^a»jnMpf'.3j!i.»-Hi|ii I ii^ II R^SoaMD f139 HARVARD UNIVERSITY. LIBRARY OF THE MUSEUM OF COMPARATIVE ZOÖLOGY '/,70^ ^KCH^N GtE: /^if. zo, i9oC> E ^A^ ) ' I DENKSCHRIFTEN DER RAISERLICHE9J AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. I u MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHE CLASSE. SECHZEHNTER BAXD. > MIT XIV TAFELN. IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN, BUCHHÄNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. Ef "□ DENKSCHRIFTEN DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. MATHEMATISCH - NATURWISSENSCHAFTLICHE ( ILASSE. SECHZEHNTER BAND. i WIEN. AUS DP]R KAISP:RLICH-K0NIGLICHEN HOF- UND STAATSDRUCKEREJ. 1859. ll,-io>f A Z. 0 b INHALT. Erste Abtheilung. Abhandlungen von Mitgliedern der Akademie. \ 1 1, Seite Hyrtl: Anatomische Untersuchung des Ciarotes (Gonocephalus) Heuglini Kner. (Mit einer Abbildung und einer osteologischen Tabelle der Siluroiden.) ... 1 TJnger: Einiges über das Wachsthum des Stammes und die Bildung der Bastzellen. (Mit II Tafeln.) 19 Littrow: Physische Zusammenkünfte der Planeten (a) bis (42) während der nächsten Jahre. (Mit II Tafeln.) 31 Lange?': Über die Fussgelenke der Vögel. Zweiter Beitrag zur vergleichenden Anatomie und Mechanik der Gelenke. (Mit IV Tafeln.) 93 Debey und Ettingshausen: Die urweltlichen Thallophyten des Kreidegebirges von Aachen und Maestricht. (Mit III Tafeln.) 131 Zweite Abtheilung. Abhandlungen von Nicht-Mitgliedern. Luschka: Die Halsrippen und die Ossa swprasternalia des Menschen. (Mit II Tafeln.) . 1 Strauch: Über die Anwendung des sogenannten Variationscalcul's auf zweifache und dreifache Integrale 19 Erste Abtheilung. Abhaiullimgen von Mitgliedern der Akademie. Mit 13 Tafeln. ANATOMISCHE UNTERSUCHUNG DES CLAEOTE« ((I0N0CEPHALU8} HEUGLINI Kner. MIT EINER ABBILDUNG UNI) EINER OSTEOLOGISOHEN TABELLE DER SILUROIDEN. Von Prof. JOSEPH HYRTL, WIBKUCHEM MITOLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. VORGELEGT IN DEK SITZUNG DER MATHEMATISCH - NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM 22. OCTOBER 18ä7. Abenteuerlich klingende Sagen begleiteten die Ankunft eines Fisches aus dem östlichen Sudan, welchen ich von dem österreichischen Consul in Chartum, Herrn von Heuglin, für meine Sammlung acquirirte. Der Fisch soll in der Umgebung von Chartum, in bedeutender Entfernung vom Nil, beim Oraben eines Brunnens im Sande eingewühlt gefunden und lebend dem genannten Herrn Consul überbraeht worden sein, in dessen Garten er, im Trockenen liegend und der tropischen Sonne ausgesetzt, noch einige Tage lebte. Die Anatomie jener Fische, welche durch ihre Organisation befähigt sind längere Zeit im Trockenen zu verharren, hat zu so vielen interessanten Entdeckungen geführt, dass die Hojffnung, durch die Untersuchung dieses Fremdlings neue Beiträge zur Geschichte des Erd- lebens der Fisclie liefern zu können , seiner vollständigen und genauen Zergliederung einen besonderen Reiz verlieh. Ich habe mir d esshalb diese Zergliederung selbst vorbehalten , während mein geehrter Collega und Freund, Professor Kner, das Exterieur des Fisches mit der Bündigkeit und Schärfe eines genauen Systematikers schilderte, die Stellung desselben bezeichnete, und in ihm den Repräsentanten eines neuen Siluroiden-Geschlechtes, mit dem trefflich gewählten Namen Glarotes HeugUni der Fischwelt einverleibte '). Ich muss bekennen, dass, als ich das Thier zum ersten Male sah, seine von dem Typus echter Siluroiden, welche nie ausser ihrem Elemente angetroffen werden, wie Silurus, Pime- lodus, Bagrus, Arius etc., wenig differirende Körperform, seine lange und weite, vom Kiemen- 1) über ein neues Genus aus der Familie der Welse, in den Sitzungsbericliten der kais. Akademie, ISöö, 17. Bd., pag. 313. Denkschriften der mathem.-naturw. CI. XVI. Bd. 2 Joseph Hyrtl. deekel knapp bedeckte Kiemenöffnung, sein weiter und scharf bewaffneter Raubfiscbracben, seine auffällige Verschiedenheit von jenen Siluroiden mit zusammenfliessender Rücken-. Schwanz- und Afterflosse, welche wie Heterohranclius , Saccobranchus und Flotosus^ notorische Erdwühler sind, mir die Glaubwürdigkeit der Umstände, unter welchen das Thier gefangen worden sein soll, etwas verdächtigte. Meine Zweifel wurden bald zur Gewissheit, als ich den Zustand des Magens zuerst untersuchte, wie ich es vor mehreren Jahren mit einem Triton cristatus machte, welchen eine an den sonderbarsten und die ärztliche Zunft höchlich interessi- renden Nervenzuständen leidende Frauensperson ausgebrochen zu haben vorgab. So wie der Magen des Triton die halbverdauten Überreste unserer Stubenfliege, und sein Darmcanal eine Menge Erde enthielt, welche, da sie sonst im Darme frisch gefangener Tritonen nicht vorkommt, nur von Regenwürmern herrühren konnte, die zur heimlichen Fütterung des durch längere Zeit in Bereitschaft gelialtenen Thieres verwendet wurden, eben so war der Magen des im Sande aufgegrabenen Fisches mit den Leibern von eilf jungen 8y)iodontis arabi gefüllt, welche, wie bekannt, nur Wasserbewohner sind. Sie waren zugleich durch die bei Fischen meist sehr rasch arbeitende Verdauung so wenig angegriffen, dass der Fisch sie erst kurz vor seinem Tode gefangen haben musste,- und dazu gab es doch im Wüstensande gewiss eben so wenig Gelegenheit , wie zum Fliegenfangen im menschlichen Magen. Ein frischer Bruch am ersten und zweiten Kiemenbogen linker Seite, und eine 3 Linien lange Risswunde an der linken Gaumenseite erzählen, dass die Angel beim Fangen des Fisches thätiger gewii'kt als der Spaten. Ich will damit keineswegs gesagt haben , was der Franzose mit den Worten ausdrückt : a beau mentir ^ qui vient de hin. Die Leute, welche den Fisch fingen und denselben als ein ihnen fi'emdes Thier mit etwas Erfindungsgabe besser zu verwerthen suchten, als es nach gewöhnlichem Fischerbrauch möglich gewesen wäre, fanden Glauben, und konnten ihn um so leichter finden, als es unter den Nilbewohnern wirklich einige gibt, welche, wie Ciarias, Pm- topterus und Gymnarchus beim Austrocknen der von ihnen bewohnten Sümpfe, in welche sie durch die periodischen Überschwemmungen des Nils zufällig gebracht wurden, sieli in den Boden einwühlen, und in einem Zustande von Asphyxie daselbst verharren, bis die nächste Regenzeit ihnen Leben und Freiheit wiedergibt. Die drei Tage im Consulatsgarten sind eine dem Fischer-Rapporte gemachte Concession. (JbwoliI auf diese unerwartete Weise die Aussicht auf merkwürdige Funde Schwindel, verdiente das nur in einem einzigen Exemplare bekannte Geschlecht doch eine genaue Wür- digung seines Baues, und was diese geboten hat, bringe ich liier den Ichthyologen. I. Knöcherner Kopf. Die Form des Kopfes und der Bau der zweiten Rückenflosse enthalten den Gattungs- eharakter des neuen Geschlechtes. Der Kopf bildet mit seiner oberen Fläche nicht wie bei den übrigen Welsen eine sanft schief nach vorn und unten geneigte Ebene, sondern einen Winkel- bug. Kner hat darum auch einen zweiten Gattungsnamen: Gonoceplialus, vorgeschlagen. Die Spitze des Winkels steht genau über den Augen. Der Winkel , unter welchem der horizontale Scheiteltheil dieser Fläche in den abfallenden Stirntheil übergeht, misst 135". Beide Theile sind an Umfang gleich gross. Die Scheitelfläche ist fast plan, ohne Cristae occipitales, viereckig. Anatomische Untersuchung des Ciarotes Heuglini. 3 mit durchweg 3 Zoll Quermass, und im ganzen Umfange grob mamelonirt: die Stirnfläche nur im Bereich des Stirnbeines und des Orbitale anterius. Die Chagrinirung wird durch email- weisse rundliche Höckerchen von verschiedener Höhe und Dicke bedungen. In der Mitte der betreffenden Schädelknochen stehen die Höckerchen dicht an einander: — gegen die Peripherie zu rücken sie weiter aus einander, gruppiren sich in radienartig ausstrahlende Linien , und fliessen wohl auch unregelmässig zu stumpf-zackigen Eiffen zusammen. Der Winkelbug der oberen Kopffläche entspricht der Längenmitte des Stirnbeines'). Auf der linken Seite erseheint das Stirnbein durch eine stumpf-zackige Nath in eine obere und untere Hälfte getheilt. Eech- terseits fehlt diese Nath. Eine dritthalb Zoll lange , 4 Linien breite Fontanelle ^) gehört nur dem abschüssigen Theile des Stirnbeines und dem gabelig gespaltenen Nasenbeine^) an. Der Bau und die Zusammensetzung des Schädels bietet die meisten Übereinstimmungen mit Synodontis und Pimelodus dar: — die Körpergestalt, abgesehen von ihrer Gedrungenheit und Kürze, ist die der Pimelodus. Die Einzelheiten der Schädelknochen stelle ich mit Zugrundelegung der Owen'scJien Auffassung in möglichster Kürze zusammen. Der eigentliche Hirnschädel ist wie bei allen Siluroiden verhältnissmässig klein. Der hintere Schädelwirbel (Occipitalwirbel, Epencei^halic Ärch, Owen) besteht: 1. Aus einem kurzen Basioccipitale, welches durch lange und scharfe Zacken mit dem Basi- sphenoid verkeilt ist. 2. x\us den beiden seitliehen Hinterhauptsknochen , welche mit dem 5as?bcc2p?to?e ohne Trennungsspur verwachsen erseheinen , und mit einer mehr als erbsengrossen Öffnung für den Austritt der Vagi versehen sind. 3. Aus den beiden Neben -Hinterhauptsknochen ^) , welche bei oberer Schädelansicht zwischen dem oberen Stücke des Schultergürtels und dem Supraoccipitale eingekeilt gesehen werden, während sie bei Synodontis, Heterobranchus, Callichthys und Pimelodus nur bei hinterer Schädelansicht ins Auge fallen. 4. Aus dem Supraocci-pitale. — Dieses Knochenstück des Hinterhauptwirbels ist mit den beiden Scheitelbeinen zu einem umfänglichen Schilde^) verwachsen, welches von vorn nach hinten sich verschmächtigt, und mit seinem hinteren Ende, an welchem das rauh-körnige x\nsehen fehlt, sich unter die vordere Spitze jenes pfeilartig gestalteten und so wie die Scheitel- fläche des Schädels chagrinirtenKnoclienstückes einschiebt, welches mit seinen beiden hinteren divergirenden Zacken die vorderen drei Strahlen der ersten Rückenflosse umschliesst"). Beide Knochenstücke können sich desshalb gegen einander in der Längenrichtung verschieben, sich von einander entfernen, und wieder nähern, je nachdem der Kopf zum Wühlen gesenkt, oder gestreckt wird, eine Fähigkeit, welche den mit einem unbeweglichen Nackenhelm bepanzerten Synod US- Arten fehlt. Der zweite Schädelwirbel [Mesencephalic Arch, Owen) besteht aus einem langgezogenen, am vorderen Ende im Winkel nach abwärts geknickten Sphenoideum basilare : — zwei langen 1) Lit. a der Abbildung. 3) Lit. b. 3) Lit. e. ■1) Lit. d. ^) Lit. e. «) Lit. /. 4 Jo a ('p h Hy r 1 1. aber niedi'igen Alae sphenoidales posteriores. Avelche stärker als bei den Pimelodus nach aussen o-ebauoht erscheinen, und die Öffnungen für den zweiten und dritten Ast des Trigeminus untei- u-ewöhnliclien Verliältnissen zeigen: — zwei Ossibus mastoideis ^ ) , welche grösser als die hinter ihnen gelegenen Ossa petrosa, mit diesen zugleich eine lange und seichte Grube zur Aufnahme des obersten Gliedes des Kicfersuspensorinms bilden, und an ihrem vorderen, äusseren, mehr zugespitzten Ende das hinterste jener Knochenstückchen tragen, welche die Kette der Ossicida infraorbitalia [sujyratemporalia, Bakker) bilden-): — zuletzt noch aus den mit dem Stipra- occipitale verschmolzenen Scheitelbeinen. Der dritte Schädelwirbel [Prosencephalic Arch, Owen) zeigt seine constituirenden Ele- mente in folgender Anordnung. Das Splienoideuvi anterius ist wie die Stirnfläche des Schädels nach abwärts gesenkt, und mit dem Sphenoideum posterius ohne kennbare Trennungsspur verschmolzen. — Die beiden kleinen Alae orhitariae sind mit ihm Eins. — Das eigentliche Stirnbein wurde bereits als ein paariger Knochen mit zwischenliegender Fontanelle erwähnt. — Die Frontalia posteriora sind als selbstständige Schädelknochen , wie bei den meisten Silu- roiden, nicht zu finden. Man sieht aber an der auf der Scheitelfläche des Schädels gelegenen Hälfte des Stirnbeines und am vorderen Tlieile des Os mastoideum deutliehe Spuren von Synostosirung früher getrennt gewesener Knochenstücke, und es muss an jüngeren Exemplaren, als das meine ist, entschieden werden, ob die hinteren Stirnbeine mit dem einen oder dem anderen, oder mit beiden Knochen zu ancylosiren pflegen. Der vierte Schädelwirbel {ItTiinenceplialic Are\ Owen) zeigt folgende Zusammensetzung. Sein tief im vorderen Keilbeinkörper eingekeilter Vomer ist wie bei Silur us glanis, bei Bagrus, Schilbe und Galeichtliysj mit einer drei Linien breiten Querbinde kurzer und massig nach hinten gekrümmter Bürstenzähne besetzt. Die Querbinde ist aber in der Mitte unterbrochen, was bei den angeführten Gattungen nicht der Fall ist. Ahnliche bürstenförmig gestellte Zähne im Gaumenbein vergrössern die Ausdehnung dieser Binden in die Quere, welche jener der Be- zahnung des Zwischenkiefers nichts nachgibt. — Die beiden Frontalia anteriora sind ausge- zeicKnet gross, und das Ansehen ihrer äusseren Oberfläche durch Verlängerung der auf ihr aufsitzenden rundlichen Höcker in ein grobzackiges umgewandelt. — Das Nasenbein ist einfach, breit, und dient dem gleichfalls nur aus einem Stücke bestehenden Zwischenkiefer") zur Unterlage. — Die beiden Ossa ttirbinata *) liegen als rundlich -flache, nach Art einer menschlichen Claricula gekrümmte Knochenstäbe zu beiden Seiten des Os nasale einwärts von den Nasenöffnungen. Sie sind die einzigen Schädelknochen unter den bis jetzt angeführten, welche nicht durch Nath, sondern blos durch Synchondrose hinten mit dem Frontale anterius und vorn mit dem Os nasale verbunden werden. Die Schädelknochen, welche mit dem Organe des Gehörs und Geruchs in näherer Be- zioliung stehen (Ä('«6-e-C'«pÄ7 Die zwei letzten Schwanzwirhel ver- wachsen. Pimelodus Seiaa . . 11 «2 26 39 7 8 7 19 1 2 1 Z 9 2 Pimelodus Penilandü . 1-2 4 24 4U 8 6 7 10 1 :> I ü 6 2 Pimelodus nigricans . 14 2 3ü 46 9 8 7 28 ^ 1 7 2 Der zweite Übergangswirbel hat ge- trennte untere Bogenhälften, ohne querer Verbindungsbrücke, wie ein regulärer Bauohwirbcl. Hihtrus glanis . . . 17 fehleii r>2 69 17 12 4 85 1 Ü 1 (1 16 2 tiynodonti arabi . . . « •> 25 35 9 7 7 12 2 0 ! 3 7 2 Si/nodoniis .S'cAa/ . . 8 *2 25 35 10 7 7 12 2 U 2 4 tuhlcii 1 \ iichilbe myatus , . . 11 4 34 49 10 6 11 18 ±1 1 8 12 2 Ilypoplithatiiius nilo- licus 8 2 30 46 1(1 6 6 54 n 10 2 '; Als Übergangswirbel wurden 1. jene gezählt, deren untere Bogensohenkel nicht zu einem unteren Dorn verschmelzen, sondern nur durch eine knöcherne Querbrückc nahe an ihrer Basis verbunden werden, und einen Canal zum Durchgang der Arteria und Vena caudalis bilden; 2. aber auch jene, deren untere Bogenschenkel zwar zu einem einfachen, aber sehr breiten Dorn zusam- menfliesscn; gegen dessen Spitze zu alter wieder divergent werden, und in der Regel Rij^jicn tragen Anatomische Untersuchung des Ciarotes Heuglim. N fi ni e Baf/rus Bnjad Ba(jrus. anratus Arhts Milhert/' Arms müiiaris . Arius cous . . . Helerobranchus lati- ceps Ciarias Ilasselquistü . Ciarias Nleuhorii . . Ciarias Lazei'a . , . ilalapterurus electricus Galeichthys Parrac Platystoma triincattmi Doras d'Orhignii . . Corydoras punclatus . Plo/ostis caesius . . Callichfkys milfs . . Platystacus cofylejihu- rus Nofophtkalntus ntargi- natus 10 13 12 12 17 15 14 17 13 13 6 5 15 11 lU 4 3 Ichlcn 7 felileu 31 33 29 39 41 50 fehlen 3U 33 21 21 G5 15 03 54 47 36 47 38 57 CO 75 G2 39 5Ü 46 31 27 70 27 65 61 2 ? 'sä 11 12 10 10 8 9 S 10 6 10 10 7 13 13 29 70 98 69 0 7 7 6 7 162 10 10 20 54 11 44 60 80 56 12 21 14 12 13 14« 56 68 11 10 8 9 9 10 13 5 7 12 15 Anmerkungen Rudiment einer miinniichen Ge- schleehtszange am Becken. Rudiment einer GeseJjlechtsüange wie bei Bajrus aurafus. Das Missverhältniss in der Grösse des ersten AVirbels zu jenen der übri- gen minder aufl'allend als bei den übrigen SiluroiJen, obgleich er eine Deckplatte für dieScliwimm- blase bildet. Der erste Wirbel mit den folgenden von ziemlich gleicher Grösse. Er besitzt keine Platte zur Übcrwöl- bung der Schwimmblase. Die zwei ersten Wirbel besitzen an ihrer unteren Flache eine Furche für die Aorta. An allen folgenden ist die Furche in einen Canal um- gewandelt. Der erste Wirbel mit den zunächst folgenden von gleicher Grösse u. Gestalt. Die Platte desselben, welche bei den übrigen Welsen ein Dach für die Schimmblase l)ildct, fehlt. lieiik^clirifleii der iimtheiii imliirw. CI. \V1. ild. 18 J. Hyrtl. Anatomische üntersucliung des Ciarotes HeugUnL N a m p 'S 1 •e 3 e; 1 CO ll O o öS SM ■s i Sä 1-. o •a 'S ll i « S 12 Ö 3 p. N A n in e r k u n g e n Loricaria pleeosfonw . Loricaria mcin-ndort . 1 1 fulilon iVhlLMl •20 27 ■21 •28 G 7 6 0 8 S 5 1 e 3 4 1 2 Der erste Wirbel hat an seiner unte- ren Fläclie eine Furche für die Aotia. Vom zweiten an, dureli alle übrigen ist diese Furche zu einem Oanal zugewölbt , welcher durcli die ganze Länge der Wirbelsäule sich erstreckt, wie bei Plait/stacns. D er untere Wirbelcanal verhält sich wie bei L. plecostoma. ERKLÄRUNG DER ABBILDUNG. Die Abbildung gibt die Scheitel- und l'rofilansicht des Kopfes in natürlicher Grösse. I>ie erste Rückenflosse, an ileren Strahlen die geheilten Knochenbrüche zu sehen, ist mit ihren G Trägern, und dem zwischen Hinterhauptsehuppe und Rückenflosse befindlicherj pfeilspitzähnlichen, chagrinirten Knoohensehild am Kopfe belassen. Ebenso der erste Wirbel mit seinen Rippen, und der Schultergürtel mit der Brustflosse. ///. fi. Stirnbein. ///. /'. Stirnfontanelle. /if. r. Nasenbein. /it. (l. Nebenhinterhauptbein. IH. e. Verschmolzenes Supraoceipi'tn/r und l'arielalc. /il f. Nackenplatte. lit. (/. tfs maatoklemn. III. ll. Dssicu/a infraorliiln, l'm. Hl. i Zwischenkiefer. h't. k. Os turbiiialtim. lit. I . Olierkiefer. ///. m. Oa j'terjigoidmm. lit. n. J^pifi/iitjtO'inci/jn. lit. o. Ilypotynqxmiowii. lit. p. Pracopercn/tim. lit. q. Opermäum. Hl. r. Suhopemüum. Hl. s. Os curacoidGion. Hl. t. Obere Zinke des (>••>• suprnsrajuilare. Hl. l'. Untere Zinke desselben. Hl. u. Erster Wirbel mit seiner Rippe. H't. r. Träger der ersten Rückenflosse. Hl. .T. Unterkiefer. Ilvrti Aiiatiiiriisrlie l'iilri'xiirliuiin ilr\ ('liirci|r>s (CituiiM ciiliitliis i DriiksrlirirtriMl kAka.l.n(iKsnisriMi.i.llie.iuialNi-w n .VV I IU\ IH.i« 19 EINIGES ÜBER DAS WACIISTHUM DES STAMMES LNll DIE BILDUNG DER RASTZELLEN. VON Du. FEANZ UNGER, WIRKLICHEM MITGI.IF.DE DER KAISERL. AKAHEMIE DER "WISSENSCIIAl'TEN. {^DWd 2 Eafcl'n") VORGELECT IN DER SlTZUNti DEll MATliliMATISClI-NATUKWISSENSCHAFTLIClIEN CLASSE AM f>. NOVE.MÜEli lSä7. j_)ie Art und Weise wie der Stamm der Pflanzen in die Dicke anwächst, ist schon oft ein Gegenstand der Untersuchung gewesen. Sind uns auch die allgemeinen Verhältnisse, welche dabei obwalten, so ziemlich bekannt, so ist das jedoch keineswegs der Fall rücksichtlich der Elementartheile, auf deren Veränderungen zum Theil jenes Phänomen des Wachsens beruht. Nach den bisherigen Methoden der anatomischen Untersuchung , wo man Quer- und Längenschnitte der betreffenden Theile mit einander verglich, konnte man auch unmöglich zu jener Einsicht gelangen, denn es ist, um die Veränderungen der Elementartheile genau kennen zu lernen , ihre Isolirung unumgänglich nothwendig. Diese Isolirung, bewerkstelliget durch die Einwirkung des Ätzkali bei erhöhter Temperatur, ist zu diesem Zwecke nicht nur ein taugliches, sondern auch ein vollkommen ausreichendes Mittel. Auf diese Weise habe ich denn die obige Frage von Neuem einer Untersuchung unter- zogen, einestheils um selbst hierüber ins Klare zu kommen, anderseits angeregt durch eine in den Monatsberichten der könig. Akad. der Wissenschaften inBerlin (1856p. 517) erschienene Abhandlung von Dr. Schacht, in welchen mir einige hierauf wesentlich Bezug habende Stellen, obgleich sie als zweifellos dargestellt wurden, dennoch höchst problematisch erschienen. Diese Stellen betreffen die Bildung der Bastzellen aus Verschmelzung von übereinander- stehenden Cambiumzellen auf dieselbe Weise wie die Spiralgefässe und gewisse Formen von JM 11 ch saftgef ässen entsteh en . 3* 20 Franz Unger. Herr Seliacht ist niclit der erste, welcher die Entstehung der Bastzellen aus der Ver- schmelzung mehrerer über einander stehender ähnlicher Zellelemente lehrte. Schon Meyen ') liat aus der Wahrnehmung, dass Bastzellen in Salzsäure gekocht in eine Menge kleiner kurzer röhrenförmiger Theile zerfallen, denSchluss gezogen, dass dies wohl ein Zeichen der ursprüng- lichen Zusammensetzung sein dürfte'-). Auch andere Schriftsteller haben diese Ansicht ange- nommen, da es viel wahrscheinlicher und nach der Analogie mit anderen elementaren Organen sogar sicherer sei anzunehmen , dass so ausserordentlich langgestreckte Elementartheile eher aus dem Zusammenflusse einzelner kleinen Theile entstanden seien als durch Verlängerung in Folge eines lange fortgesetzten Wachsthumes. Herr Schacht hat bei seiner Untersuchung über die Milchsaftgefässe von Carica papaya nebenbei noch eine für die Entstehung der Bastzellen durch Schmelzung mehrerer Elemente sprechende Beobachtung gemacht, welche er 1. c. folgendermassen beschreibt und mit Abbil- dungen versieht. „In den jungen Bastzellen von Carica papaya hat die Querwand derselben ein sehr eigenthümlich aufgelockertes Ansehen angenommen, das schwer in der Zeichnung wieder zu geben ist und unwillkürlich den Gedanken an die Eesorption dieser Wand erweckt, wornach die fertigen Bastzellen durch allmähliches Verschmelzen mehrerer Cambiumzellen entstehen würden. In wenig späterem Zustande ist nun diese Querwand wirklich und zwar spurlos ver- schwunden, nur ist die Stelle, wo sie vormals gewesen, in der Hegel durch zahlreiche Poren bezeichnet. Die so durch Verschmelzung mehrerer Cambiumzellen entstandene Bastzelle verlängert sich aber auch noch selbstständig, wodurch sich ihre Enden zuspitzen und unregel- mässig zwischen einander schieben. Die Wand verdickt sich erst, naclidem die Verschmelzung geschehen ist. Die fertige ßastzelle lässt sich desshalb durch kein chemisches Mittel in die Zellen, aus denen sie entstanden ist, zerlegen". — Und weiter unten, p. 525: „Die verholzten Bastzellen von der Rinde (eines Sonclius aus Madei:a) sind lange und etwa von gleicher Breite als die Milchsaftgefässe. Sie entstehen hier sicher durch Verschmelzung mehrerer über einander gelegenen Cambiumzellen, und man gewahrt bei ihrer Bildung wieder jenes Auf- quellen der Querwände, von denen bald darauf nichts mehr zu sehen ist". Um diesen nicht nur für die Erklärung des Stamm wachsthumes, sondern auch für die Hystiologie besonders wichtigen Punkt einer sorgfältigen Prüfung zu unterziehen, habe ich es für zweckmässig erachtet, an Carica'') selbst die Wachsthumsphäuomene zu studiren und erst von da aus auf andere Gewächse überzugehen. Die Carica ist eine dikotyledone holzbildende Pflanze, deren Wachsthum in die Dicke wie bei allen zu dieser Abtheilung gehörigen Pflanzen von der Cambiumschichte ausgeht, und es ist daher von selbst verständlich, dass alle Neubildungen von Elementarorganen , wodurch eben jene Zunahme erfolgt, in dem Zuwachse der Cambiumzellen und deren späteren Verän- derungen in Folge von Umbildungen ihren Grund haben müssen. So unumstösslich diese Wahrheit auch ist, so hat die Wissenschaft bisher doch noch nicht diese Wachstliumsvorgäno-e 'J J. Meyen. Über die Bildung der faserförmigeii Zellen (Faserzellen) oder Baströln-en der Pflanzen. Wiegman's Archiv 1838, I, p. 297. ") Durch Kochen mit Salzsäure zerfallen die Bastzellen in sehr kleine glänzende ThciU-lien von ziemlich gleicher Länge. Meyen meint, weil die zarten jedoch bereits ausgewachsenen Bastzellen (der Knospen) fast die Länge jener Theilchen haben , könnten sie wohl durch Übereinanderstellung und Resorption ihrer Berührungsflächen sich zu Baströhren ausgebildet haben. Diese Umwandlung hat Meyen natürlich nicht gesehen, sondern nur aus jener Thatsache des Zerfallens erschlossen. ') Carica papaya war mir eben nicht zugänglich, daher ich an Carica micrucarpa Jacq. die obige Untersuchung anstellte. Einiges über das Wachsthum des Stammes und die Bildung der Bastzellen. 21 bis ins Einzelne verfolgt. Ich will nun versuchen dies an dem Stamme der Carica durchzu- führen, und zu zeigen , in welcher Weise insbesonders die Umgestaltungen vor sich gehen, welche die fort und fort aus ihrem Schoosse erzeugten durchaus gleichgestalteten Cambium- zellen nach und nach erfahren, bis aus iluien die Parenchym- und Prosenchymzellen des Stammes werden. Untersucht man das Cambium in was immer für einem Theil des Stammes oder irgend einem Zweige, so wird man dasselbe, wenn gleich nicht immer in gleichem Umfange, jedoch durchaus aus ganz gleichen Elementartheilen zusammengesetzt finden. Es sind cylindrische oder vielmehr parallelepipedische Zellen mit abgestutzten Endflächen, deren Grösse im Allge- meinen zwar sehr verschieden ist (Taf. IE, Fig. 33 — 36), die jedoch über ein gewisses Mass nicht hinausgeht. Die grösste Länge dürfte 0'13"' betragen und die Breite O'OIT'" nicht übersteigen. Eine weitere Eigenthümlichkeit der Cambiumzellen ist ihre Dünnwandigkeit. Sie bilden daher das zarteste Gewebe, welches man in der Pflanze antrifft. Es versteht sich von selbst, dass der Inhalt dem entsprechend dadurch ausgezeichnet ist, dass die in älteren Bildungen so allgemein verbreiteten festen Substanzen hier ganz und gar mangeln. Auch die Vereinigung der Cambiumzellen zu Complexen hat manches Eigenthümliche. Während in anderen Geweben aus cylindrisehen oder parallelepipedischen Zellen dieselben wie in einem festen Mauerwerke so gelagert sind, dass die Vereinigung je zweier seitliehen Zellen auf die Fläche der ersteren fällt, sehen wir hier die Verbindungsstellen sämmtlicher benachbarten Zellen beinahe in demselben Horizont liegen, so dass dadurch das Gewebe nicht blos seitlich geschichtet erscheint, sondern dass eine ähnlielie Schichtung- aucli über einander, d. i. in der Richtung der Axe, hervortritt, wie dies sehr deutlieh Taf. I, Fig. 4 c fZ ersicht- lich ist. Eine solche Anordnung der Zellen kann nur in der Entstehungs- und Bildungsweise ihren Grund haben. Wie aus anderen Untersuchungen bereits dargethan ist, geht dieselbe durch Theilung der bereits vorhandenen Mutterzollen vor sieh. Dieselbe ist jedoch vorherr- schend eine Längentheilung, wobei die beiden Tochterzellen, indem sie den Innenraum der Mutterzelle vollständig erfüllen (wandständig sind) , dieselbe Länge wie die Mutterzelle erlangen. Durch diese Art der Zellbildung- werden daher an die Stelle der Mutterzelle zwei Tochterzellen gesetzt, welche der Fläche nach hinter einander zu liegen kommen, in der Länge jedoch genau die Stelle der Mutterzelle ersetzen. Nur wo die bildungsfähigen Mutterzellen selbst in Folge des Längenwachsthumes der Axe noch eine Streckung erfahren mussten, erfolgt auch eine Theilung derselben nach der Quere, woraus denn aus der langgestreckten Cambiummutterzelle zwei über einander gestellte Tochterzellen des Cambiums hervorgehen, welche sich nun weiter bis zur möglichen Länge der Carnbiumzellen überhaupt zu strecken d. i. in die Länge zu wachsen vermögen. Eine solche in Quertheilung begriffene Cambium- zelle sieht man in Taf. I, d * und Taf. II, 40 * und es ist kein Zweifel, dass alle kurzen Cambiumzellen niclits anders als durch Quertheilung erzeugte Tochterzellen sind, so wie andererseits alle schmalen Cambiumzellen eben so junge aber durch Läugstheilung hervor- gegangene Producte von Mutterzellen des Cambiums sind. Indem durch die Trennung des Gewebes mittelst Atzkali häufig zwei und zAvei solcher Zellen im Zusammenhange bleiben und weniger leicht von einander gehen als sie sich von andern trennen, wie dies z. ß. bei Taf. II, Fig. 37, 38 und 39 bemerkbar ist, so lässt sich wohl vermuthen, dass eben dies Paare von jungen eben erst erzeugten Tochterzellen sind, die, in einer Mutterzelle entstanden, seitlich noch innig an einander hängen. 22 Franz Unger. Da der Dikotyleclonenstamm vom Cambium aus nach beiden Riclitungen, d. i. nach innen und nach aussen zunimmt, so müssen sieh aus seinen bildungs- und umwandlungsfähigen Ele- menten soAvohl die Elemente des Holz- wie die Elemente des Eindenkörj)ers hervorbilden. Es ist nicht meine Absicht , die Umwandlung der Cambiumzellen in Holzzellen , die ilmen sowohl in Bezug auf Form und Beschaffenheit nocli sehr nahe stehen, so wie in die Spiroiden zu verfolgen, noch kann ich hier darauf eingehen , wie und auf Avelche Weise die Milchsaftgefässe , welche stets an der Grenze des Holzkörpers erscheinen, sich aus denselben entwickeln. Ich beschränke mich vielmehr an diesem Beispiele die von innen nach auswärts im Eindenknrper erfolgende Zunahme durch eben diese üniAvandlung der Cambiumzellen zu erläutern und besonders die Frage zu entscheiden, auf welche Weise die lauggestreckten meist spindelförmigen Bastzellen, welche von den cylindrischen Cambiumzellen so verschieden sind, ihren Ursprung nelnncn. Man wird, um hierüber zu entscheiden, sehr wohl thun, einen solchen Ast zunächst in Untersuchung zu ziehen, inwelcliem diese Theile eben in der frühesten Entwickelung begriffen sind. Ich wählte hiezu eine Stelle des Astes von Carica microcarpa etwa IVo Zoll unterhalb der Spitze, in welchem der ältere Bastbündel bereits vollkommen ausgebildet war, während der ihm nach einwärts folgende Bastbündel eben auf der ersten Stufe der Entwickelung stand. Aus der Betrachtung der Figuren 1 und 3 Taf I ist ersichtlich, dass der junge Bast- bündel e hart an das Cambium stösst und die Elemente beider sich unmittelbar berühren müssen. Aus den angeführten Querschnitten ist jedoch weiter nichts ersichtlich, als dass diese jüngsten Bastzellen ungefähr dasselbe Lumen wie die anstossenden Cambiumzellen besitzen, dass aber ihre Wände sich schon durch eine nicht unbemerkbare Verdickung von den sehr dünnen Wänden jener unterscheiden. Ein durch diese Stelle führender Längenschnitt thut nocli überdies dar (Taf I, Fig. 4 de), dass beiderlei Zellen aucli in ihrer Form bereits wesentlich von einander differiren. Während die Cambiumzellen bis an die Grenze des Cambiumkörpers ihre ursprüngliclie Form beibehalten und durchaus keine Übergangsformen zeigen, treten die jungen an die ersteren stossenden Bastzellen bereits als langgezogene in spitzige Enden zulaufende spindelförmige Zellen auf Eine Vermittlung beiderlei Formen ist auch von dieser Seite her kaum wahrzunehmen. Die Sache erscheint jedocli anders, wenn man sich die Mühe ninnnt auf die bereits ange- gebene Weise diese Bündel in ihre Elementarorgane aufzulösen. Man erlangt dadurch nicht blos eine genaue Einsicht in die Zusammensetzung dieser Zellgruppen, sondern gewinnt zugleich eine Übersicht der mannigfaltigen Formen, welche in der Bildung derselben ihren Einfluss nehmen, und auf deren weitere Ausbildung diese Bastbündel selbst ihre Entwickelung stützen. Da es nach dieser Methode ein Leichtes ist, sich hunderte von einzelnen, d. i. isolirten Elementartheilen zu verschaffen, so wurde es mir auch nicht schwer unter denselben solche Formen aufzufinden, welche in derThat von den Cambiumzellen wenig verschieden, gleichsam die ersten Übergangsstufen darstellen. Solche Bastzellen finden sich beispielsweise Taf. II, Fig. 20, 21 und 22 abgebildet. Ver- gleicht man dieselben mit den gewöhnlichen Formen der Cambiumzellen Taf.II,Fig. 33 — oü und 37 — 39, so kann man mit Ausnahme grösserer Länge und der bereits begonnenen Verdickung der Membran keinen Unterschied wahrnehmen. Es ist hier nändich noch ganz die cylindrische Einiges über das Wachsthum des Stammes und die Bildung der Bastzellen. 23 oder parallelepipedisehe Form kenntlich und selbst in den stumpfen oder abgerundeten Enden ganz und gar die ursprüngliche Form der Cambiumzellen erhalten. Ich nehme daher keinen Anstand, diese und ähnliche Gestalten der jungenBastzellen für unmittelbare Übergänge aus dem Zustande der cambialen Beschaffenheit zu erklären. Die Eichtigkeit dieser Ansicht wird noch um so einleuchtender, wenn man mit diesen Erstlingsgestalten jene vergleicht, die ihnen zunächst stehen, und sich nur noch wenig von ihnen entfernen. Dahin gehört die Form Taf. II, Fig. 23 so wie die Figuren 27 und 28. Erstere zeichnet sich dadurch aus , dass das eine stumpfe Ende sich zu spitzen beginnt, die beiden anderen Formen sind zur einen Hälfte noch ganz kurze, quer abgestutzte Cambiumzellen, zur anderen vollkommen in die Spindelgestalt der Bastzellen ausgewachsen. Zellen dieser Art finden sich eben nicht selten an der Grenze der Bündel nach aussen hin. Die vollkommene Ausbildung zur Bastzellenform erlangen endlich die Zellen, welche Taf. II, Fig. 24, 25 und 26 abgebildet sind. Beide Enden sind nunmehr zugespitzt, und man hat Mühe in den hie und da noch erseheinenden etwas stumpflichen Enden die ursprünglich abgestumpfte Gestalt derselben zu erkennen. Gestaltungen, wie sie z.B. Fig. 29, 30 und 31 vorkommen und keineswegs selten sind, deuten nur zu deutlich daraufhin, in welcher Weise die Zuspitzungen erfolgen, und dass Hindernisse, welche in der Art der Anlagerung liegen, häufig diese oder jene Form der Gestaltung bedingen. In Fig. 32, welche eine natürliche Verknüpfung zweier über ein- ander stellender Zellen der Art darstellt, ist es sehr anschaulich, wie die Zuspitzung nur eine Folge des Fortwachsens ursprünglich cylindriseher Zellen sein kann, indem hier die Spitzen wie besondere Zusätze erscheinen, die sich wegen dem Hindernisse der Gegenstellung in den angrenzenden Elementartheilen etwas seitwärts durchzwängen mussten. Wie über- haupt Anomalien häufig die normalen Vorgänge und Gesetze in der Bildungsgeschichte der Organismen errathen lassen, so geben auch hier solche mehr oder weniger ungewöhnliche Formen die sichersten Fingerzeige, dass die Umwandlung der stumpf endenden Cambium- zellen in spindelförmige Zellen keineswegs einer Zusammenfügung ursprünglich getrennter Elementartheile, sondern einem nicht selten behinderten Fortvvachsen der Endtheile zuzu- schreiben sei. Wenn man die Länge der so auswachsenden Zellen auf dieser Bildungsstufe mit der Länge der Cambiumzellen vergleicht, so sieht man, dass die Länge derselben beinahe genau das Doppelte der ursprünglichen Länge als Cambiumzellen beträgt. — Gehen wir nun zur Region über, welche zwischen dem jüngeren und älteren Bastbündel liegt, und die ich in Taf. I auf den Figuren 1 — 4 mit/ bezeichnet habe. Es ist natürlich , dass auch diese Zellen aus dem Cambium ihren Ursprung nehmen und aus einer Umwandlung derselben abgeleitet werden müssen. Die unmittelbar an den Bündel grenzenden Zellen nach aussen sind wirklich noch wenig von den Cambiumzellen verschieden, mit der Ausnahme, dass sie etwas weiter wie diese sind; an den folgenden Zellen lässt sich schon weniger ihre ursprüngliche Form und Natur erkennen . Doch wird uns auch hier die Isolirung der Zellen über ihre Ausbildungsweise zum Ver- ständnisse helfen. Dieser schon einigermassen aus dickwandigen Zellen bestehende Theil zerfällt durch Kochen mit Ätzkali in Elemente, die ich Taf. II in den Figuren 13, 14, 15, 16, 17, 18 und 19 dargestellt habe und die nur eine kleine Musterkarte von sehr mannigfaltig gebildeten Zellen sind. 24 Franz Vnger. Wer wird in den Figuren 13 und 14| die ursprüngliche Form der Cambiumzellen ver- kennen? Sind sie doch fast eben so wie die Erstlingsgestaltungen der eben betrachteten Bast- zellen (vergl. damit Fig. 20, 23 u. s. w.), nur dass ihre Wände bereits etwas dicker sind. Anders nehmen sich hingegen die Gruppen aus, welche Fig. 15 — 19 dargestellt sind. Es sind 2 bis 3 über einander stehende oder auch seitlich verbundene Zellen, welche die trennende Gewalt des Ätzkali nicht ihre Einzelnheiten zu sondern vermochte. Ohne Zweifel haben wir in diesen Gruppen zusammengehörige Theile eines grösseren Ganzen vor uns, und es erleidet keinen Widersprucli in diesen Gruppen die durch Abstammung zu einander gehörigen Glieder von Urmutterzellen zu erkennen, welche durch wandständige Zellbildung entstanden noch nicht bis zu jenem Grade der Trennung vorgeschritten sind, die ihre volle Selbstständigkeit begründet. Es sind mit anderen Worten halbfertige Tochterzellen noch von ihren Mutterzellen einge- schlossen. Die dünnen Querwände, offenbar jüngerer Entstehung als die beträchtlich verdickten Begrenzungswände, sprechen offenbar zu Gunsten dieser Vorstellung. Wir sehen also in P'ig. 15 die ursprüngliche cylindrische stumpf endende Mutterzelle in zwei Tochterzellen geschieden; in Fig. 17, 18 und 19 ist die Theilung einer dieser Tochter- zellen noch weiter erfolgt, so dass die ganze Gruppe dann aus 3 Zellen, einer Tochter- und zwei Enkelzellen, besteht. Dasselbe ist auch in Fig. 16 der Fall, wo jedoch die Theilung der einen Tochterzelle nicht durch eine Quer-, sondern durch eine Längenwand erfolgt ist, wie wir ganz dasselbe auf Taf. I, Fig. 4/", rechts von dem Buchstaben _/ wahrnehmen. Durch solche Veränderungen der Cambiumzellen muss begreiflicher Weise eine ganz andere Art von Gewebe hervorgehen, welches von dem Fasergewebe (Prosencliyvi) des Bastes ganz und gar verschieden ist und dessen Elemente aus eben so breiten als hohen Zellen bestehen, die, wie ein Blick auf Fig. 1 und 3 lehrt, zugleich mit ebenen Flächen auf einander stossen. Ein solches Gewebe wird aber Parencliym genannt, und es ist ersichtlich, dass auch dasselbe auf eine sehr einfache Weise aus dem Cambium seinen Ursprung nehmen kann. Dabei bleibt es freilich einer späteren Forschung anlieimgestelll, wie es kommt, dass ein Theil der Cambiumzellen sich zu Prosenchym, ein anderer zu Parenchym in regelmässiger Auf- einanderfolge auszubilden vermag. W^as wir nun noch ferner an den Stratum fibrosuvi der Rinde unserer Carica microcarpa wahrnehmen, nämlich den älteren Bastbündel g und die dazu gehörige Parenchymschichte h (Fig. 4, Taf I), sind, wie sich wohl von selbst ergibt, nichts anderes als weitere Ausbil- dungen und Entwickelungen der bereits betrachteten Schichten e und /, und es ist nur noch zu zeigen, wie ihre Elementartheile zur vollständigen Ausbildung, deren sie fähig sind, gelangen. Um zur Isoliruug der älteren Bastzellen zu gelangen, bedarf es eines kräftigeren Lösungs- mittels als des Atzkalis, nämlich des chlorsauren Kalis und der Salpetersäure. Mittelst einer kurz dauernden Kochung dieser Flüssigkeit trennen sich die Bastzellen des älteren Bündels vollständig, und man ist im Stande mit leichter Mühe eine Sammlung aller der hier vorkom- menden Formen zu erlangen. Im Allgemeinen muss man sagen, dass die Zuspitzungen dieser Zellen meist vollständig und sclir i-egelmässig in Folge ihres weiteren Wachstlmmes zu Stande gekommen sind. Zellen wie Taf II, Fig. 2, 3, 4, 5 und 6 sind die gewöhnlichsten. -^ Zellen, deren eines P]nde noch die ursprüngliche quere Wand zeigt (Fig. 1), sind seltener, dagegen tragen noch eine grosse Menge dieser Bastzellen an ihren Zus])itzungen MerkmaU^ an sicli , die, wie bei Einiges über das Wachstlmm des Stammes und die llUdmnj der Bastzellen. 25 den jüngeren Bastzellen (Fig. 29, 30, 31) als Resultate äusserliclier Behinderungen angeselien werden müssen (siehe Fig. 7 — 10). Nur an der Grenze des Bündels finden sich einzelne Zellen, die von der ursprünglichen Form wenig oder gar nicht abgingen (Fig. 11, 12). Wenn man als die mittlere Länge der Cambiumzelle 0-1'" annimmt, die der jungen Bast- zellen zu 0-2'" feststellt, so zeiot sich in den aus2;ebildeten Bastzellen, welche 0-3'" bis 0-36'" messen, dass das Längenwachsthum dieser Zellen noch um ein beträchtliches vorgeschritten ist, während das Wachsthum in die Dicke nicht die mindeste Zmiahme erfahren hat. Da jedoch Wachsthum des Stammes in die Länge keineswegs in dem Masse erfolgt, wie diese Zellen an Länge zunehmen, so ist von selbst verständlich, dass durch das zwichen sich Hineinwachsen dieser Zellen die Zunahme des Stammes in die Dicke nicht wenig gefördert wird und der Bastbündel selbst, der später wahrscheinlich keine neuen Elemente erlangt, dennoch eben dadurch sehr an Umfang gewinnen kann. Dass mit diesem Längeuwachsthume der Bastzelle eine Verdickung ihrer Wandungen Schritt hält, übergehe ich hier so wie die Betrachtung, auf welche Weise nach und nach mit denselben die spaltenförmigen Tüpfel erscheinen, da ich diesen Gegenstand für eine besondere Untersuchung wertli halte, die mich hier überdies von dem vorgesteckten Ziele zu weit abführen würde. Im Ganzen ist es jedocli auch da wieder ersichtlich, dass in der Bildungsweise der vollendeten Bastzellen an keine Zusammensetzung aas einzelnen Elementen zu denken ist. Im Gegentheile zeigt die Vergleichung der jüngeren und älteren Bastzellen, dass letztere nichts anders als eine Vollendung der bereits in jenen ausgedrückten Typen angesehen werden können. Was von den Bastzellen gilt, gilt in gleicherweise auch von den Parenchymzellen, welche mit diesen auswärts in Verbindung stehen (Taf. I, 4 h). Die Ähnlichkeit dieser Schichte h mit der Schichte f. namentlich mit dem äusseren Theile derselben , springt in die Augen und es kann nicht fehlen, dass wir bei Isolirung derselben auf dieselben Elemente stossen, wie wir sie bei der Schichtey bereits kennen lernten. Vergleicht man die auf Taf I, Fig. 5 Jii — hä gezeich- neten Zellgruppen mit den auf Taf. II, Fig. 15 — 19 dargestellten Gruppen, so ist ihre Identität ganz ausser Zweifel. Wir finden auch hier einfache Gruppen von 2 Tochterzellen bis zu Gruppen von 3 und 4 Enkelzellen, ja wie in hi sogar eine Gruppe von G Zellen, die zuui Theile schon Urenkelzellen enthält. Wir entnehmen ferner, dass alle diese Generationen durch Quertheilung entstanden sind, dass die Gruppen weit mehr als im vorhergehenden Falle in die Länge gestreckt sind, und dass zugleich auch die Zellmembi'an, welche die Gruppen umschliesst. dickwandiger geworden ist. Kurz alles deutet darauf hin, dass diese Zellgruppen nur eine weitere Ausbildung jener Gruppen sind, welche zwischen beiden Bastbündeln liegen, daher eben so wie jene von den Cambiumzellen abgeleitet werden können. Endlich ist noch die äussere Bedeckung, welche aus zweierlei, jedoch continuirlich in einander übergehenden Schichten zusammengesetzt ist, zu betrachten , nämlich die Schichte / und die Schichte k auf Taf. I, erstere das Stratum parencJiymatosum der Rinde, letztere das Pe7-iderma- und es ist die Frage, ob bei der fortwährenden Erneuerung und Vergrösserung. welche dieser Theil der ßlnde erfährt , ihre einzelnen Elemente ebenfalls von der Cambium- schichte und deren fortdauernder Wiedererzeugung abhängig sind. Was die Parenchymschichte betrifft , welche im Gegensatze zur angrenzenden Schichte durchaus aus dünnwandigen Parenchymzellen besteht, so ist ihre Abkunft von Cambiumzellen I »eiiksnhrit'ten der juutheni.-naturw. Cl. XVI. Bd. -1 2ß Franz Utiger. wi(> der aus zartwandigeu Zellen bestehende Theil der jüngsten Parencbymseliiclite/ nicht unschwer zu erkennen. Isolirt man dieselben, so erhält man bald cylindrische und unregel- mässig langgestreckte Zellen (Fig. 5, ü oder Gruppe wie Fig. /s). die sich von den einfachen Zellen nur durch fortgeschrittene Zellbildung unterscheiden. Nach aussen gehen dieselben durchaus in die abgeplatteten oder tafelförmigen Zellen des Perklerma (Fig. 4 k) über. Da das Periderma fort und fort in dem Masse an Zunahme begriffen ist, als es äuserlich durch Zer- störung zu Grunde geht, so muss es irgendwo eine Quelle haben, welche dasselbe erneut. Es würde unpassend sein, diese Quelle oder Bildungsstätte im Cambium selbst zu suchen, da dies eine Umwandlung sänmitlicher nach innen zu liegender Schichten in das Periderma, daher auch eine Rückbildung der Bastzellen in Parenchymzellen u. s. w. voraussetzt, was durchaus der Erfalu-ung widei-spricht und auch mit der Stabilität gewisser Bildungen, wie z.B. der Bastbündel unverträglicli ist. Es muss daher die Bildungsstätte der Peridermazellen in den äusseren Lagen der Parenchymschichtc selbst zu suchen sein und durch Theilung derselben mittelst Längenwände, welche der Oberfläche des Stammes parallel liegen, bewerkstelliget werden. In der That ist man auch im Stande in dieser Schichte i und zwar an ilirer äusseren Seite solche Zellen zu erkennen, welche sich für die Mutterzellen von neuen Peridermazellen ansehen lassen. Auf diese Weise ist die Cambiumschichte zwar im Allgemeinen die Bildungs- stätte neuer, den Stamm vergrössernder Theile, jedoch nicht die einzige, indem in dem von ihr erzeugten Pindenkörper und zwar im Stratum i^arencliymatosum noch eine dieser untergeord- nete Bildungsstätte für den äussersten Theil der Einde — das Periderma — auftritt. Doch keliren wir nocli einmal zur Frage zurück, aufweiche Weise die langgestreckten spindelförmigen Bastzellen entstehen. Herr Schacht hat die Bemerkung gemacht, dass in der Cambiumschichte Reihen von über einander gestellten Zellen durch eine besondere, schwer zu beschreibende Verdickung ihrer an einander stossenden Wände ausgezeichnet sind, und spricht betreffs dieser Zellen die Vermuthung aus, dass sie jene Reihen wären, aus deren Vei-schmelzungen die langgestreckten BastzcUen entstehen. Mit ersterer Beobachtung hat es seine vollkommene Richtigkeit. Mitten zwischen der mit einer dickliehen Protoplasmaflüssigkeit erfüllten Cambiumzelle finden sich nicht nur Reihen, sondern aueh einzelne Zellen, welche die obo-euannten Verdiekuno-en der Wände zeigen, häufig an beiden Enden, zuweilen auch nur an einem derselben. Ja es ist mir gelungen, solche merkwürdigen Zellen auch in dem Parenchym zwischen den Bast- bündeln zu entdecken. Was die seltsamen Verdickungen betrifft, so zeigt die Seitenansicht (Taf. II, Fig. 41, 43, 44) einen polsterförmigen Wulst, und man ist geneigt denselben für eine über die ganze Innenseite der betreffenden Zellwand gleichförmio- auso-ebreitete und mit dieser verwachsene Erhebung, mit einem Wort für eine partielle Verdickungsschichte gewrdinlicher Art anzusehen. Dem widerspricht jedoch die Ansieht enfare, welche diesen Wulst unbczweifelt für eine ringförmige Erhebung erkennen Jässt (Taf. 11, Fig. 42). Über ilire Natur und Bedeu- tung vermag ich indcss selbst nichts Näheres anzugeben, jedoch steht so viel sicher, dass es kein Zcielicn beginnender Resorption der an einander stossenden Zellwände ist, da die langgestreekten Zellen auf eine ganz andere bereits angegebene Weise zu ihrer Existenz gelangen. Im ( legcMitluMle scheinen mir alle die Z(>llen. welche dergleichen verdickte Wände zeigen, eines weiteren Längenwachsthumes und somit einer Forriiflanzuno- durch Ouertheiluno- nicht fähig zu sein, und daher gerade die entgegengesetzte Bedeutung von dem zu haben, die ihnen Herr Schacht zuunithct. Weiter ausgeführte und auf verscliiedene Pflanzen Einiges über das Wachsthum des Stcumnes und die Bildung der Bastzellen. 27 auso-edehnten Untftrsucliuno'en können erst im Stande sein uns über diesen Punkt vollkommene Aufklärung zu verschaft'en. So viel steht jedoch gegenwärtig- fest und muss, in so ferne von einem speciellen Falle auf ähnliche Fälle geschlossen Averden darf, für die Entwickelungsgeschichte der Elementar- organe als massgebend angenommen werden, dass die Bastzellen keineswegs durch eine Fusion selbstständiger Zellelemente entsehen, sondern durch fortgesetztes Wachsen ursprünglich ein- facher cylindriseher oder parallelepipedischer Elemente. Es bleibt somit die Zellfusion dort, wo sie nicht mit Geschlechtsfunctionen in Verbindung tritt, einzig und allein auf die Bildung der Spiroiden und der Milchsaftgefasse beschränkt, ein Gesetz, welches für die ganze Pflanzenwelt ausnahmslos erscheint. Es bleibt nur noch übrig etwas über die Zunahme des Stammes an jenen Stellen zu sagen, welche die Gefässbündel von einander trennen, und die wir als Markstrahlen bezeichnen. Da diese aus parenchymatischen Zellen bestehenden spalt- oder bandförmigen Streifen von derselben Zusanmiensetzung sind, wie das Mark und die äussere Schichte der Einde, so ist ihre mit der Vergrösserung der dazAvischen liegenden Gefässbündel gleichen Schritt haltende Verläng-erung auf viel einfachere Bildungsmomente gestützt, als dies bei den Gefässbündel der Fall ist. Mit der Cambiumschichte gleichlaufend findet sich auch eine Schichte bildungsfähiger Parenchymzellen , und diese sind es, durch deren zeugende Thätigkeit alle jene Neubildungen hervorgehen, welche das Wachsthum der Markstrahlen verlangt. Die enstandenen Zellen brauchen sich hier jedoch keineswegs in langgestreckte Formen zu verwandeln , eben so ist diese einzige Bildungsstätte hinreichend, um für den ganzen Bast Parenchym- und Periderma- theile der Einde einerseits, als für die Markstrahlen des Holzes das nöthige Material herbei- zuschaffen. Während also der Gefässtheil nur durch eine grosse Mannigfaltigkeit und Complication der Bildungsvorgänge möglich Avird, verharrt dieselbe in den Markstrahlen auf eine sehr einfache und höchst ursprüngliche Weise in derProduction ganz und gar homologer Elementar- theile. Nach Schrift. Als ich der verehrten Classe vorstehende Abhandlung vorlegte, war mir Herrn Hugo v. Mohls meisterhafte Abhandlung „Einige Andeutungen über den Bau des Bastes" in der botanischen Zeitung, Jahrgang 1855 Nr. 50, zufällig unbekannt geblieben. Der gelehrte Verfasser machte uns in derselben mit einer eigenthümlichen bisher noch nicht richtig gekannten Form von Elementarorganen bekannt, die er Gitterzellen nennt. Solche Gitter- zellen bilden regelmässig sowohl bei Monokotyledonen als bei Dikotyledonen einen Theil des Bastkörpers und zeichnen sich dadurch aus, dass sie an ihren Wänden, namentlich an ihren oberen und unteren Berührungsflächen eigenthümliche Verdickungsschichten zeigen, die je nach der Pflanzenart mannigfaltig abändern. Es erleidet keinen Zweifel, dass die oben von Herrn Schacht besonders hervorgehobenen Zellen des Cambiums eben solche Gitterzellen 28 Frdiiz f'ii.fipr. >;in(l, was eincr.seits durch die eiyentliümliche Verdickungsscliiclite iluvr Kiidtli(_'ilr, andererseits durch den von mir angeführten Umstand erliellet, dass diese Zellen nicht blos im Cambiuni sieh befinden, sondern auch an den Jiau des bereits ausgebildeten I5astkör[iers Tlieil nehmen. ]']s behebt sich dadurch jeder Zweifel über die Natur dieser eigenthümlichen Verdickungs- sehichtcn von selbst, und es kann nunmehr gar nicht daran gedacht werden, dieselben für aufgelockerte, in beginnender Resorption stehende Theile der Zellen zu halten. Ich hätte mir somit die obige Arbeit allerdings in so ferne ersparen können, als ein Waehsthum der Bastzellen durch Verschmelzung von jenen Elementartheilen durchaus unmöglich ist. Da meine Arbeit sich aber in der That mit der Bildungsgeschichte der Bastzellen beschäftigte, so mao- sie eben dadurcli niclit überflüssio- sein und Yeranlassunij' werden, die oewonnenen Resultate durch ausgedehntere Ucohachtungen zu prüfen. FJniqpH ahiv rlas W'iK-h.stlinni ile.s Stammes und die' Bildung der Bastzelleyi. "29 ERKLÄRUNG DER TAFELN. Sämmtliche Figuren sind mit dem Sömering'sehen Spiegel naturtreu gezeichnet und zwar durchaus in derselben Grösse, nämlich in '2-tO maliger Uberstcigung der Xatur, um dadurch leicht Vergleichungen der Grössenverhältnisse der Elementarorgane anstellen zu können. Alles Ausserwesentliohe. namentlirh der Inhalt der Zellen, ist weggelassen worden, damit die Bilder reiner erscheinen und übersichtlicher werden. Die isolirten Eleraentarorgane der vier ersten Bilder sind in Fig. 5 der Taf. I und den Figuren 1 — 44 der Taf. II theils durch At/kali. theils durch chlorsaurcs Kali mit Salpetersäure erzielt worden. TAFEL I. Fig. 1. Querschnitt eines Gefässbündels aus einem 4 Linien dicken Zweig von Cari'ca mic?'oca)ya .Facij. Derselbe ist zu beiden Seiten durch Markstrahlen m, m von den nebenliegenden Holz- und Hast-bildenden Gefäss. bündeln gesondert. I. Holzkörper. II. Cauibium. III. Basttheil des Gefässbündels. a. Netzförmige Spiralgefässe. >i. Milchsaftgefäss. '•. Jüngste Holzzellon. rl. Zellen des Cambiums. e. Jüngste Bastzellen. /. Zellen zwischen den Bastbündeln. g. Altere Bastzellen. Fig. 2 und 3. Querschnitte zweier neben einander liegender Gefäs.sbündel mit Hinweglassung des ihnen zukommenden Cambiums. a. Netzförmige Spiralgefässe, deren grössere zarte Füllzellen enthalten. I>. Milchsaftgefässe. c. Jüngste Holzzellen. Alles durch Markstrahlen ■m. m. in zwei Bündeln getrennt. f: Jüngste Bastzellen beider Bündel. /. Zellen zwischen den jüngeren und älteren Bastbündeln. g. Altere Bastbundeh Fig. 4. Längenschnitt durch einen Gefässbündel desselben Zweiges und darüber hinaus bis an die OberHäehe der Ilinde reichend. a. Netzförmiges Spiralgefäss. a. Holzzellen, welche die Spiralgefässe begleiten. b. Ein Milchsaftgefäss mit durchschnittenen seitwärts gehenden Zweigen. c. Jüngste Holzzellen. d. Cambiumzellen. e. Jüngste Bastzellen. /. Zwischen dem älteren und jüngeren Baste liegende Zellen. g. Altere Bastzellen. h. Zellen der Parenchyraschichte (Stratum pareiichymatosum) der Innenrinde, theilweise mit Krj-stallgruppen erfüllt. i. Dünnwandige Zellen an der Innenseite des Periderma, gleichfalls Krystallgruppen und Chlorophyll enthaltend. h. Tafelförmige Zellen des Peridervia. Fig. 5. Durch kaustisclies Kali isolirte Zellen der Parenchyraschichten /( und / der Rinde. i. 1. Zwei seitlich verbuiidjne dünnwandige Parenchymzelleu der Schichte /, wovon die eine sich der regelmässig eylindrischen, die andere der unregeluiässig gestreckten Form nähert. i. 2. Gruppe von vier zusammenhängenden Zellen derselben Schichte , die durch wiederholte Theilung einer eylindrischen Zelle hervorgegangen ist. 30 F. Uli g er. Einiges über das Wachsthum des Stammes und die Bildung der Bastzellen. h. 1. Eine sehr einfache nur aus zwei Zellen bestellende Gruppe der Schichte h. h. 2. Eine eben solche Gruppe nur mit dickwandigeren Zellen. h. 3. Eine Zellgruppe, in deren einem Theile die Theilung fortgeschritten ist. h. 4. Eine solche Gruppe mit wiederholter ZcUtheilung. h. 5. Eine Zellgruppe mit einseitig fortgeschrittener Theilung. h. 6. Zwei Zellgruppen in natürlicher Verbindung mit einander mit gleichmässig wiederholter Theilung. von denen sich die eine von der andern dadurch unterscheidet , dass das Längewachsthum grösser ist als in der andern Gruppe. h. 7. Gleichfalls eine natürliche Verbindung zweier Gruppen, deren eine aus 4 durch doppelte Theilung, die andere aus 6 Zellen zusammengesetzt ist, die durch dreimal auf einander folgende Theilungen, deren letzte sich jedoch nur auf die Endzeilen beschränkte, entstanden ist. TAFEL n. Enthält lauter isolirte Elementartheile oder Gruppen von Zellen, die durch Theilung aus einander hervorgegangen sind. Fig. 1, 2, 3, 4. Regelmässige ausgewachsene Bastzellen mit dicken "Wänden und spaltförmigen Tüpfeln an ihrer Oberfläche, von dem älteren Bastbündel g Fig. 4; die kürzeste hat 0'3"' Länge, die längste 0-3ü"'. „ ä, 6, 7, 8, 9, 10. Endtheile von ähnlichen Bastzellen, um die Verschiedenheiten zu zeigen, welche sie hierin besitzen. „ 11, 12. Dickwandige Zellen an der Grenze der Bastbündel mit nur wenig in die Länge gezogenen Endtheilen, in der Regel um -/j kürzer als die eigentlichen Bastzellen, d.i. von 0-1'" Länge. „ 13, 14, 15, 16, 17, 18 und 19. Zellen und Gruppen von Zellen aus dem Parenchyme / Fig. 4 zwischen den beiden Bast- bündeln, in den verschiedenen Stufen ihrer Production (Fortpflanzung), wodurch sie theils durch Längen-, theils durch Quertheilung Gruppen von 2 — 3 Zellen darstellen. „ 20, 21, 22. Jüngere Bastzellen aus dem Bastbündel e Fig. 4 von cylindrischer Form mit abgerundeten Endtheilen und noch wenig verdickten ^Yänden. „ 23. Eine eben solche Bastzelle, deren eines Ende sich zu spitzen anfängt. „ 24, 25, 26. Bastzellen aus demselben Bündel mit vollkommen zugespitzten Enden. „ 27, 28. Bastzellen an der Grenze des Bündels mit einseitiger Zuspitzung. „ 29, 30, 31. Ungewöhnlichere Formen solcher Bastzellen. „ 32. Verbindung zweier Bastzellen aus einem jungen Bastbündel. „ 33, 34, 35, 36. Cambiumzellen von verschiedener Grösse und Form. „ 37, 38, 39. Verbindungen von zweien Cambiumzellen schmälerer Art. „ 40. Eine grössere Anzahl von Cambiumzellen in ihrer Verbindung, wie sich solche Partien durch Kochen mit ohlorsaurem Kali und Salpetersäure aus dem allgemeinen Verbände lösen. „ 41. Der Länge nach mit einander verbundene Cambiumzellen mit ihren eigenthümlich verdickten Berührungsflächen. „ 42. Zwei seitlich verbundene Cambiumzellen mit nur an einem Ende verdickten Wänden. Indem man durch die Schiefstel- lung der Wände senkrecht auf dieselbe sehen kann, erkennt man, dass die Verdickungsschiclite einen kroislörmigen Wulst bildet. , 43, 44. Cambiumzellen von grösserem Durchmesser mit kranzförmig verdickten Berührungsflächen, die durch Kochen mit .\tzkali um so deutlicher erscheinen, weil sie beträchtlich anschwellen. UngfT Kingpa über dasWarhßUium de« Slahn-s und die Bildung" dcsBafiarllm • dhk])>tu.CU4l>Jni(l>t\Vi.-'ii»ilim.illii>iiiii3lum <'l \nli.| ill.'.g Vniev. Einges üter das Wachsihum des Stames und die Bildung desBalk eilen. T;.ril. .luf fiel I) etiles chriften d k. Akad d.Wissensch. mathem.naturw: Cl. fflBd. 16 58 ;iuK ä k k Hof u Slaafadruckei ^ 1 Ol PHYSISCHE ZUSAMMENKÜNFTE DER PLANETEN ® BIS @ WÄHREND DER NÄCHSTEN JAHRE. Von KARL V. LITTROW, WIRKLICHEM MITCrLIEDE DER K.^ISERLIOHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. (JfLlt 2 SafelW) VORGELEGT IN DER SITZUNG DEE MATHEMATISCH - NATUUWISSENSCHAFTLICIIEN CLASSE AM 17. DECEMBER 1857. Vor einiger Zeit habe ich die ersten Ergebnisse einer Untersuchung über die Möglichkeit bemerkenswerther gegenseitiger Annälierungen zwischen den periodischen Gestirnen des Sonnensystemes bekannt gemacht^). Diese ersten Ergebnisse beschränkten sich einerseits auf die Bestimmung derjenigen Punkte, in Avelchen die Bahnen der verschiedenen Himmels- körper einander besonders nahe liegen und umfassten andererseits, um eine Übersicht der ganzen Verhältnisse zu gestatten, alle bisher mit Sicherheit als periodisch erkannten Gestirne. Bei der völligen Durchführung meiner Arbeit musste es mir erstens darum zu thun sein, die Zeiten von Zusammenkünften der Körper selbst herauszufinden, und v^roUte ich zweitens einstweilen nur auf die sogenannten Asteroiden '") als diejenigen Gestirne Rücksicht nehmen, welche in dieser Beziehung das meiste Interesse darbieten. ') Sitzuiigöliericlite der k. Akademie der Wissenschaften, niathcmatiscli-naturwissenselialtlichen Classe, Jahrgang 1854, Jännerheft. -) Es sei mir gestattet, hier aus der oben citirten Abhandlung eine Note zu wiederholen, die bisher keine Beachtung gefunden zu haben scheint, ohne dass mir eine irgend gewichtige Einwendung gegen deren Inlialt bekannt geworden wäre. „Ich wällte von den vielen unpassenden Sammelnamen, die diese Planeten führen, den Ausdruck „Asteroiden" weil er noch der gewöhnlichste und eben niclit unzweckmässiger als andere ist. Die Scheu, welelie jeder Fachmann vor Änderungen von Nomen- elaturen hat, wird von mir vollkonnnen getlieilt; da aber einerseits das Bediirfniss nach einer guten Colloctivbezeiohnung dieser Himmelskörper jetzt immer häufiger wird, und andererseits sich noch keine solche Benennung wirklich festgesetzt hat, so glaube ich hier einen neuen Vorschlag wagen zu dürfen. Die bisher gangbaren Namen leiden meiner Meinung nach hauptsächlich an einem Übelstande: sie nehmen alle keine Rücksicht auf das einzige jenen Planeten zukommende unveränderliebe Kriterium der Stellung zwischen Mars und Jupiter, und setzen an dessen Stelle oft ganz unstatthafte Beziehungen. So werden diese Himmelskörper „Asteroi- den" genannt — ein Xaine, den sie überdies mit Meteoren theilcn — als wären sie keine eigentliclien Gestirne, sondern nur ähnliche Dinge; soll dies Wort aber (nach W. Herschel) bedeuten, dass sie im Gegensatze zu anderen Planeten Fixsternen ähnlich sehen, so haben schon Uranus und Neptun einen Unterschied nahezu aufgehoben , der eben so gut von vielen Kometen gilt. Aus gleichem Grunde, nur in noch höherem Masse, kann man der Bezeichnung „Planetoi'len" keine Berechtigung zus|ireclien. Der Ausdruck 32 K(irl V. JJitmw. Die oben erwähnte Vorarl>oit begriff 23 dieser Himmelskörper: icli liabe jetzt die weiteren 19 bis Ende 1856 entdeckten Planeten zwischen Mars und Jupiter mit in die Untersuchung gezogen. Wie es in der Natur der Sache lag, mussten vorerst wieder die Bahn nähen zwischen diesen Gestirnen aufgesucht werden. Obsehon ich an der Methode , mittelst deren ich dieses Ziel bei meiner ersten Arbeit zu erreichen gesucht hatte, nichts Wesentliches änderte und daher für die nähere Kenntniss sowohl dieses Weges als des Historischen der Aufgabe über- haupt auf die oben angeführte Abhandlung verweisen könnte, so dürfte doch hier eine nähere Angabe meines Vorgehens zum Verständnisse des Folgenden erforderlich sein. Jede der Bahnen wurde im IMassstabe von zwei Wiener Zollen für die halbe grosse Erdbahnaxe auf die Ekliptik und auf den Breitenkrpis 0"— 180° projicirt. Beide Projectionen sind für jede einzelne Bahn in bestimmter gegenseitiger Entfernung auf ein Blatt gezeichnet und wurden von diesen Blättern auf durchsichtiges Papier übertragen. Auf diesen Bansen sind bei den Aquinoctial-Projectionen diejenigen Theile der Curven. welche auf der rechten Seite des Breitenkreises 0" — 180° liegen, von den links liegenden unterschieden, um Ambigui- täten über die Identität zweier Punkte vorzubeugen , deren einer in der einen , deren anderer in der anderen Projection liegt. Ein Reissbrett ward mit dauerhaftem Papier so überzogen, dass dieses nicht blos an den Rändern, sondern seiner ganzen Fläche nach an dem Brette haftete. Auf diesem Papiere ist ein die Ekliptik darstellender Kreis, von 0° bis 360° getheilt. um einen Punkt als Centrum gezeichnet, der von dem Orte der Sonne auf den Bansen getroffen Avird, wenn man diese durchsichtigen Blätter auf das Reissbrett legt. Durch die Punkte 90" und 270° der Theilung und ebenso durch die Punkte 0° und 180° sind über die ganze Ausdelmung des Reissbrettes gerade Linien gezogen, die auch auf jeder Bause angebracht sind, und so zur Orientirung dieser Bausen auf dem Brette dienen. Zur Vermehrung der Genauigkeit sind auch durch die Mittelpunkte der Aquinoctial-Projectionen gerade Linien parallel zum Breitenkreise 0° — 180° sowohl auf den Bausen als auf dem Reissbrette gezogen, so dass im Ganzen drei Linien zur Orientirung der einzelnen Zeichnungen verwendet werden. Der jMittelpunkt des die Ekliptik repräsentirenden Kreises ist vertieft und gibt dem Stifte eines Lineales Raum, das von diesem Mittelpunkte weg in Zolle und Zehntelzolle getheilt ist. Die Bausen sind auf der Stelle des Stiftes durchbrochen , so dass wenn auch deren auf dem Reissbrette liegen, das Lineal doch aufgesteckt und in der ganzen Peripherie herum geschoben werden kann. Mittelst dieses Lineales erkennt man also sofort die heliocentrisclic Läno-e irg-end eines Punktes in der Ebene der Ekliptik und dessen Entfernung von der Sonne. Am oberen sowohl als am unteren Rande des Reissbrettes sind zwei Paare von Federn angebracht, deren jedes eine metallene. über das ganze Brett reichende Schiene auf das Brett niederdrückt, um so je zwei der Bausen auf dem Brette fest zu legen. Zur Aufsuchung der Bahnnähen wird zuerst die Bause der einen Bahn auf das Reissbrett ffcbraclit, mittelst der oben erwähnten Linien crehöria: orientirt und dann durch Aufleyiino- der beiden betreffenden Schienen festgehalten. Hierauf bringt man die Bause der zweiten Bahn auf die der ersten, orientirt auch dieses zweite Blatt und klemmt es durch das zweite Paar .,CopIaiieteii" legt zu grosses Gewiclit auf riiumliclie NiiUe. ist zu wenig eupliouiscli und graMimatiscli maiigellial't. Der Name „Gruppenplaneten", an sich vielleiclit noch der beste, fügt sich nicht in fremde Sprachen. Die lienennung „Kleine Planeten" kann kaum als wirkliche Bezeichnung hetraclitet werden. Wie wäre es also, wenn wir jene (Jestirne Z en ar e id en fvon 'Lt'ji l.rfiui und 'Apvjj) nennen wollten V Dieser Xanie sidieint mir allen hilligen Anforderungen zu geniigen. Mythologische Hedenken gegen die an ein Patronyniieum erinnernde Endung wären wolil zu weit getrieben" rhy-siscke Zusammenkünfte der Planeten etc. 33 von Schienen an das Brett. Nun lässt man die Reissschiene längs des rechten oder linken Kandes des J5rettes gleiten, und sieht zu, ob gegenseitige Näherungen beider Bahnen in der einen Projection auch in der anderen sich als solche zeigen. Ist dies der Fall, so wird das getheilte Lineal aufgesteckt, und mittelst desselben zuerst die Länge der Bahnnähe, dann der zugehörige in die Ekliptik projicirte Radius- Vector bestimmt. Die Messung des senkrechten Abstandes der ßahnuähe von der Orientirungslinie 0° — 180" in der Äquinoctial-Projection mittelst eines Zirkels endlich gibt das Loth von der Bahnnähe auf die Ekliptik. Man sieht, dass so der beiläufige Ort der Bahnnähe im Räume vollständig bestimmt ist. Zur Erläuterung des eben Gesagten wurde die Combination Calliope-Psyche auf Taf. I hier bildlieh dargestellt, wie sich die Bausen dieser Bahnen, auf dem Reissbrette zusammen aufgelegt, ausnehmen. Rechts vom Beschauer liegen die beiden Projectionen auf die Ekliptik; in denselben sind die Orte der Knoten und Perihelien angezeigt, während der im Originale von Grad zu Grad getheilte Kreis auf dem Reissbrette die Längen gibt. Die Durchschnitts- linien der Breitenkreise 0" — 180** und 90" — 270" sind als Orientirungslinien auf dem Reiss- brette sowohl als allen Zeichnungen ganz ausgezogen und dienen eben zur genauen Super- position der durchsichtigen Blätter. Links stehen die Projectionen auf den Breitenkreis der Äquinoctien; die punktirten Theile der Curven liegen auf der dem Zeichen des Steinbockes zugewendeten Fläche jenes Breitenkreises, die ausgezogenen Linien auf der gegen den Krebs gekehrten Seite. Parallel zur Linie 0" — 180" in den ekliptischen Projectionen ist diejenige Gerade gezogen, in welcher man sich hier die Nachtgleichen zu denken hat. Die Zeichen + und — geben die Lage von Abständen über und unter der Ekliptik. Denkt man sich nun ein Lineal senkrecht auf die Äquinoctiallinie über das ganze Blatt gleiten, so stösst man in diesem Beispiele bei 54" Länge in der ekliptischen Projection auf einen Durchschnitt der beiden Curven, der sich dadurch als einen wirklichen zu erkennen gibt, dass in der Richtung des an diesen Punkt gelegten Lineales auf der Aquinoctialprojection zwei gleich bezeichnete, nämlich in beiden Bahnen p unktirt e Theile der Curven einander ebenfalls durchkreuzen. Sticht man mit dem Zirkel die Entfernung z der Bahnnähe von der Ekliptik ab, so findet man für denselben den Werth — 0-13. Der curtirte Radius- Vector r' der Bahnnähe ergibt sich aus der ekliptischen Projection als 2-61. Ebenso begegnet man einer Bahnnähe bei 233" Länge mit r' = 3*17 und s = -j- 0-17. L)en Zeichnungen liegen folgende Elemente zu Grunde: I' 1 a n e t Halbe Gr. Axe a Excentricitiit Dist. Per. v. fl Länge iles iJ die' EUlintik Amphitrite Astraea Atalante . Bellona Calliope . Ceres . . Circe . . Daphne Egeria . . Eunomia . Euphrosyne 2 •554 2-577 2-750 2-775 2 - 909 2-766 2 • 688 2-379 2-576 2-6« 3-15G 0-073 0-190 0-298 0-154 0104 0-079 0-108 0-178 0-087 0-1S8 0-216 59' 353 43 337 351 68 325 66 77 93 62 49' 11 15 40 34 46 12 31 4 57 26 356" 141 359 144 66 80 184 180 43 293 31 9 43 37 48 47 37 12 55 25 18 9 13 10 5 13 16 11 26 S 20 42 23 45 36 27 40 32 44 25 l)t:nk^thril"Ien der mathem.-iiaturw. Cl. XVI. Bd. 34 Karl r. Littrow. Planet Halbe Gr. Axe Excentricitiit Kist. Per. v. ^ Länge des fl k Neigung gegen die Ekliptilc n Euterpe Fides . . Flora . . Fortuna Ilannonia Hebe . . Hygiea . . Irene . . Iris . . . Isis . . .Juno . . Laetitia Leda . . Leucothca Lutetia Massalia . Melpomene Metis . . Pallas . . Partlienope Phocaea . Polyhymnia Pomona Proserpina Psyche Thalia . . Themi.^i . Thetis . . Urania Vesta . . Victoria . 2.346 2 ■642 2-201 2-443 2-267 425 149 585 387 413 669 765 740 974 435 409 296 386 770 451 401 866 583 655 923 626 151 473 364 361 2-335 0-174 0-175 0-157 0-158 0-046 0-202 0-101 0-1G9 0-231 0-213 0-257 0-097 0-156 0-217 0-162 0-144 0-217 0-124 0-239 0-100 0-253 0-337 0-096 0-088 0-135 0-235 0-117 0-128 0-126 0-09U 0-218 354" 7' 57 55 282 179 36 21 268 30 236 24 300 9 92 2 141 38 233 40 243 8 203 49 163 14 201 52 246 251 225 16 41 13 2 35 309 26 191 3 88 33 331 334 38 41 189 48 222 8 101 133 83 147 66 17 50 59 24 93 42' 10 18 27 93 32 138 34 110 211 287 86 259 39 49 45 84 27 171 157 0 10 296 29 356 25 80 28 206 36 150 08 172 125 214 9 1 31 38 3 4 16 220 49 45 53 150 31 67 36 oo 12 125 26 308 103 235 13 24 29 r 36' 3 7 5 53 1 32 4 16 14 47 3 47 9 7 5 28 8 35 3 4 59 15 13 10 6 8 3 0 10 5 34 4 21 1 4 3 3 10 41 9 36 43 37 36 57 44 36 4 14 0 49 5 36 2 6 7 8 8 23 Es wäre uunötliig gewesen, sämmtliche Bahnen von neuem zu projieiren, da viele sich so wenig geändert liatten, dass die früheren Zeichnungen ganz wohl wieder benutzt werden konnten, und nur eben gemäss der jetzigen Behandlungsweise des Ganzen beide Projectionen auf ein und dasselbe durchsichtige Blatt zu übertragen waren. Zur Entscheidung darübei-, welche der früheren Projectionen unverändert beizubehalten seien, diente folgende Betrach- tuno- ; Verschiedenheiten linearer Dimensionen im Betrage von 0"01 der hier angenommenen Einheit sind in unseren Zeichnuno-en nicht mehr wahrnehmbar. Es erscheint daher eine gleiche Änderung der grossen Halbaxen als zulässig. Kimmt man diese Ilalbaxen im Allgemeinen zu 3'UÜ an, so ergibt sich Ü*UÜ3 als bei den Excentricitäten zulässiger Fehler. Nennt man ferner p das Loth auf die Ekliptik vom End- punkte derjenigen Eadien Vectoren r, welche senkrecht auf die Knotenlinie der betreffenden Bahn stehen, n die Neigung der Bahn gegen die Ekliptik, so ist du = r (_ 'os : Setzen wir möglichst ungünstig r ^ 3., Cos n — gemachten Annahme fZ/^ := 0*0 1, so haben wir dn = : 1 und entsprechend der oben über a 11'. Für Vhysische Zusammenkünfte der Planeten etc. 35 n = 20" wird dn = 12' » = 27 „ c7« = 13 n = 35 r, dn = 14 Man kann somit den zulässigen Fehler in n zu 10' annehmen. Damit analog lassen wir bei der Läiiü-e des Knotens dieselbe Änderung von 10' ausser Acht. Die Distanz des Perihels vom Knoten ist, wo die übrigen Elemente, namentlich die Excentricitäten, stinnnen und letztere klein sind, nahezu gleichgültig. Nach diesen Grundsätzen wiu'den die früheren Origiualzeichnimgen für die nachstehenden IG Planeten unverändert auf durchsichtiges Papier übertragen: Astraea, Galliope , Ceres, Eo-eria, Eunomia, Flora, Fortuna, Hebe, Hygiea, Juno, Melpomene, Metis, Pallas, Parthenope, Vesta, Victoria, und nur für die übrigen Asteroiden völlig neue Zeichnungen angefertigt. Erst nach gehöriger Controlirung sämmtlicher Blätter und Verbesserung einiger vom Zeichner begangenen Unrichtigkeiten begann die eigentliche Arbeit. Bei der Durchsicht der Zeichnungen galt als Grenze für zu notirende Bahnnähen wie bei der oben citirten Vorarbeit die gegenseitige Distanz 040 der halben grossen Erdbahn- axe; alle besonders engen Proximitäten unter etwa 0-02 wurden durch ein * ausgezeichnet; wo diese Grenze nicht klar erkannt werden konnte, ist dem * ein ? beigesetzt. Solche Zweifel ereignen sich hauptsächlich dann , wenn die Bahnnähen in die Nähe des Aquinoctialbreiten- kreises fallen, und gehörte zu deren völliger Beseitigung streng genommen eine dritte Projection, etwa auf den Breitenkreis 90 — 270". Beide obige Grenzen sind an sich zu weit gegriffen, aber, da hier nicht die eigentlichen kürzesten Distanzen erkannt werden, so schienen, um sicher zu gehen, solche Weitungen nöthig. Die Durchsicht lieferte nachstehende Resultate, wo immer L die heliocentrische Länge der Bahnnähe, r' ihren in die Ekliptik projieirten Radius Vector, z das Loth von der Bahnnähe auf die Ekliptik (nördlich von dieser Ebene positiv genommen) bezeichnet, und alle diese Grössen nahe für die Mitte des gegenseitigen Abstandes beider Bahnen gelten. Bei den engen, durch ein * ausgezeichneten Proximitäten wurde auch immer bemerkt, wenn der Spielraum, innerhalb dessen die gegenseitige Distanz der Bahnen unter 0-1 bleibt, ein bedeutender war. Überall wo die Länge der Proximität ziemlich scharf aus der Zeichnung entnommen werden konnte, ist der Zahl eine Decimale beigesetzt, in den übrigen Fällen der Grad rund angegeben. Die Combinatio nen ohne Wiederholung lassen sieh bei der eingeführten alpha- betischen Ordnung sehr leicht dadurch von den übrigen sondern, dass man in jeder einzelnen der folgenden Gruppen nur diejenigen Namen berücksichtigt, welche in alphabetischer Reihe nach dem Namen der Überschrift der betreffenden Grupjse kommen. L /• ^ Annierkuiin-L-n L r z Ann;ierkunc;en Amphitrite. Ceres . . . Dapline . . 123° 0 2-49 2-45 +0-27 0-00 Fides • - - 1 160°* 349* 2-58 2-47 -1-0-08 —0-02 i Von I2U— 180»g. Dist. \ unter irl. 1 Von 825 — 15» §'. Dist. k unter 0-1. Egeria . . . \ 66 245 2-37 2-70 -fO-27 —0-27 Fortuna . . Hygiea . . . 180 217 2-70 2-76 0-00 —0-18 Eunomia . . ,' 87 275 2-34 2-70 -t-0'23 —Ü-24 Irene . . . ) 112 293 2-37 2 • 65 hO-21 —0-22 Euterpe . . 324 2 • 52 —11-11 Laetitia . . 343-0^^^ 2-49 —0-05 36 Karl V. Littroio. Anmerkungen r z 2-55 +0-14 2-57 —0-17 2-52 —0-02 2-52 rO-12 2-44 —0-12 2-65 —0-10 2-45 -I-0-17 2-34 -hO-14 Anmerkungen Leda . . Leucothea Massalia . Melponiene Metis . . Partlienope Pliocaea . Ceres . . Egcria . . Fortuna Harmonia Hebe . . Iris . . . Isis . . . G4"* 140 277 0 160-0 307 164 36 36 '50 ,66 43 '61 55 61 33 + 0-23 +0-17 —0-32 + 0-01 + 0-08 — 0 - 22 + 0-09 + 0-11 Bellona . . 330 3-05 —0-08 Calliope 37 2-57 —0-26 Circe . . . 2Ö0* 2-68 + 0-23 Daphne . . 25-0 2-65 —0-23 £geria . . . 30 2-58 —0-21 Euterpe . . 145* 2-08 + 0-02 Flora ■ • • 114 230-5* 2-10 2-50 —0-05 + 0-22 Fortuna . . 90-0 2-18 + 0-12 Hanno nia 206* 2-33 + 0-18 Hygiea . . 308-0* 3-06 + 0-03 Iris .... Ul-0* 2-10 —0 05 Isis ....■, 58-0 2.38 —0-18 215-5 2-39 + 0-24 Laetitia . . 30 2-56 —0-30 143 2-54 +0-47 \ 120-0* 2-25 +0-64 ■ \ 294-0 2-67 -0-77 0 2-06 0-00 341* 2 17 —0.15 159 2-80 +0-30 14-0 1-91 + 0-17 156 2-81 -rO-38 Astraea Bellona Ceres 1 Von 40 — 82" ( unter 0*1- Proserpina Psyche Tlietis . . Urania . . Yesta . . Victoria . Astraea. iVon -2.90— 2S0« g. lüst. [ unter Ol. iVon 120—176» g. Dist. ! unter 0-1. I Von 296— 32U» g. Dist. I unter Ol. Leda . . Massalia . Parthenope Phocaea . Proserpina Psyche . . Thalia . . Thetis . . Vesta . . Atalante. Laetitia Lutetia Parthenope Phocaea . Polyhymnia Urania . . Vesta . . Victoria . Bellona. Astraea . . 339 3-05 —0-08 Calliope . . 36 2-62 -0-37 Ceres . . . 208 2-62 + 0-37 Circe . . . 111 2-38 —0-22 Daphne . . 35-5* 2-66 —0-39 Egeria . . . 201 2-55 + 0-37 Euphrosyne . 17 2-83 —0-33 Fides . . . 144 2-41 +0-05 Flora . . . 172*? 2-44 +0-20 Fortuna . . 126 2-37 -0-11 Harmonia 158 2-37 + 0-12 Hebe . . . 111-0 2-35 —0-26 Hygiea . . 3-20 3-15 +0-07 Iris .... 133 2-30 —0-14 Isis .... 191 2-57 j-0-32 Laetitia Leda . . Leucothea Melpomcne Metis Pallas Parthenope Phocaea Pomona Proserpina Thetis Urania Calliope. 151" 313* 346-0 149*? 345 194 133 38 306* 3-05 + 0-03 125* 2-10 —0-05 50-0*? 2-43 -0-21 218-0*? 2-41 + 0-20 50-0* 2-44 —0-23 0 2-82 —0-15 37-0 2-55 -0-18 277-0 2-90 + 0-16 36 2-50 — 0-23 214 2-41 -I-0-22 28-0* 2-63 —0-23 200-0*? 2-27 + 0-20 44 2-50 —0-25 194 2-22 +0-23 169-0* 3-15 + 0-13 355-0*? 2-07 —0-12 337-5* 2-20 -0-09 10-0* 1-97 + 0-11 10-0 2-47 0-00 0 2-06 +0-03 332 2-26 —0-21 11 2-01 + 0-12 51-0* 2-55 -0-42 236-0*? 2-84 + 0-48 134-0* 2-35 —0-08 161-0* 2-41 + 0*10 124-0*? 2-34 —0-17 217-0* 2-69 T-0-42 180 2-46 +0-21 3-0* 2-91 — 0-2S 193 2-55 ^0-23 59-0* 2-52 —0-40 133 2-40 —0-14 174 2-48 i-0-17 106-0* 2-42 + 0-14 144- 0 2-45 0-00 37 2-57 -0-26 36 2-62 —0-37 69 2-65 —0-04 Circe . . . 53 2-64 — 0-18 Daphne . . 31 2-63 —0-36 Egeria . . . 347 2-67 —0-66 Von 297-315" g. Dist. : unter O'l. iVon 9.5—1.15» g. Dist. I unter 0-1. Physische Zusammenkünfte der rianeten etc. 37 Anmerkungen Anmerkungen Euiihrosyne Fides . . Juno Laetitia Leda . . Leuoothea Lutetia Pallas . . Amphitrite Atalante . Bellona Calliope . Circe . . Egeria . . Euphrosyne Euterpe Fides Flora Fortuna Hygiea Irene Iris . Astraea Bellona Calliope Ceres . . Daphne Egeria . . Euphrosyne Euterpe Flora . . Fortuna Hebe . . Irene . . Iris . . . Leda . . Leuoothea 198" 258 207 32-5 205 262 0 Hl 75 12-5 3-07 3-10 3-13 2-55 3-02 3-11 2-70 2-55 2-66 +0-58 —0-16 +0-48 —0-35 +0-41 —0-22 + 0-41 + 0-05 —0-61 123 2-49 -t-0-27 143 2-54 +0-47 208 2-62 +0-37 69 2-65 —0 - 04 \ 37 -0 2-71 —0-20 ' ) 235-0 2-65 + 0-2(1 195 2-50 +0-40 12-0* 2-90 —0-49 257 2-76 + 0-01 284 2-92 —0-19 210 2-56 + 0-31 248 2-74 + 0-07 267-5 2-87 —0-07 \ 55* 2-77 —0-23 ■ \ 338 2-93 -0-48 257-5*' 2-79 0-00 250* 2-68 + 0-23 Ul 2-38 —0-22 53 2-64 —0-18 \ 57-0 2-71 -0-20 ■\ 235-0 2-65 + 0-20 156 2-32 —0-15 212-0 2-53 +0-12 28-0 2-79 —0-10 210 2-50 + 0-08 224 2-54 + 0-21 136 2-44 —0-13 118-0* 2-42 —0-21 64 2-66 —0-19 140 2-36 —0-18 1 144-0* 2-38 -0-14 ■( 324-5* 2-96 + 0-17 180 2-37 —0-01 Polyliymnia Psyche . Tlialia . Themis . Thetis . Vesta . Victoria Ceres. Isis iVon 318 — 8(1» g. I anter O'l. Leuoothea Lutetia Massalia . Melpomene Metis . . Pallas . . Polyhymnia Pomona Psyche . . Thalia . . Thetis . . Victoria Circe. Von 230 - -280» g. Dist. ! unter Ol- Lutetia . . Massalia . Melpomene Metis . . Pallas . . PartUenope Pomona Proserpina Psyche . Thalia . Thetis . Urania Vesta . Victoria 75°-0* 54-0* 233-0* 270 246 37 46 66 2-61 2-Cl 3-17 3-08 3-19 2-63 2-56 2-57 +0-08 —0-13 + 0-17 -0-25 —0-01 -0-28 -0-24 -0-04 ) 86-0* 2-65 + 0-03 ■\ 196-0 2-55 + 0-37 \ 129 2-56 + 0-32 ■] 300-0* 2-92 —0-35 90 2-61 + 0-06 256 2-75 + 0-01 215 2-66 +0-39 250 2-71 + 0-05 7 2-86 —0-45 80 2-67 t-0-05 68-0* 2-71 — o-ii 68 2-69 —0-12 ( 238 2-72 + 0-13 ■ j 342 2-97 -0-53 55 2-75 —0-23 76 2-65 —0-08 213-0* 2-51 + 0-12 195 2-41 +0-05 128-5* 2-39 —0-17 215-5 2-56 rO-14 355 2-97 -1-0-04 \ 72 2-55 —0-20 ■\ 212 2-47 + 0-16 140 2-40 —0-17 \ 22-0* 2-85 -0-08 ■ \ 195-0* 2-43 +0-07 61 2-63 —0-18 224-5* 2-56 + 0-18 54 2-70 —0-21 150 2-44 —0-06 68 2-58 —0-21 77 2-60 —0-20 ;Von 110—180« g- Dist. [ unter 0-1- Daphne. Amphitrite . 0 2-45 0-001 Astraea . . 25-0 2-65 —0-23 Bellona . . 35-5 2-66 -0-39 Calliope . . 31 2-63 —0-36 Circe . . . 156 2-32 -0-15 Egeria . . - 24 2-60 —0-27 Eunomia . . 333 2-27 + 0-26 Euterpe . . 175 2-20 0-00 Fides . . . 355 Iris . ' . . . 148 Juno . . . 1 141 336 Laetitia . . 352 Leda . . . 151 Massalia . . \ 0 165 2-42 + 0-02 2-37 —0-25 2-40 -0-32 2-31 + 0-16 2-44 —0-05 2-35 -0-20 2-44 0-00 2-22 —0-05 38 Karl V. Littrow. Pallas . . Phocaea . Pomona Araphitrite Astraea Ceres . Circa Daphne Egeria . Eunomia Flora . Fortuna Harmoiiia Iris . . . Juno . . Leucotliea 166 74 2.)1 153 2-22 2-19 1-90 2-35 —0-20 —0-63 +0-45 +0-20 Anmerkungen 66 2-37 + 0-27 Astraea . . 245 2-70 -0-27 30 2-58 —0-21 Atalante . . \ 120-0* 294-0 2-25 2-67 + 0-64 -0-77 Bellona . . 201 2-55 + 0-37 Calliope . . 347 2-67 —0-66 Ceres . . . 195 2-50 + 0-40 Ciroe . . . 212-0 2-53 + 0-12 Daphne . . 24 2-60 —0-27 Eunomia . . 77 2-30 +0-33 Euterpe . . 222* 2-58 +0-05 Flora . . . 203 - 0* 2-52 +0-26 Isis .... 201-0* 2-50 +0-33 Ampliitrite . •' 87 275 2-34 2-70 + 0-23 -0--24 Daphne . . 333 2-27 + 0-26 Egeria . . . 77 2-30 + 0-33 Euterpe . . 288 2-66 —0-05 Hebe . . . 127 2-56 —0-12 Irene . . . ', 100-0* 285-0 2-41 2-62 + 0-10 — U-lo Bellona . . 17 2-83 —0-33 Calliope . . 198 3-07 + 0-58 Ceres . . . 12-0* 2-90 —0-49 Circe . . . 28-0 2-79 -0-10 Irene . . . 16-5 2-92 -0-43 Juno . . . 