ad taiem fra&ionem continuam inueniendam fufiiciet deno- minatores tantum aflignaffe , cum numeratores omnes vni- tates ene ponamus. Hi vero inuenientur inter numera- torem et denominatorem fra&ionis propofitae eandem ope- rationem inftituendo, quae ad maximum earum commu- nem DE FRACTIONIBFS CONTINFIS. 109 mem diuiforem inueftigandum inftitui folet. Numerator fcilicet per denominatorem diuidatur, et per reficuum ipfe denominntor , et ita porro femper per refidunm prae- cedens diuifor. Quoti vero ex hac continuata diuifione orti erunt denominatores fractionis continuae quaefiti. §. 12. Sic 11 haec propofita fit fradlio £ in fraclio- nem continuam tran^mutanda , cuius cmnes nimeratores fint vnitatesj diuido A per B, fjtque quotus a et rtfi- duum C, per hoc refiduum C diuidatur piaecedens diui- for B, fitque quotus b refiduumque D, per cuod C di- uidatur ct ita porro donec ad relldiuim — o, quotrmqiie infinite magnum perneniatur. Operatio autem haec fe-* quenti modo repraelentatur, B|_A|« CIBU DiC EDU F ) E | e G etc» Hac jgitirr operatione inueniuntur quoti 7 a7 h% c7dyey etc0 quibus cognitis erit B~ za-\- fr-jr* C-±~% d-\- 1 tf-f-etc» O 3 0 ixo DE FRJCTIONIBVS CONTINflS. fi enim fit refiduum Gro, erit ezzj atque 7—1 1 F D 1 E hincque porro d-\- -zzd-\-^rzz ^; ac r^f) ' * p £ c~t~ j ^. Tzzc -\-^-zz -. Hocque modo vsque ad ini- e tium afcendendo fracYio continua reperietur r^^. §. 13. Si in frattione g1 fuerit Ar accipiatur, diuifioque continua vti eft praecep- tum mitituatur, fequens quotorum feries prodibit 3,7, 15, DE FRACTIONIBFS CONTINVIS. 113 1, 292 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , T4 etc, ex quibus fequenti modo fraftiones fimpliciores eiuentur. 3>7> 15, 292. 1 3 . ~2. 333. 355. 103993 o'I' 7' iotf' 1137 33,102 r r 2 7' J9. ~6J 311. 103638 . . . , mmusprincipales. 32989 r r 1 7; 16 289 ; "92 *? 103283 32876 x3. 267 : 102928 J 7 4 85 : , 327^3 10 245 €tC. ? 3' 7S ? 7 . 2 ' 223 7i ? 4 1 ' 201 EtC, Hoc igitur. pa&o clnplices fra&iones nafti fnmus, quarum aliae nimis fiint magnae, aliae nimis parnae ; nimis fiia- gnae fciiicet fnnt, quae lub indicibus 3,15,292, etc. continentur, reliquae nimis funt paruae. Atque hinc fa- cile integram tabuiam Wallifiianam condere licet, quac omnes compleftitur rationes ad veram peripheriae ad dia- metrum rationem propius accedentes, quam fieri potefl numeris non maioribus. Tom. IX. P §,17. ii4 DE FRACTIONIBTS CONTINVIS. §. 17. Hae etiam niethodo definire licebit rationem conftitutionis annorum bisfextilium , quo annorum initia perpetuo in eandem tempeftatem incidant. Pendet haec determinatio a quantitate annf tropici, qnam iuxta accu- ratiifimas obferuationes ponam $6$d- 5** 49' S". Excelfus ergo fupra 365 dies ent $.b , 49' S", qui fi aequare- tur quartae diei parti, tuto femper quartus quisque an- nus bisfextilis conftitueretur ; fed cum ifte exceflus minor fit 6 horis, numerus annorum bisfextilium minor debet accipi ; quod cogaofcetur ex ratione 24 h. ad 5 h. 49% 8* feu ex fractione 1^1°, ex qua fequitur in interuallo 21600 annoruro tantum 5237 annos bisfextiles conftitui oportere. Cum aiuem haec periodus nimis fit rnagna,, minores obtinebimns periodos, fra&iones minoribus numeris conftantes inuefdgando , quae proxime fradioai %gf fint aequales. In hunc fioem fequentem diuifionem inftituo. 5237 21000 20948 * Ism ex' quotis inuentis 4-, S, 31 , 21 , qui erunt demON rninatores fractionis condnuae, fequentes formentur fractio- nes »1 * 4., 51 V 31» 33- 21 1027 2 49 21600 Bar BE FRJCTIONIBFS CONTINFIS. 05 Harum fradiomim fccunda \ ftatim dat rationem cakn- darii Iuliani , quo quartus quisquc annus ponitur bislex- tilis. fropius ergo fcopus attingeretur , fi annis 33 tan~ tum 8 anni bisfextiles collocarentur ; ex fraclione tertia. Cum autem expediat pro annorum periodo numerum pariter parern habere, fumamus fradtiones minus princi- pales quartae respondentes , quae habeant numeratores? ner 4 diuifibiles; quae erunt. 21* . il8 . 1£? . 533 . 661 . «*r quarum tertia ~ ad computum calendarii eft commodi£' fima. Apparet autem ex ea, interuallo annorum 400 tantum 97 onnos bisfextiles conffitui debere; feu tres annos hoc interuallo, qui in calendario Iuliano bisfexti- les elfent, in coiEmufiCs effe transmutandos ; id quod etiam Conftitutio Gregoriana praecipit Ex quo intelligi- tur minore annorum interuallo accuratiorem corre&ionem adhiberi non poffe. Accuratsffime autem cum fole cakn- darium conciliabkur, fi hiteruallo 21600 annoium denuo vnus annus, qui fecundum conftitutionem Gregorianam bisfextilis effe deberet, in communem transmutetur. §. 18. Quaeramus iam frac*tiones, quae ad V 2. tam prope accedant, vt ahae minoribus numeris conftantes pro- pius accedere nequeant. Eft vero V 2 zn 1 , 414213561=: I53553IIS, quae fraclio, fi diuifione continua iuxta modum praefcriptum tra&etur, dabit hos quotos, 1,2,2,2,2, 2,2, 2 , etc. ex quibns fequentes formabuntur fradiones quaefito fatisfkientes, tam principales quam minus prin- cipales P £ t n6 DE FRACTIONIBVS CONTINVIS. 2 i 3 7 17 45 99 ^39 T' 2' 5' 12' 29' 70' 169 2, 2, 2, ^, 7 17 41 99 5' — > 12 — 7 29 7~o' 4 10 24. 58. ~~ ? ) _ 7 ? 3 7 17 4* A y A y 2^ 4 io^ 24 e 58 140 i' 3' T' 17' 41' 99 quarum fractionum alternae figno V notatae maiores funt quam V 2. , reliquae vero fignum A habentes minores quam V 2. § 19. Notatu digna eft haec proprietas ipfius Vz, quod omnes quotos praeter primum habeat aequales bi* nario , ita vt fit Va = i-4-i 2-4-1 2 -4- etc Simili modo vero etiam fi V 3 euoluatur, reperiuntur quo~ ti 1,1,2,1,2,1,2,1,2,1 etc. ita vt fit i-f-i 2-i-I 1-4- I 2-i- I I-T-I 2 -4- etc. Quamuis DE FRACTIONIBVS CONTINFIS. 117 Quamuis enim non conftet ex ipfa diuifione , vtrum quo- ti hac lege vlterius progrediantur , tamen id non folum probabile videtur, fed etiam fequenti modo demonftrari poteft, quo valores huiusmodi fra&ionum continuarum , in quibus denominatores vel funt omnes aequales vel al- terni vel terni etc. a pofteriori inueftigare docebimus. §. 19. Sit igitur propofita fequens fradtio continua tf-f-i quae ponatur ~x b-\-i *4-i £+etc crit x— a. zz 1 — 1 b-t-x — & £-fc-I *r+-i hinc erit &-r-etc* xz~ 2 ax -f- bx-\~ a* — abi z:i atque Quare li fuerit &rr2 et tf==x, erit #=1-4-1 = V2 2~i- 1 2-4- I 2-J-etc P 3 n8 DE FRACTIONIBFS CONTINFIS. fi ergo ponatur bzzia crit 2tf ~f- i 2 # etc. vndc ex omnibus numeris , qui vnitate quadratum exce- dunt expedite per approximationem radix quadrata extra- hi potelt; vti pofito azz. 2 fequentes fra&icnes ad V5 proxime inueniendam inferuient. etc. 2, 4, 4, 4, 4» 4, 4 1 2 5' 7; 9. 4 38. 17' itfi 682 2889 1292 ? I 7. ~? 3 s9 . 123. 5^i. 55' 233' 2207 987 * 5. 20 85. 3^0. 38' 161' 1525. 682' ? 3. 7' 11 1; 47. *99 t 21' 89' 8±2. 377' §. 20. Slt nunc propofita fequens fra&io a-\-\ b + 1 £-f-i c-\- 1 £-r-i_ * etc. quae DE FRACTIONIBVS CONTINFIS. u9 quae ponatur ~x atque valor ipfius x reperietur fequen- te modo i x—a b-\-i *H-i £+1 c~f- 1 # etc. hrnc ergo erit *-*:=: ^^z^b^T i I+I i-r-i 4-4-1 1 ~i i-r-i 6-\-i 1 etc« cuiufi DE FRACTIONIBVS CONTINFIS. t«i cuius denominatores terni conftituunt progreflionem arith- meticam 2,4,6, 8 etc. reliqui funt vnitates. Quae lex, etfi ex fola obferuatione eft deprehenfa, tarr.cn probabile videtur eam in infinitum valere, quod quidem infra certo confirmabitur. Simili modo fi Yezzi^ 6487212707 in fraftionem continuam conuertatur erit Ye~*+l ■-+■'+! ^'4 '** etc cuius progreflionis lex fimilis efl praecedentis. Similiaque obferuare licet in aliis fra&ionibus continuis, in quas po- teftates ipfius e transmutantur. §. 22. Simili modo confideraui radicem cubicam ex nnmero e cuius logarithmus hyperbolicus eft 1 , inuenique y e- I "0, 1978062125 zz 1 2 18-f- 1 30H-1 42 etc. Tcw/. I^. Q ja t2* DE FRACTIONIBVS CONTINFIS. in cuins fractionis continuae denominatoribus praeter pri- mum progreflio arithmetica obferuatur. Simile accidit, fi potefhtes exponentium integrorum ipfius e confiderentur et in fractiones continuas transformentur. Sic confiderans quadratum reperi flzi — 3, 19452804951 = S+J. - •i-iT , t efc. Deinde etiam ex ipfo numero e, ex quo formata frac*Ho continua interruptam habuit progreflionem arithmetfcam denominatorum , obferuaui paucis mutandis humsmodi fraftionem continuam ab interruptione liberam formari poffe. Prodiit enim 1 . 1 •~2-f- e— 1 6-\-i 10 14.4-1 18 22 26^-ctc. in qua regularis ineft progreffio arithmetica differentia 4. progrediens m FRACTIONIBFS CONTINFIS. 1*3 §. 23. Cum igitur obferuaffem tantam conuenientiam inter fractiones continuas, in quibus denominatores mo- do interruptam modo non interruptam conftituant pro- gredionem Arithmeticum ; in eam incidi cogitationem , num forte fratfio continua , in qua interrupta fit denomi- natorum progreflio , in aliam non interruptam transformari poflfit. Confideraui igitur progreflionem quamcunque a, b,c,d,e, etc. interque binos contiguos vbique hos duos numeros m, n interpolaui, vt prodiret fequens fra&io continua f/z-f-i n m-\-i n ^4-1 m 1 d etc. hancque inueni aequalem fequenti fra&ioni continuae, in qua denominatores fme interruptione progrediantur. /(mn-t-i)a-+-na tti-hiv^ ' (m«-H0&-H?H-n»-|- lmn-f-i )c^~m~^n \ . ™ fequitur 7=T = i-r-2 erit 5-i-i io-4-i 14.-4-1 hincque 22 etc» vnitatem per vtrumque diuidendo 2-J-i 1 + 2 5-r*-X IO + 1 1 ♦-*-_* 18-HI 22-f-T 25-1- etc. Simili modo ex eodem paragrapho reperietur 1+1 3-+-1 14-1 12+1 1+1 20-i-i "5HHI 2§ CtB- I-t-I 14-1 9 etc. Haeque BE FRACTIONIBVS CONTINVIS. ia7 Haeque fracliones continuae nunc inuentae tantopere con- uergunt, vt facili negotio valores ipforum e et Ye quao- tumuis prope reperiri queant. §. 26. VicitTim vero etiam hinc fra&io continua m qna denominatores ordine non interrupto progrediuntur , transmutari poterit in aliam , in qua denominarores inter- rupti fint duobus conftantibus numeris metn: ita inueni fore a -4- r zz:a-n-\~ mn -\- 1 e etc. metc. Vel tollendo fraftiones in his denominatoribus , fi opus vilum tuerit, tnt a-\-i zza-n-\-mn-\-x b-jf t m H~ r cH-i n-\-mnA-x n-}-mn-\- 1 c-m-n-\-mn-\-\ m-j-i~~ «etc. i E 8 DE[ FRACTICNIBFS CONTINF IS. fi ergo ponatur mzznzzi, habebitur a-\-i zzza-i-i-z b-\-i i-f-i d etc. £ (1+1)8) {\-k-n)iay (i+3fi)a i. . 0 . ( i-Hn)a*-f-i t (i+b) ( 1 -f.27x)w3-f-(2-+- 2 n ) a 0 * B? (i-+n)* 5 ( .4.n](i + ^)oJ+"i quae fra&iones continuo magis ad valorem verum ipfius s accedunt • atque fractio iniinitefima verum ipfius s valorem dabit. R 3 §. 3~« i34 EE FRACTIONIBVS CONTINVIS. §. 3*2. Si hae fratftiones vlterius continuentur faclfe cibferuabitur lex, qua formatae funt; cx eaque conclude- tur fractionem infinitefimam poft numeratoris et denomi- natoris diuifionem pex primum denominatoris terminum foxe * -+- 1 ~k7-)r~i(i-i-ntfrZs~l~'i.--z-i (i-+-n)C~l->n n>gS •+- etC I •+-rl(1^ajna5"+"i.»(i-+-n)(i-4-2n)«za4 » t.2.3(i-+-/i>(i-i-2n)(i-t-37i>n^a« *fc cui adeo j aequatur. Pofito ergo azz ~z erit .fr^» 1 "+" 777 "+~ 1.21 (-f-n) ^" 1. 2.3. i{i •+-»)( 1-4-211J "+~ etCe 1 *+" lii-wo""1 i.*.-i(i-*-*)(i-t-2*)"**" i.2..(iH-«)li-l-2ftAi-4-^)"~r-etC8 qui vaior quo obtineatur , ponatur t~i -+" ~7~ *+" ~T77rr7jr7fT"+" ,.2.3.1 d-Hnjd-hTtl f-etc __ z^ . z* et U — -I ■+~,iI^R)-T-,.2(l^-jiX1^-2tt)""«- ».z.3(i^-rt)(i-+-2,n)(i-f.3.»3 -+- etc. ita vt futurum fit szz^j%. Ex infpectione autem ha- rum duarum ferierum intelligitur tore d*7 — «//s; atque fimili modo deprehendetur eife udz-\-nduzzitdz. Po- natur tzzzvu, quo fit j -z; ^ , erit vdu-\- u dv zzz 0 i ~ ; atque udz-\- n z du zzz 0 v dz ; ex quibus fequitur ~ zzz -*~ y~ r_ ^j- - , hincque fequens aequatio inter 3 ec 0 tantum confi fte ns nzdv — 0 dz -+- ^2 dzzznzdz\ quac fubftituto vzzzznq z\ zzzr*, abibit in hanc fiat pmcv, vel poiito azzo fiat j-— 1. Vnde fequens pr-o introducenda conlbnte in integrando regula na.(citurr vt cafu quo non e(t ;;^>2 fiat q— co pofito r~w. Ponimus autem n effe nume- rum affirnr.Ltiuurn , quo fractio eontinua oriatur, qualem fea&enus confiderauimus denominatores affirmatiuos hahen*- tem. §. 3-4. Conftat autem aequatibnem inuentam dq-\- qqdrzzrr,n—2dr congruere cum aequatione olim a Com* Riccati propofita ; iisque propterea tantum cafibus effe ia- tegrabilem , quibus n efl: numerns huius formae ~^t de- notante m integrum , eumque affirmatiuum, quo pro n obtineamus numeros affirmatiuos. Ob hos igitur. cafus. iequentis fra&ionis continuae t$6 DE FRACTIOMBVS CONTINFIS. - i 2771-+-I ,m_l_, r~ ,2 771-4-,-)^ 2?a-4-i etc. valor femper per expreflionem finitam exhiberi poterit, Quod quidem per fe facile conftat, nam faclo ;;/ — o, habemus hanc fra&ionem continuam $a 5*-+- r 7*H- i p# -+- etc. cuius valorem iam fupra inuenimus. Ad hnnc vero re- duci poteft illa generalis pofito enim azn. (im^\-i )b habebitur (2flH-3)£-+- i (a»H-5)£-+- i etc. quae in ifta iam cognita toties continetur, quoties m fue- rit numerus integer aifirmatiuus. §. 35. Apparet igitur per hanc ipfam fracftionum continuarum refolutionem integrationem aequationis dq-^- q- dr ~nrn~~2dr deduci ad integrationem huius aequatio- nis dq + qzdr~z.2dr, fiquidem n fuerit zz~^-t deno- tante DE FRACTXONIBFS CONTINFIS. 137 fomte m numerum integrnm affirmatiuum. Quam ipfam redu&ionem iam fupra §. 28 eodem modo, quo ex hoc fonte perfici poteft, expofui. Quo autem intelligatur, quomodo hac ratione verus huiusmodi fractionum con- tinuarum valor reperiatur, confiderabo cafum n~ 2 feu .f#~o, quo orietur $zza-\- 1 3*-H 1 5*-f- ^ 7*-f- 1 etc, Rcperietur vero rex hac aequatione dq-\-q* drzziir^ quae debito modo integrata dat rzz-~- l^=^~2 ex qua prodibit 4 — --j Eft vero f — - — - titque s-rzarqzz.^ vnde proueniet valor ipfius j rs f a -4-1 , prorfus vt iam fupra inuenimus (§. 28,). « * — 1 !T(M». LV S DE 13« *%H )o( Sg# DE MAXIMIS IN FIGVRIS RECTILINEIS, AVCTORE Frid. Moula. *«bVJV' ^/l*rum non immerit0 videri poteft, cum figuras I \^I rectilineas nemo Geometrarum infalutatas prae- ^" terire poflit , earum tamen areas ab analyfi in- finitorum hucusque intadas remanfiffe, neque circa eas quaeftiones de Maximis habitas fuilte. Num minus in- tereft, minusue faltem iuuat nouas illis proprietates affi- gnare quam aliis bene multis curuis quarum infrequentior eft vfus? Quapropter non iniucundum iis fore exiftimaui quibus nihil nifi arduae fit indaginis nodisque difficilibus refertum non fapit, fi Maximorum inueniendorum me- thodo ad Figuras recTilineas applicata , maximas earum areas inueftigarem , determinaremque. Hoc confilio a triangulis figurarum fimplicifiimis ordiar, deinde ad Qua- drilatera progrediar et poftremo Poligona attingam , per- luftraturus vbique omnes qui pofTunt occurrere cafus. Ante omnia autem expedire arbitror, initium a duorum lemmatum demonftratione efTe faciendum , quorum vtro- que fuperftruuntur folutiones, cum nondum forte cuique fatis conftent. Lemma DE MAXIMIS IN FIGVRIS RECTILINEIS. 139 Lemma I. Area Trianguli ABC aequatur dimidio Retfangulo ex duobus quibusuis Lateribus AB, AC v. gr. tn finum an- guli intercepti A dutto (pofito finu toto zz 1 ) Demonitratio. Sit Triangulum ABC et ducatur v. gr. BD perpcn- psg.i.eti dicularis in AC, fitque finus anguli BACzzx, area Tri- anguli ABC aequalis erit facto ex dimidia BD in AC, feu *c'2 *D. Quid autem fubftituendum fit loco BD , repe- rietur faciendo hanc analogiam , vt A B ad B D \ ita fi- nus totus, ad finum anguli BAC, feu AB: BD~i:l Ergo AB. k\~BD et proinde area Trianguli, ponen- do AB. x pro BD, ^:AC,f'x, Cum autem finus an- guli cuiuscunque acuti, pofitiuus fumtus, pofitiuus quo- que maneat, fi in alteram partem cadat, id eft fi angu- lus fiat obtufus, fequitur aream Trianguli femper e(Te — +A-^P. Q. E. D. Lemma II. In Trianguh quocunque ABC, quadratum cuiusuis Figum 1; lateris aequale efi quadratis reliquorum laterum , minus du- plo retfangulo eorundem laterum in cofmum anguli intercepti, Jcil. v.gr. BOzz AB24-AO~ 2AB. AC in cof. A {pofito fmu toto zz 1 ). Demonftratio. Dudh, v. gr. BD normali in AC, vt fupra, et finu anguli BAC vocato x, erit BC2^BD2H-AC2- S 2. cAC. x4o DE MAXIMIS 2 A C. AD-4- AD2 ,. feu ( fubftituendo loco BD2 eius va- lorem AB2 - AD2)=; AB2-+- AC2- i A C. AD. Iam vero AB eft ad AD vt finus totus ad cofinum anguli BAC, vel AB: ADni : V(i— xx\ \nde ADinuenitur zzABV(i-,r.v), quo vaiore fubftituto , erit B C2~ ABS Figura * -4- A C2 — 2 A C. A B V ( i— jcr). Sin autem angulus BAC obtufus fucrit, reperietur BC2 — AB2-f-AC24~2AC.AD, fed hoc cafu pro AD fubftituendum erit — ABV(i -xx)y quia cofinus anguli BAD fit negatiuus refpe&u anguli BAC. Quamobrem qnisquis fuerit angulus BAC, fem- per habebitur BC2~ AB2~r-AC2-2ABoAC. V(i-.xu*> Q. E. D. Nunc vero licet maximarum arearum inueftigatio- nem in triangulis aggredi.' Omnibus autem quaeftionibu& quae circa hanc materiam haberi poflunt , fequentium quinque problematurn fohitione farisftdum iri puto; Problema I. pjgB» 2. Datis duobus lateribus AB, AC, inuenire terthwi BC? vt area trianguli jiat ■ maxima. Solutio. Sit AB~#, AG~ .:£, BCzzjj finusque angutf BACm. Area trianguli ABC erit, vi prioris Lem- matis — ^BAC— iz: — . Cum autem liaec area ma~ xima effe debeat , erit eius difFerentiale zz: nihiio , fcilicet ~^z= o et proinde dxzzo. lam vero pofterius lem- ma quo conftar BC2"AB=-f- AO-a AC. AB.cof. A aiteram fuppeditat aequationera , nempe jjzzLaa-^bb— zab 1N FIGVRIS RECTILINEIS. t*i 2abV(i — xx) cuius fi difFerentiale uimatur, prodibitj^j? abxdx t i„.. ydy1{i~xx) n = vtT^-**) i *eu "x — «** ' *-um vero muentum- fit dxzzo, fiat quoque m aequatione modo inuenta dxzzo , ent lgitur -^ zzo ex qua elicitur xzzi y BC igitur feu y fiet (ponendo i pro x in aequatione yyzza*-\rbb—*abV {i—xx))zzV (aa-\-bb). Q.E.L Corollarium i. £x eo quod fit xzzt\ feu finus anguli BAC ae- qualis finui toti, quodquej/ feu BC fit zz V(aa-\-bb)r mmifeftum eft duo latera data ita disponi debere, vt conftituant angulum BAC rectum. Sic enim area trian- guli ABC fit maxima. Corolhrium 2* Tta etiam eonfirmatur muniendi peritorum pr-axis, qui iii cmnibus Polygonis ab Hexagono indiper, angulum J: " ;naculi rectum conftituunt* nam malneritibus iisdem tum faciebus*, tum Lateribus vt et alutudine, Propugna- culum maximam adipiscetur capacitatem foliditatemque» Seholion. Demonftrari qnoque potuiffet absque calculo angulum BAC e(Te debere rectum. Cum enim area TrianguU ABC inuenta zza^ debeat effe maximum^ Huius quan- titatis valor, nom propter conftantes a et b qtiippe quae datae funt, fed proptcr vnicam variabilem x augeri pot- eft. Euadet igitur a^~ maximum , fi fuerit x infinitum at nullus- datur finus infinitus, tum maximus demum fit S 3, cum 14* DE MAXIMIS cum aequatur radio, feu finui anguli refti. Proinde vt a^ fa maximum , neceflfe eft, vt x fit finus anguli recti. Figuw 3. ^em etiam ope vulgaris geometriae palam fit, fi * concipiatur triangulum ABC (iiper bafi, v. gr. AC et alterum latus BA perpendiculare ereftum ad parallelas AC et BD. Tum enim primo adfpectu patet, quaquaverfus inclinetur AB, altitudinem trianguli ABC minorem reddi , et confequenter aream , quae altitudini in dimidi- am bafun ductae femper aequalis eft , minorem futuram. Problema 2. Figura x. Dato latere BC et Jumma laterum AB + AC, in- uenire vtrumque} ita dem longitudinis , cuius ambo extrema pundis B et C lineae datae BC tanquam focis fint affixa, hocque filo defcribendam efte Ellipfin LAM. Notum eft enim AN tum maximam fore, nempe dimidium axis coniugati, cum AB fafta fuerit AC; at AN eft altitudo trianguli, quae cum omnium maxima fit, ducfla in dimidiam con- ftantem BC, dabit aream maximam. Problema 5. - Data bafi BC et angulo Ainuenire AB et AC, Ua Fisai* *> vt triangulum fiat maximunu Solutio. Sit data BCrrtf et finus anguli BACzr^r. Sit porro ABzzz/ et ACz=^. Superioribus infiftendo ve- ftigiis, area trianguli ABC, per prius lemma, fiet rr ^1^. Ponatur nunc haec area maxima , erit differentiale irs ^ aequale nihilo, fcilicet ^*^^— 0| pro- 0 dz'zzz2^. Iam ex altero lemmate orietur ae- quatio > 144 EE MAXIMIS quatio, in qua differentiata fubftitucndus erit ralor ipfius dz modo inueatus, quo relatio mter latera quaelita. y et z innotefcat. Habetur autem fecundum hoc lemma BO ien aazziyy -f- z z — 2 zy V (i — mm)A et fumtis drflerentialibus zdz- \-ydyzz. (ydz-\-zdy)V( 1 — mm)y fiue dz( z — yV ( i — mm jzz.dy ( zV (i-mm)-y ) et po- fito "^-y^ l°co ^2, eruitur tandem y~z. Verum ex eo quod j> et js fint inter fe aequalia ; patet vtrumque da- ri, nam anguli ABC et ACB quos fubtendunt dantur, funt enim z^i8o°— • angulo BAC dato. Q. E. I. Corollarium. Sequitur ergo triangulum, cuius latus vnum et an* gulus eidem lateri oppofitus dantur, ifosceles circa angu- lum A eife conftruendum, fi maximam comple&i debe- at aream- Scholion. Eodem quo in fcholio praecedenti vfus fum modo demonftmri quoque poteft, aream tum fore maximam cum iatera AB, AC aequalia inter fe fuerint. Facilli- mum enim eft captu, quo magis inaequales fuerint AB et AC, eo minorem fieri aream trianguli. Econtra quo inaequalitas laterum minor, eo area maior. Area ergo maxima erit, cum inaequalitas fuerit nulla, feu cum tri- angulum fuerit ifofceies. Figura *. Problema 4. Bato Perimetro vna cum angulo A determinare la- tera , ita **+**y>" dirTerentialc ipfius ^S? aequale erit nihilo , confequenter/^zz:-A:^/f ct dxzp^f-—. Nunc vero per pofterius iemma , BC% feu aa—2ax—2ay-\-2xy=—2xyV(i—mm)y cuius aequationis differentia eft xdy-\-ydx—adx—ady=(— xdy-ydx)V(i-mm), feu dx(y-a-{-yV (i-mm) ) =dy(a— x— xV(i — mm)9 in qua fubftituendo vaio- rem lpfius dx modo inuentum , elicitur x=y. Valor autem x et y , exinde quod fint aequalia , indicatur. Cum enim vnusquisque angulorum in triangulo ABC cognofcatur, quippe quod fit Ifosceles, perimeterque de- tur, cognofcentur et latera. Si finus anguli ACB, v.g. dicatur », erit x, feu AB vei ;ACz:-~-- et BC =*-*x=^. Q, E. I. Corollarium. Ex hac ergo folutione perfpicuum eft , 11 triangulum cuius et peripheria et angulus vnus dantur, quaeratur maxime capax, illud fic effe conftruendum , vt latera circa angulum datum fint aequalia. Tom. IX. T Scho- i4 ex praecedenti problemate inferri poffet trian- gulum cuius perimeter datur, quodque maximum efle debet, ad minimum duo latera habiturum aequalia, li- quido inde apparet omnia latera fore aequalia. Nulla enim fubeft caufa cur potius AB et AC, quam AC et EC, vel AB et BC aeqnalia cenferi debeant; cumque eodem iure de quibusuis lateribus idem dici poffit , (e- quitur omnia iatera efle aequalia. Ha&enus eft quod de triangulis dici queat. De quadrilateris nunc videndum eft quo cafu maximam nan- cifcantur aream. Nihii in hoc defiderandum confldo, folutis feptem fubfequentibns problematis. DE QVADRILATERIS. Problema 1. Datis quatuor lineis AB,AC,DC,DB, determhare Figun i< Qiiadrilaterum ex iis jormatum quod maximam habeat aream. Solutio. Sit AB=(r,AC-^DC=:^DB-r, fintis an- guli B A C zzl x , finusque anguli B D C zzzy. Ducatur por- T 2 ro I4$ DE MAXIMIS ro diagonalis BC, erit area trianguli BAC=^; et area triangnii BDCrz^f2, per lemma prius. Cum sm- tem vtriusque areae fumma fit zzareae quadrilateri , fiet abx+^eji maximumi proinde eius differentiale. zz erit n'hilo, nempe abdx-\-cedy~o , et abdxz=z—cedy. Porro ex pofteriori lemmate fuppeditatur fequens aequa- tio, BC* = 02~r-£a — 2 abV^i-xx) =z ? -^ ez — zce V(i—y*)7 cuius difFerentiale eft ^^xxj—iit-% ? ve* (fubftituendo —abdx loco £^j0 V(lf. ^ — VU^JyJ- ^x quo intelligi poteft angulum BAC aequalem effe angulo BDP qui deinceps eft anguli BDC, cum tangens an- guli BAC fit aequalis — tangenti BDC, feu tangenti BDP. Seu fi lubeat aequationem hac induere forma, xV(i —yy ) -\-y V ( r — xx ) zz o ;, ex ea cernere licet fi- num fummae angulorum BAC et BDC aequalem ni- hilo ob oculos quoque id affertum ponere, nempe an- gulum BAC aequalem effe angulo BDP. Q. E. L Corollarium r* Cum quadrilatera infcripta circulo hanc habeant pro- prietatem, vt anguli oppofiti duobns redtis aequales fint, patet quadrilaterum ABDC hac proprietate itidem gau- dens circuio debere infcribi , quo eius area quam maxi- mae fit capacitatis. Corollarium 2«. Haud volupe forlan non erit oftendere quomodof praecedentis folutionis ope, proprietates huiusmodi qua- plu- IN FIGVRIS RECTILINEIS. 149 drilaterorum , refpeftu ad eirculum nequaquam habito, deriuari queant; et quidem eo magis quod licet hoc a pluribus tentatum , a nemine tamen adhuc praeftitum fit. Duabus haecce quadrilatera potiflimum infigniuntur pro- prieratibus, quarum prior, eaque admodum trita, haec ell : Reftangulum Diagonalium aequalis eft fummae Re&an- gulorum laterum oppofetorum, fcilicet AD.BC=_AB.DC Fis*ri T« H-AC.AD. Altera vero , minus quod fciam , nota , ob eamque rem digna euius demonftratio hic fubiunga- tur, ilc fonat: In quadrilatero quocunque infcripto , Dia- gonalis AD eft ad Diagonalem BC, = (ae + bcy(ac -\-be):{ab-\-cey(ac-\-be)\ erit ^Q2 : kT>=(ae ~\-bc)2:(ab-\-cey, feu BC:AD=ae-\-bc:ab-\ce. Q. E. D. Figura 8. lam vero fi circulum in quo delcribendum eft qua- drilaterum ABDC determinare lubeat, ducatur ad cen- trum O , v. gr. BO et demifib perpendiculo BE m AD, et FO in BD; lateribus vt fnpra nuncupatis, AB=a, AC=b, DC = c, B D := £ , radioque pofito =r\ ob triangula fimilia BOF et BEA, obtinebitur BEr=^f , proindeque AE + DEfeu ADz:0^^^"^^' In priori autem theoremate valor ipfius AD in meris habetur datis, nempe AD erit =^%Z^t'^S' C°- gnita vero A D , euoluere iam licet r ex aequatione AD^i^Ir^eVl.r^)^ ^ ^ fublatis fignis ^ dicalibus , *5* IN FIGVRIS RECTILINEIS. dicalibus, deuenitur ad hanc: r^—^^^T^—^rz^^ et denique fubftitutis valoribus ipfarum AD- et Al> et diuidendo per az ez ad iftam V(gc-f-ftg)(a6-4-ce) (ae-4-lfi) y(0+i + c-Olfl + i-c + O(a-64-c + e)(-a + 64.c4-e) ;' > quae dat pro quadrati infcripti iatere rVa, vt notum eft. Problema 2. Ddtf/j tribus hteribus , AB, AC, CD, m» #«£«- /0 A vel C inuenire quartum latus BD, te ^ area fiat maxima. Solutio. Sint ABzz* , ACzz£, CDzz^, BDzzj, fin. ang. Rgu» * Azz/#, finusque anguli Dzzr. Ducla perinde ac in praedenti Problemate DiagonaliBC, fiat quadrilateri area. *bm+cyx^ conftans ex areis triangulorum ABC et CDB, fecundum lemma prius expreftis, maxima , ita eius dif- ferentiale cJdx-^cx y euadet aequalis nihilo, proindeque dxzzi"*dy . In aequatione vero BC2 — a2-\-b2~- 2ab V{i—nP)= exiftente x finu anguli BAC, vel BDC: curn per fo- lutionem problematis primi de quadrilateris pateat hoc in cafu quadrilaterum , fi maxime fit capax, circulo in- fcribi poffe ; proindeque angulorum BAC, vel BDC vnum eundemque effe frnum. Vtrique parker idem erit cofinus, nifi quod alter alterius refpe&u negatiuus fit. Quare BC2 erit (per lemma fecundum) z^ar-\-1f-\-iab V ( 1 -x x)~zc2 -hy2 — 2 cyV ( 1 — xx). Differentiatis his aequationibus , prodit dy (4(1 — x x)—yV (1 —x x) )zzzix dx(ab-{-cy)\ locoque dx fubftituto 7/hhS JP^US va" lore defumto ex aeqnationis ^=^-}- faftae maximae, tjifferemiatione \ obtinenir tandem czzzyV (i—xx). Ex qiia patefit angulum BCD reclum efficiendum effe ; cum c:y=V(i~ xx)\i. Vt denique y innotefcat, ex du- Tom. IX. V plici / *$$ DE MAXIMI& plici aequatione ad BC2 ec ex vltima, emergit iftaec Tab+fcp = f\ fvttobique fcilicet quaerendo V(i-xx)] feuyz—(a2-\-b*--3e2)y-t-zabc—o , quae refoluta dat^. Q. E. I. Corollarium* Ex dimidia igitur BD defcribendus eft circulus ad cuius femiperipheriam adaptare licebit latera AB, AC, CDr ita quadrilaterum ABCD maximam comple&etur aream Problema 5; Datis duobus lateribus AB, AC, et Jumma reliquo- rum BD-J-DC, defcribere quadrilaterum maximum*. Solutio. Sit ABz=tf, AC=£, BD-j-DCzr^, BD=/, DC igitur erit znc— y. Hic autem non fecus ac in problemate fuperiori inferre licet ex Problemate i. de Quadrilateris, quadrilaterum de quo agitur infcriptibile eiTe circulo, et per conlequens finum anguli BAC effe quoque finum anguli BDC et cofinum vnius elfe alte- rius cofinum , modo hic negatiue , fi illic pofitiue affum- tus fuerit. Quamobrem tantum reftat vt latera BE), DC determinentur , quod fiet viam hucusque tritam cal- cando. Ponatur iab-*-c?— ^)f area quadriiateri , maxi- ma (quam fuperius x retinens fignificationem , . eandemque in duobus fubfequentibus problematis retenturum ) , erit eius difrerentiale (ab-\-cy—yy)dx-\-(cx — iyx)dy^zo et proinde *6d^( lyZ^ — dx , qui valor fi fubftituatur in difTerentiali harum aequationum BC2zzza2-i-b2 —2 ab V(i-xxj IN FICvRIS RECTILINEIS. 2$$ fcilicet in ^r^(2^+(f-2;)V(iw.n)- '^-^T^* Prodit (vtrinquc per V(i-xx) multipli- cando), (2j-e)V (i—xx)~\-c-2yzzzo, et diuidendo per V(i-xx)-~i, reftat &j—-vzz o, id eft^~^. Q. E. I. Scholion. Hoc pro comperto habcre, iam ex problcmatis fe- tundi folutione de triangulis licuiffet. Nulla enim refert quomodocunque tiispofita fuerint latera AB, AC j feu, quod eodem recidit, quantacunque fuerit BC. Problema 6* Dato vnico latere AB cum Jumma reliquorum AC-+- CD-f-BD, determinare quadrilaterum maximum. Solutio. Sit AB=tf, fumma reliquorum laterum —b, AC —y, BDzziCD per folntionem praecedentem , =~£f4 fiat, breuitatis gratia =: z. Area quadrilateri maxima facienda , erit i21±^lB ? ex cuius cii#crentiatjone ( fub_ ftituendo =&. loco Ss) oritur ^— (j~^- Item BCJ~^+j^2^y(i--^^)rz2 5;Y.i-r-l/(i--^x); quae difteremiata dat dy ( j-aV (i-xx) )^^^ = zdz(i+-V(j~xx))-rf^%, vel, vice 4z fcii- , fubllitutoque vaiore ipfius ^v nuper inuen- V 2 to; foendo -^2 x$6 DE MAXIMI8 to; (y-\~z)V(i-xx)-t-(z-a)(t-xx)zzz(z- a) ( — xx)y feu deniquc ( y-\-z) V{ i — xx) -f- z — a zzzo. In qua aequatione fi loco V(i — xx) fub- ftituatur ^y^y- defumtum ex aequationibus ad BC* prodibit J1 -f- sx^-r-Ca^*— iz2 — #2)>'-f-£tf5;--2 #&* rzo quae diuifa per (y-\-a)(y—a-\-2z) dat tandem j>— zzzzo-y fcilicet ^—s, feuj/— 1£. Q. E. I. Scholion. Cum nulla fit ratio cur Triangulum BCD potius quam ADC Ifosceles ponendum fit, quod tamen lieri debet ex demonftratis , manifeftum eft AC elfe — BD vei DC, feu b in tres partes aequales effe fecandam. Problema 7. Data Jumma omnium laterum dejcribere quadrilaterum maximum. Solutio. Sit fumma oranium laterum r«,ABr;, vnum^ quodque reliquorum zzzz% quippe quae aequalia, per (b- lutionem praecedentem , fint habenda. Roc modo area quadrilateri 3f*^»8** mnxima erit ponenda vt ope dif- ferentiationis prodeat valor ipfius dx vel dy in --«b. Nunc autem fi vice V(r— ##) ponatur 3—2, et aequa- tio diuidatur per 3^-4-3 sfc prodit tandem j— srzo: fcj=ai=?i Dato vnico latere Polygoni cum jumma reliquorum de- termlnare Polygonum maximum. Solutio. Figura9< gj vnicum latus cum ftimma reliquorum detur, eui- dens eft Polygonum etiamnum in circulo effe infcriben- dum, quo eius area fit maxima. Iamiam enim, in fu- periore (cil. folutione, pro quibusuis lateribus, id fieri debere demonftratum eft. Aft ex Problemate 5. de Trian- gulis, et 7. de Quadrilateiis, non minus liquet reliqua latera fore aequalia, feu a ( fi fumma relquorum late- rum IN FIGFRIS RECTILINEIS. 159 *um fit "=za) in tot partes aequales quot latera ponnn- tur, diuidendum effe. Ergo Polygonum hoc capaciifi- mum erit, fi circulo infcriptum fuerit, omniaque latera, praeter datum, aequalia fuerint fa at9ue hui"s feriei i~*-&Hr& -KV-f-£ -+- etc. in infinitum continuatae , cuius denominatores vnitate au- fti dant omnes poteftates impares, fumma aequalis efl: i— /2. Quarum ferierum prioris terminus quisquc eft -= — , pofterioris vero terminus quilibet hac eon- (2;;/-2)n-i ^ tinetur formula . —^ n_T ; rctinentibus m et n prae- cedentes valores. Demonftratio. Confideretur fequens feries , cuius fumma ponatur x \ Iam cum fit 1 =5+4*^^+* -+- etc. fublata hac ferie ab illa prodibit fequens #-i=J4-fe-FA+£-f-A-r-etc. a qua fubtrahatur i = * — v" 3« — t— ai5 —1— etc. crit ff-i-J=A-Wi-t-ii-i-*r-t- etc. fimili modo ob l = i5 — r- 100 -r~ 10*5 "T" etc. crit *- 1 -i-j=^ -W? -r-iV-f- etc. X 2 Omni- itf4 VARIAE OBSERFATIONES Omnibus ergo terminis hoc modo fublatis prodibit x=i-h|4-|-4-TV + T3"-^iV-f-i5 4-etc. cuius denominatores conftituunt feriem naturalem nume- rorum imparium exceptis iis,. qui vnitate au&i funt po- teftates, vti ex formatione huius feriei intelligittir. Qum vero fit /2 = i-i+!-i-K— ;+!4-;-t-etc. atque x—i-j-i-^-W-l-etc. crit Jtr=i+|-T-|-T-H-|-i-TIr-T-etc. -/2. Illo ergo pro x inuento valore fublato ab ifto, in quo omnes omnino numeri impares occurrunt, reftabit ozzl-f-i-T-TV-T-ir-T-iVetc. -/2t feu ifta /2=1 -+-r7-^>?^--^^-^etc. cuius feriei denominatores funt ii numeri impares, qui vnitate audli dant omnes poteftates pares. Huius ergo feriei fumma eft / 2 , prout m propoikione eft affertunr. Q. E. Vnum. Cum vero praecedens Theorema (it i=|-H|-T-^-r-TV-H^-f-,V--T-3Ir-f-3V4-etc. vbi denominatores vnitate auclri dant omnes numeros , qui funt poteftates tam pares quam impares, habebitur illa fene ab hac demta i-/2z=H-^ + 5W-^-f-etc. cuius denominatores adeo funt ii numeri pares , qui vni- tate au&i dant omnes poteftates impares. Q. E. Alterum. Theo- CIRCA SERIES INFINITJS. 16$ Theorema 5^ Pofito m pro periphsria circuli , cuius diameter eft 1 , erit m 1 1 __j__T _r * 1 1 1 , 1 1 r 1 «<._. 4 *■ — ^""i+TaJ 48" Bo T_5" 124 T57 __?— f"".^ — _^— 'CUC . cuius jeriei denominatores junt numeri pariter pares , iwi- tote vel maiores vel minores quam poteftates numerorum imparium. Illae autem fraffiones , quarum. denominatores vnitate excedunt poteftates , fignum habent -j- reliquae fi- gnum —1. Demonftratio. Cum fit ^=i-}-M-fH-i-TV+^-etc. cuius feriei eae fra&iones , quarum denominatores vnitate deficiunt a numeris pariter paribus , fignum habent — i , reliquae fignum -t~. Ad illam feriem vero addatur haec geometrica ♦ ~ ■% ~~ p "~r" 57 *» ~~r~ etc. erit ? + i = r +}-£-* -t-A-A-Hete. a qua fubtrahatur ? — - s ~i aj "T~ i.f ~T~* etC. erit ? + IH — --J-A + A-iJ-+-ete. in qua ferie nec 3 , et 5 nec eorundem poteftates am- plius infunt, firhili modo 7 eiusque poteilates tollentur addendo hanc feriem 5=7 45—r- etc X 3 eritque 165 VARIAE OBSERVATIONES eritque ? + i-£ + J=i-AH-&--iV-+-£-ete. Pari modo tolkndo reliquos terminos , qui non funt po- teftates, fimul enim poteftates tolluntur, prodibit tandem ? -+- i - i -+- HhA - £ 4~iW*+iW^W*--etc.zr i feu ob binos terminos fefe plerumque deltruentes, ita vt foli fuperfint, qui folitarii erant: folitariae autem erant eac fra&iones, quarum denominatores , qui femper prodierant pariter pares , vnitate vel au&i vel minuti poteftates nu- merorum imparium efficiebant. Signa vero horum ter- minorum legem feruant praefcriptam. Q. E. D. Theorema 4^ Denotante iz vt ante peripheriam circuli cuius diame- ter ejl =r i , erit 1T Z I I _J I l_. I pfr 4 4 3? 754^^344^^344 CLL" cuius Jeriei denominatores omnes funt numeri pariter pares vnitate vel maiores vel minores , quam potefiates numerorum imparium non quadratae \ atque illae fra&iones quarum de- nominatores vnitate fuperant tales potefiates , fignum habent H~- \ reliquae quarum denominatores deficiunt ab huiusmodi potefiatibus non quadratis fignum habent — . Demonftratio. Per Theorema praecedens tertium inuenimus 7T T 1 r t_ 1 i . 1 1 1 i_ pfC in qua ferie primo occurrunt denominatores , qui ab omni- bus CIRCA SERIES INFINITJS. i67 bus quadratis imparibus vnitate deficiunt, eaeque fraclio- nes omnes habent fignum idem — . Cum vero fit ^-H^-f-^V-l-Fa-r-T^ + i^ -4- etc. —i habebitur loco harum fra&ionum omnium fubftituendo J fequens forma 4 — * *~"4 T- I? 12? ~"T" a++ "T"~ 34+ ^-^» feu 3— '- " -*- {x-hAz etc. 4 4 aff 124 ~ 24+ I cuius feriei denominatores funt numeri pariter pares vel vnitate maiores vel minores quam poteftates numerorum imparium non quadratae, ob quadratas iam exclufas, atqiie prout vnitate funt vel maiores vel minores, fractio- nes etiam habent fignum -+- vel — . Q. E. D. Corollarium r, Ad feriem ergo continuandam omnium numerorum imparium, qui non funt poteftates fumendae funt pote- ftates exponentium imparium , eaeque vnitate vel augen- dae vel minuendae , quo prodeant numeri pariter pares, qui erunt denominatores feriei inuentae : feruata fignorum re- gula. Corollarium 2, Cunr autem omnis numerus impar vel fit 4W-1 vel 4^+1, poteftates autem exponentium imparium a 4-w— 1 ortorum, fi vnitate augeantur, illae autem , qnae a 4^+1 oriuntur fi vnitate minuantur, dent numeros pariter pares; aequabitur ?— § feriei terminorum qui 1 omnes in hac forma - — — ^ggrrjj continentur , dem- tt itfS VARIAE OBSERFATIONES ta ferie terminorum in hac forma 7 ■ — --rr: — con- (4;;/-j-i)in-+-x-i tentorum; vbi loco ;;/ et n omnes numeri integri af- firmatiui accipi debent praeter eos, qui vel 4;«— 1 yei 4;//-f-i faciunt poteltates. Corollarium 5. Aequabitur ergo J— | aggregato fequentium ferierum infinitarum r.j etc. +-I . 3--+-I I 3'-f-I • 3*-+-I ri-7 -" ?r=i "" p-zrr - pzzr -+- etc. -+-7^H-_-^-Hetc.' 7'-+-I 7; TT 4 + 1 ' ir-hi * nJ-t-i 5_+_, -T- ,,?_*_, -1- „, etc. - 73^7-77^ -n^i ^,if=_ -+- etc- -+- I-i^7 + T7^ + r5"^+-T't--77^ -f-etc. etc. etc. L Corollarium 4„ Hac ergo ferie eousque continuata, donec denomi- natores fiant maiores quam iooooo habebitur J__z|H- 2? 124 |— 24+ ~~ T~ 34? » 1332 1 21?J "2195 312+ "T" 3 3 7? 49IS ■HHsFara ' S25s ""t*t_H5_ — 1 T-.6- — r~ 19^4 -"«81 "1 2979* """" Tsp.* t 1 1 1 1 I 1 I 2 1 — |— 42.7- JO-S- ~T~ J9320 (T5923 ?-i24 ~ ' 79J~>- 91124.' Corollarium 5^ Cum omnes denominatores per 4 diuidi poflint, erit WZ_Z3«4-f— fj-j-n -+* s.-+-3J--+~ s+7"""^""-"m "+*"**? etc* Qiiae CmCA SERIES INFINTTAS. 169 «Quae feries ideo notari meretur^ quod eius duo primi termini iam dent Archimedis proportionem peripheriae circuli ad diametrum. Theorema ?A Retinente tt priorem fgnjicationem , erit ^—Iz^z-T? -4- \ -4- --- -4- -— -4- --- -4- — l— etc ^ * * — — * 2 paribus , quae vnitate auffiae fint per 4. diuifibiles Jeu nu~ meri pariter pares. Demonflratio. Cum per Theorema tertium fit 7T T I 1 I T 1 1 1 prr. fractionum (igno — afFectarum denominatores funt numen pariter pares vnitate deficientes a poteftatibus numerorum knparium ; fradlionum vero figno -f- afFe&arum denomi- natores funt quoque pariter pares vnitate fuperantes po- teftates numerorum imparium; atque praeterea fit per Theorema fecundum ^ia^f+i+i^i+^ + etc. cuius feriei denominatores deficiunt vnitate ab omnibus potentiis numerorum imparium ; haec feries compieeletur omnes terminos illius figno — affedtos, et praeterea fra- clones denominatores habentes impariter pares vnitate deficientes a poteftatibus numerorum imparium. Quare Tom. IX. Y fihaec i7o VARIAE OBSERFATIONES fi haec feries ad illam addatur prodibit cuius binae fradliones erunt ita comparatae, vt priom denominator fit numerus impariter par, pofterioris bina- rio maior pariicr par, medlusque numerus inter binos huiusmodi denominatores fit poteftas numeri imparis; quae ergo poteftas vnitate aufta dare debet numerum pariter parem. Q. E. D. Corollarium r* Quia hae poteftates numerorum imparium ita funt: comparatae, vt vnitate auctae fiant per 4 diuifibiles 1t erunt eae poteftates imparium dimenfionum , quae oriun- tur a numeris huius formae ^m— 1 , qui ipfi non funt po~- teftates, Corollarium 2* Si ergo omnes fumantur numeri huius formae ^m — i , quae non funt poteftates , eorumque capiantur omnes* poteftates exponentium imparium*, hae poteftates vnitate tam au&ae quam minutae dabunt. omnes fractionum fer riei inuentae denominatores. Corollarium 5; Si binae fracliones in vnam coalefcant erit 7 — 7 o _l_ **7 _i_ -__2il i_ ___I_L 1. etc 4. * "** I 26. 