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COMPARATIVE ZOÖLOGY,

The

AT HARVARD CflLlEGE, CAMBRIDGE, MASS.

gift of VhJL. < OWv O^JlMt/rUcAiA.^

on. i/l'O/rx,.

No. //,y'C>y~.

DENKSCHRIFTEN

DER

KAISERLICHEN

AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

MATHEMATISCH-NATUHWISSENSCHAFTLICHE CLASSE.

NEUNÜNDVIERZIGSTER BAND.

WIEN.

AUS DER KAISERLICH-KÖNIGLICHEN HOF- UND STAATSDRUCKEREI.

'■^1885.

Erste Abtheilung.

Abhandlung-en von Mitgliedern der Akademie.

Mit II Tafeln,

ARITHMETISCHE THEOREME. IL

VON

LEOPOLD GEGENBATER,

rORUKSPONniltENDEM METGLlKDi: IIFJ: KAISERMOHEN AKAnEMlE DER WISSENSCIIAI'TEN.

VORGELEGT IN DER SITZUNG AM Ifi. OCTOnER 1SS4.

Icli werde in den folgenden Zeilen eine Reihe von neuen aritlimetischen Theoremen .ableiten.
Multiplicirt man die Gleichung :

n=l

mit l^(s), so erhält man:

Zj *•'

r=l

und daher hat man die Formel:

2) Z'^isjj)=^'^^')>

wo die Summation bezüglich r/^ über alle Divisoren von r zu erstrecken ist, deren complementärer Divisor ein
Quadrat ist.
Nun ist:

Z'(7)(i:Ks/i)

Oenl<schriftea der mathein, -naturw. Gl. XLIX. Bd.

2 Leopold Gegenhauer.

und (Icuinach ergibt sich unter Berücksichtigung der Gleichung 2) die Relation:

x=l x=l

= C1(m),
wo £l(?/) die Anzahl derjenigen Zahlen i.st, welche nicht grösser als n und durch kein Quadrat (ausser 1)
theilbar sind.

Mau hat also den Satz:

Dividirt man die ganze Zahl n durch die Quadrate jener ganzen, die Quadratwurzel aus // nicht über-
steigenden Zahlen, welche nur verschiedene Primfactoren enthalten, und versieht die bei diesen Divisionen auf-
tretenden Quotienten mit dem positiven oder negativen Vorzeichen, je nachdem die Basis des Divisors aus einer
geraden oder ungeraden Anzahl von Primzahlen zusammengesetzt ist, so ist die Summe der so entstehenden
Ausdrücke gleich der Anzahl der in dem Intervalle 1...M mit Eiuschluss der Grenzen befindlichen Zahlen,
welche durch kein Quadrat (ausser 1) theilbar sind.

Für die Anzahl aller im Intervalle 1 ...100 liegenden, durch kein Quadrat theilbaren Zahlen erhält man

nach diesem Satze:

-lOOi rK'Oi rlOOi rKXh rlOO] rlOOi rlOOi

^ ,- - -.s r-i'J'Ji ri"'-'i fi'J^i ri"*n ri'J"i r^'-^-M

+ 1 iy2

= 100 - 25 — 11 — 4-4- 2 — 2 -f. 1
= 61.

Auf demselben Wege findet man :

^ /.-^^N r400i r40ün r400] (-400. r400 1 r400-i r400i

400 _ 100 — 44 — 16 H- 11 — 8 + 4 —
r400 I 1-400 -1 [-400 1 r400 1 _ r40Ü -1 _ r400 1

_3_ 2-4- 2 + 1— 1— 1
= 244.
Da bekanntlich :

4) y\[iiY''^'=^ ^'="*)

ist, so hat man auch:

!/=!

X, y=ii

also nach einem bekannten Satze:

5) Cl(n)='y^u^(l^])!J.iy),

welche Gleichung übrigens auch aus einer von mir früher mitgetheilten Formel („Zahleutheoretische Rela-
tionen." Sitzungsber. der kais. Akad. d. Wissensch. , mathem.naturw. Classe, 11. Abth., 89. Bd., p. 841 ff.)
sich unmittelbar ergibt.

Arithmetische Theoreme.

Sehreibt mau in der Glcicliung 3) für«: 1—1, multiplicirt sodaiin mit p», s (y) und summirt bezüglich (/
vou 1 bis n, so erhält man:

Multiplicirt man die Gleichung 1) mit:

'px, -iim)

so entsteht die Relation:

m=l

/ . {mrr)"

m, n=i

r=oO

7''
und daher hat man:

6) Zi'Ut)^''''^'^'^^'"-

d^-

Es ist also:

y=l ,- = 1

und speciell:

y=re

8) 2a([^])po,.(i/)=w(«).

Schreibt man nun in der Gleichung 7) für n : \—\, multiplicirt sodann mit z'iJ-iz) und summirt bezüglich
z von 1 bis m, so ergibt sich die Beziehung:

t/,i—i 5 = 1

oder unter Berücksichtigung einer von mir a. a. 0. mitgetheilten Formel:

9) V..([^])(V,.,,Q..K,o)=».

Schreibt man in der Gleichung 1) für 2s:s — ■/. und multiplicirt mit C(2s)C{s — z), so erhält man:

M,n=oO

r=00

4 Leopold Gegenbauer.

1111(1 daher ist:

10) Y. '^('O'^'p«,^©-«,

d

wenn /■ kein Quadrat ist, hingegen:

11) Yp.{d)d^p,,,[^)=\,

ii
wenn r ein Quadrat ist.

Die Gleichung 9) verwandelt sich daher in die schon von Herrn Bugajef auf anderem Wege abgeleitete
Relation :

Man hat also die Theoreme:

Die Summe der Anzahlen derjenigen ganzen Zahlen, welche keinen quadratischen Factor enthalten, und
beziehungsweise ^ii öi '■■' r — ^^"ä "^'''^^ überschreiten, ist gleich der Zahl «.

Die Anzahl derjenigen Zahl<n, welche n nicht überschreiten und einen quadratischen Factor besitzen,
ist gleich der Summe der Anzahlen der keinen quadratischen Factor enthaltenden Zahlen, welche beziehungs-

n n n . , , , .

weise 7^. -^ ■,..., - — ^T5 nicht überschreiten.

Ist z. B. n ^ 100, so sind unter den Zahlen, welche nicht grösser als:

rlOO-, „. rlOO. rlOO, ,. rlOO, , rlOO, ^, rlOO, ,, rlOO, , |100| , rlOO,

sind, beziehungsweise:

16 8 5 3 2 2 111

Zahlen ohne quadratischen Theiler und daher gibt es in dem Intervalle 1. . .100 39 Zahlen, welche einen
quadratischen Divisor besitzen.

Wird in der Gleichung 3) n durch \—\ ersetzt, sodann mit ■.p((/) multiplicirt und von // =: 1 bis ;/ = /<

summirt, so entsteht die Relation:

= [v/»

y=i .r=l,//=l

I '/:="

.r=i,;/=t

=l:[f](ZKv'l)«'«

r=l

Aus der Gleichung 1) leitet man durch Multiplication mit:

.»=oo

»1=1
die folgende ab:

(r)

Arithmetische Theoreme. 5

und daher ist:

,1, V ^
Man hat also:

oder nach einem a. a. 0. mitgctheilten Satze:

14) ^£l([y])4.(y)=W«).

Schreibt man in dieser Formel wieder für « : T— 1, multiplicirt mit ijAz) und summirt hierauf von z — 1
bis z=:)i, so ergibt sich die Beziehung:

welche nach ciuer a, a. 0. initgetheilten Formel in die folgende übergebt:

'S^([7])(i:*&).""")=^w-

Multiplicirt man nun die Gleichung 1), nachdem in derselben 2s durch s ersetzt wurde, mit:
so erhält man.

»1,11=1 r=oO

r=l

aus welcher Gleichung die Relation:

15) 2^,((^,.(^)=r'

d

und speciell:

16) J^K^f^(7)=l

d

folgt. Die letzte Formel ist Übrigens auch ein specieller Fall der von mir früher mitgctheilten Gleichung
(„Über einige zahlentheoretische Functionen". Sitzuugsber. d. kais. Akademie d. Wissensch., mathem. natnrw.
Classe, 89. Bd., II. Abth., p. 37 ff.):

Es ist also schliesslich:
,7) Z0([7])=-«- .

6 Leopold Gegenbauer.

Diese Formel könnte man übrigens auch leicht aus der Gleichung 12) ableiten. Wird in dieser Relation n
durch [— I ersetzt, mit 11} (x) mnltiplicirt und von £=\ bis x — n summirt, so entsteht die Gleichung:

oder :

!:«([7])(Z'''^"->)=""«-

Aus der Gleichung:

folgt aber sofort:

{nm^y L^ ry

also:

19) 2^fx^VV) = l,

711, U^l

V

und daher ergibt sich wieder die Gleichung 17), aus welcher der folgende arithmetische Satz folgt:

Die Summe der Anzahlen derjenigen ganzen Salden, welche keinen quadratischen Factor enthalten und

beziehungsweise -j-; 9" "~" nicht überschreiten, ist gleich der Summe der Anzahlen der Zerlegungen aller

ganzen Zahlen von 1 bis ;t in zwei zu einander relativ prime Zahlen.
Ein Corollar dieses Satzes ist das Theorem:
Die Summe der Anzalden derjenigen ganzen Zahlen, welche keinen quadratischen Divisor besitzen und

beziehungsweise — , 7^ , . • ■ , — nicht übertreffen, ist stets ungerade.

Man hat z. B. für ;/=20:

[^] = 20, 10, 6, 5, 4, 8, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

a([^]) = 13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

und da die Summe der letzten Zahlen 53 ist, so sieht man, dass sich alle Zahlen von 1 bis 20 incl. auf 53
verschiedene Arten in zwei zu einander relativ prime Zahlen zerlegen lassen.

Setzt man in der Gleichung 12) für n : — , nmltiplicirt mit ij.{x) und summirt von ,r= 1 bis .v=n, so
erh<ält man:

also:

Z^OG-c'.^'-

Arithmetisch Theoreme.

Nim ist aber:

yi fx(M) _ C(2s)

und daher:

20) 2^ (..(,/,) =/(r).

Demnach entsteht die Relation:

21) 5 -[7l^'"-'=^-

,=i

Diese Gleichung liefert das Theorem :

Bestimmt mau die Anzahlen jener ganzen Zahlen, welelie durch kein Quadrat (ausser 1) theilbar sind und

beziehimgsweise die Brüche —,—,...,— nicht übertreifen, so ist die Summe derjenigen, welche einem aus

einer geraden Anzahl von Primzahlen zusammengesetzten Nenner entsprechen, um 1 grösser, als die Summe
der übrigen.

Für H^20 ist z. B. die erste Summe 27, die zweite 26.
Wird in der bekannten Formel :

22) y^\*^\Mx)=Q{n)

für w: I — 1 geschrieben, sodann mit ,'^^(^) multiidicirt und von ;y=l bis v/=:« suniniirt, so ergibt sich die
Gleichung:

V=n x,y=n

='I:[7](E^'"'«(7)

Da min :

y i>.\n)l{m) _-^

ist, so hat man:

23) ]]l{^)i.\d)=0

a
für r > 1 und :

24) Z^©'^'W = ^

d

für r=l.

Die letzte Formel verwandelt sich daher in die folgende von Herrn Bugajef mitgetheilte Relation:

25) IJ (?([^]),.^(y)=:«.

Aus dieser Gleichung folgt das Theorem :

Jj ('. op old G c(j r. 11 h a u e r.

Die .SuiiuiK! der Air/.alilen der Quadrate, welche bezieliuugsweise diejcuigcii unter den Brüchen — , — ,
., — nicht übersteigen, deren Nenner durch kein Quadrat theilbar ist, hat den Werth n.

Für )i. = 20 hat man :

[!^] = 20, 10, ß, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1

y Q fl'l^j ,j^(u) =4+3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =20.

,,=1

Schreibt man in der Gleichung 25) 1-^1 für «., multiplicirt mit ix{z) und summirt von z=l bis z = )i,
so erhält man :

oder nach bekannten Formeln:

'^n /'!'■) =1.

Zur Hcrleitung dieser Formel kann auch folgender Weg eingeschlagen werden.
Es ist:

■ = [V"

V

Q

= Z[7](Z*'".>K\/i

Nun hat man:

und daher:

27)

. y Kn

V

/

d

K'Qp-Qj)=y-(>-)^

so dass die letzte Formel sich sofort in die Gleichung 2G) verwandelt.
Man hat also folgendes Theorem:

n n

Bestimmt man die Anzahlen der Quadrate, welche beziehungsweise diejenigen von den Brüchen jit^ii
■=— ^ nicht übertreffen, in denen die Basis des Nenners keinen quadratischen Divisor besitzt, versieht

W-]

sodann jede dieser Zahlen mit dem positiven oder negativen Vorzeichen, je nachdem die betreffende Basis ans
einer geraden oder ungeraden Anzahl von Primzahlen zusammengesetzt ist, so ist die Summe der so entste-
henden Zahlen gleich 1.

Arithmetische Tlieoreme.

Für

100 Iiat man ;

^= y^]

[^] = ]00,25, 11,4, 2, 2, 1

1

Q

^])K»-) =

10-5-3-2+1-1 + 1 =1.

Es ist:

?(4s)

wo das Prodnct über alle Primzahlen p 7ai erstrecken ist.
Mau bat mm:

1-4 ■

U .^^ -U\i+ ±\ V J-

M , 1 -I I r^^M z^ p''

1 7 >.=0

p

X=2

(«)

2<«' «

wo t(«) die Anzahl jener Primfactoren von « ist, welche nur in der ersten Potenz in n enthalten sind.
• Es ist also:

'y° t,j(«) _ t{s) C(2s)

28)

9t«

«■'

Nun ist aber auch:

^(s),

und daher hat man:
29)

t,K=:l

Aus dieser Gleichung folgt der arithmetische Satz :

Die Anzahl derjenigen Divisoren einer gauxen Zahl, welche ein Quadrat, aber durch keine vierte Potenz
theilbar sind, ist stets gerade, ausser wenn die betreffende Zahl nur verschiedene Primfactoren enthält, in
welchem Falle der einzige der angegebenen Bedingung genügende Divisor 1 ist.

Man hat ferner:

x=l

und daher:

30)

1

j\iL^{x)z= y 2-W--W.

x=i

Deuksciirifteii <lur matUom.-nitturw. Gl. X.LIX. Bd.

10

Aus 28) folgt auch:

demnacli ist:
31)

Leopold Gegenbatier.

m,n=oo ,

V ""(''^ -C(2s)t(s)

L 2^^'')(«m*)'~-^^-^^

_ Y pO,2(>-)

-Zu r '

wo die Summatiou bezüglich d^ über alle Divisoren von ;■ zu enstreckeu ist, deren compleinentärer Divisor
eine vierte Potenz ist.

Es ist:

y=i

-IB-H'^Ut))-

oder nach 2):

32)

r])/VW = ^ \jyi^H>-).

Den speciellen Fall x = 0 dieser Formel :

33)

li([4]).M=V[f ],.(,,

.v=i

K«)

hat Herr F. Mcrtens mitgetheilt („Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie". Journal für die
reine und angewandte Mathematik von C. W. Borchardt, 77. Band, p. 289 ff.).
Nun ist:

'f [7] •-"'('■) ='f-(.T)'>'M

»■=1 X, r::=I

r~\ d

wo ^xb') die Summe der xten Potenzen jener Divisoren von r ist, welche durch kein Quadrat theilbar sind.
Die Gleichung 32) verwandelt sich daher in die folgende:

Arithmetische Theoreme. 11

Zu anderen arithmetischen Theoremen führen sofort folgende aus der Gleichung 3), den in der Arbeit
über zahlentheoretische Functionen enthaltenen Formeln 134), 138)... 144), 149) und der in meiner Mitthei-
lung über zahleutheoretischc Relationen aufgestellten Beziehung 18) sich ergebende Gleichungen:

x= [V i""]

35) y -Tip, pn.x--!^(x] = £1 (jm) —p ü(h)

36

37

38

39

40

41

42

43

44'

45

46

47

48

49

1=1

y n;,, ^n, X y « {x) — S^ (pw) —p S^(n)

x=i

x=7m

y -nj., yn. A{x) —Q {p7i) —p Q («)

1=1

x=/>n

y >,„,„„,, w(x) =vif(p«)-|jiif(«)

x=l

x=pn

y rij,^ pn, X w(a;) l{x) — A (jm) —p A(m)

x=\.

x= \-(j>n) ■^ J

y 'S,.,,.,....-*" —'Px,^{pn)-pP^,^{n)

x-=-pn

y r^p, pn, X Kx)^,{x) - p., 2 ijm) -pp ., 2 (w) (^5. 2 (w) = J^ f., 2 (a;))

»=i ■'='

x=ryrn]

^ r,p,p„,xh-i{x) -F^{pn)-pF^{n)

x=l

x=pn

2 ^P,pn,x^{x') =W(2)n)-p^{n)

y -^ip, pn, X /^* (ic) = 53 Qjw) — p ö [n).

1=1

Aus diesen Formeln ergeben sich sofort die speciellen Kelationen:

y'V(x) =£l(2«)-2D(«)

1=1

x=2«

^>,(x) =.'^,(2«)-2S,(«)

x=l

x=2ij

y'a)(a;) =W{2n)-2W{n)

2*

12 Leopold Gegenbauer.

j:=2ii

50) y ' X {X) w (rc) z= A (2«) - 2A («)

( -1

51) Jl'x" =P,,,(2«)-2P.,,(«.)

a!=l

52) Y^'l{x)^,{x) =p,,2(2w)-2p,,,(M)

x = l

x=2n

53) Y^ ' ?.{x)I\^,{x)= Kx,.(2«.)-2P„,,(«)

= Ö3(2«,)— 255(«)
Setzt man in den Formeln 40) und 51) speciell t = 1, so erhält man:

X=p7l

57) ^'^.....^xa;' = w, (p*) -^ qf , («)

x=2?i

58) ^'a;' = 'P,(2>?0 -2'P,(w)

54)

x=in

55)

x=2n

56)

a:=2H

x=t

Die Formeln 36) und 47) für x= 1, 48), 54) für ß = 2, 58) für x = 0, 1 hat schon Herr E. Gesa ro mit-
getheilt.

Von den in den obigen Gleichungen enthaltenen arithmetischen Theoremen mögen die folgenden beson-
ders erwähnt werden :

Die Anzahl der in dem Intervalle w + l . . .2« enthaltenen durch kein Quadrat theilbaren Zahlen übertrifft
die Anzahl der in dem Intervalle 1. . .« enthaltenen Zahlen derselben Beschaffenheit um eben so viel, :ils
die Anzahl der aus einer geraden Anzahl von verschiedeneu Primfactoren zusammengesetzten Zahlen x, für

welche — ^-l ungerade ist, grösser ist, als die Anzahl der übrigen die eben genannte Bedingung erfül-
lenden Zahlen.

Bestimmt mau für jede der Zahlen, für welche [^—1 ungerade ist, die Anzahl aller sie nicht übertreffen-
den Zahlen, welche zu ihr relativ prim sind, so ist die Summe dieser Anzahlen gleich w*.

Diejenigen Zahlen x, für welche [-^1 ungerade ist, lassen sich eben so oft in zwei zu einander relativ

prime Zahlen zerlegen, als die Anzahl der Divisoren der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen von der
Anzahl der Divisoren der Quadrate der folgenden n Zahlen übertreffen wird.

Die Summe der (T)c)ten Potenzen jener Zahlen x, für welche [ — 1 ungerade ist, ist gleich der Zahl, um

welche die Summe der xten Potenzen jener Divisoren der ersten n natürlichen Zahlen, welche rte Potenzen

Arithmetische Theoreme. 13

sind, kleiner ist, als die Summe der >;ten Potenzen derjenigen Divisoren der folgenden n Zahlen, welche rte
Potenzen sind.

Die Summe der xten Potenzen derjenigen Zahlen x, für welclie T— 1 ungerade ist, ist gleich der Zahl,

um welche die Summe der xten Potenzen der Divisoren der ersten n natürlichen Zahlen von der Summe der
xten Potenzen der Divisoren der folgenden n Zahlen übertroifen wird.

Diejenigen Zahlen a;, für welche \ — 1 ungerade ist, können so oft als Producte von ß — 1 Zahlen dar-
gestellt werden, als die Zahl beträgt, um welclie die ersten n natürlichen Zahlen sich weniger oft als Pro-
ducte von j3 Factoren darstellen lassen, als die folgenden n Zahlen.

Die Anzahl der Divisoren der Quadrate derjenigen Zahlen x, für welche \—\ ungerade ist, ist gleich

der Zahl, um welche die Summe der Quadrate der Anzahlen der Divisoren der ersten n natürlichen Zahlen

kleiner ist, als die Summe der Quadrate der Anzahlen der Divisoren der folgenden n Zahlen.

9.,
Es gibt so viele, durch kein Quadrat theilbare Zahlen ,r, für welche \—\ ungerade ist, als die Differenz

aus der Anzahl der Zerlegungen der ersten n natürlichen Zahlen in zwei zu einander relativ prime Zahlen
und der erwähnten Anzahl für die folgenden n Zahlen beträgt.

Um zu anderen arithmetischen Theoremen zu gelangen, setze ich in der Formel:

X=l x:=i jr=l

60) >^ = [^ji]='■

Alsdann wird:

und daher:

Aus GO) folgt aber:
und desshalb hat man auch:

2ff«<a<2ff^ + 4cr+2,

y.<2

Og(2x+l)cr + x + £,

oder, weil s. niemals grösser als 2a werden kann:

0^2>c + 8.

Es kann demnach /. nur einen der drei Werthe — 1, 0, +1 haben.
Ist x^— 1, so hat man;

a + (T £ — 1

und da in diesem Falle e nicht gleich Null sein kann, weil sonst:

[a\ — 2cr^-5— 1

wäre, so ist:

rcc+a

14 Leopold Gecjenhauer.

Ist ferner y. = +1, so hat mau:

cc-ho+l _ £^_

2(a+l) -"'^ '^2^2'
und daher:

« + 5+1^

2{a+l)

Berücksiclitigt uiiin, dass x nur dann den Werth +1 haben kann, wenn:
61) 2ff'' + 3(jg[«] <2a''' + 4c7 + 2

ist, so erhält man schliesslich:

x=l x='. J=l

wo v? den Werth 1 oder 0 hat, je nachdem a der Bedingung 61) genügt oder nicht.

Gibt man in dieser Formel der Function f(x) der Reihe nacli die speciellen Werthe:

63) f{;x) = 1, X, x^, x'" — (x—ly", sin^ '^'~" '^ , cos -^'^~ ' ^, cosa;^, sinx^, log(2^— 1), (2x— 1)'" —(2a;— 3)'",

rr rt

so erhält man die Gleichungen:

a:=l x=i x=l

j:=1 x=I x=t

««) Z [^J ^■=Z [s^J "- Z«*(m) -(-')■ \i -'(-"!

«=1 x=l x=l

«" Z [s^J - Z [i^J <■'-'>■ = Z [-2^] - Z [s^] ('-')-

x=o

X^» £=1^ X=7

'^^ I f 2^1 J"" —4-^ ^ h km] ^>" -^- + v/2 1 -^^ (r[-2^]) -' n/'"" T -^

x=l x=l x=l

. (2(7+ l)n:
4

■c^='( x=ff ,/; = a

KOv \^ r " 1 (2a;— IjTT VT I a , (2,«— l)re 1 vt . /K ^(x+x^\ o . an

x=l

^24^ ^2 L 2x jy ^2 2

(2(7+ 1) TT

• »j cos -^^ — - —

4

Arithmetische Theoreme. 15

x=jsiu3 )r-^r— 1 +— 5 sin
.„, „ 1 -Icos.r^ = 2\ I - --, C0S./-5+ ) !^ -, h2--;Cü.s((j+l

^=1 sin— sm —

^1^ 2V[^]sin.^ = 2V[^^^Jsin.^-— Vcos3j[^J + -|

i25+l)^

17 COS- j^

sin— ^=i ^ 'sin-^

+ 2r; sm(cr+l)5
72) 2y\-l>{2;^] = 2 V (-1>^-[^J+ V(-l)^~U(-lr+'(. + 2.)

1=1 X=l i — 1

1=1 a:=l x=i

_ , ^2 sin üo + l)^ _^.^^ / j,^ ^ , _j-,^

z=n X — \ 3j:— 1 x=(j X— i

x=i j:=i .c=l

+ ,^2cos(ä°+')' +,((_1)T -(-l)'^^)

1)+ > log ,. , ,. ''""

7

+ V5 log (2(7+1)

x=i

X=:3

x=l

Von den in diesen Formeln enthaltenen arithmetischen Theoremen mögen die folgenden besonders er-
wähnt werden:

Die Anzahl derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche grösser als

2 . -^ —1 sind, ist um . j-^\ — -ri kleiner als die Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den Glie-

dern der Reihe :

W -H 1 « H- 2 ?« -H 3

2 ' 4 ' 6 '■•■'
enthalten sind.

10 Leopold Gegenbauer.

Die Sunime der >«ten Potenzen derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 l)is «,, welche

grösser als 2[. /-|^] — 1 sind, tibertrifift die Summe der mten Potenzen der eben genannten um die Zahl 2

verminderten Divisoren um eben so viel, als die Summe der »wteu Potenzen deijenigen Zalilen, welche man
erliält, wenn m:ui von den grössten ganzen Zahlen^ welche in den Gliedern der Reihe:

«-(-1

entlialten sind, 2 oder 1 subtrahirt, Je nachdem die betreffende Zahl ungerade oder gerade ist, gröf^ser ist,
als die Differenz

[v/S-l!4vf]-'r-'!4v^]-

Die Summe derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche grösser als

2 / — — 1 sind, ist um . /— — 2v! kleiner, als die Sumine der Quadrate der grössten ganzen Zahlen,

Ly 2 J "- Y -^

welclie in den Gliedern der Reihe:

« + 1 « + 2 n + 'd

enthalten sind.

Die doppelte Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis a, welche von der Form 4r— 1

und grösser als 2 . /g- — 1 sind, übertrifft die doppelte Anzahl der übrigen die angegebene Grenze über-
schreitenden ungeraden Divisoren um eben so viel, als die Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen,
welche in den Gliedern der Reihe:

«. + 1 n + 2 n + 'i

^2~ ' ~r~ ' "T"

[v/tl

enthalten sind, von der Summe aus der Anzahl der geraden grössten ganzen Zahlen und den Ausdi'uck

übertroffen wird.

Die dopi)elte Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche von der Form 8/-J-1

und grösser als 2 . /'— J — 1 sind, übertrifft die doppelte Anzald derjenigen Divisoren, welche von der Form

8r— 3 sind, und die angegebene Grenze überschreiten, um eben so viel, als die Anzahl derjenigen grössten
ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe: _

n +
n + \ n + 2 n + 'd

[\/|]

^[^J]

Arithmetische Theoreme. 17

entlialten iiiul von der Form 4/- oder 4/-f-.'5 sind, vou der Summe aus der Anzahl der übrigen grössten "-anzen
Zahlen und dem Ausdrucke

übertroifen wird.

Die doppelte Summe derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche grösser

als 2[. /|-J -1 sind, vermehrt um ihre Anzahl ist um [ ii + lj [v /•^] -2r-; kleiner, als die doppelte

Summe derjenigen Trigonalzahlen, deren Ordnungszahlen durch die grössten ganzen Zahlen angegeben
werden, welche in den Gliedern der Keihe:

n +
n + 1 n + 2 rt+3

[y/S

) a '••■'

4 ' 6

[v/t]

enthalten sind.

Die vierfache Summe derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche grösser

■ 1 sind, übertriift ihre vierfache Anzahl um eben so viel, als der Ausdruck

»>» ^ [y|]

ißH^lh^U^'

von der Summe der Quadrate derjenigen Zahlen übertroifen wird, welche man erhält, wenn man vou den
grössten ganzen Zahlen, die in den Gliedern der Reihe:

n + l n + 2 n + 3 Ly 9 J

enthalten sind, 2 oder 1 snbtrahirt, je nachdem die betreffende Zahl ungerade oder gerade ist.

Man sieht sofort, dass die Anzahlen derjenigen Zahlen, für welche r^—l ist, eine arithmetische Reilie
mit dem Anfangsgliede 2 und der Differenz 1 bilden, während die Anzahlen jener Zahlen, für welche r, = 0
ist, eine arithmetische Reihe mit dem Anfangsgliede 3 und der Differenz 3 bilden.

Um zu neuen Sätzen zu gelangen, betrachte icli zunächst die Summe:

Es sei:

tv/:

Wß-'^l^^

a.

ft/i'+P

■.'1 =

B.

Die in der Summe:

Denkschriften der mathem.-naturw. Gl. XLLX. Bd.

x=y,-)-l

2 [\/^-p]^(^)

18 Leopold Gegenbauer.

auftreteuden ganzen Zahlen :

V\hx- + & ''-l

erbalten ersicbtlich nur die Wcrtlie A, A—l, A — 2,. . ., B+l, B und zwar wird, da aus der Relation:

P ^'J<KlTZr715-^

die Gleichung:

folgt, der Werth A für alle x:

ronx=p + l W^^=[y/jP^-|-]

der Werth B für alle x:

von a; = I / / — -= — ts ; -r- 1 + 1 bis .r = n

i^i

b{(^B+iy+p] b

ein zwischen A und B liegender Werth y für alle x:

von x

- [\Jb\(:y+ly+p\ " -1 -^ ' ^''' ■' - I-V^cr+P) ^ '

angenommen.
Es ist also :

(--1) H[v/*Ti^4-'l) -K[Vsp^-(-^]) --K[v4-i(3=^4])|

^ +

p +211 + +

b +^j;+-- +

iff["/

ß-

+

b-

■^ M[Vrp^^-f -']) -Kiy'fpifW! - ^^]) "- " «"'i '

oder:

x=A

Man hat daher die Kelation:

x—n x=p

"> Z [^s^-f]«») = i:[^5i;^-f]ft')-25([v'K^-fl)-^'W+i'n»)

Arithmetische Theoreme. 19

Sind a, ß, b, n, p, a so beschafifeii, dass:

wird, so hat man:

'«) Z [v4-^-.]/v)=I [v4-F^-^l'--)-2: Kiv/^^-f]) -n.).

Für 7;=:0 verwandeln sieh diese Formeln in die folgenden:

x=n x=J.

80)

|:.[v''t^-^]«^)=i:/-([v'k^-ii)-

Es sei nun speciell:

Alsdann ist:

6 = T = 1, ß = p — 0, cc^n

L(.i>+i)'J

B=10

und demnach:

und daher hat man die Relationen:

1"

{[0,

81) •^=» ^=^ " '-U'+if^ —

x=i x=i x=i * ^^ ^

a:=n x=[a]

Setzt man:

so ist:

84) p''+'^a<(jP + l)'+%

und daher:

Ist nun:
so hat man :

aber auch nach 84):

.(i> + l)
d^ <P + ^ (X = 0,l,2,...,x-1),

20 Leopold Gegenbauer.

und daher:

l~l]-=P (^ = 0, l,2,..,x-l).

p-l

Man hat daher die Relation:

«•^) 2[a^'^)=i[a«^)-z^'([V7])-^-^'--^

x=l X^I x=l

Gibt man der Function f{x) der Eeilie nach die speciellen Werthc 63) mit Ausnahme der letzten zwei,
so erhält man die Formeln :

x=[a] —

x=l x=l

x=i x=l x=J

^^) ze]^-z[?]('-')"=z B]— z £]('-')- z [;/j] --"

x^l x=i x^l

^«) Z[ä-<-^"=^Z"KJ[Vä)

x=i ^ x=l '^

X'^71 X^ULfj X — [Aj

^^^) Z b] «««^-^ = Z b] ^-^r- + rTy 1 ^"' (2 [ v^J) - T^r V

^=i x=l ^ x=l V

Arithmetische Theoreme. 21

98) XE]'°'''^=S

•(IHv^7]

-Mcosf^ 2,7- +1

«

2 sin 2

IH\/:

^=Wcos(^^2LV-|+l

99) 2 g] sin... = - V -- -V^-^ . ^cotangi

2 sin-

100, yg]c„,.^ = V [JJcs.^-^-i-. V .fu(i}2[-'l]H-l

Sin

(2,x, + l).

.=1 2sin-,=, ^ 2sin-

;c=|i3 — jH^COS

(2|x„ + l)5

.(.r./«-, .)^ . "" 2

. .er

2 ^-' 2

2sinTr:^i ^ ^ V 2 sin

lOS) lEl(^-..= v''"[f](2.-„. V''"(^J'_ 1^;]'

x=l

105)2V (-l>'p=2V (_i,[^j+ vV^)^^^^+l-l)-^>^

io«)|;j(-,)U(-i,T|[±] = ^?Vsi„(j|[0]4

10,) 5\j(-i)U(-i,x}fi]= f j(-i)U,-n'fl[^].v'^-v-.„(j|[./i]4|

-f>- V^ Sin ^ .

108, V j^_i)^ _^_„^ [£] = _ V2 V'„.«(J| [^^] 41) -.w

1=1 1=1

1U9)

1=1 x=l ■'-'='

+ /..3 V2 COS ' ^ ^ .

Von den in diesen Formeln enthaltenen arithmetischen Theoremen mögen die folgenden besonders
erwähnt werden :

Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche ate Potenzen und grösser als

[«H^J sind, ist um U'+'J kleiner, als die Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der
Reihe.

22 Leopold Gegenhauer.

1' V2' V3 '■

enthalten sind.

Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche grösser als [v/w] sind, ist um
r\/«l* kleiner, als die Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

n n n n

enthalten sind.

Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bi.s n, welche grösser als [vy/«] sind, ist um
[\/w]* kleiner, als die Anzahl der übrigen Divisoren.

Die Summe der aten Wurzeln aus jenen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche ate Poten-
zen sind, ist gleich der Summe derjenigen Trigonalzahlen, deren Ordnungszahlen gleich den grössten ganzen
Zahlen sind, welche in den Gliedern der Reihe:

i'Y 2' Y 3 '■•■'

enthalten sind.

Die Summe der sten Wurzeln aus denjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis w, welche ate

Potenzen und grösser als Iw'-'-'j sind, ist um das U'+''J -fache der Lh^"*""] ten Trigonalzahl kleiner, als die
Summe jener Trigonalzahlen, deren Ordnungszahlen durch die grössten ganzen Zahlen angegeben werden,
welche in den Gliedern der Reihe :

' ÜL Jh. J!L

l'V2' V3 '•••

enthalten sind.

Die Summe der dritten Potenzen der aten Wurzeln aus jenen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n,
welche ate Potenzen sind, ist gleich der Summe der Quadrate derjenigen Trigonalzahlen, deren Ordnungs-
zahlen durch die grössten ganzen Zahlen angegeben werden, welche in den Gliedern der Reihe:

In Jn In In

SjT'\l2'\/j'-'\/n

enthalten sind.

Die Summe der Guben der (7ten Wurzeln aus denjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche

(jte Potenzen und grösser als Lw'+='J sind, ist um das L m'+'J fache des Quadrates der L«'+^Jten Trigonalzahl
kleiner, als die Summe der Quadrate jener Trigonalzahlen, deren Ordnungszahlen durch die grössten ganzen
Zahlen bestimmt werden, welche in den Gliedern der Reihe:

l'V2'V3'-'VLrb]
enthalten sind.

Die Summe aus der Anzahl der geraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche ate Potenzen
sind, und der Zahl n übertrifft die Anzahl der übrigen Divisoren, welche ^te Potenzen sind, um eben so viel,
als die Anzahl der geraden grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe :

In In In In

VT' V2"' V3''"' V^

enthalten sind, die Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen tibertrifft.

Arithmetische Theoretne. 23

Die Summe aus der doppelten Anzahl derjenigen geraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n,

welche ate Potenzen und grösser als Lw'+='J sind, und der Grösse (—1)^"'"^''^ Lw'+d übertrifft die doppelte

Anzahl der übrigen Divisoren, welche ate Potenzen und grösser als L'w'"*"'J sind, um eben so viel, als die
Anzahl der geraden grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe :

Jn_ J,n_ Jn_ J n

Vl'V2'V3'-'VLTi;]

enthalten sind, die Anzahl der übrigen grössten ganzen Zalilen übertrifft.

Die Summe aus der doppelten Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis ii, welche ate
Potenzen von mehrfachgeraden Zahlen sind, und der Zahl n übertrifft die Anzahl der übrigen Divisoren,
welche ate Potenzen von geraden Zahlen sind, um die Differenz aus der Anzahl deijenigen grössten ganzen
Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

In In. In I

VT' V 2' V3 '■■" V'

enthalten und von der Form -ir oder 4r+l sind und der Anzahl der übrigen grössten ganzen Zahlen.

Die doppelte Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche ute Potenzen von

mehrfachgeraden Zahlen und grösser als [»H-'J sind, übertrifft die doppelte Anzahl der übrigen Divisoren,

welche ste Potenzen von geraden Zahlen sind und oberhalb der angegebenen Grenze liegen, um eben so viel
als die Anzahl derjenigen grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

Jn_ Jn in I «_

\/i'V2'V3'-'V[„t:^]

enthalten und von der Form ir oder 4r+l sind, grösser ist, als die Summe aus der Anzahl der übrigen
grössten ganzen Zahlen und dem Ausdrucke :

V/ 2 in^ sin -J j 2 [ n~'] + 1

Die doppelte Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «., welche ^te Potenzen von
Zahlen der Form 4ä + 1 sind, übertrifft die doppelte Anzahl der übrigen ungeraden Divisoren, welche ote
Potenzen sind^ um eben so viel, als die Anzahl derjenigen grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern
der Reihe:

enthalten sind und die Form 4.s oder 4s + .3 besitzen, von der Summe aus der Anzahl der übrigen ganzen
grössten Zahlen und der Zahl n Ubertroffen wird.

Die doppelte Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche tjte Potenzen von

Zahlen der Form 4s+l und grösser als [w'+d sind, übertrifft die doppelte Anzahl der übrigen, oberhalb der
angegebenen Grenze liegenden ungeraden Divisoren, welche ate Potenzen sind, um eben so viel, als die
Anzahl deijenigeu grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

,/w c/_w Jn_ J n

24 Leopold Ge(/(')ihaiirr.

enthalten sind, und die Form 4.s oder 4*-+3 besitzen, von der Summe aus der Anzahl der übrigen ungeraden
giössten ganzen Zahlen und dem Ausdrucke

\/2[w'+^]cosj J2[«'+^] +lj

UbcrtrofFen wird.

Es mag erwähnt werden, dass die Gleichung 87) schon von Herrn Lipschitz, die Gleichung 102) von

Herrn E. Cesaro abgeleitet wurde. Bezeichnet man mit i- , ,-Ar) die Anzahl derjenigen Divisoren von /•

_ _ I'. I \/ « 1

welche nicht grösser als ["s/« ] sind und mit -p r/ i(,>"> die Anzahl der übrigen Divisoren von r, so folgt
aus 87) die Beziehung :

x=t x=l

oder:

x=:n x=zn

111) 2^+^,^ ^^^j (,r) - Vl^ ^^/_^ (.)= « + 2sV» + -^^ (0^.<1)

und daher hat man:

112)

St.h/nW-Zi.i.^M

Berücksichtigt man, dass unter denjenigen Divisoren einer Zahl r, welche nicht grösser als [V'*] sind,
stets die Zahl 1 vorkommt, so liefert diese Gleichung folgendes Theorem:

Abgesehen von dem Divisor 1 hat jede ganze Zahl n im Mittel eben so viele Divisoren, welche grösser
als [\/«] sind, als solche, welche die angegebene Grenze nicht überschreiten.
Aus der bekannten Formel :

x=n x=» j;^7i

y-m = v^^^^ ^^_| (^) + v?„, [v„ ] c^o =»(iog«+2C'-i)+A ,

X=:i x:=l X:=l

wo C die Euler'sche Constante, und:

I A I < 4 s/n
st, folgt sofort:

x=n

U3) V^^^^^_^^(,) = |(log.+2C)+A,

X=i

x:=n

114) ^-^^^ ^^_^ (^)^|.(log.« + 2C-2) +A,,

wo:

I A, I < 6 v/w, + 1
\\ |<6\/;7+l

ist.

Aus den letzten zwei Gleichungen ergeben sich die Relationen:

Arithmetische Tlieoreme. 25

l\w^&'^

1

115) \uri„^^±=l = (log/, + 2C)

116) \im„^^~ = (loo.«+2C-2),

welche folgende Theoreme liefern :

Das arithmetische Mittel der Anzahlen derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis », welche
nicht grösser als die grösste ganze Zahl sind, die in der Quadratwurzel aus « enthalten ist, ist für sehr grosse
n gleich dem Ausdrucke:

e'

— log n + G.

Das arithmetische Mittel der Anzahlen derjenigen Divisoren aller gauzeu Zahlen von 1 bis n, welche
grösser als die grösste ganze Zahl sind, die in der Quadratwurzel aus n enthalten ist, ist für sehr grosse n
gleich dem Ausdrucke:

jlogw+C— 1.

Ist n kein Quadrat , so ist die Anzahl derjealgea Divisorea von n, welche nicht grösser als die gröäste
ganze Zahl sind, welche in der Quadratwurzel aus n enthalten ist, im Mittel gleich dem Ausdrucke:

i(log« + 2C+l).

Ist n kein Quadrat, so ist die Anzahl derjenigen Divisoren von n, welche grösser als die grösste ganze
Zahl sind, die in der Quadratwurzel aus n enthalten ist, im Mittel gleich dem Ausdrucke:

-i(log^j+2C-l).

Setzt man in den Gleichungen 81) und 82):

117) /■(x) = logx,

so erhält man die speciellen Formeln:

ns, 'h>'^=hA\M

x-=.n

x=l x=l x=l

oder auch:

120) pjp.(., = f:jj[^fc],|-

i 1 ^

1 1

Denkschriften der mathem.-uuturw. Gl. XLIX. Bd.

26 Leopold Gegenbauer.

wo Pa(x) das Product aller Divisoren von x bezeichnet, vrelchc ^tc Potenzen sind, P3,a^(a:) aber das Product
derjenigen von den eben genannten Divisoren, vyelche grösser als ;j.J sind.
Man hat daher die Theoreme :

Das Product derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche ate Potenzen sind, ist gleich
der fften Potenz des Productcs derjenigen Factoriellen , deren Ordnungszahlen durch die grössten ganzen
Zahlen angegeben werden, welche in den Gliedern der Reihe:

Vi' V^' Vs '■■■' V'*

enthalten sind.

Das Product derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche ffte Potenzen und grösser als

U'+^J sind, ist der Ulm '+"]/!) te Thcil der aten Potenz des Productcs jeuer Factoriellen, deren Ord-

nungszahlen durch die grössten ganzen Zahlen bestimmt werden, welclie in den Gliedern der Reihe:

n a n_ er / M_

T' \2' \J'-'-'

enthalten sind.

Das Product der Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n ist gleich dem Producte derjenigen Facto-
riellen, deren Ordnungszahlen durch die grössten ganzen Zahlen angegeben werden, we'che in deu Gliedern
der Reihe:

n n n n

F' 2"' 3"--'n

enthalten sind.
Ist:

und setzt man:
so wird:

Ist nun :
so hat man :

p =: n^

<nl

A = nl—y. (x>0),

-<«, + ! (A = 0, l,2,...,x-l).
Bei dem angegebenen Wertlie von a ist aber andererseits auch:

4-

und daher :

-y nl-

[\/^]="'

a = o, i,2,...,>c-i).

Arithmetische Tfieoreme. 27

Man hat demnach die Formel :

x=l X=l 1=1 *

aus welcher für a ^ 1 die specielle Relation:

123) i:'0A«)='fe]A^)-zna)-»=^(".)'

x^i x^I x=l

folgt.

Aus dieser allgemeinen Formel ergeben sich wieder die specielien Relationen :

X^J X^l X=:I

125) |;-K.(^)=X[^]-«

1=1 1=1

X=:l X=l X=l

X=i X=:l Z^I

'^«)Z[a--zS]^^-')'-=ze]'"-ze](-'>--z[#r-»^''"

x=i x=l x=l x=l x=l

12.) 1 [g (2.-1) = v'g] (2.,.-n . 'f [^]'-»s»!

x=l ..■=1 x=f *

130) 'f g]logx="f g]log,.+ V'lo, j[^]!|-„;l„g(.,,)

X=l X=i X=zi

a 3

131) K!)"^p|P...,(^) = P|([;r^]0'

1 r

^^^) Z [3 ^'" '^^ = Z [S] ^'" --i^ - v^ Z'' ^'-a [^D - ^^ '•'

,n, n

<o„s V*' r»"! (2a;— 1)/: V^'V«"! (2^^— l);r 1 ^v~i"' . /tt r w -i> ni . n.n

(2w^ + l)5

134)2g]co,.^=^g]c„.«^.^£%i„gj2[Jl-J+IJ)-^-^
,_. .._, 2sm^±:7 V'*' 2smT^

nl sm - ,^

2sin^^'r^ -- ^ ^V-''" " . 28m-5-

4*

28 Leopold Gegenhauer.

.(2«, + i).a

.c=ni „ '«^COIS-

=1

'ix x^n. X 3x

x=i x=l x=\

/— . (2«, -f 1 ) TT

V 2 ?ij sin -^ — '^ ^

■0=1 j:=l x=t ^

v/2 »^

cos

(2«, + 1)7:

Vou den in diesen Formeln entlialteuen uiithmetiselien Theoremen mögen die folgenden besonders
erwähnt werden:

Ist nz=n^n^, so ist die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis tf, welche sie
Potenzen nnd grösser als n\ sind um n «p' kleiner als die Summe der grössteu ganzen Zahlen, welche in den
Gliedern der Reihe :

n n n
"i" ' ~T > ~~\^ ) • • ■ > '^
2- 3-

enthalten sind.

Ist H^n^n^, so ist die Summe der aten Wurzeln aus denjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1

bis n", welche ate Potenzen und grösser als «^ sind, um — ^ ^ '' — kleiner, als die Summe derjenigen

Trigonalzahlen, deren Ordnungszahlen durch die grösstun ganzen Zahlen angegeben werden, welche in den
Gliedern der Reihe:

n n n
2" 3'
enthalten sind.

Ist n ^n^n^^ so ist die Summe der dritten Potenzen der uten "Wurzeln aus denjenigen Divisoren aller

ganzen Zahlen von 1 bis n% welche ate Potenzen und grösser als n\ sind, um ^ — ^^-! kleiner, als die

Summe der Quadrate jener Trigonalzahlen, deren Ordnungszahlen durch die grössten ganzen Zahlen ange-
geben werden, welche in den Gliedern der Reihe:

www
1 2" 3"
enthalten sind.

Arithmetische Tfieoreme. 29

Ist 11 = 11^ 11^, so ist das Prodnet derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n", welche 7te Poten

zen und grösser als wj sind, der (Mj!)"2te Theil des Productes jener Factoriellen, deren Ordnungszahlen durch
die grössten ganzen Zahlen bestimmt werden, welche in den Gliedern der Reihe :

n H n

enthalten sind.

Die Summe aus der doppeltenAnzahl derjenigen gerarten Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis (w, n^v,
welche ffte Potenzen und grösser als 7i\ sind, und der Grösse (— IV''«^ übertrifft die doppelte Anzahl der
übrigen Divisoren, welche ate Potenzen sind und die angegebene Grenze überschreiten, um eben so viel, al.<i
die Anzahl der geraden grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

n n n

^ 2 " 3 '

enthalten sind, die Anzahl der übrigen grössten ganzen Zahlen übertriift.

Die doppelte Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis («-, WjV, welche atc Potenzen
von mehrfachgeraden Zahlen und grösser als n\ sind, übertrifft die doppelte Anzahl der übrigen, oberhalb der
angegebenen Grenze befindlichen Divisoren , welche ate Potenzen von geraden Zahlen sind, um eben so viel,
als die Anzahl derjenigen grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

n H n

1 2= 3'

enthalten und von der Form Ar oder 4/+1 sind, grösser ist, als die Summe aus der Anzahl der übrigen

grössten ganzen Zahlen und dem Ausdrucke \/ 2 nlavn— — ^-^ — —•

Die doppelte Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis ^ n^ n^y, welche ate Potenzen
von Zahlen der Form 4* + l und grösser als n\ sind, übertriift die doppelte Anzahl der übrigen, oberhalb der
angegebenen Grenze liegenden, ungeraden Divisoren, welche ate Potenzen sind, um eben so viel, als die
Anzahl derjenigen grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

n n n
^ 2' 3'

enthalten sind, und die Form is oder 4a'+3 besitzen, die Summe aus der Anzahl der übrigen grössten ganzen
Zahlen und dem Ausdrucke \/ 2 w| cos — ' ^ — übertrolfen wird.
Aus der Gleichung 125) folgt:

oder:

x=n

139) J^ ^0, „, (x) - n { log «, + C- 1 } - A ,

wo:

I A I < «j + «,
ist.

30 Leopold Gegenbauer.

Sind n.^ und »^ so gewählt, dass:

lim«, „„=00^^ - — 0

ist, so hat man die Relation :

140) 2 ^""-("^

lim„ = 00 — = log n, + C— 1 ,

n

welche das folgende Theorem liefert:

Das arithmetische Mittel derjenigen Anzahlen der Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis H^n^n^,
welche grösser als n^ sind, ist gleich dem Ausdrucke :

2

n=oo

logWg+ C—1.

wenn lim„=c>o — = 0 ist.

n

Aus 140) folgen sofort die Relationen:

2 K",(^)

x=l

141) lim,, = 00 ~ = log n^ + C

y K",w — y ^o,„,{x)

1 42) lim,, = 00^^ ;^ = 1 + log ^

.t=10' j: = 10»-<

y 1^0, 10'- (^) — y 'i'ii,io''(^)

143) lim, = 00^-^^^ ^Q,_^J~', = s log 10 - (;— 1) log 10 + C - 1

y 'po,io'-{x) — 2 i'o.wix)

144) lim^co^^^^ löTZlS^' = '-1°^ 10 + C,

aus welchen sich folgende Theoreme ergeben :

Das arithmetische Mittel der Anzahlen derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n^n^n^,
welche nicht grösser als w, sind, ist gleich dem Ausdrucke:

t

n=oo

log «, + C ,

wenn lim„=Qo — = 0 ist

Jede s-zifferige Zahl hat im Mittel bei hinlänglich grossem r :

s log 10 - fr- j^ log 10 H- C- 1.

Divisoren, welche grösser als 10' sind:

Jede s-zififerige Zahl hat im Mittel bei hinlänglich grossem r:

r log 10 + C

Divisoren, welche weniger als r Ziffern besitzen.

Arithmetische Theoreme.

Jede s-zifferige Zahl hat bei hinlänglich grossem r im Mittel:

log 10
r-zifferige Divisoren.

Setzt man in der Gleichung 77)

so erhält man die Formel :

145)

Z '\^V"^=1 \^V<^' - E Hl^\) -^^'"^ - «nif ]

.c=B + l

Ist nun wieder :
und setzt man:
so hat man :
146)

Aus der Gleichung 146) folgt:
und daher ist:

P = «I

U«,+<<J [■/.}

B

»a

= 1.

L X J — X (w, + 1 ) L X J

-<«, + l (pzzl,2,3,...,X)

ira->-fi

Wäre nun auch:

so hätte man:

< n.

oder:

wo:

0<— /A— x(X — p)

0^/x^x— 1
ist. Da diese Beziehung aber unmöglich ist, so hat man die Gleichung :

n

n, (p = l, 2, 3,...,a).

147)

Die Gleichung 145) verwandelt sich daher in dem eben erwähnten speciellen Falle in:

31

x=i

1=1

32 Leopold Gegetihaiier.

Durch ein analoges Verfuhren kann man auch die folgende Grleichimg ableiten:

"^' I ' [^]/w =2 ■ [^y«- &(£]) -'^m ■

x:=l x=l x=i

Setzt man in der Gleichung 147):

/•(..) =1,

so erhält man:

wenn mit i^o. z.z-.fa;) die Anzahl derjenigen Divisoren von x bezeichnet wird, welche Vielfache von x und
grösser als ■/.n^ sind, mit 4*0, z,m,(-^) ^^*^^" f^'*^ Anzahl der übrigen durch ■/. theilbaren Divisoren.
Aus dieser Gleichung ergibt sich sofort die folgende :

X=l X=l r=\

aus welcher die Formel:

löl) y4/o,.,v.„,(^)=-|logw, + C— logx-ll -A

ansteht, wo:

152) |A|<(x+2)«,+ ^

ist.

Ist:

so hat man:
153)

,. x-h2 1
bm„,„, = 00 h — = U,

Ho

lim„=«, — = - \ 1"8' >h + C - 1 - log X I

Nun ist aber bekanntlich :

x=n

154) 2^K.o(.) ^

lim,,^«, '-^ =- !log« + 2C'-l — logxj,

«. ''•

und daher hat man auch :

155) 2K.»,(-) ^

lim„=oo — = T 51o8'"i +^'! •

Man hat daher die Theoreme :

Ist M =: n^ n^ und :

lim,,=oo 1 =^,

Arithmetische Theoreme. 33

so ist das arithmetische Mittel der Anzahlen derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche
Vielfache von x und grösser als v.n^ sind, gleich dem Ausdrucke:

— {log«2 + C — 1— logx} .

Ist n = n^ «j und :

V " + 2 1 ,,

limH=oo 1 = *J,

so ist das arithmetische Mittel der Anzahlen derienigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche
Vielfache von x und nicht grösser als x«.j sind, gleich dem Ausdrucke:

1

Ist n ^ ll^ «2 "itl •

[lögM, + Cj.

T- 4 1 _

lini«=oo f- ;r~ = ^'

so ist das aritiimetische Mittel der Anzahlen derjenigen geraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis /(,
welche grösser als 2/j, sind, gleich dem Ausdrucke:

l{log«, + C-l-log2!

Ist n■=H^ 11^ und:

lim„=oo f- -ö— = 0,

so ist das arithmetische Mittel der Anzahlen derjenigen geraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n,
welche nicht grösser als 2/*, sind, gleich dem Ausdrucke :

-{log«, + q
Aus den Gleichungen 153) und 155) leitet mau ferner folgende zwei Formeln her :

156) .ij Z_j ,1

l™-oo^^^ W^f^i _=:_{, log l(J_(.^-)loglO+C-l-logx}

1=10» j;=10^

s-l

,. x=l x=l 1

wo:

iim.=«, ^-^ m^-To'-^ = 7 ^'^""^ ^^+ ^^

x+2 1 ^

ist:

Man hat daher die Sätze:

Jede s-ziiferige Zahl hat im Mittel :

i{sloglO-('»---^)loglO + C— 1— logx|

durch X theilbare Divisoren, welche grösser als 10'. x sind, wenn:

x+2 1 _

lim,,,r=oojö:^+ X.10-"

ist.

DeuJischrifteu der maLhom.-natiirw. CU. XLIX. Bd.

34 Leopold Gegenbaue r.

Jede s-zifferige Zahl luit im Mittel;

-{rloglO+C;

(lurcli X tlieilbarc Divisoren, vvclclie nicht grösser als 10 .x .sind, wenn:

x + 2 1

lim, ,.=

10- '■ 10-.

0

i.st.

Jede .s-zifferigc Zahl hat im Mittel :

2 j.-^o-- (/■-g-)lüglO+G'-l-l.)g2J

'.sloii-lO-

gerade Divisoren, welche grösser als 2.10'' sind, wenn:

1

lim. ,.^oo ... _. + o in. = Ö

10

2.10'-

ist.

Jede s-zifferige Zahl hat im Mittel:

^|HoglO+q

gerade Divisoren, welche nicht grösser als 2.10'' sind, wenn;

r 4 1

lim,,,,.= oO -,r^.._,. +

10'

2.10'

ist.

Schliesslich mag noch folgende Summe betrachtet werden :

.=1 7^

Nun ist:

ai^p + l

.x=«,.v=[^-^^!iZ!±:]

V ri3+C.r"+\/l3^ + oV + £xä' L., . V /ß + Cx'+\/ß'' + ox' + sx-'\ ., ,
Z_, ; J/W=Z1j i{ ; f{^)

.c=p+i

oder, weil jedesmal, wenn :

ist, auch:

ist, so hat man :

y ^ß+tx'+s/ß^-

X=:ip-{-i, ■>/=l

ryx-

ß + ix''+ \/ß^+ Sx'' + ix-
yyx'

2ßyy~2ßl^ + ^
(fy^+e—ll^—2yl;y)x'

<

^1
<

x^p-j-l

70;'

-\f(a-:)-AF(j>)+BFO^)

^Zni^TjIS^Elfcl,]) ^,.«.,.^(,0

Arithmetische Theoreme. 35

wo:

_ |-ß+c(>+i)"+\/ß'+^(i'+ir+<(i'+i)'

=[i

ist.

Man hat. daher die Relation:

.t=l

'^r,l\-l 2ßyx—2ß^ + 'J n

x=B+t

welche l'ür^jzizO in die folgende übergeht:

'^" r ß + C .*- + s/ß-' + Sx^ + ix'^ , "^'' /r - / 2ßyx—2ßl: + S ,,

Ist:

so wird:
und man hat:

/ 2ßy+§-2ßC
''>\l:^+f-s-2yC

'^ .^J 2ßyx-2ßi:+d. ^.

.<:=1

'^'' ß + C^j'+V^ß^+oV + saJ^ "=^ ,, ,/ 2|3ya;-2/3C + o ,.

3-=l .C=i

Von den speciellen Fällen dieser allgemeinen Formeln mögen die folgenden besonders crwcähnt werden :

^=; ß + i;x'+^/ß^+r:x^ + ,:c'^ — ^ / 2ß'^x-2ßl: + ö

^^^) Li w^ J =I[V7V+.-c^-2,cJ

164)

^=" ß + l;x^+S/ß^+dx^ + ex'^ ^=^ . / 2i3yx-2P^+q- ^^

A L ^^^ J ('■'- ^^ = Z [ V 7V+s-C^-27?xJ

X=l .f=l

1«P.^ ^f"rß + ^^' + Vß'+°V+.x-==^ --^ / 2ß-^x-2ßi+ö

IGO)
167)

Z L ^^ r -L^ilM 7V+s-C^-27a-J

6*

36 Leopold Gegenbauer. Arithmetische Theoreme.

168) [ \_ J +3 [_^^_ ] +5 [ Y_ ] +7 \__X. 1 +...=

r-m 1 T2 r'w 1 12 r'w 1 12 r'w 1 n2

^[r + rJ + t-^iJ^t + d+t + nr]-^

+ . . .=

rW 1 -12 r»» 1 12 rW/ 1 -12 r/;^. 1

r2»w 1 -12 r2w< 1 12 r2»w 1 -ig

--«3fe?3^

37

ASYMPTOTISCHE

GESETZ E D E R Z A H L E N T II E O R I E.

VON

LEOPOLD GEGENBAUER,

CORKESPONniRKNPEM MITOMl'PE HER KAISERLICHEN AkAÜEMlE PER WISSENSCHAtTEN.

VORGEI.EOT IN DER SITZUNG AM C. NOVEMBER 1881.

In den folgenden Zeilen werde icli eine Reihe von asymptotischen Gesetzen der Zahlentheorie mittheilen.
Setzt man:

so hat man die Gleichung:

x=l x=l ' x=l '

oder:

Da mm, wenn:

/ 4M ~.w

<

ist, auch:

ist, so hat man :

xif<

x=:m, y=.m

x=p+t,v=i

= V ''n["])-[v^.-^f«

38 Leopold Gegenhauer.

wo:

ist.

Die Gleicbuiig 1 ) verwaiidclt sicli dabei' in die folgende:

Aus der Gleicliung:

f'\/'^]=>^" («^')

folgt:

und daher ist:

-<« + l (pz=l,2,3,...,x-l).

Nun ist aber auch:

(X-x + p)

''<(r:S--^ (P = i'2,3,...,x-i),

X"«

und dessbalb bat maa die Gleicbung :

Die Gleicbung 3) kann daher auch in folgender Weise geschrieben werden :

^) Vp,.,.]rt.) = V45])_> V 45])_ V-;(f5j) .(x^nF«.

.1=1
Setzt man :

A,- = ZfW

wo die Summation bezüglich x., über alle Werthe von x., zu erstrecken ist, für welche:
ist, so verwandelt sich die Gleichung 4) in :

Gibt man der Function f{x) der Reihe nach die speciellen Werthe:
6) /■ (x) = 1 , a;, X*, a;"' — («— 1 ) "' ,

so entstehen aus der allgemeinen Formel 4) folgende specielle Gleichungen:

x=\-l.

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 39

X=i .t=l ^ = i .1 = 1

Aus der Gleichung:
folgt:

9)

10)

= ^-^c(-)+yei).-.ö,.(2^ g:)_.v

.=[^-]+l

und datier verwandeln sich die obigen Formeln in die folgenden :

11) y[X7v]=«sH^'-'~i)cw-Ä'y _+x_ij+A, (ff>i)

.. = 1 x=l

1^) 2^1A;a,.Jx _2| 2r(2a+l) ^ Z ^+^^'+^-^

l3^ yn, 1^3 _!i!((M!^£iM^:r!z:l^_;./y"'j_ .x-ii+A

id) 2,[A..,.Jx _^^ 2r(4a+l) ' L *•*' ^ '^ =■

14) y [x/v,j X'" — y [Xr,,,](.-c- 1)"' = n"- p-(A""-' - 1) c(wcf) -X"" y — +>.- ii +a,

wo ßj die ate Bernoulli'sche Zahl ist, uud die Grössen A^^ Ag, A^, A^ durch folgende Gleichuiiä'eii g'egebeu
«ind!

= -^°" Z -^ +^" Z ^ " Z ^'- +^Z ^'' ■. +Z ''- ^^=''-' ''"' -'''^ ^^

.=[xC/T]+. ..= [C/^]+i ^' ^' ^'

^^' ^^=--2-Z ^-^'"'*Z -i;^ — yZ^^--^'-^^-"^-^^Z ^-

^=[^"]^-^t. KC'^] _x-. i-C.: 1 ->■-' (X-1)«

sind
15) A

40 Leopold Gegenliaucr.

+i

^■=[V"]

+1

x=i

,3

1 '^ 1 1

X-'M^ / , ; hX'M / ,

.t=l X=I .f=I

.c=:oo }j.=m—i L V J f„^_ x=oo

Zj a;"" Z_i ■ ^(-'•^ VZ_i a;°i^ / ,__i a;»«

Berücksiclitigt man dass

1

x=5

Z7<^"^'

ist, wo C die bekannte Euler'sche Constante des Integral logaritbmus, also:

C 1=0 -57721566...
ist, so erhält man:

19) |a, |<2X(l+?(-7))«-7+X— 1 (a>l)

20) |Aj<A(i + ?(2a))»*^ + |-,jX(2Ä"-' + l)^(a)+X-li +^^ (<7>1)

21) |A,|<-^i|! + ^+3C'+^ + log|X(X-l)«M+>>}-f + ^ (- = 1)

^^) U3l<-p{C(4a) + i+^(2X-' + l)C(<T) + J^jX-l+|^C(2a)(2A^^^^

^'jX-l+X(2X^''-' + l)?(3a)l +^ (,>1)

■21 (=r=l)

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 41

+ ^{log(A(X-l)«^)+3C'+^}+l (a = l)

u.=«,-f

I I 'v^ —

24) |AJ<\ w!^/(;2Ä':^-' +l)(r(ff|j.)+2A((r(wffi + l')«^ +Ä-1 (C7>1)

25) 1^4! <y nv-M2lv~^ +l)C(f^)+Ä«(log-(Aa-l)«^)4-3C+^+2 + 2?(jw)
Aus den Gleichungen 11) und 13) folgen die Relationen:

, J .'" - ^ [Ä r, .] (.-1)-" = n-" \ ,p^^^^_^j^. ;.- £ - + A-1 j - A', (a,« gerade),

die oberen Grenzen für |A',| und |A'J leicht aus den für |A,| und |AJ angegebenen abgeleitet werden
neu.

Aus den entwickelten Formeln ergeben sich die Gleichungen:

28) lim,.^oo '-=^ = Ä(Ä^-'-l)C(5)-X' y A+^-i

29) lim„_-^^i-^ - ^2.V-i^.Äa----l) 1 (.-^"'l .,jj

•^ °^ «^ 4r(2(7+l) 2 i' L x"^ ^ S

X=l

x=n

y[Ar,,Ja;3 ^^_^

' °^ «* 8r(4(;+l) 4 ( L x'^ ^^ )

x-=n a:=w

y[Ar.,Ja;"-y[Xr.,.](a;-l)"'

31) lim„=<« ;^^ -p; = ),(Ä'"'-' -1) l:{ma) -/- V — +X-1

32) linw^^^ = (2.)^-i?.y---l) _ y ^^^_j

w 2ri2ff+ll Zj x''

27) y[Äy

wo
können.

2r(2ff+i)

33) lim„=oo

j. — it x-=.n

y \^r^, ^ X'" — y [Ar, ,1 ix— 1)'"

:irt :r^ (2;rV-5-./(X»— i -1) ^;^'"~' 1

= ^ /"^ > — -+X— 1 ((T/Hgerade)

«'" 2r(«w+i) z_j .-c"" ^ ^

^\kr,^^\x y[Är2

34) lim„_oo "^ — — lim ''='

nenkschi-iften der mathera.-naturw. Cl. XLIX. Bd.

42 Leopold Gegenbauer.

Aus diesen Gleichungen ergeben sich folgende Theoreme :
Zerlegt man jede der Grössen :

In In .In in

y i'\j2'sj3'-' sji;

in eine ganze Zahl und einen i)ositiven echten Bruch, so nähert .sich das arithmetische Mittel der giiissteu
ganzen Zahlen, welche in den mit der ganzen Zahl Ä multiplicirten echten Brüchen enthalten sind, mit wach-
sendem n dem Ausdrucke :

Zerlegt man jede der Grössen:

in eine ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so ist für sehr grosse » das arithmetische Mittel der
grössten ganzen Zahlen, welche in den mit der ganzen Zahl Ä multiplicirten echten Brüchen enthalten sind,
gleich dem Ausdrucke:

(2»y^ >(>■.-. -1) _,Jf\^,_,

Zerlegt man jede der Grössen :

1 ' \/2 ' \/3 '■•■' Sj n

in eine ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so nähert sich das arithmetische Mittel der Producte aus
den grössten ganzen Zahlen, welche in den mit der ganzen Zahl /, multiplicirten echten Brüchen enthalten
sind, und dem jeweiligen Divisor von n mit wachsendem n dem Ausdrucke :

n

x=\—i

(2;r)^-5,X(T— '-!) 1 A2, V 1

4r(2<7+l) 2\, Z-i X

(-1

-A+1

Zerlegt man jede der Grössen:

1=1

T' \2' V3"'---' Sjn

in eine ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so nähert sich mit wachsendem ti das arithmetische
Mittel der Producte aus den grössten ganzen Zahlen, welche in den mit der ganzen Zahl X multiplicirten
echten Brüchen enthalten sind, und dem Cubus des jeweiligen Divisors von n dem Ausdrucke :

M 8r(4a+l) 4l Zj x'^

8r(4s+l)

Bezeichnet man mit Bx( — , — , ^- ") <^l^ie Summe der xten Potenzen derjenigen Wertlie von x, für welche
»V,^ zwischen — und — -r — liegt, so dass also -Bof~? T' ^ — ) '^^® Anzahl der in dem genannten Intervalle

/ 1 V V —I- 1\

befiudlicheu Brüche r^r^c ist, und mit BU—^ — , ^ — ) die Summe der xten Potenzen der eben genannten um
eine Einheit verminderten Grössen, so kann mau die obigen G-leichungen auch in folgender Form schreiben:

Asymptotische Gesetze der ZaJilentheorie. 43

»=).— !

■1 V V+l-\

35) lim„=^^-=^ zrX(X'-'-l)CW-Ä'2. 1F+'-^

1 V v+l>

36) lim„=co ;^2 4r^2a+l) 2 (^ ^ "^ '

1 V v+h

37) lim„=^ -, sr^45+i) 4r ^ a^' >

1 V V+l^ r.. /l V V+1n

38) lim„=oo^^^ 7, =X(X— '-l)C(«ea)-X""2, ^^^'^"^

=1

v=X-f ^ ^

,,, V ti ^^^ ^- ' _ (2.)^-^,X(X^-'-l) ,,,V ^^.;,_i
39) lim„=<« 2r(2<; + l) 4^ ^''

Z 'i^"'(^'T'~^)~^'"(a' X' X )| (2 ;:)-£- X(X—'-l) 'A'"' , . ,

40) lini„=«> — 2V(m(3-hl) ^ x'""

(>«ff gerade)

M=X-1 , , v=X-l

41) lim_<« ^^1 -, = "2 lim-,=<» ^-^ ^

Für Xrr2 ergeben sich aus diesen Relationen die speciellen Formeln:
42) lim_,o , = 2(2-'-l) CW -2^ + 1

5.

1 1

,,, ,. ^'('^' 2'0 (2:r)^-^,(2'°-'-l) g--' -4- ^

43) hin„=co ;^ = 2r^2aH-l) '^ "^ ^

^«(T'T'O (2:ry-^..(2^°-'-l) ,,_ 1

44) lim„=oo -^^5 = 4r(4a+l) '^ "^ 4

1 1 ,A r>. /l 1

45) lim„=^ ^^ ^ \„ ^^ ^ ^ = 2(2'— -l)f(m.)-2- + l

1 1

,a^ Vr. ^"(2.- 2'0_ (2;rf-i?,(2^--l) ^,,
46) lim„=^ ^ _ r(2a+l) ^ ^

6 ♦

44 Leopold Gegenhauer.

47) lrüi„=oo = TTT^ — T^ 2""+] (m(T gerade)

^ /?" 1 ('/W(J+1)

48) hm„=^ -j = -^ hm

2
Beachtet man, dass:

'«=oo

^«(vt1)-^^«(7'^'y) =

£

i^,„(l, 1,1). 1^.(1, o,l)-i.:(14,i)-^:(l,o4)=..

ist, so erhält man auch die Formeln:

49) lim„=oo — ^ i = 2^-2(2— '—l)C(ff)

B.

n
1 ^ 1

50) lim ^'''^' ^^-2--^ i2.)-B.A2-^'-U
ÖU) lim_<^ ^, -Z 4r(4a+l)

.,, ,. ^'(T'^'^) „„^ , (2;r)^°^.(2^°-'-l)

51) hm_^ = 2-^-' -2Ü2a-Tr)

^-<7'Q4)-^-"(7-"4) .,„, (2.)-.-/^^(2----'-l,

52) lim„=oo — 2""' -— i (w(j gerade)

•^ w" I (ma + l)

53) lim„=oo = 2'-"

1 ^ ^^

2:r)-'5.(2ä<'-'-l)

^0(2.'«'^)

w r(2(7+i)

5,„(l,o,|)-£;„ (1,0,1)

54) lim„=oo — ^ ^ = 2»'" —2(2'"'-' -1) ama)

n'" / ^ .

55) lim„=oo 5 = -öln""=oo •

Die specielle Formel 53) hat schon Herr B e r g e r aufgestellt, die speciellen Fälle er =: 1 der Formeln 50)
und 51) hat Herr E. Cesaro mitgetheilt.

Von den in den obigen Formeln enthaltenen Sätzen mögen die folgenden besonders erwähnt werden:

Zerlegt man jede der Grössen :

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 45

in eine ganze Zalil iiiicl eiceu positiven ecLten Buicli, so liegen bei .sehr grossem n im Intervalle 0.. .-^

{2»-2(2'-'-i;)C(ff)|«
von diesen Brüchen, während ausserhalb des genannten Intervalles sich:

befinden.

Zerlegt man jede der Grössen :

' n In In In

1 ' Y 2 ' V 3'-"'' Y n

in eine ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so ist für sehr grosse n die 8umme derjenigen Nenner
von n, für welche der betreffende Bruch im Intervalle 0...— liegt, gleich:

^ ~ 2r(2a+l) C"'

während die Summe der übrigen Nenner mit wachsendem w sich dem Ausdrucke:

nähert.

Zerlegt man jede der Grössen:

2r(2(T+l) " 2'

^ In ^ In ^ In .In

••'V

in eine ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so ist für sehr grosse n die Summe der dritten Potenzen
jener Nenner, für welche der betreffende echte Bruch im Intervalle 0.. .-^ Hegt, gleich:

(2;r)*'£,,^2*-'-l)^^_,

^ 4r(4ff+i) i"

während die Summe der Guben der übrigen Nenner mit dem Ausdrucke :

K2;r)*VB.,(2^-'-l) o,,,,.!! .
\ 4f(4^+T) 4 1 "

übereinstimmt.

Zerlegt man jede der Grössen:

in eine ganze Zahl und einen positiven echten Bruch, so ist die Anzahl der innerhalb (ausserhalb) des Inter-

1 2

valles 0...— liegenden echten Brüche das — fache der Summe derjenigen Nenner, für welche die bei der

^ H

analogen Zerlegung der Glieder der Reihe :

In In In In

VT' V2' v-^''""'V'

n

auftretenden echten Brüche innerhalb (^ausserhalbj des Intervalles 0...— liegen.

6

-16 Leopold Gegenhauer.

Es ist ferner :

1 a"W = 2 '[^iK«)

x=i,y=l

=1:^5 (ZK#-

Nun hat man :

1-^

iCfl-n PI

wo das Product über alle Primzahlen p zu erstrecken ist, oder:

C(rs) ~ I \\ p^ p^' pi^-'JV

56) «=oo , .

WO ju.,. («) den Werth 0 hat, wenn ii durch eine rte Potenz (ausser 1) theilbar ist, und in allen anderen Fällen
gleich +1 ist.

Multiplicirt man diese Formel mit C(rs"), so erhält man:

Z [■>-,■ (n ) _ 'sn _
{nm')' ~ L-i n"'

und daher ist:

(nni')'

2^.(rf,.)=l.

57)

Schreibt man die Gleichung 56) in folgender Weise:

n

V MÜL - c(s)

so ergibt sich sofort die Relation:

58) i;k(/j)='^'W-

Man kann demnach die oben aufgestellte Gleichung auch in folgender Form schreiben:

59) 2 [^j!x{x)z=ViJ.Ax)

= a.(w),

wo £l,.(n) die Anzahl derjenigen Zahlen ist, welche. nicht grösser als n und durch keine rte Potenz (ausser 1)
theilbar sind.

Asymptotische Gesetze det' Zahlentheorie. 47

Den speciellen Fall r ■= 2 dieser Formel habe ich unlängst mitgetheilt.
Aus der Gleichung 59) folgt der arithmetische Satz:

Dividirt man eine Zahl ?i durch alle nicht grösseren rten Potenzen ganzer Zahlen und versieht die bei
diesen Divisionen auftretenden Quotienten mit dem positiven oder negativen Vorzeichen, je nachdem die rte
Wurzel des Divisors aus einer geraden oder ungeraden Anzahl von verschiedeneu Primzahlen zusammen-
gesetzt ist, so ist die Summe der so entstehenden Zahlen gleich der Anzahl derjenigen Zahlen, weiche nicht
grösser als n und durch keine rte Potenz (ausser 1) theilbar sind.

Aus der Gleichung 59) ergibt sich ferner:

60) I; ,,.(,) =,V1^_A,,

x=i x=l

wo :

==[;'-]+' '='

ist.

Da nun:

=oo

v"Ä <y"i< 4^

Z_^ X''

y Bx!J.{x) < \Jn
ist, so hat man :

61) |aJ<(i+cO-))«~-

oder einfacher, wenn auch weniger genau:

5 —

62) \^A<J''''-

Aus der Gleichung 60) folgt:

n CU-)

lim,.

y ?^2'- {^)

6^) ■ ,. t'x _2r(2»-+i)

lim„

{2KfBr

Der .specielle Fall /■ = 1 der Gleichung 64) wurde schon von Dirichlet, Bugajef und Cesaro ab-
geleitet.

Aus diesen Formeln ergeben sich die Theoreme :

Unter den ganzen Zahlen von 1 bis n gibt es j — solche, welche durch keine /-te Potenz (ausser l) theil-

bar sind.

48 Leopold Gegenbauer.

'r(2)

Unter den ganzen Ziilileii von 1 bis // yibt es *" ..^.p — n solche, welche durch keine (2/jte l\)tenz

(ausser 1) th eilbar sind.

n

Ungefähr drei Fünftel (genauer -t^-) aller ganzen Zahlen besitzen keinen quadratischen Factor (ausser 1 ).

90
Ungefähr fünfzehn Sechzehntel (genauer -^ ) aller ganzen Zahlen besitzen keinen biquadratischen Factor.

Ungefähr der neunundsiehzigste Theil aller ganzen Zahlen ist durch eine sechste Potenz theilbar.
Da ans der Gleichung :

'","'=1 n=oo

ZW"

die Relation :

dt '

folgt, so ergibt sich aus 59) die Beziehung :

= 2 SS '■'"'''''( vi

.r=l

= W.(«),
und speciell :

.V=K

66) V£i,(|-^])p„.,.(y) = y;(,,).

Aus diesen zwei Gleichungen ergeben sich sofort die Formeln :

150H >^.g

67)

lim

«=00 ■

ya(f^l)p.+.,..(,)

lim„-

i;3'+-'

2(2x+2)r(2x+3)

69)

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 49

70) . ,t^ ^^ y ^' _ (2ff)-'+^^,4.,

lim„=co -^ - 2r(2x+3)

Schreibt mau in der Formel 65) für n: [— ], multiplicirt isodaun mit z^-itAz] und siimmirt von z — 1 bis
z =: n, so erhält man :

V, z-=- i

2=1 2 = 1

Va.(e(v,«,„.-K,.(J)) = ».

Nun ist aber:

'">"=' jl=0O

= V i-

Z_j W"'
und daher:

72) 2 '^^'^''^'■^'■•'(7)'=^'
wenn n keine ;-te Potenz ist, hingegen:

73) y ^(c?)d'p.„.(^) = l,

wenn n eine rte Potenz ist.

Die zuletzt entwickelte Formel verwandelt sich daher in die folgende, schon früher von H. Bugajef
auf anderem Wege abgeleitete Relation :

x=l

Bezeichnet man die Summe der reciproken y.ten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl r, welche dureli
kein Quadrat (ausser 1) theilbar sind, mit -j^-, (r), so besteht, wie ich gezeigt habe, die Relation:

y=l

Nun ist:

I--©])f=Z*-(^>

Denkschriftea der matliem.-aaturw. Gl. XLIX. Bd.

50 Leopold G egenhauer.

und dalier hat man:

oder:

1=1
wo:

"=[n/"] "=[n/"] ■'=[v/"1

"=[n/"]+' ^'^J ^ (o^=-,„s,/, .;;<!)

ist.

Man findet leicbt, dass A,, folgender Bedingung genügt:

,6, I A. I < Ei±M5iia + ,.+,, , ,v, ^ ;!|i±i! ,. «.) ,^ä.,

n
für welche man, zwar weniger genau aber bedeutend einfacher auch schreiben kann:

77) |A6l< — fl +

Aus der Gleichung 75) ergeben sich die Formeln:

y^-.(^)

'^8) ,. ^, 2r(2x+3i .^ ...^ .

lim„=oo = ,.. ,,,,., o C{y.+ 1 [x>l

X^H

y-^_,2._,,(x)

7^») ,. '^ r(4x+l) 5. ^, ^,

bra„=oo = ^^ — ., „ , r- -7^— (■/.>!).

n (2;T)-'r(2x+l) ß.x

Von den in diesen Relationen enthaltenen Theoremen mögen die folgenden besonders erwähnt werden:

Die Summe der reciproken xten Potenzen derjenigen Divisoren einer ganzen Zahl, welche durch kein
Quadrat (^ausser 1) theilbar sind, beträgt im Mittel:

2r(2x+3)

(^2-T)-^'+-ß,+,

Cu+l)

Die Summe der reciproken (2x.— 1 )teu Potenzen derjenigen Divisoren einer ganzen Zahl, welche keinen
quadratischen Factor besitzen, ist im Mittel gleich dem Ausdrucke:

l'(4x + l)^,

!2/Tp-]V2x+l)5,,;

Die Summe der reciproken Guben derjenigen Divisoren einer Zahl, welche keinen quadratischen Factor

105

enthalten, beträgt im Mittel

K

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 51

Die Samme der recipiokeii fünften Potenzen derjenigen Divisoren einer Zalil, welciie durcli kein Quadrat
theilbar sind, ist im Mittel gleicli dem Ausdrucke

075775
601 71« '

Aus den zuletzt entwickelten Formeln ergeben sicli aucb sofort die Relationen:

lim„=

V 4,_,j,_,) (x)

^"^"=~ n = IP^TT^ r - T2^Ö^^S ("^i)

wo ^_,. (/■) die Summe der reciproken xten Potenzen derjenigen Divisoren von r ist, welche mindestens einen
quadratischen Theiler (ausser 1) besitzen.

Man hat daher die Sätze :

Die Summe der reciproken x.teu Potenzen derjenigen Divisoren einer ganzen Zahl, welche mindestens
einen quadratischen Theiler (ausser 1 ) besitzen, beträgt im Mittel:

21\2y.+3)

Die Summe der reciproken (2y. — lUen Potenzen derjenigen Divisoren einer ganzen Zahl, welche minde
stens einen quadratischen Theiler (ausser 1) besitzen, ist im Mittel gleich dem Ausdrucke.

{:>TcrB., , _2r(4x+i),

2r(2x+l)' (2^)*'-5j-
Da:

W_,(///) = j W-c- I l0g/»+ C+ -\ -l'%; (0^£, l'<\)

■ 6 I mS 6 ^ '

ist, so hat man ferner:

■"= {\'A , ■"= [n/ «] . " = [x/ ''] ."= [,/V] . 1 /^ZLl^ ,^ ( „) y= [\/^]

^ -' a^/^J/ //« - 6 " Z_ y* 6 _ >/ l^ f ^' L^ iß

"=[v/"] ''=[s/'^]

% L^ i/ (o^c,„<,£;<ij,

und daher ist:

15

82) y ^_,(^)= Ji„_A^

^

wo A, durch die Gleichung:

^^-6^'.^ T^^^l ^^^"^1 7 "^^1 ~7" 2. ^TTT,

r

v=[,/7]
7*

52 Leopold Gegenbayer.

bestimmt winl, aus welcher sich unmittelbar die Beziehung:

TT

2 . -2 2

83) U,l<g;iog«+c'+-;+^

ergibt.

Aus der Gleichung 82) ergeben sich die Formeln:

84i ,. ^ 15

lim„=oo '■ = — 5-

n TT

85) ,. :^t ;r*-!)0

lim„ = oO = n 2 ,

welche folgende Sätze enthalten:

Die Summe derjenigen reciproken Divisoren einer Zahl, welche keinen quadratischen Theiler (ausser 1)

15
besitzen, beträgt im Mittel — j.

Die Summe derjenigen reciproken Divisoren einer ganzen Zahl, welche mindestens einen quadratischen

;j* 90

Theiler (ausser ]) besitzen, beträgt im Mittel _ l .

Aus der bekannten Formel:

86) 2_j 't'ot,''''l = ^" i

x=l

wo:

5 = 2;ü|^ = o.

9375482543 .

A3 I < (1 log « +5+3 C + 2 log 2) \/n +2

ist, folgt:

87)

88)

=10»

,. t^i :=^ fi.s , ,,, 6 (12f5 ^^^, . log 10,

j; = iO» i = IO«

Man hat daher die Sätze :

Jede s-zifferige Zahl hat im Mittel:

6s, ^^^ 6 (12g ,,., . log 10,
_,oglO+-,}-#+2C-l+^j

Dlvisoreu ohne quadratischen Theiler.

Asijmptotische Gesetze der Zahlentkeorie. 53

Jede s-zifferige Zahl liat im Mittel:

Divisoren mit quadratischem Theiler.

Schreibt man in 86) für n: [ne], so erhält mau:

89) Y, ^' '^•'''^ ^ ^ ^" ' ' { log « + 2 C + ^ [ + A„

=1

Ag I < 51og-rt + ll + 6C'+4log2i v/« +-J + -j

1=1
wo:

ist.

Genügt die Grösse r, den Bedingungen:

limr,, «=oo — = 0

n

y/«log»

liniTi. „=oo -^^ = 0,

■'/

so hat man auch:

90) Yj '^^ -' ^ "^ 1 '"^' " + -^ + - ^' J + -^i " '

WO:

.2
ist.

Aus den Gleichungen S9 ) und 90) folgt

91)

A,„ I < ('^ log « + 15+ II C + 7 log 2) s/n +4

92)

y u^)

lim '='

— lim ..=n-Yi+l

[ne

-lin<,„=oo 2^

x=n+ri

y u^)

— lim •-«-1+1

[ne

-nm,„„=oo 2„

Man hat daher die Sätze :

Ist:

lim^, »=oo

lini,,,„=oo

v/ w log ?«

so hat jede Zahl in dem Intervalle // — o + 1. . .n + o im Mittel ebenso viele Divisoren ohne quadratischen
Theiler, als jede der Zahlen im Intervalle 1. . .[ne].
Ist:

lim^, „=oo — = 0
n

\/n\ogn
lim,, „=oo — — = 0 ,

54 Leopold flegenbauer.

so liiit jede Zahl in dem Intervalle n—r, + 'i...n + n im Mittel ebenso viele Divisoren mit quadratischem
Theiler, als jede der Zahlen im Intervalle 1 ...\ne\.

Es ist ferner, wie ich gezeigt habe [„l"'bcr einige z;üileutheorelische Functiuneu." Sitzungsb. d. k. Akad.
d. Wissensch., mathem.-naturw. Ol. 89. Bd. II, Abth. p. oTüf.].

93)

Aus dieser Gleichung folgt :

wo:

ist.

Aus dieser Relation ersieht man sofort, dass:

94) |A„i<|li!l±ij)+„„, („>„

95\ I A,, 1 < C(T + ln-log«+C'H

1

1

96) |A,J< (C^T) + l) W^ ^x=:0,r>lj

ist.

Mau hat daher die Formel :

x=n

^"^^ lim„=eo ^^^-^^ = C (^( "+ 1 ))

aus welcher sich folgende specielle Relationen ergeben:

yp-(^,.-i),x(a^)

lim„=oo^ ~

21' t^2r/+l)

^™"=°° « - 2l\2ri>+l) + l)

lOU)

101) ,. ^, (2kY^B,

lim„ —

^M^OO

21\2t+1j

Asymptotische Gesetze der ZdJdeiitheorie. 55

/ T— ■'■ ^f>

V ,r=l

= f(x+n f>c>oi

/(

.C^H

(X)

(2;r-)ä'-5,.

n

2r(2)'.+i)

.c=n

JT^rt

lira„_oo^^^-'

yp-.,./^)

102)

103)

104) —

(r(x + l) = r,(x, + l)).

Die Formeln 100)— 102) liat schon Herr E. Cesaro, die Formel 103) Herr Borger aufgestellt.

Von den in diesen Formeln enthaltenen Theoremen mögen folgende besonders hervorgehoben werden :

Die Summe der reciproken xten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche rte Potenzen sind, ist
im Mittel gleich dem Ausdrucke 'C{z\y.+ \)\.

Die Summe der reciproken (2r — liten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche rte Potenzen

sind, ist im Mittel gleich dem Ausdrucke ^,.'':. ^.

' "^ 21 (2Tr+l)

Die Summe der reciproken xten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zaid, welche (2r)te Potenzen sind,
ist im Mittel gleich dem Ausdrucke -r-; — ^— ^\'' , ,

^ 2r(2T(xH-i) +1)

TT*

Die Summe der reciproken quadratischen Divisoren einer Zahl beträgt im Mittel r

_«
Die Summe der reciproken Quadrate der quadratischen Divisoren einer ganzen Zahl beträgt im Mittel -^—.

_s
Die Summe der reciproken Guben der quadratischen Divisoren einer ganzen Zahl beträgt im Mittel qj^-

Die Summe der reciproken biquadratischen Divisoren einer ganzen Zahl beträgt im Mittel „ . „.

Die Summe der reciproken cubischen Divisoren einer ganzen Zahl beträgt im Mittel ^-pr-.
Aus der von mir früher mitgetheilten Formel:

./=i .1=1

folgt ferner:

'/=n

wo:

ist.

Man hat also :

o ,_

l^'sK^-v"«

106) f, ''^'' 6

hin,,

[y])"'^»

ü

56 Leopold Gegenhauer.

Schreibt man ferner in der von mir aufgestellten Eelation :

.c=n

n

> T— ]|n*(a;) — a)(w)
— L multiplicirt sodann mit lijj) '^■Jy) und summirt bezüglich y von 1 bis n, so erhält man:

yy y • ^ i^y

1=1

V

^^^(^)/4) 1

d

J jy. .,.-,

welche Gleichung wegen der Formel :

sofort in die folgende übergeht:

Aus dieser Gleichung folgt für x > 1 :

,'/=i .,=1

wo:

.t=0O j;=J/

-.=„+1 .,=1

ist.

Aus dieser Gleichung ergibt sich die Beziehung;

108) |A„|<Ü^+t(x)

oder einfacher, weun auch etwas weniger genau

I <r'

6 ^n

1Ö9) i^.i<?(i+i) >>'->i)-

Aus der Relation 107) folgen die Gleichungen:

110) S'^GJjH-)^-'.*.-'

lim„=

(2;r)-^-'+^i?..+ .

n ~ 2r(2x + 3)C(x + l)

..^s VirwT-|)X(a;)t|,_,,_,,(a;)

lim„=oo ■ - ^^^ = V(4y.+ 1)B, ■

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 5 7

Ist X = 1, so hat man:

11« Y^,(\iL\\uu-)*-M='

wo:

113) |A',,|<(^'+l)i+C+log

ist, uud daher:

n

114) Z^ \lij

y;^OA(y)^-.(y)

Man hat lemer:

lim„=oo — • = T^

n 15

v=J x=l,y:=l

a:=:n

oder wegen 57 ) :

= W(«).
Aus dieser Gleichung folgt:

1 16) 2] Po,x ([f ]) f^.(y ) = « Slog n + 2C-l} + A,3 ,.

wo:

|A,3|<4v/^
ist. Es ist also:

117)

vä,0„„,

lini„=oo ^^-^ = log /( + 26'— I

n

118)

liiu,„„=oo — = 0, lim„,,=oo V_!L =

lini„=oo ^^-^ -r^^ • = log n-\-2C

lim„=oo "^^ ^r^^ = lim,,. '='

2r; - "-°° [«ej

limr„„=co - = 0, lim,,„=oc ^ = 0 J
n fi '

Dankichriften dar mathem.-niturw. Gl. XLIX. Bd.

58 Leopold Gegenhauer.

=20- 72323... s+3- 69244.

120)

lim.,=^^^^ jö3^ =9sloglO+loglO+18C-9

Man hat ferner

^[\/"] .. = [^/ »],./="

r=n

= Z[7]

und daher ist :

^ = [s/-]

122) V^(g]) = .|log-« + 2C'-i;.-A,3.

Aus dieser Gleichung folgt :

123) S^Ul)

lim„=oo^^^^ = log/^ + 2C'-]

;/.

x = [v«+Ti] '■ = [v/'^]
,i,„..„:=J ^ = los«+2C (lim„„.„^ = U, lim„..„\_=0^

lim _^f=^ '^\ =96loglO+loglO+186'-9.

Es ist:

^ vriLuvi-

rr=.n

= 2 [^] ,_„,„•■,

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie.
Aus dieser Gleicliiuig folgt für x>l:

59

y[j]p-...(.)=?u+i)V[«]

= [,/.] . = [s/«]

!I!v..^!l V^;

6 AS 6 ^ r«f-'

(0^c-,<l)

oder:

128)

wo:

A„ = »^(.+1) y ^ + ? u+i) y ,'^._ !!! V ,^._ 'i^ y _fi.

,c=l

J,=t

j:=i

K

(oss.,£'.<n

AI '^'^' -

ist, wesshalb man auch die folgende Relation aufstellen kann:

129) |A„K {& + 0 -^"*'^*'^¥V'~'

oder einfacher:

130)

Ist X =: 1, 80 hat man :

131) V [^] ,_,,(.) =^«_A'.,,
wo:

a: = 0O ^ = L\/"J ■'=L\/" ] ^=[\/^ ] ^ = [\/" ] ^ = [\/»~]

^'..=?S.^-?I -Jz ■'- 1 '>^([?J)- «I ■' -Z f^ (os..,.',<

ist, aus welcher Gleichung die Relation:

132) I A',, I < l' {3+ ^' + C + log «} y/;^
folgt.

1)

Ist endlich /. =: 0, so hat man :
= = [x/"]

- = [v/"]

V

S '" (-^ = 1 [jj ^^(B]) -^«-'1 -^ v»-y ^

=Z W >

''•«i(B))

x = [^«] ^ = [\/"]

= [\/"] ^ = [\/'']

x=l

^„c-D,, V i,+v»z j->ä^'-i'i: ■■;'- 1 •^''»^lpJ)

oder:
133)

(o^^'.,.:^'<i),

y [^jp„,,(a;) = « Jl* (2C-l) + ^'log«-23} -^'l,

8*

60 Leopold Gegenbauer.

wo :

Mm

..■ = [v/"]+i •=[v/"]+'

-;[v/"]iog(i-f£f!)

- w V ^ "■ (0 ^ s;, 4', £;"< 1)

x=i

ist, aus welcher Gleichung folgt:

134) |AÜ|< j^^+3)j(log-« + 2C'-l) + 3i y^,; + , ■

Die Gleichungen 128), 131) und 133) liefern die Formeln:

V r^

135) ^L

-]p-.= (^)

lim„=oo-^^^^ :: =-g-C(x+l) (x>Ü)

y [—1 p_(2-,_i), 2 (a;)
'™"=~ « ~ 3r(2x+l)

137)

Z£]p»-^(^)

lim„^^ 1^1 ^ (log„+2G'-l)-2S

w 0

Man bat daher die Theoreme:

Dividirt man die ganze Zahl n durch alle nicht grösseren ganzen Zahlen, und multiplicirt jeden Quo-
tienten mit der Anzahl der quadratischen Theiler des betreffenden Divisors, so ist das arithmetische Mittel der
so erhaltenen Producte für sehr grosse n gleich dem Ausdrucke:

^(log«+2C-l)-2g.

Dividirt man eine Zahl n durch alle nicht grösseren ganzen Zahlen und multiplicirt jeden Quotienten mit
der Summe der reciproken xten Potenzen derjenigen Theiler des Divisors, deren complementärer Divisor ein
Quadrat ist, so ist für sehr grosse n das iiritbmetische Mittel dieser Producte gleich dem Ausdrucke :

Dividirt man eine ganze Zahl n durch alle nicht grösseren ganzen Zahlen und multiplicirt jeden Quo-
tienten mit der Summe der reciproken (2x — leiten Potenzen derjenigen Theiler des Divisors, deren complemen-
tärer Divisor ein Quadrat ist, so ist das arithmetische Mittel dieser Producte für sehr grosse n gleich dem Aus-
drucke :

3r(2>c+i)

Dividirt man eine ganze Zahl n durch alle nicht grösseren ganzen Zahlen und multiplicirt jeden Quo-
tienten mit der Summe derjenigen reciproken Theiler des Divisors, deren complementärer Divisor ein Quadrat

ist, so ist das arithmetische Mittel dieser Producte für sehr grosse n gleich ^.

Asj/mjjtotische Gesetze der Zahlentheorie. 6 1

Dividirt man eine ganze Zahl ii durch alle nicht grösseren ganzen Zahlen und multiplicirt jeden Quotienten
mit der Summe der reciproken Guben jener Theiler des Divisors, welche einen quadratischen complementären
Divisor besitzen, so ist das arithmetische Mittel dieser Producte für sehr grosse n gleich dem Ausdrucke :

^8

56700

Dividirt man eine ganze Zahl n durcli alle nicht grösseren ganzen Zahlen und multiplicirt Jeden
Quotienten mit der Summe der reciproken Quadrate jener Theiler des Divisors, welche einen quadratischen
complementären Divisor besitzen, so ist das arithmetische Mittel dieser Producte tltr sehr grosse n gleich dem
Ausdrucke :

540-
Setzt man in der von mir mitgetheilten Formel:

=?-([V«])

— L multiplicirt sodann mit iJ.^{f/) und summirt bezüglich ij von y r= 1 bis // n^ n, so erhalt man:

Nun hat man aber:
1

"y< X(w)P,,^(w),a'(m") _ ^ ( 2r s— 2rx)
/ I (mny Cc^s — f")

und daher ist :

138; 2^Ä(rf)P,,,(fO/^'Q = 0

wenn r keine Tte Potenz ist, und:

139) j;X(rf)P.„(cZ),.^Q=Ä(^r)r'-

wenn r eine rte Potenz ist.

Man hat demnach die Eelation:

'■ = r^> « 1

140) 2 """"VP'-'^^'^Z' ['^]^^''^'"-
Schreibt man in dieser Gleichung für x: — x, so erhält man:

»=1 1=1 r = l

62

Leopi

und daher

ist auch ;

141J

V

/ i

F-...([^'Z]) .',,,=

wo:

Leopold Gegenbauer.

(=00 . _ rsx -■]

ist, aus welcher Gleichung sich sofort die Relation:

2r(2r(x+l)+l)"i^ I (4T>c + ])ii.,,,

oder einfacher, wenn auch weniger genau:

143) '^'5l< ~;rr "^^

ergibt.

Für X z= 0, ist, wie man leicht zeigen kann:

Die Kelation 141) liefert die Gleiclmng:

lim„_Qo

n r(4T(x+l)+l)_B„,+i

aus welcher sich folgende specielle Formeln ergeben:

146)

147)

lim„=c

lim„=

105

lim„

■^/i=00

m . 1 '^"■' V^^)"'*^^

^™"=~ w - 105

:m) l;-'A\4\\y^'^ |/-'([^^])^*<^^

lim,.,=oo ^ = lim„=oo -

Asymptol ische Gesetze der Zahlenfheorle. - 63

Man hat ferner :

Nun ist aber:

=Sl-](Z[x]^^"'

]][j]Kd) = f{r,n)

WO '^f/'^ M) die Anzahl der Zahlen ist, welche nicht grösser als r und zu n relativ prim sind.
Es ist also :

152) V[^jK..»)=Vw(f^])fl]K.).

x=i x=l

Aus dieser Gleichung folgt :

X=i X=i .1 = 1

und daher hat man:

153) ^ [^J y Cx, «) = 5" llo8'« + 26'-lS -A„ ,

wo ;

x=i X=I x=l .c^l

ist, aus welcher Gleichung folgt:

2 2 3

154) |A,J<2«.(log«y+«log«Y5C+ ^) +21og«+2C(;2C'-])«, + 2(26'— 1)+ ^«T.

Aus der Formel 153) ergibt sich die Gleichung:

X=:tl

155, Zß^^''"'^ g

Man hat daher folgendes Theorem :

Dividirt mau die Zahl n durch alle nicht grösseren gan/-en Zahlen und raultiplicirt jeden Quotienten mit
der Anzahl derjenigen Zahlen, welche zu ii relativ prim und nicht grösser als der betreffende Divisor sind, so
ist für sehr grosse n das arithmetische Mittel der so entstehenden Producte gleich dem Ausdruclce:

~ {logH+2C-lS .

Bezeichnet man mit x,.(^,r) die Summe der mteu Pi)tenzen der ungeraden Divisoren von x, so hat man
bekanntlich :

64 Leopohl Gegenbaucr

156)

jc=n L 2 J

2 ._„.(..)= y [^]-^_^

~^Aj {2x—iy"+* ~X (.2a;- 1)'"

oder wegeu:

^=°° 1 2'-l

^7.

ZI ^- 1 ^

157) ^ x-„. (x) = "'^„~^ mC (■/»+ 1)

x=l

wo:

a;=C30 L 2 J

^7 = '' 2^ (2a;— 1)'"+< "^ Z (2a;— 1)'"
ist, so dass mau die Bezieliuugen:

158) |.„|<|£i^,?^,„„) ,..>n

, ^^2 1 ^ C 1

159) A,- < — + 7rl0S(»+l)+ -7 H r- (W' = l)

hat. Für die erste von diesen Formeln kann man auch etwas einfacher schreiben:

;T

2"

160) I^^I<T(^+,« + 1)-
Aus der Gleichung 157) folgt:

161) . 4^ 2'"+'-l

162) ^. ,e^ (4'"— l);T'^"'-ß,„

nm«=oo ^ —

n 2r(2w + l)

welche Kelationen sich übrigens auch aus einer Formel des Herrn E. Cesaro über Divisoren, welche Viel-
fache einer gegebenen Zahl />: sind, herleiten lassen.
Man hat also die Theoreme :

Die Summe der reciproken mten Potenzen der ungeraden Divisoren einer Zahl beträgt im Mittel:

2'"+'— 1 , ,

„ , ■ C[))i + ^^.

2'n-t-i

Die Summe der reciproken (2»«, — r)ten Potenzen der ungeraden Divis(n-cn einer Zahl beträgt im Mittel:

(4"'— 1) K^'" B,„

2r(2;« + l)

. . n^

Die Summe der reciproken ungeraden Divisoren einer Zahl beträgt im Mittel: -^-

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 6 5

Die Summe der reeiproken Guben der uugeniden Divisoren einer Zahl beträgt im Mittel: -^■

Die Summe der reeiproken fünften Potenzen der ungeraden Divisoren einer Zahl beträgt im Mittel: -q^tt-

Das dritte von diesen Theoremen hat schon Herr E. Cesaro ausgesprochen.

Zur Erledigung des specielleu Falles «/ ^ 0 benütze ich die von mir aufgestellte (rleichung: („Arith-
metische Theoreme." Denkschriften der k. Akad. d. AVissensch., mathem.-naturw. Classe, 49. Bd., II. Abth.,
p. 105 ff.) :

,,+i-.

- = [— J

=).,

'"'' ^ [2-^]=Z[s^J-Z[^]-»''

wo:

ist.

5M + 1-4-1

Aus dieser Gleichung folgt:

j;=;j x=2/., ^ _ x=).

x„(a.) = « y 1 -äH|- V (.^.+ .',.) (0^s.,,.'.<l)

oder:

164)

X:=/f

■'^o^x) = j\\os't + '^C-l+\üs-2l +1\, ,

wo:

_(4:B + l)(\/S^+i+l) _^^, __, .,; .,„^y.
T-- y\j^^^, i,.j ^ J.J ^ j c <^ J. I

ist. Eine einfache Rechnung zeigt, dass \\^ der Bedingung:

16.5) I A' I < 1 + -I log 2 + ^ + 50s/«« + l±l'

- V^8«+l— 3 4

genügt.

Aus der Gleichung 164) folgt:

166) Z''"^-^^ 1

lim„=oo '-=^^- = 2" {1"S « + 26'— 1 +log 2 f

167)

.r=/i-)-rj

V

y.„(X)

1

lim,,„=<^i^^i^ig = - {log « + 26'+log 2|. ('lim,,_ „o - = 0, lim,,,,^,^ V^f =

168) Z ^-»^"'^ Z ^»^-"^

lim^,„=oo" " 't,'. = lim„=oo •

\ne\

169)

2^ ^-ol*^— V ^--o C^)

j:=1

lim,=oo — — ,,, "7.1 , =:r sloglO + 2C'— l+log^-

loü-lO,

Denkschrifteu dar matham.-naturw. Gl. XLIX. Bd .

ßC) Leopold Gegenf)auer.

Man hat daher die Theoreme:

Ist:

l™,,, „=oo — = 0
n

lim V '" — 0

SO hat jede ganze Zahl im Intervalle n—n+1. . .n+r, im Mittel

1

ungerade Divisoren.

^ö

Ist:

2 (logM+2C+log2)

Iim,,„=oo^ = U

\/n ^0

n

so hat jede ganze Zahl im Intervalle « — v; + l . . .»(-j-v; im Mittel eben so viele ungerade Divisoren als die
Zahlen im Intervalle l...[Me].

Jede .s-zifferii;e Zahl hat im Mittel:

i-{sloglO+2C-l+log2-f-i^}

ungerade Divisoren.

Das arithmfctische Mittel der grössteu ganzen Zalen, welche in den Gliedern der Keihe:

M+ 1 w + 2 M+3 2n

2 ' 4 ' 6 '■••'2h
enthalten sind, nähert sieh mit wachsendem « dem Ausdrucke:

|-{logH + 26'-l+log2}.

Bezeichnet man mit x^(.i;) die Anzahl der geraden Divisoren von x, so folgt aus den eben abgeleiteten
Gleichungen :

x=n x=u

170) yx„(a;)= Vx,(a;)+Mlog2 + A„

171)

wo:

lim„=oo^^^^^ — =log2,

|A,J<4 V n + 2 + 3 log 2+ + -^

S/än+l — 3 ^

ist.

Die Formel 171) hat schon Herr E. Cesaro mitgetheilt.

Man sieht sofort, dass aus diesen Gleichungen sich folgende Theoreme ergeben:

Ist:

liin^,,.=oo— =0
' n

AsympfoHschc Gesetze edr Zahlentheorie. 67

SO haben die Zahlen im Intervalle n—r, +1 .. .n-^r, im Mittel eben so viele gerade Divisoren als die Zahlen
im Intervalle 1 ...\)ie\.

Jede s-zifferige Zahl hat im Mittel:

1 {slog 10+2C'-l-log 2+ i^'j

gerade Divisoren.
Aus der Formel:

Jr=1 X=l X=l

folgt :

i=i 1=1

Wegen der bekannten Formel:

■'S

sin f2m arctang — j

y (-1)-' _ . sm^.»,aretang-j ^|^|^j^
."r: 2.C— 1 ~4 ■*" 2m(l+~^Y'

kann man diese Gleichung auch in folgender Form schreiben:
112)

Zc-')-f5:^]=^-^.

wo :

x=).

x=),, r^^i « sin ('2X, arctang —')

A„ _ \ (-1 V^ ..- _ \ (-1) + — ^ ____^_^

ist, aus welcher Gleichung sofort die Beziehung:

173) |A.,|<2Ä,+ 2^

oder einfacher:

folgt.

Die eben abgeleiteten Eelationen liefern sofort die Formel:

n 4

Beachtet man, dass die linke Seite der Gleichung 172) den Überschuss der Anzahl derjenigen Divisoren
aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche von der Form 4.s+l sind, über die Anzahl der übrigen ungeraden
Divisoren angibt, so erhält man die Theoreme :

9*

68 Leojwld Gegenbauer.

Die Anzalil derjenigen Divii^oien einer Znlil, welche die Form 4.5+1 besitzen, übertrifft die Anzahl der

Übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um — ■

4

Die Anzahl der Darstellungen einer ganzen Zahl durch die binäre quadratische Form x^+ij^ beträgt im

Mittel K.

Heiläufig vier Fünftel (genauer — ) von den grössteu ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

n + 1 M + 2 u + 3 2n

enthalten sind, sind ungerade.

Dividirt man eine grosse Zahl durch alle das Doppelte dieser Zahl nicht Übersteigenden geraden Zahlen,

so ist beiläufig bei vier Fünfteln (genauer — ) dieser Divisionen entweder der Quotient gerade und gleichzeitig

der zugehörige Bruchrest grösser als -^ , oder der Quotient ungerade und der zugehörige Bruchrest kleiner

als — •

Man kann 39 gegen 11 wetten, dass der bei der Division einer grossen Zahl durch eine das Doi)pelte
dieser Zahl nicht übertreffende gerade Zahl auftretende Quotient gerade und der zugehörige Bruchrest nicht

kleiner als -^ , oder dass dieser Quotient ungerade und der zugehörige Bruchrest kleiner als — ist.

Für n = 40 hat man z. B. :

so dass ;ilso 32 von diesen grössten ganzen Zahlen ungerade untl nur 8 gerade sind.
Die ersten zwei von den angeführten Sätzen hat schon Herr E. Cesaro mitgetheilt.
Es ist ferner, wie man leicht findet:

L 2 J (j— 1) (x—V) r=X| [x—i) [x—1) x=\,

x=i x=l x=i

wo:

für ungerade y, hingegen:

i?(t/) = l-(-l)^
für gerade y ist.

Da (--]) :; den Werth +1 hat, wenn 2x — 1 eine der Formen Ss+1, 8s + 3 besitzt, und den
Werth — 1 in allen übrigen Fällen, so ist die Summe auf der linken Seite der Gleichung 176) die Differenz
aus der Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche eine der Formen 8s4-l oder
8.S + 0 besitzen, und der Anzahl der übrigen ungeraden Divisoren.

Aus der letzten Gleichung folgt :

L 2 J l,x—l) Ce— 2i r=l, n

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 60

wo:

j;=X, u-lii..,— 21 x=l,

VI , -•, i . \^ r,/r" + ^

x=l .c=l

.. = _V(-:) ■ .,H-V.(f^])->,^A.

ist.

Beriicksiclitigt man die bekannte Formel :

1 rK^-) ^^ *'^ •'■' *■' ^"

— 7= arctang ^ " =x' + -5 ^ t' + tt + TT

^2 1— a-^ 3 0 7 9 11

so erhält man sofort:

■ = [—1

wo;

178) l^il<5^i + (X;Z^

oder einfacher :

14«— 10 5

\/8n+l — 3 '^
ist.

Aus diesen Relationen folgt :

180)

liiii„=oo

Vt,— 1) ' läi^^ij

n 2\/2

Man bat daber die Theoreme:

Die Anzahl derjenigen Divisoren einer Zahl, welche eine der Formen Sa + I, 8.s + 3 besitzen, übertrifit

die Anzahl der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um ;=.

^ 2v/2

Die Anzahl der Darstellungen einer Zahl durch die binäre quadratische Form x^+2iß ist im Mittel gleich

dem Ausdrucke — ^W •

v/2

Jede ganze Zahl im Intervalle w — o + l . ..« + ';, wo:

liiu,),„=oo — = 0
' n

limn,„=ooi

\/n

ist, besitzt im Mittel:

l{logM+2C+log2+-4=j

Divisoren von den Formen 8s+l, 8.S4-3 und:

-{log,

+ 2C+log 2-

Divisoren von den Formen 8s— 1, 8s— 3.

Jede s-zifFerige Zahl hat im Mittel :

1 , , . T log 10.

ljslogl0+2C-l + log2+^ + ^j

Divisoren, welche eine der Formen 8y+l, 8r+3 besitzen, und:

70 Leopold Gegenbauer.

ljslo8-10+2C-l+loo.2-_^= + !^}

Divisoren von den Formen Sr — 1, 8r— 3.

Beilänfig drei Zwanzigstel /genaner -^{\/2 1)] von den grösstcn ganzen Zahlen, welche in den Glie-
dern der Eeihe :

w + 1 «+2 «+3 2w

enthalten sind, sind einfachgerade.

Beiläufig ein Zwanzigstel ('genauer 1 r(3 + \/2)) von den grössten ganzen Zahlen, welche in den

Gliedern der Reihe:

w+1 « + 2 «,+3 2n

2 ' 4 ' 6 ' ■ ■ • ' 2«
enthalten sind, ist inehrfachgerade.

Dividirt man eine grosse Zahl durcli alle, das Doppelte dieser Zahl nicht übersteigenden geraden Zahlen,

so ist beiläufig bei einem Zwanzigstel [^genauer 1 — ^(3 + ^/2)^ dieser Divisionen entweder der Quotient

mehrfachgerade (Null eingeschlossen) und der Bruchrest kleiner als — , oder es hat der Quotient die Form

4s— 1 und der Bruchrest ist grösser als -^•

Dividirt man eine grosse Zahl durch alle, das Doppelte dieser Zahl nicht übertreffenden geraden Zahlen,
so ist beiläufig bei drei Zwanzigsteln [genauer —{\/2 — l')\ dieser Divisionen entweder der Quotient von

der Form 4s+2 und der Bruchrest kleiner als 3-, oder der Quotient von der Form 4s+l und der Bruchrest

nicht kleiner als _.

2

Man kann 47 gegen 3 wetten, dass bei der Division einer grossen Zahl durch eine das Doppelte derselben
nicht übersteigende gerade Zahl, weder ein mehrfachgerader Quotient — Null eingeschlossen — und zugleich

ein Bruchrest, welcher kleiner als — ist, noch ein Quotient von der Form 4s— 1 und ein Bruchest, der nicht

unterhalb —liegt, auftritt.

Man kann 83 gegen 17 wetten, dass bei der Division einer grossen Zahl durch eine das Doppelte der-
selben nicht übertreffende gerade Zahl weder ein Quotient von der Form 4.S-+-2 und gleichzeitig ein unterhalb

■— liegender Bruchrest noch ein Quotient von der Form 4s+l und gleichzeitig ein Bruchrest, welcher nicht

Li

unterhalb -^ liegt, auftritt.

Das zweite von diesen Theoremen hat schon Herr E. Cesaro ausgesprochen.
Man findet ferner die Relation:

181) 'f (ll)H^.- [^-^j = f ,_:,[¥]-- f^-i,] . V ^,([^]) _, .,a,)

wo:

Ä, (z) - «

ist, wenn:

0^ d=a (mod. ß)
ist.

Asymptotiäclip, Gesetze der Zahlentheorie. 7 1

Da (—1) den Weith +1 hat, wenn 2a;— 1 eine der Formen 12^+1, 12(jl + 3, 12/j.+o besitzt,

und den Werth —1, wenn 2x- 1 eine der Formen 12ix+l, 12/J.+9, 12(;l+11 hat, so ist die Summe auf der
linken Seite der Gleichung 181) die DitFereuz aus der Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von
1 bis ti, welche eine der Formen 12,u.+ l, 12fx+3, 12fji+5 besitzen, und der Anzahl der übrigen ungeraden
Divisoren.

Aus der Gleichung 181) folgt:

. = ["-±11 x=), [-]+»-'

■"22

wo:

^.= yc-'>"' ■••-Z^.([^])-v.',w

ist.

Berücksichtigt man die Formel :

1 . 2 ^ , .1' _

v^ x^
•*+3 + 5-

x'
7

./■" .<•'■' x'-' x'''
+ -t- +

0 o i. — X

11 ^13 ^ 15 ^17

so erhält man sofort :

•«ä) y(l!)[T]-t2^J=i?"-^'-

/

x=i

wo:

184) |A',,|<7X.+ i

oder einfacher :

14« + 19 -'1

ist.