197* 3-10 + 0-37 324 2-52 — 0-11 145* 2-08 + 0-02 257 2-76 + 0-01 210 2-50 + 0-08 175 2-20 0-00 222* 2-58 + 0-05 288 2-66 — 0-05 90 1-96 —0-04 38* 2-05 -0-03 249* 2-71 i-0-04 30 2-12 -0-10 202 2-40 + 0-12 84-0* 1-93 0-00 262-0* 2-74 0 - ou 8-4 2-16 —0-07 187-0* 2-32 -t-o-ou Psyche Thalia Thetis Egeria. Laetitia Leda . . Lutetia . . Massalia . Metis . . Pallas . . Parthenope Polyhymnia Psyche . . Thalia . . Thetis . . Urania Victoria . Eunomia. Leda . . Metis . . Parthenope Pomona Thetis . . Vesta . . Euphrosyne. Laetitia Polyhymnia Pomona Proserpina Psyche . . Euterpe. Von 120— 17G0 g. Dist. [ unter 0-1. ;Von 17 — Ö5» ; ! unter O'l- (Von 65 — 105" g. Dist. I iniltir 0-1, 10 • 23 24-( 22 62- 213 223- 213- 196 207' 55 236 33' 18- 23' 229' 51 92 278 125 124 123 110-5* Lutetia . . ,| Massalia . . Metis • • • ) Pallas . . . Parthenope . Phocaea . . Polyhymnia . | Proserpina . Psvche . . . Tljalia . . . Thetis . . . 2-54 2-60 2-61 190-0* 218-5 30 25 208 18-0 213 250* 30 242* 176 0 27 29-0 240-0 201-5* 314 314 230 342-0 -0-08 -0-30 -0 - 24 Anmerkungen 2-54 —0-27 2-90 + 0-23 2-55 + 0-11 2-59 —0-02 2-58 + 0-15 2-44 +0-33 2-50 + 0-19 2-40 + 0-10 2-70 -0-17 2-53 —0-12 2-61 — 0-37 2-58 -0-25 2-62 —0-10 2-44 + 0-06 2-33 + 0.14 2-68 —0-16 2-65 — 0-06 2-55 —0-15 2-13 — 0-05 2-50 + 0-03 3-00 + 0-26 3-26 -0-06 2-78 0-00 2-83 —0-13 3-26 + 0-15 2-15 —0-07 2-52 + 0-07 2-70 + 0-01 2-10 —0 - 09 2-67 + 0-03 2-27 +0-06 2-26 —0-11 2-12 0-00 2-08 — 0-U2 2-68 —0 • 02 2-42 + 0-06 2-58 —0-02 2-64 —0-10 2-67 + 0-07 2-37 — 0- K» Von 1311 — 322» g, IJist. unter 0.1. Von 215 — 270» g. Dist. I unter Ol. Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 39 Anmerkungen Anmerkunoren Ampbitrite Bellona Calliope ; Ceres . . Daphne Fortuna Harmonia Irene . . Iris . . . Laetitia Le.la . . Le'ieothea Massalia . Fides. 16U * 349« U4 258 284 355 184*? 121*? 112 220 344 ■ 0* 106 265 149-0 10* ' -2-58 +0-08 2-47 —0-02 2-41 +0-05 3-10 —0-16 2-92 —0-19 2-42 + 0-02 2-77 —0-04 2-31 +0-10 2-30 +0-14 2-97 -0-13 2-50 —0-05 2 ■•28 +0-10 3-06 -0-20 ' 2-48 +0-12 2-35 0-00 iVon 120 — 180» g. I>isl. [ unter Ol. |Von 325 — 15° g. l'ist. ! unter Ol. (Von 90 — 140» g. Dist. ( unter Ol. (Von 335— -lö" g. Dist- ( unter 0-1. Melpomene Parthenope Phoeaea . Polyhvmnia Proserpina Psyche . Thalia . Themis . Thetis . Urania . Vesta Victoria Flora. Astraca . . ) ( 114 230-5* 2-10 2- 50 —0-05 -t-0-22 Bellona . . 172*? 2-44 +0-20 Ceres . . . 210 2-56 +0-31 Circe . . . 224 2-54 +0-21 Egeria . . . •203-0* 2-52 +0-26 Euterpe . . 90 1-96 -0-04 Harmonia . ■, 159* 295 2-35 2-20 +0-17 —0-03 Hebe . . . 332 1-98 -0-13 Irene . . . 252 2-40 -rO-12 Iris .... 94-5* 2-00 -0-05 Isis .... ■205 -0 2-50 -rO-30 Leucothea 160 2-38 +0-14 (Von 133— ISO» g. Dlst. i unter Ol. Lutetia . . Jlassalia . Melpomene Metis . . Parthenope Polrhymnia Pomona Thalia . . Thetis . . Vesta . . Fortuna. Araphitrite . 180 2-70 0-00 Astraea . . 90-0 218 -0-12 Atalante . . 0 2-06 0-00 Bellona 126 2-37 — O-II Ceres . . . 248 2-74 +0-07 Circe . . . 136 2-44 —0-13 Euterpe . . \ 38* 249* 2-05 2-71 —0-03 +0-04 Fides . . . 184*? 2-77 —0-04 Harmonia 75 2-18 -0-05 Irene . . . 270 2-55 -i-0-02 Iris .... 282 2-51 -rO-08 Juno . . . ■. 0 161-0*? 213 2-66 —0-03' — o-osj Leda . . . 1-20 2-35 — O-Oöl (Von 17 — So" g. [ unter 0-1. Massalia . Melpomene Metis . . Parthenope Phoeaea . Polyhymnia Pomona Thalia . . Themis . . Thetis . Urania . . Harmonia. Astraea . . 206* 2-33 -rO-18 -Atalante . . 341* 217 —0-15 Bellona . . 158 2-37 l-rO-12 Euterpe Fides 152° 2-56 T-0 04 160 2-62 -rO-08 .32-0* 2-22 -rO-06 * 43-0 2 --20 +0-06 ■ / 221-0 3-02 —0-08 \ 151 2-54 +0-12 ■ / 320 2-65 -0-14 340 2-55 —005 \ 77 2-15 +O^Off 1 267* 3-03 —0-17 200* 2-91 0-00 149-0* 2-51 +0^09 67 2-15 +0-09 135 2-42 +0-12 35 2-23 +0-09 318* 105* 12 180*? 215 292 3-23 •256-0* 218-5* 170*? -295-0 155 -288 65* 255 140-0* 57* 248 316 25 26-0* 230 270 69 241-0* 190 310 0 143 30 202 121*? 2-11 2-69 2-50 2-09 2-69 2-24 2-10 2-05 2-82 2-53 2-15 2-75 2-87 2-27 2-09 2-49 (Von 180—220» g. I unter Ol. 2-04 —0-07 2-07 —0-03 1-82 —0-19 2-45 +0-22 2-49 +0--22 2-20 -t-0-02 2-46 —0-07 2-42 +0-13 2-51 +0-24 2-41 +0-18 2-18 +0-02 2-33 +0-19 2-21 0-00 ( Von 290— 310» g. Dist. ( unter Ol. (Von 87-135» g. Dist. ( unter Ol. Von 45 unter 0-1 — 0-03'f +0-04| -0-08 -0-03 |1 unter Ol. +0-02 +0-01 + 0-02 0-00 —0-02 +0-11 —0-02 + 0-03 —0-02 +0-02 -rO-04 —0-05 85» g. Dist. ! 2-12 —0-10 , 2-40 -0-12 ' 2-31 — o-io; [Von 90 — 140» g. I'iät. ; unter «1. 40 Karl V. Littrow. Flora . Fortuna Irene Isis . . Juno Leda Leucothea Lutetia . Massalia Metis Atalante Bellona Circe Eunomia Flora . Isis . . Juno Lutetia Amphitrite Astraea Bellona Ceres . . Iris . . . Amphitrite Ceres . . Circe . . Eunomia . Euphrosyne Fides . . Flora . . Fortuna . Harmonia Iris . . . Isis . . . Leda . . Lutetia 295 75 108 246 45 232 9 109 160 27 256 57 23* 165 2-35 2-20 2-18 2-33 2-31 2-21 2-28 2-13 2-30 2-37 2-18 2* 27 2-16 2-15 2-35 + 0-17 —0-03 —0-05 + 0-08 + 0-11 —0-16 -t-0-15 —0-13 + 0-05 -I-0-15 —0-12 + 0-03 —0-06 —0-15 -t-0-20 Anmerliuns-en 159 2-80 +0-30 111-0 2-35 -0-26 118-0* 2-42 —0-21 127 2-56 —0-12 332 1-98 —0-13 \ 168 2-77 + 0-42 ■ ■{ 352-5* 1-92 —0-29 65 1-97 —0-46 \ 155 2-78 + 0-14 ■ ■ 1 328-0* 2-03 -0-10 217 2-76 —0-18 308-0* 3-06 -t-0-03 320 3-15 -rO-07 267-5 2-87 —0-07 \ 203 2-85 —0-21 ■l 248 2-83 —0-08 (Von 135— ISO" g. Dist. i unter 0-1. (Von 0 — 55» g. Dist. ( unter 0-1. ( 112 2-37 + 0-21 ■\ 293 2-65 -0-22 ) 55* 2-77 -0-23 ' ) 338 2-93 —0-48 64 2-66 -0-19 \ 100-0* 2-41 +0-10 ■ 1 285 - 0 2-62 —0-13 16-5 2 • 92 —0-43 112 2-30 -rO-14 252 2-40 i-0-12 270 2-55 +0-02 ) 108 2-33 +0-08 ■ \ 246 2-31 + 0-11 275 2-58 0-00 \ 78-5* 2-58 -0-05 ■ \ 231-5* 2-24 + 0-19 104 2-35 + 0-08 \ 83-0* 2-55 —0-02 ■ / 248 2-33 -rO-07 Pallas . . Partlienope Phocaea . Polyhymnia Pomona Proserpina Tlialia . . TliCtis . . Urania . . Vesta . . Hebe. Partlienope Polyhymnia Pomona . Proserpina Tliemis Thetis . . Hygiea. ; Von 295—320» g. Dist. [ unter O'l. Laetitia Leda . . Pallas . . Polyhymnia Psyche . . Thalia . . Irene. Metis Von 318—80» ; unter 0-1. Dist. liegen beinahe in der- selben Ebene. Parthenope Phocaea Pomona Proserpina Psyche . Thalia . Thetis . Urania . Vesta Victoria 188 250 33 275 233 187 62 211 178' 319 108' 310 145 297 145-0* 314 335 122-0* 146 146 139 309 149 308-5* 343 233 136 254 132 286-0* 77 244 - 0* 224 69 240 275 67-0* 173 347 57-0* 222 270 77 212* 72-5 2-35 2-29 2-20 2-22 2 2 2 2 2 2 2-29 2-23 2-36 2-20 35 41 21 38 36 22 +0-21 + 0-10 —0-08 —0-04 + 0-09 + 0-11 —0-05 -t-0-20 + 0-16 -0-08 + 0-04 —0-05 + 0-17 —0-06 Anmerliungen 2-68 -t-0-07 2-15 0-00 1-95 —0-07 2-48 —0-20 2-64 + 0-12 2-74 -0-07 2-60 + 0-03 2-19 -rO-04 (Von 160—2000 g. lUst. ( unter O'l. [Von 75—1350 g. Dist. ! unter 0-1 . t Von 270 — 32ö" g. Dist. ( unter Ol. [Von 135—1600 g. Dist. I unter Ol. 3-00 -0-11 3-05 -1-0-07 3-20 + 0-20 2-81 —0-12 3-10 —0-07 2-87 -0-08 »Von 297—3170 g. Dist. ( unter Ol. 2-21 + 0-21 2-61 —0-15 2-57 —0-12 2-32 +0-16 2-17 + 0-19 2-67 —0-12 2-35 -rO-13 2-50 -0-09 2-67 —0-15 2-10 -+-0-35 2-96 —0-49 2-75 —0 - 22 2-19 +0-22 2-48 —0-05 2-59 -0-12 2-15 + 0-27 2-61 —0-11 ;Von 100—230» s;, Dist. I unter Ol. Phjsische Zusammenhiinfte der Planeten etc. 41 Anmerkungen Anmerkungen Astraea Atalante Bellona Ceres Circe Daphne Euterpe Euphrosyne Flora. . . Fortuna . . Hygiea . . iu°-o* 2-10 —0-05 14-0 1-91 +0-17 133 2-30 —0-14 257-5*''' 2-79 0-00 UO 2-36 —0-18 148-0 2-37 —0-25 1 84-0* 1-93 0-00 •l 202-0* 2-74 0-00 220 2-97 -0-13 94-5* 2-00 -0-05 282 2-51 +0-08 i 203 2-85 —0-21 ■\ 248 2-83 —0-08 Astraea . . . J 58-0 215-5 2-38 2-39 — 0-18 +0-24 Atalante . . 156 2-81 +0-38 Bellona . . . 191 2-57 +0-32 Ceres. ■ ■ • 1 86-0* 196-0 2-65 2-55 +0-03 +0-37 Egeria . . . 201-0* 2-50 + 0-33 Flora. . . . 205 - 0 2-50 +0-30 Hannonia . . 45 232 2-21 2-28 —0-16 +0-15 Mok*i 108 2-77 +0-42 352 • 5* 1-92 —0-29 78-5* 2-58 -0-05 231-5* 2-24 + 0-19 Iris. (Von 65 — 106" g. Dist. I unter Ol. Irene .... 275° 2-58 0-00 Juno .... 147 2-44 —0-23 Leda .... 155 2-45 —0-20 j 107 2-06 -0-07 Massalia . . l 263-5* 2-73 + 0-02 Metis. . . . 262 2-70 -0-03 Phocaea . . 6 1-90 + 0-22 Polyhymnia . 227 2-92 -0-21 147 2-40 —0-20 Pomona . . 282-0 2-53 +0-13 Thalia . . . 248 2-85 -0-03 .r. . j 169 2-60 —0-27 Victona . . < 354 1-95 +0-22 Isis. iliegeu beinahe iu dcrsel- \ ben Ebene. Juno . . . 24 2-05 —0-24 Lutetia . . . 75 2-54 —0-02 Parthenope . ) 61 217 2-42 2-41 -0-16 +0-22 Polyhymnia . 80 2-65 +0-04 Proserpina . 101-0* 2-78 +0-13 Thalia . . . ( 51 2-32 —0-15 j 211-0 2-42 +0-27 Themis . . . 98 2-80 +0-07 Thetis . . . 257 2-12 +0-08 Vesta • ■ • 1 76-5 247 2-56 2-13 —0-09 +0-13 Victoria . . 68 2-52 —0-10 Juno. Calliope . . 207 3-13 + 0-48 Daphne . . | 141 336 2-40 2-31 -0-32 + 0-16 Euphrosyne . 197* 3-10 +0-37 Euterpe. . . 8-4 2-16 —0-07 Fortuna . . l 0 161-0*? 2-13 2-66 -0-03 —0-08 Harmonia . . 9 2-13 —0-13 Hebe. . . . 65 1-97 —0-46 Iris .... 147 2-44 —0-23 Isis .... 24 2-05 —0-24 Laetitia . . | 187* 330 3-00 2-46 + 0-22 + 0-10 Leda . . . 145 2-45 —0-22 Lutetia . . . 7-0* 2-11 —0-12 Melpomene . 55 1-90 -0-36 Pomona . . 145 2-42 —0-22 Themis . . . 173-0* 2-82 0-00 Laetitia. Amphitrite Astraea Atalante . Bellona . . Calliope . Daphne . . Egeria . . Euphrosine Fides . . 343-0* 2-49 —0-05 30 2-56 —0-30 169-0* 3-15 + 0-13 j 51-0* 2-55 —0-42 1 236-0*? 2-84 + 0-48 ) 32-5 2-55 —0-35 i 205 3-02 + 0-41 352 2-44 — 0-05 22 2-54 —0-27 190-0* 3-00 + 0-26 344-0* 2-50 —0-05 Hygiea . . . 149 3-00 —0-11 Juno . . . . ) 187* 330 3-00 2-46 +0-22 + 0-10 Massalia . . 352 2-48 -0-U Phocaea . . 62-0* 2-57 —0-46 Pomona . . 304 2-60 +0-23 Psyche . . . 330 2-56 0-00 Thalia . . . 27-0 2-52 —0-30 Thetis . . . 3-6* 2-48 —0-19 Vesta . . . 15 2-46 —0-28 Victoria . . 112-5* 2-80 -0-35 Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XVI. Bd. 42 Karl V. Littrow. Anmerkune-en Anmerkuiigfii Ampliitrite Astraea . Bellona . CaUioi)e Circe . . Daphne Egeria - Eunomia Fides. . Fortuna Amphitrite Astraea . Ceres. . Circe . . Daphne Egeria . Euterpe Eitles . Leda. 61"* 306* 134-0* 262-0 144-0* 324-5* 151 62-0 92 106 265 120 2-36 +0-23 3-05 + 0-03 2-35 —0-08 3-11 —0-22 2-38 —0-14 2-96 + 0-17 2-35 —0-20 2-90 +0-23 2-33 + 0-14 2-28 + 0-10 3-06 -0-20 2-35 —0-05 (Von 40 — 82» g. Dist. ( unter O'l. (Von 297—315" g. Dist. ( unter ni. Harmoni.1 Hygiea . Irene . . Iris . . Juno . . Melpomene Pomona Tlialia . . Urania . . Victoria 109° 2.30 +0-05 308-5* 3-05 + 0-07 104 2-35 +0-08 155 2-45 -0-20 145 2-45 -0-22 133 2-40 —0-12 \ 150-0* 2-40 —0-16 ■\ 350-0 2-78 +0-24 267 3-06 —0-18 116-0* 2-32 + 0-01 175 2-54 —0-31 Leucothea. Amphitrite . ) 146 277 2-50 2-66 +0-17 —0-32 Bellona . . 161-0* 2-41 + 0-10 Calliope . . 111 2-70 + 0-41 Ceres . . . ) 129 300-0* 2-56 2-92 + 0-32 —0-35 Circe . . . 180 2-37 —0-01 Euterpe . . 187-0* 2-32 + 0-06 Fides . 149-0 2-48 +0-12 Flora . . . 160 2-38 + 0-14 Harmonia Massalia Pallas . Phocaea Poraona Proserpina Themis Thetis Urania . Victoria Lutetia. Atalante . . 355-0*? Calliope . . 75 Ceres . . ■ 90 Circe .... 213-0* Egeria . • ■ 213 ) 18-0 Euterpe . . \ 213 Flora. . . . 318* Harmonia . < 27 256 Hebe. • • • 1 155 328-0* Irene. • - - j 83-0* 248 Isis .... 75 Juno .... 7-0* 2-07 — Ü-12 2-55 + 0-05 2-61 + 0-06 2-51 + 0-12 2-55 +0-11 2-15 —0-07 2-52 + 0-07 2-04 —0-07 2-18 —0-12 2-27 + 0-03 2-78 +0-14 2-03 -0-10 2-55 -0-02 2 - 33 i-0-07 2-54 —0-02 2-11 —0-12 (Von 290—3400 ( unter 0-1. Massalia . Melpomene Metis. . . Parthenope Phocaea Polyhymnia Pomona Proserpina Thalia . . Themis . . Vesta . . . Victoria . . Massalia. 0 125* 256 195 0-0 165 223-5* 250* 10 2-43 4-0-01 2-10 —0-05 2-75 + 0-01 2-41 +0-05 2-44 0-00 2-22 —0-05 2-59 —0-02 2-70 + 0-01 2-35 0-00 Von 95-105» g. Dist. unter 0*1. Von 130-322» g, Dist. ! unter 0*1. Flora Fortuna Harmonia Iris . . Laetitia Leucothea 160 184-0* 175 206-5* 191-5* 138 348 155 158 204 33-0 214-0 174 20 205 135 200 35 287 235-8* 112 232 50 120 97 280 105* 65* 255 57 107 203-5* 352 1S4-(I* Von 297—317» g. Dist. unter 0-1. 2-37 + 0-15 2-33 0-00 2-32 + 0-07 2-32 —0-13 2-32 —0-08 2-60 +0-20 3-45 —0-04 2-46 + 0-11 2-46 0-00 2-31 -0-17 iVon 9[>— 145" %. \ unter Ol. 2-22 —0 - 04 2-50 + 0 06 2-74 + 0-08 2-16 —0-08 2-56 +0-14 2-75 +0-07 2-56 + 0-14 2-26 —0-04 2-11 —0 - 03 2-37 +0-03 2-73 +0-12 2-40 + 0-02 2-33 —0-09 2-78 + 0-08 2-60 0-00 2-15 —0-01 2-40 —0-02 2-07 -0-03 2-11 —0-03 2-69 + 0-04 2-16 —0-06 2-06 —0-07 2-73 +0-02 2-48 -0-11 2-33 0-00 Von 87—135" g. unter O'l- ,Yon 45 — So» ^. 1 unter 0-1. Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 43 Anmerkiingen Anmerkungen Lutetia . . Metis . . Pallas . . Pliocaea . Polyhymnia 33-0 214-0 68-0* 250* 174* 32-0* 42 242 2 -22 2-50 2-09 2-68 2-27 2 -22 2-18 2-65 — 0 +0 — 0 +0 0 0 + 0 — 0 •04 •06 -Ol -Ol -00 -00 -02 ■04 (Von 40 — 90» g. Dist. ( unter 0-1. (Von 220—265" g. Dist. i unter 0-3 . Pomona Proserpina Psyche . Thalia . Urania . Victoria 195" 201 325-0* 72 239 70 39 2-35 2-42 2-62 2-12 2-68 2-10 2-25 —0-04 +0-03 + 0-01 0-00 +0-04 + 0-02 +0-05 (Von ■285—355» g. ( unter 0-1. Dist. Melpomene. Amphitrite . 160-0 2-61 +0-08 BeUona • • • | 124-0*? 217-0 2-34 2-69 —0-17 +0-42 Ceres . . . 215 2-66 + 0-39 Circe .... 128-5* 2-39 —0-17 Fides. . . . 152 2-56 +0-04 Flora. . . . 12 1-82 —0-19 Fortuna . . 140-0* 2-50 —0-08 Juno . . . Leda . . . Lutetia . . Parthenope Polyhymnia Pomona Urania . . 55 1-90 -0-36 133 2-40 —0-12 174 2-74 +0-08 160-8 2-66 +0-11 335-5* 1-89 -0-03 130 2-43 -0-18 140 2-46 —0-06 Metis. Amphitrite Beliona . . Ceres . . Circe . . . Egeria . . Eunomia . Euterpe Flora . . Fortuna . . Harmonia . Irene . . . Iris . . . 307 180 250 215-5 213-0 278 30 242* 180*? 57* 248 23* 165 132 286-0* 262 2-55 —0-22 2-46 +0-21 2-71 + 0-05 2-56 + 0-14 2-58 +0-15 2-68 -0-16 2-10 —0-09 2-67 + 0-03 2-45 + 0-22 2-09 -0-03 2-69 + 0-02 2-15 —0-15 2-35 + 0-20 2-21 + 0-21 2-61 -0-15 2-70 -0-03 (Von 215—270» g. [ unt«r 0-1. (Von 33 — 85» g. i unter 0-1. (Von 0—55° g. ( unter 0-1. Dist. Lutetia . . Massalia . Parthenope Phocaea Polyhymnia Proserpina Thalia . . Thetis . . Urania . . Vesta . . . 20 205 68-0* 250* 197-5* 358 32 241 185 302-0* 80 234 173 73 159-0* 341-0* 16 56 09 68 53 25 ■17 '67 ■47 ■54 ■10 ■67 ■40 ■10 ■32 ■32 —0-08 +0-14 —0-01 + 0-01 + 0-19 —0-21 —0-09 -0-03 + 0-19 —0-18 + 0-05 + 0-08 +0-19 + 0-04 +0-22 —0-24 (Von 40 — 90» g. Dist. ( unter 0"1. (Von 220—265» g. Dist. * unter 0*1. BeUona . Calliope Ceres Circe . . Daphne Egeria . Euterpe 3-0* 12-5 7 355 166-0* 196 176 2-91 2-66 2-86 2-97 2-22 2-44 2-27 -0-28 —0-61 -0-45 +0-04 —0-20 +0-33 +0-06 Pallas. Harmonia . Hygiea . . Leuoothea Massalia . Thalia . . Thetis . . Vesta . . 188*? 343 175 174* 7 182-5* 172 2-35 3-20 2-32 2- 27 2-78 2-33 2-26 +0-21 + 0-20 + 0-07 0-00 —0-46 +0-20 + 0-25 Amphitrite Astraea . Atalante BeUona . Circe Egeria . Eunomia 164 2-61 + 0-09 \ 50-0*'' 2-43 —0-21 ■ • ( 218-0*? 2-41 + 0-20 337-5* 2-20 -0-09 . . 193 2-55 + 0-23 \ 72 2-55 —0-20 ■ • ( 212 2-47 + 0-16 207-0 2-50 + 0-19 125 2-65 —0-06 Parthenope. Euterpe. Fides . . Flora. . Fortuna Harmonia Hebe. . 0 160 215 292 316 250 145-0* 314 2-26 2-62 2-49 2-20 2-24 2-29 2-68 2-15 — O-Il +0-08 + 0-22 + 0-02 + 0-01 +0-10 +0-07 0-00 (Von 135—160» g. l unter 0-1. 44 Karl V. Littroio. Irene . . Isis . . . Lutetia . . Melpomene Metis . . . Phocaea . L r' 11" 2-57 244-0* 2-32 61 2-42 217 2-41 135 2-75 200 2-56 160-8 2-66 197-5* 2-53 358 2-25 47-5* 2-41 —0-12 +0-16 —0-16 +0-22 i-0-07 + 0-14 + 0-11 + 0-19 —0-21 —0-20 Anmerkungen Amphitrite . 36 2-33 + 0-11 Astraea . . . 50-0* •2-44 —0-23 Atalante . . 10-0* 1-97 + 0-11 Bellona . . . 59-0* 2-52 —0-40 Dapiine. . . ) 74 251 2-19 1-90 -0-63 + 0-45 Euterpe . . . 27 2-12 0-00 Fides. . . . 32-0* 2-22 +0-06 Fortuna . . 25 2-10 + 0-02 Harmonia . . 33 2-20 —0-08 Irene .... 224 2-17 +0-19 Iris .... 6 1-90 +0-22 Laetitia . . . 62-0* 2-57 —0-46 Leucothea 206-5* 2 • 32 —0-13 Poraona Thalia Themis Tlietis Urania Vesta Victoria Phocaea. 94" 245 41-5* 215 135 122-8* 303-8* 317-5 83-0* 282 76 2-59 2-36 2-39 2-45 2-75 2-65 — 0- + 0- — 0' + 0' + 0' — 0' 0' — 0' — 0 + 0' — 0' Anmerkungen «Von 105—135" g. Dist. ( unter 0*1. (Von 270—325" g. Dist. ( unter O'l. (Von 50—104» g. Dist. ( unter O'l. Lutetia . . . 35 2-26 —0-04 Massalia . . 32-0* 2-22 0-00 Metis. . . . 32 2-17 -0-09 Parthenope . 47-5* 2-41 —0-20 Polyhymnia . 10 1-96 + 0-04 Pomona . . 210 2-32 —0-03 Thalia . . . 44-0* 2-37 —0-17 Thetis . . . 226-5* 2-15 +0-19 Urania . . . 18 2-05 + 0-10 Vesta • • ■ 1 50 228-5* 2-50 2-12 -0-24 +0-22 Victoria . . \ 29-0* 197 2-19 2-37 +0-15 -0-20 Polyhymnia. Atalante Calliope Ceres. . . Egeria . . Euphrosyne Euterpe Fides . . Flora . . Fortuna Harmonia . Hebe . . . Hygiea . . 10-0 2-47 0-00 75-0* 2-61 +0-08 80 2-67 + 0-05 s 55 2-40 -t-0-10 ■\ 236 2-70 —0-17 218-5 3-26 —0-06 29-0 2-08 -0-02 240-0 2-68 —0-02 43-0 2-20 +0-06 221-0 3-02 -0-08 323 2-46 -0-07 \ 26 0* 2-05 0-00 ■\ 230 2-82 —0-02 275 o -22 —0-04 335 1-95 —0-07 233 2-81 —0-12 Bellona . . . 133 2-40 -0-14 Ceres. . . . 68-0* 2-71 —0-11 Circe .... 140 2-40 —0-17 Daphne. . . 153 2-35 —0-20 Eunomia . . 124 2-55 — 015 Euphrosine . 30 2-78 0-00 Flora .... 256-0* 2-42 + 0-13 Fortuna . . 270 2-53 +0-11 Harmonia . . 233 2-35 +0-09 Hebe. . . . 122-0* 2-48 —0-20 Iris . . . Isis . . . Lutetia . . Massalia Melpomene Metis . . Phocaea . Proserpina Themis . . Urania . . Vesta . . 227 2-92 -0-21 80 2-65 + 0-04 287 2-11 —0-03 s 42 2-18 + 0-02 ■\ 242 2-65 —0-04 335-5* 1-89 —0-03 241 2-67 -0-03 10 1-96 + 0-04 i 89-0* 2-83 + 0-10 •j 256-0* 2-42 —0-08 j 91-5 2-88 +0-07 •) 219-5 3-05 +0-07 i 26-7 2-06 +0-04 •j 247-0* 2-57 —0-08 279 2-17 -0-03 Pomona. Von 110—180» g. Dist. unter 0-1. Irene . . Iris . . Juno . . Laetitia Leda Leucothea Lutetia . . 69 2-67 —0-12 240 2-35 +0-13 147 2-40 -0-20 282-0 2-53 + 0-13 145 2-42 —0-22 304 2-60 + 0-23 150-0* 2-40 —0-16 350-0 2-78 +0-24 191-5* 2-32 —0-08 235-8* 2-37 + 0-03 Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 45 Anmerkungen Anmerkungen Massalia . Melpomene Parthenope Phocaea . 195" 130 94 245 210 2-35 2-43 2-59 2-36 2-32 —0-04 —0-18 —0-15 + 0-13 -0-03 Proserpina Psyche . . Vesta . . Victoria . ■) 35" 228 73-0 85 79-5*? 2-85 2-37 2-70 2-60 2-66 0-00 + 0-01 —0-13 — 0-13 —0-15 Proserpina. Amphitrite . ) 151 313* 2-55 2-57 +0-14 —0-17 Astraea . . . 0 2-82 —0-15 Bellona . . . 174 2-48 + 0-17 Circe. •■ • | 22-0* 195-0* 2-85 2-43 —0-08 + 0-07 Euphrosyne . 25 2-83 —0-13 Euterpe . . \ 201-5* 314 2-42 2-58 +0-06 —0-02 Fides ■ • ■ 151 320 2-54 2-65 + 0-12 —0-14 Harmonia . . 187 2-41 +0-11 Hebe. . . . 146 2-64 + 0-12 Irene .... 275 2-50 —0-09 Isis . . . Leucothea Lutetia . . Massalia . Metis . . Polyhymnia Pomona Themis . . Thetis . . Urania . . 101-0* 2-78 t-0-13 138 2-60 +0-20 \ 112 2-73 + 0-12 ■\ 232 2-40 + 0-02 201 2-42 +0-03 \ 185 2-47 + 0-19 ■ \ 302-0* 2-54 —0-18 i 89-0* 2-83 i-O-lO •( 256-0* 2-42 —0-08 ( 35 2-85 0-00 • ( 228 2-37 + 0-01 78 2-90 + 0-06 160 2-50 +0-13 273 2-45 —0-09 Psyche. Amphitrite . Astraea . . Calliope . . Ceres. . . . Circe .... Daphne . . . Egeria . . . Euphrosyne . 346-0 2-52 —0-02 37-0 2-55 —0-18 277-0 2-90 + 0-16 54-0* 2-61 —0-13 233-0* 3-17 + 0-17 68 2-69 —0-12 61 2-63 -0-18 10-0* 2-54 -0-08 33-0* 2-53 -0-12 208 3-26 +0-15 Euterpe . 314 2-64 —0-10 Fides. . 340 2-55 -0-05 Hygiea . 136 3-10 —0-07 Irene . . 67-0* 2-67 —0-15 Laetitia 330 2-56 0-00 Massalia 325-0* 2-62 +0-01 Pomona 73-0 2-70 —0-13 Thetis . 90-0* 2-76 -0-15 Vesta 62 2-60 -0-17 Victoria 75 2-65 —0-13 iVon 285—355» g. ( unter 0-1. (Von 65—100» ( unter U"I. Dist. Dist. Astraea ■ • • | 36 214 2-50 2-41 —0-23 +0-22 Calliope . . 270 3-08 —0-25 Ceres. . . . < 238 342 2-72 2-97 + 0-13 —0-53 Circe .... 224-5* 2-56 + 0-18 Egeria . . . 18-0 2-61 —0-37 Euterpe . . 236 2-67 +0-07 Fides • - - 1 77 267* 2-15 3-03 +0-09 -0-17 Flora . . . 218-5* 2-51 + 0-24 Fortuna . . l 69 241-0* 2-15 2-75 — 0-02 + 0-03 Harmonia . . < 62 211 2-21 2-38 —0-05 + 0-20 Hygiea . . . 254 2-87 —0-08 Irene . . . . { 173 347 2-10 2-96 + 0-35 —0-49 Iris .... 248 2-85 -0-03 Thalia. Isis Laetitia. . Leda . . . Lutetia . . Massalia . Metis . . . Pallas . . Parthenope Phooaea . Thetis . . Urania . . Vesta . . i 51 2-32 —0-15 ■\ 211-0 2-42 +0-27 27-0 2-52 —0-30 267 3-06 -0-18 50 2-33 —0-09 \ 72 2-12 000 ■ \ 239 2-68 +0-04 80 2-10 +0-05 234 2-67 + 0-08 7 2-78 —0-46 41-5* 2-39 —0-18 215 2-45 + 0-21 44-0* 2-37 —0-17 \ 25 2-57 —0-27 ■\ 196 2-27 + 0-25 75-0* 2-12 +0-06 \ 32 5 2-47 —0-29 ■\ 187-5* 2-20 + 0-28 46 Karl V. Littrow. Anmerkungen Anmerkungen Amphitrite Astraea . Bellona . Callioiie Ceres . . Circe . . Daphne . Egeria . Eunoniiii Euterpe . Fides . Flora. . Fortuna Harmonia Hebe. . Amphitrite Atalante . Bellona . . Egeria . . Fides . . . Fortuna Harmonia . Irene . . . Leda . . . Leucotliea Massalia . Themis. Calliope . . 246° 3-19 —0-01 Fides . . . 200* 2-91 0-00 Fortuna . . 190 2-87 —0-02 Hebe . . . 146 2-74 +0-07 Isis .... 98 2-80 + 0-07 Juno .... 173-0* 2-82 0-00 Leucothea 3i8 3-4Ö —0-04 I Von 180—220« g. Dist. ! unter Ol. Lutetia Parthenope Polyhymnia Proserpina Thetis . . Thetis. \ 149*? o 52 + 0 12 ■ ) 345 2 44 — 0 12 \ 28-0* 2 63 — 0 23 ■] 200-0*? 2 27 +0 20 166 0* 2 42 +0 14 37 2 63 — 0 28 55 2 75 — 0 23 54 2 70 — 0 21 24-0* 2 61 — 0 24 23-0* 2 58 — 0 25 123 2 13 — 0 05 342 - 0 2 37 — 0 10 149-0* 2 51 + 0 09 \ 170*? 2 41 + 0 18 ■\ 295-0 2 18 + 0 02 310 2 27 + 0 02 \ 178-0* 2 36 +0 16 ■\ 319 2 22 — 0 08 \ 139 2 60 + 0 03 •l 309 2 19 +0 04 iVon 160—200" g. Dist. t unter 0-1. Irene . . Isis . . Laetitia. Leucothea Metis Pallas . Parthenope Phocaea Proserpina Psyche . Thalia . Themis . Urania . Vesta Victoria Urania. 194 2-65 —0-10 0 2-06 +0-03 144-0 2-45 0 00 229-5* 2-62 —0-10 67 2-15 + 0-09 0 2-09 +0-04 143 2-49 —0-05 108-0* 2-29 +0-04 310 2-23 —0-05 180 2-48 —0-05 116-0* 2-32 + 0-01 158 2-46 0-00 70 2-10 -t-0-02 (Von 75—1360 g. Dist. t unter O'l. Von 05-145» g. Dist. 1 unter 0-1. Melpomene Metis . . . Parthenope Phoeaea . Polyhymnia Proserpina Thalia . . Thetis . . "Vesta . . Victoria Vesta. Amphitrite . 133 2-45 + 0-17 Astraea ..." 44 194 2-50 2-22 —0-25 + 0-23 Atalante . . 332 2-26 -0-21 Calliope . . 46 2-56 -0-24 Circe . . . 68 2-58 —0-21 Eunomia . . 110-5* 2-50 -t-0-03 Fides . . . 135 2-42 4-0-12 Flora . . Harmonia Irene . . . Isis . . . 120 135 91-5 219-5 78 107 57-0* 222 257 3-5* 155 173 182-5* 122-8* 303-8* 226-5* 160 90-0* 25 196 107 145 313-0* 238* 90 140 73 317-5 18 26-7 247-0* 273 75-0* 145 313-0* 305 23 155 288 145 297-0* 77 212* 76-5 247 2-78 +0-08 2-75 +0-03 2-88 +0-07 3-05 + 0-07 2-90 +0-06 2-78 —0-04 2-75 —0 ■ 22 2-19 +0-22 2-12 +0-08 2-48 —0-19 2-46 +0-11 2-40 + 0-19 2-33 +0-20 2-65 —0-01 2-20 0-00 2-15 +0-19 2-50 + 0-13 2-76 -0-15 2-57 —0-27 2-27 + 0-25 2-78 -0-04 2-50 +0-05 2-25 0-00 2-13 +0-18 2-75 —0-20 (Von 105—135" g. \ unter 0-1. ( Von 270—325" g- t unter 0-1. Dist. [Von 65—100» g. Disl. t unter 0-1. Von 203—293» g- unter 0-1, 2-46 -0-06 2-10 + 0-04 2-21 —0-02 2-05 + 0-10 2-06 +0-04 2-57 —0-08 2-45 —0-09 2-12 + 0-06 2-50 +0-05 2-25 0-00 2-26 -0-05 2-10 + 0-12 2-33 +0-19 2*21 0-00 2-36 + 0-17 2-20 -0-06 2-59 -0-12 2-15 +0-27 2-56 -0-09 2-13 +0-13 , Von 27Ü— 3-26» g. Dist. 1 unter 0-1. I Von 100—2300 I unter 0-1. Physische Zusammenküyifte der Planeten etc. 47 Anmerkungen Anmerkungen Laetitia Lutetia . . Metis . . Pallas . . Parthenope Phocaea . 97 280 159'0* 341-0* 172 83-0* 282 50 228 ■ 5* 2-46 2-GO 2-15 2-32 2-32 2-26 2-55 2-20 2 50 2-12 —0-28 0-00 —0-01 +0-22 —0-24 4-0-25 —0-12 +0-04 —0-24 + 0-22 (Von 50—104" f unter Ol. Polyhymni; Pomona Psyche . Thalia . Thetis . Urania . Victoria 279" 85 02 32-5 187-5* 238* 305 74 217 2-60 2-60 2-47 2-20 2 13 2-26 2-56 —0-03 —0-13 —0-17 -0-29 + 0-28 +0-18 —0-05 —0-15 (Von 203— 293« g. Dist. X unter 0-1. Victoria. Amphitrite . 38 2-34 +0-14 Atalante . . 11 2-01 +0-12 Calliope . . 6G 2-57 -0-04 Ceres . . . 76 2-65 -0-08 Circe . . . 77 2-60 -0-20 Egeria . . . 51 2-44 +0-06 Fides . . . 35 2-23 +0-09 Irene .... 72-5 2-61 —0-11 Iris . . . . j 169 354 2-60 1-95 -0-27 +0-22 Isis .... 68 2-52 —0-10 Laetitia . . 112-5* 2-80 -0-35 175 2-54 —0-31 204 2-31 —0-17 55 2-40 —0-02 39 2-25 + 0-05 76 2-57 —0-15 j 29-0* 2-19 +0-15 j 197 2-37 -0-20 79-5*'' 2-66 —0-15 75 2-65 —0-13 90 2-75 -0-20 2-10 +0-12 74 2-56 —0-15 Leda . . . Leucothea Lutetia . . Massalia . Parthenope Phocaea Pomona Psyche . Thetis . Urania Yesta . Es haben sich somit zwischen den hier betrachteten 42 Asteroiden 549 Bahnuähen unter 0-1 gegenseitiger Entfernung, und darunter 157 Proximitäten von besonderer Enge ergeben. Die grosse Anzahl von Bahnnähen überhaupt, etwa zwei Drittheile der 861 Paare, welche im Ganzen durchzusehen waren, darf bei dem weiten Sinne, den man dem Worte „Bahnnähe" hier gegeben hat, nicht überraschen; diese Anzahl steigt eben ziemlich im Verhältnisse der Zunahme von Combinationen zu zwei. Weit weniger natürlich ist die Anzahl 157 der engen Proximitäten. Lässt sich gleich diese Zahl mit der früher für 23 Asteroiden gefundenen (25) nicht unmittelbar vergleichen, da man absichtlich die Grenzen für diese eigentlichen Bahn- nähen hier etwas weiter als dort steckte, und überdies oben alle zweifelhaften Fälle mitgezählt wurden , so muss doch die Häufigkeit solcher Näherungen unsere Aufmerksamkeit erregen. Einzelne Combinationen zeigen überdies sehr auffallende Verhältnisse. In mehr als 80 Fällen liegen beide Bahnen an sich so völlig verschieden, dass man nichts weniger als eine bedeu- tende gegenseitige Annäherung vermutheu möchte, während sie plötzlich in einem gewissen Punkte, ja oft au zwei Stelleu sich beinahe durchkreuzen. Als Beispiele letzterer Art führe ich au: Calliope-Psyche , Circe-Leda, Daphne-Phocaea, Euterpe-Iris , Euterpe-Lutetia , Irene-Isis etc. Doppelte Näherungen, an sich eiue höchst auffallende Erscheinung, ereignen sich überhaupt in 109 Fällen. Eben so merkwürdig sind die oft vorkommenden grossen Spielräume, in denen Bahnen einander nahe bleiben. Das beachtenswertheste Beispiel in dieser Hinsicht bieten Euterpe und Massalia, indem ihre Bahnen durch nicht weniger als 1 9 2° der Länge in gegenseitigen Distanzen unter 0*1 stehen. In ähnlicher Weise merkwürdig- sind die Combinationen: Ceres- Irene und Thetis- Vesta, bei welchen jene Spielräume beziehungsweise 122° und 90" umfassen. Mit dem hier vorliegenden Material lässt sich eine weitere Frage von Interesse, nämlich : ob irgend besondere Anhäufungen von Balmnäheu an gewissen Punkten des Weltsystemes 48 Karl v. Littroio. stattfinden, leicht beantworten. Um in dieser Beziehung einen Überblick zu gewinnen, Hess ich sämmtliche Bahnnähen nach ihren Längen, projicirten Radien Vectoren und Lothen auf ein Blatt zeichnen, wie aus Tafel II ersichtlich. Die Lothe sind von den Leitstrahlen getrennt und mit ihren Fusspunkten alle auf einen um die Sonne als Centrum gezogenen Kreis gestellt, dann aber um eine auf den betreifenden Radius senkrechte in der Ekliptik liegende Axe gedreht, bis sie in diese letztere Ebene fallen. Wo mehrere Bahnnähen in derselben Richtung liegen, sind die Endpunkte des projicirten Radius jeder einzelnen Proximität durch kleine Quei'striche am Radius kenntlich gemacht. Besonders enge, oben durch ein * ausgezeichnete Bahnnähen sind hier durch ein Ringelchen hervorgehoben. Die am Rande beigesehriebenen Namen bezeichnen die verschiedenen Combinationen. Man sieht so alle drei Dimensionen eines Raumes, in dem sich bestimmte Bahnnähen befinden, hinreichend deutlich hervortreten. Ein Überblick dieser Zusammenstellung lehrt, dass hier keine besondere Anordnung sich geltend macht, und man im Gegentheile zu der Annahme berechtigt ist, dass bei zunehmender Zahl von Asteroiden die jetzt sclion nahezu vorhandene Gleichförmigkeit der Vertheilung , sich immer mehr einstellen werde. Es schien mir nicht noth wendig, die oben mitgetheilten Ergebnisse der Durchsicht aller Zeichnungen durch Rechnung zu comprobiren; denn einmal hatten sich in meiner früheren Arbeit die auf diesem Wege erhaltenen Resultate beinahe durchaus in der Rechnung bestätigt, und überdies hat die Sache nun noch sehr an Sicherheit dadurch gewonnen , dass beide Projectionen jeder Bahn auf eine Bause gezeichnet waren, während früher die Eklijitik- projectionen sämmtlicher Bahnen auf dem Reissbrette beisammen standen , somit Verwechs- lungen der mannigfaltig verworrenen Linien weit leichter sieh ereignen konnten. In der That sieht man aus dem durch Taf. I dargestellten Beispiele, wie klar die ganze Arbeit sich gestaltet; durch das längere Verweilen bei jeder Combination und das Betrachten derselben in ver- schiedener Beziehung ergaben sich überdies von selbst beständig Controlen, was alles einen Irrthum beinahe unmöglich macht. Da es aber doch in einzelnen Fällen wünschenswerth sein kann, sich von dem Bestehen überhaupt oder von den näheren Modalitäten einer Bahnuähe in anderer Weise zu überzeugen, so werde ich hier die Wege anzeigen, welche man meiner Meinung nach in der Rechnung einzuschlagen hätte. Ich gehe dabei von der Voraussetzung aus, dass, wie ich in meiner ersten Abhandlung über diesen Gegenstand gezeigt, der directe Weg als viel zu weitläufig geradezu aufzugeben sei, und man nur daran denken könne, mit Benutzung der auf graphischem Wege erzielten Resultate sich der Wahrheit stufenweise immer mehr zu nähern. Der Übersicht wegen werde ich zuerst die wenigen Ausdrücke wiederholen, welche ich zu ähnlichem Zwecke in meiner ersten Abhandlung bereits gegeben habe, und dann zu den Mitteln übergehen, die eigentliche kürzeste Distanz beider Bahnen zu bestimmen. Wollte man sich mit einer roheren Approximation begnügen , so könnte man entweder die Distanz in. der gemeinscliaftlichen Knotenlinie beider Bahnen oder im Breitenkreise der Bahnnähe suchen. Der erste Weg hat nur dann Statt, wenn der durch die Zeichnung gefun- dene beiläufige Ort der Bahnnähe von der gemeinsamen Knotenlinie nicht zu sehr absteht, und erlaubt keine weitere Näherung. Der zweite Weg ist immer anwendbar , und hat den grossen Vortheil, durch Variiren der Länge des Breitenkreises mittelst Interpolation fernere Approximation an das wirkliche Minimum der Distanz zu gestatten. Schlägt man den ersten Weg ein, so hat man nach dem Obigen zuerst von der Statt- haftigkeit desselben sich zu überzeugen. Nennt mau TJ das Argument der Breite, welches Physische Zusammenkünfte de?- Planeten etc. 49 dem Durchschnittspuiikte beider Bahnen in einer derselben zukommt, n k Neigung und Länge des Knotens dieser letzteren . so wie n, k, dieselben Grössen für die zweite Bahn, so hat man zuerst U aus tg q ■--^- tgcr = Colg 11, Cos [k, — k) , , . Kj (k, — k) Cos g I ' \ ) Cos [n — q) und dann mittelst tg{l — k) = tg UCosu " (2) die Länge l des gemeinschaftlichen Knotens beider Bahnen. Ist diese Grösse von der oben für dieselbe Combination angegebenen Länge L der Bahnnähe sehr verschieden, so kann dieser Weg zur Auffindung der gegenseitigen Distanz beider Bahnen nicht weiter verfolgt werden. Im Gegenfalle hat man ferner das Argument der Breite U, des gemeinschaftlichen Durch- schnittes beider Bahnen in der zweiten Bahn aus t9 9, tgO, Colg n Cos (k, —k), ,~, lg(k, — k) Cosq, ( ^ ' Cos{n, -j-j,) zu bestimmen, und erhält dann, wenn lo und lo, die betreffenden Distanzen der Perihelien von den Knoten in der Ekliptik, a a' die Grossen Halbaxen der beiden Bahnen, s s, die Excentricitäten bedeuten, mittelst \' = ü ^ W ' V, = C7, + «^, / I> _ji(L-ii!L (4) 1 -(- £ Cos V [ ' !-(-£, Cos«, ! die den Grössen ü ü, entsprechenden wahren Anomalien TT", und die Radien Vectoren R B, in der gemeinsamen Knotenlinie , deren Differenz den gegenseitigen Abstand beider Bahnen in dieser Linie gibt. Ist die Grösse l von der vorläufigen Länge L der Proximität zu verschieden ausgefallen, wäre also der eben angezeigte Weg unstatthaft, so könnte man jene wechselseitige Distanz der zwei Bahnen suchen, welche sie im Breitenkreise der Bahnnähe haben. Dieselbe läge im allgemeinen der kürzesten Entfernung beider Curven desto näher, je kleiner diese selbst ist. Von diesem Gesichtspunkte aus hätte man zuerst die der Länge L entsprechenden Argumente der Breite u u, in den zwei Bahnen aus fg{L-^k) \ tq u = J ''°''" \ (5) fg(L-k) tg a, - Cos n, Deukschnften der nmtheni.-uaturw. Ol. XVI. Bd. 50 Kall V. Littrow. zu finden, ferner die diesen Punkten zugehörenden wahren Anomalien v i\ und Radien r ?•, aus V = u — to V, = u, — w, "(1-^^) V (6) I + £ Cos p a, (1 - e^) !-)-£, Cosv, Nennt man weiter p p, die entsprechenden Ekliptik-Poldistanzen , so erhält man diese mittelst Cosp = Si7i u Sin n ) ,_> Cos p, = Sin u, Sin n, | und die gesuchte gegenseitige Distanz D beider Punkte immer hinreichend genau aus D=Y (r, — rf + 4 Sin"" ^^ rr, ('^) Begnügte man sich nicht mit dieser Bestimmung, so könnte L variirt und der kleinste Werth von D durch Interpolation gefunden werden. Durch die bisher besprochenen Methoden wird man der Wahrheit meistens sehr nahe kommen können, aber doch eigentlich nicht das wirkliche Minimum der gegenseitigen Distanz beider Bahnen finden. Ich gestehe, dass ich lange umsonst nach angemessenen Mitteln, dieses Ziel zu erreichen, gesucht habe; überall nahmen die Ausdrücke eine Weitläufigkeit an, die ihjien alle Brauchbarkeit für die Praxis raubte. Endlich fiel ich darauf, in dem beiläufig bekannten Orte der Bahnnähe eine Linie senkrecht auf die eine Bahn und so errichtet zu denken, dass sie auch die andere Bahn durchschneidet. Hier hat man endlich so zu sagen mit derjenigen Gattung von Distanzen zu thun, zu welcher die kürzeste Entfernung, welche eben auf beiden Bahnen senkrecht steht, gehört, und kann nun durch Variirung des Ortes in der einen Bahn das wirkliche Minimum finden, ohne in zu ausgedehnte Rechnungen zu gerathen. Die Formeln stellen sich für diese Art das Problem ins Auge zu fassen wie folgt : Bestimmen wir zuerst mittelst der Gleichungen (5) und (6) die Grössen r und v in der Bahn eines der beiden Planeten, welche der aus der Zeichnung erhaltenen beiläufigen Länge L der Bahnnähe entsprechen, und nennen wir TX, TY, TZ die Winkel, welche die Tangente an diesem Punkte der Curve mit den Coordinatenaxen bildet, die Ekliptik als Ebene der jcj/ und die Frühlingsnachtgleichenlinie als Axe der x gedacht, so haben wir, wenn ^ die Ciiarak- teristik des Sonnensystemes und p den halben Parameter der Bahn bedeutet, mit Beibehaltung der oben gebrauchten Bezeichnungen Cos [TXy = — ^^ Sin {v J^w-\- A) + X j Cos [T Y) = — ?-^- Sin [v + w + B) ^ II ^ [9) Cos (TZ) = + ^^ Cos iv + w) + ^^ \ Phyuische Zusammenkünfte der Planetev etc. 51 in welolien Ausdrücken c. = y_^ ^ — - 10 die Geschwindigkeit des Planeten ist, und die Constanten : «, yJ, A^ B^ X, /i, v sich aus Sin a Cos A = Cos k Sin a Sin A = Sin k Cos ?i Sin ß Cos B = Sin k Sin ß Sin B ^ — Cos k Cos n Ze SinaSiniw + A) ^ (11) C\/ p X e Sin ß Sin {w + J?) •/ £ Sin n Cos to = /^ c^i ^y ergeben. Die Charakteristik des Sonnensystemes fällt bei der numerischen Rechnung aus. Die Gleichung einer auf die eben betrachtete Tangente im Berührungspunkte mit der Curve senkrechten Ebene hat die Form x' Cos (TX) + y' Cos (TF) + 3' Cos {TZ) = F wo x', y', s' die veränderlichen Coordinaten der Ebene sind, und wir nun die (Grösse P zu bestimmen haben. Heissen zu diesem Behufe x, y, z die den Polar-Coordinaten r, o entspre- chenden rechtwinkelichten Coordinaten, und bedenkt man, dass die Componenten der Grösse c nach den drei Coordinaten — , — , — sind, so hat man dt ^ dt. dt ' Cos {TX) == tat Cos {TY) = -^ ^ ' cd Cos {TZ) t dz cdt somit, da der Punkt x, y, z obiger Normalebene angehört, X dx -\- y dy -\- z dz cdt = P. Allein es ist und somit P gegeben durch xdx -\- ydy -\- zdz^rdr dr y e Sin v dt c \/~p' p_ X ^ r Sin V l /j2) Um den Durchschnittspunkt dieser Normalebene mit der zweiten Bahn zu finden, berechne man mittelst der Gleichungen (5) und (6) die Grösse r, v,, welche in dieser zweiten Bahn der Länge L und einem um etwas geänderten Werthe dieser Grösse entsprechen , bestimme hierauf die Constanten 7* 52 Karl 11. Liffrmc. Sin a, Sin A, = Cu.s k, Sin o., Cos ^ — — Cos n, Sin k, . ' ' V (13) Sin ß, Sin B, = Sin k, Sin ß, ( 'OS B, = Cos n, Cos k, und rechne die, obigen Doppel werthen der Grössen ;•, ?>, entsprechenden rechtwinkeJichten Coordinaten aus X, = 7-, Sin a, Sin (u, -j- A,) i 11, ^r,Sin ß,Sin {u, A- B,) (14) .s, = r, Sin n, Sin -«, ) Die beiden daraus sieh ergebenden Werthe der (Irösse X, Cos ( TÄ )+y,Cos{TY)+ z, Cos ( TZ) — P können als Fehler der zwei über L gemachten Hypothesen gelten, und damit die Länge L, des Durehschnittspunktes iler Normalebene mit der /weiten Bahn , so wie die diesem L, ent- sprechenden Grössen r, v, gefunden werden. Nennt man N dann die Neigung beider Bahnen gegen einander, und haben U U, dieselbe Bedeutung wie oben in den Gleichungen (1) und (3), so erhält man diese Grössen aus bin —- bm = bin bm 2 2 2 Sin — Cos = Cos -^ Sin n, + u Cos — Sin 2 2 U, „. k, k -y II, -j- 11 — = bm Co* 2 2 :i5) ^ N ^ ü — ü, . , k, — <■ , V ™. — " Los — Cos = Co.v Cos endlieh die gegenseitige Distanz 3) des Punktes ;• v in der ersten von dem Piiidvte /■, r, der zweiten Bahn mittelst ' iV ijj j \ Sm(u — r)S/n{u, — f',)Sin^ —- Si>r-^-{u-^u,^ U+ U,) 1 + - Si77- ^' = {r 4 r r, Si^f Damit ist nun eine Distanz der beiden Bahnen gefunden, die in der Gegend der Bahn- nähe Statt hat und auf eine der beiden Curven senkrecht steht. Um daraus die eigentliche kürzeste Distanz abzuleiten , wird mau die ganze Rechnung, deren Gang aus den oben bezif- ferten (Tleichungen zu ersehen ist, noch mit zwei anderen dem L nahe liegenden Werthen L, L" der für die ßahnnähe angenommenen Länge durchführen, und so drei Distanzen : S, !3^', ü)" erhalten. Ist dann J das gesuchte Minimum dieser Grössen, A die der kürzesten Distanz in der ersten Bahn entsprechende Länge, und / ein zu bestimmender Coeificient, so hat mnn i'olaende Relationen 5)' -=J-/(L' - -Ar / ®" = A -i-f{L" - Af \ aus denen die l^nbekamiten /', J. ,1 zu suchen sind. (1^; Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 53 Es scheint mir nicht überflüssig, zu bemerken, dass auf diesem Wege sich auch, was wir oben den Spielraum der Bahnnähe nannten, ergibt. Setzt man nämlich in einen der Ausdrücke (17) die eben für y, J und A gefundenen Werthe und für 5) den Grenzwerth der Distanz, für welchen die Bahnnähe noch Geltung haben soll, so werden die beiden aus der quadra- tischen Gleichung folgenden Werthe von L die Punkte der ersten Bahn angeben, zwischen welchen jene Distanz nicht überschritten wird. Durch das Vorhergehende wären zugleich Mittel angezeigt, eine weitere Sichtung der Bahnnähen , die aus der Zeichnung sich ergaben , in der Weise vorzunehmen , dass man nur jene ßahnnähen einer weiteren Beachtung würdigte, die in der Rechnung hinreichend kleine Distanzen zeigen. Da aber die beiden zuerst angezeigten kurzen Wege in vielen Fällen nicht entscheidend sein werden, die eben aus einander gesetzte dritte Methode zwar vollständig, hingegen für Anwendungen im Grossen immer noch zu zeitraubend ist , so wollte ich die Erkennung der für uns eigentlich interessanten Fälle auf andere Art, nämlich dadurch erreichen, dass ich schon jetzt diejenigen Balmnähen aufsuchte, bei welchen eine wirkliche Zusammenkunft der Planeten in nicht zu ferner Zukunft sich ereignet, eine Arbeit, die am Ende der ganzen Untersuchung jedenfalls wenigstens für jene gewiss sehr zahlreichen Combina- tionen durchzuführen wäre, die man auf irgend welchem Wege in räumlicher Beziehung als beachtungswerth erkannt hat. Für die Mehrzahl der Asteroiden kennen wir die Bahnen hinreichend genau, um die Zeiten der Durchgänge durch gewisse Bahnpunkte , somit auch durch die Bahnnähen mit der Genauigkeit von einigen Tagen auf Decennien voraussagen zu können. Das hier befolgte Verfahren war folgendes: Zuerst wurdcji für beide Planeten mit den Gleichungen (5) die den vorläufigen Orten der Bahnnähen entsprechenden Argumente der Breite, hieraus die wahren Anomalien , und damit vermöge ,,^=,,^VA^'| (18) die excentrisclien e , so wie aus in =1 e — £ Sin e \ (19) die mittleren Anomalien m berechnet. Der Unterschied dieser Grössen von der mittleren Ano- malie ilf irgend einer Epoche, dividirt durch die mittlere tägliche siderische Bewegung gibt das Intervall zwischen dieser Epoche und der Zeit des Durchganges durch die Bahnnähe, und damit diese Durchgangszeiten B und B' selbst. Zählt man nun diese beiden Grössen von einem gemeinschaftlichen, nicht zu entfernten Zeitpunkte, z. B. vom O.Januar 1850, vermindert man die Abstände der Zeiten B und B' von diesem Anfangspunkte der Zählung beziehungsweise um so viele Revolutionen T, T' jedes der beiden Planeten als deren in jenen Abständen enthalten sind, und nennt man die so erhaltenen Intervalle t und ;;', so dienen diese Grössen unmittelbar zur Entscheidung der Frage, ob beide Planeten ihre gegenseitige Bahnnähe im Laufe der Jahre irgend einmal nahe gleichzeitig erreichen. Denkt man sich nämlich unter a die natürlichen Zahlen 0 , 1 . 2 . 3 . . . . und stellt man zwei Zahlenreihen t ^- a 7' und f' -^ a T' dar, so wird eine Vergleicliung der Zahlen dieser beiden Reihen die Zeitabschnitte ergeben, um welche die consecutiven Durchgänge der zwei Planeten durch 54 Karl v. Littrow. ihre gemeinschaftliche Bahnnähe von einander abstehen, und eine der betreffenden Zahlen wird zugleich die Zeit erkennen lassen, zu welcher die geringste Differenz jener Durchgangs- zeiten stattfindet. Zum Behufe der auf diesem Wege vorzunehmenden Sichtung wurde nun die eben ange- zeigte Rechnung für jene aus der Zeichnung erkannten Proximitäten durchgeführt, von denen beide Bahnen bereits mit hinreichender Schärfe bestimmt sind. Es entfielen auf diese Art 80 von den sämmtlichen 549 Combinationen, die überhaupt Bahnnähen ergeben hatten, nämlich alle jene Asteroidenpaare, in denen einer der folgenden Planeten vorkam: Daphne , Harmonia , Isis, Laetitia , Leda, Leucothea , und blieb somit obige Rechnung für 469 Combinationen zu vollenden. Für die verhältniss- mässig wenigen Bahnnähen , die mit diesen sechs Asteroiden existiren , wird man sich einst- weilen und bis bessere Elemente derselben gefunden sind , begnügen müssen , Jahr für Jahr aus den Ephemeriden zu entscheiden, ob es bei den oben ersichtlichen Combinationen wirklich zu einer Zusammenkunft der Planeten kommt. Da sehr daran gelegen war, für die täglichen Bewegungen sowohl als für die Umlaufs- zeiten möglichst genaue Werthe der Arbeit zu Grunde zu legen, so wurden überall dort, wo bereits beträchtlich von einander entfernte Epochen gegeben waren, jene Grössen aus diesen besonders abgeleitet, und nur, wo eben keine andere Wahl blieb, hierfür die osculirenden Elemente unmittelbar benutzt. So ergaben sich ausser den oben angeführten Bahnelementen für die Rechnung nachstehende Daten, wo die erste Columne jene Epochen enthält, die man zur Ableitung genauer Werthe von Umlaufszeit und täglicher Bewegung benutzen konnte , die zweite Columne die Quellen angibt, aus welchen jene Epochen oder die den osculirenden Elementen entnommenen Umlaufszeiten gezogen wurden , die letzte Columne endlich die immittelbar in der Reclmung verwendeten Epochen auffuhrt. Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 55 ■J3 o> 0 t- ^M X OS IM HO *^ OS CO Ol T)< CO CT ^ — X w iM a •# CT 10 Tl< -* ^ Tl* CT ■0 CT >o 10 '- £ 0 CO CO CD X CO O^ X OS OS OS CD 0 CT Oi rr cc OS ^ iC N3 0) 0 irs CO Tf CO -1< CO CO CO c CT 't lO »C t-- CO CO tH CO CT CO CO « s 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ~Ö 0 0 0 _^ 0 c < TlH 6 ö ö ö Ö ö ö CO ö CT 6 ^ CO CO t^ ^ öl Ö 0 C c c C 0. ci Q 3 c So c C ^ pC Cu ■3 's Ö ^• ■p es C8 es es es es 3 es es t) ^ o ^ CO 10 CO CD X Ol I>- ^ ^^ I>- X cc a. m 10 «O 0 >o tO lO lO 0 >n 10 0 T* >o 10 10 0 10 0 »o W 00 00 CO X X X X X X X X »-I X X X X X X X 00 X DO ^ CO 0 t* 0 OS OT ■n •0 0 X CT 0 CT CD "* 0 ■^ t» >o 10 0 >o •0 0 ■0 0 0 CO X CT >o 0 CO OS 10 -^ &c (0 Ol t-H »H CT lO CO t^ t* v-t t- t- t- CO CO Tjl ■^ CO Ol ■<*< ■<*< o CO 00 0 t^ 0 •^ lO tH X X t» t- t^ t— X 10 t- X Oi !>■ (M jj CO o CT CT r- Tf CO CO 0 CO S t- ?D Ci tu) 1 CO CD CO »O CO .0 CD 0 CT CT CO CO 10 0 Cl CO (M ^ ^ a> 05 CO CS OS OS OS 0- OS OS OS OS OS Ol OS OS CS X 00 Ci % Ci 05 OS OS OS OS OS Os OS OS Ol OS OS Ol Ös OS e- OS Qi Ci , CO UO >n ffl 0 T)< CO CO ^ 0 Ol OS c- X CC CO CO X CO U! CO CO 0 0 CT 0 X 10 0 t^ X CT CO ;3 •B ■ ci S h Ci ö •o X N ö OS X Cl X CO « öl CT X CD CC l- •75 S3 a CO X X CD '^ CO CS Cl l» -* •* O* X a TU iC CO CO a CO CC «■ tO 0 er. 10 CO CO 0 ir CO if: CO t^ *-4 '^ ^^ ^^ '^ "^ "^ CT T^ -^ '"' ^^ CT '"^ "^ ^ 0 0 00 TU OS c X OS CO CO r- c CS Ol CO „ .0 0 »0 CO ."t^ T t^ CO 0 0 CT X l-^ CO OS CT Tt c- T)l t- 10 CT .0 CO -* £ *-w CO CO .0 Th CO iC CO CO tH 't IT X CT CT CO 0 0 CO CO CTS X »r X 0 CO 0 o- 1 er CD t— 0 CO X t>» ödt: ^ t Ci Ol X X X X 0- 0- OS X o- <: OS CS X Cl Ol Ci Ci ^« 4 ) o »0 "0 >o X CO X lO CO CO Ol Tl< 10 CO 0 X 0 X CD 00 X X X X a Z X X X X X X X X X X X CO X t- X CS 0 X 00 X X X 1~l ^1 ^ ^ Z Z z ;2 £) ^ S ^ ^ fj tz ^ Ä ^ ä 'S g ü j6 ■i J J3 ^ K s 3 CS ^ S m -c ,d CJ ,a xi 2 -^ « »a G^ < es •-5 p <; 0 ^ ^ CS 1-5 c3 5 CS CS z »^ ^ ^ CS CS z = •-= 1 < ^ -f^ T^ ^ g ■^ ö c 3 T^ 3 T^ iZ 3 i 'S is ö -ö "sl ■*3 ^ OJ [» Ca 4J es 0 0 a CS O 05 CS to lU 'S CS CO tu cß c3 CQ 0 T)< 1 in T)( -* CT ^ ^ '^ (?1 ^ c 0 3 •^ OS CO X t>- ^ ►o 1 0 Z 3 es =3 g ►0 ►o Ck CJ -ü 0 3 iS CO t- CO t- ^ -f CT t- CT X CT X t^ 0 Ol t- GO t- w X CO l- a •^ in 0 »0 0 0 »0 »0 0 10 >o lO •^ 0 -f .0 ^ -O ■:o ira 0 uO CO 00 X X X X X X X X X X X X X X 00 00 X X X X ^:^ ~ ^i-^ ~ ;:i-,-^ ^^^^ ~ ^^-^^ T-^ ~ ci-,^ tJ t- :^-^^ ^, -^ ':Lj:L ^ c Ol a ä^ 0. CS 0 ^ c c < a CS 3 CO 0 0. u es 3 e« 4- « CI =3 3 c- ) 0 c 3 J3 ^ 1 7] 41 es c 3 0 0 '5) 4. CA c c 'S < < 5 n c ü 2 K H H l2 fc fc. fc s ^^ " 56 Karl V. Littrow. ^ ^ ^ ^ 3 = o. ?■ E— o -r et o ^ "z. ^ — • !5 3 00 00 00 CO ü» o» m Ca > c 3 d n o s. t£) O •^ w ■^ o o o o o o o ? I I I I I I I I I I ! h^ cn l CS c 05 05 ^* (» 00 oo O) 00 1-^ CO CO Ü' o« O" w ü« *» CJ» «■ Ü5 o oo >-* o 0= CO lO :i 3 P3 3 c* PI '^* E3 1-— !<£> ^. ro t« W «o ~I w 00 o m Oi o o o o o o o o ro r« \o hS t« ^ w f>0 rf^ ri) o o h- C5 o -^ *^ 4^ o ü» tn ^1 0 w 05 1« Co w 00 Ü" "* Ol l<^ o uo (t^ *> « 1— Üi Ot If^ hS o w CO c« 05 t9 w Ca ? H Ig 3 o- 5 'S !?; > >! ;> ca X > td X » » c *z >- i2! =1 SS > fei c-i > o « rr B o rr rv er B er 3' "1 y c ca PI > Ca ;> ti^ > fe! Cd « m m Ol c !=: C c f*- J^ f+- ^ p >> 2! P c-, !z: > > Ch > 3" 3 3" o 3- 00 00 01 o CO o 00 00 00 00 00 CO 00 tfi. Ol Ol Üi CS Ü' (in 00 00 00 CO Ü« Üt O I-' OD 00 O h^ a tr- 00 OS CO 00 00 00 C7t 05 CS #»■ CS ü' tO t p: Ol c;* w -j 3 — ►- O 1- O I« rf^ H— OS h- tö CK Cn tS CC Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 57 In den auf einander folgenden Zeiten des Durchganges durch die Bahnnähe wurde beiläufig bis zum Jahre 1900 vorgegangen, und so sind mit hinreichender Sicherheit wenig- stens diejenigen Combinationen erkannt, welche schon in der nächsten Zukunft eine Zusam- menkunft der betreifenden Asteroiden ergeben. Da für die von uns entfernten Zeiten später durch genauere Elemente noch manches in den jetzt erhaltenen Resultaten geändert werden wird, so beschränke ich mich einstweilen auf die Mittheilung derjenigen Combinationen bei denen die beiden Planeten- ihre Bahnnähe nicht später als 1867 mehr oder minder gleichzeitig passiren, glaube aber diese Mittheilung in dem ersten Beispiele von Voraussagen dieser Art umständlich machen zu dürfen. Von diesen Combinationen wurden jene auf den Zeichnungen noch einmal durchgegangen, deren Bahnnähen nicht von vornherein als enge bezeichnet waren, bei denen daher die Angabe des Spielraumes der Bahnnähe so wie die beiläufige Schätzung der Distanz bisher fehlte. Obschon die Eechnung der Zahlenreihen ^ -f a T in Tagen durchgeführt wurde, so ist doch die Zeit des Durchganges durch die Bahnnähe immer nur auf Theile von Monaten angegeben , da in der That eine grössere Genauigkeit hier im allgemeinen nicht zu erreichen war. Bei jeder Combination sind diejenigen Umstände erwähnt, aus denen die eigentliche Beschaffenheit der Zusammenkunft erhellt. 1. Amphitrite-Ceres. L^ 123». 2. Amphitrite-Psyche. L = 346». B= 1857 Juli 4. Ti' = 1856 November 13. B = 1860 März 22. B' = 1855 Jänner 29. t^aT r + rtT" t^aT r^aT 0 1243 Tage 827 Tage 0 735 Tage 27 Tage 1 2742 2509 1 2235 1855 2 4241 4191 2 3734 3684 3 5741 5872 3 1 S233 5512 4 7240 7554 4 ' 6733 7341 5 8789 9235 5 '. 8232 9169 6 10239 10917 6 9731 10998 7 11738 12599 7 11231 12826 8 13238 14280 3 12730 14655 9 14737 15962 9 14230 16483 10 16236 17643 10 15729 18312 U 17736 19325 11 17228 20140 12 19235 21007 12 18728 13 20734 13 14 20227 21726 Kleinste Differenz 50 Tage zwisclien 2. und 2., 1861. Kleinste Differenz 50 Tage zwischen 2. und 2., 1860. Diese Combination gehört zu den uninteressantesten, da die Diese Combination gehört zu den u ninteressantesten , da die Distanz überall gross und durchaus kein längeres Beisam- Distanz überall gross und durcha US kein längeres Beisam- men menbleiben der Bahnen stattfi ndet nien bleiben der Bahnen stattfinde .. Denkschriftea der mathem.-naturw. Cl. XVI. Bd 58 Karl r. Liffmto. 3. Astraea-Bellon... L = 339". 5. Astraea-Pliocaea. L ^ 50"*. 1 S = 1848 Deeeinher 12. B' = 1856 August 15. ! B = 1849 November 21. 11 i B' = 1850 December 26. t -[-aT t' -\-a T' t^aT c' + rt7" (1 — 384 Tage 730 Tage 0 — 41 Tag.- 360 Tage 1 + 1127 2419 1 + 1470 1719 2 2638 4108 2 2981 3077 3 4149 5796 3 4492 4436 4 5659 7485 4 6003 5794 5 7170 9173 5 7514 7153 (i 8681 10862 6 9025 8517 7 10192 12550 7 10535 9870 8 11703 14239 8 12046 11229 9 13214 15927 9 13557 12587 10 14725 17616 10 15068 13946 11 16235 19305 11 16579 15305 12 17746 12 18090 16663 13 19257 13 14 19601 18022 19380 Kleinste Differenz 41 Tage zwischen 3. und 2., 18G1. 15 20739 Von 320° bis 350° Länge gegenseitige Distanz der Balinen 1 unter O'l. allein nach dem Gange obiger Zahlen und der Kleinste Differenz 56 Tage zwischen 3. und 3., 1862. stattfindenden kleinsten DüTerenz in den Durehgangszeiten Diese Combination kann nur bei sehr kleinen Differenzen in nichts Bcmerkenswertlies zu erwarten. den Durchgangszeiten etwas Bedeutendes geben, ist somit für lange Zeit weiter nicht zu beachten. 4. Astraea-Calliope. L = 37". 6. Astraea-Thetis. L - 28"*. (l B = 1849 October 0. B' = 1857 Juli 11. CL B = 1849 .\ugust 22. B' = 1854 März 0. t-\-aT i' + a T /■ + ". r ^■+0 7" 0 — 92 Tage 912 Tage 0 - 131 Tage 99 Tage 1 + 1419 2725 1 + 1380 1520 2 2930 4538 2 2891 2941 3 4441 6350 3 4402 4362 4 5951 8163 4 5912 5V83 5 7462 9975 5 7423 7204 6 8973 11788 6 8934 8626 7 10484 13601 7 10455 10047 8 11995 15413 8 11956 11468 9 13506 17226 9 13467 12889 10 15017 19039 10 14978 14310 11 16527 20851 u 16488 15731 12 18038 22664 12 17999 17152 13 19549 13 19510 ' 18573 14 21060 14 1,9994 15 22571 - Kleinste Differenz 40 Tage zwischen 3. und 3., 1861 - 1862. Kleinste Differenz 97 Tage zwischen 3. und 2. (18C2), 95 Tage Ohne Interesse. Dieselbe Combination gibt In ihrer zweiten zwischen 9. und 7. (1886 und 1887), 93 Tage zwischen 15. Bahnnähe bei Länge = 200° im Jahre 1871 eine Zusam- und 12., 1911 und 1912. menkunft. Wegen Ganges der Zahlen ohne Inter esse. Physische Zuscmnmenkünfte der Planeten etc. 59 7. Atalante-Fortuna. L = ()". 9. Atalante-Victoria. L = 11". Jl^ ISöö October lö. li' = 1S.")2 November 13. Ol i)'= IS.")5 November 14. B' = 1850 Detober 24. II t-\-aT /■ +fiT' 1 + aT 1' -\-aT' (1 44H Tage 1048 Tage 0 478 Tage 297 Tage 1 2114 2442 1 2144 1600 2 3780 3836 2 3810 2908 ;i 5445 5229 3 5475 4206 4 7111 6623 4 7141 5509 ö 8776 8017 5 8806 6812 H 10442 9411 6 10472 8115 7 12108 10804 7 12138 9417 « 13773 12198 8 13803 10720 il 15439 13592 9 15469 12023 Kl 17104 14986 10 17134 13326 11 18770 16379 11 18800 14629 1-2 20436 17773 12 20466 15932 13 22101 19167 13 17235 14 20561 14 18538 15 21954 15 19841 Kleinste Differenz 56 Tage zwischen 2. und 2., 1860. Kleinste Differenz 34 Tage zwischen 3. und 4., 1864 und 1865. Diese Combination kann nur bei sehr Isloinen Differenzen in Diese Combination Icann nur bei selir kleinen Differenzen in den Durchgangszeiten etwas Bedeutendes geben , ist somit den Durchgangszeiten etwas Bedeutendes geben , ist somit für lange Zeit weiter nicht zu beachten. für lange Zeit weiter nicJit zu beachten. 8. Atalante-Lutetia. L = 355"'. 10. Bellona-Iris. L = 133». B = 1855 October 0. ß' = 1852 Juni 5. (l B = 1853 October 15. B' = 1856 Mai 4. f + frT (' + n T 1 + a T i' ^aT' 0 433 Tage 887 Tage 0 1384 Tage 969 Tage 1 2099 2274 1 3073 2315 2 3765 3662 2 4761 3661 :! 5430 5049 3 6450 5007 4 7096 6436 4 8138 6354 ö 8761 7824 5 9827 7700 fi 10427 9211 6 1 11515 9046 7 12093 10598 7 13204 10392 .S 13758 11986 8 14892 11738 9 15424 13373 9 16581 13084 10 17089 14760 10 18270 14431 11 18755 16148' 11 19958 15777 12 20421 17535 12 17123 13 18922 13 18469 14 20310 14 19815 15 21697 1 Kleinste Differenz 96 Tage zwischen 3. und 4., 1867. Kleinste Differenz 10.^ Tage zwischen 2. und 2., 1860. Diese Combination kann nur bei sehr kleinen Differenzen in Diese Combination kann nur bei sehr kleinen Differenzen in den Durehgangszeiten etwas Bedeutendes geben , ist somit den Durchgangszeiten etwas Bedeutendes geben, ist somit für lange Zeit weiter nicht zu beachten. für ange Zeit weiter nicht zu bea chten. 8* 60 Karl V. Littroio. 11. Bellona-Metis. L = 180«. 13. Calliope-Egeria. L = 347«. B = 18.H April 3. B' == 1858 November 19. B = 1856 November 13. B' = 1854 Mai 24. t + aT i' + aT' t-\-aT t' + aT' 0 1554 Tage 552 Tage 0 696 Tage 94 Tage 1 3243 1898 1 2509 1605 2 4931 3245 2 4322 3116 3 6620 4592 3 6134 4627 4 8308 5938 4 7947 6138 5 9997 7285 5 9759 7649 6 11685 8631 6 11572 9160 i 13374 9978 7 13385 10671 8 15062 11325 8 15197 12182 9 16751 12671 9 17010 13693 10 18440 14018 10 18823 15204 11 ' 20128 15364 11 20635 16715 12 167U 12 18226 13 18057 13 19737 14 19404 Kleinste Differenz 4 Tage zwischen 3. und 4. , 1866 Mitte Kleinste Differenz 3 Tage zwischen 1. und 2., 1858 Mitte October; 7 Tage zwischen 8. und 10., 1891 Mitte August. November. Von 330 bis 10 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter Von 165 bis 190 Länge gegenseitige Distanz unter O'l , Mi- 0-1, Minimum nach Zeichnung etwa 0-04, somit Zusammen- nimum nach Zeichnung 0'05, somit eine, wenn auch nicht künfte wenn auch nicht sehr enge sicher zu erwarten. Die sehr enge Zusammenkunft sicher zu erwarten. beiden Planeten nähern sich einander ein drittes Mal auf 10 Tage im J. 1916. 12. Caliiope-Ciice. L == öä». 14. Calliope-Vesta. L = 46». 5 = 1857 August 22. B' = 1858 Februar 10. a B = 1857 Juli 24. B' = 1860 Februar 23. t -t-aT f -\-aT' 1 ^aT 1 t' -^aT 0 978 Tage 1353 Tage 0 949 Tage 1054 Tage 1 2791 2963 1 2762 2380 2 4604 4573 2 4575 3706 3 6416 6183 3 6387 5032 4 8229 7793 4 8200 6358 5 ■ 10041 9403 5 10012 7683 6 11854 11013 6 11825 9009 7 13667 12623 7 13638 10335 8 15479 14233 8 15450 11661 9 17292 15843 9 17263 12987 10 19105 17453 10 19076 14312 11 19063 11 15638 j j 12 16964 Kleinste Difl^renz 31 Tage zwischen 2. und 2., 1862. 13 18290 Wegen Ganges obiger Zahlen ohne weiteres Interesse. 14 19615 Kleinste Differenz 29 Tage zwischen 3. und 4.. 1867. Von 36° bis 56° Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter 0-1, Minimum jedenfalls grösser als 0-08, daher keine merk- wü rdige Zusammenkunft zu erwa rten. Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 61 15. Ceres-Euphrosyne. L = 12?0* B = 1855 Juni 22. B' = 1854 September 9. 17. Ceres-Fides. L = 284«. B = 1854 März U B = 1854 September 30 t' + bT' Ü 1 2 i 4 5 6 7 8 9 10 11 12 317 Ta^e 1999 3681 5362 7044 8725 10407 12089 13770 15452 17133 18815 20497 1713 Tage 3761 5809 7857 9905 11953 14001 16049 18097 20145 0 l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1530 Tage 3212 4893 6575 8256 9938 11620 13301 14983 16664 18346 1733 Tage 3302 4870 6439 8007 9576 11144 12713 14281 15850 17418 Kleinste Differenz 80 Tage zwischen 2. und 1., 1860. Diese Combination kann nur bei sehr kleinen Differenzen in den Durchgangszeiten etwas Bedeutendes geben, ist somit für lange Zeit weiter nicht zu beachten. 16. Ceres-Euterpe. L = 257». Kleinste Differenz 23 Tage zwischen 2. und 2., 1863. Von 280° bis 290° Länge gegenseitige Distanz der Balinen unter O'l, Minimum etwa 0-07, dalier nach dem Gange obiger Zahlen ohne Interesse. B = 1853 October 23. B' = 1855 October 10. t' \aT' 18. Ceres-Flora. L = 210». B . : 1853 März 22. B' = 1849 April 9. t' + aT 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1392 Tage 3074 4755 6437 8118 9800 11482 13163 14845 16526 18208 2109 Tage 3422 4735 6047 7360 8673 9986 11299 12612 13924 15237 16550 17863 Kleinste Differenz 20 Tage zwischen 2. und 2., 1863; 24 Tage zwischen 9. und 11., 1895. Von 242 bis 265 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter O'l, Minimum etwa 0-07, aber bei dem Gange obiger Zahlen nichts Bemerkenswerthes zu erwarten. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1177 Tage 2859 4540 6222 7903 9585 11267 12948 14630 16311 17993 —266 Tage +927 2120 3313 4506 5699 6892 8085 9278 10471 11664 12857 14050 15243 16436 17629 18822 Kleinste Differenz 34 Tage zwischen 2. und 4., 1862. Minimum der Distanz wenigstens 0-09 , kein bedeutender Spielraum, daher ohne Interesse. Karl r. Littrmo. 19. Ceres-Lutetia. L = 90». 21. Ceres-Thalia. L = 238«. B = 1856 .Juni 2«. i" = 1853 Mai 4. (c B = 1853 Juli 24. B' = 1854 Juni 13. (i t + aT t' -\-aT' t+ aT t' + aT' 0 690 Tage 1220 Tage 0 2301 Tage 1625 Tage 1 2372 2607 1 2983 3182 2 4054 3995 2 4664 4738 3 5735 5382 3 6346 6295 4 7417 6769 4 8027 7852 5 9098 8157 5 9709 9408 fj 10780 9544 6 11391 10965 7 12462 10931 7 13072 12522 8 14143 12319 8 14754 14078 9 15825 13706 9 16435 15635 10 17506 15093 10 18117 171!I2 11 19188 16481 n 18748 12 17868 ' Kleinste Differenz 51 Tage zwischen 3. und 3., 1867. Kleinste Differenz 59 Tage zwischen 2. und 2., 1860. Von 225 bis 250 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen Von 85° bis 100° gegenseitige Distanz der Bahnen unter 0-1, unter 0-1, Minimum etwa 0'09, daher beim Gang der obigen Minimum etwa 0'06, daher beim Gang der obigen Zahlen Zahlen ohne Interesse. ohne Interesse. 20. Ceres-Psyche. L = 68». 22. Ciree-Iris. L -= 14U". B = 1856 März 23. B' = 1855 December 18. B = 1854 August 21. i?' = 1856 Juni 7. t-{-aT t' ^aT' t + aT i' ^aT' 0 591 Tage 350 Tage 0 84 Tage 994 Tage 1 2273 2178 1 1694 2340 2 3955 4007 2 3304 3686 ?, 5636 5835 3 4914 5032 i 7318 7664 4 6524 6379 5 8999 9492 5 8134 7725 (1 10681 11321 6 9744 9071 7 12863 13149 7 11354 10417 8 14044 14978 8 12964 11763 9 1 15726 16806 9 14574 13109 Kl 1740.7 18635 10 16184 14456 11 19089 11 17794 1 5802 12 19404 17148 1 13 18494 Kleinste Differenz 52 Tage zwischen 2. und 2., 1860. Von 60 bis 77 Länge gegenseitige Distanz Tinter O-l, Mini- mum etwa Ü-Oö , daher beim Gang der obigen Zahlen ohne Kleinste Differenz 118 Tage zwischen 3. und 3., 1863. Interesse. Von 135 bis 155 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter O'l, Minimum etwa 0'04, daher heim Gang der obigen Zal ileii ohne Interesse. Physische Zusammenkünfte der- Planeten etc. 63 23. Circe-rianiii. L = 150». 25. Eunomia-Metis. L = 278». B = 1854 September 26. B' = 1856 März 25. (t B = 1851 Juni 25. B' = 1856 Juni 1. ti t-\-ar i' +aT' f + aT r +aT' 0 120 Tage 978 Tage 0 541 Tage 995 Tage 1 1730 2307 1 2110 2343 •2 3340 3636 2 3679 3690 3 4950 4965 3 5249 5036 4 6560 6294 4 6818 6383 5 8170 7623 5 8387 7729 6 9780 8952 6 9956 9076 7 11390 10281 7 11526 10423 « 13000 11610 8 13095 11769 0 14610 12939 9 14664 13116 1(1 16220 1426Ö 10 16233 14463 11 17830 15597 11 15809 12 16925 13 18254 Kleinste Differenz 11 Tage zwischen 2. und 2., 1860 Ende Januar. Kleinste Differenz 15 Tage zwischen 3. und 3., 1863. Minimum Von 275° bis 288° Länge gegenseitige Distanz unter 0-1, Mi- der Distanz etwa O'l, so gut wie l^ein Spielraum , dalier nimum etwa 0-05, somit eine, wenn gleich nicht enge nichts Bemerlsenswerthes. Zusammenkunft möglich. 24. Eunoraia-Irene. L = 285». 26. Euphrosyne-Polyhyninia. L = 218» 30'. B = 1851 Juli 28. B' = 1851 November 13. iy = 1851 August 17. ü' = l«53 April 10. (i 1. + aT f' + aT' t + aT t' + a T' 1 •2 3 4 5 6 7 8 9 574 Tage 2143 .3712 5282 6851 8420 9989 11559 13128 14697 682 Tage 2200 3719 5237 6755 8273 9792 11310 12828 14347 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 594 Tage 2642 4690 6738 8786 10834 12882 14930 16978 19026 1196 Tage 2968 4739 6511 8283 10055 11S26 13598 15370 17142 10 16266 15865 . 10 18913 Kleinste Differenz 7 Tage zwisclien 2. und 2., 1860 Anfang März. Kleinste Differenz 49 Tage zwischen 2. und 2., 1862. Von 280 bis 289 Länge gegenseitige Distanz der Balmen Nur bei sehr kleinen Differenzen eine Zusammenkunft möglich, unter 0-1, Minimum etwa 0'04. Der Gang obiger Zahlen daher für jetzt ohne Interesse. beeinträclitigt in etwas die Kürze der kleinsten Differenz in den Durchgangszeiten. 64 Karl V. Littrow. 27. Euterpe-Fortuna. L --- 38»*. 29. Euterpe-Lutetia. L = 213». B= 1857 Mai 12. i ^aT B' = 1849 Mai 6. t' ^aT' B = 1855 März 16. t ^aT B' = 1855 Januar 0. i' +aT' 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 Tage 1376 2689 4002 5315 6627 7940 92.53 10.566 11879 13192 14504 15817 17130 18443 19756 21069 — 239 Tage + 1155 2549 3942 5336 6730 8124 9517 10911 12305 13699 15092 16486 17880 19274 20667 Kleinste Differenz 21 Tage zwischen 4. und 4., 1864. Von 14 bis 54 Länge gegenseitige Distanz der Balinen unter O'l; bei dem Gange obiger Zahlen und der Grösse der Differenz in denDurchgaugszeiten nichts Bemerkenswerthes zu erwarten. 28. Euterpe-Fortuna. L = 249»". 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 587 Tage 1900 3213 4526 5838 7151 8464 9777 11090 12403 13715 15028 16341 1826 Tage 3213 4601 5988 7375 8763 10150 11537 12925 14312 15699 17087 Kleinste Differenz OTage zwischen 2. und 1., 1858 Mitte October. Von 206 bis 221 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter O'l, Minimum etwa 0'04, daher jedenfalls eine Zu- sammenkunft zu erwarten. 30. Euterpe-Polyhymnia. L = 29». B = 1855 August 30. i-'t- aT B'= 1851 September 26. t' -raT' B= 1854 April T6. B' = 1854 October 2 t + ar t' + aT' 37 Tage 1736 Tage 1350 3508 2663 5279 3976 7051 5289 8823 6601 10595 7914 12366 9227 14138 10540 15909 11853 17682 13166 14478 15791 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 755 Tage 2068 3881 4694 6006 7319 8632 9945 11258 12571 13883 15196 16509 17822 19135 20448 634 Tage 2028 3422 4815 6209 7603 8997 10390 11784 13178 14572 15965 17359 18753 20147 Kleinste Differenz 41 Tage zwischen 2. und •?,', 1859. Von 238 bis 263 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter O'l ; bei dem Gange obiger Zahlen und der Grösse der Differenz in denDurchgaugszeiten nichts Bemerkenswerthes zu erwarten. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Kleinste Differenz 10 Tage zwischen 4. und 2., 1864 Mitte Juni. Von 21 bis 38 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter 0-1, Minimum etwa 0-07. Bei dem Gange oldger Zahlen und der Kleinheit der Differenz in den Durchgangszeiten kann eine merkwürdige Näherung eintreten. Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 65 31. Euterpe-Proserpina. L = 314«. 33. Fides-Massalia. L = lO»». i}=18ö6 Juli 16. B' = 1858 September 8. B= 1851 Juli 1. iJ' = 1856 .Juli 19. a t-\-aT <' + a r t-\-aT t' ^aT' H 1076 Tage 13 Tage 0 548 Tage 1025 Tage 1 2389 1593 1 2116 2391 2 3702 3173 2 3685 3757 3 5015 4753 3 5253 5123 4 6327 6333 4 6822 6489 5 7640 7913 5 8390 7854 6 8953 9492 6 9959 9220 7 10266 11072 7 11527 10586 8 11579 12652 8 13096 11952 9 12892 14232 9 14664 13318 10 14204 15812 10 16233 14684 11 15517 17392 11 16050 Kleinste Differenz 5 Tage zwischen 4. und 4., 1867 Ende April. Kleinste Differenz 130 Tage zwischen 3. und 3., 1864 ; 20 Tage So gut wie kein Spielraum, Minimum der Distanz der Bahnen zwischen 9. und 10., 1890. nahe an O'l, somit wenig interessant. Von 335° bis 45 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter 0-1, Minimum etwa 0-02. Gibt wegen des Ganges obiger Zah- len im Jahre 1864 nichts Bemerkenswerthes , die Grösse des Spielraumes der Hahnnähe lässt aber vielleicht im Jahre 1890 eine Zusammenkunft zu. 32. Fides-Fortuna. L= 184"*. 34. Fides-Melpoiiiene. L = 152». iJ = 1853 März 2. B' = 1850 October 26. 5 = 1857 Jannar 25. ß' = 1854 Mai 13. | t + aT t' + aT t + aT t' -\- a T' 0 1157 Tage 299 Tage 0 1014 Tage . 324 Tage 1 2726 1693 1 2582 1594 2 4294 3087 2 4151 2864 .S 5863 4480 3 5719 4134 4 7431 5874 4 7288 5404 5 9000 7268 5 8856 6673 6 10568 8662 6 10425 7943 7 12137 10055 7 11997 9213 S 13705 11449 8 13562 10483 9 15274 12843 9 15130 11753 lU 16842 14237 10 16699 13023 11 18411 15630 11 14292 12 19979 17024 12 15562 la 21548 18418 . 14 19812 15 21205 1 1 Kleinste Differenz llTage zwischen 3. und 4., 1866 Ende Januar. 1 Kleinste Differenz 17 Tage zwischen 2. und 3., 1861. Von 165° bis 203° Länge gegenseitige Distanz der Bahnen Von 148° bis 170° Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter O'l, gibt daher wohl jedenfalls eine Zusammenkunft. unter O'l, Minimum etwa 0-07. Wegen Grösse der Differenz Eine zweite Näherung mit noch kleinerer Differenz in den in den Durchgangszeiten und bei obigem Gange der Zahlen Dur chgangszeiten (7 Tage) ereign et sich 1900. ohn e Interesse. IJenkschriften der mathem.-naturw. Gl. XVI. Bd. 66 Karl V. Littroiv. 35. Fides-Polyhymnia. L = 221 <>. 37. Fides-Proserpina. L = 151". a £=1858 Januar 5. i<'=1853 April 27. O B= 1857 Januar 21. 5' = 1856 December 20. f + aT t' -j-aT' f + aT f' + aT' 0 2927 Tage 1213 Tage 0 2578 Tage 2544 Tage 1 4496 2985 1 4147 4124 2 6064 4756 2 5715 5704 3 7633 6528 3 7284 7284 4 9201 8300 4 8852 8863 5 10770 10072 5 10421 10443 6 12338 11843 6 11989 12023 7 13907 13615 7 13558 13603 8 15475 15387 8 15126 15183 9 17044 17159 9 16695 16763 10 18612 18930 10 18263 18343 1 Kleinste Differenz 57 Tage zwischen 0. und 1., 1858. 1 1 Kleinste Differenz 11 Tage zwischen 2 und 2., 1865. Bein.ahe kein Spielraum, daher nur bei sehr kleinen Differenzen Spielraum klein, Minimum der gegenseitigen Bahndistanz etwa in den Durchgangszeiten von Interesse. 0-08, somit bei dem Gange obiger Zahlen diese Zusammen- kunft ohne Interesse, hingegen eine zweite im Jahre 1869 sich ereignende mit kleinster Differenz 0 Tage beacbtungs- werth. 36. Fides-Polyhymnia. L = 43". 38. Fides- Psyche. L = 340«. 1 B= 1858 Februar 1. 0 B' = 1854 November 10. B = 1855 Juni 26. B' = 1855 Januar 6. f + aT f' + aT' t + aT t' + aT' 1 0 2223 Tage 1775 Tage 0 436 Tage 4 Tage 1 3792 3547 1 2004 1832 2 5360 5318 2 3573 3661 3 6929 7090 3 5141 5489 4 8497 8862 4 6710 7318 5 10066 10634 5 8278 9146 6 11634 12405 6 9847 10975 7 13203 14177 7 11415 12803 8 14771 15949 8 12984 14632 9 ! 16340 17721 9 14552 16460 111 17908 19492 10 16121 18289 11 19477 t 1 11 12 17689 19258 20117 Kleinste Differenz 42 Tage zwischen 2. und 2., 1804. Kleinste Differenz 88 Tage zwischen 2. und 2., 1859. Beinabe kein Spielraum, daher nur bei sehr klci]ien Differenzen Beinahe kein Spielraum, daher nur bei sehr kleinen Differenzen in den Durohgangszeiten von Interesse. in den Durchgangszeiten von Interesse. Dasselbe gilt von ein er zweiten Näherung im Jahre 1890. Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 67 39. Fides-Vesta. L = 135». 41. Flora-Parthenope. L = 215o. £^1856 November 19. £'=1857 Juli 24. (0 B = 1849 Mai 2. B' = 1857 November 15. a t-\-aT <' + o7" t + aT t' + aT' (1 2516 Tage 2762 Tage 0 —244 Tage 2876 Tage 1 4085 4088 1 +949 4279 o 5653 5414 2 2142 5682 3 7222 6739 3 3335 7085 4 8790 8065 4 4528 8488 5 10359 9391 5 5721 9891 i; 11927 10717 6 6914 11294 i 13496 12043 7 8107 12697 H 15064 13368 8 9300 14100 9 16633 14694 9 10493 15504 10 18201 16020 10 11686 16907 11 17346 11 12 12879 14072 1 13 15265 Kleinste Differenz 3 Tage zwisclien 1. und 1., 1861 Anfangs 14 16458 März. Von 125° bis 145° Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter O'l, Minimum etwa 0'05, daher jedenfalls beachtens- werth. Kleinste Differenz 39 Tage zwischen 5. und 2., 1865. Von 186° bis 225° Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter 0-1, Minimum etwa 0-06, daher bei dem Gange obiger Zahl en nichts Bemerkenswerthes. 40. Flora-Melpomenc. L = 12". 42. Flora- Vesta. L = 155». B= 1847 Juli 16. B' = 1853 März 19. £ = 1848 August 21. B' = 1861 April 26. Cl t + aT t' +aT' t + aT t' +aT' 0 —899 Tage 1173 Tage 0 —497 Tage 1512 Tage 1 i-294 2443 1 + 696 2838 •2 1487 3713 2 1889 4164 a 2680 4983 3 3082 5490 4 3873 6252 4 4275 6816 5 5066 7522 5 5468 8141 (> 6259 8792 6 6661 9467 7 7452 10062 7 7854 10793 W 8645 11332 8 9047 12119 9 9838 12602 9 10240 13445 10 11031 13871 10 11433 14770 11 12224 11 12626 16096 12 13417 12 13819 17422 18 14610 13 14 15012 16205 ' 15 17398 Kleinste Differenz 7 Tage zwischen 6. und 4., 1807 Mitte Februar. 1 Von 0 bis 35 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter i Kleinste Differenz 21 Tage zwischen 5. und 3., 1864. 0-1, Minimum etwa 0'07, daher jedenfalls heachtungewerth. Von 146° bis 165° Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter O'l, Minimum etwa 0-05, daher bei dem Gange obiger Za bleu nichts Bemerkenswerthes 9* 68 Karl V. Littrow. 43. Fortuiica-Juiio. L = 161«*. 45. P^rtuna-Thalia. L = 241»*. B= 1850' Juli 7. £'=1858 Mai 29. d B= 1851 August 17. B' = 1854 Juni 28. tJ^aT t' ^ aT' t + a7 t' ^aT' 0 188 Tage 1478 Tage 0 594 Tage 83 Tage 1 1582 3071 1 1988 1640 2 2976 4684 2 3382 3197 3 4369 6257 3 4775 4753 4 5763 7850 4 6169 6310 5 7157 9444 5 7563 7867 6 8551 11037 6 8957 9423 7 9944 12630 7 10350 10980 8 11338 14223 8 11744 12537 9 12732 15816 9 13138 14093 10 14126 17409 10 14532 15650 11 15519 19002 11 15925 17207 12 16913 20595 12 17319 18763 13 18307 13 18713 20320 14 19701 14 20107 15 21094 Kleinste Distanz 96 Tage zwischen 2. und l., 1858. Kleinste Differenz 22 Tage zwischen 3. und 3., 1863. Nur bei sehr geringen Differenzen in den Durchgangszeiten von Nur bei sehr geringen Differenzen in den Durchgangszeiten Bedeutung. von Bedeutung. 44. Fortuna-Polyhymnia. L = 26"*. 46. Hebe-Parthenope. L = 145"*. 11 £! = 1853 Januar 26. iJ'^ 1854 September 23. i'= 1857 Februar 16. B' = 1857 Januar 9. t + aT t' +aT' (i 1 + aT t' -\-aT' 0 1122 Tage 1727 Tage 0 1224 Tage 1163 Tage 1 2516 3499 1 2604 2566 2 3910 .5270 2 3984 3969 3 5303 7042 3 5364 5372 4 5 6697 8814 4 6744 6775 8091 10586 5 8124 8178. 6 7 8 9 10 1 1 9485 12357 6 9503 9581 10878 14129 7 10883 10984 12272 15901 8 12263 12387 13666 17673 9 13643 13790 15060 19444 10 15023 15194 ! 16453 21210 11 16403 16597 1 J. 13 14 17847 12 17783 18000 192^1 13 19163 19403 20635 14 20543 20806 15 21922 Kleinste Differenz 33 Tage zwischen 3. und 2.^1864. Kleinste Differenz 15 Tage zwischen 2. und 2., 1860 Ende No- Von 12 bis 39 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter vember; 8 Tage zwischen 3. und 3., 1864 Mitte September. 0-1 , daher bei dem Gange obiger Zahlen nichts Bemerkens- Von 139° bis 159° Länge gegenseitige Distanz der Bahnen werthes. unter 0-1, daher jedenfalls bcmerkenswerth, besonders der zw eite Fall. Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 69 47. Hebe-Polyhymnia. L = 335«. 49. Irene-Thetis. L = 57«* i?= 1855 September 10. B' = 1854 Juni 23. B= 1853 October 22. B' = 1854 .Juli 15. rt t + aT t' + aT' t + aT t' -\-aT' 1) 2079 Tage 1604 Tage 0 1391 Tage 236 Tage 1 3459 3376 1 2909 1657 2 4839 5147 2 4428 3078 :i 6219 6919 3 5946 4499 4 7599 8691 4 7464 5920 .5 8978 10463 5 8982 7341 6 10358 12234 6 10501 8763 7 117.38 14006 7 12019 10184 8 13118 15778 8 13537 11605 9 14498 17550 9 15056 13026 10 15878 10 16574 14447 11 18092 15868 12 17289 Kleinste Differenz 83 Tage zwischen I. und 1., 1859. Kleinste Differenz 24 Tage zwischen 3. und 4., 1866. Nur bei sehr geringen Differenzen in den Durchgangszeiten Von 50° bis 68° Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter von Bedeutung. O'l. Wegen Grösse der Differenz in den Durchgangszeiten nichts Bemerkenswerthes. 48. Irene-Metis. L = 286»*. 50. Iris-Pomona. L = 147» B= 1851 November 17. B' z= 1860 März 17. B = 1856 Juni 24. 11 ' B' = 1856 Februar 18. t + aT /' -f-aT' t+aT /' + a T' 0 686 Tage 3728 Tage 0 2366 Tage 2240 Tage 1 2104 5074 1 3712 3756 2 3723 6421 ■) 5058 5273 3 5241 7767 3 6405 6789 4 6759 9114 4 7751 8305 5 8277 10461 5 9097 9821 6 9796 11807 6 10443 11338 7 11314 13154 7 11789 12854 8 12832 14500 8 13135 1437Ü 9 14351 15847 9 14482 15887 10 15869 17194 10 15828 11 17387 17540 • 12 18905 19887 ■ Kleinste Differenz 5 Tage zwischen 2 und 0., 1860 Mitte März. Kleinste Differenz 44 Tage zwischen 1. und 1., 1860. Von 274 bis 294 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen Von 140° bis 155° Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter unter O'l. daher jedenfalls eine Zusammenkunft zu erwarten. 0-1, Minimum etwa 0-03. Nur bei sehr kleinen Differenzen ■ in den Durchgangszeiten beaoht ungswerth. 70 Karl V. Littrow. 51. Ifis-Pomona. L = 282«. 53. Massalia-Proserpina. L^201'>. B^- 1858 April ^-J t-\- aT £' = 1852 April 29. i' + aT' i'= 1854 Juni 15. JJ' = 1857 Juli (i t + aT f + aT' 261 T.ige 1164 Tagt 1627 2744 2993 4324 4359 5904 5725 7484 7090 9063 8456 10643 9822 12223 11188 13803 12554 15383 13920 16963 15286 18543 16652 20123 18017 19383 9 10 3064 Tage 4410 5756 7103 8449 9795 11141 12487 13833 15180 1215 Tage 2731 4248 5764 7280 8796 10313 11829 13345 14862 16378 Kleinste Differenz 7 Tage zwischen 2. und 3., 1865 Mitte Ootober. Von 275° bis 289° Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter O'l, Minimum etwa 0'09. daher nicht ganz ohne Interesse. 52. Lutetia-Proserpina. L = 232". 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Kleinste Differenz 35 Tage zwischen 3. und 2., 1861. Von 188 bis 215 Bahnnähe unter O'l, Minimum der Distanz etwa 0'05. Wegen des Ganges obiger Zahlen ohne Interesse. 54. Massalia-Psyche. L = 325»*. B= 1855 März IS t + aT B' = 1857 October 29. t' +aT' iJ = 1857 Januar 17. t^aT E' ^ 1854 November 6. i' + aT 0 1 •2 3 4 5 6 7 8 9 lU II 12 13 14 516 Tat^ 1903 3290 4678 6065 7452 8840 10227 11614 1 3002 14389 15776 17164 18551 19938 1279 Tage 2859 4439 6019 7599 9178 10758 123.38 13918 15498 17078 18658 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 842 Tage 2208 3574 4940 6306 7671 9037 10403 11769 13135 14501 15867 17233 18598 19964 21330 17 71 Tage 3600 5428 7257 9085 10914 12742 14571 16399 18228 20056 Kleinste Differenz 46 Tage zwischen 4. und 3., 1866. Von215 bis245 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter O'l , Minimum etwa 0'09, daher nichts Bemerkenswerthes. Kleinste Differenz 26 Tage zwischen 2. und 1., 1859 Ende October. Von 288 bis 354 Länge gegenseitige Distanz der Bahnen unter 0-1, Minimum etwa O'Ol. Wegen des grossen Spielraumes und bei dem Gange obiger Zahlen sehr beachtenswerth. Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 71 55. Melpomene-Parthenope. L= 160" 48'. 11^ 1851 Jaiiu 12091 9868 6 10763 9581 7 13862 11194 7 12320 10907 S 15634 12520 8 13876 12333 9 17406 13845 9 15433 13559 10 19178 15171 10 16990 14884 U 16497 11 18546 16210 12 17823 12 20103 17536 13 19148 13 14 18862 20187 1 ' Kleinste Differenz 7 Tage zwisclien 1. und 1., 1858 Mitte No- Kleinste Differenz 28 Tage zwischen I. und 1., 1858. vember. Spielraum der Bahnnähe 177° bis li M) Länge. Bei dem Gange Spielraum der Bahnnähe 275° bis 288° Liinge, Minimum der obiger Zahlen ohne Interesse. Bahndistanz etwa O'O? , daher jedenfalls beaohtenswerth. Eine zweite Näherung mit nur 5 Tagen Differenz in den Durchgangszeiten ereignet sich im Jahre 187.S. 64. Poniona-Vesta. L = 85». 66. Thetis- Urania. L = 145». iJ=1855 Juni 14. ß'= 1860 August 12. iJ = 1855 September 15. B'= 1856 April 5. a t-\-aT t' -\-aT' t-{-aT i' -YaT' 0 475 Tage 1225 Tage 0 663 Tase 958 Tage 1 1991 2551 1 2084 2287 •2 3507 3877 2 3505 3616 a 5024 5203 3 4926 4945 4 6540 6529 4 6347 6274 5 8056 7854 5 7768 7603 ß 9572 9180 6 9190 .S932 7 11089 , 10506 7 10611 10261 8 12605 11832 8 12032 11590 9 14121 13158 9 13453 12919 10 15638 14483 10 14874 1424!S 11 17154 15809 11 16295 1.5577 12 18670 17135 12 17716 16905 13 18471 13 14 19137 18234 19563 Kleinste Differenz 11 Tage zwischen 4. und 4., 1867 Ende No- Kleinste Differenz 19 Tage zwischen 3. und 3., 1863. vember. Spielraum der Bahnnähe 144 bis 15 2 Länge, Minimum etwa Spielraum der Bahnnähe 78 bis 92 Länge, Minimum der O'O.S, daher ohne Interesse. Bahndistanz etwa 0-08. Bei dem Gange obiger Zahlen kaum bem erkenswerth. 1 r'enksrhrjften der mathein. -naturw. Ol. XVT. Bd. 10 74 Kar] V. Littrow. 67. Thetis-Victorica. L = 90«. i?=l854 Deeember 28. £'=1855 September 1. (t t i-aT t' + a r 0 402 Tage 609 Tage 1 1823 1912 2 3244 3215 3 4665 4518 4 6086 5821 5 7507 7124 6 8929 8427 i 10350 9729 8 11771 11032 9 13192 12335 10 14613 13638 U 16034 14941 12 17455 16244 13 18876 17547 14 18850 Kleinste Differenz 29 Tage zwischen 2. und 2., 185S. Nur bei sehr kleinen Differenzen in den Durohgangszeiten von Interesse, daher hier nicht weiter zu beachten. Heben wir aus dem Vorstehenden jeneCombinationen hervor, welche eigentliche Zusaininen- künfte ergeben, und ordnen wir dieselben ciironologiseh, so erhalten wir folgende Übersieht: Euterpe- Lutetia ßellona-Metis Polyhymnia- Vesta Massalia- Psyche * Eunomia - Metis Eunomia- Irene Irene -Mctis* Hebe- Parthenope '" Fides -Vesta Metis- Polyhymnia Euterj)e - Polyhymnia Hebe- Parthenope Melpomene - Parthenope Iris-Pomona Fides - Fortuna '"' Calliope - Egeria Flora - Melpomene Euterpe - Proserpina Pomona- Vesta 1858 Mitte October, 1858 Mitte November, 1858 Mitte November, 1859 Ende October, 1860 Ende Jänner, 1860 Anfangs März, 1860 Mitte März, 1860 Ende November, 1861 Anfangs März, ■ 1863 Ende April 1864 Mitte Juni. 1864 Mitte September, 1864 Ende November, 1865 Mitte October, 1866 Ende Jänner, 1866 Mitte October, 1867 Mitte Februar, 1867 Ende April, 1867 Ende November. Bedenkt man, dass mit dieser Autführung noch keineswegs über die Bedeutung der genannten Zusammenkünfte entschieden ist, ja dass bei weitem die meisten derselben 1858 October 18. 0-0401 „ 19. 0-0397 „ 20. 0-0395 21. 0-0397 Phi/s/'sche Zusammenkünfte der Planeten etc. 75 viel zu grosse gegenseitige Distanzen der betreffenden beiden Planeten ergeben werden, so zeigt sich , dass wirklich merkwürdige Annäherungen auch bei diesen im Eaume verhältniss- mässig so gedrängten Himmelskörpern zu den grossen Seltenheiten gehören, wie denn in der Tliat hierzu ein nur in den wenigsten Fällen mögliches Zusammentreffen von Umständen erfordert wird. Die näheren Modalitäten auf diese Weise vorausgesagter Zusammenkünfte lassen sich bei diesen Himmelskörpern nur für die zunächst bevorstehende Erscheinung bestimmen. So kann man von obigen Ankündigungen in diesem Augenblicke nur die auf das Jahr 1858 entfallenden ihrem Detail nach geben. Aus dem Nautical Almanac findet man für diese drei Combinationen folgende Abstände in Einheiten der halben grossen Erdbahnaxe: Euterpe -Lutetia Bellona-Metis Polyhymuia - Vesta November 6. 0-0685 November 16. 0-1470 „ 7. 0-0684 „ 17. 0-1469 „ 8. 0-0684 „ 18. 0-1469 9. 0.0684 „ 19. 0-1469 „ 22. 0-0402 „ 10. 0-0685 „ 20. 