28 ' 242. 2+4 ' 3 + 2. 3+4 ' k Quae feries formabitur fumendis omnibus fra&ionibtis „ quae, 2(4«|-l)2'1 + I oriuntur ex hac forma ( t ) + *-+-' ^t fabftituendo» loco» CIRCA SERIES INFINITJS. t^i loco m et n omnes numeros integros fuccefliue praeter •os ipfius m valores, qui reddant 4;«~i poteftatem. Theorema 6* Seriei huius i$ — f~" 53 ~r?o ~r- 5 jj H— s\% -t~- etc. cuius denominatores vnitate auffii dant omnia quadrata , quae fitnul Junt altiores poteftates \ huius inquam Jeriei in infini- tum continuatae Jumma eft \—^.\ denotante m peripheriani circuti) cuius diameter =:i. Demonftratio. Hoc quoque Theorema a Cel. Goldbachio , verum fine demonftratione accepi, atque iisdem quibus ante veftigiis infiftens hanc inueni demonftrationem. Cum ante ali- quot annos incidiffem in huius feriei * -K-HI-W*-}-^ -H etc. fummam ^7?, hanc ipfam feriem ita fum contemplatus Iam cum fit J=zi + YV+^ + etc. atque * — J -~\~ ?V "+- jh "T" CtC» fimilique modo 24-— 2 t "t- ?5? -1— ctc. et ^jizijy -4— ctc, fi loco harum ferierum geometricarum fubftituantur fum- mae prodibit f=i+iH-.^-i-i + i + A-f-/p etc. Y a cti- i72 VARIAE OBSERVATIONES cuius feriei denominatores vnitate au£fei dant omnes nu^ meros quadratas, praeter eoo, qui ilmul fmt alius fpe« ciei potertates. Cum autem iiimendis omnino quadratis vnitate minutis fit proueniet ab hac fuperiorem fcriem fubtrahendo qui denominatores vnitate aucti dant omnes numeros quadratos, qui fimul ftmt alius generis poteftates. Q.E.D. Conftituunt haec fex theoremata alterum obferuatio- num iftarum partem ., qtribus fcilicet feries additione fub— tractioneue terminorum ortae funt confideratae. Sequen-- tia vero theoremata circa feries, quorum termini in le inuicem multiplicantur , verfabuntur; neque minus erunr admirabilia , quam praecedentia , cum in iis pariter teg progreflionis tantopere ftt irregularis. Discrimen autem in hoc potiiiimum erit pofitum, quod in theorematia praecedentibus progreffio tcrminorum fecuta fit feriem po- teftatum, quae per fe eft maxime irregularis; in hisau- tem termini progrediantur fecundum numeros primoj^. quorum progrelHo non minus. eft abftruia. Theorema 7« Facfum eoncinuum in mfimtum ex his fraBiombu^ \J^\l\\l\\l'.\l\\l stc- v&i nnmeratores Junt omv.es numerh primi , denominatores vero mitate -deficiwit a mmieratoribus- Hoc facium inqnam aequale eji fummae buius Jeriei eflque adeo wfinitum* Demon- CIRCA SERIES INFINITAS, 173 Demonftratio. Nam fk erit qua ferie ab illa demta reftat £,*— 1-4- 1-+1-+1 -{-etc. in qua nulli amplius denominatores pares infusit. Ab hac denuo auferatur ifta feries 5'jA'- — 3 *t~ s "» »s "»2T"~f"" etc, jeftabic MxmH-H-H-x^-HJL -+- etc. in cuius denominatoribus nec per 2 nec per 3 dinifibi- les reperiuntur. Quo autem etiam numen per 5 diuul- biles egrediantur, fubtrahatur ifta feries ^.^=zi + ^4-3V + etc, reftabitque ~i A~i + f-4-Tv-+-£ -f-etc. Atque (lmili modo tollendis omnibus terminis tum per 7 tum per 11 etc. oninesque numeros primos diuifibilibus iandem reperietur I. 2- X. 6. TO 11. T&. 18, 22. ?*g. ,. a. ;. 5. 7. r». t3.I7.19- 22. ?rc. * — ^ * Quare cum fit a~i 4-J-+|-f-£-+.|-+.J 4- erc, trk ~a~3^?-r-5-t-?--t-7-H etc. — zzz**>i*.i*.*»>** etc. Y 3 cu- t74 VARIAE OBSERVATIONES cuius expreflionis numeratores conftituunt progreflionein numerorum primornm, denominatores \ero vnitate afe iis deficiunt. Q. E. D. Corollarium r. Exprefliones ergo TTri^tlt^ftit valor eft infinitus, et pofito abfolute inlinito zzco, erit iftius expreflionis valor =z/c\3, quod infinitum inter omnes infiniti potefta- tes eft minimum. Corollarium 2* Cum vero haec expreflio ^V^Z"'" ^TMtam habeat valorem fcilicet 2 ; fequitur infinities plures efle numeros primos, quam quadratos, in ferie omnium om- nino numerorum. Corollarium 3+ Vernm etiam hinc intelligitur infinities pauciores extare numeros primos, quam numeros integros; haec enim expreflio ^;^;^^ abfolute infinitum habet va- lorem, cum fimilis a numeris tantum primis ortae va- lor fit logarithmus iftius infiniti. Theorema 8* Si ex Jerie numerorum primorum Jequens Jormetur cx- prejjio 2n. 3n. 571. 7*. nn. etc. mt CIRCA SERIES INFIMTJS. 1*7$ 1 1 1 1 1 1 mV f &* w&r «£l«& fimme huius feriei iii Demonftratio. Sit 1 1 r r r x^ 1 -r- ji -t-£» H-7» +j^ -h^r ■+■ etcv erit 1 1 1 1 1 1 , tnde oritur (2n-l) x r x x"1 Porro eff (2n-i) 1 1 r • r vnde fiet (2w-i)(3n— 1> r 1 Similibus ergo operationibus pro fingulis numeris primis kftitutis omnes feriei termini praeter primum tollentur> seperieturque _(^-i)(3n-i)(5n-i)(7n-i)(iin-i) etc. v *— aa 3n s% ^n ct toca r ferie reftituta fit zn 3n 5* 7* C^-i)(3n-i-;(5n-i;(7n-i)(iin-i) etc = c i7* FJRUE OBSERFJTIONES Q. E. D. Corollarium i. Cum pofito ;;zn 2 fit i -f- 1 -+- 1 -i- £ -f- etc. :=:'? denotante 7r peripheriam circuli , cuius diameter eft i , erit 4-. 9- ?■■>■ 4-9. T2T. l6g. efC. _l ^tt 3t. 5. 24- 4S. 120. i(5s. tffC. C } feu «* g- ?■ ?• 3- s. 5. 7.- 7. n. ti. etel V l. 3 2. 4. 4- 6. 6. 7. IO. 12. efC.° Corollarium 2f Cum praeterea pofito n~^ fit ent 4. 4. 9- etc. Perfpicitur autem denominatores per numerum primum huius formae .4«— 1 dmifibiles ;tolli additione, vnde ifte nouns factor ■—— accedit: dcnominatores vero per nu- merum primum formae ^.n-\-i diuifibiles tolli fubtra- ftione , vnde nouus fa&or ifte ~p_- adiicietur. Horum er- go factorum fuccefluie addendorum donominatores erunt numeri primi; numcratores vero numeri pariter pares vni- tate vel maiores -vcl minores quam denominatores. Hoc ergo modo fi auferantur omnes termini ,feriei initio af- fumtae, prodibit ctindem etC. 2 + . 20s. 16. 12. T2. 8. 4. 4- 7T , 22. 24. ffC * 5. 7- 11. 13. 13. 17.. 17. ip- 23. 25. etc. Demonltratio. ^ Cum per Wallifii quadraturam circuli fit W — — z' 2' 4' 4' ^' **'~8, 8- I0- I0, I2, *-• e^c- 2 I. 3. 3. 5. 5- 7- 7- P- S>. II- II. 13. ttC. cuius expreflionis li finguli numeratores ad (iios refpon- dentes denominatores addantur, prodeunt omnes omnino numeri impares. At quoniam fimilis expreflio, fi ex numeris imparibus primis tantum formatur, aequatur bi- nario,.vti in praecedente Theoremate eft demonftratum, quo erat 2. ->. 4- fi. 6. 3. 10. 12. PfC. 2 1. 3. 3 5. 7- 9- p- 11. elei fi illa expreflio per hanc diuidatur, proueniet 7T 4- 8. 10- 12. 14- 16. 13. 20. 22. 24. etC. 4 5. 7. II. 13. 13. 17. 17 Ip. 23. 25. efC. quae fimiliter ex numeris imparibus non primis formatnr. Numeratores fcilicet erunt numeri pares , denominatores vero impares vnitate a numeratoribus diftantes, atque fin- guli numeratores ad fuos refpondentes denominatores ad- diti dabunt omnes numeros impares non primos. Q_. E. D. Theorema 14. Dcnotante vt hactenus is circuli peripheriam cuius dia- meter efi i , dico fore 7T s. ■;■ 7. ii. 13. 17. io. 23. 20. -1. efc. 1 2. 6. 6. 10. 14. 18. 18. 22. 30. 30. €tC Z 3 cuius isa VARIAE OBSERFATIONES. cuius exprejjionk mtmeratores conftituunt Jeriem numerorum pfimorum imparium , denominatores vero junt numeri impa- riter pares vnitate vel minorcs vel maiores quam numerdr tores rejpondentes. Demonftratio. Per Coroll. Theor. 8. fi per § multiplicetur eft 7T2 Z. Z. 5- 5- 7. 7. II • II ■ I Z- t'z. ftC. S 2. + . +• 6. 6. 8. 10. 12. 12. I+. t'/C. m qua numeratores funt numeii primi impares bis pofiti, denominatoires vero numeri tam pariter pares quam impariter pares , vnitate vel maiores vel minores quam ipfi numeri primi. Deinde Theoremate n. demonftra- tiimus erle rr ;■ ?. 7- ii . iz. 17 . io. iz. etc. '.- + . + . 8. 12. 12. 16. 20. 2 + . CtC in qua expreftione mimeratores funt numeri primi impa- res femel pofiti^ denominatores vcro numeri pariter pa- res vnitate diftantes a numeris primis, ita vt haec ex- pretfio inpraecedente Ot contenta. Quare fi iila expre.flio per hanc diuidatur prodibit m 3- 5. 7. ii. tz. t7. i9- etc. 2 2. 6. 6. io. i+- is. ii. efc. ih qua numeri impares primi numeratores conftituunt.; denominatores vero funt numeri impariter pares vnitate vel maiores vel minores quam numeratores. Q. E. D. Theorema 15. Denotante tt peripheriam circuli^ cuius diameter eft 1 , erit * — t -4- r — .,. -4- 1 -I- l -4- i -r- -4- i — -- -4- ~r- -4- -r- -4- -l- + 1 _i_ 1 l . 1 - J l_ j_ j jl etr 2j I 27 29 »31 I 33 31 37 v','*-• cuius jeriei denominatores Junt numeri impares omnes , ra- iio CIRCA SERIES INFINITAS. 183 tib- fignorum autem hoc nititur fundamento. Numeris pri- mus huius formae 4/2—1 datur fignum -4-; numeris pri^ mis autem huius formae 4«--f-i fignum — 1. Deinde nu- meris compofitis id tribuitur fignum, quod ipfis ratione com- pofitionis ex primis cum fuis fignis fecundum multiplicationis regulam competit.- fl Demonftratio. Quemadmodum vfitatis hic operationibus haec feries 1 -h H- f-{ -4- i -4- TV-^ -4- etc. gomierfa eft in hanc expreilionem *; l\ \\-T~^t j *& vicifllmi methodus poteft excogitari,- qua! hanc expreilionem. 4-4- o i2. i2 efc iii- feriem fransmutare liceat. Atque fi haec methodus ad axpref- fionem theoremate praecedente inuentam 5 — '2. 6. 6. 10. 14, i8, e!c- adliibeatur, ifta exprellio abibit in^ iftam feriem propo»- fitam i-K-J-W-r-l-Wr etc- cuius proptere.a fumma eft _". Ad idem a pofteriore col- liger^ licet, ponendo ^^i+l-f-f-f-M + iV-n+A-TV etc, eritque 5 x — I "4- 5 — tV "4— 2V -f~ 2V H- 31 -*" etc atque fubtrahendo prodibit |jr=i-f+f-4-ni etc Deinde iS* VARIAE OBSERVATIONES Deinde cum fimili modo fit }..sx=i-A-f-A+A etc- prodibit addendo rlx—i^r^jt-h etc. Atque fimiliter omnibus tollendis terminis praeter pri- mum i inuenietur e\c_. etc. Atque hinc fimul ratio fignorum leriei propofitae colli- gitur eadem ipfa, quam defcripfimus. Q. E. D. Corollarium. Summa ergo feriei propofitae Hf-i-J:^J-+- ■}•+■' A-'A etc. duplo maior efl: quam fumma huius feriei i -I-W-7-W-TT etc. Quare cum ipfae fnuftiones fint vtrinque eaedem, folis fignis effedum elt, vt altera alterius fit dupla. Theorema i6* Poftto m vt haffenus pro peripheria circuli cuius dia- meter efi i , erit ?= H-l-S-i- H-«-A--A -iV -+-A + n tf<\ Fraffionum autem qffirmatiuarum denominatores junt vnitate minores quam numeri impares non potefiates ; fra&ionum autem negatiuarum denominatores funt vnitate maiores. Cu- iusque autem fraclionis fignum congruit cum figno numeri imparis vel vnitate maioris vel minoris non potefiatis in praecedente Theoremate. Demon- CIRCA SERIES INFINITAS. i5$ Demonftratio. Haec ipfa feries oritur ex conuerfione praecedentis fecundum modum in Theorematis i. 2.3. vfitatis, quo continuo progreffiones geometricae vel adduntur vel de- muntur, quoad fplus primus terminus fuperfit. Q.E.D. Theorema i/4 5/ numeris imparihus primis buius formae ^n— i tri- buatur fignum -f-, rekquis huius formae 4.«-+- i fignum — f numeris vero compofitis ea figna, quae ipfis per regulas viultiplkationis ex primis competunt\ erit 3__ t __L_ I _L _1- l —4— J . ] J L * !— r * pfr b x I 9 1J ~ 21 ~l 2J ^^ 33 3J 39 ^49 jT CH* • qui denominatores funt facfa vel ex duobus vel ex 4. vel ex 6 vel etc. numeris primis. Demonftratio. Cum enim per Theorem. 15 fit 7 — 1 -i-i-14-i-i-i — _*_— j JL-4-.-L etc _ — - ■*• 1 3 7 ^ 9 * ii 13 1 j 17 » 19 ***••»« vbi denominatores funt omnes numeri impares et figna eam tenent legem quam praefcripfimus; atque praeterea fic 7 I — I-4-I — L-4-I * -4--L— etc 4- * 3 ■ S 7 * 9 H ~ 13 WIV,. quarum ferierum ii termini figna habent eadem , quorum denominatores funt facta vel ex binis vel quatemis, vel fenis etc. numeris primis. His ergo feriebus additis foli , ifli termini remanebunt, diuifioneque facta per 2 erit ¥r^l!+-S-AuHAr+-»V-HA etc. quae eft ipfa feries propofita , atque ex lege fignorum fimul fequitur , eas fradtiones habere fignum -+- , quarum denomi- mtores in hac forma^-H continentur; reliquas fignum — . Q. E. D. Tom. IX. Aa Co- x&tf FARIAE OBSERFATIONES Corollarium. Si ab huius theorernatis ferie iubtrahatur ifta *=*-~ j4-t-t-hi-A4-ft- etc. prodibit cuius denomiuatoris funt vel ipfi numeri primi vel facta eX ternis vel quinis vel etc. ii vero qui iunt formae 4.»— i 11- gnum habent -+- reliqui formae 4«-}-« fignum — . Theorema ig. 5/ omnibus numeris primis trihiatur fignum — , cuiqme vero numero compofito id fgmm quod ipfi Jecundum multi~ plicationis regulas competit , atque ex omnibus numeris jfe- quens formetur feries 1 — \ — f ~"f~ \ — \ "~H - 7, - ~"T~ 9 ~~ F" 13 T? ia ~~~ CtC»- erk eius fumma in infinitum continuatae z^o. Demonflratio. Sit enim x~ fummae iftius feriei feu a—i-l-H-l-lH-^-f-^ etc. crit per operationes in pofterioribus theorematis adhibitas | x zzz 1 — 5 — l. — f -4- g — yt etc. atqus fimiii modo Denique hac operatione infinities repetita erif *£ x-i. 2- Z. 5- 7. II. 15. ^1" At cum fit per 'Iheor feptimurrf ttttttt;. etc. ni+I + ^-4-Hl-i- etc. /00. facile intelligkur et- noftrum ipfius x' cucfficientern effe infinice CIRCA SERIES INFINITAS. 18*7 infinite magnum. Quare quo faclum aequale eflfe pof- {k 1 erit arzzo, et hanc ob rem habebitur o-i-^-j + |-1 + ;-Hf etc. cuius deuominarores,, qui funt vel ipH primi vel f f- 1 -r-f +- ! -f- ^. •*##«£ illius fum- Mia eji huiusfummae quafi logarithmus. Demonftratio. Ponatnr l+T+j + y + Ti H- etc. zzA atqne 7« + ^-T-^-T-^-r-etc,z=B et ^ + ^^p-r-etc.zzC. atque ita porro omnes poteftates peculiaribus litteris defi- gnando ; erit pofito e pro numero cuius logarithmus hyper- bolicus eft i Aa 2. eK"*> 188 VARIAE OBSERV. CIRCA SERIES INFINITAS. A+3-KC-KD-f-etc. e :=i-K-K-K-H-K-W ctc Nam eft A-4-}B-r-}C-KDetc. ==/f-K/|-t-/§-t-/2-f- etc ideoque a-kb-kc-kd • —r^rt^- * -K-K+H-H-W- etc. ppr Theor. 7. At non folum B, C, D,etc. habebnnt valores finitos , fed etiam ^B-fKC-f-iD-f- etc. valorem habet iinitum. Quare quo A^KB-r-fC+jDH-etc. e fit =:i-K-K-K 4- etc — c\3. oportet vt A fit infinite magnum , cumque ideo eius refpeftu fequentes termini iB-=r-}C-+-jD -f- etc. euane- fcant, erit A H-M-H-H-A+ etc- e =e ==i-K-K-K-K-r-etc. Atque confequenter erit l-W-K -fK-KV -KtI -KV -+■ etc =/Xi+irHI-+-|-4-f-f-f Hr etc) illius ergo feriei fumma erit infinities minor quam huius, atque cum huius fumma fit zrlco erit ^-K-K-fK-KV ~+-etc = /. /™. Q. E. D. DE DE VARIATIONE MOTVVM A FERCVSSIONE EXCENTRICA- AVCTORE Daniele Bernoulli. §. 1. P^rciuTionem excentricam voco, quando linea duAaTabnlt YH* per punctum impulfus perpendiculariter ad corporis fuperficiem non transit per eiusdem corporis cen- trum grauicatis. Excentrica itaque eife pofeft percutTio vel ratione vnius tantum corporis vel ratione fimul vtriusque; et de taii quidem percuflione nihii adhuc , quantum fcio, publici iufis fadhim fuit ab iis,, qui de motu corporum a percuiiione egerunt. Nouum itaque argumentum eft idemque in mechanica ,. fi rcdte iudico , vtiliflimum : Prius vero, quam illud aggredior, aliqua de motu cor- porum vniformi monenda eife exiftimo. §. 2. In corpore libero duo erte pofliint motus per- manentes atque vniformes, nempe progrejjiuus et rotato* rius: progrefliuus mihi eft, quo fingulae corporis partes veiocitate communi ac direcftione parallela in linea re&a progredinntur : rotatorium autem voco, qui fit circa axem per centrum grauitatis transeuntem , ratione cuius veloci- tates diuerfarum partium funt diftantiis ab axe propor- Aa 3 tiona- spo DE FARIATIONE MOTVVM tionales. Vterque motas in vno eodemque corpore fimul efte atque permanere poteft, ita vt neuter a neutro af- ficiatur vllamue patiatur mutationem: tunc vero cum fi- mul adeft vterque in vno corpore, mntum inde proue- nientem vocabo mixtum: aliquando etiam confiderabimus -moturtt circa aUum axem , quam qui transit per centrum grauitatis , huncqtie mo.tum vocabo gyratorium , qui adeoque diftinguenckis ent a mo.tu rotaiorio: motus au- tem gyratorius reipfa non differt a motu mixto pro da- to temporis punfto, quandoquidem femper motus afti- gnari poteft progreftiuus alkisque rotatorius, qui fimul in corpore exiftentes non differunt per minimum temporis fpatiolum a motu gyratorio, de quo fermo eft. §. 3. PraemiftiS iftis defiuitionibus iam dicemns fub quibusnam hypothefibus problema noftrum tractabimus. Res itaque nobiscum ita erit infpicienda, quafi motus corporum rlat fuper plano horizontali et perfe&e laeui , ka vt motus tam progreifuius quam rotatorius (cuiusqui- dem axem ponemus conftauter perpendicuiarem ad pla- num iftud) integri conferuentur , nifi percuftionis mo- mento: vel fi mauis quafi planum abeffet ipfaque corpo- ra grauitate erfent deftituta folaque ipfis inertia inhaere- ret. Tum etiam ftatuemus percuftionem fieri in inftanti, quamuis hypothefis ifta minime conueniat cum rigore geometrico , prouti id ex ipfo eorporum percuiTorum fo- no et ex tempore vibrationis, quod cuiuis fono conueni- re non ita pridem a Geometris fuerit determinatum , facile intelligitur. Denique etiam ponemus illam lineam , quae p^r pundum impulfus perpendiculariter ducitur ad fuper- ficiem A PERCFSSIONE EXCENTRICA. 191 ficiem corporis, effe in plano ad axem rotntionis per- pendiculari et per eentrura grauitatis transcunte : ita nem- pe axis rotationis poft percuflionem idem manet, qui fnit ante pierciiflionem nec nouus motus rotatorius circa alium axem accedit, quod alias fieret. Ad hosce cafus reftringemus folutionem noftram , ne nimis fiat intricata, nimisque a collifione corporum ha&enus confiderata re- cedac §. 4. Licebit faluis- pratfatis hypothefibtis corpora confiderare tanquam diuifa in infinita ftrata ad axem ro- tationis perpendicularia eaque omnia ftrata poncre veluti vnita in piano per centrum grauitatis transeunte, ita vt nunc problema noftrum eo fit reductum , vt fifuper pla- no indefinito duo plana cuiuscunque figurae et vtcunque in- etequaliter grauia moueantur tam moftk progrejjiuo quam ro- tatorio , atque fw in fe inuicem in quocunque punclo impin- gant, deternunetur motus vterque in vtroque graui pofi col- lifionem Juturus, Solutioni huius problematis- inferuie-nt fequentes propofitiones ; Froblema, §. 5. S/ planiim fuerit horizontale et tstctmque grauc^z- ABC mobile circa puntlum D, fiue intra planum, vti in figura primayJiue extra planum , vti in Jecunda figura Jum- twn-yfique alicun veluti in B potentia qualiscunque applb- vata Juerit, quae planum ifiud in gyrum agat circa pun-* Hum jixum D, inue i,e majjam quae plano propofito fub- fiitui pujfiu in L, vt aweietationes vtroque modo eadem fiant Jege. So- x. ci 2, i92 DE VARIATIONE MOTVVM^ Sollltio. Accipiatur in plano maffula infinite parua, quam vocabimus ;«, pofita in puncto quocunque E, dicaturque maflfula ipfi fubftituenda in puncto B, jx et concipiatur flidam e(Te rotationem minimam, qua B peruenerit in b et E in e\ erit (du&is DB, DZ>, DE, Be vna cum minimis B£ et Ee) Ee — ^xBb, quia fpatiola B£ et Ee eodem tempufculo defcripta le habent vt DB ad DE: hoc igicur refpectu poftulat requifita actionutn aequali- tas, vt fumatur {jufliiz: DE:DB: Porro vis acceleratrix in E fe habet ad vim acceleratricem in B vt DB ad DE et hoc altero refpcctu fit rurfus |ji:mi=:DE:DB; vnde vera ratio quaefitae maffulae \l ad afTumtam maf- fuiam m eft vt DE2 ad DB2: atque fi omnibus maffu- lis planum ABC componentibus aliae fecundum praefa- tam legem fubfiituantur , habebitur tandem mafTa integra in B toti plano fubftituenda , vt vtroque modo accek- rationes pari fiant lege. Corollarium. Si planum propofitum ABC verticaliter fuspendatur ex punclo D atque fic fecundum regulas notas centrum ofcillationis quaeratur, dicaturque diftantia centri ofcil- lationis a puncto fuspenfionis £, diftantia centri grauita- tis ab' eodem puncto fuspenfionis r, mafTa totius plani M et diftantia DBir^; dico fore maflam in B fubfti- tuendam —PaM. Scholium. §. 7. Apparet ex ipfa demonftratione , vim fiue potentiam in B applicatam, quae pianum in gyrum agit idemque A PERCFSSIONE EXCENTRICA. i93 idemque continue certa lege accelerat, polTe eflfe autfin- gi qualemcunque fme rei mutatione: fic itaque nonuna- tim motus plani gyratorius etiam ortus fapponi poteft a percuflione in B fafta , quandoquidem percuflio nihil aliud fit quam potentia veluti infinita et quafi Lnfinite parum durans. Igitur fi planum fixum fuerit in D, fc tamen vt libere circa iftud pun&um gyrari poflit, fique percutiatur in B , planum iftud non aiiam poft percuflio- nem habebit velocitatem , quam fi eiusdem maffae fi.b- ftituta fuerit alia in puncto B concentrata et =z£jM,et in hoc cafu velocitas punfti B poft percuflionem (quae- cunqiie fuerit ante perctiflionem) ex legibus ordinariis motuum a percuflione innotefcit. Caeterum poteft motus ifte gyratorius circa punctum D confiderari ad temporis pun&um , quafl motus mixtus ex progrefliuo et ex ro^^orio, quos §. 2. definiuimus; fi enim centrum grauitatis ponamus in M idemque mo- tum velocitate v, licebit ad temporis puncrum rem ita intueri , ac fi motus adeffet progrefiiuus fnb eadem veio- citate y et perpendicularis ad lineam DM aliusq^e ro- tatorius, quo puncT:um D circa centrum grauitatis M ve- locitate v in direciionem contrariam rotaretur : vtroque enim modo fingula plani puncta, velocitate et direclione tisdem primo temporis momento mouentur. Si porro concipiatur axem , quo punctum D firmatur tolli , tunc vterque praefatus motus, progrefliuus nernpe et rotatorius , conicruabitur et ita quidem , vt centrnm gra- uitatis M, in diredione ad redtam DM perpendiculari , p moucri pergat velocitate 0, dum quoduis plani pundtum Tom. IX. Bb circa 194- E>E VAKIATIONE MOTVVM circa centuum grauitat;s M rotetur velocitate diflantiae £ centro grauitutis proportiobali, atque fic defcribat cycloi- dem fiue centractim fiue elongatam : ipfum autem pun- c*him D velocitate v rotatum motu fuo mixto defcribet cycloiuem ordinariam , cufpidem in ipfo pun&o D ha- bentem. §. S. Ponamus iam planum ABC efie quiefcens et liberum fiue nullibi fixum idemque percuti: acquiret planum a percuflione motum mixtum ex progreirmo et rotatorio, atque fic pun&um aliquod erit D, quod pri- mo a perculiione (quam in inftanti fieri fupra pofuimus) momento etiamnum quiefcit: poterit autem punctum iftud D confiderari tanquam punctum , in quo planum fixum elle pofuimus §. 5. Sequitur exinde planum qmefcens et liberum talem a percuflione motum accipere , vt ftatim pundum D quiefcat, pun&um autem percuflum ea ve- locitate moueatur , quam acquireret nuifla ^ M ab eadem percuflione direfte facta: litterarum harum fignificationet fuerunt definitae §. 5. Magna igitur problematis pars iff in eo verfatur, vt pundtum iflnd D in plano Iibero de- finiatur. In ifta vero drequifitione mcipiemub a cafu fim- pliciori ponendo (cilicet loco plani A BC lineam rechm f nec enim diffici4e poflea erit folutionem a linea ad fi&u- ram quamcunque exten<:ere. Problema. § 9. Sit itaque primo Ioco linea recla AC vtcunque Figura 3. \naequaliter grauis et quiefcens eademque perpendiculariter per~ cutiatur in B , quaeritur punclum D , qund primo a percuf- Jione momento quisfcit atque fic puncti jixi , circa quod /i- nea AC gyretur^ vices obeat. Solu- A TERCVSSIONE EXCENTRICJ. i9* Solutio. Afiumo pundum D ibi fore, vbi inertia lineae A C ininima fit: vbicumque enim pluribus mutationibus locus eft , natura femper fehget minimam ; tt qnando inertia li- neae grauis minima cft, tunc graue impellens minimam a percudione patitur velocitatis mutationem. Sit iam mafia totius lineae grauis zz M : ilt eius cen- trum grauitatis ki M , atque centrum ofciilationis (quod ni- nairum adeffet fi linea ex pundo quaefito D fufpendere- tur; in N; erit mafta in punclo percuflionis B mafiae M fubftituenda vi §. 5. -D-jB^xM; atque haec maf- fa vi noftrae hypothefeos debet efie minor , quam 11 quod- uis aliud pun&um D feligatur. Huic autem hypotefi fa- tisfieri in fine differtationis demonftrabimus, fi punctum N cadat in B, id eft, fi pundum D tale fumatur, vt centrum ofcillationis conueniens pun&o iufpenfionis D ca- dat ih B. Demonftrauit porro Hugenius , fi pnncftum B fit centrum ofcillationis pro puncto fufpenfionis D, fore etiam punctum D centrnm ofcillationis pro pur.clo fus- penfionis B, ita vt ambo puncta fint teciproca : fic ita- «que punctum D eft perfecte definitum. Q. E. F. §. 10. Non diificile eft multis aliis modis idem fol- uere problema , hanc autem folutionem aliis praeruli, quod ipfa problematis indoles haud parum inde illufire- tur: nec enin inclegans theorema eft, quod minor flt percuffio , fi linea figatnr in puncto definito D , quam fi in quocunque alio punclio figatur. Caeternm poterit haec propofitio etiam experimento illis probari, qui harum Bb 2 rerum i96 DE V4RIATI0NE MOTVVM rerum rudcs funt: nempe fi virga AC aquae fupernatet atque percutiatur in puncto B , iblum erit pundum D r idque digitis percipi poteit, quod nihil a percuilione pa- tiatur, atque ii globulus virgae fit appofitus, velocitatem a percuiTione eo maiorem accipiet, quo magis diftet a pundto D: in ipfo autem hoc puncto nullam acquiret. §. n. Quia DN^DB (per§. 9. ) et qnia maiTa in punclo percuiTionis B iubftituenda eft generaliter ~ D-gr-xM (per§. 6.) erit nunc maifa haec —^xM, adeoque in virga libera pundlum B a percuflione non aliter mouebitur primo momento, quam rmila fimplex eadem vi direcfte percuifa, quae fuerit zzz^xM, atque pun&um D codem momento plane quiefcet: Vnde nunc oppido Hquet folutio fequentis problematis. Froblema. §. 12 "Determinare in virga qulejcenie AC vtcunque inasqualiter graui motum , quem accipiet a corpore elaflko datae majjae et data velocitate in pun&um B perpendicufa- riter incidmte; tum etiam motum ipfius corporis impingentis pofi percujjionem* Solutio. Sit mnrTa virgae AC rurfus r± M : mafla corporis impingentis ~m\ vetocitas corporis impingcntis ~v, erit mafTa in B fubftituenda zz^xM atque per vulga- res regulas motuum a pcrcuilione erit velocitas puncti B poft percuiTionem — -^db^xjjm"" xvi adeoque ve- locitaj A TERCVSSIONE EXCENTRICA. 197 locitas centri grauitatis M==~i^^^-Xi atque fic fiet poit impultum velocitas pun<5ti dzzfu velocitas puncti bzzz—zu velocitas punc~ci ?// — o, Velocitas autem fimilium pun&orum in altera virga funt iiib dirc&ione contraria eaedem. Videmus exinde lore, vt centra grauitatis pofr impuHiim quiefcant atque punclra B et b* circa, eadem rotentur velocitate, quam immediats ante impulfum motu fuo mixto habuerunL Exemplum ^ Ponantur virgae (e inuicem in centris grauitatis per- cutere; erit DM = DB et dmzzzdb, et quaecunque fft velocitas rotatoria, erit Vizig et ^iiio , atque propterea; Hec poft percuilionem velocitas puncti r>n- — mZ^Ji > atque velocitas pimch bzzz — ^zc^i r quae formulae indicant centra granitatis etindem a per- cuflione motum accipere, ac 11 corpora non rotarenturr motum autem rotatorium a percuffione non mutari, quia nempe ^elo- A PERCFSSIONE EXCENTRICA. ao3 velocitas pun&i D fit mU-^xV ct velocitas puncti dzz:u-b™xyy in quibus formulis vaiores litterarum V et t€tM§ dere ad plana qualiacunque et vtcumque inaequaliter gra- Cc 2 uia. ao4 DE VARIATIONE MOTVVM uia. Qiiod fi enim planum percutiatur in. B in direcno- ne BR ad plani peripheriam perpendiculari , atque (i ^er eentrum grauitatis M ducatur DRadBR perpenuicularis,, poterit id ipfum pun&um R haberi pro p;;nd:o pcrcuflb iu linea DR, pofito fcilicet centro ofcillationib totius plani, ex pundto R fuspenfi, in D: fimul autem centra D circull concentrici infinite propinqui defcnbantur atque marla. plani inter quosuis circulos proximos pofita referatur ad particulam lineae DR inter eosdem circulos contentam :: talis enim linea centrum ofcillationis pro eodem pun&o fjspenfioniS" R fimiliter. habebit in D , adeo \t tam in linea qeam in plano motus gyratorius circa punctum D- fit idem cenfendusr dum motus quoque progrefliuus itt vtroque manifefte eft idem. Patet igitur quid faciendum fit ad problematis noftri folutionem pro daobus planii- qualibuscumque; et ex paragrapho tertio apparet infuper ap- paret , quomodo folutio a planis poflit ad quaeuis corpo- ra extendi, modo res tota ita fit comparata, vt axifr motus rotatorii; ilbi conftanter parallelus eife debeat atqu& libere in dire&um moueri poflit». Neque id morabitur Lecl:orem ,. quod ^bique pofui dire&ionem impulius perpendicuiarem r Ti enim obliqua: fit , poterit illa refolui in perpendicularem et parallelam ; de illa pleniftirne egimus, haec autem nullarn in mota snutationem producit. §. 20. Denique edam hoc notandum eff, cpod etfc §; 14. et fequentibus diredionem motus progreftiui mox ante percuftionem poiuerimus ad lineam A C perpendicu- larem, poflit facile pro diredione qualkunque res expe- itiri hunc m modum. Fac A FERCVSSIONE EXCENTRICJ. zc$ Fac virgam A C ante percuffionem duplicem habere motum, alterum rotatorium circa centrum grauitatis M alterum progreffiuum eundemque ad lineam AC obliquum •; refolues hunc pofteriorem in perpendicularem ad lineam alterumque eidem parallelum. Motus progrefliuus per- pendiculariscum rotatorio coniun&us eam a percuffione accipiet mutationem quam iam expofuimus: parallelus autem idem manebit qui fuit ante percuffionem r patet inde omnis qui a percuffione wgae AC inerit motus idemque etiam patebit in virga altera percutiente, fi et liaec motum habere progreffiuum obliquum ftatuatur. Atque fic problema noftrum e& omni parte abfolutua» puto. Demonftratio Propofitionis §„ £ affiimtae. Quod in virga ex puniio D fuspenfa etcentrum ofcil- Ffgur* ^ lationis habente in JV-t maffa exprej)a per DB2-xm minor fit quum centrum ofillationis N cadit in pumJum* B, quanv in quocunque alio cafu. oumatur m figura tertia pundum d- infinite propin- quurn pundo D fitque centrum ofcillationis- virgae ex puntfo d fuspenfae in n-,. erk ex natura maximorum & minimonm €c 3 mtrfr io6 BE FARIJTIONE MOTVVM fiue (D M xD B -4- D N xD B- 2DMxDN) ^Dr=DMxDBx«R Demonftraui autem poft Hugenlum in Comment. Tmi. II. *' pag. 213. " fi magnitudo eadem nunc breuius nunc u longius fuspenfa agitetur , fore vt diftantiae axium ofcil- u lationis a centro grauitatis fint reciproce proportiona- " les diftantiis centrorum ofcillationis ab eodem grauita- u tis centro , u vi huius propofitionis eft ^M;DM-NM:«M, vnde ^D.DM = «N:«M; hinc n N __ dm 1 hocque valore fubftituto in fupenori aequatione emergit DMxDB + DNxDB-2DMxDN=:«MxDB vel DMxDB-HDN-;/M)DB = 2DMxDN vel 2DMxDBzz2DMxDN, feu denique DN-DB. Q; E. D. SOLV- S0LVTI0 PROBLEMATIS GEOMETRICI CIRCA LVNVLAS A CIRCVLIS FORMATAS. AVCTORE Leonh. Eulera» N exercitationibus Mathematicis Celeb. Dan. Ber-™^™1 T noulll Venetiis editis mentio fit problematis cuiusdam,, quod Vir Celeb. Goldbacbus quondam propofuiffct,, quo poftulabatur vt in duabus lunulis oppofms a duobus circulis fe mutuo interfecantibus formatis duae rectae ae- quales ita applicentur , vt a lunulis partes aequales ablcin- dant. Subiuncta vero eft ibi etiam fblutio huius proble- matis facilis quidem ,. {Qd tantum particularis , cum eidem- innumerabiles aliae iolutiones fatisftcere poiTmt. Praeterea autem folutio, quae ibi eft data , non fbkiin Geometrico modo fme analyfi exhibetur , fed etiam anaiyfis ad jid fol- uendum minus idonea cenfetur. Qiiod analyfios incom- modum , etiamfL in pluribus problematis Geometricis allegari fbleat , tamen mihi quidem non tam analyfi , quam analyftae imputandum videtur. In hoc certe pro- blemate clare oflendam , analyfm ad id foluendum noa folum non efTe ineptam , fed etiam methodo Geomctri- cae 208 S0LVTI0 PROBLEMATIS GEOMETRICL cae longe effe praeferendam , cum eius ope generalem huitis problematis folutionem fim traditurus, quod geo- metrica via vix praeftari poterit. Figura i. §.2. Sint igitur duo circuli aObmS et A0BM3 centris c et C defcripti , qui fe mutuo in O et S fecent, lunulasque oppofitas ObmSAO et OBMStfO forman- tes, in quibus fecundum problema ita applicari debent re- ctae aequales A£, #B, vt a lunulis areas aequales OAb et OtfB abfcindant. Ad hoc ergo problema foluendum requiruntur primo ipfi circuli , deinde fitus eorum mutuus ratione interfe&ionis , et tertio modus applicandi re&as aequales Ab et #B, vt areae OAb et 0#B fiant inter fe aequales. Ponamus autem figuram noftram conditio- siibus problematis fuisfacere; eritque tum AbznaB at- que trilineum OAbzz: trilineo O^B; plures enim ae- quationes problema nondum fuppeditat. §. 3. Cum areae OAb et O^B, quae aequales effe debent praeter re&as kb et aB diuerforum circulorum arcubus includantur, difficulter eaead exprefliones alge- braicas reuocarentur. Quare ad hoc incommodum eui- tandum duda recla Aa adiiciatur ad vtramque aream idem trilineum A0#, quo faclo effe oportebit trilineum AbOazn trilineo #BOA, qua aequatione vice prioris vtemur , ctim vtrumque trilineum praeter reclas vnico ar- cu circulari claudatur. Tale autem trilineum fi analyticc exprimatur, expreffio dttabus conftabit partibus, quarum altera erit algebraica , altera vero arcum circularem in- noiuet , quae cum erTe debeant inter fe aequales , necefie eft vt feorfim partes algebraicae inter fe aequentur, atque etiam ipartes a circuli quadratura pendentes. Requiritur enim alge- CIRCA LVNVLAS A CIRCVLIS FORMATAS. 209 braica problematis folutio ,- quae non obtineretur y fi quan- titas algebraica arcui circulari aequaretur. § 4. Aequatur autem trilineam bOaA feclori cb Qa demto rcdilineo fpatio bcaA\ atque trilineum BO Aa aequale clt fe&ori CBOA demto fpatio rectilineo' BCAtf. Quamobrem cum fit lector cbOa— fpatio bc #Azz fectori CBOA— fpatio BCA^, necefle eft -vt fit fe&or cbOazzz fe&ori CBOA; et fpatium bcaAzzz fpatio BCA^. Quo igitur areae OAb et O^B fiant aequales, atque problema Geometrice eonftrui queat, du- plex aequatio erit refoluenda, quarum prima eft vt fit fedor bcOazzz fe&ori CBOA atque fpatium bcaAzzz fpatio BCAtf, cum quibus aequationibus fi tertia coniun- gatur, qua elTe debet AbzzzaBy problemati erit fatis fadum. §. 5. Quo igitur iftae conditiones obtineantur, po- natur radius circuli cazz cbzzzc\ atque radius CAzzCB zzC Deinde du&ts chordis ab et AB, in easque ex centris demiffis pcrpendiculis cd et CD fit adzzabzzzb atque AD=:ABziB. His pofitis erit finus dimidii an- guli bcazzz-, atqtie finus dimidii anguli BCAzz^ po- fito toto zzi. Hinc porro erit arcus bOazzzic A fin. c ? "vbi A fin. 7 denotat arcum cuius finus eft \ in cir- culo radii j- parique modo erit arcus BOAzzsC. A fin. ^; atque ex his orietur fector bOaczzzc2. A fin. ^i et feclor BOACzzC2.A fin. ~. Quamohrem ob ae- qualitiuem fedorum horum habebimus fequentem aequa- tionem c\ A (in. ~zzC2.Afin.§ Tom. IX. Dd §. 6. aio SOLVTIO PROBLEMATIS GEOMETRICI §. 6. Cum ergo debeat erte A firf. 7 : A fin. § — C2:?2, atque diuerfi arcus circulares algebraice affignari nequeant, nifi rationem teneant rationalem ,, ante omnia requiritur vt ratio C2:^2 fit rationalis. Sit igitur C2: ^ar=N:« denotantibus N et n numeros integros, eritque wA fin. y-NA fm. §*; atque porro debebit effe finus arcus^. A fin. ~==:fin. arcus N.A fm. §. Ex inuentione autem finuum arcuum multiplorum conftat efTe finum n — 1 n — z b nbff — b2) 2 nfn-i^n-i)bHcz-'f) 2 arcus «Afm. - = — ^ I# 2m 3 6* •^- n(n-i Hn-z)(n-z)(n-4W(c*-b9) 2 — » etc* c 2. 3. 4- 5 ^* fimilique modo fmus arcns N.A fin. §- exprimetur* Qmmobrem fequens habebitur aequatio algebraica nb(c*-fr)^_ _n(n-i){n-i)b'(c2-b>) - TT~V " 1. a.p 3 ** "T 5 — — tt ecc. — . 1. 2. 3- 4- 5- ' NB(C2-B2r^ N(N-i)(N-sQB* (C*-B2)~^ -^T"^" ~ 1. ' a. 3. CN ^ NfN-OfN-OfN-sUN-^lB^O-B2)-^ 1. 2, 3. 4- 5. <-N quae aequatio ob N et n numeros integros femper fini- to conftabit terminorum numero, ex eaque licebit pro dat* CIRCA LVNVLAS A CIRCVLIS FORMATAS. au data ratione inter C2 et c2 relationem quam B et b in- ter fe tenere debent, definire. §. 7. Determinabo autem in fubfidium fequentium operationum relationem inter B et b pro cafibus qui- busdam fnnplicioribus; fitque primo C2:^ — 2:i fcu C ~cVz, vnde ob Nr=2 et nzzii fequens prodibit ae- quatio Lr^~ feu bc=BV (O-B*). Secundo fit CzzcYz, feuN = 3 et »=i', eritque £=£^=-~ ~.£ fiue 3^C^3BC2-4.BJ. Tertio fit Cz=.2c feu * 4BCO-B')1 4B3V(C2-B2) M=4 et a = i, iiet -=z j^ ^ feu 4^-C2 = (4BC2-8BJ)V(C2-B2\ Quarto fit Oi ^ = 3:2 feu N = 3 et»=2, ent — 4*- — '= — gi — ' rc .*lr»« * ~ '«. 36c2_+63 (4BCa-8B^W(Ca-B«)' Quinto fi fuent C2 :*-,- £*-f-f. Si autem ex tertia et quarta aequatione determinentur Q et q, earum loco fequentes poterunt fubftitui OzzzbV (H-f5?0 et «=J^C*HrSfeffo §'. 12 Ad probiema ergo foluendnm ante omnia opus eft , vt in duobus circulis inaequalibus aequales fe- tfores fbrmentur, quod femper fieri poteft, fi areae cir- culorum inter fe rationem habuerint vt numerus ad nu- merum. Hoc autem ope diuifionis anguiorum facile prae- ftibitur; Sumto enim fectore BCA pro arbitrio, fedor feftor bca obrinebitur fumendo angulo bca tanto, vt /S^ca: ^BCAzzzAO-.ac2. Cum enim fit A fin. ^ : A ii.|zzC2: c2zzzAO: *u-2;atque A fin. | exprimat di- rriiJium angulum acb, pariterque A fm. | dimidium an- guluni ACBr erit /\bca: /iBCAzzAO: ac\ §. 13. Conrtitutis ergo' in duobus circulis fectori- b'is aequa-iibus, fomatur fuper ehorda alterius circuli ar- bitram atitudo, fcilicet fupe? chorda ab altitudo Aezn p\ ex qua quidem nondurn a -ftar pun&um e ex quo piinaum A innotefceret. At cum fit dezzzqzzzBV (r"-r-»^j; atque B V ( O - B= )- BFzzzbV (c2-ir ) — bp\ erk VzzzV O-BM-^-l^-i- hi ntque P>-/>* ^: O — h2 -4- fe*£ — — -X- b- £ -l~ 2bP(c2 - b2J 2&2 pV( c'_ 63)> B5 L ai4 SOLVTIO PROBLEMATIS GEOMETRICL ^*ae=%ll£=£}-.ym Ex quibus elicitut T~$ = B* C2-4-Fc2 — fr*— B^H-^B'^y'(C2— B2)— ?b*p4fc2— b2)— ;BEV(C?— B2Vc2-6* B2(B2~62; *"» , B2C2-4-?^cg — B2fe2 — 6* .2 . -bi atque f = ^yzrji p2 H- aB&j>V(Cg — B2) — a&« pVfc* — ^i— iB! V( C— B')(c»_ &2) £2 — £2 Ex qua aequatione fumto pro lubitu pundo e cognofce- tur pundum A, quo dato alter circulus ABMS facile defcribetur . Namque fuper Aa conftituatur trungulum ABa fumendo AB=Z2B et #B~A£, tumque fuper AB fiat rnangulum ifosceles ACB fumendo ACzzBC rnC et centro C radip ACznBCzrC delcribatur cir- culus ABMS, quo facto abfcindent redae Ab et #B, quae per conftrucTrionem (imt aequales, a lunulis ObmS A et OBMS^ areas aequales OA6 et 0#B, vt proble- ma poftulat. §, 24. Cnm igitur fumto pro lubitu interuallo dc m q , ipfi refpondeat applicata e A znp ; innnmerabilia da- buntur puncla A, ex quibus pofitio alterius circuli de- terminabitur, quo ipfo quaeftioni infinitis modis fetisfiet. Omnia autem haec pundta A in curua quadam continua erunt pofita, cuius natura fequenti aequatione eft expo- fita W _4_ 4» — s*&f>VV(c»_y) . p -1-4 — B*zrp "t^ B2C2-4-&2c2— B? bz — b* — gB6V(Ca— B2 ) (?c2 _ b7 ) B2 — b2 * Ex qua aequatione intelligitur locum omnium pnnfto- rum A elfe circulum cuius centrum in recta cd, fi opus eft produ&a fit fitum. Perfpicitur ergo duos circulos, in CIRCA LVNVLAS A CIRCVLIS FORMATAS. »5 in quibus duo feclrores aequales habentur , innumerabilibus modis ita coniuugi pofle, vt problemati fatisfiat. §. 