FORTHE PEOPLE
TOK EDVCATION
YOK SCIENCE
LIBRARY
OF
THEAMERICAN MUSEUM
OF
NATURAL HISTORY
r Boi
A.M
COMMENTARn
ACADEMIAE
SCIENTIARVM
IMPERIALIS
PETROPOLITANAE.
Tomus XII.
AD ANNVM MDCCXL.
PETROPOLL
TYPIS ACADEMIAE
dsbcc L,
:^
rjh.^.Qj,^M.2jfU^lZ.
■^^ct cb
INDEX
COMMENTARIOIIVM.
In Clafe Matbematica
L.Eukriy Innefligatlo ciiruarum, quae euolutae fui fimiles
producunt. p. 3«
Eiusd, Dc feriebus quibusdam confiderationes. p. 53.
JOan.Bernoulliy Commentationes de ofcilktionibus compo-
fitis , praelertim iis , quae fiunt in corporibu»
ex filo flexili fu(penfis. p. 97.
L. Eukri , Emendatio tabularum Aftronomicarum per loca
planetarum Geocentrica. p. icp.
C. iV. de ^insheim Determinatio exadior graduum paral-
^ lelonim aequatoris et meridiani , in .■ figura tel-
luris hypothetice Jphaerica , aut ( prouti per re-
centiflimam dimenfionem ftabilitur ) Jphaeroidc>^
p. 222.
In Claje Vhyftca
G* W, Krafftiij Dc loco imaginis pundli radiantis in fpe*
culum curuilineum diflertatio catoptrica p. 243 .
Eiusd. De corporum plano inclinato impofltorum de-
(cenfu. p. 2.61.
Eiusd. De viribus attradionis magncticae experimenta..
p. 2^6,
L Ammaniy Defcriptio Caflke Amcricanae procumbentis ,
herbaceae, mimofae foliis , floribus paruis , flU-
quis anguftiSj planis. p. 2S8.
C. K
C. E. Gellertii De phaenomenis plumbi fufi in tubis ca-
pilhribus. p. 293.
Eitisd. De tubis capilbribus prifmaticis. p. 302.
I. C. /^iMi Ob(eruationes Anatomicae rariores p. 312.
1. De vena caua dupiici afcendente. ibid.
2. De vena iugulari externa , quoad progrefliim ,
triplici , quoad inlertionem aiitem , quaoruplici.
p. 3i<^.
5. De venae Azigos trunco duplici p. 318.
4. De mufculo fingulari gemino fternum fupierii-
cente. p. 320.
5. De tendinum , digitos manus finiftrae exten-
dentium , extraordinario numero. p. 321.
6. De inteftino coeco ct proceflii vermiculari.
i>' 324-
^Eiiisii de renibus fuccenturiatis in puero di^uifieis
notata. p. 327.
Ohferu. AJlromm.
G, Heinfii, Obferuatio Fclipfis folaris d. ^-^" 1739. in
Obferuatorio Imp. Petropolitano habita. p. 333-
Eiusd. Obferuatio tranfitus lunae ad Saturnum d. i?-4r''-
X. Mait
1740. Petropoli habita. p. 349.
lEiusd, De declinationum fyderum determinatione abs*
que exafta eleuationis aequatoris cognitione.
p. 352.
CLASSIS PRIMA
CONTINENS
MATHEMATICA
Tm.XIL A INVE.
INVESTIGATIO CVRVARVM
QVAE EVOLVTAE SVI SIMILES PRODVCVNT
A. L. Eulero,
§. I.
In hac diflertatione nomini euolutarum aliquanto latio- i^^j, ,^
rem fignificationem tribuo , quam vulgo fieri folet ,
ac non folum eam curuam , ex cuius euolutione data curua
n.ifcitur , huius euolutam appello , fed infuper euolutam hu-
ius euolutae , fimiliterque ^niuerfam curuarum feriem ,
quarum quaelibet praecedentis eft euoluta ; interim tamen
hoc difcrimen in denominatione obleruabo , \'t ipfam datae
curuae euolutam , quae hoc nomine infigniri confueuit ,
eius euolutam primam appellem , huius \ero euolutam fe-
cundam , eamque ex cuius euolutione ifta nafcitur , ter-
tiam atque ita porro. Sic fi datae curuae A euoluta fic
curua B , curuae autem B euoluta C , atque huius curuae
C euoluta D , huiusque E et ita deinceps , erit milii re-
(pedu curuae A curua B euoluta prima , curua C euolu-
ta fecunda , curua D euoluta tertia , E quarta atque ita porro.
§. 2. Hac vocis euolutae fignificatione praemiflTa in
hac diflertatione in eas curuas inquirere confiitui , quarum
euolutae vel primae vel (ecundae \el tertiae etc. ipfis fint
fimiles. Qiiod quidem ad euolutas primas attinet a Viro
Clariflimo Prof. Krafft iam eft oftenfum , praeter fpira-
lem logarithmicam ct cycloidem alias non dari curuas ,
quae cum fiiis euolutis primis conueniant ; atque idem alia
methodo hic fum demonftraturus , quae fimul viam prae-
paret ad €as curuas inueftigandas , quae fimiles fint fuis euo-
A 2 lutis
4 INVESTICATIO CVWAR. QVAE EVOLVTAE
lutis vel fecundis \el tertiis , etc. Neque vero in hoc ne-
gotio viam fimpliciflimam fum fecuturus , quae facillime
ad cognitionem curuarum quaefitarum manuducat ; fed
praecipue mihi propofitum eft relationem inter arcum cur-
vae et refpondentem radium curuedinis inueftigare , quae
etfi differentialibus altiorum graduum eft inuoluta , quae
alia methodo plenimque euitari poflTunt , tamen magis vi-
detur genuina atque ad inftitutum accommodata. Praeterea
vcro non tam follicitus ero de ipfis his curuis definiendis
quam de ratione aequationes difFerentiales altionim graduum
debito modo tradandi , ex iisque curuas , ad quas pertineant
aflTignandi. Eum fcilicet in finem hoc negotium potifiTimum
fulcepi , vt varias vias aequationum differentialium altio-
rum graduum refoluendarum patefacerem , quae in pluri-
inis aliis cafibus vtilitatem non contemnendam afFerre queant,
§. 3. Initium igitur facio ab iis curuis inueftigandis
^« «• quae fimiles fint fuis euolutis primis , quae quaeftio dupli-
cem requirit foiutionem. Primo enim, fi cunia quaefita po^
natur AMB , cuius euoluta fit amby quaeftioni fatisfiet , fi
curua amb ita fuerit fimilis curuae AMB, vt pundum ^
homologum fit pundo A , b homologum pundo B , at-
quae quoduis pundlum m homologum illi pundo M , ex
cuius euolutione nafcitur. Hoc enim ipfa natura euolutio-
nis et fjmilitudinis poftulat , fi enim pundum a homolo-
gum fuerit pundo A , atque curua aifib fimilis curuue AMB :
arcui cuiuis AM fimilis erit arcus am ^qui eft aeque am-
plus y hoc eft qui dudlis normalibus ad curuas A N , M N ,.
anymn^ angulum compleditur ^w/;; aequalem angulo
A N M : haec vero aequalitas locum habet , fi normalis
MN produda tangat curuam am in w ,. feu m fuerit
ceur
SVI SIMILES PRODVCVNT. 5
centriim circuli ofculantis curuani AMB in M. Cum igi-
tur quaedioiiiem hoc modo confiderando quaelibet curuae
A M B portio fimilis- fit fui euolutae , hanc quaeflionis par-
tem ita reltringi conueniet , vt in ea quaerantur curuae. ,
quae fuis eaolutis fint dire&e fimiles , hocque modo iftam
partem quaeiiionis ab altera parte diftinguo , qua curuae
quaeruntur , quae fuis euolutis imierfe fint fimiles,
§. 4. Inuerfam autem fimilitudinem , qua alter quae- wi^ 2*
llionis cafus continetur , ita animo repraefentari oportet.
Curua fcilicet AMB ita fimiiis efle poteft fiiae euolutae
bma^st modov inucrfo pundlnm b , quod ratione euolutio-
nis pundo A refpondet homologum fit alteri extremitati
B, pundum a ratione euolutionis pundo B refpondens
homologum. pundo A ; ideoque curuii tota ameh fimi-
lis curuae AEMB. Qiiare {i ducantur^ nortnales AC , BC ,
ac et bc ^ eiit primo ex euolutionis quidem natura an-
gulus bcazzi ang. AGB, deinde AC:BC=z:^i: : bc- Duca-
tur nunc in pundo quocunque M radius oiculi yim euo-
lutam in m tangens , erit pundum m ita comparatum
vt normalis m^n cum bc produda angulum conftituat ae-
qualem angulo ANM, ex quo inter punda M et ;;/ ifta
relatio intercedet , ^i fdmma angulorum ANM-f-^w;»
quos normales in M et fn cum axibus AC et ac con-
ftituunt perpetuo aequalis fit angulo ACB. Qiiodfi ergo
in eunia ab capiatur pundlum fA. homologum ipfi M , et
ad fJL. normalis ducatur jjl^: erit fiimma angulorum av\K
'+-anmz=:acb. Dabitur igitur cafus ,, quo duo puncfla
mtt \k conueniunt puta in ^, id quod aecidit, ybi an-
guliis afe eft femiflis angull ACB , hocque pundlum e
A 3 erit
€ mVESmATlO CVRFJR, QTAE EVOLVTAE
crit homologum ipfi pun(Slo E cui ratioue euolutionis rc*
(pondet.
§. 5. Notatis itaque in vtraque curua pundlis E et
f , quae flmul ratione fimilitudinis funt homologi , atque
ratione euolutionis fibi mutuo refpondent , reliqua punda
homologa omnia ratione euolutionis a le inuicem discrepa-
bunt ; ita pundum m ratione euolutionis refpondet in curua
A M B illi pundo M quod homologum e(l pundo |x ,
amboque punAa m et [x vtrinque circa pundum fixum c
ita erunt dilpofita , Yt dudis normalibus p.i' et mn fum-
ma angulorum anm-\-ayik aequalisfit angulo achy vel
duploangulo afe. Qiiare fi normales [jlk et /«» produ-
cantur , donec concurrant cum normali fixa ef produ<5ta
in p et r , erunt anguli mre et [xp^ aequalcs , arcusque
em et ^[jl aeque ampli, eam huic vocabulo fignificatio-
nem tribuendo , qua vfus eft Celeb. BernouUius in difler-
tatione de motu reptorio : atque haec ert proprietas bino-
tum quorumque pimdorum 7« et jji. in euoluta, quorum
alterum ex alterius punAo homologo per euolutionem nas-
citur , haecque proprietas non Iblum communis eft euolu-
tis primis fed etiam fecundis , tertiis et omnibus fequen-
tibus.
§. 6. Si ergo quaeftio de curua inuenienda propona-
tur , quae fimilis fit cuicunque euolutae , ea quaeftio bi-
partito eft tradinda , primo enim ea curua debet defini-
ri , quae fiiae euoiutae defignatae direfte fit fimilis , fioc efl:
cuius fingula punda ratione euolutionis in euoluta gencrent
punda homologa. In altera vero folutionis parte in eas
curuas erit inquirendum , quae fimiles fint fuis euolutis or-
^e inuerfo , hoc eft , quarum fingula pun(5h non generent
iibi
sn smiLES mOhvcvNT. 7
fibi homologci per enolutionem. Notandum a^item eft
binorum horum cafuum pofteriorem ad priorem reduci ,
nam fi curua AMB euolutam habeat bma fibi inverfe Fig. a»
fimilem , eius euoluta fecunda eidem erit diredle fimilis ;
fi enim pundum M generet in euoluta prlma pundum
m fibi non homologum , idem in euoluta fecunda gene-
rabit pundum fibi homologum. Simiii modo , quae curua
habet euolutam fecundam fibi fimilem inuerfe , eadem ha-
bebit euolutam quartam fibi direde fimilem \ fimiiiterque
erit comparata ratio euolutarum reliquorum graduum.
§. 7. Antequam autem (blutionem horum problema-
tum aggrediar , generalem nexum , quem quaeuis curua
cum fuis euolutis cuiusque ordinis tenet , confiderafle iuua-
bit. Sit igitur propofita curua quaecunque A M cuius ^'S- >'
euoluta prima fit B N, fecunda euoluta C P, tertia D(^,
quarta ER et ita porro *, erunt ex natura euolutionis om-
nes arcus AM , BN , CP , DQ^, ect. aeqiie ampli. Qiia-
re fi in ipfa curua propofita AM ponatur arcus AMzzj ;
ct radius ofculi MNnir ^ erit pro euoluta prima BN
arcus BNin^^t^ prout radius ofculi MN recedendo a
puncfto A vqX cre(cit vel decrefcit : lecundum autem fi-
guram eft curua BN~tf-f-r. Ob aequalem autem am-
plitudinem eft euolutae primae radius ofculi NPnz'^ hinc
porro euolutae iecundae CP eft arcus QVzzb—^-^^ fiqui-
dcm figuram (equamur : eiusdemque radius ofculi PQ^m
""B^-^- Euolutae itaque tertiae arcus DQ eft =rr--H
£'d^ ) eiusque radius ofculi Q_R = i^^.^^-7F- Simili
modo euolutae quartae ER eftarcus ER^i^-f-ii^^^s^- iT"
ttcjjXQ eiusdem radius ofculi ^id.^d.-^d/-^^ liocque pa-
t INFESTICATIO CFRVAR. Ql'AE EFOLVTAE
^o pro qimlibet datae cuniae euoluta facile erit tum arcum
riitione euolutionis dato arcui s in data curua refponden-
teni aflj^nare , tum etiam radium ofculi \ hae vero fingu-
Jae exprenTiones tam affirmutrue funt accipiendae quam ,
negatiue , fiquidem folutiones problematum proponendorum
ladffime patentes defideramus.
§.8. Proponatur igitur ex ifto quacftionum genere
problema primum , quod ita fe habet
ffig. X. Inuenire curuam AMB quae Juae euolutae primae abm
dire^e fit fimiUs,
Ponatur pro curua quaefita AMB arcus ad lubitum aC
fomtus AMnrj, et radius ofculi in pundo Mzz:r,cres-
cantque radii osculi ab A verfus B recedendo , qua qui-
dem conditione amplitudo problematis non reftringitur,
cum initium A , a quo arcus A M computantur "vbi li-
buerit , accipi queat. Sit radius ofculi in A feu ka^a^
et quia curua amb direde fimiiis efle debet curuaeAMB,
erit arcus am-zzns et radius osculi euolutae in mzzns*
Hanc ob rem ex natura euolutionis erit ve! a^ ns zzr
Tel nrzz^^ quae ambae aequationes congruunt. Erit
crgo pro curua quaefita A M haec aequatio iZ3^* ; et
quia arcus data quantitate nugeri diminuine poteft ob ini-
tium A arbitrarium , erit J — ^ leu rznns \ quae aeqna-
tio exprimit naturam curuae, quaeeuolutam habet fui fi-
milem , exirtente fimilitudinis ratione vt i : « , haec ku
licet ratio exprimit rationem hnearum ad curuam quaefi-
tam pertinentium ad hneas homologas in euoluta.
§.9. Qiioniam autem ex aequatione, quae datur in-
ter arcrm et ladium ofculi, natura curuae non diftin3=fin. A^/a ,
vnde fit y ( I ~/jp) =1 cof A ^ /^ . Quapropter nan-
cifcimur dxnzds fin. A^ /f Gt djzz.ds cof. A J- /|-.
§. 10. Ad has aequationes denuo integrandas fequens,
notandum eft lemma , quod in folutionibus fequentium
problematum maximum afferet fubfidium. Eft fcilicet:
rjr r^ A r ^i P^ r» a r ii V(«-4-P^*)
jaS lin. A .7v(a-t-i3s^) — 7:^ ""• -^ •7v(a-h(3«; x-H-^
COf. A •Jy(a^(3«>
atque
/^. cof. A ./^V^ = .-^ cof. A ./^$p^ 4- '-^fi
fin. A ./v(^q:p7;)
quae formulae vfiim habent folo excepto cafu , quo eft
P =: — I . Hoc autem cafu , quia eft J^j^zrn) — ^ fin. y^,
erit fin. A ./7^^^=: y^; liincque Jds fin. A .J-^^iz:rsf=
ss ^ c j r K r ds rds _/ / \ sV(a-sr)
,y^, et fds cof A .yv(«z:n)=Jy^ y(a-ii) zn -^y^
-f-^ A cof.y^-
§. II. Qiiia nunc in noftro cafii eft ^ /^ =/^ erit
lemmate ad hunc cafum accommodando , a iz: o , (3 =:
«w, quibus valoribus fubftitutis fit x:zzjds iin. A./^=
Fig. 4h
Tom, XIL B
fo INFESTIGJTIO CFRf^AR. Qjm ETOLVTAE
,^fin. A.^/l-;:^, cof. A.^/^ atque j. = /^/
cof. A . ,7 /^ — T^ cof. A . Jr /| -i- 7~;7, fin. A . ^ . j:
vbi in integratiunibus nouis conftantibus addendis non cft
opiis , quia natura curuae non mutatur , quacunque quan-
titate coordinatae fiue augeantur fiue diminuantur. Ex his
autem binis expreflfionibus, quibus coordinatae per eandem
quantitatcm s definiuntur , curua defiderata ope logarith-
morum et circuli poterit conlbrui ; interim taroen ifta con-
ftrudio faiis elt operoft , aliaeque complures faciiiores
hinc deduci pofllint.
§. 12. Vt autem ipfam curuam propius cognofca-
mus , fumamus aequationes inuentas pro coordinatis ortho-
gonalibus ;
Ar-T^,fin.A.^/i-::^,corA.i/^
J^ Tii^cof A.i /^-hrzgr» fin- ^'-J'a
CX quibus fi finus et cofinus arcus ^/^ eliminentur, prodit
ifti aequatio xx^yjzi^—^^^r.J^ T^^iKky m qua a^A:4-xK
exhibet quadratum chordae arcum s fubtendentis ; \nde
curua quaefita hanc habet proprietatem , vt omnes arcus
ab initio A (iimti ad fiias chordas datam teneant rationem ,
ex qua iam fponte fequitur curuam efle fpiralem logarith*
micam.
§. 13. Qiioniam vero iam fiipm erat ^A;=:^i fin. A.
y^- et ^jzn^icof A.^/j, erit fin. A. ^ /^=dset cof.
A.'icl\zz% , ex quibus vaioribus in aequationibus integra-
tis fubf\itutis emergent (equentes aequationes :
diiufa pratbet ilbm j~i^^ii k\\nxdj-\-xdx:z:.njdx-ydy
SFI SIMILES PRODVCTNT. ti
quae adeo inter folas coordinatas, x et y continetur. Cum
igitur fit n{j(ix-x^j)=^xdx-i-jdj>^ diuidatur per xx
H-J^/ , quo fado integrale aequationis erit nA tang.
|._./vc^'-4->l). gx qua admodum breuis et facilis conftru^
dio curuae quaefitae confequitur ope logarithmicae et cir-
culi j quae eadem autem mox alia \ia eruetur. Interim
ex hac conftrudione natura curuae quaefitae , qua ea eft
Ipiralis logarithmica , non difficulter coiligitur.
§. 14. Qiiodfi autem aequationens xx-i-jyiz:—^ ^S» S*
euoluere velimus , facile intelligitur id commodiflime fieri
per relationem diftantiae cuiusque pundi M a pundo fixo
A ad perpendiculum quod ex- A in tangentem in M de--
mittitur. Sit igitur A M curua quaefita , et dudla A M
z:iiV [xx-^yy^-zz y demittatur ex A in tangentem MT
perpendiculum AT, fitque ATzzrp et MTz=^=iV(5;5;-/)/>)
erit ob triangula M;;/w, MAT fimilia,et mnzz:dz^ eie-
mentum arcus Mmzzdsziz^. At aequatio inuenta prae-
bet sszn^^^^- et j=z|V(i+««) hincque ^j-f ^(i+wi)
m^YbijCum commode accidat vt per dz diuidi queat
aequatio, habetur ilatim aequatio in terminis finitis tV
{i-^nn)zznz feu {—^;:;::^^ et |=:y[::;:^. Cognofcitur
igitur angulum TMA , quem curuae tangens cum reda
AM conftituit vbique efle eundem ideoquae conftantem,
quo ipfo logirithmica fpiralis folet definiri : anguli vero
huius conftantis AMT tangens eft zz-j-^k'
§. 15. Qiiodfi ad curuam conftruendam centro A
defcribamus circulum arbitrarii radii AFri:i arcumque a pun-
m in pundlo e homologo ipfi E tangat , fitque hic
radius oiculi E^zr^j a pund:o nunc hoc E computetur
arcus EMizri, et ponatur radius ofculi M»z=:r, qui euo-
lutam tanget in m , eritque arcus emznr—a. lam in
euoluta (umatur pundum \k homologum pundlo M , pofi-
taque ratinne fimilitudinis curuae quaefitae ad fuam euolu-
tam m:;2, erit arcus e\kzz:ns et radius ofculi in [x zz:
nr, Nunc ex \k ducatur tangens [jl R quae (imul erit ra-
dius ofculi curuae AMB in R , pundo ipfi m homolo-
go.' Ponatur arcus ERzzS et radius oiculi R jx rz R , erit
e\kziia — K\ atque ^ w^ z= k S et radius olculi in mznnK*
§.17. Hinc itaque obtinentur fequentes aequationes ;
prima fcilicet emzz.r-azznS^ fecunda e\x.z=:a — Kzz:nSy
ex quibus elicitur Szz ^"^ , et Kz=za-nS. At quia arcus
EM et ER funt aeque amp.li , erit ^ = ^^^, zz -^ , hinc-
que rdszzinads — nnsds et integrando rrzzzznas-nn
ss-i-aa eiusmodi addita conftante vt pofito jzzo fiat
rz:za^
SVI SIMILES PRODVCVNT. 13
N
rzza^ vti affumrimus. Ponamus autem ns loco ns-a^
feu initium, a quo arcus menfuramus, mutemus in alium
locum B exiftente BE =:: ^ , quo pado uatura curuae nil
mutatur, habebimus rrzzizaa—nnss , et rzzV {^aa^
nnss). Ex qua aequatione fi curua fucrit determinata ,
pundum E circa quod arcus aeque ampli funt ablcinden-
di , vt prodeat curua fuae euolutae- inuerfe fimilis , ibi ell
(iimendum vbi fit radius ofculi rziza : id quod eueniet fi
ab initio nunc capto ablcindamus arcum szn^.
f. 18. Q_uaeramus aequationem inter coordinatas ortho- Fig. 4,
gonales AP:=za;, PMn:/, fitque dxzizpds ttdyzzds
y ( I -pp) erit radius ofculi in M , fcilicet rziz ^^^-^ , vn-
de obtinetur ifta aequatio vc^) ~ ^{tL-nnss) qi^e integra-
ta dat A fin. pzzf:j^z^^ = ^ A fin. —, fi qwdem axem
APin A ad curuam normalem ponimus. Nifi autem fit
»z=i, quo cafii euoluta curuae quaefitae non folum fit
fimilis led etiam aequalis , praeftabit fbrmnm f^(J,^nnss)
retinere , ne calculus multiplicatione arcuum implicetiir.
Si enim expreffionem ~ A. fin. ^^ fiimeremus , fompzz
lin. A. ^ A fin. ^ quae expreffio , nifi ~ fit numerus inte-
ger ad computum accommodate exhiberi non poteft.
§.19. Euoluamus igitur primum cafum quo;2:z=i feu
curuam quaeramus, quae fuae euolutae primae inuerfe fimilis
fit et aequalis : erit igitur pro hac curua A fin.pzz: A fin. jy; feu
pz=z ^^ etV(i ''pp)z=:'^~^. Hinc itaque obtinetur
dxzizpds-zz —f^ atque integrando CLaxV %z=iss ., quae
aequatio indicat curuam quaefitam effe cycioidem vulgarcm ,
jninimam curuedinem in pundo AetreiH^am APprodia^
B 3 metro
t^ mrESTIOATlO CVRFAR. QVAE EVOLFTAE
metro habentem. Pundum vero E in curiia hac , vbi
radius ofculi :=za refpondet abfciflae x— ^^ , quod pundum
in centnim circuli generatoris incidit ; eft enim diameter
circuli generatoris :=^- Satisfacit igitur cyclois ordina-
ria huic quaeftioni eo quidem modo , qui iam pridem
conftat , atque inter praecipuas cycloidis proprietates referri
fokt.
§. 20. Ad curuas iam definiendas quae fuis euolutis
primis inuerlb modo fint (iiltem fimiles , vtamur hac ae-
quatione p z=: fin. A./v[~^*h)j ex qua fluit ifta V
(i ^pp) — cof A J^^Jlnnssy Efit itaquc dx = ds
fin. A . f^i,aa-nnss) ^t dj Z=Z ds COf A •f^^.aaLnnss) qwarum
aequationum integralia per lemma §. lo. datum reperiua-
tur X = ^;^ fin. A . jy^i^j^ + nn-. ^ cof. A .
r ds nns r . ._ds yfUaa-n^ss)
J -^izaa-nnss) ^^ J Tin— j *-'-'*• -^ •JV(2aa—nnss) nn-i
fin. A J;j(~^y Cum igitur flt /y(~^; = ^ A. fin.
•^ , intelligitur quoties fuerit n numerus rationalis , Iblo
excepto cafu nziz i ^ valores coordinatarum x tt y al-
gcbraice per s pofle exhiberi , indeque curuam quaefitam
efle algebraicam.
§. 21. Si Ytriusque expreflionis quadrata inuicem ad-
dantur , prodibit haec aequatio xx -^-jiy zz. (r„i:7)i *
ex qua commode elicitur aequatio inter diftantias cuiusuis
Fig. C, pundi M a centro fixo C et perpendiculum CT , quod
ex C in tangentem in M demittitur. Pofito enim CM
•zzV{xx-\~yy)-:i=iz , CT—p et MT z^ztznV^zz-pp)
erit dszzi'^. Natura autem curuae exprimitur hac ae-
quatione zzzz.^—^^-^ —;-, quae praebet s-=z'^V
{{nn
SFI SIMILES PRODvcrm: f r
((nn-i)zz — ^) et dszz — ^""-'>'^^« ~?^ _
nn— \J
i{zz^i>P) ^^e diuiia per zdz et quadrata, fuppeditat
hanc {nn — ifzz—inn - i)' ppnznn^nn—i) zz-'^^^j
Dudo autem ad M radio osculi MRizir, ob ns — V
(««-1)^5;--^), erit r^{nn^i)p, et j=z^^^
§.2 2. Initlum ergo cumae , a quo arcus aeftiman-
tur incidit in pundtum B, \bi recfla CB ad curuam eft
normalis feu tzzo^ eritque reda BCz=^^. Hoc igi-
tur pundlo B notato erit quiuis arcus B M zz J zz; -"^^-
(eu erit B M : M T — « « — i : ?/;7 j et cum fit radius os-
culi MRzzr^: {nn-i)p , erit MR : CT zz:nn—i:i»
Radius osculi itaque euanefcet in pundlo A , cuius tangens
per C tranfit , eritque A C zz —^7. Defcribatur centro
C radio AC zz ^zz: circulus , et ponatur breuitatis grati*
— — ^, feu tf=i-7^, erit ^T> = c - - — '-^
ergo CD : BD — « : w— i. Porro in radium osculi pro-
dudlum demittatur perpendiculum CQ^zz ^iz: « y(^3;- —
j£^) eritdudlo radio CN fpatium NQ,— « ^((^;^
•^^) ^np zzn . MQ^ hincque MN =1: {n—i)p.
Qiiare cum fit MR ~ r zi: (w«- i )/), erit MR : MM
^n^ 1:1: quia porro eft NQ^: MN =1 « : « — i =r
CN : VN fiet VN =: ^-^' == BD : ex quo pundum M
eft in peripheria circuli tangentis circulum A D in N ^
cuius diameter eft NV iz BD.
t6 INFESTIGATlOCrRVAR.QFAEEFOlFTAE
§.23. Ex his ergo proprietatibus manifefto confe-
quitur curuam inuentam efle hypocycloidem AB^, geni-
tam reuolutione circuli diametrum habentis BD zr ^^^=^
— ^£7 , Tuper concauitate circuli maioris AD femidiame-
trum habentis CD = ^ =: [-^z^^ ; fi quidem fuerit nurae-
rus n -vnitate maior. At fi n fuerit \nitate minor , curua
fatis^iciens erit Epicyclois ob valorem ipfius BD =z ^-^
negatiuum , quae generetur reuolutione circuli fuper parte
conuexa circuli ADC, exiftente ratione diametri circuli
reuoluentis ad (emidiametrum circuli quiefcentis vt i — «
ad « : ex quo fimul intelligitur ; quoties fuerit n numerus
rationahs vnitate excepta, curuam latisfecientem efle alge*
braicam.
§. 24. Tro hypocycloide igitur feu cafu , quo «>t,
pofitis abfciffa CPzzx, applicata PMrrj, et arcu BM
:=zs habetur ifta aequatio x x -i-jyzi^j^^^-^^ll. At
fi ponatur abfcifla BVzzu ^ erit x~u-\—^, atque in-
ter u^j et s haec habebitur aequatio j/ +««-[- ^^'~
^ feu nnss—CLauV t2.-\-{nn-i)[uu-^yy) , ex qua
fponte patet, cafu «m prodire cycloidem ordinariam , fit
enim ssz::z^auV 2.. Qiiodfi autem femidiameter circuli
quiescentis CD ponatur zz:r , et diameter circuli voluti
BD-Z^, erit ^rz^^vi^' et bzz:^^ erit nzz.^^ et^=:
(^^~ ; vnde pro hypocycloide AB^ haec oritur aequatio
sszz-'^^—— — --] "c^ — •^—. Pro epycycloidc vero ex
iisdem circulis nata fit u negatiunm , atque ifta liabebitur
aequatio j,-^2^-li_«i£±fi:«>'.
SFI SIMILES FRODVCFNT. 17
§. 25. Vt aiitem aequationem inter coordinatas CP
n.v et PMni/ obtineamiis differentialem , faltem in qua
non infit arcus j, ea ex aequationibus §. 20. datis erne'
tur : cum enim fit fin. A J^i^^.-^^—p, et cof A ./vfe.mr.7)
— dj ) ciiLAttj — . jj^_^ ecj^fli — ~"^^i —
ex quibus eliminato arcu s , refultat fequens aequnio dif-
ferentialis ^" J^i —ccdi^ — nn{xdy—y dxf -i- {xdx-\-jdy')*
:zzccdx^-^-ccdy* iiiter ;f et ^ tantum . Ad quam aequa-
tionem tradandam ponamus ^—vtt V^xx^yy^ — z^
feu a—vfe^) et J=:^^^^ erit ^i^zn^^^-f-^^;^. ;
hisque fubllitutionibus ftdis peruenitLir ad hanc aequationem
^ 2; -t-(7:pi;^=:(T:p^-i-s^^^* , quae porro reducitur
au iiauc . ,_^^^ — 2V(7inzz-cc)- ronacur porro ^^^^(^-^-sy-^i/,
P cV(,-+-tt) n ^ dv dt di ^ .
leu 5;=Zy(^„^rt5 net ;:^=7:M?-n";i::Rt : atque integrando
Atangi?3: A tang. ^-^ Atang |feuw Atang.— ^zzAtang.*
^ ; quae reftitutis prioribus valoribus transmutatur in hanc
. ^ x^/innzz—cc^-y^Ccc-zz) . . , -iJiTinzz-cc)
« A tang. ;,v(cc-2z)-f.jv(nn^z-cc)— A tang. n^^cc-ccT 9"'^^ quoties
n eft numerus rationalis , fit algebraica. Cum autem his
exprelTionibus ad figuram relatis fit p—^^^^^—^ et COzz:
Mrr^ , ^J(nnzz-cc) • x-r /-^ nV'ce-2;^i)
^i"^"^^ ' itemque N. fecundas accommodatam per-
tradlabimus.
§.27. Ad Guiuas igltur imieftignndas , quae fimiles
fint fuis euolutis fecundis , quaeftio pro Smiiitudine direcla
et inuei'fii bipartienda eft : vnde primum hoc nobis pro«
blema erit refokiendum.
Imienire ciiruas quae fuis eualufls jecw-dis dlrecfe fint
fimiles.
Sit AM eiusmod cum.i , quae probiemati fatisfaciat , cii-'
ius initium fumatui: iii piindo A , a quo verfos M receden^
do radii ofculi crefcant^ Sit igitur BN huius curuae euo-
J.Utii *
SFI SIMILES PRODVCFNT. f|
luta , qiiae vel ita erit comparata , vt ab B ad N radii
ofculi crelcant , f.ciiti figiira repraefentat , vel decrefcant ,
ex qiio hiiius problematis duplex nafcitiir foliitio. Ad prio-
rem igitur , cui figura eft accommodata , abfolucndam po-
natur curuae quaefitae AM arcus AMmi, radius ofculi
MN~r; erit eius euolutae BN arcus BN~r— ^; radius ofuiU
Nz/7-:=:.^^ ; atque euolutae fecundae arcus ^?;/— ^ -^ ;
eiusque in m radius ofculi zzzjsd. ^j{.
§-2 8. Cum igitur curua ajn fimilis efle debeat di-
rede curuae AM, erit eius arcus amzzzns ^ et radius
ofculi ziznr ^ vnde duplex nafcitur aequatio "-^ -bznns
ttnrzz^^d. ^, quarum vtraque eodem redit. Suma-
mus itaque aequationem ^ zzins-\-b y quae ob initium
A arbitrarium tranfit in hanc ^finns^ quae integrata
d^trrziznss-i-aa^ ita vt curuae quaefitae AM radius
ofculi in initio A {ifzza : circa hocque pun^flum A cur^
va vtrinque habebit arcus fimiles et aequales. Ccterum
npparet , fi fiat ^rzo , tum prodire aequationem pro (pi-
rali logarithmica , quam huic cafui fatis ficere pcrfpicuum
eft. Praeterea etiam hoc notari oportet in acquatione
rrz:znss-\-aa conftantem a a , quae per integrationem
c?i indudla negatioe nuilo padp accipi pofle , ne radiiis
ofculi r vsquam fiat imaginarius : omnis enim aequatio ,
quae inter arcum et radium olculi exhibetur , ita debct
efle comparata , vt cuique arcui radius ofculi realis relpon-
deat , nifi forte curua alicubi in pundo quodam terminc-
tur feu retrogrediiitur , tum enim fi cuniae vltra id pundum
conftans longitudo addita concipiatur , per id inteniallum
radius olculi debet efle imaginariuSo
$0 INVESTICATIO CVRVAR. QIAE EVOLVTAE
§.29. Qiionmm itaque habemus hanc aequationem
^^' ^ rrz^nss-^-aa , ^nt r-^^\aa-\-nss). Confidercmus
nunc curnam quaefitam ad axem A P relatam , fitque ab-
fciflli kV^Xy applicata PM=rj/, et ponatur dxzizpds
et dr-^dsVii-pp) erit radius ^ofculi r-'-^^-V
[aa-^nss)\ hincque -^^ 1= i^ic-^raay Q."odri autem hu-
ius curuae euolutae primae arcus ponatur m S et radius
ofculi =:R, erit Sinr , et R iz: ''^y^ = « x ex quo pro
euoluta prima ifta emergit aequatio RRnzwSS-w^^, quac
ergo curua in pundo quopiam terminabitur , \ltra quod
curuae adieda eft longitudo zna. Quare fi in aequatione
pro curua quaefita ponamus -naa loco aa fimul prodibit ae-
quatio pro euoluta prima, quae adeo pariter problemati fatisfa-
ciet, fuamque euoiutam fecundam fibi dired:e habebit fimilem.
§. 30, Cum itaque problemati fatisfaciat aequatio
v(:^ = v(§qi^> in e^q^^^ ioco aaj quantitatem tam
affirmatiuam quam negatiuam accipere liceat , ponamus ab
loco aa y ne fbrma quadrati folum fignum afSrmatiuum in-
voluere videatur : hincque erit A fin. ^zr/y(J,_^.a-) et p
m fin. A/v(^.IO- atquey(i-pp)=:coCA./(v§?:^-
Qiiae aequationes fi multiplicentur per ds., obtinebitur dx
— ds fin. A./y(^^.Fr e^ dy:=ids cof A./;^§^6y , quae
Yt flt XZZ.
per lemma §. 10. datumita integrabuntur,
— ^ cof A.J^,7^^:^'^-7:^ ""• ^J v(n.s-+-.fe) •
§.31. Quoniam autem ex aequationibus differentia-
libus. eft fin. k-f^k^:^)^ % ^tque cof A J:^,^^
— f~ , prodibit his valoribus ia aequationibus integratis
SFl SIMILES TRODVCFNT. ai
ftibftituendis xds-!:^i^'^'-±^ etjds^-""'-^^'^'^:
ex quibus fi arcus s eliminetur , fequens inter Iblns coor-
dinatas x ct j nalcitur aequatio l^::^zZ=.7t[ydx—xdy)*—
[xdx ^jdyf ^ quae quomodo ad feparationem atque
conflnKflionem fit perducenda ex §. 25. intelligi poteft.
Conftrudlio (cilicet commodius deducetur ex aequatione
inter diftantias fingulorum curuae pun^5lorum a dato punc-
to fixo ceu centjro et perpendicula in tangentes : eiusmodi
autem aequatio deriuabitur facillime fiimendis quadratis co-
ordinatiirum x et j , tum enim prodibit iila aequatio
xx^-^yy = (^, + ^ . fcu s = V (i-^±22l _
nl^n) )• Prc) huius vero curuae euoluta prima aequatio
fimili modo accepta erit s z=z V ( ^-i±2X|--±.>^) ^ _^ j
pro euoluta fecunda haec s = V ((i±!L(ff^^ _ ^ ^
proeuoluta tertia ,-y(^-^)^_^) etc. ex
quo fi habeatur pro prima curua aeqnatio yel conftrudio,
eadem totius feriei euolutarum naturam in fe complede-
tur : quarum fingulae problemati aeque ac ipfa prima fa-
tisfaciet.
§.32. Referatur itaqiie curua ad centrum fixum A ,
in quo ante axis AP terminabatur , ponaturque recta AM
zzzV {xx-\-jj) — z, perpendiculum intangentem, AT
mp ipfaque tangens MT ."zz V (zz—pp) in ^, erit ele.
inenturo curuae ds — ^. At ex praecedente aequatione
pro curua noflra inuenta emergit haec sznV { ^ _
^tn)), -de fit ds^-^f^-^, ^ f--quae
cum per zdz diuidi queat , erit / zn V (^^ - ^n)^) =
Fig. S*
C^
fig. 8.
12 mVESriCATlO (TRVJR, qvae evolvtae
^,- ctp = V{^^ + (^). Radius osculi Tero
r,quieftii=y {nss-]-ab) , erit n; ^((i-f-w)^;^;-^;^)
ex quo erit r:=z{i^n)p et szz{i-^n)t, quae liint
proprietiues notsitu dignae pro curua quaefita.
§.33. Ad figuram cuniae inueftigandam habeat pri-
mum conftans ab valorem affirmatiuum fitque (T:^^^ :i^
cc, erit t zz V ;:—;;{ zz - cc) et pzizy-^^zz-i-ncc):
vnde perfpicitur z neceflario maiorem efle dcbere quam c.
Cafu autem quo zzzc fit ^ino , ct pzr.c \ qiiare hoc
Tab. 1, loco ipfii reda AM in curuam erit normalis. Defcriba-
tur igitur centro C radio C A zi: ^ circulus A S , fitque
curuae quaefitae initium in A, vbi curua ad radium CA
erit normalis , ibique radium osculi habebit — ( i -1- « )
CA. lam lumatur curuae pundum quodcunque M, po-
fitaque vt ante C M in 5; , CTzzp et MT — ?, erit
p=:y 7::pr(^--Hw^^) et t zziV —{zz-cc), et an-
guli CMT tangens = f- — y ^^r^ ; quare crefcente di-
ftantia z , hic angulus continuo decrefcet , donec tandem,
quando fit ;s nz co , huius anguli tangens fiat rr V J , "vbi
curua cum logarithmica fpirali confundetur.
§. 34. Vt vero curuae huius commodam conftru-
dionem tradamus , ponatur arcus circularis A S = ^ ,
cuius elementum S s erit zz: d q ^ vnde fiet lA n zzi
^^ atque/:p=z^^:"-^^ ex quo oritur d q ■=: '-^ -'-^ V
^^^±^ Ponitnr V-^^^^ — u erit z !lIlSSii±.^_^ et - —
nzz-ncc ronaiur V ^^^ncc " ^^^^ -^ n—itu ^^ z
udu , udu 1 • dq du du . • ^^^
r^iH^ -H rr=n > liincque -i^r:^-^;^^, cuius inte*
grale eft f- = A tang. ti -\- -^ l -^ z=z A tang.
^,nzz~ncc , j j s/izz-i-ncc^-^^/izz-cc) ^^ . . i « -^
V^^^ 4- ,-v7, / v(S^«^^^^3^ Sumta igitur prolubitu
diftantia
V
Sn SIMILES PRODVCVNT, 23
diftantia z eius pofitio refpedu C A ita definietur. Dabi-
tur primo triangulum M C T , cuius anguli M C T tan-
gens erit = V ^— ^- Deinde hoc triangulum circa C
ita erit difponendum , vt angulus A C T fiat m ^„ /
00 , arcus A S infinite magnus euadet , ac propterea cur-
va A M O infinitis fpiris circa C peragendis in infinitum
cxcurrec ; hu rcv£la A C ciit huius curuae diameter.
§. 35, Sit nunc a If quantitas negatiua , et ponatur
=—, zncc , cntp—-V^^ [zz-cc) et t — V ;tU^zz-^cc)
vnde perfpicuum efl: z non pofie eflfe <^ c : cafu autem
quo zzn c y fit p — o et t~c \ ex quo tangens curuae
hoc loco per ipfum centrum tranlibit. Defcribatur igitur
centro C radio C A iz: ^ circulus , fitque A M O curua '^^^ ";
quaefita , quae in A circulo normaliter infiftat , ita vt
reda A C fit tangens huius curuae in A. Sumto ergo
pun6lo quocunque M , et ex C in taugentem M T de-
miflb -perpendiculo C T , erit CMzz^.CTzzp et
M T zr ^ , atque anguli C M T tangens erit = t^^V^^-
Qiiare didantia 5; in infinitiim crefcente fiet anguli CMT
tangens zzzV i , ibique curua cum logarithmica fpirali con-
fiindetur.
§. 3 =: V ,^ (^ 5; - ^ r)
quo fado hoc tiiangulum in talem lltum collocetur \t an-
gUiUS A ^ r nat ^y^ l y^a^^^-ccJ-V.ns^^-ncc)-
Tab. 11. §-37. Cum igitur his duobus cafibus folutionis pro-
^s- a- blematis pars prior abfoluatur , accedamus ad alteram par-
tem , in qua euolutae primae B N radii olculi a B ad N
pergendo decrescunt. Qiiare fi in curua quaefita ponatur
arcus A M =1: ^ , radius osciili M N ==1 r , ,erit euolutae
primae BN arcus BNzrr-^, radius ofculi ^mzz!'j~
hincque pro euoluta fecunda arcus amzzzb^ ^-^ zzin s \
et radius osculi 7n n zz — ^^d .\i zizn s. Ex vtraque
aequatione mutato initio A refuitat i^^ n s d s -^ r d r
nz o , quae iutegiata ^'M n s s -\- r r — a a feu r
zn y (a a — n s) ., quae cum omnino fimilis iit illi quac
fupra §. 17. eft inuenta , huic cafui fatisftcient epicycloi-
des et hypocycloides omnes. Curuarum itaque, quae fuis
euolutis fecundis direde funt fimiles quinque nadi fumus
genera ; quorum primum omnes fpirales logarithmicas
compled^tur , tum (equentur bina fpiralium genera noua
§• §. 33 5 35- expofita ; reliqua bina genera conftituunt
epicycloides et hypocycloides.
§.38. Circa fimilitudinem euolutarum lecundarum re-
ftat hoc problema.
''""^ "• Inuenire curuas , quae Juis euoJutis Jecundis inuerje ftnt
(imiles>
Huius
SVI SIMILES PRODFCFNT. as
Huins problematis pnriter ac praecedentis duplex requiri-
tur folutio , prout eiiolutae primae radii ofculi ab H per-
gendo vel crcfcunt Yel decrefcunt , fi quidem in curua
quaefita AEB curuedo ab A ad B decrefcat. Ponamus
igitur euolutae primae radios osculi ab H ad N crefcere,
fitque E id pundiim in curua quaefita ita comparatum
vt portionls E B euoluta iecunda ac fimilis fit portioni
AE, huiusque euoluta fecunda ^ ^ fimilis illi portioni
B E , prouti fimilitudo inueda poftulat. Circa E fuman-
tur vtrinque arcus EMetEQ_ aeque ampli , atque euolu-
tis prima HN et lecunda ba defcriptis , debebit arcus ^ /;i
fimilis €i& arcui E M , et arcus e q ipfi E Q^.
§.39. Vocetur radius osculi EF — ^, et Yezzb^
atque ponantur arcus EM=:ri; EQ^~S; itemque radii
osculi M N =: r et Q_R iz: R , habebitur ob arcus aeque
amplos ~ iz: ^-. lam itaque in euoluta fecunda erit propter
fimilitudiiiem em^ns ^ eqzznS^ radius osculi in m~n
r , et radius osculi in ^zr/zR. At ex natura euolutionis
habebitur FNmr-^; FR=i:^-R: N^~ ^ • et R;«
•zr ^=^^— _^=Jf^ Denique in euoluta fecunda erit eqzn^-^
-Z» • et em — b-\-'^: atque radius ofculi in q— '^^ d,
^, ac radius osculi in mzz:.^; <^-^4r- His cum expreffio-
nibus ex fimilitudine natis coniungendis orientur hae ae«
qmtiones nsz^b-^"^ ■ nS-"^ -i^nr^^d. ^,^ ;
« R =1 ^ ^. ^ quae binae pofteriores aequationes in prio-
ribus continentur ob aequationem fundamentalem -| zz: p.
§. 40. Habemus itaque tres iftas aequationes
I. rdS — Kds
n. nsdsz=irdR-\-bds
ni. nSdszi:rdr — bds
Tom. XIL D ex
16 INFESTIGATIO CVRVAR. QVAE EVOLVTAE
ex quibus curuae conftrudlio debet formari : quae ita ab-
foliietur, vt binae variabiles S et R eliminentur, atque ae-
quatio eruatur inter i et r ; iiaec enim fi ita fuerit com-
parata , vt ad datnm arcum s quantitas radii osculi r poflit
aflignari , fimul ip(a curua poterit confl:rui , quemadmodum
alibi oflendi. Eft vero ex tertia aequatione S=r^— |,
atque ex prima R = ^ iz: ^y d. ^} , qui in fecunda fub-
ftitutus dat hanc ■"'7^^'^^ ~ k ^- £ ^- ^ - l^^ec vero ae-
quatio euoluta ad diflerentialia tertii gradus exfurgit , quae
vix vllo modo deprimi atque ad conflrudionem accora-
modari queat. Ip(a quidem aequatio haec mutato initio
E feu lcripto ns loco ns — b ita le habebit ; n^sds^ziz
r* d^ r "^- ^r^drddr^rdr^ \ pofito ds conflante, haec
vero commode integrabilis exiflit , eft nartique integraHs
n^ s'' ds^ '^Qds^^zz.ir^ ddr-^-r^ dr*,
§. 41. Quantumuis autem diflicilis huius aequationis
diflerentio-diflerentialis conflrudio videatur , tamen ca ex
aequationibus primitiuis deduci poteft. Secunda fcilicet
aequatio per primam abit in hanc
ns dSzizKdK-^-bdS»
ad quam fl tertia a'*, fcribatur/
loco aa—^-- et ^ loco ^^-h ir > ^c proueniet fequens
ae juatio :
r Vr -1-2W s r ds dr -\-n s ds -\-^njr ds dr
^^n'fs'ds* -{-^n^j ^ ds*—Hn^gr^ ds* — ^n^ r* d s*
^%n^ sr^ ds^ dr , quae adeo eft integralis huius n^ s* d
j* -4- 2nfds*ziz2r' ddr -f- r* dr^ , id quod eo magis eft
notandum , quod nulla pateat via alteram ex aitera de-
ducendi , immediate fcilicet- Nnm fi difFerentiaiis aeqimtio
fecundi gradus reloluatur in pliues aequationes per \alores
aifumtitios S =: JJj^ et R rn '^'^^^J— , tum congruentia
0tis peripicitur eo modo quo fumus yfi. Atque iiinc for-
tafle aliquando nouam mettiodum detegere licebit , ad
aequationes differentiales altiorum graduum integrandas.
Hic quidem fufficiat fpeciem quandam huius methodi in-
dicafle , ex qua ipfius yfus ingens , fi quando excoletiir ,
perlpiciatur.
§. 44. Interim tamen ifl:ae aequationes ad curuam
qiiaefitam conftrueodam non multum muant , quam ob
caufam aliam viam ad conftrudionem peruenieudi aperie-
mus. Ponamus s -\- S :zz p -^ s —Szz. q -^ r -V- K — u \ et
r^RzT':^: erit jzi: ^' ; S —: V ^ r^^QtKn:-^;
qui valores in aequatione r^S~R^j fubflituti dabunt
tt^^zno^^p; aequationes vero §. 41. inuentae abibunt in
fequentes «'zz^^^-j-wp' et ^""ziz ^bq-nq^ ^ ex qnibus
obtinebitur ^%^^^^^) — ^kj-^] > in qua cum variabiles p
et q fint a fe inuicem feparatie , dabitur q per p et proinde
S per s j hincque porro 1; et ^^ atque adeo r et R per s,
Qiiare
SVI SIMILES PRODFCFNT 29
Quflre cum ad datnm ipfius s valorem quemuis afTignari
queat valor ipfius r , ipla curua , in qua s arcum et r
radium osculi denotat , conftrui poterit , ex quo problema
propofitum , quiintum quidem defiderari poteft , efl: relb-
lutum , cum id fit perduclum ad aequationem difFerentia-
lem primi gradus , in qua variabiles p tt q funt a fe in-
vicem feparatae.
§. 45. Quodfi autem detur relatio inter arcum curuae
cuiuspiam s ac radium ofculi r, ipla curua fequenti modo
conllruetur. Ponatur ablcifla ~ Ji% applicata nz >' , fitque
dx—pds, erit dy z=z dsV {i-pp) atque r = '^^J^\
vnde fiet vu^j 1= -7 et A . fin. pzzij- quod intcgrale
dabitur ob datam relationem inter s et r. Hanc ob rem
habebitur p — fin. A .jf atque y{i-pp) — cof. A .J^^-
hincque dx — ds fin. A ./^ et dj~ds cof A .J~, Ex
quibus tandem per integrationem prodit xznjds fin. A .
/7 atque y—Jds cof A ./7 ; ita vt per quadraturas ad
datum cuiusque arcus valorem aflignari queant tam ablcifl[a
quam applicata.
§ 4^6. Accedamus iam ad cafum alterum problema- ^«b. ir,
tis §.38. propofiti , ac de.relcant radii osculi euolutae ^' "^
primae HN ab H ad N pergendo. Maneant vti in prae-
cedente cafu radii osculi fixi R^—a^ F^ — ^, vocentur-
que arcus EMzni, EQ_=i:S et radii osculi MNzzr,
et QR zz R ; vnde ob fimilitudinem in euoluta fecunda
erit em~ns et eqz^nS. Per naturam vero euolutio-
nis erit in euoluta prima FN~r — ^; FRzz^ — R
N^~^ et Kmziz'^^ : ex quibus pro euoluta fecun-
da onTur em — nsziz ^=^7^ — b , atque eqznnS ::^ b-^
3 . 4*-
So INVESTIGATIO CrRVAR. QJ^AE EFOLVTAE
^. Ob arciis denique EM et EQ_ aeque amplos crit
V ~ Bf. Qiiamobrem habebnnair tres fequeiKes ^equa-
tiones :
I. rdS — Kds .
III. nSds^~rdr -\- bds .
quarum ,binae pofteriores ope primae transmutantur in has;
II. nsds — — rdK—bds
III. nSdSzn^-Kdr^bdS.
§. 47. Addamiii^ primum binas aequationes pofteriores
in forma priore , eritqiie fumma :
. nscfS-h-nSdsiiz-KdK-rdr^Ifds-bdS
qnae integrata dat hanc aeqnationem
znSsz::: ^aa — K^^ — r' -{- 2hs—2bS
feu K''-i-r''z=::2.a^ -{- 2b {s — S) —^nSs
Deinde addamus easdem aequationes in fbrma pofleriori,
erit nsds-^-nSdSzzi — rdK-Kdr-bds-^bdS cuius
integrale efl: ns^^nS''z:z.2a —2.Kr—2b {s-S) feu^Rr
zzz2a' ~2b[s-S) — n (/-f-S*J , quae cum illa coniunda
tum addendo tum fubtrahcndo praebet
(r-|-R)':::=4^*-7? (/-fS)* atque
{r-K)' = ^[s-S)-\-n[s-S)\
quae aequationes ab il]i> , quas cafu praecedente inueni-
mus non differunt , nifi quod n habeat valorem nega-'
tioum.
§. 48. Quodfi ergo ad curuam conftruendam faciamus
vt ante j + Szrp , j-S"^ ; r-{-R=:w, et r-Rz^i;
erit uzzzy{^aa-npp) et vzzzV^^bq+n^q) hincque per
aequationem primam rdSzzzz^Kds obtinebitur
dp dq
pcr
SVI SIMILES FRODFCFNT, 31
per qiiam dabitiir relatio fnter p tt q ^ vnde s et r per
eanaein variabilcm vel p yel q determinabitur j id qaod
ad cuiuuni conlkueiuiam iiiificit.
§. 4.9. Vt juitem luturam hiiiiis curiiae propius in-
§?icere liceat , tentnbimus ipf-mi conflrucftionem perficerej.
atque uequationem inter coordinatas ortiiogonales x ec j
elicere. Qiiod quo commodius fieri queat , intiK)ducamiis
nouam variabilem z fitque
1 dpy/n d i^/ti
«^ — vu;^r^ — vi+^^y-P^i^ > ^^9"e tiim p quam- q per
eandem variabilem ;:: deliniatur, primo autem prodibit A .
fm. —■nzs^ hincque p zz: ^ fm. A .z\ tum vero habe-
bitur z ^ f-^^^i^tt^mi hincque, q =. (^"-^*
Per 5; igitur delinitis p et ^, porro reperientui; u et 'j^ jp
€X quibus tandem confequitur.
r=r ^ coi: A .2 + ^ — — ^^-
§.50. Hinc difierentiando emer^i't<^>™ — ^ — 1— IT'
ponatur abfcifHi rr.r et appiicata zztjk erit per §. '45..
x-^Jdzco^,A,z. rm.A^4-^/,-^. fin. A -^ - ^/rV^
^ fm. A. :^
^- ^Jdz cof. A^.cof. A ,^4-^/.Vc^cof. A ^ - "ijc-^dz
V cof. A -
quae
32 INFESTIGATIO CFRFAR, QJ^AE EFOLFTAE
qune quidem formulae iam fufficere poflent ad curuam pcr
quadraturas conftruendam ; at conftrudtio facilior inde eua-
det , quod fingulae hae formulae difFerentiales adtu inte-
grationem admittant.
§.51. Singulas autem has fbrmulas diffcrentiales fe-
quenti modo integramus : Jdz cof A z. fin. A ^ — fin. A ^
fin.A Ir - Vnf^^ ^ia- A^ cof A y^ =:fm. Az fin. A y^ -H
^ cof A 5; cof A ;^ -f- jiJdz cof A zCm, A~', Ynde oritur
.j rK r A X nfm.Az.rm.A^^Vn.coi^.Az.coCA'^
fdz cof A^jfin. A ^ =; ^— ^
' . " n—i
at cafu quo w= i , quia eft cof A 2;. fin. A z 1=1 1 fin. A
2. z erit Jdz cof A 2;. fin. A ^ — - ^ cof A 2 z. Deinde
pari modo eft Jdz cof A z. cof A ^ = fin. A js cof A ^
-+- ^dz. fm.A5;,fm. A^fm.A5;cof A^ - j- cof A fm. A
•^ H- ^/^2 cof A^; cof A ^. ergo /^5; cof A^; cof A ^
_ n fm. A^ cof A ^ -V^. cof A^. fm. A. ~ ^^^^^ ^^^
~" «—I
tem quo «m ob cof A^ cof Az-zz: i±S°J-±^ ent
Jdz cof A 5; cof- A^ =3 ? 4- i fm. A 2 ^.