0-1471 durchgängig, wie man sieht, zu grosse Distanzen, als dass man irgend besondere Wirkungen dieser Zusammenkünfte erwarten dürfte. Euterpe und Lutetia culminiren zu obigen Zeiten um Mittag bei einer südlichen Declination von 10", Bellona und Metis sind in den letzten Stunden der Nacht, Polyhymuia und Vesta in den ersten Abendstunden sichtbar. Was die sechs Planeten: Daphne, Harmonia, Isis, Laetitia, Leda und Leucothea anlangt, deren Elemente eine Voraussage der Durchgangszeiten durch die Bahnnähen auch nur für einige Jahre noch nicht gestatten, wurden alle oben angeführten Combinationen, in denen einer derselben vorkommt, bis auf die mit Daphne, von welchem Planeten noch keine Ephe- meride für 1858 existirte, im Nautical Almanac oder Berliner Jahrbuche nachgesehen. Der einzige allenfalls zu erwähnende Fall, den man auf diesem Wege fand, war: Egeria- Laetitia 1858 December 14. 0-1241 „ 15. 0-1238 „ 16. 0-1238 „ 17. 0-1239 Die beiden Planeten culminiren um diese Jahreszeit Abends nach 6"", wären also sehr wohl zu beobachten, leider aber ist ihre gegenseitige Distanz viel zu gross, um irgend besonderes Interesse zu bieten. Es schien mir weiter eine lehrreiche Probe und an sich in Bezug auf die Keuntniss der Häufigkeit eigentlicher Zusammenkünfte von Interesse, diejenigen Combinationen näher zu betrachten, welche bedeutendere gegenseitige Näherungen von Asteroiden in den seit 1850 bis heute verflossenen Jahren gegeben hatten. Hierzu war, um sich nicht unnütze Mühe zu geben und da es sich dabei nicht weiter um Vollständigkeit handelte, eine vorläufige Fest- setzung der Grenze nöthig, innerhalb welcher die Zeitunterschiede zwischen den Durch- gängen durch die Bahnnähe noch liegen dürfen, wenn von einer physischen Zusammenkunft der Planeten die Rede sein soll. Denken wir uns zu diesem Behufe den einen Planeten in 7fi Karl v. Littrow. seiner Bahn um 2" von dem Orte der Bahnnälie entfernt, den anderen Asteroiden aber in dieser Balinnähe selbst, so ist der Abstand des ersten vom zweiten Planeten beiläufig gleich dem Producte der durchschnittlichen Entfernung der Asteroiden von der Sonne in Sin 2" oder ungefähr 0*08 in Einheiten der mittleren Entfernung der Sonne von der Erde, d. h. nahe gleich der Grenze, die wir für Bahnnähen überhaupt angenommen haben. Da die Aste- roiden im Mittel täglich beiläufig V^ Grad zurücklegen, so besehreiben sie einen Bogen von 2" in acht Tagen. Nimmt man also für die hier gesuchte Grenze Sicherheits halber zehn Tage an, so wird man im Allgemeinen nicht befürchten dürfen, sehr bemerkenswerthe Zusammen- künfte zu übersehen; denn diese Grenze reicht auch dann noch aus, wenn man auf den Unter- schied der mittleren Bewegungen und das Voreilen des einen Planeten gegen den anderen Rücksicht nimmt, vorausgesetzt, dass der Spielraum, innerhalb welcher die Bahnnähe noch zu eigentlichen Zusammenkünften führen kann, etwa 10° nicht überschreitet. Für die Eichtig- keit dieser Conjecturen kann als Beleg dienen, dass in dem oben näher untersuchten Zeit- räume von 1858 bis 1867 nur drei Fälle vorkommen, in welchen trotz einer Differenz in den Zeiten der Passage durch die Bahnnähe von mehr als 10 Tagen eine Zusammenkunft sich in Aussicht stellte. Ich erwähne also im Folgenden nur diejenigen Zusammenkünfte zwischen 1850 und 1857, bei welchen die Durchgänge beider Planeten um liöchstens 10 Tage aus- einander liegen. Circe-Fortuna 1850 März 9 Tage Differ. i. d. Zeitd. Durchganges durch d. Bahnnähe Flora- Thetis* 18 52 Jan. 9 ,, „ ,. .. .. .. ,. „ Amphitrite-Eunomia 1853 Jan. 2 ,,„,... ., „ ,, „ „ Astraea-Circe* 1855 Oct. 10 ., ,. .. .... ., ,. „ „ Fortuna- Irene 1855 Oct. 10 , _ .. Amphitrite-Melpomene 1857 Dec. 8 ,, _ ,. ,. Bellona-Calliope ^ 1857 Juni 6 „ •• ,. .. r - •• •• i . Euterpe-Juno 1857 Juni 10 ,. „ . ,. .. „ „ Die vier zuletzt angeführten Zusammenkünfte lassen sich aus den betrefienden Epheme- riden controliren , und werden durch dieselben sämmtlich bestätigt. Die ersten vier fallen in Jahre, die der Entdeckung des einen oder beider Planeten der einzelnen Combinationen vorangehen, können also nicht auf dieselbe Weise geprüft werden. Eine empirische Durchsicht der Asteroiden - Ephemeriden für 1857 nach den aus (Jbigem bekannten Combinationen mit Bahnnähen hat durchaus keine weitere eigentliche Zusammenkunft ergeben, somit den hier eingeschlagenen Gang der Untersuchung von neuem bewährt. Zum Schlüsse will ich erwähnen, dass ich von 1868 bis zum Ende des laufenden Jahr- hunderts zwischen den 36 Asteroiden, deren Elemente sich selion jetzt zu einer solchen Voraussage mehr oder minder eignen , auf beiläufig 50 Zusammenkünfte stiess. Rechnet man hierzu die eben angeführten 8 zwisclien 1850 und 1857 und die oben gegebenen 19 zwischen 1858 und 1867, so findet man für fünfzig Jahre 7 7 Zusammenkünfte, eine Zalil , die mir immerhin der Hoffnung Raum zu geben scheint, dass wir nicht in zu langer Zeit ein Phänomen dieser Art erwarten dürfen, dem die Bezeichnung einer physischen Zusammenkunft in vollem Masse zukommt. Ich hatte vorstehende Arbeit, bei welcher die Herren Dr. C. Hornstein undW.Oeitzen mich durch die erspriesslichste Hülfe zu aufrichtigem Danke verpflichteten, ganz beendigt Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 11 und war eben mit der Zusammenstellung- der Resultate beschäftigt, als mich Herr Karl Linsser in Sonneberg bei Coburg mit der Nachricht erfreute, dass er letztlich sich mit der Aufsuchung der Bahnnähen zwischen denselben 42 Asteroiden, welche ich betrachtete, befasst, und das Problem blos auf dem Wege der Rechnung zu lösen versucht habe, wobei er sich der Unterstützung des Herrn Prof. D'Arrest erfreute, der ihm namentlich die Elemente der genannten Himmelskörper aus dem Berliner Jahrbuche für 1859 zu übermitteln und ihn mit der Literatur des Gegenstandes bekannt zu machen so gütig war. Da Herrn Linsser's Ergebnisse an sieh interessante Daten enthalten, und merkwürdige Vergleiche mit meiner Untersuchung bieten, so glaube ich das Wesentlichste davon aus dem mir zu diesem Behufe freundlichst überschickten Manuscripte hier mittheilen zu sollen. Herr Linsser rechnete zuerst auf die bekannte Weise für jede der möglichen Combina- tionen zu zwei der behandelten Planeten die Längen K des gemeinschaftlichen Knoten in den beiden Bahnen (nebenher die sieh so von selbst ergebende, wenngleicli an sich nicht nöthige gegenseitige Neigung ^der zwei Ebenen), hierauf die Länge X des gemeinschaftlichen Knoten in der Ekliptik und die Radien /?, B! im aufsteigenden sowohl als niedersteigenden Knoten. Weiter entwarf Herr Linsser für jeden der Planeten eine Tafel, welche wieder nach bekainiten Ausdrücken von 5" zu 5" der heliocentrischen Länge den Radius Vector und seinen Logarithmus, so wie die heliocentrische Breite ergab. Der Vergleich zweier solcher Tafeln Hess sofort erkennen, ob überhaupt in einer gewissen heliocentrischen Länge die Differenz d der Radien Vectoren kleiner als 0-1 sei. Fand ein solches Verhältniss in der Nähe des gemeinsamen Knoten beider Bahnen Statt, so konnte der früher berechnete Unterschied der Grössen 7? und R' sofort als kürzeste Distanz gelten. Lag die Bahnnähe aber mehr oder minder entfernt von der gemeinsamen Knotenlinie, so wurde, wie in meiner Arbeit bei Gleichung (8), die abkürzende Voraussetzung gemacht, dass die Punkte der kürzesten Distanz im gleichen Breitenkreise liegen, und aus den Tafeln die Differenz y — p der betreffenden heliocentrischen Breiten genommen. Für einen bestimmten Radius Vector und eine bestimmte Distanz (/hat man dann den Maximal werth von p'— 7^, welcher noch eine Bahnnähe unter ()"1 zulässt. ans wofür mau annähernd setzen kann ■^'" T (;>'- ;^) = T-/7 ^^^''O^ — ^' ■in Mittelst dieser Formel berechnete Herr Linsser eine drei und vierzigste Tafel, welche mit den Argumenten i? und d den Maximalwerth vonp' — qi gab. Dieser Werth, in unsere Cileichung (8) substituirt, bestimmt die Distanz B in dem betreffenden Breitenkreise. Indem nun Herr Linsser die Lage dieses Breitenkreises variii'te, fand er endlich den kleinsten Werth J der Distanz im Breitenkreise und die zugehörige heliocentrische Länge A. Wie man sieht, treten in Herrn Linsser's feehandlungsweise der Aufgabe an die Stelle der Zeichnungen, deren ich mich zur vorläufigen Erkennung der Bahnnähen bediente, die von ihm für die einzelnen Planeten gerechneten Tafeln, während eine weitere Sichtung der Bahn- TS Karl V. Littroio. nähen im Allgemeinen auf die von mir schon in meiner ersten bezüglichen Arbeit sowohl als hier S. 50 angedeutete Art vorgenommen wird. Im Folgenden gebe ich die von Herrn Linsser auf diese Art gewonnenen Resultate, und bemerke nur, dass der manchem Leser vielleicht auffallende Umstand, die Unterschiede der Grössen It und B,' zuweilen vor dem wirklichen Werthe des einen Radius Vectors auf- geführt zu sehen, daher rührt, dass ich zur Übereinstimmung mit Obigem in Hrn. Linsser's Angaben die alphabetische Ordnung einführte, daher seine beiden Zeilen einer Combination oft mit einander verwechseln musste. Cüiiibiriation K AT A 11 li' /l J Amphitrite Dapline 182° 358 57'4 39-0 19° 47=2 179° 13'5 2-641 + 0-481 2-444 +0-025 358° 0-022 Amphitrite 66 23-0 13 7-0 62 32-8 2-371 2-738 64 0-065 Egeria . . 20 7-0 +0-067 — 0-051 245 0-048 Amphitrite Eunomia . 266 328 31-3 22-3 10 24-2 262 47-1 2-717 +0-146 2-386 —0-086 89 0-075 Amphitrite Euterpe 345 248 58-7 42-7 6 31-8 342 20-4 +0-107 2-384 + 0-417 2-177 333 0 - 090 Amphitrite 169 3-9 3 7-4 165 0-6 2015 2-482 161 0-014 Fides . . 158 39-7 + 0-021 + 0-008 347 0-002 Amphitrite Irene . . 124 34 1-0 0-4 11 0-8 120 27-4 2-463 —0-157 2-624 + 0-133 •293 0 - 087 Amphitrite Laetitia 167 7 57 -5 20-1 15 59-6 164 18-6 2-600 + 0-421 2-485 +0-020 344 0-020 Amphitrite Lcda . . 246 306 41-0 15-6 6 34-8 242 50-8 2-738 + 0-316 2-371 +0-006 63 0 - 006 Ampliitrite Leucothea 0 0 11-9 8-9 2 7-3 356 28-9 2-451 + 0-890 2-636 — 0-273 144 275 0-045 0 - 099 Amphitrite Massali a . 2 152 56-9 42-1 6 44-2 359 12-8 + 0-030 2-414 +0-338 2-308 357 0 - 025 Ampliitrite Melponiene 343 189 25-9 56-7 15 52 - 6 339 45-9 + 0-641 1 -858 — 0-073 2 - 658 158 0-070 Amphitrite Metis . . 309 237 29-7 39-7 6 54-8 305 56-5 + 0-079 2 • 528 + 0-284 2-195 302 0-075 Amphitrite Parthenope 338 -209 7-0 39-0 9 42-6 334 31-7 + 0-296 2-219 -0-121 2-688 163 0-086 Amphitrite Proserpina 144 94 13-5 51-9 4 40-6 140 40-0 2 • 523 + 0-131 2 - 559 + 0-059 155 313 0 - 05,S (»-017 Amphitrite Psyche . . 171 17 25-8 18-8 8 59-8 167 45-8 2-611 +0-665 2-475 + 0-082 348 0-082 Amphitrite Thetis . . 315 206 40-6 50-0 10 34-8 332 5-3 +0-176 2-346 +0-032 2-528 150 0-(l-)l Amphitrite Urania 18 66 17 7 22 • 9 4 59-0 14 29-1 + 0-334 2-076 + 0-043 2-645 194 0-043 Ampliitrite Vesta . . 320 213 6-4 28-4 10 40-7 316 33-4 + 0-311 2-261 + 0-082 2 - 428 134 0-067 Astraea lU'llona 7 4 28-9 15-5 4 3-7 148 51-8 2-097 + 0-283 3-043 + 0-100 336 0-095 Astraea Circe . . 109 66 59-« 52-4 3 58-2 •251 29 - 6 2-716 0-000 2-600 —0-312 •251 11-000 Astraea 58 14-4 10 5-6 199 32 • 4 2-298 2-699 23 0-038 haphnc 19 3U ■ 8 —0-243 —0-077 Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 79 Combination K .V ;. R li .1 J Astraea . . Egeria . . . 65° 162 19'7 45-7 18° 3'6 206° 38 '6 —0-196 2-543 +0-067 2-570 28° 0-064 Astraea . . Euterpe . . 15 63 29-5 11-9 4 25-0 156 49-6 —0-032 2-144 +0-589 2-424 152 0-020 Astraea . . Flora . .' . 84 115 41-3 38-3 3 2-9 226 4-9 —0-038 2-534 + 0-608 1-863 230 0-009 Astraea . . Hanno iiia 52 99 3-4 52-6 4 0-2 193 20-6 —0-109 2-370 +0-590 2-165 204 0-047 Astraea Hygiea . . 165 19 59-5 53-5 8 44-0 307 28-0 3-060 +0-003 2-090 + 1-084 307 0-003 Astraea Iris . . . 328 210 33-8 33-2 9 15-6 110 4-8 + 0-031 2-087 +0-538 2-464 113 0-016 Astraea Isis .... 264 321 58-5 41-5 7 13-2 46 22-0 2-469 -0-182 2-499 -0-179 56 217 0-052 0-052 Astraea Leda . . 165 10 42-1 51-7 12 1-4 307 15'6 3-060 + 0-042 2-090 + 1-259 309 0-037 Astraea Massali a . 352 287 56-3 51-7 5 4-6 134 22-4 —0-026 2-115 + 0-395 2-668 131 0-020 Astraea Parthenope 55 71 30-1 53-9 1 35-2 196 48-0 -0-270 2-552 + 0-408 2-316 220 50 0-027 0-037 Astraea Phocaea . 266 194 12-0 34-0 20 36-6 47 35-8 +0-043 2-416 +0-408 2-101 51 0-032 Astraea Proserpina 212 307 16-5 43-9 « 33-4 353 34-5 2-914 —0-165 2-164 +0-367 6 0-082 Astraea Psyche 168 159 7-8 5-4 2 20-8 309 35-5 3-063 -0-358 2-088 +0-974 277 0-065 Astraea Thalia . . 256 329 23-9 28-5 10 5-8 37 45-4 2-542 —0-103 2-429 + 0-095 212 0-095 Astraea Thetis . . 91 107 55-3 53-9 1 .32-6 233 24-0 + 0-377 2-181 —0-334 2-747 198 27 0-038 0-032 Astraea Vesta . . 73 131 53-0 48-4 4 24 '6 235 19-4 +0-421 2-154 —0-165 2-564 39 0-046 Atalante . Egeria . . 299 257 52-5 36-9 13 13-0 .300 18-0 —0-110 2-801 —0-007 2-351 296 121 0-092 0-005 Atalante . Fortuna 2 149 24-3 58-7 20 1-0 1 21-6 -0-051 2-095 +0-475 2-760 0 0 - 049 Atalante . Harmonia 347 253 9-7 29-7 19 28-8 346 53-9 —0-018 2-166 + 0-638 2-368 347 0-OlS Atalante . Isis ... 154 70 3-0 9-6 19 51-8 154 19-8 2-802 +0-091 2-265 -0-352 157 0-OGO Atalante . Laetitia 172 14 3-5 40-3 28 17-2 171 32-9 3-081 —0-051 2-112 + 0-3S6 171 0-044 Atalante . Lutetia . . 350 269 19-0 27-6 18 28-8 349 53-5 +0-059 2-065 + 0-269 2-785 352 0-086 Atalante . Parthenope 349 224 51-3 35-3 21 43-6 349 27-4 -0-115 2-243 +0-400 2-647 346 0-094 Atalante . Urania 5 56 26-4 8-0 17 52-0 4 13-8 —0-064 2-092 + 0-657 2-621 3 0-061 Bellona Calliope . 187 322 16-6 37-8 10 51-0 331 50-4 3-129 —0-222 2-389 + 1-416 32 0-082 Bellona . Ceres . . 61 127 10-9 12-1 10 34-3 208 22-5 + 1-044 2-639 —0-127 2-863 •206 0-040 80 Karl V. Littrnio. Combination I< K ;. i! B' .1 J Bellona Ciroe . . 326° 286 0'7 14-1 6° 16'0 111° l'O —0-097 2-450 + 0-291 2-001 119° 0-091 Bellona Daphne 77 42 32 • 1 19-1 8 8-S 222 1-8 2-782 —0-799 2-G39 + 0-110 35 0-055 Bellona Egeria . . 52 152 47-2 53-2 20 30-6 197 3-9 + 0-101 2-505 + 0-212 2-609 196 0-098 Bellona Euphrosyne 231 343 58-0 14-6 31 15-0 16 14-9 2-827 + 0-065 2-600 + 0-538 16 0-065 Bellona Flora . . 36 70 21-9 27-3 5 35-6 180 41-0 +0-032 2-476 + 1-049 1-896 180 0-032 Bellona Fortuna . 350 284 47-3 11-7 8 52-8 135 34-3 —0-126 2-481 + 0-900 2-289 124 0-090 Bellona Harmonia 26 77 27-5 23-5 7 28-6 170 48-2 + 0-090 2-369 +0-850 2-165 165 0-065 Bellona Hebe . . 163 169 31-3 33-7 5 32-6 308 23-4 + 1-044 2-156 —0-178 2-527 112 0-072 Bellona Hygiea . . 169 26 29-7 43-3 12 36-4 314 17-6 3-191 —0-092 2-353 +0-783 318 0-077 Bellona Isis . . . 235 295 47-2 27-8 9 1-2 20 4-5 2-797 —0-698 2-626 —0-066 197 0-026 Bellona . . Laetitia . . 77 65 44-3 29-7 2 12-4 222 14-2 2-784 + 0-170 2-638 —0-085 51 237 0-014 0-028 Bellona . . Leda . . 167 16 50-4 22-8 15 52-8 312 38-6 3-194 -0-119 2-352 +0-013 133 0-012 Bellona Leucothea 194 342 59-0 56-6 16 57-6 339 27-0 3-088 + 0-310 2-412 +0-019 160 O-Olö Bellona . . Melpomenc 230 225 49-7 45-5 1 10-2 15 16-7 + 1-038 1-797 —0-200 2-794 216 124 0-019 0-047 Bellona Metis . . 34 110 14-8 2-8 9 41-8 178 32-7 + 0-057 2-440 +0-694 2-266 180 0-057 Bellona Pallas . . 216 189 15-7 44-3 26 44-0 0 33-1 —0-018 2-964 + 0-174 2-333 1 0-018 Bellona Phocaea . 273 206 53-1 12-1 20 12-3 58 22-4 —0-005 2-543 + 0-892 2-013 58 0-005 Bellona Proserpina 19 118 47-2 22-2 10 32-4 164 12-3 —0-132 2-563 +0-346 2-713 17(1 0-099 Bellona Thetis . . 24 43 18-0 26-6 4 29-4 168 40-3 + 0-013 2-436 + 0-599 2-431 167 0-004 Bellona Urania . . 356 193 58-7 34-1 11 24-2 141 40-3 -0-069 2-433 + 0-943 2-228 139 0-062 Calliope . Circe . . 343 225 22-0 48-8 16 59-5 50 23-5 —0-094 2-705 + 0-596 2-611 52 0-089 Calliope . Daphne 146 33 19-7 54 -5 22 54-6 213 39-1 3-175 — 1-171 2-632 + 0-077 32 0-072 Calliope . Egeria . . 102 125 58-7 33-3 6 39-2 169 54-7 + 0-572 2-419 + 0-062 2-711 351 0-061 Calliope . Euphrosyne 298 332 38-3 2-7 17 II -0 5 54-4 2 709 + 0-305 3-069 —0-065 187 0-058 Calliope . Fides . . 12 70 29-0 39-6 12 23 • 8 78 43-3 + 0-435 2-188 +0-098 3 • 090 259 (1-098 Calliope . Juno . . 322 219 33-9 47-2 21 5-6 29 56-2 +0-599 2-020 —0-096 3-261 209 (1-094 Physische ZusammenhUnfte der Planeten etc. 81 Combination lY M ü' Calliope Leda Calliope . . Polyliymnia , Calliope . . . Psycho . . . Calliope . . Theinis . • Calliope . . Thetis . . . Calliope . . Vesta . . . Calliope . . Victoria . . Ceres . . • Circo . . . Ceres . . • Euplirosyne . Ceres . • . Euterpe . . Ceres . . . Fides . . • Ceres . . . Fortuna Ceres . • • Hygiea . . . Ceres . . . Irene . . - Ceres . . . Iris .... Ceres . . . Isis .... Ceres . . • Leucothea Ceres . . . Lutetia . . Ceres . . ■ Massalia . . Ceres . . . Pallas . . . Ceres . . . Polyhymnia . Ceres . . . Pomona . . Ceres . . . Psyche . . Ceres . . . ThaUa . . . Ceres . . Thetis . . . Circe . . . Egoria . . . 19G" 326 7 64 167 83 181 212 336 277 331 295 355 187 335 232 289 337 357 3-14 17 89 354 223 187 339 328 322 359 ISO 165 161 220 303 0 0 357 231 106 18 190 261 347 208 163 93 74 87 329 284 29 170 34-8 7-2 25-5 35-5 4-0 32-0 50-0 14-4 1-4 48-0 54-0 42-0 42-6 0-2 52-3 23-3 35-0 3-0 44.2 49-6 12-5 31-5 13-0 38-0 3-1 58-7 4-3 3-7 38-2 42-0 1-2 24-0 19-1 55-8 16-5 22-3 5-2 19-6 33-0 3-0 31-0 51-0 48-7 3-7 8-5 38-5 30-7 7-3 12-8 55-2 32-3 32-3 19° 0-5 12 48-0 13 45-4 13 3-0 11 50-6 9 4-2 22 2*4 13 1-8 20 59-6 9 3-8 10 7-2 11 40-4 14 5-4 1 49-4 16 4 4 2 5-2 12 45-4 7 31-4 11 1-4 36 25 • 5 10 9-4 14 33-6 9 58-3 2 20-6 7 41-8 21 4-0 262 42-6 73 46-9 233 59-4 248 21-3 43 12-3 39 9-9 62 24-2 56 58-4 10 35-8 78 28-4 97 30-8 74 59-6 267 37-8 49 12-9 80 20-3 245 57-8 300 32-4 80 48-2 77 50-3 187 31-2 271 2-3 68 46-0 244 6-6 154 57-1 50 21-3 214 7-5 3-176 —0-034 + 0-031 2-586 3 - 209 —0-012 3-205 + 0-035 —0-095 2-712 + 0-090 2-537 + 0-108 2-501 + 0-087 2-671 2-925 + 0-032 + 0-735 1-943 +0-417 2-215 +0-559 2-139 2-857 + 0-037 —0-028 2-817 +0-754 1-917 2-773 —0-610 2-957 0-000 +0-129 2-540 +0-601 2-079 2-585 —0-185 2-870 —0-595 0-000 2-714 2-766 + 0-372 + 0-478 2-067 + 0-048 2-737 —0-036 2-573 2-621 —0-294 + 0-699 2-497 2-609 —0-002 2-612 + 0-374 + 0-989 2 - 208 + 1-015 2-174 + 1-208 2-002 + 0-095 2-643 2-590 + 0-472 + 0-076 2-746 —0-160 3-035 + 0-125 2-684 2-647 + 0-731 + 0-442 2-266 + 0-076 2 • 753 2-724 —0-261 2-567 + 0-1S5 +0-606 2-225 + 0-094 2-726 2-933 —0-071 2-637 + 0-238 + 0-363 2-421 2-731 —0-082 —0-114 3-100 +0-522 2-190 + 0-247 2-541 264" 75 234 54 247 39 44 65 237 57 11 256 284 249 268 338 56 258 86 196 301 90 257 7 81 69 69 349 54 214 0 • 032 0-019 0-012 0-002 0-031 0-084 0-076 0-095 0-095 0-087 0-029 0-073 0-081 0-090 0-037 0-079 0-010 0-055 0-035 0-077 0-000 0-067 0-094 0-071 0-090 0 - 000 0-057 0-033 0-033 0-036 Denkschriften fler nmihcni.-nfttunv. Cl. XVI. Jid. u 82 Karl V. Littrow. (Jniiiliinatiaii A' ,V -4 /.■ /," A J Circe . . Euphrosyno 20-2° 350 32 ' 0 19 -S 31° 23 '0 27° 9-0 2 '822 —0-046 2-510 +0-775 -27° 0-046 Cii-ce . . Eutevpe Ifi 107 14-S 14-2 5 41-8 200 52-9 + 0-043 2-444 +0-732 2-119 205 0 - 033 Circe . . Flora . . 55 130 52 ■ 7 (»•7 6 51-0 240 29 • 0 +0-176 2-494 + 0-759 1-885 227 0-094 Circe . . Hebe . . U-l 160 30-4 13-0 11 40 6 299 18-9 + 0-710 2 • 220 —0-013 2 - 444 118 0-008 Circe . . Irene . . 53 151 39 '6 8-8 11 13 -S 238 15'1 +0-373 2-276 —0-084 2-749 61 0-081 Circe . . Iris . . 307 •23'2 10-8 30-8 6 37-6 132 1-5 + 0-142 2-267 + 0-710 2-252 143 0-059 Circe . . Lcda . . 140 ! -20 51-5 29-5 10 19-2 325 42-3 2 '978 +0-018 2-398 + 0-015 145 327 0-012 0-015 Circe . . Lcucotliea 17-1 3 55-2 21 -2 13 39 ■ 6 359 39-4 2-932 + 0-629 2-428 —0-074 177 0 • 067 Circe . . Lutetia . . 25 129 49-3 57-9 6 53-4 210 25-9 —0-031 2-554 + 0-593 2-213 213 0-014 Circe . . Massalia . 356 335 57-4 10-2 4 48 8 181 40-9 + 0-111 2 - 322 + 0-528 2-398 195 0-073 Circe . . Melpomenp U6 151 49-5 17-5 6 27-6 301 37-8 +0-874 2-063 + 0-099 2 - 327 128 0-029 Circe . . Metis . . 32 148 28-0 32-0 0 22* 4 217 3-9 —0-068 2-618 + 0-641 2-132 218 0-067 Circe . . Partlienopp 52 111 4-2 38-2 5 3-6 236 39-6 +0-256 2-385 +0-200 2-472 213 75 0- 100 0-079 Circe . . Pomona . 299 264 59-2 6-8 3 12-8 124 50-0 —0-062 2-481 + 0-303 2-643 139 0-044 Circe . . Prosorpina 16 155 12-3 {»•9 S 29 2 200 51-3 + 0-029 2-458 + 0-010 2-840 199 21 0-022 0-007 Circe . . Psyche . . '210 244 41-4 50-6 3 22-8 35 17-2 2-782 —0-228 2-542 + 0-741 61 0-069 Circe . . Tlialia . . 42 15S 28 -C 51-2 13 34-8 217 2-4 -0-035 2-626 + 0-371 2-351 226 0-026 Circe . . Thetis . . 61 120 49 • 3 56 '7 5 27-6 246 26 -0 +0-524 2-167 -0-153 2-777 51 0-078 Circo . . Vesta . . öS 139 2 1 • 9 27-1 S 17-8 242 57 • 4 +0-523 2-150 + 0-071 2-571 69 0-055 Daphne . Egeria . . 24 160 11-0 7-ü 28 6-4 204 5-4 -0-495 2-532 + 0-071 2-581 23 0 - 065 Daphne Eunoniia . 32S 216 54-1 52-1 21 U-6 150 9-3 —0-513 2-871 —0-061 2-313 332 0-052 Daphne Fides . . 1 173 25-1 48-8 1« 45-6 181 54 ■ 5 —0-629 2-773 + 0-110 2-380 358 0-074 Daphne Juno . . 69 79 56-0 21-0 2 18-4 249 57 5 -1-350 3-307 + 0-797 2-003 341 1411 0 ■ 092 0-086 Daphne Massalia . 358 332 41 -S 45-2 13 -3-2 179 14-0 —0-148 2-308 +0-055 2-414 356 171 0-036 0-090 Daphne Pallas . . 167 174 21-8 47-6 21 15-0 348 14-3 -0-756 3-139 —0 - 004 2-234 168 0-004 Daplinc Phocaea . 248 216 48-3 44-3 12 35-0 68 46-6 + 0-136 2-664 + 0-014 1-943 248 75 0-011 0-091 Physische Zusammenkünfte der Vkmeten etc. Coiiibination h y k H W ^1 J Daphne .... Poinoiia .... . 342? 303 58 '2 7-8 10? 29 = 4 163° 57'7 —0-116 2-366 + 0-565 2-786 157° 0-089 Daphne .... Psyche .... 7 37 59-1 51'5 11 6-8 188 17-9 — 1-213 3-322 +0-009 2-530 8 0-009 Daphne .... Thetis 23 78 51-7 28 -3 11 24-6 203 47-0 —0-233 2-271 + 0-027 2-623 24 0-027 Egeria Euterpe .... 355 306 25-2 9-2 15 34-1 39 48-4 -J-0-480 2-038 +0-020 2-577 220 0-02U Egeria Flora : 338 272 54 -5 34-5 15 5-6 22 54-8 + 0-724 1-861 —0-141 2-539 203 0-011 Egeria . . Isis 150 110 32-7 12-3 11 31-2 194 40-6 2-497 + 0-112 2-619 — 0-557 2U1 0-065 Egeria Laetitia . . . . 155 42 19-5 47-5 22 31-7 199 26-2 2-514 + 0-503 2-599 —0-092 21 0-088 Egeria Leda 200 30G 13-0 3-0 19 41 6 242 39-0 2-688 +0-365 2-438 —0-061 63 0-061 Egeria Lutetia 352 315 21-2 24-2 14 12-8 35 52-4 + 0-291 2 243 +0-064 2-517 213 0-045 Egeria Massalia . . . . 359 195 26-2 57-2 17 12-0 42 27-9 +0-325 2-183 +0-041 2-567 223 0-040 Egeria Metis 348 323 11-1 19-9 U 42-8 31 52-5 + 0-405 2-145 —0-035 2-598 212 0-035 Egeria Pallas 142 17 46-5 30-5 46 43-4 187 8-8 2-470 —0-075 2-659 +0-208 187 0-072 Egeria Parthenopc . . . 343 262 43-0 37 • 0 16 30-2 27 33-0 + 0-211 2-355 +0-040 2-507 206 0-033 Egeria Psyche 170 63 19-2 28 '2 17 41-0 213 55-1 2-572 +0-715 2-541 + 0-010 3,S0 0-(I06 Egeria Thalia 149 125 24-7 21-3 8 2;'.-o 193 39 • 9 2-493 -0-197 2 - 623 + 0-073 19 . 0-051 Egeria Thetis 340 259 20-4 1-0 16 42 • 0 24 19-8 —0-046 2-C26 + 0-276 2-268 23 0-038 Egeria Urania 7 102 14-0 0-0 16 51-4 50 7-3 + 0-402 2-078 —0-003 2-641 230 (1-002 Eunomia . . . . Euterpe . . . . 357 197 36-2 53-4 13 13-4 291 31-2 —0-099 2-704 + 0-534 1-964 2.SC. (l-(l92 Eunumia . . . . Irene 347 195 59-7 30 ■ 1 20 15-8 282 6-7 +0-074 2-615 + 0-010 2-415 ■284 102 0 - 053 (1-007 Euiioniia . . . . Leda 176 173 18-4 49-0 4 45-6 110 15-4 2-488 —0-171 2-616 + 0-541 91 U-073 Eunomia . . . . Metis 345 211 31 0 24-0 16 9-6 279 41-0 + 0-076 2-635 +0-281 2-127 2.S2 (1-069 Eunomia . . . . Vesta . - • • 355 186 56-3 39-3 18 47 'S- 289 53-7 +0-429 2-190 —0-031 2-516 111 0 • 024 Euphrosyni' . . Irene .... 340 286 1-8 19-2 22 27-0 13 18-9 -0-076 3-002 +0-938 2-159 12 0-073 Euphrosyne . . Juno .... 345 208 59-5 29-5 37 15-0 18 45-2 + 0-802 2-062 +0-010 3-159 199 0-010 Euphrosyne . . Pomona . . . 1 170 48-6 12-0 31 4-8 32 58-3 —0-094 2-815 + 1-019 2 - 346 32 0-084 Euphrosyne Psyche .... 354 235 18-0 48-0 28 1'6 20 14-2 + 0-247 2-538 —0-038 3-308 207 O-033 111 84 Karl V. Littrow. Comliiuatinn A' N X R K A J Euterpe Flora . . 202° 185 39 '2 59-3 4° 23-0 296° 16'9 +0-497 2-187 —0-134 2-109 89° 0-077 Euterpe . Fortuna . 149 31 24-2 42-2 -2 41-2 243 3-4 2-702 +0-045 1-965 + 0-136 38 248 0-043 0-011 Euterpe Harmonia 179 179 41-1 52-9 2 39-8 273 19-5 +0-490 2-260 —0-325 2-265 16 0-098 Euterpe Iris . . . 169 3 8-2 9-2 7 1-2 262 46-9 2-751 —0-020 1-940 —0-013 84 261 0-008 0-011 Euterpe . Juno . . 84 7 5-ü 1-6 12 47-6 177 43-8 2-277 +0-634 2-274 —0-091 357 0-091 Euterpe . Lutetia . . 333 346 33-2 44 -S 1 35-2 67 12-4 1-957 +0-486 2-717 —0-413 17 213 0-045 0-040 Euterpe . Massalia . 161 48 12-6 21-4 1 57-8 254 51-4 2-740 —0-022 1-946 + 0-138 263 0-017 Euterpe Metis . . 325 350 32-0 44-0 4 12-8 59 10-9 1-974 + 0-123 2-686 —0-013 237 0-011 Euterpe . Pallas . . 81 2 10-7 45-3 34 26-0 174 49-0 2-257 + 0-028 2-294 + 0-754 175 0-028 Euterpe . Parthenope 45 14 32-8 15-2 3 21-6 139 10-4 2-054 +0-641 2-550 —0-340 357 0-083 Euterpe . Polyhymnia 234 318 7-3 31-3 2 23-4 327 44-0 2-490 —0-577 2-098 + 1-681 30 0-077 Euterpe Proserpina 287 334 6-9 55-9 2 47-2 20 45-9 2-130 + 0-711 2-443 + 0-015 202 0-002 Euterpe . Thalia . . 329 355 47-3 29-3 8 49-6 63 26-4 1-964 + 0-254 2-704 +0-109 236 0-078 Euterpe . Thetis . . 42 11 53-9 10-7 4 19-4 136 32-0 2-044 + 0-569 2-567 —0-389 340 0-074 Fides . . Fortuna . 7 164 39-5 21-1 4 34-8 15 43-7 + 0-743 2-066 + 0-075 2-809 186 0-047 Fides . . Harmonia 303 217 5-6 51-6 5 4-4 311 13-6 + 0-566 2-198 + 0-056 2-331 126 0-032 Fides . . Irene . . 278 199 22-0 54-0 9 1-6 286 28-1 + 0-305 2-649 —0-128 2-389 116 0-067 Fides . . Laetitia . 156 7 6-1 14-9 12 51-2 164 13-3 2-626 + 0-395 2-499 +0-006 344 0-006 Fides . . Loda . . 262 333 9-7 40-7 6 41-8 270 14-4 2-209 +0-108 3-047 +0-112 102 259 0-087 0-083 Fides . . . Leucothea 341 353 18-8 1-2 6 14-2 349 25-5 2-462 + 1-027 2-669 —0-283 149 0-082 Fides . . Massalia . 3 164 17-7 51-9 3 46-7 11 22-6 —0-015 2-341 +0-472 2-378 11 0 015 Fides . . Melpomene . 339 188 27-8 44-8 12 45-4 338 35-0 + 0-689 1-862 —0-069 2-650 159 0-069 Fides . . . Parthenope 321 204 35-9 51-3 6 38-4 329 44-4 + 0-397 2-214 —0-176 2-689 165 0-088 Fides . . . Phocaea . 22 176 52-9 42-1 24 27-0 30 56-7 + 0-011 2 - 230 +0-723 2-266 31 0-010 Fides . . Polyhymnia 178 177 9-4 2-8 1 10-4 186 14-8 2-808 + 0-842 2-354 —0-406 44 221 0-027 0-(l36 Fides . . Proserpina . 97 59 10-5 31-5 2 12-8 105 16-4 2-256 +0-536 2-962 -0-466 lös 326 0-O79 0-066 Physische Zusammenkünfte der Planeten etc. 85 Combination Fides . . Psyche . . Fides . . Thalia . . Fides . . Themis . . Fides . . Thetis . . Fides . . Urania Fides . . Vesta . . Fides . • Victoria . Flora . . Harmonia Flora . . Hebe . . Flora . . Irene . . Flora . . Iris . . ■ Flora . ■ Isis . . ■ Flora . . Lutetia . . Flora . . Massalia . Flora . . Melpomene Flora . . Metis . . Flora . . Parthenope Flora . . Pomona Flora . . Thalia . . Flora . . Thetis . . Flora . . Vesta . . Fortuna Harmonia Fortuna . Iris . . . Fortuna . Juno . • Fortuna . Leda . . Fortuna . Massalia . A' 161 19 256 197 170 142 318 201 41 101 297 202 35 167 214 231 44 16 304 327 165 15 296 321 285 285 173 77 73 33 245 287 140 126 149 39 283 325 108 93 323 330 46 164 242 194 314 355 97 12 3 20-7 0-3 55-7 22-3 54-8 53-6 45-1 36-5 16-2 10-8 50-0 48-0 8-2 35-2 25-4 14-6 2-0 4-0 20-5 41-5 9-9 59-9 7-5 53-5 40-5 29-5 26-7 18-7 9-0 50-0 27-3 9-3 34-6 0-2 22-6 12-0 49-4 54-6 17-4 19-4 59-3 58-7 49-8 41-8 45-7 32-9 46-7 8-7 36-0 40-0 52-7 44-3 l 5" 51-4 9 4-0 2 25-8 7 33-2 2 45-2 8 2-6 10 44-6 2 11-2 9 58-5 4 23-6 10 56-6 4 10-3 3 33-3 5 59-8 6 44-8 4 6-6 1 50-1 8 44-5 7 5-5 1 31-6 1 29-0 5 10-2 . 4 35-2 11 55-1 7 1-6 0 51-6 169 27-5 265 2-6 179 0-9 326 52-7 49 18-2 305 55-9 43 11-6 324 36-5 154 12-6 54 48-5 It 275 34-0 46 34-2 315 53-1 283 48-2 183 23-5 355 40-0 251 3-0 259 50-0 34 13-5 218 42-5 74 27-5 258 11-0 94 7-7 166 9-8 308 58-4 215 15-0 2-669 + 0-614 + 0-022 3-046 2-749 + 0-107 + 0-313 2-322 + 0-117 2-077 +0-579 2-229 —0-116 2 - 322 2-029 + 0-152 2-338 + 0-412 1-875 +0-900 2-315 + 0-300 1-864 + 0-4-25 2-074 —0-028 2-263 + 0-490 2-487 -hO-291 1-909 +0-370 2-450 —0-119 2-406 + 0-052 1-857 +0-617 2-544 —0-324 1-921 + 0-652 +0-378 2-287 +0--240 1-983 2-675 + 0-085 2-328 + 0-766 + 0-301 2-524 2-462 +0-091 + 0-106 2-092 2-397 + 1-013 —0-065 2-557 + 0-434 2-642 -0-111 2-466 +0-920 2-133 2-281 +0-068 1-986 + 0-030 2-514 —0-221 2 - 003 -0-012 2-533 —0-215 2 ■ 227 + 0-592 2-042 +0-023 1-890 —0-086 2-454 -0-0-28 1-9U +0-623 1-939 +0-730 2-546 -0-059 1-858 + 0-835 2-434 —0-285 —0-116 2-268 —0-097 2-625 2-141 +0-135 2-436 -0-083 —0-158 2-215 339 266 76 201 151 78 134 36 157 285 334 255 96 204 321 107 14 180 204 286 256 219 120 251 65 0-061 0-010 0-072 0-055 0-026 0-068 0-058 0-062 0-013 0-021 0-030 0-075 0-011 0-072 0-012 0-017 0-OSl 0-028 0-061 0-043 0-031 0-025 171 0-048 293 0-057 157 0-061 294 0-037 93 0-068 283 0-047 162 0-064 0-060 0-024 0015 86 Ivarl V. Littrow. Conibiiiation K i\" / Jt K A J Fortuna Melpomene . . . . 110° 171 30-4 46-4 9 = 30 '6 321° 52'4 +0-316 1-937 + 0-013 2-512 143° 0-012 Fortuna Metis 29 172 18-9 14-9 6 53-4 240 41-6 +0-083 2-675 -0-001 2-096 249 61 0-060 ü-001 Fortuna Polyhymnia . . . . 167 9 36-2 16-8 3 25-5 18 58-7 2-062 —0-054 2-816 + 0-630 26 235 0-014 0-099 Fortuna Thalia 211 355 59-4 23-8 11 30-4 63 20-9 2-102 +0-117 2-746 +0-066 70 240 0-071 0 • 035 Fortuna Thctis 258 34i 42-7 19-3 5 41-8 110 4-5 2-314 + 0-418 2-452 —0-258 316 O-IOO Fortuna Urania 310 213 37-3 54-7 2 44-8 162 0-8 +0-122 2-535 +0-008 2-149 342 126 0-008 0 - 093 Harmonia . . . . Irene 317 354 37-2 13-6 4 54-3 81 5-6 2-241 + 0-337 2-284 + 0-165 243 0-066 Harmonia . . . . Isis 342 351 12-9 14-5 4 26-0 75 42-5 2-233 + 0-322 2 - 292 -0-195 228 0-091 Harmonia .... Juno 96 19 5-0 7-0 12 48-9 189 32-6 2-371 + 0-688 2-164 —0-057 7 0-047 Harmonia .... Leda 194 1 351 21-0 18-2 U 0-4 287 45-3 2-234 +0-927 2-291 +0-024 108 0-024 Harmonia .... Leucothoa .... 237 334 21-2 9-8 9 44-4 330 43-6 2-176 + 1-131 2-355 + 0-134 159 0-092 Harmonia .... Lutetia 209 222 4-1 3-1 1 2Ö-8 302 26-6 2-211 —0-144 2-317 + 0-464 21 249 0-053 0-047 Harmonia .... Metis 1 288 313 56-5 53-5 2 30-0 22 25-6 2-168 +0-005 2-365 +0-193 23 167 0-001 0-055 Harmonia .... Pallas 85 7 15-0 29-0 34 7-2 178 40-8 2-372 — 0-059 2-163 +0-828 180 0-058 Harmonia .... Parthenope .... 97 66 42 • 0 16-0 2 26-8 191 9-8 2-371 +0-203 2-164 + 0-134 •246 0-089 Harmonia .... Polyhymnia .... 204 290 52 -0 21-6 4 30-3 298 14-6 2-217 —0-180 2-310 + 1-067 275 0-076 Harmonia .... Poraona 152 24 5-1 55-1 8 4-2 245 35 • 6 2-310 +0-102 2-217 + 0-509 236 0 - 063 Harmonia .... Thalia 318 343 29-5 53-5 6 38-6 52 1-0 2-197 + 0-110 2-331 + 0-351 61 0-048 Harmonia .... Thetis 80 ! 48 33-8 45-4 -> 59-« 173 59-4 2-371 + 0-087 2-163 +0-245 180 303 0-014 0-093 Harmonia .... Urania 189 335 44-5 2-1 6 7-6 283 9-6 2-242 +0-180 2 - 283 —0-046 115 0 - 045 Harmonia . . Vesta 23 13 44 -u 56-0 3 1-6 117 7-2 2 - 308 j + 0-495 2-219 —0-013 151 300 0-084 0 ■ 005 Hebe Isis 215 269 47-0 1-0 11 Ö5-8 353 21-9 1 - 958 + 0-005 2-867 —0-080 169 353 0-054 0-004 Hebe Juno 117 86 55-3 25 • .i 7 52-3 257 12-8 2 - 575 + 0-685 2-123 -0-103 66 o-OSl Hebe ...... Lutetia .... 191 269 23 • 0 6-2 13 23-6 1 329 3(1 • 4 2 - 036 + O-O06 2-712 +0-110 154 330 0-091 0 - 006 Hebe Parthenopi- .... 186 199 2-2 23-8 10 2(1-6 324 19-7 2-062 + 0-150 2-673 +0-019 146 0-016 Hebe Pomiina 161 79 25-0 47-0 14 52 • 8 3U0 28 ■ 9 2-211 f (1-113 2 • 465 + O-042 J22 0-027 Phiisische Zusammenkünfte, der Planeten etc. Combination .V R W Hebe Proscrpiri, Hebe . Thetis . Hygiea Iiis . . Hygiea Laetitia Hygiea . Leda . . Hygiea Polyliyiiiiiin Hygiea Psyclie . '. Hygiea . Thalia . . Irene . . Isis . . . Irene . . Lutetia Irene . . Metis . . Irene . . Partlienoi"- Irene . . Pomona Irene . . . Proserpina Irene . . Psyclie . . Irene . . Thalia . . Irene . . Thetis . . Iieiie . . Urania . . Irene . . Vesta . . Irene . . Victoria Iris . . ■ Leda . . Iris . . . Massalia . Iris . . . Metis . . Iris . . . Polyhyuinia Iris . . Poniona Iris . . . Thalia . . 19.T 285 187 •200 112 I3<) 216 346 1.H 10 331 249 19 156 330 190 213 216 3 9 24 43 332 294 344 210 200 241 160 96 279 298 323 285 7 145 318 301 344 195 88 51 186 238 354 185 163 53 239 277 172 4 40 '0 54-6 46-8 44-4 2-5 56-1 41-4 . 58-0 48-8 4-2 9-3 38-1 6-4 20-4 .34-0 31-6 öl '5 15-7 15-0 35-4 57-5 12-5 27 '2 31-6 28-9 50-9 16-3 5'7 23-0 57-6 54-2 33-8 33-6 16-4 25-7 59-7 12-6 53-4 35-1 55*1 0-4 28-0 13-0 19-6 25-5 42-7 15-6 47-6 11-6 57-6 16-4 8-0 15 21 -H 9 24-6 2 45 • S 12 51-4 3 18-0 3 59 • S 6 23 • 2 13 21-8 0 38-6 6 2-6 4 11-2 Ij 10-4 12 51-4 6 49 • 0 8 13 2 3 20 • 8 5 52-6 1 0 46 • 4 3 1-9 16 50-8 4 10-6 ä 4-8 11 0-6 6 23-0 3 27-8 331 43-3 326 0-9 39 42 ■ 5 144 14-5 306 19-3 258 49 • 4 306 40-8 258 14-3 iOO 19-4 90 0-6 111 28-5 59 33 • 1 71 30-1 286 49 ■ n 247 24-4 6 49-6 50 42 • 5 94 7-8 45 23-1 71 13-8 347 38-3 85 49-8 254 5-7 62 58-5 138 43-3 15 37-2 I 71 56-0 2-027 + 0-635 2-053 4-0-265 + 1-626 1-836 3-079 —0-107 3-045 -I-0-061 + 0-373 2-497 + 0-338 2-721 4-0-118 2-977 2-756 —0-841 —0 - 100 2-603 4-0-209 2-148 4-0-214 2-486 -0-057 2-703 2-652 —0-152 2-365 4-0-750 3-013 -0-239 4-0-068 2-738 4-0-241 2-201 4-0-293 2 • 550 4-0-066 2 - 582 1 • 988 4-0-850 1-941 4-0-128 4-0-122 2-680 1-861 4-0-568 2-331 4-0-101 1-886 4-0-275 2-730 —0 • 120 2-684 —0-122 —0-102 2 - 937 3-157 —0-618 3-181 + 0-165 4-0-826 2-586 4-0-146 3-032 4-1-289 2-125 2-306 4-0-584 4-0-343 2-178 4-0-096 2 - 593 —0-025 2-373 — 0-040 2-430 2-386 4-0-400 2-678 —0-013 2-152 4-0-091 + 0-084 2-189 4-0-085 2-467 4-0-084 2-165 4-0-436 1-953 2-618 -0-091 2-704 4-0-040 —0-199 2-092 2-876 —0-214 2-198 4-0-503 2-819 4-0 090 139 246 200 149 311 234 135 254 49 232 84 284 134 244 78 253 70 274 68 174 347 221 56 269 212 79 74 153 103 262 266 229 146 283 249 O-088 0-059 0-062 0-049 0-091 0-014 0-085 0-060 0-090 0-019 0-024 0-032 0-026 0-065 0-021 0-094 0-037 0 053 0-081 0-007 0-029 0-061 0-042 0 • 028 0-046 0-030 0-078 0-036 0-052 0 - 060 0-014 0-095 0 ■ 083 0-021 0-093 0 ■ 055 88 Karl V. lAttroio. C'ombination K R B' A Iris . . Victoria Isis . . Juno Isis . . Lutetia . I SIS . . . Parthenope Isis . . . Proserpina Isis . . . Thalia . . Isis . . . Thetis . . Isis . . . Vesta . . Isis . . . Victoria . Juno . . Lutetia . . Juno . • Pomona Juno • . Tliemis . • Laetitia . Massalia . Laetitia . Phocaea . Laetitia Pomona Laetitia Psyche . . Laetitia Thalia . . Laetitia Thotis . . Laetitia . Vesta . . Laetitia Victoria . Leda . . Melpomeiie Leda . . Pomona Leda . . Thalia . . Leda . . Urania . . Leda . . Victoria . Leucothea Massalia . 122 146 300 214 2 G 329 28S 21 59 113 129 319 279 308 289 345 194 13 103 239 290 182 317 356 307 263 208 331 268 2 9 46 134 29 60 44 97 315 237 20 166 38 113 330 199 355 343 68 129 2 152 37-0 37-0 19-2 47-2 12-5 7-5 17-5 55* 5 15-6 39-6 12-5 28-9 48-0 4-8 14-2 29-2 33-3 46-9 25-2 30-8 57-7 31-7 27-8 9-8 58-0 30-4 29-4 9-8 51-0 32-6 52-8 27-4 20-2 40-2 0-7 28-3 42-6 59-8 16-1 34-9 4-9 9-9 24-8 46-8 38-1 37-5 3-5 21-9 34-6 2-6 14-6 2-6 4° 3-8 15 8-2 5 30-2 5 63-2 6 11-2 3 8-8 5 41-2 2 56-4 16 35-2 13 23-8 10 37-0 13 38-2 9 38-6 18 5-4 9 1-4 7 2-2 14 20-8 6 4-2 8 11-8 U 42-8 16 26-4 7 24 • 4 15 44-4 4 , 57 -8 7 52 ■ 2 H 51-4 22° 22 '6 24 58-5 86 32-9 53 56-2 105 36-3 197 48-6 44 29-5 32 54-9 70 6-4 183 57-7 151 20-0 353 17-2 154 1-1 60 28-4 129 16-8 159 55-4 203 0-6 185 43-3 201 21-0 112 46-6 316 20-9 334 35-5 267 12-8 29 1 29 • 4 4 19 • l 35s 33 • 3 — 0 + 0 2 + 0 2 + 0 — 0 2 + 0 2 + 1 + 0 2 + 0 2 +0 2 — 0 3 -t-0 2 +0 2 +0 + 1 1 +0 + 0 3 +0 + 0 2 + 1 •289 ■144 •089 •036 •075 •580 •109 •462 •018 •791 •250 •331 •446 •717 •342 • 522 •070 •572 •269 •721 •179 •395 •217 •219 •816 •183 •042 ■568 •449 •464 •231 •244 •626 •382 •684 •349 ■800 •213 •006 ■834 ■086 ■968 ■176 •759 ■087 ■OGC ■778 ■376 ■686 •021 •138 •417 +0 2 — 0 3 — 0 2 — 0 2 — 0 2 — 0 2 + 0 2 + 0 2 + 0 1 +0 — 0 — 0 2 +0 1 — 0 2 — 0 2 + 0 2 — 0 + 0 1 — 0 2 + 0 2 +0 2 +0 2 +0 580 309 706 221 161 195 140 396 54ä 497 632 712 133 204 256 185 176 958 049 102 327 748 854 017 046 566 883 997 079 662 067 577 079 588 029 525 021 489 816 828 085 462 067 387 237 083 041 278 168 472 042 305 354 20 79 66 104 211 50 240 246 76 70 6 142 173 337 62 304 340 27 5 22 113 134 346 149 269 117 176 LS.-) 0-065 ©•060 0^067 0^073 0-007 0-031 0-U69 0^067 0^062 0^092 0-070 0-026 0-087 0-011 0-041 0-037 0-054 0^067 0-053 0-025 U-021 0-006 n-077 0-091 0-04Ü 0-078 0-028 (»■062 0-033 Physische Zusammenkimfte der Planeten etc. 89 Combination K N /i n y." .1 J Lcucothea Pallas . . 356° 180 49 '6 49-2 42° 57 'O 353° ll'7 + 0-447 3-071 + 0-102 2-271 174° 0 - 097 Leucothca PUocaea . •28 1C9 4-6 25-2 28 33-6 24 9-5 + 1-453 2-160 —0-009 2-341 204 0-005 Leucotliea Pomona 16 151 0-3 21-7 12 6-0 17 51-3 +0-780 2-829 —0 • 004 2-337 198 0-004 Lcucothea Tlicniis 176 136 5-4 35-4 7 38-6 172 42-2 2-375 + 0-460 3 -515 —0-076 347 0-015 Lcucothea Thetis . . 339 210 36-0 53-4 12 33-0 336 8-0 + 0-998 2-367 — 0-057 2-506 156 0-057 Lcucothea Victoria . 30 löO 5-3 25-3 14 27-6 26 11-0 + 1-434 2-175 + 0-059 2-274 203 0-049 Lutetia . . 351 1-2 3 32-4 71 27-9 +0-382 — 0-429 216 0-091 Massalia . 224 57-2 2-091 2-707 34 0-084 Lutetia . . Metis . . 154 1G6 6-7 6-3 2 40-0 234 34-9 —0-280 2-666 +0-256 2-101 208 24 0-055 0-053 Lutetia . . Phocaea 318 185 48-2 33-2 23 49-6 39 10-8 —0-057 2-319 +0-314 2-179 38 0-055 Lutetia . . Polyliyniiiia 216 288 51-3 1-9 3 4-6 297 14-9 2-079 —0-036 2-760 + 0-599 291 0-015 Lutetia . . Pomona . 155 15 45-0 33-0 7 23-0 236 12-6 2-375 + 0-008 2-368 -hO-398 235 0 - 004 Lutetia Proserpina 266 300 16-7 51-3 2 2-S 346 42-2 2-059 -1-0-664 2-796 —0-242 117 230 0-075 0-076 Lutetia Thalia . . 342 354 10-3 40-1 7 14-8 62 37-4 2-412 -0-188 2-333 + 0-471 52 0-060 Lutetia Theinis 192 237 50-0 7-6 2 34-2 273 14-9 2-163 -i-1-228 2-626 +0-243 121 0-061 Lutetia Vesta . . 218 195 25-9 38-7 4 27-2 29S 19-1 —0-135 2-210 + 0-277 2-410 278 88 0-066 0-100 Lut tia Victoria 342 187 13-0 lC-0 11 16-2 «2 40-0 —0-091 2-503 + 0-333 2-000 62 0 ■ 090 Massalia . Metis . . 37 175 36-7 41-3 6 7 'S 244 7-0 0-000 2-678 -rO-015 2-094 66 244 II-U13 0-00(1 Massalia . Pallas . . 326 358 19-0 27-0 34 9-0 172 49-7 2-273 —0-005 2-452 + 0-624 173 0-005 Massalia . Phocaca . 187 180 44-2 15-2 20 55-0 34 14-9 —0-045 2-265 + 0-288 2-230 34 0-045 Massalia . Polyliymuia 167 4 10-0 29-0 2 36-8 13 40-7 2-328 —0-347 2-392 + 1-150 42 242 0-045 0-091 Massalia . Pomona . 16 2 35-7 22-5 4 4-6 223 6-4 2-571 -0-211 2-180 + 0-616 191 0-098 Massalia . Proserpina 196 356 13-0 56-2 4 14-8 42 43-7 2-181 + 0-701 2-569 —0-141 206 0-056 Massalia . Psyche . . 291 347 48-1 49-3 2 44-0 138 18-8 2-126 + 0-994 2-651 + 0-010 318 0-010 Massalia . Thalia . . 218 357 59-0 34-0 10 45-5 65 29-7 2-105 + 0-099 2-684 + 0-153 72 0-084 Massalia . Urania . . 298 196 21-0 46-0 2 20-2 144 52-3 +0-303 2-147 —0-404 2-618 64 0-085 Melpomene Lutetia 197 267 47-0 6-2 9 29-4 347 29-8 1-834 + 0-226 2-709 t-0-084 174 0 • 053 Denkschriften der niathcni.-naturw CK XVI- Hd. 12 90 Karl V. Littrow. Combination A' J\- / R /," A J Melpomene Parthenope 1 198° 222 8-1 58-5 1 6° 16-6 347° 50' 4 1-834 -rO-406 1 2-711 —0-059 163° 0-031 Melpomene Polyhyninia 186 326 4-5 44-5 11 43-4 335 57-1 1-872 +0-030 2-630 + 1-193 334 0-027 Melpomene Pomoua . 152 81 21-0 59-0 9 40-6 302 41-8 2-056 +0-578 2-337 ! +0-152 132 0-074 Melpomene Urania . . 176 18 16-5 12-5 12 7-2 326 18-4 1-915 +0-293 2-551 —0-093 140 0-091 Metis . . Parthenope 128 71 20-0 58-8 4 54-6 196 52-5 2-533 +0-019 2-192 + 0-U2 2 199 0-054 0 • 008 Metis . . Proserpina 211 233 12-2 35-0 o 40-2 279 29-0 2-636 —0-155 2-127 + 0-685 301 0-044 Metis . . Thalia . . 358 359 50-0 21-6 4 38-4 67 14-8 2-093 +0-099 2-680 +0-177 80 232 .0-044 0-062 Metis . . Thetis . . 118 61 61 22-5 5 19-8 186 37-5 2-482 +0-138 2-232 +0-298 175 0-050 Metis . . Urania . . 15 135 15-5 28-1 6 Ö4-0 83 86-2 —0-063 2-160 +0-152 2-520 77 0-054 Metis . . Vcsta . . 266 231 15-9 35-0 4 5-0 334 39-4 + 0-061 2-322 —0-043 2-369 341 159 0-018 0-014 Pallas . . Thalia . . 16 117 21-0 49-6 38 20-5 186 5-3 +0-148 2-238 +0-100 2-782 6 0-100 Pallas . . Thetis . . 7 53 56-5 49-5 31 8-4 179 3-3 —0-063 2-383 -rO-498 2-488 180 0-054 Pallas . . Vesta . . . 12 79 23-4 32-6 32 47-0 182 45-0 +0-091 2-263 +0-505 2-426 181 0-072 Parthenope Phocaea . 280 192 34-6 24-6 21 59-4 45 34-8 +0-035 2-392 +0-311 2-119 46 0-032 Parthenope Pomona . . 137 41 3-2 25-8 6 11-6 262 6-4 2-295 + 0-208 2-578 +0-081 89 0-046 Parthenope . Proserpina 221 300 54-8 56-0 5 17-4 346 46-7 2-238 -rO-485 2 654 —0-100 157 0096 Parthenojic Thalia . . 276 332 30-3 13-7 8 37-6 41 28-9 2-409 —0-007 2-448 +0-116 41 215 0-003 0-047 Parthenope Themis 190 278 4-3 52-3 4 40-3 314 59-7 2-209 i-1-311 2-696 +0-086 135 0-086 Parthenope . Thetis . . 2 1 20-6 56-0 0 58-6 127 17-6 2-692 —0-033 2-212 +0-032 122 299 0-004 0-005 Parthenope Urania 0 177 59-4 49-8 6 42-9 125 56-7 i-0-a36 2-356 —0-085 2-297 316 0-063 Parthenope Vesta . . 127 148 20-8 54-2 3 18-3 252 23-7 +0-178 2-148 —0-033 2-573 •293 78 0-088 0-016 Parthenope Victoria . . 313 203 42-8 '30-8 10 53-6 78 45 -8 —0-082 2-647 +0-388 1-917 73 0-070 Phocaea . Pomona . 178 171 5-7 28-9 16 55 "4 32 14-5 2-243 + 0-573 2 - 252 +0-093 209 0-068 Phocaea Thalia . . 191 336 12-0 13-4 30 36-4 44 26-8 2-379 —0-004 2-129 +0-468 44 0-004 Phocaea . Thetis . . 194 282 59-5 33-1 22 9-6 48 0-2 2-420 +0-309 2-097 fO-099 226 0 • 090 Phocaea . Vesta . . 15 125 58-0 25.0 25 0-0 228 54-9 — 0-071 2-160 —0-22.; 2-556 227 0-065 riiysische Zusammenkünfte der Planeten etc. 91 Coinhinatiün It W l'liocaoa Victoria I'olyhymnia Pi'oserpina Poiyhymn 'rijcmis . Polyhyiuni Urania . Polyliymn Vosta . Ponioiia Prosei'pina Pomona Psyche PoDiona Vesta Poinoiia Vii'toria Pfoscrjjiiia Tlietis Proserpina Urania . Psyche . Thetis . Psyche . Victoria Thalia . Thetis . Tlialia , Urania . Thalia . Vesta . Thetis . Urania . Thetis . Vesta . Thetis . Victoria Vesta Victoria 326 ■24Ü ■209 IG3 VM Ö3 124 288 195 182 357 217 2S7 38 155 212 197 295 215 28 125 130 155 285 200 32G 2G9 9 128 3 1 (5 281 0 177 110 132 316 207 333 202 2r7 28-7 22*5 49-5 8-5 13-5 4-4 7-ü 57-2 0-0 11-0 7-2 40-7 50-3 24-8 36-2 13-2 34-4 4-2 40-2 16-0 52-0 9-2 12-2 31-6 42-4 42-3 38-3 14-5 50-5 46-5 43-5 44-9 59-9 57-0 53-8 54 -8 10 -s 51-3 3-3 14 7-4 2 20-2 1 10-4 2 3-6 7 31-8 8 19-4 4 42-0 10 13-4 3 59-4 6 4-6 4 23 • 8 3 6-2 8 42-2 8 36-8 11 25-2 6 2-0 7 41-6 2 52-0 11 33-6 14 11-8 202 14' 6 255 33-6 172 20-9 72 15-8 298 10-8 42 54-9 78 19-0 259 2-6 72 52-8 340 54-3 73 59-8 280 40-7 75 58-9 35 0-2 76 58-4 25 6-4 126 6-6 236 24-8 82 14-2 77 19-1 +0-053 2-311 -I-0-036 2-436 3-790 —0-947 +0-338 2-124 —0-172 2-209 2-796 •f 0-086 2-675 +0-046 + 0-306 2-150 -rO-100 2-597 -1-0-310 2-390 rO-744 2-129 -rO-707 2-177 + 0-085 2-623 —0-211 2-677 —0-006 2-138 + 0-070 2 • 500 -0-313 2-665 + 0-023 2-153 + 0-113 2-674 —0-062 2-634 —0 - 002 2-143 —0-258 2-871 1-910 + 1-531 -0-050 2-570 +0-882 2-491 2 - 360 + 0-068 2-453 + 0-589 f 0-101 2-571 + 0-490 1-944 + 0-116 2-479 —0-129 2-563 + 0-099 2-762 + 1-128 1-930 +0-264 2-231 + 0-415 2-550 rO-195 2 - 202 + 0 061 2-240 1-0-191 2 - 565 + 0-257 1-903 -t-0-225 1-924 203 22 258 89 91 210 248 24 283 43 ■227 80 155 271 91 HO 23 76 190 29 311 239 74 0-051 0-002 0 • 004 0 - 027 0-063 0-069 0-008 0-051 0-077 0-077 0-063 0-018 0-093 0-026 0 ■ 088 0-060 0-027 0-079 0-085 0-004 0-066 0-022 0 • 033 0-021 0 - 092 0-037 So befriedigend im Allg-emeinen die Übereinstimmung der von Herrn Linsser gefun- denen Resultate mit den oben S. 35 und ff. mitgetheilten Ergebnissen meiner Arbeit sind, so trifft man doch bei näherer Vergleiehung auf wesentliche und sehr lehrreiche Abweichungen beider Arten, diesen Theil des hier vorliegenden Problemes zu behandeln. Herr Linsser hat -1:26 Bahnnähen, somit 123 weniger als ich, gefunden. Wenn nun gleich ein Theil dieser Differenz auf Eechnung verschiedener Elemente, die wir der Untersuchung zu Grunde legten, geschrieben werden kann, und gewiss manche der von mir aufgeführten Proximitäten bei näherer Prüfung als mit zu grossen Distanzen behaftet wegfiele, so bleibt doch jener Unterschied 12* 92 Karl v. Littroio. Physische Zusammenkünfte de?- Planeten etc. um so aufiallender, als unter den bei Herrn Linsser fehlenden, bei mir hingegen vor- handenen Balmnähen sieh niclit wenige enge vorfinden, deren Distanz schon in denProjectionen der Zeichnung also noch mehr in der kürzesten Entfernung weit unter O'l liegt. Ich glaube darin einen Beweis für die Richtigkeit meiner oben S. 53 ausgesprochenen Ansicht sehen zu dürfen, dass nämlich sich auf den beiden zur Sichtung der Bahnnähen von Hrn. Linsser befolgten, der Rechnung allerdings zugänglichen Wegen, nämlich der kürzesten Entfernung beider Bahnen die Distanz im gemeinsamen Knoten oder im Breitenkreise zu substituiren, immer eine Menge bemerkenswerther Fälle unserer Aufmerksamkeit entziehen, und der von mir ein- geschlagene Gang der Untersuchung bisher immer noch als der sicherste gelten muss. Combinationen mit zwei Bahnnähen fand Herr Linsser 74, während ich deren oben 109 aufführe. Das Zusammenhalten .beider Arbeiten hat zehn Corrigenda bei mir und eben so viele bei Hrn. Linsser ergeben, was ich als Massstab für dieVerlässigkeit der erhaltenen Resultate anführen zu müssen glaube. Eine einzige bedeutende Variante blieb unerklärt : die Com- bination Parthenope-Proserpina gibt in den Zeichnungen die gegenseitige Distanz der Bahnen nicht unter 0-150, während Herr Linsser dafür 0*096 findet. Diese Combination erscheint daher in meinem Verzeichnisse nicht, während sie bei Herrn Linsser steht. Bei der Grösse der Distanz, auch wie sie von Herrn Linsser gefunden ist, hielt ich es nicht für nöthig, dieser Abweicliung näher nachzuforschen. Herr Linsser hat in 45 Fällen Bahndistanzen unter 0-01, in 6 Fällen unter 0-001 gefun- den. Er bemerkt zu seinen Rechnungen, dass, wenn die Differenz in B auf der Knotenlinie in beiden Knoten dasselbe Zeichen hat, dies auf eine isolirteLage beider Bahnen deutet, während der ent,o-eo-engesetzte , weit häufigere Fall ein Lieinandergreifen der Bahnen bedingt. Bei folo-enden sechs Combinationen wird nach Herrn Linsser die Bahn eines Planeten mit grös- serer mittlerer Entfernung von der eines Planeten mit kleinerer Bahnaxe umschlossen: Atalante-Egeria. Calliope-Psyche, Ceres-Palhis , Euterpe-Iris. Irene-Pomona. PhocaeT-Ve^ta. In nachstehenden drei Combinationen fällt die Apsidenlinie mit der gemeinsamen Kuotenlinie beider Bahnen nahe zusammen: Hygiea-Irls , Leucothea-Pomona, Parthenope-Tliemis. Den ersten dieser Fälle liabe ich schon in meiner o. c. Abhandlung über ,.Bahnnähen- hervorgehoben. Über ein Drittlicil der Combinationen mit Bahnnähen gaben Herrn Linsser in den Knoten keine solche, und für beiläufig eben so viele lag der Ort der Balumähe mehr als 20" vom yemeinsamen Knoten beider Bahnen entfernt. rUMBINATlOX' cAi.LiopK-pNyriie Taf.I i rli-i Orifinnlfi LiAn^iii iJ: kKaf-M-Sx*Awdt!ic>.err! Uenkfclirifleri iliT k Akail il Vissfnvrli marhi-m anlurw, i;iXVLÜ(l.m5R. TafU.a. Atfllf'/i^r. Jtfii/hlfh^m. PnpMSucJi. tPfi/f.Th*tl P/ior./^ly. J JutUüfi^t. \'^r')^'-\ f. AffK Cai/t^. .7 raa4e.Tllrl tAmpMytit. S-EuifTperf^ I Ifnrm/.tU XLaft. Thnl. f:^t: T/tnl f.iitrrf.iiM. P^nrfrnn. 4Su(rr.itff.^ I. fArtn Ihr/. ] 2. f■*'■ \ i Zut. Pfii-th. i ('irr. /t>w». / .1 Faith.Them. it>hil.ilHp.\ *. Jfrfp I ran.) i,./Hnit f.rd- ■Unna. /*>*' » ffrilnl 'mr. 7 »fr/j; Po. l //!■& I. Ilt. — . -,, V f-'/or ftii rnr / HH/f l.nmf 3. fort, Juan. t Ji'.ii.V'if.X .l.//«;7»c/.J |li'nks(|inri.Mi «ler k Ak;iü d Wissfiisrli.ninlln-iri milurw. II ,\Y|,!ld. l8.uS \rer llggir. 'rerlrar. IKi.pKrnl."' / / WrtT ^b/V. Itt } /'atiip sunt \3 l'irf hrnnilh it. ,Cri>-K- //' ^ Fi:g.ß. hg/'S. C '.'S^' "''' : Dunksrhrirteiidcik .\lwuld\ViN,soi«i'li iii.illii'iii ii.iliu»- Cl.XVI I5d. IHjK. Ii;lii!>"«T. I''iirs'_;'i'li'iiki' der \'o:^i'l T.if Fiff .?/. Fi;), /ff. l Zm \ FiyU ^ /'Yf/. /.9A. Fiy./ff. Fi-^./7. Füj./,f. Dciiksolinripn der k Akuit il Wi.sNpnsch iiiallieiu iiaturw t'l Wl Bii I8.>8^ -Jtti.Ti.Jeitinc'kHof u JJl,d,^t^Jnll■k^.To Ik'I ny'pr. Kiirst>Vl('iik(' der \ui;'('l. T,-ir, IV, />// '/,s. l)ciiksiiinrii'iiiliTk..\k,ul dWi.s.scii.sili.ni.illiciii ii.ildiu i'l \\\ llil IHWl 131 DIE t R WE L T L I C 11 E N T H AL L O P H Y T E N DES KKEIDEGEBIKCtES von AACHEN UND MAESTRICHT. BEARBEITET VON • D« MATTHIAS IIÜBEIIT DEiJEV. HRAKTiSCHEM ARZTE IN AACHEN, UND ])'' CONSTANTIN ritter von ETTINGSHAUSEN, OORRESPONDIBENDEM MITGUEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN VORGELEGT IN DICK .SITZUNG DER MATlIIOMATISCil ■ NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM IC. JULI 1.S57. VORWORT. Vor ungefähr dreizehn Jahren wurde unsere Aufmerksamkeit zuerst auf die Pflanzenreste gelenkt, welche sich, für den ersten Anschein sehr spärlich, in den zur mittleren und oberen Kreide gehörenden Gesteinen in der Umgebung von Aachen, namentlich im sogenannten Aachener Sand, vorfanden. Die seitdem mit zunehmender Vorliebe und mit Erfolg geführten Nachforschungen haben bis jetzt für die Kenntniss der Pflanzenschöpfung überhaupt, wie im Besonderen für die Kreidezeit und die Örtlichkeit Aachens so überraschende und kaum zu erwartende Ergebnisse geliefert, dass das mühevolle Unternehmen der Bearbeitung und Ver- öffentlichung sich wohl rechtfertigt. Ausser dass eine grosse Zahl neuer und höchst eigenthümlicher Formen aufgefunden wurde, welche fehlende Glieder des Systems ergänzen und die ur weltliche und lebende Pflanzenwelt als ein einheitliches Werk darzustellen mitbeitragen, ist für die Kreide zuerst die Möglichkeit zu einer genaueren Vergleichung mit der Jetztwelt gewonnen worden ; zwar nicht so, dass ältere Pflanzenformen der Jetztwelt näher rückten, sondern in der wichtigeren 17* 132 M. IL Dehey und C. v. Ettingsliausen. Weise, dass jetztweltliche Familien und Gattungen bis in die Kreide hinab verfolgt werden können und einer der zahlreichen Vegetationstypen der Jetztwelt, nämlich der des australischen Küsten- und Insellandes, sich in der Kreide wiederfindet. Gleichzeitig wurde die Kreide- pflanzenwelt um das Dreifache an Zahl der Arten vermehrt und die Summe derselben mit Hinzuziehung der in letzter Zeit bekannt gewordenen anderweitigen Bereicherungen auf unge- fähr fünfhundert Arten gebracht, so dass die Kreidezeit, die bisher zu den ärmsten pflanzen- führenden Zeitabschnitten gehörte, jetzt nur gegen die Steinkoblen-, Eocen- und Miocen-Perio- den zurücksteht. Mit wenigen Ausnahmen sind sämmtliche Arten von dem erstgenannten Bearbeiter an ihren ursprünglichen Lagerstätten gesammelt worden. Dabei wurde die Aufmerksamkeit vorzugsweise dahin geleitet, aus den vielen Bruchstücken, von etwa fünfundzwanzig Fund- stätten, nicht blos eine grosse Zahl von Arten, sondern die einzelnen Arten in möglichst vielen ilirer Organe zusammenzubringen. Durch diese bestimmte Richtung der Nachsuchungen ist es ungeachtet der sehr schwierigen Verhältnisse unseres Gebietes für viele wichtige Pflanzen- reste und namentlich für Farnkräuter und Coniferen gelungen, Laub-, Blüthen- und Frucht- theile aufstellen zu können, wobei freilich nicht selten kleine, unscheinbare und in der Regel unbeachtet bleibende Bruchstücke von viel grösserer Wichtigkeit sich erwiesen haben als grössere und augenfällige Schaustücke, auf die sich das Sammeln gewöhnlich zu erstrecken pflegt. Dadurch ist es theils möglich geworden, wie wir glauben, zur Aufstellung natürlicher Gattungen vorzuschreiten, theils eine mehr auf Kenntniss wesentlicher Organe sich stützende Verffleichunw mit den Formen der Jetztwelt zu unternehmen. Ferner haben wir einen grossen Theil, ungefähr die Hälfte, aller Pflanzenreste selbst abgebildet und dadurch wenigstens so viel erreicht, dass dem Leser eine Darstellung dessen gegeben ist, was der üntersucher in den Originalen selbst zu sehen geglaubt und nicht erst durch fremde Vermittelung gesehen, was wenigstens für manche Reste, wie unsere schwer zu untersuchenden fossilen Farnkräuter, nicht ohne Werth ist. Dass freilich diese Abbildun- gen noch weit davon entfernt sind, Naturselbstdrucke zu sein, wird derjenige am besten zu beurtheilen, aber auch zu entschuldigen wissen, der sich selbst mit der Abbildung fossiler Pflanzenreste in schlecht erhaltenem Zustande und unter fast fortwährender Anwendung von Vergrösserungen befasst hat. Bei wenigen naturwissenschaftlichen Gegenständen kommt es in gleichem Masse wie bei den fossilen Pflanzen darauf an, nicht blos eine ideelle Vorstel- lung des Gegenstandes zu geben, sondern auch, ihn in seiner materiell trümmerhaften, die Enträthselung erschwerenden oder erleichternden Erhaltungsweise zur Anschauung zu bringen und ihn weder einerseits zu einem Phantasiestüek zumachen, noch andererseits trotz der Abbil- dung unverständlich zu lassen. Was die Bestimmungen betrifft, so haben wir uns viel häufiger, als es gegenwärtig zu geschehen pflegt, der Unterordnung unserer Reste unter lebende Gattungen enthalten zu müssen geglaubt, obgleich wir die Vergleichung mit denselben möglichst häufig haben stattfinden lassen. Wir mögen uns überhaupt gern dahin bescheiden, hauptsächlich nur das Die urweltUchen Thallophyten des Kreidegebirges von Aachen etc. 133 Material zu Tage gefördert zu haben, was allein schon die Kräfte des Einzelnen übersteigt. Die anscheinend und auch wirklich schöne Erhaltung unserer Pflanzenreste scheint allerdings mehr zu verlangen. Wir müssen aber darauf aufmerksam machen, dass eben diese Schönheit der Erhaltung die Bestimmung häufig nichts weniger als erleichtert hat, indem sie dazu auf- forderte den älteren Standpunkt zu verlassen, ohne doch hinreichend zu bieten, um den Mass- stab der Bestimmung für die lebende Pflanzenschöpfung anlegen zu lassen. Man hat nicht leicht eine Vorstellung von den Schwierigkeiten der Bestimmung, wenn man die innerhalb vieler Jahre gesammelten oft schlecht erhaltenen, zweifelhaften und zahlreichen Deutungen zugänglichen Bruchstücke mit Umsicht geordnet und abgebildet vorliegen sieht. Wir mögen uns auch nicht näher in den zum Theile überwundenen Schwierigkeiten ergehen, die sich der Bearbeitung und Veröffentlichung eines solchen Materials entgegengestellt haben. Man kann sie kurz in die Worte Byr on's fassen: „Der Baum der Wissenschaft ist nicht der Baum des Lebens". Nur eine derselben müssen wir hier hervorheben, weil sie der Veröffentlichung und Bearbeitung eine günstige Wendung gegeben hat. Gehäufte Berufsgeschäfte haben zu wiederhol- ten Malen vielmonatliche gänzliche oder fast gänzliche Unterbrechungen der Arbeit veranlasst, so dass ein vollständiger Abschluss derselben noch in vielen Jahren nicht zu erwarten stand. Haben ja Sternberg und Brongniart viele Jahre, ersterer von 1821 — 1838, letzterer von 1828 — 1844, über dem Erscheinen ihrer Arbeiten hingehen sehen. Es musste dem erst- genannten Verfasser vorliegender Arbeit daher ein sehr willkommenes Ereigniss sein , nicht allein eine raschere Vollendung der Arbeit und die Übernahme der Herausgabe in einer aus- gezeichneten typischen Ausstattung durch die k. Akademie der Wissenschaften in Wien ermög- licht zu sehen, sondern auch eine werthvolle Mitwirkung zur Lösung der vielen Schwierig- keiten gewonnen zu haben, die sich der Deutung unserer höchst eigenthümlichen und vielfach räthselhaften fossilen Kreideflora entgegenstellen. Von dem uns zu Gebote stehenden Materiale dürfen wir, namentlich seit noch die Eeste der Kreide desGrossherzogthums Limburg hinzugekommen sind, behaupten, dass es eine ziem- lich umfassende und wesentlich richtige Vergleich ungen erlaubende Ausdehnung gewonnen, so dass sich auch hiedurch das nicht fernere Säumen mit der Veröffentlichung rechtfertigt. Anderer- seits muss zugestanden werden, dass die nähere und fernere Zeit wohl noch viele Bereiche- rungen und Berichtigungen bringen wird, da die meisten Fundstätten nur mit einem zu ihrer räumliehen Ausdehnung verhältnissmässig geringen Aufwand von Zeit und Mitteln haben aus- gebeutet werden können und noch manche gar nicht untersuchte Schichten vorhanden und im Besonderen uns bekannt sind, die eine nicht unbedeutende Ausbeute erwarten lassen. Die vorliegende Abhandlung , welche als die erste Abtheilung unserer Arbeit über die Aachener Kreideflora betrachtet werden möge enthält nebst einer Einleitung die monogra- phische Bearbeitung der lager wüchsigen Pflanzen der genannten Flora. Im Laufe der Zeit werden noch fünf Abhandlungen folgen, welche abtheilungsweise die gipfelwüchsigen Pflan- zen, ferner die Umsprosser und Coniferen, sodann die Apetalen , worunter namentlich sehr viele und ausgezeichnete Protcaceen und zuletzt die übrigen Dikotyledonen Früchte und Blätter 134 M. IL Debey und C. v. Ettingshausen. enthalten. Innerhalb zwei Jahren kaini die Arbeit vollständig ausgeführt sein, um so mehr, als das Material zu den folgenden Abtheilungen grösstentheils vorbereitet vorliegt. — Die Übernabme der Bearbeitung der Insectenreste unserer Kreide, Käferfliigel aus den Thon- schichten des Aachener Sandes, hat Herr Professor Dr. A. Förster zugesagt und dürfte diese Arbeit vielleiclit noch im laufenden Jahre erscheinen. Die nachfolgende Einleitung behandelt die Geschiclite der Auffindung und Bearbeitung, so wie die Art dei- Ablagerung und Erhaltung der Pflanzenreste. Daran reihen im speciellen Theile sieh die Besehreibung und Erldäruni? derselben, ferner ein Verzeiclmiss der Kreide- Thallophyten aller bisher bekannten Fundorte. Die Verfasser. Die lirweltlichen Tlialloj^hyten des Kreidegehirges ron Aachen etc. 135 EINLEITUNG. I. Die Geschichte der Auffindung und Bearbeitung. Die erste Erwähnung von Pflanzenresten der Aachener Kreide verdanken wir dem Herausgeber der ^Jidiae et Montium Suhterranea'' ^). dem Missionär Franciscus Beuth, der auf seinen Reisen eine ansehnliche Sammlung von Petrefacten und Mineralien zusam- mengebracht und auch bei Aachen gesammelt hat. Seine Ausbeute an Kreidepflanzen war indess sehr dürftiu-, während er aus den Kohlenfeldern an der Worm und bei Eschweiler bereits vierziar Nummern aufzählt, und mehrere derselben kenntlich abbildet. Seine Kreidepflanzen beschränken sich auf die ziemlich häufigen fossilen Hölzer, die er unter der damals gebräuchlichen Benennung der Lithoxyla et Carpolithi B. Nr. 34—38 aufführt. Es sind drei Holzstücke Nr. 1, 5, 8, von denen die beiden ersteren aller Wahrscheinlichkeit nach dem Aachener Sande angehören, während das letztere aus dem Grünsand zu kommen scheint, wenn es überhaupt ein fossiles Holz und nicht eine morphoUtische Oesteinsbildung ist. Sein Rhizolitkm Fraxmi Nr. 4, p. 35, aus der Gegend von Aachen ist mit grösster "Wahrschein- lichkeit eine solche und seine Carpolithi von Aachen, Nr. 38, p. 38, sind offenbar die hie und da im Diluvialkies vorkommenden Hörn- und Feuerstein-Oolithe der Tertiärschichten (systeme tongrien Dumont)^ welche schon in geringer Entfernung von Aachen die Kreide be- grenzen. Fast ein halbes Jahrhundert später erschien Schlotheim's ., Petrefaetenkunde. Gotha 1820, mit 25 Kupfertafelu", welcher in den Jahren 1822 und 1823 die „Nachträge zur Petrefaetenkunde, Abth. 1 mit 21 Tafeln, Abth. 2 mit IG Tafeln" folgten. In der erst- genannten Schrift erwähnt Schlotheim imter der Abtheilung „Pflanzenreich, Den- drolithen S. 384, Nr. 16" mehrere Hölzer von Aachen wie folgt: „Nr. 16. Sehr charakte- ristische Stücke versteinertes Holz, theils dünne und lange Aststücke, Avelche dem Birkenholze sehr ähnlich sehen, theils von Würmern durchfressene Stücke, welche ganz das Ansehen von verfaultem und vermodertem Holze haben, theils grosse gelblich-weisse Holzstücke mit sehr deutlicher Holzstructur aus der Gegend von Aachen." Bei weitem wichtiger sind dagegen die fossilen Früchte, die unter den Namen Carpoli- thes abietinus (P. K. S. 418), Carpolithes liemlocinus (Nachtr. I, S. 99, T. 21, F. 13 und P. K. S. 418), C. hispidus (P. K. S. 420, Nachtr. I, 8. 97. T. 21, F. 3) und C. pruniformis (Nachtr. I. S. 97, T. 21, F. 4), sowie die Früchte, die er unter den Benennungen C. avellanaeformis (P. K. S.421, Nachtr. I, S. 98,T.21, F. 6 a^h) vmAC.juglandiformis (Nachtr. I, S. 97, T. 21, F. 5) anfährt. Die vier erstgenannten sind zwei Zapfenarten jener merkwürdigen im Jahre 1848 von uns ahCycadopsis beschriebenen Coniferengattung, die der lebenden ÄVg'Mo/a ganz nahe steht und mit dieser zu den Abietineen (nicht wie wir damals noch glaubten zu den Cupressineen) gehört und eine der bezeichnendsten Pflanzenformen der Aachner Kreide sowohl wie noch ') nüsseldorpii, Tom 1, 1776. Tom 2, 1779 c. t;ib. II. aeil. 136 M. H. Debey und C. v. Ettingshausen. anderer weit entfernter Kreideablagerungen zu sein scheint'). Merkwürdiger Weise sind aber die von Schlotheim gegebenen Abbildungen, unter denen namentlich Taf. 21, Fig. 13 sehr kenntlichist, Inder jüngeren Literatur vollständig übersehen worden und es ist uns nicht ein einziger Schriftsteller bekannt, der darauf verwiesen hätte. Die beiden anderen Früchte gehö- ren zweien Dikotyledonenarten an und sind als solche ebenfalls höchst werthvolle Bereicherun- gen der Aachener Kreideflora gewesen, um so mehr, als die Schlotheim'sche Sammlung deren viele und wohlerhaltene Stücke zu besitzen scheint, während diese Früchte gegenwärtig zu den grossen Seltenheiten gehören. Nach ferneren zwanzig Jahren erschien von Göppert, dem vielseitigen und lange Zeit fast ausschliesslichen Vertreter der vorweltlichen Pflanzenkunde in Deutschland, im Jahre 1841 eine Abhandlung über die Pflanzenreste der Aachener Kreide unter dem Titel: „Fossile Pflan- zenreste des Eisensandes von Aachen" in den Acten ^Lev Acad. Caes. Leop. Nat. Cur. vol. XIX. pars. Il.pag. 135 — 160, T.LIV. F. 1 — 20 mit 23 Abbildungen, von denen 15 den Fossilien, die übrigen den Erläuterungen durch lebende Pflanzen angehören. Göppert behandelt darin einen Theil der im Bonner Museum noch jetzt vorhandenen Pflauzenreste aus dem Aachener Sande und einige Holzstücke aus der Schlotheim'schen Sammlung in Berlin (Nr. 98 und 225 der letzteren). Von den beiden letztgenannten Stücken gehört jedoch nur Nr. 225 mit voller Sicherheit dem Aacliener Sande an, wie wir nach eigener Ansicht der Stücke, die uns durch die besondere Güte des Herrn Professors Beyrich auf längere Zeit zur Unter- suchunggeliehen wurden, glauben behaupten zu dürfen. Dievon Göppert untersuchten Stücke aus dem Bonner Museum sind zuvörderst zwei Zapfen jener bereits erwähnten Cycadopsis (Fig. 16, 17), dann Zweige von zwei Arten derselben Gattung (C. aquisgranensis n., Fig. 14, C. Monheimi n.^ Fig. 12) und ein berindetes Holzstück dieser Gattung (Fig. 10). Das unter Fig. 1 abgebildete Stück, wovon in Fig. 2 — 5 die mikroskopische Structur gegeben wird und welches aus der Schlotheim'schen Sammlung herrührt, seheint uns nach dem Ansehen nicht von Aachen zu stammen. Dasselbe gilt au<'h von Fig. 10. Ferner enthält die Arbeit die Abbil- dung mehrerer Dikotyledonenfrüchte und zwar von Juglandites e%a«s Göpp. (Fig. 18), welches dieselbe Frucht ist, die von Schlot heim (Nachtr. LS. 97, Taf. 21, Fig. 5) als CarpoUthes juglandiformis aufgestellt worden und von dem das Bonner Museum gegenwärtig noch mehrere wohlerhaltene Stücke in verschiedenen Abänderungen besitzt — dann eine neue Art als Carp)olithes euphorbioides Göpp. (Fig. 19 a, 6, c). Endlich wird noch unter dem Namen CarpoUthes oblongus G öp p. (Fig. 20) ein Pflanzenrest aufgeführt, welchen wir nach mehrmaliger und genauer eigener Anschauung für nichts anderes als ein etwas regelmässig gestaltetes Bruchstück fossilen Eisen- holzes aus dem Aachner Sande, nicht aber für eine Frucht halten können. Der wichtigste Theil der in Rede stehenden Abhandlung von Göppert sind die Coniferenreste. Leider ist es aber von dem mikroskopisch untersuchten Coniferenhoke nicht unbedingt sicher, dass es aus dem Aachener Sande kommt; auch ist die Abbildung umgekehrt, der Seitenast liegt nämlich bei der gegebenen Vorderansicht bnks und nicht rechts, und dem entsprechend ist auch die Krüm- mung des Stämmchens. Was die Zapfen betrifft, so schienen sie Göppert zu unvollkommen erhalten, um genaue Aufschlüsse zu geben, und die Beziehungen derselben zu den Schlot- heim'schen Abbildungen, namentlich zu CarpoUthes hispidus und pruniformis waren dem ') Aller Wahrscheinlichkeit nach gehören SMitea üabcnhorstii G ein.. Crypiomeria prImaeta Corda, Oeinitzia rretacea Endl. des sächsischen und böhmisrthen Quaders ebenfalls liiehcr. Die urioeltbclifu Thallnpliyten des Kreidegebirges von Aachen etc. lo7 Verfasser nicht bekannt geworden. Im Übrigen sind die behandelten Pflanzenreste gut abgebildet. Dies ist die wenig umfangreiche Geschiclite der Bearbeitung der Aachener Kreideflora bis auf den Zeitpunkt, von wo die vorliegenden Untersuchungen beginnen. Durch die Yersamm- lune: der Mito-lieder des naturhistorischen Vereines der preussischenEheinlande in Aachen im Jahre IS-io, wo wir einen kleinen Tlieil fossiler Coniferenreste von schöner Erhaltung aus unsei'er eigenen Sammlung und aus der des Herrn Dr. Joseph Müller vorzeigten und zu erläutern suchten, nahmen wir Veranlassung, den Gegenstand für die Verhandlungen des genannten Vereines zu bearbeiten. Der geringe Stoff ist aber durch die seitdem begonnenen Untersueliungen zu einem der umfangreichsten aus der ganzen bis jetzt bekannt gewordenen urweltlichen Pflanzenschöpfung geworden, und die geognostischen Voruntersuchungen, die der Gegenstand unverkennbar verlangte, führten in ein Gebiet mühevoller und sich lange hinzie- hender Arbeiten, für die wenig vorgearbeitet oder uns bekannt war. Die Ergebnisse der letzteren wurden zum Tlieil in den Verhandlungen der 25. Versammlung der deutschen Naturforsclier und Ärzte in Aachen, Bericht 1849 , S. 269, Taf. IV, und in einem besonderen und vermehrten Ab- lirucke unter dem Titel: „EntAvurfzu einer geognostisch-geogenetisehen Darstellung der Gegend von Aachen mit 1 Steindrucktafel, Aachen 1849" mitgetheilt und müssen wir vorläufig audi jetzt noch auf diese Arbeit verweisen. — Diese geognostischen Untersuchungen lehrten nun aber zuvörderst den Aachener Sand, der die unterste und an Masse zugleich die Hauptabthei- lung der Aachener Kreide bildet, auch als den fast ausschliesslichen Fundort für die Pflanzen- reste kennen. Ferner gelangten wir allmählich zur genauen Kenntniss der pflanzenführenden Schichten und besondei's der verschiedenen Gesteinsabänderungen, welche durcli mehr oder minder vollkommene Erhaltung der Pflanzenreste eine mehr oder minder erfolgreiche Nach- forschung nach denselben erwarten Hessen. Ganz besonders aber wurde unsere Aufmerksam- 'o keit auf die Untersuchung der stellenweise, namentlich in den mittleren Abtheilungen des Aachener Sandes eins^ebetteten grösseren und kleineren Thonschichten und Thonmulden gelenkt, und von da an eröffnete sich das reichste Feld der Ausbeute. Es gelang bald, die- jenigen Thone und Lagen zu ermitteln, welche durch ihre Farbe, durch das Mengungsver- hältniss von Sand und Thon, durch ihre Härte u. dgl. die vorzüglichsten Abdrücke enthiel- ten. Es stellte sich heraus , dass nicht selten mächtige Thonablagerungen durchaus arm an Pflanzenresten waren und eine Ausbeutung gar nicht lohnten, während in ihren oberen Lagen. in einer Mächtigkeit von oft nur einem halben Fuss, Schichten vorkamen, in denen sich eine ungeheure Menge von Pflanzenresten zusammengehäuft fand. Diese gewähren dem Kundigen die reichste Ausbeute, während der nicht mit dieser Eigenthümlichkeit Vertraute die grossen Massen der über- und unterlagernden Gesteine vergeblich untersucht. Dergleichen in ihren brauchbarsten Theilen oft nur wenige Sehritt breite Stellen wurden daina mit Hülfe umsich- tiger Arbeiter von den überlagernden Gesteinen mittelst breiter Schaufeln befreit, in flache und breite Körbe und Kisten verpackt, in denen die oft ganz feuchten und weichen Thone einander nicht drückten, sodann nach Hause geschafft, doi't an der Luft oder im Ofen getrocknet und entweder mit dem Messer oder Hammer durch Aufsclda•. Etthigshausen. erlangt, mit dem sich wenige Ptianzenreste fast aller gedldgist-hen Zeiten vergleichen lassen. Obwohl nun, wie gesagt, viele der so erhaltenen Reste klein an Umfang und vielfach zertrüm- mert und zerrissen sind und in dieser Beziehung von den grossen und schönen Überresten des Steinkohlengebirges, des bunten Sandsteins, des Lias und der Tertiärzeit zum Tlieil iiber- troffen werden; so überbieten sie diese in iler Regel in hohem Grade in der Erluütung der feineren Theile, in der Erhaltung prachtvoller ganz verkieselter kleiner Zweig-c und Früchte und in iler vollständigen Erhaltimg mancher noch ganz vegetabilischen Theile der Pflanzen, und mitunter fehlt es sogar nicht an gi-össeren Prachtstücken. P]s würde. zu weit führen. (He einzelnen Ilandgrilfe und Erleichterungsmittel der Hei'ausarbeitung sowohl wie die für die Auffindung wichtigen aber nur ganz örtlichen Gesteinsabänderungen näher anzug-eben. Sie werden für jeden Petrefacten-Fiindort andere sein und jeden Sammler für eigenthümliche Verfahrungsweisen erfinderisch machen. Wir erinnern nur noch daran , dass beinahe jeder Fundort neue und ihm eigenthümliche Arten enthielt, während nur wenige Pflanzenreste durch alle Schichten hindurchgingen — eine Thatsache, deren Ermittelung wir die Auffindimg vieler neuen Arten verdanken und auf die wir in der Folge noch zurückkommen werden. Auf diesem Wege wurde nun in den letzten fünf bis sechs Jahren eine sehr umfanu:- reiche Sammlung ziisam:nen gebracht, die weit über 300 Arten aufweist und einen lu'welt- liclien Vegetationstypus von höchst eigenthümlicher und überraschender Natur zur Anschauung bringt. Zuerst gelang es jene schon von Franz Beuth in blossen Holzresten angedeuteten, von Schlotheim genauer in den ausgezeichneten Zapfenresten und zuletzt von G (» ppert in Holz, Zweigen und Zapfen unter dem Namen Pinites aquisgraneMniH beschriebenen Coniferen fast in sännntliclien zusanniionhängenden Theilen darzustellen und ihren lebenden Verwandten näher zu bringen, wenn auch dieFrage über deren Stellung vorläufig noch nicht ganz vollständig und richtig gelöst wiu'de. Es gelangferner, eine bedeutende Zahl von Algen, Farnkräutern. Moiui- undDikotyledonen, darunter mehrere ganz neue und eigenthümliche Ges(dilechter zu ermitteln. Die ersten, freilich noch sehr unvollkommenen Ergebnisse hierüber wurden im Jahre 1848 in den Verhandlungen des naturhistorischen Vereines der preussischen Rheinlande in zwei Aufsätzen veröffentlicht: „Übersicht der urweltlichen Pflanzenreste des Kreidegebirges überhaupt und der Aachener Kreideschichten im Besonderen", S. 113 — 125 und „Über eine neue Gattung urweltlicher Coniferen aus dem Eisensand der Aachener Kreide", S. 12ß — 14:2. Der Pmites aquisgranensis Göp]). wurde als Typus einer neuen Gattung, Cycadopsis, auf- gestellt und zu den Cupressineen gezogen. In der Folge ergab sich sodaim, dass diest neue Gattung zu den Abietineen gehört und zwar, wie wir bereits oben angeführt, in der nächsten Beziehung zu der merkwürdigen californischen Riesentanne, Sequoia stehe. Der neuen Gat- tung wurden damals sechs Arten untergeordnet, C. aquisgranensis, Monheimi. Bitzi. araucarina, Foersteri und tlmjoides, von denen sich ebenfalls in der Folge nur zwei, die beiden ersten nämlich, als haltbar erwiesen, während die anderen theils eingehen mussten, theils ihre Stellung unter Araucaria (Araacarites) fanden. — • Bald nach dieser ersten Veröffentlichung erschien der „Amtliche Bericht der 25. Versammlung der deutschen Naturforscher und Ärzte in Aachen. 1S41)" und unser bereits erwähnter „Entwurf'-, in denen wir S. 299 und S. 31 uno-efähr 70 Arten fossiler Pflanzen aus sämmtlichen Kreideschichten zwischen Aachen und Maestricht. blos namenweise, ohne Diagnose, aufführten und unter die Familien der Algen, Farne, Mvdropteriilen. Najadeen, Coniferen. Dikotyledonen und mehrere neue Familien unter- geordnet haben. — Seitdem wurde nun aber durch sorgfältig fortgesetzte Nachsuchungen Die wiodtliclien Thallophytcn des Kreidegebirges rnn Aachen etc. 139 und glückliche Funde eine so ■vollständige Umänderung in dor Zahl sowohl wie in der ricli- rigen Erkenntniss und Deutung unserer Pflanzenreste hervorgerufen, dass von den friilier gewählten Ueuennungen und ßestimmuni;en nur wenige konnten beibehalten werden. Getrennte Jjruchstücke erwiesen sich als verschiedene Theiie einer Art; vereinigte Formen mussten gesondert werden. Manche Arten gingen ganz ein und erwiesen sich als unvollständisf erhaltene und daher den vollständigen Formen anscheinend ganz uirahnliche, in der Tliat aber mit ilmen übereinstimmende Eeste. — Im Jahre 1850 belehrte uns die Einsicht der Her- barien und botanischen Gärten von London, die uns durch die Güte der Herren Benneth, Hooker und Bowerbank zugänglich wurden und unser Herbar bereicherten, über das Vor- kommen von Pflanzenresten in unserer Kreide, die mit den Proteaceen, im Besonderen mit der Gattung Grevlllea grosse Ähnlichkeit besassen. Eine in den Sitzungsberichten der kais. Akademie der Wissenschaften in Wien erschienene Arbeit von Einem der Verlasser ( „Die Proteaceen der Vorwelt", Bd. VH, S. 711 — 745) erweitete diese Kenntniss. Derselbe erkannte unter den Pflanzenfossilien der Aachener Flora noch mehrere neue proteaceenähnliche Blatt- formen und gab darüber eine kurze Mittheilung in den Sitzungsberichten der math.-naturw. Classe der k. Akademie in Wien (Nov. 1852, IX, S. 820 — 825 ; v.Lcon. undBronn's Jahrb. 1853, S. 508). Unsere seitdem augestellten Nachforschungen galten vorzugsweise dieser wichtigen Familie. Schon im folgenden Jahre waren wir so glücklich, äusserst reiche Thonschichten aufzufinden, welche einen bis dahin kaum geahnten Schatz an Pflanzenresten und namentlich an Proteaceen enthielten, so dass die Zahl der fossilen Arten auf ungefähr hundert gebracht werden konnte. Daran reihten sich höchst werthvolle Funde anderer Dikotyledonen, so wie vieler kleinen Früchte. Endlich fanden wir auch die ehemaligen Bewohner der Pflanzenwelt, zuerst im Jahre 1854 und dann im darauffolgenden Jahi-e mehrere deutliche und ausgezeichnete Flügeldecken von Käfern, wahrscheinlich aus der Abtheilung der Küssler, die jedenfalls die ersten aus der Kreide bekannt gewordenen Inseeten sind. Schon im Jahr 1851 hatten wir einen kurzen Bericht über die Kreidepflanzen des hollän- dischen Gebietes in der Nähe von Aachen in den Verhandlungen des naturhistorischenVereines der preussischenllheinlaiide und Westphalens, Boini 1851, S. 5G8, gegeben. Diesem folgte im Jahre 1853 eine ausführliche Arbeit des Herrn Prof. F. A. W. Miquel (de fossiele Planten van liet Krijt in het Hertogdom Limburg, Haarlcm 1853, p. 33- — 56, PL I — -VH), und zuletzt gaben wir eine kurze Übersicht der gesammten Aachener und Maestrichter Kreideflora, als Erläuterung zu einer vorläufigen Anzeige in den Verhandlungen der 32sten Versaiinnlun;,'- iX^'v deutsehen Naturforscher und Ärzte in Wien im Jahr 1856. So ist der Weg zur Erforschung einer fossilen Localflora von mehr als dreihundert Arten von sehr merkwürdigem Charakter angebahnt worden, die für die Kenntniss der urweltlichen Schöpfung um! namentlich für die Kreide von grosser Bedeutung ist und wenn auch, wii' schon gesagt, die verhältnissmässig noch wenig erfoi'schten Lager unseres Gebietes noch viele Bereicherungen und Berichtigungen in Aussicht stelh^n, so dürfen wir doch annehmen, dass i.e urioeMichen Thallophyten des Kreidegebirges von Aachen etc. 141 Ueschenke mit seltener Bereitwilligkeit Pflanzen aus der Kreide von Kunraed und Maestricht. Hr. Professor Beyrich in Berlin überliess uns auf längere Zeit mehrere der von Sclilotheim bei Aacheu gesammelten Holzreste und durch Hrn. A. W. Stiehler zu Wernigerode erhiel- ten wir werthvolle handschriftliche Älittheilungen, vorzugsweise über die Kreidepflanzen des Harzes, die wir an geeigneter Stelle eingeschaltet und welche zur Zeit auch in den .Palaeonto- graphica" von Hrn. Fr. Stiehl er selbst ausführlieh werden veröffentlicht werden*). Den sämmtlichen Männern sagen wir hiermit aufrichtigen Dank, den wir um so leb- hafter auszusprechen uns veranlasst fühlen, als wir die Überzeugung haben, dass ohne die Freundlichkeit dieser Männer die vielen Schwierigkeiten der Bearbeitung nicht zu überwinden gewesen wären. Es bleiben uns noch einige Mittheilungen über die Zeichnungen und die Präparirung der Objecte. ^Seit den Prachtdrucken zur Monographie der fossilen Pflanzen des Vogesensandsteins von Schimper und Mougeot aus der lithographischen Anstalt von F. Simon Sohn in Strassburg, welche, obgleich die ersten der Art, doch bis jetzt die vorzüglichsten geblieben sind, kann über den Vorzug colorirter Abbildungen und der Farbendrucke, für fossile Pflanzenreste wenigstens, kein Zweifel mehr sein und sie werden immer allgemeiner, wenn auch leider eher schlechter als besser. Seit nun in unserer Flora die Abdrücke aus den Let- tenschichten so zahlreich wurden, wo so viele verschiedenartige Pflanzenreste zusammen und zum Theil über einander abgedruckt waren, konnte von der nicht hinlänglich sondernden schwarzen Zeichnung nicht mehr die Rede sein, und wir haben daher 'aucli grösstentheils die mehr oder minder farbige Ausführung oder Skizze gewählt. Die ausserordentliche Menge von Abbildungen, welche sich zur Fixirung der zahl- reichen verschiedenartigen Pflanzenfossilien nöthig erwies, liess uns schon frühzeitig auf Mittel bedacht sein, wodurch namentlich die schwierigen ümrisszeichnungen erleichtert werden könnten. Die Photographie fanden wir wenig geeignet. Die Einübung bis zur sichern Fertig- keit war wenigstens zur Zeit, wo wir ihrer besonders bedurften, abgesehen von der vielen Geheimthuerei und dem gänzlichen Mangel an wissenschaftlichem Interesse bei den meisten Dilettanten, zeitraubend und kostspielig und die Bilder nicht in dem Grade lohnend, wie fortgesetzte Versuche mit paläontologisehen Gegenständen sie vielleicht in der Folge auch für diesen^ Zweig machen werden. Die Efi-ectbilder der Photographie gaben uns kefne wissen- schaftlich brauchbaren Zeichnungen und nur für sehr geeignete Handstücke waren gute Bilder zu erwarten. Dagegen fanden wir sie viel geeigneter für manche mikroskopische Gegenstände. Wir^ werden von den einen wie von den andern im Verlaufe der Bearbeitung der Aachener Kreideflora Anwendung zu machen Gelegenheit finden. Die meisten unserer Zeichnungen sind daher Handzeichnungen, wobei wir uns jedoch zur schnelleren und richtigeren ümrisszeichnung theils eines vierseitigen Wollaston'schen Prisma's, theils einer von uns eigens dafür hergestellten sehr einfachen Vorrichtung bedient haben. Sie besteht in einer möglichst leicht matt angeschliffenen dünnen Glastafel, welche durch Einreibung von einigen Tropfen einer Mischung von gleichen Theilen Mandel- und reinstem Terpentinid I Durch Herrn Prof. F. A. W. Miquel ist uns aurh die Einsendung der Limburger Kreidepflanzen zur nochraalisen Vergleichuiig mit vieler Freundlichlceit zugesagt; aber dureli Umstände, die nicht in der Gewalt des Hrn. Miquel liegen, ist'sie bis jetzt ver- liindert wnrden. Die betreffenden Mittheilungen werden wir daher gelegentlich nachtragen. 