15. Haec efl: igirur generalis problematis folutio, ex qua poftquam circuitus ille , in cuius peripheria fita funt omnia piincta A fuerit deicriptus , facilis quoque pro- blematis conftru&io confequitur. Quo autem omnes mo- di hoc problema foluendi clarius ob oculos ponantur, ex folutione vniueriali particulares adornabimus , quas deducemus ex quantitate anguli, quo rectae bk et Ba in fe mutuo inclinant. Obferuaui enim hunc angulum a folis circulis et fedoribus pendere, neqne a variatione interfeftionis mutari. §. 16". Prodncantur itaque reclae £A, B#, donec fibi occurrant irv 2 ; et analytice exprimatur quantitas anguli Z, quod fiet dum tangens ipfius quaeritur. Haec autem tangens fequenti modo obtinebitur. Ex triangulo bak habetur primo tang. bAezz.^3^ et tang. ake —i^y^ ex quibus reperitur tang. Mgrpi+^i \ quare tangens anguli ZAtf erit z= p _S^—f* Simili modo erit tangens anguli 2 a A = a« J. & ,1 Qg ■ Tangens gitur fummae horum angulorum reperietur — 2&ft(B2 — P2 — OJ ) -4- 2 B P ( b2 — p2 — q7) . (B2 _P2 _ QJ )(62-— £2 — _--KJ = __ .(.P-twf^-^H-o+t^ Deinde erit ( B, _ p _ Q.')(^-^-f- + B/5Pp = ^E^-,--(B'-^)^-4 Tj/n, fB*P* — £>'_>*)*_ (Bz— £.a)* — *BfrP_?(Ba — 5a)a DOrp — pj*__&7'p . — [( B P -+-& _> J 2 -+- (B2 — &2)aJ r(BP — 6_>)2 — (Ba _£*)*] [b2-— &2)2 ~ ' §. 18. His ergo valoribus in expreflione inuenta fubftitutis prodibit tangens anguli A2#— : 2 (_____-&a)(B P — 6 _)[(BP-4-&jQ__-f- _____-_____] ___B__5__(b P — 6 _> ) fTBT- ■'6_>)2-+TBa~-— 62)2][(BP— i>p)2— (B2— 6aj*] ■ ,(BP— 6_))*-(B«_"fc* ]a«- Ex qua expreflione intelligitur tangentem kmiftis anguli ad 2 fore zz-ItE^. Cum vero fit BV(0-B2)-BP =__£V (cz-bz)-bp, erit tang. ang. .2_:BV{C,J^^r_p ex qua expreflione intelligitur quantitatem anguli 2 per foias quantitates C, <;, B, £ determinari, neque a litteris variabilibus P,£, Q., ct q ptndcre. §. 19. Ponatur angulus ____ro, quo rectae A£ et <*B partes aequales a lunulis abfcindentes fiant inter fe parallelae, qui eft cafus, quem Celeb. Daniel Bernoulli folum dedit folutum; Hoc ergo pofito fiet tang. |2 _z_o, ideoque erit B2-^2 = o et Bz_:_*. Cum autem fit B__^ ex aequatione RQjzzbq fequitur fore Q=#; atque aequatio P2 + B24-Q:_:_)2 + ^+.2 fuppeuitabit P2___02; ex qua fequitur fore vel P zzzp vel P=:— p. Aequalitas autem P=__0 a_ inftitutum noftrum eft inuti- iis _ ex ea enim fequeretur fore C__ tranfibit in hanc ap — V(^^-^)-V(C2-B2), vnde dkkur p — ^^^-^^^ ct p^vi£!r=llI"=-^--==^. Erit ergo p quantitas con- ftans neque a q pendebit, et hanc ob rem locus puncti A erit linea re&a parallela chordae ba et ab ea diftans interuallo v(c -fc2)--v(c2— bm^ ^uae eXpre^10 g fuerjt a£, firmatiua hoc interuaJlum a chorda ab verfus dextram eft capiendum , fin autem fuerit negatiua verfus finiftram \ fi quidem figura ita delineatur , vti in tabula repraefenta- tur. §. 21. Cum praeterea fit B~&, non folum circu- lorum inter fe debebunt effe aequales, fed etiam chor- das AB, ab aequales effe oportet. Quare fi ambo cir- culi fuper hac chorda communi defcribantur , vtinfig.2. Figam 2. vbi ai eft chorda communis, et c et C circulorum cen- tra, erit lunula Mam% quadrabilis. Ob aequales enim fe&ores camt et CaM8 erit lunula Maw/Sr fpatio Qact. Qiiae proprietas cum fit communis omnium lunularum quadrabilium , perfpicuum eft ope cuiusuis lu- nulae quadrabilis problema propofitum folui poffe , ita vt lineae partes aequales abfcindentes inter fe fiant paral- lelac •, atque etiam intelligere licet alio modo problemati in hoc fenfu fatisfkri non poffe. Tom. IX. Ec §•"■• fcig. 2. et m$ SOLFTIO PROBLEMATIS GEOMETRICI §.22. Data crgo quacunque lunula quadrabili M*t »/ £ , problema fequenti modo refoluetur. Defcribatur cir- culus bmnOaS acqualis circulo am%c, in eoque appli- cetur chorda abzzzaS, in eamque ex ccntro c, demit- tatur perpcndiculum ed producendum fi opus. Iam cum linea redta , in qua omnia puncta A funt fita , fit paralieia chordae ab ab eaque interuallo^zz: ^-rr^^£_2-z211 $£ tet, erit pzzzc-^^-zzz'=:f-. Ex altera igitur parte centrj in recta cnad capiatur dfzzz\Qc, et per / ducatur re- tta ipfi ba parallela infinita mfaB, qua«- erit locus orr*- nium punclorum A. §. 23. Sumto ergo in hac re&a vbiuis pundlo A laitem intra circulum aOb, quo recta A£tota in circulo hoc (it fita. Deinde ex a ipfi kb ducatur parallela et aequalis aB, quae re&ae ?nA occurat in B ita vt fit A Bzzzzab, ct fjgura AbaB parallelogrammum. Alter igt- tur circulus ita defcribi debet, vt per punda A et B tran- feat. id quod facile perficitur cum radius eius CazzCS fit datus. Ex vna ergo lunula quadrabili data infinitis rnodis duo circuli lunulam formantes ita componi poilunt-, Tt redlae aequaies . areas abfcindentes fint inter fe paralle- lae. Atque in hac eonftru&ione continetur folutio pro- bjematis Ccl. Dan. Bernoulli loco cit. data. §. 24. Ponamus nunc angulum ad 2 elTe reclum, adeoque 3 Z femiredtum , cuius tangens finui toti 1 aer quattir. Erit igitur B2 - b2 zzzzBV (Q2 -B2 )-~bV (c2-b2), atque B2-b2zzzB?-bp, ex qua fit Pzz:&|+^T- at- que %izzzi* —^^ +^ ^^w* 7 Ync^ erit tf^zB2— ■ (b-pf GIRCA XVHVLAS A CIRCVLIS FORMJTAS. 2ip I ^b—py feu q2-\-(h-p)2zziB2. Locus crgo pun&o- rum A erit circulus radio — BV 2 — ^~ defciiptas, c.uius centrum in retta cd fi opus eft producta erit fituin, at- eue a d verfus dextrarn diftabit interuallo bzzibdzz: ^ab. §. 25. Ad hunc vero cafum requiritur, vt fe&ores circulorum non (olum fint aequales , fcd infuper etiam vt fit B2-b2zz BV(0-B*)-bV(c2-b2), Quae aequali- tas quo cum fectorum aequalitate coniungatur, conueniet ad exempla defcendere , et primo quidem fit CzzcV^, erit ^^-=:BV(C2-B2)=:By(2^-B2) et c*-bbcczz ( c2 - B2 )2 ; vnde fiet c V ( c2 - b2) — c2 — B* et B2 == c2 — c V (c2—b2). Quocirca habebitur c2 — b2 — cV(c2—b2)^zbc -bV(c2-b2) feu b2-\-bc-cczz(b-c)V(c2-b2) quae quadrata dat zfrzzbbcc feu b~~ et V('i*—g)z±£. Erit ergo angulus bca rectus et proinde angulus ACB femiredus ; quh hic circulus duplo maior ponitur quam ille. §. 26. Prodiit hic valor ipfius b ncgatiuus, quo V(c2— b2) affirmatiuum obtineat valorem , atque fe et chordam ab in i et &, vt fit dbzzcV{2— V2)-;, et ^=^zr^V(l-V2)=z^-~zz:^^-^^ Sumto nunc in hac circuli peripheria pundo quocunque A, dudtaque Ah, ad eam ex a normalis et ipfi Ab aequalis ducatur aB. Deinde radio CAzz:CBzz:^V2 defcriba- tur circulus BOAC, quo fa&o erit areae OA£zz: areae OaB. f 2p. CIRCA LVNV^LAS A CIRCVLIS FORMATASzix §. 29. Si pun#;im A capiatur in ipfo pundo h, Tabula ix, circuli fe \t\ interfecabunt vt fig. 2. repraefentat , eritque Fi&uia u OA^nO^B. Sin autem punftum A capiatur in i vt in fig. 3. repraefentatur , erk aB ad #£ normalis et ma- Fi&ma > ioris circuli centrum C in B^ produch erit fitum, eritque aCzzAazzzc et BQzzzab. Si denique punctum A in k capiatur, prodibit %. 4. m qua iterum aB ad Figurt 4% #£ e(t normalis, et centrum maioris circuli C in b a producli erit fitum. Habebitur autem aCzzzaBzzzc\ ct ACzzzBCzzzah\ vnde duorum poitremorum cafuum conitruclio facillime confequitur. Ec 3 DE Hi DE VARUS MOBIS CIRCFLI DE VARIIS MODIS CIRCVLI QVADRATVRAM NVMERIS rROXlME EXPRIMENDI. AVCTORE Leonh. Eulero. §. i. Archimedes et qui ipfum funt fecuti rationem diame- tri ad peripheriam in numeris proximam iaue- ' ftigauerunt ex polygonis regularibus circulo tam infcriptis quam circumfcriptis. Cum enim .perimeter po- lygoni infcripti minor, circumfcripti Yero maior fit ipfa circuii peripheria , fatis commodum hinc deduxerunt mo- dum limites intra quos peripheria contineatur, definiendi; praefertim cum hi limites eo propius ad fe inuicem accedant , quo plurium laterum polygona accipiantur. Ita eum pofito radio circuli =: i , latus polygoni 96. late- rum infcripti fit latns vero circumfcripti totidem laterum LV ( 2 — V( g -t- V h -f- VzH- 3 ) , VU-HVU-HVU^-V^-f-Vj) ? fequentes prodibunt limites intra quos tota peripheria cir- culi continetur, minor fcilicet 96Y(z-V(2.-t-V(*-irY(z-±-y2) et CIRCVLI OVADRATVRAM FROXIMEEXPR.^ &t maior i_o_2_V(>r-V(*-J- V(gH"V(2-t~V3) §. 2. Perfpicitur autem ex hoc folo exemplo quam difficile et operofum fit limites hos in ruimeris ratio;ia- libus faltem exhibere propter tot totiesqne repetitas ra- dicis quadratae extra&iones : qui labor etiam eo maior euadit, fi polygona . adhuc plurium laterum confiderentun adeo vt per hunc .modum ne quidem fperanda fuiffet exacri- ffima diametri ad peripheriam ratio, quae nunc quidem con- ftat, et in fraftionibus decimalibus ad 127 figuras eft pro- duda : Pofita nimirum diametro zz 1 , exprimetur periphe- ria fequenti fra&ione decimalL 3, I4i592^535897932384^2^43383279502884i9 71(5939937510582097494459230781^40628^2 089986280348 25 342 11 70679821 4808651 3 272 3066470938446 -f- cuius fractionis centum cyphrae priores C/. Machlno de- bentur , omnes vero C/. Lagny peculiari modo etiamnunc celato elicuit. §. 3. Methodo ergo Archimedeae per polygona in- fcripta et circumfcripta procedenti merito praeferenda eft altera mcthodns hoc potiffimum tempore excuita, qua circuli peripheria per feries infinitas conuergentts expri- mi folet. Si enim huiusmodi feries vehementer con~ uergat, atque infuper ipfi feriei termini facile in frartio- aes decimales conuerti queant, multo minori opera ratio diametri ad peripheriam proxima numeris rationalibus cxprimi poterit, quam per iilam akeram methodum , quae tott 2 24 *>E VARIIS MODIS tot radicum extra&iones reqnirit. Qiio autem hac rationc calculus commode ad finem perduci queat , feries ad hoc inititutum idoneae funt feligendae, quas duo fequentia re- quifita, vti iam innui, habere oportet. Primo fcilicet, feries debet e(fe vehementer conuergens, feu eiusmodi, vt quiuis terminus multo fit minor praecedente, quo pod admodum rruiltis terminis accipiendis ratio verae fa- tis ^ropinqua obtineatur. Quo pauciores enim termini a vero valore minime dirTerunt, eo aptior erit cenfenda ftries ad vcram diametri ad peripheriam rationem dig~ nofcendam. §. 4. Alterum requifitum poflulat vt finguli feriei termini non fint admodum compofiti , feu fimplicibus con- ftetrf numeris. Quo magis enim finguli termini fuerinc complicati; eo maiore labore quiuis m fra&ionem deci- malem conuertetur, et fbrtaflfe plus operae requiretur ad decem terminos colligendos, quam mille terminos alius fe- riei fimplicioris, tanto minus autem conuergentis. Dein- de vero ad calculum faciliorem reddendum quisque ter- minus ita debet efTe comparatus, vt praecedente iam in fra&ionem decimalem euoluto, fequens ex eo facile in- ueniri queat; quae proprietas potiflimum in feries geo- mstricas iisque affines cadit, in quibus quilibet terminus ex praecedente per fola m diuifionem obtinetnr. Hancob- rein ex feriebus, quibus arcus circulares exprimi folent, eae praecipue ad hunc vfum erunt accommodatae, quae ex nngente data arcum refpondentem definiunt ; hae enim a feriebus geometricis hoc tantum difFerunt, quod fingu- li termini per numeros impares infuper fint diuifi, vnde in calculo parum nafcitur moleftiae. CIRCVLI OVABRATVRAM PROXIME EXPR. 225 §. 5. Reieftis igitur aliis feriebus, quibus arcus vel cx (inu vei chorda deflnitur, tanquam ad noftrum infti- tutum minus idoneis, praecipue eam feriem contempla- bimur, quaexdata tangente arcus circuli refpondens de- terminatur. Eft autem pofito radio circuli =r 1 , arcus tangenti x refpondcns =f~ :--+-*; — 7" -+-7 — etc- in infinitum ; ex qua intelligitur, quo minor accipiatur tan- gens x eo facilios arcum refpondentem aflignari polTe. Pofito fciiicet xrz^, flicill negotio arcus tangenti T'3 res- pondens in fra&ione decimali etiam ad mille figuras de- finiri pofTet ; minori vero etianv opera arcus determina- retur, qui tangenti ~g vei -^ etc. refponderet. Sed hinc ne minimum q'iidem fubudium confequitur ad rationem , quam diameter ad totam peripheriam tenet, cognofcen- dam \ cum omnes iftifemodi arcus, quorum tangentes funt toi T55j tooo feu tales, quae feriem vehementer conuer- gentem et fimul lcui labore fummabilem reddant , cum integra peripheria fint incommenfurabiles , atque ratid in- ter eos et peripheriam affignari penkus nequeat. '§i ^- Q00 ig'tur huius feriei ope ratio, quam dia- meter ad peripheriam tenet , inueftigari poftit , talis tan - gens pro x fubftitui debet, cuius arcus refpondens ad to- tam peripheriam rationem habeat cognitam. Arcuum autem cum tota peripheria commenfurabiiium vnicus da- tur, qui tangentem habeat rationalem, isque eft arcus / 5% eius fcilicet tangens radio circuii i.aequatnr. Fofito er- go ,V3i, prodibit octaua totius peripheriae pars = -^ — JH--I — ^-+-1 — - etc. quae eft ipfa feries Leibnitiana , ita \t hinc prodeat ratio Tom. IX. F f diamet- 226 BE FJRIIS MODIS ri ad peripheriam vt i ad 4(i-T-K-}-W--A-+-etc.). Haec autem feries tam parum conuergit, vt plurcs quam ioso termini colligi deberent, quo fractio decimalis ad cen- tum tantum figuras extendatur ; qui labor fere ln aeternum fuperari non pofTet. plura quidem habentur compendia, quibus ilta fummatio facilipr reddi poffet, (ed cum iis haec feries in alias transformetur , in feries alias magis conuergentes potius inquiram , quibus immediate fcopus intentus obtineri queat. §. 7. Aliud igitur fubfidium fupereffe non videtur, nifi vt arcus talis quaeratur , cuius tangens quidem fit ir- rationalis , fed tamen vnico conftet termino ; fi enim pro x qnantitas irrationalis magis compofita fubftitueretur , tum labor ad terminos colligendos infuperabilis euaderet, etiam fi feries maxime conuergeret. Duo autem tantum extant huiusmodi arcus, alter 6o° alter 300 , quorum il- lius tangens eft — /3 huius vero £. Ponamus ergo #1=1:7- , nam pro x non fubttitui conuenit "/3, quia fe- ries diuergens oriretur; eritque duodecima totius peri- pheriae pars — 7Ti ~~ 3. 3 V J "+" 5. 3* V J 7.3JVj ~^ 9- 3*V3 ~~ etC* vnde ratio diametri adr peripheriam prodit vt j ad i^i^i^J^^^i^^-etc. " I 3.3 ' 5.3 7-3a * quae feries iam fatis conuergit, cum quisque terrrrinus plus quam ter minor fit praecedente. Colligendis autem circiter 210 terminis, ratio in fractionibus decimalibu& ad centum figuras exa&a obtinebitur, qui labor iam fu- perabilis foret. §. 8. CIRCFLI OVADRATVRAM PRQXIME EXPR^ §. 8. Opc huius ferici etiam reuera a Geometris Anglis ratio diainetri ad peripheriam in fra&ionibus de~ cimalibus vsque ad 74 figuras exa Z 7 3* > 31 elC- Quo fafto ifti termini fuccefliue per numeros impares 1 • 3 7 5 ? 7 ? etc. funt diuidendi , vt prodeant ipfi feriei termini W? 2 V? 2 V? 2V1 f I 1 3.3 > J.32> 7-3* eCC' Denique fumma terminorum ordine parium a fumma or- dine imparium fubtrahatur, et refiduum dabit valorem peripheriam circuli exprimei*tem , cuius diameter eft zz: 1. §. 9. Antequam autem exponam ; quomodo ope eiusdem feriei, qua arcus ex data tangente exprimitur, proxima ratio diametri ad peripheriam multo facilius et exa&ius definiri queat, conueniet compendium aliquod monftraffe , cuius beneficio huiusmodi ferierum fumma multo leuiori opera inueniri poterit. Scilicet cum arcus tangenti | refpondens fit — - j — 7p -f- ^s — • 7]j7 -f- ctc. Ff 2 Hu~ 22 S JDE FARIIS MODIS Hnius feriei ponamus iam n terminos in vnnm fummam eiTe colle&os , exiftente n numero pari, fummamque/in- uentam erTe zzz S, dico fore iiimmam totius feriei in in- finitum continuatae _ _i_ / i f_£_ Reiiquorum ergo terminorum fummatio reducitur ad fum- mationem alius ferici, in qua quisque terminus circiter nn—i vicibus minor eft praecedente ; ita \t quo plures termini a&u fuerint colkcti , ifta noua feries eo magis. fut conuergens. §. i o . Quamuis haec noua feries ,. quae fummam omnium reliquornm terminorum prioris feriei compkctitur , ve- hementer coniiergat, tamen , ad eius fummam inuenien- dam noua quoque. compendia adhiberi poffunt. PofitJt enim fumma 2- 3 n II I t=S, p 3PZ 5p" (2;:-iyj)2t erit arcus, curus tangens eft J -s ■+ r~(2n&+m+r-r) -proxirae j qiii vator eo etit exacYior, quo plures termini aclu fue- rmt colte&i., feu qno maior fuerit numcrus ?/, n-odo fit pu* vti monui Atque fi fuerit nzzz.pv- tum haec for- ma fra&ionem ctecimatem iuftam reddet ad cot figuras, ! CIRCFLI QFABRJTFRJM PROXIME EXPR.zi? qnot exprimit ( 2 n 4~ 3 -h 3 \^ ) lp. Fadlo autem bre- uit..tis gratia 2 " 0-H|>p)(2ii— O — # erit vera fumma fenei f-3?"^^ ~~ ctc~ lvi infinitum continuatae feu r — — — - denuo diuidi debet per 2p-n l r \-\-p2-\-qpz-q^zp*-pz )-\-qzi 4p6~ %p' +pz) - etc. et quotus refultans ad S adiectus dabit arcum ,, cuius tan- gens = |. §. n. His expofitis fubfidiis, quae conlequentur ex methodo mea feries fummandi alibi tradita , progredior ad aliam viam multo faciliorem aperiendam , qua eius- dem feriei arcum ex data tangente exprimentis ope ratio diametri ad peripheriam quantumuis exa&e leui opera defi- niri potent, fine vlia taediofa radicum extractione. Refoluo fcilicet arcum cuius tangens eit ~ i in duos piuresue arcus , quorum tangentes fint rationales. Cum enim horum ar» cuum tangentes fint vnitate minores, ex iisperferiem ge- neralem arcus ipfi facile determinari poterunt. Qui arcus in fe fpectati etiamfi cum tota peripheria fint incommenfura- biles, tamen quia coniunctim fumti arcui 45 graduum cuius tangens ±z 1 , aequantur ; eorum fumma dabit o&a- uam totius peripheriae partem , ex qua ratio diametri ad penpheriam quaefita fponte fluit. Pofito enim a=z Ff 3 arcui *&o DE VJRlIS MODIS arnii cuins tangens — i , erit diamcter ad pcripheriam vt i ad 4 a §. 12. Ponamus eigo A/i— Afi + A/J debebit eflfe i:z:aai~; vnde fiet ab—izzza-\-b atque £=r ^;. Quo autcm # et b fiant numeri integri , quod ad calculum facilorem reddendum requiritur , pono#— 2, eritque^iz: 3. Arcus ergo cuius tangens zz 1 , qnem pofui zzza aequalis eft liunmne arcuum quorum tangentcs fnnt | et \ Quocirca arcus a aequabitur aggregato duarum lequen- tium ferierum -+-rr3-r7*-t-r7s-7-Is~t- ctc. quarum vtraque magis conuergit, quam illa fuperior ex tangente ^ deducla, nec vlla radicum extractione impedi- tur. Qiiare ope barum duarnm ferierum ratio diametri ad peripheiiam leuiori negotio ad multo plures figuras exadfa definiri poterit, quam per vnicam illam feritm fieri lieuit, praefertim fi fubfidia indicata adhibeantur. § 13. Si nunc feriei — etc. fumma in fra&ionibus decimalibus defideretur iufta ad cenmm figuras, tum colligi debent 154. termini, atque ad corum fummam addi oportet Trrr-^j- , quo fumma quaefita obtineatur ; vnico fcilicet fubfidio §. 10. indicato vtor, quo tota feriei fumma erat {2n{i-hpp)^'pp-iy Sin CIRCVLI QVADRATVRAM FROXIME EXPR. 231" Sin autem fumma ad 200 fignras defideretur tum 31S termini adu colligi debebunt. Aitera vero feries 3T*-+rr^ etc. ad fraclionem decimalem , quae ne in centefima quidem figura fallat, reducetur colligendis adtu 96 terminis ; quo autem ad ducentas figuras exadla obtincatur, 200 termi- ni achi funt colligendi. Ad rationem ergo diametri ad periperiam in fra&ione decimali ad 100 figuras iufta in- ueniendam fimul 250 termini addldebent, dum ad idcm obtinendum ex ferie fola plures quam 200 termini addi debent. §. 14. His autem veftigiis infiftendis in promtu erifc arcum a cuius tangens zzzi infinitis aliis modis in duo& pluresue arcus refoluere, quae feries multo magis coa- uergentes producant. Cum enim fit AtfzzzAt~rq-+- A/pq^p, 7 erit Qiiare cnm fit a^z-Ati + Ati erit nunc uzzz&Afs-i-Atj i atqae a iterum bis duabus feriebus coniundtis aeqtiabitur *rrrir+4f^ -f-etc, ■+- &^p>-*~& - ip -+- d, etc. fuerit progreifio quaecunque numerorum tandem in infinitum crefcentium , habebimus feriem arcuum infinitam , qui omnes fimul fum- ti dato arcui aequantur. Erit fcilicet Necefle antem eit vt. progreilionis a,b,c,d, etc. ter- minus infinitefimus fit infinite magnus, quia arcus cuius ille cotangens eft negligitur, hinc non contemnendae fe^ quuntur feries arcuum fummabiles ; vt pofito 5=1 et pro a,b,c,d, etc. ferie numerorum imparium 3 , 5 5,,. 7 , 9 etc. habebitur A/mA^ + An + A^ + A^+ etc. in qua tangentium denominatore* funt dupla quadrata im- merorum naturalium. oimiii modo erit AnriA^ + A/i-l-A/^ + A/^ + A^T ctc. §. 19. Coronidis loco theorema non inelegans fub- iungam, quod ad naturam circuli penitius infpiciendam inferuire potcft. In circulo fcilicet cuius radius feu fmus totus ~ 1 , eit arcus quicunque A aequalis huic valori fin. A CIRCVLl QFJDRATVRAM PROXIME EXPR.im fin. A ""coClA. cof.iA. cof.^A. cof. i5A. cof. ^A. etc. Vel quod perinde eft per fecantes erit A=:fin. A. fec. ^A. fec. jA. fec. ^A. fec. ^A. ctc. quae expreflio commode adhiberi potefl: ad logarithmum cuiusuis arcus ex datis logarithmis finuum et fecantium inueniendum: erit fcilicet l.A=l.rin.AH-l.fec.iA4-l.fec.iA + l.feciA-l-etc. vbi notandum %, fl tabula logarithmorum confueta vtamur , a quouis logarithmo logarithmum finus totius auferri de- bere. Sic fl logarithmus arcus i gradus quaeratur erit log. fin. i° — (- -2) , 2418553 " log. fec. 3c7 =■ 0 , ooooio"5 log. fec, 15' = 0 , 0000041 log. fec 7? = O , OOOOOIO log. fec 3|' : — : 0 , 0000003 log. Arc. i* — (- -2) , 2418762 log. 180 zr *> 2552725 1. A. i° = (- -^), 241 8762 1. A.1800 = °, 49714S7 cui logarithmo refpondet numerus 3, 14159. §. 20. Demonflratio huius theorematis pendet a mu- tua relatione finuum et cofinuum angulornm, qui inter fe rationem duplam tenent. Cum enim finus angulicu- Gg 2 iusque *38DE VARUS MOBIS CIRCVLI QVADRAT. &c. iusque in fuum cofinum multiplicatus producat femiflim fimis anguli dupli, aequabitur finus cuiusuis anguli per cofinum dimidii anguli diuifus duplo finus anguli dimidii jta erit fin. A A — — r— = 2 fill. 5 A. coiin. 5 A Simili ratione cum fit fin. A nfin. |A cof. I A. coi. J A cofin. J A erit per eandem proprietatem fm. A — _- — — — - — - — 4 fin. i A. coim. jA. cof. iA t Atque ylterius pergendo habebitur fin. A coiin. i A. colin. i A. cofin.^A ' * Ex quibus concluditur, ii progreflia cofinuum in infini- tum continuetur, fore __ fio- A t cof. § A. cof. J A. col.iA. cof. /5A etc. — °° M: ^ marcui ipfi A< Q. E. D. CLAS- CLASSIS SECVNDA. CONTINENS PHYSICA. Gg 3 DE DE THERMOMETRIS DISSERTATIO EXPERIMENTALIS , AVTORE Georg. Wolffg. Krafft §. i, CVm inter folidn et fluida nullum hucusque cor~ ptis inuentum fit,, quod non qnaquauerfum ab igne et calore extendatur, veluti Experimenta Celeh. Muffchenbwekii in Tentam. Academko- rum Florentinorum , Farte II. pag. 1 2. Jeqq. abunde ec iucunde docent : adhibentur optimo fuccelfu hodie a Phy- ficis, pro determinando aliquo caloris gradu, Inftrumen- ta non fine multo artificio fic adaptata , vt minimam quamuis- fiuidi inclufi rarefactionem vel condenfationem admodum fenfibilern , et oculis diftinguendam , reddant. Atque quidem cunctorum fluidorum mercurius viuus huic fcopo obtinendo ab omnibus merito creditur elfe aptifli- mus, quia, fi purus fuerit, aeque dilatabilis non folum eft, fed etiam manet, nullisque obnoxius eft mutationi- bus, quibus alia fluida premuntur; praefertim vero etiam,. quia non nifi magno calore ad ebullitionem cogitur, adeoque, vi huius proprietatis , intenfo alicuius caloris gradui cognofcendo inferuire poteft. §. 2. 24* DE THERMOMETRIS §. 2. Liberata fic, mercurii auxilio , iamdiu funt Thermometra noftra pluribus vitiis, quibus DrMe/iana, et quae in horum loci fuccelTcrunt , Florentina , laborare non fine taedio obferuata fucrunt. Non tamen ex omni parte adhuc funt perfecta. Nondum enim in iis incom- moda, quae mox enarrabo, fuerunt fublata. Primo, vi- trum ipfum , quo mercurius continetur , a calore extenfio- nem, a frigore contracftionem , patitur; quo fit, vt inte- nor cauitas modo amplior , modo anguftior euadat, id quod impedit, vt verae afcenfuum aut defcenfuum fili mercurialis quantitates obferuari queant. Secundo, non- dum confirm?ta , et extra omnem fbrmidinem erroris po- fita mihi videtur proportio, quam tenet volumen maffae eiusdem mercuriaiis aquae feruidae, et aquae iamiam in glaciem abeunti, impofitae» Adhibentur enim optime hi duo caloris gradas pro norma Thermometrorum , cum ille, faltim in vna eademque aqua, fit fcre conftans, nec nifi modicae alicui variationi obnoxius; hic vero aquae inhacreat , cum ipfa eft in ftatu voluminis fui me- dio-, dum nimirum remittente ebullitione fenfim contra- hitur, vsque ad ftatum incipiendae gektionis; quo ini- tium capiente quiefcit quafi aqua, et poftea dum auge- tur frigus, denuo extenditur. Qualis autem fit variatio caloris in aqua ebulliente, didici duobus Experinientis hunc in finem inftitutis. Nempe hoc anno 1738, Fe- bruatii 15, cum Barometrum teneret altitudinem ma- gnam , fcilicet 30^ pollicum Londinenf. duodecimal. obferuaui, Thermometrum aquae ebullienti per femiho- rium inftftens, mercurium tandem conftanter fixum te- nuifTe ad 3039 gradus diuifionis arbitrarie fiidtae; cum deinde DISSERTATIO EXPERIMENTALIS 243 deinde Februatii 22, Barometrum tandem defcendirtet ad 28T3553 pollices, vidi calorem aquae ebullientis Thermo- metrum non altius coegiffe , quam ad gradus 3022 y quae diffcrentia horum graduum 17, efficit Ti*3 pedis Rhe- nani, quaeque ideo valde eft exigua, non tamen con- temnenda , fi accuratiores defiderentur obferuationes. In- ueni enim , factis dimenfionibus mercurii in vtroque ftatu aquae feruentis, habuiiTe volumina lationem inter fe, vti 504.39 a Experimentis. dentur tria pondera voluminis. mercurialis eiusdem , aequalis nempe fphaerulae aureae, et, pofito, volurnine eodem , pondera fint vti denfitates corporum: poterimus ftatim eruere denfitatem mercurii aquae. gelafcenti et aquae ebullienti impofiti ; funt enim hae denfitates-vti iactura ponderis, quam fphae- ruia aurea in quolibet cafu paiTa eft. Quare erit per Experim. I. et III. D : ^/"370 -.375 £=2960: 3005., quae ratio fubftituta in formula ipfius «zrioooo — ^zP praebet nzz. i49l§g. Per Exper. vero II. et III. ha^- bebitur D :dzzz 3 70. 375 |.=: 148.0: 1503 , quae ratio de- nuo fubftituta in formula ipfius «,^praebet » = 1531*31; qni quidem duo numeri inuenti fatis bene congruunt pro fubtilitate huius Experimenti ; ct fi ad eorum medium , tan- LISSERTATIO EXPERIMENTJLIS. %& tanquam. ad afylum in rebus dubiis confuetifTimiim , con- fugiamus, erit n^zi$ih quam proxime , pro quo, ma- ioris commoditatis gratia , in diuidenda fcala Thermo- metri , affumi poterit, fine errore conftderabili , «1=150. §. 7. Patet vero, ex allegato calculo, Experimen- ta. hoc modo inftituta. fumme fubtilia effe, et exactitu- dinem requirere haud vulgarem. Nam in primo Expe- rimento eft aliis notatus eft , quod hunc mufculum vt nonum venditarit , id quod de altera breuiore parte omnino admitti poteft. Neque etiam Pteryftapbylinus internus ab inferna parte alae in~ ternae educitur , vti Riolanus vult ; Ced , vt recte Fallo- pius docet a propinqua parte mufculi antecedentis, hoc eft, circa apkem acutum feu apophyfin fpinoftm oflis fphenoidis; quae regio feu vicinia nihil aliudeft, quam portio offea oflis petrofi, quae ad fonnandam tubam concnrrit, cuius originis refpecr.u Valfalua (6), Santo- rinus (7), Winslo-wius (8) huic mufculo Jalpingo- vel petrp- Jalpingo -fiapbylini nomen ftrictius dederunt , cum fpbe- nofta- (8) Arthropogr. L. V. C XIX. (9) L. III. C LXXXIII. (i) Syn- tagm. C. XI (z) Arutomia C. XI. (3 ) L III C LXI (4) Trait6 de Ja tctc £.4^8 +Qo. (5) Trafl. de Aure C I (J.XVIfl. (6")C,U, §. XIX. Q) C VII. tf.XV. W U. $> 50I« *5S OBSERVATIONES ANATOMICAE noftapbylinum Cmperi nimis generale eflet. Albinus (9) autem ab officio fuo leuatorem palati mollis vocauit. Ceterum infertio horum binorum parium in vuuiam omnino cum quadam latitudine accipienda eft, ita, vt totnm velum illud molle oilibus palati continuum illo termino intelligatur. Illud par limbo oiiium propius eft, hoc vero regionem bumiliorem occupat. Vfum vero et officia adco ibllicite et neruofe Albims excuffit, vt iii- peraddi nihil poilit. X. Tbaryngoftapbylinus Valfaluae ( 1 ) et thyro~ Jtapbylinus, feu tbyropalatinus SanUrini (2) omnino inus idemque mufculus eft , neque tot minutiae cum Santmno fectandae. AiTentior igitur cum Winskwio (3) , tum Albino (4) , qui vtrumque fub nomine palatopharyngei quam optime defcripfit. XI. Mnfculus Ceratoftaphylinus a Cel Eeiftero (5) detectus omnino vti fmgularis mufculus admitti debet. Oritur tenaci tendine ex alae interioris corniculo , et in velo palati cum infertione pterygoftaphylini externi cius- dem Audoris commifcetur. Mallem etiam ipfum no- men ab Autfore effi&um retineri, quam cum pterygofta- phylino infcriore Winshwii (6) commutari. Denique palatojlapbyhnus Duglaffii (7), et azygos Morgagni (8) et Albini (9) nonnifi vnus mufculus funt, et faifo pro duobus diuerfis ab Heiftero (1) venditantur. Morgagnus enim (9) L. II!. C.LX. (1) C. II. $. XIX. (2) C. VII. $ XII. - (3) l c. £.496.41,7. (+) L. III. C.LVIII. ( 5) C A. not. 72. (6-, 1. c. $. 5co. (7) l.c, $. 76. (8) Adu, An. I. n. 8. (9) L IIl.CLXIX 0) *• c. $.326. n,6,7. LE MFSC.UB.FJFC.LING.LARTNO.de 259 enim per mufculos columellae di&o loco non palatofta- phylinum aliqucm fed pharyngo- et tbjreo-ftapbjlinos, de quibus ante (X.), intellexerat. XII. Fallopii tertius faucium mujculus eft proprie omnis ille apparatus , qucm vulgo hodie nominibus Ce~ phalo -Jalpingo - pterypo - mylo - hjo-chondro - Jjndesmo - thyreo- crico-pharjngeorum mdigitare folemus. Nuperrime autem Albinus (2), tot nomina non fine ratione abhorrens, illum in tres portiones diuifit, quarum nma a cartilagi- nibus laryngis orta ipfi eft conflriffor pharjngis injerior , altera ex orte hyoide educla conjlrittor pharjngis medius tertia denique a capite et vicina maxillarum et linguae regione deriuata conftriffor pharjngis Juperior. Sed omnem rem ab ouo rcpetamus. Fallopii defcriptionem preflfe fequitnr Platerus ( 3 ). Sed Laurentius (4) in duos mufculos diuidit, dum partem injeriorem, quae cartila- ginis fcutiformis lateri adnafcitur, a reliquis ad os hyo- des accedentibus feparat , fibras autem ad Hnguam properantes plane negligit. Hae partes funt mufculi pha- ryngis cephalopharjngeus et oejophageus Riolani ( 5 ) , qui autem terminos primi non in oife hyoide fed in ipfa pharyngis tunica ponens occafionem dedir mufculos multiplicandi. Riolanum Feslingius (6) et D. de Mar~ chettis (7) imitantur. Spigelius (8) et Bauhinus (9) nomina noua Riolani quidem retinuere; fed totum Fal- lopii apparatum dixerunt cephahpharjngeum , oejopha- Tom. IX. Kk ; geum O) L. III. C. LIV. LV. LVI. (1) In Tabuhs. < f> I.c. L.V. C. XIX. par tcrtium et quartum faucium. (5) l.c. L. V C XVIII (6) l.c. Op. II Gulae par primum ct fphincler. (7) 1. c. C. XI. par primum ct cjuartum. (8)1 c. L. 'V. C.VI. Faucium connringens par fecundum et primum, (9) l.c.L.IH, CLXXXVI. par tertium et quintum. fttfo OBSERVATIONES ANATOMICAE geum tamquam diuerjum ab illo mufculum confiderantes ; cui opinioni fine dubio anfam dcdit , quod Laurentius infcrtionem Fallopianam in originem et principium mu- tauerat, hi autem libros rriagis quam cadauera confule- rent. Poftquam vero Valjalua (i) mufculos hyopharyn- geos tamquam nouum par reftituiffet, inlequentium tem- porum Anatomici quidam , ad harum variarum denomi- nationum hiftoriam et fcaturiginem non attendentes non folum hos receperunt , vtpote qui negari non poterant ; fed et cephalopharyngeos retinuerunt \ qui ambo tamen reuera nihil aliud funt , quam illae ipfae fibrae , quas ab ea parte, qua bafis ^capitis ceruici tungitur , dejcendere et in latera hyoidis inferi dixerat Fallopius. Singulares igi- tur cephalopharyngei ab hyopharyngeis diftin&i non dantur, ftquidem et illi, qui diiigentius circa hanc par- tem verfati funt , vt Valjalua , Santorinus , Albinus tale par non agnofcunt; quem enim Santorinus (i) defcribit, mu- fculus azygos extraordinarius eft, et cum cephalopharyn- geo neutiquam commifcendus. Qiiod autem Valjalua (3) cephalopharyngeo pharyngofiaphylinum Juum fubftituere voluerit , in eo ,quidem nimium a tramite deftexit \ fi enim thyreo - pharyngo - ftaphylinum (X.) in fitu fuo detegere velis, id facile impetrabis, fi thyreopharyngeum a latere cartilaginis fcutifbrmis fblutum reflexeris. XIII. Hyopharyngeo Valjaha (4) duplicem originem aftignauit, cornua oflis hyoidis, et appendices cartilagi- neas , feu graniformes. In qua re a Santorino ( 5 ) a- ni- (1) \.2. c. 11 $. xx. (2) i.c c. vir. §. 11. (3) 1 c. c. 11. $.xx* (4) t c. C. IL $. XX. ($) U c. C .VII. $. VIU„ BE MVSC.LAB.FAVC.LING.LARrNG.&c. atfi nimaduerfus eft, qui non duplicem, fed vnam fimpli- cem continuam infertionem efie vult. Equidem (ateor meas obferuationes magis cum Valfaluianis conuenne, vnde chmdro-pharyngei nomen non inepte a Duglajfit (6) introdudum eft; putem vero, accuratidimum Abinum (7) omnium optime litem dirimere, qui iftiusmodi varieta- tes diligenter annotauit. Contra vero Santorini moni- tum aliud negligi non debet, quando eodem paragrapho dicit , ^fibras eas , quae in fafciculum collettae, ab ex~ ^tremis cornuhus deriuantur , in injsriorem pbaryngis par- \fm defcendentes fub thyropharyngeo produci „ . Videlicet fibrae byopharyngei tam furfum , quam re&a ad latus ac deorfum in pharyngem proiiciuntur , quas poftremas fibrac thyrcopharyngei proximae fuperfcandunt. XIV. Diximus fupra (IX.), mufculorum faucium par primum Fallopii a Spigelio et Baubino fphenopba* ryngeum vocatum erTe. Hoc vero par poftquam ab aliis non ad ftuces in genere, fed fpeciatim ad vmdam re- latum eft: mutato nomine vocabulum tamen non eua- nuit, fed muiculis aliis impofitum; non fine magno et difcentium et fecantium incommodo. Ante omnia igi- tur notandum eft, aliud par effe fphenopharyngeum Spi- gelii et Bauhini ; aliud fphenopharyngeum Riolani \ aliud denique fphenopharyngeum Veslingii et D de MarchMs. Riolanus ( 8 ) enim mufculos fuos ab acuto apice oflit fphenoidis deducit; Veslingius (9) et D. de Marchettis (1) cx finu vel cauitate alarum. Porro D. de Marchettis K k 2 mu- (6; 1. r. Cap. XV. 74. If. (7) 1. c. Lib. III. Cap. LV. (8) 1. c. L. V. Cp. XVJLII. (9) 1, c. Cap. III (O 1. c. Caj?. XL aff* OBSERFATIOmS ANATOMICAE mufculos fuos noua vocc, par pterygopharyngeum adpel- lauit, qnae denominatio quum illorum origini magis conuen;re videretur, poftea a Cowpero, Santorino (2j, Duglaffio (3) adfcita eft ; negle&o interim fphenopha- ryngeo Riolani. VaJjalua (4.) autem , cui et ipfi fphe- nopharyngei nomen non arridebat, et hos pterygopha- ryngeos et mylopharyngeos a Duglaffio (5) et Santorino (6) poftmodum fuperadditos omnes in vnam maffam con- kctob nouo glojfo-pharyngei nomine fabrefacto indigi- tauit, cuius quidem deuiationis caufla fine dubio exinde prouenit , non quod pterygo - et mylo - pharyngeos non viderit, vti Santorinus putarat, fed quod examina fua in obiectis ex corpore euulfis, non in fitu naturali, infti- tuerit ; quo pofito defcriptiones paris gloflbpharyngei Valfaluae et pterygo-ac mylo-pharyngei Santorini pro- xime inter fe conneniunt. Hic vero Santorini diligentia imprimis laudanda eft ; qui quamuis ante ipfum quidem "Dughljius mylopharyngeum indicauerit, vti recfte Hei- fterus monet : nihilominus tamen non folum originem huius paris ( 7 ) ex inferiore maxilla , pone vltimum den- tem molarem , et alterius pterygopharyngei ( 8 ) ex alae interioris corniculo ftri&ius indicauit, fed etiam incelfus horum mufculorum recuruos et \erfus occiput reflexos fufius expliamit. In qua re accurntiflimum alias Winslo- uium multum anteceflit , qui partim mylopharyngeum di- ftindte O) l.c. CaP. VII. £ III. C3) I.c. Cap. XV. $. 74. VII. (4) 1. c. Cap. II. £ XX. (5) l.c. ^.74. VI. (6) l.c. Cap.VIII. 0.V. (7) Portio conftriftoris fupcrioiis pharynajs Albini, qua ex interna parte maxillae infenoris iuxta fuperiora fofiulae molaris poftremi procedir. L.III. Cap. LVI. (8) Portio ex interna totius longitu«.iinis hamuli proceflus pteiy- goidei, et huius ipfius lamellac internae adhamuli rndicem Albini 1. C BE MVSC.LAB.FAVC.LINC.LARrNG.&c. ^ ftinfte non (9) detexit ; (defcriptio enim myloglofli fui (1) huc , vti Albinus (2) fufpicatur , minime qua- drat) partim pterygopharyngeum cum petro- et fal- pingo-pharyngeo commifcuit, qui ambo tamen quoad originem toto pollice diftant , nec eodem tramite re- curro incedunt. XV. Veriftaphyh-pharyngei (3) Winshwiani mi- hi quidem nii aliud effe videntur, quam ea oefophagei portio, quam Cowperus ex tendine pterygoftaphylini fui educit et Tab. XXVIII. fig. II. lit. L. diftincle reprae- fenrat. Qiia in re num recle auguratus fim , nemo melius nifi ipfe Cel Autor iudicare poteft. Certe hu- ius defcriptio cum illius icone , et icon cum obieclx> plurimum concordat: tum vero ad hyperopharyngaeum Santorini (4.) aut palatopharyngeum Albini (5) referri non poteft. Re&e autem Cowperus fe ipfum correxit, dum hanc portionem pro pterygopharyngeo , vti pri- dem fecerat , haberi noluit , quippe a quo occultatur, ita, vt fi iliam detegere velis, hunc prius a corniculo et ala foluere debeas. XVI. Sed quid denique faftum eft ex Jpheno* pharyngeo Riolani ? (XIV.) An igitur nullus mufculus ex acuto apice oflis fphenoidis in pharyngem egreditur? Non euanuit quidem ipfe mufculus, fed tamen in alium mutatus eft ab Autoribus. Dujtfaffius (<5) et Santorinus (7) Kk 3 SaU (9) 1. c. $. 480. (1) I. c. 0. $17. (2 ) Lii . III. Cap. LVI. not. (3) I. c. $. 