Ans diesen Relationen folgt :

186)

Man hat daher die Theoreme :

Die Anzahl derjenigen Divisoren einer ganzen Zahl, welche eine der Formen 12fi.+l, 12,u. + 3, 12,u.+.'')
besitzen, übertrifft die Anzahl der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um j^-
Ist:

limrj,„=oo— =0

■'■;

80 hat jede Zahl im Intervalle h— v, + 1. . .n + r, im Mittel:

-jlog«+2C'+log2+ -g-f

72 Leopold Gegenbauer.

Divisoren, welclie eine der Formen 12,a+l, 12/J.+3, 12;j.+ 5 besitzen, uud:

i.{log» + 2C+log2-^}

Divisoren von den Formen 12/X+ 7, 12fx-f9, 12;j.+ 11.
Jede 6-zitterige Zahl hat im Mittel:

l{aloglOH-2C-l + lo8.2+|L + li!|i2}

Divisoren von den Formen 12/J. + 1, 12/ji + ;>, 12,a+5 und:

i{.loglO+2C_l + log2+l^-|L}

Divisoren von den Formen 12/J.+ 7, 12,uH-9, 12/J.+11.

Ungefähr dreizehn Fünfzigste! ( genauerp> ) von den grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der
Eeihe :

// + 1 a + 2 ii + 'i 2«

^~' ^^' ~6~'"'27*

enthalten sind, besitzen eine der Formen QiJ.-^'2, 6;j.4-3, 6;j.+4.

Man kann 63 gegen 27 wetten, dass der Quotient, welchen man erliält, wenn man zu einer grossen Zahl
eine dieselbe nicht übersteigende Zahl addirt und die Summe durch das Doppelte der hinzugefügten Zahl divi-
dirt, eine der Formen 6/j., 6fA+l, 6|7.+5 besitzt.

Unter den grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

// + 1 11 + 2 ii-i-'c

o

2 ' 4 ' 6 ' • ■ ■ ' 2«

enthalten sind, gibt es um f^ l] // mehr solche, welche die Form 6/ji. + 3 besitzen, als solche, welche

durch 6 theilbar sind.
Es ist ferner:

"" !;^-')f-tej=?(-''f^fe]-?Ma)-[v»i«.([v/»])

WO :

7?2 (Z) Z= «

ist, wenn:

0==fc cz (niod. 12)
ist.

Aus dieser Gleichung folgt:

r,.-n -h/"! r^l

1— Jr/M X-^'- -■( — 1)L'^J

188) Z(-')"ra = ''Z ^ *'■-

x=l x=i

wo:
ist.

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 73

Berücksichtigt man die Eelation :
2.T 1 1 , 2 , - 1

— ^ + -^log(l+,i:«n- — arctang-j;4- -!^ai-ctang--— ^ H j^ !arctaiig(2.7; V^3)— arctang(2a; + \/3)} =

3n/3 b ^ .-> o l—x' y;;

_ .r^ r^ X* x^ ^' ._c^_^_^_^_^_^ ^ .»»^ x^ ^ ^ ^_
"•"'■^ 2"^3"'^r"^5"'^6"~7 ~8 !t 10 U 12 "^ 13 "^ 14 "^ 15 "^ 16 "'' 17 "^ 18 "•

so erhält man die Gleichung:

,[nr]r/( -1 (log 2 / 5

wo :

190) • lA',3|<13v/«+-l=

V "
ist.

Aus diesen Formeln ergibt sich die Gleichung :

1=71 ffZlll

191) Aj L.cJ 5 1 log2

^, L.tj 5 1 log

f— 1

Da (—1) " den Werth +1 hat, wenn x eine der Formen 12,a+l, 12,a+2, 12rj.+3, 12,^+4, 12fx+y,
12,o. + 6 besitzt, hingegen den Werth —1 hat, wenn .r einer der Zahlen 0, 7, 8, 9, 10, 11 nach dem Modul 12
congruent ist, so stellt die auf der linken Seite der Gleichung 189) stehende Summe den Überschuhs der
Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche eine der Formen 12,a+ 1, 12,o.+2, 12ij.+3,
12j(ji.+4, 12|x+5, 12,a+6 besitzen, über die Anzahl der übrigen Divisoren vor.

Man hat daher die Theoreme ;

Die Anzahl derjenigen Divisoren einer Zahl, welche eine der Formen 12fji+2, 12,a+4, 12;j.+6 besitzen,

K \o°' 2

übertrifift die Anzahl der übrigen geraden Divisoren im Mittel um j= H ^ — .

" ^ 3v^3 ^

Ist:

lim, „=oo — = 0

lim^,„=oo

^ = 0.

so hat jede Zahl im Intervalle n—-n + 1 . . . «+'; im Mittel :

l(log.+2C-_|log2+^
Divisoren, welche nach dem Modul 12 einer der Zahlen 2, 4, 6 congruent sind, und :

Divisoren, welche nach dem Modul 12 einer der Zahlen 0, 8, 10 congruent sind.
Jede s-zififerige Zahl hat im Mittel:

Divisoren, welche nach dem Modul 12 einer der Zahlen 2, 4, 6 congruent sind, und:

Denkschriften der malhem.-naturw.Cl. XLIX. Bd. 10

74 " Leopold Gegenhaner.

Divisoren, welche nach dem Modul 12 einer der Zahlen 0. 8, 10 congruent sind.
Aus der Verbindung des von mir aufgestellten Theoremes:

„Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis {ß—y)n, welche von der Form ß.c— 7
sind, ist gleich der Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

ßn — (m — 1)7 ßn — (n — 2)7 ßn — (n — 3)7 ßn

ß ' 2ß ' 3p '■■ ''ß^

enthalten sind"

mit bekannten Sätzen über die Divisoren der ganzen Zahlen fliessen sofort die neuen aritlimetischen Theoreme :
Das arithmetische Mittel der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe :

n+l 11 + 2 «4-3 2«

"~2~' ~4~' ~~6~'' "'2n

enthalten sind, ist gleich dem Ausdrucke :

i{log«+2C— l+log2|.

Das arithmetische Mittel der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

w + 2 /; + 4 n + G 3n

3 ' 6 ■ 9 ' ■ ■ ■ ' 3w
enthalten sind, ist gleich dem Ausdrucke:

l{log« + 2C'-^^-^ + ilog3-i}

Das arithmetische Mittel der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe :

« + 5 /*-4-lü «+15 6n

~ö~' 12 ' 18 '■ " '6n

enthalten sind, ist gleich dem Ausdrucke :

- {log n+2 C+ log 6— g- — J \/3 }

Das arithmetische Mittel der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

2w+l 2h + 2 2m +3

3«

3 ' 6 ' 9 '■

"'3n

enthalten sind, ist gleich dem Ausdrucke :

|{log«+2C+log2+iiog3-^-^}.

Das arithmetische Mittel der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reibe :

3n+l Sn + 2 3w + 3 4/;

~^' 8 ' 12 '■■■'4h

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 75

enthalten sind, ist gleich dem Ausdrucke:

ijlogn+log-2-|- + 2 6'-l}.

Das arithmetische Mittel der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Keihe:

bn + 1 5« +2 bji+3 6«

~6~ ' ~l2~ ' ~U~ ''"'6)1

enthalten sind, ist gleich dem Ausdrucke:

1 {iog.„ + 2C+log30-4- + Y^^\-

Aus der von mir mitgetheilten Gleichung: („Zahlentheoretische Relationen" Sitzungsb. d. kais. Akad. d.
Wissensch., mathem.-naturw. Gl., 89. Bd., II. Abth., p. 841 ff.).

folgt :

x=i

wo:

^..=z ^'- !7[7j'-«)Ä[7]""'-(4)Ä[r'*(6)Ä[r'— •! -

l=i, 11=0

ist, aus welcher Gleichung folgt:

+ ( ; ) Aifc^ « -3 ^ ( ^ ) AÜ=^ ,„.-. + . . . + 5,._. ;^* .^x (. ungerade).

|X=2

+ (;) Ai(^,.-3^ (^)Äi(!!=^,.-+...-,i^,. (.gerade).

Man hat daher die Relationen :

=«

195) Z ^^^''^

'M'+i (x+i)C(,x4-l)

y^2x-i(a;)
196) ,. h r(2x + l)

10*

76 Leopold Gegenlauer.

y f(^)

197) ,. t. _ 3

198) ,. ,^ 45

Die Formel 197) wurde schon von Dirichlct, Mertcns, Bugajef, Gesaro, Perott, Sylvester
bewiesen.

Mau hat ferner:

V - r n n (-1)- Y^ (-1)- y'\-iYs^

199^ ^ [2.r— lj(2x— ir '^ /_ (2a;— 1)'+' Zj (2x— If

wo:

B (X, V) = E{x+-/., V) + C'(v) — y (x+s)''

die von Herrn Kinkelin eingeführte allgemeine Bernoulli'sche Function ist, so dass also:

CW = C(— ;^i +

und:

'«-"^ (2:^-1)'+' ^ (2a;-iy

^, _. > (-i>^- v'^-'(-i>

ist, aus welcher Gleichung sofort die Beziehung:

200, ,-,. ^ , .,

oder einfacher :

2'n

. 2'a'-+l) 1 („/3 N p/1 M

folgt.

Aus den eben aufgestellten Gleichungen ergeben sieh die Formeln:

202) 2j l2x-1 J (2j;— D'

lim„=Qo ^3l1-

=4iTK|.-'-')-n7'-'-')!

203)

Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. 77

L ^- \_n ^ (-1>

Jn=00 ■

r^Jl_l AZLi£_
L2a;— 1 J(2j:-1)'^'

'« 2"-+M^(2r+l)

wo die Grösse t,,. der rte Secanteiicoeffieicnt ist.

Da die auf der linken Seite der Gleichung 199) stebende Summe den Überscbuss der Summe der reci-
proken rten Potenzen derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis ti, welche die Form 4s+l besitzen,
über die Summe der reciproken rten Potenzen der übrigen ungeraden Divisoren angibt, so hat mau die im
Wesentlichen schon von Herrn E. Cesaro aufgestellten Sätze:

Die Summe der reciproken rten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die Form 4s+l
besitzen, übertrifft die Summe der reciproken rten Potenzen der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um:

Die Summe der reciproken (2r')ten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die Form 4s-hl
besitzen, übertrifft die Summe der reciproken (2r)ten Potenzen der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um:

22r+2p(-2r+l)

Die Summe der reciproken Quadrate derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die Form 4.s + l besitzen,

übertriift die Summe der reciproken Quadrate der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um — •

Die Summe der reciproken Biquadrate derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die Form 4s+l besitzen,

übertrifft die Summe der reciproken Biquadrate der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um •

1536

Die Summe der reciproken seclisten Potenzen derjenigen Divisoren einer Zahl, welche die Form 4.s+l
besitzen, übertriff't die Summe der reciproken sechsten Potenzen der übrigen ungeraden Divisoren im Mittel um

61 tt'
184320'

Schreibt man in der Gleichung:

■n ■

■w=i;[j>'(«'

für«: [—1, multiplicirt mit fi,((/) und summirt bezüglich // von ;/ = 1 bis // = n, so erhält man:

X=7l

.-[7l,r»|

?■'■ (y)

=Z*-([7])^'w

Aus dieser Gleichung folgt:

Zj KlyiF^^' (x+ijC(2)c+2) ^ ^«

78 Leopold Gegenbauer.

wo :

^.=|^'v>jie]^(^)Ä[r-(l)Ä[r-(o)ä[7]""-•■•i-

+f(-.r-(-')-r-«'ff^

j:=l,|j.=0

ist, aus welcher Gleicbung folgt:

200) I ^. J < ^:^ + >' [log .+ c'+ -) + V (/■; \),-^:p^^ «■'■ + 2- p;;^ + (2 ) ^1 --' 7^)

V^S''-^' Cl2^)-'^V^o''--'^t^)^ ■ ■ ■ +ö^^-«^ (.ungerade)

207) ' A,, < A + " |l'>g " + C+ iW y f " + M,-4!^ "^^ + ? .^

2'^x-l C(2x-2)

c =

4^x-3 C(2x-ö)^V6^x-5'' C(2x-10)^ ■•• +^| 1*^*1^°^'*+ ;r^ ^^ j^

+ ('ilogw.+rn-3C+21og2) v/«+2} ■
Man bat daher die Relationen:

^m £t '-''^^^ • _ 2C(x^i:) 1X2x^3)

lim«=oo —

210)

«-'■ ~(27r)2^xr(2x)i?v

,. ._=. _ 15

lim„=oo -^ — 2^2

ZKa)^3 0^)

211) ,. £^ ^L^-J^ 105
'^"^''=°°-" J? =4^

212) l'^^f^^^'^^^^ _ 225225
"=°° «« - 1382;r«

Es ist:

«=00
_ y <^

Asymptotische Gesetze der Zahlcntheorie. 79

wo:

<}{n) = 0

ist, wenn n durch eine vierte Potenz tlieilbar ist, und in den anderen Fällen durch die Gleichung:

(t(«) = ( — 1)-^

bestimmt wird, wo r die Anzahl derjenigen Primfactoren von « ist, welche in keiner höheren als der zweiten
Potenz in ti. auftreten.

Aus der Gleichung 213) folgt :

a(n) _ ?(s)

Nun ist aber:

,n=l

n=oo

Zj n'

n=l

wo:

<T, (W) = 0

ist, wenn ti durch eine zweite, dritte, sechste oder höhere Potenz theilbar ist, während in allen anderen
Fällen :

ff, (w) = C-lVi

ist, wo T, die Anzahl jener Primfactoren bedeutet, welche in n in der vierten oder fünften Potenz vorkommen.
Man hat daher :

m,n=oo i=oo

aus welcher Gleichung folgende Relation entspringt :

216) Z'lVä ="<'■'■

Nun ist:

x=l

x=n

x=i

Aus dieser Gleichung folgt:

217) V..(V, = ^»-A„

80 Leopold Gegenhauer. Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie.

wo :

ist, aus welcher Formel sich die Bezieluiug' :

218) \\,\<-^+syn

0 V M

ergibt.

Die Gleichung 217) liefert die Relation:

219)

lim„=

X— w

n

540

-;^>«^x^,'=;-o —

81

UNTERSUCHUNGEN

ÜBER DEN

BAU DER ailERGESTREIFTEN MUSKELFASERN.

I. THEIL.

ALEXANDER ROLLETT,

WIRKI.ICHKM MITGLIEDK DKll KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

(31Iit 4 Eafefn-.)

VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 13. NOVEMBER 1884.

Ich habe den Gegenstand, welchen icli hier behandeln will, seit langen Jahren nicht aus den Augen verloren,
aber die Beschäftigung mit demselben wurde in mir unliebsamer Weise oft durch Arbeiten anderer Natur unter-
brochen. Erst in der letztverfiossenen Zeit sah ich mich anhaltender an denselben gefesselt.

Dabei bemerkte ich aber bald, dass ich eine Reihe von Beobachtungen über den Muskelbau aufgezeichnet
habe, deren Mittheilung von einigem Nutzen für die bessere Einsicht in diesen schwierigen und noch vielfach
controversen Gegenstand der Histologie sein dürfte. Ich fühle mich aber gedrängt, dieser Mittheiluug noch die
folgenden Bemerkungen vorauszusenden.

Ich bekenne mich zur Anschauung, dass es die wichtigste Aufgabe der Histologie ist, uns mit dem Bau der
physiologischen, der lebenden Elementartheile und Gewebe bekannt zu machen.

Ich behaupte aber auch, dass diese Überzeugung niemals hemmend oder beschränkend auf die Wahl der
Methoden wirken darf, deren wir uns zu histologischen Untersuchungen bedienen.

Es wird gewiss Jeder, der über unsere heutigen histologischen Kenntnisse orientirt ist und der weiss, wie
wir zu denselben gelangt sind, zugeben, dass wir der nur in beschränktem Masse anwendbaren Untersuchung
leiieuder Gewebe imter dem Mikroskope zwar die werthvollsten, aber doch nur verhältnissmässig geringe
Antheile jener Kenntnisse verdanken.

Weit mehr Aufschlüsse haben uns die vielfach ausgebildeten histologischen Untersuchungsmethoden
gebracht, bei deren Anwendung wir von vorneherein darauf verzichten, das lebende Gewebe zu beobachten,
deren Resultate aber mit der nothwendigen strengen Kritik uns die erwünschten Schlüsse auf den Bau der
lebenden Gewebe erlauben. Wo stünden wir heute in der Histologie, wenn diese Wege nicht betreten worden
wären? Das mögen sich diejenigen vergegenwärtigen, welche das Vertrauen in histologische Beobachtungen
mit der leichtsinnigen Abfertigung zu erschüttern suchen, dass dieselben nicht an frischen, lebenden Geweben
gemacht wurden.

Donkschriflcn der mathem.-niitnnv. Cl. XLIX. Bd. 1 1

82 Alexander Rollett.

lai Allgemeinen gelien die Methoden der Histologie uacli zwii Kiclitiingen auseinander.
Wir suchen durch Conservirungs- und Härtemittel, durch Schneiden und Zupfen, durch Aiifhellungsmittel
und durch differenzirende Tiuctionsmittel uns eine den Bau des frischen Gewebes möglichst getreu wieder-
holende Ansicht des Gewebes und seiner Elementartheile zu verschaffen. Oder wir wenden neben der mecha-
nischen Zergliederung noch chemische Zersetzungsmittel, macerirende, Qiiellung erzengende, fällende oder
verdauende Agentien u. s. w. an, um ans den bei der Abänderung und dem Zerfall der Gewebe und Ele-
mentartheile entstehenden Bildern einen Schluss auf die Structur derselben zu machen.

Ich halte es nun auch nicht für gerechtfertigt, wenn mau der ersteren Richtung unter allen Umständen
ein grösseres Vertrauen entgegenbringt als der letzteren. Mit der nothwendigen Kritik können sie uns beide
gleich werthvoUe Aufschlüsse bringen. Ich finde mich veranlasst, auch das hier in Erinnerung zu bringen, weil
ich mich überzeugt habe, dass controverse Fragen über den Bau der quergestreiften Muskelfaser an Zerfall-
bildern derselben ihrer Lösung bedeutend näher gebracht werden können.

Oft schon ist in der Lehre von der Muskelbewegung der Widerspruch zwischen den Ergebnissen der
feineren Zergliederung der Muskelfasern und den Postulaten hervorgetreten, welche man auf Grund erkannter
physiologischer Gesetze für den Muskelbau auszusprechen sich berechtigt glaubte. Der Skepticismus gegenüber
den histologischen Methoden und der allein der Eathlosigkeit entspringende Vorwurf, dass die Histologie sich
Artefacle schafft, anstatt lieber einzig das zu berücksichtigen, was am lebenden Gewebe zu sehen ist, wird
uns aber niemals über jenes Dilemma hinaushelfen. Was helfen kann, ist einzig und allein Vertiefung durch
streng kritische Forschung hier wie dort. Wer sich von dieser Überzeugung leiten lässt, wird meinen, gleich in
den ersten Abschnitten enthaltenen Mittheilungen gewiss einiges Interesse entgegenbringen.

Eine weitere Bemerkung habe ich über die Literatur zu machen, daliin gehend, dass ich nicht beabsichtige,
eine erschöpfende kritische Daistellung derselben zu geben. Man wird mir das für's Erste bei dem enormen
Umfang, welchen die Literatur der quergestreiften Muskelfaser angenommen hat, gewiss nicht zum Vorwurfe
machen. Icli werde nur gelegentlich das Eine oder das Andere anführen, was mir zu den Anschauungen, zu
welchen ich gelangt bin, in näherer Beziehung zu stehen scheint.

Ich muss darum noch besonders hervorheben, dass meine Mittheilungen fast überall an bekannte That-
sachen anknüpfen werden. Ich will aber durch eine einheitliche, klärende und unrichtige Vorstellungen
corrigirende Zusammenfassung meiner mikroskopischen Beobachtungen einer unter den vielen Anschauungen,
welche über den Bau der quergestreiften Muskelfasern aufgetaucht sind, die Wege zu allgemeinerer Anerker.nung
ebnen. Es würde damit die Correctur gar vieler physiologischer Anschauungen über die Muskelcontraction
erreicht, die man auf bestimmte, aber nicht zutreffende Vorstellungen vom Muskelbau gegründet hat.

Die Beobachtungen sind grössteutheils an Käfermuskeln gemacht und unter denselben werden sich viele
bisher unbekannte, oder nicht oder nur wenig gewürdigte befinden, die in ihrem Zusammenhange die eigentliche
Rechtfertigung für die Veröffentlichung dieser Mittheilungen bilden werden.

I.

Vorläufige Skizzirung des Baues der quergestreiften Muskelfaser.

Zur Vereinfachung der Darstellungen, welche ich in den folgenden Abschnitten zu geben habe, halte ich
es für zweckmässig, hier eine Skizze des Baues der am meisten verbreiteten Form der quergestreiften Muskel-
faser herzusetzen.

Der vom Sarkolemma umschlossene Inhalt der quergestreiften Musicelfaser besteht zunächst aus zwei
Theilen: aus dem Sarkoplasma und aus den Fibrillen.

Sarkoplasma entspricht einem histologischen Begriff, ich bezeichne damit die hyalin oder fein körnig und
Stelleuweise oft in ganz regelmässiger Anordnung verdichtet erscheinende, die Kerne in verschiedener, mehr

Uniei'sucJmnyen über dtii Bau der (piergesireiften Muskelfasern. 83

oder weniger regelmsissiger Anordnurig in sich schliessende Substanz, welche innerhalb des Sarkolemmas alle
von den Fibrillen freigelassenen Räume ausfüllt.

Durch die Bezeichnung, welche ich dieser Substanz gegeben habe, soll angedeutet werden, dass sie dem
Protoplasma nahe steht, aber doch von demselben unterschieden werden muss.

Die Fibrillen sind der Länge nach gegliederte Gebilde. Ihre Gliederung rührt von einer regelmässigen
Folge und Abwechslung verschiedener Substanzen her.

Diese Gliederung ist eine labile, die sie bedingenden Substanzen sind einem mit den verschiedenen
physiologischen Zuständen der Muskelfasern einhergehenden Wechsel unterworfen.

Es wechselt die Anzahl, die Form und die substanzielle Beschaffenheit der Fibrillenglieder. Der Grad
der Labilität ist aber nicht tUr alle in bestimmten Zuständen zu unterscheidenden Fibrillenglieder derselbe,
wälirend einzelne völlig verschwinden und neu wieder auftreten, vollzieht sich in anderen nur ein mehr oder
weniger eingreifender Wechsel ihrer Beschaffenheit.

Die gegliederten Fibrillen liegen im Allgemeinen der Längenaxe der Muskelfasern parallel neben einander.

Sie sind aber gruppenweise zu sträng-, band- oder röhrenförmigen Bündeln zusammengeordnet und oft
erscheinen auch noch diese Bündel (Muskelsäulchen) wieder zu grösseren Gruppen geordnet.

Dieser regelmässigen vor, während und nach der Contraction der lebenden Faser zu beobachtenden, also
während aller physiologischen Zustände der Muskelfaser erhaltenen bestimmten Anordnung der gegliederten
Fibrillen entspricht, da das Sarkoplasma alle von den Fibrillenbündeln freigelassenen Räume innerhalb der
Muskelfaser ausfüllt, auch eine ganz bestimmte Architectonik des Sarkoplasmas selbst, welche am besten
ausgeprägt auf dem Querschnitt der Muskelfaser zu sehen ist.

Ungleichmässige Dicke der in der Längenrichtung sich folgenden und abwechselnden verschiedenen
Glieder der Fibrillen oder Fibrillenbündel bedingt aber auch in der Längenansicht der Muskelfaser eine wohl
ausgeprägte Zeichnung der Grenzen des Sarkoplasmas.

Ausser der sichtlich mit der Vertheilung und Anordnung der Fibrillen zusammenhängenden Gestaltung des
Sarkoplasmas, kommen in diesem letzteren selbst manchmal eigenthümlich gestaltete, regelmässig vertheilte
und unter einnnder zusammenhängende Verdichtungen vor.

Das Sarkoplasma geht ohne Unterbrechung über in die nerventragende Substanz der Nervenhügel der
zu den Muskelfasern zutretenden motorischen Nerven.

n.

über den Scheibenzerfall von Käfermuskeln in Alkohol und die Querstreifung der Insectenmuskeln im

erschlafften oder der Erschlaffung nahen Zustande,

Der Zerfall quergestreifter Muskelfasern in Scheiben, welchen ich hier beschreiben will, ist der, welchen
Skey ' zuerst abgebildet, und welchen bald darauf Bowman^ an den Muskeln des Menschen, des Schweines,
einer Sprotte und Eidechse in auffallendem Grade entwickelt gesehen und ausführlich behaudelt hat.

Bowman * ist später wieder darauf zm-ückgekommen, ohne jedoch etwas Anderes als seine in der ersten
Arbeit niedergelegten Beobachtungen anzuführen.

Dieser Zerfall tritt an Muskeln auf, welche in Alkoliol eingelegt wurden und ist von einem anderen Zerfall
der Muskelfasern in Scheiben, der auf die Wirkung von verdünnten Säuren leicht erhalten werden kann, durch-
aus verschieden und darf mit dem letzteren nicht verwechselt werden.

» Skey, Philosophital Traosactions of the royal Society of London 1837. Plat XIX, Fig. 5.

- Bowraau, Philnsoyihical Tr;insMcriotis of tlie royal Societj' of London 1840. Part II, p. 409 und 470.

3 Bowinan, Aiticle Musclo; the Cyelopaedia of aniitomy and physiology. Edited by R. Todd. Vol. III, 1839—1847,
p. 508 und 509 und R. B. Todd and W. Bowman, The physiologioal anatomy and physiology of man. London 1848—1853,
S. I, p. 151 und 152.

11*

84 Alexander Bollett.

Ich komme hier vorerst in die eigenthümliche Lage, gegen eine meiner früheren Arbeiten * selbst polemi-
siren zu müssen. In derselben bescIiriinlUe ich mich auf die Untersuchung von Wirbelthiermuskeln.

An den Muskelfasern dieser war mir aber ein Scheibenzerfall in Folge von Alkoholwirkuug damals nicht
zur Beobachtung gekommen, ebensowenig, als das bis heute der Fall war.

Ich führte damals^ an, dass ich nicht anzugeben wisse, welchem Umstände es Bowman zu danken hatte,
dass einige von ihm in Weingeist bewahrte Muskeln in die von ihm beschriebeneu Discs zerfielen und berief
mich auf den einstimmungen Ausspruch Reichert's,^ Henle's,* Hassall's," Kölliker's*' und E. Weber's,^
dass dieser Zerfall ein sehr seltenes Ereigniss sein müsse.

Ich meinte aber dem gegenüber, dass von den zwei verschiedenen Substanzen, welche ich als Haupt- und
Zwischensubstanz in regelmässiger Abwechslung in der Längenrichtung der Muskelfaser unterschieden hatte,
die eine, die Hauptsubstanz, die Substanz der Bowman'schen Discs, Brücke's doppelfbrechende Substanz
ganz zufallslos in Form von Scheiben isolirt werden könne, wenn man Salzsäure von 0-1"/^ oder Essigsäure
auf die Muskelfasern wirken lässt, welche Eeagentien die Zwischensubstanz, Brücke's einfach brechende
Substanz auflösen sollten.

Das ist aber ganz entschieden unrichtig.

Was in den genannten Säuren quillt und schliesslich aufgelöst wird, ist gerade die stärker brechende
Haujitsubstanz des frischen Muskels, sind die Discs von Bowman.

Die Verwechslung rührte daher, dass durch die Säurewirkung vorerst eine ähnliche Umkehr der
Erscheinungen an den Muskelfasern zu Stande kommt, wie sie beim Übergang der Muskelfasern aus dem
erschlafften in den contrahirten Zustand später allgemein bekannt wurde.

Die schwächer lichtbrechenden Segmente der Muskelfasern werden in Folge der Säurewirkung stärker
lichtbrechend, und umgekehrt, die stärker lichtbrechenden Segmente schwächer lichtbrechend und in weiterer
Folge der Säurewirkung werden gerade diese aufgelöst und dadurch ein Scheibenzerfall ganz anderer Art
hervorgebracht, als der, welchen Bowman beschrieben hat.

Es ist zuerst von Krause* richtig erkannt worden, dass verdünnte Säuren die Substanz der Bowman'-
schen Discs selbst quellen machen und endlich auflösen.

Über das, was bei dem so hervorgebrachten Scheibenzerfall der Muskelfasern in Form von Scheiben
isolirt wird, ist aber Krause nicht ins Klare gekommen. Es soll das in dem nächsten Abschnitte, wo ich den
Säurezerfall der Muskelfasern ausführlich behandeln will, gezeigt werden.

Einen Seheiben zerfall der Muskelfasern in Alkohol, wie ihn Bowman beobachtete, führt Krause nicht
an, wohl aber setzt er * dem von ihm in verdünnten Säuren beobachteten Scheibenzerfall einen anderen
entgegen, der durch concentrirte Salpetersäure hervorgebracht werde, und bei welchem die coagulirten und gelb
gefärbten Bowman'schen Discs isolirt werden sollen.

Von einem sehr untergeordneten Werthe sind in Bezug auf den Zerfall der Muskelfasern in Scheiben die
Angaben, welche Reiser'" in einer vor Krause's Arbeiten erschienenen Dissertation macht. Inderseiben

1 Untersuchungeu zur niilieren Kenntuiss des Baues der quergestreiften Muskelfaser. Sitzungsber. d. matliein.-uaturw.
C'l.isse. d. kais. Akad. d. Wissensch. in Wien, Bd. XXIV, p. 291.
'- L. c. p. 296.

3 MüUer's Archiv. Jahresbericht 1842.
* Canstatt's Jahresbericht für 1846, Bd. I, p. 66.

5 Mikroskopische Anatomie. Übers, von Dr. 0. Kohlschütter, p. 245.

6 Mikroskopische Anatomie. Bd. II, l. Hälfte p. 203. Handbuch der Gewebelehre, 2. Aufl., Leipzig 1855, p. 186.
' Artik. Muskelbewegung, Wagucr's Handwörterbuch der Physiologie, Bd. II, 2. Abth., p. 65.

8 Krause, Göttiuger Nachrichten 1868, Nr. 17, pag. 358. Die motorischeu Endplatten der quergestreiften Muskelfasern.
Hannover 18C0, p. 19, u. d. f. Zeitschr. für Biologie, V. Bd. .München 1869, p. 415. Allgemeine und mikroskopische Ana-
tomie. Hannover 1876, p. 85.

8 Krause, Göttinger Nachrichten 1. c. und Allgem. und mikroskop. Anatomie 1. c.

10 Keiser, Die Einwirkung verschiedener Reagentieu auf den quergestreiften Muskelfaden. Inaugural-Dissertatlon.
Zürich 1860.

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 85

werden die Sarcous elements von Bowmau als das Element der contractilen Masse anfgefasst und diese
Elemente diircli ein besonderes Läugsbindemittel zu Fibrillen und dureb ein davon verschiedenes besonderes
Querbindemittel zu Platten verbunden vorgestellt.

Eine ähnliche Anschauung hat zuerst Haeckel ' für die Muskeln des Flusskrebses ausgesprochen. In
der einfachen Weise, wie sie Reiser vorbringt, birgt sie recht viel Unverständliches in sich. Ich will die
Gelegenheit nicht vorübergehen lassen, das zu zeigen, da ich in meinen späteren Auseinandersetzungen noch
darauf werde verweisen müssen.

Hält man sich ganz strenge daran, dass ein Längsbindemittel (vergleiche die schematische Fig. ], Ä, l)
die Grundflächen, ein Querbindemittel (Fig. 1, A, q) aber die Mantelfiiichen der Sarcous Clements (Fig. 1, A, s)
verbindet, dann muss etwas Drittes die Räume (Fig. 1, A. r), welche zwischen ilen freien Mantelflächen des
Längsbindemittels und der freien gitterförmigen Grundfläche des Querbindemittels vorhanden sein müssen,
ausfüllen. Verzichtet man aber auf eine so strenge Auslegung der Bindemittel für die Sarcous elements, dann
wären zunächst tür zwei Bindemittel folgende Annahmen möglich.

Man könnte sich das Längsbindemittel continuirlich in jedem zwischen zwei Bowman'schen Di.scs gele-
genen Muskelabschnitte vorstellen. (Fig 1, B, l.) Damit wäre aber eine Präformation der Platten statuirt und
es würde dann leicht verständlich sein, wie durch Lösung des Längsbindemittels eine Isolirung der Platten
erfolgen könne. Unverständlich aber bliebe, wie durch Lösung des Querbindemittels (Fig. 1, B, q) allein eine
Fibrillenbildung erfolgen sollte. Es müsste dann ausser dieser Lösung auch noch eine den aufgereihten Sar-
cous elements entsprechende Zerklüftung des Längsbindemittels angenommen werden und die Fibrillen wären
Artefacte.

Zweitens könnte man sich das Querbindemittel continuirlich in der ganzen Länge der Muskelfaser
vorstellen (Fig. 1, C. q), also nicht blos zwischen den Mantelflächen der Sarcous elements (Fig. 1, C, s), sondern
auch zwischen den Mantelflächen der Stücke des Längsbindemittels (Fig. 1, C. I), welche je zwei Grumlflächen
der Sarcous elements verbinden. Dann wäre aber eine Präformation der Fibrillen statuirt und es würde
verständlich wie durch Lösung des Querbindemittels die Fibrillen isolirt werden können. Unverständlich aber
bliebe, wie durch Lösung des Längsbindemittels allein eine Plattenbildung zu Stande kommen könnte. Es
müsste dann vielmehr auch noch eine Lösung der den Mantelflächen des Längsbindemittels entsprechenden
Abschnitte des Querbindemittels angenommen werden, und die Platten wären dann Artefacte.

Nun will aber Reiser gerade darthun, dass sowohl die Platten als auch die Fibrillen Kunstproducte sind.
Die einen sollen isolirt werden durch Reageutien, welche Lösung des longitudinalen Bindemittels allein
bewirken. Dahin sollen gehören : Salzsäure, Essigsäure, Phosphorsäure, Chlorbaryum, Chlorcalcium, Natron,
Kali, kohlensaures Kali. Andere Reagentien sollen dagegen das Querbindemittel allein lösen und dadurch zur
Fibrillenbildung führen, und dahin sollen gehören: Chromsäure, doppeltchromsaures Kali, Milieu 's Reagens,
Sablimatlösung, Alkohol, Äther, Glycerin, Salpetersäure, salpetersaures Kali. Von einem Scheibenzerfall in
Alkohol hat — worauf ich jetzt verweisen will, um zu dem eigentlichen Gegenstande zurückzukehren — auch
Reiser nichts gesehen, und in Bezug auf die Wirkung der Salpetersäure widerspricht seine Angabe der spä-
teren von Krause.

Von anderen Autoren^ ist der Scheibenzerfall der Muskelfasern in Alkohol nur gelegentlich als verein-
zelntes Vorkommen gestreift worden, oder ein und der andere Brach einer Faser in der Richtung der Quer-
streifen notirt worden.

Dagegen ist in die meisten histologischen und physiologischen Lehrbücher der Seheihenzerfall der Muskel-
fasern in verdünnter Salzsäure in dem Sinne übergegangen, als ob jn demselben ein Scheibenzerfall vorläge,

1 Haeckel, MüUer'a Archiv 1857. p. 491.

2 Vergleiche u. A.: Schwanu, Mikroskopische Untersuchungen über die Übereinstimmnng in der Stnictiir und dem
^Yachsthum der Thiere und l'flauzen. Berlin 1839, p. 165 und 166. Tab.lV, Fig. 4. (Maikäferlarven in Alkobolj; Engelmann,
Archiv f. d. gesummte Physiologie. Bd. 7, p. 46 und 52 : Bd. 25, p. 543 u. d. f.

86 Alexander Rollett.

der mit dem von Bownian nn Alkoliolpräparaten beobachteten identisch wäre, was, wie schon früher ausge-
führt wurde, nicht im Entferntesten der Fall ist.

Ich hatte einmal (18. Auj;'nst 1881) einen frisch g-efangenen Hydrophilus piceus, naclidem er äusserlicli
g-ut abgetrocknet worden waJ-, lel)Pnd in Alkoliol von 93«/^^ geworfen, i Als ich nach 17 Tngen die Muskeln
dieses Tiiieres in einer Mischung von 2 Theilen Glycerin und 1 Tlieil Wasser auf dem Objectträger unter-
suchte, war ich über die merkwürdigen Bilder, welche dieselben darboten, sehr erstaunt. Alle Muskeln dieses
Thieres waren mit Ausnalime von solchen Stelleu, wo sich Contractionswellen befanden, in ihrer ganzen Aus-
dehnung in Scheiben zerfallen. (Fig. 1.) Diese Scheiben entsprachen in vielen Fasern den Bowman'schen
Seheiben oder den später von Engelmann^ so genannten anisotropen Bändern, welche sich nach Engel-
mann aus zwei dunklen Querscheiben und einer zwischen diesen liegenden hellen Mittelscheibe (Mensen)
zusammensetzen. Es sind das die aus langen Sarcous Clements zusammengesetzten doppeltbrechenden Abschnitte
Brücke's,^ welche, wie ich gleich hier bemerken will, den in morphologischer Beziehung constantesten, weil
in allen physiologischen Zuständen des Muskels immer leicht erkennbaren Gliedern der ]\Iuskelfibrille
entsprechen. Ich werde diese Abschnitte in toto jetzt und in allen späteren Theilen dieser Abhandlung mit Q
bezeichnen, den hellen Streifen aber, welcher in der Mitte derselben liegt, mit h (Fig. 2).

In anderen Fasern, welche den Scheibenzerfall zeigten, befanden sich aber an den isolirten Scheiben auch
noch die Körnerschichten Flögers* oder Nebensclieiben Engelman u's,'" und zwar hing mit jedem Ende von
(J eine solche Nebenscheibe zusammen, mit Q durch einen Streifen heller Substanz verbunden. Ich will den
den Nebenscheiben Engelmann's entsprechenden Streifen mit iV, den hellen Streifen, der Nmit Q verbindet,
mit J bezeichnen.

;\luskeln in dieser Art von Scheibeuzerfall begriffen, sind in Figur 3 dargestellt, zwar nicht nach einem
Präparate von Hi/drophihn^, aber das Bild stimmt genau mit jenen Bildern überein, welche ich auch beim
Bydrophilus Ijeobachtet habe.

Man konnte Scheiben der ersten Art {Q) und Scheiben der zweiten Art (NJQJJST) ganz frei und vereinzelt
oder noch in paralleler oder nur wenig verschobener Aufreihung von der Seite beobachten. Noch viel
interessanter sind aber Bilder, in denen die isolirten Scheiben noch innerhalb des Sarkolemmas liegend
erscheinen, wie das auch in Fig. 1 und Fig. 2 dargestellt ist. Der Sarkol emmaschlauch ersciieint dann mehr
oder weniger aufgebläht, und zarte Scheidewände, die auf dem optischen Längsschnitt mittelst konischer
Ansätze in eine den Sarkolemmasehlauch an seiner inneren Oberfläche belegende, feinkörnige Masse über-
gehen, theilen denselben in der Länge nach aneinander gereihte Kästchen. Wo sich die Querwände ansetzen,
erscheint im Längencontour des Sarkolemmas eine Einziehung, dazwischen sind die Wände der Kästchen
ausgebaucht und in jedem der Kästchen liegt eine isoürte Scheibe Q (Fig. 1) oder eine isolirte Scheibe
NJQJN {Fig. 3).

Ausserdem waren beide Arten von Scheiben in der Flächenansicht zu beobachten, indem sie völlig
frei in der Zusatzflüssigkeit lagen. Oder sie lagen desorientirt in den Kästchen entweder auf der Grundfläche
oder in der Seitenansicht mit ihrem Querdurchmesser in der Eichtung der Längenaxe der Muskelfaser, oder
diese unter verschiedenen Winkeln kreuzend.

Endlich waren auch leer gewordene Sarkolemmaschläuche zu sehen, in denen die früher besprochenen
Querwände der Kästchen regelmässig wie Leitersprossen aufeinander folgten. Vergleiche Fig. 4, welches
Bild zwar auch von einem erst später zu erwähnenden Käfer herrührt, aber ganz ebenso bei Hi/drophi/vs zu
beobachten war. Ich habe schon erwähnt, dass bei dem untersuchten Hijdrophihis alle Muskeln die beschrie-

1 Es bedeutet das Volumprocente eines Alkohols von 0-7951 spec. Gewicht bei 12° R. nach dem in Österreich ein-
geführten Alkoholometer.

2 Engelmann, Pflüger's Archiv. Bd. 7, p. 37.

3 Brücke, Denkschr. d. matliem.-naturw. Classe d. Wlenei' Akad. Bil. XV, p. 71.

* Flögel, Archiv für mikroskop. Anatomie, Bd. VIII. p. 60. Bonn 1872.

* L. c. p. 37 und 50.

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften, Muskelfasern. 87

bene Veränderung zeigten, und dass nur au Stellen, wo Contractinnswellen sich befanden, der Scheibenzerfall
nicht eingetreten war. Es ist das aber uiclit so zu verstehen, dass der Scheibenzerfall überall fehlte, wo sicli
Contractionswellen befanden, im Gegentheile, ich traf auch einige contrahirte Stellen im Scheibenzerfall,
worauf ich später ausführlieli zurückkommen werde.

Nur an den Flugmuskeln des untersuchten Thieres fehlte jede Spur von Scheibenzerfall. Ich überzeugte
mich gleich an diesem Käfer von einer schon an einem anderen Orte ' hervorgehobenen Thatsache, welche ich
durch die später mitzutheilenden ausgedehnten Untersuchungen au zahlreichen Coleoptereu, Hymenopteren,
Fliegen und anderen Insecten immer wieder bestätigt fand, dass niimlich die Flngmuskeln der Insecten in
ihrem Bau von den anderen quergestreiften Muskelfasern dieser Thiere so wesentlich verschieden sind, dass
aus Beobachtungen an den einen nicht Schlüsse auf das Verhalten der anderen gezogen werden dürfen.

Ich habe mir vorgesetzt, die Flugmuskeln der Insecten später einmal besonders zu bearbeiten. In der vor-
liegenden Abhandlung lasse ich sie mit Ausnalime einer Thatsache, die ich später anführen muss, ganz
unberücksichtigt.

In Bezug auf die anderen quergestreiften Muskeln des erwähnten HydropMlus führe ich aber nun noch an,
wie ich vorgegangen bin, um mir die Überzeugung zu verschaffen, dass die gesammte Musculatur des Käfers
dieselben Veränderungen beim Liegen in Alkohol erlitten hatte. Ich riss zuerst den Ivopf aus und untersuchte
die an demselben hängen gebliebenen und in demselben enthaltenen Muskelfasern, dann entfernte ich den
Prothorax zur Untersuchung der in demselben enthaltenen und das vordere Beinpaar bewegenden Muskeln,
dann löste ich das Abdomen von der aus dem vereinigten Meso- und Metathorax bestehenden Flügelbrust und
trennte die obere Hälfte derselben von der unteren, um nach Entfernung der Flugmuskeln zu den das zweite
und dritte Beinpaar bewegenden Muskeln zu gelangen, und endlicli brach ich bei Käfern, deren Grösse das
erlaubte, auch noch den Femur des zweiten und dritten Beinpaares auf und untersuchte die darin enthalteneu
Muskeln. Schliesslich wurden auch noch die Muskeln zwischen den Abdominalringeu und jene des Geschlechts-
apparates untersucht.

Das ist die Art, in welcher ich immer verfuhr, wenn es mir bei der Untersuchung eines Käfers darauf
ankam, die sämmtlichen Muskeln des Skelettes zu untersuchen. Die Darmmuskelu habe ich, obwohl sie mit den
Skclettmuskeln in ihrem Bau sehr nahe üliereiustimmen und sich wie diese von den Flugmuskeln wesentlich
unterscheiden, doch wegen ihrer Eigenthümlichkeiten vorläufig ebenso unberücksichtigt gelassen wie die Flug-
muskeln. Nur gelegentlich werde ich auch eine oder die andere Beobachtung an den Darmmuskeln anführen.
Bei dem erwähnten Hydropliilus führte mich die Untersuchung der Skelettmuskeln zur Überzeugung, dass ich
nun einmal einen so ausgedelmteu Scheibenzerfall wie ihn Bowmann an Alkoholpräparaten von Wirbelthier-
muskeln beobachtet hatte, auch an Käfermuskeln gesehen habe, und die Bilder, welche ich zu Gesicht bekam,
namentlich wenn das Sarkolemma noch erhalten war, forderten ganz entschieden zu einer näheren ^'erfolgung
derselben auf.

Die Zeit von 17 Tagen, nach welcher ich den in Alkohol gebrachten Rydrophilus untersuchte, war eine
ganz zufällige. Keineswegs war es aber eine so lange Zeit, dass ich annehmen konnte, die Muskeln hätten
ihre Veränderung durch langes Liegen in Alkohol erlitten, denn oft hatte ich früher die Muskeln von Hydrophili
untersucht, die Monate lang in Alkohol gelegen hatten, ohne dass ich einen so ausgedehnten Scheibenzerfall
ihrer Muskeln beobachtet hätte.

Es konte ferner nicht ausgeschlossen werden, dass ich an dem untersuchten Hydropliilus den Scheiben-
zeifall der Muskeln schon viel früher zu Gesichte bekommen hätte, wenn ich eben nicht erst 17 Tage nach
dem Einlegen in Alkohol, sondern schon früher die Untersuchung vorgenommen hätte.

Ich musste nach allen meinen früheren Erfahrungen annehmen, dass ich an dem untersuchten Hydro-
pliilus eines jener seltenen Ereignisse beobachtet hatte, welches Bowman an Wirbelthiermuskelu, die in
Alkohol conservirt worden waren, wahrnahm. In dieser Überzeugung brachte ich nun, da mir, wie schon

1 Rollett, Sitzungsber. (1. mathem.-naturw. Classe d. Wiener Akad. Bd. LXXXIX, Abth. III, 1884, p. 34(3.

88 Alexander Tiolleil.

gesag-t, die beobachteten Bilder sehr wichtig zu sein schienen, nicht nur eine sehr grosseAnzahl yanHydrophihis,
sondern auch zahlreiche andere Käfer, deren ich habhaft werden konnle, in 93y„ Alkohol mit der Absicht, die
Muskeln derselben nach kürzerem oder längerem A^'erweilen in Alkohol zu untersuchen, um mir so vielleiclit
neuerlich ähnliche Bilder wie bei dem erst untersuchten HijiJropliilus und einen Aufschluss über die Zeit, in
welcher diese Bilder an den Muskeln auftreten, zu verschaffen.

Beim Hydrophilm führten diese Bemühungen zu keinem befriedigenden Eesultate.

Sehr oft fand ich bei den untersuchten Thieren sclion nach 24 oder 48 Stunden am ausgerissenen Kopf
und im Prothorax einzelne Muskelfasern in Scheiben zerfallen, die übrigen Muskelfasern in allen Theilen des
Käfers aber völlig compact mit den verschiedenen Zuständen der Querstreifung, die durch Engel mann's
Untersuchungen an Käfermuskeln so genau bekannt geworden sind. Ganz dieselben Beobachtungen machte
ich ferner, wenn ich Thiere untersuchte, die durch 4, 8, 10, 12, 14 und 16 Tage in Alkohol gelegen hatten, nur
dass an den nicht in Scheiben zerfallenen Muskeln mit der Zeit des Verweilens in Alkohol die Deutliclikeit
der Längsstreifung und die Isolirbarkeit der Fibrillen oft beträchtlich zunahm. Ich führe hier auch gleich au,
dass für den HijdrophUus auch eine Veränderung der Stärke des Alkohols nicht zu dem Resultat führte, dass
ich wieder einmal ein Thier mit so ausgedehntem Seheibenzerfall seiner Muskeln erlialten hätte, wie er sich
bei dem erst erwähnten Hi/drophilus vorfand.

Ich variirte die Stärke des Alkohols zunächst mit Rücksicht darauf, dass mit dem Hijdropliihis. an welchem
ich die beschriebenen ausgezeichneten Bilder beobachtete, trotz des Abtrockuens seiner äusseren Oberfläche
vielleicht doch eine grössere Menge Wassers in den Alkohol hätte gekommen sein können.

Die Prüfung dieser Vermuthung versprach zwar von vorneherein nicht viel, da ich das Thier in ein, sein
Volumen um sehr viel Mal übertreffendes Volumen Alkohol gebracht hatte, es war mir aber zum Vergleich mit
den Wirkungen des starken Alkohols auch sehr erwünscht, die Wirkungen schwächeren Alkohols auf die
Muskeln kennen zu lernen.

Ich fügte darum zu je einem Volumen des 93 "/,, Alkohol '/si 1 oder 2 Volumina destillirten Wassers
und brachte in diesen ^/^-, V^- und '/.;- Alkohol wieder eine Anzahl von Hydrophüus, um dieselben nacli
kürzerer oder längerer Zeit zu untersuchen.

In dem y.,-Alkohol quellen die Muskeln, sowie alle Gewebe des Käfers bald sehr stark ar^, so dass
man Kopf, Prothorax, Abdominalriuge und Beine auseinander getrieben und den Käfer dadurch aufgebläht
findet.

Unter dem Mikroskope erscheinen die Muskeln erweicht und niacerirt. Sie erweisen sirh in diesem Zustande
bei der Präparation allerdings scheibenbrüchig, w-enn ich mich so ausdrücken darf, und zwar gehen die Bruch-
flächen zwischen den Bowman'scheu Sciieiben durch, die letzteren sowohl, nls auch die zwischen denselben
vorhandeueu Muskelfaserabschnitle sind aber mannigfach verzerrt und verunstaltet, und theilweise erscheinen
die Scheiben selbst unregelmässig zerklüftet. Es sind das Bilder, die unzweifelhaft an die früher beschriebenen
Bilder erinnern, aber nicht im Entferntesten die Scliärfe und Prägnanz besitzen, welche die frülier erwähnten
Bilder vom Scheibenzerfall in starkem Alkohol darboten.

In dem Y^ -Alkohol fand ich an allen Muskeln die Längsstreifung sehr hervortretend, den Muskclfaser-
inhalt viel weniger gequollen, oft aber das Sarkolemma sehr aufgebläht und wie ein weit abstehender Mantel
den mit tibrillärer Zeichnung verseiienen Muskelfaserinhalt umfassend.

In dem Ya" Alkohol sind die Muskelfasern noch weniger gequollen; ihr Ansehen stimmt mit dem der
Muskeln von in starken Alkohol eingelegten Tiiieren nahe überein.

Ich liabe nur dieses allgemeine Resume beabsichtigt; auf alle die mannigfachen Bilder, welche man an den
Muskeln solcher in verschieden starkem Alkohol conservirter Käfer beobachten kann, will ich nicht näher
eingehen.

Den schönen Scheibenzerfall, welchen ich an Mu.skeln von Käfern, die in starkem Alkohol conservirt worden
waren, beobachtete, konnte ich an den Käfern in verdünnterem Alkohol niclit, oder wenigstens nicht sicherer
und schöner erhalten.

Untersurhungcii. üher diu Bau ficr (jHeir/i'sfrelffen Muskelfaser».

89

Ganz anders als am Hydrophilus gestaltete sich die Untersuchung-, als ich die zahlreichen anderen Käfer-
arten, die mir zugänglich wurden, in Arbeit nahm.

Die Untersuchung von nahe an 30ü Käferspecies setzt mich nunmehr in den Stand, eineEeihe von Species
anzugeben, bei welchen ein .Scheibenzerfall der Muskelfasern, wie ich ilin zuerst bei einem Hydrophilus
beobachtet habe, nicht zu den Seltenheiten, sondern zur Regel gehört, und zwar ist dieser Scheibenzerfall sclion
nach 24- bis 48stiindigem Verweilen derselben in 93 "/^ügem Alkohol zu beobachten.

Die untersuchten Käferspecies und die Familien, welclieu sie angeiiören, sind die unter dem Text ver-
zeichneten,' und sind die Familien, Gattungen und Species benannt, wie es dem „Catalogus coleopterorum
Europae et Caucasi". Auetoribus Dr. L. v. Heyden, E. Reitter et J. Weise. Ed. III., Berolini 1883, ent-
spricht.

1 Familie

Gattung

Species

Familie

Gattung

Species

- ,— - — ^-.— ^

^ — - -^— .^

^ — - — -H^_ -

■ — - — -

Ckindelklae

Cicindela

Cfftitiiesfrii< L.

Cybi steter

ÄoeseWFüsly

hybrifhi L.

Gyrinidae

Gyrinus

natator L.

Carahidae

Procerus

gigaa Creiitz.

Hydrophilidae

Helophorus

griseiis Hrbst.

Procrustes

coriaceus L.

Hydrophilus

piceus Liun.

Orinocaralms

hortensis L.

Hydrocharis

caraboides L.

Megadonlu^

violaceus L.

Sphaeridüdue

Sphaeri'iiiim

scarabaeoides L.

Carabus

cancellafus 111.

bipusfidatum F.

Nebria

picicornis Fabr.

Cercyon

ßavipes F.

DahliDnUschm.

Dryopidae

Dryops

prolifericornis F.

Notiujihilux

aqiiaticHS Linu.

S/iijihyJiitidae

Aleochara

tristis Er.

Bembidion

Htfonile Oliv.
kimpros Hrbst.

StaphijUnus

caesareus L e d e r li.
similis F.

Broticus

cepJialoles Linu.

picipennis F.

Clivina

fonsor L.

Paederus

lütoralis Grav.

Chlaenius

ächraiikii Bui't.

Delecixfer

dichrous Grav.

Badister

hipustulatus F a b r.

Anthophagus

testaceus Grav.

Ophonus

azureiis Fabr.

Scydiiiaeiiidae

Cephennium

thoracicuin Müll.

Pseudophonus

ritficoniis F a b r.

Silphidae

Chohva

cistdoides Frölicli

HarpaJus

aeneus F.

Phosphuga

atrafa L.

Stetwloph US

vaporarioriiiH F.

reticulata F.

Zabrus

yihbus F.

TliuiüHituphiJus

thoracicus L.

Amara

communis Panz.
trivialis Gyll.
familiaris Duft.

Silpha

carinata 111.
öbscura L.
m'grita Creutz.

Abax

sti-iula F a b r.

Necropihorus

vespillo L.

Pterostichus

traii.-irersaUs Dutt.

NitiduHdae

Meligethes

(?)

metidlicns F.

CychriiiHiis

quadripunctatus H r li s t

faicicttopunctMUfs Crtz.

BMzophagus

(')

Poecilus

cupreus L.

Dermestidae

Dermestes

vidpinus F.

•

Calathiis

mdariocephalus L.

lardarius L.

Platynus

angusticoUis F.
albipes F.

Attayenus

magatoma F.
pellio L.

Ägomtm

prasinum Letzn.
sexpiinctatiDii L.

Anthreiius

scrophutariae L.
nniseoruni L.

parumpunctatiiiii Hb.

( 'islelidiw

Bijrrltns

giyas F.

Lebia

crux minor L.

pilula L.

Brachinus

crepitans L.

Cistehi

varia F.

explodens Duft.

Ilisteridae

Hister

qiiadrimaculatus L.

Dyticidae

Hgdroponts

puhescens Gy 11.

terricoJa Germ.

Plantamhus

mactdatus L.

quadrinotatus Scrib.

Bybius

guttiger Gyll.
fuligiHosus L.

Liicanidac

Lucanns

cervus L.

V. capreohis Sulz.

Colymhetes

fusctis L.

JJorcus

parallelopipe.dus L.

Dyticus

marginaUs L.

Scarahaeidae

Scarabaeus

Jaticollis L.

Acilius

sutcntus L.

Caccobius

Schreberi L.

Graphoderes

ciiiereus L.

Copris

lunaris L.

Oonivschrittea der

lUüthem.-naturw. Cl.

XLLK. Bd.

12

90

Alexander liollett.

Ich kann nicht iiuihiii, liier meinem Assistenten, Herrn Dr. Carl Laker, der, knndig in der Käferfauna
unserer Alpenländer, nicht müde wurde, mich mit immer neuem Matc^riale zu versehen, dem Coleopterologen,

Familie Gattung

Species

Familie

Gattung

Species

- ^.— - — ~ — — ^

-- — ^i — — ^.^

— — — ^ — *- — -"

•- — —- — ^-"-^

Oiithophagus

taiirus Schreber.
uugtriaciis Panz.
fracticornis P r e y s s 1.

obscura L.

albomarginatu AI ä r k
pahtdosa Fall.

ovaius L.

Rhayoiujcha

nigriceps W a li 1 b.

Oiiiticellus

flavipes F.

melanura Oliv.

Aphodiiis

erraticus L.

testucea L.

fossor L.

Malthinus

(?)

ßmetarius L.

Malachiiis

viridis F.

granarius L.

Dasytes

(?)

sordidtis F.

Cleridae

Opüo

niollis L.

inqtmiatus F.

Oleroides

formiatrius L.

porcus F.

Clerus

apiarius L.

prodromus Brak m.

favarius 1 1 1.

rufipes L.

Necrohia

violacea L.

atramentarius E r.

Elateroides

derinestoides L.

Geotritpes

stercorarius L.
sylvatkus Panz.

Ih'itchidftf*

Briiclius

für L.

(?)

hemisphaericus Ol.

Byrrhitlae

Anobiuni

striatum F.

Hoplia

sgnaniosa F.

Hedobia

imperial is F.

SericK

holosericea Scop.

Tenebrionidae

Teiityriu

f?)

Mliizoiroyiis

sohtitiaUä L.

Blujis

inortisaga L.

Melolontha

hippocastani F.

Pimelia

cribra (?) Sol.

vulgaris F.

Opatrum

sabulosam L.

Phi/Uopertha

horticola L.

Scaphidema

bicolor F.

AuoiHula

aurafa F.

Corticeiis

ferrttgineus C r e ii t z

Oxythyrea

sHctica L.

Tenebrio

molitor L.

Tropinota

hirta P 0 d a.

Stenomax

lanipes L.

■Cetonia

aurata L.

Allecnlidue

Mycetochares

bipHstuiaia 111.

Osmoderma

eremita Scop.

Cteitiopiis

siilfiireiis L.

Gnorimus

nohilis L.

Layriiihie

Lagria

hirta L.

Trichius

faseiatus L.

Pi/rocliroidae

Pyroc/troa

coccinea L,

Buprestidae Anthaxia

quadripmictata L.

Morddlidae

Mordella

acideata L.

Acmaeodora

(?)

MordelUslena

abdominulis F.

Agrüus

(?)

Meloidae

Meloe

proscarabaeiis L.

Tracht/s

minuta L.

majalis L.

Elateridae Lacon

murinus L.

Lytta

vesicatoria L.

Elater

nigrinus Payk.

Oedemeridae

Nacerdes

melanura L.

Cardiophorus

thoracicus F.

Oedeiiiera

virescens L.

cinereus H r b s t.

Pi/thidae

Mycteriis

citrctdionideti F;

Mdanotus

niger F.
castanipes Payk.

Cioridionidae

Otiorrhynchus

mastix Oliv.
pilanatus Hrbst.

Athous

niger Redtb.
haciiiorrhoidah's F.
subfitscus Müll.

cariMhiacus Genn.
laevigatus F.
perdix Oliv.

Corymbites

aerugiiiosus F.
haeinaiodes F.

yemmatus F.
lepidopterus F.

holosericeus Ol.

Phyllubius

admratus F.

aeneus L.

oblongus L.

Agriotes

aterrimus L.

Polydrusus

sericeiis Schall.

pilosus Panz.

Sciaphilus

muricatus F.

Dohpim

»uirginatus L.

LiopJdoeus

iiubilus F.

Dascillidae Dascillus

cervinus L.

Cldorophaiius

viridis L.

Cuiitliaridae Eros

Aurora H r b s t.

Bruchycerus

(?)

Lmnprorhiza

splendiduJa L.

llypera

punctata F.

Caiitharis

rustica Fall.

Chomis

Sidcirostris L.

Untersuchungen über den Bau der que^'gestreiften Muskelfasern.

91

Herrn Major Gatt er er, welcher uns bei der Bestimmung der Käfer unterstützte, sowie meinem Collegen, Prof.
Dr. E. Klemensiewicz, der mir werthvolles Materiale während eines Aufenthaltes in Corsica sammelte,
meinen liesten Dank für ihre freundliche Unterstützung auszusprechen.

Ich füge hinzu, dass ich von Hymenopteren: VesjJä crabro L. und germanica; Polisfes gaUica F.; Apis
mellißca auct.; Bombtts terrestris L. und einige Ameisen untersucht habe; ferner wurden Satxophaga carnaria L.
Musea fCalUphoraJ vomitoria L. und Musca domestica L.; Penpia nefa orientalis, einige Heuschrecken, die gemeine
Grille, Astacus fluviatilis, Homarus vulgaris, Maja squinado und eine Palaemon-Avt in den Kreis der Untersuchung
gezogen.

Die Käferspecies, bei welchen in der Regel die meisten oder eine sehr grosse oder nicht unbeträchtliche
Menge, oder wenigstens eine Anzahl von Muskelfasern nach 24— 48stündigem Liegen in 937otigem Alkohol den
früher für den Hydropkilus beschriebenen Scheibenzerfall zeigen, sind im Verhältniss zur untersuchten Anzahl
von Käferspecies nur wenige.

Familie

Gattung

Species

Familie

Gattung

Species

Liprinif:

germanus L.

Chrysomelidae Donacia

impressa Payk.

Hylobius

abietis L.

Plateumaris

sericea L.

Pissodes

pini L.

affinis Kunz.

Erirrhimis

(?)

Lema

cyandla L.

Orchesfes

quercus L.
Salicis L.

Orioceris

duodecinipunclata L.
asparagi L.

Apionidae

Apion

craecae L.

Chjtra

quadripunctata L.

Bhynchitidae

Ehynchites

germanicus H r b s t.

Gynandrophthalma

(?)

betidae L-

Orypfocephalus

sericeus L.

Ehinomacer

populi L.

violaceus Lei eh.

Mylahridae
Hylesinidae
Tomicidae

Spiermojihagus

Mtjelophüus

Tomicus

cardui B o h e m.
piniperda L.
typographus L.

Gastroidea
Chrysomda

polygoni li.
caendea Ol.
haemoptera L.

Ceramhycidae

Spondylis
Prionus

biqn-estoidesL.
coriaceus L.

goeitingensis L.
sanguinolenta L'

Ergates

Stenocoriis

Gaurotes

faber L.
Inquisitor L.
virginea L.

Orina

lainina F.
graminis L.
cacaliae Schrank.

Acmaeops

collaris L.

Phytodecta

quinquepunctata F.

Pidonia

lurida F.

Phyllodecta

vulgatissima L.

Lepttira

tomentosa F.

Hydrothasa

auäa F.

testacea L.

Plagiodera

armoraciae F.

rubrotesfacea Hl.

Mdasoma

aeneum L.

scutellata F.

vigintipmictatum S c p

sanguinolenta F.
armato Hrbst.

populi L.
tremtdae F.

bifasciata Müll.

Ägelastica

alni L.

Molorchus

mi7ior L.

Lochmaea

capreae L.

Obrium

brunneum F.

Galeruca

tanaceti L.

Callidium

variabüe L.

Orepidodera

helxines L.

violaceum Ij.

Haltica

oleracea F.

Hylotrupes
Clytus

bajulus L.
arietis F.

Cassida
CoccineUidae Hippodamia

equestris F.
tredecimpunctata L.

Cerambyx
Aromia

heros Scop.
moschata L.

Coccinelia

septempunctata L.
bimacuiata Pont.

Acanthocinus

aedilis L.

Mysia

oblongo-guffata L.

Poyonockaerus
Dorcadion

püosus F.
morio F.

Halyzia

ocellafa L.
vigintiduopunctata L.

Lamia

textor L.

conglobata L.

Anaestlietis

testacea F.

Subcoccinell«

5r/o6osa Schneid.

Tetrops

prcteusta L.

Scymnus

analis F.

12*

92 Alexander EoIJeff.

Sic vertheilen sich auf fünf Familien: die Hydrophiliden, Spliaeridiiden, Silphiden, Histeriden, Scara-
baeideii, Tcnebrioniden und Alleculiden. In erster Reihe sind zu nennen die sämmtlichen oben angeführten
ApJiodiiis- Arten, ILjdrocharis caniboides, San-ahaeu^ lalficollis, Sj/haeiidkcm scarahacoides und hipiisfulafiim,
Pimelia cribra, Opatrmn sabulosum und Cfoiiopus siilfurens. Daran niöclitc ich reihen die oben angeführten
Onthophagiis-Arten, Cercyon flavipes und Oniticellus ßavipes, die oben angeführten Ilister- Arten und Süpha
obscura. Und daran endlich Stenomax lanipes, Blaps mortisaga, ThannatopjJiUus fhoracicus, Phosphuga atrata und
reticiiJala.

Ais vereinzeltes Vorkommen, wie bei II(j(Jrop)hRus, habe ich einen ausgedehnten Scheibcn/.erfall der
Muskelfasern in Alkohol verzeiciinet bei Megadoiifns riolaceus, Staphilinus caesareiis, Oxtjthijreu stktica, Geotnipes
sglvaticus, Phyllopertha Jiorticohi.. Dagegen miiss ich hervorheben, dass ich bei den artenreichen Carabiden,
mit Ausnahme des oben angeführten Falles, bei den Dyticiden, Elateriden, Curculioniden, Cerambyciden und
Chrysomeliden niemals einen auch nur einzelne Fasern in (oto betreffenden ähnlichen Scheibenzerfall beob-
achtet habe.

Diese Angaben stützen sich auf ein sehr reiches Beobachtungsmateriale. Nichtsdestoweniger können sie
nicht als solche betrachtet werden, welche jeder Beobaciiter, der Lust hätte ebenso viele Käfer auf ihre Muskeln
zu untersuchen, genau bestätigt finden wird. Diese Überzeugung wird sich wohl jedem einsichtigen Leser bei
der Mitrheilung der Thatsacheu von selbst aufgediängt haben.

Wohl werden aber meine Angaben für diejenigen von Werth sein, welche mit Aussicht auf P]rfolg daran-
gehen wollen, sich die Zerfallsbilder von Käfermuskeln zu verschaffen, die im Folgenden einem näiieren
Studium unterzogen werden sollen. Ich werde mich dabei vorerst auf die erschlafften oder dem Zustand voll-
ständiger Erschlaffung nahen Jlnskelfasern beschränken und muss hier einige Bemerkungen über die an sol-
chen Muskelfasern zu beobachtende Querstreifung vorausschicken. An erschlafften Käfermuskeln finde ich die
Angaben, welche Engel mann ' über die Anzahl der zu unterscheidenden Querstreifen oder Querbäuder der-
selben macht, grösstentheils bestätigt. Zur Orientirung über die am häufigsten und gewöhnlichsten vorkom-
menden Bilder der Querstreifung mögen die in Fig. 5 entworfenen schematischen Zeichnungen dienen, welche
ich, auf eine sehr grosse Reihe von Beobachtungen gestützt, entworfen habe. In jeder der Figuren A, B und C
ist die Muskelfaser einmal bei hoher Einstellung des Mikroskopes gezeichnet (I) und daneben bei tiefer Einstel-
lung (II).

Es ist in den Zeichnungen nnr die Querstreifung berücksichtigt; die Längsstreifung, die in der That oft
sowohl an ganz frischen ohne Zusatz untersuchten Muskeln als auch an Alkoholnuiskeln in einzelnen oder in
allen den verschiedenen Querstreifen völlig unsichtbar sein kann, ist nicht eingezeichnet.

Das Bild bei hoher Einstellung ist jenes, welches man zuerst erhält, wenn man das Objectiv allmälig von
obenher dem Objecto annähert, dasselbe ist in Bezug auf die Grenzen der Querstreifen und die Seitenränder
der Muskelfaser etwas weniger scharf, als das bei weiterem Senken des Objectivs darauffolgende Bild der tiefen
Einstellung, bei welchem die Seitenränder am schärfsten begrenzt erscheinen. Das letztere Bild ist dasjenige,
welches die Mikroskopiker gewöhnlich abbilden und ihren Beschreibungen der Muskelfaser zu Grunde legen.
Nur in einzelnen Fällen sind auch Bilder bei hoher Einstellung aufgenonmien worden.

Ich halte es aber in der That für wichtig, auch das Bild bei hoiier Einstellung sehr genau zu berücksichtigen.
Nur ist in allen Fällen peinlich darauf zu achten, dass man sich eine Verwechslung des hohen und tiefen Bildes
nicht zu Schulden kommen lasse, weil dadurch die Deutung des Gesehenen verwin^t und einzelne Angaben
über die Querstreifung einander widersprechend werden können, und weil in der That widersprechende Angaben
einzelner Beobachter vorliegen, die nur auf die Verwechslung des hohen mit dem tiefen Bilde oder umgekehrt
zurückgeführt werden können.

Die Lichtvertheilnng ist in beiden Bildern bekanntlich ganz verschieden; was bei hoher Einstellung hell
erscheint, ist bei tiefer Einstellung dunkel und umgekehrt, was bei hoher Einstellung dunkel, bei tiefer hell.

1 L. c. p. as.

Vntersvchtmgen iihcr den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 93

Es ist dieser Wechsel der Lichtvertheilung bei beiden Einstellungen für die Muskelfasern von Amici ^ ein-
mal eingehend besprochen worden. Später ist Krause* in einer Polemik mit Hensen darauf zuiückgekommen.
Ich lege aber hier besonderen Werth darauf, dass man sich daran erinnere, dass dieser Wechsel der Licht-
vertheilung mit dem Vorhandensein verschieden lichtbrechender Substanzen im Muskel zusammenhängt.-'' Alles
stärker liehtbrechende erscheint am Muskelfaden bei hoher Einstellung heller, alles schwächer lichtbrechende
dabei dunkel; dagegen alles stärker lichtbrechende bei tiefer Einstellung dunkel, alles schwächer lichtbre-
chende dabei hell.

So gefasst. kann uns der Wechsel der Einstellung zu einem heuristischen Moment werden, und ich werde in
der That von dem Wechsel der Einstellung später mehrfachen Gebrauch in diesem Sinne machen.

Abgesehen von der in verschiedenen Muskelfasern desselben Thieres oder verschiedener Thiere sehr
wechselnden Breite der einzelnen Querstreifen ist in den Schematen Fig. h Ä, B, C dargestellt, was man als
Querstreifeu an Insectenmuskeln und von der Lichtvertheilung bei hoher und tiefer Einstellung an diesen Quer-
streifen am häufigsten zu sehen bekommt. Die meisten Bilder lassen sich auf die angeführten drei Formen
zurückführen.

Was die Bezeichnung der zu unterscheidenden Querstreifen betritft, so erschiene es mir zweckmässig, wenn
man dieselbe einfach durcli Buchstaben bezeichnen würde, sowie man ja auch die dunklen Linien im Sonnen-
spectrum oder die Bänder in Absorptionsspectren in bündiger und leicht und allgemein verständlicher Weise
einfach mittelst Buchstaben bezeichnet. Dass wegen der segmentären Anordnung des Muskelfadens und des
zweihälftig symmetrischen Baues der einzelnen Segmente sich dieselben Buchstaben in jedem Segmente, und
dann segmentweise immer wiederholen, kann gegen die verschlagene Bezeichnung gewiss nicht eingewendet
werden, wir wollen uns ja nicht auf einer beliebigen oder der ganzen Länge einer Muskelfaser, sondern eben
nur in jedem der sich stets wiederholenden Segmente einer Muskelfaser mittelst der Buchstabenbezeichnung
Orientiren. Schon Engelmann* hat in beschränktem Masse von einer solchen Bnchstabenbezeichnuiig
Gebrauch gemacht; ich hotfe, dass sich ihre regelmässige Anwendung durch denGebrauch, welchenichindieser
Arbeit davon machen werde, am besten rechtfertigen wird.

Mit Q ist in Fig. 6 A, B, C ein breiter Querstreifen bezeichnet, dessen Bedeutung schon früher (p. 6) aus-
einandergesetzt wurde, ebenso ist dort schon die Bedeutung der Streifen auseinandergesetzt, welche mit J und
N bezeichnet erscheinen.

Mit Z ist jener Streifen bezeichnet, welchen zuerst Amici ■' in der Mitte der zwei aufeinanderfolgende
Streifen Q trennenden Abtheilung der Muskelfasern von Insecten und Säugern als dunkle, punktirte Linie
beschrieben und abgebildet hat. Ohne Amici's zu gedenken, hat später W. Krause diesen Streifen als Quer-
linie und Seitenansicht seiner Grundmembran beschrieben. Engelmann aber sieht diesen Streifen als her-
rührend von einer durch ihn als Zwischenscheibe bezeichneten Schicht der Muskelfaser an.

Z ist in Fig. 5 A von dem Streifen N durch einen hellen Streifen getrennt, welchen ich mit E
bezeichne.

In Fig. 5 B fehlt der Streifen E und liegen die Streifen N beiderseits an den Streifen Z unmittelbar an und
ich bemerke, dass eben E fehlen kann, während der Streifen J niemals fehlt. In Fig. 5 C fehlen überdies die
Streifen N.

Q entspricht femer den disques ^a/s Ranvier's, •* Z seinen disques minces, N seinen disqites accessoires.
J und E seinen Bandes claires.

1 Amici (II Tempo. Giornale ital. di medicina etc. Firenze 1858. Anno I. Vol. II, p. 3-28), übers, v. Lambl in Vir-
ehow's Archiv, Bd. 16, p. 414. Berlin 1859.

2 Krause, Zeitschrift für Biologie. Bd. VI. p. 453. München 1870.

3 Vergleiche Amici 1. c, anch Dippel, Das Mikroskop. I. Theil, p. 851 u. d. f. -2. Aufl. Brannschweig 1883.
* L. 0.

ä Amici 1. c, p. 414, Tat". X, Fig. 2 nnd 4.

"Riinvier, LeQons d'anatomie g6n6rale sur le Systeme mnsculaire. Paris 1880, p. 79.

94 Alexander Eolleft.

Alle mit den grossen Ruchstaben Q, J, N, E, Z bezeichneten Querstreifen entsprechen Schichten oder
Lagen der Muskelfaser, welche durch ein regelmässiges Aufeinandertreffen gleichnamiger besonderer Glieder
der die Muskelfaser zusamraenselzenden Fibrillen zwischen zwei einander parallelen Querschnittsebenen der
Faser entstehen, wie wir später auslUhrlich sehen werden. Diese Fibrillenglieder werde ich entsprechend als
Glieder Q und Glieder J, N, E und Z der Fibrille bezeichnen. Q, iVund Z entsprechen doppelt-, Jund E ein-
fachbrechenden Lagen der Muskelfaser.

Der mit dem kleinen Ruchstaben /( bezeichnete Streifen, welcher bei tiefer Einstellung hell, bei hoher Ein-
stellung dunkel erseheint, ist in Rezug auf seine Rreite relativ zur Rreite von Q sehr grossen Variationen unter-
worfen. Er ist oft sehr breit, oft auffallend schmal, was in den Figuren 5 A, B, C auch hervorgehoben ist. Es
wäre aber unrichtig, sich vorzustellen, dass er, wenn die Querstreifung C vorhanden ist, immer am breitesten
und wenn die Querstreifung A vorhanden ist, immer am schmälsten sei. Im Gegentheile, mit jedem der drei
Rilder A, B, C kann gegebenen Falles ein h von sehr verschiedener Rreite zusammentreffen. Die Grenzen von //
sind in der Regel nicht so scharf, als die Grenzen der anderen Querstreifen. Oft ist dieser Querstreifen bei sehr
scharfer Regrenzung aller anderen Streifen nur sehr schwach angedeutet, er ist endlich häufig mit auf das Reste
detinirenden Systemen und unter den günstigsten Releuchtungsverhältnissen gar nicht wahrzunehmen. /( ent-
spricht dem von Hensen ' zuerst genauer gewürdigten Streifen, welchen später Engelmann als Ausdruck
einer Schichte des Muskelfadens, die er mit Hensen Mittelscheibe neinit, dargestellt hat. Ich habe diesen Quer-
streifen mit einem kleinen Ruchstal)en bezeichnet, um damit anzudeuten, dass er in einem anderen mit Q bezeich-
neten Streifen liegt. Es wird sich nämlich zeigen, dass er in keinem Zustande der Muskelfaser den Grad von
Selbstständigkeit besitzt, wie er anderen mit grossen Rnchstaben bezeichneten Querstreifen temporär zukommt,
wenn dieselben auch mit Rücksicht auf den Wechsel der verschiedenen physiologischen Zustände im Muskel
völlig vergänglich sind. Das ist aber ein Moment fUr die Rechtfertigung unseres Vorganges auch dem Einwurfe
gegenüber, dass bei der Labilität der Fibrillengliederung, auf welche die Querstreifung der Muskelfaser zurück-
geführt werden muss, der Streifen h dieselbe Rehandlung verdienen würde wie alle anderen Streifen. Es wird
sich aber später auch noch zeigen, dass die Verwandtschaft des Streifens /* mit den Endtheilen des Streifens Q
in der That weitaus grösser ist, als die, welche zwischen je zwei anderen neben einander liegenden Querstreifen
herrscht. Eine besondere Eigenthlimlichkeit der Muskeln gewisser Käfer ist, dass der Streifen h bei denselben
häufig doppelt auftritt. Unter den Jluskeln aus dem Kopfe und dem Prothorax von Cetonia aurata, Tropinota hirta
xmA Oxyfhyrea stictica findet man meist leicht derartige Fasern, auch bei Bagonycha melanura bin ich einige Male
auf solche Fasern gestossen. Als ich bei diesen Thieren zuerst solche Fasern antraf, an denen auch die Streifen N
und überhaupt alle zwischen zwei Streifen Q gelegenen Streifen nach Art der Fig. 5 A vorhanden waren, sah ich
mich veranlasst, durch Heben und Senken des Tubus mich der hohen und tiefen Einstellung ganz besonders zu
versichern. Der erste Eindruck, den man hat, ist nämlich der, dass bei tiefer Einstellung in der Mitte von Q nicht
wie gewöhnlich ein heller, sondern ein dunkler Streifen zu beobachten ist. Man überzeugt sich aber bald, dass
dann gleichzeitig auch die Enden von Q dunkel erscheinen, während zwischen diesen dunklen Enden von Q
und dem in der Mitte desselben liegenden dunklen Streifen, zwei helle Streifen nach Art des sonst einfachen
Streifens h auftreten, andererseits aber neben den dunklen Enden von Q und von diesen durch die helle
Schichte J getrennt die Schichten N folgen. Wechselt man nun die Einstellung, so wird in allen Streifen die
Lichtvertheilung, die, welche in Fig. 6 A, I vorhanden ist; nur in Q sieht man die Enden und die Mitte hell und
zwei dunkle Streifen zwischen je einem hellen Ende von Q und einem in der Mitte von Q liegenden hellen
Streifen.

Fehleu die Schichten N, wie in Fig. 5 C, dann ist man bei doppeltem h leicht geneigt, die dunklen Enden
von Q für N und den zwischen den beiden h liegenden Theil von Q für das ganze Q zu halten, bis man sich
durch sorgsame Vergleichung beider Einstellungen von dem richtigen Sachverhalte überzeugt.

1 Hensen, Arbeiten ■•ms dem Kieler physiologischen Institute. Kiel 1869, p. 1.

Ünfersiir/iimfien üher de» Bau der quergedreiffen Muskelfasern. 95

Man wird sieh die Schemata Fig. 5 A, B, C leicht, in der entsprechenden Weise modificirt vorstellen und
bei den angeführten, leicht zugänglichen Käfern von dem angeführten Sachverhalte überzeugen können.

Ich habe jetzt über die vorgeschlagene Buchstabenbezeichnuug für die Querstieifen der Muskelfasern
noch zu bemerken, dass ich es mittelst derselben vermeiden will, sowie Engelmann und Ranvier von
Scheiben als Bestandtheilen der quergestreiften Muskelfaser sprechen zu müssen und insbesonders vermeiden
will, dass, wie es bei Engelmann und noch entschiedener ausgesprochen bei Ran vier der Fall ist, die
doppeltbrechenden Schichten der Muskelfasern als Scheiben scharf geschieden werden von den einfach
brechenden Schichten der Muskelfasern, für welche die Bezeichnung als Scheiben nicht gebräuchlich geworden
ist. Ich will mit dieser Zurückhaltung in Bezug auf die Verwendung der Bezeichnung Scheiben früheren histo-
logischen und physiologischen Vorstellungen gegenüber scharf kennzeichnen, dass Scheiben immer artefacte
Producte einer Zerlegung der Muskelfaser und nicht morphologisch präformirte Bestandtheile derselben sind,
während die Fibrillen oder Fibrillenbündcl als präformirte Bestandtheile der quergestreiften Muskelfaser auf-
zufassen sind.

Es soll uns aber jetzt der Scheibenzerfall, welchen Käfermuskeln in Alkohol erleiden, und über dessen
Vorkommen früher berichtet wurde, zur genaueren Orientirung über die Querstreifung der erschlaffieu oder der
Erschlaffung nahen Muskelfaser dienen. Wir werden sehen, dass alle früher angeführten und mit grossen Buch-
staben bezeichneten Querstreifen einer substanziellen Gliederung der die Muskelfaser zusammensetzenden
Fibrillen entsprechen.

Dagegen werden sich als völlig haltlos erweisen, die an verschiedenen Orten aufgetauchten, theils leicht
hingeworfenen Aussprüche,' theils ernster gestützten Behauptungen,* dass die Querstreifen allesammt oder ein-
zelne derselben zurückgeführt werden können auf blos optische Effecte, wie man solche herleiten wollte von
der regelmässigen Folge von Fibrillen, die in ihrer Substanz homogen, aber abschnittweise knotig verdickt sein
sollten, oder von gleichartigen Scheiben, die mittelst eines Bindemittels aneinander haften sollten. Für die
Querstreifen N (Nebenscheiben Engelmaun's) wird sich besonders ergeben, dass sie als eigene, durch die
Gliederung der Fibrillen bedingte, wenn auch nur temporär in bestimmten Zuständen des Muskels vorhandene
Schicht anerkannt werden müssen.

Die sonderbare Deutung, welche ihnen Merkel^ gibt, und wonach sie ein „auch unter normalen Um-
ständen im Leben" schon zu beobachtendes abgerissenes Stück des Streifens Q sein sollen, wird sich ebenso
ungerechtfertigt erweisen, als die Deutung, die ihnen Martin* gibt, wonach sie durch Dehnung abgelöste
Stücke des Streifens Z sein sollen, als nichts sagend.

Nach den Mittheilungen, welche ich früher über das Vorkommen des Scheibenzerfalles von Käfermuskeln
in Alkohol gemacht habe, ist derselbe bei einzelnen Species ganz regelmässig in allen Muskelfasern, oder in der
grössten Anzahl derselben, oder in sehr vielen Muskelfasern zu beobachten, in welchen letzteren Fällen dann
neben den zerfallenen Faseru und abwechslungsweise mit diesen wieder unzerfallene zu beobachten sind. Bei
anderen Species dagegen ist dieser Scheibenzerfall, und zwar wieder in grösserer oder geringerer Ausdehnung
die Musculatur erfassend nur eine häufig, aber nicht regelmässig zu beobachtende Erscheinung. Bei wieder
anderen Species endlich kommt derselbe, uud zwar im einzeluen Falle, wieder mit wechselnder Ausdehnung
nur gelegentlich und sporadisch vor.

Man wird nun a priori sehr bezweifeln, dass eine solche Erscheinung die Aufmerksamkeit verdiene, welcJje
wir derselben hier gewilmet haben, indem man voraussetzen wird, dass dieselbe zur Aufklärung durchgreifen-
der Structurverhältnisse der Käfermuskeln nur wenig beitragen könne.

1 Vergleiche z. B. Fritsch in Dr. C. S;ichs, Untersuchungen am Zitteraal (Gi/iHHotiia dectricus). Bearb. von E. du Boii-
ßeymond, Leipzig 1881, p. 379 und 380.

ä Vergleiche u. A. Haycraft, Quarterly joiirn. of microscop. science. London 1881, p. 307.
3 Merkel, Archiv für mikroskopische Anatomie, Bd. X(X. Bonn 1881, p. 669.
^ Martin, Archives de pliysiologie norai. et patliolog. 1882, p. 465.

96 Alexander Rollet f.

Dagegen ist aber Folgendes zu bedenken. Die Käfer, an deren Muskeln wir die Erscheinung beobach-
teten wurden in tote in starken Alkohol gebracht. Man könnte sich nun vorstellen, dass Bedingungen, welche
von einem vorübergehenden Functionszustande bestimmter Organe des Käfers, z. B. den Verdauungsorganen,
abhängig sind, zusammen mit dem Alkohol die besondere Wirkung auf die Muskeln ausüben, und dass diese
Bedingungen bei einzelnen Käferspecies häufiger anzutretfen wären, als bei anderen. So könnte man sich z. H.
für die Apliodius- Arten vorstellen, dass eine oder die andere organische Substanz aus dem Käfer durch den
Alkohol extrahirt wurde, und dass die alkoholische Lösung dieser Substanzen die eigenthümliche Wirkung
auf die Mnsculatur hervorbringe, und dass, wenn es gelänge oder zufällig gelingt, bei anderen Käfern die-
selben Bedingungen zu realisiren, welche sich bei den A2}ho(l ius- Avten in der Regel realisirt finden, auch der
selbe Scheibenzerfall, welcher bei den Aphodms-Arten regelmässig auftritt, bei anderen Käfermuskeln auftreten
würde oder zufällig wirklich auftritt. Von solchen Gedanken geleitet, habe ich in derThat in dasAlkoholextract
von einer grösseren Menge des Aplioilius fimetarius und erraticiis andere Käfer, bei denen icli den Seheiben-
zerfall nur vereinzeint, oder nicht beobachten konnte: Hi/droylulns, Carabiden, Curculiouiden und Chrysome-
liden gebracht, ohne jedoch mit dieser Procedur zu reussiren. Vielleicht hätte ich noch mehr solche Versuche
anstellen sollen.

Die Resultatlosigkeit von etwa zehn solchen Versuchen schien mir aber zu zeigen, dass die Hauptsache
mit der gemachten Voraussetzung nicht getroffen war.

Dazu kommt noch, dass Bowuian den Scheibenzerfall der Muskeln in Alkohol an Menschen- und
Schweinefleisch, von welchen er gewiss nur Stücke in Alkohol brachte, beobachtet hat, und dass die genauere
Überlegung des Vorkommens des Scheibenzerfalles hei Käfermuskeln und namentlich jene Fälle, wo zerfallene
und nicht zerfallene Fasern abwechslungs weise in denselben Zuständen der Querstreifung neben einander lie-
gen, der Annahme eines durch Extraction mittelst der Conservirungsflüssigkeit hergestellten Lösungsmittels,
welches den Scheibenzerfall der Muskelfasern bewirken würde, nicht günstig sind.

Wir wollen uns jetzt vielmehr einer anderen Betrachtung zuwenden, die uns den Scheibenzerfall von
Käfermuskeln in Alkohol trotz seines beschränkten oder vereinzeinten Vorkommens von einem umfassenderen
Gesichtspunkte aus zu beurtheilen lehren wird. Wir werden damit auch die Rechtfertigung dafür erbringen, dass
wir dieses Phänomen für die Entscheidung allgemeiner Fragen der Muskelstructur heranziehen und den Beweis
liefern, dass es die Aufmerksamkeit und Beachtung verdient, die wir ihm gewidmet haben.

Wie ich schon früher hervorgehoben habe, tritt der Scheibenzerfall der Käfermuskeln in Alkohol schon
nach 24— 48stündigem Verweilen in Alkohol auf. Bei weiterem Liegen in Alkohol ändert sich dann aber sehr
wenig mehr. Die Muskeln, welche den Scheibenzerfall erlitten haben, werden dann um so brüchiger, spröder
und dunkler, je länger der Alkohol einwirkt, und in ähnlicher Weise verändern sich die anfänglich nicht in
Scheiben zerfallenen Muskeln, ohne dass an denselben auch nach mouate- und jahrelangem Liegen in Alkohol
ein Scheibenzerfall sich einstellen würde.

Ich basire diesen Schluss auf eine äusserst grosse Anzahl von Erfahrungen an den Käferspecies, welche
ich früher als geeignet für das Studium des Scheibenzerfalles angeführt habe.

Nur die früher auch genannten Scarabaeus laticollis und Pimelia cr/bra, welche mir Pofessor Klemensiewicz
um Mitte Mäiz 1883 in Corsica sammelte, habe ich erst viele Wochen später, als sie in starken Alkohol gebracht
worden waren, untersuchen können. Nach meinen Erfahrungen an den anderen Käferspecies, welche einen
ausgedehnten Scheibenzerfall zeigten, habe ich sie diesen zugerechnet.

Es wird das wohl das Richtige sein, denn an Brachi/cerus-, Tropinotn-, ßeofrupes- und Tenti/ria-Arteü, die
mit den Scarabaeen und Pimelien gleichzeitig in denselben Alkohol gebracht worden waren, habe ich keinen
Scheibenzerfall beobachtet, während derselbe bei allen den zahlreichen Exemplaren von Scarabaeus und bei
allen Pimelien in der ausgedehntesten Weise zu beobachten war.

Ich 'muss aber nun auch gleich in Bezug auf die Methode der Untersuchung hinzufügen, dass die den
Scheibenzerfall zeigenden Muskeln sich auch während der ersten 24^48 Stunden und dann noch während der
Zeit von 12 — 14 Tagen nach dem Einbringen der Käfer in Alkohol am besten eignen, uin schöne Bilder von

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 97

ausgedehntem und regelmässigem Sclieibenzerfall zu erbalten, namentlich, wenn es sich um die früher erwähnten
belehrenden Bilder mit erhaltenem Sarkolemnia handelt. Gerade das Sarkolemma wird nach sehr langem
Liegen in Alkohol hinfälliger, zerreisslicher und brüchiger.

Will man die Muskeln nur in dem früher erwähnten verdünnten Grlycerin untersuchen, so verwende man
sie nach 24—48 Stunden. Nach 10 — 12 Tagen verwende man sie, wenn man, was sehr zu empfehlen ist,
beabsichtigt, dieselben mit Haematoxylin zu tingiren. Die Tinction fällt dann gleichmässiger und schöner aus.
Diese Empfehlung gebe ich mit KUcksicht auf das von mir verwendete Haematoxyliu-Glycerin von Renaut. '
Ich muss diesem Tinctionsmittel vor anderen llaematoxylinlösungeu auch vor dem von Merkel ^ empfohlenen
Kupfer-Haematoxylin von Cook' grosse Vorzüge nachrühmen. Das nach Eenaut's Vorschrift hergestellte con-
centrirte Haematoxylin-Glycerin hält sich unbegrenzt lange als prächtig violette, vollkommen klare Flüssigkeit.
Für den Gebrauch nehme ich einen Tropfen dieser Flüssigkeit und bereite mittelst sehr viel destillirten Wassers
daraus die augenblicklich nothwendige, ganz schwach violett gefärbte Tinctionsfiüssigkeit. In diese bringe ich
die IMuskclu, isolire dieselben möglichst durch Zerzupfen und lasse sie 6 bis 12 Stunden in der Tinctions-
fiüssigkeit sich langsam färben. Es sind dann, wenn man die Färbung zur rechten Zeit unterbricht und die
Präparate wieder in verdünntem Glycerin untersucht, die Streifen Q, iV und Z von den nur schwach oder nicht
gefärbten Streifen ./ und E sehr schön differenzirt. li ist ebenfalls weniger stark tingirt als die Enden von Q.
Sehr wenig oder nicht gefärbt, erscheint das Sarkolemma und Sarkoplasma. Auf die Tinction der Muskelkerne
werde ich erst später näher eingehen.

Nach diesen methodischen Bemerkungen kehre ich zu der eben näher beleuchteten Thatsache, dass der
Scheibenzerfall der Muskelfasern in Alkohol sich in den ersten 24 — 48 Stunden ereignet, zurück. Sie weist
uns darauf hin, dass wir den ersten Veränderungen, welche die Muskeln von in Alkohol eingebrachten Käfern
erleiden, nachzugeheu haben, um vielleicht zu einem Verständniss des Scheibenzerfalles und der eigenthümlichen
früher besprochenen Verbreitung seines Vorkommens zu gelangen.

Schon aus der Zeit der Entdeckung* des Sarkolemma rührt auch die Kenntniss der Thatsache her, dass
die Muskelfasern unter Umständen im optischen Längsschnitte an ihren Rändern das Bild regelmässig auf-
einanderfolgender Durchschnitte von Tonnengewölben darbieten. Schon Bowman'' hat diese Bildungen an der
Muskelfaser einer Schmeissfliege dargestellt und sie sind später oft und von zahlreichen Autoren wieder erwähnt
und abgebildet und gelegentlich auch als Festons bezeichnet worden. Bowman erklärte sie schon als ent-
standen durch Abheben des Sarkolemma von der Mantelfläche seiner Discs, während das Sarkolemma an den
zusammenstossenden Rändern seiner Discs mit denselben fest verbunden bleibe. Dass der höchste Punkt der
Bogen der Mitte des Streifens Q gegenüberliegt, ist heute ganz allgemein anerkannt, in Bezug auf den Fuss-
punkt der Bogen wird mit Rücksicht auf unsere heutigen Kenntnisse der Querstreifung angegeben, dass die-
selben an dem Streifen Z liegen," und erklärt werden sie in der Weise Bowman' s durch partielle Ablösung
des Sarkoleramas von dem Muskelfaserinhalt. Au Muskeln von Käfern, welche in 937o •A'lk.ohol gebracht und
nach 24 — 48 Stunden untersucht werden, sind diese Gewölbebogen sehr häutig zu sehen. Sie treten aber nicht
an jeder Faser auf und sind oft an sehr vielen, oft nur an wenigen Fasern zu beobachten.

t Renaut, Arctives de physiolog. norm, et patholog. 1881, p. 640.

- Merkel 1. c, p. 662.

3 Cook Journal of anatomy and physiology. V. XIV. 1879, p. 140.

i Bekanntlich haben Schwann (Mikrosk. Untersuch, etc., Berlin 1839, p. 165) und Bowman (PhilosophicalTransactions
of the royal Society of London 1840, Part II, p. 263j das Sarkolemma fast gleichzeitig entdeckt. Bowman (The Cyclopaedia
of anatomy and physiology. By R. Todd. Vol. III. London 1830 — 1846, p. 512) äussert sich, die Priontät Schwann's .aner-
kennend, darüber also: „I discovered this remarcable membrane in Insects, Crustacea and all tlie tribes of Vertebrata, in 1839,
not knowing that Professor Schwann had previously described it in connection with the development of muscie in Insects
and Fish."

5 Bowman 1. c, p. 511, Fig. 293.

s Vergleiche: Amici 1. c. p. 417, Fig. 2. Engelmann 1. c, ii. 4-2 und Fig. 12. Fredericq, G^n^ration et structure
du tissu musculaire. Bruxelles 1875, p. 9, Fig. 7 a,b, pl. 4; Ran vier 1. c, p. 108, Fig. 16.

Denkschriften der mathem.-nHturw. Gl. XLIX. Bd. 13

98 Alexander Rolleit.

Wenn man sie an solchen Muskeln mittelst stnrker Vergrössevungen genauer unter dem Mikroskope unter-
sucht, kommt man sehr bald zur Überzeugung, dass es sich bei weitem in den meisten Fällen um etwas Anderes
als eine blosse Ablösung des Sarkolemma handelt. Man findet nämlich die innere Seite der Gewölbebogen nicht
glatt, wie die äussere, sondern mit einem sehr feinkörnigen Belege versehen, welcher oft nur seiir dünn, oft
aber von beträchtlicherer Dicke ist. Diesen körnigen Beleg sieht man auch, wenn mau auf die perspectivisch
sich präsentirende innere Fläclie der Gewölbedecke hinsieht und er bildet auch die spitzen Fusspunkte der
Gewölbebogen, welche in die Schichte Z der Muskelfaser übergehen. Es ist dieses Verhalten in Fig. 6 von
einer Muskelfaser von Carabus cancellatus, an welcher alle Querstreifen der erschlafften Muskelfaser 7ai sehen
sind, dargestellt. Von der an dieser Muskelfaser gleichfalls sichtbaren Längsstreifung aller Schichten werde
ch sogleich Einiges bemerken.

Die Gewölbe kommen also in diesem Falle nicht durch Ablösen des Sarkolemma allein zu Stande, sondern
mit dem Sarkolemma löst sich noch etwas anderes ab, nämlich ein Theil des Sarkoplasmas. Es entsteht ein
Spalt dort, wo die Mantelfläche der Glieder E-i-N+J+ Q + J+N+E der äussersten Fibrillen der Muskel-
faser an eine dünne Lage von fibrilleufreiem Sarkoplasma grenzt, die zwischen dem Sarkolemma und der die
Fibrillen enthaltenden Substanz vorhanden ist.

In Fig. 6 ist die durch die fibrilläre Structur der Muskelsubstanz bedingte Längsstreifung genau so
gezeichnet, wie sie au der betreifenden Faser mittelst starker Vergrösserung wahrzunehmen war. Wir werden
sie erst s])äter ausführlicher besprechen. Hier nur so viel, dass die Schichte Z( sogenannte Zwischenscheibe) aus
regelmässig neben einander liegenden dunklen Körnern besteht. Die der Länge nach zwischen diesen Körnern
vorhandenen hellen Durchgänge entsprechen dem zwischen der Fibrillensubstanz sich einschiebenden Sarko-
plasma; wie jede andere Schichte der Muskelfaser, entspricht auch die Schichte Z nur Fibrilleugliedern,
zwischen denen Sarkoplasma vorhanden ist, und was an das; Sarkolemma adhärirt, ist in dieser Schichte ebenso
wie in allen andern das Sarkoplasma, in welches die Fibrillen eingelagert sind. Die an den Seitenrändern der
Muskelfaser vorhandenen Gewölbe sind entstanden, weil von der der Feriplierie des Muskelfadens entsprechenden
Mantelzone der Fibrillenglieder Z sich das fibrillenfreie Sarkoplasma nicht in ähnlicher Weise losgelöst hat,
wie im Bereich der Schichten E + N+J+Q-hJ-hN+E. Was wir also als mit Flüssigkeit gefüllten Innen-
raum der Gewölbe wahrnehmen, ist ein Raum, eine Vacuole in der Muskelsubstanz selbst, nicht aber zwischen
dieser und dem Sarkolemma.

Die Gründe, warum gerade zwischen der Oberfläche des Körpers, welcher aus den den Gliedern E + N +
J+ Q+J+N+E entsprechenden Fibrillenabschnitten zusammengesetzt wird und dem daranstossenden fibrillen-
freien Sarkoplasma eine Ablösuugsfläche entsteht, im Einzelnen sich klar zu machen ist sehr schwer, wir
müssen uns hier mit der Constatirung der Thatsache begnügen. Sicher ist aber so das Anhaften der Schichte Z
an das Sarkolemma und die auf dem optischen Längsschnitt gegen Z hin zugespitzte, gegen das Sarkolemma
hin verbreiterte Verbindung zwischen Z und dem Sarkolemma weit verständlicher, als wenn man von der
Schichte Z als einer mit dem Sarkolemma fester verbundenen Substanz einer Zwischenscheibe spricht, denn
was die Glieder Z der Fibrillen in Form einer Scheibe zusammenhält, ist nur das Sai-koplasma, dieses und
nicht die Substanz der an der Peripherie des Miiskelfadens gelegenen Glieder Z der Fibrillen haftet am Sarko-
lemma und der Zusammenhalt der aus den Gliedern Z gebildeten Schichte des Muskels mit dem Sarkolemma
ist dadurch bedingt, dass sich das Sarkoplasma nirgends von der Mantelfläche der Glieder Z der Fibrillen
losgelöst hat.

Bei dieser Auffassung des durch die vorerwähnte Gewölbebildung dargelegten Anhaftens der Zwisehen-
scheibe Engelmanu's an dem Sarkolemma verschwindet auch der Gegensatz, den Engelmann in Bezug auf
das Verhalten seiner Zwischenscheibe an verschiedenen Muskeln wahrgenommen haben will, und welchen er
mit folgenden Worten bespricht:

„Die feste Verbindung der Zwischenscheibe mit dem Sarkolemma, welche namentlich bei Insecteumuskeln
so auffällig ist, hat jedenfalls keine principielle Bedeutung für den Contractionsvorgang, denn sie fehlt in sehr
vielen Fällen, z. B. überall da, wo sich zwischen Sarkolemni und quergestreifter Substanz eine Protoplasma-

Untersuchvfigcn über den Bau der gner gestreiften MvsJcelfasern. 99

schiebt befindet: bier reichen dann die Zwischenscheiben nicht bis an's Sarkolenim heran, sondern hören an
der Innenfläche der Protoplasmalage, im gleichen Niveau mit den übrigen Lagen auf. Das auffallendste Beispiel
hiefür liefern die Krebsnuiskelfasern, bei denen sich zwischen Sarkolemm und quergestreifter Substanz ein
vollständiger Mantel von Protoplasma befindet. Aber auch bei vielen anderen Muskeln, namentlich von Insecten,
finden sich wenigstens partielle, oft über viele Muskelfächer sich hinziehende Protoplasmamassen, an denen
dieselbe Beobachtung zu machen ist."

Für uns besteht nur der Unterschied, dass die Sarkoplasmaschicht, welche fibrillenfrei zwischen Sarko-
lemma lind dem von Fibrillen durchzogenen Sarkoplasma liegt, einmal mehr, das andere Mal weniger mächtig
ist. Mau wird sich, wenn man eine grössere Zahl von Käfern verschiedener Familien untersucht, leicht von
der Richtigkeit unserer Auffassung überzeugen.

Stelleu wir uns nun das, was wir über die Bildung der Gewölbebogen in der Seitenansicht der Muskel-
faser erfahren haben, mit Bezug auf den ganzen Körper einer Muskelfaser vor, so kommen wir zu dem
Resultate, dass au einer also veränderten Muskelfaser regelmässig über einander, ringförmig um die Muskel-
faser verlaufende mit Flüssigkeit erfüllte, gewölbte Canäle entstehen.

Solche Bilder sind aber, wie wir wieder der Erfahrung an jenen Käferspecies entnehmen, welche früher
als geeignet zum Studium des Scheibenzeifalles empfohlen wurden, die Vorstufen der schönen Bilder von
Scheibenzerfall der Muskelfasern innerhalb des Sarkolemmas, wie sie in Fig. 2 und Fig. 3 dargestellt sind.
Bei weitaus den meisten Käfern und bei der grössten Anzahl von Individuen bestimmter Käferspecies bleiben
alle Muskeln oder die Mehrzahl der Fasern, an welchen jene gewölbten Canäle entstanden sind auf diesem
Stadium der Veränderung stehen. Bei den Muskeln bestimmter Käferspecies dagegen oder bestimmter
Individuen einer Species oder in einzelnen Fasern derselben, geht aber die Veränderung über dieses Stadium
hinaus. Es kommt zum Scheibenzerfall.

Ich glaube aber, dass für die Regelmässigkeit, mit welcher sich dieser in den erwähnten Fällen vollzieht,
ausser der besonderen Beschaffenheit und Veränderung der Schichten, in welchen die quere Trennung der
Muskelfaser erfolgt, auch das noch erhaltene Sarkolemma als mitwirkende Bedingung in Betracht gezogen
werden musss.

Man kann sich in der That vorstellen, dass der endosmotische Druck der Flüssigkeit in den anfänglich
um den Muskel entstandenen ringförmigen Canälen sehr stark zunehme, dabei aber die Schichte Z (Fig. 6)
eine besondere Festigkeit und Resistenz besitze, während die daran stossende Schichte E dagegen besonders
weich und darum auch einer Maceration durch die Flüssigkeit besonders zugänglich ist, die Schichten
N + J+Q + J' + N aber wieder von grösserer Resistenz und festerem Zusammenhang sind.

Das Resultat wird dann das Freiwerden einer den Schichten N+J+ ^-(-J-^iV entsprechenden Scheibe
in einem Kästchen sein, dessen Wände oben und unten von einer Schichte Z, an den Seiten von der
gewölbten Wand des zuerst entstandenen Canales gebildet werden, wie das in Fig. 3, einer zerfallenen Muskel-
faser von Opatrum sabulosum zu sehen ist. Durch theilweise Zerreissung des Sarkolemma bei der Präparation
zerfällt die Muskelfaser in dieser Abbildung in zwei Partien, die durch Sarkolemmafetzen noch an einander
hängen.

Eine besonders grosse Resistenz der Schichte Z musste schon nach Engelmann's ' Untersuchungen
über dieselbe angenommen werden. Sie rührt offenbar von der besonderen Natur der Glieder Z der Fibrillen
und dem festen Anhaften des Sarkoplasmas an die Mantelflächen dieser Fibrillenglieder her. Für den
supponirten hohen Druck der Flüssigkeit spricht die Weite der gebildeten Kästchen im Vergleich zur Grösse
der in denselben liegenden Scheiben und die Unmöglichkeit, dieses Mis.sverhältniss aus einer Schrumpfung
der isolirten Scheibe zu erklären, denn die Fibrillen oder Fibrillenbündel und die hellen Durchgänge zwischen
denselben, welche in den Scheiben N+J+Q + J-\-N (Fig. 3) so gezeichnet sind, wie sie unter dem Mikroskop
erschienen, hatten keine wesentlich anderen Dimensionen wie die Fibrillen oder Fibrillenbündel in solchen

1 L. c. p. 42.

13*

100 Alexander Rollett.

Fasern desselben Opatrum, die keinen Scheibenzerfall und keine Gewölbebogen an den Seiten erkennen
Hessen.

Freili<'.b könnte man flir diese die Annahme machen, dass sie geschrumpft seien, ohne dass gleichzeitig
die früher beschriebenen Ablösungsflächen aufgetreten .'eien, während, wenn durch irgend welche Processe
jene Ablösungsflächen auftreten, das Schrumpfen der Scheiben das Missverhältniss zwischen den Kästchen, die
den ursprünglichen Dimensionen des Muskelfadens entsprechen und den in denselben liegenden Scheiben zur
Folge habe. Dagegen sprechen aber die bauchigen Wände der Kästchen und der Vergleich mit frischen, ohne
Zusatz untersuchten Muskelfasern desselben Thieres, der ganz augenfällig zeigt, dass es sich um eine beträcht-
liche Erweiterung des Sarkolemmaschlauches handelt. Wir werden übrigens später auch noch Fälle zu
besprechen haben, in welchen das Sarkolemma eine ganz enorme Erweiterung zu einem mit buchtigen
Wandungen versehenen Schlauch erleidet.

Es erscheint ferner die der Schichte Z entsprechende Wand des Kästchens wie durch Ausziehen verdünnt,
und immer viel heller als die Schichte Z in nicht zerfallenen Muskeln und die der fibrillären Structur
entsprechende körnige Zeichnung ist in derselben nur selten noch deutlich zu sehen, sondern meist nur
angedeutet

Der eben besprochene Fall, den wir im Anschluss an Fig. 6 zuerst behandelt haben, zeigt an Muskelfasern^
an welchen alle Querstreifen zu sehen sind, eine Isolirung einerseits der Schichte Z, die als freistehende Quer-
wand der Kästchen auftritt, andererseits der Schichten N -\-J + Q + J+ N, welche als Scheibe in den Kästchen
liegen. Es ist nun nicht schwer, auch Bilder zu finden, wo an einer und derselben Faser im Verlauf ihrer Länge
theilweise der Scheibenzerfall und die Kästchen, theilweise nur die Bildung der ringförmigen gewölbten
Canäle aufgetreten ist. Au solchen Fasern wird man , obwohl das ein ziemlich seltenes Ereigniss ist, manch-
mal auch ein Bild sehen, in welchem die Scheibe N+J+ Q + J+N an der einen Seite noch an Z haftet,
während sie an der anderen Seite völlig von demselben losgelöst erscheint. Dass bei dem regelmässigen,
schon innerhalb 24 Stunden erfolgenden Scheibenzerfall von Käfermuskeln in Alkohol so complicirte und
darunter auch rein mechanische Bedingungen ineinandergreifen, wie wir soeben wahrscheinlich gemacht
haben, scheint mir auch dadurch bestätiget zu werden, dass die Rolle, welche für gewöhnlich die Schichten E
spielen, in anderen Fällen von den Schichten J übernommen wird. Es ist nämlich noch eine andere Art von
Scheil)enzerfall zu beobachten, die wir jetzt kennen lernen wollen.

Sie tritt viel seltener auf, als die eben beschriebene, verdient unser Interesse aber nicht minder als diese.
Bei den Aphodius-Kxi%n, namentlich bei Ajihodius rufipes, bei dem Scarabaeus laticolUs und bei Pimelia beob-
achtete ich häufig, nur vereinzeint dagegen bei den anderen für das Studium des Scheibenzerfalles empfoh-
lenen Species, dass die Insertion der Gewölbebogen, die in der Seitenansicht der Muskelfaser entstanden
waren, ein von der früher beschriebenen Insertion abweichendes Verhalten darbietet.

Die Fiisspunkte zweier neben einander liegender Gewölbebogen gehen nämlich nicht wie in Fig. 6 mit
einer gemeinsamen Spitze in die Schichte Z über, sondern das Sarkolemma zeigt eine breite Einbuchtung
entlang den Schichten N +E-Jr Z-\-E-^N mi& die Gewölbebogen reichen, nur die Schichte Q überspannend,
von N zu N, während sie mit breitem Fusspunkt avii N -\-E+ Z + E+ N aufruhen. Mit anderen Worten, es
erscheinen nicht wie gewöhnlich nur die sogenannten Zwischenscheiben fester mit dem Sarkolemma verbunden,
sondern auch die Nebenscheiben.

Sehr oft reichen dann die Enden der Schichten N in der Richtung gegen den Schhisspunkt des Bogens
weiter vor, als die Schichte Z. Diese stellt dann, von aussen betrachtet, wieder den eigentlichen Grenzpunkt
zweier neben einander liegender Bogen dar, während die Schichten N etwas in die Wölbung des Bogens hinauf-
reichend in die feinkörnige Masse an der inneren Seite des Bogens überzugehen scheinen.

Auch in solchen Fällen, in welchen also die Ablösungsfläche des Sarkolemmas und der demselben
anliegenden fibrillenfreieu Sarkoplasmaschichte nur zwischen der letzteren und der Mantelfläche von Q ent-
standen ist, kommt es zu einem Scheibenzerfall.

Diese Art von Scheibenzeriall ist in Fig. 7 nach einem Präparate von Aphodius rufipes dargestellt.

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 101

Man siebt im oberen Theil der Figur die freigewordenen Schichten Q noch eingeschlossen in Kästchen,
deren obere und untere Wand dick ist und aus den im Zusammenhang mit dem Sarkolemma gebliebenen
Schichten N-^E + Z-irE+N besteht, deren Seiten wand wieder von der gewölbten Wand der anfänglich
entstandeneu ringförmigen Canäle gebildet wird. Die Trennung ist hier entsprechend der Schichte J erfolgt.
In dem unteren Theil der Fig. 7 ist das Sarkolemma zerrissen, wie das bei der Präparation der Muskel-
fasern häufig geschieht. Man sieht an der einen Seite noch einen Fetzen des zerrissenen Sarkolemmas hängen.
In Folge der Zerreissung des Sarkolemma's sind aber sowohl die schon früher isolirten Schichten Q, als auch
die früheren Querwände der Kästchen, nämlich die Schichten N+E-\-Z + E-\-N in Form von Scheiben
völlig frei geworden und man sieht die zweierlei Arten von Scheiben noch in der Aufeinanderfolge, die sie im
Muskel hatten, nur bald nach der einen, bald nach der anderen Seite hin leicht verschoben neben einander
liegen.

Ich habe jetzt endlich noch die dritte Form von Scheibenzerfall anzuführen. Dieselbe ist in Fig. 2 vom
Hydrophilus pireus dargestellt. Sie tritt auf an Muskelfasern, deren Querstreifung dem Schema Fig. 5 C ent-
spricht. Es werden dabei die Schichten Q in Form von Scheiben isolirt, die man wieder noch in den Kästchen
mit den von den Schichten Z gebildeten Querwänden oder völlig frei beobachten kann.

Hätte W. Krause Bilder, wie wir sie in Fig. 2 und 3 dargestellt haben, beobachtet, er hätte sie gewiss
als den schönsten Beweis für die Existenz seiner Muskelfächer ^ und der Quer- oder Grundmembranen der
letzteren angesehen und im Sinne seiner Muskelkästchentbeorie verwerthet. Uns scheint trotz der verlocken-
den Bilder, Krause's Theorie völlig unhaltbar. Es wird sich das von selbst ergeben aus den folgenden
Abschnitten, die noch mehr Licht auf die Erkläiung, die wir vom Scheibenzerfalle gegeben haben, werfen sol-
len. Ich wollte darauf besonders aufmerksam machen, weil die Bilder in der That auffallend an Krause's
Darstellungen des Muskelbaues gemahnen und vor nicht gar langer Zeit eine Exacerbation der Kästchentheorie
allerdings nicht im histologischen Lager stattgefunden hat. ^

Ich habe jetzt, nachdem ich die in Fig. 2, 3 und 7 dargestellten drei verschiedenen Arten von Scheiben-
zerfall beschrieben habe, mit Bezug auf die in Fig. h A, B und C dargestellten Arten der Querstreifung noch
hervorzuheben, dass durch den Scheibenzerfall isolirt werden: 1. Die Schichte Z (in Fig. 2 und 3); 2. die
Schichte Q (in Fig. 2 und 7); 3. die Schichten N+J+Q + J+N(m Fig. 3); 4. die Schichten N+E+Z +
E+N [m Fig. 7), und dass 5. die Trennung stattfindet in der Schichte E (in Fig. 3) oder in der Schichte J
(in Fig. 2 und 7). Man vdrd zugeben, dass durch diese Bilder die Realität aller der genannten Schichten in
einer sehr überzeugenden Weise beleuchtet wird.

Über das Vorkommen der in Fig. b Ä, B, C dargestellten Arten der Querstreifung an Käfernmuskeln
habe ich aber das Folgende zu l)emerken. Wir werden später sehen, dass sich an Contractionswelleu, welche
den ganzen Muskelquerschuitt erfasst haben, ebensowohl, wie auch an sogenannten seitlichen Contractions-
welleu darthun lässt, dass die in Fig. 5 Ä, B und C dargestellten Zustände der Querstreifung an derselben
Faser in einander übergehen und dass in diesem Falle der Übergang von A nach B und nach C in der Weise,
wie das von Engelmann^ dargestellt wurde, stattfindet. A, B und C folgen in der Richtung vom erschlafften
gegen den contrahirten Theil der Muskelfaser so aufeinander, dass A am weitesten von dem grössten Quer-
schnitt des Bauches absteht, C demselben am nächsten, B zwischen Ä und C liegt. An solchen Muskelfasern
werden wir die Anschauung, dass A dem meist erschlafften Theil der Muskelfaser entsprechend ist, und B und
C allmälige Übergänge der Muskelfaser in den Zustand der Contraction bilden, nicht von uns weisen können.
Es ist nothwendig, sich die Thatsache immer gegenwärtig zu halten, dass das Bild, welches der im Maximum
erschlaffte, und der im Maximum verkürzte Muskel unter dem Mikroskope zeigen, durch eine grosse Reihe
von verschiedenen Bildern in einander übergehen.