142 M. H. Dehey und C. r. Ettingsha usen. mittelst eines weichen sog-enannten Wasohleders diirchsichtig gemacht wird. Sie wird für sicJi allein oder in einem Kälimehen auf das Handstück aufgelegt und dann dem abzubildenden Gegen- stande mit einem scharf zugespitzten, ziemlich harten Bleistift auf der Glastafel in der Art nach- gefahren, dass man sicli mit dem Auge über den Gegenstand hinbewegend jedesmal mögliehst senkrecht über der abzubildenden Einzelstelle befindet. Es würde zu weit fiihren, wollten wir hier die einzelnen vortheilhaftesten Handgriffe beschreiben. Wenige Übung lässt sehr bald ganz genaue ümrisszeichnungen gewinnen, die dann auf Pauspapier übertragen und von diesem mit Hülfe eines durch Graphit leicht geschwärzten Papiers auf das eigentliche Zeichenpapier durch- gezeichnet werden. Die wiederholte l)urchzeichnung ist als rein mechanische Arbeit nicht anstrengend und geht schnell von Statten , und wenn auch an einer solchen Zeichnung nach- träglich noch manches zu berichtigen ist. so hat man doch durch die richtige Raumbestimmung für die einzelnen Gegenstände eine grosse Ersparniss an Zeit und Mühe und eine sichere Gewähr für die richtige Umrisszeichnung gewonnen. Man iiat bei der Ausführung hauptsächlich darauf zu achten, dass Object und Tafel ruhig liegen und dass nicht zu viel Ol aufgerieben wird. Die ruhige Lage ist nicht einmal so wichtig, da man sich sehr leicht wieder die richtige Stellung herausfinden kann. Je flacher die Plandstücke , desto besser ffelinot die Zeichnun;.'' auf die- sem Wege, auch eignen sich kleinere Stücke weit mehr als grössere, und für diese kleinen und flachen Stücke ist die Glastafel entschieden dem Prisma vorzuziehen, das dagegen für grössere und auf sehr unebener Fläche abgedruckte Gegenstände geeigneter ist. Wo der alles übertreffende Naturselbstdruck nicht statthaft ist. sind diese einfachen Vorrichtungen sehr schätz- bar, nur muss man sich nicht vorstellen, dass sie ein geübtes Auge und eine geschickte Hand entbehrlich machten oder gar überträfen; sie sind diesen nur eine werthvolle Erleichterung. Dennoch sind unsere Abbildungen noch weit entfernt, vollkommene Gopieen der Natur zu sein, überhaupt haben wohl die Abbildungen naturwissenschaftlicherGegenstände und nament- lich von fossilen Pflanzenresten ein doppeltes Verhältniss zu ihrem Gegenstande. Sie geben mehr und weniger: weniger, wenn man die äusserst zarten linearen Verhältnisse, die kaum noch sichtbaren aber dennoch die Überzeuyuns: ihres Daseins gewährenden Andeutirnffen von Nervationen u. dgl. verlangt; mehr, wenn man die aus sorgfältiger Untersuchung und Ver- gleiehung mehrerer Bruchstücke construirten schematischen Darstellungen vor Augen hat. Wir halten es aber in vielen Fällen für unmöglich, beides in einer Zeichnung zu vereinigen. Es ist namentlich bei vi(den Farnkrautresten der Fall, dass eine bestimmte Beleuchtung immer nur einen bestimmten Theil der schwach erhaltenen Nervation erkennen lässt, während die übrigen Stellen durch vielfaches Hin- und Herwenden und dadurcii erlangte verschiedene Beleuchtung erkannt werden mussten ; jedes Mal ergab sich dann aber für die anderen Stellen eine abweichende Contour, und es konnte daher von einer genauen Gopie der Natur nicht die Kede sein, sondern (!s musste die aus mehreren Ansichten ermittelte Nervation, die sich in den Einzelnheiten möglichst an die einzelnen Abdrücke anschloss, schematisch dargestellt werden. Damit glauben wir uns indess keineswegs von r Aachener Kreide zukommen werd('ii . iiicdit sofort die Richtigkeit unserer Abbildungen blos desshalb in Zweifel ziehen, weil sie nicht trenaii mit den ihnen gerade vorliegenden vereinzelten 1 landstückcn übcreinstinnucu. Dir urweltlichen Thallophyten des Kreidegebirges von Aachen etc. 143 Wo es si(>li ilai-iiiii handelte, einen Pflanzenrest aus mehreren Bruchstücken herzustellen, ila haben wir stets die einzelnen Originalstücke abgebildet und nebenan die vervollständigte, höchst selten auch eine conjecturirte Linearzeichnung gegeben. Häufig haben wir au(di nicht ganz ausgeführte Abbildungen der Handstücke, sondern blos Skizzen mitgetheilt, die in vie- len Fällen vollkommen genügten; doch werden auch einige Handstücke genau mit allen Bruchstücken abgebildet, um eine Vorstellung von der Art der Ablagerung und Zusammen- häulung zu gewähren. Ganz isolirte, nicht einmal vom Umriss des Handstücks umgebene Abbildungen der Pflanzenreste haben wir nur in äusserst wenigen Fällen geeignet gefunden, theils weil sie uns der Genauigkeit der Abbildung in etwas Eintrag zu thun schienen, theils weil sich dieselben in einer grossen Sammlung bei späterer Vergleichung nicht leicht wieder- finden lassen. Auch müssen wir bemerken, dass einige Stücke nach der Abbildung noch etwas configurirt worden oder zerbrochen sind oder durch spätere Herausarbeitung anderer Pflan- zenreste etwas verändert wurden und daher die Abbildung des Handstücks in solchen Fällen nicht genau mit dem Original stimmt. Es betrifft dies indess nur wenig oder gar nicht Wesentliches. Wenig haben wir uns aber mit dem in letzter Zeit hie und da befolgten Ver- fahren befreunden können, wobei auf ein imaginäres Gesteins-Handstück eine Menge von Blättern regelmässig neben einander geordnet und dem Ganzen mittelst Farbendruck das An- sehen natürlichen Vorkommens gegeben wird. Wie anerkennenswerth eine künstlerische Aus- stattung auch sein mag, so erinnern dergleichen Abbildungen doch zu sehr an die Unw^ahr- heit. als dass sie in der naturwissenschaftlichen Zeichenkunst allgemeinere Aufnahme finden könnten. Für die mikroskopischen Abbildungen bedienen wir uns theils des vierseitigen Wolla- ston'sehen Prisma's, theils des im amtlichen Bericht der 25. Versammlung deutscher Natur- forscher und Arzte in Aachen beschriebenen und abgebildeten Tisches (a. O. S. 43 und 179. Taf. [[, Fig. 2), Avelcher eine klainQ Camera ohscura enthält, theils endlich der Photographie mittelst einer an eben diesem Tische angebrachten einfachen Vorrichtung. Noch hätten wir der Bearbeitung der fossilen Hölzer für den Zweck mikroskopischer Untersuchung zu gedenken und die von uns befolgte höchst einfache Verfahrungsweise kurz mitzutheilen. Es haben aber über diesen Gegenstand bereits Göppert, Witham, Nicol, Corda u. a. ausführlich gehandelt, und besonders hat Prof. F. ünger in Leonhard's und Bronn's Jahrbuch für 1842 und ferner in seinem „Versuch einer Geschichte der Pflanzenwelt, Wien 1852", S. 187 — 195, so treflliche Aufschlüsse darüber gegeben, dass wir uns dessen wohl entheben können. Auch liefert jetzt Herr Optiker Karl Zeiss in Jena (ausser sehr guten und billigen Zeichenprismen, die w^r durch ihn bezogen) dergleichen Steinschliffe zu sehr massigen Preisen (s. Schacht, das Mikroskop, 2. Aufl., Berlin 1855, S. 195, Anmerkung). Dag-egen haben wir noch ein paar Worte über die so häufig in unseren Thonen vorkommen- den Stückchen von Epidermis mitzutheilen, die grösstentheils najadeen- und proteaceenartigen Blättern und einigen anderen Dikotyledonen-Blättern und Früchten angehören. Meist sind dieselben so durchsichtig, dass man sie am besten in einfachem destillirten Wasser untersucht. Das Tränken derselben mit Dammaraharz, womit wir sie aufzukitten und noch durchsichtiger zu machen beabsichtigten, hat uns einige sehr schöne Präparate verdorben, indem die Häut- chen so durchsichtig wurden, dass die Zeichnungen der Zellenwände und Spaltöffnungen fast oder gänzlich verschwanden und kaum mehr als eine gleichmässig gelbe Fläche ziiriickblicb. 144 M. II. Debeij und C. v, Ettingshausen. Beim Abnehmen dieser Eeste von der Gesteinsfläche ist bei kleineren Stücken die grösste Vorsieht nöthig. Man legt sie dann mit der Fläche, welche am Gestein haftete, nach oben auf eine Glasplatte und entfernt durch Aufgiessen von Wasser, dem man zuweilen etwas Weingeist oder Äther zutröpfelt, die Reste des Gesteins und der verkohlten Pflanzenmasse, welche nicht selten die Untersuchung unmöglich machen. Man hüte sich indessen durch sehr viele Manipulationen leidlich gute Präparate statt sie zu verbessern gänzlich zu zerstören, wie uns früher öfters begegnet ist. Die fertigen Präparate werden mit dünnen Deckgläsern, welche stellenweise an den Rändern mit arabischem Gummi bestrichen sind, bedeckt und so erhalten. In dieser Weise schien es uns, dass sich die Präparate noch am besten aufbewahren Hessen, um zu jeder beliebigen Zeit wieder untei'sucht werden zu können, wobei man sie erst mit Wasser oder Äther tränkt und schnell wieder durchsichtig macht. Über die Aufbewahrung der grösseren Pflanzenreste glauben wir noch bemerken zu müs- sen, dass es uns nicht rathsam erscheint, dieselben regelmässig durch Überziehen mit Gummi. Firniss u. dgl. kenntlicher machen zu wollen und besser zu erhalten. Nichts ist wichtiger als der Schutz vor dem Staub; wo dieser nicht abzuhalten, ist allerdings -die Überziehung der Abdrücke zuweilen rathsam und nöthig. Hier geben wir aber einer sehr dünnen Auflösung von Sandarak-Harz in Äther entschieden vor dem arabischen Gummi den Vorzug, das die Gegenstände oft so entstellt, dass der Untersucher nicht weiss, ob er bei feinen Abdrücken eine natürliche Zeichnung oder ein Kunstproduct vor Augen hat. Den Sandarak-Überzug kann man durch Übergiessen mit Schwefeläther fast ganz wieder wegschafi'en, ohne den Gegen- stand zu verderben, was bei der Gummilösung, die durch Wasser entfernt werden muss, fast nie gelingt. — Am besten bleibt die sorgfältige Aufbewahrung in verschlossenen Räumen ohne allen Überzug, wobei die Reste eine grosse Frische behalten und die bestimmteste Unter- suchung zulassen. II. Geognostische Verhältnisse. Als Einleitung sowolil für die nächstfolgenden Mittheilungen wie für die weiter unten bei der Beschreibung der einzelnen Pflanzenreste angefülu'ten Fundorte geben wir hier eine Übersicht der gesammten Gesteinsfolge derAachener undMaestriehterKreideschichten. Für das Ausführlichere verweisen wir zunächst nocli auf die in unserem „Entwurf" gegebene Darstel- lung, welche wir, sofern sie die Gesteinsfolge und Grappirung betrifft, durchaus festhalten, wälirend wir in Betreff der Altersstellung unsere Ansicht etwas geändert haben. Die nachstehende Gesteinsfolo-e ist zunächst nur ideeller Natur, indem nicht an einem ein- zigen Punkte die ganze Reihenfolge zu Tage gehend aufgeschlossen ist und sogar einzelne Glieder nur stellenweise entwickelt zu sein scheinen, während sie an anderen Orten mir ange- deutet sind oder gänzlich fehlen, wenigstens bis jetzt nicht haben nachgewiesen werden kön- nen. Die angegebenen Mächtigkeitsverhältnisse haben dalier audi mir aimäliernde Richtigkeit. Es lagern nach Tas: wie folirt : J. Aachener Sand .-U)U'— 4Ü0' Lockere und feste, unten ^m'oIj-, oben feinkörnige, meist gelbe, mehr oder minder eisen- schüssige, äusserst selten chloritische Sande mit zwischenlagernden Thonschiehten und .sjihäi'oidischeii Sandstcinbjiiiken (die Thonschiehten in ungefälircr Mächtigkeit von '/-, — ;50' und mehr) in zahlreicher und verschiedenartigster Wechsellagcrung und Mengung. Sic Die urweltlichcn Thallophyten des Kreidegebirges von Aachen etc. Wo enthalten eine sehr geringe Menge von Secthieren; dagegen namentlich in denThonschieh- ten eine grosse Menge von Tflanzcnrestcn fast aller Ordnungen, vorzugsweise Landpflanzen, aber auch eine entsprechende Menge von Seopflanzen (Algen, Najadeen). Die festen Ge- steinsbänke führen häufig Spongiolithe. 2. Kieselgeschiebe mit Sand (stellenweise mit Meeresconchylien?) als Grenzschicht . . 1' — 2' 3. Unterer Grünsand von Aachen lö — ISO Grünsande; lockere, seltener feste, hellgrüne, hellgelbe bis rostbraune, vorherrschend chlo- ritischc, sehr selten weisse, feinkörnige fast staubige Sande, hie und da mit kleinen sphäroi- dischen gelben oder eisenschüssigen Massen — in ihren oberen Lagen mit zahlreichen zer- streuten Bänken von Seethieren fast aller Ordnungen, in Steinkernen oder in kalkigen oder verkieselten Schalen — mit äusserst wenigen Pflanzem-esten (3 — 4 Arten), grösstentheils mit denen des Aachener Sandes identisch. Wenige Seethierreste sind gemeinsam mit denen höherer Schichten (Nr. 6). 4. Gyrolithen-Grünsand, nicht überall entwickelt 50 Graugrüne, grobkörnige, kieselig-kalkige und sandig-thonige, unregelmässig zerklüftete, erdige bis steinharte Bänke mit Meeresthieren, ungefähr wie in Nr. 3, mit Gyrolithen und sehr wenigen Pflanzen (2 — 3 Arten), verschieden von denen der vorigen Schichten. 5. Oberer Grünsand von Aachen, Grenzschicht, nicht überall entwickelt 'A ^ ^'-*' Graugrüne oder dunkelgrüne erdige Sande mit vieler kalkiger und thoniger Beimengung, mit vielen Kieselgeschieben und Trümmern von Seethierresten. 6. Kreidemergel ohne Feuerstein "^ '"^ Chloritischer und weisser, blätterig platten- und quaderförmig zerklüfteter Krcidemergol, ohne Feuerstein, mit ziemlich vielen Seethierresten (namentlich Conchiferen, meist Mono- myarier, Brachiopoden, Cephalopoden (Belemnüella mucro7iata), sehr wenigen Gasterojio- den, vielen Echinodermen und Foraminifercn) und sehr wenigen (meist Meeres-) Pflanzen, verschieden von denen der vorigen Schichten. 7. Eisenschüssiger Kreidemergel mit Grünsandkörnern in grösserer Menge, mit Kieselgeschieben und Petrefactentrümmcrn wie in Nr. G. — Grenzschicht 'A ^ 8. Kreidemergel mit P'cuerstein 5 '00 Weisse, harte oder sandige Kalkmcrgcl und Kicselkaikliänke, wechscllagernd mit platten- und knollenförmigen 1 — 2' dicken Bänken von schwarzen, selten weissgraucn Feuersteinen mit wenigen organischen Resten (Secthieren, Conchiferen, Fischresten und nach I. Beis- sol vielen Spongiolithen und Foraminifercn und 3 — 4 Land- und Seepflanzen, wie in Nr. 6). 9. LusbergerBreccic 'A Kieselgeschiebe mit vielen (jrrünsandkörnoi'n und l'etrefactentrümmcrn der vorigen Schich- ten wie der oberen mit kalkig-sandigem erdigem odei- festem Bindemittel. Grenzschicht, besonders auf dem Lusberg bei Aachen und liei Vetschau, jedoch auch in einer etwa 'A' bis Vs' mächtigen Schicht zwischen weisser und gelber Kreide am St. Petersberge bei Maestrieht nachweisbar. ]l). Kreide von Vetschau und untere Lagen von Kunraed (untere Abtheilung di-i- gelben Kreide) 10— .oO' Grauweisse und gelbweisse Kieselkai kbänke von 1 — 2' Dicke wechsellagernd mit ungefähr gleichmüchtigen und gleichfarbigen erdigen Kalkmergelschichten. — Vorzugsweise die festen Gesteine enthalten sehr viele Seethierreste, theils wie in Nr. 5 — 9, theils andere und 6 — 8 Pflanzen, grösstentheils ganz abweichend von den früheren. In den unteren Lagen der festen Kieselkalkbänke finden sich einzeln Kieselgeschiebelagen, eigen thündich graue Feuersteine und kalkige Stylolithen. n. Maestrichter und Valkenbergcr gelbe Kreide (obere Abtheilung) öd' — 250' Gelbe sandige Kalke mit grauen Feuersteinbänken und zerstreuten Fcuersteinconci'etionen. Enthalten sehr viele Mceresthiere; von Conchiferen meist Monomyarier; Brachiopoden, I><'[ik-clirilti'ii dtT niatlieiii-imtarw, Ol, XVI. VA. * ** ir 146 M. IL Debet/ und C. v. Ettingshausen. wieder ziemlich viele Gasteropoden, aber grösstentheils neue Arten; Echinodernicn, Crustji- ceen, Polyparicr; in den unteren Lagen vorherrschend Trigonosemus pectiniformis, in den oberen viele Polyparienschichten und sehr wenige Pflanzenreste. 12. Hornstein, graugelb, grauweiss, graubraun, in Schalen , Stangen und Knollen auf secuii- därer La o-erstätte (die primäre ist noch nirgends mit Sicherheit nachgewiesen); mit sc vielen theils eigenthUmlichen Seethierresten, namentlich Echinodermen und wenigen Pflanzen. — Die Hornstcine bilden den Ilauptbostandtheil der unteren Diluvialschicht unse- res Gebietes. Von dieser Gesteinsfolge lassen sich 1 — 4 als untere, 5 — 12 als obere Abtheilung unserer Kreide bezeichnen, in denen die Gesteine 1, 2 bis 4, 5 bis 8, 9 bis 12 durch ihren petrographischen wie paläontologischen Charakter besondere Gruppen zu bilden geeignet sind welche vielleicht die Bedeutung der heutigen Meeresregionen im Sinne von Forbe s haben. Was die Thierreste dieser Schichten betrilTt, so haben wir Anstand genommen , die gros- sen Verzeichnisse derselben hier mitzutheilen, theils weil ungeachtet der vielen Vorarbeiten vielleicht noch Jahrzehende vergehen werden, bevor eine erschöpfende Kenntniss und vor Allemeine Anordnung derselben nach ihrem ausschliesslichen oder gemeinsamen Auftreten in den unter 1 — 12 erwähnten Schichten möglich sein wird, und ferner weil wir die Über- zeuo-uno- gewonnen haben, dass es mit der festen Artenbestimmung vieler sogenannten kriti- schen oder Leit-Arten noch lange nicht im Reinen ist und wir wahrscheinlich vieles Unrich- tige und Ungenaue aufnehmen müssten. — Über die ausserordentlichen Mengen mikroskopi- scher Organismen, Spongiolithen und Polythalamienreste, welche unsere Kreidegesteine grösstentheils zusammensetzen, haben wir eine ausführliche Arbeit von Herrn Ignaz Beisse 1 in Aachen zu erwarten. Dagegen wird es wohl zweckdienlich sein, wenn wir ein Verzeichniss der wichtigsten geognostischen und paläontologischen Literatur über die Aachener und zum Theil auch über die Maestrichter Kreide beifügen, die wir nach der Zeitfolge ihres Erscheinens geordnet haben. Wir enthalten uns dabei, als nicht in das Bereich der vorliegenden Arbeit gehörend, jeglicher kritischen Besprechung derselben, obgleich wir häufig veranlasst wären, unsere Abweichung von den dort ausgesprochenen Ansichten mitzutheilen, und bemerken nur, dass wir uns wesentlich an die von d' Archiac und Bronn in neuerer Zeit vertretenen Auffassun- gen anschliessen. I. Geognostische Literatiir. Hausmann, ein p.iar mineralogische Bemerkungen über die Gegend von Aachen, im Magaz. dei- Gesellsch. naturforsch. Freunde zu Berlin, II, 18U8, S. 197—207. Schulze, Bergmeister, Übersicht der Gebirgsbildungen in dem westlichen Theile des Düreucr Bergamtreviers in: Rheinland und Westphalen von J. Nöggerath, Bd. 1, Bonn 1822, S. 281—327. Bei mann, die geognostisch colorirte Ausgabe der Karte von Deutschland (Berlin, Schorpp et Comp. 1826j. Fitton in Proceedings of the gcol. Soc. of London, Decemb. 1829 (im Auszuge mitgethoilt in von Leouhard'.- und Bronn's Jahrbuch, Bd. 2, 1831, S. lOl— 1U4). A. Duniont, Memoire sur la Constitution geologique de la province de Liege. Bruxelles 1832 (gekrönte Preisschrift). Davreux, Essai sur la Constitution geologique de la province de Liege. Bruxeiles 1833. Die UJ-io eltlichen Thallophyten des Kreidegebirges von Aachni efc. 147 A. von Strombeck, Ühcr die Lagerung der niederrheinischen Brauiikolilc. InKarsten's Archiv, Ud. 6, 1833, S. 299—316, Taf. XII, mit Nachtrag von J. NCiggerath, S. 317—318. Viconite d'Arcliiac, Obscrvations sur le groupe moycn de la forniatiou cretacee fextr. du Toni. III des Meni. de la See. geol. de France) und besonderer Abdruck. F. A. Römer, Die Versteinerungen des norddeutschen Kreidegebirges. Uannovei- 1841. Dr. Ferdinand Römer, Über die zur Kreideformation gehöicnden Gesteine in der Gegend von Aachen. v. Leonhard und Bronn's Jahrbuch 1845, S. 385 — 394. A. Pomcl, in Bulletin de la Soe. geol. de France. Seance du 6 Nov. 1848. Paris 1849. Janvier, p. 15 — 29, mit gleichnachstehender Erwiederung von d'Archiac. H. B. Gcinitz, Das Quadersandsteingebirge oder Kreidegebirge in Deutschland. Erste Hälfte, Freiburg 1849, zvi^eite Hälfte 1850 mit 12 Steindrucktafeln. M. H. Debey, Entwurf zu einer geognostisch-geogenetischen Darstellung der Gegend von Aachen. Mit 1 Steindrucktafel mit geognost. Durchschnitten. Aachen 1849. Vervollständigter xVbdruck aus dem „amtliehen Bericht der 25. Versamml. der deutschen Naturforschei' und Arzte in Aachen", S. 269 bis 327, Taf. IV. H. B. Geinitz, Bemerkungen zu Debey's „Entwurf" u. s. w. in von Leonhard and Bronn's Jahrbuch 1850, S. 289—301. Giebel, in Zeitschrift der deutschen geologischen Gesellschaft Bd. I, 1849, S. 93 — 101. A. Dumont, Rapport .sur la carte geol. de la Belgi(jue. Bulletin de l'Acad. Roy. de Belg. T. XVI, Nr. 11, 10. Nov. 1849, pag. 10—15. d'Archiac, Histoirc des progrts de la Geologie de 1834 — 1850, pag. 141 — 174. Tom. IV. Aleide d'Orbigny, Prodrome de Paleontologie stratigraphii^ue universelle. Paris 1850 — 1852. Tom. 2. (Ohne geognostische Auseinandersetzung; nur wegen der dem Verfasser eigenthümlichen Einreihung der Petrefactcn in seine Etages zu erwähnen.) Giebel, Deutschland's Petrefacte, ein systematisches Vorzeichniss. Leipzig 1852. (Ebenfalls ohne geognost. Mittheilungen und nur wegen Einreihung der Aachener Petrefacte in bestimmte geolog. Altersgruppen hieher gehörig.) Bronn, Lethaea geognostica, 3. Aufl. von Bronn und Römer. 1852. S. 19 — 20. Dr. Ferdi nand Römer , Die Kreidebildungcn Westphalens, eine geognostische Monographie, mit einer geognost. Übersichtskarte in den Verhandlungen des naturhist. Vereins der preuss. Rheinlande und Westphalens, Jahrgang 11, Bonn 1854, S. 80—180 (S. 163 über Aachen). Dr. Ferdinand Römer, Über die Kreidebildung bei Aachen, Zeitschr. der deutschen geolog. Gesellschaft. Berlin. Jahrg. 1855, S. 534. A. Dumont, Carte geologique de la Belgique. Wegen der älteren Arbeiten über Maestricht verweisen wir auf ilie vorerwähnte ausge- zeichnete und reichhaltige Übersicht von d'Archiac, Hist. des Progres, tome IV, und erwäh- nen nur die uns bekannt gewordenen neuesten meist kleineren Mittheilungen : Onialius d'Halloy, Abrege de Geologie. Paris 1853, livr.V. Coup-d'oeil sur la geol. part. de la Belgitjue. (Gibt ausser einer kurzen geognost. Mittheilung S. 517 — 520 und den Verzeichnissen der Thier-Pctre- facte des Aachener Sandes S. 571 und der belgischen Tourtia S. 572 das gegenwärtig vollständigste Verzeichniss der Thicr-Petrefacte der Maestrichter Kreide, S. 574 — 578, jedoch ohne Sonderung nach den beiden Schichten.) Ed. Hebert, Note sur le synchronismo du Caleaire pisolithlijue des environs de Paris et de la Craie supe- rieure de Maestricht (Acad. Roy. de ßelgi(|ue. Extr. du tome XX, Nro. 3 des Bulletins. 1852). Note sur la limite qui separe le terrain cretacee du terrain tertiaire (Instit. de France, Acad. des Sc. Exti'. du Compte rendu des Seanc. de l'Acad. des Sc., tom. XXXV, seance du 13 Dee. 1852). Notice sur Ics dcpots situes dans le bassin de Paris entre la Craie blanche et le Caleaire grossier (Extr. ingebettete. ',., — 3 und Die arwc'ltUchen Thallophyten des Kreidegebirges von Aachen etc. 1 5 1 mehr Fuss mächtige , auf kürzere oder weitere Strecken aushaltende und allmählich in das umgebende Gestein übergehende Lager, oder sie stellen mehr oder minder scharf abgegrenzte, tiefe und ausgedehnte Mulden dar, die zwischen die Sande eingebettet sind und na<:'h oben eine ziemlich ebene Fläche zeigen, während sie nach unten eine beckenförmige Gestalt haben. Die umgebenden Sande schneiden oft scharf an der Mulde ab und sind nicht selten stark wel- lenförmig geschichtet, während die Thonmulde ihre eigene Schichtung besitzt. In den Sand- gruben am Lusberg, bei den verschiedenen Eisenbahn durchstichen, beim Bau des Mariahilf- Spitals am Weingartsberg und an vielen anderen Stellen sind ansehnliche Thonmulden der Art von 5 — 30 und vielleicht mehr Fuss Mächtigkeit ganz oder theilweise aufgeschlossen gewesen. Die Gesteine in den Mulden sind übrigens keineswegs immer reine Thone, sondern es treten nicht selten Sandschichten und verschiedene sandig-thonige Gesteine darin auf, wo- durch je nach der Ortlichkeit sehr verschiedene Gesteinsabänderungen vorkommen. Die eigent- lichen Thone zeigen vielfache petrographische Verschiedenheiten. Ihre Farbe ist je nach den Stellen sclnvarz, blaugrau, hell und dunkelbraun, gründlich, gelb,' grau mit weissen Ein- sprengungen u. s. w. Vorherrschend weisse Thone haben wir bis jetzt nicht gefunden, die hellsten haben noch einen hellbräunlichen xVnstrich. Sie sind bald sehr dünnblätterig und gl eichmässig geschichtet, bald stellen sie, wie es namentlich bei den schwärzlichen Thonen der Fall ist, ganz ungeschichtet aussehende Massen dar, die sich in der unregelmässigsten Weise beim Trocknen zerklüften. Manche dieser schwärzlichen Thone zerfallen in ziemlicli regelmässige 6 — 8 seitige kleine Säulen, niclit unähnlicli einer Gruppe von Basalten oder Gestellsteinen. Schwefelkiesbildungen verschiedener Gestalt sind nicht selten in ihnen, nament- lich in den schwarzen Thonen. In einzelnen Ablagerungen finden sich auf den Absonderungs- flächen sehr zierliche Zwillingskrystalle von Gyps. Besonders aber enthalten die Thone meist in lagenweiser Vertlieilung eine Menge von Pflanzenresten in den verschiedensten Zuständen der Erhaltung: kohligen Pflanzendetritus , in Vo — 3" dicken Schichten; kleine vereinzelte Braun-, Pech- und Steinkohlenstücke; verkieseltes oder in Kiesel-Thon versteinertes Holz; zahlreiche, noch in ihrer anatomischen Structur mehr oder minder erhaltene Bruchstücke der Epidermis von Blättern und Früchten; Abdrücke von Blättern, Zweigen, Blüthentheilen und Früchten; Harzstückchen von Coniferen u. dsfl. In vielen derselben steigen schmale, bandförmige, der Länge nach vielfach gefaltete Pflan- zenfäden senkrecht oder schräge aufwärts und scheinen noch am ursprünglichen Ort ihres Wachsthums vorhandenen Wasser- oder Sumpf-Pflanzen anzugehören, wovon weiter unten näher die Rede sein wird. — Die zwischen den Thonen lagernden Sande enthalten ähnliehe Pflanzentrümmer, doch meist im Zustande viel schlechterer Erhaltung. Von thierischen Resten sind ausser den in den versteinerten und verkohlten Hölzern zahlreich vorkommenden Bohr- muscheln (Gastrochaena) äusserst sparsame Reste von Meeresconchylien, äusserst selten Infusorienschalen und Käferflügeldecken gefunden worden, von denen an einem andern Orte ausführlicher wird verhandelt werden.- Häufig sind dagegen stellenweise in den zu festen Bänken erhärteten Sauden sehr zierliche Spongiolithen, die auch stellenweise in den Grün- sanden vorkommen. Oberhalb dieser Schichten lagern nun wieder vorherrschend Sande von verschieden- artiger Beschaffenheit in einer Mächtigkeit von 50 — 60 und mehr Fuss, ja sie mögen stellen- weise noch über 100' sich erheben. Diese Sande sind vorherrschend locker, gelb, eisenschüs- sig und von mittlerem Korn. Die Thone verschwinden auf weiten Strecken ganz, steigen jedoch 152 M. II. Behey und C. v. Etiingsliaiispn. hie und da noch in dünnen Schichten bis unmittelbar unter denGrünsand hinauf. (Durchschnitt hinter dem St. Johannisthurm von dem Königsthor zum Pontthor gleich ausserhalb der Stadt. ) Dagegen werden die lockeren Sande nun häufiger und regelmässiger von festen Sandsteiu- bänken durchsetzt, deren sieh etwa 6—8 in Zwischenräumen von einigen Fuss über einander gebildet haben und durch den grössten Theil der gesammten Ablagerung hindurch sich nach- weisen lassen. Ob sie auf ihrer ganzen ziemlich söhligen Erstreckung zusammenhängen, oder ob sie wie die Thone bedeutend absetzen und dann wiedererscheinen, lässt sich nicht mit Gewissheit aus den bis Jetzt aufgeschlossenen Stellen ermittehi; doch ist uns das weir- erstreckte unmittelbare Zusammenhängen im ganzen Gebiet nicht wahrscheinlich. Die Bänke sind durchgängig 1 — 3' mächtig, bestehen aus einem mehr oder minder porösen Gestein, das von Aussen durch eine festere glattere Kieselrinde von dem umgebenden lockeren Sande abgegrenzt, im Innern aber bald sehr fest, bald sehr brüchig und zerreiblich ist. Besonders zeichnen sich diese Bänke, die im Ganzen eine plattenförmige Gestalt haben, durch vielfacli wechselnde sehr eigenthümliche sphäroidische Gestaltungen aus, mit welchen sie namentlich an ihrer unteren Fläcbe in den umgebenden Sand eingesenkt sind. Die Hauptschichtung des sandio-en Gebiro-es sreht in der Regel unverändert durch diese festeren Concretionen hin- durch und in den umgebenden lockeren Sand über, oder sie haben eine deutliche concentrischt- Schichtung. Es sind dieselben, deren stellenweiser Spongiolithenreiclithum eben erwähnt wurde. Die ganze obere Abtheilung des Aachener Sandes zeigt in noch weit liölierem Grade als die mittlere und untere zahllose Schicbtungsstreifen, die sich in den mannigfachsten Wellen- und Strudel-Linien hindurchzieben und bald durch etwas stärkere eisenschüssige Färbung, bald durch Anhäufungen von verkieseltem oder in Eisenoxyd vererztein oder verkohltem Pflanzendetritus bezeichnet sind. Stellenweise wird das Eisenoxyd sehr vorheri-schend und das Gestein erhält eine rothbraune Färbung, doch nicht in grosser Ausdehnung. Der Aache- ner Sand hat dadurch öfter auch den Namen „Eisensand" erhalten'). Es ist aber die eisen- schüssige Färbung, wenn auch häufig und selbst vorlierrschend, doch keineswegs die aus- schliessliche. Wir haben schon bemerkt, dass die unteren Sande grösstentheils weiss, auch grau, grünlich und gelblich sind, und dergleichen kommen aucli, wiewohl seltciKT. in der oberen Abtheilung- vor. Hie und da erhärten die lockeren Sande zu einer Art von weichem Fels, der mitunter in grösserer Ausdehnung entwickelt ist, und eine quaderartige Abson- deruno- hat. Derijleichen finden sich in der Nähe der llheinischen Eisenbahn bei Eonhaidc. namentlich an jener Stelle, welche von Geinitz erwälmt und als Fundort des „oberen Qua- ders bei Aachen" bezeichnet wurde. Übrigens haben wir die Sande nie zu so festen Gestei- nen erhärtet gefunden, wie es die unserer Ansicht nach zur unteren Abrheilunü: gehörenden Quaderbänke an der Moresneter Capelle sind. Wie der Aachener Sand in söhliger Erstreckung von ilen vorhin erwähnrcn Sandstein- ])änken durchsetzt wird, so ziehen sich in schräger und senkrechter Richtung viele dünne eisenschüssige oder thonige Zwischenwände oder Platten durch denselben, die zuweilen auf 20 — 3U' Höhe aushalten und bald vereinzelt stehen, bald ein ganzes Netz von Zwischenwän- den darstellen, die nach dem Herauswittern des lockeren Sandes stehen bleiben und ein eigen- thümliches Ansehen gewähren.- Nicht selten gewahrt man zu beiden Seiten dieser Wände ') hytcn den Kreidegehirges von Aachen etc. 1G3 Laminarites tuberculosus Steriib. und Zoster lies B)-ongniarfi \]ng. bestehen aus lederartiger gebräunter, aber noch biegsamer Pflanzensubstanz, und an letzterer Art, die wir übrigens nicht für eine Kajadee halten, konnten wir deutlich die Epiderniiszellen mit dem Mikroskop er- kennen. — Aus der Tertiärzeit sind grosse gebräunte Blattbruchstücke mit Epiderraisresten im Tuff des Brohlthales am Laacher See sehr häufig. Vollkommen erhaltene vegetabilische (lefassbündel in dikotyledonisehen Wurzelresten aus der Eoceiizeit beschreibt Göppert. aus einer wahrscheinlich vulcanischen Tuffschichte Java's (die Tertiärflora auf der Insel Java, S. 12, lo, 1654, Taf. I, Fig. 1, 2). Corda fand sogar Amylumkörner im Stamm von Pj-o- topteris Cottai Cord, und in den Blattschuppen von Lomatojjkloios crassicaide Cord, aus ilem Stein kohlengebirge (Beitr. Taf. I, Fig. 10, Einleitung S. -i) und gibt an, dass sich die letzteren durch Jod sogar noch färbten, jedoch wurden sie nicht mehr blau, sondern röthlich und s])äter braun. Die dichten Schuppen der letztgenannten Pflanze waren braun und durchscheinend und zwischen den beiden Häuten noch Reste vertrockneter, durch Chlorophyll grünlich gefärbter und mitj Amylumkörnehen vermischter Zellsubstanz. Die Stärkmehlkörnchen aber zeigten noch Spuren der Schalenbildung gleich den fast eben so grossen Körnchen der Gerste. Doch bemerkt Corda zugleich, dass so vollkommen erhaltene Iveste wie die genannten und wie Blattbruchstücke mit Spaltöflnungen äusserst selten und gewöhnlich klein und unansehnlich seien. — Derselbe fand auch die Früchte einer Gleiche- niacee, Chorionopteris Cord., welche im Querdurchschnitt die Kapseln und darin die Sporen deutlich zeigten, in den Sphärosideriten des Steinkohlengebirges von Padnitz in Böhmen (Beitr. Taf. LIV, Fig. 10 — 15, S. 90). Allgemein bekannt sind seit Ehrenberg die bedeutenden Anhäufungen von Pollenkörnern verschiedener Coniferen in jüngeren Formationen, welchen Nachweisungen Göppert (de fiorihus in statu fossili, Act. Leop. vol. XVIII, 3, p. 545, Taf. 51, 52) noch mehrere werthvolle Beobachtunoen hinzuo-efügt hat. Die wichtig-ste Bedeutung haben aber die hier in Rede stehenden Reste, namentlich die Epi- inem höheren Grade der Verkohlung finden sie sich aber in den lockeren Schichten des Aachener Sandes und fast ganz steinkohlenartige; sehr kleine und verein- zelte Kohlenstückchen enthalten auch die Kalke der Kreide von Kunraed. — Wir haben schon oben bemerkt, dass die Schichtungsstreifen in den Sanden häufig durch kohligen Detritus bezeichnet seien, der in zahlreichen Lagen von 1 — 3 " Dicke mit den Sandschichten wechselt. St(dl('nweise ist die ganze Sandmasse regellos von unzähligen Kohlenschmitzen durchzogen, welche von einigen Linien l)is zu \ Zoll Durchmesser vorkommen. Die Mehrzahl derselben sieht einer gewöhnlichen dunh Verbrennung entstandenen lockeren faserigen nicht glänzenden Holzkohle vollkommen gleich. Diese Kohlentrümmer sind meist rein schwarz, höchst selten noch braun, sie sind feinfaserig, sehr leicht und brennen schnell mit sprühenden Funken fast ohne Flamme und ohne (reruch. So kommen sie in hellweisscn lockeren Sanden sowohl, wie in Die urwcUliclien Thallopliijten des Kreidegebirges von Aachen etc. 167 thonigen Schichten vor, ohne je nach diesen Fundorten eine aufifallende äussere Verschieden- heit darzubieten, nur sind sie in den ganz trockenen weissen Sanden schönei- erhalten. — Den Tlionscliichten fast ausschliesslich eigen ist dagegen eine Art von Gagat oder Pechkohle. Die dunkel geschwärzten Holzstüeke von l — 6 und mehr Zoll Grösse haben äusserlich die Holz- faserung mehr oder minder erhalten; wenn man sie jedoch im getrockneten Zustande durch- bricht, so zeigen sie nur noch geringe Spuren des pflanzlichen Gefüges und haben das Ansehen einer hellglänzenden, muschelig brechenden Pechkohle. Dies "Verhalten ist bekanntlich sehr häufig bei den Braunkohlen der Tertiärzeit, und es finden sich dort nicht selten gagatartig glänzende und noch matte liolzähnliclie Stellen in Einem Ilandstücke ; doch sind auch die pechkohlenartigen Stellen meist noch braun, während sie in unseren Hölzern glänzend schwarz und nur äusserst selten bräunlich erscheinen '). Durch längeres Liegen in kaustischem Ammo- niak entfärbten sie sich etwas und wurden weich und schneidbar. Doch haben wir auch auf diesemWege keine irgend bedeutsame mikroskopische Structur daran sichtbar machen können. Ganz kleine Splitter zeigten ebenso wie die vorerwähnte fixserige Holzkohle einzelne Zellen- wände mit rundlichen Durchbrechungen, welche vermuthlich den Poren der Zellen entsprechen und auf Coniferen deuten. Ein dritter (4rad der Verkohlung, der an unseren Holztrümmern vorkommt, steht der Steinkohle sehr nahe. Es finden sich mitunter, namentlich im Aachener Sand, kleine Kohlen- stücke von V^ — 4 Zoll Durchmesser, die fast ganz das Ansehen einer Steinkohle haben. Das pflanzliche Gefiige ist gänzlich verschwunden oder höchstens nur an der Oberfläche erkenn- bar. Die ganze Masse bricht in grösseren oder kleineren länglichen Täfelchen und diese haben wiederum einen muscheligen pechglänzenden Querbruch; ferner zeigt das ganze Fossil die Brüchigkoit und Sprödigkeit einer leicht zerfallenden Steinkohle, so dass es kaum möglich ist, Stücke von eiingen Zoll im Durchmesser im Zusammenhang zu erhalten. Diese Kohlen brennen mit schwach sprühenden Prunken und sehr geringem bituminösem Geruch, glühen lange nach und hinterlassen eine blau-weisse x\sche. Mikroskopische Structur ist nicht mehr daran zu erkennen; bei auffallendem Lichte und schwacher Vergrösserung sieht man aber äusser- lich meist noch die Streifung der Holzfaser. Auffallend ist, dass diese Stücke seltener und in viel kleinerem Umfang in denThonen als in den Schichten des Aachener Sandes vorkommen. (4anz hielier gehören aber auch die Kohlenbruchstücke von '/^ — 1 Zoll Durchmesser, welche zuweilen in den festen Kalkbänken der Kreide von Kunraed zwischen zahlreichen Seethieren gefunden werden, sich durch rein muscheligen Bruch und bedeutenden Glanz auf der ]>ruchfläche auszeichnen und von einer Steinkohle des älteren Gebirges in ihrer Zusammen- setzung wenig abweichen mögen. Im Aachener Sande liegt diese Art Kohlen meist ganz isolirt in lockerem oft hellweissem Sande; nur selten sind sie von einer dünnen Eisenoxvd- schicht umgeben. Mitunter besteht auch eine der oft erwähnten Detritusschichten grösstentheils aus kleinen Kohlentäfelchen in solchem Zustande; ferner verdient es hervorgehoben zu werden dass diese steinkohlenartigen Stücke bis jetzt wenigstens stets grösser zu sein pfleo-ten als die der faserigen Holzkohlen, und nur von den Pechkohlenstücken zuweilen an Grösse über- trnffen werden. Im Ganzen aber sind die Kohlenstücke überhaupt im Vergleich mit den oft ') Bcobaphtungcn iiliLT Verwandlung der Braunkolilc in Porlikolde gali aiioh [)r. lUo i li tre ii im anitl. Bpricht iilier die '25. Ver- sammlung d. deutsch. Naturf. u. Ärzte im Jahre 1847 in Aachen. Aaclu-u 1S41I, S. 260 — 2(;;i. 168 M. II. Dehey und C. v. Ettingslia^isen. mehrere Fuss langen und dicken Kieselliolzstämmen von sehr geringer Grösse, indem sie nur äusserst selten über einen Kubikzoll hinausgehen. Aus dem VoTangegaugenen ergibt sich nun, dass fast alle Stufen der Kohlenbildung in einem verhältnissmässig kürzeren geologischen Zeitabschnitt vorkommen und innerhalb desselben gebildet Avurden; ja dass in einer jüngeren Schicht, in den Kuuraeder Kalken, zwischen denen und dem Aachener Sande stellenweise 3 — 400' mächtige andere Ki-eide- sehichten liegen, sogar ebenso vollendete, wenn nicht noch vollkommenere Verkohlungen als im Aacliener Sande vorkommen. Es durfte daraus wohl der Schluss gezogen werden, dass weder das Alter noch der Grad des Druckes allein den höheren Grad des Verkohlungs- processes bedingt haben, sondern dass noch andere, wahrscheinlich chemische Verhält- nisse wesentlicher dabei wirksam gewesen. In dieser Beziehung glauben wir darauf hin- Aveisen zu dürfen, dass fast überall wo fossile Pflanzenreste in Schwefelkies vererzt bei uns gefunden werden, mehr oder minder grosse Bruchstücke der Pflanzenreste zugleich in schwarze faserige Holzkohle verwandelt sind. Dadurch wird es nicht unwahrscheinlich, dass der Bildungsprocess dieses Minerals einen wesentlichen Antheil an der Verkohlung und Darstellung höherer Grade derselben hat. Schwefelkiese finden sich auch nicht allein in der Steinkohle sehr häufig, sondern in fast allen kohlenführenden Gesteinen, und unsere Thone enthalten viele Schwefelkiese, und hie und da auch viele Gypskrystalle, ja selbst im Aachener Sand sind Schwefelkiese wenn auch nicht vollkommen ausgebildet, in Verbindung mit Eisen- oxydhydrat nicht selten. Den Einfluss der Schwefelsäure auf die Verkohlung bestätigen die Versuche von G ö p p e r t '). Ein ferneres nicht unwichtiges Ergebniss für die Kenntniss des Verkohlungsvorganges ur- Aveltlicher Pflanzen scheint uns das Vei-halten unserer Kohle in Bezug auf das Volum zu liefern. Es hat nämlich allesAnsehen, dass die kleinen Holzreste, weichein unserer Kreide inKohle ver- wandelt wurden, hiebei entweder gar nicht oder sehr wenig an Volum verloren haben und zwar um so weniger je mehr sie steinkohlenartig geworden. Das umgebende Gestein umschliesst dieselben nämlich in vielen Fällen ganz enge und die Erhaltung der Form in den nebenlie- genden Pflanzen und Thierresten weist nach, dass eine" bedeutende Verschiebung und Zusam- mendrückung nicht kann stattgehabt haben. Kleine Coniferennadeln füllen den a-anzen Raum der x\bdruckhöhle aus und sind dabei ganz verkohlt; mitunter- deuten sie durch die Faltung eine Einschrumpfung an, die aber füglich vor der Einbettung in die Gesteine und selbst noch an der lebenden Pflanze kann stattgefunden haben. Ähnliehe vollkommene oder fast vollkom- mene Ausfüllung des Raumes zeigen viele der verkohlten Holzstücke. Es kommt freilich auch öfter vor, dass in der Gesteinshöhle, die den Hohldruck darstellt, nur eiiK^ geringe Menge kohligen Pulvers noch vorhanden ist. Es können aber hiebei wolil spätere mechanische Ur- sachen eingewirkt haben und das ei'stere Verhalten ist sowohl an sich beweisend, wie in der Häufigkeit des Vorkommens dem letzteren nicht luxchstehend. 'i Herrn A. W. Stiehler zu Wernigeroilo verdanken wir fli(< schriftliflie Mittlicihiuf,', dass auch in iler Kreide des Harzes und zwar in den Sandsteinen unter den Mergeln der oberen Kreide lici Wernigerode Holz in vielen Triininiern und von liclitbrauner Farbe wie durch alle Grade der Vcrkohlung hindurch bis zur Bildung einer der .Schwarzkohle ahnlichen, comiiaeten, keine Struetur mehr zeigenden Masse sich tindet, und zwar stand der Verkohlungsgrad immer im Vei-hiiltnissmitder zunehmenden Stärke des das Holz umschli essenden Sandsteins. Wo dieser sehr dicht war und in bedeutender Masse den Holzrest umschloss, zeigte sich auch die Kohle als der Schvvarzkohle auffallend ähnlicher. Hier durchdrangen auch Schwefelkiese die Kohle odiT zeigten sich auf dem Absonderungsfläehen de.s umgehenden Sandsteins oft als feine haarförmige Bildungen. Die urweltUchen Thallophjtcn des Kreidegehirges von Aachen etc. 169 Die fossilen Kohlen des Aachener Sandes haben noch verschiedene andere Vorgänge erfahren: man findet sie verkieselt und in Eiseiioxyd vererzt, worauf wir weiter unten näher eingelien werden. Es bedarf wohl kaum noch der Erwähnung der bekannten Thatsaehe, dass an vielen anderen Kreidefundorten verkohlte Pflanzenreste, namentlich Hölzer, gefunden werden. Doch mögen die wichtigeren der in paläontologischer Hinsicht grösstentheils gar nicht oder nur unvollkommen bearbeiteten Localitäten hier folgen. Aus dem unteren Quader Böhmens erwähnt sie Reuss (Verst. der böhm. Kreideform. Stuttgart 1846, S. 115 — 128). S. 11,6: „Hie und da sind dem Sandsteine Lagen von grauem, glimmerig sandigem Thon (Weberschan) oder von schwarzem Schieferthon mit unzähligen Resten von Landpflanzen (Perutz) untergeordnet, oder es liegen schwache, nicht bauwürdige Flötze von Braunkohle darin.'' S. 121 erwähnt er auch „Brocken theilweise verkohlten Holzes'- im oberen Plänerkalk. — Hieher gehören ferner: die Quaderkohle von Mobschatz, östlich von Dresden, und bei Quedlinburg, Wernigerode und Halberstadt am Harz (Geinitz, Quader- sandsteingebirge S. 55. F. A. Römer, Verst. der norddeutschen Kreidegebirge S. 121. Dr. Giebel, Leonli. und Bronn's Jahrb. 18-17, S. 53, und Stiehler in litt.) — die Kohlen im unteren Pläner Norddeutschlands (F. A. Römer, a. O. S. 124) — im Grünsand der oberen Kreide zu Köpinge u. a. Orten in Schweden (]^\\fi?, on, petrificata sue- cana, pars prior. Lond. 1827. prooem. p. VI. §.II) — bei Wenig-Ragwitz zwischen Löwenbei'g und Bunzlau in Schlesien, wo ein 12" — 18" mächtiges Kolilenflötz bebaut wird (F. A. Römer, a. O. S. 1-7), ferner dergleichen zu Ottendorf, Giesmannsdorf, Hollstein und Wehrau in Schlesien (von Dechen in Karsten's und von Dechen's Archiv 11. Band, I.Heft. 1838. S. 138, und Göppert, Monogr. der foss. Coniferen, Linden 1850, S. 34 — 43, wo sehr viele hiehergehörige Angaben vorkommen, von denen aber manche wohl Tertiärschichten ange- hören). ■ — Kohlen in Kreidegesteinen von Böhmen und Mähron — in den Kalken der istri- schen und dalmatinischen Berge, in den Hippuritenkalken der Alpen, in der Scaglia Italiens — Kohlen von bedeutender Güte in Spanien bei Utrillas, Torre lapaja, Rozas u. a. nach de Verneuil und de Lorifere (Bidl. geol. XI, b. p. 661) — die Kohlen der Gosauformation in Oberösterreich — (Karl Ehrlich, geognost. Wander. u.s. w. Linz 1852,S. 54^ — 64, und Reuss Kreide in den Ostalpen, 1854, S. 50 u. a. , wo ebenfalls schwach bauwürdige Pechkohlen- flötzevon2'' — l'// Mächtigkeit erwähnt werden) — die Kohlen in den unteren Abtheilungen des (Triinsandes von England (Cony b eare and Phillips, GeoL p. 137), der Kreide bei Folkstone (von Leonhard, Geognosie und (Tcologie, Stuttgart 1835, S. 315) — Kohlen in verscliie- denen Abstufungen bis zu ausgebildetem Gagat in den Vereinigten Staaten in den unteren Lagen des Chesapeak- und Delamare-Canals (S. G. Morton, Synops. of the organ. rem. of the cret. group etc. Philadelphia 1834, p. 9) u. s. w. — endlich Kohlenflötze von bedeutender Mächtigkeit, sogenannte „Quaderkohle'" von Zipaijuira und Tausa in Südamerika nach Leop. von Buch U.A. von Humboldt {Petrifications recueillies en Amer. par Mr. A. de Humboldt et pnr Mr. Charles Degenhardt. IS 39). 4. Eines der häufigsten Erhaltungsmittel von Pflanzenresten fast in allen geologischen Zeitabschnitten ist die Verkies elung. Sie betrifft aber meist nur Hölzer und Früchte, während die feineren, häutigen Pflanzentheile , wie Blätter und Nadeln, sich selten in diesem Zustande finden. So ist denn auch die Hauptmasse des im Aachener Sand vorkommenden Holzes in einen bald festen, feuerstein- oder hornstein- oder opalartigen Kiesel, bald in eine iieiik.-chrifU'ii ilir umtlifui-iiAturw . l'l. XYl. T,i. 22 170 ][[. H. Debei/ und C. /\ Ei finqsli au sen. mehr erdige Kieselmasse versteinert. Aber auch die Hölzer, welche sich in Jen oberen Lagen des Maestrichter Kalkes finden, sind in Feuerstein eingeschlossen und in einer sehr reinen Kieselerde verkieselt, und es ist uns nicht bekannt, dass je ein Holz aus den kalkigen Schichten der hiesigen Kreide in Kalk versteinert wäre gefunden worden, obgleich der Kalk keines- wegs zu den seltensten Versteinerungsmitteln fossiler Hölzer gehört. Durch Herrn J. Basqiiet in Maestricht einhielten wir aus der weissen Kreide von Maestricht ein mit sehr feinen Sculp- turen versehenes Stämmchen von Thalassocharis , welches ebenfalls ganz verkieselt ist. Nur eines einzigen merkwürdigen docli schlecht erhaltenen Stammes gedenkt Miquel (defossiele Planten van hetKryt in het Hertogdom Limburg^ Haarlem 1853, in Verhandel. uitger. d. d. Comm. etc. een. geol. Beschr. en Karte v. Nederland, 1. p. 47) aus der weissen Kreide von Maest- richt. an welchem kalkige und kieselige Gesteine zugleich vorkamen, der aber im Ganzen ziemlich zweifelhaft bleibt. Miquel sagt, es sei wahrscheinlich der untere Theii eines Diko- tyledonenstammes gewesen. Im Inneren habe derselbe aus amorpher Kieselmasse ohne alle organischen Überreste bestanden. Nach aussen aber, besonders nach oben, gehe der harte Kern in einen weissen oder leichtgelben Kalkstein über, der lagenweise abbreche, sich auf der Bruchoberfläche parallel gestreift zeige und auf der concaven und convexon Seite eine gestreifte wie aus verschiedenen der Länge nach an einander liegenden Platten zusammen- gesetzte Oberfläche, gleich einem dikotyledonischen Holz, darbiete, welches auf derselben Seite durch verschiedene Jahresringe schräg hindurch gespalten sei. Miquel hält es für unzweifelhaft, dass diese blättrige Zusammensetzung ehemaliger organischer Textur ihre Ent- stehung verdanke. Einzeln gesehen könne man solche Stücke für Abdrücke von dicht gestreiften monokotyledonischen Blättern halten. Merkwürdiger als das Fossil selbst erscheint mit Recht der Zustand der Erhaltung. Es ist wohl möglich, dass mit oder nach Zerstörung des organischen Gewebes das Innere durch Kieselerde erfüllt worden, während die äusseren Lagen durch Kalk versteinert sind. Eine genaue Bestimmung war unmöglich. Nach der Ober- fläche zu urtheilen, gehörte das Fossil wahrscheinlich einer Conifere an. In der Regel sind unsere verkieselten Hölzer an der Oberfläche weisser und weicher als im Innern. Mitunter fasern sie nach aussen wie eine asbestartige Masse ab oder sind ganz erdig, während das Innere ein mehr oder minder festes Kieselgestein bald von grauweisser, bald von brauner bis schwärzlicher Farbe darstellt und nicht selten eine bedeutende Härte besitzt. Es gibt indess sowohl grössere wie kleinere Stämme, die entweder ganz erdig oder ganz fest sind. In letzteren ist aber namentlich an den noch in schöner cylindrischer Gestalt erhaltenen Stämmen eine Rinde von '4 — 2'" Dicke vorhanden, die weisser, weicher und briicliiger ist als die innere Masse; diese Rinde entspricht jedoch nicht der eigenilichen vegetabilischen Rinde, eher noch den äusseren weichereu Holzringen und ist wahrscheinlich dadurch gebildet worden, dass die der Oberfläche zunächst liegenden Theile mehr den äusseren Einflüssen, dem Wasser, den ehemischen und atmosphärischen Einwirkungen ausgesetzt waren (Göppert, Gattungen. Einleit. S. 18). Unger (Gesch. u. s. w. S. 77, 78) scheint anzunehmen, dass die mürbe faserige Rinde um die festen Kieselhölzer in einem noch nicht ganz vollendeten Verkieselungsprocesse ihren Grinid habe. Da aber die Verkieselung von aussen nach innen muss stattgefunden haben, so scheint dieser Grund nicht auszureichen. Es Hesse sich vielleicht eher annehmen, dass bei gleichmässiger Durchdringung des ganzen Holzes die mit engeren Holzzellen ver- sehenen inneren Holzringe ein festeres Gesteinsskelet darstellen müssen als die mehr lockeren äusseren Theile. Auch mag wegen der Haai'röhreukraft der festeren Gewebe die Aufsaugung Die urweltlichen Thallophyten des Kreidegehirges von Aachen etc. 171 und Ausfüllung rascher und vollständiger stattgefunden haben, womit die Versuche des Herrn Oberförsters Bierman bei Aachen, welcher sich mit Erfolg mit der Tränkung lebender Hölzer durch Mineralstoffe zu technischen Zwecken beschäftigt, übereinstimmen. Aus diesen Versuchen ergibt sich nämlich, dass an lebenden Stämmen die inneren Holztheile viel rascher von den verschiedenen Metallsalzen getränkt werden als die äusseren. Manche Hölzer zeigen bei allgemeiner hellgrauer oder gelblicher Färbung mitten im Innern vereinzelte dunkle, fast schwarze Stellen. Nach Göppert steht die dunklere oder hellere Färbung versteinerter Hölzer im Verhältniss zu dem grösseren oder geringeren Gehalt der noch in ihnen enthaltenen pflanzlichen Stoffe und es könnten solche dunkle Stellen wohl einem Verkohlungsprocess ihre Entstehung verdanken. Auch ist in den dunkleren Stellen die mikroskopische Structur in der Regel besser erhalten und wegen der grösseren Härte auch besser nachweisbar, freilich zugleich wegen der geringeren Durchsichtigkeit sehr schwer auf ausgedehnteren Stellen sichtbar zu machen. Wir bemerken hier noch , dass auf den mikro- skopischen Schliffen in den Längenzellen häufig zahlreiche braune Körner vorkommen, die man allgemein harzigen Stoffen zuschreibt. Häufig zeigen unsere Kieselliölzer mehr oder minder tief von aussen nach innen gehende Querrisse, die durch Sandstein-, Hornstein- oder Eisenoxyd-Platten ausgefüllt sind, wie deren auch (Jöppert a. 0. S. 40 erwähnt. Solche Risse sehen den an Plolzkohlen vorkommenden sehr ähnlich, oder auch solchen Rissen, die sich an feuchtem Holze bilden, wenn es plötzlich einer starken Hitze ausgesetzt wird. Vielleicht Hesse sich annehmen, dass unsere Hölzer durch den Wechsel des Wasserstandes an der Meeresküste öfter durchnässt und rasch wieder aus- getrocknet wurden. Die Querplatten sind dann Folge nachheriger Ausfüllung bei der Ver- schüttung unter die Strandniederschläge. — Zuweilen finden sich auch sehr wohl erhaltene fast kreisrunde Stämme; die schönsten darunter sind die von '/^ — 2 Zoll Durchmesser, die, wie Göppert a. O. S. 25 bemerkt, überhaupt zu den Seltenheiten gehören, für die jedoch der Aachener Sand eine nicht unergiebige Fundstätte ist. Grössere Stämme «-scheinen in dei- Regel sehr zerfressen und zertrümmert. Es kommen indess rundliclie Stammstücke von 4 — .5 Fuss Länge und mehr als 1 Fuss im Durchmesser vor, denen man nach der Wölbung der Aussenfläche ansieht, dass sie Stämmen von mehreren Fuss Di cke angehört haben. Aber jene ungeheuren Durchmesser der Stämme der Jetztwelt, namentlich bei den Coniferen, bis zu 30 und gar 40 Fuss Durchmesser') und selbst die viel bescheideneren Masse von ü — 7 Fuss Durchmesser an verschiedenen Stämmen der Urwelt (üngcr, Geschichte der Pflanzenwelt, S. 57 — 6(')) finden sich nicht einmal in annähernden Bruchstücken bei uns, und es lassen sich nur Stämme mit unter oder wenig über 200 Jahresringen nachweisen. Dies ist um so bemer- keliswerther, als unter den Coniferen des Aachener Sandes die häufigste und bezeichnaidste einer jetztweltlichen riesenhat"ten Art, der Sequoia Californiens. welche einen Durchmesser von ungefähr 10 Fuss erreicht, höchst nahe steht. Ausser den runden kommen aber und zwar häufiger mehr oder minder plattgedrückte Stämme vor. Man darf sie nicht verwechseln mit den ausgefressenen, platten, schalenförmigen Holzstücken. Es sind vielmehr ganz unzweifelhafte deutliche, zusammenhängende und geschlos- sene Holzriiige an ihnen nachweisbar, und man sieht, wie in der Richtung des Druckes ilic Holzringe oft nur ' ', — \''.. Linie Dicke haben, während sie nach der darauf senkrechten Richtung ') (i. W. l'.ischolf. Hofanik. VA. 2. Stuttgart 1S;!0. S. .'la'.l. 22* 172 M. IL Debey und f. /\ Etliitpsliausen. 2 — 4 Linien Dicke erreichen und in spitzem Winkel aus einander gewichen sind. Auch bemerkt man an den mikroskopischen Schliffen sehr häufig stark geschlängelte Zellenreihen des Holz- körpers wie der Markstrahlen, was ebenfalls wohl hauptsächlich einer Zusaunnendrückung zuzuschreiben ist. Sehr bedeutende Zerdrückungen, wie sie anderwärts beobachtet werden, haben wir indess noch nicht gefunden . und wie bereits bemerkt gibt es sowohl in den lockeren Sanden als auch in den festen Sandsteinen des Aachener Sandes sehr schlanke und zarte Zweige und Zapfenfrüchte, welche nicht die geringste Zusammendrückung erlitten haben ; dagegen sind dieselben Pflanzentheile in den Thonschichten in der Regel ganz platt und zerquetscht, wovon wir in der Folge verschiedene Belegstücke abbilden werden. Es lässt sich übrigens keinesweo-s nachweisen, dass der Grad der Zerdrückung in irgend einem Verhältniss zu der Mächtigkeit der überlagernden Schichten stehe , und es müssen hier wohl ganz örtliche oder zufällige Einwirkungen in Anschlag gebracht werden. Die Kieselhölzer des Grünsandes sind, wie überhaupt äusserst selten, so auch im Einzelnen sehr schlecht erhalten und schwer von dem Ganggestein ablösbar. Viel reiner und im Gefüge als Holz kennbarer sind die Holzreste der Maestrichter Kreide. Sie bestehen aber unseres Wissens auch nur in kleineren Knollen, Schalen und Bruchstücken, die enge mit den umge- benden Feuersteinknollen verwachsen sind und keineswegs so frei vorkommen wie im Aache- ner Sand. 5. Den erdigen Kieselliölzern schliessen sich die fossilen Holzreste des Aachener Sandes an deren Versteinerungsmittel ein mehr oder minder thoniges Gestein bildet. Die Thonerde gehört nach Göppert (Gatt., S. 15 und 23) zu den seltensten Versteine- runosmitteln und auch in unserem Gebiete sind hieher gehörige Hölzer selten , auf wenige Fundorte beschränkt und keine reinen Thonversteineruugen, sondern Kieselthonhölzer. In der bereits oben erwähnten jetzt zerstörten Thonschichte mit vegetabilischem Detritus und Epidermisbruchstücken in einer der Sandgruben vor dem St. Jakobsthor rechts der Strasse nach Lüttich fanden sich zwischen den lockeren schwarzen und bräunlichen Thonschichten zahlreiche Lagen und vereinzelte Blöcke fossilen Holzes von braungrauer Farbe und sandig- thonio-em Gefüge. Sie sind durchgängig sehr weich, dabei wenigstens in kleinen Stücken sehr leicht, so dass sie sieh oft wenig schwerer als natürliches Holz fühlen. Sie hatten häufig das Ansehen eines in Vermoderung begriffenen feuchten Holzes , waren von schmutzigbrauner, mitunter bis ins Schwarze gehender Farbe. Nicht selten sah man sie mit einem kohligen Über- zug bedeckt und mitunter war ein Stück mehrere Linien tief von der Oberfläche nach innen zu wirklich verkohlt. An anderen Stücken war die ganze Masse zwar steinartig, aber dui-ch und durch geschwärzt, und dergleichen Stücke, obgleich erdig und von einer vegetabilischen Braunkohle auffallend verschieden, glühten leicht und brannten mit deutlichem bituminösem Geruch. — Äusserlicli zeigten die Kieselthonhölzer, namentlich die grösseren Blöcke von einigen Fuss Länge, sehr deutliche Holzfasern. Nach innen aber verschwindet diese Faserung oft dero-estalt, dass die Stücke einem sandigen Sehieferthon so ähnlich sehen, dass sie in kleineren Handstücken nicht als fossiles Llolz würden zu erkennen sein. Bei Zutritt des Wassers und der Luft erweichten sich derlei Holzstücke und zerfielen dergestalt, dass sie von der einschliessenden Gebirgsart gar nicht mehr zu unterscheiden waren, und es mögen wolil manche Thonschiefer mehr vegetabilischen Gehalt haben, als sich auf den ersten Anblick vermuthen lässt (s. Bronn, Gesch. der Natur, Bd. H, S. 551, 552). Mikroskopische Structur zeigen diese Hölzer nicht mehr; wenigstens ist es uns unmöglich gewesen, sie bis zur Durch- Die u7-wel fliehen Thdllaphyten rfe.s Kreidegebircjps von Aachen etc. 173 siehtigkeit zu verarbeiten, da sie durchaus erdiges Gefüge haben und nur hie und da härtere und krystallinische Stellen in ihnen vorkommen. Aber solche Stellen bilden zuweilen wie auch bei Kieselhölzern kleine vierseitige Zellennetze, die wahrscheinlich den ursprünglichen liolzzellen gruppenweise entsprechen. Von Bohrmuscheln sind diese Hölzer wenig angegriffen gewesen, was vielleicht in frühzeitiger Einschliessung in die Lettenschiehten seinen Grund hat. 6. Die Vererzung der fossilen Hölzer unserer Formation geschieht durch Eisenver- bindungen, entweder durch Schwefelkies oder weit häufiger durch Eisenoxyd. Ganz voll- ständig in Schwefelkies vererzte Pflanzenrestc sind hier sehr selten. Fast immer geht mit der Vererzung durch Schwefelkies der Verkohlungsprocess Hand in Hand, wie wir schon oben bemerkt, imd kleine Kohlenkerne finden sich fast bei allen Schwefelkies- Petrefacten. Die hieher gehörigen Reste sind fast ausschliesslich auf die schwärzlichen und dunkelgrauen Thonschichten beschränkt. Es hängen sich den Pechkohlen oder faserigen Holzkohlen häufig einige Schwefelkieskrystalle an oder, wie namentlich bei der Faserkohle, sie umsehliessen das kohlige Vegetabil mit einer vollständigen Schwefelkieskapsel. — An der der Steinkohle nahestehenden Kohle des Aachener Sandes (s. oben) haben wir indess bis jetzt noch nie Schwefelkiesansätze bemerkt. Doch glaubten wir die Beziehung des Schwefeleisens zur Kohle in unserem Gebiete um so eher hervorheben zu müssen, als Göppert schon durch werthvolle künstliche Versuche nachgewiesen, dass schwefelsaures Eisenoxyd den Verkoh- lungsprocess befördert. (Unger, Gesch. S. 95, 9C; Göp per t , Verh. d. schles. Ges. für Vaterland. Cultur 1 847 und Poggendorf's Annalen 1847, S. 174 und Preisschrift über dieStein- kohlenlager, Ursprung, Bildung und Zusammensetzung derselben u. s. w. Haarlem 1848, pag. 115 — 117 und Vorrede pag. XV.) Weit häufiger tritt Eisenoxyd als Vererzungsmittel auf, und es ist namentlich im Aachener Sande so vorherrschend, dass man diesen in der Pctrographie als ., Eisensand von Aachen" bezeichnet hat. Den Aachener Sand durchziehen, wie wir schon erwähnt haben, zahlreiche dünne .Streifen von vegetabilischem Detritus. Diese Schichten , welche meist nicht über 1 — 2" mächtig sind, bestehen aus einem Gemenge theils verkieselter, theils verkohlter, vorherrschend aber in rothbraunes Eisenoxyd umgewandelter Pflanzen- reste der verschiedensten Art. Grösstentheils sind es freilicli kleine Trümmer von Coni- ferenholz, Zweigstücke mit erhaltener Rinde, an denen die Holzfasern deutlich zu erkennen, oder kleine Bruchstücke des Kernholzes ; zwischen ihnen liegen dann mitunter prachtvolle Zweige mit vollkommen erhaltenen Nadeln oder Coniferenzapfen mit schön erhaltenen Schuppen, sehr selten auch Abdrücke von Dikotyledonenblättern und vereinzelte Dikotyle- donenfrüchte. An den Zweigen und Zapfen sieht man entweder den ganzen Pflanzenstoft' selbst vererzt oder es ist eine äussere härtere Incrustirung zurückgeblieben, die genau der ursprünglichen Gestalt sich angepasst hat und auf ihrer innern Seite die reinsten Abdrücke der Narben und Blattpolster zeigt, während der vererzte Inhalt herausgefallen ist. Mitunter ist die Incrustirung nach aussen sehr rauh und kaum oder gar nicht mehr als Hülle eines Pflanzenrestes zu erkennen. Beim Aufbrechen solcher Stücke erscheint dann aber ein präch- tiger Abdruck, namentlich der Blattpolster. Die hier in Rede stehenden Zweige mit wohlerhal- tenen Nadeln sind in der Regel nicht im mindesten zusammengedrückt und sind aus dem lebenden Zustande fast ohne irgend eine Form- und Grössenveränderung in den Zustand der Vererzung übergegangen. Die gröberen Incrustirungen finden sich in der Regel da , wo der Zweig' in einem Haufwerk anderer Reste eingeschlossen ist. Je näher aber dem lockeren 174 M. n. Debey und C. v. Ettingsliausen. Sande, um so reiner erscheint in der Regel das Petrefact, so dass man solclie Stücke häufig- nur mit einer etwas starken Bürste, zuweilen mit Zuthat einer Nadel, zu säubern hat, um ein Zweiglein fast von der Schönheit eines lebenden zu erhalten. An den blossen Holzstücken, besonders wenn es rundliche Zweigstücke sind, findet man nicht selten, dass festere Holz- lagen und Markstrahlen als eine Art von Skelet stehen geblieben, während die Mehrzahl der vererzten Holzfasern in Pulver verwandelt ist oder in grösseren Faserbündeln herausfällt. Auffallend ist es, dass bei dem grossen lieichthum des Aachener Sandes an Eisenoxyd doch grössere Holzstücke nur äusserst selten in dieser Vererzungsweise vorkommen. Die grössten derben Holzstücke, die wir in braunes Eisenoxyd verwandelt gesehen, besitzen eine Länge von 6 — -8" und eine Dicke von 2 — 3" und fanden sich bis jetzt nur an einer einzigen Stelle in wenigen Stücken, während grosse Kieselholzblöcke durch das ganze Gebiet verbrei- tet sind. Die genannten Eisenholzstücke sind ganz erdig und haben fast alles pflanzliche Ge- füge und Ansehen verloren. Man sieht nur noch die gröberen Faserungen und Ringe. Die Stücke sehen einer erdigen Thoneisensteinmasse ganz ähnlich und verrathen nur wenig von ihrem pflanzlichen Ursprung, wie deijn auch Göppert bei Eisenhölzern die Ausfüllung der kleinsten Zellen durch Eisenoxyd bis zur Bildung eines dichten festen Eisensteins beobachtete. In unserem Gebiet sind dergleichen Stücke meist sehr weich und zerbröckeln bei jeder stär- kern Berührung. Auf dem frischen Bruche zeigen sie eine Menge kleiner glimmerartiger Blättchen, die von ausgeschiedenem Eisenglanz herrühren. Wir bemerken noch, dass in braunes Eisenoxyd vererzt fast sämmtliche bis jetzt im Aachener Sand vorgekommenen Seethierreste gefunden wurden, während dieselben im Grün- sand u. s. w. sich nur sehr selten in dieser Weise, dagegen in grosser Menge verkieselt oder mit kalkiger Schale finden. Bronn (Gesch. d. Nat. II, S. 713) erwähnt das Vorkommen von Vererzung ^er Gryphaea convexa Say in okerigem Brauneisenstein mit der feinsten Erhal- tung der Zeichnungen der Schale aus dem eisenschüssigen Sande der Kreideformation von Woodstown in New-Jersey , während die Seethierreste in unserem Eisensande meist fast unkenntlich geworden, was nanjentlich mit den zahlreichen Turritellon der Fall ist. Ausser im Aachener Sand kommen auch in den meisten höheren Kreideschichten die Eisenoxydvererzungen vor. Im Grünsand, im Gyrolithengrünsand, in den Kreidemergeln, im Kieselkalk von Kunraed , in der weissen und gelben Maestrichter Kreide kommen tlieils ver- einzelte Holzstücke vor, welche in Eisenoxyd verwandelt sind, theils haben die Abdrücke von Zweigen und Blättern einen mehr oder minder starken rostbraunen Überzug und nur selten sind sie durch kohliges Pulver geschwärzt oder sogar ganz rein und von der Farbe des einschliessenden Gesteins. 7. Wir haben endlich noch die bemerkenswerthen Vorkommnisse zu bes])reclien, in denen die Pflanzenreste mehrere chemische Veränderungen erlitten haben und von mehreren Stoffen durchdrungen wurden, wobei sie entweder: a) durch Kieselerde und Eisenoxyd oder durch Kieselerde iiml Thonerdc versteinert sind oder b) verkohlt uiid zugleich durch Kiesel versteinert oder durch vcrscliiedene Eisenver- bindungen vererzt worden. a) Über die Kieselthonhölzer war bereits oben die Rede und haben wir ilalicr hier inn- die Kieseleisen-Vcrsteinerungen zu besprechen. Nicht selten sind im Aachener Sand die Stellen, wo pflanzliche Reste, mögen sie nun verkieselt oder vererzt sein, von einer reicheren Di(j unoeltlichen Thallophyten des Kreidegebirges von Aaclien etc. • 175 Anliäiifuiio' von Eiseiioxyd und von fester gebundenem Sande umsfeben sind. Dies fällt namentlich dann leicht ins Auge, wenn ein solcher Pflanzentrüminer vereinzelt, ausserhalb der Detritusscliicht, in lockerem Sande vorkommt, was sehr oft der Fall ist. Der Sand nimmt dann nicht selten, wi(nvolil nicht immer, in einem Umfang von mehreren Zollen, je näher dem Petrefact, um so mehr an Eisengehalt und an Härte zu und bildet häufig eine mehr oder min- der feste ivapsel um das Fossil, die aber iceineswegs jenen Sandsteinsphäroiden gleicht, von di'ucn wir oben bei der x\blagerung und Einschliessung der Pflanzenreste geredet haben, indem nämlich dort eine nach aussen scharf abgegrenzte feste Gesteinsmasse frei und locker im Sande liegt, während hier ein allmählicher Übergang der festen Concretion in den lockeren Sand stattfindet. Gleiche Verhältnisse wie die letzto-enannten lassen sich noch fortwährend in den Bildungen der Jetztwelt beobachten, wo organische Reste,Wurzeln u. dgl. in eisenhaltigen Sand eindringen und dann alsbald das Oxyd in ihrer Umgebung niedergeschlagen erscheint. Hei unseren fossilen Resten wird nun in ähnliclier Weise, wie wir es an jetztweltlichen Bildungen selbst in unserem Eisensand beobachten, das Fossil wie es scheint von aussen nach innen von p]isenoxyd durchdrungen; je näher nämlich dem Fossil, um so stärker tritt die eisenrothe Fär- bimo' der Umoebunof hervor. Nicht selten ist aber ein solches Fossil eine Kieselversteinerung und es findet in solchen Fällen ein doppelter Petrificationsprocess Statt. Mitunter ist das von der Umgebung her eingedrungene Eisenoxyd nur unbedeutend und die Verkieselung entschieden vorherrschend. Diese Vorgänge können nun sowohl w^ährend des Versteinerungsprocesses voll- ständig ausgebildet w^orden sein, wie auch nach dessen hauptsächlichster Beendigung noch theil- weise fortgedauert haben, und es ist wohl unzweifelhaft, dass noch fortwährend durch die in den Fossilien, namentli(di in den nicht vollständig verkohlten, vorhandenen Stoft'e, die durch die Tageswasser aufgelösten Eisensalze zu reichlicherer Anhäufung in der Nähe der Fossilien gezwungen werden. Wahrscheinlicher ist es indess, dass bei vielen Stücken die Haupt- vorgänge schon in der Urwelt, gleich nach der Begrabung, und im Verlaufe der ursprüngli- chen Mineraiisirung begonnen und vollendet worden. Die organischen Stoffe haben dann theils ihre Verwandtschaft zu der in dem Gebirgswasser aufgelösten Kieselsäure geltend gemacht, theils bei ihrer Zersetzung das in den Wässern reichlich gelöste Eisenoxyd gebun- den oder niedergeschlagen, und es ist in solcher Weise ein doppelter Durchdringungs- vorgang der pflanzlichen Stoffe bewirkt worden. Damit übereinstimmend findet man auch lücht selten, namcntlii'h an kleinen Stücken, eine durchaus die ganze Masse einnehmende Durchdringung von beiden Stoft'en , und nur grössere Stücke machen hiervon eine Aus- nahme, indem deren Plauptmasse meist verkieselt ist, jedoch häufig genug mit vielen braunen und eisenschüssigen Flecken durchzogen wird, die die Einwirkung des Eisenoxyds bekunden. Eines der gewöhnlichsten Vorkomnuiisse bei kleineren Stücken und in seltenen Fällen auch bei grösseren von mehreren Zoll Durchmesser ist nun. dass eine äussere Holzlage (aber nicht die Rinde, welche überhaupt nur äusserst selten, zumal an grösseren Stücken, noch erhalten worden) in der Dicke von V'j — 1 Zoll vollständig in Eisenoxyd vererzt erscheint, während die inneren Holztheile in reinen weissen, grauen oder bräunlichen, mitunter sehr festen Kiesel versteinert sind. Meist bilden beide Theile eine fest zusammenhängende Masse. Wir haben jedoch bisweilen auch gefunden , dass ein dickes und sehr festes Stück Kieselholz in einem '/., — ^/^ Zoll dicken Haufwerk von losen Eisenholzsplittern mitten inne lag, wie festes Kernholz in einer modernden und zerfallenden Rinde, und doch haben wir Grund zu glauben, 176 • M. H. Dehey und C. v. Ettingshausen. dass diese Eisenholzkapsel nicht der ursprünglichen Rinde angehörte, sondern in Eisenoxyd vererztes Kernholz ist , dessen Theile wie bei fast all unserem Eisenholz nur in sehr locker zusammenhängenden Bündeln erhalten worden. Ein anderes Verhalten zeigten mehrere der obenerwähnten erdigen Eisenhölzer. Mitten- inne und ausser Verbindung mit den äusseren Lagen steckten zuweilen vereinzelte, bis mehrere Linien dicke, aber weiche Bündel von Kieselholz. In noch anderen Fällen sind Kiesel und Eisenoxyd bündelweise durch die ganze Fossilmasse ohne Unterschied vertheilt und mitunter innigst mit einander verwachsen. — In wieder anderen, jedoch selteneren Fällen sieht man ringweise, vielleicht einzelnen (harzreicheren) Jahresringen entsprechend, einzelne Lagen in Eisenoxyd versteinert und manchmal durch radiäre Lamellen wieder mit einander ver- bunden, während die übrige Ilolzmasse fast rein verkieselt ist und allseits die Eisenoxyd- streifen umschliesst. In noch selteneren Fällen sieht man die innersten Lagen um den Mark- kern herum in Eisenoxyd verwandelt; dann folgt eine starke Schicht Kieselholz , und die äusserste Umgebung wird wieder von einer Eisenkapsel gebildet. Warum bald der eine, bald der andere der beiden Stoffe vorherrscht, haben wir nicht an Belegstücken ermitteln können. Interessant sind die Fälle, welche wenigstens mit einigem (Jrunde der Vermuthung Raum gestatten, dass die ursprünglichen verschiedenen Stoffe in Kernholz und Rinde beim Versteinerungsvorgang von Einfluss gewesen seien. An kleineren mit Nadeln noch bedeckten Coniferenzweigen sahen wir zuweilen von aussen nach innen den grössten Theil in Eisenoxyd vererzt, während in der Mitte stellenweise oder der ganzen Länge des Stämmchens nach ein dünner, weisser, zuweilen nur fadendicker Kieselstreifen hindurchzog. Ähnliches sieht man sogai-, jedoch seltener, an einzelnen Nadeln. Die Hauptmasse ist in Eisenoxyd vererzt und durch die Mitte, etwa dem Mittelnerven entsprechend, zieht sich ein feiner Kieselfaden. Man könnte glauben, dass harzige oder gerbstoffhaltige Bestandtheile in der Rinde und den äusseren Blatttheilen eine reichlichere Fällung des Eisenoxyds in den angeführten Gewebtheilen veranlasst hätten. Es kommen jedoch auch wieder Fälle vor, welche einer solchen Annahme wenig günstig sind. Schon oben wiesen wir nach, dass sich Kiesel und Eisenoxyd fast gleichmässig in die Holzniasse theilten, oder dass sie ganz oder fast ausschliess- lich von dem einen oder anderen jener Mineralstoffe durchdrungen werden , obgleich beide Stoffe reichlicli im umgebenden Gestein abgelagert sind. Ja es liegt manchmal, wiewohl selten, ein bis zu den äussersten Nadelspitzen ganz in rein weissen Kiesel versteinerter Zweig in einer fest anschliessenden und oft nur schwer abzulösenden Eisenoxydkapsel, ohne dass von dieser aus irgend eine Eisenoxydablagerung in die Kieselmasse hinein stattgefunden hätte. I]benso findet sich der feste Sand in der Umgebung eines bis zu den Nadelspitzen verkieselten Zweiges von Eisenoyyd gebräunt, das aber wenig oder gar nicht in die Verkieselung einge- drimgen, sondern scharf davon abgegrenzt ist. Einige Fälle der Art sind bereits abgebildet worden. J)ie v(ni Göppert dargestellten Goniferenzapfen des Aachener Sandes im Bonner Museum sind in weissen Kiesel versteint unr Fall, wo die Hauptmasse eines Zweiges mit Nadeln in Eisenoxyd vererzt ist und nur die Spitzen der Nadeln verkieselt sind. Ebenso fanden wir Holzstämme an einem Ende verkieselt, am anderen in Eisen- oxyd vererzt, ^vo also von einem chemisclien Einfluss nach Beschaffenheit des ursprünglichen Die urioeltUcIiGii ThaUopkijteii des Kr ekle gebirg es von Aachen etc. 177 pflanzlichen Gewebes nicht füglich mehr die Rede sein kann. Dagegen besitzen wir einen Zapfen einer neuen Tannengattung, Mifropicea, wo dergleichen Beziehungen sich wieder eher o-eltend machen Hessen. Es sind an demselben die Samen in hellen durchscheinenden, die Axe und der untere Theil der Schuppen in mehr oder minder festen aber erdigen Kiesel verstei- nert; die oberen Theile der Schuppen aber zeigen eine durch braunes Eisenoxyd gebildete Hohlgestalt, aus der der Kern herausgefallen, da er aller Wahrscheinlichkeit nach aus pulve- rigem Eisenoxyd bestanden. Im Gegensatz hiezu sieht man Fälle, wo die wahre und ursprüng- liche noch ablösbare Rinde sammt Blattansätzen vollständig in Kiesel versteinert ist, während wieder andere solcher wahren Holzrinden mit Blattnarben vorherrschend von Eisenoxyd durchdrungen sind, das Kernholz dagegen verkieselt ist. Nach all dem lasst sich keine sichere chemische Beziehung der ursprünglichen Pflanzen- theile zu den Versteinerungsmitteln nachweisen, und es kommen fast alle denkbaren Verthei- lungsverhältnisse zwischen Kiesel und Eisenoxyd in den fossilen Resten vor. — Dergleichen ist aber auch schon in anderen Formationen beobachtet worden, und namentlich erwähnt Göppert (Gattungen, Systematik S. 27) mehrere Exemplare von Stigmaria, wo die Rinde durch structurlose Kieselmasse ausgefüllt gewesen und sonderbarer Weise immer der Blatt- ansatz wenigstens in Kalk versteinert war. b) Ähnliche Verhältnisse wie die vorerwähnten zeigt eine andere Reihe von fossilen Resten , bei denen die Verkohlung vorzugsweise in Betracht kommt. Die oben wiederholt erwähnten faserigen Holzkohlen sind im Aachener Sand häufig von einer festen und dicken Eisensandkapsel umgeben, von welcher aus das Eisenoxyd die Kohle je nach den einzelnen Stücken in verschiedenem Grade durchdrungen hat. An manchen dieser Kohlen finden sich noch viele schwarze Stellen, während andere ganz und gar in eine schmutzig grüngelbe Eisenoxydvererzung übergegangen sind, an der man durch die eigenthümliche Färbung die frühere Kohle noch wiedererkennt und von ursprünglich reinen Eisenver- erzungen unterscheidet. Nicht selten ist der Inhalt der Kapseln theilweise in ein gelbgrünes Pulver verwandelt und in diesem Falle in seinem Volum bedeutend reducirt. Andere Stücke dieser Art findet man auch in festem Eisensand eingeschlossen und theilweise zu einer festen bräunlichen Kohlenmasse erhärtet. An den früher erwähnten fast steinkohlenartigen Kohlen haben wir jedoch diese innige Durchdringung mit Eisenoxyd nicht bemerkt; es liegt dort nur in der Umgebung und ist hie und da zwischen Zerklüftungslagen eingedrungen. Ebenso sind die festen Kohlen in den Kalken von Kunraed sehr frei von eisenschüssiger Umgebung, ja man sieht häufig nicht einmal eine leichte eisenschüssige Färbung in ihrer Nähe. Eine älndiehe Beziehung von Eisenverbindungen zur Kohle zeigt sich in den Schwefel- kiesbildungen der Braun- und Pechkohlen in den Thonen des Aachener Sandes, wovon wir bereits oben geredet. Wir erwähnen nur noch , dass sich mitunter verkohlte Zweige finden, deren nächste Umgebung eine Schwefelkieskapsel ist, welche wieder von einer rostbraunen Eisenoxydrinde eingeschlossen wird. Die im Innern noch erhaltenen Kohlentheile sind zuweilen noch deutlich schwarz , häufig aber mannigfach in der Farbe verändert und meist nur noch in Pulverform vorhanden. Hie und da findet man krystallinische Kieselausscheidungen darin. Zu den häufigen und merkwürdigsten Vorkommnissen im Aachener Sande gehören aber die Kieselkohlen und die Hölzer, welche zugleich theils verkieselt, theils verkohlt, theils in Eisenoxyd vererzt sind. — An ganz verkieselten , oft ziemlich dicken Stämmen sieht man zuweilen an der Oberfläche einzelne Faserbündel verkohlt, andere von p]isenoxyd durch- l)i-iil{s"'hi-ifteii (It-r ni;ttliL'in.-naturw. C). XVI. Üd. ""-* 178 M. II. Debey und C. v. Etting sliuusen. drangen. Ferner sind in Haufwerken von Holzdetritus einzelne kleine Splitter mitten zwisfhen Eisen- und Kieselliolz verkohlt und zugleich verkieselt. In noch anderen, selteneren Fällen ist feste Kieselliolzmasse durch zahlreiche in ihr verkohlte Fasern durch und durch grau- schwarz gefärbt. — An noch anderen ebenfalls seltenen Stücken sieht man grosse y^ — 1 Zoll dicke Bündel vegetabilischer faseriger schwarzer Holzkohle , vielleicht schon von etwas Kieselerde durchdrungen, ringsum ein ganz weisses reines Kieselholz, und es gehen die ver- Rcliiedenen mehr verkohlten und mehr verkieselten Holzbündel an den Grenzen so in einander über, dass man eine feste Grenze gar nicht bestimmen kann, obgleich die Mittelpunkte der verkieselten und verkohlten Stellen sehr auffallend von einander abweichen. Einzelne Stellen solcher Stücke sind in dicht neben einander liegenden Bündeln verkohlt, in Eisenoxyd ver- erzt und verkieselt. Von einigen solcher Stücke werden wir bei Besprechung der Hölzer Abbildungen beigeben , welche zur Veranschaulichung besser dienen werden als unsere Beschreibung. Obgleich uns nun so bemerkenswerthe Vorkommnisse wie die ebenerwähnten von anderwärts nicht bekannt geworden, so stehen doch diese Thatsachen keineswegs vereinzelt da. Unger widmet in seinem Versuch einer Geschichte der Pflanzenwelt diesen Verhält- nissen den ganzen §. 