FORTHE PEOPLE FOR EDVCATION FOR SCIENCE LIBRARY OF THEAMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY Bo A.l 1 COMMENTARH ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE. Tomus Xr, AD mmiA MDCCXXXIX PETROPOLI. TYPIS ACADEMIAE. cb io CCL, t4.U7^ INDEX COMMENTARIORVM In Clafje Mathematica. L. Eulerij De produdis ex infinitis fiidloribiis ortis. p. 3« Emd. De fradionibus continuis oblemationes. p. 32. Eiusd, Determinatio caloris et frigoris graduum pro fingulis terrae locis ac temporibus. p. 82. • JDan. BernouIIi ^ De motibus ofcillatoriis corporum humido infidentium. p. 100, L. EuLri , Confideratio progrefiionis cuiusdam ad circuli quadraturam inueniendam idoneae. p 116. Eiusd. De nouo genere olcillationum. p. 125. Eiusd. Explicatio phaenomenorum , quae a motu lucis fucceiruio oriuntur. p. 150. Eiusd. Methodus facilis computandi angulorum finus ac tangentes , tam naturalcs , quam artifi-1 , ciales. p. ip^. In Claffe 'Phyfm. G. W^ Krafftii, De yi \enae aqueae contra planum incur- rentis experimenta. p. 233. Eiusd. Obferuationes Meteorologicae 1738. inftitutae. p. 241- Eiusd. ObferuationesMeteorologicae anni 1739. p. 254. imd, Schediafma de yentorum obferuatione quotidia- na , per integrnm ampliffimum imperium Ruflicum, inftituenda, cum maximo (cientiac meteorologicae emolumento. p. 2^2. G./r. G.TF.Krafftil^ DifTcmtlo dc mflchmis-fimplicibiis. p. 274. Husd, Specimeii cmendatioris ' tlieome ordinum iirchi- ' ' tedoniconim,. p.j '2, 8^'. I. Aumicuiij^ ViQ. - fuiigo-^. iarolUac .magnitudinis-obrcruatia» p. -304. - — ■ Eiusd* Defcriptio et Icoirnoiiae Bermudiiinae ipeciei. p. 305. o:' In Claffe Wfiorka.. . T*S.Baj>eny De Veftritio Spurinna Lyrico. et ms frag- mcntis. p. 3 1 1 . ' Eius^. De Hyperboreis p. 330, Ohfirv. Ajironoffh Obfei-uationes Aftropomicne ia fpecula Acad, Impemlli Scientiarum ab anno 1739— 174-5- a LN.DeUHo et fociis inftitutae p. 349. G^-Uein/u^ Obferuatio occultationis Palilicii aLuna d.^^^' 1738. Petropoii habita p. 3^3. ' £lW» Obfcruatio traj)(itus lunae ad Palilicium d. ^ M^t. i735>' Petrppoli hxbm p» ST^' omaoiDt omiXBfri rr» ; ff^br* CLASSIS PRIMA^ CONTINENS MATHEMAHCA. %l. A DJ£ DE PRODVCTIS EX INFINITIS FACTORIBVS ORTIS^ JFCTORE L. Eulero. um in Analyfi ad eiusmodi quantitates perueni» tur , quae numeris nec rationalibus nec irratio- nalibus exponi poffiint , exprefliones infinitae ad eas quantitates denotandas adhiberi Iblent : quae eo magis idoneae funt cenfendae , quo citius earum ope ad cognitionem et aeftimationem quantitatum iis expreflarum peruenitur. Huiusmodi igitur expreffionum maximus et ampliffimus eft vfiis ad valores quantitatum transcendentium, cuiusmodi funt logarithmi , arcus circulares , aliaeque per quadraturas curuarum determinatae quantitates , reprefentan* dos earumque beneficio ad tam exadam cum logarithmo- mm , tum arcuum circularium , tum etiam plurium alia- rum quantitatum transcendentium cognitionem pertigimus. Quin etiam iitiusmodi expreiTiones infinitae infignem af- femnt vtilitatem ad quantitates irrationales , et radices ac- quationum algebraicarum per numeros rationales vero pro- xime definiendas ; quae fi vfiis fpedetur veris expreflioni- bus plerumque longe funt anteferendae. §. 2. Huiusmodi autem expredionum infinitarum non- nulla genera inter fe maxime diuerla liint conftituenda , quo- 4:um primum in le compleditur omnes feries infinitas , in- A 2 finitis 4 DE PRODrCTIS EX INFINITIS finitis terminis (ignis -|- vel — iundlis conftantes, qiwe dodlri- 11 ii niinc quidem iam tvintopere eft cxculta , \t non (oliim plures habeantur methodi quasvis quantitates tiim algebraicas quam tranfcendentes huiusmodi feriebus in- finitis exprimendi , fed etiam propofita ferie infinita inue- (ligindi , cuiusmodi quantitas ea indicetur. Duplici enim inodo exprciriones infinitas cuiusque generis tradari opor- tet , quorum alter in conuerfione quantitatum vel algebrai- carum vel tranfcendentium in exprefiiones infinitas confiftit; alter vero in indagatione illius quantitatis , quam propo- fita exppreftio infinita defignat , vicifiTim verliitur. §.3. Ad altenim genus exprefiTionum infinitamm re- ferri conuenit eas , quae ex innumerabilibus fadloribus con- ftant , cuiusmodi exprefifiones , quamquam iam complures funt inuentae ac cogaitae , tamen nec modus ad eas perue- niendi , nec via earum valores dignolcendi vsquam eft ex- pofita. Aeque autem dignae huius generis exprefiTiones infinitae videntur , quae excolantur , ac priores ex infinito terminorum numero conftantes , neque fortc minus com- modi Analyfi afferetur earum pertradatione. Praeterquam enim , quod Lftiusmodi exprefifiones naturam quantitatum quas refemnt fatis diftindle ob oculos ponant , et faepe numero ad valores proximos inueniendos perquam funt ac- commodatae , infignem praeftant vfum ad logarithmos ip- lamm quantitatum fbrmandos , id quod in calculo fiepif- fime fummam affert vitlitatem. Sic fi quantitas quae- cunquae X transformata fiierit in iftiusmodi exprefiionem, ^■^■^- i' f- ^tc. ftatim habebitur logarithmus quantita- tis AT — /| -h ^ 4- /^4-/|4_etc. quae feries eo magiscon- vergit FACrORIBVS ORTIS. $ vergit , quo propius fiidlores illi ad vnitatem inclinant. Hanc ob caulani conltitui in hac diflertatione iheoriam huiusmodi expreflionum infinitarum , quantum quidem ob- feniationes meae fubfidii fuppeditaverunt , inchoare , quo aliis facilius fit eam aliquando magis perriccie. § 4. Primus eiusmodi expreiiiunem infinitis flidoribus contentam protulit Wallifius in Arithmetica infinitorum , \bi oftendit , fi circuli diameter fit = i. fore aream cir- culi -■ *■ ^--^" "' '• '• '"• '°^-^- etc. quan^ exprcliionem dedu- 3. Z. 5. 5. 7- 7. P- P- II. 1 I-^ ' ^ xit ex interpolatione feriei | -h ^^ H- '-' ^' ^- -f- ttc. cuius terminos intermidios demonftrauerat a circuli quadra- tura pendere. Cum igitur iflae exprefTiones iiiterpolatio- ni ferierum originem fuam debeant , non in congruum fore vifum eft tradationem hanc de produdis ex infini- tis f-idlioribus conftantibus ab interpolationibus incipere. Cum enim in Tomo quinto Commentariorum noftrorum me- thodum tradidifiem interpolationes per quadraturas curua- rum perficiendi , fim.ul confiabit , cuiusmodi quantitatem tranfcendentem produda infinita hac ratione orta exhibeant. §. 5. Confidero igitur feqiientem progreffionem /-+-£: )-t-(/-h^K/-4-:fW/H-.?)V-+-=g} (/■-h^g)-4-'f-+-g) (V-H=g)(/-H:g) {f-¥-^i) cuius quiiibet termiaus , cuius index elt n , inuenitur ex praecedente hunc per f-i-ng multiplicando : ofiendi autem in differtatione allegata huius feriei terminum, cuius index efl n eflfe == ^'Jdxi^IxT ytraquae in- {f-h {n-h I )g)fx ^ •■ ^ dx{ I —x)'' tegratione ita perada , vt integralia euanefcant pofi- to X =: o , tumquae fado x :=z 1. Qiiamobrem ifla exprefTio fimul indicabit , a quanam quadratura fmguli ter- A 3 mini € DE PRODFCriS EX INFINITIS mini intcrmedii pendeant. Qiianquam enim fi n fit nu- merus fladiis , non ita facile conftat , qualem quadratu- ram Jdx{—lxf contineat , tamen eodem loco oftendi pofito t loco n formulam Jdx{^lx)^ congruere cum f (1.2.3 P).(^H~i)(^^^+^)(*-^+i) (^-^0 Jdxix^xx^tJdxtx^-x^Jdxix^'-'^^^^^ Jdx{x^-^x^)^ cuius redudionis ope valor ipfius Jdx{—lx)2 per quadratu- ras curuarum algebraicarum exprimi poteft. § 5. Si nunc in fcrie aflfumta terminus, cujus index eft z:z.\ , ponatur z , ex lege feriei termini , quorum indices funt § , 1 , 5 , etc. fequenti modo fe habebunt : l-\-z{J-\-lg)-\-z{J-^m-\-H'-^^J-^l^^^^ Quoniam autem progreftio affumta tandem cum Geome- trica confunnditur , hi termini interpolati euadent tandem medii proportionales inter contiguos feriei terminos. Qua- re fi finguli termini interpolati iam ab initio tanquam medii proportionales fpedentur , fequentes prodibunt appro- ximationes ad terminum z , cuius index eft s. I. zz=zV{J-\-g) u. z^y — ^_^3^^(^-_^3^.) TTT —V tfj-^^^/-^^^^^+ '"^^y^ ^t^J-^^g) AAA- ^-'^ i(/+l^)(/+§^0(J-f-l^jf/-hl^) etc. ex qua progreftionis lege intelligitur terminum indicis \ yere efle :=. {f-\-g)W^f~^g) ij-^^g) (f-^^^) (/+3^) (/H-i^) (/-H^; /-^^) (/-^^) (;+3^ FACTORIBVS ORTIS. y f/-H3 Per hanc igitur aequationem innumerabiles quadraturae in fadores infinitos, et viciflim huiusmodi fadorum infinitorum va- lores iu quadraturas curuarum transformari pofTunt. z r>E PRODVcris ex iNFmms §.8. Vt hanc aequalitatem exemplis illuftremus , fit g-i, eritque Jyf-djV{i^j') = i^--^(^ Vnde fipf '//(^/-4-0^ 8 2. 2. 4. 4 •(2/-2)(./-2 )— (^/H^.X3/H- J(2^) „.^ ^^'^'- -rr 3.3.5.5.7.7 (2/-i-.)(r/H-.;~(^i-+-^;ujH-TJ(;7-r+) quae expreilio ordinata (eu ad continuitatem reduda dat TT = 4. '■ '■ ^- '• '■ '• '■ '"• '"• etc. quae ell ipla formula * 3. 3. J. 3. 7. 7. 9- P. I J- ■' ■■■ Wallifiana , prodiitque quicunque numerus integer affir- matiuiis loco / fubftituatur. Haec eadem expreffio au- tem prodit fi ponatur ^ =: 2, et / — numero cuicun- que impari integro. §. 9. Cum igitur fit /-^ (-^^ )' zz: 2/ (2/^-^<^)(v-^^>Hfe)(2^H-3fe)(2^+3fc)(^^+5^)(2^+5^) ^^^ Quare illa expreffione per lianc diuiia obtine- bitur fequens aequatio libera a peripheria circiili tt ;^^M^b-If/j/.y ( I _.y jj^^s/^^M-fe)^ (2/-f-2^)'C2fcH^3fe)'(2/4-+fe)»C26-+-5fe)» etc. Quae radice quadrata extrac^a praebet hanc aeqiiationem /r-^-^^: V(l->'^).yg __ .fe(,/^g)(,fe-4,,|t)(,/.4,,g)(,^4-,fc)f,f^5g) ^ fV^-^dy.Vll—J^) ^* =/(='/'-Hfc)(2/-+-2g)(2feH-3fe)(2/^4g)(2fc-t-5fe) §. 10. Haec autem cxpreffio infitiita valorem conftan- tem non habet , nam etiamfi in infinitum continuetur , ''"tamen alium habet Yalorem, fi numerus ftdrorum capiatur par, alium fi numerus impar. Quamobrem nifi fit kzz.g^ quq FJCTORIBVS ORTIS. p quo cafii perinde eft, vbi multiplicatio abmmpatiir,blni fadlio- res coniimdim fuat accipiendi , quo fado binae obtinebuntur aequationes, prout numerus fadorum capiatur par fiue impar. Primo autem accurate euoluta expreflionegeneraliobtinebitur: ^^^li^^k) etc. Sumendis autem alteris terminonim pari- K,,. pHr ^^^t^l^I^ — L^teK^5rhrfe).(_j/-j-TgU.fe-f-4^) Ifelltii- rai^Jf!- ^^^- "^ ^"ib"^ exprefllonibus loca , Ybi operationem abrumpere licet , punc^is funt di- flinda. §. II. Confideremus autem attentius cafiim , quo eft ^ =: ^ q"ippe -quo expreffio infinita tanquam ex fimplicibus favfloribus conftans concipi poteft ; eritquo fy^-'dy:V {i-j^ )_^h(,f^s)hh^^-g)i2f^^.g)(2h-^,g) ^,^^^ ^^^^^rr^ jf^/'-i^.y^i__^2j— 2/(2/:4-ii)(^/-4-2£:)(2fc-h3g)(2jH-+g) ^"^^ ^xprellia, quo minuscumpraecedenteobeaflem litteras confiindatur, po- namus liic 2/—« et ibzzb atque j/z::/, quo fubftitutoprodibit P ~'^^''^ ( ^'"•^"'^)_5ra-4-f )(&-f-.^ycr-+-.gl(5-4-4Pf)rg-+-,-g) Jx^''dx: y ( I _a''-^j~«(^-+-^HG-H^S)(&H-:g)(a-H4£)(c-4-5g)- ^'■^- 4"^^ eX- preffio cum priori . § .9 .data,quae fado pariterjra:*, tranfit in hanc jfg/^fx^ dx\ __(3/-^-g)(./-u^)r./H-,g)(./H-Tg)(./-4-5£)(./^5g) ^. ^ • Tr.VV^I-a^^SW — 2/(2/-h-g)(2/-+-2g)(2H-+g)(2/H-+g)(V-H?g) ^^^* comparata , infigne<^ manifeftabit proprietates, quarum ve^ ritas alias vix oikndi poterit. §.12. Statim enim patet fi ponatur az=:.zf-^et hz=:± f-\-g , illam expreffionem infinitam in hanc transmutari ; quamobrem etiam expreffiones illis aequales , quadraturas Tom. :XZ. B cur- ,Xo' DE PRODFCTIS EX INFlNmS curnanim continentes , hoc cafu fient aequales , ex quo fe- quens emergit aequalitas : ^- — r— tt~~^7 ^."^ — « {Jx^^-''iix:V(i—x'^^)'', fi quidem ponatur poft inte- grationem x~t. Hinc igitur fequitur fore tt :n ^fg fx'-f-^dx Jx^-^-^^-'dx , ^ ^ ^.UK^- ~ '- -' q"od fane eft theore- ^ ^ y\i-x'^) y [i-x^'^) ^ ma maxime iiotatu dignum , cum eius beneficio produdlum duorum integralium , quorum (aepilTime neutrum exhiberi poteft , affignari queat. § 13. Veritas huius theorematis quidem ficile decla- ratur iis cafibus , quibus altera formula integralis vel abfb- lute integrationem admittit vel a circuli quadratura pen- det. Ponamus enim^ = i ,-et a zz i \ vtique erit tt rz a /vra- /vTTiT^ nam^^y^:-^ pofito poft integra- tionem A" zz: I dat ipiam quantitatem tt j ^tqi^^ /vTTizlir) mi~y( — ATx) fado a^— I fit :=i. Simili modo fi ^zr2 manente^~i perfpicitur fbre Trzz^/yj^^j. ^—.-x) nam eft JvT7:z^xl — i ,et 7^^(7-^-3 __- ; qui- bus cafibus theorematis \eritas aliunde cognita , confirma- tur. §.14. Reliqui autem cafus , quibus neutra quantitas integralis vcl adu vel per quadraturam circuli exhiberi poteft , totidem praebent theoremata maxime abftrufie in- daginis. Ita pofito ^=2 et azz:i fiet tt =: 4 /y(7r^-T) . J^^) ? ^^i iTi^h exhibet applicatam in cuiua elafti- ca FACTORIBVS ORTIS. ix ca reelanguk ,/;^^4-) Yero arcnm ckfticae abfcifl-iea^refpon- dentem. Quocirca redangnliim ex arcu ehifticae abciflae i refpondentc et applicata refponciente aeqnabitur areae cir- culi , cuiiis diameter elt abfciflii illa i ; quae prcprietas elaflicae fortafle alia methodo yix ac ne \ix quidem cog- iiofci deniOnllrarique poterit. §.15. Antequam autem hunc elaflicae cafum relin- qiiam, iuuabit vtrumque integrale per feriem ordinariam exprimere cafu iiiltem quo x~i. Cum cnim fit yu^x*~) = :~^Y3jp-p atqiie(i4-au'j-i==:i--|.v^+:^ .v*- rri -^' ** + ^fc- fingnla membra a circuli quadratura pen- debunt. x^bfbluta aurem vtraque integratione pro cafii x~ i ^rit^/vfe^f (i-i-f-rfi-- ^- ^ etc. atque /vT:-^^) == 1( ^-rr -+-;---: - brr:^ + etc.) Hinc au- dx tem approximando prodit tam prope /vun^j^ll et /x X d X j §. 16. Si fuerit ^iri erit tt :=: 2^-^ — ' -1- — ^^- — , ^ v(i-.v£) y^i-.i-g) quae duae exprefljones integrales ita lunt comparatae , vt fi fuerit *^-^ — ' applicata curuae cuiusdam abicifl^Iie x refpondens , futura fit/— : ipfa eiusdem curuae lon- ^ • ' *'y(i-;t'^£) ^ ' gitudo. Qj.iamobrem fi in hac curua fumatur abfcifla a" =: I , erit produdlum feu rcdangulum ex applicata in longitudinem curuae ad aream circuli , cuius diameter e(t abicifla .vzzi , vti (e habet 2 ad numerum^ ; quae pro- B 2 pofitio Ift JDE PRODFCTIS EK INFINITIS pofitio locLim habet , dummodo g fuerit immerus affir- inatiuus ; valores negatiui euim fponte excipiuntur. §. 17. Si a — i minor accipiatur quam ^ , ita Yt numeri a ct g fint primi inter fe , fequentia habebuntiir theoremata notatu digna ; nam fi ^-+-^-1^2^ tum integratio ad formulam fimpliciorcm reduci poOet. /dx •''= 4/v(. /xdx d X .' x^ dx .x*~) 'J V(,_x*j ^ r dx r _xjdx_ ^ ^J Vvi— :c6) • J V(j— .cO /xdx __ r X* dx Vd—xe) J V(i— :c6) . r dx f x^a *n — 87 vd— x") •'/ v(i~x8 ) ^ r jc^dx r x* dx 'J^ — 24-7v(i— K») 'Jvd— x«) dx /a. vTTZ /_xj_dx V 1 — X 1 0 V(i — «'«J -_ r x^'x r ^^ ^x rrr -— A r, r -^l^- T _ii!i^_ vT^x'"') • j v(~^'^ ^ r g^ij: f x^°dx TT — ^OJv(.-x'-) •-/ V(.-^'*) ^ dx f _x^x_ TT — 147 v(i-=t**) •-' V(i-;c^»*) /. XtX f c TrinaSj v(7=3c'*) -Jv^ r X^^dX r_a 'TT — 42J vo:^) -J v(. :c8ix x^dx ji' r _xldx_ f TT — S^J V(.-x**) -^ x5dx_ f x^°dx *) -j Vd- x' ^dx Vd--^**) -TTZH^Oj V[r^'*) -Jvd-JC^*) §. 18. Hoc ipfo igitnr inuento redudio etiam for- mularum integralium ad fimpliciores infigniter ell: promo- ta. Cum enim adhiic duae iftae formulae /x^-^^^dx y{i-x^^) et ad fe inuicem tantum reduci potuiflent, fi n crat multiplum cxponentis 2,g ; ita nunc redudio etiam fuccedit , fi n tantum ipfius g fucrit multiplum : ca(u in- tellige , quo fit xzizi. Qiiemadmodum autem fi « eft produAum exponentis ^ per numerum parem , quotus , qui refultat ex diuifione alterius formulae per alteram , ficile affignatur , ita e contrario , fi n fit flidum ex g in nu- meriim FJCTORIBFS ORTIS. 13 meriim imparem , tum prodiidum formukmm iaciilime aifignatur. §.19. Hiiec om nia ergo huc redeunt , Yt fi cogni- / X ^ d X tum fuerit iutegnile formulae -^ ^ _ cafu quo a~i , r V m-f-n J Y eodem calu etbvi:! hnins formiilae -^-—-——l intcerale fi fit n multiplum ipfuis g , exhiberi queat. i>it enim ±x f X ^ d X integrale formulae \/f^__^,g\ ^'^^^ ^ ^"^ ^^ ^^^ \ i"te- gralia alterius formulae , ponendo ^, ig^ 3^, etc. fuc- cefliue loco n fequenti mudo fe habebunt. pX'^ dx __ J yJT^) — ^ rx^^-^^dx ^ J -yii-x^^) — ^(^-^05^^ fX^dX^___ijn^)^ Z _„ (m_-}-0(m-+-:g-M}A__ §.20. Cum deinde haec formnla g;eneralis fx^^-^^^dx (i-^X'^) 5 denotantibus i et k nuoicros integros quos- cunque, reduci queat ad hanc formulam*^ ^77 ^, intel- B 3 ligitur tcf BE PRODVCTIS "EX INFINITIS ligitur illius formulae latilTime pateatis Jx^^-^^s^x {i -x'^) *"« integrale aflignari pofle ex integrali -^ y7~,;^ cognito , cafu faltem, quo pofl: intcgrationem fit x:^i. Cafus au- tem , quibus i efl: numerus impar , praeter hoc integrale etiam circuli quadraturam tt requirunt. 9. m. Qiiemadmodum igitur per terminum indicis \ (eriei fupra §. 5. afliimtae ad iftas formularum integralium compnrationes fum dedudus , ita operae prctium forte erit aiios terminos intermedios fimili modo inueftigare. Qiiae- ratur igitur terminus cuius index eft ~ qui ponatur — z , €x quo fequentes ita fe habebunt t ^-^ f-^'^ 9 1 1 z-T- ^ -t— qi , -t- etc. Confiderando nunc pari modo , quod haec progreflio tan- dem in geometricam abeat , fequentes orientur approxima- tiones ad terminum z. II. --^i^?^ = {f^g) ^l {f-hg) ^ (/+ ^g ) I ni.:s(/+^»(/+^tei)^)^(/4-^)'T {f-\^g)\ q-p p p (f-^H) ^ (/^-2^)^ (/+3^) 5 Hinc igitur eli- P_ 21P cietur verus valor ipfius z ~ {f-^K' ^ if-^g) ^ \ (J-H '-^-^g) f FJCTORIBFS ORTIS. 15 U+H)f (f^^g-^'1 (f-^^g)^ (_f±M)'T . etc. Vel paucis miitatis, \t Eidores infinitefimi fiant =z I , et exprefiio vbi libuerit abrumpi queat erit ? cr :? ' , i-p' expreffionis lex , qua fadores progrediuntur , fponte elucet. §.22. Eiusdem autem termini intermedii z valor ope termini generaiis huius leriei exprimi poteft,fiet enim^— _g_^dx[-Jx) ^__^ Q^^.^^^ p^ ponatur/^.v(-/;c)¥= -^(1.^.3 ^^(f+i^ff-Kx^d^H-i^.-.^f+O Jdx{x-x') hjdx {x^-^x^f^Jdxix'' x*)-q... Jdx^x'^-'-^') I mVP: atque xzny^^ quo fit Jx^-^dx^x-x) i zzgj^'^^"^/ itf r>E PROLrCTIS EX INFINITIS (i^^) « — "s - Q-' «" « - ^ ^ ' {i-y^)i PfS Y a §. 23. Subftituta nunc loco z fuperiore expreffione infinita , fiimtisque poteftatibus exponentis q , prodibit ifta aequatlo: il? =^— — • ^-^^'. PV'fS^f(l' (/-t-|^)'"' {/-4-|/ (/±£)n_ (/+^^)*' .(/±L^i^l__ etc. (/+ '^/''' (7H:"'f%F' (/+ ^'^ ) '"'' Si igitur pari modo ponatiir J^ -I— — R , erit quae duae exprelTiones in fe mutuo du^fhie dabunt ^fl^JA-^l^^'' ^f+s) (h-h(f±i^g)'(f-^^gi_ ^'~^ <~f-^ls)\h-\-sf if-h^i^sjU^-i-^sf TACTomBvs onm. xr f . 24. Si ergo vtrinque multiplicetur per ^ atque ladix poteftatis q extrahatur reperietur -= •'■, ^ i — J V 'ay['^—y)'^^ iu quibus integtalibus cum ita fue- rint accepta , vt euanefcant pofitoj^zro , fieri debet jrz: i , quo fado habebitur per quadraturas valor expreflionis in- finitae propofitae. Ope huius igitur expreflionis infinitae altera quadratura ad alteram , fiquidem ponatur j^— i , reduci poterit. §.25. Vt autem hinc eiusmodi integralium compa- rationes deducamus , ficuti ex priori cafu, quo eratpzni et ^=1:2, ponamushic^=:i et ^=3 ; fietque P=:^ Sy!z!Ai fdx{x-x*)\fdx{x -x^fctQzz: ^( atque R=: /l!lL% Erit ergo i2L =/__L^J£±^J if±i]if±iM±^ etc. atque |=g*±il)l|±4 {j^i£)U-i-i£)iJ-^U) "^ h{J^',gxh^g) {h^mjE±^(I^Ml etc. quae duae exprefliones, cum in ilia vna reuolutio ex tribus hic autem ex duobus fadlo- ribus conftet , in fe mutuo transformari nequeunt \ quicquid etiam loco h lubftituatur. Tm. Xl. C 15. atf. ' tS DE PRODFCTIS EX INFmiTIS f H6. Sit igitur S ^~. / §.31. Ponamus p z=. 1 et ^ = + ; habebiturque R_fittJili±MttMJ±^£) veio vt ante S =-» — ^ ; T =■/ —^ ; erit RS T _ /. / . f{h-Hg){m-\-lg)(n-i-',). (j%-g) Q_' -h.m. n(j-^ig)(J-hlg)(f-^ig){h-i-g) ^- cuins expreffionis 6 fiftores in illiiis quatuor fimt trans- miitandi , quod fiet ponendo h—f-i-\g ; m =/+ Ig:, et «=/-}- 1^ ; quoft(fto habebitur 4*P=/i'(iRST. Qua- re cutn fit P = 5 J-^- ' /^^ • /-1^._ ; fi ponatur j^^s et ^f^a orietur ifta aequatio ; /-^ — ^^Tj •/(i-^*)i -/(1-^^)1 -^''•^ -^(T^^ ^(1-^*^)1 fr „-T — * /*7 -v-^ cuius cum pmecedentibus cau- bus , quibus erat p—i^q — i-^ etpz=i,^ — 3, connexio (aciie ptrlf icitur. C 3 § 34- ds JDE TRODFCTIS EAT mFlNITIS §32. Ex Iiis igitur licehit omnes iftlus modi aequa- tiones , quae orientur fi ponatur /) ~ i , et q:zz numero cuicunque affirmatiuo integro , formare ; erit fcilicet. ^' ^[1 ^z') —^^J y~{T-z^^) -^ V C I -z'^) • ^ (i^^^)i'' (I^;s0l - ^^ ^ (i^«^^)| -^(l-^S^^)! •^("2=^)1 *''• /(iV)| ^(1-^^)1 ^(i-Ol "''^ •'(i-^^^)i gg-hf--T ^^ ^ z^^-'dz . z^^-^^^^dz TTT r '^^ • r^^^ ^«""^^; sV^: ^ *^^- /(Til^li «^(TiiTt i(-7r7)i J{7z^y, -'^ z°-'dz ^z^-^^-^dz rz^-^^^^dz ;s«-+-.g-i^g ^("^^^^^^(^^^'^••'(i-^^^)^ '*^(i-^^'^)l ' §.33. Quo etiam eas aequationes , quae oriuntur fi p non zz I 5 colligere queamus , ponamus pizis et ^=^4; 4*P quo pofito, et reliquis manentibus vt fupra^, erit -r-T-ry :rr iL.„(i±^i±lLL&lL etc. Ybi reliqua mem, bra ex quaternis fridoribus conftantia ex his fbrmantur fin- guios fa^iores quantitate ^ augendo. Simiii vero modo erit FACTORIBVS ORTIS. aj , Q^ h.m. .n {J-^igXj^iglJ-j-ig) feni fadores vnam reuolutioncm feu periodum conftituunt. Ad comparationem autem inftituendam neceffe eft vtram- 4P /. que feriem ita contemplari : * z / . , s, .* — /"rT'"^ JT L^H/±^ etc ^^_fJ^ittMl (j-^lg\j-flglt-^ls) /01 ~ ni.n.U-^ig) V ^^_L_ '^j^l — ^ etc. quarum haec transmutatur m U-^l^)U-^l^)\b-^^) 4*P ilJam , ita vt fiat -4—77—-; = QRST , fi fiat A 3: /-i-J^- m—f-ig'^ et «=:/+|^. 2 /72C &^u'^ -^ f . 34. 0,m igitur Ct P =: | V(— S^ " ^[if^ij ' pofito j zi: s;* et 4/=^ fequens conficitur aequatio ; f5!!!fZ£: r?!l!l!!r''^^ sr'^-*-^^-'^^ §. 35. »4 r>E PRODVCTIS EX INFINITIS §.35. Hoc modo progrediendo reperientur fequentes aequationes , quando p non eft z:: i et quidem Ci p^2 inuenietur. j r ^^ .zdz r , , ,z^-'dz jj . dz _ Zdz Zzdz ^ ., . s r^°~^^« z^^-^^-^dz ^-^'dz z^^^dz ^(i^^.^j.| •V(7i:piJ7--7(7Z^jr Generalltet dz autem quicquid fit q, fi ponatur — -— zzXdz €X sf"^'dz U_^qgf_z:± =Y^^ erit /XdzfzXdz./z^Xd!^ Jz^i-^Xdz^ag^-^la-^^^fYdz.Jz^Y 4zfz^^Ydz..... fz^^^-^^^Yd^. §.35. Simili modo fi fit p =: 3 , ac ponatuc dz z^"dz -^^ =X^5,et g^3 r=Y^^ prodibit fequens aequatio generalis , fXdz.fzXdz.fz*Xdz. . .. .fz^-'X dz-ag^-^ ^±±^±2il fYdz.fz^Ydz.fz^^Ydz....... fz^^-'^^Ydz. Atque hinc omnes has fbrmulas in vnam latiffime patentem colligi licet. Sint enim p et ^ nume- . . . dz n qmcunque mtegri affirmatiui , ac ponatur ^— (i-;S^JY Xdz FACTORIBVS OmS. »1 %dz et - — —T-z rz^Ydz^ habebitur JXdzJzXdz. ( ^-z^^r^ Jz*Xdz fz'^'-"'Xdzzzag'i'P(ci'4-i)i3-*'^e)(a'^,g)..-(a^p-r)f^ jYdzJzf^Ydz.fz^^Ydz Jz^i'^'^sYdz, ^ ^^'^ § 37. Cum autem fit /^^-x^^rr ^- , fi perhunc fa(florem vtrinque muitiplicetur proueniet fequens aequatio fetis ele^ans : g^^-HgXa-4-2gKg-4--g) f^n-r»-^-) ?-f — fXdz '■'- " ' ■ ^ ^ ^fYlz feXdz jzXdz fzXdz fz^f-^Xdz Jz^dz ' Jz^^-Ydz ' Jz^Ydz f^-'Wdz ^'^^ ^^^ prenTio omnes hadenus inuentas in fe compleditur ; atque ob infignem ordinem eft notatu digna. §•3 8. Progrediar nunc ad aUam methodum , cuius ope ad huiusmodi expreOiones ex fadloribus innumerabili- bus conftantes peruenire iicet . quae magis ad analyfin e(l accommodata. Obferuaui enim ex redudione formularum integralium ad alias iftiusmodi expreffiones obtineri pofle. Sit enim propofita ifta fbrmula integralis /^«•'^-Vj^i-a"'^! , quae non difficulter transmutatur in hanc expiefliontm ym(i-,^«^j^^ rrr-^'P-^)n f^^-j-n.^^dxii^x^rl, Si ergo fn et ^^^ fuerint numeri affirmatiiii , atque integralia ita capiantur, vt euanefcant , pofito xzzlo ^ tumque ponatur xzzii ^ fiet fx^^-^dx^i ^x^)t _ !ij£ttJ2 fx^-^^^-^dxii-^ §. 39- Cum deinde (imili modo fit fx^-^^^^^-^dxd^ ^^'^^^'^-^^^fx^^-^^-dxii^x^rP eritquoque Jx^-dx Tm. XL D ' ergo ^ DE FRODFCnS EX INFINTnS erga redudtione in mfinkiim contimiata prodibit : fx^'*djt V Jq m • ^Ai-Httjj {m~i-ztLq) ■-.... (mT^oore^) fic^oo.n-r^x{i'X''^)l Ac fmiili modo t[\ Jx^-^dx^i^-x''^)^ ___ (M^-4-(p-M)n)(u-4>(pH-:<7;^)(H--f-(P-H- q>0 ^f^-t-(p-4-cx3^):ir .^-^Oon^l^,' M. ((AH-/15J (/x-f-^ri^.) . . . . ■ {\x-k-Oonq) •^'^ <^t(i -x^^^jl ; dnmmodo ;;/, ctnq^ct ^ fint niimeri affir- iiiatiui ,, leu iiiliilo maiores.. §. 4Q. Qiioniam autem fi m efl: infinitiira £t fx^^dk (i-X'^^)|=/v'^^-V.r(i~-x^?)|, quiciinque numerus finitus. loco ot accipiatur, Yti ex paragr, 3S colligitup, erit quow que fx'^-^^''^--^dx{i^x''^)^-fx^-^^^^-^dx{i-x''% Quam. obrem fi praecedentium expreffionum altera per alteram diuidatur , prouemet ifla aeQ;iatio :. '— — '-J^Z^Jl. — fx^-^dxXi-x''^ ~ t!»(m-.4-(j>-4^)n)(fx-f^/?)(mw>rj)-f-2^)nX>A^-gn^)(m-hrp-H;<7);i)(fx-4-;ng) . infinitum, cuius expreflionis ope innumerabilia produAa: ex infinitis fadoribus conflantia exhiberi pofTunt , quorurat "Valores per quadraturas curuarum aflignari poterunt- §. 41. Si altera formula integralis admittat integra^ tionem , tum commoda expreifio infinita pro altero inte- grali habebitur. Sit enim [jl==:«^, trit fx^'~'dx(i-x''^)^' zn: ^^4^-> ^"^ ^^^^^^ fiibflituto prodibit /x^-^^Jtti-A;"^)| ' ^ ngrm-t-(^.4.g)n).w^(Tn-f-( j?-ha^)n) znq r-i^hic r^^f^ r^rn. • ip-^A- mip.i-iq'Ti{m^nq){p^zq)n{m-i.tnq) ^^' tUlUb UpC prU< innumerabilibus integralibus exprefliones per continuos fador rcs in infinitum excurrentes inueniri poflimt ; eo faltem? cafiii quo a:=i j quippe qui plerumque potifiimum defi* FACTORIBFS ORTIS, 17 ^. -ffi. Ponatur n loco nq^ et prodibit : fx^''dx %!. .\ J^ — ^p-^q)ti' m[p^2q)n im-{~n) (p-t-jqjn (m-i-zn) {p~^^q)n etc. quae iii binos fadores refoluta fit fimplicior euaditquo /'r^-'//v/'T v^^^ — —1— i(m^-t-(f>-f-gh) ^(7n^-^( p-f-ag) n) J'^ .«^i,a .A, y^ — ip-^q)n • m(j>-f-2g) * {m-i-n){p^-q) • ^S^i^^^ etc. vnde fequentia exemph notabiliora de- ducuntur. / ,-^,= I. ^ . ^ . ^ etc. zr iii^LiJ^^ etc f £££- — I Jv(T:H) — ^- 3.3 • ss'77 ^^^- — 3T77777 ^^^' /■dx a ij_ V(<-*^) ^' i- / xdx /dX T l-5-2.T4-3-»2-4-?0 p*.-, I a-T.4.7.g-IT.3-t5 «i^ V(i-3C*) ** I3-i-J. 9-713. 0 * • * l.z. <. T- o. 7.17. .0 /xacdx vT V(.-x') / dx » 4-*-»- S.I2-lg- X6.16 Q^^ jf 4. ^^ * J.7.5.II. 9.I5.I3.J9 V(i-«*) Praeterea hae expreflioncs notari merentur. J* M'*V "^ J n a-m ' m(2n-m)(m-f-n)(',n-m)(m-4-2a)(+7i-m) ,/5^,m-i^^/'j_j^.n\m-n , n. ?m- ,>? {^.m-h-n) n (jm-^^n) ^n 1- 3 1-9 3-5 T-r* 5- 7 etc. zr • 1-6 2'Z 2'IO 4- S 3T4. 6- -7 etc. 3z 1-8 3-3 2-1» S- 5 3-1« 7- 7 etc. I-5». IT-7-I7- 4-IT-T' «9 /»fr J-3-+. 5.7- 7- 10- 91; 5.X. ^'^^ I'7-i •13-3. 19 •+ aj.5 ^ etc. •1» 2.3-5 ■ 5- «- 7- II-9.M J.6.2. 14-3-J2 + .To etc. l I 3-i' • J.9- 7 13.9 I- 10-? ■TS. J.26 ■ + •34 etc ,_X*) 3- 3-7 5. II- 7-15.9 dx — • T_ 3.^.6-6.9.9. Ta.i2- QfQ ' "^ 1.5.4, 8. 7-I !• 10- 14 etc m m(m-H'0(m-H;i)(m-f-2n)(m-4-2/tXm^-. nim^z^) {im^zn) ^^^^ {m.4-4n) §.43. Cnm antem pari modo fit fx^''dx(i-x'')f r: g ifH?u4-(r->-?)v);()As-4-(r-4- s)v)3(u?-4-(y-f-35}v) gj^ ^j-jj. nriorem (r-4-$)v • n(r-H2J)(»x-+-¥)[r-f-3Sj(iJi-f-2v)(r-4-4S ' a^ v€s;pre(fionem per hanc diuidendo /v^-'^A)(c+3)(/4-(/:-H2)g)^ etc.Simili modoerit^^— l^-!-^2 C^^^ jX^-^dx^l-X^^f — ^^^' ^^ «(7-+-2)(^+(^-hi)>)> * (l^j^^x?SS+^) ^^^' ^i"^^ exprefliones, etfi re non ia" ter (e differunt , tamen qooniam habent fbrmam diuerfanr > inter fe comparari poteriint. §.45. Vt nunc ex his expredionibus eadem theorc* mata eliciamus j quae iiipra innenimus, fit ^:=zyzz.bzn ,.. ^->.io_„_i. Jx^^-^dXJl-X^f _f(a^(c^,^byMy * , -n _ e_ g--- ^^ , erit J^4-^^^^_^hf - aU^is^Ma^l UmM^^^^^ etc. atque alter. formuk jX^^dx^^-X f ^ta^^c-f-, )?,)(f-f-;,)fa-Mc-^-2)6)f^-^.&^ (a^c^,)by Jx^~'dxU—X^Y ««-*-(c-HiJ6XaH-o)«-Hc-i>2l&)(a-+-26J(^-lrCc-t-3)6): ctc. Harum expreflionum produdlum fi ponatur z^f oportetefle 'm^^^^i =1 , hoc enim fi fi,erit, totarun, sxpielEomuai iafinitarum produdum fiet zz. |-. At hoc oh- FACTORIBFS ORTIS. 19 finebitiir fTiciendo az=:^-f-(r-f- i )<^ ; <^=:/-4-(r-Hi ) ^i fietque czz-ly ita vt {^a ctzz:a-+\b \ ^—j-^-ib ^ eritquc S ^-, ir J 7) :6\ P<^^^^^ ^et/ioco 2^et 2/ Haec auteni aequatio nil aliud efk nifi Theorema (upra inuen- tum §. 12. ^aa emm /— ^^^y77r^=ret/^^^_^,,^ — ^ i vnde fiet tt ::=: 2^^J— -^ •/>/(-i_^.6y f . 46". Similf modo alia; huius generr& theoremata irr- veniri polTunt ^ lit enim g nz h ^ Z?n ^ i 'n — S^— ^ et 0 m y ^ qiiaeraturque caliis ,, quo pioducSum ambarum exprefiio- num fiat=i. Hoc autem obtinebiturf, nt|i±5^'^^^^'» znr ; id quod fiet capiendo ot— ^-i-(i:-i7- i )^j/=3^4- (y-^x)^;^zi: X j, *■ y-hJ^—n habebitur/^^j^ . /^6pr ^ />2^_ Ijx^^^-^dx D 3 §.. 47' 3t^ DE PRODTCTIS EX INFINITIS 5. 47. Alio infiiper modo concinnum thcorema elici poterit ponendo yzzbct^zzzc ^ manente y\ — ^—gzz:bi atque efficiendo Yt productum exprellionum integralium ^^t = 4 , q"od , quo eueniat, oportet effe [^:^'^:^'.jtx',:t^^j^ i^c^llb) —I- Hoc vero efficietur capiendo oL — a-h {c-hi)lf'^ ^zizf-^ ( ^ -4- I )^ , ex quo reperietur c -H b^i:izo feu ^m — i— r; quare fumatur ^— — 1-|-« j et ^ — ~i--« , atque fequeus prodibit tiieorema : "~ zi: fx^-^dx[i-x^yi''Jx^--^{X^^'-^dx[i-x^)-'£^^ §- 4S. Sint nunc omnes exponentes r, Z^, y et Ha- aequales, at ^:i=g z=:>j zz^, quaeranturque cafus quibus pro- dudum ambarum expreflionum fiat =: [c!:^,')JyIII'.) • ^^^ ^^' tem eueniet f. reddatur haecfornia »^,x^^>^^±i«, (^I^Im^uo) ^ ^ q"^^ fadores ita exprefli , Tt linguli in lc- quentibus membris quantitate b crefcant. Ponatur iam ^ ^{.Q-^i^bziibh-^-tib.^Q^jil^—bli-^h-^^) et a -i- (y -^- i)^i=:^i:-j-^^, feu «— ^(i-H^~y). Porro .fiat /^-(^-l-i)^:=:^^-f-2^,feu/zz^(i-|-^-^)ettf ^[c-^i^bznby-^-^b (eu ^— ^(i -|-y — ^r). Deni- que debebit eflfe a~/ et i?fz=:^, quae duae aequationes requirunt vt fit c — yzn^ — h^ fiue i:-4-^=:y -i-^. Vtt- •de fequens orietur Theorema : ^^~~!^^ fj^i^-^y-^y^dxi r -x^f. /^^^^■^'-'^^-'dxii-xY ± ) dummodo Gtc-rh fxbi^-^^-^h^dx{j-X^)^fx^^^-^'-^^-^dxil-xJ j^— y + 0. §.49. Alio autem infuper modo exprefTio illa effici poteft zri, ponendo azi: «t (x-|-(Y-Hi)^ = ^^ + 2^; quibus poftulatur ^t fit y-^^-i-z^o. Pona- tur ergo Yr^-^ + ^^ ^^ 0i=:-i— «. At fi requimtur , vt produaiHn ambarum expreffionum fit zn -{(tXKT^i") » id obtinebitur ponendo «— ^-{-((^-f- 1)^, ^=i:/-i-(Z?-i- i) ^; /:^^(Y-V-i); az:zb{0-^i) vnde erit a— ^(a-H ^ ^ 0 ) et ^zz ^ ( 2 -f-Z? -i- V )• Tandem vero debebit efle y ^a^-inzzo. Ponatur yzi:— i-i-« et Om — i— »; at- que habebitur hoc theorema ^ — '^^ft^pHO^TTZ^^' J±Sl -4 c^ — : in qua notandum eft, exponen- tes c^h^-l-hn^-i—n numeros negatiuos quidem efle pofle , fed tales vt cum vnitate ad affirmatiuos tranfeant 'y, alioquin enim integralia Yalorem finitum non obtinerent calii juizzr^ §. 50. Quemadmodum igitur non folum theorema fu'- pra inuentum circa duarum fbrmulanim integralium pro- dudbi detexi hac methodo magis direda , fed etiam alia: noua eiicui non minus notatu digna , ita , fi pari modo tres; eiusmodi exprefliones in fe inuicem ducantur , theoremata' compiura circa produdia trium fbrmularum integralium pro- dibunt ; atque \itra ad quotcunque facftorum numemm pro- gredi licebit ; fed cum haec inquifitio adeo prolixum cal- ciilum requirat , vt etiam Utterae vix fufficiant , cum ipfis; theorematis praecipuls indicatis ,. tum via monflratai coa*' taentus eroi. DE FRACTIONIBVS CONTINVIS OBSERrATIONES. AVCrORE Leonh. Eidero. 5. r. CLim anno fuperiore incepiflfem fradiones continuas eic- nniini fubiicerc , hancque fere noiiam analyleos par- tem euoluere , nonniilhe obferuationes fe interea obtulenmt , quae forte ad iftam Tlieoriam excolendam non cruot in- congruae. Qiiamobrem cum exploratio huius dodrinac non parum adiumenti analyfi allatura efle videatur, hoc argumentum dcnuo aggrediar , et quae huc fpedbntia oc- currerunt , dilucide exponam. Sit igitur propofita haec fra<^io continua A+B E^-F O-f-H 1-i- etc. cuius valor Ycrns repctietur continuando fequentem (ericm ia infinitum. A-P .^ - pl-^fa - ^ -H etc. in qua fcrie litterat P, Q_, R, S etc. fequentes obtinent valores : P=i:C;(i=:EP-4-D;Rzi:GQ+FP;S-IR-f-HQ; etc. Series haec autem (emper efl: conuergens , qiiantum- vis crefcant vel decrefcant litterae B,C,D,E,F etc. dum- modo omnes fmt affirmatiuae , quilibet terminus enim mi- Dor eH quam praecedens, maior \ero quam fcquens; id quod DE FRACTIONIBFS CONTINFIS OBSERV, 31 quod lex , qua valores P> Q., R, S etc. formantur , ftatim declarat. §.2. Si ergo viciflLim haec propofita fiierit feries in- r ' B BD , BDF BDFH , ^^ • r nnita p — pQ^-f- qr: — -^j- + etc. cius lumma commo- de per fradlionem continuam exprimi poterit. Cum enim f>t C = P;E='^; G=^^ 1= ^-"-^, etchabe- bitur fradio continua illi leriei aequalis haec : B feu B Q.-D-f-F?CL ^ ^^R-PP ■ H , Il-FP-+.HaK a -T-S-HQ, K __ S-HQ-+-KRS H 'i etc "TicT » Qiiare fi data fiierit ifta feries -- — |-|-^ — |_|_l__etc. ob Bzz^'Di=:/^:^;F3=^:^; H=:^:r; Kr=^:fl?, etc. et P=/)-Q-^^:/);^Rz=:pr:^;Sz=^j:pr-T-/)r^^i;etc. huius feriei |-|-4-^— j--j-^~. etc, fummae aequalis erit fequens fradio continua : a a §•3- Vt haec exemplis nonnullis illuftremus, fiima- nuis fenemj-2H-i-. + ._.^_etc. cuius fumma eft — 12 feu —J~d poft integrationem ponatur a-=i. em ergo a = /,=c=d etc. = x;p=x ; ^= 2; ^=3- ^-4; etc. atque p=i;aq- l,p=i- i,r-,a=zi-cs- ar=i, etc. ' ^ » 54- DE FRACTIONIBVS CONTINFIS OBSERF. dx HiQc igicur fit /^^ zr i-i-9 i6 i-H etc. ifea huius fradionis continuae valor eft I2. §.4. Contemplemur nunc bane feriem i— |-f.»>- «; ^-V-l—etc. cuius fumma efl: area circuli , diametrum — i habenti& , fcu rz: Jt^^ pofito poft integrationem xzzi^ Erit ergo ^m^ =: tr=:E FRACTlOniBVS CONrmFlS OBSER^. I . MC^^-f-v) M.fu-f-vXu-4-^-v) , ^. -. -T- i.av^.m-ipT) - ,.:.3v^(:m-+-n") -1" ^tC- ^uac cum generaU comparatadat /?— i ;^i:i|x;(; — p.(^-f-x)-^ir fjL( jjH- y)(f^H-2K); etc p:=:n',q:^v(7ri'-{-n)'^rziz2y\2m-+' w)-j=:5y'(3/»-f-«);^zz24v*(4wH-;2); etc. atque ^^~^/)zrvf;/4-(v-f^)«;^r-^^=:p.v(3y-jjL)/«4-fjL yi^-ix)n'^cs-dr:=z ^ixv' {ix-\-y){mi sv-2iJi) ~{-n (y'-ix))dt'es:=i6ix.y iix.-\-y)(i^.-\-2.y){m (^v^-s [x) -\-niy—7n)) etc. quibus fubflitutis , fadaque redudione habebitur : Oc^''dx -i — -^ • — zz: n-hW^ /__, TO\^ V^-4-(v-M}^H-vCM-H-v)(m-»-n)^ ^*T-«!i j* C3 v-u) w-^r v-U)>i-^- v(u-4-2 v)( - mH-n)' (5 v-2|x)T'iH-(v-^<.)i'+-3 v(H- C/v-:M-)?ra-i-(v-,'J.)n«^c« Sit ik-zzi et y=:2 erit /z^T^-^^zr «-+-'1" 3t7t-f-n-H* (m-j-rOf , 5m-+-n--i-2o(27n-f-n)f_ 6 m-H7t-^-4.2(m-f-n)' iim+-n-+-72(+m^H^ i4mH-n-f- etc. §.9. At fi jFuerit vz=:i et p. numenis integer , pro- dibunt fequentes fradiones continuae : i 1 '\-'X'^ Y m-n^:Mn-^n)\ ^ • ' «i_«_L_,..f„m-4-?i)* m-n-+-i m-a-M_2(im-Hn)f__ y^__ , — ^H-_ii! ' ^2n-^2^_hm-j-f}^ _. ^8ro-2rt-4-^7(^"'-f-^)* _ CUI^ DE FRACTIONIBVS CONTINVIS OBSERV. st quae expreffio pariter ac feqnentes ob quantitates negati- vas non conuergunt fed diuergunt. §. 10. Con(equuntur haec onnnia ex conuerfione frac^io- nis continuae generalis §. i datae in (eriem infinitam A H- iT - i,-i- ^ - ^-H etc. Haec eadem autem ferieg addendis binis terminis transformatur in hanc A -+- t-+-as' + '™ + ^t^- Eft YeroC = P=3V;G=ir ^_ M ; L=. ^ - ^i^ ; etc. Hinc ifta fe- . . ^ . A . BE . BDFI , BDFHKN , . ries infimta A+ 07-^ qJ + ^^sv" + ^tc. conuertetur in (equentem fi^adionem continuam i A ^ _B "-^^ Q-D -^hD , ._ £ E4-F £(S-Ha)-FI(a-D)-t-H_ £ia i-+-!S I(V-MS]-KN(S-HQ)-f- ff*> INS quae a fi-adlionibus liberata tranfit in hanc ; A-4- i-hFia E(S— Haj— FI(a— D}H-EHa. l^KNS ICV.— MS)-KN(S— HQ ;h-JMS I-^ etc §. ir. Si nunc viciffim proponatur haec feries infini- t^ |+i'-^r-+-J"H-F-H etc. et comparatio cum prae- cedente inftituatur erit Q_— jT); S=: | ; V= ^- ; X,-ir ^-' ; 2=:|7 etc. itemque E— | ; 1= bW ; N— bWhk ; etc. quibus valoribus feries propofita conuertetur in hanc firadio- mm continuam : E 3 a 38 DE FRACTlOniBrS CQNJJNFIS OBSERF. ;>-D-i-D l + bp:i. l)a(^-Hp)i?{p-D)-i-T>^ap' 1 -^cq-.p i+dpr:q ia quam fradionem contlnuam intnimerabiles nouae quan- titates ingrediiintur , quae in ferie propofita non inerant. §. 12. Cum autem fit ex §. 2. haec feries | — ^ ^ ^ — ^^ ^QiQ, aequalis ifti fra<^ioni contiuuae ^ M htterae C, E, G, 1 etc. per reliquas ope aeqnationum datirum exprimantur , abit . u A . S I B(a-D) BDfR— FP) , BDFCS— HQ.) cui propterea aequalib ett ifta. frai^io continua :. ^^P^-DP K-JtPH-riQ^i b-hv^THetc. f 14. Haec omnia igitur confequunttir cx cohtem- platione fradionum conrinuarum immediate , pluresque hu^ ius generis obleruationes iam in fuperiore differtatione com- municaui. Nunc ergo his relidis ad alia pergo , atque aliquot modos tam ad fradiones continuas peaieniendi , quam datarum iftiusmodi fradlionum \alores per integra^ tiones affignandi. Primum itaque , cum hic Brounckeri exprefiio quadtaturae circuli fit non folum demonftrata , fed ctiara quafi a priori inuenta , examini liibiiciam alias fimiles expreffiones vel ab iplb Brounckero vel a Wallifio inuentas , recenfentur enim a Wailifio , nec fatis clare in- dicatur, \trum Brounkerus cmnes inuenerit , aneam dun* taxat , quae pro circuli quadratura fuit exhibita. Poftmo- dum vero etiam reliquas illas fradiones continuas , quae. altioris indaginis videntur , ex principiis maxime diuerfis demow(b:abo , iftiu^que generis miilto plures eruere docebo,. 40 DE FRACTIORIBVS CONTINFIS OBSEKF. f. 15. Qiiae autem apud Wallifium extant huc re- deunt , \t fit produdlum duarum liarum fradionum con^ tinuarum zzitf^iiz: «-i-H-rrtT-: et ^4- H- 2(«— «H-aj 2(a-Hi)-H^ 2(a — r ) etc 2(a4-i ) etc^ Cum igltur fimili modo fit {a-^2.)*r=z 2(a-Hi)-4-p "^ »la-+-^H-p 2(a-+-i )-+- etc. 2Ca»+-3)-f- etfi. reperietur hoc modo infinitum progrediendo ^* (a-+-2Xa-H2)'(o-H6)(a-t-6)(«-t-ioX«-+.io)(c-i-i+j *^C* :a-i ^(a— 1> 2(a. 2(a — 1 H- etc §. i5. Si nunc produdum iftud ex infinitis fidori- bus conftans per methodum in praecedente differtatione traditam examinetur repenetur fore (^^(^^i^:^,^-^ lll: zn r-n — 7—// *(. Quocirca huius fradlionis continuae valor ^-i a(a-i-+-p i(a— O-H^ 2(a— i) etc. aequabitur huic expreflioni a /ya-r^^-y / ^Tyj P^"^^^ P^" vtramque integrationem a;ii:i. §.17. Theorema hoc , quo fra<^ionis continuae fatis latae patentis valor per formuks integrales exprimitur , eo magis eft notatu dignum , quo minus eius veritas eft ob- via. Nam quanquam ilie cafus quo azzz^^ iam ante eft in- DE FRACTIONIBVS CONTmVIS OBSERV. 41 iniientiTs , ciusque valor per quadratiiram circuli expofitus , ceteri tamen cafus ex eo non confequuntur. Si enini ifta fradio continua modo initio pracicripto conuertatur in feriem , ad tam intricatas peruenitur fbrmulas , \t fumma eius mi- jQime colligi queat ; praeter cafum a:=z2. Qiio circa iam pridem multam coliocaui open.m , Yt tam \eritatem iftius theorematis demonftrarem , quam \iam detegerem , qua a priori ad hanc ipfam fradionem continuam pertingere liceret ; quae inueftigatio , quo difticilior naihi eft vifa , eo maiorem vtilitatem ex ea orturam efle , fum arbitratus» Quamdiu autem omne ftudium fruftra in hoc negotio im« pendi , maxime dolui , methodum a Brounckero \fitatam nusquam efle expofitam et fbrfitan omnino periifle. §. 18. Quantum quidem ex Waliifii recenfione con- ftat , Brounckerus ad iftam formam dedudus eft per in- terpolationem huius feriei : k^^ri-hr—e^^^^' ^"^"^ terminos intermedios ipfam circuli quadraturam praebere Wallifius demonftrauerat. Atque adeo indicatur initium hu- ius interpolationis a Brounckero inftitutae. Sibi enim pro- pofitum fuiflTe perhibetur , fingulas fradiones |, |, | etc. in binos fadores refoluere , qui omnes inter fe continuam pro- greflionem conftituant. Ita fi fiierit AB=z:|;CD:zi|;EF r=|;GH=:|; etc. ac quantitates A,B,C,I),E, etc. con- tinuam progreflionem conftituant , (eries illa abit in hanc ; AB-i-ABCD-i-ABCDEFH- etc. quae in hanc for- mam reduda (ponte interpoiatur : erit enim terminiis cu- ius indexieft, znA; et terminus indicem | habens n A BC; et ita porro. Ex quo tota haec interpolatio ad refolutionem fingulorum fradiionum m binos fadores redu^ citur. Tom, XI F f ipe 4a DE FRACTIOKIBVS CONTINFIS OBSERf^. §. 19. £x lege autem continuitatib erit BCr=|-, D E— ♦-•FGmf; etc. Cum igitur fit A — ^- Bir: •^ ; C:rz-jfy'^ Dm -fg *, etc. (ktim obtinetur A n: ^TTf^'^^ etc. quae autem eft ipfa formula a Wallifio pri- inani protiudla , qua circuli quadratunim exprelTit, atque maxime ab exprefllone Brounckeri abhorret. Qiiare cum ifla formula interpolationem hoc modo inueftigando tara Eicile fe praebeat , eo magis eft mirandum Brounckerura eadem via ingreffum ad expreflionem tantopere difFereti- tem peruenifle ; nulla enim via fuperefle videtur , quae ad fradionem continuam deduceret. Neque vero exifti- mandum eft , Brounckerum de induftria valorem ipfius A per fracliouem coutinuam exprimere voluilfe ; fed potius methodum quampiam peculiarem fecutum , quafi inuitum in eam incidifie : cum eo tempore fradiones continuae omni- no fuerint incognitae , atque hac occafione primum in me- dium prolatae. Ex quibus (atis colligere licet , obuiam da- ri methodum ad iftiusmodi fradiones continuas deducen- tem , quantumuis ea nunc quidem abfcondita videatur. §.20. Quamuis autem diu in hac methodo reperi- enda irrito conatn fim verlatus , tamen in alium incidi mo- dum interpolationes huiusmodi ferienim per fradiones coa- tinuas abfoluendi qui mihi autem praebtiit expreftiones Ji Brounckerianis maxime diuerfas. Interim tamen non fme omui vtilitate fore fpero , iftam methodum exponere , cum eius ope reperiantur fra(fi:iones continuae , quarum va- lores iam aliunde fint cogniti , et per quadraturas exhi- beri queant. Cum enim deinde aliam methodum fim tra- diturus valores quarumcunque fradionum continuarum per quadraturas exprimendi , inde egregiae orientur compara- tiones JDE FRJmOmBFS CONTINFIS OBSERV. 4S dones fbrmularum integraliom , eo faltem cafu quo varia- bili poft integrationem definitus valor tribuitur, eiusmodi comparationes plures in praecedente diflertatione de pro- dudlis ex infinitis fadoribus confiantibus exhibui. §. 21. Vt igitur hunc a me inuentum interpolandi modum exponam propofita fit ifla feries latifiime patens ^ , __. pip-^^-r) , ^ pip^^ryp^.r) - i)-+-2.2'i~'(i>-+-2g)f:?-H g-4-2r)'J^l:f-|-2.;X?-f-»?H-iO(p-^-22-h+'') ~T" ^'•^* cuius terminus indicis ^ fit ziz A ; teiminus indicis | = AB C terminus indicis | i:=:ABCDE , etc. Hinc igitiir erit A15 — . p^zq 7 ^^ p-i-zq-i-ir 'f ■*^ ^ 7 pZjZ^^-^.r '•) ^^C. atque ex lege continuitatisBCzr f^~ • DEzz p^~rr f ¥Gz=: pj^!^,r et ita porro. §. 22. Ad fi*adiones tollendas ponatur A=r ^!^,^ ; ^^ Fh^ ' ^= ^4=73":+^ ; I^ = f^\f^ etc. eritque ii'q-+-r)(p-i-2r);de — (p'-{-2q-\-2r)(p-^2r)' etc. Fiat nunc ^i=/;/-r-i- ^ ; bzr.m-^- |- ; c —m ^ r -h^; fc;;/-H-2r-i-|-; e — m-\-^r-\- ^ etc. in qui- bus fubftitutionibus partes integrae conftituunt progrefiionem arithmeticam , cuius differentia confians eft r , id quod ipfa progrefiio fadlorum illorum pofl:uliit. His igitur vaio- ribus fubftitutis prodibunt fequentes aequationes , ponendo breuitatis gratia />'-{- 2pq- pr^m^ -^mr =z:P, tt2rip^q-pi) — Q, Pag~(w-r)az=:wzg-f- 1 (PH-Q.)^y-?;/^ = (;«-f-r)yH-i (^-T-^Q^^y^ — ^pfi-^-r^y^im-h^r)^-^-! {P4-3Q.)^f-(w+2r)^— (;//-i-3^je-i-i etc. F a §, 23, 44 DE FRACTIOmBFS CONTINnS OBSERF. , §.23. Ex his igitur aequationibus emergent (equen- tes litterarum a, ^, y , <5^, etc. comparationes inter fe. a :zi Pg-(m-r) P ~T~— (m- r)ig>^ (PH-a.)>-w P^^^ "T^ P '^ {?-»-r)(p- V — (P-^»^)5-(m-»-r) PH-2(i "t- p::Ml+r (P->-2')(^-f-?g-4-r):(PH-2a>* p-4--'a ^^ Si ergo breuitatis gratia ponatur p*'+'2pq—mp'-mq^ qr ~K Qt pr -\- qr -- mr ZZ.S , atque valores litterarum aflumtarum continuo in praecedentibus furrogentur , proue- niet (equens fraclio continua ** P ~t~ .rR- , (f)H-r](p-4-2^):(P-f>a)* P(P=Ha) ~r- ~^f(R"-4-S) ( j,H-r)(j)-f-2g-f-r):(P-h2a)* ^ (P-f-g ,(P-i-2a) "T^ . r ( R.4-2 S) (p-+-2a)(p-H3a) "T" ^^c* §. 54. Cum igitur fit ^=1«/— r-f- ~ habebitur p zm-r in^p[p-^-q-r){?-\-(:L) 2rR-H(p-f->-)(p-i-2g).-(P-H:a) 2r(R-t-Sj-4-(j^-H2r)(p-f-i?.4-r)(P-4-a)(P-h5a) 2r(R-f-2S>4- *,c. Hinc igitur feriei propofitae ■^q-\-jf^^^~;:p^-]r j^^^f^^^pz^^ -H etc. terminus cuius index eft § erit A — ^ip-gi^- Qiioniam vero huius feriei terminus ge- neralis indicem habens « eft = ^^ , , / ^ — ^,Tn= — erit fradio continua inuenta feu valor litterae ^jfznfp-f-s^-r) ]^^^(i^r^^^'^^ poft vtramque integrationem j=i. LE FRACTIONIBFS CONTINVIS OBSERF. 4S §.25. Cum autem in noftra fhidione continua infit littera arbitraria m , innumerabiles habebuntur fradliones continuae , quarum idem eft valor isque cognitus : ex qui- bus praecipuas contemplari iuuabit. Sit igitur primo m-* rz^p feu mz^p-hr^ erit Pzzapr^-r)- Q^— 2r(^- r)\ R^pi^-r) Qt Szzrip-r) : vnde fiet 47— ^-i-£^(£zr) r-jAp-h-^q-i-rXp-i-zr) r-t- etc. At fi fuerit r>>^, ne fra(5tio continua fiat negatiua , erit 2 1?^-^ i"t-2(r— g) » r-f-f^-H:5X^4-:r) ?•->-( j>-f-2gH-rXj?-f-: r) §. 26. Sit nunc ;«zz/>-}-^; quo et Q^et S euanefcat ^ erit autem ?zi:q{r-q) etKzzq{r—q), indeque pro- veniet 2r.-t-(P-H-'XP-t-2g) 2r-H(p-H^rXj?-f-ig-^r) 2^4- erc quae fracflio continoa adeo praecedentibus efl aequalis, etiamfi ipfae formae fint diuerfae. §. 27 Ponatur «?z:z/)4-2^; eritque ?:=ziq{r-p-^ zq)^'-2.q{p^!i.q^r)', Q^zz-^^r; R=r-^(p+ 2^ --r), etS=:-^r. Ex his itaque obtinebitur fequens fradio continua : rH-(M-r)(p-i-rq-+-r) F 3 Ita ^6 DE FRACTlOniBFS CONTinm OBSERV. Ita inniimerabiles prodeunt fradiones continuae qua- rum omnium idem etl valor a , qui per formulas in- tegrales muentus eft =: f p -f- 2 ^ - ;-^^^-^_-^ §. 2S Aiitequam vlterius progrediamur cafus nonnul- los coiitemplemur. Sit igitur rzzizq-^ eritque azizp 7 — . — 7- —;;^' C"ni ergo fiat Vzzp -^mq-m : etSz=z2q{p-{~q-m), erit in genere , p '49(R-4-2SH- etc, f. 29. Si siitem pro m varios illos vaiores fubftitua- mus , prodibunt fequentes fradiones continuae deteri^inatae. ^— f> m 2g-f- erc Siue loco huius fradionis continuae ob r>^ j?^p(P4-;;,) a'i-t-(p-f-'7)f(-4-ig). Deinde ex §. 26. obtinetur pro hoc cafu ifta fradio 4a-*-(p-H''?)l Tertio r m FRACTIONIBrS COmiNVIS OBSERF. 47 Tertio Tcro §. 27. fuppeditabit hanc fiadionem conti- nuam : --ti^^^pJ- azzip ^•j-iq-^ptj^tLj}. »g-f-f.-+- gXf-f- .', eritprimo: a-H .4- ete. Deinde vero habebitur 4-+-f9 4^ etc Vnde fequitur iore - j^l^r^ == 4-h etc qui cafus contmetur in expreflione §• 16. data cx quo illa formula nondum latis demonftrata magis confirmatur. Pofi* to enim ibi «=3,fiet3 '^^1=^'^^^, =:2-f--i— 4 -+-+9 4.4. etc. ita vt nunc quidcm conftet formulam illam §. i6. exhi- bitam 48 LE FRACTIONIBFS CONTINVIS OBSERF. bitam veram efle cafibiis quibus eft tinn ^zrza tum etiarti azz:^: mox autem eius veritas in latiflTimo fenfu euincetur. §. 