' W. Krause, AUgem. und mikroskop. Anatomie. Hannovei- 1876, p. 87 u. d. f.

2 C. Schipiloff nnd A. Danilewsky, Zeitschrift für physiologische Chemie. Bd. 5, 1881, p. 349.

3 Engelmann, Pt'lügei 's Archiv, Bd. 7, p. 155, Fig. 1; Bd. 18, p. 1, Tat'.!.

l'^2 Alexander Bollett.

Es ist aber nicht leicht möglich oder doch eine sehr missliche Sache, aus dem augenblicklichen Ansehen
einer Muskelfaser einen Schluss zu ziehen, wie diese Faser aussehen würde, wenn sie im Maximum erschlafft
oder contraliirt wäre. Oder mit anderen Worten aus dem mikroskopisclien Bilde, welches einer in bestimmt
belastetem Zustande und in einem bestimmten Erregungsgrade befindlichen Muskelfaser entspricht, lässt sich
kein Schluss darauf ziehen, wie die Muskelfaser aussehen würde, wenn sie mit Gewichten von O—x belastet,
sich in Erregungsintensitäten von O—y befände. Im Zustande maximaler Verkürzung zeigen quergestreifte
Muskelfasern verschiedener Thiere und verschiedene Muskeln desselben Thieres ein sehr übereinstimmendes
Bild. Dagegen weisen alle Beobachtungen darauf hin, dass man sehr verschiedene Bilder erhalten würde, auch
wenn es gelänge, Muskelfasern verschiedener Thiere, oder verschiedene Muskelfasern desselben Thieres im
völlig erschlafften Zustande bei dem genau gleichen Grade der Dehnung zu untersuchen.

Wenn man die Ergebnisse zahlreicher Untersuchungen möglichst vieler Käferspecies und möglichst vieler
von verschiedenen Theilen desselben Käfers genommenen Muskelfasern vergleicht, so wird man oft an diese
Schwierigkeiten gemahnt, die sich jeder genau vorhalten sollte, der das kritisiren will, was ein Anderer
gesehen zu haben angibt.

Nicht immer erscheint an der Mehrzahl oder auch nur an einer gewissen Anzahl von Muskelfasern desselben
Thieres die Querstreifung A oder B (Fig. 5). Man beobachtet im Gegentheile oft an der Mehrzahl der Fasern
die Querstreifung C (Fig. 5) und hat Mühe, Muskelfasern, an denen die Qiierstreifung A oder B zu sehen ist,
aufzufinden. Kurz gesagt, das Vorhandensein oder Fehlen der sogenannten Nebenseheiben ist einem sehr grossen
und anscheinend ganz regellosen Wechsel unterworfen.

Wenn wir nun auch dort, wo bei einem und demselben Käfer an demselben Orte einmal Muskeln mit schön
entwickelten und dann wieder mit fehlenden Nebenscheiben vorkommen, annehmen können, dass es sich hier
um ein zufälliges Absterben einmal im erschlafften, das andere Mal — was an sich wieder eine höchst auf-
fallende Thatsache ist — im leicht contrahirten Zustande handelt, so gibt es doch auch Fälle, in welchen man
mit einer solchen Annahme nicht ausreicht, weil in diesen Fällen dos Vorhandensein oder Fehlen der sogenannten
Nebenscheiben mit grosser Eegelmässigkeit an die Muskelfasern bestimmter Örtlichkeiten gebunden vorkommt,
und bei bestimmten Species der eine Fall die Regel, der andere dagegen die Ausnahme ist, während bei
anderen Species das Umgekehrte der Fall ist. Bei den Dyticiden z. B. ist C, Fig. 5, die Regel, obwohl man
immer auch einzelne Fasern mit der Querstreifung A oder B findet, bei den ApJwdms-Arten, bei Scaraliaeus
laticoUis, bei den Geotrupes- Avten, bei den Hider-Anen ; bei Lucanus, bei Stenomax lanipes ist A und B die
Regel, während C nur an einzelnen Fasern zu bobachten ist.

Wenn ich Muskelfasern oder Fibrillen, von welchen später noch besonders die Rede sein wird, mit schön
entwickelten Schichten oder Gliedern A' von Asfacus flmkitilis demonsfriren will, nehme ich die Muskeln, welche
von den Coxopoditen der Scheeren- oder Gehfüsse in die Thoracalsomite hineinlaufen, weil an diesen N aus-
nahmslos gut entwickelt ist, während das in den Scheeren- und Schwanzmuskeln nicht so der Fall ist.

Das sind nur Beispiele. Ich bin weder in der Lage, noch beabsichtige ich eine genauere Darstellung dieser
Verhältnisse zu geben. Mir sind auch die Gründe dieses Verhaltens nicht in der erwünschten Weise klar
geworden, und bedürfte es zur Aufdeckung derselben noch sehr eingehender und gewiss schwieriger Unter-
suchungen. Ich wollte aber die Aufmerksamkeit darauf lenken, weil die berührten Verschiedenheiten vielleicht
einmal von Bedeutung werden könnten für die Frage der anatomisch-physiologischen Verschiedenheit der
quergestreiften Muskelfasern verschiedener Thiere oder verschiedener Muskeln desselben Thieres.

Mit Bezug auf den Scheibenzerfall der Muskelfasern muss ich aber hervorheben, dass unter den Muskel-
fasern desselben Käfers auffallend dünne und auffallend dicke Fasern neben solchen, welche die bei dem
betreffenden Thiere vorherrschende mittlere Dicke besitzen, sich immer vorfinden. Ich sehe dabei natürlich von
totalen oder partiellen Contractionen einzelner Fasern ab und habe für den Vergleich nur erschlaffte oder der
Erschlaffung nahe Muskeln, an welchen die Querstreifung, Fig. b A, B oder C vorhanden ist, vor Augen.

Die dünnsten unter diesen Fasern, welche man am besten unter den Muskeln des Kopfes oder des
Prothorax aufsucht, zeichnen sich dann gewöhnlich durch eine besondere Breite des Streifens Q aus. Diese

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 103

dünnen Muskelfasern zeigen eine besondere Neigung- zum Sebeibeuzerfall. Afan erbält von diesen in Bezug auf
die Weite und üeräuinigkeit der Kästeben, iu welcben die isolirten Scbeiben liegen, die vortrefflicbsten Bilder.
Fig. 2 ist nacb solcben Muskelfasern vom ausgerissenen Kopf des Hydroplnlus gezeicbnet. Solche dünne
Muskelfasern sind aucb die Darmmuskeln und ist an diesen der Scbeibenzerfall gewöhnlich sehr schön ent-
wickelt. Oft auch bei solcben Käfern, deren Muskeln für gewöhnlich nicht in Scheil)en zerfallen. Besonders zu
empfehlen für die Structurstudien sind aber die in Seheiben zerfallenen Darmuniskelu nicht, da sie meist sehr
blass aussehen, die Längsstreifung der Scheiben nicht oder sehr unvollkommen vorhanden ist, die Scheiben in
den Kästchen verdrückt und mannigfach verunstaltet erscheinen.

Es ist schon früher erwähnt worden, dass die Scheiben in den Kästchen gelegentlich auch desorientirt
gefunden werden; auch das ist bei den dünnen Muskeln mit breitem Streifen Q und geräumigen Kästchen
bei noch völliger Erhaltung der letzteren am besten zu beobachten.

Bei dicken Fasern, bei welchen der Sclieibenzerfall mit Kästchenbildung aufgetreten ist, sind, so lange
die Scheidewände der Kästchen intact geblieben sind, die Scheiben immer so aufgereiht, wie die Querstreifen
in nicht zerfallenen Muskeln.

Es kommt aber in beiden angeführten Fällen oft zu einer ausgedehnten Zerstörung der Scheidewände
und Zerreissungeu des Sarkolemnias, und dann erhält man einerseits leere Schläuche oder Fetzen von zer-
rissenem Sarkolemma, andererseits freie Scheiben, die den Schichten Q (Fig. 2) oder den Schichten N+J
+ ^_|- j_|.^v(Fig. 3) oder den Schichten Q und den Schichten N+E+ Z+ E + X{F\g.l unten) entsprechen,
und die zum Theile die Mantelfläche, zum Theile die Grundfläche dein Beschauer darbieten.

An den leer gewordenen Schläuchen oder den Fetzen zerrissener Schläuche sieht man dann noch die
Ansätze der frülier vorhanden gewesenen Kästchenscheidewände oft so regelmässig, dass dieselben das
Bild von Leitersprossen darbieten, wie in Fig. 4 nach einem Präparate von Scarabaeus laticollis zu sehen ist.
An diesem Präparate sind auch noch die Kerne, und zwar deutlich in dem feinkörnigen Beleg an der inneren
Seite des Sarkolemma wahrzunehmen.

Ähnliche Bilder erhält man auch, wenn, wie das öfter der Fall ist, das Snrkolemma zerfallener Muskel-
fasern sich unter Bildung unregelmässiger Aussackungen beträchtlich erweitert. Eine solche Erweiterung kann
bis zu dem Doppelten, Drei- und Mehrfachen des Durchmessers der isolirten Scheiben gehen. Auch hier sieht
man, wenn auch nicht in der regelmässigen leitersprossenähnlichen Anordnung wie früher, sondern mannig-
fach verbogen und theilweise unterbrochen noch die Reste der früher beschriebenen Ansatzstellen der Scheide-
wände.

Was die in Schläuchen mit zerrissenen Scheidewänden oder durch Zerreissung der Schläuche völlig frei-
gewordenen Scheiben betrifl't, so zeigen dieselben, wenn sie die Mantelfläche dem Beschauer präsentiren, in
den allermeisten Fällen noch sehr schön alle Eigenschaften der in den Kästchen enthaltenen Scheiben, und das
sind dieselben, welche man au den entsprechenden Querstreifen noch unzerfallener Muskelfasern wahrnimmt.

Es findet an denselben bei hoher und tiefer Einstellung derselbe Wechsel der Lichtvertheilung statt, wie
wir ihn früher beschrieben haben.

In Fig. 2, 3, 7 sind von zerfallenen, in Fig. 6 von einer Muskelfaser, die nur die gewölbten Canäle zeigte,
die Verhältnisse so dargestellt, wie sie bei tiefer Einstellung sich präsentirten. An sämmtlichen Fasern zeigte
sich die Längsstreifung in ausgezeichneter Weise.

Was zunächst die Schichte Q (Fig. 2, 3, 6 und 7) betrifft, so ist bei dieser Einstellung in der Mitte der-
selben der helle Streifen /;, der in wechselnder relativer Breite in den verschiedenen Muskelfasern auftritt,
wahrzunehmen. Definirt man nun Q genauer, so findet man, dass sich dasselbe — wenn man wieder
mit peinlicher Sorgfalt und imter öfterem orientirenden Wechsel der Einstellung das festhält, was sich bei
tiefer Einstellung ergibt — zusammengesetzt erweist aus Stäben, zwischen welchen helle Durchgänge zu
sehen sind.

Sowohl die Stäbe als auch die hellen Durchgänge zwischen denselben zeigen, einzeln ins Auge gefasst,
eine bestimmte Form. Die Stäbe erscheinen in der Regel an beiden Enden verdickt und iu den verdickten

104 Alexander Rollett.

Theilen dunkler und hören meist mehr oder weniger abgerundet, seltener scharf abgehackt auf. Die Mitte der
Stäbe erscheint verdünnt und heller. Der Übergang der verdickten Endtheile in das verdünnte Mittclstück hält
sich in den nebeneinander liegenden Stäben auf ziemlich gleicher Höhe und findet auf dieser Höhe in der Weise
statt, dass die dunklen Endtheile sich mit kurzen Übergängen in die dünnen Mittelstücke verlieren. Ein
scharfer Contour an der Grenze beider ist nicht zu beobachten.

Die bellen Durchgänge zwischen den Stäben sind auf dem optischen Längsschnitt der Muskelfaser eben-
falls von einer bestimmten Form, es erscheint jeder als ein heller Faden, welcher in seiner Mitte verdickt ist.
Die verdickte Mitte liegt zwischen den dünnen ]\Iittelpartien der Stäbe, die dünnen Enden des Fadens zwischen
den verdickten Endstücken der Stäbe.

Der Streifen h ist also einerseits durch die Verdünnung der Stäbe in ihrer Mitte, andererseits durch den
grösseren Abstand dieser verdünnten Partien und die grössere Menge von Substanz bedingt, welche diese
Zwischenräume der Stäbe ausfüllt.

Entsprechend der Anzahl von Stäben, welche die Schichte Q auf einem bestimmten optischen Längs-
schnitte zusammensetzen, erscheinen in den Schichten iV wieder durch lielle Durchgänge von einander getrennt
kürzere Stäbe von ähnlich dunklem Ansehen wie die Enden von Q oder manchmal etwas heller, manchmal etwas
dunkler als diese. Die Enden der die Schichte K zusammensetzenden Stäbe sind entweder leicht abgerundet oder
gerade abgeschnitten. (Fig. 3, 6 und 7.)

In vielen Fällen erscheinen die Stäbe sehr kurz und ihre Enden stark abgerundet und macht dann die
Schichte N den Eindruck, dass sie aus dunkeln neben einander liegenden Punkten (isodiametrischen Körnern)
zusammengesetzt ist, von welchen je einer einem Stabe von Q entsprechend ist.

So hat schon Fl ö gel ' seine Körnersehiehteu der Milbenmuskelu dargestellt.

Ich finde diese Darstellung bei den Käfermuskeln ohne Ausnahme bestätigt, und gerade an Muskelfasern,
die den Scheibenzerfall {Fig. 3) erlitten liaben, wird mau sich von diesem Sachverhalt auf das Schönste über-
zeugen könuen.

Die Anschauung, dass die Schiebten JV aus regellos, wie die Granula des Protoplasmas über und neben
einanderliegenden Körnchen bestehe, kann nur entstehen, wenn Muskelfasern so auf dem Objectträger liegen,
dass ein nicht parallel der Längenaxe liegender optischer Durciischuitt der Schichten N sich präsentirt und
man dabei anstatt eine bestimmte Einstellung festzuhalten, rasch zwischen verschiedenen Einstellungen bin
und her geht.

Ebenso wie die Schichte iV, besteht auch die Schichte Z aus kurzen neben einander liegenden Stäbchen
oder Körnern. Diese besitzen in der Regel das dunkelste Ansehen und nur selten wird diese ihre hervor-
stechende Qualität durch ein gleich dunkles Ansehen der die Schichten N zusammensetzenden Stäbchen oder
Körner aufgehoben.

Es kommt aber vor, dass bei grosser Breite und scharfem Hervortreten der Schichten N die Schiebte Z
äusserst schmal erscheint, so dass man alle Mühe hat, sich noch von der Anwesenheit derselben zu überzeugen.
In diesen Fällen erscheinen dann die Schichten N viel dunkler als die Schichte Z. Ja, man ist manchmal trotz
aller Bemühungen nicht mehr im Stande, auch nur eine leise Andeutung von Z zu sehen, während die
Schichten (> und iV" sich so präsentiren, wie sie in Fig. öÄ dargestellt erscheinen. Der Raum zwischen den
Schichten N erscheint dann bei hoher Einstellung als dunkler, bei tiefer Einstellung als heller Streifen, und
anstatt der drei dunklen Streifen, die man sonst bei tiefer Einstellung zwischen zwei Schichten Q wahrnimmt
(Fig. bA), sind dann nur zwei den Schichten iV entsprechende dunkle Streifen dort wahrzunehmen.

Ich habe dieses Vorkommen besonders häufig an den Muskeln von Blaps morUsaga beobachtet und
erschien mir dann der den vereinigten Schichten E entsprechende, bei hoher Einstellung dunkler, bei tiefer
Einstellung heller erscheinende Raum zwischen den beiden N, bei letzterer Einstellung auch auffallend dunkler
als die zwischen N und Q gelegenen Streifen J. Ausserdem sah ich ohne besondere Ilelligkeitsdifierenz

1 L. c, p. 71 uud Fig. l, •> und 4. Tat'. III.

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 105

zwischen E und J Ähnliches bei den Muskeln von Platyniis angusticollis, PterosHckus transversalis , Geotrupes
stercorarins, Myelophüus piniperda und bei den Muskeln von Bomhm ferrestris.

Würden die Schichten Z in diesen Fällen in der That nicht vorhanden sein, so wäre damit zu der
schweren Verständlichkeit, welche gerade die Streifen in dem Räume zwischen zwei Schichten Q an sich
haben, noch ein neues Moment hinzugekommen. Ich werde diese Frage in einem späteren Abschnitte wieder
aufnehmen müssen.

Sowie die die Schichten N zusammensetzenden Stäbchen oder Körner, stimmen auch die durch helle
Durchgänge getrennten dunklen Partien von Z (Fig. 6 und 7) in ihrer Anzahl auf demselben Längsschnitt
der Muskelfaser mit der Anzahl der Stäbe von Q überein. Eine Anschauung, die schon Amici ' in seiner mehr-
erwähnten Abhandlung vorgebracht hat und die neuerlich auch Marti n^ in einer stark theoretisirenden Arbeit,
abgesehen von der eigenthümlichen Auslegung, die er über Q und N vorbringt, auf Beobachtungen gestützt,
vertreten hat.

Die Schichten Jund E erscheinen, wenn sie an zerfallenen Muskeln erhalten sind (Fig. 3./ und Fig. IE)
und in der Regel ebenso an nicht zerfallenen Muskeln (Fig (! Jund E) auch in dem Falle, wo Q, A'^und Z die
schönste Längsstreifnng erkennen lassen, als glatte, helle Streifen, die selbst bei den aufs Beste definirenden
Objectiven keinerlei Längsstreifnng erkennen lassen.

Ich habe für den letzteren Fall gesagt in der Regel, weil wir in einem späteren Abschnitte Objecte kennen
lernen werden, an welchen auch in den Schichten J und E eine wohl definirte Längsstreifung beobachtet
wurde.

Bei hoher Einstellung erscheinen die Streifen /und £^ dunkel, ob man sie an zerfallenen oder nicht zer-
fallenen Muskeln beobachtet. Ich führe das hier wieder speciell an, um daran die Bemerkung zu knüpfen, dass
man sich gerade an dem dunklen Ansehen von J und E und an dem an seinen Grenzen verschwommenen
Schattenband, welches in diesem Falle h entspricht, in jedem Moment am leichtesten über die Einstellung
orientirt. Erscheinen J und £J und ebenso A dunkel, dagegen Q, iV und Z hell, und beobachtet man nun an
einer geeignet dünnen, am besten platten Faser, deren es bei den meisten Käfern etliche gibt, oder am Rande
einer cylindrischen oder prismatischen Faser die Längsstreifung, so wird man sich bald überzeugen, dass jetzt
die Stäbe von Q und die Stäbchen oder Körner von K und Z hell und die Durchgänge zwischen denselben
dunkel erscheinen, und dass man durch Senken des Tubus ebenso wie in Bezug auf die totale Wirkung der
Querstreifen aucli in Bezug auf die Stäbe und Durchgänge die Lichtvertheilung umkehrt. Hebt man darauf den
Tubus wieder, so kehrt sich die Lichtvertheilung abermals um und so weiter.

Wir müssen auf Grund dieser Erscheinungen schliessen, dass die die Stäbe von Q und die Stäbchen oder
Körner von A^und Z trennende, deren isolirte Sichtbarkeit bedingende, weil in Bezug auf ihr Lichtbrechungs-
vermögen von der Substanz der Stäbe, Stäbchen und Körner verschiedene Substanz in den Schichten Q, N
und Z schwächer lichtbrechend ist, als die Stäbe, Stäbchen und Körner selbst.

Diese Substanz ist das Sarkoplasma, welches wir erst in den späteren Abschnitten näher kennen lernen
werden, von dem wir aber hier schon zeigen mussten, in welcher Weise es sich bei der Beobachtung der nach
den angeführten Methoden untersuchten Muskeln geltend macht.

W^ir könnten uns nun gleich noch des Weiteren mit dem Sarkoplasma beschäftigen, wenn wir die Scheiben,
welche durch einen Zerfall nach Art der Fig. 2, 3 und 7 isolirt und freigeworden sind, untersuchen würden,
während sie auf der Grundfläche liegend sich präsentiren.

Die Bilder, welche diese Scheiben darbieten, zeigen eine völlige Übereinstimmung mit den Bildern, welche
man von Querschnitten der Muskelfasern erhält, die mit dem Jlesser angefertigt wurden. Da wir aber diese
Querschnittsbilder später eingehend behandeln müssen, wollen wir bis dahin auch die Besprechung der Flächen-
ansichten der isolirten Scheiben verschieben. Auch das Verhalten der Scheiben im polarisirten Lichte soll erst

1 Amici 1. c. Fig. 2.
* Martin 1. c.

Denkschriften der mathem.-nntuvw. CI. XLTX. Bd. I4.

106 Alexander Bollett.

später beliaudolt werden. Hier sei nur so viel bemerkt, dass die Schichten Q, N und Z mich an den isolirten
Scheiben ihr Doppelbrcchungsvermögen bewahrt haben, und dass darum die in Scheiben zerfallenen Muskeln
weiterhin zur Entscheidung einiger, das Verhalten der Muskelfasern im polarisirten Lichte betreffenden Fragen
herangezogen werden sollen.

Jetzt muss ich aber noch eine Reihe von Beobachtungen besprechen, welche die Doyfere'schen Hügel
der Käfermuskeln betreffen. Seit Kühne 's * bahnbrechenden Arbeiten sind diese NervenhUgel oft der Gegen-
stand von Untersuchungen * gewesen. Mir sind dieselben während dieser Untersuchungen oft und in den ver-
schiedensten Formen und Grössen untergekommen, und ich will hier Veranlassung nehmen, zwar nicht auf die
Struetur der NervenhUgel, wohl aber auf einige Bilder näher einzugehen, welche mir für den Zusammenhang
von Muskel- und motorischem Nerv von Wichtigkeit zu sein scheinen.

Es sind zunächst die Bilder der Nervenhügel, welche man au den Muskeln beobachten kann, die nach
24 — 48stUndigem Liegen der Käfer in 937o Alkohol und Aufpräpariren in verdünntem Glycerin am Rande die
früher beschriebenen Gewölbebogen oder den Scheibenzerfall mit Kästcheubildung zeigen.

Es hat bekanntlich Eugelmann^ zuerst darauf hingewiesen, dass bei Käfermuskeln eine besonders
innige Verbindung der Sohlensubstanz des Nervenhügels mit dei' Zwischenscheibe (Kraus e'schen Membran)
zu bestehen scheine. Er sah in Folge von Wasserwirkung Vacuolen zwischen Nervenhügel und quergestreifter
Substanz auftreten, welche ersteren immer mehr von der letzteren abhoben. Nur die Zwischenscheiben blieben
durch dünne, hautartige Commissuren, welche später einrissen und dann zusammenschnurrten, mit dem Nerven-
hügel in Verbindung.

Später hat sich v. Thanh offer mit diesem Gegenstande beschäftigt, und schon im Jahre 1876 zeigte mir
derselbe gelegentlich eines Besuches, den er mir in Graz machte, ein mittelst l^/^ Osmiumsäure hergestelltes
Präparat von Hijih opldlus, an welchem zu sehen war, dass der Nervenhügel nicht mehr mit der ganzen Sohle
der Muskelsubstanz anlag, sondern nur mit in der Profilansicht spitzen Ausläufern den Schichten Z entspre-
chend anhaftete, während sich über Q ein von der Substanz des Nervenhügels gebildetes Gewölbe spannte.
V. Thanh off er hat über diesen Befund erst viel später etwas Ausführlicheres in die Öffentlichkeit gelangen
lassen.* Inzwischen hatte Föttinger'^ ähnliche Bilder bei verschiedenen anderen Käfern beschrieben.

Föttinger verfolgte auch die früher schon von Arndt" hervorgehobene Beobachtung weiter, dass die
öfter erwähnten seitlichen Contractionswellen (ondcs laterales) dort an den Muskeln auftreten, wo sich ein
Doyfere 'scher Hügel an dieselben ansetzt. Oft ist eine grosse Anzahl von Nervenhügeln, welche an einer
Muskelfaser sitzen, durch ebenso viele seitliche Contractionswellen gekennzeichnet. Föttinger führt in dieser
Beziehung vorzüglich drei Käfer an, nämlich Chrysomela caerulea^ Melasoma (Lina) tremulae und Passalus
f/laberrimus. Den letzteren exotischen Käfer ' habe ich nicht untersuchen können, und wäre es wünschenswerth,
dass Föttinger angegeben hätte, wie und in welchem Zustande er diesen Käfer für seine Untersuchungen
benutzen konnte.

In Bezug auf die Chrysomeliden muss ich Föttinger's Angaben nach meinen Erfahrungen erweitern.

' Kühne, Archiv für Anatomie und Physiologie. 1859, p. 564. Über die peripherischen Endorgane der motorischen
Nerven. Leipzig 1862, p. 32.

- Vergleiche W. Waldeyer, Zeitschrift f. rationelle Medic. 3. R., Bd. XX, p. 193. Engelmann, Untersuchungen über
den Zusammenhang von Nerv und Musl^elfaser. Leipzig 1863, p. 33. Jenaische Zeitschrift, Bd. I, 1SG4, p. 322. Arndt,
Archiv liir mikroskop. Anatomie, Bd. IX, Bonn 1873, p. 481. Kanvier, Legons sur l'liistologie du Systeme nerveux. Paris
1878, Tom. II, p.274. Föttinger, Onderzoekingen ged. in het physiohigisch.Laborat, der UtrechtscheHoogschool uitgegev.
door Donders en Engelmann, V, 1880, p. 293. v. Thanhoffer, Archiv f. mikroskop. Anatomie, Bd. 21. Bonn 1882, p.26.
Bremer, ibidem p. 165.

3 Engelmann, PflUger's Archiv, Bd. 7, p. 47.

•t L. c.

5 L. c. p. 317.

6 Arndt 1. c.

7 In dem Catalogus coleopterorum Europas et Caucasi etc. ist keine Passa/ iis- Avt angeführt. Es fehlen darin überhaupt
alle Passalideu, und sind von den Pectinicornieu nur die Lucaniden angeführt.

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 107

Ich finde, dass es eine merkwürdige, besondere Eigenschaft der meisten Chrysomeliden ist, dass an
Muslicln von in Alkohol ertränkten oder nach Föttinger's Methode behandelten Thieren in grosser Zahl seit-
liehe Contractionswellen sich vorfinden, die den Doyere'schen Hügeln entsprechen. Bei Cassida equesiiis fand
ich in ganz ausgezeichneterWeise fast alle Fasern in so dichter Weise, wie es Föttinger für Chnjsomela caei uha
in seiner Figur 1 darstellt, mit Nervenhügeln und entsprechenden seitlichen Contractionswellen besetzt. Daran
schliessen sich die Cryptocepkalus-, Chrysomela- und Melanoma- Arten ' und Phyllodecta vulgatissima , wo sehr
zahlreiche Fasern mit mehrfachen, bestimmten Nervenhügeln entsprechenden, seitlichen Wellen besetzt
erscheinen.

Ähnlich verhält es sich bei Lochmaea capreae und Plagiodera armoraciae. Weniger verbreitet, aber noch
immer leicht und in grösserer Anzahl in jedem Präparate zu finden, waren seitliche, bestimmten Nervenhügein
entsprechende Contractionswellen bei Lema cyanella, Crioceris duodedmpunctata und asparagi, Gastroidea polygoni,
Ageladica alni, Phyfodecfa quinquepuncfatn und Orina cacaliae.

Im Vergleiche mit diesen Chrysomeliden ist das Auftreten seitlicher Contractionswellen bei anderen Käfer-
species ein sehr seltenes und nur gelegentlich zu beobachtendes Ereigniss. Ich habe sie aber bei Tenebrioniden,
Curculioniden und Scarabaeiden gesehen; unter den letzteren kann man bei sorgfältigem Absuchen der
Musculatur von Cetonia aurata und Oxythyrea stictica am ehesten darauf rechnen, welche zu finden.

Ich muss annehmen, dass die Nervenhügel der Chrysomeliden der f/o Osmiumsäure und dem Alkohol

besondere Angriffspunkte für eine physiologische "Wirkung darbieten, als deren Erfolg die dem NervenhUgel

entsprechende partielle Contractiou unmittelbar vor dem Absterben der Muskelfasern in die Erscheinung tritt.

Ich glaube aber, dass dieses merkwürdige Phänomen noch den Gegenstand eingehenderer Untersuchungen

abzugeben verdient.

Was ich nun über den Zusammenhang der Nervenhügel mit den Muskelfasern vorzubringen ha])e, werde ich
in zwei Absätze theilen. Erstens werde ich besprechen die Folgerung eines festeren Zusammenhanges der
Sohle des Nervenhügels mit der Zwischenscheibe (Engelmann und Föttinger) oder der Kraiise'schen
Membran (v. Thanhoffer), die man auf die Bildung von den Schichten Q entsprechenden Vacuolen unter der
Sohle des Hügels gegründet hat. Zweitens werde ich mich über die von Föttinger angegebene ruthen-
förmige Auflösung des in den Nervenhügel eintretenden Nerven in Axencylinder und die Verbindung der
letzteren mit den Zwischeuscheiben und die darin gelegene wenigstens tbeilweise Begründung jenes innigeren
Zusammenhanges des Nervenhügels mit den Zwischenscheiben zu äussern haben.

Was den ersten Punkt betritft, so findet man an Muskeln von in Alkohol gelegten Käfern, die man in
Glycerin aufpräparirt, oft sehr wohl erhaltene Nervenhügel, an welchen sich noch eine lange Strecke des
zutretenden Nervens befindet.

Darunter kann man aber gar nicht selten solche beobachten, wie in Fig. 8 einer von Pterostichus transver-
^alis dargestellt ist. Wir finden hier den Nervenhügel von der Muskelsubstanz in ähnlicher Weise abgehoben,
wie das mit dem Sarkolemma und der unter demselben liegenden fibrillenfreien Sarkoplasmaschichte an den
Orten der Fall ist, wo kein Nervenhügel an der Muskelfaser sitzt. Wie im letzteren Falle das fibrillenfreie
Sarkoplasma nur noch an den den Schichten Z entsjirechenden Theilen des Muskelfaser anhaftet und so auch
das Anhaften des Sarkolemmas an diese Schichten vermittelt (siehe die Darstellung pag. 18), so ist auch im
ersteren Falle die Substanz des Nervenhügels im Bereich der Schichten E + N-h J+ Q + J+N+E abgelöst,
während sie an Z festhaftet. Die Substanz des NervenhUgels bildet in diesem Falle die gewölbte Decke der
ringförmig um den Muskel verlaufenden Canäle, deren Decke dort, wo kein Nervenhügel sich befindet, von dem
fibrillenfreien Sarkoplasma gebildet wird.

V. Thanhoffer hat auf Verdauungsversuche, die er mit Hydrophilus-Muskeln anstellte, gestützt, ganz
richtig beschrieben, wie das Sarkolemma aussieht, wenn dasselbe sich wirklich allein von dem Muskelfaden
ablöst. Er beschreibt es als eine „hyaline, homogene" kernlose Haut. Er würde sich in völliger Überein-

' Siehe das Verzeichniss, p. 89.

14'

108 Alexander Rollett.

Stimmung befinden, sowohl mit den älteren' Beschreibungen des Sarkolemmas, als anrh mit den Angaben,
welche Chittendeu^ in neuerer Zeit darüber gemacht hat, wenn er das, was er beschreibt, auchfür das Sarko-
lemma gehalten hätte.

V. Thauhoffer hält aber diese hyaline, kernlose Haut nur für ein äusseres Blatt des Sarkolemma, von
welchem sich bei der Verdauung ein zweites inneres. Kerne enthaltendes Blatt abgespalten habe, welches den
Muskel noch umhüllt.

Diese „kernige innere Lamelle" des Sarkolemmas soll in ununterbrochenem Zusammenhange auch unter
die Sohlen der Nervenhügel sich forterstreckeu und diese von der Muskelsubstanz scheiden. Dieser „Nerven-
mantel" oder diese ..Sohlenmembran" soll aber ebenso, wie die sich von ihr ausbreitende, kernige, innere
Lamelle des Sarkolemma mit den K rause'schen Membranen oder wie v. Thanhoffer auch sagen zu können
glaubt, „Nervenplatten'' der Muskeln zusammenhängen.

Was V. Thanhoffer als innere Lamelle des Sarkolemmas beschreibt, existirt gerade so gut, wie das, was
er als äussere hyaline Lamelle des Sarkolemma bezeichnet; wir müssen aber diese innere Lamelle gerade so
wie die äussere Lamelle anders deuten als er. Die äussere Lamelle ist das Sarkolemma, die innere Lamelle ist
die an der Oberfläche des Muskels liegende tibrillenfreie Sarkoplasmaschichte und die letztere geht unmittelbar
in die Substanz des Nervenhügels über.

Die Erscheinung, aus welcher man auf eine festere Verbindung des Nervenhügels mit den sogenannten
Zwischenscheiben schloss, reducirt sich auf dieselbe Erscheinung, die wir an solchen Theilen der Muskelfaser
beobachten können, welchen kein Nervenhügel aufsitzt. Dort folgerte man aus dieser Erscheinung eine festere
Verbindung des Sarkolemma mit den sogenannten Zwischenscheiben.

In beiden Fällen ist es aber nur das tibrillenfreie Sarkoplasma, welches, den Schichten Z entsprechend,
mit dem die Fibrillen enthaltenden Theile der Muskelfasern fest verbunden bleibt, während, entsprechend den
Schichten J-i-^+ Joder den Schichten E+Is+J+Q+J+Is+E A\q früher besprochene Ablösung eifolgt.

Am besten wird das Verhältniss der Substanz des Nervenhügels zum Sarkoplasma an Muskeln beurtheilt,
welche den früher beschriebenen Scheibenzerfall mit Kästchenbildung erlitten haben.

Wohl erhaltene Nervenhügel mit einem langen Stücke des zutretenden Nerven an solchen Muskeln aufzu-
finden, ist bei einigem Bemühen nicht schwer. Li Fig. 9 ist ein solches Bild von Hydrophilus, in Fig. 10 von
Apltodius rufpes dargestellt.

Die NervenhUgel, die den Schichten Z entsprechenden Querwände der Kästchen, das dem NervenhUgel
gegenüber liegende Sarkolemma mit der daran haftenden Schiclite Sarkoplasma, die conischen Übergänge des
Sarkoplasmas und der Substanz der Nervenhügel zu den Schichten Z sind möglichst naturgetreu gezeichnet.
Die in den Kästchen liegenden, isolirten Scheiben sind nur mit Umrissen angelegt.

In Figur 9 befinden sich unmittelbar über den Ablösnngsflächen des Nervenhügels dicht gelagerte, lange
Kerne von derselben Form, wie sie bei den Hydrophüus-MwBkfA-a. an zahlreichen anderen Stellen unmittelbar
unter dem Sarkolemma sich vorfinden. Das Vorkommen dieser Kerne an der Stelle, wo der Nervenhügel an der
Muskelfaser aufsitzt, ist sehr grossen Variationen unterworfen.

Sie kommen einmal an dieser Stelle so dicht gedrängt vor, wie nicht leicht an einer anderen Stelle der
Muskelfasern und in Figur 9 ist ein solcher Fall dargestellt; in anderen Fällen kommen viel weniger oder nur
vereinzelte solche Kerne unter dem NervenhUgel vor, ja oft ist gar keiner dort zu sehen. Für den HydropJiüus
hat schon Ranvier" auf diese Thatsache aufmerksam gemacht. „A la base de l'öminence", sagt er, „il existe
le plus souvent, corame Kühne et Marge l'ont indique, des noyaux en assez grande abondance; mais lenr
nombre n'est pas constant, et vous verrez meme, sur une des pr6parations, que je soumets ä votre examen, une
terminaison nerveuse au niveau de laquelle il n'en existe aucun."

* Vergleiche Schwann 1. c; Bowman 1. c.

- Chittenden, Uuteisuchimgeu des physiologischen Institutes der Universittät Heidelberg. Bd. HI, p. 171.

^ Ranvier, Legous siir l'histologie du Systeme nerveux. T. II, Paris 1878, p. 278.

Unter suchmgen über den Bau der quergestreiften Musl-elfasern. 109

Die Kerne, welche weiter timcIi nussen im NervenliUgel sieh befinden, unterscheiden sich von den friilier
erwähnten durch ihre mehr runde und gedrungene Form und durch das meist deutlich hervortretende Kern-
körperchen. Es ist aber auch die Zahl dieser zweiten Art von Kernen bei den Käfern grossen .Schwankungen
unterworfen. In der Kegel sind nur ein Paar oder ist nur ein solcher Kern zu beobachten, häufig auch
keiner.

Bei den Nervenhügeln, unter welchen die Kerne erster Art sehr dicht gedrängt vorkommen, findet man,
wie das in Figur 9 der Fall ist, meist in der Substanz des Nervenhligels selbst noch helle Räume, die von der
feinkörnigen Masse des Nervenhügels umschlossen werden. Auf dem optischen Längsschnitte scheint dann der
Nervenhügel aus zwei durch Brücken mit einander verbundenen Platten von körniger Substanz zu bestehen.
Viel seltener und bei weitem nicht so regelmässig treten diese hellen Räume in Nervenhügeln auf, die nur
wenige oder keine Kerne der ersteren Art enthalten.

Diese erscheinen in der Regel gleichmässig gezeichnet, von feinkörniger Beschaffenheit wie in Figur 8
und 10. Das ist auch bei den kleinen, aber stark prominirenden Nervenhügeln der Chrysomeliden der Fall,
deren Auffindung durch die seitlichen Wellen sehr erleichtert ist.

Ich habe schon erwähnt, dass ich auf eine nähere Untersuchung des Baues der Nervenhügel der Insecten
nicht einzugehen gedenke. Es würde mich das zu weit führen, da die Frage nur auf vergleichend-anatomischem
Wege behandelt werden kann.

Den auf Grund von Beobachtungen an Käfermuskeln behaupteten innigeren Zusammenhang der soge-
nannten Zwischenscheiben mit den Nervenhügeln hnbe ich im Vorausgehenden hinlänglich erläutert. Wir
könnten uns nun denken, dass der zu dem Nervenhügel zutretende Nerv sich in jenem dichotomisch theilt,
und dass die Nervenenden in das zwischen den Muskelfibrillen vorhandene Sarkoplasma, welches mit der
Substanz des NervenhUgels unmittelbar zusammenhängt, eintreten. Würde sich die Sache so verhalten, dann
wäre die Beobachtung des Eintretens von Nervenfasern in die mit Z verbundenen Sarkoplasmakegel der
Figuren 8, 9 und 10 in keiner Weise entscheidend für eine innigere Beziehung der Nerven zu den sogenannten
Zwischenscheiben. Es würde eine solche Beobachtung vielmehr nur darauf zurückzuführen sein, dass die Über-
tritlsstellen des Nerven aus dem Nervenhügel in das Sarkoplasma der Muskelfaser den Schichten Z entsprechend
erhalten geblieben sind, während den übrigen Schichten entsprechend, die Ablösung des Nervenhügels von
der Muskelfaser erfolgte, und die dort in das Sarkoplasma übertretenden Nerven zerrissen wurden. Eine solche
Deutung lassen aber die von Föt tinger beschriebenen Bilder nicht zu. Föttinger sah vielmehr an Nerven-
hügeln, welche den Muskelfasern noch voll aufsassen, den zutretenden Nerven sich theileu und die durch
Theilung entstandenen Nervenfasern auf die sogenannten Zwischenscheiben und nur auf diese hinlaufen und
in diese übergehen.

„Le cylindre-axe des fibres nerveuses motrices, arrive au somjuet de la plaque terminale semble se
diviser en un nombre plus ou moins consid6rable de fibrilles qui vont innerver directement les disques
intermödiaires ; il y a continuiti directe entre le muscle et le nerf.'^ '

Bei der Vorstellung, welche ich mir von der Schichte Z der Muskelfasern auf Grund der vorliegenden
Untersuchungen machen muss, ist es mir schwer, mit den Worten Föttinger's einen wahren Sinn zu verbinden.
Ich habe schon früher hervorgehoben, dass eine Zwischenscheibe als morphologisches Ding im Muskel eben-
sowenig existirt, als irgend eine andere der sogenannten Scheiben des Muskels.

Es existirt nur eine Schichte Z der Muskelfaser und diese besteht aus den zwischen zwei parallelen Quer-
schnitten liegenden Gliedern Z der Fibrillen und dem zwischen diesen vorhandenen Sarkoplasma.

Bei der Continuität, die das Sarkoplasma im ganzen Muskel besitzt, wäre es nun gewiss sehr auffallend,
wenn gerade nur den Gliedern Z der Fibrillen entsprechend, die Nerven in das Sarkoplasma eintreten würden,
selbst wenn, was sehr unwahrscheinlich ist, die Axencylinder in directe Beziehung zu den Gliedern Z der
Fibrillen treten würden.

1 Föttinger 1. c. p. 319.

110 Alexander Bolletf.

Das Wichtigste, was ich vorzubringen habe, ist aber, dass es mir ebenso wenig, wie v. Th anhoffer ' und
Bremer^ gelungen ist, Bilder zu erhalten, wie sie Föttinger beschreibt und abbildet, auch wenn ich
Föttinger's Methode sehr genau befolgte. Es ist das ein uiisslieher Umstand, der mir eine sachliche Kritik
der Angaben Föttinger's unmöglich macht.

An Goldpräparateu sah ich in der Regel nicht mehr als Retzius^ von dem Verhalten der Nerven an nach
seiner Weise vergoldeten Muskeln angibt. Verfuhr ich Leim Vorgolden nach den Angaben Bremers,'' so sah
ich in der Regel ebenfalls keine ordentlichen Nervenbilder und nur einige Male solche Bilder angedeutet, wie
Bremer in seiner Figur 25 eines abbildet.

Am weitesten konnte ich den zutretenden Nerven in die «Substanz des Nervenhligels an Tinctions-
präparaten, die zuerst mit Carmin und dann mit Hämatoxylin gefärbt wurden, verfolgen. An diesen sah ich
Bilder, wie Figur 9. Der zutretende Nerv breitet sich in der äusseren Partie des Nervenhügels, sich dichotoraich
theilend, aus. Die feinen Zweige begaben sich in die Tiefe, waren aber bald in der Substanz des Hügels sich
verlierend, nicht weiter zu verfolgen. Bilder von der Nervenausbreitung im Hügel hd Hi/drophilits, die dem in
Figur 9 dargestellten gliechen, erhielt ich sehr regelmässig, wenn ich lebende Käfer nach Entfernung des
Abdomens in die Kleinenberg'sche^ Fikrinschwefelsäure brachte und darnach, sowie das Kleinenberg
für seine Präparate angibt, anfangs in schwächeren und dann in stärkeren Alkohol und die von diesen
Käfern erhaltenen Muskelfasern zuerst mit Carmin und darauf mit Hämatoxylin färbte. In der blassroth
gefärbten Substanz des Nervenhügels sah man dann die Ausbreitung des Nerven röthlich violett gefärbt. Nach
diesen Bildern zu nrtheilen, ist die typische Vertheilung der Nervenfasern in den Nervenhügeln der Käfer eine
andere, als sie Föttinger aufGrund seiner Bilder annimmt. Da aber neuerlich Kühne" angekündigt hat, dass
es ihm gelungen sei, mittelst Golgi's Methode der combinirten Anwendung von Arsensäure und Goldchlorid-
kalium auch bei den lusecten, wo die Goldmethoden bisher versagten, eine bessere Einsicht in den Bau der
Nervenhügel zu gewinnen, empfiehlt es sich, ein definitives Urtheil über diesen Gegenstand noch aufzuschieben.
Die supponirte festere Verbindung der Substanz des Nervenhügels mit den sogenannten Zwischenscheiben
existirt aber nach meinen Erfahrungen als etwas Präformirtes nicht.

III.

Über Säurebilder und Gold-Säurebilder der quergestreiften Muskelfasern,

Es empfiehlt sich, die Betrachtung dieser Bilder zu beginnen mit der Wirkung, welche eine äusserst
geringe Säuremenge auf Muskelfasern ausübt, die von Käfern herrühren, welche 24 Stunden in 937oigem
Alkohol gelegen haben, und die den früher beschriebenen Scheibenzerfall zeigen.

Am besten geeignet für diese Versuche fand ich die Muskeln von Aiiliodins rufipes. Es eignen sich dazu
aber auch die Muskeln der übrigen Äj^hodms-Arten und aller der Käfer, welche nach 24stündigem Verweilen
im Alkohol in Scheiben zerfallene Muskeln darbieten.

Nachdem ich die Muskeln in verdünntem Glycerin aufpräparirt und mit dem Deckgläschen bedeckt hatte,
brachte ich an den einen Rand des Deckgläschens einen Tropfen Glycerin, welchem eine Spur von IVoi^^r
Ameisensäure zugesetzt worden war, und legte an den gegenüber liegenden Rand des Deckgläschens ein
zungenförmiges Streifchen Filtriri)apiers, und zwar mit der Spitze an die Mitte des Randes des Deckgläschens,
so dass der Tropfen angesäuerten Glycerins langsam und die frühere Zusatzflüssigkeit allmälig verdrängend
zwischen Objectträger und Deckgläschen eingesaugt wurde.

1 L. c.

2 Bremer, Archiv f. inikroskop. Anatomie, Bd. 21. Bonn 188'2, p. 165.
8 Ketzius, Biolog. Untersuchungen 1881, p. 9, Taf. I, Fig. 11.

* L. c.

^ Kleinenberg, Sullo svilluppo del himbric. trapezoid. Napoli 1878, p. 6.

6 Kühne, Verhandlungen des naturhist.-mud. Vereines zu Heidelberg. N. F. III. Bd., p. 277.

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 111

Wenn man die ersten Spuren einer möglichst schwachen S.änrewirkung sehen will, ist bei diesen
Versuchen grosse Vorsicht nothwendig. Bei einem geringen Mehr von Säure, als zur Herstellung der Bilder,
die ich nun beschreiben will, nothwendig ist, treten sofort andere Bilder in die Erscheinung, die einer weiter
fortgeschrittenen Säurewirkuug entsprechen, und die uns erst später beschäftigen sollen.

Ich wähle zunächst für die Untersuchung solche Muskeln aus, welche in Scheiben N + J-h Q + J + X
zerfallen sind (i. e. in Querscheiben mit daran haftenden Nebenscheiben"), und an welchen sowohl in iV als
in Q die Längsstreifung deutlich zu sehen ist, wie das bei dem in Figur 3 abgebildeten Beispiele der Fall war.
Die Veränderung, welche solche Muskelfasern durch sehr schwache Säurewirkung erleiden, ist die
folgende. Die Schichten Q werden an ihrem Baude vorgewölbt (Fig. 1 1 A, Q), die Stäbe, aus welchen diese
Schichten im Längsschnitt zusammengesetzt erscheinen, verbreitern sich etwas, während zugleich auch die
hellen Durchgänge zwischen den Stäben sehr prägnant hervortreten. fTlcichzeitig erscheinen die Schichten i\^
in scharfer Zeichnung, ihre Breite ist geringer, als die grösste Breite von Q. Es schliesst sich aber die Breite
von Q am oberen und unteren Ende dieser Schichte der Breite von iV^ an.

Die kurzen Stäbe, welche iV zusammensetzen, werden nicht, oder nur wenig breiter, sie rücken aber aus-
einander und werden die hellen Durchgänge zwischen denselben breiter und deutlicher (Fig. 11 Ä).

Hat man Gelegenheit, eine der isolirten Scheiben von der Fläche her zu beobachten, so fällt an derselben
zunächst das Bild Figur 115 auf; dieses entspricht dem Querschnitte der Schichte iV. Man kann nämlich an
jeder auf der Fläche liegenden isolirten Scheibe zweimal, beim Heben und Senken des Mikvoskoptubus
das Bild Figur 1\ B erhalten, entsprechend der an jeder Scheibe oben und unten vorhandenen Schichte X.

Die zwei Bilder sind durch ein deutliches Intervall getrennt, und für jedes der Bilder gibt es wieder eine
hohe Einstellung, bei welcher helle Felder durch ein dunkles Geäder von einander getrennt erscheinen und
eine tiefe Einstellung, bei welcher dunkle Felder durch ein helles Geäder von einander getrennt erscheinen.
Bei einer solchen Einstellung auf eine der Schichten N ist Figur 1 1 B gezeichnet.

Einige Schwierigkeit bereitet es, sich davon zu überzeugen, dass beim Übergänge von der Einstellung für
die obere Schichte X auf die Einstellung für die untere Schichte N für einen Moment breitere Felder von
einem äusserst zarten Geäder von einander getrennt zu sehen sind, und dass diese Felder und dieses Geäder
in Bezug auf Form und Anordnung der Zeichnung entspricht, welche man auf dem Querschnitte von X
wahrnimmt.

Es ist das nur bei sehr guter Beleuchtung und starker Blendung und bei gewisser Ausdauer in der Hand-
habung der Mikrometerschraube möglich, da man beim Verändern der Einstellung immer leicht durch das Auf-
tauchen der Zeichnung des oberen oder unteren iV^ gestört wird und nur mit Mühe der Punkt festzuhalten ist,
bei welchem man sich davon überzeugt, dass auch der optische Querschnitt von Q in der eben angeführten
Weise zu sehen ist.

Ein geringes Mehr von Säurewirkung auf die erwähnten isolirten Scheiben fördert oft sehr merkwürdige
Bilder zu Tage.

Ein solches Bild ist in Figur 12 A und B dargestellt und wie ich hervorheben muss, möglichst naturgetreu.
Ich bemerke das, weil man sich beim Anblick der Zeichnung des Gedankens nicht wird erwehren können,
dass die Darstellung eine stark schematische ist.

In der That ist das aber nicht der Fall. Sehr geübte Mikroskopiker, welchen ich die betreffenden Präpa-
rate zeigte, gaben mir das Zeugniss, dass ich dieselben ganz so dargestellt habe, wie man sie wirklich sieht.
Man bemerkt, dass die Schichten Q beträchtlich breiter geworden sind, als die Schichten N, diese kleben
auf beiden Grundflächen des stark verbreiterten Q, ohne dass sie ihren Charakter wesentlich verändert hätten,
während Q um Vieles heller geworden ist und die Längsstreifung entweder völlig verloren hat oder dieselbe,
was wieder nur mit sehr gut definirenden starken Objectiven zu sehen ist. nur noch als sehr feine, zarte Linien
erkennen lässt. Von dem Streifen h ist weder an den Präparaten, nach welchen Fig. 11, noch auch an denen,
nach welchen Fig. 12 gezeichnet wurde, etwas zu sehen. Präsentirt sich eine der isolirten Scheiben in diesem
Stadium der Säurewirkung von der Fläche, so erhält man das Bild Figur 12 B.

112 Alexander Rollett.

Die innere Figur in dieser Zeichnung entspricht einem Querschnitte von N, sie ist gleichmässig von einem
hellen Hofe umgeben, dessen äussere Grenze der Peripherie des verbreiterten Q entspricht.

Es ist auch hier leicht, durch Heben und Senken des Tubus sich davon zu überzeugen, dass das Bild von N
zweimal zu erhalten ist, entsprechend dem oberen und unteren der auf Q klebenden iV.

Ich muss nun noch eine zweite Art von Bildern erwähnen, welche man erhält, wenn der Scheibenzerfall
der Muskeln so erfolgt ist, wie es in Figur 7 dargestellt ist, und man auf solche Muskeln wieder sehr geringe
Mengen von Säure wirken lässt.

Ein Bild dieser Art ist in Fig. 13 von Aphodiua rußpcs dargestellt.

Die Schichten Q sind wieder beträchtlich verbreitert, ihre Längsstreifung ist verstrichen.

Dagegen sind die Schichten N+E+Z + E + N verhältnissmässig schmal.

Die Längsstreifung von A' tritt wieder sehr prägnant hervor, Z ist in Form einer dunklen oft deutlich
knotigen Linie in der Mitte des hellen Raumes zwischen zwei neben einander liegenden A'zu sehen.

In dem oberen Theile der Muskelfaser (Fig. 13) ist rechts über einer grösseren, links über einer kleineren
Strecke noch das Sarkolemma erhalten.

Ist das der Fall, so sieht man dasselbe an den Mantelflächen der Scheiben A^-t-jE-i- .2" -i-i?-i-A'^ festhaften,
während es durch die verbreiterte Scheibe Q stark nach aussen gedehnt ist und auf dem Längsschnitte das
vorstehende Ende von Q in Form einer weiten Falte umfasst.

Es kommen aber nicht immer so regelmässige Bilder in Folge der Säurewirkung zu Stande.

Man beobachtet oft auch Bilder, wie Fig. 14, die für denjenigen, der sie zum ersten Male sieht und hört,
dass sie einem schwach angesäuerten Muskel angehören, etwas besonders Überraschendes an sich haben, was
sie aber verlieren, wenn man einmal die Bilder Fig. 13 kennt. Beide Bilder unterscheiden sich nur dadurch,
dass in Figur 13 eine regelmässige Anordnung der ungleich verbreiterten Seheiben Q und N -\- E -\- Z -h E -t- N
erhalten blieb, während es zu dem Bilde Figur 14 kommt, wenn die stark sich verbreiternden Scheiben Q das
anfänglich an den Scheiben N -h E --h Z-h E-t-N haftende Sarkolemma ungleichmässig von dem Rande dieser
Scheiben ablösen und nur an einer bestimmten Stelle die Scheiben N -{-E -i-Z-\- E -h N am. Sarkolenima haften
bleiben.

Endlich habe ich noch anzuführen, wie in Folge schwacher Säurewirkung sich Muskelfasern verändern,
welche vorher nicht in Scheiben zerfallen sind.

Die erste Veränderung derselben stimmt im Wesentlichen mit der Veränderung überein, welche für die
zerfallenen Muskeln in Figur 11 ^ dargestellt ist. Würde man sich in dieser Figur zwei aufeinanderfolgende
Schichten N durch eine helle Substanz verbunden denken, in welcher, entsprechend den gegenüber liegenden
Enden der die Schichte N zusammensetzenden Stäbe und in der Mitte zwischen diesen Enden ein dunkles
Korn sitzen würde, so hätte man das Bild einer der schwachen Säurewirkung unterlegenen Muskelfaser. Nur
ist zu bemerken, dass die Schichte 2' nicht immer aus solchen scharf getrennt neben einander liegenden Körnern
besteht, sondern dass häufig die Schichte Z als ein mehr oder weniger dunkles in seinem Tone gleichmässig
erscheinendes Band sich präsentirt.

Fasern in diesem Stadium der Veränderung machen namentlich, wenn die Schichten Zin der erstgenannten
Weise sich präseutirten , aber auch noch im zweiten Falle den Eindruck, dass die Längsstreifung noch deut-
licher hervortritt, als das an den nicht gesäuerten Muskeln der Fall ist.

Schreitet an solchen Muskeln die Säurewirkung etwas weiter fort, so verbreitert sich der Muskel
beträchtlich und zugleich werden die Schichten Q länger und um Vieles heller; war // in der Mitte von (,) deut-
lich zu sehen, so erscheint das in der gequollenen Faser wie ein äusserst matter Schatten noch angedeutet. Die
Schichten N und Z werden aufeinander gedrängt und die Stäbe, aus welchen die Schichten N zusammen-
gesetzt erscheinen, rücken weiter auseinander. Schliesslich tritt ein Bild auf, wie dasselbe in Figur 15 von
Chlaenius Schrankii dargestellt ist.

Die breiter, länger und heller gewordenen Q erscheinen wie durch dunkle, in bestimmten Abständen
stehende Stifte, oder manchmal auch deutlich sanduhrförniige Verbindungsstücke miteinander verbunden.

Untersuchungen üher den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 113

In der Mitte dieser Stiftenreihe tritt häufig, aber nicht immer eine sehr schmale, dunkle Linie auf, welche
aus dünnen, zwischen den Stiften vorhandenen Brücken gebildet erscheint.

Ich werde auf diese Verbindung der Stifte, welche letztere aus den den Schichten A'^und 2 entsprechenden
Stäben oder Körnern hergestellt werden, noch später zurückkommen. Auch hier habe ich wieder eines unregel-
mässig gezeichneten Bildes zu erwähnen, welches häufig auftritt uud demselben Veränderungsstadium
entspricht, das durch das regelmässig gezeichnete Bild, Fig. 15, repräsentirt ist.

Es kommt nämlich vor, dass die Stifte, welche die gequollenen Q mit einander verbinden sich nicht in
annähernd gleichen Abständen von einander befinden, wie in Fig. 15, sondern dass dieselben unregelmässig
vertheilt, bald nur durch engere Zwischenräume von einander getrennt und wie zu Gruppen vereinigt, oder
einzeln auftreten, während diese Gruppen von Stiften und diese vereinzelten Stifte wieder in theils grösseren,
theils kleineren Abständen von einander sich befinden. Eine also veränderte Muskelfaser ist in Figur 16 nach
einem Präparate von Pyrochroa coccinea gezeichnet.

Ich niuss nun wieder auf die Bilder zurückkommen, welche man durch Einwirkung von Säure auf
Muskelfasern, die vorher in Scheiben nach Art der Fig. 3 und Fig. 11 A zerfallen waren, erhalten kann.

Ich habe von diesen vorerst nur das bei etwas stärkerer Säurewirkung oft vorkommende merkwürdige
Bild, Fig. 12 ^4 und B, hesprochen, welches auftritt, wenn beim Quellen von Q der feste Zusammenhang zwischen
den Schichten Q und N verloren geht, so dass die quellenden Theile von Q bei der Verbreiterung desselben an
den Flächen der nicht sich verbreiternden Schichten N hingleiten und beide Schichten nur durch Adhäsion
aneinander haften bleiben.

Das ist nur ein sehr merkwürdiger und für die Natur der Schichten Q und N sehr belehrender Fall der
Säurewirkung. Anders gestaltet sich der Erfolg der Säurewirkung, wenn beim Quellen der Zusammenhang
zwischen Q und N erhalten bleibt.

Man findet dann Bilder, welche sich von den Scheiben, Fig. 1 1 A, nur dadurch unterscheiden, dass die
Breite der Scheiben eine beträchtlichere geworden ist. Die Elemente von N besäumen, aber nur etwas aus-
einandergerückt, die gequollene Schiclite A an beiden Seiten ähnlich regelmässig, wie in Fig. 11 ^.

Ist die Säurewirkung so weit vorgeschritten, dann tritt bei weiterer Einwirkung der Säure sehr bald ein
wesentlich anderes Bild an die Stelle des beschriebenen.

Wir werden diesen Vorgang später kennen lernen, wo die in Folge von stärkerer Säurewirkung zu
erhaltenden Bilder besprochen werden sollen.

Unter Hinweis auf das Bild, Fig. 16, habe ich aber noch anzuführen, dass auch unter den Bildern, welche
man durch schwache Einwirkung von Säuren auf Muskeln, die vorher in Scheiben nach Art der Fig. 3 und
Fig. 11 ^ zerfallen waren, solche findet, in denen die Elemente von N, welche die gequollenen Schichten Q
an beiden Enden besäumen, eine unregelmässige Vertheilung zeigen in der Art, wie wir sie an den Stiften der
Fig. 16 antreffen.

Gewöhnlich wiederholt sich dann die besondere Art der unregelmässigen Vertheilung in den beiden, durch
N gebildeten Säumen von Q ebenso wie sich die unregelmässige Vertheilung der Stii'te in Fig. 16 zwischen
zwei aufeinanderfolgenden Q ganz regelmässig wiederholt. Dass solclie Bilder vorkommen, ja am häufigsten
zu beobachten sind, ist sehr wichtig, weil sie auf den regelmässigen Zusammenhang der Elemente der einzelnen
queren Schichten der Muskelfasern in der Richtung der Längsaxe der Muskelfasern hinweisen. Immer ist aber
die beschriebene Wiederholung der besonderen Zeichnung von N weder an den isolirten Scheiben, noch auch
an noch in situ befindlichen Schichten der Muskelfasern zu beobachten.

Es ist vielmehr manchmal in den aufeinanderfolgenden von den Stiften (Fig. 16) gebildeten Schichten
oder in den von iV gebildeten Säumen (Fig. 11 ^) eine immer andere unregelmässige Anordnung zu sehen.

Wenn wir uns an das erinnern, was in Fig. 12 zu sehen war und damit zusammenhalten das, was in
Fig. 16 und den analog veränderten isoUrten Scheiben zu sehen ist, so fällt es nicht schwer, eine Erklärung
für die besprochenen unregehnässigen Bilder darin zu finden, dass beim Quellen von Q der Zusammenhang
von Q mit N weder ganz gelöst wurde, noch auch ganz erhalten blieb, sondern partienweise das eine und

Duokschrifttin der mathem.-naturw. Gl. XLIX. Bd. J5

114 Alexander Ballett.

partienweise das andere der Fall war, so dass die beim Quellen von Q auftretende Locomotion sich in der
Weise vollzieht, dass die noch mit Q 7Aisamnienhilngenden Elemente von N dabei mitgenommen werden, oder
aber in der Weise, dass sich das von den Elementen von J\" losgelöste Q unter denselben verschiebt. Ich muss
anführen, dass alle bisher beschriebenen Säurebilder sich als Dauerpräparate conserviren lassen — ich bewahre
solche nun schon durch zwei Jahre — wenn man, nachdem die entsprechende Wirkung der Säure eingetreten
ist reichlich mit verdünntem Glycerin drainirt, und dann das Präparat in demselben einschliesst.

Wenn wir nun die Schlüsse ziehen, zu welchen die beschriebenen, in Folge von Säurewirkung auftreten-
den Bilder berechtigen, so ergibt sich, dass die Schichten Q viel rascher und in viel höherem Grade in Säuren
quellen, als die Schichten iV^und Z, und dass das verschiedene Quellungsvermögen dieser Schichten vor allem
bestimmend auf die durch Säurewirkung entstehenden Bilder einwirkt, während ein solcher bestimmender
Einfluss der Schichten J und E nicht hervortritt, sondern vielmehr das Verhalten dieser Schichten ein mehr
passives, von dem Verhalten der Schichten Q und iV" abhängiges ist.

Ich habe früher einen Werth darauf gelegt, dass die Versuche an Muskeln angestellt werden, welche von
Käfern herrühren, ilie nur 24 Stunden in Alkohol gelegen haben. Es war das nothwendig wegen der
Folgerungen, welche ich später noch auf diese Versuche basiren will.

Ich muss aber hier anführen, dass längeres Liegen in Alkohol oder Einlegen der durch 2 bis 4 Tage in
Alkohol gelegenen Käfer in Glycerin (2 Theile auf 1 Thcil Wasser) die Herstellung von Präparaten, wie die
beschriebeneu erleichtert, weil das Liegen in Alkohol das Quellungsvermögen der Muskeln beschränkt, ohne
dass dadurch das Verhältniss der verschiedenen Quellbarkeit der Schichten Q und der Schichten N und Z
auflallend geändert würde. Das nachträgliche Einlegen in Glycerin hindert, dass diese Beschränkung eine
zu grosse wird, wie es bei fortdauernder Einwirkung des Alkohols der Fall ist. Mit Muskeln, die einige Zeit in
Alkohol gelegenen Käfern entnommen werden, oder solchen Käfern, die nach passend langer Einwirkung des
Alkohols in Glycerin gebracht wurden, lassen sich, ohne dass man gar so vorsichtig mit dem Zusatz der 1 "/eigen
Ameisensäure zu sein brauchte, die früher beschriebenen Bilder erhalten.

Durch das Liegen in Glycerin verändern sich die Muskeln auch nach sehr langer Zeit nicht wesentlich,
und können während dieser Zeit beliebig für die bcschriebeaen Versuche verwendet werden.

Hat man einiges Materiale zur Verfügung, dann wird es leicht sein, die passende Zeit für die Alkohol-
wirkung und die Verwendbarkeit der in Glycerin conservirten Thiere für den einzelnen Fall herauszuprobiren.

Ich gehe nun zu anderen Säurebildern über, welche einem weiter vorgeschrittenen Stadium der Säure-
wirkung entsprechen und werde mit diesen auch zugleich den Scheibenzerfall der Muskelfasern in Säuren, auf
welchen schon im zweiten Abschnitte hingewiesen wurde, behandeln. Wir werden uns bei dieser Untersuchung
überzeugen, dass die genaue Analyse der vorher besprochenen Säurebilder nothwendig war. Wir werden die
nun zu behandelnden Bilder, die in noch wichtigerer Beziehung zu Fragen der Muskelstructur stehen, jetzt viel
leichter richtig zu deuten vermögen.

Man gewinnt auch hier einen sehr passenden Ausgangspunkt für die Untersuchung, wenn man vorerst
nicht ganz frische Muskeln, sondern solche, welche von Käfern herrühren, die 24—48 Stunden, aber nicht länger
in 937oigem Alkohol gelegen haben, der Säurewirkung unterwirft. Ich ersetze zu dem Ende das Glycerin, in
welchem die Muskeln aufpräparirt wurden, durch rasche Drainage mittelst 17(,iger Ameisensäure und verfolge
die successiven Veränderungen, welche eine bestimmte Faser unter den Augen des Beobachters erleidet.

Es ereignen sich dabei mit Bezug auf den Enderfolg der Säurewirkung zwei bemerkenswerthe Fälle,
deren Eintritt sich nicht vorhersagen lässt, da Muskeln desselben Thieres, welche vor der Säurewirkung keine
erkennbaren Unterschiede ihres mikroskopischen Verhaltens darbieten, sich bald in der einen, bald in der
anderen Weise verhalten.

Der Unterschied dieser zwei Fälle besteht darin, dass in dem einen Falle die Theile des veränderten
Muskels ihren Zusammenhang bewahren, dass dagegen in dem anderen Falle eine ganz regelmässige,
bestimmten Querstreifen entsprechende quere Zerklüftung des Muskels, der Scheibenzerfall des durch Säure-
wirkung veränderten Muskels auftritt.

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 115

Der letztere Fall ist darum von grosser Wielitigkeit, weil er ein für die Kenntniss der Muskelstructur
bedeutsames Querschnittsbild in vielfacher Anzahl zu Tage fördert.

Beide Fälle: Entstehung des zu beschreibenden Säurebildes mit Erhaltung des Zusammenhanges und
Entstehung des Säurebikles mit Selieibenzerfall, ereignen sich bei den Muskeln aller Käfer in der Regel neben
einander. Es muss nur immer dafür gesorgt sein, dass die Muskeln in der Säure rasch bis zu einem Maximum
aufquellen. Oft überwiegt dann der eine, oft der anderen Fall. Ja, an derselben Muskelfaser können beide
Fälle beobachtet werden. An dem einen Ende der eine, an dem anderen Ende der andere, oder der eine an
beiden Enden, der andere in der ]\Iitte. Die Gründe dieses abweichenden Verhaltens kann ich sicher nicht
angeben. Eine Vermuthung darüber will ich später aussprechen.

Unrichtig wäre es aber, wenn man glauben wollte, dass die Zeit der Säurewirkung in der Beziehung zu
dem Verhalten der Muskelfasern stünde, dass der Scheibenzerfall immer erst in Folge länger andauernder
Säurewirkung auftritt. Denn man kann sich leicht davon überzeugen, dass einzelne Muskelfasern auch, wenn
man die Säure sehr lange einwirken lässt und durch Drainage öfter erneuert, immer noch ihren Zusammenhang
bewahren; bei anderen Fasern führt dagegen die verlängerte und erneuerte Säurewirkung schliesslich den
Scheibeuzerfall herbei; es kommt aber auch der Fall häufig vor, dass rasch und plötzlich und unmittelbar
nach der ersten Berührung der Säure mit den Muskeln diese in Scheiben zerfallen.

Wir wählen für den Versuch vorerst Muskelfasern, an welchen alle Querstreifen nach Art des Schemas,
Fig. bA, deutlich zu sehen sind. Sobald der Säure.strom sich über die Muskelfasein ergiesst, quellen dieselben
beträchtlich, sie werden dabei blasser. Das gilt namentlich von der Schichte Q.

Die Schichten N und Z bleiben anfänglich in Bezug auf die Verbreiterung hinter Q zurück, so dass
die Muskelfaser entsprechend den Schichten N und Z eingeschnürt ist. In Bezug auf die Ausdehnung
in der Richtung der Längenaxe der Muskelfaser bleibt in der gequollenen Faser das Verhältniss der Höhe
der Schichten Q und N und Z ebenfalls niclit erhalten. In der gequollenen Faser erscheinen die Schich-
ten Q relativ höher, die Schichten N und Z dagegen aufeinander gedrängt. Rasch folgen aber nun die so
veränderten Schichten A" und Z der wachsenden Ausdehnung der Schichten Q in die Breite und es stellt
sich ein Bild her, welches leicht noch für das im raschen Ablauf der Erscheinungen in der That für einen
Moment vorhandene Bild, Fig. 11 ^ und Fig. 15 gehalten werden könnte, welches aber in Wirklichkeit von
diesem Bilde wesentlich verschieden ist. Ein solches Säurebild ist in Fig. 11 A von Sfaphylinus caesareus dar-
gestellt.

Man sieht statt der früheren dunklen Elemente der Schichten N jetzt in den entsprechenden Theilen der
Muskelfaser dunkle, runde oder meist etwas in die Länge gestreckte Gebilde in regelmässigen Abständen
neben einander, Fig. 17 A, I, I u. s. w., die sich wie neben einander liegende Körner ausnehmen. Wir wollen
dieselben, ohne jedoch vorläufig damit ihrer Erklärung zu präjudiren, als dunkle Knoten bezeichnen, weil
zwischen zwei den Enden je einer Schichte Q entsprechenden Querreihen dieser dunklen Knoten äusserst
zarte, fadenförmige Verbindungen vorhanden sind, welche ebenfalls etwas dunkler erscheinen, als die Substanz
von Q, und in welche zwei gegenüberliegende dunkle Knoten mit zugespitzten Enden übergehen.

Der schmale Raum zwischen zwei Querreiheu dieser dunklen Knoten, die je zwei aufeinanderfolgenden
Schichten Q entsprechen, erscheint ebenfalls dunkler als die Substanz von Q, und zwar bald mehr, bald weniger
stark verdunkelt und meist ist in der Mitte dieses Raumes in Form einer schmalen, dunklen Linie der
Streifen Z noch deutlich zu sehen (Fig. 17 A,Z,Z—). Durch die Mitte von Q zieht an Stelle von h meist ein
zarter Schatten (Fig. 17 A, II, II—). Oft fehlt aber der letztere ganz, dagegen sieht man in einzelnen Fällen an
dieser Stelle deutlich eine meist etwas in die Länge gestreckte, leichte Verdickung der durch Q laufenden
feinen Verbindungsfäden der früher erwälinteu Knoten I.

Man kann Präparate, wie die beschriebenen, wieder durch lange Zeit conservireu, wenn man von den
gequollenen Muskelfasern die zugesetzte Säure durch verdünntes Glycerin entfernt und dieselben in dem
letzteren einschliesst. Das Ansehen der Bilder verändert sich dabei weder beim Zusatz des Glycerins, noch
auch nach längerem Liegen in demselben in einer bemerkenswerthen Weise.

15*

116 Alexander Bollett.

Ich möchte im Allgemeinen drei Formen dieses Bildes nach der Form der von den Balken umschlossenen
Maschen unterscheiden.

Es ist das beschriebene Bild bei allen untersuchten Käfern mit Ausnahme einer einzigen Familie, welche
bald besonders behandelt werden soll, so leicht und häufig zu erhalten, dass ich es unterlasse, besondere Käfer
dafür zu empfehlen, bemerken muss ich aber, dass in Bezug auf den Abstand der Knoten I, von einander und
die mehr oder weniger gestreckte (spindelförmige, ellipsoidische, rundliche und gedrungene) Form derselben,
in Bezug auf die Deutlichkeit, Schärfe und Dicke der die Knoten verbindenden Fäden; in Bezug auf die Breite
des schmalen Baumes zwischen zwei neben einanderliegenden Querreihen I; die Deutlichkeit der Linie Z in
diesem Räume und die Deutlichkeit von A die mannigfachsten Variationen beobachtet werden können, die für
specielle Fälle zu beschreiben, hier zu weit führen würde.

Ich will vielmehr sogleich zu den Bildern übergehen, welche erhalten werden, wenn in Folge der Säure-
wirkung ein Scheibenzerfall der Muskelfasern auftritt, weil sie uns ganz besonders in den Stand setzen werden,
die Bilder, welche durch Fig. 17 A repräsentirt sind und den Unterschied derselben von den früher beschrie-
benen Säurebildern (Fig. 11 — 16) zu erklären.

In einem bestimmten Stadium eines langsam sich vollziehenden Scheibenzerfalles in Säuren ist wieder
von Staphylinus caesareus eine Muskelfaser in Fig. 17 B dargestellt. Man sieht, dass die Schichte Q in ihren
mittleren Partien ihre Continuität verliert, während zwei Querreihen von Knoten durch den schmalen Streifen
zwischen denselben verbunden bleiben, und dass dann die Schichten l-hZ -^I auseinander weichen und in
Form von Scheiben isolirt werden. An den Enden der Knoten der Querreihen I sind noch die Enden der früheren
Verbindungsfädeu der Knoten, die obere und untere Fläche der isolirten Scheibe wie die Haare einer Bürste
besetzend, zu sehen. In Fig. 17 B erscheint die Scheibe a vollständig abgetrennt, während die Seheiben b, c
und d nur links von einander getrennt, rechts dagegen noch mit einander verbunden erscheinen.

Ich habe von Scheiben gesprochen, weil sich eben leicht zeigen lässt, dass die Bilder a, h, c, d, Fig. HB
die Seitenansichten von den ganzen Muskelquerschnitt umfassenden Scheiben sind, von welchen man, da sich
die einmal isolirten Scheiben leicht auf die Fläche legen, auch immer zahlreiche Flächenansichten erhalten kann.
Bei Staphylinus caesareus geben diese Scheiben in der letzteren Ansicht das in Fig. 17 C dargestellte Bild.
Man sieht ein Netz von dunklen Balken, in welchem längliche, rhombische oder polygonale, helle Maschenräume
vorhanden sind, die mit ihrer langen Diagonale radiär im Muskel angeordnet sind. Die Balken gehen von einer
im Inneren der Muskelsubstanz gelegenen feinkörnig erscheinenden Masse aus, welche meist einen Kern in sich
schliesst. Dort, wo die die Maschenräume umschliessenden Balken zusammenstossen, treten im Netze verdickte
Knoten auf.

Hat man solche Scheiben einmal isolirt, dann gelingt es durch leichte, kurz abgehackte Stösse, welche
man mit einer I'räparirnadel auf das Deckgläschen ausübt, dieselben zu solchen Bewegungen in der Flüssigkeit
zu veranlassen, dass sie einmal von der Fläche, das andere Mal von dem Rande sich präsentiren und man erhält
dann von demselben Gebilde wie es in Fig. 17 C und D gezeichnet ist, einmal die in C, das andere die in D
dargestellte Ansicht. Ausserdem treten viele der Scheiben so gebogen auf, dass einerseits am aufgebogenen
Rande die eine, an dem ausgebreiteten Theil der Scheibe die andere Ansicht wahrzunehmen ist. Durch solche
Versuche überzeugt man sich auch, dass, ob nun die eine oder die andere Fläche der isolirten Scheibe nach
oben zu liegen kommt, immer das Bild C mit derselben Schärfe und Deutlichkeit vorhanden ist.

Ich habe mich bisher, um bestimmte Anhaltspunkte für die Darstellung zu gewinnen, an das in Fig. 17 ^,
5, G und D dargestellte Beispiel gehalten. Wenn man aber das Verhalten der verschiedenen Muskeln eines
Käfers und der verschiedenen Muskeln einer grossen Reihe von verschiedeneu Käferspecies bei dem
angeführten Versuche berücksichtigt, so stösst man noch auf eine Menge anderer Bilder, welche eben so
bemerkenswerth sind, wie die beschriebenen. Es sind das Bilder, welche die Längenansicht der Muskelfasern
betreffen, und solche welche den Querschnitt der Muskelfasern betreffen. Was zunächst die letzteren, also
die Flächenansicht der durch Säurewirkung isolirten Seheiben anbelangt, so ist dieselbe bei Weitem nicht bei
allen Käfern die, welche wir bei t^tuplnjlitiun caesareus kennen gelernt haben.

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften 3Iuskelfasern. 117

Lang gestreckte, radiär gestellte Maschen in dem Balkennetz, wie bei Staphylinus caesareus, kommen in
vorherrschender Anzahl, wenn nicht ausschiesslich vor bei den Muskeln der Ciciudeliden, der kleineren Cara-
biden, z. B. bei den Nebria-, Pseudophonus-, Fterostichus-, Platijum-, Agoniim und ßracliinus-ArUu, bei vielen
Stai)hyliniden, bei den Cauthariden- und überhaupt bei Käfermuskelu, welche bei kleinem Querschnitt in ihrem
Innern die Kerne reihenweise in einem oder nur wenigen der Axe des Muskels entlang lautenden, geschlossenen
Strängen feinkörniger Substanz enthalten, mit Ausnahmen, die sogleich näher erwäimt werden sollen.

Ich muss hier nochmals auf den raschen, explosionsartig erfolgenden Scheibenzerfall der Muskeln in
Säuren zurückkommen, der nicht selten gelegentlich an den Muskeln der verschiedensten Käfer bei der
vorerwähnten Säureapplication zu sehen ist, weil gerade bei kleineren Carabiden, z. B. Platynus angusticollis
und alhipes, Agotium prcmnum, Pterostichus transversalis, Brachinus crepüaiis und Nebria piciconiis wegen der
Häufigkeit dieses Vorkommens die beste Gelegenheit ist, dieses Phänomen zu beobachten. Dabei sieht man
aus dem Sarkolemma am Ende einer Muskelfaser Scheibe nach Scheibe rasch hervorschiessen, und sich dann
in der Flüssigkeit gewöhnlich entweder völlig auf die Fläche ausbreiten, oder mit an dem einen oder dem
anderen Orte aufgebogenem ßande sich schwebend in der Flüssigkeit erhalten. Oft erfolgt dieses Hervorschiessen
der Scheiben pulsatorisch, wobei jede aus dem Innern des Muskels hervorkommende Scheibe unter mannigfachen
Biegungen sich den Ausweg durch das Sarkolemma bahnt, welches nach dem Durchtritt der Scheibe sich
wieder zusammenschliesst, um von der nächst ausgestossenen Scheibe wieder eröffnet zu werden u. s. w. Oft
hört aber, ehe sich der Sarkolemmaschlauch noch völlig entleert hat, dieses Schauspiel plötzlich auf und man
sieht dann einen erweiterten Sarkolemmaschlauch, mit isolirten, in den mannigfachsten Lagen an einander
gedrängten Scheiben gefüllt, zurückbleiben.

Es scheinen mir diese Vorgänge darauf hinzuweisen, dass die mehr oder weniger rasche Änderung, welche
die elastischen Eigenschaften des Sarkolemma unter dem Einfiuss der Säure erleiden, wahrscheinlich bedingend
für die früher angeführten verschiedenen Arten der Entstehung des Säurebildes und des Auftretens des
Scheibenzerfalles ist.

Ein zweites Bild der Flächen der isolirten Scheiben ist in Fig. 18 J. von Dorcadion mono dargestellt. Die
Maschen zwischen den dunklen Balken sind hier mehr ebenmässig entwickelte Polygone und in dem
Balkennetz sitzen runde, verdickte Knotenpunkte. Ein Kern findet sich hier der Oberfläche der Muskelfaser
entsprechend eingelagert. Die Seitenansicht (Fig. 18 B) der isolirten Scheibe ist jener der isolirten Scheibe
Fig. 17 ganz ähnlieh, nur erscheinen die Knoten der Querreihen etwas mehr in die Länge gestreckt und ist in
dem schmalen Räume zwischen den Querreihen der Knoten I, I keine dunkle Linie zu sehen, wie in Fig. 17 D.
Es ist das Letztere ein Fall, wie er auch bei den früher behandelten Scheiben vorkommen kann, gerade so wie
der Fall Fig. IT D auch bei Scheiben, deren Flächenansicht der Form Fig. 18 A entspricht, beobachtet werden
kann. Scheiben der letzteren Form kommen wieder in weit überwiegender Zahl, wenn nicht ausschliesslich, zu
den Muskeln der Hydrophiliden, der Lucaniden, der Scarabaeiden, der Tenebrioniden, der Meloiden, der
Curculioniden, der Cerambyciden, und der meisten Chrysomeliden. Es sind das Muskeln, welche ihre Kerne
an der Oberfläche unmittelbar unter dem Sarkolemma oder doch ganz vorzugsweise dort haben. Ich werde
aber die verschiedene Kernstellung bei den verschiedenen Käfermuskeln erst in einem späteren Abschnitte
näher besprecben. Auch eines besonderen Vorkommens in der Mitte der Polygone von Hi/drophilus werde ich
erst später gedenken.

Bei Muskelfasern von sehr breitem Querschnitt, wie sie z. B. bei den grossen Böcken Cerambyx, Eryates,
Prionus vorkommen, treten stärkere Balken in grösserer oder geringerer Anzahl auf, welche die Polygone
gruppenweise abgrenzen. Meist tauchen die Balken aus einzelnen stärkeren isolirten Knoten auf, um sich nach
kurzem Verlauf nach verschiedenen Riclituugen wieder dendritisch in die die Mehrzahl der Polygone begrenzen-
den dünneren Balken aufzulösen. Netze mit ebenmässig entwickelten polygonalen Maschen kommen auch vor
bei Muskeln, die ihre Kerne im Innern reihenweise in discret stehenden kurzen Strängen enthalten, wie z. B.
bei den Silphiden, ferner in den breiten Muskeln der grösseren Carabiden, z. B. Procerus yiyas, Procrustes coria-
ceus, Meyaihntm violaceus, die eine grössere Anzahl von Kernreihen in ihrem Innern enthalten.

118 Alexander Bolletf.

Die Abgrenzung des Vorkommens <kr Mn.^ke]n mit radiär gestellten verlängerten und mit polygonalen
Maschen ist s-cliwierig. Ich werde auf diese Frage noch zurückkommen.

Hier muss ich aber nun noch eine für die Deutung der Säurebilder besonders wichtige Beobachtung
anführen.

Die früher ausführlicher behandelten Muskeln der Aphodim-Kxian, von welchen wir daselbst auch schon
ein Querschnittsbild (vergl. Fig. 1\ B und Fig. \2 B) kennen gelernt haben, gehören wie die Muskeln der
Scarabaeiden überhaupt in die Reibe jener Muskeln, bei welchen an den durch Säure isolirten Scheiben eben-
massig entwickelte polygonale Maschen in speeie das zweite der früher angeführten Bilder der Flächenansicht
auftritt.

Wenn man nun auf isolirte Scheiben dieser Muskeln, wie solche in Fig. 11 und Fig. 12 als N+J-^Q+J-^N
und in Fig. 13 als N-hE-h/-hE-+-N auftreten, die Säure stark, das ist länger und unter öfterer Erneuerung der
zugesetzten Säure mittelst Drainage wirken lässt, so beobachtet man, dass dann auch die Scheiben N sich
verbreitern.

Dabei ändert sich aber das Querschnittsbild der Scheiben, welches anfangs das Ansehen hat, das in
Fig. 11 B und Fig. 12 B dargestellt ist.

Die Änderung besteht darin, dass bei derselben Einstellung die dunklen Felder der Querschnitte unter
gleichzeitiger Vergrösserung immer heller werden, damit vergrössern sich auch die Maschen des zwischen
jenen Feldern vorhandenen Geäders und dieses wird im A'ergleich zu den Feldern jetzt dunkler, so dass
schliesslich das Quersehnittsbild ganz ähnlich aussieht, wie das in Fig. 18 A gezeichnete.

Es tindet also, wenn einmal auch die Elemente von N in der Säure gequollen sind, eine Umkehrung der
Lichtvertheilung zwischen den von dem Netze umschlossenen Feldern und den Balken des Netzes selbst statt.

Den dunklen Feldern in den Querschnittsbildern, Fig. 11 5 und Fig. 12 B, entsprechen in dem durch
Quellung vergrösserten Querschnitte helle Felder; dem früher hellen Geäder entsprechen die dunklen Balken
des schliesslich auftretenden Säurebildes.

Die Seitenansicht der Scheiben N-hE-i-Z+E-h-N, welche anfangs die in Fig. 13 dargestellte ist, wird
dann die, welche wir in Fig. 11 D und in Fig. 18 B wahrnehmen.

Man könnte nun, wenn man nur die Seitenansichten der durch Säure veränderten Scheiben Fig. 17 und 18
kenneu würde, diese Bilder als gleichbedeutend mit der Seitenansicht der Scheiben N^r-E-^Z-\-E-^N der
Fig. 13 ansehen, und die Querreiben I von dunklen Knoten für die Elemente (Stäbe) der Schichten N halten,
während sie in der That etwas ganz anderes sind, wie wir später noch näher sehen werden. An einer früheren
Stelle habe ich schon davor gewarnt, dass man nicht das Bild, Fig. 17 A mit Bildern wie Fig. 11 ^ und Fig. 15
verwechseln möge. Die Verwechslung würde dort dieselbe sein, welche man beginge, wenn man die Seiten-
ansichten Fig. 17 D und Fig. 18 B für gleichbedeutend mit der Seitenansicht der Scheiben N+E+Z+E+N,
Fig. 13, hielte.

Bei den Aphodms- Arten und einigen anderen Scarabaeiden ist das Flächenbild der durch Säure
veränderten Scheiben insoferne noch besonders bemerkenswerth, als die Knoten des polygonalen Masehen-
werkes sehr gross und oft unregelmässig ausgezogen erscheinen, während dagegen die die Knoten verbindenden
Seiten der Polygone stellenweise sehr zart sind. Man muss in diesem Falle sehr darauf achten, dass man das
Bild richtig deutet. Ich verweise in Beziehung auf das Ansehen solcher Scheiben auf Fig. 23, die nach einem
Goldpräparate gezeichnet ist, und werde später auf die Deutung dieses Bildes zurückkommen.

Ein drittes Bild der Fläche von durch Säure isolirten Scheiben von Käfermuskeln ist in Fig. 19 A von
Cohjmbetes fusciis dargestellt. Es kommt dieses Bild bei der Familie der Dyticiden vor, und zwar habe ich es
an den Muskeln aller neun auf Seite '.i angeführten Species von Dyticiden augetrotfen.

Diese Käfer besitzen wieder Muskeln, in welchen die Kerne reihenweise in Strängen und Blättern fein-
körniger Substanz, die den Muskel durchziehen, angeordnet sind.

Es ist bekanntlich ein Verdienst von Retzius, dieses eigenthüniliche Bild für Di/ficus margi)wlis auf
Grund von Goldpräparaten, welche uns bald ausführlicher beschäftigen .si>llen, genau beschrieben zu haben.

unter such} mg m über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 119

Retzius ' gibtauch schon au, dass dieses Bild ebenso an Muskeln, die nur mit Ameisensäure behandelt wur-
den, zu sehen ist.

Ich lege einen grossen Werth darauf, dass man sich vorerst genau an den Säurebilderu orientire, ehe man
zur Beurtheilung der Goldbilder übergeht.

Es ist nämlich für die Kenntniss der letzteren wichtig, dass gewisse Goldbilder nichts, als die getreue
Wiederhohiug der Säurebilder, abgesehen von der durch die Imprägnation gesetzten Färbung siml. Für die
Beurtheilung dieser Bilder ist es aber gerade wichtig, dass mau nicht blos die Eudveränderung kennt, welche
der Muskel durch dieProcedur erlitten hat, der er unterzogen wurde. Es ist vielmehr nothweudig, die successiveu
Veränderungen kenneu zu lernen, nach deren Ablauf sich die Endveränderung am Muskel hergestellt hat, was
bei der einfachen Application von Säure viel leichter möglich ist, als bei dem Goldverfahren. Endlich ist es
wiclitig, dass gewisse Goldbilder der Muskeln als Säurebilder declarirt werden, weil es noch eine andere Art
von Goldbildern der Muskelfasern gibt, die sich von den ersteren wesentlich unterscheiden, aber für die Kennt-
niss der Muskelstructur ebenso wichtig sind, wie die ersteren.

Von dieser zweiten Art von Goldbildern werde ich in einem späteren Abschnitte handeln.

Was Retzius bei Gelegenheit der Beschreibung der Querschnitte von nach seiner Methode vergoldeten
Muskeln über die Verschiedenheit der Querschnitte der Muskeln von Dijficas anführt, gilt auch für die Jluskeln
der untersucliten Dyticidcn im Allgemeinen. Die Querschnitte sind bald rund, bald oval und dabei oft an den
Seiten abgeplattet, so dass mehr ebenmässig entwickelte oder in die Länge gezogene, unregelmässige Vielecke
resultiren. Ja, manchmal erscheint eine und die andere Seite des Vieleckes sogar durch eine uebenliegende
Faser eingebogen und dann die Ecke, in welcher diese Seite mit der folgenden zusammenstösst, verlängert
und spitz.

Bei den kleineren Dyticiden überwiegen entschieden die mehr ebenmässig entwickelten Querschnitte der
dünneren Muskelfasern, während die unregelmüssigeren Querschnitte an den breiten Muskelfasern der grösseren
Dyticiden häufiger vorkommen. Bei den mehr ebenmässig entwickelten Querschnitten findet man gewöhnlich
einen Kern in der Mitte, bei den verlängerten finden sich zwei oder drei, deren Constellation im Querschnitte
grossen Unregelmässigkeiten unterworfen ist, die aber gewöhnlich in grössere Entfernung in der Richtung,
nach welcher der Querschnitt am meisten iu die Länge entwickelt ist, auseinandergerückt erscheinen. Das sind
die gewöhnlichen Fälle. Es kommen aber auch verlängerte Querschnitte mit nur einem Kern und nicht oder
nur wenig verlängerte mit zwei und drei Kernen vor, in welchen dann die Kerne" näher bei einander und mehr
in den mittleren Partien des Querschnittes liegen.

Die grösste Anzahl von Kernen auf einem Querschnitt, die ich zählte, war vier, und solche Querschnitte
sind autfallend gross, dabei sind sie wieder mehr ebenmässig nach den verschiedenen Kichtungeu entwickelt,
entiialten aber alle vier Kerne in excentrischer Stellung und wechselnden Abständen.

Vereinzelt trifft man solche Querschnitte nicht selten au, ihrer Zahl nach bleiben sie aber im Vergleich mit
denen, welche einen, zwei oder drei Kerne aufweisen, sehr zurück.

Die Kerne sind umgeben von einer köruigen Substanz, aus welcher sich ein eigentliümliches Balkenwerk
entwickelt. In diesem fallen zunächst stärkere Balken auf, die nach verschiedenen Richtungen vom Kerne aus-
strahlen (Fig. 19). Diese Balken lösen sich gegen die Peripherie laufend, in kleinere Balken auf, oder sie laufen,
während sie fortwährend kleinere Balken aussenden, auf einander zu und setzen als breite Brücken die um die
einzelneu Kerne gelagerte Substanz in Verbindung (Fig. 19).

Typisch ist aber der Verlauf der kleineren Balken, welche sich zum Theile aus der um den Korn
gelagerten Substanz, zum Theile aus den erwähnten stärkeren Balken entwickeln.

Die grösste Anzahl dieser Balken schlägt unter mannigfachen kleineren Biegungen einen radiären Verlauf
zur Peripherie des Querschnittes ein, wodurch stellenweise eine parallele, stellenweise eine federartige
Anordnung der Balken die herrschende wird. Während dieses Verlaufes senden sich die Balken zahlreiche

1 Retzius, Biologische Untersuchungen 1881, p. 1.

120 Alexander J?oUef/.

längere oder kürzere Anastomosen zu, woraus die verschiedensten Formen und Grössen der gewöhnlich in
radiärer Richtung stark verlängerten, von den Balken umschlossenen Felder entstehen.

Die stark gestreckte Form dieser Felder ist in der That nur die am häufigsten auftretende. Man findet
aber neben den gestreckten Feldern meist in der Niihc des Ursprunges der kleineren Balken aus den grösseren
auch durch häufigere, kürzere Anastomosen bedingte, weniger gestreckte Felder, ohne dass dadurch der
Gesammteindruck einer rndiären Anordnung des Balkenwerkes wesentlich gestört würde. Es ist endlich von
dem eigeuthümlich angeordneten Balkenwerk auf dem Querschnitte der Dyticidenmuskeln noch hervorzuheben,
dass nicht alle .Stellen, wo zwei Balken zusammenstossen, knotig verdickt erscheinen. Es kommen vielmehr
eigeuthümlich sternförmig erscheinende Verdickungen des Balkenwerkes nur als vereinzelt stehende Knoten
vor (Fig. 19) und lässt sich in Bezug auf Zahl und Austheilung dieser irgend welche Gesetzmässigkeit vorerst
nicht absehen.

Im Wesentlichen muss ich mich nach der vorstehenden Beschreibung den Angaben anschliessen, welche
Retzius für den Di/ticiis marginaUs gegeben hat.

Nachdem ich nun die verschiedenen Flächenbilder der durch Säuren isolirten Scheiben von Käfermuskeln
beschrieben habe, wollen wir zur Seitenansicht dieser Scheiben, die wir früher schon an Beispielen von Staphy-
linus caesareus und Dorcadion morio (Fig. 17 A, B, D und Fig. 18 B) beschrieben haben und zur Längen-
ansicht der veränderten Muskeln zurückkehren.

Da ist nun für die durch Säuren isolirten Scheiben der Muskeln von Dyticiden hervorzuheben, dass die-
selben von der Seite betrachtet, nicht eine Doppelreihe von Knoten I, sondern nur eine einfache Knotenreihe
zeigen (Fig. 19 B). An den Muskeln der Dyticiden ist, wenn man dieselben Thieren entnimmt, die durch
24 Stunden in 93%igera Alkohol gelegen haben, in der Regel die Querstreifung (Fig. 5 C) vorhanden, und wenn
man auf diese Muskeln iVoiS'ß Ameisensäure wirken lässt, tritt unter ähnlichen Veränderungen der Schichtf-n Q,
wie sie früher beschrieben wurdeu, au Stelle von Z eine einfache Querreihe von Knoten auf (Fig. 20 I, I — ).

Die in dieser Figur dargestellte Faser von Cybistcter RoeseU zeigt ferner im Säurebild in der Mitte von Q
derLnge des früheren Streifens Ji entsprechend noch Querreihen von feineren Knoten (Fig. 20 II, II — ), welche
in der Mitte der die Knoten I verbindenden Fäden wahrgenommen werden. Die Querreihen der Knoten I sind
an den Säurebildern stets mit grosser Deutlichkeit zu sehen und ebenso die dieselben verbindenden Fäden.
Anders verhält es sich mit den Querreihen der Knoten 11. Diese fehlen oft ganz, manchmal ist an ihrer Stelle
nur ein unbestimmter Schatten angedeutet; oft erscheinen die Kudten nicht so rund wie in Fig. 20, sondern
stellen mehr längliehe spindelförmige Verdickungen der fadenförmigen Verbindungen der Knoten der Quer-
reihen I dar.

Wenn man aber die Säurewirkung an Muskeln von Dyticiden sehr genau verfolgt, so gelingt es manchmal
auch, sich davon zu überzeugen, dass anfänglich auch bei diesen die Querreihe der Knoten doppelt auftritt, die
Knoten der nebeneinanderliegenden Querreilien sind aber sehr klein und liegen sehr nahe und nur durch ein
schmales linienförmiges Band von einander getrennt beisammen. Man muss in solchen Bildern die Analoga
der Bilder sehen, die wir früher (Fig. 17 Ä u. B) als bei anderen Käfern häufig vorkommend beschrieben hoben.

Bei den Dyticiden sieht man aber dieses Bild bei weiterer Wirkung der Säure bald in jenes übergehen,
welches nur eine Knotenquerreihe I aufweist, und zwar geschieht das wie man direct beobachten kann,
dadurch, dass die kleineren Knoten der doppelten Querreihe paarweise aufeinander rücken und schliesslich
zu einfachen grösseren Knoten sich vereinigen.

So wie man aber bei den Muskeln der Dyticiden die Analoga der Bilder mit doppelten Querreihen der
Knoten I beobachten kann, so gelingt es bei anderen Küfern auch leicht, die Analoga der gewöhnlichen End-
veräuderung der Muskeln der Dyticiden zu finden. Man beobachtet nämlich ausser den Muskeln mit doppelten
Querreihen der Knoten I bei selir vielen Käfern, auch solche mit einer einfachen Querreihe der Knoten I, ja
manchmal überwiegen sogar diese Muskeln. Es sind aber dann die Knoten I gewöhnlich sehr langgezogen
und spindelförmig. Man halte sich hier vorzüglich an Scarabaeiden, Tenebrioniden und Chrysomeliden, bei
welchen die Knoten und die sie ver))iudeuden Fäden etwas massiver hervortreten. Es gelingt auch, wenn man

Unter suchungm über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 121

nur anhaltend beobachtet, zu sehen, dass eine iu einem frülieren Moment der Säurewirkung doppelte Quor-
reihe der Knoten I, in einem späteren Stadium der Säurewirkung in eine einfache Querreihe stark verlängerter
Knoten übergeht, die durch Versclimelzen je zweier, früher gegenüberliegender Knoten entstehen.

Die Flächenbilder von isolirten Scheiben zeigen, mag nun die Seitenansicht derselben die einfache oder
die doppelte Querreihe der Knoten I darbieten, immer dasselbe für die betreffenden Muskeln typische Bild des
Netzes der dunklen Balken.

Ich halte nach diesen Erfahrungen die Annahme für gerechtfertigt, dass die Bilder mit den doppelten
Querreihen der Knoten I auf einer früheren Stufe der Veränderung stehen gebliebene; die Bilder mit den ein-
iachen Querreihen der Knoten I auf eine weitere Stufe der Veränderung gelangte Säurebilder der Muskeln sind-

Ich habe nun noch ein besonderes Bild zu besprechen, auf welches man bei durch Säure veränderten
Muskeln manchmal stösst. Es ist das in Fig. 21 von Stenomax lanipes dargestellte. Dasselbe ist dem in
Fig. 17 A dargestellten Bilde ähnlich. Es unterscheidet sich aber von jenem hauptsächlich dadurch, dass um
jeden Knoten der doppelten Reihen I, I ein heller Raum wie ein den Knoten umgebender Hof erscheint, die
Contouren dieser Höfe neigen sich nach den Schichten Q hin zusammen und vereinigen sich mit dem Faden,
welcher zwei an den gegenüberliegenden Seiten von Q befindliche Knoten verbindet. Ebenso neigen sich
die Contouren dieser Höfe nach der entgegengesetzten Seite zusammen, nämlich in der Richtung gegen den
schmalen Raum, der je zwei neben einander liegende Querreihen der Knoten I trennt.

In diesem Räume sieht man den Streifen Z als feine Linie. Es stehen aber auch durch diesen Raum hin-
durch je zwei gegenüber liegende Knoten einer Doppelreihe I durch kurze, dunkle Brücken mit einander in
Verbindung, und zwar erscheinen diese Brücken breiter als die durch Q hindurchgehenden Verbindungen der
Knoten. Die in der Qnerrichtung zwischen den Höfen der Knoten liegende Substanz der Muskelfaser tritt mit
besonderem Glänze hervor.

Wir wollen nun die Säurebilder vorläufig verlassen, da ich ihre weitere Auslegung bis dahin verschieben
muss, wo wir auch die ihnen entsprechenden Goldbilder der Muskeln untersucht haben w^erden. Durch Behand-
lung frischer oder vorher für kurze Zeit in Ameisensäure eingelegter Muskelfasern mit Goldchlorid und nach-
folgende Reduction durch Lichteinwirkung auf die in Essigsäure gebrachten Muskelfasern oder Reduction
mittelst Ameisensäure haben Thin' und später Bidermann^ ein die ungefärbt gebliebenen Co linheim'-
schen Felder umgrenzendes, rothes, mit Verdickungen in den Knotenpunkten versehenes Netzwerk dargestellt.
Der Erstere erklärte dieses Netzwerk für ein durch den Muskel in querer R'chtung gespanntes, in bestimmten
Abständen sich wiederholendes, elastisches Netzwerk, welches er mit Krause's Quermembran identificirte. Der
letztere führte das Netzwerk zurück auf eine zwischen den K öllik er' sehen Muskelsäulchen, die den Cohn-
heim' sehen Feldern entsprechen, vorhandene, reducirende Zwischensnbstanz.

Später sah Gerlach''' das die Cohnheim'sciien Felder trennende Netzwerk auf dem Querschnitte von
vergoldeten Muskeln, welche in Glyeerinsäuregemisch in Scheiben zerfallen waren, und die Vergleichuug dieser
Bilder mit den Bildern, welche er auf demLängsschnitte der entsprechend behandelten Muskeln zu sehen bekam,
führte ihn zu einer älnilichen Auffassung der vergoldeten Substanz, wie sie Bidermann, dessen Arbeit
Gerlach damals noch nicht bekannt gewesen zu sein scheint, kurz zuvor ausgesprochen hatte.

Diese Beobachtungen hätten eine grössere Aufmerksamkeit verdient, als sie bislang gefunden haben.
Schon mit Hinblick auf eine Tliatsache, die auch Gerlach andeutete. Cohnheim* hatte nämlich an gelun-
genen Silberimprägnationen des Muskelquerschnittes gesehen, dass die später nach ihm benannten Felder braun,
das diese Felder trennende Geäder weiss erschien. Nach diesen Beobaclitungen musste es ja scheinen, dass
zwischen der Substanz der Muskelsäulchen und der Substanz, welche die Muskelsäulchen trennt, ähnliche Unter-

1 Thin, On the minute anatoiny of muscle and teadon. Repriaterl froin the Edinbm'gh med. joui-a. Septerab. 1S74, p. 3.

2 Bidermann, Sitzungsb. d. math. natiuw. Cksse, d. kais Alcad. d. Wisseiiioli. iu Wien. Bd. LSXIV, Abth III,
Jahrg. 1876, p. 49.

3 Gerlach, Archiv f. mikroskop. Anatomie, Bd. XIII. 1877, p. 309.
* Gerlach 1. c. p. 403.

Denkschriften der mathem.-nalurw. Gl. XLIX. Bd. .g

122 Alexander Ballett.

scliiede in dem Verhalten gegen die beiden Metallsalze bestehen, wie zwischen Horubautkörpercbeu und Horn-
hautgrundsnbstanz, oder wie zwischen Zell- und Kittsubstanzen; und dass die Säulchen der Muskeln das Ver-
halten je der zweiten, das Netzwerk aber das Verbalten je der ersten der verglichenen Substanzen, also das
des Protoplasmas zeigt, was jedenfalls eine sehr bemerkenswerthe Tbatsache ist.

Ran vier* hat gelegentlich einer Kritik der Arbeit Gerlach's sich der Deutung, welche der Letztere
seinen Bildern gab, angeschlossen.

Im Jahre 1881 veröffentlichte Retzius seine schon früher berührte Arbeit über die Muskeln. Er hat
zunächst lür den Dytkus die Goldbilder mit einer bis dahin nicht gekannten Genauigkeit beschrieben. Er
bezeichnete das früher beschriebene seiner Lage nach, den sogenannten Zwischenscheiben oder Kraus e'schen
Membranen entsprechende, eigenthümliche Balkenaetz des Querschnittes als Querfadennetz erster Ordnung und
deutete die Balken als ein in einem Querschnitte der Muskelfaser entwickeltes Ausläufernetz von Zellen, welche
durch die im Innern des Muskels liegenden Kerne und die um dieselben gelagerte körnige Substanz repräsen-
tirt seien. Jede dieser Zellen sende eine Reihe solcher Querfadennetze aus. Die in der Seitenansicht dieser
Querfadennetze sichtbaren, früher als Knoten I bezeichneten dunklen Funkte, nennt Retzius Köruerreiheu
erster Ordnung und er erklärt, was wir als ganz richtig iür Säure- und Goldbilder anerkennen müssen, die
Körner als die optischen Querschnitte der Fäden des Querfadennetzes. Ausser diesen Fadennefzen kommen
noch Querfadennetze zweiter Ordnung vor, die ihrer Lage nach dem Hensen'schen Streifen entsprechen; in
der Seitenansicht dieser erscheinen die früher als Knoten II bezeichneten kleineren Körner und die daraus
gebildeten Körnerreihen zweiter Ordnung. Endlich kommen bei gewissen Zuständen der Muskeln, und zwar
ungefähr in der Mitte zwischen den Querfadennetzen erster und zweiter Ordnung noch Qiierfadennetze dritter
Ordnung und diesen entsprechend in der Seitenansicht noch feinere Körnerreihen dritter Ordnung zur Beobach-
tung. Durch feine, längsgeheiide Häutchen scheinen alle diese Querfadennetze in der Längenrichtung des
Muskels verbunden zu sein.

'ß&iNotonecta, Locusta; hei Astacusfluoiatüis; bei .ßawa und Triton; bei Turdiis musicus fand Retzius Quer-
fadennetze ganz anderer Art als hei Dytkus marginalis, nämlich Fadennetze, die polygonale Felder umschliessen,
welche er als die Co huheim'schen Felder erklärt. Bei Musca und Oestrus sah er endlich wieder Fadennetze
von radiärer und federartiger Anordnung mit langen Maschenräumen.

Später noch hat sich Bremer'^ mit den Goldsäurebildern beschäftigt, und zwar untersuchte er hauptsäch-
lich Wirbelthiermuskeln. Er glaubt nach der Goldsäurebehandlung von Muskeln des Frosches, einer Eidechse
und der Maus unter anderen Gewebsfragmenten eine Anzahl von Bowman'schen Discs erhalten zu haben,
welche die Cohnheim'schen Felder zeigten. Ausser dem rothgefärbten Netz, welches die Felder umschliesst,
sah Bremer noch in der Mitte jedes Feldes einen rothen Punkt, von welchem radiirende Fäden nach der Peri-
pherie der Felder liefen. Bei Muskeln von HyJrophilus, wo der mittelstäudige Punkt sehr gut zu beobachten
ist, seien auch diese irradiirenden Fäden leichter zu sehen, während sie bei den Wirbelthieren, wegen ihrer
ausserordentlichen Feinheit nicht immer nachgewiesen werden können.

Auf dem Längsschnitt sieht Bremer Reihen von Knötchen oder Stäbeben, welche durch Quer- und Längs-
fäden miteinander verbunden, ein aus den Protoplasmafortsätzen der „Muskelkörperchen'' sich entwickelndes,
wohl detinirtes, den Muskel durchziehendes Netz darstellen sollen.

Die Knötchen sollen durch Schrumpfung ursprünglicher Stäbchen zu Stande kommen, und zwar sollen die
Stäbchen um so leichter schrumpfen, je jünger (? der Verf.) sie sind. Die Knötchenreihen mit ihren Querföden
seien die Cohnheim'schen Felder von der Seite gesehen. Die Knötchen selbst seien die Kreuzungspunkte der
Begrenzungsfädeu der Felder und diese Kreuzungspunkte stehen durch Längsfäden mit den entsprechenden
Punkten der angrenzenden Cohnheim'schen Felder in Verbindung. Bei genauerer Untersuchung finde man,
dass in derselben Reihe mit den grösseren Knötchen oder Stäbchen und mit diesen alterairend kleinere stehen.

1 Ranvier, LeQons sur l'histologie du syatöme nerveux. Tom II, Paria 1878, p. 264.

2 Bremer, Archiv f. mikroskop. Auatomie, Bd. 22, 1883, p. 318.

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 123

Eine Querverbindung dieser mit den grösseren Knötchen konnte Bremer nicht beobachten, hält sie aber wegen
der radiirenden Fäden auf den Querschnitten fUr wahrscheinlich. Dagegen sind die kleineren Knötchen der
Länge nach deutlich durch Fäden verbunden. Grosse und kleine Knötchen entsprächen dem dunklen Querbande
der Muskelfasern. Zwischen je zwei auf einanderfolgeudeu Keiheii dieser alternirenden Knötchen sehe man die
Krause- Amici'sche Linie, diese werde von den Längsverbindungsfäden der kleineren Knötchen gekreuzt
und dadurch Rechtecke, welche zwischen je zwei einer oberen und je zwei einer unteren Reihe angebörigen
grösseren Knötchen mit ihren Quer- und Längsverbindungen entstehen, wieder in vier kleinere Rechtecke zer-
legt. Diese Structurvcrhältnisse sollen nur an jungen Muskelfasern zu sehen sein. An alten Muskelfasern, in
welchen die Differenzirungsvorgänge beendet sind und die „Muskelkörperchen" ihr Protoplasma vollständig
eingebüsst haben, sei es nur unter besonders günstigen Umständen möglich, die beschriebenen Structurverhält-
nisse zu erkennen. Je älter die differenzirte Substanz ist, desto mehr erscheine sie als die bekannten hellen und
dunklen Querstreifen der Muskelfasern.

Schliesslich wendet sich Bremer gegen die Auffassung der Trennungslinieu der Cohnheim'schen
Felder als Querschnitte von zwischen den Muskelsäulchen vorhandenen Scheidewänden und erinnert an die
von Heitzmann ausgesprochene Auffassung der Muskelfaser als ein aus protoplasmatischen Fäden bestehen-
des Netz, indem er annimmt, dass Heitzmann schon die Quer- und Längsverbindungen der beschriebenen
dicken Muskelstäbe (grösseren Knötchen) dargestellt habe.

Mit der Darstellung von Retzius stimme, wie Bremer sagt, seine Auffassung insoferne überein, als
Retzius, sowie er, die die Cohnheim'schen Felder trennenden Linien nicht als Querschnitte von Scheide-
wänden, sondern als Querfadennetze, gebildet von Zellausläufern der Muskelkörperchen betraclite.

In Bezug- auf die Lage der Querkörnerreihen weicht aber Bremer von Retzius ab. Ersterer nimmt an,
dass die Querkörnerreihen erster Ordnung den dunklen Querbändern, ihre Querverbindungsfäden derHensen'-
schen Linie entsprechen. Letzterer lässt die Körnerreihen erster Ordnung der Krause'schen Linie entsprechen.

Die Querkörnerreihen zweiter Ordnung entsprechen nach Bremer der Krause- Amici'schen Linie, nach
Retzius dem Hensen'schen Streifen.

Der Länge nach reihen sich die Körner erster Ordnung nach Bremer zu Längskörnerreihen erster Ord-
nung, das seien die bekannten Läugslinien (? der Verf.) der Muskelfasern. Alternirend mit diesen Längskörner-
reihen erster Ordnung bemerke man unter günstigen Umständen Längskörnerreihen zweiter Ordnung, welche
den mittelständigen Punkten entsprechen. Die Körner erster Ordnung seien die Knoten des die Cohnheim'-
schen Felder trennenden Netzes, die Körner zweiter Ordnung die Knoten eines feineren Netzes.

Darauf, dass die Körner im nicht geschrumpften Zustande als Stäbchen erscheinen, legt B rem er besonderes
Gewicht und daran schliesst sich der folgende Ausspruch von Bremer: „Es ist hin und wieder behauptet wor-
den, die Muskelstäbchen färben sich nicht mit Gold, dies ist einL'rthum, welcher sich aus dem Vorstehenden
erklärt. Mau übersah die Identität von Stäbchen und Körnern."

Ich glaube, dass gerade der letztere Satz über die Auslegung, die Bremer seineu Befimden geben will,
keinen Zweifel mehr übrig lässt, während die an die vorausgehendeu Beschreibungen geknüpften Darlegungen
Bremer's einer durchsichtigen Nachbildung seiner Vorstellungen, wie mir scheint, nicht besonders forderlich sind.

Also die Muskelstäbe, das ist also wohl die Sarcous Clements, sollen sich mit Gold färben und durch Fäden
der Quere und der Länge nach zusammenhängen"? Was ist aber dann die ganz respectable Substanz des
Muskels, die sich mit Gold nicht färbt? Was sind die dann uoch durch diese Substanz ziehenden feineren,
mit Gold gefärbten Netze?

Wir werden sehen, dass die Auffassung Bremer's für die Goldsäurebilder ganz unzulässig ist. Muskeln,
an denen die Sarcous Clements mit Gold gefärbt erscheinen, und man kann solche erhalten, sehen ganz anders
aus als Goldsäurebildev, an welchen, wie wir sehen werden, das Sarkoplasma mit Gold gefärbt ist.

Ich kann auch die Auffassung von Retzius und Bremer, dass auf Zellausläufer zurückzuführende Quer-
fadennetze den Muskel durchziehen, die in parallelen Querschnittsebenen des Muskels und in bestimmten Ab-
ständen entwickelt .sind, nicht theilen.

16*

124 Alexander Tiollett.

Was Retzin.s und Bremer mit Gold gefärbt salieu, ist das die Fibrillenbündel (Säulchen) des Muskels
trennende Sarkoplasma, welches an den vergoldeten Muskeln in eigenthtimliche Formen geprägt erscheint, weil
die fibrilläre Substanz der Muskeln beim Quellen in den Säuren, in welchen die Reduction der mit Gold impräg-
nirten Muskeln vorgenommen wird, sich ihrem gegliederten Baue entsprechend abschnittweise stärker und
rascher und abschnittweise weniger stark und weniger rasch verbreitert.

Wenn mau ganz frische, eben dem lebenden Thiere entnommene Käfermuskelu nach dem Verfahren von
Retzius vergoldet, das ist: sie in 1/5— 727oi&*;Cro^'^f^lo"'i'°^""8' t>"ig^ mit Nadeln (ich verwendete ausschliess-
lich Platinnadeln) etwas auseinanderzieht, 20 bis 25 Minuten im Goldbade verweilen lässt, und sie dann in
l«/oige Ameisensäure oder Bastian-Pritchard'sche Reductionsflüssigkeit bringt, so erhält man meist ver-
goldete Muskeln, welche sicii von den zuletzt beschriebenen Säurebildern nur dadurch unterscheiden, dass die
dort beschriebenen Balkeunetze und Knotenreihen stark roth, die Substanz zwischen denselben nicht oder nur
wenig roth gefärbt erscheint.

Ich habe eine sehr grosse Anzahl solclier Präparate von den verschiedensten Käfern hergestellt, will mich
aber hier über einen Theil derselben kurz fassen. An diesen Goldbilderu wiederholen sich nämlich zunächst nur
die früher an den durch Säure veränderten Muskeln beschriebenen Bilder. Ich werde nur wenig aar Ergänzung
jeuer Darstellung beizufügen haben, und länger nur bei solclien Goldsäurebildern der Muskeln verweilen, welche
unter den reinen Säurebildern nicht besprochen wurden.