39, S. 141 — 144. Er weist daraufhin, dass in den Flötzen von mine- ralischer Kohle aus fast allen Formationen, namentlich aber den jüngeren der Braunkohle, theils mitten in der Substanz der Kohle, theils im Hangenden oder Liegenden derselben feste Steinmassen vorkommen, die nichts anderes als in Kiesel oder Kalk versteinte Holztheile sind, die entweder gleichzeitig verkohlten und versteinerten oder bald nach einander zuerst verkohlten und dann versteinerten. — Ein umgekehrtes Verhältniss findet Statt bei dem in Gyps versteinerten über vier Contner schweren Stamme von Pinites gypsaceics Göpp. (Ciöppert, Acta Leop. 1841, XIX, 2, p. 367, Taf. LXVI, Fig. 2, Taf. LXVH, Fig. 3— S). Er ist von aussen her ganz versteinert, im Innern aber aus wechselnden Jahresschichten noch biegsamen, nur gebräunten Holzes gebildet, welches mit bituminösem Geruch ver- brennt. — Hieher gehören auch die Fälle, welche Göppert (Gatt., Einleit., S. 22) mittheilt, wo in fossilen Hölzern von Teplitz bei Bilin Schichten von okerigem Brauneisenstein mit Kohlenschichten abwechseln. — Auch an den Stigmarien - Stämmen aus der Steinkohle Obei-schlesiens fand Göppert (Gatt., Stigmaria ^ S. 18) llinde und Axe des Stammes in mehr oder minder dicht anliegende kohlige Masse, den übrigen Theil aber in Thoneisenstein verwandelt. — So war auch an der Fruclit von Nipadites cordiformis aus dem Londonthon nach Bowerbank (on fossil fruits and seeds., p. 13, Taf. II, Fig. 10) die Umhüllung verkohlt, der Fruchtkern aber in Kiesel versteinert, was noch am nächsten mit den Vorkommnissen im Aachener Sande übereinstimmt. — -Ferner berichtet Hildreth (Bronn, Gesch. der Natur, Bd. 2, S. 685) von Dikotyledonenstämmen im Sandstein von Gallipolis (Ohio), welche am Hammer Funken geben und zwischen deren Blättern (oder Jahresringen?) die Zwischenräume theils mit Quarzkry stallen, theils mit Steinkohle ausgefüllt seien. Die Einde war weniger ver- steinert, sehr eisenreich und abgelöst vom Stamm und von der Gebirgsart. — In der Molasse von Wabern bei Bern sollen zahlreiche Holzeinschlüsse vorkommen, deren äusserste Kapsel durch Eisenoxyd gebildet wird, dann folgt eine der Steinkohle nahestehende Kohlcnschicht, und im Innern liegt ein in grobkörnigem Sandstein versteinertes Holzstück. — Aussen ver- kohlte, innen in Sandstein versteinerte Holzstiicke sahen wir auch in Mailand bei den Brüdern Villa aus der Molasse der Brianza. Die Steinkerne der Omplialomela scabra G e r m. (Palaeonto- Die urwcltlichen Thallopkyten des Kreidcgchirges von Aachen i-t<-. IT'J grapliiea von Dunker und H. von Meyer I, 1846, p. 2G, Taf. 3) waren ebenfalls an der Oberfläche mit Kohlenpnlver und Eisenoxyd bedeckt , während das Innere von einem festen Gestein (Kalkstein?) gebildet wird. — Hieher gehört endlieh wohl auch noch die walu'schein- lich sehr junge Vorkommnisse betreffende Mittheilung von Levison (aus Ferrus, hüllet, de la science. nat. 1826, Nr. 3, p. 313; Nr. 5,p. .59; Bronn's Gesch. der Natur, 2, S. 691) über fossile Nüsse (noix ordinaires) aus der Gegend des Riesendammes in Nord-Irland, die zugleich mit fossilen Holzstücken gefunden worden waren. „Ihre Kerne hatten ein von Würmern zer- nagtes Aussehen und waren in kohlensauren Kalk mit Spuren von Eisen übergegangen, vom Ansehen chalcedonähnlich , durchscheinend, ungewöhnlich hart; die Schale unversehrt, noch mit ihrer Farbe und Holzsubstanz , die nur theilweise verkohlt ist und im Feuer einigen Schwefelgeruch gibt ,• sie enthält keine Spur von Kalk. Die damit gefundenen Holzstücke waren gänzlich in kohlensauren Kalk umgewandelt, ohne Spur von Holzsubstanz". Diese sämmtlichen Thatsacben dürften geeignet sein, den Stoff zu einer für die Kenntniss des Versteinerungsvorganges sehr werthvollen chemischen Untersuchung zu liefern, und wir sind gerne bereit , Proben unserer Vorkommnisse mitzutheilen. In Aachen haben wir aber bis jetzt niemanden finden können, der in der Lage gewesen wäre, unsere fossilen Reste einer genaueren chemischen Untersuchung zu unterwerfen. Was die Kieselkohlen betrifft, so begegnet man ziemlich allgemein der Ansicbt, dass es verkohlte Holzstücke seien, die nach der Verkohlung verkieselt worden. Wir glauben indess, dass dies bei manchen der von uns erwähnten Stücke, namentlich den zuletzt aus dem Aachener Sande angeführten unmöglich der Fall sein könne. Die Hauptmasse, welche verkieselt ist, besteht aus so hell weissem Kieselholz, dass eine vorhergegangene Verkohlung derselben unmöglich angenommen werden kann. Dicht daneben liegen sodann ganz schwarze Holzkoblenbündel, welche theils nur wenig, theils fast gar nicht von der Verkieselung ergriffen wurden, so dass auch nach ihnen zu urtheilen eine nachträgliche Verkieselung des schon verkohlten Holzes nicht wohl zugelassen werden kann. Es müssen aller Wahrscheinlichkeit nach beide Vor- gänge gleichzeitig im Holze begonnen haben und wohl auch ziemlich zu gleicher Zeit vollendet worden sein. Es ist uns ferner wahrscheinlich, dass diese Vorgänge in einer kurzen Dauer stattgefunden. Ausser dass man Verkohlungen und feste Verkalkungen und Eisenvererzungen an lebenden Hölzern in einigen Menschenaltern hat zu Stande kommen sehen (Göppert, Gattungen, 1841, Heft I, S. 10; Bronn, Gesch. der Natur, 2, S. 689, 690; Göppert, Gatt. I, S. 16), sind auch nicht wenige Mittheilungen über Verkieselung in der Jetztwelt vorhanden, welche Bronn, Gesch. der Natur, Bd. 2, S. 684 — 687, zusammengestellt hat; und an den Kieselversteinerungen des Aachener Sandes sind so zarte Zweige und Nadeln in Kiesel ver- steinert, dass wenn dazu ein so geraumer Zeitabschnitt erfordert würde, wie mitunter behauptet worden, die äussere Gestalt der Pflanzengebilde nicht in so vollständiger und schöner Erhaltung hätte stattfinden können. Dass endlich Verkohlung und Verkieselung in ziemlich gleichen Zeitabschnitten beendigt worden und nicht die Verkieselung ein lange nacb der Verkohlung noch fortschreitender Process gewesen, dürften die Holzstücke zu beweisen geeignet sein, wo vollständige Verldeselungen neben nicht oder unbedeutend verkieselten Kohlen bündelweise in einem Holzstücke vorkommen. Was die einzelnen Pflanzenorgane in Bezug auf die Veränderungsarten im fossilen Zu- stande betrifft, so finden sich Epidermisstücke der Blätter und Fruchthüllen am häufigsten im Aachener Sande in noch pflanzlichem häutigem Zustande. Die solchergestalt erhalteneu • 2a * 180 M. H. Dchey und C. v. Eftingshausen. Reste gehören einigen Monokotyledonen und den höheren Dikotyledonen an. Von Algen, Farnkräutern und Coiiiferen haben wir bis jetzt keine Epidermisstüeke gefunden. Blätter, Nadeln und kleinere Zweige sind theils in Abdruck vorhanden, theils in Eisenoxyd, selten in Schwefelkies vererzt, theils verkohlt, theils verkieselt erhalten; unter den Verkieselungen kommen aber von Blättern nur die der Nadelhölzer vor. Von Dikotyledonenblättern fanden wir nur sehr wenige im Sandstein , wo die Abdruckfläche von einem weissen, wahrscheinlich kieselig'en Pulver bedeckt war. Früchte sind theils in Abdruck vorhanden, theils in schöner Einhaltung vollständig verkohlt, selten in Eisenoxyd vererzt, häufiger verkieselt. Unter den verkieselten Früchten besitzen wir kleine Samen von Coniferen, zuweilen nur von */„ — '^/^ Linie Länge mit vollständig verkieselten Flügelanhängen und selbst noch mit Andeutungen der Eadicula. Zapfenfrüchte fanden wir meistens in braunes Eisenoxyd vererzt, häufig auch im Abdruck, dagegen ziemlich selten verkieselt und dann mit ebenfalls verkieselten Samen. Holzstämme von einiger Dicke sind fast immer in unserem Gebiete verkieselt; sehr selten, wie schon oben erwähnt , verkohlt oder in Eisenoxyd vererzt. Sehr merkwürdig ist aber , dass unter miseren Hölzern fast nur Coniferen vorkommen, obgleich eine grosse Zahl von Diko- tyledonen und auch einige Farnkräuter sich in unserer Flora finden, von denen dem Ansehen der Blätter und Blattnarben zu Folge höchst wahrscheinlich mehrere mit baumartigen Stämmen versehen waren. Ob die rechten Fundstätten dafür noch nicht aufgeschlossen sind, muss die Folge lehren. Wohl mögen sich manche Hölzer von Dikotyledonen nachweisen lassen, wenn man im Stande wäre, die zahlreichen Kohlenbruchstücke, welche sich an den Blattlagerstätten finden, genügend mikroskopisch zu untersuchen. Es sind aber die mikroskopischen Structuren auch selbst unserer verkieselten Coniferen häufig sehr schlecht erhalten und niclit entfernt mit den kostbaren Fossilhölzern zu vergleichen, welche aus Tertiär- und anderen Schichten von Unger und Göppert beschrieben worden und in manchen Handlungen in Paris und beson- ders in London (bei Topping) käuflich sind. — Einden haben sieh an den Aachener Hölzern, wie überhaupt, nur selten erhalten. Doch kommen einige verkieselte Rinden mit den pracht- vollsten Blattpolstern bei uns vor, die wir an geeigneter Stelle abbilden werden. Im Allgemeinen sind die Hölzer im Aachener Sande vielfach zerstört und zertrümmert, wie durch Fäulniss abgefasert, der Länge und Quere nach eingerissen, ausgehöhlt und von zahlreichen Bohrmuschelgängen durchlöchert — Zeichen, dass sie vielfach und lange von den Meereswellen umhergeschleudert und angegriffen worden, was bei weitem nicht in dem Grade mit den so schön erhaltenen zarten Zweigen, Blättern, Blüthen- und Fruchttheilen der Fall ist, die ebenfalls unserem Gebiet angehören; aber auch diese wurden in regellosen Haufen verscliüttet und nicht selten sehr beschädigt; doch mag ihre Übereinanderhäufung für manche Reste zum Schutz gedient haben und ein nicht geringer Theil derselben sclieint in mehr ruhigem Strandbecken abgelagert worden zu sein, während die Hölzer längere Zeit ein Spiel der Wellen blieben. Zum Schlüsse haben wir noch der Zerstörung unserer Hölzer durch die Bohrmuscheln etwas näher zu gedenken. Es gibt wenig Stücke fossilen Holzes in unserem Gebiet, die nicht Spuren dieser Angriffe an sich tragen; mitunter aber wimmeln dieselben von runden und flaelirunden Canälen sehr verschiedener Grösse, Richtung und Länge, von denen sie durchbohrt werden. Nach den angedeuteten Verscliiedenheiten dieser Gänge, so wie nach der Form der mitunter noch erhaltenen Köpfe ist es nicht unwahrscheinlich, dass mehrere Arten und selbst mehrere Gattungen von Meeresconchylien sich in die Beute getiicilt liaben, und es kommen auch Bohr- Die lorweltlichen Thallophyten des Kreidegebirges von Aachen etc. 181 inuscheln nicht allein im Aachener Sande, wo sie freilich am zahlreichsten sind, sondern auch in den wenigen Holzresten vor , welche sich in den höheren Schichten bis zur Maestrichter gelben Kreide hinauf finden. Es mögen vielleicht verschiedene Arten sein, was sich indess bei ihrem schlechten Erhaltungszustande sehr schwer entscheiden lässt. — Im unteren Grün- sande von Aachen bestimmte Herr Dr. Joseph Müller (Monographie der Petrefacte der Aachener Kreide, Abth. H, 1851, S. 63) Gastrochaena amphisbaenaG ein. -^ ob aber die grossen bis y^' breiten Gänge im Holze des Aachener Sandes ihr angehören, ist noch sehr zweifel- haft. Eine kleine Form von birnförmiger Gestalt, welche in grosser Menge in den Hölzern des Aachener Sandes sich aufhält, bestimmte Herr Dr. J. Müller als G. voracissima Müll. Sie kommt zuweilen zu Hunderten in einem massig grossen Holzstück vor. In grösseren Holz- blöcken von einigen Fuss Länge ist sie selten. Gewöhnlich findet man die Oberfläche der Hölzer mit kleinen, kaum y/' langen birnförmigen, in Eisenoxyd vererzten , selten auch ver- kieselten Körpern der Art bedeckt, deren rundes Ende in das Holz eingesenkt ist, während die stumpfe Spitze mehr oder minder hervorragt. Seltener sieht man sie tiefer als einen oder zwei Zoll weit eingesenkt, während die grossen ^/^ — y/' breiten Gänge oft fusslang durch das Holz verfolö-t werden können. Die kleinen wechseln in der Grösse von der Dicke eines Stecknadel- kopfes bis zu der eines starken Kirschenkerns und stehen oft so dicht gedrängt, dass sie stellenweise die ganze Oberfläche bedecken. — Bei Eisenhölzern, aus denen der Holzkern ganz oder theilweisc verwittert und nur die Rindenschicht oder deren Incrustirung zurück- geblieben, ist diese letztere an ihrer inneren Seite mit zahlreichen sehr regelmässig runden Kugeln von verschiedener Grösse bedeckt , die nichts anderes sind als die Hohlgestalten der Köpfe jener Bohrmuscheln. Dergleichen hat man zur Zeit sehr verschiedenartig gedeutet. Sie wurden theils für zufällige Bildungen , theils für Pilzbälge gehalten und als solche benannt (Sclerotites , Lycogala). Man hat die Bohrlöcher für die Gänge von Käferlarven angesehen (Göppert) und sogar Käfer danach benannt (Gerambycites Gein.). Wir können indess auf das bestimmteste nachweisen, dass es- Bohrmusehelköpfe sind. An mehreren derselben, welche in Kiesel versteinert waren, konnte man Schloss und Schale deutlichst erkennen, und wir werden bei Besprechung der Hölzer Abbildungen davon geben. — Diese Bohrmuschel- Pseudomorphosen veranlassen übrigens noch andere Täuschungen , auf die wir hier aufmerk- sam machen müssen. Sie finden sich, wie nicht anders zu erwarten, auch in den Holztrümmern, welche in Thonsehichten eingeschlossen wurden. Diese Hölzer sind aber meist verkohlt und stark zusammengedrückt. Die thonige Ausfüllungsmasse der Bohrlöcher hat mithin dieselbe Zusammendrückung erfahren. Bricht man dergleichen Stücke auseinander, so findet man auf der inneren Seite runde, plattgedrückte, bis y^ Zoll breite scheibenförmige Körper mit koh- liger Bedeckung, die sich zuweilen ganz frei von ihrer Unterlage lösen und so das Ansehen von fossilen Früchten gewinnen. Sie sind aber nichts anderes als die plattgedrückten und abgetrennten Pseudomorphosen der Bohrmuschelköpfe. Ausser jenen Canälen kommen an der Oberfläche der Aachener Hölzer auch läng- lichrunde, fast schotcnähnliche Eindrücke neben einander und in gleichläufiger Längen- richtung vor und sind oft dicht gedrängt. Sie scheinen uns Einbohrungen von Phola- den zu sein. Mitunter hat sich nun die einschliessende feste Sandmasse genau in diese Vertiefungen eingebettet, und wenn mau sie im Zusammenhange herausnehmen kann, so stellt sie ebenfalls in einzelnen Fällen, besonders bei sehr dicht gestellten Eindrücken eigenthümliche Formen dar, welche von 'Unkundigen für Pflanzenreste gehalten werden 182 M. H. Debey und C. v. Etf ingshaiisen. könnten. Ein sehr schönes Stück der Art findet sich in der Sammlung des Herrn Dr. Joseph Müller. An einzelnen Hölzern findet man als Seltenheit auch kleine Haufen von länglich-runden plattgedrückten Körnern, von der Dicke eines kleinen Nadelkopfs und ^/., — y/" Länge, die vielleicht für die junge Brut der Gastrochänen gelten können, vielleicht aucli von einer anderen Muschel, höchst wahrscheinlich aber von einem thierischen Organismus herrühren. Ob an unseren Hölzern Einwirkungen von Insecten erkennbar seien, ist uns höchst zweifelhaft, wie überhaupt derlei Nachweisungen noch sehr selten sind. Freilich haben wir, wie bereits erwähnt, in letzter Zeit mehrere Käferflügel gefunden, doch haben dieselben keineswegs das Ansehen von Holzbohrern , und von den erwähnten Gängen können wir eben sicher nachweisen, dass sie keineswegs Käfei'larven, sondern Bohrmuscheln ihren Ursprung verdanken. "Was daher in dieser Beziehung über die Aachener Hölzer mitgetheilt worden, scheint uns unbegründet. Die urioeltlicken Tliallopkyten des Kreidegebirges von Aachen etc. 183 SPECIELLEß THEIL. Beschreibung und Erklärung der fossilen Pflanzenreste. CLASSIS I. A L G A E. Die Zusammenstellungen der bis jetzt bekannt gewordenen fossilen Pflanzen liefern das eigenthüniliche Ei-gebniss, dass die Algen , die niedersten Formen der Pflanzenwelt, in weit geringerer Zahl bis zur Jetzwelt erhalten worden sind, als es aus dem bedeutenden Vorherr- schen der Meere gegen das Festland in der Urwelt erwartet werden könnte ; und unter allen Formationen waren es bis in die letzten Jahre hinein nur der Jura und die Kreide, die sich durch vorherrschenden Algenreichthum noch einigermassen auszeichneten. In den beiden letzten grösseren Übersichten, welche F. Unger im Jahre 1850 in seiner ..Genera et species plantarum fossilium, Vindohonae 1850^ p. 532 — 573, und im Jahre 1852 im „Versuch einer Geschichte der Pflanzenwelt, Wien 1852" S. 332, 333 aufgestellt, ergeben sich folgende Zahlenverhältnisse für die Algen : Grauwacke 7 Arten, Steinkohle 8 Rothliegendes ... 0 Kupferschiefer ... 15 i. bunter Sandstein . . 0 Muschelkalk ... 1 ( Keuper . . Lias Jura o 9 44 Wealden 1 Arten, Kreide 40 ,, Eocen - Tertiär ... 24 Miocen- ,,.... 7 Pliocen- 0 Diluvium- ,,.... 0 Unbekannte Formation 2 „ 151 Arten, Jetztwelt .... 8394 „ Die Algen betrugen demnach im Verhältniss zu den übrigen Pflanzen der Urwelt (nach Unger, Versuch S. 331 zu 2772 Arten berechnet) 5-8yo, während sie in der Jetztwelt, die Zahl sämintlii'her lebenden Pflanzen zu 92.G62 (Unger, a. a. 0. S. 333) angenommen, O"/, 184 31. IL Dehey und C. v. Ettingshatisen. erreichen, ungeachtet, wie gesagt, das Verliältniss des Meeres zum Festlaude in der Urwelt unzweifelhaft sehr überwiegend war und nicht angenommen werden kann, dass sich die Zahl der Algen um ein so Bedeutendes höher nach der Vermehrung- der Küsten bemessen lasse. Der seit dem Jahre 1852 für die fossile Pflanzenwelt gewonnene Zuwachs ist nicht geeignet ein günstigeres Verhältniss für den Algenreichthum der Vorwelt zu erzielen. Nehmen wir ziemlich richtig die Zahl der bis gegenwärtig bekannt gewordenen fossilen Pflanzen aller Ordnungen zu wenigstens ungefähr 4300 Arten an ') , so befinden sich darunter höchstens 250 Algen, mithin wieder nur 5-8''/o- Dazu kommt, dass eine nicht unbedeutende Zahl als Algen beschriebener Pflanzen durch die neueren Untersuchungen sieh als sehr zweifelhaft oder gar nicht zu ihnen gehörig erwiesen. Die Gattungen Confei'vites , Caulerpites , Chondrites , Cylmdrites^ Keclda, Encoeläes, Muenstei'ia u. a. enthalten theils sehr unsichere Formen, von denen es nicht einmal sicher ist, ob sie zu organischen Bildungen gehören — theils hat man Pflanzenformen unter ihnen als Algen bezeichnet , die in neuerer Zeit zu höheren Abtheilungen, namentlich zu den Coni- feren gezogen worden. Eine ganze Reilie von Caulo'pites- Arten hat so unter den Coniferen eine Stelle gefunden ''). Andei-e haben sieh als Thierreste erwiesen '). ') Unger zahlt in schier Abhandlung „über die Ptlanzenwelt der Jetztzeit in ihrer historischen Bedeutung" im Jahr 1851 bereits, 2868 Arten. Hiezu berechnet Göppert (Tertiärflora von Java 1853, S. 156) in zwei Jahren einen Zuwachs von 726 Tertiär- pfianzen. Dazu kommen noch bis gegenwärtig gegen 25 grössere und kleinere Arbeiten über fossile Pflanzen aller Formationen: von G öppert über den Bernstein, Schossnitz und Java; von O. Heer über die Schweiz und Madeira; von Geinitz über die Steinkohlenfloren Sachsen's; von Ettings hausen über die Steinkohlenfloren von Radnitz und Stradonitz; Nachtr<äge über Sotzka, Häring, Tokay, Monte Proniina, Wildshut und Heiligenkreuz ; von Goldenberg über die Steinkohle; von Unger über den Cypridi- nenschiefer, über Wieliczka und den Lias; von Massalongo über mehrere Tertiärschichten Italiens; von Weber über die rhein. Tertiärschichten bei Bonn; von Weber uudWessel über dieselben; vonBornemann über die Lettenkohle; vonB uckmann über den englischen Lias, worin diesem zuerst Dikotyledonenblättcr zugewiesen werden; von Andrä über den Lias und das Tertiäre Siebenbürgens; von Dunker über die Kreide; sodann noch eine Anzahl Mittheilungen mit kleinerer Artenbereicherung von Stengel, Stiehler, King, Unger, Römer, Hoveker, u. a. Dabei haben wir nicht mitberechnet die Mittheilungen M. de S er r es (Brongniart), über die Maestrichter Kreide von Miquel und unsere eigenen früheren Namensverzeichnisse über Aachen und Maestricht. Ausserdem fällt eine ziemlich bedeutende Anzahl von Synonymen-Keductionen auf die Flora der Steinkohle u. a., besonders durch die Arbeiten von Geinitz und von Ettingshausen. Nach all dem lässt sich die Zahl der in diesem Augenblick mit Ausschluss der Aacliener und Maestrichter Flor bekannten fossilen Pflanzenarten auf 4300 anschlagen. Bei den fortwälirendcn Bereicherungen der Literatur ist es unmöglich, eine ganz genaue Zahl zu geben ; es kommt indess für den vorlie- genden Zweck auch nicht darauf an , ja der unablässige Wechsel durch neuen Zuwachs und theilweise Reductionen, so wie die Unsicherheit durch die vielen zweifelhaften und unbestimmbaren Reste lassen eine unbedingt richtige Zahlenaufstellung noch lange nicht erwarten. -) In den PaJaeoiitograj'hiea, Bd. II, 1852, S. 255 hat Prof. Unger bei Gelegenheit der Beschreibung des von ihm als Conifere bestimmten Artkrolaxites jirinceps Ung. eine Übersicht der Voränderungen in der Gattung Caulerpiles Sternb. gegeben, die wir liier mit neuen Ergebnissen bereichert wiederholen : Caulerpites Göpperti Münst. und dichotomus Alt., C. crenulaUis Alt., C. pa- iens Alt., C. bipiniiatusMünst. sind nach Unger Arten von Sphenopten's und Pecopieris. — Caulerpites seriularia, elegans,cohibrimis, laxus, princeps und ocrcatus Sternb. Arthroiaxites Princeps Ung. — C. selaginoides var. a. ß. y. ß. Sternb. und C. dtstans Münst.= üllmannia lycopodioides Göpp. — C. frumenlarius, spicaeformi's , pteroides , Schlotlieimi Sternb.^ Ullmannia frumen- taria Göpp. — C. hypnoides Sternb.;^ Walchia liypn. Br ongn. — C. Orhignymius, Brardü, Bucklanditius Sternb. = Brachy- phyllum Orbignianum, Brardianum, actttifolhmi Brongn. — C lieterophytlus et Preslianus Sternb. = Brachyphyllum Cauler- pites Ung. — C. ihtijaeformis, expansus Sternb.= TImjites divariaatus Sternb., et TImjiies expansus Sternb. (Brongniart Tabl. des vigil.foss. lS40,p. 1Ö6). — C. longirameim, ocreatus ^ Thujiies long. u. oc.Ettingsh. (Abhandl. der k. k. geol. Reichs- anstalt, Wien 1852, Bd. 1, Abth. 3, Nr. 3, besond. Abdr. S. 6). — Wahrsoheinlicii sind auch noch zu den Coniferen zu ziehen <;. Nilssonianus Sternb. und O. Browm'i Sternh.l (Endlicher, Geti. plant. Suppl. III, p. 54). — Sodann hat A. Pomel in seinen Mat) Vielleicht gehört auch noch hieher Jer Delessertltes sphaerococcoides Ettingsh. vom Monte Piomina, der sehr grosse Ähnlichkeit mit kleinen fructiücirendeu Exemplaren von Ilalyseris polypodioides Ag. hat. Die iirioeltUchen Tliallophyten des Kreidegebirgeti von Aachen etc. 191 einigen schönen Coniferenzweigen und einer banksienähnliclien Proteacee einen grossen blatt- artigen Laubabdruck (Fig. 5), welcher uns einer neuen Algengattung anzugehören schien. — Bevor wir aber in den Besitz dieses grösseren Stückes kamen, fanden wir ein kleines Bruchstück eines Mittelnerven, das wir in Fig. y vergrössert dargestellt haben. Zu beiden Seiten dieses Nerven liegen länglich-runde Körperchen, die wir bald für in die Laubfläche eingesenkte nervenständige Sporangien einer Alge hielten, deren Laub uns noch unbekannt war. Darauf fanden wir dann das bereits erwähnte blattförmige Laub, das nur von einem flachen Mittel- nerven durchzogen ist, der sich gegen die Spitze des Laubes verliert, aber seinem ganzen Verlaufe nach in der Breite von einigen Millimetern mit unregelmässig gestellten schlitzen- oder spaltenähnlichen Körperchen besetzt ist. Diese Körperchen halten wir für in der Ent- wickelung begriffene Fruchtschläuche, denen entsprechend, welche wir in dem zuerst gefun- denen Bruchstück im ausgebildeten Zustande zu erkennen glauben. Hierauf gründet sich die Aufstellung der neuen Gattung. Bis jetzt sind von der Pflanze nur die beiden eben besprochenen Reste gefunden worden. Das grössere blattartige Bruchstück ist ungefähr 5 Centim. lang und in seiner grössten Breite hat es 3Vi Centim. Es fehlt aber ein grosser Theil der Spitze und auch an dem etwa 3 Millim. breiten Grunde ist es etwas verstümmelt. Die Ränder des erhaltenen Theiles sind durchaus unverletzt und ganzrandig und die ganze Laubfläche hat ungefähr eine umgekehrt eiförmige Gestalt von regelmässiger Bildung und scharfer LTmgrenzung, was freilich bei blattartigen Algen nicht sehr häufig ist. Sie schmiegt sich jedoch mit sehr geringer Verkohlung an die Unebenheiten des unterliegenden Gesteins an, was auf eine ziemlich dünne Beschaffenheit des Laubes deutet. Auch der Mittelnerv ist dünn und schmal, am Grunde ungefähr l'/o Millim., nach oben kaum V, Millim. breit, und besonders nach oben zeigt er sich nur als ein schmaler etwas dunkler gebräunter, in die hellere Laubfläche verfiiessender Streifen, während er nach unten einen ebenfalls nur schwachen und auch seitlich nicht scharf begrenzten Eindruck macht. Auf diesem Mittelnerven liegen die vorerwähnten, in Fig. e vergrössert abgebildeten kleinen Stigmen, die dem blossen Auge kaum sichtbar sind. Von Seitennerven oder Abdruck feinerer Zellenbildung, wie wir in der Folge von anderen Pflanzen erwähnen werden, sieht man keine Spur. In Betreff der Nerven beweist dies freilich keineswegs das wirkliche Fehlen derselben, da man, wie schon in der Einleitung erwähnt, in manchen Fällen selbst bei sehr guten und äusserlich schönen Abdrücken die Nerven gänzlich vermisst, während sie an schlechteren Abdrücken derselben Pflanze sehr deutlich sind ; ja nicht selten sind die Nerven auf einer Stelle des Abdruckes vorhanden, während sie auf einer anderen fehlen. — Das laublose Bruchstück mit den deutlicheren Sporangien zu Seiten des Mittelnerven wurde in Fig. / vergrössert dargestellt. Zu beiden Seiten dicht neben der 1 Centim. langen Axe sitzen kleine, etwa 1 Millim. lange, umgekehrt eiförmige, mit dem unteren zugespitzten Ende unter einem ziemlich spitzen Winkel wechselständig angeheftete Körperchen, die sich in eine flache Vertiefung einsenken. Nach der Breite der Axe zu urtheilen, haben sie am unteren Ende des Mittelnerven ihren Sitz o-ehabt und befanden sich wahrscheinlich zur Zeit der Verschüttung im Zustande der Reife. Was die Stellung im System betrifft, so könnte man geneigt sein die Pflanze wegen des blattförmigen Laubes in die Nähe von Delessertia zu den Florideen zu stellen. Dem wider- streitet aber die Fruchtstellung. Dagegen kommt bei der lebenden Ralyseris eine Frucht- stellung längs des Mittelnerven vor und unter den Halyserideeu fehlt es nicht an breiter, 192 M. H. Debey und G. v. Ettingshausen. blattförmiger Ausdehnung des Laubes. Dazu kommt, dass die Seitennerven bis jetzt nicht haben nachgewiesen werden können , wir glauben die Pflanze demnach einstweilen in die Nähe der Halyserideen bringen zu können. IVetirosporangium unüulatum, Taf. I, Fig. 7. N. frojule late foliacea, subsaccata, mai-gt'ne irrerjiilari. In Strato argilloso arenacei dicti aquisgranensis rarissimum. Ob die vorliegende Form , von der wir nur einen einzigen Abdruck in einer Thonschichte am Weingartsberge fanden , zu Neurosporangium gehöre , lässt sich eben so wenig mit Sicher- heit sagen, wie, ob dieselbe, wenn sie zu dieser Gattung gehört, nicht mit der vorigen Art zu ver- einigen sei. Die Laubfläche ist ziemlich buchtig und gefaltet Und der Rand unregelmässig, wo- dui'ch sich dieserAbdruck deutlich vom vorigen unterscheidet. Bekanntlieh aber sind dergleichen Unterschiede bei den Algen von sehr geringem Belang. — Durch die Mitte läuft ein schwach ausgesprochener Hauptnerv, der sich nach oben verliert. Von Seitennerven, wie von Fructifi- cation finden wir keine Andeutung. Das Einzige, was man vom vorliegenden Pflanzenrest mit einiger Sicherheit behaupten kann , ist , dass er zu den Algen gehört. Die Schichte, worin er sich fand, ist, wie schon die Farbe des Gesteins zeigt, eine andere als die der vorigen Pflanze, jedoch von derselben Ortlichkeit. Vielleicht gehört hieher noch als dritte Art ein Abdruck, der sieh in einer anderen Schichte fand. Es ist eiii bandförmig-blattartiger, ganzrandiger, stark der Quere nach gefal- teter, ungefähr 1 Centim. breiter Laubabdruck, durch welchen, wenn nicht ein deutlicher Mittelnerv, doch wenigstens eine Mittelfalte hindurchgeht. Von Seitennerven ist keine Spur zu sehen. Da wir indess nur das eine Bruchstück gefunden und ähnliche Bruchstücke von Dikotyledonenblättern an jener Stelle vorkommen, an denen man bald Eeste der Seitennerven, bald keine Spur derselben findet, so haben wir noch Anstand genommen eine Algen-Art dar- nach aufzustellen, obwohl manches dafür spricht. Mjatninarites Sternberg. Frons stipitate, membranacea v. coriacea, costata v. ecostata. Sporangia pyriformia, per laminam frondis sparsa. Sternberg, Vers. II, p. 34. Typus: Lainitiaria Lamr x. Mjatninarites polystigina. Taf. I, Fig. 6. Li. fronde late membranacea, plana tenui, stigmatibus crebris, irregulariter subseriatim dispositis, parvis, 1 — 2 Jf"'- longis, »/^ Af '"■ latts, utringue acuminati's tecta. In Strato argillosa arenacei „Aachener Sand" dicti in ectypo unico dilacerato obserr^atum. Das Bruchstück erscheint wie ein dünnhäutiger, flacher, graulicher Überzug auf dem ebenfalls grauen Gestein. Die kleinen Stigmen, welche fast sänmitlieh in einer Richtung und fast reihenförmig liegen, sind an beiden Enden zugespitzt. Ihr Längendurchmesser übertrifi't den Breitendurchmesser beinahe um das Dreifache. Mit blossem Auge sind dieselben nur bei günstig auffallendem Lichte deutlich zu erkennen, und ihre Umgebung ist um ein ganz Unbe- deutendes mehr gebräunt als die übrige Fläche des Abdruckes. In der Abbildung sind sie etwas deutlicher hervorgehoben als am Original, an dem man sie ganz klar nur mit der Die urweltlichen TTiallophyten des Kreidegebirges von Aachen etc. 193 Loiipe erkennt. — Da sich hei Laminar'ites tiiberculosus 8teri\h. aus den Ligniten unter der Kreide der Insel Aix älmlielie Stigmen zeigen und sich bei Laminaria die Fruchthaufen eben- falls unregelmässig über die Laubfläche zerstreut finden; so wird es nicht unbegründet erschei- nen, dass wir das Bruchstück einstweilen zu. Laminarites Sternb. gestellt haben. Es fand sich in den Thonen des Aachener Sandes am Mariahilfspital. FLORIÜEAE. Chontlrites S t e r ii b e r g. Frons compresso-'plana v. teretiuscula., dichotome v. pinnatim ramosa, enervis. Sternberg, Vers. II, p. 25. — Unger, Oen. et spec. pJ. foss. p. 15. Typus: Chondrus Grev. — Endl., Suppl. III, p. 29, 112/39. Die Gattungen Chondrites und Sphaerococcites erfreuen sich in der fossilen Flora einer ungewöhnlichen Reichhaltigkeit, indem fast alles faden- oder schleifenförmige Laub mit dichotomer, gefiederter oder ähnlicher Verästelung ohne Unterschied und oft mit Willkür bald dieser bald jeuer von den beiden oben genannten Gattungen überwiesen wird. Wir haben es vorgezogen die grosse Mehrzahl der unsicheren Formen zu Chondrites zu ziehen, theils weil in neuester Zeit die meisten bisherigen Arten des Geschlechtes Sphaerococcus zu Chondrus gezogen worden und nur die sehr gracilen Formen Sph. coronoptifolius Ag. und Sph. crinifus Ag. dabei belassen wurden; theils weil es unter den fossilen Formen welche gibt, die sich durch ihre bläschenartigen Auswüchse besser als zu Sphaerococcites gehörig cha- rakterjsiren*) und von den bläschenfreien Formen, die Chondrites benannt zu werden ver- dienen, unterscheiden. Damit stimmt auch die weit grössere "Vielgestaltigkeit übei'ein, welche sich bei den lebenden Chondrus - Arten findet. Wir erinnern nur an Chondrus crispus Lamx., deren zahlreiche Formen in dem Pariser Herbarium unter der Benennung Ch. polymorphus eingeordnet sind. Li ähnlicher Weise mag es sich vielleicht mit dem vielbespro- chenen Chondrites Targionii und den verwandten Formen des Jura, der Kreide und des älteren Tertiärgebirges verhalten. In ähnlicher Weise wie bei dem lebenden Chondrus haben wir die Formen in zwei Gruppen, a) mit zusammengedrücktem und b) mit rundlichem, cylindrischem Laube gesondert. A. FRONDE COMPRESSO- PLANA. Chondrites Jugif'orntis . Taf. I, Fig. 8 — 9. L!h. ramis remote-dichotonus, e dichotomia suhhorizontaliter divaricatis, vage decurrentihus, suhßexiio.siis lineurihus, compresso-planis, 3 — 6' M'"- latis, integerrimis, rarissime ad marginem bullosis. In siratis nonnuUis argillosis arenacei dicti aquisgranensis frequens. In einer der Thonschichten des Aachener Sandes finden sich häufig schmale bandförmige Streifen von 3 — 6 Millim. Breite, welche. mit einem dünnen, rissigen, grauen oder gelblichen bis schwärzlichbraunen, getrocknetem Kleister ähnlichen, ziemlich glatten und mattglän- zenden Stoffe übei'zogen sind. Diese Schleifen ziehen sich zuweilen auf mehrere Zoll Länge ') sphaerococcites geniiinus S ternh. u. andere. Es geben diese gipfel- oder seitenständigen Bläschen indess lieineswegs ein sinlieres Kennzeichen der Verwandtschaft mit der lebenden Gattung Sphaerococcus, da dergleichen auch hciGiffartina rolans wwAi '/inminni, Odonthalia aleutica, Coecophora Phyllamorpha, Sargassxiin u. a. vorkommen. Deiikächriften der mathem.-naturw. Cl. XVI. Bd. -** 194 M. H. Debey und C. v. Ettingshause n. ■flach durch das Thongesteiii hindurch, ohne sich bedeutend zu falten oder hin und her zu biee-en. Dieses Verhalten deutet auf ein ziemlich festes oroanisches Gebilde. In vielen Fällen findet man einen ziemlich geraden Streifen der Art, der sich sehr bald in zwei gleich- breite Arme theilt, die fast unter rechtem Winkel beiderseits vom Hauptstamme aus einander ffehen. In seltenen Fällen findet man an dem einen oder andern der Arme eine zweite Dicho- tomie, die sich wie die frühere in die beiden fast horizontal aus einander gehenden Aste ausbreitet. Der Verlauf der einzelnen Schleifen ist gewöhnlich leicht gebogen, selten sehr gestreckt und dies letztere noch am meisten bei den breiteren wohl die Hauptstämme bildenden Streifen. Man findet nun aber auch, wiewohl sehr selten, grössere unregelmässig lappige Stellen in den genannten Thonen, welche wie eine glänzende, dünne, gelbliche Kleisterhaut aussehen und von denen Schleifen, ähnlich den vorhin beschriebenen, auszugehen scheinen. Wir glauben die eben beschriebenen Bildungen für die Reste einer chondrus- ähnlichen Alge ansehen zu dürfen, wobei die häutigen Flächen das Lager darstellen, von welchem aus die dichotomen Verästelungen sich nach verschiedenen Riclitungen verbreiten. Vergeblich haben wir in den noch anscheinend in unversehrtem Zustande erhaltenen Resten nach mikro- skopischer Structur gesucht. Man erkennt nur eine hornartige amorphe, gelblich durchschei- nende Masse, und hie und da vorkommende Andeutungen eines zelligen Gefüges sind durchaus zweifelhaft. An einem anderen Fundort, ebenfalls in einer Thonschicht, fanden wir dieselben Formen wieder, jedoch von rothbrauner Färbung bis ins Schwarze und hie und da waren sie mit schwarzem Kohlenpulver bedeckt. Im Übrigen verhielten sie sich wie die vorigen. Ein grösseres Stück zeigte aber am unteren Rand einer der Querschleifen eine länglich-runde Ausbiegung, die von einer seitlichen Anschwellung herrühren muss und vielleicht für die Fruchtbildung zu halten ist. Obgleich einzelne Schleifenstücke es zweifelhaft lassen könnten , ob eine bestimmte Pflanzenart der Urwelt vorliege, so lässt doch die Gesammtheit der hier mitgetheilten Brucli- stücke wohl keinen Zweifel übrig, dass wir einen Algenrest vor uns haben. Der Umstand, dass man an einzelnen Schleifen eine schwache Streifung bemerkt, ist von untergeordneter Bedeutung und findet sich bei lebenden Algen vor. Wir machen schliesslich darauf aufmerksam, dass sich in den vorgenannten Schichten gabelspaltige Zweigstücke mit sehr gestreckten, sparrigen und geraden Asten finden, die man nicht mit den eben besprochenen verwechseln darf. Es sind, wie man schon aus den seitlichen alternirendcn Vorsprüngen entnimmt, Spindeln eines später zu beschreibenden Farnkrautes. Chondrites tlivarietittis. Taf. II, Fig. G, Ä. Ch. fronde. irregulariter dichotoma comjjresso-jilatia, ramts divaricatis, patentihus v. declinatis v. superi- orihiis arrectis, ramulis arrectis v. arrecto-patentihios , arcwatis, temiihus '/^ — ^/^ M'"- lati's , apicem i^ersus sensim angustiorihus. In Strato argilloio arenacci ^Aachener Sand" dielt rarissimns. Wir besitzen von dieser' zarten Pflanze nur ein einziges Bruchstück in Abdruck und Gegendruck aus einer grauen Thonschicht vom Mariahilfspital. In Fig. 6 ist der eine Abdruck in natürlicher Grösse, und in Fig. b ä'/o mal vergrössert dargestellt. Die Pflanze i Die wweltlichen Thallophyten des Kreidegehirges von Aachen etc. 195 unterscheidet sicli von allen anderen uns bekannten durch die sparrige Ausbreitung der Aste, die auf- und abwärts und in horizontaler Richtung abgehen. Im Ganzen ist die Verästelung unregelmässig gabelig. Die Dichotomien sind bald sehr nahe auf einander gedrängt, bald entfernt stehend und bilden sich unter sehr spitzen, unter breiterem und selbst unter stumpfem Winkel; die einzelnen Äste sind schwach gebogen und werden, je näher den Laubenden, um so schmäler. Das ganze Laub ist flach zusammengedrückt und im Abdruck von leicht rost- gelber bis röthlichbrauner Färbung. Das Pflänzclien hat einige Ähnlichkeit mit dem Chondrites furciUatus Eoem. aus den Pläner von Strehlen und Weinböhla, doch ist unser Bruchstück noch schlanker. Die einzelnen Ästchen haben eine Breite von 1 bis V3 Millim., die Aste sind weit mehr gebogen und die ganze Tracht weniger starr als bei Chondrites furciUatus. Chondrites elegans. Taf. II, Fig. 9 — 10. Ch. fronde compresso-plana bipinnatim ramosa, ramis patentihus v. declinatis, remotis, alternis, validis, Ji/j — 2 M'"- latis, ramidis tenuissimis filifonnihus, strictis v. leviter arcuatis, arrectis v. ai-i-ecto-patentihtis, approximatis elongatis. In Strato argilloso arenacei „Aachener Sand" dicti rarissimiis. Auch diese Alge besitzen wir nur in zwei Exemplaren aus einer schwarzen Lettenschicht vom Mariahilfspital, wo sie von Herrn Ignaz ß eis sei aufgefunden wurde und so in unseren Besitz kam. Auf den beiden Handstücken fällt zumeist ein breites, sparriges, nach den Ansatz- stellen der horizontal und abwärts abgehenden Verästelungen fast im Zickzack gebogenes Stämmchen in die Augen. Etwas tiefer liegt, vom ersteren abgerissen, ein zweites viel klei- neres Stämmchen, das in seinen ersten Theilungen dichotom ist, jedoch auch seitlich zahlreich abgehende Ästchen hat, die eine unregelmässig gefiederte Verästelung zeigen. Die sehr zarten, fadenförmigen, langen, schwach gebogenen, im Ganzen aber ziemlich gestreckten Äste' geben der Pflanze einen eigenthümlichen Charakter, der sie bald von ähnlichen Formen unserer Flora unterscheiden lässt. Derselbe tritt noch schärfer hervor, wenn, wie wohl mit Grund anzunehmen ist, das auf dem Handstück ersichtliche breite Stämmchen zu derselben Pflanze gehört. Der schnelle Übergang aus einem breiten Hauptstamme in sehr feine Ver- ästelungen ist dann besonders auffallend und zierlich. Die an einigen Stellen mit den feinsten Verzweigungen noch zusammenhängenden viel breiteren Stammreste lassen aber dies wohl annehmen. Li Taf. in, Fig. 12, 13, k haben wir noch mehrere Bruchstücke einer Alge mit flach zusammengedrücktem Laub abgebildet, die uns mit keiner der vorheschriehenen Chondrites- Arten übereinzustimmen scheint. Doch sind wir der Ansicht, dass sie in zu unvollständigen Bruchstücken vorliegen, um schon jetzt eine neue Art in ihnen zu erkennen. Die Reste fanden sich sehr sparsam in verschiedenen Thonschichten des Aachener Sandes. Einige andere Bruchstücke, die wir für die genauereBestimmung zu unvollständig halten, liaben wir in Taf. III, Fig. 10, 14 abgebildet. Sie kommen ebenfalls aus Thonschichten des Aachener Sandes vom Weingartsberg und mögen wohl Trümmer einer cliondritenartigen Alge sein. Noch zweifelhafter ist uns geblieben, wie es sich mit den Fig. 11 und 18 dargestellten Abdrücken verhalte. Sie liegen als rostbraune, durch Eisenoxyd gebildete Zeichnungen auf der Oberfläche eines sehr festen schaligen gelb weissen Hornsteins. In Fig. 18 bildet 25* 196 M. H. Debey und C. v. Ettingsliausen. das Eisenoxyd sogar stellenweise ein schwaches Relief auf dem Hornstein, das durch den darin sich einlagei'nden Körper hervorgerufen wurde. B. FRONDE TERETI V. TERETIUSCULA. Chondrites vagus. Gh. raniis ßliformibus , teretiusculis, flexuosis, arrectis v. arrecto patentibus, laxis,irregulariter remoteque dichotomis, dichotomiarum angulis plerumque aciitis, apicibtis ramm'um acwminatis. In straf is argillosis arenacei „Aachetier Sand" dicti rarissimus. Die vorliegende Form, die wir als neue Art aufstellen, findet sich hie und da in Letten- schichten des Aachener Sandes, jedoch selten und wir besitzen nur ein einziges gutes Bruchstück davon. Dies letztere liegt in dem Handstück unter einem monokotyledoni- schen ßlattabdruck. Man erkennt unter diesem deutlich die rundlichen Fäden, die unten '/■g — y^ Millim. Dicke haben und sich nach oben immer mehr verdünnen. Die ziemlich stark hin und her gewundenen Fäden stehen locker und verästeln sich unregelmässig dichotom mit ziemlich weiten Abständen der einzelnen Dichotomien, die meist unter spitzem, auch und zwar mehr nach unten in grösseren Winkeln abgehen. Die Verästelungen haben im Ganzen eine deutlich nach aufwärts geliende Richtung. Chondi'ites subintricatug. Taf. II, Fig. 8. Ck. fronde pinnatim ramosa, ramis arrectis , ranmlis patentibus v. arrecto-patentibas, irregulariter alternis, crebis, suharciiatis, ßliformibus, teretiusculis. In argillis arenacei „Aachener Sand" dicti raro observatnr. In einer sandigen Thonschicht des Aachener Sandes haben wir mit der vorigen Alge die Zweige einer anderen gefunden, die nach den zweien uns vorliegenden Bruchstücken von den übrigen Chondriten unseres Gebietes deutlich verschieden ist, dagegen dem Ghondrites intricatus Stern b., namentlich der bei Brongniart, 1. c. Taf. V, Fig. 6 abgebildeten Form sehr nahe kommt. Unsere Pflanze scheint noch etwas zarter zu sein, dagegen erkennt man mit der Loupe hinreichend deutlich , dass die kleinen Zweige sich in das Gestein einsenken oder in den grösseren Abdruckflächen länglich-runde Spalten machen , mithin rundlich oder schwach zusammengedrückt, aber nicht ganz flach gewesen sind. Der Hauptstamm hat '/g — Yj Millim. Dicke; die Länge des erhaltenen Bruchstückes beträgt 3 Centim. Die seitlichen Astchen sind unregelmässig alternirend, diclitgedrängt und gehen meist horizontal ab. An einer Stelle findet sieh eine Gabeltheilung , welche einer Spitze anzugehören scheint. In Fig. c haben wir den Zweig, der am besten erhalten ist, vergrössert dargestellt. Mit Recht bemerkt Brongniart. dass sich dergleichen Algenformen vom .Jura') bis in den tertiären Wiener Sandstein und Flysch verbreiten, sich aber nur schwer von einander unterscheiden lassen. Am seltensten sind sie wohl noch in unzweifelhaften Kreidegesteinen: die meisten der Gesteine, die sie enthalten, haben sich als tertiär erwiesen. Insofern ist auch das Bruchstück aus dem Aachener Sande von grösserem Interesse. *_l Aus dorn Jura Würtembergs sind sie von Kurr bearbeitet in dessen Beitr. zur l'ossilen Flura der Juraformation Würtembergs, Stuttgart 1846, T. H, Fig. 3, T. III, Fig. 1—6. Die urioeltlichen Thallophytcn des Kreidegebirges von Aachen etc. 197 Unter den lebenden Algen kommen ähnliche Formen in vielen Gattungen vor, bei Chnn- dria (tenuissima Ag.), Spoi-ochnus, Ckilocladia, Ceramium, w. a. Chondt'ites rigidus. Taf. III, Fig. S, 15 — 17. Ch. fronde pauciramosa, ramis , siibteretihus , in ectypts compressis , 2 — 3 M'"- latis , furcatis , rigidis, divaricatis. In mavffa cretacea absque silice ad Aquisgramitn. Es kommen in den Kreidemergeln ohne Feuerstein bei Aachen, z. B. in einem Schürf in der Nähe von Maladen vor dem Königsthor, sehr spärliche Bruchstücke stab- oder reiser- förmiger Eindrücke und Erhabenheiten vor , die sich durch ihre gelbliche Färbung von den weissen Kreidemergeln mehr oder minder deutlich abheben. Wir haben in Fig. 15 — 17 einige der daselbst gesammelten besser erhaltenen Stücke abgebildet ; die Abdrücke sind meist sehr glatt und ohne alle Sculptur. Verzvsreigte Stücke, wie Fig. 16, sind viel seltener als die einfachen, was jedenfalls auf eine spärliche Verästelung der Pflanze hindeutet. Die Abdrücke sind denen sehr ähnlich, welche wir vorhin als aus dem Letten des Aachener Sandes herkommend ohne besondere Benennung angeführt und Taf. III, Fig. 10, 14 abge- bildet haben. Dass aber diese Reste nicht zusammengehören ist kaum zweifelhaft; denn abgesehen davon, dass bis jetzt keine Pflanzen-Art des Aachener Sandes in den Kreide- mergeln beobachtet wurde, gehören letztere einer Alge mit flachem Laube an, während die in Betrachtung stehende Art einen stielrunden Thallus besitzt. Über dem Bruchstück des Ch. rigidus, Fig. 8, liegt ein länglich-lanzettlicher, etwa 2^.^ Centim. langer, an der Spitze abge- rundeter blattartiger Abdi'uck ohne alle Spur von Nerven. Es ist nicht unwahrscheinlich, dass er einer Alge angeliört; doch schien er uns zu zweifelhaft, um eine Bestimmung für ihn auf- zustellen. ChondrUes itieinsdyki Miquel. Ch. frondibus subdensis, iteratim dichotomis inferne latiusculis (2 — 3 M"'-J , siiperne tandem subfili- fonni-migustatis, compresso suhcylindraceis vel in ectypo fere compressis, partitionihus sub angulo acutn agressis, erectis, apicihus obtusis. Iit stratis cretaeeis siliciferis prop'e Keutenberg npud Wi/lre. (Van R i emsdy k.) Miquel. 1. e. p. 55. Wir haben die voranstehende Diagnose von Miquel unverändert aufgenommen, da wir die Pflanze nicht aus eigener Anschauung kennen und eine Abbildung fehlt. Schon in der Einleitung haben wir bemerkt, dass nicht zu beseitigende Hindernisse Schuld daran sind, dass die von Hrn. Miquel uns zur Einsicht versprochenen Kreidepflanzen von Limburg bis jetzt nicht haben zu uns gelangen können. Wir hoffen daher, nachträglich noch eine Abbildung zu geben. Prof. Miquel bemerkt in den Erläuterungen, die Pflanze erinnere auf den ersten Blick an Fucoides {Zonarites Sternb.) viultißdics Brong. [Hist. veg.foss. p. 68, Taf. 5, Fig. 9, besonders Fig. 10). Da aber die Pflanze aus einer anderen Formation komme und unverkennbar zu Ghondrites gehöre, so verdiene sie neben Ch. difformis Brong. (1. c. Taf. 5, Fig. 5) gestellt zu werden, wovon sie jedoch durch die Richtung der Verzweigung merklich abweiche. Mit Ch. furcillatus Rom. (Kreide, 1. c. Taf. 1 , Fig. 1) sei sie etwas verwandt. Die hohlen Abdrücke seien bald mehr cylindi-isch, bald mehr plattgedrückt und durch anhängende kohlige Sub- stanz gelbbraun gefärbt: die Laubverästelungen meist drei Millim. dick und die verkohlte 198 M. II. Debey und C- v. Ettingshausen. Substanz, welche an einer Stelle, wo verschiedene Laubgipfel über einander liegen, in grosser Menge angehäuft sei, deute auf ein ziemlich starres festes Gewebe. Als Fundort wird ein Hohlweg auf der Höhe des Berges in den Concretionen der kiese- lio-en Kreide nächst Keutenberg bei Wilze (soll wohl heissen Wylrö bei der Station Wittern im holländ. Limburg) angegeben. Eiochinophycus, Ff^ons cT/lindrica, crassa, bipinnatim ?rimosa, gibberosa. Eioehmophycus cttulerpoiiles, Taf. II, Fig. 1 — 5. L. fronde hipinnatim ramosa, ramis irregulariter alternis arrectis , brevibus, crassis , '/^ — 1 C"'- latis, api'ce obtusis rel attenuatis simplicibus v. saepius bi-trifurcatis, superne gibberosis, gibberibus aciUis, in-egii- lariter disposäis. In Strato arenacei argillosi formal lonis „Aac?iener Sand" dictae rarus. Nur an einem einzigen Fundort, in einer muldenförmigen wenige Fuss breiten Schicht von thonigem Sande im Aachener Sand ist die beschriebene Pflanze in Begleitung einer grossen Zahl von Dikotyledonenblättern , Coniferen und einigen Farnkräutern und anderen Resten beobachtet worden. Die ganze Tracht der Pflanze lässt kaum ein Bedenken übrig, dass wir eine Alge vor uns haben. — Auf dem graugelben Sande erscheint ein dunkelbrauner Abdruck, der an den Spitzen sogar stellenAveise einen ganz dunklen fast kohligen Überzug hatte. Der grösste Theil der abgedrückten Stämme ist flach. Bei mehreren aber und namentlich au den Spitzen ist der Abdruck 1 — ly^ Millim. tief in das Gestein eingedrückt, woraus sich unzwei- felhaft ergibt, dass der Stamm dieser Alge cyliudrisch und nicht flachhäutig war. Die Haupt- stämme mögen weniger cylindrisch gewesen sein und die Anschwellung an den Spitzen von beginnenden Fruchtbildungen herrühren, wie man es ebenfalls an lebenden Algen, z.B. an Fucus vesiculosus und besonders F. ccmaliculatus bemerkt; doch erstreckt sich die cylindrische oder rundliche Gestalt zu tief nach abwärts, als dass man glauben könnte, das Verhalten unserer Alge sei genau wie bei F. canalicidatus gewesen , wo das eigentliclie Laub ganz zusammen- gedrückt ist. Vielmel)r hat es das Ansehen, dass das Laub in seiner ganzen Erstreckung rundlich gewesen und vorzugsweise durch die Verschüttung zusammengedrückt worden. Die oberen Aste zeigen auf der ganzen Oberfläche blattartige Eindrücke, von denen kurze unregelmässige Längenstreifungen nach abwärts gehen, die aber nur an sehr wenigen Stücken kenntlich und immerhin undeutlich sind. Einige haben das Ansehen von unregel- mässigen, nach oben zugespitzten Höckerchen. Ob die Reihenfolge derselben eine Regel- mässigkeit habe, lässt sich an den Fossilien nicht ermitteln. Fossile Algen der Art pflegt man als Sphaerococcites .^ seltener auch als Ilalymenites und Chondrites zu bestimmen. Sphaerococcites ciliatus^ incUnatus, affinis und crispiforinis Sternb., insbesondere Caulerpites Candelabrum Sternb. sind ähnliche Formen. Was die Bestimmung betrifft, so konnten wir uns wegen der Zweifelhaftigkeit der Gattung Sphaerococcites nicht für diese entscheiden. Mit Fucus ^ Qiondrus und Caulerpites lässt sich die Pflanze wegen ilires wahrscheinlich ziemlich dicken rundlichen Stammes ebenfalls nicht gut vereinigen. Wir haben daher eine besondere Gattung daraus gebildet. Die urioeltlichen ThaUophyten den Kreidegebirges von Aachen etc. 199 (relidiniiiin. Frans (memhranaceo-cornea) rigida, teretiuscula v. compresso-jylana, enervis.pinnata^pin- nidis regulariter dispositis, clavatis. Typus; Gelidmm Lmk. — Endl. Suppl. III, p. 41. Gelidinium trajeetontosanum. Taf. III, Fig. Ü, /(. O. ramis inferne simplicibits, rectis, fasciculatim ascendentibus filiformibiis compresso-planis , superne pinnatisj pinnulis subalternis patentibus v. arrecto p>atenttbus, teretiuscuiis clavatis. Thalassocharis Bosqueii forma lata, Miquel, I. c. tab. VI, Fig. 3, 3 a. Iii creta alba cum silice Trojeclorum ad Mosa/m (Maestricht) in ec/i/po unico invenium a Ol. Josepho Bosquet. Herr Apotheker Joseph Bosquet, dessen Bemühungen die fossile Fauna der Kreide von Maestricht eine so ausgezeichnete Bereicherung an Seethierresten verdankt, fand auch diese Pflanze in Schichten der weissen Kreide und überliess uns dieselbe zur Abbildung und Beschrei- bung. Seitdem wurden aber die Pflanzenreste der Kreide von Limburg gesondert bearbeitet und auch das in Rede stehende Petrefact daselbst besprochen. Herr Professor Miquel betrachtet dasselbe als ein Bruchstück einer später ausführlich zu besprechenden monokotyledonischen Pflanze, der Thalassocharis Bosqueti (forma lata). Unsere Ansicht weicht hievon ab und sind dem entsprechend auch die beiderseitigen Abbildungen sehr verschieden. Wir glauben vorerst, dass das Grundstück bei Miquel, Fig. 3, umgekehrt, d. h. mit der Spitze nach unten abgebildet ist. Dadurch werden die in unserer Abbildung dargestellten Fäden nicht wohl verständlich und die gefiederten Laubstücke lassen sich desshalb nicht als Spitzen der unteren Fäden deuten. Wir haben ferner Fig. h eine Vergrösserung des in Fig. 6 abgebildeten Stückes gegeben, welche deutlich nachweist, dass der vorliegende Abdruck von den gefransten scheidenförmigen Stipulis der Thalassocharis bedeutend abweicht. Man erkennt vielmehr ohne Bedenken einen Pflanzenrest, der mit dem bekannten Gelidimn corneuni der europäi- schen Meere eine niclit unbedeutende Ähnlichkeit besitzt. Zum Vergleich haben wir einen Zweig dieser Alge, Fig. /, abgebildet. Bis jetzt ist uns nur das eine Bruchstück zugekommen und eine sichere Bestimmung muss der Zukunft überlassen bleiben. JDelessertites Sternberg. Frons membranacea foliiformis., integra v. pinnatifido-lohata., sessilis ?;. stipitata, penninervis, nervis late venosis, nervo viediano vaUdiore, nervis secundariis [tertiär iisque) patentibus ., rectis., sub margine frondis evanescentibus, non anastomosantibus. Stern berg, Vers. II, p. 32. — Unger, Gen. et sjiec. ji/.foss. p. 27. Typus: Delesser/ia Lmic. — Endl. Suppl. III, p. .53. Oelesserites T'hierensi Miquel. Taf. II, Fig. 7. D. fronde crassmscula cuneato-oborata , apice truncata(f) , integerriiua , costata, venulis l arcuato patulis tenuissimis subobsoletis. Miquel, 1. c. p. 54, Taf. 1, Fig. 4. Phyllites Thierensi Bosq. in litt. — D e b e y. In marrjn, cretacea siUcifera inontis St. Petri Trajectorum ad Mosuni (Thierens). Diesen Blattabdruck lernten wir zuerst bei Hrn. Bosquet kennen. Später wurde derselbe von Hrn. Prof Miqu el in der fossilen Flora der Kreide von Limburg als Delessertites bestimmt. 200 M. H. Debet/ tmd C. v. Ettingshausen. Das Bruchstück scheint uns zu unvollständig, um etwas für oder gegen diese Bestimmung auf- zustellen, und wir haben dieselbe daher mit der Diagnose einfach wiedergegeben, jedoch eine neue Abbildung hinzugefügt. Das Gestein , worauf das Blatt liegt, macht nach oben eine Bie- gung und die Spitze scheint abgebrochen zu sein. Die gegenwärtige Länge des Abdruckes beträgt etwas über 6 Centim., die Breite 2y2Centim. An mehreren Stellen ist der Abdruck ganz verwischt: der Mittelnerv erscheint als eine ziemlich stark vortretende Leiste im Gestein, die sich aber nicht überall verfolgen lässt und auch rechts und links in die Laubfläche einbiegt, daher kein Urtheil über die eigentliche Stärke des Mittelnerven gestattet. Nach oben sieht man äusserst schwache Spuren mehrerer sehr dünner, gerader, fast unter halbem rechten AYinkel vom Mittelnerv abgehender, paralleler ziemlich gedrängt stehender Seitennerven, welche in Verbindung mit der Zartheit der Laubfläche wohl einige Anhaltspunkte für die Bestimmung als Delesserites abgeben mögen. algaj: incertae sedis. Phycoiles {Algacües Stern b.). Plantae algaeformes dubiae indolis. Unger, Geti. et ipec. }>l. foss. p. 31. Phycotles sericeus. l'h. ffonde leite membranacea in laminam tenuem plicatissimam ulviformem expansa e cellulis irregu- lariter disposüis conßnta , hinc illinc cellularum oblongarum rectangulariumque seriebus aiigustis percursa. In Strato argUloso arenacei ^Aachener Sand" dicti rarus. Der in Eede stehende, auf den ersten Anblick sehr unscheinbare und sogar höchst zwei- felhafte Pflanzenrest erweist sich bei genauerer Betrachtung als eine der merkwürdigeren Algenformen unserer Kreide. Bekanntlich haben feinkörnige feste Letten nicht selten Abson- derungsflächen von eigenthümlich weichem Ansehen, als seien sie mit einer zarten faltigen Haut überzogen. Dergleichen fanden wir auch an einigen Thonen des Aachener Sandes und beachteten sie anfangs nicht. Erst später, wo die betreffenden Schichten nicht mehr recht zugänglich Avaren, überzeugten wir uns , dass in einer derselben dies häutige Ausehen von einer unzweifelhaft ulvenähnlichen Pflanzenhaut gebildet werde. Leider haben wir nur ein einziges gut erhaltenes Stück dieses Petrefacts erübrigt. Es ist eine Abbildung zu geben versucht worden, doch halten wir es fast für unmöglich, solche weichen häutigen, übrigens im eingetrockneten Zustande verschiedentlich veränderten Formen im Bilde naturgetreu wie- der zu geben; indess dürfte der Vergleich mit einer auf unebener Fläche ausgebreiteten weichen Ulvenhaut genügend sein, um sich von dem erwähnten Fossilrest eine hinlänglich richtige Vorstellung zu verschaffen. Die Betrachtung mittelst einer schwachen Vergrösserung des Mikroskops zeigte in sehr überraschenderweise, dass sich an einer Stelle eine sehr feine Längenstreifung befand, welche sich bei stärkerer , etwa SOmaliger Vergrösserung als aus vielen neben einander liegenden Keihen langgestreckter unregelmässig vierseitiger Zellen bestehend erwies. Die übrige Fläche zeigt eine gewisse Punktiriuig oder Köi'nung und hie und da wieder Spuren einer Streifung. von der wir durch Zeichnuno- 'kein deutliches Bild zu qeben im Stande sind. Was wir mit Hilfe eines Prismas davon gezeichnet, gibt nur eine ungenügende Vorstellung. Regelmässig- keit ist darin kaum bemerkbar, nur laufen die letzt erwähnten Streifen mehr in der Quere Die urweltUclien Thallophyten des Kreidegehirges von Aachen etc. 201 des Handstückes, während die selir deutlichen Reihen von Längenzellen in der Längen- richtung des Handstückes ziehen. Stellenweise sieht man nur die kleinen kurzen, vielfach in der Richtung wechselnden, wie kleine Faltungen aussehenden Streifen ; an anderen Stellen scheinen dieselben durch ziemlich dicht an einander gereihte Punkte gebildet zu sein, wodurch ein dem Chagrin-Leder sehr ähnliches- Ansehen zu Stande kommt. — Jedenfalls ist durch die angegebenen Structurverhältnisse ausser Zweifel , dass eine pflanzliche Membran und wohl auch, dass eine Alge vorliege. Weit schwieriger ist freilich eine nähere Bestimmung. Von den lebenden Ulven , welche wir mikroskopisch untersuchen konnten, zeigten TJlva latissima Linn. und Ulva rigkla Ag. nur eine unregelmässige Punktirung und TJlva (Solenia) Lima Linn. mehr in Streifen gestellte Facetten oder Punkte und eine andere unbestimmte ülve aus dem Mittelmeer an trockenen Stücken kurze Punktreihen, die in der verschiedensten Richtung durcheinander lagen. Bei höheren Algenformen, Dictyota und besonders Halyseris polypo- dioides Ag. gehen vom Mittelnerven zahlreiche scharf begrenzte Zellenreihen in die Laub- riäehe und verlieren sich allmählich in unregelmässigere Zelleuanhäufungen, was mit unserer Pflanze einigermassen übereinkommt. Sehr abweichend hieven sind dagegen die ebenfalls breitlaubigen Delessertien, welche ziemlich grosse etwas polygone Zellen im Laub und lang- gestreckte Zellen von ungleicher Grösse über dem Mittelnerven haben. Demnach dürfte die Pflanze wohl eher unter den Phyceen als unter den Confervaceen oder Florideen ihre Stelle finden. Erst die Auffindung neuer und besser erhaltener Stücke wird hierüber entscheiden können. Der einzige bis jetzt bekannt gewordene Fundort ist eine dünne Schicht von festem feinkörnigem in viele kleine und unregelmässige Stücke zerklüftender bräunlich-weisser Thon in der Umgebung der vorerwähnten Mulde, welche den LocTimophycus caulerpoides enthält. Es kommen in den Thonschichten des Aachener Sandes noch einige Reste vor, welche sehran den bei Frauenfeld (a. Q.Taf. 6) dargestellten Dasycladus clavaeformis Rth. erinnern. Die Bruchstücke schienen uns indess zu unvollständig, um bei der ohnehin wenig charak- teristischen Algenform einstweilen eine nähere Bestimmung zu gestatten. Sodann fanden wir auch mehrere noch mehr oder weniger im Zusammenhange erhaltene, wahrscheinlich pflanzliche Membranen von hellgelber bis brauner Farbe und lederartiger Beschaffenheit. Unter dem Mikroskop erschienen sie hellgelb und durchscheinend, zeigten aber nur amorphe Bildungen und durchaus kein regelmässiges Gewebe. Wir haben keine Abbildung davon gegeben , da dieselbe keine wesentlichen Aufschlüsse bieten würde. Es ist nicht unwahrscheinlich, dass diese Häute Algen angehören, an denen die mikroskopische Structur nicht mehr kenntlich ist. Ferner bemerken wir, dass die Reste, welche Miquel a. O. S. 54 als Chondritea Bosquet Miq. besehreibt und Taf. VI, Fig. 4 abbildet, die Blätter der später ausführlich zu behan- delnden Tlialassocharis Bosqueti sind. Endlich führt Miquel a. O. S. 55, 56 noch einen Cylindrites'? cretaceus Miq. aus der Limburger Kreide an, wobei wir etwas mehr verweilen müssen. Er gibt nachstehende Beschreibung: „C. cretaceus; elongatus 20 — 5 Centim. crassus , cyUndricus, ramosus, a basi ad apicem attenuatus, ramis alternis., oppositis, vel geminatis ^ patentihus ^ p)rop)e ramißcationes hinc tuviidus liinc leviter covipressus, totus silica amor'pha conflatus. — In stratis cretaceis prope Maest- richt et aliin." Li der Erläuterung hierzu bemerkt Miquel, dass man unter den Kieselformen, Denkschrifteu der mathein. -naturw, Cl. XVI. Bd. " 202 M. H. Dehey und C. v. Ettingshausen. welche in der Limburger Kreide in den obersten wie untersten Schichten vorkommen, nicht selten lange cylindrische, meist zerbrochene Stücke von lichtgrauer oder noch bleicherer Farbe, dicht oder hohl finde, die durch ihre ständige Eegelmässigkeit der rundlichen Form und durch die eigeuthümliche Verzweigung alsbald die Vorstellung von zufälliger Bildung zurückwiesen und an eine organische Form als Grundlage erinnerten. Weder auf der Ober- fläche noch im Innern bemerke man übrigens irgend etwas von organischer Structur. Auf der Oberfläche befinde sich gewöhnlich nur eine dünne Lage weisser Kreide oder verwitterter Kieselerde. Auf dem Querschnitt seien sie fest oder von einer regelmässigen Höhlung durch- brochen und beim ersten Blick bemerke man fast immer feine Art concentrischer Bildung, erzeugt durch die Verschiedenheit der Färbung der äusseren und inneren Lagen. Miquel glaubt, die Bildung könne am besten mit Cylindrites verglichen werden, wo ebenfalls Stein- kerne ohne alle organische Substanz vorkommen. Die Hohlgestalten an den hiesigen Stücken können durch Zerstörung des Fucoidenstammes mit Zurücklassung der Hohlgestalt erklärt werden. Abbildungen sind nicht beigegeben. Unverkennbar ist hier die Rede von den sehr vielo-estaltio-en, o-j-össtentheils aber stab- förmigen und stengeligen Gesteinsbildungen, welche in sämmtlichen Abtheilungen unserer Kreide, aber in jeder mit mehr oder minder auffallenden Eigenthümlichkeiten vorkommen. Wir haben diese Bildungen an mehreren Stellen unter der bekannten Benennung der Stylo- lithen erwähnt. Es ist hier nicht wohl der Ort, auf diesen Gegenstand erschöpfend einzugehen, da er mit zahlreichen Abbildungen erläutert werden muss, zu denen die Stücke sich zum Theil in unserer Sammlung befinden. Im Aachener Sand, seltener im Grünsand , häufig wieder in den Kreidemergeln mit Feuerstein und in den Kalken von Kunraed und Maestricht, sowohl in deren oberen wie unteren Abtheilungen, finden sich theils kugelige und andere äusserst viel- gestaltige sphäroidische , theils stengelige Bildungen von mehr oder minder regelmässiger Gestalt. Sie sind meist von derselben Gesteinsart wie das Ganggestein , im Aachener Sande sandig-thonig, auch schwefelkiesig; in den Mergeln kieselkalkig, in den obersten Kreide- kalken dagegen theils aus schwarzem Feuerstein , ganz vorherrschend aber aus hellgelbem Hornstein gebildet. Die kleineren Formen finden sich im Aachener Sande und sind meist von stengeliger und röhriger Gestalt; die runden und sphäroidischen Bildungen, theils aus Eisen- sand, theils aus Grünsand gebildet, gehören dem Grünsande au. In den obersten Schichten finden sich wieder mehr stengelige, bald sehr nnregelmässig zackig verästelte Formen, bald solche, wie Miquel sie bei Aufstellung des Cylindrites cretaceus vorzugsweise im Auge gehabt, und welche aus gelbem Hornstein gebildete oft Fuss lange, aussen sehr schön geglättete und schlank gebogene , bis zu mehreren Centimetern in der Dicke zeigende Stengel oder ßöhren oder unregelmässig angeschwollene Cylinder mit mehr oder minder auffallender concen- trischer Streifung darstellen. ^ — Für die sämmtlichen Formenextreme lassen sich aber zahlreiche Übergangsglieder nachweisen, und die vielen ähnlichen Bildungen, welche in anderen Forma- tionen beobachtet worden, machen uns äusserst geneigt, die Mehrzahl dieser Bildungen für regelmässige Gesteinsbildungen ohne organische Grundlage zu halten. Es lässt sich freilicli nicht in Abrede stellen, dass die vielgestaltigen Spongiozoen und auch einzelne Algen ähnliche Formen besitzen. Es kann ferner nicht bezweifelt werden, dass die namentlich der Kieselerde zukommende Eigenthümlichkeit zur Morjjholithenbildung, wenn sie zugleich bei der Petri- ficirung eines organischen Restes wirksam wird, welcher ähnliche Formen besitzt wie gewisse Mor^jholithe, Veranlassung zu sehr zweifelhaften und scliwer zu deutenden Bildungen geben Die urweldk'hen Tlialhypltutcri des Krculegebiiges von Aadd'ii etc. 203 werde'), wobei es unmöglich wird zu entscheiden, wie viel der organischen Gestalt iiiid dem unorganischen Morpholith angehört. Bis jetzt aber glauben wir nach eingehender Durch- prüfung die in Rede stehenden Bildungen nicht zu den Algen ziehen zu dürfen. Als Berichtisfung-en zu den früheren Namensverzeichnissen haben wir noch zu bemerken: Dass der Costarites undulatus"') sich als ein undeutlich erhaltenes dikotyledonisches Blatt erwiesen ; dass der Halyserites trißdus^) das Bruchstück eines Farnlcrautes ist; //. Schlntheimi das eines Dikotyledonenblattes ; dass Nechalea serrata'^) zu den Najadeen gezogen wurde. Laminarites crenulatus^ spathidatiis und nova species^) sind Dikotyledonenblätter. Bryocarpus monostachys^) wird in der Folge als dikotyledonischer Pflanzenrest beschrieben werden und B. j)oIystachys erwies sich als sehr unvollständig erhaltene Rhachis eines P^irn- k rautes. Sphaerococcites cornutus und Sph. Mohli sind ebenfalls Bruchstücke anderer Pflanzen. Systematische Übersicht der Algen der Kreide. CONFERVACEAE. Vonfet'vites fasciculatus Brongn. Broiigniart, Iitsf.de v^gi^t.foss. I,2>. 35, t. l,f. 1—3. — Bronn und Römer, Leih, geogn. T. XX VII T, f. 9, ed. ii, p. ir,. — Brongn. Prodr. 13, 304. — Mantell, Oeol. Transact. , b. III, 204, 206; Geol. S. E. Engl. p. 1. preus.«. Rheinl. I.S4S, S. ll.i. 2) Ebenda S. 114. 3) Ebenda S. 115. *)— ß) Debey, Entwurf 1849, S. 31. '') Brongniart hat in der Diagnose „dissepimenlis", Unger „inleriii,diis" Imigiludiiie in;/t(ilalis. 204 M. IL Debey und C. i\ Ettingsliausen. Durch die Güte des Herrn Prof. Brongniart war es uns gestattet, die wenigen noch im Museum des Jardin des 'plantes vorhandenen Überreste dieser früher als Najadee beschrie- benen Pflanze zu untersuchen. Durch den sehr bröcklichen Zustand der noch mit vollkommen erhaltener vegetabilischer Epidermis versehenen Reste ist es nicht möglich die ursprüng- lich beschriebenen Stücke wieder zu erkennen. Sie sind grösstentheils in kleine Bruch- stückchen zerfallen und eigentlich nur noch ein einziges vorhanden, was einen ziemlich voll- ständigen Pflanzentheil darstellt. Dagegen Hess sich die mikroskopische Structur überall sehr wohl erkennen. Spaltöffnungen fehlten an den von uns untersuchten Bruchstücken gänzlich. Ebenso fehlt die regelmässige Zellenbildung der Najadeen und die beiden Epidermislagen bestehen aus unregelmässig polygonen Zellen ohne alle Ordnung in der Aneinanderreihung und Grösse, und es deutet dieses Gefüge in hohem Grade auf eine Alge. Eine ganz auffallende Ähnlichkeit in der äusseren Form besitzt aber unter den lebenden Algen die im atlantischen und imMittelmeer vorkommendeCffM/erpßpro^^e?'aLmx. Auchhabendie umgekehrt eiförmigen grossen Laubglieder dieser Pflanze eine deutliche schwarze Längeustreifung; dag-egen haben wir an den fossilen Exemplaren nicht jene regelmässige Streifung bemerkt, welche den Najadeenblättern eigenthümlich ist. Wir haben daher diese schon mehrfach gedeutete Pflanze zu den Algen gezogen. Caulerpites bryodes Deb. et Ett. PHYCEAE. Halysevites Reichti Stemb. Stei-nberg, Flor. (1. Vorw., VI, p. 31, T. 24, F. 7. — U n g e r, S)/»ops.p. 5 ; Ge». et spec. ]>■ 10. — Fucoides dichotonmsReieh.in li't/. Ohiropieris elongata et ohtusa Rossmässler Mss. — C otta, Jahrb. v. L. und B. 1836, p. 585; geogn. Wander. I, p. 85 ; Isis 1837. p. 4:42. Chiropteris Beichü Bronn, Lethaea a, 570, I. 28, f. 1, nat. Gr. — Geinitz, Charakt. p. 98j Quadergeh. p. 2(58. Haltjserites elonrjatus Fr. Braun, in v. Münst. Beitr. VI, 26. Jlaltjserites oltusa Ung., Pflanzenwelt p. 219. Haltjserites Beichü St einh., — v.Otto, Additaraente zur Flora des Quadergebirges in Sachsen, Hell II, Leipzig 1854, Tat'. 1, F.l. Thonschicfer des Quaders von Niedersehöna. — Sandiger Schieferthon des untern Quaders bei Paulsdorf in S.achsen. Noch immer scheint uns die Stellung dieser Pflanze zweifelhaft Cotta hat zur Zeit mit grosser Bestimmtheit versichert, dass Rossmässler's Exemplare feine durch die Fläche ver- zweigte Seitennerven besässen (Cotta, in L. und B. Jahrb. 1836, S. 584 — 587) und demnach keiner Alge angehören können. Die neueste Abbildung eines grossen Exemplars bei Otto hat keine Spur von Seitennerven ; dies kann freilich auch seinen Grund in dem sandigen Schieferthon haben, der ein schlechtes Erhaltungsmittel für feinere Pflanzenreste zu sein pflegt, Avährend gröbere sich oft sehr schön darin erhalten. Halyserites gracilis Deb. et Ett. IVeurosporaitgiunt foliaceutn Beb. et Ett. Neurosporaugium unilulatum Deb. et Ett. Mjatninarites tubercitlostts Stemb. {Fucoides iuierctdosus Br ongn. — F^^'Juictulatns Bron gn. Jcon.) Brongn. Hist. de viiget. foss. I, p. 54. t. 7 f. 5. — U nger, Synops. p. 6; Gen. et spec. p. 11. — S ter n be rg, Vers. II, p. 35. Im Lignit unter der Kreide auf der Insel Aix bei la Koche lle in Frankreich. Mjaininarites polystigina Deb. et Ett. Die unceltUchen Thaüophyten des Kreidegebh-ges von Aachen etc. 205 Sargassites Rosthomi Stemb. Sternberg, Flor. d. Vorw. II, p. 36, Taf. 25, Fig. 6. — Unger, Si/nops. p. 7; Geyi. et spec. p. 12. In den Kalkschicliten zwischen der Kreide und dem Jura in Kärnthen. Entdeclit von Rosthorn. Sargassites Mjynghyanus Stemb. (Fucokles Lynr/byamis Brongn.^ Brongn., Ilist. de i-c'get fo$s. I, p. 82, t. 2, f. 20, 21. — Sternberg, Flor. d. Vorw. II, p. 36. — Unger, Synops. p. 7; Gen. spec p. 12. In der torfigen Kreide zu Arn ager auf Bornholm'). FLORIDEAE. mnensteria cylindrica Otto. ( Halymenites cylindricus et Fucoides? cylindricus Sternb. Keckia cylindrica Otto. — Keckia versiculosa Otto. — Keeh'a nodu- losa Otto. — Choiidrites cylindricus Brongn.) Stern berg, Flor. d. Vorw. I, p. 7 und 46, Taf. 48, Fig. 1. — Brong., Hist. de v, t. 4,J'. 1 , 2. — Unger, Sgnops. p. IH ; Gen. et spec. p. 14. — Von Otto, Additam. Heft I, S. 4, Taf 1, Heft II, S. 10, Taf. 1, Fig. 2, 3. Im Grünsand oder Quadersaudstein zu Krems ier in Mahren (Glooker). — Im Quadersandstein von Malter bei Dippoldis- walde in Sachsen. (Geinitz, S. 266, von Otto I, S. 4.) — Sandstein des Capellenberges von Kwassitz in Mähren (Geinitz). Wäuensteria Schneider iana Göpp. Göppert, Fossile Flora der Quadersandsteiuformation in Schlesien in Nov. Act. A. N. C. XIX, 2, p. 115, t. 51, f. 3. — Unger, Synops. p. 9; Gen. et spec. p. 15. — G eini tz, Quaders. S. 266, 267. Im Quadersandstein zu Kieslingswalde, zu Neuen bei Bunzlau, zu Habe Isch wert, Altwal tersdorf und M elling in Schlesien. fmuensleria Giipperti Gein. Geinitz, Quadersteingebirge S. 26G. Im Plänerkalk von Strehlen in Sachsen. (Geini tz 1850.) Chondrites Vargionii Stemb. (Fucoides Targionii Brongn. — Fiicoides hignoriensis M aiit.^ ') Otto, Additamente Heft II, nennt noch als fast unbestimmbare Bruchstücke : Laminarites? cretosus Otto, 1. c. p. 8. — • Im Schie- ferthon des unteren Quaders von Paulsdorf, Sachsen, und Sargassites? cretosus Otto, I. c. p. 8. -) Nach Hampe kommt auch im oberen Quader von Blankenb urg ein Halymenites vor. ^) Ob Gyrophyllites Kwassitziensis Glocker aus dem unteren Quader hieher oder zu Spogia gehöre, ist zweifelhaft. 206 M. H. Dehey und C. v. Ettingshausen. a. f'ustigiatus Stemb. Br ongn., Ilist. de reget, foss. p. 56, t. 4, f. 6 ; Tail. de veg^t.foss. Paris 1849, p. 111. — Sternberg, Flor. d. Vorw. II, p. 25. — Morris, Catal. p. 5. — U n g e r, Sijnops. p. 9 ; Gen. et spec. p. 16. — Bronn und Römer, Leth. S. 45, Taf. XXVIII, Fig. 3. — Mantell, Medals I,p.l02. S. E. Engl. p. 16G, 383.— Fitton, Geol. Trans, b., IV.p.203, 204, 351. — d'Archiac, Mem. geol. III, p. 261. — Jahrb. 1841, S. 795. Lower Greensand von Maidstone (Kent), oberen Grünsand von Bignor in Sussex (Morris). — Zu Voirons bei Genf (Brongniart). — In einem Schiefergestein von Doecia de Ginori bei Florenz (Sternberg)'). — Chlorit. Kreide von Beauvais. — Im Griinsand und Gault der Insel Wight (Fitton), ebenda im Departement de l'Oise (Graves). — Im Kalk zu Laiiekorona bei Bialaczow in Gallizien (lower greensand?) nach Zeuschner, (geogn. Beschr. des Nerineenkalkes von Innwald und Roczyny in Hai- dino-er's Abh. Bd. III, Abth. 1, S. 141). — Im Kreidemergel von Veckenstadt bei Wernigerode häufig von Dr. Jasche gefunden nach Stiehl er (■in littj. Nach Brongniart lässt sich Chondrites Targionü aus dem Gault, aus dem unteren Grünsand von Wight, aus dem oberen Grünsand von Bignor u. s. w. nicht von den aus dem Flysch und selbst nicht von den aus dem Lias-Schiefer herkommenden Chondrites bollensis (Kurr, Flor. d. Juraf. v. Würtb. Taf. III, Fig. 3, 4, 5, 6) unterscheiden, eine Ansicht, der man nach Anschauung der zahlreichen Abbildungen durchaus beipflichten muss. — Wir haben hier nur diejenigen Fundorte angeführt, die sicher oder sehr wahrscheinlich zur Kreide gehören, und diese treffen auf die Varietät o. , fastigiatus., während die anderen Varietäten (divaricatus, confertus, exjxmsus , flexuosus) den jetzt als tertiär erkannten Flysch-Gesteinen u. dgl. ange- hören. Chondrites jngiformis Deb. et Ett. Chondrites divaricatus Deb. et Ett. Chondrites elegans Deb. et Ett. Chondrites intricatus Stemb. ( Fucoides intricatus Brongn.^ Brongn., Mtim. de la Soc. d'hist. nat. Paris l,p.311, i. 19, f. 8. — Ilist. de vege't. foss. p. 59, l. 5, f. 0, 7, S. - Sternberg. Flui-, d. Vorw. II, p. 26, Taf. 6, Fig. 4, a. — Eazumofsky, Obs. min. sur les eni: de Vienne , p. 26 , t. 4, f. 24, 25. — Pusch, Polens Paläontologie Taf. 1, Fig. 2, a, p. — Unger. Synopsisp. 10: Gen. et spec. p. 17. — Schafhäutl, südbair. Alpengeb. 1S.")3, S. 22, 139, Taf. 3, Fig. 1. An der Westküste von Genua. — Sarzano bei la Spezia. — Im Kalk unter der Kreide zu Bidache, bei Bayonne — Wiener Sand- stein am Kahlenberg, bei Sievering und Klosterneuburg bei Wien (Bou(5). — Ponte ripardi und Castellino bei Florenz. — Albaro bei Genua. In rother Scaglia bei Pederobba in Oberitalien. — Zu Obermeiselstein und im Mei-gel über dem Grün- sandstein am Haiblech in Baiern (Schafhäutl und Unger). — Am Fähnern-Berg in der Schweiz. Wir haben schon oben bemerkt , dass wir selbst die bei Aaclien vorkommende Form kaum von CJi. intricatus Brongn. Taf. V, Fig. 6 unterscheiden können. Desshalb haben wir auch die meisten tertiären Fundorte und darauf bezüglichen Citate hier angeführt, einer spä- teren Bearbeitung überlassend, die zahlreichen Formen strenger zu ordnen. Indess ist e3 nicht unwahrscheinlich, dass die sämmtlichen Fundorte tertiär sind^). 'j Vielleicht tertiär. -) Es scheint uns in diesem Augenblicke noch unmöglich, aus dem Gewirre dieser und ähnlicher Fucoiden (t'li. aequalis, accut-ns. Jurcatus, diß'ormis, linearis, lanceolaius u. a. der verschiedenen Autoren) in Bezug auf Bestimmung der Art, wie die der Formation das Wahre herauszufinden, und es wird- einer monographischen Bearbeitung dieser Formen die Entscheidung vorbehalten bleiben müssen, ob überhaupt eine Klarheit in die Sache zu bringen ist. Ein sicher der Kreide angehörender, neuer, aber noch nicht beschriebener Chondrites findet sich nach Hampe im oberen Quailermergel von Blankenburg am Harz. Die urweltlivltcn Tliallophijten des Kreidegehirges von Aachen etc. 207 Chontlrites fuvcUlatus Roem. Ferd. Körner, Xor.Ul. Kreidegeh., S. 1, Tal'. 1. Fig. I, a, h, zwei Ahbildiingen. — U nger, Gfu. et sjk-c. plant, foss. p. If>. ^ Brong., Tabl. des ve'gei. fosn. Paris 1S49, }>. 111.- P, einitz. Charakt. S. 98; Quaders. S. 20B. — Von Otto, Additam. II, S. 13, Taf. VI, Fig. 2. Im PlaiierUallc bei Strelilen und Steinbölila. — Im unteren Plänerlialk bei Kosciiütz. - Im Planer von Rotlierjt'elde iniTeutoburger Walde und zu Tliale im Harz. — Im Pläners-andstcin und unteren Pläner von Gopiipln in Sach.sen. — Im Kreidemergel zu Veckenstedt bei Wernigerode. — Clilorit. Kreide von Beauvais in Frankreich. Wir finden die von Römer abgebildeten Formen weit sparriger und gestreckter als die bei V. Otto, und es scheint uns zweifelhaft, ob diese letzteren mit Ch.furcillatm Roem. ver- einigt werden können. Chondrites Vfigtis Deb. et Ett. Chonilrites stibintricatus Doli, et Ett. Chotidriies rigidns Deb. et Ett. Chondrites MlienisdyM Miq. Chotitlrites subverticiilattis Stovnh. Sternberg, Flor. d. Vorw. II, S. 104. Taf. X.WIll, Fig. 1, Taf. LXV, Fig. 34. — Unger, Gen. et spee. p. 20. — Geinitz, Quaders. S. 268. Kreidemergel bei Lemförde in Westplialen. Die Abbildung bei Sternberg Taf. LXV, Fig. 34, weicht durch den quergestreiften Stamm sehr von der anderen Abbildung ab und man glaubt eher einen Najadeenstock, eine Caulinia oder dergl. als eine Alge vor sich zu haben, und bezweifeln wir auch sehr die Gültig- keit der in Rede stehenden Abbildung oder Bestinnuiing. Vhondrites spec. Otto. Otto, Additam. II, S. 13, Taf. II, Fig. 3. Im unteren Quader von Wend i sc h-Ka rs do i f. — ist vielleicbt eine kleinere Form von iluensli'rid cj/liinlrica. MjochmophycHS caulerpoides Deb. et Ett. Gelidiniuin trajecto-niosanutn Deb. et Ett. Rhodotnelites strictus Stern b. fSp/iaerocoreus strieius Agardh in Mss. — Fucoidea strictus Brongn. — Rliodomela diluviaiia Ag.J Brongn., Ilist. de ve'ff^t. foss. I, p. 52, t. 2, f. 1—4; Class. des vig4t. foss. p. 37, t. 3, f. 3; Me'm. de la Soe. d'hist. nat. Pari« 1, p. 308, t. 19, f. 2. — Ag.ardh, Syst. Älgar. p. 201; S2>ec. Alg. p. 383. — Unger, Synops. p. 13; Gen. et spec. p. 23. Im Lignit unter der Kreide auf der Insel Aix bei Laroc helle. Rhodomenites JfManielli Deb. fSphaerococcites Mante/li Roem. — C/wndrites M. Ueinitz.J Ferd. Römer, Nordd. Kreidegeb. S. 1, Taf. 1, Fig. 2, a, h. —- Geinitz, Quaders., S. -IW. — Unger. Gen. et spec. p. 27. Im Planer zu Weisb ergholzen und Alfeld und im Pliinerkalk zu Strehlen in Sachsen. — In der oberen Kreide zu Thale im Harz. — Im oberen Quardermergel zu Veckenstadt bei Wernigerode (Geinitz). Diese fossile Pflanze hat eine so aufi'allende Ähnlichkeit mit den Arten der lebenden Gattung Bliodomenia Grev. (Eh. nicensis SoL, Bh. ciliata Grev. und besonders Rh. palmetta var. Elisae hb. Paris) und so wenige mit denen der Gattung Sjjhaerococcus , wie sie seit der letzten Zeit besteht, dass wir die Abänderung des Namens für ganz begründet hielten. SphaerococcUes centralis Gö])ji. Göppert, Jahresber. d. sohles. Ges. 18.51, S. 40. — Göppert, Reiseber, in Verhaudl. der naturliist. Ver. d. pr. Rheinlande u. W^estph. Bonn 1854, S. 229, Taf. III. Im Quadersandstein der Drenther Berge bei Ibbenbüren in Westi)lialen. Hat viele .Üinliclikeit mit lebenden C'/wtidrus-Aiten. 208 M. H. Debey tmd C. v. Ettingshatisen. Sphaerococcites striolatus Stemb. Otto, Additam. 11, S. 14, Tai'. IV, Fig. 1. Im unteren Quader von Malter bei Dippoldiswalde in Sachsen. Diese Form soll nach Otto nicht zu unterscheiden sein von dem aus der Tertiär- formation von Rimini in Italien von Sternberg (Flor.d. Vorw. II, p. 105, Taf.XXVII, Fig. 1 ; Taf. LXV, Fig. 32, 33) beschriebenen /SpÄ«erococc«ies striolatus. — Sie lässt sieb eben so wenig von verschiedenen Cliondritcs-YovvLiew unterscheiden und stellt vielleiclit nur junge Zweige der im sächsisclien Quader so sehr verbreiteten und so vielgestaltigen Muensteria cylindrica dar. Mielessevtites JPriedaui Ung. Unger, Gen. et spec. p. 29; Iconographia plant, foss. ^j. 8, i. III, f. 2. Aus der Gosau-Formation zu Garns in Ober-Steiermarlc, aufgefunden von Dr. F. v. Friedau. Mtelessertites Vhievensi Miquel. ? IMelessertites Mampeaaus Stichler. PaIäo}iiofjrnphii^a 1SJ7. • Algae dubiae affinitatis. CyUndrites spotigioides Göpp. (Spongites saxonicus G e i n.J Göpijert, Nov. Act. A. N. C. XIJl, 2, p. 115, t. 46, f. l^-.'i, 1. 48 , f. 1, 2; L. und B., Jahrb. 1848, S. 269; Jahresbericht der sohles. Ges. für vaterl. Cultur 1851, S. 46. — Verh. d. naturhist. Ver. d. preuss. Eheinlande u. Westphalens 1854, S. 229 -234. Geinitz, Charakt. S. 96, Taf. XXIII, Fig. 1, 2; Quaders. S. 264. — Unger, Syjiojis. p. 15; Gen. et spec. p. 29. Im Quadersandstein von Habelsch vr er t, im kalkigen Mergel und Grünsandstein vom Kieslings walde, auf dem Kr.ähen- berg bei Langenau, bei Altwaltcrsdor f u. Helling in Solilesien; — in ähnlicher Formation bei Regensburg (Sammlung des Grafen Münster); im Quadersandstein Sachsens und Böhmens an vielen Stellen (Geinitz, Quaders. S. 3,24, 30, 32, 33, 35) und zwar sowohl im unteren wie im oberen Quader und in den vei'scliiedenen Schichten des Quadermergels, zu Welschufa, Bannewitz, Gans (Cotta); in der sächs. Schweiz, in der Oberlausitz, im Heuscheuergebirge, am Drenther Berg bei Ibbenbüren in Westphalen, im oberen Quader von Blankenburg am Harz, ebenda in kieseligen Quaderknollen beiCösfeld und Horst mar und in den Quaderschichten bei Ess en (G öppert), im Sandstein Calabrlens (Tschi- hatcheffj, bei Pisa (Savi). Cylindrites dtiedaleus Göpp. Göppert, Nov. Act. Ä. N. C. XIX, 2,p. 117, t. 49, f. 1, 2. — Unger, Synojisi'a p. 15; Qen. et spec. p. 29. Im Quadersandstein zu Schandau in Schlesien und zu Eisersdorf in der Grafschaft Glatz. Cylindrites arteriaefortnis Göpp. Göppert, Nov. Act. A. N. C. XIX, 3, p. 117, t. 60. — Unger, ,'Syiiops. p. US; Gen. et spec. p. 29. — Otto, Additam. S. 24, hält Cylindrites art eriaefor7nis (ür jange Individuen des C. spongioides. Im oberenGrünsandstein vonKieslings w aide in Schlesien und zu Feistritz in Krain (Rosthorn), — im heil. Dreifaltigkeits- berge bei Regensburg, — am Harz zwischen Halberstadt und Quedlinburg. - in der Gosauformation. Ausserdem sind noch einige Algen aus der Kreide namhaft gemacht worden, bei denen aber wegen fehlender Besclireibung oder wegen Zweifelhafcigkeit des Fundortes und der Formation eine Einreihung in das vorstehende Verzeichniss uns nicht angemessen scheint. Hieher gehören : Fucoides helveticus Brun. Unger, Gen. et spec. p. 31, 555. Fucoides hriantiis Villa. Unger, Gen. et spec. p. 31, 555. Beide Arten dürften vielleicht den früher zur Kreide , in letzter Zeit aber zum Tertiären gezogenen Flysch-Macigno und ähnlichen Bildungen angehören. Letztere Art stammtdem Namen Die iinoelth'clien Thalloiihyten des Kreidegebirfies von Aachen etc. 209 der Species und des Autors nach aus der sogenannten Bi'ianza, n(ird]ieli von Mailand, welche von den Gebrüdern Villa geognostisch untersucht worden. Chondrites Huotii B von g. B r 0 11 g n i a r t, in D e m i rt o f f, i'oyagc a u Krim. Bei Kaffa in der Kriiura gesammelt von Fr. Huot. — Vielleicht tertiiir. Fucoides Brongniartii M a n t. ( M a n t e II. B r o n g n., Talil. des regdt. Paris 1849, p. 111.) In Sussex. Br 0 n gii i art a. O. stellt ihn unter die zweifelhaften Arten. Als noch nicht näher untersuchte Reste sind zu erwähnen : Fucoidensteng el in einem Sandstein der Gosauforination beim Hochofen westlich von Neuherg in den Österreich. .Aliirn (Haidinger's Berichte, Bd. III. p. .34')). Pessgleichen im Biancone (Neocomien) Italiens nach de Zigno a. O. S. 150. Fuco i de na h dr ück e, darunter ein riesengrosser. wahrscheinlich eine neue Art in der aschgrauen Hcini/in (oberste Kreide) bei der CJrotta grande unfern .