31. Sit qznl et p— i ', manente rz^z^qzni erit ^^fS^iu^^]^ ^ denotante tt peripheriam circuli cuius diameter eft zzi. Generaliter itaque erit P=z i h-w-/»* J Qiz:3-2/w; R= ^-^ et S=i ^ , ideoque az=:m-i' w_H,^(.-m-..») 5 __3 m-f. 2^(H-m- m2)( , — ^ m - n') 8 -j7n.+.3^(»^m-m^)( i -sm-m') In cafibus autem (pecialibus expofitis erit 9 — I — I zH-iJ »2.? iHh'-» 1-+-3J+ „ 1-H «tC= i-*-elc. * • 2-Htfte„ 2-+- *tC' f. 32. Vt vfus liarum fbrmularum in interpolatiom- bus intelligatur , propofita fit haec feries : l-i-f^-l-'-^-^-» etc. cuius terminum indicis \ inueniri oporteat , qui fit zn A ; Erit ergo pin 2 ; rzn i \ et ^in— 5. Ponatur A z:: ^_^^^_^Qtkzz.~ , vnde incommodum datarum formularunrt, fi fiat p-^iq-rzzio (iitis intelligitur. Interim tamen negotium hoc abfolui poteft quaerendo terminum indicis |^ qui fi fuerit iz: 2 erit A zr: | Z ; At i Z erit terminus in- dicisUinius feriei ^ -+- 7^ -H j^' H- etc. quae cum gene- lali comparata dat p — ^ j rzz.i j q^^—h ita V4: fiat Z T)E FRJCTIONIBFS CONTINnS OBSEBJ^. 4f — lydy~^y) — ^jyuy.vi-y) — • l ^- ^tq^e Ain ^. Cum igi- tiir fit per §. 24. Z::^^;et A=z|2=:|^, erit primo generaliter ob P rr 8 -f- ;;/ — ?;/ "" ; Q^zz 7 - 2 ;;r, R ~ — et S=: ^ ; A=z|^ — ? :z: ^^ 2 z — 7Tf.>4- ■si-^fn — w^Y-'!. — ■'m — m^) ^ 3 o--9m-f-4-6( : — -m — m")c_c—5Tn~mr^) 37 — iiTn-i- ft^- §•33- Cafibus autem particularibus euoluendls erit «e — |7r = 12 _ -3 - 4 4- 5-4-2-5 lH-3 iH-;-^' 2-4-2-^ 1-+-^- i^Z.6 ^-f-e^c. aH-.,7 Tel j-t- ^tc. ctiaiii ^ 7V — '■^ lili TTiodo per §. "! SilT 1-4-2-5 i-f- -5 iH- etc. habebitur ^:i=|7t 2-4-2.4- 2-hJ-? '— i ' iH-2.4 2-t- .'^ 2-f-u5 3-h*tC» Deniqiie cafus §. 27. expofitns dabit ^=|7riz: i-f-ji — • 1-4-.^ 1-4- etc, quae expreffio conuenit aim fuperiorc quodam in §, 31,' exiiibita. To/;/. ATL G §«34* $0 DE FRACTIONIBVS CONTINFIS OBSERV, §. 34. Ex hic itiique interpolandi methodo innume- rabiles confecuti lumus fmdiones continuas, quarum \'alo- res per quadraturas curuarum fcu formulas integmles alTigna- ri pc:){runt. Cum autem iftae fradiones continuae in ini- tio fint irregulares initia quae anomaliam continent refe- centur , \t habeantur fradliones continuae vbiquae eadem lege pHKedentes. Ita ex §. 25 , ponendo p-\-iq — r~ /etp-l-r — Z> ; prodibit fequens aequatio : r-f- e c. quae aequatio femper eft realis , nifi flat fzizh. At cafu quo fzz-h ponatur f ~ h -^- d w ^ reperieturque pofito poft integrationem a~i. Hinc ergo erit rH- etc j^trf^ .x^^^-^^-dx ^ ^- — ,r i f — X J ^__^,r dx x"~'dx' Verum ex naturainte* r{h-r)J-^J- .^,r-t-' "l—X'-^ grallum eft/^J^ ^TZ^~~' — ^"^ ^i x^-^^^-^dx ^ r^l!l^l^poi\tox:=zi . Quo circa habebitur r BE FRACTIONIBFS CONTINVIS OBSERV. $ '/-4- ete. J »1 -..r ^x^-'dx • quae forma autem congruit cum ea^ \-\-x^ quae §. 7- eft data. §.35. Simili modo ex §. 2d. ponendo p zr/ et p^zq—rz^h , requitur fore = r+ ;fegSE> - reuertor ad expredlones Brounckerianas , at^ue methodum tradam genuinam noa folum ad eas perueniendi , fed etiam eiusmodi , quae vi- deatur ab ipfo Brounckero eflfe vfurpata. Mixime autem difcrepant fradliones contimiae liadlenus inuentae a Broun- ckerianis ,, cum valores litterarum A^B^C, D, etc. me- thodo expofita ita a fe inuicem pendeant , vt inter fe comparari fncile queant , methodo Brounckeri autem inter fe diuerfi prodierint , vt eorum mutua relatio non per- ipiciatur. Quod ipfum difcrimen me tandem ad inuen- tionem alterius methodi nunc aperiendae manuduxit. §. 38. Antequam autem ipfiim interpolandi modum exponam , fequens lemma latiffime patens praemitti con- veniet. Si fuerint innumerabiies quantitates a, (3, y, (5^, e» etc quae ita a fe inuicem pendeant vt fit : ap— 7«a — wj3 — K^ o DE FRACTIONIEFS CONTINVIS OBSERF. 53 y <5^ — (/«-|-2j) y— (?/4-2j) S-K zn o ^e — (/^-+-3-0 (5^ — (^-i-3i) £->t— o etc, ac tribuantur licteris ct, p, y, 5^, etc. feq^LienteS' valores; y znf/f ^ « + ai -f- ^£=^-^^ etc. ftperiores; aequationeS' tranoformabuntur in (equente& fjmilesj ab-(jn-s)a'— [n-^-s^k^-ss-^rmsi—ns—y.zii o (^ r— mi^ — {n-i- 2s Jc'- ss-\- Jns— ns — kiizo fd- (jn^s) c — («4-3 j) d- ss + /// s^ ns —k — o de—im-^r^sld-^n+^le — ss-irms-ns-K—o etc- Atqne ex hoc ipfo vt iilinsraodii formae; {Tmiljes prodeantjf iubftitutiones iilae fimt ortiie;. §.39. Si nnnc (imilL modo^ liae vltiraiie aeiqpntinnes ope idonearumi fubftitutionum- ia; fui fimiles. transmutentur;, reperientur loco ^,, ^, c\ d, etc fequente& fubftitutiones a-m-^n-S'^'^^^;;^^^^^ ' b—m-^n-\- s ^ ±'^-^^J-^^-^^-^^ ^ — /;Z-F ?r Hr- ^ j ^-- l£i=i^H:iiH±2! etc. qnibus fadlis (equentes prouenient aequationes : a\h\ — {:}n'is]a\-{^-^is)b\-^sS'\-'2.ms—ins—Kz=i^ kici-{m-s)bi-(n-i--:is)ci-^sS'i-2ms-2ns-K=(^ G a cLdi 54- BE FRACTIONIBFS CONTINFIS OBSERV. diei — {pi-\-s)di—{n-\-ss)ei—^sS'\-2.ms—Q.ns — KZZ.o etc. § 40. Vlteriiis igtur pergendo poni debebit ; ai:iLm-\-n — s-\- ■ ^- ^ I — ;;/-f- « 4- i -i- '- rz cizi:fn-]-?i-i-3S'\-' Z . etc. Atque ex his fubftitutionibus emergent hae aequationes: t m~+-n^s-^^ss~^ms-i-rns-^y. m-t-n— S-+-C 5s— - ms-i--ns~+-x wi-4-n- j-^-jj6££-+ m S-+- ^ rz 5_4_)c ^^mH-n-+- J-f-^J^^TnM-nM-Jc ' Tn-t-n-4-^-f-' ss— 77U-4- . ns-+-x. m -+- n-4-s _j_M_6££^ vm^-f- xns-+-M, m-+-'i-+-s-^f^<^' .^'^;— Tn-+-r.-t-3S-+-s.y-Tns->-w?-f->t TT.-f-nH-sSH--^^- m-H^-t->^-+- ss— -m?-|--ns-f-)c m-f-n-f-,s-+- tf.c. quae fradliones continuae fitis funt fimiles iis, quasBroiia- ckems dedit , cam lequentes in praecedentibus non conti • neantur. §. 42, DE FRJCTIONIBrS CONTIl J 35-^-2?-r-4-^r — .7,7 25-f-i iVr-H^r— 7.7' -;jrrH-g>' — qq cums propterea valor crit ifta expreflio ' §. 4<^. Simili modo cum huius fradionis continuae [s^r]^r-.r,-^q, Talor fit =: (^+,^_,)^____--^ Harum duarum itaque fiadionum continuarum producflum erit — (-f-f-^) [s-\-r — q) quemadmodum produclum formularum integralium declarat. Eft enim per theorema m pmecedente diflertatione datum : «~ — Jx^-'dx: y{i-xr) .Jx^'^^^^x;y{i~x''^} ^^^^ .Tmi. XI. H for- 58 DE FRACTlOniBVS CONTINFIS OBSERF. fbrmim produdiim formiilarum integralium fponte re- ducitur. §. 47. Fradio continua inuenta in ali .m commodio- rem formam potefl: transmutari eo quod finguli numera- tores in fadores refolui poffunt : ita habebitur iila fradtio continim 2 S-i-ir-+-q] { zr — q) _ 3S^{2r-i-q){ r—a) 25-4-(-.r-f-^)(4r— (?) 2i-i-et6 cuius adeo valor erit z= (^ ^^ ^) p^-^^yp^^jzp^ Qiiocirca fi ad fradionem continuam addatur s vt vbique eadem fit progreffionis lex , erit ^ . , qir~q) aj-1- ^s^ir-i-q)(2r.q) . 2S^{zr-i-q){z r-q) ^ 2 JH-( : r-^q){^r-q) §.48. Si nunc ponatur rrra et q^^t •, prodibunt coniundim omnes fradiones continuae a Brounckero ex- hibitae , quae omnes continebuntur in hac Iradione con- tinua : s ' ' 2SH~s as-f-* ■• cuius propterea valor erit =: (^-l-ij^y^^. y(x-j/^) quae expreffio apprime congruit cum ea, quam fupra, ame- DE FRACTIONIBFS CONTINVlS OBSERF. 59 anteguam veritas omnino conHaret , alTignauimus , vide §. 16. §.49. Cum igitur hadlenus plurimas dederim fraAio* nes continuas, quarunri valores per fbrmulas integrales afli- gnari poflunt , methodum nunc diredam exponam , cuiu5 ope ex fbrmulis integralibus viciflim ad.fradiones conti- nuas peruenire liceat. Nititur autem haec methodus re- dudione vnius formuke integralis ad duas alias , quae re- dudio non multum diflimilis eft illi folitae , qua formulac cuiusdam differentialis integratio ad integrationem alius re- ducitur. Sint igitur huiusmodi formulae integrales infini- m f?dx ', f?Rdx ; /PRVx ; f?K'dx ; /PKVjt etc. quae ita fmt comparatae , vt fi fingulae ita integrentur , vt euanefcant pofito x iizo ^ tumque ponatur xziz i fit vt fequitur : af?dx = bf?Kdx H- cf?K*dx {a-^-a)f?Kdx=z (^-He)/PRV.v -+- (c-\-y)f?K'dx (^-|-2a)/PRV;c=i(/^-l-2g)/PRVA;+(^-+-2v)/PRV;»? (^+3a)/PRVji~(^H-3g)/PRVji;-H(^-4-3r)/PRVA; et generaliter (i3!-h«a)/PRVjt;=(^-f-«e)/PR«^-'^A'4-(^-l-«y)/PR'^"^'^^ §.50. Si igitur huiusmodi habeantur fbrmulae inte- grales, facili negotio ex iis fradiones confinuae formabun- tur. Cum enim fit fpdx ^_i_£/ZR!^ jPRdx a "I aJ?Rdx S?Rdx 6H-g . _ (c-i-y]S?R^dx SvR^dx fl_j_a ' (a-f-a)/PR^dx jVR^dx b-i-2^ ■_ (c-+-^.y)S?R*dx S?R^dx a-^20t,~T~ {a^2a)j?R^dx f?R^dx b-i-z^^^Cc-^zy^fPR^dM etc. H 2 crlt , 60 DE FRACTIONIBrS CONTINFIS OBSERF. crk fubftkuendo qnemqne: valorem ia praecedente aequa- tione * SPJ.X . ^ _X li^ Sf.Ux — a "T-'&H-e i~-h-yy{a-i-ct) ^ia-hx)c 6+e-H(j^a)(o-+-7l i>^2g-f,;a-H5 -x)(c-+-27) &4-.g-f-(g-H4a)(cH-:7r §. 51. Si fuerit etiam defignante n numerum negati- •rum(^-|-;2a)/PRVA;=(^H-«g)/PR''-+-'^.r4-(6'4-» yj/FR^^^^dXy fequentes habebuntur aequationes. {a-^2a)f0z^{b^^qft-hic-^^y)f^dx (a^Za)ff.^{b^^%)f-^^{c-:^y)r-^ {a^^a)r-0 -,(^-4^)/^- +(^-4y}/t etc, Hinc igitur pari modo confkietur : SPRdx -(6-^g) ia-oi:] fPdx: K. JP.ix c-y "> {c-y} Ji^dx I:Pix ~{b-j^ _, (a-;g)/pa.x:R^ J"Pdj::rl C-:7 " ' (c-^^/P-i^C.R /Pdx.K -(t>-;e) , (a-^ol/Pdx^ iPct-x.R*) "c-37 '^ (c-iy)JVdx:PJ' etc. Ex. his aiitem aequationibus producetur JPd» DE FRACTlONlBrS CONTINnS OBSEBT. Cx ^-^^^^- fiiie fl-adionibus partialibiis (iiblatis -(6->g)H-(d-3«):c-4'V; ___ -(6-+C)-+- ctc. Dnplex igitur habetur fradio coutinua, cuius vtriusque idem efl: valor -^Jp^. §.52. PniecipiTum autem e(l m Iioc negotio , vt de^ finiantur idone.ie fundiones ipfius x loco P et K. fubftituen- dae, quo fiat (^-}-«a)/PRV.\: = (^-i-;zg)/PR«-+" dx-i-^c-hny^/FR^-^^dx eo filtem cafu , quo poft fin- gulas integmtiones ponitur x^i. Ponamus igitur efle generaliter {a-\-na)f?RPdx-{'R!'-+" S=:{h-^n^)J?R!'-^^dx --^{c-hny) /VBJ^-^^dx , atque R""*-^ S eiiismodi efle fimdionem ipfuis x , quae euanelcat poflto tam x ~o ^ quitm X nz I. Sumtis ergo diflcrentialibus , et fada per R" diuifione,erit: {a-\-ncL) ?dx -{'RdS -{-■ (n-^-i] SdK zi:{i?-^n^)?Kdx "i- {c-^-ny) ^ R^dx ; quae aequatio , aim lemper locum habere debeat, quicquid fit riy iaduas refoluiuir aequationes hns : '■" a?dx -I- R^S -1- Sdii == ^PR^r -H rPRVr et a?dx -{-SdR=. ^?Rdx -+- yPRVr Ex his aequationibus elicitur duplici modo Vdx 1= f.f^^l^' ^dR , ^ dS (5-g)RiR-4-Cc-7^RMR-(«^^a)dR _^ ■ eR_,_'yR2_a 5 *"'-"- "«• s ■ eK^_f.-yR.^ — xR Cff-a)dR , {a.b-^a)lR-+-fac~ya)RdR t. , -^R- H- — a^gR^vR-^ • Ex hac ergo aequatione definitur S per R ; inuento autem S erit P =r (giiip^liq^; indeque cognitae erunt formulae J?dx et /PR^x , qui- fcus> valor fradionum continoarum fuperiorumdeterminatur- H 3 $, 53, €2 DE FRACTIONIBVS CONTINFIS OBSERF. §.53. Quoniam igitur quantitas R per x non defi- nitur , pro ea fundio quaecunque ipfius x accipi poterit. At cum conditio quaeftionis poftulet vt R"-^'S eui\ne(cat pofito tam« xzzzo y quam x ~ i , eo ipib nntura func- tionis loco R accipiendae determinatur. Deinde vero e- tiam ad hoc eft refpiciendum vt integralia /Pt\V.r po-» fito poft integrationem a; = i , finitum ottineant valorem, fi enim integralia ifta hoc cafu fierent vel o vel cjo, tum difficulter valor ^jij^ colligeretur. Prius inconrimodum tu- tilfime euitatur , tribuendo ipfi R eiusmodi valorem , vt PR'' nunquam negatiuum induat valorem , quamdiu x in- tra limiter o et i confiftit. Ne autem yPKVA; pofito x z^ 1 fiat infinitum , difiicilius faepenumero obtinetur. Conueniet autem cafus, quibus n eft numerus vel affirma- tiuus vel negatiuus a fe inuicem difcernere ^ cum faepiflime , fi his conditionibus (atisfiat exiftente n numero affirma- tiuo , fimul reliquis cafibus fatisfieri nequeat. Sin autem conditiones praefcriptae tantum impleantur cafibus , quibus n eft numerus affirmatiuus , tum prioris fiadionis continuae tantom vaior exhiberi poteft ; poftcrioris vero tantum , fi con- ditionibus fuerit fatisfadum, exiftente n numero negatiuo. §.54. Incipiamus euolutionem huius methodi valores fradionum continuarum inueniendi ab exemplis iam ante tra- datis , et primo quidem propofita fit ifta fi:adio continua : , Jh ^ "T" r-i-(/-4-rXfo-t-r) r-+- etc cuius valor liipra §. 34. afllgnatus eft ifte b(f-r fv^^-^dr-yj I -v^-0"-/( ^-r)/]-^-^-^-'^v:V(r-v'^) ffy'^~dj?n^---j''^)--/?jj^-^''-'dj:y{i -^^) Com- DE FRJCTIONIBVS CONTINnS OBSERV. 6^ Comparetur ergo haec fradio continua cum ifla generali j af?dx , ^ (q-f-ot)c JPRdx ^~T- 6^g^. -f^aa)(c-t-7) 6-t-2g-K...-4- a)(cH-3-y) 6-H g-f- ^t^ eritque ^iirr; ^iro; a— r, y — r ; ^rr/- f ; rrrZ». His valoribus fubftitutis orietur f - rW|:>)KVR-r/-.r)iR (/-2r)dR , rdR-H(^-/-4-'-)RdR ^^ .,^ • , , f. = -^ 1 Rk^Io • ^^^^^ integrando /S = ^^ /R-t-^;^/(R H- i)H-^lii^ /(R-i) + /C feu Sz^Ck^^'' *r/ /-H(n-i)r {R*-i) ^'•(R-J). Hinc itaque erit R"-*-'Sz:iR ^"~" (R'-i) ^"(R-i), atque Vdx—QR ^ (R^--i)-VR, r(R-+-0 """ §.55. Cum autem R"-^'S duobus cafibus euanefcere debeat pofito tam x—o quam Ami; idque quicunque numerus affirmatiuus loco n iubftituatur ; ad negatiuos enim valores ipfius n refpicere non eft opus. Ponamus \ero /, ^, et r efle numeros affirmatiuos atque b > /, quod tuto aflumere licet nifi fit J zz:b, deinde fit etiamy >r. His pofitis manifefl:um eft formulam R"-*"'S duobus cafi- bus euanefcere fcilicet fi R zz o et R — i : hocque etiam locum habet fi fit Jz:zb. Dummodo ergo fit />r poni poterit Kz=zx. eritque Vdxzzix'' (1 -x*) "Vjc determi^ nata conftante C. Ex his itaque valor fraaionis continuae f-2r h-f propofitue erit zzz {f-r)fx "" ( i -^^) -r^^ Poflta ^4- DE FRACTIONIBVS CONTINVIS OBSERF. Pofito autem x zzj^ erit Valor qimefitus ~ h-/ §. $6. Aliam igitur nadi fumus expreflionem huius fradionis continuae r^f^ "^ r-4-(J-4->-V:fe-f-r) valorem continentem , quae etfi formulas integrales in (e compledlitur, tamen difcrepat ab expreffione ante inuenta. Haec enim pofterior expreflio locum non habet nifi fit />r , pro b autem accipi oportet maiorem quantitatum binarum f ct h , fiquidem fuerint inaequales. Attamcn fi etiam / fuerit minus quam r , valor fradionis continuae exhiberi poteft confiderando hanc r-i- etc h~~f cuius Yalor erit =; •'— — ^ — — ^ ^_^ — ^^--quae>nul- f/'^''-'ii-fn~^4r-{^-^f) la indiget reflridione. Pofito enim lioc valore zi= V erit fi-adionis continuae propofitae valor znr-l- -^. §. 57. Cafus ille quo / Z3 Z? , qui ante peculiari modo erat erutus , eiusque valor in §. 3+. inuentus n: ^-ib'r)fx^-^dx:(i-{-x'^) ' (b-r)Jx^-'-^ dx : ji+x'') jx^-'dx : (14- .r^) """ "" fx^dx : [i-\-x') ex hac pofteriore expreflione iponte fluit ; fi(5lo enim ^i^^, ^ ^ . fu. . T, {h-r)fy'-'-'dv:(i-\-y') expreflio §. $$. inuenta abibit m hanc , . , ,— --r-^ jy-'dj:{i-\-f) om- m FRACTIONTBFS CONTINVIS OBSEBV. 6$ ommao eandem ex quo conlenfiis ambarura exprefllonum generalium fatis perfpicitur. Hic autem tuto accipere licet efle ^>r, cum ii cafiis, quibus hoc (ecus accidit, faciUime ad hos reducantiir , vti modo efl monftratum. $.58. Qiio autem confeufiis ambanim exprellionurti omni cafu intelligatur , praemittendum nobis e(l hoc lera- ma, quod ab aliis iam eft demonflratum. Si fiierit feries r _1- -^- _J- P^P-^'') _ . ._J^(JM-?)(j>-f-20 . ^. ' * "+-* n[-4-$ "^^ (9-+-JX9-+-2S) -t- {rr^s){^-^zs^{p^) -t- etC. 111 qua fint quantitatis p^ q^ et s afhiniatiaae atque ^ J>p ; huius feriei in intiriitiim continuatae fumma erit = -^^. Huius aatem lemmatis Teritas per methodum meam generalem feries fummandi fequenti modo euinci potefl. Confideretur enim haec feries a^ -|- {z^s^'^' -\- i^^{h^\ ^,g-f-2s _|_ ^(.^^ ^.^jj^g fiimma dicatur z , eritque difierea- tiando ^ =^1'^-" _f-pj^9-+-j-i _|_lL^^<^.9-f-2.-x^etc. atque x^-'dz = qx^-'-^dx -f- px^^dx -^ ^'fj^ x^-^'-'dx -f- etc. qiiae aequatio integrata dat Jx^-^^'dzzz: qx^-' pxP-^ qxP-^ fZJ--^ ^'-^-^ -l- etc. z= ^— -^ xP-^Z Ex hac aequatione difFerentiata prodibit ifta .r ^""'^""W':; =z qx^-'-'dx-hxP-Uz-h-ip-q)xP-^-^zdx feu ^5; (i - ^^ ) + iq-p) x'-^ zdx = qx^-^ dx fiue dz ^ [q-p)x'-^zdx __qx^'dx j-x' — "Tl^> ^^'^"s integralis eft ^^__2.)^ vnde erit z = ^^Ml}:i^ f^^ ^ ' 1'P q-p ^ U-j^±±.' VP^^ ee DE FRJCTIONIBFS CONTINFIS OBSERF. fiao X' = r , frit ^ = ,^- = I -+- -t^ H_ ^+^^ -4- etc. quae efl: demonltratio knimatis uati , ex qiia li- mul intell gitur lemmatis veritatem nou confiftere nifi fit §. S9. Cum igitur valorem huius fradtionis continuae r-^-fb r-\-{f-+-r){^-\-r) rH-(y-4--^) i^-^^r) r H- etc. duplici modo liabeamus exprefllim , quorum alter efl ~ J^{f-r)f)'^'^'dy:V{i-fn-fi^-^)jy'^''''^y''^{'-v''') jJyS-^r^^dy : V (i-yO - hfy^^'-^dy : V (i-j-) alter vero , qui in §. 5^-ij/(i-j'^p : (i+y) harum expreflionum confenfum declararc. Cum igitur fit J—-l:=^- cvitfy-^ dj{i-yn'^ : (i+x) ^fy- i-4-y i-J^ ^_^_^^ ^^ (i_.^.r^'^-//^-^-ij'(i-/o"^' ^^^"^ y>^-^"-' b-/-2r Ponatur "^^^^ ^ ^^ .Z./— = V , ent valor po- j/'^dy{i-rn '' ftcrior LE FRACTIONIBFS CONTINVIS OBSERV. Sj A . r ^- . bV-f fterior fra(flionis continuae — r -1 ~v' Ponatur prae* tcrea JyJ-^r^^ dj"\ V [i-f^) ^ ^ ^^^^ P^^^^ ^^^^ = TZT^VT ' ^^ quorum aeqiialitate fequltiuc f f>^f-^r fore VzzLr^ ita \t £it fyf'^^'-'dj{i'-y^) «»- — ; 'iff^r-' dj : V(i-j*^) ' ^"^"^ aequalitatis ratio pcr Theoremata in praecedente difiertatione exhibita conftatt eft enim per vnum ex illis ^hporfmitis^"^ '^A^-J* ) §. 60. Confideremus nunc hanc fraAionem continuam a r -^fb^ ^r -V- (j-^r){h^r) 2 r -4- etc. ~" ' culus valor fupra §.35. inuentus eft =1 (i nunc haec fradio continua comparetur cum hac ^ ' 6s DE FRACnONlBVS CONTlNVIS OBSEHr. =^-i~ (a-hd)c tHt 3nar; 5—0; «r=r; y=r; a^f—r et fr=j&, IHinc igitur ex f 52. habebitur -c- — r»^ -l- ^_z_--i et mtegrando S zi: C R ^ r{ss. I j {R*-iJ ^*" {R-i)" ^rnde fit Tdx =CK "- (R'-i) ^*" {R~-i)'i/R et R^^^SriCR""^"^^^*-!}"^^-!)^ quae exprelTio diiobus cafibH& euanefcit ^ ponencio tum Rzzio tnm Rzzii^ modo fit/>>r et ^4-3^5>/> quibuscon- iditionibus (emper latisfieri poted, f.cJi. Sit igitur Rmx et condante C determinata ent Tdxzizx ^ dx{i.—x^} *'' C^""^)' ' ^^^ podto R — ^=/'.,erit Vdx^j^^^^-^djiT—jf^^l '"^ (i— ^''j^ex rquibus erit Talor iradionis continuae propofitae jj^ ~ |y,r]jf>i^/,(r-^^f-^{i^^)- ^ -^3^=^ q«^e Per the<5- jremata fuperioris diifertationis ad priorem fbrmam redace- aur^ euoluendo quadratum ( i — j '")* , quo fado Ytraque ^iformula integralis in binas iimpliciores re/bluetur. Ipiiim sntem tedutftionem in exemplo iequente iatius patente de- «larabQ. m FRACTlONmvS CONTINnS OBST.Rr, d> §. 62. Si rrV/catur hacc iormr^l-^ intPgrmlJ^ Jy^''4y (i-^^^Y{i—y]^y afque {^ -y/^ - .rdiiiltijr iri leriem i — fij^~{^ "^^y^" etc. cuius alterais termin's liimendis for- mtda integralis propodta redncetur ad binas (equentes ; (pofito breuitatis gratia m^zKr-^-^r::^:^. Quare (i iuerit Tt in calii praecedente nziz^ ^nt fy^^^ify^i—j^^y^ q\o habebitiirj^ qnae expreflio cum aequalis efle debeat ilii , quae (upra f, 35. eft inuenta , praebebit hanc aequationem • h-f-r dcmi latio iaro io theorematis fiiperioris diflertationis coo- tinetur. §. 6:^. Sumamiis nunc Ticiilim pro P et R dato? va- Iktt&y ex iisqae ii:adliones contkiuas g)riiiemus j atque po- 1 3 mvm •70 DE FRJCTIONIBFS CONTINVIS OBSERV. mmus Vzzx'^-'^! -.xV(p + ^^^T / et R=r.^^ Ciim autem effe debeat {a'{-yoL)IVK^i^x—x(i?-\-yt)fPK"*'' dx-i-{c-\-yy )J?K'-*-^^x , hincque ob P et R datas fiat ex §. 52. S i=:^JC^-''(i-^^/(p-i-^A-^)*'(V.r*^H-eji:'--a) , dS (m — r)dx nrx^^'dx Karx^—'dx ^ X —i-\-x'^ ^ p-^qx'^ ^ s. yrx^^^^dx-Y- '^rx^^dx [a—0L)rdx yx^^-^%xr^—cf. (XX (ab - ^^)nr^~"'^.r ^-(cc^- ya^rx^^^^^dx —^-^^:^-^) • Sit nunc (p+^x') (x^^-i^zziyx^^^^^^x^^-a^entyziiq^zzip—qttazzip. Sit praeterea^^=z«2--r, erit ^zr^. Vnde debebit porro effe nqr-i-Kqr^ iqrzz-^-^"^^^ fm czzj^-^-n ^H-(K-h2)^,et tandem l;~Vli2zS)^(^n-\-i)p-(K~\-i)q. Dummodo ergo m et n-i-i fuerint numeri affirmatiui, quo R^^^^S euanefcat pofito tamx— o,quam xzzi^ prodibit (equens expreflfio /a:'"-*-^-' dx{ i-x''Y{p-\-qx'')'' JVKdx J^-^dx{i--xf{p+qxr "^JVdT ^"^eP^-^Pt^^^ a^q"^- lis erit huic fradioni continuae rnp •»(J>-9>-KnH-0i»'-(H-Hi )grH-pg(7n-t-r)(mH-nr-hfK-t-2)r) ^(p-g)-H(^-h2}i>r-(H-f-2}gr-f-p<7'm-|-:r)(m-h(nH-0rH-(H-H2)r) §. 64.. Qiio ffadio continua fimpliciorem induat for- mam , ponatur m-^nr^rzza '^ m-\-Kr-\-rzzb\Gt m-i-nr^Kr-^rzzc , fict k — ^'^ • nzz^ et mzz ii-\rb—c—r\ ideoque erit 4i^-^bq-^pq{:.-\-.b—c) (c-f-r) ic-i-r) j>— (6>HrJ3-hj>g^q-f-^-^-f-r)(cH— r) (a-i-zr) f»— id>-t-«»') g-i-^.7(a-t-&-c-4-;r)(c-f- r) («-t-3 r)^-(^-<-i »')3-H«'^C' DE FRACnONIBFS CONTINFIS OBSERJ^. It c—b c — .a -^ —-zzr poiito pou vtram- qiie integrationem xzz.i. Requiritiir autem vt fmt a-\^ h-c-r Gtc—b-\-r numeri affiimatiui. Sin autem po- natur breuitatis caiila a -\- b — c — r ::i:^ erit c— & c-a fx^'^''-'dx{i~J^) ^ (/>H-^x^)^ Jx^'^dx{i-x^)^{p+qx'')^ __ _n. cj3 — 63-HP^(c-f->)(gH-r) quae aequatio latiffime patet , et omnes hadenus erutas fradliones coiitinuas fub fe comprchendit. §. 6$. Si quantitates ^ et ^ inter le commutentur ^ prodibit fequens fradio continua _£_c /a:^-+-^-^ ^i' ( I - a-n ~(p + ^.v^) ^. cuius acko Talor erit jir- i^ , /v-^- ^jt^ ( I - x'-) ^ (;) + ^ Ji'') ^ Qiiare cum fradliones hae continuae datain inter le teneant rationem , icilicct ^ ad ^ hinc iequens orietur Theorema re- c-h c—a ^. , ^ , cfx'''^^-'-'dx(i-x'')''{p-\-qx'')'' ftituto loco g fuo valore ^, ^ Jx^^h-c^t-^^x ( I -:c^) '^(/?-f f v^) '^ a-c—r b—c—tr, (aA-b-c-r) fx''^''-' dx{i-x'') ' '{p-A-qx'') ^ Sub ^a DE FRACTlOmBVS CONTlWlS OBSERP". Sub qua ampliflima fottm plurimac egregiae reduAioncs particulares contixientur. Sit Terbi gratiae hzz:c-\-r erit c— g a — c-r cSxf^''''dx{p-\-qx'-) ^ : {i-x'') _ afx'-^'"-'dx(i-x') ^" fx^-^dxip-hqx''}'^: {i-x'') fx^-^dx (i-Jf^) "^ X-^^^^^fW^) ^- fj^''dx{p^qx-) ri^, vnde (equitur fore/ ^ / - c-« r I— JC' I -X^ Habebitur ergo hinc iftud theorema latius patens fx^^-^dx^p-^-qx^^f fx^^-^dx^p-^-qyff ~r = :^ , vbi femper integrationibus ita inftitutis vt euanescant integralia pofito jerro , fieri intelligitur xzni, Excipitur autem (blus ille cafus quo eft q-^pzz.o ^ quo incommodum accidit. ^,66, Fradliones continuae , quas hadenus eruimus ope interpolationum , huc redeunt vt denominatores par- tiales fint conftantes. Qiio igitur formam generalem nunc itiuentam ad eas transferamus , ponatur^ zz q-^ i \ pro- dibitque haec fradio coutinua c—b ^M^rW^) cfx^-^^-^dx{l-X'') ^ {l-\-Xr) ^ ^'^'^^Jx'-dx{i-x^)-{i^xn^ , . , , . gfx'-^^-^dx{i-'X')'^{iA-x^)'^ vel eiusdem valor crit quoque — jzs ^ — j^ — fx^-^dx^i-x^-^^^^i-^x")^ exiftente gz=iar\-b—c—r. Ponatur a—bzns ob a-\- p = c + g^r erir a- S±t±Z±! ^t^ :=: S±k±i=zl ^ vnde DE FRACTIONIBFS CDNTmnS OBSERT. 75 vnde fiet cg sH-ic-^r^ig-^-r) s-^-ic-^-nr^ig-^^r) c-g-r~5 t g—c — r — y s frfx'-^r-,^x{l-xn "■ (l-X--)- g — c — r — s s Jx'-'dxii-x"-) "• {i-x"}'- - §. (J7. Ponamus vt ad formam ?. 47. perueniatur 2 s loco j- , fitque ^1=^ et^ — r — ^, habebitur haec frac^io continua qir—q) aj+(^+2y)(3r-^) fij-l-etc. . 1 qfx*'''^''dxii-x''') ^ (i-a;'')'' cumsvalor adeo crit vel 1= ^1717 5 /a'-5-Va;(i-a;^'") ^ (!-;>:'')'• vel zn -^^ -^ ^- ' . Eiusdem autem fradlionis continuae valor ante eft inuentus z=z iq^s^fy^-^^^^-^dj-.yii^rn ^ u -a Jf-^^--^dj:y{i-f^ — "- -^* QP^^^^^^^ '^^^ Tom, XL K for- 74 DE FRJCTIOniBVS CONTINVIS OBSERF. formalae integniles interfe erunt aequales j quod eft theo- renia minime contemnendum. §.68, Sit vti §. 48. pofuimus r=:2, et qz=:t erit — s- — F^iTy-u-/) -^-^,,(,_,.)^;_,)._ quae aequalitas conlpicua eft fi i zz: o j cafibus autem qui- bus s ert numerus mteger impar , aequaliLus non difficulter oftenditur. Vt fi fuerit s :=z i , erit pofterior formula "Tdirr,-:^:^— /ix-(«-Hxx) -7 -r: pouto AT— I. nior vero formula dabit m jydp.^VU^f^T "^ ^ — i ~~ ^ — IT prorfus vti praecedens. At fi s numenis par , per euo- lutionem poteftatis {i—xxY confenfus ambarum expreflio- cum ficile perfpicietur. §. 6g. Praeter fraftiones autem continuas hadenus erutas fbrma generalis inuenta innumerabiles alias (lib fe compleditur ^ ex quibus nonnuUas euoluere expediet. Sit igitur^~^, eritque huius fradionis continuae i-f- etc. cJx''^^''dx{t-xn''i{i-'X''')^^ _, ^ Talor — -^ ^ r ^ Eti ' ^omai Sx'''dx{t'-x''Y\{i-x''')l'' ^ ;=z X , et r — I , eritque t /-i-9 5-^16 s^ etc. ss DE FRACTIOmBVS CONTmVlS OBSERV. 7$ zr ' —- J^^z" > cums exprcffionis valo- fdx{i~x)':(i-xx)~ res , qiios pro variis ipfius s (Ignificationibus induit , iii- veftigemus. Pofito igitur huius expreflionis valore :;zi V, erit vt fequitur : fxdx\y(i—xx) I nfdx-yi I -XX)- 3/r^.r: V( i -xx) i fu:p2 ; V=: ^ji,^,^.y^^x)-Jdx'.y( i -xx) — 2pdy:{i-\-jyr ' __ I gfxdx: y ( I -xx)- 1 2/^r V( I -a;a:) i fu=r4; -^y^;^;. V ^ I .xx)-^jxdx: V ( i -xx) ^2.J/dj:{i'{-jj'}-* Generaliter autem erit ^ "^ 2jydj:{i-{-jf) ""-^' ^^ quaformaapparet,fifiierit j numerus integer par , quadraturam circuli inuolui , con- tra autem fi s impar , logarithmos. §. 70. Propofita nunc nobis fit haec fradio continua i-j- I 16 25 ^--'^x(i-.r^)^^= {i-^Vs-\-[Vs-iy) ^^^ Ex qua exprenfione ob exponentes liirdos nihil concludi poteft notatu dignum. §.71. Cum in his fradlionibus continuis numerato- res partiales ex duobus fradoribus fint compofiti , ita nunc ad eiusmodi fracliones continuas pergam , in quibus nume- ratores hi partiales progreftionem arithmeticam conftituant. Fiat igitur, ad §. 50. recurrendo, y zn o ^x. c zn: 1 , erit /PRdjc a jfdx b^a-^x &-4-g--f-a-4-2a_ &-+-2€-+-a-f-3 a Oportet autem fumi 5- = -^--H — ^g^=:^) — = -^ +f4-'-^tl'^— ^™'^* fitS=C.«R ' (gR-a) «« PonaturR=f,eritS=:C^ ^^a: '^ (i-a;) -^^ ac R'*-^'^ duplici cafu euanefcit , pofito fcilicet tam x z=: o quam x—i , modo fit a*-f-ag^>S'^. Hinc ergo erit ax a--a tt^H-ag&— ae'— 6^g P^ATn:^ ^^;i; *" ^x(i-Ji:) '"^^ " atque fraaio- nis continuae propofitae valor = /p^ zr afe^^x^dx{i---x) °^^^ po^^to poft integratia- tje^^x ^ dx[i-x) *^^ Bera a::zii. BE FRACTIONIBFS CONTmnS OMERV. 77 §.72. Vt hic cafiis exemplo illiiftretur fit ^— i, bzz.1^ a — I, et g — I, habebitur huec fradtio coii- tinua I 4-4- etc. ^fe^^xdx e^x — e^ -^i X cuiua vaioi eiit — jQ^d^ — ^^— i ~ ".-xP"- fito a: :=:: I . Vndc erit ^—24- 2 4-*-5 5-H efc. qiia expreHione fatls clto ad valorem numeri e , cuius lo- garithmus eft =ri , pertingitur. §.73. Ponamus nuac in fuperiori fravftioae continuii; §.71. data , effe Sizio , vt fit iiix b-\- etc. a_« -26R-RR erit -s-__— ^^^ "S-- a-,hincqneb__LK'' e ; Da plici nunc cafu R'''*''^ euanefcit , quorum alter eft fi R ^ o , alter fi R rr 00, modo fmt ^ et a nnmeri arfirma- tiui. Ponatur ergo R zz — ^ eritquc S ~ g — tt a — g 26X— (g6— i )xx C^i; » :(i-;c) « ^ "'—•"' . Ob (/R= j ^^^5- tntJVdx K 3 ' = 78 DE FRACTIONIBFS CONTIWIS OBSERF. =/ ir:^— 6;c-(2b-oii atque J?Kdx z=. {i-x) « e »«^'-^)* a_ /x^^dx (i— .r) « e 2*('— <^^* §.74. Sit denique in §. 50, /?z::i; ^11:1 ctzro, Yz::o,eriti|M-^..^_ ^+e aSH-i ^+3^+etc. atque 4A-^^±^!H£5z:£5. vnde fiet S = RR-4-I fc-f RR-4-I ?> 2g / ^^ R e ^ et Ydxzi^e ^ R WR ntque P R^a: RR-Hi hjA zne ^^ K^ dK. Oportet autem R talem efle fundio- nem ipfius ^, vt R""*"' euanelcat pofito tam a^=o, quam jirm. Eiusmodi autem fiindionem aflignare , opus eft multo difficilius , quam pro reliquis cafibus. Neque igitur hunc cafum eadem methodo refbluere conabor fed eum alii methodo nunc exponendae referuabo. §.75. Huius quidem methodi ad fradliones continuas perueniendi iam ante aliquod tempus feci mentionem, (ed quoniam tum cafum tantum particularem tradlaui , hic eam fufius exponere conueniet. Continetur ea autem non vti praecedens fbrmulis integralibus , fed refolutione aequa- tionis differentialis fimilis illi , quam quondam Comes Riccati pro- DE FRACTIONIBVS CONTlNnS OBSEW. 7p propofuit. Confidero fciJicet hanc aequationem ax^dx ^bx'^'^'ydX'+-c/dX'-\-dy~o ^ quae ponendo x"^^ =t et£=i,^-+-;,-^jranfit m hanc : "^ t^^^^dt^ ^ t i^ zdt — (^J^jV z^dt: -^dz—o, quae fimilis elt priori. Quare fi conllaret Yalor ipfius z per f , limul jf per a; innoceicerer. Rediicatur autem eodem modo haec aequatio ad aliam fui fimilem ponendo t ^~^ — u et z :=! rj^^^^ -\- ^ y ac iftiusmodi redudiones conti- nuentur in infinitum , quo fado fi omnes valores pofte- riores in praecedentibus lubftituantur , exprimetur j fe- quenti modo. y^^fj±}_ Cx' -Da;-^-'4-i Ex-^ -^^^-'"-'-l-etc. litterae Vero A, B, C, D, etc. fequentes obtinebunt valores •r% (^m-f- jc(ac— (m-f-a)&) XJ (ac-+-6)(ac-4-(7n-f-3)6) *^ c(uc — (m-H2)&J(ac— (277i-|-4)&) (sTra-H- ■ ) c (gc — (771-1-3)6) (ac— (27n-f-4)&;^ \ac-^b) (ac-+-(T7i-+-3)&J (acH-(2m-H5; ^) etc. quae determinationes fimplicius fequentibus aequationibus compreheucluntur : AB=: 80 DE FRACTlONIBrS CONTimiS OBSEW. r) ac-(m-+-i)b I acH-(2m-t-5)6 ^ y-v (2Tn-|-5)(3m-f-r)__ p z-' (5m-t-n)(6mH-jj_) ^-U ac-+-(m-Hj)6 II *^ ^ — ac— (377W-6)6 etc. 1 1 etc, 75. Si nunc hi valores in fradione continua inuenta fubflituantur reperietur : cxy—i^iac-\-by;^ (2;;/+5)+(^^+(»^+3)^)^^' m-H* -(3?«+7)+-(^^"-(2'^^+4)'^)^t' m-t-» Ex hac expreflione patet nequationem propofitam ablb- lute efle integrabilem cafibus quibus i? aequatur termino cuipiam huius progrefiionis - ac ; "^^; "".-^; "^^i etc. "i^^^.i^, deinde etiam cafibus quibus b eft termiuus , . ~ , . ac ac ac ac huius progreflionis : ^ ; "1(^4^ '1 zim-i-^) '•> etc. r^^ipTr Fradio autem haec continua aequationis propofitae exhi- bet integrale huius conditionis, vt pofito xzno , fiat cxf rz I , fiquidem M-+- 2 > o ; at fl m^ ^ <^ o , tum integrale hanc tenet legem Yt pofito xzzco fiat cxjzz:!. §.77. Ponamus efle b zz o ] atque a:zznCy ac poft integrationem poni ;i^ zz: i ; proueniet ex hac aequatione n c x^dx -+ cfdx -\-dyz:z-0 fequens fradio continua , qua valor ipfius j definieturj cafu quo ponitur xzz^^x — (m-H3) -(zW-H?) ^ ;2 li5di:£)-f-etc. fwe DE FRACTIONIBFS CONTINVIS OBSERP. 8x (iue ponatur t' =:: ^ , ex aequatione nx^dx -^-y^dx -4- K^ =r o , valor ipfius y cafu quo a: nii , ita fe hebebit y zz.K-\-n (im>i-{-SK)-i-n ^ (qvl yzzK — n WK-4-3K— n zmK-i-SK — n ZmK-^-^K — n 4m-i-9K.— etc. §. 7$. Si ergo propofita fit ifla fradio continua ^-j-gH-i ^H-2g-i-I ^4~3g-+-i etc. crit H=:/^; «~-i; («?-H2)^=rg feu «/— -f -ft. Q."are Luius fradioni^ continuae valor erit valor ipfiusj' cafa quo x=:i , ex hac aequatione x^ dx:=iy*dx-\-bdy^ integratione ita inftituta , vt pofito xz^o, fiat xyzz b. cum fit f«^2v,Q^ ^ quidem \ fit numerus affirma- tiuub. Tm.XI. L DE- -*>¥.% ) sa ( %'^<^ DETERMTNATIO CALOmS ET FHIGORIS GRADVVM PRO SINGVLIS TERRA.E LOCIS AC TEMPORIBVS. Tab } TT'^^ ^^^^ '^^ caloris et frigoris gradas a priori inrquire* XjL re conftitui , qiiatenns a fola ii^ione rolis proficilGUtt- tur : et hanc ob rem neque ad ventos , neque ad tem- peftatum diuerfitatem . quibus adlio ibiis vehementer tur- batur , refpicio. In hoc itaque potilTimum ero occupa- tus , vt remotis iftis impedimentis pro quouis terrae loca et tempore gradum caloris frigorisue definiam a fol2 adlio- ne folis oriundum. Cum igitur ad hoc exp^diendum ne- ceffe fit gradum caloris quendam iixum et conftantem ad- hibere > huius loco eum affumo, qui in ip^i folis fuperfi- cie perpetuo yiget , quemque conftanter littera c defignabo. §.2. Ad effedum autem folis in calore produceiido definiendum concipio corpus plana fuperficie praeditum per- petuo foli ita expofitum effe , vt nidii folares normaiiter in eius fuperficiem pbnam incidanc. Senfim igirur iftud cor- pus a fole calefiet , atque continuo maiorem caloris gra- dum recipiet , donec randem fummum gradum acquifierit , quem fi femel fuerit confecutum , eum in aeternum fit conferuaturum. Gradum ifhim caloris appellabo vltimum fme naturalem caloris gradum , quem his circumflantiis exere- re valet. §.3. Cum igitur calor a radiis fblis proficifcatur M- que diuergant ita , vt in duplicata ratione diflantiarum a fole fiant rariores : etiam \ltiiiius caloris gradus , quem ibl PROSINGI^LISTERRAELOCTSACTEMPOR. 83 Ibl fuperficiei plande direcfle oppofitae mckicere poteft , tc- nebit nitionem rcciproctim duplicat-am diftantiarum a Ible. Qiare fi dillantia buius corporis a fole pon?.tur — j , et femidiameter folis ~ i ,, errt yltimus caioris gradusznj-; <|uoniam , fi corpus in ip(a . (blis fuperficie feu in diftantia I ab eius centro effet pofitiim , eEudem caloris gradura acciperet , qui in fuperficie folis exiftit. § 4. At fi radii fblis oblique iri fuperficiem corpo- ds cadaiit , tum Ytique tantus calor non generabitur, quam praecedente cafii , quo radii folis normaliter iti fuperficiem incidebant. Primo quidem fatis perfpicuum eft , fi fblis ra- dii tantum lambant fuperficiem , fen fi angulus iiicidentiae radiomm euanefcat , tum effedum omninv) nulium a fok- produci poffe. Ex qiio fitis tuto aifumi pOiTc \ideti>r , gradum caioris vltimum , qiiem iiiperficies recipit eRe finui ^nguli incidentiae proportionalem ; quando quidem fiiper- ficies illuminatur. Nam fi fol infra liorizontem Terfctur , lum finus incidentiae fieret negatiuus non airtem \idetur, effedum fblis vnquam in negatiuum abire pofle. Qiiare, fi fbl fub horizonte exiftit, eius effedlus aiiter fpedari ne- qitit , ac fi ipfum horizontem occuparet , lioc eft vltimus gradus caloris femper erit — o , quantumiiis profiinde Ibl fiib horizonte fii fubmerfiis. §.5. Si ei-go fumatur in terra locus quicunque , d€- finiri poterit gradus caloris , quern radii folis ita data ob- liquitate incidentes tandem inducercnt , fi quiidem fol per- petuo eundem fitum respedu iftius loci retineret. Nam- ^ue fit altitudinis folis fiipra horizontem lilius locifinus:^ ^ , pofito finu toto *— I , erit vltimus caloris gradus , cuius hic locus eft capax rz ^^ , denotantc femper s di- h 2 ftaiuiani $4 DETERMIN. CAL. ET FRIGORIS GRADVFM ftantiiim folis a terni , exiftente femidiametro folis =: i j fiue etiam Ipedari poteft s tanqiuim cotangens fcmidia- metri fblis apparentis. Vel fi tangens lemidiametri folis apparentis ponatur — x. , erit yltimus gradus caloris — c>iV: fi quidem fol yerfetur fupra horizontem : at fi fol fub horizonte lateat , gradus ide erit 'zzz o , qui eft ex- tremus fummusque frigoris gradus. §. 6. Hoc igitur modo vbique terrarum calor foret comparatus , fi fol reipedu terrae quiefceret, ac perpetuo eundem fitum retineret. Scilicet in iis regionibus in qui- bus fol appareret , foret aliquis caloris gradus , isque eo maior , qiio magis fol fuerit eleuatus. In altero autem hemisphaerio , a fole averfo , fummum perpetuo regnaret frigus , nifi quatenus calor partis oppofitae influeret. Hic Yero ab iftiusmodi circumftantiis cogitationes prorfus ab- flineo , neque alium caloris fontcm praeter folem , confi- dero. Hancque ob rem omnem materiam terreftrem cuius- Yis gradus caloris et frigoris aeque fufceptibilem pono , ita \t quouis tempore m- eum ftatum conftituatur , quem regulae requirunt. §.7. Si igitur terrae regio iam illum ipfum habeat caloris gradum , quem fol ipft communicare conetur , quemque adu tandem induceret , nifi eum iam haberet; tum nulla eueniet mutatio caloris in ea regione , fed ille ipfc gradus conferuabitur. At fi praefens regionis calor vel maior fit vel minor , qiiam calor naturalis fitui folis refpondens , tum paullatim ille calor Yel diminuetur vel augebitur , donec tandem calori folis naturali aequalis fiat. Verifimile autem videtur , caloris illius vel augmenta vel decrementa , quae dato tempore gignuntur ^ differentiae calorum TRO SINGVLISTERRAELOCISJCTEMTOR. 85; calorum folis fciiicct natiiralis et propiii , quem corpus habet , effe proportionulia. Cum enim aequalitas ambo- rum caloris graduum tanquam finis fit propofita , eo for- tior ad eam obtinendam erit adio, quo maior fuerit in- aequalitas §.8. Si ergo ponamus in regione terrae quadam caloris praefentis gradum effe z ; atque folem in altitudi- ne fupra horizontem yerliiri , cuius finus fit =z «y ; erit calor naturalis a fole oriundus zr (7>t*'y , denotante c gra- dum caloris in fuperficie foiis et r tangentem lemJdiametri apparentis foiis. Tempusculb igitur dt calor regionis z . incrementum accipiet proportionale excefliii ckv — z^ fiquidem fuerit ckv^^z, contrario enim cafu calor z decrementum patietur. Hinc ergo erit d z — adt{cKV — z): ac fi (ol perpetuo iilum fitum obtineret , fbret integrando atzz. Icy,^^-z ~ ^l^zEi • ^ / denotet gra- dum caloris , qui in ea regione fuit , principio a qua tempus t computatur. §.9. His nunc praemiflis hypothefibus pro quouis T»b. i. terrae loco gradum caloris difinire conabor ad quamlibet ^* '* horam dati diei. Sit igitur HOR horizon loci propo- fiti , Z zenith , P polns mundi borealis , et AOB pa-- railelus , in quo fol die propofito mouetur. Sit eleuatio- nis poli PR finus =: P cofinus =:: p , pofito finu toto zn: I ; (inus declinationis borealis folis ~ Q_, cofinus ^ q , finusque Q^ abibit in (iii negatiuum , fi declinatio folis fit aufiralis. Ponamus Iblem in S verfiiri , angulumque APS effe iz: f , qui angi.ilus exprimit tempus , quo fol poft tranfitum per meridianum ex A in S peruenit ; ao- L 3 guliqiic $€ DETERMIN. CAL. ET FRIGORIS GRADFFM giilique APS finus fit ==: x cofinus :=: y ) cnt d t •=: f zz^ob xx^yy-i . §. lo. Quoniam nunc in triangulo fphaerico P2S dantur primo angulus ZPS , cuius finus efl: x et cofinus j \ deindc latus P 2 , cuius finus eft p , cofinus P ; et tertio latus PS cuius fmus eft q, cofinus Q_, reperietur lateris ZS cofinus :=:: p ^ J -H P Q. ; qui fmuil eft finus altitudinis folis fupcr horizonte, dum in S verfatur. So- lis igitur occafus contingec in pundo O , exiftente anguK APO cofinu zz: =^. Pomimus autem efle angulum ipfiim APOzz^, quo femiftis temporis diurni defignabi- tur atque pofito angulo i 80. grad. ziz tt, erit tt —£ tem- pus dimidiae nodis. §. II. Inquiramus nunc primum in varietatem ca- loris regionis propolitae , quamdiu (bl fiipra horizontem verfatur , fitque tempore t poft meridiem , quo fol in S reperitur, giadus caloris in loco propofito :zz z. Qiioniam vero hoc tempore eft finus altitudinis folis = p^j ^ PQ_, erit calor folis naturalis zz: ck [pqj -f- PQ.). Quamobrem tempusculo d t , quod per angulum S P s repraefentatur , calore z incrementum capiet d z tantum , vt fit dz n: o.dt {CKpqy -f- ^k,*PQ_— z) , in qua ae- <3uatione a quantitatem quandam conftaiitem denotat , per obleruationes determinandam. §.12. Aequatio differentialis inuenta dz -zz adt (CKpqy-i-CKFQ^—z) reducatur ad hanc formam dz '-\-a.zdtz=:.acKdt{pqy-^VQ) quae mukiplicata per e^-^ denotante e numerum , aiius logarirhmus hyperboiicus dl ^ I , fiet integrabilis ; erit enim integrale e°-'^ z z=z P^cyC PRO SINCFLIS TERRJE LOCIS AC TEMPOR. ^j ob jdt^dx. Cum autem fit t—J~^^ erkje^^^dx * — 7^v(Tr3^ dx — — 7:^ Addita ergo mdefinita conftante habebitur e"^ z — QcKpq -4- ck PQ.^<^ -}- — ', atque calor quaefitus z — C^^Qck /)^-4-^K PQ.-1 r::^ — • §.13. Hinc igitur reperietur calor meridianns loci propofiti faciendo fzno , quo fiidto erit x~q ^ etj^zni. Qiiare tempore meridiei erit calor ziLCcK^pq-^cK^VO + T^"!? ^^ ^^^"^ ^^^^^ meridianus , isque ponatur zz: /, determinabitur inde conftans quantitas C , quae per inte- grationem eft ingrefFa , eritqu€ CcK^^pqzziJ—cK^F Q^— 7:^^ ; vnde ex dato calore meridiano dennietur calor pro quauis hora eiusdem diei , ita Yt fole in S exiftente port meridiem fit cnlor regionis propofitae Z—e~^^J^c i-f-aa §.14. Inuertigemus nunc gradum caioris , qni fiiit eodem die , cum 161 eft ortus ; poni debebit /rz-^^f, erit- que paiiter ac in occafu jn: =^ at x :=z - ^^^—^ ^ ob aiigulos ante meridiem negatiuos. Ex quibus prodibit ca- lor, quando fol oritur zize^^J— c k*P Q_ (^"^^— i) — ___.j_l_ ____^_ ^ ^j. jj anguli ^ finus po- natur zn ?;/ , cofinus =r n ; erit calor tempore ortus folis f 15. 88 DETERMIN. CAL, ET FRIGORIS GRAWVM §.15. Perueniet nunc fol ad occafum in O fietque ,=^; j = «=:^^et .-=:« = ^-^^f^'^ , ideoque PQ^zz: -npq. Hinc igitur tempore occalus folis prodibit calor loci propofiti =:: r «^( f-^CH^npq- ~^ ) - ^^-^^^. Maximus autem hoc die calor erit tum , qmndo fit z:zzcK"pqj-^cK*?Q^] qnippe qno tempore erit dzzir o. Subltituco autem hoc valore in aequat one inuenta prodibit e-^Kf-CK PQ_ ,^o^r)= ~:^t — i ^^ qua valor anguii t erutus et in tempus conuerlus praebe- bit momentum " maximi caloris a meridie computando. §. 1(5. Cum igitur calor tempore folis occafus fit re- pertus , quem ponamus breuitatis gratia == h , quantum irte calor fequente nodle diminuatur , inuelhgemus. Ver- fetur itaque fol pofl: occafum in V , et ponatur angulus O P V =1: f , et calor tum fit — z , dum ergo fbl per arcu- lum Vi; progreditur erit decrementum caloris dzzz:—cf.z dt , hincque l^—at\ ex qiio fiet z—e^-^-^h. Sequente igitur die, cum fol iterum orietur , prodibit calor =: r »*^'^~^^^. Per totam ergo nodlem calor diminuetur, vnde quauis nodle frigus fiimmum erit , quando fol oritur. §.17. Cum igitur primo die tempore ortus folis gradu5 caloris fiiiffet -e-^{f-^CKnpq-^)-'^^^) ; die fequente calor tempore ortus folis erit =: ^^'^■''^'"(/-l- .•>c'«p^-^)-Cf:!^'^I^"^)_- fi quidem i-+-aa ' *■ fol ponatur interea eandem deciinationem conferuare. At fi hoc eodem fequente die calor tempore meridiei pona- tur (p , debebit calor tempore ortus eiusdem diei efle iz: .-n §. i8. Si ibl pcrpetiio eandcm declinationem coo- feniaret , tiuTi qiioqiie perpetiio fiadem dki hora idem ^radus caloris haberetur. Hoc igitur cafu foiet