4.78. (4) ]. c. Cap. VII. §. XIII. (5) 1. c. Lib. III. Cap. LVIII. *ct- ^T^U- C* *' *7*' M l C* CaP:XV' * 74. VIII. (7) L c Cap. VII. $. IV, 4*4. OBSERFATIONES ANJTOMICAE faJpingopharyngeum vocitarunt. Ille originem in extre- mitate partis ojjeae tubae , hic in pojiica crepidine ca.ti- laginea tubae ponit. fPinsIowius (8) . cum tamen illam iam anno 1733. delineari curauerim*. Denotatur autem Tabula X. Figura II. s. Cartilago fcutiformis. b. Annulus cartilagineus trachcac. c. Mufculus cricothyreoides dexter anterior. f, _ fiaifter anterior. <■» (6)1 C4Lib.Ui.Op.LXUi, OBSERVATA IN SECTIONE IVVENIS 1755. CVIVS MANVS ET PEDES MONSTROSI ERANT. AVCTORE Jofia Weitbrecht. NVtritus eft per aliquot annos in Academia iuuenis Tabuia x. quidam, nomine Fomka (Thomas), qui in ar-F,fc>,ni,*"v* tuum fuorum extremitatibus variis defe&ibus la- borabat; quo per morbum e viuis fublato, operae pre- tium duxi inquirere, quales mutationes organa fub ha~ bitu ifto externo monftrofb ac difformi latentia pafla effent. Harum mutationum breuem dabo defcriptionem , quam illi , qui circa indagandas monftrorum origines verfantur, in fuos forte vfus conuertere poterunt. Erst homo ftaturae breuis; in manu dextera gere- bat pollicem et vnum •digitum ; in manu finiftra polli- cem, et duos digitos, in pede autem vtroque pollicem et vnum digitum. Harum extremitatum articulationes erant incuruam pofitionem na&ae, ita, vt digiti non nifi lamquam fcarabaeorum cornua verfus fe inclinari potue- rint, hinc ipfe difficulter aliquid apprehenderit , et dif- fkilius longe incefferit. Si crura in directum iacebant cum corporc et femore , vix quicquam praeternaturale circa poplitem apparebat; in inceffu autem vterque pes $enu flexionem vix admittebat. Acetabuli autem iun- L 1 % ftura a7o r OBSERVJTA IN SECTIONE «ftura ita erat comparata , vt femora attolli qnidem , fedl dextrum non nifi, abduci, fmiftrum autem non nifi ad- duci portet. Interna vifcera cadaneris labe omni carebant, prae- fcer cauffas et effcclus morbi, diarrhoeae. Polypi autem» ©rnnia vafa tam venofa quam arteriofa obfederant. Offia humeri, cubiti, femoris, tibiae a ftruclura or- dinaria nil recefferant; fed omnis degeneratio in oflibus; carpi, metacarpi, tarfi et metatarfi atque. in phalangis- digitorum deprehendebatur f quae nunc tamquam praefen* U& defcribo. Ofla carpi funt feptem in quauis mann, magis qui- dem irregularia quam in ftatu naturali, fed difcernibilk tamen ; iunc"fcnrarum faciebus tam inter fe quam ad ra~ diorum et offmm metacarpi articulationem accommoda- tis. Quatuor ordinem fuperiorem canftituunt ; tria infe- riorem ; deeft enim os feptimum , omnino quidem hr _. . v dexteiu, ita vt inter os fextum et ochuum hiatus re- Tanma X, ' siigura ai. liuquatnrr os aufcena o&umm vnica eauitate glenoide gau- dear pro recipiendo offe metacarpi digiti vnici. Contra vero in finiftra xnanu os odauum non modo , vti nar* turai:'Scr effe folet, pro locandis • duobus ofTibus metacarpi, duas folfbJas habet, fed et multo crafnus ac latius difFu- figura IV. rum euafir ->. dum os feptirrmm tuberofum cum ilio coa- iniife videamr. In dexkera os quintum folum cum me- tacarpo pollicis iungitnr-,., et os fextum itm&ura cum me* tacarpo caret ; -m. wiiiftra autem os metacarpi pollicis cum ambobus o$bus quinm et fexto articulatur..- Bini ordi~ m$ etiam rnotum inteir fe- admittunt* lut trvmns monstrosis. *?» In vtraque manu fmguli pollices et digiti fuis ofli- &us metacarpi gauderit. In ftniftra bini digiti funt au- licularis atque anuularis , vti patet ex articulatione curtf carpo , atque ex ipforum otfium proportione. Digitus- autem in dextera , ratione craflitiei oflium et ratione ba- feos oflis metacarpi, index efll videtur, fed articulatio^ cum carpo vel annularem vel auricularem efle vel vtri- usque vicem gerere indicat. Os metacarpi pollicis dextri in iuncSura cum carpo deficit, non enim bafi duplicata gaudet in medio ele- uata ,, fed in foueolam. glenoidem folam excauata efl. Ex* tremitas eius altera, quae iuncturam cum phalanga pri~ ma conftituit, nimis comprefla eft. Os metacarpi polhV cis finiftri autem cum ftatu naturali perfecre conuenit. Os metacarpi digitt dextri in bafi flia proceffurrfc habet fubrotundum pro articulo cum carpo ; vnde os in- dicis quodammodo, vti diximus, repraefentat ; fed tu- ber laterale ferme deeft. Gapituli autem extremitas in- uerfe quafl appofita eft, quippe in dorfo diffufa palmanv verfus angufiatur , cum naturali ordine in paJmae re- gione in duos proceftulbs1 explanari debeat. Ofla me- tacarpi digitorum annularis et auricularis in flniftra a na~ turali ftatu non recedmit ; et iufto rnodo tam inte* ie quam cum carpo- artiailantur ; fohim os metacarpi an- nularis in iunetiira bafeos cum carpo rotundius eft , e£ iun&ura laterali pro ofle metacarpi medio caret. De~ £ciunt igitur in dextera inanir offa metacarpi tria , in> finifira autem duo ; itar vt ne veitigium vllum flt re^ perturrr.- I- 1 3r <3& a7i OBSERVATA 1N SECTIONE Ofla phalangarum tam pollicum quam digitornra in vtraque manu quoad formam ., atticuiationem et ap- pendices cum habitu naturali omnino conueniunt ; hoc tamen cum difcrimine , quod phaianga prima pollicum iufto tenuior, extima autem nimis eompreflli et appla- nata , et in apkibus plane perforata fit pro vaforum transitu. In xeliquis digitis phalanga capitulis non adeo rotundis fed magis appreflis gaudet, extimum autem o$ digiti auricularis finiftri nimis extenuatum eft. Ofla tali ftabit ad BG, et quidem eo profundius, quo magis altitudoDC Exp*. 2. alritudinem debitam excedit. Quodfi vero quantitas DC Fi6ura 4. minor fuerit, quam attradioni competit, et omnia denuo cadem methodo peragas : tum aqua non folurn ad libel- lam vsqueBF, fcd et multo altius ad FG afcendet, quan- tum nimirum requiritur, vt fumma altitudinunvDC et FG aequalis fiat altitudini debitae. Vcrbo , furrima altitudinum CD et BG (fig. 3.4.) femper eft aequalis fummae alti- tudinum CD et BF(fig. 2.), fi immerfio femper ad ean- dem profunditatem facta eft ; et , fi interieda bulla aerea eiusdem femper effet altitudinis : punctum C femper ad candem altitudinem fupra libellam ftaret, quemadmodum in experimento antecedente (§.2.) fadtum eft* §. 4. Qiiod vero per experimenta antecedentia (§.2. '3.) actu ita fe habere intelleximus : id neceffario ita fieri debere ex theoria noftra fequitur. Tota enim fuperficies interna tubi attrahit , quando aqua ad debitam diftantiam accellit; et quia tubus in tota longitudine eiusdem vbiquc diametri fupponitur; omnes peripheriae, quotquot fuperfi^ ciei cylindri aquei immediate proximos conceperis , inter fe aequales erunt, hinc femper non nifi tandem quantita- tem aquae eleuare ac fufpendere valebunt : femper igitur aqua in tubo ad eandem altitudinem fupra libellam in vafe afcendit; quia quicquid infra libellam continetur, id omnc ab aequali cylindro aqueo in vafe aequilibrari cenfendum efl. Neque quicquam refert, etiamfi per interiedum ac- rem in partes diuidatur. Sunt enim tres peripheriae vi- M m 2 treac , **8 T>E ASCENSF AQVAE TibuU XI. treae , C, D et F, quae virtutem fuam attractiuarrr ri aquam exercent, et quae intcr fe aequales fuut : quia :xi- tem harum binae, DetF, quae biillam vtriuque tangunt, fibi contrariae ftint; hinc fe mutuo deftruunt, et fola at- tradio peripheriae fupremac refbt , % cuius aclione totus effeftus dependet. §. 5. Quodfi igitur accidit , vt tubulus aquam ad maiorem altitudinem retineat , quam vis- attracliua pcri- pheriae fupremae conferuare folet: neceflhrio • exinde feqm- tur, aliam. quandam cauffam fuheffe, cui fiiftentatio qusn- titatis fuperfluae tribuenda lit. Dum enim dico. aqusm non nifi ad- datam altitudinem afcendere, non- fimul nego, fieri pofie, vt aqua ad maiorem altitudinem, in tubulo r.li- ter ac per attra&ionem fvmplkem repleto, haereat ac ;5u- Itentetur. Hoc enim experimenta abunde docent. Obfer^ uarunt id eti&m- Petit in hifr. Ac. ftr. Par. 1724?. et Mus~- [chenbroek 1. c. Exp. W. Quaeramus igitur huius phaeno- meni limites et cauflas. §i 6*; Admoueatur ttibulus AB fuperficiei ' aqnae V,, Btyer.fr vt haec afcendat ad altitudinem quamcunque BC. Qno Kgurt 5» facto eleuetur tubulus- paullulum, vt a fnperlicie aqtiae ad: altitudinem Bb recedet. In iloc receili cylkxler? aqueus CB a fuperficie non auellitur, fed intra tnbum a C ad e dcfcendit , atque inter terminum tubi B et fuperficiem aqnae Z>, zom\s- aliquis, vt ita vocem, aqueus- B£ forma- tur ; coutinuata autcm tubi • eleuatione ifle rumpitur , et cy- linder aqueus ad priftinam altrtudinem C refiliti Hutus quidem phaeiiomenr» caufla- ia promtu auY Primo enim attra- Itf TFBOS CAVILLARES. 27$ 3£tractio\ quae inter partkulas aqucas intercedit, non per- Tabul* & HiiHk., vt in- ip(b recefius pnndo totalis auulfio fiat; re- fiat igitnr tantifper cohaefio aliqnalis inter cylindrulum in tubo % et aggerem aqneum circa tubi extrcmitatem geni- tum, et inter aquam in Yafc Fac iam tubulum , qui aquae fufficientem quantitatem haufit . r eleuari, et aquarn ad eandem altitudinem inrra eum. conferuarh. eo ipfo per generationera. atque additionem connli illius cyiindrulus al- titudinis maioris. orietur, qiiara qui a peripheria C fufii*- neri poteft; ergp neceilario aqua intra tubulum tantillum delcendere debet , quantum. nimir.um altitudo- illius conuli requirit, Quia vero,. continuata tubi eleuatione, conulus tandem maior et grauior euadit ; quam vt cohaefib eius cum cylindrulo a- mutua aquae attractione confernari pos- fit: uecefiario tandem- rumpitur, et conulus cum aqiu in vafe mifcetur , cylmdrulus autem denuo ad eam altitudi- nem intra tubulum eleuatur, quantum vis attraclina peri- jpheriae fupremae. fuftentare. valuerat.. §. 7. Quando experimentum irntecedens curn tubu- lo , cuius ktera. tenuia funt ,. capitur et lente inftituitur;. tunc, vti diximus,, altitudo ad quam< cylinder refilit , ea- dem eft., ad quam conftiterat ante auulfionem. Quando antem tubulus ex- vitro eraflfore conflatus eft , . vt extremitas eius B latam bafm conftituat: ttim fa&a auulfione cylin- der ad altitudinem maibrem^ refilir^ et quidem, quo cele- Rgm* 6, rius tubulum auellis, eo altius aqua afcendit ; bafi autem tubi B circa orificium gutta aquea adhaerefcit. Ita e. gr. E*p#' * tubulus , qui' perpentficulariter immilTus aquam attraxerat ad altitudinem 67s linearum ; cnm idem ille ex aqua ce- I&m 3.. Jeriter -a8a DE ASCENSV AQVATL leriter extraheretur , retinuit illam ad altitudinem 7. linea- rum, et cnm alia vice extradio multo celerius repetere- tur, erat altitudo 8. linearum. % ! 3 . Atque hi funt illi cafus , ^de quibus ( §. $ . ) loquuti fumus, et qui a regula noftra ^generali (§. 1.) de- flectunt , quorum vero ratio ex -.theoria • noftra itidem opti- me deducitur. Aquam enim 'tubo \bique adhaerere do- cuimus (Prop. XIV. )\ ergo quo craftnis eft vitrum, et confequenter , quo latior cft bafis circa orificium inferius, quae aquam in vafe lambit, eo maior gutta inter remo- uendum adhaeret. Praeterea attractio inter vitrum et aquam maior eft, quam inter particulas aqueas ipfas (Prop. IX.); ergo quo celerius tubus auellitur, eo plus aquae huic ei- dem bafi adhaerefcit. Porro vim attractiuam , quae aquam in tubo actn eleuat, definiuimus (Prop. XXVIII.), quoft fa-^zd{p—q). Qiiando igitur tubulus remouetur, vis illa zr q euanefcit, et \is eleuans p tota, non imminuta agit, eyiindrus igitur aqueus ad altitudinem maiorem afcen- dit, -et portionem guttae bafi adhaerentis fecum intra ca- uitatem ttubi rapit. .Denique ifta vis eleuans non folum non imrriinuitur , fed etiam adiuuatur ope eiusdem guttac orificio extremo adhaerentis. Haec enim cum ab attra- dione limbi vitrei retinetur , in fimul etiara repagulum quafi conftituit , cui portio quaedam cyhndri intra tubum infiftere poteft, quae non prius defcendit, quam gutta ifta tanta eualerit , vt pondere fuo proprio cohalionem rum- pat, ac delabatur. §. 9. Si quis autem foret, qui dubitet , guttam bafi cxtremae adhaerentem cylindri defcenfum impedire poffe, vt INTVBOS CAPILLARES. a8i Tt;ad maiorem altitudinem conferuari queat , qnam quae.labula xx» penpheriae tubi fupremae conuenit , ille ad fequentis ex- perimepti phaenomena diuerfa . animum appellere.non de- digiietur, I. . Tubulum AG qui fua fponte aquam attraxit ad al- Exper. $> titudinem 6\\ linearum ,. ad eandem altitudinem repleui , Fj&ur* ?•• inclioatumque , vt attracfta quantitas in fitum E C recede- deret , deaup immerfi : . quo fe&o , et extrafto tubo , ob- feruaui , . inferiorem aquam non omnem effluere , fed per- fi.ftere ad altitudinem duarum circiter linearum DG, infi- mul fuperficiem eius infimam fieri conuexam et.limbo ori- ficii G.adhaerere ; inter portionem fuperiorems auterra BC,, et inferiorem DG_bullam aereamr.CDi interceptam; eiTe. II: Poftquam portionemv, fuperiorem ; JBCJairxi ad. alti- Fi&ura t. . tudinem 7^.; lin et porro eadem methodo proccfli: refti- tit portio inferior. GD.itd„altitudinem.. vnius. lineae, cum . iisdem phaenomenis... III. . Aucta.i portiaej fuperiore BC ad altitndincm 8. Figor* 9; . linearum : : obferuaui , , loco portionis DG, reftare tan- tummodo pardcnlam: conuexam G , quae tamquam femi- glpbulus: aqueus:,ad marginem orificii circumquaque haere- bat, caukatem; vitri autem non iotrabat. , IW Deoique aucta portione BC ad altitudinem; .S|; li- Figurir«, . nearum , et ceteris eadem methodo peractis obferuaui j por-t tionem DG omnem efHuere, excepta pellicula jfeu lamel- lula aquea, D, tenuiflima, femiglpbofa* iid.marginem o-- fculi inferioris adhaerens , , folo; aererplena ; ; quae; autem 1 Jeuiflima fiKcuflione rumpebatur 5 , uJ!a serea CD la- mellae infiftens aufugeret: et portio. BC Sl: Jinearum ad i ofoilum. iaferius plaae^ekenderet,;:. W Por-~ aS* BE ASCENSV AQVAE TttmiaXL V. Portionem BC, quae ab ifto tubo attrahcbatnr ad akitudinem 6\. linearum, auxi plus quam dttabus lineis, Tt Exper. 5.^aderet 9,10, vel plures lineas alta; quo iado, quando, Fi^ura 9, intercepta bulla aerca nouam aquae ponioncm ndmittere tentabam , vel qnando interpofitis pluribus bullis, ir.aflae partiales aqueae , BC, F.D, VG •fimttl fumtae maiores erant altkudiue S|, Vel 9, vel 10. linearan : tunc aqua fijperflua nulio modo iatm kbum jcetinefeatur , tubus ex aqua -extrahitur , attendatur, vt femper ae- ^gualis guttula extremitati inferiori adfaaexeat, In decnr- N n 3 4an&> aft8 DE ASCENSV AQVAE tando tubo opera danda eft , vt per fradtionem fuccnlTio quam minima fiat. Ad fcopum obtinendum quidem non opus eft euacuatione tubi et noua repctita repletione, quia etiam poft decurtationes fatis obferuari poteft , num aqua ad minorem altitudinem fubfidat. Si cui tamen ifta me- thodus placuerit, fatcor me non probare pofTe, vt exfu- gendo rem adgrediaris ; quia hoc modo vix euitari poteft, quin fenfim aliquid faliuae adhaereat, qua poftmodum tam vitri quam aquae puritas multum turbatur. Praeftat , vel linteo puro aquam fenfim auferre, vel quemadmodum CeL Krafftius nofter in Exper. Phyf. pag. 57. 58. fieri docet, alium tubulum anguftiorem vacuum ofculo inferiori admo- uere, qui mox omnem aquam extrahet et refoibebit. §. 18. Reftat denique (crupulus remouendus, quem experimentum Muffcbenbroeluanum feptimum Cap. I. no- bis iniicit. Illud autem tale recenletur: „Si tubulus conti-,, nens 20. lineas aquae in ie, ex vafe fublatus lente incli. „ netur, vt parallelus horizonti euadat: tum aqua in tubo,, mouebitur ab vno extremo verfus aliud, ita tamen, vt„ occupet accnrate mediam tubi partem, relinquatque am-,, bas extremitates vacuas aqua, et tantum aere plenas.,, His pofitis aut in experimento latet hallucinatio , aut theoria noftra falfa eft. Haec enim poftulat, vt, quando incli- nato vtcunque tubo cylinder aqueus ab orificio inferiore paullum recefTerit , peripheria vtrique cylindri extremitati proxima vi fua attradiua aequaliter agat , et conlequenter propter peripheriam inferiorem cum pondere cylindri con- fpirantem hic ipfe non afcenfnm fed defcenfum afledlet. Quando igitur tubus tandem horizonti parallelus ponere- tur, IN TVBOS CAPILLARES. 289 tur , aqua non nifi. per faltum , cuius nulla eiTet ratio , Tabuia xr. mediam tubi partem occupare poffet. Huic confequentiae porro fauet experimentum -Mujjchenbr. infequens octauum ; iuxtahoccnim/^fi extremum eiusdem tubi, quod aquae,, immerfum fuit , altiiis eleuetur fupra horizontem , infra,, quem quem deprimatur extremum alterum : tum aqua de-„ fcendit verfus humilius extremum motu concitato. „ Qiiodfi igitur in hoc cafu aqua intra tubum inclinatum defcendit: quare in cafu priore, in quo tamen circumltantiae eaedem iiint , afcendit ? Sed quicquid horum fit , confugiamus ad experientiam optimum veritatis indicem. Haec autem ita fe habet: Si tubus, qui aquam fufficientem attraxit, incli- Exper.9. netur : aqua attracta C D paululum ab orificio inferiore Fisura I2- recedit , quo facto , quomodocunque tubum inclinaueris , aqua in eodem fitu CD immota haerebit \ etiamfi tubum horu zontaliter pofueris. Quodfi vero orificium B fupra hori- zontem vel parum eleuetur, aqua CD mox defcendit ad orificium alterum A , et aeque parum diflat ab illo , do- nec tubus perpendiculariter erigatur; tunc enim ad ipfom oram plane defcendit. Ex quo phaenomeno rite percepto Theoriae noftrae vim nullam inferri clariffime apparet. §. 19. Pergo ad illa phaenomena , quae obferuan- tur in tubis diuerfae diametri, quorum explicatio genulna, non negledtis eis quae theoria pofcit, fequenti potiffimum propofitione nititur : In tubo anguftiori particula aquea a pluribus punffis vitreis refpondentis peripheriae fimul attra- hitur , quam in tubo ampliore. Sit enim femidiameter Fisura *3- tubi AC~a, radius a&iuitatis vitri ABznPTzz: ?/:=:£, diftantia particulae attrahendae a peripheriae attrahentis pun- TabaU XI. »90 DE ASCENSPJQVAB do AP=r#, = AZzrg: crit AT:z:V^-au', ZP=*-«; ZC~*-Z, Z^V^-Cfj2i£i_f?rro A2: Zt—Zti ZC-HAC; vnde 2^=V a«a-««=V^-(j:-a)% a<75J— zzzzzbb— xx-\-2XZ— zz, zaz—zxzzzzbb—xx, zJ^hJrj~. Efl^autem AZ: Atzzzkt: ^kQ, vnde At=&&jr* et AT*= ^-jw; Ergo AT* : At*= bb-xxz ~zr~; et AT: AtzzzVa-x: Va. Atqui re&a Af eft chorda arcus A/, et maior quam re&a AT; ergo et ipfe arcus A£ maior erit quam AT. Sint igitur duo tubi, femidiameter vnius A maiorzn^ , alterius B minorrza; erit chorda At in A ad chordam in B=V^2E3*E ;ya(5&-.xx)^ et qUiin^0 diftantia # conftans ponitur~V-^_ : V~£^ et quadrata chordarum zzz aoL—am: aoL—am. Er- go, quia rectangulum aazzzact , et 07/j J> ct/# j fequitur chor- das illas, et confequenter ipfos arcus peripheriarum attra- hentium maiores efle in tubo minore quam in maiore; nimirum : Qiiadrata chordarum funt in ratione compofita dire&a radiorum et reciproca differentiarum inter radium et diftantiam punfti attrahendi. Ergo ad eandem parth culam aqueam, quae m eadem diflantia pofita eft, attra- hendam plura punfia peripheriarum rejpondentium vimjuam exerunt in tubo anguJlioref quam in ampliore. §. ao. Cum igitur eadem peripheriae portio in cir- eulo minore minus attrahat aquae, quam in maiore (Ten- tam. Prop* XXX.): et eadem particula aquea a pluribus pun&is vitreis foliicitetur in tubo anguftiore quam ampliore Exper* 9- (§.19.): neceflario aqua multo velocius furjum rapitur in tubo angujiiore quam in ampliore. Vnde louias phaeno- sieai 1N TVBOS CAPILLARES. * tiori peripheriae anguftions confpirai. §. 22. Sequitur etiam ex hoc experimento (§.2X.), in tubo inaequalis diametri peripheriam anguftiorem fitfti* fiere pojfe aquam ad altitudinem maiorem , quam periphe- fia amplior. Suiiinet enim peripheria a aquam ad alti- Fig. t$, t& tudinem ab , quam peripheria b ad eandem alritudinem fuftinere non poteft ; quia in hoc cafu foliicitationes ad afcenfum minores funr, quam in illo. §. 23. Huc pertinent bina experimenta luriniana (*)&. feptimum et oftauum,quae ita fe habcnt; „Conftet tubus„ w^lJk CD duabus partibus, in quarum ampliore aqua fponte afcen-,, Figura u, Tom. IX. O o fura *— — ! -^ O) Iau lurini Diflert* phjrfico-n»tbemat» L tp* DE ASCENSF AQTAR Yibultixro.ftml flt ad altitudinem BF ;. at pars anguftior ,, (i fatk„, longa fit,. aquam eleuatura fit ad altitudhiem CD: Hoc,r tubo aqua repleto, et ofculo C partis amplioris immer-,r fo in aquam AB, omnis aqua tubo contenta luipenditur >f1 fupra libellarru lmmerfb olculo D partis anguftioris aqua,r coufefbm defcendit, et fubfimt. tandem ad altitudinem GD,r parem lineae BF,,.. Cum his confpirant eiuidem Celeb* Auctoris, experisuenta* bina» fequentia* nonum et decimum^ quae repetere fuperuacaneum duco.. Ex quibus= omnibu* Jequitur r in tubuiis conicis vel inaequalis diametri altitu* dines aquarum ejje. reciproce vtl diametros peripheriac fjipremae , cui fummw aquae: fupeificies proxime- adhaereK Has, verx> ita aeftimari debere ,, ex theoria noftra prono» aliieo; fequiturv. Iu menfuram enim altitudini* aquae ffc fpenfae (Prop. XXVIIL) nihil ingreditur nifi. confideratio» virium fufpendcntmm- ,, et diametri d r quatenus haec exv primit rationem peripheriae; annulbrum vitreorum , quibufc fuperficies aquae intes afcendendum fuccefTiue. applicatur- Qiiandoi igitur diximus^ altitudine& efle- in ratione reci- proca diametrorum, id necefTario de diametris peripheriaci tubi (non. inferioris aquanr lambentis, fed) fuperioris, quar» aqua afcendendo> attigit,. inteiligendum eft;: confequenter pofitis diametris hisce aequalibus altitudo etiam: femper ae^ qualis erit ^ amplitudinibus tuborum vtcunqm diuerfis et ire- aequalibus» §; 24.. Nbrr autenr fufrtcere videtur demonftrare ne~ Exper. ii, ceftitatem propofitionis.. Siint qui. fciupulum iniiciunr, et Figur* 190 paradbxoa inde: deduci putant,. Qiiaerunt enim ,, fi peri~ pheria C ia tubo cyiindrico ABD; fufpendera nou potefl IN TVBOS CATILLARES. *$$ nlfi • vel plus (ufpcndit, fi bafis EF maior eft; vcl minus, fiFiguraar, bafis HK minor cft, quam bafis ED ? Proponit eandera obie&ionem , verbis pauilo aliter inflexis ct ad fuas figuras accommodatis Cel. lurinus 1. c. Quibus rationes mecha- nicae fufficiunt, iis abunde refpondet idem Cel. lurinus, dum velocitates in ratione reciproca fe&ioraim , et confe- quenter momenta columnarum aquearum in quacunque tu- borum amplitudine eadem efTe docet. Qui autem cauflam magis phyficam fcire auent , iis «x theoria refpondebimus. Tabula Xlt §. 25. Sit igitur tubus conicus ABCD, cniui dia- **&*»»# meter inferior maior AD, fuperior minor BCj fit aqua attra&a ad altitudinem £B; dico: virtutem attractiuam pe- ripheriae fuperioris diametro BC refpondentis reuera plus non fuftinere qtfam columnam cylindricam mtdkm bBCc, xeliquam autem portionem huius coni aquei truneati , quae generatnr, quando triangulum ABi circa cylindrum rotari concipitur , fuftineri a virtute alia. Conftat enim, latus *ubi obliquum AB, cuius ope aqua eleuatur, refohii pofle in duo alia A«r, et ^B, quoTum illnd fe habet ad hocy vti finus anguli inter latus et bafin tubi BAb ad cofimim «iusdem anguli. Quando autem afcenfus ad debitam alti- tudinem fa&us eft, tum latus verticale A/?:=:B£ munere fuo fun&um eft, atque ad fuftentationem porro nihil con- ftrt, fed •cylindrulns didus a folo (upremo annulo BC fu- ftinetur, quemadmodum (Tentam. Prop. XXV. ) demon- ftrauimus. Contra vero latus horizontale aB^zAb otio- fum uon manet, fed bafin annularem Ab, ^D fcrmat *few ** Oo a =:AD 294 ££ ASCENSF AOVAE TaSuiaXir.^^jg^^-g-Q* ^ 3 qUa reijqlia portio obuoluta immew rigyra 24. diate dependet. Similis ratio eft, fed contraria, quando tubus inuertitur , vt bafis minor B C inferior fit -y tunc enirtt bafis ifta annularis A£, cD, a latere aB generata, quaof antea defcenfum aquae impediuerat , iam illius afcenfum moratur, et poitionem inter kaB interceptam ad defcen- fum follicitat. Quapropter peripheria fuperior AD non folum maflam coni truncati aquei ABCD iufpendit, fe& et vim lateris horizontalis aB deorfum nitentem fuperare debet , id quod eo recidit , ac fi totus cylindrus maios kadD ab eadem peripherda fufpendi deberes. §. 26". Quemadrriodum vero tale latus horizotitale kk in rubis conicis nonnifi ex refolutione lateris verticalis ref- (ultat ; ita illud reuera adeft , quando mbus aliquis dato con^ flgu» s$, fiiio- hoc modo conftruitur r qualenr figura 25.. exhibetr id quod executu adeo difrkile non eft Atqui in huius- modi tubis negari non poteft , ktera DE attrahere , Cx aqira in eius viciniam defertur; quippe videmus, guttularo a bafi tubi quacunque fulpendi. Quodfi igitur (iiprema pe- ripheria tubi AF fuftinere poteft cylindrulum aqueum AFG: poteft etiam peripheria laterum DF et FE proxima fui. ftinere canaliculum, quo cylindrulus ille circumdatur, qua~ !es peripheriae tot numero- efTe finguntur, quot pun&a in latere DF concipiuntur.- •E^jp.xs. §. 27. Atqne hoc phaenomenon non potejt non in wcuo etiam apparere , cuiuscunque longitudinis et capaci- tatis fit tubus ; modo pars ftiprema tubuli capillaris adeo angufta fit, vt eius peripheria altitudini reciproce refpon- deai. 1N TVBOS CJPILLJRES. *p9 dfeat. Qirippe omnis res ad virtutem attra&iuam tam pe- TabuU W rlpheriae tubuli capillaris, quam laterum DF, FE, item- Figur* *$, que et ad cohaefionem particularum aquearum inter fe re- ducitur } quse binae virtutes per vacuum non abolentur, Qiiapropter omnis illa infignis difficultas, quae in confsde- rando hoc experimento in vacuo fe ofierre vidctur, {Iur« Diff. II.) plane euanefci& f, fiS, Cum fiis experimerttis (§". 23.) autem pfane non confundendum efl aliud , quando nempe aqua in tu- bo ampliorc a portione m anguftiore per interiefiam buh lam aeream dirimitur. Quamuis enim in hoe attractio lateris horizontalis omnino cefTat, propterea tamen in iliis nsutiqam reiici debet. Quippe circumftantiarum varietas* cauftarum quoque diuerfitatem facile admittit. In iliis qui- dem continuitas fluidi per cohaefionem particuiarum aquea- rum , m hoc autem per interieclium eorpus aereum ela^ ftkum efficitur. Et eum ibi fbla afmofphaerae preffio ef attractio peripherke fupremae occurrit: ita hic praeter at- %*r* *&■ mofphaere preflionem et peripheriae fummae C attra&io- nem , etiam attractio peripheria.rum D et E, et denique aer inclufus, qui eandem cum atmofphaera externa denfita- tem conferuat, confiderari debent ; vnde omnino explica- Sio longe alia emergit. Haec autern vt facilior euadat -r feducamus experimenmm ad cafum fimpliciorem , qualem Exc. Bilfingerus (Diff. $ LIL) fecit, Sit tubus cylindri- cus AB, in quo fufpendatur aquae quantitas CD et EB, %«' a^ ct fit interiedtus aer DE. Hic quidem idem illud acci- di 28.); et portia CD fola pondufsulb» &&> etr preflione atmofphaerae r verfc fubiedtam portionerrr EBr mediante btilla, vrgeretur. At veror quod retfimme indicauit CeL lurinus, iftae. peripheriae aequales^ non funt,. quia fuperioc tubulus A D inter. fabricarrdum- plerumqne figuram conicanv nancifcitur.. Attratfio; igitur peripheriae C perr alteram D- non tot& deftruitur,. fed: virtus eius adhncdum tanta5 efT, vt poffit aquam fuftinere ad altitudinem FH, aequalem difFe- rentiae altitudinum, bini& iftis peripheriis refpondentium FS et UG. Iam vero^ perfpheria, C adtu norc fuftentat nifi por- tiunculam CD ad alntudinem FK ;; ergo^ reftati virtusy aev qualis altitudini KH. Noff foluirr igitur. portio CD pondu- fculo fuo in portionem EB. fubiectam non premit, fed nec Atmofphaerae pondu9- fuperficieij C incumbens preffionenr fliam totalem in eandem- portionem EB folam libere. ex- ercetv quia. fuperare. etianv debee eandeirr< reftantemr virtu-*- tem attraeTiuam peripheriae C ad altitudinem KH'.. Quodfi igitur euenire debet ,. vr aequilibrium oriatur inter preflio- rrem atmofphaerae: imminutairr er partialem > qua portio EB, mediante ^0^0^^" CD er bulfo DE:,- deorfum vr^ gptnrr et inter eiusdemi atmofphaerae prefTionem totaleran €^ liberamv qua: in fuperfidem B reagitur ? neceiTario> w *9* DE ASCENSV AQVAZ TabulaXII.fubfidium vocari debet pondus cylindri aquei altitudinis KH, quod virtuti ifti reftanti aequipollet , ct fimiliter deorfura nititur. Ad conferuandum igitur ' aequilibrium portionis EB altitudo aequalis effe debet fummae altitudinuna KH et HI ~KI; fiue: fumma altitudinum vtriusque portionis CD et EB~ FK-HKI aequalis erit jummae FI ex altitudim **T, quae peripht :ae E competit, et ex dfferentia alti- tudinum f h , peripheriis C et D refpondentium ; fiue : vti CeL lurinus e^reflit, altitudini peripheriae C totali FG, iemta differentja ahitudinum peripberiis Dtf E refpondentium* rigurti^ §, 30. Quodfi igitur altituslo cylindri aquei CB ma- Exper* 14. f$r eft altitudine KI, ille defcenfum continuat, donec ad debitam altitudinem confiftat; qua.e admodum variare pot- eft, pro varia differentia peripheriarum C, D et E, Po- fita enim peripheria C eadem, quando D~ E fuerit: erit fiimma altitudinum vtriusque portionis CD et EB, aequa- lis altitudini totali FH-I-HG, ^ =: F G , quia tum erit H I z~ H G. Qiiando autem peripheria D imminuitur , vt aequalis f]at peripheriae C; quod accidere poteft, quando tubulus capiljans AD non conicus fed cylindricus eft; tunc harum binarum peripheriarum virtus mutuo deftruitur ; v portio igitur CD et atmofphaera incumbens grauitate to- tali in fubiectam portionem EB agunt, cuius pondere ad- dito readio atmolphaerae in bafin B necefiario fuperatur* In hoc cafu igitur aqua EB non fuftentatur, fed defcendit, donec FI^rHI fiat, quod etiam euenit, quando portio CD plane aboletur. Haec omnia cum experimentis egregie con- ueniunt, quando pro iis captandis tubus fatis longus adhibetur, Yt nunc portio CD nunc EB augeri minuiue poffit. f 31* IN TVBOS CAPILLARE& ^ §.31. Ex genuina huius phaenomeni cxplicntioiitr Tabuia xa. (5. 29.) allata apparet, iJlud in vaew Jitccedere non pojje. Nulla enim tum erit atmofphaerae preiiio» in fupcrficiem Fi£UI* *7* C et E. Vis igitur peripheriae C fola tanta eft, vt non folum deftruere pollit vim peripheriae D rcagcntem , ied- ct iimul fuftentare portionem CD, ne defcendat, quem- admodum (§. 21.) di&um eft. Peripheria autem E tan- tae virtutis non eft , vt portionem aquae attrahere peftit ad altitudinem EEznKI; neque prcifio atmofphaerae ad- eft in balin B agens. Quapropter in vacuo , deficienteE#«\x$. bulla D E , portio C D in fitu iuo conleruabitur , portio auttm EB grauitate iua delcendet eousque, donec ad al- licudinem HI, peripheriae E conuenientem haereat. Au que ex his binis exemplis (§. 28. 29.) luculenter patet , preltionem oeris negligendam non effe, fed in explicationc horum effeduum phyfica omnino attentionem mereri. Videlicet in iis folis cafibus negligi poteft, in quibus non tam preflio , quam applicatio preflionis vtrinque aequaiis eft, vt femper aequaliter in fe inuicem agere, et ie mu- tuo deftruere poflit, qucd idem eft ac ii plaue non age- ret *, id quod fit, qnando ex. gr. aqua in tubo contmua cft ; tunc enim eadem oriuntur phaenomena , fiue expe- rimenta inftituantur in aere, fiue in vacuo (§. 27.). Quan- do autem poitiones diremptae funt : phaenomena longe alia manifeftantur in vacuo, quam in aere •, Et quidem, quando in vacuo etiam bulla aeris ipfa deficit, denuo alia accidunt in tubo cylindrico (§. 28.), alia in tubo inae- qualis diametri, vt paullo ante diximus. Quando amem £*/*•• ^- tubum fiue cylindricum , fiue inaequalis arrpimidinis , in quo portiones interpofita bulla diremptae funt, in vas re- Tom.lX. Pp cipiens 3oo DE ASCENSr AOVAE Cabula xn. cjpiens includis , et aerem circumquaque exhaurire fatagisi bulla ifta , quae prius eiusdem elateris cum aere extemo fuerat, extenditur, et portiones aqueas vtrinque accumben- Etytr.iy. tes fimul extra tubum expellit. Quando denique. tubum ,. fiue nequalis fiue inaequalis diametri, aqua intus- fiue con- tinua fiue per buliam diremta , ita ad vas recipiens ad- aptaueris, vt alterum extremum gracilius extra iliud pro- nriheat; atque aerem recipientis exhaurire adgrediaris: at- mofphaera exterior portionem DC adeo vrget , vt illam. mox detrudat et perrumpat, ipfaque per tubum viam pa~. tulam in recipiens fibi iternat. §.. 32. Reftant bina experimenta . Muffchenbroekiantf. Cap. IV. Exp. X. XI. quae huic negotio ohftare viden- tur. Quia vero per meam experientiam omnia alia edo- ctus fum; non duxi, neceiTarium effe^ vt illis enodandis» diutius immorarer. §. 33. Progredior ad fiphones y fiue ad tubos varia modo infiexos , qui piura phaenomena in admirationem rapientia produxerunt. Alia enim oriuntur, quando fipho- nem vacuum implere velis per attradtionem ; atia, qmndo illum quornodocunque repletum teneas in aere; alia deni- que, quanio aitero ofcuio tangas aquam in vafe0 In qui- bus omnibus explicandis variatio catuTarum , illarumque ap- plicatio quam maxime attendi debet, quae fnnt 1. vis aU tra&iua peripheriarum , quas aqua intra tubum attingit, 2. preffio. aimrfpbaerae ' , quae hisce cafibus plurimum (e immifcet, et 3. pondus aquae\ ex quibus varie combina- tis nunc quies nunc motus . producitur , quemadmodum fe- quentes regulae docebunt. RE- IN TFBOS CAPILL4RES. *ot REGVLA GENERALIS. T*buiaxir. §. 34,. Sit fipho plenus ABC , cuius crura dijfe- ***** 3> rant hngitudine ct > diametm quomodocunque \ quando diffe-*1^^*6* rentia crurum aequalis efl vel minor altitudine , ad quam aqua eleuari potefl virtute attra&iaa peripheriae , quae aquam inter mmendum dimittere deberet : nullus erit mo~ tus , fed aqua intus in-fiphone quieta haerebit. Quando differentia crurum maior efl ifla altitudine , aqua ejfiuet per >crus longius. In fiphone ampliore ACDB ordinario aqua Figuraa}, effliiit per crus longius, quaecunque fit crurum difFerentia; propter aequilibrium virium , cjueis quaeuis columna AC et BD defcendere et per ofcula A et B effluere nitiuar, a pondere exceflTus columnae E A fuperatum. Praeter pondera euim -colurrmaram iuncla cum preilione atmofphae- rae vtrique oriticio A et B incumbentis uulla alia vis hic locnm habet ; uihil igitur eft , quod afcendentem columnam DB impediat aut retardet. At vero in tubo capillari at- tractio peripheriae e. gr. b afcendentem columnam bY> ad defcenfum follicitat , qui nifus a pondere columnae EA fuperari debet. Quando igitur attraSSo peripheriae b tanta eft, vt columnam aqueam fuftinere poffit ad altitudinem EA: nullus erit motus ; aequiponderant enim vtrinque , prueter atmofphaeram , columna CEetDB, itemque colnmna E A et vis peripheriae ofculi B , vel b. Si columna E A minor effet altitudine requifita : fimiliter foret quies, et efHuxus adeo non feqneretur per ofculum A , vt potius prolongato tubo in B(3 columna cruris DB defcenfura eifet. Quando denique differentia crurum akitudinem iftam excedit , vt attra&io peripheriae B confumatnr fuftinenda columna e. gr. Ea: tunc portio reliqm ak fibi reli&a et a nulla re im- Pp 2 pedita SO» »E ASCENSP AQVAE *»bul*XH.pedita proprio pondere defcendit et effluit; cum vero fe- mel effluxus incepit, illc continuatur , quia difFerentia co- lumnarum CA et Db femper augetur. §.35. Ex hac regula generali (§. 34.) fequuntur leges pro cafibus Jp?cia!imhus. 1. Pro tffluxu, quando fiphonis repleti crus alterurrt aquae in Vafe admouetur. x. Quindo qfculum cruris breuhris aquam in vafe lanu bit , ha:c jbmper effluit per orificium cruris longioris\ qu3- modocunque differant crura longitudine vel diametro. Pgur» aS. Quando enim contactus fit : adlio peripheriae B rn columnam DB cerfat , quia fa&o motu femper noua aqua a preffione atmofphaerae fuggeritur. Nihil igitur eft , quod columnam EA fuo pondere defcendere nitentem fufflami- .net ; et res ad eum cafum rediit , ac fi fipho ex tubfs non capillaribus conftaret. Quapropter effluet aqua ex crure longiore; quaecunque crurum differentia fuerit. 2. Quando orificium crnris hngioris aquam lambit\ haee wm effluit verfus vas , nifi differentia crurwn maior fuerit mltitudhne , quae peripheriae cruris breuioris compeiit. Contaclus enim m hoc cafu nullam mutationem cau£ tarum affert ; et effcctus omnis dependet a rcciproco co- nacu columnae EA er attractionis -peripheriae cruris bre- tiioris, qiiarn aqua deferere deberet, durn per crus ! altcrurti in Vas effluxura eflet. Redundantc igitur eolumnarum dkTerentia, fequitur efflimis: praenalente autem artractions peripheriae, erit quies (§. 34.. Reg. Gen.). 3. Quan* IN TFBOS CAPILLAKES. 5oa 3. Quando aqua effluit\ effluxus [ftmpcr fit per orificium ?*bvUX& miris longhris\ quodcunque orificium fuperjickm aquae in vafe lambat. Nam effluxus dependet a praeualents difTaentia co- lumnarum aquearum. II. Pro replendis fiphonibus vacuis. t. Sit F.ipho, crurum diametro aeqiiaTium, et hngitudi- Figwa &u fiis cuiuscunque\ fit autem cus, cuius ofculum aquam lam- bit, bfeuius quam altitudo ad quam peripheria interna aquam /uccefftue eleuare poteft : in tali fiphone aqua per admotum crus afcendet, et pergendo in altero defcendet , dmec totus fubus fit impletus. Quandq crus alterum breuius eft crwe admoto, aqua quiefcet\ quando longius eft, effluet. Quando enim aqua per C ad D transiit: difFerentia columnarum aquearum A C minor eft altitudine quam pe- ripheria D (uftinere poteft, ex hypothefi. D fcendit igi- tur aqua verfib B, quia manente eadem peripheria d;ffe- rentia ifta continuo decrefcit ; et poftquam crus repletum eft, aqua vel efftuit ex B vel quicfcit (§. 34. et 35. L 1.2.), 2. Sint omnia , vt ante, fed crura diametro inaequalia: Figwa ja. In crws angufthre aqua quidem afcendet\ fed pnjlquam ad D perumit, quiefcet , fi dfferentia columnarum AC maior jusrit, qiutm a peripbsria crurh amplioris fuftineri pofjit. Quando autem aqua per crus amplius afcendit , crus alte- Figura $u tum anguftlus totum replelnhir s vcl quiefcente poftmodum aqua vel effluente, pro ratione longitudinis AG Pp 3 *n 304 DE ASCENSF JOVAE Tabuia xn. jn prjmo enim eafu , quando velis , Tt aqua porto ckfcendat , actio periphcriae D a columnae pondere AC fuperaretur, et fieret in defcenfu a(cenfus, quod eft abfur- .dum. In altero cafu peripheria C difFcrentiam ED (ub- itinere poteft ex hypothefi , ergo crus anguftius replctur, cjuia dirTerentia continuo minuitur. Cetera fe habent , VZ (I. 1.2. II. I.)- §. 35. Atque ex his regulis {§. 34. 35.) ojnnia phaenomena, quae in expcrimentis Clariflimorum virorum Hauksbeyi, luririi , du Fay , Mujjchenbroekii , et aliorum occurrunt, flicillime folui poflimt; id quod aliquibus exem- plis commonftrare non inutile erit. Exper.is. „§, 37. Ex. gr. Diflert. lurin. Exp. 1. 1. Slt Fj^ura 32. ^flph0 capillaris ABFC, conftans cruribus duobus longi- ,,tudine et diametro inaequalibus. Afcendat in longiore „et anguftiore AB, ad altitudinem AB* in crurc breuiore ,,autem et ampliore BC non nifi ad altitudinem FC. „Ex tali fiphone repleto aqua effluit per orificium A, „et relicto crure BC vacuo, in altero crure fufpenditur „ad altitudinem AB; fiue ofculum A aquam in va(e lam- „bat, iiue fupra illam extollatur: fi difTerentia crurum AG Exper.19. „maior fuerit altitudine FC. Si minor fuerit differentia, „in nentro cafu effluit. Ratio abunde patet ex §. 35. 1. reg. 2. et §. 34. Reg.Gen. §. 38. Eadem experimenta repetit Cel. Mujfchen- broek Cap. VI. Exp, I. II. cuius primi phaenomenon ta- men diuerfum putat a fuo experimento Cap. V. Exp. X. quod W TVBOS CAPILLARES. 30$ spod ita fe habet: „Sit fipho bicruralis ABGFC, cuimExper. 20. ?Tcrus FC fit 4. lin. GA, tf. lin. Imponatur crus lon-^bu^^ „gius AG aquae et breuius crus^ FC extra eam- promi- ^neat, afcendet aqua furfum r fuperat flexuram FG, defcetK „ditque vsque ad oram breuiorem C, ad quam haerebit,. „nulla effluente gutta. „, At veroy non mirandum eftv. effe phaenomena diuerfa , cum diuerfiim experimentum fit. Agitur enim in ifto capite V.. de fubis vMuis aeque latisy et tacite fupponitur , crus- GA,, etfi longius, breuius ta- men effer quam altitudo' requirit, ad quam aqua./w# fponte in illo eleuaretur- Cum igitur peripheria ofculi C aquam fufpendere potefl ad altitudinem cruris longioris GA:. pot- eft etiam eadem diameter iliai» fufpendere ad altitudinem BA , quie eft difFerentia crurnm. Accidit igitur ., quod regula nojira II. 1.. (§. 