§.52. Reliquas formulas fimili modo integramus ; eft
fcilicet fs^^dz fm. A ^ =^^ fm. A ^ - ^Je^^dz cof A
^ =:.- fm. A Ir - £ ^^^- A ^ - „^/^ V^ fm. A ^ ,
r,- rz^ r A 2: wf'' fm. A ~ -e^^Vn. cof A -^
hmcqueJ^V^fm.A -r^ zz: — ^.
w-f I
At Je^dzcoCAi —e^ cof A^^ -^infi^^dz fm.A ^ rr
2£lco£A^^^V^^^^ Deinde fimili modo
sn simLEs prodfcfnt. 33
fe-^dz fin. A v, ^iz.-^e"' fm. A :^ + irje^^^dz cof. A :f,
— - r» fin. A ^;- ^^ cof. A. ^ - ^, fe-^dz fm. A ;|-
hincque/^~V5; fin. A ^ =: ii -V?
«-f I
Deniquc /rV^ cof A -:^ 1=-^-^ cof. A -^ - -^Je^^^dz
^ -«^-*cof.A-f,-f^^*Vw. fin. A-*
JB
Vn
His igitur integralibus inuentis habebimus x -rz
^__aVn(m.XzAm. A 7, -f- ^? cof A s . cof A. ^
* — — ~ . -■ ■ ~ -4—'
n — 1 ^^
gV^/g^^fin.A^^-^rg^cof A |, + /^^V;?r»nn. A^ -f^^r»cof A;|
^y«fin. A5;cof A^-<7cof A .2 fin. A -?
n— I ^^
cVn . f^cof A ^,+<^g^fin.A^^-|'^^V;? . r^cof A;| -^^r^fin.A %
4-(«-i-i)V« ^-(«-1-1) V«
fomendis quadratis obtinebitur x x -{- j y zn
a^nCm.AzSm.Az^-i-coi^.AzxofAz^-^act^n fin.A^r-cof A^)
(n-i)^ 2 (/2*- 1)7«
tiabbe'%n fin. A5;-l-cof As) cc e^* ^^(«_ij
"^ Cynn-i}Vn i6//(«-t-i) 2;7(«^^/'^
ir'w(«-|-i)'
Simili autem modo curuae cafui praecedenti huius proble-
matis fatisfacientis conftrudio poteft adornari, Ceterum
curuae iftae , quae fuis euoJutis fecundis inuerfe funt fimi-
les ,. fimul ita funt comparatae vt direde fint fimiJes fuis
cuolutis quartis.
Tom. XIL E § 54,
34 INFESTICATIO CVWAR, QVAE EVOLVTAE
§. 52. Qiiod aiitem ad cimias attinet, quae cuicim-
que euolutae dircd:e fint fimiles , lex aeqiiationum inter
arcum s ct radium olculi r coiitentariim fiicile patet.
Pro cuniis enim quae fws euolutis primis direde funt fi-
miles haec habetur aequatio ^f- « i 1= r. Pro curuis
quae fuis euolutis fccundis (int fimiles haec + ^ i ^ ^'
Pro curuis quae (iiis euolntis tertiis fmt fimiles haec ^ n
quartis fuit fimiles haec ^ n s zz ^ d . ■£ ^.^=:
rfdv±.r^'4!jMr±£±l, Pro cuniis vero , quae fuis euolutis
quintis fint fimiles, habebitur haec aequatio ±^ ^^'^^^'
£^-£^*'?» ^*-^^ aequationes quousqiie lubuerit continu-
are licet.
§. 53. Confideremus igitur curuas , quae fuis enolutls'
tertiis fint f miles , quae hac aequatione continentur ■±^ n
j/// — rV^r-f-r^/ pofito ^j conftante. Ad banc
aequationem in difFerentialem primi gmdus transmutandan:^
judu Jttdit
ponamus szme^ tt r ziz e^ u erit ob d s conftans
judu
dduzn— ir-"T atque^jir^^ — ; ^r —
ju&u Sndu
bus vaioribus fubrtitutis aequatio noftra diflferentialis fecun-
di gradus abit in hanc ^ n d u:zzy dy -\~ 3 uy d n -H
u d u y cuius aequationis integrale particulare reperitur eflc
jziz — u —uv ^f- ;? — 1^ «* Ad integrale igitur genera-
lc inLiemendum ponamus jzr^j-w —uv -h n -- ¥ n
erit
SVI SmiLES FROLVCFNT, 55
crit dy:=zdz'-'!iudu — duY-A^ n atque 0 riz z d z
^zudu — zduV^^ n — uudz — udzy W- n —• d
zv n Ponamiis :+: « — ^n quia m perinde afilgnaii po-
teft fiiie fit n numenis affirmatiuus fiue negatiuus ; erit-
que ozzzzdz^zudu — mzdu — uudz — m u d z
— ;;/' d z..
§. 54. Haec Tero aequatio ex earum eft numero ,
quae feparabiles rcdduntur , fi ponatur d z z^ p d u ^ hoc
enim f^Oio «erit jozz-p z -^- zu — m z ~- p u —mp u —
fn p vnde ^t z zz, ^^"^j^—^ , quae fubftitutio adhibca-
tur. DifFerentietur fciiicet , eritque d z zz p d u zz
ii'ci6-4-Pu'iu — im'^ pdu-^ivi^pdu — 2mp.udu-+.2Up'^d2i~i-mp^du — m^dp
— ^uzz^^ ' quae re-
duaaabitinhanc: ^, ==^-^^-^,- feu
^-^^^Kf^l m^ integrata.dat ^. l-^~n^m^) -
m^vj -^ tang. ,^_j_,r„ — 3m» ^ •-^{pp—zmp-i-sri^) "4- ^^j^ A tang.
:jV^
H-Atang. ;|^^,^-Conft.'^A tang.S^
.^ Conrt. QLiia rvero .efl: .p :±-iilt=±lyr^^^'^^^-+-rnm) ^^-^^
Vj jy-f-iiu-^-mi^-f-mrTi " A taug.
(y(uu-+-mu— mmjH-(u2^77i2Xttw-+-OTiiH-rtim)}Vj -]- V.0nU. TDl elt U ZZZ
r ydr rr
§. 5 5. Quoniam inuenimns quaeflloni particulariter
fatisfieri aequatione y-^-uu^muA-mmzz o prodibit haec
aequatio inter r et ^ partem quaeftionis refolucns rdr-^
mrds-i-fn^sdszzo ^ quae igitur aequatio crit intcgraHs
E z ^ huius
^6 INVESTIGATIO CVWAK, Ql^AE EVOLVTAR
huius m'sds^z=ir* ddr-^rdr* id quod illius differentia-
tio indicat , etiamfi \ice verfq per integrationem illa ex
hac erui vix queat : Ponamus igitur ad integrale latiflimo
fenfu acceptum inueniendum id effe rdr-\-mrds-\-m*sds
znVds erit differentiando rddr-^-dr'^ -\-mdrds-\-m*
ds^ziidV ds, ergo r'ddr-\-rdr*z:zrdVds—mrdrds--
m*rds*z^m'sds*. Hinc erit porror
quae fuis differentialibus cuiusuis ordinis fint fimiles. Cum
cnim generaliter fit "7-7 =: Jh « J , valorem ipfius s ita
comparatum efle oportet , vt ipfius diflerentiale cuiusuis gra-
dus ipfi fit fimile , feu per id diuifum conftantem quan -
titatem producat^ Huiusmodi autem quantitatum tria dantur
genera , quorum primum quantitates exponentialei» compledi-
tur, fecundum finus et cofmus arcuum circularium , tertium
vero vtriusque fpeciei quantitatibus exponentialibus , (cilicet
et fmibus cofmibusque arcuum circularium coniundim con-
tinetur.
§. 58. Primum igitur genus ita eft comparatum vt fit /
rr^^^^jhuiusque formulae difierentialia cuiusque gradus fequenti
modo pro-
grediuntur
II. j$ = .«V
IV. f* = ^«V
etc.
Apparet igitur aequationem s:=ie^'^ fatisfacere plerisquc
quaeftionum cafibus, quibus curuae euolutis fuis dati ordi-
£ 3 m
eritque
-^ ^K rr -4- »
dds a , „
» =^ — ±1 «
d^s i , ^
d*s ,♦ , ^
etc.
$S mVESTIGATlO CVRFAR, QFJE EFOLVTAE
cis fiiniles requiruntnr. Qiiodfi enim quacratur curua ,
quae iiiae euolutae ordinis y fit fimilis , duplex pro ea ha-
betur aequatio fcilicet ye\ d^szznssiv''^ Yc\4''szi:-ns
cum per id omnibus omnino cafibus fatisfieri queat. Foi*-
mula autem genemlis ita fe habet s zz: e^^ictCm.Abv -f-
l^cofA.Z?'^) differentialia \ero fequenti modo progre-
diuntur
ds
dv
= ^s^ 5-;^^ fln. A . bv zJH^ cof A . b^\
dv — ^ p:^f^ Cm.A.bv ■+:ilP' coC.A . bv>
— zize^A^lliK^^^^^-^-h^ :p^coC.A.h4
d*S C-hcib* _+-§/;♦ 'v
dv" - ' )-:ill'; fm. A.bv -1%Z coHA j4
etc.
Ex
40 INFESTIGATIO CVRVAR. QJ^AE EFOLVTAB
Ex quibus formulis colligitur fore gcneraliter j-^ z=: e^
(
{^hv-rr^i,-tv-^r ^,^_^_,^
§. 62. Ponamus cfle debere -r-^^ms exiftente m
^ zh '^ > ita Yt m qiiantitatem quamcimque fiue affirma
tiuam fuie negatiuam fignificet : eritque comparatione inftituta
r^H- hV -1 )v^a-f-gy- I ) {g-bV-\ ^ a-Sv'-!)
m a rz-^ — -\ ^
2 2
^ (^-f.^T/-i)^(g-ay-i) (^-Z,V-.i)^g-fay,i);
Ct/KbZi: — — ■-} •
2 2
cx quibus aequationibus eliminata m conficitur haec aequatio
(^^^y-i)'(a*+r)y-i:=:(^-^^y-i)V + S')>'-i
cui quidem fitisfacit expreflio a*^-S'~o, at quia hinc
ad imaginaria pemenitur , hic valor tanquam inutilis eft
iciiciendus. Qimmobrem habebitur (^-f- hV- 1 y zz.{g-hV i /,
quae euoluta abit in hanc vg''-' h- ^r'.!^!'—^'^' h ' -+-
f/T^r"'^^"'^'^"^'"''' ^'-^ etc. zzzo cx qua aequationc
g per h definiri oportet.
§. 53. Ex inlpedione harum fbrmularum mox in-
tclligitur eas diuifionem arcuum circularium inuoluere.
Quodfi fcilicet fiimatur arcus quispiam w in circulo, cuius
ladius zz: i y pouaturque ^ rr/cof A. w et b zzzfCm. A.
SFI SIMILES PRODFCFNT 41
w , debebit ^i; eiusmodi efle arciis , vt fit fin A. v ^ =r 0.
Sumtis autem huius modi arcubus pro ^ , reperietur va-
lor litterac m ^zzf coC A. y lu. Hanc ob rcm pio vw
fuccefliue fubftitui debebunt arcus 0°, 180*, 3<5o'', S^o'*^
etc. pro fingulisque valores cum arcuum ■tv tum litterarum
£ et b definiri ; quo fa -z; --h ^ ) : in qua aequa-
tione litterae g et h ex valoribus « et v determinantur.
Cum autem haec determinatio pendeat ab refolutione ae-
quationis y dimenfionum , in qua omnes radices fint rea-
ks , manifeftum eft totidem valores pro s inventum iri : .
At fi aequationem d'' s z=z A^ n s d v'' in(piciamus , facile
intelligimus , fi fatisfaciant valores jiz:P,izz: Q^, jzrR;
€tc. -^iingulatim exiftentibus P , Q_ et R fundionibus ipfius
V , tum etiam fatisfacere aequationem ex his coniundam
5=i:c«P-+- SQ^-f-yR ^ haecque aequatio integralis
aeque late patebit ac difierentialis propofita > fi pro P, O ,
R. omnes particularcs ipfius s valores accipiantur.
§. 6$. Percurramus igitur ordine fingulos ipfius v
vdores , et pro angulo 180 graduum ponamus tt , ita
vt fit 3^0* — 27:: 540* rz 3 TT etc. Primum eigo fit
y =3 I , feu fitisfiat aequationi d s zzim s d v eritque v w
zn^d^zizo \ atque hinc g =fy et hz^^o et ?« ^j'', ^x
quo aequationis huius
Tom. XII ' F dsT^
41 INVESTICATIO CrRVAR, QVAE EVOLVTAE
d 5 = f s d V *
erit aequatio integralis haec :
s zzzC e^^
Qiiodfi autem ponatur v w zzi wrz i: ^ fiet^= — / ; b
zi^o \ et mziz -fy vnde prodit huius aequationis d s ^
^ f s d V intcgraXis haec s ~ C e'"^^ quae quidem in
praecedcnte iam continetur fado / negatiuo. Quare ae-
quatio s z=z C e—^'" omnes praebet curuas , quae fimiles
funt fuis euolutis primis , quas iam oftendimus efle loga-
rithmicas fpirales.
§66. Sit porro vr=2, {eu integretur aequatio dds
':zimsdv*i atque primo ponatur viv—iivzzlo, erit «zf m o ,
et gzizf ^ ac y!?z=o , atque mzzff^ vnde huius aequa-
tionis ddsz^ffsdv* integralis erit szizCe^'^. Secundo fit
yit^rrs^zzTT, erit nvzz^^^^nzz^o'' -^ atque^^ro • ^n:/;
et m^zz—ffi vnde aequationis ddsziz-ffsdv* integralis
erit szziC fin. A {fv -f- ). Tertio fit vwzz^ wzr. 2 Trfeu «;
:zziTZZiSo° ; erit^iz:— f *, bzz:o ; et mzzff\ vnde ae-
quatiortis ddszzffsdv* integralis eft szzCe-"^'". Quarto
fit ywzzi.wzz^i: feu ^a^^ilTr ; erit ^=1:0; bzz^-f^
et mzz-^ffy ex quo aequationis ddszz-ffsdv* integra-
lis erit szzC fin. A(^— /'y) = C fin. A {fv—^) quae
quidem aequatio cum fuperiori cafu fecundo inuenta con-
gruit , vtraque enim continetur in forma a fin. A./a; -H
gcof A.fv.
§.67. Hinc itaque vtriusque aequationis differentialis
fecundi gmhs ddszzzffsdv* et ddszz—ffsdv* comple-
ta nancifcimur integralia , atque adeo curuas obtinemus
omnes , quae fint fuis euolutis fecundis fimiles. Scilicet
€um pro cafu priore duplcx inuenta fit aequatio integralis ,
ambo
SFI SIMILES TRODVCVNT. 45
ambo ipfius s valores per conftantes quantitates multlplicati
et inuicem coniun(^i dabunt conapktun) integrale* Sic ae*
gaationis huius :
dds^-^-ffsdi)*
integrale erit completum :
At alterius aequationis
dds^-ffsdv*
integrale completum erit hoc i
jinC fin. k,fv -f- D cof. A./v
in vtroque enim integrali infunt duae nouae conftantes C
et D, quae ex duabus integrationibus funt natae.
§. M^^ (afin. A,fv fm. A. |7r-4-
§cof A./i; fin. A.|7r). Tertio fit ^iiJiziiTr {euu;z:r|7riz:
120% erit ^zz/cof A.§7r, Z>zr/fin.A. |7r, et mzzzj * ^
vnde aequationis d^sznf^sdv* integrale erit /ir /"^''•^•^''*
a fin. A fv fin. A | 7r -j- 1§ cof A./o? fin. A. | tt ). EZ
quibus huius aequationis
d^s^-^fsdv'
prodit integrale completum.
j=zC^^^-f-^^^f ^^^'^(D fin. A.fv fin. AfTr-f-Ecof A./^'fin.A|7r)
Alterius vero aequationis difFerentialis
F 2 d'i
I
44. mVESTlGJTlO CVBJ^AR, QVAE EVOLVTAE
integrale completum erit hoc
\bi notnndnm cfl efle fin. A Ittiz:- j fm. A | tt ih 7 i cof.
AiTTzzl etcof A. |7ri=:-^
§, 59. Ponnmus nunc vrz^ fen hanc contemplemur
aequationem d*sz:imsdv* ^ ac primo fit 4i^'zi:o, erit
g:=f^ hzzo^ et »2=:/4 /vnde /fit izzC^-^'". Deinde
fit 4 z:; =: TT feu w—\i: erit ^ =:/ cof. A . i tt et ^ — / fin .
A.iTT, atque mz='-j* vnde fit izzC^^'^'^^-^- ^ ^^10. A
(y 17 fin. A. 5 TT -f- ^ ) hanc enim formam priefiat ad-
h;bere quam alteram , in qua infuper cofinus arcus b 1;
occurit. Tertio fi ponatur ^ivzz 2.1: Cq[i wzzlIiz erit^zr/
cof A?7r:=zo; h zzfCm. A-ii:z=fct m—J * , vnde fit
^--^Cef^ cqj-.A^Tr ^jj, A (fv fin. A I TT -1- (? ). Qiiarto fi
ponatiir 4 <::? ~ 3 tt feu w 3= | tt , fit iterum
mz=.-J* et ^^^^^^^''"^''-^-'^^'^fin.Af/^fm.A .|7r -!-(?).
Ex hisjgitur colligitur huius aequationib ^^j-zz — J* j ^«y*
integrale completum hoc :
s =:C^^^ -I- D./^cq/-.A-7r fin^ A(/^fin. A.|7rH-(^ )-f-E^--^^
Alterius \ero aequationis huius d^^s ~ — J* j ^i;*
integrale completum erit hoc :
s zz Qef"'''S.^^^^ fin. A(/^fin. AittH-v) -I-
D e^'' ''S- ^'^^ fin. A (/c fin. A 1 7r -{- ^ ).
§. 70. Non opus efi:, vt iiaec vlterius profequ&miir^
ciTm tam ex his f()rmis quam methodo ipfa iam pateat
lex progreflionis, Habebimus igitur generalitcr huius ae-
quatio-
SFI SIMILES PRODFCFNT. 45
qnationis differemmlis ^^j-rr: -4-/^^1;* iftam aequatio
nem integrakm completam
_♦
fin.A(/'i;rin.Af7rH-(^)-4-G^-^^^''-^-^'^r]n.Ar/'rfin.A^,7r4-'^)
etc. qiios terminos quidem in infinitum continuare licet,
at fufficit eousque continuafle , quoad terminus occurrat
primo fimilis , id quod accidit fumendis terminis vel ^*
vel ^' prout V fuerit numerus vel par \el impar.
§. 71. Simili modo integrale alterius aequationis dif^
ferentialis indefiniti gradus erit comparatum
huius (cilicet aequationis integrale completum erit
^^^^■^'^"''■^•^'^Trrin A(/^rin.A;7r-4-y)H-D^^^'^'-^-^~'^
fin.A(/^rin.A^ i:-\-$)-hEe^''''-^'^^'' fm A(f^rin.A-J Tr+s)
•4- etc. quam itidem non o^m eft in infinitum producc-
re , cum (umtis \el l vel "-p terminis iidem termini re-
currant , fequentesque inm in pnecedencibus contineantur.
Completum autem integrale vtriusque aequationis d'fFerenti-
alis propofitae cognofcetur, C\ tot quantitates conflantes C,
D , E etc. y , (5^ , e etc. iam fuerint ingreflae , quod v
continet \nitatcs. Deinde etinm irfto plures termini non
accipientur , fi tt nusquam per fradionem vnitate raaio-
rem multiplicetur.
§. 72. In vtraque igitur expreffione integrali alii ter*
mini non continentur nifi liuius formae
F 3 Nequc
4
^fftn.A(fv fin A 7 Tr-4-g-f- ^tt) cof. A.v^fjin.\ (fvjin A y Tr-f-g-H y "n^Jin- Av)
_____ —
V '7r«+»i
Simili modo cum per quantitates exponentiales , tum per
finus cofinusque arcuum circularium applicata y determina-
bitur idque per eandem variabilem v quae curuae ampli-
tudinem defignat, eft enim v—f%. Ex quo intelligitur om-
nes omnino curuas , quae quampiam evolutam fui habeant
fimiiem conceffis circuli et hyperboiae quadratuiis conftrui
pofle.
§. 74"
Sn SIMILES PRODVCFNT. 47
§. 74. His ergo expofitis problema initio propofitum
ienfii latiirinno acceptum poterimus refoluere , et omnes cur-
vas aflTignare quae fimiles fint fuis euolutis cuiuscunque
gradus. Hocque ipfo limites analyfeos non parum ampli-
ficafle iure milii videor , cum aequationes differentiales al-
tiorum graduum , ad quas peruenitur , non folum com-
mode tradare ied etiam integrare docuerim. Hac fcilicet
rnethodo non folum aequationum d*s~ -\-psdv* inte-
gratio eft in poteftate , verum etiam earum aequationum,
ex quibus hae funt ortae , quae funt ^- ns^r\ -^n.s:=z
^-^',±ns^-idr-^', ±ns-ld.^d/-^^±mj—
^d.jfd.jfd^-^ etc. in infinitum . Qiiin «tlam conHrucftio
omnium earum aequationum, quae ex his oriuntur quibuscunque
adhibicis fubftitutionibus confequitur, quaealiis vlis omnino fru-
ftra tentantur, cuiusmodi aequationes i^ nonBulIas elicuimus.
§.75. Qiiodfi ^ergo quaeratnr airua„ tjuae fuae euo-
lutae ordinis cuiuscunque v fit fimilis, eiusque curuae arcus
ponatur — s , radius osculi r , atque elementum amplitu-
dinis -^ — dv y obtinebitur pofito d^v conftante pro curua
quaefita vel haec aequatio d^^S— -^-fsdv'' vel haec d*s
z^—fsdv" quarum vtraque ita integrari poteft , vt valor
ipfnis s per v definiatur , vti ex praecedentibus apparet.
Inuenta autem hac aequatione integrali, innotefcit moxra-
dius osculi r , qui eft = a^ ; ac praeterea relatio inter
coordinatas orthogonales poterit definiri ; pofitis enim ab-
lcifla — X et applicaia ~jv erit x—Jdsiin.v, ct j zz:
Jds cof V quae ambae integrationes adeo adu per£ci pof^
funt.
4S INVESTIGATIO CFRVAR. OVAE EVOLVTAE
§. 7<5". Vt igitur natura hamm curuarum f^icile in
confpechim cadat , fingula problemata breuiter repetere at-
que aequationes integrales inter s ct v exhibere eft vifum.
Hic autem tantum fimilitudinem dircdam confideramus,
quoniam fimilitudo inuerfi ad diredam reducitiir , vt iam
fupra notauimus. Singula vero haec problemata , quibus
curuae defiderantur , quae fuis euolutis dati ardinis fint fi-
miles , duplicem admittunt (olutionem ob aequationem am-
biguam d^^szz: -\^f'^sdv'^. Qiianquam enim haec am-
biguitas , fi v cft numerus impar, nullum discrimen infert,
tamen fi v eft par , ambo caflis a (e inuicem maxime
funt diuerfi, quocirca pro fingulis problem^tis vtrumque ca-
fum (eorfim euoluemus.
Problema I.
Inuenire curuas , quae fimiles fint fuis euolutis primis»
Solutio I. d s — ^J sd V
et integrando
s — Q ef'
Solutio 2. ds~—fsdi0
et integrando
s = C e-^''
Problema II.
Inuenirc curuas , quae fimiles fmt fuis euolutis fecundis.
Solutio I. d*s—-^f^sdv*
et integrando
j =3 C ^^^ -h D ^-^^
Solutio
SVI SIMILES PRODVCVNT. 4^
Solutio 2. d's=-f*sav*
et integrando
s^Cfin, A (/v-f^ y)
Problema IIL
liiucaire ciiruas, quae fimiles fint fuis euolutis tertiis»
Solutio I. d^ szzL-^f s d^o^
et integrando
Solutio 2. d^ sz=i — / ' sdv^
et integrando
Problema IV.
Inuenire curuas , quae fimiles fint (uis euolutis quartis.
Solutio I. d* szn-^f* s di;^
et integrando
j=:Cf-^'^-|.DfinA (/^-+- J)4-E^-/«
Solutio 2. d*sz=:—f*sdv*
et integrando
i=:C^v. fin A (^ + y )4-D^^ fin. A (^-f- J )
Problema V.
Inuenire curuas , quae fimiles fint fiiis euolutis quintis,
Tom, XIL G Solutio
ioINVt^lTlGATlO CVRVAR. QJAE EVCITTAE
Solutio I. d's—-{-)'sdv\
et integr nao'
Ee * fm. A ^I^lip^^ -i- g )
Solutio 2. d's^-j'sdv' .
et integrando
fin. Af^^— -^-^^-fE^-^^
Problema VI
Inuenire curuas , quae finr.iles fint fuis euolutis fextiSe
Solutio I. d's:=Z"^fsdv^
* et integvando
S—Ce^''-+-De'^{m.Ai^-\-^)'^Ee~
fin A(-^-^-f-£)4-F^~^^
Solutio 2. d's^-fsdv^
et integrando
i— C^ ^ fin. A(^-f -+-V) + Dfm.A(/'y + ^)-f-
'^i; V T
fv
Ee ^ fm.A(^^-4-6)
5. *^7. CotiCella igitur peripheriae circuli fedione in
pflrtes aequa.es, problemata liuius generis, quousque lubue-
m conunuari , atque facili negotio relolui polTunt. Ita ad
curuas
SFI SIMILES TRODFCrnT. $t
curims definiendas , quae fuis eiiolutis feptimis (iut fimiles,
nofle oportet fmus et cofinus paitium feptimarum periphe-
riae circuli fcu partium i tt , | tt , | tt , quorum determinatio
a refolutione aequationis cubicae pendet. Cum autem in
hoc negotio aeqiwtionum algebraicarum cuiusuis gradus
•refolutio merito poftuletur , tota methodus , quam ad
huiusmodi problemata refoluenda exhibuimus , nulla am
plius laborat difficultate ^ neque aequationes difFerentiales
cuiuscunque gradus moleliiam afferent , fed omnes acquali
fere opera tradabuntur et conftruentur.
§. 78. Qiianquam autcm per hanc methodum eae
tantum curuae determinantur , quae cuipiam ex fiiis euolu-
tis direde fint fimiles , tamen per eandcm viam eas cur-
vas quoque affignare licet, quae fuis euoiutis dati orcin;'s in^
verfe fint fimijes. Qiiodfi enim curua requiratur , quae fuae
euolutae ordinis y inuerie fit flmilis , atqiie aequatio inier
s ct V eo , quo fupra vfi fumus modo eruatur , reperie-
tur ea efle d^^s^ — J^^^sdv^^ Ita curuae , quae (iiis
cuolutis primis inuerfe funt fimiles. continentur in aeqiiatione
dds ziz-f^sdv^^-tt curuas , quac (iiis euoliitis (ecundis in-
ver(e fimiles funt, compleditur , aequatio d* sziz—j* sdv^
ct ita porro : quae ae:]uationes omnes methouo tradita
tradari et integrari poffunt.
f 79. Denique praeterire non pofdim , quin mone-
nm methodum haric multo latiiis patere , qurm aci eas
tantum aequationes dii?erentiales altiorum graduum , quae
fe in hoc negotio obtulerunt integrandas. Maxjmum enim
eadem methodus pracftat vfum in integratione infinirarum aiia-
rum aequationum differeniialium altiorum graduum j quae
G 2 aliis
Si. INFESnGATIO CFBIAR. ^FAE EFOirTAE.
aliis viis fruftra traftantiir : cuiusmodi eft aequatio liaec a
i=^^'-f-l#'+'£^ + '^'-|-etc. pofito dv conftante.
Qiiousque enim etiam haec aequatio fuerit continuata , eius
integrale (eu valor finitus ipfius j" per v feniper poteft ex-
hiberi. Sed quoniam in hac diflertatione tantum proble-
ma propofitum de euolutarum fimilitudine euoluere con*
Ititui, pleniorem huius methodi vfum alia occafione de*
ckrabo.
DISSER.
DE SERIEBVS aVIBVSDAM
CONSIDERATIONES.
AVCTORE
Leonb. EuJero.
Podquam iniieniflem ferierum reciprocarum hac fbrma
contentarum
i-l-' -!---[-- -4-' -\- ' -1-etc
vbi ambiguoriim fignorum fuperiora valent^ fi n eft nu-
merus par , inferiora vero fi n eft numerus impar , fum-
mas a quadratura circuli pendere , ac per tantam periphe-
riae circuli tt poteftatem determinari , cuius €xponens fit
— n \ nonnullae fe mihi obtulerunt obferuationes, cum ad
has ipfis feries , tum ad €arum vfum in fummandis aliis
feriebus (pedlantes. Qiiae cum non admodum fint obuiae,
ac fortafle ad alia negotia vtilitatem non ^ipernendam af-
ferre queant , eas hic exponere non abs re fore fum arbi-
tratus.
§. 2. Pofita conftanter ratione diametri ad circuli
peripheriam vt i ad tt , confidero circuium , cuius radius
feu femidiameter fit =i i , et denotabit tt eius (emicircum-
ferentiam feu arcum i8o graduum. Qiiod fi nunc acci-
piatur in hoc circulo arcus = s , cuius fmus fit zzj •
V ^finus
X
)
et
tangens
t ; erit
s
$5
-f-
Si .
$7
1.2.3
a'.2.3*.s
».2,. ..7
l
£L
• -\-
s*
S6
iti
1.2-3.*
1.2....« "■
y — ^ y:^ -^" j'.2.3 4.1 T^ ~T- etc.
A-' =:i - ~ -I- -^ - -^^- -4- etc.
G 3 ^tque
54 T)E SERIEBFS QJ^mVSDAHA CONSIDERAT.
fltqiie hinc
leii
— 5 1 ^* I _^ t ^* s' i'' , ^*^
o z= I - T + ::: -H ,x7i ^- ^xt:. - ,T.:jr - t..-^ H- ^^^.
§. 3. Confidercmus primo aequationcm , qua rela-
tio inter finum y et arcum s continctur , ac manifelhim
eft , valorem J pro dato j^ non efle conrtantem , ied om-
nes eos arcus denotare , quoriim idcm eft communis finus
j. Sit arcuum horum minimus z= ^ tt , habebunt om.
nes fequentes arcus
m n— ^ a?i-f-n 3" — -m. ^n-^m
- TT, -T TT, — r- 7T, -IT- '^y "ir- "^y CtC.
^ "T^;- -Tr-Tr-,-—:- TT, --„ TT, -— ^TT etC.
cundem communem finum j, Quocifca huius aequationis:
habebuntur fequentes innumerabiies fadores :
§. 4. Kinc itaque valores ipfius y conftituent fe-
quentem feriem :
JL -4- ^ — ^ — ^ -4- ^ { ^ _ pj.^
T/.TT ' (n— m)Tr (7i^_.7i;*7r {2-1— ?;t)7r {;;.»+-■„ jtt (in-myrr ^''-^'
Horum itaqne fumma aequalis erit coefiicienti ipfius — s
in aequatione , qui eft 3z ,3, : Summa fadorum ex binis
erit =z o , fumma ex ternis zz ~ ^7^ , etc. vti fcquitur :
fumma terminorum =1: ,3,
fumm. fid. ex binis := o
fumm. hd:. ex ternis := 7^^
fumm. fad, ex quaternis zz: o
DE SERIEBVS QFIBVSDJM COKSIDERJT. $$
fumm. fiidl. ex qiiinis — ,,,, ' ,^y
fuiiim. fi(fl. ex fenis =::: o
(iinnm. fid. ex feptenis — \\ .~[~y
ftmm. fidl. ex oclonis rz o
etc.
§ 5. Qiiod fi autcm gencratim feriei cuiiiscunqiie
C-^-b-^-c^d-^e-^- etc. fiierit
fumma ipft^rrm terminoriim =1 a.
fumma fidloriim ex binis zz: t
fumma fadorum ex ternis iz: y
fumma fidlomm ex quaternis ~ ^
fumma tadc^rum ex qumis ~ t
fumma fidorum ex fenis =: ^
etc.
potenint ex his fummae quadratorrm , cuborcm , biqiiadra-
torum , et poteflati m quarumuis teiminorum hums ieriei
aflignari. Qiiodfi enim fit
a -\- b -{-
c -\- d etc-
_—
A
a -\- b^ -\-
i* -f- ^* -h etc-
—
B
G -\- b' -\-
c -\- d -\- etc.
—
G
«* 4- ^* 4-
/+ ^*H-etc.
—
D
a' -\- t)' -\-
c^-\- a^ -\- etc.
—
E
a' -\- 0' -\-
6* -i- a^ -\- etc.
—
F
etc.
fequenti modo iftarum fjmmarum valores determinabuntur.
A — a
B = aA-2 g
C =1: aB- g A 4- 3 y
D ~ aC~eBH-YA~4*
E =
$6 DE SERlEBrS QVIBVSDAM CONSIDERAT.
F =: c«E-eD-4- yC-^B-HcA-^^
etc.
Quae progrefTio cnm facilem legem teneat , et ex terminis
praecedentibiis quiuis terminus expedite definiri poflit , po-
terimus feriei fuperioris valores ipfius J exhibentis fummam
poteftatum quarumcunque terminorum definire.
§.6. Antequam autem hanc generalem progreflio-
nem reliquamus , notari conueniet fingularem proprieta-
tem , quam valores litterarum A , B , C , D etc. inter-
fe tenent. Oriuntur ii fciiicet ex evolutione huiusexprel^
fionis
«—2 §5r-|-3 V^*— ^^^s^-HSe-s*— (^(^s^H-^-v^s*— etc.
I — a xs -H ^ z" — Y z^ '-\- 6 z* — s z^ -i- ^ z* — etc.
fi quidem per diuifionem a(ftualem quotus fecundum po-
teftates ipfius z eruatur. Prodibit namque diuifione con-
fueto more inftituta fequens quotus A H- B 5; H- C «*
-4- D s* -i- E s* -{- F s;^ H- etc. ita vt ifta feries aequa-
lis fit illi fradioni. Praeterea notandum eft, fi feriei
j — az-i- ^ z^ - y z* -i- ^ z* — etc. fumma ponatur
ni: 2 , ita vt fit Z denominator illius fi'adionis , fore nu-
meratorem zz "^. Ex quo feriei A -f- B s -f- C js*
-I- D 2* -i- E s* -h etc. fumma erit n: i^. Non fo-
ium itaque ex datis fadis binorum , ternorum , quaterno-
rum etc. fummae poteftatum feriei propofitae a^if-^c
=4-//-l-€tc. fcilicet valores litterarum A, B, C, D, etc.
poterunt inueniri , fed etiam fumma feriei , quam hae
ipiae poteftates in nouam progreiTioncm geometricam re-
fpecfli.
m SERIEBFS QVIBFSDJM CONSfDERAT. 57
ipecfliiie dudi , nimirum hiiius feriei
A-hBz -i-Cz* -^Dz' -+-Ez*-\^ etc. famma pote-
rit aflignari. Hancque proprietatem probe notafle in fe^
quentibus plurimum iuuabit , vbi in nouas feries fumiis in*
quifituri.
§. 7. Cum igitur huius (eriei :
—( 1 1. _i . 1 — I _J_- — I _l _J «_ ^of/. \
W V 771 " I n-TO 7I-+-rft 271-771 ' 27I-f.771 " • 3 7i— 771 37l-+-m t<-^'^
dentur primo ipforum terminorum fumma , tum etiam fum-
mae fidorum ex binis , tcrnis , quaterais et ita porro ^
B =; ^
C — ^--x.
D _ £__A_
■^ — i.y ^'"ty
pv E_ __ C ' A
r jjy 1.2. 3jy ' i.^-.z^^.sy
r — ^ -
crit vt fequitur
TO "^ ^--mi 71-+- m
.JH.5J
»+.S»6y
etc.
I
2 Tl — 771
» -f- (71-770* H~(n-t-'0^"^ (27l_mO* +(271-4^771)
5n5-4-(-;ir:ip
iza-in)^
n*~^{n-m)*-^[n.^n)*'
Un-m)'*
\n—m)^
(ii-^'"J'
(a.
J^«+ (n_r.i}«~i-(„^mj« 1 (an-m]6 ~i (,n-t-7r^]
etc,
Tm^ XII U
2TJ-+-77» "~H etC. . „
etc, — ^z
(2n-+.mj2~» etC. ,— fi«
r>7r«
i H- ete. zn v*"
. Ett»
(,n-f-m}5 -+- etC. _- „s
F7r«
(2nH-:7i)'<
« -4- etc.
Ybi
58 DE SElUEBrS QVIBVSDAM CONSIDERAT.
"vbi pro poteftatibns paribiis omnes termini habent fignum
H- , pro imparibib vero ligna conueniunt cum fignis ip-
fius feriei primae.
§. 8. Retineant litterae A , B , C , D , E , etc,
valores,quos ipfis modo tribuimus , fitque nobis haec feri-
es propofita
A H- B 5r -f- C s* -4- D s* 4- E 5J* etc.
cuius fummam ex regula f 6 data inueftigemus. Huius
autem feriei fumma inde eft n ij^ exiftente Z zi: i - ^
-Hn^,-Ti^,-1-.:^-ctc.=:i-Jfin.A..~. Ex
quo ob j^ hoc loco conftans ponendum tntdZzz-—^
ac propterea fumma feriei propoiitae
A =+. B 2 =4- C s* -h D s' + E 5;* 4- etc
«rit rr^T^. Hinc erit iftius feriei fumma A ;5 + B ^*
H-C^* + D^* + E^*^-etc- =1^,
§. 9. Sit 2; = ^ , exprimct haec feries lummam
omnium harum fenerum t
» ^_ ^ ^^ _ _^ =_ ^ . ^ _JL_ _. etc
=T^ m '°^ 71-71 n=f=ra stj-ttx « 2^-^,771 t *-•■*••
etc.
Hae antem fcries verticaliter additae dant
_±. _i ^ P ^ _ ^ t _ ^^ i^ etc
cuius feriei igitur fumma eft zz , '-- ^ ^cu cum
/fit
.m SERIEBVS QVtBP^SDAM CONSIDERAT. iP
y fit finus arcus —*, habebitur iftius feriei furnma
r:: ; ,^. "T-F^f- Qpod fi ponatur/«-p— 4
nfm.A— -nfm.A.--
ctm-hpziz^k^ vtfit mzn'^''^ ct p n: -7- prodibic
huius fenei
fiue huius
0 *^ n
;///«. A . ^^^±^ - nfm. A 1^^=^
§. lo. Verum haec nimis funt generalia , vt difficultet
omnia, quae in iis comprehenduntur, perfpici queant. Quam-
obrem ad fpecialiora defcendamus , ac ponamus finum
f zzz finui toti zn i : erit mzz:i et nziz 2. Hinc igi-
tur fequentes nanciscimur leries
l-l-r-l-l-l-l-l-l-l- etc. = ^?
h -h U-^b-^b -1- |t + |t+|.-4-etc. z=: ^z
h -h 13 -1» -b -4- U -+- U -|j - etc. =r ^?/
!♦ -4- l4-i-|*-M* + |4 4- l*-4-|*-4- etc. ::=: ^^*
etc.
feu hae
1 - 1 + 1 - 1 -f- 1 - etc.
Ait
. a*
I -1- l^ -M« -4- ^« + I. -H etc.
__ BTT»
■ a5
I — |i -H |. - 7J -H is - etc.
= %'
I -i- 14 -M* 4- |4 ■+- 14 -f- etc.
Drr*
■ — • »h
H a
t -»
6o DE SERIEBFS QFIBFSDAM. CONSIDERJT-
I - |s -+- Is h-hl
5
etc. z
_ EttS
I -i-^ + l<»-^l«-+-l
. -4- etc. = "5.*
I — 1? -h ^7 — l? -f-
i, - etc. = ^'
I -f- 1« -f- -]• -H y« -H
,. -+- etc. = «sr
etc.
Valorcs antem litterarum A . B
, C , D etc. ex fequend
lege inuenientur.
A= I
B-^
c^^-^
D^?-,^:,
■*-' ■ I X.2.3 ' 1.2.3.*
. '•^ T 1.2.3 ' r. 2.3.4-5
^ I ..>3 ^^ I.2.3.+.5 «.
t
2.. .s
H — ^ — ^ _i_ c —
A
**■ ■ » 1.2,3 ' r.2.5.4.5 »•
i....7 •
etc.
Tnde reperiuntur fequentes valores littenirum
A— 1 . ?, =ri - 1
+ i - f -H ctc.
B =: \ . ?; =r H- 1.
-+-^
. -f-
jx -H etc.
C=: ^- .T: zri ~i.
H--
\s'+' etc.
Dzn ^ .?; =1+1*
-H3
-♦-f-^
-♦■4- etc.
rr — 5 tts — ,
A^ — I.2,3.* • vtf — I — 3«
-H-
s-i- etc.
T? 16 mS ^ , r
-H
^« -1-
6 4- etc.
G— "' '^.' — I - h
+
I
^^-f- etc.
^ — .1.2.3.4.3.« • »• — •*• 3'
" — «...,....7 • »» —^ I -i- 3»
-4--
h-H^
.• -f- etc.
1=
JDE SERIEBFS QFIBVSDAM CONSIDERAT. 6i
^ — 1.2.3 8 • ^'° — ^ — ^9 -^r- U ~ j9 -^- etc.
1.2.3 ....9 • ^" ^ .^ 5'0 -+- I
T , 1 50-C5t TT" T » II
Tvr — ^i^jTp- "^'^ — T 1 I I I
^^^ I.2>3.-.I • -'^ — . I ^ 3^2 -I- j
N=: ^^2iz^ .fd = I
i.2.3....ia - ^
lo -i- yio-t- etc.
'» -i- ^i-H etc.
'2 -f- jiz-\- ctc.
oi4 — A 3IJ -t- jij -t- /ij-i- etc.
0=:SSf-^=^-^-^- +^* + ^* etc.
§. II. Denotant hic litterae A, B, C, etc. nu-
merales tantiim coefficientes potellatum t: per poteftates
binarii diuiiarum : quarum valores etii (iitis commode ex
iege data definiri poflunt , tamen alia lex poteft exhiberi,
quae magis ad calculum videtur expedita. Confidero lci-
licet feriem A + B ;s -4- C ;q;* -f- D s' +' E ^* -|- etc.
cuius fumma , quae tantisper defignetur littera s , eft per
§• S. == i5it:if , ob j/ = I. Qiiod fi igitur ex hac ae-
quatione s zn. '!!^4a^ ^^^^^ ipfi"s s in ferie exprimatur ^
quae iecundum potelbtes ipfius z progrediatur , prodire de-
bebit ipfa feries A-f-B5;-+-C;s*-4-D.cj'-4- etc. NuUa .
enim alia feries fimilis formae puta P -h Q_^ -h R s* -|- S .s*
H- etc. aiTignari poteft aequalis illi A -f- B5; -f- Cs*
-H D5;3 -f- etc quin fimul coefficientes poteftatum z con»
gruant , fitque P =z A ; Q.=: B ; R zz: C ; S = D, etc.
At vero exprimit \Ljuil^ tangentem arcus J -}- S feu erit
s — tang' A { J -h f ) et hancobrem conuertendo J -h 5
= A tang. i = / rzjin fumtisque diiferentialibus ob J con-
.ftans feu arcum 45 graduum, habebitur "^^==7::^ iiue
dz-^ ssdzzzz ^ds. Nunc ponatur szzA-\-Bz-\-Cz
^-D;:'-4-Es*-i-etc. erit
H 3 ^ds
6± DE SERIEBVS QVlBFSnJM CONSIDERAT.
~ = 2B-H4C z-h^Dz*-^ 8 Ez' 4- loYz" -+- etc.
j j=z A*-\-2ABz-^2ACz"-{-2ADz'-i- 2AE2* -j- etc.
1=^1 ^ B* 5* 4- sBC^' 4- 2BD5:* -4- etc.
4- C xs -f. etc.
Comparatis nunc terminis homogeneis inter fe Yalores
litterariim ita definiantur , \t coefficientes fingularum po-
teftatum ipfius z euaneicant ^ atque (equentes litterarum
A , B , C , D , E , etc. obtinebuntur determinationes ,
exiftente yt iam inuenimus A =:: i ,
A = I
Q gAB
T) gAC-h.B«
T7 8AD-+-2BC
XL« g
•p . aAE-HiBD-f-C*
I ■*■ ■ 10
Q gAF-+-2BE>+-^CD
etc.
•Atque hinc eaedem prorfus determinationes litterarum A,
B , C , D etc. prodibunt , quas altera lex fupra data $.
.10 fuppeditat.
§. 12. Cum denominatores fradlionum , quibus lit-
terae A, B, C, D, etc. aequales funt inuentae , fatis re-
gulariter progrediantur , poteft hinc peculiaris regula ad in-
veniendos numeratores reperiri ; Ponamus enim
A=:
DE SERIEBrS QVIBVSBAM COnSIDERAT. H..
A = «
F
B =!
G
c =^,
H
Ti = &.
I
E — r^.
K
I.2.3.4.S
I.2.3...»9
etc.
eritque fac^is (libflitutionibus haec lex
« zz I
5 zz: ay-l-S*
1.3. S ' •
)c zii a 2 H- 8 g ^ -^- i:i Y >1 + 'iS ^ < -H Vir/ • ^*-
Lex haec perfpicua eft , fi hoc modo notetur , quoties
poftremus terminus fit quadratum , eum infuper per bina^
rium diuidi debere.
§. 13. Confideremus nunc hanc (eriem :
Az-i-Bz* -^Gz^-^Dz^-^-Ez' -{- etc.
cuius fummam conftat efie :=z fS^ > ac ponatur
z iz:^, erit^^ — r^T^-k =
^i.a/,-4-^r/.2/+?.^2p"4-^*.a/-H etc.
TT cnf A ^
^'" 4-4>.A.^ - 1^-^— '^\*-+^s--^etc.
Quodfi ergo loco Cngulorum terminorum fubftituantur fe-
ries
€^ DE SIRIEBFS QFIBVSDAM CONSIDERAT,
nes ex §. lo prodibit —jj^^^ =
-\- p' - f,-f-f:+f, + f -etc.
-^ P*4-i:-f-f:+?:^-i:~i-etc.
etc.
Omnes autem hae feries deorfum additae abeiint in hanc;
TT 6-9/". A' . ^
cuius adeo furnma efl: ni — ;— ^-
4.-4//;/. A.^
§. 1^4-. Plures huius generis feries fummabiles deri-
vare licebit ex §. 9. ferie fub finem expofita. Ponamus
a^ b zz. m : et habebimus hanc
cuius fumma erit zn ^r/^'X~'^~^ ob cof. A.oix-zzi
tt fm. A.OTizz I. Quamobrem habebitur , fi per 2 m
dinidatur
I T y « » ^j ^ ^ - .^ pf-/»
na-.;7l« 47l2 — 'U« ""» " p?l*— m* I67i*— 771* "T^ 25'**--'^*
-^. Ponamus porro azzi — m et
2 7nnjin, A . ''.jp
/• » T^TT
^ iz: -i- ;;; , ac proueniet
njin. Pi. . ~
ieu
«y/;^ A . ~
« ^" 1 *^ t ^^ i_ =^!? - I -"" L. ^cr
DE SERIEB. QnWSD. CONSWERAT. «j
fcu fe(fla diuifione per 2 w, erit ^ !^^^_-:_^--
'^ 2mnjjn.A . 2^
Quoties itaque euenit \t cqf. Pl ,^ euanefcat , toties fe-
riei fumma algebraice erit aflTignabiiis- quippe zz ~i.
Fit autem hoc , fifuerit^^i^ feu m:=z.2i -i-- i ,et
» = 2 vnde erit :
1 1 X t I ^ t * gf/»
•(2/-+-i)» 4-(2?H-0' "T~ l6-( 2 ZH-i)* ~T~ 36-(2Z-+.l)* ~T' 64-(iZ-+-.)* '^"'^'
Ex quo fequens oritur propofitio paradoxa : efle lcilicet
quoties fiierit p numerus quadratus integer et impar.
§. 1 5 . Ponamus « iz: i , atque m ^ p ^ erit
-JL. . _£_ . .i , I , « , p^^ — 1 ^-^-^JI^
quae feries fj addantur iequitur fbre :
-JL_ . -1_ _4 «_ , ^^^ — 7rVp/m.'uA.'ffVj>
,— p ^^ s — P "^ as — P ^" ^f/mA-TrVi^
at ^\ eaedem a fe inuicem fubtraliantiir ; erit
JL. .1« -I_ , _L_ . ^fr — I _ 'ffVP(--4-gqf.A.^V/>L
4 p ' 16 f ' 36— p »" '''•^* 2p 4P/W- A-TTVP
^'- ^^^ /m.ATTVp Cang. A. , et jmkn^ COl.A. ^
ex quo fummae pofteriores fimpliciores reddentur.
§. i6, Poflumus itaque hinc fiimmare fequentes (eries
t:^P ± ^ip + ;:i^ ± ^Tip -4- etc. fi quidem /> fignifi-
cet numerum affirmatiuum quemcunque. At fi loco p
fubftituatur numerus negatiuus puta — q , tum fiunt tam
finus et cofinus, quam ipfi arcus nW p feu TrV — ^ quan-
titates imaginariae. Cum autem fummae ferierum nihilo
lom. Xll. \ minus
66 DE SERIEB. OFIBFSD. CONSIDERAT.
ininus maiieant reales et finitae , imaginaria fefe deftru-
ent. Qiiamobrem iniieftigari conueniet , cuiusmodi quan-
titates reales in his formis j^7l:^ et ^j^"^,^ contine-
antur. Ad hoc ponamus uzzzjj^^^^—^ cntquQ Jin. A.ttV
— qzn ^-^— et TT V — ^ = AJin . - jp'^ j fumantur differentia-
lia pofitis 7r et ^^ variabilibus , habebitur diz zz i^^^. Po-
natur f^zziTr^' , prodibit ^7:==: ^y~^^) et tt = ^^
l^^t±^, Hincerit e^^^^c^ n;^—V q-hVi^^^vv) et
V zz: -;^j— — atque« — -7:^-7,— — . Conftans autem <^- ita
debet eife comparata \t fa^flo 7rz= o fiat icizi ex quo fit czzi
^ irV-q ^^'"'^'^izVq
Quamobrem erit 7 — r — -} — = — -=77 .Similimodo
ponatur ^—^=73^ = ? erit vV-q—tang.k.V-qti mV
— -^— A tang. vV — q^c difFerentiando ^tt — -::lj^,^. Inte.
greturdenuo, erit 7r~ -^y^ / 1~^ et ^''^v^i — ^^^v^^yV^—
i-h^i^y^, vnde fit '^^^p^Trj^TTjy- ^^"^"^
7rV~^ (^^^^^-^-f-ijTrV^
§. 17. Nadi igitur fumus odo fequentes feries , qua-
rum iiimmae affignari' pofiunt , quas cum fummis confpe-
£lui exponemus
a— i> _ +— ^--T-^— ;^ "T ,6~p-r J5_p ^'-'- ipjjn. AttVP jp
ctc.
3 — ? •" 4 — /> "• i — 1^ *" i^ — p '" 2 5 — p ^ "*''" — ip ^ptang-A-TX-^p
H
DE SERIEB. QFIBVSD. CONSIDERAT. 6-j
4--P "T~" 1 6—'-p i^ 3 6— -p *"
etc.
TtVP
f+'q
«-M
iH-2
44-2 "4^ 5-+-a 1 <5-f-3 ~i-" CtC . «__ ^^
(^*^^'^-i)^
4-+^
-+-9
i6-+-g
etc.iz:
__ (^^^^^^H-i^ttV^
I
'.{e^^^-i-i)q ,»«
j;-+-?^^2S-H[
+
s-K
+ etc.
_(g'^^'^-i)7ry^
-1— _i ^»—
f;if^-l-etc.=:
S
§. i8. Cum fupra legem exhibuerim , qua fummae
poteflatum omnium terminorum huius feriei
I —
— etc.
progrediuntur , iuueftigabo nunc legem , quam poteftates
impares tantum inter fe tenent , quo hae (ummae finc
cognitione parium , quousque libuerit , continuari poflint ^ iit
itaque
3"»
h
f -1- -4-1 -etc.
|5 — |j -4- is — etc.
15 — {s -{— Is — etc.
h — j7 -i- i? - etc.
S9
-h|p~etc. zr
etc.
=: A TT
=:B TT^
=:C7r*
zzDtt'
E tt'
atque inueftiganda erit lex , qua coefficientes A, B, C, D
etc. progrediuntur. Huoc in finem confidero hanc feriem
ATTS-l-BTrV-i-CTrV -f-DTrV -1- etc. cuius fum-
ma fit z^ s \ erit ergo his leriebus per relpondentes po-
teftates ipfius z multipUcatis refpediue ;
v
*8 DE SERIEB. ^IEVSD. CONSIDERAT.
^» — i-z» s— a« ""•" «j-»« ~" 4p_aa -|- CtC. Ct
» — I-» "^ !-♦-» 3-» 3_f-2 -t-' s^a -H j^» etc.
Cum autem ex §. p. fit —7 — ~~,ii
n lin. A . ^P-^^)^ _ ;| lin. A/-^^ —
4j "T~ 1 — b "" n-f-S "~ 271 — a " 1 2n-^a ■« sn — b "~ TnH-6 ^'^*
fiat — I— ^; «z=2; et ^zzi — ^ j atque haec feries
tranfibit in illam ; ex quo prodibit
r — 2 fm. A .i:^:^ et j =: 4 fjn. a .^1=^ fiue j r=
4
4 cof A .-^ -^r^ -f- — — - ,.,3.,.,.,... +etc.
quae fradio cum , fi adu diuidatur , ipfam aflumtam (e-
riem Atzz h- Btt'^' 4- C7i*.s' «4- etc. reproducere
debeat > erit :
A = |
C — ~ — -^-
a. 4 3.4.«.»
^ D =: ^ - ^ l- _* —
a.4 2-4.*. 8. • 3.4.*8.IO.I»
"C JD^ C ^i B ^ A
*^ ""^ 3.4 3.4.0.8. I 3.4.6.8. 10.12 3.4.S<.<. 8S
etc.
§ 19. Vel fi ponatur :
3t ~ I + I - f + etc zz: ^?
i-^ + ^~^-l-etc.-^'
i~f. + ^-^4-etc.-^^
»-i'-l-^-;'-^etc.=::^J-
etc.
coefB-
DE SESIEB. QVmVSD. CDNSIDERyfT. 69
coefGcientes A,B, C, etc. haac tenebutx legem :
A=i
B— *
"^
_—
t.T
c
-
A
D
I. 2
—
B__
-Hr
A
2...
T«r
E
—
D
C
. + ,
B
.2,...
"6
A
I 2..
I .3
1.2.3.4
7f
Qiiodfi auteiTi illae feries retro continuentur , vt ad pote-
ftates affirmatiuas deueniatur , erunt omnium illarum ierie-
rum fummae zz: o ; ita vt etiamfi in his formis vlterius
progrederemur , tamen alii valores non prodituri eflent.
Eft fcilicet
I-3W-5 -7 -^-p-etc. = 0
i-3'-4-5'-7'-l-9'-etc. — o
i-3*-H5'-7'H-9'-etc.i=:o
I -3^-1- 5^-7^-^-9^- etc. — o
§, 20. Quemadmodum autem fummae poteftatum im-
parium peculiarem inter fe tenent progreirionis legem , ita
etiam poteftates pares fimili proprietate gaudent, vt omnes
ex le ipfis fine (ubfidio poteftatum imparium definiri queant.