2a7rj [f-^cyinpq - \^a^) — '^^P^ {^^~^ ^^^ ~ e-^'*-'^'^-^^ n am)) ^tqiie calor meridianus , qui erit conftans , definietur fzr: ^K pq(r''^ (n-\-a?n)-e'^^"''\n-0L}n)') Sub aequacore .ergo ^ ob Prro , et pzzzi^ itemquc 7« z:zi et « z= o , hincque gzi^l foret conftans .calor me- ac yt (I '^"'^^ §. 19. Formuke iflae tantopere /iint compofi(ne et perplexae; vt ex iis Yix quicquam concludi queat Huius autem incommodi ratio in eo eft pofita, quod amplitudo ortiua et occidua in eas ingrediatur , atque lex continuita* tis fit iiiterrupta : qnoniam pro no^e alio iiim ^ftis cal- culo alio pro die. Qiiamobrem ^'t aliquid ad Ttilitatem deriuare queamus , nec^ffe eft aiiqnantum a veri fimilitu- dine lecedere , atqne continuum Jegem afliimere , fecun- (dum quam gradu^ caloris mutentur. Ita cum calores folis fiipra horizontcm exiftcntis fiiu finibus altitudinum pro- portionales; eadem lege oportehit caloTem folis natunilem fub horizonte latentis negatiuum ftatiiere, ac finui depres- fiouis fub horizonte proporrionalem. Tom. XL M §. 20, 90 DETERMm. CALOR, ET FRIG. GRAWVM §. 20. Hac autem admiffa hypotliefi f^icile perfpici- tur conclufiones inde deducendas Yeritati minus fore con- fentane-.is , eo quod foli hoc pafto , quando fub horizonte verfatur , non folum omnis efEdiis ad calorem genenm- dum adimatur , fed etiam vis contraria frigorifica tribua- tur. Qiia quidem in re experientia aduerfari ^idetut, cum fol fub horizonte calori praelenti plus nocere non polfit, quam fi prorfus ab elfet ^ at dum ipfum horizontem oc- cupat , iam perinde ell , ac fi prorfus foret fublatus. Q_uic- quid autem fit, conueniet ex hac hypothefi conlequentias formare , quae nihilominus aliquam vtilitatem habere po- terunt , cum iam ante pateat , qua in parte concluQones ab experientia dilTentire debeant. 5. 21. Qiioniam hoc pado continuitatis lex obfer- vatur , ex aequatione fupra inuenta 5;z::ir*^(/-c'PQ^- 7^:?, ob / zz 2 TT et §.22. Incrementum ergo caloris , a meridie primi diei ad meridiem fequentem erit zz: (i— r*"'^) (fK,*FQ-4- "-— ^— /). Si ergo fol perpetuo eandem declinationem ■aa retineret , foret etiam quotidie eadcm femper caloris con- dirio , atque meridianus calor conftans. Hoc itaque cafu erit calor meridianus j — i"H''(PQ,-i-7^). Singjlis ergo diebus FRO SINGFLIS TERRAE LOCIS AC TEMPOR. 91 diebns, cnm mnximns calor incidat, quando eft e''^^ {f-CK* PQ.-f4^1a'^) = 't^a"-^ incidet noftro cafn maximus ca- lor poit mieridicm , qnando fit j^ = ax feu | izn ^ :. atqne ipfe calor maximus erit n: rR'(PQ_H-;f;?^^; hoc eft qnando M iam tantnm meridiannm elt transgreflus, vt fit angnli APS tangcns nz J^. Qiiare cnm maximus calor circiter in horam tertiam pomeridianam incidere obferue- tnr , idqne tnm quando aeftas maxime ell aequabilis , erit proxime a nz i. $.23. Cnm igitur , fole eandem declinationem con- feruante , incrementum caloris meridiani vno die fit z=: ( I - ^-^^^) {cK? (^-4- —^ -/) , erit incrementnm duo- bus diebus acquifitum =1 ( i-r^^^) (^H^PQ-f-^T^-/), atque generaliter incrementum n diebus acquifitum erit zz: ( I _ ^-^na^ ) (,.^^ pQ^^ -l^ ^fy Cnm igitur fol tempore vnius diei circiter ^^. partem ecclipticae percurrat; n diebus conficiet ^"j partes ; hoc eft angulum ^'^^ ; de- notante tt angulum 180. graduum. Tempore ergo , quo fol ecclipticae arculum ds percurrit , ob w z= -— ^ , erit incrementum caloris meridiani rz: (i— r'^^«^') (^>t'rQ;-|- *~r^ —f)j puta in eadem eleuatione poli, \bi tum eft meridies. §. 24. Qiioniam autem propter exponentem :^6sads infinite paruum eft r-^^*'*^ zz i — :^6sads y erit , dum fol per arcuium ecclipticae ds progreditur , exiftente tota ec- clipticae circumferentia :zi 2 ?: , incrementum caloris meri- diani — ^6$ads (^'k* PQ_H- 7:5^—/) ; in qua expres- fione denotat a numerum vnitati prixime ^equalem ; i* M 2 gradum 5^2 DFTmMlN. CJLOR. ET FRIG. GRAhVrM gradum' caloris coQdantem m (iiperfieie folis^; P eleuaiioi* nis poli in loco propofito finiim , Q^ finiim dcclimuionis folis bor&ilis j atque p tt q cofinus fulibus P et Q^ refpon- dentes. Denique k efl tnngens (cmidiametri folis appa- rentis , atque / denotat iplum calorem meridia^inm tem- pore oblato. jab. fo §. 25. Denotet ergo AVB aeqiTaforcm, ef EVL ^^' ^* ecclipticam , . interiectio V aequinodlium vernum atque ?" polum ioci propofiti. Verfetur fol in S pofi: aequinOdiunt •vernum , et ponatur arcus V S =: j exiftente tota ecclip* ticaiz:2 7r- atqiie fit arcus VS finus zz « • angulique S VT, qui eil 23° i^^ finus zz ?// ; calor meridianus a:u- tem 5 dum foi in S \erfirur zz: r. His pofitis erit Q_:^ mu^ et q-z^V {i. — ni'uu) \ ac dum fol per arculum ds progreditur erit incremenrum caioris meridiani dr — 365^ ads\cK'mVu^^'^f^-r) exiftente ds — iU^uu)' ^omtm breuitatis grritia n pro numero 36"5 a. erit dr-hnrds m {cx. mVti -i ^jp^^ ■ ) nds. §.25. Poftrema haec aeqiiatio integrafa dabit c^^r:n ^K^nJc^^ds {mVu + ^4^"') == ^' e^^' {nu- V ii-uuy) -f- ^^—-Je^^^ds y (i-;;/V). Ad integrala fofterioris membri inueniendum oportet nofle , effe Je''^i^ ^^nj^^v-, (^^^_j,y i^^uu)) -+- y [v-j) Je""' v:*-' d's'^ ds — ; " ^^ — -.. nn -\- V 9 Tnde ei? /^«^/j - — ^ /^«^ z/^ j zz — ^- ^ ^-^^^^ ^ns- ( 2 -4- ;/V - inu V n — f^« ) ) ^ .. -^ -= . . . r^pn^^. ^j -^ mo SINGTLIS TERRJE LOCIS ACTEMPQR, 9i iie' i6 -V- nn ^«^(24-1- 1 2n'u-\-4-n'^ii*+ n*u*- 4^mi {6-\-^uu -f nn uu^V i - uu) ) ' n{.^-\~nn) [i6^nn) ' atqiie m porra^ §. 2^. Qitoniafn ergo efl y (i-;;///) =r t ---'- -^ip^ - etc. erit Je''' d s V [i-fnu) — e''' (J - ???7;/ { 2 -}- nn uu - znti V {i — uu)) ni' " 2.n {^-^nn) ^ "" 8 (244-12 n*u + 4 «^^* H- «*//- 4 «« (<^-f 4 z^ 4- w^ /zz^) V f I - ////) ) " ?i(4-i-/2w) ( i6-}--w;?) . — - ttc.] -^ cOn-fl:. Pbnamus s nz o ,. erit ftzzo et V li—uu) zr I ; fietque calor meridianus in aequinodio TernOr—- L-— j_^^^ -^ ,^aa' t ?i"~ n(+-f.?in) ■" n[^^.Ln,\i6+nn) denotabit caiorem rneridiamim in fequ<^nte aequinodio ^ CKmnPe^-'''^ acKnpe''^'^ terno, ita tt fit ^^"'^rrzC— -|- ^^ i-]-nn i-^-o^a (i _ .. ^* ^ ^ 3^*' ^ : . ^ ^^P vjj- n(+H^mi) ~ ri(4-+-ntt)(i6-4-m) ^"^" §.2 8^. Cum autern pofl: innumerabiles feuolationes ^lis jjerpefuo idem cafor merldianiis in aequi'no(5lium Ter- fium i-nciderc debeat , oportebit quantitatem conflantem C cfie zn o ; fi pro loco propofito ponalur calor me- r-idianus m aequinodlio' verno = a , erit a tz ^ f''^:^ \ I - T-^n^~ -^ (::7^(7^r;r5^ - etc. ) - -^;:^-^ . Atque dumt ^ vot loco quocunque S ecclipticae yeriatur , erit cajor me^ 94 DETERMIN. calor. et frig. graiwvm *n-u{ -^- -\-unuu).y/{i-u\) \ , c x^ m u P (nu- ■•( i -nu)) li -+-/i/0 y I i-f-/m §.29. Cum ;/ fit niiinerus \alde mngmis , quippe proxime aequalis numero 3<55 , ob a =:: i , atque m nu- merus ynitate minor, (cilicet m o , 3982823. pro dato terrae loco ad (]ucmiiis anni cuiusque diem proxime po- terit definiri calor meridianus. Aequmodiio nimirum ver- no erit calor meridianus ~~^ — ^rpi^ '• aequinodtio vero autumnali erit calor meridianus =r f^^^ -4- TqS?- At fblftitio aeftiuo habebitur calor meridianus z= t^~7;^ ( i— m^g^ m*ri*_ 1 ^^ CH^TTin^P 2[.-\-:l!l} 8(+-f-/I/0(l6-+-/tri) ^*-^' / "■' "' 1-+-«« ——^ -1- ,_^,,^ ; atque folftitiohyemalierit calormen- j: a-^c',-^p , ■nC-n'^ s cy^^mri^V a'c>t^pVf ■-mTn) ; ~ '-Haa l^~ 2(+-+-/m) -CLL.j- ^_^,j^ j_^^^ — T^iSr" 5 negledis terminis nimium exiguis. §.30. Sub aequatore ergo eft calor meridianus ia nequinodio verno =z -^- , in folftitio aeftiuo — ~- -^ ^J{^,Xnn) ; ^" i^equinodio autumnali— ~ ; et in folftitio hye- maii =1--^':^^. At fub eleuatione poli <^o° ; erit calor meridianus in aequinodtio verno - — ^i.n-no" ? i^ folftitio aeftiuo == - - 7^;::^ -+- ,(,^„,y m — ^^i-3_h K,-^; in aequinodio autumnali =: ~ -|- ,t^) ' ^^ ^^ follhtio hyberno = - - -^,;^ - -^ Jy =. £>^^i^ - ^^^r^^:;^ • Sub ipfo denique polo boreaii erit calor in aequinodio verno rr ~~^ ; in folftitio aeftiuo — \z^^'t in acquinodlio autumnali — ^^^^Z 7 ^^tque in folftiiiv) hy- bcrno — ~^^rii' • "^ quibus formulis denotat nzz.^6$^ cum pofuerimus azz.i. §. 3i» FRO SINGFLIS TERRAE LOCIS AC TEMFOR. 95 §.31. Ex formuk iniicnta intcUigifiir, calorcm meri- dianum non fore maximum ipCo folltitio aeftiuo , neque minimum folrtitio hyberno ; fed aliquiintum poft has tempeitates incidere. Qiiod tempus vt definiatur pro qua- "vis eieuatione poii , quaeratur, qirando fint dr—o. Hoc autem euenit, cum fit r :— ck mVu H- ^— -^^^^""^- ^i-^ ergo (7H wP« -+- ,^j -' r= —^i^ > -H ..'m.p(..-vf,-.m)) g^^„i,^ proxime ^ - -«•-•p^-mlji!) _^ 1-+- i/i 7 r 1— t-acc ' (7_|::i^-m-.-) -;H_ — ^.^^ \ generaluer rumendis iis tantuin terminis , in quibus n plurimas habet dimen- fiones. §.32. Ad tempns igitur definiendum, quo calor me- ridianus ei\ maximus, illa hubetnr aequatio u:z:,-ny'[^-iiit) et 7~^= - n ergo z/ — ^^^ et V (i-z/«) zr;;^:^^,)- Maximus ergo caior meridianus , piiriter ac maximum frigus incident poft fblftitia \ at difcrimen ne \nicum qui- dem diem adaequat , ita vt fatis tuto ip(ii fblftitia pro momentis , in quibus calor meiidianus tum fit maximus tum minimus, haberi queant. Qiiodft cum obfefuationibus minus congruat , id liypothefi a Ycritate nimium aberranti cft tribuendum. Vi hypothefis enim in foiftitio aeftiuo ealor per noitem minime diminuitur , per diem autem maxime augetur. §.33. Qioniam calor meridianns fub aequatore non multum variatur per anni tempeftates , ex eo commo- diffime calor in fuperficie folis poterit determinari. Deno- tet enim i maximum caiorem meridiunum (ub aequ:uore obferuatum , qui cnm fit 31 ^ , crit c -zi: ~t. At cum K fit tangens (emidiametri folis apparcntis , fi pro k lii- ^ matur ^6 DETERMm. CALOR. ET FRIO. CRADr^FM. inatur tangens i6\ fiet c zz 92328 i; ita vt calor in iiiperficie fblis propemodum fit centies millics maior , quam fummus calor tempore meridiei , fub ipfo aequato- re. Verum vt ratio multiplicationis caloris pateat , no- tandum eft , fiimmum calorem meridianum fub aequatorc duplo maiorem efle, quam mediura gradura caloris , i-ntCir gradus caloris meridiani aequiuoitolis verai €£ auttiaiaalis, fub ekuatione poli .^0'. ^- 34" Qui formulas datas contempkbLturj mox per- fpiciet , fummum calorera meridianum neque fub aequato- re aeque fub poUs dcprehenrum iri. Qiiamobrem operae pretium erit illas regiones terrae determinare , in quibus tempore folftitii aelliui maximus obreruari debeat calor^ Calculo vero fubdudo reperietur liarum regiciinu.m eleuatio poli 4=1. gradUcUm : fieri eiiim debet j zz vctSw")- ^^* yero regionibus erit calor meridianus in Iblilitio aeitiuo zz: sy^^-jnm) __ ;_,^« ^ ^^^ {xs^^^^ calof meridiauus fufe flequatore fit -zz t"- f . 3^. Hinc igitur fequentem tabeMam deduxi , in qut pro variis poli eleuationibus conlpiciuntur gradus caloris me- f:idiaai , tempore tam aeq^iuo^iorum qimn folltitionun- aior rRO SINGVUS TERRAE LOCIS AC TEMTOR. 91 Calot meridianus. leuatlo PoJi. 'Aeq. Verno Solftit.Aefl. Aeq, Aut. ^oiait. hyb: c°i o, 500 0,459 0, 500 0,459 io°i 0,4.92 0, 521 0,492 0, 382 2o°| 0,4^9 0. 5^7 0,470 0, 295 30° 0, 432 0, 592 0,607 0,384 0,095 50", 0, 321 0, 6*0 0 0, 322 -0, 010 )V_L:=.--!^ feu negle- dis terminis qui per n funt diuili erit calor iftc Zz^ ck* (wP^-H^^^"*'-^^^^'""'" " ^) ; vnde fequitur maximum cuiusuis diei calorem incidere in honim tertiam pomeridianam : ideo quia pofuimus a—i. Nam fi a maius foret , maxi» mus calor propius ad meridiem incideret. §.37. Qiiamobrem fi longitudinfs (blis finus pona- tur =:«; atque P defignst finum eleuationis poli, p eius cofinum ; ac pi finum inclinatlonis ecclipticae ad aequato* rem : erit pro dato loco Tom. XL N Calor. P8 DETEKMin. CAWR. ET FRIG. GRADVVM Meridie horl s . hora 6 hora 9 hora 1 2. maae. hora 3 honi 6 hora 9 hora 12 Caloi'. cK*{mVu- ck'' [mVu- CK* {fn?u c'K^{m?u V: / O ) 6'h'(;;/P« _^kif!l) CK* {m?u — o ) f 3 8. Hinc autem clarKTime infiifficientia hiiius hf-^ pothefis elucet , cum fub aequatore ipfo media node ma^ ius frigus deberet regnare , quam rigidiffima hyeme Tub pohs. Cauia quidem huius abfurdi (ponte le offert , quo- niam fecundum theoriam fub aequatore tempore nodlurno calor maxime imminui debeat , eo quod foli fub hori- zonte latenti adeo vim frigefaciendi tribuimus , eamque eo maiorem , quo profundius fit fubmerfus : in zona au- tem torrida profundiflime iiibmergitur. Qiiocirca ifta theoria corredione indiget maxima , fj quidem ad obfer* Vationes accommodari debeat. §39- Ob has difficultates tentabo rem expedire pe^ priorem hypothefm , quae veritati magis ell confentanea ; manentibus ergo poHremis deuominationibus , praeterqiiam quod r denotet gradum caloris tempore ortus folis , re- perietur haec aequatio dr -\- nr d s-^ CKne^'^ys{m?!i{^^''^ - 1 )-4-a( i -4-r«^) V{p^^mu) notat TRO smGFLIS TERRAE LOCIS AC TEMFOR, 99 notatarcum, ciiiu& finus eft I^ItEJJII^'] Ex qua aequatione, cum n (it numerus tam magnus lcilicet 365 , erit proxi- vnde reperitur calor meridianus / izr % — /^^..ag~.a.r_ i)y;;p^^^^.«g-'.a7r_^ j)aV{p'-m"u) + ^^— • Calor in occafu erit = CKe-^^^sfle'^'^^^! >;/P//-Kf^^°^^^-f- 1 )aVfp'-m"u")) — (7If:7Xw--^^^Fy- , ergoquouis die fe liabet calor ortus ad calorem occafiis "st ^— *«'^ ad ^sag ^Q^^ Yj. ^2a^ j^^ ^iaTT . ^^^^ brcuiores ergo funt dies , eo maior eft differentia inter gradus caloris in ortu et occafu. §.40. Pofl meridiem ergo tempore t quod in ar- cum aequatoris conuerfurh dat angulum ^, erit calor in regione ^j^'^-a(f-+-g) propofita^- ^— ^(— :;^ (^(.-(^-)^i)P«)+(^-^^-) -^i^aV^p^-jnVj^+cKmVu-h^^^^-^y^^ \bi u denotat finum longitudinis folis ; x finum anguli t et y cofi- num ipfius : g vero angulum cuius finus ert j^Zu^)^ -^ cofinus =: ^^y- feu g -} ^ Av, fm. ^^^^ vel j mPii" «6 — (i-m^u^jVClJ^-m^tt*; • N a DE 100 ««i^:!) 0 ( s-c9« DE MOTIBVS OSCILLATORIIS COHPO- RVM HVxMlDO LVSIDENTIVxVL AVCTORE Damek BernouEL f «. Communicaui uon ita pridem aim Academia differta- tionem dc (ktu aequiiibrii corporum humido infi- dentium, quae prius eft* perlegenda quam praelentis argu- menti disquifitio fiiscipiarur : (unt enim prioris differtatio- nis propofitiones fere totidem lemmata hisce disqmfitioni- bus, alias non parum nodofis, felicem exitum praeparantia: qiiapropter praemifla ifta omnia , vt huius differtationis partem facientia confiderari , fimulque tres figuras , vt ibi iuerunt explicatae atque adhibitac , rurfus adhiberi velim. Ordinem hic feruabo, qnem m priori diflertationc Sidhibui : prius fciiicet de planis humido verticaliter infi- dentibus dicam , deinde de corporibus qualibuscunqiie \ in priori autem cafu oscillariones tieri in ipib plano propo- fito putabimus. Intelligo autem per ofcillationes motus reciprocos , quos facit planum > fiue corpus ex ftatu ae* quilibrii firmi detuibatuin , Cbique poftea relidum. Hi motus eo iient fi-eqoenriores , qiio firmius habent aequi- librium , cum fiint in ftatu aequilibrii pofita. Sunt au- tem motiis i(li reciproci duplicis generis : alii funt ifochroni, 2lii tales no» funt : de ofciiiauombus ifochronis potifiTimum m MOTIBFS OSCILL. CORP. UVMlW INSID. lo i agere conftitiii : fed ilbchronae efle nequeunt , nifi excur- fiones angukres veluti infinite paruae confiderentur : igitur fitus omnes corporis , tanquam fitui aequilibrii proximos , confiderabimus. §. 3. Sit nunc \t in praemifla diflcrtationc , M Qfuperficies fluidi , cui planum graue F E G (fig. 3 et 4) infidet , quod fic in ftatu aequilibrii pofitum putetur. Sit porro A centrum grauitatis totius plani ct B centrum grauitatis homogeneae partis fubmerfae. Concipiatur rurfus vedlis verticalis AR eiusque longitudo ponatur — i , intelligendo fimul per vnitatem finum totum : um in pundis A et R applicatae intejiigantur potentiae minimae contrariae ec aequales , iiorizontales et ipfi plano parallelae : ifiae po- tentiae planum declinabunt in fitum proximum /^^,per- veniente pundlo R in r ., A in ^ , B in ^ • eritque an- gulus r aK angulus .minimus inclinationis , cuius finum yocauimus a : liis ita pofitis , bifedaque reda F G ia pundo H , demoiiftrauimus §. ^. praemiflae diflertatio- nis , fore B ^ zi: H N j<^a ^.r -.[AB+^)« vbi M fignificat maflam fiue pondus totlus plani , quod exprimi debet per magnitudinem partis fubmerlae. Deinde demonflrauimiis qnoque §. 11. fbre quamuis potentiam planum declinantem .=: [ABxM-h/^FCjcc. N 3 §. 4. Tab. I. 102 DEMOTtBrSOSClLL.CORF,HFMID0imiD. §.4. lam tero nobis duo ab imiicem diftinguendi veniunt cnfis , quoriim prmms eft , quum eft A/j! = o , id eft, cum ab mutato plani fitu , centrum grauitatis plani , fitum non niutat , isquc obtinet , cum linca verticalis A R fecat 11- neam FG bifiriam , quia tunc fit HN~o; fecundus cafus eft , ybi contrarium fit. In .primo cafu planum dii- rante fitus fui mutatione fimpliciter circa fiium centrum grauitatis rotatur , et ftatim ac potentiae agere ceflant \ planum motibus reciprocis ciVca centrum grauitatis agita- bitur. In aitero cafti ceflantibus potentiis , planum motii agitabitur mixto , altero ofcillatorio et rotatorio circa cen- trum grauitatis , altero Tcrticali et parallelo , quo planum alternis \icibus delcendit atque afcendit. In priori cafii ofcillationes plani omnes , fiue maiores fiue minores funt neceffario ifochronae ; at vero in cafu fecundo agitationes non nifi certo m cafu funt ifochronae \ nifi enim ambo motus , ex quibus iftae agitationes componuntur , inter fe tautochroni fiant , vt eodem abfoluantur t-empnre , non pos- funt non agitationes effe valde irregulares. Vt ordine pro- cedam , incipiara a cafu priori , eiii fequens inferuiet kmma. Lemma. Qiium planum F E G potentia vtcunqne applicata cir- ca pundum A mouetur , motus eadem fiet lege , r.c fi illi plano fubftituatur pundum graue in R , cuius maffa ita fuerit determ.inata. Sumatur nempe aggregatum ftn- gularum particularum planum componentium multiplicata- rum per quadratum fuae Qiftaniiae a pua(^o A et diuifii- xum per quadratuiii A R. ^ ^^ m Mormv^ osrrLL. corp. hvmtdo msm. 103 Demonrtrationem huius lemmatis dedi in differtatione de motu corponim a percufflone excsntrici. §.5;. vid Comm. Tom. IX. p. 191. fi itaque centro A ducantur duo circuli infinite propinqui , et dicatur circuli interioris radius x at^ que maffula plani inter duos circulos intercepti d ^ erit , ob A R =: I , mafla in R fubftituenda =:Jx x d ^. §. 6. Cum R fit pundum ad libitum (umendum , poterlr ita locari , vt mafla in R fubftituenda fit praecife maftae plani aequalis , id eft , \t fx x d ^ — M. De ifto pundo plurimas proprietates demonftraui in diflertatione de mutua relatione centri iviriumj centri oJcillatio?us et centri grauita^ tis\ vid. Comm. Tom. 2. p. 208. vbi punclum R hac lege determinatum voco centrum virium viuarum. Inter alias proprietates vna eft , quae huc maxime facit, quamque no- tatu plane dignam puto : nempe fi pun^ium rotationis A efl in ipjo centro grauitatis , 'Vti hic ejl , fore tunc ofcilla- tiones plani , ex pun&o R verticalitcr fufpenf , bracbyjio* cbronas , id eji , minoris durationis , quam fi planum ex quouis alio puncto fufpendatur. vid. p. 214. Poteft itaque longitudo A R in quouis plano vtcun- qne graui , iteratis experimentis fine calculo proxime explo- rari , imo poteft vnico experimento inueniri hunc in mo- dum : ajjimatur punctum quodcunque ^ ex quo planum fufpen - datur atque deinde ofcillctur ^ erit A R aequalis ?nediae proportionali inter diflantiam puncii ajfumti a centro graui-- iatis et dijlantiam centri ofcillationis a centro grauitatis, vid. p. mi. Longitudinem autem A R hac lege determlnatam , vocabo longitudinem brachjpcbronam ^ eamque porro defig- naboper vnitatem, §. 7. to-fDE MOTIBFSOSCILL. CORP.HrMlDOimiB' i 7. Lemma. Sit longitiido pendiili alicuius fimpllcis n: L , diftan- tia mininna pundi grauis ofcillantis a punclo infimo zn «, crit vs accelcratrix in iiio fitu =i |- , habetur autem vis acceleratrix , fi diuidatur potentia mobili diredle applicata per mafllim eius , eruntque omnes motus ofcillatorii ifochro- ni , fi in iisdem a pundto aequilibrii diftantiis fit vis accde- ratrix eadcm. Notiflima haec (iint in mechanicis. §. 8. Problema. Inuenire longitudinem penduli ifochroni cum motibiTS ofcillatoriis plani F E G fluido verticaliter immerfi. Soliitio. Sit longitudo quaefita . zn L ; ponaturque diflantia pundi olcillantis a pundlo infimo rz a ; erit vis eius ac- celeratrix m ^. E(l vero potentia P planum F E G in fitu inclinato feg detinens — [ABxM-H ^]a per §. 3. haecque ip(a eft , quae in plano ofcillante pundo R vel r applicata intelligi debet : potert porro maffhe pla- ni fubftitui in R vel r pundlum graue M per §. 6. eft^ que dillantra pundi r a puncfto aequilibrii R etiam ~ a , quia a fignificat angulum r « R et ponitur ^ R vel A R rz I. Eft ergo hic vis acceleratrix rr:[ABxM4-~- ] a: M. oportet itaque per §. 7. facere £-z:z[ABxM-h f/ ] a ; M et hinc fit Lzz DE MOTIBVS OSClLL. COR?. HVMIDO INSW. i of T »aM ^ • ijMxAB-4-FG» aut quia A R :z= i , poteft homogeneitatis caufa poni ^ izI-lXAB+FG* in qua aequatione M denotat fpatium plani fubmerrum §. p. Corollarium L Apparet cx hac aequatione ofcillationes admodum ac« celemri ab nuda fedtione aquac cuni plano , quae indica- tur per F G , atque fi F G fit veluti nuUa , \ti eflet in bacillis aquac fubmerfis vel in omnibus planis fere totis fubmerfis , quorum latitudines fupcriora verfus decrefcunt ^ pofle tuuc cenferi T . . AR^ ^ AB • Igitur in triremibus , quae ratione molis magnam ha- bent latitudinem in fuperficie aquae , oicillaticnes latitudi- nales citiores erunt , fed fimul miriores ceteris paiibus , quam in aliis aiuium generibus. §. 10. Corollar. IL Ofcillationes porro accekrantur ab audo valore AB: quo humiiius itaque centrum grauitatis plani pofitum eft, eo celeiius perficiuntur , fed rurfus ceteris paribub minores. Coroliar/ III. Denique ofcillaticnes actelerantur ceterisoue paribns fiunt miuores a diminuta Jongiiudine bracb}'Jwchrova> Pa- tet autcm ex conftru vel pofito pro S valore ipfius inuento , f;daque deinde di- \ifione per a , habebitur tandem reltituta f'mul termino- rum homogeneitate M X AR^ MxAB4-|FN'+^GN"^GxHi\[Q.-hy(AK'-hQ;)] Q. E. L §. 18. Corollar. I. Ex duplicitate fignonim quantitati rfldicali praefixo- rum fequitur , duobus diuerfis modis olcillationes ficri pofle vniformes et omnes tautochronas atque pendulum fimplex ifbchronum quouis modo alius efle longitudinis. §. 19. CoroUar. II. Si fit HNrro, erit Qrr 00 et FNzzGNrri IG: tuncque, fi feligatiu: fignum fuperius, fiet g — o et DE MOTIBVS OSCILL CORP. HFMIDO INSID. 1 1 $ ^'^— MxAB-H|FN'-H|GN'-^i2MxAB-|-tG' Tt inuenimus §. 8. fed fi feligatur fignum inferius , fic Szzooa, vel quod eodem recidit, amo et L h^i^fg' In priori cafu funt ofciilationes verticaleS nullae prae ofcillationibus rotatoriis, in cafu altero funt rotatoriae nul-^ lae prae verticalibiis : lequiuir itaque tanquam corollarium^ fi planum motibus reciprocis minimis modo immergatut modo emergatur , fme vlia plani motu rotatorio , fore longitudinem peoduH hisce o(cillationibus ifochroni zz. ^ , quod theorema in omnibus etiam corporibus humido in- fidentibus valet , fi per M intelligatur volumen , quod corpus fub aqua occupat et per FG fedio, quam corpus cum fuperficie aquae facit. §. 2(3. Pauca quaedam addam circa ofcillationes corporum; nec enim multis adhuc opus eft , vc appareat , quomodo hic fit procedendum , fi modo attente prius perledta fue- rint, quae in praecedenti diflertatione monui §. §. i8. 19. et fe^4j. quibus demonftrauimus , quod fi corporis inclinatio fiat in plano ad lineam , pofitione datam bh, perpendiculari (fig. 5.) atque fi produdae AB applicen-Tab. L tur potentiae horizontales aequales et contrariae in ipfo ^^'^' inclinationis plano , altera in pundo A , altera quae ab hoc pundo diftat linea AR eadem lege,'vt fupra §. 6. conftruda , demonftrauimus , inquam , quod fit quaeuis harum potentiarum corpus indinantium ri: (AB X M-i-f JOVx+J/ZVa;) a Tom. XI. P Sed «4 DEMomFs osciLL.cQRp.iJFMiw msm; Sed demonftranimus porro praeter hafce duas poten- tias duas alias requiri potentias itidem horizontales, aequa- les et contrarias, iisdemque pundis applicatas, led in plano ad prius perpendiculari agentes , easque potentias fimul definiuimus. His omnibus in memoriam reuocatis , poflemus iam omnes corpornm ofcillationes vtcunque compofitas definire, modo iam regulares et inter fe tautochronae fadae fiie- rint , eodcm modo et ratiocinio, quo vfi fumus §.17. Sunt autem in corporc omni , quod fine feledu accipitur, ininimum tria ofcillationum genera : Primum eft rotatorium circa pundum A in plana ad lineam bb pofitione datam perpeadiculari. Alterum pariter rotatorium circa iden:) putidum A fed in plano ad primum planum pcrpendiculari. Tertium eft verticale et parallelum , quo totiim coi:- pus motu parallelo alcendit et deicendit : (ed vererer ne feftidium Ledori excitarem ; fi ofciiktiones has ita per- plexas velim fine reftridione examinare , poftquam me- thodum ad hunc finem necefiariam iam tradidi ; dicam igirur nunc tantum de iis olcillationibus , quae fimplices fiunt. Duo autem requinintur 5 vt fimplices fint , primo vt fit HN iz: o ; Jecundo vt fit ttCI) =: o ; lineas et pundh figurae tertiae explicauimus §. ip. praejniflfae Diflert. Prob)ema- Determinare longitudinem penduli fimplicis ilbchrom cum ofciliatiombos iimplkibus corporis humido infidentis. SolUtlOr m MOTIBVS OSCIIL. CORP. HVMTDO INSID, 1 1 5 Solutio. Qjia potentia corpus ad rotationes olcillatorias pu-as et riinpilces animans eft zz: [ABxM-4-?/7Va:+|/2VA'] a, cnt vis acceleratnx z= — r— : tade (per §. 8.) erit longitudo quaefita :=z f , fiue §. 22. Ad iliudrandam aequationem hanc generalem , codem vtcmur exemplo , quod adhibuimus §. 22. feperioris difiertationis: habeatur (cilicet cylindrus redus homogeneus, cuius grauitas ipecifica fit ad grauitatem (pecificnm fiuidi vt « ad w : fit altitudo cylindri — ^z; radius baieosn:^; ponaturque axis cylindri fluido immerfi verticalis ; quaeri- fur pendulum fimplex ifochronum cum ofcillatioaibus mi- cimis cyiindri. Dcmonfirauimus autem loco citato, efie M rf ^^x ^^^ atquc P = ^ aa bb - "^ aabb-^ib^: fique cakulus rcde ponatur fiet pnrro AR rz V (^^-i-/i^^). His valoxibus fubfiitutis , fit tnna^-^iz mnahh 48 nnaa — ^^mnaa-i- ^^mmbb fique fuerint verbi gratia azn^b , erit L rr ~',^- atqae, fi porro poneretur Cmzz^n^ foret hz::.$6.a. mm V a CON- CONSIDERATIO PROGRESSIONIS CVIVSDAM AD CIRCVLI QVADRATVRAM INVE- NIjENDAM IDONEAE. AVCTORE L.Eiilero Pofita arcus ciiiusdam m circulo , culus radius fit r= t, tangente = t , erit ipfe arcus =-/4^tt ; ^ i^m Joco difFerentialium /// fubftituantur particulae tangentis finitae quidem^ fed valde exiguae , atque integrationis loco adu- alis eiusmodi particularum additio perficiatur ^ expreflio prodibit eo propius ad arcum propofitum accedens , quo jniuores capiantur particulae tangentis t. Sic diuiia tangente in n partcs aequales , quarum quadiber erit ^ , vicem dif!erentialis d t fubeunda , loco t fuccefliue poni debebunt valores ^ , ^ , ^ . ^ . . vsque ad f ; quo fado arcus euius tangens eft t aequabitur huic progreflioni ;^~^^ -{- ^^^-1-^^ -f- . . . . . ^W q«ae- expreftio eo minus a vero arcus valore differet , quo maior capiatur numerus «. Semper autem haec expreffio nimis erit parua , nifi pro ;r fiimatur numerus reirera infinitus. §.2. Cum igitur fumto pro n numero finito ifta progreffio ,-^^ H- ^5—77? H- ^1—777 +....-}- ^4^ eo propius exprimat arcum cuius tangens eft t , quo ma- ior fiierit numerus n ; perpetuo autem hoc modo valor pro- AT)aRC.QyADR.INFENIENDAMIDONEAE. 117 prodeat nimis paruus, inueftjgabo, quantum ifta exprelTio quouis calii a vera arcus longitudine deficiat. Quodfi cnim defedus commode atque ad calculum accommodate exhiberi queat , per leriem vehementer conuergentem , ifta methodus cuiusque arcus longitudinem deternrunandi perquam facilis et idonea videtur. §.3. Ad hoc inueftigandum fingulos expreffionis ter- minos methodo confueta in progreffionem geometricam refoluo infinitam , vt fequitur etc. 4- ctc, . ■ -+- etc. -H etc. nf t n t — n _ t t^ , t» 2»t5 , ,+t$ n' -t- ns 3't^ , 3^,5 n^ -r- n5 n^ -i- ns f ^ n»H-4t' nt n^ 3«t' n»-Hpt» nt — n t n' 4«t7 n'-+-i6l* — n n7 nt t n«t» , n+t* n«t^ n ttc. §.4. Ponamus progreflionis noftrae oblatac nt , nt , nt , , nt 'n^H-t» -T- n«-t-4t' "T" n»-+-9t2 -f- . . . . -f ,i»^n«t» valorem iam efle adtu determinatum , eumque eflfe rz: / ; ac transfbrmatio fada fequentem fuppeditabit aequatio- nem : tt 8 CONSIDERATIO FROCRTSSIONIS CVIVSD. i=^ -'jj (.'-t-2'-+-3'-+- + ^. (i*-t-=*-t-3*-1- s*-t- 3 + .-t-«') . -h«*) .-!-«•) .-H«') . -+-«") €tc. in infiaitum §.5. Quoniam in hac expreflione coefricientes tcr* gninonim ^^ , r^ , ^* , etc. funt fummae progrefrionum poteftatum parium feriei numerorum naturalium ; funimae hac autem le habent fequenti modo 1 -i-2 -4-..-^« rr-s-4-7-f-r 4 . ♦ . . A w* , n* , n' « 2 -4-a -^_-f-«*z^ -.^_---|--- - 2 -4-2 ^_^n z:^— -h --4-nr — 7^-4- ,- - j; etc. fubftituantur hi valores definiti bco indcfiaitorum , ac pro dibit lequens aequatio t» fS J' , t^ r etc. etc. CUIU3 ^D CIRC. QJ^Am.TNFENIEnDAM IWNEAE. 1 1^ cuius lex praceflus vlterioris pendet a coefficientibus fbr- muiae generalis feries (iimmandi. Praecipue autem ad con« tinuandam iianc feriem notari conuenit coefficientes vlti- morum terminorum in quaque expreffione ,. quae hanc te- nent progrenionem : i :, , g • /5 ; 30 i /cr ; il^^Vg ; l ; tl.Va ; ri":; TTT^; TflTi '-l^i q«^m ^«^"sque produxilfe fufficit. §. 5. Difponantur termini inuentae expreflionis (ecundnm columnas a fuuimo ad imum extenfas , atque ad legem , qm fingulae coJumnae progrediuntur , ordinentur j quo fa^o erit s = ^ + /-^ + ^~^7 + 7-'-:f^'etc. -S(^-^' + /*-^'H-/'-V'-Hetc.) -*^a(f-2f*-+-3^*-4^'-H5^''-^^"-^ctc.) --;^('-5^'M-i4^'-3or-4-55^'-9i^"H-etc.) -;^(^~^'-i-4^^*~i3^^'H-^^''728/"4-etc-^ etc. qnac feries omnes hanc tenent legem , vt poteflas ^^ multiplicari debeat per iftam feriem/-^^^^^'^ t^-h- §. 7- Quanquam haec ferics ob m mimerum integrumi affirmatiuum in infinitum excurrit , tamen femper habet liimmam finitam , quae fequenti modo imienietur. Pona- tur tantifJDcr feriei illius fumma zn v erit m v zzz mf »n(TO-f.,) (TO-*-2) .s , t>t(7r-H.., )(7n-»-a)(m-».0'(in~|-*) ^* ^^- « — m: — i — ^ H- V *• i/ ;:; r- f ~ etc. lao CONSIDFRJTIO FROGRESSIQNIS CPWSD aV— I Haec autem exprelTio {i^tV-iY-ii-tV-if' transmutaturiniftamwyin '^i^ttrv^i * ^^ binomiis his adtu ad poteftatem exponentis m eueAis pro- dibit per aliam feriem mvziz ^~^ Ct - ^T^i^* ^s^ ^^p{m-rtv^^i)^:-± ^s _ ^^^^ ^^^^ ^^ noOrum ia- ftitutum maxime eft accommodata , cum fponte abrum- patur , quando m eft numerus integer affirmatiuus. §. 8. Sedes ergo v , per quam terminus quisquc-- ^- lnultipUcari debet , nunc transmutata eft in hanc ^r^qj^^jp; ^Tnt__m(m-ji {m^ ^*_|-etc.) ; quamobrcm habebitur i=: tf "" 2n(iH-n) Jl »t t* / ii ___ ^ - » • «- ♦* \ "*7r;^«*('-+-tt)* V ' 1.2-3 / — 7777^6' (i-Htt}« l. 1.2.3* ^ 1 •*-5-^-5 ^ . ii_ i±^ij^ t' -1- ^•^•^•'^" ^*- etc.) -T-ITir^IT^Mt^ i ^ 1.2.5* -t- ,.,.3...s / 5t^« ( 12* _ ^Q^g-" /* (_ etc ^ 10 • 66 II'" VI <^o, t- / i»t _ '^'"-^" ^' -4- ctc. 77T73Tr77n^Hi-+-tt)" v i 1-2.3 n-(7:4-tt)»* V ' ,.2.3 * ^ ' ti6 / "^t ii^i5jji+ ^» i_ etc.\ •^ ,+ .6n»*(i-4-tt)* 3617 •"i67^.1o»l'*('-+-ft) etc. $.p. AB CIRC.QVADR. IWENlEKDAMIDOKEAE.i^t $.9. Cum nunc huius expreflionis prima (erics t — ' y -4- - — ^-^ -f- etc. illum ipfum circuli arcum denbtet , cuius tangens ert / , quem quaerere inftituimus , fit z iftC' arcus atque manente s — -7^^,— -4- n'^^!*-^- -n^^^t^ -r- . . -H n^^;i^' , reperietur' aicus' zzzs~\- ^iv!^~ttT -+• l Td'::^^ -^t-hh- 7^£^ (4 ^ - ^ ^'■) -^ '^^ ' fl20 ^' -f- 792 ^^— 792 i -f- 220 ^* — 12 ^'') -f- ; . ^^^ (i^t-^^S^t^-^zoozt'- 3432^'-4-2002^'^ — ^d^/" -4- 14^'') ~|- etc, §. 10. Expreffio iiaec commodiffime accommodabi- tur ad cafum , quo eft ^ rr i , cum alterni feriei termini euanefcant , atque infuper arcus z abeat in quartam femi- ■ peripheriae circuli partem , pofita ergo femiperipheria cir- culi 3= 71 , ita vt fit z—^., fumtoque quocunque numero integro affirmatiuo pro n erit J rz j^ -4- jTq^ H" Ji»^ , ^ I _ JL_ _j ! , , _: J_ L -T" n'_f_,6 -1"" • • • n'-f-n* "i 4n "^ ^ • » • an' 4« * 2'- en* + 5 i_ 7 l , 4ra67 r ^lilil '^^ • 2*. io!t'=* "" if • 2'..+ ?i'* » ip.42 • 2*.IoR'* 6-25 * a".'2.n» + etc. Hinc igitur erit tt =: j^ + rih-H 42 • 2*. i U* s ± / L _\tl—I- ? i?tiiL. ^ »5-1* 5ri'o — w • 1«. 7n'+ '-T' ,<. . 42 • 2« . en'8 — ^ . zj ' a"» .in'* -f- etc. quae feries eo magis conuergit , quo maior nu- merus pro n accipiatur. §. II. Qiiamuis autem haec feries eo magis conuer- gere videatur , quo maior fit numcrus n tainen perpetno ad certum vsque terminum timtum conucrgit , polt quem Tom. XL Q. termini t-dtCONmDERATlO FROGRESSIOms CFlVSbAM tern^ini crefQent keruni ;. hancque ob caiiiam non iuiiat ler^qi]c>f ep ysque adhibcre , quoad termini diuergere inci- pjfiit^ Ted e^pediet operationem? ibi finire , vbi maxima obferuatiTr conu^rgcnjtia' . . N:\mque fi fradioni^m \ •, 4^ ; 4'»; 3 5 ; ■6%'-, ^tc. ea q^iae indicem habet yponatur =i:X, atbue fequens zn Y erit femper | > —^2"^^ , atque v io infmitiini crelcente fiet ^ — -^- Ex quo apparet tcr- mlnos. ifiiiis' feriei continuo magis crefcere , atque nuUam progreftinncm geometricam quantumuis conuergentem cum ea coi^iundam eam reddere polfe conuergentem. Hinc autenr concluditur in ferie paragr. praec. plures terminos accipi non licere qunm ad fummum ^ hoc efl: proxime 2 n : etiamfi enim fumerentur plures termini , fumma non ad ^ve^ifi' propior accedens reperiretur. ' '' §.12. Ex hoc vero ipfo fubfidium ad yalorem ipfius -tt' propius inueniendum ope feriei paragraphi 10 , conle- qiiitur. ' Ponnmus enim feriei : \.~^— 42 -i^^ -T-/y- j— jp5— etc. iam adu efle additos |x terminos , ac fe- quentem termihum effe n P , eius loco liimatur ifia ex- preffio :^^^y~;^ , isque loco omnium reliquorum addatur Yei fubtrahatur , prout terminus P habuerit fignum -i- vel — I. Efl vero proxime Tr^zzipo, 740909 , \nde loco P termini P fubftitui poterit — 7^. Hocque modo eo propius ad verum valorem ipfius tt accedetur , quo maior fuerit numerus p. ; hoc eft quo plures termini iam fue- rint additi. §.13. His tamen non obflantibus feries paragrapho decimo data femper dat valorem ipfius tt nimis magnum , quic- AT) CIRC. OVAm. INrENjENDAM IDONEAE. 125 quicquid pro n fubftituatur ; eo propius autem acceditur ^ quo maior numerus pro n lubftituatur. Sumto enim i pro n prodit tt zi: 3 , i^4^ -h quae expreffio iam in figu- ra lecunda a vero valore 3 , 1415926535897932 aberrat. Si ponatur « :=: 3 , . prodibit tt m 3 , 141 59272 16 -f- a vero valore in o2075 , ita vt illius defedus tantum fit — o , 00000547-924. Multo autem adhuc minor erit aberratio fi maiores nu- ineri pro p accipiantur ; fic fi p ~ 3 , in nona demum figura accidet aberratio , atque quoGunque numero pro p (umto prodibit fumma iufta ad 3 p tiguras. §. 17. Ex his fatis perfpicitur , quam caiite circa iummationem lerierum diuergentium verfiri oporteat , praefertim fi eiusmodi feries diuergentes occurrant infinitae. Huiusque rei adhuc vnum exerrplum af!erre vifum eft , ex quo ncceffitas fumm.e circumfpedionis claiius eiuce- bit. Piopofita fit feries quaecunque l^_^^^_J_^l_^ 4-etc. cuius conflat terminum quemcunque inaicis x lore ^ ^ _H ffzi) (^_^) ^ (£^=i) [c^^^b^a) -H definiantur omnes termini praecedentes verfus finiftram in infinitum progredientes , eritque vt fequitur term . indicis ozza-\^ {a-h)-\-[a-ib-{-c)^\a-:^ b-\- 3 c-d) -f ttc. term. indic. 'i:zz.a-\-2,[a-b)-\-:i[a~ib-]rc)-\-^{a- S^+^^- -^+etc term.indic. -2,z:za-\-:^{a-b)-\-6[a- 2b-\-c)-\-io[a-zb-^:^c-d>-{-ac term Jnd. - 3zz^-f 4(^-^j4-i o(^-2i?+^)-i-2o(^-3^-|-3r //)-i-etc ttc, §. 18. Colligantur omnes hi termini antecedentes in infinitum , reperieturquc omnium fiimma = ^-^ -j- r^H^ H- -{Tzr^f- H r=^,)~ H-* ^c. quae in feries mnuraera- biles fecundum litteras fimpliciffimus fpedl.iri folet , ad quem omnia reliqua ofcillationum ge- nera reuocari conueniat : cuiusmodi funt vibrationcs chor- darum , tremores campanarum , vndulationes aquarnm ^ atquc DE NOrO GENERE OSCILLATIONVM, 1^9 «tquc etiam fliixus et refluxus maris. In quibus omnibus motuum rpeciebus talis reciprocatio alteniaque commutatia (ecundum plagas oppofitas fieri obferuatur. §.3. Cum igitur haec proprietas communis fit omni motui ofcillatorio , exponam qua in re nouum genus nunc quidem examini liibiiciendum a reliquis fatis iam agitatisTab. 1. difcrepet. Sit ergo A C B linea vel curua vel reda id^^s- ^- ^t 7« (patium reprefentans , in quo corpus vel portio corporis quaecunque motu reciproco feratur , ita vt alternis vicibus inodo verfus dextram in direcflione ACB modo verfus finiftram in diredione BCA promoueatur. Cum igitur nullum corpus fibi foli relidum ct liberum iftiusmodi mo- tu reciproco cieri queat , fed vniformiter in diredum pro- gredi nitatur , viribus opus ett ad motum o(cillatoriura producendum, in quarum dilcrimine praecipua diuerfitas ipfius motus ofcillatorii confiftit. §. 4. Qiiando autem ad vires attendimus perinde eft cuiusnam figurae fpatium , in quo fit motus , accipiamus; et propterea hoc fpatium commodiffime nobis repraefen- tibitur per lineam redam ACB. Cum igitur motus al- F'6' 7» ternatim verfus dextram et fmiftram contingat , eiusmodi opus eft viribus , quae corpus modo verfus dextram mo* do verfus finiftram impelLant. Hae ergo vires debent efle maxime variabiles., atque fubinde fui negatiuae fieri ; vis enim verfus finiftram pellens confiderari poteft inftar vis negatiuae vcrfus dextram vrgentis. Quare fl fuerit p vis, quaecorpus,dum in M verfatur, follicitat , necefle eft \t p fic quantitas variabilis , quae non foliim pro variis cir- cumftantiis maior minorue fiat , fed etiam in fui negati- vam abeat. Tom, XI. R §. 5. i30 DE NOFO GENERE OSCILLATlONFM. §. 5. QLiodfi quantitAS hiiiiis vis per/> folum locum , quem corpus in Ipatio ACB occupat , determinarur, ofcillationes inde ortas ad primum genus refcro : in hocque genere continentur omnes ofcillationum fpecies etiamnum trada- tae , quae quidem in vacuo fieri ponuntur. Pro hoc ita- que ofcillationum genere vis p exprimetur fundione qua- piam quantitatis , a qua locus corporis M pendct , fcilicet fundlione quadam fpatii M C , exillente C pundo fixo Ipatii 'A C B. Qiioties autem iftiusmodi ofcillationes ifo- chronae deprehenduntur , vis p dired:e proportionalis eft ipatio M C ; quae fi corpus verfetur inter A et C , ten- dit ad dextram , corpore autem inter C et B puta in N" exiftente , fui fit negitiua atque corpus verfus finiftram Yrgebit vi , quae fit vt N C. §. (J Ad fecundum ofcillationum genus refero ens , quae oriuntur a vi ^ partim a fpatio M C partim a cele- ritate , quam corpus in M habet, pendente , eritque his cafibus p fundio quaedam cum fpatii M C tum etiam ce- leritatis in M. Ad hoc genus praecipue periinent eae ofcillationes , quae in medio refiftente fieri concipiuntur ; quia enim refiftentia funcflioni cuidam celeritatis eft pra- portionalis , corpus praeter vim follicitantem abfolutam retardari cenfendum eft a refiftentia , quae eft vis direclioni motus , quam corpus habet , perpetuo contraria. Qiio- modo autcm pro data lege refifientiae vim abfblutam com- paratam eflfe oporteat , vt ofcillationes fiant ifochronae, id in Tradatu mco de motu corporum fufius expofui, §.7. Ad tertium denique oiciilationum genus eas re- fero , in quibus corpus praeter vim ablblutam a fpatio M C pendentem foliicitatur a vi , cuius quantitas deter- minacuc m nOFO GENERE OSCILLATIOWM. iSi minatiir per tempiis , quod a termino qnodam fixo ell: cUapliim , dum corpus in M ver&tur. Huiusmodi olcilla- tiones a nemine adhuc , quantum fcio, ad calculum funt reuocatae *, etiamfi tales olcillationes non parui momenti in mundo ficri quotidie obferuentur. Ad iioc enim ge- nus pertinent ofcillationes fupra memoratae atque a Cla- riilimo Profeflbre Krafft primum obferuatae , in quibus vi- res ofcillationes' producentes a motu horologii intcrno at- qnc idcirco a temporc pendent •, accedit autem. infuper vis abloluta a pondere horologii oriunda , quae diftantiae a fitu aequilibrii eft proportionalis. §.8. Manifeltum autem eft in eodem hoc genere coniineri motum maris reciprocum fcu alternam eleuatio- nem et depreifionem. Praecipua enim vis mare ad huuc motum ciens a loco lunae pendet , qua interualio duodecim fere horarum alternatim attollitur atque deprimitur : vnde haec vis neque a fitu aquae neque ab eius ceieritate pen- det , fed potius a temporis momento. Praeter hanc vero vim mare vrgetar a vi propria grauitatis , qua fi fupra iibellam fit elenatum , deprimitur , contra vero attollitur ^ fi eius fuperficies infra libelliim verfetur. Qiiocirca fi ex cflfedu harum duariim virium motus maris debeat definiri, ante natura ofcillationum ad hoc tertium genus perti- nentiunv inuedig-iri oportebit, §. 9 PonLimus igitur ofcillationes fieri in fpatio ACB, x^j,^ j corpusque dum in M verfitur ((-jllicitaQ a duplici vi , qua-^S' 7 «^ rum altera a loco M pendeat fpatioque MC fit propor- tionalis : ab hac ergo vi corpus, dum in fpatio AC exi- ftit , vrgebitur verfus dcxtram , contra autem, fi fit in fpatio BC fitum, verfus finillram. Altera autem vis pendeat a K 2 tem 132 DE nOFO GENERE OSCILLATIONVM. tempore , eaque corpns certis momentis verdis dextram , certisqiie aliis momentis verfus finirtriim impelli , idque fine vUo refpedlu ad corporis locum hibitci. Exprima- mus autem tempus vniformiter fluens per peripheriam cir- culi F D H E , quippe qune , cum in fe ipfam redeat , i- donea eft ad tempus quantumuis denotandum. Vires por- ro fint proportionales finibus arcnum tempora denotan- tium , vrgeantque eae ver(us dextram , fi fint affirmatiui > contra vero fi fiant negatiui verfus finiftram. §. lo. Sit F temporis initium , quo ofcillationes it^» ceperunt , fluatque tempus fecundum dudum FTDHE. Initio igitur hoc vis corpus follicitans erit nulla , at poft tempus FT corpus verfus dextram pelletur vi vt PT ; quae vis fiet maxima elapfo tempore FD; poftmodum iterum decrcfcet , donec euanefcat poft tempus F D H. Deinde dum tempus ex H per E in F fluit , vis ifta eric negatiua , ac corpus verfus finiftram follicitabit ; atque e- laplb tempore per totam peripheriam expreffb , eaedem Vis foliicitantis redibunt reuolutiones , vnde in corporc pro- pofito motum ofcillatorium generari necefle eft ; idque fi hae folae vires agerent : a priori autem vi abfoluta a lo- co corporis pendente ifte motus ofcillatorius eo magis tur- babitur, quo maior quouis momento inter has vires re- perietur diflenfus. §. II. Ponatur circuli FDHE radius FG=z:DG=:^; tota circumferentia FDHE.cz 4^ ita vt c quadrantem ciroili denotet : atqiie elapfum iam fit tempus per arcum FT repraefentatum , quod pofito arcuFTinf, fit = y^: ob homogeneitatem enim conuenit tempus per fundionem dimidiae dimenfionia linearum exprimi. Hoc praeterea tempo- DE nOFO GENERE OSCILLATIOWM. X33 temporis momento exiftut corpiis in loco M , fitque fpa- tium MCnii ; atquc lioc in loco celeritntem habeat ver- iiis dextram tantam , quanta debetur altitudini v. Hoc ergo in loco a priori vi verfus dextram follicitabitur , haecque vis , cum proportionalis fit fpatio M C , ponatur :z: |- exiftente vi grauitatis ziz i . §. 12. Ab altera igitur vi a tempore pendente pa- riter vrgebitur ad dextram , finui PT proportionaliter , fi quidem finus arcus FT fit affirmatiuus. Ponamus ar- cus FT^^ finum Vl z=: y , atque vim corpus verfus dextram pellentem efle =z |-. Cum igitur corpus in M follicitetur ab his viribus coniundim in eandem plagam puta verfus dextram vi zz ~ -4- ^ ; acceleratio , dum fpatii elementum lAm abfoluit, iunotefcet. Qiioniam vero efl M;w~ — ^i prodibit per legem accelerationis dvzz:-cls ( ^ __!_ "1 ) ^ cuius aequationis integratio determinanda erit ex initio motus , fcilicet ex loco , quem tum corpus oc- cupauit a celeritate , quam eo tempore habuit. §.13. Praeter hanc vero aequationem natura circuU fuppeditat iftaro dtzz: y^^lz^ ex qua fit ^ ~ ^A fin. ^ denotante A fin.f arcum cuius fmus eft ^ in circulo femi- diametrum habente =: i : fimilique modo inuerfe erit / r=: a fin. A ~ : denotante pariter fin. A^ , in circulo cuius radius eft i , fmum arcus ^. Si ergo fiat t zn c ^ erit f in a et fi tzzinc fiet j n: o ; ac generaliter denotante i numerum quemcunque integrum , fi fuerit tzizzic erit y — o-j fm tz=i{ 4iH- i } c erit j — a ; at fi ^ =:: (4/ — i) ^ ; fiet j zn— a. Hinc igitur pro lubitu. tloco Jf y "vel j loco / in computum introducetur. R 3 f^ 14- J34 I^E NOVO CENERE O^ClLLATlOnVM. §. 14. Qiiifl yero quatnor habentur incognitae ad problema relblucndum tribus opus erit aequationibus ; qua- rum duae quidem inm funt exhibitae. Tertia yero ae- quatio ex confideratione temporis efl: deducenda. Cum enim totum tempus fit — ^ , erit tem.pufculum , quo elementum M m abfoluitur nz y^ , idem yero tempus ha- betur := — y(, \nde ifla emerget aequatio V vin'^^^ — . Qiiamobrem cum habeantur hae quatuor variabiles j, t^ y tt V y ope trium aequationum dvziz — ds (|- -f- J ) i dtzzz^lJLy) et V ^j zz- ~^d\^- > d"^e quaecunque poterunt eliminari , atque aequatio inter duas reliquas elici. §.15. Motus autem ofcillatorius commodiflime cog- nofcetur , fi ad datum quoduis temporis momenlum afllg- nari poterit in Ipatio A B locus , in quo tum corpus verfabitur. Hanc ob rem conueniet variabiles y et ^ elimi- nari atque aequationem inter s tx. t inueniri. Cum igi- tur per duas pofteriores aequationes fit j/ zz: a fin. A. ^ et «y = ^Jtt- , fi elementum temporis conftans ponatur erit dvz=i^=^^^ ^ qui valores in prima aequatione dv~ — ^j(|--f-|) fubHituti praebebunt hanc aequationem inter j ^t: ^^--dsit-^f^-^h) ^eu ^adds-^ *-— ^ — fin. A^ =::: o : quam ergo bis integrari oportet, vt aequatio finita inter s et / obtineatur. §. 16. Antequam integrationem huius aequationis fu- fcipiam , quippe quae non parum eft difficilis, cafus non- nullos fingulares perpendifle iuuabit. Ac primum quidem euanefcat penitus \is illa a momento temporis pendens , ita \t corpus a fola \i ^ a fpatio MC pendente follici- tetur. DE NOFO GENERE OSCILLATIONFM. 1^5 tetur. Hoc pofito erit ^ ~ 00 , atque haec habebitar aequatio ^.ahdds-^-sdt^z^zo , qme per ds multiplicatJl et integrata dat abds H ^ — -7-^ ieu -^ — Y rf' c I -^ — -|- v' 1; , ex qua aequatione valor conftantis C cft determinandus ita , vt celeritas iuitialis congruat cum propofita. Ponamus celeritatem in C deberi altitudini b^ £et Q-nz^ihh^ atque ifta emerget aequatio ^^^^— ^f. §.17. Aequatio haec vltima integrari poteft concefla circuli quadratura , fitque rnrC — V 2 ^^. A fin. -^. Quo- niam autem eft Vv — V ^^7^' ; motus initium , quo ce- leritas euane(cebat , incidit in pundlum A exiftente C A zz.V zbh '. ex quo definitur conftans Q-zzV :2.ab A fia. I. Qiiocirca tempus per fpatium AM feu / erit — V 2^^, A cof. y^ : quare cum tempus pofituna fit izz y^ , ha« bebitur iplum tempus ^ zz.V ib. A cof. y^. In pundjm itaque medium C coipus ex A pertinget tcmpore zz. V 2.b A cof. o cz ^^ — Y^- denotande tt peripheriam cir- culi cuius diameter zn i . Vnde non f ^lum natara harum ofcillationum (ed etiam ifochronismus perfpicitur. § iS. Ponamus nunc vim iftam (patio M C propor- tionalem cuanefcere , alteramque a tempore pendentem folam corpus vrgere , cui conditioni fuisfiet ponendo ^rroo, quo fadto ifta emerget aequatio 2gdds-\~ dt^ im. A f— ^* Ad qnam integrandam notari iuuabit eflfe diff. fin. A. i- zr ^ cof. A ^ ; atque difF. cof A ^- nr- f iin. A J>. In- tegratione ergo prima vice inftituta prodibit 2gds — adf cof. AjzzCdt: vnde fit ^ zz. ;; — '- — - atque ce* kiita^ 13« DE NOVO GENERE OSCltLATlOWM, 3,j, —Ca—a' cof! A - „ Icritas in M = Vv=^^- ^F^-- ^0"^*« initio temporis celeritas fiiifle verfus dextram et debita cflfe altitudini b '^ erit 2^V^Z>:iz-C^-^' ideoque Caziz ^a^ — zgVab, cx quo fiet poft tempus /j celeritaaia , 1 1/ ^^.-haVafm.v.Al- candcm plagam Vvzi^zyb -, §.19. Cum igitur fmus verfus cuiusque arcus (emper (it affirmatiuus, intelligitur celeritatem V v femper forc affirmatiuam feu verfus dcxtram efle diredam , fi qui- dem initio temporis celeritas VZ? in eandem plag;im ten- dat. Hoc ergo cafu corpus per redam A B in infinitura progredietur , motu quidem inaequabili ; elapfis enim tem- poribus ^ ; v^ ', ^ i v^7 et generaliter ~ celeritas corpo- ris a finiftra ad dextram erit nr V /? ; elapfis autem tem- poribus ~i', %', 'y, ; et generatim ^-'^p- celeritas erit ~ y/>-4-^^ •, temporibusden^que ^a ^ ^ i 75 ^^ gencraliter ^^p^ celeritas erit maxima et =iy Z?-i- ""l^. Qiiamobrem nifi celeritas initialis V b fit negatiua fcu verfus finiftram tendat , motus non dabitur reciprocus , nuUaeque abfoluen- tur ofcillationes. §. 20. Vt igitur moti s oriatur ofcillatorius , quo cor- pns perpetuo in eodem intei ^allo contineatur , in quoal- ternis vicibus eundo et redeu io moueatur , necefle eft vt celeritas aeque faepe fiat negatiua ac affirmatiua : id quod eueniet , fi corpus initio verfus finifiram moueatur celeritate zz "^* : feu ponendo V h-=z ^. Hac autem hypothefi fa^ia prodibit ad datum tempus y^ celeritas ver- iiis DE NOFO GEmRE OSCILLATIONFM. 137 fos dextram feu V v :zz '- — '- — -. Temporibus igi- tur ^^ ; 7, ; ;^et generaliter ^i, celeritas erit=:=^ ; tem- poribus ^ ; ^ ; J^ et geneniliter tempore ^-i^^^^ ; itemque . temporibus ^ ; y-^ et generaliter tempore ^-^-^— celeritas erit — o. Temporibus denique ^ , ^ et generaliter ^r^— celeritas erit :^°~^ §.21. Cum igitur cafu quo ofcillationes regulares ab- foiuuntur , fit V v zzz '=~^ cof. A ~ ; erit ~ — ^^ cof 5-, feu igds-zz.adt cof A ^ , cuius integrale efl: a^iziiC -}-^^ fin. A ^. Ponatur conflans C— o, quo fpatium s quod a medio pundlo C computatur , tam crebro fiat negatiuum quam affirmatiuum , erit i = ^ fin. A ^. Temporibus ergo ;^ ; ^ ; . ^ et y^- corpus exiftet in pundlo C. Temporibus vero 7^ ; ^^ , et generaliter 'vt''^"^ corpus verfiibitur in A , exiftente CA =: ^. Tem- poribus autem 7 ; ^ et generaliter ^'''^^^'' corpus fitum erit in B, exiftente CB=: ^. Tempus denique , quo cor- pus vel ex A in B vel Yiciffim ex B in A pertingit erit =1 77 — TT y ^ denotante i : tt rationem diametri ad peripheriam. §.2 2 His igitur cafibus euolutls inm fatis intelligere licet , quomodo in integratione -aequationis differentio diffe- rentialis diff cof. A VT& — df f'n. A -^ 1 • r . -.1 j — ^ zi: -V- ~r" 9^'^^ multiplicata •cof. A^T^ ''^ cof.A^,-^ per cof A ^^ . cof A yj^ fit integrabilis , atque integra- . lis aequatio erit haec p cof A ^^^ . cof A ^z^ ^ is Jdt fin. A ~ cof A ^:^^ \el fi conllans in ipfo integrali inuol- — I . ^ ' yatur, cntp^— — _r~coC.A^~Jdt fui.A^.cof A^:^^ Cum igitur per t detur /> , ex eo reperietur u —fpdt ac denique .f — cof A 77^ ./p ^^.' §. 