\c(|Ua santa in Mittel-Italien nach Orsin i und Lavini iBuH. yijol. ser. II, tonte II. p. 4(JH). — ( S t i e h I e r //( Ulf. ) Aus der vorliegcndca Übersicht ergibt sich, das.* wir fheils eine grosse Anzahl von Algen aus der Kreide gestrichen, theils neue in dieselbe eingeführt haben. Über erstere bleibt uns noch einige Nachweisungen zu geben. Es gehören hieher: M^HCOides canaliculatus d'Arch. Mein, de la Soc. ffe'o/. de France, T. 2 , p. 2, Paris lS3T,p. 1, '>'.). 100 und An», des Sciences geol. 2e anne'e, Paris 1843, p/. 82). Angeblich im schiel'erigen Kalkstein zu La pointe du rocher zwischen Chatellailon und Fouras (nach Dufr enoy) und im Kalke von Bidache. — Nach mündlicher Mittheilung des Hr. d'A rchi ac ist demselben nicht mehr erinnerlich , wie es sieh mit diesen i^MCo/des caH(i//ce(. und JJ. tllist. des veget.foss. I, p. 77, 78, t.2,f.6, 7 et f. 8—19) beschrieb und abbildete, sodann zu den Coniferen als Bracliijpliylhon stellte; welche ferner von Agardh, Syst. Ahj. p. 292 , anfangs als Cystoaeira Orbirjniana und später als ','au/erpites bestimmt wurden, haben zuletzt sowohl bei Bro n gniart fTa/il.des ve'yef.foss. Paris 1849, p. 110) wie bei Unger Palaeontographiea II, 1852, p. 2äi>) die Stellung »\& Bracliypliyllum wieder behauptet. Als tertiäre Algen (aus dem Flysch und dem Wiener Sandstein , aus den italienischen Gesteinen von San Martino bei Schio im Veronesischen, aus den Sandsteinen und Mergeln von Ubermeiselstein in Baiern und vom Fahnern-ßerg im Canton Appenzell u. s. w.) wurden von der Kreideriora ausgeschieden: Caulerpites Eseri Ung. Zonar ites midtißdus Sternb. „ 'pyramidalis Sternb. Münster ia Hoessi Sternb. „ candelabnim Sternb. „ ßagellaris Sternb. y. Diesingii Ung. Miinsteria geniculata Sternb. „ lieteropkyllusetPreslianus Sternb. Chondrites difformis Sternb. Deiikschritcuii der tiiatiiem.-uaturw. Cl. XVI. Uil. -7 210 31. ff. Debei/ und C. v. Ettingshausen. Cliondrites aequalis Stern b. Sphaerococcites affinis Sternb. „ recurvus Stern b. ^ inclinata.s Sternb. „ fwcatus Sternb. „ pinnatißdus Ung. Ergebnisse. Wir haben zum Schlüsse das Ergebniss über die Stellung der Algen in der Kreide zusammenzufassen. Nach Unger's Aufstellung in den Gen. et sjjec. pl.foss. p. 554 belief sich im Jahre 1850 die Zahl der Kreidealgen auf 40 Arten bei einer Gesammtzahl von 132') Kreidepflanzen; sie betrugen demnach Sl-S^/o- Wir haben aber bereits im Vorhergehenden gezeigt, wie diese Zahl um ein Bedeutendes sinken musste. Gegenwärtig stellen sich die Kreidealgen nach den Reductionen und Wiederbereicherungen auf etwa 45 Arten. Nach den namhaften Bereicherungen aber, welche die Kreide durch die Bearbeitung der Aachener Flora erfahren wird und seit jener Zeit auch durch andere kleinere Funde erhalten hat, lässt sich die Summe der bekannten Kreidepflanzen überhaupt ohne Bedenken auf 500 Arten stellen. Die Algen sind demnach, wie es Ung er bereits in seinem Versuch einer Geschichte der Pflanzen- welt S. 337 in Aussicht stellt, auf Q-Oy^ herabgekommen und übertreffen die der Tertiärzeit (T-öYo) , namentlich aber der Jetztwelt (Q-OYu) nur um Weniges und es ist sogar zu erwarten, dass sie bald noch etwas unter das Verhältniss der Jetztwelt hinabsinken. — Für die Aachen- Maestriehter Kreide allein erreichen sie eine weit geringere Höhe, nur ß-Sy,,. Ihre Vertheilung auf die verschiedenen Formations-Abtheilungen der Kreide ist beachtens- werth. Es gehören zur unteren Kreide? (Lignite der Insel Aix u. dgl.) . , 3 Arten mittleren Kreide (oberer Grünsand, Aacliener Sand, Quader, Pläner, Gosau, Craie tufeau) 30 „ o b eren (w eis sen und gelben) Kreide 9 „ Unbestimmt sind 3 „ Aus dem Gault wird nur Cliondrites Targionii von Fiston und Graves angeführt. Die- selbe Pflanze geht aber auch in die mittlere Kreide über. Aus den Hils und Neocomien kennt man, wie überhaujDt noch keine andere Pflanzenreste, ausgenommen einiges versteinertes Holz, so auch keine Algen, ungeachtet der vorherrschenden Meeresfauna. Ebenso fehlen die Algen bis jetzt mehreren Ortlichkeiten: so der böhmischen Kreide, die im Übrigen von den früheren Fundorten am reichsten Avar; ferner der Kreide von Haldem in Westphalen ; der Gosau. Sehr wenige Arten gehen in mehrere Kreide-Abtheilungen über. Der immer noch sehr zweifelhafte Cylindrites sipongioides soll im unteren Quader, in den Plänergesteinen und im oberen Quader vorkommen. — Otto behauptet, der Spliaerococcites striolatiis St ernh. aus Tertiärschichten von Ilimini im Kirchenstaat finde sich auch im unteren Quader von Malter in Sachsen. — Es werden angeführt aus dem Pläner und Plänerkalk Ehodomenites Manteüi n.j aus dem Plänerkalk, Plänersandstein, Ki-eidemergel und der chloritischen Kreide Chondrites furcillutus ßoeni. : aus dem unteren Quader und Plänerkalk Miinsteria cylindrica von Otto; ') War auch Jiese Zahl keine richtige, so können wir sie iloeh liier beibelialten. weil sie die Vcrhiiltnisszahl niitbedingte. Die lirweltlichen Tkallophyten des Kreidegehirges von Aachen etc. 211 endlich aus den verschiedenen weissen Kreidegesteinen und aus dem Grünsand (von Maid- stone) Confervites fasciculatus Brongn. Von den 20 Aachen-Maestriehter Arten gehören 16 ausschliesslich dem Aachener Sande die vier übrigen ausschliesslich der weissen Kreide. Durch beide Formationsglieder gehende Arten sind bis jetzt gar nicht beobaclitet worden. Dem Aachener Grünsande scheinen die Algen gänzlich zu fehlen. CLASSIS IL LICHENES. Opegraphites «triatopunctatus Deb. Taf. ni, Fig. 7. Die Sammlung des Herrn Dr. Joseph Müller enthält ein Kieselholz aus dem Aachener Sand, welches noch mit der deutlichen Rinde versehen ist. Diese Rinde liat zahlreiche, mehrere Millimeter lange Querrisse, und zwischen ihnen liegen zahlreiche kaum nadelkopf. grosse sehr regelmässig runde Löcher. Die letzteren liegen entweder ganz frei und vereinzelt oder dicht an den Querrissen oder selbst in ihnen. Auf uns sowohl wie auf Andere machten diese Risse und Einstiche den Eindruck als rührten sie von Flechten, die der lebenden Gattuno- Opegrapha angehören, oder von Pilzen, ähnlich den lebenden Sphaeria- Arten, oder von beiden zugleich her. In der früher von uns veröffentlichten Übersicht der Kreidepflanzen führten wir diese Bildung als Opegraphites striatopunctatus auf. — Ungeachtet nun Pilze und Flechten aus ver- schiedenen Formationen, namentlich aus der Tertiärzeit unzweifelliaft nachgewiesen worden, wie die Mittheilungen von Göjjpert, Unger, Berkeley, Otto Weber zeigen; so tragen wir doch Bedenken, die aufgeführte Bestimmung als zuverlässig hinzustellen. Es wäre nicht unmöglich, dass die Querrisse von gewöhnlichen Rindenrissen und die Punkte von Bohr- muschelbrut herrührten, die eben im Begriffe sich befand, in das Holz einzudringen. Wenigstens haben wir unzweifelhafte Stücke von solchen Bohrmuschelköpfen an unseren Hölzern gesehen, die wohl etwas dicker sind. — Wie dem nun auch sei, so wollen wir die Entscheidung dieser Frage der Zukunft überlassen und uns auf die Mittheilung einer natur- getreuen Abbildung beschränken. CLASSIS III. F U N G I. Mit grösserer Sicherheit glauben wir in die fossile Kreideflora einige Pilze einfüliren zu können. Seit Göppert die schöne Entdeckung eines Blattpilzes, des Excipulites Neesii, auf dem Laub von Ilymenojyhyllites Zohelii aus der Steinkohle gemacht, kann es nicht mehr auffallen, ähnliche Bildungen in jüngeren Formationen anzutreffen. Der Lias hat 5 Arten von Xylomites geliefert und Avenigstens 40 Arten aus melireren Gattungen sind aus verschiedenen Tertiär- schichten, unter anderen auch aus dem Bernstein, beschrieben worden. Es sind grösstentheils Blattpilze; einige wurden auf Insecten und andere im fossilen Holz gefunden. 212 ]\J. H. Dehey und C. v. Etting sliausen. Wir fanden auf den Blattabdrücken einer der Gattung Quercus nahe stehenden Pflanze, die wir Dryopkyllum genannt, zwei Bildungen, die wir für die Überreste von Blattpilzen halten. Eine dritte Art fanden wir auf einem monokotyledonischen Blattrest und eine vierte, jedoch zweifelhafte Form auf einem unbestimmbaren Pikotyledonenblaft. AecUlites Deb. et Ett. SporicUa simplicia, epider-midem foUonim varie transfunnatam pseudoperidium praebentem regulariter rumpentia. Typus: Ancid tu m Pers. — En dl. gen. pl. p. 17. — Th. Nees vonEsenbeck. Syst. der Pilze, Bonn IS.'i". T. II. Aecidites stellatus. Taf. III, Fig. 2, 3. A. ])seudope)'idus coacemmtis ad 5 — 7 irregxdariter stellafim in Inminn folii dtcotyledonei inferiore dispositis. In folii s ffeneris dryophyllum 11. in argillis arenacei dicti aquisr/ranensis. Auf der unteren Seite des Bruchstückes eines Blattabdruckes von Dryophylhim spec. fanden sich mehrere zu rundlichen Haufen vereinigte Eindrücke, ungefähr von der Grösse eines Stecknadelkoj)fes. In der Regel bilden 5 — 7 solclier Eindrücke ein sternförmiges Häufchen, das sich meist an einen Seitennerven des Blattes anlehnt. Die ßegelmässigkeit der Zusammenhäufung und das mehrmalige Vorhandensein solcher Stellen auf einem Blatte lassen uns vermuthen, dass eine organische Bildung hier von Einfluss gewesen. Dass es keine kleinen Samen waren, die zufällig in so regelmässiger Gruppe zusammengeworfen worden, dafür spricht sowohl dies öftere Vorkommen , wie der Mangel jedes anderen Kennzeichens eines Samens an den kleinen runden Eindrücken. — Betrachtet man dagegen Blätter der Jetztzeit, auf denen Pilze aus den Gattungen Aecidhim Pers. oder Eoestelia Beb. u. dgl. aufgesessen haben, so lässt sich nicht verkennen, dass die schüsseiförmigen Überreste der Peridien, welche noch längere Zeit auf den Blattflächen zurückzubleiben pflegen, sehr grosse Ähnlichkeit mit unseren Abdrücken haben. Wir haben es daher zulässig erachtet, eine Benennung für dieselben aufzustellen. — Sie haben einige Ähnlichkeit mit Bkytisma PopidiUeer (Flora terf. Helvet. Taf II, Fig. 7, p. 2UJ. doch ist die genannte Tertiär-Pflanze bestimmter und besser erhalten. Eine andere pilzartige Bildung fanden wir auf denselben Dikotyledonen-ßlättern. und haben uns bemüht, sie genau abzubilden und eine Bestimmung zu versuchen. Himantites Deb. et Ett. Telephora folücola : resitpinata., effusa, aubtus ßbrillosa, ambitu bys.s/')t,o. Typus: Himantia Fries. EmW. t/fu. ji/. p. ■H<'<. Xr. 4.37. c. Th \ ees von Es en b eolv, Sy.'t. d. rilzc. T.ir C. JJ,i,i,iii/„t •■•iitlitln . Himantites tilopecarux. T.Tf III. Fig. I. o. II. hymenio ainqjiici, plmnoso,ßexuoso, caudiculae formam ad aetjuante. In/uliix generis .^dri/uji/iißhim «." in arenaceo argilloso furmalionis „Aachener fiand'* dictae. se]in/f,ii. Wir haben von dieser eigenthüinlichen Bildung, die wir drei oder vier .Mal auf den genannten Blättern gefunden, eine Abbildung in natürlicher Grösse und eine vergrösserte möglichst genau nachgebildete Zeichnung gegeben, die freilich nicht die unmittelbare An- schauung aufwiegt. Es ist eine etwa (i Millim. lange gebogene schweifartige Verzweigung Die unceltliclicn Tlialloj^hyU'n des Kreidegebirges von Aachen etc. 213 von Fadeneindrücken , die sich in den angeführten Fällen ganz gleich blieb m\i\ daher nicht wahrscheinlich von etwas anderem als. einer organischen Bildung herrührt. Sie ei'iniiert an eine Pilzform, und zwar aus der Gattung Ilimcintia., die in der Jetziwclt byssusartig und bäum- oder schweiiförmig verästelt verschiedenes Laub, Steine, Holz u. dgl. überzieht. — Leider sind uns mehrere der Stücke abhanden gekommen und wir haben daher nur das eine vorliegende abgebildet, mit welchem aber die übrigen genau übereinstimmten. Wir hoffen, dass die freilieh sehr zweifelhafte Bestimmung als nicht ganz unbegründet erscheinen werde. Sphaevites Ung. Perithecium v. receptactduin innatum rotundafum integrum., apice ostinln j'ierfnratum. U n g e r, Gen. et spec. i>l. foss. p. 3 7. Sphaerites solitarius. Tat", nr, Fig. 4. (', /. ff. . , , • Sj>/i. perithecüs solitarii.s , remotis , suborbicularibus, '/j — 1 M'" latis , planis , discn cenfrali minimo iminerso. In foh'o planiae amphihryae in utraiis argiUossis arenacei dicii aquisgranensh ran'ss/mn-f. Die Grösse wie die isolirte StellunQ- unterscheidet diese Form hinläno-lich von den bis jetzt, namentlich aus Tertiärschichten (Schweiz, 0. Heer Bd. I, Taf. 1) herkommenden Besten. Neben den zweifelhaften Formen, die man als fossile Pilze beschrieben hat, wird die vorlie- gende noch erträglich genug sich halten können. Wir haben bis jetzt nur einen einzigen Abdruck gefunden, welcher sechs bis sieben dieser kleinen Körper von ziemlich regelmässiger Gestalt zeicft. o* Hy steriles Ung. Perith'-cium vel receptacidum sessile ., ovale c. elongatum ., rima lnngitndi)iali prlmo clausa demum suhaperta. Unger, Chlor, proiog. l,p. 1; Gen. et spec. p. 37. — Göpp. Gatt. foss. Pfl. S. 111. Hysterites dtibiua. Taf. III, Fig. ü, (/. H. iJei-ifheci'i.'i elh'pticis ?'. rarius rotimdatis , seriatim di.'ijJOsitis , segregatis v. rariiis conflaentihus, In foiio i'inJeterniinaJjfh' in Strato argiiloso arenacei dicti aqriisgranensis rarissimits. Auch von diesem Best besitzen wir nur das eine Stück. Die Bildung nähert sich dem von 0. Heer beschriebenen Ilysterium opegraphoides [Flor. tert. Helv. Taf. H, Fig. 8, a, h. p. 18) ; aber die einzelnen Stigmen scheinen in unserem Abdruck bei weitem nicht so scharf zu sein wie bei jenem, so dass uns diese Bildung noch immer als zweifelhaft erscheint. Ob die sehr kleinen runden, in der Mitte etwas erhabenen Punkte, welche sich auf einem Dikotyledonen-Blattfragment fanden und die wir Taf. III, Fig. 9 und b (vergrössert) abgebildet, auch zu den Pilzen gehören, vermögen wir nicht zu entscheiden. Vielleicht sind es nur die Ansatzstellen breiter Haare oder Borsten. Das abgebildete Stück ist später zerstört worden, daher die Abbildung nicht mehr nach dem Original verglichen werden kann. 214 J\I. H. Dohpy und C. v. Etfingshausen. Die urioeltlichen Thallophyten etc. Systematische Übersicht der Arten. LICHENES. ■ Opegraplutes striatopimctatus D e b. Dcbey, Übersicht J. urw. Pfl. in Yerh. d. Vor. d. preuss. Rheiiil. 1848, S. Uü. FUNGI. Aecidites stellatus Deb. et Ett. Himantites alopecurus Deb. et Ett. Sphaeriiea solitarius Deb. et Ett. Hy steriles duhius Deb. et Ett. Was Geinitz (Charakteristik der Scliicliten und Petref. der säclis.-bölim. Kreidegeb. Dresden 1839 — 1842, S. 99, Taf. 24, Fig. 1 — 3) als „Sclerotites"^ an Hölzern aus demunteren Quader von Niederseliöne bezeichnet und abbildet, sind nach den ganz entsprechenden Vor- kommnissen bei Aachen, wie schon in der Einleitung erwähnt, nichts anderes als Pseudo- morphosen von Bola-musch.elgängen, Incrustirungen oder Ausfüllungen der in das Innere der Hölzer hineinragenden und später durch Verwitterung des Holzkörpers frei stehenden runden glatten Bohrmuschelköpfe. Dagegen erfahren wir aus einer schriftlichen Mittheilung des Herrn A. W. Stiehler, dass sich auf den Blättern der Grednei'ia acuminata }lam.]ie viele das Blatt durchdringende runde Höhlungen finden , von denen Hampe meint, dass sie von einem i:/7V2e?;??i- ähnlichen Blattpilz herrühren. Eine sichere Bestimmung ist einstweilen unmöglich. l)p|ie>- iiiul RtfiiiS'sliaHSdi. l)TpKm(lcrioi;i von Aachen T.itM I-itli u.g'ea.i. i k ivj{:'f Ji otatsi-nrcksrei. /■'/'//. /. 'J. J/(i/ifxi-rifrs f/rrii-r/ix. Fifl.JXf. Xeiiroi-poraiiffiiiin loliiiti-ii in. /'// Ä XiiirHS/inrnnfinim iiin7iifntiim, '„ :>. Cii'i/i-r/ii'trs'hri/ni'i/rx. // 6'.' Ijri/innnri/<'.f /J"/f/.<-liqmii . „ /i.Q. ninrif/iitcs jiif/if'ormii: 'l. Cif(:yCfie.ipifO6f/y. 'I'.V f//lft Dfiiksiliril'li'u (liT k.Aka(l.il.\\'is.'iciisc'li.)ii;illLfiii.ii;iliirw.('l.XVI. B(llö58. ilt-licv iiikI l'ltliii'isliniisrii. Die kroidcnora von Aac-licii. Litk.u^ei I i kiUof-TiStaatsdnickera Fl'tjf.LJ. /,(irliiii/i/>/i i/riix raii/e/iJONh'.v. J'''//-/. I)eh:iSd'i{i:vThieirii.t/ J/i'(f. ^''t/.<'>'- C/iririth'i'lcx -vithiri/ ri'cafH.f. // (>. ('/Hiiitlriti'',' r/iiNi I IC/t tut; n1 «.('/idiif/rilcs el<(/iin.f Denk seil riltrii iltr 1« .VkaiLdW'i.s'seiixcli.Miiillinii.iiaUü»'.! 1 XVI.Bd.lSüö. rtrhrv null Elliii<>\liausfii. Ute Ki('iilcrior;i \()ii Aiiclicii . T.ir.lll. / «>, \ *• 0 j. >') J % S>:i^f »0 - \* /^/^. /. I[iniiirifit<\v afo/Jerurii.y. II 2-3. ^Jenr/t/f.y ,rlrl/iitu.i: Lilkir.gfil.i d.K.k-Hut _i[ ^taut. //i/.y/eiifr.i- r/iifiiii.v. » *''' f/i/i/fo/i/ii/tii i/irrrfuf ,iei/i.v. « hl/i. O'e/tffi/iiiiiu rrn/ic/ofiiiuniiiim nfiik.s-clirirtt'ii (1(T k.Akail.ilWisseiisch.itiiiriiemnaturwCI.XVr. Dil.Ui.ui. Zweite Abtheilung. Abliaudlung-en von Nicht-Mitgliedern der Akademie. Mit 2 Tal'elii. DIE HALSRIPPEN UND DIE OSSA SÜPRASTERNALIA DES BIENSCHEN. Von Dk. HUBERT LUSCHKA, PROFESSOK DER ANATOMIE IN TÜBINGEN VORGELEGT IN DER SITZUNG DER MATHEMATISCH - NATUKWISSENSCHAFTIvICHEN CLASSE AM 31. JÄNNEK 1858. Öo lange nicht vollständig ausgebildete , d. h. bis zur "Verbindung mit dem Brustbeine gediehene Halsrippen im Vereine mit der Existenz von Suprasternalknochen zur Beobachtung gelangt sind, konnte die ehedem von G. Bre sehet') zur Geltung gebrachte, durch mancherlei Gründe gestützte Deutung der Ossa suprasternalia als vordere Enden in ihrer Mitte unter- brochener Halsrippen kaum mit zureichendem Erfolge bekämpft virerden. Ein früher in dieser Hinsicht gemachter Versuch^) hat, ohne jene objective Grundlage, wenn auch keinen directen Widerspruch,' doch auch keine unbedingte Annahme finden können. Durch eine seltene Gunst des Zufalles kam nun aber an einer und derselben Leiche nicht allein ein überaus lehrreiches Beispiel einer vollständigen Halsrippe, sondern es kamen auch schön ausgebildete Supra- sternalknochen zu meiner Wahrnehmung. Diese nun bildet nicht blos eine Ergänzung zu meinen ersten Angaben über das Vorkommen und die Bedeutung jener Knochen beim Menschen und bei verschiedenen Thieren, sondern dient auch zur vollkommenen Bestätigung derselben. Da es sich auch hier w^ahr gezeigt hat, dass die Ossa swprasternalia nicht entfernt irgend welche Bedeutung von Rippen haben, sondern ganz entschieden mit den Brustbein- schlüsselbein-Verbindungen im Zusammenhange stehen, so müssen wir diese beiden , ihrem Wesen nach ganz und gar disparaten Bildungen auch gesondert, und die Suprasternalknochen überhaupt nur in Rücksicht darauf bei dieser Gelegenheit untersuchen, dass sie in der ') G. Breschet. Considdrations sur les os sus-sternaus chez rhomme. Annales des seieuces naturelles. Seconde serie. Tom. X, pag. 91. 2) H. Luschka. Die Ossa suprasternalia. Zeitschrift für wissensehaftliche Zoologie von C. Th. v. Siebold und A. Kolli k er. IV. Bd. 1. Hft. 1852. Denkschriften der mathem.-naturw. Gl. XVI. Bd. Alihandl. y. Nichtmitgl. a 2 Hubert Luschka. Literatur durch die Anschauungsweise Breschet's mit den Halsrippen in einige Beziehung gebracht Avorden sind. I. Die Halsrippen. Nachdem Hunauld'J durch eine vortreffliche Arbeit die Eigenthümlichkeit der Ent- wickelung des siebenten Nackenwirbels dem Verständnisse näher gebracht und das Auftreten von Halsrippen auf dieselbe zurückgeführt hatte, wurde der Morphologie des Gegen- standes von verschiedenen Beobachtern, zumal von J. Fr. MeekeP) eine besondere Auf- merksamkeit zugewendet. Die praktisch wichtige Seite aber hat erst in jüngster Zeit durch H. J. Halbertsma") in so fern eine ausführlichere Darlegung gefunden, als von ihm das Verhalten der Arte^-ia subclavia zu den Halsrippen ermittelt worden ist. Da mir in mehrfacher Hinsicht werthvolle Materialien eigener Wahrnehmung von Hals- rippen des Menschen zu Gebote stehen, so dürfte wohl eine zusammenfassende Erörterung dieses auch für die ärztliche Praxis belangreichen Gegenstandes um so lieber entgegen- genommen werden, als auch fremde Beobachtungen hierbei theils eine Prüfung, theils eine Ergänzung gefunden haben. Es ist eine durch zahlreiche Erfahrungen festgestellte Thatsache, dass die Halsrippen im Falle ihres Vorkommens an den siebenten Nackenwirbel geknüpft sind. Sie werden gewöhn- lich als eine, gewissermassen eine höhere Ausbildung der sogenannten vorderen Wurzel seiner Querfortsätze darstellende Formation betrachtet. Eine Erklärung hiefür glaubte man in der besonderen , von der aller anderen Nackenwirbel verschiedenen, Verknöcherungsweise dieser Querfortsätze darin gefunden zu haben, dass in deren vorderer Wurzel ein selbstständiger Ossificationspunkt auftrete, während bei den übrigen Halswirbeln die Verknöcherung allmählich vom Körper des Wirbels und vom Seitentheile seines Bogens aus auf den gesammten Quer- fortsatz weiterschreite. Dabei hat man es als eine ausgemachte Sache betrachtet, dass jener Knochenkern durch gleichartige Brücken eines hyalinen Knorpels mit dem Wirbelkörper einerseits, und mit der hinteren Wurzel des Querfortsatzes andererseits in Verbindung gesetzt werde. Die Entstehung einer Halsrippe hat sich Hunauld einfach mit der Annahme erklärt, dass, wenn sich jener Knochenkern rasch vergrössere und durch den hinteren Querfortsatz in seinem Wachsthume nicht beschränkt werde , er über den letzteren hinaustrete , sich weiter erstrecke und die Form einer Eippe annehme. Auch durch die Angaben anderer Forscher ist der Bildungshergang nicht besser aufgeklärt worden. J. Fr. Meckel glaubt die Frage durch die Bemerkung erlediget zu haben, dass die Halsrippe eben nichts weiter sei, als der vergrösserte, von dem Körper getrennt gebliebene, sich als ein eigener Knochenkern entwickelnde Querfortsatz des siebenten Nackenwirbels. Von späteren Beobachtern lehrt unter Anderen Halbertsma: die Halsrippe sei das selbstständig und beweglich gewordene, mehr oder ') Hunauld. Sur le nombre des ootes, moindre ou plus grand qu'ii l'ordinaire. llistoire de Tacademie royale des Sciences. Annfie 1740, pag. 377. 2) Friedr. Meckel: Deutsches Archiv für die Physiologie, I. Bd. 1815, S. 642. Handbuch der pathol. Anatomie, II. Bd., 1. Abtheilung. System der vergleichenden Anatomie. II. Theil, 2. Abth. S. 294. ■'*) H. J. Halbertsma. Über das Vorhalten der Art. sulclavia bei zufällig vorhandenen Halsrippen beim Menschen. Archiv für die holländischen Beiträge der Natur- und Heilkunde, I. Bd., S. 47. Utrecht 1857. Die Halsrippen und die Ossa suprasternalia des Menschen. 3 weniger verlängerte vordere Knöpfchen des Processus transversus vom siebenten Hals- wirbel. Wenn wir es nun auch, ungeachtet einzelner Widersprüche, nicht in Abrede stellen wollen, dass durch diese und ähnliche Äusserungen das Thatsächliche im Wesentlichen bezeichnet sein mag , so lässt es sich doch nicht verkennen , dass es gänzlich an bestimmten Hinweisungen auf die Vorgänge fehlt, welche das Bewegliehwerden, d. h. die factische Abscheidung eines Bestandtheiles vom Querfortsatze zur Folge haben. Indem wir den Nachweis derselben liefern werden, müssen wir zuerst daran erinnern, dass es ein Cardinalirrthum wäre, wenn man glaubte, der Knochenkern im Querfortsatze des siebenten Nackenwirbels wachse unter Umständen ganz zufällig zu einer Kippe aus, während doch die Wahrnehmung von wirklichen Halsrippen schon beim Fötus und Neugeborenen darüber keinen Zweifel übrig lässt, dass dieselben nach relativer Grösse und Gestaltung nicht weniger knorpelig vorgebildet werden, als die legitimen Kippen. So habe ich bei einem neugeborenen Kinde auf der linken Seite im Querfortsatze den gewöhnlichen Knochenkeni gefunden, auf der rechten Seite aber eine Halsrippe von 1-4: Cent. Länge, an welcher ein durch ein Gelenk verbundenes Köpfchen und Höckerchen bemerklich waren, und deren äusseres freies Ende sich noch knorpelig gezeigt hat. Wenn wir mit dem Begriffe von einer Halsrippe die Vorstellung verbinden, dass sie den in einem mehr oder weniger beweglichen Zusammenhange stehenden vorderen Abschnitt des Querfortsatzes vom siebenten Nackenwirbel mutatis mutandis rcpräsentire, dann erkennen wir als die niederste Stufe derselben denjenigen Fall , in welchem jener nach Form und Umfang normale Abschnitt durch Gelenke beweglich verbunden ist, und finden bis zum anderen Extreme, d. h. bis zur vollständigen, mit dem Brustbeine in Verbindung tretenden Halsrippe alle möglichen Übergänge. Bevor wir aber die verschiedenen Formen der Halsrippen einer speciellen Prüfung unter- werfen, müssen wir sowohl die Besonderheiten des fertigen, als auch die Eigenthümlich- keiten des in seiner Bildung begriffenen siebenten Nackenwirbels in Betrachtung ziehen. Der siebente Nackenwirbel des erwachsenen Menschen unterscheidet sich in mehr- facher Hinsicht von den vier nächst oberen Wirbeln und stellt eine merkwürdige Ubergangs- form zu den Brustwirbeln dar. Ausser der bedeutenderen Grösse seines Körpers und dem durchschnittlich um 1*5 Cent, längeren, mit einer einfachen, abgerundeten Spitze versehenen Dorne, sind es hauptsächlich dessen Qu er fortsätze, welche bemerkenswertlie Abweichungen zu erkennen geben. Bei dem 3., 4., 5. und 6. Halswirbel bestehen die Querfortsätze ohne Ausnahme aus zwei scharf ausgeprägten , parallel nach vorn und aussen ziehenden platten Leisten, deren Flächen in der Frontalebene gelegen sind. Die vordere Leiste gelit unmittelbar aus dem seitlichen Umfange des Wirbelkörpcrs hervor, zunächst mit der Masse des sogenannten Ambitus eminens zusammenhängend, und endiget in einen rundlichen, meist mehr nach aufwärts gerichteten Höcker; die hintere Leiste tritt aus dem äusseren Umfange der den Gelenksfortsätzen zur Grundlage dienenden Masse hervor, ragt bei dem 3., 4., 5., nicht aber beim 6. Halswirbel mehr oder weniger weit über die'vordere Leiste hinaus , und endiget bei jenen drei Wirbeln mit einem nach abwärts gekehrten rundlichen Höcker, während bei dem 6. das freie Ende beider Leisten sich gleich verhält. Diese beiden Leisten, welche man gemeinhin die Wurzeln 4 Hubert Luschka. der Querfortsätze nennt, werden nach aussen durch ein rinnenförmig ausgehöhltes, nach hinten und aussen abfallendes Knochenblatt, welches, der Kürze wegen , Seitentheil des Quer- fortsatzes heissen mag, mit einander vereiniget. Die Querfortsätze des siebenten Halswirbels sind in ihrer Gesammtheit umfänglicher, und zeigen überdies eine auffallende Ungleichheit ihrer ßestandtheile. Die vordere Wurzel ist nicht schief nach vorn und aussen gestellt, sondern verläuft fast in der Ebene eines ent- sprechenden Frontaldurchschnittes des Wirbelkörpers. Sie geht unter Bildung eines meist nur kleinen, spitzen Höckerchens in den Seitentheil über. Nicht selten bilden vordere Wurzel und Seitentheil zusammen eine ganz gleichförmige fast horizontal nach aussen verlau- fende flache Knochenspange, welche in die vordere Fläche der abgerundeten, stark vor- springenden Spitze der ungleich massenhafteren, namentlich viel höheren hinteren Wurzel ausläuft. In Betreff der Entwickelung des siebenten Halswirbels stellt es sich als die Regel heraus, dass in der vorderen Wurzel seiner Querfortsätze ein eigener Knochenkern auftritt. Sein erstes Sichtbarwerden fällt in den sechsten Monat der Schwangerschaft; sein Bestehen als eigener Knochen, auch dann, wenn es nicht zur Ausbildung einer Halsrippe kommt, reicht bis in das vierte Lebensjahr. Beim Neugeborenen (Taf. I, Fig. 1 , b) ist der höchst poröse, vor dem vorderen Umfange des Wirbelarterienloches in querer Richtung verlaufende Knochenkern durchschnittlich 6 Millim. lang und in raaximo IVg Millim. dick. Seine innere plane Verbindungsfläche hängt mit dem kurzen knorpeligen Anfang (a) der vorderen Wurzel zusammen , welcher seinerseits mit dem Knorpel continuirlich ist, der zwischen Körper und Seitentheil des Wirbels keilartig nach rückwärts zieht. Das äussere Ende dieses „Point d' ossification costiforme" französischer Autoren ist abgerundet und steht mit der knorpeligen Spitze (c) der hinteren Wurzel im Zusammenhange. In einer nicht geringen Anzahl von Fällen habe ich bei Neugeborenen in der Nähe des äusseren und des inneren Endes jenes Knochenkernes an scharfen horizontalen Durchschnitten im Knorpel einen dessen ganze Dicke durchsetzenden 0*2 Millim. breiten, weisslichen Streifen gefunden, welcher durch quer verlaufende Faserzüge zusammengesetzt wurde, die allmählich in die angrenzende hyaline Grundsubstanz übergingen und dunkel contourirte, der Essigsäure Widerstand leistende Formelemente zwischen sich fassten. Zu wiederholten Malen habe ich an diesen Stellen spaltenförmige Lücken angetroffen, welche von einem eben solchen Fasergewebe umschlossen wurden. Es stimmen diese Vorkommnisse vollständig mit den Entwickelungsvorgängen überein, welche ich rücksichtlich der bisweilen erst nach der Geburt zur Ausbildung gelaugenden Costovertebralgelenke der normalen Rippen kennen gelernt habe. Auch auf Grundlage anderweitiger ähnlicher Erfahrungen, welche über das Auftreten gelenkartiger Knochenverbinduugen gemacht worden sind , sieht man sich zu der Annahme hingedrängt, dass da, wo Halsrippen, seien es nun kurze oder lange, auftreten, schon die erste Anlage des Querfortsatzes vom gewöhnliclien Typus dadurch abweicht, dass die den Knochenkern tragende vordere Wurzel desselben durch ein von ihrer knorpeligen Nachbarschaft verschiedenes, der späteren Gelenksbildung dienendes faseriges Substrat abgegrenzt wird. Diese Abgrenzung, und im Falle des Auftretens einer Halsrippe deren Abgliederung, geschieht gegen alle Berechnung nicht jenseits derjenigen Stelle, an welche wir, bei Aufrecht- Die Hahrvppen und die Ossa suprasternalia des Mensclien. 5 erhaltung des Vergleiches der vorderen Wurzel der Querfortsätze eines Halswirbels mit einer Rippe, das Capitulum costae hinx erlegen müssen, sondern nach aussen von derselben. Das Analogon des Rippenköpfchens ist aber ohne Zweifel der seitliche Knochenvorsprung an der oberen Endfläche des Körpers der fünf unteren Halswirbel, in welchen der obere Rand der vorderen Wurzel ausläuft. Dieser Vorsprung, den man iiiglich. Eminentia costaria nennen kann, articulirt, wie ich^) gezeigt habe, durch eine ihm eigene, seine innere Seite einnehmende Gelenksfläche mit einer lateral liegenden Gelenksdelle des nächst oberen Wirbelkörpers. Die Regel des Auftretens eines eigenen Knochenkernes im Querfortsatze des siebenten Halswirbels erleidet nicht selten Ausnahmen. Nach fremder und eigener Erfahrung geschieht die Ossification bisweilen ganz in derselben Weise wie gewöhnlich bei allen übrigen Hals- wirbeln. Umgekehrt zeigen diese letzteren hin und wieder einen Verknöcherungstypus, der an jenen des siebenten Halswirbels erinnert. Es kommt in ihnen, wie schon J. Fi\ Meckel") gesehen hat, in seltenen Fällen ein überzähliger Knochenkern zum Vorscheine, aber nicht an derselben Stelle wie beim siebenten Nackenwirbel, sondern entsprechend der Eininentia costaria. Zu einer wirklichen Rippenbildung jedoch ist es an ihnen, soweit die gegenwärtigen Beob- achtungen reichen, noch nicht gekommen, Beweises genug dafür, dass es nicht der Knochen- kern allein ist, welcher zur Entstehung der Halsrippe disponirt. Es sind jene Knochenkerne denjenigen gleich zu stellen, welche in den knorpelig vorgebildeten Höckern der Dorn- und Querfortsätze der Wirbel, gegen das 16. Lebensjahr, wenn nicht regelmässig doch sehr häufig auftreten. An den mit zweihöckerigen Dornfortsätzen versehenen Nackenwirbeln tritt bisweilen in jedem Höcker ein eigener Knochenkern auf. Ein in dieser Hinsicht sehr merk- würdiges Vorkommen habe ich im Dorne des Epistroplieus eines 50 Jahre alten Mannes gesehen. Die beiden Höcker haben hier eine gesonderte Entwickelung erfahren. Der Dorn dieses Wirbels war dabei gegen seine Spitze hin nicht, wie es sonst seine Art ist, in zwei starke nach abwärts gerichtete Höcker gespalten, sondern hatte ein einfaches , dickes und dabei abgerundetes Ende. Die selbstständig gewordenen Höcker lagen 1 Centim. unter der so beschaffenen Spitze des Domes und stellten länglich-runde, oben etwas breitere, an der hinteren Seite convexe, an der vorderen concave, 12 Millim. lange, 7 Millim. breite Beinchen dar. Ein jedes derselben stand durch zweierlei Bänder mit dem Dornfortsatze im Zusammen- hange, durch ein fibröses, oberflächliches, welches mit dem der anderen Seite zu einer Art von Kappe zusammengeflossen war, die auf dem Rücken desDornes lag, und durch ein tieferes, blassgelbliches, gleich dem Lig. subßazmm^ fast nur aus elastischer Substanz gebildetes Band. Dieses wurde von dem oberflächlichen ganz gedeckt und hing mit der unteren Seite des Dornes zusammen, ohne irgend welchen Verband mit dem ganz normal beschaffenen zwischen dem Bogen des zweiten und dritten Nackenwirbels ausgebreiteten Lig. sidiflavum einzu- gehen. Von einem jeden dieser Beinchen, aber auch vom Dorne des Epistropheus ging ein Muse, rectus capitis postic. major und ein Muse, ohliq. capit. inf. ab, welche Muskeln also doppelt vorhanden, jedoch an ihrem Ansätze unter einander zusammengewachsen waren. An das untere Ende der Beinchen war das oberste Bündel des Muse, semispinalis cervicis angeheftet. 1) H. Luschka. Die Halsgelenke des menschlichen Körpers. Berlin 185S, S. 69, Taf. I, Flg. 1 h. 2) J. Fr. Meckel. Deutsches Archiv für die Physiologie, I. Bd., S. 596. 6 Huhert Luschka. Die Halsrippeu bieten, bei allem Wechsel ihrer Grösse und Gestalt, gewisse gemein- schaftlich e Qualitäten dar, welche zunächst ihre Verbindungen mit der Wirbelsäule betreffen. In fast allen von mir bisher untersuchten Fällen geschah der Zusammenhang durch Gelenke, sowohl mit dem Körper als auch mit dem Querfortsatze des siebenten Nackenwirbels. Am seitlichen Umfange des Körpers befand sich ohne Ausnahme unmittelbar unter dem Ambitus eminens, d. h. dem seitlichen Vorsprunge der oberen Verbindungsfläche des Wirbei- körpers , ein Höckerchen, von 3 — 4 Millim. Länge. Es hatte entweder eine plane , oder eine schwach convexe überknorpelte Endfläche. Der Gelenksknorpel besass in seiner tieferen Schichte eine hyaline, in seiner oberfläclilichen aber eine in ein grobes Fasernetz zerfallene Grundsubstanz. Dieser Höcker (Taf. I, Fig. 2, «, a; Fig. 4, a; Taf. H, a, d) muss wohl als die auf einen geringeren Umfang reducirte oder, wenn man lieber will, zum Theil stehen gebliebene vordere Wurzel des Querfortsatzes gedeutet werden. Er ist auch, ohne dass es zur Rippenbildung kommt, in manchen Fällen schon beim Fötus durch eine faserige, weissKche Schichte von der Ossificationsgrenze des selbstständigen Knochenkernes im Querfortsatze scharf abgeschieden. An der vorderen Seite der Spitze des Querfortsatzes, welcher nach Grösse und Form dem Proc. transv. der oberen Brustwirbel sehr ähnlich ist, befindet sich eine länglich-runde, ein wenig vertiefte, überknorpelte Gelenksfläche (Taf. I, Fig. 2, o) , deren Überzug aus einem in der Tiefe hyalinen, gegen die freie Fläche hin faserigen Knorpel gebildet ist. An jeder Halsrippe lässt sich, auch wenn sie noch so klein ist, ein Köpfchen, ein PI als, ein Hocke rchen unterscheiden. Das Capitulum costae hat gewöhnlich keine convexe, sondern eine mehr plane oder selbst schwach concave überknorpelte Verbindungsfläche. Das Tuherculum costae finde ich entweder eben , oder nur sehr wenig gewölbt und von länglich- runder Form. Das Collum costae bietet eine vordere ausgeschweifte, und eine hintere etwas rauhe Fläche dar, welche jedoch viel weniger uneben ist als an der normalen Eippe. Bisweilen kommt es vor , dass die Halsrippe bald mit ihrem Köpfchen , bald mit dem Höckerchen nicht durch ein Gelenk, überhaupt nicht in einer beweglichen Weise in Verbin- dung- gesetzt ist, sondern mit dem Körper oder mit dem Querfortsatz, überaus selten mit beiden zugleich, in knöcherner Verbindung steht. Es lässt sich meist nicht bestimmen, ob man diesen, dem Wesen einer lialsrippe fremden Zustand für eine Bilduugshemmung erklären oder, was für mich die grössere Wahrscheinlichkeit hat, für eine später eingetretene Ankylose halten soll. Von Hilfsbändern der Halsrippen sind besonders zwei deutlich und fast immer vollständig ausgebildet, nämlich 1. das Lig. fihrosum anticum s. radiatum., welches am vorderen Umfange des Eippenköpfchens liegt und den zu dessen Articulation dienenden kleinen Knochen- vorsprung des Wirbelkörpers so sehr überdeckt, dass er nur bei gänzlicher Entfernung dieses Bandes genügend gesehen werden kann; 2. das Lig. transversarimn Weitbr. , welches von der Spitze des Querfortsatzes ausgeht und sich nach aussen vom Tuberc. cost. inserirt. Es findet sich in einer dem bezüglichen Bande der normalen ßippe eutspreclienden Form nur da, wo die Halsrippe weiter über den Querfortsatz hinausragt. Die ßippeuhalsbänder sind in der Hegel sehr unvollständig- ausgebildet; doch habe ich ein Lig. colli costae externum und internum wiederholt vorgefunden. Das Lig. colli costae medium ist nur selten vorhanden, da der dem Foramen transversarimn entsprechende Eaum zwischen dem Querfortsatze und dem llippcnhalse von der Vena vertehralis oder von der Vena cervicalis ■profunda eingenommen Die Halsrippen und die Ossa supvasternalia den Menschen. 7 wird , welche sich also zu demselben wie zum normal beschaffenen Querfortsatzloche ver- halten. Niemals sah ich bei der Existenz einer Halsrippe die Art. vertehralis durch jene Lücke hiudurchtreten , während dies Gefäss das normale Foramen transversarium des siebenten Nackenwirbels nicht so selten passirt, als gemeinhin behauptet wird. Eine Art. vertehralis accessoria j ein kleines, im Falle seines Vorhandenseins aus dem hinteren Umfange der Art. subclavia entspringendes Gefäss sah ich überdies schon einige Mal durch dieses Loch hindurch- ti'eten und in Muskel- und Wirbelcanalzweige zerfallen. Die Ilalsrippen können nach dem Grade ihrer Ausbildung füglich in drei Gruppen gebx'aeht werden. Es lassen sich nämlich unterscheiden: a) Halsrippen, welche sich nur bis zur Spitze des Querfortsatzes hin erstrecken oder, nach der gewöhnlichen Ausdrucksweise, nur die vordere beweglich gewordene Wurzel vom Querfortsatze des siebenten Nackenwirbels darstellen. Sie repräsen- tiren nur das Köpfchen, den Hals und dasllöckerchen einer Eippe. Beim Erwachsenen (Fig. 2, b) haben sie eine durchschnittliche Länge von 2 ^ — 2*5 Centim. und eine Breite von 5 Millim. Gegen die Mitte hin macht sich an der nach vorn und oben gekehrten Fläche eine seichte, schief nach abwärts auswärts verlaufende Furche bemerklich, welche der Lage des aus dem Zwischenwirbelloche hervorgetretenen siebenten Cervicalnerven entspricht. Diese Form der Halsrippe ist die gewöhnlichste und kommt viel häufiger vor als man gemeinhin glaubt. Sie hat im Thierreiche keinen ganz zutreffenden Repräsentanten. Am ehesten noch möchte eine Formation auf sie bezogen werden können , welche dem Ai, dem dreizehigen Faulthiere, zukommt. Nach J. Fr. MeekeP) sitzt bei diesem Geschöpfe ein ansehnlicher Knochenkern vermittelst eines breiten Knorpels auf der Spitze des Quei'fortsatzes des letzten — hier neunten — Halswirbels, ohne jedoch mit dem Körper des Wirbels ver- bunden zu sein. Bei älteren Thieren fand W. von Eapp ") keine Spur einer solchen Kippe, dagegen bei einem unausgewachsenen Exemplare an der Sj)itze des Querfortsatzes einen nur kleinen rundlichen Knochenkern , der durch eine platte Gelenksfläche mit demselben in Ver- bindung stand. b) LIalsrippeu, welche mehr oder weniger weit über den Querfortsatz hinausragen, ohne jedoch das Brustbein zu erreichen. Diese Sorte von Halsrippen hat eine sehr wandelbare Länge. Um diese zu bestimmen, ist es zur Erzielung einheitlicher Resultate wünsch enswerth, eine gleiche Methode der Messung in Anwendung zu bringen. Man kann aber die Länge einer Rippe messen entweder der Convexität oder der Concavität ihrer Krümmung nach, oder sie auch wohl durch die Grösse einer Linie ausdrücken, welche die Endpunkte der Rippe in gerader Richtung verbindet. Die sichersten Resultate erhält man ohne Zweifel, indem man die letztere Methode mit der Mes- sung der Concavität der Rippe verbindet, indem man hiedurch nicht allein über die Länge, sondern auch annähernd über den Grad der Krümmung eine Vorstellung sich verschaffen kann. Der Kürze wegen werde ich in der vorliegenden Arbeit jedoch die Länge der Hals- rippen nur der Concavität ihrer Krümmung nach ausdrücken. Nach Verschiedenheit der Länge der hierher gehörigen Rippen zeigen die Weichtheile ein wechselndes Verhalten zu ihnen. Halbertsma ist in Betreff der Arteria subclavia zu 1) J. Fr. Meckel. System der vergleichenden Anatomie. II. Tlieil, 2. Abth., S. 294. 2) W. T. Rapp. Anatomische Untersuchungen über die Edentaten. 2. Aufl. Tübingen 1852, S. 25. 8 Hubert Luschka. folgendem Schlüsse gekommen: Hat die Halsrij^pe eine Länge von 5*6 Cent, oder mehr erreicht, dann verlauft die Arterie über derselben; ist sie nur 5-1 Cent, lang, so stützt sie die Arterie nicht mehr und diese verlauft dann normal über der ersten Eippe. Auf Grundlage eigener Messungen kann ich dieses Resultat im Wesentlichen vollkommen bestätigen. Die in diese Gruppe gehörigen Halsrippen endigen entweder fr e i , oder sie stehen in verschiedener Weise mit dem Knochen oder mit dem Knorpel der ersten Brustrippe in Ver- bindung. a) Die frei endigenden Halsrippen des Menschen ahmen den Typus der Vögel nach, bei vsrelchen immer mindestens das erste Paar das Brustbein nicht erreicht, sondern in eine Spitze ausläuft. Ihre Länge variirt sehr, überschreitet jedoch in der Mehrzahl der Fälle das Mass von 4 Centim. nicht um vieles. Sie kann jedoch, wie eine Beobachtung von Halbertsma lehrt, 6"5 Centim. betragen. Die Halsrippe endigte hier mit einer leichten olivenartigen Anschwellung, ohne irgendwie mit der unter ihr gelegenen Brustrippe in Ver- bindung getreten zu sein. Bei einem 40 Jahre alten Manne (vgl. Taf. II, d) fand ich auf der linken Seite eine spitz endigende, nur 4 Centim. lange Halsrippe, deren Spitze einen dünnen Knorpelüberzug besass. Die Eippe hatte zur Lage der Art. subclavia keine Beziehung und zeigte nur an der oberen Seite ihres Halses eine von der Lage des siebenten Cervicalnervens herrührende Furche. In dem zwischen ihr und dem bezüglichen Segmente der ersten Brust- rippe befindlichen Interstitium waren schief nach vorn herablaufende, von Sehnenfasern durch- setzte Muskelbündel angeordnet, die man wohl als M. intercost. ext. zu deuten hat. Es verdient hier noch angemerkt zu werden, dass als höchst seltene Ausnahme auch das erste unzweifelhafte Brustrippenpaar das Sternum nicht erreicht, sondern eine freie vordere Endigung zeigt. Auf Taf. 63, Fig. 2, führt Vrolik') eine Missbildung auf, an welcher neben anderen Abnormitäten auch diese Anomalie stattgefunden hat. (5) Viel gewöhnlicher als die freie Endiguug kommen verschiedenartige Verbin- dungen einer unvollständigen Halsrippe mit der ersten Brustrippe vor. Dieselben werden erstens realisirt durch fibröse, platte Stränge, die von dem äusseren Ende des Rippenknochens ausgehen, und sich an den inneren Rand der ersten Brust- rippe anheften. Diese bandartigen Streifen haben eine wechselnde Länge und einen fast ganz gestreckten Verlauf nach vorwärts abwärts, so dass sie die Biegung des knöchernen Theiles der Rippe keineswegs fortsetzen. Sie begrenzen mit dem knöchernen Theile und mit der ersten Brustrippe ein Interstitium, welches von lutercostalmuskeln erfüllt ist, die aber meist eine nur geringe Ausbildung erfahren haben , und von welchen insbesondere die inneren entlang dem Strange dahinziehenden ein, übrigens ihrer normalen Verlaufsrichtung entspre- chendes, Sehnengewebe darstellen. Je nach der Länge des knöchernen Theiles einer solchen Halsrippe ist der Muse, scalenus antic et medius an diesen oder an das Ligament angeheftet und nimmt die Art. subclavia über jenen oder über dieses ihren Verlauf. Da nun in den meisten hierhergehörigen Fällen die Länge des Knochens einer durch ein solches Band ergänzten Plalsrippe nicht weniger als 6 Centim. beträgt, so lässt es sich wohl als die Regel bezeichnen, dass sich die genannten Muskeln an den Knochen ansetzen und auch die Art. subclavia ihre Lage über ihm hat. Dafür spricht unter anderen auch eine von Halbertsma gemachte Wahrnehmung, in welcher auf der ') Tabulae ad illustrandam embryogenesin hominiä etc. Amsterdam 1844. Die Halsi-ippen und die Ossa swprasternalia des Menschen. 9 rechten Seite an einer Frauenleiche das vordere Ende einer 6 Centim. langen Halsrippe durch einen, leider nicht näher beschriebenen „Bandapparat" mit der ersten Briistrippe vereinigt war. Ob der von E. Sandifort') abgebildete und als „Costa prima dextra hominis adulti^i quae duo plane distincta capita habet^ zu dieser Gruppe gehört, wie Halbe rtsma anzunehmen scheint, vermag ich aus der Abbildung nicht zu entscheiden, welche vielmehr auf eine knöcherne Continuität einer etwa iV, Centim. langen Halsrippe mit der ersten Brustrippe hinweist. Zweitens, die Halsrippe steht durch ein Gelenk mit der ersten Brustrippe in Ver- bindung. Dieser Fall findet nicht selten, und namentlich häufiger als der vorige Statt. Er ist schon von J. Fr. Meckel") beschrieben und bildlich dargestellt worden. Die wohlgestaltete Halsrippe der linken Seite mag , der Figur nach zu schliessen , eine Länge von 5 Centim. gehabt haben. Da weder durch die Zeichnung eine Furche ausgedrückt noch auch im Text über die Lage der Art. subclavia Erwähnung geschehen ist, so habe icli über diesen Punkt hier nichts ermitteln können. An der Stelle, wo sich diese Rippe mit der gewöhnliehen ersten verbindet, schickt diese einen Gelenksfortsatz nach oben ab, mit welchem die überzählige Eippe mittelst eines Kapselbandes beweglich verbunden war. In ganz ähnlicher Weise geschah in einem von Halbertsma beschriebenen Falle auf der linken Seite die Verbindung einer, die Krümmung mit gerechnet, 6 Centim. langen Halsrippe durch ein deutliches Gelenk mit einem Stachel, der von dem oberen Eande der ersten wahren Rippe ausgegangen ist. In einem mir vorliegenden Präparate (Taf. I, Fig. 3 , b) geschieht die Verbindung einer Halsrippe der rechten Seite in einer mit den vorigen Fällen im Wesentlichen übereinstim- menden Weise durch ein, eine nicht geringe Beweglichkeit gestattendes Gelenk. Die Hals- rippe besitzt, der Concavität ihrer Krümmung nachgemessen, genau eine Länge von 5-2 Centim. Gegen ihr vorderes Ende hat dieselbe an der nach aussen und oben gerichteten Fläche eine sehr tiefe, der Verlaufsrichtung der Art. subclavia entsprechende, für die Aufnahme der Klein- fingerspitze hinreichend tiefe Furche. Die Rippe articulirt durch ein länglich-rundes, an der Verbindungsfläche mit einem 1 Millim. dicken hyalinen Knorpelüberzug versehenes und daselbst schwach concaves Köpfchen mit einem 2 Centim. hohen, zapfenartigen platten Fortsatze, welcher sich vom inneren Rande der ersten Brustrippe aus mit breiter Basis erhebt und eine vertical gestellte, nach rückwärts gekehrte glatte Gelenksfläche trägt. c) V oll ständige, d.h. bis zum Handgriffe des Brustbeines sieh erstreckende Halsrippen. Sie kommen am seltensten, und meist nur jeweils auf einer Seite vor, während dann auf der anderen Seite entweder ein geringerer Grad einer Halsrippenformation, oder keine Spur ilerselben vorhanden ist. Die Halsrippe ist, auch wenn sie den möglichsten Grad der Ausbildung erreicht hat , stets dünner als die erste Brustrippe und habe ich diese letztere durchaus nicht, wie Meckel behauptet, schwächer, sondern im Gegentheile in jeder Beziehung bei Existenz einer Halsrippe stärker und massenhafter befunden. Die vollständigen Halsrippen haben einen bedeutenden Einfluss auf die Gestaltung des Brusteinganges, und da sie die seitliche Brust- wand verlängern, auf die Grösse und Lage des oberen Endes der bezüglichen Lunge. Nach der Art ihrer Verbindung mit dem Brustbeine zeigen die vollständigen Halsrippen mancherlei Verschiedenheiten. Unter allen Umständen liegt aber ihr vorderes Ende unter ') Ed. Saudi fort Museum anatomicum. Lugduiio-Batavorura 1793. I. p. 181. II. Tab. XLIX, Fig. 1 — 2 -) J. Fr. Meckel. Deutsches Archiv für die Physiologie l.Sl.i. I. Bd. S. 612, Taf. VI, Fig. 36. Denkf^rhriften der mathtm. iiatlirw. CI. XVI. Bd. Abhandl- v. Nirhtniitgl. 10 Hubert Luschka. der E/xtremitas Sternalis des Schlüsselbeines, über dem inneren Rande des Knorpels der ersten Rippe, und ist mit diesem mehr oder weniger verschmolzen. Dasselbe ist stets verjüngt und mit dem oberen Ende des Seitenrandes vom Manuhrium sterni in Verbindung gesetzt. Als niederste Stufe dieser Halsrippenbildung muss man diejenige Form betrachten, bei welcher der knöcherne Abschnitt der Ripjje durch einen ligamentösen Strang mit dem Brustbeine im Zusammenhange steht. Dieses Vorkommens gedenkt S. Th. So mm erringt), ohne iedoch einen concreten Fall eigener Beobachtung anzuführen. Dagegen bezieht dieser Autor eine Angabe B. S. Albin's hierher, welche jedoch, wie ich glaube, dem Wortlaute nach anders zu deuten ist, indem sie ein unvollständiges Brustrijjpenpaar zu betreffen scheint. Die Wahrnehmung ist merkwürdig genug, um wenigstens in Erinnerung gebracht zu werden. AI bin") berichtet nämlich „De costis quibusdam praeter naturam parvis" Folgendes: Costas superiores ab utraque parte primas perparvas in virili corpore reperi, tamque breves, ut longiores non essent, quam quanta est latitudo digitorum duorum. Spinae consueto more inhaerebant, sed ad os pectoris non pertinebant, supplebantque ligamenta deducta ab extremis, ossique pectoris, ad quem locum costarum primarum cartilagines caeteroquin pertinent, annexa. An jene niederste Form einer ganzen Halsrippe schliesst sich ein von mir beobachteter Fall an. Er betrifft einen kräftigen und hübsch gebauten 40 Jahre alten Mann, welcher wegen Mordes durch das Fallbeil hingerichtet worden ist. Zur Entdeckung dieser Halsrippe wurde ich bei der Präparation am Halse durch die auffallend weit über das Schlüsselbein hinaus- ragende Arteria subclavia sinistra hingeführt. Diese Beobachtung gewinnt ein sehr grosses Interesse dadurch, dass nicht allein das ganze Skelet, sondern auch das Verhältniss der Lunge, der Blutgefässe, der Nerven und Muskeln zu dieser Rippe auf das Genaueste untersucht werden konnten (vgl. Taf I, Fig. 4). Nur auf der linken Seite fand sich eine Halsrippe, rechts war der Querfortsatz des siebenten Nackenwirbels ganz normal beschaffen. An ihr liaben sich dreierlei Abschnitte , ein hinterer knöcherner, ein mittlerer ligamentöser, ein vorderer knorpeliger bemerklieh gemacht. Der knöcherne Abschnitt (6) bot, seiner Coneavität nach gemessen, eine Länge von 5-5Centim. dar, und hatte eine durchschnittliche Breite von 7 Millim. Gleich wie bei der ersten Brust- rippe ist die eine Fläche nach oben, die andere nach unten, der concaveRand nach innen, der eonvexe nach aussen gerichtet. Das vordere Ende stellt ein von oben nach unten abgeplattetes länglich-rundes Köpfchen dar. An dem inneren Umfange desselben war der Muse. scal. antic. anseheftet. Hinter demselben verlief in schiefer Richtuno- nach vorn und aussen eine auf- fallend tiefe Furche (i), in welcher die Arteria subclavia ihre Lage hatte. Ich muss hier die Bemerkung beifügen, dass diese Gefässrinne an allen von mir untersuchten Halsrippen, welche die Art. subclavia gestützt haben, ungleich stärker ausgeprägt war, als die ihr entsprechende, in normalen Verhältnissen kaum angedeutete Furche au der oberen Fläche der ersten Rippe. Mir scheint die Bemerkung Halbertsma's wohl begründet, dass nämlich die grössere Tiefe jener Rinne durch die stärkere Spannung bedingt wird, welche die Arteric bei der viel höheren Lage der sie tragenden Rippe nothwendig erleiden muss. Während der knöcherne Abschnitt dieser Rippe eine bedeutende Krümmung besitzt, verlauft ihr ligamentöser, 4-5 Centim. langer Theil (x) ganz gestreckt nach vorne herab. Er ist ') S. Th. Sömmerring. Vom Bnue des menscliüdien Körpers. I. Tlicil. Fiaiikfiirt :i. M IT'.il. \>!v^. 265. '^) B. S. Albini Academicarum aimotatiomini Liber II, Ca]i. 17. Die Halsrippen und die Ossa supi-asternalia des Menschen. 11 sehnenartlg- glänzend, straff, und nur aus dicht gedrängten longitudinalen Zellstoffbündeln und feinen elastiselien Fasern zusammengesetzt. Der vordere knorpelige Abschnitt [y) enthält an der Stelle seines Zusammenstosses mit diesem Ligamente einige rundliche, linsengrosse Knochenkörner. Er hat eine Länge von 2 Centim., eine Breite von 11 Centim. und verbindet sich nach einigem selbstständigen Ver- laufe mit dem Knorpel der ersten Rippe, jedoch so, dass man in der Existenz einer an der Aussenseite zwisclien beiden befindlichen Furche seinen Lauf bis zum oberen Ende des Seitenrandes vom Brustbeinhandgriffe zu verfolgen im Stande ist. Dieser war von ungewöhn- licher Grösse, indem er eine Länge von 9 Centim und eine grösste Breite von 8-5 Centim. gezeigt hat. Das durch diese Halsrippe und durch die erste Brustrippe begrenzte Interstitium entsprach fast der ganzen Länge der letzteren und hatte hinten eine Höhe von 1-2 Centim., in der Mitte von 2 Centim., und lief nach vorn hin zugespitzt aus. Ausgezeichnet schön und regel- mässig waren die in ihm befindlichen Intercostalmuskeln gebildet. Der Muse, intercost. extern. nahm von dem ganzen knöchernen Theile der Halsrippe seinen Ursprung und inserirte sich ein wenig nach aussen vom inneren Rande der ersten Brustrippe bis in die Nähe ihres Knor- pels; der Intercost. extern, ging vom inneren Rande der vorderen zwei Drittel der Brustrippe aus, und heftete sich kurzsehnig an den äusseren Rand des ganzen ligamentösen Abschnittes an. Zwischen diesen Muskeln verliefen eine kleine Arteria und Vena, sowie ein Nervus intercostalis. Der letztere erwies sich als ein Zweig vom vorderen Aste des ersten Nerv, dorsalis; ein anderer Zweig von diesem war in das Interstitium zwischen erster und zweiter Brustrippe, der Rest aber in Verbindung mit dem Plexus bracliialis getreten, welcher seinerseits den Weg hinter der Arteria subclavia über die Halsrippe genommen hat. Durch die Existenz dieser Halsrippe wurde die Gestalt des Brusteinganges so wie die Grösse seiner queren Durchmesser sehr abgeändert. Die grösste Entfernung der zwei ersten Brustrippen von einander betrug im vorliegenden Falle 13-5 Centim. Durch die Halsrippe wurde sie auf 11-5 Centim. reducirt und also links von der bohnenähnlichen Form des Brust- einganges ein in maximo 2 Centim. breites Segment gewissermassen abgeschnitten. Dagegen wurde auf dieser Seite die Wand des Thorax um 1-8 Centim. nach oben hin verlängert. Im Einklänge damit steht es, dass die linke Lunge sich weiter nach aufwärts erstreckt hat als die rechte , indem ihre Spitze nicht allein bis zur Ebene der Halsrippe angestiegen ist, sondern diese in maximo noch um 1-5 Centim. überragte. Daraus aber wird zugleich die bedeuten- dere Länge und die auffallend hohe Lage der linken Schlüsselbeinarterie von selbst ver- ständlieh. Eine nachträglich speciell auf die Verhältnisse der übrigen Rippen sowie auf die Wirbel gerichtete Untersuchung hat von dem normalmässigen Bestände derselben nach Zahl, Grösse und Gestalt, und daher auf das Bestimmteste davon überzeugt, dass der siebente Halswirbel zum Träger einer überzähligen Rippe geworden ist. Mit dieser, von mir beobachteten Halsrippe hat eine von J. Struthers') bei einem 24 Jahre alten Manne gefundene, aber als ^Eudimentary fii-st rih'^ bezeichnete Formation die überraschendste Ähnlichkeit. J. Struthers. Aiiatoraical and physiological observatioiis. Part. I. Edinb. 1854, pag. 119. 12 . Hubert Luschka. Eine schon bedeutend höhere Stufe der Ausbildung hat eine Halsrippe der rechten Seite erlangt, welche von Hunauld in Fig. S abgebildet, aber leider gar nicht besehrieben wurde. Das vordere Viertel dieser Rippe stellt einen Knorpel dar, welcher gegen sein Sternalende hin mit dem der ersten Brustri]3j)e verschmilzt, durch seinen inneren Rand sich jedoch die Selbstständigkeit bis an die äussere Grenze der Incisura clavicularis bewahrt hat. Mit diesem Falle stimmt, wie es scheint, in allen wesentlichen Punkten eine Halsrippe überein, welche von P. Leveling^) untersucht worden ist. Zu den vollständigsten Halsrippen, die bis jetzt nach dem Zeugnisse der Literatur zur Kenntniss gelangt und überhaupt möglich sind, gehört ohne Zweifel die folgende, welche ich auf der rechten Seite bei einem grossen, wohlgestalteten 45 Jahre alten Manne angetroffen habe (Taf. II, b). Auf der linken Seite fand sich eine nur kleine Halsrippe mit freiem zugespitztem Ende. Der Handgriff des Brustbeines trug zwei Suprasternalknochen. Hinsichtlich des übrigen Skeletes muss bemerkt werden , dass die zwölfte legitime Rippe ausserordentlich kurz, kaum 4 Centim. lang war, und dass die Querfortsätze des fünften Lendenwirbels in der Bildung der Seitentheile des Kreuzbeines , welches aber ausserdem seine gewöhnliehen fünf Wirbel in sich fasste, untergegangen sind, während dagegen der Körper durch eine Inter- vertebralseheibe vom Kreuzbeine geschieden wurde, die nach ihrer Höhe, Beweglichkeit und Zusammensetzung keine Abweichung vom normalen Typus gezeigt hat. Die hier in Betrachtung kommende Halsrippe besteht aus einem Knochen, welcher, der Concavität seiner Krümmung nach gemessen, 8'8 Centim. lang ist, und einemKnorpel, welcher eine Länge von 2 Centim. besitzt. Der Knochen hat eine sehr rein ausgeprägte Rippenform und bietet nach Stellung der Flächen und der Ränder die grösste Übereinstimmung mit der unter ihm liegenden Brustrippe dar, ist jedoch viel kürzer und schmäler als diese, welche eine grösste Breite von 2-2 Centim. zeigt, imd der Concavität der Krümmung ihres Knochens nach 14 Centim. lang ist, während er in dieser Richtung gewöhnlich nur 9 Centim. misst. In der Mitte ihres inneren Randes hat diese Halsrippe ein spitzes Höckerchen (*) , welches dem Ansätze des Muse, scalenus antic. gedient hat. Dicht dahinter bemerkt man eine sehr prononcirte schief nach auswärts verlaufende Furche (*) , in welcher die Schlüsselbeinarterie verlaufen ist. An seinem vorderen Ende verliert der Knochen seine platte Form, wird schmäler, aber dicker und mehr cylindrisch und tritt durch ein Gelenk mit dem zu ihm gehörigen Knorpel (c) in Verbindung. Dieser setzt die veränderte Gestalt des Rippenknochens fort und wird während seines Verlaufes an die obere Grenze vom Seitenrande des Brustbeinhandgriffes immer dünner und zugespitzter. Er ist von vielen Knochenkörnchen durchsetzt, wodurch eine sehr scharfe Abgrenzung von dem ganz hyalinen Knorpel der ersten Brustrippe aus- gedrückt wird. Ohne diesen Unterschied hätte man Zweifel darüber hegen können, ob die Halsrippe im vorliegenden Falle wirklich eine vollständige, oder nicht vielmehr unvollständig und nur durch ein Gelenk mit dem Knorpel der ersten Brustrippe in Verbindung gesetzt sei. Auf eine richtige Entscheidung in dieser Hinsicht kommt aber desshalb Alles an, weil gerade hier eine Combination von Halsrippe und Suprasternalknochen vorliegt. Die Existenz eines Gelenkes, welches den Knochen mit dem äusseren Ende des Knorpels in Verbindung setzt, bildet gegen die Annahme der Vollständigkeit dieser Halsrippe kein Hinderniss, nachdem ich") ') P. Leveling. Ohservat. anatoraic. rariores. Ingoist. 1786. -} J. Müller's Archiv 1857,. Ö. 327. Die Halsrippen und die Ossa suprasternalia des Menschen. 13 nachgewiesen habe, dass in seltenen Fällen ein Gelenk zwischen Knochen und Knorpel auch der ersten Brustrippe vorkommt. Ein ganz ähnliches Verhalten wie hier, zeigte der Knorpel einer vollständigen Halsrippe, welche Haiberts ma an einem durch Kyphosis gebogenen Brustkasten aus dem Museum Vrolikianum ') gefunden und genau unter- sucht hat. Das vordere Ende des Rippenknochens setzte sich nämlich in eine verknöcherte knorpelige Verlängerung fort, die mit dem Knorpel der ersten Brustrippe verschmolzen, bis au den seitlichen Rand des Manubrii sterni verlaufen ist. Durch diese Halsrippe und durch den von ihr und von der ersten Brustrippe begrenzten, von Zwischenrippenmuskeln eingenommenen , Intercostalraum wurde die rechte Seitenwand des Thorax nach oben hin um 2-5 Centim. verlängert. Nicht allein um dieses Mass war die Spitze der rechten Lunge länger als die linke, sondern noch um die Höhe desjenigen Segmentes derselben , welches den inneren Rand der Halsrippe- überragte und dessen Höhe in maximo 1 Centim. betragen hat. Da die Art. subclavia unter Beschreibung eines Bogens über die Lungenspitze hinwegläuft, so musste sie hier durch die Höhe ihrer Lage , und durch ihre Länge die Norm bedeutend überschreiten. Aus diesen Umständen ergibt sich die praktische Bedeutsamkeit unseres Gegenstandes einerseits für die Lehre von der Percussion und Auscultation der Lunge, andererseits für die Unterbindung der Ai-teria subclavia über dem Schlüsselbeine. Der Wundarzt muss auf die Möglichkeit eines solchen Vorkommens mindestens gefasst sein , um im concreten Falle nicht ffänzlich irre zu werden. fe II. Die Ossa suprasternalia. Die erste in der Literatur niedergelegte Notiz über das Vorkommen und die muthmass- liche Bedeutung dieser Knochen beim Menschen hat man P. A. B^clard") zu verdanken. „II existe quelquefois deux points osseux pisiformes, placös, Tun de chaque cotd, sur l'dchan- crure trachelieune du sternüm. Ces points, que l'on peut appeler pr6-sternaux ou sus- sternaux, sont peut-etre le rudiment de la fourchette ou clavicule furculaire de certains animaux". Dieser Anschauungsweise Böclard's ist G. Breschet entgegen- getreten und hat die Behauptung aufgestellt: die Suj)rasternalknochen seien Rippenrudi- mente, und erscheinen als vordere Enden in ihrem Verlaufe unterbrochener Halsrippen, deren hintere Enden in den rippenartigen vorderen Wurzeln der Querfortsätze des siebenten Nackenwirbels unzweideutig ausgesprochen seien. Obgleich Breschet nicht einen einzigen Fall vor Augen hatte, in welchem neben einem Suprasternalknochen eine wirkliche Halsrippe statt der vorderen Wurzel des Querfortsatzes vorhanden war, so wurde doch unbeirrt jene Hypothese unter Beiziehung sehr verschiedenartiger Materialien aufgebaut. Eine sehr wichtige Stütze musste eine Beobachtung von Ed. Sandifort') abgeben, welche eine Missgeburt betroffen hat, bei der auf der linken Seite die Knochen der vier oberen, auf der rechten Seite die Knochen der fünf oberen Rippen ihre Knorpel nicht erreichten, sondern durch ansehn- liche Zwischenräume von ihnen gänzlich getrennt waren. >) Vgl. W. Vrolik. De Menschelijke vrucht. Dl. II. p. 528. '■*) Memoire sur l'ost^ose. Supplement, pag. 83. •') Ed. Sandifort. Observationes anatomico-pathologicae. Lugd. Bat. 1779. Lib. III, Tat'. V. I'ig. 4. 14 Hubert Luschka. Bresehet hat es zur Begründung seiner Ansicht auch an vergleichend -anatomischen Nachweisen nicht fehlen lassen, allein nur bei solchen Thieren, bei welchen die für Epister- nalknochen erklärten Skelettheile , mindestens ihren Beziehungen nach , einer verschiedenen Deutung fähig sind. Es gilt dies von den Ossa episternalia mancher Amphibien nicht weniger, als von dem räthselhaften T-förmigen Knochen der Monotremen. Sonderbarer Weise ist Bresehet nicht auf diejenigen Thiere aufmerksam geworden, deren Episternalbeine einzig und allein sichere Anhaltspunkte gewähren können für die Vergleichung der beim Menschen bisweilen vorkommenden , morphologisch verwandten Bildung. Es gibt nämlich mehrere Arten der Gattung Dasj/pus, bei welchen die auf dem vorderen Eande des unzweideutigen Brustbeinhandgriffes aufsitzenden Episternalknochen ungemein deutlich ausgeprägt und mit dem Sternalende der Schlüsselbeine in Verbindung gesetzt sind. Schon G. Cuvier^) hat bei Dasypus sexcinctus auf zwei kleine, am vorderen Ende des Brustbeines articulirende Knoehenstücke aufmerksam gemacht, mit welchen vermittelst Knorpel die Sternalenden der Schlüsselbeine in Verbindung treten. Bei Dasypus novemcinctus finden, wie ich schon früher mitgetheilt habe, modificirte Verhältnisse Statt. Am vorderen Ende des Brustbeinhandgriffes kommen hier nicht zwei gesonderte Beinchen vor, sondern es ist nur ein einfacher Knochen vorhanden, welcher überdies nicht durch ein Gelenk, sondern durch eine solide Knorpelmasse — durch eine Synchondrose mit dem Manuhrium im Zusammenhange steht. Das freie Ende dieses Episternalknochens stellt zwei abgerundete Höcker dar, welche durch eine Kerbe geschieden werden, die in eine flache, in der äusseren Mittellinie verlaufende Rinne übergeht. In dieser Anordnung spricht sieh ohne Zweifel der Beginn einer Trennung der Masse in zwei gesonderte Stücke aus, welche in Dasypus sexcinctus vollkommen realisirt worden ist. Mit den rundlichen Höckerchen stehen die Schlüsselbeine nicht mittelst eines Knorpels, sondern durch eine Bandmasse in Verbindung. An dem knorpel- losen vorderen Ende des Schlüsselbeines fand ich hier ein 5 Millim. langes, rundliches Ligament, — gewissermassen eine bandartige Verlängerung der Clavicula, welches nur aus feinen elastischen Fasern und aus Zellstofl'librillen gebildet war. In der Nähe der Insertions- stelle findet sich ein die ligamentösen Enden der Schlüsselbeine unter sich quer vereinigendes Band — ein Lig. interclaviculare. Die bei dem Mensehen zwischen den Sternalenden der Schlüsselbeine auf dem oberen Eande des Brustbeinhandgriffes biswellen sitzenden Beinchen haben nach Lage und Beziehung eine so unverkennbare Ähnlichkeit mit den Episternalknochen jener (jrürtelthiere, dass gewiss Niemand die hiergegen vorgebrachten Bedenken H. Pfeiffer's für begründet halten kann. Die in Anbetracht des aufrechten Ganges des Menschen bei ihm Suprasternalknochen genannten Skelettheile haben eine, sieh im Wesentlichen ganz gleichbleibende Gestalt. Sie sind länglich-rund, nach Form und Grösse am passendsten mit dem Os pilif armes der Hand- wurzel vergleichbar. Sie haben eine obere gewölbte etwas rauhe, und eine untere, der Ver- bindung mit dem Brustbeine dienende plane, selten schwach concave Oberfläche. Bevor wir die Beschaffenheit ihrer Verbindung in Betrachtung ziehen, ist es nothwendig der Configuration des mittleren Abschnittes vom obei-en Rande des BrustbeinhandgriÖes einige Aufmerksamkeit zuzuwenden. Die Grösse und die Gestaltung der Incisura semilunaris ') G. Cuvier. Recherches sur les ossemens fossiles. Trois. kli'i unli;, di's MpiimIich ^i^ ^. f^. ^'• ^>J LdÜAiur get.Tou Julius Piita llcriksrlriiririi ilrr k,.\k,ul d Wisscnscli in.illii'iii inilimv Cl XVl liil Iß.iK Litiiu **?iJi.ii.lc]c.Kiif-v I.usrlika. Hie II:iIsiI|>|h-ii imhI ilic ()ls;c siipiasl('rii;ili;i des Mcnsihcii T.ir II. Cl M \ "V y -%■ ^, jf Hcnksohnt^ni dfrk Akad.tl.Wissensdi.maÜipm nalunv.n.XVI.Rd.m.iS. 19 ANWENDUNG DES SOGENANNTEN VARIATIONSCAL CU L\S AUF ZAVEIFACHE UNI) DREIFACHE INTEGRA LR Von Dr. G. W. STRAUCH. VOK(!KI,Kirr IN IlKK SITZUNd DEK 'VI ATHIvM ATISCH-NATUUWISSKN.SCHAFTI.ICHEN CI-ASSK AM L'l. JULI 1861;. Einleitung^. §• 1. ±Jei' Zustand, in welchem vor ungefähr zwanzig Jaln-en die Anwendung des (sogenannten) Variationsoalcurs auf zweifache, dreifaclie etc. Integrale sich befand, hat die Pariser Aka- demie der Wissenschaften bewogen, diesen Gegenstand zu einer Preisfrage für das Jahr 1842 zu machen', damit endlich auch die letzte Partie des höchsten Zweiges der Analysis zu einer gewissen Stufe der Vollendung erlioben werde. Die Forderung, welche gestellt wurde, war: „i\Ian soll die Gränzgleiehungen herstellen, die mit den Hauptgleiehungen verbunden werden müssen, um die Maxima und Minima der vielfachen Integrale vollständig zu bestimmen, und nebstdem soll man praktische Anwendungen geben, die sich auf dreifache Integrale beziehen". In dieser Forderung besteht jedoch nur die erste Hälfte dessen, was der Gegenstand eigent- lich erheischt; denn die zweite, eben so Aviclitige und bei weitem schwierigere, Hälfte ist die Herstellung des Prüfungsmittels, d. h. jenes Ausdruckes, welcher die Merkmale abgibt, ob ein Maximum oder Minimum oder keines von beiden stattfindet. Der Gi'und aber, warum die genannte Akademie nicht die vollständige Erledigung des Gegenstandes verlangt hat, scheint wohl der gewesen zu sein , dass man fürchtete , es möge bei Anhäufung von so viel feinen Untersuchungen keine Abhandlung eingesendet werden. Aus dem in der Sitzung vom 31. Juli 1843 erstatteten Berichte geht hervor , dass vor Ablauf des Termins vier Abhandlungen eingetroffen waren, von denen aber nur zwei einer ' „Comptes reiidus hebtlomailaii'PS'des süances ile racfulcmie des sciences'^ Hand XIII, Seite 1 I7(i. .\ucli Band XV, S. 114l' ii. 1145 20 G. W. Strauch. besonderen Auszeichnung würdig gefunden worden sind'. Die eine derselben war von Sarrus, und wurde gekrönt '"' : die andere war von Delaunav. und wurde einer Ehrenmel- dung theilhaftig^ Herr Delaunay maelite seine Abliandlung sofort bekannt; denn er Hess sie aufneh- men in den mit der Jahreszahl 1843 versehenen Band XVII des „Journal de l'^cole royale polytechnique" (Seite 37 — 120) imter dem Titel „Memoire sur le calcul des variations'". Dagegen die Veröffentlichung der, obgleich gekrönten, Abhandlung des Herrn Sarrus wurde lange hinausgeschoben; und sie erschien erst in dem mit der Jahreszahl 1848 versehenen Bande X der „M6moires präsentes par divers savants ä 1' academie des scienees" (Seite 1 bis 128) unter dem Titel „Recherches sur le calcul des vai"iations" . Indessen hatte Herr Cauchy, welchem die Sarrus'sche Abhandlung im Manuscript bekannt geworden war', schon in dem mit der Jahreszahl 1844 versehenen Bande III seiner „Exercices d' analyse et dephysique mathdmatique" (Seite 50 — 130) unter dem Titel „Memoire sur le calcul des variations" eine Abhandlung bekannt gemaclit , in welcher er bezweckte, die Theorie des (sogenannten) Variationscalcul's an seine bereits mit so grossem Beifalle aufgenommene Theorie des Differentialcalcul's anzureihen, zugleich aber auch die von Sarrus mitgetheilten Formeln auf concisere Weise darzustellen. Nun aber sind die Resultate der genannten drei Abhandlangen nicht einmal im Stande, der von der Pariser Akademie gestellten einfacheuForderung zu genügen": und so habe ich mich entschlossen, diesem so wichtigen Zweige der Analysis eine neue Bearbeitung zu widmen. §• 2. Es wäre überflüssig, hier, in der letzten Partie des (sogenannten) Variationscalcul's, die Grundlage desselben noch einmal vorzutragen, weil diese bereits in den vorhergehenden Partien abgefertigt sein muss. Desshalb sollen hier auch nur Resultate mitgetheilt werden, und dabei genügt es vollständig, wenn man sich auf die zweifachen und dreifachen Integrale be- schränkt. Hat man nämlich die zweifachen Integrale gründlich abgehandelt, so kann man das dabei angewendete Verfahren sofort aucli auf die dreifachen Integrale ausdehnen ; und von da an hat die weitere Ausdehnung auf vierfache, fünffaclie etc. Integrale keinen Anstand mehr. Im ersten Bande (Seite 70 und 71) meines V^'^erkes „Theorie und Anwendung des soge- nannten Variationscalcul's. Zürich 1S49" habe ich darauf aufmerksam gemacht, dass die Worte „Vai'iation, variabler Bestaudtheil. etc." in den früheren Zweigen der Analysis schon auf andere Weise verwendet seien, und dass, um Begriffsverwirrungen zu vermeiden, die durch die neuen Bezeichnungen dy , d-y, etc. dargestellten Begriffe mit einem noch nicht ver- wendeten Worte benannt werden müssten , eine Neuerung, die um so eher angehe, als sie sich ja auf den höchsten Zweig der Analysis beschränke, und die früheren Zweige unberührt lasse. Ich habe dafür die Worte „Mutation, mutabler Bestandtheil. etc.'' vorgeschlagen, und dieser mein Vorschlag hat seither vielen Beifall gefunden. 1 „Comptes reniius Iiebjomadaires des seanees de l'acadcmic des scienc-es" Band XVII. Seite iUl und 202. - Ebendaselbst Seite 202. 3 Nach bekannter Übung durfte der Verfasser dieser zweiten .\bhandUing, weil sie nicht gelirönt wurde, auch nicht genannt werden. Er hat sich später aber selbst genannt, wie man in dem so eben citirten Bande XVII. Seite 296 ersehen kann. ■1 Herr Cauchy war einer der von der Akademie ernannten Berichterstatter. ■^ Wird in einem Nachtrage (§. 91 — 10-1) noch besonders nachgewiesen werden. Anioendung des sogenannten Variationscalcid' s auf zweifache und di-eifaclie Integrale. 21 Auch hat schon Euler das Wort „Mutation" ganz in meinem Sinne gebraucht; z. B. in seiner „MetlioJus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Lau- sannae et Genevae 1744". Man sehe daselbst Seite 21 unten, und Nr. 58, 59 und 60 auf Seite 27 und 28. Namentlich in Nr. 61 auf Seite 29 kommt das Wort häufig vor: und gerade hier wird Euler's Methode vollständig erklärt. Wir begegnen diesem Worte aber auch neuerer Zeit in einer Schrift von Gauss, welche den Titel führt „Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibi-ii. Göttingae 1830". Man sehe daselbst §. 20 und §. 21. Damit jedoch meine hier vorliegende Abhandlung auch nicht im Entferntesten den An- schein habe, als wolle sie im Kleinen gross sein; so habe ich mich, wiewolil sehr ungern — ich gestehe es — entschlossen, für dieses Mal wieder das bisher übliche Wort „Variation" zu gebrauchen. Bei späteren Anlässen , die geeigneter sein werden, werde ich mich nicht abhal- ten lassen, verschiedene Begriffe auch mit unterscheidenden Namen zu benennen. §• 3. Ehe ich zu meinem Gegenstande selbst übergehe, will ich noch einige eigenthümliche Bezeichnungen erklären, ohne deren Kenntniss das Folgende unverständlich wäre. Die oft sehr zusammengesetzten Ausdrücke und mannigfaltig verbundenen Operationen , welche im (sogenannten) Variationscalcul vorkommen, machen vielerlei Bezeichnungen nöthig, während sich bei den einfacheren Zuständen und Beziehungen des Differential- und Integralcalcul's ein solches Bedürfniss weniger fühlbar macht. Euler und seine Nachfolger haben die totalen und partiellen Differentialquo- tienten dadurch unterschieden, dass sie letztere in Klammern einschlössen; dagegen andere Analytiker Hessen die Klammern weg, und überliessen es so der Fertigkeit des Lesers, zu un- terscheiden, ob von totalen oder partiellen Differentialquotienten die Eede sei. Bei den Fort- schritten der Wissenschaft konnten aber auch die Klammern nicht mehr genügen; und man sah sich nach einer anderen Bezeichnungsweise um, welche mehr leiste, und um so willkom- mener sein musste, als die Klammern noch zu sehr vielen anderen Zwecken im Diflerential- calcul nöthig sinJ. Eine zweckmässige' Bezeichnung der partiellen Differentiale besteht darin, dass man hinter d den Veränderlichen setzt, nach welchem differentiirt werden soll. Ist z. B. Ij iü = ' \ d.r'" . d,j" .dz'' f bezeichnet wird. §• 4. ^4) Hat man die beiden gleichzeitig bestehenden Functionen V) io = (p ix , y) und VI) y ^/(j?) so ist w nur von x abhängig, was dadurch erreicht wird, dass man ?/ aus (f{x,y) eliminirt. Hat man aber die totalen Differentialquotienten nach x zu nehmen, und will man y nicht aus f(x,y) eliminiren; so differeiitürt man lo bekanntlich in der Weise, dass man die I)iffc- rentiale des y als veränderlich behandelt. So verfahrend bekommt man dtv '^^^ d X d X d^w d] '» 1 '^.'/"' dy dy dx d d w 1 O "■ ■'' dy dT" dx ~^ dy- dx^ d xi ' " ' dx. dy ' ( -^ \ \ _L_ 'Li V dx ) dl/ dx'' etc. etc. Wenn man aber für den Verlauf der Untersuchung bemerkbar machen will, dass in den totalen Differentialquotienten — , -—^, etc. das x auch implicit enthalten ist: so mag diesei- -■■ dx dx- ■"- . Umstand durch einen doppelten Bruchstrich angedeutet werden, und sonach bekommt man dw dw dw ^,. ' d X ax dy dx j2 „, d' w d d w j ,, d' 10 / i1 u ^" d 10 , ,12 1, dx'^ d X- dx.dy dx dy- ^ dx / dy dx- etc. etc. ', B) Hat man ebenso die drei gleichzeitig bestehenden Functionen IX) io = ^^(x,y , z) , X) y=x H "ii'l XI) 3 = - {x) so ist auch jetzt das io nur von x abhängig, was dadurch erreicht wird, dass man y und z aus ^(x ,y , z) eliminirt. Will man aber den Umstand, dass das x auch implicit vorkommt, bei den totalen Differentialquotienten durch einen doppelten Bruchstrich bemerkbar maclien; so bekommt man diesmal die Gleichungen dw ''^w d^w ^i,j d_w fiz ' dx d X d y d X d z d x d-iio 'V«' ^ «A«' dy ^ «.c".-'" dz "„'" (''l>\ -* dx^ d .-y-' "■" "^ ■ dx.dy ' ~dl- '^ " ' dx . dz ' rf7 "'" dy^ ' \ dx ) ,^ ''/h'" dy dz d> r ''M"i JL !!ll. \ ^1 IUI ~^ "^ ■ dy . dz ' '17- ' 'dl ' dz- \ dx ) '^ d y ' dx- ''dz ' d.r^ etc. eie. Der doppelte Bruchstrich ist als zusammengesetztes Zeichen sehr passend, eben weil er einen zusammengesetzten Ausdruck darstellen hilft. Übrigens ist Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dreifache Integrale. 23 hier, wo es sieh nur um totale Differentialquotienten handelt, zwischen — und =^, ebenso zwischen — — und ■==, etc. kein Unterschied. d.r- dx^ §. 5. Hat man die beiden gleichzeitig bestehenden Functionen XIV) w^,f{x,y,z) und XV) 2 =;f (x , 3/), so sind diesmal die beiden Veränderlichen x und ?/ absolut unabhängig, und w ist nur von X und y abhängig, was dadurch erreicht wird, dass man z aus . \ dx" . d y'' Ja. 6 24 G. W. Strauch. Klammern angedeutete Operation ausgeführt, und zuletzt die unten angehängten besonderen Werthe an die Stelle des x oder des y gesetzt habe. Und so fort bei Functionen mit drei und noch mehr absolut unabhängigen Veränderlichen. §• '• Um jetzt die vorliegende Abhandlung systematisch durchzuführen, mag dieselbe in zwei Abtheilungen gebracht werden, deren erste sich mit den zweifachen, und deren zweite sich mit den dreifachen Integralen befasst. Nun kann ein zweifaches Integral in einer von folgenden zwei Formen aß a ß [x] ffw.dij.dx und ff W.dij.dx 'a i a ö (x) erscheinen. Bei der ersten Form sind die Integrationsgränzen h und ß unabhängig von x. aber bei der zweiten Form sind die Integrationsgränzen b{dc) und yJ(x) Functionen von x. Unter den verschiedenen Formen , die ein dreifaches Integral annehmen kann . mögen besonders folgende zwei I W . dz . dy . dx und / / / W . dz . dy . dx a /j c s, li [x) c {x , y) Jiervorgehoben werden. Bei der ersten Form sind c und y unabhängig von x und y. und h und ß sind unabhängig von x. Bei der zweiten Form aber sind c [x^y) und ;- {x ly) Func- tionen von X und ?/, und b {x) und ß{x) sind Functionen von x. Sonach kann man jede der oben genannten zwei Abtheilungen wieder in zwei Abschnitte zerlegen. ERSTE ABTHEILl NG. Aiiwi'mlung des (sugenanntenj Variationscaleul's auf zweifache Integrale. Erster Abschnitt, wo solche Inteo;rale voikoniiiicn, bei denen die Cuänzoii der ersten Integratinn unabhängig- sind von jenem Veiiiiidei'liehen, nacli welclieni die zweite Integration durchgeführt werden soll. Ün ters u diu n o- 1. §• 8. dz dz Es sei IFein reeller, mit den ßestandtheilen x . y , z . -^ , -^ versehener Ausdruck : imd man sucht für z eine solche Function von x und //. dass folgendes Integral I) U =-jj W . dy .dx ^a ''4 wo h und ß keine Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird. Die "Werthe von a , a , 6 , ,9 sind liier als constant zu l'ctracliten. mit der steten Rück- sicht, dass a^ a und ß'^ h. Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache and dreifache Integrale. 25 d^ z d z Man setze zur Abkürzung- ?