Quam legem vt eruamus, fimUi vtamur operatione. Sit igitur
.-f-i*4-^-f- etc. — Att'
♦ -I-i*-|-|*^- etc. ^zBtt*
«-i-7«-H|6-H etc. zirCTr'
.-Hy.-M.-l-etc. —Dtt'
ac inueftigetur fiimma huius (eriei :
A -K z -}- B TT* 5;* + C tt' 2*^ -i- D tt' z' H- etc — /^
erit i — ,-1:^ -H p^ + ^-^ -4- ^^ ^ €tc, vnde ex
I 3 t 17-
1-4-^«-+-
7Q DE SERIEB. QVIBFSD. CONSIDERJT.
§. 17. fiet j 1= ■ .'^'^ — ; fiue per feriem
I -— 7:1:1^ "^" 7:^77:^ ~ i-zz..-s-6z4.S ' i.a....7 i.a. .^»
etc. f 1%'
VE SERIEB. QJIBFSD. CONSimRAT 73
§. 23. At pro iisdem his coefficientibr.s alia lex pro-
greifionis poteft exhiberi , cuiiis ope eos inulto expedi-
tius reperire licebit. Cum enim fit j rz i - ~|— x^
erit tang. A. tt .c; — -—^ et tt .c; zz A tang. ^ ; pona-
tur 7r .2 z=: M , erit u zzz A tang. ~ et difTerentiando
d u zzz -~-s.-;:fB^u ^el uudu-^ ^s s dw^z s t^u-\->
^ u d s \ cui acquationi (atisfacit valor hic sznku*^
B f^* -i- C &* -i- D i<* -h E ^'° H- etc. quo lubllituto
fiet
U U — UU
/^ss:^:. ^A*«*-f-'8ABz<*H-.8AC7/-i-8AD«'°-f8AFw"
^^B' tt ^-4-8 BC«''-f miu*
-\-4r^- U
a j:=:2Az^*-i-2Btt*-i-2 C»'-K D/^-f-z £/^'^^2 ?«'•
^^'zn 4A2/*-f- 8Bz^*+i2G.M-i<5Dz.^H-2oE«'°4-24F«''
"vnde fequentes coniequuntnr determinationes :
Azzij
B zz:^*
p — 4AB
D zn i^X-hill
( I
F Zi: 4AF-4-'BD-4-2C*-
*" 13
G 4A^-t- BE-4-4CD
jj __ 4 AG-t- .B -f-XE-t-2D*
etc.
§. 24. Ipfie autem huius^iodi ferierum fiimroae, quo-
vsque- quidem eas fupputaui , fequentes funt :
i^-U-l-|.4--;*-4-^-|-etc. = 777- . 5 TT*
1 -4- U-i- 14-1-^4-1. 4- etc.zz—f^r:— . 'tt*
I -^ U -f- ^5 -h^6 4- .'. + etc. =: pT^^TT-r . i TT^
I 4-^4-1* -l-i.-M.-i-etc. — 77;^ . J,7r'
T^w. XII. K 1-4-
7+ DE SERIEB. QVIBfSD. C0NSIDER.4T.
,9
-4-5'o4-?to-H-lioH-^o-^etc.z=7:7-— .ITT^'
,> + etc.— ,.,.....,, JgiTT'*
-M-H-l«*-^*'*4-i'*+etc.— rr— • r t:
,»5
3617 _'•
-4-|.6 + |u-f-^'»4-s'i«+etc.iz:r:i7r— •-ir-'?^
17
4Zil67 _«•
-MM--i-^.4-i'.+|..+etc.i=r7-T:T7 •-rr-^
ip
«22277 _*•
+ I.o4-|*o + ^o4-|»o+etc. — ,— -77 . Tff^TT
4-|«-+-l"-i-J"4-|"+etc.z3: ,-7:^'— • "-^tt"
+ Ia* + l»* + -;»* + ^«* + etc.==:;-77.^ . 'iiiifiiiTt**
In his exprefllonibus fradlionum mediarum tantum lex
non eft manifefta , reliquac partes vero perfpicue progre-
diuntur. Cum autem iftas fradiones medias § , ^ , ^ , t'i ,
$ etc. attentius eflem contemplatus , easdem deprehendi
occurrere in expreflione generali , quam olim tradidi pro
fiimma cuiuscunque leriei ex dato termino generali inue-
nienda , ita vt alterius expreffionis ope altera poflat coniici.
f. 25. Operac pretium igitur erit in confendim ha-
fum duarum expreffionum inter (e tantopere diuerlarum
diligentius inquirere. Altera quidem expreffio quam pro
fummatione ferierum dedi , ita fe habet : fi feriei cuius-
cunque termimis generalis , (eu is qui refpondet exponenti
indefinito numerico x fuerit m X ; et fiimma feriei a ter-
inino primo vsque ad hunc X inclufuie ponatur :^ S,
erit S =z
df^c -g^^x sd9x
" • ^ I.2.;.4.5.6 7.6dX^ 1-2.3' . • 9' « "^ dx' • IZ- . • • 1i. 6 dx*
^ ! ,
etc. euanelcere. At ex principiis nunc ftabilitis idem lu-
culenter oftendi poterit , fi aha huius progreffionis lex in-
Yeftigetur. Confidero ad hoc iftam feriem :
S-iTzi-^-ciz-^^z^^yZ^-^-^z^-i- $ z^-^ etc.
chtque ex praecedente coefficientium lege ;
T)E SERIEB. QFIBFSD. CONSIDERJT, 77
s^ ^ _.
I - -^-i- -"^ - —-hr^ etc.
* l^Z * I.2.J! 1.2.3. ♦ ' l.^.3.4.i
qnae aequatio abit inhancjin • __ _^reuir=-^. Hinc
Critur e^s — szize^z et e^=^ atque zz^ls~l[S'-z)»
DifFerentiando autem habebitur dzzz.-g — /^^ fiue
cui aequationi fatisfacere debet valor aflumtus
Sz:zi-\-(XZ-\-^z^'^yz^'^^z*+tz'' -^- etC*
fubftituatur itaque hic valor in hac aequationa
|~ — j- J5J-4- j jzzo
atque obtinebitur i
— j5;3=: — z — OLZ ■-' JS<3* — Y^* — ^2*
4-/— I +2c<2-H2g^*-H2ys*H^2^x;*H~2£;s*
•4- a* -j- 2 a 5 H-2ay -f- ^«(J'
-h r -^2gy
Hinc igitur colligltur fore i
a —
i
e =
a— a*
v =
♦
^ zz:
7— 2a7— €€
K =
y— 2a5-— 4€7
6
£_4ae— 265-— re ctiam ezro ,
hincque porro -v^ — o, izzo , crc. itn vt omnes termini
aiterni incipiendo ab y fint zr o ,id quod ex praecedente Icge
tantum per obferuationes patebat, nunc vcro id neceffirio
euenire debere inteliigitur. Hinc ergo manente azzi erit
vt fequitur
e = A
^ = -1*
< = -^*
6 — — ^e^:-^?
K ZZ
II
>d fl
ergo ponatur S r
., Kz:
- S» , etc.
ita vt fit
Cd«X
P^?X
p.PX
»5U-tS
.'^:c7 •
r »s,^y
Trr^ -4- etc. tenebiint coeffi*
gentes A, B, C, D, etc; hanc legem
Azr
JDE SERIEB. QVIBVSD. COKSiqERAT. -79
A =: J
B in 2^
17 4.AP-f- + EC
13
n 4A^-f- + BE-4-*CD
ctc.
Obtinent ergo litterae A, B, C, D, etc. eos ipfos va-
lores , qiios ipfis fupra in §. §.. 22 et 23 tribmmus.
Atque hinc de conlenfu coefficientium in his expreffioni-
bus maxime diuerfis plene flimmus ccrti , neque eum cafui
amplius ad(cribere conueniet.
§. 2p. Quanquam aut^m hoc modo fatis expedite
fummam huius feriei i H- ~-|-~-f-— -f^ —4- etc.
- 3 4 5
adignare vnlemus, fi n efi: numerus par , 'tamen cx his
iisdem principiis niliil omnino concludere poffumus ad
fummas Tnueniendas, fi n fit numerus impar. Videii qui-
dem pofiet , etiam has feries a quadratura circuli ita pea-
dere , vt fumma earum fit =: N tt " cafibus fcilicet quo-
que, quibus eft n "numerus impar : verum fi has iiimmas
adtu per approximationcs fumamus , videbimus coefficien-
tem N non fieri numerum rationalem, nifi fit n nunaerus
par, id quod ex hac tabella clarius eluccbit :
^-hh -{-b + etc. 1= 1,5449 3 40(^(5 zz "5*
J + ^» "4- ^ -H etc. -■ i,2Qiio 5 690 3 zr ^^^^
^ -^U -\-\* + etc. 1=1, 082323233 — ^;
H-^5 -+-i5 -+-etc.=:i,036927755=,7i^
i-i-|« -h-U -4-etc.= 1,0173430621= JL*l
i-hlr -4-1. -f-etc. zz: 1,00 8 3 493^9 = »pS'iw
i + at -hln Hhetc.^z 1,004077 3 52^-3-4H-" etc. =r I
s-'2*4-3'~'4'+etc. r=^.
eritque B rz A_ ^ ^^ ^ .A— »= rl— •+- etc»
At harum ferierum omnium fummae exhiberi poffiint ^
€il enim
2-1 + i - i +- etc, r= / s
s_^ ^-.3 ^4 =4^ etc.rzir:::^ (i^i«-4-|s+etc.)
1-2^-4-3'- 4'..-+= etc. — ~z=.-'-^ii+U'^h'hctc.)
^^^'^^.f^ 4^^ etc,=3:iiiz^-^(i+|i+|f + €tc.)
K--s'^3'-' 4 -h etc.rz°-^r=--^^"^^(i4-J,+^+etc.)
i
Atqu»
m SERIE3. QmVSDJM CONSWEUt Bg
Atque hinc mt
A — ^
a r:: V- (x -4- {» H- |. -4- 1« ^- tic. )
e = ^'^^'(i^U Hh |4 -4- |4 -+- etc )
V — ^'-(i+l.-f- U-^h-i- ctc. )
^ ~--|^^(x-^|,4-.|, 4- 1. ^- ctc. )
ctc.
§. 32. Siimmas ''antcm potcnatiim parrjm frafli^
Bnm , quanmi denominatores funt numeri ioipafes fu^a
cxhibuimus. Sit
X -4- 1» -h 5» -f- 1« ^ etc. =r P 7t*
X H- |4 -4- !♦ -f-l* Hh ctc. =r q?!*
X H- 1« + 1« -h- 7« 4- etc. =:r R Tt'
X -H 1« -h |a -i- |. -4- ctc, =S 'n
Erit per §. 21 : P7t*4-Q.7r*4"R7r*4-S7r*-4-etc. rr?mngA.|
At litterae ct , ^ , 7 , S' , etc. fequentes obtinebunt va^
lores.
g=:-^Q.7r*
^•^-'^Rti*
etc.
g_,..x,......s....g^.
Ex lege ergo progreffionis , fi ponatur
I - i -f-|| ~ ^ .4- I ~ j -H etc. = A> r: /a
a - i* 4- 1» - -U 4- l^- i, 4- etc. ^ B 71"
H DE SERXEBVS QVIBVSDAM COKSIDERAT.
I -- |5 -f- i« - is H- |«- Is + etc. =r C t:'
I - ^7 + i^ - i^ + V- h + etc. — D tt'
ete.
Poterimus hos coefficientcs A , B , C , D , etc. ita de-
terininare , \t fit :
A=:^(r:: h-k -i-i^: -t-f^: +"*^-)
B = .4-3 - 1( ^s -t- ^, + ,'5^, + etc. )
^ TXi 1.2.3.775 ^ TT V 2.3. ..7 ^^^ 4.5.. .9 ^^ «-7... II ^^ '^^^'
D — -^ -^ -4- ^ — - r '"^' -4- -2^^^^ h- etc.
*^ i.a.5 1.2.3. +.5 ' 1.2... .7 TT \ 2.J....9 • 4-5...II * *"
§. 33. Anteqnam autem quicquam hinc concludere
fufcipiamus , exemplo vno doceamus regukm hanc inuen-
tam redte fe habere \ ac valores Yeros litteraram indc
prodire. Sumamus igitur primam formulam, et cum (it
A =1 ^ habebitur ifta aequatio
Eft vero ad veros valores appropinquando
/2 11:0,693 I 471 80
Ptt* =1,233700550
Q7r*=z 1,01 4.<^7 803 I
Rtt^ rr: i, 001447077
Stt' ^=1,000155179
TTr'" zr 1 ,0 o o o I 7 o 4 I
Vtt" =: I , o o o o o I 8 8 5
WTT^^rr: 1,000000209
Xtt'* =: I , o o o o 0 o o 2 3
Ytt" zz: 1,000000002
Sumamus primum vnitates integras , pro Ptt* , Qtt* etc.
habe«
DE SEBIEBVS QVIBFSDAM CONSIDERAT. 8$
habebimus sIt + ^r + ~ -f- ~ -H etc. cuius feriei ium-
ma conftcit, quippe quae eft :iz i — / 2 ieu
0,306852810
nuiic fumamus eorundem terminorum fradiones annexaS|
quae per refpedliuos denominatorea diuifae dabunt ;
0,038950091
0,000733901
34454
2155
155
12
0,039720771 addatur i— /2.
o,3o<58528i9
o, 34<^57359o At vero eft ^i ^
0,34^573590
Tnde aequalitas luculenter perlpicitur.
§. 34. Cum igitur certo nunc conftet de veritate pro>
pofitionis §.32. aflertae , legem habemus , iecundum quam
fummae (erierunaT^;;^^-^ — ~ -4- etc. denotante n
numerum imparem quemcunque progrediuntur. Veruoi
quia ex obferuatione tantum nobis conftat efle
■h-{-h-\- etc.)
-h-^-U-^ ^tc.)
-f.-f-|«-4- etc.)
4- ^.+1.-4-' etc.)
^^ _!_. 2::^ -U ?^ _i_ 5^
«• 5 ~ » ' 4' 5 •" 6- 7 *~8- o
/2 =
4(1
35 ( I Hr-?» -i~i»
.v(
510
etc.
etc.
L 3
operae
iS m SERIEBFS QTIBVSDAHl CONSIDr^AT.
operae pretintn erit in demonftratiouem huius veiiUU ioy
quirere. Ponamus igitur
atque inlUtuantur fequentes trartbformationcsJ
firrz:P7rH-(i7r'H-R7r*^etC,
Qiiia haec vltima feries fi per tt mi^tlplicctur , ftfnmam
habet 1 tang. A. 'J , quae eifprcffio locum habet , ctiamfi
^ quantitas fit vaiiabilis, quemadmodum hi<; fofuimus.
Erit itaquc
dd.ms=~- tang. A. 1 et hinc
4.7cs:::z~^ fdtz tang. A. 1 ac dcmquo
j= ^Jdi:Jdi: tang. A. 1
Cuius aequationis radix iam patet, qulppc eft i :r- —-."
^•35- Confideremus primum formulam hanc/^-ff
- J TT fin A. ? , ^
tang. A.y quae abit in/|,^^ ^-^ — rr-a/cof.A ?hoc
vero integrali fubftituto habebimus jrr: "^ J~ /cof. A. ?.
Ad hanc formulam integrandam ponotang.A.^— ^,erit cofA^
=:: vT^hT et-./cof.A.f i=:/y( H-f 0=1^1-^-^0
et '-^^ =3 ;^ ; ex quo erit s ^ ;^ /j^-n /(i -l-^O at^
que ideo quaeftio huc efl: reduda, vt definiatur integralQ
jdt^_^_p tali adhibita confiante vt integrale euanefcat pofi-
to, ^=0 ; quo fado reftitui oportet ^ r= tang. A. Jfeu
ob f zz arcui 90**, erit /rzzoo. Formula autem haec ,
quia ett /^i-i-^^;— n^t ^ IcTTjo* "^ Jo"-i-m* "t" ♦a-f-^)*
-+- etCo
DE SERIEBFS ^VimDAM. CONSILERAT. si
^ etc, tranfit in fequentem Ita vt fit /7~ff /( i =-H/i^) ^
Per reduiflionem autem formularum integraiium eft gene»
raliter,
f ^—i-» — ^ »!»h> r~ - —
Quare cum fit /7^ n: f erit
J (i^tt)^ ' 5 • 5 5» 1-4-tt
d-}-")* — 2-4.6'* 2. +. «• «H-tt "~ 4- 6 ' (,^t(}* ""HirH-ftj^
/1!:^L__— - '°^'S°-" TT »'^-5'T _J ^ f.;-y t^ ^ J_^— —
(i-f-tt)* a.4.5.8*a~3,!o(S-» • i-*=tr 4»5.s ' (i-i-tt)* ' &., » ^tt)^
(,^tt)6 — a.4-6.3-io « a 2.4-6.5.10 ' i-f-tt "* 4^,6.i-i9 * (iH-tt(*
_ 1:1^ _1! ii£_ _i! . _ t^
6.3.10 "^ (i-4-tt)^ ,..0 • (iH-tt)* - s5- (, Hhit)« ^*"^'
Ex his fubflitutis orietur f-^^ i{i-\-tt)-zz
^ ^ / J t ijil_ _l '»^'? . I-?-5 7 , ^
- ;n^ {i-\- t.-^ fifr + S^. -^ «=•)
t^ / I 1 ^ >« 7 9 , 7«p^ll „. . K
— «(.-f^rtjM^ ^" s.4-t-7:;;7--4-i:7;7^ -t- etc.)
-= n;;^ il'^ tl'^^^^'^'::^^^— ^^ etc.)
etc«
§. Z6. Q^uaeramus primum fummam feriei huius ^^
ponamusque ^
S8 DE SERIEBrS QriBVSDAM CONSIDERAT,
erit s -zz f^^^^j^ ^x , vt eiioluenti flicile patebit. At eft
quej=:^-/(i+V(i-:i')) + /(i-V(i-.v))-/A^ vbi
conftans^ ita debet effe comparata , vt pofito x—o fiat
jzzo. Fiat igitur x infinite paruum , erit "V [i—x)zz.
i-f et/(i-V(i..r))=:/f=z/.r~/2et l[i^i/{i^x))
zzzli-j "vnde czizzlz. Ponatur nunc xzniy eritiz:: 2/a
atque
i--4-^-^^-^>f.^~^-4-etc. =12/2
Ex hac autem ferie reliquarum ferierum (umraae ita deter-
minabuntur \t fit :
'-4- -^^-'^-f-^^^^4-etc.=:'^2/2-^^- -^
»^ «.<■ ' 6.10.5 * 8.1C.12.5 ' 1.3.S j.:»s.2 $v*
» «. -£-^211! L_ etr — ^^^ 2 / 2 — "'•^^- _ ^ - ^
?^^ lO.S^^IO.iX.S "" » ^'■^* ■ 1.3 .5-7 • * 1-3.5.7.» 5.7.« 7.5
etc.
Qiiibus iiimmis fubftitutis proueniet /^f^ / ( i -h «)
— ^- J. 2/2
^ (T^iiftF ( r; a / 2 - ^ - ;f^ )
(.-+.fO* V 3.5.7 z * 2 — 3,^ 7 , - 5.7.J " 7.3 ;
{l-+-tt)* \ 3'5-7'J * ' ^ 3'5'7',i)*I ~ 5'ry2 "" f ,g.J "* S* ♦ /
€tC.
f 3r
DE SERIEBFS QVIBVSDAM CONSIDERAT 89
§. S7 Qiioniam vcio ad inditutum noftrum poft in-
tcgmtioncm nbfolutam poni debet tznoo^ ^^^J-~^f /(1+/^)
:=: 7r/2 atque s:=z\^J-~-^ I{i-i-tt) :=z\~ ^ qui efl
ille ipfe valor quem pmeuidimus prodire debere (§.34 ).
Reliqui enim termini in exprelTione, quam pro J f.^
/( I H-//) inuenimus , (i ponatur tzz 00 omnes euanefcunt,
quia in denominatoribus fingulorum tcrminorum t plures
habet dimenfioncs quam in numeratoribus , atque inlupcr
coefficientes numerici decrefcunt. Nifi enim hoc eueniret,
tuto concludere non poflemus fummam omnium termino-
nim, quorum quisque euanefcit effe = o. Nam fi verbi
gratia priores tantum coefficientium numericorum partes
accipiantur , vt prodiret haec ieries :
fumma ipfius cafu quo t zz. 00 ^ fit finitii et == ? etiamH
fmguU termini euanefcant , quodfi autem integri coefficien-
tes capiantur ob feriem eorum vialde conuergentium , tota
quoque feries euadit zz o.
§.38. Inquiramus nunc in fum>rnam huius feiiei
1 — b -{- ^s — U -\- ctc. = B TT^ quae fumma per §.32.
erit Btt = y— - 2 7: (^-ttt:^ + ^-7^, -{- TTTr, + etc.)
Ad valorem huius quantitatis inueniendum fit s zzz
7TTT + rr^ + iTTTTT^ ^-^ ^t^-
^ri^ dTT 2.3-+ ^ 4.5.6 -T^ 6.7.* ^ ^"-^'
dd Tx^s Ptt' a^r* , R tt^
dTT^ — TT7 -H --.V "+" 6.7 -n- etc.
^^•TT^y Pti^ , a-Tt* , RTr« , .^
^d^ — — -H -T" -i^ -7" + Ct^-
'-^ == P TT 4-. Q^tt' + R TT^ -4- etc. rr i tang. A ?.
Tw;/. A^J/. M Re-
po DE SERIEBFS QJ^IBVSDAM CONSIDERAT.
Regrediendo erit ergo.
— \ /d-nfd njdi: tiing. A
d. m^ s
dix
^^ s ziz ^jdnjdnjdiijdir tmg. A f.
Atque hinc haoebitiir riimnia feriei propofitae B tt* zr:
^4 iT^Jdn fdix Jdiijdix tang. A J , quae omiiia inte-
gralia ita debcnt accipi , \t euanefcant polito tt z= o.
§.39. Ponatur J zz: ^ , ita vt integntionibus ab(o-
lutis q denotet quartam peripheriae partem circuli, cuius
radius ~ i feu arcum 90. graduum. Sitqiie porro lin. A
q — y et cof. A q — xzz.V{i —yy ) , erit tang. A.
5 =: f. Quare ob m — iq ^ erit fumma noftrae (eriei
Btt' :=: ^f-^ — ^JdqfdqJdq /^. Ponamus tantisper
JdqJdqJdqJ'^-u erit B tt^ = ^ - f , vbi iti
quantitate u iniienienda omnes integrationes ita debent ac-
cipi , vt integralia fingula euanefcant pofito q — o tt y
zz: o , integralibus vero abiblutis erit y ~ 1 et ;t: zz o.
Eft vero j^-^ ^p^ ^ -IV [^-yy) =r / » .
et /x=-f+^^H-^-f + ^1 _+->-!! _t_etc.
Cum nunc fit uznjdq fdq Jdq /J , erit per redudio-
nem integralium
u — qjdqjdq 1% -Jqdqjdq 1%
atque porro
Jdqjdq /J =: qjdq 1%-Jqdq J%
Jqdqjdq l^zzi^^dq I^-lJqqdq 1%
ergo
uz^iqqjdq 1%-qJqdq 1% -^-l Jqqdq 1%
it2
r>E SERIEBFS QVIBVSDJM CONSIDERJT. pi
ita Yt niinc tres fbrmulas habeamus fimplkiter diflferen-
tiales , quns integrare debemus.
§.40. Confideremus fingulas has tres fbrmuks feor-
fim , ac primo quidem hanc Jdq 1% , quam etfi iam fu-
pra integrauimus, tamen eandem ex confideratione finuum
et cofinuum denuo integremus , vt \ia ^cilior paretur ad
reliquas integrandas. Efl: igitur :
Jdql^^^Jdq [yy, -Hr-l-r-f-r-l-?r4- etc.)
Ad hoc integrale inueniendum confideretur membrum eius
quodcunque Jj^^-^^dq , et cum fit dqzz:^=:z^ Qt xx
'^yyzni , erit
Jy^^-^^dq zr -Jj^-^^d X ^-j^^-^^x -^- (n^i) Jj^^xdjf
at eft Jj^^xdj —Jj^^x^dq —Jy^dq -Jf^^dq
ob X X ^ 1 — yy : ex quo erit :
jy^^^dq =:-y^-« x-^- {n-{-i) Jy^dq - («+1)^0«-^-*^^
atque
Hinc itaque integrale cuiusque membri reducltur ad inte-
grale praecedentis , et quoniam integratione abfoluta fie
a: m o ; erit pro hoc cafii
fyn^^dq-^ fyUq.
Ex hac ergo formula repetientur fingulae integralis partes
Vt fequitur.
S/dq — \q
S/dq='^,q
f/dq = t7rlq
Sydq = v^.q
M a Hanc-
92 DE SIRIEBFS QVIBVSDAM CONSIDERAT.
Hancobrem hnbcbitur : Jdq l % zzl \q ( ^
1 . ^ . T . 7
etc ) cuius feriei cum iam (upra
inuema fit fimima (§. 3<^-} —2/2 erit Jdq ll,-=zqlz.
§.41. Progrediamur inm ad fecundam formulam in-
ttgmkiw Jqdq /^, quae abit in
Jqdq 1 % —Jqdq (^f + ^ + ?' -1- ?' + etc. )
cuius partem confideremus quamcunque Jy^^^^^qdq = —
Jy^^-^^qdx zz: -y^^-^^qx ^Jy^^-^Wdq-^in+i^Jy^^qxdy
Pofito itaque y ^ '^ et .r =: o , erit
Jy^-^^qdq - (^^ + S //'^^^
Integralia igitur fmgulorum membrorum ita fe habebimt:
Jy'qdq zz iz -^ l.f
J/qdq - ^l-H-T^ -^ ^ ^'
J/qdq = TT
Jy qdq ^ -- -i- 7-7* -f- 7:7.";* -V- :^T^Ti:ir-H rrrTTi-l
etc.
Ex quo obtinebitur intcgrale /^^ /J zz:
-t- r^' ( r -H- ,— + .-7^77 + rfrfr; + etc. )
-t- -^» f i -i- — -4- -^^ -1- -—^. H- etc. )
•-H-iT^» ( ^ -^ ;t; + ^777:7 + J 10'. .2.6 -i- ^tc. )
etc.
Vei etiam hac fbrma Jqdq 1% zz:
^ / ^ . _Lj_i_ 1 -I -^. _A^ ^'— '- ^ etc.
4-
6-4" " * 4-6.22 ~ » 2 -4 -6 * »
3-5-7 , 1-7. J. 7 ^4
DE SERIEB. QVIBFSD, CONSIDERAT. n
PTI -H Jt: -+- 6"^ -+- r^s + etc.
2^ + i^ -4- g^TT^ 4- ,2^—2 -h etc.
2'-4-6.
r'-6.
etc.
6*8 .lO» II''
etc.
hae aiitem feries id ipflim, quod eft in quaeftione inuol-
vunt , nempe fummationem cuborum terminorum feriei
harmonicae.
§.42. Quod fi fequamur priorem formam, omnes
(eries fummabiles §. 34 r>E SERIEB, OVIBVSD, CONSIDERAT,
Qiumobrem habebitur [qdql%z=i qqlz
_ 25f ', -L- -^, ^ '--^ ^i^T^^^ etc.
-+- .t.:t* • 1 + 4T7* • ♦ H- 6* • ^
etc.
f. 43. At fortalTe difficultas commodam expreiTionem
inueniendi diminuetur , fi tres illas formulas integralcs col-
ligamus. Hancobrem fumamus tertiam fotmulam Jqqdql^
quae abit in Jqqdy ( n 4- ^* + >/ -+-•>' + etc. )
Confideretur fbtmuh Jj^^^qqdq quae abit
in -fy^^-^^qqdxziz-y^^-^-^qqx-^-zJj^^-^^qxdq-h
(n^^)Jfqqxdy zz. -j"-+-.^^.v^ 2/r""^' ^ ^J' -4-
{n-^-i^Jy^^qqdq-in-^-iJy^^^qqdq : iiinc ergo erit
Jj^-^-qqdq^ zl-^^^^-Jy-^^ qdy-\- 5^;// ^ 5 ^zz"— , [x — a.) et fumma om-
a ; tenfio fili hic nequic-
q\iam facit : momentum autem omnium potentiarum ,
contrariarum , quae a pondere virgae oriuntur , habetur
fi pondus totius virgae M applicatum putetur in centro
grauitatis E , iftudque pondus> muitiplicetur per rationem
II atque per longicudinem vedis ED, id eft , per^^
et|^;^:eftitaque momentum omnium potentiarum contraria-
rum :^ai^ ^ M : Vnde habemus nunc hanc aequationem
J a a-Hg ^ ^^*-'
Poterimus autem quantitati irti fummatoriae J ^^— ^^.fJL
aliam fubftituere intelligibiliorem ; ponatur nempe C Q_ feu
x-a-y eiit /i--±^^ ^j'^ -\-f-^= f^ -f/^^
Vt vero intelligatur etiam terminus f^ , notandum eft
longitudinem penduli fimplicis ( quam vocabimus L ) ifo-
chroni
IC4 COMM. DE OSCILL. COMP. PRJES. IIS, ^JE
chroni cum ofcillationibus minimis virgae C H ex pundlo
fixo C fuspenCie eflTe z:z\^- adeo vt fit -^ =zi L atque
adeo p^-f' - ^. Eft igitur jS^L m f^ + ?f? ,
Hoc igitur valore fubftituto in praemifla aequatione oritur
haec aHa ^ +^=: ^. . M , quae reduda dat
n. (a-}-L) .{ci^-\-g)zzaq
Ope duanim , quas inuenimus , aequationum , eliminanda
prius eft arbitraria afliimta a deindeque determinandus va-
lor incognitae a per quantitates pure cognitas. Hoc mo-
do inuenitur
2
^ W~t±V(r:— L-t-4ng)
Et haec aequatio determinat fitum virgae extrcmum
D G , quod negotium , in quo omne problematis mo-
meutum pofitum eft , in hoc parngrapho expedire con-
ftitueram. Situm autem fimilem virga , dum ofcillatio-
iies vniformes perficit . perpetuo feruabit , ita vt virga in
omni fitu continuata tranfeat per idem pundlum B. Nec
tamen inde concludendum eft virgam eadem lege ofcillatio-
nes fuas perficere atque fi ex virga rigida D B omni gra-
vitate deftituta eflet fufpenfa , quia linea D B non exadte
eandem longitudinem feruat.
§. lo. Determinato vaiore ipfius a facile eft longi-
mdinem quaefitam penduli fimplicis ifochroni definire :
QLiia enim cuiusuis elemcnti O o vis acceleratrix eft rz f ,
via autem ab eodem pundo deicribenda feu O Q^zz ^^
et quia longitudo penduli ifochroni habetur diuidendo vi-
am defcribendam per vim acceleratricem , erit longitudo
ifta n: ^—^ : Eft autem per aequationem fecundam prae-
cedeu^'
nVNTINCORF,EXFlL0FlEXILl SFSPENS. 105
cedentis paragraphi aqn: (a + L). («4-^; erit
itaqiie longitudo quaefita penduli fimplicis ilocLroni / Hm'*
pliciter zn a -}- L , fuie ( per §. 9. )
. n-t-L±V(n — L -H+^g)_
§. II. Aequatlones quas in duobus (iipcriorlbus para*
graphis erufmus , fingulares nos doccnt pnvprietates , qui-
bus hae ofciliationes gaudent. MemorabirTiUS fequcntes
(a) Praecipue notandum ert , duobus mocis cfciliationes
fieri poffe vniformes , prouti in expreflione quantitatis ce
ex fignis , quae quantitati radicali praefiguntur , feligatur
vel fuperius vel inferius : fi autem fiiperius accipitur , fi-
mul etiam ruj.erlus eft feligendum in exprefTioue quanti-
tatis / idemque de figno inferiori dicendum. Pro figno
itaque fuperiori ofcillationes fiunt muko tardiores quam
pro inferiori : tardiores autem plerumque "parum admodum
differunt ab ofciilationibus Hugenianis pro fyileraate ri-
gido.
( ^ ) Si longitudo virgae minima fit respe^fln habito ad
longitudinem fili ex quo virga fuspenditur , erunt etiam
quantitates L et g. minimse , fietque proxime l— n -\-g y
fi fignum ex amfeiguis affirmatiuum ponatur aut /zzl^ —g
fi fignum negatiuum accipiatur : in cafii priori tit a zz n
— L— ^, in pofteriori azz-g: in hoc igitur cafii vir-
ga circa centrum fium grauitatis veluti rotatur inter ofcil-
landun? habetque longitudinem penduli fimplicis ifoclironi
aequalem diflatitiae centri grauitatis a centro ofcillationis
quod virgae competeret , fi ex pundto fixo C fuspenJe-
retur.
Tom. Xll O \ (f)
t06 COMM. DEOSaiL. COMP. PRAESJIS.QVAE
({;) Si e contrario Yirga longiflima ex filo breuiffimo fus-
penfa fit, erit in cafu priori a.—f et / — L-H?, at
vero in cafu porteriori , qui hic notari praecipue meretur ,
habebimus proxime azn — L ct /=z« — ^, quod indi-
cat , fieri nunc inter ofcillandum rotationem circa centrum
ofcillationis quod virgae ex pundo fixo / fuspendie com-
petit et elfe tunc longitudinem penduli ifochroni l^^^
X n .
(d) S\ virga ex centro grauitatis fuspenfa fit , euanefcit
pofterior ofcillationum claflis fitque pro claflTe priori a zzi
co et l zzz longitudini fili.
Ceterum obferuandum efl folutionem noftram minime re-
quirere , Tt filum \irgae ex eiusdem fummitate alligatum
putetur : poteft enim ex quocunque pundo efle alligatum.
Igitur per pundlum D aut C non intelligitur virgae fum-
Tflb.n, ^^^^^ ^^^ pundum ex quo virga fiio eft annexa. Figu-
* ra fexta litteris fiiis analogis oftendit exemplum fecun-
dae ofcillationum claffis : tum ctiam figura feptima et odla-
\aambas oicillationum clafles illuftrant , quiun virgae non
funt ex fiimmitate fufpenlae.
§. 12. Ifta quae diximus nunc porro illuftrabimus
exemplis particularibus , fupponendo fcilicet virgas bo-
mogeneas et vniformiter craflas , quarum longitudines defig-
nabimus per m : fic erit ^ m | w et L =: | ?« , fi virgae
funt ex fummitate fua fuspenfae : his autem valoribus fub-
ftimtiS fit a = .n-~.m±V^n.^.n.n^.mm) ^^^^^^ ^ _
longa fimulque ad modum figurae fextae ofciiletur , fiet
CB dupla ipftus BH et longitudo penduli fimplicis ifo-
chroni
firNTINCORF. EX FILO FLEnU SrSPEKS. 107
chroni eft aequalis qiwrtae parti longitudinis fili virgam
fuspendentis. Igitur fic virgae longiores breuioresque ,
modo ex eodem filo breuiflimo fuspeiidantur , in hoc ofcil-
lationum genere iibchronae funt.
§.13. Denique etiam exemplum dabo virgae vni-
fbrmis ex pundo aliquo intermedio fufpenfac. Ponamus
itaque longitudinem virgae 7;/ =: 3 , putemusque diftaa-
tiam pundi fufpenfionis D vel C. (fig. 7. et 8.) a fum Tab.a
mitate virgae zz i , longitudinem autem fili DA velCA
expreflam per « iz: 2 ; hae pofitiones faciunt ^ zi: ^ et
Lrz2 hincque fit pro ofcillationibus tardioribus , quae ad
norman figurae (eptimae perficiuntur , a =: i , fic vt in
hoc exemplo (iimmitas virgae veluti immobilis maneat nec
a fttu lineae verticalis recedat, ftatim atque ofcillationes &-
dae funt vnifbrmes : erit autem longitudo penduli fimpli-
cis ifochroni aequalis ipfi longitudini virgae , id eft,/zr3.
At vero pro altera olcillationum clafle , quae figurae oda-
vae refpondent , fit ct z=: — i et longitudo penduli ifochro-
ni aequalis tertiae parti longitudinis virgae , fiue /n: i.
§. 14. Poftquam fic generaliflime hoc argumcntum
expediuimus, pro linea reda vtcunque inaequaliter graui ,
^cillimum eft Iblutionem extendere ad plana et ad corpo-
ra qualiacunque , imo non difHcile eft videre , folutio-
nem cum ea quam dedimus , prordis eandem effe : cum
enim , vt hoc folum moneam , ofcillationes noftrae com-
pofitae flnt ex duabus ofcillationum fimplicium clafllbus ,
nimirum fili circa pundum A et virgae circa pundum
D , perfpicuum eft , neutram mutari , fi loco virgae filo
in D appendatur planum vel corpus quodcunque , cuius
tam centrum grauitatis, quam centrum ofciUatioois , quum
O 2 pun*
-«08 COMM,DEOSCILL,COMF.PRAES. IIS.QFAE
pundliim rufpenrionis D vt fixum confideratur , eadcm ma-
nent. Erunt ir.ique aequiitiones noftnie pro act / (emper
"venie fi pcr n intclligatur difiantia iv.icr dnos axcs hori-
zontiiles nc parallelos per pundl i A et D tranfeuntes , fi-
que lim il pet L inteliigatur diibntia centri orcillationi.T ab
axe per punvflum C aut D tranfeunte , cum axis if.e im ■
mobilis efl , et fi denique pro g lubftituatur diftantia cen-
tri grauitatis a praef[ito axe per pundum C aut D tran-
feunte.
§.15 Sic igitur problemati noftro (ecundiim totam
eius extenrionem (atis^K^ im eft , indeque fimul illuftratam
atque confirinatam puto (ententiam noftram , in omni fyfte-
inate ofcillationes compofitas , quarum fingularum duratio
et excurfionis magnitudo a (e inuicem pendent , Ytcunque
ilatini fint inaequales et perturbatae , tandcm fieri Tnifor-
Hies et inter (e tautochronas : faltem hoc certum eft ,
pofle fingularum ofcillationum excurfionibus talem affigna-
si proporfionem , fiue exciirOones iftae maiores fiue mino-
res fint per fe , vt cum fingulae fimul incipiunt , fimui
etiam finiantur, atque fic conftanter \ixiformes tt inter le
tautochronae permaneant.
EMEN-
EMENDATIO
TABVL ARVM ASTRONOMIC ARVM
PER LOCA PLANETARVM
GEOCENTRICA.
AVCIORE
Leonh. Eulero,
5. I.
Q'^emadm(xinm ex tribus planetae ciiiLisqiie primarii m n.
iocis heliocentricis cum integro tempore periodico
/CompLiratis orbita planetae» iniieftigari atque tabulae afiro-
ji:)micae contici queant , in Comment. Tomo VIL fufius
expoliii. Cum autem non folum difficile fummopere fit
loca heliocentrica ex obferuationibus eruere , led etiam ad
prDitirum determinationem loca tam exquifita nulii.]ue
vel minimo errori obnoxia requirantur , methodus ibi tra-
dita neque (emper neque fatis tuto ad hoc inliitutum ad-
hiberi potell. Atque hanc ob caufam iam illo tempore
ad orbitam folis vel potius terrae definiendam potiiTimum
^dftruxi , eo quod fingula folis loca geocentrica obferuata
tocidena praebeant terrae loca heliocentrica , quae adeo fa
tis copiofe exhiberi poffunt.
§ 2. Ad loca autem heliocentrica planetaaim pri-
inariorum accurate obferuanda tot diligentidime inffcitiitis
©bfcruationibus tiiataque circumlpedione opus eftj Yt non
O 3 £icilc
iio EMENDATIO TABl^ARVM ASTRONOMlC.
iacile pro quoiiis planeta terna tantiim ciiismodi loca ex
tanta obferuationum multitudine deriuari queant. Neque
vero ad iftud inftitutum ternae obferuationes quaecunque
heliocentricac funt accommodatae , fed eiusmodi tria loca
requiruntur , quae in orbita planetae latis a fe inuicem
fint remota , ex quo intelligitur maiorem locorum helio-
centricorum ijumerum pro fingulis planetis requiri , quo
deledus ternarum obferuationum maxime idonearum in-
ftitui queat.
§.3. Tres autem omnino habentur modi ex obfer-
vationibus planetarum loca heliocentrica concludendi , qui
omnes ablolutam ac perfedlam folis theoriam poftulant :
quiim quidem tanquam latis cognitam affumere licet , cum
ea per methodum ante expofitam ex obleruationibus ex-
adiffime colligi queat. Primus modus confiftit in obfer-
vatione oppofitionis cuiusque planetae cum Ible , qui vero
tantum ad planetas fuperiores patet , cum in inferioribus
oppofitio folis nunquam contingat. Neque vero oppofitio
planetamm refpedu folis immediate obferuari poteft, led
ea demum ex pluribus obieruationibus circa oppofitionis
tempus inftitutis deriuari debet. Ex huiusmodi fcilicet ob-
feruationibus per computationcm verum momentum tem-
poris , quo plancta foli e diametro opponitur , definitur ,
quo ipfo momento locus terrae heliocentricus cum planetae
loco heliocentrico congruet ; fiquidem planeta in ipfa
ecliptica moueri ponatur. Quodfi autem planeta cum lati-
tudine obleruetur , tum iftud momentum oppofitionis ex
obleruationibus coUcdlum vlteriore corredione indiget , vt
vera oppofitio fecundum longitudinem inueniatur, in quo ne-
gotio ipfa iam planetae theoria quafi cognita aflumi debet.
§.4..
FER tOCJ PLANETJRVM GEOCENTRICA, iix
§.4. In planetis inferioribus Venere et Mercurio qui^
oppofitiones cum fole non contingunt , eorum coniundlio-
nes cum fole diligcnter folent obfcruari : ex his enim pari
modo loca heliocentrica deriuari poffunt. Interim tamen
iftiusmodi obferuationes ob fummam horum planetanim
et folis propinquitatem hoc tempore perraro et non fuis
accurate inftitui pofliint. Qiiare cx hoc obferuationum
genere in iis tantum maxima fiducia poni poteft , in qui-
bus ifti planetae in ipfo folis difco con(piciuntur. Hoc
autem non folum rariilime euenit , fed etiam iis tantum
temporibus , quibus hi planetae nodis fuis funt proximi ;
ex quo per hanc viam duo tantum loca heliocentrica in
orbita planetae diuerfa elicere licet , quae ad theoriiim Aabi-
liendam non fufficiunt. Neque vero ex planetarum inferiorum
elongationibus maximis a fole obferuatis loca heliocentrica
deduci pofliint , nifi orbitae planetarum circulares affuman-
tur , quae pofitio pro Mercurio a \eritate nimium abhor-
ret. Ex quibus clariflime perfpicitur , quam parum \ti-
litatis loca planetarum heliocentrica ex oppofitionibus et
coniundionibus cum fole coUeda ad noftrum inftitutum
afFerre queant
§.5- Alter raodus loca heliocentrica planetaram ex
obleruationibus aftronomicis concludendi , in obferuatione
latitudinis cuiusque planetae confiftit ; ex qua fi tam loci
nodorum quam inclinatio orbitae planetae ad planum
eclipticae iam ante fuerit cognita, locus planetae heliocen-
tricus Ytique colligi poteft , quemadmodum oftenditur in
Aftronomica Gregorii. Sed quamuis haec requifita exac-
tiftime eflent cognita , tamen vel minimus error in ob-
fcruatione commiifus , qui euitari nuUo modo poteft , con-
clufionem
iri E3IENDATI0 TABVLARVM ASTRONOmC.
clufionem maxime incertam reddet. Primum enim ma-
nifellum cft , fi pliinetae orbita ab ccliptica pror(iis nori
dKcreparet , pcr hanc mothodum nihil omnino ad locum
heliocentricum determinandum , inferri pofTe ; ex hoc vera
fponte fequitur , fi inclinationes orbitaium admodum fint
exiguae vti reuera iunt , tum iftam methodum ingentibus
erroribus obnoxiam efle oportere •, ita \t ea iu noftro in-
ftituto , in quo exactifiima loca heiioccntrica defidemmus ,
nullius plane vfus ede pofiir.
§. 6. His autem duobus modis expofitis loca belio-
centrica planetarum inuedigandi, tertius moJus longe ante-
ferendus efle videtur , qui neque latitudinem planetae fpc*
dat , neque determinatum fitum refpedu (blis requirit.
Tempus aucem periodicum planetae , cui ifte modus ac-
commodatur , accuratiflTune cognitum ac dcterminatum efle
oportet , id quod ex tot ob(eruationibus tam longo tem-
poris interuallo fiidis , fatis exade coll gi potefl. Qiiodfi
enim binae eiusmodi plinetae obferuationes eligantur, quac
integro tempore periodico a fe inuitem diftant , certum
erit planetam vtraque obferuatione in eodcm orbitae
fuae loco ver(atum efle , etiamfi tx terra in diuerfis coeli
locis confpiciatur. Ex hac ipfa autem dilferentia locorum
geocentricorum verus locus heliocentricus facile concluditur.
Interim tamen haec methodus aliatr tutiflima hoc habet
incommodi , quod difficulter et raro ad datum quoduis
temporis momentum fitus cuiusque planetae in coelo ol>-
feruari pofTit.
§.7 Cum igitur loca heliocentrica plnnetnrum vel
non fiitis exadta , qualia requirimus , exhiberi qiieant , vel
tanta temporum opportunitas ad ea definienda poftuletur,
quali»
?ER LOCA PLANETARVM GEOCENTRICA, ns
qualis raro contingere folet , in eam incidi cogitationem ,
quemadmodum per loca quaecunque geocentrica orbitae
pLinetarum determinari , ac tabulae aftronomicae confict
queant. Qiianquam autem mox intellexeram , problema
1k)c efle determinatum ; atque cx aliquot locis geocentri-
cis orbitas plunetarum determinari , tamen ipGi folutio tan-
topere fit difficilis et moMilTimis calculis implicata ,
Tt ea nullo modo ad finem perduci , multo minus ad
■vfum accommodari queat. Perfpicuum quidem eft praeter
tempus periodicum planetae cognitum tria loca geocentrica
ad problema determinnndum (iifficere , Terum , qui-a qni-
"vis locus geocentricus primum loco folis, et deiadc tam
longitudinc quam latitudine planetae definiri debent , toC
quantitates diuerfae in calculum introduci debent, vtisnoa
maxime intricatus fieri omnino nequeat,
§.8. Poftquam autem cogitafiem orbitas planetarum
minc quidem non adeo efle incognitas , Tt earum inuerti-
gatio a primis principiis repeti debeat , motusque ipfomm
planetarum omnino ignoretur ; fed non fokim teinpora
periodica pe.' plurimas obleruationes accuratilTime iam efle
definita , vemm etiam ipfas orbitas fatis prope cognitas
haberi : ex his fi debito modo in caiculum inferant«r ,
iacile profpexi , kborem vehementer fiibleuari poffe. Qiian-
do enim non tam Yerus planetarum motus ex iblis ob-
iernationibus , quam eius tantum aberratio a theori-a iain
ifebilita , quae minima efl: , indagatur , calculus ex eo prin-
cipio fiicilior reddetur , quod errores thcoriae ih\ tabnlarum
aftronomicansm tanquam quantitates infinite paruac tracSlari
queant , quo ipfo formulae et aeqi>ationes alias intdcatiffN
mae fatis pJanae €t fimplices fieri foleat.
Tm. XIL P f p.
XI4 EMENDATIO TABVLARFM ASTRONOMIC,
§,9. Negotinm igltnr , qnod in hac difTcrtatione mi •
hi expediendum fumfi , in hoc conftat , vt tabulas aftro-
nomicas vfu receptas , quae quidem ad veram theoriam
motus planetarum fint conftrudlae , per aliquot obferua-
tiones (eu loca geocentrica corrigam , atque detiniam , quan«
tum iliae a veritate diffentiant ; errore enim cognito ta-
bnlae etiam maxime vitioiiie fiicili negotio emendabuntur.
In -hoc autem inftituto ipfas aberrationes tabularum a
Ycritate , in quas inquiro , tanquam quantitates infinite par-
vas feu difFerentiaies fum contcmplaturus , ita vt termini ,
in quibus earum plures dimenfiones occurrunt , tuto negli-
gi queant. Videndum igitur erit , quantum loca planetae
obferuata a locis , quae tabulae pro iisdem temporibus fup-
peditant , cum Ibcundum longitudinem tum latitudinem
difFerant , quae ipfa difcrimina tam erunt exigua , vt in-
ftar quantitatum differentialium tradari queant; deinde ex his
ipfis difFerentiis definiri debebit , quantum et quibus in lo-
cis tabulae immutandae fmt , vt cum obferuationibus per-
iediffime confentiant.
§. 10- Quoniam autem orbitae planetarum determi-
nari ex obferuationibus terreftribus non poffunt , nifi orbi-
ta terrae perfede fit cognita , eam hic tanquam perfedle
cognitam affumo , ita vt eius ope locus foJis ad quod-
\is tempus fine vllo errore aflignari queat. Ad motum
quidcm fohs definiendum maxime accommodata cft me-
thodus fupra memorata determinandi orbitas planetanim
ex tribus locis heliocentricis ; verum tamen hic quoque
modum trademus theoriam fblis quamcunque , fi corrediO'
ne egeatj per obferuationes corrigendi> Hocque modo
etiam
TERtOCA riANETJRVM OEOCENTRICA ii$
etiam fTicilius vera folis theoria obtinebitur , quam fi ca
omnino a priori indagari deberet.
§, II. Deinde etiam data pono (ingulonim planeta-
rum tempora periodica , quippe quae ex tot feculorunx
interuailo inflitutis obferuationbus multo accuratius funt defi-
nita , quam per obferuationes nunc inftituendas yd exqui-
fitiflunas expedari poflct. Ex datis autem temporibus pc-
riodicis planetarum fimul ratio , quam inter ie tenent or«
bitarum axes trasuerfi , (eu diftantiae a fole medwp , in-
notelcit ; omnino enim fequi conueniet theoriam motus
planetarum a Newtona (labilitam. Hanc autem theoriam
fecuturus fingulorum planetarum tam aphelia quam nodos
refpedu ftellarum fixarum quiefcere affumo ; f^u ipfis re-
Ipedu aequino(fliorum motum ipfi praecelTjoni aequinodio-
rum aequalem tribuo, Quae affumtio -yti rationi maxime
eil: confentanea , ita etiam cum obferuationibus apprime
confentit . neque , vti quibusdam aftronomis \idetur , per
obferuationes refellitur,
§. j2, Quodfi mmc tabulas aflronomicas contemple-
mur , ex quibus loca planetarum fupputari folent , depre-
hendemus eas quinque rebus ex obferuationibus defumtis
niti , totidemque propterea nominibus erroneas efle pofle.
Primum enim error in loco aphelii afliimto ineffe potefl ,
ita vt eius vera longitudo vel maior fit vel minor , quam
in tabulis ponitur. Secundo excentricitas orbitae feu folisdiflan-
tia a centro orbitae vel nimis magna vel nimis parua affumta
effe poteft. Tertio vero error inefle poteft in anomalia media,
quae ad datam aeram conftituitur : ita vt ea vel maior ftatui
debeat vel minor , qui error fi quis fuerit deprehenfus pro
quouis tempore idem manebit , fi quidem tempus perio-
P 2 (U
ti6 EMEKDATIO TABVLARVM ASTRONOMIC.
diciim recte eft afllmitum. Quarto loca nodorum in ta-
bulis aHignatci poflunt cfle vitiolii , etfl his maxime fidere
pofle videiiiur. Qiiinto denique euenire poteft , vt incli-
natio orbitae ad eclipticam , quae in tabulis ponitur , a
veritate recedat. Fieri igitur poteft , vt tabulae aftromi-
cae quintuplici corredione opus habeant.
§.13. Vnub autem planetae locus ex obferuationibus
dedudtus duplici modo a tabulis diflentire poteft ratione
fcilicet vel Jongitudinis vel latitudinis. Quare fi flnguli
diflenfus obferuationum a tabulis ad totidem tabularum
errores detegendos fafliciant , bina alicuius planetae loca
geocentrica obfeniata non erunt fufficientia ad qumque er-
rores corrigendos , terna autem non folum omnes errores,
qui in tabulis inefle poflTmt , patefacient et corrigent , fed
vna etiam conditio redundabit , quae ad confirmationem
emendationis inftituendae adhiberi poteft. Ita fe res habet
fi quinque erroribus tabulae fint obnoxiae , ex quo videri
poflet , paucioribus obleruationibus negotium expediri pofle,
fi inclinatio et nodi rede conftituti fint in tabulis ; nihilo
tamen minus etiam ttim tribus opus erit obferuationibus ,
cum ipfae obfaruationes veritatem nodorum et inclinationis
orbitae in tabulis afliimtae declarare debeant.
§.14. Ponamus iam pro quocunque planeta cuius
corredio fuscipitur , eius diftantiam n (ole mediam feu
orbitae ipfius lemiaxem transuerfum efle zz a cuius quan-
titas , quia a folo tempore periodico pendet in tabulis
redle aTignata ponitur , ita vt corredione non egeat. De-
inde fit excentricitas leu diftantia (blis a centro orbitae ad
diftat t'.\m mediam applicata , qualis in tabulis habetur =:
k > vera autem excentricitas fit — /^ -4- dk, Tertia ano-
inalia
PER lOCA TLANETJRFM CEOCENTRICA, 117
malia media in tabulis nd quoduis tempus exhibita ita a
veritate diicrepet , \t ea perpetuo augeri debeat angulo
;//. Quarto fit longitudo aphclii in tabulis exhibita , at-
que a prima ftelia arietis computata zz: p , vera autem
eiusdem aphelii longitudo fit :zz p -\- dp. Qiiinto fit
longitudo nodi afcendentis in tabulis pofita a prima pari-
ter Iklla arietis computata =1 ^ ; at \era eiusdem nodi
longitudo fit ^ -h dq. Sexto denique fit inclinatio orbi-
tae planetae ad planum edipticae , quae in tabulis indica-
tur zz « ; vera autem inclinatio fit zzzn -\- d n.
§.15. Ex tabulis ergo aftronomicis quibusque haben-
tur valores literarum a ^ k ^ n ^ p Gt q ^ cx quibus di-
ftantiam njcdiam a ex tempore periodico dedudam reli
quas litteras vero \ndecunque ex obferuationibus conclu-
las efle pono. Praeter hos vcro valorcs nihil quicquam
ex tabulis delumam ; aequationem cnim anomaiiitc nicuiae
vel addendam vel fubtrahendam non ex tabulis defumam,
led ipfe quouis cafu calculo definiam , non tam quafi ta-
bulis aequationum parum confidcrem, quam quia ifte ipfe
calculus quo aequatio anomaliae definitur , ad corrediones
inftituendas requiritur. Corredtio autem. in hoc confiftet,
vt errores tabularum a veritate , quos his exprefllonibus
difFerentialibus dk ^ dm ., dp ^ dq et dn denotaui , deter-
minem ; hoc enim fado , dubium erit nullum , quin ta-
bulae perfedlifiTime fint emendatae , fi quidem obferuatio-
nibus certjflimis ad has corrediones vtamur^
§. i5. Eiusmodi autem obferuationes adhiberi con-
venit , quibus planetae ad datum tempus tam longitudo
quam latitudo contineatur ; fit igitur pro definito quodam
tempore longitudo planetae ex obferuationibus deduc1:a —
P 3 F,
II S EMEKDATIO TABVLAWM ASTKOKOMIC,
F , quae pariter a prima ftelhi arietis fit computata , lati-
tudo vero fit = G. Ad idem Yero tempus locus pla-
netae ex tabulis fuppntetur , fitque longitudo ex tabulis
inuenta "::=::/, latitudo autem zn g. Qiiodfi vero tabulis
corredis vti liceret, foret longitudo ziz f-\- df^ et lati-
tudo -zzg-^ dg ^ quae perfede cum obleruationibus con-
fentire deberent; erit itaque Fi:r:/-i- df atque G — ^ -+-
dg , hincque dfzz: F— / et dgz^Q —g. Cognolcentui:
igitur itti valores df et dq , quos tanquam difFerentialia
ipedto , ex comparatione tabularum aftronomicarum cum
obferuationibus j iidem vero ex afllimtis tabularum errori'
bus dk , dm , dp ^ dq y et dn definiri poterunt ; vnde
viciftim errores tabularuip per obfcruationes dignofci , ip-
faeque tabulae corrigi poterunt.