Ich habe aber schon früher angeführt, dass die die Siiurebilder nachalimenden Goldbilder der Muskelfasern
nur eine Art von Goldbildern ist, die man von denselben erhalten kann, und dass noch eine zweite Art von Gold-
bildern der Muskeln gewonnen werden kann. Diese letzteren scheinen mir an sich, namentlich aber im Vergleich
mit der ersten Art von Goldbilderu so wichtig, dass ich denselben später eine besondere, eingehendere Bespre-
chung zu Theil werden lassen muss.

Was nun die erste Art von Goldbildern betrifft, so muss ich für den Di/ticus marginaUs abermals auf die
treffliche Besehreibung verweisen, welche Retzius von denselben geliefert hat, wenn ich mich auch der Deu-
tung, die Retzius den Bildern gibt, nicht anschliessen kann.

Im Vergleich mit den einfachen Säurebildern ist für die Goldbilder zunächst hervorzuheben, dass an den
letzteren die Knotenreihe II in der Regel viel besser hervortritt, und an viel zahlreicheren Fasern gut zu
sehen ist, sie kann aber auch an vergoldeten Muskelfasern vollkommen fehlen.

Merkwürdig ist das von Retzius beschriebene Bild mit drei Ordnungen von Körnerreihen (Knotenreihen).
Ich habe dieses Bild nur bei Dyticus, Cybisteter und Acilius mlcatus gesehen, und zwar an stark gedehnten
Muskelfasern. Es schien mir, als ob dann die Knotenreihen I und II feiner und zarter wären, als an den Fasern,
wo Knotenreihen III nicht zu sehen waren.

Es ist dieses Bild nach meinen Erfahrungen das Seltenste.

Bei den Muskeln der Dyticiden erscheinen die Knoten der Querreihen I an den Goldbildern immer ein-
fach. Bei den anderen Käfern ist eine doppelte (Fig. 17 und 18) oder eine einfache Querreihe der Knoten 1,
sowie an den einfachen Säurebildern zu beobachten. An den Muskelfasern von Oxythyrea stictica, Baijonycha
melanura und Canfharis rusfica sah ich auch die Knotenreihe II einige Male doppelt. Es war das aber nur an
wenigen Muskelfasern und selten der Fall.

Da die Knotenreihe II ihrer Lage nach dem Streifen /;, entspricht, richtete ich meine besondere Aufmerk-
samkeit auf Goldpräparate der Muskeln der gerade erwähnten Käfer, da ich an denselben, wie früher
angeführt wurde, den Streifen h doppelt beobachten konnte. Aber trotz dieser Bemühungen gelang es mir bei
Cetonia aurata und Tropinofa kirta nicht, entsprechende Goldbilder zu erhalten, was, wie schon angeführt,
bei Oxythyrea stictica und Bayonycha melanura gelang. Auch Cantharis rustica ist oben dafür angeführt, bei
diesem Käfer habe ich zwar das Goldbild, hingegen wieder nicht den doppelten Streifen h an unvergoldeten
Muskeln beobachtet.

Was Retzius für Aqxi Dyticus marginaUs anführt, nämlich, dass bei vergoldeten Muskeln nach einiger
Maceration in dem Ameisensäuregemisch sich sie Querfadennetze isoliren, gilt von allen übrigen Käfermuskeln

Untersuchungen üJier den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 125

auch. Es tritt der Zerfall der Muskeln in Scheiben, wie durch die einfache Säurewirkung oft in grossem
Umfange, immer aber an sehr vielen Fasern auf. Das ist aber hei weitem kein Zerfall in Bowman'sche
Discs, wie Bremer meinte.

Beobachtet man die isolirten Scheiben von der Fläche, so erhält man bei den verschiedenen Käfern ver-
schiedene Bilder, die mit den früher nach Säurewirkung beschriebeneu Bildern vollkommen sich decken, nur
sind dieselben wegen der rothen Färbung der Balken der verschieden angeordneten Netze um Vieles deutlicher,
als die nicht vergoldeten Säurebilder.

Eine besondere Erwähnung verdient hier das Goldbild, welches man von Hijdrophilus inceus erhält, und
auf welches Bremer zuerst die Aufmerksamkeit gelenkt hat. Beim HijdropMm umschliessen die Balken
ziemlich regelmässige, wenigstens nicht sonderlich verlängerte und verzerrte Polygone. Merkwürdig ist aber,
dass in der Mitte jedes Polygones eine kleine Figur auftritt. Diese erscheint rundlich oder drei- oder viereckig,
oder polygonal oder lang gestreckt oder sternförmig, mit einer beschränkten Anzahl von Strahlen. Dieselbe
erscheint durch Gold roth gefärbt wie das Netz der Balken selbst. Bremer führt noch an, dass diese von ihm
einfach als Punkt bezeichnete Figur durch feine, radienartig verlaufende Fäden mit der rothen Umfassung
der Polygone verbunden ist.

An den Goldbildern, welche ich nach der angeführten Methode, nach der Methode Bremer's und auch
nach der Methode Golgi's: Vorbehandlung mit Arsensäure, Goldchloridkaliumbad und Eeduction am Lichte
in Arsensäure, gelegentlich erhielt, konnte ich aber solche feine, regelmässige Brücken nicht beobachten.

Sind die kleineu Figuren in Mitte der Felder auch häufig sternförmig, so reichen doch die Strahlen nicht
bis an die Peripherie des Polygones, nur ganz ausnahmsweise reicht der Strahl eines Sternes so weit.

Es liegt hier meiner Anschauung nach, mit grosser Kegelmässigkeit wiederkehrend, ein Bild vor, welches
gelegentlich und vereinzeint auch bei anderen Käfermuskelu zu beobachten ist, dass nämlich nicht, Avie es zum
grössten Theile der Fall ist, die mit Gold gefärbte Substanz, die durch Gold nicht gefärbte, sondern umgekehrt
die letztere die erstere umschliesst. Bei Di/ticm margirialis hat, wie auch schon Bremer ' hervorhebt, Retzius^
in einzelnen von den Balken umschlossenen Maschen ebenfalls freistehende Balken, zum Theile aber auch in der
Mitte eines von den Balken umschlossenen Feldes nur einen rothen Punkt, der sich wie der Durchschnitt eines
Balkens ausnahm, angetroffen und in seinen Abbildungen Fig. 2, 3, 4 dargestellt. Diesen Befund kann man auch
an Säurebildern von Dyticidenmuskeln constatiren, siehe unsere Fig. 19 ^. Den merkwürdigen Befund an dem
Muskel von HythophUus werden wir später darauf zurückführen, dass bei diesem Thiere die Muskelsäulchen
hohle, röhrenförmige Gebilde darstellen. Mit den Goldbildern von Hydrophilus-Mnskeln übereinstimmende
Bilder erhielt ich auch von den Muskeln von Hydrocharis caraboides.

Ehe ich nunmehr hier auf die Frage eingehe, welche Deutung wir den Säurebildern und den ihnen ent-
sprechenden Goldbildern zu geben haben, bedarf die Art und Weise, in welcher wir die Säure auf den Muskel
wirken Hessen, noch einiger Worte der Rechtfertigung. Es könnte sich nämlich die Frage aufdrängen, warum
wir nicht ganz frische und noch erregbare, überlebende Muskelfasern der Wirkung der Säure aussetzten und
so die Säurebilder zu erhalten getrachtet haben.

Man kann das in der That ausführen, und man wird sich dabei überzeugen, dass das rasch auftretende
Endergebniss der Säurewirkung ist, dass durch feine Längslinien verbundene Knotenreihen und dem Quer-
schnitte entsprechend Balkennetze auftreten, wie wir sie früher beschrieben haben.

Man hat aber dann in der Regel nur Säurebilder vor sich, die sich aus dem contrahirten Zustande der
Fasern entwickelt haben, da die Säure die noch erregbaren ^luskeiu zunächst in den verkürzten Zustand über-
führt, aus welchem sich, wie wir später sehen wollen, ganz ähnliche Säurebilder entwickeln, wie wir sie früher
erhalten haben , die aber doch den aus erschlafften Muskelfasern erhaltenen Bildern gegenüber ihre eigene
Behandlung erfordern.

1 Bremer 1. c. p. 32S.

2 RetziuB 1. c. p. 5.

126 Alexander liolletf.

Wollen wir die Säm-ewirl<ung auf einen bestimmten Zustand der Querstreifung der Muskelfasern beziehen,
so müssen wir dafür sorgen, dass ein solcher sich vorerst durch Absterben in der Muskelfaser fixirt bat.
Natürlich werden wir dabei Sorge tragen müssen, zu zeigen, dass die verschiedenen Zustände der Quer-
streifung, wie sich dieselben in den Muskeln beim Absterben fixiren, auch bestimmten, am lebenden Muskel
vorhandenen Zuständen entsprechen. Es ist diese Frage schon von Engelmann' eingebend discutirt worden.
Wir wollen ihr nicht aus dem Wege gehen, sondern später zeigen, dass wir uns in dieser Beziehung der
Angabe Engelmann's anschliesseu müssen, dass alle früher für die erschlafften Muskelfasern beschriebenen
Querstreifen schon an lebenden Muskeln, während des ablaufenden Wechsels von Contraction und Erschlaffung
dieser letzteren entsprechend zu beobachten sind.

Von Muskelfasern, welche in verschiedenen Zuständen durch natürliches Absterben todtenstarr geworden
sind, wie man sie bei Käfern am besten erhält durch Abschneiden der Beine grösserer Käfer und Liegenlassen
derselben bis die darin enthaltenen Muskeln nicht mehr auf Reize reagiren, kann man mittelst IVoig'er
Ameisensäure oder Essigsäure, mit O.r/oiger Salz- oder Salpetersäure und sehr gut auch mit IVoiger Arsen-
säure, alle die früher beschriebenen Säurebilder und den Scheibenzerfall in Säuren erhalten.

Noch ein Umstand wirkt bei Application der Säuren auf frische Muskeln störend. Es tritt nämlich als
erste Wirkung der Säure im Muskel eine Fällung auf. Der Muskel wird zuerst weiss und körnig getrübt und
erst daran schliesst sich rasch das Quellen, wobei der Muskel wieder völlig durchsichtig wird. Wern man auf-
merksam die Säurewirkung verfolgt, wird man dieses vorübergehende Stadium der Trübung nirgends über-
sehen. Es ist aber an den Muskeln gewisser Tbiere viel deutlicher und ausgeprägter zu sehen, als bei anderen
und sind z. B. die Muskeln von Adams ßuviatüis und Maja squinado wegen der massigen Ausscheidung des
körnigen Niederschlages und der daraus folgenden grossen Opacität der Muskeln im Anfange der Säurewirkung
Jedem zu empfehlen, der diese Erscheinung studiren will.

An den Muskeln von Käfern, die 24 Stunden in 9;-}/„„igem Alkohol gelegen haben, kommt ein solcher
störender, körniger Niederschlag im Anfange der Säurewirkung nicht mehr zu Stande. Auch wenn die Säure
sehr langsam auf dieselben wirkt, tritt im Anfange keine oder eine kaum nennenswertbe diffuse Verdunklung,
niemals aber ein die Ansicht der Muskelfaser vorübergehend störender Niederschlag auf.

Diese und alle aus der früheren Darstellung zu entnehmenden Vortheile gewährt für die Herstellung der
Säurebilder die Verwendung von Muskeln, die man Thieren entnimmt, die vorher für einige Zeit in
Alkohol gebracht wurden, und ist auch noch besonders die schon früher erwähnte Thatsache hier in Erinnerung
zu bringen, dass es durch Verlängerung der Dauer der Alkoholeinwirkung gelingt, successive das Quellungs-
vermögen der Muskeln in Säuren zu beschränken, was wieder, wie schon angeführt, zum Vortheile der
mikroskopischen Untersuchung ausgebeutet werden kann.

Für die den Säurebilderu analogen Goldbilder besorgt die Behandlung der Muskelfasern mit dem Gold-
cblorid die Fixirung bestimmter Zustände der Muskelfasern, während die saure Reductionsflüssigkeit erst das
Quellen der Muskelfasern besorgt. Erst dadurch treten die mit Gold imprägnirten Theile des Muskels in Form
der beschriebenen Bilder hervor.

Was nun die Bedeutung der Säurebilder und der ihnen entsprechenden Goldbilder der Muskelfasern
anbelangt, so will ich nunmehr meine Anschauung darüber aussprechen. Ich werde mich dabei zwar vielfach
auf die schon vorgebrachten Thatsachen stützen können, muss aber auch den Vorbehalt machen, dass wesent-
liche Gründe für die Richtigkeit der darzulegenden Anschauung erst in den folgenden Abschnitten noch vor-
gebracht werden sollen. Dort werden wir sehen, dass die aus Fibrillen zusammengesetzten Säulchen auf Quer-
schnitten der Muskelfasern bei den verschiedenen Käfern immer die B^orm besitzen, welche der Form der
Maschenräume jener Balkennetze entspricht, die auf der Flächenansicbt von durch Säure isolirten Scheiben der
entsprechenden Muskelfasern zu sehen sind. Aus der Übereinstimmung der Form der Muskelsäulchen auf dem
Querschnitte der Muskelfasern (Cohnhe im 'sehen Felder) mit der Form der Maschenräume zwischen den

1 L. c.

Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern. 127

Balkennetzeu der durch Säure veräuderteu Muskelfasern wollen wir zunächst die Annahme herleiten, dass die
Hubstanz, welche in den Maschen jener Balkennetze (der Retzius'schen Qnerfadennetze) liegt, veränderte Sub-
stanz der Muskelsäulchen ist, das.s hingegen die Substanz der Balken einer zwischen den Muskelsäulchen vor-
handenen Substanz entspricht. Diese Substanz ist das Sarkoplasma, welches zwischen den Muskelsäulchen
liegt. In den nun folgenden Darlegungen kommen nur diese Muskelsäulchen (Fibrillenbündel) in Betracht.

Die Frage der Zusammensetzung der Muskelsäulchen aus Fibrillen und die Art des Zusammenhaltes der
Fibrillen in den Säulehen werde ich später behandeln. Hier sei nur bemerkt, dass dieser Zusammenhalt ein
solcher ist, dass die Veränderung, welche ein Säulchen durch Säurewirkung erleidet, völlig jener gleicht,
welche eine Fibrille erleidet, und dnss wir in dieser Beziehung ein Säulchen einheitlieh als verdickte Fibrille
aufzufassen berechtigt sind.

Der Zusammenhalt der Säulchen zur Muskelfaser ist von ganz aaderer Natur als der Zusammenhalt der
Fibrillen zu den Säulchen. Es kommen aber Muskelsäulchen vor von so geringem Querschnitte, dass man
annehmen muss, dass dieselben nur aus sehr wenigen oder einer einzelnen Fibrille bestehen. Auch der Ver-
gleich der sichtlich aus Fibrillen zusammengesetzten Säulchen mit solchen, welche nur aus sehr wenigen
oder einer einzelnen Fibrille bestehen, zeigt, dass wir zu der vorerwähnten einheitlichen Auffassung der
Muskelsäulchen berechtigt sind.

In dem Sarkoplasma müssen wir die thatsächliche Grundlage des supponirten Querbindemittels der
Muskelsäulchen erblicken. Wir wollen ferner vorerst mit Biderman, Gerlach und Anderen die Annahme
machen, dass dieses Bindemittel in der Längenrichtung continuirlich zwischen allen, verschiedenen Gliedern
der Fibrillen entsprechenden Abtheilungen der Muskelsäulchen vorhanden ist.

Ist nun in der That ein solches Sarkoplasma im Muskel vorhanden, durch welches die Muskelsäulchen
wie parallel neben einander liegende Fäden durchgezogen sind, so müssen wir demselben auf Grund der
Kenntnisse, welche wir von den mechanischen Eigenschaften der lebenden Muskeln und dem Vorgange der
Muskelcontraction haben, gewiss einen hohen Grad von Plasticität zuschreiben.

Hätte es die letztere nicht, sondern wUrden die elastischen Kräfte des Sarkoplasmas nur eine einiger-
massen constante Gleichgewichtsfigur desselben bedingen, so wäre mit der Anwesenheit des Sarkoplasmas
für die Verkürzung und Verdickung der Muskelfasern ein gegen alle mechanische Zweckmässigkeit
verstossender grosser Widerstand gesetzt.

Wir wollen uns nun vorstellen, dass diese Plasticität des Sarkoplasmas erhalten sei in Muskeln, welche
in Säuren quellen, und dass die Quellung, welche dabei die Säulchen in ihren einzelnen Abschnitten erleiden,
ebenso wie im lebenden Muskel die Contraction der Fibrillen bedingend auf die räumliche Anordnung des
Sarkoplasma wirke.

Wie müssten wir dann das Sarkoplasma in einem durch Säure gequollenen Muskel angeordnet tinden,
wenn wir nicht wie früher einen einzelnen Querschnitt, sondern die Faser in toto ins Auge fassen ?

Offenbar werden bei dieser Anordnung präformirte und erst während des Quellens entstehende Bildungen
so ineinandergreifen, dass man sich sehr hüten muss, sich auf einen einseitigen Standpunkt des Urtheiles über
diese Bildungen drängen zu lassen.

Ich will darum den doppelten Standpunkt, welchen wir diesen Bildungen gegenüber einzunehmen haben,
dadurch noch näher kennzeichnen, dass ich sage, auf dem Querschnitt des gequollenen Muskels (Fig. 17 C,
Fig. 18 A und Fig. 19 A) drückt sich vorzugsweise die präformirte Anordnung des Sarkoplasmas, dagegen auf
dem Längsschnitte des gequollenen Muskels in den durch Fäden verbundenen Knoteureihen I und II
(Fig. 17 ^, B, D, Fig. 18 B, Fig. lil B, Fig. 20 und Fig. 21) vorzugsweise eine nicht präformirte, nur dem
gequollenen Muskel zukommende Anordnung des Sarkoplasmas aus.

Ich pflichte Retzius vollkommen bei, wenn er die Körner seiner Körnerreihen als optische Querschnitte
der Fäden seiner Qnerfadennetze ansieht.

Auch ich halte die Knoteureihen I und II, Fig. 17^, B, D, Fig. 18 B, Fig. 19 B, Fig. 20 und Fig 21 nur
fdr die optischen Querschnitte der Balken der auf den Querschnitten sichtbaren Balkenuetze. Und ebenso

128 Alexander BollefL

glaube ich wie Ret/ius, dass diese Baiken in der Längeunclitung des Muskels durch zarte Häutcheu mit ein-
auder verbunden sind, als deren optische Querschnitte sehe ich die Verbinduugsfäden der auf dem Längsschnitte
des Muskels sichtbaren Knotenreihen an.

Die helle Substanz, welche im Säure- und Goldbilde auf dem Längsschnitte des Muskels eingelagert erscheint
zwischen die scheinbaren, in regelmässigen Absfänden zu Knoten angeschwollenen, parallel neben einander
in der Längenrichtung des Muskels laufenden Fäden, ist dann oiFenbar die Substanz der Muskelsäulcben.

Wenn das sich aber so verhält, so ergibt sich zunächst für Bilder wie Fig. 20, dass die SuV^stanz der
Muskelsäulcben am gequollenen Muskel breit erscheint, zwischen den feinen Fäden, dass sie aber entsprechend
den Knoten der Knotenreihen I und II eingeschnürt erscheint. Zur Verständigung über das Gesagte betrachte
mnn die schematische Fig. 22. wo in Ä das dunkle Sarkoplasma und die helle Fibrilleusubstanz in einander
gelagert erscheinen, während in B nur die Contouren angegeben sind, in welchen Sarkoplasma und Säulchen
aneinander grenzen, weil so die Form der gequollenen Säulchen leichter zu überschauen ist.

Was wir soeben über die Form der Säulchen des gequollenen Muskels vorgebracht haben, ist, wie ich
betonen muss, der directen Anschauung entnommen, wenn wir einmal als festgestellt betrachten, dass das,
was hell erscheint, am gequollenen Muskel die Substanz der Muskelsäulcben, das wüs dunkel erscheint, die
Substanz des Sarkoplasma ist. Um aber nun zu einer stereometrisclien Vorstellung über das Sarcoplasma
einer Muskelfaser in toto zu gelangen, wollen wir uns zunächst der Einfachheit wegen an die Querschnitts-
bilder Fig. HB, Fig. 12 B und Fig. 18 A erinnern. Dort können wir die Anordnung des Sarkoplasnias mit
der Anordnung des Wachses auf dem Querschnitt einer Honigwabe vergleichen.

Stellen wie uns nun eine solche Anordnung in der ganzen Länge einer Muskelfaser vor, so würden wir
von Serienschnitten, die senkrecht auf die Axe angelegt würden, immer dasselbe Bild erhalten, wenn die Dicke
der Wände und die Durchmesser der Lumina des Zellenwerkes immer dieselben bleiben würden.

Stellen wir uns aber nun in regelmässigen Abschnitten die Wände abwechselnd verdickt und wieder
verdünnt und die Durchmesser der Lumina des Zellenwerkes entsprechend das eine Mal klein, das andere Mal
gross vor, dann würden abwechselnd Querschnitte sich ergeben, auf welchen ein Netz von dicken Balken
kleinere Maschenräume, dann wieder solche, aufweichen ein Netz von zarteren Balken grössere Maschenräume
umschliessen würde und ein Längsschnitt bei solcher Anordnung würde Bildern entsprechen können, wie sie in
Fig. 20 und 22 zu sehen sind.

Was wir soeben an das Querschnittsbild, Fig. 18^ anknüpfend entwickelt haben, wird nun nicht schwer
sich auch auf Anordnungen übertragen lassen, die dem Querschnitte Fig. 17 C und Fig. 19^ entsprechen.

Das in der Längenrichtung des Muskels vorhandene abwechselnde An- und Abschwellen der Dicke der
zwischen die Muskelsäulcben eingeschobenen Sarkoplasmawände au dem mit Säuren behandelten Muskel ist
etwas Artefactes. Es kommt diese Anordnung erst während des Quellens der Säulchen zu Stande, und zwar
deswegen, weil die Säulchen abschnittweise in Folge der Quellung sich viel stärker verbreitern, als in den
dazwischen liegenden Abschnitten, so dass, wenn man sich die Fibrilleusubstanz vor und nach dem Quellen frei
vorstellen würde, sie im ersteren Falle die Form von gleichmässig dicken Fäden, im letzteren Falle die Form
von Fäden hätte, die absatzweise bauchig erweitert, dann wieder halsartig verengt u. s. w. erscheinen würden.

Steckt die Substanz der Fibrillen, während dieser Quellungsprocess an ihr vorgeht, nocli in dem sie um-
gebenden Sarkoplasma, so wird dieses aus den Zwischenräumen dir bauchig anschwellenden Abschnitte
verdrängt werden, dagegen in den Zwischenräumen der verengten Abschnitte sich ansammeln.

Ich glaube, dass die früher über die Veränderlichkeit des Bildes des quellenden Muskels vorgebrachten
Thatsachen nicht leicht eine andere Deutung zulassen.

Nach diesen allgemeinen Auseinandersetzungen muss ich auf die verschiedenen Bilder, welche das
Sarkoplasma am gequollenen Muskel darbietet, besonders zurückkommen. Es kommen Anhäufungen des
Sarkoplasma zwischen den schmäler gebliebenen Abschnitten Z und N der Fibrilleusubstanz (Knotenreihen I)
Fig. 19 B und Fig. 20 I, I, — und zwischen den dem Streifen h entsprechenden mittleren Partien von Q vor
(Knotenreihen 11, Fig. 20 II, II). — Die Knotenreihe I kann aber auch doppelt vorhanden sein (Fig. 17 A, B,D,

Untersuchungen über den Bau dir quergestreiften Musheifasern. 120

Fig. 17 B, Fig. 21) und diese Bilder gehen nachträglich manchmal noch in solche mit einer einfachen Knoten-
reihe I über. Solche Bilder können nnr dadurch zu Stande kommen, dass im gequollenen Muskel sowohl die
den Schichten Q entsprechenden Abschnitte der Sänlchen, als auch die den Schichten Z entsprechenden
Abschnitte der Sänlchen breit erscheinen, während zwischen beiden die Verengerungen liegen, zwischen
welchen sich das Sarkoplasma angehäuft hat. Die der Scliiehte Z (Fig. \1 A, B, D, Fig. 18 B) entsin-echenden
Abschnitte erscheinen aber dann nicht ans demselben Grunde verbreitert wie die Abschnitte Q. Diese rer-
breitern sich durch Quellung und geben damit den Anlass zur Verbreiterung der ganzen Muskelfaser und zur
Verschiebung des Sarkoplasmas in die Zwischenräume der Abschnitte der Muskelsäulclien. welche durch
Quellung sich viel weniger verbreitern; daher die Knotenreihen. Das Verhalten der Schichte Z, welches
bedingt, dass die Knotenreihen I bleibend oder vorübergehend doppelt auftreten, kann nicht durch Quellung
der den Schichten Z entsprechenden Fibrilleuabschnitte erklärt werden, sondern muss, wie ich glaube, zurück-
geführt werden auf eine Verbreiterung, die an der Schichte Z ähnlich wie bei der Dehnung einer Kautschuk-
]>laffe eintritt. Wir haben schon früher auf eine durch besonderes Festhaften des Sarkoplasmas an den Mantel-
ilächen der Fibrilleuabschnitte Z oft'enbar erst beim Behandeln des Muskels mit Reagentien zu Stande kom-
mende Art von Homogenisirung der Schichten Z der Muskelfasern hingewiesen.

Ich stelle mir nun vor, dass diese auch vorhanden ist, wenn die Bilder mit doppelten Knotenreihen I
auftreten, und dass in den Fällen, wo solche Bilder nachträglich in solche mit einfacher Knotenreihe I übergehen,
das dadurch geschieht, dass die anfangs in die Quere gedehnten Abschnilte Z der Muskelsäulchen wieder
zusammenschnurren, und so das Sarkoplasma zwischen denselben sich ansammeln kann.

Es muss aber jetzt hier auch angeführt werden, dass das Sarkoplasma unter der fortgesetzten Einwirkung
der Säure seine Formbarkeit nach und nach einzubüssen scheint. Wir müssen uns in dieser Beziehung an das
erinnern, was früher über die Umwandlung der Säurebilder Fig. 11, Fig. 12, Fig. 13, Fig. 14 und Fig. 15 in
solche von dem Chai akter der Säurebilder in der Fig. 18 gesagt wurde. Es besitzen ferner die beim Scheiben-
zerfall in Säuren isolirten Balkennetze des Sarkoi)lasmas ein stark lichtbrechendes, starres Aussehen. Endlich
verweise ich auf Bilder wie Fig. 21, wo sich zwischen den verdickten Sarkoplasmabalken I, I und derFibrillen-
snbstanz mit Flüssigkeit gefüllte Räume gebildet haben, deren äussere Grenzen durch die Contouren der enger
gebliebenen Abschnitte der Muskelsäulchen gebildet werden. In diesem Bilde ist ferner die plattenförmig aus-
gezogene Schichte Z und die ganze, dem gequollenen Muskel entsprechende complicirte Configuration der
Substanz der Muskelsäulchen in sehr durchsichtiger Weise wahrzunehmen.

Unter den Goldbildern von DtjUcm wurde früher auch das von Retzius' beobachtete und abgebildete
Vorkommen von Körnerreihen I., IL, und III. Ordnung erwähnt.

Ich habe dieses Bild, wie schon angeführt, auch beobachtet, aber immer nur an vergoldeten, niemals an
einfach mit Säuren behandelten Muskeln. Und im ersteren Falle fand ich es sehr selten, auch wenn die
Muskeln im stark gedehnten Zustande vergoldet wurden.

Ich habe mich mir davon überzeugen können, dass die Knotenreihen III. Ordnung noch im Bereiche der
Schichte Q auftreten, und in dieser Beziehung erinnern sie an die doppelten Knotenreihcn II, deren ich früher
bei einigen Käfern gedachte. Während man aber bei den Muskeln dieser Käfer an nicht vergoldeten Muskeln einen
doppelten Streifen h beobachten kann, dem dann die doppelten Knotenreihen II entsprechen, wie sonst dem
einfachen /t die einfache Knotenreihe II, ist mir an nicht vergoldeten Muskeln der angeführten Dyticiden ein
mehrfacher Streifen h, dem die Knotenrenreihen II und 111 entsprechen könnton, nicht vorgekommen, wohl aber
habe ich bei den Muskeln anderer Käfer, und zwar bei Hijdropki/iis, bei Fimelia, bei A2:)hüdius rufipes und bei
Dolopius man/iiuitus eine eigenthümliche Beschaffenheit der die Schichten Q zusammensetzenden Stäbe
wahrgenommen.

Dieselben zeigten nämlich nicht eine Einschnürung, wie sie öfter dem Streifen // eutS])rechend auftritt,
sondern eine Reihe von Einschnürungen, so dass ein nioniliformes Ansehen dieser Stäbe zu Stande kam.

' Itetzius 1. c. ]i. 8, Fig. 9.

Deukschrifteu der luatlteni.-nalurw. Gl. XLIX. Bd.

17

130 Alexander Rolleff.

Entsprechend diesen EinsclinUning'eu liefen dann eine Reihe von parnllelen feinen Streifen dnrch die .Schichte Q.
An Goldprilparaten von Apliodius ruf2^es suchte ich aber vergebens nach eutspreehcnden Bildern.

Es ist also die an Goldpräpavateu von Dyticiden manchmal wahrzunehmende mehrfache Einschnürung
der gequollenen Fibrillensubstanz und die entsprechend derselben auftretende mehrfache Ansammlung des
Sarkoplasmas, deren Ausdruck die Knotenreiheu IE und III sind, nicht ohne Analogie. Woher diese besondere
Beschaffenheit rührt, ist freilich nicht anzugeben.

Es sind aber aus der Reihe der verschiedenen Goldbilder, welche man bei der Untersuchung von Käfer-
muskeln erhalten kann, noch einige andere besonders hervorzuheben, die dcrDeittung Schwierigkeiten entgegen-
setzen, die aber andererseits gerade durch die Art, in welcher sie von den regelmässigen Goldbildern
abweichen, diu Deutung unterstützen, welche wir den letzteren gegeben haben.

Es wurde schon früher auf ein Bild hingewiesen, welches bei den Aphodim-kviCiW und anderen Scarabäiden,
z. B. bei den O/iflwjjJiagus-Arten, bei Elüzotrogus sohfitinlis und Hoplia squammosa ganz regelmässig auftritt
und im Vergleich mit anderen Querschnittsbildern vergoldeter Muskeln, an denen ]K)lygonale Balkennetze
beobachtet werden, sich etwas besonders ausnimmt.

Man vergleiche in dieser Beziehung das in Fig. 23 nach einem Goldpräparate von RhisotroyiiH sohtilialif!
dargestellte Bild mit Fig. 18^. Es sind das zwei extreme Fälle der Formen, in welchen polygonale Balkennetzc
auf dem Querschnitt zur Beobachtung kommen können. Das eine mit zarten, aber sehr gleichmässig dicken
Balken und regelmässig runden Knoten; das andere mit viel gröberen und nielir unregelmässigen Knoten und
theils dickeren, theils dünneren Balken, theils von Knoten zu Knoten wechselnder Dicke des einzelnen
Balkens.

Bei den Bildern der letzteren Art muss man besonders aufmerksam sein, um von dem richtigen Sachverhalte
sich zu überzeugen. Es treten nämlich besonders bei nicht ganz entsprechender Einstellung die Knoten und
starken Balken so überwiegend im Vergleich mit den dünneren Balken hervor, dass es den Anschein haben
kann, als ob vergoldete Cohnheim'sclie Felder von einem hellen Geäder umfasst vorliegen würden.

Umsomehr ist diese Gefahr der Verwechslung vorhanden, als, wie wir später sehen werden, Bilder, wie
ein solches in Fig. IIB dargestellt, in denen in derThat die Cohnhcim'sclien Felder von einem breiten hellen
Geäder umfasst erscheinen, unter Umständen auch im vergoldeten Zustande der Muskeln, und zwar wirklich mit
rothgefärbten Feldern erbalten werden können. Das gehört aber schon der für später aufbehaltenen Erörterung
einer zweiten Art von Goldbildern an, die, wie ich angekündigt habe, von den Goidbildern der ersten Art wohl
unterschieden werden müssen. Das in gewissen Fällen beide concurriren können, soll auch später gezeigt
werden.

Eine weitere Art besonderer Goldbilder, welche ich als ganz unrcgelmässige Bilder bezeichnen muss, weil
sie an Stelle der für gewöhnlich bei denselben Käfern zu beobachtenden regelmässigen Goldbilder oder mit
diesen in verschiedenen Fasern desselben Thieres, ja sogar an verschiedenen Stellen derselben Faser
abwechselnd auftreten, habe ich am öftesten bei Dyticiden, aber gelegentlich auch an anderen Käfermuskeln
beobachtet. Bei Bijticus marginalis sah ich sie, wenn ich die Muskeln ganz so vergoldete, wie früher augegeben
wurde, so häufig, namentlich wenn ich Stückchen der grossen pyramidenförmigen Muskeln vergoldete, die
von der FlUgelbrust zum letzten Beinpaare gehen, dass ich nicht zweifle, dass Nachuntersucher sie ebenso leicht
finden werden, wie ich.

Solche Bilder sind in den Figuren 24, 25 und 2G dargestellt. Sie unterscheiden sich von den regelmässigen
Bildern zunächst dadurch, dass derbe, durch Gold roth gefärbte, bandförmige, stellenweise verdickt und
dunkler, stellenweise verdünnt und heller, nach den Seiten unregelmässig ausgebogen oder ausgezackt
erscheinende Massen den Muskel der Länge nach durchziehen (Fig. 24 und 25). Je derber diese Bänder
auftreten, um so weniger sind die Knotenreihen I an denselben zu sehen, je mehr jene Bänder noch an die bei
regelmässigen Goldbildern vorhandenen feinen Längslinieu erinnern, desto deutlicher treten auch die Knoten-
reihen I an denselben hervor. Man vergleiche in dieser Beziehung Fig. 24 und Fig. 25, welche letztere einem
stark gequetschten Muskelstückchen entspricht.

Untersuchungen über den Bau (kr quergestreiften M/isl-elfnsern. 1 3 1

Die Knoteureihen II habe ich an solchen Muskeln nie g-esehen. Den Knotenieiheu I entsprechend zieht
.sieh ein vöthlichevTon der Quere nach durch den Muskel und dieser schlie.sst die Knotenreihen zu Querstrcii'cn,
die in ziemlicli reg-elmässigen Abständen aufeinanderfolgen, aber meist unregelniässig geschwungen sind.

An Bildern, wie Fig. 24, kommt auf diese Weise zwischen je zwei der derben Längsstreifen das Ansehen
von Strickleitern zu Stande.

In Fig. 26 ist ein Stück einer Faser gezeichnet, an welcher das regelmässige Goldbild mit Knotenreihen I
und II in das unregelmässige Goldbild übergeht, was häufig zu beobachten ist.

Ich kann nicht angeben, welchen bestimmten Ursachen das Auftreten des uuregelmässigen Bildes zuzu-
schreiben ist, und ob dasselbe eine ganz bestimmte ungewöhnliche Bescliaifenheit der Muskelsäulchen oder
des Sarkoplasmas oder beider zur Voraussetzunji,' bat.

Wichtig ist aber das Folgende. Solche Muskelfasern sah ich niemals in Scheiben zerfallen. Da es mir
aber von grossem Interesse war, doch das Querschnittsbild derselben zu sehen, so zerliackte ich auf einem
Objectträger solche Äfiiskeln mit einem scharfen, quer zur Faserrichtung angelegten Scalpelle.

Es gelingt auf diese Weise bei einiger Ausdauer und Übung leicht, eine Anzahl sehr vollkommener Quer-
schnitte zu erhalten. Dieselben zeigen, abgesehen von einer deutlich hervortretenden massigeren Wirkung der
Balken, dasselbe in seinerAnordnung eharakteristische Balkenwerk, wie es an den regelmässigen Goldbildern
entsprechenden Fasern zu sehen ist.

Endlich ist hier auch noch eine andere Aliweiehung der Goldbilder zu berühren. Sie besteht darin, dass
die Knoten der Reihen 11 gelegentlich bei der Vergoldung der verschiedensten Käfermuskeln ebenso stark
entwickelt hervortreten kiinnen, wie die Knoten der Eeihen I, ja, dass sich sogar das Verhältniss der Grösse
beider umkehren kann.

Die Knoten II sind dann meist sehr verlängert. Ein solches Bild, und zwar \im der ersterwälmten Art, an
welchem zugleich die Knoten der l.'eilie I eine eigenthümliche regelmässige Schiefstellung zeigen, ist in Fig. 27
von Lacon mnrinm stark vergrössert dargestellt.

Hier ist aber der Ort, wo ich vorläufig abbrechen muss. Ich werde auf die letzteren Bilder zurückkommen,
wenn icii später von den früher schon angekündigten Goldbildern anderer Art handeln werde.

Ich glaube, dass die nun hinlänglich besprochene Vielgestaltigkeit der Goldbilder auf dem Längsschnitt
der ^luskelslasern, zusammen mit der relativ grossen Coustanz des Aussehens der Querschnitte vergoldeter
Muskeln nur im Rahmen der Auffassung des Muskelbaues, welche wir früher festgehalten haben, zu verstehen ist.

In einem zweiten Theile dieser Arbeit, welcher bald nachfolgen soll, werde ich über Muskelquerschnitte,
Kernvertheilung in den Muskeln, über die Muskelfibrilleu, über das Verhalten der Muskelfasern im polarisirten
Lichte und über die contrahirte Faser bandeln, und damit neue Belege für die Richtigkeit meiner Deutung der
Säure- und Goldsäurcbilder der Muskelfasern erbringen-

Zum Schlüsse möchte ich noch anführen, dass ich versucht habe, durcli ein Schema die Vorstellung zu
veranschaulichen, welche ich mir von dem Verhältnisse des Sarkoplasma und der Fibrillensubstanz in Muskeln,
die durch Säure gequollen sind, machen muss. Ich Hess mir zu dem Ende in Steariidcerzen in bestimmten
Abständen ringförmige Furchen eindrehen, stellte die Kerzen, dann in sehr kleinen Abständen neben einander
auf und goss sie in röthlich gefärbten Gyps ein, so dass die dann entstehende compacte Masse die Form eines
Cylinders oder Prismas hatte.

Werden solche Prismen dann vertical durchschnitten, so erhält man Bilder, die so aussehen wie z. B.
Fig. 22 A oder Fig. 17 A, und zwar entspricht, was dunkel in diesen Bildern erscheint, dem gefärbten Gyps,
was hell erscheint, den ausgedrehten Kerzen. Querschnitte durch I (siehe Fig. 22) gelegt, zeigen am Modell
ein Netz breiter, rother Balken mit kleinen Maschen, Querschnitte durch II ein Netz von schmäleren Balken mit
grösseren Maschen. Querschnitte zwischen I und II ein sehr zartes Geäder mit sehr weiten Maschen. Aus
durchsichtigem Materiale hergestellt, würden solche Modelle die Bilder noch mehr verdeutlichen.

62 Alexander Rulleff. Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern.

ERKLÄRUNG DER TAFELN.

TAFEL 1.

Fig. 1. Schema.

„ 2. Zwei Miiski.'lt'asern von lli/i/iaii/ii/iis piceiis in Scheiben zcrfiillen.

„ :5. Mu.skeliascr von Ojmtrtiin xtibulosinii in Scheiben zerfallen.

„ I. Leeres Sai-koleninni eines in Scheiben zerfallenen Muskels von ScarabucKs /ulii-dl/is.

„ n. ,1, li, Ü. Schemata <ler Q,neistreifen der Käfcnnuskeln.

TAFEL H.

Fig. <J. Muskelfaser von Curiibiis caiiceHaliis mit Gewölben an den Seiti-n.
„ 7. MnsliOlfaser von AphoiHus rufipes in Scheiben zerfallen.

,. .s. Muskelfaser, von Vtevostichm trwisversalh mit Gewölbebildnng an den Seiten und anlsitzendeni Nervenliiigel.

., 9. Nervenhügel einer in Scheiben zerfallenen Muskelfaser von Hydrophilus pi'ceus.

., 10. Nervenhügel einer in Scheiben zerfallenen Muskelfaser von Apliodiiis t-nfiiKS.

TAFEL III.

Fig. 11. .-1. In Scheiben zerfallene Muskelfaser von Äphodiiis rußjies nach sehr schwacher Säurewirkuug, ß. Querschnitt einer

Scheibe.
„ 12. A. In Scheiben zerfallene Muskelfaser von Aphodim rufipes nach etwas stärkerer Sänrewirkuug, B. Querschnitt einer

Scheibe.
„ V.i. In Scheiben zerfallene Muskelfaser von Aphodiiis rufipes nach schwacher Sänrewirkuug.
„ IL In Scheiben zerfallene Muskelfaser von Aphodhts rufipes nach schwacher Säurewirkung.
„ 15. Muskelfaser von Chlaeiiius Schraiiekii nach schwacher Säurewirkung.
„ 16. Muskelfaser von l'i/ruchroci cocciiiea nach schwacher Sänrewirkuug.
,, 17. vi Muskelfaser vou Sluph/jliiius ciiesareiis nach starker Säurewirkung, ß. Scheibenzerfall in der Säure, C. Flächen-

ansieht, JJ. Seitenansicht einer isolirten Scheibe.
„ 18. A. Flächenansicht einer durch Säure Isolirten Scheibe einer Muskelfaser vou Lhcadioii niorio, B. Seitenansicht der

Scheibe.
,, 19. A. Flächenansicht einer durch Säure isolirten Scheibe einer Muskelfaser von Culi/mbeiesfusoiis, B. Seitenansicht der

Scheibe.

TAFEL IV.

Fig. 20. Muskelfaser von Cijhistetcr Ifocse/i nach starker Säurewirkung.
„ 21. Muskelfaser von Stenonia.r /(aiipes nach starker Säurewirkung.
„ 22. Schema.

,, 23. Fläehenansicht einer nach Goldsäurewirkung isolirten Scheibe einer Muskelfaser von Bhizotrogtis sulslilialis.
„ 24. Muskelfaser von DijUcus »Ktryinidis vergoldet.
„ 25. u. 26. Dasselbe.
„ 27. Mu.skelfaser von Lucuii muriims vergoldet.

A. Rollett: Untersuchungen über den Bau der (piergestreiften Muskelfasern.

Taf. I.

Fig.1.

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Fig. 3.

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M.Schuster et A. Rollett del.

Lith.von .Ieykani"in Graz.

Denkschriften d. k. Akad. d.W. math. naturw. Classe XLIX. Bd.I. Abth.

A. Rolletl: Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern.

Taf.Il.

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M.Schuster et A.Rollett del. • ■>

Denkschriften d.k. Akad. li. W. math. naturw. Classe XLIX Bd.l. Abth.

A.Rollett: Untersuchungen über den Ban der quergestreiften iVluskelfaseni.

Taf.IIl.

Fig. II A

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M.Schuster et A.Rollett del.

Lith.von.Leykam'in Graz.

Denkschriften d.k. Akad. d.W. math. naturw. ClasseXLIX.ßd.l.Abth.

A. Rollett: Untersuchungen über den Bau der quergestreiften Muskelfasern.

Taf.IV.

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M. Schuster et A.Rollsüdel. Lith.von.Leykam'in Graz.

Denkschriften d.k.Akad. d.w. Triath.naturw.ClasseXLIX.Bd.I.Abth.

133

ENTWICKELUNGEN

ZUM

LAGRANGE'SCHEN REYERSIONSTHEOREM,

UND

mmm ik^eiie^ iüf i lim v '■«'^»^■^»^''^ ™'

II ULii iiMiLLaiMifiii mmi

VON

Phof. Dr. E. AVEISS,

WlKKl.ieilKM MITGMKPK PKR KAISKRLICHKN AKADKMIK hl-l: WlSSr.NSCHAKTKN.

VOKGEI-KGT IN DKK SITZUNG AM 20. NOVEMBKll 18S1.

Die Lagrange'sche Revcrsionsformel lässt in der Gestalt, in welcher man sie gewöhnlich auf-
schreibt, in theoretischer Beziehung an Eleganz, Einfachheit und Übersichtlichkeit wohl nichts zu wünschen
übrig; wenn man aber in speciellen Fällen daran geht, eine grössere Anzahl von Reihengliedern nach dieser
Formel wirklich nicht blos symbolisch zu cutwickeln, gestaltet sich die Arbeit in der Regel so weitläufig
und zeitraubend, dass sie thatsächlich so gut wie unausführbar wird. Ich erinnere in dieser Beziehung nur an
die Keppler'sche Gleichung, eine der denkbar einfachsten Anwendungen des Lagrange'schenTheoremes.
Schon bei der Lösung der Gleichung:

Ez=M+i sin E, '

nämlich der Entwickelung der excentrischen Anomalie in Function der mittleren greift man, um bei der Aus-
führung der erforderlichen mehrfachen Differentiationen von Potenzgrössen nicht in allzu grosse Weitläufig
keiten zu verfallen, zu dem Kunstgriffe, zuerst die Potenzen des Sinus in Sinusse des ^vielfachen Bogens zu
verwandeln, und erst dann die Differentiationen vorzunehmen, wird aber dadurch auf Reihen geführt, die zu
einer effectiveu Berechnung der excentrischen Anomalie ganz und gar unbrauchbar sind. Allein nicht blos
die exeentrische Anomalie, sondern auch jede beliebige Function derselben, wie:

log (—^ — log( 1 — icos E)

sin E.sjl—i^ I /! + £ , E\

c = arctg V = 2arctg L tg-)

cos E — £ vy -i— ^ ^ I

lässt sich mit Hilfe des Lagrange'schen Lehrsatzes theoretisch mit gleicher Leichtigkeit als Function
der mittleren Anomalie darstellen: praktisch indess ist ein solcher Versuch bisher noch nie unternommen

134 E. \Vei,^is.

worden, und zwar cinfacli desslialb, weil es zn ganz unübersehbaren Rechnungen führen würde. Man wäldte
daher lieber den Umweg, diese Functionen zunächst nach anderen Methoden in Reihen nach den Cosinussen
und Sinussen der excentrisclicn Anomalie zu entwickeln, dann diese Cosinusse und Sinusse mit Hilfe unseres
Lehrsatzes in Functionen der mittleren Anomalie umzusetzen, und nun erst die so erhaltenen Wertbc in die
früheren Reihen zu substituiren.

Es ist mir nun gelungen, durch eine zweckmässige Gruppirung der Ausdrücke, welche bei einer wirk-
lichen Ausführung der im Lagrange'schen Lehrsatze blos angezeigten Differentiationen auftreten, nicht nur die
erforderlichen Operationen in expliciter Form übersichtlich darzustellen, sondern auch die ganze Gliedermasse
in ein Conglomerat von Poteuzrciiien zu zerlegen, und den nach der Snmmirung dieser resultirenden Ausdruck,
wieder so umzustellen, dass er abermals in eine Summe von Potenzreilien übergeht, u. s. w. Die auf diese
Art gewonnenen Reihen besitzen daher die Eigenthümlichkeit, dass jedes weitere Glied, welches man berück
sicbtigct, auch noch einen Theil der Glieder höherer Ordnung mitnimmt, wodurch der Bau des Restes dieser
letzteren sich successive immer mehr vereinfacht, und die Convergenz der Entwickelung nicht selten eine sehr
namhafte Steigerung erfährt. Durch diesen Umstand untersciieideu sich auch die hier entwickelten Reihen
sehr vortheilhaft von den meisten Formeln, die man zur näherungsweisen Berechnung von Functionen anwen-
det, hei denen in der Regel blos eine bestimmte Anzahl von Anfangsgliedern genau wiedergegeben wird,
während der Gang der Glieder höherer Ordnung ein ganz verschiedener i.st. Diese Entwickelungen sind
daher auch sehr geeignet, einfache und interessante Näherungsformeln zur Berechnung der hierhergeliörigen
Functionen zu liefern.

Um an einem speciellen Beispiele die Brauchbarkeit meiner Formeln nachzuweisen, habe ich sie auf die
schon so vielfach bearbeitete Keppler'sche Gleichung und die damit im Zusammenhange stehenden Pro-
bleme augewendet, und glaube damit gezeigt zu haben, dass durch die vorliegenden Entwickelungen die Ein-
gangs hervorgehobenen Schwierigkeiten, welche sich bisher einer allgemeineren Anwendung des I^agrange'-
scheu Theorems entgegenstellten, — in vielen Fällen wenigstens — wesentlich vermindert worden sind. Ferner
habe ich damit, wie mir scheint, die erste praktisch brauchbare directe Lösung der Aufgabe geliefert,
in einer massig excentrischcn elUptischen Bahn, aus der mittleren Anomalie nicht nur die excentrische,
sondern auch mit Umgehung derselben unmittelbar die wahre Anomalie und den Radius vector oder
dessen Logarithmus zu finden.

Zum Schlüsse habe ich noch ein paar einfache Näherungswerthe für die eben genannten Functionen
angeführt, die aus meinen Formeln fliesseu.

§. 2.

Der Lagrange'sche Reversionssatz lautet bekanntlich:

wenn z bestinnnt ist durcli die Gleichung:

z-x+<xf{^ 2)

Wir werden im Folgenden statt ij^(j;), y'(.r), y"(;c)...; f(.r),f'(.f'),f'\.r)... zur Vereinfachung blos schrei-

il" fix)
ben: y, y', o;" ...;/■, /", /''•••; ebenso werden wir uns für , der allgemein üblichen Bezeichnung T)"/'

bedienen. Dies \()rausgesetzt, ist die Form des allgemeinen Gliedes, abgesehen von dem Factor ip- :

Führt man hier die angezeigten Differentiationen, welche allgemein die Form T)'/'' haben, successive
ans, so erhält man nach und nacii:

Entwickchmgen zum J^a (jr an ge' sehen IxcversioDslhcoynn, etc. 135

=pD'-^ [(p-l)(p-2)ij^-5)f"-^r+ g)(j,_l)Q;_2)i.v-3.^'^+ g)Q>-])i^-^)/-'+^V ' ]

also allgemein:

+ (|) (/'-!) • • {p-q + ?>)F\r''+'''f"' '+ (|)(J'- 1) • ..{p^q+A)FiP-':+^-^f:-^+ . . .

+ ... (^^Yp—]) . . .(p^q + ni)F[i;-'>^'"-') /■''i-"'+ ... j 4)
wcim uiau abkiirzimgsweise setzt:
i^W =/•'•/■"
F^)z=if'-f"' '

j'^i'-.' =/■'•/■• +io/,'/'''-'/-7"'

Ff^f'-r' + bl-p-' {3f"r+2f"'^)+lbk{k—l)f'^-^f"'^

Ff = ['■/■'" +7kf-\3f"f +bf"'f")+10bk{k-l)p-YY'

F(/> = Pf "'+Uf''- ' {Af"f' + %f"'f+br^) + 10h (I.— Df" ' (3f"^f"+4:f"f"'^) +

+ 10bk (/.■- 1 ) {k-2)f'-''f'\
F«=/'7''-^ + G/.:f-'((3/'7'*''+14/-"7''+21/'7M + 14Ä:a" ---!)/•'■-

+ 1 2mk{k- 1) (/.: - 2)f - Y"7
i'W — /• Y^ + 3Ä- /■'•-' ( lö/'"/-'- '" + ■J (y'" /■'■" + 70/'" / " + A2f 2) H- ] OöA- i^Ä-— 1 •) /•'-= ((:;/■"«/■" + 24f"f"'f +

+ 1 5^vyv, 2_^ 20/'" Y" ) + 31 r)OÄ;(/c- 1 )( A'- 2) f'^-\fi^p + 2/"V"'2j + 945/>( /,■- 1)(A - 2 )(k—3)f -"/"■■
/'/• ' = /''7'"+ 1 1 /.■/•-' (5/'"/'" + 1 bf'"f' '" + 30/''7"'+ 42/' /■' ') + 165Ä^ [k- 1) /''-= (ßf'^f " + 28f"f"'p ' +
+ 42/'7'" /■' + 28/'"'7' + 35 /■"7" 2 ) + 770/,- ( /,•— 1) ( A-- 2 )/'-3 O/''^'^ +4bfY"f" + 20f"f'"^) +

+ 17325/i-(A:— 1)(A-— 2)(A'-3)f'-V"7'"'

Zwischen diesen /'-Functionen besteht folgende, einfache Relation, nach welcher man sie successive sehr
bequem berechnen kann:

Ff = DFij;) -kf'Fi^-')+3kf"F(['-') ■,

Ff)—DF^) -kf'F<-^-')+4kf"F(^-*) I

F'!-'' = D Fi''' —kf'Ff-^^ + bkf" F^''~'> C !'■*

Lässt man in der Gleichung 4) g = /- undj;=:« + l sein, so wird:

D'f"+'z=(n+l)H{n~l)...(n-r+2)f"-- + 'f''-h ('^) (m+1). . . (H-r + 3j i'"^"-"+2)f '-= +

+ (!;)(// + 1).. .{H-r + 4) F}^'-'+'^>f''-~^ + . . . (^''Yn + l) . ..{H-r+m+l) F'-'^-'+'-'P'

136 E. Weiss.

Siibstituiit man hierin der Reihe nacli r^n, n — 1, n — 2..., so ergibt sich:

D"f^' = (h+ 1) . . . 2/J'" + («) («+!)... Sf'"-^Ff' + g) (•«+ 1) . . . if'-'Fi^) +

+ {'^)(n + r)...bf"'-^I'X^+.

+ ("4 ^) ( " + 1 ■) • ■ • 6/'"'-' ^'T^ + • ■ • ) '')

"-2)(„+l)...7/'"-«i^i«i+...'

also endlich mit Rücksicht auf 3) nach einigen leicht ersichtlichen Transformationen und Umstellungen:

"u;

+

Führt man nun weiter die Bezeichnungen ein:

A;= -!./-''^"+ ~ {10Ff>f" + mF^Pf"'+bFff+F^^)f')

X = I, /■>'"+ ^ ( 1 bF ('■•) f ■' + 207'^!,'-'> f" + \ hFf f + GFif 'f"+ Ff ^')

A;= ^/"V'+i^j (21F(,')y*' +mF^^if + -ihF^^'^f"-^2\Fi:'<^'"+lF^^)f"+Fff')

X,,-^J''f+^^(Z&F[Pf''''+%AFi^-'f'''-^\2&Fff''+\2QFf^-'+MF^^)f''+mFf)^^^^

+F(^^f>

II

Enhoickelungen zum Lagrange 'sehen Reversionstheorem, etc. 137

so wird:

Miiltiplicirt man diese Gleichung mit a"-^^ und substituivt man dies dann in die Gleiehnng 1), so erhält
das Resultat die Form:

y(0) = y+aX, (1+ «/■'+ aY"+ «Y'^+ «*/■'*+ «5/-'^+ «6/'«+aY"-^-...)^-
^-«*X^(l^-2«/•'^- HaY'^+ 4aY'*+ 5aY'*+ 6aY'' + 7aß/'8+ ...) +
+ «'ir3(l + 3«/'+ 6aY''^+10ay=*+15«V'* + 21«Y''+ •••) +

+ ««Zg(l+6af + 21«Y"+---) +

+ «"X,(l + 7af+...W,

d. h.

Sucht man blos 0, d. h. ist f{z) =: ^;, also f =1 .r, y»' =: 1, f" = ijj'" = y" ^z ... =0, so schrumpfen die
X auf ihre letzten Glieder zusammen, und man hat einfach:

oder explicit geschrieben:

+ ^f {fr+m"f") (iZ^)'+ ^r(/V"+ 30f [3f'Y''+2f' "'J +450f'3) (^^

9)

9*)

Die Anwendung der hier entwickelten Formeln bietet besonders dann grosse Vortheile dar, wenn man
mehrere Functionen von z zu suchen hat, weil dafür ein Theil der Arbeit, die Berechnung der i<^-Functioneu,
(Gleichungssystem I) nur einmal durchgeführt zu werden braucht.

Die X lassen sich wohl ohne Schwierigkeit aus dem Systeme der Gleichungen I und 11 zusammensetzen :
für die X mit höherem Index ist es indess immerhin eine ziemlich zeitraubende Arbeit. Sie mögen daher hier,
in expliciter Form gegeben, um so mehr einen Platz finden, als wir sie in dieser für die folgenden Untersu-
chungen benöthigen.

X, =

1

~1!

ff'.

X,--

1

~ 2!

ff.

X,--

.1

ff

+

1

2!

rr'f'-

X,--

1
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DdüLschriftea der inu,tk6Ui.-iiatur\v. Gl. XLIX. Bd. J 8

138 E. Weiss.

x,=y'V'+ 2T3! f"f"f" + 3T2! ^'^"'^"' + iTv. f(fr+'^M"')'f"+ ^rc^r+öor/"")?'.

^8 = ||^'y'""+ 215!/"^"/'+ STT! / V-"'/+ 413!^ (fr + 21/-"^)?'^+ ~ fifr +W f") f'" +

+ gj^f [f/'^ + SöASr/'" + 2/''"') +030/-"»]^"+ If [f /-" + 49/-(3fY'+5r'r) +

+ 4410/'"V"'J?'-

^9 = c^r?" + 216!^^''^'"+ 3T5! ^''^■'''^'■■'+ 414! ^'^^^^^

+ g^f [/■v"+4o/-(3fY-+2f"^)+84o/"-^j'^"'+ ^ r'[pr'+b6f{3f"r+bf"'r)+

+35280/'"*]f'.

+ QOf'f") f+öYW\ ^' [^''^" "^ ^^f(^f"f" + ^Z"'"'') + 1080/'"--'] ?" + y^ f [/■' /"" + 63f{3f"r +

+ bf"'f"') + 7560/""Y"'Jy'"+ ~ /"« [/'•Y'"" + ß3p(4f"f' + Sf"/-' +5/" ^) + 5040/'(3/-" Y" +

oll!

+Af"f""-) +52920/-"*] y"+ ^, /•«[/•3/-'v^54^-2,(5^//^-m_^14^v// /•"+91/vvy-') + 1008 /•(27/'"Y^ +

90f"f'f" + 20f"'^) + 635040/-" Y'"'J?' ■

^.= r^r'y-+ 2/8!^"^'>"+ 3^!^"^''>''''+ 4r6!^'^^/'"^^

+ 100^7"')?"+ g^/«[/-Y"+50/'(3rr + 2r") + 1350f"3] f+ JL f[ff" + 10f(ßf"r +

+5/-"7--)+ 9450/"Y'">" +gj^/"'[/'Y""+70/Y4/"/" +8/-"7-'+5/" ^)+6300/(3/"Y'* +

+4/"/"'«) + 75600/'"*] 53"'+ g^/-'[/'Y"'+60/-^(6/'7-""+ U/'"'/" + 21/'' Y') + 1260/(27/-" Y'^ +

+ dOfff" +20f "3)+ 907200/-"^ /■"'] j."+ -1^ /«[/•*/^ + 30/-3(i5/-";'""+40/-"7--" + 70/-'Y'" +

+42/"*; + 9450/« (Ü/"" Y"+ 24/" f"/" + lbf"f"^+20f"'^f ■' ) + 2268000/ (/"s^v,- _^2/" Y'"^)

+4762800/"'^] y'.

+ 10/"/"') f" + ^ /9 [/ Y " + bbf(sf"r + 2/"'^) + 1 650/"''] 5. " + ^ /9 [/ Y'' " + nf{3f"r +

+5/"'/'^)+11550/"Y""'] y'+ gj^ /»[/Y'""+77/« (4/-"/"+8/"7-'+5/"^) + 7700/(3/'Y'" +

III

Enhvickehmgen zum Lag ränge' sehen Reversionstheorem, etc. 139

-4f"f"'^) + 103950f'*J ^" + ^plpf' +6Qf\6f" r"+ Uf"'f"+2\f"f) + lb'^0f{21f'^f +
-90f''f'''f'' + 20f'''^) + 1241400f''^f'''\f'''+^^J'[f^f'+33f\lbf''f'''+40f'''^
-A2f'^) + UbbOf\Q,f"^f+2Af"f"'f'' + lbf"f'^+2Qf"'^f ")+3118b00f(f"Y' +2f"^f') + V ni
- 7484400 f"^] 5?"+ -^ f \ff" + 12\f ibf'f" +lbf"f"'+3Qf"f"+A2ff') +
-181bOp{6f"''f"'+28f"f"'f" -h42f"f"f + 2Sf"'^p + 3bf"'f"") + 7ß2S00f(9f"^f +

+4bf"^f"'f" + 20/'"/-'"3)+ 137214000/'"*/'"] f' ■

Die im vorigen Paragraph ausgeführten Summationen kaun man leicht noch weiter treiben. Führt man
nämlich Kürze halber die Bezeichnungen ein:

«

!—«/■'

^ = Cf-^^

1— «f
so gewinnt die Gleichung 8) die Gestalt:

f {z) = f+X^ C+X^ t'+X^ C'+ • . • +X<"+ ... 8*)

Substituirt man darin die eben gegebenen Werthe der X, und setzt man für den Augenblick noch :

SO kann man die Glieder auch folgendermassen gruppiren :

1 //>» r, 5 9 7 „ 21 , 33 . -|

+ ^ f'"^' [i +|-i^+ t/+ !-.'/'+ T^*-^- ■ •] -^

+ IT?'"'?* [l+ 2y + Iy^+Gy3+ ^y*+ . . .] +

+ ^/C-^[i + |-^ + V+^8%^+ ■■] +

10)

18*

140 E. Weiss.

45

1 r *1 55 n

o!

2/^-

1 ({8/'"7"'' + 5/'"'ä} y'+40/-"Y'>"+40/''"^y"')r t^(8+45«/+ ...] +

5760

10)

^ (j6f' y^+erri y'+ {24/''"/''' + 15/'"^)y" + 60f"f>"'+4Of"2y»)?»C2[9+55^-

17280

+ i^rY^'C'[72+495y+...l +

Die iu eckige Klammern eiDgescUossenen Reilieu siud, wie leiclit ersichtlich, wieder Potenzreiheu, und
können demgemäss summirt werden. So ist:

,1 1 , 5 3 7 , 21 j l-v/l^ 2

2^' 2^ ^ 8^^ 8^ ' 16^ y -1+^132^

5 , 7 3 21 , 33 , /l-V^l-2yY / 2 ^^

1 3 9 „ 7 3 45 , /l-\/l-2yx3 2 N3

2''4-'2^8'' V y I \x^sj\—2yl

, „ 7 2 ß 3 165 4 /1-V/1-2//X* 2_ X4

^2-^ ^ 16 -^ V y I Vl+y^l_2y/

1 5 r. E "^5 3 /1-^1-%V . 2 >5

1 + 17 i/ + 5»^ + - M^+ . . . = ( I = ( 7

1 Q 27 , 55 3 /l-V/l-^i/V / 2 y.

l + 3</+--r w^+ ~r</ + • . ■ = ) = ( , )

Enhoickelungen zum Lagrang^schen Reversionstheorem, etc. 141

.5 21 , 21 , 105 ,. 1 /l-v/l-%N=» 1 , 2 ,3

,,..,.. 1 /i-v'i^yv_ 1 , 2

l+3// + 7//^ + 15i/^+. . . =

V^l-2y ^ i/ ' v/l— 2y'u+v/l— 2//

i-^r-2^v^ 1 ^ 2

i+2i/+9i/+ 8 y+..._^__.^ ^ ''-v'r=2-/(i+v^r=2i/)

45

1 ,l_v/i_2^,6

1+4+-.«+ 1 /i-Vi-:^yy^ 1 2 6

; 9 55 , 1 /1-v/f^A'

1 + 0-^+ ^2/ +•■• =

2-' 4^ ■■■ ^i_2y'^ ^ ^ y^l_2y'U+v/l-2<

l+5v/T=2y /l— \/i'-^^5 ■

6 + 28(/+yU//

lUI,/2.

(1-22/):

495 1+6V/1-22/ ^l-V/l-22/V

7 + 3bM H 7-«/^+ . . . = — ^ — "

4 (l-2y)f

l + 7v/l=2i/ .1_n/I=2^.t

8+45tf+ . . . = r. — •

{l-2y)i ^ y I

l + 8v/l=% i_v/i=2^ «
9+55//+ . . . = ^— • ( )

3+2Vl-2//+48(l-2,/) .l_v/l-2yy

72 + 405tf+ . • . = . -■ ■ 1

(l-2y)T '^ y '

_ 3+24 v/l— 2^+63(1-2//) ,l_v/lZ.2^.8

110+...=

(l-2//)f ^ 2/

3+ 27 \/l— 2y +80(1— 2^) ^l_y/lir2^,^9

Unter Einführung der Bezeichnungen :

V

Ü 1- sjl-iff

1 + V^l- 2// 1 + n/1 - 2/f' 2/^ py

f

c* V rv

^" = 7I3i^[(«-2) v/l-2y+l].r-'^

^'' = - ^' ,5 [(^>-2)(/<-4)(l-2yl + 3(/.-3)N/r^+3>"-^
(1 — 2(/)T

(2/=f/"C*)

142 E. Weiss.

gellt daher die Gleichung 10) über in :

r,2 •>,•■! >,* .,S

+ i(?g(/'"y + 7/'"?"+21/>"'+35f' ^" +35f' >' )+ . . .]

+ ^{%f"'f+br^)f'"+2f'"f"f''+r^f') +

+ |{2/-'7''+3rri'/''+l{8/-'T+5r'!?" + -|rr>^+r*y") + • • •]

^ 10*')

Ehe wir weiter gehen, wollen wir vorher noch erwähnen, dass die F, Q, B, S, . . . genannten Ausdrücke
in folgendem Zusammenhange stehen:

^"-'n—l ■ dC

B„ = C.' .

., d{Q„_;)

S„^i:'

dli } IV*

d(B„_,)
dt

Die Gleichung 10*) lässt sich noch wesentlich vereinfachen, worauf wir später zurückkommen werden.
Vorläufig wollen wir sie nur noch auf eine für die Berechnung von f (z) bequemere Form, die der Gleichung 8*),
zurückführen, d. h. sie nach steigenden Potenzen von ^j entwickeln und nach denselben ordnen. Dazu erinnern
wir uns der Bedeutung von^:

,^_ 2/-C _ i_v/i^2/f^

^^ l + \/l— 2/f"C* f'C

Daraus folgt:

2f+fy

■"...ü

C 2p

\/i—2ff"c^ 2f—fy

Entioicicelungen zum Lag ränge' sehen Reverfiionstheorem, etc. 143

und damit ergibt sich vermöge der Gleichungen IV:

s„ = ^ [(«-i)(«_2) + |«i«-n [Qp' + . . . ]

Mit Hilfe dieser Formeln lässt sich nun die Gleichung 10*) leicht in die gewünschte Form :

y(2) = 5.+P,^, + P,;/+P3^j'+P,p*+ ... 11)

umgestalten. Bei Ausführung der einfachen Rechnung ergeben sicli für die P die Werthe:

P^

=y

P.

=y

Pz

n

-4!^ +3!

^5

"~5!^ 4!

7[rv'+4/->"i

n

~6!^ 5!

^[(/r + i(:rr'')?^'+5//-5."+ lo/f >'"]

n

7r 6!

. ^ [(//•"-!- 15fY" + 60/'"'«)y'+6(/;^' + 10/'-7"Oy"+ 15/'/"<p"'+20^'"'y'' ]

P.

= 8^""+^!

+ 21/(//'' + 10/-"/-"')y'"+35/'Y'>"' + 35/-Y"'!p']

P,

9!^ 8!

1 [(/y '" +/',|28/''y"+448/''"'/-' + 280/-" ^j + 140 J3/'"Y" + 28/'y""'l V+

+ 8(/Y'''+/'{21/T + 280/''Y''| ^-1680/•''Y''0?''+28/■(^''+15/'Y'' + 30f''^■)»''' +
^-56/■(7^+ lO/^Y"')?" + ''O/'V" y^ + 56/'y'"y"]

VI

Die Gleichung 1 1 ) hat wieder ganz die Form von Gleichung 8*), indem sie sich von derselben nur dadurch
unterscheidet, dass dort nach steigenden Potenzen von C, hier nach solchen von p entwickelt ist. Eine Ver-
gleichung der Coefficienten, hier der P, dort der X (§. 2, Gleichungssystem III) ist aber sehr lehrreich: sie
zeigt, dass durch die neuerliche Summirung nicht nur der Bau der P wesentlich einfticher geworden ist, sondern
dass sich aucli durch das weitere Herausziehen eines Theiles der Glieder höherer Ordnung aus den späteren
Gliedern, die in den Entwickelungen auftretenden numerischen Coefficienten ganz bedeutend verkleinert haben.
Die Gleichung (11) wäre daher der früheren (8*) in jeder Beziehung vorzuziehen, wenn nur die Grösse i^
nicht viel complicirter gebaut wäre als 'C. Indess kann man auch diesen Ubelstand zum grossen Theile
wenigstens durch folgende Betrachtung heben.

144 E. Weiss.

Führt man die Hilfsgrössc r; eiu, mittelst der Gleichung:

^3« =

r

l-(^)f

f« =

i + V'-i'

so wird:

'^ = ^^-- ^xr. I7:r..

i+v/i-2^t^ sj^+Y"' ^^^~9"''

= 7^[v/-f--V-f']

/■

I r.,*, ^ri.,8, 33 r.,„

Betrachtet man also in Gleichung 2) die Grösse a als eine kleine Grösse, sagen wir als eine Grösse
erster Ordnung, so sind f und r, ebenfalls Grössen erster Ordnung und es unterscheidet sich jJ von -n nur um
eine Grösse fünfter Ordnung. Man kann daher in der Gleichung 11), ohne den Charakter derselben wesentlich
zu ändern, p durch die einfachere Function v? ersetzen: Der ganze Unterschied beschränkt sich darauf, dass
die P von Pj. an, etwas complicirter ausfallen.

Die Berechnung von

, /iZZü^ \/ti— D^-r«^
V /■ '

lässt sich durch l'^inführung von trigonometrischen Functionen auf eine sehr einfache Weise bewerkstelligen.
Sind nämlich:
aj /"und f" gleich bezeichnet, so wird für:

bj f lind /' ungleich bezeichnet, so erhält man für:

sin 0 — <■ . / ' -

V f '

V f"

tgO.

lält man für:

t.. = y ^.

-■\/-ff"

.-,/ f

V f"

. sin 3.

Bereits die zwischen den Grössen 2^, Q, B, S, . . . stattfindende Relation, noch deutlicher aber der Hau der
obigen P-Functionen (System VI) lässt erkennen, dass mau auf dem hier eingeschlagenen Wege mit der
Summation schrittweise immer weiter fortfahren könnte. Ich bin auch überzeugt, dass es immeriiin ein
gewisses theoretisches Interesse hätte, diesen Gedanken weiter zu verfolgen. Doch erlaubt es mir meine
sehr knapp zugemessene Zeit niciit, derartige zeitraubende Untersuchungen auszuführen; ich muss mich daher
damit begnügen, dieselben hier angeregt zu haben, und deren Ausführung Mathematikern von Fach überlassen.

§.4.

In der Gleichung 8*) (§. 2) können übrigens die Glieder nach dem Einsetzen der Werthe der Xnoch auf
mannigfache andere Weise derart zusammengefasst werden, dass sich damit erhebliche Vereinfachungen

Entwickelungen zum Lagrange' sehen Reversionstheorem, etc. 145

erzielen lassen. In theoretischer Beziehung eine der interessantesten und wichtigsten Gruppiruugen dürfte aber
die folgende sein:

y(.) = (y + jly'+i!-y"+|^y'"+. . .) +

*^ /•//9>riv.9 / .1 / . r S // ,-» ^ flf

+ ^frec^ (öy'+ei^ j>"+7i5-y"'+8 |ly"+ . . .) +

+ gy (4fr'" + 8/''r +5/'"^c^r'' (8y' + 9^?"+10|j-'/"+ . . .) +

+ g^(6fy*''+i4/'T'+2irrx'^* (v+iO]T ?''+i^lr ?'''+•••) +

+ j^( ]5/-"/-""+40/'"'f " + 70/■'7■"+42/■'^)c»C' (lOy'+ll ij- y"+ . . .) +

+ ^(5/-"/-" + 15/'"y"" + 30/''7"'+42/-7")?'"C\ll?'+ • • • > +

+

+ i^/-'^c:V-^(]5y' + 2li^j.''+28i^5.'''+36i^y-+45|-^'+55^y''+

+ 4T/"'TTC''(2]f + 28^ y''+36 i^'/''+45||- y''+55|ly^+ . . .) + ^ ^^^

140 .,....„ „ .„.,/„. , „. q „

+ -ff (Srr + 4/r"')?'C' (28y'+36 ^^ f+4b ^f'+bb^^-+ . . .)

+ |^(27/-"V"+90/-"/'"T + 20/-'"='if?»(3Gy'4-45^ y"+55 ijly"'+. . .) +

+ |L ^Qfi%f>,_^24:f"f"'f + 15/'"/'"2 + 20/-"'Y'^)C»^'(45y'+55 ^ij- y"+ . . .) +

+ ^(6/'''Y''' + 28fy'7-''+42f7'Y'+28/''''V''+35/-'7-''')c:^r'»55^'+. . .) +
+ •

+ ^/-"*^-^C*(565.'+84A.y"^120|^y"' + 165^y"-

+ ^/•"Y'"l'*C*(84y'+ 120^/ + I65i^y"'+ . .

+ ^ ^ffY' + 2f"Y"^}^'^^ (l20y'+ 165 -^ f "+ . .

+ Zf. (9f'3^^+45/-"Y"y" + 20/'"/-""3)C8^4(i65y'+ . . . ) +

+

+ ^y.//5^6^r. (210^'+ 33o| y"+ . . .) +

+ ^/■'T"^'C\330y'+ . . . ) +

+

Döokschriftea dt>r maiUam.-naturw. Gl. XLIX. Bd. t9

146 E. Weiss.

Es ist aber bekanntlich :

5^(0; + 0 = ? + j ?' + I; ?"+ ^ '/"+

f'i^+^) = ?'+j?"+^y"+i//'-

Ferner hat man :

n\i £ „ r /2m t' - '-^- -'

W^'

[,»+ (;).]4,»+[„.+ (?)„. g)]|,'". [.„+(?)„+ (I)]!-:,»

my' + [»» + (l ) «] T '/'+ ['« + (l) " + (2)^^] 1] ^"'+ h + (1) '* + (2,) P + (3)] 3! ?" + • • • +

+ [m + (']) « + QiJ + (3)]^ ^•■'^"+ • • • = »w?'<-''+4';) + " ^ ^"(■«+?)+ij|j y'"(,B+t:)+|j ^'^(.p+t )

u. s. w.
Mit Hilfe dieser Keductionsformeln erhält unsere Gleichung 12) die elegante Form:

<f{z) = f(x+t) + L^'^>'(x+t) + L^o"{x+'i) + L^'/"[x+'i]+ . . . 12*)

Dabei bedeutet:

+ Y^[y/"+ ^/■7"'?+ 1 (3/'"/- +2/-'"^)f-+ 1 (3fr+bf"r ^^'+

+ i. (4/7" + Sf'"r + 5/'" ')C*+ ^ ( 6/'"f " + Uf'r '+21 /''Vit-' -f

+ |. ( 1 ö/"/'""' + 40/-"y"' + 70/-'7'' ' + 42/'' ^ )t« +

+ il(5/'"/-" + 15/-'"/""+30/-7'"'+42/-7'')4''+ . . .] +

+ ^ ( i]f"-^f> ' + 24/''y'"/'' + 1 rv7" ^ + 20f"'^r )4* +

384

+ _ll--(6/'"V"'+28/"/'"'f' +42/'7"f + 28/-"'y'+35/""y" 2)f + . . . 1 +

/L84 b 0(b J

- l' r vi 'Th T

!_r_/-"5 4. _f"Y'"t> ...

Entwickelungen zum Lagrange' sehen Reversionstheorem, etc. 147

+ JL(6/-"7-'+24/"f"/' + 15/7-"^+20/''"y">?*+ . . .] +

/^'"r 7 '-i TS -]

f'V3
+ ■

-[ir*...]-..

i. =p[^r+ -^/■'T''^+ 5^(3/''T'+4/T''rK^+ ^^

f*Ll6 ' 32' ' -^•••J

Zwischen den einzelnen Gliedergruppcn von L^,L^,L^. . .bestehen sehr merkwürdige einfache Relationen,
die nicht nnr deren Berechnung sehr erleichtern, sondern uns auch einen tieferen Einblick in das Wesen und
die Bedeutung der ganzen Entwickelungen gewähren. Es ist nämlich:

y,n^ ^rr?+ ^(3/7'" +2/-"'^)^^+ l(3/-r+5rr')f+ ^ {Af"f'+H"T+'^r')^'+ ■ ■ ■ =

= ——f"+—f"'+ — r+—f+ ..]

4g f "+ j^f"r"^+ 5^ (3rY" + ¥'f""^^' + 2592Ö ^^'^^"^" +w'f"r+w"w+ ■ ■ ■

1/1 t f^ t* ^^

11 1 1 / 1 f f* N*

.384' "^288' ^ '"^1152'' 1^-11 '^^■■■-TlW ^3!' ^4!' ^•■V

^ f" + ^ /■"/■'"C + ^ ' 3f'/" + 2/-"'^ ' ^'' + ^ « ^'r^ + öf 7'" ')?'+ ^ ( 4/-7"+ 8f"f +5f ^«)^*^

^r+ |r+ £r+ |r+ • • ■) (r+ 4rc+ |ir+ |r+ • ■ •)

^/■"'+ ^f"T"^+ ^ (3f' y" + 4/-"f"2)f + JL_(27f' Y'+90/-y'r+20f'''»)f + . . . =

^f"+i^f"+ ^r+ 5i ^' -*- • • •) (^"+Yr^+ Irr + hf^---)
3^r + 4rr'ir+ j^ < /-"y« +2rr")f + . . . =

= 2 y"^ k"-^ h/"-^ ■■■) (f"^^r^+y"+ ■■■)

19*

148 E. Weiss.

-|/''"+ lf"Y"t+^(Sf"Y'^+4f"f"')C~ + ^{^v'"T+m'"rr +2o/-"'3if + . . . =

\f"+ |r+ y"+ ■ ■ -Tilf'"^ ^-^f"f"''i+ -48 m"r+m""w+ ■■■)

Schreibt man also abktirzungsweise :

/• V2!' 3!' 4!' 5!'

so ist

L^ =; X + XÄ + XIJI.+ . . .

Lj = — /£* + y.*Ä + x2v+ . . .

1 „ 1 ... )vni

L, =

X

3 — 3 1 •■ ■ 2 !

Damit kann man nun wieder die Gleichung 12*) wesentlich zusammenziehen. Ordnet man sie nämlich
wie folgt:

f{z) - ^f(x + ^)+xf'{x + ^)+ ^>cV'(x+r) + ^xy"(a;+C)+ lx*y"'(a;+|)+ . . .] +
+ xA L'(x+?) + xy"(a;+?) + —^ xy"(x+^) + . . . J +

80 erkennt man auf den ersten Blick, dass sie nichts anderes vorstellt, als:

f(z) — '^(.r + f+x) + xXai'(x+t + x) + y'(x+r)|x,u+ . . . \ + ij)"[x+t)\->i}v+ ...]+... 13)

worin man auch if+x ersetzen kann durch seinen Werth:

-i[/-(x+C)-^f].

Entwickdungen zum Lngrange'schen Berersionstheorem, etc. 149

Die Deutung dieser Gleicliuug ist nicht schwer. Da für a i= 0, 2: := x wird, kann man im Allgemeinen

setzen. Wir lernen daher durch unsere Entwickelung eine Form kennen, auf welche die ersten Glieder der
Function ■^ gebracht werden können, und zwar:

^(a,x) ^ f , genau bis auf einschliesslich Glieder zweiter Ordnung

^ia.,x) — c+k = j{f\x+^)—t,f'\, „ „ „ „ „ vierter „

§.5.

Wie bereits im §. 3 angedeutet wurde, ist die Gleichung 10*) dort noch bei weitem nicht in der einfachsten
Form angesetzt, deren sie fähig ist. Sie wird schon dadurch noch \i&\ durchsichtiger als sie ohnehin ist, wenn
man sie auf die nachstehende Art gruppenweise nach den Functionen y', y",y"'. . . ordnet:

^(z) = {y + j-^rf' + Y,/f^ 3!^'''^"'+ 4!^'*'/' + •■•) +

+ ?"[^r(>..+ ^r Q.+ y <?;+ y-Q,+ • • •] +
+^[^^"''?"+ h'"^^-'^ y Qs+y^'Q,-^ ■■■] +

+

^ 12
+

+

_1_ ,rl ,.,„„ 3
216

■i >#r 1 „</>.>,, 3

+ ^ ?' [37 r's.o+ 4! rr An + 475^ ^4/-"T+5rr^)^',.+ • ■ •] +

1 r 1 H T I m'" r 1 T

150 E- Weiss.

Die erste Horizontalreihe lautet mm einfacher geschrieben: (pix+p); der ganze folgende mit den
Functionen Q multiplicirte Gliedercomplex geht, wenn man nach System IV die Q durch ilire Werthe in jj
ausdrückt, über in:

Zwischen den E, S,. . . finden abermals nach System IV die Eelationen statt:

Ä„_,.,„ r=p"' S„ H , p"'^'R„ H ,- p"~^li,„-

\/i—2ff"i:^ \/i^2ff"i:^

Damit kann man der mit den R multiplicirten Gliedergruppe bei entsprechender Zusammenfassung der
einzelnen Parthien die Form ertheilen:

1 rl
12

Endlich kann man die letzte Gliedergruppe zunächst folgendermassen umbilden:

Drückt man jetzt in der letzten Horizontalreihe ß^,L'^,B.j. . . nach der obigen Formel noch durchwegs
durch R^ aus, welches gegeben ist, durch die Gleichung:

- p L

so gewinnt man die Formel:

{i-2ft"^^y ^" ■

Entwickelungen zum Lag ränge' sehen Reversionsfheorem, etc. 151

Auf Grrund dieser Umstellungen fuhren wir die Bezeiclmungeu ein :

+

I\ = 1^ • iJ%"^ [31 f" + li /""/"'^^ + ^5! * •-^'"^" + 5 /■'" 'i^' + fT! ' ^^■'"/■' ' -'- •^/■" ^'^ '^'■■' +

1 ^ r 1 ^ S

_i_ I \_fiir.ii.> •^fi"U"r^ • (4/'"'V'+5/"'/'"^i7i' + 1 +

■ 1 f'^i

21G(1— 2/7''

- Swü^""''+ ^/■"'■r"i^+ 4^, i4ry'+5r/-)7.^+ . . . ]

IX

1 D^^^ r 1 3 1

•^-216- rm^ +4!^ 1 p+---\

{l—2ff"li^)~

Dies vorausgesetzt, haben wir:

'j,(z) = y(j;+/y) + 7i,^'(/r+^) )+-6r2y"(.r+^y) + /v.,5i"'(;.r+yj )+ . . . 14)

Es erübrigt uns jetzt noch die Grössen K^, K^, K^. . . nach steigenden Potenzen von ^) zu entwickeln, um
sie in einer, zu ihrer Berechnung geeigneteren Form zu erhalten. Dazu dient uns das schon einmal (§. 3) zu
demselben Zwecke verwendete Gleichungssystem V, mit Hilfe dessen sich R,„ S„ . . . leicht als Functionen
von^j darstellen lassen. Wir finden so durch eine leichte Eechnung:

'K^ r ., ^> „„ „ „ 1

(l-2r.r^)^
Durch Einsetzen dieser Werthe erzielt man die Ausdrücke:

+ 2iö {^ff"'f"+wr-Wf"r )f +

IX*

^ (;55//''T'''+110//-'7-'''+154//7-''— 980/Y7''— 147U/-7-'7''>'+ . . .J +

20

18 ■"

152 E. Weiss.

+ mö (2orr"+35rr'+2if >*+ . . . ] +
+

1 n^t^ r S ^ n

^«= 1296 • • 1 \^'""^ -if'Ti'-^ I) i^ry +^f"'n)i>'+ ...]+...

Die Gleichung 14) hat wieder genau die Form der Gleichung 12*); es lohnt sich daher wohl der Mühe, eine
nähere Vergleiehung zwischen beiden anzustellen. Zunächst ist es abermals sehr auffallend, um wie viel einfacher
die Grössen K^, K^, K^. . . zusammengesetzt sind, als die analogen L^, L^, L^. . ., und um wie viel kleiner die
numerischen Coefficienten der ersteren Gleichung sind als die der letzteren. Gehen wir aber weiter und fassen
wir a wieder als eine Grösse erster Ordnung auf, so ist die Ordnung der Grössen L^, L^, L^. . .derEeihe nach:
3, 6, 9, ... , die der Grössen K^, K^, K^, ...: 4, 8, 12, .... Es ist also bereits A', um eine Ordnung kleiner als L,,
und es steigt überdies jedes folgende K gleich um vier Ordnungen, wäin-end die L nur um je drei Ord-
nungen ansteigen. Die Convergenz der jetzigen Entwickelung ist d:iher wesentlich stärker, als die der früheren.
Allein noch mehr. Für ein und dasselbe L ist jede folgende Gliedergruppc nur um zwei Ordnungen kleiner
als die früheren; bei den 7v hingegen, wenigstens in den Änfangsgruppen, um drei. Es convergirt daher die
frühere Entwickelung nicht nur im Ganzen, sondern auch in ihren einzelnen Theilen erheblich langsamer. So
braucht man beispielsweise, will man die Entwickelung einer Function so weit führen als es hier geschehen
ist, nämlich bis einschliesslich zur 12. Potenz von «, von L, fünf, von K^ nur drei Gliedergruppen, von L^ vier,
von K^ hingegen nur zwei u. s. w. Aus diesen Bemerkungen ersieht man sehr deutlich, welchen Gewinn die
zweite Summirung gebracht hat.

Aus dem Umstände, dass zwischen den einzelnen Gliedergruppen der L einfache Relationen bestellen,
dürfen wir der Analogie nach wohl schliessen, dass auch zwischen den K ähnliche Beziehungen stattfinden
werden. Dies ist auch in der That der Fall. Denn es ist:

1
36

[/■'"' + \ f'TP + ^ ( 8/""r ' + 5/"' 'V+ jIö' ^'^'"'^'^ ' "^ ^^'"^"' '^'' + öiu^ ^"^"'^"' + 35/-"/" + 21/-' ■')p^+... ]=

^[r^'+ |rr>+ A (4/-^ +5/""/-,,^y^+ . . .] = (^/•"'+ ^r> + ^/>^+ •

XI

Entwickelungen zum Lagrange' sehen Reversionstheorem, etc. 153

Es sei also:

so hat man:

K^ ■= k+kl+ . . .

Dies in die Gleichung 14) eingeführt, ergibt:

'j>\x+p) + kf'[x+p\+ — 'f"{x+2})+ Y 'f"''^.^+P^+ . . . +

+ kl[f'{x+jy]+kf"(x+2})+ ■ ■ •] +

+

(ji(z) = f{x+p + k ) + kl'f;'[ x+p+k ]+ . . . ]

f(z) = f{x+]) + k+kD+ ... i -^

Diese Gleichung macht uns mit einer neuen Form der Anfang.sglieder der am Ende von §. 4 'X*'^)
genannten Function bekannt, nämlich:

' -^(«ja;) = p+fc + W+ . . .

Die Convergenz der Glieder ist aber hier eine viel raschere. Denn es ist:

f(z)-=f(x-^p) bereits bis auf einschliesslich Glieder dritter Ordnung genau \

= fix+p + k) „ „ „ „ „ sechster „ „ > 15)

— fix+p+k+kl\ „ „ „ „ „ neunter „ „ )

Behält mau indess von l blos seinen ersten Theil

bei, so ist:

(p{x+p-\-k+kl^] bis auf einschliesslich Glieder achter Ordnung genau.

Da übrigens p, wie §. 3 nachgewiesen wurde, von o = — — blos um eine Grösse fünfter Ordnung

abweicht, kann man ohne die Ordnung der Genauigkeit zu andern in p(.t;+^j), n statt p einsetzen. Allein auch
wenn man p + k abkürzt in:

, ^ [fix+-o)—r,f—-nY"] = -n+k'

\'\—2ff"l;^

Deakackriften dur in.itUom.-uat urw. Gl. XLIX. Bd. 20

154 E. Weiss,

begebt mau nur einen Fehler siebenter Ordnung. Es ist desshalb auch noch mit diesen Vereinfachungen:
iDiz) =z tp(x+rj) genau bis auf Grössen dritter Ordnung einschliesslich )

f{z) — f(x+v + k') „ „ „ „ sechster „ „ )

Der ganze Unterschied besteht darin, dass jetzt ein etwas geringerer Theil der Glieder höherer Ordnung
mitgenommen wird, als wenn man die ursprüngliche Form beibehält.

Aus dieser Darstellung erhellt wohl ohne weiteres, dass die Gleichungen 15) und 15*) zur näherungsweisen
Berechnung der Functionen ganz vorzügliche Hilfsmittel darbieten werden. Es fällt übrigens hierbei, ausser der
raschen Abnaiime der suecessiven Reihenglieder noch das bereits in der Einleitung hervorgehobene Moment in
die Wagschale, dass man, wenn mau beim Gliede «-Ordnung stehen bleibt, nebst allen Gliedern einschliesslich
der «. Ordnung, auch noch einen Theil der Glieder höherer Ordnungen mitnimmt und in Folge dessen de.iv ü,hi^ig
bleibende Rest derselben im Allgemeinen einen geringereu Betrag erreicht. Von welcher Tragweite dies in
spcciellen Fällen werden kann, wird uns gleich das folgende Beispiel zeigen.

Schliesslich sei noch erwähnt, dass auch die Grössen L,, L^, L^, . . .; K^, K^, K.^, . . ., welche in den
Gleichungen 12*) und 14) und den aus ihnen abgeleiteten auftreten, von der Form f der zu suchenden Function
unabhängig sind. Es gilt daher auch für diese Gleichungen die bei Gleichung 9*) gemachte Bemerkung.

§.6.

Um die Einfachheit der soeben gewonnenen Formeln an einem concreten Beispiele nachzuweisen, wählen
wir die Keppler'sche Gleichung:

E = lf+£sinE 16)

und werden nacheinander als Functionen der mittleren Anomalie darstellen.:

£...— = 1— cos E

a

T

C. . . log— = log(l — £ cos E)
et

D...(; = 2arctg( /i±ftg-

Wir haben hier zu setzen /"=: sin M, also:

sin itf=/- —f" =f"' = ...
cos M = /■' = /•" =/" =...

- sin M = /■" = /'"' = /•" = . . .

— cos M = /•'" = /■"' = f" =...
Damit werden die i^-Functionen (System I):

FW = —sin M''+K

Fi}'^ — — sin M!" cosM.

i^f)= +(3yt+l) sin ilf*+'.

i^w = +(10/fc+l) sin W cos M. ) XH

i^j.« = -(15P+ 1) sin M"+* + 10k sin M'-' cos'^ M.

if^i) — _^105P— 49Ä;+1) sin M'-' cos M.

F^' = +(105P— 105P+63A;+1) sinj¥'' + '— 5GM5Ä;— 4) sinM"-' coa^M.

Entwickelungen zum Lägränge'hchen SeversionstTieorcm, etc. 155

Ff> = +(1260F— 2142Ä«+1128A + nsinM*cosiy— 280Ä:(^-— 1) sinliP-- cos'ilf.
jPW — — (945A:*— 252U/13+3150A-2— 1320t+l) sin J/'+'+6A(1050A'^—2380A + 1371) sivM''-' cos^M.
FW = _(]73ä5A*— 62370A^+84150A-2— 3S093A-+l)smMcosJ/+1540A-(A-— 1)(10A-— 17)sinilf'--2cosJlf''./
jPW = +(10395A:'^— 51975A:*+117810A''— 124410A-^+49203A-+l)sinil/'+'— 44fc(3150A:''— 13860A-^+ \ ^11

+20739A— 10006)sinilf*-*cosW+15400A(A— 1)(A-— 2)sinili*-äcosilf*.

j^(j|' = +(27027ÖA''— lG(;6665A:*+4169880A-3— 4715139A-«+194573A-+l) smM*cosil/—

— 572A-(A-— 1)(1050A-^— 4270Ä:+4433)sinJ»/*— cosil/^

Substitiiirt man diese Werthe in 11 oder rechnet man direct nach HI, so findet man:
X^ =sinM.f'.
X^ =zsmM^.^f".

X, =sinJ/3[ly"'_ly'].

X, =siB.l/*[ij^''-l^"-lctgJ»/.'].

X, =siuili^[Jjjy^-ly'"-i.ctg%"+ l|y'].

.Y, = siniV«[A_ y-_ 2.^-__L ctg%'"+ I ^"+ ^ ctgit/^'].

^^ = ''""^iöm^ ?^"-^ ^^- i «^-^^^" -^ § '=^"'+ M) "'^^'f"- m (54i-60ctgM^)y'].
^« = ^'"^^Isük '^""- Ä ^^'- Ti4 ''^ "^' ^ '^ '^" + Wo ''^ ''^"'- m ' ^^'-'^' ''^''''^^"'

-T68ö''*^M

r 1 1 1 25 9

'^'« = ^-^^^1362880 ^'^- 144Ö ^"'- 72Ö ^^^ ^^^^' ' -^ 5^6 ^' -^ ^ ^^^^

- j^ (961-80 ctg^ J/)^'"- ~Q ctg .¥o" + j^^^ (47545-161 28 ctg'^i/^'J.

^.0 = --^^1362^0 ^^- TÖÜ8Ö ^""- io ^^^' ''^'" -^ WO ^" + 2S0 ^^« ^^^^-

- 2^ C6'Ö8-45 ctg^M)^''- ^ ctg ilfy'"+ ^ (8576-2583 ctg*l/)y" +

+ gg^ (755101 ctgil/-20r6() ctg^tif)/]

^^.. = ^^"^^^"[399^800 ^"- 8-ÜÜ4Ö ^"^- 3ükö ^'^''^''"^ im-O ^"' -^ lilüC. ''^ ''^'' ~
1 ^^'^7 1

-T7l8Ö^^^^^-^^^'^^*^^'^^-T^'*^^^^^" + 8Ü64Ü^^^^^^-^^'^^^''^'^^^"'^

+ 36^80 ^.^O^'^O^^ ctgJ/-25200 ctg^M^^-g^Tg^ (7231801-4954260 etg^¥)y'].

156 E. Weiss.

""n = ^i°-^^"[ 479001 600 ^"'- 72^60 ^^- 24^20 ''^ '"'^"^ 1^0 '^""^ 2^)0 ''^ ^''^

1 ... ...,,,,., 12167 , „_ 1 ,__„ ......,;

908-55 ctgHI)f'- j^j^r^ ctg J/y^ + -— . (15968-3927 etg^iW )/' •

43200- ---"b-T 120960 '' ^ 30240

^ 1430287ctgi/— 30800 ctg31/)y'''---—l-— (5424128— 3373953ctg«iW)y^^^

725760 " o T 1814400

- ggTi^göö (180403983 ctgiV/-15754200 ctg-^iVv/]

Der Ausdruck: r, uucli dessen steigenden Potenzen in Gleichung 8) entwickelt wurde, lautet in

1—«/'

unserem specielleu Falle: z 7>, und da hier A', mit dem Factor sin M" behaftet ist, wird es sich

empfehlen, zur Abkürzung einzuführen die, auch früher schon mit demselben Buchstaben bezeichnete Function:

^^^siniW_ XIV

1 — scosM

Die Gleichung 8) gestaltet sich dann folgenderma>:sen:

Nach diesen Vorbereitungen lassen sich jetzt alle oben genannten Probleme mit grosser Leichtigkeit
lösen. Sei nämlich zunächst:

A . . . <p(E) = E.
In diesem Falle haben wir zu setzen:

f = M] y' = 1 ; f" — f'" = f"—... = 0

und erhalten dann aus dem Gleichungssysteme XIII, wenn wir unter Einem nach Potenzen von ctg M ordnen,

unmittelbar:

^ ., /„ 1 ^, 13 ,. 541 .. 9509 ,„ 7231801 .,, 1695106117 ,.,
r. _ IM -h 1^. 2 ■ 24 • 720 ^ 8064 ^ 3628800 ' 479001600 "

,,/l , 17 .„ 160U, 755191.,,, 1S()4039S3 ..,, 20379134161.,,

e- 40 '' 1680 362880- 39916800 " 2075673600

. ,r,/l - 2., 82571.,, 1843111.,, N , ^

+ ctgil/^(l2 V-^^«-^ 60480^ -^536CkT^-^---)- ^ 1«)

-ctgilf=<fJ-|'»-^.--+^^i?^
•'^^^'^ ll8 ^ 864' ^ 907200

^^^^'^KiSe^'^-

Schreibt man nun abkürzungsweise:

._ j_ 13^ .,_ 541^ .- 9509 .g_ 7231801 1695106117 .,,_

0 ~" ^~ "2 ^ "*" 24 '^^ 720 '^'"'" 8064 * 3628800 " "^ 479001600 ^

1 ,, 17 ., 1601 ^„ 755191 .,„ 180403983 .,, 2037913416^,.

' ~ 6 • 40 1680 - 362880 39916800 " 2075673600^

A -1-^^-1 f9^- ?^ ... 1843111
^ "" 12 ^ 5 ' 60480 ^ 453600 ^ "^ ' • • XV

1 .,„ 341 .„ 1642849

18 ^ 864 ' 907200 ^

A — -^ f '»—
*~"1296^

Entwickellingen zum Lagrang e'schen Reversionstheorem, etc. 157

80 stellt sich E in der Form dar:

E = i/+E„— /l, ctgJ/+^j cigM^—A., ct^iP+A^ ctgJ/*— . . . 18*)

Die Einfachheit dieser Reihe, welche hier his einschliesslich der 14. Potenz der Exceutricitcät, also weiter
als je bisher entwickelt wurde, wird wohl jeden überraschen, der sich mit diesem Probleme befasst hat, und
sie ist, wie ich glaube, ein sprechender Beweis für die Eingangs gemachte Behauptung, dass das successive
Mitnehmen von Theilen der Glieder höherer Ordnung den Bau des übrig bleibenden Restes derselben wesent-
lich vereinfacht.

Ein weiterer, sehr beachtenswerther Vortheil der Gleichung 18) besteht noch darin, dass die Ausdrücke
E,„^,,A,A ... Functionen sind, die an Grösse sehr rasch abnehmen, da jede spätere gleich um drei
Ordnungen in Bezug auf c, oder was auf dasselbe hinauskommt, in Bezug auf die Excentricität steigt. Es
erreicht daher auch in der That die Summe aller auf das erste (E„) folgenden Glieder selbst für die stärksten
Excentricitäten, (etwa 0- 35 bei Eva, Istria und Andromache), welche unter den Planetenbahnen unseres Sonnen-
systemes vorkommen, im Maximum kaum 6'. Man wird daher durch Anlegen einer Tafel mit einfachem Ein-
gange, nämlich dem Argumente log i für das Hauptglied iE„) und einer kleinen mit dem doppelten Eingange
log fc und M, oder noch bequemer £ und M die Berechnung der exeentrischen Anomalie auf ein Minimum von
Arbeit redueiren können. Die Berechnung einer solchen Tafel ist bereits in Angriff genommen, und ich hoffe,
sie in einem Nachtrage zu dieser Abhandlung binnen kurzem veröffentlichen zu können. Sie soll bis log ?= 9-64
ausgedehnt werden, um für alle Planeten unseres Systemes auszureichen. Denn da das Maximum f,„ von f für
cos ilf = £ eintritt und dieses Maximum:

beträgt, wenn man unter f den Excentricitätswinkel versteht, kann sie bis zu einer Excentricität £ =: 0-4 ver-
wendet werden, — eine Excentricität, welche die grössten bisher bekannten noch um ein Geringes übertrifft.

Die oben (XV) für E^, A^,.. .gegebenen Reihen convergiren für grössere t sehr laugsam; man kann aber
diesen Uebelstand durch denselben Kunstgriff beseitigen, den ich schon bei einer anderen ähnlichen Gelegen-
heit' mit Vortheil angewendet habe, nämlich dadurch, dass man sie nicht nach steigenden Potenzen von?,
sondern nach solchen von:

c, £ sin M -n

V/l+?' V/l—2£ cos !/+£"' ■ s/l — r,
entwickelt; sie lauten dann:

E

_ 1 . r. 1 ; 83 „ 947 ,,

, 613849 ,„
7484400

^0

-" ' 6 ' 45 "^ ' 840'' 28350'=

A^

1 ,f^ 11 ,, 299 , 55351 ,
= ß'V 20 '-' + 280'= 60480^'^

9064133 g 96774893
6652800 ''' 69189120

A

1 ,/ 13 , 13397 , 549559
~12 ■ V 10 "' ' 5040 ■' 15120Ö

vj«+...)

A

_ 1 ,.«fi 101 , 250549 ^
-18'' \^ 48 ' ' 50400 ^ ■■•)

A

= ^-'V-..)

/XV*

• über die Berechnung der DifFerenti.ilqrntienten der wahren Anomalie und des Radius vcctor nach der Excentricität in
stark exeentrischen Bahnen. Sitzb. d. kais. Akad. d. Wiss. HS. Bd., II. Abth., p. 470.

158 E. Ws'iss.

Setzt man ferner:

^, = (/ cos G
A^^ g sin 6?
so erhält Gleichung IS) die Gestalt:

xvn

E = i¥+ E, — ^ ^'" '/^^„^^ ctg M— ^L ctg itf ' + . . . 1 a**)

in welcher sie bequemer zu berechnen ist.

Die Weiterentwickelung der Formel XVII liefert zunächst:

_j_ ,/ 11_ ,, 299 ^ 47791 ^ 7:^59353 ^ 55167041 ,„
•' ~ 6 '" V 20 '" "^ 280 "* ~ 60480 '"' "^ 6652800 '" " 69189120 '" "^ " '

. n 1 3/1 3 „ 53 , 25219 , ^

und hierauf unter m den Modlil des Brigg'schen Logarithraensystemes verstanden:

, 1 , /ll , 5133 , 195299 „ 1246784089 ,
log ,/ = log - r^^m [^ r^- ggöö '■'*+ 756ÜÖÖ ' - 3104640000 ^^

G_ 1,3^1 3 53 26899 ^

^-Y'' '^-4'' + 45 ^"20160" +••■/'

XVII*

Das letzte Glied A^ ctg iW^ in Gleichung 18**) l>eträgt selbst für £ z= 0-4 im Maximum nur wenige Bruch-
theile einer Secunde es wurde daher eine weitere Transformation desselben nicht der Mühe werth gehalten.

Die Berechnung von v? gestaltet sich sehr einfach, wenn man den ftilfswinkel y mittelst der Relation
einführt:

Es wird dann:

c

r; ^ ^ =: Sin «/.

v/i

-4

2

Es wurde eben bemerkt, dass selbst für s = 0-4 dns Glied A, ctg il/^ nur noch wenige Bruchtheile einer
Bogensecunde erreicht. Bedenkt man nun, dass bei der gewöhnlichen Entwickelung det e^cöhtristeheü Ano-
malie nach vielfachen des Sinus der mittleren Anomalie bereits bei £ =;0-25 noch das Glied mit sin 12M mit-
genommen werden muss, um eine ähnliche Genauigkeit zu erlangen, so sielit man daraus ^öhl aufs Deutlichste,
wie vortheilhaft das successive Mitnehmen eines Theiles der Glieder höherer Ordnung auf die Convergenz der
entstellenden Reihen wirkt. Ja wenn man einfach schreibt:

■n 1 r T. , • /. !- £ sin M \

E = i¥ + v-; 13 M+ am y tg // = C = — j

'' V ° -^ 1 — £ cos i¥ /

so ist der Maximalfehler, den man begehen kann:

für £ = 0-25

:0'51"

bei M :

: ±46°

£ = 0-30;

: 1 51

„ M:

d=44°

£ = 0-35;

;3 35

„ M:

±41°

£ = 0-40 :

;6 25

„ M:

±38°

Suchen wir jetzt weiter:

Entwickelungen zum Lagrange'i^chen lieversionstheorem, etc.

159

B ■ — — 1— £CosK.
a

Hier ist:

y = 1 — £ coüM + z sin Jf = '/ = '/ = 'i^'* = ■

— £ sin 1/ = f = '^' " =: f" =

— £ cosilf = f" = '^"" = '^^■" =

Die Gleicliungen XIII liefern daber sofort:

X^ = + £ sin^ilf
1

X,

£ sin^ilf COS M

X = — - £sini¥*
"* 3

17
A'^ = — jjj£sinM*cosM

X = + (4 — 4 ctg«M) £ sin 1/«

6

907

Xr = + ^^ '■ sinif cosi¥
" (20

ms 223
V315^360

/1072 91119
V567 ~5040
17802611 53

ctg«j¥j £ sinilf 1"

ctg^¥)£sin3/i''cosil/

28800 90

_ /169504 8966081 5 ,^ . ,

^^'1 - >. 51975 1814400 ""^^ ^'^ + 72 ''''' '"/ ' ''"'"

/4S52742017 4404983 ^ , „A . .^i^ „

V 479001600

1814400

XVIII

woraus,, wenn man bedenkt, dass £ sinilf = 1(1 — £ coslT), bervorgebf

2 4 .,. 368

-^ =: 0-. COSilf) [(l -H ?^- ^ - + - C«- 3^5 ^« -^

17 ., 907

1072 „ 169504,, ^

567 • 51975 " "^ ' " "/

98177 ,, 17802611

+

+ -?• ctgilZl^l — j^^ "^360^ 20160^ "^ 1814400^

223

9199

if'*'"('-^«'+ii«

8966081
302400 '

1814400

4852742017
239500800

fio +

+ 24^ ct„ ^i^^3 J5 ^ + ^p^g^^j £

4c'^ctg.y*(f.

+ .

19)

Diese Eeilie hat genau dasselbe Bildungsgesetz wie die Reihe für die excentrische Anomalie (Gleichung 1 8)
und kann daher genau ebenso behandelt werden wie diese: mau kann auch hier zur Vergrösserung der Con-
vergenz die Grösse v, statt t einführen und dann diese Gleichung ebenso wie Nr. 18 auf eine der Gleichung 18**)
ähnliche Form bringen. Da indess der Radius vector selbst nur selten gebraucht wird, wollen wir uns dabei
nicht aufhalten, sondern sogleich zur Entwickelung von dessen Logarithmus schreiten. Es sei also:

C . . . log-=l0g(l— £C0SE).

f^cln-eibt man in unseren Formeln o = log(] — s cosJ/), so wird:

f' =+?.

y" = +4'ctgil/— C^

f'" — — ?— 3 ctgJ/C'+Sf-^

f'* — — C ctgM+(4— 3 ctg^JJf )^''+12 ctgi¥f — 6^.

y" = +t+15ctgi/C''— 10(2— Sctg^il/)^--'— 60ctgJ//C*+24f\

f" = +£ ctgi¥— ( 16— 15 ctg«iV/)c*— 30(5 ctg.¥— ctgilP)c:''+30(4— 9 ctgif2)^^*+3G0ctgi¥f — 120f ".

f" = — C— 63 ctgi¥4'' + 14( 13— 30 ctg*i/)f»+210(7 ctgM— 3 ctgM»)C*— 840(1— 3 ctg^M)^''—

—2bm'^+...)XlX

f'"— — C ctg >/+( 64—63 ctg«i¥)C'*+84(18 ctgi¥— 5 ctgilPjl»— 126(16-60 ctg JV/2+ 5 ctgilf*)!*—

—5040 (3 ctgi¥— 2 ctgi¥* )| ■• + .

y'v _ +t;+255 ctgifC^-lO (164—441 ctgil/^if!*— 1260(22 ctgiW— 15 ctgj¥3)£*+ . . .

f' — +4 ctgj¥— (256— 255 ctg^if)?'- 30(475 ctg if— 147 ctgi¥=')t3+ . . .

y" = — C— 1023 ctgil/; ^+ . . .

f"——^(iigM+...

I

Dies in die Gleichungen XIII eingesetzt, liefert:
A'i = +4sini¥

X, = + sin 2 ^/[-| ctgil/t— 4- 1 ^]
X, = — sin il/3 r4 £+ -J- ctg 17? 2— 1 e»1

A; = — sin il/* [1^ ctg MC— ^ (16—3 ctg^ ilf)?^— 1 ctg M^^+ 1 1 *]
X, = + sin M-' r^T ( 24—5 ctg^¥)t> |^ dg 3H'— -L ( 8—3 ctg« ilf )£»— ^ ctg il/?'* + 4- 1 -^1 ] XX

A; = + sin i¥«[||^ ctgilfl— ;^ (736—375 ctg^¥)t2- ^i (33 ctg.¥— ctgil/=')?='+

+ ^ (16—9 ctg2i¥)c*+ 4 ctg i¥C''— -^ c"]

V • TirrT 1 orw. ir<>-. . 2 Tir > 307 ctgi¥— 12 ctgil/''' .„ 448— 375 ctg^¥ ..,
X, =-s:n iir[^^(2i)44-15blctg«ilf),+ ^^- — ,^ ,uo

^ (41 ctgi¥— 3 ctg^if )t *+ — (4—3 ctg^M)^-'+ — 4" ctg M.. .1

Kntmickehmgen zum Lagrange' sehen Reversionsfheorem, etc. 161

V • irsT 1 11U11 . 1, r.^n , -ii, > 68608— 64967 ctgM/ ., 4646clgx¥~495ctgM/„„ \

+ ^(1408— 1660ctg^i/+l5ctgiJ/*)5"*+ JL(49ctgil/— 6ctg^»)c:^— . . .1
• ir9r^l072 9199 ^ ,„^ . /107063 ^ ,^ 21 ...n.,

_ ^6616 _ 9433 _!. eto-J/*! .-- f^^ ctg i¥- ^ ctgip) £*+ 1 1

^2835 2880 '^ ^" ^ 24 '^^ ^^ ) ^ V 720 ^ ^"^ 96 ^^^^ ^ + " " " J I

.. . ,,,.,1-/17802611 ^ ,^ 53 ^ , ^,. /42376 1084109 „ _,^ 1 , _,^ ., \ ^Y

'''•• = +""^''L(^628OT^*-^^''~W'^*^"^y'-(l4175-^4lI^ / ^"^

_ /292897 1043 . -,

V40320^^^" -040 "'^""^ /■ ^•••J

. ,,,,1-/169504 8966081 ,,,_ 5 ^ , >, „ /33783535^ „ 80379^ „.v,, i

A„_ .inJi L', 479001600 "°^^ 1814400 ""^^^^ / ■= ••■]

Damit erhält man ohne weitere Müiie (uach Formel 17), wenn man unter Einem wieder gleicli nacli
Potenzen von ctg i¥ ordnet und wie früher mit m den Modul des Logarithmeusj'stems bezeichnet:

, /»■^ 1 /i ,^ r/^2 7-4 9.,, 87., 16169.,,,, 1131437.,, n

log (-) = log (1-. cos il/)+4(f^-^ .^+ - .«--^ ,«+ ^33^ ,-- ^^^-^P+ . . .^

/l .3 29,. 2017.- 86579., 53583581 ,„
+ ctgiM (^2 ? ^^5 + ^2Q c' ^^^ , + 3628800 ' ~

16185378277
~ 479001600

„/J_-,-_^;2^>8 195679 .,„ 54168577.,,
■ctgiVi ^^^^c- ^2^ Q + ^^32^ t 3628800 ^ "^

^ -.3/2 .„ 2279 .., 957367 .,3 n

^^-^^ (9-^^-1440^ -^129600*— ••^-

fl3_,_

20)

_ctgM*(if|c'^-...)]

Wie man sieht, ist auch diese Gleichung den früheren (18 und 19) ganz analog gebaut; auch sie wird
durch Einführung von -n statt t viel convergenter, verhält sich überhaupt in jeder Beziehung ganz so wie die
Reihe für die excentrische Anomalie. Es ist nämlich in -n ausgedrückt :

, /r\ , , ,. r^ 2 1 4 7 « ^9 s 1157 ,., 84961 ,,

log (-) = log ,1 -. cos.¥ ) + 4(r/--.*+ ^n^-j^r.^^ 2835 " " 3Tl85Ö '^^ + "

,^ /l , 11 . 517 - 6691 , 4134701 ,, .

. Mi(^ 6 371 „ 2801 ,„ 5979427 ,, ,

+ ctg i/3fl.«— ^.".H-??^.'3_
+ Ctg JU \^^r, ^^^^r -Hg^gQ^O ..

_etgM*(i^..^-...)+ ]

Denkscliriften der mathena.-uatiirw. Gl. XLIX- Bd. 21

162 E. Weiss.

Bereits das iu ctg M^ multipliciite Glied liat für keinen der Planeten unseres Sonnensystems einen Einfluss

auf die fünfte Decimale von log f — j und das in ctg M* auch keinen mehr auf die siebente. Schreibt man nun

wieder :

r „ 1 , 7 , 29 g 1157 ,,, 84961 ,, n

r 7 g 371 g 2801 ,„ 5979427 ., i l

rl , 11 , 517 , 6691 , 4134701 ,, t

7 COS 1 zz: w — ■n" n -I 'fi v/ -I n —

^ L2 24 ^720^ 8064 ' ^ 3628800 J

so wird:

log — = log ( 1— £ COS M) + r„ + y — \ ^, ■ctgili+ . . . 20**)

a " sm Ji ^

Entwickelt mau auch Her, so wie früher, die letzten beiden Gleichungen von XXI weiter, so erhält man
successive :

rl , 11 , 517 - 6005 „ 415867 ,, n

^ = '4J'' -24^' +720^^ -8064-^' +453000^' -• ' " J

^'^^ - 12 ' ^^ 20 ' +3528^.

17 , 4789 , 3228163 ,,

rr-

log 7 = log [^-ny — «Tj^ /;'■*— ^^^-*

3528. 2116800
11 „ 1463 ,. 19489 ,. 6784589

XXP

1440''' 45360 '" 14515200 '"'

7 , 119 , 4789 , 3468263 ,
~ 12^ 240^ 6048 ' 3628800 "' "^ • • •

Die bei der Bildung der Gleichung 20) gewählte Gruppirung der Glieder ist zweifellos die einfachste und
naturgemässeste; doch erkennt man beim Betrachten des Systenies der Gleichungen XX auf den ersten Blick,
dass auch das Zusammenfassen der Glieder nach anderen Principieu zu brauchbaren Resultaten führt. Nimmt
man beispielsweise aus dem Ausdrucke:

Vsin i¥/ Vsin« j/ / ^ Vsin^ i¥ / ''

zuerst die sämmtlichen letzten Glieder, hierauf die vorletzten, dann die drittletzten u. s. w. heraus, so ergibt sich:

log (-) = log(l— £ cos ilf ) + (P— ^ f + ^^—^ |«+ i i"— ~ 4''

4-Ctgil/(f— f + f— ?9 + C"— ?''+ . . .) —

[j (4*— ^''+4'— C'^+t"— • • . )+ -i ctgJ/^(e«— 2C'+3^"*— 4?-"'+ ...)] —
-[^ctgi¥(17f— 254' + 334'*— 4U"+49;'ä— . . .) —

--^ ctgil/-'( 4-9-34"+ 61'»-. . .)]