35.) requirit r nec experimentis- lurinianis contradicitur0. §*. 39. Cum binis experimentis ■ (f. 357.) congruunt £*?**• **• „tria luriniana fequentia. Exp. 4. Sit fipho ABFC in Flgur* 34# „quo aqua afcenfura eft ad altitudinem CF, fi ofculum C ,,aquam attingit. Ir^tali ftphone repleto- & ofculum C at- „tollatur fupra aquam DE, aqua fufpendetur in fiphone, „ nifi difforentia crurum B A maior fit altitudine F C „ . Ra- tio pxiUt ex: regula generali ( §. 34. ) w „Exp.. 11. Sit ABC fipho eiusmodi, in cuius crurejr^^ „breuiore et anguftiore A B fuftineri poffit columna aquea F'6u» 35. „altitudinis EF, fi quidem iftud crus ea longitudine fuerit; „at in crure longiore et ampliore BC aqua fufpendi ne- queat «c6 JDE ASCENSFAQFAB TibulftXiL^qUeat fUpra aliitudincm G H \ fi repletiis ifte fipho eo fit* „ tenetur, quem exhibet figura, non effluet aqna ex C aper- „«tura cruris longiorfe, nifi DC , differentia duorum crurum „AB, B C faperet altitudinem F E „ . Flane, vfi docet re- gula generahs (§. 34..). Exper. 23. „Exp. I2- Si crus anguftius BC longius fuerit crure AB Figu»3«. M(pofitTs altttudinibus EF et GH refpe&iuis iisdem ); effluet „aqua per ofculum C, fi diftercntia crurum DC maior ftt „altitudine GH: alitertota aqua fuftinebitur „ . Fundatur eadem regula generali (§. 34. )• Quae cum vera fmt , neceflario bina experimenta Muffehenbroekiana Cap. V. Exp. VIIL et Cap. VI. Exp. III. ' corruunt, in quibus afleritur: „aquam non effluere ex ofcu- -,lis crurum longiorum , quamuis dirTerentiae crurum ex- „cedant longitudinem attractioni cruris breuic:ris compe- ,,tentem„. Cuius contrarietatis cauffam exinde natam efle fufpicor , quod in repetitione experimenti luriniani vn- decimi loco vocis, nifi, particula quamuis, pofita fuerit: id quod feftinanti calamo facile accidere poteft. Vnde etiam praetenfa ejus expiicatio celfat. rigura34. §. ±0m Exp. lur. 5. „Siat omnia, vt ante (§. 39. ^r'24"„Exp. 4.) vbi ofculum C vel minimnm immcrgitur in „aquam: iilico aqua guttatim cadit ex orificio A , etiamfi j,AB multo minor fit aititudine F C ,, . Rationem Juppeditat regula I. 1. (5-350« Recnflime igitur erroris a lurim arguitur Hauhhejus , qui „aquam non effluxuram putat ,,ex ofculo A, nift altitudo BA luperet aititudinem CF. Confer , fi placet, duo experimenta Muffchewr.Qxp. V. Exp. VII. et Exp. IX. fibi contrariantia. §.41. iV TVBOS CATILLARES. 307 — $. 41* Exp. du Fay. I. In tubirecurui BAC crure pf^m tfapillari AaC afcendit aqua fupra libellam ad altitudinem 1£UI*3* Aa. Cum idem tubus in fitum fiphonis inuerteretur -; aqua effluxit ex cruris longioris ofculo C; piane, ¥ti le- SjrS ges fiphonis' communes expofcunt. **»■ * Defcendit enim cx # verfus C, noa folum, -quia co- lumnula A a pondere fuo deonfum nititur , ied etiam , quod attraftio peripheriae a fortior eft, quam attractio periphe- jiae B (§. 19. ax.)- Effiuxlt autem, quia fine dubio attratfio pheripheria B tanta non erat, vt columnam A#C fulpendere poffet ad altitudinem AC (■§. 34.)-. II. Tn fitu primo (fig. 37.) Columna ka flando de~ jw,2$ primebatur paulum infra libellam AB, vsque ad cb , vt columna aquae altior eflet in crure ampliore. Quo faclo, et fiphone denuo inuerfo (fig. 3$.) motus aquae iterum determinabatur verfos ofculum C cruris anguftioris, colum- nulam breuiorem continentis ; -et nihii efrluebat ex crure ampliore , nifi columnuk ka tantum deprimebatur infra libellam , quantum prius fteterat fupra libeUam , vt effet AttznAa=B$. Quando colomna aquea in crure capillari parum de- P&3M* prlmitur infra libellam, ad altitudinem Ac: ditlerentia co- lumnarum Bb rnkior crit altitudine A<7, ad quam peri- pheria c aquam fufpendere poteft. Omnes enim periphe- riae tubi capillaris ctAC aequales llint. Defcendit igitur aqua m crure AC , quia non folum peripheria c nifum pondufculi Bb impedit, fed etiam fortius agit quam peri- pheria B, huiusque attradtionem deftruit (§.35. II. §. 19.). At vero, quando ActirzAtf erit: virtus peripheriae a fu~ ipenfione columnae B(3 tota confumiturj quae confequen- Tom. IX. Q^cj ter 30$ DE ASCENSV AOVAE TfcbuiaXiR ter defcendit reftante virtute attra quae cauiiculi lateribus absque pe- diculis adnafcuntur, iu vmbeHae quodammodo fpecienr dispofitar EE ALSINANTSEMO TffALIf. $t* slispofita', quina, fena et plura etiam, perbreuibus pedi-- culis fuftentata , rrmgnitudine diuerfa, alia enim vncialem^ alia femuncialem ,. alia biuncialem habent longitudmem^ omnia verxr pallide virent et glabra ftmt atqoe parura fplendentiaT vtrinque anguftata, ab angufta lcilicet bafi paulatim latiora fa&a ad mediunv eorum vsque, vnde' iterum paulatim contractiora fiunt , donec definunt in api- cem. Medium horum percurrit nervus ex pedkulo con* tinuatus, albicans, auerfa praeeipue parte confpicuus, multos Jaterales ramos emittens, ex quibus infiniu alu- fiibtiliflimi quaquaverfum egrediunturv Ad exorttim foliorum horum vmbellatorum aut ftel- fotOrum, aliquando quoquc ex ala fupremi eorum, quae cauliculo adnafcuntur , pedicelii furriguntur modo ftngu- laresr modo bini vei terni, fescunciales et biunciales, tenuiflimi , glabri ,• viridantes albentesue aut mfH , quorurr* fummitates expanduntur in fex vei feptem aut o fundo calycis auellitur , furfumque eleuatur , deciditquo integre cum foramine in medio con- {p\cMoT hy quo embryo fitus erafo Ad tumentes hniufr- forainmis oras totidem oriuntur ftaminavquot funt fioris fegmenta, capiilaria prorfus et fubtiJiflima, albentia, li*- neam vnam cum dimidra longa , apicibus onufta croceisy OT DE JLSINANTHEMO THALIL qui genitali ■puluifculo fcatent. Delapfis floribus , vti cre- fcente embryone fiori diximus, embryo tandem nt fru- fiqs, ficcns, fubrotundus, vix ad gcani piperis magnitu- dinem accedens , ex viridi rurTus fl et pcr maturitatern apice dehiscens , in quo femina continentur paru i , feptem vel oeto , ab vna parte gibba vei conuexa , ab altera angulofa, dura admodum , nigricantia, placentae affixa. Vnumquodque praeterea femen membranula peculiari te- nuiftima., dilute cinerea, obductum eft. Tefta frucTus per maturitatem in varia frufta collapfa, femina ifta, mem- branulis his diiute ckiereis amida, diu adhuc fuper ca- lycem remanent., rubique caeiii {ru&um non male re- praefentant. Nafcitur in Ingriae et Carcliae Alnetis Betuletisque frequentiffime ad arborum radices inter mufcos , floretque primo vere ,, fructum vero fert Iunio Iulioque menfibus. Maloris et mimiis mentionem faci.unt qui.dam Au- ttores, quae tantum varictates funt a folo humidiori vei ficciori , folis radiis magis vel minus expofito , pendentes. Ex data iam defcriptione concludi poteft, ad quodnam •genus plantarum pertincat, vel an nouum inde conlHtui poftit. Fios monopetalus, multifidns, rotatus; fruclus vnicapfularis , apice dehiscens, pluribus feminibus fietus placentae affixis , chara&eres funt , nifallor, Lyftmaehiae ^ hos igitur cum noftra plantula eosdem omnes habeat, ad idem genus neceftario referri debet. Poteft ergo no-* minari; Ljfimaihia humilis , flellatis foliis , flore albo. Huhis DE ALSINANTHEMO THAHT, $1% Huiiis porro fynonyma funt, Herba Trientalis Cord. OhJ Sylv. Joh. Bauh. Rivin, Flor. Jenenf. Herba pufilla trientalis cauliculo fingulari Hort.LuJat. yA\<7ivyyfc\y.o$ et ,Asregiay0ep.o$- Thal Pyrola Alfines flore Europaea C. Bauhin. Pin. ipr. et Prodr. vbi fatis bona figura. Mor. Hiji. Ox. Rah Hft. et Meth. emend. Pyrolae affinis Alfinanthemos nojlras alpina Pluk. Altn. Pyrola longo folio , flore albo fivgulari , Polonica BarteU Ic. 1156. f. 2. Tabula XIII. F/g. 1. Plantam integram naturali magnitudine demonltraiv F/£. 2 . FJoris auerfam partem cum calyce. F/£. 3. Fru&um maturum, antequam dehifcif. F/g. 4. Semina plaeentae affixa poft collapfam teftam* F/g. 5 . Semen. DB &i+ m dETFLA WMILA DE BETVLA PVMILA, FOLIO SVBROTVNDO. AVCTQRE J. Amman. A TAuUXJY. J\ Rboris, cui omnes fere rei herbariae fcriptores Betulae nomen tribuerunt , dnae hactenus fpecies aut potius varietates, a natura foli pendentes, Botanicis innotuerunt; quarum altera arborefcit, trunco fatis craffo et redto, ramisque et virgis minus depen- dentibus ; altera autem frurefcit magis , nullo fpedabili trunco affurgens, ramis et virgis deorfum pendentibus. Priori feu arborefcenti nihil frequentius in Ingria et Ca- relia, in quibus regionibus in magnam excrefcit altitu- dinem; poflerior feu frutefcens Betula rarius occurrit. Verum praeter duas hasce varietates alia ipecies reperi- lur plane diuerfa, in paluftribus locis di&arum regionum proueniens, a nemine adhuc defcripta, quam Betulam pumilam folio Jubrofundo mncupaui : Eft autem noua haec fpecies humilis admodum , vix humanam altitudinem af- fequens, virgis in plurimos et eredos ramulos brachia- £is, cortice fpadiceo, fplendenti, in tenuilfimas philyras duftili, veiiitis, Ramulis hinc inde nullo ordine adnafcuntur foliola (ubrotunda , breuiffimis, vix lineam longis , pediculis infi- dentia, profunde dentata, vifcofa, fuperne laete viridia, inferne paUide vireicemia , vnciam plus minus lata , tan- tundem FOLIO SVBRQTVNDO. £f| timdem longa fiue parum vtplurhnum breuiora^ fingu- taria., non raro tamen bina, terna aut quaterna, cx vno pun&o excrefcentia: medium €orum neruus percurrit io plurimos lateraies ramos ramulosque diuifus, auerfa prae- cipue parte confpicuos. Ex eodera cum foliolis exortu egrediuntur corpm- fcula cylindracea, ex viridi fiauefcentia , vnciae trientem circiter longa, lineam cum diinidia lata, ex fquamulis trifidis, profunde fedis et axi affixis, compofita, fub quibus continentur futurorum feminum embryones , qui, B ab julorum puluere foecundante impraegnati fuerint, abeunt in femina minutifiirna , membranula peculiari, pallide virefcenti^ et ad latera extanti, inclufa. Tabiila XIV. P&. i. Ramum naturali parumper minori magnitndine demonftrafc vg. 2. Folii infernam partem naturali magnitudioe exbibet, Fig. 3. Eiusdem partem fupernam. Fig. 4. Fructum integrum. Fig. 5. Squamulam trifidam. , Fig. 6". Semen membranula ad latera extanti iaclulun», frg. 7. Semen nudum. Ixvta» Rationem, quod defcriptio et icon Betulae pumilae in Commentarios noftros relatae fint , Auctor deflriptionis in Tcon, «f deJcripttJHrp^ rara in Tmperio Rutheno Jponte proitenientium p. 180. ita expli, cauit, vt pluva addcre fuperuacaneum effet. Non impar ratio efl fcripti de Trientali j quod ante edita Qroli Linnaei genera in eonuentu Aca.lcmico praeleclum Commentariisque infertom fuit<> Dumque iam fcripta haec Ammaniana prelo committuntur, neu- trum Autorum cfrendi perfuafifnmi fumus: Opera enim vnitis vi» ribus in incrementum fcientiarum a viris do&iina inclytis collocata Vtrique Autori laudcm affert; et forte in Ammanianos mancs rU gidi nimis cenferemur, fi vltima fere cius Iaborum monumenta &• lentio prcraeiemus. Tom. IX Rr QB* , OBS ^RVJTIOWM METEOROLOGICAWM \ A& ANNO 1726 VSjQVE- IN FINFM ANSil 1^73^ FACTARVM, COMPARAT.O. mAELECTlO FRIMA. avctckf; Gcorgio Woljg» Krafu §. 1. 1£ruati'ones: meteorologicae r c quibus (equen(fei vicdi.cfl.oncs elicui r inceptae futn a Clai ..■ in o! quondairv F. C. Maiero r die 27 Fcbr. (V. v„. 1725. qui. Vii%, meritis- praecipue Aftrouomici* fp cla- bilisr ctrm! 24, Nouembr, ifyfp pie defunctib efletS continuacio harum obferuatiotium mihi: demandata f.ft^ quairr etiam omni qurt potue diligentia et cura hucusque? peregj. Cum'- vert> vnice eutt* in fihetw obferuationes- ibftirunniur,» vr ex iis ralia? deriuentur conlecltarui , qua^ a$ incrementum (cientiae* et theoriae ficiunt:- putaui nu-- rneram' harum obferuationum per ror annos inmturarurrf abiinde iam iam fufficere r vr aliquid faitem iucis tem- pcffcitum« varfabilium,, atque aliorurrr pfraenotnenorurre hnc pertinen?ium t theoria e& iis^ LucraiT poffir Ex or> feiHwtionum fola acctumiiatione non emenJantur fcientiae-' Bhyficae,. fe$ difrunduntur: etr mea qualicunoue feffteffr tiu T aliquid verr v quam primum id fieri potefT r a. Bjff„ 5729 Ianuar.. — 29. 84 — 28. 55 — lm 29 Februar.. — 3°- 2& ~~. 29* J4 — 1. 12 Martius — 29- 80 — 28. 68 — 1. i2 April. — 29. 93 — 28. 80 — 1. 13 Maius — 29. 80 — 28. 89 — o. 91 Innius — 29. 80 — 29. 05 - Q. «75, Iuilus — 29. 64 — 29. 09 — o. 55; Auguft. — 29. 89 — 29. 14. — o. 75. Sept. — 30. 14 — 29. 22 — o. 92 Odob. — 29. 93 — 28. 1.8 — 1. 75 Nou. — 30. 30 — 28. 89 — 1. 41 _ Dec. — 30. 11 ■ — 29. 10 — 1. 01 1730 lanuar. — 30. 1 6 — 28. $0 — 1. 2<5T Februar. — 30. 32 — 29. 17 — 1. 15 Martius — 30. 29 — 29. 03 — u 26 ApriL — 29. 84 — 29. 14 — o. 70 Maius — 29. 89 — 29. 07 — o. 82 Iunius — 29. 58 — 29. 28 — o. 30 Iulius — 29. 74 — 28. 89 — o. 85 Auguft. — 29. 77 — 28. 86 — o. 91 Sept. — 30. 07 — 28. 89 — r. 18 O&ob. — 30. 04 — 28. 84 — 1. 20 Mou. — 30. 20 — 28. 44 — r. 76 Dec. - 30. 37 - 28. 83- — r. 54 Kx 3 1731 3*0 OBSERVJTI0NES METEOROLO0ICA& Max. Min. Diff. J73X Ianuar. — 30- °7 — 28. 37 — r. 70 Februar. - 29. 94 - 58. 87 - 1. 07 Martius — 29. 95 — 28. 44 — 1. $1 Aprilis — 29. 74 — "8- 9° — °- H Maius — ^9- 74 — -8- 94 — &■ 8o Iunius — 29. 65 — 28. 93 — o. 73 Iulius — 29. 53 — 28. 93 — o. 60 Auguft. — 29. 83 — 29. 11 — o. 72 Sepc. — 29. #2 — 28. 54 — 1. 28 O&ob. — 30. .24—28 72 — 1. 52 Nou. — 29. 89 — 28. 51 — 1. 38 Dec. p- 30. 24 — 28. 23 — 2. 01 3732 tanuar. *- 30, 14 — 28. 94 — 1. 20 Februar. — 29. 75 — 28. 52 — 1. 23 Martius — 29. $6 — 28. 52 — 1. 0+ April. — 30. 14 — 28. 76 — 1. 38 Maius — 29. C7 — 29. 05? — o. 6z Iunius — 29. 66 — 29. 12 — 0. 54 Iulius — 29. 71 — 29. 10 — o. 6t Aug, — 29. 75 — 29. 06 — o. 69 Sepr. — 29. 76* — 28. 34 — 1. 42 Octob. — 29. 6$ — 29. 14 — 0. $t Nou. — 29. 82 — 28. 54 — u 28 Dec. — 1733 m$ OBSEWJTIONES METEOR0L001CJ& 4** Max\ Min: Jb'ifa Ianuar. — Februar. -* Martius — April.- -f JVlaius — Iunius? IuLus ^uguft Sept". OcT>b. Nou. IJtxcmb. -= 5> *» ? >S? »1 >» »Y 1»' 1» >» 7" 5 )f 30. 29 — 29. 06 — 1. aj — 29; S>7 — 29. II -r o. 85 — *& 93 — * — o. 91 *7*3£ fanuaiv — Februar. — Martius — ■ ApriL — - Maius — lunius — Iulius — Auguit — SeptV — ©<&>•>. - Kou,- ^p Sfccv - »9 IV -» 29. 80 — 29. 20 — O. 60 — 30. 10 — 28. 92 — i. is — 29. 80 — 28. C72 — i. 18 30.- 44 -= 28. 82 — i. 6% 30. 1$ — - 28, 74 - I.- 30 30V if — s8\ 7Y — - 1. 3* 29. 98 -7 28. 56* — 1. 42; 30. o£ — 28. 80 — 1. %$ 30. 21 — 29. 10 *■ 1. 11 30^ 07 — 29. 00 — 1. 07 30. 05 — - 29. 30 — o. 75 2' 9; 81 — 29V 40 — - o. 41 29. 98 — 29; 03; — o. 95 30. 18 — 291. 09 — 1. ©9' 30.- 28- — 29. 03" — 1. 25' tfo, 55 - 29. 18 -- 1. 37 $ov 05- — 29. 10 — o. 9$ mt $&& dBSERVJTimiZS METEOROLOGICJE. Max. Min. Diff. 5735 Ianuar. — 30. 13 — 28. 80 — 1. 33 Febr. — 29. 84. — 28. 92 — o. 92 Martius — 29. 89 — 29. 10 — o. 79 April. — 30. 29 — 29. 20 — 1. 09 Maios — 30. 06 — 29. 00 — 1. Q$ Innius — 29. 79 — 29. 18 — o. 61 lllliUS „ „ „ ,, y ,J Angttft. - „ ,, v— ' i, „ — , ,, Scpt. — 30. 50 — 29. 20 — 1. 30 Octob. — 3°- 44- — *8. 40 — 2. 04. Nou. — 3°- 20 — 29. 12 — 1. 08 Dec. — ' 3°- 9i ~ 28- 48 — *• 57 1736 Luiiuir. — 30. -° - 2P. 43 — °- 77 Februar. — 29- 98 — ~8- 98 — x- 00 Martius — 30. 08 — 29. 15 — o. 93 April. - 30. 40 - 28. 95 - 1. 45 Maius — 29. 96 — 29. 15 — o. 81 Iunius — 29. 9S — 29. 13 — o. 85 Iulius — 29. 90 — 29. 50 — o. 40 Auguft. — 30. 00 — 29. 49 — o. 5 r Sept. — 30. 02 — 28. 70 — 1. 32 Odtob. — $61 13 ~ *$• 98 — 1, 15 Nou. — 30. 23 — 28. 6$ — 1. 58 J3ec. — 29. 9$ — 28. 41 — i. 54 §. 3. OBSERVJTIONES METEOROLOGICAE. 3*3 $. 3. Apparet ex his altitudinibus Bnrometri, ea- rum maximam in his vndecim annis fuiffe 30. Minimam vero 26. polL 2^ lin* dicti pedis, anno 1727 Iunii 12^ noui ftylt , quarum difle- rentia eft 1 polL 9^ lin. vel in noftra menfura ir, 89 polL AngL quod hypotheft noftrae quidem non fauet^ fed tempus nimis breue in caufa efle iudico, quod ve- tuit vt omnium maxima et minlma altitudo obferuari potuerint* Ex maxima porro et minima altitudine Pe- tropolitana Barometri efKcitur ibidem eius altltudo me- dia 29. 43 polHcum LondinenGum* Quantum vero aeftimare licet , Obferuationes Barometrkae r hie Ioci fadae* ©bferaatae funt omnes in eleuatione elrciter 30 pedum Londinens, fupra maris Balthici fuperficierm §. 4» OBSERVATIONES METEQROLOCiCAE. 3*5 §. 4. Alterum, quod ex his Obferuntionibus Baro- metricis deducere licet, confiftit in variationibus Baro- metri menftruis , hoc eft >, in illis , quae in fingulis menfibus accidunt. In his itaque ftatim in oculos in- currit, eas in primis et vltimis anni menfibus fere con- ftanter erfe maiores, in mediis vero anni menfibus con- ftanter minores. Eandem hanc Barometri legem obti- nere quoque obferuaui in altitudinibus Barometricis VI- traiecfti in Batauia a ClariiTimo Muffchenbroekio pro anno 1728 annotatis ,, et peculiari tabula expreftis , quae Dilfertationibus perfpicaciflimi huius Viri Phyficis et Ge- ometricis annexa en\ Idem confirmatur quoque egregie ex Obferuationibus ClariiTimi 4e la Croyere fupra cita- tis. Atque haec quidem lex adeo conftans eft , vt in obferuationibus noftris vndecim annorum non nifi aliquot exceptiones dentur. Cum autem ex obferuationibus in Infula Iamaica inftitutis appareat , variationem totalem Barometri ibi tam paruam eife , vt tantum £, pollicis exaequet: haud leuis coniectura formari poteft, calorem aeris in caufa efte, quod per breuius fpatium mercurius in Barometro euagetur ; atque hinc in anguftiores carceres redigi eius excurfiones in menfibus anni mediis , hoc eft , aeftiuis et calidis. Quod vt eo magis confirmem , exami- nabo lllos menfes, in quibus lex allegata non plane lo- cum habuit. Prima itaque exceptio ab hac regula fa° — 577 September - 57* - 425 — 500 Octubcr - 55* - 4-2+ — 490 Nouember — 502 — 278 — 39<> December - 4i& - 259 — 353 xiret, menfis Oct)bris calorem med ium fere eundem fuifTe cum calore menfis praecedentib \ fed et in menfe Octobri idem Thermometrum vtplurimuru monftrauit gradum altiorem quam 500; quare iudicatt- dum puto , calorem huius menfis infolitum in caufa fu- iffe, quo minus confuetas fuas excurfiones Baromctium peragcret. ^ecunda exceptio a regula focta eft Anno 1734 menfe Decembri , qui variationem menftruam Barometri praebuit o. 95 tantum. Obleruaui autem eo anno in Thermometro mcrcuriali , quod , in loco a ventis et fole libero , calore fummo aeftiuo monftra- bat^oo, fadfci congelatione autem 688 > fuifie fequen- tes menfium calores. Max* cal Min. cahr. rned. 1734, Iulius - 895 - 824 - 859 Aug. — 880 — 755 — 81S Sept. — 788 — 660 — 724 Odtob. — 720 — 50* — 613 Nou. — 626 — 450 — 53$ Dec. — ^4& — 450 — 546" i73i OBSERVATIONES METEOROLOGICAE 3*7 1735 Ianuar. - 62$ - 44.5 _ 535 ex quibus iterum patet, menfem Decembrem huius anni calore fuo maiori , quam effe debebat, variationes Barometri coercuiffe , quod etiam eo magis ex hoc ap- paret, quod Thermometri minimus gradus caloris, negle- dii tantum diebus \ltimis duobus huius menfis , fuerit 501, ex quo fit medius 571, qui indicat , calorem huius menfis folito longe fuiffe maiorem, Tertia ex- ceptio fatfta eft anno 1735 menfibus Februario et Martio. Vt igitur hic oftendam , calorem horum menfium ia culpa fuiffe: comparabo eos cum iisdem menfibus anni praecedentis 1734- Era* autem anno 1734. calor me- dius Februarii 511, Martii 615; idem caior erat 1735 in Februaiio 542 , in Martio 649; vnde fatis conftar, menfes Febtuarium et Martium anni 1735 iufto cali- diores fuiife. Quarta denique exceptio facta eft anno 1736 nunfibib lanuario et Martio , qui denua cali- diore* erant quam par fuit, id quod infoiitae degelatio- nes eo tempote fatis fuperque docuerunt. §. 5. Cum Aurorae Boreales in hac noftra regione frequentiflime occurrere foleant, atque eae etiam , pau- ciftimis forfan exceptis, folerter in noftris Obferuationi- bus annotatae fint: apponam hic earum catalogum ge- neralem, cum praecipuis circumftantiis, quae in vnaqua- que earum fuerunt animaduerfae. Si vero in aliqua nihil praecipui potuit annotari, eius tantummodo diem, quo accidit, indicabo. Ss 3 172$ 3*8 OBSERVJTIONES METEOROLOGICAE, 1726 Martii 16 ft. v. in perfecta ferenitate aliquot dierum obferuata fuit vefperi Lux Bo- xea, flante Zephyro -, quam poftera die nix leuis fecuta eft. Otftob. 8 tempore nubilofo aliquot dierum vifa *ft Lux Borea, quam poftero die ite- tum nix fecuta fuit. Apparuit haec in Galiia, Anglia, et mukis aliis regioni- bus, plurimisque defcriptionibus cele- brata eft ; ita vt ClarilTimus de Mairan hanc prae aliis elegerit, cui Tractatum Phyficum et Hiftoricum de Aurora Boreali 1733 editum , fuperftru- eret , vti videre licet pag. 195 1. c. Dolendnm ergo eft, quod haec Lux Borea tam celebris hic loci ob nubes non potuerit re&e obferuari. 3*7^7 Februarii 7 9 10 11 Martii -2 vifam in Gallia Auroram annornt Ciariff. de fifairan-, hic vero nulla vifa fuit ; (ed eo die , procellofo, ap- paruerunt Parhelii. 13 Septembris 7 obferuata etiam a ClariiT. de la Crojere, in vrbe Cola. 11 oaou OBSERFJTIONES METEOROLOGICAE. 32^ 1*7*7 Oftobris 3; 4 quae praeter magnitudinem nihil praecipui oftendit. Obferuata etiam Colaer a Dn. de Ja Croyere. Decembris 9* quam radiisdeftitutamobferuauimus. 17 2»S Ianuarii 18 quo tempore turbulenta nix cadebat. Februarii s quae radiis deftituta fuit r marginem obfcurum,, fed reliquum fpatium transparens r habuit. % in qua duplex arcus- vifus fuit, fed vterque fine virgis afcendentibus* Obferuata haec etiam fuit a Clariff. Mujjchenbroekio Vltraiedi Batauorum, et annotata in Ephemeridibus Me- teorologicis eius pro hoc anno* 20 21 22 26" In qua altitudo arcus fuir 2^, am- plitudo crurum itfo0.. 27 2& quae vix fenfibilis fuit^ quamui& coe* lum ferenum efifeu Martii i<£ 22 CuTus radir copiofl vsque m verticem afccnderunt ;, quae rurfus a Clariflimo MuJJchenbroekia annotata? quoque eft 0 vtaliae adhuc quaedanu 23 Aprilis 20 Augu- S30 OBSERVJTIONES METEOROLGCICJK, 1728 «729 Augufti 14 Septembr, .15 17 2.6 27 30 O&obris *4 16 19 22 27 Nouembi '.22 Aprilis 21 Augufti 18 1730 30 Quam ego obferuaui hora 7p.m. lucente adhuc fole, verfus plagarn NOO. colore rubro et coeruleo, Iridis inftar ludentem ; quae \ero non arcus, fed trabis longioris et ramofae , figura apparuit , parun.que durauit, ingruente mox pluuia larga. Septembr. 10 11 5 De qua ClariiT. de Mairan dicit, quod fuerit remarquable par un grand cercle vertical, qui f accom- pagnoit. pag. 197. L c. 5 4. Memorata quoque a Clarifllmo de Mairan, cui apparuit avec une bande Nouembr. lanuarii Februarii CBSE-RFJTIONES METEOKOLOCICJE 331 : bande rouge zodiacale. Fuit hacc Anrora omnium , quae hic loci ob- {eruatae funt, maxima, in qua fcre totum coelum ardere videbatur. Coe- pit circa horam noclurnam 9, in fumma ferenitate; stque in ea pri- mum virgae candentes ab Oriente 9 Occidente, et Septentrione, afcende- bant verfus punctum verticale, \ltra quod faepiflime porrigebantur. Ciics hoc punctiim vert* le nucleum quen- dam formabant iucidum , ita vt coe- lum fornicis luminoti fpeciem prae le ferret. Verfus Septentrionem arcus erat, euhis crura horizonti fere in- fifteba nt, fummitas autem parum a pundo verticali aberat. Intra hunc arcum plurieiae confpicicbantur virgae intermediae , vaga et inconftanti luce »ludcntes, hinc et inde rrctae, quamuis aer tranquillus erlet, fine omni fen* fibili vento. Eisinlocfs, Tbi virgae ub Oriente et Occidcnte afcer.dtrstts defmebant , inceperunt forn ari duo crunt noui arcus verfus meridiem pofi- ti, qui breui completus fuit, et tuins aUitudo erat quafi 7*. Huius pars jnterior nigra videbatur, inftar ne- bulae, per quam tamen IVIars, eo tempore oriens, prope ipicamVirginis Tom. IX. Tt clare X 43a OBSERyATLONES; METEOROLOGICAE- ekre afpiciebatur. Haec obfcurita& cingebatur arca lucido, primum planc quieto , et fine virgis lucente ; donec tandem circa mediam noclem etiam exinde virgae afcenderent, et trabes e Septentrione afcendentes> punctum verticala transeuntes> cum virgis et areu meridionali coniungerentur. Cum- pars meridionalis huius Aurorae ma- xime flagrare inciperet , minuebantur virgae Septentnonales ; et illa ali- quando etiam ipfa in plures quafi nubeculas fubobfcuras refoluebatur r mox tamen ad priftinam arcus figu- ram redibat. Colores etiam , prae- cipue in virgis a Septentrione afcen- detitibus, obferuati fiint rubrh Mo- fcuae quoque haec lux vifa efl ab hora p nociurna vsque ad 3 matutinam, in omnes plagasr aeqnaliter extenfa, cum virgis rubris r et nucleo in ver- tice formato; ventus- ibi tum erat Jvl W lenis, et fumma ferenitas>. 17 jo Februani 23 Lux Borea per torum coelum virgis vagis,, rubro colbre tindtis, ludens, et nubibus permixta; annotata etiam 3 Ckr. de Mairan, atf Lux Borea tenuis , et nubibus te&a. *? 1730 QBSERVJTIONES METEOROLOGICAE. m 2730 Martii 2 4 5 Lux Borca tenuis, quicta, pallida^ cuius arcus tenebat altirudinem s>°, amplitudo crurum $o\ 7 Lux Borea intra nubes vifa. S7 Perfeda ferenitas, cum arcu lucido Aurorae Borealis quietae, radiis de- ftitutae ; fummitas arcus erat i2a.28', non exacle verfus Boream pofita , fed deflexa ad Occidentem. Arcus ex- tremitates non accurate notabantur, fed fenfim In obfcura definebant. sp Lux Boreahumilis, et tenuis. Aprilis 3 Hoc die terra niue liberabatur, et euidenter fumos quafi cmittere con- fpiciebatur; hinc nebula denfa manc orta; vefperi hora 11 Lux Borea oriebatur, maximaui partem primo nubibus tecfla, mox vero omnino ne- bulis inuoluta» 4 Lux Borea, humilis et quieta. S ii Lux Borea humilis, ct tranquilla, lucente Luna , et in N W occidente. Maii 1 8 Circa mediam noctem Lux Borea ap- paruit, vix vifibilis ob crepufculum. Verfus Orientem nihil eius confpi- ciebatur, verfusOccidentem vero pars, ex <}ua afcendebant virgae pallidae ec breues; altitudo arcus interrupti,quan- Tt % jum 334 OBSERFATIONES METEOROLOGICAE. tum quidem ex parte confpicua col- ligi potuit, erat circitei 45°; coelum perfe&e ferennm erat, exceptis .aliquofc nubibus in Qccidente, flante fortiter Borea. Eodem hoc die Berolini gra- uiflima ternpeilas exorta eft , hora $ p. m. in qua tribus fulminis ictibus turris templi S . Petri incenfa fiiit , et tnagnum incendium in vrbe exortum. «^SO Augufti 8 12. Lux Borea humilis, fed virgis albisf. iriam la&eam imitantibus, confpicua, cum arcu diftindto, cuius vertex a Se- ptentrione pauiio ^ejrfus Occidentcia ieelisabat* S3 %6 Lux Borea tnmquilla, e qua paucae virgae afcendebant, Arcus diftincll altitudo erat p° 12', amplitudo S^°o Septesr.br, 2 Lux Borea inter nubes* 6 Lux Borea humilis , arcu diftmdo , cuius radii erant mtra arcum, a^Lux Borea humilis et quitta , poff pluuiam tenuem. 28 Lux Borea hamilis et quieta , vifa quoque Francofurti ad Moenum. Oc1:obi% 6 LuxBorea humiiis, et breues virgas, feu potius giobos, emittens. *730 QBSERE4TI0NES METEOROLQCICAE. zzS X730 O&obr. 9 Lux Borea lucente Luna. n Lux Borea debilis , lucente Luna, quae Halone cingebatur. 12 Lux Borca Iridib inftar coloribus di- iiinfta , radii Breues et fine coloribubj arcib horizonti nulla parte infiftit. 22 Nulla Lux Borea hic loci vifa eff, fbrian ob nubes et pluuias- ariquot dieru m j fed, vti ex Nouellis pubJicis huius anni conftat,. Coloniae Jlllobro- gum apparnit arcus. Aurorae Borealis,. cuius altitudo erat 120, amplituca 75°. Memorabilis autem eft haec Aurora, quoniam, teftante Ma\ranor magna etcompleta . apparuit in Ama- rica. pag. 197. 1. c, 25 Lux Borea, mane hora 4,. confj icuar in qua ex arcu fatis confufo virgae afcenderunt, et quae breui poft in nigras nubes coavfta eft. Hanc hora 10 velpertina fecuta eft alia Lux Borea, primum per rimas nubiuin eandore fuo confpicua, et fubalbicantibus vir- gis; quncpoftea., cum coclum nubi*. bus paulum liberaretur , per totam noctem in verticc lufit accenfis ct extincTis virgis , quae ad modum fuU gurum vibrabant quandoque. 27 Lux Borea inttx nubca \ er rimaa con- ipicua. 3° 3730 33$ OBSERMTIONES METEOROLQGICAK. 1730 Decembr.3 Lux Borea, quam vidi hora 4 tra- tutina quietam et humilem. .22 Lux Borealis quieta , cum infigni nebula. 3° 1732 Febr. 18 Lux Borea humilis et fplendens ad modum incendii no&urni. 19 Lux Borea eleuatior quam liefterna > fed quieta. 24 Lux Borea per nebulas confpicua. stf Lux Borea humilis, parua , et tran- quilla. Martii 3 Lux Eorea deuata, candida , lucente Luna. 23 Lux Borea humilis , paucas eiiciens trabes. Augufti 1 8 Lux Borea grandis , quieta , et arcu lucidiffimo praedita, mane circa ho- rarn 3. Septemb. 15 2t 2.2 Lux Borea hora S veipertina verti- scalis, inter nubes. *3 26 Lux Borea verticalis et Auftralis. 27 Lux Borea verticalis. O&obris 22 Decemb. 9 Lux Borea quieta, in perfedta (ere- nitate , quam fubito nubes continuae iequuntur, altero die ierenitas redit. 1731 OBSERFJTIONES METEOROLOGICAE. 337 *73» DeccmbiioLux Borea humilis et quieta. 24. Lux Borea circa mediam noclrem ,, quam fequenti die frigus maximum,, cum perfecta^ ferenitate? excipit. 173* Ianuarii *9 1? Febr. & & Martii 10 Lux Borea inter nubes. Augufti itfVeftigia Lucis Borealis in nubecuk aloicante tenui, et fubinde euanefcente. Septemb* 7 Lux Borea circa mediam no&em, furente^ Auftro.. JO Lux Bbrea circa mediam nodtem. Pa- rifiis quoque vifa. v. Comment. Acad. Scient. Farif. 1733- Oftobris flp Serenitas per integram diem, vefpe- ri vero nubes continuae poft medio- crem Auroram Borealem , Parifiis quoque vifam^ vid. I. c. quam prui- nae3 nebulae, et copiofae pluuiae ah> quot dierum^ fequuntur*. Nouemb. 3; 8 Lux Borea ihter nubes continuas, nus- quam disruptas,. confpicua inftar ful- gurum faepe redeuntium Yerfus Ortuir* et Septentrionem. 1733- Martfr mLux Borea parua.- SsS OBSERVATIONES METEOROLOGICAE *73 3 Septemb. 25 hora 9 p. m. Aurora Borealk cum arvui lridis a Captfe Tauri per Pkiadcs et mediam Androrncdam trauuen*. Octobrs 3 1 accrdcente fluuio Nouemb. 1 Parifiis quoque vifa. L c, Decemb. 20 1734.. Februarii 1 2 Livx Borea, quam die fcquenti cnj ^ tinuae nebulae txceperunt. 25 Lux Borea lvimilis in psifl&a fere- nitate mukorum dieium, 27 Martii 6 11 Septemb. 13 Aurora Borea debiHs. 19 Circa horam 9 p. m» Lux Borea per uubes vila, 21 23 Lux Borea in perfe&a (erenitate ali- quot dierum. Octobr. 3 Lux Borea, quam pruina et congela- tio fequuntur. 4 19 Lux Borea circa horam 11 p. m. fequenti mane hora 2 matutina vidi Lumen Cajfiuanitm cxteulum vsque ad fignum Cancri, iii perfecta iere- nitate 20 173$ Iatiuarii 24. Lux Borea , quam fequenti dfe TV.r* helii coionbus rubro tt cocruleo di- iUutfi OBSERVATIONES METEOROLOCICAE 339 ftincli excipiebant, circa horam 3 p. m, 1735 Febr. 21 Lux Borea , quam fortis congelatio fequitur. Septemb. 1 2 Lnx Borea quieta, in perfecta fere» nitate. 30 Lux iforea, cum congelatione. N^uemb. 3 Lux Borea , quam nix copiofo fequiturV Decemb. 7 Lux Borea , quae perfe&am ' ferenita- tem in nebulam denfiflimam et nubes continuas mutat. P 27 1735 Febr. 5 LuxBorea, poft Parhelios co die vi* fos, inperfe&a ferenitate aliquot dierunu € Martii 2$ Augufti 2 25 Sept. 1 5 ISIouemb 6 20 Lux Borea, in quo loco virgarum Iu- cidarum erant vtrinque circa Septen- trionem aequaliter diftantes trabes obfcurae , inftar nubium oblongarum. Intra annos 1727, 1728 , et 1729. multae Aurorae Boreiles, et plures quam in iisdem annis hic annotatae funt , obferuatue fuerunt diligentimme a Clarilf. ds la Cro- jsrs , qui infignem curam huic phaenomeno coelefti im- pen iit. H.uum itaque comparatio exacta cum noftns hic Tom. IX V v memo- 340 0BSEKMTI0NES METEOROWGICXE memoratis multum lucis inferre poterit dubiis adhuc the*- oriis circa hanc materiam , ft aliquando inftituatur. Ex meis Obferuationibus colligitur , intra lios vndecim annos ad minimurrf fpecliatas fuiffe 141 Auroras Boreales; fre- quentiores eas^ effe folere circa tempora vtriusqUe Aequi- noctii; permultaque adeffe indiciav quae earum materiant non longius quam ab Atmofphaera- noftra getendam efle> jffgyanu £ 6. Ex hypothefi ClarifTimi qnondam Maieri nd-- ftri, quam in Tomis horum Commentariorum I. et IV.- explicatam dedit ,. deducere poffumus materiae lucidatf Aurorarum Borealium a terra diftantiam ex aliquot ex- emplis* noftrarum dbferuationum '.- Eft enim per pag.- 130 Tomi IV,- diftantia' huius materiae ab oculo fpedatoris' y^- §f=rf*fi* in qua formula eft a z=z femidiametro terrae> wzziinui altitudinis arcusfupra horizontem;gzz:cofinuidimi- diaeamplitudinisj^zzcofinui Latitudinis Loci in qiio fpectator eft? ^zzfmui (Qo°-f-Latitud'. Loci— alt. arcus) et denique' 1 eft finus totus. Vt vero calculus allegatae formulae ope Logarithmorurrv abfolui- queat ~r diuidantur eius^ numerator* ef ndminafbr' per b , quo facto abibit ea in %am —~g^ cft avjterrr haec adiun&a fractio nihil aliud quarrf qtiadhu- tum1 tangentis^ anguli CuiusdattV, cuius- finus: efV ^ r quare quaefito hoc angulb ,* ope Logarithmorum y. vocetur eius Tangens t\ eritque f-^zdmt ,< Vel7jr~z/2"M-/tf-H Im -h- zlt— 3log. radii ;: Ex obferuatione' anni< 1730, Mar- OBSERK4TI0NES METEOROWGICAE 341 -Martii 5, crat altitudo arcus~9°, femiampiitudo eius :=45°, fub Latitudine noftra 59° 57'; erit jtague fub- du&o hoc calcuio, pofita 4zz:%6o milliar. Germawis: Ig zz 9. 8494850 /2 zz o. 3010300 /^ :=: 9. 699625$ la zz 2. 9344^84 19. 5491108 .//» = 9. 1943324 /£ — 9. 7993394 £# = 19- 6645058 ~9^74977i4 54° I2' A. °943 606 cui refpondent 124^ milliaria Germanica. Ex obferua- tione anni eiusdem , Augufti 16 , erat altitudo arcuszi: 90 i2x; femiamplitudo=r:420, erititaque, politis reliquis Yt ante , diftantia quaefita .14575 jnilliar Germ. Ex ob- feruatione anni eiusdem, Odobris 22, quae ColoniaeAl- lobrogum fa&a fuit, Aurojrae etiam in America obferua- tae , et in qua eft .altitudo arcuszn 1 20 , femiamplitudo — 37° 3o',fub latitudine46* j2',erit denuodiftantia quaefita 281/, milliar. German. quae fere duplo maior eft, quam i£X allegatis fecunda, §. 7. Adjungam liis alia quaedam leuioris momenti, donec reliqua, quae huc pertinent, omnia abfoluere pof- fim, quae fecunda Diflertatione fum comprehenfurus. Pri- mo quidem circa initium gelationis in quouis annodepre- hendi, id femper cum afpedu Planetarum quodam infigni coniunftum foifle. Non haee dico eum in finem , vt vanae illi, et fuperftitiofae, Aftrologiae patrocinari velim, optime enim (cio, quam multa friuola et fcientiis indigna jbi contineantur. Sed multiplici experientia edodus impe- V v 2 trare 54* OBSERVJTIONES METEOROLOGICJE. trare a me ncqueo, . vt credam , nihil plane harmoniaj,, non dico ihfluxus, ftellarum afpectibus ct pofitiontbus in- tercedere cum tempeftatibus. vagis ; atque in ea opinione fum, vt limites tranfilire eos putem , qui nimis heroico auiu falfa. forian cum veris profligint, et omnia huc per- tinenra iusque deque faciunt; cuius lententiae meae etiarri: magnum quondam Keplenim fuifle inuenio , quam ini Tractatu Germanico, cui titulus etU Tertius Interuemeus^ eximie plane expoluit, et multis non fpernendis ratiombus adftruxit.. Accidit. itaque congelatio. prima cuiusque anni?. 1729. OcVibris 22 , nltero die poft n1?^. 1730. Octobris 4, altero die peft a£?.. 173 1. Octobris n, altero die poft £t? ^. 1732. Octobris 7, altero die poft Dpcr'. 1733.. O&obris 6 5 altero die poft ^o^?. 1734. Septemb.fi x , altero die poft *0^> 3735. O&obris 1 2 , in ipfaQuadratura prima Q et Q X73_5. Octobris 22, altero die poft cnO^.. § 8. luuat etiam eondere catalogum tonitruum omnium. quae in his annis audita fuerunt.. Sunt igitur ea : 1725. Maii 28. Iunii 5. 8. 13. 16. 27. Iulii .10.12.. 19. Septembris 6. 1727.. Maii3i. Iunii 5. 15. 28. 30 Iulii 8. 1728.. April. 24. 29, 30. Maii 2. Iunii 11. 16".. lulii 21 23. Augufti 5- & 1729.. Maii 9. 12. Iunii 17. 23. Iulii 1. 18. 29; 1730. Maii 15. 20. 26*. I.unii 1. 13. 24. Iulii.4. 5. 6". 31. Augufti.,19. 25. I731- OBSFXVATIONES METEOROLOGICJB. 343 1731. Maii 923. Iulii 2.12. 1732. Aprris 14. Maii 17. 20. Iunii. .7. 8. Iulii 1 6. 30. 31.. Nouembris 2 2 » 1733. Maii 31. Innii 2v 573+. Maii 11. 13- l6- Iuui 3.26". 1735.. Aprilib 21. 24. 25. Maii 2. 5. 6 7. 12. ij^ 19. 29V30. 31.. Innii 12. 27. 29. Iulii 2. at- que aliis dicbus liuius. menfis ad mimmum decies. Augufh 21. 3^735. Aprilis 30. Maii 12. 13. 16V Iulii 1.2.4. 6. 7. i(5. 23., Augufti 6. 17. 22. adeoque intra hos vndecim annos ad. minimum tonitrua audita funt 107 vicibus.. §. 9. Denique referam quoque quid circa hirundines obferuauerim ;: de quibus notum cft, eas, durante per hy- emem frigore ,, fub tediis , aut in paludibus, quafi mor- tnas delitefcere, poftea vero ingruente verno calore reui- uifcere, et aeftalem quafi referre. Quo igitur die fequen- tium annorum prima vice hirundines calore excitatas et "volantes viderim , coronidis^ loco hic adiungam: 1730. Maii $\. 173 1. Maii 7.. 1.733-. Maii 9.. 1734.. Maii: 4.. 1-735. Aprilis 30. 173CT. Aprilis 28.. Vt adeo hic lbci medium tempus^ reditus harum auicula-- rum ftatui poffit in Fefto Inuentionis Crucis, quod incidit in Maii 3 diem \ et quod tempus in Germania et adia- centibus regionibus in principium menuY AprihV incidere,, iam diu eft annotatum.. Vv3 OB- OBSERVATIONVM METEOROLOCIC ARV M , AB ANNO 1725 VSQVE IN FINEM ANNI 173$ FACTARVM, COMPARATIO. PIUEL£CT/0 secvkda. AVCTORE Georgio JVolffg. Krafft, Tabula XV. c §. I, ^um in obfemationibus de calore et frigore ann<2* rum praeteritorum inftitutis jidhibita fuerint fer£ femper Thermometra Florentina ., quorum vitia abnnde nota funt hodie : nihil fere in illis §'. 2. De Thermometris Florentinis annotatum e(f iam diu, praefertim a Cel. Halleio , Transatt. Anglic. num. 197 ptfg. 650 .- Spiriturn vini in iis contentum fuccefTu temporis partem vis expanfiuae fuae amittere.- Didici hoc idem phaenomenon fpatio duorum annorum,- Currv eninr per annos i734i ^7351 et 1736" obferua-- tiones mcasjnrfituiflem cum duobus Thermometrisy rner^ curiali altero , fed arbitraria diuifione inftruto 9« aftefd' Flbrentino, deprehendi in anno" 1736" Spirifum vini defiifle eousque fe extendere ,, quo ante biennium fole- baf. Refponderunt- enim ex. gr.- Therrriometri mercu-- rialis^ cuius gradiis- afcendendo' numerabantur' , gradui 838 in Florentino anno i"734gradus 120, anno 1736" vero non nifi 95. Ex innumeris aliis exemplis haec: ^utum adhuc adiungam: Tberm* Thmn. Flor, »734 - - - 120 '73^ - - - 9S {734 - - - 150 i73^ - - 125 »73 + - - - 150 *73tf - - - 133 T734 - - - 15* nz - - - 14.5 1734 - - - 210 H36 - - - 205 345 OBSERVJTIONES METEOROLOOICAE. Thsrm. merc. 838 - - 853 - - 855 - - %6$ - - %66 - - 895 - - Annotari qnoque merenrur, horologii Anglicani optime conftituti, fed in couclaui non calefacto aiferuati, a ven- tis autem tuti , motum a folo frigore bis interrupinm fuiffe, nempe 1730 diebus 18 et 19 Nouemb, et 1731 10 Ianuariij et fiepius etiam in ipfo adhuc medio men- fis Maii congelationes accidere fortiilimas , flante nimi- rum Borea , id quod ex. gr. fa&um eft anno 1731 diebus 12 et 16 Maiu § 3. Qrimuis indublum fit, confpicuos plane efTe eflFeftis aucti pmderis atmofphaerici in Thermomctra Drebb":liani: non intermittam tamen adiungere lequen- tem Tabellam , ex qua difTerentia graduum didli Ther- mometri afcendendo numeratorum clare perfpiciuntur : Therm. mSERF,4TlONES METEOROLOCICAE 347 alt. Barom. Therm. merc. D/vAW. 144.0 — ~~* 1617 1730 1450 — °~~ 1674. 