^. J7. Cum Jgitur liabetqr obferuatio planetae om-
nibus nunieris abfoluta , ^d jd tepnpus , quo obferuatio eftj
lada, locus planetae hoc eft eius longitudo ac latitudo ex
tabulis ftpputetur ; quas litteris f ct g defignaui. Quod fi
autem valores / et ^ ex tabulis eruantur , compofiti erunt
ex litteris cognitis , quibus tabulae funt fuperftrudae ,
fcilicet a^k^p^qQtn ^ eruntque harum litterarum quafi fun-
^iones, Ex his yero ipfis yaloribus per calculum difFe-
rentialem definiri poterunt Jongitudo /4-^/etlatitudo^-|-
dg y poriendo k-^dk'^ p-\-dp\ q-^dq\ n-\-dn loco
jk, p, ^ et ;2, atque anomaliam mediam tabularem augen-
do angulo dm , etiamfi ipfae qnantitates hae differentia-
les dki dpj dq^ dn et d?n fint per fe incognitae. Q_uo-
niam auten longitudo f-hdf et latitudo g -\-dg ex ta-
bulis corredlis nata cum longitudine et latitudine obferuata
f ongruere debet , hae difFerentiae df et dq ex difcrimine
tabula^
TER LOCJ TLANETAWM GEOCENTRICJ. ii(>
tabuliirum et obferuationis primum cognofcentur , eaedem
Yero etiam per corrediones adhibencias determinabuntur,^
Tnde huius modi binae aequationes ex qualibct obieruatioae
conficientur
dgzn a dm + ^ dk-\-y dp-{- B d q^ e dn
atque cum ex tribus obferuationibus (ex huiusmodi aequa-
tiones oriantnr, eae abunde fufficient ad valores differentiales
dm, dk, dp^ dq et dn determinandos, quibus determina-
tis tota tabularum aftronomicarum corredio erit abfoluta.
§. 1 8. Videamus igitur quemadmodum ex iis rebus da-
tls, quibus tabulae inniti folent , et quas litteris ^, jb, p^
q tt n indicauimus , ad datum tempus planetae tam lon-
gitudo quam latitudo computari debeat. Ad datum igi-
tur tempus ante omnia tabulae praebent planetae ano-
nomaliam mediam , quae fit zizx , qua cognita inueftiga-
ri debet anomalia excentri , quam tautisper littera v indi-
cemus. Ita autem haec anomalia excentri cum anomalia
media eft connexa Yt iit .rzz:'z;-+-^fin. i; ex qua aequa-
tione quidem data anomalia excentri , anomalia media per
transmutationem finuum in arcus facile definitur. At vi-
ciflTim ex anomaha media , excentri anomalia per hanc ae-
quationem determinabitur vzz:x—k^\vi.{x—k fin. (jv— ^fin,
(.r— etc. quae etfi eft infinita , tamen facili negotio va-
lorem ipfius v tam prope fuggerit , quam quidem ad in-
ftiturum requiri poteft. In circulo fcilicet, cuius radius eft
I. quaeritur arcus aequalis ipfi k fin. x. isque ab anoma-
malia media x fubtrahatur \ refidui arcus denuo fumatur
finus , eique per k multiplicato arcus capiatur aequalis ,
qui
120 EMENDJTIOTABFLAWM ASTRONOMIC-
qui denuo ab anomalia media x auferatur : arcus refidui
iterum finus fumatur , eique per k multiplicato arcus ae-
qualis fumatur , ab anomalia media x fubtrahendus ^ haec-
que operatio tam diu repetatur , quoad refidui arcus am-
plius neque crefcant neque decrelcant , quod fi euenerit, id
quod femper ante quartam operationem continget , "vlti-
mum refiduum dabit valorem anomaliae excentri i;. In-
terim in hoc negotio annotari oportet , quod fi anomaliae
mediae finus fuerit negatiuus , arcus inde natos quoque fu-
turos effe negatiuos , ac propterea ab z non fubtrahi, led
ad id addi debere ; quod ei, qui in calculo eft exercita-
tus nullam pariet difficukatem, Ex tabulis itaque ad da-
titm tempus planetae cognofcitur anomalia media , atque
ex hac coniundim cum excentricitate k reperietur anomalia
excentri v.
§.19. Cogriita anomalia excentri 1? , ex ea primum
iacillime colligitur vera pkinetae diftantia a fole , yel eiut
ratio ad diftantiam mediam a ; pofita enim planetae diftantia
a fole ~ J , erit y z:: a { 1 -\- k cof v ) Deinde etiam ex
anomalia excentri 1; inueniri poteft yera anomalia plane-
tae , feu eius al) aphelio diftantia ex fole yiCi ; quodfi
enim planetae anomalia vera ponatur =: z , poterit fatis
commode valor ipfius z ex hac aequatione etfi infinita ex-
pedite determinari , qua eft zzizv—kCm.^^-hlk^Cm.^v
— A- ^ * ( fin. 3 1; + 3 fin. 1; ) -^ etc. aptior autem ad praefens
inftitulum ei^ haec acquatio , qua yalor ipfius z abfokite re-
peritiir; qiia eft coC z :zz ^^^ —^(^-i- cof 'u) ob
j zizaii^k cof V ) : vel per finus verfos hoc modo : CmiK
z zz \:j^~ 1 vel etiam per finus ita: m. zzz —^c-^j—
— !- fin. V. y[i-k'}. §. 20.
PER lOCA PLANETARFM GEOCENTRICA. i.2x
§.20. Ex anomalia vera hoc modo inuenta , atque
ex datis orbitae phinetae aphelio , nodo afcendente , et in-
cluiatione ad eclipticam porro planetae longitudo ac lati-
tudo heh'ocentrica fequenti modo definientur : Repraefentet Tab. ii,
circulus y^ap t^ in cuius centro S fol verfatur eclipticam ^^' 5»
et NAP;^ orbitam planetae in coelo proiedam ; fitque
y prima ftella arietis leu potius eius locus ad eclipticam
relatus , N orbitae planetae nodus afcendens , A aphelium
orbitae planetae , et P eius locus , quem pro dato tempo-
re tabulae monftrant. Centro porro S per A et P arcus
circuhres Aa et ?p normales ad eclipticam ducantur ,
quorum ille Aa feu potius angulus AS latitudinem aphe-
lii heliocentricam , hic vero ?p feu angulus PSp ipfius
planetae in P verfantis latitudinem heliocentricam praebet.
Longitudo autem heliocentrica a prima ftella arietis T
computata primum nodi afcendentis N erit arcus 'V'N— ^;
deinde aphelii A arcus yanzp ipfius autem planetae in
P exiftentis longitudo heliocentrica erit arcus "^Nap^ot-^
bitae vero ad eclipticam mclinatio quam pofuimus zzn y
repraefentatur angulo AN^feu VNp.
§. 21. Anomalia autem vera planetae zcR arcus AP
feu angulus ASP. Qiiare cum fit Nazizp—p ex trian-
gulo fphaerico AN^ elicitur arcus N A tangens — ^^^^X'^
hincque erit NAzr arcui, cuiustangens erit n: ^"Joj^l'~\ quem
arcum , quia tam facile reperitur ponamus zz: e ita vt fit
NA=z:^,.et tang. ^=: '-^j^\ Cum nunc fit arcus A
Przis erit arcus NAP^z^H-s, vnde reperinir tang. ar-
cus Nap— cof «. tang. {e-\~z) '^ ponatur ifle arcus N
^pznr . ita vt fit tang. r—coCn. tang. {e-^z)y erit
Tom. XIL Q, 5-^f
ift£ EMENDATIOTABVLARVM ASTRONOMIC.
q-\-r longitiido planetae heliocentrica a prinna ftella aric-
tis *V computata. Praeterea \ero erit arcus Pp feu an-
guli PSp finus znfin. w. fin. (^+5;), qui eft finus la-
titudinis heliocentricae planetae ad boream declinantis ; fi
quidem ea eft affirmatiua. Ponamus autem hanc plane-
tae latitudinem helioceiitricam effe zi: J , erit fm. j rz fin. «.
§.22. Vt haec ^Kilius (Iib confpedlum cadant , omma
in fequenti tabella compledi Yifum eit. Erit igitur
Diftantia planetae media a fole zzi a
Excentricitas = k
Aphelii longitudo helioc. mp
IsJodi afcendentis longit. n^
Inclinatio orbitae = n
Porro ad datum tempus ponatur.
xzz:v-\-k fin. v ^el
•r=r:x-fefm. {x—M\\\. {x—h^\n,{x- etc.)
vzrfi-^iH-^cof 1?)
cof. zz^ j {k.-^- cof. v)
tane ^^-^ifcs.)
tang. r.:i: cof n tang. (^-i-^)
Plan. anom. med. zr: a'
Anomal excent. zr ^'
Diftantia a fole zizy
Anomalia vera ==: z
Dift. aph. a Nodo — e
Long.PIan. a nodo rz r
Long. plan . heliocentr.
apr.^Vrz^-fr
Lat. plan. helio-
centrica boreal. =: s \ (in^ szz fin. n, (In (e-^-z)
§. 23. Inuentis autem cum longitudine planetae , tum
ctiam latitudine heliocentrica , ex iis fequenti modo lon-
gitudo et ktitudo geocentrica determinabitur. Sit T ter-
xae
FER LOCA PLANETJRVM GEOCENTRICA i£5
rae locus eo momento , quo obferuatio ed: fada , eius di-
ftantia a (ble =i c ; longitudo terrae a prima fteila arietis '^* '^
computata feu angulus VST — «, fit porro vt ante re-
6ta SN linea nodorum orbitae planetae , atque N eius
nodus afcendens , A apiielium , et P locus planetae ex
tabulis in orbita iuucntus. Ex P demittatur in planum
eclipticae perpendiculum ?p , erit per praecedentia angu-
lus y* Sp longitudo plsnetae heliocentrica zz^^r: et
angulus ?Sp leu latitudo heliocentrica n.f. Quare cum
fit P S diftantia planetae a foie —j , erit ?p zzj fm. s ,
et diftanta a fole curtata SpzizycoCs. lam in triangu-
lo pST dantur , anguius pSTzizu-q-r ^ latus pSnzj
cof j , et latus STzi:^. Dudo ergo ex p in ST per-
pendiculo pV ^ erit pV zzjycoi' s. fin. (« — ^ — r) , ct S
V zny coC s. coC {u—q—r) vnde T V zzyco(. s. coi'. {u-q
~r ) -.. Ex his fit anguli pTV tangens =z f^^i:^
Vocetur hic angulus pT V zzt ^ ita vt fit tang t zzi
5^^j-u"r^Z7p7- Q."o nuiento erit u—t longitudo pla-
netae geocentrica a prima ftella arietis fumta. Deinde eft
jhl^iiii"flr) , quae expreflio praebet tangentcm latitudinis
planetae geocentricae feu anguli PT^. Haec autcm fic
coniunc^im (e habebunt.
Diftantia terrae a fble =: r |
longitudo terrae :zz u
angulus quidam pTV -^t
longitudo geocentrica zz j
latitudo geocentrica zr^
|j.^„p, f — ycoJ.s.fm.[u-q-.r)
f— u — i
tang. ^ - j,;^^3^
Q 2 §. 24..
124 EMEmATIO.TABVLAEPM ASTRONOMIC.
§. 24. Hoc igitur modo ex pofitionibus , quae ia
tabulis afllimuiitur , ad datum tempus planccae determinan-
tur longitudo et latitudo, primo quidem heliocentricae , tum
"vero etiam geocentricae : quae itaque rede fe haberc ,
et cum obferuationibus confpirare deberent , fi quidem ta-
bulae omni vitio carerent. Qiiodfi autem ponamus erro-
res quam minimos tabulis inelTe , ex iis , etfi nobis adhuc
incognitis , loca planetae tamen corrigi poterunt. Cum
igitur corrediones adhibendas inftar differentiahum earum
quantitatum , quibus refpondent , confideremus et defigne-
mus , errores longitudinis et latitudinis planetae ex ta-
bulis inuentae inueniemus , fi iplas expreffiones pro iis
erutas more folito diflerentiemus , ponendis iis quantitatibus
variabilibus , in quibus^ errores inefle poffunt. DifFerentia*
lia autem quae in hoc calculo occurrent erunt haec cim ;
dk ; dp \ dq et dn , ex quibus difFerentialia reliquarum
litterarum afTumtitiarum determinari poterunt. Qtioniam
autem dm fignificat errorem anomaliae mediae tabularis
addendum , anomalia media ex tabulis inuenta x augeri
debebit illa particula dm^ cx quo erit dx—dm.
§. £5. Quia deinde efl xziiv-\-k^m.v ^ erit difle.
rentiando dx zz dm zizdv^- dk fin. 1; + ^ dv cof v liincque
dv ir —q^j^^ =: jT ( dm - dk fin. v ). Porro efl jk = ^
( I -H ^ cof 1; ) , hincque dy—adkco^.v—akd v fin. v. ia
qua (i loco dv valor fuperior fubflituatur , prodibit
T etdk coj^v-i-ahdk — akdmfin.v ,7 r akdvifi^v t-
^J— -T^TTojT^ — — ^^tofg- ^^kU-o' Ex
aequatione autem cof z = ^^l^ktj.v fequitur —dz^m.zz=:
dkjm,i'.'jin.-v — {-k^^^dvjin.v ^ r^ , .7 /» n,
' h-^kooj.iJY^ — ■ quae pofito ( i H- ^ cof 'y ).' =:
f,--fe^)g;r^ nmehet hinr d'-— ^^'-^^"-'^. _ dk.jin.z__ajmjin^
odkjin.z dkjin.z ^ ^
PER LOCA FLANETJRVM GEOCENTRICA 113
§. 2,6. Dehinc ad difFcrentialia reliquarum littera-
rum peruenimus , ac primo quidem aequatio tang. e zz:
tang (p-q) ^„^„u^^ j - (dp—dq)coS e)^ dnJinn.iang.(p.q){coJ.e)*
cof.a'^' Piaeoet a e coj.nicojip-q))* -\ i^.n)^ •
Sequens vero aequatio tang. r zz: cof. «.tang. {e-\-z)
diflferentiata dat i^^ zz: — dnCin. n , tang. { e -\- z )
-f- ij^]^r > in qua aequatione non expedit valores fu-
periores loco de et dz fubftituere , ne formulae nimis
fiant itttricatae. Interim tamen quouis exemplo oblato
minori opera Yalor ipfius dr per differentialia primitiua
dniy dkj dp^ dq^ et dn poterit definiri. Hoc autem
inuento erit longitudinis helioccntricae q -{- r differentiale
zn: d q -^ d r. Latitudinis autem heliocentricae s diflfe-
rentiale determinabitur per hanc aequationem d s cof s zn
dn cof. n fin. {e -^- z) -^- [d e -^- d z\ fin. n. cof (^-f-^)
Ex his itaque mutationes in longitudine et latitudine- he-
liocentrica , quas quinque tabularum errores alfumti atque
per obferuationes determinandi producunt , cognoscuntur.
§. 27. Progrediamur igitur ad mutationes in longi-
tudine ac Lititudine geocentrica ortas defiiiiendas , quo \w
negotio , qiiia folis theoriam perfedam ponimus, quantita-
tes locum terrae determinantes , quae iimt c tt u ^ mu
quam conflantes tradlari oportet. Primum autem ad difl
ferentiale anguli t alfignandum vtamur aequatione hac cot.
t ~ cot. {u~q-r)- -z^^^u^f^ cuius differentiale eft
■ — dt dq-Jr-dv ^^ cdy ___ cdstang^s
(/in.f)* (Jin.{u-q-r))'^ "i yycoJ.sJinj;,u-q-r) ycoj.sjvuin-q—.r)
- '^^^^rT^' Inuento autem diiferentiali dt , erit
longitudinis geocentricae / incrementum df zz — d t zni
(dq^drXJin.t)^ . cdy(Jm.t)* cdstang^s ( Jin. t )* _^
Jin-iu — 3--*'))* "^ X^(:oJ'Sjvi^u~q-r) y coJ^iJiJi. i^u — £ — r}
Q..3 fi
125 EMENDJTIO TABVLAKVM ASTRONOMIC.
P^,^:-?r^^— • Latitudinis aiuem geocentricac g
increineatiim cognofcetur ex hac aequatione differentiali
dg dsfin-t __ dfcof.i.tang.5 (d -j-dr) i.ff. fang. t|_
(cqf.s)^ {coJ.i)^Jin.{u-q-r) fia.{u-q-~r) ~* Jli'[u-q-r)t..nt'{u.-q-r)
§. 2 8. Qiiod fi autem eo tempore , pro quo iitc
calculus eft fiidus, per obleruationes habeatur locus plaiie-
tae , eiusque iongitudo geocentrica a prima ftella arietis
computata fit ^F ^ latitudo autera geocentrica :=: G ;
corrediones tabulae , quae confiftunt in valoribus «/ ,
dkf dpy dq^ et ^w, ita debebunt effe comparatae ,
vt fiat , df:iz F — / et dgzizG —g. Quare ciim df
et dg ex aberratione tabularum ab obferuationibus cognos-
cantur , ex tribus obferuationibus determinari poterunt ip&
iila difFerentialia dtn^ dk^ dp^ dq et «, quibus co-
gnitis tabulae etiam corredlae habebuntur. Erit fciiicet
pro tabula vera
Planetae diftantia a fole media n: a .
Excentricitas orbitae z=:k-\- dk
Longitudo Aphelii heliocentrica "zz p -^ dp
Longitudo nodi afc. Iieliocentrica zn q -\- d q
Inclinatio orbitae planetae ad Eclipt. ziz n -{- dn
Tabula autem mediorum motuum planetae ita corrigi de-
bebit , vt anomalia media , quam tabulae ad quodvis tem-
pus monftrant , augeatur angulo d m. Atque hoc pa6s
pro Marte /Z» zz: <^, 1829850
pro Venerc /^~5,S5 933<^5
pro Mercurio l bz= 5, 587S232
Praeterea habet fradio ~ Yalorem conftantem , qno efl:
/p = 4, 0201540
altera autem fradio f pro fingulis planetis peculiares in*
duic valores , erit enim
pro Saturno /f — ^^^opSs^o
pro loue / V =■ 4-, 3782022
pro Marte /7 .-rr 4, 11164(55
pro Venere Ifzz 3, 9498222
proMercurio / j- m 3 , S 1^06 $6
Calculus autem pro angulo illo addendo fiet facilior , fi
a logarithmis finuum l (j et }m fubtrahatur hic logarith-
mus conftans 4,6855749, refiduorumque logarithmorum
quaerantur numeri ,4'efpondentes , qui praebebunt partes
aequationis j-^ et ^m in minutis iecundis.
§.31. Accommodemus nunc methodum hanc tabu-
las aftionomicas corrigendi ad theoriam motus lolis feu
terrae
TER LOCA TtAmTARVM GEOCENTRICA xs^
terrae emendandnm ; fitquc pro dato tempore longitndo
ternie obfcruata zz F , latitiido vero erit nuUa. Si nunc
ponatur in tabulis
Terrae diftantia media a fole zr: a
Excentricitas orbitae terrae m: k
Longitudo aphelii zz p.
Qiiae eft iongitudo perigaei folis.
Ad tempus obferuationis fit porro
Anomalia media folis zz:. x
Anomalia excentri zn v
Anomalia vera folis nz: z
Ex his ergo erit iongitudo temie zzz p^z ^ quae pofita efl
zz:f. E(l autem \t vidimus xzz:v-\-k fin. v vel v zizx - k fin.
{x-kf\n.){x-k Cm.[x-k fin.f.v— ctc. )et coC.c;— ^ {k-hcoCi')
exiftente j terrae a (oie diftantia hoc tempore , quae ert
yziz.a {i-\-k cof v).
§.32. Ponamus autem tabulas hns eile vitiofas, atque
ad confeiifum cum veritate impetrandum anomalias me
dias augeri debere anguio d m ; excentricitatem k ele-
mento dk y tt longitudinem aplieiii p areulo dp. His
autem corredionibus in tabidas introdudis prodibic ad tem«
pus obreruationis
anomalia media folis -rz x-^-dxnzx^ dm
anomaiia excentri = r^..-{-dv — v-^~^l:^.
diftantia a terra — j-^-djzizy-^edkcoCz.''-^:^^,)
• ^iomaiia vera ~ z + dz-z-{- yji^ - "^^
dk fin.' a
longitudo ]gitur terrae ex his tabulis corredis prodibit
z^p -^r z-^dp-^dz z^J -+- df , quae cum iongitudiue
7bm. XIL R obfer-
130 EMENDATIO TABVLARVM ASTRONOMIC.
obferuata F congriiere debet. Ex obferaatione ergo habe-
bitur df=¥-f=dp + dz=dp-h 'fji^ - °-^^ -
~j^. Obferuatio igitur cum calculo recundum tabulas
inftituto comparata dat dfznY^-fy vnde ad tabulas cor-
rigendas obtinetur fequens aequatio
jr j^ , admjtn- % adkjin. z dk Sin*ji
CtJ «p-r- -y^in.v" y r==^~*
Tres igitur huiusmodi aequationes ex tribus obferuationibus
folis formatae fufficient ad aberrationes tabularum ternas
dm^ dk et dp indicandas , atque adeo ad tabulas cor-
rigendas.
§.33. Similis fere corredio adhiberi potefl: pro ta-
bulis cuiuscunque planetae primarii , fi eius loca helio-
centrica obferuare liceat. Si enim ad datum tempus ob-
feruata fit longitudo planetae heliocentrica F vna cum la-
titudine heliocentrica G ; ad idem tempus ex tabulis cor-
rigendis fupputetur longitudo heliocentrica / et latitudo pa-
riter heliocentrica g^ ponaturque F— /=i^/ et G—gziz
dg.
Exhibeant autem tabulae :
Diftantiam planetae mediam a Ible :rza
Excentricitatem zz: k
Aphelii longitud. heliocentricam zizp
Nodi afcendentis long, heliocentr. :=i ^ i
orbitae inclinationem =:«
anomaliam mediam vero tabularem ad quoduis tempus
augeri debere angulo indm.
Ad tempus autem obleruationis fit
reuera autem ellc
— a
zzk-\-dk
^p-hdp
— n-^-dn
TER lOCA TLANETARVM
Ex tabiilis non corredis
GEOCENTRICA m
ex tabulis corredlis
:zzx -i- d X
— v-^dv
zizz 4- d z
zzz e -{- de
z=zr -^-dr
=f^df
Anomalia media :=: x
Anomalia excentri zzz v
Diftaiitia a fole :zr j
Anomalia vera m z
Diftantia aphelii a nodo = e
LongitLido planetae a nodo mz r
Longitudo heliocentrica
planetae a prima =^ V "zz: j
Latitudo heliocentrica m g
Erit autem "vt fupra vidimus :
fozzix — k fin. [x—k fin. [x—k fin. (x— etc.)
y:zza{ i-4-^ cof. 'y )
cof ^j {k-{- cof v) vel (aepe commodius
zzzLV-ki^n. -y+U^nn. a^y-/^^' (fm. a^y-f^fin.'!;)-}- etc.
mg. e ^-cof.n —
tang. r rr cof n tang. (^-1-5;)
f=q + r
fin.^ ^ fin. n. (in, (e-\-z)
Valores autem difFerentiales, qui ex corredionibus oriunti»
ita fe habebunt
dxzizdm
7 adm
adk Jin- 1}
adkcoCz-^^
dyzzz
J ^ admfinj_z
** -^ yjia.v
J Up~dq){cof. g)»
** ^ coJ,n{co[.{p~q))^
y
adkjin. z
dk fin. g
i—kk- '
dn fang. n tang. (p — )(go/. e)*
coj. n
* ^ — — ^tco/.(e-H£)F — ' -dn fin. n tang. (^Hh;5;)(cof r)
df-zzdq-^- dr
i g- cira co/. n/tn. (f-^g) (dgH-dz)/in. n co/. (^>4>g)
"^ — cc/.g . ^ co/r^ •
R a quac
132 EMEnDATIO TABFLARFM ASTSONOM.
quiie diiae vltimae neqiiationes inlernient ad tabulas corri-
gcndas ^ fi ties accipiantur obleruationes ; \t iam often-
dimus.
§.34. Qiiodfi nunc haec praecepta ad vfum accom-
modare velimus, necefle efl vt ante omnia primam illam
llellam arietis determinemus , quoniam ab ea non folum
planetarum longltudines computamus , fed etiam aphelia
eorum et nodos conftantem diftantiam (erua.j ponimus.
Afliimimus igitur initio anni 1701 longitudinem huius
ftelke nb aequinodio fuiffe 29°, o^, 30^^, quae fiue
■vera fit eiiis longitudo fme lecus , non multum curamus ;
ab hoc enim eclipticae pundo , fiue ftella quaedam eo
referatur fiue lecus , cum longitudines planetarum , tum
apheliorum et nodorum fitus defcribemus. Praeterea ae-
quinodia quotannis 50''^ regredi ponimus , ex quo ad
praecipuas epochas fequens tabella longitudinem iftius nos-
trae primae ftellae arietis ab aequinodio \erno fumtam
indicabit.
Anno Chrifti
Longi
ab
I
oS,
1601
0 ,
162.1
0 ,
1641
0 ,
1661
0 ,
16S1
0 ,
1701
0 5
1721
0 ^
1741
\i :
1761
tudo primae ftellae arietis
aequinoAio yerno
5\
^3^
50"'^ •
^7,
37,
IC
^7,
53 ,
50
28,
10,
30
28,
^7>
10
28,
43 ,
50
29,
0,
30
^9,
n ,
IC
^9y
33,
50
^9,
50,
30
:t7S*
VER WCA TLANETARVM GEOCENmCA 133
I78I
|i ,
I80I
I82I
I84I
iS6i
1881
ipoi
-
ip2I
I94I
I95T
ipSi
7,
10
^3 ,
50
40,
30
57,
10
13,
50
30,
30
47,
10
3,
50
20,
30
37,
10
53 ,
50
Qiiantum autem aequinodia dato tempore recedant, co*
gnofcetiir ex hac tabula
^nni
Praecei
[Tio aequin.
1 Anni
Praec
eflio aequin.
I
o^.
50''
1 20
oS,
o\ i6\
40^''
2.
i>
40
40
^ y
0, 33,
20
3
^>
30
60
^ ,
0, 50,
0
4
3,
zo
80
^ ,
i> <^,
40
5
4,
10
100
0 ,
I > 23,
20
6
5,
0
1 200
^ >
2> 4<^,
40
7
5,
50
300
^ ,
4, 10,
0
8
<^,
40
i 400
C> >
5, 33,
20
P
7,
30
1 500
0 ,
^, 5^,
40
10
8,
2.0
1 600
1
0 ,
8, 20,
0
11
9,
10
700
^ >
9, 43 ,
20
12
10,
0
800
0 ,
II, ^,
40
13
10,
50
900
^ >
12, 30,
0
14
Ji >
40
1000 0 ,
2000 0 ,
13 , 53 ,
20
15
12,
30
^7 , 4<^ >
40
R3
Am
134 EMENDATIO TABVLAWM ASTROmMlC
Anni
PnieceiTio aequin.
1 Anni
PraeceflTioaequin.
16
13^
20//
1 3000
iS, ii^ ^o' 0^^
17
^4,
10
I 4000
I , as , 33, 20
18
15,
0
5000
2 , p , 2^ , 40
19
15,
50
20
i5,
40
Ex hac igitur tabula ad quoduis tempus diftantia aequi-
nodtii Yerni ab hac prima ftella arietis poterit affignari \
id quod omnino neceflfe eft , cum in obferuitionibus lon-
gitudines planetarum ab aequinodlio verno foleant exhiberi.
§.35. His praemiffis , quia ad theoriam motus pla-
netarum fingulorum emendandam ante omnia accurata ta-
bula pro motu (blis requiritur ; methodum noftram pri-
mum ad tabulas folares corrigendas accommodarc iuuabit.
Tabulae autem , quarum corrcdionem fufcipimus ad ob-
leruatorium Greenwicenfe et ftilum Yeterem funt accom-
modatae , eaeque ponunt longitudinem aphelii orbitae ter-
rae heliocentricam ab afTumta prima ftella arietis n: 8 S ,
8** , 39'', 40''^, atque excentricitatem orbitae terrae zr
ToooSo 5
diftantiam terrae
a fble mediam rz 1 00000 :
Tode erit ex his tabulis a zz: 1 00000 ^ k zz. yi^g et p =r
H'^ , 39' , 40''.
Anomaliam autem mediam eaedem tabulae oftendunt pro
praecipuis epochis , Yt fequitur.
Initio anni
A.nomalia media terrae
i5oi
6S, 13°, 41% 40^^
Hae anomaliae
1621
<^ , 13 , 34, 4
referendae funt ad
1641
6 , 13 , 25, 28
meridiem diei poftremi
\^6\
^.? 13, is , sa
anni cuiusque praeteriti,
Initio
PER LOCA TLANETARVM GEOCENTSJCA 135
Initio anni
Anomalia media terrae
j6Si
6
, 13 , 11 , I<^
1701
6
,13, 3, 40
1721
6
» i^, 5<^, 4
1741
6
, 12 , 48 , 28
jy6i
6
, 12, 40, 52
1781.
^ :
12', 33 , i<^
1801I
^ :
12 , 25 , 4X
Pro annis vero
fingiilis Iiilianis anomalia media augetur vt
iequens tabella
indicat.
Anni Iiiliani
Anomalia media
expanfi
Terrae
I
tS, 29% 44', 50^^
2
t , 29 , 29 , 40
3
f , ^9, 14, 30
4
c , 29, 58, 28
5
t , 29 , 43 , 1 8
6
c , 29, 28, 8
7
c , 29, 12 , 58
8
■ , 29, 5<^, 5(J
9
[ , 29 , 41 , 4(7
10
, 29, 25^ 37
II
, 29, II , 27
12
, 29, 55, 2 ^9 , 41 , 4<^
2, 5, 3 , I
20
I
8S, 17, 56, 24
§. 37.
TER LOCA TLJNETJRFM GEOCENTRICA 137
§. 37. Ad computiim ergo inftituendum erit x^ =r
^57% S^\ 24//; et fin. xzzz-fm. 77% 56^, 24//.
Sinus autem in arcum commutatur , fi a logarithmo finus
fubtraliatur 4, «^855749 , numerus enim refiduo logarith-
mo refpondens dabit arcum in minutis lecundis expreffum :
at quia finus infuper per k = ,^^g debent multiplicari infa-
per fubtralii debet /^ff = i , 7<^95 5io ; a logarithmo
finus ad anomaliam excentri v inueniendam , omnino (iib-
trahi debet ille logarithmus (5,4551259. Cum igitur
{itv^zzx-k fin. {x-k fm. {x-k fin. (..v- etc. calciilus
ita inftitui debet.
Ifm. x =: 9,99029(57
fubtrahatur (^,4551259
numerus
3,5351708
3429// feu 57^ 9'' =-k fin. x
257° ,5<^ ,24 = A^ addatur
^5 8° ,55%33^'~x-/^fin. A
180
/fin.
fubtr
78%53^33^'
9,9917737
. 6,4551259
numerus
3, 53^^6478
S^^i^^^Teu 57^21''''
257"*, 5<^^24 addatur:^
^58°, 53^45'^
180''
78% 53^.45^'
Tom.
XIL S
;&.
138 EMENDATIO TABVLAWM ASTRONOMIC.
/fin. 9,99^7737
fubtr. 6, 4551259
3,5360478
numerus 3 44 1 ''^ leu 5 7 ^" , 21 ^^
^^57** 5^\ 24
V = 258 , 53S45''
§ 38. Hinc quaeratur diftantia terrae a fole ^' = 4f
H- fe ^ cof. 'y. Eft vero cof. ^y =: — cof. 78° , 53^ , 45^^
vnde
/cof 78% 53% ^S^^ ^9, 284^41 1
lak :z= 3 ,2304489
2, 5150POQ
ergo iJ:^: cof ^ =r — 327
addatur a zn looooo
J n= 99(572 et/j/— 4,998573*
QiToniam vero pofita anomalia vera zi: 3 e(\ cof. Z =
• — 3; ^■"y > calculus ita fe habebit ;
la k fin. tot. =: 13, 2304489
Ij zz 4,9985732
8,2318757
numerus ex tabula finuum 1705 5p
/cof 1; — 9,284(5411
la zz: 5 , 0000000
14, 2846411
fubtr./^z= 4, 9985732
oumenB
FER LOCA FLANETJRVM GEOCEKnCA i3<>
numerus ex tabulis finuum 1932270 zz — — ^—
fubtr. ^1^559
— I7(5i7ii
At numems i^^'!^!! eft finus anguli huiuy'
10°, $'',48^'' qui fubtradus a tribus redis
270*
dat 259° , 5 1^ , 1 2 '^ pro anomalia vera z . ergQ
z 1= 8 S , 19° , 51^ , 12^/ addatur
p — 8 , 8 ,39 ,40^'
/ =Z 43 . 26° , 30' , 52^^
haecqne eft longitudo terrae ex tabulis inuenta a prima
ilella arietis computata. Qiiare cum fit
F ==:4S,28°,3o^ 18''^ ct
/ z=: 4 S , 28% 30^ 52'^ erit F -/zr:
<;:==- 34^'.
J. 39. Q.noniam Yero efl df- dp + ^' - ^^
— (T=i^ h-^ec aequatio ad noftram obieruationem fe.
quenti modo accommodabitur. Eft fin. z zz:
►- fin. 79°, 51% i2^%fin.a;=:— fin. 78** , 53^45'^'' ^^
/,-:^ = ^^7?7^== 0,0001254. Hincfiat
/fin. 5;=: 9, 9931539 negatio vero poftea m
/fin. 17=: 9 , 9917924 computum duci debet.
/|- ~ o, 0014257
vnde valor ipfms dj fequenti modo definietuf
l fin. z :iz 9, 9931539
/ ~ =: o , 0014267
140 EmNDJTlO TABVLARVM ASTRONOMIC.
p, 9945805 rzz/^fe
o , oo27b82
numerus refpondens :=: i , ood^m^j^
/y/«. /(??. :r: TO , ooooooo
(-i), 994580^
iiumerus refpondens zz o , 9 8 7<^ —
yJin.,\ott
l fin. z z=i 9 , 9931539
9 5 9932793
Ifn.tot.zr: 10,0000000
(-i),9932793"
numerus refpondens zn o , 9 8 4<^ = "(cifr
Ex his erit ^/=1 - 34''^ =1: ^/> 4- i , 00(^4 ^ ;;/ 4- 1 ,
P722 ^ife. ( 40^795^^. ^^)
§. 40. Sumamus aliam obferuationem folis etiam
Grenouici fadam Anno 1690 , M. Sept. d. 15 , 11 ^,
51^, 2'j^'' tempore medio , feu aftrononiico more Anno
1(^90, d. 14. Sept. 2^ b ., 51^, 27''^, quo tempore fo-
lis longitudo ab aequino6tio Terno obferuata fuit 6 S ., 2° ^
^$\ 37'''' 5 quae ob lucis propagationem 20'''' auda fit
6S, 2°*, 45', 57^-^. Ad hoc tempus longitudo primae
flellae arietis quaeratur
ILongitudo primae ftellae Arietis
OS , 28", 51^ y 20^^
(iibtnu
TER LOCJ VLAKETAWM CEOCEKTRICA, 141
/ubtrahatur
ab
oS, 2S\ Si\ SS
6S
45 , 57
5 S, 3'
54'
.//
quae eft longitudo folis a prima ftella arietis fuinta vndc
longitudo terrae ex fole vifa erat FzniiS, 3° , 54.^,
2^''. Qiiaeratur nunc pro hoc tempore anomalia media.
(bJis Yel terrae :
Anomalia Terrae media
/ .//
A. i^^po
d. 14. Sept.
23 h.
51'
27
//
//
% 9', 55
§. 41. Ad anomaliam excentri inueniendam itenim
a logarithmis finuum fubtrahi debet ifte iogarithmus 6 ,
4551^59) eritque calculus yt fequitur.
l ftn. xn^ 9 ^ 9994^^83
fubtr, 6 , 4551259
3 , 5443424
numerus 350 2.^^ zn 58^ 22''^
87% 9% 55^^
kftn. X fubtrahatur
ab X
Ifm,
86 , II'', 3:>^^^ zzx — hfm, x
9 , 9990402
6 , 4551259
3 , 5439^43
S 3
nume-
142 EMENDATIOTABFLARFM ASTRONOMia
numenis zi: 34.95/^:=: 5 S'', 19^^ fubtraliatujt
80°, ii^, 36^^
Iftn. z=^ 9 y 9990405
^, 4551259
3 , 5439i4<^
mimerus = 3499^'' == 5 s^ 19'^
^h x= 87% 9', 55'^
Cum nunc fit dilkntia Tcrme a fole j :rz a -\- k a cof,
vfi'JLt Uof 86°, n% s^-^^zr 8, 822IOI5
lakz^ 3, 23044-89
'■ I ■ I «I
12,0525505
trgo ka cof v:=z ii^
addatur a zz: 1 00000
j/ rz 100113 et /j n: 5 , 0004905
Quonlam porro ad anomaliam veram z inueniendam eft
r akjin.tob , acos.v r ^
£of z =: -^ 1 y~ mt
l akjin.tot. zz i^, 2304489
h= 5, 0004905
8, 2299584
nnmerus ex tabula finuum 1^980$
] cof vzz Sy S221016
laz^ S ., 0000000
13 , 822IOI(5
Ij^ 5, 0004905
PER LOCA TLANETJRVM GEOCENTRICA 145
numerus ex tabula Cnuum -zi: (^(5314.9
1(59808
cof z zr 83^957
crgo 5? =: 85* , 13^, 20'''
feu anomalia vera zzzi^Sy 25**, 13'', ^o^^
addatur pr= 8 , 8 , 39 , 40
long. terrae / =: 11 S , 3°? 53% o^^
at eft F = 1 1 S , 3 , 54 , a
crgo F -fzz: df ziz 62F,
admfin. z
§.42. Qironiam vero eft dfrzdp-h"-^^ -^
tldk Jinz, dk Jin.z . jr j^ i i
— j — ■^z^rkJT y ^tq"^ «/ > «P ^t dm arcus denotant
in fecundis exprimendos, dk Yero fit mimerus abfolutus ,
eius coefficientes in arcus transformari atque in minutis
fecundis exprimi debent, quod fit fi a logarithmis finuum
fubtrahatur 4,^855749 ; refduorum enim logarithmorum
numeri refpondentes dabunt arcus in minutis fecundis ex-
prefibs ; quam redudionem etiam in prima obferuatione
adhibuimus.
/ fin. js =: 9, 9984883
/ a n:: 5 , 0000000
/^ fin. ^ :=: 14, 9984883
/ fin. V zn 9,9990408
Ij zz 5,0004905
14,99953^3
/j^jT^ — (--1)9989570
a (in*z ^ ^^^dT
144 EMENDATIO TABFLARPM ASTRONOMIC.
laCm.zzr: 14,9984883
h = 5,0004905
9,9979978
4,<^855749
5, 3124,229
crgo^l^ir 205316^''
Porro/fin.s=:9, 9984883
/;:f^ =1:0, 0001254.
9,9986137
4,(5855749
5, 3130388
crgo Sr == 205607'
205315
fin. g — «^^/c^^//
Ergo dfz^iCz-^zizdp-^-o^ 991^- ^z;/ — 410923 ^^ 5^^^ tempore ciuili, quod fecundum lempus Aftro^
nomi-
PEr tOCA. FLJN:ETARFM GEOCENTRICA. X4S
nQmicumd^.A.- 1715 Apr.. 3.0 d. 23^, ^^ ^ S^^^i it"
quia hic annus eft biflfcxtilis, dies:adnGi.liebet ka vt habeafiJ-^
tur A. 1715 Miiii i d. 23*, 4<^^ 53^- Ad hoc igi^A
tur tennpus primum longitudo primae ^ell^ arietis fiippu*
tetur ,
Longitudo primae (lelJac arietis .^r
A. 1701 oS,'^9 y^(y^^'^^
- 15
Mai. I d.
12'
50'
17
rubtrahatur ab o S , 29°, 13'', i7^'^
iS, 21% 44^^55'^
//
oS, 22 , 31^, 38^
quae eft longitudo (blis a prima ftella arietis ; Tnde
longitudo terrae ex fble vila ab eadem prima (tella arie-
tis erit ¥zz
:dS,22%3i', 3S'^.
§• 44-
Qiiaeratur nunc ad hoc tempus Iblis V^I tQt*
cae anomalii
\ media ex tabulis aflumtis.
Anomalia media terrac
A. 1701
5S, 13% 3% 40^^
Anni. 15
II , 29 , 9,5^
Miii. I d.
3, 29 , X5 , 3X
23 h.
S6 , 40
46^
I , ,53
13^^
... 2
loS, 12% 27/, 42^/
Erit ergo a; r= 3 1 2°, 27/, 4.2''' et fin. ;^=: - Cu. 47', 3 2'', 1 8"
Tom. XU. T ^a:
J4(J EMENDATIO TAWtARVM ASTRONOMIC.
qmrc alciilus ad anomallani exceatri v iaueniendam ia-
IbtietLir vt fupra §. 37 i
/-fm. ^ = 9 , 3578950
fubtr. 6, 4551259
r \
3 , ^12.-7691
numerus 2587'^ = 43% 7^^^ = - 16 fin. Jif
;t = 312«, 27 % 42'' addatur
313°, 10 , 49^^
3^0*
fubti.
4vwo^./
/^ = o , 005021^
9, 8527991
f-fin.^yrr 9, 8<^290(55
(-1), 98989^^^
iT^in.-^ = O > 97700
/ — rm. 5; zr 9, 8578ao*7
/ 5- ZZ O , 00502I(J
9, 8527991
4, <^855749
5 , 1672242
-f^ =z 14(^9^9^^
/-fin. 2f = 9, S578207
/ ~j-^ zz o , C001254
9, 85794<^i
4, <^855749
5 , 17237^^
146959
Qiwrc crit dfzz - 45'''' zi^dp ^ o ^ 97700 rf «r rf*
^ V $.47.
fm LOCJ FLAmZWM 'aEOCENTRlCA u^
»' ': §. 47. Ex his tribns aeqnationibus ftadl^ fjmus ad
tabnlas folares adumtas cdrrigeodas tres lequentes aequa-
tiones»
I. — s^-^^zr^/j-f- 1 . 00^4 ^Av-+- 405795''''.//^
' II. 6^'^zz.dp-^o , gp^^Cdm '^%^6s^2^^^.dk
■ III. —^.S^^zzdp-^o'^ 97-7od?n-^29S^9^^^'^k
quae praebent eliminato dp has duas
— 9 924*^535
^,4583825
3,4662713
l\k^- 2, 374-857<^
1,0914034
~ Jib*fin. 2«yzr: 12''^.
Erg0 5;zi:'y-4-3^^:=32i'', 59^ ^o^^
feu s rz: 108,21**, 59^, 10^^
addaturp ::z; sS, 8*525^,42'''
longit. terrae zn 7 S , o"* , 2 4^ , 5 2 ^^
% prima iiella arietis computata,
V 2 f. 5«»
\^ EMEnDATlO TABVLARFM ASTROMIC,
§.52. laftituatur rimili modo inueftigatio longitudi-
nis terrae tcmporc (ccundac obieruationis , qui annus cum
fjt biirextilis pro Aug. d. 7 (iimi debct d. 8
Anno
1701
•Allg. 8 d.
22 h
45^ 6^'
Anomalia media
6S,,^i3% 17^ 50'^
7 , 6 , 50 , 2
54 , 13
I ,51
I S, 20°, 13', 52^^
Ergo anomalia media terrae :i;=i:5o*, 13'', 54'^
/fin. .v=r 9 , 8857300
(J, 4583825
3 , 42734-75
k fin. .r rr 2675^'' :==-W , 35^' fubtrahatur
ab ^ i^ So\ 13', 5^^^
49 , ^9r
/fin. r:^ 9 , 880937 0397715
Ergo
PER LOCA TLANETJRFM GEOCENTRICA 157
Ergo dilhntia terrae a fole j' rr 101095
atqiie ly z=: $ , 00473^0
Nunc /^1111;= 9, 88io20i
kCm. V -zz 2646^^—44/, 6^^
nvzz 98% 59^ , 3^^^
fm. 21;^ cof. 8** , 59^ , ^^''^
/ fin. 2 ^ n: p , 9946400
30' > 33'''
V 3
Ergo
S5S EMENBATIO rABVLAWM ASTRONOMIC
Ergo anomalia media a: 1=307', 30^, 33''''
«t fui. xziz-- fm. $2" , 29^ , 27''''
/— fin. jr =: p, 8993^97
^, 4583825
3 , 4409872
xzz 307% 30/, s^''^
308' , i6\ 33^'' ^b
3<^o
51°, 43^ 27^^
/fm^ ^ 9 , 8948900
6855749
I , 3004764
Ergo '^q — 20"
Porro l-mczi^y p7P45f P5
/|- =4, 0201540 ,
5 , 9593053
4, 6855749
ErgO — JLt»— i8"i
Ad longitudinem mercurii obfenmtam addi debent sS'^
ita vt vera longitudo mercurii tempore (ecundae obferua-
tionis a prima fiella arietis fit
3 S, 9', 43^ 38^'.
§. 56, Pro tertia denique obferuatione corredio ad
longitudinem mercurii obferuatam addenda lequenti modo
inuenietur.
Longitudo mercurii obferuata. oS, 14*, 28^, 14^^
Longitudo terrae a i ^ Trz: (J5 , 17° , 27'', s^^
Qui arcus efl: 177° , i'' , ^^^
•vnde |x zir fin. 2°, 58^ 51^^
et m =:-fin. 87'', i\ 9^^
Tom, XU. X lauk
16^ EMENDJTIO TJBVLARFM ASTRONOMlC.
/tfjjLiz: 14, 71^382^
Ib zz 5,5878232
9,1285597
angulus cuius finus f eft , 7* , 44.^
^ = cof. 7° , 44^, =: fin. 82', i^^ I
/^ = 9, 9960321
/^ — 3, 8i40<^5 45
I , ^ ,49, 5^
3 ,45, 5
4, 25
§. 58. Cum igitiir §. 22. anomalk media pofita
fit Xy erit pro hoc tempore xzz^^"^ 52'',^ 24.''^, ex qua
anomalia excentri v reperietur per hanc aequationem i)
zz^x — k fin, ( .V — ^ fin. [x — k fin. ( ^ — etc. ). Cum
autem fit/^zi:(— i). 3i3<5332, atque a logarithmis
finuum fubtrahi debeat , 4. , ^855749 , coniundim fubtra-
hi debcbit 5 , 3719417, vt finus per k multiplicati in
arcus conuertantur. Calculus ergo ita fe habebit
l fia. x = 9j 9935285
5 , .^719417
k fm. X-
fubtr.
4
= 41839
ab X
, 621586S
^' zz 69i :
19^^
= 11*,
0
99-,
37%
5^%
X9"
X -
- k fm. .V
—
88°,
15%
5^'
/fin.
~
5,
9997974
3719417
iniimcrus :
42S
4, ^^l^SSl
^48^^=707',
fubtrahatur ab
2 8^''
rrii*
0
— 99
, 48"
88°
, 4-'
/fm.
m tOCA TLJNETARrM GEOCENTmCA i6^
/ fui. = 9 , 999^756^
5 , 3719417
4, 0278149
//
nnmerus: 42444' -^ — 707' , a^^^rrii*, 47^^ ^4-
fubtr. ab ;i; rr 99** , 52-^ , 24''
Anomalia excentri ^ zr 8 8° s^ o'
Hinc eft diftantia mercurii a fok jzza ^ak cof. «
i a = ^, 5878232
lakzn 3 , 9oi45<^4
/cor.^=::8, 5243430
2 , 4-257994-
«fecof. i;rr 265
^ i=L- 38710
y •=! 3S976 Diflfintia mercutii a fble
/j^=: 4, 5907973.
Ex his inuenitur anomalia vera z ope huius aequatlonis
cof. z = —j — + ^ -, quae praebet hunc calculuia
l a k fin. tot. n: 13 , 9014554
ly ==4, 5907973
9> 3106591
■M«il£!- n: 2044839
/ cof i;r-: 8 , 5^43430
l a = 4 1 5878232
13 , II2l6<52
i y -=- 4> 5907973
S , 52i3<^89
X 3
t6S EMENDATIO TABrLJRVM ASTRONOMC,
°S2LlL zzz 332175
2044839
cof. z = 21377015 == fin. 13*, W > 3^'
Ergo anomalia Yera z =: 7<^% 14-'') 57^''-
§. 59. Nanc ordo poftulat vt in diftantiam aphelii
a nodo inquiramus , .quae pofita eft ^ , ex aequatione
p=z7S, 13% 40^
^znoS, 15% 4^^
p-^=:6S, 28", 6/ = 208** , (S^
tang. (/)_^)=:itang. 28°, 6^
lm\'^ [p-q)-=z9 , 7275008
/cor. n ^9 •> 99<^843i
/tang. ^ =9? 7305577 = /tang 28^15^^24.^^
Ergo ^ :=:: 5 S , 28% i5^, 24^^ z= 208°, i^'', 24^^
qui valor pro omiiibus .ojbferuationibiis idem man^t* Sequi*
tur .longitudo . planetae a nodo r , eftque
tang. >.— cof. .?itang. {e-^-z)
^- -^r=5S, 28% 15^ 54'''
5-2 S, 16°, 14^ 57^^
^ + 2=1:95, 14°, 31% 21''^
tang. (^ + ;2;)=:-rang.75% 28% 39^^
/-tang.(^-f-5;)=:io, 58^5389
/cof. « iz; 9, 9958431
/ — tang. r :=: 10, 5834820
Ergo r =i9S, 14% 37% 25^''
Ad longitudinem planetae a nodo r addatur longitudo
nodi
PER LOCA FLANETARFM GEOCENTRICA 16 j
nodi a prima (lella arietis ^, et fumma erit longitudo
mercuiii hcliocentrica a prima (lella arietis
rrrpS, 14% 37^ Z^^^
^ = oS, 15°, ^^\
Cum igitiir longitudo terrae fit 7S, o*, z^\ $1^^ lon-
gitudo heliocentrica mercurii a longitudine geocentrica fub-
trada relinquitur
oS, 9°, 23-", 32''''
10 S, 0°, 19^ 3^'^ :^
^S, 9°, 3S 56''
ergo ^= ^/. 59°, ^^' et f ^=: ii''^, aim nunc fit — 7
7« 31: 1 8''^ erit f ^ — ^ w — 29^^ ; hincque longitudo
mercurii obferuata ob lucis propagationem augeri debec
29^^' etc vt ea (It oSy 9^ 24.'', i^''
Latitudo autem helioceiJtdcj^ i^ ad boream refpiciens ex
hac aequatione ftn. s z=:fin. n . Jhi. {e-\-z) definietur, eft-^
^Q fm.{e-\-z)-:=.—fn.^s''\ 2^8^, 39'''' vnde
l-fn. {e-^-z) — 9^, 98^58974
-^c^^^ l fin. n: 9,079(576^2
/— /«. J— ' 9, 065573^
crgo jm— 6**, 40^, 42 ''•^, ex quo latitudo heliocentrica.
mercurii erit aultralis atque zn 6**, 40'', 42''^. \
§. 5o. Definito loco heliocentrico pergo ad locum
mercurli geocentricum iiipputandum , ad quod erit diftantia
terrae a fole r zn 101^18
Ic r:z 5,0056867
longitudo terrae «m 7S, 0"*, 24^, 52'''
Nunc
i5S EMENDATIO TABFLARm ASTROMIC
Nutic quaeratiir angulus pTViz:/, ex aequatione
Eft vero «r=7S, o\ 24^, 52
qJrrz=:ioS, o\ 19^, 36^
crgo cot. {ti-q-r^zn—im^. 0°, ^^^, i^''^^— 15319
Porro ly = 4, $9^191%
l coC. s = p, 9974701
/-fin. (w-^-r) — 9 , 9999PP4
/-j/cof.j.fin.(//-^-r)r:: 24,5882555
/^'(fin.tot.)' ~ 35,005^357
/-j/cof.jfm.(«-^-r)ir: 24, 5882555
10,4174199
CrgO ;'c's,sf;k.iu.,.r) — 25l4<^880
-4- cot. («-^-r) =1— 15319
cot. t zzz 2513 1 551
Ergo ^ efl: 20*, 55^, 27^^ vna cum fex fignis , vtl con-
ditio problematis requirit , quod figurae repraefentio facile
commonftrat. Qiiare cum fit ^ — 55, 20', 55^,27%
hinc longitudo mercurii geocentrica / innotefcic ex hac
aequatione fzzzu — t
Eft vero «z=:7S,o°, 24^, 52^^
^rz5S,2o°, 55^ 27^^
/-oS, 9%28^ 25^^^
hOiW autem longitudo mercurii ad hoc tempus obferimta
eft F=:oS, 9% ^V, ^^'
Ex quo eft F-/=:^/zr- 4^ 14'''' r=- 254^''
Qui eft error tabularum in longitudine commifrus.
FER LOCA TLMETARFM GEOCENTRICA. i6p
§. di . Latitudo denique Geocentrica g reperietur ex
hac aequatione tang.^ =:;,,.. (u-.,-r)
/-fin. tzz: p, 5531590
/— tang.jzr 9,0585182
18, tud^j^j^
/~fin.(«-^-r)— 9y 999999^
/-tang.^.r= 8,(^21(5778
Ergo ^ n — 2**, 23'', 45^^ Latitudo ergo Gcocentrica
erit aurtralis atque aequalis 2", 23^, 46''^
Latitudo autem obferuata eft zr 2*, 23'', 55^'
Erit ergo G ^ - 2**, 23^, s$^^
g^-^\ 23 ^ 45//
Atque G -^ zz:. d^ — — p^^
Qui eft error tabularum in latitudine commifTus.
§.52. Qiiod fi nunc, vt (upra fecimus, tabulas ponamus
corredas , valores inuenti df et dq per aberrationes tabu-
larum inueniendas dm ^ dp y dq ^ dn et dk fequena mo-
do determinabuntur.
■I r ( dq-^~dr)Sih.*)\ . ^ acdkeof.z(Jin.t)* e*chdmjin.v(jin. f )•
^J — (J7n.{u-~(i—r))^ " I ' yy cuj.'-s.jin.[u~ii-.r) y^coj.s.jin.{u—,.i1-r^
qdsjani.jjjjv^ c(dq-i. dr)cot.t{u—q~r){Jm.t)*
ycoJ.sJin{u~ ~r) ycoj.sfm.^n—q—r)
t i'i.f • fgnf.?fco/.g>
*0 (c>.y,S;2iz?i. u-',-y) Jm.{u~cj-r) "^ Jih.{u-q-r)tau^.{^u-.i-ry
Aequationes autcm fubfidiariae funt hae :
, dncof.n.fin.(fi-^z) ^^ (de-^dz)fin.ncof. (p-^z)
^ S coj s "T" ccj. s
dr= -'^'Tc^,7^- Mn. n t3ng.f.-|-^(cof. rf
. fe^b—d^ijjxof^e)^ , dnfiv.n fon^.(p--q)(cof.e]*
«^ cu/.fi(oo,.rp— 5))»H- (coj.n)*
, ad^Jn.z adkfih, z d kfin g
Ic^w. XIL Y Qinn-
170 EMENDATIO TABVLJRVM ASTROKOmC.
Qi.iiintitatiim aiitem finitanm valores , quae in his formu-
lis infunt , ita fe habcnt
^zz: 38710 . /^:=4, 58782,32
c =1101318 . lczizs ) 0056867
n ^ 6\ sV
V =:-88% 5'
j' == 3897<^- /r=: 4, 5907973
z =: 76°, 1+^.57^^
p-qzz: 6S, 2S° , 6^
€ zzi 6S, 28% i6% 24^/
^4-::;=: pS , 14°, 31^, 26^'
r=: 9S , 14", 37% 26/-'
J =1 - 6^^ , 40^ , 4,2.^^
u-q-rz=z9S, o\ 5^, 16^
^ =:6S, 20% 56% ,27//
^=:-2% 23% 4<^''
§. 63 . Qiiaeramus primnm dz ex aeqvmtione :
i^ admfin.^ adkfin.z dk fin. z,
a^ — ■ yfin.v y — j_/j/,
\bi notandum elt coefficientes. ipfius dk in minutis (ecun-i
dis exprimi oportere , quia reliqua differentialia omnia dmy
dp ., dq ., et dn in minutis fecundis definiri debent,
Erit ergo
/^ =: 4, 587S232
Km.z— 9, 9S73707
14, 5751939
/j — 4 , 5907973
9 , 984396^
/rm.f;
FER LOCA VLANETAWM GEOCENTRlCA. i^t
Km.vziz 9 , 9997570
(—1), 984.639<5 I coc^. dm
niimerus ~o, 9652 zz: coeff. d m
4, 6S55749
fl r/n. a
5 , 2988217 - / '-^ m fec.