[^ (184«— 234»+ 284'«— 334'*+ • • •) -

^ctg«i¥(84«-254«+504'°-834'*+ . . . j--^ ctgil/\4'*— • •)]■

Entwickelungen zkw Lagrange'schen Feversionstheorem, etc. 163

+ r^ ctgiU(907c:'— 1535|9+2323cr"— 3271c''''+ . . .) +

^ctgiH3(84«— 33£"+83|»3— . . .)J_
-[2^ (414f-603C"+827C»«-. . .)-

— ^ ctgi¥^3568£»— 92SU"H-18866r*— . . .)+ ^ etgil/\?»^ . .)] +

+

Fuhrt man nun hierin die leicht ersichtlichen Summationen ans und geht man dabei zugleich von den
natürlichen auf künstliche Logarithmen mit dem Modul m über, so erh.ält man:

8 4i4£»+639c"'+260C'*

+

ctgil/(^.j

2835' (!+£¥

1 f» 1 )lP+9i'

■■)

1 907f'+118ß|9+439C

-— •)■

720 ■ (l + f)^ , 2^^

^^ U n-4-f2)«^48 (l+f^^^* -I-.. ;-i-

^8 (1+D* 48 (1 + f)

/ 1 f '* N 1

Diese Gleichung Hesse sich jetzt wohl noch wesentlich reduciren; da sie jedoch im Grunde genommen
nur eine andere Form der Eutwickelung nach steigenden Potenzen von v vorstellt, wollen wir uns damit nicht
weiter aufhalten. Ähnliche Bemerkungen Hessen sich auch an die Gleichung 22) knüpfen.

Was endlich die Eutwickelung der wahren Anomalie betrifft, so sei:

/v/l + £ E>, /sinEv/l-
D. . . . v=2 arctg ^ , tg — ) = arctg ( —

vy 1117 * 2 / '* V cos E— £

Man hat jetzt y = 2 arctg (^ . ^ *S^) 2" setzen, und erhält damit:

1 £ COSilf

f'" =_y'[?ctgiW— 2f]

f" =+»'[£+ 6f« Ctg Jf—6f] \ XXII

f = + y'|f ctg Jf— 2(4— 3 ctg2 !/)£*— 36 ctgiWf +24t*]

f = _r^'[^V30f ctgi¥— 30(2— 3 ctgili^iv^— 240 ctgMC*+ 120f ]

f" = — ^'[fctgil/— 2(16— 15ctgi¥2)|2— 90(5ctgil/— ctgilf*)C'+120(4— 9ctgi¥*)f +1800ctgi¥|5. . .]'

f"'~ + /[f4-126 ctgJ/|«— 42(13— 30 ctg i¥2)c='— 840(7 ctg.¥— 3 ctgJ/»)f*+ . • .]

21*

164

?' =

f"' z

y'[CctgJ/— 2(64— 63 ctgi¥'')t^-
-y'[?+510ctgilff— ...]

- f '[£ ctg 31— ...]

E. Weiss.
-252(18 ctg3f— 5 ctgiV/s)?-'' -

XXII

Die X lauten nun:

X^ = -h f' sin JA

X,

= -[4^4e«-^r],'

sinil/^.

a; =

X.^ =

^.

X, =

- [1 ctg J/- 11 ,- 1 ctgilif + 1 1 3] ./ ,sin M

c--4^ctgi/£3^4

-60ctgjy^)C-|^

-ic*]o'sinit/^
ilctgJ/f+^(14-

^ '^ ' -3 ctgj¥«)f +
4 ctg

-g-ctgj/t*— — t'^Jy'si]

in J/''.

:iV ctg i¥|^'— ...]'/ si

sin 3/ '.

X.

•9-üö'"^^-

X,

Y —

x..=

X,.

L24 "^ 40

_i — »tgj/t* — —

{t^Ü (~541-6Ö ^"^«^^'^ + TM) ''^^^^^- 2Ä0 (2431-750 ctgi/^)!^-
— ^ (169 ctgM— 3 ctg.¥3)^3+ -^ { 25—9 ctgM«)f*+ ^^ <

- [^ ctgilf- j^ ( 47545-16128 ctgil/^)C- ^ (4873 ctgi¥-120 vtgiP)^ + ' ^^^^^

33— 630ctgM^)|-^+ -V(21 ctgil/— ctgil/3)f_. . .1^'sin J/».

+ [j-^ (47545—16128 ctg 1/»)+^^^ (755191 ctgil/— 20160 ctglf^U—
— .oA.n (309268—201285 ctgil/«)f — j^ö (762 ctg 1/— 55 ct8i¥-')C='-

I0I44O .iOO

+ [362^ (755191 ctgM-20160 ctgAP)- g^r^j^ (7231801-4954260 ctgi¥'')C-

_ J^ (466129 ctgilf— 38892 ctgiV/=*)f + . . .1 y'sinl/"'.

~[ 3628800 (7231801-4954260 ctg M') +

+ / (180403983 ctg iV/— 15754200 ctgM")^—. . .ly'siniVy".

[—15754200 ctgi¥-'')— . . .ly'sini/'*

....],'

sin

iiy-'.

-[55<iB80ö^'»»^»3»8="-*^-

)

Entwichelungen zum Lagrange' sehen Bevei-sionsfheorem, etc. 165

Wir haben also schliesslich, wenn wir wieder gleich nach Potenzen von ctg M ordnen :

,_2 arctg f^^=^tg^; = .-arctg (__^^__ . =

_^/I^7^r/ n 167 ,. 5519 1384H251 .,,.

~ 1— £ cosiV L^^ '^ ■*" 12 ■ 72 " 1344 - 181440U "

. ,,/l,, 11., 102., 130519.,,,, 28620439.,, n .„.

-^^SnT=-lö"+l5 ^-1^4^ +1663200^ -•••^^/ '''

^ „,/13 ., 1027 ,„ 284887.,,
43 .... 2947

^ V252- 2160" /^ J

Zieht man es vor, die Mittelpunktsgleichuug zu berechnen, so erreicht ni;in dies, die halben Winkel bei-
behaltend, mit Hilfe der Kelation:

„ , a/I+s J/n isinif 1, o * ?
2 arctg ^ . tg— , = J/+2 arctg , = J/+2 arctg ,

1 — £ cosM
Eechnet man aber lieber mit ganzen Winkeln, so würde die Abtrennung des Bogens M von

arctg \^

*' cos i¥— £

auf einen ziemlich coniplicirten Ausdruck führen. Man bemerkt aber sofort, dass sich der Bogen

arctg \-,

^ cos M— £

von dem Bogen

sinJkf

arctg — — ^ M-{- arctg ?

cosiW— £

nur um eine Grösse zweiter Ordnung in Bezug auf die Excentricität unterscheidet; trennen wir daher diesen
Bogen ab, so erhalten wir:

sin.l/v/r^' ,, . sin.¥(cosJ/— £1(1— v/r^T^,

arctg ~-, = M + arctg c — arctg ^ , =

cos.y— £ " ■ icosM—s)^+sm^ M\/l—-J

P cor M-

^ M + arctg fc — arctg [ ■

-l + (l + ;-2)^l_,2 sinitf

Die Reihe 22) hat ebenfalls genau dasselbe Bildungsgesetz wie die Reihen 18), 19) und 20) für die
excentrisehe Anomalie und den Radiusvector; sie ist aber zur Berechnung der wahren Anomalie nicht bequem.

Schon die Berechnung des Gliedes 2 arctg ( . " tg— j oder des gleichgeltenden arctg :^ — ; — ist

\' 1 - -

ziemlich lästig. Diese Arbeit kann man sich indess nicht unerheblich erleichtern, wenn man bemerkt, dass
die interessante Beziehung stattfindet:

^ sinJ/v/l— £« tg.¥ £sini¥

arctg ^ — - — = arctg °^_ h arctg ■

v/l—r«

Die ganze weitere Reihe ist jedoch überdies mit dem Factor —-5: ^ multiiilicirt, was die Berechnung

1 — £ cos M

nach derselben, selbst unter Anwendung von Hilfstafeln, abermals erschwert. Man kann zwar ohne Mühe alles

nach steigenden Potenzen von t entwickeln, allein es ändert dadurch die Reihe ihren Charakter. Vermöge der

„ 1 , . ssinM . ■ ' 1-

Bedeiituni;- von t =z- — r ist namlich:

1 — s cos M

166 E. Weiss.

\ — £ COSiW =

sini/+f cosi¥ 1 + CctgjV/

M

^, = ctg — ^ „ ; -i^ -^ = V 1 + 2t ctg i/— t^

und damit wird :

— -5- (3 ctgif+5 ctgit/'*)!* + -j^ (3 + 30 ctg3i'^+ 35 ctgif*)!^—

— ^ ab ctgi¥+70 ctgi¥'+63 ctgit/5)C6+

+ J.^ (5 + 105 ctgilf* +315ctgilf*+231ctgJlf«)f —

_ JL (35 ctgil/+315 ctgi/3+693 ctgJl/^+429 ctgJtf')r+ . . .

\/l + 2tctgif— t^ = 1 + f ctg i¥— 4" ( 1 + ctg il/* ) ?' + 4" (ctg J/+ ctg 1/=* ) £»—4(1 + 6 ctg*i»/+ 5 ctgJ/* )?* +

+ 4 (3 ctgi/+ 10 ctgM3+7 ctgl/5)f5— -L (1 + 17 ctg J/2 + 39 ctgil/*+23 ctg !/«)£'*+
o Ib

+ A.(5 ctgi¥+37 ctgil/='+67 ctgi/'+35 ctgi¥Mf— . . .

Substituirt man dies in Gleichung 22), so entsteht nach den entsprecliendeu Reductiouen:

„ /„., 4., 28,., 184.. A /!., 29.,, 539^. 4330K. A , ,,,

V — M-=. 2t t^H f £'+ . . ) + — t* £*H S" i + • • • ctgiM +

V^^ 3^15^ 63 " ^ / ^ V 2 ^ 24 • 240^ 8064 ^ / ^

23)

^f+i^f+...)ctg^^-(4f+l|£«+iJf+...)ctgM3+

+[(4f^+-|f+ ...)ctgJ/»-(l-t«+^f+ ...)ctgi17-^'+(|f+ ...)ctgi¥«-

-(^l«+---)<'tgi>^'+...

Es wachsen also jetzt, abgesehen von dem mit ctg iV/* multipliciiten Gliede, wo der Coefficient von C*
ausnahmsweise verschwindet, die Potenzexponenten von t bei jeder höheren Potenz von ctg M nicht mehr, wie
dies früher überall der Fall war, um je drei Einheiten, sondern nur um je eine Einheit, und es tritt überdies
der Factor ctg itf bereits bei den Gliedern zweiter Ordnung auf. Wollte man daher die Berechnung der Mittel-
punktsgleichung, so wie die der excentrischen Anomalie und die des Radius vectors blos auf zwei Tafeln,
eine mit einfachem und eine mit doppeltem Eingange, zurückführen, so würde die letztere bereits Glieder

Entwickelungen zum L agr an ge^ sehen Beversionstheorem, etc. XQ,lt

zweiter Ordnung enthalten, die an der Grenze der Tafel (bei £ = 0-4) auf mehr als 3° ansteigen. Es ist
desshalb vortheilhafter, zwei Tafeln mit einfachem Eingange au/.ulegeu, welche mit dem Argumente log c

geben :

_9>_1>3 28 ,^ 184 ...

1.2 29.., 539 43301,,

2 ^ 24 ^ 240 - 8064 ^ "

und nur die Summe der übrigen Glieder, welche wir mit l'^ bezeichnen wollen, in eine Tafel mit doppeltem
Eingange zu vereinigen. Die Berechnung stellt sich noch etwas einfacher, wenn man selireibt:

IX — V cos V I

XXIV
y., ^ *'„ sin r I

Die Mittelpunktsgleichung lautet dann :

sin(jV+F)

v—M = 0^ ^-— f- 0. 23*)

" sm M '

wobei log Vf, und Feiner Tafel mit dem Argumente log c und v^, einer mit den Argumenten £ und .1/ zu ent-
nehmen sind. Was die Grösse von v^ betrifft, übersteigt es bei den stärksten Excentricitäten, die unter den
Asteroidenbahnen vorkommen, kaum 9'.

Die Ausdrücke für /;.y und ,a, convergiren beträchtlich rascher, wenn wir in denselben ^ wieder durch r,
ersetzen; sie werden dann:

T. o 1 , 37 . 65 .
.^cosT=2.-3.3+_,..__v+...

. ,, 1 , 17 , 79 .. 70840

(• sin l — —r/ TT''' +

XXIV*

2 24 240 4032t) '

Die Weitereutwickelung dieser Formeln liefert zunächst:

•D

0,

= ^-''-J^^"+ T^W.^''+

379691

48 15360 10321920 '

■ _ 1 5 3 17 . 61303
^ -T'' T6 ''^ 48Ü'''' 8Ö64Ö

und hierauf:

d3 , 9923 , 1114009

■0«

log »^ = log(2-n)—mL^ r,^— ^^^-^^ -»-^ '"""''"" '«-

V96 ' 46080 ' 22224320

_1_ 61_ 3 847 ._ 581023

~ 4 ""' 192 '"' "'' 15360 '"''" 73T28Ö

XXIV

Die Gleichung 18) oder die ihr gleichgeltende 18**) liefert meiner Ansicht nach, unter der Voraussetzung
derConstruction geeigneter Ililfstafeln die erste praktisch brauchbare Lösung der Keppler'scheuGleichung.
Auf das Aufsuchen bequemer Auf lösungsmethoden für dieselbe, haben sich aber bisher alle Arbeiten auf diesem
Gebiete beschränkt. Die Lösung des eigentlichen Problemes der Planetenbewegung, nämlich die Ermittelung
des Radius vector und der wahren Anomalie unmittelbar aus der Epoche, hat man, so viel ich weiss, überhaupt
noch nie versucht, wenn man von den bekannten Reihenentwickelungen nach Cosinussen und Sinussen der
Vielfachen der mittleren Anomalie absieht, die wohl eiu gewisses theoretisches Interesse, aber gar keinen

1G8 E. Weiss.

praktischen Werth besitzen. Die hier vorgeführten Gleicliungen 19), 20) und 23) geben uns aber das Mittel an
die Hand, ans der Epoche die wahre Anomalie und den Radius vector eboiso einfach und leicht, wie die excen-
trische Anomalie zu berechnen. Diese Untersuchungen haben daher auch zu den ersten praktisch verwertlrbaren
Formeln zur unmittelbaren Berechnung des Ortes eines Planeten in seiner Bahn aus seiner mittleren Anomalie
geführt.

§• '•

Durch die Anwendung des Formelsystemcs 11) und VI des §. ?> auf die Keppler'sclie (Tleichung würden
wir keine von den obigen wesentlich verschiedeneu Resultate erlangen, indem durch die Einführung der Grösse v;,
welche mit der am Ende des eben angezogenen Paragraphen mit demselben Buchstaben bezeichneten identisch
ist, den dortigen Erörterungen zu Folge, dieses Formelsystcm im Grunde schon in Verwendung kam. Die Ein-
führung der Grösse jj, die in unserem Falle übergeht in:

2i ^l + r/'—S^l-

l+V^l-

9i-2

würde in den Reihenentwickelungen nur die Coefticienten der höheren Potenzen, von der fünften angefangen
beträchtlich verkleinern. So lautet bei der excentrischen Anomalie die E^, genannte Grösse in r, und^j ausgedrückt:

E„ =•',+ - r; 5-

1 . 83 9
"45 •'"''+ 840^

1 .

1 j 81
45 ^ ' 4480-

947 ,, 613849 ,„

28350 7484400

1583 ,,

Da iudess die raschere Convergcnz der höheren Glieder nur für Tafelrechnungeu einen Werth hätte, bei
diesen aber der hierdurch erzielte Gewinn mehr als vollständig dadurch compensirt wird, dass die Berechnung
des Argumentes p viel zeitraubender ist, als die des Argumentes r,, wollen wir die Umsetzung der Reihen nach
Potenzen vonji:! unterlassen, und nur noch ganz küvV. ein paar Näherungswerthe angeben, die aus unseren
Formeln fliessen. Wenden wir uns zu diesem Behufe an die Gleichungen 15) und 15*), so haben wir jetzt:

_ 2^ _ v/lT2?^— 1

p + /,• = -; — — . , ^ \sin (sM+p)—p cosM+p^ sin .l/j

C rsin(il/+y» , „, ./i

\/l + 2f^'- sin jU J

und ebenso:

\/l + ^'

Begnügen wir uns also mit einer Genauigkeit bis einschliesslich der driften Potenzen der Excentrieität,
so ist sehr einfach

Entwkkeltmgen zum Lag rang ersehen Reversionstheorem, etc. 169

E = M-hj} oder auch E = M+v '

— =1 — scosiM-i-p) „ „ — =1 — £C0s(M+»3)

a

24)

log — = log[] — £ cos (J/+^>)| ^ log — =:log[l — SCOS{M+r))]

^ m\(M-hp).\/u^i^ siu{M+n].\/l—i^
r = arctg ~- — 5;^ „ „ /) = aictg ---: — i^^

COS{M+p)—B " " COh(J/+yj)— £

=z arctg ^—=^- + arctg . ^_ „ „ = arctg ^ — :' + arctg )

S/l— S* Vi— £* VI— S^ VI— £^

Dabei ist zu bemerken, das8 die Gleichungen für — und log — bis auf Grössen vierter Ordnung ein-
schliesslich genau sind, da cos(il/+^>) oder coa{Al+-o) selbst mit einer Grösse erster Ordnung nuütiplicirt ist.
Wollen wir jedoch Näherungswerthe, die genauer sind, so haben wir bis einschliesslich sechster Potenz der

Excentricität noch immer einfach genug:

E=ij

C rsin {M+p)

oder einfacher

y/]+2fL smil/ ^ * -^ J

-i = i-.cosrj7+-,X_(ii^i^-,.ctgj/+y)] l '^^

„ ,, 'J /sin(JJ/+»j) N

V^l+,j2V smil/ *= /

sin(.¥+>5) ^ „ ,^-, p5*)

1 — £ cos M+ i-— yj ctg iV+ yj« )

u. s. w.

Die Einfachheit und Übersichtlichkeit der Eeihen 18), 19), 20), 20*) und 23) gestattet uns auch noch aus
diesen für die durch sie dargestellten Functionen, interessante Näherungswerthe herzustellen. So ist:

E = if+C 9^'(l + "^ ? ctgi¥j +Glieder fünfter und höherer Ordnungen

-^ = (1— £CosiV)[l+£^(l + -Cctgil7)] + „ vierter „

log — = log ( 1 — £ cos M) +m ^« ^1 + — ^ ctg 31 j + „ vierter „ „ „

» = 2C[l + ^^ctgJ/] + „ dritter „ „ „

Erinnern wir uns nun, dass 1+f ctgil/ = ^„ so können wir die obigen Gleichungen auch so stellen

■ 1 — scosilr

1 P

E = jV/+C — — . ., ' genau bis einschliesslich Glieder vierter Ordnung

-^ vi — B cos M

— ={l— s cos M) + ^^\/ 1 — s cos 31 „ „ „ „ dritter

n

log^ = log(l— £Cosir)+m( ^^ — =.y „ „ „ „ dritter „

« ^\/l — scoäM'^

2f
V = 31+ - = „ „ „ „ zweiter

Vi— £ cosM

26)

n

1 Auf diesen eigentlich ziemlich nahe liegenden Näherungswerth hat eigcnthümlicher Weise erst vor Kurzem (Ast. Nach.
B. 99, p. 31) Herr Dr. N. Herz aufmerksam gemacht. Alle anderen, hier angegebenen sind, so viel ich weiss, neu.

Denkschriften der mathem.-naturw. Gl. VT.TY Bd. 22

170 E. Weiss. Enfwickelungen zum Lagniiicje'' sehen Reversionstheorem.

Noch etwas genauere NäheruDgswerthe erhalten wir, wenn wir von den Gleichungen ausgehen:

^= (1— .-cosil/)[l + r,2(l + i.^ctgiiy)]

/• / 1 ^

log— = log(l — £ cosjy')+ mrt^il + — C ctgi/j

Das System dieser Näherungswerthe ist dann:

E = M+ri

— = ( 1— £ COS M) 4- ■n^\/l—sc.QsM
a

r -n^ ) 27)

log— =:log(l — £COSil/) + W/ — — '

« Vi— SCOSilf

V — 31+ „. =

\/ 1 £ COSÜ/

171

BEITRAGE

ZUR

KENNTNISS DER FISCHE JAPANS. (III.)

D« FRANZ STEIND ACHNER,

wrRKI.rrHF.M MITOIJEDE HER KAISERLK'HEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN,

UND

Dß L. DÖDERLEIN.

(31L;i. ] So-fefii..)

VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 23. MAI 1884.

Farn. CORYPHAENIDAE.
96. Coryphaena hippurus Lin.

Bei drei Exemplaren vou So'/;, — 39% Cent. Länge ist die grösste Paimpfhölie etwas mehr als 473— 5mal,
die Kopflänge 4^ \.— nahezu 4' ^mal in der Körperläuge, die grösste Kopfliöhe am hinteren Kopfende 4'/^— fast
4%mal, die Kopfhöhe über der Augenmitte P . — l^smal, der Augendiameter genau oder etwas mehr als
5mal, die Schnauzeulänge c. 3mal, die Stirnbreite gleichfalls omal in der Kopflänge enthalten.

Die Kopfform ist halb- elliptisch, die Kiefer reichen gleich weit nach vorne. Das hintere Ende des Ober-
kiefers fällt ein wenig hinter die Augenmitte und ist vom unteren Augenrande nur durch einen schmalen
Zwischenraum getrennt. Kiefer-, Vonier- und Gaumenzähne spitz. Die Zahnbinde im Zwischen- und Unter-
kiefer nimmt gegen das vordere Kieferende rasch an Breite zu; die Zähne der äusseren Reihe sind länger als
die der übrigen Reihen.

Hinterer Vordeckelrand schwach nach hinten und unten geneigt. Vordeekelwinkel stark gerundet,
unmerklich in den unteren und hinteren Rand übergehend. Die Wangeugegend ist bis zu dem äusserst sehwach
vortretenden Vorrande des Präoperkel mit kleinen Schuppen besetzt, die unter der Haut halb verborgen liegen.

Die an und zunächst dem vorderen und hinteren Augenraude gelegenen Kopfknochen sind massig wulst-
förmig aufgetrieben. Der Kiemendeckel zeigt an der Aussenfläche zarte Radien, die vom vorderen oberen Ende
des Knochens auslaufen. Nur der oberste Theil des Operkels ist beschuppt.

Die Dorsale beginnt in verticaler Richtung in geringer Entfernung hinter dem Auge und enthält bei den
mir zur Beschreibung vorliegenden Exemplaren mittlerer Grösse 57—60 Strahlen. Die vordersten derselben
nehmen vom 1. bis zum 9. oder 10. rasch, von diesem bis zum 15. oder 16. nur selir unbedeutend an Höhe zu;
die 4—5 zunächst folgenden Strahlen gleichen sich an Höhe, die übrigen nehmen bis zum Ende der Flosse
fast gleichförmig (nicht bedeutend) an Höhe ab. Die Höhe der Dorsale ist übrigens im Verhältniss zur Rumpf-

22*

172 Franz Steind achner und L. Döderlein.

höhe variabel, bei einem der hier beschriebenen Exemplare sind die höchsten Dorsalstrahlen l'/sHial, bei
einem zweiten aber fast 2mal in der grössten Rumpfhöhe, doch stets genau 2mal oder nur unbedeutend mehr
als 2mal in der Kopflänge enthalten.

Die Länge der schlanken, zugespitzt endigenden Ventralen gleicht dem Abstände des hinteren Deckel-
randes von der vorderen Narine und die Insertionsstellc derselben fällt in verticaler Richtung genau unter oder
nur unbedeutend hinter die Basis des obersten Pectoralstrahles.

Die Pectorale ist sehwach säbelförmig gebogen; ihre Länge gleicht dem Abstände der Augenmitte vom
hinteren seitlichen Kopfende.

Der Beginn der Anale ist nahezu ebensoweit von der Basis der mittleren Caudalstrahlen wie von der
Augenmitte entfernt. Der 4. höchste Analstrahl erreiclit nur 1 ' ], Augenlängeu und die Höhe der übrigen
Strahlen, von dem 7. angefangen, gleicht durchschnittlich einer Augenlänge.

Die Zahl der Analstrahlen beträgt 25 — 26.

Die Caudallappen sind lang, sehr schlank; der obere derselben ist häufig ein wenig länger als der untere
Lappen und seine Länge, von der Basis der mittleren Caudalstrahlen an gemessen, gleicht einer Koptläuge
oder übertrifft sie noch ein wenig.

Die Seitenlinie ist über der Pectorale unregelmässig gebogen, doch noch vor dem hinteren Ende derselben
zieht sie in horizontaler Richtung längs der Höhenmitte des Rumpfes zur Basis der Caudale.

Eine Reihe rundlicher, goldbrauner, dunkler gesäumter Flecken in sehr geringer Entfernung unterhalb
der Basis der Dorsale. Zuweilen liegen ähnliche Flecken auch auf der Oberseite des Kopfes zerstreut.

Coryphaena hippurus wird häufig an den meisten Küsten Japans gefischt. Exemplare bis zu c. 40 Cent.
Länge sah Dr. Döderlein im Monate August in Kochi auf Shikoku in sehr bedeutender Menge zu Markte
gebracht und grosse Exemplare von SO Cent. Länge mit stark ausgebildetem Kopfkamm in Tokio während
des Sommers.

Japanischer Name : Shiira oder Meshiira.

97. Bratna Rajii Bloch.

Die mir von Dr. Döderlein irrigerweise als Bi-ama japonica Hilg. eingesendeten drei grossen Exem-
plare, von denen das grösste 51 Cent, lang (bis zur Spitze der Caudallappen) und 19 Cent, hoch (über den
Ventralen) ist, sind zu Brama Bajii Bl. zu beziehen und unterscheiden sich von Exemplaren aus europäischen
Meeren weder in der Form des Kopfes und der Dorsale, nocli in der Beschuppungsweise der Pectoral-
gegend. Die Schnauze tritt übrigens bei älteren Individuen stärker höckerförmig über die Mundspalte vor als
bei jüngeren.

Bei den von mir untersuchten grossen japanischen Exemplaren liegen 29 — 32 horizontale Schuppenreihen
zwischen der Basis des ersten Dorsalstachels und der Einlenkungsstelle der Ventralen, und von diesen 12 — 14
oberhalb, 17 — 18 unterhalb der Seitenlinie, welche letztere c. 85 Schuppen durchbohrt. Die Dorsale enthält
3_4 Stacheln und 30 — 33 Strahlen, die Anale 2 Stacheln und 26 gespaltene Strahlen. Die Länge der
Pectorale ist c. 2^l^—2^'^m-A\ in der des Körpers (d. i. Totallänge mit Ausschluss der Caudale) enthalten.

Die grösste Rumpfhöhe über dem Beginne der Anale ist bei einem Exemptare von 38 Cent. Totallänge
2y3mal, bei einem grösseren von 60 Cent. Totallänge etwas mehr als 2ygmal (27,9mal), die Kopflänge
c. 373mal in der Körpeilänge (bis Basis der mittleren Caudalstrahlen gemessen), die Länge des Auges 4 bis
4y3mal, die Schnauzenlänge (bis zur Unterkieferspitze) c. 3*^ — 3V2mal in der Kopflänge enthalten.

Im Zwischenkiefer enthält die äussere Zahnreihe bedeutend längere und stärkere Spitzzähne als die
übrigen Reihen, während im Unterkiefer die äussere Zahnreilie wohl von stärkeren Zähnen als die der 1 — 2
mittleren Reihen gebildet, aber an Länge und Stärke der Zähne von der innersten Zahnreihe weit überti-offen
wird, die nach vorne jederseits mit 1 — 2 Fangzähnen abschliesst.

Nach Döderlein kommt diese Art nicht selten in Exemplaren von 47 — 51 Cent. Länge vor.

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 173

97 a. Srama japoni^a Hilgend. {? = BramaEajn B.C.).

Taf. I.

Die Herren Professoren Dr. v. Marteus und Hilgendorf hatten die Güte, mir das im Berliner Museum
betiudlielie typische ExempLar von Br.japonica Hilg. zum Vergleiche mit der nahe verwandten Br. Bajü Bl.
einzusenden.

Das typische Exemplar von Brama japonica ist bis zur äussersten Spitze der Caudale nahezu 45 Cent,
laug. Die grösste Körperhöhe zwischen der Insertionsstelle der Ventrale und dem Beginn der Dorsale ist
nahezu 2y^mal, die Kopflänge 4mal in der Körperlänge (bis zur Basis der mittleren Caudalstrahlen), die
Augenlänge c. S^smal, die Schnauzenlänge Sy^maA, die Stirnbreite ein wenig mehr als SVzinal in der Kopf-
länge enthalten.

Die obere Profillinie des Kopfes ist wie bei gleich grossen Exemplaren von Brama Bajü in der Schnauzen-
gegend (vor dem Auge) concav, über dieser aber ziemlich stark convex und steigt rascher nach oben au als
bei Brama Bajü.

In der Bezahnungsweise der Kiefer unterscheidet sich Br. japonica nicht von Brama Rajii und beide
Arten stimmen auch in der Art der Kopfbeschuppung mit einander überein; Stirne und Schnauze, Präorbitale
und Unterkiefer, sowie das EandstUck des Vordeckels sind schuppenlos und von mehr oder minder wurm-
förmig geschlängelten, röhrenförmigen Cauälen durchzogen, zwischen denen äusserst feine, zahlreiche Poren-
mündungen liegen.

Der Beginn der Dorsale fällt bei dem typischen Exemplare von Brama japonica in verticaler Richtung
ein wenig hinter die Insertionstelle der Ventralen, wie bei ebenso grossen Exemplaren von Brama Bajü * und
enthält 5^ einfache, ungetheilte und 30 gegliederte Strahlen. Der höchste, d. i. der erste gegliederte Dorsal-
strahl ist c. Vs^iial so lang wie der Kopf. Die Pectorale gleicht an Länge */,, des Körpers (mit Ausschluss der
Caüdale), die Ventrale erreicht nur eine Augenlänge; die schlanken zugespitzten Caudallappen gleichen sich
fast genau an Länge und sind nicht bedeutend länger als der Kopf.

Die Anale zeigt 2 einfache und 26 gegUederte Strahlen. Der 1. Gliederstrahl ist c. 2'/2mal in der Kopf-
länge enthalten und nicht gauz 2mal so lang wie der letzte. Die Seitenlinie durchbohrt 86—87 Schuppen am
Rumpfe; 14 Schuppenreihen liegen zwischen der Basis des ersten, sehr kurzen D jrsalstachels und der Seiten-
linie, und 16 zwischen letzterer und der Insertionsstelle der Ventralen. Die über der Seitenlinie bis zur Rücken-
linie des Humpfes gelagerten Schuppen sind voneinander an Grösse nicht bedeutend verschieden. Unterhalb
der Seitenlinie nehmen die Schuppen von der 2. oder 3. Schuppenreihe angefangen bis zur Höhe der Pectorale
herab, d. i. bis zur 8.-9. horizontalen Schuppeureihe sehr rasch an Höhe, nicht aber an Länge zu, und von
der 9. Reihe bis zur Bauchliuie herab, allmälig an Höhe ab. Die die Achselhöhle überdeckenden Schuppen
sind bei dem typischen Exemplare von BramM japonica merklich schlanker als bei ebenso grossen Exemplaren
von Brama Bajü, hierin, so wie in der stärkeren Rundung und rascheren Erhebung der Stiruliuie und in dem
Vorhandensein von 5 einfachen Dorsalstrahlen liegen die einzigen Merkmale, nach denen sieh Brama jajjotiica
von jy. i^q/// imterscheiden lässt; doch scheint es mir sehr zweifelhaft, ob diese wenigen Unterschiede bei
Untersuchung einer grösseren Reihe von Exemplaren sich als constant erweisen werden ; insbesondere dürfte
die stärkere Ansteigung der Stirnlinie, die bei dem typischen Exemplare von Brama japonica bemerkbar ist
uud durch die stärkere Entwicklung des Stirnkammes veranlasst wird, keinen genügenden Artcharakter
abgeben. Steind.

D. 5(4)/30(31). A. 2 26. P. 20. V. 1/5. L. lat. 86-.S7.

1 Bei einem 60 Cent, langen Individuum von Brama Rajii fällt der Beginn der Dorsale in verticaler Richtung über
das hintere Ende der horizontal zurückgelegten Ventralen.

- Der letzte 5. Strahl, von mir noch zu den einfachen Strahlen gezählt, ist leider nicht mehr vollständig erhalten, es
fehlt das obere Endstück, welches vielleicht gespalten gewesen sein mag, in welchem Falle somit wie bei Brama Rajii
mir 4 stachelige und 31 getheilte Strahlen zn zählen wären.

174 Franz Sfcivdttclnier und L. Do der lein.

98. Bfanid lonyiphiuls Lowe {Aryo Steimhwhiieri Döilcrl. in litt.).

Bei einer Totalläuge von c. 25 Cent. (IB'/a Cent, bei Ausschluss der Candale) ist die grösste Riimpfhöhe
etwas melir als 2' /.mal in der Totalläuge, genau 2mal in der Körperlänge bis zum hinteren Rande der
mittlereu Caudalstrahlen oder etwas weniger als l%mal in der Körperlänge bis zum Beginu der Caudale, die
Kopflänge Sy^mnl in der Körperlänge, der Augendiameter 4'/2mal, die Schnauzenlänge bis zur Kinnspitze
Sy.^mal, die Stirnbreite 2^/^mal, die Tiinge der Mundspalte 2mal in der Kopflänge enthalten.

Die obere Kopflinie erhebt sich rasch unter scliwachcr Bogenkriimmung zugleich mit der Nackenlinie bis
zum Beginn der Dorsale. Die Stirne ist breit, querüber massig gewölbt und wie die Schnauze, das Präorbitale
und der Unterkiefer schuppenlos.

Die Mundspalte erhebt sich minder steil nach vorne als bei Braiiia Rajii und das hintere Ende des Ober-'
kiefers fällt in verticaler Richtung ein wenig vor ilcn iiinteren Augenrand. Beide Kiefer tragen eine Binde
spitzer Zähne, die nach hinten allmälig an Breite abnimmt. Im Unterkiefer sind die Zähne der innersten Reihe
bedeutend stärker entwickelt als die der Aussenreihe und letztere etwas stärker als die der mittleren Reihen.
Im Zwischenkiefer nehmen die Zähne der breiteren Zahnbinde gegen die Innenreihe nur wenig an Grösse zu.
Gaumen- und Vomerzähne fehlen.

Der stark gebogene, freie Rand des Vordeckels ist zart gewimpert, das Randstück des letzteren trägt
keine Schuppen.

Die Ventrale ist ein wenig vor der Pectorale eingelenkt und an Länge nur '/a '^es Kopfes gleich, die
Pectorale dagegen ebenso lang wie der Kopf und minder stark zugespitzt als bei Bniina Rajii Bl. Die
Ventralen sind über dem Bauchrande eingelenkt, der zwischen den Ventralen bis zur Analgrube eine
Schneide bildet.

Die Dorsale beginnt in verticaler Richtung ein wenig hinter der Basis der Pectorale und ist in ihrem
vorderen Theile sichelförmig erhöht; sie enthält 4 rasch an Höhe zunehmende einfache Strahlen, von denen
der letzte jedoch nur kaum '/j der Höhe <ler beiden folgenden getheilten Sti'ahlen erreicht, deren Länge der
grössten Rumpfhöhe gleicht.

Die gegliederten Dorsalstrahlen nehmen vom 2. bis zum 9. rasch, die nächstfolgenden bis zum 14. nur
wenig an Höhe ab ; die übrigen Strahlen sind bis zum letzten fast von gleich geringer Länge. Die Anale ist
ähnlich gestaltet wie die Dorsale, enthält 3 ungespaltene, biegsame Strahlen und beginnt in verticaler Richtung
unter dem 7. oder 8. gegliederten Dorsalstrahl.

Beide Flossen sind in dem vorderen erhöhten Theile vollständig nnd hinter der Mitte ihrer Längenausdeli-
nung in der kleineren basalen Höhenhälfte der Strahlen überschuppt. Die Basislänge der Dorsale übertritl't die
Hälfte der Körperläuge fast noch um eine Augenlänge, die der Anale dagegen ist ein wenig kürzer als die
Hälfte der Körperlänge.

Die Caudale ist am hinteren Rande stark halbmondförmig eingebuchtet und in den beiden grösseren
vorderen Dritteln ihrer Ausdehnung vollständig überschuppt. Die Länge der Schwanzflosse ist um einen halben
Augendiameter geringer als die des Kopfes. Die Schuppen, insbesondere die am Kopfe gelegenen Schuppen,
die im Verhältuiss zu den Rumpfschuppen klein zu nennen sind, zeigen am freien Felde zahlreiche, radienförmig
nach hinten sich ausbreitende Leistchen, die mit feinen Zähnclien besetzt sind; die mittlere Leiste ist stets
etwas stärker entwickelt als die übrigen und beginnt bereits auf den Schuppen am Deckel, Hiiiterliaupte und am
Nacken vorne mit einer etwas stärkeren, knotenförmigen Erhöhung. Bei den übrigen mehr oder minder grösseren
Rumpfschuppen bildet sich aber dieser Vorsprung zu einer Art von liegendem Stachel aus, der am stärksten
auf den Schuppen des Schwanzstieles und des zunächst sich anschliessenden Rumpftheiles entwickelt ist, und
vor welchem jede vorangehende Schuppe in der Höhenmitte des hinteren Randes ziemlich tief eingebuchtet
ist. Der Randtheil der Schuppen ist sehr dünn, häutig. Bei den Schuppen des Rumpfes trennt eine Querleiste
das bedeckte Schuppenfeld von dem freiliegenden Theile, und in der Höheumitte derselben liegt der früher
erwähnte stachelartige Vorsprang.

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 175

Die grössten Eumpfschuppen liegen in und zunächst unter der Höhenmitte des Rumpfes; gegen die Basis
der Anale zu nehmen die Schuppen der folgenden Reihen minder rasch au Höhe ab, als die Schuppen der
oberen Rumpf hälfte gegen die Rumpfmitte an Höhe zunehmen, sind daher bedeutend grösser als letztere. Nur
an und zun.ächst dem Bauehraude zwischen dem Beginn der Anale und der Ventrale sind die Schuppen an
Grösse von jenen zunächst der Basis der Dorsale und der Nackenschuppen gelegenen wenig verschieden.

In den einzelnen horizontalen Schuppenreihen selbst nehmen die Rumpfschuppen vom hinteren Kopfende
bis zum Beginn des Schwanzstieles allmälig an Grösse zu und von letzterem bis zur Caudale rascher ab.
7 Schuppen decken die Achselhöhle und eine von 3 kleineren Schuppen überdeckte Flügelschuppe liegt über
der Basis der Ventrale (jederseits). 37 — 38 Schuppen liegen zwischen dem oberen Ende der Kiemeuspalte und
der Basis der mittleren Caudalstrahlen in einer Längsreihe und 26 Querschuppenreihen zwischen dem Beginn
der Dorsale und dem Bauchrande zunächst hinter der Spitze der zurückgelegten Ventralen.

Kopf, Rumpf und der beschuppte Theil der Dorsale, Caudale wie der Anale bleifarben mit lebhaftem
Silberglauz (etwas dunkler ist die Oberseite des Kopfes und das obere Viertel des Rumpfes) ; schuppenloser
Theil der Dorsale und Anale schwärzlich ; Pectorale und Ventrale wässerig gelblichgrün, schuppenloser Theil
der Caudale gelb mit einem Stiche ins Grünliche.

Magen massig gross, als Inhalt fanden sich Reste von Tintenfischen, Anneliden, kleine Krebse, Quallen
oder Salpen. Der Darm macht eine Schlinge; Pylorusanhänge 2 von ziemlicher Grösse. Schwimmblase vor-
handen; Pseudobranchien wohl entwickelt.

R. br. 7. D. 4/30. A. 2/23(24). P. 20. V. 1/5.

Lowe's Beschreibung von Brama longiphmis (Proc. Zool. Soc. of London 1843, p. 82) ist leider sehr
kurz gehalten, passt aber im Wesentlichen genau auf das in den vorangehenden Zeilen beschriebene Exemplar,
welches mir von Döderlein als Argo Steindachneri n. sp. & nov. gen. eingesendet wurde, sie lautet nämlich:
„B. corpore abbreviato, alto: squamis postice caudam versus antrorsum aculeato-umbonatis; pinna dorsali
analique antice longe falcato productis. D. 4-1-31; A. 2-1-26; P. 20; V. l-f-5. Sq. lin. lat. 41 — 45. The
example seen measured 18 inches and V* iu lenght and was 8 inches deep at the origin of the dorsal and
anal fins."

In der Art der Rumpf beschuppung nähert sich B. longip'mnis Lowe unter den übrigen Brama- Arten am
meisten der Brama Saussur/i G. Luuel (G. Lunel, Revision du Genre Castagnale (Brama), Memoires de la
Sociöte de Physique et d'Hist. naturelle de Genöve. T. XIX, 1866, pag. 185, PI. II), minder der Br. Raschii
Esm. (ITorhandlinger i Videnskabs-Selskabet i Christiania 1861, pag. 239 mit Tafel), unterscheidet sich aber
von beiden durch die gedrungenere Körperform und die bedeutend stärkere Verlängerung des vordersten Theiles
der Rücken- und Afterflosse. In der Zahl der Flossenstrahlen weicht Br. longipinnis L. nur wenig von Brama
Raschii Esm. ab, deren Flossenformel nach Esmark lautet: D. */28- ^- ^^- ^- Vs- ^- %2- L. 1. 42.

Dr. Döderlein erhielt Br. longipimiis nur einmal (im November) in Tokio; die Fischer erklärten, diesen
Fisch noch nie gesehen zu haben.

Japanischer Name: Ebo shidai.

99. PteracUs (Centropholis) Peter sii Hilgend.

Taf. II.

Das typische, im Universitäts-Museum zu Berlin befindliche Exemplar ist mit Ausschluss der Caudale,
deren Spitzen abgebrochen sind, 21 Cent, lang und über dem Beginne der Anale etwas mehr als 1^/^ Cent,
hoch; bei Ergänzung der Caudale dürfte die Totallänge c. 25 Cent, betragen.

Die grösste Rumpfliöhe ist c. 273mal, die Kopflänge etwas mehr als 4mal in der Körperlänge, der Augen-
diameter 3mal, die Stirnbreite 4*/,;mal, die Schnauzenlänge bis zur Kinnspitze 4Ygmal, die Länge der Mund-
spalte etwas weniger als 2mal in der Kopflänge enthalten.

176 Frans St ein dachnrr und L. D öder lein.

Die Mundspiilte, steigt sehr rasch nach obeu an, die Bezahnung der beiden Kiefer gleicht jener bei Brama.
Im Unterkiefer sind die Zähne der innersten, 3. Reihe, bedeutend länger als die übrigen, mit der Spitze nach
Innen umgebogen und die Zähne der Aussenreihe nur wenig länger als die der Mittelreihe.

Im Zwischenkiefer unterscheiden sich die Zähne der einzelnen Reihen an Länge und Stärke minder
bedeutend von einander. Vomer- und Gaumenzähne fehlen. Das hintere Ende des Oberkiefers fällt in verticaler
Richtung ein wenig hinter die Augenmitte.

Stirne, Schnauze, Unterkiefer und RandstUck des Vordeckels schuppenlos. Hintere Rand des Vordeckels
ungezähnt.

Die Dorsale wird nur von einfachen, ungegliederten Strahlen gebildet und beginnt in verticaler Richtung
bereits zu Anfang des letzten Viertels der Augenlänge mit kurzen Strahlen, die unter einer Schuppenscheide
verborgen liegen.

Diese ersten Strahlen erheben sich vom 1. bis zum 5. minder rasch als vom 5. bis zum 10., dessen Höhe
bereits eine Kopflänge erreicht. Der 11. Strahl übertrifft die Kopflänge nahezu um einen Augendiaiiieter,
der 14. und 15. längste Dorsalstrahl erreicht nahezu drei Kopflängen; die folgenden Strahlen nehmen bis zum
letzten minder rasch an Höhe ab, als die ersteren Dorsalstrahlen (mit Ausschluss der 4 — 5 vordersten kurzen
Strahlen) bis zum 14. an Höhe zunahmen.

Die Anale beginnt in verticaler Richtung ein wenig hinter dem Anfang der Dorsale und gleicht derselben
in der allgemeinen Form und Höhe der Strahlen, doch ist bereits der dritte Aualstrahl ebenso lang wie der
Kopf mit Ausschluss der Schnauze und der 4. und 5. der längste der Flosse und an Höhe drei Kopflängen gleich.

Die Pectorale ist ebenso lang wie der Kopf, die Ventrale ziemlich weit vor der Pectorale eingelenkt und
nur wenig länger als das Auge, die Caudale halbmondförmig eingebuchtet. Die Lappen der letzteren dürften
stark zugespitzt und höchst wahrscheinlich noch länger als der Kopf gewesen sein. Der noch vorhandene Rest
der Caudale an dem hier zu beschreibenden Exemplare ist 3 Ctm. lang und mit Ausnahme des hinteren Theiles
der mittleren Strahlen ganz überschuppt. Eine von hohen, schmalen Schuppen gebildete Scheide deckt die
Basis der Dorsal- und Analflosse, die hinterste Schuppe dieser Scheide ist besonders stark in die Länge
gezogen. Die Flügelschuppe über der Basis der Ventrale, auf welcher noch eine zweite Schuppe sich legt, ist
fast so lang wie die Flosse selbst. Drei Schuppen liegen an der Hinterseite der Brustflossenbasis und ragen in
die Achselhöhle hinein.

Die Schuppen am Kopfe, Vorderrüeken und unterhalb der Pectorale gegen die Ventrale zu sind bedeutend
kleiner als die übrigen Rumpfschuppen,* welche in ähnlicher Weise wie bei Brama longipinnis am Beginne des
freien Schuppenfeldes mit einem stachelähnlichen Vorsprunge bewaffnet sind, der in einen Einschnitt am
hinteren Rande jeder vorangehenden Schuppe sich einfügt. Zwischen dem oberen Ende der Kiemenspalte und
der Basis der Caudale liegen 49 Schuppen in einer Längsreihe und 18 zwischen der Dorsale und der Anale in
der grössten Ruiupfhöhe.

Kopf und Rumpf silbergrau. Dorsale, Ventrale und Anale schwärzlich, Pectorale gelb. Kiemenstrahlen 7.
Pseudobranchien stark entwickelt.

Die Racheuzähne am vorderen unteren Aste des ersten Kiemenbogens sind schlank, am oberen Rande
gezähnt und nehmen vom vordersten bis zum 7. rascii an Länge zu; über diesem liegt nur mehr ein einziger
etwas kürzerer Rachenzahn am oberen Aste desselben Kiemenbogens.

D. 50. V. 1/5. A. 40. P. 19.

Fundort: Enosima.

Herr Dr. Hilgendorf, dessen Güte ich die Untersuchung des in den vorangehenden Zeilen beschriebenen
typischen Exemplares von CentrophoUs Petersü verdanke, hält dasselbe für den Repräsentanten einer besonderen
Gattung (CentrophoUs), meiner Ansicht nach unterscheidet es sich aber nicht wesentlich von den Pteraclis-
Arten. Steind.

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 177

100. Lampris luna sp., Lin., Gmel.
R. br. G. D. 48. A. 37. P. 22. V. 12. C. 5/20/5.

Der Fisch ist den Japanern wohl bekannt nnd wird besonders im Herbst nicht sehr selten gefangen. Sein
Fleisch ist sehr geschätzt, seiner bedeutenden Grösse halber aber kommt er gewöhnlich nur in Stücken zum
Verkauf.

Die Fischer von Tokio erzählten mir lange Zeit von dem riesigen, farbenprächtigen Mamlai oder Ebosudai,
welche Namen fälschlicher Weise auch auf andere Fische angewendet wurden, bis sie mir ein ihrer Ansicht
nach kleines Exemplar unzerstUckt brachten. Es mass von der Schnauzenspitze bis zur Schwanzspitze 110 Ctm.,
der Kopf allein war 28 Ctm. lang und 17 Ctm. breit.

Längster Dorsalstrahl 24 Ctm., 12. Dorsalstrahl 4 Ctm., 36. Dorsalstrahl 1^^ Ctm., letzter 3 Ctm.;
2. Analstrahl 4 Ctm., 12. Analstrahl 7 Ctm., letzter 2»/^ Ctm.; Länge der Pectorale 24 Ctm., der Ventrale
26 Ctm., der Caudale 22 Ctm.

Augendurchmesser 5V2 Ctm., Schnauzenlänge 12 Ctm. Farbe glänzend röthlich, mit runden Silberflecken,
Flossen goldroth (D öd er lein).

Farn. SCOMBRIDAE.
101. Sconiber eoUas Lin., GmeL

Syn.: Scomher imemiiatophon<s de la Koche.
„ grex Mi teil.

„ pnciiiiiiitopJiwHs imijor Schieß-, Fauna japonica, Poias., p. 03, PI. 47, Fig. 1.
„ saba Bllcr., Niewe Nalcz. op do Ichth. van Japan, p. 95, in Verband, van het Batav. Genootsch. van Kunat u.

Wetensch. Deal. XXVI.
„ pneumatophonis minor Scllleg., 1. c. pag. 94, PI. 47, Fig. 2.
„ janesaha Blkr., 1. c. pag. 96.
„ fcqmiiocejfhalus Blkr. 1. c. pag. 97.

„ Diec/o Ayies, Proc. Cal. Aead. Nat, Sc. I, pag. 92, 1855.

„ pueumatophorus Jord&Gilb., Bull, of the U. St. Nat. Mus., Nro. 16, 1883, pag. 424.
„ colias Jord. & Gilb., 1. e. pag. 910.

Ich habe bereits in der 5. Fortsetzung meines ichthyologischen Berichtes über eine nach Spanien und
Portugal unternommene Reise (1868) hervorgehoben, dass die Zahl der Stacheln in der 1. Dorsale stets mehr
als 7 und zwar mindestens 9 (bei alten Individuen), in der Regel aber 10 und wie sich aus der Untersuchung
zahlreicher neu erworbener Exemplare ergab, insbesondere bei jüngeren Individuen häufig auch 11 beträgt;
die beiden letzten Stacheln sind aber stets sehr kurz und spitz, liegen in der Dorsalfurche verborgen und ver-
schwinden bei älteren Individuen zuweilen spurlos.

Die Kopflänge ist bei Individuen von nur IS'/z — l^'A Ctm. Länge genau oder etwas mehr als SVjjmal,
bei älteren Exemplaren von 22 — 25 Ctm. Länge genau oder etwas mehr als S^/j mal, bei erwachsenen Individuen
von 40—42 Ctm. Länge 31/2 bis 3% mal in der Körperlänge enthalten; bei einem 34 Ctm. langen Exemplare aus
Fiume (9 zur Laichzeit im Juli gefangen) erreicht .sie dagegen ausnahmsweise fast nur V4 der Körperlänge oder
*/9 der Totallänge.

Das Verhältniss der Rumpfhöhe zur Körperlänge ist sehr variabel und hängt theilweise von der Jahreszeit
(unmittelbar vor oder nach Beendigung des Laichgeschäftes), theilweise aber auch von der mehr oder minder
reichen Nahrung ab, die die Fische an gewissen Localitäten finden. Die Rumpfliöhe schwankt hienach zwischen
V9 — V« der Körperlänge und beträgt bei einigen von mir untersuchten Kümmerern aus Japan sogar nur V33
der letzteren.

Die Augenlänge ist bei jungen Individuen genau oder etwas mehr als 4mal, bei älteren nnd völlig
erwachsenen Exemplaren ca. 4}/^ mal in der Kopflänge enthalten. Der Zeichnung nach lassen sich wie bei
Scomher scombrus zwei Hauptvarietäten unterscheiden; bei der einen ist die obere Rumpfhälfte mit mehr minder

Denkschriften der mathem.-Qaturw. Ci. XLIX. Bd. 23

178 Franz Sfei iidac/i itcr und L. Düdcrlein.

gcsclilängelten Querbindeu gezieit, die bald mehr bald minder schmal sind, bei der anderen Varietät aber
sind die Binden durch Flecken ersetzt.

Die von Döderlein mir eingesendeten Exemplare waren als Sc. janesabd Blkr. bezeichnet und sind von
geringer Grösse (bis 22 Ctm.). Die Körperhölie ist bei derselben G'/^hI'I'j die Kopflänge 4mal in der Totallänge,
der Augendiameter ca. 4 mal in der Kopflänge enthalten.

Japanischer Name: Saba.

Sehr häufig bei Tokio, ebenso bei Tango. Das Wiener Museum besitzt überdies noch japanische Exemplare
von Nagasaki und Osaka durch Baron Ransonett.

NB. Schon aus einer ganz oberflächlichen Betrachtung der von Cuvier und Valencienncs gegebenen Abbildung von
Sc. Colins ergibt sich, dass diese Art mehr als 7 Stacheln in der Dorsale enthalten muss, und dass der Zeichner entweder
die zwei letzen Strahlen zu zeichnen vergass, oder dass dieselben bei dem typischen Exemplare abgebrochen waren.

Mit bewunderungswürdiger Zähigkeit halten noch manche Ichthyologen der Gegenwart an dem Irrthume fest, dass
Sc. coUas sich von Sc. 2»ieiimathophoriis in der Zahl der Dorsalstachel wesentlich unterscheiden lasse, obwohl Cuvier und
Valencienncs selbst über die Zahl der Stacheln in der Dorsale bei Sc. colias sich nirgends aussprechen, und es gerade
nicht schwer fällt, sich ein grosses Exemplar einer Makrele mit einer Schwimmblase zu verschaflfeu, das eben nach C. V.
ein Sc. Colins sein muss.

102. Orcynus Schlegeln n. sp.?, Steind.
Taf III, Fig. 1.

Die Kopflänge ist bei einer Totallänge von nahezu 40 Ctm. Länge unbedeutend mehr als 3 mal, die grösste
Rumpf höhe ein wenig mehr als 4 mal in der Körperlänge, die Länge der Augenhöhle bedeutend mehr als
4'/3mal (fast 4''^mal), der nach Aussen frei liegende Theil des Auges aber ß'/gmal, die Stirnbreite 3^/^mn\,
die Schnauzenlänge etwas mehr als 3 '/^ mal die grösste Kopfl^reite etwas mehr als 2mal, die grösste Kopf-
höhe l'/^mal in der Kopflänge enthalten.

Das hintere Ende des Oberkiefers fällt unter die Augenmitte. Die Mundspalte steigt nur massig nach
vorne an und dio beiden Kiefer reichen gleich weit nach vorne. 26 schlanke, spitze Zähne liegen im Unterkiefer
und 29 — 30 im Zwischenkiefer; sie bilden eine einfache Reihe und sind mit der Spitze nach hinten gekehrt.
Auf den Gaumenbeinen wie am Vomer liegt eine längliche, schmale Binde von Sammtzähnen.

Der hintere Rand des Vordeckels ist bogenförmig gekrümmt und vereinigt sich mit dem unteren Rande
unter einem stumpfen Winkel, der sich einem rechten stark nähert. Der hintere Rand des Kiemendeckels läuft
parallel zu dem entsprechenden des Vordeckels. Der Deckel selbst ist ca. 2y2mal höher als lang.

Der 1. Dorsalstachel ist ca. !2^/jmal, der 4. 3*/^ mal, der (3. ca. 4'/jmal, der 8. ca. 6'/^ mal, der 10. Ty^mal,
der 13. letzte Strahl fast 14 mal in der Kopflänge enthalten; der obere Rand der stacheligen Dorsale ist nur
zwischen den sieben ersten Stacheln concav, von dem 8. bis zum letzten Stachel senkt er sich ohne Krümmung
und gleichmässig schwach nach hinten.

Die grösste Höhe der 2. Dorsale am 4. und 5. Strahle erreicht ca. */^ der Kopflänge; der obere hintere
Rand derselben Flosse ist stärker concav als der der ersten stacheligen Dorsale und fällt zugleich viel rascher
und steiler nach unten ab. Hinter der 2. Dorsale, die im Ganzen 13 Strahlen enthält (V2/10)' Hegen 10, hinter
der 14-strahligen Anale, die an Form und Höhe der 2. Dorsale entspricht, 8 Flösselchen. Von den 10 Flössel-
chen hinter der 2. Dorsale ist das erste sehr klein und steht sehr nahe hinter dem letzten Strahle der 2. Dorsale.

Die Länge der Pectorale ist ca. ly^mal, die der Ventrale etwas mehr als 27501^1 in der Kopflänge
begriffen.

Die schlanken Caudallappen sind nahezu von gleicher Länge und erreichen, von der Basis der mittleren
Caudalstrahlen gemessen, ca. ^g der Kopflänge.

Die Wangenschuppen sind gross, lang, lancetförmig und liegen unter der Kopfhaut verborgen; etwas
kleiner sind die Schuppen an den Seiten des Hinterhauptes. Die Schuppen des Corselets sind zunächst der
Scapula und unter (und vor) der Basis der Pectorale ziemlich gross, nehmen längs dem oberen Rande der
horizontal zurückgelegten Brustflosse nach hinten allmälig an Umfang ab und gehen hinter der Spitze der

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 1 7 ;)

Pectoiale unmerklich in die kleinen Schuppen der hinteren oberen Runipfhälfte über. Einige Reihen grösserer
Uberhäuteter Schuppen liegen zunächst unter der Basis der stacheligen Dorsale.

Körper oben bläulich, unten silberglänzend, erste Dorsale schwärzlich.

Fundort: Tokio.

Das hier beschriebene 36 Ctm. lange japanische Exemplar, welches mir von Dr. Döderlein als Thunnus
pelavujs ? eingesendet wurde, zeigt eine auffallende Aehnlichkeit mit Thijnn. brarJii/pfenis C. V. und Thijiin.
breoipinnis C. V., die jetzt wohl ziendich allgemein ;ils Jugendformen von Thijnn. thijnniis White, Gthr.
(= Thyrmus vulgaris C. V. = Orcynus thynnus sp. Lin.) betrachtet werden, doch unterscheidet es sich,
abgesehen von einigen wohl nicht wesentlichen Unterschieden in der Zahl der Dorsalflossen-Strahlen, von gleich
grossen Exemplaren des gemeinen Thunfisches durcli die gedrungenere Körperform und die grössere Länge der

Pectorale (bei zwei Exemplaren des Orcynus hrachypterus von 36 '/^ — 39 Ctm. Länge ist der Kopf 3' 3^, mal

in der Körperlänge enthalten); ich bin daher in einigem Zweifel, ob dasselbe nur als eine Jugendform von
Orcynus thynnus sp. L., oder aber als Repräsentant einer besonderen Art betrachtet werden darf.

D 13/13-(-X. A. 14-HVm. P. 30.

NB. Von Thijnnus pelamys L. = Euthyiimts pelamys (L.) Ltk. besitzt das Wiener Museum Praclitexemplare vou deu Gala-
pagos-Inseln, Peru, den Gesellschaftsinseln, vou Cuba und St. Helena. (Steind.)

103. Scarda (=Pelamys) chileusis C. V., var. orientaUs Schleg.

Die beiden von Dr. Döderlein bei Tokio gesammelten Exemplare besitzen, wie das von Schlegel in
der Fauna japonica abgebildete Exemplar, nur sechs Flösselchen hinter der Anale und acht hinter der 2. Dorsale.

Bei dem nur 45 '/^ Ctm. langen Exemplare ist die Kopflänge 3\'^ma.\, die grösste Rumpf höhe mehr als
473 mal in der Körperlänge (bis zur Basis der mittleren Caudalstrahlen), die Länge des Auges, so weit es nach
Aussen frei liegt, ca. 7^/^ mal, die Schnauzenlänge 3 mal, die Stirnbreite 3V2mal, die Länge der Pectorale
27ämal in der Kopflänge enthalten. Sieben nur wenig nach hinten und oben ansteigende, blaue Längsstreifen
in fast gleicher Entfernung vou einander in der oberen Rumpfhälfte, und eine verschwommene graue Läugs-
binde etwas unter der Höhenmitte des Rumpfes.

D. 19 'J/15-4-VIIL A. I0/6-+-YL

Bei dem 2. grösseren Exemplare von fast 60 Ctm. Länge ist die Kopflänge unbedeutend mehr als 3 mal,
die Rumpfhöhe kaum 3* .mal in der Körperlänge, der Augendiameter 77,, mal, die Schnauzenlänge nicht ganz
3mal, die Stirnbreite ca. 3y3mal und die Länge der Pectorale mehr als 2',.mal in der Kopflänge enthalten.

Auf der rechten Rumpfseite liegen 9 — 10 blaue Längsstreifen, die ein wenig .schräge nach hinten und oben
ziehen. Auf der linken Rumpfseite dagegen ziehen die obersten breiteren fünf Längsstreifen sehr schräge nach
hinten und oben, und endigen zwischen der 2. Dorsale und dem 1. Flösselchen. Von dem 5. Längsstreifen
zweigen sich zwei Längsstreifeu ab, die horizontal nach hinten ziehen, und unter diesen liegen noch zwei
schwach ausgeprägte Längsstreifen, die bereits in der Pectoralgegend beginnen.

D. 20 i)/15-4-Vin. A. 15 (16?)-hVL

Dieses Exemplar zeigt in der Anordnung und Zahl der Längsstreifen einen interessanten Uebergang zu
jener an der Westküste Amerikas häufig vorkommenden Varietät (^mit schrägen ansteigenden Längsstreifen),
welche von Cuvier und Valenciennes als Pelamys chilensis beschrieben wurde. Die Zahl der Flösselcheu
ist bei dieser Art sehr variabel; bei zwei grossen Exemplaren, welche ich aus Peru erhielt, liegen acht Flössel-
chen hinter der Dorsale und sieben hinter der Anale, und bei einem dritten Exemplar aus Chile sieben hinter
der Dorsale, sechs hinter der Anale.

Japanischer Name : Kitsune (d. i. Fuchs) oder Sujikatsuun.

1 Der letzte 19., resp. 20. Dorsalstaehel ist gauz überhäutet, sehr kurz und nicht frei beweglich.

23*

180 Franz Steindachner und L. Döderlein.

104. Auocis üocJiel sp., Kisso.

Syn: Atixis tapeinosoma Blkr., 1. c. pag. 98, Taf. VII, Fig. 1 (jun.).

Die beiden von Dr. Döderlein bei Tokio gesammelten Exemplare sind 30 und 45 Ctm. lang. Bei dem
kleineren Exemplare ist die grösste Rumpfhölie nicht ganz 4yjmal in der Körper-, oder ein wenig mehr als
5 mal in der Totallänge, die Länge des Kopfes etwas mehr als 373 mal in der Körperlänge, der Augendiameter
573 mal, die Schnauzenlänge 4'/.-, mal, die Stirnbreite S^^^uial, die Länge der Pectorale unbedeutend mehr als
2 mal in der Kopflänge enthalten. Die Kieler reichen gleich weit nach vorne. Das hintere Ende des Ober-
kiefers fällt in verticaler Richtung unter die Augenmitte.

Bei dem zweiten grösseren Exemplare dagegen ist die grösste Rumpf höhe S'/^mal, die Kopflänge 3^5 mal
in der Körperlänge (bis zur Basis der mittleren Caudalstrahlen), die Schnauzenlänge unbedeutend mehr als 4 mal,
die Länge des Auges, so weit es nach aussen frei liegt, ca. 6^3 mal, die Stirnbreite 3%mnl, die Länge der
Pectorale 2 mal in der Kopflänge enthalten. Das hintere Ende des Oberkiefers iäUt in verticaler Richtung ein
wenig hinter die Augenmitte.

Bei dem kleineren Exemplare enthält die Dorsale eilf, bei dem grösseren zehn Stacheln in der 1. Dorsale,
und bei beiden liegen acht Flösselchen hinter der 2. Dorsale, sieben hinter der Anale.

Rumpfzeichnung und Beschuppuug genau wie bei den europäischen Exemplaren. Ganz junge Individuen
zeigen eine auffallend schlanke Körperform, die jener von Scomber scomhrus gleicht; so ist bei einem Indivi-
duum von kaum 16 Ctm. Länge die Körperhöhe mehr als 573 mal in der Körperläuge oder 6'/graal in derTotal-
länge, die Kopflänge 4mal in der Körperlänge, die grösste Kopfhöhe mehr als 175mal, die grösste Kopfl)reite
ca. 27- mal, die Länge der Pectorale 2'^mal in der Kopflänge enthalten.

Auxh tapeuiosoma Blkr. ist meines Erachtens nur eine Jugendform \oxiAuxis EocJiei. Be/.üglich der Zahl
der Flösselchen ist Blecker's Abbildung in vollem Widerspruche mit der Beschreibung, nach letzterer sollen
neun Flösselchen hinter der Dorsale liegen, während die Abbildung deren nur sieben zeigt, vielleicht ist beides
irrig und es waren acht Flösselchen ursprünglich vorhanden. Übrigens kommt es bei den thynnus- artigen Fischen
nicht selten vor, dass der letzte Strahl der 2. Dorsale sich von letzterer ein wenig nach Art eines Flösselchens
trennt und ein wenig entfernt.

Die Körperhöhe soll ferner bei A. tapeinosoma Blkr. ß'/gmal in iler Totallänge enthalten sein, während
erstere nach Blecker's Abbildung kaum mehr als \^ der Totallänge erreicht.

Nach Dr. Döderlein kommt Auxis Eocliei häufig bei Tokio vor und wird Sodagat su uwo von den
Japanern genannt.

105. Sconiberouiorus (-rz Cyhiitm) niphonmm C. V.

Diese Art ist überaus häufig an den südlichen Küsten Japans und kommt auch an den Küsten von China vor.

Die beiden von Dr. Döderlein eingesendeten Exemplare sind 49 und 51 Centimeter lang. Die grösste
Rumpfhöhe ist bei denselben nahezu 6 bis fast 67-mal, die Kopflänge 4^'^ bis fast 4V6mal in der Körperlänge,
der Augendurchmesser c. 674 — 7mal, die Schnauzenlänge 3 — 274mal, die Stiinbreite nahezu 37^— 3^/3mal,
die grösste Kopthöhe c. 1 y^mal, die grösste Kopfbreite zwischen den Deckeln 2'/ ,, — 275mal, die Länge der
sichelförmigen Pectorale 275 bis unbedeutend mehr als 2mal in der Kopflänge enthalten.

Das hintere Ende des Oberkiefers fällt in verticaler Richtung genau unter oder noch ein wenig hinter den '
hinteren Augenrand. Beide Kiefer reichen gleich weit nach vorne. Im Zwischeukiefer liegen jederseits 19 — 20,
im Unterkiefer 16 — 18, dreieckige, comprimirte, schlanke Zähne, von denen die des Unterkiefers bedeutend
stärker als die des Zwischenkiefers entwickelt sind. In beiden Kiefern nehmen die Zähne gegen die Längen-
mitte der Kieferseiten an Länge und Stärke allmälig zu. Die Vomer- und Gaumenzähne bilden ziemlich schmale
Längsbinden und sind sehr klein, sammtartig.

Der hintere Rand des Vordeckels ist fast vertical gestellt, ziemlich stark eingebuchtet; der Vordeckel-
winkel nach hinten vorgezogen, elliptisch gerundet. Pseudobrancliien stark entwickelt.

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 1 8 1

Die stachelige Dorsale beginnt in verticaler Eichtung ein wenig hinter der Basis der Peetorale und enthält
bei jedem der beiden Exemplare aus Döderlein's Sammlung H) Stacheln, die zweite Dorsale im Ganzen 17
Strahlen, hinter welchen 8 Flösselchen liegen, die Anale IG — 17 Strahlen, auf welche 9 Flösselchen folgen.
Der Beginn der Anale ist ebenso weit von der Basis der mittleren Caudalstrahlen wie vom hinteren Ende des
Kopfes entfernt und der Beginn der zweiten Dorsale fällt circa in die Mitte der Entfernung des hinteren Augen-
randes von der Basis der mittleren Caudalstrahlen.

Die Seitenlinie ist in dem mittleren Theile ihres Verlaufes am Rumpfe schwach wellenförmig gebogen
und senkt sich unter dem Beginn der zweiten Dorsale, somit ein wenig vor der Mitte der Rumpflilnge, unter
schwacher Bogenkrümmung massig rasch nach hinten.

Oben blau, unten silberig; mehrere Längsreihen nicht sehr scharf hervortretender Flecken an den Seiten
des Rumpfes in dessen oberer Höhenhälfte. Erste Dorsale, Schwanz- und Brustflossen schwärzlich, ebenso die
obere Hälfte den zweiten Rückenflosse; die übrigen Flossen sind gelblich.

Häufig bei Tokio und Tango (am japanischen Meere).

Japanischer Name: Sawara.

Das Wiener Museum erhielt überdies von derselben Art zwei junge Exemplare von Tschifu durch Herrn
Baron Ransonett. Bei einer Totallänge von 14 und 15 C'tm. ist die grösste Rumpfhöhe c. 5' ^mal, die Kopf-
länge 4mal in der Köri)erlänge, der Augendiameter nicht ganz 5mal, die Schnauzenlänge 27^mal, die Stirn-
breite 4mal, die Länge der Peetorale mehr als 273mal in der Kopflänge enthalten. 20 — 21 Stacheln in der
ersten Dorsale; zweite Dorsale mit einem kurzen Vorstachel und 17 Strahlen, aufweiche 7 Flösselchen folgen.
Anale mit 18 — 19 Stsahlen und 8 Flösselchen.

Der letzte Strahl der zweiten Dorsale und der Anale ist etwas weiter als die übrigen von dem voran-
gehenden Strahle entfernt, flösschenartig, doch noch vollständig (seiner ganzen Höhe nach) mit dem vorletzten
Strahle durch Haut verbunden; er löst sich somit erst im vorgerückteren Alter als selbstständiges Flösschen
ab, daher man dann auch in der zweiten Dorsale und der Anale um einen Straid weniger zählt.

Cj/fnum chinense nur nach einer, wenigstens theilweise unrichtigen Zeiciinung (bezüglich der Form der
Peetorale) \'on Cuvier- Valenciennes und Schlegel besehrieben, ist wohl zweifellos identisch mit C.
nipho7iium (=r Scomberomorus niphonium Ltk.), selbst wenn bei ersterem nur 7 Flösselchen hinter der Dor-
sale vorhanden gewesen wären. Die gelinge Zahl der Stacheln der ersten Dorsale nach der von Schlegel
publicirten Abbildung erklärt sich daraus, dass die Zeichner die letzten kurzen Stacheln übersehen hat,
daher auch der Abstand des Endes der ersten Dorsale von dem Beginne der zweiten Dorsale ein unnatürlich
grosser ist.

Der ganze Habitus von Cybium chinense spricht für die Richtigkeit meiner Vermuthung. (Steind.)

106. Elacate nigra sp., Bloch.

Zwei grosse Exemplare von 51 V^ und 54 Ctm. Länge. Leibeshöhe c. Smal, Koflänge c. 5mal in der Total-
länge (bis zur Spitze des oberen Caudallappens) oder erstere c. e'/j, letztere unbedeutend mehr als 4mal in
derKörperläuge, grösste Kopfbreite 2mal, Schnauzenlänge bis zur voi ragenden Spitze des Unterkiefers c. 2*/- —
mal, Augenlänge c. 7V3nial, Länge der Peetorale l'/jmal, Länge der Ventrale 275mal in der Kopflänge ent-
halten. Der obere längere Caudallappen erreicht nahezu eine Kopflänge. Eine ziemlich breite, schwarzbraune
Längsbinde zieht vom Seitenrande der Schnauze zur Caudale; in der vorderen Rumpfliälfte wird er von der
Seitenlinie halbirt, weiter zurück aberläuft er über die Seitenlinie hin; eine schmälere hellbraune Binde liegt
über der dunklen Mittelbinde.

Zahnbinde am Vomer fast rhombenförmig oder breit nagelfdrmig, mit etwas concaven Hinterrändern.

Zunge mit einer lanzettförmigen Zahnbinde in der Mitte und zahlreichen kleinen Zahngruppen an den
Randtheilen. Keine Pseudobranchien.

Kiemendeckel nur im obersten Theile beschuppt, mit 5 — 6 radienförmig nach hinten auslaufenden, ziemlich
stark entwickelten stumpfen, leistenartigen Vorsprüngen.

182 Franz Steindachner und L. Döderlein.

Bei Tokio nach Döderlein selten.

Japanischer Name: Sugi.

Dr. Klunzinger i.st der Ansicht, dass Elacate mit Echeneis in eine Gruppe zu vereinigen sei, welche er
Echmeides nennt (s. Klunz., Die Fische des Eothen Meeres, I. Theil. 1884, Stuttgart, p. 109 u. 114).

Fam. ECHENEIDIDAE.
107. Echeneis naiicrates Lin.

Die Sau"scheihe des von Döderlein eingesendeten, 64 Ctm. langen Exemplares besteht aus 23 Paaren
von Lamellen und ihre Länge ist genau 4raal in der Körperlänge oder 4-'/,imal in der Totallänge, die Breite
des Kopfes zwischen den Brustflossen 8mal in der Körperlänge oder fast OV^nial in der Totallänge enthalten.

Ziemlich selten bei Tokio.

Japanischer Name: Koban same.

108. Echeneis brachyptera Lowe.

Die beiden von Döderlein gesammelten Exemplare sind 17 und I8V4 Ctm. lang; bei dem grösseren
besteht die Saugscheibe aus 15, bei dem kleineren aus 16 Paaren von Lamellen und ihre Länge ist genau oder
nahezu 4mal, die grösste Kopfbreite zwischen den Pectoralen 7'/jmal in der Totallänge enthalten.

Die Dorsale enthält .30—31, die Anale 25 Strahlen.

Nach Döderlein bei Tokio nicht sehr selten.

Japanischer Name: Koban sama.

Fam. CYTTIDAE.
109. Zeus nebulosus Schleg.

Grösste Piumpfhöhe etwas mehr als 2nial, Kopflänge etwas mehr als 3mal in der Totallänge, Schnauzen-
länge bis zur vorderen Spitze der Unterkiefers 2mal in der Kopflänge enthalten. Die Augenlänge erreicht nicht
«•anz V der Kopflänge. Zahl der Platten längs der Dorsal- und Analflossenbasis, nach den bisher untersuchten
Exemplaren zu schliessen, sehr constant, sechs längs der Basis der Stacheln, sieben längs der Basis der Glieder-
strahlen der Dorsale, acht längs der Basis der Anale und acht am Bauchrande zwischen der Ventrale und dem
Beginne der Anale.

Die Ventrale ist nahezu um einen Augendiameter länger als der Kopf.

Zwei Exemplare, jedes c. 21 Cent. lang.

Japanischer Name: Kagamidai.

Fam. NOMEIDAE.
110. Psenes ano malus Schleg.
B. 7. D. 6/30. A. 3/27.
Die grösste Körperhöhe übertrifft mehr oder minder bedeutend V3 der Totallänge, während die Kopflänge
circa 4V3 — 47^mal in der Totallänge enthalten ist. Die Länge des Auges übertrift't die der Schnauze, erster
ist 4 mal, letztere circa 475mal, die Breite der Stirne mehr als 2V5iiial in der Kopflänge enthalten. Das hintere
Ende des schmalen Maxillare fällt ziemlich bedeutend vor die Augenmitte. In beiden Kiefern eine Reibe sehr
feiner, dicht stehender, gleich langer Zähnchen. Der hintere, geradlinige oder schwach concave Rand des
Vordeckels ist sehr stark nach hinten und unten geneigt, der Vordeckelwinkel stark gerundet.
Nur eine Dorsale mit 6 kurzen, theilweise in der Haut versteckten Stacheln.

Von den weichen Dorsalstrahlen ist der 5. oder 6. am höchsten und circa l^^nial in der Kopflänge ent-
halten. Die Länge der Pektorale ist circa um eine halbe Schuauzenlänge geringer als die des Kopfes. Die
Länge der Ventralen gleicht Yj einer Kopflänge.

Beiträge zur Kennfniss der Fische Japan' s. 183

Ziemlich selten bei Tokio. Das grösste der von Dr. Döderlein gesammelten Exemplare ist 18"° lang.
Japanischer Name: Ebodai.

Fam. STROMATEIDAE

111. Centrolopluis japonieus n. sp. Döderl.

B. 7. D. 8/22. A. 3/19. P. 23. V. 1/5. L. lat. c. 98—100 (bis zur Caudalbasis.)

Die grösste Körperhöhe ist kaum bedeutender als die Länge des Kopfes, welche letztere circa 3^4 mal in
der Totallänge enthalten ist. Der Orbitaldurchmesser gleicht der Breite des Interorbitalraumes und ist ^l^vndX
in der Schnauzenlänge oder 3 mal in der Kopflänge enthalten. Die Schnauze ist wulstig aufgetrieben und fällt
steil nach unten zum Vorderende der Mundspalte ab, die stark nach vorne sich erhebt. Das hintere Ende des
scimialen Oberkiefers fällt unter die Augenmitte.

Eine Reihe feiner, gleich langer Zähnchen in beiden Kiefern.

Vom Interorbitalraum zieht sich bis zur Nackengegend ein starker Kiel fort; das Profil des Hinterhauptes
wird durch denselben stark convex, das des vorderen Theiles des Interorbitalraumes concav.

Der Vordeckel ist radiär gefurcht; der liintere, concave, schräge gestellte Rand desselben ist gezähnt, der
untere häutig und mit zarten Cilien besetzt. Die Spitzen der ziemlich stark entwickelten Zähne am hinteren
Rande des Vordeckels sind schräge nach oben gekehrt. Auch der ganze freie Rand des Zwischendeckels und
der vordere Theil des freien Unterdeckel-Randes mit Cilien besetzt.

Vom oberen Theile der Kiemenbogen ragen 3 Paare polsterförmiger Zahnpackete herab.

Die Dorsale beginnt über dem hinteren Theile der Pektoralwurzel, die Stacheln sind schwach, kurz und
liegen fast vollständig nnter den Scliuppen verborgen. Der letzte, höchste Dorsalstachel erreicht an Länge nur
y^ des Kopfes. Der stachelige Theil der Rückenflosse geht ohne Unterbrechung in den weichen über; die
vordersten dieser biegsamen Strahlen sind länger als die mittleren und hinteren, der 2. oder 3. höchste Glieder-
strahl ist leider an der Spitze abgebrochen und dürfte (ergänzt) circa 27,.; mal in der Kopflänge enthalten sein.
Die ganze Dorsale ist mit Schuppen bedeckt.

Die Anale ist an dem uns zur Beschreibung vorliegenden Exemplare stark beschädigt, doch lässt sich nocli
deutlich erkennen, dass der gliederstrahlige Theil der Anale in der Form wesentlich mit dem der Dorsale über-
einstimmt. Die Pektoralen sind lang und reichen zurückgelegt fast bis zur Analmündung.

Die Ventralen beginnen unmittelbar hinter der Pektoralwurzel (in vertikaler Richtung) und ihre Spitze
liegt gerade in der Mitte zwischen ihrer Basis und dem Beginn der Afterflosse. Die gabelige Caudale ist ganz
beschuppt.

Die Länge der Pektorale ist circa l'/gmal, die der Ventrale 2V4mal und die der Caudale circa l'/j — 1 Vs™^!
in der Kopflänge enthalten.

Die Schuppen sind ziemlich klein, ganzrandig und fallen leicht ab. Am Kopfe sind die Wangen und nach
Döderleins Angabe auch die Deckelstücke mit Ausnahme des breiten Raudtheiles des Vordeckels beschuppt.
Die Oberseite des Kopfes ist von weicher poröser Haut bedeckt.

Die Seitenlinie liegt an ihrem Beginne im oberen Drittel der Rumpf höhe, verläuft eine kurze Strecke
horizontal, steigt dann allmälig abwärts, bis sie ein wenig hinter dem Beginn des gliederstrahligen Theiles der
Anale die Mitte der Körperhöhe erreicht hat, und verläuft hierauf in horizontaler Richtung bis zur Caudale.

Graubraun, oben dunkel, unten heller. Der obere Theil des Kopfes ist schwarzbraun.

Der Magen ist sehr lang und erstreckt sich bis zur Analgegend, der Darm macht eine Schlinge. Pylorus-
anhänge zahlreich, zu circa 8 — 10 bandförmigen Büscheln vereinigt. Schwimmblase vorhanden.

Nur Ein Exemplar von 42'" Länge in Tokio erhalten, und von den Fischern als eine grosse Selten-
heit erklärt.

Japanischer Name : Medai.

Dieser von Döderlein entdeckten japanischen Art steht die von mir an den Küsten Perus aufgefundene
Centrolophus-Axi am nächsten und hält sich wie letztere wahrscheinlich in bedeutender Tiefe auf (Steind.).

184 Franz Steindachner und L. Döderlein.

Farn. CARANGIDAE
112. Trachurus trachurus Linn.

In ganz Japan sehr gemein und zu Tausenden gefangen.
Japanischer Name: Aji.

113. Carcinx torvus Jeu.

Das mir vorliegende Exemplar von IS""' Länge stimmt vollständig mit der Beschreibung von Caranx torvus
Jen. überein, doch hat es einen schwarzen Operkeifleck. (Döderl.)
Nicht sehr häufig bei Tokio.
Japanischer Name : Meaji.

114. Caranx delicaUsslmiis n. sp. Döderl.

D. %/l. k.2/~. L. lat. 85 + 24.

'25 '11

Die grösste Körperhöhe ist S'/^mal, die Kopflänge 4mal in der Totallänge, der Augendiameter l'/^mal in
der Schnanzenlänge und A^l.^ma\ in der Kopflänge enthalten. Der Kopf ist 273mal länger als breit.

Das Profil des Rückens von der Schnauze bis zum Ende der Dorsale ist fast ganz gleichmässig gebogen.
Das Maxillare endigt in vertikaler Richtung noch vor dem Vorderrand des Auges; der Unterkiefer ist nicht
länger als der Oberkiefer. Beide Kiefer tragen nur eine Reihe kleiner Zähne. Keine Zähne am Vomer, die
Gaumenbeine dagegen sind bezahnt. Wenige Zähne auf der Zunge.

Die erste Dorsale ist gut entwickelt; bei der zweiten sind die vordersten Strahlen länger als die hinteren.
Keine falschen Flossen am hinteren Ende der zweiten Dorsale und der Anale. Die beiden isolirten Stacheln
vor der Anale sind ziemlich kräftig entwickelt. Pektorale sehr lang und sichelförmig.

Die Höhe der ersten Dorsale ist 2Y^mal, die der zweiten Dorsale 273 mal, die Länge der Pektorale '/s"!^')
die der Ventrale 2' .mal in der Kopflänge enthalten.

Die Seitenlinie ist vorne massig gebogen, vom Ende der Pektorale angefangen läuft sie in horizontaler
Richtung fort. Der gerade verlaufende Theil der Seitenlinie verhält sich zum gebogenen wie 4 zu 5, und besteht
theilweise aus sehr stark gekielten Schuppen. Die Brustgegend ist beschuppt.

Die Färbung des Körpers ist oben blau, unten weiss, metallisch schimmernd.

Ein schwarzer Operkeifleck.

Japanischer Name: Shima aji.

Diese Art ist nicht häufig auf dem Fischmarkte von Tokio und gilt als einer der köstlichsten Tafelfische.
Das mir zur Beschreibung vorliegende Exemplar misst 40'^'". (Döderl.)

Das Wiener Museum besitzt kein Exemplar dieser Art.

115. Caranx equula Temm. Schleg.

Häufig bei Tokio.

Japanischer Name: Shira aji oder Kaiwari(?)

116. Caranx hippos sp. Linn.
Ziemlich häufig bei Tokio.

117. Scyris ciliar Is sp. Bloch.

Sehr häufig bei Tokio in einer Länge von 18''°'.
Japanischer Name: Maaji.

118. Decarpterus MusselUi sp. Rüpp.

T.'if. IV, Fig. 2.
Syn. Caraii.c Bussellii Rüpp., Atl. p. 99 (Jahr 1828).
„ kiirra C. V. (1833), Gthr.

Beiträge zur KenntnisH der Fische Japan' s. 185

Demjiii'iiia kun-ii ot D. Iiurfvii/c-i ISlkr.
Cnniiix iiiiiniudsi Schleg., Gtlir.
Deciifi/crw niuntiiilsi Blkr.

„ Biist<eUn Klunz., Die Fische des rothen Meeres, I. Theil, 1SS4, \>. 91.

Nach Untersucliung einer grossen Anzahl von Individuen verschiedener Grösse von Suez, den Philip])inen
Hongkong und Tokio glaube ich die Ansicht ausspreclieu v.n müssen, dass Caraiix Busselli Rüpp., d. i. Caranx
hurra C. V. von Caranx maruadsi Schleg. aus Japan nicht specifisch zu trennen sei.

Die relative Körperhöhe nimmt mit dem Alter ab, und ist bei jungen Individuen nur unbedeutend mein-
oder weniger als 5 mal, bei alten dagegen 5'/j bis fast 5% mal in der Totallänge enthalten.

Bei jungen Individuen fällt das hintere Ende des Oberkiefers in vertikaler Richtung genau unter, bei
iilteren ein wenig vor den Vorderrand des Auges; Vomer, Gaumenbeine und Zunge stets bezahnt. Ein schwarzer
Fleck am hinteren, überhäuteten Ausschnitt des Kiemendeckels.

Die vordere, kaum gel)ogene Hälfte der Seitenlinie ist bei jungen Individuen ein wenig kürzer, bei alten
Exemplaren eben so lang wie die hintere, mit Schildern bedeckte Hälfte des Seitencanales und geht unter
einer in der Regel ziemlich starken Krümmung in letztere über. Die Schuppen in der vorderen Hälfte der
Seitencanales sind von gleicher, geringer Höhe; unmittelbar am Beginne der 2. Längeuhälfte des Seitencanales,
d. i. circa unter dem 10. Strahle der zweiten Dorsale, nehmen die Schuppen rasch an Höhe zu und endigen in
Dornen, doch tragen die 3 — 5 ersten derselben nocji keine Kiele längs der Schuppenmitte; auch schwankt die
Zahl und Entwicklung der Kielschuppen auf dem basalen Theile der Caudale, daher die Angaben der Autoren
über die Zahl der Seitenschienen schwanken und zur Aufstellung von Nominalarten Aulass gaben. (Stcind.)

D. 8/3^_J(_3,) +1 . A. 2A^ +1. L. lat. 45-53+32-36

Sehr häufig bei Tokio in Exemplaren bis zu 18"" Länge.
Japanischer Name: Maaji.

118. Decapferiis sanctae Helenae sp. C.V. (= Caranx nmroadsi Sohl.)

Taf. IV, Fig. 1.

Diese Art unterscheidet sich, abgesehen von der schlanken, Scoinher-üvt\ gen Körperform schon auf den
ersten Blick durch die geringe Entwicklung der Seitenschilder in dem vorderen Theile der hinteren, horizontal
verlaufenden Längenhälfte der Seitenlinie. Die vordere Hälfte der Seitenlinie ist äusserst schwach gebogen und
geht zuweilen fast ohne merkliche Krümmung in den horizontal verlaufenden Theil der Linea lateralis über, der
in der Regel in vertikaler Richtung unter dem 9. — 10. Strahle der zweiten Dorsale beginnt. Nur in den zwei
letzten Dritteln der hinteren Längenhälfte der Seitenlinie sind die Seitenschilder gekielt und die grössten liegen
nur wenig vor dem isolirten Flösselchcn der Anale und der 2. Dorsale (in vertikaler Riclitung).

Bei dem allmäligen Übergänge der Schuppen der hinteren Hälfte der Seitenlinie in gekielte Schilder ist
die genaue Zahl der letzteren nicht immer ganz genau anzugeben, zumal dieselbe auch individuellen Schwan-
kungen unterliegt. Bei der zahlreichen, mir von Dr. Döderlein eingesendeten Exemplaren zähle ich durch-
schnittlich circa 28 — 32 gekielte Schienen längs der Seitenlinie.

Bei grossen Exemplaren aus S. Helena, Chile, Peru und von den Sandwichsinseln finde ich die Zahl der
gekielten Seitenschilder liäufig geringer als bei jenen (kleineren) von Tokio, nämlich 22 — 28, glaube sie jedoch
nicht specifisch unterscheiden zu dürfen, wie Dr. Klunzinger in neuester Zeit vorschlägt. (Steind.)

Japanischer Name: Muroaji.

Sehr häufig bei Tokio in Exemplaren bis zu 18™ Länge.

D. 8/p +\. A. 2/^^ — 28+L L. lat. c. 28-32.

Denköchriftoii der muthem.-nalurw. Gl. XLIX. Bd.

24

186 Franz Sfei iidae/nicr und L. Döderlein.

119. SeHola qtilnqneradUita Schleg.
D. G/32-33. A. 2/18.

Die Körperhöhe ist 5'/^— bV-iiniil, die Kopflänge etwas nielir als 4inal (4' gin.) in der Totalläuge, der
nach Aussen freie Theil des Auges 2 — S'/ainal in der Schnauzenlänge, 1 '/j— 2'/2»i:>l in der Breite des gekielten
Interorbitalraumes und 5'/^ — 6 mal in der Kopflänge ontlialten. Das hintere, fast vertikal abgestutzte (äusserst
schwach concave) Endstück des Maxillare fällt ein wenig vor die Augenmitte.

Die Zahnbinde am Vomer ist nageiförmig gestielt und kürzer als die zungenförmigc Zahnbinde der
Gaumenbeine. Eine gestreckt ovale Zahnbinde längs der Zungenmitte und kleine Zahngruppen zunächst dem
Seitenrande der Zunge.

Der freie Rand des Vordeckcls ist häutig und bei älteren Individuen dicht mit zarten, zalinähnlichen
Cilien besetzt. Der Vordeckelwinkel ist stark gerundet. Die Wangeugegend und der oberste Thcil des Kicmen-
deckels sind beschuppt.

Die grösste Höhe des Kopfes am Ende der Occipitalcrista ist etwas mehr als ly^mal in der Kopflänge
enthalten.

Die Stacheln der ersten Dorsale sind ziemlich kräftig, doch von geringer Höhe. Der 3. höchste Dorsal-
stachel ist nur wenig länger als der freiliegende Theil des Auges und circa 5% mal in der Kopflänge ent-
halten, der letzte äusserst kurz, daher leicht zu übersehen.

Die vorderen höchsten Strahlen der 2. Dorsale verhalten sich zur Kopflänge wie 1 : 273. Die Pectorale
ist bezüglich ihrer Länge circa 2'/^ mal, die Ventrale 2 mal in der Kopflänge enthalten. Die Entfernung der
Ventralspitze von der Anale gleicht 1*/^ — V/^ Ventrallängen.

Die Caudallappen sind stark zugespitzt und die Länge des oberen, a on der Basis der mittleren Caudal-
strahlen gemessen, ist circa l'/äHial in der Kopflänge begriffen.

Der vordere Theil der Seitenlinie ist leicht gebogen ; das Ende der Krümmung fällt unter oder ein wenig
hinter den Beginn der 2. Dorsale. Der gerade hintere Theil der Seitenlinie ist circa 2' ^mal länger als der
vordere gebogene Theil. Am Schwanzstiele springt die Seitenlinie schwach kielförmig vor.

Oben bräunlich, unten heller.

Fundort: Tokio.

120. Seriola LalandU C. V.

Von dieser Art liegen mir zwei kleine Exemplare von Tokio vor, welche von Dr. Döderlein als Seriola
Dumerilii eingesendet wurden. Die Leibeshöhe ist bei denselben nahezu 5 mal, die Kopflänge etwas mehr als
4mal in der Totallänge, der nach Aussen freiliegende Theil des Auges nahezu 5 mal und die Schnauzenlänge
3 mal in der Kopflänge enthalten. Die mittlere Stirnbreite erreicht nahezu eine Schnauzenlänge. Der hintere,
vertikal gestellte Rand des Oberkiefers fällt unter die Augenmitte.

Die Entfernung der Spitze der Bauchflossen vom Beginne der Anale gleicht nahezu TYs Ventrallängen.

Die erste Dorsale enthält nur 6 Stacheln, die zweite 33 getheilte und einen einfachen Strahl.

Die Seitenlinie ist im vorderen Längendrittel des Rumpfes schwach gebogen und senkt sich allmälig nach
unten bis zum Beginne des letzten Viertels der Rumpflänge, in welchem sie horizontal hinläuft. (Steind.)

121. Seviola DumeHUi sp. Eis so. C. V.
Dr. Döderlein gibt nach von ihm in Tokio gesammelten Exemplaren folgende Notizen:

D. 7/32. A. 2/10.

Die Körperhöhe ist 3'/^maI, die Kopflänge 4^4 mal enthalten in der Totallänge.

Der Augendurchmesser (nicht Orbitaldurchmesser) geht P/sUial in die Sclinauzenlänge, 2mal in die
Breite des stark gewölbten Interorbitalraumes und fast 5 mal in die Kopflänge.

Maxillare reicht bis unter die Augenmitte; Pectorallänge 2'/nmal, Ventrallänge P/. mal in der Kopflänge
enthalten.

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japem's. 187

Die Spitze der Ventrale liegt gerade in der Mitte zwischen ihrer Basis und der weichen Anale. Körper
staldblau, metallisch glänzend, und unten heller.
Tokio.

122. Seriola crlstata n. s\). BüAe\\.

D-6/i-A.2/l.

Die Körperhöhe ist circa by^ma\, die Kopflänge 4V3mal in der Totallänge, der äussevlich freie Theil des
Auges 4'V4nial, die mittlere Breite des stark gekielten Interorbitalraum es unbedeutend mehr als 3 mal, die
Schnauzenlänge nahezu 3 mal in der Kopflänge enthalten.

Der hintere Rand des Maxillnre fällt in verticaler Richtung unter die Augenmitte. Eine n.Tgelförmige, nach
vorne verbreiterte Zahnbinde am Vomer und auf der Zungenmitte, Zahnbinde auf den Gaumenbeinen viel weiter
nach hinten reichend als die des Vomers. Häutiger Präoperkelrand mit zarten Cilien besetzt.

Die grösste Kopfhöhe ist circa l'/gUial in der Kopflänge enthalten.

Die erste Dorsale enthält G Stacheln, von denen der 2. und 3. höchste je eine Augcnlänge erreicht.

Die Länge der Pectorale wie der Ventrale ist etwas weniger als 2 mal, der vorderste höchste Theil der
2. Dorsale 272 mal, ^'^ Länge der Caudale circa 1' .jmal in der Kopflänge enthalten.

Die Spitze der Ventrale fällt etwas vor die Mitte des Abstandes der Basis der Ventrale von dem Beginne
der gliederstrahligen Anale.

Der vordere Theil der Seitenlinie ist schwach gebogen, und der hintere, horizontal hinlaufende Theil der-
selben l'/^mal länger als der gebogene Theil.

Oben bläulich, unten weisslich.

Fundort: Tokio.

123. Xaiicrate« ductor sp. Lin.
Li Tokio nicht häufig.

Das von Dr. Döderlein eingesendete Exemplar ist 34™ lang.
Japanischer Name: Shime inada.

Farn. EQUULIDAE.

124. Equula niichdlis Schleg.

Diese an den Küsten Japans sehr gemeine Art erreicht eine Länge von 10™.
Japanischer Name in Koehi : Nirogi.

Fam. CAPRIDAE.
125. Authjonia Capros Lowe.

Taf. V. fcT)
Syn. CapruphoHus (ittrora Müll, et Trosch.
'? Hi/psiiiolus rubescens Schleg.

Ich habe bereits im Jahre 1 879 die Vermuthung ausgesprochen und mitgetlieilt, dass die von Dr. Schi ege 1
publicirte Abbildung (Bürger's) des Hijpsinotus rubescens ungenau sein dürfte, dass aber leider wegen des
Verlustes des Originalexcmplares kein sicherer Nachweis geliefert werden könne, ob Anfi</onia rajiros Lowe
mit Hi/psinotus rubescens Schi, identisch sei oder nicht. Da aber in den letzteren Jahren zu wiederholten Malen
ziemlich zahlreiche Exemplare erstgenannter Art von den Küsten Japans nach Europa gelangten, so z. B.
von Dr. Roretz und Dr. Döderlein, nie aber die als Hijpsinotus rubescens abgebildete Form, so liegt die
Vermuthung sehr nahe, dass auch Herrn lUirger ein Exemplar des nicht sehr seltenen Anfigonia Capros zu
Händen kam, dasselbe aber von ihm (ausnahmsweise) flüchtig und theilweise unrichtig skizzirt wurde.

R. br. 6. D. 8.3(;. A. 3-33. V. 1/5. P. 13. C. 12. L. 1. 59. L. tr. 15 40.

•24 *

188 Franz Steindackner und L. Döderlein.

Die grösstc Rumpfhölie nimmt im Verliältnisse zur Körperlange mil dem Alter merklich ab, ist aber stets
ein wenig befriiclitliclier als die Länge des Körpers (mit Ausscliluss der Candale), die Kopflänge ist bei
jüngeren Exemplaren etwas weniger als 3 mal, bei älteren genau 3 mal in der Körperlänge, der Augendiameter
2Yj — 273mal, die vScbnaiizeulänge 3'Y^ — S^smal, die Stirubreite 3mal in der Kopflänge enthalten.

Der Interorbitalraum ist querüber gewölbt.

Die obere Profilliuie des Kopfes erhebt sieb von der Schnau/euspitze an sehr steil und ist in der Augen-
gegend stark eoncav, in der Hinterhauptsgegend aber stark convex. Der Unterkiefer ist sehr schräge gestellt
(bei geschlossener Mundspalte); hinter demselben bildet die untere Profillinie des Körpers einen massig
gekrümmten, doch rasch abfallenden Bogen bis zur Einlenkungsstelle der Ventralen, die nahe vor dem Beginne
der Analstacheln liegt.

Längs der Basis der Dorsale senkt sich die Rückenlinie unter geringer Bogenkrümmung schwächer, als
die obere Koi)fliuie zum Beginne der Dorsale ansteigt, während die Bauchlinie längs der Anale merklich
rascher sich erhebt, als die Rückenlinie längs der Dorsale abfällt.

Die Mundspalte ist klein, in Folge der verhältnissmässig langen Intermaxillarstiele vorstreckbar.

Das hintere Ende des Oberkiefers fällt unter den Vorderrand des Auges.

In beiden Kiefern liegen zarte, einreihige Zähncheu.

Die beiden Vorleisten des Präoperkels vereinigen sieh unter einem spitzen Winkel, der sich einem rechten
bedeutend nähert. Auf den Wangen liegen 3 — 4 Reihen fast vertical gestellter Schuppen mit äusserst rauher
Aussenfläche. Auch der Kiemeudeekel, die Unterseite des Kopfes zwischen dem Deckel und den Maxillar-
ästen und endlich ein Theil des unteren Randstückes des Vordeckels sind beschuppt. Die übrigen Kopf-
knochen zeigen eine rauhe Oberfläche, zahlreiche Leisten mit gesägter Kante, zahnähnlichc Vorsprünge und
Dornen.

Besonders reich mit Dornen ist das Präoculare besetzt, und nach den von mir untersuchten 5 Exemplaren
zu schliesseu, ^iud diese bei Männchen noch stärker entwickelt als bei den Weibchen. An der Einlenkungsstelle
der Unterkieferäste liegt bei alten Männehen (jederseits) ein kräftiger Doppeldorn; bei 2 jüngeren Weibchen
fällt er wegen seiner geringen Grösse nicht besonders auf. Auch der untere Rand des Voi deckeis ist bei
Männchen mit viel stärkeren Dornen und Leisten besetzt als bei gleich grossen Weibchen. Der Vordeckel-
wiukel ist gerundet, der aufsteigende Rand desselben Knochens schräge gestellt.

Sämmtliche Flossenstacheln sind kräftig und die stärksten derselben an der Ausseuseite gerieft. Die
2 ersten Dorsalstacheln sind kurz; der folgende 3. Stachel fällt durch seine Länge und Stärke auf; er ist bald
gerade, bald ziemlich staik säbeltörmig gebogen. Die übrigen 5 Dorsalstacheln nehmen gegen den letzten
allmälig an Höhe ab und tragen au ihrem vorderen Rande eine Schuppenreilie. Die Gliederstrahlcn der Dorsale
hängen mit dem stacheligen Theile der Flosse zusammen und nehmen gegen das hintere Flossenende ganz
allmälig an Höhe ab; sie sind im unteren Höhendrittel mit Schuppen bedeckt.

Der Ventralstachel ist noch kräftiger, doch kürzer als der 3. Dorsalstachel, reicht mit seiner Spitze bis
zum Beginne der gegliederten Analstrahlen und trägt am ganzen vorderen Rande (die folgenden Ventralsti-ahlen
jederseits) eine Reihe von ziemlich starken Schuppen, deren Rand gesägt ist.

Von den 3 Stacheln der Anale ist der längste erste bei jüngeren Individuen ebenso lang oder länger wie
das Auge, bei älteren Exemplaren zuweilen etwas kürzer.

Die Schwanzflosse ist in der Regel vertical abgestutzt.

In der Länge des Kopfes ist der 3. Dorsalstachel 1 V* — l'^z"!!''!, *ler 8. Dorsalstachel 6 — ß'/^mal, der
1. Aualstachel 2V4— 2V.-,mal, der 3. Analstachel circa 6 mal, der 1. gegliederte Dorsalstrahl S'-^mal, der letzte
7 mal, die Länge der Brustflossen 1 mal, die der Bauchflossen iy^_i:yj.mal und die Länge der Caudale
l'/jj — Vs^^^l enthalten.

Die Schuppen des Körpers sind von massiger Grösse, stark gezähnt und tragen auf dem freien Theile
ihrer Oberfläche eine Anzahl kurzer Sl acheichen, die besonders auf den Schuppen der Brustgegend sehr
entwickelt sind. Der ganze Fisch iühlt sich dadurch sehr raub und gleichsam klebrig an.

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 189

Die Seitenlinie folgt im Allgemeinen der Richtung derRückcnlinie, erhebt sieh aber erst unter dem stache-
ligen Theile der Dorsale zu entsprechender Höhe und läuft ohne Unterbrechung bis zur Caudale hin.

Färbung des Fisches im Leben goldroth.

Der Jfagen ist ziemlich gross, der Darm macht eine Schlinge. Der Magen fand sich mit Überresten von
Fischen und Isopodeu gefüllt. Schwimmblase ziemlich gross.

Japanischer Name: Shishidai.

Diese Fischart scheint stellenweise nicht sehr selten bei Tokio zu sein und wird von den Fischern siets in
mehreren Exemplaren in einem Fischzuge gefangen. Das grösste Exemplar der Wiener Sammlung ist circa
18^'" lang.

Fam. TRACHINIDAE.
126. Uranoscopus hicinctus Seh leg.

D. 4/ ^. A. 13

Unterer Rand des Präoperkels mit 4 Spitzen.

Die bei weitem grössere hintere Hälfte der Caudale ist tiefbraun wie die beiden Querbiuden des Rumpfes
und am Flossenende hell gerandet.

Nicht häufig bei Tokio und in Exemplaren bis zu 23"" Länge gefangen.
Japanischer Name: Anesagochi.

127. Uranoscopus asper Schleg.
D. 4/13. A. 13.

Die Kopflänge bis zum knöchernen Rande des Deckels ist bei jungen Individuen mehr als 4 mal, bei
grossen Exemplaren circa 3-;^mal in der Totallänge enthalten.

Der Unterrand des Vordeckels trägt bei 2 kleinen Exemplaren nur 3 Spitzen und bei einem grösseren
3. Exemplare auf der rechten Kopfseite 4, auf der linken aber 5 stachelartige Vorsprünge, indem die 2 vor-
dersten Spitzen sich in 3 auflösten.

Erste Dorsale tiefschwarz, nur längs der ganzen Basis und an den Strahlenspitzen milehweiss; 2. Dorsale
braun getupft; übrige Flossen ungefärbt.

Japanischer Name: Okose (auch für Pelor gebraucht) und Mishima-okose, in Kochi aber Mushima kubuto.

Nicht sehr häufig in der Tokio-Bai und bei Kochi, doch stets von geringer Grösse bis zu 13'"' Länge.

128. Anenui inerme sp. C.V.

D. 20. A. 16. L. lat. 50.
Japanischer Name: Mishima okose.
Ziemlich selten bei Tokio.

129. Aiiema elongatuni sp. Schleg.

D. 13. A. 17.

Die Kopflänge ist 373 mal, die Kopfbreite 473mal in der Totalläuge, der Augendiameter l^-mal in der
Breite des Interorbitalraumes, %mal in der Schnauzenlänge und 5% mal in der Kopflänge cuthalten. Der
Kopf ist 2 mal länger als hoch.

Eigenthümlich sind die geringe Entwicklung der Panzerplatte des Kopfes und 2 breite Fortsätze des
Unterkiefers auf seiner unteren, nach vorne gerichteten Seite.

Die Anale beginnt hinter der Spitze der Fectoralen, die Dorsale noch etwas weiter nach hinten.

Die Länge der Dorsale ist wenig mehr als 1 mal, die Höhe derselben Flosse 3 mal, die Länge der
Fectoralen li/aUial, die Breite der Pectoralwurzel 31/3 mal, die Länge der Ventralen 27. mal in der Kopflänge
enthalten.

]^90 Franz Steindachner und L. Doderlein.

Die Schuppen sind sebv klein, rudimentär und bilden keine regelniilssigcu Reiben.

Farbe bei Weingeistexempbiren bräunlich mit vielen, schwärzlichen Tupfen; die Flossen dunkel, besonders
die Caudale; Anale gellilieb; BaucbÜäcbe weiss.

Diese Art erreicht eine Länge von 52"^'" und scheint bei Tokio selten zu sein.

Das untersuchte Exemplar ist ein Weibehen, dessen Eierstöcke mit Eieru dicht gefüllt sind.

130 Percis imlchelJa Sc bieg.

Die Länge des Auges gleicht der der Schnauze und beträgt mehr als das Doppelte von der Breite des
Interorbitalraumes oder '/t der Kopflänge.
Gaumenzähne fehlen.
Ziemlich häutig bei Tokio in der Tokio-Bai in unbedeutender Tiefe, und eine Länge bis zu Iß""' erreichend.

131. Parapet'cis seorfasckita sp Sohle g.
D. 5/23. A. 21. L. 1. 60—61 (bis z. Beginn d. Caud.)

Die Körperhöhe ist 6'/^ — 7 mal, die Kopflänge 4'/2 — 4-7, mal in der Totallänge, der Augendiameter,
welcher der Schnauze an Länge gleicht, etwas weniger als 4 — S-'.iuiil in der Kopflänge enthalten. Die Stirn-
breite ist sehr gering, nahezu nur '/.■{ t^er Augenlänge gleich. 7 — 11 zarte Dörnchen am ganzen freien Räude
des Vordeckels in fast gleichmässigen Abständen von einander. Zähne auf den Gaumenbeinen, jederseits in
einer schmalen Binde. Die 6 Stacheln der Dorsale nehmen bis zum letzten allmälig an Höhe zu.

Sechs dunkle Querbinden am Rumpfe, die mit Ausnahme der vordersten Binde nach oben sich gabel-
förmig spalten; zwischen je 2 dieser Binden ein verschwommener Fleck in geringer Entfernung unterhalb der
Seitenlinie. Eine dunkle Querbinde auf den Wangen und auf der Stirne, vom Auge unterbrochen, und eine
2. Binde von geringer Ausdehnung zwischen den vorderen Augenrändern, somit am vorderen Ende der Stirne.

132. Parupei'cis iimltifasciata n. sp. Döderl.

Tat. VI , Fig. 2 und 2 a.
D. 5/23. A. 20. L. 1. 60. (bis z. Caud.)

Die grösste Körperhöhe ist 6mal, die Kopflänge weniger als 4 mal in der Körperläugc, oder erstere
e^mal, letztere 4^3 — 475 mal in der Totallänge enthalten.

Der Augendurchmesser gleicht der Schnauzenlänge; er beträgt über das Doppelte von der Breite des
Interorbitalraumes und geht 3V2"i<''l 'n '^'c Kopflänge.

Die weiche Haut, welche das Uinterlianpt bedeckt, ist mit vielen Poren besetzt, die an der Spitze je einer
kleinen tuberkelförmigcu Erhöhung liegen, auch auf der Schnauze und dem Unterkiefer zeigen sich Poren-
mündungen in geringerer Anzahl. Präoperkel mit gerundetem hinterem Winkel und (dine Zähnclung an den
häutigen Rändern. Opcrkel mit einem kurzen, dicken Stnchel.

Mundspalte ziemlich lang; das hintere Ende des Oberkiefers füllt unter die Angenmitte.

Im Zwiscbenkiefer liegt am Aussenrande der Zahnbinde eine Reihe stärkerer Zähne, die gegen das
vordere Mundende allmälig an Grösse zunehmen. Vorne im Unterkiefer zunächst der Symphyse eine Reihe
von 6 stärkeren Zähnen, hakenförmig gebogen, und seitlicli, fast in lialber Länge des Unterkieferastes, jeder-
seits 3 grössere Hakenzäbne, auf welche nach hinten viel kleinere Zähne in der Aussenreihe der Znhnbinde
folgen.

Zähne am Vomer wie auf den Gaumenbeinen in schmalen Binden.

Wangen- und Kiemendeckel dicht beschuppt, ebenso der an diese angrenzende, seitliche Theil der Hinter-
hauptsgegend.

Der letzte Dorsalstachel ist der längste, doch nur wenig länger als der vorangehende Stachel. Der
1. Dorsalstnchel ist sehr kurz und zart, fast nur halb so stark und wenig mehr als halb so lang wie der 2. und
dieser kaum halb so lang wie der 3. Stachel.

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 191

Die Pectorale reicht noch über den Beginn der Anale zurück, die Ventrale bis zur Anusmündung. Die
Caudalc ist am hinteren Rande schwach gerundet. Die Gliederstrablen der Anale sind kürzer als die der Dorsale,

Die Höhe des 5. Dorsalstachels ist 4 mal, die grösste Höhe des gliederstrahligen Theiles der Dorsale (am
13. — 15. Strahle) circa 1^/3 mal, die der Anale B'/jma], die Länge der Pectorale l'/g die der Ventrale genau
oder etwas mehr als l'/jUial in der Kopflänge enthalten.

Oberer Theil dos Körpers röthlich, Rauch gelblich. Kopf röthlich mit gelben, braun gesäumten Streifen
auf dem Hinterhaupte. Über den Kücken laufen 10 braune Qiierstreifen, die in der Höbe der Seitenlinie endigen.

Alle Flossen sind gelblich; zwischen den Dorsalstachelu und den ersten gegliederten Dorsalstrablen zeigt
sich eine schwärzliche Trübung an der Flosseuhaut; zwischen den letzten 7 Dorsalstrablen verlaufen circa
6 schiefe, dunkle Binden. Etwas über der Mitte der Caudalwurzel ein dunkler Fleck. Caudale selbst mit circa
6 dunkeln Querbinden, die sich aber nicht auf die untersten Caudalstrahlen erstrecken. Diese Art ist ziemlich
häufig im Winter bei Tokio; die grössten Exemplare unserer Sammlung erreichen eine Länge von 17"™

Vulgärname: Häcatorä-haze (nach einer brieflichen Mittheilung des Herrn Bellotti).

133. Parapercis aurantiaca n. sp. Döderl.

Tiif. III, Fig. 2 und 2«.
D. 5/23. A 21. L. lat. 57—60.

Die grösste Körperhöbe ist ö'/^ — 7 '/gmal, die Kopflänge 4^3 mal in der Totallänge, der Augendurchmesser
3 — Sy^mal in der Kopflänge enthalten. Die Schnauze ist etwas kürzer als das Auge und der Interorbitalraum
an Breite fast nur '/j der Augenlänge gleich und bedeutend schmäler als bei der früher beschriebenen Art.
Zahlreiche tubenförmige Erhöhungen mit Porenmüudungen am Hiuterhauptc und minder zahlreiche, doch
grössere Porenöffnungen auf der schmalen Stirne, der Schnauze, rings um das Auge und auf der flachen Unter-
seite des Unterkiefers.

In der Bezahnung der Mundspalte, des Vomers und der Gaumenbeine stimmt Parap. aurantiaca genau mit
P. nudtifasciata überein, ebenso in der Beschuppung der Wangen und der Deckelgegend; Operkel mit stark
abgestumpftem Stachel.

Von den Dorsalstacheln sind die beiden letzten am längsten, der erste Dorsalstaehel ist halb so lang wie
der zweite.

Die Pectorale reicht bis zum Beginn der Anale zurück, die Spitze der Ventralen nicht ganz bis zur Anal-
mündung. Der hintere Rand der Caudale ist mehr oder minder schwach gerundet.

Die Länge des 5. Dorsalstacbels ist 3'^^ — 4^/5mal, die grösste Höhe des gliederstrahligen Theiles der
Dorsale l^g mal, die der Anale 2V. mal, Länge der Pectorale wie der Ventrale l^j mal in der Kopf länge
enthalten.

Der vordere Theil der Pectorale und der Caudalc ist beschuppt, ebenso die Ventrale an der Unterseite
ihrer halben Länge nach.

Goldroth mit 5 breiten, citrongelben Qiierbändern über dem Körper (die bei in Weingeist conservirten
Exemplaren nicht mehr sichtbar sind, daher auch auf der Zeichnung dieser Art auf Tafel HI nicht angedeutet
werden konnten); Kopf gelb und roth. Flossen gelb.

Die letzten Strahlen der Dorsale mit circa 3 schmalen, violetten, schief verlaufenden Binden.

Caudale mit 5 senkrechten Binden, die sich aber nicht auf die untersten Strahlen erstrecken.

Japanischer Name: Akagisu.

Im Winter nicht selten und in bedeutender Tiefe gefangen.

Das grösste Exemplar unserer Sammlung ist 17 '/jj"" lang.

Die Gattung Parajjercis Steind., auf Exemplare aus dem Golf S. Vincent in Australien gegründet, unter-
scheidet sich von Percis durch das Vorkommen von Zähnen auf den Gaumenbeinen. Vielleicht kann als ein
zweites minder wichtiges charakteristisches Merkmal auch die Form des stacheligen Theiles der Dorsale
angenommen werden; bei sämmtlicheu, von uns zur Gattung Parapercis gezählten Arten nehmen die Stacheln

192 Franz Stcindachner und L. Döderlein.

der Dorsiile hin zum letzten .Stachel au Höhe zu, während bei sämmtlichen von uns untcrsueliten /-"e/r/s-Arten
ohne Gaunicuzähnc, wie 'i.V,. Percis polyoplithalma, P. pidclieUa q[c. die mittleren Dorsalstacheln länger als
die ersten und auch als die letzten sind.