2<5. QLiantumuis autem non folum prima integra- tio , fed etiam altera difliciles Yideantur . tamen vtraque re bene perpenia fatis commode abfbhii poteft. Trans- mutatione enim integralium fit fdt fin. A - cof A, :^ — y ^ab^m. A '- fui. A ^^ - ^^- .Jd t cof A \ . fin ^, :zzV ^ab fm. A ~ fm. A ^7^ + 2 ^ cof. A '- . cof A ~-^ -4- ^-^ I dt fin. A ^- . cof A, ^^3, quae poflerior formulainte- gralis cum propofitaeTit fimilis , habebitur/a^^fin. A - cof A ^ __ a-Viab. {m.A~ . fin. AJ^-^- '^ab cof A f . cof A ^^ c -1- C vnde fiet p — -^ r^ — cof A ^^ . col. A. vi^ ay' lab. fin. A. ,7 . /A . ^^^, -2^^ cof A 7 cof A ^^ 2^(^-2/;) coi. A ;^j, .cof A y^ . S 2 ex 14^ DE NOFO GENERE OSClLLATlONVM. ex qiia aequatione \alor ipfius p per quantitates finitas habetur exprefliis. §.27. Quoniam porro eft uzrjpdt , multiplicetur valor ipfius p inuentus per dt ^ quo fido fingula mem- bra deprehendentur integrabilia ^ prodibit autem ;/ — D-f- C fin. A Ar ab{\n.K- ^ ^. ^ — : — ^ — ~ — Qiiare cum fit s zizu cof A ^s g{a-2b) cof y7,ir cof A ^ orietur tandem ifta aequatio j n: D cof A y^ t ^""/7 fin. A T . -H C fin. A ;b - s;fa-2b) ' ^"^"^ qiiantitajcs conflant^s ex circumftantiis cafus propofiti debent definiri. Quod, quo fa- ciiius fieri queat , celeritas V 1; eft definienda , quae cum fit = ^, erit yv= ^ fin. A ^, - ^, cof A ^ .4- f — li^^J-1. Ex his ergo aequationibus ad datum g[a^ib) quoduis tempus cum locus corporis in re(fta AB tum etiam celeritas , qua mouebitur , poterit determinari. §. 28. Cafus quo ibzna feu W ^.abzna ^ peculiari indiget integrationc , neque praecedens ad hunc cafum pa- tet. Erit enim jdt fin. A \>(io{.k\ziz\a fin. A- . fin.A «^ C ^fin.A.^-fin.A^ -4-C. ideoque^jzz: — ~-^ --—, -—- ~ • ^ ^ ^ cofAl-.cofA'- 4^cofA^.cofA^ • X7 4 c. r^ j* . Cfin. A ^ ^* fin. A . ^ „. Vnde ^tjpdt-uzn — -f- .— rf 4- ~ 4-D. cof A - 4^cof A - *^ Confequenter liabebitur jznD cof A j -f- C fin. A.. - -|- ^ cof A \ . mutata conftante C. Hinc itaque oritur V v = ^^zz l fm, A f - v^ cof A ^^ - ^^ cof A ^r+^;f fm. DE NOrO GENERE OSClLLdTIONVM. 141. A H"- Ex quo iftae orcilbtiones poft tempus infinitum in infinitiim excrefcent ac per fpatium infinite magnum excurrent. §.29. Cum iftae integrationes penitus fint infolitae, ac propterea non cuiuis diiudicatu faciles , aliam metho- dum particularem exponam , cuius ope eaedem aequationes integrales eriii queant. Cum aequatio propofita efTet z.adds-\- '-^ -f- ^ fin. A j =r. o , ea finum arcus | per feriem exprimendo tranfibit in hanc ^.adds-^-'-^ -^y (^-ri^-i- 7:1:7:7-7^ -TT77^-i-etc.) :=z o. Affu. niatur iam pro s ifte valor indefinitus , jzra + S^+yf \j^^f '^•tt'^ -{-^f '{-yif -{- etc. erit fubftitutione fida vt fequitur : iadds 2.1.270-4-2- 2.3 6'flf-i-2-3-4£a}'-h:«'+'36g ' '^''^' Tnde reliquoriim coefficientium valores cognofci potennit. S 3 §.31. 142 DE NOFO GENERE OSCILLATIONVM. §.31 Coefficientes qiiidem poteftatum parium ipfius t (iitis regulariter progrediuiltur , at poteftatum impariura exponentes ad has formas rediguntur. g P . ^ ~a-^^b e ") ■ ^ 1.2.3. 205(^3-26) I.2.> 206 4&^ V , tf^ — 40 S ■ I . 2 . 3 • + 5 . +a^6g(a— 2 6J _g3_^.6? I ' 2 ' 3 7. ku^d^^g (a— 2 6) a* — trti* e 3 . 2a|(c3- 26) "^ V . 2 • 3 e . 4 ' z ' + a' 'b^ 1 g . s . . . . 7 • ^a^b^ '^ 1.2.3 9' i6a^b^^ia—2b) *n^ i . 2 . . . s . i6a+ 6+ etc. Qiiare fi feries a -f- g^ -f- y r + etc. in feries fimpli- ces regiilares relbluatur , prodibit s z^ ^ [^ ~~ TTTTTab "1- i.,.,.,. + a2^2 ~ "" 1 .2 . 3 . ••0 . .«^63 + etC.) ■+^^^^^(v7^-,.,!' .,a,V2a6 + :TTTrr-;^vl^ - etc) . ab^/zab / t f^ tf_ "Trg{a-2b)\i2ub z.z.^' zab^j^ah "i 1.2. j .+.'; .+0^02 vTa6 — etC.J _ Q^6 /t_ __ t^ rs £(0-26) ta i.2.3.a^ ""l^ I • 2 . 3 . + . j . a5 etC.) quae feries cum fingulae fint fummabiles, obtinebitur loco s fequens valor finitus ^ s zn a. cof A . y,^^ ^- '^Vzab . f A i , ab-\/zah r \ ^ "^ ^ r s. t iJ^^- A • vl^ + ^I^^^ ""' ^ • vT^ ~ g(a— 26J lin- A . -. qnae aequatio fi conftantes « et S aliquantillum mutentur ■plane congruit cum ea , quae fupra §.27. ope integra- tionis efl: eruta. §.32. Retincamus aequationes fupra inuentas s =; D cof A . vT^ + C fm. A . 17^ - ^{^) ^^"^- A i et -V^ziz^Ts fin.A . v7^&-^ cof ATT^ + j^jycof A^ in quibus caliis ambo ipeciales fupra tra(flati egregie con- tinentur. Ponamus nunc autem initio quo ^ zn o , corpus quieuiffe in C, ita \t tum fiierit tam j = o quam V^y ^ o. Fiet itaque D zz: o ; et C :z: ||zi^) , quibus va- loribus DE NOFO GENERE OSCILLATIONVM. 143 loribns fiMiUitis erit s:= l^^^Cm.A^^ — ~^^ Cm.A- atque Vv:=z ij^lit) ( cof. A ^ - cof. A 7^ ) , ex quibus aequarionibus ad datum tempus tiim locus corporis , tum eius ceieritas innotefcent. §.33. Vt natumm hariim oicillationum penitius in- fpiciamus , yarias relationes quantitatum a et b contem- plemur , quibus arcus ^ et -^^, commenfurabiles reddan- tur. Ac primo quidem incipiamus a maximo ipfius b "valore , quo cafu vis a ipatio s pendens euanefcit. Cum igitur hoc cafu fit fin. A ;j—^ — -^-^^ fiet s =: — - -H I fin. A \ ; atque y v—^ J verf A \. Ergo (i tempus 77 j erit ipatium s j ac velocitas V 1; v5 l -S ! ^ ■7C I —2 C I 2lVg Va I 2^ . 1 =g 3C I ~3^c~aa 1 c yq Va I 2^ 1 2g I — -7c-f.7a I oVft Va I ,^ I 2i • §•34- Hoc igitur cafu , quo cum b ponimus infini- tum , tum corpiis initio in C quieuilie affumimus , cor- pus ex C verfus dextram CB continuo YJtra progredie- tur , motu alternatim accelernto et retardato. Qiianquam aiitem hoc cafu oldllationes non contingiint , tamen ab eo examen ordiri viium eft , vt nexus inter motus' hoc modo oriundos , dum b pedetentim m.inorem valorem confequitur , clarius pateat. Ponamus b ziz -"^ vt fit V ^abznna \ vnde fiet s — -^,^.,) ( fui. A'{ -n fm. A'^ ) atque yv~ -£0^^ ( cof. A ^, - cof. A . ^ ) : in quibus ex- 4C 144 DE NOFO GENERE OSCILLATIONFM. exprefTionibiis arciium j- et - finus et cofinus inter fe com- parari poterunt , quoties ;/ fucrit numcrus rationalis, §. SjJ- A valore ipfius «, qui priore cafu erat infi- nitus , delcendnmus ad valores continuo minores , quoad perueniatur ad callim «zz i ^ quo per peculiarem aequa- tionem fit s^— fin. A ^ -|- ^ cof A ^ ; acVv:=: ~ fui. A ^ , quo cafii ofcillationes tandem in infinitum excrelcunt : motus autem ita fe habebit. Si tempus zz ~ 1 1 erit Ipadum s 1 l ac celeritas V i) Vd ( o 1 1 o c 1 1 ^aa j ^c^f* . Va y 4^ 1 4£ 2C — 2UC l Va ^?, l O 3C ^JX^ ^jcVa Va \ ^p- 4£ 4C' Va I 1 1 ^;ac 4f; 1 o sc ^a« 1 ^scVa Va I . 4£: I • 4g §.35. Euolutis igitur cafibus , quafi extremis, lcilicet nzizoo et «zri. videamus quantum cafiis intermedii , quibus pro n fucceffiue humeros integros ponemus , ab extremis difcrepent. Ponamus itaque «n:2,feu bzzzia-. erit irn^f (fin. AI--2 fin. A,^) atque V^j-.^^ ( col. A ^ - cof A . ^ ). Quoties igitur fuerit ^zir 4/V , erit jzno ; at celeritas euanefcet, quoties fit ;rzz:^,de- fignante i numenim integrum qutmcunque. Motus ergo fe habebit, Yt ex hac tabella perfpicietur. Si DE NOVO GENERE OSClLLATlOWM. hS $i tempus — ;^ nC et i+C 3 4C_ 3 SC = 1« . 3 i6C ' 3 2OC erit fpatiumj o =^' fin. A ^ -3g fin.A^-^ o "fin.A?? 3g ^in-A^^i ac celeritas V «; o cof A. ^: ■+gVa 3g cof. A f^ §.37. Eaedem igitur motus reuolutiones redeunt clapfo tempore ::= '^ , feu bis percurfa peripheria circuli ; intereaque tres ofcillationes abibluuntur , quarum media fit per Ipatium duplo maius quam ceterae. Simili modo progrediendo patebit , fi ponatur «=3 , easdem periodos fore redituras poft tempus ^ , (eu peripheria circuli ter confeda : atque ita porro , donec fi «zzoo , periodo- rum nulla fit reuolutio , atque corpus in eandem plagam perpetuo progredi pergit. Namque fi « zi: 3 , celeritas V^y toties euanefcit, quoties euenit ^ii:3fV: ac fiwzz^ , celeritas corporis euanefcet partim cafibus quibus tzz — partim quibus eft /z= ^. Pofito ergo ^ z= -7^ , fi loco i fuccefliue omnes numeri integri fubftituantur , celeritas corporis deprehendetur nulla cafibus quibus i eft: , O5 3?5, ^, 9j 10,12, 15, 18, 20,21, 24,25 ctc. difterent: 3,2,i,3,i,2,3,3,2,i,3,i, poft tempus adeo 166' eadem periodus repetetur , fepties- que vna periodo celeritas corporis erit nulla , totidemque Tna periodus continebit inaequales ofcillationes ; fi quidem Tom. XI, T vna ij^6 DE NOVO GENERE OSClLLAriOKFM. vna olcillatio fumatur inter duos tcrminos , L]uibus celeri- tas eft zz: o. ' §. 3S; Magis fient hae olcillationcs reguhres, fi flie- rit w<5 cor- poris duplici \i Ibllicitati cognofci poterit. s it ?j r:: 2 feu ^ ~ - a - ? Ad tempus ^ erit fpatium i et celeritas V 1} fi t = o c f\ t:=2 c fi tzziU fi / =r 2 d- 0 aa - :-§ fin. A r: 0 0 0 fi tzzzU^ fi ^ rz 3 t' -H:-ifin.Aff 0 1 6g fi /=:4*" 0 0 Sit DE NOFO GENERE OSCILLATIONVM, 147 Sit Ad tempus ^^ fi tzizoc i\ tzn c fi ^i=:2 c fi ^=^3 ^^ fi ti:=.^c nzz: ^ feu Zr erit Ipiuium s o aa O ct celeritas V 'y o o o o . o Sit w iz: 4 , feu ^ ~ — a — 3» Ad tempus ^ crit Ipatium s et celeritas V 1? {\ tzz: 0 0 0 fi t^U^ a tz=: c fi tzzzU - :; fin A fl 0 crVa "-'Og 0 fi ^ n:^ 1 ^ 0 fi ^ = 2 ^ 0 aVa fi ?=:iT^' -+- g fin.A.^g 0 fi ^ = 1 ^ fi Jf = 3 ^ fl / = 5 ^ -i-^, fin.A.g + ^. fi«-A,1 0 oVa 0 fi ^ =4^ 0 0 Ad tempus fi i^zz fi ^zz fi ^iz: fi if — fi ^ zz 2 Sit ;z iz: 5 leu ^ zi: a so . t erit fpatium s et celeritas 'V v 0 0 0 C - ^, fi"- A !f 0 0 0 ' c \ 0 0 T 2 fi ( S48 DE NOVO GENERE OSCILLATIONFM. u- ^-,f. fin-AH o ic + ^. o r^- -)-,Vg Cn- A -i o 4.e o o fl / fi /: fi t fi iT §.39. Inter hos cafus omnes maxime notari mere- tiir is , quo erat 2 ^ m <7 : eo qiiod Ipatium , in quo continetur qiiaeque ofcillatio continuo augetur, ac tandeni in infinitum excrefcit : qui eflfedus eo magis ett admi- randus , quod hiiic foli cafui efl: proprius , atque a viri- bus finitis oriatur. Ex hoc igitiir cafu , fi quidem com- mode ad praxin reuocari poffet , inuentio perpetui mobi- lis deriuari pofle videtur : pcndulum enim in cycloide os- cillans iam ita eft comparatum , \t impulfiones a graiii- tate oriundae verfus ficum aequilibrii , fmt vt fpatia per- currenda. Quare fi tali pendulo iftiusmodi automaton ap- plicetnr , quod alteram vim a tempore pendentem pro- ducat , vis ofcillationes tantopere augentis portio tum ad automati intenfionem renouandam , quoties opus eft , tum ad refiftentiam et fridionem fuperandam impendi poflet , Ita vt fi ofcillationes non increfcant , tamen datae quan- titatis perpetuo conferuentur. §.40. Si nunc in caufam inquiramus , propter quam iblus ifte cafus ofcillationes continuo adaugeat , aliam non deprehendimus , nifi quod hoc cafu tempus vnius ofcilla- tionis integrae ex vno itu vnoque reditu compofitae , quae producitur a fola adioiie vis a fpatio s pendente , aequale fit tempori, quod per totam circuliFDHE peri- pheriam exprimitur. Si enim corpus a fola vi J follici- tetur 5 tempus vnius ofcillatioxiis integrae ex itu et reditii con- DE mVO GENERE OSCILLATIONFM, t^^ con(bntis erit nr 2 ttVs^ nr ^Va^obiiTrzr^isr. Tempus aiitem per totam circiili pcripheriam exprefllim eft := ^ ; quare vt haec tempora fint aequalia , necefle eft (it 2i;zza. qui eft ip(e caliis memoratus. §. 41 . Hinc etiam natura dilcriminis , quod inter ofciilationes reliquorum cafuum obferuauimus , penitius in- fpici poteft. Pendet enim hoc difcrimen partim a quan- titate litterae g, qua quidem nulla alia diuerfitas o(ciilatio- nibus inducitur , nifi quod per eo maiora Ipatia fiant , quo minorem valorem habeat g , ceterum autem tam ra- tione motus quam temporis lui maneant fimiles. Partim autem difFerentia ofcillationum , qua indoles ipfarum maxi- me immutatur , fita cft in diuerfb habitu literarum a ct d ^ quo ipfb ratio remporum ofcillationum ab ambabus \iri- bus ieorfim oriundarum definitur. Eft enim tempus Ynius ofcillationis fola agente vi 5- ad tempus Ynius ofcillationis a fola vi | ortae vt V 2 ^ ad V a. Ex quo intelligitur ^ quo magis haec ratio a commenfurabilitate recedat , eo magis ofcillationes futuras efle irregulares. T 3 EX- EXPUCATIO PHAENOMENORVM aVAE A MOTV LVCIS SVCCES- SIVO ORIVNTVR. AVCrORE Leonh. Eukro. §. I. Si radii liicis in inftanti per qnantumiiis magna inter- Yalhi propagarcntur , tum non folum quaeque obieda eo ipfo momento , quo lucem emittere incipiant , appa- rerent , fed etiam in eadem diredione , quam radius \fi(i- "vus tenet , cernerentur , neque in hac obferuatione motus fiue obiedi fiue ipfius Ipedatoris vllum difcrimen produ- ceret. Aliter res fe habct , fi radii lucis non in inlbnti propagantur , fed ad datum fpatium ablbluendum dato tempore opus habent. Primo enim cum obiedum ante occultum fubito lucem emittere incipiat , id eo ipfo mo- mento a fpecH^atore non cernetur , fed eo tardius , quo maior fuerit diftantia inter obiedlum et fpe^ftatorem. De- inde etiam , nifi tam obiedum quam fpedator quiefcant, difcrimen deprehendetur in diredione , in qua obiedum apparebit , inaequalitasque intercedet inter direclionem , in qua obiedum eodem momento con(piceretur ab oblenia- tore , fi radii in indanti propagarentur , eamque diredio- nem, in qua aclu conlpicitur. §. 2. Lucem autem non in inftanti propagari euincunt obferuationes ecclipfium fatelljtum louis ^ quibus conftat ra- dios J MOTV LVCIS SVCCESSIVO ORIVNTVR. r 5 1 dios lucis circiter 8. minuta prima impendere ad fpatium , quod inter folem et terram interiacct percurrendum. Qiiare fi parallaxin folis horizontalem afTummamus 10. minuto- rum fecundorum , reperietur diftantia folis a terra — 20618 femidiam.etrorum terreftrium ; ac lux ad tantum fpatium abfoluendum impendet 8. minuta prima. Ex quo definiri poteft lucis celeritas , quippe quae tanta erit , qua \no miniito (ecnndo abfoluet fpatium 43- femidinmetio- mm terrefirium. Qiiodfi ergo celcritates quasuis mctia- mur , Yti confianter faciemus , (patiis vno minuto fecundo percurfis , erit nobis lucis celeritas per 43 . exprimenda , dum vnitas femidiametrum terrae indicat. Ponamus au- tem ne nimium his obferuationibus fidamus numerum in- definitum c pro lucis celeritate ; cenfeamusqiie lucem tem- pore vnius minuti fecundi c femidiametros terrae percurrere. § 3. Vt nunc omnia phaenomena , quae ex fuccefiTi- va lucis propagatione confequuntur , eo difl:indius euolua- mus atque ob oculos ponamus , quatuor cafus feorfim exa- mini fubieciemus. Pnmo fcilicet tam obiedum quam ipedatorem in perpetua quiete coUocabimus. Secundo ob • ie(flo quidem motum tribuemiis , Ipedlatorem yero in qui- ete relinquemus. Tertio eos cafus perpendemus quibus obiedum quiefeit , fpedator vero fuum fitum continuo mutat. Qiiarto denique ytrique cum obiedo tum fpedla- tori motum ad;udicabimus. Atque Yt nofira inuefiigatio latius pateat , motum , quem \el in obieclo vel ipedato- re \ei in \troque conftituemus , tum redilineum faciemus tum etiam curuilineum. Qiiod infiitutum fi generatim pertrada\erimus , tum demum ad phaenomena corpo- rum coeleftium progrediemur , atque anomalias , quae ex motu %. X52 EXPIICATIO PHJENOMENORVM QVAE motu lucis fuccefliuo obferuationibus aftronomicis inducun- tur , diligenter enumerabimus. Tab. II. §. ^. Qiiiefcat igitur obiedum lucidum in O fitque '' fpedator in A pariter in quiete conftitutus. ' Ponatur di- flantia obiedi ab obferuatore feu re^fla OAzzw lemidia- metrorum terrae , erit tempus quo radius ex obiedo cmifTus ad fpedlatorem pertingit rr ~ minutorum fecun- dorum. Qiiodfi ergo obiedum ante fuerit obfcuratum , nunc autem fubito radios emittere incipiat , non hoc ip(b momento a fpedtatore cernetur fed demum poft |- minu- ta fecunda. Atque eo tardius apparere incipiet , quo lon-^ gius fuerit remotum. Si igitur praeterea aliud adfit ob- iecflum in o quod fimul lucere incipiat , cuius a lpetam circuli peripheriam efle conllans , vti in fyftematq Ptolemaico et Tychonico ftatuitur , quo orania aftra tem- pore vnius diei iiderei circa terram quiefcentem rotari pg* nuntur , fitque hoc tempus k min. fecund. habebitur haeq aequatio "-p := k indeque s ^ ^^. Q,uamobrem locus» obiedi verus V difcrepabit a ioco apparente O angulq OAVz= '-^ grad. ex quo difcrimen inter iocum app*- rentem et verum eo erit maius , quo maior fuerit diftan- tia obied:i a fpedlatore. Si igitur diftantia obiedi , vein ti fteliarum fixarum , fit quaft infinite magna , locus veriw ab apparente maximc dilcrepabit ; atque ft duarum ftelli^-r rum iixarum diftantiae fuerint inaeqqales , loca apparentiii quouis tempore maxime difterent a veris , neque diftaq- tia vera earum , feu angulus ad terram, quo a l^i inqiceiri diftant , vllo modo definiri poterit. §. 16. Pertradato cafu fecundo aggrediamur ca- 'ir 5'' fum tertium , qno obiedum quiercere fpedator vero m.o- veri ponitur. Qiiiefcat igitur obied:um iq O fpecHiuor v§ro in A conftiutus mgueatur vmfoi.autei: ia diredionc A4. A MOTV LVCIS SVCCESSIVO ORIVKTVR. 159 Aa. Sit fpediitoris celeritas — r qna fcilicet tempore "Vnius minuti (eciindi r femidiametros terrae conficiat ; an- guli \ero OA^ finus i\t:zzm cofinus zr |ul. Manifedum autem ert omnia plane ac propterea etiam apparentiam nianere eandem , fiue cafus vti eft propofitus locum obti- neat , fiue tam (pedatori quam obiedo motus aequabilis in diredionibus paralJelis tribuatur. Hancobrem conci- piamiis toti fyftemati imprimi motum in diredione ipfi Aa oppofita atque celeritate — r ; quo fiet \t (jpedator in A quie(cat , obieclum O Yero in dired:ione OV pa- rallela ipfi A a promoueatur , idque ceieritate — r. Hoc jgitur pado praeiens cafiis eft redudus ad cafum praece- dentem. §. 17. Qiioniam igitnr fpedlator in A quiefcit , ob- ie^um vero in dlredione O V aequabilitcr progreditur ce- ieritate — r , angulique VOA , qui aequalis eft angulo OA^ finus eft ~ m cofinus — [jl , innotefcet difcrimen inter locum obiedi apparentem et verum. Si enim ra- dius O A , quem obiedlum diim in O erat emifit , in ociilum fpedatoris incidat, tum fpedator videbit obiedum in direAione AO, qui erit locus apparens ^ hoc autem niomcnto obiedum iam erit in pundo V , ita vt direc- tio AV praebeat locum verum. Inuenimus autem ante anguli O A V tangentem eflfe — —^ ; quare fi vera ob- iedi elongatio a diredione Aa delideretur , ad elongatio- nem ob(eruatam , quae erat angulus O A ^ , addi debet an- gulus , cuius tangens eft ~ ■—: , ficque obtiuebitur angulus VA^, qui exprimit veram obiedi ciongationcm a direc* tione Aa tempore obferuationis. §. 18. i6o EXPLICATIO PHAENOMENORVM QJ'AE §. i8. His definitis toUamns motum communcm , ,^iiem fpedatori atqiie obiedo tribuimiis \ quo fiido ob- iedtum , \t cafus erat propofitus , quiefcet in O , fpeda- tor Yero celeritate r in diredlione A a prornouebitur. Dum autem radius ex obiedo O cmittitur erat fpedator in A vnde progtedietur per aliquod (patium puta A a , antequam obiedum ipfi appareat. Quiim primum igitur obiediim videbit , id in diredione a o conlpiciet parallela diredione AO , falleturque iterum angulo f?AO ^r OAV cuius tangens eft ziz -^t^. Quamobrem fi fpedator qui in reda Ka vniformiter progreditur celeritate — r con- fpiciat obiediim lucidum Hib angulo OA^ cum fua mo- tus diredione , cuius finus efl: zn ;;/ cofuius — \l , hunc angulum augere debebit angulo cuius tangens eft -^ , \t obtineat diredionem -veram , in qua obiedtum \erlatur. §.19. Qiianquam haec corredio deduda eft ex con- verfione cafus tertii ad fecundum , tamen aeqiie eft iegiti- ma , ac fi ex ipfius cafus propofiti contemplatione eflet deduda. Qiiamuis enim videatur , cum radius in direc- tione OA ex obiedo O ad fpedatorem in A fitum per- veniat , fpedatori verum obiedi fitum repraefentari de- bere ; id tamen tantum valet , quando fpedator quiefcit. Namque fi fpedator in motu fuerit pofitus radius in eius oculum incidens non fub ea dircdlio, in retinam impingit, in quam impingeret fi quiefceret , fed|incidentiae angulus fimul ex motu oculi debet definiri. Simile (cilicet hic radio accidit , quod vento in vela mota impingenti , cuius effedus definiri non poteft , nifi fimul motus velorum ratio habeatur. §. 20. A MOW LVCIS SFCCESSIFO ORirKTFR, J6t §. 20. Inueftigemus igitur effed:um , quem radius lucis in oculum motum exerit , et in difcrimen fitus appa- -jrentis et Yeri fecundum regulas motus inquiramus. Qiiies-Tab. it cat igitur obiedum in pundo O , fpedator vero vnifbr* ^S' ^- miter promoueatur in reda AE celeritate r : ac dum ia A verlatur excipiat radium O A ex obiedo emiflfum. Cum ergo radius in diredione OA celeritate c impingat in oculum A celeritate r in diredione A E motum , re- foluatur motus radii in duos laterales , quorum alter PA fit normalis ad AE, alter OP cum diredione AE con- gruat. Qiiodfi igitur O A celeritatem lucis c exprimat , erit PA vt celeritas normalis ad AE, et OP erit cele- ritas in diredlione E A , quae cum fit contraria celeritati oculi r , eundem praeftabit effedum , ac fi celeritate r augeretur, atque in oculum quiefcentem incurreret. .§. 21. Sumta ergo AE tanta , vt fit OA : AE = r : r, celeritas radii OP augeatur parte OQzziAE atque oculus in A quiefcens radium excipiet, cuius motus erit compofitus ex motu PA et motu QP , ex quo refulta- bit radius Q_A , in cuius diredione obiedum a fpedatore in A conftituto cernetur. Spedatori ergo , qui etfiamfi moueatur fibi in A quieicere videtur , obiedum apparebit fub angulo QAE, cum tamen ipfi , fi lux in inftanti propagaretur , fub angulo OAE apparere deberet : vnde angulus QAO conftituet exceffum loci obiedi veri fupra apparentem. Ponamus anguli apparentis QAE finum effe 1= m cofinum =: [x ; cum autem fit OA — c\ O Q = AE=r, ponamus tantisper AQ— j, erit A?~mjj PQ— [xj/, et O? zzz i^j—r : atque c^zzjj — iijiry-i- Tom, XL X r feu 1^2 rXPLTCATIO THAENOMENORVM QVAE r* leu >/ iz: {JL*' -+- V (/-;;//). Hinc angnli Q.\P tan- gcns erit ^l, anguli OAP tangcns z^ ^^^^J \i\dQ iin^uli Q_A O tangcns z=z '^-^fj^^ atque finus rr ^. §.2 2. Dinerflis crgo praebuemnt corrediones ambo ifti cafum propofitum euoluendi modi, quarum difcrimen etfi eft valde exiguum et contemnendum, fiquidem r re- fpedu c fuerit quantitas valde p.uua , tamen in originem difcrepantiae diligentiOlnie erit inquirendum , \'t, vtri de- termin.Ttioni magis fit fidendum , planum fiat. Ac primo quidem conftcit, differentiam ex eo oriri , quod in pofte- riore confideratione affiim.fimus radium QA lenfum obiecli in oculo excitantem ferri celeritate j = (jl r -f- V ((,-'- rn /) cum priori confiderandi modo radio \illuo celeritatcm c tribuiflemus. Si enim loco y in pofteriore modo pona- mus Cy feu c — ix.r loco V ( f^— ;;;%'' ) prodibit angali Q_AO tangens omnino Yt antea ziz~~:\ Quaeftio ita- que huc redit , Ytrum ratiocinium yeritati rnagis fit con- lentaneum. §.23. Hoc dum perpendemus , mox intelligemus m fig. 5- priore ratiocinio vitium elTe commiftiim. Cnm enim re- dudione tertii cafus ad lecundum toti fyftemati in quo cum obiecium O tum fpcctator A verfantur motum fe- cundum diredionem A a celcritate r tribuiftemus , definiri <3ebuiflet, Ytrum fimilis motns m.edio, per quod radii pro- piigamair , fimul fit imprefliis an non. Namque fi , Yti fe- cimus medium io qmete relinqnatur, cafiis, ad quem reduc- tio eft ficta , omnino erit diuerfus a cafu propoilto , quia in cafu proponto medium vna cum obiedo quiefcebat, in cafu autem mutato medium habebatur quiefccDS cum fpedta- tore- Tab. 11 A MOTV LFCIS SVCCESSIFO ORIFKTFR 1^3 tore : ex quibiis difTimi.Mtiido carnum , nc proinde illegiti- ma redudio cLire apparct. Ipfiim itaque medium in di- redione Aa fimul promoueri dcbuifFet cei(;ritate r, qui motus fi pariter in radios transfcratur , prodibit prorfus vt altcro modo anguli OAV finus nz ^. §.24. Cum igitur pofterius ratiocinium cum \eri- tate confpiret , atque anguli , quo locus obiedi \erus ab apparente difcrepat , fuius fit ^f , non autem eius tangens fit zz- -^jjy , perfpicuum e(t aliter obiedum quiefcens fpedatori moto efle appariturum , aliter obiedum motum Ipeclatori quiefcenti , etiamfi motus poRerior priori fit aequalis et oppofitus. Ratio huius difcriminis in eo latet , quod lucem inilar foni per motum Yndulatorium propa- gari pofuimus , quo pado motus obiedi radios emittentis celeritatem radiorum non afficit ; verum medium , fi mo- veatur , eundem motum cum motu radiorum mifcebit * ac propagitionem vndularum vel accelerabit vel rctardabit , prout motus medii motui radiorum vel fit (ecundus vel aduerfus. Cuique haec plana iient , fi quae ha in AQ ducH^a zzims atque finus anguli OA Vzn -/y — —-^ qui error apprime congruit cum eo , quem pro cafu tertio inuenimus. §.27. Plurimum igitur inter eft nofle , vtrum Inx per a£lualem explofionem particulanim iucidarum ex obiedo lucido generetur , an fimiii modo , quo fonus per aerem propagatur. Si enim . prior modus in natura locum ha- beat , tunc fimiles forent diiFerentiae inter loca apparen- tia et vera pro cafu fecundo et tertio , tutoque liceret al- terum cafum ad alterum ope motus contrarii toti fyftema- ti imprefli reducere. Quodfi autem modus pofterior lo- cum AMOTVtVClS SVCCESSIVO ORIVNTVR. ic^ cum habeat , radiiqne liicis inftar foni propagentur , tum illicita erit ifta redudio ; etfi difcrimen eft prorfus con- temnen^um , nifi obiedis ftupendae celeritates tribuantur , vti fit in (yftematibus mundi Ptoiemaei et Tychonis. Qiian- quam autem pofterior fententia veritati magis confentanea videtur , tamen pro praefenti inftituto (equamur priorem propter eximiam conuenientiam inter corrediones ad ca« fus fecundum et tertium pertinentes. §.28. Perfequemur igitiir hic potiftimum eam hy- pothefm , qua radii Jucis ex obiedo lucido adu explodi ponuntur , atque alfumamus radios , qui ex fole ad nos perueniunt , fumma celeritate ex ipfo fole efle eiaculatos , vnde tempore 8. circiter minutorum ad nos pertigerint. Quamuis enim haec hypothefis minus fit probabiiis quam altera , qua lumen inftar foni propagari ftatuitur , tamen magis eft accommodata ad noftrum inftitutum atque mo- tus compofitionem recipit , cuius altera hypothefis minus eft capax. Si enim propagatio lucis in generatione pul- fiium per medium fubtile conftet , tum fi ad (enfationem refpiciamus , ron tam ad tempus , quo pulfus per datum (patium vehuntur , erit attendendum , quam ad proprium cuiusuis particulae motum tremulum , qui maxime diuerfus efle potetit a motu progrefliuo radiorum. §. 29» Stabilita igitur hac hypothefi , phaenomena ca- {iis primi , quo tam obiedum quam {pe(5latorem in quie- te pofiiimus, omnino manebunt vt fiipra expofuimus: pro cafii fecundo autem ea mutatio adhiberi debet , cuius fe- cimus mentionem , fcilicet loco anguH OAV , qui praebet dif!erentiam intcr locum obiedi apparentem et verum , cuius tangens erat ~ £.^ fubftitui debet angulus cuius fi- X 3 ^us i66 EXFLICATIO PHAENOMENORVM QVAE -Tab. II. nus eft ^- Qiiae autem de cafu tertio §. 20. attulimus ^^' ^' ca , cum fiut ex compofitione motus deduda, rede (e habent , ac fi obiedum fpedatori in A conftituto , qui fecundum diredidiem AE celeritate r promoueatur , ap- pareat in diredtione AQ_ feu fub angulo Q_AE cuius fi- nus eft 7n , adhunc angulum addi debet angulus QA O , cuius finus efl: = "^- , "vt prodeat fitus obiedi Yerus. Tab. II. §/50. Vt autem phaenomena cafus fecundi diftinclius %• 7* euoluamus , examinemus mift^ionem radiorum , quae ex ob- iedo mobili fit. Qiiielcat igitur primum obictftum inO, ac radii ex eo quaqua Yerfus emittentur aequali celeritate c \ ita vt fpedator A , Tbicunque confiftat , radium O A ex obiedo excipiat celeritate c motum, Tude fi diftantiaOA fuerit u , radius OA ex obiedo ad Ipedatorem perueniet tempore \ minut. fecund. Ponamus nunc obiedum ce- leritate s in direclione OV progredi , ifte motus cum inotu naturali fingulorum radiorum debebit coniungi. De- fcribatur igitur centro O radio O C , qui fit ad O V vti ^ ad J- circulus CBFD; eiusque quilibet radius OB prae- bebit radium lucis \na cum ipfius celeritate , qui ex ob- ie(fto quiefcente emitteretur. At ob motum obiedi ra- dius OB non hanc diredionem conferuabit , fed progre- dietur per diagonalem 01 parallelogrammi OBIV, eius- que celeritas erit vt 01. §.31. Si iam hoc modo finguli radii OB cum mo- tu obiedi coniungantur , reperientur punda I fita efle in peripheria circuli GIH centro V radio VGzi:OC=z(r defcripti ; atque quaelibet reda Ol ex loco obiedi O ad hanc alteram peripheriam duda exhibebit celeritatem jadii OA in direaione 01 emiifi. Ab hoc igitur obiedo fpeda- A MOTF IVCIS SVCCESSIFO ORIFNTFR. j6j fpedmv in A excipiet qu"dem radium OA , fed alia celerirate motum, qiiae le habet ad celeritatem naturalem c Yti reda 01 ad radium OF. Hinc intelligitur , fi ce- leritas obiecli OV fuerit aequalis vel maior quam celeri- tas lucis naturalis , euenire poire,Yt redla OA ex obiedo ad fpedatorem duda circulum centro V de(criptum nus- quam iecet, quodfi euenerit obiedlum a fpedatore pror- fus non confpici poterit. Fieri etiam poteft vt, radius ad fpedatorem tam lente perueniat , vt in organo Yifus nul- lum efFedum producere poffit, quo cafu pariter obiedum erit inconfpicuum. $.32. In liac hypothefi etiam phaenomena obiedi Tab. ir. in periphaeria circuli reuoluentis et fpectatoris in centro ^* * A conftituti aliter (e habebunt. Ponamus enim obiedum in peripheria circuli OV circuraagi celeritate =1:/,: fit- que radius OA — ?^. Cum igitur ex obiedlo , dum in O erat , radius ad fpeclatorem pertingit , obiedumque in O ipfi repraefentat , tum obiedum non amplius erit in O , fed in loco V , adeo Yt obferuator fillatur. Si qiiidem obiedum moueretur endem celcritate fecundum tangentem O V , tum interea obiedlum perueniret in V , foretque angulus O A V, errorem exprimens, tantus , Yt eius finus fit ~ ^ ob angulum VOA redum • radiusque tanta celeri- tate ad fpedatorem perueniret , qiiae fe hnbet ad celerita- tem c ^ Yti AO ad AV. Qiianqu:im autem obiedum non in diredum fed in circulo progredi ponitur , tamen e- niiffio radiorum , dum efl: in O, Ytroque cafu aequalirer afii- cietur ; ita Yt etiam hoc cafu radjiis OA ad fpedatorem ^eniat cekritate zn -^y^. f 33' x(^8 EXFUCATIO PHAEKOMENORJ^M QFAE f. 33. At error obferuationis a loco obicdi vero aliiis erit , fi obiediim in circulo promoueatur. Cum e- nim , fi in diredum O V progrederetur , interea dum ra- dius ex O ad A peitingit, penieniat ad V vsque;eodem interuallo per peripheriam circuli latum abfoluet arcum OU, aequalem tangenti OV ; eritque error nunc angulus O A U , Ytique maior quam foret fi obiedlum in diredum moueretur. Quoniam vero eft anguii OAV finus zzj-, erit eiusdem cofinus :zz ^^""^7^'^ = x? ; vnde ob AQ — u crit AV — yff_,2) , et OV z^ v^c^-^-") ? ^^^^ velocitas radii OA in oculum fpedatoris incidens erit rz: "/(/—/). Qiiare fi obiedli celeritas s aequalis fuerit vel adeo ma- ior quam celeritas lucis naturalis c , tunii nequidem ob- iedum a fpedatore cerni poterit , quod idem eueniet fi s valde prope ad c accedat. §. 34. Vt quantitas anguli OAU definiatur , fit i : tt ratio diametri ad peripheriam , eritque i: u — femiperi- pheriae circuii feu arcui 180. graduum. Fiat igitur ttm : 1 80° zz: OU (yff./ij) : ^^^^0:^) 5 ^x qua analogia praebebit ^y(°/.;»l i" gradibus anguium OAU , quo locus obiedi vi- llis a vero difcrepat. Cum praeterea obiedum vno mi- nuto fecundo percurrat s femidiametros terrae, totam pe- ripheriam 2 ixu abfoluet tempore ~ min. lec. Ponamus tempus vnius reuolutionis effe conftans atque k min. fec. fiet s zz: —". Qiiamobrem angulus OAU erit =:y^/4*~f5^ ; ob duplicem igitur caulam crefcit error (eu angulus OAU crefcente diftantia AO , ac fada « zi: ^ , error iii infini' tum augebitur; hoc vero cafu obiedum ceffabit fpedatori apparere. Quare^fi ftellae cundae circa terram quietam tem- A MOTV LVCIS SVCCESSIVO ORIVNTVR. ' i6g tempore 24. horarum circiimagerentur , eae quae mag*s diftarent quam 591287 femidiametros terr.ie nequidem conlpicuae fbrent , lioc ei\ quae tricies mng"s elTeni: remo- tae quam fol : ex quo ne \nica quidem (tella fixa eflet conlpicua. §.35. Videbimus autem rem longe a-iter (e efTc ha- bituram , fi terrae motum circa axem , fideribus vero quie- tem tribunmus , quamuis primo intuitu fimiLa phaenome- na accidere debere Yideantur. Neque ycio hoc mirum •videbitur , fi hanc rem attentius perpendamus ; licet enim (iiluis legibus et regniis mechunicis vniuerfo cuidam fylie^ mati corporum , motum aequabilem in dirednm imprime» re , ita , vt nil in phaenomenis mutetur , at vel motum inaequabilem vel curuilineum tribuere mnime licet. Ex quo manifeltum elt , cafum maxime immutari , fi motiis circularis , quem fpedlator habeat, transferatur ad aftra, iisque motus circuLires , eodem tempore pcriodico ablcilucndi , ad- iudicentur. Tali autem illegiuraa translatione motus lucis potifTimum perturbari debet. §. 36. Ponamus igitur fpedatorem in A conQitut™ j^^^ jj^ promoueri continuo per peripheriam circuH ABD, cele % p. ritate tanta , qua tempore vnius minuti fecundi abfoluat r (emidiametros terrae. Concipi fcilicet poteft circulus ABD tanquam parallelus terrae qui fpatio diei fiderei feu 23. horis, 56^ 4^^ circa axem reuoluatur ab occidente in oiien- tem, ita, vt pundum E fpedatori verfjs orientem fit fi- tum. Ponatur cofinus cleuationis poli, quae refpondet loco fpedatoris in A, zzip , poHto finu toto atque fcmidiamctro terrae = i , erit pzn fmidiametro paralleli A C , ex quo circumferentia paralleli erit zz: 2 tt p , quam ciim Tom. XI. Y fpeaa- i^o' EXPLICATIO THJENOMENORFM QJAE Ipedlator abfolimt tcmpore S6i6^^^ , vno minuto fecundo conficiet (patium ;^J^^ femid. terrae. Hinc ergo dabitur celeritiis Ipeflatoris r — [777777, ac \og.rzz.lp-l fm. tot.— 4, 13714(51 — Ip— 14., 1371451 ; tantaque celeritate fpecflator verfus orientcm fecundum diredioncm tangentis A E progredietur. §.37. Appareat nunc ifti fpedatori fidus in diredio- ne A O , quaeriturque fitus huius fideris yerus A 0 , fub quo appareret , fi vel terra quiefceret vel radii in inftanti propagarentur ; fidus autem quiefcere aflfumimus. Ex (ide- re O in planiim paralleli demittatur perpendiculum O P , atque ex P in radium CA producflum normalis PQ. Qiio- niam vero planum paralleli in aequatorem coeli incidic redlaque C A Q^ meridianum loci A denotat , meridianus enim eft planum normale ad ABD idque in reda CAQ fecat ; dabit angulus OAP declinationem fideris obferua- tam , angulus PAQ autem diflantiam circuli horarii a meridiano loci A. Cum igitiir figura fidus in declinatio- ne boreali ac verftis occidentem fitum repraefentet , fit fi- nus declinationis borealis feu anguli OA?^a, cofinus :=i: a. anguli PAQ_ feu diftantia fideris horaria a meridiano verfus occidentem , finus zi: If , cofinus ziz §. §.38. His pofitis fit fideris obfeniati diftantia a terra OA— //, quae quidem quafi infinita aiTumitur attamen ex calculo euanefcet ; erit ergo 0P:=^?^ et AP=:az/;por- ro erit VQpzabu et AQrr a^//. In tangentem AE pro- dud;im ex P ducatur normalis PR , eritque PRzrAQzr a^u: ab eft finus diftantiae ftellae a nieridiano in circu- lo pofitionis fumta , feu circulo per polos meridiani dudto ; duda autem reda OR perpendicularis erit ad redam AR, At A MOTV IVCIS SFCCESSIFO ORIVNTFR. 171 At Ycro habebiuir AK~abu et OR = ?^y( i -a*^'): vnde angiili OAE, quem lociis fideris vifus ciim diredio- ne A E , in qua fpeclator promouetur , conftituit , finus erit =z:y(i—a */»'). Verus itaque fideris locus erit in o punclo in pkno OAE fito , atque angulo OAo , cuius finus eft ^"^^---^ ^ magis verfus occidentem remoto. Abfcin- datur ergo in plano OAR angulus OA^?, cuius finus fit =1 ■ c -et cofinuszz.-^ -^ ;eritque 0 locus fideris verus. §.39. Inueftigemus iam quantum locus vcrus a loco vifo cum ratione declinationis tum afcenfionis redae difcre- pet. Ponamus breuitatis gratia finum anguli OA^ — ;?, et cofinum —v^; demittamusque ex 0 in AR perpendi- cularem ^(-«>-ra) r77^v"^'';aT^W ' '^'^ ^^^ ^"S"li ^Ap tangens fit =: Y 2 n-n 172 EXPLICATIO THAENOMENORVM QVAE ^ifV^-^^'^' c""i ^"§"1^ apparentis Q_AP tangens ei^et in g. kxcedit ergo vera elongatio qAp apparentcm QaP angilo ?Ap , cuiiis tangens ert =r ;^_j_7^(-r^,-i— ^ Jbr-^^ic^'r--^^'o-r^) reititutis loco « et ^ vaiori- bus avlaiiuis. § 41. Qiioniam vero terra (ecundum fignorum coe- leftinm ordinem reuoluatur , fi afcenlio redta obferuata computetur ab aequinodtio verno, haec afcenfio reda dimi- m'i debet angulo q Ap ^ vt oriatur afcenfio reda vera. Deinde vcro etiam declinatio obleruata per diminutionem corrigi debcbit , ita vt verus fideris locus propius ad ae- quatorcm a cedat , quam obfematur. Si quidem fuerit a>a[v-^^r)) feu c -\- abr>-V {c'-/-\-c^ b^r^) id quoJ qUiOem lemper contingit , fi b affirmati Him obti- neit valorem , fidusque verfus occidentem fpedetur • con- tnrium euenit , fi fidus verfus orientem alpiciatur , quo caiii declinatio augeri dcbet. f . 42 Obfcfuetur fidus, dum per merldiannm loci , in quo (pedator verfitur , tmnfit , fiet bzzzo atque ezni: maneatque declinationis bc^realis obferu^itae finus = ^ , co- finns — a , vnde vera fideris deciinatio tanta cenferi de- bebit, vt eius finus dz ziz y^ ziz^ V [C^—r^). Cum aii- tem r fit quantitas vehemcnter exigua refpcdu ipfius r, erit y (i,**— r') =1 ^— 7* ) ^^^^^ ^^^^^ declinationis finus erit =:= ^ - ^ , cofinus vero a -H i^ , qu^re vera fide- ris declinatio minor erit quam vera, amjiilo, cuius finus eft = T^c.y q''i<'^ difcrimen ob quadratum ipfius r tam eft exiguum , vt tuto negligi queat : adeo vt dcclinatio ob- feruata A MOTV tVClS SVCCESSIFO ORU^NTVR, i^s feniata a vera non difcrepet , fi quidem obferuatio in me- ridiano inlhtuatur. §. 4^. Deinde cum angulus Q_AP euanefcit, fiet an- guli qA.p tangens — cty/{cc—rr) ? ^^^^^ ^^^^ quaecunque ftel- la in me.idiano oblcruatur , ea reuera per meridinnum iam transiifle erit cenfenda , anguloque a meridiano \er- fus occidentem iam diftare , cmus finus -vel tangens fit zz ~3 , ob r valde paruum. Vel corredio ita erit inftituen- da , Yt afcenfio reda ftellae obferuata diminuatur angulo , cuius finus eft — ^. Eft autem r~ ^77;^ et ^7=1143 vnde iit 7 zz: j—^- Quodfi ergo obferuator fub aequa- tore verfetur , quo cafu tit pziz i , atquc tranfitum ftellae per ipfius zenith ob(eruet, ab afcenfione reda aeftimata auferre debebit angulum 20. minutorum tertiorum , quae corredio tuto negligi poteft. §. 44 Ponamus ftellam obferuari in circulo fextae horae verfu soccafum , fiet ozizi et S zz o , vnde finus ve- rae ftellae declinationis erii ^ va — na et cofinus ziz n a --f-va, cum declinationis apparentis finus eftet ^, et co- finus a. maior igitur eft declinatio apparens quam vera , excefliisque eft angulus cuius fmus eft zznziz ^ , qui an- gulus fi fit maximus , quod euenit fi azzzi et pini , tamen ne quidem ad lemiflem vnius minuti fecundi affur- git. Alcenfio vero rcda obferuata omnino non difcrepa- bit a vera , eo quod Szzo , qua hypothefi tangens an- guU Y kp evane[cit : idem autem viu venit fi obferuatio in altero circulo horario verfus orientem inftituatur ; ibi autem dechnatio obicruata non minui fed augeri debet an- gulo cuius finus eft z:z«:i= °}. Y 3 §. 45. 174 EXFLICATIO PHAENOMENORVM QVAE . §45. Ex his intelligitur , vamtionem apparitionis fi- deriini , quae quidem a motu ternie diurno proficifcitur, ob ingentem paruitatem tuto negligi poffe ^ ita \t loca ftellarum apparentia fme errore pro veris haberi queant *, nunquam enim dilcrimen ad integrum minutum fecnndum , imo ne ad femiflem quidem afliirgit. Haecque perinde fe habent in vtraque motus lucis hypothefi ; altera cnim dat pro aequatione angulum , cuius tangens eft -^^ , altera angulum cuius finus eft ^ , qui duo anguli cum fiadlio ~ fit quam minima , a fe inuicem non difcrepant. Ve- rum fi loco motus terrae diurni , fimilis motus fideribus tribuatur ad mentem Ptolemaei , tum non folum aberra- tiones obferuationum a locis veris pro vtraque hypothefi maxime prodirent diuerfae, fed etiam ipfae aberrationes fie- rent tam vaftae , vt nil certi ad locum verum definien- dum ex iis concludi poffet ; quae fola circumftantia fiiffi- cere poteft ad fyftemata terrae immotae funditus fubuertenda. Tab. n §• 4^- C""^ \^\im motus terrae dlurnus nullam fenfi- H-9' bilem differentiam inter loca fiderum apparentia ac vera producat , videamus , quantum motus annuus in hoc ne- gotio valeat. Repraefentet igitur nunc circulus ABD.or- bitam terrae in qua circa folem C reuoluatur ; tuto au- tem hic circulum pro orbita terrae vera afliimere licet. Huius ergo circuli femidiameter AC erit 2o5i8 femid. terrae , vnde eius peripheria continebit , 129545 fem. ter- rae , quod fpatium cum emetiatur anno fydereo fei; 31 5 5 8140'''' , vno minuto fecundo abfoluet fpatium ~~ femid. terrae , quod erit valor ipfius r , vnde cum fit ^11:43 fiet ^ :=^o, oooop54j <^— i^) qui valor fere A MOW LVCIS SVCCESSIVO ORIvmVR, i^S fcre fexflgies maior efl: , qiiam ante erat pro motii diiir- no , ex qiio iam intelligitur , motiim annuum lenfibilem variationem obfemationibus indiicere debere. §.47. Primo quidem ipfe fol , ad cuius locum reli- qua fidera funt referenda , nunquam in fuo \ero fitu ap- parebit , fed fub angulo acuto ad tangentem AE. Hanc- obrem longitudo folis obferuata continuo erit nimis parua , ad eamque addi debet angulus cuius finus eft ^ , fecundum fignorum leriem , qui angulus prodit 20''^. Cum igitur fol apparet in initio arietis , eius locus \erus cenferi de- bet o S , 0°, o\ 10^^. Atque hoc modo ante loca folis obieruata corrigi oportet , antequnm fiderum loca cum fo- lis loco comparentur. Cum autem ifta aberratio loci (blis apparentis a loco vero perpetuo fit eadcm , motus Iblis in eccliptica ex terra eodem modo confpicietur ac fi radii in in- ftanti propagarentur , neque hinc noua anomalia motui folis admifcebitur. §.48. Cognito igitur vero fblis loco geocentrico ob- feruetur a fpedatore A fidus O in diredione O A , ex quo in planum orbitae terrae (en ecclipticae demittatur per- pendicularis OP , atque ex B in CA produdam pariter perpendiculum PQ. Duda igitur AP , praebebit angulus OAP latitudinem fteliae obferuatam , cuius finus fit zr ^ , cofinus zz: a. Angulus yero QAP dabit diftantiam ftellae a loco fbli oppofito in eccliptica ; quae in gradibus eccli- pticae obtinebitur , fi a punclo foli oppofito fubtrahatur longitudo ftellae obferuata j fit igitur huius anguli PAQ^ finus zii b , cofinus =1: S. Cum igitur iam reliqua ma- neant Yt ante in motu terrae diurno , verus fideris locus €rit in diredione Ao j atque vera latitudo definietur an- gulo T^6 EXPLICATIO ?HAE^:OMEmRVM QVAE gulo oA/) ; veraque difFerentia longitiidinis fideris et loci loli oppofiti angulo qP^p- §.49. Cum igitur verae fideris latitudinis oAp fi- nus fit = a (y'-^)) = t (V >/-r*M-a^^V',)-a^r), fiet ifte finus ob r refpedu c \ehementer paruum , iz: a =f^ ; eiusque cofinus m a -H ^. ' Latitudo ergo ftel- lae obferuatd diminui debet angulo , cuius finus ell V -, fiuc latitudo fit blDrealis fiue auftralis. Haec autem diminutio tantum locum habet cum angulus PAQ_ finum h habet affirmatiuum , hoc eft cum (bl ad coniuudionem ftellae accedit : feu a tempore oppofitionis ad coniundionem vs- que. Contra autem a coniundione fteilae cum fole vs':ue ad oppofitionem lat.tudo ftellae debet augeri ob h negati« vum , atque ad latitudinem obferuatam fiue b(^realem fiuc auftralem addi debet angulus cuius finus eft 1:= —- §. 50. Vt haec corredio ficilius ad calculum aftro- nomicum accommixiari quent , iequens adhibeatur regila. Ex canone logarithmorum confueto excerpantur logarithmi finuum cum latitudinis ftellae obferuatae , tum diftantiae ftellae a pundo in eccliptica Ibli oppofito fecundum lon- gitudinem , hique logarithmi addantur et a fumma aufe- ratur ifte logaritlimus 18,7057289. reriduo iogaritlimo quaeratur numerus refpondens ex tabula logarithnriorum numerorum naturalium , qui numerus praebebit aequatio- nem latitudinis : quae a latitudine obferuata fubtrahi debet, fi ftellae locus in eccHptica intra locum folis et eius op- pofitionem verfetur ; addi vero debet , fi locus ftellae in eccliptica intra punftum foli oppofitum ipfumque folis lo- cum contineatur. §.SX. A MOTP' LVCIS SVCCESSIFO ORtVKTVR. i77 §.51. Vt ifta opemtio excinplo ilkiftretur ponamus ftelliie cuiusdam iatitiiJinem obferuLUam elTe 75°, 17'', 48^^; longitudinem vero fuifle deprehenl^im 5 S , 13" ^o^ 5 5'''': eoque temporc folis longitudincm fuifle 75,25°, 4.2^, 35''^: computus ergo inllituatur vt fequitur Longitudo d O 7 S , 25°, 42^, 35/^ Longltudo 0^0 I S ; 25°, 42^, 35'''' fubtr.Longitudo ftclkie 5 S ; 13°, ^Q^ 55^^ Ergo nng. QAP =: 8 S , 12°, 21^, 4.0 ^^ feu ang. Q_AP = 252°, 21^, 40^'' cuius finus cum fit negatiuus, latitudo obferuata debet nugeri per st- quationem : ex quo erit b finus nnguli 72°, 21^, 40^'' : eiusque logarithm. =: 9,97908^2 addatur log. 75°, i7^ 4S^^rr9, 9855400 fubtr. 19, 96^6262. 18,7057^89 1,2588973 Ad latitudlnem ergo obferuatam addi debent i%^\ 9^^^ ■vnde vera latitudo erit 75°, iS' , 6^^ , 9/^^ §.52. Cum igitur latitudo ftellae obferuata eft nulla, tum etiam latitudo vera euanclcet, vnde ftellae in ipfa ec cliptica fitae etiam lemper in eccliptica apparebunt. Qiio magis autem ftella quaepiam ab cccliptica eft remota , eo magis latitudo apparens difcrepare poterit a latitudine ve- ra , ceteris paribus ; maxima enim differentia incidit in quadraturas {tellae cum fole , eftque 7 ; quae nddi debet in quadratura priore , feu ea , quae poil coniundionem cum fole accidit , in pofteriore autem quadratura coniundionem prae- cedente iubtrahi debet. At cum (lella proxime ad po- lum ecclipticae erit obieruata tum ob a quantitatem val- Tom, Xh Z de X75 EXfUCATlO PHAENOMEmRVM QJ^AE de pamam , denotabit autem a riniim diftantiae ftellae a polo ecclipticae obferiiatam , alio calculo erit opus. Cum enim fit fl!