^=198985^^
/fin.^zr: 9, 98737^7
l-hk = o , 0188112
10 , oo5i8i9
4, ^855749
5 , 320(^070 =^I-^^i, in fec.
^1^1,^209222/^
408207'^ = coeff. d k
Ergo dzziz o ^ 9652. ^;;/ — 40 8207''''. ^^
/o , 9<^52 rr (— i) , 984^39^^
7408207 '"==: 5, 6108805.
§, (54. Deinde quiienitur expreifiO , cui r/ ^ crt aeqna*
lis ex hac acquari. ne
de
[J p _ d.; )(coj'. e^'' . dnSin.nfan^-.f p-q ){ cof. < )~
coj. n [coj. (p — 1^ ))' ' " C coj- n.j'^
/— cof^zz: 9, 9448270
/(cof ^)'z=: 19 , 8896540
/cof /2 = 9, 9968431
/cof nf ziz 19 , 9936S62
/fiu. « = 9 , 0796762
/ung (p-^) 3=: 9 ,727500$
l-QO^. p-C})- 9, '9455310
/^cof(_/)-^))'rzi9 , 8910620
: /(cof
172 EMEKDJTIO TABVLARPM ASTRONOMIC.
/ (cof. e) =: 19, 889<^54P
cof. » ^ 9 5 99^84-31
19 , 8928109
/cor.(p-^))'r::i9, 8910^20
o , 00174.89
coeffic. {dp-dq)z=:i, 0040
Porro / lin. n 1= 9, 07967(^2
/tang.(^-^)=r 9, 7275008
/coC^/ =i9,889<^540
38,6958310
/(cof. «)* = I9,993<^8d2
(-2), 703144-8
coefF. dnzz: o ^ 0505
Ergo^^n: i ,0040 , ^/> ~i , 0040^^-4-0, 0505 . »i.
/i, 0040 zzo, 001 7489 j /o, 0505 =(-2), 7031448
§. 65. Sequitur difFerentiale ipfius dr cx hac aeqiia-
tione definienoum :
/-tang.u-4-;2;)i=:io, 58(56389
/cof. r =9, 402214.5
/(cof. r/ =1:18, 8044290
/cor.(^-4-5;) =: 9,3992584
Ergo Icof.n z=z 9,9968431
/( cof. r)* z=:i8, 8044290
28, 8012721
/(cor.(^-H2)':=: 18, 7985168
0,0027553 coeflf.
FER LOCJ TLANFTJRVM GEOCENTRICA. X73
coefT. (de-\-dz) m , 0054.
Porro /fin « — P, 079(57^2
/Ccor./-)* 11118, 8044290
(-2;, 4707441
coefF. — ^ « rr o , 01295.
Ergo ^r = I, ood^.^s^-i ,oo6"4.^-f- 0,0295 .»
/i,oo54=zo,oo27553- /0,0^95 — (-2), 4707441
Valoribus autem ipforum dz et de fubftitutis prodit dr
zzzo , 9714 .dm — 410805^^. dk-^- \ ^ 0104. ^p —
I , 0104. ^ 4- o , 0804 . dn
Iq , 971411=^-0, 9873949
/410805^''— 5 , 5135358
/i , 0104 iz: © , 0045042
/o . 0804:1= (-2), 90^2560
§. 65. Habetur pr:ieterea liJiec nequatio :
// f .ciacq/"n.Jm.(p-4-z) ^ (dp^cfz) /m n. co/". (c-t-g)
coj. s " I ■" cy/.y
/-fitt. (^-4-^2)= 9, 9858973
/cof. « — 9 , 9958431
19, 9827404
/cof. j :r: 9 , 9974701
(-1), 9852703
coefF. — dn =r o , 9 557
Porro /fin. n =r 9, 0795752
/cor(^4-x;— 9, 3992584
18,478934^
kof. j" zz: 9,9974-01
(-2), 4814545 coeff.
174 EMENDATIO TABVLAWM ASTRONOMIC.
coeff. (d e -^ d z^zizo , 0303
Ergo ^i- — — o , 9667 . dn -i- o ^ 0303 . ^^-+- o ,
0303 . d e. SiulHtLitis autem loco flf ;2; et de Yalorilxis
erit : d s -zz o , 0292 . dm— 12369^^ . ^Z: -h o, 0304.
dp — o ^ 0304 . d q — o ^ 965 2 . ^ ;j
/o, 0304=:(-2), 4832134
/o, 0292 ::=: ( — 2) , 46(5104.1
/ 12359^'' zz: 4, 0923450
/o, 9652=:(-i), 984^173
§. 57. His praeparatis potcrimus tandem dcfinirc
df ex hac aequatione.
,r {dq-\- lr)(Jir. f )^ ^ acdh cof g (fin.t)^ a'chdmfm. i> ( fm.f )
^/ (Jm.^iu^j-r)^ ^i" j)/j'ct.j-v./zri.,(u_,j-?-) 3-5 coj.s./jn.(u-.2-r)
— cds tang. s [Jin. t )' c(d^-\^dr) coU {u — q — r) ( /m. t )'
^ cc/. 5./,-r.. (u_:^-r) jco/.s./n.(u— .j— r(
Eitque /— fm. {u—q — r) n: 9, 9999994
/ — cot.(w — ^-r) m 21852304
/-fm. ^ =1:9, 553159^
/cof. 5; i== 9, 37^^0292
/fm. 1; —9,9997570
/ —/cof j . fm. (?/-^-r) = 24, 5 8 8 2668
Ik =(-i),3i3<5332
Hinc habetur : /( fm. ^)' = 19, 1063 180
l{J{u-q-r)Y = ^5>, 9999988
Jcot^. {dq-{-dr) =z (-i), 1063 192 : w.tiio, 1277
Porro:/ 9992402
39,0380820
/- fin. («-(^-i)=r 9 , ^g9^9s>^ H- 30
/coefF.-f-^/ :=( i), 0380825 num : =: o , xopxd
Deinde / - fin. / zi: 9,5531590
/— tang. j — 9,0585182
/(cof.^)* = 19, 9992402
38,0209174
/-fin.
?ER lOCJiTLAKETJRFM GEOCENTRICA. i77
/ - fin. {u-q-r) =r 9 , 999999^
28,6209180
/— cot.(«— ^— r)i=: 7,1852304 —40
/coefF.-H^^+^/rizz^-^jjSo^i^S^num : o, oooo5
Qiwmobrem erit.
dg^o^ 36096.^^+0, 1 091 6.^^0,^00006.^^-1-0 ,oooo6.j>y = 9S, 27°, 11'', 36^^11:«
Diibitia terrae a Sole Z3 101096:=:^
vnde I c ziz $ j 0047340
Data autem , quibus tabulae corrigendae lunt fuperflrudtae
Tom. XIL Z fupra
17S tMENBATLO TABVLAWM ASTRONOMIC:
fiipra §57. exhibuimiis. lam ad hoc tempus ex tabuli?
fupputemiis an >maliam' mcdiam.
A. 1701
8S,
4, ^^ oj^
Anni 15
^>
7..4i;,^aj:..
Aug. Menfis
4v
^7, 34, 29
ob biflext; 8.d.
I ,
2, 44, 19
22 h
3 , 45 , 5
45/5/"
7, 41
Erit igitur anomalia media xzizi66°^ ^\ $$^^
et fm. ^=:fin. 13^ 5 8^ s/^. Hinc reperietur .an + ^ == oS, 22°, 25/, 18'''
quae elt longitudo planetae heliocentrica : Latitudo autem
heliocentrica ita inuenietur.
/rin.(^H-s)zr 9,0714725
/fin. n :i= 9, 0796762
/fin. X nz 8, 151 1487
Ergo s z=z -o*, 48^ 41 // Latitudo ergo heliocentrica
efl: borealis, atque ziz o*, 48^, 41''/. Sic itnque in-.en-
tus eft locus mercurii heliocentricus ad ' tempus ; fecuudae
obferuationis. '
2 * 5.7X.
i8o EMENDATIOTJBVLARVM ASTRONOMIC.
§. 71. Anteqnam hinc ad locum mercurii geocen-
tricum inueftigandum procedam , corredionem ex pro-
pagatione lucis ortam definire conueniet, quae cum fit
— f^"^ atque iam fupra inuentum fit ^w— -i8"'|:
quaeratur ^
long. V geocentrica :=: 3 S , 9° , 43'' , o^^
long. ^ heliocentrica iz: oS, 22°, 2s\ 18''^
diff. 2S , 17°, 17^ 4^''''
Ergo q =: cof 77° , 17'' , 4^^^
Iq zzz 9 y 3421190
fubtr. 8, 4995405
o> 8424785
Ergo ~ q= r'
Quamobrem longitudo mercurii obferuata augeri debet 26^^
ita Yt fit vera longitudo mercurii F iz: 3 S , 9° , 43 ^' ,
26^^ atque latitudo G izi 0% 13^, 30''/.
§.72. Vt nunc locnm mercurii geocentricum de-
finiamus , quaerendus primum eft angulus /> T V ex hac
aequatione cot. ^ z= cot. {u-q-r)-^^,^:^^^
at eft « :=: 9S, 27°, 11^, 35//
^-H^ = oS, 22°, 25^, 18''''
u-q-r = 9S, 4°, 46/, 18^-^
C0t.(«-^-r)=-tang. 4°, 45/, iS^/ n:- 834743
/jK zii 4, 4929000
IcoC.s = 9, 99995<^4
I-[m.(u-q-r)zz 9, 9984921
/-^
FER LOCA PLANETARFM GEOCENTmCA. x8i
/-^cor.irin.(«-^-r)= 24,4913485
ai(Cin.tot,Y z:i 35:» 0047340
10, 5133855
-hcot.(«-^-r)=: - 834743
cot. ^ ==: 31777867 zntang. 72% 31^, 55^/
Ergo t == 17% ^8^, 5^"^ vna cum 6 fignis.
Cum igitur inuentus fit valor .anguU„pTV— / ; ita loa-
gitudo geocentrica reperierur
t == 5<^4i34^
/ idjTfe — o, 0188112
9, 5829453
4> <^855749
4> 8973704
Numerus in lecundis =1: 7 8954^ ^'
94077
Coeff. dk z=. 17303*^^- Ergo
FER LOCA ?LAmTAWM GEOCEmiaCA. 183
Ergo ^js=ii,5i5i.^w— 17303 1^^ dk
/i, 5151 — 0,1804.617
/ 173031 =:-5 , 2381230
Deinde d e retinet valorem fuum vt ante §. 6j^. d e z^
I , 0040. dp—- 1 ,0040 . ^^ + 0,0505 .dn
/1,00401=0,0017489
/o,C505:z^(-2),703i44S
§. 75- Hunc ad modum §. 6$ qpacramus d f.
/ cof. r — 9 , 9970045
koC(e-\-z}zz^ ^ 9959510
Ergo / cof. « ^ 9 , 99<^S43 1
/(cof.r)*~ 19, 9940090
29 , 9908521
/cof.(^4-2}*=^ 19, 9939220
(-1), 9969301 m/ co^ff. (ii-4r<^^)
/ fin. n zz 9,0795752 '*^'^"
/tang.(.^4-2) = 9 , 0745115
/(cof. r )*~ 19 , 9940090
(-2), 148 1957
coefT. — ^wzr. o, 01405 ' <
Ergo drzz: 1 , 5045 .^;;^ — 171 812''/. d k -\' 0,9959^,
-^ o . 03(5j . ^^-4- o , 03708 . ^«.
§. 78. Refidua eft vltiina obferuatio , quae ita fe
habet :
Tempore medio A. 1717- Apri!. 25 d. h. 33^, l^'
Longitudo ^ ^ I 5^ V obferuata eft o 5 , 14", 28^*4^'
Latitudo V obfcrnata eft 0°, 18'', 30'' . Auftralis.
Pro hoc au^m tempore inuenta eft
Longitudo terrae a 1 >fcY: «— dS, 17', 27^^ 5^''-
Diftantia terrae a Ible c zz. 101045
et /^ rr 5 , 0045148.
A a st Ex
x$8 EMENDATIO TABVtAWM ASTRONOMIC.
Ex tabulis igtur aflignemus ad hoc tempus anomaliam
niercurii mediam :
A. 1701
S S, 4^ ^^ o^/.
Anni : ic
5 , 5, 3<^, 0
April.
>, 8, 18, 3- = 24 94589
Porro I—co(.^'zz: 9, 9285494
la 'zn 4 , 5878232
14 7 5i^372<^
/j = 4, 5044573
jo , 0119153
''"^''" zz: 102781^0
^f^ =^ 2494589
cof. z z=L- 77^3571 =:- fin. 51% 6^, 38^'
vnde /— cof. ;si=i 9 ? 891 1799
Ergo 2;=Z4S, 21°, 6\ ^s''^
et /fin.2=:9. 7978349
f. 79 Pergamus ad longitudi»em mercurii a nodOj
r definiendam :
e— 6S, 2^\ i<5', 24"
z:=z 4S, 21% 6', 38^'
e-+-zz=z II S, 19°, 23', 2^'
/— tang. (d'-f-:s)— 9) 2728529
/cof w zr: 9 , 9968431
/tan^.— r:i= 9, 209(5909 Ergo
TER LOCA PLANETARJ^^M GEOCENTRICA ■■ 191
Ergo rz=: iiS, 19°, 27', 32''
qziz oS, 15°, 42', o^''
1 O-"
quae eft longirudo mercurii heliocentrica.
Longitudo ^ geocentrica o S , 14° , 28' , 14^'
- heliocentrica oS, 5", 9', 3 2^'
Ergo ad corredlionem a lucis propagatione oriundam eft
^-cof 9% 18', 42"
tt Iqzz: 9 ,9942537
/f = 3 , 8i40<^5512008
/fin. 'yn: 9, 7238793
coefT, d?72 =r 1 , 4366^
/"-if-^ zi:9,88i200S
4,6855749
5 1 i95<^259
num : = 156901'''
lCm.z =9,7978349
Tom, XIL B b
tp4 EMENBATIO TABVLARVJIl ASTRONOMtC.
It^ — o,oi88iia
9, ^100461
4,^S55749
Dum: = 135229''''
5 , i3io7ia
5229^
156901
292130^'' zr coeff! — ^fc
Ergo^^m , 43<^<^. ?/«- 292130^''. t/fc
/i,43 8838032.,
coefF.+ ^^:=^ ^^^^^S ■
lac[(m.tf zz. 27, 0151672.
/^^ nz 3,90145(^4
/fiii, 1; zi- 977238705
40,6405229
■ Ijt- .' =r 9,0089146
31,0310083
J-^ cof j- fin. (z/-^-r) =r 23, 8325317 -1- i<^
/ coefT. ^- ^ ;/2 r- (-3),79907<^<^
■ coeff. -^ d' ;// m 0,0063
/^' — 5) 0045148
/-tang. X =85 34-5^375
% ^^
■mrtOCA TLmETAWM OEOCENTmm "irn
/(flU. ;/ =17,4228492 :
., n :• • — ■• . . -•- ■ ■"
;..3.,P^T7^5>:'>5
/-j/cor.irm.(//-^-r) =23, 8325317 4- 10
/coeif. — ds — (-4)v9399.^9S
lc ( fm ^)^ zz' 2 2 , 427364.0
Icot. {u-q-r) z:i 10, 66174.6^5
33,0891105
/-j/cor.jfm.(M-r)=r- 23, 8325317 + lo
/coe|r."-f ^r/4-^r =:(-i); 2^6^788 .
coeflT -\-dq-\' dr ±: ' o ^. 1 465.5:
V. o, 05841;
coeff +dq-\-dr — o,,.23.89$ : iog. nr^-i^jSTSSi^:
Ex-his inuenitur ; ^ i:..;3-,(-- ; ■ • ' ' — ,'
=i:~<^3''^.— o;,-347^.^'^^-^oo74^^^^-f,.o, 2382.7/^
-4-o,ooos5.V'^^o, 01733. rif;?
§. S^". RefEit vt /^ defTniainus. fecundum §. ^8.
/(cof.i^)" =1:19, 999987(5
i~^ imu^ ' ■:=: -8 , 7;i:.t-4.2'45
2 8, .7^141 2.2.
/(cofl j)* =: I 9, 9997874.
8, 711024.8
•.■ /^-fe^ac— ^-rjrz' 9:„.r32 8i.S.o7
jcoeaF:H-^>;;^.^^;ii;|5,H;3:44:4i:;;:;,; ,.. . . v^^ -
^L^^eT ^ ^9 j 9999>7r:=-2°, 53', 37^''
^///zii-Voc^i''^:-:-'!^ 57', 40^''
■. r/^--~-i37'^= — ' ^^ 17^''
f. '88/ -His Igirur correci:ionibus inuentis Tabulae mer-
curii lequenti modo le habebunt. Prinfo fcilicet tabula
«lotus medii mercurii , quam .afllimfimus, vfiirpari pote-
rit , Yerum ab anomalia media ;ad quoduis tempus ex his
tabulis inuenta conlbnter fubtrahi debet 1°^ 57'', .40'''',
ita \t ad initium huius feculi A.. 1701 pro -jneridiano
'Londinenfi 'fuerit Canomaiia rnedia .inercurii 's S , '."f ,-4^- >•
2.Q^^ . Secundo ex centricitas oibitae mercimi yem excedit
eam, qnae in tabulis eft afliimta , .eritque ea -=: ,o?ooot''
atque huius excentricitatis logarithmus eft rr (- 1 ), 3 2 1 2 3 3 S .
^Tertio ' longitudo aphelii a prima ' ftella = arictis erit z±
7S, 16°, 41', 37^'. Qiiarto longitudo nodi afcenden-
tis ab eodem termino eftzf oS, 15°, :^9'- 43^^ i et
quinto inclinatio orbitae zn 6**, 54', 19''.
§. 89. Cum nunc hae tabulae correclae cum veri-
tate .^exagiftime confentire debeant , fi quidem obferuatio-
nes, quibus fum vfus , fumma cura fint iadlie ; ean-m
ope ad quod vis tempus locus mercurir verus porerit affi-
gnari , isque adeo geocentricus , fi tabulae folares fupi*a
correclae fimul adhibeantur. Quo igtur certitudo harum
tabularum tam mercurii , quam folis ad obferuationes exa-
minari queat, inueftignbo per illas tranfitum mercurii per
folem , qui huius anni menfe Aprili intra dics 21 et iz
COIl'
PER LOCA PLANETARFM GEOCENTRICA. aoi
contingere debet : quem in finem ante omnia tam loca (b-
lis qiiam merciirii ad meridiem Ytriusque diei determin;Ari
oportet , vt quo inter illos meridies momento tranfitus
mercurii per folem celebretur , colligi queat : computabo
autem haec loca ad tempus medium pro meridiano Lon-
dinenfi , quia inde conclufio ad quascunque regiones trans-
ferri poteft.
§.90. Incipiamus a loco folis , quem ad meridiem
cum diei 21 tum 22 Aprilis huius anni 1740 quaera-
mus , qui annus cum fit bifextiiis , dies computari debent
22 et 23. Erit igitur
Anomalia media folis
A. 1721
Anni 19
April. d. 22
6S,
3,
13%
20 ,
10',
8,
23,
24.
IS
10,
0°
41',
^9^
5(5''
8''
April. d. 23. 10 , 3°, 41^, 4"
Erit ergo pro meridiano Londinenfi et ftilo Yeteri
A. 1740
meridie Aprilis 2 1
meridie Aprilis 22
Anomalia media terrae
10 S, 2°, 41^ 5^''
10 S, 3, 41, 4
Ad has anomalias medias quaerantur iam nnomaliae cx«
centri per excentricitatem orbitae terrae corredam metho-
do fupra tradita. Priore nempe die erit xzzioS, 2',
41', 56'^ atque {in. x z=:-- fin. 57", iS', 4^'> ^nde
fequens orier»u: calculus :
Tom, XIL C c I-x
it02 EMENDJTIO TABVLARVM ASTKONOMIC
fobtr. 6, 4583825
3, 4.000 825
niim. 2929" zz 48', 49''
10:), 3°, 30^45" .
J-Cm. =r 9, 921043S
&btr. 6, 4583825
3, 46^10613
num. 2902" n 48', 22"
:*: =110 5,2^41^56"
17 ri: 10 S, ^° 30', 19" anomaira exccr^ri.
PjfO^qiietJte meridie eft^rzioS, 3"*, 41', 4", et
iis. x=r-{in.. 5<5", 18', 56^'
/ — fui. a' zz 9 , 920 1 8 35
^, 4583825
3, 461 80 II
mm, .slS9^^^ =r 48^ 16^^
ATZZ 10 S, 3*^,41^7 4^^
loS, 4°, 29', 20'^^
sb 12S
55% 30', 40'^
TER LOCJ FLANEIARVM GEOCENTRICA. los
6, 4583825
3 . 4576691
num. 218(58" zr 47', 48''
;i~ioS,3^4i'> 4''
7^77,28', 5^'^
X2S
55% 31', &"
/ — fin. ::z 9 > 91^0900
<5, 4583825
3 , 4577075
num. ft8<59" = 47', 49^'
;»:zz:ioS,3^4ij4^'
tv=zioS»^\ 28', 53'^ Anomalia cxccatri*
f. 9X. Hinc ad haec tempora reperknr diftantk
tcrrae ^ ibkj zz: a -i- k a cof. v. At eft pro prio-
re meridie cof. v :z: cof 56' , 29', 41" z:: fm. 33*,
30', 19";
pro pofteriore meridic vero cof. ^ zz cof, 55*, $1' »
7" =^ fin. 34% 28', 53'^
Pro priore mcridie
i cof V zz: 9 , 7419500
Ikaziz^ , 227102^
— — ^i
^ 2 , 9(591423
niim. m 931.
Ergo diftantia terrae a fole j' zr xoopsff
ct / j :::^ 5 , 0040203
C c s Pr<»
204 EMENDATIO TABVLAWM ASTROUOMlC.
Pro altero meridie
/ cof. i; = 9 , 7529228
l k a in 3 5 2271913
2 , 980115 I
numerus n: 955.
Ergo diftiuitia terrae a fole y rr 10095^5
Qt l j ^ 5 , 004.1278
§.92. Anomalia vera z reperietur ex hac aequatio-
ne cof. z -^^
coj. V
y ' y
Ergo pro priore meridie
I k a fin. tot. z=. 13 , 2271923
l j := 5 , 0040203
8 , 2231720
tium. rr i<^7i75
/ cof. v zn 9, 7419500
l a zz 5 , 0000000
14, 7419500
/j' zr 5 , 0040203
9, 7379297
num. zi: 54^9274
167175
cof. 5; 3= 563(5449 nr fin- 34*, I8', 29^'
Ergo s zz 10 S, 4°, 18', ^^^^'
addaturp 1=1 8 S , 8 , 25 , 42
longitudo terrae n 6 S , 1 2°, 44' , 11'' a prima ftellaarigti%
hiac longitudo folis zi: o S, ii°, 44^ 11" Tera
ob
VER LOCA PLANETARPM CEOCENTRICJ. ^o$
ob lucis propogationem fubtr. 20" hinc
longitudo folis apparenszi:oS,i2**,4.3',5i'^
Pro meridie lequente.
/fc^fin. tot. :=z 13, 2271923
/j/ = 5 ,0041278
8 ,2230(^4.5
mimerus ziz i<^7i34"
/cof. vrr 9, 7529228 ^
l^ zz: 0,0041278
9,7487950
niim; 11=5507833
1(^71 34-
cof. ;$; z=: 5774967 rr fin. 35*, i5', 29''
Ergo z znJoSy 5^ i^', 29^'
addaturp rr: S , 8 , 25 , 42
longitudo terrae in 63^ 13°, 42^ 11"
hinc longitudo folis =: oS, 13°, 42', ii^' vei*a
ob lucis propagationem (iibtr. 20''
I r • ; • I • III 1 I ii I II.
bngitudo folis =: oS, 13°, 41/, 51" appatens
§.93. Definitis locis folis progrediamur ad mer-
curii loca inueftiganda , ac primo quidem anomaliae me-
diae ita prodibunt ex tabulis corredis. _ _,_
Cc 3 A.1721
lo^ EMENDJTIO TMVLAWM ASlKOmMlC.
A. 1721
ApriL
d. t3
8 Sj 16** 34.% 20^'
o, 8,18 , 3 42 Anom. medk
Pro priore meridie erit ergo x nr 10 S , 11*, 50^, ro'''
ct fin. X -zz " fm. 48** , p'', 50^^
pro fequente vero meridie x z=. 10 S , 15*, 42^, 44^^
et fin. .r -jz: - Cn. 44* , 17^ ,18^''
Hinc reperietut anomalia excentri lequenti modo pro pacj-
re meridie.
2^CiXi,xzz p,, 872188$
fubtr. 5 , 354341 1
4>5o7S477
flum : n: 32199^'' := 8*", S6\ 39^^
X = 10 S , 11** , 50^ , 10''''
ab
xa^-, .^0° , ^' , 49^'
12 S
39% 13'' > ix^^
— Cfl. zi 9 , 8009204
s > 3^43411
4 j 43^57^3
fium:
PER lOCA TLANETARFM GEOCEKTRICA soj
num. = ft732<^^' = 7*, 35 '^ ,26''''
X ZZL 10 S , II , 50 , 10
ioo , i/, 25/, 36^'
2b 12 S
40' > 34' > ^4- "^
I ^ Cm, z=: 9y 8131944
5,3643411
X zi:
4
2S11
= 9
5
, 44iiii533 .
0^^ - 7% 48^50^
10 S, II , 50 , 10
ab*
10 5 , 19% 3»^ W^
12S.
1 ~ fm.
40° ,21^ ,20''^
, 81 12592
,3643411
4 , 440,9 181
lUim. n: 27^84 ' =: 7* , 4^^" , 24^^
;r :zz 10 S 11 , 50 , lo
icS, i9",36' ^34''^
46'^, 23^, 26^
5 , 3<^434ii
4^447^:^21 ''
^TJSr
•ii;:/:iiiL*.j:
20$ EMENBATIO TABVLAWM ASTRONOMIC.
10 S, 19°, 36^55^
ab 12 5
40% 23', S''
/ - fm. ni P , Si 15193
5,3643411
4,4471782
isum: = 28001^^ 1= 7^46^, 41^^
X zz 10 S , II , 50 , 10
10 ^ ,. 19 , 3<^ , 51''''
ab 12 S
I— fm. n: 9, 8115288
5,3<^434ii
4,447iS77
mim: == 2 800 2 ^'c::: 7**, 46^, 42^^
xzz: loS, II, 50 5 10
vzr loS, 19°, 3<5^, 52^^ anomalia cxcentri
Pro (eqiiente meridie
affiimiatur prior difi^rcntia 7**, 46^, 42^'
ATzi: loS, 15, 42 ,42
loS, 23°, 29^, 24''
ab 12S
36^ 30^ 3<^''
/- fin.
?Ek LOCA PLANETARFM GEOCENTiaCJ ao$
l --{11:1.1=: 9, 774485x9
5 /S 643411
4, 41 01485
«um. 2571^1 ''^— 7% S^, sa"^''
A" loS, 15,4-^, 4^
loS, 22°, 51^, 14''^
ab 12 S
S7% 8^ 4<^^^
4?— fm. r= 9, 7805750
5,3<^434ii
4,4i<^3349
mra. rr Ji^osi^'' =1: 7* , 14'', 44^^
or— 10 S , 15 , 42 , 4a
10 S , 22 , 57 , 23^'
ab 12 S
— fin. =r:9, 7799oi3
5 > 354341 1
4, 4155602
niim. zn £6035^^1= 7*, 13', 55^
A' = loS, 15 , 42, 42
10 S, 22^ 5^\31^'
ab 12 S
37^ r, ^3"^
i^im. m 9, 7800295
5, 3<^434ii
4,4155885
Tom. XU. D d tsm
sio EMEnBATlO TABVLARVML ASTROMIC
xz=: loS, 15 , 42 , 42
io:>, 22^, 5(5^, 45^^
ab 12 S
37\ 3^ 15^^
/—fin.n 9, 7800073
5, 3^4-3411
4, 4156662
num. zz: 26042^^ =: 7°, 14^, 2'^
A:r= loS, 15 , 42, 42
v=izioS,2 2°, 56^,44^^ anomaliii excentti
§. 94. Ex anomalia excentri reperietur primo di*
ftantia mercurii a fole j-.a-^-ka cod 1;
Pro priore meridie
con V ~ fm. 49°, s6^, 52^^
7^:3:4,5878232
/)fc3i:(-i), 3212338
Jkazz. 3, 9090570
/cor,i;n: 9, 8817849
3,79084*9
kaco^.vzz 6178
//= 38710
jr:=: 44888 diftiintia Merciirii a fok
Ij— 4, 6521303
Pro fequente meridie
coT 17 =r fin. 52°, 56^, 44^^
IkaziL 3^9090570
/cof.
TER LOCA PLANETJlim GEOCEmRlCA asr
/cor.T=: p, 9020390
~li ■ . - ... l^
3, 8110960
ka coCv ~ 6^1^
a = 387IO
yzz:^$iS2 diftantia Merciirii a folc
/j=: 4., 654.9554
§. 9$. Nunc reperictur anomalia vera z ex liac ae*
quatione col. z zzz —'- j ^ ^
Pro priore meridic
Ika fin. tot. = 13 , 9090570
/j/ = 4, 6521303
9, 2569267
^'^-:=:i806869
/^3= 4, 5878232
/cof V=i: 9, 8817849
14, 4696081
//=: 4,^^521303
9, 8174-778
5568676
1806869
•-f^=<^568676
cof. 5;= 8375 5+5= rm. $6% 52^ 57^'
Ergo z zn loS, 26°, 52'', 57^^ anonialia yera
Pro fequente meridie
Ika fin. tot. :=: 13 , 9090570
]j ziz, 4,6549654
9,2540916
ii^:i^-i795ii3
Dd 2 /i7 =
sti^ EMENDATIO TABVLAKVM ASTRONOMKS
iaziz 4,587823^
JcoC.v. zzi 9, 9020390
14., j^^^sCz-z
ucojv .
9, S34S9^^
6S37492
1795 Tf 13
cof. 5; =-: 8032505 zn fm. 59% 4i^ 5'"
Ergo sfz:;: ipS, 29^, 41'', 5'^ Anomalia Yem.
§^: 96". Anteqnam Yjterius progrediamur , ncceffc efi:
Tt in/diftantiiim aplielii a nodo afcendente inquiramus ,
quae pofita eft =r ^ , et sx iiac aequatioiie inuenitur*
tang. ^ — cq/. /i
M Yero;>=: 7S, ^6\ 41^, 37''^
^:^ oS, 15^ 39^ 43''''
^— ^'=r 7S, i^ i^ 54''^
« z:: 6\ 54', 19"'
»g. rp-^) ==: tang. 31^ i'', 54''''
J tang. (p-q) —• 9» 7793 »73
- l cofo « := 9, 99<^S382
/tang. ^ = 9, 7824791 :=^taBg. 3i', 12^ ^Sf"
Ergo e — ^S\ i^, 12^ 58^^
Micque Yalor eil conftans , €t pro omni tempore idem ?
«panet.. ■ r-ti -
§97. Sequitur iam determiiiitnda longitudo mercurii'.
^ nodo afcendente r per^ hanc aequatioaem :
cang, rzzQoCn tang. (^+^s)
Pra.
lER LOCA PLjmTJRrM GEOCENTKICJ^ a^s
Fro priore meridie
2zr loS, 26% 5J^j57'^
#4-^5=: 5 S, 2^^ 5', 55^''
tang. (^'-H^) :=:: - tang. I*, 54V5''^
/- tang. (^-f-j2)— 8,52110^8
lcoLnzp p,99<^ 83 82
/- tang. r =: 8 , 5 179450=:/ tang, i*, 53^, 1^^
Irgo rz:i5S, 28*, 6^, 4.5''''
Fro fequente meridic
ez± 7S, r°, 12^, 58^^
5?=zroS, 29°, 41^, 5^-^
c^z-6S, 0°, sV, 3"'
itang. (^4-2)zr 8,i.9<^555^
/ cof. « iz: 9, 99^83 8a
/ tang,r =1: 8, 1933938:=: /tang. o*, 53^ ^^^
Ergo r =1 d'S, 0*^, 5.3^, 3.9^''
§^. 98. Qiiod fi ad longitudinem mercurii a nodo r
addatur longitudo nodi a prima llcila arietis^, obtinebi"»
tur mercurii longitudo helfocentrica a- prima ftella atietis*.
Pro primo meridie
^izroS, 15*, 39-, 43*''^
^-5S.28^ 6^45^^
lC>0gitudo=i::6-S, 13°, 46., 28''^ mcrcurii IieSocetttrica,
Pro' altero meridie
q-oS, I5\ 39^ 43''^
r.-6S\ o\ 53^ 39^^
iOngiuidQ^<5S,i6", 33^ 22^^ mcrcurii helioccntrica
Dd 3 Lati*
C fti4 EMENDATIO TABVLAWM ASTRONOMW.
Latitiido aiitem heliocentrici ad borenm refpiciens s inuc-
nietur ex hac aequatione fin s n: fin. n fin (e^z)
Qiiaie erit
Pro meridie priore.
fin {e-i-z) =: fin. i\ 54-", 5^^
/fin. {e'-\'Z)z:z 8, 5^08680
/fin. « =1 9,0800068
/ fin. s =1:7,6008748 =/nn. o% 13^43^'
Ergo s 1=: 0°, 13^, 43^^ latitudo heliocentrica.
Pro meridie fequeiite.
fin. {e-+-z) zn - fin.o%54^3^^
l-fin. {e-\-z) z=z 8,19^5020
/fin. « '=: 9^ 0800068
/— fin. / := 7,2765088 r=:/fin. o*,6^, 30^^
Ergo s ==: — o'*,^^,^©^^, latitudo heliocentrica auftralis.
§. 99. Inuentis mercurii locis heliocentricis , pergo ad
eius loca geocentrica definienda. Ac primo quidem pro mc«
ridic priore erit
Diflantia terrae a fole c ziz 10093 1
et i c :zz s, 0040203
longitudo terrac u =: 6 S , 1 2"* , 44^, 1 1 ^^" .
Nunc angulus quaeratur p T V zr / , ex aequationc
C0t./~:C0t. («-^-r)- y coj. sjm- CuZ^rl
cum autem fit u zn 6S, 12% ^^^^, ii'''
fubtrahatur ^-f- rzn 6S, 13°, ^^-^ , 2%^^
erit u-q — r zz 118,28^57^,43^^
tang. («~^— r) nz — tang. i*, 2^, i^''^
fm.
PER LOCA PLARErARVM GEOCEKTRICA. 2x5
fln. («-f-r) — -fin. i% 2^, 17/'
cot. («— ^— r) z:z - s$x^i^66q
lcziz 5,004.0203
Ij zn 4, 6521303
30, 35i85?oo
/cof. jn: 9, 99999^5
20, 3518935
/-rin.(«-^-r,— 8,2 5 80 776
12,0938159
— 5519196(50
cot. / — 6S9206340 rz: tang, 89*,io'', 7''''
Ergo / — 6 S, 0^49/, 53^/ ^
Pro (equente meridie
Diftantia terrae a fole c =• 100955
et I c zn 5, 0041278
Longitndo terrae « — 6 S, 13°, 42^, 11^^
fubtr. ^ -+- r ir 6 S, 16°, 33/, ^^^^'
u-q-r — iiS, 27% 8^,49^''
cot. {u-q-r} = - tang. 87% 8% 49'^
fm. (« — ^— r) iz: — fin. 2**, 51^11^'^
cot.(«— ^— r) =1:— 200657567
lc— $, 0041278
/j' ~4,<^549<^54
30, 3491624
co(.
:ax5 EMENDATIO TAWLARFM ASTRONOmC,
icof. i=r 9, 9999992
20, 34.916^32
II, (55215(^3
— ycoJ.,fin.{u-q.r) = — 44^^907000
— 200^57557
GOt. t = 2482494-33 = tang. 87', 4^^ 3$^
Ergo /=z5S, 2^*, iS^zs'-"
§. ?oo. Ex bis ropemCiir longitiido mercurii geocea
^rica znu -i. Qvmt erit
Pro priori ineridic
wzr
<^^, 0°, 4-9^5 J
^. cof. o*, 50^ rr r mn: p, 999954-^
/^ z::4, 0201540
5, 9798001
4><^85 5749
X , 294225 2;^
Aeqnatioiz:— 1:1''
quae 12.^'' a longitudine obleruata fubtrahi deberent; et hatic
obrenn ad longitudinem veram mercurii addi debebunt. Qlio-
circa priori meridie fuit apparens mercurii longitudo :^
oS,ii% 54^30^
Pso fequente meridie
longitudo. y. geocentrica :z= oS, n'*, 23^, 45'^
longitiKlo ^ heliocentrica — 5S, 16', 33'', 22^'
Differentia =r 6S, 5°» 9', 36^^^
I cof. diff. zr /- ^ zz; 9, 9982433
/7:=: a, Si^o6s6
4,(585 5749
rf=^-ai",s
I, 498(50 2 8
•fcagi-
TER LOCA FLJNETJWM GEOCEKTRICA. ntip
longitudo V gcoccntrica ::r. o S , 1 1* , 2 s', 4^'^
/ longitudo tcmic iz:; <^S, 13*, 42', ii^'
HoL diff zz: I- nizz: 9^ 9996500
If zi: 4, 0201540
5 > 97949^^
4,^855749
Ergo - ^ //; n: + 19''' ^
+ r ^ == - 31'', 5
A^qmtio cr: - 12'^
Longitiido ergo gcocentrlca iniienta angeri dcbebit ts.^\
Tnde longitudo mercurii apparens pro (equente meridie pro-
^iibit =1 oS, 11% 23^, 58'^
§. 1.02. His inuentis erit ad meridiem diei 2t Apri-
lis A. 1740 tempore medio fub meridiano Londinenfi ,
•vt (equitur.
Longitudo (blis apparens oS, 12', 43', 51"
Longitudo S geocentrica oS, 11°, 54', 30'''
Latitudo mercurii geocentrica 0°, s', 44^' Borealis.
At ad meridiem diei fequentis , qui eft 22 Aprilis teni-
pore medio fub meridiano Londinenfi parrter erit
Longitudo folis apparens oS, 13^*, 41^, 51''
Longitudo '^ geocentrica o S , 1 1'', 23^, 5 8^'
Latitudo ^ ^eocentrica 0°, 5^, 15'^ auflralis.
Yt inueniatur tempus coniundionis G -et ^ , quo longitndi-
nes vtriusque fient acquales , apparef primum coniundio-
.nQm ante .m.eridicjn diei 21 Aprilis -contingere dcbere.
E e 2 Nam-
120 EMEmATIO TABVLARVM ASTRONOM.
Nam.pe cxcefliis longitiKiinis (blis fiiper longitndincm mer-
ciirii i:lo mtriJie eft^-p', 21", fe:}uenti vcro meridie
e:t cxcenT-ia 2°, 17', 83^'. Tempore ergo 24. hora-
riim mcrcuriiis a foie (ecundum longitudinem recedit per
1* , 28' , 32. Hinc inueniri poterit tempus iintc meri-
diem diei 21 Aprilis , quo S a fole per Ipatium 49',
ai^' iam reccdit per regulimi auream
i\ 28', 32'': 24^ = 49', 21'': 13^, 22'
fub mcridiano Londinenfi ergo coniunclio ^ cum, fole con-
tinget Aprilis die 20 : lo^ , 38' ideoque node cum lol
iam occidit , ex quo haec coninnflio Londini non erit con-
IpicuA. Hic autem Petropoli haec coniundio incidet in
dicm 21 Aprilis mane o^. 58', hoc eft mox polt me-
diam nodem , tempore ciuili. Verum Obdorae , quo Cel.
De i' Isle Nolter huius coniundionis caufa eft profedlus ,
haec coniundio incidet in eundem dicm 2 1 Aprilis fecunr
dum tempus ciuile mane 3^, iS' quo tempore ifto lo-
co fol iam fupra horizontem verfatur ; ita Yt i(ta con*
iunctio Obdorae confpicua e^Te debeat.
§. 103. Videamus iam, an in hac coniundlione ^ ve-?
re in di(cum folis intret , et quousque (e in folem immer-
gere debeat. Ex locis computatis autem patet , latitudi-
aiis mutationem tempore 24 horarum e^Te 13^, 59^' ^
irnde tempore 13^ 22' mutatio latitudinis erit 7' , 47".
Tempore igitur coniundionis mercuriiet folis, latitudo mer-
curii crit 16', 31"^ yix igitur ac ne vix quidem mer-
curius folis di(cum attinget , quia latitudo mercurii minor
non eft , quam femidiamcter folis apparens. Hoc autem
intclligendum , quando fpedator in centro terrae verfaretur :
quod li is autem in loco boreali conftituatur^ vbi hoc
tem-
PER LOCJ FLAKETARVM GEOCENTRICJ. iit
tempore folem prope horizontem cernit , propter paral-
Inxin latitiido mercurii aliquantuium minor ipfi ripparebit,
atque difFerentia exfurget prope ad 8^'. Qiiamobrem Ob-
dorae , \bi haec coniundio , Ible horizontem tencnte , coii-
tingit , latitudo mercurii apparebit i6^ , 23''''. vnde fi dia-
meter folis apparens maior fuerit 32^, 46''', mercurius
per iolis difcum tranfire confpicietur. Tabuiae autem Aftro-
nomicae apparentem diametrum folis hoc tempore maio-
rem non oilendunt quam 32', ex quo concludendum efl:
mercurium in hac coniundione extra limbum folis verfari
debere. I^cilicet momento coniundionis , quo mercurius
et centrum folis eandem tenent longitudinem ; poft con-
iundiniem autem , quia latitudo m.ercurii decrefcit (ingu*
lis horis 3 5^',- vna hora poft coniundionem ktitudo mer-
curii erit 15', ^S''' ^ atque 1 tum mercurius fecundum
longitudinem a centro folis diftabit 3^, 41"', in qua di-
ftantia folis\titudo adhuc maior quam 15^, 34''. Qiiod
fi autcm inuelligemus , quam prope pofl: coniundionera
mercurius ad centrum folis accedat , inueniemus minimara
diftantiam clTe 16', ii^^, idque Obdone , Ybi fol pro-
pe horizontem hoc tempore fpedlatur, atque per parallaxiu
latitudo mercurii apparens diminuitur, quae diftantia cum
adhuc maior fit , quam femidiametcr folis apparens , fequi-
tur omnmo fecundum iftas tabulas correcflas , quibus fiun
"vfus , mercurium per difcum folis non efle tranfiturum.
E c 3 DETER*
DETFRMINATIO EXACTIOR
GRADVVM PARALLELORVM
AEQ.VATORIS et MERIDIANI
^n M^^^'^ TeJhim hypothetice fphaerica, aut [prouti pef
regentijjimain dimenfimein Jlabilitur) fphaeroide.
AVCTORE
r. iV. de PFlNSREm.
Geographorum mdrimina , circa figurnm Telluris
detcrminandam , Ysque ad Riaioli tempora , qui
ipie huic operi inuigilauit , ex ipfius Geographia Re-
formata abunde confknt ; Recentiorum vero conatus , e
praeclaris eorum de demenfioue telluris opcribus editis ,
tberius perfpiciuntur.
Plerique eorum , dum dimenfionem terrae aggrefli
font ., eam -figuram habere Jphaericam , tacite ruppofue-
runt \ hinc quoque ex arcu quodam meridiani cuiusdam ^
aut circuli maximi metifurato , magnitudinem totius globi
terraquei , eiusque proin diametrum , peripheriam , fuper-
ficiem et foliditatcm , determinare allaborarunt.
Et quamuis in diuerfas abierint fententias Eruditorura
nonnulli , Eugemo et Newtono terram Jphaeroldem efle ,
cuiu£ diameter, axem data ratione fuperet. CaJJinis ye-
ro patre et filio diametrum ab axe fuperari afiirmantibus;
non defuere tamen magni nominis Viri qui llluflriirimo-
jTum Academiae noflrae Membrorum , Marchionis Fokni
et /^o^i fententiam ample^entes, tem-m nihilomimis pro
Jphaerica reputari , feque in dimenfione a Ficcardo inGal-
iia^ Cecuio p^'oxime elapfo infiituto, acquiefcere poffe au-
DETERM. GRJL, TJRALL. JEQT. ET MER ii^gr
tnmarunt. His perpenfis , me rem haud inutilem ac in-
gratam fadurum ratus , tabulam fingulorum parallelomiri',
per partes aequatoris expreflbrum , denuo ad calculum re-
Tocaui , et a Yariis , ■ quibus diuerfi Geographoaim libri
fcatent , mendis purgaui. Adieci e regione quantitatem
gradus paralleH , per hexapedas Gallicas , de nouo ad du-
dlum praecedentis tabulae fupputatas , vt et per pedes ex- "
preffiim Londinenfes ; quoniam ratio harum menfurarum ,
ceteris notior erat , et maiori eum cura haud ita pridem
in Academia nofira determinata , vt frcile cum Menfura.
hoc iii Imperio vfitata comparari poflic
md. Tab. A.
EunJem porro quem in priori columna Tabulae;
A. dedi , hic denuo fi=fto latcrculum , cui , prouti titulus
frontis innuit , non folum partes temporis partibus
aequatoris relpondentes iunxi , (ed etiam Ylterius , gra-
dum aequatori?' cum gradibus parallelorum comparaa-
do , quis ille in horum vnoquoqiie valeat , per partes cir-
culi aeque ac temporis , exprimere volui ; hos fiquidem
Laterciilos , calculi Afironomici et Geographici molcftiam'
certis in analogiis inltituendis , quodammodo roinuere pof-
fe confido.
17^. Tab. B.
Anno tandem proxime elapib , ad manus noftras per-
Tenit ,. liber Celeberrimi Academiae noftrae 5odalis de
Maupsrtuis , qui Figuram Teiluris, vna cum laborum Soci-
is eruditis , in Lappofija aeque ac Gallia , maioribus ad
id vfus , magisque exade elaboratis inflrnmentis Aftrono-
micis , quam praecedentia quidem Tiderant fcaila , derer-
minare aggreflus erat, Hdc"
iia^ DETERAL GRAD, PARALL. AEQJ^. ET MFR,
Hoc libro ledo , cupido animum incefllt y parallelo-
rum gradus in Figiira Teldiris Sphaeroide , inibi ftabilita
fupputandi , illisquc gradus meridiani lungendi, qui quidem
ex comparatione gradus fub circulo pokri menfurati,^ cum
,gradu lub Paralielo 49° a Viccardo iam ante menfurato ,
nunc autem curatius determinato , deducendi erant.
Communicauit mecum , hunc in finem benigniffime
methodum fuam, Celeberrimus Euleriis ^ mire facilem et
compendiofam , quam ipfiirimis Viri Celeberrimi Verbis ,
bona cum eius \'enia , praemitto ; quoniam ea mediante,
quae mox exhibebuntur , confe(5lae funt T-^bulas C et D.
METHODVS
VIRI CELEBERRIMI LEONH. EVLERI
Determinandi gradus Meridiani pariter ac ParalleU Telluris
fecundum Menfuram a CELEB. de Maupertuis cum fo-
ciis inftitutam.
rjy duobus gradibus Meridiani exacfle menfuratis , quorum
alter fub ipfo circulo polari compertus eft 5743 8 hexap.
Paris. alter fub eleuatione Poli 49° 57183 hexap. Figura
ct magnitudo terrae ita determinatur ^ Yt fit :
Semiaxis terrae zn 3253525 hexap.
Semid. aequatorisiz: 328 i 570 hexap.
Hincque axis terrae ad diametrum aequatoris rationem tc-
neat proxime vti
182 ad 183.
METHOD. VlRl CELEBER. LEONH. EULERI 21$
Ex his datis reguLie poterunt tradi , tam ad fingulos Me-
ridianorum gradus , quam ad gradus Paralklorum defi-
niendos.
Problema. I.
Sub data Ekuatione FoH definire quantitatem vnius gradus
in Meridiano,
Solutio,
Bini cafus funt refpiciendi, prior , fi Eleuatio Poli maiof
fit , quam 45°, pofterior , fi ;/?i;/or fit quam 45"*. Vtroque
cafu Eleuatio Poli bis fumatur , ac priori cafu exceflus fu-
pra 90% pofteriori defedlus infra 90°. notetur ; atquc
fine exceflus fiue defedus capiatur Logarithmus finus , ad
eumque perpetuo addatur ifte Logarithmus
2, (5718815
atqiie a fumma fubtrahatur Logarithmus fmus totius
10 0000000
Logarithmi refidui quaeratur numems refpondens.
Ifle numerus hoc modo inuentus , priori cafu , quo Ele*
vatio Poli maior eft, quam 45°, addatur ad 571 17 , 6 hexap.
pofleriori cafu autem , quo Eleuatio Poli minor erat,
quam 45° fubtrahatur a 57117, 6 et numerus refultans
dabit magnitudinem gradus Meridiani in hexapedis Pari-
finis. Q. E. L
Exemplum.
Qiiaeratur gradus Meridiani fub ipfb Aequatore
Tom. XH. F f Ele.
22(5 METHOD. FIRICELEBER. LEOm. ELILERL
Eleuatio Poli ergo
duplum eius -
auferatur a
eft o*
- - o*
- . 90'
remanet -
;. fin. 90* =:
addatur
- 90*
10, 0000000
2,6718815
Subtrahatur Log. fin. tot. /2, 6718815
Numerus relpondens 469 , 7
fubtrahatur ab 57117,6
GradusMeridianii:::56648 hexap. Parif. circa Aequatorcm.
Exempl. 2.
Qiiaeratur Meridiani gradus fub ipfo Polo
Eleuatio Poii eft 90°
cius duplum 180*
ab eo fubtrahatur 90'
remanet — 90°
Log. fm. 90° zn 10,0000000
addatur 2,6718815
fubtrah. Log. fin. tot. /2,6718815
Num. refpond. 4<^9, 7
addatur ad 57ii7, <^
Gradus Meridiani =: 575^7 hexap. Parif fub ipfo Polo.
Exempl. 3.
Oaieratur Meridiani Gradus fub Eleuatione Poli 49*
^ Ele-
METH0D,F1RICELEBER. LEONH. EVLLRl. 217
Eleuatio Poli eft 49*
eius duplum 9 &*
ab eo fubtrahantur 90*
remanent 8o*
Logar. fin. 8" = 9,i435553
addatur - - - 2,6718815
fubtrah.Log. fin, tot./i, 8154368
Numer. refpond.
^5,3^
addatur ad
57117,^
Gradus Merid. :=:
57183 hexap.
Exempl. 4.
Parif.
ia
Quaeratur Gradus
Meridiani fub circulo Polari
Eleuatio Poli eft 66* 30'
eius dupium
133*
auferantur
90»
remanet
71-
Logar. fin. 43"*
— 9,8337833
addatur
2,5718815
/2, 5056648
Num. refpond.
320, 4
addatur
57117, ^
Gradus Merid. rz 57438, hexap. PariC fub cir-
culo Polari,
F f 2 ExempL
ft2S METHOD. VIRICELEBER. LEOKH. HJLEM.
Exemplum 5.
Qiieratiir gradns Meridiani ad Latitudinem ^o'
Eleuatio Poli eft 60**
eiiis diiplum 120*^
aUiCrantur 90"
remanet r^o"
Lo^. fm. 30° =: 9,6989700
addatur 2,6718815
/2, 3708515
Numerus refpond . 234,8
addatur ad 571^7 1 <^
Gradus Merid. =- 57352, Hexap, Parif. fub
Eleuatione Poli 60°
Problema II.
Ad datam Eleuationem Poli inuenire Gradum vnum in
Paralklo.
Solutio.
Primo (iimatur Logirithmus Cofmus Eleuationis Poli ,
ad eumque conftanter addatur hic Logarithmus
4,759H47
a fumma auferatur Logarithmus fmus totius , et Loga-
rithmi refidui quaeratur numerus refpondens.
Sccundo duplicetur Eleuatio Poli atque \el aduplo fub-
trahantur 90*" vel ipfum duplum a 90° gradibus auferatur ,
prout Eleuatio Poli fuerit vel maior quam 45° vel mi-
nor.
METHOD riRI CELEBER. lEONH. LVLERL 229
nor. Vtroqne dein cafu capiatur Logaritl mus (inus refl-
dui , ad eumque addatur Logarithmus Cofinus Eleuationis
Poli , indiperque perpetuo addatur 2, 1947602 et a fum-
ma fubtrahatur Logarithmus finus totius bis fumtus nempe
2, 0000000
Logarithmi refidui quacratur numerus refpondens , hicquc
priori cafu , quo Eleuatio Poli maior efl 45"* addatur ad
numerum fupra iniientum , altero cafu quo Eleuatio Poli
minor eft quam 45° fubtrahatur a numero fupra inuento,
ficque prodibit ma^nitudo Gradus in Parallelo propofito»
Q, E. L
Exempl
• X •
Quaeratur magnitudo ynius Gradus in ipfo Aequatorc
Eleuatio Poli ergo cft 0°
Logar. col^ 0° zn 10,0000000
addatur 4, 7591447
^A-> 75914-4-7
Num. refpond. =r 57430, 8
duplum Eleuationis Poli o"
fubtr. a po''
remanet 90
Log. fin. po^ :zz 10,0000000
Log. cof 0° zz 10,0000000
addatur 2, 1947602
fubtrah. 2 log.fin.tot. ^^2, 1^47602
F f 3 Num.
ft30 METHOD. VlRl CELEBER. LEONH. EVLERI.
Num. refp. i5<^» ^
fubtrahatur ab 574-SO> 8
Gradus Aequat. =: 57274- Hex. Parif.
Exempl. 2*
Qiiaeritur magnitudo \nius gradus in parallelo latitudinis 759^447
X4, 4581147
Num. relpond. 28715, 4
Duplum Eleu. Poli efl: 120*
auferantur 90
remanet 30*
Log. fm. 30'' = 9,^^989700
Log cof 60"* rz: 9,6989700
addatur 2, 1947602
fubtr. a.Log.fin.tot.?;!, 5927002
Num. refpondens 39 >i
addatur ad 28715 , 4
Gradus Parall. zz: 2 87 54 s Hex. Parif. fub
Eleuatione Poli 60*
Exempl. 5.
Qiiacratur fub Eleuatione Poli 40° magnitudo vnius gra-
dus in paiallelo
Eleuatlo
METHOanRICELEBER.LEONH.EULERL 1131
Eleuatio Poli eft 40°
Log. cof. 40° m p, 8842540
addatur 4, 7591447
/4,<^433987
Niimer. refpond. 43994, ^
deuatio Poli bis fumta
8o*
auferatur ab
90°
remanet
lO*
Log. fin. 10, ==: 9, 2395702
Log. cof. 40* iz: 9, 8842540
addatur 2, 1947502
^i, 3185844
Numer. refpond. 20,8
fubtrahatur ab 43994, 6
Gradas Paralleli n: 43974 Hex. Parif. fub Eleuationc
Poli 40*
Tai,.
Tab. A.
Singuli gradus Parallelorum Aequatoris , per mlnutias Aequatoris «-
prein , quarum valores quoqae per Hcxapedas Galiicas et Pedes An-
glicanos , liipporita figura Telluris Sphaerica , per menfuram Piccardia-
nam determinati exhibentur.
Gradus
Minutiac Ac^uat. |
Hcxa^Kd.ie
i'cdes
latitudinis
1
Gallicac
Anglicani
O
60'
0*' Q'"
5706O
3<54734
I
'59
59 27
57051
3<^4678
2
5P
57 48 .^
57025
3645 ii
3
5P
55 4
; 5^982
364234
4
■5P
51 14
S<592l
363846
5
5P
4<5 18
5843
363346
6
55
40 17
>^747
362737
7
59
33 10
56(535
362015
8
59
24 58
55505
361185
9
59
15 41
55
80
10
25 8
9908
63335
81
9
-23 10
8926
57057
82
8
'2 1 I
794^^
507<5o
83
7
'18 44
6P54
: 444^50
84
(5
^1(5 1 I^
:'• 5954
38125
85 :
5
13 4<^ .