1730 *44<* 'J755 1798 1805 1390 1497 1636 1556 1390 ■ — ~— 1645 1620 13S0 — ■ — 15-50 1552 13 42 "™ =— 1445 1420 29. *3 29. 93 29. 74 29- 9* 30. 02 30 10 30- 13 29. 5* 30. 00 29. 75 30. 02 29. 93 29. 90 29. 70 29. 80 29. 70 %. 4. Confirmittur denique efiarn multis exempliS ex noftris obferuationibns regula illa, quae in Colleciion. Vvati$lauien\. anno 17 17 menfe Augufto p. 123. legitur: tjuod nempe, calore pott tonitftia non cellante , Vtpliiri- rnum nona redeant. Nam apud nosarino 1725 10 Iulii tonuit vefperi • praecedente mcridic oftendebat ThermO- xnerrufri Fioreatmum gradus 67, poilero meridie 68, tertio meridie poft iterum tonuit, et oftendit poftea Therfnonru gradns 58. Anno 1730 i lunii totiitrua au- diebantttr itt meridie, Thermometio oflenderite gradtts \%> poft meridiem hora 3 oftettdebat gradus 14, tt redic- r« t tonitfua* Anuoeodem, ^iuiii, ame •rnend. hofci 7 1 :u IX. Xx erat 34» OBSEKMTIONES METEOROLOGICAE. erat Therraometrum in gradu i7£, vefperi in gradu 24,, cura coclura valde tonaretj poftero die in meride erat gradus caloris 251, et redienmt tonitrua. Anno 1732 7 Iunii hora 10 p. m. erat gradus caloris io£ atque audiebantur tonitrua vehemeutia ; fequentis diei mane hora S oftendebat Thermometrum gradum caloris 12, et noua- tempeftas exorta e(t hora 11 a. m. Quod idem phae-- nomenon multis adhuc aliis exemplis confirmari poffet,, nill haec fufEcerent* 5. 5. Niuium et pluuiarum quantitas accurata his> annis obferuari non potuit, cum hoc negotium dinicul- ter in aedibus priuatis, et faepe commutandis, obtinert poftit. Quantum vero ex aeltimatione licet iudicare y ceciderunt nines aut pluuiae, tempore omni in vnanu fummam per totum annum colle&oy Anno 1726^ - - - - - 40 diesc 1727 - - - - - 4S 1728 ----- 50 1729 - - - - - 60 1730 ----- 37 1731 - - - - - 3S 1732 ----- 32- 1733 ----- 29 1734 - - - - - 35 1735 ----- - 40 1736 - - - - - 37 ex quo apparetr annum 1729 inter omnes^ hos reliquos" fuitTe maxime madidum ; et pro quolibet anno , termino aliquo medio ■,, afTumi pofTe 40 dies integros pluuiae aut ni- uibus deftinatos. §. 6". OBSERVATIONES METEOROWGICAE. 349 §. 6, Accidere folet haud raro in hac noftra vrbe, vt fluuius Neua intumefcat , ripas fuas egrediatur, atque circumiedta loca humilia totius vrbis inundet, modo al- tius, modo minus, prout nempe venti inundationes has efficientis vis fuerit maior aut minor. Praecedentium an- norum dies fequenti tabella annotati infigniti fuernnt hoc phaenomeno, quorum illi, qui aflerifco notati funt , prae reliquis infignes oftendunt inundationes: Anno 1726 Aprilis 14. Sept. 18*. Nou. 1* 1727 Sept. 18. 21*, 22. OcT:. 11. 12. 22. 23. Nou. 24. 29. 1728 Aug. 3*. Nou. 3. 1729 Octob. 3*. 12*. Dec. 17. 1730 Ian. 3. 26. 27. Aug. n. Dec. 19. 1731 Febr. 4. Iun. 5. Iul. 10. 13. 1732 Sept. 15*. « ' 1733 Au§- 25- Sept. 6*. Ocl. 5. 8*. 23. 31*. Nou. 3. Dec. 12*. 1734 Ian. 1. 18. Febr. 4. April. 22. Maii 4. Sept. 19. 1735 Febr. 8. 26*. Martii 11. April. 17. Maii 15 Odlobr. 24. 1736" Sept. 10*. Dec. 13^. 17. 18. 19^. 24. 28*. Paiiciflimis cafibus exceptis, omnes hae inundationes accide- runt flante fortiter vento Auftro-Zephfo, W S. W. vertus quamnempe plagam fluuii pars praecipua inSinumFinnicum effunditur, atque femper eo altius fubmerferunt terram ,quo fortior ventus modo indicatus elTet , longiusque duraret. Xx 2 §. 7. ■, 35-o CBSEFJJTIONES METE0R0L0GICJE. §. 7. Audiri quandoqne folcnt tonitrua etiam im hyeme, ingruenti» frigoris, yt communis fcrt fententia indicium datura. Accidit idcm apud nos quoque , (ed non nifi femel in his annis, vti tum tempons id ex re- latione plurium hominum fide dignorum accepi , nempe Anno 1732, Nouembris 22, circa horam 5 mafutiriam £ quo tempoie regelatio aliquot dierum fuit, et tcrra niue omn: fere exuta • neque diffiteri pofTum . infecutum efTe. §0 tempore haec tonitrua fii^us fajjs intenium.. §., S. Rariores. etiam folcnt efTe in hoc noftro cli irate grandines , de quibus in Colletfion. Vratislauienf, Anno 1717 menje Iulio p. 18. idem affirmatur; et p.ao» dicitur, eos ordinarie procellam vehementem comitem ha- bere; de quo polteriori eftato ex fcquenti latertirlo iudi-- ci;.m ferri poterit. Accidit.nempe vt grandinarct hic loci Ax.no 1728. 7 Iunii, intermixta pmuia ,. et flante Ze- phyro mediocri. 1729. 19 Sept. Gn& omni v.ento.. 1.731. 23 Maii parum grandinauit,. flinte fortt- Borea - Zephyro , fiue N.W. 24. Maji grando copiofus. cecidit, flante: aclhuc eodem ventu.. x73 5- 5 Maii et 2 Iulii, fine omni vento.. fcJenue etiam fine exceptione multa verum eiTe deprehendi, Eurum fereniti:tem cfficere, ^t Zcphyrum afierre pluuias. AfTerri enim hic poiTcnt, & nicetfe effet, exempla quam piurima, quae vtramque hanc fententiam. piane. infrin-. gunt §. 9. eBSERFJTlONES METEOROLCCICJE. 35 r §. 9. Quarriuis fubita Barometri mmatio oroinarie foleat procdlas fubito ■ iecutuifts mdicare : non tamtn dc- funt plunma exempla, . quae . demonilrant,. ventos iiepius quam maxime. furere, etiamfi nulla Barometri n utatip piaeccffeiit. Ita e- gr. i73°- i8-Aug. erat proceila t( r- titfima, ex Occidente imbrcm vehementem fcrens:: icd Birometri altitudo pcr tres continuos dies c( .-nitans, nen.pe 29 dig. 1 lin. Procellae vero omne»- annorum pratce- dentium fequenri- tabelia coniinentur:. Anno 1726". Martii 2. 3. 15. 18. 19. 22. Iun. 30.. Sept. 15. 16. 22. 2$. 29.. Gcfn. 5. 20. 27.. JNou. 5. 1727». Ian^ ir. 27,. Febr. .17. 19. 28.1V.art. 2. Sepr. 2i.Octob..n. r\ou. i80. Dec.o\. 1728.. Totus annus fine procella. 1729.. Aug. 27.31. Odtobr. 2. 3. 12. 13.. 26". 27. 29. Nou. 19. »730. Ian. 11» 18. Aug. 18. Sept. 21. Ocl:.. 25. Dec. 27. 1.73 1. Febr.. 3.7. 22. Mart._7. 13. 30. Apr., 10. 15. 21. 29,. Iun.5. 22. lul. 10. Odtob. 20. Nou. 22.. 1732. Ian. 14. 26~. Fcbi.60 Apr. 25. Maii 4. 22. Aug. 7. Sept. 15. Oct.. 2. 11. Nou. 9. 25. i733> Mart.11. Apr. 7. 9. Maii 5. Iun.. 10. Sept. 4. 6. Odtob. 8. 20.. 31. Dcc. 1. 10. 12. 31 , Xx3. 1734-:- -352 OBSERVATIONES METEOROLOGICAE, 1734.. Ian. 1, 4. 18. 26. Febr. 3. 14. Apr„ 15, 17. 22. Maii 4. Iul. 19. Aug. 3. 25. Scpt. 19. Odob. 16. Nou. 14. Dcc. 19. 1735. Ian. 4. $.6. Febr. 8. Mart. 11. 13. Apr. 21. Octob. 19. 25. .1735. Apr. 14. Maii 2. Iul. 10. 24. Aug. 7. Sept. 10. 13. Dec. 13. 18. ex quibus elicitur , menfem Octobrem effe maxime pro- cellofum ; huncque proxime infecjui Septembrcm , Mar- jtium et Ianua.rium, §. 10. Cum anno praeterito 1736. d. 10. Se- ptembris magna effet fluuii noftri inundatio , Zephyrus- que vehementiflime flaret: obferuaui , capto ftatim ex- perimento , vim venti talem fuifle , qua afferculum , cuius latitudo 208 part. millef. ped. Rhenani, longitudo 382, pondus 346 gran. eleuare potuit vsque ad angulum 80 graduum , idque fere conftanter, non fubfultim tantum. Ex qua obferuatione vt celeritas venti illius indagetur, Tabuk xv. fit afferculus vento expofitus A C , fed circa A liberri- Figura i. me mobilis , et in fitu A C verticaliter dependens. Affu- mamus, cum Marlotto, preftionem aeris moti in affer- culum verticaliter dependentem eandem eflfe cum ea, quam exerceret pondus voluminis aerei ', cuius bafis eft fuperficies afferculi , et altitudo illa , quae debetur cele- ritati aeris moti Itaque fi altitudo celeritati venti debi- ta fit=i; part. millef. ped. Rhen. afferculi longitudo ACzzz^z, latitudoizzZ', atque vna pars millefima cubica aeris ponderet m grana: erit preffio modo didta in affer- culum OBSERFATIONES METEOROLOGICAE. tf$ «ftilum vertkzlemzzabmv gran. Iam ponatur aflerculus pcr vim venti eleuari vsque in fitum A H , eritque vis venti in A C ad vim venti in fitu obliquo A H , iri ratione direcla primo finuum angulorum incidentiac , hoc cft in ratione fin. EDA, qui redus eftr.fi ftatuatur ventum liorizontaliter progredi, ad fin. EBA; et fecundo itt ratione etiarrr direcla fuperficierum , quibus in vtroque fitu ventus iucumbtt , nempe A C et A K ,. ducta ni- mirum horizontali G H, quia hae fuperficies, aeque latae,- tenent rationem longitudinum. Vocatis ergo finu toto zzzi. anguli CAH finuzz s , cof. zz cy erit, vis ven- ti in AC (abmv) ad vim venti in AHzzrr. AC: c\ A K ; ^ed vero A C : AK = A H : A K — i : c ; ergo modo diclae vires inter fe erunt vti i ad c2 , ef con^ fequenter vis in aflerculum obliquutn agenszzzabc2??ivy cuius directio,, vtpote omnium fimplicium aeris impul-- fuum media f tranfibit per medium aflerculi B ,. et per- pendiculariter in eundem effedtum fuum exferet. Sit er- go du<£a perpendicularis BYzzzabc2mv \ et quoniam- centrum grauitatis aflerculi ponitur etiam eiTe rn medio1 ipfius punclo B: exponatur pondus aiferculi per redforrr verticalem BMzz:^, quae refoluatur in laterales B K et B L , illam perpendicularem ad aiTerculum ,, hanc' par-- allelam ; exferet haec vim fuam folummodo in firmita- fem axis A,. illa vero in direclum contraria erit im- pulfui aeris B F. Eft vero fn Triangulo B K M, finus fotus(i): BM (/>)z=fin. KMB(j): BK(ps).Cum igitur, ex aequilibrio afl*ercuiiy debeaf efle BKr=:B F: liabebitur pszzzabc2mv, aut ^l-^zzzv. Si vero corpus- aiiquod ex altitudine v deciderif , acquirit per regulas» Me- 354 OBSERVATIONES METEOROLOGICAE. Mechanicae tantam celeritarcm, qua aequabiliter motum tempore vnius miuuti fecundi percurrere poteft fpatium 250 Vv. Ventus lgitur habens celcriutem debitam altl- tudmi modo inuentae , poterit tempore vnius minuti fe- cunii abfoluere fp;itium ffifclwl part. millef. ped.Rhenani, vel etiam -7«rv(u^rr Fed- Khen. In applicatione ad experimentum ' modo memoratum , erit p n 346 gran* /rrfintii 8o°,^r=:cof. So°, azzz 382, b 1=1208 , et quon- iam pes cubicus ae*ris pondus habet 585 gran. erit mzzx^-zli 55 g^« vride finitb calculoinueriietur, ventutn tum tempoiis ira rapidurn fuilTe, vt temp^e vnius mi- nuti Jecuudi 123^ pedes Rhenanos percuireiu.. §. 11. Superfunt aliae adhuc quaedam Obferuationcs Meteorologk .- , :te rarius accidunt, et quas omncs bre- uiter comprehendain. Parhelii primo vifi funt Jequentes: Anno 1727. Martii 2 poft (crenitatem duorum dierum, (ubleqnente procella , et niue copiofa. 1730. lanuarii 4 Parhelii non adeo diftincle vifi funt, lubfequente altero die Luce Boreali, Noucmbris 15 Parbelibs vidi non valde FkUIt 2' diliin&os, Irideex vtraque parte folis \eri A comprehenfos ; arcus Iridis vtrinque ernisque extendebantur, quousque temics aderant nubes ; lucente nimirum Sole intcr paucas nubes tennes. ln aa earifpiciebatur color viridis , in bb ve- ro ex albo flauus. Durauit hoc phae» nunenon ab hora 2 poflmerid. vsque feie ad Solis occufum , fubfequente niue mouica. 173 1 QBSERVJTIONES METEOROLOGICAE. 3$* 1731. Ianuarii 12 Parhelii vifi funt, ex rela- *tione aliorum. Ianuarii 15 hora. 9 a. m. circa Sokm vtrinque arcus apparebant, qui angulum B D C efficiebant 480 , coloribus flauo et rubelcente infigniti. In parte inferiori arcuum globi duo luci- d;Oies apparuerunt, duiauitque hoc fpe~ daculum vsque ad horarn n. a. m. le- renitatem , quae tunc erat , fubfequenti- bus nubibus aliquot dierum. 5eptembris 2 , hora 8 matutina^, vifus eft circulus int.rruptus circa Solem , colorl- bus Iridis ludens, qui angulum efficiebat 20* , (ubfequente perfe&a ferenitate. 173». lanuarii 24.. fere toto tempore matutino Kg™ 3« Parhelii videbantur F et G , conftituen- tes angulum in oculo fpeftatoris F H G 450 • arcus in A C et BD erant ai- ftinailhmi , et folem verdis rubro co^^ re tincti ; in E vero obicure, nec nifi Sole manu obtefto , videbantur • in F et G obfcurae confpiciebantur Solis imagines. 1735. Ianuarii 25. hora 3 p m. Parheiii co- loribus, rubro et coeruleo, comitantibus apparuerunt. 1736. Febnnrii 5. tres Soles vifi funt , duo nempe Parhelii, fubfequente Luce Borea eo ipfo, et poftero, diebus. Tom. IX. Y y Reli4ui i$6 OBSERFATIONES METEOROLOOICAE. Reliqui Solis Halones, nullis Parhcliis confpicui , apparuerunt: 1727. Apriiis 17. 24. 25»*cuius Diametei 300. Decembris 10. 1728. Iulii 21. Luna quoque Aula cinda obferuabatur 1730. Ianuarii 14., quae aula valde tenuiseratf fubfequente ierenitate. Februarii 18. Martii 19. 25. quo die Sol occiden* caudam albam et lucidam per nubesra- ras trahebat; Luna vero cum Parafelenc et cauda rubra oriebatur , fubfequente fe- renitate perfeda quatuor dierum. Octobris 11. hora 9 p. m. Nouembris 14 hora 5 p. m. Luna ori- cbatur furfum ct deorfum cufpidata lon- giori cauda. *733» Nouembris 7. confpiciebatur coelo fere- no HaloLunaris, fubfequentibus pluuiis et niuibus. 1734. Scptembris 27. adcrat Halo Lunaris duplex , fed imperfcftus , hora 10 p. m. in ferenitate, fubfequente tempeftate nu- bila. 1735. Martii 26". hora 9 p. m. Luna confpi- citbitur in cruce, pallida primum, bre- ui poft in Auia valde magna, cum aer efiet plenus vaporibus, fubfequente iere- nitate. 173^ OBSERFATIONES METEOROLOCICJE. 357 1735. Septembris 13. hora 10 p. m. appa^ rebat Aula Lunaris flante fortiter Zephy- ro , fubfequente frigore Decembris 3 1 . idem phaenomenon vifurn eft, infequente niue. § 12. Primus fortuiTe, qui obferuauit glaciem i- pfim, di.riffimam quoque, continua exlialatione aliquid tui penderis deperdere , fuit Mr. Sedikau, vti videre licet in Memoires de Mathem. et Fhyfique 1692. Ita tamen parce hanc exrnlationem iieri credidit, vt non nifi poft aLquot dies fiat fenfibilis. Sed, vt taceam , me depre- hendiiTe, in frufto glaciei bilanci accurate impofito, fmgu- lis fere minutis primis deerementum aliquod pondcris fenfibile ; hoc folum adhuc referam, quod Anno 1730 Ianuarii 10, hora 4 p. m. e glacie, qnam fluuius nofter quotannis induit, infignes et copiofos vapores egredi , et ad altitudinem aliquot pedum afcendere , mitinctifTime vi* derim, tempore multum fereno, neque valde frigido. Yya OB- OBSERVATIONES METEOROLOGICAE ANNO 1737 INSTITVTAE Georgio Wolffg. Kraffi. §. 1. Cum in praecedentibus fatis explicatam dederim de- fcriptionem omnium eorum, quae in Meteorolo* gicis obferuare potui fpatio vndecim annorum : haud inutile fore (pero, fi eodem ordine et fequentes quofuis annos pertraftem; vt quicquid ex his promanare poteft vtilitatis , illud quam citiffime in publicos vfus redundet. §. 2. Durante igitur anno 1737 obferuatae fuerunt a me altitudines Barometri fuigulis menfibus maximae et minimae fequentes : Max. Mtn. Drf. 3737 Ianuar. — 30. 25 — 28. 44 — 1. 81 Febr. — 30. 35 — 28. (58 — 1. 6j Martius — 30. 61 — 29. 23 — 1. 39 April. — 30. 50 — 29. 00 — 1. 50 Maius — 30. 04 — 29. 42 — o. 62 lunius — 29. 82 — 29. 04 — o. 78 Iulius — 29. 70 — 29. 12 — o. 58 Auguft. — 29. 80 — 29. 04 — o. 75 Sept. — 30. 20 — 29 40 — o. 80 Oclob. — 30. 04 — 29. 06 — o. 98 Nou. — 30. 14 — 28. 58 — 1. $6 Dec. — 3°» 95 — 29- 07 — I. 88 Vbi OBSERVATIONES METEOROLOGICAE. 359 Vbi qtiidem rurfus numeri ante punftum pofiti fignificant partes duodecimas pedis Londinenfis, hoc eft, pollices Londinenfes; numeri autem poft • punctum pofiti, deno- tant horum pollicum partes centefimas, quam quidem menfuram conftanter retineo. § 3. Apparet ex his altitudinibus Barometri , ea- rum maximam hoc anno fuiffe 30. 95- fuit autem ea obferuata die 24 Decembris ftyli vet. hora 1 o no&urna ; cum eo mane fuilfet 30. 94, et fequenti die 30. 89 in perfecla ferenitate fex dierum continuorum, flante Euro, frigore iatis magno, et terra ab aliquot iam diebus ab omni niue liberata. Minima vero harum altitudinum eft 28. 44, quae obferuata fuit die 9 Ianuarii hora 9 no&urna, cum nubibus continuis coelum effet obdufturn per aliquot dies, et aer impetuofus multam niuem ferret. Cum ergo haec altitudo maxima Barometri maior adhuc fit quam ea, quae in omnibus annis praecedentibus rna- xima inuenta eft: mutatur hinc quoque fpatium variatio- num Barometricarum. Nam cum maxima altitudo nunc fit 30. 95, et minima 28. 18, erit fpatium variatio- nes Barometri omnes tempore 12 annorum includens 2. 77. Cafterum id, quod in praecedentibus obferuationi- bus Barometricis iam obferuaui, etiam hoc anno con- firmatur, varistiones nempe menftruas in primis et vl- timis anni menfibus effe maiores, minores vero in me- diis. §. 4. Aurorae Boreales, quae hoc anno apparuc- runt, funt fequentes: Yy 3 1737 tfo OBSEWATIONES METEOROLOCICJE. *737 Martii 17 vifa fuit vefperi hora 10 Lux Borea- l's in perfecta ierenitate , ct aliqua ge- latione. 30. 31 Vtraqne harum in perfe&a ferenitate, fplendente Lunaj fequebatur multum niuis. Aprilis 13 m perfecli ferenitate, quam nubes paucae exceperunt. AugufU 12 Lux Borea inordinata, multis trabi- bibus hinc et inde motis ludens, ia ferenitate multa, poft pluuiam fortem ct tonitrua. ?3 Lux Borea debilis, iu multa fereni- tate. 14 Lux Borea humilis, et tranquilla, in fe.renitate, euam altero die imber breuis fecutus eft. 24 hora 1 matutina erat magna tempe- ftas, cum fulguribus et tonimiis for- iiilimis, rediens hora 6 p. mer. fra- gore paulum imminuto; hora 11 p. m. vifa funt veftigia Lucis Boreae rnani- fefta, inter multas nubes diuifas, fub- fequente pluuia larga et fere continua altero die. Septemb. 7 In ferenitate dubia apparuerunt tc- ftigia Lucis Borealis. Octobris 12 In perfec^a ferenitate, orta poft ni>* bes continuas aliquot dierum, vifa efl: Lux OBSERVATIONES METEOROLOGICAE tfi Lnx Borea vefperi hora 10, quam rurfas nubes continuae cum pluuiis ex- ceperunt. f 5. Prima congelatio fa&a eft die 6 Oclobns , lati-s fortis, fere vbique per totum diem fubfiflens, et quae per aliquot dies fubfequentes continuo durauit. Con- tigit ergo haec prima congelatio altero die poft quam die 7 Octobris AO"b itt- feeutus efL §. 6. Tonitrua hoc anno audita funt diebus fequen- tihus: Aprilisso, durante pluuia fere per totum diem. Maii 13 cum pluuia. lunii 2 cum pluuia forti. 2.6 fme pluuia. Iulii 18 fiue pluuia. 25 cum pluuia larga. 30 fiue pluuia. Augufti 12 cum pluuia forti. 24 hora 1 matutina, redeuntia poft meridiem hora 6. Quibus adiungo , pri- mas hirundines mihi vifas fuifle die 27 Aprilis. §. 7. Ope Thermometri mercurialis, quod in prae- cedentibus dercriptum fuit, obfernaui, hoc anno maximum calorem foiffe Iunii 2 , quo die hora 5 poft mer. Ther- mometrum oftendebat gradum 11 28, et audkbantur vefperi tonitrua, flante fortiter vento S. W. Maximum vero frigus fuit Ffibruarii 8 , oftendente Thermometro vefperi hora 10 gradus 1675 in perfe&a ferenitate aiiquot diex rum. liiem Therrnornetrnm die 17 Martii in perfecla ferenitate Soli libero hora 2 poft mer. expofitum , mon- ftrauit m fummo calore gradus 134.0. Deinde vero die 20 Maii in perfc&a ferenitate octo dicrum continuorum libero ooii expofitum eo vscjue afcendit, vt oftenderet tan- dcra gfe OBSERKmONES MZTEOROLOCICAE dem gradus 910. Neque hic loci pmerereo , rre die 25 lanuarti Barometrum expofuifle calori talnei fuouto- rii domeflici , mediocriter calefadi , quod , cum ab ini- tio erat in altitudine 29. 02 , poft el.pfum femihorium acquifiuit altitudinem 29. 10, poftea libero aeri com- miflum rediit ad numerum 29 05 , et portero die olien- dit 29. 29. Extenfus crgo tuit mediocri calore mercu- rius Barometro contentus. §. 8. Plunias et Niues aeftimatione tantum per- pendentes, inueniemus in hoc anno dies 4.3 integros pro pluuiofis et niuofis efle habendos- atque menfnsm habita ratione Iulium pluuiarum fuifle fenciflimum. Fluuii no- ftri Neuae tumores fenfimus Ianuarii 6. Aprilis 1 Iu- nii 3. flante ^«rdcer N W.. Nouembris 24. Decembri 6. quorum vltimus fblus imandadonem pamam eftccit, fl nte foititer vento S. W. Nec nifi femel toto hoc anno grandinauit, fcilicet Iunii n flante fcrtiter Zephyro. §. 9. Procellas experti fumus dicbus fequentibus: Ianuarii 6". 9. Febru.irii 10. 12 14. Martii27. Apiiii- 20 Maii 4. Iunii 3. Iulii 2. 3. 8. Augufti 27. Ofto- bris io. Nouembris 3 4. Decembris 6. $. 10. Reliqua, quae referri huc debent, compre- hendam fequentibus. Iridis pars tantum viia eft Iuhi 3. hora 7. p. m. Duplex vero Iris apparuit poft parcam pluuiam Augufti 6", hora 6\ p. m. atque denuo alia fim- plex pulcherrina Augufti 17 circa horam 6 poft mer. Deinde Augufti 26 poft leuem pluuiam (pe&andam (e praebuit alu Iris primaria integra, cum veftigiis fecun- dariae. OBSERFATIONES METEOROLOCICAE^ 3^3 datiae. Pallorem Lunae Nouembris 25 hora 8 vefper- tina valde confpicuiim nix fortis infcciua eft. Halone cin- cli Lutiii viia eft, in perfccta (erenitare aliquot dicrum fiMcquentium Becembris 21 hora 10 vefpertina. Illud vcro, cjund omniiim ■fpcchtorum excitauit admirationem, fequens fuk phaenomenon. Decembris 5 , circa horam 10 nodturnam \ cum nubes continuae totum aerem tenerent, apparuit fublta' rubedo hanini nubium vniuerfalis , fortis , aliquando tamen paulurn intcrmittens , fed fine minimo indicio matcriae alicuins lucentis -, aliquot horarnm fpa- tio durans, aliquotque fequentibus diebus rediens in iisdem circumitantiis. Similes coeli rubedines, nubibus etiam ob- du&i, animaduerfae quoque funt Decembris 15 et 17, hora 3 min. 50 poft merid. quae vero non nifi per \ horae durarunt. Denique in perfe&a ferenitate multorum di- erum vifa eft eadem rubedo coeli fortis et generalis De- cembris "22, circa %oram 7 maltninam. Vt vero haec pbaenomeha vitima non adfcriboiiifi cfepuiculo et aurorae Solis occidentis et oricntis, atque aeri tum temporis re- fertiffimo vaporibus copiofiiTimis , cum terra niue per maximam menfis totius partem effet deftituta , et fere femper roraret: ita primam rubedincm tribuo Aurorae Boreali, quae nubibus tedla fuit. Nam Decembris 15 et 17 ^ol occidebat hic ih 47', quibus fi addatur du- ratio ctepufculi ih 57', oritur tempns, quo integra lucis fo.laris prinatio coepit $h 44'; fcd rubedo primum vifa cfi 3 5°', et durauit per 45', ergo flncm naclra eft 4b 35f, cum fcilicct nqndum omnem plane luccm fola- rem horizon ridfter amififfet, fed dehilifiima tamen ad- huc illuuraretur. Idem applicari poteft ad alteram ru- Tom. IX. Z z be- 3quo aer nofter radiis iuuribus priuabatur. Luna eo die non nifi ib 8' poft mediam noctem oriebatur; igitur neutrum hornm fiderum rubedinis vifae rationem in fe continere tum potuit. Quapropter nullam aliam caufam fupereile puto, quam Auroram Borealem, poft nubes delitefcen- tem , et fortaife maximam coeli partem occupantem ; cum frequcnti experientia edodli fimus , dari quandoque Auroras Borealcs, per rimas nubium tantum confpicuas. Cui fententiae etiarn iilud fauet , quod rubedo haec modo intenfior modo rcmiiiior vifa fuerit; prout nempe virgae vehememiores aut remiiliores in Luce Boreali aicenderunt. CLASSIS CLASSK TERTIA. CONTINENS fflSTORICA. GEOGRAPHIA RVSSIAE VICINARVMQyE REGIONVM CIRCITER.A. C DCCCCXLVIIL- JEx. Cotijlantino Torphyrogainttaa . AVCTORE Llis ipfis temporibiis, quibus Sphendoftlabus, fcu Stira- Tab> xvle toslaus, Ingoris fiiius, rebus praifuit , paulio poft K.o- uiam ab Olego captam, Conrtanunus Porphyn gcn- neta lmperator regiones ad Danubium , Bor\ rthenem, Pontum, Caucafum , , Volgam et vltra ad laiam Vsque, iii libro de adminiftrando imperio ita defcrip T;t , \t \el maximum operae ■ pretium ad<, iliuftrandas Rufticas origi'- nes in huiusce libri explicatione fitum vidcarur. Scripflt Imperator librum 7T£og rov Qeoge(py\ % Ho^L^zyevvy\\ov BacnA/a Romanum , filium fuum,. et ita fcnpfit, vt itr- monem ingreflus ab aufpiciis eius ct confecratione, tam- quam recentifiima in memoria fuscepti imperii, quemacU modum fe gerere oporteat,* demr nftret. . Romaaus Jratem A.- C. 94.8. in ipfi pafchatos folemnitate a patre In.pe- rator er colicga dictiis diadema accepit : Conflantinus Imp. A. C 959. xv. Nouembris deccfTit. Ex eo conftquitur, Conftantinum ante A. C. 948.' vtique non fcripfiiTe li- brum, cuiiis tota. ratio aufpiciis Romani inferuit: at rrm ad excefTum vsque duodecim propemodum anni fuperfr.cre Coiiftantino, dubitari pofle video in fatis magno interuallo, qucm praecipue annum huicce libro vindicari conueniat. Zz 3 Nilnlo 35S GEOCRAPHIA WSSIAE Nihilo tamen minus nos a recenti memoria aufpiciorum Romani et ab A. C. 94-8. ad fummam ab A. C. 949. discedere patitur Conftantinus, quando eius verba et to- tam inftituti commcntandique rationem confideramus. Huc accedit, quod auctor eft annis ante fe quinque et quinquaginta , Turcas Pazinacitis vrgentibus, a Boryfthene pulfos in Pannoniam fe reccpiife. Si A. C. 949. Con- ftantinus fcripfit, Turcae impreffionem illam fecere A.C. S94. iiti ille A. C. 94S. fcripfu, Turcicae inuafionis rne- moria infignitus eri't annus 893. Et hoc ipfo anno Eg- gehardus Vragienfis tum Zuentoboldi Marahenfium regis mortem ponit, tum , regnum TLuendebaldi , inquit, filii eius pauco tempore infeUeiter tenuerunt, Vngaris omnia po- pulantibus. Habeo auctores alios, qui Vngarorum , ita enim Turcas vocarunt, inusfionem huic anno \indicant, vt alias dicam copiofms. Quare nihil verius eft, quam A. C. 948. Conftantinum de imperio adminiftrando com- mentantem , res vicinarum gentium prodidiffe, vt ad eum vsque annum in aula Byzantia coguitae fuerunt. Et Gui- lielmus Delislius quidem e Regia Parifinorum Academia, huius clariftimi viri collcgae noftri frater, Anselmo Ban- durio Imperium orientale euulganti eam operam praeftu tit, vt e Conftantino tabulam geographicam defcriberet, quae nos ab eodem labore fufcipiendo fubleuare eft vifa. Attamen dum omnia more meo perquirebam et indagabam, fenfi eum in nonnuiiis aberrafie, vt obfcuro in negotio labi et falli humanum eft. Praeterea paucas tantum ra- tiones edidit(i), cur aliqua iis maxime in locis pofue- rit, quod \ideo, vt accuratius rlat, non modo vtile effe, _Jcd I (z) Apud Bandurium Imperii Orientalis T. II. animadutrfionibns in Ibrum de adminiftrando imptrio praemiiTae funt Delislii ajinotationcs ia tabulas a fe concinnatas. VICINARVMQVE REGIONVM. 36 9 fed etiam necerTarium. In his enim faepe foleo dolere, exftare tabulas diligentifiimorum geographorum , non au- tem fubiira&as effe eorum commentationes , quibusaufto- ritatibus p^rmoti, et vbi iliae deficiunt, quibus argumen- tis atque diuinationibus du&i vnumquodque nomen fuis in fpatiis retulerint in tabulas. Ita cxplorata ab obfcutis, vera a falfis , discerni non pofTunt. Huic incommodo fic medebimur, vt in Heredoti Scythrca Geographia inftitui- mus: nam cauflas edifTeremus omnes, quae nobis vnius- cuiusque gentis atque loci fitum , ex Conftantini Imp. fententia qualis fuerit , perfuaferunt. Denique animus no- bis eft, non modo Conftantinum au&orem et ducem ad- hibere in tabula, fed quaedam etiam alia monumenta il- lorum temporum, quae regiones ad Balthicum mare et ad Viftulam explicarunt. Sed haec deinceps nobis curac cordique erunt, nunc in Conftantino Imp. verfabimur. Incipiam a Caucaio et Phafide, non tam ea caufla, qnod veteres hoc flumine, vt poft fere omnes, Maeotide atque Tanai, Europam Afiamque terminarunt (2), quam quod vlteriores regiones fuscepto labori non inferuiunt. Phafis nunc quoque, vt e tabuh Ponti Euxini MS. co- gnoui, veteri vocabulo ^"j* u^U Phafch fluuius voca- tur et ad auftrum habet &.U ^pU Phafch cafle//um, anti- quam Phafin. Scylax Caryandenfis iam ante Darii Hyfta- fpis expeditionem : <&cuti$ rno\ct.\ko$ h, Oa$ ovKvS-tuv hibrido nomine fefe ia&arunt,. vttwH T ol\Xoks\](2v , quo nomine in diuerfih auelorum fententiis dubium reliquerunt, Indine eflent, an Scythae, Galii an Celtae: non hoc Apoilo fiuerit, non Minerua ferat fua ad puluinaria. Sic Tzetzes cum reperiret Lazos ab aliquibus icriptotibus accenferi Scythis,, eosdem tamen Colchos ve- teres effe ctedidk, Colchos denique Aegypto profcclos, eo affenfns eft his, qui tum Indiam fupra Acgypturn la- tiflimis fpatiis porsigebanfc, eiusque regionis popuio accen« fuit Lazos: et eosdcm vero etiam Scythas, ne fuos au- ctores ojSoderet, qui Scythas effe dixerant. Nlam ab il- lis Scythis, quos Dionyfius Pericgetes ad borealem lndi fkiminis tractum et illum fabulofqm Alexandri. Caucafiim pouit, Tzetzes non- videtur. repetiuftTe, cum iilc admkatos Herodoti nou ignoraret Aegyptiae Colchorum (tirpis ve- terem farmrn. Et vehementer meam Gonie&uram con^- firmat Menologjum Bafilii Porphyrogennetae Imp. aequale Tzetzae teroporihus, in quo Lazj Aethiopes- vocantun .8): %v x$\ 2£(3:?5-o7r:XG-i rvj [xeyaX^ itagefrfidXhvariV 6 ^Pa- p'x gj o acri$os ecr&repoi 6\ &iB-ioit£$ K/ftoiMmv.. InSebafiopoli magna praeierflmnt Ffarus et Fhafis ftumina , cuius Fftafidis interiores funt incolae Ae^ -iiiopes. Incommode hic etiam de Apiaro e.t Phafide ; quam (7) fide Dknyfiiira Peri&Ctp.n v. :eS8 et ibvEufiathiura. (8)T. i. p.22£ Couf-r ctiam Hemia Brquuea no:as in Moftm Chorenenfem p.. 6ot riCINJRFMQVE RECIOATM. $3 «jtiam difriciiitatcm Iofephus Simonius AlTemannns non (iiftu- lk, cum ita intefpremur ifthuc ^tfpejjLpoX^tfQpf, quam fimii duo interjcwdunt. Nimirum sfu&or credidit, eodcm alueo ad Sebaftopolin Apfarum et Phaiidcm exoncrari. At Aethiopes illi font Lnzi , Tzetzae Indolcythae. Sic multos alios Tzetxae frmiles eft' dJlcCpcZpoj in vanitate deprehendi. Nicolaus Vitfenius (9) e Petro a Valle ob- feruauit, ad Caucaium , his noftfis temporibus quoque Les- gos agere, vetercs Lazios. Tantummodo hic caueant Ger- mani, ne Ao^ag more (110 pronuncient, fed lemori fibiio et quaii ducTili , vt Lagjos et paene vt Lesgps Sic enim prifci iiuim -i emmciarunt: pofteriores acerbiorem fibilum ?£ fcripferunt, vt in ipfo Tzetzae nomine. Non po(Tums hoc loco reticere, quae generofiffimus Chiliarcha Garberus qui Imperatorio mandato rcgiones ad Caucafum orientalem dimenius eft, me docuit: regionem Lesgftan^ vt Periac vocant, intra Caucafum et ad mare Cafpium multos po- puios continere, in quibus funt Taulinzi, Akufchinzi, Cu- binzi, Kuraelii, Dagiftani, Dzari , Kumaki > Chaitaki, Ta- baiTaran: linguas iftarum nationum multas et diuerihs inter fe eife, vnam Lesglcam in Kubah apud Kuraclios et Ru- raeios Dagiftanorumqiie quosdanv \igere, ab omnibus aliis iinguis toto genio discrepantem : Georgianos referre, pri- fcis temporibns Lesgos ad Pontum Euxinum vsquc coluiffe, puilos dcinde a Carguelis (feu Ceorgianis in Carguel pro- uincia, quam noftri Carduel vocare folent) iu montes feie recepUTe. Aaa ± Redeo (9) In Ncrd en Ooft Tartaryc p. 6S8. 374 GEOGRAPHIA RVSSIAE Rcdeo ad Conftantini Imp. tempora. Supra Lazios ad boream ponit Abasgos et Apfilos , tiim Zichios, por- ro Papagios, denique Cafachhs et fupra eos Caucafum, fupra Caucafum Alanos in campeftribus locis(io). Totus Caucafi tra&us, et eius vicini, tam ad auftrum, quam ad boream occidentemque, campi, non fic lunt explorati, vt hic non aut errare poflimus, aut haerere debeamus Fieri potcft, vt ifthic campum conftituamus, vbi excelfa iuga afTurgunt, ibi nos montem, vbi ingens planities eft. Sicuti nuoc eft in tabulis, Mengrelia ad Pontum Euxinum fatis campeftris videtur efle, ad boream et auftrum Caucafeis iugis inclufa. Conflrmari hoc video ab Arriano. Is enim cum a Trapezunte littora Cafpia obiiflet, fajpe excenfio- nem faciens, adDiofcuriada denique et Aftelephum, haud longe a Diofcuriade, x.cflgi^op.e*' , inquit, rov KavKa&ov To opog, To u^og ixoikiga kjl\cl r&c, AXTreig rag KeA^ tutas , h, rs Kvjkclvs Kopvtpy nq eSeiwulo (i), confpe- ximus Caucafum montem altimdine ea, qua Alpes Celticae funt , et nrjis Caucafi quidam vertex monjlratus eft. Igi- tur toto iilo litcore nuili montes, et ad Diofcuriada, feu Sebaftopolin quoque, longius reiecti. Plinius (2) in Col- chide ait, iuga Caucafi ad Riphaeos montes torqueri, al- tero latere in Euxinum et Maeotin, altero in Cafpium et Hyrcamm mare, dxtexa , vt duo quafl cornua montis effe intelKgas , qiue ioca depreiliora et planiora includant. Cum autem Conftantinus praeter montem etiam fiuuios adhibet ad fitum populorum definiendum , confideremus ante omnia , quae dicat flamina, quibus locis defcribat. Ab (10) p. 113. (1) In periplo Pouti Euxini p. 12, (2) 1. VI. c. %. VICINARVMQVE RECIONVM. 375 Ab orientali Maeotidos regione multos fluuios in pa- ludem exoneraii (cribit (3). Pnmus eft Tanais. Cuinon diffus Hylasi In tabula mea Turcica .-^- quod Mes- gninus Meninskius Ten pronunciat, alii Tan, vt Arabes quidam, qui ^U' Tan fcribunt, Albugafi Bahadur Chan Tin> adfcripto vocalis figno. In eo differt a Danubio, quem UJ^ Dona et LiJ0J.9j.jla Duna, Dunah Turcae vocant; adiacentes populi et RuiTi Dunai: quamquam Me- nin*kius obienrauit, etiam Danubium a quibusdam ,.-* ap- pellari, et Acron ad Horatium , Tanaim qnoque fuilfe di- tfum. Credo ego totum hoc , Tan Ton Don Dunai ali- cuius in populi , et veteris vero , fermone nihil aliud , quam fluuium auc aquam fignificafTe, atque ab eadem voce Tanaimf Danubium , Dunam, Duinam , ec terminatione im Ptolemai Pyiv r£ YIdv)s 3-ciXaa-&av xala^q, ev cJ e$iv Bda-- mo^og , ex Maeotide paJude exit ojlium BurJik , et in Ton- tum Euxinum exoneratur, eo loco, vbi Bosporus eft. Sub- Aaa 3 ob- C3) T- TI3* '4^ D? hoc pifce vide Bandurium ab hunc librum Conftantiai Imp. p. 126. 127, 57$ GEOGRAPHU BJrSSlAE oblcura haec funt: tamen appaist eum Burlik vocare Mae- otidib oftium , vbi fe Ponto mitcet, (eu ipfum Bospoium Cimmerium. Nam ifta ev w f5-.1v 0 BoV7ro|os, liue fjc interpretari poflis eY u ^Xojort rw rcTrw g5-.1v 0 Bicr- -irogQS fiue er w «^KavoVi rw g-cjjuu r£ Bs^aih, xaA^- [jl.Voj gg-ij/ 0 BoVTrop&s, vt Bosporum dicat traiectum^ Burlik ipfum adacum c Maeoride le exonerantem in Pon- tum. Nomen Burlico a Chazaris rmpofitum videtur, vt aotea a Graecis Bosporo. Eft autem ci>.)y Birlik -et Buriik, Turcice vnio , confociatio , quo vocabuio confluen- tem c iii Ponto Maeotidem commode vocarunt. Et Tnrcica lin.aia ad explicandas Cimaricas voces lubenter Vtorf quia in virinia harum regionum Chazari, Turcici co po. : popnkis, coluerc. At Imperator pvaeterea inter fluuios, qui 111 M.ieotidem exonerantur, Burlicum recenfet. Videtur igitur efijb ille fluuius, quem in charta Turcica ^yLy Kuban vocari video. Potdft fieri, vt hic fluuius deue&HS in MaeothT faper eius vndis natet coloremque (eruet vsqne ad Bosporum , vnde ipfius Bospori nomen Burlik ei quoque tribntum fit. Ea natura fluuios alios commemorari fcio , vt erat in Ponto Phafis (5^, et Titare- fius illeHomericus,qui Peneo permiftus kcl3? yixe^ev ein^eq yCr gXiw. Infra Burlicum Xc?^g Chadir fuit. Con- veterum morem Graecorum Chadir dico, quod ita fcio Conitantinum pronunciafie. Clariflimus Delislius hoc no- men iilis aquis artribuit, quae mediae inter Afiae conti- nentcm atque infuiairi, in qua eft Tamatarcha, e Maco- tide reruntur in Ponhnri. At hk non tam fiuuius eft, quam Maeotidos aiterum oftium et alter quali Bospojus. Tamen (5) Airianus in Porrto Euxino p. 8. VICINARVMQVE REGIONVM. 377 Tamen a Delislij opinione non abkn»reo, cum jj.o^o^.^2». CBadir et Cbidtir Turcice defcenfum, decliuttafrm, a.cn- ucm alueum fignificat, quod his Maeoticfs oltii^ pulcre conuenit S'\ qtiis alteri alueo Veruchi, in Maeotideirr le exoner.mti , tribnere nomen Chndir malifcj malto mngto affentire lubet, nc nimis ionge. a Conlthntini fidc rece- damus. Supra Burlicum Maeotidi mifcetur EaX Vat Turcae hodie JV^ Vai dieunr cetwn, pifcsm magnumr forte fic etiam oiin: Chazari. Et potuit ilie fiuuius fic vehere pifcsm, vt fuperior Xa^axyX Verziticon. Cho- r )! forte a vJ ieu y kara, quod non Tnotkr nigrum , malumr fignificat , fed et terram amtimniem r et a \*> K»/ fiue ,&v/, qusrum alteium brachhmr, alren.:m feruum. Vel fie ramen mcertum, an mgrttm feruwn aut nigrum bra- cbium, an a vicino prornontorio cominentis brachium di~ xerint, Sed haec nos non oportet mornri. Itaque hacc nomina ©onueniunt? illis fere fluminibus, quibus nos ad- feripfimus:- qmmquam et puira - exflant flumina iis in Jit- tortbu*, et ceterorum nomina fe reticere ait Conftantinus, v& hic faciie errare ponimus, tan-ien is error non Tatiua pcrtinebit.. Bbsporum Imperator ait xvrir. M. P. latum et abiecTum eiTe Bosporo rc TcqjLarag^a teYOjLsvoy k&> ggoj* cafiellum nomine Tamatarcha. Sic Anselmus Ban- dsrios e AIS. codice emendauit. Tamatarcha credfdi a (>/Ui> Tamamex a ^SS TM-di&a fuiffe, quafi nebular pbaretram Infek haec, in qua Tamatarcha fuit, ea in pa rte, qua Bosporo oppofita eft , magnum fwum habet, cuius- icij intimo receiTu tabula Turcica ponit ^V*S la- man 37S GEOCRAPHlA RVSSIAE man feu Tuman, vetufta Tamatarcha. Nebula autem , cuius pharetram dixere vrbem, omni in palude et in Ponto fupra modum ofTundi dicitur. Eodem in loco veteres pofuere Phanagorium. Si ex hac infula traiicias in Afue continentem , tum ipfo Afiatico in littore ta- bula Turcica duas turres pictas habet , alteri ad auftrum adfcripto nomine yj&* Athun, alteri ad boream eJ;*s Temrak. Medio autem in Bosporo ante Tamatarchi- cum finum tabula Turcica infulam fatis magnam ponit fine nomine. Haec eft Conftantini Imp. Atech. Ev 6? Tw jjuctci) r£v dvlwit ivj jaiAicov wjcrioy \kiyav Xcilxyl~ XoV, to \zyo\y.zvov Are^ in medio iS milliarium .quae latitudo eft Bospori fecundum Conftantinujm , fi Bosporo finum ad Tamatarcha accenfeas) injula ejt magna et de- prejfa humilitate Atcch. Turcac i&S Atek et Etek, vt Menninskius explicuir , finum , Jaciniam et gumium veftiSj tentorii, aliarum rerum appellant. Qua voce Chazaii in huiusce infulae nomine perquam eleganter vft videntur. A Tamatarchis ad ftuuium Om^x Vkruch Con- ftantinus M. P. xvni. aut xx. ponit. Ergo 'hic flu- uius tanto fpatio, feu paullo ampliori a Tamatarchis ab- fuit, quanto a Taurica Cherrhonefo Tamatarcha. Ap- paret, alium , quam hunc, quem in tabula confignaui, cffe non pofTe. Ab Vkruch fluuio vsque ad Nicopfin fluuium Conftantino funt M.P. ccc. Eam dimenfionem, vt potui , fecutus fum in tabula : nam neque anfradlus ct receffus littorum iftorum ita noti funt nobis, neque fluuiorum nomina, vt aliquid certi ftatuere queamus. Amicorum meorum aliquis me monuit, poffe fieri, vt fluuii VICINARVMQVE REGIONVM. 379 luuii nomen fit Siauonicum: nam Kpyrb Kn# Slauo- nis effe circulum , a quo finuofus fluuius nomen duxerit ; Chazaros autem, Yt Turcarum mos eft, in multis pe- regrinis., vocalem adiecifle initio vocis, vt in Iskender. Mihi quoque de Nicopfi in mentem venit, Slauonicum cife, et vt riepeKoab feu npeKonb Perecop et Precop fof- fam appellant Slauoni, ita 'HiKor£b dixiffe fluuiumy veluti non drie et opera duclam fojjam. A Nicopfi fluuio pi- j^07roXea3s M, P. ccc fnnt, Impera- tore tefte (6). Soteriopolis , quae quondam Pityus Ma- gna. Zonaras (7) fcribit, Conftantinum M. triremibus pro- fectum Soteriopolin , vt ifthic thermis vteretur. SojI^- ^io-jToXig, inquit, ••$ yuu IIu9"ia. Duae vrbes fuerunt , al- tera Pityus prope a Trapeznnte, ad Septentrionem Dio- fcuriadis altera. IKa in Tabula Turcica veterem memo- riam infignitam habet nomine fluminis conferuato. Eft ibi (jjjjt^ ^X^ Antiqua Trapezus , tum {j\j* aju^ Phutineh fluuius , quod *^j.