— ;/(i-a^)=:i— ~ crit fmus verae ftellae latitudinis zi: cr* aabr a' r* abr • ^ «^- ^ - -f := I - T - ^c - T- , euisque cofinus — V(a*-f-^+ '-^)qui erit finus verae diftantiae ftellae a polo ecclipticae. §.53. Si igitur ftella in ipfo polo ecclipticae obfer- vetur , tum reuera ab hoc polo diftabit angulo cuius finus cft ~ , qui angulus circiter ^o^^ conficit. At fi diftantia ftellae a polo obferuata fuerit circiter 20^^^ vt a fere aequa- le fit ipfi 7 , tum expediet veram ftellae a polo diftaa- tiam definire ex eius finu , qui eft V ( a * + ^ 4- ^-^ ) neque ad radicis extradionem iuuabit approximatione vti. Veluti fi ftella obieruetur a polo ecclipticae diftare angulo 30^^^, fitque angulus PAQ_ redus feu ftella in pofteriore quadratura , erit ^ in i et finus diftantiae verae a polo zz: a -f- ^ feu 50^^ fin ftella in priore quadratura fuerit ob- feruata, erit vera diftantia a polo — 10''^. In coniundlio- ne autem vel oppofitione reperietur vera diftantia a polo = ^6^^ , cum tamen alias in oppofitione et coniundionc latitudo vera ab obleruata non diicrepet. §. 54. Videamus nunc quanam correAione longitudo ftellae obferuata indigeat ; fupra autem inuenimus ad an- gulum Q^A P addi debere anguIumPAp, cuius tangens eft = ^5^7::+Jfe^^TM:r'6v^ tanto igitur angulo longitudo ftellae obferuata debebit diminui , vt prodeat eius longi- tudo vera fi quidem anguli P A Q. cofinus S fuerit aftir- matiuus, contra enim addi debet aequatio, fi S fiat nega- tiuum, Qiioniam vero r eft valde paruum refpedu c fiet illius A MOTF IVCIS SrCCESSiro ORIFNTVR. 175» ^^ illius angnli tangens zr r — i?^ a^b^r*' 9«^^ nifi ac-{-a br — :^ 4- —^ — ftella proxime ad polum ecclipticae fuerit fita abit in haiic I3. Manente ergo (lellae a polo diftantia maxima aequa- tio longitudinis erit in coniundione et oppofitione cum fole , illo quidem cafu addi hoc vero fubtrahi debet an» gulus, cuius tangens eft ^^ : in quadraturis autem haec cor- rcdio fit nulla. ^. SS. Haec igitur corredlio commode per logarith- mos fequenti modo inftitui poterit \ ad logarithmum cofi- nus anguli Q^AP addatur 1,2942710, atque a fumma fubtrahatur logarithmus cofinus latitudinis ftellae obferuatae refidui logarithmi quaeratur numerus refpondens , qui da- bit numerum minutorum lecundorum addendum vel fub* trahendum longitudini obferuatae , prout ftella vel coniun •' dioni folis vel oppofitioni fuerit propior. Sic in exem- plo §. 51. allato eft ang. Q,APi=:252°, 21'', 40^^ cu- ius cofinus eft ncgatiuus, vnde longitudo obferuata augeri debebit. Ifte autem cofinus congruit cum finu anguli 17% 38'', 20^'' cuius logarith. :^ 94814(^(^5 add. 1,2942710 auferat. log. fin. 14% 42^, 12''/ io,775737<^ 9,4045158 1,3712218 hinc aequatio prodit 23'''', 30''^'', quae ad longitudfnem obfematam addi debet , ita vt vera longitudo fit 5 S , 13', 21/, 18'''' , 30''''^. §. 55. Aliter autem corredlio erit inftituenda , fi ftdla polo ecclipticae fiierit proxima , ita vt finus eius Z 2 diftan- X80 EXPLICJTIO PHAEmMEmRFM QVAE diftantiae ab hoc polo a tiim fit paruns Yt prae tcrmino ac reriqui termini non euanefcant , tam enim a longitu- dine obferuata angulus fubtrahi dcbebit , vel ad angulum Q A P addi debcbit angulus cuius tangens ed: = — -^ Qiiare fi ci omnino euanefcat , fiatque ^ zz i , anguli ad- dendi PAp tangens erit zn | *, quare cum anguli Q_AP tangens fit =z |- , fiet angulus Q_A/> redus. Stellae igi- tur in ipfo poio ecclipticae Yifie latitudo erit diminuen- da 20. fec. eiusque longitudo 90. gradibus fuperabit longi- tudinem folis. §•57- Qiiaeftio hic moueri poteft non inelegans , qua quaeratur , quo fitu fiella in ipfo ecclipticae polo re- vera pofita quouis tempore fpecftatoribus terreftribus appa- rere debeat. Qiium igitur verae huius ftellae latitudinis finus fit I , habebitur ifta aequatio i —f{V{c^— r*H- abY) — abr) feu ^ -^^- aabr zz: aV ( L^~r -f' a^^^V^ ) vnde fumtis quadratis fit a c" -\- laabcr -\- dr zizo ^ ex qua aequatione oritur tangens diftantiae apparentis huius ftellae a polo ecclipticac ^ f = ~^^-^^V'-^''-.i}, Hinc igitur patet ftellam talem polarem ex terra nunquam alio fitu confpici poffe , nifi fit Z^Z^zzi, hoc eft nifi in quadratura cum fole priore , quae poft coniundlionem contingere fo- let. Hoc autem caiii fit b——i atque haec ftella a polo angulo cuius tangens eft ^ feu angulo 20^^ diftare perpetuo obfcruabitur. Ex quo haec ftella circa verum polum circulum fpatio Ynius anni abfoluere cernetur , cuius radius erit zq^\ §.55. A MOTV irCIS SVCCESSIVO ORITNTFR. iSi §.58. Diligenter igitur cauendiim efl, ne haec flel Larum Yariatio annua a motu lucis fuccefliuo oriunda cura parallaxi confundatur. Expediet ergo ad parallaxin annu- am fteMarum fixarum commodiffime inueftigandam ftella jfixa Yti , quae in ipfa eccliptica fit fita , quia eiusmodi ftellarum latitudo non alteratur. Deinde longitudo huius ftellae bis eft obferuanda eodem anno , quando ea cum fole in quadraturis deprehenditur , his enim cafibus longi - tudo obferuata a vera non difcrepat. Ita fi fnerit Tt orbita terrae, S fol et O ftella fixa in plano ecclipticae lita , obferuetur ea primum in Q cum terra eft in T angulusque OTS vel reuera redus vel proxime; deinde ob- leruetur eadem (lella cum terra verfatur in t exiitente an- gulo 0/S iterum fere redo. His flidis dati erunt anguli OTS et O^S fere redli , itemque ex theoria terrae per obferuationes corrigcnda angulus TS^, ex quibus definiri poterit diftantia S O per femidiametros orbis magni. §.59. Hac igitur ratione obferuationes ftellarum fi- xarcm fiint corri^endae ; alia autem corredione efl opiis pro obferuationibus planetarum , quippe qui non quiefcent, fed pariter ac terra circa fblem reuoluuntur. Pertinet igi- tur haec corredio ad cafum ' quartum , quo tam obiedum quiim fpeditorem in motu coUocamus. Moueatur igitur obiedum O^jn reda OV celeritate aequabiii s fpedator vero A promoueatur fecundum diredlionem AE celeritate r=r; fint autem redae OV et AE in eodem plano pofitae , quoniam haec potifiimum ad motum planetarum fiimus accommodaturi qui fere in eodem plano circa folem rotantur , in quo fita efl orbita terrae. Emittat obiedum, dum in O verlatur radium, qui incidat in oculum fpedla- Z 3 toris Tab. 111. 182 EXPLICATIO PHJENOMEnORFM QrjE toris in A conftituti , et hancobrem concipiatiir radius O F quem obiedum emifliirum fuiflet celeritate c fi in O quieuiflet , hicque radius , poflquam motum obieAi rece- pit , oculum fjjedatoris in A feriat ; hoc itaque fiet ^ fi fuerit completo parallelogrammo 0¥ :Oy zz: c : s '^ ra- diusque O A perueniet ad fpedatorem celeritate zz. ^-^p-. §60. Radius OA autem qui in oculum A celeri- tate r in diredione AE motum impingit , eundem prac- ftat efFediim , ac fi in diredione Q_A in oculum quies* centem incideret , exiflente O AEQ_ parallelogrammo, ac OA:AE='^:r; vnde eritOF: AE:OV—c:r:s. Videbit ergo fpedator in A obiedum in diredione AQ^, ideoque fub angulo ad fui motus diredionem Q^AE. Dum autem radius ex obiedo in O exifknte ad fpeda- torem vsque peruenit , ipfum interea obiedum procefljt in V ita vt fit O F : O V zi: ^ : j ex quo fpedator ob- iedum videre deberet hoc ipfo momenro in diredione AV ; difcrepat ergo locus a fpedatore vifus AQ a loco vero AV angulo Q_AV hicque angulus erit corredio ad fitum obferuatum Q_AE addenda Qiiantus igitur fit ifle angulus videamus , conflat quidem ex duabus partibus Q^ AO et OAV , quae addi debent , fi quidem motus ob- iedi et fpecflatoris tendant in plagas contrarias, vti in fi- gura affumimus. §. 61. Sit anguli Q_AE, fub quo obiecflum fpeda- tori apparet , fmus rr: m , cofinus m [a. , ponanturque li- neae OF =r AV =: ^ ; AE =z 0Q^=: r ; et AF =1 OV z=.s. Ex O in AQ_ demittatur perpendiculum Op, erit l^zz fin. OQ^A =: fin. Q^AE = m , adeoque Op — mr ec A MOTr LVCIS SFCCESSirO ORIFNTFR. iH ct Q/> = [jLr. Prodiicatur VO , donec AQ^ (ecet in ^, fitque anguli QOq ^ qui inclinationem direflionum OV ad AE exprimit yerfus pkgam AE , finus zz n , cofinus zr. y , erit ang. Oqp finus =: ?// v -f- [x w. Hinc itaque oritnr mv H- fjL« : Q_0 (r)z=:m: Oq (^jtt!^). Nunc ex V demittatur in A Q_ perpendicularis V P , erit ob triangula qOp et ^VP fimilia : ijOiOp— qV : VP ;;^:mr - ^^:^,-\-s: m r -\- s (m v -^ IJ. n). Vnde anguli Q.A V erit finus = 1.^-!!^:=»^ ^el fi anguli V q A , quem diredtio obiedi cum radio vifiuo conftituit, dicatur finus — ^ erit anguli Q^A V finus zn'^^^—^. §. 62, Confentit ifta formula cum omnibus praece- dentibus easqne tanquam cafus fpeciales fub fe compledi- tur. Namquae fi Yti cafu primo fpedator et obiedum quiefcant , tum ob r et jrzo fit aberratio n: o. Atque fi vti in cafu fecundo fpedator quiefcat obiedtum vero in diredioneOV promoueatur, tum finus anguli Q_AVfiti=: V denotante q finum anguii , quem radius vifiuus A Q^ cum diredione raotus obiedi conftituit. Denique fi ob- iedlum in quiete ponatur , (pedator vero moueatur , qui erat cafus tertius , tum fit vti inuenimus finus anguli aber- rationis Q^A V z= ^. Inteiligitur porro fi r et i fint valde paruae refpedu ipfius c , tum angulum cuius finus eft "^^^^ proxime fbre aequalem fummae angulorum , quorum finus fint ^ et V 1 ^^ ^"^ corrediones quae feor- fim cum ex motu obiedi tum ex motu fpedatoris oriua- tur , coniungere licet. 1S4" EXTUCATIO PEAEmMENORFM OVAE §. 53. Si obiecliim O iii eadem reda O V fed \Xi plagam oppoiitam 0 q progrediatur , tiim eius celeritas s negatiue debet accipi : atque angulus aberrationis loci ap- parentis a vero erit =1 ^^^—-^ ^ licet enim , fi r et j prae c fint vehementer paruae , ipfum angulum (eu arcum 1-co finus fubftituere. Fieri igitur potcft Yt aberratio evanefcat locusque apparens cum vero congruat. Hoc fcilicet eueniet, fi fuerit r '. s — q .mznOQ^.O q, Ac erit r \ sz=: AE : AF; tnde reda EF erit radio AQ_ parallela. Ponamus dirediones A E et V O concurrere in Z , erit A E : A F z= A 2 : ^ Z vel O 2. Cum ergo obiedum O et (peda- tor A mouentur verfus pundum Z celeritatibus rationem diftantiarum a pundlo 2 proportionalibus , locus apparens cum vero congruet. §. 6*4. Applicemus banc dodrinam ad obferuationes planetarum corrigenJas , quos in circulis concentricis circa folem motu vniformi ferri ponamus , ipfisque orbitas iti piano ecclipticae fitas; excentricitas enim , motus inaequa- bilitas et inclinatio orbitarum , quoniam hae res latis funt exiguae , infenfibiie difcrimen in corredioncm a motu lucis oriundam inferent. Quoniam igitur celeritates planetarum in (iiis orbitis tenent rationem reciprocam fubduplicatam diftantiarum a fole , diftantiae autem ita fe habent vt fit log. di(t. "b a O = (5,9794(5oo log. di(t. 2/ a G = 6,71(^0955 log. dift. o^ a O =: (5, 1829850 log. dili J a O = 6, 0000000 log. dift. ? a O = 5, 85953^5 lo§. dift. ^ a O = 5, 587S23S celeri- cel. 2/ c cel. cr^ c cel. i c cei. ? c ^ Morr ims svccEssivo orifnwr. j^s celeritates planetnrnm ad celeritatem lucis naturalem c ap- plicatae ita fe habebunt : c l -r^, == 4> 3782022 =: 4, 1115465 ^ 4, 0201540 = 3,9498222 ^c"dr~g "^ ^' 8i40<^5<5 Vtemur enim potidimum logarithmis harum quantitatum , quia hoc modo ipfa correclio obferuationum in minutis fecundis focillime obtinetur. Denique cum hae corredio- nes fint fitis pariine , tuto affirmare poterimus planetas , dum radii ab iis ad nos vsque perueniunt , interea in di- redlum progredi. §.65. Incipiamns a pknetis fuperioribus , fitque S "^'^g^YJ* fol, T terra in fua orbita fita atque Oo orbita planetae cuiusdam fuperioris. Obferuetur in terra T plancta indi- feclione T O , fitque celeritas terrae in diredione T E le- cundum fignorum feriem — r , celeritas planetae autem in diredione tangenris OQ_"i: noteturque pundum A quod ioli eft oppofitum. Ponatur anguii OTE,fub quo planeta confpicitur finus -zz m , cofmus ziz fx , erit ob angulum ATE redum , p. finus anguli ATO, quo planeta ab oppofi- ^ Tom. XL A a tione 2^6 E.YPLICATIO PIUENOMENORVM QVAEi tione folis A vcrftH coiifequcDtiii diftare obfenmtur , m ve- ro erit eiiisdem tiiflantiae colinus. Nunc ad itngulum Q^OT inueniendum , quem diredio rndii OT cum di- redionc motus phmctae conftituit , fit dinanthi terrae a fole TS — tf, diitiintia plnnetae a Ible OSzn^, erit bi fin. OTS[\i.)—a: fin. TOS ( ^ ) , vnde anguli T O i et fx^i.Sit nunc veriTs pknetae locus T V , verusque angulus , fub quo pla- sieta cerni deberet VTE,fuperans angulum appnrentemOTE 5inguloVTO,€rit anguli huius V TO finiis m ^- - ^ V (i- '^*-?)!^: ^ — ~ V( I - ^ ).Ex quo diftimtia planctae a loco oppofitionis folis A obleruata diminui debet angulo y cuius finus elt ~ — ~ y ( i - ^-g^- ) , feu fi pofterior termlnus priorem fiiperet , augeri debet diftantia planerae ab oppofi» tione folis verfus confequentia fumta angulo, cuiiis finus eft r V'(i-''^,'— "—. Vel, quod perinde efi , tanto angulo longitudo planetae obleruata augeri debet. %. 6"]. Si planeta obleruetur in ip^ oppofitione foli^ A , fiet [JL nz o et mzn ii vnde longitudo pianetae ob- ienrnta augeri debet anguio, cuius fmus efl zz. ^ — ^, vel cum r > j , longitudo obferuata dimmui debet angulo , aiius finus eft —^ , fm planeta in coniundione cum fole obfcruetur , fiet ?;/ :ir — i et [Ji == o , tum igitur longi* tudo obferuata augeri debebit angulo , cuius finus ed -^ i haeccjue erit maxima corredio adhibenda. Obferuetur aii- tem A MOrV tVCIS SVCCESSIVO OmVNTVR. iS7 tem plimeta in alteriitra 'qiuidriitura , tum ob ;;/ zz: o et jji zi: H- I , longitudo «planetae aiigeri debebit angulo , cuius finus eft f V ( i - g-f }. Generatim auiem haec ad- liibeatur regula , (ubtraha^eur locus foli oppofitus.a ioco pla- fietae iii eccliptica obferuatae , refiduique arcus fmus po- natur jji. , coiinus iz. ;// : tum quaeratur angHlus , Guiu& fi- «us fit j- , eiusdemque anguli cofinus ponatur z=z q : quo :lido aequatio ad longitudiiiem planetae obferuatam ad- .denda erit ^ ~ ^^ , ipfum lenim arcum loco fiaus fubfti- tmmus. §. 6S. ComputiTS autem facillime inftitnetur quaeren- So Yalores exprefllonum ^ et "^ feorfim , -quae cnm fint fnius vel miiitipla fintium , inftar finuum coiniuerari pote- iruiK. Qiiia autern angtiK iis finibus aequales quacruntiu*j fumantur tognrithnp.i quatititatiun ~ ."^f ex tabula fmuum ^h iisque aufejratur log:irithmus , 4-,.^85 574-9 ^ ^^^ ^^^^ refidui logaritkmi in tabula logarithmorum .numeroiiim riaturalium quaeratur niuiierus retpondeqs , qui dabit an- ^ulum quaefitum in -minutis fecundis. Eft autem /j ziz 4,0^0154.0 et /7 pro dato planeta -ex t-abula fuperiore •debet fumi , ?;nde -etiaui xektiG diftantiarum a et l? feu ifi'adio ^ eft petenda. §. 6^. Dum iocus folis eft 9 S, 15^, 37'', 45'^ ob- jferuatur louis longitudo 1 S, £o°^ 8^, 25 '^' quaeriturquc longitudo veim. Ante omnia autem notandum eft in cal- cnlo minuta fecunda titto negtigi pofle , quia ne minutis quidem negledis aequatio deftderata variatur. Calculus wQio iu fe habet A a i£ a iong* 18S EX?UCAT10 PHAENOMENORTM QVAE a long. 7i iS, 20% 8'' fiibtr. cp O 3S, 15% 37'' 304% 31^ =3 loS, 4% 31'' cuius fiiius jx —— fin. 55°, 29^ et cofinus ?// zn: H- fin. 34°, 31'' Porro log. b z=: 6,71 69065 log. a -iiz 6,0000000 / ^ zz: o, 7160965 l \L = 9, 9i590<59 / ^ = 9, 1998 104 = log. finus cui refpond. log. cofinus feu Iqzn 9,9944789 atque efl: Imzzz. 9,7533118 Deinde eft V- — 4,0201540 et l~ — 4, 3782022 Ergo Iq =: 9,9944789 fobtr. l\ -zz 4, 3782022 fubtr. A^ / m lubtr. / '- fiibtr. 5; 4, ^ 6162767 6855749 0, 9, 4, 9307018 e ,7533118 0201540 5, 4. 7331578 , *^'S55749 2£ ^// ^^/// 8^% 31' // ^/// I , 0475829 ergo -y = irs o '- , Tndc — ^=^^ zz: — 2'^, 3 5'^''', ex qno vcrii louis longi toto Geocentrica erit i S, 20% 8^, 22^^, 25^^-" §.70. A MOTV LVaS SVCCESSIVO OKIVNTVK. 189 §.70. Cum maxima differentia inter locum obfer- Vatum et verum eueniat , cum pkneta eft in coniundione cum foie , Yideamus quanta ea fit in tribus planetis fupe- rioribus , quibus adiiciamus corrediones in quadraturis et oppofitione adhibendas. In coniundione t? cum O differentia eft 2.6^ \ V^'' 1 In coniundione 2/ cum O differentia eft 28^^ i S^^^^j-addenda In coniun6lione o^ cum O differentia eft 3 5''^, 35^^3 In o^pofitione "b et O differentia eft iS^^S ^h^^''] In oppofitione 2;^ et O differentia eft 11^^, V^^^Kiuferenda In oppofitione o^ et O differentia ett S''^, 47'''''' 3 In qucidrat ^ et O diiferentia eft (5^/, 2.0^'^! In quadrat 2;: et O differentia eft S^'', 28^^'' Kiddenda In quadrat cf et O differentia eft 12/'^, i^^'\^ Inter oppofitionem ergo et quadrnturas dabitur locus , in quo aequatio eft niilla , plnnetaqiic in yero loco confpici- tur : euenit nntem hoc quando anguli ATO tangens ob- leruatur ^,,,^,^h) idque vtrinqne circa oppofitioncm. §.71. Reftant nobis plaaetiie infcriores nmbo VenusTab. iii et ?»lercurius , qiiorum motum npparentem vt corrigamus, fit T lo-iis teiiMe in quo h.ibeat ceieritatem r lccundum tangentem T E fuae orbitae : exiftat fol in S centro tum orbitae terrae tum etiam orbitae O Px.o planetae inferioris O. Sit femidian-ietcr orbitae terrr.e ST r=: ^ , orbitae planctae 0Sr^AS~/7, nrqiie apparent planeta fpecl::-!- tori in tern conftituto in diredionc TO fiib an^ulo OT E cuius finns ilt — /;/ , cofinus— |x. itric cnvo pbnetae elongationis a ible verfus confequentia ieu anguli OTS A a 3 fuius fis. ^. ipo EXPIICATIO THAENOMENORVM QPAE fmus ziz— IX , colliius n: m. Quiire cum in triangnlo T OS dcntur latera SO zn ^ , ST z=: a et angite STO crit b:-ixz=za: fin. TOS , feu fin. TOS = 'f , ciiius anguli cofinus erit zr: V ( i — ^^i ) qui fimul erit finus anguli TOQ_, quem radius viiiuus cum diredionc motus planetae conftituit^ §.72. Exprimat s celeritatem planetac, quam hihct fecundum diredionem tiuigentis O Q_ orbitae fuae , qui mo- tus vti in figura repraelentatur , cum fit motui terrae contrarius , verus pknetae lociis erit in direcflione T V an* gulum maiorem cum T E conftituente , quam diredio apparens O T , ex quo ad locum planetae in eccliptica obtoatum ,nddi debet angulus OTV cuius fmys fit zz: — -^- i-y i^ — ^?)' Qiiare a loco planeme in eccli- ptica obferuato fubtrahi deber locus folis., arcusque refidui cofinus ponatur zzz m ; finus ve^^o zzz p. fme afErmatiuu$ fiue negatiuus fit perinde eft. Tum quaeratur afl^ulus , cuius fmus fit = ^ , eiusdemqiie cofimis ponatur z:= ^ ^ quo fado ad longitudinem planetae obferuatam addatur angulus ^ -^- T ; prodibitque iongitudo planetae ver$ geocentrica ; ac vera planeta,^ elongatio a fole. §.73. Haec ita fe habmt , quando planeta fub di* redione TO vifus magts a tej:ra remotus eft qiiam fol ^ sc loco B pofl: folem in {m orbita eft propior ; ac curta planeta in eadem diredione T 0 conlplcitur ,5 propior au^ tem terrae eli quam fol , tura alia correcflio eft inflituenda^ Hoc enim calii angulus Toq , quem diredio vifa cum /^edione motiis 0 q confdtuit , acqualis ^quideni .eil angulo A MCfTV LVCIS SIVCESSIVQ ORIVNTVR 191 TOQ,, tt qiiia aleritas 0 i/ confpirat ciim motii tcrmG eric anguliis oT^v , qiK) long^tiido apparcns aiigeri debetzi: §. 74. Mftxima crgo aequatio locum habet , qunndo planeta port folen in B confpicitur , tum enim m~i et |x~o, vnde longitudo apparens nirnis eft parua angulo ~-f-^. In altera autem coniundione qua planeta redle intra folem et terram confpicitur , longitudo obler- vata diminui debet angulo l — t y q"'a j > r. In maxi- ma vero planetae elongatione a fole viia , quae proxime contingit cum |J-' = i (eu p.'i::i ^ et w— V ( i — ^ ) • erit aequatio jongitudini obferuatae addenda n ^ V ( i - ^ ) ; quae crgo cum planeta in orbitae fuae femifie AOB verfiuur ad elongationem a fole obferuatam addi , at cum plane- ta in altera femiffe deprehenditur fubtrahi debet. Cum igitur vera elongatio maxima eueniat cum anguli V T S finus fit \el + I vel — 7, fit tum anguli apparentis O T S finus zr [x cofinus zr. m , erit [x -|- ^ V ( i — ^)z:z — Qi^zz. \ — j-(i — ^); in altera autem elon- gatione maxima verfus D fict fji — ~ -f-^ (i - ^ ). ma- gis igitur a fole elongari obleruabitur vcrlus D quam ver- fus C. §.75. Obferuatus fit mercurius in eccliptica 4 S ,, 19% 31', 15'% dnmfolefletin 3 S, 27', 14^55?^'', ntque tum mcrcuriis longius diftet a terra quam fol. Qiiare a longitudine ? 4S, 19**, 31^ Hibtrahatur locus O 3 S, 27", 15^ reilduum oS , 22** , i<5'' ^ ^i crgo jpfi EXPLICJTIO PHAEKOMENORVM OVAE crgo mzzdn. 67*, ^^^^, et jx ^n fm. 22', kj^. Poro erit addatur 1 IX, = 9 > 5785450 l a ziz 6 ^ 0000000 fubtr. / b 15,5785450 = 5,5878232 Hinc fit / q iiibtr. /| — 9,9907218 zz 9,3106849 zz 3,8140656 auferatur 5,4900193 4,6855749 ergo f dabit 6^-', Cum iam fit / m fubtrah. }f 0, 81 10444 = 9,9^<^3437 liir 4,0201540 auferatur 5,9461897 4^<^855749 J , 2600148 •vnde ^ praebet 18''^, 13^^''. Qiiocirca longitudo obferuata augeri debet angiilo ~-|-'^^- :zi24'''^, 41'''. At fi mercurius terrae propior fuiflet quam fol , in eadem autem diredione appaniiflet , tum ad iongitudinem addi deberet ~— ^ zz: n'^'', 45 ^''^ §. 76. Aequationes autem veneris et mercurii in con- iundionibub atque elongationibus nnaximis ita fe habent. In A MOTV irClS SFCCESSIFO ORlVmFR 193 Aeqiiatio Iii coniundione fuperiore ? ct O. ^'^.^^ 50^^'' ? In coniundlione fupcriore "^ et O. 51^/, 2o^''/| Iii coniiuctionn infcriore ? et O. 3^^, 2.%^^^! In coniunclione inferiore *$' et O. n^'' , 5^^''^ 3 In elongationc max. ? et O. 13^^, 30''^'' 7 . jn elongatione inax. V et O. 18''^, P^^'^ 1 Opc rcgularum itaque hic traditarum obfcruationcs tam (lellarum iixarum quam planetarum ab iis erroribus , qui ex prop:igntione lucis ruccelliua oriuntur, poffiint liberari , earumque loco vera fiderum loca geocentrica quidem de- finiri. Neqne \ero in liis determinationibus multum in* ter eft vtra hyj.totheris propag:irionis lucis afliimatur, cum diRrimen oriatur inletifibile. Ceterum fi lux vel celerius vel tardius propagetur , quam hic airumfimus , cmnes aber- rationes in cadem ratione debebiint vel diminui vcl au- geri. Dcnique fi inx tempore opus habet definito, quo per datum interuailum transuehatur , nullum fyflema miin- di , in quo terra immota ponitur , confiHere poteft ; k\ qnod noiium ell argumentum pro hypothefi Copernicana, Tom.XL Bb METHO* 194. ^nm^ METHODVS FACILIS COMPVTANDI ANGVLORVM SmVS AC TANGENTES TAM NATVRALES Q^VAM ARTIFICIALES AVCTORE Leonhardo Eulero, §. I. Expofui anno pmeterito methodum inueniendi valores eiusmodi expreffionum , quae fuit produdla ex infi- nitis fadloribus certa quadam lege progredientibus , eaque methodus deduda erat ex formulis integralibus , quarum integratio a fe inuicem pendet. Nunc autem , cum nu» per expofuilfem modum fummandi huiusmodi feries cx eo nadus fum commodam atque aptam methodum quam plurimorum produdorum , ex infinitis fadoribus con- ilantium , valores determinandi , eiusque beneficio mihi licuit innumerabiles iftiusmodi expreifiones definire , quae per alteram mothodum vel omnino tradluri non poterant, vel faltem tam expedite et concinne non abfoluuntur. Qiiod negotium, quo clarius ob oculos ponatur , in fequentibus problematis fum complexurus. Problema. i. §. 2. Inuenire valorem huius expreffionis per conti- nuos fadores in infinitum progredientis. 1-1- MFTH. FAC. COMPFT. ANGVL. SINFS AC ij>s I^P 4-^^ 9-^P J(^-^P 2^,-i-p 7.^-^p gj-f. ' 1 • 4 • 9 * 16 • 25 ' 36 * ^^^' Solutio. Pomtiir huius expreflTionis propofitae valor quaefitus iz: Sy et fumtis logarithmis , erit /j- ^n / ( i-}-p ) + ^(i-l-r) + ^(i4-|')+^(^+T?)+/(i+5|)-J-/(i4-.?)+etc. His igitnr logarithmis per feries notas expreflis habebitur /i zz -f- I - f -4- f - r -H f - f -H etc. ^f-^ + 3^~£^ + £^-£^ + etc. ^ i^ - ir;^ -H 3.,6J — ^.,6+ -+- T^ 6m6« -t-etc. etc. Sumantur difFerentia .; eritque -^=: I -i) + / ^f^p^^f + etc. -t-i -?.+ ?.'-?/ -Frs*-?^ -4- etc. H- |-|»-H?3-f:-i-f:-fJ + etc. -^ h- i^-i-t^-tU-^tU-tU + etc. etc. Cum nunc hae feries omnes fint geometricae , iummari poterunt, hacque hd:o prodibit Huius autem feriei fummam nuper exhibui *, vnde fi cir- culi cuiiis diameter =i i , peripheria ponatur ir: tt erit ^^, erit dpznzqdq y atque aequatio inuenta abibit in hanc Bb 2 i?S ip5 'METH0D,FJCIL.C6MPFT-ANGFL sinfs Cuius integrale eft l s = IC - i:q-lq -^- l(e''"^-i ) feu ^ ' ^ ^ ' - ^ *- 11 , vbi conftantem C ita determinari oportet , vt pofito p vel qzzo fiat /j- zz: o. At fado <^ zz o , fit e^'^^ — i zi: 2 tt^ , ideoque l s zno zzL IC — iiq — lq-\-liiiqzz. lC-\- / 2 tt, ergo C =r i^. Confequenter expreffionis propofitae 4_4_f i,-+-p 1P-4-P 25-4- f> 3£-|-p ^^-TrVi^-I .5 • 3. • etc. valor erit =1: ^^-7^- Q: ^- ^- Coroll. I. §.3. Qiiodfi loco p ponatur 4/>, habebitur ifta ex- preflio : i-4-4p i~hP g-H^^ 4-f-j> 2^-H^j> ^"t-f , etC. I * 1 * p • 4 • 25 * (P ^47rVi5_j cuius igitur valor erit ^-pwf~yp'- Coro]]. 2. §.4. Cum iam in hac expreflione praecedens con- tineatur , diuidatur haec per illam , prodibitque ^>i-£p 9-4-^l> 2J-t-^i> ^g-t-^J' pfp I • 9 • 25 • 4P * cuius proinde valor eft ~~^^/p • CorolL ACTANG, TAM NJTFR. OVAM ARTIFICIAL, 19I CoroII. 3. §. 5. Hinc igitilr nancifcimur valorem huius expreflio- nis propofitae affinis : i"t-j> 9r±^ a5-HP ±9_-+-p 8i-4-i> gj.^^ quippe cuius Yalor erit zn ^ i^y^— . huius fcilicet valor erit :i:: ^iTrvi) Coroll. 4. §. 6. Diuidatur per hanc ipfa expreffio propofita , fiet 4 • 10 • 36 • 64 • 100 • ^*"^' Coroll. 5. §•7. Si nunc expreflTio §.5- per exprelTionem §. 6".' diuidatur , prodibit haec forma 1-+P * SH-P r6 25-hP _35_ I \ 4-+-i' • p * 16^-^ • 25 • seH-iJ • ^*-*- cuius valor erit == ^t^v^- • Coroll. 6. §. S Si fumantur binae huiusmodi leries , atque alte- ra per alteram diuidatur , obtinebuntur fequentes Himma- tiones. .^, .^p ,^p ^ ^^^ _.'v,(,,^,)y^ Bb3 i±| ip8 METHOD. FJCIL. COMWT. ANCFL 5INVS ,^, .^, ,^ ,^ ^^ _(^'''±l}^!!!zil^ »d-P 5-*-i> ^''-^-P ^tr - '- A^P »6-4-? tj±p ..^ -J . L_i §•9- Ex folutione igitur huius primi probleraatls con- lecjuiiti fumus valores eiusmodi produdorum infinitis frac- tionibus contentorum , quarum tam numeratores quam denominatores funt qnadnita vel numerorum omnium in ferie naturali prpgredientium , vel imparium tantum vel parium , eaque datis numeris auda. Cum igitur iftius- modi fadores in fimplices reales , qui arithmeticam teneant progreflionem , refolui nequeant , iftae fummationes methc- do iam ante expofita abibiui non poterunt. At viciffim hinc non intelligitur , quinam prodituri fint valores , fi vel p vel q negatiue accipiatur ob exponentes tt Vp et ^y^, qui hoc cafii fiunt imaginarii. Qiiamobrem hos cafus in fequenti problemate euoluemus. Problema 2. §. 1. Inuenire valorem huius expreftionis per conti- nuos fadores in infinitum progredientis » — f> A- P 9 P if P 15-— P 36 p ^ I • ♦ • 9 ' l6 • %S ' 36 * Solutio. Ponatur valor quaefitus n: j , eritque logarithmis fumendis, His AC TANG. TAM NATFR. QVAM ARTIFICIAL. 199 His Yero logarithmis in feries conuerfis habebitur : * J I » 3 ♦ s ^^^' — * 2 4* 3..^ — 4 +♦ 5..S etc. etc. Sumtisque dii!erentialibus prodibit ; ^ == -+- i+p -4-/ -i-/ -4-p* -H etc. -}- |-l-|*^-l-|'/-l-?/-f fs-h etc. -4- ^ -I- f^ -H ?.' -i- ?*' -i- 1»' + etc. etc. Qiiae (eries cum fingulae fint geometricae , fummae illa' rum loco fubftituantur , hincque erit At iftius feriei fummam nuper elicui,quaej fi fubftituatur , orietur ds_ , j _ —2L^P___ sdp ^p 2p-tang.\-n-\/p Sit commodi ergo pzz.qq eritque s q iang' A "nq q jUTrx iTq Quoniam nunc eft d . fin. A . tt^ zz 7:^^ cof A . irq ^ erit intcgrale aequationis inuentae , IQ — Is — lq — Hm. A . izq ; conftante autem C ita de- finita vt fado p \el qz=z.o euanelcat Is prodibit /C =: lq-li:q — -H. Quocirca erit ^ =: ^7^7^ ^JTZlh^p hincque ,=:z^-^i^ fiue » '4 '5 '16 •2; • ^'•^* 71 Vp Q. £. I. CorolL I. 200 METHOD. FJCIL. COMPVT. ANGFL. SINFS Coroll. r. §. II. Qiiodfi loco p ponatLir 4p, habebitur ifta cxpreflio : cuiiis valor erit - ^^,^ ^rz ^^^/^'^^. Coroll 2. §. 1 2 . Diiiidatnr Iiaec feries per illam , prodibitque ^ . '-^ . '-rf ^ • etc. - cof. A.mVp fiue ^-^. ^. ^-if^.etc. =z cof A.^. CoroII. 5. §. 13. Cum iam rit '-^ . —^ . '-^ . '-^ . etc.rr fin. A . mVp 2 fin. A i iiVp . coi'. A . l 'nVp TiVp — ■ IPVp ^^^^ . A . ^ . * a (in, A . i TT V/) 4 — P 16 — p Z6 — p 6^ p ^ Z L. CoroII. 4. §.14.. DiuiSatur per hanc expreffionum pniecendens orictur. I — p _± P— j^ _^_ 2_5^ t6 I • ♦ — p • 9 ' l6~p * 25 ' 36-^ mVp ttc. cuius valor erit zr 2 tang. A 3 TT yp* Coroil. AC TANC. TAM nATVR.QJ^AM ARTIFICIAL, tot Coroll. 5. ?. 15;. Si (iimnntiir binae huiusmodi fcries , eanim- qne alteni per alteram diuidatiir , obtinebuntur (equcntes fummationes. V^fin. A. TT Vp ^^^ — V p i\n. A.i^Vq y p tang. A. lnV q etc. — V ^ rangTAT ^ tt V /> cof A. 5 t: y /> • ^^^- ^ col. aTT^T^ 4— ? • i^ — p 16— q «~f 4-? 4— P • srr.P 9—q ' U—q lO — p r— <2 • 9—p 9—i ' .,~P ^9—q ♦—9 ' r6^P 16— q Z6 — p 3 6 — q 6.~i ■ +6—^ . etc. V ^fm. A. ^ TrVp Vyfin. A. i 71 V ^ §. ioooi<^044,ii8478735982i87255o^ — ^. o,, 0000035988432352120853404-5 80' -^;^ . o, 0000000559217292196792681 170» — i»s». O3., 0000000006688035 1098X1457225; Gg 3 . ^ iS>6 METHOD. FACIL. COMPVT. ARGFL. SIWS — 17 o , ooooooooooo5o5(J93573i io(Ji95o m'^ 15 m-' o, 000000000000043770654-6731370 -f-^. o, 0000000000000002571422892855 — ^T . O, 0000000000000000012538995403 ^n^^' 0> COOOOOOOOOOOOOOOOOOO5I 564550 m»7 — ^?-. o, 0000000000000000000000181239 -t-iJTjp • O, 0000000000000000000000000549 m3i -^pr-. o, ooooooooooooooc 000000000000 1 Atque fimili modo eiit cofinus arcus ^ 90 grad. :z: -j- I , ooooooooocooooooooocoooooooo m* — ■^^ • 1,2337005501361698273543113745 H-5" • 0,2536695079010480136365633659 m'. o, 000000000065659631 1497947230 — ^. o, 0000000000005294400200734620 , m'© •4-^ . o, 0000000000000034377391790981 — „Tr . o, 0000000000000000183599165212 •^-^»*" ' o, 0000000000000000000820675327 — ^ag- . O, 00000000000000000000031 15285 o, 0000000000000000000000010165 Quo- '-^ , 0,000000000000000000000000002(5 AC 7ANG. TAM NATFR.QJ^JM ARTIFICUL.^o^j Qiiocunque igitur angulo propofitu, eius mtio ad 90° eft primum quaerenda, quac fit \t ;;/ ad n , qua inuenta, fi in his formulis fiat lubrtitutio debito modo , reperietur tam fmus quam cofinus anguli propofiti. Q. E. I. §.:lI. Qiiodfi igitur ponatur ^ =: i , prior formula dare debebit finum totum == i , quod vt appareat calcu- lum fubiiciamus. H- I, 57079632(579489(^519231 32i69i(J — o,64.59(540975o(524.(5253(55575<5563(S -H 0,92483^2292886503(555755(551280 -I- o , 0796926262461670451205055487 H- I , oo45248555348i74-io<^9^o7o6767 — 4681754-1353^86881006854633 -+- 0,9998431013994987225953852134 -}- 160441184787359821S726605 I, 000003542584286082417257S739 35988432352120853404-580 o, 9999999437410508703319174159 569217292^96792681x70 I , 00000000066278009001 I I S55329 <568 803 5 1098 II 46722 5 0,99999999999397^^57903003 8 o 104 6^0669357311061950 I , OOOOOOOOOOOO043514761 1450054 437706546731370 20 S METnOB. FACIL. COMPinr ANGFL, SINVS -I- 25714.22892855 -I- 1,00000000000000000124.87(511539 -- 12538995403 -}- o, P99P9PP9P99P99PPPP9P4-S<5 161 3 (^ -H 515^4550 H- I , OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOl8C(55 . o, 00000000036^51 -4- 7^21- . o , 0000000000405 m 2J 7l23^ . O, 0000000000045 m*« -7^^ . o ,, ooooooooooooa D d 3 cuius fti4 METHOD. FACIL. COMPFT. ANGVL, SINVS ciiiiw fbrmulae ope tangentes in fra^lionibiis decimalibus ad 12. figuras facile computari poterunt pofito fuiu toto zi: I. Quod fecundo ad cotangentes attinet , erit iisdem pofitis cotang. A . ^ 9o°=r ^, ^ ^^ ( ^,.^^^^^ -4-7.^^-i-etc.)^ feii cot. A . ^ 90** :=:: ^ - ,-^ ( i -{- iH-l -f-iV + etc. ) " TP? (i-i-|«-f-5*H-Ti« 4- etc. ) - ^fcii^-^h-^-h-i-i^t -4- etc.) -.■S^(iH-|*-v-i*-hm H-etc. ) etc. Additis autem terminis primis erit 4,01. A . ^ ^O jji^ zn—m ' -g ^n-f-nt • tq - il^. I (|-t-^-i-T'.4-5V4-etc.) - ^4- ^ ( I* -M» H- 15. H- A*-f etc.) "" ns^ ' i» ( ^* 4- 55 -H 15 j -j- s j»-h etc.) etc. At tam (erierum loco fummis liibftituendis , quam loco q Yalore debito , obtinebitur m ^ , n -£m-o,3i8309885i837 -,■^.0,31830988^1837 ~- .0, 2052888894145 — -^r .0,0065510747882 — ^^. 0,0003450292554 — ^.0,0000202791060 — ^ .0,0000012366527 AC TANG. TAM NATFR. QFAM ARTIFICIAL. 215 o, 0000000754959 jiT . Oy 0000000047597 — ^5- . o, 00000000029(^9 — ^-7^.0,0000000000185 m'9 — ^- . O , OOOOOOOOOOOI I Huiusqiie fbrmulae ope cotangentes angulorum omnium po. gradibus minorum expedite reperiri poterunt. q, E. I. $. 26. Qiianquam ex datis anguli finu et cofinn eius- dem tangens et cotangens inueniri pofliint , tamen diuifio, quae adhiberi debet , plerumque nimis molefla efle folet. Qiiamobrem formulas hic datas multo aptiores efle merito arbitramur ad tangentes et cotangentes quorumuis angu^ lorum inueniendas. Vt autem veritas harum regularum perfpiciatur , eiusmodi exempla tangentium et cotangen- tium euoluamus , quae per fe fint cognita. Quaeratur ita- que tangens anguli femiredi feu 45° , quam conftat efle aeqnalem finui toti feu i. Erit igitur mzz 1 et nzz2i vnde termini prodibunt fequentes addendi : o, (53(5(5197723(575 0, 21220(55907891 1487783910298 . 233<^o8 12847 575773501 15435943 423784 11724 325 9 1 , OQOOOOOOOOOOO Tti ai6 METHOD. FAClh. COMPFT AmVL SINFS. vbi iii additione vltimae columnae tres Ynjtatcs funt ad- iediie , quippe quac proditurae fuifie cenfendae funt ex fequentibus columnis , fi afruiffcnt. Ceterum ex formula manifeftum eft tangenttm anguli YtCti fore infinitam ob n—mzzio. Pro cotangente fumamus excmplum anguli redi , cuius cotangens eft zz: o. Cum igitur expreffio noftra cotangentis omnes terminos praetcr primum habeat negatiuos addamus terminos negatiuos feorfim , qui ob m zz:nzzzi ita fe habebunt. o, 31830988(^1837 o. 1061032953946 0,2052888894145 (^5510747882 3450292554 20279io(5o 12365527 754959 47597 185 II 0,5355x97723675 Terminus autem affirmatiuus , a quQ haec lumma auferri debet eft 0,5^55197723575 ita vt cotangens anguli redi adu reperiatur ziz o. §. 27. Etfi autem haec , quae de inuentione finuum et tangentium attulimus ex feriebus meis nuper expofitis confequuntur , tamen eaedem hae fbrmulae ex aliis iam dudum cognitis feriebus deduci potuiflent. His igitur re- liais JCTJnC, TAM NATVR.QyjM JRTIFICIJl. 217 lidis grogredior ad ea , qiiae hiiic methodo fummandi fe-? ries func propria , atqiie modum docebo facikm inucnien- di logarithmos finuum , et tangentium quorumcunque an- gulorum ; qui eo magis eft notatu dignus , quod logarith- mos fiue finuum fiue tangentium praebeat , fjne praeuia ipforum finuum ac tangentium cognitione. Cum autem logarlthmi fint duplices, vel naturales feu hyperboiici , vel decadici , in quibus logarithmus 10 poniiur := i , vtriuS'» qiie generis logarithmos hic inuenire docebo. Problema. 5. §. 28. Definire logarirhmum tam naturalem qnam confuetum fiue finus fiue cofinus angiili cuiuscunque pro- pofiti. Solutio. Ex paragr. 19. capiatur pro logarithmo finus inuenicndo exprefiio haec fin. A.^qziz-q, —^- . -7^ — . -^^ . etc. quae in logarithmos conuerfa ftatim dat Km.A.^^ = /^ + (i ^)-+-/(i^) + etc. Quaeratur primo logarithmus naturalis (inus anguli ^ ^ feu ^ 90** , eritque logarithmis per feries exprefiis /fm.A.^^^/^-+-/^ - \u^[ H- H- H- A + etc. ) - ;t^ ( I H- :J^ + l^ 4- iV^ -t- etc. ) , -i^(H-^ + l* + m + etc.) etc. Tom. j^L Ee - 11 S METHOD, FACIL. COMFFT, ANGVL. SIWS - rrr» ( I -H 5 -H iV -f- .1 -H etc. ) *" 8^7^ ( i* -4- 1« + 15» -f- ri» + etc. ) -jT!Tl(i54-5» + T5X-h5W4-etC.) -4"^('U + 5* + TU4-5s*-*-etc.) etc. Qiiodfi niinc loco harum feriemm dimmae proximae fub- ftituantur. eaeque ptr coefficientes numericas multiplicentur prodibit /fm.A^po^— iq—ili — :^ln'-\-lm-\'l{2.n-'m)-\-l[:Ln-^m) — n*^ • *^j Ioi2335i67i205<5<5o9ii8i0379 *^ ^ • O, 002572(50I05347,'^O<^84.84-R^5Ti fn^ ^ ^ ^ — — . o, oooo90328447835<^72<^02(J7978 771» -•^ . o, ooooo398i793i<52055oi892449 mi<> ^ , , — ^. 0,0000001942529545519(5979531 o, 0000000100132874881204548(5 o, 00000000053404135(^18987888 771'« 7i'0 21 ^x, . 0,000000000029148.59(558937808 77l'» , o, oooooooooooi(5i7979797787o(5 o, 0000000000000909769090531 I o, 0000000000000051(582754587 — ~^l . o, 0000000000000002960770778 — ^ . o, 0000000Q00000000170813 -~ ^2 8' • 0)0000000000000000009913 — ^j * • 0,0000000000000000000578 — J," • o^ 000000000000000000Q034 qui JC TANG. TAM NATf^R.QVAM. ARTIFICUL. ^ip qui termini pofttemi etfi non eousque (fint confeinuati ac priores, tamen poteftate vlterius porriguntur nifi fit ~3z ic Dat autem haec fbrma logarithmum hyperbolicum fuius anguli ^po^ pofito finu toto =:i eiusque logarithmozno. Debent autem pro hoc negotio etiam numerorum 2,«,w, ^n — tn et ^n-^m logarithmi hyperbolici accipi, itemque ipfius q y quem fupra indicauimus. Hac vero ipfa mc- thodo poterit Iq accuratius exhiberi. Quodfi enim po- natur mz::i et n:^2. erit /fm. A. 45^z=: /;^ — — 4/2 ; feriemm vero fiimmae additae conficicnt vt fequitur, 0,04030837917801415227952595 160787555 8420(5^78030459 141 13819974323 8441^587 I55538795392774i7<57 I 8970015 10273 1425 2444(55026555441 3259529761901 44477228683 617210311 8676234 123221 1765 ^5 > H II ■ I -■III o, 040470593871911038344^5527 qui vator ponatur tantisper m a eritque /^rzia-h^/a — 1/2— /3 — /5 efl vero E e a i/a 220 METHOD. FACIL. COMPVT. AmVL.SlWS |/2=r3, 1191^231^51975389237754454 /31111, 09861 22 8866 8109(591 395 245 25 l Sz=:i, 6094.3791 243410037460075935 |/2-/i5=:o, 41111211141754382638153993 g— o, 04047059387191103834465527 /^ = 0, 45158270528945486472619520 /2Z=0, 693 14718055994') 3094^2321^ IzqzzLi, 144729885 84940017414342732 qui eft Yalor pro logarithmo hyperbolico ipfiuj) tt , quem fupra minus acciirate §. 18. definiuimus. Quare .fi ille "valor loco Iq fubftituatur, facili negotio logarithmi hyper- bolici finuum quorumuis angulorum reperiri pbterunc, \bi hoc tantum efl: monendum , numerorum 2 , ;» , w , 2 w — m et 2 /2 H- 7/2 logarithmos quoque hyperbolicos fumi de- bere ; qui vel facile computantur \el paflTim computati reperiuntur. Ex logarithmis autem hyperbolicis inueniun- tuE logarithmi communcs , fi illi multipliceutur per o, 4342944819325182 Fiat igitur liaec multlplicatio , et tum addatur 10 , eo quod in tabulis ordinariis logarithmus finus totius poni ^O' let — 10 , quo fado erit log. fm. A. ^ 90° ^l[2n-^m)-{-I{in-m) -A- Im" ^ln H- 9? 5940598857021 8017 — ^. 0,07002282660590191 — ^*- . 0,00111726644166184 — -r. 0,00003922914645391 — ^ . 0,00000172927079836 0,00000008436298629 TTlJ ^i**. 0,0000000043487155*3 AC TJNG. TAM nATFR..QJAM ARTIFICIAL. 221 — -i;r. 0,00000000023193121 171 ' * ' ' ' ^ — -16-. 0,00000000001255907 — ^ . o , 00000000000070268 "~ ^* 0,00000000000003951 77(22 — -20-. 0,00000000000000224. — ^24-. 0,00000000000000013 Huiiis igitur expreffionis ope loganthmi finuum ad duo- decim atque etiam plures figuras computari pote- nint : fi quidem ~ fit 000000002904544.(57239 — ^iT". O, 00000000028^82(539518 — ;^s^ . 0,000000000002891 -4- -24: . o , 000000000000294 •-4-^-. 0,000000000000030 H- ^«T . o, 000000000000003 Huius exprelTionis autem negatiuum dabit cotangentis «n- guli -^ 90° logarithmum hyperbolicum. Haecque expref; fio magnam afferet vtilitatem in Hydrographia , in quani ab Halleio iogarithmi tangentium funt intro8udi. §.30 Simili modo logarithmi vulgares tangentium hinc inuenientur , erit fcilicet log. tang.A.?9o» = /^^ + /:^-/^ -+- 9) 594-059885702190 -4-;^ .0,031472032735990 +,.^ .0,002070027523789 + ^i^ .0,000170255553553 ^^ .0,000015119077799 ^ ;^ . O, OOOOOI39583IOOO H- ^ . 0,000000132153550 -f-„Tr .0,000000012749783 ■^ n^' O, OOOOOOOOI2488IS + AC TJNG. TAM NJTFR. QVJM JRTIFICIJL. ^^i ^ ^r* . O, 000000000 1 23 Sd'^ ^ —jo .0,00000000001 24.1(> ^^ -„ . o, 000000000001256" o, 000000000000128 m^* m'6 -5tf . O, 000000000000013 ,28 -t- 1?» . O , 00000000000000 1 Qiiodfi hinc quaeratur logarithmus tangentis anguli 45, graduum erit 72z=. 2. et w — i , fietque fumma feriei 0,0078(^80081839977 1293767254.858 26502602119 590588975 13631152 322640 778a 191 4 o, 0080001056257721 logarithmi vero numerorum naturalium funt ' /5=0,5989700043360188 — /2 ZH O, SOIO^^^^^^^rj^SlI 05 3979400086720377 addatur 9,5940598857021902 Tom. XL Ff 9i ±26 METHOD. FACIL. COMPFT, AKGVU SIWS 9,991999894374^279 itemque , 0,00^0001056257721 10, OOOOOOODOOOOOOOO ^ qui eft logirithinus tangentis anguli ^.^.grad. §.32. Qiodfi quis igitur voluerit tabulas (inuum et t ngencium eciriimque logarithmorum computare ad duo- decim figuras in fratftionibus decimalibus, dum tabulae v(ii receptae eas tantum ad (eptem figuras exhibent • is fequen- tibus regulis vti poterit. Propofitus fcilicet fit angulus -^ 90. graduum erit. iui.A.Z90°--^'i . 1,57079^326-794.9 0, (J4.5 964.0975052 + n* • 0, 07969262624.61 m^ — V • 0,004681754.1353 0, 0001604.4.1 184.8 m'* 0, 0000035988432 0, 0000000569217 m'5 '"' n'« • 0, 0000000006688 0, 0000000000061 cof, A . ^ 90' =3 -4- I , 0000000000000 m* I, ^:^37^^ssoi:i6i -h9 • 0, 2536695079010 0,0208634807633 1 m» H- n» • 0, 000919260274S — ^o. 0,0000252020424 ACUNG.TAM. NATTR.QVJMARTIFICULiii ^- ;^ . O, 0000004710875 — ^ . o, 0000000063865 '^n^r ' ^» 0000000000656 — -iT . O, 0000000000005 m «ang. A.~90 ==: jjz:;?! . o, 6366197723675 -h ,7.0,29755^^7820597 ^ J^. 0,0186886502773 -f- ^- 0,0018424-752034. H- ^/-.0,0001975800714 -H ^^* .0, 0000216977245 -I- ^r .0,0000024011370 ^ -,s .0,0000002664132 -4- ^r .0, 0000000295864 •4- ^,— .0,0000000032867 -4- ^*- .0, 0000000C03651 H- ^ -o, 0000000000405 -f- ^ .0,0000000000045 -j- „-2s .0,0000000000005 cot. A. m 90° =: n m ' 0, 6366197723075 — 771 2 77; — n .0, , 3I8309886I837 - m .0, , 3I8309886I837 -^ m n .0, 2052888894145 — 771* .0, 00^5510747882 Ff5. 22 s METHOD.FACIt.COMPFT.AmFl.SmFS — ^ .0,00034-50292^554 — ^7- .0, 0000202791060 — ^p .0,00000123(56527 — ^1^.0,0000000764959 •771 « 5 — ^^T-r .0, 0000000047597 •m'5 ^ — 1^.0,0000000002969 771 17 — -,T- .0, 0000000000185 — ^VV . O, OOOOOOOOOOOII log. rm. A. ?90° — /(2;2-+-;;/) + /(2;2-;;/)4-///i~3/;? -+- 9> 594-059S85702I — ^.0,0700228266059 — ^ . o, ooiii7-<^<^44i<^ — ^ . o , 0000392291464 — ^ . o, 0C00017292708 ■— ^'^ . o, 0000000843629 — ^ . o, 0000000043487 — U^ . o, 0000000002319 -^^lr ' Oy 0000000000126 — ^iV- . o , 0000000000007 log, cof. A. ^ 90"* :=: 10 , oooooooo5oooo -4- /(«-f-;;0+^(«-«^)-2//» AC TANG. TAM nATVR.QT'AM. ARTIFICIAL. ssp -^ . o, 101494.8593419 — ^ .0, 003i87ii940<^54 — ^^ .0,0002094.858000 — ^ . o, ooooi^848348 ^^ ^uo fequitury 'altitudinem celeritati adluali , qua aqua per foramen X erumpebat , debitam fuilfe ziz 2557 part. Erat autem altitudo ipfi ac]uae ilipra foramen in vaie AG 1^:3738 , vnde apparet , quod alias cognitum ell: , quod celeritas adua- iis aquae enimpentis p!ane non refpondeat altitudini aquae fupra lumen. Qiioniam nunc indagari debet pondus cy- lindri aquei corredi , hoc efl: , cylindri aquei , cuius balis^ cfl area G M , ob euitatam per tubulum venae aqueae_. contra(5lionem , et altitudo ziz 2557 part. Sit hunc in ti- fi'^. 2,' nem vas ^ cuius aqua repleti pondu^ examinaui , ajSy^J^ , atque enmt pondera , aquae in hoc vafe contentae , et aquae cylindro corredlo comprehenfie , inter le vti volumina ho- nim cylindrorum , ob denfitatem aquae vtrobique eandem , hoc eft, vti Pv^afHad GM* 2557. Ex qua analogia itiuenitur pondus cylindri aquei corredi — 850 | Gran. et huius duplum — i^oiiGr. quae eft ex Theoria vis ve- nae aqueae contra orbiculum O P incurrentis. At vero datum ia K pondus tolale , quod P vocabo , fuftinet inxab. iv, G g 3 fuitu %• ^* ft38 DE VI VENAEAOVEAE mNTRA HI {tiitii acquilibdi impetum iti X fiicflum aequalcm vnde ex obfeiuuione colligitur hic impetus = 1403 ^ Gr. ex quo fequitur, Iheoriam excedere pundus in Ex- perimento obieruatum 297 1 Granis • quodfi autem fequa- mur Theorinm reiedam , ea pro pondere praebet 1245 Gr. quare haec deficit a pondere in Experimento obfer- vato 160 Granis. Fuit etiam in hoc Experimento pro- minentia tubi extra vas maius , nempe G Y zz: 21S part atque diftantia orbiculi O P ab extremo tubuli Y:zzi;^$ part, EXPERIMENTVM 11, Inftitutum fliit die 3. lunii , atque in co vas maius , fcnlter aquam femper affiindendo , conftanter plenum fuit ftruatum , tubus vero E Y vtrinque breuior fa Aus eft. Tum inueni diftantiam Z L rz 4608 part. Y Z rz 205 s , pondus totale in I appeniiim 1549 Gran. H I — 2095^ G M z:: 89 ; pondus vcro aquae cylindrico vafe a^y$ ^ontentas retinui quale illud heri repereram, Ex his ita- que fit altitudo debita celeritati aquae in X exfilientis zi: 2579 part. pondus cylindri aquei corredi zz: 8^0 Gran. et huius duplum zz: 1720 Gran. Colligitur vero ex obferua- tione impetus in orbiculum realiter 0(flus zz i4<:>3 Gran. ynde Theoria rurli^s pondus in Experimento obferuatum fxcedit 257 Grani^. EXPERIMENTVM III, Feci die 5. Ipnli vafe maiori copftanter pleho fer- Vato , uibi verq prominentiam G Y. plane abicindi curaui ^ re^inulque folam G E. Atque tum inueni diftantiam NL ^4-75S part. MN e medio fbraminis GM fumtam ^ goj3 ^ poncjus totale in X appenfum z^ 1549 Gran, Tl'ANFM mcmRENTIS EXTERIMENTA. ^35 H I -T ^ 1 27 , G M :=:.8 GMn: 85, TX:r:2i88, pon-' dus aquiie cylindncae , cuiiis diameter 128 ,altitudo 278,0 erat 190 Gran. Ex quibus emergit altitudo debita cele- ritati aquie in GM exfilieutis m: 2478 part. , ponduscyv lindri aqnei corrcdi z=: 764 Gran. et huius duplum — :- 1528 Gnin. Colligitur autem ex obferuatione adlualis- impetiis in orbiculum OP fadus zn 1403 Gr. vnde rur- fus Tiieoria pondus ab experientia indicatum excedit 125 Granis. EXPERIMENTVM VI. Sumtum eft ab ipfo Clar- Bernoulli , et in laiidatifli- ina ipfins Diflertatione delcriptum , cuius circumftantias ad meam Figuram referam. Erant itaque ZLm 900 part. quanim 4.00 faciunt pedem Parifinum ; Y 2 zn 900 part. pondus in I appenfum dicit fuiflfe paulo maiusquam 1020 Gran. fumam ergo 1021 Gran. Erat autem iii ^cdt- ipfi adhibito HlrniTX; et GMz=:i9 part. pondus' aquae cylindricae , cuius diameter 92 et altitudo 131 part , erat 122 Drachmar. -vel 7320 Gran. Ex his emergit al- titudo debita celeritati aquae iibere exfilientis ir: 225 part.- pondus cylindri aquei corredi =: 53^ Gr. huius duplum zz: 1072. Gbferuatio vero ipfa dedit impetum aquae in orbiculum z:i 1021 Gr. hinc Theoria etiam tum pondui ;ab experientia indicatum exceifit 51 Graais. DE OBSERVATIONES METEOROLOGICAE- 1738. INSTITVTAE A Georgio fVolffg. Krafft, §. I. DLirante hoc amio 1738. obferimtae fiierunt a me altitudines Barometri fingulis menfibus maximae et ininimae fequentes : maxima miuima diff. 1738. lanuarius — 30- ^- — ^8. $$ — i. 6*7 Februarius -- 30. 