! : ^^"73
3178P
S5
4
'%^ "2T'
- 3980
25442
-
87
,,j:
^' 2p86
19089
88
2
5 38'
- 1991
12729
89
I
2 50
'• 99^
6366
90
0
0 0
'000
0600
.
Tab-
Tab. B.
Tabuk Qiiadripartlta
fingulds jGraclus Pgrallelorum per Mimitias Aequatofis parlter ac Temporlsi exliibens,
Gradiim! Aequatoris per^Gjradus Parallelorum et "Minutips Tctnporis refpondentes ex-
! . ' i primens. ' . _ \
DecJ. r.
Latitudo
Parall.
MiDUtineAequatoVis
aequinalentes vni
Giadui Parallcli
Minutiae Temporis
Minutiis Acquatoiis
rcfpondentes.
Dccl. i\
Latitudo
Parall.
Grad. Aequatorisper
Gr. Min.etc.fingulo-
runi Parall. exprtfTus
Minutiae lempori
PartibusCirculi
lelpondentes,
59
59
59
59
57
55
S9 51
59 4^
27
.48
4
14
i8
M. S. T. CL
3 S9 57 48
3 59 51 12
3 5-9 40 1(3
3 59 24. 56
3 59 5 12
0
1
II
III
M. S.
I
, 0
0
33
4 <
I
0
2
12.
4 (
I
0
4
56
4
I
0
8
47
4
1. QJ
0212
o 8 48
o 19 44
o 3^
I O 13 45 1 4
55
. 9
10
59 40
59 33
59
59
5P
24
15
5
17,
10
58
41
18
3 58 41 8
3 58' 12 40
3 57 3i) 52
3 57 2 44
3 5<5 21 12
, 6
- 7
,8
9
10
,1 . o ip 50
!i .027 2
1635 23
1 O 44 52
I o 55 • 33
4 I ip 20
41 48 8
4 2 21 32
4 2 s9. 28
4 3 42 12
1 1
.12
13
.14
15
I<5
17
20
5»
58
58
58
57
53
41
27
13
57
51
20
44
4
20
3^55 35 2411
3 54 45 i^O
3 53 50 55
3 52 52 16
351 49 20 I I
II
12
13
14
15
I 7
I 20
I 34
1 50
2 7
23
25
42
12
O
4 4 2P 32
4 5 21 40
4 5 18 48
4 7 20 48
4 8 28 o
57 40 3 3
57 22 42
-57 3
-V<5 43 .
«^^- 2 2
48
52.
54
3 50 42 12
3 49 30 48
3 48 15 12
3 \6 55-28
3 .45 31 3<5
i5
17
18
20
2 25;
2 44
3 5
3 27
3 51
4
2P
i5
25
2
4 9 40 l<5
4 10 57 5<5
4 12 21 4
4 13 49 44
4 15 24. 8
21
22
23
24
25
I
25
2"7
28
2<>
30
5 n
7/. 1 M. s.
T. Q:
31
51
25
48
3 25
43
12
^'
I 9 59
53"
4 39
59 32
32
50
52
58
3 23
31
52
3^
'\ 10 4?
3
4 43
0 12
33
50
IP
U
3 21
16
52
1 33
I II 32
30
.4 4^5
10 0
34
49
44
32
3 18
58
8
1 ^^
I 12 22
23
4 49
2P 32
3-
49
8
^8
3 16
35
'^i
II 35
I 13 14
45
4 52
59 4
3<5
""
32
28
3 14
9
52
II ^^
1 14 9
50
4 S6
39 fO
37
47
SS
5
3 II
40
20
3a
1 15 7
42
5 O
30 48
38
47
\6
50
3 9
7
20
r \6 8
^8
5 4.
33 52
39
4*5
37
44
3 ^
30
S6
11 40
I 17 12
19
5 8
49 l^
AO
45
57
4<5
3 3
51
4
I 18 19
27 f 5 13
17 48
41
45
16
57
31
7
48 M 41
1 19 30
3
5 18
0 12
42
44
35
19
2 58
2l
,6 11 42
I 20 44
■17
5 22
57 8
43
43
52
52
2 55
• 2 '^z
31
2'
? 43
I 22 2.
23
5- 28
9 32
44
, 43
9
37
38
28 j 1 44
1 23 24
3<7
5 33
38 24
45
42
2S
3 5
' 2 49
42
2D rl 45
I 24 51
10
5 39
24 40
46
41
40
46
2 4.CJ
43
4 M 4«>
I 25 22
25
5 45
29 40
■ 47
40
55
12
2 43
40
48 M 47
28 48
16 W 49
1 27 58
3<5
5 51
54 24
48
40
8
52
2 40
35
I 2i? 40
7
5 58
40 28
49
39
21
49
2 37
27
I 31 27
18
2 47 25-
36
■ ii p 42 24
70
20.
3.1 i<^
12:! 5
4
70
2 5 5 25
45
11 41 43 0
71
19
32 8 •.
32 sfe
• I iS S
12
71
3 4 i?
33
12 17 10 12
72
18
I 14 -^
52
72
3 14 P
47
12 ^6 3X> 8
73
17
32 32
1 10 10
8
73
3 25 13
9
13 40 52 36
74
15
32 1 8
■ I (J j5
12
74
3 37 40
34
14 30 42 16
75
15
3r 45
12 7
0
75
3 51 4X)
l^
15 27 17 16
7<5
14
30 55
0 58 3'
40
76
4 8^
52
. 16 32 3 28
77
13
29 49
0 53 59
16
77
4 26 43
37
17 45 54 28
78
12
28 . 2p
0 4P 55
56
78
448 35
I
19 14 20 4
7P
n
s^y ^5
0 45 47
40
7P
5 14 -^7'
21
20 57 4i> 24
80
10
25 8
0 41 40
32
80
5 45 31
35
23 2 6 8
81
p
23 10
0 37 32
40
81
623 3 s
44
25 34 i0^5<5'
82
8
21 I
0 33 24
4
82
7 Ti 7
H
■ 28 44S>'35'
83
T
18 44
0 2p 14
SO
83-
8 i^ ip-
35
32 49 18 20^
84.
(J^
15 18
0 25 5
12
. 84
P 34 0
3C5
38 i 2-24
85
S
13 46
0 20 55
4
85
II 28 24
ZS
4? 53 38 20
86
4
11 7
0 16 44
28 •
' 86
14 20 p
29
• 57 20 37 5(S
87
3
8 2jr
0 i2 33
40
87
J9 6123^
43
M 16 25 34 52
8 8
2
5 38
0 8 22
32
8?
28 3P- 17
2
1 r <4 37 8 8
8p
I
Z 50
0 4j 11
20
8p
57 17 19
$7
• 3 49 10 3p 48^
90
0
0 0
000
0
90
000
0
1 0 0 0 0 O"
Gradus finguli Parallelorira Acquat6ris'pei* incnruram Tellurls
h polari et 49°Iatitudinis Celtber. deMaupertuis dcterminati ,
a Ccleber. Eulero tradita fupputatv ^^ J" Hexapedis GalHcis
fub circu-
methodo
exhibiti.
GJat. I I Hexa.D:c. | Diff. i. ] Dift. 2. \ \ G,hu | ) Hexa. Dcc j biff.
29
57274.
57266.
57239.
3 I i 5719^.
4 I I 57136.
57058.
55963.
5685.2.
56722.
56576.
56413.
5^^233.
56036.
55821.
555.90.
^9 I
55-341.
55077.
54798.
54499.
54^85.
53-855.
535^7.
53144.
52765.
I 523^9-
51958.
51531.
5x090:-
50631.
50157.
3^9.^
348. o
363.1
379. 3
395- 3
49668.
49164.
48646.
481 12.
47563.
4-7000.
46423.
45831.
45226.
I 44606.
4+
43973.
41327-
+2667.
4:994.
41308.
16.
17.5
16. 8
M
n. 3
16.6
18. 8 I
16. o
17. I- 1
17- I
16.7 II
n 4 II
16. 7
17.6
15., 8-
14.7 11
19. 6
15.4
iJ-4
18.4-
15. I
16. 2' II
16. 0 1
15.8 II
15-9 1 1
14.. 6
^5- r
14. 4
15. 3 1
15- 3 1
14. 5 1
15.4
14.4 1
15.6 1
H-3 [
14.2
14. I
13-9 1
13.6
13.5
13-2 1
13.2
13. 0 1
i«.6 1
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
32971. 7
32147. 7
31313« 6
30470. o
29616. 8
60
28754.
5
61
27883.
2
62
27003.
2
63
26II4.
7
64
.^5218.
2
65
-66
67
68
-69
24313. 8
23401. 8
22482. ^
. 21556 I
j 20623. o
70 r
1 19^^83.
5
7'
18737.
8
•72
17786.
2
73
i682g.
0
74
15866.
7
75
76
77
78
79
14899. 3
13927. 2
12950. 7
11970. 2
10986. o
80
81
82
83
84 I
9998.
9007.
8013.
7017.
6019.
85
5018.
8
86
4017.
0
87
3013.
8
88
2009.
7
89
1005,
0
90
0
40C09.
39898.
39175.
38439.
37692.
7
5
1
6
3
36933.'
36162.
2
8
35381.
34588.
33785.
2 "
6
4
711.
723.
735-
747
.759«
770.
781.
792.
803
813.
824.
834.
843.
853.
862.
871.
880.
888.
896.
90^;
91.2^
919.
926.
933.
939-
945.
951.
957.
962.
967.
972.
976.
980.
984.
987.
990.
993-
996.
998.
1000.
lOOI.
1C03.
1004.
1004.
1005.
I. |D.ff.:.|
. 2
12. 2
•4
•5
•3
! 2. I
ly-t
I
11- 8
4
U- 3
6
II. i.
6
II. 9
2
ro. 6
•7
10. 5
0
10. 3
I
10. 1
6
:p-5
2
5>. 6
3
9. .1
3
9.0
.c
8-7
5
8 5
5
' 8.;C
4
- 7. :9
-P..
^7.6
3
7-i3
4
7-1 1
1
6.!7
5
6.4
7,
6. 2
6
5- 9
2
5.6
3
5- I
4
5.1
I
4-7
5
4- 4
5
4. 0
2
3-7
8
3.6
8
3- 0
7
2.9
2
2.5
4
2.2
3
I. 9
8
I- 5
I.
4
0.
9
0.
6
0.
3
Tab. D.
Singu'i Gradus Meridiani Telluris e determinatione Ccleb. de Mau-
pertuis etc. Methodo a Celeb. Eulero iuppeditata , calculati et per
Pcrticas Gallicas expreffi.
G.Iac. ; Hexap.Dcc. I Diff.i ( D,ff.
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
4-2
+3
45
9
I
2
3
4
5
56647. 9
56648. 2
56649. 0
56650. 5
56652. 5
56655. 0
6
7
8
56658. 1
56661. 8
S6666, X
9
10
56670. 9
56676. 2
II
56682.
I
12
56688.
5
13
56695.
4
14
56702.
9
15
1 56710.
8
16
56719.
3
17
56728.
2
18
56737.
6
19
56747.
5
20
56757-
8
21
56768.
5
22
56779-
7
23
56791.
3
24
56803.
3
25 1
56815.
7
56828. 4
5684T. 5
56855. o
56868. 7
568S2. 8
56897. I
56991. 7
56926. 6
S^^P^i. 7
56957. o
56972. 5
56988. 2
57C04. o
57019- 9
57036. o
57052. 2
57068. 5
57084. 9
57^01. 2
57117- 6
o. 3
0. 8
1. 5
2. c
2. 5
3. »
3. 1
4. 3
4 8
5- 3
^ 9
6. 4
6. 9
7. 5
7- P
8. 5
8. 9
9. 4
9. 9
10. 3
10. 7
11. z
11. 5
12. o
12. 4
12. 7
13. I
13. 5
13. 7
14. I
14. 3
14. 6
14 9
15. I
15. 3
15- 5
15. 7
15. 8
15. 9
16. I
16. 2
16. 3
16. 4
16. 3-
16. 4
16. 4
G.lat. I Hcx.p.D'.c I Ditfci-.
I I
40
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
81
82
83
84
86
87
8S
89
90
I 57134. o
57150. 3
57166. 7
57183. o
I 57199. 2
57215. 3
57231. 2
57247. o
57262. 7
I 57278. 2
57293. 5
57308. 6
57323. 5
57338. I
57352. 4
57366. 5
57380. 2
57393. 7
57 + 06. 8
57419- 5
57431. 9
57443- 9
57455- 5
57466. 7
57477- 4
71
57487.
7
72
57497.
6
73
57507.
0
74
57515.
9
75
57524.
4
76
57532.
3
77
57539.
8
78
57546.
7
79
57553.
I
So
57559.
0
57564. 3
57569. 1
57573. 4
57577. I
85 I 57580. 2
57582. 7
57584. 7
57586. 2
57587. o
57587- 3
16
15
15,
I 5
15
15
15
14
14
14
CLASSISSECVND/L
CONTINENS
PHYSICA.
Tom- yil. H h DE
^i' mxoco-iM-jicmjSFFNcn KAmAims
§. £. Anteqnam aiitem rem aggrediar, necefle erit prae^
mittere aliquas dcfinitiones , qu^s optici , et veteres et re-
^entiore^ ^ ad de(|ribendunit^ ^guid^ fit ipi^gp in^Cpeoulo- alit
quo apparens / cofcciiifannmtl AWazen igitut opticae^ libr. ^.
6^p\/i'^dicit/i^\/7^M]gY?' 'efi fortj^a '|»p'i//^'j^ IpQJita.^^ipeXjitji^
rsjlexa *, vel /<7m^ c^i^ppjpk^^Jk} iv (xrpmr polito nomi-
natur imago. Barrbiifuf m lect." 'bpticis pag. 4. magls
adaequate lo^wdir-,^ 'eM' ^liit V *?iyfef(S^.f ^-iii^i nil plane
Jiint aliud ^ quam lux akfdbW&Ulita rejlexa \:el refra&a^
fvt rurfus in vfnmLJmim talefncius^ifecQjjj^^iti^^f^ , qua-
Jem tunc obtinutt\''qiium 'di^ origmaIi<^^profIueret obietto ^
direEIoque verfus oculum itinere procederet , quo Jit , ^t Ji-
7niUter obiecia , fed tanquam atbi collocata , repraefentent.
Benc haec cerce fe habent , fi fola tox: ftmiliter^ omirratmv
n^fi' Wifitf ^ gen^itairffini^ int^e)a:aM'-=':in|1is.r- rft^iifi?J31d^^^-e^^
:^culofuni - cuiUilineonim geWere^ '- Jimagd • foni& |ilane di^i
}5(!)teft ^^fiio' obie<^0. 'Plura^/i quam -^qul^'- hiiic defiditioni
nec^flSiria funi , 'mifcet'-'jR^^^?^j^',?'dum p^k-fipom.- in Vi-
tellionem pag.' ' '60 - inquic :' * ' iinago ^ ^fi ■> 'vifto • rei ■ '■ ''alimus' ^^'
cum -errdre facultatwn-^'ad'^if^n" 1'onciUrmiftUmy, QomtmUti?
Sapit' enim' magis metaphyfic^tti , quam phyficam f^ai*
geometriam , haec explicatio.; , - 1'-'- - ^
' §. 3. 'Praemiffis^liisdefinitAonibiis imaginiS' if«''fp€tuIo;^
quocunque , ad .inftitutum ' iam pr()pilis - itdi:'edatn '\ '^ ad ■ 'M-
aim nempe eum i defignatidum ', - quein ^' obie^^um qnodtu»-;
que , fpeculo ' ciiiuscunqtle generis oppofitum ,' irt Ipecula
Occupare -videtfe' A bfoluit : enim tctius catoptricae tra6ta-"
tionem praecipi^iam haec quaeftio ; fcd i^git tantum de lo-'
co puodi >^^ius in i-pecplTFm r;i,diantis ^j.quoniamy fi fit^giV-';
lorum
^- IN^SPECVLFM crmUNErM ^4^
lorutn talium punflorum iimglnes et loca determina-
ta fuerint , totius deinde etiam obiedi extenfi locus iuftus
hvabetui-. Ab antiquiirimis igitur catoptricae fcriptoribus
haec lex (labilitii • fuit : pun&i in Jpeculum quodamque rd"
diantis imi^^m^ri ibi apparere , n^bi cathetus incidentiae^ ...
mn radio reflexo concurrit \ vt, fi ex. gr. pundlum ra-Fig, i*
dians fit in R, a quo in fpeculum Iphaericum conuexum
cadat radius R 1 , cuius refiexus intret oculum intuentem
in O^; duxerunt ex R cathetum incidentiae RD, ver-
^entem ad C , (i C fuerit centrum arcus ipecularis AB^
deinde reflexum O I continuarunt in diredum , donec con-
curreret cum catheto incidentiae in r , atque tum in loco
r im;iginem pundi ' R haefuram efle afleruerunt. Eucli'
.^fi..^quidem in catoptricis nou iisdepi; hifce verbis ^Qn-
tentiarh hanc, lam eo tempore receptam , plene eflert ,
£ed id folum demonllrat : in planis , conuexis et cauis
Ipeculis afpedabile quodlibet cerni in linea reda , dud:a
ab afpedabili perpendiculariter ad planitiem , aut ad cen-
trum fphaerae ^ cuius^portio eft fpecuium. C"«m vero
hoc per fe' intelJigatur , pun(flum quodcun lue apparere
debere in radio reflexo , qui imaginem puncli fui oculo
quafi afferc ; manifeiliffimum eft , ipfum quoque hanc fen-
tentiam exprimeie voiuifle ; quamuis nusquam diierte af-
ierat , pundum 'radians apparere in radio reflexo ; ex
clns Prop. VII. et aliis tamen-hoc non obfcure intelli-
gi: poteft- Ftolemasus deinde et AJhazen opt!cae lib. V.
cap. 2 Nr. 8. diferte ponunt : imago in amcumque fpe-
culo videtur in concurfu perpendicularis incidsntiae et li^
mae reflexionis. Hos fec uti funt ViieUo , Fabry. , Taque-
tus ,xi plures recentiorum alii , vt micum fit , errorem
H h 3 . hunc
i^6 m LOCO IMAGimS PrNCTI RADIAKTIS
hiinc ad noflram aetatem vfque per dodiffimos virospo-
tuifle propagari.
§. 4. At videamus iam probationes , quibus hoc af»
fertum ftabilire conati funt viri modo aliegati ; nam iii
hac re fibi non defuerunt argumentis vtcunque ipeciofis.
Primus itaque EucUdes expcrimenti feu phaenomeni loco
praemittit liiae demonftrationi : in fpeadis quibuscunque ,
occupato , hoc eft , obtedo , eo JpecuJi loco , in quem ca-
dit perpendicularis , du6ia a re ajpe5tabili ad Jpeculum ,
rem afpe&abilem non cerni, Hinc Propp. XVI. XVII.
XVIII. argtimentatus eft : quoniam occupato loco D pun-
dum R cerni non poteft , videbitur pundum R in ali-
quo pundo lineae redae R d , produdae in direcftum ; vi-
detur autem fimul in radio O I , produdo in diredum ; ergo
videbitur in pundo aliquo,quod vtrique redae RC et 01
commune eft , hoc eft , in r. Qiiae vero in hac demonftrationc
reiicienda fint , dicam poftea.
§. 5. Secundus Albazen duplex argnmentum affert
ad (ententiam eandem probandam. Prius nititur iterum
yi.T. 2. experimento , nempe (equenti. In fpeculo ex. gr. fphae-
rico conuexo E F , cuius centrum C , erigatur perpcndi-
culariter bacillus B D , cuius tota imago intra fpeculum
apparet. Ponatur in hoc bacillo alicubi fignum A , di-
cit iliud apparitiirum in a fic , vt diftantiae B A et B
a futurae fint aequales , oculorum nempe iudicio , lib.
V. cap. 2. Nr. 3. quod quidem experimentum , etiam-
fi verum eftet , fententiam tamcn hanc potius euerterct,
quam adftrueret : ita legitimi nexus exper mentorum cum
conclufionibus illa aetas tliit inicia ; et in lioc ibio fa^^ere
vide-
IN S2ECFLVM CVRVmmVM 247
videtur Arabs , quod argumentiim EucUdis , modo alk-
tum , cum ceteris ex eo decerptis , non afferat. Alte-
nim eius argumentum metaphyficum efle videri poteft ,
dum cenfet , nullum digniorem imagini locum tribui pof-
fe , quam ab ipfo afllgnatum ; atque fic dignitatem fitus
perpendiculo metitur. Alhazenum preflb pede fequitur
Vitelh , ita , vt alter priori etiam hic , vti in ceteris
quoque, fit fimillimus.
§. 6, AflTerti falfl adhuc emendatiorem dedit probationem
Tacquetus ^ catoptricae lib. i. prop. 22. male tamen id-
circo laudatus a Clarldo in notis ad Kohalti phyficam
parte i. cap. 34. §. 18. quafi rede propofitum demon-
ftraflfet (iium. Is adhibito eodem bacillo perpendiculari
ad Ipeculum B D , fed omiflTo figno A , experientia nos
edoceri ponit , imaginem huius bacilli B^ efle in direc-
tum cum bacillo ipfo. Hoc experimentum , adiungit porro ,
vel centies ab ipfo fuifle exploratum , atque eos , qui ne-
gant hoc phaenomencn , experimentum feciflfe aut ofci-
tanter, aut imperite , dum nempe flylum fpeculo non
exade ad angulos redos impofuerint ; caufam quoque
phaenomeni in eo fitam eflTe ait , quod , cum perpendi-
cularis flylus nufpiam inclinetur , nulla etiam ratio adfit ,
cur imago in vUam partem magis , qu:im in aliam incli-
net ; ac proinde necefle eflTe , vt ea vnam cum fiio pro-
totypo lineam redam cfficiat. Hoc eodem vtroque ar-
gumento nituntur quoque adhuc omnes illi recentiorum ,
qui eandem fententiam hucufque propagarunt ; (ed et ob
ipfum hunc errorem admiflfum coguntur cum Tacqiieto fa-
teri , locum hanc fententiam non habere in fpeculis cauis,
fed veritatem aflerti veterum deficere a phaenomcnis in
cafu
248 D£ LOCO IMAGmiS PrNCTI ,RADlAnTIS
cafu noa Yno. Qiio4 quidem , \t Kepkrus loquitur , nf^
cula foeda ' eji m pafSemma Jcientla. ' . ' ^ '
§. 7:' Priinus autem , quantum inuenife f)Otui , Hre-
terum huicTententiae obfHcit Keplerus in Paralipom. " ad Vi^
telllonem pag. 56 feqq. eandemque emendaturus pag. 75.
pro loco imaginis alTignando in fpeculo parabolico con-
Fig. 3. vexo (equcntia profert : fit fpeculum parabolicum «^ y ,
^ bculus iii '^ ^' obredum in % , fic,Yt incidens. y\ P','etfe-
flexusj (3 <^ ficiant angulos aequales vtrinque cum tan^entc
e [3 <$^. lam vctereb optici , pro loco imaginis determ^-
nando , iubent ex 'w\ in fpeculum ducere perpendicula-
rem 7) 0 , atque refiexum ^ (3 tanQdiu continiiare , doliec
priorem perpendicuiarenn fecet in w, ftatuuntque pundunl hpc
fedionis locum* elTe imnginis. ^^, pergit ille , (verior ra-
tio iubet inuenire circulum , qui contineat rationera curui-
tatis , quam habet Jeciio in |3 , puncio repercujjus : ( ba-
bent autem aliam atque aUam huiusmodi mixtae lineae )
Sit quantitas k p , et duUa ex ^ ipfi e ^ perpendivulari' ,
quae Jit ^ k ^ centrum circuli ponetur in ' lined (3 k , con-
iwigeturque (3 k , eritque locus imaginis , ibi ^ p conti-
nuata fecat y\K , fcilicet in \k. Vocat deinde difertis ver-
bis redam k (3 rationem curuitatis.
§. 8. Qiiamuis itaque haud diffiteri pofTim , ne(cire
me, qua ex caufa veterum regulae hanc nouam fubflitu-
erit Keplerus , cum nuilam ipfe conftrudionis fiiae afferat
rationem : videtur tamen id folum efficere voluiffe , vt
hoc modo fpeculum parabolicum pro fitu puncti reper-
cuffus p reducatur quamproxime ad fpeculum circulare ,
vt deinde fimili modo ilhid tradari pofTit , quo haec
tradata vfque ad iilam. aetatcm fuerunt. Adeoque iaga-
ciffimus
IN SPECFIVM CVRVILINEVM tj^§
ciiritniis aiictor methodiim veterum ad alia fpecula , quam
circularia , extendi non pofle , potius docet , quam ipfam
methodum antiquam euertit. Nam facile patet , eandem
hanc methodum keplerianam coincidere plane cum antiquay
fi transieratur ad fpecula circulaiia. Sed hoc praeterire
non pofliim , primam in allegato loco omnium , quantum
quidem fcio, circuli ofculantis no.tionem occurrere/ Quam-
"vls enim quantitatem ipfius (3 k determinare non potuerit
Keplerus , ideam tamen circuli ofculantis et radii ofculi
animo ipfius infedifle euincuiit omnia ipfi adhibita verba,
qualia funt : inuenire drculmn , qui contineat rationem cur^
mtatis , quam hahet fe&io in (3 ; habent aliam atqut
aliam rdtieiiem curuitatis huiusmodi Uneae mixtae \ fit vi^
petpendicularis ad tangentem e S^ ; recia ^ k ejl ratio cur-
tuUatis. Vt plane iucundum fit intelligere , quae negotii
lniius , a recentioribus iam diligentilTime pertradati , vmbra
perfpicacifllmo huic viro iam tum obueriata fuerit.
§. 9- Meliorl autem longe (ucceflli veterum hanc
'opinionem , quam errorem in optica capitalem vocat ,
plane euertit Barrouius , fubftituitque illi primus aliam ,
fuam , et quae veritati conformis eft. Si enim , arguit ille
in ledionibus opticis , lect. VI. §. ip. imago a pun&o
reflexionis B tanto diftat interuallo , quanto pun^ium radians
ab eodem femouetur : fol^ ex huiusmodi reflexione confpicuus^
ad tantam , quantam diredte fpectatus , diflantiam deberet
tipparere ; quod immane , quantum experientiae refragatur,
Aliud deinde fubiungit experimentum , cum fpeculo cnuo
inftituendum , I. c. led. X. §. 27. Si tanquam circa
puncium a accenfa candela fpecub cauo EBF exponatur ,
Tom. XiL li ocub
dsp. DE LOCO IMAGINIS PFNCTI RADIANTIS
oculo ^'velut ad dfito, hnge maiori dijlans interuaJlo con-
Jpkietur , quam ipjo a B ; quinimo , tantillo verfus centrum
illam addiicendo ^ non aequali dijlantia ^ Jed admodum ma-
ipri vidMtuK dongari.y tanta circiter ad Jenjum probabi-
iemque coniecturajn^ quantam proportio requjrit a nobis
praeftita. Ita vero d^inde vir egregius erroneae Icgiti-
mam fubftituit opiniouenr , vt minim fit ^ hanc ne^edtam
hucufque ia lcriptis opticorum, iacere.
§. xo. Accedam nunc a^i id , vt oftendam , vbi hae*
feant vitid in probationibus veterum occurrentia- Igitur
Euc/idis demonftratio nititur experimento plane falfiffimo ,
cuius :&l{itas manibus fere palpari poteft ^ ita, vt vix fpe-
culum , vel planum , vel aliud „ vnquam ad manus huic
fuiffe credi poflit. Tegatur enim ex eius (ententia pun->
dum D in quocunque fpeculo : obiedi imago nihilomi-
niis in oculos , plane vt ante , incurret. ABazeni et Fi^
tellonis experimenta , ad probationem fiiani addudla, vim
quoque naturae inferre , abunde iam probaui ex Barrouio^
§. 9 ; et quae de dignitate loci ab ipfis aflignati in medi-
um proferunt , prudenti harum rerum aeflimatori quam
ininime perfiiadebunt.
§. 1 1 . Pauilo autem difKcilius efl rnuenire ea , quae
in Tacqueti demonflratione monenda occurrunt. Vera
dixiffet celebris hic auctor ^ fr dixiffet: imago bacilli ^a
fig. 3. apparet iti diredum iacens cum bacillo ipfb : cum vero dixit :
ejl in diredum iacens, veritatem rei praeteruedus eft.
Nego itaque plane , in tali experimento imaginem reuera
iacere in diredum cum bacillo ,, quamuiS' oculo phaeno-
menoii hoc ita appareat eiquc iUudat, Qiiodfi enim ae-
qua:
m SPECrLFM CVRVTLINEVM a^r
qna lance trutinemus demonftrationem tacqiietianam , eius
ratiociniura huc redit , \t (equens exinde formetur fyilo-
gilmus , qub probat pund:um a efle in perpendiculari pi*Or
diicfraI)AC : quicquid apparet in perpendiculari ]^ad^
illud ell in perpendiculari ; ergo pundam a eft in per-
pendiculari. Qiiod iam attinet ad minorem propofitionem
huius fyllogifmi , ea negari non poteft , fed omnino recfte
le habet et experimento comprobatur : (ed maior pro-
pofitio vera non eft , quod fequenti nouo expcrimento te-
Itatum facio. Imponatur fpeculo conuexo GAH gno-
mon chartaceus ABD, ita, vt crus AB perpendiculariter
inliftat polo fpeculi A , et crus B D antrorfum verfus o- -.
culum O fpedet. Tum infpiciatur imago huius gnomonis
vno oculo , eoque fic pofito , vt exiftat in plano triangn^
li BAD: apparebit totius gnomonis ABD imago in fpe.
culo Abd in lineam ,red:iffimam extenfa , et iacens ia
perpendiculari BA protfada , vbicunque oculus in plano
memorato verfetur. Idem experimentura fimili fucceftii
inftitui pofteft , fi polo fpeculi A infiftat redlus tantura
bacillus , fed verfus oculum O inciinatus „ cuius imago
pariter in perpendiculari apparet. lam fi quis argnmen-
tari velkt : punclum d apparet in perpendiculari AB^,
ei*go exiftit reuera in eadem : nonne Tacquetus ipfe huic
aduerfiretur , dicendo : fit DE radius incidens , et refle-
xus EO , ducatur cathetus incidentiae DC, fecans refle-
xum retro produdum in ^, erit locus imaginis punfti D
in d^ extra perpendicularem BA^- Ex his igitur mani-
feftitfimum eft plane conciudi non poffe : . imago redae
perpendiculariter infiftentis apparet in perperdiculari hac
produ(5tii , ergo reuera ibi exiftit» Accidit enim profcdo
li 2. hiC
fi^i m LOCO IMJCINIS PFNCTI RADIANTIS
liic fillacia optica , qnae oculo illiidit eodem modo , qno
bacilliim \el giiomonem in quouis plano horizontali Ter-
fus oculum inciinate credlum horizonti perpendicularem ef-
ie putamus , quod reip(a tamen longe aliter fe habet.
Apparebit enim ex vera determinatione imaginis in tali
Ipeculo , §. 12. adducenda , fi conflrudione geometrica
mox indicanda res perficiatur , imaginem . bacilli A bd rc-
vera verfus oculum nipicientcm inclinntam efle , fed decli-
natione ab ipfa perpendiculari BC tam parua , fi oculus
propius pofitus fit , vt impoflTibile fit ean i ab oculo diftigui.
Valeat ergo Tacquetus , et cum eo recentiores ii omnes ,
qui putant (e quam rigidiflime demonftrafle , pundum in
fpeculum Iphaericum radians imagmem fuam nancifci ibi ,
ubi cathetus incidentiae radium reflexum iecat.
§. 12. Reieda igitur hac falfa opinione , accedam
ad eam, . quae vera , noua tamen non efl: , fed inde iam
a Barrouii temporibus , et ab ipfb , et ab aliis quibusdam,
exculta fuit. Dico itaque , imaginis locum in (peculo quo-
cunque ibi efle , vbi duo radii incidentes infinite vkini
Fig.j.BM, B»/, poft reflexionem, in M et 7n fadam , con-
currunt , vel fe inuicem (ecant , (cilicet in F. Vt itaque
etiam quantitas huius redae MF , in radio reflexo pofi-
tione dato , ad vfus fequentes in promtu flt : notum eft ex
analyfi infinite paruorum Hwp/V^.^'i §. 119. vocatis radio ia«
cidente BMzrj^, et demi^Ta in hunc ex centro C perpendicu-
lari CE, appellataque E M = , futuram e^fe MFzz: ^^;
quae eadem formula deducitur etiam ex conftrudione geo*
metrica ea , quam Barrouius tradit ledl. opt. led. IX-
§. II. vbi fubiungit, pundum F, efle locum ipfiflimum,
circa
m SPECVWM CVRVlimEVM. 253
»circa qnem pundi B imago confiftit. Vnde feqnens ori-
tlir conftrndio geometrica pro inueniendo pundo F ,
quae in HoJpitaUi analyfi infinite paruorum omifla eft ,
in (peculo (j)haerico concauo : demittatur in incidentem
perpendicularis ex centro C , quae fit C E , et ducatur in
punclum reflexionis M radius CM * tum bifeda EM in
G , ducatur G H paralleia radio reflexo M F , fecabit haec
GH alicubi radium , fcilicet in H; fi itaque ex pundo _
radiante B per pundum H ducatur re(5la BHF , fignabit
ea in radio reflexo locum imaginis F quaefitum. Nam
erit fic ob triangulum MGH aequicrurum , BG(j^ -*):
GH(i^):=:BM(/) : MF ( ^ ). Qiiodfi autem radius
incidensBM minor fuerit, quam la Yel MG , fiet M
F negatiua , atque tum fequens confirudio locum habebit:
demittatur iw produdam MB perpendicnlaris CEexcen- Fig, 5,
tro C, et ducatur in pundlum reflexionis M radius CM,
«..:m, bifeda EM in G, ducatur GH parallela radiore-
flexo retro produdo MF , fccabit haec GH alicubi radium,
fcil. in H ; fi itaque ex pundo radiante B , et pundoH,
ducatur reda H B , fecabit ea radium reflexum in loco
quaefito imaginis F. Erit enim fic BG [la—y)'. GH
K4g^^)i=:BM(j) : MF (,1^^-). Similis conflrudio locum
quoque habet in fpeculo Iphaerico conuexo. Nam cum
ibi y fiat negatiua , erit MF =: Ef^ == I^- Produ- F%« 7-
cantur itaque et radius incidens et reflexus retro ; tum de-
mifla in iilum perpendiculari C E bi(ecetur M E in G ,
et per G ducatur parallela reflexo M F , fecans radium in
H , et dudla BH fecabitur radius reflexus in F , loco ima-
ginis quaefito. Eft enim fic BG^j^-h^^?) : GH (^^)
iizBMa): MF(,-3^).
li 3 §. 13«
A.S4. DE LOCO IMAGINIS TVNCTI RADUNTIS
§. 13. Cnm itaque diiorum radiorum incidentium fibi
proxime vicinorum focus quoque fit in reflexorum mutuo
concurfu : patet generaliter "verum eflfe , quod locus ima-
ginis ibi fit , vbi radiorum datur fbcus ; adeoque focum.,
a pundo radiante produdum , et eiusdem imaginem , efle
vnum idemque. lam vero videamus quoque , an cafus
.aliqui dentur , in quibus veterum hypothefis in afllgnando
loco imaginis coincidat cum hac vera. Igitur in fententia
veteium , pofito Ipeculi centro in C , et duda catheto
Fig. 5. incidentiae ECL , erit pundli radiantis B imago in L,
in quo nempe pundo reflexus ML fecatur. Pro deter-
minanda autem ML , pofitis vt ante BMzz/, EM zr
/7, CMznr, et finu toto =1: i , erit CME finus ~:
vrr=:£« cofinus =: - , adeoque dupli huius , nempe BML;
finus =z ^"pT, cofinus = V[!±:ii\c!±:ifl) _- ^'^; erit
porro B C L y ( B E'-f- E C*) =: V {/^ ^ay^ a-^-r-
d) ziz y {y—2aj'i-r'') ^ adeoque LBM finusnff ^
— ^"^-''" cofinus 1:= H = y^^ ,^ . Hinc com-
ponetur_finus^LM= fin. BLN = fin. (BML-4-LBM)
^,_^-^r_^_^^o^^ vnde inftituta analogia:
fin. BLM : fin. LBM ~. BM : ML , inuenitur ML zz^
^^2l^±[r^-zc:--) ] qui valor ipfius ML, fi .ponatur ae-
jqualis valori ipfius M F n: ~~ , inuenitur j r= •-VCaa"',-
vcl j rr o. Si itaque radii incidentis BM longitudo ha-
buerit alterutrum horum vaiorum aflTignatorum , locus ima-
ginis ex veterum hypothefi coincidet cum loco innaginis
vero ; in omnibus vero icliquis cafibus haec duo loca di-
lcrepabunt inter fc. ^>,
§. 14.
IN SPECrim CFRFIUNEFM nss
§, 14. At vero memomtu digniim eft , in (blis fpe-
ailis pknis hypothefin veterum et hypothefin veram ,
qimm l?arrouianam. appdhre licebit, coincidere , et vnuni
ctindemqiie locum imaginis producere , quod certe in fal-
iam opinioriem veteres deducere potuit , quod credebant
vniuerfaliter verum efle , quod in (blis fpeculis planis lo-
CHm habet. Stt- enim tale fpeculum planum AC, punc-
tufn radians B , et radii incidentes infinite vicini B M ,-.
Bm ^ cum refliexis M N , mn -^ et quia reda AC, tan-
quara arcus circuli Ipecflata , icentrum habet infinite diftans,
crit in fbrmula ^ ponenda ^ =: 00 , hinc erit MFiz:
z^zn—j^ hoc eil, in retro produdla NM erit capienda
M F zizj rz: M B. Coniungantur ergo punda B et F
reda linea , fecatura fpeculum in A; atque erit in duobus
triangulis FAM, BAM, angulus p — n = m\ MB=MF,
et MA communis vtrique triangulo *, quar& triangula haec
erunt aequalia et fimilia ; hoc efl , apud A erunt anguli
redi ; eritque fic pundium F in concurfu radii reflexi M.
N et catheti incidentiae BA.
§.15. Ingerit denique fe hic dubium qnoddam , quoc!
effecit , vt Tacquetus fiiam imaginis definiendae hypothe-
fin fpeculis concauis non nifi in quibusdam cafibus conue-
nire aflferuerit , quam in planis et conuexis vniuerfaliter
veram efle contendit , prout videre licet in eius catoptri-
cae libro III. prop. 29. et 30 ; et ad quod ne Barro^
uius quidem in redla fententia refponflonem inuenire
potuit , fed illud , improbam difpcultatem vocatum , Jedl.
opt. XVII. §. la. tanquam, fcopulum praeteriit potius,
quam fuftulit. Verfatur dubium hoc in eo , vt quaeftio
ai(S,DE LOCO IMAGlNlS TmCTI RABIANTIS
moucatur, in quonam loco apparitiirum fit obiedum AB
longius a fpeculo remotum , oculo O proxime apud (pe-
culum pofito. Si veteres audiamus, iuxta eorum fenteii-
^' ^'tiam dudis cathetis incidentiae Aa et Bb imago erit in
ha -^ fcd intra hanc et (peculum ipfum ED oculus fitus
efle fupponitur , et confequenter incapax videnJae iinagi-.
nis ba, Idem vero accidit quoque , fi pun£la imagim»
b et a legitima metiiodo, barroui,ana uempe, quaerantur,
Su(pen(a igitur hic et ambigua iiaeret theoria , docens
obiedum videa per radios DO, EO, tanquam ex hifi-
mto interuaUo fluentes ^ et nihil hlc reliquum ejfe^ praetef
7nerum praeiudicium ^ quo diflantia imaginis aejlimctur. Vidc
annotationes ^d Rohalti phyficam , parte I. cap. 34. §.i8,;
Decidit vero atque ad oculnm demonflirat experientia*,
obiedla in his circumftantiis apparere oculo erecfla , natu- .
rali fua magnitudine praedita , (ed aliquantum minus di-
flinda. Q.na ergd via huic veritati ratio fua a^fignanda
erit ? Dico itaque : fi obiedum fuerit remdtius , et o- /
culus valde propinquus (peculo , (patium refle(ftens %iy
efle , ne dicam infinite , fed ita tamen paruumV vt F^'
ipeculo plano haberi pofllt ; quod (equenti ratiocinia de-
monftro. Duesintur radii EC , DC , nec non diameter
GOCH, ponanturque radii GC, EC, DC, =:r,CO
— ^, ODzzq^ OEznp] atque demiffis in diametrum
perpendiculis DK , EI , leui calculo inuenitur, efle OKzr
^~~- zn m ; et 01 :=: "-—^ — n , quare habebitur E
OC finuszzl^, cofinus =;-J; nec non DOC finus
__ J^k ^ cofinns =z :^ ; vnde erit finus diflfcrentiae
E0d':z:^-S55^. lam vero flt oculus O fpe-
culo
IN SPECFim CVWlLINEm a5t
tulo ED valde vicinus , aut vero fint q et p quantitatcs
valde paruae , erit OC, fiue a^ fere aequalis nidio r ;
.ponamus itaque a^zz-r^ fiet hinc z«=:^, «Z3^;vnde
fmus EOD euadetnz^^^^^r-^^^^ quoniam vero
vlterius refpedu ipfius a euaneicunt p et ^ , erit finus E
OD — ^-J^, hoc eft , quia ^ et p ferc funt aequales,
erit fuius EOD fere aequalis nihilo , adeoque multo ma-
gis arcus ED pro portione (peculi valde parua , vel pro
paruo fpeculo plano habendus ; vnde non mirum efl: ,
indicata phaenomena in eo ita occurrere , prout mvtura
^eculi* plaiii ea re'quirit ; repraefentatio tamert' obied^orura
debebit eile aliquantum obfcurior et confufior , quam in
Ipeculo per totiim plano , quia hic fe ex fpeculis paruuiis
plams limilibus adiacentibus immilcent nouae imagines , ad
rhuTtipIicandam imagrnem , fed non cum integro effe(fbn,
tendentes;. Neque praetereundifm lioc teo e(i, allega-
tum phaenomenon , vt nempe imagines obiedorum femo-
torum eredae appareant in fpeculo cauo , non cerni ia
tali fpeculo , quod paruum fit , et conuexitatem habeat
magnam ; oculus enim tam prope huic fpeculo .applicari
non poteft , vt fpatium reflexionis efficiat valde paruum ,
feu vt efhciat fpeculum paruum planum.
§. i<5. Vt occafione horum ex dioptricis quoque
saliquid tangam , nfferam coronidis loco methodum deter-
-minandi concurliim duorum radiorum infinite , viciiK)rum ,
in lentem quamcunque incidentiurri , quorum radiorum
fons , vel pundum radians , ab axe lentis vtcunque diftet,
et in vtraque fuperficie lentis , in ingreffu et egreffn , hoc
Tom. Kll K k eft.
55S DE LOCO IMAGINIS TFNCTI RALIJNTIS
eft , duplicem refmaionem patiantnr. Sit igitnr diapha-
nuiTi ab aere diuerfunn , ternninatum duabus fuperficiebus
fphaericis M ;;/ , cuius radius M C , et N «, cuius radius
N/fe- in hoc ex punclo radiante B quomodocunque fito
incidant radii infinite vicini B M et B «2 , qui poll pri-
niam hanc refradlionem vniantur in punAo F, fed poft
alter-Am refradionem in fuperficie Nn concurrant in pun-
do / i quaeritur determinatio pundi / , feu quantitas li-
nae N/. iSit igitur radii incidentis BM longitudo — j^,
et demiffis ex centro C perpendicularibus in radium inci-
dentem continuatum et refradum , quae fintCEetCG,
fint M E zn ^ , MGznb ^ fitque tandem ex aere in dia-
phanum ratio finus inclinationis ad finum anguli refradi
z^m' n ^ atque erit ex HofpitaUi analyfi infinite paruo-
rum §. 133. MF:=^^^^„ ; qui Yalor ipfius MF,
cum vniuerfaliter verus fit , locum quoque habebit in
puncfto /, fi hoc tanquam radians concipiatur. Ponatur
itaque radius incidens /N =: a: , fintque duo tales inciden-
tes radii fibi infinite proximi /N , /« , qui poft primara
hanc refradionem pundum concurfus verfus B nullum lia-
bebunt , fed in diaphano infinito C K diuergentes verfa-
bnntur , aut vero habebunt focum virtualem in F ; quod-
fi itaque ad analogiam radii prioris incidentis BM pro
hoc incidente /N iam ponatur N H = A N L =; B ,
erit nunc eodem , quo priiis , lure N r — ^mx-xnx-s.-^n vw
fcil. m:n eil ratio refradionis , vti ante , ex aere in diji-
phanum. Ex modo inuenta hac aequatione eruatur iam
•valor ipfius x, qui ergo uiucnitur hic : ^f-s-^-^^-^-
Igitur, dato diaphano quocunque , terminatO; vtrinque. fu-
per-
m SPECFLVM CVKVILINEVM 159
perficie circukri , ex gr. cuius centra fint C et K , de-
terminatur focus duorum radioruni viciniirimorum , ex
pundo radiante quomodocunque fito egreflbrum , fequenti
modo : ducatur radius incidens producflus B M E , atque
huic conueniens aflignetur irefradus , huic refradioni pri-
mae debitus , qui fit M F ; ex centro C demiflis per-
pendicularibus C E , C G , capiantur menfurae in ^ala
geometrica iplarum MEzz ^, et MGzz^, quo facflo
calculus arithmeticus haud difHculter dabit numerum ip-
7« *
b m
fius M F == ; iz^ ; cum itaque vitrum vel diapha-
num datum in charta delineatum elle fupponatur : da-
bitur ex hac menfura quoque longitudo N F. Tum ita-
que ex affumto radio incidente M N , ducatur conveniens
ipfi refra^flus N/, atque in hoc fumta longitudine N/zz
jg-^^^ g^ , determinatum erit /, pundum concurfus
poft duplicem refradionem , idque geometrice et accura-
tilTime , non vero quam proxime tantum , \ti commu- xab. iv.
niter fieri folet. Vel fi defideretur condrudio geometri-
ca , illa pro determmando primum piindo F ex Hojpi H* «•
talio 1. c. erit haec : fiat angulus E C Z? — G C M , ca-
piatur M it = j , fiatque hk\ Z? E 1= M G : M F ; pro
inueniendo etiam porro pundo / fiat angulus L K 2 —
H K N , addatur ad 2 N reda N X =: fp , et fiat Z X
2 L 3: H N : N/
Vt vero pundum radians reduci quoque poiHt ad
axem talis diaphani , coniungantur centra C et K inter le pig. i,
linea re?:=
zb "^ ( ^^ + 2 /) r -f- ^ * H- -^ ^ j^ ^ ; valerc' autem po-
tcil folura fignum; -f- y vt ne radius incidens C M. £at.
negatiuus.. Vt iam prmdum: radians fit in: ipfo. axe lentis
alicuius dioptricae , ponatur ^ =:'o ,- eritque C\c iam jrzi
V ( p^-^- 2 p r -\-a^ ) — a y, et M F — lim:..\^bm—a n
— ^pp^^p^:Sjzir]- Sint praeterea. radii incidentes axl
:¥iciniliimi , \t obtineatur focus- principalis ,. poni debet 4K
r^fn
— r , bznr . et huic M F r=: — • t:^ i, erit quo»
que A = R , et B =: K , hinc_generaliter pro omni k-
ge refradionis oritur ^ f--^-p^^J-'^r^-f ..
quae formula ,. ex. genuina; metliodO' deduda , coincidit
cum illis , quae approximatione tantum deriuatae funt ab
aucfloribus , fi pro refiadione ex aere in vitrum ponatur
»/ = 3 . w = 2. Si denique crafllties lentis negligatur y
p r
plerisque lentibus obtinet y orietur N/~ m— n jsJ7'
71 •*
DE
DE GORPORVM PLANO INCLI^
NATO IMPOSITDRVM DESCENSV.
AVCTORE
.Georg. Wolffg. Krafft, , '
§. I. :
Cbrpus firmnm , plano inclinato impofitum , duplici mo-
do defcendere per plani longitudinem poteft. Primo
enim defGenfum fuum abfoluit :vel fic , Tt centrum eius
grauiratis- C delcribar lineam redam C^ , plano inclinato
E^ parallelam , atque Yt latus corporis vnum idemque ,r Fig. 3/
■veluti A B ; femper plano inclinato maneat contiguum \
ih hoc cafu corpus dicitur : defcendere fimpMter , defven-^
dere radendo^ vel labi aut repere. Deinde etiam qui-
busdam in; cafibus corpus folidum obferuari poteft defcen-
lum; fiium in. plano inclinato perficere fic , vt centrum'
graiiitatis ih eo C , aut delcribat durante defcenfu arcus
circulares CD , DE , Ec ^ circa angulos fuos fibi fucce- ^^^- ,^*
d^dnteis "^B, Fy €r; *H i, tanquam circa totidem centra ;
aut vt ipfurti circa fe gyretur , quod id globo et cylin-
dro transuerfim plano tali impofitis accidit ^ neque adeo
Vnum: idemque latus AB , fed fingula corporis latera (uc-
cefliue plano inclinato fiant contigua ; in hoc cafu corpus
dicitur : deuohd vel rotari , vel defcendere voluendo.
5. 2. In horum. cafuum altero, quo nempe corpus ro-
tando defcendit per planum inclinatum , initium motus
femper ita fit , vt corpus prono capite prolabatur , atque
deinde denuo eredum fimili rurfus modo procidaL Ana-
- ' K k 3 l^gt^'
2^2 DE CORPORVM TLANO INCUNJTO
loga^itaque.hufc kpfui cafus efle \idetur is, irf quo cpr-
pub, plan.o horizontali infiftens, pronum prolabitur , quoties-
cunque linea dire£iionis in eo cadit extra bafin , qua in-
liftit plano horizontali. Voco autem lineam dire&ionis
'jg» 3« lineam redam CF,;quae ex corporis centro grauitatis C
perpendicularis ducitur ad horizontem Db. Quae proci-
dentia , in plano horizontali fada , cum a figura corporis
et fitu lineae diredionis dependeat ; fimiiiter in planq
inclinato locum habere vifa fuit. Atque hinc fa^H^um efle
puto , vt celeberrimi audores phyfici hucusque omnes
in ea opinione fiierint.:. corpus plano indinato impofitum
rependo dejcendere , fi linea dire^iionis eius intra bafin ca*
dat j qua plano inclinato infiftit ; aliud vero corpus rotan-
do defcendere , ft eadem linea cadat extra hafin eius.
§. 3. In hac regula falfumefl: corpus femper rptan-
do delcendere , quotiescunque linea diredionis cadit extra
bafm. In multis enim cafibus contrariatur experientiae
E crim 1.^'^^^ aflertum ; vt , y/ capiatur ex. gr. paratlelepipedum li-
gneum , altum 3 polL latum 2 , crajfum ^ \ , atque illud
imponatur plano incUnato eousque eleuatd , vt linea dire£ii'
onis C F manifeflo cadat extra bafin j obferuabitur , illud
non rotando , fed rependo dejcendere , quod tamen acci-
dere non dcberet. Vt igitur in hacre non tam ficili ,
ac prima quidem fronte videri poflet , ingenium naturae
addifcerem , fequenti primum modo ratiocinatus (um.
§. 4. Qiioniam in omni motu a grauitate oriundo
centnim grauitatis delcendit , qiiantum potefl: et vbicun-
que potelt : putaui exinde fecuturum t^t , vt , fi rotatio-
ne corporis ingruente centrum hc)c defcendere poflit , cor-
pus
IMPOmQRVM DESCMSy: . M^
pus rptaretur ; firi autem^, rotatione_ corporis iuppofita,,
centrum grauitatis alcendere in altum deberet , in eius lo-
cum reptionem ruccelTuram efle. Veluti , quia centrum Fig, 5.
grauitatis C , fupporita rotatione circa G, tanquam fulci-
mentunri , defcendit per arcum circularem CH,"neque in
Jioc cafii fuppofita rotatio corporis afcenfum aliquem cen-
tri grauitatis requirit : putaui futurum efle , yt corpus fic
locatum rotando defcenderet. Verum enim vero et huic
explicationi plane repugnat experientia , atque etiam expe-
rimentum I. modo allegatum. Deinde congaiit penitus
eadem haec regqla cum vulgari hucusque vfitata , quod
paulo pofl deprehendi , et fequentem in modum demonflro.
§. 5. Qiiotiescunque centrum grauitatis defcenfurum
efl*et , fuppofita rotatione , toties linea diredionis cadit extra
bafin corporis. Nam flt corpus ECl plano inclinato AD Fig. 5.
ita impofitum , vt fuppoflta rotatione circa E centrum gra-
vitatis C defcendat per arcum CG, ducatur per E reda
horizontalis FEG, cum verticali EHex E eduda. Ne-
ceffe igitur eft , vt centrum grauitatis corporis C fit alir
cubi in quadrante circuli defcendente HCG, non autem
in quadrantecirculi afcendente FH. Si igitur centrum gra-
uitatis fuerit in C , ex eo demifla hnea diredionis C B
paraliela erit cum reda EH, et verfus partes G iacebit;
cadet ^rgo extra pun^flum E , hoc eft , extra bafin cor-
poris K E \ confequentur , fl quis dixerit , fubfequente ro-
tatione centrum grauitatis defcendere , idem dicit , ac cor-
poris lineam diredionis cadere extra bafin.
§. 6. Voti igitur mei liac opera compos non fadus,
deprehendi ex variis ab initio inftitutis tentaminibus potius
quaiU
Ji^ DE CORTOByM, tLANOtnClINATO
quam experimentis : corpus , quotf m phm indinafo i&^
fcenderet rependo ^ fi Jibere fibi permittatw ^ ex quiete ipfi
conciliata concitari in inoUim rotatorium \ et prono capite
prokbi y fi fiium j etiam tenue ^ aut fafcia chartacea ^ ipfi
transuerfim oppoiiatur primum ^ atque fum demum illud fibi
relinquatiir'^' ef finiul linm' .dire&ionis extra bafin cadat.
Deiiide porro aliquoties Tidi , corpus quod in planq^ iiuli^
nato defcendit rependo , defcendere rotando in eodem , fi
planimi obducatur panno aliquo rudiori et afpero , etiajnfi
lifiea dire&ionis cadat vtrobique extra bafin. Vnde ma-
nifeftum fit , deberi llaec phaenomena tnice arperitatibiis
plani inclinati , modo maioribus modo minoribus ,. atque
in his cau^im eorum effe quaerendam. In qua fententia
eo magis confirmatus fui , cum viderem , corpus in n:na
plani indinatiofie rcpendd bel rotando defcendcns , in omm-
'' '' kus atiis plani incIinafioMus ftmili modo defcendere.
^. 7. Ex his millti enata fuit fequens theoria, qnam
explicatam prius dabo , vt deinde eo applicatius Tariji
experimenta adducere poffim , quae eam optime confir-
F'g- 7»mant. *Sit plano indinato* BD impofitum corpus quod-
cunque' FGI, ''cuius centrtin! grauitatis G , bafis FI ;
fintque praeterea A B linea horizontaiis , huic perpendicu-
laris AD, et corporis linea diredionis CG. Manifeftiim
iiunc eft, corpus hoe deorfitm foilicitari a pondere fiia
refpediuo , hoc eft' , a potenria , quae , pofito corporisi
pbndcre aWbiuto =r P , ' iriuetilimr efie rr: ^ x P. Hac po-
tentia follicitatur quidem corporis centrum grauiratis , ei-
demque' perfeifle obediret quoque corporis bafis ' 1 F , ni(i
obeflTet ipfi fcabfities plani , aut firidio eius ili hac incli-
" natione
fiatlone fnb angiilo ABD reperiunda , qnam fridionem
vocabo /. Cum autem motui bafeos fridio obftat , ef-
iicit ea , Yt in pundum ouoduis bafeos , plano inclinato
contiguae , agere cenferi tantiim polfit potentia ^xV-^f.