> Phutieh puto fcribendum fuiffe , corruptum ex Pityunte. Plinius ftumen et oppidum Pityus. De aitera autem Pityunte Arrianus ( 8 ) : c^fjoj- Sclcrtv in Aio Napbtam. Addit enim haec fontium e\aia partim rubra elTe clea, alia flaua, nonnulla fubnigra. Et Bandurium hoc fugerc B b b 1 non (5) de A. I. p. 113, (6; de A. I. p. 156. 3S2 CEOGRAPHU RVSSIAE no:i dcbuit, qui quae Petrus Lambecius de hac voce ob* fennuerat, in Antiquitatibus Conftantinopolitanis ip(e edi~ dit (7). Prope Pipagi. pagum Conrtantino dicitur effc regio 2a7ra£i. Sapaxi, quod pultterem* fignificet: Eft (a- ne hoc Turcicum KJL». Safija, puluis, et a Conftantino ^olitlkiov quoque enunciatur.. lThv\ntes^ naphthae. recenfens,. fimul locorunr iliorum fitum nobis- demonftrauit.. Addit thema T^iAia- TT^r Tziliapert (ub regione ^e%ia(3a£a£ : Srecbiauarax ob naphthie vbertatem : at cum nulla fuus nota adiecta fit, vt nimis incerta in. tabula noftra. praetermittend&i duximus*. Supra P.ipagiam ad Septemtrionem y Conftantino te- rte eft Kacra^ia feu Ka^r^ia 18) Cajacbia. Cl. Delislius Cafachum medio Caucaio in quandam planitiem abftru- fit. Cum autem Imperator difcrte fcribir, k-wS-ev rvg Kaxa^ias fupra Cafacbiam effe montcs Caucafeos, et vU tra hos montes effe rvv XugoLV rv$ AAayiag, ea caufla indu- (7) Lnperii Oricr.tahs T. II. p. 817» (8; p. 113. VICINARVMQVE RECIONVM, ss3> ihAicor, vt Calachiam ininteriori et citeriori nd Pon- tum planitie ponam. Haec eit omnium vetuttilhma Ca- fi'..hicae gentis et fedis memoria* De Alanica non opus cflr, vt multa dicam , quoniam regionis eius fitus- clarif- (Ime demonftratuS' erlv cum Alani Conftantino dicuntur coluirte in planitie vltra< Caucafum feu ad boream mon- tisy hoc cft,. inter oftia Volgae eti Tanais. lgitur ab! occaiii vicinos- habucre Chazams, quorum fines, qui fue- rinr verius Alaniam et Zichiam,. paullo infra declarabo» Sapra< Alaniam- Conftantino tefte cft O^. Vs populus.. Delblius -Vzos- medios mter Tanaim ct Volgam pofuit, propioreS' vero Tanai. Non hoc dixerat Imperntor, cu- ius verna expendenda nobis funt hocloco(9>: Ig-eov, cri ei. Ilal^ivaKilaj ro dit a^% gi^ rov 7rolajJicV Atv,X rv\v dv\Sv- e\xov xjyoW:$, 7r^iv)^ypv1o dva\^y\Ka(pZv]eq roizcv cig tvV CLt/loaw ' Ka1aar>tv(i/oJO"iv. ■ KalaXaSoVlgg. Sl ryv o*v,'fxg?ov Tra?' d'j]'Zvx3alxixsvy\v yvv, >l, Ivgovles T«g Ts^Ksg c'i- >cavla$ ev du)v\, TroXgjxa t^ttw TaVag yiKYjVavles $ gn- SaXoVlg? g£e$i&fl$aV aVlas x, Kalgo-KvVwo-av gV aiTI T k, o?cT7r^aTt t7$ Totajl>]£. %o^a$, a>'$ e 'fvflaf , [Xg'%£l Tvg nifJiejov eti vh Fazinaatae, inquit, initio coluerant ad fliuium Atil et fiimliter ad fluuiutn Gcich: habuere vivinos Bbb 3 (9) !•• ^5. 3*4 GhOCKAlRlA RVSSIAE Mazaros et populum , #«#» w/.^g mwtf Vs\ antc annm aittcm quhiqiiaginta ., IJi , cum Chazards focdere inito ad gerendum btlkm, Juperiores eiiajere lazinacitis eosque re- gionibus Juis -pepulerunt: has autetn rcgioncs Vfi ad hunc vsque diem tewtti. Vetus igitur rcgio Patzinacitarum iuit ad AtU. Kcdte Delislius Volgam cum fuifle \idit. Is eft Theophanis Byzantii AraA^ ct AreA, Turcarura et Tatarorwn Jjrt AilL Syd Fev,^ qui cffet, quamquarn Ddislius ki aoHotationibib feniit, tamen in tabula negle- xit. Lego Geich, non vt ille, Gwi. Nam et Irnpe- ratoris huius tcmpOribus, et multo .tempore ante eum, ro H pronunciatum eft medio fono intcr E et I, pro. piori tamen ad poftrernam vocalem , et paene ita , vt nihil diflfeiret: hoc fecutus fum in omnibus vocibus bar- baris, in qiubus ettam accentus praetermittere foleo , quod ignotae pronunciationi magis oflkiunt, quam adiumento funt nobis. Nimc non eft obfcurum ab Imperatore dici oA> Jaik fluuium , qui in Cafpium mare fe exonerat, Et cum Menander Protecror iil legationibus (10) r&.gst- 3-3% rS 1% et rov Aaix iisdem in regionibus comme- morat, alterutrum eorum J.iicum efle opinor: immo pro Tcux e V^-fr1110 codice eft editum. Abulgafi Ba- hadur Chan in Genealogia Turcica hos tres fluuios Aj+S UuA.? , J.U* Tin (Tanaim) Atel et Jaik frequenter con- iunxit. Qiiae cum ita fmt, Patzinacitae a Volga ad Jai- cum regiones tenuere: easdem occuparunt Vzi et Ma- zari pulfis Patzinacitis, annis antequam haec fcripfit Con~ ftantinus, quinquaginta fen potius, vt infra accmatius edi- dit, quinque et qui«quagiuta , hoc eft, circiter A.C. 893. cum (u , p. 109. cd. Psrifiaae. VICINARVMQVE REGIONVM. 3s> aim Leo Philofophus , Conftatitini pater , imperaret. Vbi Imperator ait, Pazinacitas illis prifcis in fedibus vicinos habuiffe cum Mazaros tum Vzos, funt, qui pro Maza- ris Tss re Xo^ogtfg legi malint, nulla neceffitate y et MSS, librib et editis refragantibus. Cauflam intericrunt , quod Vzi deinde dicantur jxeU rw Xa^aguv focietate inita Pazinacitas pepulifle. Immo potiori iure alterum emen*- dauerim jxelci roiv Ma^oLgw Sic enim Imperator rem omnem narrat: Pazinacitae abVzis pulfi fugientes et cir- mmcurfitantes quaerebant , vbinam fedes fuas collocarent i profecli vem in terram, quam nunc teneni , Turcas, quos ijlbic reperiebant colere , bello viclos expukrunt , eaque in regione tsntoria fixerunt : rerum autem ibi potiuntur , vt fupra dicium, ad bunc diemr anws quinque et quinqua- ginta. Ex his confequitur, non Chazaros focietate cum Vzis inita Patzimicns- fedibus eiecifle , fed Mazaros. Nam yt tum erat, qui pntuete Chazari ct Vzi arma coniuu- gere, tanto interuallo feiuncffi? Si Chazari eo bello fu~ periores fuere, qui potuere Turcae pelli , necelliirii Cha^- zirorum r inuitis Chazaris?' Nihil igitur efc reiiquum 7 quam vt fic emendemus Conftantinum , quemacmodum fiipra poluimus. Igitur Mazari qiioque fupra Vzos inter Tanaim Voigam et Iaicum confederunt. Et Abulgafi Bahadur Chan cum de cls.j Kibgjak agit , ita fatur : Huic , p^pjuam, ad')!euit , Jj^jS Ogus copias tradidit , vt jkzX>j ^UUj o^jl^ ^_2Xj> et Rujch et O/ak et Mag- jar ct Baskir* qui iuxta jhuhs viAj^ JuiV^ ij^ Tin.ei Atil et Jaik colebant, debellaret: hic poftquam eos vicit^ per trecentos annos ijlis in locis regnauit, omnes ^JtezJ j$j2* Kibgjak dirlar dicii Junt: inter Ogufum et Gengis chan 33(5- :GE0GRAPHL4 WSSIAE cban regem nulli alii quam Kipgjaki jubditi annos -quatcY mille inter tres fluuios xoluere ct loeus neoeatur uixj'.^ Defii Kibgjak, Jht campus Kibgjak. Quater rnille anni., iniketa fabula eit: at iftac regionum intra Tanaim Vol- gam et Jaicnm gentcs nnlli magis tempori conueniunt, quam huic. Videntur igitur iam tum RurTi luperiores regiones occupaiTc, lub iis ad Caspium mare Vzi, medii ad Morduanos tfsque Mazari egerunt. Mazari fine dubio horum , qui nunc Hung.iri dicuntur., maiores exftiterunt. Ita (e(e ipfi appellaut. Albertus Molnar in Lexico Hun- garico : Hungaria , Magyar orszag. Hungarus, Magyar. Turcis Hungarus Jsza Magjar et jXAac* Magjarlu , Hungaria Magjar et Uy ^Ur^ Magjar h'ali^ Hunga- riae rex. Eodem nomine Hungari Pelonis. *'Cum Hun- gari ipfi ab iiia (lirpe fuam gentem repetunt, nihil du- bitationis fupereft. Hungari cnim noftri adeo non funt Hungari, vt neque Turcae Conftantini in Pannonia , quam- quam eos quoque illarum aetatum fcriptores Germani vo- cauere Hungaros. Cum autem prope Morduanos coluerc Magjari, m;rum non e(t, quod tam multa Fennica in hoc Hungarico (ermone admifta funt, vt Olaus Rudbe- quius, Olai filius, demonltrauit , Matthias Belius autem mi- nime diffitetur: Fennici enim corporis fuere Morduani. Vzi Pazinacitas quosdam , qui fe dediderant , inter fe colere pafli funt. Eos , Imperator fcribit , a ceteris Paziuacitis habitu fe discreuiffe: veftibus enim ad genna curtatis et manicis abfciffis, fignifkaffe , fe a reliquo populi fui corpore fuirTe auulfos. Cum nutem Imperator Vzos i\£ rov izo]a\x.ov ArvjX (l) 0. 02. VICINARVMQVE REGIONVM. 357 AfvjX agere fcribit^ id qnidem nihil aliud eft , quam Trgog ?cV ftolajjioV AitjX, ad fluuium Atil. Idcirco nos regio- nem Vziam ad occidentalem ripam Volgae aliquanto fpa- tio protendimiis. Cauflam quoquc aliam , fane iuftam , vt it.i faceremas, habuimus. Nam Imperator tradit Ev- v?a KXvjULala Noucm rfimata feu regiones Chazarorum ficinas (uiflc Alaniae, ita tamen , vt etiam ab Vzis in- feftari p< '■flent. Itaque non ita ionge a Nouem -climati- bus reie&i fuere Vzi, vt totus Volga eos fepararit. Oi Ov%oi) inquit, $6vav\am Wteikiiv r»g Xa^cd^yg, cig aVloTs 7rX>jcna£oy1es, £si p$&»J &7/o impetere Chazaros , ^wipptf *•#/» «v»/» wrifK jfrtf. Idem paullo ante dixerat ( 2 ) , Ctiam Pazinacitas ab Vzis bello infcftari poffe. Quae cum ita fmt, haud longe a Tanai, quo Pazinacitae contineban- tur, abfuerunt Vzi. Quemadmodum a Gtirbero Chiiiar- cha accepimns, in Taulinis montibus feu .^>U**X/yj Tati* liftan, multi populi paruis prouinciis defcribuntur , linguis admodum viginti diuiii, in quibus nominantur Taulinzi, Offi, Suani, Dz;ki feu Gjiki, Tufchi. Haud equidem dubitarim OfTos e(Te Vzos. Exftat etiam memoria prifcae fedis Mazarorum , inter Tanaim et Volgam. Nempe flu- uiusKuma, e Caucafeis montibus feptemtrionem et orien- tem verdis in planitiem deucctus, au&usque • multis amni- bus, orientem atque auflrum petit, donec Cafpio mari mi- fcetnr: duorum itinere dierum a Caucafo, Biuara fiuuius, ex planitie inter Tanaim et Volgam profe&us , in Kumam incidit. Ad confluentes fiuuios vrbis magnae cadauer ia- cet, palatiorum rudern , et fubtcrraneanim celiarum fubftru- dtioncs (a) p. 61, Tom. IX. Ccc $88, GEOGRAPHIA RVSSTAE ctiones.. CzyrkaeuT et ceteri vicini populi vrbem eam, nationis, Magjar fuifle. confentiunt,. Venio ad Chazaros in Europam. E Theophanc Byzantio in rebus Iuftiniani Rhinotmeti clariflime tcnemuv Tvv Xa^iav in parte feptemtrionali Cherrhonefi. Tauri- cae fuifle. Sed quoniam in harum gentium finibus faepe. mutatum eft, in Cpnftantini, Imp. aetate. vt fuerit,, accu- tius expendemus. Nam Tamatarcha vbi fita fuerint ,. demon- ftraui. His in Afiae continenti ad Maeotida fuere coniun- d:a Evvea Ktofjjiala Nouem- climata , feu> regiones Chaza* rorum, et vicinos habuere ad Vcruchurrk Zichios. turrv Alanos ad orientem , et Vzos ad borapelioten: E Tama- tarchis et Nouem climatibus Chazari.necefiaria.repetebant(3.)., Cetera vt accuratius teneamus ,. primum opus eft littora et fluuios aliaqne, in quibus mutari natura; non, eft pafla,, confideremus. Sic non modo ini Chazaria,, fed etiam in< ceteris reginoibus inofFenfo pede verfabimur. Conftantinus.^ dum iter Patronae a Danubio in Chazariam et Tanaim: explicat, fimul fluuios intericctos ordine fuo recenfet. Duo inquit ille, maximi, AoVa^ig k, Aayaii^q. Danaftiis, nunc Polonis Dnifter et Niefter, Herodoti Tyras: AaVa- Tt^nimcDiiiper et Niper^ eft Boryfthenes vetus, vt ex ipio fitui coguolcirnus. De Danapri nullum eft dubium.. Ptriplus Ponti Enxini incerto auctore (4): BogV(&ivv\v tto- lajjioV rlv vvv- Aavam^iv \eyo\ktvov , Boryfthenem fluuium, nunc Danapdm dlcium, Idcm in hunc modum etiam aliifc in. locis ln tabula Turcica. Boryftenes ^j* ^JjS Ofi fem (3] Cpnftantinus p..62». (4) p..8. o.. x6..ed.\Hudfon.. nclNARFMOFE RECIONFM. 389 feu IJi fluuius, tt in promor.torio, quod ex adiierfo ofiio- Tiim Boryithcnis et Bogi ttU&Vju ^Js^ Qdfi cajlel/um^ alla incjuam vrbs, quam nomine Oczakow magis nouimus. Tyram audor pcripli alio, quam hoc Tyrae nomine nbtt iinfrgniuit. Tyram etiam Geographus Rauennas Conftan- Jtino Itnp. fere cacqualis noniinat (5). F/umina Ava, Bo- ■ryftbenis, Danapris , quae cadunt it\ mare Fonticum:' itcm fluuius Tyram, item Bagos fo/am: de quibus nomimbus te~ Jlatur lordanis fapientijfimus cosmographus. De Ava Pla- cidus Porcheron nihil iuuenit, quod diceret. Videtur autem Rauennas Sauiam in animo habuiffe, et \rbis atque fliii minis nomina inquit, eft Hypanis, qui eodem cum Boryfthe • ne oftio in Pontum proflttit: et addit, illum etiam nunc jNiperum vocari. Vt vanum eft hoc poftremum , ita ce- tera funt omnia quae fcripfit : nam fluuium , qui Danapri oftiis mifcetur, Bog vocant Poloni. Is eft Iornandis Va- gofolay Ruennatis Bagos jola, Conftantini Imp. Bcys ▼eterum Hypanis. Conftantinus Imp. ceteros fluuios no- minans fic ait: ^yyyyX* X$m\ AX/xalctf, KyCpig, Boyy. Kuphis Delislio vifus eft, efte is ipfe, quem ex Herodo- to Hypacyrin et Gerrhum nominauimus. Theophanes Byzantius ( 2 ) ifti fententiae inferuire videtur , cum ita fcripfit: Bulgaros olim fupra Pontum Euxinum in fepiem- trionalibus regionibus coluiffe, et ad Maeotidem, et$ vjy eio*aye1ccf n:o\a\koq \xeyigog dito rs meav^ x.a1a(J)e- gijjLsws $iot rvfe rcoV ^a^aalcuV y vfe , Xeyqxeyos AreX, cig oV ayelaj a Xeyo'|jLevos TavaTg TrolafjLog h, dvlog dita rcoV rSv^t&ii* %uhlj& z£>iiyj>\x.zvo$ , tujv eV rou? KavKacrioi$ c^scriv. cctto cVc tys [xi£ecog r« Tavai h, rs AreX avM~ B-ev rvfc TT^oXe^S-eicr^g Maico1i£c$ Xijx^g %i£gjulsVh r£ AreXe^slai b Xeyop.e^o^KyCPig 7ro1ajxc£ x, aTrocTi^q £15 ra reXcg rvfg novliH-vfs S-aXacrcrvig, TrXvjcnci/ rcoV NeK^toV Ty- XcoV ets r; otxfwfjia ro Xeyc^evoy K*is 7r£0(rw7ro>'1 /0 (%) In notis ad Periplum Ponti Euxini £► 83.. ed» Hadfoii.. v. in Merttn^ VICINARVMQVE REGIONVM. 39I quam fe exonerat fluuius maximus, ab oceano deuectus per Sarmaticas terrasy Atel: in quam etiam fe exonerat 7 a- nais fluuius , qui et ipfe ab Iberiis pottisy quae inCau- cafo montefunty d.fcendit: poftquam Atel je mifcuitlanaiy iterum Atel fupra moio dkiam Maeotin curfu Jiio diu?r- git , atque ab eadem regione Cuphis fluuius dcfcendit , et in Fonticum mare prope Necropvfa ad Criuprofopon p/o- mmtorium effiinditur. Magna eit miferia,, vbi iu aucto- res huic fimiles incidimus, Tamen fujrerandi etiarrr ilfa moleftia eft. Superari autem nullo modo poteft, nifi fl recordemur, quod faepenumero monuf, quam formam geographiae iftius nonnulli nobis traditam reliquerint. Eft illis Caucafus ad boream remotifiimus,, Cafpium mare paene ad boream Ponti Euxini, inter ytrumque coniun- dio exftitiffe vift. Inde facile fuit Theophani , vt Vol- gam et Tanaim eodem alueo confluentes deduceret in Pontum. Cuphin ad Necropyla exonerarf ait y quod mi- nime contemno: Cuphin item ab Volga et Tanai > quod eft perridiculurm Modo vbi tam vanus eft Theophanes,. non item Cuphis oftia eum fefellerint: ni id acciderit, neceffe eft, vt quaeramus Cuphin eodem nomine fiuuium alium in Afia. Geographus Rauenuas(3): per Chaziro~ rum patriam plurima transeunt flumina . inter cetera fluuius maximus Cupbis. Niliilo hoc aduerfum videiur Theophani, nifiRauennasChazariaeNouem climata in Afia refpexit, cum mox fubiungitLazicam. At, fi Menandrum Protectorem vi- deas (4), Cnphis paludibus mifcetur, neque ita procul ab Alania eft, immo ad orientem Tanais. Quare is Cuphis Menandri alius eft, quam hic Conftantini. Nicephorus C c c 5 Coa- C3) r- 13 +. (4) p. 109. 39* GEOGRJPHIA RVSSIAE Conftantinopolitanus (5) Tt Theophnnes: 7rep( rv\v MaiS- W Xijxvtjv x,ala rov Kcu'(J)iva 7rcflajxcV xaS-is-alaj vj Tra- Xaj XsyofJLeinfi jxeyaX^ ,B«Xyapia, «Vtftf Maeotin palu- dem iuxta Cophlna jiuuim efi olim dicia magna Bul- garia. Bene qnod 7repi ryv Maiamv, af Theophanes difertius, com Necropylis mifceri tradit. Nomen fine dnbio Turcicum eft, fiue a eiJT Kiif, mucore, iiue a lj^ Kuf et ^iiT Kuf bubone, noftua. Proxime ante Cuphin Conftantimis recenfet AXy.a1a|. Qiiodfi Delislium audi- mus, is 'fluuius hodie nomen feruat Alma. Nihil eft ye- rofimiiius. Qiiare cum Bogus, Cuphis, Alma, naturali fvtus ordine ponuntur , fequitur Hybul et Syngul ita fuccedere, \t proximus ad Tanaim fit Syngul. Hybul e MS. J3an- durii, erat enim a JVLeurfio TvpyA editum. Remorabitur nos adhuc Danapris feu Boryfthenes. Necropyla finus ad Danaprin iam fic fatis notus. In pro- montorio orientali ad oftia fluminis exonerantis fe in finum, ra A<5apa Adara (■ Nejupey v Sorabis^ Lufatiae Nejpai^ vt Ghriftiani» Schoetgenii V. C amicus- obferuauit: (i.) Rulli HhcnnNeJpi dicuntr. Qiioniam in ceteris cataraftis^ nomina Ruflica a Slauis^vehementer. et toto genio discrepant,, mi- rum efl ,/fiac in vocc RurTos et Slauos. concinifle.. Vereor autem.iie nomen Ruliicum.excider.t:,. vt foium Slauicum ex- flfet; Hanc cataractam Imperator ait, adeo anguftam efle, i'(Tov ro 7rXa1o$ ry T^Kaj/ig-vi^ty. Tzycanifteria , in quibus Imperator cum nobilibus hominibus eques ludcbat pi!a , duo Conftantinopoli; fuere: alterum vetus, alterum nouum: in- certum quoddicatvet incertius quae aliemtrius latitudo fuerit. De catarada vero Imperator, \x.£(rov crjly ner^a\ h&igi%vfr fxalccj;, h^y^Xoui, vy\Aya\> Siegiwnvlvjv, qui explicare haec poflent, cum deinde Conftantinopolis ipia afflucret Sclauis , aula complures ndmouiffct of- ficiis , adco vt mulras voccs .Slauonicas lingua Gracca ad* optarit. Impcrator hanc cataractam priori fimilem fuiffe fcribit, quam intularum ipecicm reruliiTe dixerat: inde nc- rnen cataraftae Shuonicum. RuiTi cataradtam vocant noporb porog: at vt me amicus Aftracanenfis , Siauonice perqium doftus, certiorem reddidit , Slaui id ipfum nparl) prag enunciunt. Er OcmpoBb oftrozv infula eft tum Rnf- frce, tum Siauice, inde Cedreni (2) locum 0^0(3» didum puto. Eodem au&ore Aftracanenfi Slaui dicunt ocmpoB- Hon nparb Oftrownoi prag , fed multo elegantius eis vi- dctur ocinpoBHH nparb Oftrowni prag, vt fit infularis cataralia. Et hunc in mcdum Conftantini 0$-foj3yyi 7r^ay erit non Oftrozvuni prag legendum , fed Oftrowni prag , ita vt y confonantis vicem praeftct. Tertia catara&a TsXav^i Slauice explicat Imperator h^S (p^ay^ fonh tum catarctttde. Nemo eft, qui mihi hoc exphcet: ne- gant omnes Slauonicum efle. Idcirco credidi RuiTicum npmen fuiffe, et Slauonlcum alterum, quod apponere fo~ let Irriperator, fcribarum incuria excidiffe. At Schoetge- nii V. C. amicus: Gelandri Bohemis eft tumuhus, fiue fo- nus furentium. Apprime ad Conftantinl iententiam. Quajv ta cataracta RuiTi» Au$a.% Aiphar , Slauis Neacr^r Nea- fit, a pelkano, qui inter faxa huius cataracrae tiidos ha- bet. Nihil melius conferuatum : cft enim tam Ruflis, quam Slauis He>acbHnb Nejajit, pelkanus. Ita cum In- ter- (t) p. 705. VICINJRVMQVE RECIONVM. 395 tcrpretes Alexandrini S. Dauidis Regis ftropham conuer- tunt Graece(3) wp.o^S-^ -neXehavi cp-v^iKw , EyevYiBy\v (hcrel vvKliKopaZ ev CiKGneSu), Siauomcus interpres pro nreXexccvi Nejafit pofuit. Quinta cataracta Ruflis Bapa- (popo$, Slauis BxXmtpax yulniprach^ qui paludem ma- gnam efficit. Amico ciudam et do&iflimo et acutiflimo vifum eft ex bo-ahchhow noporb feu nparL corruptum erTe , vt fit cataracia flutiibus vexata. Vt Schoet. gcnius obferuatum reliquit, wolny Bohemis expeditus. Iam fexra ciLiratfa Ruflis Aeavli Leanti, Slauis Bepxlfy Ve- rutzi ^aa-\ka vefi vertigo flwninis: plane a Bupb vir, ver- tigine eft Bnpyqin virutzi , vertigine aclum. Hiftoriogra- phus ad cataractas dBAo6epe^iH victum fcribit a Peze- nigis Suendoftlaum: credo has ipfas erte, quas Verutzi vocat Imperator. Quare hoc Bandurius e MS. re&e edidit, cum ante legeretur BepoV^ Verontzi. Denique feptimae nomen cataradae Ruflis i^rpy(3yy/ Struvuny Sla- uis NaTrp^-v) NapjFeJi, [xiRpog (J)pay^o$, parua catara* cia. Amicus nofter fuspicatus eft, corruptum effe ex Hanpara vel Hanpemw Naprefcbij intendere vela^ quod quidem in parua catara&a fleri potuiflfe verofimile eft. Mirum, quam Ruilica vocabuia nemo interpretari poflit: adeo nihil Slauonici continent , vt ne fonum quidem vei tenucm Slauonici oris. Incertum deinde adhuc , an Ruf- fica illa nomina cum Slauicis fignificatione congruermt. Sed de his alias. Naturae iftis quafi veftigiis ad disponenda regionum nomina commode vtemur. Primum Chazaros in Euro- Toin. IX. Ddd * pa, O) P^imo oa"v77; ' m 39* GEOGRAPMA RVSSIAE pa, fuis fpatiis, vt tunc fuere, deflniemiis. Dixi eos in feptemtrionali regione Cherrhonefi Tauricae coluilTe. Ad hoc vsque tempus in ^U^ jy Krim infuJa ( vt nunc Tnttari dicunt a veteri voce Kpvjfxvyi) ad orientem feu ad Bosporum Cimmerium , eft yj&J. J*& 7>&V/ Itirfcb, quod quamquam a confliisnti niue , vi vocis videtur du- cTum, tamen fortaffis corrupto fono Chazarorum potius veterem memoriam conferuat. Nihil aliud de hac gente dicam, quam quod vel maxime ad fitum regionum per- tinet; merentur enim res eorum pecuiiarem diflertationem. Tenebant autem tantummodo interiorem Cherrhonefum ad boream: littus omne a Cherfone ad Bosporum vrbem M. P. CCC. Romanorum foit.. Hoc thma Cherfonis di- citur Conftantino in Thematibus (4): KXiy.a1a vero et vrbes Cherfonis KaVpa rtov KXiy.altoK, in libro de admi- niftrando imperio(5). Diximus ex Herodoto, foffam a Scythis du&am fuifTe ad muniendam Cherrhonefum. De h:ic fofla fic habet Conftantinus (6). Veteres e Maeoti- de, foffi in Necropyla du&a, vltro citroque nauigafTe. O $e dyloq kcXhos t inquit, rvg MaituVicVog ep^elotj aV~ rtKpi rtoV N£Kp07ruXtov rtoV oVltov 7rXvjO-iov rs Aava« 7jp6ug 7ro1ajuLs, &s a7ro fxiXitov £', h, pjcry/loq, gV cf, x, trscW 01 7raXaioiv 7rovJcrap.!-voi cVi£(3i(3acra^ r^ @a- Xacrcrav, fjucrov a7r0KXv;o"ayle5 naorctv rvjK XepcrtoVog yv> g rcov KXi4martoy x, rvV BocrTropy yyv KpalScrav p.{- ^pt a juuXiuv , v| x, 7rX£ioVtox rivtoV. Subobfcura haec fic interpretor: Sinus occidentalis Maeotidis fitus ejl e re- gione NecropyJorum , quae funt ad Danaprin fluuium: di~ flat autem finus ille M* P. IV. a NecropyJis et mifcetur (immo (4) p. 30. <5) p- "3- (6) de A- L P- n3« VICINARVMOVE KEGIQNVM. 397 ( immo quondam mifcebatur ante Conftantinum ) eo in kcor vbi veteres fojfa dutta traiecerunt mare : ea fojja abfcide- runt Cherfonem, Climata (feu littora Cherfonefi a Chetf- fone ad Bosporum vrbem) et Bospori wbis agrum (a con- tinenti Scythiae) is denique littorum a Cherfone ad Bos~ porum circuitus fuit M. P. ch. et amplius. Sic e Mae- otide nauigatio in Necropyla longe breuior fuit, qnam 11 littora illa totitis Cherrhonefi circumnauigarent. Hanc pu- to effe fententiam verborum: nullam enim aliam reperio. Illa autem foffi Co-nftantini aetate adeo fuit obftruda et obruta humo, vt denfam fyluam ferret. Duae per hanc fyluarn viae: vna Cherfonem petere folebant Pazinacitae et Climata Cherfonis, altera Bosporum. Non autem tan- tummodo ad Cuphin vsque littora Graeci tenuere, fed etiam vsque ad Danaprin. Nam inter Danaprin et Cher- fonem falinae et portus Clvrrhonefitarum fucre, dno \xh tS Aavanpeus 7ro1a.p.8 \lz]cjl Xepcr&rGs iicri jJuXia r\ iv ru /uLforoi Se XifXKoq x, Xi^eves eicriv, ev &"iq Xepcra)- vfloq ro &a$ ipyatyvloui (7), a Danapri vsque ad Lher- fonem funt M.F. CCC. in medio paludes et portus , in qid~ bus Chsrfonitae falem et conficiunt et diuendunt. Eft enim extrema vox ambiguae fignifkationis, ita, vt aitera ftgni- ficatio ad paludes et faiinab referatur, altera ad portus. Hos portus neceffe eft vltra Necropyla haud longe a Bo - ryfthsne fuuTe, quia Necropyla ipfh nullo modo nauigari poiTe Conftantinus teftatur. Iam Dio Chryloftomtb de his ad Borvfthenis oftia falinis (*) ra.v\y\ Se x, aX£y €5-1 ro 7rX->j3-os, oS-ev 61 7rXeiyg r&v (3ap(3apwv Xaf;. j3a- yariv, dvi\xevo\ rsg aXag, Koq r£v EWrytov % Sku- t Ddd 2 Svw (7) F« "J. W 1* Boi) fthenitica p. 437* 3p3 GEOGRAPHIA RVSSIAE S-wv o* %t%iivypw oWvk ttJv Ta'Jptftv>« £fe yeri etiam jalis ejl copia , vnds pkrique baruari jakm petunt wnduntque. Et Graeci quoque Scythaeque , qui Cherrho- nejum incohmt Tauricam. Inde a Boryfthenis oftiis ad Crarn traieclum videntur adhuc Cherfonefitae coluilTe: Con- ftantinus enim ait (8): eo traiectu, Pazinacitas, qui ad occidentem fluminis agebant, traiecifTe in Cherfonem , Cherrhonefitas vero in Rufliam. Et cum alibi de lega- tis tradit (9) , morem hunc fuifTe fcribit, cum per Pazi- nacitas Conftantinopolin ventitarent, vt Cherfone fubfifte- rent, donec vltro citroque obfidibus datis deducerentur & Pazinacitis: ergo ad traie&um Cherfonefitae pertinucrunt , ne opus ertet, vt a Chazaris quoque commeatum peterent legati. Iterum Pazinucas Cherfoni vicinos fiufTe (cribit Imperator (10) et alibi (1), vicinos rw yipq rv$ Xep- (roovog, ita vt imprefiionem facere poffent, cum vellent. Vt illo in loco de Patzinacia occidentali loqui videtur, ita in altero plane de orientali flitus eft. Illa ad Crarii traie&um finitima erat Cherloni, Boryfthene fluuio inter- cedente; haec ad orientem eius traie&us, contermina fuit parti Cherfonis, fuccedentibus deinde Chazaris, qui reli- quam Cherfonem et Climata a Pazinacitis orientalibus fe- parabant. Loqui autem Imperatorem de orientalibus , snanifeftum eft. Nam cum paullo ante de Pazinacitis Bulgarorum, RuiTorum, et Turcarum vicinfs, hoceft, de occidentalibus difTeruifTet , hnic fermoni fubiungit: on $ trepog Xac$ rwv YlalfyvaKi\(A\> rco fxipgt r>% Xepcr&vog mapoLKetvloui , etiam alter pnpulus Vazinacitarum partiCher- Jonis adiacet. Igitur inde a Crarii traiectu et ad catara- "(8) p. 60. (9) p. 57. <*°> )?• 55« cGnfcrOp.VII. O) P* 57» FICINARFMQyE REGIONVM'. $$0 &a$, Pazinacitae occidentales Chazaris collimitnbant. Ca- tamcftis vtique Pazinacitae praetendebantur. JNam cum Ruflorum nauigationem delcnbit Imperator, ad catarafta- ru.n orientalem riparn excenfionem iccttfe fcribit, et Pa- Bnacitas tamquam mfenfiflimos hoftes vehementer cuurTe, eamqueob caufTum, ne opprimcrentur, egirTe excubias. (2). Alio loco quem infra adferam, difertius fcripfit , quem- admodum Pazinacitae RurTos ifthic circumucnire fint foh> ti. Tradit deinde ad Crarii traiectum Pazinacitas faepe- numero excepifle RufTos, nauiuni clafle oppofita. Hi vero iam occidentales (unt Pazinacitae. Qni limites Cha- zarorum et Pazinacitarum deinceps fuerint, non inuenio; videntur autem non ita prorft fuifle, quam transuerfi a Cuphi flumine ad Tatiaim. Nam ad Tanaim Chazaros pertmuifTe liquet, quia ad eum fiuutum munitiflimum caftellum Sarkel tenuerunt, cuiu-s fitum arcis fl expiora- uerimus, iam quoqtie fines Chazariae ad borapelioten de- finitos tenebimus. 2ap«eX- e Chazarornm lingna Imperator graece edidit A&itpoy Oo*7riT"ioy, Album Hojpitium. Leon- tius Byzantius (3J: SapKeA Abvkcv oWvjjxa, Albadomus. Linguam Chazarorum Turcicam fuirTe reperio. Iam^a Schsr vrbem fignificat, ji, Kily lutum, argillam. ^>£^ot Akfchsr , Alba vrbs in Rumaea f. - Afia minori, corrupte J^«ai\ vt Abulfeda indicat. Nam cum ad aedificandnm caftrum Sarkel eo in Ioco non effent lapkidinae , fur- nos conftruxerunt, et lateribus coclis calceque e -vicini fluminis minutiflima glarea, £k /JLinpcoV twuv xa^Ai^t&y materiam pararunt, tefte Conftantino. In condendo ca- ftro Graeci > feu , quia ita maluerunt dici , Romani opem Ddd 3 tule- (3) p. do. (3) p. 76. ±00 GEOGRAPHIA RVSSIAE tulcmnt. Conftantinus : c ILayavog o x, IT^ Xacrapfa^ quae verba aliter interpretari non poffumus, quam, Cha- ganus Chazariae, -qui etiam Fech dicitut". tamen cum ad~ dit Imperator, £15 rov BacriAEa 7rpgVj3«s aTros-eiXaxles , et quae font deinceps, ipia nos neceflitas cogit, vt emende- mus h, d Il£%. Tum praeterea hoc ipia ratio fuadet. Diuerfi enim funt Chaganus et Fecb. Vt ^UiU Chakan apud Turcicas gentes lmperatorius atque Regius tituius fuit, quo maior efTet nullus, ita <±lo Beg tantum Principis et Ducis, qualem in Sogdiana Alexandri M. aetate fuifie Bochurn illum puto. Et ita effe fcribendum , Leontius Byzantius , aut quisquis is eft , qui iulTu Conftantini Imp, res Thcophili Imp. fcripfit, demonftrat (5): 0 rz Xa- yavoc, Xa^apia? k, c IIe^ 7rpc$ rzv AulcHpaTopa £7rejJ.7rcv •7rpe<7(3et/Ks. Vbi Chazarorum Rex et Begus quidam, feu gentis Chazaricae Princeps, legatis mifljs Theophili Imp. opem imploranerunt, is rov 'Sl-naS-apixavSiS alGv IlelpGJva, rov £7roro|jLa^c|jLe^ov KajjLalvipcV et cum eo rov Ka)eitavu HatpXayoviag cum chelandiis operisque ad condendum caftelltim Sarkel mifit. Clariffimus Delislius Sarkelipomt ad fontes Donez, feu Tanais minoris. Cauftas edidit hasce: e(Te ifthic vrbem Bielogrod , quod nomcn ipfum Sarkel feu Albam vrbem exprimat, et cum CorlftantinusTcripfit, ad fonces Tanais conditum effe caftellum , videri ftbi ve- teres hunc potiiTimum Donez Tanaim vocaffe. Tradere enim Imperatorem fontes Tanais e Riphacis montibus oriri ; at Don maiorem illum vbi primum fcaturit, mon- tes habere nnllos in vicinia: denique fi Sarkcl ad Tanais maioris fontes, non ad minoris conditum fuerit, trecen- tis VICINARVMQVE REGIONVM: 401 tfe et amplius milliaribus a Chazaria divTitum fuifTe , quod vero non fit fimile. Haec Delislio ita funt vifa. In re ipfa docWimo viro adfentior^ Inuenio enim Pazi- nacas fupra Donezum ad Tanaim alterum egifle , co Sar- kel non potuit ad huiusce Tanais fontes in Chazarorum poteftate erfe. At cum Donetzi ripam ftrigam obie&am Pazinacis haberent Chazari, fontes eius ^contra eosdem , vt antea contra Turcas, quamuis cognatos fuos, munitos habuerunt. Leontius Byzantius: igi- Ka\a Tavaiv 1:0)0.* juioV, og rsg. MalfyvaKiras ivlevS-ev , x, dv]v$ Sieipyei ras Xa£«pyg ex.e79sv, caftrum eft ad Tanaim, qui flu- uius fazinacitas inde , atque binc ipfos Chazaros difter- tninaU. Nihil magis perfpicue dici poteftr, vt Donetzum erTe putemus, quem Imperator vocauit Tanaim. Iam Conftantinus fcripfit ■(<£), Petronam a Danubio euectum, ker dierum fexaginta feciffe ad hunc locum. Si , vt erat Herodoti aetate nauigatio Graecorum (7), longo die LXX. millia orgyiarum noCtu LX. millia confcfta funt et a faucibus Ponti ad Phafin , quae maxfma Ponti lon- gitudo eft, Herodotus ipfe diebus nouem , octo no&i- bus nauigauit, qui potuit Petronas totos dies fexaginta confumere in hoc curfu? Hcrodotus ex dierum inter- uallo concludit, Ponti longitudinem efTc evSeKa fxupta- Sols x, z-koMv cpyutewv hoc eft, orgyias 1110000. (vbi e Laurentii Vallae verfione a Iacobo Grononio relitftum eft: centum et decem millia orgyiarum et centum) fme $al>\o\ eKa)ov k, ^iXtot $ jjiupioi hoc eft 11 100. ftadia. Hic tametfi Herodoms fummam venti opportunitatem nactus fuerit, tamen vel aduerfo quemadmodum fexa- ginta (6) 1. p. 92. ed. ft.cuberi. (y; p. 420. 2»o. 451. (10; p, 225. VICINARVMOVE RECIONVM. 40$ Itinere , ab Vzia quinque (i). Quis mihi negablt f Patzinacas fupra Donetzum ad Tanaim pertinuiffe , vn- de viciniores Vzi , paullo magis difliti Alani. Ab Ruf- fia, inquit Conftantinus , Pazinacae vnius itinere diei abfuere. Igitur ad Boryflhenem infra Kiouiam fic collo- candi funt, vt vnius diei iter inter vrbem atque agrum Pazinacicum interfit : inde ad Crarii traiectum , vt fupra diximus, Cherfon excepit. Imperator (2): ori h, roT$ P£g 01 Ha1<^>uraj yetrons x, ojxopoi KalsgyiK&.cri , Ruffis etiam Patzinacitae finitimi et contermini funt. Tum tiddit, femina illa bellorum inter Ruflbs et Patzinacitas, quae nobis veteris Ruflicae gloriae cauffo commemoraa- dae funt eius verbis^ Koq -vroXkiKigj orav j^tJ Et faepe , cum tnter fe *&po$ dKhYiXxg iipyivevxci , pacem non colunt, depraedan- ttrpaio^jycn rr\v PwciaK kocj turRu(fiam,et admodum agunt \K.avtt$ gL'J\y)v '3rapagAa7fWt feruntque ; quare Rufji diligen* xocj Xi/,aaiiw1oq. ori koc/ qi terpacem cum¥atdnacitisfer~« Poj$ £ia 0-7^% lyyvw eipv;- uant-.nam ab iis boues, equos, yvjv iyjiv jjl/U rtiv Tlal^im- et oues mercantur^et inde iatit xflwV. ayopa^yo~i yap zi, commodius Jautiusque victi- dv\uv (3oag, kocj i7T7ryg, koo? tant: nam neque boues, neque TrpcSala, kcc\ eK ryrojy sufjia- #«££, /Ktf ^«i in Ruffia funt. p£$£pov £ia^£o-i Kotf rpvtfiepo- Ac ne quidem ad bel/afupra repov. 27TB \y.yfizv rw Tirpo- fines ( puto bella cum bo- «p^jjicVww ^ojow eV r^ Poxria realibus populis aut cum o- x,a9-cV^Hsv. aAA' «^s rtrpc^ rientalibus et SJauis vwpcpioi {>7r£popib'5 'TtroAejj.yg otTrep^s- dici ) omnino exire pojjunt Tom \X. Ree Rufii (1; Cwiiita.aii.uo lmp. 1. c* p. 106. (2; p. %%* 4©4 CEOGRAPHIA RFSSIAE c&xj Svvcwloui oAwg ci Pcag, ii Rujft, riifi cum Patzinaeltff p.v jxela raV Sal^iraorftiur /)#* yfr, Jw/Vr Pazinacitae iipypirhjofleq , Jifn Wvai>1aj poffunt , tw» Ruffi fuis fini- iv rw eneWf; toTv o'ik«o)v i>- to excedunt , irruere , /?w/~ 7ro^opai/, dwloi e7rep^ojjLevoi yfcww ^grwztf peffundare et de- ra £H.«vcov d(t>avi£ar re ko) uajlare. Ideo magis jempef ADjjLai'ec3\xj. £10 jjiaAAov aei maximum jludium in eo po* Gir&Sy\v efi P(Ss" riS-evla^ Sitx fuerunt Rujfi , «r # Pazina- re TB jjlvj- ^ apag Aa7r1ec&af citis laedantur , fed vt potius r ttrap' aVlcBV, koj rc i %'^po v ^ww ^^ ^m taw valida hvou{ ro ro iy rov e'9-voc; gtu/jj.' Li}ti)> eipyvev- munus cum Pazinacitis pa- ovlosj Sffc P(5?5 TjroXejjLy yo'jmw rew tt?/# »^w? RaJJi aperto xala rvfe PcofJLaicov £7riKpa1«as, &7/tf contra Romanum Im- fife 01 TypK.01 ^ytfavla^ £7reX- perium mouere pojfunt , ?ieque S-3v, ocXX' tfTe u7rep t% ei- Turcae: immo ne quidem p>1">1S /J-eyaXa kcxj vitepoyKa pro pace danda magnam tt ^^v/jiala T£ h, 7rpay{JLa1a 7ra intolerabilem vim pecuniae , pa rcuv Pco/jlcxicov ^uvavlaf a- m^«? tf//tfj" ito/ intolerabh TraflsTv, ^e^ioreg rvv £ia ry /?j # Romanis exigere pof- toists eSvyg ^srapa Ty &acn- funt, metuentes Pazinacita- Xecog KaT a^1cLVi%uv? zv rS rum ab Imperatore contra fKeivyg Kala PwjjLatcov £K$-pa- fe excitatam potentiam: eo tiuw\ oi Ilal^ivaKiTaj, koj enim tcmpore , cum Romanos rvf itrpog rov gaenXea (J)iXia W/0 premunt , Pazinacitae (tjvWjjuvoi, k, ■wageKeiv* $ia et coniuncli Imperatori ami- ypajj.(xaTcov k, Wp&jv ciVaTW- citia, et ab eo litteris mu- 9-6{xevoi, Suvavloui ^a^icos Ka neribusque exorati , regionem ra^v^ ^copag r£v ref&q kol) Rujformn et Turcarum in- Tcov TypKcov eTrep^sc&xj x.a>; uadunt, et in feruitutem ab- cijavo^paTroo^ec&ccj Tct ryrcov ripiunt coniuges liberosque eo- Eee 2 yjvaia W P- 53- ~""^ ' " 405 GEOGRAPHIA RVSSlAE y:mia x, traiSapta, $ X-vji- n//;/r tf totum agrum deua- % cd"aj ty\v X(^?a)/ ^^V' jlant. Q-iod alt Imperator, Ruflos irmgnam vim pecuniae pro pace a Romanis exegiiTe, hoc \ero Ruflicorum mo- numentornm fidem confumat,. cnm grandem pecnniam pro pace a Conltantinopolitanis. exprefSam traduuu Cum autem fcribit , etiam alias res magnas et intolerabiles popofciflfe, hoc quid fit, alio loco declarat (4)- Nam praefitus> quanta opum et quam infatiabili cupiditate boreales gentes fint„ quam petitiones eorum et mandata intolerabili impudentia r (ic ait: gfle a&axrycri^iQrole $ ai- Tvcrwvloq effe Xi^apoi, eCk TypKOi, efle x, Pco$, y) ergpoV n e3vog rcov §op«a!v' kom. ^KuSmooV, aia. ^uroXXa, ci/fjt.- P^ivtf, e*K rcov SacnXeicoK lc&>frcoy, -v) $-£ y.[xar cov, vf s-oXcuV> hzKOL nvo$ cVyXeiag koc/ £7rypyia$ aJlcLV aTrofaXvvaj au- ToTg, yrco %p>i ce a.7roXoy>fcrec8raj, «//# volent, et pe~ tentr fius Chazari , fiue Turcaer aut Ruffi] aut alia ali~ qua feptsmtrionalis et Scythica gensr vt faepe accidit , ex regiis vejlibus, aut diadematibus, aut Jlolis , pro feruitio et minifierio fuo fibi mitti % ita oportet te excufare* De fitu Pazinacitarum alibi Conffantfnus (5 ) : y] £e Tlaltyvaxia -wacrav rvv yyjv rvg re Pcocnag h, Bocr- Tropb KalaKpalti, ko!j p.?XPl XepcrcoVog, kocj ecog ro ^apar, Bypar kcxj r£y X' jjiepcoV, Quem locum fic explico: Pazinacitas omnem regimem intra Rujfiam et Bosporum tenuijfe, Yidetur enim fju^i excidirte, cum fuerit antea y&%fi T>fe r£ Pcocria^. Bosporum dicit regiones vete- ret (4> P 63* (5) P- x0* *«&• VICMARVMQVE REGIONVM, 407 jes Bosporanas r -xbi nnnc Chazari et Cherrhonefitae. Mix^ Xeg et CherfmwmY ceterasque regiones. Regiones, feu po- pulos quatuor7 duobus locis recenfet, nomimbus diuerfis; K«ap1#Xa Xa^a^ajv Ha^^y , ab imis Danubii fluminis regionibus , e regione Diftras Patzi- (6) p. 6«. (7) p. 160. (!) p. xix. VICINARVMQVE RECIONVM. 40* Fatzinacia procedit et pergit eorum Jedes vsque ad Sarkel Cbazarorum caftrum. DeiisJius putauit fluuium dici : at vrbem Diltram citat Imperator. Cekbris vrbs Aig-pa,- Apig-a, ApiVpa* Api^-ov multis fcriptoribus. OUm Do- roftolwn Moefiae ifijerioris vrbs ad Iftrum , vt recte ob- feruauit Anselmus Bandurius. Anna Comnena (9) ApU gpoL -TtroXig f ttrfpi rcov Isrpoy $iaxup.emv 7repiCpavV|g. Ccdrenus (10) ro AopoVoXoy,. a x, Api$-pa KaXnTocj. Ad fluuium fitam efle, etiam Cedrenus confirmat. Me- nologium Bafilii Imp. ( 1 ) nacTiKparvft kccj Bahevilyog &-itvipX0V ** r^s troXecos Acopo^aXy' rvfe Ka7r7ra£oKia£.- Re- roftolo in Macedonia. Nam Menologium alio loco (2); AaSas , Ma£i[^os x, KivliXiavos i/^p^ov m tv$ itro'- Xscog Aopog-oX» rvg-MaK^oyiag. Sed accurarius alibi (3)', ik ttroXgcog Aopo£o'Xy Mucnag r% 0paKv,$ et AopoV Xa(3y£iyyuXa TvXa Xa%o%oy\ Xapo^o^ Ia&heplij* Hp1>]j/ Cjaziehopon feu Chopon^ •^rX^o-ia^tj rvi' ByXya^fa tf#** *#£ #) , OTreg eg-i 7ra>t1iofliM.oV KoVpoy tojV P£$, fine dubio, \t Slauoni enunciarunt , Vitepski RuJJo/wn vrlrs tributaria. Nnlium \rbis \eftigium repe- rio ad Danaprin. Vrbs eft illo nomine in Lithuania ad fontes Dunae, a qua totus palatinatus Vitepskenfis : nihit autcm ad hanc Kiowienfem. Praeterea \rbes in Ruflia Imperator nominat (7) MiAiWcnta, TeAiyl^a, T^epviycoycs et Byta9-e'£e1o, ab exteriori RuJ~ fia lintres defcendunt Conftantimpolin : Junt auiem ab Ne*- mo- £*) r» 4.27' 45 *« C$ ll7- W P" 59 = VICINAMMQVE REGIONPM. 413 mogardas, vbi Suendoftlabus filius Jngoris pimipis Ruffiac conjedit. Ne\koya$($aq eft fiue dubio Nr:yaf>dct, Neogrod feu Nouogrod. Crcdidi initio effe, quod Delislio viium, JSJouogrod Sieuirsky hnud ite longe a Czernigoga. Et quam*- quam, quod cx Rufticis monumentis conftat, haec quo- cjue vrbs in poteihte Rufforum cum tota Sicueria fuit, tamen potius cenfeo ene Nouogrod IVeliki, et circumietfum agrum ty,v \\u Y&viav dici. Nam in Rufficis monu- mentis inuenio, Suendoftlabum, ita vt Imperator fcribit , illa in Nouogardia egiffe. Nouogrodienfes merces (iias conuehebant Smolenfcum, inde fecundo Danapii lintribns Kiouiam: qua ex re ortus Conftantini Imp. error , vt etiam Nouogrodum crederet ad Dauaprin fitum fuiffe. Proxime Ruftbs Kiouienfes, eornm tributmi Sfauooi egerunt, fupra Pazinacitarum regionum Ja-iudiertim. No- minantur Conftantino Ovkriva AepSkevwoi , Aevtyvivoi xof Xomol ^xXdSci (8). Forte Ape^Xevivus Imperator fcripfit. Noti in hiftoriis tum Rufficis, tum Polonicis ^peByi^He IJrewliani, voce ducta a ligno et Jjiuis. Aev- ^ivivoi, feu, vt alibi Asv^av^va t forte vt putat amicus meus, A^BcHbie, Lisnie, Jjiuejlres. Kpi&rfa feu Kp^vj- *ra\Y\vo\ (9) Crivitzi, Criviteni , noti item RufTicis hifto- riis KpMRMHH Crivizu Horum fitum iatis accurate tene- mus. Nam cum Pazinacitarum iedes ad boream ita pro- duximus, vt haud procul ab Kiouia abfimus , regioni au- tem Jaiudiertim illi ipfi Drewlinni , Lenzinini, et Crivitzi vicini fuiffe dicumur, fequitur eos ad Pripelium feu Fri- pieez fluuium fuiffe, Hoc egregie confirmat Imperator , Fff 2 cum (8) p 106. (9) p. 59. 