67 — 28. 26 — 2. 4.1 Martius — 29. po — 28.99 — 0.91 Aprilis — 30. 15 — 29. 20 ~ o. 95 Maiiis — 29. 98 — 29. 31 — o. ^7 lunius — 29. 78 — 29. 38 — o. 40 lulius — 30. 04 — 29. 22 — o. Sa Auguftus — 30.02 — 29. 15 — o. 87 September — 30. 21 — 29. 38 — o. 83 Odober — 30. 78 — 28. 90 - i. 88 Nouember ~ 30. 74 — 28. 90 — i. 84 December — 30. 27 — 28. 75 — 1.52- ?.bi quidem rurfiis , numeri ante pundum pofiti denotant partes duodecimas pedis Londinenfis , hoc efl: , poUices Londinenfes ; numeri autem poft pundtum pofiti fignifi* cant horum pollicum partes centefimas , vti in praece* dentium annorum obleruationibus fa^um eft. Tom. XL Hh §. «: fl4« OBSERFATIOmS METEOKOLOCICAE. §. 2. Apparet ex his altitudinibiis Barometri , earum fnaximam hoc anno fuifle die 3 1 . Odlobris , in perfeda ferenitate aliquot dierum , fpirante fiicili Euro , cum fri- gore mediocri ; quia vero hacc altitudo maxima illam ,quae praecedente anno i737 obferuata fuit , nempe 30. 95 , non excedit -. haec adhucdum mnxima omnium hic loci obferuatLirum manet. Minima autem Barometri alti- tudo hoc anno fuit 28. ^(^ , quae extitit die 23. Febr. coelo nubilo aliquot dierum , \ariante vento , vt pluri- jiium tamen flante Au(ko . frigore adhuc mcdiocri , et "ihulta cadente niue. Q\\<\t igitur minima altitudo huius anni , cum antea inuentam , nempe 28. 18 fuperet : ma- laet adhuc idem fpatium variationum Barometricarum praecedente anno ftabilitum , nempe 2. 77. Atque id quoque , quod in praecedentibus obferuationibus Barometri- Gis iam obferilaui , etiam hoc anno confirmatur ; varia- tiones nempe menftruas in primis ct vltimis anni menfi^ bus efle maiores, minores autem iii mediis. Quam ip» fam obferaationein ftabilitam quoque deprehendo ex alti- tudinibus Barometricis Telone Martio (Toulon) in Gallia obferuatis, atque a Rev. P. Dii Chatelard ad Clarifl*. De risle miflis, ^. 3. Sequentem adhiic annotationem , quamuis ma- gni momeriti non fit , tamen non puto plane contemnen- dam. Ex fiibltaneo lapfu vel alcenfii mercurii in Baro- inetro ventos oriri notum eft ; cum hoc indicio fit fub- latum efle aeris nolki cum vicinis regionibus aequilibrium. Sin itaque aer omnino quietus hac ratione commouendus, quorum aflrumam medium 580 didorum milliarium , quae in parallelo 60 graduum efiiciunt quam proxime dififeren- tiafn OBSERVJTIONES METEOROIOGICAE 24^ tiam miridianornm Petropolitani et Kirengenfis 5^ p^ Quibus praemonitis fcqucntia deduxi cx iftis obferuationi- bus Corollaria. §.13. Primo quidem Kircngae altitudo maxima Ea- rometri in hoc quadrimeftri tempore fuit partium miilefi- marum pedis Regii Paririenfis 2770 Decembris 10, 1737,' coelo fereno per aliquot dies. Minima autem fuit Dccem- bris 25, 1737, ct Februarii 14, 1738, nempe 262"^ di^ftarum partium , coelo niuofb , et flante Zephyro cum vi fumma , vtraque vice. Harum aititudinum difFerentia , fiue variatio Barometri quadrimeftris , ergo ibi fuit 143 partium earundem. Hic vero loci obleruata fuit eodem durante tempore variatio Barometri 2 fla pollicum duo- decimaiium pedis Londinenfis , qui coincidunt cum 224 partibus millefimis huius pedis , quae , pofita ratione inter pedem Parifinum et Londinenrem vti i5 ad 15 , effici- •vnt 210 partes miilef pedis Parifmi. Itaque in hoc fpa- tio t|uadrimeftri variatio Barometri Petropolitana maior fuit quam Kirengenfis. §. 14. Secundo maximum frigus Kirengae obferuatum fuit die 9 lanuarii 1738, notante Tliermometro Delis- liano gradum 275 , qiii congruit cum Fahrenheitiano — 118, fiue 118 infra o ; quod frigus fanc ingens fuit ; cum omni adhibito artificio , ope n^miriim fpiritus nitri adeo frigefadli vt gelari inciperet , Fahrenheitianum Ther- mometrum non potuerit magis deprin)i quam ad gradum 40 infra o, vel ad gradum 210 noflri Tliermometri , vti apparet ex Elmentis Chmiae 'Boerhaitianis pag. 16 z Tomi I. Tom.XL I i §,15. &S0 OBSERfJTlOKES METEOROLOGICAE. §.15. Tertiiim eft , quod in eodem Thermometro Kirengenfi proriiis inexipedatiim accidit , mutatio nempc ndeo llibita , vt afcenliis mercurii oculis diftingui potuerit. Nam Nouembris 27 , 1737 , crat illud Thermometrum tempore matutino in gradu 218, tempore meridiano in gradu 270 , qua obleruatione vix confignata cum denuo accurreret Clar. Gmelinus ad Inftrumentum , iam illud no- tabat 2.6$ , et continuo ipfo praefente et adftante altius afcendit , donec poft effluxum femihorii oftenderet ip5 , et vefperi hora 11 monftraret 1^6. Eodem hoc tem- pore ventorum mutatio fequens obieruata fuit. Die No- -vembris 25 definebat fpirare Boreas , diebus 26 et 27 nuUus erat \entus ; d. 28 vero hora 4 matutina flare coe- pit Aufter cum vi fumma , fecutae funt eodem die niues minutae humidae , cadente Barometro , incaluitque aer poft aliquot dies Yfque ad gradum 163. Idem hoc phae- nomenon accidit quoque 1737 Decembris 11 , vt nempe Thermcmetrum circa horam 3 p. m. tempore 13 mi- nutorum primorum a gradu 252 fubito et continuo mo- tu afcenderit ad gradum 210, hoc eft per 42 gradus» Venti eodem quo antea modo fe habuerimt. Erat enim diebus 9^, 10 , et 11 » nullus ventus > die yero 12 pri- mo mane exoriebatur vehementiftimus Zephyrus , Baro- metro cadente , et infequente tempeftate calida aliquot die» rum vfque ad gradum 16^, §. 16. Huius quidem vtriusque incon(uetr phaenomc- ni caufa ex eo mihi deriuanda eflfe videtur , quod in vtro- que cafu Yehementes et fubiti venti exorti fiierint. Cum enim durante primo afceniii , hoc eft , Nouembris 27 ho- ja XI p. m. pullus "ventus fj^limt , et deinde poft me- diaxu OmERVJTlONES METEOROIOCICAE. 251 diiim nodlem inlequentem procellofus Auller infurgeret : concludere licet , hunc ventum e tcrris Ycrliis Auftrum fi- tis egrelTum iam tum initium fumfiffe cum praecipiti afcen- fu Thermometrum variatum fuit , atqne primum quidem acri Kirengenfi vicinonimque regionum magnam vim va- porum humidorum et calidorum infudiffe , qua is fiibito in- caleicebat ; hac itaque vaporum accumulatione aeri per- mixda Thermometrum multo citius afFedum fuifle , quam motus ipfe acri Kirengenfi potuerit imprimi , vt et is omnis eadem diredione et celeritate , quam incurrens aer, tandem latus fuerit , quod poft 5 circiter horas demum fidum eft. Idem de altero cafu iudicium ferri poterit , quo aliquot poft phaenomenon horis vehemens 2ephyiais exoriebatur. Cum enim eo , et multis praecedentibus die- bus conftans regelado Petropoli , et fine dubio etiam in locis Kirengam inter et Petropolin iacentibus fentiretur : etiam hoc cafu fieri potuit , vt excitatus in loco occiden- taliori ventus fubitus aerem Kirengenfem maxima humi- dorum et calidorum humorum copia inundauerit , atque ea afcenfiim fubimm Thermometrorum prius efl^ecerit , quam violentus is motus toti aeris Kirengenfis maflae con- ciliaretur. §•17- Qu^vto vt aliqnid etiam de rntione dire<^io- nis ventorum in tanta diflantia 580 milliarium Germani- corum innotefcat , apponam eorum aliquot exempla : Kirenge Petr-poli Odobris Nd- 10 - W 4 — W 4 14- W 4 — 0 0 lio - W 4 -, 0 0 S4 - W 4 « Ws li s. i$z OBSERfJTlONES METEOROWGICAE, Noiiembris i8— W4— Si 20 — W 4 — S 3 Deceinbris 19— W4— O2 23 — W 4 — . O 2 24 — W 4 — O 2 2(5 — W 4 — 00 Ex his dednci poted: , probabile efle dari qiiandoqiie Ze- phyriim , qiii ex hac reglonc noflra Yfqne ad Kireugam ^ et multo lon^ins , continno tradn feratur , adeoque millia- ria fordm 600 ant fbo peruagetnr , quod ex Odobris 10, 24, apparet. Illnd enim praetereo , qnod in tan- to locornm intcrnailo diuerfi et diredione et impetu ven- ti exiftere pofluit , quippe quod in locis etiam multo mi- nus diftantibns laepiffime obiernatum fuit. §. 18. Qiinto , qnod phaenomennm die 5 Decem^ bris 1737 apud nos confpicuum in Diario Meteorologi- co praecedentis anni retnli , rubedo nimirum coeli incon- fucta , et multorum fpedatomm animos terrens , de qna etiam in Nonis publicis mentio facfla eft , viiam eam fuifle aliquibus in locis flmul cum globo igneo in aere difrupto : eius iam caufa vera , quae eo tempore in fnlpi- cionem tantum \eniebat , nunc nobis conftat. Cum enim rnbedo haec fortilfime appareret apnd nos circa horam 10 noclnrnam , hoc efl: , in tempore Kirengenfl die 6 De- cembris circa horam 3 matutinam , (§. 12.) refert Ciariflf. Gmelinns die 6 Decembris hora circiter i poft mediam nodem ibi vifam fnifie magnam Auroram Borealem , ru- bro colore ludentem , et radiis fere in ipfnm Zenith ele- vatis ; tertatnr vero flmul , plagam occidentalem , licet ml- Us radlis , diredis fcilicet , reflexi enim non impedieban- tur j OBSERVATIONES METEOROLOGICAE. ii^S tur , aut arcii lucido conjplcua fuerit , Juce tamen nejcio quadam inconfueta oculos feriiffe. Similis rubedo vifa fuit hic Dccembris 22 ; led Kirengenfe coclum nubibus ob- tedum fuit , adeoque eandem caulam , Yti etiam hic fa- dum efl:, nebulis abfcondidit. Similis rubedo coeli , Orta ex eadem hac caufa , obleruata fuit Vpfaliae , anno 1725 d. 8. Odobris, ft. v. memorante Clariff. Er.Burman in hOiis Literariis Sueciae ad annum 17^7 P- 255. §. 19. Sexto denique nefcio annon nimis fim audax, fi ex comparatione Ob(eruationum Kirengenfium et Petro- politanorum aliquid de ventorum celeritate (tatuere velim. Anno 1737 d. 10 Odobris mane hora 8 notatum apud me reperio Zephyrum cum violentia 3 , cum praece- dens vefpera a ventis plane quieta fuiflet. Ponam itaque ventum hunc apud nos coepifle hora (S a. m. coepit er- go in tempore Kirengenfi 11^9^ a. m. led diferte nota- tum eft a Clar. Gmehno , incepifle ibi furere Zephyrum violentia magna 8'' 30'' p. m. cum antea ventus modi- cus efliet ex plaga Cephyro-Auftrali. Sin crgo ponam eun- dem ventum noftri aeris continuo motu illuc delatum eflle , fequitur abfoluta efl[c ab eo 580 milliaria Germ. tempo- re 9^^ 21'': Efficiunt autem haec 580 milliaria Werftas 4o5o , hoc eft pedes Londinenfes 14210000 ^ergoftan- te hypothefi noftra idem ventus fbrtiffimus fpatio vnius minuti fecundi abfoluit 422 pedes Londinenfes , quod fpa- tium eidem tempori debitum communiter non nifi 50 pedum Authores ftatuunt. I i 3 OBSER. OBSERVATIONES METEOROLOGICAE ANNI 1739. AVCTORE Geor^io PFoIfg, Krafft, Carrente lioc anno i739 obferuatae fuerunt a me alti- tudines Barometri fingulis menfibus , maximae et minimac , fcquentes , in quibus numeri ante pundlum po- fiti denotant partes dnodecimas , fiue poUices , pedis Lon- dinenfis , numeri autem pofl: pundum pofiti denotant ho- rum poUicum partes centefimas , quam diuifionem in prae- cedentibus quoque adhibui obferuationibus J73P lanuarius — 30 . 01 — 28 . 4S — i . 55 Februarius — 29 . 88 — 28 . <^o - i .25 Martius — 30 . 13 — 28 • ^8 - i • 4? Aprilis — 30 . 09 — 29 . 05 — I . 04 Maius — 30 . 12 - 29 . 18 - o . 94 lunius — 29 . 80 - 29 . 08 - o . 7a lulius — 29 . 80 — 29 . 31 — o . 49 Auguftus — 29 . 87 — 29 . 30 — o . 57 September — 30 . 21 — 29 . 05 — i . 16 Odober — 30 . 24 — 29 . 4$ — o . 79 Nouember — 30 . 08 — 28 . 77 - ^ • 3i December — 30 . 3^ — 29 . 23 — i . 13 OBSERyJTIONES METEOROWGICJE sls^ f. 2. Apparet ex his altitudinibus Barometri earum maximam hoc anno fuifle 30. :^6 , quae obferuata fuit die 7 Decembris in perfeda (erenitate aliquot dierum, fpirante leni Auftro-Euro , cum frigore fummo ; quia ire- ro liaec altitudo maxima iliam quae anno 1737 obferua- ta fuit, nempe 30.95 , non excedit ; haec adhuc dum muxima omnium hic loci obferuatarum manet. Minima autera Barometri altitudo hoc anno fuit 28. 48 , qua& extitit die 6 lanuarii , coelo nubilo aliquot dierum , flan- te adhuc leui Auftro-Euro , frigore mediocri. Qiiae igi- tur minima altitudo liuius anni cum in praecedentibus an- nis inuentam , nempe 28. 18 , liiperet : manet adhuc i- dem fpatium variationum Barometricarum , antea ftabili- tum , nempe 2. 77 : funtque adhuc variationes menflruae in primis et vltimis anni menfibus maiores , minores au- tem in mediis. §. 3' Aiiroras Boreales hoc anno obferuaui feqiientes* X73P lanuarii ip in perfedla &renitate adcrant vefligisi lucis Borealis aere tranquillo ^ qmm nubes tenues fecutae funt. si in aliqua ferenitate iterum aderant vefli- gia tantum lucis Borealis , aere tran- quillo , quam iterum nubes fecutae fue- lunt, Febrr 16 in aliqna ferenltate aderat lux Borea , trabe rubra vna , et quibusdam ahis al- bis confpicua-, fubfequente perfeda fe- Kenitater I73P iS^ OBSERFATIONES METEOROLOGICAE. I73P Febr. 25 in perredla ferenitatc , poft niuem tur- bulentam conlpiciebatur lux Borea , ar- cu pallido 5 fed Yirgis et faculis prae- dita , flante \iolento Borca-Zephyro et continuata ferenitate. S.S iterum in perfeda (erenitate apparuit lux Borea debilis, flante vehementi Borea-Zephyro , et manente ferenitate. Martii i erat luX Borea , yirgis inordinatis lu- dens , in perfeda lerenitate , flante Ze- phyro fequente niue copiofa. i in perfeda ferenitate , vefperi oborta , ' apparuit lux Borea debilis, infequente niue. 3 denuo aderat lux Borea debiiis , in per- feda ferenitate , flante Auftro , infequen- te nebula infigni. 4 adhuc apparuit lux Borea debilis , in perfeda ferenitate , flante forti Auflro , et infequente niue turbulenta. 18 apparuit lux Borea nubibus permixta , Ratisbonae quoque Yifi , teftantibus no- ■vis publicis , flante admodum tenui Euro. 30 in perfeda ferenitate , flante forti Bo- rea , apparuit lux Borea , confufis vir- gis in Zenith alcendentibus. Aprilis £0 in (erenitate fere integra , flante tenui Aufl:ro , confpiciebatnr lux Borea , in toto Horizonte , praeter eas plagas quas crepufculum occupat , virgis afcendenti- bus manifeib. 1739 OBSERrATIONES METEOWLOCICAE t^j J73P AugulU 17 in perfedla (erenitate , fpirante nuUo \ento , apparuit lux Eorea furtis , quam nubes et pluuiae infequebantnr. flo icerum in perfeda ierenitate acerat lux Borea humilis. Si6 in multa ferenitate aderant \eftigia Lucis Eorealis- ap Veftigia Lucis Eorealis in ferenitate pei- feda. Sept. 12 in perfeda ferenitate comparuit lux Borea, mult s Yirgis oblongis , et pro- pe Zenith polum formamibus , con- fpicua. 16 veftigia Lucis Borealis , itifequente prui* na et leuiglacie. 1*7 lux Borca mediocris. Dec. 22 fante forti Borea Zcpbyro , internubes vila eft lux Borca , antecedentibua praecedente die corufcationibus yerfiis Auftro-Zephynim , et infequcnte niue. i3 lux Borea in perfeda (erenitate. §. 4. Frima congelatio fada eft hoc anno d. 6 Cdo- bris , coelo nubilo , nullo vento (pirante. Contigit ergo haec prima congelatio diQ plenilunium infequente, et in quo (iniul erat o O "b. §. 5. Maximum frigus huius anni incidit in d. 7 Decerr.bris , monftrante Tiiermometro m.eo in libero aerc hora 10 nodurna 188 gradus , fiue i3| gradus frigoris Thermometro Fahrenheitiano , in perfeda (erenitate ali- quot dierum , fiante leui Auftro-Euro. Praetciea quoquc Jom. XL K k d. J 55 S OBSEEFATIONES METEOROLOGICAE. d. 5 Fcbniarii frigiis ita intenfum regnabat , Tt fpiritiis vi-' ni Gallicus ordinarius , per nudlem libero aeri expofitiis , cralii foiti glaciali obduceretur , infra quam cruftam reli- quum Cpiritus quafi coagulatum erat , inftar cerae moUis. § 6. Tonitrua hoc anno autiita foerunt diebus fe- quentibus : Aprillis 2,6 die nouilunii , cum pluuia fubita et brt li , flante tenui Auftro-Zephyro. Maii 7 cum pluuia fprti. lunii 23 cum imbre (ubito et forti , flante leui Zephyro. lunii 27 fine pluuia et vento. lunii £9 cum pUuiia forti. lunii 30 pkiente adhuc coelo. lulii i3cum breui pluuia , Augufti i cum pluuia modica , Augufti 25 ciim imbre Idngo. Decembris 21 corufcationes folae ver- fus Aullro - Zephyrum animaduerfae (lint , fiante forti Zephyro , in fcqucnte fimul altero die luce Eorea. Primas quoque hirundines , \t etiam hoc adiiciam , \idi Apri- lis 30 , acre exiftente perfede fereno , et ad gradiis 4^ Thermometri Fahrenheitiani calentc f . 7. Pluuias et ISliues aeftimatione tantum perpen- dens , inuenio , in hoc anno dies 45 integros pro plu- uiofis et niuofis eflc habendos , atque menfium habita ra- tione lunium pluuiarurn fuifle feracifllmum. Fluuii nofhi ISIeuae tumorcs experti fiimiis lulii 10 flante vehemcnti Auftro - Zephyro et Odobris 2,6 flanteleniter eodem vento. §. 8. Ventos vehementes experti fumus diebus (eqnen- tibus: lanuarii 5. 25. 26. 27. 31. Febr. i. 2. 13. 14. x6. 18. 22. 23. 24. 25. 2.6, 28. Martii 5. 6. lo. 12. 15. 19. 30. Aprilis 2(5. 17. 18. 19. 22. 27. Maii 2. 3. 8. 14 19. 22. 25. 27. 28. lunii 4. 14.. lulii 5. 10. 14. 15. 28. Augufti 9. II. 20. 22. 23. Sepsembrib 13. §0. O^^Qbiis J. 8. ^. II. 14. a?. aS. *^' Kouembris 15. OmWJmNiS MmOTiOLOCICAE. ^s^ t^. 16. 17. 23. ^4. 1$, Decembris s. 10. 11. la. 19» ai. 22. 24. Procellas aiitem Februarii 14. Martii 6* Aprilis 17. 18. 19. Maii 28. lulii 14. Odobris 11. §. 9. Cum lulii 24 huius anni efTet Edipfis folif \ifibilis apud nos fere totalis , 1 1 nimirum digitorum , durante illa attendi quoque Jad Tliermometrum et Baro- metrum atque iienribilem in vtroque mutationem depre- hendi , quam lequenti laterciilo ob oculos ponam : p, m. — 123 , o — 2p. 6^ ^ 122 , o — 70 Inkium — ^ I— 122 , o — 70 — 122 , 8 -' 7<^ 123 , o -» 70 Med. — 122 , 7 — 70 — 122, 8 — 7^ — 123 , o — <^8 — 123 , o — 6S Finlfi — 124 , o — OTIDIANA , PER INTEGRVM AMPLISSIMVM IMPERIVM RVSSICVM , INSTI- TVENDA , CVM MAXIMO SCIENTIAE METEORO. '^ LOGICAE EMOLVMENTO. AVCTORE Ceor^. ^olffg, Kraffu §. I. Tab, IV. 'VTondum elapfiim efl: feculum , ex quo celebrls ille Gue* JLA rikius , obfcruata cafii quodam mercurii in tubo To- ricelliano inconftanti altitudine, anfam praebuit Barome- trorum obferuationi quotidie inftituendae. Eft enim is primus qui detexit hanc altitudinem mercurii in tubo To- ricelliano fuftentati , et libero aeri expoiiti , indies mutari, et confequenter per hanc altitudinis fuae mutationem in- dicare , quod variis temporibus et diebus vario etiam pon- dere integra aens atmofphaera premat telluris fuperficiem. Qiiam primum itaque elegans hoc inuentum orbi erudito innotuit , fadum eft , vt quam plurimi his obferuationibus quotidie cum cura inftituendis Mcite incubuerint , ita vt carum catalogus hodie in ingentem cumulum accreuerit , ct quotidie adliuc maiora capiat incrementa. §.2. Circa idem fere tempus ad malorem etfam perfe(flionis gradum eueda fuerunt Thermometra. Haec, vti notum eft , a Cornelio Drebbelio , Batauo , primum inucnta , fed multis naeuis adhuc laborantia , ab Acade- micis SCnEDlASMA LE VENTORFM etc, f,&% fnicis Florentinis emendata fueaint. Quoniam itaque et in his libero aeri expotitis mutatio infignis linguls ciiebus obferuata fiiit : accellit priori Barometrorum oblernationi etiam horum Thermcmetrorum infpedlio quotidiana , quae' effecit , vt hodie non minori Thtrmometricanm quam Barometricarum ob(eruationum numero gaudeamub, in \a- riis terrae locis inftitutarum. §.3. Praetereo reliqua Inftrumenta , quae ad aeris Boftri atmofphaerici "varias et mutabiles qualitates depre^ hendendas fucceflTu temporis excogitata fiierunc ; qualia lunt Hygrometra , quae aeris humiditati aut ficcitati ; Mano- ir.etra , quae eiusdem aeris denfitati vel grauitati Ipeci- iicae , quam quouis tempore tenet, cognolcendis inferuiunt; quorliim pertinent quoque Hyetometra , quibus pluuiarum cadentium quantitas , Anemometra , quibus ventoium fpi- rantium vis et vehementia , aeftimari et menfurari foJent; quoniam ea partim ob ipibrum imperfe eorumque motibus ineft inconftantia , quam tamen feliciter hodie ad cet-ris et conftantcs leges reuocarunt Aftronomi ; cuius euen- tus , qui illuftris CAeiT.pii loco in hoc noftro negodo efle poteft , niiUas alias reperio rationes , quam quod i . fide.- rum obferuationes ab antiqu^ftimis temporibus ad noftram aetatem peruenerunt ; 2. cura maxima habetur in Inftru- mentis ad has ob(eruationes Aftronom.icas inftituendas ex- adiifime elaborandis ; 3. Regum et fum>morum imperan- tium et iufllis et clementia liuic Scientiae prouehendae fe- re nunquam defuerunt \ 4. Oinnium obferuitorum Aftro- nomicorum in toto terrarum orbe eft quidam quifi mu- tuus nexus ; quo deuincli inter ie magnam quandam fo- cietatem conftituere Yidcntur , quae in vno eodemque fto- po obtinendo coniuncftim laborat. Ad horum mcdiorum primum quidem recens aetas fcientiae meteordogicae , et eius quaft iuuentus , hodie nos non admittit ; in fecundo defiderari quid pofle, quod fuudamentis faltim Mcteorogno^ fiae ponendis magis fauere poifit , vix video ; tertium ve- ro et quartum nulla aetate atque in nulla regione fperari atque exfpedari conftdentius poteft:, quam in. hac iioftra , qua muniiicentia Auguftae Imperatricis noftrae , atque iufli- -bus etiam et exhortationibus Eius ad fublimia et hadcnus incognita quaeuis inueftiganda non inuitamur tantum in- dulgentiflime , fed quoque excitamur. §. 7. Qiiod itaque maximum in Mcteorognofui adhuc Tom, XL L 1 fuper- t66 SCHEDIASMA DE VEKTORVM etc. fuperefl:,et votis tot Viroriini hodie perfpicacifrimornm ex- petitiim atqne peroptatum iamdiu fuit : id Imperio Rufli- co , eiusque Dominatrici Potentifllmae relidlum effe \ide- tur , fauentibus huic negotio et Auguftae munificentia , et Imperii huius minim extenfi amplitudine. Cum igitur tempeftates omnes , aut aeris et coeli temperies , fint vel Statae , ycI Vagae , quarum illae innuunt generales mut^ tiones aeris quae telluri noftrae accidunt ob varium Solis erga nos fitum , vti dum apud nos generaliter menfibus Decembris , lanuarii et Februarii frigore et niue omnia conftringuntur et teguntur ; menfibus autem aeftiuis calor redit ; hac vero fignificant intenfitatcs , harum mutationum generalium , modo minores , quibus accidit , vt ex. gr, vna hyeme laeuius ftigus regnet , quam altera ; vna aefta- te remiflior calor fentiatur , aut pluuiae copiofiores cadant quam altera : atque apud omnes fcientiae naturalis autho- res in confeffo fit , praecipuam , et fere vnicam , harum tempeftatum vagarum caufam pofitam efle in Ventis in- que horum vehementia et qualitatibus reliquis ; nefcio quid ad Meteorognofiae (cientiam ftabiliendam conducere magis poflit , quam in ampliflimo aliquo regno , quale eft Ruffi- cum , inftituta ex animo deliberato , et per annorum ali- quam feriem continuata , Ventorum Obferuatio , vel potius Hiftoria. §.8. Proponam itaque methodum , cuius ope obfer- «ationes hae ventorum inftitui pofllint , ita vt vtilitas , quae exinde quaeritur ; adu ipfo obtineatur , et temporc quidem , vt fperare audeo , non nimis diuturno , fed quin- que aut lex tantummodo annorum. Seligo igitur ad hoc opus Vrbes duodecim totius Rufliae fequentes : i . Riga , 2, Peters- SCHEDIASMA LE VEmOWM. etc. 161 fi. Perersburg , 3. Mofcau , 4. CaHin , 5. Aftrachan , 6. Tobolski , 7. Kiof, 8. Archangel , 9. lakutskoi , 10. Se- Jinginskoi , 1 1 . Wergoiinskoi , 12. Nouogrod ; atque has quidem eum in finem , vt primo Zephyrus et Eurus ob- ' feruari poflmt in tribus Terrae paralielis , perque tradtus longidimos, nempe in parallelo 50 graduum in Kiof et Selinginskpi , per fpatium (J17 milliarium Germanicorum ; in parallelo 5 8 graduum in Riga , Petersburg , Nouogrod , Mofcau , Cafan , Tobolski , Wergolenskoi , per fpatium ^73 milliar. Germ. deuique in parallelo ^4 graduum ia Ardiangel et lakutskoi . per fpatinm 390 milliar. Germ. fecundo , vt Aufter et Aquilo obferuari queant per vrbes Aftrachan , Cafan , Mofcau , Archangel , per interuallum 270 milliar. Germ. Sunt igitur hae Vrbes allegatae com- modiifimae, vt mihi quidem videtur , in quibus et Ob- feruatores conftitui , et Inftrumenta mox indicanda locari > oportet. §.9. In qualibet deinde harum vrbium obleruationi- bus inftitnendis accommodanda erit talis aliqua domus , quae et altiffima reliquarum fit , et recens adhuc aedifi- cata , et fatis iirma , ne metus adefle poftit , fore vt ali- quot annorum fpatio corruat , vcl linea meridiana, ibidem ducenda , fenfibili aliquo angulo mutetur ; quae et fimul in loco aliquo totius vrbis editiftimo ilta fit , liberum ho- rizontem habeat , ita vt , venti fine vllo impedimento ad eam ex omni plaga affluere poffint , et cuius altitudo fu^ pra proximum fluuium fciatur. Qiiam ob caufam , fi quaedam harum vrbium nominatarum montibus cin(flae fint , neceffe erit ipfas omittere in hoc negotio , atquc eius loco eligere pagum aliquem proxime fitum , in quo L 1 2 domus a 'producere, aut Yero fi motus iam adfiierit , eum immu- tare et alterare Yalet. Ex ad:ione igitur Potentiarum. io? ' obiedum aliquod oritur aut Motus , cum nempe \na po- ' tentiarum applicatarum reliquas fiiperat ; aut vero Aequi- Ubriwn fiue Qides^ cum nulla potentiarum appHcatarum reliquas vincere poted , fed cuiuslibet adio ab adionibus- teliquarum impeditur. De illo , Motu fcijicet , agitur in; liechanka ftride fic dida ; de Iioc vero , Aequiiibrio nempe aut Qiiiete tra^latur in Statica vel Geojiatka y quemadmodum quibusdam lianc fcientiam , ad didinguen- dam eam ab Kydrofiatka , vocare placuit. Mallem vero^ dici , Staticam agere de aequilibrio potentiarum y quani' de quiete fimpliciter. Qiiies enim potius dicitur de ob- ie<^o motu carente ob hanc rationem , quia nulla planer potentia in illud agit ; pbieda autem in Statica tanquam a potentiis , quanquam impeditis inter fe , afFeda conll^ derantur, quae potentiarum inter fe impeditio vocatur Aieqiiilibwum. ObieOis itaque ia Statica coi^deratis. pa- lyiS&ERT. DE MACHINIS SmVlICIBVS t^i tlus coniienit aeciuilibriLim qunm quies ; quamuis hanc diftinc* tionem non adeo mngni momenti e(fe lubens confitear. f . 2. Pmecipuam Staticae tradationem abfoluunt Af<7- ehinae iic didiaQ finplices ^ Tel Fotentiae Mechanivae ^ quae in condrudionem machinarum compofitarum omni- iim ingrediuntur , ita vt harum quafi Eiementa dici pos- fint. Qiiamuis autem hae machinae fimplices , humanam quippe audaciam mire iuuantes , iam ab antiquis tempori- bns fiierint admodum excultac , et recentiori hac aetate vfu quotidiano praecipue enitefcant : duo tamen funt, quae defideranda in iis , meo quidem iudicio , yideri polTunt. §.3. Primum e(l , quod diuifro et enumeratio ea- rum ab antiquis tradita hucusque retineatur , neglecla ta- men ea ratione , qua a priori , folo ratiocinio , inueniri potuiffent ; vnde fit vt tenebris nefcio quibusdam obfuii- dantur , neque enumeratio eanim perfeda , demonftratio- nibus ex Statica petitis , hucusque inftitui poffit , \ti Geo- metria ex gr. elegantiffime hoc praeflat circa quinque cor- pora i-egiilaria. Statiiit quidem Vitruuius Archited. libro X. cap. I . homines antiquiflimos a motu planetarum, prae- cipue Solis et Lunae , qui in oculos eorum Lnciurit, oc- cafionem arripuifie , machinas inuenicndr, arrepta nimirum exinde idea motus circularis , cuius viituti Aridoteics om- nem Staticae facultatem attribuit. Sed nimis remota et difficilis haec caufa eft \ et potius credi debet fola expe- rientia fortuita adiutos primos homines , quod praecipue circa vedem vulgarem contingere potuit , in cognitionem machinarum lenfm fenfimque veniffe , atque tum hanc dodrinam vtilitati et commoditati generis humani mirum m modum fauentem fubinde vlterius excoluifle. ±^6 DISSERT. DE MACHINIS SIMPUCIBFS. §. 4r Alteriim , quod machinarnm fimplicium tra(fla- tioni adiiuc decffe video , elt particularis atque exada de- lcriptio regularum Cunei , qui pro vltima harum machi- narum ordinarie habetur , et cuius naturam ahi in Vede, alii in plano inclinato quaerunt , diuerfiirimasque exind« ratrones potentiae ad onus , vel refilkntiam fuperandam , in ftatu aequilibrii eius , protrahunt. Cauia huius confii- fionis nulla alia videtur efle , quam quod ab Authoribus , qui de eo fcripferunt , non primum in abftrado , ad fi- militudinem veAis , conftderatus , et deinde demum , legi- tima cautione adhibita , ad findenda ligna , et alias cor- porum circumftantias , applicatus fucrit ; ita vt elegans et fimpliciftima haec machina , in folas mercenariorum et baiulorum manus quafi detrufa , nefcio quo mucore ob. duda et contemptu negleda iaceat. His duobus defide- ratis itaque praefenti fcripto lucis quantum potero affun- dere conabor. §.5. In potcntiarum , obiedo cuidam applicatarum , aequilibrio , quotiescunque accidit vt potentia vnica minor cum altera vnica maiore aequilibrium feruet , vocatur illud obiedlum Machina , et quidem Machina fmplex , fi ob- iedum illud fit vnicum. Potentiarum vero huic machi- nae applicatarum minor more confueto votatur Vis , maior autem Onus. Vitruuius 1. c. definit machinam , quod fit colledlio materiae bene iundae , cuius ope grauiflima o- nera leuari poffunt ; fed , optime notante Perralto in no- tis Verfioni eius Gallicae fubiuncflis , materiae cuiuscunque confideratio exulare debet ex confideratione machinarum , praecipue fimplicium. Obieda igitur , quibus potentiae noftrae debent applicari , exuta fint oportet ab omni ma- teria \ BISSERT, DE MACHimS SIMFLICIBFS. 277 teria ; extenHi tamen pleriimqiie debent efle , vt in di- uerfis eorum locis potentias qncdnt recipere. Erunt igitur extenfa omni miiteria deftituta , Iioc eft , quantitates Geo- nietricae , lineae nempe liiperficics et corpora Geom.etrica, non exclufo etiam punclo. §. 6. His obiedlis Geometricis applicari poteft po- teutia \el Yna ; quae vcro ciim motum neceflario direc- tioni fuae conuenientem producat , Machinae inueniendae , quippe quae aequilibrium requirit, inutilis plane erit. Pof- funt porro adhiberi potentiae duae ; ied de his notum eft ex Staticis , quod aequilibrium gignere non poflint , nifi fmt in diredum contrariae et aequales. Ceflat igitur in his illa machinarum proprietas, qua requiritur, vt vria potentiarum applicatarum fit altera minor ; neque igitur ex duabus potentiis Machinae inuentio fperari potefl:. Pof- funt viterius adhiberi potentiae tres , de quibus notum eft ex Staticis , eas , quamuis inaequales , ita temperari ct accommodari tamen pofle , vt fub diuerfi magni- tudine et intenfione earum aequilibrium nihilominus fer- nent. Itaque trium potentiarum confideratio machinae inueniendae poterit inferuire. Pofllmt infuper plures quam tres potentiae obiedis applicari ; fed iterum notum eft ex Staticis qucd , pluribus potentiis in eodem plano ei- dem obiedo applicatis , fubftitui poflTit femper vnica dua- bus quibusuis aequiualens ; poterit itaque applicatio plurium potentiarum (emper reduci ad illum cafum , quo earum tres tantum adfunt , vt itaque huic foli ca(i.u potentia- rum trium debeamus inflftere , et videre , quid machina- rum exinde fequatur. M m 3 §. 7. 1S7S LISSERT. DE MACHINIS SIMPLICIBFS. §. 7. Cum vero natnraliter hnpofllbile fit , vt in qiio- cnnque obiedo , duabus potentiis inaequalibus applicatis , inaior minorem non vincat et fecum abripiat, fed aequi- librium efficiat : hoc tamen in macbinis requiratur , et adlu ipfo etiam fiat ; necefle e(l , Yt aliquid caufae hic fiibfit , cur hoc fiat. Inuenitur autem facili opera duplex huius rei , quae tamen vnice admirationem nortram circa machinas excitat , cauft. Prima eft Dejlru&io partialium r]uarundam virium in potentiis applicatis , cum Statica nos doceat , duas vires contrarie nitente? fe inuicem quafi de- flruere et tollere. Altera vocari poteft Abjorptio , cura nempe potentiarum triiim adhibitarum aliqua aut ex toto, aut ex parte , ab obiecfto firmiirimo quafi abforbetur , et in hoc tranfit , ita tamen , vt propter huius obiedi vim inertiae motum in eo excitare localem non poffit. Quae duae caufae , cum in occulto adfint machinis , et latenter agant , omne id conftituunt , quod inexpertos in admira» tionem rapit. Quomodo vero vtraque haec cauflirum al- legatarum agat , diflindius patebit ex fequentibus. §. S. His praemifTis folui poterit fequens problema Staticum , inuenire omnes machinas fimpTices pojjibiks, Re- quiritur enim tantum , vt tr:3 potentiae Mt aequilibrantes applicatae confiderentur primum puodlo , dein fucceffme lineae , fiiperficiei , et corpori , Geometrico lenfu - intellec- tis ; quo ^ido opera detur , vt aliqua harum potentiarum, aut partes quaedam earum , in felcdum ad hunc finem obiecftum occulte agant , vel per Defiru^ionem , vel per Abjorptlonem *, habebitur hoc modo machina , quam ob- iedum ad hunc finem feledum fiflet ; eaque fimplex , fi ©biedum fek(^ura fuerit vnicum tiintum, $9. msEnr. de Mjcnms simucmvs. ^9^ §.9. Circa potentias quidem corpori Geometrico ap- plicatas notandum eft , iis , nifi in eodem fmt plano , aei- quiualentem , hoc eft vnicam et folam quae omnem pk- ne motum a potentiis impreiTum impediat et fiftat , dari non polle , quod in Staticis demonftratur. Tribus igitur potentiis tali corpori applicatis , quae non ia eodem plana £int , nullum aequilibrium poteft , obtineri , itaque nec machina exinde inueniri- Nifi enim omnes tres poten- tiae fuerint in eodem plano , corpus tamdiu modo huc modo illuc iuxta diredionem potentiae fbrtioris femper rotabitur , donec eae veniant in vnum idemque planura. ^i vero potentiae didae fint in eodem plano , idem eft^ ac fi fuperficiei vnicae lateribus applicatae eflent*, ex quo fit , vt tria tantum habeamus obiedorum genera quae ma- ehinis fimplicibus producendis funt apta, pun. fin. EDN) = fin. DMP ( ^ ) : DP, hinc DPzi:^'^'^^/^^^^. Triangulum itaque furruin agitur, obFKzi:DP, a potcntia quae aequalis e^ - — Tb j cui potentia tertia RQ_ etiam aequari debet. S:n itaque vires DE et FG fimul agentes vocentur Ouus, hoc ert O—ip^ et vis RQ^ fic vis, hoc cftVzzRQ^, habebitur haec aequatio , V. CB =z O. BR. fin. EDN , aut haec proportio, efficaciam Cunei declarans V : O -i BR. fin. EDN:CB. Vnde patct , in Cuneo vim re- quiri onere minorem j ipfiimque encrgiam fuam accipere Nn 3 cx as<5 DISSERT DE MACHINIS SIMTIICIBVS, ex eo , qiiia duae potentiae partiales D O et F L ^t^Q iniitno deftruunt , et in firmitatem ipfius redundant \ ipfum denique dependere a natura Vedis. §,17. Cum itaque appareat , angulum EDN, hoc eft diredionem potentiae DE ad latus , in computum et calculum efficaciae ingredi : patet fimul , non vnam et fb- hm huius machinae rationem quae \im inter et onus ob- tinet , dari pofle , vti communiter ab Authoribus hoc fit, qui et ob id ipfum in diuerfas lententias abeunt. Confi- derata igitur memorata hac diredlione , ponam primo coincidere ipfam DE cum latere trianguli CB ; atque fic crit fin. EDN zzzo , emergetque proportio fequens , V ; O — o : CB , hoc elT: , vis nulla adefle debet ad aequi- librium obtinendum , quod per le patet. Secundo ponam, efiicere DE angulum redum cum latere CB, qui cafus obtinet , cum hgna huius machinae ope diftindenda ve- niunt \ huius eniin partes , feparatae iam aliquantum , iuxta arcum circuli , hoc eft , in diredione ad vtrumque latus CA et CB perpendiculari , cuneum vrgebunt , et fdQ reftituere conabuntur ^ atque eiit iam fin. EDNzri, quare hoc cafu obtinebit proportio V: O ~ BR : CB. Tertio ponam, potentiam DE habere diredionem in cu- neum hori^ontalem , quo flido erit fm. EDN:z: fin.FDB rr: fin. FDC = fin. ABC zi: ~ , et dabitur proportio V : Oi=:ER. RC:CB*. §. 18. Cum itaque laborauerint Authores vt Cuneuiti ad Vedem reuocent , de quo vid. Dechales in Mundo Math. Mechanices lib. i. p. 397. patet ex allegatis, Cuneum eiTe quidem Vcdlem , fed non talem qualem confiderauit Ariftotcles , qui ftatuit j pofito corpore difFringendo ST VX, DISSERT DE MACHINIS SIMPLICIBVS. i%r VX , et cuneo intrufo ACB, idem praeftare cuneum , quod efficeret Vedis duplex kaQ et BZ^C, primi gene- ris quilibet , quorum hypomoclia fint a tt b ^ ^'ireb ap- plicatae in A et B , onera vero vtrinque in C ; eflet e- nim hoc niodo V : O =:= C^ : ^ A , quod inuentae pro- portioni repugnat. Neque etiam Yerum attigit Guido Vbaldus , qui ftatiiit adefle duos VecHies fecundi generis , quorum commune hypomochlium fit C , vires applicatae in A et B , onera autem in ^ et ^ ; nam iuxta haec placita eflet V : Or=:^C : AC , quod iterum rationi io- nentae contrarium eft. Sed cuneus efl: Vedis primi ge- neris FLD, cuius hypomochlium efl: in medio , et one- ra vtrinque in D et F funt applicata. Eft autem huius Vedis haec natnra , vt , manente femper eadem ratione inter Vim et Onus , brachia eius continuo fiant longiora, fi cuneus percuflione intrudatur \ quo ipfo haec machina fimplex corporibus diuellendis quam maxime efl accom- modata. f. 19. Requireret nunc ordo huius tradationis vt confiderarentur etiam tres potentiae figuris Geometricis multi lateris applicatae. Sed hac inquifitione vlteriori opus non eft , partim quia machinarum non nifi flmplicium perfec- tam enumerationem inftituere mihi propofui , ad quas pro- inde non nifi figura etiam fimplicifiTima , qiwlis Triangulum eft , requiritur ; partim vero etiam , fi qua machina nd fimplices proxime accedens ex figura multilatera , et po- tentiarum ad eam applicatione , fperari poflet , ca com- mode Cuneo accenferetur. Prodeunt itaque Machinae fim- plices non nifi duae , Vecfis fcilicet , et Flanum Iric/watum, ex eo deducuntur Trochlea, Axis in peritmhio^ et Cuneus; ex hoc vero deriuatur CoMea. SPE- SPECIMEN EMENDATIORIS THEORIAE ORDINVM ARCHITECTONICORVM AVCTOaE C^or^o PFoljj^^, Krafft. §. I. Quamuis negari neqneat , ineffe recepds atque ab an- tiquiffimis temporibus ad nos perdudis Ordinibus Archite&onids talem v.eBudatem , ct eiusmodi decus, quod diftinde quidem \ix exprimi poffit , fed in quo animus jtamea Ipedlatoris inteliigentis plane acquiefcat , et placida quadam Yoluptate perRindatur ; ita quidem , vt Sturmius putauerit Dorifium et Corintbjum Ordines ab ipfo Deo immediate fuilTe hominibus reuelatos, cum eorum elegantia yires humanas plane fuperare videatur , et reliqui Ordines »on fint nifi ad eorum imitationem expreffi ; Vilalpandus quoque confuerit , Capitula columnis Templi Salomonis Impofita ab attifice Hiram Phoenicio , diuino inftincflu , prouc e facris conftat , ad hoc aedificium exdruendum prae* ^ito , originem deinceps dediffe Capitulo Corinthio , cum Vtriusque nationis huius mutuum iam £0 tempore florue* rit commercium : certum tamen eft , Theoriam horum Otdinum ita tenebris adhuc effe inuolutam , vt , fatenti- \m ipfis celeberrimis Architedis, vix dici queat in quo charader efleniialis vnius cuiusque Ordinis confiflat , et giiidnam illud fit , qpod quemiib^t a xeliquis omnibus f. &o SPECIMEK EMEKD. THEOR, ORD. JRCHIT aSp •§. 2i. Hoc aflertum Yt eo magis fiat manifeftum , confideremus Definitiones quae in Arcliitedorum fcriptis Ordinibus tribuuntur. Audies hic Dauilkrium dicentem , Ordinem archite&onicum confufwni opponi , atciue ejje con- nexionem plurium memhrorum iuxta .regulas artis elabora- tam eum in finem vt totum exinde refuJtans afpe&ui ap- pareat iucundum. ■Cum autem regulae generaks , quarum iufTu membra archeteftonica connedi debent , non prohi- beant , yt infinitis :fere modis ea inter (e combincntur : \i- detur certe ex hac Definitione inferri pofle , infinite mul- tos etiam dari diuerfos Ordines ; cui vero iilationi Au- thores reliqui plane refragantur , dum in qninario eoriim numero fere omnes acquielcunt , de (exto Sturmiano ad- huc fub iudice lis eft , de pluribus autem excogitandis omnes defperant. Idem obiicere licet alteri hliic Defini- tioni , Ordo eft ornatus arcbite&onicus , ^mifans Stjlobata , Columna , et Trabeatione ; nihil enim ex ea deduci poteft vnde vnam compofitionem harum trium partium eflentia- lium ab altera quadam earundem combinatione diftinguere liceat. Melius mea opinione charaderem intrinfecum Or- dinis arcbite^onlci expreflit Ferraltus in praeciara illa tra- dudione Vitruuii ^ in nota i. Pracfationi Libri IV. adi- edla , Ybi talem Ordinem ita definit , Yt is fit ; Regula proportionem columnarum exbibens ., cbara^eremque colum- nae , et figuras membrorum eam ingredientium , exprimens ; neque quicquam in hac Definitione defiderari poflet , fi has regulas , earumque fundamenta ftabilia , et charadcres cuiusque columnae , diftindius tradidiffet ; quod Ynicum adliuc fcientificae huius negotii dodtrinae deeffe \idetur. Tom,XL Oo §3. fipo SPECIMEN EMENDATIORIS THEORIAB §. 3. Qiiodfj deinde iiotas charnderifticas Oidimim ab Au:^oribus alleguas rnecialius perlullremus, deprcheudimus, in Tufcano canituium et volutis et cymatio carere ^ 2o- phonun vel nudum effc , vel antepagmentis tantum ornari debere ^ in Djrico capitulum volutis itidem carere , fed cymatia admittere , Zophorum vero triglyphis et guttis didingui ; in Iofiii;i) volutas adefle ocflo , fcd folia abefle ; in Corinthio volutas fcdecim cum tribus foliorum feriebus comparere , in Romano denique odlo tantum volutas et duas foliorum feries confpici. In his autem , (1 vel ma- xime difierentia fpecifica columnarum in eiusmodi extrin- fecis et accidentibus tantum quaeri poffit , iterum ita va- riant Audores , vt fere nulli eorum cum alio conllet. Ita ex. gr. quidam in Ordine Tujcano cymatium admit- tunt ; Oxdinis Dorici inueniuntur columnae, antiquitus con- ftrudlae , ied triglyphis et metopis deftitutae , tefte Da- uiUerio pag. 15. Ordini lonico quidam dd Duca Italus vnam foliorum (eriem addidit ; Romano Francifc. BorrO' mini (edecim volutas tribuit. Ita porro , cum Tujcanus fimpUcifTimus omnium debeat efle , nec uifi aedificiis ru- dioribus tribui , videmus tamen eundem admoueri inter- dum paiatiis cultiihmis et Ipiendidiffimis. Qiiae omnia a* biinde docent , intrinieciim Ordinis alicuius characflerem in eiusmodi circurnftantiis percgrinis quaerendum miiiime effe. f . 4. Ad haec accedunt quoquc (equentia adhuc , quod nempe neque in proportionibus partium efleutialium inter celeberrimos Architecftos conueniat. Ita ex. gr. VaU ladlus omnium Ordinum flylobatis aflignat partem quartani altitudiois columnae , quintam vero trabeationi ; Vignolu? vcro. ORDIWM ARCmTECTOmCORVM. sps vcro , aliter fcntiens , conftanter tribnit columnae paitem tertianfi ftylobame , quartani trabeationi. Vitruuius\\h. i\> cap. 7. Tujcanae columnac altitudini feptem affignat mo-" diilos, SerUus vero eidem non piures concedit quam fex.. In Gallia quidam nouo le Ordine Architeduram ditafle cenfuit , cum integium fcapum foliis veftiret , loco yoIu- tiirum ab antiquis receptnrum gaiios galiinaceos ponerec , atque vbique liliorum folia interfpergeret. Fatentur deni- que omnes , Ordinem Romanum non effc nifi compofi- tum ex lonico et Corinthio , ex qua ratione etiam fub ti- tulum Compofiti venit ; et lextus Ordo a Sturmio exco- gitatus honorem fibi ex hoc Iblo tueri conatur , quod lonici fit aemulus , eodem modo , quo Doricus. Tufcanum^ Corintbius Romanum aliquantum refert. Ita igitur animus inter varias Architedorum fententias fludluans modo huc modo illuc agitur , neque quicquara inuenit in quo acqui- eltere et verum tenere poffit. §. 5. Haec omnia folicite perpendens incidi tandem in eam fententiam , vt putem duos ftatuendos efle Ordi^ mm arcblte6ionicorum quonimcunque charaderes eflentiales , quorum ope quam difl^indilfime illi intcr (e feparari , at* que omnis confufio euitari poflit. Horum charaderum vnum fl:atuo Rijlo/icum , Extcfnum , audoritatc fola gen- tium ftabiiitum ct introdudum , ad quem Iblum Archi- tedi hucusque refpexerunt , alternm vero mox memoran- dum planc deferuerunt. Huc refero ex.gr. columnas C^- ryatides didas , Vohtas et jolia acantbina , cum cauli- culis^ Strias f(:apis induci folitas , et alia quaedam , cjuo- rum origo hiftorica ex Architedorum libris abunde con- ftat , et quae tamen , etiam.fl peregrina in hoc negotio O 0 2 fint, ftps SPECIMEN EMENDATIORIS THEORIAE fint , omnino tamen excludi non debent , fed nec vnice ad connituendum criterium operum tam nobilium concur- rere. Pro altero horum charaderum affumo Fhiloppbi^ cum , Intermm , ex natura intima humanae mentis peti* tum , qui in proportionibus et earum perceptione , lenfi* bib haurienda , confiftit. In quam rem egregie loquitur Vignolu^ , curiofus antiquitatum architedtonicarum {crutator, affirmans , (e obleruafle , quod in columnis antiquitus con- ft.uflis ex membris etiam minimis maxima omnia liceat dimetiri , hoc efl: , quod membra minima et maxima o- mnia inter fe ficile , ope proportionis comparari pofTiiit. Qii )d igtur Architedi , cognitionis^ phiiofophicae, plerum- que ignari; confulae- tantum perceptionis ope pulchrum de- preh^nderunt : id ope Mathefeos redificandum et confir- mandum ,, fed fimul fuis limitibus circumlcribendiim eft , eo plane modo,, quo in; Mufica citius harmoniae quaedam auditui gratae inuentae,. quam earum rationes in propor- tionibus. deliteicentes a. Vytbagora cemum detedae fiierunt, et nodra aetate extra omne dubium pofitae tenentur. § 6. Eft enim omnino etiam Architedura benc con- ftituta quaedam quafi Mufica ,. et palatium decore fuo fe commenuans niliil aliud quam cantio , aut congeries har- moniirum oculo (peclatoris intelligentis fefe fimul fifkn- tium , veluti in cantione auribus accomniodata illae (e ruc- ceifiie monftrant. Natura mentis humanic ita compara» ta eft , vt proportionibus fiici.e percipicnais maxime de- ledetur ; quae fi a (bla ritione dete^i deoeant , neque alium (ffcdum quam in animim hominis et eius ^aculta- tem rationilem edunt , n )n plicent mfi in his rebus ex- srutatis 5 et harum proportAOiuim ^iim^ \ tuius rei ex- emplum OKhlWM ARCHrrECTOmCORFM: 293 cinplum apertiflimiim habere poflrumns in (erie aliqiia nu-^ merorum certas leges tenente et chartae inlciipta , quae certe legis huius ignarum non afficit , fed gnaaim \olupta- te perfundit. Si vero' proportiones , numeris primum ex- preiTae tantum , deinae aiit motu aliquo migis nitelcant,, \t cum Kepk 0 1 oquar , aut vero fimultaneitate rerum cor- porearum in ii\a ptopo;tr')ne cxiftcntuimperdarelcant , at- que fic pcr organa mentis- renfitiua^ animo illabantur : tum \ero etiain proportionum^ infcicntibus placent ;-. prout illud quotidie obiernare licet in'; hominibus rudi ingenio praedi- tis , in quibus aliquae faltim harmoniae' muficae laetitiam^ excitant. In quo^ quidem genere Architedura Muficae ad- huc multum^ praeferenda \idetur , cum illius opera non fo- li deledationi fed etiam vfui maxime necefiario deftinata fint , et longo tempore perdurent y huius vero efledus , etiamfi variis vicibus repeti poflint , cito tamen- tranfeant , neque aeque diuturnum vt illa animo alimcntum praebeant» §. 