> und n bezüalich statt -^ und -—•. so bekommt man vorerst J J V dz dp dx dn dy ' ^ a b Man bezeielme, um noch mehr abzukürzen, die zu den zwei Differentialquotienten der ersten Ordnung d 33 d 3z und dx dy o-ehörio-en Factoren bezüplich mit (Ix) und (I^) • so gestaltet sieh letztere Gleichung auf folgende Weise: a ß Die Zweckmässigkeit dieser Abkürzungszeichen wird in den folgenden zwei Untersu- chungen, wo höhere Diflerentialquotienten vorkommen, noch mehr vor die Anschauung treten. Man beachte , dass die durch (la;) und (ly) repräsentirten Ausdrücke das x und das y sowohl explicit als auch implicit in z , p . q enthalten, und dass durch d 3z d 3z „ d 3^z d 3^z oz , , — — , o z , , — , etc. etc. dx dy ' dx dy Functionen dargestellt sind, wo das x und das ?/ nur explicit vorkommt; und desshalb kann man der Gleichung II auch folgende Form geben: III) .- ü = md^ElH + '^'''^'' ■"'' + ('fI^M±^M±).,z]dy. dx J J ^ dx ^ dy ^ \ dz dx dy ) i "^ Führt mau bei den durchlaufenden Differentialen die betreifenden Integrationen aus, so gibt sich weiter IV) Ü U= / [ (I x), , „ . dz, , „ — (I x), , „ . dz, , ,,] . dy a + f[ i^I/l , ^ • OX . ;ä — (Iy)x , . ■ 0^2, . *] • dx rr^d^w djix) ^„(i,) -f / / — =^= . dz . dy . dx f I \ dz dx dy f "^ "a '' b Hieraus folgt die Hauptgleichung d.W d^ilx) d,^{ly) ^ ' dz . dx dy und die Gränzengleichung VI) f[ (I a;)„ , , . dz, , , — (la;), , , . dz,^ J . dy a Deiikscbriiteu der mathemat.-naturw. (_'!. \VI. BU. Abliaiid]. v. Nichtmit^l. 26 C. W. Strauch. Die Hauptgleichung wird in der Regel eine Partialdifferentialgleichuug der z wei ten Ord- nung sein; und dann nimmt ihr allgemeines Integral zwei willkürliche Functionen in sich auf. Die Gränzengleichung hat bereits die Werthe a , a , b , ß in sich aufgenommen, und dient dazu, die in der gesuchten Function z = zu bestimmen wären, so dass zwei derselben willkürlich sind. Weil aber diese sechs Bestimmungsgleichungen nichts Widersprechendes enthalten, so ist die in VIII aufgestellte Form in der That möglich. Führt man jetzt bei den d (ri.dz-) d (w.fjjä) . , durchlaufenden Differentialen -^^ und -^ die betreffenden Integrationen aus, so geht dy Gleichung VII über in AniüObdtmg des sogenannten Variationscalcut s auf zweifache und. dreifache Integrale. 27 a a ^ a 6 Schaut inan wieder auf die sechs Gleichungen IX — XIV zurück; so sieht man, dass die in der neuen Form befindlichen drei Stücke 31 , 33 , 5) vollständig durch Stücke bestimmt sind, welche sich schon in der ursprünglichen Form VII befinden; und somit darf man die oben besprochene Willkürlichkeit auf diese drei nicht an- wenden, sondern nur auf zwei der folgenden fünf: Man benütze nun diese Willkürlichkeit vorerst dazu, dass man % zu Null werden lässt; so reduciren sieh die Gleichungen XIV und XV bezüglich auf und / XVII) 0"'?7=y[(Ia;)„,„. einen mit x ,y ^ ti{x) versehenen Ausdruck, wo 7r{x) eine willkürliche Function von x ist. Kann man sodann 7r(a;) so ver- wenden, dass die nach x identische Gleichung 28 G. W. Strauch. stattfindet; so redueirt sich Gleicliung XVII auf das Doppelintegi'al, welches, wenn man für 3( , 53 , S , Ü) , ® die Ausdrücke einsetzt, nunmehr folgende Form annimmt: m, d OZ A d OZ T\ /.i AC— B2 t zl , J . % + / (OJ, , ,3 . dzi , ,5 — O), , , . ) + C.(D — ft))'^ Wenn man jetzt diese Partialdifferentialgleichung integrirt, so bekommt man 10 = ^[x ,g , - {x)] wo ^[x,g,7r{x)] eine ganz bestimmte Zusammensetzung der drei Bestandtheile x,g und 7t{x) ist, während /T (x) eine willkürliche Function von x bedeutet. Damit aber bei letzterem, für 0-' f/" hergestellten. Ausdrucke nur das zweifache Integral zurückbleibe, muss noch die nach x identische Gleichung oder vielmehr $ f [^ ,/5, TT (X)] . dzl,, _ |[;r , 6 , TT (X-)] . oX^, = 0 stattfinden, und dieser Gleichung kann man auf zweierlei Weise zu genügen suchen. Man sehe nämlich zu, ob 1. für Tr{x) eine solche Function des einzigen Veränderlichen x möglich ist, dass ^[x,y ,7:{x)] schon identisch zu Null wird. Wenn aber dieses nicht angeht, so sehe man zu, ob 30 G. W. St?- auch. 2. aus der Gleichung z^ sich tt (x) absondern lässt, so dass man für tt (x) eine ganz bestimmte und mit den fünf Bestandtheilen b,ß,x ,rjzl^i, , r>s^ jverseliene Zusammensetzung -{x)=Cib,i3,x, fj.zl_i, , dzi^^) bekommt, und w jetzt übergelit in a) = ^[x,ij , C{h ,ß,x,dzl^,,dzi^^)\ Dabei bleibt nur - " ' d dz A y dx ' A.C- wo man aber noch für w seinen Ausdruck einsetzen muss. Was aber auch immer das Er- gebniss von (o sein mag, so hängt es doch, wie sclion im vorigen §. bemerkt wurde, nur von A und ab, ob (T ü beständig negativ oder positiv bleibt. §• 11- Zweiter (Irä nz f al 1\ Die gesuchte Function soll nur aus jenen Functionen herausgewählt werden, welche alle bei aj = a,x-:=ß,?/ = 6,_?/=^9 sich bezüglich auf folgende vier Ausdrücke f'ii/) . V'iy) , f"'(«') , f""(^-) < specialisiren. Bei dieser Vorschrift müssen folgende zwei Systeme von (Ueichungen 5 '>X,, = 0 , '>X„ = 0 , ^'z.,y = 0 , o^^^,,, = () , etc. und cf 'vX,,=--.ü , r;,2,,,^ = () , r;^3,,,, = ü , .;^3,,,, = () , etc. statthnden. Die Gleichungen 5 si^^d nach ?/, und die GUeichungen (^ sind nach x identisch. Die Gränzengleichung VI fällt also diesmal von selbst hinweg; und wenn die obigen vier Ausdrücke bestimmt vorgeschrieben sind, so müssen auch die vier Gleichungen 5) .Sa,„ = f'(//) < 6) 2a,y=\"{:y) , Tj .S^^_, = f"'(x) , S) Z^^_, = \""{X) bei Specialisirung der durcli Integration der liauptgleichung eingegangenen willkürlichen Stücke mitbenutzt werden. Man setze zuerst b und dann ß statt y in 5) und 6) ein. Man setze ebenso zuerst a und dann o. statt x in 7) und 8) ein. Auf diese Weise gelangt man zu folgenden vier neuen Gleicliungen": 9) .s.,. = r (^) = r{a) , 10) ^.,,, = f' (;5)=r(a) 11) ,-.,,, ^r(i)^f"7r/) , 12) z,,,,=\"(ß) = r{'^) ' Eine auf diesen zweiten Gränzfall bezügliche geometrische Aufgabe ist folgende: „Man sucht zwischen zwei Paar parallelen und aufeinander senlu-echten Kbenen die Ivleinste Flüche unter allen jenen Flächen heraus, welche durch vier feste Curven, die in den genannten vier Ebenen liegen, begränzt werden." - Bei der, in voriger Anmerlying gestellten, geometrischen Aufgabe lässt sieh die Nothwondigkeit, dass die vier Gleichungen 9 — 12 stattfinden müssen, sehr leicht veranschaulichen. Die vier, in den Endpunkten der Abscissen a, , a , h , ß senkrechten, Ebenen schneiden sich nämlich nach vier graden Linien; und in jeder dieser vier Graden liegt ein Punkt, welcher zweien der gegebenen vier Gränzcurven gemein sein muss, weil man sonst durch sie (diese vier Gränzcurven) keine Fläche hegränzeu konnte. A^iwcndung des sogenamtteii l'm/atioii^ca/cu/'s auf sioofache uiid d leif'ache Integnde. 31 Sobald eine einzige dieser vier Gleichungen einen Widerspruch in sich trägt, ist unser zweiter Fall, wie er hier gestellt ist, unmöglich. Sollten aber die vier vorgeschriebenen Ausdrücke f'(y) , \"{y) , f"'(^) , f""(^) Stücke in sich enthalten, die noch willkürlich sind; so müssen letztere sich so specialisiren lassen, dass die genannten vier Gleichungen (Nr. 9 — 12) erfüllt werden. Der für das Prüfungsmittel aufgestellte allgemeine Ausdruck XVII reducirt sich jetzt von selbst auf das zweifache Integral, so dass es diesmal gar nicht nöthig ist, sich um die Functionen rj und w zu bekümmern, und dass es ohneweiters von 51 und 3) abhängt, ob ein Maximimi oder Minimum stattfindet. §■ 12. Dritter G ranz fall. Wenn für die Gränzen die zwei Gleichungen vorgeschrieben sind; so findet zwischen ws,, „ und ö'.i„,„, und ebenso zwischen oz^^ und liz^^^^ eine Abhängigkeit Statt. Man behandle dz^^„ , dz^, , r?'.s,_„ und r?'-2,,j als abhängig, und soikUm-c sie ab; so bekonnnt man Gleichungen von folg'ender Form: 15) rM.,„ = %' . dz,^„ , 16) r U-^ j [(Ix), , , . (7' 3, , „ + y;, . „ . dzl , „ — (Ix), _ „ . (?".2, , „ — y/a , , • ö'-a . J • (iy Vergleicht man XXIII mit XXIV, so bekommt man XXV) S) === C , XXVI) ® = ^^ und XXVII) (F-g-:;^).(;^(E--,)^ Man hat also diesmal nur drei Bestimmungsgleichungen, während doch die vier Stücke zu bestimmen wären, so dass eines derselben willkürlich ist. Schaut man aber wieder auf (ileichung XXIV zurück, so sieht man, dass es auch diesmal am zweckmässigsten ist, das Stück % als willkürlich zu behandeln, und zu Null werden zu lassen. Dabei reduciren sieh die Gleichungen XXIV und XXVII auf XXVIII) eiik.scliriften der iiKitliem-naturn . C'l. XVI. Bd. Abli.iiidl. v. Nichtüiityl. ® 34 G. W. Strauch. Untersuchung 2. §• 15- d^z dz d'^z d^d z d^z Es sei PF ein reeller, mit den Bestandtheilen x ,v , z , , , -^— , "° " , — ^ ver- ' '^ ' ' rfa; ' rfv ' dx^ ' dx .dy ^ dy^ sehener, Ausdruck; und man sucht für z eine solche Function von x und «/, dass folgendes Integral a ,1 l) U^ffw.dy.dx wo h und ß keine Functionen von x sind, ein Maximum odei- Minimum wird. Man setze zur Abkürzung p , q . r , s . t bezüglich statt d z d z d" z d d z dz X y j: j: ii ii dx dy dx- dr.dy dif' so bekommt man vorerst dW dSz d„W dJz d ((• d-i md W d W d Sz d„W dJz d ((• d-(h dz 'dp dx ' dg dy ' dr dyi d W d d oz d, (V d i)z -\ H • 1 ;— . — r • " V ■ " ^' ds dx . dy dt dy J ^ Man bezeichne, um noch mehr abzukürzen, die zu den zwei Differentialquotienten der ersten Ordnung d Sz d dz und dx dy gehörigen Factoren bezüglich mit {\x) und {\y) Auf analoge Weise bezeichne man die zu den Differentialquotienten der zweiten Ordnung d~ 8 z d d dz d" Sz X X y !/ "* 5 dx" dx . dy d y- gehörigen Factoren bezüglich mit (llx^) , {Ilxy) , (lUf) Dadurch gestaltet sich letztere Gleichung auf folgende Weise : r'r'f P z oz , — — , , -— - , 0-z , — — , , — - , etc. dx ' ^ dii- ^ ' dx ' ' dy' ' als Functionen, wo das x und das y nur explicit vorkommt, zu betracliten sind; und desshalb kann man die Gleichung II auch auf folgende Weise darstellen: III) STJ=JJ\ d^d^X{llxy).8z] + 1 d^' . d i Kd {11 X') d a\xv)\ d dz ^ dx d if ,d^w d^(ix) c/„(i2/) j;(ii=.'2) d^d,^(\ixy) d:i(nf-) . ) ^ dz dx dy dx- ' dx . dy dy- ' ) '' Führt man jetzt bei den durchlaufenden Differentialen die betreffenden Integrationen aus. so gibt sich weiter IV) dlJ={\lxy),^.^. ö\s,,^,— (IIa:?/),,, . (;3„,,— (II «?/).,„,. r7 .3,,^, + (Hxi/),., . r?s,,„ r'v , dmx^) d (II .»•«), , d dz. diWiß) d,(llxy). . djz. -1 -l(i-)-^s ^. .»X.,-(II.%,„.(^ ].ä,, Adjlly^ d (11 xy). . dJz. :i d (II»'-) d (llxy) ^ , d dz . ~i ,7,/ L c?2 dx dy dx'^ dx.dy dy^ J Daraus folgt die Hauptgleiehung d,W djlx) d^ily) 4(IIa^-') dß,,{nxy) dlilly'') V) ^ =i= — .=L^=. 4- + -f ., = 0 ' d'~ dx dy dx^ dx . dy dy und die Gränzenffleichuno; VI) {llxy)^^^.dz,^^ — (IIa-?/),,, . öX.4 — (IIx?/),,^ . \ , d'iiz d^d'U d-dz d i) z d fi z ^i + 91 . ^ + 5r -^~ + 91" -V + 9('" -f- + 91"" ^ + 91 ^')z] V dy- dx.dy dx- dy d.v ' , d d Sz d' S z d 3z d dz ,., V dx.dy dx'^ dy dx ) , rf- nz d dz d iJz -i V dx- dy dx i d\fiz d,dz , d iJz d dz ,.) ' V dy ' dx ' 1 d =• rf(II.«2) cl(ll.vij) ^ r<^J"^^ dy d 3z^ ,d Sz'i a , , a , K a "i.,ß' d dz^ , d dz ^ , d 'Jz ^ , d öi d (Ilv'-) (? (11*2/) X /<', '5^». - (d^/ - 4f^ ~ 4r^)., ■ ''■^. . . - ("r). , . . (■ V). ^ (i rjs d ßz '' , d i)z ^ . d dz . . d dz . . d d z '- -i -2/'.,..''^-,..(i^),.~2K,..(i^)^^.(i;-)_ --;.:,..(^)_ j.rfx r"r'i ,'^"^''^ d d Sz d'8z däz dßz -i a 6 , d d dz d'^dz d 3z d 3z J \dx.dll dx^ dy d.t ' / ,cf3z dSz däz -T An dieser Form erkennt man, dass es am zweekmässigsten ist, die noch willkürlichen sieben Stücke miter folgenden dreizehn herauszuwählen, und so zu verwenden, dass sich d'- ?7 jetzt ebenso, wie in der vorigen Unter- suchung, auf das zweifache Integral zurückzieht. Dann aber ist der Zeichenstand des cT^ U abhängig von den drei Ausdrücken 2t , 33 , S Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache und drefaclie Integrale. 39 d. h. wenn man dem y alle von b bis ß stetig nebeneinander liegenden Werthe, und bei jedem einzelnen dieser Werthe des y auch dem x alle von a bis a stetig nebeneinander liegenden Werthe beilegt; und wenn dabei: 1. jedes der drei Stücke Sl , 33 , (5 positiv bleibt, so ist auch d' ?7 positiv; wenn aber dabei 2. jedes der drei Stücke 31 , 33 , @ negativ bleibt, so ist auch d~ ü negativ. Bestimmt man 51 , B , © wirklich, so bekommt man X) 21 = F, , XIj 35 = und Ei-Fi-E^ XII) e= Dl .El .F1 + 2D2.D3.E2-D, . E|-Ei .D^-Fi. D^ E] . Fl — Ej Diese drei Ausdrücke sind aber ganz die nemlichen, welche sich ergeben, wenn man das Aggregat D,.(^)+2D,.^.^+2D..^..^ (d d 5z \'' d .d, äz d'ßz i d'Sz \~ auf folgende Form bringt; und daraus folgt die höchst beachtenswerthe Eegel: „Wenn der für d^ U sich ergebende Ausdruck positiv oder negativ sein soll, so muss das „Aggregat 0 positiv oder negativ bleiben, während man dem y alle von b bis ß stetig neben- „einander liegenden A¥erthe, und bei jedem einzelnen dieser Werthe des y auch dem x alle „von a bis a stetig neben einander liegenden Werthe beilegt." Dabei beachte man noch den Ausnahmsfall : Wenn von den zwei Ausdrücken 33 und S entweder einer oder auch beide zugleich bei einigen oder auch bei allen den genannten Werthen des x und des y zu Null werden, so ist vorstehende Eegel noch immer anwendbar; sie verliert jedoch alle Anwendbarkeit, sobald ein einziger der einundzwanzig Ausdrücke Ai , A, , A3 , A, , A, , A« , Bi , B, . B,, , Bi , B, Gl , C, , C3 , C, , Dl , D, , D3 , El , E, , Fl bei irgend einem der genannten Werthe des x und des y Null in den Nenner bekommt. Nun ist man auf dem Punkte, der Gränzengleichung zu genügen; und zu diesem Endo sollen folgende drei Fälle vorgenommen werden. §.17. Erster Gränzfall. Wenn für die Gränzen keine Vorschriften gemacht sind, so haben auch die Ausdrücke ^ ^ cl^ d^ ,d^^.U \ d^ ) ' i d, J, ' y di, )^ s ' ^ dij }^ , 40 G. W. Strauch. und ^^'^«,,3 1 d'^a.. , o''\., , ^„ , ,j . ozl ,i, — K,>.- U 2-1 + <5 • hr^ + e' ^ + @" -^ 4- e'" . fjz] \.dy. dx \ dx' dy dx ^ J Nun sind, wie bereits (in §. 16) auseinandergesetzt wurde, unter den dreizehn Stücken ^ , ^y 5 5?' > 3?" , ^ ) £' ) ^" . CO , co' , w" , p. , /i , n" noch sieben willkürlich. Man kann also sieben dieser dreizehn Stücke, weil es im hie- sigen ersten Falle gerade geschehen darf, zu Null werden lassen. Hierauf wird man, nach Analogie des §. 10 verfahrend, alle vorhandenen Partialdifferentialgleichungen integriren, und die dadurch eingehenden willkürlichen Functionen in der Weise benützen, dass Alles, was in Gleichung XIII noch ausserhalb des doppelten Integrals zurückgeblieben ist, voll- ständig hinwegfällt, d. h. dass sich der in XIII aufgestellte Ausdruck des d^ U auf das Dop- pelintegral zurückzieht. §. 1«. Zweiter Gränzfall. Für die Gränzen seien acht derartige Bedingungen vorgeschrie- ben, dass man jedes der Gränzelemente rf^s . d^z . dz d^z 3a,„ , ^«,„ , 3x,6 , ^.,ß , (^ , (^ , \-^) , [—) a , (/ a , t/ ^ X , b und bei yz=ß-. und so liat man auch ^ ^^^a.« = 0 > ''S«.« = 0 ' ^^'"'S'a.. = <' • r;'.3„,,, = 0. etc. ^ '?3,,, = 0 , ^3„.^ = 0 . ^^^,,, = 0 . r;^r„.,= (). etc. Weil ferner die Gleichungen (^ nach a; identiscli sind, so gelten sie aucli bei x = a und bei x = «; nnd somit bekommt man abermals das System der Gleichungen Q(.. Die ganze Gränzengleichung VI fällt also diesmal von selbst weg, und der in IX auf- gestellte allgemeine Ausdruck des Prüfuno-smittels redueirt sich ohne weiters auf das zwei- fache Integral, so dass es jetzt gar nicht nöthig ist. sich uui die dreizehn unbestimmten Stücke A, 37, ^y'jjy",?, £■',£■", ', a»",/i, /j' ,/i" zu bekümmern, und der Zeichenstand des ff V kurzweg von 2(,S,@ abhangt. Die acht Gleicliungen (Nr. 13 — Nr. 20) dienen dazu, die durch Integration der Haupt- gleichung eingegangenen willkürlichen Stücke zu specialisiren. §• 19- Dritter Gränzfall. Für die Gränzen seien vier derartige Bedingungen vorgeschrie- ben, dass man jedes der Gränzelemente in einem bestimmten, von x und y unabhängigen, Ausdrucke entweder wirklich darstellen, oder doch wenigstens darg-estellt denken kann. Hierbei müssen tVdgende, aber nur bei den Werthen a , a , /; , y? giltige, Gleichungen etc. etc. stattlinden. Diese Gleichungen haben aber keine Rückwirkung auf die Ausdrücke wo entweder das x oder das y noch allgemein geblieben ist; und so müssen, damit die Grän- zengleichung vollständig wegfällt, noch die acht Gleichungen (Nr. 1 — Nr. 8) zu Hilfe ge- nommen werden. Diese aber muss man zuerst als totale Differentialgleichungen integriren, und dann kann man sie bei Specialisirung der in z eingegangenen willkürlichen Functionen benützen. Und so fort. xindere specielle Fälle hinsiclitlich der Befriedigung der Gränzengleichung, besonders solche Fälle, wo zwischen oX,y inid oX,,,, zwischen ()z^_, und oz^^^, oder auch zwischen ()z^ , , fjz^f, , oX ,j , oz^^^ Abhängigkeiten stattfinden, kann man sich nach Belieben bilden. Amoendung des sogenannten Variationscalcul s auf zweifache und dreifache Integrale. 43 §. 20. Zusatz. Nicht immer müssen h\ dem Ausdrucke TFdie fünf Differentialquotienten — , dzd^zddzd^z -^ , — ^ , " , --— zueieich enthalten sein , sondern es kann auch einer oder mehrere dy ' dxi ' dx.dy ^ d,ß ° ' derselben fehlen. Das Verfahren, besonders das bei Herstellung des Prüfungsmittels , ändert sieh alsdann ein wenig, wie an folgenden zwei Beispielen gezeigt werden mag. d^z d^z Erstes Beispiel. Es sei TFein reeller, mit den Bestandtheilen x , y , z , — -— , — — , d- z -^ versehener Ausdruck, und man sucht für z eine solche Function von x und _?/, dass das d X- Inteoral Ü = l'fw. dy . dx =JJw.dy ein Maximum oder Minimum wird. Hier hat man bei Herstellung des Prüfungsmittels statt des Doppelintegrals VII diesmal nur folgendes r'^r^i d äz d dz dlSz XIT)JJ \ A,..V + 2A,.«^..^ + ^^^■<^^-~ ^- 2 A..<;3.— -JrJs 2 (i ,Jj d ' ü ist der nämliche, wie der des Aggregates "fi . dz dz Zweites Beispiel. Es sei TF ein reeller, mit den ßestandtheilen x , y , z , -^ , — -, d^d^z ^ ' , _ ' -^ ' ' rf. ' . dy . dx . ' \ div dx dy J ) ^ Führt man bei den durchlaufenden Differentialen die betreffenden Integrationen aus, so gibt sich weiter III) r)U= (LI xy)^^^. dz.^i, — {llxy)^^ , . dz^_ , — {lYxy)^,^ . dz^^ ^ + (IL xy), _ , . >iz, , , r r / dlll'x'i) d{Il'xy)^ ,/ a , f/ a , y -■ rr , d ni'yi] djll'xy)^ ,ddz. , d (M'y^) d (IVxy)^ ,ddz. "I , rVlr''--^ '^xi^'"'') "^'A^'y^ d^illx"') dJ^(lVxy} (i,^ (II' 2/2) ^ + / / I I == — ^=^ + , -j- ' 4- ' ] . oz ^ I \_^ dz dx dy dx- dx .dy dy- I a h ,dW djl".r) d^jV'y) , -1 , , §.22. Bei Herstellung des Prüfungsmittels muss man folgendes Doppelintegral Anwendung des sogenannten Vnrintionscnlcids rmf zioeifache und dreifache Integrale. 47 d-dz d^dw d äw + 2 Aß . rAs ^ + 2 A, . dz .dw + 2K- o's-r- + 2 A„ . dz —^ ' '' dy- ' ' dx dy djzj _ djz d,ßz _ djz d-Jz _ djz d^d^dz djs d^3z + B.-(-^) + ^B.ir-^+^B-^-^+2B.^-5^+2B.^- dy^' d dz dSz d^dii) dSz ddw ' ^ dx ' dx dx ■ " dx dy ,dSzJ d 3z d'dz d dz dddz djz dfdz dSz ^ ' V rfy J I " dy dx-i ^ •* dy dx.dy ' ^ dy diß ^ ^ dy d dz d, dw d 3z d di I O p •" j! L 9 P ■' " dy dx dy dy d'idzj _ dldz djdjz _ dldz dldz _ dldz __ d'Jz d^Sw r\^~^^^ ^v^"' ' W.r-i J ^ " dxi dx.dy ^ ^ dx^ dy'i ' * dx^ ' ^ dx^ dx "^ d,.d„dzj _ d^djz d^Sz _ d,d,3z d^djz djw __ d_^d^3z d^di ^ ' W.r.rf2/J ' -dx.dy dy'' ^ ^ dx.dy ' ^dx-dy dx ^ dx.dy dy ,d-dz-i d-dz d-dz ddw djdz dSw ' ' V dy^ ) ' - dy- ' ^ (J(/-i dx ' ^ (?j/2 rfi/ d 3 w d 3w + 0, . dio'' + 2 C3 . r;^o ^ + 2 C, . dio —^ dx ' dy .dßw ^'^ dßio d 3u X dy d dw J\ , a o IC . - 1 + J..[\-]\-dy.dx auf die Form -> / / \ dx . dy , r d dz d dz /d dz.' djz d dz + ^.d^\ri,.dz^ + 2ri,.dz^+2rj,.dz^ + 2ri,.dz.äw^-rj,^+2ri,— .~ d 3z ,ddz-^ d dz , + 2.;,^.;.. + .;, . (4-) + ^2rj,^dw + :y, . .^..- ] 1 ,- d dz d dz /djz" djz ddz + - . r/„ [«,, . .;3-^ + 2co,.o^.^+2«;3-^3-^+2c«,..\...^..+ o.,.(--)+2..e — .^ d (Js ,(?, dz - rf/s -, + 2 w- -^- o"«ü + w. . ( ^^ 1 + 2 Wc, 4- ö"^«' + "^10 • '^^^ f/'" V-i > V^ ' Vi 1 Vi > Vi > V» ; V^> ' V^» ' '"i ' "^2 , ö>3 ) ^4 , ö;, , ü>, , ü>; , o), , Wa o),, laid 2t, , 2t, , 21, , 2t, , 4^3 , «4 , «.. , Ö. , 62 , ^3 , @4 , <5t , ®3 , ^2 Anwendung des sogenannten VariationscalcuT s auf zweifache und dre fache Integrale. 49 von welchen noch fünf willkürlich sind; und wenn man jetzt ebenso, wie im §. 9 und §. 16, bei den durchlaufenden Differentialen die betreffenden Integrationen ausführt, so wird man auch jetzt erkennen, dass es am zweckmässigsten ist, die noch willkürlichen fünf Stücke aus folgenden einundzwanzig lierauszuwählen, und, wie bei den zwei vorigen Untersuchungen, in der Weise zu verfahren, dass zuletzt nur bleibt /Vr ,d*dz d d 3z d-ds d(Jz d^ds VI) .r^ U= \% . -fr + 81. -fV + 5I3 -^ + 91, -^ + 2t. i- + 5l„ . dz ' ' ' L '-^ y dx.dy d.v dy dx *a ' /j d 3 w d dw , -^ dy dx I , d d ÖS dlSz d„dz ddz V dx.dy dx^ dy dx d dw d Sw .- dy dx I , d- 5z d Sz d^Sz d^iUo + 6, . ^ + e, ^ + @. -^ 4- @4 • o^^ + 6.-V- V dx' dy dx dy d d w . „ d d 10 d ö 10 x" ~\ ' An diesem Aggregate aber erkennt man, dass &' f7 positiv oder negativ ist, je nachdem die fünf Bestandtheile entweder gleichzeitig positiv oder gleichzeitig negativ sind. Diese fünf Stücke lassen sieh aber geradezu bestimmen, wenn man aus dem Ausdrucke IV das Aggregat ^^' • (^ + '^-^7^ • ^^^ + ^^-^ ^^-^^ + ■"^^ dx-^ ■ dx + "-^<= dx^ ■ dy d iJtc .- d d w d 3w + J, . [^ d Sw'^ herausnimmt, und auf folgende Form llenkschriften der malhem -ij:ilurw. CI. XVI, Ud. Abhaudl. v. Nichtmitgl. 50 G. W. Sfraurjf. , ä- a 2 d d ii z d- ii s d o ir d 'f «• 2 V dy dx.dy dx- d ;i d r > , d d ds d'Sz d die d_ .?»•-' \ dx.dy dx- d y d .f ) , d- 3 2 d d n- d,d w '- \ dx- dy dx ' d ') >/• d . , S'y , c^y , öUj , etc. sind bereits in dem Sinne verbraucht, dass man sich Functionen darunter denken muss. Dess- halb sollen, um Begriffsverwirrung zu vermeiden , die blossen Werthänderungen auf andere J Anioendung des sogenannten Variationscalcul's auf zweifache und dreifache Integrale. 51 Weise angezeigt werden. Dazu mag der griecliisclie Buchstabe «9 dienen; und man wird die den verschiedenen Ordnungen entsprechenden Werthänderungen eines Veränderlichen a durch &Si , {ßsi , ifa , t^^a , etc. darstellen. Auf diese Weise bekommt man II) ,W =f{W,^^ . Sa - W^^,yß^) . dy ^r f{W^^,.f9ß— W,,,.>9b).dx a ß ^+ffdW. dy . dx a b III) d-U=2 W^^^,.9a.ßß^2 Tr„ , .ßa . ,9b — 2W,^^,.&a . >9ß -^ 2W,^, . &:x . f^b b — TF,,,.*^a-2.oW,,„..9a-(=^) .ß^'^dy i/ L " X , 3 a a ß + ff d- W. dy . d: Hier ist d w dW ddz d^W d3z d^W d-jz IV) dW=^.dz + ^.^ + ^. J^ + ^.^ + ' dz dp dx dq dy dr dx^ d W d W d d-^z d W d 3-z d W dlä^z V) d'W= -^ . ,fz + ^- . -^_ + -^^ . -^ +^.^+ ' dz d}) dx dq dy dr dx- i?W dd W drU d,d^V dj: — - . dz' + 2 . — - — . dz . + 2 . — — — . oz . — \- . . . dz^ ' dz. dp dx ' dz. dg dy dlV d W d W dz d W dU d\V ddz VI) =^^ = — L A^ . ^ 4. JL^ . _f_ + .^— . ^J- 4- ■ dx dx dz dx dp dx- dq dx.dy d W d W d W d z d W ddz dJV d'z VII) JL^ = JL L ^ . J!_ + -£— . -^JL- ^J^.-JL_^ dy dy dz dy dp dx.dy dq dy- In den Gleichungen II und III müssen die mit den zweifachen Integralzeichen versehenen Theilsätze noch so umgeformt werden, wie bereits bei den drei vorigen Untersuchungen geschehen ist. Dabei beachte man, dass die nach y auszuführenden Integrationen ganz unabhängig sind von iJa, »5<«, *-a, i9a, etc., und dass eben so die nach x auszuführenden Integrationen ganz unabhängig sind von?96, ßß, S'-b^ 'fß, etc. Man kann also diese Werthänderungen, so oft es zweckmässig ist, auch ausserhalb der Integralzeichen setzen. Um jedoch von den mancherlei Eigenthümlichkeiten , die dabei vorkommen können, einige zu erledigen, mögen noch zwei specielle Untersuchungen nachfolgen. ö 52 G. W. Strauch. Untersuchung 5. §• 24. Es sei PF ein reeller, mit den Bestandtheilen x , u . z , ^— , — - versehener Ausdruck; und man sucht, während die Werthe von b und ß bestimmt sind, für z eine solche Function von X und ?/, und zugleich für a und a solche Werthe, dass folgendes Integral a ß I) U = ff W . dy . dx ein Maximum oder Minimum wird. Weil diesmal die Werthe von h und /? bestimmt sind, so ist )'Jb = 0, &ß^0, &''b^=0, ?9'-/? = 0, etc.; und desshalb fallen alle mit i9b , &ß , &-b , ff- ß etc. behafteten Theilsätze der in voriger Untersuchung befindlichen allgemeinen Formeln hinweg, d. h. man bekommt diesmal nur II) r ausgesprochene Zusammenhang stattfinden muss. Nun ist man auf dem Punkte, der Gränzengleichung zu genügen: und zn diesem Ende mögen folgende zwei Fälle vorgenommen werden. §• 25. Erster G ranz fall. Wenn für die Gränzen durchaus keine Vorschriften gemacht sind so ist es zweckmässig, der Gränzengleichung folgende Form VI) [jW,,,„ . dy) . &a-{fw.^ „ . dy ] . ,9a Ä a ZU geben. Aber eben , weil für die Gränzen keine Vorschriften gemacht sind , so sind auch die sechs Bestandtheile i'/a . *a . dz^„ , oX „ , f)Z^_^ , oX,^ ganz unabhängig von einander, und Gleichung VI zerlegt sich in folgende einzelne: VII) (I.r),,„ = 0 , vni) (Ix),,,, = 0 , IX) (T?/L,,j = 0 , X) (ly),,,, = 0 und XI) fw„ , „ . dy = 0 , XII) r TF, . ,, . dy = (). In den Gleichungen VII und VIII ist x constant; sie sind aber nach y identisch, und müssen, wenn sie Differentialgleichungen sind, als totale Differentialgleichungen nach y be- handelt werden. In den Gleichungen IX und X isty constant; sie sind aber nach x identisch, und müssen, wenn sie Differentialgleichungen sind, als totale Differentialgleichungen nach x behandelt werden. Man substituire jetzt die für z gefundene allgemeine Function in die Gleichungen VII, VIII, IX, X, und integrire dieselben als totale Differentialgleichungen. Erst die so erlangten vier Integralgleichungen können benützt werden zur Specialisirung der in z ein- gegangenen zwei willkürlichen Functionen. Hierauf substituire man die so specialisirte Function z in die Gleichungen XI und XII, und benütze diese Ergebnisse zur Bestimmung der festen Werthe, welche man den Bestand- theilen a und a beilegen muss. Man sieht aber, dass diese zwei Gleichungen einander einerlei 54 G. W. Strauch. sind; und so wird sieb aus ihnen für a und a auch ganz der nemliclie Ausdruck ergeben, d. h. man wird im Allgemeinen XIII) a = C{b,ß) und XIV) a = ^ (5 , ß) bekommen. Ist nun C {b,ß) vielförmig, so kann man die verschiedenen Formen so vertheilen. dass die der Untersuchung zu Grunde liegende Hauptbedingung a >> a erfüllt wird. Ist aber C{b,ß) nur einförmig, so ist keine solche Vertheilung möglich, d. h. man bekommt « == a, was unzulässig ist. .In Folge der sechs Gleichungen VII — XII reducirt sich IV auf r'V,d W^ ,dW' d fJs. XV)^^^^f^=/[(=r • '^-'^ + 2 . (— «^3 + (I^) -^) .,9«+^,.„..V^., h a + / (ö^x , ,9 • fj^l , ,? — ft». . 6 • o^s:. , i) . dx r"rr ,dß^ ..,, . ^vs;,* = 0 statt, sondern Gleichung V reducirt sich aucli auf XVII) (F -^) . (AC _ B^) = A . (E - ,)^ - 2B . (E - rj) . D + C . D^ und wenn man nebstdem zur Bequemlichkeit bezüglich statt .^i^. (^1 C^\ . (— ) setzt, so kann man der Gleichung XV folgende Form geben + (-=) • '^^^ + -^-''^-" + -ir-(^) J t Anwendimg des sogenannten VariationscahuV s auf zweifache und dreifache Integrale. 55 J a, y Nun fragt sich: unter welchen Umständen bleibt d' U immer positiv oder negativ? Diese Frage beantwortet sich auf folgende Weise: Wäre in Gleichung XVITI das Aggregat nicht vorhanden, so würde man sofort erkennen, dass 1) das fT' U positiv ist, wenn die vier Ausdrücke ( — ) , ( — ===) ^ -l '"id 3) zugleich positiv sind; dass dagegen 2) das ö- U negativ ist, wenn diese vier Ausdrücke zugleich negativ sind. Weil nun die Gleichung XVII nur den einzigen Partialdiiferentialquotienten -^ enthält, so bekommt man durch deren Integration für y^ einen aus x , ?/ , tt (?/) zusammenge- setzten Ausdruck, wobei ;r(2/) eine ganz willkürliche Function von y ist. Aber eben diese in r^ enthaltene Avillkürliche Function 7r(?/) kann man nach der bald so bald so beliebig genom- menen Function dz auch jedesmal bald so bald so einrichten, dass das Aggregat XIX identisch zu Null wird. Hiermit erkennt man, dass es in der That von den vier Ausdrücken .d w. , d w. a , v a , y abhangt, ob ein Maximum oder Älinimum vorhanden ist. §. 26. Zweiter GränzfalP. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen z = ^(x ^y) diejenige herauswählen, welche bei a; = a und bei x^:=a bezüglich mit XX) c =f(x , y) und XXI) ^ = f (a- , ?/) zusammenfällt. Dieses Zusammenfallen ist dargestellt durch die Gleichungen ' Eine, auf diesen Gränzfall bezügliche, geometrische Aufgabe ist folgende: „Man sucht zwischen zwei in festen Punkten der „Axe Y senkrechten Ebenen und zwischen zwei gegebenen Flächen die kleinste Oberfläche unter allen denen heraus, von „welchen die zwei gegebenen Flächen nach einfach gekrümmten Curven geschnitten werden, die so gelegen sind, dass „deren Ebenen auf der Axe X senkrecht stehen." 56 G. W. Strauch. XXII)

c a > .V ^^^-^'+ (¥) •'^^^ = (S) -'^^ ""-...+ ä(^) •''" + (,,5) •"'-'' + (ir) •''■'' = (i) •"- + (i:) •"- a , .'/ a , j/ a , v a , .v a . .'/ und so fort. Man setze zur Bequemlichkeit p , r , p' , / , p' , r' bezüglich statt d^s dlz d^c die d^r dir dx dx^ dx dx- dx dx- so bekommt man aus den letzten vier Gleichungen für oX,« ? ^^^a,!, i '^'^^.y > '^'^^„.y folgende Ausdrücke: XXX) J3,_„ ={p'~p)^^„.>'/a XXXI) o^s«,, =(p'— _p)„,„.»5<« XXXII) d' z^,., = ip' -p\ , „ . 9' a + (/•' — rl ^ . ,9 a^ — 2 . ( ^' ) ^ ^ . /> a XXXIII) rr-'.2„_„=:(p'— ^j)„,„.*-^« + (V — ;•),.„. ,nr— 2. (-^) .'i-a Jetzt aber nuiss man der Gränzengleicliuny ilire schon in II befindliche Form Amvendtmg des sogenannten VariationscalcuVs a,uf zioeifaclie und dreifache Integrale. 57 |'[TF,,,.*«+(I.T),,,.J.i',.„-n^,,,.*a-(I^-)a,.-'>X,J-'^i/ A (I//1, ^-^X,,}— (ly)., . • öX, *] .dx = ^ las.'^en: und wenn man oz^ ,, und c^.r^.„ climiuirt, so geht letztere Gleichung über in /[["'+ (p'-2^) • (T-^-jL,, ■ no.-{W^ {p'-v) ■ (r^)]a,, • '•^^] ■ <'/ Diese Gleichuno' zei^le^-t sieb aber ohne weiters in folii'ende vier: XXXIV) W,^„ + (p'_p)^^^ . (Ix%_„ ^ 0 , XXXV) (I?/).,,j = Ü XXXVI) tf;,„ + ip'—p).., ■ (i^)a.„ -- 0 , XXXVII) {ly)^,, = 0 Man substituire jetzt die für z gefundene allgemeine Function in diese vier Glei- cluingen , und integrire sie als totale Differentialgleichungen. Erst die so erlangten vier Integralgleichungen können benützt Averden zur Specialisirung der in z eingegangenen zwei willkürliehen Functionen. FLierauf substituire man die so specialisirte Function z = (f(x..y) in XXII und XXIU, und bestimme die Werthe von a und a. Das dabei anzuwendende Verfahren ero-ibt sich aus folgender Betrachtung: 1. Gleichung XXII ist eine nach y identische. Desshalb sind auch alle ihre Differential- gleichungen nacji y identisch, und der Werth des a ist unabhängig von y. Man nehme daher die Gleichungen XXII und XXVI und climinire y\ so ergibt sich eine von ?/ befreite Glei- chung, wo aber noch der unbekannte Bestandtheil a vorkommt. Aus dieser neuen Gleichung kann man also a bestimmen. 2. Verbindet man ebenso die Gleichungen XXIII und XXVII, so gelangt man zur Bestimmung des a. Sollten sich jedoch für a und a keine Werthe ergeben, die von y unabhängig sind, und gleichzeitig der Bedingung « > a genügen; so ist dieser zweite Gränzfall unzulässig. Mit Hilfe der Gleichungen XXVI und XXVII lassen sich die Gleichungen XXXIV und XXXVI öfters vereinfachen, was z. B. der Fall sein kann, wenn man statt der Potenzen (dz'- d s '' -''-) und "0 die bezüo-lich gleicho-eltenden Producte V dii ) ' \ dti J y dij }„ ' V d,i } setzt. Dadurch werden die Gleichungen XXXIV und XXXVI gewöhnlich eine symmetrische Gestalt annehmen, und sich, wenn die Aufgabe eine geometrische ist, auch auf einfache Weise geometrisch deuten lassen'. Für die. in vorigpr Anmerkung gestellte, geometrische Aufgabe würden die auf besagte Weise umgestalteten zwei Gleichungen XXXIV und XXXVI die Bedeutung haben, dass die gesuchte Fläche auf den gegebenen Granzflächen senkrecht steht. Deiik-schrifteii der niatliem.-naliirw. Cl. XVI. Lil, Abli.aniU. v. Niclitmitgl. 58 G. W. Strauch. Zur Herstellung des Priifungsmittels . eliminire man d'z^,, und S^^a,,, 'i-n^ Gleichung IV, und beachte die vier Gleichungen XXXIA" — XXXVIT; und wenn man noch weiter zur Bequemlichkeit bezüglieli statt ((Ix).(r' -r)^— ) , (— ) , ((I..).1Y -.,+—) , (— ) setzt, so kann man dem Prüfungsmittel folgende Form geben: ß - {(Ix) . (,-■-,■) + -tt)...- 1*» + tr"'- + -r'' ■ H7I..I - f . [ffi, . »\j, . , + (I ,/), , , . (^) 1" + 5. , . rfii , , Man hätte nun noch die demWerthe nach abhängigen Bestandtheile 02^ ,^ und Sz^,,, sowie auch deren Differentialquotienten zu eliminiren. Allein dieses Geschäft kann man diesmal unterlassen, und verfahren wie im vorigen §. Dann kommt man zu der Erkenntniss , dass es diesmal von den vier Ausdrücken '[((!-) -(V ->•)+=) ] , [-((I.r).(/-r) + :|=) ] , 51 . S abhangt, ob ein Maximum oder Minimum stattfindet. Zusatz. Mau vergleiche das Prüfungsmittel in §. 29 und 5>. 47. Dort wird es noth- wendig sein, die Bestandtheile o\3„ „ und oz„,^ sowie auch deren Differeiitialquotientcn zu eliminiren, und durch ßn und f/ a auszudrücken. ün ters u (;hu ng 6. §. 27. Es sei TF ein reeller, mit den Bestandtheilen j\t/.z,—^ . — ^ versehener Ausdruck, und man sucht für s eine solche Function von ./• und//, und für a , '/ . (^ ./5 solclie bestimmte Werthe, dass dabei folgendes Integral .'^ J I) U^JJW. d,l .n die vier Gleichungen III — VI dazu benutzt, um die für a , a . b . ß gesucJifen Werthe zu bestimmen, welche aber der Bedingung « > a und ß > b tienüii-en nn'issen. Wenn man nun die bei III und IV angezeioten luteffrationen ausfüln't. so nehmen diese zwei Gleich uno-en*bezüo-lich folgende Form o o o XI) F (./,/?) — F [a.b) = 0 , und XII) F (a,/5) — F (a,^.) = 0 an: und wenn man ebenso bei V und VI die angezeigten Integrationen ausführt, so nehmen diese zwei Gleich unnen bezüeflich folo'ende Form XIII) g («,/?) — % (a,/?) = ü , und XIV) g {a,h) — % (a,6) = U an. Die Gleichungen XI und XII sind aber einander einerlei, d. h. sie unterscheiden sich nur dadurch, dass da, wo in der einen das a, in der andern das a steht. Ebenso sind die Gleichungen XIII und XIV einander einerlei, d. h. diese unterscheiden sich nur dadurch. dass da, wo in der einen das /?, in der andern das b steht. Somit sind diese, durch Integra- tion erzeugten, vier Gleichungen nicht geeignet, drei der vier Unbekannten a, a,h , ß 7a\ eüminiren, und eine i:ur nnt einem einzigen Unbekannten versehene neue Gleichung her- zustellen. Man muss also, um für die vier Unbekannten a , ot , b , ß die geeigneten Werthe zu er- mitteln, ein anderes Verfahren anwenden; und dieses besteht, wie man so eben erkannt hat, h* 00 G. W. Strauch. hauptsächlich darin, dass man nicht alle vier Gleichungen III — VI zugleich int(>grirt, sondern einen von folgenden zwei Wegen einschlägt: A) Man mache den Versuch, ob folgende zwei nacli y identische Gleichungen XV) TK,,„ = o , und XVI) n;,„ = ü möglich sind. Sind sie möglich, dann sind die Werthc des a und des a erfüllt wird. Sollte jcdticli aus XIX und XX für a und a nur ein einziger Werth fol- gen, so ist keine solclu' Verthciluug möglicli. d. h. man bekommt « = a, was der x\ufgabe widerspricht. Wenn nun die (Jleichungen XV uinl XVI wirklich nach y identische sind, so werden auch die Gleichungen III und IV erfüllt, dit' Integrationsgräuzen b und y5 mögen sein, was sie wollen. Wenn man ferner für a und a solche Werthe ermittelt hat, welche der Bedingung «>a ffenüß-en: so muss man dieselben in V und VI einsetzen und inteiiriren. Die sich ergebenden Inteoralffleichuno-en werden aber eiiuuuler einerlei sein, und so wird man für b und ^ auch einerlei Ausdrücke erhalten, d. li. man wird im Allgemeinen bekommen XXIj /? = c(a. ,«) , und XXII i ^; = c (a . > 6 erfüllt wird. Ist aber l(a,«) nur einförmig, dann ist keine solche Verthei- lung möglich, d. h. man bekommt yj = b , was der Aufgabe widers|)richt. B) Man kann aber auch den Versuch machen, ob folgende zwei nacli x identische Glei- chungen XXIII) li;,,, = 0 , und XXIV) ii;,, = ü möglich sind. Sind sie möglicli, dann sind die Werthe des A \\m\ des y? unabhängig von .r. Dasselbe gilt aucji bei alh'n nach .r genoumienen nifterentiahjuotienten : und somit sind aui'h d(V/ ,\ d{V.\ j) XXV) ~^ = 0 , uud XXVI) -=47— = U Amoendung des sogenannten Variationscalcid^ s auf zweifache und dre fache Integrale. 6 1 identisclie Gleichungen, und auch in ihnen sind die Wertlie de.s h und des ß unabhängig von X. Man sieht hiermit, dass diesmal die Werthe des /* und iles ß ebenso ermittelt werden, wie vorhin die Werthe des a und des a. Wenn nun die Gleichungen XXIII und XXIV wirklich nacli X identisch sind, so werden auch die Gleichungen V und VI erfüllt, die Integrations- gränzen a und a mögen sein, was sie wollen. Wenn man ferner für b und ß solche Werthe ermittelt hat, die der Bedingung ß^ b genügen; so muss man dieselben in III und IV ein- setzen und integriren. Die sich ergebenden Integralgleichungen werden aber einander einerlei sein; und so wird man für a und a auch einerlei Ausdrücke erhalten, d. li. man wird im Allgemeinen bekommen XXVII) a = C{h ,ß) , und XXVIII) a — C{b,ß). Ist nun C{b , ß) vielförmig, so kann man die einzelnen Formen so vertheilen, dass der Bedingung «> a genügt wird. Ist aber if (6 , y9) nur einförmig, so ist keine solche Verthei- lung möglich, d. h. man bekommt « ^ a, was der Aufgabe widerspricht. Wenn die zwei nacJi g identischen Gleichungen XV und XVI stattfinden, so gelten sie auch bei g = b und g = ß, d. h. es ist aucli XXIX) Tr,,,=.o, XXX) 11;,, = ü, xxxi) Ti;,,, = o, xxxiij n;,^, ^ o wenn dagegen die zwei nach .r identischen Gleichungen XXIII und XXIV stattfinden, so gelten sie auch bei x = a und x = a, d. h. es finden abermals die vier Gleichungen XXIX bis XXXII statt. Berücksichtigt man jetzt alle Eigenthümlichkcitcn dieses ersten (h'iuizfalles, und setzt man zur Bequemlichkeit 33/ , m; , $5; , m: , 33," , 3ß," , .33," , m.r bezüglich statt so nimmt das Prüfungsmittel folgende Form 62 G. W. Strauch .djs: ■x.a <^x,ß-) + C. (D - c,;f ausgesprochen ist. Mau denke sich jetzt unter rj eine solche Function /(//) des einzigen//, dass folgende nach // identische Gleichung XXXIV) --^.[aB,'.r.x,, 4- (!//),,„. ('-^')^ J' + /(i/)-^fe;,,, a , 11 stattfindet. Durcli diese Gleichung wird es möglieh, die noch unbekannte Function ;f (//) in -^1 und y— — ) auszudrücken. Diesen für ;^ (//) sich ergebenden Ausdruck niuss man jetzt in Gleichung XXXIII einführen. Weil aber in 3^=;^(//) kein x vorkonnnt; d .rj so ist -^ = 0, und Gleichung XXXIII reducirt sich auf dx ^ r d 10 . XXXV) (F— ^)(AC — B-) = A.(E — r^)- — 2B.(E — yy).(D — ü>j + C.(J>— (-»)- d^ lu Weil nun diese Gleichuno: nur den einzigen Partialdiiferentialquotient — ^ enthält; so bekommt man durch deren Integration für w einen aus »•,//, 7r(x) zusammengesetzten Aus- druck, wo ~(.r) eine ganz willkürliehe Function von x ist. Aber eben diese in w enthaltene willkürliche Function t: (x) kann man noch so verwenden, dass auch noch die Gleichung- ddz . XXXVI) - — ■[^^'.oz..ß+M.,ß.[^) ] stattfindet. Hiei'mit erkennt man, dass es diesmal von den sechs Ausdrücken abhängt, ob ein Maximum oder Minimuuj vorhanden ist. Ä/noendung des ungenannten Variationscalcur s auf zweifache und dreifache Integrale. 63 §. 29. Zweiter GränzfalP. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen z^'~p)^,„.{lx)„,„^0 , XLVII) TF„,„— (p'-_^^)„,„.(I.r)„.„ = 0 XLViii) Tl^,. -(?"-?).,. .(Ij/).,.-o , XLIX) W^,,-{c\'-gh,,.(ly).,, = o P : > 9 : 1 '• , .y . , t -^x- '^^A,^ < d.r dx.dy ' ^ ' Eine, auf diesen üränzfall bezügliclie. geometrisclie Aulgalje ist folgende: „Man suolit zwischen vier gegebenen Fläolien die „kleinste Oberfläche unter allen denen heraus, von welchen jene (die vier gegebenen ncmlich) nach einfach gekrümmten Curven „geschnitten werden , die in zwei Paar parallelen Ebenen liegen, wovon das eine Paar auf der Axe X. das andere Paar auf „der A.xe Y senkrecht steht". 61 G. W. Strauch. Man substituire nun die für z gefundene allgemeine Function in diese vier Gleichun- gen, und integrire sie als totale Differentialgleichungen. Erst die sich ergebenden vier Integralgleichungen können benützt werden zur Specialisirung der in s eingegangenen zwei willkürlichen Functionen. Hierauf substituire man die so specialisirte Function s in die beiden Gleichungen XLI und XLII, und bestimme die- Wertlie von a und a. Das dabei anzuwendende Verfaliren ist bereits (aus §. 2G) bekannt. Zuletzt substituire man die Function z in die beiden Gleichungen XLTII und XLIV, und bestimme die Werthe von b und /?. Dabei wird aber dasselbe Verfahren angewendet, wie vorliiu, wo es sich um die Bestimmung des a und des a handelte. Die vier letzten Gleichungen (Nr. XLVI — XLIX) kann man öfters sehr vereinfachen, wenn man, wie in §.26 näher begründet ist, statt der Potenzen r^f f^f f^f ('^] bezüglicli die gleichgeltenden Producte r'^y^l f^y^l f^x^l (^x"^) ^ <^ll 'hl >,.,, ' ^ du ^- ,l,j J^ „ ' \ dx ^ rfx J^ j ' \ dx ^^ dx )^^, setzt. Dadureli nehmen die eben genannten vier Gleichungen gewöhnlich eine symmetrische Gestalt an. und lassen, wenn die Aufgabe eine geometi'ische ist, sich auch auf einfache Weise geometrisch deuten'. Man setze zuerst b und dann j3 statt i/ in XLI und XLII ein. Man setze ebenso zuerst a und dann a in XLIII und XLIV ein. Auf diese Weise gelangt man zu folgenden vier neuen Gleichungen: z, , , =/' (a , b) =/" (a , 6) , z^,, =/' (a , ß) = f" (a , ß) ^a.. = f {a,b)=f"(a,b) , ,.,,,= f («,;3)=f"(V.,;9) Sobald eine dieser vier Gleichungen" einen Widerspruch in sich trägt, ist dieser zweite Gränzfall so, wie er hier gestellt ist, unmöglich. Sollten aber die vorgeschriebenen Functionen Stücke in sich enthalten, welche noch willkürlich sind; so müssen diese sich so specialisiren lassen, dass letztere vier Gleichungen stattfinden. Bei Herstellung des Prüfungsmittels eliminire man zuerst d'z^^,, , o'z,,^„ , ö'z^ /, , ä'z^^ und hierauf setze man (nach §. 26 verfahrend) zur Abkürzung ' Kürdie, in voriger Anmerkung gestellte, geometrische Aufgabe würden die auf besagte Weise umgestalteten vier Gleicluingen XLVI — XLIX die Bedeutung haben, dass die gesuchte Fläche auf den vier gegebenen GränzflUchen senkrecht steht. '-' Besonders durch die (in der ersten Anmerkung dieses §. gestellte) geometrische Aufgabe liisst sieh die Nothwendigkeit, dass diese vier Gleichungen stattlindcn müssen, ganz leicht veranschaulichen. Man vergleiche in dieser Beziehung die zweite An- merkung des §.11. Anwendung des sogenannten VariationscalcuXs auf zweifache und dreifache Integrale. 65 bezüglich statt ((!.).(.•'-.)+ =1=) , (_) , ((r.).(r'-.) + ^0 ■ (^) ferner bezüglich statt '^y 'x,b ^ ^^ 's:,b V V -^^ ^ rf„ . ,5 J-. . li Zuletzt eliminire man auch noch dz^,^ , ^^a,,, , fiz^ ^ , (^s^.,^ , und die davon abgeleiteten Differentialquotienten; so bekommt man endlich für ff' JJ einen Ausdruck, welcher sich auf folgende Form zurück zieht: + [-f(ilx).ir'-r) -f ^)_ . { 1 + {P'-P).,..r~-^ (*' - ^i... • ^f • 'h/] ■ *a'^ -« '''■' a ' a a ' m,dSz d Hz , - , d 8z .2 T Zu dieser abgekürzten Form des für ff'' U hergestellten Ausdruckes konnte man abei" nur dadurch gelangen, dass man folgende zwei Gleichungen LI) + ^-[SS; • {P—P).,y+ (Ii/)a,. •(•«'— ^)a.,„r-*a-^-y;,,„.(p' — /^),,„./9a^' -^.[3ß: . (P'-A,,„ + (!?/)„,,. (g'-^)„,J-' . *«-' + )^A,.,„ • (P'-P)«,. • *«^ = o und LH) + ^. [sTö;'. (y' --9)^._, + (I:r),, ,. (6-''— Ä).,,f.»y6^' — f«., ,(?'' — y).,,.*^-^ Denkschriften der mailieni.-naturw, Cl. XVJ. lad. Atihaudl- v. Xichimitgl. 1 r.f) G. W. Strauch. hat stattfinden lassen. Nun existirt zur Bestimmung von tj und o» nur die einzige Partial- diff'erentialgleichung XXXI FI, so dass entweder rj oder w willkürlich ist. Man lasse also rj eine solche Function j(?/) des einzigen Veränderlichen y sein, welche mittelst Gleichung LI durch y, &a und i9a ausgedrückt werden kann; und da jetzt in t^ kein x enthalten ist, so ist -^ = 0, und Gleichung XXXIII reducirt sich abermals auf XXXV, wo nur der einzige d^ w Partialditferentialquotient -^ — vorkommt. Es ergibt sich also auch jetzt, wenn man XXXV integrirt, für (o ein aus x^y,-{x) zusammengesetzter Ausdruck, wo 7t {x) eine ganz willkür- liche Function von x ist. Aber eben diese in ay enthaltene willkürliche Function 7ü{x) kann man noch so verwenden, dass auch der Gleichung LH genügt wird. Um jedoch den Zeichenstand des d' U vollständig untersuchen zu können, muss man der Gleichung L noch folgende Form Liii) + r; . >'/f^f + r, . /y,j- geben. Vergleiclit man jedoch L mit LIII, so erkennt man, dass wird; und der Zeichenstand des d- U hängt von dem Umstände ab, ob die sechs Aus- (h"ücke r. , r, , r, , r, , 21 , 5) gleichzeitig positiv oder gleichzeitig negativ sind. Damit aber namentlicli die vier Aus- drücke r r r r gleiclizeitig positiv oder negativ werden können, ist ei'forderlich, dass die beiden Aus- drücke rf 11- , , . dW l j-((Ix). (.'-.) -f=)^^j und { + ((I..).,r'-.)+==)^J bei allen von b bis ß stetig nebeneinander liegenden Wertheu des y, und dass ebenso die bei- den Ausdrücke bei allen von a bis a stetig nebeneinander Hegenden Werthen des x ihr Zeichen nicht ändern. Anwendung des sogenannten VariationscalcuT s auf zweifache und drefache Integrale. 6 ' Zweiter Abschnitt, wo solche Integrale vorkommen, bei denen die Gränzen der ersten Integration Functionen jenes Veränder- lichen sind, nach welchem die zweite Integration ausgeführt werden soll. Untersuchung 7. §. 30. Es sei IT ein reeller, mit den Bestandtheilen d^z d^z dlz d^d^z d^z d^z '■^'^ '^■>lü ' 77' 'd^ ' "d^ ' ü^ ' "dl^ ' versehener Ausdruck, und man sucht für z eine solche Function von x und y, dass folgendes lutee'ral ö* I) U = f fw.dy .dx wo y' und y" Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird. Die Werthe von a und a sind als constant zu betrachten, jedoch mit der Rücksieht, dass «> a. So oft es zweckmässig ist, soll h{x) statt y' und ß{x) statt y" geschrieben werden, namentlich dann, wenn das x einen specicllen Werth annimmt. Auch müssen die beiden Functionen y' und ?/" in solcher Beziehung zu einander stehen, dass bei keinem einzigen der von a bis a stetig neben einander liegenden Werthe des x die Differenz y" — y' negativ wird: und dieses gilt namentlich auch für die beiden Differenzen ß (a) — b (a) und ß («) — b («) Man beachte durch die ganze Untersuchung, dass das vor dem Diffe- rential dy stehende y noch keine Function von x ist; sondern die Func- tionen y' und y" treten erst an die Stelle des y, wenn nach y integrirt w o r d e n i s t. Wenn man auch hier die in der zweiten Untersuchung vorgeschlagenen Abkürzungs- zeichen anwendet, so bekommt man ^7-T r r\'^ w d'U djz 11) dü^JJ [--dz + {lx)^+ {ly)^ + (llx^) a >f' d dfJz dffJz ^ d^dz -1 d-äz ~dx'i d'äz S- :^l- Um diesen Ausdruck weiter umformen zu können, nniss man, wie aucli in den drei ersten Untersuchungen' geschehen ist, vorerst das unter dem zweifachen Integralzeichen stehende Aggregat in folgende vier Tlieile umsetzen: ' Man sein? P.leioluing Ul in §. 8, (ileicliung III in §. I '> iiml (ilcii'lmii!; 11 in §. •Jl- BS Cr. W. Strauch. 1) In einen solchen, wo die Differentiation nach den beiden Veränderlichen x und t/ d d (^xy) zugleich durchläuft. Dieser mag durch das Abkürzungszeichen =^== dargestellt werden. 2) In einen solchen , wo die Differentiation nur nach dem einzigen Veränderlichen x durchläuft. Dieser mag durch das Abkürzungszeichen dargestellt werden. 3) In einen solchen, wo die Differentiation nur nach dem einzigen Veränderlichen ij durchläuft. Dieser mag durch das Abkürzungszeichen ■ '" dargestellt werden. 1 4) In einen solchen, wo die ürfunction dz gemeinschaftlicher Factor ist, wo also weder eine nach x noch eine nach ?/ durchlaufende Differentiation vorkommt. Er mag durch (I) dargestellt werden. Der Ausdruck II geht also zunächst in folgenden über: a ;/' • Die so eben gewählten Abkürzungszeichen müssen aber aus doppeltem Grunde als zweck- mässig erscheinen ; denn 1) sie sind mit Merkmalen versehen, welche es möglich machen, dass die Bedeutung und der Ursprung eines jeden dieser Abkürzungszeichen stetsfort erkennbar bleibt: und nebstdem lassen sie sich 2) gradezu auch auf die Untersuchungen ausdehnen, wo dreifache, vierfache, etc. In- tegrale vorkommen. Nun beachte man, dass es, weil 7/' und y" Functionen von x sind , nicht gieichgiltig ist, ob man zuerst nach y und dann nach x integrirt, oder umgekehrt ,• sondern man muss zuerst nacli ?/ integriren , das sich ergebende Integral von y' =^b{x) bis y"^ß{x) erstrecken, und erst dann darf man nach x integriren. a v" r f d^^{Iy) 51) Der Theilsatz / / ■ dy . dx lässt sich ohneweitei's nacli y integriren und liefert die Gleichung a v" a IV) fl j£± . dy . dx=l[ilyl,,. - dyl^,] . dx r r djsx) 33) Um den Theilsatz / / =^= . dy . dx behandeln zu können, nehme man folgende aus 'a ';/' dem [ntegralcalcul bekannte Gleichung i/' zu Hilfe. Daraus folgt durch- Übertragung s" dif {Ix).dy) r d (2'x) ^f-2B(E-:y){D-a>)-f C.(D-^) ausgesprochen ist. Man setze nun yj=:0, so reduciren sich die beiden letzten Gleicliungcn bezüglich auf a XVI) d' U=:J{C0_, ,,'-^4, :," — 0>^,y OZ: ,,y).dx a /" W / ^, ^^ d fU ^2 d dz ,' \ und . d o) , XVII) (F — -^).(AC — B-) = A.E^— 2ßE(D — w) + C.(I) — w)- Indem man aber letztere Gleichung integrirt, ergibt sich für w ein aus x , y , ~[x) zusannnen- gesetzter Ausdruck, wo man (nach §. 10) die willkürliche Function 7z[x) noch so benutzen kann, dass die nach x identische Gleichung <". . ,r ■ özi ^ ,j oi, , „. . dz\ _ „, := U stattfindet. Dabei reducirt sich Gleichung XVI auf das Doppelintegral, und der Zeichenstand des d~ U ist auch jetzt von 5( und 3), d. h. von dem Aggregate f/ OS,- d Hz d 3z ,d dz.'- -^ \ dx 1 ^ djc dy ' ^ dy J abhängig. «^^a..=0 ., , o^^... =0 , , ^^^.,,=0 . . '^^■^«,, =0 ., , ete. «X,,, = o ., , oX,." = o , , o^^3,,„, = o , , 0^z,,,. = 0 , , etc. Anwendwig des sogenannten Variationscalcul's auf zweifache und dreifache Integrale. 73 §• 35. Zweiter Gränzfall'. Die gesuchte Function soll nur aus jenen herausgewählt Averden, welche alle bei x^=a , x^=a ^ ij^y und y^y" sich bezüglich in folgende vier Ausdrücke Hy) , \"{y) , f"'(^) , f""(.^) specialisiren. Bei dieser Vorschrift müssen folgende zwei Systeme von Gleichungen und stattfinden, und die Gränzengleichung fällt von selbst weg. Die durch Integration der Haupt- gleiehung eingegangenen zwei willkürlichen Functionen specialisiren sich durch folgende vier Gleichungen: Aus diesen Gleichungen ergeben sich aber noch folgende vier weitere"': XVIIIJ ,3,,,(„)=:f' (Ä(a)) = f"'(a) , XIX) 3,,^(a) = f (/?(aj) = f""(a) XX) ,3„,,,,, = f''(6( f"'(^-) , f""H Stücke in sich enthalten, die noch willkürlich sind; so müssen diese sich so specialisiren lassen, dass letztere vier Gleichungen erfüllt werden. Die in VII aufgestellte allgemeine Form des Prüfungsniittels reducirt sich jetzt ohne- weiters auf das zweifache Integral, so dass es gar nicht nöthig ist, sich um rj und cd zu bekümmern. §. 3(1. Dritter Gränzfall. Wenn für die Gränzen die Gleichung XXII) /(s..,/,s.,,") = <' > Eine auf diesen Gränzfall bezügliche geometrische Aufgabe ist folgende: „Man suclit zwischen zwei in den Endpunkten der „Abscissen a und a senkrechten Ebenen und zwischen zwei auf der Uoordinatenebene X Y senkrechten Cylinderuuinteln „2/' =: b {x) und y" = ß (x) die kleinste Fläche unter allen denen heraus, welclie durcli vier feste Curven begränzt werden, die „in den besagten zwei Ebenen und zwei Cylindermänteln liegen". * Bei der in voriger Anmerkung gestellten geometrischen Aufgabe Uisst sich die Nothweiidigkeit , dass die vier Gleichungen XVIII — XXI stattfinden müssen , sehr leicht veranschaulichen. Die zwei in den Endpunkten der Abscissen a und a senk- rechten Ebenen und die beiden gegebenen Cylindermäntel schneiden sich nemlich nach vier geraden Linien, und in jeder die- ser vier Graden liegt ein Punkt, welcher zweien der gegebenen Gränzcurven gemeinschaftlich sein muss, weil man sonst durch sie (diese Gränzcurven) keine Fläche begränzen könnte. Denkschriften der matliem.-naturw. Cl. XVI. Bd. Abband), v. Nichtmitgl. k 74 G. W. Siran eh. gegeben ist; so findet zwischen ^.s^,y und J XXXII) cü^ , ,r — w. . y . r — ( {ly). , y — (I x). . ,-/ • ^ ) • ^ 0 stattfindet, und Gleichung XXX sich auf das Doppelintegral zurückzieht, so dass auch jetzt der Zeichenstand des o'- U von 9t und 5) abhangt. Unters 1 1 c h u n g 9 . §. 37. d^z rf » d' e d^d z d'z Es sei W ein reeller, mit denBestandtheilen .r, y , z , -^ , ~— , ~ , — — , ~ versehe- ner Ausdruck ; und man sucht für z eine solche Function von x und y, dass folgendes Integral a y [j ^' = ff T^'-'^/z • f^^ wo -// und g" Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird. Hier bekommt man zunäclist a i . Man führe die beiden letzten Ausdrücke in VIII ein. untl iiitegrire die nach x durch- laufenden totalen Difterentialquotienten; so bekommt man Anwendung des sogenannten VariatiomcalcuTs om/ zweifache und dreifache Integrale. 7 7 XI) dü = ä(a) Jdaix^) dillxy)^ d Sz -l J LU^ •^•^ ''J/ dx J^,y, ^^ ' d,: i^ ,^„ d,- ■ dX \ "-"^-y' + \(IIfl... - (II.-2/),„...^ + (11-).,.... (Sil .(^') „ /-y'fci.TK d^{\x) d,^{\y) ^^[Mx^) dJ,^(\Uy) <;(Il2/3)-| + / / — = — • + ■ + ' 4- • \.(jz. dy . dx J J \_ dz dx dy ' rfu.- dx.dy ' dy- J "^ Die beiden totalen Differentialquotienten dCCLlx"') .'Ll!l\ d((\lx'i) , . ^) l,^ 'x,y" ,U ) xxl\i{ V 'x , y' dx ) dx dx gehen, wenn man sie in ihre Bestandtheile zerlegt, bezüglich über in und welche Aggregate, wenn man will, noch in Gleichung XI substituirt werden können. • §. 39. Die Gleichung XI ist nun auf eine Form gebracht, wie sie der Gleichung IV in der zweiten Untersuchung entspricht. Die Behandlung der Gränzengleiehung und die Herstellung des Prüfungsmittels kann jetzt übergangen werden, weil durch die vorhergehenden Untersuchungen him-eichend Anleilung gegeben ist. 78 G. W. Strauch. Untersucliunff 10. Es sei T^ein reeller, mit den Bestandtheilen d^z d^z dlz dj^z d^z dlz ^ ' ^ ' ^ ' ^ ' "^7 ' ^ ' d^ ' J^i ' d^ , . . • . versehener Ausdruck; und man sucht 1. für z eine solche Function von x und ?/, 2. für ?/ und y" solche Functionen h{x) und ß{x) des einzigen Veränderlichen x, und 3. für a und a solche bestimmte Werthe, dass dabei folgendes Integral I) U = ffw.dy.dx ein Maximum oder Minimum wird. Wenn man, wie in §. 23, die Werthänderungen des a und des a mit »9 a , ßa , ,9-a , ff'a , (9^a , &^a , etc. bezeichnet; und wenn man auch jetzt, so oft es zweckmässig ist, b(x) statt y, und ß[x) statt y" schreibt; so bekommt man II) dU=l W,^,.,.dy.ßa-^j W^,„.dy.H-A "i (a) "ä (al und IIIJ d-' Ü-- + f[W^.,r-oY-W.,,.oy'].d, a. y" -}- f f dW.dy.dx -(^-.v • ^- ^-v' • 'i;l ■ *'^' - 2 TK.,(a) • oy{a) . .^a + 2 IF„.,<, . «^6(a) . »Va ^ L ' a , f/ J 4(a) - TF.,,, . rry' - 2 JTF.,;, . «Y-(^\ / %"] • ^•^- a y" -V f f fT'W.dy.dx Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dreifache Integrale. 79 Die Bedeutung- von d W, d'^W, =^ und =^= ist bereits (aus §. 23) bekannt. ° d.e dy \ -j y In den Gleichungen II und III müssen aber die mit den zweifachen Integralzeichen versehenen Theilsätze noch so umgeformt werden, wie in den drei vorigen Untersuchungen geschehen ist. Dabei beachte man, dass die nach y auszuführenden Integrationen unabhängig sind von i^ü , ffa , ^-a , ifa , dass man also diese Werthänderungen, je nachdem es zweckmässig ist, bald ausserhalb, bald unterhalb des Integralzeichens stellen kann. Um jedoch von den Eigenthümlichkeiten, die dabei vorkommen können, einige zu erledigen, mögen noch zwei specielle Untersuchungen nachfolgen. Untersuchung 11. §. 41. d z d z Es sei IFein reeller, mit den Bestandtheilen a; , ?/ , 3 , — , -— versehener Ausdruck; und mau sucht, während die Werthe von a und a bestimmte sind, für z eine solche Function von X und ?/, und für -i/ und y" solche Functionen b{x) und ß{x) des einzigen Veränderlichen X , dass folgendes Integral I) U=fjW.dy.dx ein Maximum oder Minimum wird. Weil diesmal die Werthe von a und a bestimmte sind, so ist »^a^O , *9a = 0 , *"a = Ü, ,fa=zO etc.; und desshalb fallen alle mit /9a , *« , ^'a , &' a etc. behafteten Theilsätze der in voriger Untersuchung befindlichen allgemeinen Formeln hinweg, d. h. man bekommt dies- mal nur II| ^> t^= / ( Ta^)« , , • oz, , , . dy —J (Ix), , „ . «X y dy ä(a) 4(a) +J{w^.,'' ■ ■ - ({i.?).,„- - (i^),./ • t) ■ """■■'■] • ^''■ a ii' wo uian der Zweckmässigkeit wegen h («) , /9 («) , 6 (a) , ■ /? (a) bezüglich statt Va , y'a ) ^1 ' y"^ gesetzt liat. Aus Gleichung II folgt zunächst die Hauptgleichung 80 III) G. W. Straucli. dz dx dy und die GränzengJeichung IV) j .(l2;),_„. oX,, • dy — j (Ia?)a,,, • ^z,^„ . dy JC") Ha) 4(a) a W. oy' - ( {ly).., - {i<„y ■%)■ «X,..] .dx=o Mau hat also abermals dieselbe Hauptg-leichimg, wie in der ersten Untersuchung, wo alle Integrationsgränzen oonstant waren. Mit Berücksichtigung der Hauptgleichung bekommt man für das Prüfungsmittel zunächst b{a) 4(a) a - TF., , . dhj - 2 . r; TF.. ,, . dy' - (^) • %"^ m.d 3z d Hz ^2 /? ,J« 2 -| während, wie man aus der ersten Untersuchung weiss, zwischen r^ und lo der durch folgende Partialdifferentialgleichung VI) (F—'^ — '^).(AC-B-0 = A.(E — )y)^ — 2ß.(E — r;). (]) — «.) + G.(}) — iof ausgesprochene Zusammenhang stattfinden muss. Nun ist man auf dem Punkte, der Gränzengleichung zu genügen: und zu diesem Ende sollen folgende drei Fälle durchy-eführt werden. §• -^2. Erster Gränzfall. Wenn für die Gränzen keine Vorschriften gemacht sind, so haben die Ausdrücke VII) OX,, , OX,,, 5 ^3.,y' , VIII) ffz.,„ , o^s«,, , b{x) ' Der einfachste Fall, welcher dem hiesigen Gränzfalle entspricht, ist (§. 10) derjenige, wo alle vier Integrationsgriinzen con- stante Werthelemente sind; und auch dort sind zur Specialisirung der (in n eingegangenen) zwei willkürlichen Functionen vier mit Gränzeleraenten versehene Gleichungen vorhanden. Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XVI. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. 82 G. W. Strauch. erfüllt wird. Ergeben sich aber für y' und y" nur einförmige Ausdrücke, so ist keine solche Vertheilung möglich, d. h. man bekommt 6(.r)=/?(x); und dabei ist dieser erste Gränzfall unzulässig. Beachtet man jetzt alles Vorhergehende, so zieht der in V für das Prüfungsmittel aufge- stellte Ausdruck sich zurück auf XVIII) «•- U=l 7j„ _ , . f^s'; , , . (hj —f 3y„ , „ . dzi , ,^ . dy a • -^ , y lrd,W^ ,dSz. ,'Ldz^ ) ^ X , y -* (hf In Folge der Gleichung XI kann man (Ix)^ ,,„ . — statt (I ?/),,,/■ setzen; und dadurch bekommt man , d .Sz . . d rJz , l fd^Sz . , d,Sz ^ j.j ' ) = (I^)..." dx dy' In Folge der Gleichung XIV kann man (Ia;)^.j,, . — statt (1?/)^. ,„■ setzen; und dadurch bekommt man auf demselben Wege, "wie vorhin Nun lasse man 3y zu Null werden, und setze zur Abkürzung bezüglich statt d^ d^w ^ ^- l dy ). ... ■ V ,lz i,. „, ' l äy J, „„ ' l dz J, „„ dv * I \ dz ' , V du J J X . y X , y ^ X , y so kann man Gleichuno- XVIII auf folgende Form bringen: a i Anwendung des sogenannten Variatmiscalcid's mif zioeifache und dreifache Integrale. 83 dx m, ä ßz d üs '2 ,d dz 2-, Ulli 1 (Jloieluino- VI reducirt siVli auf 'S5 - d üj ^ XX) (F— -^).(AC — B-) = A.E^ — 2BE(D — t«) + C.(D — «f Weil nun diese Gleichung nur den einzigen Partialdifferentialquotient -^ enthält, so bekommt man durcli deren Integration für w einen aus x , ?/ , 7r(a:) gebildeten Ausdruck, wobei - (x) eine ganz willkürliche Function von x vorstellt. Aber eben diese in w enthaltene willkürliche Function tt (x) kann man nach der bald so bald so genommenen F'unction dz auch jedesmal bald so bald so einrichten, dass die nach x identische Gleichung - ^ .( i^ ..._„ + (i.)_„ .f%i)V ._„. ^. stattfindet, wobei sich Gleichung XIX auf XXI) r. ?7=j[(^)^ ^ .(..,y +_.^g^_^„ 4- __.====] a ^ y. dy )^ ^. y -^ ' Wj •"•?/! w^ dx ) \ r f'' r ,dSs d Sz .2 ,ddz .--| zurückzieht. Man erkennt also, dass im Falle des Maximum's oder Minimum's die vier Ausdrücke ,dW^ , d, W . (tt) „ ■ I-tt),.. • s" • ^ bezüglich negativ oder positiv sein müssen. §• 43. Zweiter Gränzfall'. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen die- jenige z^(p{x.,y) herauswählen, welche bei y' = b{x) und bei y" = ß(x) bezüglich mit Eine auf diesen Gränzfall bezügliche geometrische Aufgabe ist folgende: „Man sucht die kleinste Obertiäche zwischen zwei „festen parallelen Ebenen und zwischen zwei gegebenen Flächen". 1* 84 G. W. Strauch. XXII) c ^f{x,y) . und XXIII) y = f {x.y) zusammenfällt. Dieses Zusammenfallen ist dargestellt durch die Gleichungen XXIV) f[x,h{x)]=f[x,b{x)] , und XXV) ^[x , ß (x)] =. f [x , ß (x)] oder kürzer durch XXVI) 3,_,, = c,,„, , und XXVII) s,,,,- = r.,/' Will man an die Stelle von y und y" andere als die gesuchten Functionen b(x) \indß(x) in die zwei letzten Gleichungen substituiren , so muss man ebendaselbst an die Stelle des z auch andere Functionen als die gesuchte ^(x,y) setzen. Man bekommt also • d, c Man setze zur Bequemlichkeit p , q , t , p , q , t' , p' , q' , bezüglich statt de d.r d. z dz y y ^ !f .' dx dy dy^ dx dy dy- d;. ^r dy d'r y' df und sondere dz^^,y , dz^^^,. , S'z^^,,. , o^'s^,,,- ab; so bekommt man oX,,' = (?' — ?)x,,' • Sy' ^^.,y - {q' - q)^,y' ■ o^y' + (^' - th.y ■ ^Y' - 2 • (^) '^y d lU, d%,,. ^ (q' - q).„y. . d'Y + (f - t).,r ■ %"— 2 . ( -^) _ . dy" Eliminirt man A:,y' zu Null wird. Hiermit erkennt man, dass es diesmal von den vier Ausdrücken I ^ ^Ml q'--? ^^,^-) I ^ dy q' — q 1 ^ ,y \ abhangt, ob ein Maximum oder Minimum stattfindet. §• 44. Dritter GränzfalP. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen die- jenige z^= Man eliminire jetzt öz^^^, und dz^^,^,, aus der Gränzengleichung IV, setze zur weiteren Ab- kurzungj9 und p bezüglich statt-— — und— — ; so gelangt man, wie im vorigen §. verfahrend, endlich zu folgenden vier einzelnen Gleichungen: XLIII) (l^)a,, = 0 , XLIV) TK,,.. + (p'— ^9).,,,, .(Ix),„„- g.,,„. {ly)^^,y. = 0 XLV) (I x), , ^, = 0 , XL VI) TF: , ,, + (p —p), , ,, . (I x)^ , ,y — q, ,y . (I y)^ , ^,, = 0 Die zwei Gleichungen XLIV und XLVI sind zwar nicht so symmetrisch, wie die beiden XXXIIundXXXni im vorigen Gränzfalle ; allein ihre geometrische Bedeutung ist die nemliche. Die vollständige Ausführung dieses Gränzfalles mag unterbleiben; denn man hätte dabei denselben Weg zu gehen, wie im vorigen Gränzfalle. Untersuchung 12. §• 45. Es sei TFein reeller, mit den Bestandtheilen x .y . z . — . ^— versehener, Ausdruck: und man sucht für z eine solche Function (p{x ,y), ferner für y' und ?/" zwei solche Functionen b (x) und ß{x), und gleichzeitig für a und a solche feste Werthe, dass das Integral a y" ü^f f W.dy.dx ein Maximum oder Minimum wird. Weil diesmal für die zwei Integrationsgränzen a und a bestimmte Werthe gesucht werden; so kommen auch die Formeln des §. 40 vollständig zur Anwendung. Als Haupt- gleichuug hat man d^W d^(\oc) rf^(Ij) ") ^ dx dy = 0 welches .dieselbe ist, wie in der ersten Untersuchung, wo alle Integrationsgränzen constaat waren. Nun mögen folgende zwei Gränzfalle aufgestellt und durchgeführt werden. §. 46. Erster Gränzfall. Wenn für die Gränzen durchaus keine Vorschriften gemacht sind, so ist es zweckmässig, der Gränzengleichung folgende Form zu geben: Ayiwendung des sogenannten Variutionscalcul's auf zioeifache und dreifaclie Integrale. 89 III) (j W,^^.dy).&a-[j W^_^.dy).>U b (a) 4 (a) +J ^^)a,yöz,^^.dy —j {lx),^^.dz,^^.dy i (a) 6 (a) a +f[w..,..Sy" + ((!./).,,„_ (Ix).,, „ . '-£).o^^.,,. a - TF.,,, . «Y-((ry)^,,, - (Ix-).,,, . ^) . ,,x,y].^^'=o Diese zerlegt sich ohneweiters in folgende acht einzelne: IV) (Tx)„,, = 0 , V) (Iy).,,„_(Ix).„„.|:=0 VI) (l^)a,. = 0 , VII) (Iyl^,-(lx), VIII) ^.,," = 0 IX) w;,.- = o .Ha) J(^) X) / ir„,,.fZj/ = 0 , XI) f W,,^,.dy = () "4(a) '«(a) In die vier ersten (Nr. IV — Vll) substituire man die für s gefundene allgemeine Function, und dann integrire man dieselben als totale Differentialgleichungen. Hierauf werden die sich ergebenden vier Integralgleichungen zur Specialisirung der in z eingegan- genen willkürlichen Functioneii benützt. Dass aber aus den Gleichungen V und VII, ehe man sie gebraucht, die Quotienten — und — eliminirt werden müssen, ist aus §. 42 bekannt. Die zwei folgenden Gleichungen (Nr. VIII und IX) können eigentlich nur als eine einzige gelten. Wie man aber damit zu verfahren hat, dass man aus ihnen dennoch zwei verschiedene Functionen y' =^b {x) und y" z=:j3{x) bekommt, ist gleichfalls aus §. 42 bekannt. Die beiden letzten (Nr. X und XI) sind ebenfalls so gestaltet, dass sie im Allgemeinen nur für eine einzige gelten können; und man muss die für a und a sich ergebenden Werthe so vertheilen, dass die Bedingung a>>a erfüllt wird. Weil die beiden Gleichung-en VIII und IX nach x identisch sind, so ist auch Wenn man ferner die acht Gleichungen (Nr. IV — XI) beachtet, und zur Bequemlichkeit as. , SB, , 5B, , m, , V, , w, , v, , w, bezüglich statt d^ d^W d^W rf^ d^ d^ d^ dJV l-^J,,, ' l d. i,,, ' l=^J„,, ' l d. J„,„ ' l dy J,,,, ' l d. ;.,,. ' l dy J._,„ ' l d. J.,,„ setzt; so reducirt sich der in Gleichung III des §. 40 aufgestellte allgemeine Ausdruck des Prü- fungsmittels auf 6(a) Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XVI. Bd. Abhandl y. Nichtmitgl. 90 G- W. Strauch. «(a) a r/a: Um den Zeichenstand dieses Ausdruckes beurtheilen zu können, reducire man ihn daihirch, dass man folgende drei Gleichungen XIII) -^•[äß.-oX,.+ (Iy)a..-(^)^ ]+rj^,ydzly = ^^ und gelten lässt. Es existirt aber (nach §. 9, Gleichung XVI) zur Bestimmung der l)ei(kMi Stücke Yj und to nur die einzige Partialdifierentialgleichung XVI) (F — ^ — ^)(AC — B--') = A(P]-r,)^'-2B(E-r;)(D-ü,)^-C.(D — c«f so dass entweder tj oder u> willkürlieli ist. Man nehme tj als willkürlich, und setze z. B. XVII) rj = {a — x).cp{y)^{ii-x).x[ij) wo durch {^fjy) und /(?/) abermals willkürliche Functionen des einzigen Veränderlichen y dargestellt sind. Dabei gehen die zwei Gleichungen XIII und XIV bezüglich über in XVIII) — ^ . [ SB, . r)z, , „ + (I z/)„ , ., • ( -^ )^ ]" + (a — a) . ^ ( /y ) . dzi , „ = 0 und XIX) +^ [SB, .oX,,+ (Iy)„,,.(^)^ ]-(«-a).^(j/).o^^;;,, = 0 Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dreifache Integrale. 9 1 Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich (p{y) und ;f («/) bestimmen, wodurch es mög- lich wird, yj in dz^^^ ' (^)_^ ' ^^^'" ' (^^l „ '-^^i^^^rücken. Diesen für rj gefundenen Ausdruck führe man jetzt in XVI ein, und intcgrire. Dann wird sich, weil in XVI nur '^ " und nicht auch — vorkommt, für o) ein aus x , tj , tt {x) zusammengesetzter Ausdruck dy ^-^ eroeben, wo 7r(a;) eine willkürliche Function des einzigen Veränderlichen er ist. Aber eben diese in o> enthaltene willkürliche Function tt {x) kann man noch so verwenden, dass auch der Gleichung XV genügt wird. Hiermit erkennt man, dass es von den sechs Ausdrücken abhanot. ob ein Maximum oder Minimum stattfindet. §. 47. Zweiter Gränzfall'. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen z = f[x ,y) diejenigen herauswählen, welche nicht allein bei x = a und bei x = a bezüglich mit XX) c^f{x,y) , und XXI) f = H^ ^ !/) sondern auch noch bei y'=^b{x) und bei y"=ß{x) bezüglich mit XXII) c" = /' (x , ij) , und XXIII) r" = f " (a^ ' J/) zusammenfällt. Dieses Zusammenfallen ist dargestellt durch die vier Gleichungen XXIV) ^(a,i/)=/'(a,i/) , und XXVj ^(« , y) = f (« , ?/) XXVI) ,p[x,bix)]=^f"[x,bix)] . und XXVII) ^. . y" - -PT.,,, . dy' -((!?/).,,. - (Ix).,,, . ~) . dz^„y'\.dx = 0 Wenn man hieraus die vier Bestandtheile Sz^,, , ^■''a.y ? ^^x.y i^iid o3. ,y" eliminirt; so gelangt man zu folgenden vier einzelnen Gleichungen: XXXVII) TF.,, + (p' '- l^k,, . (lx%,^, = 0 XXXVIII) W, , , + (p'—p)^_^. (I a,)„ , ,^ = ü XXXIX) W^ , ,, + (j)" —PI , ,. . (Ixl , ^,, + (r/' — q)^ ^. . (I y)^ . ,■ = 0 XL) W^ , ,„ + ip" —pU , y. . {Ix)^ , ^,, + (q" — ?), , ,„ . {Ujl , ,. = 0 welche, wenn die Aufgabe eine geometrische ist, sich auch jedesmal auf einfache Weise geometrisch deuten lassend Es ist jedoch zu bemerken, dass die Gleichungen XXXVII und XXXVIII öfters eine schöne symmetrische Gestalt annehmen, wenn man (nach §. 26) statt der Potenzen \ dv ) V dy )„ die bezüglich gleichgeltenden Producte (d z ^ , d e' , d 2 ^ ^ d y' setzt; und dann ist die geometrische Deutung desto leichter. Man substituire nun die für z gefundene allgemeine Function in die vier letzten Gleichungen (Nr. XXXVII — XL), und integrire sie als totale Differentialgleichungen. Erst die sich ergebenden vier Integralgleichungen können benutzt werden zur Specialisirung der in z eingegangenen willkürliehen Functionen. Hierauf benütze man die beiden Gleichungen XXVI und XXVII zur Bestimmung der beiden Functionen y' =b(x) und y" =/9(ic). Zuletzt dienen die beidea Gleichungen XXIV und XXV zur Bestimmung der für a und a gesuchten Werthe. Das dabei anzuwendende Verfahren ist bereits (aus §. 26) bekannt. Setzt man 6 (a) und /5(a) statt ?/ in XXIV und XXXIl ein, so bekommt man bezüglich 1 Für die in der letzten Anmerkung gestellte geometrische Aufgabe werden diese vier Gleicliungen (Nr. XXXVII — XL) die Be- deutung haben, dass die gesuchte Flüche auf den vier gegebenen üranzciiichen zugleich senlirecht steht. Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dreifache Integrale. 93 XLI) f [a , 5 (a)] =/ [a , h (a)] , und XLII) 5^ [a , y9 (a)] =/' [a , y9(a)] und XLIII) oX.Ma) = (y — i^)a,6(a)-'9a , Und XLIV; 0^3,, ^(„) = (p' — ^),,^(„ . *a Setzt man 6 («) und ß{a) statt ?/ in XXV und XXXIII ein, so bekommt man bezüglich XLVj f{fj. , b{a)] = f [a , 6(a)] , und XLVI) f [« , /?(«)] = f [« • ß{a)\ und XLVIIj Sz„ , 4 („, = (p' — i?)„ , 4 (a) . * « , und XLVIII) (?3„ , ^ <„, = (p' — i>)„ , ^ („) • * « Setzt man a statt x in XXVI, XXVII. XXXIV und XXXV ein, so bekommt man beziiglic'li XLIX) ^ [a , & (a)] =/" [a , b (a)] , und L) f? [a , /9(a)] =-- f " [a . ß (a) J und LI) dz, _ j (,) = (q" — ?), , j (a) • o"6 (a) , und LH) ^z, , ^ (a, = (q" — ?)a , ^ (a) • o'/9(a) Setzt man aber a statt a; in XXVI. XXVII, XXXIV und XXXV ein, so bekommt man bezüglich LIII; , (.) • ^b [a) , und L VI) dz, _ ^ ^^^ = (q" — y) , ^ ,„, . dß (a) durch Verbindung von XLI mit XLIX. von XLII mit L, von XLV mit Llll, und von XLVI mit LIV wird man zu folgenden vier neuen Gleichungen LVIIj 3.,,(,)=/[a,6(a)]=/"[a,6(a)] . LVIII) s,,,^,) =/'[a , /9(a)] = f"[a , /9(a)] LIX) s„,,(„)=f'[a,6( « geführt, und hieraus erkennt man, dass zwischen db[a) und /9a, zwischen dß{i\) und '9a, zwischen db[a) und ?9«, zwischen (jß{'j.) und ;9« Abhängigkeiten stattfinden, während ^>6 (a;) und dß[x), so lange a; noch allgemein ist, ganz willkürlich sind. Jetzt hat man noch das Prüfungsmittel herzustellen. Dazu mögen jedoch folgende An- deutungen genügen. 1. Man eliminire die ausserhalb der Integralzeichen stehenden Bestandtheile M(a) , .-*(«) . »-«a) . ißi.) . (ll . {^l , (%l , ('i)_ und reducire hierauf so viel als möglich. 2. Die beiden, mit den Integralzeichen/ und / versehenen Theilsätze richte man so 6{a) i(a) ein, dass die Potenzen &a- und ßa^ aus dem Integralzeichen heraustreten. Dieses geschieht auf dieselbe Weise, wie in §. 29; allein statt der dortigen Gleichung LI bekommt man hier folgende zwei: LXV) -^, . [3S; . (p' -p),,, + (I?/),., . (*' — ^X, J . '9a^ -)?.,,. ip'-p).„ ■ '9a-^ = 0 unc Lxvi) ^ . [m: . {p'-p\,y + {iy)a.y (e' - *)«.,]^ • *./ - r;,,, . ip'-p),,, . &d' = o Weil aber rj eine willkürliche Function ist. so kann man, wie im vorigen §. , setzen ^ = {a —x) . (p iy) J^ [a — x] .x{y) Wenn man jetzt bei LXV den gemeinschaftlichen Factor »9 a- weglässt, so bekonmit man LXVII) ^, . [3ß/ . {jy' — p)a , , + ijy). .y{s' — s\ , ,Y — ({y) = 0 Wenn man ebenso bei LXVI den gemeinschaftlichen Factor ßar weglässt, so bekommt man LXVIII) Y^.[Sß;.(p'--p).., + (I?/)„,,„.(ö'-5)„,J — (a — «). {^'—p)^^^.x{y) =0 Diese beiden Gleichungen liefern aber die Mittel, rj als eine ganz bestimmte Function darzustellen. a 3. Zuletzt befreie man den mit dem Integralzeichen / versehenen Theilsatz von den zwei a Bestandtheilen d~z^ ^. und d'^z^^,.^ und benütze die mit x,y ,7:{x) versehene Function co so, wie von früheren Anlässen hinlänglich bekannt ist. Anwendung des sogenannten Variationscalcul' s auf zweifache imd dre fache Integrale. 95 ZWEITE ABTHEIEUNG. Anwendiino- des (susenannten) VariaUonscalfiil's auf dieilactn' liitcoialt'. Erster Abschnitt, wo solche Integrale vorkommen, bei denen die Gränzen sowohl der ersten als auch der zweiten Integration nnahhäiigig sind von jenen Verändeilichen, nach welchen die folgenden Integrationen durchgeführt werden sollen. Unters u c li u n g 13. §. 48. d w d w d ^ tc Es sei TFein reeller, mit den Bestandtlj eilen x,y,z,io, -^ , ^^, —- versehener, Aus- •^ d.v dl/ dz druck; und man sucht für w eine solche reelle Function der drei Veränderlichen x.y,z, dass folgendes Integral I) U=l I j W.dz.dy .dx wo c und ;- keine Functionen von x und y . und wo b und ß keine Functionen von x sind, rin Maximum oder Minimum veird. Die Wertlie von ajü-jb^ß^c,}- sind hier als constant zu betrachten, jedoch mit steter Rücksicht, dass «>■ a,^>6 und ;-> c ist. d w d IC d^ v> Man setze zur Abkiirzuno' p ^n ,r bezüglich statt -^ , ^^ , — : so bekommt man vorerst '^ ^ - -' ' => dx ^ dy ^ dz ^ r''r'^r\d W d W d dw d W d dw d W d 3u! -i II, r)U^ \^^r)w + ^^.-—+ ^^.^^ + ^~.-^~\.dz.dll.dx J J J l '^"' dp (U ~ dg dy ^ dr dz ] ^ Man bezeichne, um noch mehr abzuküi'zen, die zu den drei Differentialquotienten der ersten Ordnung d^dio d rJw d,dw dx ' dy ' dz gehörigen Factoren bezüglich mit [Ix) , (Uj) , {Iz) so gestaltet sich letztere Cileichung auf folgende Weise: a Ä e Die Zweckmässigkeit dieser drei Abkürzungszeichen wird man am besten erkennen, wenn man auf frühere Anlässe (§. 8, §.15 und §. 21) zurückschaut. Man beachte, dass die durch (I x) , (I ?/) , (I s) repräsentirten Ausdrücke das cc, das y und das z sowohl unmittelbar als auch mittelbar in w,p.q,r enthalten, und dass die durch dw 96 G. W. Strauch. djw d i^w djw dj'iw d d'^ic dj'^w — — , — — , ~ — , d'w , , — , , etc., vorbestellten Ausdrücke nur als unmittelbare dx ^ dy ^ dz ^ ^ dx ' dy ' dz ^ ' ° Functionen von x,7/,z zu betrachten sind. Dieses berücksichtigend kann man der Gleichung in auch folgende f^orm geben : -"''^"-d^((lx).3u,) d^({Iy).3u,) d^({U).d«,) IV) -'u-fffr^T I '.^ I d z lä^W iß-x) dßy) dA^^)s. "I + ( — — = — ' — 1 . dw I . dz . dy . dx ' V d«o dx dy dz J J ^ Führt man bei den durchlaufenden Differentialen die betreffenden Integrationen aus, so gibt sich weiter Vj o^C/^=yjr[(Ia;)„,,,,.o^M;,,,,, — (Ta;),,,,..oX,.,-] • dz . dy a ß + /■yyr(^_^_f£i_i£i_i£i) .sv,\.d..dy. d. J J J \_^ dw dx dy dz ) J "^ & b c Hieraus folgt die Hauptgleichung ' dw dx dy dz und die Gränzengleichung VII) yy[(Ia:),,,,3-'?M'.,.,..— (Ia?)a,.,.. .oX,.,-.] .dz.dy h e a Y + //[(!?/)., ^,.- o^ü,,^,,— (I?/).,6,.- o"«',,«,,] . dz. dx a c a ß + ff[{^^%,y,r-O^^^.y,r-{^^)^.y-^-^^^,v,A-dy-dx = 0 'a-^4 Die Hauptgleichung wird in der Regel eine Partialdifferentialgleichung der zweiten Ordnung sein; und dann nimmt ihr allgemeines Integral zwei willkürliche Functionen in sich auf. Die Gränzengleichung hat bereits die Werthe a,ry.,b,ß,c.y in sich aufgenommen, und dient dazu, die in der gesuchten Function w ^=p(x,y ,z) befindlichen willkürlichen Stücke zu specialisiren, welche sich aber bald so bald so modificiren werden, je nach den verschiedenen Gränzbedingungen. Anwendung des sogenamiten Variationscalcul's auf zioeifache und dreifache Integrale. 9 7 §. 49. Nun ist das Prüfungsmittel herzustellen, welches, wenn man die Hauptgleichung VI beachtet, zunächst folgende Form annimmt: a 1^ a /, + / / / L . dw^ + 2K. dw . -^ + 211. diu . -^— + 2G. rho . -~ a /> '■ "^ dx J dx , dy dx dz . d 3 w .2 ddw d,(Jw , d ß w .-'-i + C ■ (-r,-) + 2B ■ V--^- + A. (~) ].rf..<,.,(.^ WO man sich aber zu denken hat, dass die durch die Gräuzbedingungen bereits sjjecialisirte Function w=^«iikschriften der marheni.-naturw. CI. XVI. Bd. Abhandl. v. Nichtmitsl. 98 G. W. Strcntch. ACP+SBDE — A.E2 — C.D2 — F.B2 XVII) ^ XVIII) 3 A C — B- (AC — B2).(^ — 5y) 4- (BD — AE).(i7— u>) + (BE — CD) . (G — /l) (AC — B"-) . F + (BD — AE) . E + (BE — CD) . D und d in d 10 d X Man hat also nur zelin Bestimmungsgi eichungen, während doch die dreizehn Stücke zu bestimmen wären, so dass drei derselben willkürlich sind. Weil aber diese zehn Bestimmungsgleichungen nichts einander Widersprechendes ent- halten, so ist die in IX aufgestellte Form in der That möglich. Führt man jetzt bei den durch- laufenden Differentialen äjri.dw^) rf^(a).(J?i)2) d_,{X.dic-) dx ' dy ' dz die betreffenden Integrationen aus, so geht VIII über in ß r XX) d' 6"=JJ [(Ix)„,,,3.(fzü,,,,., + jy,,^,, •ö^«««,.,. ö c a Y a c — (I«/)x,«,c • o'w,^,^, — ü)^^,,. oio':^,^,] . dz . dx — (Is),,„,, . o'zü^,y,, — >..,,,,. diol^„^/\ . dy . dx a Ä c , d (Jto d (Jw ^ - + ^ . [~ + ^ . dwj + Ä . ^;i<;- . dz . dy . dx Schaut man wieder auf die zehn Gleichungen Nr. X — ^XIX zurück; so sieht man, dass die in der neuen Form XX befindlichen sechs Stücke vollständig durch Stücke bestimmt sind, welche sich in der ursjjrünglichen Form VIII befin- den; und somit darf man die oben besprochene Willkürlichkeit auf diese sechs Stücke nicht anwenden. Man benütze aber diese Willkürlichkeit vorerst dazu, dass man Ä zu Null werden lässt. Dabei reduciren sich die beiden letzten Gleichuno-en auf Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache und dreifache Integrale. 99 d T] dm d X XXI) L-— _ -±- _ ^ _ 2t . ^^ _ ® . ©^ -_ D . 3^ ^ 0 und J-f /a ,1/ ,z ' ^^^a , ?/ , 3 XXII) o-C^=jJ[(Ix)„,,,,.o^^«,„,„,, + 5y, ö c — (I »■).•• , .V , -- • '^'^"a ,,,.-• — 'ya , y ,--• '^«'a ,,,. ] • f^S • dl/ a y + JJ [(I^/).,,?,. •'?'««.,,?,. + ö>,,^,,. r;?0^,^,, a c a ,5 a /j r P r\ , d liw d„ S w d d w ^ - \lfj\^^ ■ (^ + ^--^ + <^ -^ + ® • H a /j ^ + ® • ( V + ^ • ^ + ® • H + ^^- (V + 3 • o^^)].d..dy.dx In den beiden letzten Gleichungen befinden sich aber immer noch zwei willkürliche Stücke. Nimmt man i^ und (o als willkürlich, so kann man tj eine solche Function von // und z sein lassen, dass die nach ?/ und nach .3 identische Gleichung stattfindet; und co kann man eine solche Function von x und z sein lassen, dass die nach x und nach s identische Gleichung stattfindet. Weil aber für rj eine E'unction von ?/ und z gesetzt worden ist, so ist — — = U ; du) und weil für co eine Function von x und z eesetzt worden ist, so ist — — ;=Ü. Gleichung XXI f^ dy reducirt sich also auf XXIII) L — ^ — «l . 3D'^ — ® . ©^ — C) . 3' = 0 Wenn man jetzt diese Partialdifferentialgleichung, welche nur noch den einzigen Diffe- dj ■ rentialquotient -^^ enthält, integrirt; so bekommt man für A einen mit x , y , .3 , ;r (a- , _\-^ ^ ^- ''^o)\. cU . dy . d. Aus dieser Form erkennt man, class, wenn X sich als reell bestimmt, der Zeichenstand des d'- U nur von den drei Stücken 5( , ® , >^ abhangt; d. h. wenn man dem z alle stetig- nebeneinander liegenden Werthc von c bis ^, sodann bei jedem einzelnen dieser Werthe des z dem y alle stetig nebeneinander liegenden Werthe von b bis ß, und endlich bei jedem ein- zelnen dieser Werthe des s und des y auch dem x alle stetig nebeneinander liegenden Werthe von a bis a beilegt; und wenn dabei 1. jeder der drei Ausdrücke 9t , (E und S) positiv bleibt, so ist auch «^.,«,. » '^^«'..A,.- ' ««'x,,,c J özo,,,,^ «^v,.,. • «"«'a.,v,.- , '>X,.,. > «'X.,,},. • «^''^«.„v,. : ^V,,,,r etc. etc. Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache und dreifache Integrale. 101 §. 50. Erster Gränzfall'. Wenn für die (rränzen keine Vorschriften gemacht sind, so liaben auch die Ausdrücke 9 durchaus keiner Bedingung zu genügen. Hier sind die bei ^ aufgestellten sechs Ausdrücke dem Werthe nach ganz unabhängig von einander, obgleich alle aus einer und derselben Form (?iü^ ,, j herstammen. Ebenso sind die bei 9 aufgestellten sechs Ausdrücke dem Werthe nach ganz unabhängig von einander, obgleich sie alle aus einer und derselben Form d'w^ herstammen, und so fort. Der Gränzengleichung VII wird also nur genügt, wenn folgende sechs einzelne Gleichungen stattfinden : 1) (lx),,„,, = 0 , 2) (I?