4i4 CEOCRJFHIA RVSSUE * cum fic ait de illis populis: ii$ ra opy\ dvlw KoVlscrt ta [xcvo^vXa ev rw rs ^eijuccoVog xaipw xou xalapl^- cravlsg aJT£v, rs xatpy aVctyojJLevy , y\ vixa cYiaXu9-y V 7rayel;s, «S ra 7TX-v]crio^ scrag Xtfxvag gVayya-iy ai/la xalj £7THcYy exwVoq etcr(3aXXcocny sig 7ro1ap.oV roy AaVa- Trpiv, a7ro rcoV exScre-, yroi i\q rlv dv\ov 7ro1ajj.cV eicr/p- %oj1oj k, aTrgp^ovlocj eig rd Ktc(3a $ crupacrty eig rv]y f^otplvjcriy x, aTrejJLTroXycnv aila e'ig rsg Psg, *» montibus fuis caedunt lintres hieme et fabricant , tumvere, vbi Joluta nix fuerit, in proximas paludes deducunt et quia illae pa- ludes in Danaprinfe exonerant, inde iam et ipfi flumen per paludes ingrejfi Kiouiam nauigant, lintres educunt, et ven~ dunt Rujfis. Montes aut potius fupercilia, fyluas, palu- des ad Pripelium inuenimus: Pripelium ipfum Danaprin dixit, quia illo flumine milcetur. Drewliani igitur et Lenzinini in primis ob vim nominum ilHs in montibus ct faltibus egilfe videntur ad paludes. De Vltinis nihil occurrit, quod dicam. Proxime Criuizos BepStavoi Agov- YsSrbc] et :£epgtof Veruiani, Druguuitae et Seruii Ruflb- rum tributarii collocantur. Hi videntur vniuerfi fub iftis palndibus coluiffe vsque ad Crapaticos montes, in quibus Chrovati fuere. Lubet locum integrum huc referre. Hie- mem, inquit, (ic agunt RnfTi Kiouienfes. Nouembri in- cunte, IvBrmq ci acluV ap^cvleg e'£ep%o>1ocf P-^ ^^ rcoV rcov Pcog o*7ro rcv KiaSov x, a7rep?£0)1oif iig ta. iro- XicYta, a Xgyelaj Ti/pa, r\ysv ii$ raq 2xXaSivi'a$ rcoV re Bep£tavcoy x, rcoV Apsys&flcov xocf Kpi§f)£cov xoq rcoV SepStcov xoq Xot7rcoV 2xXagwj>, c'i\wiq em 7rax1icora| raV Pco$ , illico proceres excunt Kiovia cum omnibus Rujfis (pu- ta cum omni militari manu et nobilitate , relidis iu vrbc ci- VICINJRVMQVE RECIONVM. 415 ciuibns) et in vrbes, quas Gyra vocant , couccdunt , f.ue etiam in Slauinkam regionem Veruianorum , Druguuitarum, Criuizarum et Seruiorum ceterorumque Sclauorum ,, qui Rus~ Jorum funt tributarii. Exafta hieme , Aprili menfe Kid- uiam redire et mercaturas Byzantias cxercere confueue- runt. Qiii populi Rufios ad orientem contigerint, in Con- ftantino non inuenio , nifi fi eo referendi furrt Morduani. Mog$iet Conftantini a finibns Pazinacitarum decem die- rum via abfuit (10). Ex quo colligere poflbmus, iisdem in faltibus iam tum egifle Morduanos , in quibus nunc funt. Legebatur in MS. Meurfii Mo£ia, ex quo Meur- fius conie&uram duxit Mv\$iav efle. Nefcio quid in eo fit, quod placuerit Bandurio, pracfertim cum in MS. Regio Parifino legeret MopcTiav. Delislins Modiam reti- nuit et intra Cancafum delcripfit , cum afterifco , quo in- comperti fitus loca infigniuit. Credo eum quoque Meur- fii Mediam refpexifle. Discedamus nunc c RtifTia in Bulgariam, quam a tergo reliquimns. Bulgaria Nigra a Danubio ad Haemnm montem pertinuit. Vrbes in ea multae , cum primis vero Ilpec&Xagov (1), Pereslaue. Zonaras (2) et Cedrenus (3) ?y\v IxeyoLhyv Ilepc&Xagav k, t^ fjuKpav commemorant. MeyaXvj ITepicB-XaEa ad Iftrum. Anna Comnena defcri- pfit (4) : II0X15 «^oVfy 7repiCf>aV^s 7repi rcv l$pov £ia- KU\kevy\ TToTe (jiey \zTQV0\ka rsro e%ycra rc gap&apittcV, «XX' eXX^vi^ycra 7repi ry)v 7rpGcrv)Yopia>> MeyaX^7rc'Xi£ Fff 3 ^oq (10) p. 59. (!) p. 109. (2) p. 224. (3) p. 704- C4) P- J94« 4i 6 GEOCRAPHIA RFSSIAE H Sara k, "heyo^EVY). a(f)' 5 31 McKpog o rwv BsXya- pcov SacnXeiis kocj ot e£ gKeiva yevo^evoi ryg kdnipag KalscVpajULOK, cr^vS-elov eKTrjcralo rr^ TrpccrYYopiav aTro re rvfc EXXTjviK.vfe cr^|xacna$ , MeyaX"V) ki:ovo\ka¥}o\x.zvy\, xccf rvjv ot7ro rcuv SS-XagoyevcoveTricri/pofxeV^ Xe'£tv7 Me- yaX^ Ilepic&Xaga Tiavla^oSev rsroig c+b-vijj.i^o^ivv} , vrbs hacc cekbris ad Iftrum fita , nomen pcregrinum oJim non gcffit , ^'^ Gracco nomine Megalopolis dicla , r* etiam fuit : ^r ^/^ Mocrus Bulgarorum rex et eius pofteri occidentem incurjauere y compofitum nomen habuit a Graeco MeyaXvj ct Slauonico MeyaX^ Ilepic&Xa^a, vbique celcbrata et nun~ cupata. Conrcntiunt Zonaras (5) et Ioannes Curopalata Scylitzes, fiue magis Cedrenus (6 ) , qui haud ita longe a Doroftolo ponunt. Nicetas Choniata in Ifaacio Comne- no (7) Ilepic&Xa&a 710X15 ^Lyvyia bk 7rXTv3-y 7racra c'7rTvfe Kocj 7rXets"V]V ccr^v 7rept tov A\\xcv rov 7repip.e1pov r^ycra. Perifthlava vrbs Oggjay tota iatcricia et maximam par- tcm in circuitu fuo Juper Haemo fita. De Haemo ite- rum Cedrcnus et Zonaras confentiunt in rebus Ioannis Tzimitzis, qui Yrbem Suendoftlauo Regi Ruftiae eripuit. Ex eo tempore A%pt£a regia Bulgarorum fuit(8). No- ta duoque in Bulgaris IIXtcrK.oga, eodem nomine, quo haec Plcfcouia non ita longe a nobis fita eft (9). Ad occidentem fines Bulgariae coniuncti fuere fiaibus Tur- cicis. Turcae antea inxta Chazaros coluere, ikdem qnibus Pazinacitae in hac tabula dcicripti funt fpatiis. Inde pulfi funt .(5) T. II. P. 224. (6) T. II. p. 672. feq. (7) p. 238. .(8) Cedrenus p. 710. Zonausp. 713. (9) Ccdrenns p. 704. VICINAWMQVE REGIONVM: 4.17 font circiter A. C 893. vt e Conftantino demonftraui- mus. Confentiunt in anno Regino Prumienfis et Egge- rmdus Vra^ienfis, aliique , fed Hungaros vocant. Nam etiam (upcriorihus feculis, cum noftri de Hunnis aut Hun- garis loquuntur, Graeci fere TypKtfj dicunt, rarius OLV- yb'5 Koq Oyyypy?. Quare cum horum populorum me- momoria (eu apud noftros fcriptores, f«ue apud Graecos occurrk, cauenda eft offenfio. Conftantiuus hos Turcas etiim Chazaros appellat (10): 011 ko/ Maupvj ~Ksyo\kivy\ ByXyapia ^iValoq roTg Xa£a£0i$ 7TQXejAeTv, Bulgaria Nigra potejl etiam bellum gerere atm Chazaris. Nullos, inquam alios dicit, quam hos Turcas, qui Vt Chazari ipfi, ab eadem ftirpe vno fermone vfi funt. Omnia enim nomina, tum regionum et vrbium, tum hominum et re- rum, Turcice explicari poflunt fine negotio. Q.uare> Yt teftatur Imperator (1) , hi Tuicae enixe colebant Turcas, 7rpo$ rrv aValoXV* **S t& r% Uepaioog jxepv] 3 ad 0~ rientem iuxta Perfarum regionem et ad eos aiiidue mitte- bant negvtHeX£s e^wXai-petjO-ay ko! e^arvjo-av ryv aiflay Xojpav, lig ^v KOj apliaj^ oikTcti , p9/? mortem autem eius~ dem Suentoploci mo anno pacem inter fe coluere Suentoploci jftlii , tum vero ortis diffidiis et inteflino bello ,. Turcae fu~ peruenientes hos plane disperdiderunt, regionemque: eorumoc* cupatam ad hunc diem tenent. Moraui, qui cladi* fuper- fuere, eodem tefte, disperft funt pes Bulgariam, Chroba- tiam, ceterasque nationes: quidam inter Turcas confederunt- Albericus in Chronico ad A». C. 893. His diebus gens Vngarorum [ub primo duce fuo AJino ex Scythia egreffa ac a Pezenatis (iorte fcripfit Pezenacis) pulfay Auaribus? eieflis Pannoniam inhabitare coepit.. Adfert deinde ex> Liuthr prando et Sigeberto Gemblacenfi teftimonia.. Et Sige- bertus quidem res ad eundem annum refert: Liuthprandus. ipfo in ingreflu hiftoriae attingit,. fed, fine anno. Egge- hardus Vragienfis(5): Zuend';boIh rex. Marahenfium Sla- norumy vir inter fuos prudentijfimus et ingenio callidiffimus ,.. dim claufit extremum* Et interiectis nonnullis:. regnum, Zuendebakhi , filii eius pauca tempore infeliciter tenuer.unt^ Vngaris omnia populantibus. Regino- Prumienfis vero, quem alioqui Eggehardus fequitur, ad A. C. 894.,. Circa haec tempora Zundiboich^ rex Marahenfium Slauorum , vir inter fuos prudentiffimus et ingenio callidijfimus , diem clan- fit \5) P» a3x» cci« Ecwirii. VICINARFMQVE RECIOWAf. 411 fit extremum: cwus regnum filii eius pauco tempore infeliciter tenuerunt, Vngaris omniavsque ad folum popu/antibus. Vidcs ipfo Reginonis verba apud Eggehardum: tamen cum ab anno Eggehardus disceflit , iuftam cauffam habuiffe videtur. Hanc autem cauffim fuiffe video , quod Suendoplocura Eggehardus inuenit A. C. B93. diem obiiffe fupremum , et vno poft anno, Tt Conftantinus quoque au&or eft, Hungaros fiue Turcas occupaffe Morauiam. Igitur A. C 893. aut paullo ante, Turcae a Pazinacitis pulfi, nec fane illico fra&i , vt erat gens bellicofa , intra Boryfthe- nem et Danubium fefe continuere, «denique impreffioncm in Pannoniam fecere ab Arnolpho Imp. excitati contra Moraxios , A. C. 894. Regiones vero inter Danubium et Boryfthenem iam antea tenuere , quam e regionibus Transboryftheniticis eiecli funt, et quidem fi Reginonem Prumienfem audiamus, iam A. C. 889, nifi tum primum motus Pazinacitarum coegerint magis ad Boryfthenem atque vltra fluuium , Danubium verfus , cedere. In regione Turcarum Pons Traiani quoque fuit, et BeXaypa^a Belagrada ( OfiAoropoXb Alba wbs, Vueif- fenburg) tribus diebus a ponte. Cedreno (6) , 0 rcoV BeXcypa^v ap^cox commemoratur. Notum etiam tum Sirmium ad Sauum fluuium. Vnum praeterea e Con- ibntino animaduerti vehm, Chrobatos quoque ad me- Ggg 2. ridiem C6) p. 7^. 4*1 GEOORAPHU WSSIAB, &e. ridiem Turcarum poni. Hos pnta Chrovatos in DaL matia , Illyrico , et Pannonia , ieiundtos a reliquo corpo- re. Xe^Xoi Ao-7rpoi, Servli Albi, vt ipfe Imperator c Latina lingua explicat, AyAot Servi, ea tempeftate in regione Bciki Voiki fuerunt, proxime Francos et Chrova- tos Albos. Latius deinde ad meridiem Slauoni coluere. Sed nos vlteriora Danubii non item ad noftram curam per- tinere iudicamus. Nam hoc officio, illuftrandis e Con- flantino Porphyrogeneta Ruftiae finibus et vicinis populis> defumfti, nihil vltra moramur Sclanos. Tamen quidquid de eorum fitu adhuc dixit Conftantinus, e Delislii tabuk aoftrae adiecimus, ne quid deeffe videietur. OB- OBSERVATIONES ASTRONOMICAE. OBSERFATIO ECLIPSIS LUNARIS ite 8.. Septembris 1737-/. n. Fetropoli habita* REFERENTE G~ KeinfiQ. EClipfes lunares vfu fuo,, qui eximius alias in Aftrci- «a^ra? nomiam ec Geographiam redundat , nonnihil pri- uari videntur,, quod iftarum obferuationes ad fum- mam exactitudinem exigere non liceat. Caufa praecipua quaeri debet in vmbrae terreftris termino , qui propter adiacentem penumbram: denfam admodum incertus confpi- ci folet. In diuerfis quoque Eclipfibus \mbra diuerfac denfitatis, vt fic dicam ,, deprehenditiuv Haec in eclipfi praefenti non folum. valde diluta apparuit, fed cum pen- umbra quoque tantum confundebatur, vt fuccefTum ob- feruationis fere defperaremus. Huic incommodo accefTe- runt. aliae circumftantiae ,, quae obferuationem* magjs du- biami reddiderunt. Fuit Eclipfis horizontalis» luna- ad oc- cafum vergente,, fiquidem et initium tantum et nonnutfas phafcs^ ante obfcurationem maximam ,, quae fub ipfb fere lunae occafu contigit,. obferuare potuimus.. Vapores in vicinia horizontisy praefentia luminis* crepufcularis > muta- tia difci liinaris in figuram oualem , quae nd horizontem ex refra&ionis. diuerfuate in exiguis diftantiis oriri folet, dubiam fane obfemationem reddere valent. Licet autem poftremo incommodo mutationis difci medelam attuleri- mus , ob caulas tamen ante allegatas , praefertim. male termw 4.2.6 OBSERFATIO terminatae vmbrae , obferuationem incertitudine fua pror- fus exucre non licuit. Qnae praeftita fuerint , ex fecjuen- tibus patebunt, Ordo oh-^Tcmpus Jeruat'. 7- 8. 9 10. l6. 5. 4.8 16. 9.17 16. 17.48 - 18.47 24.. 24 25. 30. OBSERVATIO ECLIPSIS LUNARIS d. 8. Septembr. 1737. ft. n. Momenta obferuationum. Penumbra iam apparet. Penumbra denfa ad limbum lunaeprop* Ariftarchum videtur. Initium colligitur ex notabili luminis Jecremento ad limbum lunae in diftan- cia 5. grad. ab Ariftarcho verfus Plato- uem computata , Limbus lunae in pun&o ingrefiiis ante aotato disparet prorfus. Nullus autem cerminus inter \mbram et penumbram diftingui poteft. Vmbra ad Ariftarchutn. Ariftarchus lumine fuo priuatur. Per Tubum 8. pedd. haec Ariftarchi di(pa- ritio 16 ." citius vifa eft. Terminus in- ter vmbram et penumbram nondum ertus. Galileus extindus Phas: 1. 2. dig: 5/ Piato vmbrae totus immerfus Phas: 11. 2. dig: 26/ Ti- KCUTSIS LFNARIS. 4*7 12 *4 15 16. 23.3 -35-54 -37-3* — 40.28 -40.54- Timocharis obfcuratus Phaf. III. 2. dig. 56.' Eudoxus vmbra inuolutus Copernicus totus in vmbra Phaf. IV. 3. dig. 24/ Pofthaec Luna inter craftiores nebu- las in vicinia horizontis recondita vlteri- orem obferuationem prohibuit; vnde et phaenomenum iftud rarum , *quo in Ecli- pfibus horizontalibus luminaria fimul fu- pra horizontem confpiciuntur , obferuari non potuit. §. 2. Circa obferuationes praecedentes fequentia no- tari debent. Tempus verum ad examen trium horolo- giorum inter fe probe conlentientium per culminationes Solis d. 8. et 9. Septembr. determinatum eft In ob- feruationibus 1. 2. 3. adhibitus fuit tubns aftronomicus S. pedum; in obferu. 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, Tubus Newtonianus, obleruante Cl. Liberto ; vnde cum per omnes obferuationes terminns vmbrae valde incertus fuerit, maiora autem telefcopia vmbram dilutiorem re- prafentent, obferuationum exaditudinem fufiicientem afle- rere vix porTumus. ln obferu. 3. initium vel potius lu- minis decrementum notabile 12. fecund. ferius , (cilicet 16. b 6! o/y per tubum Newtonianum obferuatum fuit, fed tempus ipfum initii, vt ex obferu. 3. 4. patetf Talde dubium remanet. Tom. IX. Hhh §. 3. 428 OBSERVATIO § 3. Cum vmbrae terminus diflinctior videretur per tubum minorem , ai pcr maiores ; ad obftruatiencs Dhafium n, 3. 10 12. 15. elegi tubum quadrantis portatilis 2 pedum , easque, vt a rcfraclione difco lunae. fjgurarh ouakm in viciuia borizontis inducente ipfae im- munes fintj fequenri modo 'inftitui. In foco Tubi Qua- Figuu 1«. drantis extenfa funt fiia V , H , ad angulos rectos fe in- uicem decuilmtia , quonirn H in fitum horizontalem , V in verticalem redigitur, quando ope perpendiculi e centro quadrantis fufpenfi planum quadrantis in fitum verticalem componitur. Djfpofito fic quadrante obferuaui interualla temporum quibus limbus lunae S. in tubo aftronomico apparcnter fuperior, cornu pbafis praecedens A et comu fequens B ad filum horizontale appulerunc. Cum enim in. eadem altitudine rerra&iones fint eaedem, dicta vero lu- nae loca ad.£andem akitudinem fuccefliue perueniant, ni- hil de eo timendum eit,, quod alias ex diuerfitate refra,- ftionis originem ducit. Deprehenfum autem fuit inter- . ualium. temporis inter appulium ipfuis A ad H. et. B ad H in. phafi.. i. 3/ 45" — 23" 3». - 50 £ 58- ipflus et i S A ad H ad H 1. 3.' ' 45" 2.. 3« 2Ss 3. 3. 9. !£ 2. 54L % 4. Cbnditibnes. harum obferuationnm funt In prim.a phafi vnibra etiam per. tubum iftum minorem ad- - huc ECLIPSIS LUNARIS 4.2$ huc m.ile terminata apparuit. Obferuationem phafeos fe- xundae certam habeo et rcliquis on.mbLis antepono , vm - bra iaiis bene terminata per tubum n^jDDraiJUii apparen - lc. Phafis 3tia, ob dubium pfticiiSnik tofiifi aprulium ad'filum horizontaie, inccrta elt Vhafis. 4-La . certa qui- ' dem , fed cum iam nebulae iu vicinia horizontis difcum lunae inuoluerent , eam phafi fecundae • pottpono. §. i: Conftriictio" harurn' phafium ex ob'eruationi«* bus paecedentitxis (latim expediri poffet, fi modo mora tranfitus difci lurtaris per filum horizontalc daretur. Du- clis enim reclis Vy , liy ad angulos rcctos fe mntuo in jrigum 1. y fecantibus, quarum Vy filum verticale :, liy horizontale repraelentat, fi in icala aliqua, cuius paftibus. vaior fecun- domm temporis tnhuatur , linea aequ.ilis capiatur mora.e tranfitus difci lunaris per fi-um horizoutale , ' eaque ex y m r transferatur , per r ^vero re&a rK ad H r S parallela ducatur, patet, intrajS, rR parallelas contineri difcum lunae eXprcffim per partes temporis inorae trapfitus eius per filum horizontale , ac prbinde circulum ASB intra easdem tanquam tangentes defcriptum lunae diicum fub dicra conditione referre. Si igitur ope eiusdem . fcalae ya aeqnalis fiat interualto temporis intcr appuifus limbi fuperioris S et cornu praecedentis A ad filum horizonta le ; ab vero aequalis interuallo ' tempons inter appuUu cornuum praecedeutis A' et'ieauentis B; ad idem filiim ; per a et b deinde redae #A,£B, ad HS parallelae du- cantur peripheriam circuli ASB in A et B. (ecaiites* ma- nifcTrum eft, in A efTe cornu .praeeeder.s , . in fe confequens phafeos quaefitae, ac ' pfoi nde ifem iaciilime defcribi poffe, li feinidiameter vmbrae detuf . Hhha ' §. 6. ■ us 430 0BSERVATI0 §. 6. Requiritur ergo ad conftructiones phafium mora tranfitus difci lunaris per filum horizontale et deinde fe- midiameter vmbrae. Priorem ex obferuatione immediate acquirere non licuit; pars enim inferior difci lunaris ad R ecliplata erat lgitur vt iftam aliunde deducere poffem, moram tranfitus difci lunaris per filum verticale obferuaui, eamque circa duas pofteriores phafes i! 20"^, inueni. Sed haec fola non fufficit. Requiritur praeterea vt habe- atur mora tranfitus difci lunaris per horarium. Hanc quidem per bbferuationem durante Eclipfi eruere conditio mutati per refractionem difci lunaris prohibuit; ifta tamen, luna culminante, per tubum Sextantis muralis a Cl. de Vlsle probe obferuata fuit 2/ 4/'. Licet atitem interea a cul- minatione lunae vsque ad eclipfin eius lunu diametrum apparentem morae tranfitus per horarium refpondentem reuera mutauerit, tum propter mutatum lunae locum in orbita , tum propter variatam eius declinationem y tum etiam propter viciniorem iftius pofitionem ad horizon- tem; pro praefenti tamen dubiarum , vt fupra notaui, ob- feruationum negotio moram tranfitus lunae per meridia- num fumcere, et neglecta mutatione, quippc , praefertim cum per partes temporis exprimatur, admodum exigua, iftam absque errore fenfibili pro mora tranfitus lunae per horarium durante Eclipfi haberi poffe iudicaui. §. 7. Hisce iam inftructus y mora fcilicet tranfitus difci lunaris per filum verticale, moraque tranfitus eius per horarium , inueftigationem morae tranfitus lunae per filum horizontale fequenti modo continuaui. Du&ae fint, Figura a. vt ante lineae Vy , Uj y ad fe inuicem normales , haec filum horizontale , ifta verticale f repraefentantes. In fcala aliqua^ ECLIPSIS LVNARIS 43x aliqua , fecunda vel femifecunda temporis referente , capta fit jS aequalis femimorae tranfitus difci lunaris per ho- rarium, et conftru&o exinde quadrato jSDP, centro D radio DP dcfcriprus fit circulus PSC, qui magnitu- dine exponit difcum lunae per partes temporis morae tranfitus eius per horarium, pofitione vero lunam limbo fuo apparenter fupcriori S ad filum horizontale HS , limbo praecedenti P ad filum verticale V P fimul appellentem. Ope eiusdem fcalae ex D interuallo Dl aequali femimorae tranfitus difci lunaris per filum verticale interfecetur verticalis linea VP in I, iunctaque DI producatur, donec fecet horizontalem lineam HSin K. Dico DIK eife diurnum luuae, quem centrum lunae in tubo aftronomico ( cuius repraefentationi figura pro praefenti negotio, iuna ad occafum vergente, accomoda- ta eft ) apparenter afcendendo percurrit ; lineam vero DK magnitudine fua femimoram tranfitus difci lunaris per fiium horizontale exhibere. Centrum enim lunae eft in D tunc , quando limbus eius praecedens tangit li- neam verticalem in P, et radius difci lunaris aequalis factus eft femimorae tranfitus iunae per horarium. In- terea i^itur, dum dimidium difci iunaris traiicere debet lineam verticalcm VP et centrum lunae ex D in ean- dem lineam transferri , patet, centrum lunae lineam de- fcribere dcbere , qnae fit ad radium difci lunaris, vt fe- min ora tranfitus lunae per filum verticale ad femimo- ram tranfitus eius per horarium ; fpatia enim , habito lunae motu vniformi, propter conftantem eius celeritatem funt vt tcmpora, quibus defcribuntur; vnde cum DI ad DP vi conftruftionis didam rationem habeat, luna au- Hhh.3 tera 43* OBSERFATIO tem proxime in diurno feratur, manifeftum eft, pofiti- oaoch lineae DI ciTe fere pofitionem diurni centri lunae. ivititatiodeclinaiioni!- pariterac bnotus lunae propriu^in acqiu- tore ab occafu verlu* oitum hic nihil turbant, cum vtrum- que iiwoluat mora tranfitus et per tilum verticale et per horarium, interim tamen' notandum, quod DI fit diur- nus apparens , quam fciiicet centrum lunae ex mutata decluntioue percurrit.et qnidem velocitate reiukante ex motibus commiun et proprio in aequatore ad phgas contrarias directis. Sit igitur DI produ&a diurnus ap- parens centri lunae. Quoniam lunae centrum eit in Dt quando limbus eius fuperior S tangit lineam horizonta- lem HS , patet ., centrum Iimae percurrere dcbere liJ neam DK et in K punctum interfe&ionis diurni cnm ho- rizontali HS transferri, interea, dum dimidium diici lu- naris lineam horizontalem traiicit; quare DK spauum a centro lunae in diurno interea delcnptum magmtu.une fua ope fcalae expiorata tempus dimidiae morae tranfuus difci lunae per filum horizontale exponet. §. 8. Ditur ergo per conftru&ionem mora tranfrus difci lunaris per filum horizontale. Sed eandem per caU culum eruere licet. Datur fcilicet ratio DI: DP eadem cum ratione morae tranfitus diici per filum verticale ad moram tranfitus eius per horarium , eadcmque cum ratione D;t: KS propter fimilia DKS, DIP trianguia. Datur praeterea D.S radius difci luiuris feu femimora tranfitus difci per horarium. Problema' igitur huc redit vt in triangulo DKS ad S redangulo ex data- bafi DS , da- taque rat>one hypothenuue DK ad cathetum KS inue- niatur hypothenula DK. Poiitis igitur DI: DP in m. -u DS ECLIPSIS LUNARIS 433 DS~<7, DKnr, fit KS=n*, rff*4&zn£ et re. duclu aequatione .*; feu DKzrVifft?^. §. 9. Vtroque modo tnm pcr confkuctionem tum per calculum circa duas pofteriores phafes* lemimor^m ttanfitus difci. lunaris per filum. horizontale inueni 2 15"; circa. dtus autem priores phafes moram tranfitns tnm per filum verticale tum per horizontale paulum dL- uerfom ,. parum tamen a priori difcrepantem fumfi , pro- pter mutatum interea. diurni. cum, verticali angulum.. §. 10. Inuenta ianr mora tranfitus lunae per filum horizontale, loca.cornuum A v B in, vnaquaque phafi vel methodo §. 5 praefcripta, vei etiam, in praefenti fchema- te fig: 2. in difco lunae defignari porTunt, fi in pofteri- ori cafu K a ope fcalae aequalis fiat interuallcv temporis inter appuifum limbi fuperioris S et appulfum cornu prae- cedentis A , ad filum horizontale ; et a (3 acqualis in- teruallo temporis inter appulfus cornuum piaecedentis A et fequentis B ad idem filum ; per aet j3 vero ad HS parallelae Aa, B (3 , agantur , difci lunaris peripheriam in A et B fecanres ; quibus fadlis loca cornuum in A et B determinata funt. § 11. Definita fic loca cornuum Ar Br iungantur re&a A.B, et ad iftam ex centro difci D perpendicula- ris D. F demittattir eaque verfus Z indefinite pioducatur. Et patet in linea D Z alicnbi haerere centrum vmbrae, idque ficile determinari poffe. puta; in Z, fi modo ha- beatur vmbrae femidi.imeter, interfecando fcillcct ex A v.el B iuterualio femidiametri vmbrae. lineam D Z in 2. Hoc 434 OBSERVATIO Hoc centro radioque vmbrae fi defcribatur arcus A x B, habcbuntur , phafis obfcurationis A x B Q, pofitio eius refpectu verticalis V P et diurni DK, ratio Qx: Q_q feu ratio partis diametri lunae obfcuratae ad integram diametrum, hoc elt quantitas phafeos obfcurationis; nec non diftantia centrorum lunae et vmbrae D Z. §. 12. Hae deducYiones , licet data omnia rite fc liabeant , phafes exactas nondum fiftunt. Exactae effent, fi peripheria vmbrae A^B interca temporis, dum cor- nua A, B, filiim horizontale traiiciunt, immota fuiffet. Aft cum vmbra reuera ifto temporis nueiuallo intra dis- cum lunae progrediatur , cornu fequens non amplius in eo peripheriae difci lunaris loco haeret , quando ad fi- lum horizontale appellit, vbi in itto temporis momento extitit , quo cornu praccedens ad filum horizontale appu- lit. Hac loci mutatione cornu fequens priuari debet, vt phafes exaclae prodcant. Hunc in finem lchema eclipfis praefentis fatis amplum modo confueto conftruxi, requi- fitis ad iftud ex calculo perTab. aftron petitis. Inue- ftigaui deinde phafes ex obferuatione per methodum ha- dtenus traditam, fumta vmbrae femidiametro ex calculo eaque ex data ratione femidiametri lunae ad radium vm- brae reducta ad partes difci lunaris , per quas ha&enus difcus lunae expofitus fuit. Has phafes tanquam veras fchemati Eclipfis conftrudto applicui. Quibus fa&is circa fingulas phafes promoto vmbrae centro in orbita eius vifa (habito lunae loco immoto) per tantum fpatium, quantum interuallo temporis inter appulfus cornuum ad filum horizontale refpondet, cognoui, qualem loci mu^ tationem ECLIPSIS LUNARIS. 435 tationem cornu fequens in peripheria difci lnnaris inter- ea fubiit. Haec loci mutatio relata ad diurnnm in fchema- te Eclipfis exprelTum innotuit proinde in partibus tem- poris, quae motui vmbrae interea fafto refpondent. «Si igitur hae temporis partes addendo vel fubtrahendo , pro fchematis Eclipfis conditione, applicentur mornento tem- poris in obferuatione , quo cornu fequens ad filum ho- rizontale appulit; habetur proxime momentum temporis, quo cornu fequens ad filum horizontale appulilTet, quan- do vmbra, durante tranfitu cornuum per filum horizon- tale , immota in difco lunae permanfifJ£t. DifTerentia inter hoc momentum temporis correctum et tempus ap- pulfus cornu praecedentis ad filum horizontale , fi iuxta methodos §. §. 5- 10. n. traditas tractetur, ad veram phafeos quantitatem deducit. §. 13, In praefenti negotio fadis experimentis, ha- clenus recenfitam correctionem tum propter exiguum in- ter appnlfus cornuum temporis interuallum, tum propter pofitionem vmbrae refpedu difci lunaris hic fhuentem , infenfibilem eiTe , ac proinde phafes per methodum fupra traditam , omirta corredtione , erutas pro veris haberi pofTe, deprehendi. Et haec etiam caufa fuit , cur in obferuatione phafium appulfus cornuum ad filum hori- zontale, praeuifa iftorum commoda pofitione , elegerim prae appulfibus eorundem ad filum verticale, ex quibus alias pari methodo phafes erui poffunt a refradione non turbatae. §. 14. Quoniam hac correclione momenti appulfus cornu fequentis ad filum horizontale efficitur , vt vmbra Tom. IX. Iii a mo- 43tf OBSERFJTIO a momento appulfus cornu praecedentis vsque ad appul- fum fequentis quafi immota perfiftat; mamfeftum eft, quantitaiem phafcos refpondcre morrento temporis , quo cornu praecedens ad filam horizontale appulit. Et hoc modo inteiligi debent momcnta temporis, quibus in re- cenfione obfcruationis Eclipfis praefentis phafes fupra ad- fcriptae fuenmt. §. 15. Fraemiflis hisce , fumtisque nunc cornuum appiliibib ad filum horizontale tanquam correctis, ad fe- midiamerri vmbrae imieftigatiohem , quam conftru Lim ex fimilitudine trknguiorum AEM , BLM , fic AE-f-BL: AE — EL: EM; vnde EM datur et pro- inde AMrVfAEVEM*). Porro datur MLmEL- EM et BM—V^BL^-f-ML*) , quare tandem habetuf AB — AM-f-BM, et AF=~iAB. Requiritur nunc fe- midiameter vmbrae AZ vel Xx , quae quidem per ■methodum §. 15. itatim in ifta menfura datur r qua m praefemi negotio diameter lunae et omnes reliquae lineae exhibenturj fed cum per §. 18 fumta fuerit vmbrae fe- midiameter ex Tab. aftron. per partes circuli maxtmi ex- preffii , haec iuxta I. 19. reducla -intelligi jdebet ad par- tes eius menfurae, qua in praefenti catculo vtimur. Da- tis fic AZ , AF, in trianguk? AFZ ad F rectangula dabitur FZrzVCAZ^AJr-*) et FxzziZx ( vei A2) — FZ. Ex praecedentibus iafln dantur LB, MB> .E.M., nec +4i OBSERVATIO nec non DE=SE— SD (femidiam. lunae); vnde da- bitur DMrDE+EM. Ex fimilitudine vero trian- gulorum MLB, MDF, inferendo MB: BLziDM: DF dabitur DF et DxzzDF — F.v , tandemque Qx — DQ_— Djl* , quantitas phaleos, quae quaeritur, expreffa per partes easdem, quibus diameter lunae hactenus cx- pofita fuit; vnde inferendo, vt mora tranfitus difci lunaris per rllum horizontale, ad quantitatem phafeos inuentam, ita 12 digiti Ecliptici ad quartum proportionalem , acqui- ritur quantitas phafeos in digitis eclipticis , eorumque fubdiuifionibus. §. 22. Hac methodo determinaui quantitates phafinm fecundae et quartae; circa phafes autem primam et tertiam, vtpote dubias, fimplici conftructione contentus fui. Pha- fium quantitates ipfas in digitis eclipticis expreffas fupra in recenllone obferuationis expofui. figura 3. jb 2£ # per computum hactenus traditum peruenitur etiam ad quantitatem lineae DE (fig. 3 , ) quam §.15 datam fuppofui. Per A cornu praecedens (fig: 3)dudta fit Ab parallela ad DE, quae inter parallelas AD,BE contenta aequalis erit ipfi DE ; Bb autem refpondebit interuallo temporis inter appulfus cornuum ad filum ho- rizontale , quod D E repraefentat , et eadem eft cum recta EL (flg: 2). Hinc in triangulo ABb ad b reftan- gulo datur Bb, et AB diftantia cornuum §. 21. vnde dabitur A*=rDE:=:V(AB2-B£*). §. 24,. Phafium determinatioriem prolixe haclenus expofitam ad vfum tandem traducamus. Vfus ifte ver- fatur ECtlPSIS LVNARIS. 443 fotur circa determinationem temporis initii , finis Eclipfis, obfcurationis maximae , oppofitionis folis et lunae j ho- rarii lunae a fole, latitudinis lunae in oppofitione, di- ftantiae centrorum minimae, quantitatis eclipfis, inclina- tionis orbitae lunae vifae et verae ad circulum latitudinis vel Eclipticam , diftantiae lunae a nodo , loci lunae in oppofitione, et quae funt huius generis alia. Finis eft ope phafium ad hafce deductiones perueniendi , adMbitis fcilicet centrorum lunae et vmbrae diftantiis ex quantitate phafis cuiuslibet petendis. Diftantia centrorum lunne et vmbrae D2 aequalis eft fummae femidiametrorum vmbrae Figura 2. Z, x et lunae DQ_, demta quantitate phafeos Qx. Da- tis itaque femidiametris vmbrae et lunae , et quantitate phafeos, datur diitantia centrorum lunae et vmbrae. §. 25. His praemif^s , fit fig : 4 fchema eclipfis praefeutis fitu inuerfo, vt cum defignatis ex obferuatione Fjsura +• phafibus eo melius conferri poflit, repraelentatum. GQ_K referat vmbram terrae,C centrum eius, CN latitudinem lunae meridionalem in peragra* uit; vnde cum motus luuae durante Eclipfi vniformis fupporri» pollit, dabitur ratio linearum AB, BD , eadem cur$ ratione interuallorum temporis inter phafin primam et fecundam, fecundam et tertiam. §. 26. Opera igitur danda eft, vt ex AC , BC r DC magnitudine datis et ratione AB : BD inueniantur, CHdiftantia centrorum minima, feu altitudo communis triangulorum ACB,BCD;DH dirtantia centri lunae a ter- tia phafi vsque ad obfcurationem maximam \ et reliqua §. 14. mernorata, quae inde pendent. Centro C radiis Kgro $. CD, CBT defcriptis circulis concentricis DEL, BFM, problema huc redit: Datis per radios DC\BCy duobws circulis concentrkis DEL,BFM ,ex puncio A extra iftos- per diflantiam CA dato , ducere fecantem ABD, fic v$ portiones eiusy ABy AD, frnt in dataratione* Solutio. Ex A ad circulos BFM,DEL du&ae fmt tangentes AM, AL, et ad iftas ex centro C normales* CMy CL; et manifeftum eft dari AMrVfAC-CM") E= V ( A C-B C ) , et ALrV(A C*-€ V ) •=* V(AC2— DC1). Producla AD (ecet cir-culos ex aitera parte in d, b\ fitque ad AD produdtam ex centro € perpendicularis CH, quae ehordas Bb, Dd biiecer in Hr vt fit B^zzzsBH, D^=2DH. Ponatur iam ALrr^, AMm/, AB:BD=w:«, ABrx, BHr=jy ; erh> que AD: AB~ m-t-nim, ADr^, BD = ^ DHzrj-^. Per 36". III. Elem:eft AM*:=ABxA£==: ABx(AB+2BH), AL3z=ADxA^ADx(AD-f- 2DH}. ECLIPSIS LVNARIS. "445 aBH). Stibftitutis expreflionibus algebraicis ex aeqnatione prima fit f*= {*«***>•) x * , erecunda^^C^1^5 -+- 2 J — ~ST ) * — m '■> ractaque aequationum redu- Aione fit a-nV^fy*-^/);. Inuenta vero #f habetur ^ = : ^ > §. 27. Datis AC, BC, DC, difralitiis in partibus •FigB» ^ circuli maximi, prouti per §. §. 18. 24. facillime inue- niri poflunt , in iisdem quoque dabitur recta A B \ et cum fcabeatur interuaUum temporis inter phafin prhnam in A, ct fecundam in B,inferendo, vt hoc interualhim temporis ad vnam horarn, ita ABinuenta ad quartum, dabitur borarius fonae in orbita vifa. Ope iftius horarii fi inuenta BH conuertatur in tempus, idque momento temporis phafeos adae |n b addatur, inuenitur momentum obfcurationis maximae, centro lunae in H verfante. Ex datis BH, BC in par- tibus circtili maximi, datur in iisdem difiantia centrorum tninima CHrV(B C*— B H* ) et proinde pars diametri lunae obfcurata in obfcuratione maxima aequalis (iimmae fe~ midiametrorum lunae et vmbrae demta centrorum diftan- tia minima; quae pars fi ope diametri lunae ad digitos cclipticos reducatur, quantitas EcUpfis in iisdem habetur. I11 initio et fine Eclipfis diftantia centrorum lunae et vm- brae aequalis eft fummae femidiametrorum vmbrae et ln- naerzIC, fi v. g. in I centrum lunae in initio Eclipfis ponatur, vnde in triangulo ICH ad H rectangulo ex da- m IC, CH, inuenitur IH = V (IC*~CH2), quae ope korani lunae in orbita vifa ad partes temporis redu&a Fmnifeftat interuallum temporis inter ob(curationem maxi- marri et initium vel finem eclipfeos; quod fi fubducendo Kkks vel 44.tf OBSERFATIO vel addendo applicetur momento obfcurationis maximae f acquinnr tempus initii vel finis eclipfts» §. 28. victhodum hanc (uhilitutis ex obferuatione nurrieris perfequi quidem tentaui , led liicceiTu minus fclici. D.itinti-.ie centrorum , quae requiruntur, omnes non admo- dum certae lunt,et quod maximirm interualla temporumy quae ntionem AB:BD detcrminant, tam exigua y vt, fi minimus error vei in diftantiis ACy BC,, DC,, vel ratione AB:BD commiftus fueritr ifte in determinatione, pofitionis rectae AD produclrae admodum notabilis- eua- dat. MilTo igitur hoc negotioyrem aliter tentaui, aiTumto ex Talx aftron. motu horario ltmae in orbita vifa. Cum enim de diftantiis centrorum lunae et vmbrae in phalt 2.. et 4. certior efiem , pofito centro lunae in A mo- mento phafeos 2,*,. iu D tempore phafeos 4, internallum temporis inter phafin %. et 4.. quo luna fpatium AD peragrauit,, ope horarii lunae in orbita vifa reduxi ad partes circuli maximi, vt fpatium AD in eadem men- fura habeatur,, in qua dantur AC, DC, diftantiae ccn- trorum sn 2. et 4. pha& Roc enim pac"to< trianguli ACD tria dantur latera , e quibus» altitudo eius CH,- diftantia centrorum minima, qnaeritur ;, reliqua vero vt. ante §. 27. determinantur. Numeris fubftitutis negotium quidem meliusv ac ante^ fucceflit,, ob latus AD tametti valde exiguum determinatio pofitionis ipfius AD.produ- ctae adhuc notabiliter inccrta permanfir, fi vel diftantiae AC, DC, vel latus A D paululum magniuidine variaren- tur. Vtraque methodus exacliorem promittit executionem,, fi ex obferuatione habeantur diftantiae centrorum vmbrae et lunae ante et poft obfcurationem maximam r quales vero praefens obferuatio. non, fuppeditat.. §. 2r©fecutus. In fingulis fcilicet phafibus v. g. centro lu- nae verfante in Av attendi non folum ad diltantiamcen-Figura 4. trornm lunae et vmbrae AC, fed fimul quoque ad an- gulum ACG, quem diltantia dida efficit cum Ecliptica. Angulus iffe ex obferuatione tum per conftructionem tum per calculum phafeos §. §;. 11. 21. habetur. Datur cnim pofitio centri' vmbrae Z refpe&u diurni KD per Figura t eentrum lunae D transeuntis.- Ex Z ad diurnum KD1 ducta- normalis ZN circulum declinationis centrr vmbra^ repraefentat. Ex dato phafeos obferuatae tempore datur locus folis in Ecliptica , et proinde locus- centri vmbrae Ipfi oppofltus, ex quo datov angulus Eclipticae cum me- ridiano (eu circulo declinationis per Tab:; aftrom- ftatinv cognofcitur. Error fenllbilis non euaditr fi pro ommbus fhafibus adhibeatur angulus Eclipticae cum meridiano, qui loco centrr vmbrae in oppofitione folis- et lunae refpon- det. Si igitur angulus N20 aequalis- fiat inuento an- gulo Eclipticae cum circulo declinationis T habebitur etiam BZO angul'usr, quem linea ceritra lunue et vmbrae iun- gens cum Ecliptica format. Per cakulum idem angulus; 3E$ZO iacile inuenitur. Ex §. 21. enim dantur DM, DFrDIrDP.. Igitur in triangulo D M F inferendo D M: PF =Sinus totus : Sin. D M F , datur I>M F zz PDZ Et in triangulo PDI inferendo DI:D zrSinus totus : Sim PID', datur PID, eiusoue coirplementum ad rrdum1» PDI, vnde dabitur IDZrrPDi + PDZ, a quo fi iub- trahatur recfus, habetur DZN iti- triangulo DN Z ad Nft xecrangulb-j, quare cum; detur ■ OZH anguluj» Ediptkatf ICkk$ cuim 44* OBSERVATIO cum circulo declinationis, habebitiir etiam quaefitusDZO zzrOZN— DZN. Notandum hlc , tum quoad con- ftructionem , tum quoad calculum , quod, cum NDKfit diurnus apparens §. 7. anguk) 1DZ correclio aliqua ap- plicari debeat petenda ex mutata interea lunae declina- tioue, dum ceutrum lunae fpatium Dl in diurno appa- reuci coutecit, -. §. 30. Sit iam in data phafi centrum lunae in A, diftantia centrorum lunae et \mbrae ACj et per §. 29. dabitur angulus ACG eiusque complementum ad redum AC N. Sumto igitur ex Tab: aftron. angulo ANC,Inclina- tioUb orbitae viiae A N cum circulo latitudinis N C,in trian- gulo A C N , ex datis angulis A C N , A N C , et latere A C iir cniuntur, C N Iatitudo lunae in oppofitione , et A N diftantia centri lunae in data phafi a loco oppofitionis,quaeAN fiope horarii lunac in orbita vifa ex Tab: aftron. fumti con- uertatur in tempus , idque tempori phafeos in A adda- tur, momentum oppofitionis Jolis et lunae prodit. Sit IC aeqnalis fummae (emidiametrorum lunae et vn.brae, erit- que initio eclipleos centrum lunae in I. Ex refolutione trianguli INC, in quo latera NC, IC etanguluslNC orbitae vifae cum circnlo latitudinis dantnr, innoteicit IN, quae fi ope horarii lunae in orbita vifa in ttmpus con- uertatur, idque a tempore oppofitionis in N fubducatur, remanet momentum initii eclipfis in I. §. 31. In eadem momenta per conftrudlioncm fche- matis inquifmi. Lineam AC in data phafi inclinaui ver- fus Eciipticam CG in angulo ACG per §, 29 dato. Fa&a ACzz diftantiae centrorum lunae er vmlrae in data phafi ECLIPSIS LVNAR18. 44 in . r A CbrmruTif. u^cad, *fc. Tottl. LF. Ta2>. ZVp. 7 7. dbmme7a.Jcad.O-c. Tcm.IZ- ~ Tal.UTp. 77. /JammerLt-Acad. . ~lfp. 7. lCp . 13S- OJTruTUTit Mad. us. rJ6m ■ IT.TZu?. VT.t?. 738 imm.-rj: Mad dt.lhn IY.7ab.VT-j>-738 Co-rrumni.Mad. Jc. Totti , JZ.Tai J M 7 BC C O ^— r-- 7?Z ^f—lr '&'"* CottutujiI slcad . I^TTtp . 1 S P ■ A «fr , ^>,3 M «13 i C A X) U A D M Cbrnjncnt. ^icad. Jc. 2Zm. ZT. Tal>. WLj>. 207- Cbmmad: Mad. dc.Em.IT. Tal>. WZp. a07. CommeTdr. yicad- . X. J>>-3> +8 ■ Jty ^ ,4 § ^ » .4; , i- £b7jvnenf. _4cad. Jc . TZm. Z£.2hl>. X/ 77. % 7S . m. *% 19- BiD 2,0 ^J \21. HflC /7o77munt..{cad.Sc .2}m.ZX.2aI>. 31. p. 9,73 Ji* . rfu,.J3 ^rtc. \* •*? I 24*. A 6 c T> B C B &u/. <7i ¥ aU D B C*m»J> <3*< 3S. 3£ *tp ilA 1 Commait: ^tccul Jc. 2om.I2f.71i6. Y7Tt> 2 75. k\ a* ^rff' j% -j 2« j% a^ J«^. j 3-/ B C E ^ 1 jj _ _D B i iii D Lj7nnient.^,'cu/.Jc. 'J6m.JJ_JJal.ZMf. <3 ■- Ji/ij. L ainnitnl^xd.Ji-. 'Jom.2X'.'Jai.2M.j>. <5 / 0. x vM .— & - 'Zriq. ComJnmt.s4ca£.So. 76 m JT..7aiJBTv.31 '4. 'vmkunt. 4ca£.Jb. %m JXftlJnZjr-ZI 4 . CirmjnzTrf-. jiccui. J'c 7am . 23C 7ai> . 3Clr j? . <3 -/-/ OmuntnJ- JcaJ. J~c '£}m IZ.Tab.XV p. «5 -/-/ . T &k,- 2< H ComjmTif.J^^.Jl. Z>m.ZX.22z6.IIZp. 3 j?. frts tracfrt vzde a IfyiTTiccrfciaJfo-rvfgute ! : - ■ - : V 1 k, 'tmaaent.Jcaddl Xhm IX.2aJ>.£FLp Corrvmxrtir. ^iccu/. Jc ■ 7orn . JAl . 7aJp.JCl///.T7. CoTranmt. Acaa Jl /■ ■, /[ TahXFZZp. 4-Q,&. 6°™n^.JcaJ.Sc.ToTn.I£_TcLb.IMIr. 4£ Or. Ccmmtnt-JcaJo; 12- m U Tal XFIHr -f2,S.