134. Sillmio japonlca Schleg.

Sehr häutig an allen japanischen Küsten.

Bei keinem der mir von Dr. Döderlein eingesendeten Exemplaren zähle ich mehr als 68 — 70 Schuppen
ISngs der Seitenlinie bis zum Beginn der Caudale. Die Kopflänge ist o'/^ — 3'Vr,naal in der Körperlänge (d. i.
Totallänge mit Ausschluss der Caudale), die Augenlänge etwas mehr als 4 mal, die Schnauzenlänge 2^3 mal
in der Kopflänge enthalten.

Nur 3 Sehuppenreihen zwischen der Seitenlinie und der Basis des ersten Stachels der ersten Dorsale.

Japnnisclier Name: Aogisu oder Kisn, in Kochi aber Kisugo.

Das grösste der von Dr. Döderlein gesammelten Exemplare misrst 22™.

Das Wiener Museum erhielt überdies ein Exemplar von Tschifu,

135. Sillago sihaina sp. Torsk.

Unter den von Dr. Döderlein mir als 8. japouica eingesendeten Exemplaren befanden sieh 2 grössere
Stücke, die zweifellos zu Sillatjo siltama zu beziehen sind, da unter den ersten Kückenstachel 4 — 5 Schuppen-
reihen liegen.

Die Kopflänge ist 3% — o-y.mal in der Körperlänge, genau oder mehr als 4 mal in der Totallänge, der
Augendianieter P ^ — 2 mal in der Schnanzenlänge, letztere circa 2 y.^ mal in der Kopflänge enthalten.

Die Seitenlinie durchbohrt 68 Schuppen am Rumpfe und noch eine beträchtliche Anzahl sehr kleiner
Schüppchen auf der Caudale selbst.

136. Champsodon vorax Gthr.
B. 6. D. 5/20. A. 17. P. 11. V. 1/5.

Die Körperhöhe ist 6 mal, die Kopflänge 4mal in der Totallänge enthalten. Der Augendurchmesser
gleicht der Sclmauzenlänge, geht y.^mal in die Breite des Interorbitalraumes und 4 mal in die Kopflänge. Der
Kopf ist mehr als 2mal so lang wie breit und nicht ganz doppelt so lang als hoch.

Das obere Profil des Körpers bildet von der Schnauze bis zur Schwanzflosse eine fast ganz gerade Linie.
Der Interorbitalraum ist etwas concav; vom oberen Orbitalrande nach der Schnauzenspitze ziehen zwei fast
parallele Leisten; eben solche von gleicher Länge, aber weiter von einander entfernt auf dem Hinterkopf.

Das Maxillare endigt hinter dem hinteren Orbitalrand.

Die Zähne sind sehr fein, einreihig, besonders im Unterkiefer von ungleicher Länge; sie stehen in beiden
Kiefern und auf dem Vomer. Der Unterkiefer überragt nach vorne den Oberkiefer und bildet nach oben einen
Fortsatz, der in eine Einbuchtung des oberen Kiefers greift.

Das Präorbitale zeigt am Unterrande 3 spitze Zähne, von denen je einer nach vorne, nach hinten und
nach unten gerichtet ist. Der Vordeckel ist deutlich doppelrandig. Am abgerundeten Winkel trägt er einen
circa y^ Augendurchmesser an Länge erreichenden, spitzen, etwas nach oben gebogenen Stachel. Der Hinter-
raud des Präoperkels ist kaum sichtbar gezähnt. Der Unterrand trägt 2 spitze, nach vorne gerichtete Zähne.

Das Opcrculum ist sehr dünn und biegsam, abgerundet, mit einem etwas nach unten gerichteten, selir
schwachen Stachel und radiären Streifen, die von zwei untereinander liegenden Centreu ausgehen.

Von dem hintersten Ende der oben erwähnten Occipitalleisten divergiren 2 ebenso lange Suprascapular-
leisten, die in einen mehrspitzigeu Stachel enden.

Die beiden Rückenflossen folgen in kurzen Abständen aufeinander. Die erste wird von feinen Stacheln
gebildet, von denen der erste am längsten ist; der letzte ist etwa halb so lang wie dieser.

Beiträge zur Kennt rms der Fische Japan' s. 193

Die Brustflosse ist sehr ivurz; die Vcutrale reiciit bis zur Aualiuüudung-. Die Schwanzflosse ist gabelig.
In der Kopflänge sind enthalten:

1. Dorsalstrahl 2'/4inal,
Höhe der weichen Dorsale 2mal,
„ „ Anale S'/^mal,

Länge der Brustflosse 2Yjmal,
„ „ Bauchflossen l'/^mal,
„ „ Scliwanzflosse l'/gmal.

Die Schuppen sind klein, rudimentär und bedecken den Körper und Kopf, mit Ausnahme der Lippen.
Auch der Bauch ist zum grössten Theile nackt.

Es zeigen sich 2 Seitenlinien, die die Höhe des Körpers in 3 nahezu gleiche Theile theilen. Von diesen
Seitenlinien gehen, und zwar senkrecht zu ihnen, noch eine grössere Anzahl Zweige aus, nach oben wie nach
unten. Auch der Kopf zeigt zahlreiche Poren auf dem Hinterhaupte, den Wangen, der Schnauze und dem
Unterkiefer.

Die Kiemenöffnungen sind ausserordentlich weit, sowoiil die äusseren wie die inneren; die letzteren
beginnen schon fast unterhalb der Schnauzenspitze. Pseudobranchicn ziemlich klein.

Die Farbe ist im frischen Zustande oben rostroth mit einer Reihe dunkler Tropfen längs der Seite. Im
Weingeist ist sie grau mit Spuren der seillichen Flecke. Die untere Körperhälfte ist silberglänzend.

Mir liegen 2 Exemplare von nahezu 8"" Länge vor, von denen ich das eine aus einer Tiefe von circa
200 Faden in der Sagami-Bai heraufbrachte (mit einem Hanfquastenapparat); das andere Exemplar fand icli im
Magen von Megaperca islünagi.

Champsodon rorax ist vorzüglicli durch die Challenger-Expedition bekannt geworden, und zwar aus
geringen Tiefen in der Nähe der Philippinen, bei den Admiralitäts-Inseln und in der Arafura-See in einer Tiefe
von 115, 152 und 129 Faden. (Döderl.)

137. Latilus argentafus C.V.

D. 7/15. A. 2/11. L. lat. c. 52.

Die Kopflänge ist 4'/;, — 4^/^nr.ü, die grösste Rumpfhöhe 4:\'^ — 4% mal in der Totallänge, der Augen-
diameter 3mal, die Stirnbreite 4*/3mal, die Kopfhöhe circa 1' .mal in der Kopflänge enthalten.

Die obere Profillinie des Kopfes ist sehr stark gebogen, die hohe Sclinauze fällt steil zur Mundspalte ab.

Die Mundwinkel fallen ein wenig hinter die Augenmitte. Vomer und Gaumenbeine zahnlos.

Der lange, aufsteigende Rand des Vordeckels ist vertieal gestellt und trifft mit dem unteren kurzen Rande
unter einem rechten Winkel zusammen, dessen Spitze abgerundet ist. Die Zähnchen am hinteren Vordeckel-
rande sind etwas grösser und stärker als die am Winkel und unteren Rande.

Die Wangen, der Deckel und Unterdeckel, sowie die Hinterhauptsgegend bis gegen die Mitte der Stirn-
länge sind beschuppt. Beiläufig von der Mitte der Stirngegend zielit eine niedrige, kammartige, schwarz-
gefärbte Hautfalte zum Beginn der Dorsale.

Die Pectorale ist ebenso lang wie der Kopf. Die Ventrale ist circa l^^mal in der Länge des letzteren
enthalten.

Die sogenannten Dorsal- und Analstachel sind sehr schlank und biegsam.

Rnmpfschuppen festsitzend und zart gezähnt. Die Seitenlinie durchbohrt bis zum Beginn der zum grössten
Theile überschuppten C'audale nur 58 Schuppen, doch liegen im Ganzen circa 70 verticale Schuppenreihen
zwischen dem oberen Ende der Kiemenspalte und der Basis der Caudale. (St ein d.)

Ziemlich häufig an den meisten Küsten Japans. Die Exemplare aus Döderlein's Sammlung wurden
bei Tokio und an der Küste von Tango am japanischen Meere gefischt und sind bis zu 19™ lang.

Japanischer Name: Amadai.

Deokschrifton der mathem.-natuTW. Gl. XLIX. Bd. 25

194 Franz Stelndachner tiurt L. Dvderlein.

Fam. PEDICULATI.

138. Lophius setigerus Wahl.

Diese Art ist sehr häufig an allen japanischen Küsten. Döderlein's Exemplare wurden bei Tokio und
Kagoshima gefischt.

Japanischer Name: Anko.

139. Antemmrius marmoratus Sehn.
Ein Exemplar von Kobe aus dem inneren Meere, in welchem er wie bei Tokio sehr selten vorkommen soll.

1 40. Cliaunax fiinbr intus H i 1 g e n d.

D. 1/11. A. 7. P. 13. V. 4. C. 8.

Der Kopf ist sehr breit und niedergedrückt. Die Kiemenöffnung liegt etwas vor Mitte der Totallänge.
Die Kopibreite ist 2y;jmal in der Totallänge oder 2 mal in der Körperlänge begriffen.

Der Augendiameter erreicht ''/i der 8clinauzenlänge und gleicht der Breite des knöchernen Interorbital-
raumes, die Breite der Mundspalte '/r, der Totallänge.

Die Mundspalfe öffnet sich nach oben und nimmt die ganze Vorderseite des Kopfes ein.

Der Unterkiefer überragt nach vorne den Zwischenkiefer, der ziemlich vorstreckbar ist. Sdimale Binden
beweglicher Hakenzähne in beiden Kiefern, am Vomer und auf den Gaumenbeinen. Im Schlünde liegen oben
und unten mehrere Polster von ähnlichen Zähnen. Kiemenöflfnung schmal, über dem hintersten Theile der
Pectoralwurzel gelegen.

Auf der Schnauze befindet sich ein, auf einem knieförmigen Gelenke beweglicher, kurzer, aber ziemlich
steifer Tentakel; die Länge des oberen Theiles desselben gleicht -'/^ des Angcndurchmessers.

Ein wenig vor der Kiemenöffuung beginnt die eigentliche Dorsale, deren Höhe l'/a — 2 Augendurchmesser
beträgt.

Die Caudale hat einen geraden Hinterrand, und ihre Länge gleicht '/s der Totallänge.

Die kurze Anale liegt unter dem hintersten Theile der Dorsale, der sie an Höhe gleicht; die Länge ihrer
Basis erreicht nicht ganz '/s der Basislänge der Dorsale, welche 3^/3 mal in der Totallänge enthalten ist.

Die Pectoralen liegen weit von einander entfernt; ihre Länge ist (i'/^mal in der Totallänge des Fisches
enthalten. Die Ventralen sind unter der Mitte der Kopfscheibe eingelenkt und erreichen an Länge ^3 der
Peclorale ; ihre Entfernung von einander beträgt ^/j ihrer Länge.

Die Oberseite des Kopfes und Eumpfes ist mit kleinen Hautstacheln besetzt, fühlt sich daher rauh an.
Schleimcanäle oder Seitenlinien sehr stark entwickelt; sie stellen sich äusserlich als glatte Furchen der Haut
dar, die in kurzer Entfernung von einander Vertiefungen enthalten.

Jede dieser Vertiefungen ist von harten Fortsätzen der die Furchen begrenzenden, chagrinartigeu Haut
überwölbt, so dass diese Furchen ein kettenförmiges Aussehen erhalten.

Ein solcher Schleimcanal verläuft in einem Halbkreise am unteren Kopfrande und endigt nächst der
Pectorale; er ist in seiner ganzen Ausdehnung von kurzen, gelben Barteln begleitet. Gerade unter dem Munde
steht auf ihm noch ein kleinerer halbkreisförmiger Schleimcanal. Ein anderer verläuft vom Mundwinkel gerade
nach hinten, endigt aber bald hinter dem Auge. Ein dritter Schleimcanal zieht sich längs der Oberlippe hin,
wendet sich gerade vor dem KostraltentaUel nach hinten, geht sodann im Bogen über den inneren (oberen)
Orbitalrand; hinter dem Auge entfernt er sich etwas von der Mittellinie des Rückens, verläuft in der Mitte
zwischen Kiemenöffnung und Dorsale, hierauf in der Mittellinie der Schwanzhöhe, endigt aber im unteren
Winkel der Caudalbasis.

Schliesslich verläuft eine Eeihe überwölbter Poren ohne verbindende Furchen quer über die Oberfläche
des Kopfes in einiger Entfernung hinter den Augen und verbindet in dieser Weise die beiden seitlichen Äste
des untersten Schleinicanales.

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 195

Ausser den obeu erwähuten TJartehi koinnit noch eine zweite Reihe älinlicher zarter Hautfasern vor, die
am Hinterende der Pectoralwurzel beginnen, unter der Kiemenöffnung vorliberzielieu und den caudalen Schleim
canal bis zur Sciiwanzflosse begleiten.

Die Farbe des Fisches ist im Leben goldroth mit grossen, runden Flecken auf der Oberseite. Leider
verschwindet diese Färbung bei in Weingeist conservirten Exemplaren vollständig.

Das einzige von Dr. Döderlein in Tokio erworbene Exemphxr ist 33""' lang.

Diese zuerst von Dr. Hilgendorf entdeckte und kurz charakterisirte Art (Sitzungsber. naturf. Freunde,
Berlin, 20. Mai 1879) steht dem viel früher von Lowe nach einem Exemplare aus dem atlantischen Oeean
(bei Madeira) beschriebenen CIi. pic.tiis sehr nahe, unterscheidet sich aber Iciciit durch die grössere Anzahl der
Analstrahlen.

14 L HaUeutftea stellata Wahl.

Ziemlich häufig bei Tokio in Exemjjlaren bis zu 23"" Länge.
Japanischer Name: Akagutsu.

Fam. SCORPAENIDAE.

142. Scorpaena fimbfiata n. sp. Döderl.

D. 12/9. A. 3/5. P. 17/11. L. 1. c. 21. Sq. lat. c. 40-42.

Die grösste Körperhöhe ist 4 mal, die Kopflänge genau oder nahezu 3 mal in der Totalläuge enthalten.
Die grösste Kopfbreite erreicht niclit ganz die Hälfte der Kopflänge.

Die Länge des Auges ist 4*4 — i^i^sl, die Schnauzenlänge mehr als 373— 3-75inaI, die mittlere Stirn-
breite 575 — 77.-, mal in der Kopflänge begriffen.

Das hintere Ende des Oberkiefers fällt unter das Ende des 3. Längenviertels des Auges.

Kinnspitze knopfförmig vorspringend. Zähne in den Kiefern, am Vomer und auf den Gaumenbeinen.
Beide Kiefer gleich weit nach vorne reichend.

Oberer Augenrand mit 3 Stacheln, von denen der vorderste am längsten ist. Nasalstachel etwas schwächer
entwickelt als der erste Orbitalstachcl, Nasallappen von ziemlicher Grösse. Interorbitalraum querüber stark
concav mit 2 )(-förmigen Leisten, die nach hinten stärker als nach vorne divergiren und am hinteren Ende
durch eine querliegende, scliwach wellenförmige Leiste mit einander verbunden sind. Ganz nahe hinter dem
seitlichen Ende dieser Querleiste liegt ein ziemlich kräftiger Stachel, dessen Basis sieh in eine stumpfe Längs-
leiste fortzieht, welche mit der der entgegengesetzten Seite einen etwas vertieften viereckigen Raum am Hiuter-
hauple seitlich abschliesst, der etwas breiter als lang ist; hinter dieser sogenannten Occipitalgrube jederseils
2 Stacheln, von denen der hintere der bei weitem stärkere ist.

Die zum Vordeckel ziehende Knochenplatte der Wangengegend mit 4 leistenförmigen Vorsprüngen, von
denen die 3 hinteren in Stacheln endigen. Eine Grube unter dem Auge kaum angedeutet. Kopf schuppenlos,
mit Ausnahme des obersten Theiles des Operkels bis zum hinteren Augenrande, in welcher Gegend mehr
minder rauhe, Uberhäutete Knochenplättchen zerstreut liegen.

Breite, häutige Tentakeln stehen am oberen Orbiialrand, am unteren Präorbitalrand (der hinter dem letzten
hintersten Stachel am unteren Rande des Präorbitales gelegene Lappen ist auffallend lang), am hinteren Theil
der Wangenpliitte und am unteren Rand des Vordcckels (sehr lang sind die 2 vordersten Lappen am unteren
Vordeckelrande), der in 5 Dornen ausläuft, von denen der hinterste oberste sehr stark entwickelt ist und an
der Basis einen Nebendorn trägt. Keine Hautlappen am Unterkiefer.

Der staclielige Theil der Dorsale ist am oberen Rande massig gerundet. Der 3. und 4. Dorsalstachel sind
von gleicher Höhe, fast ebenso lang wie der höchste 5. Gliederstrahl derselben Flosse und kaum '/^ — 73™^'
so lang wie der Kopf. Der 2. .\nalstachel ist zuweilen etwas länger und stets stärker als der 3. Analstachel,
und merklich kürzer als der höchste Dorsalstachel.

25*

19G Franz Steindachner und L. Döderlein.

Die Länge der staclieligen Riickenflos-se ist fast Imal, die des glicderstraliligen Theiles der Dorsale
2'/jmal, Länge der Anale 2'-\'^mA\, Länge des 2. Analstacbels etwas weniger als 3 mal (bei jungen Lidividuen)
bis 4inal, Länge der Brustflossen 1*/. — l^ßraal, der Ventralen weniger als 2inal (bei kleineren Exemplaren)
bis 27r,mal in der Kopflänge enthalten.

Eine nicht unbedeutende Anzahl von Rumpfschuppeu sind mit kurzen Hautläppchen geziert.

Körper und Flossen röthlich braun mit vier dunkeln, unbestimmten, wolkigen Querbändern, die sich
an der Rückenflosse etwas in die Höhe ziehen und daselbst Itasale Flecken bilden. Weicljc Rückenflosse,
Anale, Caudale und Ventrale dunkel gefleckt. Bauchflosse weisslich wie der Bauch. Einige intensiv braune
Flecken in der Achselgegend und in dem von der zurückgelegten Pectorale überdeckten Theile der Köii)er-
seiten.

Nach Döderlein nicht sehr häufig bei Tokio. (Meines Erachtens dürfte vielleicht die hier beschriebene
Art, die mit .sVw-pflCK« scro/a nahe verwandt ist, mit Sc. Hegleda Schlag, identisch sein, und stimmt in der
Kopftbrm, sowie insbesondere in der Anordnung und Grösse der Kopfstacheln genau mit letzterer überein,
s. Scblegel's Abbildung in der Fauna japonica, Pisces, Tat. 17, Fig. 4. Nach Schlegel entbehrt zwar
S. negleda der Hautlappeu an den Seiten des Kopfes und am Rumpfe, dagegen Hesse sich jedoch einwenden,
dass Schlegel's Beschreibung nach trockenen ausgestopften Exemplaren entworfen wurde. Steind.)

143. Bcorpaena kago.^hhnaiia n. sp. Döderl.

D. 12/10. A. 3/5. P. 6/11. L. 1.4-45.

Körperhöbe 3 7.) mal, Kopflänge 3mal in der Totallänge. Kopf l'/jmal länger als breit. Augendiameter
ly^mal in der Schnauzeulänge, 5'/4mal in der Kopflänge und ly^mal in der Breite des Interorbitalraumes
enthalten.

Das Maxillare reicht bis unter die Augenmitte.

Die meisten Kopfstacheln sind als kurze Leisten mit stark gezähnten oberen Rändern ausgebildet. So
sind die oberen Orbitalstachelu, der Nasalstacliel und die Occipitalstacheln, auch die des Unterrandes des
Präorbitale und der Wangenplatte. Opercular- und Präopercularstacheln einfach. Interorbitalleisten sehr
schwach ausgebildet, zwischen ihnen ist eine breite, ziemlich tiefe Rinne, welche nach hinten durch eine zarte
bogenförmige Querleiste abgeschlossen ist. Oicipitalgnibe breiter als lang. Unter dem Vorderrand der Augen
liegt eine tiefe Grube. Kopf schuppenlos bis auf den obersten Theil des Ojierkels. Kurze Tentakeln stehen nur
am Unterraude des Präorbitale und des Präoperkels. Gaumenziihne fehlen. Zweiter Analstachel etwas länger,
aber nicht stärker als der dritte. Auf den Körperschuppen keine Tentakeln. Die Seitenlinie durchbohrt nur
c. 22 Schuppen, doch liegen c. 44— 45 quere Schuppenreihen zwischen dem oberen Ende der Kiemenspalte
und der Basis der Caudale.

Auf tiefgrauem Grunde zeigen sich mehrere, sehr breite, dunkle, nicht scharf abgegrenzte Querbänder;
der Kopf ist auch auf der Unterseite dunkel gefärbt. Sämmtliche Flossen dunkel gewölkt. Schwanzflosse mit
einem breiten, dunklen Querbande in der hinteren Längenhälfte, welches von wellenförmig gebogenen, weiss-
lichen Linien durchsetzt ist. Die innere Seite der Brustflossen hellblau, vorne dunkel gefleckt, und gegen den
freien Strahlenrand zu mit einem breiten, schwarzen Saume geziert.

Dieser Fisch ist nicht selten im Hafen von Kagoshima.

Das Wiener Museum besitzt zwei Exemplare dieser Art, von denen das grössere in einer der folgenden
Abtheilungen dieser Abhandlung abgebildet werden wird.

144. Tetrar Off e longispinis C. V.

Dieses Fischehen scheint überall an den japanesischen Küsten in zicndicher Menge vorzukonnnen und
erreicht eine Länge von 8"". Dr. Döderlein sammelte Exemplare dieser Art in der Tokio-Bai, bei Tagawa
im inneren Meere, an der Küste von Tango am japanischen Meere, wo er sich häufig im japanischen Grund-

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 197

nefzc fmy;. Die Fischer fürchten genannte Art wegen ihrer spitzen Stnclieln nnd behandeln die gefischten
Exemplare mit grosser Vorsicht.

145. Aploactis aspeva Schleg.

Diese Art wurde von Dr. Dödericin nur einmal in einem Exemplare von G'/a'"" Länge im Hafen von
Kagoshima gefangen.

146. llluous piislUus Schleg.

D. 11/9. A. 10.

Körperhöhe S'/smal, Kopflänge 273inal in der Körperlänge (ohne Candaie) enthalten. Augendiameter
Vjmal in der Breite des sehr concaven Interorbitalraumes, ^j\mal in der Schnauzenlänge und 2^/^mal in der
Kopflänge enthalten.

Die Brustflosse reicht bis zum 6., die ßaucbflosse bis zum 1. Analstrahl.

Die untere Körperliälfte ist weiss, die obere schwärzlich mit Weiss vermischt; EUckeii- und Schwanzflosse
gebändert; Afterflosse weiss mit dunklem Eande. Bauchflossen dunkel; Brustflossen schwärzlich mit helleren
Stellen, die hintere Hälfte der oberen Strahlen weisslich. Oberer Theil des Kopfes hellgrau.

Ein Exemplar aus dem Hafen von Kagoshima, von ö'/j'^™ Länge.

147. Pelor japonicum C.V.

Syn. Pe!or auraitfkicmn Schleg.

Durch Yergleichung einer Anzahl typischer Exemplare beider angenommener Arten und von Übergangs-
formen zwischen denselben, von denen mir eine ganze Reihe vorliegt, komme ich zu der Ansicht, dass beide
Arten nicht wohl sich von einander trennen lassen, sondern nur als Farbenvarietäten aufzufassen sind.

In ihrem Körperbau kann ich keinen specifischen und constauten Unterschied auffinden: die erhabenen
Kopfleisten und Stacheln sind bei den einzelnen Individuen sehr verschieden entwickelt, ganz unabiiiingig von
der Färbung, die das Thier hat. Die Schnau/e ist bei manchen Exemplaren so weit in die Höhe gezogen, dass
der oberste Band der Oberlippe in der Höhe der Augenmitte liegt, bei anderen fällt er noch tiefer als der Unter-
rand des Auges.

Die Breite des Interorbitalraumes schwankt zwischen 1' ^ "ud 2 Angenlängen, doch sind diese Ver-
schiedenheiten nur individuell und ein typisches Exemplar von Pehr japonicum ist darin oft mehr verschieden
von den übrigen derselben Art, als von einem Exemplare des Pelor aurantiacum.

Eine Verschiedenheit in der Krümmung des Rückens, wie Sciiiegel sie angibt, kann ich nicht bemerken.
Bezüglich der Tentakelanhänge scheint es mir, als ob die dunkelsten Individuen, also die echten Pelor jcqwuicum,
dieselben am stärksten entwickelt hätten; die hellsten Individuen, also der typische Pelor aurantiacum, am
schwächsten. Letzterem fehlen solche anscheinend vollständig an den Flossen; doch finden sich darin genug
Übergänge und grosse Verschiedenheiten zwischen gleichgefarbten Formen.

Als einziger Unterschied würde noch die Farbe bleiben. Hätten freilich andere Individuen die charak-
teristische Färbung einer der beiden Formen, wie sie in Schlegel's Atlas ausgeführt ist, so könnte man sie
allenfalls in zwei Arten trennen. Nun kommen aber nicht selten Individuen vor, deren Färbung derartig die
Mitte hält zwischen der der beiden fraglichen Arten, dass man sie der einen mit demselben Rechte wie der
anderen zuweisen könute.

Der typische Pelor japonicum hat Roth, Braun grau und Weisslich mehr oder weniger unregelmässig über
seinen Körper vertheilt. Nun gibt es Individuen, denen das Roth Iheilweise oder ganz fehlt. An Stelle dieser
Farbe ist Gelblichweiss getreten, dazu kommen an den Seiten des Körpers und der Schwanzflosse kleine,
schwarze Tupfen in verschiedener Grösse und Anzahl; das Gelbliche kann nnn mehr und mehr überhand
nehmen und die übrigen Farben ganz verdrängen, bis schliesslich die typische Färbung des Pelor aurantiacum
entsteht: Gelblich mit schwarzen Tupfen auf der Seite.

■<gg Pranz Steindach tier und L. Dödcrlein.

Der echte Pelor aurantiacum hat eine ganz ungefärbte Zunge; Pelor japonicum zeigt eine Menge schwuizcr
Tupfen auf derselben, doch stellt die Menge derselben ganz im Verh.ältuiss zur dunkeln Färbung des

Äusseren.

Die beiden Arten stellen nur die Endpunkte einer fortlaufenden Reihe von Farbenvarietäten vor, unter den
Zwischenformen sind alle Übergänge zu finden. Man könnte mit gleichem Rechte auf Grund der verschiedenen
Interorbitalbreite oder anderer Merkmale solche Reihen von Varietäten herstellen, die sich aber durchaus nicht
mit der Reihe der Farbenvarietäten decken würden.

Mir lie"t eine Reihe von 10 Individuen vor, die jeden wiinsehen.swerthen Farbeniibergang in einander
zeigen. Nicht 2 davon haben die gleiche Färbung. Die Reihe beginnt mit einem Exemplare, das vollkommen
hellgelb ist- auf den Seiten des Körpers zeigen sieh einige kleine, runde Flecken mit scharfer Abgrenzung; nur
die Oberseite der Pecloralen zeigt einige schmutziggraue Stellen, ebenso die Spitze der Ventralen. Die niieliste
Form ist "anz ähnlich, hat aber auf der Schulter und dem Opercnluni solche graue Stellen; statt der inneren
ist die äussere Pectoralseite etwas gefärbt; der ganze Ventralraud ist grau gezeichnet.

Bei einer weiteren Form sind die schwarzen Punkte grösser und zahlreiclier; die schmutziggraue Färbung
erstreckt sich schon über den ganzen Rücken und auf sämmtliehe Flossen; trotzdem ist die Grund- und Haupt-
farbe noch hellgelb.

Bei der nächsten Form wird die graue Färbung dunkler, und geht theihveise ins Dunkelbraune über; gelb
ist fast o-anz verdrängt auf der Aussenseite der Pectorale, der Schulter und dem Opercnluni. An mehreren
Stellen des Kopfes, besonders in der Oibitalgrube beginnt eine weisse Marmoiirung sich abzuheben, die alle
weiteren Formen immer deutlicher zeigen.

Bei einer fünften Form sind die schwarzen Punkte fast g.inz verschwunden; die Bauchseite ist noch gelb ;
auf der Rückenseite überwiegt dunkelbraun. Beide Farben sind ziemlich scharf abgegrenzt, der vordere Theil
des Kopfes ist noch verhältnissmässig wenig gefärbt.

Bei einer sechsten Reihe ist ein grosser Theil der Oberseite des Kopfes tiefbraun mit heller Marmorirung;
einzelne braue Flecken gehen schon auf die Bauchseite über; eine Anzahl der hellen Stellen des Rückens zeigt
einen röthlichen Ten.

Bei der nächstfolgenden Form ist Gell) völlig von der Oberseite des Körpers und der Pectorale verschwun-
den die roth und schwarzbraun mit weisslicher Marmorirung gefärbt sind. Die Bauchseite ist noch zum grössten
Theile gelblich; die schwarzen Flecke sind nicht mehr sichtbar. Ähnlieh ist die 8. Formenreihe, bei der die
gelbe Farbe, die nunmehr weisslich wird, auch auf den Seiten des Körpers und Kopfes verdrängt ist.

Bei der 9. Form ist die Bauchseite weisslich und braun gefleckt, die erstere Farbe aber noch etwas im
Übergewicht.

Bei der letzten, mir vorliegenden Form ist auch auf der Bauchseite die helle Färbung zum grössten Theile
von Braun und Grau ersetzt.

Der dunkel gefärbte typische Pelor japoiiinim ist an allen japanesischen Küsten sehr häufig; viel seltener
sind die heller gefärbten Varietäten, die als Albinobildung aufgefas-st werden diiriten,' doch eriiielt ich in Tokio
eine Anzahl derselben.

Der japanische Name für den Fisch ist Okose.

Pelor japonicum wird überall gegessen, die Fischer behandeln ihn mit sehr grosser Vorsicht, da er mit
seinen langen Rückcnstacheln äusserst empfindlich zu stechen vermag; in manchen Gegenden hält man die
Stacheln für giftig und erzählt Fälle, dass in Folge der Verwundungen durch dieselben der Tod erfolgt sei.
Ein solcher Fall wurde mir von einem zuverlässigen, deutschen Arzte mitgetheilt. Gegen die Giftigkeit spricht
der Umstand, dass in einigen Gegenden die Fischer Nachts ohne Licht auf Fischfang ausgehen, z. B. in
Tagawa am inneren Meere ; beim Leeren ihrer Netze wurden sie dann nicht selten von dem daselbst nicht

1 Albino-Bildung bei Fischen kommt nicht selten iu Japan vor, besonders bei Phuromdes scittifer, Silurus asotus und
Conyer vulgaris.

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 199

ziemlich häufigen Pelor gestochen und erzählten mir, class der Stich im ersten Augenblicke äusserst schmerzhaft
wäre, wussten aber nichts von weiteren schlimmen Folgen des Stiches.
Das grösste Exemplar meiner Sammlung misst 26'=". (Döderl.)

148. Synmicidlum erosum sp. C.V.
D. H=ü. A. 3/6.

Die knöchernen Fortsätze des Kopfes zeigen individuell verschiedene Ausbildung in Form, Länge
und Dicke.

Die hufeisenförmige Grube zwischen den Augen ist bei einzelneu Individuen ebenso breit wie lang, bei
anderen überwiegt die Länge deutlich die Breite.

Die Grundfarbe ist bei vielen Exemplaren röthlich, bei anderen grau bis schwärzlich.

Japanischer Name: Tokenoko.

Häufig bei Tokio und iin Hafen von Kagoshima bis zu 16'"" Länge.

149. Pterois lumdata Schlcg.
D. 13/11. A. 3/7. P. 13.

Die grösste Körperhöhe ist 3V5— 3mal, die Kopflänge etwas weniger als 3mal in der Körperlänge (d. i.
Totallänge mit Ausschluss der Caudale), der Augendiameter sowie die Breite des concaven Intevovbitalraumes
etwas mehr als 5— 5%mal, die Schnauzenlänge circa 27^mal in der Kopflänge enthalten. Die schwach nach
hinten divergirenden Kämme am Hiuterhaupte endigen am hinteren oberen Ende in 2 ziemlich starke Dornen.
Am oberen Orbitalende liegen circa 4 Zähne, von denen jedoch nur der hinterste bedeutend entwickelt ist, und
ein kurzes Hautläppchen fast in der Mitte des oberen Randes auf einem kleinen, stumpfen Knochenvorspruugc.
Von den Hautlappen an den Seiten des Kopfes ist nur das hintere am unteren Rande des Präorbitale von
bedeutender Länge. Die Leiste auf den Suborbitalknochen trägt bei jüngeren Individuen am freien Rande
mehrere Zahnfortsätze, im Übrigen sind die Suborbitalia glatt und überhäutet; bei alten Individuen dagegen
sind die Suborbitalia und deren Längsleiste ihrer ganzen Ausdehnung nach mit zahllosen, stark vorspringenden
und bedornten kurzen Ncbenlcistchcn besetzt, wie sie Schlegel's Abbildung dieser Art in der Fauna
japonica zeigt.

Interorbitalraura klein und dicht beschuppt, zwischen den Occipitalkämmen eine nackte Stelle.

Die längsten Strahlen der Pectorale reichen noch bei Exemplaren mittlerer Grösse bis zur Basis der
Caudale, oder noch ein wenig weiter zurück, bei alten Individuen bis zum hinteren Basisende der Dorsale und
die Spitze der Ventralen stets bis zur Analmündung.

Der höchste 6. Dorsnlstachel ist bei Exemplaren mittlerer Grösse fast so lang wie der Kopf, bei einem
grossen Exemplare unserer Sammlung aber l'/gmal in der Kopflänge enthalten, die Caudale bei erstem eben
so lang, bei letzterem etwas kürzer als der Kopf.

Die abwechselnd schmäleren und etwas breiteren Querbinden des Kopfes erstrecken sich nicht auf die
Unterseite desselben.

Die zahllosen schwarzbraunen Flecken der Pectorale zeigen meist die Form von Pfeilspitzen. Nur wenige
Flecken liegen auf dem gliederstrahligen Thcile der Dorsale und der Anale; auf der Caudale fehlen sie bei
sämmtlichen von uns untersuchten Exemplaren.

Zwischen dem oberen Ende der Kiemenspalte und der Caudale liegen circa 70 schräge Schuppenreihen,
doch sind nur 26 — 27 Schuppen von der Seitenlinie durclibohrt.

Nicht selten bei Tokio bis zu einer Länge von 31™.

Japanischer Name: Minokasago.

200 Franz Sfeindachner und L. Döderlein.

150. Pict'ois Bleekei'i n. sp. Dödeil.

Tat". VI, Fig. 1 und 1 a.
D. 13/9. A. 3/7. P. 16.

Die grösste Körperhöhe ist 2^l,^ma\, die Kopflänge etwas mehr als 27r,nial, die Länge der Caudale nur
2 mal in der Körperlänge, der Augendiameter etwas mehr als 4mal, die Stirnhreite gleichfalls ein wenig mehr
als 4mal, die Schnaiizenhölie etwas mehr als 3mal in der Kopflänge enthalten. Die obere Kopflinie erhebt sich
rascher als bei allen übrigen bisher bekannten Arten derselben Gattung. Das hintere Ende des Oberkiefers
fällt unter die Augenmitte.

Die beiden Oceipitalleisten erheben sich manchmal zu ganz ungewöhnlich hohen und dabei sehr dünnen,
halbmondförmigen oder nierenförmigen Fortsätzen, doch bleiben sie auch öfter kurz, und zeigen höchstens sehr
schwache Zähne (vielleicht bei Weibchen? — Stein d.). Der obere Orbitalrand ist unregelmässig gezähnt. Die
Tentakeln sind ülierall sehr kurz: über dem Auge, über der vorderen Nasenöffnung, am Präorbitale und dem
Vordeckel.

Der Interorbitalraum ist schuppenlos. Wangen (über und unter der Wangenleiste), Kiernendeckel und
seitlicher Abfall des Hinterhauptes sind mit sehr rauhen, festsitzenden Schuppen bedeckt. Das ganze Präorbi-
tale ist bei dem auf Tafel VI abgebildeten Exemplare, einem Männchen, von rauhen Leisten durchzogen.

Der längste Dorsalstachcl ist nicht ganz 3 mal in der Körperlänge enthalten. Die Brustflosse endigt vor
der Schwanzflosse, die Banchflosse erreicht mit ihrer Spitze zuweilen die Afterflosse.

Die Zeichnung des Kopfes und des Rumpfes ist jener von P. InniiJata sehr ähnlich. Die Flossen sind gelb-
lich. Nur die Brustflosse zeigt breite, dunkle Querbänder.

Der Kopf trägt am Hinterhaupte eine dunkle Binde, welche schräge nach hinten zum hinteren Rande des
Deckels zieht, und vom unteren (^theilweise auch hinteren und vorderen) Augenrande laufen 3 dunkle Bänder
radienförniig nach unten aus.

Diese Art ist bei Tokio seltener als P. lunulata und erreicht nicht die Grösse der letzteren.

151. Apistus (flatus C.V.

Apistnx aJafHfi scheint bei Tokio nicht vorzukommen und Schlegel bezeichnet sie als eine sehr selten in
Japan vorkommende Art.

Döderlein erhielt sie jedoch in ziemlicher Menge in Exemplaren bis zu 1 1'" Länge im Hafen von Kago-
shima und vor dem Hafen von Kochi auf Shikoku aus circa 10—30 Faden Tiefe mit dem japanischen Grund-
netze. Man fürchtet diesen Fisch seiner Stacheln wegen. Döderlein bezweifelt, dass Apistus alatiis seine
Flossen zum Fliegen benützt, wie Dr. Günther vermuthet. Die japanischen Fischer wissen wenigstens nichts
davon.

152. Sebastes marinoratiis C.V.

Unter den zahlreichen von Dr. Döderlein bei Tokio gesammelten Exemplaren zeigt ein massig grosses
Exemplar merklich dickere Kopfstacheln und ein relativ etwas kleineres Auge als die übrigen Individuen,
unterscheidet sich aber von letzteren weder in der Zahl und Anordnung der Kopfstacheln noch in der Körper-
zeichnung, daher ich die Creirung einer besonderen Art {Seh. crassisinnis Död.) für unbegründet halte.

Das Wiener Museum besitzt überdiess noch Exemplare von Singapore, Java, Manila und Hongkong, welche
zum Theile während der Novara-Expedition gesammelt wurden. Bei dem aus Hongkong stammenden Exemplare
stossen die beiden Interorbitalleisten fast in dem ganzen mittleren Drittel ihrer Länge dicht aneinander und
weichen dann rascher auseinander als bei allen übrigen von mir untersuchten Individuen, ohne aber andere
unterscheidende Merkmale zu zeigen.

Häufig bei Tokio bis zu einer Länge von 46™.

Japanischer Name: Kasago.

Beiträge zur Kenntnis s der Fische Japan' s. 201

153. Sebastes pachycephalus S c h 1 e g.

Kopf nach vorue zugespitzt endigend, Unterkiefer nach vorne ein wenig vom Zwischenkiefer überragt. Die
obere Kopflinie erbebt sicli obneKrlinunung bis zum Beginn der stacheligen Dorsale. Die Kopflänge ist ca.2-7rmal
in der Körperliinge oder ein wenig mehr als i3nial in der Totallänge, die grösste Runipfhölie fast SVgUial in der
Totalläuge, der Augendiameter, welcher an Länge die Schnauze nur unbedeutend übertrifft, 4:^/^ma\, die mittlere
Stirnbreite T^^mal, die Kopfbreite etwas mehr als 2 mal in der Kopflänge enthalten.

Die Mundspalte erhebt sich ziemlich rasch nach vorne, das hintere Ende des Maxillare fällt in verticaler
llichtung weit hinter die Augenmitte.

5 kräftige Dornen am A'ordeckelrande; Nasalstachel schlank, spitz. Nur ein deutlich vorspringender spitzer
Stachel am hinteren Ende des unteren Randes des ziemlich niedrigen Praeorbitale. Interorbitalleisten nicht
stark vorspringend und parallel zum oberen Augenrande laufend. Die beiden kräftigen Occipitalleisten diver-
giren bedeutend nach hinten. Die beiden kurzen Postorbitalleisten endigen in verhältnissmässig viel längere
freie Dornen als die Leisten am Occii)itale.

Der höchste 5., 6. und 7. Dorsalstachel erreicht nur '/j der Kopflänge.

Die 9 untersten Strahlen der Pectorale sind einfach ; der oberste derselben ist der längste Strahl der
ganzen Flosse und ca. l'/ainal in der Kopflänge enthalten. Die Ventrale gleicht an Länge fast nur dem hinter
dem Auge gelegenen Theile des Kopfes oder der Länge der Caudale.

Die kleinere basale Höhenhälfte des staclieligen Theiles der Dorsale ist dicht beschuppt. Zwischen den
Gliederstrahlen derselben Flosse reichen die Schuppen höher hinauf. Rumpfschuppen ziemlich gross. Die
Seitenlinie durciibohrt ca. 27 — 30 Schuppen am Rumpfe und ca. 3 auf dem basalen Theile der Caudale, während
ca. 46 — 47 quere Schuppenreihen zwischen dem oberen Ende der Kiemenspalte und der Basis der Caudale
unmittelbar über der Seitenlinie endigen. 7 — 8 Schuppenreihen liegen zwischen der Basis der höchsten Dorsal-
slacheln und der Seitenlinie in einer verticalen Reihe.

Die grössten der von Dr. Dö der lein bei Tokio gesammelten Exemplare sind 14"° lang.

D. 14/12(11). A. 3/6. P. 17.

154. Sebastes dactylopter US de la Roche.
D. 11-12/12-13. A. 3/5. P. 11/8. L. lat. 60. L.tr. 10/17.

Kopfstacheln: n. o' o" o'". po. oc" oc'". Int.-L. Int.-R.

Die Köperhöhe ist 375 mal, die Kopflänge 272 mal in der Körperlänge (ohne Caud.), der Augendurcli-
messer nahezu 73 mal in der Schnauzenlänge, Vgmal in der Breite des Interorbitalraumes und 3 (SVjmal in
der Körperlänge enthalten.

Das hintere Ende des Maxillare reicht in verticaler Richtung bis über die Augenmitte zurück. Zähne in
ziemlich schmalen Binden.

Die beiden hinteren Drittel des unteren Präorbitalrandes mit je einer stumpfen, kurzen Spitze,

Der Kopf ist mit Ausnahme des Unterkiefers, des Präorbitale und des halben Interorbitalraumes beschuppt.
Auf der unteren Seite des Unterkiefers und an anderen Stellen des Kopfes findet sich eine Anzahl grosser
Poren vor.

Von den Stacheln der Dorsale ist der dritte und vierte am längsten. Die Schwanzflosse ist ein wenig
concav am hinteren Rande.

In der Kopflänge sind enthalten:

3. Dorsalstachel 275 mal, vorletzter 4 (473) mal, letzter 3(373)nial.

2. und 3. Analstachel 27:jmal und etwas mehr als 3 mal; Länge der Brustflosse 1 72 mal, Länge der Bauch-
flosse r74nial, Höhe der Pectoralwurzel 372mal.

Die Seitenlinie durchbohrt ca. 26 — 28 Schuppen am Rumpfe.

Goldroth, unterhalb der Rückenflosse und auf dem Nacken spärliche schwarze Fleckchen.

Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XLIX. Bd. 5fi

20-2 Franz Sfciiidachner und L. Döderlci ii.

Hinterer Theil der Munclliölilc schwärzlich, ebenso die Wände der IJuuchhöhle.
Die Kiemendorneu sind so hing als die KienionblJittclien.

Längs der Rciteidinie liegen ca. 60 quere Schuppeureihen, die Seitenlinie selbst durchbohrt ca. A2 Schuppen.
Sehr selten bei Tokio; das grössere der beiden gesammelten Exemplare misst 27'"' und wurde mir von
Dr. Döderlein als Seh. Hilgendorßi n. sp. eingesendet.

155. Sefjastes nivostis Hilgend.

Tiif. VII.

D. 13/12. A. 3/6. P. 8/11. L. lat. 70.

Kopfstaehein: n. o' o'". po. oc'".

Die obere Kopflinie erhebt sich unter schwacher Bogenkrummung bis zum Beginne der Dorsale und ist
hinter dem Auge ein wenig eingedrückt.

Die grösste Rumpfhöhe gleicht genau oder nahezu der Kopflänge und ist genau oder ein wenig mehr als
2^3 mal in der Kürperlänge oder ca. By^mal in der Totallänge, die Länge des Auges so wie der Schnauze
■i^-mal, die mittlere Breite der Stirne ca. b^/^m&\ in der Koptlänge enthalten.

Das hintere Ende des Auges fällt in verticaler Richtung unter den hinteren Augenrand, bei älteren
Individuen reicht es noch etwas weiter zurück. Der untere Rand des Präorbitale zeigt 3 mehr oder minder
stumpf gerundete Auszackuugen, die hinterste derselben endigt nach hinten in einen kurzen stumpfen Dorn.
Die Stirne ist, abgesehen von den wulstigen Leisten am oberen Augenrande, querüber schwach convex.

Der Kopf ist mit Ausnahme der Kiefer, der Schnauze (von den Karinen angefangen), des Fräovbitale und
fast des ganzen Zwisehendeckels beschuppt. Die kleinen, festsitzenden Schuppen fühlen sich sehr rauh an und
sind gleich den Rumpfschuppen au der Basis noch mit sehr kleinen Schüppchen überdeckt. Die 5 Vordeckel-
stacheln sind plattgedrückt, dreieckig, stumpf und zeichneu sich durch keine besondere Länge aus.

Der obere Rand der stacheligen Dorsale ist gleichförmig gerundet; der 5. und 6. höchste Dorsalstachel
erreicht bei jüngeren Exemplaren nahezu die Hälfte einer Kopflänge und ist bei älteren Individuen fast 2' ^mal
in der Kopflänge enthalten.

Der 2. Analstachel ist bedeutend kräftiger, doch nur wenig länger als der dritte und 272— 275n]al in der
Kopflänge begritfen.

Die Pectorale gleicht an Länge dem Kopfe mit Ausschluss der Schnauze und circa eines halben Augen-
diameters, somit ca. % der ganzen Kopflänge; die kürzere Ventrale ist bedeutend mehr als P/smal in der
Kopilänge enthalten und ebenso lang wie <lie Caudale, deren hinterer Rand äusserst schwach gebogen ist.

Die Seitenlinie durchbohrt 36—39 Schuppen am Rumpfe, und 2—3 auf der Caudale, während ca. 70
schräge Schu))penreihcu zur Seitenlinie herabziehen.

Schwarzbraun mit zahllosen weissen Pünktchen am Körper wie auf den Flossen. Bei einigen Exemplaren
ist das einförmige Schwarzbraun des Rumpfes durch hellere Nebelflecken unterbrochen.
Nicht selten auf dem Fischmarkte von Tokio in Exemplaren bis zu 26™ Länge.
Das Wiener Museum besitzt überdiess noch ein grösseres Exemplar von Hakodate.
Japanischer Name: Kogumesoi oder Keshimuyo, nach Hilgendorf aber Goma soi.

156. Sehastes SchlegelU Hilgend. (= Sehastes luermis Schleg.).
D. 13/12. A. 3/7-8. L. lat. e. 66—70.

Kopfstacheln : n. 0' 0'". po. oc'". Interorbitalleiste.

Körperhöhe stets weniger als 3 mal in der Körperlänge oder ca. 3V2inal in der Totallänge, Kopflänge
25yg_2''"^mal in der Kopflänge, Augendiameter 4V4mal Schnauzenlänge (bis zur schwach vorspringenden
Unterkieferspitze gemessen) etwas weniger als 4 mal, mittlere Slirnbreite 4^5— ö mal in der Kopflänge
euth:\lten.

Beiiräge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 203

Das hintere Ende des Maxillare fällt in verticaler Richtung unter den hinteren Augenrand. Das Fräorbitale
trägt am unteren Rnnde 2 — 3 spitze Dornen, deren Spitze schräge nacli hinten gerichtet ist. 5 plattgedrückte,
meist spitzige Dornen am ganzen Vordeckelrande, von denen der 4. am längsten und horizontal nach hinten
gerichtet ist; der erste unterste ist bei alten Individuen häufig stark abgestumpft und breit dreieckig.

Der untere Rand des Zwischendcckels endigt am oberen hinferen Ende in einen mehr oder minder schwach
entwickelten zarten spitzen Stachel, neben welchem zuweilen ein zweiter Stachel am unteren Ende des Subo-
perkels liegt.

Der Kopf ist mit Ausnahme der Kiefer, der Schnauze (von den Narinen angefangen) und des grössten
vorderen Theiles des Präorbitale schuppenlos. Die Schuppen am Interoperkel sind äusserst klein. Auf der
unteren Seite des Unterkiefers zeigen sich mehrere ziemlich grosse Porenöffnungen.

Der 6. oder 6. — 7. höchste Dorsalstachel ist stets etwas mehr als 2 mal in der Kopflänge enthalten. Der
2. Analstachel ist kräftiger, doch bald ein wenig länger, bald nur eben so lang als der 3. Analstachel und
ca. 2^/5 — 3mal in der Kopflänge begriffen. Die Pectorale übertrifft die Ventrale nur wenig an Länge und ist
ca. P/^mal in der Kopflänge enthalten; die Länge der Ventralen beträgt '^■^ einer Kopflänge. Die Schwanzflosse
ist am hinteren Rande fast vertical abgestutzt. Die Spitze der Ventralen reicht bis zur Aftermündung und über-
ragt ein wenig den Hinterrand der Pectoralen.

Braungrau (bei Weingeistexemplaren) mit helleren und dnnkleren Schattirungen; ein dunkler Streif auf
dem Maxillare und zwei bis drei über den Wangen. Opercnhun oben und unten mit einem dunklen ver-
schwommenen Fleck (als Endtheile der 2 oberen Wangenstreifen, von denen der oberste häufig im vorderen
Thcile verscliwindet).

Ziemlich häufig auf dem Fischmarkt zu Tokio in einer Länge bis zu 29''"'.

Das AViener Museum besitzt dieselbe Art in zahlreichen kleineren Exemplaren aus dem Meerbusen Strietok
durch Dr. Dybowski.

\bl. Hehastes vulpes ü. sp. Döderl.
D. 13/13. A. 3/G. P. 9/9. L. lat. c. 61 (davou 32-36 durchbohrt.)

Kopfstacheln: n. 0' o'". po. oc'", ziemlich erhaben. Int.-L. wenig hervortretend.

Die grösste Rnmpfhöhe ist 37g — 3mal, die Kopflänge 2^/^ — 2V2 in der Köiperlänge, der Augemlurch-
messer 4 — 4^3 mal, die Schnauzenlänge (bis zum knopfförmig verdickten, vorspringenden Unterkieferende
gemessen) 4 — 4-% mal, die mittlere Stirnbreite 5^/5 — 5 mal in der KoptUinge enthalten.

Das hintere Ende des Oberkiefers fällt in verticaler Richtung unter den hinteren Augenrand. Kleferzähue
in massig breiten Binden.

Der Unterkiefer überragt nach vorne den Zwischenkiefer und ist vom vorderen Ende knopfförmig
aufgetrieben.

Der untere Rand des Präoeulare ist 3ma] stufenförmig ausgezackt. Der freie Rand des Vordeckels zeigt
5 Stacheln, von denen die 2 untersten stark plattgedrückt, dreieckig und stumpf, die 3 übrigen schlanker und
länger und meist sehr spitzig sind. Die beiden viel längeren Operkelstacheln divergiren stark nach hinten.

Der freie Rand des Zwischendeckels trägt am oberen Ende einen insbesondere bei älteren Individuen gut
entwickelten spitzen Dorn, neben welciiem am unteren Ende des Suboperkels ein zweiter schwächer aus-
gebildeter Stachel liegt, der zuweilen in mehrere Spitzen sich theilt. Die Schnauze, der grössere vordere Theil
des Präoeulare und der Unterkiefer sind schuppenlos. Am Maxillare liegt zunächst hinter und unter dem Ende
des Präoeulare eine kleine Gruppe sehr kleiner Schuppen. Der übrige Theil des Kopfes ist dicht mit rauhen
Schuppen bedeckt. Jederseits mehrere Poren an der LTnterseite des Unterkiefers. Stirne querüber nahezu flach
mit sehr schwach vertretenden Leisten. Rechenzähne am ersten Kiemenbogen, insbesondere am mittleren Theile
desselben, lang und schlank.

Die obere Profillinie des Kopfes erhebt sich massig steil und ist in der Schnauzengegend ein wenig
gebogen.

•26*

"204 Franz Sfeindachnrr und L. Düderlein.

Vou den Stacheln der Dorsale sind der 5. oder der 6. und 7. am höchsten und ca. 2 bis etwas mehr als
2'/^ mal in der Koflänge enthalten. Der 2. Analstachel ist kräfti^^er als der o., doch zuweilen ein wenig kürzer
als letzterer; seine Länge, bei Ü Exemplaren gemessen, ist bei kleinen Individuen 2'/gmal, bei einem grossen
ICxemplare fast 3 mal in der Kopflänge enthalten.

Die Pectorale ist ebenso lang wie der Kopf mit Ausschluss der Schnauze; die Länge der Ventrale ist l^/^
l)is nahezu P/^mal in der Kopflänge enthalten.

Das äusserste Ende des zurückgelegten Pectorale reicht bei alten Exemplaren bis zur Analuiiiuduug, bei
jüngeren Individuen noch ein wenig über letztere hinaus.

Die Caudale ist ca. ebenso lang wie die Ventrale und am hinteren Rande schwach convex. Die Kürper-
schuppen sind im mittleren Theile der Rumpfseiten ziemlich gross, bilden schräge Reihen und tragen theilweise
zunächst der Basis des freien Schujtpenfeldes kleine Schüppchen.

Die Seitenlinie durchbohrt nur M2 — 3G Schuppen am Rumpfe und 1 — 2 auf der Basis der Caudale, doch
liegen ca. 61 Schuppenreihen zwischen dem oberen Ende der Kiemenspalte und der Basis der Caudale zunächst
über der Seitenlinie.

Rumpf röthlichbraun und weisslich melirt, eben so die Dorsale, Caudale und Anale. Pectorale und Ventrale
graulich. Kopf in der oberen Hälfte rothhraun und mit dunklen braunen punktarligen Eleekchen übersäet,
welche in der Hinterhauptsgegend sich zu wellenförmigen Streuen fast vereinigen, oder aber wie der Rumpf
gezeichnet. Unterseite des Kopfes und Rumpfes weisslichgelb.
Nicht selten auf dem Fischmarkte zu Tokio.

L. Sebastrn ruljjes steht dem Sehasi. Schlegel ii Hilg. äusserst nahe, lässt sich aber von letzterem schon auf
den ersten Blick durch den Mangel spitzer Stacheln am Unterrande des Präoculare unterscheiden.

158. Sehastes ohloixj HS (Uhr. (var. ?)
D. 13/12. A. 3/7. L. lat. 42 (wirklieb durchbohrt).

Kopfstacheln: n. o"'. po. oc'", alle rudimentär.

Die Körperhöhe ist S'/^mal, die Kopflänge 2Y4mal in der Körperlänge enthalten.

Der Augendurchmesser gleicht der Breite des Interocularraumes und geht lVj,mal in die Schnauzenlänge
und öy^mal in die Kopflänge.

Das Maxillare reicht bis hinter den Hinterrand des Auges. Kieferzähne in breiten Binden. Unterrand des
Präorbitale mit sehr wenig deutlichen Vorsprüngen. Die unteren Präoperkelstacheln sehr undeutlich. Kopf mit
Ausnahme des Unterkiefers und des Maxillare beschuppt. Poren am Unterkiefer wenig entwickelt.

In der Rückenflosse ist der 4. — 7. Stachel am längsten. Der 2. Analstachel ist länger und stärker als der 3.;
die Brustflosse ist abgerundet. Die Caudale zeigt eine schwache Krümmung am hinteren Rande.

In der Kopflänge sind enthalten :

Kopf breite 2^j^m&],
4. Dorsalstachel 2^/^va?i\,
Vorletzter Dorsalstachel 5 mal,
Letzter Dorsalstachel 4 ',4 mal.
2. Analstachel 3mah

3. Analstachel 3-74111^1,
Höhe der gliederstrahligen Dorsale 2V2nial,
Länge der Brustflossen 1 '/^ mal,
„ der Bauchflossen l*/5mal,
Höhe der Basis der Pectoralen 4'/3mal.

Die Brustflosse reicht bis hinter die Analmündung zurück, die Bauchflossc bis zu letzterer. Körper dunkel-
braun. Vom Auge aus verlaufen !") dunkle, radiäre Bänder nach dem liinteren Theile des Kopfes. Koj)f im unteren
Theile hell mit braunen Flecken.

Ein Exemplar von 31"" Länge in Tokio erhalten. (Döderl.)

Beifräcjc zur Rpunfiiiss der Fische Japans . 205

159. Sehastes elei/nns u. sp. Diklerl.
D. 13/12. A. 3/6. L. lat. 35 ((lurcbboliif.)

Kopfstacheln: ii. o'". po. oc'", wenig erhaben.

Die Körperhöhe ist 274 mal, die Kopflänge eben so oftiu der Körperlänge (ohne Caudale) enthalten. Der
Augendnrchmesser erreicht '\/^ der .Schnauzenlänge, 7^, der Stirnbreite, und ist 3-'^ mal in der Kopflänge
enthalten.

Da.s Maxillare reicht bis zum Hinteirande des Auges. Zähne in etwas schmalen Bändern.

Uuterrand des Präorbitale mit sehr seichten Einbuchtungen. Unbeschuppt sind Mandibulare, Maxillare und
Präorbitale. Poren im Unterkiefer deutlich.

Au der Rückenflosse ist der 4. — 7. Stachel am längsten. Der 2. Analstachel ist wenig stärker und länger
als der dritte.

Sämmtliche Pectoralstrahlen sind einfach. '

Hinterraud der Schwanzflosse gerade abgestutzt.

In der Kopflänge sind enthalten:

Kopf breite 2V2mal, I Länge der Brustflossen iVamal,

Länge des 4. Dorsalstachels 4'/.jmal,

„ „ vorletzten Dorsalstachels 4' ..mal

„ „ letzten Dorsalstachels S'/amal,

Bauchflossen l*/^nial,

Höhe der Pectoralbasis 3*/. mal,
Länge der Schwanzflosse 1 73 mal.

Höhe der gliederstrahligen Dorsale 2'/2mal, „ „ Caudale 2 mal.

Die Bauchflossc reicht bis zum After, die Brustflosse noch etwas weiter zurück.

Färbung hell ; Körper mit 5 mehr oder weniger in Flecken aufgelösten, dunkelbraunen Querbändern ; eben
solche Flecken bedecken die Flossen und die Unterseite des Kopfes so wie des Rumpfes. Kopf mit mehreren,
vom Auge radiär ausstrahlenden dunkelbraunen Bändern; die Oberseite desselben ist dunkel.

Ich fing ein Exemplar von G'/^"" Länge bei Tagnwa im inneren Meere (Döderl.).

160. Sehastes inermis C. V.
D. 13/15. A. 3/7. L. lat. 38-42 (durchbohrt).

Kopfstacheln: n. 0', 0'". po. oc'" alle rudimentär.

Die obere Kopflinie erhebt sich massig rasch, ohne Krümmung bis zur sehwnch gebogenen Nacken
gegend. Der Kopf spitzt sich nach vorne zu; der Unterkiefer überragt nach vorne den Unterkiefer und endigt
in einen knopfförmigen Vorsprung.

Die grösste Rumpfhölie ist 2^/^ — 3 mal in der Körperläuge enthalten und steht der Kopflänge nur ganz
unbedeutend nach. Die Länge des Auges ist etwas mehr als 3 — 375 mal, die Schnauzenlänge (bis zur Kinnspitze
gemessen) 273 — 274mal, die Stirnbreite 47* — 4"3mal in der Kopflänge enthalten.

Die Mundspalte erhebt sich rasch nach vorne. Das hintere Ende des Oberkiefers fällt in verticaler Richtung
unter oder ein wenig hinter die Augenniitte. Zahnbinden in den Kiefern, am Vomer und auf den Gaumenbeinen
schmal; Zähne zart und spitzig. Präorliitale niedrig, mit 2 kräftigen Stacheln, deren Spitze nach hinten
gekehrt ist.

Maxillare und Unterkiefer beschuppt.

Der obere Rand der stacheligen Dorsale ist ziemlich stark gebogen; der 5. und 6. höchste Dorsalstachel
erreicht nahezu eine halbe Kopflänge, der 1. Stachel übertrifft nur unbedeutend die halbe Länge eines Auges
und der vorletzte ist ca. ebenso lang wie die Schnauze.

i Nur eine Eigoiitliüuilichkeit junger ludividuen. .Steinii.

206 Franz Sfeindachuer und L. iJöderlein.

Die Lauge der Ventrale ist ca. 2^/,^ma,\, die der Peetorale ca. l'/ginal, die der Oaudale ca. IVr.mal in der
Kopflänge enthalten. Die Spitze der Ventralen reicht beinalie ebenso weit znriick wie der längste PectoraLstrah),
und zwar bei manchen Exemplaren fast bis zum Beginn der Anale.

Der 2. Analstachel ist' stets kräftiger als der 3., und bald ein wenig länger, bald etwas kürzer als dieser.
Der hintere Rand der Caudale ist nahezu vertieal abgestutzt.

Maxillare äusserst zart beschuppt. Unterkiefer, Schnauze und Präorbitale schnppenlos.

Die Seitenlinie läuft nahezu parallel zur massig gebogenen Rückenlinie und durchbohrt 38 — 42 Scluii)i)en
am Rumpfe und 2 auf der Caudale.

Schwärzlichgrau oder röthlichviolett, nach unten heller.

Häufig bei Tokio.

Vulgärname: Me waru.

1 ß 1 . Sebastes Joynci •/ G t h r.
D. 13/14-15. A. 3/7. P. 10/6. L. 1. c. 42—49 (durchbohrt).

Kopfstacheln : n. o' o". oc'", alle sehr klein.

Die grösste Riimpfhöhe gleicht der Kopflänge oder übertrifft sie ein wenig und ist naliezu 3 — 3'/,. mal in
der Kö perläuge, der Augendiameter 3 mal, die Scimauzenlänge sowie die Stirnbreite mehr als 'd'-^l^m&X in der
Kopflänge enthalten.

Die Mundspalte ist von massiger Lauge und erhebt sich ziemlich rasch uach oben. Der Unterkiefer über-
ragt mit seinem vorderen aufgetriebenen Ende den Vorderraud des Zwischenkiefers. Kieferzähne zart, spitz in
schmalen Binden. Das hintere En<le des Oberkiefers fällt in verticaler Richtung ein wenig vor die Aiigenmitte.
Präorbitalc niedrig, mit 2 starken Stacheln am unteren Rande, deren Spitzen nach hinten geneigt sind.

Die Stacheln des Vordeckels nehmen vom vordersten 1. bis zum 4., vorletzten rasch an Länge zu und sind
sehr schlank. Der 5. oberste Stachel ist noch ein wenig schwächer als der erste.

Die beiden Dcckelstacheln liegen fast parallel 'zu einander und der obere ist länger und etwas kräftiger
als der untere.

Maxillare beschuppt, ebenso die ganze Unterseite des Unterkiefers wie bei Seh. viermis C. V., ferner auch
ein grosser Theil der Schnauze und des Präorbitale, somit fast der ganze Kopf mit Ausschluss der Lippen.

Unterkieferporen wenig bemerkbar.

In der Dorsale ist der 4. oder der 4. — 6. Stachel am längsten und genau 2 mal in der Kopflänge enthalten.

Der 2. Analstachel übertrifft den 3. au Stärke, gleicht ihm aber an Länge und ist genau oder nahezu
ebenso lang wie der höchste Dorsalstachcl.

Die Peetorale spitzt sich etwas nach hinten zu, ist nur um eine halbe Augenlänge kürzer oder nahezu so
lang wie der Kopf und reicht zurückgelegt ein wenig über die Aftermündung hinaus oder selbst bis zum Beginn
der Anale.

Die Länge der Ventrale gleicht der der Caudale, das ist: % einer Kopflänge.

Der 2. oder 3. gegliederte Dorsalstachel ist etwas kürzer als die Hälfte des Kopfes und ca. 273 mal länger
als der letzte Gliederstrahl derselben Flosse. Der hintere Rand der Caudale ist schwach concav.

Der stachelige Theil der Dorsale ist in der unteren Höhenliälfte mit winzigen Schüppchen bedeckt, während
der gliederstrahlige Theil der Dorsale, der Anale und die Caudale vollständig beschuppt sind.

Färbung im Leben roth (nach Döderlein), auf dem Rücken dunkler. Fünf schwärzliche Querbinden
ziehen über den Rücken herab und erstrecken sich nach oben über den basalen Theil der Riickenllosse und
endigen mit Ausnahme der 2. und 3. Binde bereits an der Seitenlinie. Die 2 letzten Querbindeu sind von
geringer Höhe, fleckenartig gerundet. Auch die 2 längsten mittleren Querbindeu lösen sich zuweilen in 2 über
einander liegende runde Flecken auf.

Die von Dr. Döderlein in Tokio gesammelten Exemplare sind IG"" lang; nach der häufigen Vorstülpung
des Magens zu schliesseu, scheinen sie in etwas grösserer Tiefe sich aufzuhalten.

Beiträge zur Kenniniss der Fische Japan' s. 207

Japanischer Name: Tokenoko me warn.

Sebastes Joytieri G\hv. ist sclion durch seine eigcnthtimliche Zeichnung und geringere Scliuppengrössc
nicht mit S. inernüs zu verwechseln, dem er übrigens durch seine Kopfbewaffnuug äusserst nahe steht.
Dr. Hilgendorf hält beide Arten für identisch.

Die grösste Anzahl der japanischen SchaMcs-kxiQW scheint nicht im Süden von Japan vorzukommen, da die
meisten der bekannten Arten von Tokio und Hakodate stannneu, nicht aber von dem am besten erforschten
Nagasaki.

BATHYSEBASTES u. gen.

7 Kicnicuhautstrahlen. Oberseite des Kopfes schuppenlos. Die oberflächlichen Kopfkuocheu schliesseu
weite Hohlräume ein.

Mundspalte ausserordentlich ausdehnungsfähig. Zahnbinden in den Kiefern, am Vomer und auf den Gaumen-
beinen. Eumi)fschu])pen cycloid, Schuppen an den Seiten des Kopfes von der allgemeinen Kopfhaut überdeckt.
Übrige Charaktere wie bei Scbastes.

162. Bathysebastes albeseeus n. sp. Döderl.
D. 12/10. A. 3/5. P. 15/6. V. 1/5. L. lat. 27. (durchbohrte Schuppen.')

Kopfstacheln : u. o' o'". po. oc'", sämmtliche obere Kopfstacheln mit Ausnahme der Occipitaldornen
(oc'") sehr klein.

Die grösste Enmpfhöhe ist ca. o'/^mal in der Körperlänge oder 4mal in der Totallänge, die Kopflänge
2'7,,iiial in der Körperlänge oder etwas weniger als 3 mal in der Totallänge, der Augendiameter ö^/^mal, die
Schnauzenlänge (bis zur Kinuspitze gemessen) ca. S'/^nial, die mittlere Stirnbreite mehr als ö'/amal, die
grösste Kopfliöhe ca. l^. nial, die grösste Kopfbreite 2V5nial in der Kopflänge enthalten.

Die Länge der Mundspalte, von der Kinnspitze bis zum hinteren Ende des Maxillarc genommen, ist nur
wenig kürzer als die Hälfte der Kopflänge. Das hintere Ende des Maxillare fällt in vertikaler Richtung ein
wenig vor den hinteren Augenrand.

Die Kinnspitze ist massig verdickt. Kiefer-, Vomer- und Gaumenzäi)ne klein, spitz, in schmalen Binden.

Der untere Rand des Präorbitale endigt in 3 lange, schlanke Dornen, von denen der erste nach vorne, der
zweite ein wenig schräge nach unten und der dritte stark schräge nach hinten gekehrt ist. 5 lange spitze Domen
am ^'ordcckelrande, von denen der 3. und 4. am stärksten entwickelt ist; der letzte oder oberste 5 Vordeckel-
stachel gleicht au Länge dem 2., und der erste ist ca. halb so lang wie der nächstfolgende.

Von der Articulationsstelle des Kiemendeckel laufen bei dem zur Untersuchung vorliegenden Unicum
links 2, auf der rechten Kopfseite aber 3 nach hinten divergirende und zugleich nach oben gewendete Leisten
aus, die in lange freie Stacheln endigen.

Die Orbita ist nicht rund, sondern nähert sich einem Dreieck mit abgerundeten Winkeln, dessen untere
Seite parallel mit dem Maxillare läuft. Die Stirne ist querüber schwach gewölbt. Nasaldorn sehr zart, spitz,
ziemlich hoch über den vordenen kleinen Narinen gelegen.

Sämmtliche Knochen an der Oberfläche des Kopfes, die Suborbitalia, der Unterkiefer und das Raudstück
des Vordeckels bilden mehr oder minder weite Hohlräume, die nacli aussen durch eine dünne, schuppenlose
Membran, welche an mehreren Stellen von grösseren oder kleinereu Poren durchbrochen ist, überdeckt sind.

Der Zwischendeckel ist von geringer Höhe und wird von dem Präoperkel nach aussen fast vollständig
überdeckt.

Die Rechenzähne an der Vorderseite des ersten Kiemenbogens stehen in einer lockern Reihe, sind daher
nicht zahlreich; sie nehmen zunächst dem hinteren Kicmenbogenwinkel rasch an Länge zu, zeigen zunächst
vor demselben die Form einer Messerscheide, und sind am oberen Rande stets fein gezähnt. Nach vorne nehmen
sie am unteren Kiemenbogeu sehr rasch an Länge ab und liegen fast horizontal demselben an. Die obersten
vordersten 3—4 Rechenzähne am oberen Kiemenbogenaste gleichen zaiten Plättchen mit gezähntem freien

208 Franz St eindach n er und L. Döderlein.

(unteren Rande). Die Zahnfortsätze au der Vorderseite aller übric;en Kiemenbogen sind am oberen Ende
abgerundet, ])lattgedrückt, von sehr massiger Höhe und nehmen überdiess nach vorne wie gegen das obere
Ende des Kiemenliogens bedeutend an Breite zu, aber ein wenig an Höhe ab. An der Hinterseite der 3 ersten
Kiemenbogen sind die Rechenzähne sehr schlank, pfcilspitzen förmig und nehmen gegen das vordere untere wie
gegen das obere Ende jedes Kiemenbogens an Höhe ab. Die Pseudobranchien sind massig entwickelt.

Am Kopfe sind nur die Wangen (mit Ausschluss der Suborbitalia und der Knochenstütze des Präoperkels),
der obere Theil des Kiemendeckels und der Uuterdeckel beschuppt. Mundhöhle schwärzlich-violett pignientirt.

Die Dorsalstacheln sind schlank und von geringer Höhe. Der 4. höciiste Stachel ist nicht viel länger als
jeder der beiden folgenden und erreicht nur wenig mehr als '/^ der Kopflänge. Der 1. wie der 12. Dorsalstacliel
ist ca. halb so lang wie das Auge; der letzte 13. Dorsalstachel übertrifft ein wenig die Länge eines Auges und
der 2. höchste Gliederstrahl derselben Flosse ist etwas mehr als 2^/^ mal in der Kopflänge enthalten.

Die Pectorale ist stark entwickelt, lang; die 3 obersten und die 6 untersten Strahlen sind einfach, der
längste 8. und 9. Pectoralstrahl gleichen an Länge dem Kopfe mit Ausschluss der Schnauze, sind somit
ca. l^/j mal in der Kopflänge enthalten. Die Spitze der Brustflossen reicht bis zur Analniündung zurück. Die
Länge der Ventralen ist 2 '/.mal, die der Caudale l^uüd in der Koptlänge enthalten. Die Stacheln der Anale
nehmen vom ersten bis zum dritten ungleichmässig an Höhe zu; der 2. Analstachel erreicht fast die dojjpelte
Höhe des 1., und der 3. ist ca. ly^mal höher als der 2. und ca. 4mal in der Kopflänge enthalten. Der Hinter-
rand der Caudale ist schwach concav.

Die Rumpfschuppen sind sehr dünn, ganzrandig und zum grössten Theile in der Haut eingebettet. Die
Seitenlinie ist breit rinnenförmig mit vorspringenden Rändern. Sie läuft fast parallel zur schwachgebogenen
oberen Profillinie des Rumpfes und liegt zum grössten Theil in oder noch über dem oberen Höhendrittel des
Rumpfes; nur unmittelbar vor der Basis der Caudale senkt sie sich allmiilig zur Höhenmittc des Caudalstieles
herab. Einige 70 Schuppenreihen laufen zum oberen Rande des Seitencanals (^zwischen dem oberen Ende der
Kiemenspalte und der Basis der Caudale) herab. Der basale Theil der Schwanzflosse und ein nocli schmälerer
Streifen zunächst der Basis der Pectorale sind beschuppt; alle übrigen Flossen sind vollkommen schuppenlos.

Die Farbe des Fisches ist weisslich gell); Magen und Darmcanal schwarz gefärbt, die übrigen Eingeweide
hell. Schwimmblase vorhanden.

Japanischer Name: Skirokasago (d. h. weisser Seias^es).

Diese Art soll nach Aussage des Fischer sehr selten vorkommen und scheint eine typische Tiefsee-Form
zu sein. Das beschriebene Exemplar ist 30™ lang.

Farn. COTTIDAE.

163. Cottus Mllgemlorfil n. sp. Dödcrl.

D. 8/17. A. 13. P. 16. L. lat. 35.

Die grösste Rumpfhöhe ist ca. 5-''/-nial in der Körperlänge oder mehr als 67;jirial in der Totallänge; die
Kopflänge 4 mal in der Totallänge, der Augendiameter fast 4 mal, die Schnauzenlängc unbedeutend mehr als
4 mal, die grösste Kopfhöhe 2 mal, die grösste Kopfbreite etwas weniger als ly^mal in der Kopflänge
enthalten. Die mittlere Breite des knöchernen Theiles der Stirne ist sehr gering und erreicht ca. '/g der
Augeulänge.

Das hintere Ende des Oberkiefers fällt in verticaler Richtung ein wenig hinter die Augenmitte. Die
Mundspalte zeigt eine nahezu horizontale Lage; schmale Zabnbiuden in den Kiefern und am Vomer.

Der Vordeckel trägt am gerundeten Winkel einen einzigen starken, säbelförmig aufgebogenen Stachel von
nicht unbedeutender Länge; ein viel kleinerer Stachel liegt am unteren vorderen Ende des Suboperkels unter
der Haut halb verborgen.

Kiemenhaut in ziendicher Ausdehnung mit dem Isthmus verwachsen.

Die Aftermündung liegt ebenso weit vom vorderen Augenrande wie von der Basis der Caudale entfernt.

Beiträrjc. zur Kenntntss der Fische J(q)(m'i>. 209

Die erste Dorsale beginnt iii verticaler Kichtuug über dem Eude der liäiitigen 8iiboperlielspitz,e und ist
durch einen sehr kleinen Zwischenraum von der 2. höheren Dorsale getrennt.

Die Anale beginnt senkrecht unter dem 2. oder 3. Strahl der 2. Dorsale.

Die Brustflosse hat eine hohe, schräg gestellte Basis und reicht nahezu bis zum Beginn der Anale zurück;
die Bauchflosse beginnt circa unter der Basis der mittleren Pectoralstrahien (in verticaler Richtung) und die
äusserste Spitze der Ventralen fällt circa um eine Augenlänge vor die Auusmündung. Der hintere Rand der
Caudale ist fast vertical abgestutzt.

Die Körperhaut ist nackt, vollständig glatt; nur am Hinterhaupte liegen äusserst zarte, feine Wärzchen.

Die Färbung ist oben braun, unten gelblich, an den Seiten dunkler gefleckt. Zwei schwärzliche Binden
ziehen von der Basis der 2. Dorsale schräge nach vorne und unten, ohne die Bauchseite zu erreichen. Die 3.
undeutlicher ausgeprägte Binde von geringerer Höhe liegt unter dem vordersten Theile der 1. Dorsale und
eine 4. schmale halbmondförmige Binde unmittelbar an der Basis der Caudale. Sämmtliohe Flossen sind
gelblich und mit brauneu Flecken geziert, die schräge oder verticale Reihen bilden; nur die Ventralen sind
einfarbig gelb.

Das hier beschriebene Exemplar ist 9""" lang und wurde Herrn Di'. Dö derlein als eine Seltenheit von den
Fischern in Tokio gebracht.

Cottus Hilgendorfii ist sehr nahe mit Cottus pollux Gthr. verwandt, welche letzte Art aber 9 Stacheln und
10 Gliederstrahlen nach Günther's Beschreibung besitzt und deren Ventrale noch ein wenig über die
Analmündung zurückreicht.

164. Centlderiniclithys percoides sp. Gthr., Steind.
B. 6. D. 10/19. A. 17. P. 15. V. 1/2.

Körperform bei erwachsenen Individuen sehr gestreckt; die grösste Rumpfhöhe ist bei denselben 6 — 7mal,
die Kopflänge ca. Sy^mal in der Totallänge, der Augendiameter 5*/-, — 57, uial, die Schnauzenlänge etwas
mehr als 3'/2mal, die mittlere Stirnljreite 9 — O'/aUial, die grösste Kopfhöhe 2'/;, — 2'/2mal, die grösste
Kopfbreite mehr als 2^3 — 3 mal in der Kopflänge enthalten.

Mundspalte sehr lang, massig nach vorne ansteigend. Das hintere Ende des Oberkiefers fällt unter den
hinteren Rand des ovalen Auges.

Spitze schlanke Zähne in den Kiefern, am Vomer und auf den Gaumenbeinen.

Die Zahnbinde des Zwischenkiefers nimmt gegen das vordere Knochenende rasch an Breite zu. An den
Seiten des Unterkiefers sind die mittleren Zähne der innersten Reihe bedeutend grösser als die entsprechenden
des Zwischenkiefers und ebenso gross wie die längsten Zähne des Zwischen kiet'ers am vorderen Eude jeder
Zwischenkieferhälfte.

Ein ziemlich kräftiger, meist schwach hakenförmig gebogener stumpfer Zahn in der Winkelgegend des
Vordeckels und 2 — 3 schwach vortretende, stark abgestumpfte, zuweilen selbst abgerundete, zahnartige
Vorsprünfie am unteren gebogenen Rande desselben Knochens. Nasalstachel klein, spitz: Interorbitalraum
massig concav. Ein zartes Hautläppcheu am hinteren Ende des oberen Augeuraudes.

Die beiden Dorsalen stehen unmittelbar hinter einander, hängen aber nicht zusammen. Der 3. oder der
3. und 4. Dorsalstachel erreichen die grösste Höhe, welche circa einer Schnauzenläuge gleicht. Der höchste
6. und 7. oder 6.-8. Strahl der zweiten Dorsale ist ca. 273— nahezu 3 mal in der Kopflänge enthalten.

Sämmtliche Pectoralstrahien sind einfach und die unteren dicker als die oberen. Die grösste Länge der
Pectorale am 7. oder 8. Strahl gleicht der Entfernung des Augencentrums von der äussersten hinteren Spitze des
Suboperkels. Die Länge der Ventrale übertrifft die Augenläuge nicht bedeutend und ist ca. ^^/.^xüdA in der
Kopflänge enthalten. Die Länge der Caudale, deren hinterer Rand fast vertical abgestutzt ist, erreicht etwas
mehr als eine halbe Kopflänge.

Haut vollständig nackt, auf <lem Kopfe eine Anzahl kleiner Tuberkeln mit Porenra'iniungoii. Farbe des
Riiin;ifcs U!il dj^ !C>^)res gälbh;uiii, die objrc Hüfte dunkler und mit schwärzlichen querbindenähnlichen

Deak-äcUririou iar mithjiu.-niluriv. Gl. .'CL.IX. Bl.

27

2X0 Franz Sleindachner and L. Döderlein.

Zeichnungen versehen. Die Flossenhaut der ersten Dorsale in der Mitte glashell, vorne und hinten bräunlich.
Bei den übrigen Flossen ist die Flossenhaut glashell, während die Strahlen gelblich und mit Ausnahme der
RauchHossen mit bräunlichen Tupfen versehen sind. An der Wurzel der Brustflosse bemerkt man 2 — 3 deutliche,
dunkle schräge Streifen. Ein dunkelbrauner Fleck an der Pectoralachsel und unter demselben an der Hinterseite
der Pectorale ein viel grösserer milchweisser Fleck. Unter dem Auge, auf dem Maxillarrand und auf den
Wangen liegen 3 — 4Flecke. Länge der beiden beschriebenen F.xein])lare, eines Weibchens und eines Männchens,
mit langer penisartiger Urogenitalpapille: 2U und 22"".

1Ü4 u. Centridermichthys ScJileycUi n. sp. Döderl. {— C. percöides sp. Gthr. sec. Steind.)

B. G. D. 10/ l'J. A. 17. 1". 15. V. 1/2.

Grösste Rumpfliöhe nahezu 6— unbedeutend mehr als 5 mal in der Totallänge, Länge des Kopfes 3 — mehr
als 2''/r mal in der Körperliinge oder etwas mehr als 3'/. — 3'/. mal in der Totallänge, Augendiameter nahezu
oder genau 6 mal, Schnauzeulänge S'/jUial, mittlere Stirnbreite 8 V^ — ^-Vsmal, grösste Kopfhöhe etwas mehr
oder weniger als 2 mal, grösste Kopf breite ca. 2Yjmal in der Kopflänge enthalten. Nasalstachel zart, spitz.
Mundspalte sehr lang, massig nach vorne ansteigend, das hintere Ende des Oberkiefers fällt unter oder noch
ein wenig hinter den hinteren Augenrand. Augententakel vorhanden. Kiefer- und Gaumenbezahnuug, ferner
Vordeckeldornen wie bei C. percöides. Pectorale ebenso lang oder unbedeutend kürzer (um '/g Augenlänge) als
der Kopf mit Ausschluss der Schnauze, das ist ca. l'/s— fast P/^mal in der Kopflänge enthalten.

Die beiden Rückenflossen stehen unmittelbar hinter einander, hängen aber nicht zusammen. Der 3. höchste
Dorsalstachel ist nur unbedeutend länger als die nächstfolgenden oder nur ebenso lang wie der 4., b. und (i.
und an Länge der Schnauze gleich. Sämmtliche Peetoralstrahlcn einfach, die unteren dicker als die oberen.

Hinterrand der Schwanzflosse kaum convex. Länge der Caudale mehr als \'^/^ — 2 mal in der Koptlänge
enthalten.

Farbe unten gelblichbraun mit undeutlichen blauen Flecken, oben dunkelbraun, ohne deutliche Flecken.
Erste Dorsale vorne und hinten bräunlich, in der Mitte mit glasheller Flossenhaut. Die Flossenstrahlen der
Rücken-, Schwanz- und Hauchflosse sind bräunlich. An den oberen und unteren Strahlen der Caudale l)emerkt
mau Spuren abwechselnd hellerer und dunklerer Querbinden. Ein tiefbrauner Fleck an der Pectoralachsel,
unter diesem ein grösserer milchweisser oder hell silbergrauer Fleck an der Hinterseite der Pectoralbasis wie
bei C. percöides. Drei braune Streifen in der basalen Hälfte der Pectorale.

Japanischer Name: Maradashi (d. i. Penis).

Meines Erachtens ist C. Schleyelii Döderl. nur eine fast ganz ungefleckte Farbenvarietät von C. percöides
Steind.

165. Centriderniichthys marmoratus n. sp. Döderl.
B. 6. D. 9/19. A. 16. P. 13. V. 1/2.

Körperform schlank; Kopf nach vorne zugespitzt; ol)ere Profillinie des Kopfes ohne Krümmung und nur
massig nach hinten ansteigend.

Die grösste Runipfhöhe ist 47r, nial in der Körper- oder 57,r,mal in der Totallänge, die Kopflänge
ca. S'/zUial in der Totallänge, der Augendiameter 5mal, die Schnauzenlänge etwas mehr als 4 mal, die
mittlere Stirnbreite ca. 13 mal, die grösste Kopfhöhe 2 mal, die grösste Kopfbreite ca. 27, mal in der Kopflänge
enthalten. Stirne querüber concav, obere Augenräudcr ziemlich wulstig.

Das hintere Ende des langen Maxillare fällt ein wenig vor den hinteren Augenrand. Vordeckel mit einem
ziemlich kräftigen, etwas nach oben gebogenen Stachel, unter welchem noch 3 kleinere zahnähnliche Vorsprünge
in der unteren Hälfte des freien Vordeckelrandes liegen. Die beiden untersten dieser Zähne sind mit ihrer
Spitze nach unten und zugleich ein wenig nach vorne gekehrt. Nasalstachel fehlend.

Der obere Rand der ersten Dorsale ist bei dem mir zur Beschreibung vorliegenden Unicum vielleicht
abnormer Weise wellenförmig gebogen. Der 2. und 3. Stachel sind die höchsten der Flosse und ca. 2'/gmal in

Beiträge zur Kenntniss der Fische Japan' s. 2 1 1

der Kopflänge enthalten, der 4. ist bedeutend kürzer als der 1. und nur wenig kürzer als der 5. Stachel; der
6. und 7. dagegen sind wieder ein wenig länger als der 5. Stachel. Die höchsten mittleren Gliederstrahlen der
2. Dorsale siud nur wenig länger als der höchste 2. oder 3. biegsame Stachel der 1. Dorsale.

Die beiden einander sehr nahe gcriickteu Rückenflossen hängen an der Basis durch einen niedrigen
Hautsaum zusammen.

Die Pectoralstrahlen sind einfach und die unteren dicker als die ol)eren. Der längste 7. Strahl steht der
Kopflänge nur um etwas mehr als eine halbe Schnauzenläugc nach und reicht bis zum Beginn der Anale
zurück. Die Länge der Ventrale gleicht Yj der Koptlänge.

Die Caudale ist am hinteren Rande äusserst schwach convex bei vdllkommen ausgebreiteten Strahlen.

Die Anale reicht nicht so weit nach hinten zurück wie die 2. Dorsale und steht letzterer auch bezüglich
der Höhe der Strahlen bedeutend nach.

Die geringste Rumpfhöhe am Schwanzstiele gleicht kaum einer Augenlänge.

Körperhaut nackt, glatt. Nur am Kopfe und Rücken findet sich eine Anzahl winziger Tuberkeln mit
Porenmündungen vor. Seitenlinie deutlich, in der vorderen kleineren Rumpfhälfte 2 mal stark wellenförmig,
gebogen.

Farbe gelbbraun. Kopf und Rumpf (mit Ausnahme der Bauchseite) sowie die Flossen mit schwarzbraunen
Flecken und Bändern marmorirt.

Sechs grosse, von intensiv braunen Flecken gebildete Querbänder ziehen jederseits von der Rückenflosse
bis in die Nähe der Seiteulinie herab. Zwischen dem '6. und 6. Dorsalstachel ist die Flossenhaut theilweise
glashell.

In der Körperzeichnung hat diese Art eine auffallende Ähnlichkeit mit Centr. elegans Steind., doch ist
die Kopfform bedeutend schlanker als bei letzterer Art, bei welcher überdies Nasalstacheln vorkommen.

Das einzige von Dr. Döderlein bei Tokio gesammelte Exemplar ist 13'"' lang.

27 *

212 Franz Hteiiuluchiicr tiiid L. Düderlriii. Licitn'kje zur Keirnfiim der Fisr/ic Jnpnii's.

ERKIÄRÜNG DER ABBILDUNGEN.

TAFEL I.

Bmma japoaka Hilgend. (Typ.).

TAFEL IL

Plemdis ( Centropholis) Pelersii HilgencT. (Typ.).

TAFEL IIL

Fig. 1. Orcimis Schlegeln ü. sp. 2, Steind.
„ 2. Ne.opercis^ aiiranliaai n. gp., Döderl.

TAFEL IV.

Fig. 1. Decapterus sanctae Heleiiac sp. C.V.
„ 2. n BHxsellii sp. Rüpp.

TAFEL V.

Antigonia atprus Lowe, iidult. (3^.

TAFEL VL

Fig. 1. Pterois Bleekeri Döderl., n. sp.

„ 1 «. „ „ „ „ Oberseite des Kopfes.

„ 2. Neopercis multifiisckita n. sp., Dödei'l.

„ -2 a. „ „ „ „ Ooerseite des Kopfes.

TAFEL VII.

Fig. 1. Sebastes nivosus Hilgend.

! «.

Oberseite des Kopfes; Fig. Ib erster Kiemenbogen.

1 Da der von mir im Jahre 1883 vorgeschlagene Gattungsname „Parapercis" (s. Steind., Ichthyol. Beitr. Xdl) bereits
früher von Dr. Bleeker für Peras-Arteu ohne Rücksicht auf das Vorkommen oder die Abwesenheit von Gaumenzähnen
gebraucht wurde, so ändere ich den Namen Parapercis Steind. (nee Blkr.) in Neopercis Steind. et Döderl. ab. In die Gat-
tung Neopercis fallen somit Neopercis Haackei (Steind., Ichthyol. Beitr. XIII), Neop. aurantiaca n. sp. Döderl., Neop. miilti-
fasciata n. sp. Döderl. und Neop. sexfasdata sp. Schleg. Die Gattung Parapercis Blkr. (nee Steind.) hat keine Berechtigung
und umfasst sowohl Ptcc/s-Arten (ohne Gaiimenzähne) als auch JVeo/jecc/s-Arten (wie Pcras sexfasdata Schlag.). Steind.

SteindachncraDodcrIc'in- risrhf Japans 'III. i

Tiif.l.

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DciikMliririfii (l.k.Aktiil.tl.W. iiiiitli nalur-iv <'la.sso XLIX .|{i1.|.aI>Ui,

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Taf.n.

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-I -^Xtül-v Ea.KonopicKy K.k.Hof-i: Staatsöruckersi.

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Tafin.

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K.d.Wat.gezu.lith.yEd.Kimopu.-'ky; Kk.Hof-uStaatsdruckerel,

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SteindachneraDöderlein:TischeJapans.(III.»

Taf.IV.

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K.k.Hof-u.Staatsdruck^rci. T[.d.Nal|ei u.lith.v.Ed.l&iiiopiclcy.

Denkscliriften d.k.Akad.d .W. matli.naturw. ClasseXLIX-BdlAbtTi.

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K kHof-u. Staatsdruckerei.

Denksrliriftpii fl.k.Akad.d .W. maili.naLurw.riasseXLIX.Bd.l.Abth.

Steindachner aDöderlein: Fische Jaj)an's( III.»

Taf.VI.

"'imr¥n

K.c. Naives u.lith.v.Ed.lCoKopic"ky

K.k.KoE-u.Staatsdruckerei.

Dpiiksfliriflen il.k Akiul.d .W. luath.iiaLurw. Tlasso XLIX.IM I.Ahth.

SteindachniTiLDociorlciii l'isi lirJapiius Ulli

Tai: VII.

K !: Kof-u."

Dcuksriiiincii <l.k. Akiid .d. W. m;illi luiliifw (lasse Xl.lX.IJd.I.Ahlli.

Zweite Abtheilung.

AbliaiKllung*en von Nicht-Mitgliedern der Akademie.

Mit 13 Tafeln.

DIE INTEGRATION

DER

PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

GRll)»LI!IIE\ El\lil> ALLIIEMINEI l\TEIill\tlO\)IIIEIII»DE.

VON

D^ VICTOR SERSAVV Y,

PEIVATDOCENT KÜR MATHEMATIK AN »ER VNIVEKSITXt IN WIEN.

VOKGIOLEGT IN DER SITZUNG AM 13. MÄRZ 1881.

Unter dem Titel der Integration partieller Differentialgleichungen werden gemeinhin zwei von einander
verschiedene analytische Probleme zusammengefasst. Das eine besteht in der Aufsuchung eines allgemeinen
Integrales, welches die erforderliche Anzalil willkürlicher Functionen entiiält, während das andere dahin
abzielt, diese willklirlichen Bestandtheile der allgemeinen Lösung einer gewissen Anzahl ausserdem nocii
vorhandener, sogenannter Anfangsbedingungen anzupassen. Obwohl gerade in den wichtigsten Untersuchun-
gen, nämlich in den physikalischen, beide Probleme regelmässig in dieser Verbindung auftreten, so ist es
doch keinem Zweifel unterworfen, dass dieselben ihrem analytischen Charakter nach von einander unabhängig
sind, also einzeln einer weiteren Untersuchung unterzogen werden können.
Die gegenwärtige Abhandlung stellt sich demgemäss die Aufgabe :

Die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung:

n- / 3"^ >

d. li., alle Functionen der q Indepcndenten x, , x^, . . .x,j aufzusuchen, welche für z gesetzt, der
gegebenen Gleichung genügen.

Von etwaigen Anfangsbedingungen wird hiebei abgesehen.

In dieser Absicht wird vor Allem eine neue Form der Bedingungen aufgestellt, durch deren Erfülhiiig der
Ausdruck

dz ^ z^ (Ix^ +z^ dx^ + . . . +c, dx^

integrabel wird. Mit Hilfe dieser neuen Form der Integrabilitätsbedingnngen wird die Aufgabe Jodesmal
auf die Integration eines Systems von simultanen gewöhnlichen Differentiitlglcicluingen zurückgefiiint. Hei

Denkschriften der raathem.-naturw Gl. XLIX.ßd. Abhandlungen von Nichtraitgliedern. U

2 Vif tor Sersd inj.

partiellen Differentialgleichiingen erster Ordnimg- ist dieses System stets bestimmt, indem es eben so viel
Gleichungen als Unbekannte enthält; bei Ditferentialgleichungen höherer Ordnung enthält es immer weniger
Gleichungen als Unbekannte, so dass einige der letzteren, so weit es sich um die Integration eben dieses
Systems handelt, unbestimmt verbleiben.

Fuhrt man nach vollzogener Integration die Integrationsconstanten als neue Veränderliche ein, so verwan-
delt sich die Aufgabe in eiu Aggregat von Problemen, welche durch geeignete Wahl der unbestimmt geblie-
benen Grössen in Pfaff sehe Probleme verwandelt werden. Nachdem die Gleichungen, welche die Wahl der
unbestimmten Grössen bestimmen, abgeleitet und gezeigt worden ist, wie denselben Genüge geschieht, ist die
Aufgabe für erledigt anzusehen.

Indem bezüglich der Einzelheiten der Untersuchungen wie natürlich auf die Abhandlung verwiesen
werden muss, ist noch zu bemerken, dass Beispiele nur insoferne aufgenommen wurden, als sie zur Erläu-
terung einzelner Stellen dienlich sein konnten, und zwar aus dem Grunde, weil einerseits die Auswahl geeig-
neter Beispiele noch beschränkt, und andererseits der Rechnungsapparat aucli bei einfach scheinenden
Beispielen in der Regel ein sehr grosser ist.

Erster Abschnitt.

Die lutegrabilitätsbedinguiigen.
1.

•Eiu Ausdruck von der Form:

dz = z^ dx^ +z^ (l.i\ + . . .-\-z,^ <lz,j , (1)

— in welchem z^, z^,. . .z^ gegebene Functionen von .r, , r^,. . .,r, und ^ bedeuten — wird unbeschränkt inte-
grabel genannt, wenn derselbe durch eine einzige Beziehung in endlichen Dimensionen zwischen den Grössen
x^, x^,. . .Xj und z integrirt werden kann. Die Bedingung hiefür ist, wie bekannt, dass alle Gleichungen,
welche aus der allgemeinen Formel:

f>^r , ^Zr ^Z, ^Z, ^ZZr\ /^^,^ . s n / ON

durch Specialisirung von r unds in 1,2,. . .q entstehen, identisch erfüllt sind. Ist dies der Fall, so können
die (2) durch die folgenden ersetzt werden:

0 = (], l)ar,-4-(l, 2)oX+ . . . -+-(], g)5.f,
0=:(2, l)oV,+(2, 2)Sx,+ . . . +(2, q)5.r^

(^)

0 = (fy, l)Sx^+(q, 2)ox^+ . . .+(q, q)dx^,

ohne dass damit zwischen den Variationen ^x^, ox^,..., dx^ irgend eine Bedingung festgesetzt wird und umge-
kehrt, wenn die (3) gelten sollen, während die ebengenaunten Variationen untereinander unabhängig bleiben,
so kann dies nicht anders geschehen, als wenn die (2) identisch befriedigt sind. Man kann also sagen, dass
der Ausdruck (1) unbeschränkt integrabcl ist, wenn die Gleichungen (3) zwischen den Variationen
'J.X', , ox^,. . .öxj keine Beziehungen involviren.

Sind die Gleichungen (2) nicht identisch befriedigt, so kann der Ausdruck (1) nur durch mehr als eine
Relation zwischen den Variabein x^, x^,. . ..r, und ^ integrirt werden, ist also nicht unbeschränkt integrabel,
und gleichzeitig können die Gleichungen (3) nicht mehr bestehen, ohne die Variationen 5x^, ^.r^,. . .$x^ in
Beziehung zu einander zu setzen. Es besteht also ein Zusammenhang zwischen der Integrabilität der Gleichung
{!) und der Art, wie die (2) befriedigt werden können.

Die hüegraüon der partiellen DiferentiaU/leichuHCjeii. 3

Um diesen Zusammenhang näher zu erkennen, nehmen wir an, dass ?n der Variabein x^, j\,. . ..r, inde-
pendent bleiben, und denken uns vermittelst der integrirenden Beziehungen

als Functionen von

dargestellt, welch' letztere dann unabhängig bleiben. Die Gleichung (1) verwandelt sich bei dieser Annahme
in die folgende:

X=q—m X=q — in

dz = (zf + y^,„+x -y— ) ^1x, + . . .+ (z,,, + y 2-,,,+), g"'"^' j (h„, (4)

und diese muss, nachdem die .<-,„4.i,. . ., .r,„ überall durch ihre Werthe in .r, , x^,. . .x,„ ersetzt worden sind,
unbeschränkt integrabel sein. Entwickeln wir also die Ausdrücke, welche oben durch fr, s) bezeichnet worden
sind, für die Gleicbung (4) und bezeichnen sie zum Unterschiede durch eckige Klammern, so erhalten wir:

t\ 'f.=q — m X=q — m

Es ist aber

x=i

sonach

' ;n+X '
>.= I X=i

X^=g — m 'K^q—m \i.=q — m ),=g — m

Zj V 8j^* / 8-c,- Z_] Zj Vö^,„+^/ 3x,- 3.1* Zj""'"^'' 3.^/ 8-Ki- '

).= l > = 1 (1=1 x=i

>.=?— m X=4— m |j.=ä-m

[,-, Ai= {„■, ,0* V(,v,„+,, »£|±. j + V i(..,x, .,+ 2;(,„+, ,„+„ ?9^| ?£^ .

).= 1 X=l |i=l

Durch dieselben Relationen , welche wir soeben zur Bildung der Ausdrücke [/, k] verwendet haben,
verwandeln sich andererseits die Gleichungen (3) in die nachstehenden:

>.;=g — m X=q — m

0 = [(1, 1)+ ^(1, m+Ä)-:^]oX+ . . .+ [a,«0+ Vo, >« + /)^] oX,

X=l ' X=i

welche wegen der Unabhängigkeit der oj-, , &-j,,. . ., ox,,, in Gleichungen von der Form:

X=q — m

0 = (•;, 1:) + Jjii, m + X) ^1^ (5)

zerfallen, worin der Reihe nacli für / alle ganzen Zahlen von 1 bis q, für k hingegen blos jene von 1 bis m zu
setzen sind. Durch diese Gleichungen werden aber die [/,A:] identisch Null, woraus erhellt, dass die Glei-
chungen (3) eben jene Beziehungen zwischen den x^, x^^. . .x^ festsetzen, durch welche der Ausdruck (1)

integrabel wird.

4 Victor Sersawy.

2.

Wie man sicli duieli dirccte Keclinung leicht überzeugt, ist das System (3) uumittelbar mit jenem System
von Diffeientialgleicliinigeii identisch, weiches nach dem Pia ff sehen Verfahren für die hier gewählte Form
resnltiren würde. Dies lässt sich indess aus den Gleicliuugen (3) selbst erweisen, wie aus den folgenden
kurzen Andeutungen entnommen werden kann.

Da der Natur der Sache nach m-<q, und aus den Gleichungen (5), indem man Z = 1 , 2, 3,..., w; setzt,
m Systeme von je q Gleichungen zusammengestellt werden können, welche durch dieselben Ditferential-
quotienten

befriedigt werden sollen, so werden durch Elimination der letzteren in jedem der erwähnten Systeme m Glei-
cliungen entstehen, welche im Allgemeinen nicht identisch erfüllt sein werden. In diesem Falle, den wir
zunächst betrachten wollen, können die Gleichungen (5) gleichzeitig nur dann befriedigt werden, wenn m=:l
und q eine ungerade Zald bedeutet, welches letztere übrigens, wie bekannt, ohne Integration bewerkstelligt
werden kann. Dann ziehen sich nämlich die Gleichungen (5) auf das Eine, mit (3) identische System:

0.(1, n+ (1,2) ;^ + ...+(i,,);^

0=(2,lH(2,2)g-|+...+(2,,)g-'

0=(g, l)+(5,2)|?+...+(c?,g);^

(6)

zurück, dessen Determinante verschwindet, so dass die Berechnung der Verhältnisse

dx^ dx^ dxq

dx^ ' dx^ ' " ■ ■ ' dx^

thatsächlich möglich ist. Da in den Klammeraiisdrücken dieser Gleichungen auch z enthalten ist, niiiss mau,
um integriren zu können, die aus (1) fliessende Gleichung

zu Hilfe nehmen.

Benützt man nun die Integralgleichungen, um die Integrationsconstanten

/ 1 ! / 2 ' ■ ■ ■ ' / ';
als neue Variable an Stelle von z, x^, x^,. . .x^ einzuführen, so erhält man aus (1) die neue Gleichung:

0 = z, </x, + /'; df\ + ...+F, df, ,

in welcher

F.= z ^ + -i-. ^^_^

zu verstehen ist. Der Coefficient X^ wird

dx„ dx„ dz

-z — - + . . . +z, —

' r/j'i '' (/.r, dx^

also wegen (7) identisch Null, und x^ selbst ist nur mehr in einem, allen Coefficienten F gemeinsamen Factor
enthalten. In der That findet mau, die Ditferentiation nach allen, also aucli implicite eutlialteuen .c, und /]
durcli eckige Klammern anzeigend:

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen.

).=q

3a;, ~ e/; Lö/; J z^ jlöjj 8/; Ls/; J öx.j

und hieraus, indem man die angezeigten Operationen ausführt und auf die Relationen (G) und (7) Rücksicht
nimmt :

8.^;, 8<^ 82" 8.(', 8^ 8j-,

Dies ist ein Ausdruck, der wohl x, enthalten kann, aber von dem Stellenzeiger / unabhängig ist, daher
sind alle F von der Form :

womit die gedachte Eigenschaft bewiesen ist.

Wenn ein ;w>-l vorhanden ist, für welches die Gleichungen (5) gleichzeitig bestehen können, oder
anders ausgedrückt, wenn mehr als Eine der Gleichungen (3) linear durch die anderen nicht mehr linear
abhängigen dargestellt werden können, so sind die letzteren (siehe Frobenius: Über das Pfaff'sche Pro
blem, Crelle 82) stets unbeschränkt integrabel, und ziehen aus diesem Grunde Integrale von der Form:

X,n + l '=^^m + i(fm+1 ■ ■ -fqjfj^i,- ■ ■■, ^m) ,

^8 -- YQ ijm+l • • • I / 4 > / ) a;, , . . . , Xm) ,
3 = i'(fr„+i,. ..,f,l,f,X^,. . .,X„,)

nach sich, worin f,„+i,- ■ .,/"j,/ die Integrationsconstanten bedeuten. Führt man auch hier statt der Variabein
Xm+i,- ■ -x.^jZ die Integrationsconstanten als neue Veränderliche ein, so erhält man an Stelle der Gleichung
(1) die folgende:

0 = F„,+ 1 (lf^+ ,+ ...+ i-; c//3 + Filf,

indem die Coefficienten der Differentiale: dx^,. . .dx,„ identisch verschwinden. Man beweist in derselben
Weise wie oben, dass, wenn die Gleichungen (5) gleichzeitig bestehen,

81ogi';_ 8^,„4., ix,„+, 8^^ ^Xg dzj

8.r,- ~ 8,c ' 8r,- + • • ■ + 8- 8u',- iz

ist, also für alle p denselben Werth erhält. Die Coefficienten F enthalten also .r, , x^,. . ..r,„ nicht anders als
in einem allen gemeinsamen Factor, welcher übrigens nur für singulare Werthsysteme verschwinden kann.
Das Pfaff'sche Problem mit q + 1 Variabein wird also durch dieses Verfahren auf ein anderes mit 2 + 1 — in
Variabein reducirt.

Aus diesen Bemerkungen ergibt sich der Charakter der Gleichungen (3) mit hinreichender Deutlichkeit:

Statuiren nämlich die Gleichungen (3) zwischen den Variabein des Systems einen Zusammenhang, so
wird, wenn man dieselben integrirt, und die Integrationsconstanten als neue Variable einführt, das
Problem (1) in ein anderes mit weniger Variabein umgewandelt; und zwar ist die Anzahl der
Veränderlichen, um welche das Problem vermindert wird, stets gleich der Anzahl der linear abhän-
gigen Gleichungen in (3). Sind die Gleichungen (3) erfüllt, ohne eine Beziehung zwischen den
Grössen x^, x^,. .x,j zu involviren, so ist die (1) unbeschränkt integrabel.

Wir bezeichnen demzufolge die Gleichungen (3) in der Folge als Integrabilitätsbedinguugen im weiteren
Sinne, geben denselben jedoch in unseren Anwendungen die Form:

Victor Sersaivy.

ox^,

^•-.=fe)'^'-(fe)°~-=-- ■-(£)*'"

^2;,^ ^ /^Z,\ . /8^,

(8)
welche, wenn die Variationen öz;, durch deren explicite Werthe:

/d2;j\ . /OZk\

ersetzt werden, unmittelbar in jene (3) übergeht. Es ist klar, dass die Integrabilitiltsbedinguugen auch in
dieser Form im Wesentlichen den soeben detinirten Charakter beibehalten.

Um die Anwendung, welciie ich von den Integrabiliiätsbedingungen im Folgenden machen werde, an
einem bekannten Beispiele zu zeigen, soll die Aufgabe gestellt werden, das allgemeine Integrale der Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung:

0 = ^(x„x„...,x„z,-,^^,...,-J (.)

aufzufinden.

Die Aufgabe ist gelöst, wenn es gelungen ist, gewisse Functionen:

der Independenten:

so zu bestimmen, dass sie

Erstens: In der angegebenen Reihenfolge beztiglich für

iz 2z iz

^x^ ' 2x^ ' ■ ■ ■ ' 2xq

eingesetzt, die Gleichung (a) identisch befriedigen, oder, was dasselbe ist, dass

0=(j>(x^,x^,...,XJ,z,z^,z^,..z^) und ((3)

Zweitens: Den Ausdruck:

dz r= z^ dXi +z^ dzj^+ . . . +z^dzg. (1)

unbeschränkt integrabel machen.

Ersetzt man nun nach dem Vorgange von Lagrange die Gleichung (ß) durch die folgenden:

o = f?^U?^r^U..- + ?^r^^,...,o = r?^Ul^r?^U..- + ^^^^'

in welchen das Zeichen

/3m \ „ 3m 3i(

k) '"' 3:^.-^~~^-8^

gebraucht worden ist, und vergleicht dieselben mit den Integrabilitätsbedingungen (8), welche im gegen-
wärtigen Falle unmittelbar gütig sind, so ist ersichtlich, dass vor Allem die Gleichungen

dx^ dx^ __ dx,i (/,C| ffej dz,j dz

3.^, 3^, 3.-, [dxj \jdxj UV ~^2z^ "öz^ '^'"dz,

erfüllt sein müssen.

(7)

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 7

Die lutegTalgleicliuugen dieses Systems führen auch zwischen den Grössen .r, , .r^,. ■ -.c,, Beziehungen ein;
der Ausdruck (1) wird also durch Einführung der Integrationsconstanten als neue Variable in ein Pfaff'sches
Problem verwandelt, dessen Behandlung indess bereits in unseren Lehrbüchern gezeigt zu werden pflegt.

Das System (7) ist bestimmt; denn es enthält ebenso viele Gleichungen als Unbekannte, ein Umstand,
der, wie schon in der Einleitung bemerkt, bei Differentialgleichungen höherer Ordnung nicht wiederkehrt.

Zweiter Abschnitt.
Die allgemeine partielle Differeutialgleidiung zweiter Ordnung mit zwei Independenten.

4.

Ist die allgemeine Gleichung zweiter Ordnung mit zwei Independenten vorgelegt:

80 denken wir uns zunächst die Functionen von x und y :

z,p,q,r,s,t,
so bestimmt, dass sie in derselben Ordnung, beziehungsweise für

8^ Zz 3^2 8^2! 8^3

eingesetzt, die gegebene Gleichung befriedigen. Es ist dann identisch

0 = f{jx,y,z,2hq,r,s,t). (2)

Dififerentiiren wir diese Gleichung zuerst nach allen x, dann nach allen y, und setzen hiebei

8^ "^^ _ "^P ^2 "^P __ ^(J

8^ ~'^' 8^ ~^' 8:^ ~ '■' 8":^ ~ 8^ ~ '' Vy~^'
sowie

/SojN 80 8(fl 8tJ 8'j
(8-^) = 87+^^87+'- 8^ +'^8^
und

/8cp\ 8© 89 8n 8(0

\tiyj cly ^ dz dp 82 '

so erhalten wir die beiden Kelationen:

„ /^?> ^f ^'' ^f ^*' ^f ^f

~ l87J "*■ 87' 87 "^ 87 ' 87 "•" 87 87

^ /Zf\ Zf 8r d(j) 8s 8'^ 8/

V8(// dr "by 8s dy 8< dy

Multiiiliciren wir umgekclirt die erste derselben mit dx, die zweite xmi dy, addircn und integriren, so
folgt:

Const = <ij{x, y, z,/}, q, r, s, t)— j ^(dz—pdz-qdy)— j ^^ (^dp—rdx—ady)- j ^^ (dq—f<dx—tdy);

wir können also, von einer willkürlichen Constanten abgesehen, die (2) durch jene (8) ersetzen, wenn nur die
Beziehungen

dz -^zpdx+qdy^

dp =: rdx +sdy, (4)

dq =r s'/,/' + tdy

8 Victoi Scr .s' a w //.

sfattfinden, wobei es an sich gleicligiltig ist, wie viele und welche Relationen zu deren Befriedigung verwendet
werden. Wiiiden wir aber aus allen Functionen z, p, q, r, s, t, welche die (2) befriedigen, jene aus, für welche
zugleich die (4) unl)cscluänkt integrabel werden, so ergibt sich aus denselben:

3^! _ iz __ ci^z _ 2^z _ 3^0
3j ~^' 37 ~^' 3:? ~ ''' 3^ ~ "■' 87

und das ~ dieser Gleichungen ist die gesuchte Lösung.

Entwickeln wir zunächst die Integrabiiitätsbedingungeu für die erste der Gleichungen (4), so folgen nach
Anleitung der Formeln (8) des Artikels 3 die Relationen :

dp = rSx + soy, oq =^ so.c + toij\
also ist die Gleichung

(h^=^piJx + qdlJ

integrabel, — im weiteren Sinne — , wenn die beiden anderen Beziehungen in (4) bereits befriedigt sind. Es

kommt also nur darauf an, diese letzteren integrabel zu machen. Die Auseinandersetzungen des vorigen

Abschnittes geben für

dp=^rdx+sdy

die Integrabiiitätsbedingungeu :

> ^>' -^ 2* N ^ ^r . 3s ^ ...

^'■= 3:^°^+ 37°^' °^=37^-^+37^^' (^)

für die Gleichung:

dq-=.sdx-\-tdij
aber die Bedingungen:

die Grössen z,p,q,)-,s,t sind also so zu bestimmen, dass sie den Gleichungen (3), (5), (6) gleichzeitig Genüge
leisten.

Wir benutzen nun den vorläufig noch unbestimmten Factor Ä ", um mit dessen Hilfe aus den Gleichungen
(5) und (6) die beiden folgenden zu bilden :

3r 3.^" . 3^ . ^

3a; 3.C ^ ^ 3x ■"

(7)
0 '/* OS vir

und erkennen sofort, dass die (5) und (6) gleichzeitig mit den (3) nur dann bestehen können, wenn die Rela-
tionen :

ör + A"ds _ §s+l"df _ 8x _ Si/ + l"Sx _ l" dy

,3a)\ /^9\ ^f ^f ^? (^)

"" fei ~ I37J 87 37 3f

befriedigt sind. Die drei letzten Glieder dieser Reihe:

dx 'jy + A"Sx '^''öy

3m 3u 3y

37 37 37

erhalten durch die Bezeichnung:

fjy = A'Sx (P)

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen.
die Gestalt:

A' + A =

8'^

8^

8r

3r

a' und

Ä"

8» 8ta
8r 8s

?? = «

imd hieraus ergibt sich unmittelbar, dass

die Wurzeln der quadratischen Gleichung;

(10)

sind.

Um unnöthige Weitläufigkeiten zu vermeiden, wollen wir vorderhand die Annahme machen, dass beide
Wurzeln dieser Gleichung endlich und von Null verschieden sind, eine Annahme, welche voraussetzt, dass

weder -^ noch — '- den Werth Null besitzen. Identificirt man ^ mit der einen Wurzel X' der Gleichung (10),
or ot ox

so ist die andere für den früher unbestimmten Factor a" zu setzen, und in den zwei Gleichungen:

6r ^„os [fix] T Ss ,,/0^ \.^i//

— +?" — = K— ™d —+>..— . ,

ox ox otp ox ox a(p >

8r 8r

welche noch in (8) enthalten sind , haben nun alle Bestandtheile bestimmte Werthe angenommen. Die Glei-
chungen (7) können auch in der Form:

0=^or--ox--o,,\+-A ^o.,--o..--ayJ

0 = l^r - ^ 0-^- ^ o>] +1" [,t-^^ 5x- ^ o>]

geschrieben werden, sie ersetzen also entweder die (5) oder die (6). Es ist somit das eine Paar der Integra-
bilitätsbedingungen (5) und (6^ von selbst befriedigt, wenn auf irgend eine mit den Gleichungen (8) verträg-
liche Weise dem anderen Paare bereits Genüge geschehen ist.