/),,,,, = () . 3) (I.s),,,,,, = u 4) (laj)„.,,.. = 0 , 5) (I^),_,,,==.-0 , 6j (I,.L,^,^ = 0 In den Gleichungen 1) und 4) ist x eonstant; dieselben werden aber in der Eegel Par- tialdifferentialgleichungen nach ?/ und z sein. Dieser Umstand muss beachtet werden, wenn man dieselben integrirt. In den Gleichungen 2) und h) ist ?/ eonstant; dieselben werden aber in der Regel Par- tialdifferentialgleichungen nach x und z sein. In den Gleichungen 3) und 6) ist z eonstant; sie werden aber in der Regel Partialdiffe- rentialgleichungen nach x und y sein. Erst wenn man das für lo gefundene allgemeine Integral in letztere sechs Gleichungen substituirt, und hierauf integrirt hat, können die sich ergebenden Integralgleichungen bei Specialisirung der in w eingegangenen willkürlichen Functionen benützt werden. Der in XXII aufgestellte allgemeine Ausdruck des Prüfungsmittels reducirt sich jetzt auf XX Vj - - K,y,. .'V - [l^l,y,r .^"]. oiol,,, ,, . dy . dx a b a 6 c ,d dw dßw -■' r^,ß^ \^1 , , , 1 JHeger dritte Uränzfall ist dem dritten in der ersten Untersueliung (§. 12j analog. 104 G. W. Strauch. Nun erinnere man sieli, dass von den drei Stücken tj ^ co ^ X zwei willkürlich sind, weil man zur Bestimmung derselben nur die einzige Gleichung XXI hat. Um daher den Ausdruck XXVI so einzurichten, dass nur das dreifache Integral zurück bleibt; lasse man vorerst folgende zwei Gleichungen 19) ^^,,^_^-4,^_^..r''_(Is),^„,^.ri"'= 0 20) «,,,,, ..-o;,,,..,.r^-(ly)..,,,.0" = 0 stattfinden. Aus Gleichung 19) bestimmt sich k als Function von x und y. und deshalb ist -^=0. dz Aus Gleichung 20) bestimmt sich co als Function von x und z: und deshalb ist -^ — = 0. Wenn man jetzt für X und u> die aus 19) und 20) sich ergebenden Ausdrücke in XXI ein- setzt, so bekommt man 21) L — -^ — 31. 2)^'— ® . ®- — f).3- = 0. Diese Gleichung, wo die für X und o» gefundeneu Ausdrücke als bereits eingeführt gedacht werden, enthält nur den einzigen Partialdifferentialquotient -^. Man bekommt also, wenn man integrirt, für tj einen mit a;',?/,2:,7r(?/,s) versehenen Ausdruck, wo TtlT/^z) eine gans willkürliche Function von ?/ und z ist. Aber eben diese in ;y enthaltene willkürliche Function 7r(y,z) kann man noch so bestimmen, dass die Gleichung .. 22) ry„,,,..-^,,,,„.r' — (I^)a,„.-O' = 0 erfüllt wird. Wegen der drei Gleichungen 19), 20), 22) zieht sich XXVI auf das dreifache Integral zurück: und die Kennzeichen, ob J- C/^ positiv oder negativ sei, sind abermals abhängig von 31, 6 und |). §. .^3. \ ierter Gränzfall. Wenn für die Gränzen sechs Gleichungen, z. B. F>('<'a.„,.-. ^<^«,„,.) = 0 . F, (?<;,,,,,, ?^;^^^__.) = 0 , F3(zo,,,,.., ?«,,„.,.) = 0 vorgeschrieben sind ; so hat man eigentlich wieder den zweiten Fall, d. h. es finden wieder die (in §. 51 aufgestellten) Gleichungen 5 ? cT ? '^ statt. Dabei fällt die Gränzengleichung von selbst hinweg, und das Prüfungsmittel zieht sich ohneweiters auf das dreifache Integral zurück, so dass man auch diesmal sich um die drei Stücke ;y , w , y^ nicht weiter zu bekümmern hat. Und so fort. §. 54. ErsterZusatz. Nicht immer müssen in dem Ausdrucke IFdie drei Differentialquotienten --— ,-— -,^— zugleich enthalten sein, sondern es kann auch einer f)der zwei derselben fehlen. Q/tJC "2^ ^''^ Das Verfahren, besonders das bei Herstellung des Prüfungsmittels, ändert sich alsdann ein wenig, wie in folgenden zwei Beispielen gezeigt werden mag. Anwendung des sogenannten Variationscalcurs auf zweifache und dreifache Integrale. 105 d^w d^. Erstes Beispiel. Es sei TF ein reeller, mit den Bestandtheilen a:,?/, s,w , — ,— ver- sehener Ausdruck, und man sucht für w eine solche Function von x,i/,z, dass das Integral XXVII) ü= j 11 W . dz . dij . dx ein Maximum oder Minimum wird. Hier bekommt man die Hauptgleichung d^^W d^(lx) d^{\y) XXVIII) — -=r= — =7= = ö •' dw dx dy und die Gränzengleiehung '*„>' XXIX) yy[(Ix),,,,,.r;zü,,^,.. — (Ix), ,^,3. (?«?,,,,,]. dz.dtj +jf[(j!/)..ß,. ■ ^^^<'.,^,- — (I?/)x,4,= • ''^w,,,,,] . dz . dx = ü a c Bei Herstellung des Prüfungsmittels hat man diesmal dem dreifachen Integral rV rr d^Su! d,Sw dSw'^ Abc ^ 2 £ . ^- . ^^- + (7 . U— 1 \.dz.dy.dx ' dx dy ' ^ äy J ] -^ die Form ^^''" ///[^V-- + ^H,^ + ö ■ ( V + ä^ + ® • "'") a ö c + |) . (^ + 3 . die] + Ä . diD- \. dz . dy . dx zu geben. Hierbei gelangt man zu folgenden Gleichungen: _ C.F-E-' _ C.(K-yi)-E.{H-a>) 0— C ' 'vi — c.F-E^ und XXXII) L-Ä-^^-^-®.®^-^.3'^ = 0 Man hat also diesmal nur sechs Bestimmungsgleichungen, während doch die acht Stücke zu bestimmen wären, so dass zwei derselben willkürlich sind. Weil aber unsere sechs Be- stimmungsgleichungen nichts einander Widersprechendes enthalten, so ist es in der That möglich, dem Integral XXX die Form XXXI zu geben. Denkschriften der mathem.-natnr« . Cl. XVI. Ilil. Alihandl. v. Nichtmiti;!. ° 106 . Ct. TF. Strauch. Es sind aber die in der neuen Form XXXI befindlichen drei Stücke vollständig durch Stücke bestimmt, welche sieh in der ursprünglichen Form XXX befinden; und somit darf man die oben besprochene Willkürlichkeit auf diese drei Ausdrücke nicht anwenden. Man benütze aber diese Willkürlichkeit vorerst dazu, dass man Ä zu Null werden lässt. Dabei reducirt Gleichung XXXII sich auf d ri dm XXXIII) L — ^ — ^ _ ® . ©2 _ ^^ _ 32 _ Q und für das Prüfungsmittel selbst bekommt man im Allgemeinen XXXIV) ■ d' ü = ff [{Ix), , , , . . o^^Zü„ , , , ., + iy„ , , , .. . diol , „ , . « *■<• a Y + JJ [(Iy)x,^,.-o''«Ox,,},. + (».,ß,.-owl^^^, a. c » — (Ii/).,4,.- o'^ü,,5,, — w,,«,,.oX.,4,J .dz.dx r r Cr .ddto d iiw ^2 , d^3w .'--i Verfährt man jetzt mit XXXIII und mit XXXIV ebenso, wie man früher (in §. 49 bis 53) mit XXI und XXII verfahren ist; so wird sich auch jetzt das Prüfungsmittel jedesmal auf rVrr .dSto d.Sto ,2 ,ddw ,2-1 XXXV) d' ü^ I j j ^<^ .{^ + % ^ + & . die) + |) . (^•+ 3 . rho) ^.dz. dij . dx i\ b f zurückziehen, und man erkennt, dass der Zeichenstand des cF ü von den beiden Ausdrücken @ und |) abhangt. Diese sind aber ganz die nämlichen , welche sich ergeben, wenn man das Aggregat (d,Sw .- dijw- d^Sw ,d_dzo - dx ) ~ dx dy ' \ dy J auf die Form bringt. Der Zeichenstand des ^ ü ist also diesmal vom Aggregate 3 abhängig. d^u- Zweites Beispiel. Es sei IFein reeller, mit den Bestandtheilen x, y ,z , 10 , — - ver- sehener Ausdruck; und man sucht für tc eine solche Function von x,y,z, dass das Integral aßt XXXVI) ü = j j I W.dz. dy . d x ein Maximum oder Minimum wii-d. Anwendung des sogenannten Variationscalcuts auf zweifache und dreifache Integrale. 107 Hier bekommt man die Hauptgleidiung d W d {1.v) XXXVII) ^ ^== = 0 ' dw dx und die Gränzengleidiung- XXXVIII) fflilx),^^^^. r;;o,,„,, — (Icc),_,_, . r;io,,„,.. ] . dz.dy = 0 Für das Prüfungsmittel bekommt man zunächst /J r +JJJ [^ • '''^' + -^^- ^^"^ • -V + F • ( V ) ] • ^- ^^^- ^^- n 6 f Wenn man jetzt, wie in §. 49 und §. 54, den Ausdruck ^ zu Null werden lässt, so kann man dem Prüfungsmittel diesmal folgende Form ß r XXXIX) d- Ü =JJ [(I x% , , ^ , . d'w, , y , , + 3Ja , , , . . f)wl _ , _ , a Ä c geben, während zur Bestimmung von tj die Partialdifferentialgleichung (L-i;;}-F=(A--# integrirt werden muss. Dadurch ergibt sich für y^ ein mit x ,?/,z,-(]/,z) versehener Ausdruck, wo TT (v/,£) eine willkürliche Function von y und s ist, welche jedesmal so benützt werden kann, dass sich Gleichung XXXIX auf das dreifache Integral zurückzieht. §. 55. Zweiter Zusatz. Schauen wir auf die erste Abtheilung, welche sich mit zweifachen Integralen befasst, zurück; so erkennen wir, dass die in der ersten Untersuchung (§. 8 bis §. 14), wo nur Differentiale der ersten Ordnung vorkommen, abgehandelte Theorie ohne- weiters auf Fälle mit höheren Differentialen (§. 15 — 22) ausgedehnt werden konnte. Ebenso verhält es sich hier in dieser zweiten Abtheilung, welche sich mit dreifachen Integralen be- fasst, d. h. auch die in dieser Untersuchung (§. 48 — §. 54) abgehandelte Theorie könnte ohneweiters auf solche Fälle ausgedehnt werden, wo Differentiale der zweiten, dritten etc. Ordnung vorkommen. Desshalb mag es genügen, hier nur eine einfache Aufgabe dieser Art folgen zu lassen. 108 G. W. Strauch. Aufgabe 1. §. 56. Man hat in den Endpunkten der sechs Coordinaten a , « , 6 , y? , c , ;- senkrechte Ebenen errichtet. Diese begränzen also ein Parallelepiped von bekannter Grösse und Lage. Wenn nun dasselbe mit einem Stoffe angefüllt ist, dessen Dichtigkeit sich nicht überall gleich bleibt, sondern sich von Punkt zu Punkt nach einem von den Coordinaten a;,?/,s abhängigen Gesetze w ändert; welches muss dieses Gesetz sein, damit das über die ganze Ausdehnung unseres Parallelepiped's erstreckte Integral a li c ein Maximum oder Minimum wird? Hier bekommt man die Hauptgleichung -72 ,2 -,2 II) - ^ ' = 0 und wenn man zur Bequemlichkeit noch B statt — ^^-^ setzt, so bekommt man die Gränzen- dx .dy .dz gleichung r rrdit ,dJ{, , d Ji. , dR. n b a Das allgemeine Integral der Gleichung II ist Durch die sechs Functionalzeichen (f^ , ^i. , ^s 5 ^6 sind ganz willkürliche Functionen der betreffenden Veränderlichen dargestellt. Diese willkürlichen Functionen müssen aber Anwendung des sogenannten VariationscalcuT^ s auf zweifache und dreifache Integrale. 109 durch Gränzbedingungen noch so modificirt werden, dass dabei die Oränzengleichung hin- wegfiillt. Wenn man die Hauptgleichung beachtet, so bekommt man für das Prüfungsmittel im Allgemeinen folgenden Ausdruck V) fT-ü^ rr.dJi^ .dPi^ ,'h^s i''c'\ V. 1 7 a /Vr , d d R. , ddji. -1 b r — 2// f-^-) .0^2 r^^) .,fio, , A.dz.dx a c /*Vr , d d It ^ . d d li . "1 a & _ 2 . / / / f -^J^^ — 1 . (Z,3 . fZw . (7x ^/ J^ V dx.dy.dz ) '^ Diesen Ausdruck hätte man (etwa nach Analogie des zweiten Beispieles in §. 20) noch umzuformen, damit man ihn, was auch immer für Gränzfälle gestellt werden mögen, jedesmal so reduciren kann, dass nur ein dreifaches Integral zurückbleibt. Die betreffende allgemeine Formel würde aber sehr weitläufig ausfallen; und desshalb mag sie wegbleiben, was um so eher anQcht, als man an der Negativität des hier oben stehenden dreifachen Integrals das Vorhandensein eines Maximum's bereits erkennt Nun ist man auf dem Punkte, der Gränzengleichung auch wirklich zu genügen; und zu diesem Ende mögen folgende fünf verschiedene Fälle aufgestellt werden. §• 57. Erster Gränz fall. Es seien für das, an den Gränzen herrschende, Dichtigkeitsgesetz keine Vorschriften gemacht, d. h. man sucht für die Dichtigkeit ein solches von den Coordi- naten x ,y ,z abhängige Gesetz lo , dass dabei das Integral I seinen absolut grössten Werth bekommt. Hier muss man das gesuchte Gesetz w aus allen möglichen, in Gleichung IV enthal- tenen, Dichtigkeitsgesetzen herauswäblen ; und so zerfällt (nach Analogie des §. 17) die Grän- zengleichung III in folgende einzelne : 110 G. W. Strauch 81) in folgende sechs nach zwei Veränderlichen identische Gleichungen: 1) {^LJ^\ =0 , 2) f-^^-) =:0 , 3) f^^— ) =0 (d d S . , d d JR . , d d R ^ ^^) =0,5) f^^] =0,6) (-^^—1 =0 SB) ferner in folgende zwölf nach einem Veränderlichen identische: , dR . , d R^ , '„,,,.= 0 23) i?a,,,,= 0 , 24) i?„,,,.= 0 , 25) i?„,,,,= 0 , 26) i?.,,,,. = U Die Gleichungen 1) und -4) reduciren sich auf die einzige ,o ,•> f?' f?" (/'o (.r , ?/) 27) -^' =0 ■^ dx' . dy^ und daraus folgt durch Integration VI) ^'3 (.^ ,:?/)= y •/: {x) + ^ •./; (^) + /a (:«) + /. {y) Die Gleichungen 2) und 5) reduciren sich auf die einzige d' d' (po (x , ?) 28) " -., / = 0 dx'^ . dz' und daraus folo't durch Inteo-ration VII) cfK, {x , z) = z .l(x) + x. U (^ + f3 (x) + f, (z) Die Gleichungen 3) und 6) reduciren sich auf die einzige d- d-d',l,/,z) 29) " ' '^ ' = 0 ■' dy-i.dz-i und daraus folgt VIII) ü{x,^) + ^G(a;,?/) Anwendung des sogenannten VariationscalcuJt s auf zxoeifache und dreifache Integrale. 111 Dieser Gleichung kann man aber noch folgende etwas kürzere Form geben: X) ^ü = X . y . c(.3) + X . z .CÄy) + y .z. c,{x] + X . [F,(y) + F,(^)] + ,j . [f,(x) + f,(..)] + z . [f,{x) +/.(^)] Aus dieser Gleichung ergibt sich jetzt 30) 7? = M^ ^ '^^'•i(^) d:.,(y) , d^sjx) d.K.dij.dz dz dy d.v und dabei reduciren sich die zwölf Gleichungen (Nr. 7 — 18) auf folgende drei: 31) :!!ifl) = 0 . 32) "^^^ = 0 . 33) ^'^^ = 0 ' dz^ ■ ' dir ' dxi Daraus folgt durch Integration XI) C [z) = K.z ^ K, XII) C,{y) =lu.y + IC XIII) Cs (x) =h.x ^ K, Gleichung X specialisirt sich also noch weiter auf folgende Weise: XIV) 10 = (7«i -f lu -T h-i) . xyz -f K^ . xy + IC . xz -\- K^ . yz + X . [F,(y) + F,(.)] + g . [f,{x) + f,(.)] + z . [f{x) + f,(y)] Aus dieser Gleichung folgt d^ rf„ d, w 34) f^V = ^^ + ^^^ + ^^3 ' dx.dy.dz Die acht Gleichungen (Nr. 19 — 2G) reduciren sich also jetzt auf die einzige 35) Äi -|- ho -f Äg = 0 und somit specialisirt sich Gleichung XIV in folgende: XV) w = A", . xy + Ko . xz + K^ . yz + X . [Y,{y) + F,(s)] + y . [l{x) + l{z)] + ^ . [f{x) ^ f{y)] -r fpiiy^^) + M^^^) + 4'Ä^:y) Die Gränzengleichung ist nun weggefallen, während die drei Constanten K.. , K, , K, und die neun Functionen Fr.(y) , ^M , Uix) , U{z) , f,{x) , f{y) , jlO,^,,^y = 0 ffl-<^a,y,.= 0 , 0'^a,,,,= 0 Ö''«üa,,,,. = 0 ff'^'^^,y,r = 0 ff'Wa,,j,.= 0 , ff'^a,,,r=^ und so fort öw,^,^,= 0 ^^^x,4,y = 0 ff^".,ß,a= 0 ff^.,ß,r'= 0 ff'i".,i,c = 0 ff'W,^,^^ = 0 ff'^.,ß,c = 0 ''«Ö.,/J,. 0?0, OiO, , »"^"x.Z/.^ 7 '^" ^<'x , ,, , ,- in welchen von den drei Veränderliehen x,y,3 noch zwei allgemein sind. Damit also die Gränzengleichung III auch diesmal vollständig wegfalle, müssen noch die sechs Gleichungen Nr. 1 — 6 stattfinden, und dabei specialisirt sich das in IV aufge- stellte allgemeine Gesetz wieder auf X, d. h. auf XVI) to = xy . C, (.3) + xz . ^.^[y) + ?/ s . C 3 {x) + x.[F3(y) + F,(,s)] + y.{\M+U^\ + ^'{M^)-^fM\ Wenn man in den zwölf Gleichungen Nr. 62 ■ — 73 zuerst a,ö,c, und hierauf «, /9, ;- bezüglich statt x^y,z einsetzt; so ergeben sich vierundzwanzig neue Ausdrücke , aus welchen jedoch nur acht verschiedene Gleichungen hervorgehen, nämlich Anwendung des sogenanntenVariatmiscalcuF sauf zweifache und dreifache Integrale. 115 74) ^0,,,,. = %Ac) = %[b) =:' ^-0 (a) , 75) ?«,,,,, = g, (r) = §„(*) = S:a(a) 76) zo,,,,, = g,(c) = %,{ß) = g„(a) , 77) ^.,,,,, = g, (r) = %Aß) = g,2(a) 78) w'«,,,. = %,[c) = g,(6) =: % («) , 79) t.,,,,^ = %[r) = a(^^) = g:o(«) 80) zc„ , , , , = g, (c) = g, 0?) = g„ («) , 81)^,,,,., = g, (;-) = %, iß) = g,, («) Um nun das iu XVI aufgestellte Gesetz noch weiter zu specialisiren, rauss man es in die zwanzig Gleichungen Nr. 62 — 81 einsetzen. Dass aber die letzten acht Gleichungen Nr. 74 — 81 stattfinden, ist ein Ergebniss, welches ganz der Natur des hier vorgelegten speciellen Falles entspricht; denn die zwölf Kanten treffen in acht Ecken zusammen, und in jeder einzelnen dieser Ecken kann nur eine und dieselbe Dichtigkeit herrschen, d. h. eine Dichtigkeit, welche je dreien der sich treffenden Kanten gemein ist. Sollten die zwölf vorgeschriebenen Functionen %M , %2{^) , SaCs) , g.(.-^) , %{!/) , Ml/) , %Ai/) , Ui/) , SbH , Sio(^) , 3nH , 3>.(^) mit willkürlichen Constanten versehen sein, so müssen diese sich so specialisiren lassen, dass die letzten acht Gleichungen erfüllt werden. Hinsichtlich des Prüfungsmittels gilt abermals die am Schlüsse des §. 56 gemachte Bemerkung, d. h. es findet ein Maximum statt. §. 60. Vierter Gränzfall. Das gesuchte Gesetz der Dichtigkeit soll nur aus jenen Gesetzen herausgewählt werden, die alle in den acht, zu den Coordinaten (a,/>,c) , (a,6,;-) , (a , y? , c) , (a, /?,;-) , ( '^'^'^r.,b. . = 0 , , d-w^_,^^ = () , , '?' ^a ,(3, . = 0 . < ^"'««'a^ ,.,.= 0 r «"^''.,., .= 0 , . o'«<^a,«,r = 0 , , ö-io^ ,/S, .= 0 ., , Ö'^a, ,^,r=0 , und so fort .Diese Gleichungen haben aber keine Rückwirkung auf fjw^^,j^. , (j'to^^^,., etc., wenn von den drei Veränderlichen x ,y , z entweder einer oder zwei noch allgemein sind; und so müssen, damit die Gränzengleichung III vollständig wegfällt, noch die achtzehn Gleichun- gen Nr. 1 — 18 stattfinden. Dabei specialisirt sich das in IV aufgestellte allgemeine Gesetz 1 16 G. W. Strauch. wieder auf Gleichung XIV, welclie, wenn man zur Abkürzung nach H statt (ä, + ^a + ^^3) setzt, nun folgende Form annimmt : XVII) to^H . xyz + K^ . xy -f K^.xz + K^ . yz + ;.• . [F3 iy) + F, iz]] + y . [U ix) + f, (z)\ + z . [Ux] -^^y)] + 4>,{x,z) + Mx.y) + /S > <^ -^a > * . r "'" -"^« ■ « . -^ ■'^a , ß ,Y + -^J-a ,/?,<: + -^a , 4 , ?• -^a , 6 , r- ^ *-' Weil aber -^-^ = "^ "J^ , , -^^ = ' ' ^^ „ , und ^^ = ";./'/ ist; so fallen dx.dy dx^.dtj- dx.dz dx^ . dz" dy.dz dy-.dz' die drei Gleichungen 103), 104) und 105) hinweg, ohne dass sie zur Speeialisirung des durch Gleichung IV dargestellten allgemeinen Gesetzes etwas beitragen. Dagegen die sieben Gleichungen 90), 91). 92). lOG), 107), 108) und 109) müssen als Bestimmungsgleichungen benützt werden. Hinsichtlich des Prüfungsmittels gilt, wie in allen vorigen Gränzfällen gemeldet, die am Schlüsse des §.56 gemachte Bemerkung, d. h. es findet ein Maximum statt. §• 62. Andere Gränzfalle, bei denen ebenfalls für die, den Gränzen angehörigen, Bestandtheile Wa,,,. : '^a,y,z , ^x , i , z , '^ x , ß , z , l^x^y.c , ^x oder w. ,4,2 J ^a,/?,j ) ^"«,4,2 5 ^a,/J,2 ? '^&,y,c ) ^'^d.,y,r ' '^'^a,y,c ) '^a,y,r » WJx,4,. 5 ^x,4,r ^ ^x,^,. , ^x,ß,r oder ««a,4,. , ^a,ö,r ' ^a,,},. , «<^a,/S,r ' '^^ a , 6 , c , ^a,i.r ' ^a , ,3 , c , ^^ a , ß , r Bedingungen vorgeschrieben sind, kann man sich nach Belieben bilden. Untersuchung 14. §. 63. Es sei PF ein reeller, mit den Bestandtheilen d,w d w d w d\w d dw d d w d w X , y , z . w , -1— I— . , , — — . , , etc. ' -^ ' ' dx ^ dy ^ dz ^ dxi ' dx.dy dx.dz ' dy^ ' 118 G. W. Strauch. gebildeter Ausdruck ; und mau suelit für w eine solche Function voiix ,y,z, und zugleich füi a, , a , b , ß , c , ]f solche Werthe, dass dabei folgendes Integral a ß y I) ü=fff W. dz .dy . dx a Ä c ein Maximum oder Minimum wird. Auch hier sollen, wie in §. 23, die Werthänderungen der Bestandtheile a , « ) ^ 1 ß '. 9-f *-a , &-a , S-b , &-ß , &-C . /9-> und so fort dargestellt werden. Auf diese Weise bekommt man 11) dü=JJ{W,^^^._.&a— W^^^^^.da) .dz .dy 6 c a r + ff^ TFx,^,. . »ß - TF,,,, „ . ßb) . dz . dx a c a ß + fJiW^,y.r- '9r - W^,y..- f^c) . dy . dx a b a ß y + ff fdW . dz . dy . dx & b r Hier ist bekanntlich d W d ()w d die d dw III) .^T7=^..^.. + (Ix).^ + (I,).^+(l3).^ d'^oic d d d 10 d d d IC dx . dy ^ ' dx . dz + In Gleichung II muss der mit dem dreifachen Integralzeichen versehene Theilsatz noch so umgeformt werden, dass nur dio und kein Differentialquotient des dw unter dem drei- fachen Integralzeichen zurückbleibt. Nebstdem darf unter den drei zweifachen Integralzeichen das dw nach keinem Veränderlichen differentiirt sein, nach welchem auch noch integrirt werden muss. Hat man aber diese Transformation ausgeführt, so beachte man , dass alle angezeigten Integrationen unabhängig sind von ^a , nr/. . ßb . Hß . Sc , Hy /9-'a . //-'« . H'b , ^' ß , H'c . tßy und so fort Anwendung des sogenannten Variationscalcul s auf zioeifaclie und dreifache Integrale. 119 Man kann also diese Bestandtlieile, so oft es zweckmässig ist, auch ausserhalb der Inte- gralzeichen setzen. Es hat aber nicht die geringste Schwierigkeit, dergleichen Untersuchun- gen weiter durchzuführen , und in jedem Einzelfalle das betreffende Prüfungsmittel herzu- stellen. Das Verfahren ist dem analog, welches bei den zweifachen Integralen (§. 23 — 29) bereits zur Anwendung gebracht worden ist. §. 64. Um jedoch einigermassen in das Verfahren einzuleiten, mag der Fall betrachtet wer- den, wo für die Gränzen durchaus keine Vorschriften gemacht sind. Hier muss man zur Bestimmung der Werthe der sechs Bestandtheile a, «,&,y9,c,;- fol- gende sechs Gleichungen zu Hilfe nehmen : ß r ß r ly) ffw,^^^,.dz.dg = 0 , Y) JJjV,^,^^,.dz.dij = 0 , b c h r a Y a Y VI) f jW^^^,^.dz.dx = Q , VII) j f W,^^^,_.dz.dx = 0 , a c a r Ä ^ aß vni) Jjw^^,^^^.dy.dx = i) , IX) JJw,^,^^,.dj/.dx = 0 a fi a i Die für n,a,b,ß,c,f gesuchten Werthe müssen aber der Bedingung «> a , ß> b , j-^ G genügen. Wenn man bei IV und V die doppelte Integration wirklich ausführt, so nehmen dchungen bezüglich folgende Form X) F (a , ß ,r) -F' (a , ß ,c) -F' {a ,b ,r) + F' (« , ^> , c) = 0 diese zwei Gleichungen bezüglich folgende Form und XI) F'(a,/^,r)-F'(a,/9,c)-F'(a,6,r) + F' (a , 6 , c) = 0 an. Wenn man ebenso bei VI und VII die doppelte Integration ausführt, so nehmen die zwei Gleichungen bezüglich folgende Form XII) F"(a,ß,r)-F"{a,ß,c)-F"i^,ß,r) + F"ia,ß,c)^0 und XIII) F"{a,b,r)-F"ia,b,c)-F"{a,b,r) + F" (a , 6 , c) = 0 an. Wenn man endlich auch bei VIII und IX die doppelte Integration ausführt, so nehmen diese zwei Gleichungen bezüglich folgende Form XIV) F'"(«./5,/')-F"'(«,Ä,r)-F"'(a,y9,r) + F" (a , & , r) = 0 und XV) F" (a,ß , c) ~ F" {a,b,c)- F" (^ , ß , c) + F" (a , 6 , c) = 0 au. Die Gleiclnmgen X und XI sind aber einander einerlei, d. h. sie unterscheiden sieh nur dadurch, dass da. wo in der einen das a, in der andern das a steht. Ebenso sind die 120 G. W. Strauch. Gleichungen XII und XIII einander einerlei, d. h. diese unterscheiden sich nur dadurch, dass da, wo in der einen das ß, in der andern das b steht. Es sind aber auch die Gleichungen XIV und XV einander einerlei, indem auch sie sich nur dadurch unterscheiden, dass da, wo in der einen das ;-, in der andern das c steht. Somit sind diese , durch zweifache Inte- gration erzeugten, sechs Gleichungen nicht geeignet, fünf der sechs Unbekannten a,--^_r dy ' dz identische Gleichungen, und auch in ihnen sind die Werthe des a und des a unabhängig von y und z. Man verbinde nun die Gleichungen XVI, XVIII und XIX. und eliniinire aus ihnen }l und s; so ergibt sich eine Gleichung XXII) /(«)=() aus welcher sieh Werthe des a ermitteln lassen. Verbindet man hierauf auch die Gleichungen XVII, XX und XXI, und eliminirt man auch aus ihnen das y und das z\ so bekommt man eine Gleichung, welche mit XXII einerlei ist, d. h. man bekommt XXIII) /(a) = 0 aus welcher für a ganz die nämlichen Werthe folgen, die man aus XXII bereits für a erhalten hat. Diese Werthe muss man aber zwischen a und 0. so vertheilen, dass die Bedingung a erfüllt wird. Sollte jedoch aus XXII und XXIII für a und a nur ein einziger Werth folgen, so ist keine solche Vertheilung möglich, d. h. man bekommt a = und des ß unabhängig von z. Dasselbe gilt auch von den nach z genommenen Differentialquotienten, und somit sind auch die Gleichungen /d fTT ,1 r d ^ nach z identisch, und auch in ihnen sind die Werthe des h und des ß unabhängig von z. Man verbinde nun XXIV mit XXVI, und eliminire aus ihnen das : : so ergibt sieh eine Gleichung XXVIII) ß = s'(a , a) in welcher das ß durch die bereits bestimmten Werthe des a und des a. ausgedrückt ist. Eli- minirt man ebenso das : aus XXV und XXVII, so bekommt man XXIX) 6 = C (a , ß) wo auch das b durch die bereits bestimmten Werthe des a und des a ausgedrückt ist. Ist nun f(a,''/) vielförmig, so kann man die einzelnen Formen in der Weise vertheilen, dass die Bedingung ßZ>h erfüllt wird. Ist aber C (a,«) nur einförmig, dann ist keine solche Verthei- lung möglieh. d. h. man bekommt 6 = /9, was der Aufgabe widerspricht. Wenn nun die Gleichungen XXIV und XXV wirklich nach z identisch sind, so werden auch die Gleichungen VI und VII erfüllt, die zwei Integrationsgränzen c und f mögen sein, was sie wollen. Endlich , nachdem man für a , a , 6 , ^J geeignete Werthe hat ausmitteln können, gehe man zu den Gleichungen VIII und IX, und führe bei ihnen die zweifache Integration aus.. Die sich ergebenden Integralgleichungen werden aber einander einerlei sein, und so wird man für c und y auch zwei gleichförmige Ausdrücke erhalten, d. h. man wird im Allge- meinen bekommen XXX) ^ = c (a , 6C , 6 , ß) , und XXXI) c = c (a . u ., b , ß) wo c und Y durch die bereits ermittelten Werthe a,ot,6,/? ausgedrückt sind. Ist nun c(a, (« ; '^■) ' "11*^ XXXVII) r = (p (a , «) mit welchen zwei Gleichungen man ebenso zu verfahren hat, wie vorhin mit XXVIII und XXIX. Wenn nun die Gleichungen XXXII und XXXIII wirklich nach ?/ identisch sind, so wer- den auch die Gleichungen VIII und IX erfüllt, die zwei Tntegrationsgränzen h und ^ mögen sein, was sie wollen. Endlich, nachdem man für a,«,c',j- geeignete Werthe hat ausmitteln können, kehre man zurück zu den Gleichung'en VI und VII, und führe bei ihnen die zweifache Integration aus. Die sich ergebenden Integi'algleichungen werden aber einander einerlei sein, und man wird auch für h und ß zwei gleichförmige Ausdrücke XXXVIU) /? = / (a , 6c , c- , ;-) , und XXXIX) A = ;f (a , c« , c , ;-) bekommen. Mit diesen Gleichungen hat man aber zu verfahren, wie vorhin mit XXX und XXXI. Auf diese Weise ist den sechs Gleichungen IV — IX genügt. Man kann aber auch Zweitens folgenden Weg einschlagen. Man nehme zuerst die Gleichungen VI und VII vor, und mache den Versuch, ob A) folgende zwei nach x und z identische Gleichungen möglich sind: T^.,,,.= (> und Ti;,,,, = 0 Daraus bestimme man ^ und h , wie man aus XVI und XVII die Werthe von a und a bestimmt hat. Hierauf kann man B) zu den Gleichungen IV und V zurückkehren und versuchen, ob folgende zwei nach z identische Gleichungen jW,,,,, .dy = ^ , und JW^^,,,^_.dy = 0 möglich sind. Aus diesen, wo man die für h und ß gefundenen Werthe als bereits eingeführt zu denken hat, bestimme man die Werthe des a und des a, wie man aus XXIV und XXV die Werthe des ß und des h bestimmt hat. Endlich führe man bei VIII und IX die zweifache Integration aus, und bestimme c und y. C) Man hätte aber, nachdem die geeigneten Werthe des b und des ß ausgemittelt waren, nicht gerade zu den Gleichungen IV und V zurückkehren müssen, sondern man hätte auch Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf äweifaclm und dreifache hitegrale. 12o zu den Gleichungen VIII und IX vorwärts gehen, und den Versuch machen können, ob fol- gende zwei nach x identisclie Gleichungen möglieh sind : y ir.,,,, . dy =0 , und Jw,^,^^^.dy = 0 h b Aus diesen Gleichungen, wo man die für h und ß gefundenen Werthe als bereits eingeführt zu denken hat, bestimme man die Werthe des y und des c. Endlich führe man bei IV und V die zweifache Integration aus, und bestimme a. und a. Auf diese Weise ist abermals den sechs Gleichungen IV — IX genügt. Man kann aber auch Drittens noch folgenden Weg einschlagen. Man nehme zuerst die Gleichungen VIII und IX vor, und versuche, ob folgende zwei nach x und y identische Gleichungen möglich seien : 11;,,,,= 0 , und TF:,„,,= 0 Daraus bestimme man y und c, wie man aus XVI und XVII die Werthe von a und o. bestimmt hat. Hierauf dienen die vier Gleichungen IV — VII zur Bestimmung von a ^ o. , b ^ ß. Das betreffende Verfahren ist bereits mitgetheilt. Zweiter Abschnitt, wo solche Integrale vorkommen, bei denen die Gränzen der ersten und zweiten Integration Functionen jener Veränderlichen sind, nacli welchen die folicenden Integrationen durcho-eführt werden sollen. Untersuchung 15. 8- 65. Es sei IFein reeller, mit den Bestandtheilen d,tc d„iv d, 10 d\ w tl^d^ w d d w ^ 1 y 1 ^ 1 ^ dx '' dy '' dz ^ dx^ ' dx.dy ' dx.dz ' versehener Ausdruck; und man sucht für 10 eine solche Function der Veränderlichen x , y ^ z, dass folgendes Integral I) JJ := ff I W . dz . dy . du- wo c[x,y) und y(x,y) bekannte Functionen von x und // zugleich, dagegen b(x) nnd ß[x) bekannte Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird. Die Werthe von a und a sind als constant zu betrachten, jedoch mit steter Rücksicht, dass a > a. Die Functioiu^n ß[x) und h(x) müssen in solcher Beziehung zusammenstehen, dass bei keinem einzigen der von a bis 0. stetig nebeneinander liegenden Werthe des x die Differenz ß{x) — b(x] negativ wird. Dieses gilt namentlich auch für die beiden Differenzen ß (a) — b (n) , und ß (a) — b (a) Ebenso müssen die Functionen f(x,y) und c{x^y) in solcher Beziehung zusammen stehen, dass bei keinem einzigen der von a bis a stetig nebeneinander liegenden Werthe des 124 G. W. Strauch. X die Differenz yix.y) — c(x,7/) negativ wird. Dieses gilt auch namentlicli für die vier Differenzen r[a,b (a )] — c [a , 6(a)] , ;- [a , ß (a)] — c [a , /?(a)] r[a,b (a) ]—c[rA,b(a)] , r['y.,ß («) ] — c[a, ß (a ) ] Man beachte durch die ganze Untersuchung, dass das vor dem Differential dz stehende z noch keine Function von x und y ist; sondern die Functionen c{x,y) und y{x,y) treten erst dann an die Stelle des z, wenn nach z integrirt worden ist. Ebenso ist das vor dem Differential dy stehende y noch keine Function von x, sondern die Functionen h{x) und ß{x\ treten erst dann an die Stelle des ?/, wenn nach y integrirt worden ist. So lange die beiden Veränderlichen x und y noch allgemein sind, schadet es der An- schaulichkeit nicht, wenn man kurzweg h , ß ^c ^y bezüglich statt b{x) , ß(x) , c(x , y) , Y{x,y) setzt. Diese Abkürzungen sind aber unerlaubt, sobald einer der Veränderlichen x oder y specialisirt wird. Wenn man auch hier die in der 13'"" Untersuchung (§. 48) vorgeschlagenen Abkürzungs- zeichen anwendet, so bekommt man u ß{x)Y(x,y) . /* /♦ r rd W d Ow d du- d.ow a 4 (x-) c (x , y) d' r) w d d du- d d iJ u- "1 + (II.0 . -^ + (11:.^) . -^ -f (II:...) .-^^ + ....]. dz. dy. dx §. 66. Um letzteren Ausdruck umformen zu können, muss man (man vergleiche das bei zwei- fachen Integralen angewendete Verfahren §. 30 — 39) vorerst das unter dem dreifachen Inte- gralzeichen stehende Aggregat in folgende acht Theile umsetzen: 1. In einen solchen, wo die Differentiation nach den drei Elementen a; , _y , j zugleich d^.d,^d,(^xy:) durchläuft. Dieser mag durch das Abkürzungszeichen ' = dargestellt werden. dx.dy.dz 2. In einen solchen, wo die Differentiation nach den zwei Elementen x undy durchläuft. Dieser mag durch = " dargestellt werden; und er darf keinen nach z genommenen Diflfe- et iJ^ * et Jf rentialquotienten des ow enthalten. 3. In einen solchen, wo die Differentiation nach den zwei Elementen x und z durchläuft. Dieser mag durch ''^ dai-gestellt werden; und er darf keinen nach y genommenen Diffe- rentialquotienten des oio enthalten. 4. In einen solchen, wo die Differentiation nach den zwei Elementen y und z durchläuft. Dieser maß- durch ' dargestellt werden ; und er darf keinen nach x genommenen Diffe- ° dy.dz ° ' ^ rentialquotienten des öio enthalten. 5. In einen solclien, wo die Differentiation nach dem einzigen Elemente x durchläuft. Dieser mag durch ^ dargestellt werden; und er darf keinen nach y und keinen nach : genommenen Difierentialquotienten des ow enthalten. Anwendung des sogenannten Varmtionscalcid^ s auf zio ei fache und dreifache Integrale. 125 6. In einen solchen, wo die Differentiation nacli dem einzigen Elemente y durchläuft. Dieser mag durch ^=^ dargestellt werden; und er darf keinen nach a- und keinen nach z ^•enommenen Differentialquotienten des dio enthalten. 7. In einen solchen, wo die Differentiation nach dem einzigen Elemente z durchläuft. Dieser mag durch '" dargestellt werden ; und er darf keinen nach x und keinen nacli y genommenen Differentialquotienten des dio enthalten. 8. In einen solchen, wo die Urfunction dw gemeinschaftlicher Factor ist, wo also weder eine nach x, noch eine nach ?/, noch eine nach z durchlaufende Differentiation vor- kommt. Dieser Theil mag durch (2") dargestellt werden. Der Ausdruck II geht also zunächst über in: a b M <■ (j: , y) im ,)U= fff\ J J J L dx.dy.ds d.v.d;i d-c.dz d (i'ar) d (2')/) d (Sz) -1 j^ -f XJi + jL± + (eA . dz . dy . dx ' dx ^ dl/ ' rf« ' ^ ^J ^ Auch diese Abkürzungszeichen müssen, wie die bei früheren Anlässen gewählten, aus doppeltem Grunde als zweckmässig erscheinen : denn 1. sie sind mit Merkmalen versehen, welche es möglich machen, dass die Bedeutung und der Ursprung eines jeden dieser Abidirzungszeichen Stetsfort erkennbar bleibt; und ausserdem lassen sie sich 2. geradezu auch auf die Untersuchungen ausdehnen, wo vierfache, fünffache etc. Inte- grale vorkommen. Man beachte -noch, dass, weil c und y Functionen von x und y, und weil b und ß Func- tionen von X sind, es nicht gleichgiltig ist, in welcher Ordnung man integrirt; sondern man muss zuerst nach z, hierauf nach ?/, und zuletzt nach x integriren. §. 67. Nun muss man den Ausdruck III noch so umgestalten, dass dw nach keinem Veränder- lichen differentiirt ist, nach welchem auch noch integrirt werden soll; und, wie schon einmal bemerkt, es soll, so lange x und y noch allgemein sind, kurzweg c und ;- statt c(x , //) und j-{x ,y), und ebenso b und j3 statt b{x) und ß{x) gesetzt werden. ry^y^'''^d,{I.) . . , . 51) Der Theilsatz / / / =^= . dz . dy . dx lässt sich ohneweiters nach r integriren, a 6 (x) c(x , y) und liefert die Gleichung I^'^ Jj j ^.dz.dy.dx=J I [{Iz)^^^,,-{Iz)^,„,.].dy.dx iB) Für den Theilsatz / / / ===== . dz . dy . dx bediene man sich des folgenden aus dem Integralcalcul bekannteu Satzes: 126 f . dz = G. \V. Strauch. d„{fhy) . dz) ^r dy [[-.'/)■'■ .„.r dy d,^r Der erste Theilsatz rechts des Gleichheitszeidiens lässt eine Integration nach y zu : und so bekommt man dy j^ „y (-^ ' ,r(-^-*) di dy . dx =f[f {^y)..ß,. ■ dz -J {lyl,, . '1^ {r) ~ r (x , ij) Man nehme zuerst folgenden aus dem Integralcalcul bekannten Satz: rf.(^-) . dz . d II . dx J(x) r d,{fila-).dz) dx t,(x) d(f fis^).dz.dy) r r db dx dfi db Weil die Quotienten -— und — nur Functionen von x sind, und kein z enthalten: so kann man sie da, wu nur nach : integrirt wird, auch unter das Integralzeichen setzen. Letztere Gleichung nimmt also folgende Form an .'*,>' r 'd,(fll^).dz) d(f'flSx}.dz.dy) r(x,ß) dß d '^f r (■'■,'') u {^x}^, ,....--. dz ^'' ' dx ^rix.l.) ' In dieser Gleichung kommt aber der Ausdruck, um dessen Umgestaltung es sich handelt, nicht vor; und um ihn iiineiiizubringen , muss man noch folgenden aus dem Integralcalcul bekannten Satz /,(x) ^xY dx ZU Hilfe nehmen. Man elimiui dx i^-^'^-"--- :^J /' d,(f[Ex).d.) re jetzt / " . dy aus den beiden .d. letzten Gleichun- gen, führe die gehörigen Übertragungen aus, und integrire beiderseits nach x: so btdvonimt num hl—j J (^^>.,,..-d~.dy 'X)a.y.. .dz. dl a b {X) ,■ [X . v) «(«; <• (n . v) ;. (a) -- (a , ,v) ■ • b{a) <• (n a -■ (X , ,1) '•(x , b) r !■= . '•) dx a li (x) Anwendaiif] de,s -sogenannten Variationscalcut s auf zweifache und dreifache Integrale. 127 !D) Wenn man in der Gleichung V den Quotienten " statt (2"//) einsetzt, und dann noch überall, wo es möolich ist, naeh r integrirt: sd bekommt man a *(.>■) -(.r,-,) VII) ff f 'fid£!l.d,.dj,.dx== J J J liy.dz a a J (x) @) Wenn man in der Gleichung VI den Quotienten ' statt [Sx) einsetzt, und auch dann überall, wo es möglich ist. nacli z integrirt: so bekommt man a ,<(i-) r{j:,v) ff f ' d,d (-.c^-) a i (.r) '■ (j- , I,) a — j[[(i;,rt),,^.^,,, ,,,— (2:0:2),,,, ,.,,,,5j-^^ — [(i;a:3),.,.^,,,,) — (i:a" 4,, ,,.(,, ,,]^].r/.r '^) Die Behandlung von / / / ' . dz . dii . dx ist jedoch etwas weitläufiger, / / / dx . dy ' o "'a"'«U)\'(x,,v) ■ _ _ 'l„(- ■>-•!/) als die der beiden vorigen Ausdrücke. Man setze den C.)iu">tienten " statt il'x) in VI ein, ö "- dy ^ so bekommt man vorerst a , j (x) y (x . t/l " ^ * (t dx . dy IX, j j I ' :\ -'.dz.d,, .dx = a '«(-rl '" IC , "i Nun ist '■"' ■ dy 128 G- TT^- Strauch. und d. y (» . v) >(/ (-^^2')a,v,. ■'''^ /'"'"^ Ferner ist V dy dx "*" dJ (Z^ ■ dj/ "^ " 'jx.dyJ^ d d ,: dy und dy V dy ' dx "*" -(o,^[al) 7-(a.S[i]) r(a,^[a]) )-ia.*iali r (2'a;?/),,^(„),,.(7t— l' {Ixy),^,^,^^,.dz—J {Ixy),^^^,^ ^, .dz +J (Ixy),^,,,^ ^, .dz r{a,fl[a]) ''r(a.6[a]) c{&,fl[K.]) ^(.a.ifiil,, /» r dY(a,y) d^^c{a , y) -^ 6 (a) /y '^ Yi'^'H) <^y''^^ -y) '\ y{^^y). .y,r (a . .) • ^^ i^^3/)a , , , . ,a . .) • —^- \ ' '^ «(a) J / L^ -^^ 'l^ --((-).i^):-L,.J-"-- a c(j;,4) Ileiikschiiflen der matheiii.-nilurw. C'l. XVI lid. Abhandl. v. Nichtmitgl. 130 G. W. Strauch. "a -4(x) '' U ^ ' d^ Jdx.dy ' l rfs ' d7^ J (ix ' rf;/ \^ d, (2'a; 2/ s) (i^ rf^ c .d,{Ixy) d^ {I.v yz) d^c d^ i \ ^' ^ dz ) dj-.dy ^ \ dz ^ dz- ) dl- dy (,.„,. J "^ + fj J {I) . dz . dy . dx a ß{.c) Y{x,y) a f> (j) c [x , (/) §. 69. Nun darf das dw nach keinem Veränderlielien differentiirt sein, nacli welchem auch nocli integrirt werden muss. Man weiss aber (aus §. 66j: 1. Bei den, unter den beiden einfachen Integralzeichen / und / stehenden Aus- 4 («i h (a) drücken [Sxy) und [Sxyz) können Differentialquotienten des die vorkommen, welche nach y genommen sind. a 2. Bei den, unter dem einfachen Integralzeichen / stehenden Ausdrücken [Sxy) ,[Ix.z)^ a * (Sxyz) können Differentialquotienten des dio vorkommen, welche nach x genommen sind. 3. Bei den, unter den beiden doppelten Integralzeichen / / und / / stehenden, Ausdrücken {Sx) und {Sxy) können solche Differentialquotienten des dto vorkommen, welclie nach x, aber keine solche, welche nach z genommen sind. 4. Bei den, unter dem doppelten Integralzeichen / / stehenden Ausdrücken [Ix] ,[Sy), a 'J (x) {2!xy) , (Ixz) , {Syz) und (Ixy.z) können solche Differentialquotienten des dw vorkommen, welche nur nach x, oder solche, welche nur nach //, oder solche, welche nach »■ und y zu- gleich genommen sind. In dergleichen Fällen muss man die betreffenden Theilsätze (nach Anleitung des §. 0 7) abermals umformen, bis kein dw mehr nach einem Veränderliehen differentiirt ist, nach wel- chem auch noch integrirt werden soll. (Man vergleiclie §. 38.) Die hiesige ganz allgemein gehaltene Untersuchung wird in der nun folgenden (§. 70 und 71) und im Nachtrage (§. 91 und 94) noch näher specialisirt werden. Untersuchung 16. 4;. 70. Es sei TU ein reeller, mit den Bestandtheilen x , // , z , w , — — — ^. ^— versehener Au.s- druik; und man sucht für lo eine solche Function von x , y , z, dass folgendes Integral Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache und dre fache Integrale. 131 I) U = ff f W. dz . dy . dx a 0 [x] c (x , y) wo h {x) , ß {x) , c (x , y) , ^ (ic , ?/) bestimmt vorgeschriebene Functionen der betreffen- den Veränderlichen sind, ein Maximum oder Minimum wird. Hier bekommt man zunächst II) ^U^jj I [-^dw + (lx)^+ily)J^+iUl^].d..dg.d Daraus folgt weiter lll) u —JJ J [ d^ + dy ^ dz a b {x) c (x , f/) dJV djl.v) d,,(ly) dJU) , 1 , , , I — ; , — ^^= — ^=^ ] . oic \ . dz . aij . dx \ dta dx ibj dz J \ "^ Wenn man diese Gleichung mit Gleichung III der vorigen Untersuchung vergleicht, so erkennt man, dass {Ixyz) = 0 , (Sxy) = 0 , ( V'^^) = 0 , (2'?/.3) = 0 , [Ix] = (la') . dw , [ly) = (ly) . dw , (2^^) = (Is) . dw und ^v) _ f'^"^" ^^^^-"^ ^'-'^^^^ '^-•^^"^ > ' V dw dx dy dz ' ist. Die allgemeine Foi'mel XII der vorigen Untersuchung geht also diesmal über in IV) dU = j J (la^)«,,,,, • o^ü«,,,, . dz . dy—f J (Ix-),,,,, . «w,,„,_. . dz . dy ""6 (a) '• (a , v) *'* (a) c (a , '/) + /"( ((I,/)_(Ix)|) .dw^,,,^.dz.dx-ff ((I^)_(Ix)3 ..7z«,,,,,..rf^.fZx- a r {X , fi) n c(x , 6) aß(x; ^JJ[[{l^)-{ly){^~{lx)^)^^^^.oyo^,,^,^({lz)-{ly)^-{lxi^)^^^^^^ a b {x) «.(.,.(.,,„, ,^,. ^^^^^^ ^^^^j^^ ^^^j^ .7,7 + 111 I == — =^ — ■ \ . aw . dz . dy . dx ' J J J \_ dw dx dy dz } a 6 (x) c (x , v) Das unter dem dreifachen Integralzeichen stehende Aggregat liefert die Hauptgleichung <^,."' " (^.(I^) <*„(I5') '^.-(I*) V) ^ w d.v dy dz = 0 welches dieselbe ist, wie in der 13"" Untersuchung, wo alle sechs Integrationsgränzen con- stant waren. Alle mit den zweifachen Integralzeichen versehenen Theilsätze der (Jleichung IV bilden zusammen die Gränzengleiehung. 132 G. W. Strauch. §. 71. Berücksichtigt man die Hauptgleichung, so bekommt man für das Prüfungsmittel im Allgemeinen folgenden Ausdruck: i(a) c(a,.v) ^,S(a) rfa.y) ö (a) c (a , ;/) Z. c{x ,ß) '^ -//"'' [((12/) -(I-)l) ^ ..^^^.,.,.+(0.-,-^^) ..^<.,,.].^..^. a p ( x , 6) +/7l{(i.)-(W^'-.r.)i^) .<...„„ 4 (^-./-'-/i^) a ft (x) +/// [«'-(-i^ + ^V + ^V+s-H a b{x) c(x, y) ,djw dSw .2 ,ddw 2-, ö'^' ,y,r Mit diesem Ausdrucke ist aber noch folgende Gleichung d T] d u> d /■ VII) L-^--^-^-2l.S5^_@.©^_D.3'^ = 0 zu verbinden; und man erkennt, dass, wie in der 13"'" Untersuchung (§. 49— 53), so auch hier, zwei der drei Stücke tj , uj , X willkürlieh sind. Die Bedeutung von L , 21 , S , g , 2) , ® , g , © , f) , 3 ist bereits (aus §. 49) bekannt. Es wären nun noch einzelne Gränzfälle aufzustellen und durchzuführen, was jedoch in Folge alles Vorhergehenden unterbleiben kann. Untersuchung 17. §• 72. Es sei T^ein reeller, mit den Bestandtheilen d u> d,w d^w d'w dd_ u> d^d,tct x,y ,z .w , dx dy ' ds ^ dx^ ' dx. dy dx . dz versehener Ausdruck ; und man sucht für lo eine solche P'unction der drei Veränderlichen X , 1/ , z, und zugleich für c{x ,y) und f[x^y) solche Functionen von x und ?y, dass folgendes Integral Amoendung des sogenanjiten VariationscalcuT s aiif zweifache und dreifache Integral <\ 1 3o a ,5(x) yix.vl I) r=\\ I W.'lz.dy.dx ein Maximum oder Minimum wird. Man setze, so lange x und y noch allgemoin sind, kurzweg h , ß , c , y beziig]i(d\ statt b [x) , ß{x) . c (x , y) . fix . y) ; so bekommt man a ß{x) llj oü=^ff [W^.,.r-''r-^y^..,^-o^].dy .dx -^ I I I dW.dz .dy .dx a. b{i) c (x . y) ■Jl' und rf ir ■ a i (x) - fF„,,,, . 0-c - 2 . J n;.,,. . >)c - (=1) . .?.-']. dy . dr a J{x) _^y{j,t/) + fl I d^W .dz .dy .dx ft S (x) P (X , I/) Hier ist bekanntlich d W d Sic d Sw dr^w d'rhi: dio dx ' *J f fiij ^ dz d. dd dio dd^^io d'/) w d d, ' ^ ^' dx.dii ^ ' dx.ds ^ ^ ^ du- \ ^ ' dy. d'Sw d'3w und d W rf, '52 „, d, 3- w rf S- u) dl (?2 w V) ,^W=^.öHc^{lx)^-^{ly)^^ (I,)^4.(II.^)__ d d S^ w d d 3" w ^ ^ "^^ dx.dy ' ^ ' (e.«;.(is ' d 3iv d 3 IC + U,.dw''-^'2l\...diD.- h 2 M3 .-«..,,,.] . dy . dx = 0 Um aber der Gränzengleichung zu genügen, mag es hinreichen, wenn folgende zwei besondere Fälle aufofestellt werden. o §• '-^■ Erster (rränzfall. Wenn für die Gränzen keine Vorschriften gemacht sind, so haben die Ausdrücke etc. etc. und I Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dre fache Integrale. 135 VIj oy^x.y] . r)c(x,'i/) , (ry^x .y) , d-c{x,y) , etc. etf. durchaus keiner Bedingung zu geniigen. Hier sind die in IV aufgestellten sechs Ausdrücke dem Werthe nach ganz unabhängig von einander, obgleich sie aus einer und derselben Function dw^ _ „ , herstammen. Das Nämliche gilt auch von den sechs in V aufgestellten Ausdrücken, obgleich auch sie alle aus einer und derselben Form f)'Wj. „ , herstammen. Und so fort. Dabei wird der Gränzengleichung nur genügt,'wenn folgende acht Gleichungen 1) (Irr)„,,,,= () , 2) (I^),,,,^_(I.r),,,,,.-|=ü , 3) W:,„,,= 0, 4) (ixX,,,..= o , 5) (i^v).,*,.-(i^).,*,.-^ = o , 6) n:,„,,= o, 8) (I^).,,.. - {Igh,,,.. ^ - (I^).,,,. . ^ = 0 stattfinden. In den zwei Gleichungen 1) und 4) ist x constant; sie sind aber nach i/ und z identisch und müssen, wenn sie Differentialgleichungen sind, als partielle Differentialgleichungen nach y und z behandelt werden. In den zwei Gleichungen 2) und 5) ist ß(x) und h (x) an die Stelle des ?/ getreten; sie sind aber nach x und s identisch, und müssen, wenn sie Differentialgleichungen sind, als partielle Differentialgleichungen nach x und z behandelt werden. In den zwei Gleichungen 7) und 8) sind c(x ,g) und ]r(x ,i/) an die Stelle des z getreten; sie sind aber nach x und ?/ identisch, und müssen, wenn sie Differentialgleichungen sind, als partielle Differentialgleichungen nach x und ?/ behandelt werden. Schaut man jedoch noch eimnal auf die Gleichungen 7) und 8), so sieht man, dass daselbst die Differentialquotienten der noch unbekannten Functionen c{x,y) und yix^y) vor- kommen. Durch Elimination dieser Quotienten wird jedenfalls einige Bequemlichkeit gewon- nen für den noch rückständigen Theil der Untersuchung. Nun sind aber auch die Gleichungen 3) und 6) nach x und y identisch; und desshalb sind auch ihre nach x und y genommenen partiellen Ditferentialgleichungen identisch Null, d. h. man hat auch ,d\\\ ,d \\\ d r ,d n\ , d, \\\ d, c 1" Hr +(— ) ■i: = » . 1-^) (tt). +(Tr), -i^" d Y d y d ,c d^ c Eliminirt man letzt — , -^ , -^ , -^; so gehen 7) und 8) bezüglich über in '' dx dy dj; rfy . ° ' ' ° d ^^\ , rf 'i\ , d, w 13) ((!-)•=) ^(it^^/)-=7r) +(^i-^)-=ir) =^' U) (1.).=^) +((ij/).=) +((i..).— ) =0 Die Symmetrie der beiden letzten Gleichungen ist beaehtensAverth. 136 G. W. Strauch. Man substituire jetzt das für lo gefundene allgemeine Integral in die Gleichungen 1). 2), 4), 5), 13), 14), und integrire dieselben. Erst die sich ergebenden sechs Integral- gleichungen können benützt werden zur Specialisirung der (in w eingegangenen) willkür- lichen Functionen'. Hierauf substituire man die so specialisirte Function w in die beiden Gleichungen 3) und 6), und bestimme die unbekannten Functionen c{x , ?/) und j-^x ,t/). Weil aber die beiden Gleichungen 3) und 6) einander einerlei .sind, so müssen sich für c (x , y) und j- {x,y) auch zwei ebenförmige Ausdrücke ergeben. Sind diese vielförmig, so kann man die verschiedenen Formen so vertheilen, dass die der Aufgabe zu Grunde liegende Hauptbedingung j {x ^y) > cix^y) erfüllt wird. Ergeben sich aber für c [x ^y) und j {x^y) nur einförmige Ausdrücke, so ist keine solche Yertheilung möglich , d. h. es ist c {x ,y) ^ y [x ,y) ^ was der Aufgabe widerspricht. Um das Prüfungsmittel herzustellen, liat man in die allgemeine Formel III der vorigen Untersuchung für o^IF und ■.) d (Sw \ J djdic ) d (3 w^ ).-i dg stattfindet. Sonach bleibt von VII nur übrig XI) rfU = d W^ , I-' (I«) d (8w \ (Xy) d (3w K" , d üw d dw .2 d Sw '-~i Es hangt also von den fünf Ausdrücken ,d,W^ , dW. X . [I ^ 7 X . f/ , c ab, ob ein Maximum oder Minimum oder keines von beiden stattfindet. §. 75. Zweiter Gräuzfall. Man soll unter allen in Betracht zu ziehenden Functionen w == ^ {x .y 1 z) diejenige herauswählen, welche bei z = c {x , y) und bei z ^^y [x ., y) bezüglich mit 21) e=f'{x,y,z) und 22) s = f" {x , y , z) zusammenfallen. Dieses Zusammenfallen ist dargestellt durch die Gleichungen =i?>) ""d II) £ =/" {x ,y , z) specialisiren, sondern auch zwischen den fragliehen Gränzen einerlei Masse liefern, ist es nun, bei welchem das über die ganze Ausdehnung unseres Körpers erstreckte Integral ™^ ^'-JI J r' + i-^)+ (ir) +(-)]• ^^^ • ^^.'^ • '^- ein Minimum wird? Unseres Körpers Masse wird geliefert durch das Integral IV) / / / 10 . dz . dy . dx wo w = ^ {x , y , t) das gesuchte Dichtigkeitsgesetz ist. Die Bedingung-, dass das gesuchte Dichtigkeitsgesetz im Bereiche der beiden Gränz- tiächen sich auf die beiden vorgeschriebenen Functionen I und II specialisire, ist ausgespro- chen durch folgende zwei Gleichungen V) ^(x ,y , c) =f {x , y ,c) , und VI)

-(-r,.'/) I; f ' = I f f W . dz . r/;/ . r/.r ein Maximum oder Minimum wird. Wenn man, wie in §. 63, die Werthänderungen des a und des ('<) ./'(«,!') ,5 (a) r (a , y) lii) o'U=f j W^,„^,.,) a. "r (jc , b) jj [W^,„,r- 'h - TF,,„... .;c] . dg . dx M r (x ,y) / dW. dz . dg . dx a 0 {x) a ß{x) r {x , v) n i {x) r (x , y) Die Bedingungen der jedesmaligen Aufgabe werden anzeigen, ob man von der Formel II oder III Gebrauch zu machen habe. Die ferneren Umformungen, welche man mit dem dreifachen Integral ff I dW . dz . dg . dx a 4 (x) n (x , y) noch vorzunehmen hat, sind bereits in der 15'*" Untersuchung (§. 65 — 69) ausgeführt. Man beachte dabei besonders den Inhalt des §. 69. Untersuchung 20. §. 89. Um jedoch die vorige Untersuchung einigermassen zu specialisiren, mag TFein reeller. d w d w d^ w mit den Bestandtheilen x ,y , z ,io , — ^ , -^ , ^— versehener Ausdruck sein. ' '^ ' ' ^ dx ^ dij ^ ds Bezeichnet man, wie gewöhnlich, so auch diesmal die zu d 3 w li, '5 » d^S w dx ' dy ' dz gehörigen Factoren bezüglich mit (I^-) , (Ij/) , (I'S) und führt man die gehörigen Ti-ansformationen aus ; so bekommt man zunächst 148 G. W. Strauch. ß{a.) r{a,„) J {aj >- (a , y) ,5 («)_ •/ (i , ;/) ^/3 (a) /• (a . «) + / / (I «;)„ , , , , . «'mj« , , , . • c?2 • ) - jj ( {^ii). , * . . - (i^)..- , '• , - 3 • f'"^^- .'-.=• '^^ • ^^^ + // [^K.,...-«V4-((i.^i..„,.--(ij/).,,,,..^-(ix%.,.,A').. ;....,_ ''a'JW + 111 I ==— -- — =— I . oiü . dz . dy . dx J J J \^ dw dx dy dz J ■' a A (r) r (x , ,v) Weil man aber, wie bereits (in §. 87) näher begründet ist, die Bestaudtheile *a und &a vor die Dift'erentiale dz und dy , und weil man ebenso die Bestandtheile dß und db vor das Differential dz setzen darf; so kann man letztere Gleichung auch auf folgende Weise schreiben: Jii), r(i,!i) ^,} (a) )- (i , v) — / ' / ' ( n ; , ,„ . , . // a, + (I xi , „ ,,..!/ «), ,,,.,). 6?,E- . r/.i/ +yj [i^x.,. = - «^/5 ^ ((i.y)x,,,.- (i.*')x, .,.•!) • '-^"^x,,,.] . '^.^ . d-^' a -• (x , ^) a c (x , A) a " « (x) ,,(x),.,x.,v, , ,_(j^ . ; ; 7 _i_ / / / I -- ■ ^ . oiö . dz . du . dx J J J L «^«^ ''•^ rf(/ (i2 J a 4 (x) -: (x , !i) Es hat jetzt keine SchAvierigkeit, die Gleichungen I und II noch weiter zu behandeln, und in jedem Einzelfalle das betreffende Prüfungsmittel herzustellen. Das Verfahren ist dem Anwendung des sogenannten Varidtinnscalcid s auf zxoeifache und dreifache Integrale. 1 49 analog, welches ich in der 12'"' Untersuchung (§. 45 — 47) bei zweifachen Integralen ange- wendet habe. §• 90. Hiermit mag nun auch die Reihe der Untersuchungen . welche auf dreifache Integrale führen, und welche sich noch sehr vermehren lassen, geschlossen werden; denn alle dabei vorkommenden Eigenthümlichkeiten sind, wie man zur Genüge erkannt hat, denen analog, welche bei den auf zweifache Integrale führenden Untersuchungen bereits erledigt sind. Ebenso hat der Übergang- zu solchen Untersuchungen, welche auf vierfache, fünffache etc. Integrale führen, jetzt nicht den mindesten Anstand mehr; und auch für solche ist durch das Vorhergehende jede erforderliehe Anleitung gegeben. Dass aber dergleichen Unter- suchungen, namentlich wenn nicht alle Integrationsgränzen eonstant sind, einen sehr grossen Raum einnehmen, das bedarf kaum der Erwähnung. Nachtrag. §• 91. Ich habe jetzt, wie schon im Anfange dieser Abhandlung (§. 1) angedeutet wurde, noch nachzuweisen, dass die von Sarrus, Cauchy und Delaunay mitgetheilten Resultate ihrem Gegenstande nicht genügen. T. A b li a n d 1 u n g v o n 8 a r r u s. Diese führt den Titel: „Recherches sur le caleiil des variations", und befindet sich in dem mit der Jahreszahl 1848 versehenen Bande X der Mömoires prösentös par divers savants ä l'acadömie des scienees. Seite 1 — 128. Sarrus gründet seine Resultate darauf, dass er ein eigenthümliches Substitutionszei- chen einführt. Nemlich: 1. Wenn u eine Function von x ist, und dem x der feste Werth a beigelegt wird; so schreibe ich u^. Sarrus aber schreibt H^^- 2. Wenn u eine Function von x und ?/ ist, und diesen beiden Veränderlichen bezüglich die festen Werthe a und b beigelegt werden; so schreibe ich u^,,. Sarrus aber schreibt 'X'~\:,u. 3. Wenn u eine Function von x , y , z ist, und diesen drei Veränderlichen bezüglich die festen Werthe a , 6 , c beigelegt werden; so schreibe ich m^,^,^- Sarrus aber schreibt n^n^H-«- , Undsofort. Die nächste Folge dieser Bezeichnungsweise ist, dass Sarrus viele Theilsätze, welche ich unter ein und dasselbe Integralzeichen bringe , von einander trennen, und unter abge- sonderte Integralzeichen setzen muss." Davon ist die weitere Folge, dass die Sarrus'schen Formeln unfähig sind, jene Probleme zu lösen, wo verschiedene Gränzbedingungen in Rech- nung gebracht werden sollen; und so kann man mit diesen Formeln nicht einmal jenes eni- faehe Problem lösen, wo die „kleinste Oberfläche zwischen veränderlichen Gränzen" gesucht wird. (Man vergleiche die Anmerkungen, welche ich zu §. 26, 29, 43, 44 und 47 gemacht habe.) 150 G- ^V. Strauch. Das Prüfungsmittel , an welchem man das Vorhandensein eines Grössten oder Kleinsten erkennt, hat Sarrus nirgendswo hergestellt, ja er hat desselben nicht einmal erwähnt. Auch sind seine Formeln unfähig, das Prüfungsmittel zu liefern, und zwar schon in jenem allerein- fachsten Falle, welchen ich in der ersten Untersuchung (§. 10) erledigt habe. Um die Wahrheit dieser Aussagen vor die Auschauung zu bringen, will ich die von Sarrus in seiner Abhandlung (Seite 119 — 128) aufgestellte Aufgabe auch nach meiner Weise durchführen, und alsdann die beiderlei Resultate miteinander vergleichen. Diese von Sarrus aufgestellte Aufgabe ist folgende: „Quelle doit etre la loi des densit^s des molöcules d'un eorps dont on connait la „forme et la position, pour que, en ddsignant par v la densite de la mol6cule ayant „X cTi X, pour eoordonnees et par lo une fonction quelconque donnde de x x^ x.^ v, „r integrale dx / dx^ / dx., w . —— — -— / I ~ dx dxi dx.2 „soit un maximum ou un minimum, en supposaut, (Vailleurs, cette integrale prise dans „toute l'ötendue du corps? " Der Umstand, dass man es hier mit einem Köi'per von bestimmter Lage und Gestalt zu thun hat, verlangt ein bestimmtes Integral, Avofür man die betreffende Bezeichnungsweise allerdings von Herrn Sarrus hätte erwarten dürfen. In obigem Integral ist, wie aus der Aufgabe hervorgeht, durch v eine vorerst noch unbekannte Function der drei Coordlnaten xx^ Xo dargestellt, während w eine ganz bestimmte Zusammensetzung der vier Bestandtheile xXiX-^v bedeutet. Dieses berücksichtigend gelangt Sarrus (in Nr. 155, Seite 119 — 123) zu folgender Variationsgleichung der ersten Ordnung: ( 1 ) 0 = / dx / dx, / dx, -- . — ^-^ ■ ■ ■ ) • " '■ ^' / / / y dv dx dx, dx^ dx dx^ dx., ) (2) ^jdxjdx,r^r^^.,r r r r " Z" d'-x.y" dw dx,," dw dx.^" die dx," dx," \du>- ^' ■' I ) 1 l's V ■ dx dxi dx dx, dx, dx dx, dx dx, ) dx, (6) - idx fdx,r^[w .pi-^^.f^^.^^';^.^.'^] ^ ■' I } ^ dx.dx, d.r dx, dx, dx dx, dx dx, I (10) -J,uy.ij:i.,(^_) dxo' d.v.)" \ d' 0 r (dx,)--' dx.,' dx.2' \ 'l'Or (dx,)''^ d'^ w O V ^ Amofiiihtng (h,s .wgeiHnintcii VnriaÜonscalcu[ h auf zioeifache und drei faclu^ hdeijrale. 151 (11) -j^^^ijä^A^.^ (14) _^;7xnf nf (^)-^^- (17J +|;?.^^fn:f(4^).^;^• (18) H-j^xnf ns'M.^ (19) +y^-nfn2'(-^).S; (20) +y;/xn:;'nf (^)..?^^ (21) +/^-^n:;'nf (^«).4^ (23) -^rf-n:;'n2'(^).^^' (24) -fdx^;rx((w).^ (25) -/^-T;nj:(^«-^)-i^ (26) -X'fdx^ry^l^.dv (27) -nf/'^-,n;l»-S^)-f (29) +nr/<*:^,n;f(«..-g^).^ (32) —tf'lx.'^ii^yil'' 152 G. ir. Strauch. (34) --nrnf/>-^.(;;;:).^" (35) +nrn:;/«^^.(;^).'?^^ • (36) +n:'nff/.^-4^;)-'?^' (37) -ry^r^;Jdx,{;^).,}v (38) +nfnf nfi^«)-«'' (39) _^f^V'q;/(,,).^^; (40) _r^f qVr^V',^^).^^ (41) +nrn:;'ns'(^<')-'?^^ (42) --r^r^;'n^'(2o).^v (43) f n:'nf ns'(^«)-'^^ (44) ^nfn:;'n:!" (^)-'?^' (45) —^^;%ii:w).dr Nun will ich diese von Sarrus aufgestellte Variationsgleiehiuig nach meiner Methode entwickeln. Dabei werde ich, zur Bequemlichkeit, die drei Coordinaten mit x , i/ , t dar- stellen, und auch hier meine für die partiellen Differentiale angenommenen Bezeichnungen gebrauchen. Das Integral I nimmt also jetzt folgende Form an : -." ^fi (^) ^r (^ < '(■'■ ■") i" r r ' ,d «■ d d d V d d d d i- , IIIj ')U= / ( — ■ ^^ ' r)v + to "" ' ] dz . dv . dx J ] ] ^ dv dx.dij.dz dx.dy.dz J .1 4 (j) "-(i- . i,\ Lm diesen Ausdinick yehorig umformen zu können, gestalte man ihn zuerst auf folgende Weise : Anwendung des sogenannten VariationscalcuTs auf zweifache und drefache Integrale. löH /• /• /• r , d„w d d d i- d d d le ^ lY) ,) ü= / 1 — .^^ ' " -' 1 . i] / d (f te ^ \ / d d w „\ , d (I w „\ dJ=S=^=.df] d ( '■ ' ■ f? » dl'« . ün] dx dy dz M/(^'^^'0 'h^.C^^^) ^M'=i^^) dJ,d^{^c.,Uy\ — = — ^— — ^^= — =^=^=^== 1- " \ . dz . (1 1/ . ilx dx . dy dx .dz dy. dx ' dx .di/.dz J ' Wenn man letztere Form mit Gleichung III der 15"" Untersuchung (§. 60) vergleicht: so erkennt man, dass diesmal d 10 {l'xyz) = w.r}v , (Ixg):r=—^d?.> , (Sxz) d d w d d w d d w dw dy . {l'j/Z)^ — d^w dx [I)^- d^w d^d^d^r <'_/'„./,«■ V dv dr . dy . dz d.r.dy. dz dy.dz \ ^ ,;,. (^^ . / dx . dy ist. Diese acht Ausdrücke substituire man jetzt in die allgemeine Form XII der 15'"" Unter- suchung (§. 68), und reducire soviel als möglich. Zugleich setze man, so lange x und g nocli allgemein sind, b , ß , c ,f bezüglich statt b{x) , ß (x) , c (x , ?/) , ;- (.x , ?/) , welche Abkürzungen natürlich nicht mehr angewendet werden dürfen , sobald von den zwei Veränderlichen x und g einer oder alle beide specialisirt sind. So verfahrend bekommt man . d U' ad o,r d d d w r ,'• r , d w d d d V dd. d, w . V) f)U= / / / {J!-.^J^ ^i^) . o\, . dz . dy . dx ' I J I \ de dx .dy . dz dx .dy.dz J J J \\<^^-'^y K,„,r'^^^''''"'^ ^ '^■"■''^ dx ' dy '^ dy ■ dx x /-'^''''x ''^r ''„r (<-z — \ ' .■ 1, -A r II V ^ a 6 {c) dd.w^ , ddc d w de d w d dz dx dy }^ ,j.^ ^_„ y Kd^dy J^ „ f "'-^'^'"'^ \^ dx.dy '^ dx ' dy ^ dy ' dx dw de de. fdSv. de de d\d v n ^ dz dx dy 1^ „ ,. ^. dz J^ ^,. "■'•'' '- dx dy \ dz^ )^ ^ ,^ ^ ,. J ^' a c (x,fl) a c {x , ö) /S(a) y{a,y) r r , d d w ., ,, b (a) c (a , !/) „/3 (a) / (a , ») , , a r i-' ■ fl) ä (a) o (a , !/) Denkschriften der mathem.-naturw. CI. XVI. Bd. Abband), v. Nichuuitgl. 154 G. W. Strauch. I tü-^ . I X , fj .y {r , h) •' X , f) , Y (.r , b) + "■ — 1 • I — I + (--) •(— ) X, ß, f(x,^} X,ß, r(x , ß) r Y r d W ^ r d Y d 3t^ i» a , !i , r (a , y) •> a , y . r {a . y) a , y , '■ [a , ?/) ' f [-"(4r) . •«^''a,.v..(a.,)-(^«i^) -l^) . ' , L -^ a ,?/,)• (ii . .») •' a , ./ , r (a , >/) a , v . y (a , y) ''(a) ^ a , ,v , '^ (a , '/) -^ a , (/ , ^ (a , y) a ,//,'• (a , >i) J r(«./5|al) , /-(«■«■[al) /■ a. »o V / / d,w . <■(«,/? [a]) -■ (« , 4 [a]) V(a,/S|a]) Ha. Mall •-^ , - r „ a , ,< (a) . z ' , , I 1, a , '. (a) , c ■ (a , ,5 [a]) a , ,ä (a) . z ' r [^ , ü |a]) + '^a,ß{a), y (a , /J [«]) • ^^a, ,? («),>- (a , /? («]) '^^'a , ^i (a) , >• (a , ^ [a|) • » ^'a , ,S (a) . >■ (a , ^ (a]) "^a, li{a) ,Y[a,0 [«]) • '^ ^a , A (a) , >• (a , « [«]) + ^"a . 4 (a) , ^ (a , 6 [a]) • ^ W» , « (a) , r (a , « (a)) ■"'« , /5 («) ,'•(«, ß [a\) • '^'^a,ß{a),c(a,ß [a]) + ^a , ^ (a) , f (a , ;3 [a]) • ^ ?\ _ ^ (a) , ^ (a , ß [a]) + ^"-2 , /. (a) ,c(a,/> (aj) • " ^"a , « (a) , c {a , f. [a]) ^^ . /) la) , <■ (a , « [a|) • '''' '''a , S (a) , ^ (a , /, |aj) §. 92. Wenn man jetzt diese meine Formel mit der von Sarrus aufgestellten vergleicht: so gewahrt man sogleich, dass bei Sarrus jede der sech sun ddreisig, mit Nr. 2 — 37 be- zeichneten, Zeilen auch mit besonderen Integralzeichen verselien, und dass somit alle darunter befindlichen Variationen von einander abgesperrt sind, wesslialb aucli letztere in keine Ab- liäno-iokeit unter einander a'ebraclit werden können. Anwendung des sogenannten VariationscalcuC s auf zioeifache und dreifache Integrale. 1 ö 5 1. Die seelis, bei Sarriis mit Nr. 2 — 7 bezeichneten, Zeilen habe ich unter das ein- zio-e Integralzeichen / / gebracht; und erst so ist es möglich, die sechs Ausdrücke ,(lJv ,d,Sv. ,d:dv. ,d-3v^ von einander abhängig zu machen. 2. Die zwei, bei Sarrus mit Nr. 8 und Nr. 9 bezeichneten, Zeilen habe ich unter das einzige Integralzeichen / / gebracht; und erst so ist es möglich, zwischen (iv^^^ , und ,djF _ _ ^^ <-(^,ß) ( — — J irgend eine Abhängigkeit aufzustellen. 3. Ebenso habe ich die zwei, bei Sarrus mit Nr. 10 und Nr. 11 bezeichneten, Zeilen unter das einzige Integralzeichen / / gebraclit; und somit habe ich auch zwischen rjv^ ^ ( ~ — 1 die nöthige Verbindung hergestellt. 4. Dagegen musste eine jede der zwei, bei Sarrus mit Nr. 12 und Nr. 13 bezeich- neten, Zeilen auch in meiner Formel mit einem besonderen Integralzeichen versehen werden; und so bleiben auch hier die beiden Ausdrücke öv^,^, und dv^,,, von einander abgesperrt. 5. Die zwölf, bei Sarrus mit Nr. 14 — 25 bezeichneten, Zeilen habeich unter das ein- a zige Integralzeichen / gebracht; und so ist es möglich, die zwölf Ausdrücke a ^ '\ '^ ^ f^'^x , ß,r{x , ß) ) OV^f^^^f^-^^ , O'^x ,ß ,<^(x, ß) 1 f^^''x,6,c{x ,i) ^ ''.'/ K.ß.r^x,ß) ' *- '^^ K-,>,,r(x,l,) ' ^ <^.V K,ß,rix,ß) ' ^ "^y K,ö,c(x,i) (d_ öl- , d Sv . , d 8v ^ , d, Sv ^ von einander abhängig zu machen. G. Die vier, bei Sarrus mit Nr. 2G — 29 bezeichneten, Zeilen habe ich unter das ein- ntegralzeichen / gebracht; >ind erst so ist es möglich, die vier Ausdrücke ' V dz )„ .„,,,., ' V dz )„ ^ ^'a , II , r (a , ri) ' '^ ^ a , ;i . c (a , ii) "* ' a ,y .r {a ,y) " ""' ' a , y , e (a , y) von einander abhängio- zu machen. 7. Ebenso habe ich die vier, bei Sarrus mit Nr. 30 — 33 bezeichneten, Zeilen unter das einzige Integralzeichen / gebracht, so dass auch zwischen den vier Ausdrücken . d 3p , , rf, dv , die gehörige Verbindung hergestellt ist. » I * . r (a I .v) a , ;/ , r (a , v) 15(i '?. Tr. Sf/f/ii eh. 8. Dagegen musste eine jede der vier, bei Sarrus mit Nr. 34 — 37 bezeichneten. Zeilen auch in meiner Formel mit einem besonderen Integralzeichen versehen werden; und .so blieben aucli liier die vier Ausdrücke von einander abgesperrt. §• 93. Hiermit hat man in der That ersehen, dass, wie schon im Anfange des §. 91 vorbemerkt wurde, die Sarrus'sehen Formeln unfähig sind, die auf die Gränzen sich beziehenden Varia- tionen voneinander abhängig zu machen, dass man also mit diesen Formeln z. B. nicht ein- mal das einfache Problem lösen kann, wo die „kleinste Oberfläche zwischen gegebenen Flächen" gesucht wird. (Man vergleiche die Anmerkungen, welche ich zu §. 26, §. 2'.l. §. 43, §. 44 und §. 47 gemacht habe.) So wie sich ferner v.on Hei'stelluug des Priifungsmittels in der Sarrus'sehen Abliand- lung keine Spur vorfindet; ebenso würden, wenn er dasselbe herzustellen versucht hätte, ihm seine Formeln die geeigneten Dienste versagt haben, und zwar schon in jenem allereinfacli- sten Falle, welchen ich in der ersten Untersuchung (§. 10) erledigt habe. (Man vergleiche §. 96.) IL Abhandlung von Cauchv. §. 94. Diese führt den Titel: „Memoire sur le calcul des variations" , und befindet sich (Seite 50 -130) in dem dritten Bande der Exercices d'analyse et de physique mathema- tique . par A. Cauchv. Paris 1844. Mit diesem M(5moire bezweckte Cauchy, die Theorie des sogenannten Variationscalcul's an seine bereits mit so grossem Beifalle aufgenommene Theorie des DifferentialcalcuTs anzureihen; und zugleich spricht er sich aus, dass er die von Sarrus mitgetheilten Formeln auf concisere Weise darstellen wolle. Cauchy gründet seine Besultate ebenfalls auf die Einführung eines eigenthümlichen Substitutionszeichens. Wenn nämlich durch n eine Function von .r dargestellt ist, und die besonderen Werthe x und x" an die Stelle des allgemeinen x gesetzt wenlen: so bezeiclnict Caucliv diese beiden Substitutionen durch \ U_ lind \ u und die Ditfercn/. ' n — I u stellt er dar dundi I u X = x' Von letzterem Zeichen spricht er alsdann (Seite 100 in der Anmerkung), dass es dem- jenigen analog sei, dessen sich die Mathematiker zur Darstellung der bestimmten Integrale bedienen, und dass man durch dasselbe auch eine grosse Anzahl von Formeln in der Algebra und im Infinitesimalcalcul viel einfacher und conciser machen köiuie. So z. ß. könne man durch dasselbe die Formel X f Anwendung des sogenannten Vm-iationscalcid' s auf zxoeifache und dreifache Integrale. 157 in welelier u =f(x) genommen ist, reJuciren auf ./' —~.d.r= I IC Ebenso könne man die Formel x" y" ff ii • 'h^ • '^^ =fi^" ■ f) —fi:^'" > y') -/(^' > y") +./'(^^' > y') dx . dy WO u =y (,T , ;/) genommen ist, reducireii auf X y u d ^d^U X = x" ti = y" . dy . dx = I ' I M dx . dy X = X' II = !/■ Auf yieiche Weise könne man die Formel ■" -' rf d d II X >i z fff J J J d.v.dy.dz x' y' z' .dt. dy . dx = + f{x" , y" , z") — f{x' , y" , z') — /(x" , y' , z") + f{x" , y' , z\ — f [af. , //" , .3") i- f{x , y' , .-/) + / [x , y- , z" ) — / {x , y' , z'] wo u == f (x . y , z) genommen ist, reduciren auf X II z mddd^u X = x" II = !/" z = z" -^-^ dx . dy . dx =1 I I « dx.dy.dz x = x' ;/ = y' 2 = 3' -r v Und so fort. Diese ßezeichnungsweise mag sich allerdings in manchen Fällen als zweckmässig er- weisen; allein wenn man sie im Variationscalcul anwendet, dann leistet sie nicht die nöthi- gen Dienste. Der erforderliche Nachweis mag an folgender CTieichung X 1/ ^~ 3 o\s=.J f f H . \)^l)„l),du . dz . dy . d, geliefert werden. Hier ist u eine noch unbekannte Function von x , y yZ\ dagegen R ist eine ganz bestimmte Zusammensetzung der vier Bestandtheile x , y , z , u. Unter z' und s" sind P'unctionen der beiden Veränderlichen x und y, dagegen unter y' und y" sind nur Functionen des einzigen Veränderlichen x zu verstehen. Durch D,. D„ D, r??« bezeichnet Cauchy den Differentialquotient ''''''''" ' . Nach Ausführung aller nöthigen Transformationen gelangt der- -■■ dx.dy.dz selbe (auf Seite 128 und 129 seiner Abhandlung) zu einer Gleichung, welche aws folgenden Theilsätzen besteht: 5 o^- = -i- I r I R . du X := x' !/ = y' Z =: z' x" ._. f "7"" 'T'" D, R . du . dx J V = H' z = z' X 158 G. W. Strauch. — f "T"" *"T'" R ■ D,,.3" . J),du .dx + \ 'T' '"T R . D,2' . J),du . dx x' x' . y" — ^Tf 'T" ^yR • du . dy X = x'J z =z' y' y" _ „ . - „ Y,y" _ , x=x'J ~ ^=^V, y' y — -^""T'" f D^R.du.dz X = x' y = ii' J x" ij" _ _ ,, ^r j ^ C\'' ^xR ■ ü,.s" + D, (7'" R . D.3")] "T' D.du . dy . dx x' y ' x" y" --J f CT' T>^R . D,2' + B^CV' R . D..3')] 'V T>,du . dy . dx x' y' + r /" ^'T" R. D. s" . r>, -" .Dldu.dy.dx—j j T' R. IK i' ■ IK '-' ■ D' r) u . dy . d .r x' "V -c' .'/' x" y" + fj "Tl^y^DJi ,du.dy .dx ' x' y' + T" T "" f B^R . D^y" . l), du . dz . dx — T " T "' J D^R- ^xl/' ■ I >, d u .di. dx z' z' X a x" s + /""T"'' f D,'D„R . du . dz . dx x" v" 3" — f f f t>xß,,I>-- • du . dz . dy . dx x' *■;/' z' Nun will ich diese von Cauchy aufgestellte Variationsgleicluuig nach meiner Methixh^ entwickeln, und dabei meine (in §. 3, §. 4 und §. 5 erklärten) Bezeichnungen der Differini- tialquotienten gebrauchen. Ferner will ich, wie gewöhnlich, a , r/ , h(x) , ß{;x) , c(x , y), ^{x , y) bezüglich statt x' , x" , y' , y" , z , s" setzen. Auf diese Weise nimmt das Integral Q) folgende Form an a ß(x) r{x, ;/) Wenn man noch die bei Cauchy Seite 129 befindlichen zwei Ausdrücke D,(1'"7?.'D..3") und l)„(7'"Ä.l),t') in ihre Bestandtheile zerlegt, und letztere in meine Bezeiehnungsweise überträgt; so bekommt man bezüglich Anwendung des sogenannten Variaiinji.wulcid's auf zweifache und dreifache Integrale. 15 11 (d H d Y d Ji d Y d Y d d y ^ dy dx dz dy d.r. ' dx.dy ) ^ , „ , >- (x , j,) und (d H d c d 11 d u d .c d_d, c ^ dy dx dz dy dx '^^■'^V x , i, . r (x . i,) Ferner setze man, 8o lange x und y noch ganz allgemein sind, b , ß . c , y bezüglich statt b{x), ß{x) , c{x-.,y) , j-(x ,1/). Diese Abkürzungen sind natürlich nicht mehr erlaubt, sobald einer oder zwei der Veränderlichen x und y specialisirt sind. Hiernach stellt sich ('auchy's Formel 5 auf folgende Weise dar: r).s = + -"« . ii(a) ,r(a,fi [«)) • (^ ^a , ß (aj , r ia , ß [a]) •'' a , ;} (a) . )• (a . ^ [a] j • ^ ^''a . ß {«.) . r (i , ß [a]) J^a ,t{a), r(a, b [a]) • '^ ^*a , 4 («) , y (a , 4 [«]) + -^^a . 4 (a) , y (a , 4 [a]) ■ '^ ^*a , 4 (a) , y (a , 4 [a]) ^a , ß {"■),<■ {a , ß [a]) ■ *^ '^'' a , ß (a) .<•(«, ß [a]) + -^^a . ß (a) . f (a , /5 [a]) • ^ Mj , /S (a) , f (a , /9 [a]) + i^a , 4 (a) , <•■ (a , 6 [a]) • OU„^^ ,, („j , c (a , b («]) -^^a . 4 (a) , r (a . 4 [a]; • " ? ^ dji^ d,^c d^ d^c d^ d^ 'JL^ , J? '^'^'^y'' 1 C fl^' ) \ dx ' dy du dx dz dx dy dx.dyJ \ dz f dy dy d Y d Y , d' d d^c de , dl du- + •'^'■"■l'' dx' dy'y dz^ 'x,,,.;. ^'""^ dx dy \ dzi J^, ,, „ + (=Hr ■0X,v,r-~lT^^) -O^'x.v,. •f^«/•'^■*■ a^r(x , ^) d d, B a c (i- , ,3) a f (x , i) ß (a) r (a , ?/) 4 (a) r (« , y) /» /■ . d d M . -fj (tnrU.-''".,„..rf-<;. 6 (a) c (a , y) er C dji d,K — / / / ' . du . dz . dii . dx JJJ dx.dy.dz ^ a fi {x) c {x , »/) §. 95. Wenn man jetzt diese meine Formel mit der von Cauehy aufgestellten vergleicht; so gewahrt man: 1. Der erste Theilsatz, welchen Cauehy durch das Abkürzungszeichen x = x" y =y" 3=2" I I \ Ji . au X = x' y = y' z — z' darstellt, repräsentirt acht verschiedene Theile. Diese habe ich in den vier ersten Zeilen meiner, im vorigen §. mitgetheilten, Formel vollständig vor die Anschauung gebracht, was in allen den Fällen nöthig ist, wo zwischen den acht Ausdrücken •"^ ^a , ,ä (a) , y (a , ,i [d]) i ^ *^a , ^ (a) , )• (a , ,} [a]) ' ^^ ^a , h [a) . y (a , b [a]) 5 '^ ^'a , 6 (al , >- (a , 6 [a]) <^Wa,/ä(a), = (a,^L«J) ' '^ ^'a , ^ (a) , - (a , /J [a]} ' ''' "a , 4 (a) . <■ (a , /? [a]) • " "a . 6 (a) , ^a , 8 [aj) irgend eine Abhängigkeit stattfindet. 2. Die fünf Theilsätze, welche bei Cauehy durch X Cy = y" J 1/ = y D^.B.fru.d.r x" X-- -f"T'"[l 'l ß ■ I>. f ■ ß. di'-dx , + J ' r ■"' ] T ]',' B . D, i/' . ] ), ,)u .dx , x' ' X - f"T'" ' T ' E . DxZ" . D. dti .dr . -\- f" l' ' V B . D,z . D, flu . dx , Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache und dreifache Integrale. 161 dargestellt sind, habe ich in zwölf verschiedenen Thcilen unter das einzige Integralzeichen I gesetzt; und erst so ist es möglieh, die zwölf verschiedenen Ausdrücke a von einander abhängig zu machen. 3. Die drei Theilsätze, welche bei Cauchy durch — T / * r })„R . du . dy y' "" ,, '■'" — ^V"f '7"' B . I)„s" . \)Ju . dy , + ^V" f 'T' B . J)„z' . D,r?M . dy x — x'J X - x' J V* ii' dargestellt sind, habe ich in acht verschiedenen Theilen unter die b ei den Integralzeichen /5(a) ,?(a) / und / gesetzt; vmd erst so war es möglich, zu erkennen, welche der betreffenden Gränz- h (a) ,_«(••>) Variationen voneinander abhängig gemacht werden können, und welche voneinander abge- sperrt sind. 4. Der Theilsatz, welcher bei Cauchy durch \) R . du . dz dargestellt ist, repräsentirt Jene vier Theile, welche ich mit den vier verschiedenen Integral- zeichen r (« , /> [«]) ^!' (" ■ ' [«" „r (ä , ,} [a]) r (a , « [a]) / ' J ' J ' J '-(«,/*[«]) -(a;,«|a]) r(a,,}(aj) - (a , /, [aj) versehen habe ; und erst so ist vor die Anschauung gebracht, dass die vier Ausdrücke f>'^a, ß{a.),z ) ^'^''a,h{a) ,2 ) " W^ , ^ (a) , : 1 "^a , « (a) , .• durchaus von einander abgesperrt sein müssen, also keinerlei Abhängigkeit unter ihnen vor- geschrieben werden kann. 5. Die fünf Theilsätze, welche bei Cauchy alle mit dem doppelten Integralzeichen x" y" j / anfangen, habe ich in sechs verschiedenen Theilen unter das einzige doppelte Integral- zeichen / / gebracht: und erst so ist es möglich, die sechs verschiedenen Ausdrücke ' a 'i (a:) d_, 'f >i \ I d., 'J u \ I d' fj II \ / d' 'J K • " «^ , V , r Dmksclirifteii ,7? . du . dz . dx X* z' dargestellt sind, habe ich in vier Theilen unter die beiden doppelten Integralzeichen a y{x , ß) a y [x , i) / / und / / gebracht; und erst so war es möglich, zu erkennen, welche der betreffenden Gränzvariationen voneinander abhängig gemacht werden können, und welche voneinander abgesperrt sind. 7. Der Theilsatz, welcher bei Cauchy durch X = x I / / D,D,Ä . r)u . dz . dtj dargestellt ist, repräsentirt jene zwei Theile, welche ich mit den zwei verschiedenen doppelten /fi{a)r(a,y) /S(a) r(a,y) / und / / versehen habe; und erst so ist es vor die Anschauung 0 (ä) c [a , !/) *■ fj (a) e(a , •/) gebracht, dass die beiden Ausdrücke dit,^,j,, und dii^^„, durchaus von einander abgesperrt sein müssen, also keinerlei Abhängigkeit unter ihnen aufgestellt werden kann. §. 96. Wir haben nun gesehen, dass es bei der Gestalt, welche Cauchy seinen Formeln gibt, unmöglich ist, die auf die Gränzen sich beziehenden Variationen in irgend eine Abhängigkeit zu bringen; und mau kann bei seinen Formeln ebenso, wie bei denen des Herrn Sarrus, nicht einmal unterscheiden, welche Variationen voneinander abhängig gemacht werden können, und welche voneinander abgesperrt sein müssen. Das Prüfungsmittel, welches man bekanntlich an der Variation der zweiten Ordnung gewinnt, hat auch Cauchy nirgendswo herzustellen versucht; und gerade bei solchem Ver- suche würden ihm seine Formeln jeden, sogar den allergeringsten, Dienst versagt haben. Hat nun die concisere Form, in welcher Cauchy seine Resultate darstellt, Vortheile oder Nachtheile gegen jene Formeln, die sich in der bereits (§. 91 — 93) besprochenen Sarrus'- schen Abhandlung befinden? Die Beantwortung dieser Frage liegt jetzt sehr nahe. (Man vergleiche §. 93.) ni. Abhandlung von Delaunay. §. 97. Diese führt den Titel ,, Memoire sur le calcul des variations", und befindet sich (Seite 37 — 120) in dem mit der Jahreszahl 1843 versehenen Band XVH des Journal de l'ecole royale polytechnique. Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zioeifache und dreifache Integrale. 163 In sehr vielen Formeln (namentlich von Seite 50 an) hat Dolaiinay die beiden Theil- sätze X ' X I) f K, . flY . dr — f K„ . Oll . dx X X auf folgende Weise in einen einzigen (^) II) / K . dy . dx >) zusammengezogen, wo für die obere und untere Integrationsgränze dasselbe Zeichen (x) ge- wählt ist. Durch diese Sonderbarkeit werden viele Stücke unsichtbar, während doch alle unverkiimmert vor die Anschauung gebracht werden sollten, damit man erkenne, wie sie in jedem einzelnen Falle behandelt werden müssen. So hat Herr Delaunay (Seite 75) die Variation der ersten Ordnung für das bestimmte Integral III) Z^ffK. dy . d. nach seiner Weise hergestellt, wo Ä' ein mit den Bestandtheilen ^ 1 y 1 ^ 1 ,,„ ■< j„ 1 d z dz d"z d d z il-i Ir ' dij ' d:,-^ ' d.,-.dy ' r?;/-' versehener Ausdruck ist. Schaut man aber auf die dortige Formel, so sieht man : a) Nur der mit dem zweifachen Integralzeichen versehene Theilsatz ist richtig. b) Es fehlen alle Theilsätze, die von jedem Integralzeichen frei sind. e) Es kommt nur ein einziger mit einem einfachen Integralzeichen versehener Theil- satz vor, während drei mit verschiedenen einfachen Integralzeichen versehene Theilsätze vorhanden sein sollten. Hinsichtlich dieser drei Punkte verweise ich auf die betreffende Formel XI, welche ich in der 9'™ Untersuchung (§. 38) hergestellt habe. Ebenso hat er (Seite 76) die Variation der ersten Ordnung für das dreifache Integi-al V X Y IV) Z = I I K . dy . dx . dt nach seiner Weise hergestellt, wo K ein mit den Bestandtheilen rf,z d^z d^jZ d;z d^d^z d^^d^^z d^z dj,^z d^z ^' ' ^' ' ^ ' ^ ' "*; ' d7 ' ."rf^^ ' "ä"^ ' d„.dj! ' df.dy ' d^ ' d.v.dy ' d^ versehener Ausdruck ist. Hierbei ist aber Zweierlei zu erinnern: 1. In K hätten auch noch die Differentialquotienten der dritten Ordnung mit aufgenom- men werden sollen; denn erst dann können in der Variation Theilsätze erscheinen, welche von jedem Integralzeichen frei sind. Was jedoch 2. die daselbst wirklich hergestellten Theilsätze betrifft, so sieht man : 164 G. W. Strauch. a) Nur der mit dem dreifachen Integralzeichen versehene Theilsatz ist richtig. b) Es fehlen alle Theilsätze mit einfachen Integralzeichen, dergleichen sieben ver- schiedene Arten vorhanden sein sollten. c) Es kommt nur ein einziger mit einem zweifachen Integralzeichen versehener Theil- satz vor, während fünf mit verschiedenen zweifachen Integralzeichen versehene Theil- sätze vorhanden sein sollten. Hinsichtlich dieser Punkte verweise ich auf die betreffende Formel XII, welche ich in der 15'™ Untersuchung (§. 68) mitgetheilt habe. §. 98. Eine unmittelbare Folge der (im Anfange des vorigen §'s) von mir besprochenen Son- derbarkeit der Form, unter welcher Herr Delaunay seine Variationen darstellt, ist nun die, dass er nicht genug Gränzgleichungen bekommt; und desshalb bleibt die Lösung seiner Probleme jedesmal unvollständig. Um aber diesen Ausspruch noch näher zu begründen, soll die Aufgabe vorgenommen werden, welche er (Seite 103) mit folgenden Worten aufstellt : „Surface minimum terminde ä une courbe qui est assujettie a rester sur une surface „donnde." Das hier zu variirende Integral stellt er unter folgender Form V) //■^^-<./.Vn-(l:)' + (|y dar. Dabei drängt sich sofort der Gedanke auf: Warum hat Herr Delaunay keine Inte- grationsgränzen angehäugt, und sein Integral etwa auf folgende Weise ^•■' //""[Vi + (Sf + (%f\ . }. \) In lU'r l'*^", 2teii und H^en Untersuchung (§. 8 —-22) konniit das Integral T' = f j ^^ ■ . ß unbekannte (also einer Werthänderung unterworfene) Grössen sind. Zweiter Abschnitt, wo solelie Integrale vorkommen, hei denen die Gränzen der ersten Integration Functionen jenes Veränderlichen sind, nach welchem die zweite Integration ausgeführt werden soll. *;• -^'J — 47 « y" I) In der 7'>-''i, 8'e" und tKi"" Untersuchung (§. 30—39) kommt das Integral r'= / jw.d/j.dx ^If- .Sei(e ■2i Erste AbtheilUUg. Anwendung des (sogenannten) Variationscalcul's auf zweifache Integrale. §.8 — 47 Erster Abschnitt, wo solche Integrale vorkonnnen , bei denen die Grunzen der ersten Integration unabhängig sind von jonera Veränderlichen, nach welchem die zweite Integration durchgeführt werden soll. §. S — 29 '24 vor, wo die beiden ersten Integrationsgränzen y' und y" bekannte Functionen von ■>;, und die beiden andern Gränzen a und a constante und bekannte Grössen sind. 11) In der 10'^", Uten und V2'<'» Untersuchung (§. 40 — 47) kommt abermals das Integral !/■== j I W.dy.dx vor, wo aber die beiden ersten Integrationsgränzen y' und y" unbekannte (also einer Variation unterworfene) Functionen von a', und die beiden andern Gränzen a und a unbekannte (also einer Werthänderung unterworfene) Grössen sijid. Zweite AbtheilUng. Anwendung des (sogenannten) Variationscalcul's auf dreifache Integrale. §.48 — 90 9") Erster Abschnitt, wo solche Integrale vorkommen, bei denen die Gränzen sowohl der ersten als auch der zweiten Integration unabhängig sind von jenen Veränderlichen, nach welchen die folgenden Integrationen durch- geführt werden sollen. §.48 — 64 ''.ö I) In der 13'e" Untersuchung (§. 48 — 55) sowie in der l'eu Aufgabe (§. 56 — 62) kommt das Integral a ß Y JJ= j I I Tr. dz. dy . dx vor , wo die sechs Integrationsgränzen a . a , i , ß , c , f constant und a i r bekannt sind Zfll"- II) In der 14tc*" Untersuchung (§. 63, 64) kommt abermals das Integral f'= / / j W .dz . dy . rf.<- a, It c vor. wo aber die sechs Integrationsgränzen unbekannte (also einer Werthänderung unterworfene) Grössen sind. Zweiter Abschnitt, wo solche Integrale vorkommen, bei denen die Gränzen der ersten und zweiten Integration Functionen jener Veränderlichen sind, nach welchen die folgenden Integrationen durchgeführt werden sollen. §. 65 — yii '--^ 172 G. W. Strauch. Anwendung des sogenanntenVariationscalcul' s etc. j' J^ '■'■) J^'^'V -11 1 '• I) In der löten und 16ien Untersuchung (§.65— 71)kommt dasintegral C^y / / W.dz.dy.d:r a /i (x) c (x , )/) vor, wo die zwei zur ersten Integration gehörigen Gränzen c{x , y) und y(x , y) bekannte Functionen von x und y, wo die zur zweiten Integration gehörigen Gränzen b{x) und ß{x) bekannte Functionen von x, und wo die zwei zur dritten Integration gehörigen Gränzen a und a constante und bekannte Grössen sind. II) In der 17'en und 18«en Untersuchung (§. 72 — 74) sowie in der 2ten^ 3ten und 4ten Aufgabe a ß(x) r{x,ii) (§. 7.Ö — S6) kommt abermals das Integral f/= j j j W . ds. dy . dx vor, wo aber die beiden ersten a 6 (jc) c{x , y) Integrationsgriinzen c(x , y) und y(x ,y) unbekannte (also einer Variation unterworfene) Functionen von x und y, dagegen die zwei zur zweiten Integration gehörigen Gränzen h [x) und ß (x) bekannte Functionen von X, und die zur dritten Integration gehörigen Gränzen a und a constante und bekannte Grössen sind. III) In der 19'e" und äOten Untersuchung (§. 87 — 90) kommt endlich nochmals das Integral « /'W r(-i-.!') V= II I W . dz . dy . dx vor, wo aber die vier zur ersten und zweiten Integration gehörigen \ Seiti; a h (j) c (x,y) Gränzen <;(x , y), y(x ,y) , i{x) , ß(x) unbekannte (also einer Variation unterworfene) Functionen, dagegen die zwei der dritten Integration angehörigen Gränzen a und a unbekannte (also einer Werthänderung unterworfene) Grössen sind. Nachtrag. Hericht über die von denHerrnSarrus, Cau chy und L>elaunay ausgearbeiteten .\bliaiidhingen. (§.91 — 104) I. Über die Abhandlung des Herrn Sarrus. (§. 91 — 93) 149 11. Über die Abliandlung des Herrn Cauchy. (§.94 — 96) ^ 156 III. Über die Abhandlung des Herrn Delaunay (97 — 1(J4) ^ 162 Schluss, ^. 1 On 170 Date Due !^PR 4 1961