Qiiantum autem praeualet potentia agens in centrum gra-
uitatis liipra potentiam agentem in pundum bafeos quod-
cunque F : tantum increfcit potentia corpus ad rotationem
Ibllicitans , Tt hinc differentia harum potentiarum , quae eft
/', pro potentia corpus ad rotationem injpellente nffumi
poflit ^ quoniam per potentiam , quae protrahit bafin cor-
poris , hoc le motui rotatorio quafi fubducit in fmgulis
momentis. Agit autem haec potentia rotatoria in C, at-
que fic in brachium -vedlis homodromi C F , quia rotatio
circa pundlum F , tanquam circa hypomochiium peragi
debet. Momentum itaque huius potentiae rotatoriae ,
vedli CF applicatae , demifla ex C perpendiculari CE
nd DB , erit m/x CE. Haec potentia rotatoria integ-
rum cfFedum fuum ederet , fi planum B D eflet vertica-
le , et pundo F aliquid refifteret ; neque adeo pars pon-
deris P corpus ad planum inclinatum adhuc apprimeret.
Ergo (equitur hinc , inter duas has potentias , priorem
rotatoriam atque hanc alteram , quam apprefforiam voco,
dari conflidum efleque hanc illi contrariam , vt fi illa
vincat , corpu> rotando , fi vero haec praeualeat ^," corpus
rependo defcendat. Vt igitur definiatur potentia apprel^
fbria , exponatur corporis pondus abfblutum P per C G
verticalem , atque refolvatur ea in C E perpendicukrem
ad planum , quam voco Imeam apprejfwnis , et C K, pla-
no B D parallelam ; critque magnitudo potentiae appref-
foriae zi: C E ; quoniam vero etiam haec agit in vedlcm
Tom, XIL L 1 C
t66 DE CORPORVM PLANO INCLlNATO
C E : erit eins rnomentum =z C E x BF. Orietur itaquc
haec regiita ; corpus plano mlinato ifnpofittm dcjcendere
rotandj , fl jtierit f^CE^CExEF^ aut vero j J>
£ F ; ide??2 autem corpus drjcendere rependo , fi juerit
f ^^1> ^b Q Q zzz
P , erit M — ? ? ^^ h^"^ /— ^ ^ F- ^^ quibus re-
gula fluit haec , iam magis concinna : corpus plano incli'
nato impofitum dfcendere rotando , fi fuerit F ^ ^ x P ^
Mem autem corpus defcendere rependo , fi fuerit F ^
§. p. Eruta nunc regula pro definiendo quolibet mo-
lu corporis plano inclinato impofiti , fupereft , vt ea ad
experimenta , tanquam ad lapidem lydium , exploretur vi-
deatiirque, an experientiam fibi habeat amicam , nec ne.
Cum autem pro inftituendis iam experimentis requirantur
tnenfurae exadae fridionis horizontalis redlarum E F ,
C E , et ponderis ablbluti ; exponam antea breuiter , qua
ratione corporis cuiuscunque fiib examen vocati centnim
grauitatis et iridionem horizontalem explorauerim ; quc-
niam
tMPOSITORFM DESCENSF. a^j
Aiam cx illo iniiento dimenfiones redarum E F , C E ,
per fe iiuunt , et pondus abfolutum bilance accurata quam
faciJlimum ell inuentu.
§. 10. Pro cognofcendo centro grauitatis in corpori-
bus , quae disquifitioni meae fubieci , fu(pendi ea ex filo
ferico tenuifiimo , ope cerae agglutinato , in variis fuper-
ficiei pundis eousque , donec aliquod reperirem , ex quo
fiiipenfum corpus fuperiorem fuperficiem haberet perfedle
jhorizontalem ; atque tum in diredtione fili fuipendentis
-perfofla cera mediante acu fubtiii , centrum quaefitum an-
gufto pundo notaui et exprefli. Sed fic quidem obtinui
folum centrum grauitatis liiperficiei fuperioris. QLioniam ve-
ro in experientiam non vocaui, nifi corpora , qiiae con-
^ant ex materia homogenea et funt figurae prifmaticae;
centrum ipfum grauitatis in medio huius inuenti axis , ad
fuperficiem fiiperiorem perpendicularis^ tuto afliimere licet,
§. II. Ad determinandam fridionem horizontalem
horum corporum adhibui planum , in fitum horizontalem
prius exadifilme redadum. Huic impofui corpus , illique
ope cerae agglutinaui ex parte propiori bafi filum fe-
ricum tenue , reda protenfum , et horizontaliter exiens,
trochleamque mobiliifimam , in extremo plani firmatam ,
ambiens et lancem afiixam fibi ^erens ; huic deinde lanci
tot fuccefliue ponduicula impofui , donec ea iamiam inci-
perent quietem corporis plano impofiti ibllicitare ; quae
ponduicula vna cum pondere lancis pro menfura fric-
tioiiis horizontalis lenui.
L 1 S §12
a58 DE CORPORVM PLANO INCLlNJTO
§ 12. Vt ig'tur ratio reddatur eyperimenti r. f-pni
alle^Ati , in quo curpus , cuius linea ctiredionis inanifelto
ciidlt extra barm , rependo tamen defcendit : afliimo regu*
lam iniientam , in q'H pro reptione corporis requirituc
tantum , Yt fit F < §1 P. Sunt autem pro quolibet cor-
pore et redae EF, CE, et faaio horizontalis F eae-
dem , peiiJentes nempe illae a fitu ccntri grauitatis ver-
fub bafin , neque hic in computum cadit reda FG, quae
lineam diredionis defiait. Poterit igitur planum BD eo-
•vsqne pro lubitu eleuari , impofito corpore quocunque ^
donec tandem huius linea diredionis extra bafin cadat ,
neque idcirco \alor ipfius ^ x P mutabitur. Si enim in
niinima pUni eleuatione eft F < §| x P , aut F > §^xP,
in maxima eleuatione et in omnibus intermediis re$
eodem modo fe habebit ; vnde fimul etiam caufa patet
experimenti IV , fuperius addudi ; quod , etfi mirum ab
initio videatur , ex hac tamen theoria prono alueo fluit
et deriuatur. Ex eadem liac regula , quae cafum reptio-
nis defi.it , deducitur quoque flicile experimentum III ^
antea allatum. Cum enim pro reptione requiratur F <
II X P , et haec poflerior quantitas pro dato corpore ma-
neat conftins : poterit , audla afperitate plani , quod per
•varios pannos diuerfae texturae fucceifiue ipfi impofitos
f/L,, fiidio horizontalis ita tandem augeri , vt definat eGh
F < ctI X P , fed contrarium accidat , quo obtento rotato-
rius motus conlequitur. Neque difiicilius explicatu eft ex-
perimentum II. Cum enim , vti (iipra iam dixi , §. 7.
per potentiam , quac protrahit bafin , corpus le motui
rotatorio fin^ulis monientis (^uali fubducat; euidenseft, fieri
debere.
IMVOSITORFM DESCENSE ^C^
debere , Tt, potenria piotiahen^e bafin per obftaculum
transuerium fixum penitus exhauili , motus rotatorius vim
f:iam exerreat eo lioeri-is , atque proinde corpus proniim
in caput prolabatiir , eo mod ) , t]ui in nmihbus corpori"»
bns plano hcrizontali infilkntibus contingere folet.
. §.13. Pracminfis hifce generalioribus dclcendam nunc
ad magis particularia , in fecjuentibus exponenda et ope
eiusdem huius rcgiilae explicanda. Igitur corpus hgneum^ y
C , qiiod hrrizontali pJano impofitum ead^m ba\e , qua hic
pkno inclmato incum/it , tutum erat a lapfu , rependo de- Tab. V.
Jcendit in omnibus inclinationibus , quantumiiis linea dire&io- ''^* '•
nis extra bafin cadat , per plana laeuigata , buxinum ,
chartaceum et quernum ; Jed per planum ajperwn panni
mlgaris rotando curfum abjoluit Juum. Inilituta dimenfione
detcrminationum neceflliriarum deprehendi eius pondus ab-
f)lutum , feu P, =3 1277 Granorum , quorum 7680 fa-
ciunt libram amftelodamenlem ; CE rz 51 partium ,
quarum 382 faciunt pedem londinenfem , EFzn 18 part.
Porro inueni fri 450, quare in hoc corpus defcendit ro-
tando.
§. 14. Sed multo adhnc meliiis theoriam hanc com-
probat expcrimentum fequens , quod in hunc finem ita
ferfeci. Corpus U^neum C, quod horimti infjlens I^pjui Expcf. vi
L i 3 re/i' p%' ^'
±70 BE CORFORFM FLANO INCUNATO
re/ifiere non poterat , rotand) dejcendit in omnibus incUna^
tionibus planorwn modo memoratorum , buxini , chartacei ,
et querni. Giptis menfiiris iniieni in eo P ~ 1 207 Gr.
C E :z: 5 3 part. E F :=i o 4 fridionem horizontalem ve-
ro inueni huius bafeos in plano buxino 245 Gr. in char-
taceo 13(5 Gr. in querno 296 Gr. Igitiir in hoc cor-
pore erat §| x P zii o , et confequenter in enumeratis pla-
nis omriibus erat F >> c£ x P i ^uare rotando defcendit
corpus.
E^per.vii. ^ j^^ y^jj^ autem corpus modo memoratum ^ plan§
mclinato fitu tantum in^erjo impofttum , rependo dejcende-
hat per huxum , chartam et quercum, In hoc calu
eft vti antea CE=i53, EF=:3-j reliqua autem ma-
nent vti in experimento praecedente. Qiiare nunc ha-
bebitur §x P — 728 gr. Ell itaque F c-=: 245 vel
136 aut 295 <^ 728 , veluti hoc fada reptio poftula-
vit. Patet igitur ex hoc et praecendente experimento ,
pofle eandem bafin modo rependo , modo rotando de-
vehere corpus fibi impofitum , prouti fitum ea acquirit ,
qui huic aut alteri motui fuerit conueniens.
§. 16, Examinaui deincje corpus prismaticum odo-
gonum ligneum , transuerfim plano incHnato impofituni ,
fU\, ' ^iiod ohjeruaui repere in quercu ., et rotari in panno ajpe-
ro. In illa fridio horizontalis lateris repentis erat 295
gr, in hoc autem lateris rotati 700 gr. et porro erat
CE=3i , EF=i:i3 , P=: i55i , hinc gxPzz^p^^
gr. At vero in cafu experimenti primo ert F ::= ^96
<^ d^pd" , hinc corpus motum reptorium fequebatur , in
altero vero cafu efl: F m 700 J> 6<96 ^ hiilc corpus ma-
tui rotatorio obediuit, §• i7.
IMTOSrrORVM DESCENSr. tnt
1
$. 17. Ciibum tiliaceum objeruaui repere in quercu jExper. ix.
Jed rotari in panno ajpero. In ilhi emt fndtio horizoii- ^^^- 5«
talis 6 $6 , iii hoc 2035. C E izi E F zn 42 , Pnz 194.0
^ d: ^ ^* ^um itaque in qiiercu (it F zr (55(5<^ 1940,
haec reptionem effecit. In hoc autem eft Fiii2035^
1940 , igitur motus rotatoriiis conlequebatur.
§. 18. Adhibui ciilnm vitreum politijfimum y qui i^Exper. x»
plano qiierno rependo dejcendit. Erat in hoc P — 93^9 Fig. s»
gr. C E — E F :ii: 37 part. et fridio horizontalis —
15 5(5 gr. Cum itaque hic fit Fzz: 155(5 <^ P3<59 , ne-
cefle eft, vt motus reptorius obtineat.
§. 19. Farallekpipedum vitreum , ^^^r^ /«^ wf/ior/
quadrata planis impofitum , //2 ^z/^ r^w repebat , f/2 p^w;/ pfg]^' ^. '
rotabatur. Erat in hoc P=;348^gr. CEzr 47, E
F rz 20 , hinc ^xPn: 1483 Fri(flionem horizontalem
obferuaui in quercu ii3(5, in qua repebat , quia 113 (5
<^ 1483. Sed in panno inuenta fuit fridio hori/ontalis
155(5 ^ 1483 , hinc in panno rotabatur.
§. 20. Idem paralldepipedum mtreum ^ bedra Jua^^^v^^-^^
maiori , reciangula , planis impofitum , in quercu repfit , ^'^' ^'
^/ /;2 panno. Erat enim , vti ante , P zz: 348^ , CEzz: ^
E F zz 20 , hinc ^ xPzz 3^8(5, et confequenter in quercu .. •
F zz iic(5 <^ 348<5 • nec non in panno F zz: 149(5 <^
348^
§. 21. /4///^^ parallelepipedum vitreum , w/««j ^«^yw/ Espei-.xiu.
praecedens , /fm/?/2 /?f^/^ Jua minori , quadrata , pZj?«/i ^'S- <5.
impofitum , /« ^'f/f rt-z/ rependo , /w p^ww^ rotando , dejcendit.
Menfuras ineundo deprehendi P zz 1774, C E:zz42 , E F
:;;z: 15 , hinc Ig x P zz (533 , et fricflio horizontalis erat
't-jft DE CORTORFM FIANO INCLINJTO
in plano qnerno rr 5o5 , fupra pannum autem 6^6,
Igitur , quin in qucrcu F := 50(S <^ 633 , hic rependo de-
fcendit. Sed quia in plano panneo fiiit F zn <58> 633,
in hoc rotabatur.
Expcr.xiv. §. 22. Idem paralklepipedwn vifreum minus impojui
^^°' ^* nunc hedra fua maiori reBangula plano querno et pan-
neo , €t mdi , in vtroque illud rependo dejcendere. Erat
enim , Yt ante , P z:z 1774 -> C E = E F = 15 , hinc
§ X p — 1774. ; et deprehenfa fuit frit^io horizontalis
in illo := 535 , in hoc autem — 745 , quare in Ytro-
que F = 53<^ vel 74<^
nulli alteri caulae , quam modo memoratis fibris extanti-
bus elafticis panni rudioris adfcribere poffum.
§. 24. Patet itaque ex omnibus his experimentis, ea
theoriam et menfuram iiiperius expofitam confirmare quam
pulcher-
IMTOSITOWM DESCENSV. 273
pulcherrlme , ita,^Yt nullus dubitem , eam naturae atque
eius operationibus in hoc negotio efle conformem. Pa-
tet etiam exinde per fe , corpora omniajphaerica et (7-Experxvi.
lindrica , transuerfim plano cnicunque , etiam minimas ajpe- ^^^' *
ritatis ^ impofita ^ rotando dej.enaere. Fit enim in his om-
nibus EFzro ; quare fi \el minimam fridionem hori-
zontalem habeat tale corpus , erit femper F ^ f| x P — o,
prouti hoc motus rotatorius requirit.
§. 25. Si vero quaeftio fit de plano et corpore
impofito , perfede politis et omnis fridionis expertibus,
ne tum quidem theoria hucusque vfitata phaenomenis (a-
tisficere poteft. Requiritur enim pro motu rotatorio, \t
fit F >> fl X P ; ergo fi F — o , requiritur Yt fit o >c£x P
quod aliter fieri nequit , nifi, fi EF fiat negatiua , hoc efi,Tab. iv.
nifi cadat in alteram oppofitam partem refpedu pundli E xab^* y'.
At vero tum redla CE vel Hnea apprejjionis cadit ex p^s- 9«
tra bafin corporis FI. . Sin itaque pro plano perfede po-
lito regula fit accommodanda , refpici debet ad lineam ap-
prefilonis , non vero ad lineam diredionis ; in pkno au-
tem folo horizontali coincidunt h'neae diredtionis et ap-
prefiTionis. Confequenter in plano incUnato perfe&e poli-
to corpus dejcendit rotando , fi linea apprejfionis cadit ex -
tra bafin ; dejcendit vero rependo , fi linea apprejfwnis ca-
dat intra bajln corporis. Neque adeo , fi et planum in-'
clinatum et bafis corporis impofiti perfede polita fo«
rent , corpus femper rependo defcenfurum eflet.
§. n5. Poflquam communicaflem hoc problema cum
Cel. Tian. BernouUi^ Academiae nofl:rae Membro meritiflim(\
Tom. Xll. M m per
^74: DE CORPORVM FLANO INCLINATO
perfcripfit is beneuole ad me ibliitionem fuam , quae prin-
cipiis quidem paulo diuerfis a meis vtitur , fed cum con^
clufione mea plane coincidit , quam proinde honoris cau-
fa. hic recenfebo , ied redadlam in compendium. Solutio
Fig.io.Celeb. viri ex epijlola d. d. Bafikae 6. Aug. 1740 huc
redit. Sit AB horizontalis, , AC \erticaiis , CB (edio
plani inclinati, DF fedio bafis corporis in plano inclina-
to, centrum grauitatis corporis in plano inclinato, cen-
trum grauitatis corporis in H, verticalis , fiue linea dire-
«f^ionis 5 H G , quae fimul cxprimat pondus corporrs abfolu-
tum. Relbluatur HG in HL et HE , potentias laterales, illam'
parallelam , hanc perpendicularem plano inclinato. His
pofitis erit in F , vbi bafis corporis impofiti definit , ^el
obdaculum aliquod inuincilibe , quod corpus fillat quidem,
fed non impediat quin prolabatur , Yel non aderit tale re^
tinaculum, Sin adfuerit tale obftaculum , tunc palam eft
fiitururn efle^ Tt potentia HL multiplicata per fuum mq-
dcm HE conetur corpus Yoiuere ; et potentia HE,.
mukiplicata per fuum Ycdem EF, conetur corpus in (i-
tu fuo feruare : fequitur hinc , corpus prolapfurum effe , fi
tlierit HLxHH>EFxHE, aut EG>EF, hoc eft,
fi jinea diredlionis ceciderit extra bafin D F. Sed e con-
trario corpus in fitu fuo manebit , fi fuerit EFxHEJ>
HLxHE, aut EF*>EG, hoc eft , fi linea diredionis
ceciderit intra bafin corporis D F. Vnde concludit Vir
celeberr. fadum fiiifle , vt hac proprietate audores qui-
dam abufi ftatuerint , eandem quoque obtinere , fi. corpus
ab obftaculo inuincibili non retineatur , led adu deicendat>
" " ' §. 27. In altero autem caiii , fi obftaculum nullum
adfit , quod defcenfum impediat , rem aliter fe haberc
coo^
IMFOSITORFM DESCENSF. 275
concludit. Namqiic tum jjotfentiam HL duplicem habe-
re effed^im 5 quorum vmis conatui: , vt antea , fubuertere
corpus , alter vcro accelerare corpus. Si igitur iam fri-
^io jomnis abfit v-fore vt vis acicelerans fola praepoUeat ,
neque vnquam corpus rotari pofit. Si vero fri^flio detur
in plano , fubire illam vicem alicuius retinaculi firmi , at-
que fic potentiam HL acffcu dibldi in iiccelerautem et fub
vertentem ^ et pofita fricftione liorizontali :r:R , clle vim
acceleratricem zzHL— ^ x R , et vim fiibuertentem rr:
HL minutae vi acceleratrice , vel =:HL— ^HLH- ^>^ R
n: e^ X R. Itaque porro momentum potentiae rotatoriae
vel fubuertentis efte r: ^^fP ^ ^ = H' x R ; fed ndo
mentum potentiae contrariae irHExEF. Vnde dedtfci-
tur, corpus repere , fi fiierit HExEF> |f*xR, aut H^^
P J>R ; rotari vero et repere fimul , fi contrarium acci-
dat , quo in cafu oriatur motus mixtus ex reptorio et ro-
tatorio , etiam in ipfis (phaeris deicendentibus. Monet tan-
dem Vir acutiffimus , haec omnia ita fe habere , fi fri-
dlio ponatur conftanter e^dem et vnifbrmis , neque de-
pendens a velocitate corporis ; fi vero haec ita fe non ha-
beat , intelligi debere per R fridionem horizontalem cor-
poris , ea velocitate moti , quam fiiper plano incUnato de-
fcendens habet in dato loco.
M m s DE
«7« ">I4€ )( o )( Jf2«
DE
VIRIBVS ATTRACTIONIS
MAGNETICAE EXPERIMENTA,
AVCTORE
Ceor^. PFoIJg, Krafft.
§1
Qiod ferrum trahat magnes , occulta ac ne hodie
qiiidem deteda ratione , Thaleti Milefio iam co-
gnitum fuifle perhibet Ariftoteles de anima lib. I. cap. 2.
adeoque mirandi huius effedus cognitio aetatem fuam de-
ducit ab ipfis philofophiae naturalis initiis. Deriuata ad
nos eft per longinquam aetatum feriem huius phaenomeni
notiiia magis , quam fcientia , cum nemo repertus fuerit ^
qui regaias et leges , quas tenet , induftria perueftigatione
eruere conaretiir , Ysque ad haec noftra tempora , in qui-
bus demum ea cura animos inceftit , vt in menfuram at-
tra^ionis magncticae inquirerent. Cum itaque leui expe-
rimento conftare poflit , ferrum validiflime attrahi a ma-
gnete in immediato vtriusque contadu , debilius in aliquo
inius ab altero interuallo , et tandem pLine non , in di-
llantia nimis remota : videtur exinde certe hoc patere ,
attradionis huius \im habere legem in mutua horum cor-
porum a fe inuicem diftantia fuudatam ; quaenam vero fit
illa lex , aut quaenam comparatio diftantiarum , attradio-
ilis m ignitudinem indicans , id cxperimentis fblertiflTime iri-
ftitutis denniendum quidem eflet , fed nondum definitum
eft.
§.2.
JDE VIRIBFS ATTRACT. MJGNET EYPER. 277
§, 2. Imperfedioni ccrte huius disqiiifitionis adfcribi
debet , qiiod fiicile fit cataloginn texere illonim , qui ex-
perimenta huic vCui inleruientia inftituerunt atque iis attra-
(fliones migneticas ad meniiiras fuas reuocare ftuduerunt.
Oflendunt monumenta Societatis Regiae Anglicae , primos
ibi labores- huic rei infumtos fuifle , atque Hauhbemn ^
optime gnarum , quantum ad proprietates mngnetis refe-
rat , (cire proportionem virium attraclricium ad diueria in-
terualla , diligentiffime captis experimentis huic (ludio in-
Cubuifle. Methodus ab ipfo adhibita his obferuationibus
iuffu Societatis Regiae emendata fuit a Tayhro , et denuo
magis perfeda a Whiftono , qui reperiife fibi vifis efl ,
(equi has attradiones quam proxime rationcm diftantiarum
iesquidupiicatam , vel , pofita diftantia magnetis et ferri
zz^ d , quantitate conftante zz:. a , eife attradiones magne-
ticas inter ie vti ^/-i. Tajlorus vero , fuis innixus tenta-
rninibus, deprehendit , easdem attradiones non efle vti
^ , neque vti fz , quae omnia leguntur in TranfaA. an-
glicanis Nr. 368. Ne-ivtonus ex captis quibusdam a le
experimentis ftatuit , decrefcere attraAionem hanc in ra-
tione fere tripiicata diflantiae in recefli] a magnete , vel
efle eam vti ^?-, in princip. p. 368.
§.3. Omnibus autcm in fedula huiu.^ rei indagatione
palmam praeripuit hodie Celeberr. Petms ym Mufcbenhvek^
qui in eximia diflertatione phyfica experimentali de ma-
gnete nulli operae neque labori pepercit ^ vt experimen-
tis prudentiflTime inftitutis veram huius negotii legem et
proportionem , naturae operat;onibus conformem , deprehen-
deret. Poflquam vero omnem lapidem mouiflet , fiteri
M m 3 tandem
a7S DE riRIBFS ATTRACTIONIS
tandem coadus efl: , nullam fe inuenifle diftantiarum fun^U
onem , quae proportionem attuadionis exhiberet ; neque
etiam fieri attradionem ferri ad magnetem in proporti-
one aliqua magnitudinis fuperficiei , quae magneti oppo-
nitur. Tandem autem in edito hoc anno opere praecla-
riffimo , Effai de Fhyfique pag. 280. detexit , dari ali-
quam inter attradiones duarum fphaerarum , magneticac
et ferreae , aequalium proportionem , easque efle in ra-
tione inuerfa quadruplicata fpatiorum cauorum , quae inter-
Tab. VI. pofita fint fuccefliue inter vtramque fphaeram. Vt fi fmt
^e» ^' duae fphaerac aequales , magnetica A B et ferrea C D ,
efle attradionem magneticam pro diuerfis diftantiis E F
in ratione inuerfa quadruplicata fpatii interpofiti cylindra-
cei A C F D B E. Quam regulam haud fane inconcin-
nam , experimento , quod ibidem affert , optime probat
in duabus fphaerulis aequalibus , quarum diameter erat
0,95 poUicis londinenfis duodecimalis.
§. 4. Quam primum itaque mihi nobile hoc inuen-
tum innotuit , ftatim ingens cupido animum meum inceflit,
id ' variis nouis experimentis examinanjii atque inqiiiren-
di, an veritas vbique hic fibi conftet \ an haec proprietas
ad fphaeras inaequales fe extendat ; an in duabus fphaeris
magneticis quoque obtineat , nec ne. Adhibui itaque fe-
quentem methodum , \t in tabula , ex qua omne ferra-
mentum remoui , fufpenderem bilancem exadiflimam , eo
plane modo , qui in celeb. Grauefandii phyfices elemen^-
tis mathematicis ad vfus liydroftaticos Tab. XXVII.
figura / depingitur et deicribitur. Cepi deinde tres gto-
bos , magneticos duos , ferreum vnum , de quibus in fe-
quett-
MJGNFriCAE EXPERIMEKTJ ajp
qfociuibus (ermo occurret, quorum dimenfiones funt fe-
quentes in partibus, quanim 120 efiiciunt pedem lon-
dinenfem. Erat nimiiiim globi magnetici maioris pondus
i7-<5| granorum talium , quoiiim 7680 efRciunt libram
hoilandicam , diameter autem 14 part. ante memorata-
nim. Globi denique ferrei , qui magnetico maiori aequa-
lis eft , pondus deprehendi 2798^ Gran. et diametrum
eandem cum priori , nempe 14 part. Vbi obiter tan-
tum hoc adiicio , me occafione horum globorum indagaf-
fe quoqae methodo confueta hydroftat-ica magnetum a
me adhibirorum , qui ,ex metallifodrnis fibiricis allati ad
nos fimt , denfitatem , quam fruftra in tabulis huic fcopo
conditis quaefiui , eamque inuenifie in vno eorum 4 ,
8o(5 , in altero 4 , 778 pofita aquae purae denfitate i ,
000. Fuerunt hi globi omnes extus exadle laeuigati ,
et materiae ad fenfom bene homogeneae ; quod idcirco
adnoto , quia primo fiAo tentamine , in qno globus fer-
reus fiiperficiem nondum fatis politam tenebat , alrae pro-
diemnt attradiones , regulae allegatae non conuenientes.
§. 5. Poflm.odum igitur, fiifpenfb ex vna lance ma-
gnetico globo , ifa tt axis eius verticalis effet , impofui
alteri lanci tot pondufcula , quot requirebantur ad exadis-
i5mum aequilibrium refiituendum in bilance. Qiio obten-
to auxi haec pondafcula dimidio grano , vno , et fiic-
eeffiue pluribus granis , ex quo noua praeponderatio lan-
cis ponderibus oniiftae fequebatur. Tum vero leniter de-
mifi integram bikincem ope funiculorum , quibus fufpenla
eft , eamque tamdiu magis ma^isque fuppoiito verticaliter
globo ferreo admoui , donec vltima haec fada praeponde-
ratio
!iS6 DE VIRIBFS ATTRACT10NI&
ratio attradionis \i rediret ad priftinum aequilibriiim
Deinde diftantiam inter runimitates Ytriusque globi dimen-
(us fum circino , qui totus ex orichalco confcdus eft ;
atque fimul lemper caui , vt ne contingerent le hi duo
globi , durante primo experimento , vtque fic ferrum il-
libatum et magnetica Yi nulla imbutum tenerem. Di-
fcrepat itaque in aliquibus circumftantiis haec mea opera-
tio a musfchenbroekiana , fed hac ratione mihi \ifus lum
optimc inftitutum meum poffe peragere.
§. 6. Affidua igitur patientia et multo labore ob-
tinui fequentes obfcruationes , quas nunc fuo quamque or-
dine recenfebo ; poftquam hoc Ynicum adhuc adnotauero,
globum ferreum poft peradum primum experimentum
adhaefifle quidem magneti : fed tam parum exinde rece-
pit virium , \t in lcobe ferrea Yolutus fere nihii huius at-
traxerit. l^itm primo 1740 Febr. 24, fl. v. poft me-
ridiem {ufpendi globum m.agneticum maiorem ex bilan-
ce , fic , vt polus eius boreus ferrum refpiceret , illique fup-
pofui ferreum aequalem in linea verticali , atque fic le-
quentes obtinui numeros :
Obferuatio Diftantiae Attradiones
Giobor.
I 8f part. 1 Granum
II ... 5 - - I
III. . . ^. ... 2
IV. - . 31 3
V ... 3 4
VI- ^ . M 5
VII - - o » . - 1977
Secundo
MJGNETICJE EXPERIMENTA aSt
Seaindo deinde fiinile experimeiitum feci ciim fphaera
magnetica minore , ciiius polus boreus deorfum fpedabat,
et cum eodem , quo prius , globo ferreo ^ vt deinde eru*
ere polTim , an eadem memorata proportio locum quoque
obtineat inter duas fphaeras inaequales. Hic inueni lulii
10 , ante merid. fequentia :
Obferuatio Diftantiae Attradiones
Globor.
I - - - i^ipart I Gran.
II - . - 9 . . . . I . .
III - - - 4 2 - -
IV . . - ii - . - . 3 . .
V - - - o - - - . (^7 - -
Tertio iterum adhibui Augufti 30. ante merid. fphae-
ram magneticam minorcm , in qua nunc polus boreus
furfum fpedabat , et ferream eandem , atque depreheudi
hacc ;
Gbferuatio Diftantiae Attradiones
Globor.
I 4 part. - - .- I Gran
II - . - 3 - il
III - - 2 - 2
IV - - i| - - 3
V - - o - - - 50
Quarto denique, Augufti 30. poft merid. examinaui
vtramque iphaeram magneticam , minorem fic ex b.ilance
fufpenfim , vt polus boreus furfum (pedaret , et maiorem
ita locatam , vt polus huius boreus etiam furfum (pec-
taret , atque fic poli amici fe refpicerent • quo fodlo fe-
quentcm tabulam erui :
Tom. XIL N n Ob(er-
aSa UE nRlBFS ATTRACTIONIS
Obferuatio Diftantiae
Attra(fliones
Globor.
I - -
S7I
part. -
- - » Gian.
11- - -
14-
•
- - I
III - -
III
. -
. . ji
IV - .
91
^ -
- - a
V . -
8
' . ^i
VI- .
71
— - .
- - 3
VII .
^;
.
- - 4
VIII -
5
- - 5
IX .
4
. - - (R^H-r^J
6(R-^-r-Hff 3
ct multiplicatione adu inftituta , fada redudione ad ean-
dem denominationem , et abiediis quantitatibus , qaae fe de-
llruunt , fit tandem , ^fltima aequatione prodeunte in fa-
etores rurfus foluta , ^ ^ fi^^^^^- ^'^^^' =
^^^^^^Tqri^'-^^- , quam expreffionem indigitabo
\nica litera , et ponam := M.
§. 10. Si deinde accidat, \t fit R =r r , in cafii
fphaerarum aequalium , obtinebitnr facile ^ ^JoUd.jaui —
UT^^.nr-^^a^)r^ gj. diuifione iidu inffituta ^ ""M^- ^^^^
^(2r-4-3<5()r^. Efl: vero hic pro omnibus diftantiis
foliditas caui vti 2 r + 3 ^ , ob r^ vbique idem , qua-
re in hoc cafu erit 2r-4-3^ = M,et aflumta conftante a,
«xperimento \nico definienda , erit attradio magnetica
MAGNETICJE EXPERIMENTA a 8 5
rz^, Ybi loco ipfius M numeri cafuum alterutri re(pon'
dentes debebunt adhiberi.
§. II. Subducfto nunc calculo numerico , fatis mo-
lefto quidem , inueni fequentia , quae hac tabula continen-
tur :
Experim. dift. M. attr. obferv. attr. theoriae
I cafus I ^- 8f - 39f i 1
3 - 41 - 2 8| --.. 2 if^g
4 - 31 - ^51 3 3ib .
5 - 3{- - 23 1 4 4^*^
d - 2| - 22| 5 41«^
7 - o ~ 14 — -ip77 32fi3
II cafus I — 14I —2:594 — I I
2—9-1843 I — 2,94
3—4 — 1159 2. 18,82
4 - ^ — 88^ — 3 55,^0
5 _ O — ^13 (J7 240,40
III. cafus I — 4 — 1159 I — I
2 — 3 — 1023 li 1,(^5
3 — 2 — 88 vbi dolendum certe eft , peruicaciam
quafi
MJGNETICJE EXFERIMEKTA 4S7
qmCi hiilus Inpidis tantam efle , qnae nulHs legibus gene-
ralibus fe adllringi hiicusque patiatur. Id tamen merito
honoris cel. Mujjlhenbmho exinde accrefcit , quod in rc
tiim difficili , atque in obfcuritate hac naturae hucusquc
indomita futuris (eculis flicem , quam fequi tuto licet ,
ingenii fui acrimonia et laborum conftantia accenderit.
§. 13. Reuocabo nunc ad examen aliud experi-
mentum , quod iple cel. Mujj^chenbroeklus inftituit cum duo-
bus globis mngncticis inaequalibus , quorum \nius diiunei
ter erat 6^ poll. londinenf fiue 78 lin. alterius iSlin.
ct quod legltur in diflertatione de magnete cap. i. p.
x6. Abfoluto caruiim quoiuudam huius experimcnti cnl-
culo , fequens mihi enata eft tabella.
dilbntia M attracfl. obferv. attr. theoriae
•7011^.-125253 - - ijGran. - - . ij
45 - - 80433 - . 3 ->-... *^
28 - - 5H59 ' - 9 - 44-
12 - - 26379 - 23 . -634.
Vnde turfus patet , laudatifTimam theoriam ad cafum glo«
borum inaequalium non extcndi.
rESCRip,
?85 -^S^.l (o) S-c?--
DESCRIPTIO
CASSIAE AMERICANAE PROCVM-
BENITIS , HERBACEAE , MIIViOS\E FOLliS ,
FLORIBVS PARVIS , SILIQVIS ANGVSTIS, PLANIS.
A. L A
Caffias cnm clariir. Toiirnefortio voco omnes pkntas,
quae flonbus praeditae funt pentapetalis , quorum
piftillum abit in filiquam nunc teretem et cylindraceam ,
nunc compreflam , in \aria loculamenta diuifiim a difle-
pimentis transuerfa pofitis , medulla quadam fubinde ob-
dudtis, foetam feminibus duris. His notis addi poteft%
qnod petala florum fere femper diuerfae fint magnitudinis
et formae , quod llamina habeant Ytplurimum decem va-
riae longitudinis et formae , yariis etiam apicibus onufta.
Vix datur aliud plantamm genus , cuius fpecies fta-
tura , proccritate , crefcendi modo et frudu adeo inter
fe diuerfae funt ; dantur enim arborefcentes , dantur fru-
tefcentes vel eredae Yel procumbentes perennes ; dantur
herbaceae annuaeque fpecies ; dantur Caffiae firudu tereti
cylindraceo pulpa quadam nigricante repletae ; dantur-^fru-
c-tu tereti et angulato duplici leminum ordine fbeto *, dan-
tur etiam filiquis planis compreffis ] dantur denique fili-
quis articulofis , qualem ante aliquot annos circa Campe-
chy nouae Hifpaniae yrbcm detexit G. Houftonus. Taceo
folia , in quibus non minor diflferentia deprehenditur.
Ne vnica quidem pulchritudine et vfu medico in-
fignis huius generis Ipecies in Europa fponte prouenit ,
fed
DESCRIPTIO CJSSIAE AMERICANAE rel 23.^
fed omnes fere americanae et afiaticac funt originis , ex-
ceptis paucis Africae indigenis. Harum plurimae mihi
funt aut penitus ha(flenus incognitac , aut non bene ab
audoribus defcriptae. Hoc aut^m loco animus tantum
eft exhibere delcriptionem ynicae fed rarae admodum
fpeciei , quae maioris ct clarioris dillinclionis cauflii ab aliis
huius generis (pecicbus a mc lic appellatur :
CASSIA mericana prociimbens , herhacea , Mimojae fo^
Uis , floribus paruis , fiHquis angujlis , planis.
E radice albenti , valde fibrofa , cauiiculus furgit ad-
modum gracilis , teres , pedalis aut fequipedalis , inferne
purpuralcens et parum hiriutus , fuperne Ycrfus extremita-
tem pallide viridis et glaber , mox fupra radicem duos
emittens ramos coniugatos , in terram reclinatos. Breui
port holce ramos interuallo caulis in tres quatuor plu-
refue alios , aequalis fere longitudinis prioribusque per
omnia fimihs alterno femper ordine diuaricatur , ita , vt
vix dignofci poflit , quinam proprie horum ramorum cau-
lis fit continuatio. Rami omnes teretes funt , hinc inde
parum intorti , terram verlus inflexi vel humi plane
procumbentes.
His ad vncialia praeter propter internalla alterno or-
dine fblia adnaicuntur fescunciam , vncias duas aut tres
liibinde longa , pollicem fiue fesquipollicem in medio lata,
vtrinque angufta et obtuili , ex odo , nouem , decem ,
vndecim , duodecim aut tredecim , raro pluribus pinnarum
coniugationibus compofita , nulla cum impari collara
claudente. Cofbe , quibus pinnae hae adhaerent . ,*rope
Tom. XIL O 0 i^afia
24.0 Di:?CllPTn CiS^tAE AMmCANAE
brn gMicahtie nnt , te-riifri nie , hTfris , ab altem
piiT3 ^ihne , ab •ikeri cuiiliciil.uie (ea CLiriaitie , aiex-
ortm daib;H a inciilis pmiis , aijiltii et v.iKle aciKis ,
rAiTii3]i3 appr^lfii praeiitae. PiaMe v^ra brevruri p.i> et
Tix coiirpicais peliii:ulis geiiiculitis ihlienr, luiu jas poU
licis trientem aat dimidiim circiter vaciam latae , gla-
brae, fi ocalis nadis fpeflantar , parum ad oras priecipuc
hirfatie , fi microfcopio armatis cemutitar , in tenu'(fi!riini
fpiaulam inermsm et mollem terminitae , fu perae lietc
virides , inferna dilatiori colore ad glaucum vergenre tinc-
tie. Hiram neruus nin medium teine percurnt , (ed ad
oras pr^pias adm :)aetar. Nofla folia clauui fuat , inter-
dia vero expantii Mimjfiirum aiiarumque plantaram ad
indar.
Flores non ex alis foliorum Ccd ex kteribns ramo*
rum ad duarum aut trium linearum ab illis diftantiam ,
niox (Iipra memoratarum auricularum niucrones , per to«
tam fere ramorum lon^itudinem , in pediculis Dreuibus ,
linenm vnam aut alteram longis oriuntur , modo fingula-
res , mo jo bini aut terni , exiles valde , vix duas aut tres
lineas lati , pentapetali , rofacei , flaai , caiyculis contenti
e viridi flauefcentibus , in quinque vt plurimam fegmenta
acuti fima et inaequalia fiffis. Petala diaer^ie quoque (iint
inagnitudinis , quorum quatuor fere aequalia , oblonga et
obtafa , interdui etiam vt plarimum claafa . quintum et
infimum , contra ac in plerisque Cafiiae fpeciebus fieri
folet ^ quatuor fuperioribus triplo maius efl: , fubrotundum,
concauum.
E fundo calyculi piflillum (iirgit ob^ongum , planum,
dorlo et ventre viride et glabrum , ad latera piloliim et
inca-*
TWCVMBmJlS, HERBACrreV ^i
Jncanum , decem flnminihus paiuis , rrngnitudini? et fnrrno
diuerfae , Tt in congeneribus , circtR.catim , qi.rd p Kgicf u
temporis in filiquam excrefcit plamm , ccnrpicO^j.m , Anci-
am plus minus longam , duas circiter lineas latrm , initio
viridem , per maturitatem fufcim , glabrr.m \ei paiim
aGmodura hirfutam , ex duabus men.branis ccn.fufitim
feminibusque fcetr.m quinque aut (ex , c( mpicflis , lacui-
bus, nigricantibus et rpkndentibus , argnlatis , tenuibrs ciS"
fepimentis inter ie diftindis , nulla cmnino pulpa cbci dis.
Elegans haec planta in horto Academico" ficerer.it
cx (emmibus cum integris filiquis circa I hiladelphi: rn ir-
bcm in Penfyluania, Americae feptentricnalis prcuircia, fi-
tam colledis , floruitque lulio, Augudo et Septembri men-
fibus. Qiiamuis primo femper a fitu anuo fores rragna
copia prcducat , frudus tamen raro miaturat ; cim fc ri-
bus enim marcentibus £ori:m rud.menta \t plurmim fi*
mul delabuntur. Et fi illorum aliquot augncntim capi-
•vnt , ob nimis breuem huius regionis aeftatcm ad plenrm
maturitatem non perueniunt. Ceteium notandrm aehuc
eft , plantam , quam delciipfi , in fdili enutritam fuife.
Illae quidem , quas folo f mi equini calorc tepente plan-
taui , laetius creuerunt , folia et n^mos plures atque rr.aio-
res humi.procumfbentes obtinuerunt , flores autcm nunquam
multo m.inus frudlus protulerunt. HycmiC vero cmnes la-
dicitus perierunt.
Hfl porio fme dubio eadem planta, qiine Chrmnccrifla
Wariana , flore niincre Fetiv. hort. flcc. apud Rai. Hifl.
phnt. T(TO. 111. Afp. cuius fpecmcn ipfim , ex quo
denominatio haec origincm traxit , in mufaco floaniano
■$idi. Icon fennae Ipuriae Tirginianae , Mimofae foJiis , flo-
Oos litus
4a DESCRIPTIO CASSIAE AMERICANJE rel
ribus pamis , niditaiitibiis , Pluk. Alm. Bot. Tab. 314.
fig. 5. Si florum paruitatem et filiquarum formam
Ipedes , flitis ad plantam noftram accedere ^idetur. Flore^
autem et filiquae in planta Plukenetiana ex alis foliorum
egrediuntur , fecus ac in noftra ; flores quoque omnes (in-
gulares pinguntur , cum in noftra duo aut tres vt pluri-
mum ab vno exortu enafcantur ^ auriculae etiam bafin co-
ftarum ambientes fimplices repraelentantur , in noftra vero
duplices fiint ] foliorum pinnae longiores et latiores quo-
que funt , vtrinque obtufie et aequalis fere "vbique latitu-
dinis. DifFert praeterea noftra haec planta a Chamaecrifta
Fauonia americana , filiqua multiplici Breyn. Cent. I. p.
66. Cap. XXIV , potiffimum crefcendi et ramos emit-
tendi modo ; ftatura maiori et ereda ; pinnis foliorum
paucioribus , iisque praecipue , quae m medio eorundem
pofitae funt , longioribns et latioribus , in fpinulam abeini-
tibus j fiorum denique ftaminibus breuioribus.
VJ^
DE
PHAENOMENIS PLVMBI
FVSI IN TVBI5 CAPILLARIBVS,
C. £. CfZ/^/t.
1n docflrina de tubis capillaribus experimenta hndcnus funt
inflituta circa corpora , quae perpetuam fiuidatcm prae
fe ferunt : quibus debito modo inftitutis pro comperto af-
firmari poteft , altitudines mercurii, infra libellam deprefli,
et omnium liquorum,, fupra eandem afcendentium , efle in
ratione reciproca diametrorum. Perpendens itaque metalla
in vafis puris fufi ad modum referre argentum Yiuum et
iftud ideo a Chemiftis dici metallum igne minimo fufiim,
fulpicabar phaenomena metalli fufi in tubis capillaribus fi-
milia eis , quae in argento viuo reperiuntur , efle futura.
Apud animum igitur' ftatuebam periculum ficere ,- quo in-
telligerem , an experientia coniedluris meis fit refponfura.
Nec fpes me fefellit. Nam experimentis in plumbo ca>
ptis obferuaui haec quatuor phaenomena generaliora :
i) plumbum fiifum' in tubo capillari femper fubfiftere ad
altitudinem aliquam; infira libellam metalli in vafe
contenti.
s) altitudinem iftam^ efle propemodum in^ ratione reci-
proca diametrorum ,. propemodum dico , nam neque
inaequalitatibus , licet fint perexiguae , vllus tubus
carere , neque eam ob caufam diametrorum menfura,
prout decet , inftitui poteft :
3) in tubis , qui non ^biuis aeque fiint lati , pro dia-
metro eius fuperficiei , ad quam fummitas piumbi in
tubo pertingit , iftud fubfiftere ;
Oo 3 -l^)
244 BE FHAENOMENIS TU^MBI
4) idem eiienire in tubis figulinis.
Praecipua autem experimenta fimt illa.
rrab. m. Exp. L Jig. 4.
Immerfi tubum cnpillarem Yitreum AB m pkimbum
fufum et cbulliens Ysque ad D , intrauit quidem plumbum,
led fubfiftebat ad altitudinem aliquam infra libellam , neitv
pe in C; quo gracilioribus ^fus fum tubulis, eo maior erat
ifta altitudo DC
Exp. JLJig. 5.
A B et a b fignificflnt tubos vitreos aequalium dia^
tnetrorum , quibus plumbo liquefiido imme^fis altitudines
DC tt dc fibimet inuicem fiint acquales. Idem quo-
que euenit , fi alterutri tubus figulinus , dummodo fit eius-
dem diametri , fubflituatur ; quod commode fifUilis , \fiii
herbae nicotianae inferuientibus peragi potefl , vtpote quae
iatis ^accurata in hunc :vfiim gaudent 4iametro.
Exp. m.Jjg. 6.
Diameter tubi AB Mt habebat ;ad diametrum tuli
£th Yti 3 : I if^a enim erat % lin. haec autem ^3 lin.
His immerfis in plumbum fuliim altitudo d c fs lin. ad
quam iflud infra libeilam fubfiftebat , erat propemodum
ad altitudinem alteriiis tubi DC |g lin. \ti 3:1, feu altitu-
dines erant in ratione reciproca diametrorum In tubis,
quorum diametri erant in ratione quacunque , eundemfem-
-per oriri euentum faepius iterato experimento didici.
In dimetiendis iflis akitudinibus et diametris menfiira
•vlus fum angUcana , in qua pes in duodecim pollices , et
j)6llex in decem lineas diuiditur.
Exper. IV.
Sumatur itubus inflexus, quem repraefentat fig. 7.
hunc
FFSI IN TFBIS CAPILLARIBVS.' 245?
Iiunc immergas in pliimbum fufum , lioc fubfiftet in C in-
fra libellam , et erit altitudo perpendicularis DC aequalis
altitudini , quae obferuatur ia tubo redo eiusdem dia-
metri,
Exp. ^.fig' S.
Teftam fieri curaui figulinam ABCD , cauitas ahc
prifma repraefentat , latitudo huius cauitatis in a c t^ yni-
us pollicis et femper decrefcens yerfus b , ibi denique
fit /5 lin. Pofita tefta in fitu horizontali et infiifo plum-
bo altitudo hnius verfus h femper decrefcebat. Fateor hoc
experimentum bis non ex voto fucceflifle. Nam diftinde
quidem videre erat , metallum fiiftim Mt attollere ad ma-
iorem minoremue altitudinem , pro maiore aut minore in-
tercapedine ; ^q^ cum tefta ob intenfum huius hiemis fri-
gus non bene eftet exficcata , infundendo plumbum inae-
quales huius oriebantur motus , vt nulla decrementi lex ob-
feruari poflet. Interim hoc experimentum, \tut mancum,
reticere nolui , quia in metallis , ad quae fundenda maior^
quam ferre vitrum poflit , requiritur gradus caioris , egre-*
gie cautelis neceflariis adhiberi poteft.
Exp. VI fig. p .
Sit tubus AB , altitudo plumbi infra libellam fiibfi-
flentis diametro tubi refpondens- GH. Inimergas illum ia
plumbum fudim et altitudo immerftonis fit aequalis GH,
aut iila minor , nihil metalli in tubum intrabit.
Y.xper. VII. fig. 10.
Si tubum ABC , conftantem duibus partibus, nmpH-
ore et tinguftiore, immittas in plumbum fufi^m , et aJtitudo im-
Hierfionii» fupeiet altitudinem , quae debetur diametro trbi
sV J^E THAENOMENIS PLVMBI
gmcilioris, hoc pro ratione diametri amplioris fiibriftet in'
tubo , etfi diameter nimis fit mngna , ad libellum pcr-
veniet, '
Exp. VIII. fig. 11.
Sit ABC tubus , parte ampliore et ftridiore inftru-
dus ; EF denotet altitudinem plumbi depreH] , quae ref-
pondet tubo graciliori , et GH , altitudinem tubi amplio-
ris. Mergatur vt in experimento antecedenti , (ed ita, Yt
pars tubi amplioris fubmerfi aut altitudini EF aequalis ,
aut illa minor fit , niiiil metalli in tubo ampliore reperies
Inuertatur deinceps tubus et denuo mergatur, led ita, Tt
pars fubmerfa tubi gracilioris non fuperet GK , deprehen-
des , plumbum nec in graciliorem intrafle.
Exp. IX.fig. 1.
T^^b VII '"
Sit tubus conicus ABC , immittas illum plumbo li-
quefido eo fitu , quem figura exhibet , iltud infra libel-
lam fubfilkt ad altitudinem DC ; quo profundius deinceps
detruditur , eo maior ,fit altitudo DC.
Exp. X fig. 2.
Inuertatur eiusmodi tubus et immergatur eius pars
exilior , habebis DC pro altitudine plumbi infra libellara
fubfiflentis ; quo profundius iilum immergis , eo magis de-
crefcit altitudo DC.
Exp. XI. fig. 3.
Infledatur tubus diametri inaequalis in formnm ABC ,
immittatur plumbo fiifo , iftud fubfiftet in C. Sit C di-
am. fuperficiei fupremae plumbi intubo, erit altitudo per-
pendicularis DC ea , quae debetur tubo redo dia-
inetri C.
Ex-
FFSt m WBIS CAPILlARtBrS. U^
Exponendum hoc in loco ccnfeo , quomodo haec
cxperimenta in tubis capillaribus inftituerim , quo meliu»
diiudicari poflit , \trum momentum aliquod habeant ncc
nel et quo facilior aliis, quibus volupe foerit, eareiterare
leu alia tentare pateat via.
Mihi manus operi admouenti duae potiffimum fob-
Oriebantur difHcultates remouendae. Nam i) tubi quidam
vitrei vim caloris plumbi fufi ferre non poterant , et 2)
akitudo ad quam plumbum infra libellam fubfiftebat , non
confpici ct eam ob cauflhm menfiiratione definiri nc«
quibat. Quod ad priorem attinet , faepius iterato experi^
mento animaduerd , rumpi tantum crafliores, tenuiores au«
tem nihil detrimenri pad. Calefeci itaque craflfiores paullarim^
antequam in plumbum fufiim immergebam , quo 6do non
conatus meos infringebant. Ad alteram tollendam prima
vice hac vfus fum methodo. Filo aeneo circumuoluto
annotaui in tubo altitudinem , ad quam iJlum in plumbum
immerfurus eram , licet et iftud in parietibus tubi exter-
nis adhaerens altitudinem immerfionis oftenderet. Immerfb
tubo orificium eius digito aut cera obturaui , aut hermc-
tice claufi ; tum vero admodum leniter extraxi , ne rno-
tus in caufa effet , quo excideret plumbum , et , cum
metallum ad altitudinem aliquam fufpenfum haereret, mcn-
iuraui differenriam inter hanc et altitudinem immerfionis
nempe CD. His peradtis in plurimis experimentis reperi
phaenomena paullo ante memorata. NuUus itaque de ip-
forum veritatc dubitabam , praeferrim cum et diametros
tubulorum fumma , qua potui, induflria dimenfiis eflem.
Verum enim vero bis obferuans , plumbum in tubo leni-
ter et verticaliter exta^o duobus ^ltibus poUicis longi-
Tm. XII. Pp iudi-
mox iiidicabo,
tildinem (iiperdDtibiis (lipenora petere, minuti lecundi tem-
poris ' (patiu ptopemodum ibi morari ^ et deinceps riirdls
adimum defidere *, noi> potui a me impetrare., vt mihi
perftiaderem , hanc methodum omnibus numeris ablblutarfi
e(!e. Ideo hoc fingiilare phaenomenon ad - aliam ' et ^\xh
dem tutuorem viam quaerendam me impellebat;^ quam
Exp, xit.M% ' ■ ■ '■'
Immerla 'tlibo ampliori , (^d tamen refpedu metaUi
capillari, e. g. diam. a. lin. in pWmbiim fufum , anim^d'-
\ertebam metallum iftud infra. iibelldm in tubo fubfifllerid,
conlpici poflTe in fbrma fphaerica ; fuperficiem iftius fu-
premamintubo prius ligi , quam. in Ya(e ; et, cum tunc
tubo firmiter adhaereat ^ locum fuum , illo extrado. tioti
mutare.. ' , ; ' '. '
His ftetub facile * et ' exaifte altitudinem iftam DG ih
tali tubo et huius ope in gracilioribus determinare potui
hunc in modum. Vna cum tubo ampliore immerfi dubs
trefue graciiiores \trinque apertos , fimulac in^ amplioife
"tiibo' plumbum confift^bat , omnes leniter extraxi , quo
'feibf>Fropo{ltio II.
fdrticuhe pkmbi fujl et ehullienlis cohaerent vitro aut
argiila,
Si detrudas vitrum candefadum feu inftrumentum
quoddam . figulinum in plumbuin fiilum , et id poflea ex-
•trahas • a|:pArebit particulas metalU perexiguas ipfi ad-..
haerere,
^i:^A±. Propofitio IIL
Parttculae pJumbi liquejaBi fefe inuicem forttus attrahunty
qi^am cum vitro aut argilla cohaereht.
Propofitiones duae priores oilendunt , particulas plumbi
fiifi fefe mutuo attrah^re. et/cuin 'yitfo aut argflla cohae-
' 'P p a ' '- ■ ■ rerc
(a; Tent. Exper. Acadcm. del. Cimento Exp. a.in vac» iiVilit. et'Ics ^^cmoiref
dfc 1'Audemic Royal. de Sciences 3.1724-. p. 1 4p,
\% DE PHAEmMENlS PLVMBl
rere. Immerlb tubo capillari in plumbiim fufum , cylin-'
drus plumbi iftius in vafe aequaiis DC innltitur impeU
lere plumbum intra tubum ad libellam vsque , quem e-
tiam adiuuat cohaefio cum vitro ; hoc fi fieret , particu-
ias intra tubum afcenfuras a metallo in vafe contento ,
quod a lateribus contingunt , recedere oporteret , quod au«
tem , quo minus fiat , impedire conatur attradlio mutua
particularum pkimbi. Cum itaque plumbum in tubo ca-
piliari ad altitudinem aliquam DC infra libellam fubfiftatj
attradio mutua particularum plumbi aequalis cft ponderi
metaiii DC et cohaefioni cum vitro, ergo ifta mukd
maior. Addi infuper poteft (uperficies fupremas omnium
liquorum in tubis capiliaribns fupra libellam alcendentium
clfe concauas , plumbi autem et argenti viui , vtpote quao
infra libellam fubfiftunt, conuexas.
Haec cum ita fint, meo quidem iudicio caufla praeci-
pua plumbi in tubo capillari infra libellam fubfiftentis fita
cft in attradione mutua particularum plumbi.
Experimentis certiore» fadli fumus , altitudines plum-
bi efle in ratione reciproca diametrorum. Nunc autem often-
dere conabor , quamobrem hoc ita fieri debeat.
Attradio mutua particularum plumbi et cohaefio ip-
fius cum vitro pro vnoquoque tubo capillari eft deter-
minanda ex tubi peripheria , feu , quod idem eft , ex ip-
fius diametro. Quo maior enim eft peripheria , eo plu-
res particulae a reliqua plumbi mafla recedere necefle ha-
bent , ct eo maior fit cohaefio plumbi cum vitro.