Die Gleichungen (8) enthalten in endlicher Form alle Vaiiabeln des Problems, der Zahl nach acht, in
Form von Diiferentialeu nur fünf. .4ber auch, wenn wir die Gleichungen (4) zu Hilfe nehmen, besitzen wir
nur sechs Bestimmungsgleichuugen für die sieben Grössen y,z,p,q,r,s,t. Verwandeln wir das allgemeine
Zeichen der Variation o in das für die Differentiation gebräuchliche d, so entsteht also das System simul-
taner, gewöhnlicher Differentialgleichungen:

dy

dx

A

dz
dx~

P+y^q

dp
dx~

r+l's

dx~

:S + 'K't

dr
dx

dx

(Ä)

8y

87

ds
dx

+ A'

,dt _
dx

8y
87

OD

Denkschriften der mathem.-natiirw. CI. XLIX.Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedern.

10

Victor Sersawy.

uud dieses System bleibt uubestimmt, da nichts mehr vorhanden ist, wodurch es completirt werden könnte.
Die Integration desselben muss ausgeführt werden, während eine der sieben Unbekannten, — wir wählen
liiefür .s — als eine vorläufig noch unbestimmte Function angesehen wird, und das System ist dann als inte-
grirt zu erachten, wenn es gelungen ist, die Unbekannten

tj,z,p,q,r und t

als Functionen von x, s und der Integrationsconstanten darzustellen. Selbstverständlich ist, dass hiebei s nicht
allein als Functionsargument in gewöhnlichem Sinne, sondern auch als Integrand unter Quadraturen in die
Integralgleichungen eintritt. Das vollständige Integralsystem besteht also aus sechs Gleichungen und enthält
sechs willkürliche Constante.

Differentiirt man eine Function der Variabein x,y,z,2), q, r,s, t — Quadraturen, welche s enthalten, sind
hiebei als Functionen von x anzusehen, — nach j:, und setzt für die Differentialquotienten der Argumente
deren Werthe aus dem Systeme (11), so wird das Eesultat dieser Operation, welche wir durch D' bezeichnen,
identisch Null, wenn die gedachte Function ein Integrale des obigen Systems ist. Für jedes Integrale F
ist also:

\ox

U.C ) 8jP

3^
8r

8;-

V8F> {di/JdF

(

VSW

8^

ifl

1 (Is

rix

,8F

— A

8_F

"87

8^)

"87(

0,

(12)

wobei in Analogie mit einer bereits benützten Bezeichnung

W 8F "dF

0,;: -' 6z dp

w

"bF

8y Ss

IF
Zp>

dF
dq

8F_

iF

87

8i^

geschrieben wurde. Da die Integralion bei willkürlichem s vorzunehmen ist, müssen durch jedes Integrale des
Systems (11) insbesondere die beiden Gleichungen:

und

0 =

0=..--

^ 8.

8F

+ 8^

^F^ [dx ) dF
ix J if 8;-

+ 1'

[d,/ J 8F
8y dt

8r J

2t J

(l;

befriedigt werden.

Die Gleichung (12) wird unter Anderem auch durch die Supposition F=f identisch erfüllt. Die rechte
Seite der Gleichung (2) wird also durch das vollständige Integralsystem auf eine Constante redueirt; demnach
genügt es, die gegebene Gleichung (2) selbst unter die Integrale aufzunehmen, damit sich alle Eechnungen,
wie erforderlicli, in der That auf das vorgelegte Problem beziehen. Das Nämliche wird jedoch auch dadurch
erreicht, dass man zwischen den Integrationsconstanten eine entspiechende Beziehung statuirt, eine Voraus-
setzung, welche wir als die allgemeinere festhalten wollen. In beiden Fällen wird die Anzahl der willkür-
lichen Constanten auf fünf redueirt.

5.

Wir benützen nun das gewonnene Integralsystem, um in den Relationen (4) des vorigen Artikels die
Integrationsconstanten als neue Veränderliche einzuführen. Beziehen wir das Zeichen S auf alle unabhängigen
Integrationsconstanten fnfi, fz,t\, U, so verwandeln sich die Gleichungen (4) in die folgenden:

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 11

Aus ihnen ist das Differentiale von x entfallen, dass aber x — specielle Fälle ausgenommen ^ durch
diese Transformation von selbst ausfalle, oder durch Hebung eines gemeinsamen Factors entfernt werden könne
ist schon desshalb nicht nachweisbar, weil in den (14) auch die unbestimmte Functions enthalten ist. Im
Gegentheile, eben dieses s muss so bestimmt werden, dass x aus den (14) entfällt, da sonst eine Integration
derselben niclit möglich ist.

Differentiiren wir nun die erste dieser Gleichungen nach allen darin enthaltenen x, so finden wir:

Die erste Gleichung in (14) enthält also kein x, wenn die beiden anderen bereits befriedigt sind; in
Folge dessen genügt es, s so zu bestimmen, dass ./■ aus diesen beiden zum Ausfall kommt. Damit dies
geschehe, müssen die beiden Gleichungen:

durch geeignete Wahl von s befriedigt werden. Durch Ausführung der angezeigten Operationen und mit
Benützung der (llj fliesseu hieraus die Bedingungen:

(15)

Nach den Ausführungen des vorigen Artikels muss erwartet werden, dass mit der einen dieser Gleichungen
zugleich auch der anderen Genüge geleistet werden kann. Dies in der That der Fall. Denn muhipliciren

wir die erste derselben mit -^ , die zweite mit Ä"-^, und addiren die Resultate, so erhalten wir mit Rück-
sieht auf die Relationen:

'^'*'n% = '-&. ■'^r'l = %, -fi/* +rii) = fe

die Gleichung:

8r - 8s ' ^ 3r ~ dt ' dr [dx ^ dx ) ^ [J^J

Y~i rS^ 3r 8y 8s 8m 8^ /^^ \ ^!/'

" AL8r df ^ 8s df ^ 8< df '^ [dyj 8/ J '"

Andererseits ist nachgewiesen worden, dass in Folge des Integralsystems f kein.« enthält; demzufolge ist:

„ V' f^y ^'' ^f ^s ^f 2^ ^f '^P 3y 3g' 8jj 80 8o 8(/ 1

Ziehen wir nun von dieser Gleichung die unmittelbar vorhergehende ab, und setzen hiebei für (^] seinen
oben angegebenen Werth, so resultirt

b *

12 Vict07' Sersawy.

womit die aufgestellte Behauptung bewiesen ist. Damit ist die Übereinstimmung mit den Entwicklungen des
vorigen Artikels hergestellt, wozu noch bemerkt werden mag, dass die Integrabilitätsbedingungen (5) und (6)
durch die Transformation des gegenwärtigen Artikels paarweise in die Gleichungen (15) übergehen.

Denken wir uns nun auf irgend eine Weise eine Lösung der (15) gefunden, und in den (14) eingeführt.
Dann fällt x aus denselben heraus, und sie bleiben unverändert, wenn mau nach der Substitution des rich-
tigen s dem X einen beliebigen Werth ertheilt. Nach einem bekannten Schlüsse können dann die Eesultate der
Substitution unmittelbar angegeben werden, wenn man das System der sogenannten Hauptintegrale zu Grunde
legt. Bezeichnen wir also einen beliebigen concreten Werth von x mit x", die durch Einsetzung desselben in
die Integralgleichungen sich ergebenden Werthe der Dependenten mit

,,,0 ^0 ,0 „0 ,0 40

— wobei jedoch x" kein singulärer Werth sein darf — und führen diese Grössen an Stelle der f als Integra-
tionsconstante ein, so verwandeln sich nach gehöriger Bestimmung von s die (14) in die folgenden:

rf^o = q'hhf,

dp^-s'chf, (16)

d<f =. f df,

deren Integrale ohne Schwierigkeiten angegeben werden können. Setzen wir nämlich

^0 = <!>(/),

wo <!>(!/„) eine willkürliche Function von y" bedeutet, so folgt aus denselben:

r/' = a.'(:y«i, ^» = <I."(y;),

indem für die Ableitungen einer Function die Lagrange'sche Bezeichnungsweise verwendet wurde. Der
zweiten Gleichung in (16) wegen ist auch s" eine Function von //", denn setzt man

/• = w(yj,

so folgt

r" endlich kann dann vermittelst der gegebenen Gleichung berechnet werden. Also erhalten wir nach Ermitt-
lung des s ein Gleichungssystem von folgender Gestalt:

z" - (D(/), 5» = <!>'(/), t" = a)"l/),;V'= W(^"), «»= y*'(/), 'f\x'>,if,z\p\)-\ .s", /»i = 0, (17)

und damit sind die Beziehungen hergestetlt, welche die Pf äff 'sehen Gleichungen (14) den Integrations-
constanten auferlegen.

Dieses Resultat lehrt:

Erstens, dass die Coustanten des Integralsystems als Functionen Einer von ihnen anzusehen

sind und
Zweitens, dass das allgemeine Integral einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit

zwei Independenten nie mehr als zwei willkürliche Functionen enthalten kann.

Beide Bemerkungen sind offenbar nicht an den Gebrauch der Hauptintegrale gebunden. Die Einführung
der letzteren bringt die zwischen den Constanten einzuführenden Eelationen in die einfache, in (17) angege-
bene Gestalt, bei jedem anderen Systeme müssen dieselben direct aus den Gleichungen (14) ermittelt werden.

Ist s bekannt, und sind die eben erwähnten Eelationen zwischen den Constauten gefunden, und in das
Integralsystem (11) eingeführt, so soll das so entstehende Integralsystem als das definitive Integral-
system bezeichnet werden. Es ist nun so beschaffen, dass die gesuchte Lösung ohne weilers angegeben
werden kann. Da es nämlich in sieben Gleichungen die neun Grössen ./■, y, z,p, q, r, s, t und //" oder die an

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 13

desseu Stelle gewählte indepencleute Integrationseoustaute eutbält, so resultirt durch Elimination der letzteren
und der Grössen p, q, r, s, t eine Gleichung, welche nur mehr z, x und y enthält, und otfeubar die gesuchte
Lösung ist.

6.

Den eben abgeschlossenen Entwicklungen gemäss werden wir im Folgenden eine der Integrations-
constanten dadurch auszeichnen, dass wir sie als Independente ansehen, während alle anderen als Functionen
dieser Einen zu betrachten sind. Diese unabhängige Constante bezeichnen wir durch f ohne Index, so dass
das noch zu bestimmende .s, welches in letzter Linie von x und ij abhängt, als Function von x und f anzu-
sehen ist.

Ertheilen wir dieser unabhängigen Constanten einen unendlich kleinen Zuwachs of, so werden alle Inte-
grationsconstauten und daher auch die Variabein des Systems selbst und zwar ebenfalls unendlich kleine
Zuwächse erleiden, welche wir durch das Zeichen o kenntlich macheu wollen. Dadurch verwandeln sich die
Gleichungen (14) und (15) iu die folgenden:

Z — üs—q^y = Q)

P ^ dp — .so^ ^ 0

Q = 5q-toij =0

B = dr -4-Ä'os z — 01/ =^ 0

dx ■'

T=ös+X8t—^Sy = 0

Die Variation einer beliebigen Function F der Argumente x,y,z,p,q,r,s,t ist dann gegeben durch die
Gleichung:

oy dz op °<1 ör ös %t

Definiren wir nun im Gegensatze zur Operation D' die Operation D" durch die Gleichung:

~[dx) 85^ dr hi/J Ö^ dtl /' f/.r /' h- '' 8s ^^p

8r ( it '

so finden wir sofort:

^ (V8(/ J dx dr ^ X dx df \ '

und es wird:

U"F-D'F ^ ^8F , „8F , . 8-F , /. ds ^ ^ 8F ,^, 1 dt , ^ 9F 8F

/. — / *' tiz öp " tiq

Es ist aber:

dx • /' dx •' A _ '^

daher ist auch :

, D"F—D'F . 8F 3F _8F ,8F 1 „,8F . (.,8F 8F 1 8F|

oder endlich :

„8F^p8F „8F ^,8F 1 8F ,^, U'F^D'F ^ .V.'^F 8F 1 8Fi

14 Victor Sersawy.

Diese Gleichung ist eine identisclie, das heisst, sie gilt für jedes F, und wir erkennen aus derselben,
dass die Ausdrücke :

Z,F,Q,B,T,

wie es in unserer Absicht liegt, den Werth Null erhalten, wenn es gelungen ist, die Relation

durch fünf, bezüglich der Grössen z,j},q, r, t von einander unabhängige F zu befriedigen. In der That folgen
dann aus (18) fünf lineare homogene Gleichungen, in welchen Z, P, Q,R und T als Unbekannte angesehen
werden können. Die Werthe derselben müssen also wegen der nicht verschwindenden Determinante mit Null
zusammenfallen.

Die Definition von D" unterscheidet sich von jener der Operation D' nur darin, dass in D"F überall l"
steht, wo in D'F X' zu finden war, und umgekehrt a' an die Stelle von Ä" getreten ist. Ist also D" F=i 0, so
ist F ein Integrale jenes Ditferentialsystems, welches aus dem bisher Betrachteten durch eben dieselben
Vertauschungen entsteht. Dieses Differentialsystem, welches auch dadurch gewonnen wird, dass man von

vornherein ~ nicht mit Ä', sondern mit X" identificirt, bezeichnen wir im Gegensatze zu dem ersten als das

(IX

zweite Differentialsystem und wird dasselbe integrirt, indem .s abermals willkürlich bleibt, so muss jedes
Integrale dieses Systems die Gleichung

,2F Si*' 1 "öF

identisch befriedigen. Nimmt man also in (19) für /'" ein Integrale des zweiten Systems, so verschwindet der
Coefficient von o.s, sowie D" F identisch, und es entsteht die Gleichung :

D'F

Wäre nun F zugleich ein Integrale des ersten Systems, so würde auch D' F verschwinden, und nur mehr

zu machen sein. Wie leicht einzusehen, gibt es, so lange .s unbestimmt bleibt, ausser dem © keine Function,
welche beiden Systemen zugleich als Integrale angehören könnte. Eine Function dieser Art müsste nämlich
sowohl die Gleichung (20) als auch jene (13) befriedigen, was offenbar nur durch y selbst geleistet wird.
Stellt man also das Verlangen, dass eine Function F Integrale in beiden Systemen sein solle, so kann dies nur
durch eine entsprechende Wahl für s hervorgerufen werden. Da nun die Gleichung (19) durch fünf von ein-
ander unabhängige F erfüllt werden muss, jedes der vorhandenen Systeme aber nur fünf von einander unab-
hängige Integrale besitzt, aus denen mit Hilfe der gegebenen Gleichung alle anderen Integrale zusammen-
gesetzt werden können, so ist der gesuchte Werth von s derjenige, welcher sämmtliche Integrale des einen
Systems in Integrale des anderen verwandelt. Bezeichnen wir nun die Integrale des zweiten Systems — es
ist hier wie überall die allgemeinere Form vorausgesetzt — durch

so ist durch die Gleichungen

9i—h{9) — F^,
zwischen welchen in Hinsicht auf die gegebene Gleichung eine Relation von der Form :

^i9,h,'P.---^,) = &iJ''uF„...F,) = 0

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 15

bestehen muss, die allgemeinste Form eines voUstäudigeu lutegralsystems gegeben, und der gesuchte Werth
von s ist derjenige, welcher diese fünf Integrale des zweiten Systems in Integrale des ersten Systems verwan-
delt, das heisst, die Grössen t\,l\,...Fr^ in Functionen von f\.f^,- ■ -fr, überfuhrt. Setzt man endlich diese
Functionen gleich Null, was zur Folge hat, dass /',,.. .f\ als Functionen von /' dargestellt werden können,
wie bereits oben von der Theorie gefordert wurde, so wird auch ^F= 0 und damit die Gleichung (19) voll-
ständig befriedigt. Die Bestimmungsgleichungen für s erhalten also die Gestalt:

.'/.—^, (.'/) = 0, ./,— ^,(^) = 0,...,y,— ^,((/) = 0, (21)

und setzt man in diesen Gleichungen für die Variabein des Problems deren Werthe aus dem ersten Integral-
systeme, so erhält mau aus denselben nicht nur den gesuchten Werth von .s, sondern auch die zwischen den
Constanten einzuführenden Relationen.

In der That, bezeichnen wir irgend einen der Ausdrücke in den linken Seiten von (21) wieder mit F, so
ist identisch die Gleichung:

' "37 ^ "äs" "*" V "8?

erfüllt. Ein Integrale, welches weder r noch t enthält, kann also auch kein »■ enthalten. Demnach gibt es nur
zwei von einander unabhängige Integrale, welche die Grössen zweiter Ordnung c, s und t enthalten, aus allen
anderen Integralen des vollständigen Systems können dieselben gleichzeitig zum Ausfall gebracht werden.
Unter den linken Seiten in (18) befinden sich also ebenfalls nur zwei, welche bezüglich B und T von einander
unabhängig sind, während ans allen anderen diese Grössen gleichzeitig eliminirt werden können. Diese letzteren
Gleichungen erzeugen also, gleich Null gesetzt, keine Bestimmungsgleichungeu für .s. Übrigens verschwindet
die rechte Seite in (18) auch für F=^ f, man kann sonach aus den noch in Rede stehenden Gleichungen T
entfernen, so dass für s nur eine Bestimmungsgleichung übrig bleibt. Es genügt daher auch, eine der Glei-
chungen (21), wenn nur in derselben s enthalten ist; denn bestimmt man daraus dieses letztere, und führt den
gefundenen Werth desselben in die (14) ein, so verwandeln sich dieselben in Pf äff 'sehe Probleme, aus denen
die noch fehlenden Relationen gewonnen werden können. Ich befolge in den weiter imten mitgetheilten Bei-
spielen in der Regel diesen Weg, da er zugleich als Controle der Rechnung dient.

7.

Indem ich mich nun zur Darstellung der praktischen Rechnung wende, will ich zunächst einige einfache
Fälle anführen, um hieran die Erörterungen über den allgemeinen Fall anzuschliessen. Selbstverständlich
liegt die eigenthümliche Schwierigkeit des Problems immer in der Bestimmung von s; ich hebe also zunäclist
einige Fälle hervor, in welchen diese Bestimmung verhältnissmässig leicht vollzogen werden kann.

Dies ist insbesondere der Fall, wenn in beiden Integralsystemen je zwei Integrale existiren, welche keine
Quadraturen über .s enthalten. Bezeichnen wir dieselben respective durch F,f, G,(j, so ist auch in den Glei-

chungen ;

F—x(f) = 0 und G—^ig) = 0

keine Quadratur enthalten, und man kann die Grössen r, s und f sofort durch die Variabein des Problems aus-
drücken. Substituirt man den erhaltenen Werth in eines der Differentialsysteme, so entsteht eine Ditfereutial-
gleichung, mit derenHilfe dasselbe System vervollständigt werden kann. Enthalten voranstehende Gleichungen
nur r, s, t, x und ij, so sind durch dieselben und die gegebene Gleichung sofort die wahren Werthe von /•, s, t
bestimmt.

So verhält es sich beispielsweise bei der sehr bekannten Gleichung :

r-a^t = 0

Die Gleichung (10) ist hier:

X^— a^ = 0,

16 Victor Sersawy.

also lauten die beiden Differeutialsysteme wie folgt:

dy _ ,, ^y _

dx " ' dx

dz dz

d^=^'-^"^' d^'^P-"^

dp dp

-7— = y + rts , -;— 1= r— as

dx dx

da , dn

dx dx

f''" ds dr (lg

1 — «— - = 0 , 1-+«— — 0

ds dt ds f]f

dx dx ~ ' dx clx ~

Die Integralgleichungen des ersten Systems sind:

y — f^+ax, z^zf^^+xif^ + aQ+f^x'^+iaJdxJsdx,

P ^fs+U-r + 2aJsdx, q = /,+ ^ +2Jsdx, r =f, + as, f. - ^-

et d

von den Integralen des zweiten Sj^stems genügt es, das eine

r + fls = (/2

zu kennen. Denn setzt man
so folgt aus den Gleiebungen

sofort der richtige Werth von s:
Ausserdem findet man

r + asz^2a^->¥"{y + ax)
r — as ■= 2a'^<\>"(y—ax)

s = — rt <I>" (y — ax) + a^" (y + a.r).

r = a^ (p" {y—ax) + a^'^" {y + ax)
t = *"(// — rt.rH- W'iy + ax).

s

~Z 1

Es ist durchaus nicht schwierig, aus diesen Gleichungen den Werth von z ohne weitere Rechnung anzu-
geben, doch dürfte eben die Einfachheit des Problems empfehlen, den Gang der Rechnung vollständig durch
zugehen. Zunächst wollen wir also mit dem gefundenen Werthe von s in die (14) eingehen, um nachzuweisen,
dass X wirklich ausgefallen ist. Die erste dieser Gleichungen lautet in unserem Falle:

!ip-soy = ;if^+x^f,+2a\~dx.^f-sof, =0;

es ist nun

^rj/; = —a<b'"(Q5f^+aW"(f^ +2ax]5f\,
also

f^o7;r7.,= -ax^V"{f,)^f^+ |-tp"(/-,+2a.r)^/-,.

unsere Gleichung geht also über in die folgende:

Die Iittegradoii der jiarticllcii Dijfeirnfialglelc/mngen. 17

Die letzte Gleichuug in (14) gibt in gleicher Weise:

und endlich die erste:

^rs-f,°fi=^-

Die Integrale dieser Relationen sind gegeben durch die Gleichungen:

womit nun alle nothwendigen Beziehungen gewonnen sind.
Mit dem gefundenen Werthe von s folgt ferner:

fsclx = —ax <D" (/•,) + ~ ^f'if, +2ax),

und das definitive Integralsysteni wird:

p=-a^'(f^) + a^'{f^ + 2ax)

r — a'-<^"{f^ + a}-^"{f^ +2«a:)
s— -ffl*&"(/-,)+«qf"(/',+2aa;)
t- O" (/■,)+¥" (/•,+2aa;)

und indem man noch in dem Ausdrucke für ;; an Stelle von /", , dessen Werth aus der ersten Gleichung setzt,
erhält man die wohlbekannte Lösung:

z = <!>(«/— aa;)+'P(2/+«a;).

Auch dann, wenn nur eines der beiden Integralsysteme Quadraturen enthält, tritt eine Vereinfachung ein.
Sei etwa:

F-ySf) = 0 («)

ein Integrale des ersten Systems, welches von Quadraturen frei ist, während in allen Integralen des zweiten
Systems Quadraturen auftreten, so wird das Resultat, welches durch Substitution der Integralwerthe aus dem
zweiten Systeme in (a) entsteht, ebenfalls Quadraturen enthalten. Da aber die letzteren bei constantem g aus-
zuführen sind, sind sie durch die Operation B" aufhebbar, und man kann durch fortgesetzte Anwendung
dieser Operation immer so viel Gleichungen erzeugen, als zur Elimination der Integrale nothwendig sind.
Das Eliminatioiisresultat ist eine Differentialgleichung für s, in welcher das letztere mit dem Zeichen D"
behaftet ist; die Integrationsconstanten sind also als Functionen von cj anzusehen.
Als Beispiel hiefdr mag die Gleichuug:

x'^r — ißt = 0

dienen. Sie liefert für X die Werthe :

X' = --^, X" = ^

X X

Deakschrit'teu der matUom.-uuturvv . CI. XLIX. ßd. Abhaudluugeu vou Nichtmitgliedern, (j

1 S Virtnr Sersair y.

und damit die beiden Diffeientialsystenie:

'IJL— _ 1. 'ht — lL

dx X ' ilx X '

dz y , dz y

dx X dx X

dp y dp if

dx X dx X

dx X dx X

dr y ds 2r dr y ds 2r

dx X dx X ' dx X dx x '

ds y dt 2yt ds y dt ^ 2yt

dx X dx x'^ ' dx x dx x* '

Da sich im ersten Systeme sofort zwei Integrale ohne Quadraturen ergeljen :

xy = f , xh'+xys ■= F,

so begnügen wir uns biemit, und integiircu das zweite System. Ein vollständiges Integralsystcm ist:

y=(jx

2ri

)• ^ (j'H ^ — |- -\-ys — -^ I xsdx

'h 2^ f ,

X X .'

= i/s+'^'f^a+i/i/J-^alog j; + 4(/J^J xsdx.

Wir wollen hier für den Augenblick davon absehen, dass aus diesen Gleichungen leicht zwei Integrale
ohne Quadraturen gebildet werden können, nämlich;

xr—ys+p—y^+yy^
und

vielmehr bilden wir aus den beiden oben angeführten Integralen des ersten Systems die Gleichung:

x^r+xys — xi-t-y),

und sub.stituireu darin die Variabein durch ihre Integralwerthe aus dem zweiten Systeme.
Dadurch folgt als Bestimuiungsgleichung für s:

y.i + 2gx'^s—2y^xsdx—-ii'J-^'') — *-^

, und indem man die Operation D" anwendet:

xD"s+s—-/; — 0.
Hieraus ergibt sich:

Die Inteijration der patihileii DifferenHahjIrirhioKjen. 10

wobei, um Vervvecli!<lungen zu vermeiden, der Sinu des lutegralzeiclicns dnrcli die dem IHffereiitiatiouszeiclicu

angefügten Acceute gekennzeichnet ist. Setzen wir:

yx'^ — u,

so wird, da (j als constant anzusehen ist,

du

also

_ <!)((/) 1 Cy'(it)ilu

oder, was dasselbe ist:

^ X \xl

X - . ^-

Verwenden wir hingegen die Gleichung:

x^r — xys+xp := x^ ( — j,

welche mit Hilfe des ersten der angeführten Integrale ohne Quadraturen gewonnen wird, um in Verbindung

mit der Gleichung:

x^r+xi/s=: xi^'j)
s zu berechnen, so erhalten wir:

2xi/s—xp =: xixij)—^ (J) ;

eine Gleichung, welche nach dem ersten Falle zu behandeln ist. Differentiiren wir selbe nach dem Zeichen D',
so folgt:

wofür man wegen der Willkürliehkeit des ^ auch schreiben kann:

Da nun xij = f bei der Differentiation D' constant bleibt, wird weiter:

ein Ausdruck, welcher durch die Substitution:

fz=x^u
in die Form:

gebr.'icht wird, die mit der oben gefundenen im wesentlichen identisch ist.

Geht man aber von dem dritten der oben angegebenen Integrale des zweiten Systems aus, und bildet die
Gleichung:

so besitzt man sofort ein intermediäres Integrale erster Ordnung und man erhält in allen drei Fällen für z den
Werth :

zz=x<i>(^] +W(,ry).

20 Victor Sersawy.

Wie ersicbtlicli, ist die Eechuniig davon unabhängig, ob Integrale ohne Quadraturen gefunden werden
können oder nicht, eine Bemerkung, welche nicht ohne Wertli ist, wenn man bedenkt, dass die Auffindung
von Integralen ohne Quadraturen, — wenn solche überhaupt existireu — in der Regel mit grossen Schwierig-
keiten verbunden ist.

Im Allgemeinen hat weder das eine noch das andere Integralsystem von Quadraturen freie Integrale.
Die Bestimmungsgleichung für s enthält dann Quadraturen von zweierlei Sinn, das ist sowohl solche, welche
aus dem ersten System, als auch solche, welche aus dem zweiten System herstammen. Man kann nun, wie
sogleich gezeigt werden wird, durch hinreichend fortgesetzte Anwendung eines der Operatiouszeichen D' oder
D" immer die eine Art von Integralzeichen entfernen, und erhält als Resultat eine Gleichung, welche noch
Quadraturen der zweiten Art in sich fasst. Denken wir uns, um die Vorstellung zu fixiren, unsere Absicht
dahin gerichtet, die Integrale des zweiten Systems zu eliminiren, so entstehen unter den verschiedenen, im
Eliminationsresultate noch verbleibenden Integralzeichen des ersten Systems Ausdrücke von der Form:

B{x,s,D"s,D"-'s,..:)

und die Bestimmungsgleichung für .s erhält die Gestalt:

Oz=^(R^,J B^ d'x, Ji?3 d'x, . . . ) , (ß)

worin abermals der Charakter der Integrationen durch einen dem Diflferentiationszeichen d angefügten Accent
auch äusserlich kenntlich gemacht worden ist.

Ein jeder Versuch, durch Anwendung der Operation D' auch die noch verbliebenen Integrale erster Art
zu entfernen, führt zu Gleichungen, welche Differentialquotienten von der Form :

D'(')Z)"(*)s

enthalten, also neuerdings zu partiellen Differentialgleichungen , deren Ordnung überdies die der gegebenen
Gleichung in der Regel übersteigt. Es gibt also nur eine Möglichkeit, die Integrale der ersten Art zu entfernen
und diese tritt dann ein, wenn es gelingt, aus den Gleichungen, welche durch successive Anwendung der
Operation D'' gewonnen werden, eine andere zu bilden, in welcher jene 11, welche sich unter Integralzeichen
befinden, als Functionen des von Integralzeichen freien R dargestellt werden können, ohne dass s selbst oder
eine der Operationen D' oder D" hiebet zur Verwendung kommen. In der That, ist

ü'j = (Ji^^x,R^)
R, =: (jii{x, 2?,),

so kann man durch successive Anwendung der Operation D' die Integralzeichen erster Art aus (ß) entfernen
so dass schliesslich R^ durch eine Beziehung zwischen

x,R^,D'R^,D'^R^,...

gegeben ist. Die Integration dieser Gleichung, bei welcher die Integrationsconstanten als Functionen von f
anzusehen sind, gibt 7i', , und indem man für dasselbe dessen oben detinirten Werth setzt, erhält man eine
Relation zwischen

x,s,D"s,D"^s,...

deren Integration endlich zu dem gesuchten Werthe von s führt. Bei der letzteren Integration sind selbstver-
ständlich die Integrationsconstanten als Functionen von g zu betrachten.

Es erübrigt also noch zu zeigen, dass die bei der Anwendung der Operation D" unter den Integralzeichen
erster Art auftretenden Ausdrücke in der That auf die angegebene Form gebracht werden können.

Die Integration der paiiiellen Diferentialgleichungen. 21

Ist J irgend eine Function von ij und x, so ist:

ox Ol)

a.r ■dij

also

ferner ist, wie man leicht berechnet:

3y 8// 8// 8//

Ist also J ein Integrale des ersten Systems, etwa

J=SSd'x oder D'J=S,
so folgt aus (7):

D"J=S—a'—W')^

WJ ^,8.7 8X' 8.7

und aus (5):

8y ■-' dy

somit gilt als Regel für die Anwendung der Operation //' auf Integrale der ersten Art:
Im zweiten Theile dieses Ausdruckes treten Intee-rale von der Form

D"J=S~(y-l")e -^^''^p^e^'^"'' d'x.

M:^ .;'.._ f^f ^' .V

j 8« J 8.-

f/'a;

8(/ J 8« 8</

8 ^
auf. Ersetzt man — ^ durch den damit identischen Werth

8s _ D's~D"s
J^ - Ä'-X" '

so verwandelt sich das obige Integrale in folgendes :

J 3,, (l'-\") "-^ J 8« (Ä'— X") •^■

Der Subtrahend dieses Ausdruckes hat bereits die angestrebte Form. Der Minuend lässt sich immer von
der Grösse D' s befreien. In der That, sucht man eine Function H von der Beschaffenheit, dass

877 _ 1 8/-

so folgt

ö"

8s - (X'— X") 8,s '

8.r A— X' &.■,>
und es wird:

ja'—a 8.S- J 8x

22 Victor Sersawy.

Da nun II kein D' s enthalten kann, so ist durch diese Operation 7>'.s thatsäclilich entfernt und gezeigt,
dass D"J in die angegebene Form überführt werden kann. Be/Aiglich der von Integralzeichen freien Theile
besteht von vornherein kein Zweifel, unsere Behauptung ist daher zunächst für die erste Differentiation
bewiesen.

Dass auch bei weiterer Differentiation unter allen Zeichen J die Form R hergestellt werden kann, lässt
sich beweisen, indem man zeigt, dass dies beim Übergange von der wten zur (« + ])ten Ordnung der Fall ist.
Was die von Integralzeichen freien Theile anbelangt , so leuchtet ohneweiters ein, dass sie stets die bespro-
chene Form erhalten. Es gcnligt sonach, ein Integrale von der Form :

J = Ji? (x, s, D"s,..., D" ("' s) d'x
zu betrachten. In Folge der Differentiationsregel ist nun:

1=11
Das Integrale:

^h''

,r
//

enthält keine höheren Differentialquotienten , und ist überdies früher bereits berücksichtigt worden , es ist
also blos nöthig, Integrale von der Form

ZU behandeln. Hierin sind die Coefficienten A; Functionen von u\s,D'f:,. . . ,D" '■"'>. s.

Es ist nun:

8Z>"M.s Z>'i)"(.)s_/>"('+i).s

unser Integrale wird also :

1=0 i = 0

und der Subtrahend hat bereits die angestrebte Form. Um auch den Minuend zu transformireu , bestimmen
wir zunächst eine Function II ^ von x,s,iy's,. . .D"^"'>s so, dass

3g, _ Ä„
dann wird:

, also

1 = 0

Da nun durch die Einsetzung dieses Werthes in den obigen Minuend ein neues Integral derselben Art
entsteht, in welchem jedoch die Ordnung «, bis zu welcher die Ableitungen U'^'H aufsteigen, gegen früher
um Eins erniedrigt ist, so ist damit unsere Behauptung bewiesen ; denn man kann durch fortgesetzte Anwen-
dung dieses Verfahrens die Ordnungszahl bis auf Null erniedrigen, das heisst alle B' entfernen. Damit ist nun
allgemein nachgewiesen, dass durch fortgesetzte Anwendung der Operation T)" die oben erwähnte Form that-
sächlich zum Vorschein kommt.

Die Integration der imrtiellen Diferentialf/leichiimjcn. 2^

Dass dureli' geeignete Verbindung der so erhaltenen Gleic'.inngen jederzeit eine andere gebildet werden
könne, aus welcher zunächst R^ und mittelbar *■ sich berechnen lassen, kann a priori nicht nachgewiesen
werden. Im Gegentheile, es gibt unendlich viele Gleichungen, in welchen diese Forderung einen sachlichen
Widerspruch bedingt. Es ist dies in der Regel ein Beweis, dass das unbekannte .s Transcendenten enthält,
welche durch Ditferentialgleichüngen mit ganzzahligem Ordnungsindex nicht definirt werden können. Dann
muss man also die vorhandenen Gleichungen entweder durch Transceudente, welche hiezu geeignet sind, zu
integriren suchen, oder zur Reihenentwicklung schreiten.

Für den practischen Gebrauch empfiehlt sich in mehreren Fällen eine zweite Diiferentiationsregel für
Integrale von der Form:

nämlich :

D"J = J D"S . d'x + j ^{D'iy'y—D"D'ij) d'x .

8/
Sie stammt aus der leicht zu beweisenden Formel :

D'D" J—D"D' J=^ {D'D"y—D"D'y) ,

und zeigt insbesondere, dass, wenn

D'D"ij—D"D'y = 0,

die Differentiation nach dem Zeichen D" einfach unter dem Integralzeichen ausgeführt werden kann. Dieser

Fall tritt insbesondere dann ein, wenn X' und X" absolute Constante sind.

Es sei die Gleichung gegeben :

2v»
r-t=-!-,

X

worin v zunächst als ganzzahlig und positiv vorausgesetzt wird. Wir erhalten hier für X die Gleichung:

X^— 1 =0,
und setzen demzufolge:

X' = l, X"=-l.

Es genügt, wenigstens soweit es sich um die Bestimmung von s handelt, in beiden Systemen nur die
Gleichungen

D'y^\, D"y=-1,

X X

zu integriren. Danach wird im ersten Systeme:

y^x — /■ oder fz^x—y

und

im zweiten Systeme

Wir bilden also die Gleichung

' X

// = (/ — X oder y^^x + ij.
<-s + 2v I — y^{x—y^ — *d,

24 Victor Sersawy.

nud (litferentiiren dieselben n;icli dem zweiten System , da es augenscheinlich einerlei ist, ob man zuerst I aus
dem zweiten System einsetzt und dann nach B" differentiirt, oder ob man sogleich differentiirt und den Werth
von I)"t aus dem zweiten System nimmt. Es folgt also :

X J \ X x" / ^

Diflfercntiirt man diese Gleichung (v— l)mal mit dem Zeichen I)" so erhält man:

oder, wenn

1=0

gesetzt wird :

Man kann also das Integralzeichen der ersten Art entfernen ; in der That, durch Differentiation nach dem
Zeichen D' folgt sofort

X

und daraus

R=ix''<b{x—y).

Die Bestiramungsgleichung für s lautet demnach :

/ I x''~'' i\

1=1)

:= x'*i>{x — y).

Die Integration dieser Gleichung bereitet keine Schwierigkeiten, sie gibt *■ in der Form:

V

s = Xfc ic'liA.y (■■+*) (x—y) + \ii^''-^-'>(x + ij)\ ,

0

worin

^ ^ ^' [d(x — y)\'+'' r \ jj y(i{x-\-y)\'+"

zu verstehen ist. Die Berechnung der Coefficienten ,a, und v, aus der Gleichung für s selbst ist umständlich, es
epipfiehlt sich daher, da z von der Form

i=v

Z =:
sein muss, die Coefficienten A,c und B^ direct aus der gegebenen Gleichung zu berechnen. Man erhält:

= y x*[Ayf*'(a^—y)+^'t '!'"■'(•«'•+//)]

2" W 2>' U-

also da A^ und B^ unbeschadet der Allgemeinheit gleich 1 gesetzt werden können;

. C)

*— 0

(?)

Die Integration der partieUe}i DIfferenfialgleich/nirjen. 25

So ergibt sieb beispielsweise für v =: 3, das heisst für die Gleichuug:

r — t ^ ^^

X

das Integrale

15

Ist V eine negative ganze Zabl, bat also die gegebene Gleichung die Form :

X

so kann man das Integrale

t—s—2v [ ^ d'x—x(^—y) = ö,

welches im gegebenen Falle an die Stelle des im Vorhergebenden zu Grunde gelegten treten würde, nicht
zum Ausgangspunkte der Rechnung nehmen, da wie ersichtlich durch fortgesetztes Differentiiren eine Iden-
tität wie im früheren Falle nicht erzielt werden kann. Wir benutzen daher ein Integrale, welches sich aus der
Integration der Gleichungen:

x^ X

D'p ^ r+s
ergibt, nämlich das Integrale :

[(2v + l)r— 2v.9— <];r-'+' +Av .v-^\ . ^ x"-' sd' x—<b(x-y) — 0.

Differentiirt man nun nach dem Zeichen D" und setzt für die auftretenden Diflferentialquotienten

D"r, D"t
deren Werthe aus dem zweiten Systeme, so folgt:

—ix?'-^' i)"s + v.c2's) + (v + ]) J (a;='Z>"s + 2vj;'-'s)(/'x--2<I>' = 0,
und diese Gleichung verwandelt sich durch die Substitution

s = ux~^^''+^>
in die nachstehende :

_ rz>"«-(v+i)^] +(v+i) ('r^_Jii(/'x-2<D' = o,

welche im früheren Falle ein Analogon besitzt. Wir schliessen hieraus sofort, dass s die Form:

S =:

i=o
also z die Form :

Z' C,f"'^ (x-y) + D, f^) (x+ij)

_ v-i' Ai<f<-''){x—i/) + Bt^''(x+y)

x-'~

besitzt. Die directe Berechnung der Coefficienten aus der gegebenen Gleichung gibt dann :

A^ B^ k

li

Deuköchriiten der mathem.-nalurw Cl. XLlX. Bd. Abhandlungen von Nichtinilgliedern.

:>[') Victor Scrsawy.

und die Lösung ist :

/v-l

l k )

Man findet insbesondere für v = 2, also für die Gleichung

r—t = — ^

X

die Lösung

Ist V keine ganze Zahl, so kann die unbekannte Grösse s nicht durch eine Differentialgleichung mit gan'-
zahligem Ordnungsindex delinirt werden. Da aber die Bedeutung gebrochener oder irrationaler Ordnungs-
exponenten bei der Differentiation noch nicht so weit aufgeklärt ist, um sie im Calcul anwenden zu können,
muss man zur Keihenentwicklung schreiten.

Bei der Gleichung
für welche

also

ist

somit von Null verschieden. Es genügt auch hier, von der Gleichung

_ 2

X ^

D's- - D'tz=0
c

des ersten Systems auszugehen. Das Integrale derselben ist

1 2c C -1

Fz= t ex 3 S+ — X 3 S(/'j?,

wir bilden also die Gleichung

1 2c r -J. -L

t — CX3 s+ -^ X 3 sd'x—f{iix3 — cy) := 0

c^x

4

3

r-

~t = 0,

/'=— X 3

c

1 2
X"=—±x~^,

1

f=3xT—ciJ,

i
(/=:3xT +cy.

und differentiiren unter Berücksichtigung der oben gegebenen Differentiationsregel nach dem Zeichen /)". Es
-2c\xT ])",+ 1 X T .s] + -|l [ [.rT />"..+ 1 X b] ^ - 2/''(3rT -ry) = 0

folgt nach mehreren Reductionen

und, wenn wir

1 11

X 3 D"s+ -^x i s = R
o

setzen :

ox

Die Iiifi'(jra//oii der partiellen Diff'erentialgleickmnjen. 27

Die Bestimmungsgleichung für s wird demnach :

s *

xD"s+ ^ = <1> (3a; 3 — cy),

und hieraus fliesst für s die Relation :

1 1 I

X ^ s-=: f {3x * +cy) +i|'(3.c - —oj),

Das allgemeine Integrale der gegebenen Gleichung ist:

- - -r - - 1

z = 'i>{5x ^ +CI/) +iy(2,rä -cy)—3x ^[<P'{3x^ +(.y)+W(3,z-' —ci/)]
Die vorliegende Gleichung ist übrigens nur ein specieller Fall der aligemeinen Gleichung :

{2v + lfx^^^r—t = 0,

welche durch die Substitution:
in die neue Gleichung:

■2v+l

x=^-

8f ~ äp ~ T äl

übergeht und für ganzzahlige v im Vorigen bereits erledigt ist.

Die Erörterungen dieses und des vorigen Artikels beruhen auf der stillschweigend gemachten Voraus-
setzung, dass die beiden Wurzeln A' und 1" der Gleichung (10) und daher auch die beiden Differentialsysteme,
von denen die Rede war, von einander verschieden sind. Es genügen einige kurze Bemerkungen, um auch
den Fall gleicher Wurzeln zu erledigen.

Denken wir uns die beiden Wurzeln für den Augenblick noch verschieden, so muss, da die aus denselben
entspringenden Ditferentialsysterae beim stetigen Übergänge des Ä" in X' in eines zusammenfallen, es möglich
sein, jedem Integrale des einen Systems ein Integrale des andern Systems so zuzuordnen, dass beim stetigen
l'bergange von X" zu /' das letztere mit dem ersten zusammenfällt. Ist also, wie früher, F irgend ein belie-
biges Integrale des zweiten Systems von der Form

so verwandelt sich die Gleichung (19) in die folgende:

0 — f^^^ — ^^' ^ ''' ^^ (e)

~ ("87 j '^ d^ J7 '^ V 17 'ü

und ))eim Grenzübergange ziehen sich die hierin enthalteneu Ableitungen von F auf die gleichnamigen Ablei-
tungen eines dem ersten Systeme angehörigen Integrales

zurück. Man kann also die Bestimmungsgleichung (s) direct aus einem Integrale des ersten Systems ableiten;
sie enthält nur Bestandtheile des ersten Systems und setzt der Berechnung von a keine anderen Schwierig-
keiten entgegen, als die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen überhaupt.
Die Gleichung

,.i_s2 = 0
gibt für a' und Ä" den gemeinsamen Werth

t s '

tl*

28 Victor So-sawif.

so dass das Dififercutialsystem :

Dq z=z 0

sDr—rDs = 0

tBs—sDt = 0

entsteht. Dasselbe wird integrirt durch die Relationen;

r—f^s
s

'=r.

y—f^-xf^.
Zur Bestimmung von s benutzen wir die Gleichung :

und erhalten an Stelle der {£) die folgende:

'-^(t4*'(7)) = ».

somit

und hieraus die hekannte Lösung.

Die einfache Coustruction des Difterentialsvstems erlaubt jedoch, die Lösung zu finden, ohne dass der
Werth von s ausdrückhch berechnet wird. Es werden nämlich im gegenwärtigen Falle die Gleichungen (14)
durch die folgenden ersetzt :

f,df^ = s(§f,-x§Q,

^h—U '^4 = ■->■■ (/y, -/s "^Q )

aus welchen sich sofort die Beziehungen:

ergeben. Setzen wir also

/■.=?(/^), h^W^)^
woraus sich

ergibt, so erhalten wir die Gleichungen:

- = f'(q), p = f(q), y+l-x = ^(q)

ö o

Die Integration der partiellen DiJferentiuUjleidiuiujen. 29

uud hieraus abermals die Lösung:

0 = x^'{q) + ij-^'{q).

8.
Im Artikel 4 wurde vorausgesetzt, dass beide Wurzeln der Gleichung (10) endlich uud von Null ver-

schieden seien oder, was dasselbe ist, dass weder -^ noch -^ den Werth Null anuehme. Indem ich mich nun

or Ol

zur Behandlung dieser speciellen Fälle wende, will ich zunächst darauf aufmerksam machen, dass der Fall,
in welchem eine der beiden Wurzeln bestimmt und endlich, die andere aber unendlich ist, immer auf den
anderen zurückgeführt werden kann, in welchem die eine Wurzel ebenfalls bestimmt und endlich ist, die
andere aber den Werth Null annimmt. Man kann nämlich statt der Gleichungen (7) des Artikels 4 auch die
folgenden :

^". '^r + os = 1^ X". 5x+ ^ (X", 5y+Bx) +^.5y

X", OS + of! = -^ X"j ox + g^ (X", Q y + o.c) + g^ • %

benutzen , was dieselben Folgen nach sich zieht, als ob man statt X" den Factor -777- eingeführt hätte. Setzt
man nun

so resultiren die Beziehungen:

ox

= ^'.,

X',X", _^'
8y ■"
Sr

>X".

8y
3s

1

^8y '
3«

0-^-

8y
"^' 8s

so dass X', und X", der Gleichung:

Genüge leisten. Die Wurzeln dieser Gleichung sind aber die reciproken Werthe der Wurzeln der Gleichung
(10), womit unsere Behauptung bewiesen ist. Wie vorauszusehen war, besteht diese Zurückführung im
Wesentlichen darin, dass in dem zu construirenden Differentialsysteme // als die unabhängige Variable ange-
sehen wird.

Somit können wir uns auf den Fall

tt

beschränken. Die Gleichungen (3) des Artikels 4 lauten dann :

,89 ^ 8y 8?- 8'j3 8s
\ox / Cr ox OS ox

/8^ N 3y 3y 8a 3s
V8_y/ 3/' 'dy 8s ^y

und, da aus denselben ■^— und ^^ entfallen sind, genügt es, die Integrabilitätsbedingnngen (5) in Anspruch

d,r iy

zu nehmen. Man ersehliesst solcher Art das folgende System von Proportionen:

dr ds dx dy

^[h}\~ -[h^'~'^-L~h_■
\ix) [dyj 8r 3.S

30

Victor 8ers(

Bezeichnet mau deu Quotienten :

8m

dy 8s
dx if '

8r

welcher nichts Anderes ist, als die eine von Null verschiedene Wurzel der Gleichung:

or OS

abermals mit X', so resultirt das Differentialsystem:

dx

dz ..

^ = r+X's
ax

dx

dr _ (87 j
dx 8y

8r

ds _ (37)
rfj; 8y •

87

In demselben niuss f als die unbestimmte Grösse angesehen werden. Transformirt man vermittelst der
Integrale dieses »Systems die Gleichung:

oj} := /-ac+say,

so fällt aus derselben x heraus, die Gleichung

oq z= sox + t'li/

enthält aber auch nach dieser Transformation x und man muss t so bestimmen, dass ersteres zum Ausfall
kommt.

Es besteht nun die Identität :

in welcher D' und i»" eine durch den vorliegenden speciellen Fall moditicirte Bedeutung haben, deien Discus-
sion, wie oben vorgenommen, im Wesentlichen zu denselben Eesultaten fühlt.

Der vorliegende Fall unterscheidet sich also von dem allgemeinen blos durch die äussere Form des Diffe-
rcntialsystems und in den unmittelbaren Consequenzcn, welche diese zur Folge hat, während der allgemeine
Gang der Eechuung derselbe bleibt. Es mag jedoch bemerkt werden, dass auch die Coustructiou dieses Dift'e-
rentialsystems kein abweichendes Verfahren bedingt. Indem wir nämlich

8m

>■ = ?

dm
87

Die Integration der partiellen Differentiulgleichivigen. 31

gesetzt liabeu, ist für X" der Werth Null zu setzen, wodurcli das allgemeine Differentialsystem sofort in das
hier gefundene übergebt. Der blosse Anblick der Relationen (8) zeigt übrigens, dass denselben auch durch
die Annahme

dm

^ = 0 X" = —

dx ' 8y

8r

genügt werden kann, wodurch sich nun der vorliegende Fall vollständig dem allgemeinen unterordnet. Da
aber in einem der möglichen Differentialsysteme nur t für die unbestimmt verbleibende Variable genommen
werden kann, empfiehlt es sich, auch im zweiten Systeme nicht s, sondern t als Unbekannte zu betrachten.

Die Gleichung:

r — ccs^ z=z 0,
für welche

X' = 0, X" := — 2'XS

gibt Anlass zu den beiden Systemen:

D'y = 0, I)"y — — 2as ,

iyz=p, D"z = 2}—2<xs q ,

D'p = r, D"p = r - 2««^ = —as\

D'q — s, D"q=s-2<xst,

I)'r—2cLsD's = 0, D"r — 0 ,

D's— 2as l)'t—0, D"s =0,

Wir erhalten daher im zweiten System:

r = a.y'^, s—g, y = g^—2<xgx
im ersten:

Wir bilden also die Gleichung:

y = ?(5')— 2a</.r,

und erhalten durch Einsetzung des Werthes von y aus dem ersten System:
Bei der Integration im ersten System bleibt /' constant, und es wird

Es folgt somit zunächst

. = *,tf)+.*.(OH- L [..■(,) - ^J -. £ lo„+. J-ÖhiW.W't,) J,,

und hierauf:

f r 'l
z — *^Jf'\-\-x<bJf\+4^W(u') ^ 1-4« -•' - j

worin

f{g)=.gä{c,) und gä' {y) = 2^-^" {g)

zu verstehen ist.

Führt man diese Werthe in die Gleichungen (14) ein, so ergibt sich, dass ^\\ eine absolute Constante
sein muss. Die Lösung ist also :

. = Hy)^ix^ I [^^' (y) - ^] + £ iog,+./^-^^^:fcl^ ^"iy)äg

y = f (g)^2a gx , f{g)= g^Xg) , gB' (g) = 2« »P" (g).

,^^2 Vicior Sersairy.

Von den sonst noch möglichen Fällen verdient blos derjenige Erwähnung, in welchem sowohl -^ als
auch -^ den Wertli Null besitzen, und zwar wegen der eigentliUmlichen Form der hier auftretenden Differen-
tialsysterae. Da die vorgelegte Gleichung von den Ableitungen zweiter Ordnung nur « enthält, bringen wir sie
iu die Form

und finden dann durch Verfolgung des allgemeinen Gedankenganges die Proportionen:

,},.+X"os _ iSs+A"'ji _ ö^ _ Sy+y^-v _ l"oy

Diese können befriedigt werden durcTi die Annahme X" = oo, welche gibt:

& ^t ^x dy

oder durch die Annahme: Ä" = 0, aus welcher folgt:

5r & Bx oy

\Jdx) [hjJ
Mit den nöthigen Ergänzungen treten hier also die folgenden zwei Differentialsysteme auf:

(ix _dy _ dz _dp _ dq^_ ds __ dt

und

dx _dy _ dz _dp__pq__ dr __ ds

~Ö''~T ~ q ~ s ~ t ~ /^_\'' /H_Y

{2x ) ydy )

Ich unterlasse es, direct nachzuweisen, dass auch hier der allgemeine Gang der Rechnung unverändert
bleibt. Es folgt dies auch indirect aus einem Satze Über die Transformation der behandelten Dififerentialglei-
chungungen, welcher lehrt :

dass bei Einführung neuer Independenten an Stelle von x und y die Werthe von 1 eine lineare Trans-
formation erfahren.

In der That, setzt man

x — u{k,rt), y — v{^,r>),

80 wird

dy 3^ 0^

-- de+ -r- d-n

Bezeichnet man also die beiden Werthe, welche ^ annehmen kann, wie bisher durch l, das Verhältniss

-— durch A, so ist demnach:

'^^ , ^y h

womit der Satz bewiesen ist.

8a; 8a;
^87-^^

X =:

a£+

ßr,

, >J--

-'ß

-hm,

A

—

ccA-

-7

ßh

— 0

X'

= 0

)

und

r =

z oo

A'

= —

1

0

, A"

= -

a

/)/e Iii/iynifioii der iHirtiellen Differentialgleichungen. 33

Setzt man insbesondere:
so folgt

und den Werthen
entsprechen die Werthe

Zugleich ist klar, dass man die Einführung neuer Null- oder Unciidlichkeitswcrthe immer vermeiden
kann. Sonach kann man singulare Werthe von X durch eine lineare Transformation entfernen, und dadurch
kehrt das Problem unter den allgemeinen Fall zurück.

In Folge dessen kann die Gleichung

s = 0

ebenfalls nach der allgemeinen Methode behandelt werden. Die beiden Ditfereutialsysteme lauten:

(Ix dl/ dz dj) dq ds __ dt

1 ~ 0 ~ ^j "~ /• ^ s ~ p q

dx dij _ dz dp _ dg __ dr _ ds

0'~l'~q^s^t~2^~q

Aus dem ersten System folgt sofort:

p—Jrdx = f{y),

und indem man mehrmals im Sinne des zweiten Systems diiferentirt, schliesslich:

D"t-Jtd'x-f"Uß,

eine Gleichung, welche durch die Supposition:

t m ii-A,,, 2,,,, 1 „i ^^ Ä,„ -Im 7 J-Am"3; '^Z 5t„,-A-,„ + 7m)

in welchen .Y,,. eine Function x, Y,„ eine Function von y allein bedeutet, und die Summe in f auf beliebige m
bezogen werden kann, befriedigt wird. Damit folgt

— +amtj

z — ^Ar^e"^ ,
aus welcher Lösung leicht die bekannten Formen hergestellt werden können.

Dritter Abschnitt.
Die allgemeine partielle Differentialgleichung 2>ter Ordnung mit zwei Independenten.

9.

Indem wir nun zur Integration der allgemeinen Gleichung ^>ter Ordnung mit zwei Independenten über-
gehen, stellt sich das Bedürfniss ein, eine übersichtliche Bezeichnungsweise einzuführen.

Die allgemeine Gleichung ^^ter Ordnung mit zwei Independenten enthält neben diesen Independenten,
die wir wieder mit ./; und y bezeichnen, die Dependente z und alle Ableitungen bis zur jt^ten Ordnung, welche
durch successive Differentiation nach ,;; und // erhalten werden. Wir werden dieselben zunächst durch gewisse
Functionen von x und // ersetzen, denen wir vor der Hand nur die eine Eigenschaft auferlegen, dass die gege-
bene Gleichung identisch befriedigen, und zwar soll diejenige Function, welche an Stelle des Differential-
quotieuten

Deukschrilleii ik-r niatlieui.-n.ilurw. Cl. XI.IX. Üd. AbliaiuUuiigeu vou Nichtmitgliedern.

34 Victu I' tSertiu iv ij.

zu setzen ist, durch

bezeichnet werden. In allen diesen Klammerausdrlicken soll der erste Index ot angeben, wie oft in dem
entsprechenden DiftVrentialquotienteu t nach x abgeleitet wurde, während der zweite Iudex dieselbe Bedeu-
tung bezüglich derludepeudenten y haben soll; die Summe der beiden ludices ist oft'enbar dieGesaninitordnung
der Differentiation. Vermittelst dieser Bezeichnungen gewinnt die vorgelegte Gleichung die Gestalt:

0 = 5.[.r,y,(0,0);(10),(01); ; (jj,0), (^j-1, 1), (^^-2, 2),. . .,(1,^;-1 ), (O,^.)], (1)

wobei die eingefülirte Bezeichnung auch auf z als die nullte Ableitung seiner selbst ausgedelmt worden ist.
Die Zahl der in (1 ) eintretenden Argumente ist also:

{n^)H-2.

Wir ersetzten die Gleichung (\) durch zwei andere, indem wir zuerst nach x, und hierauf nach y diffe-
reutiiren. Bei dieser Differentiation setzen wir, so lange

^ = (a + l,ß) und ^ = (.,,3+1),
ox. ' o.r

und machen der Kürze wegen :

a+ß=0

a + f-l=0

Dadurch erhalten wir die Gleichungen:

_ /3y ^ 8y 3(/J,0) 8y 8(0,^))_,8»n ^-< 8y 3(/j — i,i)

- [d^) "^ Wpfi) ~W + ■ ■ ■ + 8(0,2>) 8y ~ IsFJ "^ Z 8(_p-/,/) 8//

(2)

welche die (1) bis auf eine Integrationsconstante ersetzen, wenn nachstehende Relationen:

(7(0,0) = (l,0)r/j^+(0,l)(7y (ßo)

d(i,o;)=iC2,0)(te+(i,i)f///

f/(0,l) = (l,l;f7^+(0,2)f/*/ ,

(3.)

rf f«, /3) = (a + 1 , ß ) (/.r + ( a, ß + 1) (7// (3,+;,)

,/(>;- l,0) = ('2J,0)f7,r + (p-l,l)(7//
(i'(0,j; -1) =:(],^> — l)</.r + (0,yOr///

{3,_,)

Die Intecirdfion der j^'tiiiellen Diß'erentiulgleichi(nge)L 35

befriedigt siiul. Dies findet aiieli dann statt, wenn die voranstellenden Gleieliungcn (3) nicht nnbescbränkt
integrabel sind, sind aber die letzteren unbeschränkt integrabel, so folgt aus denselben:

und das Problem ist gelöst.

Heben wir nun irgend eine der Gleichungen (3), etwa die folgende:

(ho:,ß) = (ci + l,ß)dx + (a,ß + l)di/

der Gruppe (3„+p) heraus, so lauten nach den Gleichungen (8) des Artikels 3 die lutegrabilitätsbedingungen
für dieselbe

fJ(cc + l,ß) = U + 2,ß)(lx + U + l,ß + l)(hf,

d(<x,ß+]) = {a-i-l,ß + l)(1x+{a,ß + 2)di/.

Diese sind, so lange {cr. + ß)<:p, unter den Gleichungen der nächstfolgenden Gruppe (3,^_f,^.|) enthalten,
so dass die Gleichungen irgend einer der in (3) formirten Gruppen zugleich die lutegrabilitätsbedingungen
für die Gleichungen der unmittelbar vorhergehenden Gruppe sind. Daraus folgt , dass wir nur für die Glei-
chungen der letzten Gruppe besondere lutegrabilitätsbedingungen aufzustellen haben. Diese lauten:

d(]),0) = — 1^ dx+ ' g^, ' dl),. ..,d(])—i,i) —^^ dJ:-^-—^ ^^ (///, . . .,(Z(1,^-1) =

8(1,^-1) 8 KV) ;

. . SOj,0) , 9(/) — 1,1), ,, . , . ,, 3(7^— /,f) , 3(;j— /-1,/+1) , ,,^ .

d{p—\,\)—-i^dx~^---i-^^ d,i,...,d(p-i—\,i + \)=~^^ dx+—^ di/,...,d{p,p) =

—^ dx + '^ dij

und sind sogleich so geordnet worden, dass in der ersten Zeile alle jene zusammentreffen, welche Ableitungen
von ./; enthalten, in der zweiten dagegen alle jene, in denen Ableitungen nach t/ auftreten.
Wir bezeichnen nun^ vorläufig noch unbestimmte Factoren durch die Zeichen:

[p-l,0],[p^2,l],. . .,\p-i,i-l],. . .,[0,p-l],

und bilden die Gleichungen:
\p-l,0]d(p,0)+...[p-i—l,i]d(p-i,i)+...+[0,p—l]d(l,p—l)=:

= %- b-i,oj./..+ . . . + ^li^J[,.-/-i,/]./x+[,.--/,/-i] } d,+ . . . + ^[o,,._i].r,, (5)

\p-l,0]d(p-l,l)+ ■ • • +\p—i,i-\]d(p—i,i)+ . . . +[0,p—l]d(0,p) =

- '^^^'^ [,.-i,oj ,/.+ . . . + 'Slz:hiL\ip-i-i,ii dx+\p-;,^-i][ d,,+ ... + Mili [o,p-i\dy.

Verglichen mit den (2j führen dieselben zu den Proportionen:

36 Victor Sersaivi/.

|y;— l,0|(/(j),Q')+. . .+[ij—i—l,i\d(p-i,i)+. ..+[0,p—l]il(l,ij—l)

-&)

_ \p-l, ('] (/(?)—!, 1 )+ ■ ■ ■ +[j^— V— 11 J{j)—i,i)+ . . . +\0,p-l] d(0,p)

_lp—l,0]dx _ _ [])—i—\,i\dx-\-\p—i,i~\\hj _ _ [0,jj-l](/y

8u 8tti 8w

Da einer der uubestimmten Factoren, wie aus diesen Beziehungen zu ersehen, willkürlich ist, setzen wir

[i)-l,0] = l,

und betrachten zunächst die p-\-\ letzten Glieder der voranstehenden Eeihe (6). Dieselben gehen mit der
Bezeichnung

dx

'1

in die Gleichungen:

8m 8m 8y

3(i^,Ö) 3(JJ,0) 3(5,0)

über, vermittelst welcher sowohl Ä, als auch die noch unbestimmten p — 1 Factoren berechnet werden können.
Bedeutet nämlich Ä eine willkürliche Grösse, so wird:

Jl_iA.-<_[^,_2, l]Ä/>-^ + . . . +(_iy[^,_/_],,-|X^— + . . . +(_i)P-i .[0,;j-ll| (X-X.) =

_ _8^p-[j(j—2,l ]/'-' + . . . +{—\y\p—i—\, /] Ä?'-' + ... +(_lV-<[0,^;-llÄ ^

~8(jj,Uj( _Äj/j'-'+...+^_iyX_[^,_,;,_l]/j^-<+...+^_l);.-'),Jl,^j_2]A+(-lf Ä,|0,jj-1]*'

das ist:

Sind also
die Wurzeln der Gleichung:

und setzt man :

so wird

[;j-2,l]=Ä.,+X3+...+X,,

b — 3, 2] =/2 X3 + . . . + Äj,_, /j, (-g-j

\^,p-\]^\\. . .\

•V

Die Integration der partiellen DifferentialgleichungeN. 37

Wir erbalteu also mit Zuziebung der Gleicbungen (3) das folgende Differeutialsystem:

dx

= X,

d{0,0) _
dx

= (1,0)+X,(0,1)

d{l,0)

dx
d{0,l) _

dx '

= (2,0)+X,(l,l)
= (1,1)+X.(0,2)

'^-^af = i-^hß)+\i^>ß+-^)

Kp^ +^^_2j]-^(^-7M^ + ...,-|,>-/-M1-^'^7''^^ ^...^[o^_.i]^^^^^-^)

(9)

dx ' '■'' "''^ dx '■' ' ' dx ■ ■ ■ • L'J/' *J J^j. g^

10.

In dem Differentialsysteme (9) sind

er)-'

Gleicbungen zur Bestimmung von

Grössen gegeben ; von den letzteren sind also

dureb das System nicbt bestimmt, und müssen wäbrend der Integration desselben als willkürliebe Functionen
von X und den Integrationsconstanteu angesebeu werden.
Wir wählen hiefür die Grössen:

{l,p-l\ {2,p-2),...,(p-l,l), (10)

und werden dieselben später so bestimmen, dass aus den einzuführenden Pf äff 'sehen Gleichungen das x
entfällt. Die Integration betrachten wir dann als vollzogen, wenn die Dependenten des Systems (9), als Func-
tionen des X, derf^"^ j +3 Integrationsconstanteu und der in (10) angeführten willkürlich bleibenden Varia-
belu dargestellt worden sind. Da Integrationen über solche Glieder, welche einige der willkürlichen Grössen

3S Victor Scrsa ir)/.

enthalten, nicht ausgeführt, sondern nur angezeigt werden können, werden diese unbestimmten Grössen im
Allgemeinen nicht nur frei, sondern auch unter Integralzeichen auftreten, deren Anzahl bis zu

er)-'

aufsteigen kann.

Differentiirt man eine Function F, deren Argumente die Variabein des Problems sind, und setzt statt der
Differential quotienten der Variabein deren Werthe aus dem Systeme (9) ein, so soll das Resultat dieser Ope-
ration durch

bezeichnet werden. Die Ausführung dieser Rechnung gibt:

D^F=^

fhj\ ) ( /^-i.\ ) ^^^^

^F^ IBj- J SF / .. ],dFy [iy) 8F / ^r/(a, /3) ^[g-l, ß] ^F [c^,/3-l] 8F 2F,

IVÖ.W _^._ ■b(2),0)i 'pyj '_^d(p,p): ^ tlx )[;j— 1, 0] 3(j>,0) [0,p-l\d(0,2-,) 2(«,|3)j'
( d(p,0) ) \ Z{0,p) 1

wobei der Symmetrie wegen die Bezeichnung [p — 1,0] für 1 beibehalten wurde, und die Summe über alle Aus-
drücke (a, ß), für welche

a + ß=p
auszudehnen ist. Hiebei ist ausserdem

/ZF\ ^F vn 8-F

,iFs. ^F \:^ ^F . . ,,

zu verstehen und in diesen Formeln die Summe über alle («, ß) zu erstrecken, für welche

a+ß^zp.
Ist insbesondere F ein Integrale des Systems (9), so ist

D^F=0.
Das vollständige Integralsysteni besteht aus

Gleichungen mit eben so vielen Integrationsconstanten und jedes Integral des Systems muss sich als Function
von je N von einander unabhängigen Integralen darstellen lassen. Da nun identisch

so ist die rechte Seite der gegebenen Gleichung selbst als Function der Integrationsconstanten darstellbar. Es
kann sonach durch eine entsprechend gewählte Relation zwischen den letzteren die gegebene Gleichung stets
befriedigt werden. Wir denken uns diese Wahl vollzogen, so dass in dem Integralsystem nur mehr

d'r)

2
willkürliche Constanten enthalten sind.

Führen wir nun in den Gleichungen (3) die Integrationsconstanten als neue Variable ein, so entstehen

Die Integration der partiellen DifferentiaUjleiehungen. 39

Gleichungen von der Füi'ui :

worin das Zeichen S auf alle Integrationsconstanten zu beziehen ist, und a+ß alle ganzen Zahlen von 0 bis
p — 1 bedeuten kann. Aus denselben ist dx entfallen, es muss also auch x aus ihnen entfernt werden, das
heisst, die in denselben auftretenden bisher noch unbestimmten Grössen (10) müssen so gewählt werden,
dass die linken .Seiten dieser Gleichungen (12), wenn sie der Operation D^ unterworfen werden, die Null zum
Resultate geben.

Betrachten wir zunächst eine Gleichung, für welche

a+|3<p— 1

ausfällt und differentiiren dieselbe nach x, so erbalten wir:

also mit Rücksicht auf das System (9)

(1
d.

^Z[^-f-'-^*4]'"-=3^^—^-"^)"^-'-.I[^^-*-^-4]*-

Es folgt hieraus, dass die Variable a; aus allen Gleichungen (12) von selbst entfällt, wenn dies durch
geeignete Wahl der Grössen (10) bereits bei jenen bewirkt worden ist, für welche

a + ß = p — 1.
Ist dies nämlich geschehen, so ist es möglich, die Ausdrücke

3^-(«,ß + l)|.]<//-=0, .^ß=p-l

durch Beziehungen zwischen den Constanten auf den Werth Null zu bringen, die vorhin entwickelte Identität
zeigt aber, dass dann aus den Gleichungen, für welche x+ß ^ip — 2, das x zum Ausfall kommt, und durch
Wiederholung dieses Schlusses beweist man, dass in Folge der gemachten Annahme in der That in allen
Gleichungen (12) x zum Verschwinden gebracht werden kann. Somit genügt es, jene Gleichungen

3(<^> ,..0.1,2.'/

zu erfüllen, in welchen a + ß den Werth ^j — 1 besitzt.

Die Ausführung der hier angezeigten Operation ergibt nun die Gleichungen :

11 8/- ' ^7 ^ '-^^ ^J ' '

in welchen der Kürze halber für die Ableitung einer Function u nach x die Lagrange 'sehe Bezeichnung

du

dx

benützt worden ist.

40 Vicfor Scrsairij.

Da uns nur p — \ unbestimmte Grössen zur Verfügung stehen, können die eben aufgestellten p Glei
chungen nur dann befriedigt werden, wenn eine derselben eine Folge der ^j — 1 anderen ist. Dass dies der Fall
ist, lässt sich iu der That beweisen. Wir finden nämlich, dass

i^p — i

09 V r -1 -1 V (^'^'~'' '' ■ "^(p — i — 1,''+1) , .... ,3'/) ,,.

■b(p

i = 0

Das letzte Glied dieses Ausdruckes ist in Folge der Gleichungen (^9 )

während die beiden ersten sich zur Summe :

vereinigen lassen. Setzt man nämlich fest, dass ein Ausdruck von der Form

den Werth Null annimmt, sobald einer der Indiccs eine negative Zahl vorstellt, so kann die Sumniation
bezüglich des Index i wieder auf die Werthe

* = 0,1,2,...,^-1

ausgedehnt werden. Bei derselben Festsetzung ist aber allgemein:

r ■ 1 ■^ -, r •■11 3(/' — '',')

8(^;,0)
es wird also:

8<p V" r -1 ■^\^<fi^P—''^^^ 1 8(/'— ' — 1,''+1) ,. . . -.iN/S//! if

— Vdf (_^10'.0) ^ _^_ h ^(p—hi) + _ . + _1?_ ^(^^P) + (bL'\ hL( .

'L^ ' I8(i),0) 8/- "^ • • ■ "^ 8 ii^-i.i) 8/- --•■•-- 9^0,^,) 8/' -- V8// / 8/'f

Es hat sich nun andererseits ergeben, dass durch Einsetzung der aus den Integralgleichungen von (9)
fliessenden Werthe der Variabein in die Gleichung (1) die Veränderliche .r zum Ausfall kommt, und da wir
das Integralsystem in einer Form voraussetzen, vermöge welcher die (Ij identisch betriedigt ist, haben wir
die Identität:

in welcher die innere Summe auf alle vorhandenen '(a,|3) zu beziehen ist. Subtrahirt man diese Gleichung von
der unmittelbar vorhergehenden, so folgt:

Die Integration der iMrtiellen Bißereiitiali/leichimgen. 4 l

i=p—i

1=0

In dem letzten Ausdrucke ist das äussere Summenzeiclien nur über jene Glieder zu erstrecken, für welche
a + jS^j) — 1, da jene, für welche die Indexsumme ^ wird, sich bei der Subtraction gegenseitig tilgen. In die
rechte Seite der letzten Gleichung treten also nur die linken Theile der Gleichungen (12) ein, was beweist
dass zwischen den Gleichungen, welche noch befriedigt werden müssen, eine lineare Beziehung besteht, und
daher eine derselben eine Folge aller anderen ist. Damit ist aber unsere Behauptung bewiesen.

Denken wir uns nun die unbestimmt verbliebenen Grössen (10) so gew.äblt, dass die (13) befriedigt sind
so fällt X aus allen (12) heraus. Führt man also die Hauptintegrale ein, indem man die Weithe der Depen-
denten des Systems (9), welche einem concreten, nicht singulären Werthe x" des x entsprechen, also die
Grössen

yM.^,ßr

als Integrationsconstanten wählt, so reduciren sich die Gleichungen (12) auf Gleichungen von der Form:
worin die Summe a + /3 alle Werthe von 0 bis p — 1 erhalten kann. Da hieraus folgt:

SO erkennen wir, dass die Werthe der Constanten, welche den (12) Genüge leisten, Ableitungen derj? Grössen

(0, 0)°, (1,0)», (2, 0)», ...(«, 0)», . . . (p-1, 0)«
sind, welche schliesslich willkürlich bleiben. Setzen wir also

(«,0)»=cl>,(y«),

WO a von Null bis p — l variiren kann und die *!>„, willkürliche Functionen sind, so ist:

(0,0)» = cl>„(/),(0,l)" = .l>'„(y»), (0,2)» = .!.';(/), ,(0,^.)'' = <1V^"(/);

(i,0)» = a>, (//»), (1,1 )» = .]>',(/), ,(i,^,_i)« = ci>,ü-.)(^o,.

(2,0)"=*^ (y»J, I2,p-2f = %i>'-^)i:y^);

0^-1,0)» = <lv_, {,/], (/>-!, D« = <i>\._, {if);
und hierin ist allgemein :

zu verstehen.

Aus diesen Formeln ergeben sich zwei wichtige Folgerungen, nämlich:

erstens, dass alle Integrationsconstanten als Functionen Einer von ihnen anzusehen sind und
zweitens, dass das allgemeine Integrale einer partiellen Differentialgleichung j/j ter Ordnung mit
zwei Independenteu nie mehr als p willkürliche Functionen enthalten kann.

Beide Folgerungen sind offenbar nicht an den Gebrauch der Hauptintegrale gebunden. Benützt man irgend
ein anderes vollständiges Integralsystem, so müssen die zwischen den Constanten einzuführenden Relationen
direct aus den Gleichungen (12) genommen werden.

Deukscliriften der mathüm.-naturw. C(. XLIX.Bd. Abhandlungen von Nichlmitglicdern. f

42 Victor Seraaivy.

Denken wir uns mm die Werthe der Grössen (10) und der Constanten gefunden und in das vollständige
Integralsystem von (9) eingeführt, so verwandelt sich dasselbe in das definitive Integralsystem, welches die
gesuchte Lösung bereits in sich enthält. Da es nämlich aus

Gleichungen zwischen den

Variabein der Aufgabe und der unabhängigen Integrationsconstante besteht, so können die letztere und die

(P+2)_i Grössen («,(3),

für welche a + j3;>0 eliminirt werden. Es bleibt dann eine Gleichung, welche nur mehr

2;, X und y
enthält und offenbar die gesuchte Lösung ist.

11.

Bezeichnen wir die unabhängige Constante , auf welche den Ergebnissen des vorigen Artikels zufolge
alle anderen bezogen werden, durch f\ so wird eine Änderung des /' auch die Werthe aller anderen Integra-
tionsconstanten, also mittelbar auch die Werthe der Variabein verändern, sonach ein unendlich kleiner
Zuwachs ö/' von /' die Variationen

o,j, rJ(O,0,), o\l,0), . . . , ^(«, |3), . . . ^ (0,^;)

erzeugen. Es erhalten sonach die Gleichungen (iL') die Gestalt:

P(«,l3) = ÖC«,i5)-(«,ß + l)'J// = 0, a + p^i>-\,
während die (13) in die folgenden :

Zj,_,, 0 = o"(j,,0)+A, ^(p — \, D— (_/>-l, r)'o> = 0
Z,,_,, , = o^(p-l,l)+A,rJ(^,_2,2)-(;j-2,2)'o> =: 0

Z,,_,-v = 0(2)— /,/) + ),, o(j> — /—l,/+l) — (/y — /—l,/+l)'o// = 0

(14)

^F^^^u+ y^.'^(^^ß) ^+ß^p

übergehen. Eine beliebige Function der Variabelu des Problems wird unter den gleichen Verhältnissen die
Variation :

ZF^ y ?)F

erleiden.

Wir denken uns nun ein zweites Differential system aufgestellt, welches sich von dem bisher behandelten
dadurch unterscheidet, dass an die Stelle von A, irgend eine andere Wurzel Ä, der Gleichung (7) getreten ist.
Hiebei ändern sich auch die Werthe

und zwar in einer Weise, welche wir sogleich besprechen werden. Die Klammerausdrücke dieser Art, welche
wir bisher benutzt haben, sind nichts Anderes als die mit entspreclienden Potenzen von — 1 multiplicirten

Die LiteyratioH der paii/el/en Differentialgleichungen.

4S

Coefficieutcu jenes Polynoms, welches aus dem Polynom der Gleichung (7 ) durch Division mit X — /, cutsteht.
Die Klammevuausdrücke des neuen Systems, welche wir durch

M, .^ß=p-l

bezeichnen, werden also in ähnlicher Weise durch Division desselben Polynoms mit A — A, gewonnen werden.
Bezeichnen wir nun das Polynom, welches aus (7) durch Division mit

(X_A.)(A-A,)

entsteht, wie folgt :

'-V-2h.-<

so erscheinen umgekehrt die Ausdrücke [ci,ß], welche von jetzt ab als

bezeichnet werden müssen, durch Multiplication von P^ mit Ä — Ä,. Somit ist allgemein

p-pp-l]^[,.-p-l,p-l]^,^.p-p,p-2]

^'y-r'O']

(15)

und diese Formel kann auch für die Greuzfälle p = 1 und p =^ p beibehalten werden, wenn festgesetzt wird,
dass die Ausdrücke

Aj ,A,

den Werth Null erhalten, sobald einer der Stellenzeiger a, ß eine negative Zahl ist.

Andererseits treten die Ausdrücke | ^ '^ als CoSfficienten des Polynoms auf, welches durch Multiplica-
tion von Pg mit A — A, entsteht. Daher ist:

p.-pp-l]^[^-p-lp-l]_,J,.^.o-2J

A,A,

(16)

und da wir die Grössen L"^' r , sobald die Wurzeln A, und A, gefunden sind, leicht berechnen können, sind

L A,, A, -I

alle Stücke in diesen Formeln als gegeben anzusehen.

Ändern wir nun in (11) rechterseits A, in A, und dem entsprechend die Ausdrücke Ml' ^ in' ^.' P , so
entsteht ein Ausdruck, welchen wir durch D^F bezeichnen. Es ist sonach

DiF =

/8y '

^m.

"bx

8F

8F

JO,^_.-lj 3(0,2.) 3(«.ß

ß)(

3Ü^ ' .' ^ 3l<Jj.)

worin die Summe über dieselben («, ß) wie in (11) auszudehnen ist. I>,.F wird identisch Niül, wenn i<' ein
Integrale des soeben construirten Dififerentialsystems ist.
Wir bilden nun die Differenz B^F — DiF, und finden:

D^F~D.Fz=

([[«-1,131 \^—hß]

Q —i) (_) y 11_' —yfr, R\' ) 2! ^^

^' 'MVS/// 3y ^0,p)i

-S(«,l3)'

\0,p)

JbF_

3(p,0)

3i^

44 Victor Sersnwy.

wozu zu bemerken ist, dass die Grössen U^ ^ und U'~ ' welche der Symmetrie wegen beibehalten

wurden, beide den Werth 1 besitzen. Den Formeln (15) und (16) zufolge ist:

also

darnach wird:

,J0,,-1]^,[0„-1J^

L Ä, J L X, J _ r«-l,ßl_ \c^-hß] ^ (;._; ) r«-l, ß-11

sowie

Es ist also:

/8^

V,F-D,F_ Ä _ Ul J^ .V r=<-l,i5-ll . .y J^ _ 1 J^l

X,— A, "Ui/y _8o_ 8(0.^) r^-L >,,;,, J ^ '''M8(jJ,0) ; JO,y.-l"l 8(0,^)|
( 8(0^) ) ( '• "^ ^Ä -"

In dieser Gleichung, welche identisch, d. h. für jede beliebige Function F giltig ist, führen wir an Stelle
der Variabein deren Integralwerthe aus dem ersten System ein, es ist dann

8^, /!l) l"«'ß-iL Rv

8o ~ . rO,»— 11 8'j ^^

und die Summation wie überall, wo nicht ausdrücklich etwas Anderes bedungen ist, über alle («, ß), für
welche a+ß^j^ ist, zu erstrecken. Dadurch geht die letzte Gleichung über in die folgende:

D,F-D.F _(^Z)^Jl_ Vr«-l,ß-l] (.^,r^ Jl- V-Lt^(«A)'. (17)

avi

Wir bilden nun den Ausdruck:

.„ D,F-D,F .

worin .? eine Summation bedeutet, welche auf alle Complexionen a, ß, für welche a + ß ^j^ — 1 auszudehnen
ist. Wir betrachten zunächst die beiden negativen Glieder dieses Ausdruckes und bemerken, dass in den
Summen derselben, wegen der daneben stehenden Klammerausdrücke

Die Interprttion der partiellen Differenfialglelchunf/e». 45

die Grösse (j},0)' nicht auftieteu kaun. Für alle anderen aber gelten die Beziehungen:
Qj— 0— l,o-l)'r://= -2p_p_,,, + qQj— o,f)+/,r:0— 0— l,s + l),

wie aus den (13) gefunden wird. Schreiben wir also (p — f,— ], o + l) statt (a,|3) und versehen demzufolge die
Summenzeichen mit der Grenzbezeichnung ,0 = 0 bis i =^j — 1, so erhalten die fraglichen zwei Glieder die
Gestalt :

8F '="-'

8(i>

f=i>-

f,-p ,,-!]

und haben zur Summe den Betrag:
p=p— 1

p=ü

l8(j,,0)L X,>., J ^3(0,^,) ^ r0,i'-21 (

- ^ ""' a,;,,0)l /, -1^3(0,^) rO,^-ll

Also ist

'=' ( ''»L /,x, J )

P=j. ( ^i'->^-l^=l \p-?,9-'^]

^0{p P,P) g^^O) p^_i^(^j ^\Ö^) [0,^-1] ~V^

wobei in der letzten Summe als obere Grenze o =^> eingeführt werden konnte, da das der Supposition s =^
entsprechende Glied identisch verschwindet.
Wir finden hieraus endlich die Identität:

^s7::Ä^^(«'i^)+ >^.-.-..P {^n;^y ; x. '' J + s.o,^. , . ro;^-2]

"» L X,X, J

3(«,/5) ^ "'^' Z. ^-■-■^^ 3U>,'

p-O

([-«-1,^1 ra,ß-ii

_ D,F-D,F ^ Y ), i iF l X, J 3F 3F

(18)

J[i>-l,0j3(^;,0) rO.^j-11 3(,0,^) 3(«,;3) '

in deren rechten Seite die am Eingänge der Transformation benützte Bezeichnung restituirt worden ist.

Setzt man in dieser Gleichung -F= y, so wird wegen w = 0 die rechte Seite selbst zu Null, und es folgt:

46 Victor SersaiO'i/,

(las ist eine Gleicliung, die in anderer Form bereits weiter oben entwickelt worden ist. Die Anzahl der F ist
nun gleich der Anzahl der Ableitungen von höchstens p — Iter Ordnung, das ist:

die Anzahl der ^istjj. Ich werde nun zeigen, dass aus (18) stets

in Bezug auf die Grössen P und ^lineare und homogene Gleichungen abgeleitet werden können, welche in
Verbindung mit der Gleichung (19) wegen nicht verschwindender Determinante den Grössen P und Z die
Werthe Null auferlegen.

12.

Wir bezeichnen jenes Dilferentialsystem, welches durch die Suppositiou

% _ .
clx

entspringt, kurz als das /te Dilferentialsystem und beweisen zunächst einige wichtige Eigenschaften des ihm
zugehörenden lutegralsystems.

Wir denken uns in allen Systemen die Integration ausgeführt, während die in (10) angeführten Grössen
willkürlich bleiben. Ist nun i^'ein Integrale des «ten Systems, also:

( (^-^\ ) ( (^-^^ ] (h-l-'^l [«.ß-l] ]

px)' 8y d{pfi)\'^'''p,,) jy_8(iv)("" ^'='PMh,_i,u|S(^>,0) + ro,i^-i| d(pfi)2(u,ß)\—^-

z

so müssen die Coefficienteu der Grössen :

(j;-l,l)', (^-2, 2)',... (2,^.-2)', {l,p-iy

identisch verschwinden, da diese letzteren Grössen sonst nicht willkürlich bleiben. Es müssen also durch
jedes Integral F des «ten Systems die Gleichungen, welche durch Specialisirung des

(a,ß) in (i.-l,l), (i^-2,2). . .(2,^.-2), (1,^-1)
aus der Formel

rc.-i,/3i r«,ß-ii

L Ä, -I 8i'' L li -I 8/<' 8F

= 0 (20)

^p-1,0^ 8(^,0) " J0,p-1 j 8(0,2^) 8(«,|3)

entstehen, identisch erfüllt sein, somit auch die Gleichung:

8x^ JF_I ],df_. ISy^

{■dxj 8y 8(j),0)( "^ * p;/ j 8y 8(0,^.) (

0=V?^W^;r^( +A,.V^^^- ^^

In der Gleichung (20), welche übrigens durch die Suppositionen (a,|3) = (ji>,0) und («,^) = (Ö,i>) eine

tF
identische wird, dividiren wir durch r: — jr- , und setzen

Hp,0) '

ZF

K^,P) _ .
ZF ~

3(^.,0)

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 47

Wir crhalteu sodann

8F

•dF

.p.-2,l].

Ö^,0J

3^ r^_/,,:_ll 8i^ [1,^^-21

-L i.. J"^' ro.»-ii '••■' 8F -y

und fok'ern hieraus, dass die Gleichung

»•

8lJ^,0j ^O'J— M 8(J^— *,'j n*^)i^)

die Wurzeln:

Aj , Aj , . . . A i_ 1 , A ,■+ 1 , . . .Kp

mit der Gleichung (7) gemein hat; die Wurzel X,- ist abgeworfen, und dafür die Wurzel

, _ 1 Whp)

0,_?;— 1] rO,»— 11 3F

rri ["1

aufgenommen. Die letztere kann, wenn F von y verschieden ist, nicht mit A, zusammenfallen, da aus dieser
Annahme, wie leicht zu sehen, alle

^F

3(«,ß) _

_ 8(«,ß)

iF

8y

8(j;,0) 8(jj,0)

folgen, und daher F entweder eine Function von f oder diesem letzteren gleich sein müsste; Beides wieder-
spricht der Voraussetzung. Daher kann es auch, so lange die Grössen (10) willkürlich sind, ausser f keine
Function geben , welche in zwei Systemen zugleich Integrale sein könnte, da in diesem Falle die Gleichung

(21) alle Wurzeln mit (7) gemeinsam haben müsste.

dl< . dF

Wir ziehen aus den (20) noch eine weitere Folgerung. Verschwinden nämlich - — — und ^-7^ — -, so

^ ' 00 8(^j,0) oi^,I>)
8 F
erhält auch ^r — ^ den Werth Null, das heisst, wenn ein Integrale weder (^^,0) noch (0,2)) enthält, so kann
8{a,]3)

es auch keine andere Ableitung |)ter Ordnung enthalten. Berechnen wir demnach aus zwei Integralen des /teu
Systems die Grössen (j:>,0) und {0,p), und setzen deren Werthe in ein drittes ein, so müssen alle anderen
Ableitungen 7:1 ter Ordnung von selbst ausfallen. Es gibt also nur zwei Integrale, welche bezüglich der Grösse
^jter Ordnung von einander unabhängig sind. Hieraus ergibt sich der Sehluss, dass. so lange die Grössen (10)
unbestimmt bleiben, das vollständige Integralsystem des /ten, also auch eines jeden anderen der^j möglichen
Differentialsysteme in zwei Gruppen zerlegt werden kann. Die erste Gruppe besteht aus zwei von einander
unabhängigen Integralen, deren jedes Ableitungen ^ter Ordnung enthält, und die wegen dieser Eigenschaft,
die sogleich eine Wichtigkeit erlangen wird, wesentliche Integrale genannt werden sollen. Die zweite
Gruppe umfasst alle übrigen Integrale, welche nun die Ableitungen ^jter Ordnung nur insoferue enthalten, als
sie als Functionen der wesentlichen Integrale dargestellt werden können. •

I Es lässt sich immer ein Paar wesentlicher Integrale aufstellen von der Beschaffenheit, dass das eine Integrale kein
(0,^<) das andere kein Q), 0) ontliiilt. Wird im System —^ = Ij das erste mit M'j, das letzte mit ir, bezeichnet, so muss

48 Victor Sersairif.

Es ist klar, dass unendlich viele Paare wesentlicher Integrale aufgestellt werden können, eines derselben
muss jedoch die gegebene Gleichung selbst enthalten, da diese augenscheinlich ebenfalls ein wesentliches
Integrale ist. Jedes System hat also neben der gegebenen Gleichung nur mehr Ein wesentliches Integrale.

Kehren wir nun zur Gleichung (18) zurück und setzen in derselben irgend ein Integrale des ?!ten Systems
an die Stelle von F, so verschwinden, wie man sofort sieht, die Coefficienten der Variationen 'j{a,ß), diese
fallen also identisch aus. Zugleich wird l)iF=z 0 und die rechte Seite in (18) reducirt sich auf

So lange die Grössen (10) unbestimmt verbleiben, kann F nicht auch zugleich ein Integrale des ersten
Systems sein, wir wählen also diese unbestimmten Grössen so, dass

D^F^O
und haben dann noch

zu machen. 2^ ist durch die für die Grössen (10) getroffene Wahl auf eine Function der Integrationseonstanten
des ersten Systems reducirt, und damit nun auch oF^^O werde, mUssen die in Folge früherer Untersuchungen
zwischen den Constanteu bestehenden Kelatiouen so gewälilt werden, dass sich der zuletzt gefundene Wertli
von i'^von selbst auf Null reducirt. Jede Function von F, welche die rechte Seite in (18) zum Versehwinden
bringt, verwandelt die (18) selbst in eine lineare, homogene Gleichung zwischen den Grössen P(a,ß) und
2^,_p_ip. Da es sich um das Nullwerden dieser Ausdrücke handelt, müssen wir so viele 7<^ dieser Art aufsuchen,
als Grössen P und Z vorhanden sind, also, da ^ selbst die von den F verlangte Eigenschaft besitzt, noch

Eine genaue Betrachtung der Gleichung (18) lehrt indess, dass unter diesen Functionen sich mindestens
2)~ 1 vorfinden müssen, welche (ji-0) oder (0,^j) enthalten, da im Gegentheile die Coefficienten der Z gleich

die Gleichung Z)j TFi = 0 mit der vorletzten Gleicliuug in (9), die Gleichung Dj TFj = 0 mit der letzten desselben Systems
zusammenfallen. Also ist;

-l^^-l.—

dip-i,i)

,--1,/11Zl S^a _L ^, ^ 3Ti; ,

\ ihm' hp~hO ~ [t>>(>-ij 'mi') '"

Man kann ferner leicht zeigen, dass mau immer zwei wesentliche Integrale aufstellen kann, welche zusammen die
gegebene Gleichung ersetzen. Es ist nämlich '^ immer darstellbar als Function der Integrationsconstanteu. Ist also

ein wesentliches Integrale, so muss zwischen der Coustanten f dieses Integrals und deu übrigen Integrationseoustanten eine
Relation bestehen, welche aus der gegebenen Gleichung y = 0 ihren Ursprung nimmt. Sei daher etwa

/•=3(/,, /■,,...)

lind ersetzt man hierin die Constanten fi,f.,,--- durch ihre Werthe iu den Variabein des Systems, so entsteht rechter Hand
ein Ausdruck, welcher augenscheinlich wieder ein wesentliches Integrale ist. Bezeichnen wir diesen Ausdruck durch Cr, so
sind F und G zwei von ^ unabhängige Integrale, welche jedoch zusammen die gegebene Gleichung ersetzen, denn die-
selbe reducirt sich augeuscheiulich auf die Ilelatiou :

F—G = 0.

Ersetzt man nun in F ein etwa vorhandenes (0,^j) durch seinen aus der gegebenen Gleichung ^ = 0 fliessenden Wertli,
und in G das etwa vorhandene {p, 0) ebenso durch dessen aus 'f = 0 sich ergebenden Wertli, so hat man also zwei wesent-
liche Integrale fimdr/, von denen das erste kein (0,//), d.as zweite kein (p, 0) enthält und welche zusammen die gegebene
Gleichung ersetzen, denn diese lautet

Die Inlegrution (kr })aytkileii Dljf'ermtiaUjleichaiKjcn. 49

Null ausfallen würden, und daher aus dem Verschwinden der rechten Seite auf das Verschwinden der Z
keineswegs geschlossen werden könnte. Wir haben nun '^ unter die Functionen i^ aufgenommen, es gibt also
in jedem System nur mehr Eine Function von der verlangten Art, welche von y unabhängig ist; es ist dies je
Eines der zwei wesentlichen Integrale. Die Anzahl dieser von <f und nach dem oben Vorgetragenen auch unter
sich unabhängigen Integrale ist^j— 1 also die geforderte. Wir verändern somit in (18) i der Reihe nach in 2,
3,. . q) , und setzen in die erste der so erhaltenen Gleichungen für /'" ein wesentliches Integrale des 2ten, in
die zweite Gleichung ein wesentliclies Integrale des 3ten, endlich in die letzte Gleichung ein wesentliches
Integrale des pi&w Systems. Werden nun die unbestimmten Grössen (10) so bestimmt, dass sich diese p—\
wesentliche Integrale auf Integrale des ersten Systems und vermöge der zwischen den Integrationsconstanten
dieses Systems herrsehenden Relationen auf Null reduciren, so verschwinden die rechten Seiten der eben auf-
gezählten Gleichungen identisch, und wir haben, die (19) mitgerechnet, p Gleichungen für die unbekannten
P und Z.

Da die übrigen Gleichungen (18) wohl die Z enthalten können, aber nicht nothwendig enthalten müssen,

können wir zur Aufstellung der noch fehlenden (^''^^) Gleichungen Integrale der zweiten Gruppe nehmen,
und zwar genügen, da jedes System (^''t^) +1 solcher Integrale besitzt, die Integrale irgend eines Systems

für sich. Diese Integrale enthalten nun die Grössen (p,Q) und (0,^)) mir insoferne, als sie als Functionen
wesentlicher Integrale dargestellt werden können. Die Gleichungen (18), welche durch Einsetzung solcher
Integrale entstehen, gestatten also, die Z gleichzeitig zn entfernen, und die resultirenden Gleichungen sind
nicht mehr Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Grössen (10) , sondern nur identische Transforma-
tionen der Pfaff sehen Probleme (12).

Die gesuchten Werthe der Grössen (10) sind also diejenigen, welche ein vollständiges System von Inte-
gralen irgend eines vom ersten verschiedenen Systems in ein vollständiges Integralsystem des ersten Differen-
tialsystems verwandeln oder mit anderen Worten, welche bewirken , dass alle p Integralsysteme in Eines
zusammenfallen.

Wir bezeichnen also ein wesentliches Integrale des /ten Systems durch TF,, ein im Allgemeinen belie-
biges Integrale der zweiten Gruppe desselben Systems durch «v, sowie eine Reilie von p — 1 willkürlichen
Functionsformen durch ^^,-\>^,. . .^j,. Dann sind:

wesentliche Integrale des 2ten, 3ten, . . .piaw Systems. Wir bestimmen die Grössen (10) so, dass sich diese
Differenzen auf Functionen der Integrationsconstanten reduciren, und führen dann zwischen den Constanten
des ersten Systems solche Relationen ein, dass die eben genannten Functionen den Werth Null annehmen,
d. h., wir betrachten die Gleichungeo:

W^--W ("'2) = 0> Tf'3— ^3 («'3) = 0, . . . , TF„— ^„ (w,) = 0, (22)

nachdem in denselben die Variabein durch ilire aus dem ersten Integralsystemc fliessenden Werthe ersetzt
worden sind, als Bestimmungsgleichungcn tür die unbekannten Grössen:

{p-1,1), (p-2,2),...(2.p-2), {hp-D.

Die Anzahl der Gleichungen (22) ist gleich der Anzahl der zu bestimmenden Grössen, es genügt also,
die letzteren aus den (22) zu berechnen. Die Einführung der berechneten Werthe in die Gleichungen (12)
verwandelt diese in Pfaff'sche Gleichungen und die Integration derselben liefert die noch fehlenden Rela-
tionen zwischen den Constauten. Dieselben Relationen erhält man auch dadurch, dass man — unter den Grössen
y, , y^, «3. . . die der zweiten Gruppe des Systems / angehörigen Integrale verstanden — in den Gleichungen:

'\-f\ ("'■ ' = '*; "2- ?2 ( "'.) = 0, r^—fj ("',) = 0, . . .

Dciiksiliriflen ilei- iiijlliLin.-iiiiluiw. Cl. XLlX.liil. AlilKnMl!cMi''cn von Nichlmilgliedcrn. iT

50 Victor Scrsuic//.

für die Variabelii deren Wertlic aus dem ersten System und für die Grössen (10) die aus den Glcicliungen (22)
gefundenen Wertlie setzt.

Die vorangeliendeu Entwicklungen setzen mit Nothwendigkeit voraus, dass die Integration der^.i Diife-
reutialsysteme bei völliger Unbcstimmtlieit der unter (10) angeführten Grössen vollzogen werde. Diese letz-
teren gehen also in die Integralgleichungen nicht nur als Functionsargumente im gewöhnlichen Sinne ein,
sondern auch als lutegranden in nach x auszuführenden Quadraturen. Im Allgemeinen enthält also eine jede
Gleichung von der Form :

Quadraturen aus dem üen System, das Leisst solche, in welchen w, als Constante anzuseilen ist. Indem man
nun die Variabein durch ihre Werthe aus dem ersten System ersetzt, werden anderseits Quadraturen aus
dem ersten System eingeführt, in welchen also w^ als Constante anzusehen ist. Die Bestimmungsgleichungen
enthalten also im Allgemeinen Quadraturen von zweierlei Sinn , und die Differentiation mit dem Zeichen D^
kann wohl die Quadraturen des ersten Systems, nicht aber auch die anderen noch enthaltenen Quadraturen
entfernen. Bezeichnen wir, um eine Quadratur aus dem /ten System zu kennzeichnen, das Diffei-cntiale unter
dem Integralzeichen durch (/,;r, und sei demnach

ein Integrale aus dem /ten System, so gilt für die Differentiation D^J die Kegel:

8./

imd es ist:

I),J=S+ü.—A,) .

sowie

8,S' _ D, >S'-A'S'

8// \—h

Die Differentiationsregeln sind also, wie vorauszusehen war, im Wesentliclien dieselben wie bei den
Dift'ereiitialgleicliungen zweiter Ordnung und die gegenwärtige Rechnung unterscheidet sich von der dortigen
überhaupt nur darin, dass S nicht Eine, sondern im Allgemeinen alle unbestimmten Grössen (10) zu gleicher
Zeit enthält. Durch fortgesetzte Anwendung der Operation D^ entstehen also unter dem Integralzeichen Aus-
drücke von der Form:

B[x;{p--i,l), I),(j>-l,l), B\(p-l,l)...; (p-2,2), D,(j,-2,2),. . .■ {\,p-\), D,{\,p-V),. . .\

Gelingt es nun, aus den gewonnenen Gleichungen eine Relation herzustellen, in welclier die unter den
Integralzeichen befindlichen Theile sich als Functionen des von Integralzeichen freien Theiles darstellen
lassen, so kann man durch wiederholte Anwendung der Operation i>, die Integralzeichen des /ton Systems
entfernen und es entsteht eine Gleichung zwischen

x,E,D,R,DfR,....

Die Integration dieser gewöhnlichen Differentialgleichung, bei welcher die Integrationsconstanten als
Functionen von la anzusehen sind, ergibt dann eine Relation zwischen .c und den verschiedenen Ableitungen
der unbestimmten Grössen (10) genommen nach dem Zeichen I)^. Dieser Vorgang wiederholt sich ^^ - 1 mal,
da uns eben so viele Bestimmungsgleichungen zur Verfügung sieben. Wir erhalten also ein System simultaner
Differentialgleichungen von der Form:

(■),[,;•; (iJ-1,1), D^ip-1,1),...] (p-2,2), I>,(p-2,2),...; (],i>-l), D^{l,p-1),. . .] = 0,
0,,_,[,r,(^>-l,l), 7>,(^>-l,l),...; UJ-?,2\ D^(p-2,2),. . . ; {l,p~l), D,{\,p-1),. . .] = 0,

Die Integration der partiellen Differoitialgleichimgen, 51

durch dessen lategTation endlich die Werthe der unbekannten Grössen erhalten werden. Lassen sich Glei-
chungen dieser Art nicht bilden, so muss man zur Reihenentwicklung schreiten, ausgenommen man wäre
zufällig im Besitze solcher Transeendenten, welche den vorliegenden Gleichungen Genüge thun.

13.

Wir bezeichnen im Folgenden die Coefficienten des Quotienten, welcher aus der Division von

3'x) 8« Sy 3y

3(/; — 1,1). , 8t "-"-2,2). , , .. Mp—iJ). . , ,, 8(0,iJ)

8'j/ 3y Cf c'f

8(^,0) \p,0) 8(i.,0) 8U>,0j

durch

entsteht, durch

das heisst, wir setzen :

(Ä-},,+, ) (^-^•/.M-0 • • • (^-^'i^!) =
x.-._ k-/'-i' M Ä^-'-' + . . . +( -1 )' k-^-(' *]a^-'-'-+ ...+(- ir-'- R'^~^l,

wobei wir der Symmetrie wegen

U,...xJ~

machen und festsetzen, dass ein Klammernausdruck der Art

U.L.../J

Ag . . . Ai

den Werth Null annimmt, sobald einer bei den Indiccs in der oberen Reihe einer negativen Zahl gleich wird.
Diese Bezeichnungsweise ist nur eine Erweiterung der bisher gebrauchten und es ist augenscheinlich

und daher

-/, ,.../,J lAj...Ai/i.+,-l ^ L/, ...A,A,,+

Behalten wir im Übrigen die Bezeichnungen des vorigen Artikels bei und setzen

so verschwinden, wenn man in (18)

F-Fi — 0

substituirt, rechter Hand die Variationen o(«, j3) und ö'i^'und es bleibt noch

( r.,ri-2i

''I A.A.

r,2 Viciur Scr.sairi/.

Man kann also die rechte Seite in ( J8) auch dadurcii annuUiren, da.ss man

macht.

Wir zeigen zunächst, dass, wenn 55, (7^,) = 0, auch

' ' ''■1 h '
sein mus.s. In der That, es ist

. .„ - ... /3^A - /^F>\ ^P V^ o /([«— 2,131 _^-, [a— 1,5-1 1)_^

also in Folge der Relation (15) und mit Rücksicht auf die Relationen

v[»->,f],..„.=-^ „„d v[-f-'K''

auch ;

3m

8(2),ü) 3(^;CÖ

3(j,,(J) ■ 3(0,^)

Die rechte Seite dieser Gleichung verschwindet aher identisch, wie eingangs des vorigen Artikels hemerkt
worden ist, also ist aueli

womit unsere Behauptung bewiesen ist.

In der Transformation, welche zur Gleichung (18) geführt hat, sind die Grössen («, ß)' als dem ersten
Differentialsystem angehörige Diflferentialquotienten anzusehen, dasselbe muss als« auch in den Ausdrücken
^i(Fi) und -niiFi) geschehen, die Gleichungen

■ni(F,)=0, i = 2,3,...,2)

können also zur Completirung des ersten Systems verwendet werden. In der That besteht dasselbe nach
Hinzufügung dieser Gleichungen aus

:^ji)+3+(^-i)=(i>f)+i

Gleichungen mit eben so viel Depcndenten, ist also völlig bestimmt. Die Integrale desselben haben nun die
Eigenschaft, die Gleichungen (12) unmittelbar in Pf äff 'sehe Gleichungen zu verwandeln, so dass nach Belrie-
digung dieser das definitive System gewonnen ist. Die Gleichungen

e.-(i^-) = 0, i = 2,3,...,p

sind eire nothwendige Folge der obigen, mit welchen sie durch die identischen Relationen:

r\ 7<; = 0, D^F., = 0,. . .,Dj,F^ = 0

Die Integntfion der partiellen Differentialgleichuiigcii. 53

veibundeu sind. Sie geben daher eine Completiiung', welche wohl der Form, nicht aber dem Wesen nach von
der obigen verschieden ist.

Da in den Ergänzungsgleichungen die Differentialquotienten (a, ß) ' linear enthalten sind, so hat es keine
Schwierigkeit, dieselbe zu berechnen. Die Rechnung gestaltet sich am einfachsten, wenn man die in der
Anmerkung des vorigen Artikels charakterisirten wesentlichen Integrale zu Grunde legt. Ist nämlich /', ein
wesentliches Integrale des /ten Systems, welches kein (0,^j)) enthält, cy, das Ergänzungsintegrale, welches
kein (jj, 0) enthält, so ist nach dem obigen :

f=fi-9: = ^^ («)

also :

8/;-

d(p,0) 8(7;,0)

^{p—p,p)

8/'.-
3(i^, 0)

8^/.-

Kp-p^p)

8ry,

0,p — 11 ' 8(/,- d'f

iß)

(7)

wie unmittelbar aus den Gleichungen (20) und (21) gefunden wird. Anderseits ist zufolge der Relation (a)

fh_\ _ /^\ _ f^Jl!\ /in _ f^\ _ /%iA . ^f — ''f' Jf^ _ 8(/, _

[dx)'~bx) [ixr[dyj Uz// [d!/)'dij),0) d{p,0)'d(Ö,p)- 8^0,jj)'

und damit ergibt sich aus (ß)

Ml)-(fe)-»- '■'y

Die Gleichung (7) erhält nun die Gestalt :

der zweite Factor dieses Ausdruckes ist nichts Anderes als der Quotient, der durch Division des Polynoms (7)
mit X— /, entsteht, er verschwindet also für alle Werthe A = A;,, welche von A; verschieden sind. Hieraus folgt,
dass der erste Factor durch die Substitution A = A, identisch der Null gleich werden muss, d. h., dass

8/:- 1 8^^ _ _

'■ 8(^ ^ ^i),p-l J 8t 0,1» ^ *-*• (£)

Bilden wir nun die Ausdrücke t, und o, für beide wesentliche Integrale, und setzen dieselben, wie verlangt,
gleich Null, so erhalten wir die Gleichungen:

8^3::^:%^
^/^)-(l)-^a^-A;r^]^:^'^)'=^'

^'i9i) = ('-&) +

Vh>ß-21(«ßy

^'1 A,A; J

0.

54 Victor Sersawy.

Wegen i^o) und (s) ist.

also ist'dic dritte der vorausstellenden Gleichungeu von der zvi^eiten nur der Form nach verscliieden, und man
kann die Werthe der in den obigen Relationen enthaltenen Summen ohneweiters berechnen. Das Resultat ist
von der Form :

[, = 0 p = I p = 2

In den linken Seiten dieser Gleichungen sind von den Ausdrücken {p—p,p)' nur je /' — 1 enthalten.
Ist nun

P. .(A) = MI = ^ =' v"\-i)px^'— p rp-2-p, Pl,

so ist augenscheinlieh

P,.^{h) = 0,
wenn /.• vou i. verschieden ist, sovrie

Setzen wir nun für p = 0 bis p = 2^— 2

0=2

so wird

damit ist die erste Gleichung in (C) befriedigt, aus der zweiten folgt dann der Werth von (l,p — 1)' und aus
der dritten endlich {0,p)'.

Dasselbe Resultat erhält man durch eine Methode der successiven Berechnung, welche auf die eingangs
dieses Artikels entwickelten Eigenschaften der Klammerausdrücke [a, ß] begründet ist. Setzt mau nämlich
in (?) für den Index / der Reihe nach 2, 3,. . .j), so entstehen die drei Reihen:

Bezeichnet mau die Operation
so ergibt die Bildung der Differenzreihen die Gleichungen:

Die Inteyrutiun der paiikUoi DiJ/'erciitiul(jUir/mitgeH. 55

zu welchen sich leicbt die Reihe für die Ausdrücke:

bilden lässt. Die Fortsetzung dieser Operation bewirkt, dass endlich die Dititerentialqnotienten (a, ßi' getrennt
erscbeiucn, und zwar, wie eine leichte Überlegung zeigt, nachdem alle Wurzeln in die eckigen Khunmcrn
einbezogen worden sind. Dann erhält man nämlich Summen von der Form

da aber a + ß =^y und daher a—p-^-i =: — (ß — /), so ist diese Summe auch

dieser Ausdruck besteht also nur aus einem einzigen Gliede, nämlich jenem, welches dem Werthe ß ^ / ent-
spricht. Es ist aber in jedem System [0,0] = 1, so dass in der That die Ditferentialquotienten («,/3)' separirt
erscheinen.

Da bei diesen Rechnungen Integrale aller Systeme mit Ausnahme des ersten in Verwendung kommen, so
enthalten die Schlussgleichungen im Allgemeinen Quadraturen der verschiedenen Systeme. Diese können
durch die Anwendung der Operationen D.^,. . .Dp nicht entfernt werden, da die Ausdrücke («, ßV dem ersten
System angehören und daher durch Anwendung der Operationen D^^. . . ,D^, wieder partielle Ditferentialglei-
clunigen entstehen. Die Entfernung der Integralzeichen muss also successive nach dem bereits hinreichend
beschriebenen Verfahren vorgenommen ixnd im äussersten Falle zur Reihenentwicklung geschritten werden.

Die vorhergehenden Entwicklungen geben Gelegenheit, den Fall gleicher Wurzeln zu betrachten, in
welchem also die Anzahl der untereinander verschiedenen Ditferentialsysteme kleiner ist, als die Ordnungszahl
2J des gegebenen Problems. Die Bestimmungsgleichungeu für die Grössen (10) zeichnen sich dadurch aus,
dass sie stetig in gewisse Grenzgleichungen übergehen, sobald einige oder mehrere der Wurzeln der Grei-
clmng ( 7 ) stetig in einen gemeinsamen Werth übergeführt werden. Diese Grenzgleichungen müssen dann
dazu benützt werden, um die nöthige Anzahl von Gleichungen wieder herzustellen.

Um eine bestimmte Vorstellung zu haben, nehmen wir an, dass

die Wurzel X, a^ mal.

vorhanden sei, wonach

sein muss. Es entstehen nun offenbar so viel Gleichungen als erforderlich, wenn man als Wurzeln der Glei-
chung [1 ) die Werthe

/, ,/, +«2,,/, +c-g,+£3,,. . . , A, +£2,+S3,+ . . . +£j, i;
/j, />2 +«22 1 '''2 + =22+^32'- • • ' '''2 + '22 + =32 + • • ■ +'0,2!

in den Gleichungen des vorliegenden Artikels einführt und hierauf zur Grenze für verschwindend s übergeht.
Die wesentlichen Integrale, von denen man ausgeht, sind frUiieren Entwicklungen zufolge stets in der Form

vorausgesetzt. Da nun 5, anfängliche Systeme sich mit dem Verschwinden der s auf das System

dx ~ '

ö6 Victor Her Sil uu/.

zusammenziehen, so müssen sich die Integrale dieser Systeme in eine Form bringen lassen, in deren Folge
sie beim Grenzübergänge in ein und dasselbe System übergehen. Man wird also W^ als die gemeinsame
Grenze der W^, TFj,..., W., und ebenso ■lv^ als die gemeinsame Grenze der u\^, tc-,,,---, iVj ansehen können.
Die Functionsformen -jig, 'i^-;,---, "l^ müssen jedoch keineswegs mit ^^ zusammenfallen. Da Ahnliches auch für
jede andere der oben angeführten Wurzelgruppen gilt, so erhellt, dass je 5, von einander unabhängige Func-
tionen des Argumentes w^ ; je a^ des Argumentes n\^, u. s. f. in die allgemeine Lösung eintreten werden.

Das Resultat der vorzunehmenden Grenzübergänge kann natürlich erst dann ausgegeben werden, wenn
die betreffenden Integrale der einzelnen Systeme gefunden sind.

14.

Zur Erläuterung des Vorgetragenen diene das Problem:

0 = {p,0) + B,(p- 1,1) + B,{p-2, 2) + . . . + B{p-i, i) + ... + B,{0,p), («)

iu welchem die Coefticienten B^, B,^,...Bj, constante Grössen sind. Die Gleichung (7), Art. H wird hier:

0 = lP~B^ /,"-' + B.;/.'-^- + ... + (— !)'• £;.>/-'■+ . .. + (— l)"5p (13)

und wir wollen zunächst voraussetzen, dass die Wurzeln derselben sämmtlich von einander verschieden sind.
Wir bezeichnen dieselben in beliebiger Reihenfolge durch

«, , «2, «.,,.. , a.,,,
so dass

P[X) = (l-a) (A- «,) . . . (X— «,) . . . (,X-a^,)

ist. Die Integration der veisciiicdenen Differentialsysteme geht ohne Schwierigkeit vor sicli und crgil)t ins-
besondere im /ten System die Gleichungen:

Es ist sonach

Wi—ai-^i{y—a.iX)—fi

ein wesentliches Integrale, welches kein (0,^;) enthält, und

das Ergäuzungsintegrale, denn es ist

/-,-,/,= r, + '^.F-, = ()

nichts Anderes als die gegebene Gleichung selbst. Eines der wesentlichen Integrale aus jedem System nehmend,
erhält man ein System von Gleichungen, welciies zur Berechnung der unbestimmten Grössen (10) verwendet
werden kann. Der Theorie gemäss sind nämlich in den wesentlichen Integralen des 2 ten, 3ten, . . ..^^ten
Systems die Grössen des Problems durch ihie Wcrthe aus dem ersten System zu ersetzen und die so erhaltenen
Ausdrücke gleich Null setzen. Da aber in allen genannten Integralen nur für (^^,0) dessen Wertli aus dem
ersten Integralsystem gesetzt werden kann, so genügt es, den obigen Gleichungen die aus dem ersten System
fliessende :

hinzuzufügen. Dndnrch entsteht das System:

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen.
ans welchem zunächst die Grössen

(p,o),(p-i,i),(p-2,2),. . .,a,p--^)

und vermöge der gegebenen Gleichung schliesslich auch {0,p) berechnet werden können.
Zufolge der für die Grössen

\p-k,k-U

gegebenen Definition ist nun

i> I

es wird also

wenn /l von i verschieden ist, während

P,(«,)=F(«,)
ausfällt. Es ist also:

woraus sich leicht:

ergibt.