7: Incipiam autem a charad:erum modo indicatorum altero , qui in proportione paitium columnae confiftit, at- que verum criterium nobis- pandit., quo Ordines archi^- te&onid inttr fe pofTunt diftingui.- Suppono igitur , pro- portiones partium in quacunque columna ita comparatas efle debere ,- vt primo facile pt^flTint vJu percipi quod ge- ntrale omnium ArchitecSorum praeceptum eft ; deinde le- cundo , vt in^ quolibet Ordine imperium teneat detcrmina- tus tantum^ non vero" quisib- 1 prrm.fcuus proportiorium numerus. Cum igirur ex Aiitl metitis notum (it , nume- rum q jcmlibet compofitum pofle refoiui in determinatum n merum fiorum fidon m- flmplicium et primorum , at-' que hob primoj» numeros deinde omnifariam interle com- O 0 3 binatos tP4- STECIMEN EMENDATIORIS THEORIAE binatos \'arias fiftere proportiones •, conftitui me cum teii- tare , quid ex aumeris fimpliciflTime compofitis , atque eo- rum ita combinatis diuiforibus primis , in Ordines arcbi* te&omcvs influere poflit. §. 8. Sequor autem in his fere methodum ClariflTimi Etikri noftri , qui in Egregio Opere , quod nuperrime lub titulo : Tentamen tiouae Tbeoriae Mujicae , publice prodiit , fonos omnes , qui in cognitis hucusque Generi- bus Muficis recepti fuerunt , ex afllimto quodam numero compoflto , et eius fadoribus fimplicibus , ingeniofiflime eruit • atque ex. gr. ex numeri compofiti 3* , eiusque diuiforibus i , 3 , 9 , Genus Muficum a Mercurio quon- dam inuentum et Tetracliordo exprefliim ; ex numeri com- pofiti 3', 5% eiusque diuiforibus fimplicibus Genus Mufi- cum Diatonico Chromaticum hodie vfitatum , ad amuflTim deducit. Qiiemadmodum ergo ibi numerus compofitus afllimtus Exponens Generis Mufici ex eo prodeuntis vo- catui: : ita hic ego fimilem numerum compofitum aflii- mam , quem Ordinis architcdonici ex eo deriuati CanO" nem appellabo. §. 9. Cum igitur in qualibet columna qnatuor par- tes principales veniant confiderandae , nimirum i . Modu- lus , 2. Stylobata , 3. Columna , et 4. Trabeatio : felegi tales numeros compofitos , qui primo fint maxime fim- plices quia fimplicitasin hoc negotio maxime placet , et deindc qui non in plures quam quatuor diuifores poflTmt difcerpi , vt nempe proportiones inde eruendae ex vno aliquo Canone de- riuentur , atque vt fimul hoc Canone proportionum in ali- qua columna adhibendarum numerus exhauriatur , nequc aliqua fuperfit aut deficiat. Vti ex. gr. fi capiatur nu- fnerus ORBmVM ARCHlTECTOmCORVM. 29^ merns compofitns 2,3, conftans ex duobus numeris pri- mU : hiibet is diuifores fequentes , i , 2 , 3 , et ^ , vn- de non plures erui poflimt proportiones quam fcquentes quinque , terminis omnibus inter fe comparatis , nempe 1:1, 1:2, 1:3, i:(J,et 2:3. Id circo diuifo- rum quemiibet alTigno partium coiumnae principali alicui , et deinde proportionem partiiim nullam aliam afliimo quam talem , quae ex omnifaria diuiiorum fada combinatione eniitur. Ipfum vero numerum compoiitum , ex quo omnia haec deriuantur , voco Canonem Ordinis ArchiUciO'- nici ; ex quo folo Ordines hos inrer fe diltinguo , et in quo foJo charader efl£ntialis Ordinum confiflere videtur» §. 10. Vt vcro hoc inflitutum generalius perfequar, aflumo numerum compofitum m x ;; ortum ex multipli- catione duorum numerorum primorum m et n , inter quos fit n maior quam m. Refoluetur hic numerus compofi- tus in diuifores fequentes , i , »/ , « , m n , atque exinde eruentur proportiones non plures quam fequentes quinque , nimirum 1:1, i : «? , i : « , 1 -.mn^ m \n\ Vt dein- ceps diuiforugi quilibet fuam fibi conuenientem partem columnae principalem nancifcaUir : afliimo i pro modulo columnae , ;;/ pro trabeationis , n pro flylobatae , m n ve- ro pro columnae longitudine , quoniam ex regulis gene- ralibus patet , trabeationis altitudinem minorem debere efle flylobatae altitudine , et columnae altitudinem vtramque priornm vt fuperet , neceflfe quoque eflle. Si vero quis ordinemi hunc , et hanc afllgnationem malit inuerfim , in- ter ftylobatam nempe et trabeationem , mihi perinde erit ; in vtroque enim cafu id efficitur, vt partes principales columnae fip5 STECIMEN EMEKDATIOKIS THEORIAE coliimnae nullara aliam inter fe teneant proportionem , quam .eas quae ex Canone Ordinis eruuntur. §. II. lam "vero etiam id requiro , vt partes co- lumnae feviindariae nuUam aliam inter fe feruent propor- tionem , quam quae ex generali Canone Ordinis eruuntur. Partes autcm columnae femndariae comprehenduntur vel fub ftylobata , quae funt bafts jiylobatae , trunciis , et CO' ronis ftylobatae \ yel fub columna ipecialius fic dida , quae lunt bafis columnae , fcapus , et capitulum ; aut vero fub trabeatione , quorliim referuntur epiftylium , zophorus , et coronix. Harum partium fecundariarum triga quaelibet nul- lam aliam tenere debet proportionem , quam quae ex Ca- none deriuatur. Leui itaque adhibito calculo analytico eruuntur altitudines partium fecundariarum columnae totius , fub Canone Ordinis ?fixn contentae , hunc in modum : Stylobata A J) == n- bafis ftylobatae A B cz: ,-:^^:^' truncus B C = r^^w coronis ftylobatae C D zr ^q:;^:^. Columna D G ziz: m n. bafis columnae D E =:: ;:J|^. fcapus E F z=: capitulum F G zi: mn 2-f-7na Trabeatio G K =: z«. epiftylium G H n: —^r^- 2ophorus H I =: :;~^. coronix IKiz:^. §. 12. Qiiae igitur altitudines partium fecundariarum fi alicui columnae tribuantur , efficietur , vt ct partes prin- ORDINrM AKCnmCTOmCOWM, tp-f cipales omnes inter fe quomodocunque combinatae nullam aliani producant proportionem quam Canone Ordinis com- prdicnnim , et partes (ecundariae , quae (ub eadem prin- cipali contincntur , etiam inter (e quomodocunque combi- iiatae ad earnndem proportionum numenim reftringatur. Ita ex. ^x.fcapus ad capitulum tenebit rationem -|;j*J;*j : ■^^^■> ziztnn .1 y quae fub Canone continetur ; atque fic de caete- fis partibus. Efficit denique quaelibet triga paitium le« cundariarum (imul lumta altitudinem foae partis principaJis , vti ex. gr. AB-f-BC-+-CD=AD= ''^^ = i~^^ zz: n , atque fic pariter in caeteris. §.13. Hoc vnicum exinde nafcitur incommodum , quod partes diuerlariun trigarum fecundariae proportionem inter le nancifcantur aliquando inconcinnam ; veluti fi com- paretur bafis ftylobatae A B cum epiftylio G H , cmetur proportio -^^^n ' m^^ Tel «. »f -4- 2 : I -H w -f- . Sed vt taceam proportionem hanc in cafibus fpecialibus aliquan- do fieri pofle concinnam , et Canoni Ordinis conueniea- tem , confiderandum eft , impoflibile hoc requifitum cfle , nifi regulis Genemlibus Architedonicis contrariari velimus ; atque indiper easdam regulas id pofcere , vt partes fecun- dariae (iib diuerfis trigis comprehenlae data opera a fe inuicem difcernantui' ; quarum legum iuflii ftabilitum quo- que eft , vt ne diuerfarum trigarum partes finitimae , ve- luti coronis ftylobatae et bafts columnae afcpbygi inter ft iungantur , atque fic caueatur , ne in vniim coaiitae hae par- tes credantur , quae diuerfae efle debent. Cuius quidem rei , fi prolixus efle vellem , quamplurima excmpla fimi- lia in Muficis quotidie vfitatiflTima allegare liceret, Tom. XL Pp i.ij^. ip8 STECIMEn EMENDATIORIS THEORlAE §. 14. Qiiod autem iam de partibns colnmnae priir- cipalibus m.onui §. 10. nolle me infiftere earum altitudini qiram iis hic tribuo : id etiam de partibus (ecundariis in^ tellecflum volo. Poteft cx. gr. bafis ftylobatae efle maior eiusdem c(>romde , poteft efle minor ; poteft aequalis efle epift/lio zopiiorus , potet efle iiiaequalis ; funt enim hae circumftuitiae accidentales tantum , neque ad rei eflTentiam pertinent. Sed id iolum obferuari debct , vt ne alia ex m itatione fida exfurgat proportio , quam quae intra li- mites Canonis contiaetur , qui folus diuerfitatcm Ordinibuj inducit. Neque etiam id ita ftridim iuterpretandum efle velim , vt columna fine ftylobata eflle nequeat. Notuni enim efl: , Vimmum fere nullis , et hodicrnos TitfGanis ra- riflime , ftylobatam concedere. Q_uae vero» cum nonniin- quam necefliirio requiratur , uon poteft non partibus prin- cipalibiis atcenferi , atque , fi alicubi deficiat , non tamea extra reliqaarum proportionum Canonl debitarum limites- extrauagari iicet. §. 15. His ita generaliter iam pertradatis nihil am- plius reflat , quam vt ioco numerorum generalium 7n et n fubflituamus (ucceflTrae alios atque alios determinatos, vi- de:imusque quales ex cuolibet Canone Ordinis columnarum figarac et proportiones proditurae llnt. Sit igitur primus Canon hic 2x3, hoc tW m zn 2. ^ « " 3 , ^runt eius diuifores 1 , 2 , 3 , <5 , atque erjentur exinde rationes fe-» quentes , i : i , 1:2, 1:3, \ ,6^ ^ '• 3 > erunt itaque; Stylobata A D 1:1 3 modulis. bafis flylobatae A B =1: 2 , truncus BC :~ 1 3. cororas Hylobatae zr i. CoIumn« ^-^ORDINVM JRCmTECTONICORVM. ^99 Columnj^ DGc=:<^. bafis columnae DE r::::: |. lcapiis EF ::i: 4I, capitulum FG rr .|. Trabeatio QY^zz 2.. epiftylium GH =1: |. /^ zophorus Hlnii. :■.:'.., coronix IK zz i. .. -|- ^ ^ ,r -,j quibus ita delineatis exfurglt co\x\mvik^rdms Trimi ^ jZt" nonis 2x3, cuius fbrmam repraefentat Figura 5. .^ §. i6". Aflumatur fecundus Canon hic 2x5 , in quo niinc efl: ?;/n:2, « zr 5 , erunt diuifores hi 1,2,5,10, atque eruentur rationes fequentes 1:1, 1:2, 1:5,1:10, ^ : 5 , quae partim eaedem funt cum rationibus Canonis praecedentis , partim vero ab iis difcr^pant. Deducetu? €X his Stylobata ADzr 5. bafis ftylobatac A B rr i J. truncus BC zz 3^. coronis CD zr |. Columna DG—io. , bafisDE = |. Scapus EFn: 8|. capitulum FGzz:|. Trabeatio GKn: 2. epiftylium G H zn s« zophorus Hl — i. coronix IK rz i. quibus ita ddineatis exfurgit columna Ordinls fecandi, Ca* nonis 2x5, cuius formam exhibet Figura 6. P p a $. 17. 300 SPEClMEn EMENDATIORIS THEORIAE §.17. Aflfumatur tertius Qnon hic 2x7 , inquocft fnzz 2 ^ nzzj, erunt diuifores hi i , 2 , 7 , 14, ^ atque eruentur rationcs fequentes i;i, 1^2, 1:7, 1:14, 2:7, in quibus nouae iterum funt in nuUo praecedea- tium Canonum occurrentes. Deducetur ex his, Stylobata ADrz 7. bafis ABzn i|. truncus BC zz: 4^^ coronis C D zz {^, Columna DGrzi^, bafis DEzzrJ. fcapus EFi=: i2|. capitulum F G ~ J, Trabeatio GK rz: 2 , epiftyiium GHrrj[» zophorus HI zr |, coronix IK cz: i. quibus ita delineatis exfurgit columna Ordinis Tertii , Ca- nonis 2x7, cuius formam exhibet Figura 7- Sed vl- terios iam hoc modo , vbi nempc vnus fadorum numeri compofiti efi: 2 , progredi non licet , ob hanc rationem : cum longittido totius columnae generaliter prodeat zzzn-^ mn-\- m j eflet , fi affumeretur Canon 2x11, eius co- lumnae longitudo zr:ii-H2z=:35 modulis •, fed vetant Architedi in altitudine columnae 30 modulos excedere, imo praeftantifiimi eorum infi-a hunc numerum fubfiftiint •, quare hanc Canonum formam vlterius extendere non licebit. §,i8. Supponamus igitur aliam Canonis ibrmam , nerape hanc 3x5, in quo eii mzzz^ ^ 7; zr 5 , erunt diuifores hic,i,3,5,J5j atque eruentor rationes fe- quen- ORDinFN ARCHTTECTOmCORVM. 301 qucntes , i : i , i : 3 > i '. 5 , i : i5 , 3 : 5- in quibus denuo nouae funt , et in praecedentibus abfentes. Dedu- cetur ergo ex his : Stylobata A D = 5- bafis AB=:i|. truncus B C := 25. coronis C D rr |. Columna DGzr: 15. bafis DE = Vj, fcapus EFn: i3i?- capitulum F G n: If . Trabeatio GKi=: 3. epiftylium GH zz: |. zophoriis Pl I z=: |. coronix I K r=: i f . quibus ita delineatis exfiirglt colnmna Ordinis Qiiarti , Ca- nonis 3^5 , cuius fbrmam Figura 8. fidit. Tab. T. §. 19. Afliimatur quintus Canon hic 3x7, in quo cft «/ in 3 , « nz 7 , emnt diuifores hi , 1,3,7,21, atque eruentur rationes fequentes, 1:1, 1:3, 1:7, 1:21, 3:7; dediKetur ex his : Styiobata ADi=:7. bafis ABzni i?. truncus BC zi: 4/^. coronis CD zr /y. Columna DG zn 21. bafis DE=z:|^. fcapus EF =: ip/y. capitulum FGznll, Pp S Trabea- 30£ SPECIMEN EMENDATIORIS THEORUE Trabeatio GK = 3- cpiftylium GH nz |. zophorus H I iz: i . coronis I K iz: i f . quibus ita deliiieatis exfurgit columni Ordinis Quinti , Ca- Tab. V. nonis 3x7, cuius fbrma repraefentatur Figura 9., Sed hic denuo rubfiilendum eft , cum et Jiuius Canonis co- lumna altitudine fua iam habeat 3 1 moclulos j quod tole- rari adliuc poteft • fed fi aflbmcretur Canon 3 xu, pro- diret longitudo columnae iam 47 modulorum, et plurium adhuc ft aflumerentur Canones altiores , vti 5x7,5x11, etc. §.20. Mirum irt hac Theoria accidit , quod non plures eniantur quam quinque Columnarum . O^dines , quot nempe ad hunc vsque diem funt ab omnibus Architedis recepti. Stante ergo. hac Hypothefi ,, quod Ordo Archi- te6ionicus fit congeries partium columnae, eam inter fe rationem tenentium , quae ex numero e duobus primis compofito erui pofliint , neque alfav praeterea includat ; patet , plures quam quinqne Ordines inuentu impoftibiles efle , nifi in generales regiilas Archite^flurae velimus im- pingere. Caeterum de Ecphoris partium in his delinea- tionibus non adeo Iblicitus fui ; poffiint enim illae haud difficulter eodem modo inter fe aptari , vt nullas nift Ctf- nonicas alpedui ofFerant proportiones. §. 21. Ex altitudinibus et fumitatibus harum colunj- narum facile apparet , primam nimis paruam et humilem efle ; fecundam congruere cum Tijcano \ tertiam cum lonico ; quartam cum Dorico , et quintam cuni Romano et ORDtnVM MCHITECTOmCORFM 303 Comthio , qiiod ex inftituta comparatione inter menfiirflS meas , et illas quae in Traite £ Architeciiire par Seb. k Clerc , fingulis Ordinibiis tribuuntur , fatis accurate colli- gere licet ; quare vt iis accedant etiam charathres Hi^ Jlorici externi , quaelibet carum ornamentis ad ipfiim per- tincntibus f-icile adhuc poterit adaugevi , quo fado deinde "vtroque characflere praeditae apparebunt , quem in iis re- quiri oftenfum ed. Hacc vero pro fpecimine tantum enm-- datioris Thcoriae ijrdinum Architefionicorum hac "vice fufficiant. DB 304 •»l^i)(o)(l?l<- DE FVNGO INSOLITAE MAGNITVDI- NIS OBSERVATIO. AVCTORE loanne Ammano, Anno praeterito, nempe 1739 mihi ex Ingria allata fiiit fiingi fpecies , qiiae inferna capitiili fuperficie loco kmellarum tubulos obtinet. Erat hic fungus tam iniblitae et vaftae magnitudinis , vt ilhim dehneare et bre- uiter fequentibus delcribere operae pretium duxerim. Pileus diametro pedem , craflitie tres polhccs aequa- bat eratque vtrinque conuexus , magis tamen fuperficie fu- perna, quam inferna. Pediculus longitudine dimidii pedis, colore praeditus fuit dilute luteo et hinc inde albente , crdfiitie prope bafin vbi craflior erat, quamparteea, qua capitulo inferebauir , facile tres polJices fuperans. Mate- ries pedicuh alba et leuis erat atque fpongiofa. Pilei du- plex fuit , fuperior intus alba , extus luteo fiifca , ilh ex qua pediculus conflabat , fimilis ; inferior vero fiflulofa cx meris tubuhs albentibus compofita erat. Pertinet ergo ad fungorura efculentorum gcnus , quod Clar. Michelius fub Suilli titulo inflituit, Repertus foit autumno in vilJa Comitis Goloffkin. D& DESCRIPTIO ET ICON ICOVAE BERMVDIANAE SPECIEI. AVCTORE loanne Amman. Inter res naturales pliires , quas R. R. P. P. Societatis Ic- fii Pekino Sinenfis Imperii Capite ad Academiam Pc- tropolitanam ante aliquot annos mifenint , femina etiam erant globofa et aterrima YEN TSCHI titulo infignita. Haec terrae calore equini ftercoris tepenti lunio menfe in horto Acadcmico commifi. Breui temporis (patio exin- de enafcebantur plantae Iridum iunioriDus admodum fimi- les, quae Milibus inditae et in hybcrnacula pofitae hyc- mcm quamuis longam et rigidam facile tolerabant. Sequenti autem anno primo Vere c radicibus harnm plantanim , quae Iridum adinftar carnolae , oblongae et re- pentes (iint , quam plurimas fibras longas , craflfas , luteas emittentes , duo tres , aut plures oriebantur caules bipedales plus minus , prope radicem calami olorini crafiltie , nec com- prefti , nec alati , vt in aliis huius generis fpeciebus fieri Ibkt ^ fed teretes fere , laeues , pallide virentes , odo nouem aut decem geniculis diftindi ad incerta prorfus interualla. Singulis hiice geniculis folia adnalcebantur Iridis hor- tenfis , latifoliae C. Bauhini valde fimilia , dilute viridia , la* ta bafi caulium genicula amplexantia , arcuata , in medio lelcunciam praeter propter lata , in tenuilTimum mucro- nem terminata , fecundum longitudinem ftriata , glabra ,- confiftentiae fatis firmae, Folia , quae circa medium caulis crcfcebant, iis quae prope radicem et cauiium fummitates nafcebantur , multo erant maiora. j Tom,XL Q^q E to6 mSCR, ETICON mVAE BERMFD. SPECIEl. E ruperiorum fbliorum finubus temporis progreflu ramuli emittebantur foliofi itidem et genicukti , teretes et glabri , in alios minores diuaricati , e quorum geniculis tandem et ex accretorum foliolorum alis pediculi furgebant \nciales plus minus , tenues , e viridi flauefcentes , tres quatuor aut plures , quorum finguli in cacumine embryo- nem gerebant triquetiaim , oblongum , fplendentem , dila^ te viridem. His autem innafcebantur flores fuis ampli ^ hexapetali , interdiu expanfl , nodu claufl. Florum peta- la fingula femunciam circiter longa erant , trientem polli- cis praeter propter lata , vtrinque anguftata ,, e flaua ru- bentia , intus macjLilis plurimis coccineis y elegantifl[iniis ia- flgnita , prope bafin , interna fcilicet eorum fuperficie , ad medium vfque parum fulcata , in quibus fulcis liquor mel- ki laporis continebatur. Petala haec durabilia noaeisint, fed fpatio vnius aut alterius diei flaccefcebant ,. cotttorque- bantur , et embryonis fummitati fpirae ia modum contor- ta eidem ad matiuritatem vfque inliaerebant, Embryonum porro fingulorum (iimmitatibus innafce- batur piftillum vaciam circiter longum , prope bafin valde tenue et teres ^ extremum verfus ampliatum , triquetrum , coloris dilute rubeatis > apice ia fex fegmeata , tria fcili- cet exteriora et maiora , atque ia iateriora miaora , obloa* ga, pallida et pibfa fiflfum» E tribus autem petalorum iateriorum vaguibus , quae exterioribus fubiade pauUo maiora fuat , ftamiaa orieban- tur ia fiogulis petalis folitaria , piftillo dimidio fere bre- -viora , dilute itidem rubeatia , apicibus praedita trientem Tuciae longis, dimidiam circiter liaeam latis, fubciliflima luteo puluere aiperfis. Embiyo DESCR, ET ICON nOVAE BERMFD. SPECIEI 307 Embryo floribus marcelcentibus excrefcebat in frudum obtufe trigonum , gkbrum , pallide virefcentem , extremi- tatem verfus ampliatum , in tria loculamenta diuifum et per maturitatem trifariam dehifcentem. In fingulis hifcc loculamentis baccae continebantur plures , fphaericae , Co- riandri feminis magnitudine , aterrimae , (plendentes , axi affixae : pulpae autem medium occupabat fcmen durum , iphaericum itidem , coloris fufci. Hifcente per maturitatem frudtu baccae axi medio latis firmiter adhaerefcentes exiguam uvam quodammodo et alpecflu pulchram repraefentabant. lulio menfe in horto Academico florere incipiebant fupra defcriptae plantae et per integrum Auguftum flores magna co- pia proferebant , verfus finem autem Septembris et Odobri menfe frudus tnaturabatit. Incrdcente hyeme folia et caules moriuntur. Radices, quae perennes funt , in iiybernaculis modice calidis fcruari et panun fed fcpius irrigarl debent, Fl<5runi pctalis et frudu noftra haec planta cum Bermndianae fpeciebus a Cdeberrimo Tournefortio in In- ftitutionibus rei licrbariac recenfitis conuenit, differt flami- nibus a prima Eius fpecie et ab alia ilia exiliori Virginia- na , quas ambas , accuratifTune , vt foiet , Celeberr. Dillc- nius in horto Elthamenfi defcripfit et delineauit , in qui- bus ftaminnm apices piftillo apprefli funt , fecus ac in no- l\ra planta , quae ftamina obtinet libere fluduantia : difTert feminibus pulpa obdudis ; frudus membninis per maturi- latem penitus reflexis , feminibus interim non deciduis ; piftilli fummitate in fex fegmenta diuifa. DifFcrt denique .ib Ixiae genere a CkrifT Linnaeo in Corollario generum plantariim inftituto petalis florum vt plurimum inaequali- bus ; piftillo ftaminibus duplo fere longiori , eiusdem iWg- Q,q a mate S08 mSCR. ET ICON NOFAE BERMVD, SPEClET. inate in fex fegmenta difledto ; feminibus non faepiuSjVt fcribit^ folitariis., fed pluribus fcmper in fingulis frudtus loculamentls. Verum fi omnes has minucias ad conftituenda genera adhibere Yelimus , tot erunt genera , quot (iinr plantarum fpecies. Retuli elegantem hanc plantam ad Bermudianae ge- nus a Tournefortio primo definitum et a Dillenio confir- matum , poftea vero a Linnaeo fub alio , Sifyrinchii nem- pe titulo in generibus fuis plantarum delcriptum , quia pe- taiorum numero , calyce vei embryone ceu futuri frudus rudimento cum eo conueait, Reliquae difFerentiae Ipeciem non genus determinant. Haec igitur Bermudianae (pecies , vt clarius ab aliii diftinguatur , fequenti nomine infigniri poteft : BFRMVDIANA RADICE CARNOSA , FLORIBVS MACVLATIS , SEMINIBVS PVLPA OBDVCTIS ; His enim notis a reliquis fpeciebus , de quibus bonae ct perfe(flae defcriptiones apud rei herbariac fcriptores ex* tant facillime, vel folo nominc diftinguitur Explicatio Tabulae. Fig. 1. Plantam repraefentat integram , radice excepta. Fig. 2. Radicem plantae iunioris , quae nondum flcres protulit. Fjg, 3. Floris magnitudinem naturalem. Lit. a piftillum eius. Fig. 4. Fru£lum nondum prorfus maturum cum refiduis floris pctalis fpirae in modum contortis» Fig. ?. FrutSlum maturum dehifcentcm. Fig. 6. Baccas demonftrat. Quae lit. a infignlta eft , in Qiina creuit^ quac lit, b. Petropoli jwta cft e fcmimbus ^ China miflis, Fig. 7. ^mcn repraelciitat. CLASSIS CLASSIS TERTIA CONTINENS HISTORICA. Qqa DE DE VESTRITIO SPVRINNA LYRICO ET EIVS FRAGMENTIS. AVCTOIIE T. S. Bayero. OPVS POSTVMVM. Cafpar Barthiiis Veflritii Spurinnae fragmenta , vt c- rant in MS. Martispurgenfi , inter venaticos fcripto- res et poft aliquatito in Aduerlariis edidit. Cum Vejprucii ad Martium mfcriberentur y e Plinio j Martiale ipfisque ftagmentis oftendit , illum' Veftritium Spurinnam fuiffe , hunc Marium. Veftritii Romae familia equeftris , quod quidem Thomas Reynefuis in titula Vrbinate fibi vifus eft jeperifTe -, M VE5ITI0. DEXTRO. B QVIT. ROMAN. PATRON. MVNTCIPl, ET. PLEBIS OMNlBVSv HONOrjB. FERFVNCT, Nimirum Reyneto pro VESITIO reponit VESTRITIO. Equidem non video , quid id fit , quod non etiam Ve- fitios equites Romae fuifle patitur Reynefius- In aiio ti« tulo apud lanum Gruterum : (2) DIS. MANIBVS T. VESTRITIO HYGINO. ET» VESTRITIAR CONIVGI CAR.ISSIMAE. FECIT RHAMNVS. LIBERT. Vt (I) Exftat hic ticulus etiam in Corpore Inlinptionua} GrutenaRo,poftreinacedi(^ ^.392. i. (2)p.9S7»S. iji5 DE VESTRmO iPVRimA LTRICO Vt huic Veftritio cognomen fiiit Hygini , ita ifti noftra , Spnrinnae, qiii gencris fui memoriam tum belli tum pacis artibus infignitam reliquit. Natus miiii vidctur A. C. XIIL dicam commodius portea , cur ita fentiam. Tota illius adolelcentia et pars maxima Yirilis aetatis in foediflimsi tempora C. Caelaris , Tib. Claudii et Claudii Neronis in- cidit. Summum fere in amicitia locum apud M. Sal- uium Othonem ante principatum tenuit : hunc nihil ita commendauit Neroni , quam morum ad omnem turpitu- dinem congrucntia, elegantiam ipfi interpretabantur. Qiiara dubium non eft aut oblcurum , Spurinnam iis moribus in« feruiifle , quibus et Otho deledatus eft et Nero Caefar. Coniedus deinde eft in turbas reipublicae et Otlionis Vi- telliique contentiones de principatu. M. Saluius Otho aerc alieno ingenti ad nouandum aliquid motus , militibus cor- ruptis et Sulpitio Galba Imp. fublato , principatum inuafit. At A. Vitellius Germanicis legionibus fufHiltus ipfe impc* rare malebat , quam Othoni fubiici. In Dalmatia et Pan- nonia exercitus Othoni didlo audientes erant : his contra Vitellium mouentibus alia ab Vrbe manus , quinque prae- toriae cohortes et equitum vexilla cum legione prima duobusque millibus gladiatorum profeda funt ad Padum. Redores his copiis vrbanis dati Annius Gallus et Veftri- tius Spurinna : ita Cornelius Tacitus tradit (i) et iis qui- dem verbis , vt haud multo maior ad imperandum au(^o- ritas Annio tributa fuifle videatur , quam Spurinnae. Cum deinde dubio Marte inter Othonem atque Vitellium in Liguiibus eflet concurfum , Caecina Alienus Vitellianis cum copiis (O Hift. 1. II. ciu ET EirS FRJCMENm. JSiis copils Cirpadanam proiiinciam intrauit , in qiia Spurinna ciim exercitu erat. Hic ccrncns Caecinae refifti non pofle, le fuosque intra Placentiae moenia recepit. Ibi conftituit hollium Yim repellere , fi oppugnAretur : egredi et confe- rere manum cum liolk non e re efl: vifum. Miles in diuerfii tcndebat , eam non prouidentiam ducis ratus , nihil temere flatuentis , fed fegnitiem. Tumultu militari co* adijs Veflritius ducere , fub nodem caftra pofuit ad Padum, eoque obfequio mitigatos fuorum animos docendo monen- doque tradare coepit , donec in poteftate habuit , vt (e in vrbem reduci paterentur. At Caecina vbi fenfit Spu- rinnam rem certamini non committere , Placentiam obfi- det-. Primum atque iterum a munimentis repulfus , mul- tis fuorum defideratis , obfidionem foluit , Cremonam pe- tit. Qiio cognito Spurinna Annium Gallum de confiliis hoftium certiorem fecit ; is cum prima legione Placentiam Tenit , fecutusque Caecinam parum abfuit , quin feditionibus miliiaribus agitatum opprimeret. Poft non ita multo Otho Imp. fuperuenit : vocatus in caftra Veftritius cum praefidio quod Placentiae habebat : erat enim conftitutum Impera- tori , ducibus nequidquam aduerfuitibus de fumma rei prae- lio decernere. Pugnatum haud procul Bedriaco : Othoniani vicli. Tamen militum fides vidum non deftituit : ipfe cafuum dubia metuens manus fibi intulit : ita partes in poteftatem vidoris concefTerunt. Cum deinde Fl. Vefpa- fianus ex Oriente aducntaret , auerfis omnium ab A. Vi- tellio animis , non modo qui antea Othoni ftuduerant , fed Caecina quoque , qui magnas res pro Vitcllio gefferat, ad nouum Imperatorem defecerunt. Tom, XI. R r Laeta 3x4 DE rESTRlTlO SFFRINNA LTRICO Lacw reipublicae tempora fub Vcrpafianis principibus: tanto infclliora chris viris Domitiano Imp. Obiit intcrim Spurinna variis pcrfundus officiis , gclTit magiftratus , prouin* cias rexit , ( i ) deinde etiam exercitibus Germanicis praefuit , Bruderum rcgem vi ct armis induxit in rcgnum , et ferocifli- mam gentem terrore nominis Romani perdomuit : quas ob res geilas Spurinnae ilatua triumphalis au(5lore Princi- pe a 5enatu eil decreta. (2) Sunt , qui hanc expedi- tioiiem Traiani temporibus inierunt : at loannes lacobus Mafcouius, vir fumma dodrina , graui argumento Neruae Imp. vindicauit. Cui fcntentiae confirmandae tamctfi quae- dam etiam a nobis produci poHe fentio , tamen cum a- lia e contrario obftare videntur , ampliandum potius duco. iVlagis apparet , Plinium ad Caluifium de Spurinnae mori- bus fcripfiife (4) eo anno , quo confulatum adiit , tamen ante Septcmbrem meniem , quo menfe A. C. 100. a Traiano eil fuifedlus Plinius. Eius enim anni epiftolas liber tertius continet. Agebat tum in otio Spurinna , an- num feptimum et ieptuagefimum exceilerat , aurium ocu- lorumque vigore integro , ngili viuidoque corpore. Ex quo poteft coniici, A. C. XXIII. natum. Qiiemadmo- dum otium collocauerit , Plinius venuftiifime more fuo pin- xit. Inter cetera ait : jlribebat , et quidem 'vtraque Ihi' gua , lyrka doEtijfime. Habuit in matrimonio Cottiam , c qua Cottium filium nomine materni aui fufcepit. Is deceilit, cum pater bello Germanico diftineretur : adoleicens, non tam ftatua ob virtutem publice pofita nobilis , raro iis (i) Plinins Epift. 1. \\\. i. (2) ib 1. II. cp. 7» (3) In Hiftoiia Geunanict p.1+2. C+) i. IH. ep. I. ET EirS FRAGMENTIS. 315 'tt.JejW'^Jtrh"v:...bnivi I) Ad qu. quam quod pmeconem haec fuii fcripfeiit , non ita ccrLautem Marium Veftritius nd Marium Celfum puto. Is Galbad^^'jpt'.,.-,-VR . tamcii ercitus (bllicitauit. ( 2) 1 mnsgreiius deinde ad Othonem cum Annio Gallo , Veftritio Spurinna , et Suetonio Paul- lino res contra Caecinam geffit. Ante praelium ad Be- driacum Marius Celfus Cos. cum ceteris ducibus fenfit , fummam rei in vnius diei certamen non oportere com- mitti. A praelio A. ViteHio Imp. conciliatus in magi- ftratu permanfit , quamquam et dignitati eius infidiabatur Caecilius Simplex et vitae. ( 3 ) Si Barthium audias , liic quoque Spurinnae Marius quieti le dedit et yoluptati , quae jCX otio liberari ab ambitione reiundlo capi poteft. Nara jad cum hoc Martialis epigramma trahit : (4) Mari , quietae ciiltor et comes vitae ^ Qiio ciiie prifca gloriatur Atina , lias tihi gemellas , barbari decus luci , Conmiendo pinus ilices^ue Faunl. Sin Martlalis epigramma confideres , non Marium Celiiim confularem , led hominem obfcurum dicit Atinatem fecum rufticantem , nec dignum fatis Veilritii amicitia. Contra e:i opinor, Martialem .alio epigrammate (5) vellicare Marium Celfum , tamquam ob priftinam dignitatem a multis cul- tum clientibus vt hominem nobilem , at fortuna tenui, aut modicis in opibus , quae tum iam paupertas Romae cen- febatur , et vt partium vidarum ducem. R r 2 Nec CO 1. n. 7. 1, III. 10. (2^ Tacitus Hil>. 1. I. c. 31. 1. II. c. 23. (5) Tacitus -J.U...c.,5o. (4-) 1. X. ^2. (5) 1. X, qui hbcr cditus eft Traiano Imp. cpi^v. 92. 3i5 DE FESTRITIO SPFRINNA LTRICO Nec vocat ad coenam Marius , nec munera niittit, Nec Jpondet , necjmkin quae curet amicum , Turba tamen non deeftuae ]imt iiiH\ Roma , togae. VESTRITII SPVRINNAE FRAGMENTA EX EMENDATIONR NObTRA. ODE PRIMJ. Dulces Veftritii iocos , Seras Socraticae relliquias domus y Ne laudes nimium , Mari : Contemnit placitas nobiHbus viris , Soli qui fapientiae ^ Poft florem , tepidum nec fiabilem gradum Aetatis y Jenium dicat Mentis compofitae , qualis ah arduis Ad Je verja labaribus , Quos non dat patriae , fepofuit fibi Annos , orba lucro graui , Cum non atnbitio tegmine candida llludat grauidae fpeL Nos fero pelagus vicimus inuium , Quidquid ^iximus , interiit. A^tas quem dccies feptima diuidit , An leues memoret iocos , Atqiie aptos citbarae conciliet modos , Surdis auricuUs Jlrepens ? Quisquis decrepiti corporis eft , reus S0t ET EirS FRAGMEnilS. 3i7 Sat fep ehquii fo^^f^ .. ^.. Si femet P^^''"^' imftlenUi, ^, ^.. .. A.nium otii. Hoi cani graiiitas 'oertids abjlitit , l^on n)t Jponte fua fugax : Sed multi numeris carmjinls "^ DefLmt reliqua* ODE SECVNDJ, Fau? , fancta dmm fata , Nulfis , pauperies , mminikis minor > Tecum fi fapias tibi , Vitae , magnificis hofpeshonoribus^ Abjohiens numsrum tuae, . Defiint aliqiia. In te laetitiae , Jordida cum quies Lautis nuda tumuitihus y Ambit fe patria fertilis in dvuJ- Defunt quaedam- f^ullis vendifa plaufibus > Contemtrix quei uli magno animo fori , TJlil non fola potens , ^'bi Furtiuis procerwnfuppliciis procul y "Regnas in proprio finu. Felix , quem teneris mater ab vnguibus Et reglna rapis fimul. Non illun tumidis Jajcibus arduum Vcrfit n6iHtas mala Cura, u:n , jacilem Jlu^ibus , vt fuis R r 3 Orim 31 8 BEyESTR.SPFR.LTRICOETElFSFRAGM' Orbwn fuknbiis rotct. lllum Jpkndida nox et deeor improbe Qaecus praecipitant ^'^ Cetera defunt. OUE TERTIA. Tojlquam fixa Jolo Jemel , Spernit flu&iuagos ancora nauitas In Jaeuum pelagusjequi , , Quafu vitat grauido perniciem mari ^ In ficco reperit finu : Haerentem tumidis littore dentibus Aerugo propria exedit. Ni defidia Jan6ta quies leuet , Turbas dum populi Jugis , Priuatis quaties Jata tumultibus , In te ludere peruicax. No&es et vigilans Jomnia fi furor Tortis non librat anguibus , At prejjo gracilis cura manet pede. ODE QFARTA. Dceft principinm, Ingrati nebulae defidii caput Circumftant tepidum : Jors nimia in probo$ Inceftis jacilis annuit aufibus. Sta contra ajfiduo pede. Multum turba tenax ^ fidei ^ Vltra jata jurii , non docilis Juga^ JjeUdsr ^^ praemio, ^ Vcftri- NOTJE JD FRJGM. FESTRIT SPFRINNJE. 3 19 Veftritii] In MS. Martispurgenfi: Incipit Vefpriicius Spu- rinnn de contemtu feculi ad Martium. De Velprutio fiue potius Vellritio iatis diximus. Barthius has odas pinguej quiddam et minime eruditum fonare iudicauit : at ille , vt de Pane dicebat caprarius , evliys TriK^og x, ci del Sqi- [jLsTct x^^^ '^^'^^ P"^^' KciS-vilaj. Primum in titulo ali- quid barbari deprehendere fibi eftvifus, cum Jeculum mo- re maiorum nortrorum , fandorum hominum , dicatur , quod miimus aeui \ addit aftute : votis coelejlia anhelan- tts ; fed nihil ad rem. Seculum aetate Veftritii dixere , Yt aeuum et dma. Late patuit iftarum Yis vocum \ nam aeuum j \t Ccnforinus de die natali c. 16. tempus immen- Jum Jine origine et fine , vt Varro de lingua Latina p. ^6. ed. Scal. aetas omnium annorum. Tameii etiam arcliffimo fpatio, vitae decurfum dixere aeuum. Lucretius 1. Il.v.i5. quantisque periclis Degitur hoc aeui quodcumque ejl l Sic aiwm Homerus OdyfT. E. 151» 80 £ TTO 1 ocrcrs AaK(^'joCpiv teQ(Toy\o , KGLrz\^e\o ^s yXvKvg aiouv^. Loca funt in eo alia paene infinita. Euftathius ad iftum locum interpretatur ryy ^wv,y, yi Cj)^lVocj roTg ixaK^clg 3-QYr yoiS , fic fcholia minora quoque. Solon apud Herodotum 1. I. c. 32. reXeL/r-yjVavla Kokb^g rov duXva. \t-x Jeculnm non modo centum annorum aeuitatem dicebant, fed etiam fiiam quisque aetatem et fuorum aequalium. Cicero iii Paradoxis : ego etiam in huius Jeculi errore verjor^ et alibi, info/entia huius jeculi. Po(t id cocptum efl dici non, vt oratorem dele^^auit , hoc' Jeculum y lcd dumtaxat, /av/ta. Plinius 320 NOTJEADFRJGM. VESTRlT.SVrRimAE. Plinius ad hunc ipfiim Spnrinnam 1. V. ep. i^j. faueo fe- cubj ne fit fterile et ejjoetum ^ et ad Cornelium Tacitum 1. VII. c^/^:^: Diuus Neruanon mlhi folum ^ fed efmn feado gratulatus ejf^ cUi exemplum fimile antiquis contigijjet. Tacitus ipfe Hift. 1. II. c. 37. Piuillinum non fperajf^ corruptijfimo feculo tantam vulgi moderationem. In numis frequens : SECVLVM FKVGIFERVM. SECVLVM FOECVNDVM. Igitur de feculo , Barthii accuHitio nihili eft : at totum ifthuc de contemtu feculi.y non item Yetuftatem et Veftri- tium %it ; eit igitur totum hoc iibrarii chriftiani. Seras Socraticae] Domus Socratica Horatio 1. L Ode 5CX1X. 14. philofophia Socratis et difciplina ; Cum tu coemtos mdique nobiles Libros Fanaetl , Sociaticam et domum , Mutare loricis Iberis , folhcitus inejiom , Uniis, At Veftritius non philofophiam refpicit , verum Socratis felhuam in dicendo cauillationem , quam et domus eius , omnes Socraticae fiholae philofophi confedati funt , cum tola eius jjLatsuliK.'^ , nemo tamen excellentius Platone. Erant ioci liberales , digni philofophiae grauitate. Poft id credo certi homines fpurcitiem omnem leuandae cauflfa m- Yidiae Socraticos iocos dixere. Ita iurQaniBkm Ariftote- |i$ aetite Graeci dicebant vitae genus plenUm officiis , gra- ttia , comitate , verbis quodam file conditis, oris corporis- que motu ad omnem honefiacem et humanitiuem compofi- jo. At M. Tuilii temporibus , Yt folent virtutum erho- neftaruai mTJEADFRAGM.VESTRlT STVRINNAE. !^it neftarnm rernm nomina tnrpiculis praetexi , adeo nihil cafti et decori eV evrQairsXict et in trhanitate effe videbatur , vt Volumnius et Papirius Paetus \'el ea caulTa eijrgaTTgXoi haberentur , quod eflent fpurciirimi , Paetus adeo , Tt eum Cicero reprimeret 1. ix. ep. 22. amo 'verecundia?n. Et iterum eximius orator , Jeruo et Jeruabo Vlatonis verecwi' diam. Adi 1. vii. ep. 3^1. Odauius Minucii Felicis c. 28. apud vos tota impudicitia ^ocatur vrbanitas. Paullns Apofto- lus ad Ephef! V. 4. ol^(txC^\s ^ \y.is^QoKoyicL y^ eu^^a- TreXia , quo loco ivrQoLneXia, vt tum in ore vulgi crat, vtrumque comprehendit et dio-xG^^'^^ ^t [JHjiQoXoyiav , cni opponit /'j^^^agi^iav fiue comitatem , qualem c. IV. V. np. defcripfit , Xoyov ajya^ov 7:^0$ o'iK.O(5"op.V rx?^i(r^>iv aQa. pelagus] Res dicit gellas et munera rei publicae plena procellis et periculis , vt alia in re Horatius Ode V. i. me tabula facer Votiua paries indicat humida Sufpendijje potenti Vejtimenta maris deo. Archilochus apud Cedrenum p. 7p2. fenedluti ait o"i;^- quidquid n:iximus ] Prudentius venufte in principio : Fer quinquennia iam decem , JVi jaJlor , Juimus : S s 2 £i« 324 NOTAE AD FRAGM. VESTRIT SFVRimAE, hijlat termims , et diem Vicimm Jenio iam deus appJicat. * Et poft paullo : Cum iam quidquid id ejl , mors aholeuerit. aetas Aetas quem decies feptima diuidit ] Decies feptima os ec anno*5"'Q..feptuao-erimo decurrens ita me iii dies fu'^idam mei partem decerptura fit. Diuidit , vt apud xMartia- lem 1. X. 10. Diuifit nojlras purpura vejlra togas. Malo enim diuifit quam Gruterianum dimiftt , quod Ms. Berolinenfe quoque habet. Tua , inquit , purpura noftras togas exuit, et nemine in partem admiflb , ra- puit fola omnes. Id eo dicit , quod Paullus homo nobilis , potens et locuples humiillima quaeque officia ita. accurate obiret , Yt nulli quidquam concederet. m leues] Etiam Horatius Carm. 1. i. Ode XV. V. 35. ia choriambico trimetro choreum pofuit : Po/i certas hiemes vret Achaicus Ignis Iliacas domos. Tibullus 1. I. El. I. Y. 85. lam fubrepet iners aetas , nec amare decehit , Dicere nec cano blanditias capite, Olympius Nemefianus Ecl. 1.9. , Hos annos canamque meam , mihi care , fene^am Tu iuuenis carusque deis in carmina cogis ? Viximus et calamis verfus cantauimus olim , Dwn fecure bilares aetas ludebat amores: Nunc album caput , et Veneres tepuere fuh annis, Surdis auriculis] meis, quae iam obri^uere ad voluptates. Quis^ KOTAE AD FRACM.VESTRIT, STVRimAE. 3^5 ^uisqids decrepm ] Haec ita reaitui , cum eflet e Ms, editum a Barthio : Ouisquis decrepiti corporis efi reus » ^at J^^Je ehquii probat, Si Jer^ placidi iura ftlentii, *^-f eJoquii, vt apud Tullium , Milo reus praeclari fa&L ^^s eft'traiedio : /^«^a:, cmn reus eji eloquentiae , fat M^ Hbat , iiue , Je purgat et aliis Jatisjacit. Cete- rum vt ,;t Horatius 1. III. Ode II. 25. Eft e. fidsli tuta filentia Merces. Qiiem verfum feu A\igufl:us Horatio fiue Horatius Au- giifto Caefiri debuit : e(l enim apud Plutaichum ia Apophthegmatis Augufti ad Athenodorum : egi v^ (TI^ yyi^^ dKiy^vyov ysQaq, Euripides in Orefte v. <53p* zqi 0 s (nyy\ Aoyb? Kgeio"0"cL taq rex^as lYeigei, Avra. roj (jlo^Soio 6 16 do-Ka^Kos • Paupertas , Diophante , jola artes excitat^ Ipfa miferi magijlra. tecum fi fapias tibi ] Si tuis contenta bonis a cupiditatibus abltineas. Ariltophanes in Pluto v. 551. T6 (Je Tr/yyfl^g , ^^y <^z\h6]kiVQy h, ror$ zQyo\c, Tr^ocr- e%ov1a Tregiyiy vgcB-oj ^'dvri^ ixyi^iy . ix.y fXcVloi |X'vi^'e7:iXei7re;j'. Mendici vita ejl , mbil habentem miere , At pauperis vita ^ miere parce et rebus fuis vacarCy Hihil vt fuperfa ipft , nihil vero etiam vt deftt. Vitae NOTJE AD FRACM. VESTRIT. SFVRimAE. 327 Vitae magnificis b?fpes honoribus abjokcns mimerum tuae] In MS. Flta y inde Barthiiis , Vltra. Hoc quidem nihil eft. Scripfifle piito Spuiinnam, vt nos edidimus, Magnijicis hofpes honoribus , Yitam peragens alienus ab honoribus et ambitione. Lautis nuda ] In MS. ^nda. Recordare lautos tumultus in domo Euclionis apud Plautum in Aulularia. ambit je patria fertilis in domo^ MS. patriae. Se ipl-mi fordida ob paupertatem quies ambit et amplec1:itur , fe contenta ett ipfa , Yt apud illum Horatianum colonum , qui paterna rura colebat Epodon 11. Beatus ille , qui procul negotiis , Vt prifcd gens mortalium , Paterna rura bubus exercet Juis , Solutus omni foenore. nullis vendita plaufibus ] Sic Barthius , cum eflet in M S. 'vendibilis» Corrumpi fe non fioit a populi aflentationi- bus. Euclio Plr.utinus ; fiemini credo^ qui large blandujl diues paupcri. contemtrix queruli magno animo fori] In MS. magna- nima. Si te ifthuc magnanima metri caulla oftendit , lege magno animo. At Boethius tamen etiam tribrachya recepit , de Confolatione philofophica 1. IIII. metro III. Y. 14. Flere dum parat , 'vlulat. Sed hoc perquam infolens. furtiuis ] clandeftinis procerum cruciatibus , quippe qu^ cum (iiis cupiditatibus , et cum aliorum inuidia , criminatio^ nibus, occiiltis iiifidiis, miiie incommodis aliis conflidantur, fnater -\ ^?i8 NOTAE AB FRAGM. VESTKIT. SPVRINNEA, tnater ] qiiem paupertas inopi in domo natum fibi vindi- cauit , proprium tota ^ita , quem indituit ct formauit fibi , \).ivy\ dyaS-Ujy d-ndvlu^y b-cra aflia , Yt Comicus ait. regina ] vt Comicus in Pluto $i(7i:oiy(X. Qucm paupertas veluti mater et fimul regina fuo fub imperio tenet. Regina et domina , amantium voces. non illum tumidis falcibiis] Barthius e M5. illum '^^ fajcibus . fublimem magirtratibus et muneribus rei pubiicae. nobilitas ] nobilitas curarum , nobiles curae , magiftratuum curae. Et facilem fludibus , expofitum fludibus , peri- culis. Eft enim facilts Maroni , tradabilis , mobilis., Juis orbum fideribus ] Dudum a nauigantibus , qui nodu cynofuram fuam reipiciebant. Sidera paupertatis dicit fapientiam, temperantiam , modeftinm, humanarum re- rum contemtum , quibus qui orbatus fit , in eum quid fibi fortuna non permittit ? Jplendida nox'\ Honores coniundli cum obfcuris periculis. Decor improbe caecus. iidem honores in quibiis infidiae tedae non fentiuntur. Seneca in Odauia v. 878. bene paupertas Humili te&o contenta latet ; Qiiatiunt ciltas faepe procellae Aut euertit fortuna domos. Hanc cantilenam Seneca perpetuo nobis infufiirrat. poftquajn] Eum dicit , qui relidis et magiftratibus et ho- noribus otio fe tradit , fed minime liberali. in NOTAE AD FRAGM, rESTRlT, SfP^-RINNAE. s ^^ in fuo repertt} reperit finc dubio , in MS in jid repetit i at fi ciii choreus non placet , lcgat fuvo , quod etism fenfus poftulat. tumidis littore dentibus] Barthius e MS. tumidis dentwus. Etiam Virgilius dentes atque morfus ancorac nttribuit. fiite'] nifi te fanda quies , philofophiae ftudium ab defidiji leuet. nocfes et ligilans ] In MS : Nos ^ vigiJans fomnis furor Tortis liberat anguibus. Si , inquit , vigilans furor nodes et fomnia non librat t&t- tis anguibus , fi facinorum confcientia nodes et fomnia non fuis exagitat terroribus , tamen minor ahqua cura in- erti femper molefta erit. Freffo pede \t Horatius 1. I. Ode XXVII. et cuhito remanete preffo, circumftant] nebulae ingrati defidii eircumflant. Erat in MS, (ircumflans. Tom, Xh T c Dc DEHYPERBOREIS. AVCTOEIE T S, Bayero, Niilk res Hyperboreos per omnem Graeciam ita cel&- bres fecit , quam quod facra ab iis in Deliim mit- terentur. Eas fuifle frugum primitias triticeis mergitibus inuolutas Herodotus tradidit. (i) Virgines Hyperboreac per- tulere. Antiquilfimarum nomina Delii ediderunt apud He- rodotum , Agyivle ^ flTrii^ Argin et Opin , quae mox poft Apollinem et Dianam natos in Delo fuerint , Ili- thyiae ob felices matrum Hyperborearum partus diuinam rem ex \oto fidlnrae : \ita vero defundae , et prope Artemifium ( hoc eft , ad vulturnum feu orientem hiber- num infulae , vbi fimulacrum Dianae erat , quod AgTe- |ULi(7ioy i^m dicebant Delii , vt Hyperides in oratione Deliaca teftatur apud Harpocrationem ) igitur prope Arte- mifium lepuitae , quotannis Iblemni Deliorum carmine ludisque cultae funt. A Deliis hymnos eos accepere lo- ncs et infulani. Erat autem praeterea haec cultus ratio , Yt, poftquam flicrificauerant , cinerem fpargerent ex ara fu- per loculis Hyperborearum virginum. Hymnos primus Olen Lycius compofuit. (2) Paullo poft Argin et Opin in Delum venerunt ab Hyperboreis Hjperocbe et Laodice. (3) In earum comitatu fiierunt quinque viri , qui deduce- rent. Verum etiam illae in Delo defundae et in Arte- mifio , (,1; U IV. c. 35. C*) «erodotus 1. c. (3; Herodocus 1. iV. c, 33. 35. DE HTPERBOREIS. 331 mifio compofitae fnnt : (i) nec viri redierunt ad fuos , qui quid virginibus fiidlum fit , nunciarent. In Hyperoches et Laodices memoriam pueri Delii et puellae tondeban- tur : et pueri quidem crines cum certa herba permiftos conlecrabant , puellae vero Deliae ante nuptias ponebant crines, et fuio circumuolutos fuper Hyperborearum monu- mento dedicabant. Callimachi hymnus in Delum Vpin , Hecaergen et Loxo nuncupat. Fpis eft Herodoti Opis , et Hecaerge eft Argis ; (equitur Loxo Callimaclii efle Herodoti Laodicen , haud difficili vocabulorum corruptela. Paufiniac , cum haec attingit , nelcio quid accidit \ aut lapfus aliquis memoriae eruditiftimum lcriptorem , aut in- gens librariorum incuria nos fefeUit. Apponam totum lo- cum ex Eliacis prioribus. Herculem ait, (2) ftirpera o- leaftri ab Hyperboreis deportafle ad Graecos : ewau^ ^e dvS-QtLn^S ■> (^i L/Tre^^ roy aveixoy oiKab*i roV l^o^eW, tt^co-» log ikev iv v\kQtj} rw £5 A^aiay e7roi'y]crej' HXvV o'Ay- Kios . a({)iH£c8-iv A(^yty eg A-vfXov' gV Iwy vixe^^oQeuiv rs- loiy . eneira (o^^vjy MeXam^rog Kyp-oc^og es flTriy k, E- _' T t 2 Kaegyvii/ (X) Praeicr Hcrodotum Oemens Ale«ndrinus in paraenetico p. 29. (a) p. 392» 333 LE HTPERBOREIS. Tc(^ov £g rv]/ A^atat/ a^iKovlo h, £5 AriKoy. (i) F^v r««/ ^/?irp m o!eaJln ex Hjperboreis allatam fidjje ah Her- title ad Crasrs : ejje autem eos hombies , qui n;Itra bo- ream ventum colunt : primui. Okn Lycius , in hymno , quem in Jrgin cecinit , au6tor ejl , Argin in Delum ve- nijje ah his Hvperhoreis. Pojl eum M.eIanopus Cumaeus carmen feclt in Opin et Haecacrgen , quod ex his Hy- perboreis etiam ipjae primum qmdem in Achaiam , tum fjero etiam in Delum venerint. Apud eundem Paiifliniam Boi(i eTri^cogia Yi/w^ Boea mulier Phocica aiidloreft, (2) ciim alios Hyperboreos , tnm Olenem Delphis oraculum ApolUnis condidifle : Olenem Ycro primum et vaticinatum et zfJ.[J^.{\Qov genus commentum: (i) Liceat mihi , qiiod Dcli et corrupti iu Paufania loci mcmio m fnemoriam reuocat , apponcr» bona cum venia Ie£torum. Stephanus ByzAnVius: Ohj\xrdzm roiioq iv A^^Xco , hv H-nVot/leg A- S-y^HaToi X(5-^'ixctcriy A^QVjy^ Nlag kB-y\vdq K^Qiavciq eKOr 'Kzcrav , 0)5 0X/yajy iv 0'kv\x.'K\.a.