Sit itaque fig. 3- tubus ADCB eius diameter rr B ,
altitudo capillaris =: C , attradio mutua plumbi pro hoc
tabo ^VzzB, et cohaefio cum vitro =: E := B ; at-
fVSl IN TVBIS CAFILLARIBVS. ^i
tradlio mutua plumbi pro tubo adcb ^ cuius diametem ^,
et akitudo capiilaris znf, Cit zizpzzib et cohaerio cum
vitro zzezzilf. lam vero fcimus ex modo didis eflc P
=3 B*C-f-E , et p =: b^-^^-e , erit igitur P : B* C-l-E z=
p-.b^c+e^ multiplicando extrema et media P^*^4-P^—
pB*C4-pE et cum fit P^zirpE, diuidendo et multipli*
cando per P^ et pE erit ?b*c'=pB*C , diuidendo por-
ro per P =: B et p=:^, reftat ^^ :iz BC. Quod fi
denique diuidas per ^ , et B , eft ^ : B zz C : ^.
Experimenta 7. 8. 9. 10. 11. oftenderunt intubis,
qui non vbiuis aeque funt lati , altitudinem! D C deberi
aeftimari pro diametro iftius fuperficiei , ad quam plum-
bum in tubo pertingit , quod phaenomenon (equentem in
modum explico. Eft lex hydroftatica, fluida quaecunque
premere pro altitudinc et bafi. Sit itaque ABCDEG,
tubus non capillaris communicans , quem fig. 16. exhi-
bet , et in E fundus mobilis F , ita adaptatus , \t flui-
do circa latera eiusdem nulla pateat via , huius bafls (it
zz ^* , denfitas fluidi autem =: d ; repleatur tubu> fluido
vsqUe ad A erit preflio in fiindum F~ABZ>V. In ap-
plicatione ad noftrum cafum nobis tantum iconcipiamus ,
furidum 'mobilem efle fiimmam fuperficiem plumbi intra
tiibum , reliqua fua fponte fluent.
Ppd DE
TVBIS CAPILLARIBVS PRISMATk!
cis.
C. E. Gellert. ■ . .^
Philofophi ideo potiiTimum dodlrinam de tubis capillari-'
bus excoluerunt , . quo operationes naturae a capillari-
tate pendeates eo melius perfpicerent , Yfi hucusque taa4
tum tubis cylindricis iqi experimentis ab ipfis inflitutis.
Gum vero a fertili natura non folum formentur cauitates
capillarea cylindricae ^ fed pbtius multiformes a diligenti-^
bus naturae fcrutatoribus in animalil)us , yegetabiiibus et;
mineralibus reperiantur ; operae pretium iudicaui experi-^^
menta in tubis capillaribus prifmaticis capere , phaenome^,^
xia ibi obuenientia follicite annotare , cum iis , quae in;
tpbis cylindricis iam obferuata funt , comparare et co\
animum appellere ^ yt generalior dodrioa detubis capil-'
Jaribus euadat.
Tubi capillares prifmatici artificiales , quantum me-
mini , ad haec vsque tempora fuere inGOgriiti., Arduuni^
infuper prima fronte videtur , illos conftruere , cum tameii;
reuera focili negotio parantur. Praeponam itaque experi-.
jnentis methodum illos conficiendi , quae haec eft.
Paretur prifma ferreum trianguiare feu quadrangulare,
longitudinis 6 feu 8. dig. et craflitiei circiter 5 dig. hoc
Qbducatur in officina vitraria vitro candente duiSlili , per-
petuo circumuertendo , vitrum forcipe prifmati bene ap-
primatur , ita, vt perfede eius formam acquirat ; prifma-
le ixtrado , vitrum rurfus bene candefacias , et exinde re-
ngttudo
Adfcenfus aquae.
in parte ang. \ in parte lat.
I Partes pedis in 1200. [ diuifi
I. j 1320 I IIO I
95
II. I 1610 I 180 I 168
III. I 1745 I 207 ( 200
IV. I 1790 I 177 I 171
V. ( 181Q ( 190 ( 19Q
Hos
Has altiw4i{i^$ feepiiis jrejtemii experimcntis reperi coti-
ilant^s , pfAeteriquod in tubis amplioribus.aqua in angu-
lis altius et pyramidis inftar affcendebatj cuius menrura ve-
r^ aequaquam. tapi pdtuit , apice iita ex^enuato', \t tan-
ddii;;omnem 'aciem oculonimi efFugeret.
Nadu§ altitiidines , ad quas aqua eleiiabatur , follici-
tns fhi de menfara bafium inft.ituenda; quam aim minus acciu
rate abfolute determinare poflemj^ fequens mentendi genug
r^i^iuum adhibuL.
'7— Ttibtim A B , fig« , arnplioreEn prirmaticum alfi. Tab. vii.
gaui perpendicularitqr nnachinae ligneae F G H I , it^ \t ^^* ^*
firmus ac immobjli$ (taret , eius orificium inferius ckufi
cera , in {nperins inferui infuodjbulum vitreum in tubunt^
valde gracilem . definens ; deindq impleui alium graciliorem
^b ^ fig. 7- fugeodo mercurio, jib omnibus fordibus appri-
flne purgato, ad cert;am altitudinem ^ c , fiio aeneo anno-
tatam ; eandem mercurii malfam ex hoc tubo immifi ia
tubum maiorem A B per infundibiilum K , et menfura-
ui altttndinem A C. lam vero haec prifmata ac^
jEt ACj funt aeqnjajlia , et aequalia prifinata reciprocant
i)ales et; altitudines , legitim.e itaque inferebam : vti altitu*
40 ac^^ altitudinem AC, Ita bafij A* nd bafin a',
Ij^otandbm e{l mercilirium lente in infundibulum efle in^
fiindendiim , irnpetu enim fi irruit , globuli quidam refi-
liunt. Contingit quoque , vt jnterdum mercurius tubum
ingcedi ab aere in tubo contento prohibeatur , et in in-
fundibuto retineatur ; tunc caute cera ab orificio inferiori
efi pauhilum remouenda , vt liber aeri pateat exitus , fimulac
vero om.ni8 mercuriijs in tubum delcendit , hic dextre et ce-
lerlter cerae eft: apprimendus , ne qua pars mercurii euadat.
Jod XII Q. q 1»
30
a^5 TfETVBIS CJ?i^lLARIBFS PRISMA7ICIS
In iisdem tiibis , quornm altitiTdmes capillares panllo
ante amK)tam , altitiidines a equaliiim maffarum mercurii iir
binis tubis erant (eqiiientes.
No.
\ akitudo
Mercurius , qui
eratintubo pris-
roatko vjuadiiiii-
gulari.
I.
1050
III.
1050
IV.
165
V.
^1050
VI.
t050
VII.
fio5o
VII.
VII
1^50
vni
1050
erRt In tubcr prii
matico quacVan
gulari»
IMO,
.akitudo laltir. ex
', part.ajt.
II.
II.
II.
II.
II.
319
14.2
16^
21
220
II
No.
I.
II.
Mercurias qur
erat in tubopris
roatico triangu-
lari.
II.
iir.
III.
IV.
altitudo
216
1300
1090
090
1300
1-300
1090
1050
ciat 1n tubo prif-
matico quadran-
gulari-
11.
II.
II.
130
160
332
150
173
227
230
138
170
193
16S
205
174
iMo.
II.
II.
II.
II.
II
11.
1l
1l
iltitudo
160
akit, ex
ak. part.
170
267
202
176
205
270
229
i8i
215
186
215
280
239
192
Bafe&^
D£ TVBIS CATILIARIEFS PRISM:AnCIS 1^
BAfes igitur horum tuborum erant inuerTe vti akitridiiies iii
ifta tabula defignatae, c. g. Bafis tubi quadiang. pAifm.
No. 11. €x parte arx^iore Mq habet ad bafin itubi pnfm»
quadr. No. I. vti 1050 ad 33^, ex parte amphore riU-
tem vti 1050 ad 319. ■
Ex tabula prima et fecunda videre eft , aquam m
tvtis prifmaticis gracilioribus a^eque ac in cylindricis altiuS
afcendere quam in amplioribus , et capacitatem exinde iEl
urbis vbiuis aeque latis efle cauflam diuerfarum altitudinum
aquae iiipra libellam eleuatae. Hanc ob rem in rationem
quandam inter bafes tuborum meorum prifroaticomm et
akitudines aquae elcuatae inquifiui^ aggrefljsque quibusdam
viis , in redam redtidus certior fxdius fum ,/ i(bs ^iltitudi'»
nes capillares efle propemodum interle inuerfe vti radices
bafium : quod , vt eo melius patefiat , quosdam tubos ad
calculum reuocabo, Radix bafeos tubi prifmatici quadran-
gularis No. I. fefe habet ad radicem bafeos tubi i^prifma-^
lici quadrangularis No. II. quam proxime vti 3JE . TKBIS C4PILLARIBVS fRISMATmS
Radi^x baiep?^ .tiibi prifmatiiGi qundf, No, Vlll.eft ad ni*
diceM[i bAfeo?/ tiibi ptitm* qmdr. No II. ex parte ampjio*
ri vti 2.6 : <55. Altittido aquae fupra libeUam eleuiuae in
t;u!oO'No«. |I. ex parte amplipre || lin. Qgartu&.propor'
tionalis 187^ lin. dat altitudinem capillarem pro No. VUI,
'Ah ifta ia tabula 'I5 ©t ^U liu. iK)a admodum difieren-
tem. Radix bafcQs tubi prifm^tici txiangukris. N- V-I5ft
nd radicem bafeos tubi ^priiiii. qMadrangularis No. II. quara
proxime :yti,i3,: 33» Aqua in tubo No. II. ekuataad
II lin. Yna cum iftis nadicibus dat J^si- Hn. pro altitudiae
eapijlari in tvho tri:in§ul.aEi NPv V. quae experimento o^
fcruata: fuit *§i et ."g.fliti.i Radix:bafeos tubi pxifin. triaGir
gularis Nq. ^ VL-fefeitebet: ad- radicem bafeos tubi prifni^
quadrangularis No: II. vti 17 : 3<5. . Altitudo capillaris.
ih No. II. quadr. efl: |^ lin; et quartus propoaionalis M
hos tres numeros %: Hn^: ^^flgnat. ^titudineni capilkrem
tiibi prifmatici . triai1gulari$f ,iNo^„ VI> quae m tabula inue-r
nitur .^fi et ^i lii?. Infici^Si quidto ij"e mt^ fo&im^ in
his tubis et in reliquis , fi- 1 calciilus inipiciatur , hunc ftoa
:\d amuiCm congrqere cum gxperientia j fed ipero fore^ .vt
liaec differentia , cum fit exigua , non euertat legem ai)-
tea traditam : altitudines capillares tuborum capillaritHTi pri-
fmaticorum effe in ratione inuerfa fubduplicata bafiuiD.: - ,
Porro, quia circuli' funt intcr. fe vt quadrata diametro?' .
rum , erunt quoque altitudines capiilares in tubuJiis pri$r!'
maticis inter (e inuerfe vt diametri circulorum bafibus,ii>ferip-
torum. Itidem , cura figurae regula/res fimiles circtiiis ijBt-
fcriptae funt inter fe vt quadrata diametrorum ci^uloruiti ,
circumfcriptorum ; altitudines capiilares' etiam funt ittterfe;
inuerfe vt diametri circulorum bafibus circiimfcriptorum.
Peri-
m TFBIS CJPILLJRIBFS TRISM^KHS, 259
•: .Jeripherine ciicubrum funt inter fe ^t dLimetri , e-
runt itiique adfcenfus aquae in hos tubos fea akitudines
capillares in ratione inuenii peripheriarum circulDrum ba-
fihasitam inlcriptorum quam circumfcriptorum.. Altitu
dines capillares funt quoque in ratioiie inuerfa quantitatum,
aquae eleuatae. Islam fit altitudo aquae eleuatae lupra li^
beliam in tubo prirmatico ampliori — A, eius bafiszzQ^y
denotet in ardiori adfcenfum aquae a , et baiin q. Erit
A : ^ zr ^ : Q , vti iam oilendi : mukiplicaEdo extrenTa
et mcdia inter fe erit A(^zz.aq et cum AQ^^ ^tx, aq^j
dant quantitates aquae ^ diuidenda per aequalia AQ_et^^,
leftant Q_et ^ , radices nempe baiium. Sunt itaqiK quan-
titates aquae eleuatae vt radices bafium. Sed radices ba-
fium funt inter fe inuerfe vti akkudioes capillares , ideo
quantitates aquae erunt etiam inuerfe vti altitudines capil-
kres , nempe erit AQ^ ; Qm ^^' : ^ et cum fit Q: ^
m: a "• A ^ erk AQ^ : 4—zaq : A.
Quantum~ Jtaque akitudine aqua , quae in tubis gra-
cilioribus adfcendit, fuperat iilam , in tubis amplioribus ele-.
Yatam , tantum haec illam quantitate. ; ,
Nunc difpiciendum eft , quomodo adicenfus dquae i^
mbis capilkiribus " prismaticis fe habeant ad illos , qui ob-
veniunt in tubis capillaribus cylindricis ; et an non: genera^
lis regula pro omtiibus tubis capiilaribus cuiuscunque' figu-
rae condi poilit ?
Regula pro tubus cylindrici& ftabilita ita (bnat : altii-:
tudiaes-y;:ad. quaa aqua in tubos» capillares fupra libelliinv
ppitur. , font ia .ratione inuerfa diametrorum,
Sit ACQ fig. 8. tubus capillaris prismaticus amplior
triangiiiaris aut quadrangularis ; acq fig. 9. eiusmodi tubus
> - Q.q 3 ardior-
ft^a DE TrBIS CAPILLARIBFS PRISMATICIS
^rdior. Defignet C , altitudinem adfcenrus aquae , Q ra-
dieem bafeos in ampiiori , et ^ , altitudinem aquae eleua-
tae^ j, vero radicem bafeos in aidiori , erit C :c:=z q : Q.
TBDE fig. I o , denotet tubum capiilarem cylindricum
jsimpliorem ^ fbde ^ fig- ^^ > ardiorem. E et f fint alti-
tudines , ad quas aqua afcendit , D et r/ diametri B et by
bafes circulorum , erit E : ^ zi: ^ : D fed bafes circulorum
fimt inter fe vt quadrata diametrorum, ideo B : ^ =: D' :
/; extrahendo radices eft V B : V ^ zi: D : ^ , poflum ita-
que pro diametris radices fubftituere et dicere vti Vb : VB
E : e. Igitur omnes altitudines tam in tubis capillaribus
prismaticis quam cylindricis funt in rationc inuerfa fub-
duplicata bafium.
Inftitui infuper et alia experimenta cum his tubis
prismaticis , fed cum phaenomena prorfus conueniebant ,
cum iis , quae in tubis cylindricis fgere obferuata ; lliper-
vacuum habeo ifta experimenta figillatim enumerare , fuf^
ficiat potius praeeipuas propofitiones ex iis erutas hic ap-
ponere.
In tubis prismaticis ex aqua fublatis et in aere per*
pendiculariter pofitis aqua fulpenla haeret.
In tubis prismaticis ad horizontem inclinatis aqua a-
fcendit pro altitudine perpendiculari.
In vacuo aqua afcendit in tubos hos prismaticos ae-
que ac in libero acre. In tubis , diueriam amplitudinem
in fua longitudine continentibus , baleos tubi fupremae ,
ad quam aqua pertingit , ratio efl: habenda. In tubis varia
modo inflexis aqua eleuatur pro altitudine perpendiculari.
Mercurius in tubis prismaticis infra libellam confiftit et qui-
dem quam proxime in ratione inuerfa fubduplicata ba-
fium. , Perti-
m TVBIS CAPILLJRIBFS PRISMATlCIS t6t ^
Pertinent qiioque ad dodnnam capillarem phaena-
mena fpeculis viti-eis parallelis obferuata. Videndum igi-
tur e(! , an (labilita iioflra regula geileralis et apud ift^
k)cum obtineat. .v,-^.,*
Viri clarifTimi Haukstiei^us^ef Mufchenbroekius dcpre-
lienderunt , altitudinem aquae afcendentis intra fpecula efle
in- ratione inuerfa diftantiarum a fe inuicem. Sk diftaa-
lia maior duorum fpeculorum inter fe — : ^ , altitudo aquae
cleuatae n: a , diftanria roinor rr, D y altitudo aquae eleua-
tae rz: A y erit a : KznT) -^d ^ et aqua eleuata reprae-
lentabit duo parallelepipeda. Sed fi haec parallelepipedji
lefoluantur in prifmata d* a et D* A , quorum bafes funt
quadrata diftantiarum , conftituunt , D , latera (eH radi-
ces, et erunt itaque altitudines aquae eleuatac ia rationet
innerfa fubduplicata bafium.
<
OBSERr-
OBSERVATIOxMES ANATOMICAE
RARIORES.
AVCTOIVE
Obferuatio I,
De
Vena caua duplici afcendente.
Annq i';^^' jextjraoriinariu5 ^ plme infolitus in cor-
pore cuiiisdam cadaueris msiknM yenae carjae . Ilatijs
aperto abdomine oculis fe obtulit. Iniedione in Yaiia
cruraiia tam arteriofa quam yenofa fada , et remotis
•vilceribus tres fub peritonaeo , iuxta et fiiper fpina lum-
borum fitae \ifae fuer«nt eleuationes , quae clarius detedlae
palam fecerunt , ^nam et mediam aortam magnam , binas
laterales yero duos Yenae cauae afcendentis truncos con-
ftituere fequentem in modum : aorta defcendens , proces-
fibus diaphnigmatis egreflTura , ramos fuos infignes, coelia-
cum videlicet et mefiraicum fuperiorem , qui pofterior
duplo fere maior coeJiaco erat , dabat. Hic mefaraicus
fuperior etiam de fe fpargebat cyf^icam gemcllam arte-
riam , quae confueto prouentus modo alias ortum fuum
coeliaco debet. Aortae truncus defcendens viam pauUo
plus dexterius ac folet , et fuper fpina lumborum ipfi fu-
raebat , in itinere fuo emulgentes , fpermaticas, mefaraicam
inferio-
OBSERrATIONES JNATOMICAE. 313
inferiorem , et lumbares , qnasque confueto fuo loco pro-
ducens arterias : inferius diuaricabatur et va(a iliaca di-
mittebat. Vena vero caua afcendens non longe ab in-
troitu in hepar, vbi vncialis craflltudinisexiftebat, ex duo'
bus diftindlis et aequalibus conflari truncis videbatur. Ita
autem trunci ipfi erant locati , vt vnus dexter latus fpinae
dextrum , alter finifter eiusdem fpinae latus occuparet fi-
niftrum , et aortam vterque contineret mediam. Quo ab
ortu iftorum truncorum ipfb , re(pedu itineris progrefliui ,
quo (anguinem verfus cor vehunt, et vbi vena caua ipla
implantatur , exordiamur , necefle erit ibi delcriptionem
inchoare , vbi diuifiones in vnum coguntur truncum ; et-
enim iliacis tam internis quam externis poft arterias ilia-
cas congredientibus , truncus ille venae cauae afcendens
Iblitarius conficitur , qui dextrum ipinae latus pofl3dens,
penes renem fuccenturiatum dextrum in hepatis fubftan-
tiam immergitur. In noftro fubiedo , vti duo trunci
venae cauae , fic etiam iliacorum immerfio in fui lateris
quemque truncum erat leparatim confpicua , eo tantum
difcrimine , vt truncus incipiens finiftri lateris paullo inferior
ac iile dextri lateris apparuerit ; (iquidcm canalis quidam
oblique transuerfalis duas vncias longus et dimidiam vn-
ciae craffus , (iiper vertebra lumborum quinta et pone
ramos iliacos arteriae magnae traiiciens, binos truncos co-
pulabat , ita quidem , vt in dextri trunci latere prope di-
ftantiam vnius vnciae ab iliacis emergeret , inque finiftri
lateris trunco , vbi iliaca vafa , vt externum atque inter-
num , concurrunt , iigeretur , in via vero et paullo fini-
fterius venam cmitteret facram. Trunci in itinere fibi
pares poft hunc transuerfe obliquum et communicatiuum
Tom, XIL R r canaiem
51+ OBSERjrmOXES ANATOMICAE.
catiitlem dinmeti^nm dimidin vncia maiorem tcnebant ; la-
tiores et ad trcs qiiartas partes liiperius , vbi coniiin(5lio*
nem rubeunt , euadentes. Dexter truncus afcendens noii
procul ab emulgente vena vas (permaticum dextrum fu-
fcipiebat , pauUo (iiperius vero venam emulgentem , quo
iterum aliud vas fpermaticum abfcedebat : finifter vero
truncus itidem fub valis renalibus alTumebat vas fpermati-
cum finirtrnm , poftliac binas venas renales , fuper renalU
bus denique in arcum dextrorfum vergentem et arte-
riam magnam transfcendentem excurrebat , in arcum vena
atrabiiaria fmillra infigebatur. Lumbares venas quisque
truncus fui lateris fouebat , in vnum tandem , (uppeditata
infula , combinati trunci ftipitem (esquiunciam longum prin-
cipalem porrigebant , quem hepati committebant et qui
hepar antequam ingrediebatur , venam atrabilariam dex-
tram , vel potius breuem canalem , ( quia ren fuccenturia-
tib proxime ftipitem adiacebat) admittebat.
Hic adiici meretur : finiftrum hepatis lobum in hoc
fubiedo folito multo maiorem ,/ lienem ad vsque protrac-
tum , ac cum illo ad quatuor vncias , quoad tunicas vtri-
vsque propri ar. , concretum exftitifle. Item dudum pan-
creaticum duplici trunco et in(ertione gauifum fuifle , in
talem quippe modum efformatum : apud lienem , vbi pan-
creas incipit , ex ramulis conflabatur dudlus ; hic duas , et
quod excedit, vncias progreflfus in binos alios dirimebatuc
dudus , quorum vnus et fuperior in diftantia duorum fer-
me digitorum transuerforum ab altero verfus pylorum ,
alter et inferior vero cum cholidocho dudu , vti in lio-
minefolet, comm<^im duodenum inteftinum pertunde-
bat.
Tab.
OBSERFJTIONES ANATOMICAE. 315
Tab. VIII.
Fig. I.
A
Arteria magna.
a
. . . coeliaca.
b
. . . melaraica (uperior,
mergit.
ex quo cyftica gemella c^
G
c Arteriae rcuales.
d
d . . . fpermaticae.
e
Arteria melaraica inferior.
f
Arteriae magnae diuifio in
iliacos.
ggg^ Jiimbares arteriae.
B
Stipes venae canae princi
palis hepar ingrcdiens.
C
Truncus v. cauae dexter.
D
. . .... . finifter
arcum fuper aorta faciens.
E
Communicationis canalis v.
cauas interfitus
e
Vena facra.
FB
' Va& iliaca intcrna. -
G G . . . . externa. ,
hh Venae fpcrmaticae dextrae.
i Vena fpermatica finiftra.
K K K Venae renales.
1 Vena atrabilaria fmiftra.
L L Renes.
M M . . . fuccenturiati.
N Crepido , vbi flipes hepar intrat.
O Diaphragma reflexum.
P P Procefllis mufculi diaphragmatis.
0.0^ Vreteres.
R r 2 Tab.
'3i Reliqua eius portio anguftata atque Ipiralis.
E P( rtio inteftini iki.
1 Va& fanguifera.
G Tres glandulae colo et ileo adfitac-
Tab. IX. Fig. 4.
Exhibet ciusdem interiorem faciem , in qiia praeter Ta!-
■vuias conniuentes obuiam cunt
A Orificii m ilei f dida \aluula Bauhini , hic admo-
dum hians.
B Orificium appendiculae , cum valuula fpirali.
DE
DE
RENIBVS SVCCENTVRIATIS IN
PVERO DISaVISITIS NOTATA.
AVCTORE
L C. mide.
Pnernm 3 -4 annos natiim 173 9- menfe martio qiioad
renes fuccenturiatos perfcrutatus lum , fequentiaque
animaduerti.
Tunica adipofa renes circumueftiens ex parte etiam
renes ruccenturintos cingebat , iti, Yt praeilla glandulae
iftae renales vix internofci vel diftingui pofifent. Sed
tunica ipf-i paullulum ablata , vafa fuccenturiatorum fiida
funt perfpicua ^ quae infequendo corpora manifeftarunt
ipfa. Erant aiitem illa vafa partim arteriofa partim \e-
nola. Arteriarum , quas notabimus quaternas , binae prop-
riae , alterae binae communes non oppofite aequalem fii-
mebant originem ; propriarum fcilicet dextra ab emul-
gente dextra ip(a , quae alias etiam a trunco aortae poft
mefiraicam fuperiorem propullulit. Siniftra vero, qiiae ali-
quando quoque ex coeliaca prouenit, penes radicem mefiraici
rami fuperioris ex trunco ipfo aortae nafcebatur , vtroque
vero , { quam quoque in adultis fubieiftis vel vnius vel
vtriusqae lateris gemino principio atque trunco , anterius
vni), aitero poflerius caplulae latus fuis ramis percurrente
vidimus ) in corporibus fdccerituri itante-
oellensj quam littera M defignaui - . Tfib.x
in fig. I. Appulfum limbi Liina-
ris ad eam obferuaui , et cx)nta-
T 1 3 <^um
534 OBSEni^ATIO ECLIPSIS SOLAIIS
«flum miituum ^d tempus iam no-
tatum ammadueffi. ' 'Declin;uiit au-
^^1 Cftfm ^ius| Jhaciflje^ C0m|u|i |ifc^ |
' ■ ' ' tfenipus odi^te^^/cetTfrdSDlis^ef^ -^
fus aii^ifiilfpl 9.2. part foabe feu 5^.
.. , 29^ {. circulL maximi : quoad afcea- _
fionem^vero redtam macuMe cen.
trum oocii^etia^bu^^ Mt vcentro So-.
lis 53. part. Xcalae feu i3ifet>fd>/r obO
in tempore niinor .'i6\dO
$, - 47,]i5tii Periph0l*^'>Lmae^=iifer- (5^^ \i
. . I M 'dddtae! ^ nucciiie . topfrid. Praecedens
; 5itiiJiaqcjxJbiiraatibi:f^(9ii eft pertu-
9. - $8. I. 13^. 8rr|r 359 8. 4
n {;. ; :,. fcf rr iiA^^^obferuatiqne j P.fJPA , ^J .hanc vs-
,jj que ceiitrun) ^Lpnaej^,pccideptalius
r ; f , . j , ^ ^ ^ . fuit centro Solis qudad afcenfionem
X " i§i^'''^^^k^^"^^^f^^
^■-'''4)btef6'fdai%t pfer-mutti 15.
Ab
OBSEWATIOvEm^mWSQlJmS S3S
Ab bbfcnmi :i. vsque ad i4u cen-
^ tmm Lunae. a centroSolis declina-
vit reptentrionem Yerfus, Iii fequen-
tibus declirtatia centriLutiae. gfcen-
tra Soli^ mCis auftmiji acGipi: deb^ty . ,
17 - 7, 21.; 4151, 58, 98^.. 2. 13
irS' ' - 1 8 . 53 Finis . eclipleos exadle : obleruatus
i/jf . ; . peir tubum 15.: ped.
• - Figara prima Phafes . enumerata^ decliarat et niimeri in
fcmita centri Lnnac adicripti notant loca ^ in quibus centri;m
Lunae fuit iis temporis momentis , quae iisdem numeris
in praecedentirecenfioneSrifi^iuntur«. Goelum toto eclipfos
tempore ferenum obleruationi optime favit. Cum autem
Soldeficiens ad horizontem 'occiduurii vergeret ^ ne refra-f
^lionis diuerfifas ad horizontem obferuationibus vim infer'
ret , pro obleruandis eclipfeos phafibus methodum lequen-
tan extra periculumj refradionis pofitam adhibui- Vfljs
nempe fum quadrante- portatili tubo; inftriKSo, in cuius ^aj^ ^
foco duo fila V T , H R > ad angulos red:os fibi infifleri-Ffg^aw
tia extabant- Tubum in Solem direxi fic , \t pofito qua-
drantis plano in fitu proxime Yerticali y filum H R fitum
prope .horizontalem^ , filum V T verticalem , nancifcerentur.
Wii ftdis notaui moram tratifitus dilci fblaris vel per fi-
lum horizontale H R vel per vertrcale V T ^ prout fci^
licet totius difci tranfltuSy habito partis Solisdeficientis re-
fpedu , obferuari potuit. Praeterea animaduerti momen-
ta appulfus cornuum . phafeos , limbi Lunaris et limbi Solis
ab eclipfi immunis ad adem filum fiue horizontale fiue
"; verti-
^:^6 OBSEkFATlO ECtlTSIS SOLARIS
verticale. Qiiibus datis conftrudio phafeos abfolui et po-
fitio centri Lunae refpedu centri Solis et circulorum coele-
ftium , nec non quantitas diametri Lunae definiri poflunt.
Repraefentent H R , V T fila ad angulos redos fi-
bi infiftentia. , A D B exhibeat difcum Solis vtrumque fi-
lum tangentem in A et B. Referat R C I pofitionem
diorni centri Solis refpedu filorum V T , HR; radius vero
CD (CB vel A C) expreflfus intelligatur per partes temporis ,
quo dimidium difci Solis per meridianum vel horarium
quemuis tranfit. Et exponet C R femimoram tranfitus
difciSokris per filum HR. EC vero femimoram tranfitus So-
lis per filum VT. ConceiTis igitur mora tranfitus Soiis per ho-
rarium et mora tranfitus eius per alterutrum filum H R yel
V T, dabitur pofitio diurni RCI refpedu filorum.
f"?- a. Notati iam fint appuliiis cornuum B,A, peripliae-
riae Lunae M et limbi Solis (equentis F , ad filum V T.
Defcriptus fit difcus Solis A B F vtrumque filum tangens
ct quidem limbo fequenti F filum V T ; exprefia autem
fit diameter difci per moram tranfitus eius per horarium.
Sit R C pofitio diurni centri Solis refpedu filorum fecantis
fikim V T in E. Capta fit E b aequalis interuallo tem*
poris inter appulfus cornu B et limbi Solis F ad V T.
Eodem modo fit E^ aequalis interuallo tcmporis inter ap-
pulfus cornu A et limbi folis F ad V T ; nec non E m
aequalis interuallo temporis inter appulfus peripheriae Lu-
nae M ct hmbi Solis F ad V T. Per punda b^ a^ m
fic definira adae intelligantur ad VT parallelae ^B, ^zA,
m ^ ; quarum b B fecet peripheriam Solis in B , ^ A in
A ; et dabuntur loca cornuum B, A in peripheria difci
SoHs , red:am vero m ^ tanget limbus Lun;i6, Datis iam
pUEh
OBSERFATIO ECLIFSIS SOLARIS ^s^
pundis A , B , et reda jn fji pofitione , dantur centrum
'G ct nidius circuii per punda A , B tranleuntis et re-^
dlam jn |x tangentis , hoc eft , dantur centrum Lunae po-
fitione et (emidiameter eius magnitudine. Huius rei vlte-
riorem et analyticam expofitionem dcdi in recenfione ob-
feruationis eclipfis Lunaris d. 8. Septembr. 1737. ftc n,
Simili modo proceditur , fi aliae dentur obferuationum
conditiones.
Haec phafeos conftrudlio , quae fatis expedita videtur,
fupponit difcum Lunae intra difcum Solis immotum interea,
dum appulliis cornuum et limbi Lunae ad fila tubi obfer-
uati funt. Hoc autem fupponere non Hcet , nifi eximiis
(iibinde erroribus locum concedere \elimus. Difcus Lunae
intra difcum Solis fitum continuo mutat , adeoque mo •
menta appulfus cornuum obferuata multum fiepifiime dif-
crepare debent a momentis , quibus appulftis ifti obferua-
ti fuiflent , fi diftus Lunae intra dilcum Solis durante ob-
feruatione immotus perftitiflet. Si igitur iuxta metho-
dum fipra expofitam conftrudio phaieos fufcipi debeat ,
necefle eft , yt appulfus cornuum et limbiLunae ex ob-
feruatione acquifiti corredione aliqua tales efficiantur , qua-
les obferuati fuiflent , fi Luna fitum in difco Solis intcrca
non miitaffet.
Pio definiendis eiusmodi corredionibus requiritur , vt
fci.itnr , qua ratione progrcffus Lunae per difcum Solis fa-
dus fit. Ad hunc ergo cognofcendum proiedionem edip-
feos orthographicam effeci ope elementorum , quae calcu-
lus ex Tabulis Ludovicianis inftitutus fubminidrauit , exin-
de vero pofitionem femitae vifae centri Lunae per difcum
Soiis deteiminaui. Exponat figura 3 . proiedionem , qua-
Tom. XIL Vv lis
^3^ OBSERT^ATIO ECLIPSIS SOIARIS
lis pro eclipfi Solari fieri folct. Sint ADB femidifcus
Terrae,AB Ecliptica , DC circulus latitudinis , PC me-
ridianus vniuerililis , FI orbitaLunne, o. i. 2. 3. 4.. etc.
parallelus Petropolitanus in fuas horas iuxta numeros i ,
2,3,4 ^fc* diuifus. Cum momenta initii et finis
eclipfeos obferuata aliquot minutis defcreparent ab iis ,
quae calculus praedixerat , confultum duxi , Yt momenta
ifta ex obferuatione acqnifita fchemati inlererentur. Hunc
in finem in paralielo Petropolitano determinaui pundla i
et / relpondentia refpediue momentis initii 5^, lo^ ,
49^/, et finis 7^^, 18^, 53^^ Ex pundis irtis i et /
interuallo femidiametri penumbrae interfecui orbitam Lu-
nae in I et F ; quibus fardis obtinui loca centri Lunae in
initio et fine cclipfeos , puta in I et F ; nec non in-
teruallum I F in orbita Lunae , quod tempori durationis
Edipfeos refpondet. Inde f\cillime pundla V. VI. VII.
etc. in orbita Lunae definire potui , in quibus centrum Lu-
nae refpediue fuit horis V. VI. VII. etc. lam ex di-
iiifione paralleli Petropolitani innotuerunt punda 5. 6. 7.
etc. in quibus centrum Solis fuit horis 5. 6. 7. Igitur
ad datam quamuis horam pofitio centri Lunae refpedu
centri Solis et circuli alicuius coeleftis incognita elfe non
potuit. Verbi caufi ad horam 5'^™ quaeri debeat pofi-
tio centri Lunae rell-^edl;! centri Solis et circuli declinationis
eius. Qiioniam hora 5^* centrum Solis e(l in pundo 5.
panlleli Petropolitani , per hoc puuLlum 5. duco redam
G H par.illelam ad P C meridianum vniuerfilem ; et G
H repraeientat pofitionem circuli declinationis Solis. Sed
eadem h )ra 5. centnm Lunae q([ in puncfto V. fuae or-
bitae , quamobrem duco V G ad G H perpendicularem ,
Tt
OBSERVAm ECLIFSIS SOUKIS 339
Tt per redns V G , G 5. acquiram poritioncm centri Lu-
me refpedii centri Solis et circuli diclinationis G H. Sci-
licet hora 5. recfla VG exhibet differentiom inter afccn-
fiones redas centromm Solis et Lunae in diurno ; GV 5.
vero exponit difTerentiam declinationum centrorum SoJig
ct Lunae.
Hac methodo ad fingulos horae quadrantes detcrmi-
naui diflferentias afcenfionum redlarum et declinationum
centronim Solis et Lunae. Delcripfi deinceps circuJum P
^ Q. ( %• 4- ) 3 ^"^"^ radius C P eft ad radium difci
Terrae D C ( fig. 3 ) , vt femidiameter Solis nd parallaxin
Lunae horizontalem. (In adieda fig. 4. circulus P D.Q_
iuffo maior euidentiae caufa fadus d\ ). AfTi.mta porro
dinmetro P Q_ pro circulo declinationis , ex cognitib per
contbudionem praecedentem afcenfionum redarum et de-
clinationum difierentiis ad fingulos horae quadrantes defi-
niui punda 5^ , 5^ , 5j , (5. etc. in quibus centrum Lunae
refpediue fuit horis 5^ , 5^, 5| , 6. etc. Denique pun*
dis iftis ope redarum inter fe connexis acquifiui fcmi-
tam centriLunae Yifiim in difco Solis pro immoto habito.
Neceffe autem fuit , vt ad fingulos horae quadrantes loca
centri Lunae determinarentur , , paitim quia portiones fe^
mitae vifiie a centro Lunae fingulis horae quadrantibus per-
curiae ex continua parallaxeos Lunae mutatione fiint inae-
quaies , partim quoniam ipfa femita curuam nancifcitur
figuram , dum declinatio Lunae non folum ex motu eius
proprio , fed ex variata quoque Lunae parallaxi continuo
mutatur.
Vv a . His
5p OBSE^irATtO ECLIPSIS SOLARtS
His praeparatis corrediones obferuationum fupra dl*
dtas fequcntem in modum inuedigaui. Exempli lo. o lu-
bitae fint obferuationcs. appuHiium ad filiim V T (fig. 2.)
Cornu B 5^ 30'. 45^''.
curnu A. — 3^^ * 15«
peripher. 3 in M. - 31- 171'
limbi O (equentis F — 3 3 . 61.
Cum in femita centri Lunae Yifi ( fig. 4 ) dentur
pun6la 5^, 51, in quibus centrumLunae extitit horis 5|,
51 ; ex interuallo horum pundorum 15. minutis tempo-
ris. refpondente , fi motusLunae in orbita vifi per qua-
drantem liorae vnifbrmis fupponatur , ficile determinari
poffunt punaa/,^, k, in quibus centrum Lunae refpe-
diue fuit 5'. 30'^ W; 5'. ^^' n''-> 5'^ 31''^ i7r.
Semidiametro Lunae , cuius ratio ad femidiametrum Solis
ex calculo eclipfeos datur , centris f.g^k defcripti fint
arcus BMA, Z^^,p[xcc, intra difcum Solis , qui expo-
tient fitum peripheriae Lunaris in Sole ad dida refpediue
momenta. Igitur momento 5^. 30^- 45''''- appulit ad
filum yerticale quadrantis cornu feu pundum B periphe-
riae Solaris , cornu autem A tunc temporis extitit in A.
Momento 5^ 31^. v^^ cornu A iam proceflit in. a^
adeoque hoc momento pundlum peripheriae Solaris a ap-
pullit ad iilum verticale. Denique momento 5^. 31'. 17^"
peripheria Lunae in ^mcL pofita filum quadrantis verticale
tetigit. Hi ergo appulfus in diuerfisLunae intra difcum So-
lis pofitionibus obferuati fic corrigi debent , yt tales pro-
deant , quales obferuati fuiffent , fi durante appulfuum ob»
fcruationeLuna fuum in difco 3oUs nou mutaflet»
Ad
OBSERVATIO ECUFSIS SOIARIS
34-X
Ad circuliim declinationis P Q. per centriim Solis C
dudla fit normalis D E , quae diurnum Solis repraefenta-
bit. Igitur cum per fupra difla in quauis obferuatione
detut pofitio aiurni refpedu filorum , ad quae appulilis
obferuati funt; \.ici(fnn m fig. 4. dabitur pofitio filorum
refpedu diurni D E. Exponat ergo VT filum verticale
ad quod appulfus notati funt. Per A,^, dudae intel-
ligantur Ab , ai, parallelae ad VT et fecantes diurnum
D E in ^ et i j et manifeftum cft , pundlum b fimul
cum cornu in A , pundlum i fimul cum cornu in a ad
filum verticale V T appellere. Si igitur detur tempus
quo (patiolum bi filum VT traiicit , dabitur interual-
lum temporis inter appuldis cornu in a et cornu in A.
Expreffi autem diametro Solis DE per partes temporis
quo dildis Solis meridianum tranfiit ; exponet Ipatiolum
ib tempus, quo ib filum VT traiecit , vnde propter ib
ex conftrudione datam , dabitur interuallum tempotis in-
ter appuKus cornu in ^ , et cornu in A , veluti in
noftro cafii m l^^ lam momentum nppulfus cornii a
ad VT ex obferuatione datur , fcilicet 5^. 31^. i^//.
Subtrahendo igitur ab hoc momento inteniallum inuentum
rzl^/, (quoniam A citius per VT quam a tranfiit , )
habebitur niomentum appulfus ipfius A ad VT, veluti
5^ 31^. i^^^, quod ell momentum , quo cornu in A
appulilTet ad V T , fi centrumLunae in / immotum perr
ilitiflet. |,,^:^i[,
Eodem modo fi ad V T ducantiir parallelae ^w-^pff^
tangentes refpediue limbumLunae BM A , (3 ;« a in M
tt /72, et fecantes diurnum D E in ;« et ; fpnciolLnti
no exponet interuallum temporis inter ^ppiulfc. Jimbi
V V 3 Lunae
S4.a OBSERFATIO ECLIPSIS SOLARIS
Lnnae (3 wa , et B M A ad V T , qnod excmpli loca
in hoc caiU erit =:: v/\ Cum ergo ex obferuatione de-
tiir momentnm appnlfus limbi Lunae pma, nimirum
5^ 31^. 171^^, fubducendo intcruallum fnnentum ab lioc
inomento ( quia B M A citius traiecit VT , quam (3mot)
habetur 5^. 31^. 16'/^ pro momento appulfus periphe-
riae Lunae in B M A , quo cafu centmm Lunae adhuc in
f extat.
Ex obfernatione datur momentum appulfus cornu B,
5^. 30'. 4-5", centroLunae in / exiftente. Vi prae-
cedentis corredionis dantur momenta appulfum cornu A,
5^ 31'. i^'', et limbi Lunae BMA 5? 31'- i<5i ,
Lunae centro etiam in / haerente ; ^nde haec momenta
innenta talia funt , qualia oblcruata fiiiflent , fi dnrante ap-
pulfnum obfcruatione limbus Lunae intra difcum Sohs im-
motus perftitiflet , pnta in BMA.
Haec ergo momenta fic correda in conftrudione
.phafeos fupra expofita adhiberi debent. Phafis exinde
conftrndla relpondet momento temporis , quo motusLunae
qiafi cohibetnr (eu quo Hmbns Lunae in noftro cafu fuit
in B M A , fcilicct 5^. 30'. 45''. Hoc momentum ,
ad quod phafis propofita conftrnitur , yoco momentum
■objematmis.
Qiioniam determinatio memoratarum corredlionnm
^ calculo et proiedione eclipleos pendet , adeoque ex
diflenfn calculi cnm coelo in conftrudla pro eruendis cor-
jedtionibus figura pofitioLunae intra difcum Solis nonnun-
quam diuerfa prodire folet ab ea qnam Luna ad datum
tempus reuera refpe^flu Solis habnit \ methodo qnidem
. praecedenti corre<^iones definiui , et phafm ex obferuatio-
nibus
OBSERFATIO ECLIPSIS SOLARIS 34S
nibiis corredis conftruxi , aft ybi hanc ab ea , quam
proiedllo eclipfeos ir^licabat , nimis difcrepantem ani-
maduerti , in conftrudn ex obleruatiouibus phafi corredi-
ones denuo definiui ,- et exinde nouam phafeos conftru(fli-
onem ad veram magis appropinquautem fufcepi.
Vt de phafibtts ptfaecipuis hutus EcHpfeos rationem
reddam , obieruationes , ex quibus iftae conftrudae funt ,
hic tranfcribam , additis corre. _ - 3
34. 14 ~""- - - — 4
40. 9 __ ~ _- _ _ ^
4(5. o ~ — — — -, (j
51. 50 - ^ - - - 7
57. 3P ^ - - ^ -^ 5
Xx 2 C»
348 OBSERVATIO ECLIPSIS SOLJRIS,
6. 3. 3<^ — — — — — 9
10. 5 — — — — — 10
ic^. 54. —-.---— 10. 34.1' ob-
fernatio niaxima,
Diftantia centro
1'ucn O ct 3 mu
nima, 2' 4(5''par-
tium circuli ma?.
S3. 42 — — — — — 10
30. 5 ------ p
35. 49 ----- 8
41^ 25 ----- 7
45. 52 — — — — — ^
52. 19 - - ^ - - 5
57. 45 _-_--. 4
7. 3. 7 ----- 3
8. ,25 ------ 2
13. 41 - ----- I
18. 53 — — -.-, Finis Eclipfif .
OB-
OBSEVATIO
TRANSITVS LVNAE
AD -^
SATVRNVM
die -^^ an. 1740. Petropoii habita^4
G. Heirifio.
EiaA'A motus Liinaris cognitio obfernatornni operam
continiio requirit. Theoriaquideni Lunae receritioruni
ftudio certiS fuperftruda eft fundamentis , , ex quibus varia-
bilis Lunae motus diiudicari debet j fed data adhuc pluti-
ma , non nifi ex pbferuationibus aftronomicis petenda ,
defiderantur , M illorum ope inaequalitates motus Xunaris
a fe inuicem probe difcerni , earuinque effediis fiiB jcertis
Lunae circumftantiis cognoici pojGTint. Hanc bb. Ciu3(aih in
obferuatorio Imperiali obferuationes Lunae tum in.',me-
ridiano tum extra iftum , quando Luna fixas :vel pK-
nctas prope tranfit , . affiduo inftituuntur , \t fufficlens 16-
corum Lunae numerus ex obferuationibus acquiratur , quae
<3einceps cum theoria conferri poffint. Sed CGit^odiflii
lioc , quod obferuationes eiusmodi praebent , Ynicum- non
eft. Nexus , qui inter labores in obferuatorio Imperiali
peragendos et molimina obleruatorum in Siberia et Cam-
tfchatka dcgentium intercedit, i(his, neCfea-Trio'. rcqthrit , .Tt
ex compbratione locornm Lnnae hic et in aliis locis ok^
reruatofum , difierentiae meridianorum determinari poiTujt.
X X 3 Vtilibus
S^d TRANSITFS LVNAE AD ZATVRNVM.
Vtilibus his obfernationlbas merito adnumero tran-
fitum Luhae ad Saturnum die j°j^^j- i^n. 1740. hic ob-
(eruatum , quem impracrentiarum expofiturus fum.
In eius obreruatione ^riis fum tubo 8. ped. in cuius
fbco extenla erant quatuor fila ad angulos (emiredos \er-
fus fe inuicem inclinata. Machina paralladica in fituni
debitum redada fiiftinebat tubum , qui in Lunam ita di*
redlus fuit , vt limbus Lunae pro apparentia tubi aftrono-
inici inferior ( reuera fuperior ) , dum tubum traiiciebat ,
exade vnum ex filis iltis in foco extenfis raderet , quod
proinde diurnum Lunae apparentem referebat. Hoc appa-
ratu obferuaui appulfus limbi Lunae praecedentis et centri
iSaturni ad filum , quod diurno normaliter infittebat et
circulum horarium repraefcritabat , \t inde differentiae af.
tenfionum redarum limbi Lunae praecedentis et Saturni
innotelcerent, Praeterea vero annotaui quoque appulfus ceii-
tri Saturni ad fila obliqua cum filis diurno et horario nn-
gnlos femiredos fbrm^ntia , \t exinde differentias declina-
tionum limbi Lunae borealis et centri Saturni colligere pot-
fem. En dedudiones ex obferuationibus habitis.
Differentiae Differentiae
Ordo Temp.verum. Afcens. reftarum limbl declinationum limbi "^n^t
;€bfer, 2) n^c praeced. et cen- borealis etcentri Saturniexi-
tri |)ni in temporepri- ftente "^no boream verfusab
mi
mobilis
hoc ]imbo,in partibus circu*
li raaximi.
1.
8^ 14.^ S4-''
3'. 13J
15'. 3<^"^
2.
.- H6. 44.
2. sol
15 54
5.
- 34- 42
2. 36I
4-
TRANSITFS IVNAE JD SATFRNFM 3ST
4. 8^ 41^
16^/
2^
24I
i5^
49^
5. -4d
41
2.
15^
■ 17.
20
6. -53
49
591
17.
27
7. -58.
3^
5ii
18.
I
8. 9- 4-
0
401
18.
16
9- - 8.
9
32^,
18.
37
10. — 12.
13
24
18.
37
II. — i5.
13
i^§
18:
51
12. — 19.
53
9|
19.
19
13.-35.
14
0.
39
20.
29
14. -38.
52
0.
32^
20.
3<^
•15. — 42.
2
0,
261
20.
53
i PA + PC=i2.v+^
Ar<.leuF_/> PA~PC:iiC(?:ii^
lam
3(^0 DE DECUNAT. SIDER. mTERMlNAT. iyc.
lain per theorema Cl. Euleri in Tom, IV. Comment.
p. 98. pofito fimi toto — I , ed:
r A^ Co/.( PA-h?C)-H. cor. (PA— PQ-H. coJ.T. of. ilX—TC)- cof,V.corj2\~^M
leu introdiidis fymboiis
COf a rz: ^^X (^x-h^ ■+; """f- ^-t- cof. ■p.cof. b ~ cof^ p . cof. (zx^h)
-2
tada ergo teraiinorum transpofitionc iniienitur
eof. ( 3 X + ^ ) = '■'°'''Z7il-"^- ^^-
g t go/> a — coj. h — - coj. p . coj. b
jm- verj. p .
Tt lioc problema exemplo iliullrarem , elegi obferuationes
Solis et Sirii diebus 2.6. Apriiis et 24. Maii flylo nouo
anno 1740. inftitutas. Tranfitum Solis per meridianuin
ex altitudinibus cius refpondentibus determinaui ; Sirium
vero obferuaui in fextante murali , nulla liabita ratione,
an tempus tranfitus Sirii per reticuium Iiuius infirumenti
conueniat cum tempore culminationis eius verae , nec ne
d. 26, Aprilis depreliendi interuallum inter meridicm ve-
rum et tranfitum Sirii per lextantem muralem 4^ 17' 32"
temporis primi mobilis d. 24. Maii ifiud interuallum in-
veniebatur 2^ 28' i6|" temporis primi mobilis. Diflfe-
rentia igitur horum imeruallorum ell: i^ 49 155", cui
refpondet arcus Aequatoris 27* 18. 52" — DG leu ang.
APC , fi Sol d. 2 caque uilia efFeci , qualia prodire
pof~
DE mCLINJT SIDER.DETFRMlNAT.&c. 33
poflent , fi ipfis errores , qiii in obfernationibns corr.mitti
queunt , adhaererent. Ea , qune exinde relultabant , de-
nique comparaui cum quaefito iam cognito , ^t innotef-
ceret , quantus etror in quaefito per errores obferuationnm
produci poffet. Sint in A 20'' T , in C 24° \j. Ex
tabulis igitur aflronomicis erunt ED=:i8°. 27'. 37'\
EG-.5i°. 36'. SS\ AD— 7°. 50'. o",CGzr
18°. 48'. 25", vnde AC feu a n 34°, DG feu p z=z
33°. 9'. 18", Cc (eu^— 10°. 58'. 25''; quaefitum
autem PCfcu ^^—71°. n'. 35"- Tantus praecife ar-
cus PC quoque prodit , fi ex datis a ^ b ^ /) , iuxta pro-
blema fuperius quaeritur. Cogitemus iam b et p tx ob-
feruationibus ^ a vero ex tabulis Solaribus defumta elfe.
Ponamus in p feu ang. A P C per obferuationes errorem
"vnius minuti commiffum effe , quod ficile f.eri poteft.
Si enim in obferuatione meridiei peccetur Yno fecundo
temporis et in obleniatione fixae itidem "vno fecundo
error in interuallo harum obferuationum ad 2", affurgere
poteft. Duo iam eiusmodi interutilla inter meridiem et
obferuationem fixae requiiu:itur-pro deternunando angulo
A P C ; quapropter fi ahen interuallo etiam enorem 2"
adfcribamus , in determinationem anguli A P C error 4
irrepere valet , qui in quantitate anguli A P C errorem
Ynius minuti producit. Fonamus porro in b fen in dif-
ftrentiam declinationum Cc per obferuationes introdudum
effe errorem 20" , quod fi?ri pofle patet , cum ad de-
terminationcm ipfius C^ requirantur duae obferuationes
quarum quaelibet errori 10" fubiedla cft. Denique in
quantitate ipfius a ex tabnlis Solaribus defumta ficillime
error 30'' locum habere pote(L
Introducantur iam hi errores fuppofiti iu data fupe-
riora et fiant. . az:z
3tf4 DE DECUNJT. SIDER. tiETERMINATd-c.
/7 rr 34. . o . 30 .
If zz 10. 58. 5.
p =z 33. 10. 18.
quibus fadis inuenictur PC (euxzr: 71*. 9'. a5|" , qui
a vero arcus P C valore diflert 2', Ss".
Ponantur a — 33°. 59'. 30".
b :r: 10. 58. 5-
p zz; 33. 10. 18.
et deprehendetur PCzz: 71**. i', 5o|", qui a vcro eius
valore difcrepat 9'. 44I".
Et hac ratione combinando errores cum Datis fupc'
rioribus hoc vel illo modo plures fuppofitiones fieri pot
liint , quas vero vlteriori calculo profequi non opus eflc
iudico. fufficit hoc exemplo indicafle , problema noftrum
ita comparatum eflc , vt committendo exiguos etrores
in Datis ingens error in Qiiaefito exftirgat. Plura eius
modi problemata in aflronomicis occurrere folent , quae
iuxta theoriam quidem vfum eximium fpondent , in ap-
plicatione vero ad exempla omni vfu deftituuntur , dum
errores exiguos exaggerant. Aftronomia per eiusmodi
theorias parum prouehitur , ct omiiino intereft , vt pro-
pofitiones iftius conditionis innotelcant. Examinanda funt
problemata et ifta feligenda , quae errores ab ob(eruiitio-
nibus inleparabiles magis magilque imminuunt. Ratio
huius fcripti inde patet ; et fiicile nunc perfuafum habeo ,
problema iiiperius , quo ex datis differentiis Alcenfionum
redarum et Declinationum Solis Afcenfiones redac et
Declinationcs ipfae inueniri debent , quoque calculum rc-
(picit , vfum denegaturum efle , etiamfi , quocunque ar-
tificio , elegans et concifa fbrmula algebraica pro folutione
iftius exliiberi poflfet.
Com. .4c. Imp.Jc. T/-/?:. Tom.:Sit %i. l.
Com. ^^c.Imjy.Jc.Ttb/IomJJITcLb.lL.
Com . 4c Imj^ Jc Teb To inSSIITah. H.
lihy^?,^^ M SL\p^^:ro/^;j2rTaSjii:
CoiJijn Ac.Ii/tp. Sc.TetropTom^nr.TahJV.
i \miTti M .Litp. Sc.Tehvp Tom JR.Iah 2\ "
i oj?ir?j ^ir.3ft^y.J'r,J^efyYTjmJar.'liihy:
7
l \un,„ ^lr .l„,f,. J[-.J'f/,v^.Tj,>, Jjr.T.ii.
Ci?7y7772^r. ^c Jiiip J^eb^^I^jinJQLH^atyr,
D
\/
~~~^
\''
r'y 7T
^ /
'■■■:•/
/^-
' 7^"^
(3-^
^
Ll'7/17// Ai\ Jr Jnip J^eh-.TcrmJUL.TaS yT.
(2^
rA
foinni. ArJutp. j'r .T/trjp.TjmJKTahJE.
6^-
6^-FP-
^W^lv^^lfT 'lllii'lf'i Nff
(3-'
6^-
A-
6^-^
^.^
^
c^-
C^-7
aV
<>a
./U/'
^'^^^^^^■^c .Ii/rp^S^-t7'ajj^om .HL . Ta6 . MUL
TomJlL Tab.^aiL.
"j| llO' *■ c-«— «v^^^^^. ^
f ^m^
i\^m/n. ^^c.Jnip. Jr. TrrTop.Toni ^XK.Tah.JSL,
i.Im/,. Jr. T.-rr,.^.ro,„ :XK.Tah..,
rL^/nni., Ii\I//fjj. Sr.TphLw7oittXlL.TahX .
^-V^ViWi
..v^^-
.•?- -yii'^''
CcCCWruJ
-'^w^xT
/>//////.. L-.Jni^,. S,-.Tph;rpTo,nXa.T.,hX
■piii'^
G77z?n , J.C .Irnff . .J^c ^Tetrop.Tom^KK .Tab .^XI.
Occrd. .
G»i,fi . Ar .Jn.p . ./r.JP^hoy.XunJU .Tah .JF.