^m irevreKOLi^eKdroct . ro t^viKov OXvixi^iBVS vf OX!J|^7riog , cjg Bv^dvliog. Jn epi- Itola de Theophrafti DcHi praefidis monumento p. 5p. fic fbrte emen- dari Stephanum pofTc fufpicatus fiim : OXi;|A7riSov' roixoq iv Avj- A(i),.ov eKriarau A^-^vcdoi ^^'^^iJiacri)/ A^^iary (y TiJ' iig iTjlsg ivvoix ^(«ojfxeroi , iJ,y)Qi^Sa r^fg TroXewg ) Nga^ A3"VlVa5 A^Qiavag ZKoKecraV' Tandem fub/anxi : 'verum ns fio fiidc-n Stephamffi firip/ijje credo^ ac tV A^iXtp ptms m^ip/iffe , et expun- imlum fjje. Sic tum quafi pro imperio di£labam, vt aniimis hariokba- tu •. Vatem me fuifle non peflimum vidi , poftquam Phlegontis Olym- pionrca eifbre kn^i m Scaligeriana l^OQm i , IloXeig $* iv aL^lJ' (^a&i mivre x, 6eKa TXXyg yiaroiKGV , oVlag EXX-vivog yev^, Tov HgotRXeyg yag TXXov o^iJtis-V XaS«K, E>i^aQ^aQ(jiB-yvom $e rylyg rw xgoVo) Tols yiB-ecTiv Ifogbcri rolg Twx TtXvicrio/. Tojl (i) in Dianam v« 204. DE HTPERBOREIS, 335 Fojl baec inagna ejl Cherjmmjiis Hjllica , Frc^es autem in ea dlcunt quindecim Hyllos incolere , qui ab Jlirpe fint Graeci ; Kam Herculis Jilium Hjllum conditorem habuiffe , Barbaros aittem Jactos ejje paullatim Narrant , e moribus vicinarum gentium. Apollonii Rhodii Scholiafta (i) Eiiftathius iid Dionyfium at ]iie Stephanus Byzantius ab Hyllo Herculis filio dedudam fuiiTe coloniam produnt. Is ert Herculis ex Deianira fi- lius .^ vt ApoUodorus ceterique eum ysvsoLKoy^ori. lam tota vita eius, vt ob res Peloponnefiacas ab eo geftas nota eft , ab hac dedudae fama coloniae abhorrere videtur : nihilo minus Hylli (iuu antiquiflimi iis in regionibus , quae Thracibus ab occafu vicinae funt. Ab ortu et ad Pontum nihil dicam de Hylaea regione ad Boryfthenem, quoniara id nomen quidem Graecum , non autem quod fciam , in- colas Graecos habuit. Itaque Laurentlus Eegerus (2) fru- . ftra fe torquet in numo infcripto TAAIT ( 0 ante T tnm paruum reperitur in numis , vt oculos clariftimi antiquarii in hoc nomine facile fugere potuerit) atque eum numum neque referre audet ad hos Hylaeos , neque iisaem adime- re. Nihil f\ne ad Hylaeos illos , immo neque ad iftos in Liguria, (eft enim eorum eS-yiKov vXkyg) at verius ad Hy- , laeos in Locris. Stephanus : gg-i k, TroXig AoK^o^y raTv jr{0<^oXwv/, yis ro iB-nKov TXoqog. Id igitur Begcro ac- cidit in hoc numo, quod Goltio et Nonio in numo AFA- 0TPI!X1N, qui non his 5cythicis Agathyrfis , fed Siculis ____, ^^'^^wen- (i) Ad Argonauticorum I. IV. v. 515. (2) I. I. p. 468. Thef Brand. 335 DE HYPERBOREIS. tribucndus fiiit , quamquam Siculae vrbis IB-ViKov AyaBv^' crojos tantummodo exftat. At GalHpides noti ex Hcro- doto, qui illa aetatc iam ita defciuerant a Graecis moi> bus, vt EXX-viyeg Xk{jS-oui dicerentur. lisdem temporibus Geloni antea Graeci Budinis Scythis permifti , eorum etiam linguam , panim aberat, quin et mores omnes ad- fciuerant , \t alias oftendi ex Herodoto. Geloni longe ante Megaricas Heracleotarum colonias , longe ante Miie- fias ingrefij terras Tliracum et Getarum traieiftoque Iftro Budinis permifti funt. Panticapaeum ipfo in ore Maeo- tidis fitum Milefiorum colonia fuit Plinio (i) et Strabone ( 2 ) teftibus. F.uftathius ad Dionyfium Pericgeten , ( 3 ) xriG-ixoL TTOjf^os Ai-yiry. Si is fuit Aeetes Solis filius , qui Ephyraeae imperauit , inde profedus efl in Colchidem , pater Medeae et tot fabularum , fuit fiiius eius haud ita multo iunior Hercule. Stephanus Byzantius : nayriK,a- 'nouiov oiHio-^-v) iza^oL Ai-i^ry Traj^og , Xa^oVlog lov rdiiov n^aQo, Aya-yiS-y rs ^Kv^m ^adikmq. Nugae : quis enim Colchicis fibulis tantum tribuet ? tamen fima yidetur ve- tus , Panticapaeum iam ante Milefios colonos Graecam vrbem fuiffe. Milefii autem eodem tempore Olbiam et Iftrum Yrbem condiderunt Piinio et Strabone teftibus. 01biam,quae et Eoryftlienes, (audlorem habemusHerodotum) pcrperam Pomponius Mela et lornandes et Geographus Rauennas vrbes diuerfas fuifle tradunt. Tefte Herodoto ciues le malebant Olbitas Tocari , Boryfthenitamm enim nomen Scythis yicinis ad Boryfthenem relinquebant. Ta- menHerodotus ipfe Olbitas etiam Boryfthenitas appellauit, et CO i. IV. c. la. CO P. 358. 0> V. 31X, LE HTTERBOREIS. S37 «t Bion ille Olbita haud aliter quam Boryftlienlta a Dio- ^ene Laertio , Athenaeo , Hefychio Milefio , ceteris nun- cupatur. Quare Graecis notius (emper hoc nomen iiiit, adeo \t aiterius memoria etiam apud ipfos Olbitas inter- mortuum fit, cum Dio Chryfoftomus ipfa iii vrbe haud aliter ciues diceret quam Boryfthenitas . Ab Olbia eft OlbiopoUs , Plinii et geographi Rauennatis Olbiapolis et Oliuapolis. (i) Situm vrbis Strabo (2) ducentis a Bo- ryilhene ftadiis defitiiuit. Herodotus , Stephanus , Dio Chryfoftomus, Scymnus Chius, incertus audlor peripli Pon- tici intra Boryfthenem et Hypanim fluuios. Scilicet eo inloco, vbi flimii exonerantur , magis tamxCn ad Hypanim. Qiiare in Herodoto vtco rw TTravi fine dubio emen- dari debet Hl rw TTra/t. Nam Dio Chryfoftomus di- lertKrime omniura fcribit, (^) vfbem a Boryfthene no- Tnen accepiffe 6b magnitudinem et pulcritudinem fluminis, iitam vero efie ad Hypanim liipra Hippolai promontorium, quaerebant fuos illos Hyperboreos. Atque cum TiieQ^^oQeiog fignificet gcntem, quae incolit ri {ji:dQ}i]ia K.Xi|j>.ara, vt PKitarchi fenfu vtiir, ficut et Strabo expiicat , (2) tum vero illi vsque et vsque fub feptemtrione Hyperboreos illos quaefiuere , donec Hjferboreae elaujfrum glaciale Jiib vrjae atque vltra anni folisque vias fibi vifi funt peruenifle. Alii X7r£(5§0(^£yg tamqunm hi:eQ^awov]aq oQoy^ feaill humani terminum egredientes dici , , cenfuere apud Feftum : et hoc iaclo ab etymologia fundamento tam lubrico infinitas fa- buks (1) Herodotus I, JV, c- 32, (^?) p. 58^, DE HTPERBOREIS. 343 bulas de longaeuitate eorum confuemnt , quales exdabant apud Pindarum , Simonidem , Megafthenem. Maitianus Capeila p. 141. ?oJl [Riphaeos) viontes trans aquilonem Hy- perborei^ apud quos mundi axis continua motione torquetur^ gsns ■ moribus j prolixitate vitae^ deorum cuHu^ aeris clementia^Jeme' Jiri die , Jine etiam habitationis humanae praedicanda. Alii hiil^ ^oQsav interpretati funt , tamquam boreas ventus illo populo fit citerior. Pindarus in Olympionicis (i) \^e KoiKeimy x9-oVoe TT^oiag cniS-sv Bo^ia, en illorum terram vltra flatum horeae frigidl. Seu vt Seruius : Jupra quos horeas flat. Macrobius vera fidfis mifcens : (2) locorum, inquit, Juper Scythiam omni' um tncolas vetujias Hyperboreos vocauit , quafi originem bo- reae introrjim recedendo tranfijjent , adso aeterna paene pre- muntur pruina , 'vt non facile explicetur , quanta fit illic frigidae nimietatis iniuria. Ifthuc cum Herodotus iam ante fe iadari videret , ab adfenfii fe fuftinuit , idque ea cauflli cenfuit abfurdum e(fe , quod Hypernotios quoque efie oporteat , fi in hunc modum fint Hyperborei. Ob hanc cauffim Eratotthenes (3) Herodoto coCpia-jjLarog ca- lumniam impingit , cum aeque probabile fit, Hypernotios efle , Yt ex eo, abfurdum alterum efle, minime intelligamus. Sed Olen ille Lycius et prifci Delii nihil aliud dicebant , quam vltra Thraciam , quae Graecis efr fub (epremtrione, homines Graecos genere fuifle,qui Apollinem fumma religione colerent, et (i) Odt III. V. 55. (2) p. 147. (3) apud Straboncm p. 57. 58. 34^ - m HTPERBOREIS. inter Iflmm BorylUicnem et Volgam obtinentlbns. Mf- lelios dediixilTe Stmbo (i) confirmat. Idcirco Stephanus Byzantius : ATroXAwviay ToJy Iwvwy vocat. loannes Har- duinus in numis Yrbium : cjl altera qiiidem ATToXXoiricc TcJv li^mv in Ihracia eodem auBore Stepham : loniam tamen di&am ejje aJiquam Thraciae regionm fidentcr «^- gamus.. Tamquam id dixerit Stephanus^ aut tamquam ifihuc , quod dicit , noa modo ad fubleftae fidei , fed ad voS-£ic{5 quoque maculam geographa inurendam idoueuin fit. Qiiis noa videt Stephanum' faltem lonum coloniam dicere. Eft lane numus AnOAAflNIEnN EN IXINIA, non tamen ex; eo numo finxit Stephanus AIIOAAH- NIAN Til.N inNflN. lonum dicitur, vt diucrCa eflet ab Apollonm , eadem in Thracia ad Sfrymonem. Sunt deniw que aliae \rbes ad Pontum magno numero partem aMi- kfiis conditae , partem ab Heracleotis*. Ab his Graecis iuxta mare Adriaticura- , axit ab Ge- Ibnis ,, ceterisque ad Poutum legationes iftas Hyperboreas- "venifte puto. Non ed contemnendum ,> quod Scholiafta Pindari ad Pythionicorum odam quartam annotauit : Bo- Tcc tS So^^gy 7rv£'j.|jLala. Boreos Graecl wcarmit Thra- ciae incolas ob 'ventum boreum. Atque idcirco raptum Ori- thyae (illa Erechthei filia, Pandionis neptis fuit) ita inter- ptetatur , quod non vtique aquilo ventus , dXh! dyr\Q 1i$ roiv Iv QQaKy\ ho\M.m eam fecum abduxerit , vt ille quoque heqI di:iqm fiue Heraclinis fiue Heraclides. Ita- que fortaflis Hyperborei , qui vlira Thracas , vc Conftaa- tinus Porphyiogenneta (2) }j^ 'z^^-vy^ 'ndKhi 1e k, fxeYig-cc tti) D,. 3,7,0«. (2) de adminiilr. iwpedo p. 78. cd Baucl|. m IITTERBOREIS: ^4* mfloi5 ^ roxg o^eori roT^ P^Traioio-iv , cB-e\^ o ^ogeT]^ TTvefj, fita ejl Jjub ipfis irfis et niontibus Riphaeis^ mde bo- reas flaU Qiiare ^eturtiliiiiii mortales^ in- Graecia , cuni" ■vix Yltfa Ponti littora et vltra Danubii ripam venerant, inde iam boreae regnum ordiri credebant, et interiora co- lentes- aut etiam liib ipfo borea Graecos fuos Hyperboreos dixerunt. Huc aecedit, quod caeremonias Hyperborearum mulierura in Delo apud Paeonas et Thracias muliercs te quoque aetate obferuari Pferodotus animaduertit. (2) Ne- que enim fine ftipula- friticea f-icra Dianae ficiebant , fiue id a Graecisr acceperint m*ulieribus ,- feu Gra^ca^ a Threiflis. Poltquam virgines ab Delo ad Hyperboreos non funt re- iierfie , non aufi funt ab eo tempore filias tantadirtrimini" committerc , itaque f*icra fua ad vicinas gentes milere, vt adeo intelljgi poffit , Hiper Thracia hos Hyperboreos coluifle,- Id oftendam- poftea' ex Herodoto : nam mihi adhuc aliud; in menrem venit , quod hoc loco obferuem. Vetnfliiri^ inam eam caeremoniam Hyperboreorum fuifle , vt virgi- nes filias mitterent in Delum , vel ex eo adpanet , quod- fcriptores' comraemorant, tertipora vicina partui Apollinis et Dianae fuifle. Poflea pjane defiifle- videtur illa religio^ apud Hyperboreos , cum (e magis miiGuiflent barbads po- pulis. Nam hymnus in Apollinem , quem Homero Thu- cydides attribuit , Cynaetho- Ciiio aatem Eulbthius im Homerum, et Scholiafla Pindari in Nemeis , nihil. de' his^ . V V 3 H y pcr - 33S JDE HTPERBOREIS. mores metropoleos. Immo de vultii quoqiie cuiusdam Glli- ftiMti Borylthciiitae Dio, ttoXu IcjJj^ik^V rs ei^yg habuKTe di- xit. Amor marculus irthic>t apud Milefios : colebant etiam Achillem iu heioibus omuibus maxime , et Homerum in poccis. Homerum enim lones fibi vindicabant , quod fa- ma cfTct , tc(lc Eufebio , Homerum in migratione lonica fuifle. Achillis autem lepulcrum apud le cfle Boryflheni- tae gloriati (imt, et alia eius herois monumenta in fuo ioio conleruariiut. Dcfcitum tamen eit in colonia et a Graeci puritate fermonis et ab hiibitu , qucm a Melanchlacnis acceperunt. Mercatura cum alia , tum faiis fuit. (i) Vrbs calamitates multas perpefla , ad extremum a Getis occu- pata et aequata folo eft. Neque enim cum Dio eam cer- neret , fitis ampla pro veteri gloria fuit et male in pri- mis aedificata. Turres tantum e vetuftis monumentis antiquae ampUtudinis telks in circumiacentis agri ruinis funt confpecflae. Vna res faluti fuit euerib oppido , quod bar- bari cernerent , fe mercaturis Graecis aegre carere , vt ne- cefle effet Graecorum frequentiam hominum in agro per- mitti. Dixi fupra, iisdem temporibus Iftrum vrbem Pli- nii, et Rauenuatis Iftriopolin , Arriani Iftriam conditam fuiile ad Pontum. loannes Harduinus numos Septimii Seueri et Alexandri Seueri adfcrt I2TPIHNX1N infcri- ptos : Goltius vnum II^TPIHflN infcriptum fignatum- que duobus capitibus , quorum vnum ad feptemtrionem , alterum ad meridiem verfum videtur. Laurentius Begerus eodem in numo legit ISTPIHA. Nos in hoc numo argenteo , quem Buxbaumius CPli attulit , nunc vir am- pliifimus lofephus Nicolaus Deiislius collega nofter cum ce- teris ^i) Omnia ex Dione p, 437» DE HTPERBOREIS. 339 teris pofTidet, diferte legimus .. ^^TPIA . . vt fit I2!TPI- ANHN. Stcphanus Byx:;'Antius : l(^Qog h rw novtt^, Ao}icJLVQq 0^\<;Q\.a.v d.uty\V (^yf\ . tl 19-mcV Ig-^^iav^g. Sic (ane Arrianus in periplo Ponti Euxini (i) et frag- nientum peripli alterius (2) I^-i^iavcJ^/ Xi[xvv'. Begeri iu- dicio duo inucrfii capita fitum \rbis fignificant , vt teftudo Peloponnefi , hq^^jkiKzv Siciliae : inuerla autem funt , quod Iflrus in confiniis Europae Afiaeque , quas dirimat Ifter , fita duas orbis terrarum regiones refpiceret , vt lanus bi- frons fua tempora. Metuo ne coniedura magis fit in- gcniofi , qunm vera. An potius eo hoc pertinet , quod vrbs duas in diuerfis partes effet lcilHi muro per medium oppidum dudo , vt Emporiis in Hifpania fuifle T. Liuius (3) teftatur ? In auerfa phocaenam magis dixerim , quam , cum Begero delphinum. Pertinet fuie ad pifcaturam di- uitem ct in flumine et in mari. PercuflTus enim numus vidctur pauUo poft Alexandri Macedonis aetatem , cum Graecae coloniae opibus maxime florerent. Miiefii etiam ad Pontum condiderunt ApoUoniam , circiter Olymp. xm. Sic Scymnus Chius Iv Tra^^i^iyvjcrq (4.) M£9-'rv 7:0X15 (j-ivoQzc, -yj ATroXXwria T6.\j\y\v $£ i^QcrsQoy grecri nev^vKovloi -Tra Kri(^b'cri rviq Kvq^ SacriXeiag rvV ttcXi^^ Ei$ r-sg roTryg ixS-ovleg oi MiKycrioi. Finitima , inquit , pojlea eft ApoUonia : eam annis adnio- dum quinqimginta ante Cynim regem Milejii in haec loca •projetli ., ^orbem condidere, Qiiinquaginta annis ante Cyrum regem efl circiter Olymp. xLii. Scythis iam regiones ^ V V 2, inter Ci) p. 21, CO p- p. C3) 1- XXXI V. 9. C4) V. 729, 3 4-4- 1^^ HTPERBOREIS, ct io Dcltini mirtcrent facra. Sine certo gentis nominc friiltra quacfiti runt feptemtrionales illi lcii hyperborei. Scy- thiie niotem , cum quis de Hyperboreis quaereret , non ali« ter iHterpretabantur , gua.m gcntes ad feptemtrionem fita?, Melanchlacnos puta Androphagos : \ltra cnim ad (eptem- .trionem nullos ie populos nofle ferebant. Iliedojies autem Ponticis percuqdlantibus primum Ariniafpas et Aegipodas ad boream colere narrabant , vlfra eos gentem quidera ignotam , attamen feptemtrionalem quemcunque popuium. Hic protinus Graeci (in quibus eft Herodotuj^) Hyperbo- rieos pofuere yitra Verchoturios montes feii vltra Ripliaeos, vt habet quoque Hellauicus Milefius Herodoto fuperior. (i) Ex Herodoto aut a magiftro fuo Hellanico liaufit Damaftes Sigeenfis Herodoti aequalis , qui vnum hoc ad- iecit , lios montes viiec^^o^i^s xa9-vf>t£ii^ iiq tYy kleQa)^ S-akao-fTOLV, Hyperboreos pertin^ere mque ad extremum mare, Itaque Sibuia eO: , quae commodum a Daurico vocabulo Sibir (nam ita ^t Perfis fMixt) nomen accepit : . nanj Sibir eft jeptemtrio. Hi \tique non funt illi Delio de* uoti Hyperborei. Nulla tanta yanitas mihi in mentem veniat : attamen funt Hyperborei Herodoti. Paufanias quidem (2) in ea fententia fuit , a qua a.bhorremus. Nam mngnifice le gerit jet Y.iara oftendit , qua mergites triticei mifti fuerint in Gracciam. Ad Arimafpas et Ifledonas et Scytiias a Sinopen, et Graecis iam perferentibiis ad Pra- fienfes in Apoihnis templum in agro Attico , hinc Delum. Iter ex Herodoto conficflum fortaffis non a Paufnjia , fed a poetis ante eiim , qui nihil penft habebant ., quantura quidque verum eftet , modo populo placerent , quas fe- ciflTenr fibiik^. ^ Hero- (^ij apud Clcmentem Alesandiinum p. 305, (a) p. 17. DE HYPERnOREIS. "34.5 Herodoti aetate toa erat, vt fiipra dixi , (acra Hy* pcrborea a mari Adriatico mifla fiiiffe. Protarchus apud Stephanum , homo , vt puto , Bargylintes , rog AXTreij PiTTeia 0Qy\ Tr^oo-yiyogetxr^ocf , x, rag vno ra AXTrocjflt J'g>j KoLloiK^ylag Travlag T7r£gSo^£y$ oVo|i.a2|'£cr^oc|. Pin- darus vero quafi veftigia fugientium ab Hadriatrico fmu ad interiorem (eptemtrionem odoratus , fedem Hyperbo- reorum ad iftri fontes conftituit in Olympionicis ; (i) cau- tus tamen prouidusque futuri , pone le veftigia viae eiu« deterfit in Pythionicis: {2) yava-l 6'ire ite^oq lcl^ . iv^oig a\> eg YneQ^^oQetjiyf ayoj- ya B-avixag-oy 6$6y. ■mon nauibus non pedejlri itinere ad Hyperboreos penetrare datum eji. Heraclides Ponticus vicinus temporibus captae a Gallis Romae , vt habet Plutarchus in Camillo , is , inquam , Heracleota, cuiusvitam fcripfit Diogenes L^ertius, gentes , qiiae Romam ceperunt , ab Hyperboreis profedas tradit. Cimbros dicit , qui vtique a leptemtrione vene- junt. Cum tam longc et in incerta regione ftti eflent Hy* perborei a veteri fama vift funt mereri poetis , vt fabu- larum feraces eflent. Ne dicam quae de Apolline et Perieo et Hercule inter eos commorantibus Pindarus ceci- nit , ne , quae de felicitate populi , de iuftitia , de vita longa et cetera in modum Platonicae reipublicae aut \\x- naris a poetis finguntur , vt rede viderit Clemens Ale- xandrious ( 3 ) raq rZv lCi:e^^0Qe(j}v x, A^ijuiao-Triwy 'tto- "^eis K, HXcxrta 7re(5ia <5^iKai(x)K TToXireL/fJiala yeyovevcfJ[ , Tom. XI. Xx nc 'S4.cy J^E HTPERBOREIS: m V dicatn" dp \ templq Apollinis . ct Inco ,. de jpomis ' ^ureis et/hortis HelpcridiunM. Luciiuius ialrem im Piiilopleiidef inipiciatur , quam ridieuin?s^ praettigias Hyperborei liominis^ impune commcntus fit. Nec fibi , ne f-iceret , iaterdidumr putiuiit, et exditere exempla , qiuie imitarctur.i Ex liis colligi poteft j quomodo nos gerere O^orteat,' cum Yiri maguo ct excellenti ingenio .omn4:m operam' i^^ eo conlumunt , vt quaecumque de Hyperboreis - xn 'Orrrnr' antiquitate commemorantur , ea ad Scandinauiam applicent.-- In iilis fuis tesquis regnant et auguria capiunt. OIjuIs Vereiius in notis . ad Heruarae l^abulam contendit : Hy- perboreos aut^ nusqu^m jgentium :aut in Scandinauia vel certe in extremis regionibus :ad glacialem oceanum fedes fuas habuiile. Cum enim , linquit , ipfi Scandiani veteres feptemtrionalem hanc plngam femper appelhuierint Nordurbaljo heimftns ctKorcimiand et fe;ip(bs Nordmenn^'- iftius nominis fignificationcm 'fmia ad fe delatam vocabillo^ Hyperboreorum exprefiere Graeci. ilmmo alia ^ia/inces-? fit Olaus Rudbequius in Atlantica , 'et uvTo 't^roro YireQ' ^oQSicv non Graecumi , 'fed Scandinauicum 'fonare edixit. Elfe enim Hyperboreos quafi Tferborne^ 'illuftri loco natos. Atque tum ille nrero ^omnia ^ndique 'ex wetuftis -mohu-t mentis congerit et in liac arce ilia dedicat.: 'Non-iinuideo Scandinauis Hyperboreorum nomen homo 'Prutenus , qui 'memini eos in patria imea fub borea 'tefpici. At pati non poteft Tliormodus Torfieus (i) Noruagis (iiis id eripi' nomen , quod maiori iure Tindicare poftint , tamquam ttotius iScandinauiae =Hyperborei. Cetera quae aduerfus >Rudbequium diiputat , non minus funt doAa , 'qtiam in- :genio&, ~ ^x) HUl. l^oiu. 'T. 'I. p. 7. feq. ""'^^ — — m. mPERBOrREIS: -347 ^eniofa. Etiam hic vetus eft error iii Scandinaiiia , natiis lab intemperanti eruditione , vt Hyperboreos fc cflc arbi- trantes Abarim philofophum fuum fuifle praedicarint. lu hiftoria Hialraari regis JBiarmlandiac atque Thulemarkiac , jqnam/feGundutn loannem Peringskioldiim Georgius Hicke- .fius edidit,:(i): haee leguntur ex Peringskioldi interpreta- tione : ex Graecia aduenerunt Abaris et Samolis {Abof ok Samolis ) cum pluribus eximiis viris , qui mox grati acceptique Junt : inclutus ea tempejiate erat Hialmarus rex. Abarin flibulam putat et refpuit Herodotus. Alii eum Hyperboreis inferunt , ( ex quo nudor Hialmarianae Iii- ftoriae Scandinauis yindicauit ) et Olympiad. III. infcribunt. OXiy^7na(5^wv amy^aCpv) , quam Piilegonti Traljiano et A^agig £^ XnzQ^o^mv Tr^ga-^rjlv^ eig r-yjv EWta1a rvjv siKOs-yiV x, 77^03* ^y^v (yk\i]y.ii\i^cf.. Pindarus Kala K^clcrcy rcv Al/^oV ^cfsjxkia. j itaque (ane ante Olymp. LVIII. Eufebius Hie- ronymo fere concinit , qui Olymp. LIV. 2. Abaris de Scytbia venit in Graeciam , hoc eft , ex eius rationibus annumiUMim ame Croeliim regem. . Qiiomm fi. onis ve- rum cognouit in tam obfcura re , aequalis Zamolxis efle non potuit Abaris. Nam Zamolxin confentiunt fere omnes Pythagorae fimukim fuifle. (3) At Abaris aetas fecundum hos audores incidit aut annos ducentos ante Pytliagoram natum , aut annos CXXIV. aut denique in X X 2 annum X^O Ihefauri linguaiuni Scptemti', T. IJ. p. 128. CO P* 5* 54» DE WrPKRBORm annum fextnm Pythagorae , recundum Henr. Dodublli ra»- tiones in exercit:itione de aetate Pythigorae, cumnondum nacus eflet Zamolxis. Eufebius aliis auAoribus Olymp. LXXXII. 4. Abaris Hyperboreanus hiriolus agnojcitur. Hoc folum congruit Zamolxis aetati. Sed quis in tanta varietite aliquid veri Iktuet j cum iam liia aetate Hero^ dotus Abarim exploferit l ^ -; nofi o OBSER-> GBSERVATIONES ASTRONOMICAE IN SPECVLA ACADEM. IMPER. SCIENTIAR, AB ANNO MDCCXXXIX - MDCCXLV, lojepho Nkolaa Delilio cum Jodis injlitutae. St. n. lanuarii 5 52 :emp. verJ' Anno i73^« 7* 7^34^^ I ^ertius fatelles euanefcens , intrauit I JL in Ymbram adraodunt exiguus ; (neDula autem in ip(b momento in- itroitns fiiperueniens , illum aeque ac .reliquos fatellites oculis fubduxit ; hinc |dubium oritur , annon iramerfio to* talis dimidia miniiti primi partc tar- dius acfidcfit, Obreniatio tubo re« iledente 5. pedum inftituta, 9 10 SS loue e nebula emergente tertius fa* telles eodeni tubo cx vmbra emer- fus confpiciebatur. Ceterum non- dum tanto lumine , quo fiilgere alias Iblet , gaudebat ; hinc emerfionem primam fiiltim ante minutum pri- mum accidifJe coniicio. 6 3 15 Emerfio i. Coelo frdmodum fereno pbferuata eo em fere momento tu- ibb 15. pedum Campaniano^ etiuba jrefledente 5. pedum. Xx 3 Emerfio :onr'^: .35^0 OBSERVATlOmS ASTRONOMlCAE. n. i\. temp. vcr Febr. ..105^ 4.^ 3 JS6 17 8 38 218 12 2^5 10 27 II 40 9 20 lulii 30 Aiigu(ir25 31 Septemb. Anno 1739. Emerfio 3 . Tubo refledente , cre- pufculum autem admodum fenfibile, obferuiitionem quarta minuti primi parte circjter dubiam reddit., Immerfio 3 .Tubo refledente> temporc Emerfi0 3. Tubo refledenttS fereno Emerfio 2. Tubo refleden^e , tem- pore fereno. ^^ Emerfio i . Tubo reflecflente , tem- pore fereno. Secundus (atelles nondum apparuit ^ etfi per tubum refledentem emer- fio iam ante 22. minuta, lecundum calculum obferuanda fuiflet. Cete-' rum aeris conflitutio diutius obfer- vationibus inuigilare non permifit. 13 18 ^plmmeiao i. Tubo refledente , quae forte nonnulla minuta fecunda ferius acci^it ,* prouti e circumllantiis tem- poris cbnieci. Imfneffio 2. Tubo 15. pedum Cam- paniano. Dubitatum fuit annon i(Jem fatelles adhuc eodem tubo appai:eat. Eadem Immerfio tubo refledente , obferuata fuit. Immerfio i. Tubo i^.pedum Cam- paniano. Iifimerfio 2. Tubo refledente coelo fereno ct; tranquillo. Im- i'2'58 30 58 35 59 15 9 57 3? 15 3^ 10 OBSERFJTIONES ASTROWMICAE. 35X n. ft. 23 30 Oaobr. 14 Nouemb. -Decemb. temp. vcr.J . Annov.1739. ii^^S^/iS^Immerfio i. Tiibo 1 5 . pedum Cami paniano. 54 37Eadem tubo refledente c6elo fereno. 10 16 slmmerfio i. Tubo i^.pedumCam* 'paniano. i<^ 2 5Eddem tubo refiedentc coelo claro et fereno. 12. II liVlmmerfio i. Tubo refieaente. Ne- bula in inftanti fuperueniens fitelli- tem oculis eripuit , qui- iam fatis diminutus erat, ex quo colligo , im- merfionem totalem aliquot minutis fecundis lerius accidifle. i^ 3 S^Inimerfio m. Tubo irefleftente (coela jfudo. 10 '32 48lmmerfio x. Tnbo 35. pednm Cam- paniano. ; 33 cDubitatum fuit :annon ladhuc :appa* reat. • 33 i^E^dem Immerfio ttubo arefle^lentej ■^' ■'" ^coelp fereno. 12 28 45lnimerfioi. Tubois.pedumCam- t^L. ... - ipaniano. '•2iS"47'Eadem Tubo i:eflea:ente|5. pedum 'jdbferirata. 8 i^o islmmerfio i. Tubo 15. pedum coe- ''^ lo nonnihil nebulofo. 12 18 42lmmerfio 3. Tubo refledente. 13 o -laEmerfio ^. JEodem .tubo. lEadQm iii OdSERVATlOmS ASTROKOMICAE. n. (l. Itemp; wer. \ Amio 1*1^9. Decemb.i.13 o'''55'''^Eadem immedio tiibo 15. peduro Campaniano oblerunta. Coelum equidem (erenum erat , ni^ mia autem fatellitis -et louis vicinia, , obferuationis certitudini quodammo- |do impedimento efle potuit. 7 28 aEmerfio i. Tubo refledente. 28 25 Eadem tubo 1 5 . pedum Campanla^ no propinquitas louis et fatellitis, ob- feruationem tamcn quodammodo ia- certam reddere potuit. 17 9 12 sEmerfio^. Tubo refledlente , coel^ {fereeo,, ri 10 isEmerfio i. Tubo refledente , coelo (ereno, 1$^' 5 38 'a^Emerfio i. Tubo refled^nfe, coelo fereno. ft. n. Januar. 27 Februar. 3 temp. ver. Anno 1740. 7* ^^^^^''''Immerfio 3. Tubo refledente, coelo fereno. •. ^ ^:^ t \ ^ oS^elles iam emerfus magnitudine [confueta confpicieb^tur. 47Primus fatelles ex vmbra emerfus apparere incipit iubc^refledente. ISet bula autem, forte emerfionem- ali- quanto tardius conipicicridam prae- buit, ,.,. ;:[ Emerfio 9 55 5 51 OBSERVJTIONES ASTRONOMICAE. 353 ft. n. Febr. 1 2 Martii 4 ft. n. lanuar. 25 .27 Febriiar. 8 emp. ver. 6* 5' 39 8 2 20 Anno 1740. Emerfio 2 . Tiibo 1 5 . pedum Cam- paniano , dubia , per aliquot minuta ^ecunda, ob nebulam tenuem exortam. Emerfio i. aeftimata. Satelles di- midia minuti primi parte ferius (e conipiciendum praebuit ; tubus ni- mirum refledens , obferuationi in- (eruiens e loco mouendus erat. Finis obfemationum , ante iter in Sibiriam Jusceptum , injiitutarum . Objeruationes Satellitum louis Petro* poli infiitutae , pojiquam e Sibiria re^ dux ejjem. temp. ver. Anno 1741. 13^ 16' 6" Emcrfio 2. Tubo refiedente, aliquot iminutis fecundis circiter incerta. 12 45 • ^Emerfio i. Tubo 15. pedum Cam- jpaniano. . 45 I STubo refledente 7. pedum , non melioris notae. 4 57 isQiiartus iluelles in vmbram intrans, adhuc debili apparet lumine tubo re- fledlente 5 et 7 pedum. 58 o Certe \ftroque Tubo non amplius con- fpicuus. 5 34 24Emerfio 3- Tubo refledente 5. pe- dum. Tom. XL Yy Eadem ic 554 OBSERFJTIONES ASTROyOMlCAE. i\. n. Februar. i c remp. \er. | Anno 1741. o°34.^ 26^^E:\dcm Emerfio Tubo refledente 7. pedum. 16 37 49Emeifio i. Tubo refledlente 5. pe- dum admodum incerta , quoniam fatellites non bene rant , ob louis es confpiciendae e- guam admodum altimdinem. 14 5 31 ^sEmerfio i. Tubo refledente 7. pe- jdum. Prima Emeifio quinque mi- nutis fecundis citius accidere potuit. 17 10 35 i^Emerfio 3. Tubis refledentibus 5. et 7. pedum , fi aliquot minuta fecun- da excipias , certa. ipio 30 2oEmerfio 2. Tubo refledente 5. et .7. pedum. lupiter e nubibus emer- 'gebat , fitelles autem admodum dc- bilis erat , ita , \t obferuatio non fa- tis certa fit cenfenda. Mart. 25 (J 48 5oEmerfio 3. Tubo refledlente 5. pe- dum , certa , fi aliquot minuta lecun- da exceperis , ob claritatem diei et \iciniam fitellitis. 3011 18 i^Immerfio totalis 4. fatellitis , tubo refledente 5. pediim, adm.odum diffi- cilis obferuatu, ob motum nimis len- tum huius fuellitis. Immerfio haec 10. minutis fecundis citius tubo refle- dente maiori 7. pedum obferuata fuit, qui louem et fatellites non aeque diflin- (^os, ac alter cxhibebat. Emer- OBSERFJTIONES JSTRONOMICAE. 355 Au^. Sept. ft. n. :emp. ver- | Anno 1741- Mart. 3C ii*4.o'io"Emerrio I. Tiibo 15. pedum Qm- Ipiniano. Hic flitelles aliquot minu- 'tis (ecundis liUtim ferius per tubos irefleAentes 5.et7. pedum apparuit. 13 II 45Emerfio 2. Tubo refledente 5. pe- dum ct tuboi5. pedum Gampania- no. Vicinia huius et primi (atelli- tis , emerfionem hanc quinque vel iex minutis fecundis ferius confpici- cndam praebucrunt. April. 8 8 <^ 5oEmerfio I. Tubo refledlente quinque I pedum. 43 24lmmerfio totalis 3. fit. tubo 15.. pedum Campaniano. 43 46Tubo refledente quinque pedum. 3 29 Emerfio i . Tubo refledlente 5 . pedum. 1 5 30 Emerfio^. Tubo refledente 7. pedum. 30 14 Emerfio 2 . Tubo refledente 5 . ped: m. 30 2sEadem obleruata tubo 15. pedum Campaniano. 2914 33 olmmerfio i. Tubo refledente 5. pe- jdum , dubia. 2 1 1 4 50 45 Imm.erfio i . Tubo 1 5 . pedum Cam* paniano. 50 5oF.adem tubo reflericnte 5. pedum. 28 16 45 27lmm.erfio i. Tubo 15. pedum Cam- pani-ino. 45 4(5Eadcm obfcruata pcr tubum refle- dentem 5. pedum. Y y 2 Immcr- II 15 10 16 9 24 10 35<^ OBSERf^ATlONES ASTRONOMICAE. (l. n. Oaobr. 4 Nov. 1 3 2.0 2p Decemb. 8 15 temp. ver I5^29'i8" 17 10 30 19 3 5^ 4 15 23. 24- II 42. 13 42. 27 10 42. 22 42 35 13 32 4 32 10 9 50 5 50 2C Anno 1741. Immerfio 3. Tubo 5. pedum refle- dente , dubia. Immerfio i. Tubo refledente. Nu- bes rariores- obferuiuioni impedimen? co efle potuerunt.. '^mmerflo i .. Tubo* 15.. pedum Cam^ paniano.. Eadem; obferuata^^ tubo 5 . pedum.. Immerfio i. Tubo 15. pedum Cam- paniano eJi reflecftente : dubia , ob nu- bem? ipfoj momento* immerfionis fu- peruenienterrr.. Immerfio r.. Tuba 15;. pedum Cam- paniano* Eadem; tubo refle(ffente 5. pedum. Emerfio 3.. tubo refledente 5. pe- 'dum> / Eadem emerfio obieruata tubo 15. pedum Campaniano. Satelles loui nimis erat \icinus \t de tempore (at certi efle haud poflimus. Immerfio i . Tubo 1 5 . pedum Cam- paniano. Eadem tubo refleclentc 5. pedum. mmerfio i . Tubo 1 5 . pedum Cam- paniano. iadem tubo refledente. Immerfio- OBSERVATIONES ASTRONOMICAE, 357 ft. n. lanuar. 8 ip 26 Febr. 15 20 28 IC 12 Mart. temp. ver. Anno 1742. 17^42' 20" rmmerfio 2. Tubo 15. pedum Cam- paniano. 42 25'Eadem Tubo refledlente 5. pedum. 9 29 ^almmerfio 2. Tubo 15. pcdum Cam- Ipaniano.. 29 57Eadem tubo refledente 5. pedum. 12 o Immerfio 2. Tubo refledente 5. pe- dum , difficilis obferuatu propter lo- vem oppofitioni cum fole admodum propinquum. 14 8 isEmerfio i. Tubo 15. pedum Cam- paniano. II 57 KSEmerfio 2. Tubo 15. pedum Cam- panianoi 14. 3 4^. cEmerfias^,- Tubo) 15^,. pedum. Camv- baniianoi. 15 5 9» 3 2 Emerfib 4. Tubo reflec^ente 5^ . pedum.- 14 25 30 Emerlio i . Tubo refledenre 5 . pedum . 8 54 5 timerfioi. Tubo refledente 5,pedum. 54 21 Eadem emerfio.Tubo 1 5 . pedum Cam- paniano. 16 22 2 8Emerrioi. Tubo 15. pedum Cam- paniano. I o 40 0 Immerfio 3 . Tubo 1 5 . pedum Cam- paniano. 40 25 Eadem immerfio. Tubo refledente 5.. pedum. 14 15 3 5 Emcrfio 3 . Tubo refledlente 5 . pedum; . 24 1 1 49 22 Emerfio 2 . Tubo refiedente 5 , pedum. Y y 3, - Eadem; 17 18 35 S OBSERFATIONES ASTRONOMlCAE. {\. n. Itcmp. vcr. Marc. 2^11" ^9 ^3 2514 41 I Anno 1742. iKndem emeifio.Tiibo 1 5 . pedum Cam- ipaniano. ilmmerfio 3. Tubo 15. pedum Cam- 2.612 28 April. 4 18 23 Maii 20 ^3 Oclobr 30 Djcembr. ) is 11. n. lau.i.ir. 26 21 Febr. i t Iviair. 1 1 13 10 9 10 18 ^3 i8 jpaniano, fi 10. 1. 12 minuta fecunda jexcipias, certa. 48 o Emerno i . Tubo rcfiedente 5 . pedum. 48 2oEadem tubo 15. pedum Campaniano. 17 45 iimerfio primi, Tubo refledente 5. pedum , nimia claritas diei oblerua- tioni obefle potuit. 1445 Emerfio i .Tubo 1 5 pcdumCampaniano 7 55Enier(io2. Tubo refledente 5. pe • dum , hinc emerfio forte 15. yel 20. 'minuta lecunda citkis accidere potuit. 7 5 ^Emerfio i . Tubo rcflccflente 5 . pedum. 23 8 Emerfio 3 . Tubo reflcdente 5 . pedum. 47 33 Emerfio i . Tubo refiedentc 5 . pedum. 25 35 Emerfio 4. Tubo refledente 5 . pedum. 952 hrim.erfio 2 .1 ubo reflcAente 5 . pedum . 42 27 Emerfio 3 .Tubo reflcclente 5 . pedum. 3 I Immerfio^.Tuborefleclente 5.pedum. :cmp. Ycr. ] Anno 1743- i^^ 3l':^6"lmmcrfio i.Tuborefledcnte 5.pednm. r ^ 34 15 Immerfio 2 Tubo reflccT:ente 5 . pedum. .7 33 5 6lmmerfio3.Tuborefledlcnte5 pedum. 12 52 54lmmerfioi.Tuborefled:ente5 pedum. 7 46 3oEmerfio 2. Nouo tubo refledente 5. pedum. loue OBSERIATIONES ASTRONOMICAE. 359 ft. n. 'temp. ver. I Amio 1743. M.\rt. 25 13* 2' 23"Ioiie a nebuU libenito leciindiis fa- teiles ex vmbni emerfus conipicieba- tur , tubo nouo reiiedente 5. pedum. 2915 41 ^^Emerfio i. Tubo nouo reiiedente I i5. pedum. 3 1 ; I o 10 3 Emerfio i . Tubo nouo refledente 5 . pedum. 10 ^Eadem emerfio tubo veteri refle- jdente 5. pedum obterunta. II o 4(5.Immerrio 4. Tubo nouo refledente 5. pedum. o 57Eadcm immerfio tubo veteri refie- dente 5 pedum. 14 55 5(5Emerrio4. Tabo nouo refleilente 5. pedum. 12 53 i^-Ioue e nube emerfo 3. (htelles iam ex vmbra exiuerat , nondum autem magnitudine conrueta gaiidcbiit. Tubus ad obleruationem adhibitus fuit re- fleclens 5. pedum vetus. 12 7 32 2 2Emeifio 2. Nouo tubo refledente 5. pedum. 5 32 5iEmerfioi. Nouo tubo refledente 5. Ipedum. 13 34 23lmmerfio 3. Nouo tubo refledente k. pedum 'Emerfio 4. Nouo tubo refledente 5. pedum. fimerfio 1. Nouo tubo refledente 5. pedum. Eadem 16 23 8 56 SS Uo 2p 4 :35o OBSERFATIONES JSTKOmMiCJE. f>. n. [temp. ver. Anno 1743. Apiil. 2 3Jio^29'io''£adem obferiiata. Tubo veteri rcfle- clente 5. pednm. Maii 714 22 4o|Emerrio i. Tiibo noiio reflcdentc 5. pedum. lupiter admodum pro- fundus erat. 8 49 i^Emerfio i. Tubo nouo refledente. Crepufculum magnum. 9 35 3oImmerfio 3. dub. Tubo nouo refle- Idente 5 .pedum. 12 48 43 Emerfio 3. Tiibo maiori Gregoriano Ivalde bono. 48 49'Emerfio 3. Tnbo nouo refledente 5. pedum. lun. 12 II 3 54lmmerfio 4. Tubo nouo lefiedente 15. pedum I . Crepr.fculum magnnm. Nov. 2819 23 Slrnmerfio 3. Tubo iiouo lefleden- |te 5. pedum, Dec. 7 1 5 41 ^lmmerfio i. Tubo iiouo refledente J5. pedum. (l. n. Febr. 4 temp. ver. I Anno i744- ii^ ^'lo^Emerfio 3. Tubo nouo refledente '5. pedum. 13 50 i^Immerfio i. Tubo nouo refledente ■5. pedum. Mart. '17 12 22 lolmmerfio i. Tubo nouo refledente '5. pedum. 18 8 12 7lmmerfio 3. Tubo nouo refleclente j 5. pedum. lupiter erat profimdus. Im- OBSERVATIOmS ASrRONOMICAE. ^61 ft. n. Mart. 1 8 April. 1 8 April. ftj 26 - 30 Maii. II 21 cemp. ver. II 17 17 II 13 4-8 14. 2 13 13 58 14 9 13 50 41 10 44 10 11 33 50 34 o 10 49 27 Anno 1744. Immerfio 2. Tiibo noiio refledente 5. pediim. Emerfio i. Tubo noiio refledlente pedum. Emerfio 2. Tubo nouo refledentc 5. pedum. Eadem emerfio. Tubo Campaniano i $ , pedum. Emerfio i. Tubo nouo refledente 5. pedum. Eadem obferuata tubo Campaniano 15. pedum. Emerfio 2. Tiibo nouo refledente 5. pedum. Emerfio 3. Tubo nouo refledentc 5. pedum. Emerfio i. Tubo nouo refledente 5(. pedum. Eadem emerfio. Tubo 15. pedum Campaniano. Emerfio 2. Tubo 15. pedum Cam- paniano. fl. n. Mart. I temp. ver. 15^58' 8" 12 50 5 Tm. XL Anno 1745. Immerfio2. Tubo refledente 5 . pe- dum. Fmerfio 3. Tubo refledente. Coelo fatis fereno , lupiter non bene termi- natus , neque iluis eleuatus ab Hori- zonte confpiciebatur. Z z Immer- 26s OBSERFATIONES ASTRONOAIICAE. ft. n. Mart. Maii. lun. H 15 £9 temp. ver; 14- 58 57 t2 22 20 14 19 50 9 ^7 48 10 51 50 12 35 25 II 33 Anno 1745. [mmcrfio i . Tiibo refledente 5 .pedum. Immerfio 3. Tiibo refledente 5. pe- Jiim ; diibia ob vapores, quibils coe- liim repletiim erat. Emerflo i. Tubo refledente Grego- riano 5 pedum , difficilis ob nimiam louis et nuellitis viciniam. Smerfio i . Tubo refledente 7. pedum. '^aec obfeiuiti^ non latis cefta ad minutum primum vsque , propter aimium crepulailum et ; louem ad- m odum pn f j ndu ;ti . Emerfio 2. Tubo refledente 5 . pedum. Crepusculum nimiura obllitit exadlitu- jioi obferuationis , cuius incertitudo ad jlurima minura fecunda fe extendit. Tmmerfio 3. aeflimata , qiioniam ante Tiinutum primum nube tedus fuiflet, cum iam admodum ]Emerfio 2. tubo refledente 5. pedum. Incerta ad minutum primum vsque , ob nimium crepufculum et nebulam crafl*im , quae reliquos vix conlpici endos praebebat fitellites Accedebat rauod lupiter non admodum eleuatus leiret. OCCVL- OCCVLTATIO PALILICII A LVNA m. Septembr. d. -.-^- 1738. 2. Odobr. ' PETROPOLl OBSERYATA a G. Heinjio. Occiiltiuioiics qiiariindam ftellariim ex Hyndibus a liina, circa ipliim eius ortum videndi fpes enit , quam ve- ro denfidima ad horizontem ncbula fruflrata eft. Luna non nifi longum tempus polt ortum fuum in confpedum venit , et tunc quoque tam cralfis uiuoluta \aporibus , vt Palilicium in vicinia eius extans, per tubos quoque maiores vidcri non poflet. Palilicium tandem confpicitur , luna 10. gradus fupra horizontem cleuata. Tiibo artronomi- co 15. ped. lunam deinceps diligenter contemplatus liim, an duplicem ftellam , a Bayero 6 defignat.im in vicinia lunae cernere poflem , 9^. 12^. tempore vero (tellam 2 ad $ ad limbum lunae obfcurum iam emerfim vidi , al- tera i ad S- tunc temporis non apparuit. Notato prio- ri momento et tubo iterum ad lunnm diredo , altera quo- qne ftella i ad 3-, 9''. 131^. in confpecT:um venit. An circa hoc momenti m i ad 0 reuera cmerferit , affere- re non audeo ; nebulae enim cra(I'iores fubinde interuenien- tes obferuatioiiem hanc dubiam reddunt. Interim momen- tum porterius, a vero cmerfionis momento non admodum diicrepare debet , cum flellae confinio luLis ct \mbrae difci lunaris valde vicinae exifterenl , fic vt coUigerem idas , praefertim i ad $ , limbo lunae obfcurae admodiim propinquas fuilfe. Converft-) nunc tum lunae, tum Palili- Z z 2 cii 3^4. OCCyLTATlO VAimCll A LFNA. cii adfpeflu , per tiibiim qimdrantis portatilis , radii 2. pc* dum , loca lunae ad Palilicium itixta methodum infra com- memorandam determinaui fequentia. Ordo obferv I. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II. 12. Momenta obferuationum Temporis veri o*. II 12. 24.. 31. 37. 45. 6, 8. 40 ^4 o 13 42 58 43 43 5^ 3 ^ fcrupula tertia cir- culi maximi. lam Triangula C^D , dbj\ (eu , propter bd admodum exiguam , triangula CDZ^, dbflnter fc (unt fimilia ; vnde Cb : Db ~ bd \ f d -^ quare fd inuenitur 3 1^^^ , (cu. \^^ cuius ergo mngnitudinis eft augmentum fcmidiametri lunaris ex eifedu luminis , vel etiam diame- ler Palilicii , fiquidem vi obferuationis difculus Palilicii ex- ade replcuit fpatium inter limbum lunae verum et fal- funi comprehenfum. A a a 2 CaJJini 372 OCCVLTATIO TAULICII A LVNA. Cajjinl in Commentar. Acad. reg. Scient. Parif. 17 17. p. 333. ed. Batav. ex compararione Sirii cum difco lo- Tis per tnbum 34. ped. diametrum apparentem Sirii aefti- mauit 5 , '' adeoque multo maiorem diametro Palilicii , quae in praecedentibus 5'' inuenta eft. Etfi autem con- cedere poflfim , difcum Sirii reuera maiorem efle Palilicio ; ex circumftantiis tamen obferuationis CalVinianae coUigo , diametrum Sirii apparentem nimis magnam , non ex de- fe(flu obferuationis , fed propter luminis intenfitatem , aefti- matam fuifle. Difculus fcilicet eiusmodi fixae ex eadem caufa audus videtur , cx qua difci louis et lunae , vi praecedentium , nobis maiores apparent. Augmentum hoc in fixis (enfibilius efle debet , quam in loue et luna. Ima- go iftarum in retina oculi fpatium occupat fere infinite paruum , quod vt fenfibile nobis fiat , fpeciem finitae magni- tudinis , licet valde paruae , referre debet. Intenfitas lu- minis fixae , quod pundum retinae ferit , motum eius per fenfibile fpatium propagare valet. Hoc modo fixae multo maiores apparere debent , ac apparerent , fi didus lumi- nis effedus ceflaret. Idem Cajjini Commentar. Acad. Reg. Scient. 171LO. p. 182, ed. Bat. eleganti obfema- tione hoc confirmat , vbi ex oecultationc duplicis ftellae y in Tirgine a luna deducit , diametnim ftellae tertiae magnitudinis , non obftante lunae vicinia , 30. vicibus ma- iorem vera apparuifle propter luminis fui intenfitatem. Exinde colligere licet , quod cum CaJJini in determinatio- ne diametri Sirii , hunc folitarium , accedente nullo lumi- ne alieno , per tubum contemplatus fit , ifte nimis mngnus ipfi apparere debuerit ; vt adeo diameter Sirii multo mi- nor 5" cenfenda fit. Econtrario in praefenti determma- tione OCCVLTATIO PJLILICIl A LVNA. 373 tione diametri apparentis Palilicii propius ad magnitiidi- nem eius veram peruenifle videor cum eftedlus intenfita- tis luminis Palilicii in contadlu difci liinaris , propter lu- men huius intenfiim , admodum diminutus fuerit. Inte- rim dijmetium Palilicii oblmiata adhuc minorem efle pofle non nego , imo ea , que ha<5tenus expofui , hoc fuadent. Magis qiioque conuenit haec obferuatio cum aeftimationibus diametrorum apparentium in fixis ab Hu- genio et Keillio inflitutis. Prior in Cosmetiieor. p. 137. diametrum apparentem Sirii 4."' concludit ex hypothefi ,. quod Sirius aequalis fit Soli et a nobis 276(^4 vicibus ^plus diftat , quam Sol a terra. Pofterior in Ledionibus aftronomicis Led. 4 , dum Kicciolum refellit , diametrum Sirii 18/' fl:atuentem , euincit , iftam /5 vnius fecundi vix efle maiorem. Caeterum haec de augmento magnitudinum apparen- tium in fyderibus ex intenfitate luminis dodlrina , ad plura alia phaenomcua fele extendit , qualia funt , auAior re- praefentatio phaleos lunae corniculatae prae reliquo difco eius obfcuro , diminutio diici lunaris in Eclipli Solis , di- minutio difcorum Veneris et Mercurii in tranfitu per So- lem \ et alia. Aaa 3 OBSER- OBSERVATIO TRANSITVS LVNAE AD PALILICIVM d. ytMartii 1739. PETROPOLI HABITA a G. Eeinfio. Quo maior vtilitlas ex obieruationibiis occiiltiuionum ftel- larum a lunii in Aftronomiam et Gcographiam re- dundat ; eo auidius obferuatores iftam occafionem arripere (blent , -qua et firequens et diuturna occuitationum obferua- tio conceditur. Eiusmodi occafioncm praebent fixae , qui- bus fequentes' competunt conditiones i) Yt claritate fint confpicuae , ne tamen intenfiim innae obferuationibus ifta- rum officiat ; 2) vt fibi inuicem admodum fmt vicinae , quo difcus lunae amplus plures earum exiguo temporis inter- \alio tegere poflit •, 3) vt habeant latitudinem fatis nota- bilem ad 5. circiter gradus aflfurgentem ; haec enim con- ditio efficit , vt luna ftellas iftas , nifi circa limites verfe- tur , oculis eripere non valeat. Hoc autem cafu , licet nodi orbitae lunaris velociter regrediantur , pofitio orbitae ad fixas circa limites fitas diu commoda pro effedlu oc- cultationum conferuatur , fic vt per duos tresue annos fre- quentes dentur eiusmodi fixarum a luna Eclipfes. Condi- tiones iam memoratae optime conueniunt Hyadibus ; vn- de etiam fa(flum efl , vt cum annis praecedentibus limes orbitae lunaris auftrinus ad iflas haereret , frequentes illa- rum a luna occultationes contigerent , quarum aliquas in Obreruatorio imperiali obferuaras Academiae iam exhibui. Licet autem nunc lunae nodi eiusmodi pofitionem refpedii Hyadum nadi fuit , vt luna iflas amplius quidem tegere non OBSmr. TRJNSITVS IFNJE JD FALILIC.:^^^ non ponTit , fed ad diftantiam non adeo magnam eas tran- feat ; eiusmodi tamen tranfitus obferuare aeque conuenit ac occultationes ipQs , cum eundem praeftent Yfum. Hanc etiam ob caii(am ^T^ranfinisfj luaae ad Pali'icium d. 15. iVlart. I7S9. ft- «• oblerUatfoiiem praetermittere nolui , quam coelo fauentc iisdem infti*umentis et eadem metho- do , prout in praecedentium oceultationum defcriptionibus cxpofui , peradanv ^- feqiientem in modum exhibeo. Ordo Tempus obferuat, verum. i'^nim I. 4^. 35^ 53^'- Culminauit centrum lunae , cuius •roijf)3l attmidO' meridiana ope fextantis «^!:fiuj muralis^ deprehenfi eft 6^°. i'. '.f^it o"'- Haec altitudo neque refra- (flioncv/neque parallaxi liberata in- telligi debet. Ex culminatione Paiiiicii paulo poft obieruata cog- nofcitur diflferentia afcenfionum re- (Sarum centri lunae et Palilicii 4'. $6'/^ temp. primi mobilis ; diflferentia autem declinationum centri lunae et Paliiicii i'. 35'''. . circuli, maximi , qua, c^nt^*um iu- : nae auftralius fuit Palilicio. ' Poft folis occafiim , cum diftin- (flus el: lunae ct Palilicii concede- retur adfpedus , per tubum "qu.i- drantis portatilis nidii 2. pedum , loca lunae ad Paliiicium vper reti- culum ^y6 mSERV. TRANS17VS LVNAE AD PJLILTC. 01 6* 2 8'. 6. 44. 6. $6. 7- 31. cnlum iftius tubi obferuaui iuxta ..; ' : .eam methodum, quam in differt, ti.imq de - tranfitu iunae per Hyades d. .'. '!f2i». lanuar. i?73 8. ft. n. expofui , jj/iq fiiet had:enus in ciusmodi obfeiuatio- ; r- < nibus femper (ecutus fum. Hac methodo deprebenfi ^eft diameter lunae 30i'/j; 20". circuli maximi , obleruationibus , ex quibus deter- minata eft, optime inter fe con* fentientibus. Haec lunae diameter referri debet .ad momenta obier- vatioritim (equentium , ex quibus et ipfa diameter et difTerentiae afjenfionum redlarum ac declina- tionum centri lunae et Palilicii in- notuerunt. Erat autem Dlffcrentia Afcenfiorum reftarum centri lunae et Palili- cii in tempore primi mcbilis, qua centrum lunae occidentalius fuit Palilicio. // 21 59 I. 40. I. 311 I. ii^ o. 511 // Differentia Declinationum centri lunae et Palilicii in par- tibus circuli maximi , qua lei.trum lu:iae bo- realius fuit Paljlicio. 9'. 34". II. 2. II. 55. 13 13. Coniundio vifa centri lunae et Palilicii ex comparatione obferua- tionum praecedentium deduda. Diftan- ossERr. TRANSnrs irnAE ad paulic, 377 Diftantia ccntrorum mininaa cx definita' centri lunae femita colli*. gitur 15'. 3 8"- qua centrum lu- nae borealius extitic Palilicio. 7. 7, 34». ^» Palilicium coniiingitur cum cu- ipide phafeos lunae inferiori , leu in linea reda ponitur cum vtra- que. phafeos cufpide. Coniundio-. nem hanc obferuaui per, tubunci; aftronomicum 1 5 . pedum , ciiius' ope tam exade obferuatio fuc- ceflit , Yt de momento coniuniflio- nis ad fecundum temporis certus cflem , vnde eiusmodi obferiiatio- nem aeque aptam cenfeo ad difle- rentias meridianorum determinan- das , ac fi ftella a luna occultata ' fuiflct. Per eundem tiibum aefti- maui diftantiam Paliiicii a proxi- ma cufpide lunae in coniundlionc , comparando iftam cum macula lunari , quae a Riccioh St. Theo- philus vocatur , eamque aequalem i\ diametri huius maculae depre- hendi. Ex cognita maculae hu- ius ad diametrum lunae ratione , diftantiam iftam determinaui in partibus circuli maximi , eamque exadiflime conuenientem inueni cum eadem diftantia expofitionc Tom. Xt B b b femitae J78 OBSERP". TRJNSlTrS Vf^NAE AD Vaulic? femitae luniiris rcfpedu lunae ct ftellae definita , aequali fcilicet 31'^. circuli maximi. Flgura adie(?ta oftendit pofitiones centri lunae ad Palili- cium fitu inuerfo, in quo per tubum aftronomicum pb(eri-(- vatac (iint ; numeri autem adlcripti indicant loca centri lunae in femita vifa ad ea temporis momenta , quac ia recenfione obfejfuationum iisdem refpeftiue aumeris iofi* gniuutur. :i% .xmi: Com. Ac. Imj) . Jc. Feb'. Tojrv.Ja 7ah.l\ Comm . ac.Tmp. Jc. Jeti^op. TomXLlJMb ,IL O V / 4c.Tmp. Jc.Jch-jp. Tcrl:XlXabu O V Co/rwi .Jc. Tmv ..rc^el7-op .Tinn. XL.Tab.JlL. O V Orntin .M. Tmv.,rc»^etivp.Ti>?n. :xi.TabJir. ^T a c^. (^ ^ m'- 0,. (^W. 7. ^ — / Coimn.Ac.Tmp . imp : 'Jc .Tcti vp.r.ja.Tadi: ^ Tv ^ ^■i fofn??i. . ir.I??ip. trr.^^-frop .Toi?r .XI .Tab . VI . ife::^ ^Mm^^, "/' ' <^ f 7'.r<7/„.A7.r.,/,.77. /1 -^imJ^ •«..,/<- -J^nf. Jr . M-iicf .TcinMi Xih.lJE. w ) J/l Comm . ^lc-^ynp. <-fc. Me7?-opTo7?L. JOT.T. VHL ip. Comm . . 1cJ"Y. ^''- Meh-flpToin . ^XTT. ri