Da die Werthe ai,«^---'^/' konstant sind, kann man die Herstellung und Integration der Pfaff'schcn
Probleme umgehen, denn es ist klar, dass die gesuchte allgemeine Lösung in der Gleichung:

(0, 0) = Ä = <1>, (y-aja;) + <I>, (y— a,a;)+ . . . +*^(y— cc^aj)
enthalten ist.

Durch die Methode der Ergänzung erhält man zunächst an Stelle der Gleichungen (^) die folgenden:

also für die dort mit A^, B;, d bezeichneten Grössen respective :

Deükschriften der matbem.-nalurw.Ci. XLlX.Bd. Abhandluagon von NichtmiigUedera . h

'}9i Victor Sci'sairy.

sonach wird:

Ersetzt man hierin 1/ durch seinen Werth

aus dem ersten System und integrirt hierauf, so tritt vor die Function ^^ noch der Factor

—1

(i^~hp) = (-i)'2T[r«:)'^"^-^ ""'''■''■■''

heraus und es ist eine vvillliürliche Function von lv^ hinzuzufügen. Sonach erhält man:

^ 1 V'"' '

CJ=1

also denselben Werth wie oben.

Im Falle gleicher Wurzeln kann die Lösung durch einen einfachen Grenzübergang aus den erhaltenen
Gleichungen gewonnen werden. Resitzt nämlich die Gleichung (ß) die Wurzel

ß^ a^ mal

]3„, (7„,mal
so setze man

«i=|3,, a^ — ß^+s^, a.j=: j3,+2£,,..., «,, := |3,+((T,-1)£,

«,,+! = /Bg, «„ + 2 = ^2 + ^2; aj,+3 = ßa + ^E^,. . ., a,,+^. =z ß2 + ('^2-<)s2 ll-S.f.
und berücksichtige, dass beim Grenzübergange die Functionen

nicht in eine und dieselbe Functionsform übergehen müssen. Es folgt dann für (0,;;) beispielsweise ein Werth
von der Form :

und daraus

(0,0) = yf,, 0/_|3,.,-)+.riIf,,(y-ß,.r)+ . . . +,T",-<iIf,,/_y-ß,.r) +

worin die Functionen:

^11 ; • • •; ^ I ",; ^ 21 ; ' ■ v ' 2 "2; • ■ •

völlig willkürlich sind.

Dieselbe Lösung erhält man, wenn man in der Gleichung:

(0,0) = yf„ (//-ß, ./■)+ip,, (,j-ß^x)+. . . +1f,„, {y-ß,..x),

aufweiche sich im gegenwärtigen Falle die früher gefundene Lösung zusammenzieht, ß, durch /3,+j, ersetzt
und in der Entwicklung

welche mit dem (a,— 1) Gliede abzuschliessen ist,

(-iy'|^W,,W(y-l3,.T) durch iy,.,^,(2/-l3,a;)

Die Inteijration der juirtiellen DiffcreiiHahjlfichuiKjen. 59

ersetzt, ein Vorgang, welcher übrigeus nnr dessbalb möglieb ist, weil die Wirkungen, welche eine Verän-
derung der 1 hervorbringt, in den Integralen unmittelbar ersichtlich werden. Wo dies nicht der Fall ist,
müssen die nothwendigen Gleichungen durch successiye Vervollständigung eines beliebigen Ditferentialsystems
gewonnen werden.
Die Gleichung:

a;3(3,0) + (« + /3+7),r*y(2,l) + (a,3 + «7 + l37)xy*(l,2) + aß7/(0,3)+3x«(2,0) +

Ka + /3 + 7) + «i + a7 + l37)|.r//(l, \) + -6o^^'p/ {0,2)+x{\,0) + a^'iu{Q,V) = 0

verwandelt sich durch die Substitution

in die Gleichung

_ +^« + ß + 7) -^^^ +(.ß + .7 + ß7) ^^ +«ß7. g^ = 0,

und hat demzufolge die Lösung:

(0,0) = <l>{,jx-'')+^{iix-^)+^{i)x-i).

Ist |3 =: a, SO setze man zunächst

(0,0) = a>(ya;-P)+W(yx-Tr)
und

Da nun für verschwindendes e

ya;— f := ijx~'^-'^ ^ yx~'^ — s \o^x.yx~'^ ,

so gibt die Entwicklung von tlJ(y./-P) bis einschliesslich der ersten Potenz von £ den Ausdruck

a> {ux-'^) = a> {(jx-"—i log X . tjx-') - a> {,yx-^)--t log x . yx-'^ *' {i)x-<--) ;

ersetzen wir nun

— iyx-"- *!>' {yx-") durch <1), (y-c"") ,
so wird

(0,0) = <I)(y,t:-=')+ log .ra>j (//.<•-') +iP(yx'-ir)

und dies ist die Lösung der Gleichung:

0 = .r\3,0) + (2a + 7)/''y^2,l) + («2 + 2a7)a;y«(l,2) + «''7y^(0,3) + 3x*(2,0)+|2«+7 + a2 + 2«7|.ry(l,l) +

+ 3a^7yHO,2)+,r(],0) + a^7y(0,l).

In gleicher Weise folgt für die Gleichung:

0iir.r3(3,O) + 3«/''//(2,l)+3a'''xy^(],2)+aV\0,3)+3a;^(2,0) + (3« + 3a«)a;//(l,l)+3a»//«(0,2)+a;(l,0) +

+ «•'// (0,1)

die Lösung:

(0,0) — <\> (//,(:-") + log.r<l), (yx-') + (log,r)^<I>2 (y.c^") •

15.

Wie ersichtlich, erfordern die Entwicklungen dieses Abschnittes, dass die Gleichung (7) des Artikels 9
eben so viele Wurzeln besitzt, als die Ordnungszahl Einheiten beträgt, und dass diese Wurzeln ebenso von
Null als von Unendlich verschieden sind. Es treten jedoch NuUwerthe für die Wurzeln auf, sobald eine
geschlossene Reihe von Endeoefficienten :

8tt3 8'jj 8m

'802,i>-2)' 8(1,^.-1)' 8^

C)() Victor Sersdwy.

verschwinden^ während, im Falle eine geschlossene Reihe anfänglicher Coefficientcn :

den Werth Null besitzt, die in Folge dieses Umstandes fehlenden Wurzeln als unendlich gross angesehen
werden müssen. In beiden Fällen können durch eine Transformation der Independcnten an Stelle der NuU-
und Unendliclikcitswertlie der Wurzeln beliebige endliche Werthe eingeführt werden , so dass die eben
erwähnten Probleme sich wieder den Voraussetzungen der vorhergehenden Artikel unterordnen.

Es beruht dies auf dem Umstände, dass A bei Substituiruug neuer Independenten stets linear transformirt
wird. Sind nämlich

^=u{x,y), r,—v{x,y)

die Transforniationsgleichuugen, so folgt unmittelbar für den Werth von —z-, den wir mit A bezeichnen wollen:

3a; 8y

und hieniit ist die gedachte Eigenschaft bereits bewiesen. So folgt insbesondere für die lineare Transformation

^ =: xv + ßi/, fi 1= 'fv + otj

Den Nullwerthen von X entspricht dann der Werth
den Unendlichkeitswerthen hingegen

^»=«

Xß

7

und es ist klar, dass man a,ß,'i,o stets so wählen kann, dass keine neuen Null- oder Unendlichkeitswerthe
eingeführt werden, Es ist hiefür genügend, die Transformationsparameter als allgemeine mit den Constanten
des Problems in keiner Beziehung stehende Constanten anzusehen. Damit sind auch diese speciellen Fälle auf
den allgemeinen Fall zurückgeführt.

Vierter Abschnitt.

Das allgemeine Problem.

16.

Die Complication, welche durch Vermehrung der Independenten von 2 auf </ in allen Zahlenvcrhältnissen
des Problems hervorgebracht wird, macht es zur Nothweudigkeit, der Bezeichnung der zu betrachtenden
Grössen eine erhöhte Aufmerksamkeit zuzuwenden. Bekanntlich besteht der erste Schritt zur Lösung unseres
Problems darin, dass wir die zu suchende Dependente und deren Ableitungen, insoferne sie in der gegebenen
Gleichung enthalten sind, durch gewisse Functionen der Independenten :

ersetzen, welche zunächst nur die eine Eigenschaft besitzen, dass sie an Stelle der entsprechenden Ableitungen
in die gegebene Gleichung eingesetzt, dieselbe identisch befriedigen. Da diese Functionen der fortwährende
Gegenstand unserer Untersuchungen sein werden, sind sie es hauptsächlich, welche eine übersichtliche

Die Integration der partiellen Differenfiuhjleieluiiujen. 61

Bezeiehnungswei.se erfordern. Diejenige Bezeicbnungsweise, welche sich, wie es scheint, den Bedürfnissen der
Rechnung am besten anschliesst, ist die bereits im vorigen Abschnitte gebrauciite, welche natürlich eine eut-
sprecheude Erweiterung erfahren muss. Wir bezeichnen also jene Function, welche an die Stelle von

gci,+ot..+ . . . +«,^

'äxV S,i-'= . . . 8a;''

1

zu substituiren sein wird, durch das Symbol :

(«,, «2,..., a,^),

SO dass die Stelle, welche irgend ein Index in der voranstehendeu Complexion einnimmt, diejenige der unab-
hängigen Variabein kennzeichnet, nach welcher abgeleitet werden .soll, während der Werth des Index — der
natürlich ganzzahlig ist — angibt, wie oft die Diiferentiation nach der gedachten Independenten vorzunehmen
ist Der Summe der in einer Complexion enthalteneu Indices ist .selbstverständlich die Ordnungszahl des
betreffenden Dilferentialquotienten von z. Findet nach einer der Independenten eine Ableitung nicht statt, .so
wird der betreffende Index gleich Null gesetzt, so dass die Anzahl der Indices .stets gleich q erhalten wird.
Diese Bezeichnungsweise reicht aus, so lange die Indices a allgemeine Werthe besitzen, oder so lange nicht
einzelne derselben eine besondere Aufmerksamkeit erregen. Überall, wo ein Zweifel entstehen könnte, wollen
wir daher unter die Reihe der Diflferentiations-Iudices die Reihe der ganzen Zahlen von 1 bis q anbringen, und
zwar so, dass über jedem einzelnen Index der unteren Reihe die Ordnungszahl der Differentiation nach jener
Independenten geschrieben wird, deren Index mit dem eben gedachten der unteren Reihe zusammenfällt.
Demnach wird beispielsweise die Ableitung

durch die Function

3,0,...,7,...,0.

8a;? SicT VI, 2,

1 I -' .'

zu ersetzen sein. Für einige specielle Ableitungen werden wir noch kürzere Bezeichnungen einführen und an
Ort und Stelle definiren. Die Grösse ^^, deren Dar.stellung als Function der Independenten .r,, i\,..i-^ den
wesentlichen Inhalt unseres Problems bildet, ist nach diesem Bezeichnuugs.systeme durch die Function

(0;0,...,0)

ZU ersetzen.

Ertheilt man den Variabeln ./■,, a\,. . ., .r^ die Zuwächse t,, t^,. .;, und entwickelt den Werth, welchen z

für die Argumente ./, +i|, .fj+ij, , ■'■? + ^ annimmt, nach ganzen, po.sitiven, steigenden Potenzen der

Zuwäclise £,, fj, . .fj — da es sich liier nur um die Form dieser Eutwickclnng liandelt, ist eine Untersuchung
über die Zulässigkeit derselben überflüssig — so tritt, von rein numerischen C'oe'ffifientcu abgesehen, zu dem
Differentialquotienten :

(«i; «2;- • ■; «?);

das Product

^1 ; ^ä ; • • •; '^ ,^

hinzu, in welchem, wenn die Grössen i nach der natürlichen Reihenfolge ihrer Indices geordnet werden, die
Potenz-Exponenten «j, a^,. .«^ dieselbe Ordnung innehalten, wie die Differeutiations-Indices der nebenstehen-
den Complexion. Der Inbegriff aller Glieder von der Ordnung 7 in dieser Entwickelung kann also auch als
eine ganze, rationale und homogene Function der q Argumente i^ c^,. .t^ angesehen werden und folgt daraus
sofort, dass die Anzahl der mögliehen Differentialquotienten i'"' Ordnung gleich ist der Anzahl der Glieder
einer algebraischen Form vom Grade a und der Dimension q. Bezeichnen wir diese Anzahl durch Na, so ist

*=('-:"°)=(7_!r°)-

wobei unter

62 Viciur Sersaivij.

der /.te Coört'icicut iu der Eutwickelung des Binomes

(l+x)'"

verstanden wird. Die Anzahl aller in der vorgelegten Differentialgleielumg enthaltenen partiellen Differential -
quotienten, das heisst die Anzahl aller Ableitungen bis zur^^ten Ordnung, die letzte mit eingeschlossen, ergibt
sich hieraus gleich

2*.=(f)+('f)+--{''--l*")-

Zählt man z als die Ableitung nuUter Ordnung seiner selbst hinzu, so ist also die Anzahl aller Ableitungen von
höchstens joter Ordnung

^=|^"=i+(,lX,^:!:^)-^;---C^;ir)=?

Indem nun im Allgemeinen zwischen diesen ('^ -''j Ableitungen und den q Independenten .^■^, qc^,...x,^ eine

Beziehung festgesetzt wird, entsteht die allgemeine partielle Differentialgleichung piex Ordnung mit (j Indepen-
denten. Sei dieselbe dargestellt durch die Gleichung:

0=.^ (:.„ ..„. . . .X,,Z, ,^_^__-^_-, ),

SO haben die vorher eingeführten Functionen vor Allem die Relation:

(1) 0 = y(x„.T,,.....r„(0,0, 0), . . .(«,,«,,....«,). . .)

identisch zu befriedigen. Die Anzahl der in der rechten Seite von (1) enthaltenen Argumente ist nach dem

Vorigen :

('^r)+^

Aus der oben aufgestellten Analogie in der Bedeutung der Indices a. lässt sich ein recurrentes Verfahren
für die Bildung sämmtlicher Ableitungen irgend einer bestimmten Ordnung herleiten. Multiplicirt man nämlich
eine algebraische Form vom Grade ^ und der Dimension q mit einer linearen Form derselben Dimension, so
entsteht eine Form ^tcr Dimension aber vom Grade (u+l). Da aber bei dieser Multiplication in allen Gliedern
zuerst der Exponent von f,, hierauf jener von t^ u. s. f je um eine Einheit erhöht werden, so folgt, dass man
aus den Complexionen der aten Ordnung jene der Ordnung <7+l erhält, wenn man in allen Complexionen der
Ordnung a zunächst den ersten, hierauf den zweiten Index u. s. f. je um eine Einheit erhöht. Der Inbegriff der
so entstehenden q Reihen enthält nothwendigerweise alle Complexionen (7+l)ter Ordnung, und zwar einige
mehr als Einmal, da jede Complexion (ff + l)ter Ordnung aus denen der ^ten Ordnung so oft entstehen kann,
als die erste von Null verschiedene Indices besitzt. Und umgekehrt behält man von den Complexionen (;> + l)ter
Ordnung jene bei, in welchen der Index der /ten Stelle von Null verschieden ist, so entstehen alle Com-
plexionen (jter Ordnung, indem mau in den beibehaltenen Complexionen den Index der /ten Stelle um eine
Einheit verringert.

Nach diesen Vorbereitungen besteht unsere Aufgabe darin, die Functionen

SO zu bestimmen, dass sie

1. der Gleichung (1) identisch genügen vmd

2. gewisse, sogleich näher zu entwickelnde Integrabilitätsbedingungen befriedigen.

Diese Aufgabe kann nacli dem Verfahren von Lagrange in folgender Weise trausformirt werden:

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 63

Differeiitiirt mau die Gleicbuug (Ij nach .//. und setzt, so lauge

für

deu Ausdruck

so folgt,

8(«n «gl «?)

^ö(a,,. .a^,. .a,J Zj ö(o:,, . . . a,, . . . ,a,J 8x4. ^^

worin die Summe im zweiten Gliede auf alle Complexioueu zu erstrecken ist, deren ludexsumme kleiner ist
als -p, während in die Summation des letzten Gliedes alle Complexionen ^jter Ordnung einzubezieben sind.

Multiplicirt man nun die Gleicbungen, welche sich aus (2) durch Specialisirung des k in l,2,...,(j
ergeben, beziehungsweise mit (7x, , dx^,..., dx,, und addirt, so folgt durch unbestimmte Integration:

Const. = y— fV^ ^ J|^ ^^^^ j,/(a,,....,a,,...,a,)— V(a,,...^ «,.+ 1,..., ajrf.r,j ,

/.■=)

in welchem Ausdrucke die unmittelbare, hinter dem Integialzeichen stehende Summe auf alle Complexiouen
von niedrigerer als der jjten Ordnung zu erstrecken ist. Es ergibt sich liieraus, dass die Gleicbungen (2) jene
(1) bis auf eine willkürliche Integrationsconstante ersetzen, sobald für alle Complexiouen von geringerer als
der ^jteu Ordnung:

d{c^^,...,a.,,,...,a.,,) — V («,,..., «,,+ !,..., a.^)dxk. (3)

i I,

Wenn nun noch diese Gleichungen (3) unbeschränkt integrabel .sind, so sind, wie man ohneweiters ein-
sieht, die Functionen

(«,,..., a-k,..., a,j)

die partiellen Ableitungen von (0, 0, ...0); diese letztere Grösse ist demnach die gesuchte Lösung. Unsere Auf-
gabe ist also gelöst, wenn es gelungen ist, die Functionen (a, ,...aj) so zu bestimmen, dass sie die Glei-
chungen (2) identisch befriedigen, während die (3) unbeschränkt integrabel sind. Da nämlich die durch die
Integration eingeführte Coustante willkürlich ist; wird sie im Verlaufe der Rechnung stets gleich Null gemacht
werden können, und damit sind iillc Bedingungen des Problems erfüllt.

17.

Im ersten Abschnitte sind die Bedingungen angegeben worden, unter welchen Gleichungen von der
Form (3) im weiteren Sinne integrabel werden. Betrachten wir zunächst nur jene unter den Gleichungen (3),
bei welchen die Summe der in der linken Seite auftretenden Indices «j , a^,...a,j kleiner ist als 'jj — 1, oder,
wie wir der Kürze wegen sagen wollen, die Gleichungen von niedrigeren als der {j) — l)ten Ordnung uiul
entwickeln für eine derselben die Integrabilitätsbedingungen im Sinne des Artikels 3, so erhalten wir </ Glei-
chungen, welche aus der Formel :

hervorgehen, wenn man den Index i der Reihe nach die ganzen Zahlen 1,2, — 2 bedeuten lässt. Mau
erkennt sofort, dass jede dieser Gleichungen unter den (3) bereits mitenthaltea ist, wenn die Summe

a, + 6(2

-I- ... +«,-+- ... -+-«/,+ ... 4-a,^<i:'— 1 ,

64 Victor .Sersd.uuj.

wie wir vorausgesetzt babeu. Aus den Gleicbungeu (3) lassen sich also stets G-ruppeu von je q Gleicbungen
zusammenstellen, so dass die Gleichungen einer Gruppe zugleich die Integrabilitätsbedingungen für eine
gewisse ebenfalls unter den (3) bciindlicbe Gleichung nächst niedriger Ordnung sind. Daraus folgt, dass
alle Gleichungen niederer Ordnung integrabel sind, sobald dies bei den Gleichungen der höchsten Ordnung
der Fall ist; es ist also blos nöthig, die Integrabilitätsbedingungen für jene unter den Gleichungen (3)
zu entwickeln, bei denen

a, +«2+ ... +«j = 2' — 1-

Man erhält diese Bedingungen, indem man in der Formel

d{a^,...,ci, + \,...a,,...a.^)=\-^-^ ^^-i '- 'i>-dx, (4)

für a^, a^,...a.^ alle Complexioneu Q;—l)ter Ordnung setzt und hierauf/ alle Zahlen l,2,...q der Reibe
nach bedeuten lässt. Die solcherart entstehenden Relationen sind die nothwendigeu und hinreichenden Inte-
grabilitätsbedingungen.

Es ist zunächst zu bemerken, dass — die Gleichungen (4) in ihrer Gesammtheit betrachtet — sowohl in
den linken Seiten, hier mit dem Zeichen der totalen Differentiation versehen, als auch in den rechten Seiten,
hier mit dem Zeichen der partiellen Differentiation verbunden, alle Ableitungen ^^ter Ordnung enthalten sind,
wie aus dem im vorigen Artikel aufgestellten recurrcuten Bildlingsgesetze unmittelbar zu entnehmen ist.
Anderseits ist klar, dass sich diese Gleichungen von selbst in q Gruppen scheiden, je nach der ludepen-
deuten, nach welcher in der rechten Seite und zwar partiell abzuleiten ist, und zwar entstehen die Integrabi-
litätsbedingungen der /ten Gruppe, wenn man in (4) den Index / festhält und statt der Grössen c(.^, a^,...oc^
alle Complexionen {p — l)ter Ordnung substituirt. Jede solche Gruppe enthält aber so viel Gleichungen als
Dififerentialquotienten (p — l)ter Ordnung, das ist

q-l+p-l]
q-1 I

1-

und in den rechten Seiten aller Gleichungen einer und derselben Gruppe sind abermals sämmtliche Comple-
xionen ^jter Ordnung enthalten. Aus einer und derselben Complexion

(«,,«;,,. . ., a,) der (p) — l)ten Ordnung

können q von den Gleichungen (^4) abgeleitet werden, deren jede einer anderen Gruppe angehört; daher ist
jede der Gleichungen (4) detinirt, wenn man einerseits die Complexion (|> — l)ter Ordnung angibt, aus der
sie hergeleitet ist, und anderseits die Gruppe, der sie angehört.

Wir vereinigen nun die Gleichungen einer jeden Gruppe zu einer neuen Gleichung, indem wir jedes Indi-
viduum einer Gruppe mit einem vorläufig noch unbestimmten Factor multipliciren und die erhaltenen Producte
addiren. Zur Kennzeichnung der hiemit eingeführten Factoren genügt es nach dem eben Gesagten, die Com-
plexion anzugeben, aus welcher die mit denselben multiplicirteu Gleichungen entstehen und die Gruppe,
welcher dieselben augehören. Daher bezeichnen wir den Factor der Gleichung (4) durch

1«

"./

und erhalten aus der iten Gruppe die Relation:

A-=

3(a,,...,C(;,...,at -4-1, ■■■,«,,)

/t=i

wobei die Summenzeichon, bei denen sich keine nähere Angabe befindet, bedeuten, dass die Summation
über alle Ausdrücke, für welche

«j-t- ..• -1-«;-+- ••• +a.k-\- -..«j ■=.p — \,

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 65

zu erstrecken ist. Durch Specialisirung von / in 1,2,. . .q resultiren hieraus q Gleichungen, den q Gruppen
entsprechend, in welclie sich die Integrabiiitätsbedingungen formiren lassen.

Wie aus einer vorhin gemachten Bemerkung ohneweiters fliesst, sind in den rechten Seiten einer jeden
der zuletzt aufgestellten q Gleichungen die Ableitungen aller Functionen («,,...,«,,) enthalten, deren Index-
surame^j beträgt. Benützen wir also zum deutlichen Unterschiede die Symbole:

zur Bezeichnung der Ableitungen ^jter Ordnung, und ordnen die rechten Seiten der letzten Gleichung nach
diesen, so entsteht die Formel:

v^^-'--^'--^-'--^vrp„...,|3.,...,ß.-i,...,|3,F^..,

(5)

i=i

wobei
und

«,+ ... +K,+ . . . +«4+ . . . +«,, =1 p — l

zu halten ist.

Wir haben damit q Gleichungen erhalten, welche unmittelbar mit jenen (2) des vorigen Artikels vergli-
chen werden können. Um dies deutlicher hervortreten zu lassen, fassen wir in den (2) die Glieder von niederer
als der j9ten Ordnung unter die Bezeichnung:

ä^) = ^ + V- 5P ^(« ...,«, + !,. ..,«,),«, + . . .+«4-+. . .+«,<;; (6)

zusammen und ersetzen hienach den Index A- durch /, sowie die Complexionen y*ter Ordnung, welche dort
durch (a, , «2,. . .,a,) bezeichnet wurden, durch die hier eingeführten Complexionen {ß^. ß^^ . . . ^ß^). Dann
lauten die (2) wie folgt:

und durch Vergleichung dieser Relation mit der obigen (5) folgt, dass für alle Werthe des i z^ 1,2,. . . ,q und
für alle Complexionen ja ter Ordnung:

^ — I — k=l

V8-''.^ i[ß„...,ß„...,ß,)

sein muss. Die Summe linker Hand ist hiebei auf alle Complexionen zu erstrecken, für welche

«1 +«2+ • • • +«,■+ . . . +a, z=/>— 1 .

Eine unmittelbare Folge dieser Gleichungen ist, dass der unbestimmte Factor, mit welchem irgend eine
der Gleichungen (4) multiplicirt worden ist, nur abhängig sein kann von der Complexion, aus welcher die zu
vervielfachende Gleichung entstanden ist, keineswegs aber von der Gruppe, in welche die lietretfende Glei-
chung eingeordnet wurde. Es resultirt dies aus dem Umstände, dass die Nenner rechter Hand von / uitab-
häni;ig sind. Daher ist der Index, welcher den unbestimmten Factoren beigefügt worden, überfiüssig und
die zu erfüllenden Gleichungen lauten:

Denkschriften der matheni.-nat urw. Gl. XLIX. Bd. Äbluindlungen von Nichtinitgliedern. i

66 Victor Sersawy.

l—i -^ k_^ (7)

_ih-\ ^f

Ux.J 3(ß,,...,(3,,...,ß,)

Die Ausdrücke auf beiden Seiten in (7) bilden sieb nacb einlachen Gesetzen. Was zunächst die Brüche
links betriflft, so ist jeder derselben durch den Index / bestimmt, für welchen er zu bilden ist. Schreibt man
nämlich alle Complexionen (^— ])ter Ordnung an, und schliesst jede einzelne mit eckigen Klammern ein,
so hat man alle unbestimmten Factoren, welche in den Zähler eingehen, wobei man übrigens bemerken wird,
dass diese zugleich alle unbestimmten Factoren sind, welche überhaupt in Kechnnng treten. Man erhält nun

den Zähler, welcher zu dem Nenner — [-4-] gehört, indem man jeden unbestimmten Factor mit dem totalen

Differentiale jener Ableitung jjter Ordnung mnltiplicirt, deren Indexreihe aus der des nebenstehenden Factors
durch Erhöhung des a, um eine Einheit entsteht und die erhaltenen Producte addirt.

Die Brüche rechterseits sind durch die Complexionen bestimmt, welche im Nenner auftreten. Der Zähler
ist eine Summe von der Form:

X^ c?a;, + . . . +X< rf./;i-f- . . . -if^qilx^,

und der Coefficient X^. von äx^ ist jener unbestimmte Factor:

||3,,ß„...,ß.-l,...,/3,l,

dessen Indexfolge aus der des Nenners entsteht, indem man den Iudex der /iten Stelle um Eins verringert.

Der Natur der Sache nach können die Indices innerhalb der eckigen Klammern niemals negative Zahlen
werden. Es müssen also Klammerausdrücke, welche bei Befolgung dieser Gesetze negative Indices erhalten
würden, der Null gleich gesetzt werden.

18.

Die Gleichungen (7) repräsentiren ein System simultaner gewöhnlicher Differentialgleichungen, in wel-
chen eine beliebige der Variabein als Independente angesehen werden kann. Wir bestimmen hiezu .Tj , und

setzen allgemein

dxk_
rfx,

so dass X,, wo es der Symmetrie wegen beibehalten wurde, den Werth 1 besitzt. Da ferner einer der unbe-
stimmten Factoren willkürlich ist, setzen wir

[2,-l,0,0,...,0] = l

und verwenden durchgebends die Lag ränge 'sehe Bezeichnung der Differentialquotienten, wonach

r.\' —

dx.

'i

zu verstehen ist. Durch diese Suppositionen erhalten wir aus (7) das System:

,8y ■

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 67

Scp

^ 8(p7ör:7oy

Wir fügen i<owie bei den runden Klammern in zweifelliaften Fällen auch bei den Ausdrücken mit eckigen
Klammern eine untere Indexreihe hinzu, durch welche die Stelle der oberen Indices angegeben wird, und
setzen insbesondere:

v\=V^\::X3' <"=(i;;?;;:;:tv,^)

'1, ^, . . . , I,. .. ,(1^ ^L,^j . .. ,1,... ,([

,:j^[o;«;.:,,-i;..:,oj; ^,:^(o:o;...,^,.:oj

LI, _,..., I, ■■■,«1^ ^^j-' th-i-yl

i,i=[o,o;..:,o..:.„-ij; i,,=^f--f---Ä.

A.

Die Anzahl der Gleichungen, welche durch Specialisirung von (ß, ,...,ßt,...,,3,) aus (9) entstehen, ist
um eine Einheit geringer als die Anzahl der Ditt'erentialquotienten^jiter Ordnung, also gleich:

('7ir)-'-

Diese Gleichungen enthalten die unbestimmten Factoren, deren noch

geblieben .sind, und ausser diesen die
unbekannten Grössen:
Es sind also um

!('7-ir)-'| - |{'-j-r') -'*'^-i'i = ('7!r) -«-')

Gleichungen mehr vorhanden als unbekannte Grössen. Berechnet man die

(<?-2|i')^.(,_2)

Unbekannten aus eben so vielen mit einander verträglichen Gleichungen und setzt die erhaltenen Werthe in
die übrigen Gleichungen ein, so entstehen also

g-2
Bedingungsgleichungen, welche bestimmte Beziehungen zwischen den Ableitungen

enthalten und aus diesem Grunde im Allgemeinen nicht befriedigt sein werden. Es kann nun augenscheinlich
nur zweierlei der Fall sein. Entweder sind in Folge der besonderen Beschaffenheit der vorgelegten Gleichung
diese Bedingungsgleichungen identisch erfüllt, und dann sind jene Gleicliungen des Systems (^9), aus denen
sie hervorgegangen sind, überflüssig. Oder die Bedindungsgleichungen, von denen jetzt die Rede ist, sind

68 Victor Sersawy.

uicbt erfüllt und dann steht der eine Thcil der Gleichungen (9) mit dem anderen im Widerspruche. Scheiden
wir ulso mis dem System (9) jene Gleichungen aus, welche zur Berechnung der Unbekannten dienlich und
hinreichend sind, so können im ersten Falle die übrigen weggelassen werden, da sie den Vorigen keinen
neuen Inhalt hinzufügen ; im zweiten Falle müssen sie weggelassen werden, da sonst ein Widersprucii
entstünde. Unter allen Umständen müssen also, nachdem ein zur Berechnung der Unbekannten geeignetes
System aus (<)) ausgeschieden ist, die übrig bleibenden Gleichungen gestriciicn werden, und es handelt sich
vor Allem darum, diese Ausscheidung in entsprechender Weise vorzunehmen.
Wir bezeichnen mit Rücksicht auf spätere Untersuchungen:

wodurch ein Irrthum nicht entstehen kann, da in den eben eingeführten Klammernausdrücken die Summe der
Indices immer jj beträgt, während in den unbestimmten Factoren diese Summe immer nur^j — 1 ausmacht,
und schreiben demnach die Gleichungen (9) in der Form :

4=1

Um nun die nothwendig gewordene Auswahl unter diesen Gleichungen in übersichtlicher Weise vorzu-
nehmen, legen wir einem Klamniernausdrucke von der Form:

[ß,,/3,,...,ß,....,i3,]

nach dem ersten Index den Rang j3, bei, ohne auf die Indexsumme Rücksicht zu nelimen. Da zurConstruction
der Gleichung (10) die Angabe der Comple^on genügt, welche in die Klammer linker Hand eintritt, so
werden wir im übertragenen Sinne auch von der Gleichung (10) sagen, sie besitze den Rang ß^. Um im
Folgenden eine gleichförmige Ausdrucksweise zu ermöglichen, müssen wir jedoch für die einzifferigen Com-
plexionen :

\o,p,...,o\ ro,o,...,p|

Ll,2,..-,2-'' ''l,2,...,vJ

deren Bedeutung aus der kurz vorher gegebenen Definition ohneweiters folgt, und für die folgenden :

ro,^-i,...,oi ro,o,...,^-ii

^1, 2 ,qi' 'Ll,2. ...,q i

deren Bedeutung weiter oben angegeben wurde, eine Ausnahme bedingen, indem wir denselben, obwohl der
erste Index Null ist, dennoch einen von Null verschiedenen Rang beilegen. Wenn also von Ausdrücken die
Rede sein wird, deren Rang von Null verschieden ist, so werden darunter nicht nur die Ausdrücke , deren
erster Index von Nidl verschieden ist, sondern auch die einziiferigen Complexionen der betreffenden Ordnung
zu verstehen sein.

Setzen wir nun tür den Augenblick die Grössen 1^,...,!^ als bekannt voraus und schreiben die Formel
(10) per extensum auf, wie folgt:

Iß,,. . .,ß,\ = \ß~-[,ß,,...,ß^]+i,\ß^,ß,-i,.. .,ß,i+ +K[ßi,ßz,- ■ -A-n,

so sehen wir, dass, so lange die Complexion linker Hand einen von Null verschiedenen R;ing besitzt, der erste
der auf der rechten Seite auftretenden unbestimmten Fnctoren, das ist

[ß-\,ß„...ß,]

im Range stets um eine Einheit niedriger ist, als alle übrigen in derselben Formel enthalteneu, und ziehen
daraus den Schluss, dass alle unbestimmten Factoren von gegebenem Range berechnet werden können, wenn

Die Integration det" partiellen Differentialgleichungen. 69

die Berecbnung der Factoren nächst höheren Ranges und der Ä auf irgend eine Weise bereits vollzogen ist.
Da ferner der unbestimmte Factor

[|3,-l,l3.,-.-ßj]

in den Gleichungen vom Range ß, nur einmal auftritt, und daher, so lange ß^ von Null verschieden ist, für
jeden zu bestimmenden Factor nur Eine Gleichung voriianden ist, so sieht man, dass, sobald die Grössen
^2, A.;,.°.Ay bekannt sind, das System jener Gleichungen (10), in welchen |3,>-0 zur Berechnung der unbe-
stimmten Factoren jederzeit geeignet ist. Es ist aber auch ausreichend, denn die Anzahl der Gleichungen,
welche der aufgestellten Bedingung genügen, ist gleich der Anzahl der Complexiouen (p — l)ter Ordnung, also
auch gleich der Anzahl der unbestimmten Factoren, wobei der leichteren Ausdrucksweise wegen einerseits die
identische Gleichung :

[^;,0,0,...,0|= ^*^' ■

dm

d(i)

und andererseits der Factor

[^-1,0,...,0J = [1] = 1

mitgezählt wurden.

Um die noch fehlenden Werthe der {q — l) Grössen 1^,. • ., /,j zu finden, heben wir aus den Gleichungen

(10) die folgenden heraus:

■^ P.-2,U, 1,...,U| , h;-l,0,...,0,...,0] -^ p.-/-l,0,...,/,...,01 ■ h;-/,0,...,/-l,...,0|

\[1] ^ ''l l,..2,.Av..,gJ+'n 1, 2,...,Av..,gJ_ ^ ^'L l...;J,...,fc,..,gJ+M l,...2,..., Ä,.... gi

1 r^-i,o,...,i,...,o] ••• [p-^i,o,...,i,...,o\

L l,...2,...,A-,...,2-l L 1, 2,....k,..,qi

, ro,o,...,;;-i,...,oi (11)

"" rO.O, ..,y-,...,0| '

ll.2,...,l;...,q\

in welchen der Symmetrie wegen die allgemeinen Zeichen

[IJ und X,,

statt ihres gemeinsamen Werthes 1 beibehalten werden. Es sind dies /; Gleichungen, welche die (p— 1) regel-
mässig abgestuften Factoren :

b-2,0,...,l,.,.,0] r^j_/,o,...,*-l,...,01 rO,0,...,^-l,...,01^rA.l («)

l l,...2,..,k,..,qi' 'L 1,..2,..., k,...,qi' 'Ll,2,..., k,...,qi '^

und die Grösse At enthalten, sonach zur Bestimmung dieser Grössen hinreichend sind.
Verstehen wir unter Wi eine willkürliche Grösse, bilden das Product:

(r,_l)-„,-,-,[.-.-..0,..-,j..^.,O]j.,„._y =

1=0

und ersetzen im Resultate die Coefficienten der verschiedenen Potenzen von oot durch die aus den Gleichungen

(11) fliessenden Werthe derselben, so folgt:

.■ — n .-—ii \^ 1. ...S K, . , • *Q

7Ü Victor Scrsaioy.

w,, — A/.. ist also ein Tlieiler des letzten Polynoms, oder mit anderen Worten, Äj ist eine Wurzel der
Gleichunj;':

^ - -^ 'K 7 — 1 n ^ 1 rir <"' + • • +(-!>■ —/ — nr-^^-^ .vr '^V + • • • (\2\

20) '' 3/jö-l,0,...,l....,üA ^ -^. g/^-/,0,...,«,...,OA ^ U'^j

V ] 2 /.' (/ / V 1 2 A- ff /

H-(-iy.A = PM.

Mit Ä/, zugloicli werden aber die oben unter (a) angeführten unbcstiiumteu Factoren bestimmt. Wählt
man nämlich aus den p Wurzeln der Gleiciiung (12) eine aus, um sie mit Ä/, zu ideiitiiiciren, so sind die
genannten unbestimmten Factoren rationale, symmetrische Functionen der übrigen p — 1 Wurzeln, und man

erhält sie entweder durch Division des Polynoms P('j)^) mit ^^^ (wi — X^) als Coefticienten der Grössen

3(1)

( — 1)' oj^'-'-' oder durcli directe Rechnung aus den Gleichungen (11). Man wird bemerken, dass in den Nen-
nern in (11), den letzten ausgenommen, nur solche Complexionen enthalten sind, in denen der Index von Null
verschieden ist; man muss also, um 4 zu bestimmen, noch die Gleichung, welche die einziiferige Complexiou

ro,o,..., /.,..., 0]

enthält, zu Hilfe nehmen.

Specialisirt man in (^12) die Zaiil /,■ in 2,3,. . . ,q, so erhält man der Reihe nach Gleichungen für \,. . .,
Xj, nachdem mau noch aus (lU) die aus den einzifferigen Complexionen

Ll,2,...,3J

?J' 'Ll,2,.. .,,_/-!

1,2,3, ...,qi

entstehenden Gleichungen zu Hilfe genommen hat.

Da solcherart die Werthe der Grössen \,l^,. . .,1,, und der unbestimmten Factoren vom höchsten Range
gefunden sind, ist gezeigt, dass aus jenen Gleichungen in (10), deren Rang von Null verschieden ist, alle
Unbekannten eindeutig bereclinet werden können; es sind also aus dem System (10) alle Gleichungen nullten
Ranges wegzustreichen.

Es gibt nun Complexionen ^j ter Ordnung überhaupt:

Complexionen, deren erster Index von Null verschieden ist

-1+iJ-l
q-1

und da in dieser Anzahl eine einziiferige Complexiou mitgezählt ist, sind ausserdem noch

q-1

einzifferige Complexionen vorhanden, die Anzahl der Complexionen nullten Ranges, also auch die Zahl der
vernachlässigten Gleichungen, ist demnach

[('7ir)- ('- J3"-')] -<*-■>= ('-'r)-'"-"-

Diese Anzahl fällt zusammen mit der Zahl der Ableitungen j^ter Ordnung einer Function von q—\
Argumenten, wenn die (^—1) einzitt'erigen Ableitungen ^; ter Ordnung nicht gezählt werden. Rs ist also zu
erwarten, dass im Verlaufe der Rechnung eine gleich grosse Anzahl von Bedingungen auftreten wiril, welche
die hier verloren gegangenen Beziehungen ersetzen müssen.

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 7 1

B.

Indem nun ein Tlieil der Gleichungen (10) vemacblässigt, der andere aber zur Bereclinung der imbe-
kannten Grössen verwendet wurde, verbleiben noch die Gleichungen :

und die q Gleichungen (8). Diese entlialtcn in endlicher Form alle Variabein des Problems, mit dem Zeichen
— behaftet nebst den Independenten x^,x^,. . .,x,j nur die Variabein der/>ten Ordnung.

I

A\ir nehmen also die Gleichungen (ii) zu Hilfe und haben sonach das System:

dx^

— A,

. «/.. .

dx^

dx^ -^^'

dx^_

..a^-f-l,..,

•.«9),

«,+ ...-4-«/+ ..

..+«,

.,a,,l' = Vä,,!«, ,...,a^. + l,...,a3), «,+ ... -4-a/.+ ...+«, <iJ (1)

S[a, , ...,«,-,..., aj|(a, ,...,«, + l....,ag)' = r— , a, + . . . +«,+ ... +a,^ =:^J — 1.

Da in der ersten Zeile (q — 1), in der /weiten f^^ "|"^), und in der dritten »jr Gleichungen enthalten
sind, besitzen wir im Ganzen:

Gleichungen zur Bestimmung der

(^;^) +«-1

Dependenten des Systems und daher um

Gleichungen weniger als zu bestimmende Grössen vorhanden sind. Eine gleiche Anzahl der letzteren muss
also während der Integration als unbestimmt angesehen werden. Da unn überhaupt

(v-r)

Ableitungen jj ter Ordnung vorhanden sind, und vermöge der q letzten Gleichungen des Systems (I) die Diffe-
reutialquotieuten der einziiferigen Functionen

(1), (2), •••,(?)

durch die Dift'erentialquolienten der übrigen Functionen ^ ter Ordnung ausgedrückt werden können, empfiehlt
es sich, die letzteren als die willkürlich bleibenden Grössen anzusehen. Sonach verbleiben während der Inte-
gration des Systems (i) alle Dependenten ^ter Ordnung mit Ausnahme der einziflerigen unbestimmt, und wir
bctracliten dieses System als iutegrirt, wenn es gelungen ist, alle übrigen Dependenten des Systems als Func-
tionen der Independenten x^ , der erlorderlichen Anzahl Integrationsconstanten und der willkürlichen Grössen
darzustellen. Es ist übrigens klar, dass die letzteren in den Integralgleichungen nicht nur als Functions-

72 Victor Sersawy.

argumente im gewöhnliclien Sinne, sondern auch unter lutegralzeieheu auftreten werden. Die Anzalil der
Integrationsconstanten ist !;ieich der Anzalil der Gleichungen, also:

19.

Eine Function der in dem System (/) auftretenden Argumente wird im engeren Sinne ein Integrale dieses
Systems genannt, wenn deren Ableitung nach .r, mit Rücksicht auf die Gleichungen (1) identisch verschwindet.
Um also die Definitionsgleichung der Integrale zu erhalten, entwickeln wir den Dififerentialquotienten von

F[.T,,.T2,...,.r„..., («,,.. .,«j),...]

nach .r, und setzen denselben gleich Null. Da vorausgesetzt werden muss, dass in der Function F auch Qua-
draturen über die willkürlieh gebliebenen Grössen enthalten sind, so bemerken wir, dass alle Bestandtheile
dieser Art als Functionen von.r, , welche im Allgemeinen auch sämmtlichc Integrationsconstanten enthalten,
anzusehen sind. Danach wird zunächst:

äF '^ W . ^ ^F *v-.* ^ .^ ^r^ ^F .. . .,

-7—-= > -ä '^*+ ) n7~~ T / («,,••■. «i + 1 cc.j)l,+ \ -^-5 — -(ß,,...,ß,)'.

k=\ k=\

Hierin ist die erste der zwei Summen, bei welchen sich keine nähere Angabe befindet, auf alle Comple-
xionen von niederer als der^^ten Ordnung, die zweite hingegen auf alle Complexioneu juter Ordnung zu
erstrecken.

Wir schreiben die erhaltene Gleichung in der Form:

(IF X^ . { dF sr^ ^F . ) \^ W'' r o /

(^x^ ^j I 8,r,, Z_iO(a,,...,a^.,...,o;,) ' '\ ,_, 8(ß [i,,) '^'

und benutzen die Bezeichnung:

um sie noch weiter zur Gleichung:

(IF ''^ ,ZF\ v-, 8f

abzukürzen.

Aus den Gleichungen (8) folgt nun:

f^'l 8(1)

worin das Zeichen S vorübergehend dazu gebraucht wurde, um anzuzeigen, dass die Summation rechter Hand
über alle Complexionen, fUr welche «,+ ...+«/,+ ... +«y = ja— 1, mit Ausnahme der Complexionen

|1]. [2|,...,[5j

Die Integration der partiellen Di/l'erentialfjleichunf/en. 73

auszudehnen ist. Mit Rücksicht auf die Relationen:

1-71 ^9 1 r;i ^f '''i'

wird weiter

/8cö

31^)

/.=,

v-\ ^F Q,\cc ci!, a] ,

/.•=!

oder, da die letzte Summe auch gleich:

und wenn wir nocli die Abkürzung einführen:

,, _ (11.) fei Jl_

endlieh

/t = f ;.•=!

In dieser Gleichung kann ül)rigens das Zeichen .S wieder durch S ersetzt werden, da die Coefficienten .
der eiuziflerigen Grössen

(ly, (2)',...,(q)'

identisch gleidi Null werden. Bezeichnen wir also die in der rechten Seite der letzten Gleichung definirte
Operation mit D,, das heisst, verstehen wir:

n F-Vl F^V>o p p V ( ^f" 'f'[(3, ß,..~l,...ß,] 8F|

ß,+ ---+ßk+--.+ßu=P,

so ist F ein Integrale des Systems (I), wenn

D,F=0.

Wir bemerken, ohne vorderhand auf die Eigenschaften der Integrale näher eiuzugelien, dnss jedes Inte-
grale des Systems (1) allen Gleichungen der Form:

dF

y!^- fe-'--Mig, = o. r^,,...+?.+ ...+A, = , (15)

»,ß,...^,ß,.....ß,t l^ \t\ Mi)- ' "

'I ■

identisch genügen muss, da im Gegentheile gegen die Voraussetzung eine Relation zwischen den willkürlich
gebliel)enen Grössen gegeben wäre. Aus eben diesem Grunde folgt aber auch, dass die gegebene Gleiclmng
selbst nicht unter allen rmständen zu den Integralen des Systems (/) gehören kann. In der TJiat, setzen wir
in (14) y statt F, so verschwinden die F^, jetzt ^^ identisch und es folgt:

Denkschriften der raiithoni.-naliirw. tU. XijlX. Bd. Abh.iudlungen von NichtniitKliedern. k

74 Victor Sefftuwy.

D,^ _ S(|3,,...,|3..,...,.i3,) j^^^— _-_^ _ 2^ _,

Benützen wir die Relation

8(1)
um den f'oefficienten von (ß,,. • -jß/.,- ■ -jßq)' zu transformiren, .so wird derselbe gleich:

'd{ß„...,ß„...,ß,) ^ ^^ii>---'r r.n-^^^.

k=t

Von den Ausdrücken dieser Art werden bei allen Problemen jene gleich Null, bei denen die Conipkxion
(|3j,. . .,ßt,. ■ .,ß,j) einen von Null verschiedenen Eang besitzt, während die Coefficienten nullten Ranges nur
bei besonderer l^eschaüfenheit der gegebenen Gleichung verschwinden. Die gcgeliene Gleichung wird also
durch die Integralgleichungen des Systems (/) im Allgemeinen nicht auf Constante reducirt, doch kann der
Ausdruck, welcher entsteht, wenn man in © an Stelle der Variabelu deren Werthe aus dem Integralsystem
substituirt, neben den Integrationsconstanten nur mehr die Variabeln nullten Ranges, nicht aber .r, enthalten,
wie aus dem Werthe von D/f unmittelbar zu erkennen ist.

Nun muss aber die gegebene Gleichung (1) unter allen Umständen befriedigt werden. Sind die (!lei-
chungen (10) alle mit einander verträglich, so geschieht dies sowie bei den früher behandelten Problemen
durch eine Beziehung zwischen den Integrationsconstanten, sind aber in (10) einige oder alle Gleichungen
nullten Ranges im Widerspruche mit den übrigen, so muss man zu der gegebenen Gleichung die Gleichung,
welche aus (1) durch Substitution der Integralwertbe der Variabein entsteht, als Bedingungsgleichung für die
Variabein nullten Ranges hinzufügen. Es möge sogleich bemerkt werden, dass diese Bedingung.sgleichung
jederzeit dadurch erfüllt werden kann, dass man die Grössen nullten Ranges als absolute Constante ansieht,
da dann Dif identisch verschwindet.

. Die hier gefundenen Eigenthümlichkeiten haben selbstverständlich ihren Grund darin, d.iss das System
(10) im Allgemeinen ein überbestimmfes ist. Wie seinerzeit bemerkt wurde, ist der Überschuss der in (10)
enthaltenen Gleichungen über die in denselben enthaltenen Unbekannten oder, was dasselbe ist, die Anzahl
der Grössen nullten Ranges, gleich der Zahl:

';lr)-'»-')-

Es gibt daher nur zwei Classen von Problemen, bei welchen keine Bedinguugsgleichungcn aultreten,
nämlich :

Erstens: Die Gleichungen erster Ordnung, und bei diesen Problemen ist überdies das Differeutial-
system (i) jederzeit bestimmt, denn die Anzahl der fehlenden Gleichungen:

c

wird für^ =1 gleich Null.

Zweitens: Die Gleichungen beliebiger Ordnung mit zwei Independenten, die wir in den vorigen
Abschnitten ausführlich behandelt haben.

20.

Die nächste Aufgabe ist nun, den Einfluss zu untersuchen, welchen die Integration des Systems (1) auf
die lutegrabilitätsbediugungen ausübt. Zu diesem Behufe benützen wir die Integralgleichungen, um an Stelle

Die Iidec/näiun der partiellen Differentiahjleiclumgen. Ib

der Dependenteii des Systems (/) die Integratiou.scrtnstanten als neue Veränderliche einzuführen. Hiebei wollen
wir die Veränderung, welche irgend eine Variable des Systems, etwa u, erleidet, sobald x^ allein einen
unendlich kleineu Zuwachs erleidet, wie bisher durch du bezeichnen, die Veränderung aber, welche durch
Incremente aller Constanten hervorgerufen werden, durch ^a andeuten, so dass die Gesammtänderung,
welche u überhaupt erfahren kann, durch

du+Su

dargestellt wird. Dann entsteht aus der Gleichung- (3) des Artikels 16 durch Variation des x^ und sämmtlicher
constanter Parameter die folgende:

(/(o(, ....,a,,,...,«,)+VK--v«/.-,----«.i) ~ V («,,..., ai+l,...,a,,)Ai.(/./-, + y («,,..., «^.+ 1, . .,«3)0,1-4

- — ' ^^j

k=l i=l

und hieraus wegen der Beziehungen [l):

k = q

oX«,,..., «/,,..., «J = y («,,... ,a;,+ l, ...,aJo\r-4, («,+ ... +«4+... +K3 <.p. (16)

*=i

Diese Gleichungen enthalten r/.i-, nicht, um dieselben iutegriren zu können, muss also .r, selbst zum Aus-
falle gebracht werden. In der That wird es stets möglich sein, die in diesen Gleichungen noch enthaltenen
willkürlichen Grössen, — es sind dies, wie erinnerlich, alle Functionen (a,,. . .a,^) der^jten Ordnung, die ein-
zifterigen (1), (2) ■ • • (§■) ausgenommen — so m bestimmen, dass x^ aus allen Gleichungen verschwindet.

Wir bringen die Gleichung- (16) in die Form:

0 = oX«, , . . . , ai , . . . , «,) — y (a, , . . . , «4 4- 1, . . . , «ä) &;*,

und bezeichnen den Ausdruck rechter Hand, ohne Eücksicht auf den Werth, den derselbe erhalten soll, durch

P(a,,...,ai.,...,aJ, «j+ . . . +a4+ . . . +a, -c^j,

eine Bezeichnung, welche vollkommen ausreicht, da jede einzelne der Gleichungen (16) durch die Complexion
(^«,,...«4,...«,^), welche ihr zu Grunde liegt, vollkommen gekennzeichnet ist. Dann muss mit Hilfe der Ditfe-
rentialgleichuugen (7) die Ableitung von P nach x, , das heisst

7 •

^P(«,,...,«i.,...,aj) = 0

ausfallen. Es ist nun:

d T>, N d§(c ..,at,...,a,.) sr^ dSxt ^

4=1 i=i

und andererseits :

k=,i

0 = d yX4(5t,,.. .,«, + 1, ...,«,)- y («,,.. .,a, + l,...,aj)^-^ _ yÄiö>j,...,«4+l,...,«^);

*=i k^t ' t^l

daher wird :

d 1 *~^ *"*

— P(a,,. ...«,,. ..,«,) =c?j-^(a,,...,a,,...,a,) - J|A,.(a, , . . ., a, + l, . . . , «,)j + y ^.oX«, ,...,«,+ 1,...,«,)

4=1 4=1

k=q

— y («,,..., «4+ 1, ..., a^)'^.Ci .

k *

70 Victor So- SU KU/.

Da in alkii dicscu Ausdrucken

a, + . . . + a/. -t- . . . + «^ <:p,
so ist laut (I)

<l *='

■-j—(a,,...,a/,,. . .,a,j)= y Ä^. (a, ,...,«/,+ 1, . . . , a,j) .

imd wir erhalten als Bedingung' dafür, dass ,c, aus den F eutlalle, die Gleielauigcii:

Z( «, ,...,«< , a,^) = V A/, fj ( a, , . . . , «A + 1 , . . . , a,/) — > ( a, ,...,«;,+ 1 , ... , «,/)' aiv, = 0 .

Hier ist nun zu unterselieidcn, ob

a,+ ... +C/.I.+ ... +a,, gleich oder kleiner ist als (;) — 1).
Im ersten Falle erlaubt die Gleichung (17) keine weitere Veränderung, iiu letzteren aber ist:

a.^+ ... +a,,+ l + ... +c/.,, <Zp,

und daher:

'■='1

( a, , . . . , «i + 1 , . . . , a,j )' = y («, , . . . , a,+ 1, . . . , ai+ 1, . . . , «j) ;i, .

1=1
Mit diesem Werthe verwandelt sich nun die Gleichung il7) in die folgende:

0= > A/,o(«, ,...,a/,+ l,...,«,)— \ Sx,,\ AM«, ,...,a, + l,..., a,)

k—q k=q i=i

i=5 1=9

i=i 1=1

Sind demnacli von den Gleichungen (17) diejenigen identisch erfüllt, für welche

«1 + . . . + a/. + . . . + a,, =y> — 1 ,

so fallt aus jenen Gleichungen in (16 ) , bei denen ebenfalls :

«,+ ... +«/,+ ... +a, — p—\

ist, x^ heraus und dieselben verwandeln sich in Pfaff'sche Probleme, welche durch Beziehungen zwischen
den Constanten allein befriedigt werden können. Denken wir uns nun die liiezu erfoiderlichen Kelationen
zwischen den Constanten hergestellt, so verschwinden zufolge der letzten Formel auch diejenigen unter den
Gleichungen (17), für welche

a, + . . . + ai + . . . + c£, = ^j — 2,

wonach sich dieselbe .Schlussfolgerung auch auf die Gleichungen niederer (Jrdnung fortsetzen lässt. Es erhellt
daraus, dass x^ aus allen Ausdrücken P zum Ausfall gebracht werden kann, wenn dies nur bei denen der höch-
sten Ordnung bereits geschehen ist. Daher genügt es, von den Gleichungen (^17) blos jene beiznbehalten, für

welche

«1 + .. . +«/,+ ... +ci,j z^ p—1 .

Die Anzahl der noch zu erfüllenden Bedingungen ist also gleich der Anzahl der Coraplexioncn (^v — l)ter

Ordnung, das ist:

'q-l+p-i'^
2-1

Die Integration der partiellen Diferentiahjleichiinfjen. 77

Die Zahl der Complexionen pter Ordmmg besteht aus drei Theilen, da in derselbeu
Erstens: die eiuzifferigeu Complexionen, q au der Zahl;

Zweitens: die r^~ /^^^^ j — l Complexionen, deren erster Index von Null verschieden ist,

endlich
Drittens: die Complexionen vom nullten Kange enthalten sind.

Von der Gesammtzahl dieser r'omplcxionen sind nun die q ersten durch das System (7) bestimmt,

■''"' —'i~ ' durch die Bedinguiigsgleichuugen (^17), die letzteren haben also Eine Bediugungsgleichung für

die Grössen nullten Ranges zur Folge.

Da nach Erfüllung der (17) aus deu Relationen (16) .c, entlällt, so verwandeln sich diese in Pf äff sehe
Gleichungen, dereu Lösimg dann diejenigen Beziehungen zwischen den Integrationsconstanten ergibt, aus
denen schliesslich das allgemeine Integrale der gegebenen Gleichung resultirt.

Denkt man sich die Bedingungsgleichungen (17) iutegrirt, so ist die Form, in welcher die eben erwähnten
l'faff 'sehen Gleichungen auftreten, in dem einen Falle leicht herzustellen, wenn als Integrationsconstaute
des Systems {!) die Anfangswerthe der Dependenteu genommen werden, welche vermöge der Integralglei
cliiingen einem eoncreten, nicht siuguläreu Werthe x" des .r, entsprechen. Bezeichnöü wir diese Anfangswerthe
durch oben angefügte „"", so reduciren sich die Gleichungen (16) auf die Form:

d(«, ,...,«,,,..., a,j)ö = y (a^ ,..., <x,,+ l, ..., aä)"oV, «, + •.. +«/.-+ • ■ ■ + '■'■,, <P ;

setzt mau also:

(a, , . . . , ai , . . . , «,;)" = 0 (a, , . . . , «4, . . . , «,/) ,

wobei unter

«i) («,,..., ai.,...,a,j)

irgend eine Functiou der Anfangswerthe j'l,. . ..c" zu verstehen ist, so ist:

uud hieraus folgt sofort :

,, 8«I>(g^, ...,«,., ■■■,«,)

(«,,...,«4+1,..., <X.j]' = ^ ;

0 _ 3''^+---+''*+--- + '"i<l>(«,...,0,...,0)

Somit ist jede der Integrationsconstanten bestimmt, sobald für die Functionen :

<D(0,0,....0), <I)(1,0,...,0), <mp-lA),...,0)

eine Wahl getroffen worden ist. Da nun die Bedingungsgleichungen für die Grössen Oten Ranges nur auf die
Form dieser Functionen Einfluss üben können, so schliessen wir:

Erstens: dass (q—i) der Integrationsconstanten unabhängig, alle anderen aber als Functionen
dieser anzusehen sind uud

Zweitens: dass das allgemeine Integrale einer Diiferentialgleichung ptev Ordnung mit q Indepen-
denten nie mehr als j) willkürliche Functionen euthalten könueu. Doch muss sogleich bemerkt
werden, dass diese zweite Schlussfolgerung nur in gewissem Sinne richtig ist, welcher aber
dem ausgesprochenen Satze, wie sich später zeigen wird, ohne Zwang beigelegt werden kann.

Wendet man nicht die Hauptiutegrale an, sondern irgend ein anderes vollständiges Integralsystem, so
behalten diese Bemerkungen augenscheinlich ihre Giltigkeit; die Relationen zwischen den Integrations-
constanten erhalten aber dann nicht die einfache hier angegebene Gestalt, vielmehr müssen sie erst durch die
factische Integration der Gleichungen (16) gewonnen werden.

78 Victor Scrsaivi/.

Zur Cüiistriictiou <les Systems (I) gx-niigt es, iestzusetzeu, welcher von eleu ^j uiöglielieu Wertlien des Ä/,

mit -r— zu ideutificiren ist. Wir liabcu weiter obeu gesehen, dass durch diese Festsetzung auch die Werthe
dx^

der unbestimmten Facto'eu

[«,,...,«/,,..., a,J, a, + ...+«*+... +aj = p — 1

festgelegt wird, so dass alle Bestandtheile des Systems (/) bestimmt erscheinen.

Da wir im Folgenden gezwungen sein werden, zwischen den verschiedenen Werthen zu unterscheiden,
welche A/, annehmen kann, und die wir im Allgemeinen als endlich, von Null und nnter einander verschieden
voraussetzen, bezeichnen wir denjenigen dieser Werthe, welcher zum Aufbaue des Systems (/) verwendet
wurden, durch Ij. Scheiden wir dann aus der Gesammtheit der Wurzelwerthe A diejenigen aus, welche mit
dem Index „'" bezeichnet sind, so ist es immer möglich, aus den übrigen A Werthen einen Complex zusammen-
zustellen, der seinerseits abermals zur Bildung eines dem Systeme (1) analogen Differentialsystems verwendet
werden kann. Wir bezeichnen diesen Complex durch

und nennen das aus demselben hervorgehende Differentialsystem das System (//). In gleicher Weise unter-
scheiden wir nocli ein System {III), welches aus den Wurzeln

Aj , A.J , . . . , A_^

entsteht und so fort, bis endlich mit dem Systeme (P), das den Wurzeln

Ag , Aj ,. • •; A^^

entspricht, der gesammte Wurzelvorrath erschöpft wird. Die bisherige Bezeichnungsweise reicht nicht aus, um
auch in den von der Wahl des Wurzelcomplexes abhängigen Bestandtheilen deren Herkunft anzugeben. Daher
bezeichnen wir die unbestimmten Factoren im Systeme (IC) durch

so dass das Zeichen

mit dem bisher verwendeten

identisch ist. Dessgleichen bezeichnen wir eine Differentiation nach x^ , wenn hiebei das System (A') zu
berücksichtigen ist, durch

und gebrauchen diese Bezeichnung, wo Zweifel entstehen könnten, auch innerhalb des betreffenden Systems
an Stelle des bisher benutzten Lagrange'schen Zeichens. Das System (K) hat dann die Form:

' =</
DK{<y.^,..., a,-,..., a,^) = ")> Af'(a,,..., a,+ l,.,., cc,j) , a, + , . . +a,+ . . . +a,^<jij

{K)

, a.k,..
K

■•'«•i], a^ + . ..+«,+

«,,..., «4,...,«,^

[«,,...,«,,..., «,,

8(1)

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 7 0

inul irgend eine Fimction F der hier vorkommenden Argumente ist ein Integral dieses Systems, wenn

'=3

8F yi L K I 3F

[P ?,i=Mlb7

.=1 ••=• L_K-J

Die Ausdrücke

8y
8(1)

in welclieu ß, + ... +,5,, =^j, bcdlirt'en als in allen Systemen gleichbleibend keiner näheren Bezeichnung des
Systems; die unbestimmten Factoren im Systeme {K) sind also aus den Gleichungen:

'='1
|ß,....,|3,.,...,|3,]:= Vxf P'----'^^'J^--'^'j . ß,+ ...+ß,+ ...+ß,=^; (18)

zu bereclmeu. Da die linken Seiten dieser Gleichungen sich nicht ändern, wenn man die Wurzelwerthe eines
vom /vten verschiedenen Complexes mit den entsprechenden Werthen eines anderen ebenfalls vom A'ten
verschiedenen Complexes vertauscht, so folgt, dass die Ausdrücke

p,,...,ß;-l,..,,/3,]

bezüglich aller oberen Stellenzeiger der X, welche von I verschieden sind, symmetrisch sein müssen.

Sowie nun die Gleichungen (18) stets befriedigt werden können, so lange der Hang der auf der linken
Seite auftretenden Complexion von Null verschieden ist, so können auch alle Ausdrücke

p,, ..., 13,-1,. ..,13,J^
deren Rang von Null verschieden ist, ihrerseits zur Berechnung neuer Ausdrücke

rß,,...,|3;-l,...,ß,-l,...,ßj

L K,L J

verwendet werden, welche den Gleichungen

p,, .. .,J3,-I,...,ß,]^y\xp,,.. .,13,-1,... ,13,-1,. ..,ß,] "^,9^

5=1

Genüge leisten. Es folgt dies durch eine .Schlussweise, welche sich von der analogeu des Art. 18 nur dadurch
unterscheidet, dass hier die Werthe 1^,..., V' von vornherein gegeben sind.

Airs dem Bildungsgesetze dieser Grössen folgt unmittelbar, dass dieselben bezüglich der von K und L
verschiedenen Indices symmetrisch sind, sie müssen also auch bei einer Vertauschung von L mit K denselben
Werth behalten, also ist:

p,,...,l3,-l,^...,ß,-l,...,ßJ p,,..., ß,-l,... ,13,-1,. ..,l3^j_

ß,,..., 13,-1,. ..,13,

K,L J ~ L L, K

Ist nun der Eang der Complexion

von Null verschieden, so ist :

V-=i

|-ß,,...,ß,-l,...,l3,J^ y;^x[ß,,...,ß,-l,...,^ß,-l,...,ß,J

H.= l

80 Victor Srrsaiv!/.

und andererseits

p,, .. .,13,-1,. .., ßvj = V^A-p.,.. .,13,-1, ...,ß,-l,.. .,|3,j^

Zj «^L KL

somit

ix=/

|-ß,,...,l3i-l,...,l3,,J_|-ß,,...,i3,-],...,ß,J^_ SrQ,K_^L-^^ß,,...,ßi~-i,---,ß,-h ..,/3,j

Diese Gleichung drückt eine Eigenschaft der in Betrachtung stehenden Grössen aus, welche, wie wir
sogleich zeigen wollen, für alle Coniplexionen ohne Unterschied des Ranges giltig ist. Es wurde seinerzeit
bemerkt, dass in denjenigen von den Gleichungen (10), welche ein vollständiges und zugleich widerspruch-
freies System bilden, jede der Grössen :

[ßr-h---,ß,]
nur Einmal als Unbekannte vorkommt, eine Bemerkung, welche selbstverständlich auch für die Grössen

[13-1,...,13,J

K

im Systeme (18) Geltung hat. Da hiebei der Rang der Complexion ß^,.. ., ß,j. von Null verschieden sein muss,
somit ß, den Werth 1 noch annehmen kann, so kann der Rang der letzteren Grössen bis auf Null herabsinken,
was übrigens schon daraus hervorgeht, dass die erwähnten Gleichungen hinreichen, um alle Ausdrücke der
genannten Art zu berechnen. Ist umgekehrt ein solcher Ausdruck vom Range Null, also etwa

[0,v, ,7,]^ 7.+ ...+7,=P-l

K

gegeben, so ist es leicht, jene Gleichung herzustellen, welche den vorgelegten Ausdruck enthält, und, wie
natürlich, einen von Null verschiedenen Rang besitzt, da sie zu dem Systeme gehören soll, aus welchem die
unbestimmten Factoren zu berechnen möglich ist. Es ist dies offenbar die folgende:

1 = 2

Die Grösse linker Hand gestattet aber auch die Zerlegung:

und hieraus folgt :

[0,72, •••.7«]^ [0.72 7,1 -_ V \ii<\h'h^---^l/!-'i 7.1 -^IL [1,72, ...,7—1, ...,7,1

das ist:

i=q i—q

— - S?Q_K_iL^ p,72'--7.-l.---r/fll_^ yxf P'V2'---,7'-l,----V.7]__[l-72--v7/-l,---'7slj

: 1=2

Da im zweiten Theile der rechten Seite nur Complexionen vom ersten Range auftreten, kann man

ri,72,...,7,— 1,...,7J ri,72.-..,7i-l 7.1 — ^ V Q,ic^iL)\^'lt,---,l~'^,yrU ■1,---,7.1

substituiren und erhält dann

[0,7,, ...,7,1 _ [0,72,..., 7,1 _ VaK-y.) p, 72. ...,7,-1,.. .,7,1 _ V^'^ r^-V2--'A-lr-,7,- I,...7./l> .
y K \ \ L -I ~ Z^ • • '■ ' l K 1 ^ '^ I KL \\

i=Z [1=2

-H

t=2

Die TnfegraUoii der partiellen Differenfialgleichmn/r)/. s 1

Es ist mm

L K J~l KL J^^ VI KL J

mid, indem man dieseu Werth in der vorigen Gleichung snbstitiiirt, eudlicii :

f0.72^^..,7.]_[0r/,,^....7.]^_ V^A-_A.)fO,7,,...,^^-l,.,.,7,.]^ (20)

1=2

was zu beweisen war.

Wir werden in den folgenden Untcrsaehungen Veranlassung finden, diese Zerlegung welter fortzusetzen,
und die Gleicliuugen

P, ,3,-l,...,i3,-l,...l3J_ v\j,r5,....,/3,_l,...,ß,,_l,....ß„_l,...,ß 1

1 K,L J-^M K,L.M J

p=i

aufzustellen, welche ihrerseits zu einer analogen Discussion und zu weiterer Zerlegung Anlass geben. Dadurch
gewinnen wir eine Eeihe von Ausdrücken der Form

6

<■ K,L,M,N J

welche wir nach der Anzahl der in der unteren Keihe stehenden Indices in eine Stufenfolge bringen , der
7,ufolge Ausdrücke mit Einem lateinischen Index zur ersten Stufe, solche mit zwei lateinischen Indices zur
zweiten Stufe u. s. w. zählen. Es ist klar, dass man nicht weiter als bis zur ^jten Stufe fortschreiten kann.

Von den Klammerausdrücken irgend einer Stufe können im Allgemeinen nur jene in Ausdrücke der
nächst höheren Stufe zerlegt werden, deren Rang von Null verschieden ist, also können umgekehrt aus den
Ausdrücken einer bestimmten Stufe im Allgemeinen nicht alle Ausdrücke der nächst niederen Stufe zusammen-
gesetzt werden, sondern nur diejenigen, deren Rang von Null verschieden ist. Ist aber die gedachte Zerlegung
für alle Coniplexionen in jeder Stufe durchführbar, so lässt sich der Ausdruck:

^[l5.,...,ß,]t-J'...£ß% i3,+ ...+/3,=;j (21)

in p lineare Factoren zerlegen. In der That ist dann:

und da man für

y j^ßi > • • V i3i.— !,••■, t3 J|3 _ _ _ ^p^-/ _ _ _ Q,,

immer denselben Werth erhält, wie man auch y. wählen möge, so wird der obige Ausdruck gleich

worin nun der zweite Factor in derselben Weise weiter zerlegt werden kann. Man gewinnt also schliesslich
die Gleichung:

Zip ■"-! «!' • ■ e = (ZVf:")<lV«-) (sVf-).

(1=1 li=l li=l

wie behauptet worden.

Denkschriften der mathem.-nalurw. Cl. XLlX.Bd. Abhandlungen von Nichlmitgliedern. 1

82 Victor Sersawy.

Die Factoreufolge rechts ist symmetrisch bezüglich der ludices /, II,..., P, das heisst, sie behält den-
selben Werth, wenn man alle Ä-Werthe irgend eines Systems gleichzeitig gegen die eutspreclienden Ä-Werthe
eines anderen Systems, also beispielsweise

Af mit y^ und gleichzeitig .r'>. mit )J^,...,/J^ mit //'

vertauscht. Bei jeder anderen Vertauschnug ändert sich der Werth der rechten Seite. Man erkennt daraus,
dass , je nachdem die Vertheilung der Wnrzelwerthe 1 in die p verschiedenen Systeme vorgenommen wurde,
eine grössere oder geringere Zahl der Gleichungen (10) in Art. 18 und der analogen höheren Stufe erfüllt sein
werden. Im Allgemeinen gibt es also unter allen möglichen Gruppirungen der A-Werthe Eine, für weh hc die
Anzahl der mit einander verträglichen Gleichungen des Systems (lü) und der analogen höheren Stufe die
grösste ist.

23.

Wir definiren nun den Ausdruck [ '. j{F) durch die Gleichung:

,„ ,.,P ß,-lr,..ß,.-l,....M

Yy^-'^Z)-!"'^^ .«z-^ — -r^i — -

ß, + .. + ß, + .. + /3, + ..+l3,=^.

«=1

Wie aus den Festsetzungen des Art. 20 erinnerlich ist. verwenden wir das Zeichen o, um die Verände-
rung anzuzeigen, welche die unmittelbar auf dieses Zeichen folgende Grösse durch unendlich kleine Varia-
tionen der Integrationsconstanten erleidet. Das Zeichen fe, ist also gleich Null und wird in den folgenden
Entwicklungen nur der Symmetrie wegen beibehalten.

Zunächst ist also:

'v^ 2F sr^ "dF \^ ^F

Z_i oaji ^_^ 8(^a,,...,a,) Z_j ö(j3, , ...,/3,)

und andererseits ist

K,L i_^F

und suchen den Werth von

»=9 '=1 . „ '=9 P=9

p,..

,ß,-l,...,ß,^h...,ß„

Mi

^Fy . K-i . v^ ., , , _ V; I IL J_ ^F

ciF\

KlÜ

Subtrahirt man die letzte Gleichung von der unmittelbar vorhergehenden, nachdem zuvor für [- — ) dessen

ausführlicher Wei'th substitsirt worden ist, so folgt mit der Bezeichnung des Art. 20:

dF ^^ dF

p=J/3., ..•,ß,-l,..., 13,-1,. ..,|3J
, ViL IL i ^F

,ß.)

Y^rja:,yD,(ß^,...,ß,)y

^, A'T^Pl s(p)

Kid]

Die Infegrufion der paytieUe)i Diff'erentUdgleichanyen. 83

Das erste Glied der rechten Seite verbleibt in seiner gegenwärtigen Gestalt bis ::um Schlüsse der Trans-
formation; das dritte kann in folgender Art geschrieben werden:

öi'

_y8(p)y[-.---«P-V-v,«.-,--,s]yi>,^,. ..,,,+ ;
^ v\ P \ —" ^'^ ^, ^

und dieser Ausdruck , in welchem

zu halten ist, soll zunächst einer weiteren Transformation unterzogen werden. Wegen (17) in Art. 20 ist

1=9 '=9

— y Z)/(ä, «, + !,..., «,) = Z{«, «,) — y ),[ r}(a, ,...,«,.+ 1, ... , «,),

1=1 1=1

und diese Beziehung verwandelt den zu transformireuden Ausdruck in den folgenden :

p

p=i p^/,lJ '=1

Wir schreiben den ersten Theil dieses Ausdruckes in der Form :

p=, r«,,...,«.-i,..-,«;i

> Z(a, , . . ., «p, . . .,«,) )

P- ^;[A]

3(P)'

welche er dann bis zum Schlüsse beibehält.

Im zweiten Tlieile des gefundeneu Ausdruckes veräudern wir die Ordnung der Summation uud schreiben

ihn wie folgt:

•bF

P=i pl7,L-i'=i
worin nun wieder die auf die Complcxionen d^i,..., ^J bezügliche Summation der Bedingung

ß, + ...+j3, =^j

unterworfen ist. In Folge aller dieser Veränderungen wird also :

r« ...,«0 — l,...,aJ

L IL J 8/'^

i=l

9=1

p Lj, L J

=1

( P=i p^7j'=i )

1 *

84 Victor Sersawy.

Von den Ausdrücken

• =<;

IL J'

die im letztun Giiede auftreten, kann ein Tlieil in einen Klaninierausdruck erster Stufe zusammengezogen
werden denn wir wissen uns dem vorigen Artiliel, dass

1 L J ^ ^ '■ L 1,L J '

soljald der Rang der Coniplexion /S, ,...ß,-,...|3p — 1,... j3,^ von Nnll verschieden ist, Ist dies jedoch nicht der
Fall, so ist die rechte Seite in der letzten Gleichung dem Wcrtlie nach von der linken Seite verschieden, das
Gleichheitszeichen also nicht mehr giltig. Wir bezeichnen nun den Werth der rechten Seite, wie auch die
Complexion der ß beschaffen sein möge, durch

wonach

w »'-t-'-n

für alle Complexionen j3, ,.. ß,, .../3p — 1,. . ./3,,, deren Werth von Null verschieden ist, mit

|-I3,,...i3,,...ß-I,...i3,j

zusammenfällt und erhalten mit dieser Bezeichnung schliesslich :

Z3(«;7.t:;^,)^^«"-'«')+Z^(^"-'^')Z

p=i \

'\ p I

Hp)

(23)

■■=1 ( P=i Li

«,+ ... +«,<2J—1, 7, + ...+7,=^;-l, |3,+ ...+i3p+...+ß, =:p

[H aif)

So oft nun die rechte Seite dieser Identität den Werth Null erhält, entsteht eine Gleichung, welche in
Bezug auf die Grössen P und Z linear und homogen ist. Gelingt es also, die rechte Seite so oft gleich Null
zu machen als P und Z vorhanden sind, und zwar so, dass die daraus entstehenden Gleichungen von eintui-
der unabhängig sind, so erhalten die Grössen P und Z insgcsammt den Werth Null, und damit sind endlich

alle Bedingungen des Problems erfüllt.

23.

Wir wenden uns nun zur Betrachtung einiger Eigenschaften der Integrale der verschiedenen Systeme,
welche in dem Vorkommen willkürlicher Grössen in den Ditferentialsystemen begründet und füi- die Lösung
der noch zu erfüllenden Aufgabe von Bedeutung sind. Wir gehen hiebei von dem Systeme (K) aus,
welches durch die Gleichungen ij{) des Art. 21 definirt ist und als Repräsentant aller Systeme angesehen
werden kann.

Denken wir uns das System (K) integrirt, während die in demselben enthaltenen willkürlichen Grössen,
— welche übrigens, wie aus den Ausiüluuugen des Art. lü ersichtlich ist, in allen Systemen dici-elben bleiben, —

Die I)ite(jration der partiellen Diß'ereiiiialf/ieichuiiijoi. 85

keiner Beschränkung unterworfen werden, so niuss jedes Integr.ilo, das ist Jede Function F, welciie die Glei-
chungen (^K) des Art. 21 identiscii befriedigt, aucli der Gleichung

3(i3,,...,ß,,...,i5,j 2^ Ul hp) ^^'^^

identisch Geniige leisten, und zwar für alle

ßt+...+ß^. + ... + ß.,~P
olinc rnterschied. Ein Integrale, welches keine der Grössen

(1), (2),..., (5)
enthält, kann also auch keine andere der Grössen ^>ter Ordnung enthalten, da die Annahme

2F _ 2F _ _ 8F _ _ dF _

3(T)~Sr2)" ~8(7)~ ~9(^~*^

für Jede Complexion /S, , . . . ß, der ^>ten Ordnung die Relation :

2F

8(/3,,...,j3,)

= 0

zui' Folge hat. Berechnen wir daiier aus q von einander unabhängigen Integralen die Werthe der einziti'erigen
Grössen: (1), (2),...(q) und setzen dieselben in irgend ein anderes Integral desselben Systems ein, so müssen
in letzterem alle Grössen ^^ter Ordnung gleichzeitig zum Ausfall kommen. Es gibt daher in Jedem Systeme
nur q Integrale, welche bezüglich der Grössen pter Ordnung von einander unabhängig sind. Sonach kann Jedes
vollständige Integralsystem in zwei Gruppen zerlegt werden; die eine besteht aus q von einander unabhän-
gigen Integralen, welche im Allgemeinen alle Grössen jj ter Ordnung enthalten und wegen dieser Eigenschaft
als wesentliche Integrale bezeichnet werden sollen ; die zweite Gruppe umfasst alle übiigen Integrale des
Systems und diese enthalten die Grössen ^jter Ordnung nur insoferne, als sie als Functionen der wesentlichen
Integrale dargestellt werden können.
Setzen wir nun zur Abkürzung

dF

Kp)

= Cp

r p] w

so verwandelt sich die Gleichung (•-'4 ) in die folgende :

8F

8(j3,,...,i3,) J-^ . [I3,,...,ß-l,...,i3,|

W -h'^ K J' ^25)

8(1) ''='

welche dadurch ausgezeichnet ist, dass sie einen den Gleichungen (9) im Art. 18 völlig analogen Bau besitzt.
Wegen der Bedeutung dieser Gleichungen erkennt man hieraus, dass, wenn an Stelle der gegebenen Glei-
chung die neue :

F—O

gegeben wäre, das neue Problem die Wurzeln
gegen die Grössen

■),K 'iK IK

^ij Cj) • • • jC?

86 Victor Sersawy.

miigctauKclit, :ill(^ iinderen Ä-Wertlic aber, luul y.wnr in derselben Vertheilung- wie beim gegebenen Probleme,
beibehalten bat. Ans.serdem ist die Zerlegung- (1<S) im Art. 21 bei F für alle Complexiouen y;ter Ordnung
ausführbar, d:i die (Ueielumg (24) ebenfalls für alle Complexiouen j;ter Ordnung giltig ist.

Wir nehmen nun au, dass dies aueli bei der Zerlegung (19) desselben Artikels der Fall sei, dann ist für
alle ß, + . . . + /3p + . . . + j5, = y; :

ti=i

und damit folgt :

P=9 '.'■='1 1>-='J P=3

ÄiiiiiM- Vd VA4i3,----.'^-i-----i3p-i----.ß.l- Vä''V. \ß,,...,ß,-i,...,ß-i,...,ßj

8(1) P=' "=' . "=' f'='

worin L alle von K verschiedenen Indices bedeuten kann. Ausser den Grössen t kann also jeder Wurzelcomplex
des gegebenen Problems, den mit dem Index K versehenen ausgenommen, zur Construetion der dem Pro-
bleme jP:=U entsprechenden Differentialsysteme verwendet werden, doch sind hierbei die unbestimmten
Factoren gleich

V . ri3,,...,ß^-i,...,i5p-i,...,M

^ ^pL k,l J

zu setzen. Sonach folgt aus der obigen Aufstellung insbesondere das System:

, '='1

<< V 1 ■ ■ r-

(26)

V-lLi3 3 ß)V ^ ri3,.--->l3.-l ßn-l,...,ß.A- V^-'V^ 3 , .3 . , 3 , , ß _.

~'' P^ ' 3(1) (^7)

Die Gleichungen (26) finden sich in derselben Form und mit derselben Bedeutung der gebrauchten
Zeichen auch im Systeme (L) des Problems y r=0; die Gleichungen (27) verwandeln sich aber, wenn man
für die (^ wieder ihre Werthe restituirt, in die folgenden:

r|3,, ...,|3„-1,... ,13,-1,. ..,13J
8-f\ v^ ,/ . . , ,\^M K.L J dF ^

p=i [ K J

welche endlich, wenn man, was offenbar berechtigt ist, das Zeichen

- — durch Dl
''■'\
ersetzt und bemerkt, dass

in die Relationen

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 87

übergehen. Durch die Gleichungeu (26) und (27) wird eine Operation definirt, welche häufig wiederkehren
wird, so dass wir s-ie mit einem eigenen Namen bezeichnen wollen. Da es jedesmal nur auf die wesentlichen
Integral des betreffenden Systems ankommt, soll also diese Operation als „die Zerlegung der Function F in
ihre wesentlichen Integrale nach dem Systeme (L)" bezeichnet werden. Die Integration des Systems {K) im
Art. 21 bewirkt demgemäss die Zerlegung der Function ^ in ihre wesentlichen Integrale nach dem System
(7i) u. s. w.

Da nun ^ in q wesentliche Integrale zerlegt werden kann, und jedes dieser Integrale der Gleichung (24)
identisch genügt, so gilt die vorige Entwicklung für alle q wesentlichen Integrale. Bezeichnen wir also die q
wesentlichen Integrale des Systems {K) durch

K^, Äg , . . . ha, ■ . ■ Äg ,

so ändern sich gleichzeitig mit F auch die Grössen C, so dass wir dieselben mit do])peltem Index versehen
müssen. Demnach setzen wir:

^C, p —

lÜ'^.

8(1)
und erhalten nun neben den Gleichungen (26) die folgenden:

p=«

yi^.,j[^^'-'^^-\-r'^^-''-'^D,iß.,---,ß,)^

M,

3(1)
und diese geben mit Hilfe der Grössen Za^i-, welche die Eigenschaft haben, dass

°S^ „ _ \0, wenn r ^ p,
"— '1, wenn p 7= t,

die Eelationen:

^^)

Die linken Seiten dieser Gleichungen ändern ihren Werth nicht, wenn \>. mit p vertauscht wird; dasselbe
ist jedoch bei der rechten Seite im Allgemeinen nicht der Fall. Um dies zu zeigen, bemerken wir, dass wegen
der Definition der K die Identität besteht.

"-' ( 8^1) 8(,o.) 8(1))

Multiplicirt man dieselbe mit Z^, und summirt bezüglich des a zwischen den Grenzen 1 und q, so folgt:

/8Z„\ / dtp

"=' "=' 8(1) 3(1)

und durch die Supposition:

S8

]'ir1ni Sersawi/.

/8^

8(1)

yi';A(iJ..p) =
,1=1

(-)

8y

dm
8(1)

Augenscheinlich ist nun J(jm., p) der Anüdrnck, um den es sich liandelt, der also die Eigenschaft besitzen
soll, bei Vevtauschung' der a mit p unverändert zu bleiben. Nehmen wir an, das letztere sei thatsächlich der
Fall, so kann in der letzten Oleichung A(p, jj.) statt A(iJ., f) gesetzt werden, und sie lautet dann*

y l^A (p, [x] — „' ' oder

8^ > Y^ ^1 ( p, 11.) 8y

A "

3(0
80)

(■8.rJ

3(i^-)

Aus (a) folgt nun

^.vj~^ rrl 8(r)
^=1 \k\

setzen wir also noch zur Abkürzung

A{ix,t)

= 5(>.,t)

so erhalten wir die Gleichungen:

8©

-^0^-^-8^

l^)-^"^'^)^-^('^--)py-'

■B(ix.q)

8A',

8Ä,
8.f',i

Die Voraussetzung, dass

hat also die Relation :

7^(„i)|^+i^(:,,2)l|.-,

^(f^, p) = J(p, /i)

/ 8^ \ 8y 8y 8y

i'8^j'87f)'8(2)'---' W)

■B\^,q)

.8A^

8Ä' 8Ä'

8ir,

U.xv;'8(l)'8(2)'---' 8(^)

/3^,

SÄ', 8ifj 8^4

= 0

m

V3*V/'8(1)'3(2)'"""' 8(2)

zur Folge, welche beweist, dass die gemachte Voraussetzung nur dann bestehen kann, wenn ty ohne Rück-
sicht auf die Beziehungen des Problems, identisch als Function der wesentlichen Integrale K ausgedruckt
werden kann. Dies setzt nun wieder voraus, dass f selbst ein Integral des Systems (K) sei, oder mit anderen
Worten, dass die Gleichungen (18), Art. 21, für alle Complexionen y>ter Ordnung befriedigt sind.

Die IntegrafioH der parfiflle)! DiffcyeiitiaUjlekhiniijcn. 89

Wir setzen für die folgemlen Entvvicivlungen fest, dass die Zerlegung des Art. 21 durch alle Stufen
möglich sei, dann sind selbstverständlich auch alle bisher nothweudig gewordenen Voraussetzungen erfüllt,
und die Gleichungen (28) entstehen eindeutig ans der Zerlegung aller wesentlichen Integrale ^in ihre wesent-
lichen Integrale nach dem Systeme {L). Die Anzahl dieser Gleichungen ist gleich der Anzahl der Conibina-
tionen zweiter Classe mit Wietlerholungeu aus q Elementen, das ist

K'\

Die Gleichungen (26) und (28) zusanimengenommcu bilden nun ein System von Ditferentialgleichuugen,
in welchem das System (L) unseres Hau]ifproblems mit enthalten ist. Multiplicireu wir njimlich die Gleichun-
gen (28) mit Ä*-' und summiren für alle Werthe von |ji. = 1 bis p-^^q , so folgt:

/'=?

Da aber die K Integrale des Systems (Ä") sind, ist:

M=i -=- ,x=i 3,j,

,=, /^A .=,Aa

'^=' 8(1) "=' 8(1)

also wird der Ausdruck rechter Hand gleich

("8^")

8^

8(1)

Links erhält man durch Änderung der Summationsordnung

y/>,Ji3.,...,ß,,...,|3,,...,ß,)V\-p.,---,|3.-W,|3-l,...W%]

und in Folge der obigen Voraussetzungen :

^Z),(i3.,...,p,„...,|3,,...,j3,)p.'--'ßp-l'--.-^^J

durch diese Operationen folgen also die Gleichungen:

^ 8(1)

welche in Verbindung mit den Gleichungen fSG) eben das System (L) constituiren. Also sind die Gleichungen
(28) eine Erweiterung des Systems (L), und zwar sind :

= 3

f2 + l
V 2

neue Gleichungen hinzugekommen. Unter den Integralen des Systems (26), (28) befinden sich somit auch die
q a priori vorhanden gewesenen wesentlichen Integrale des Systems (L), welche im Vereine mit den (|j neuen

wesentlichen Integralen die Gesammtheit der wesentlichen Integrale des Systems (26), (28) repräsentiren.

Zerlegt man also die gegebene Gleichung in ihre wesentlichen Integrale nach dem System (A") und die
letzteren wieder in deren wesentliche Integrale nach dem System (L), so entstehen [^"J j Functionen, aus

Deuksclinlteu üei' uialliciu.-ualuivv. Gl. XLIX. ßj. A))UauüJuii^cu vou Niclilmilglieiiei ii. m

90 Victor Ser.^dwy.

denen 1. ilirer Definition zufolge die wesentlichen Integrale des Systems {K) und 2. niieli dem eben Bewie
senen aiicli die wesentlichen lutegrjile des Systems (L) zusammengesetzt werden können. Die Diifereutial-
gleichungen . welche diese Functionen definiren, machen identisch:

('^'.^(ir,)=o.

Es sei nun M„ ein wesentliches Integrale des Systems (M), so bewirken die (Tieichungen:

D^,^^ -Da-.«, = Xf,

/)a(«, «,,,...,«,,) = y (a, ,...,«^+1 a,;)Ä,';,a, + ... +a^+ . . . a,^<y; I

"=' 8(1)

in welchen

)

zu verstehen ist, die Zerlegung von Jl/^ in seine wesentlichen Integrale nach dem System lA"). Sind also die
Functionen :

die wesentlichen Integrale dieses Systems (29), so muss jedes derselben identisch den Gleichungen:

•■=' ( 8(e) )

und

<■=< '"''1 i/A'J "='
Genüge leisten.

Multiplicirt man die letzte Gleichung mit

und sunimirt über z von r = 1 bis 7 = 3, so ergibt sich, da M„ eine Function der wesentlichen Integrale Mg,r,
und daher:

UI„ __ Y Uh 8i/,,,

8(ß, ,-..A) ^3^^.,. 8(13,,...,,%^

sein muss,

ff.X

8(ß,,...,l3,)-Z8il/...Z., r / lZ'"'"L JfAT J

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 91

iiiul duicli Änderung der Summationsordnung:

das ist

,=, ,=,r3„..,.ß-l,...,|3,-l,...,l3,]

LMBTJ
Wegen der Bedeutung von /j^, wird die rechte Seite dieser Gleichung auch

jj.=4 j=3

8ii€ V y,K\^„...,?c-i,...,ß,-\,...,?,\

- 8^ ^ ■"'^'^ ^ '■ ' MK -I

-II

_dM, y ri3„...,ß,-l,...,/3J
- STT] _^ ■'''"'' L iif J

L r,^i 8p-

also schliesslich:

Die Gleichungen (29) ersetzen sonach die Beziehungen:

,=, P,,..., 13,-1, ...,ßj

3M^ _ V! ! ^ i ?^

8(i3,....,,3,)-^' Tal 8(,.)-

da sie dieselben zur nothwendigen Folge haben.
Nun setzen wir iu (^32 )

3(0

if,T,(

~ r i 18M.,.

'^-LM/d 2(1,

so dass dieselben die Form

3i¥,,,

3

1=1 ;'■=?

■•••'ß-^^- V.3 .V. rß.....,.3,-l,...,ß,-l,...,i3,J
.¥„,, "_!"•'■'_ ^■- ^ MK J

3(1)
annehmen und benützen die Relationen:

p=*

um die vorigen in die folgenden zu transformireu :
314x

rj = q i=q \i'='l

3(l3.,...,.3,)_y^-. y rß„...,ß,-l,...,i3,-l,...,ßp-l,...,,31

92 Victor Sersawy.

Diese zeigen, welche Wevthe bei einer neuerlicheu Zerlegung der Integrale il/„,^ in wesentliche Integrale
des Systems {L) als unbestimmte Factoren auftreten und es entsteht das Differentialsystem:

'=1 1^=' 3(1)

also endlich, wenn

solche Grössen sind, dass

V <^ « — ^'' wenn oj ^ /
/ ■ • • (1, wenn oj = i,

SM,,

j; p.(ß„. . „mV ,„p p.->.- ■ . ß^i ?.->- • •. h\ = _ V e..,, i^. ,«,

p-=« ^=' 3(1)

Multipliciren wir nun die letzte Gleichung mit l'^ und summireu bezüglich des p von p = 1 bis p = (?,
so folgt:

worin die rechte Seite wegen Gleichungen (31) und durch die Einsetzung der Werthe von j,,,,, und >;,,,,.
successive in

_UxJ
SM,

3(1)

übergeht. Ersetzt man nun auch links r/, ,, durch seinen weiter oben angegebenen Werth und vereinigt alle
Glieder der Gleichung auf einer Seite, so folgt:

(:-f>2-(^ .^.^S' ^f^ J^|^ = 0..,.„e..:

Variirt man in (34) a und r der Reihe nach in 1 , 2, . . . , q, so ergibt eine Reihe von Schlüssen,
welche den obigen ganz analog ist, dass sich aus den so erlialtenen Gleichungen eindeutig die Relationen:

Z P ' ^'-'- ■ -lär'- ■■ ^'-'' ^'W^ ' A' = -V H., v«..,„ ^. (35)

CJ= I T=l

3(1)

ergeben, worin die Grössen //, „. die im gegenwärtigen Falle eintretenden Z„,,^ bedeuten. Dieselben bleiben
bei einer Vertauschung von /, y. und p untereinander ungeäudert und zwar auf beiden Seiten, wenn alle
Integrale Ma identisch durch die wesentlichen Integrale ÜA.t dargestellt werden können, was nach den

Die lntf(jratiun der /lartielleu Differeiilidlijlcic/iuiigeii. 93

Voraussetzungen, die den vorliegenden Untersuchungen zu Orunile liegen, olmeliin der Fall sein ninss. Die
Anzahl dieser Gleicliuugeu ist souacli gleich der Anzahl dei' t'diiibinatioucii der dritten (Jlasse mit Wieder-
holungen aus q Elenieuteu, das ist

Es ist nicht schwer zu beweisen, dass in dem System (26), (35) das System (L) des ursprünglichen Problems
wieder enthalten ist, so dass das letztere zu f ^ ., "j Gleichungen ergänzt worden ist.

Da die Ausdrücke, aufweiche sich unsere Schlüsse bezogen haben, auch wenn man in der begounenen
Weise weiter schreitet, stets dieselbe Form behalten, so ist klar, wie sich diese Resultate erweitern lassen;
sie enthalten die Hilfsmittel, welche uns endlich die Befriedigung der aufgestellten Forderungen ermöglichen.

24.

^^'ir halten vorderhand noch an den Voraussetzungen fest, welche den Entwicklungen des vorigen Artikels
zu Grunde liegen und ziehen also nur solche Gleichungen in Betracht, bei denen die am Schlüsse des Art. 21
angeführte Zerlegung durch alle Stufen durchgeführt werden kann. In diesem Falle kann die allgemeine
Lösung sofort gefunden werden.

Wir bezeichnen nach den Ergebnissen des Art. 20, welchen zufolge — und zwar, wie leicht ersichtlich, in
jedem Systeme — je {q — 1) Integrations-Coustanten unabhängig sind, {q — 1) Integrale der zweiten Gruppe in
irgend einem Systeme, also etwa im Systeme (K) durch

«'.f , M'.f, .... w'^

i ' A ' ' {J

und setzen alle Integrale, aus welchem Systeme immer sie herrühren mögen, in der Form :

W>^~<\>'\wf, wf, . . . ,wf) = 0

voraus, in der Absicht, die Variation üFin Gleichung (23) des Art. 22 von vornherein gleich Null zu machen.

Setzen wir nun in dieser Gleichung L ^= II und für F ein wesentliches Integrale des Systems (71), so

verschwinden in der rechten Seite die Variationen der Grössen ^ter Ordnung. Stelleu wir dann die Gleichungen

{F) = 0

auf, so verschwindet die rechte Seite, da oF wegen der besonderen Form der Integrale von vornherein
verschwindet, und das System (/) wird um (^) Gleichungen vermehrt. Man kann also durch diesen Vorgang

die rechte Seite §mal der Null gleich machen und demzufolge q Gleichungen \ou der Art erzielen, wie sie
zum Schlüsse des Art. 22 postulirt worden sind.

Nehmen wir ein wesentliches Integrale des Systems (III) und zerlegen dasselbe zunächst in seine
wesentlichen Integrale nach dem Systeme [II), so bewirken die hierauf bezüglichen Gleichungen, dass in der
Gleichung (23) die Variationen ^ter Ordnung verschwinden, da durch die aufgestellten Gleichungen die
Coefficienten derselben identisch der Null gleich werden, wie im vorigen Artikel bewiesen worden ist. Durch

diese Zerlegung erhalten wir Mc, j Functionen, welche untereinander unabhängig sind und aus denen sich

die weseutlichen Integrale des Systems {III) zusammensetzen lassen. Aber jedes andere wesentliche Integrale
des Systems (III) muss, wie aus dem Charakter eines vollständigen Integralsystems ohneweiters folgt, aus
eben denselben Functionen zusammengesetzt werden können. Fügen wir also noch die Anforderung bei, diese

V 9 j ^wesentlichen Integrale der zweiten Stufe noch weiter in ihre wesentlichen Integrale nach dem

Systeme (/) zu zerlegen, so wird nach dem Bewiesenen:

(^'^>') = 0

94 Victor Sersawy.

iiiul in (Ilt rechten Seite besitzen alle Tlieile den Wevtli Null. Die linke Seite aber zerfällt in \^'t,j Tlieilc von
(Un-.selben Form, deren jeder für sieh gleieli Null sein niuss, da sie mit willkürlichen Bestandtlieilen multiplicirt

erscheinen. Bei diesem Vorgänge sind

et')

Gleichungen der verlangten Form entstanden .und gleichzeitig ist das System (/) auf

Gleichungen vervollständigt worden.

In dieser Weise fortschreitend erkennt man, dass durch successive Zerlegung der wesentlichen Integrale
vom Systeme (F) augefangen bis zum System t^I) die linke Seite der Gleichung (23) in

• Theile zerfällt, deren jeder, sowie der Ausdruck, aus dem sie entstanden, bezüglich der Z linear ist und von
denen jeder einzelne gleich Null werden nuiss, da sie mit willkürlichen Factorcn multiplicirt ersciieiuen. Da
nun durch diesen Vorgang so viele Gleieliungen gewonnen werden als Z voi banden sind, genügt es, zu den-
selben jene Gleichungen hinzuzufügen, welche aus den noch vorhandenen

von einander unabhängigen Integralen der zweiten Gruppe irgend eines Systems entstehen, um endlich alle
Gleichungen zu haben, welche erfordert werden. Da die letzteren dann untereinander unabhängig sind, so
folgt aus denselben ohneweiters :

P-Q, Z-Q
und die Integrabilitätsbedingungen sind erfüllt. Durch diese Rechnungen ist gleichzeitig das System (i) auf

Gleichungen angewachsen. Es ist also jetzt coniplet, denn es besteht aus ebensoviel Gleichungen als
Dependeute in ihm entiialten sind. Die Integralgleichungen desselben verwandeln nun die Gleichungen P =: o
in Pfaff'sche Probleme und die Integration dieser letzteren ergibt endlich das definitive Integralsystem.

In den Fällen, bei welchen die bisher festgehaltenen Voraussetzungen nicht eintreffen, kann niiin in allen
zu integrireuden Systemen die Zerlegung der Klammerausdrücke auf diejenigen Complexionen beschränken,
tür welche sie in dem g(>gebenen Stadium der Rechnung möglich ist und im Übrigen den soeben beschriebenen
Rechnungsvorgang beibelialten. Dies hat zur Folge, dass die erhaltenen Integrale nicht, wie gefordert werden
muss, als Functionen ihrer Unter Intergrale dargestellt werden können. Mau wird vielmehr durch Einsetzung
der Integralwerthe in jene wesentlichen Integrale, deren Zerlegung sie ihren Ursprung verdanken, Bedingungs-
gleichungen für gewisse Grössen:

(ß^,ß^,. . -jß.j) der/iten Ordnung

erhalten. Diese Redingnngsgleichungen erstrecken sich nicht bloss auf diejenigen Grössen dieser Art, welche
den Rang Null besitzen, da schon durch die zweite Zerlegung alle Grössen nullten Ranges von der Form

'^ 1, «1 -4- «2 -t- . . . «,^ = ^J — 1

K

im Allgemeinen aus den Klammerausdrückeu der nächst höheren Stufe nicht mehr zusammengesetzt werden
können und daher auch von den Ausdrücken

[ß^,ß„...,ß,lß^+ß,+ ...+ß,=p

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 95

einige, deren Rang von Null verschieden h\, nicht mehr jenen Wertli annehmen, der ihnen der gegebenen
Gleichung wegen zukommen .sollte. Wir entwickeln daher, nachdem sämmtliche Ä-Werthe berechnet und in
p Systeme eingereiht worden .sind, das Product

^=q y.=ii v.=q

und legen die so erhaltenen Au.sdrücke | \ der Rechnung zu Grunde. Mit diesen Ausdrücken, welche die
erforderlichen Zerlegungen durch alle Stufen hindurch gestatten, kann nun der oben beschriebene Vorgang
vollständig durchgeführt werden. Die solcherart erhaltenen Werthe der Variabeln erfüllen nun ihrerseits die
gegebene Gleichung ebenfalls nicht und wir erhalten durch Einsetzung derselben in die gegebene Gleichung
abermals eine Bediugungsgleichung. Da nun aber klar ist, dass von den Ausdrücken [ß,,. . .,/3,J nur jene mit
den gleichnamigen \^^, . . . , ß,J nothwendig zusammenfallen müssen, welche zur Construction der Gleichungen (12)
verwendet wurden, so folgt sofort, dass alle anderen (ß„. . .,ß,,), deren Gomplexion ß,,. . .,ß,, nicht in den (12)
auftritt, in die Bedingungsgleichung eintreten können. Es sind also gleichsam alle Bedingungsgleichungen
des vorigen Falles in eine einzige zusammengeschoben worden; da aber die letztere willkürliche Functionen
enthält, so zerfällt sie in mehrere Theile, deren jeder für sich gleich Null gemacht werden muss.

Bezeichnen wir nun, um kürzer reden zu können, diejenigen Complexionen für ß,,. . .,/3^, für welche die

Ausdrücke

äß,,. . .jßg} mit den gleichnamigen [ß„. . ., ßj]

nicht zusammenfallen, da die ihnen entsprechenden Grössen (ß,,. . .,ßj) gewissen Bedingungen unterliegen,
als bedingte Complexionen, und setzen in (23) Art. 22 <f an Stelle von F, so werden die Ausdrücke (^ ' . )(<f)
identisch Null und es folgt:

1\'

wie man übrigens durch directe Berechnung der Summe

in Verbindung mit der Forderung, dass ^'^ gleich Null sei, finden kann. Man erkennt hieraus, dass man die

Bedingungsgleichung jederzeit dadurch erfüllen kann, dass man die bedingten Grössen (ß,,. . .,ß,^) gleich

absoluten Constanten setzt, welche letzteren übrigens, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, auch gleich

Null gemacht werden können.

Was endlich die Form der Bedingungsgleichung anbelangt, so ist diesellie augenscheinlich eine Beziehung

zwischen den Ableitungen der in den letzten Integralgleichungen enthalteneu willkürlichen Functionen nach

den dieselben constituirendeu Argumenten:

II II n p p

Wi, ...M,j;... ,Wz ,...,w,j\...,Wi,... ,Wq\

zerfällt also im Allgemeinen in mehrere partielle Differentialgleichnng»n der^jten Ordnung, jedoch mit je (g— 1)

Independenten. Die Bedingungsgleichuug, respective die einzelnen Theile, in die sie zerlegt werden muss,

haben also zur Folge, dass die eben genannten Argumente nicht mehr, wie früher, untereinander unabhängig,

sondern in festen Verbindungen in die betreffenden willkürlichen Functionen eintreten, so dass diese letzteren

im äussersten Falle in die Form:

*,(Mg + *3(«;3)+ . . . +*,A«^,/)

aufgelö,st werden müssen.

9C Victor i^ersani'ij.

Soll mm der in Art. 20 ausgesproclieno Satz iilior die Aiiznlil der willkürlichen Functionen aiicli in dies(Mii
Falle seine Giltigkeit beibehalten, so müssen nuter der Bezeichnung: „willkürliche Function der Argumente
w^,...,ii;j" auch Functionen in aufgelöster Form verstanden werden oder mit anderen Worten, es müssen
immer alle Bestaudtheile, welche die Integrale w.^, . . ., iv,^ eines und desselben Systems enthalten, als eine
einzige Function dieser Argumente angesehen werden. Da aber den gebrauchten Ausdrücken der eben
präcisirte Sinn ohne Zwang beigelegt werden kann, so kann der citirte Satz in uuveiänderter Form aufrecht
erhalten bleiben.

Wie weit die erwähnte Auflösung der Functionsform zu gehen hat und wie dieselbe zu vollziehen ist,
liiingt natürlicii damit zusammen, wie weit und in welcher Art die Zerlegung des Art. 21 ausführbar ist und
muss in jedem einzelnen Falle durch die Rechnung selbst gefunden werden.

Für die praktische Rechnung ist es nützlich zu bemerken, dass die Completirungsgleichungeu der
verschiedenen Systeme durch partielle Differentiation gewonnen werden können. Setzen wir, was zum
Beweise genügt, voraus, dass das wesentliclie Integrale K„ des Systems (A') von den einziflferigen Grössen
;yter Ordnung nnr (a) entluilte und schreiben für alle Fälle die Klammern | j anstatt der | ], so folgt aus den
Gleichungen (24) des Art. 23:

8(ß„...,/3,/)_) K

8JC ~ (ff

3(7) \l<^

Besitzt also, wie überall in den Schlussgleichungen 7C die Form:

K, - W. -a)(«;f, . . . , M;,f) = 0,

so folgt durch partielle Ableitung nach .c,

|/3„...,j3.-l, ..,ß,)

und wegen:

\ K j ~Z_j " \ K,L Y

welche Gleichung nun für alle Complexionen und zwar in jeder Stufe richtig ist, aucli

0 _ (^K„^ V Wv. (/3.,...,l3.,...,ß, + l,.. . , ß.,) "v- X \ß„ ...,ß^-\,...,ß.-\....,ß,
^' - tej +^ 8[^ Y7X 2J^'- \ KL

Diese Gleichung kann auch in der Form

'o

,. /8/Cx y^K„ KL i V./^, 1 . 1 ^

\2.rJ ^S((7) ) a

\K

ia,,. . .,a^_,. . .,«^ — 1,. . .,«,;, a,,}

/SÜ'.N yiK,r \ KL (

I, dx,- ) ^ 8(a) ( a (

Bl(cc,,. . .,«,„• ■ .,cf.„,. . .,«, + 1,. . -,«,,),

)K

a

+ ...-+-a.,+...-{-a.„-\-...-i-ci., + ... + c.,j—p — l

geschrieben werden und die letzte ist unmittelbar identisch mit:

Die Infefjrnfion dar partiellen Differentialgleichungen. 97

(I3„...,ß„...,ß.-l,...,/3~l,...,,%l

» = (t) - 1^ '''■(? 'p ^ ft- ■ -P-^* irti '-wr

^' )kl\

das ist mit der Gleichung

0 = {^f)iK.

wie sie sich bei den gemachten Voraussetzungen über K^ ergeben würde. Hiemit ist zugleich die aufgestellte
Behauptung bewiesen.

In allen Integrationen, welche bei der successiven Construction des definitiven Intergralsystems zu
vollziehen siud, sind gewisse Ableitungen ^>ter Ordnung als unbestimmt anzusehen, was zur Folge hat, dass
dieselben in die Integralgleichungen im Allgemeinen nicht nur als Functionsarguniente im gewöhnlichen Sinne,
sondern auch als Integranden unter Quadraturen eintreten. Es ist also nothwendig, zu zeigen, wie solche
Quadraturen sich Differentiationen gegenüber, welche einem anderen Systeme angehören, verhalten. Es genügt
hiebei, zu zeigen, wie die partielle Differentiation auszuführen ist. Sei also Qk eine Quadratur nach dem
System (K), wesshalb wir schreiben :

so ist offenbar:

^_Qj^ ^ ^)J^ 8/.f 5(?A-_8(j

'bx^ 8.f| S.r^ 8.r| 8.'',^ 8.r|

8^^^- 8Xf 8 CA- 8Ä,f ^Qk_ 8?

"bx^ ' dx^ B-Cj ' ' ' 8j-j, dx,j 3,

^ 3^- _^ ^ 8^- _8Äf JQk^ 3g

^Xq 8,<,Vj 3.''g 8j',y 3j,Vj dx,j

Die Integration dieses Systems, welches in jedem einzelnen Falle auszuführen ist, gibt die Regeln für die
partielle Differentiation. Wegen der rechten Seiten in den vorigen Gleichungen treten nun unter die Integral-
zeichen Ausdrücke ein, wie

da Mber die Ausdrücke, welche von Integralzeichen frei sind, wie aus dem kurz vorher Bewiesenen folgt, sich
in Ausdrücke verwandeln lassen, welche bloss das Operationszeichen D^ enthalten, so müssen, damit man
integrireu könne, auch die Theile unter dem Integralzeichen auf dieselbe Form gebracht werden. Es ist nun

i,~^ ^Xu_

und diese Formel muss dazu benutzt werden, um möglichst viele von den i)artiellen Ableitungen durch die
totalen Differentiale L>k und Di auszudrücken, von denen die ersteren durch partielle Integration entfernt
werden können. Es ist nicht vorauszusehen, dass hiedurch alle partiellen Ableitungen zum Verschwinden
gebracht werden können, doch kann man durch wiederholte Anwendung der Formeln:

3(ß„....ß,/)__8(/3,-l,...,ß, + l,...,ß.;) 3 ,_V, .8(13,-1. ■■ „3, + 1....A^

alle Ausdrücke dieser Art in partielle Ableitungen der bedingten Grössen verwandeln. Der Coniplex, der nun
unter dem Integralzeichen verbleibt, enthält also nur bedingte Grössen und ist entweder identisch gleich Null
oder verschwindet in Folge der Bedingungsgleichungen aus der Rechnung. Ist aber keines von beiden der
Fall, so kann derselbe gleich Null gesetzt werden, da stets alle Bedingungsgleichuugen entfallen, sobald die

Dtiuk&clirilteu der niaihtjüi.-u^lurw. Cl. XLIX. Bd. Abhuiidluugeu vou Nichtniilgliederii. U

98 Victor Sersawy.

bedingten Ableitungen den Werth Null erhalten. Man erhält dann Ausdrucke, welche ausserhalb und iiineriialb
der Integralzeichen totale Differentiale derselben Art enthalten und nach den im vorigen Abschnitt entwickelten
Principien weiter zu behandeln sind.

Die in diesem Abschnitte vorgenommenen Untersuchungen beruhen in mehrfacher Hinsicht auf der
Voraussetzung, dass die Werthe X, welche aus einer und derselben Gleichung (12) fliessen, untereinander
verschieden sind. Trifft dies nicht ein, so fallen natürlich diejenigen unter den Integralen te^,. . .,«',y, welche
aus derselben Wurzel entspringen, zusammen und dies hat zur Folge, dass bei der Zerlegung in wesentliche
Integrale in zwei oder mehreren der willkürlichen Functionen einige oder alle Argumente w dieselben sind.
In diesen Fällen muss man, um dass allgemeine Integrale zu finden, die Methode anwenden, welche im
vorigen Abschnitte bei gleicher Gelegenheit benützt wurde und übrigens bei ähnlichen Anlässen in der Analysis
allgemein gebräuchlich ist.

Zum Schlüsse ist noch zu bemerken, dass durch Einführung neuer Independenten t,, f^, . . . , t,^ die A- Werthe

d^i d.r,

eine lineare Transformation erfahren. In der That ist, wenn -7^ ^= A, und -r-^ = Ap gesetzt wird:

r 1

=1

A, =1 ^ , also bei der linearen Transformation: f ,= \ a, x. A, r=

y^A ^=' y«.p^p

p=l p p=l

Man erkennt hieraus, dass etwa vorhandene Null- oder Unendlich -Werthe der X durch lineare Substitution der
Independenten in endliche, von Null verschiedene A-Werthe verwandelt werden können. Betrachtet man noch
die Substifntionsparameter als allgemeine, mit den gegebenen Grössen des Problems in keiner Relation
stehende Coustante, so können auf diesem Wege auch keine neuen Null- oder llnendliclikeits -Werthe der A
eingeführt werden. Sonach können diese bisher nicht berücksichtigten speciellen Fälle jederzeit auf den
allgemeinen Fall zurückgeführt werden und damit sind unsere gegenwärtigen Untersuchungen geschlossen.

25.

Ist nun ein concretes Beispiel gegeben, wie das folgende:

(300) + ai+4'+^''){2lo)+(^-h^'-^^''){2in)+{^^'+^^^^^^^

in welchem die Grössen Aj, A", etc. Constanle bedeuten, so empfiehlt es sicii, zu Beginn der Rechnung alle
Complexionen zu verzeichnen, welche während derselben in Verwendung kommen. In unserem Falle sind dies
die Complexionen:

nullter Ordnung: (000)

erster „ : (100), (010), (001)

zweiter „ : (200), (110), (101), (020), (011), (012)

dritter „ : (300), (210), (201), (120), (111), (102), (030), (021), (012), (003).

Für die Wurzelwerthe Aj besteht die Gleichung:

0 = A^-(A2'-4-A^'+Af' lA= + (A,'Af/-4-A^'A^"+A,"'A[)^2-^8Ä"4",
deren drei Wurzeln, respective mit A^, A^', A^" zusammenfallen. Die Gleichung für A3, das ist

0 =z AJ-(A^+A^+A^")^l + (^^Ä:;'-4-AX'-f-Af A^;A3-A^AVAf ,

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 99

gibt für Aj die AVerthe A.(, I'/, Äf/' und das Product

zeigt, dass die Gössen

ausfallen; die gegebene Gleichung ist also Integrale in allen drei Systemen. Wenn wir nun die Wurzelwerthe
Äg und A', zum Aufbaue eines ersten Diflerentialsystems verwenden, folgt:

und das erste Differentialsystem lautet:

(lx^ ~ "' (^x, ~ 3'

^^^^^ = ( 100) + X,'(010) +1^(001),

'^^' = (20U)+X,\110)+A3\101),

Ä),^(110)+X^^020)+XK011),

'&' = aoij+A,\011)+Ä^l002);
^(200) = (300j+A,'(210)+A.^(201),
^{^0} - (210)+A2'(120| + X.{(111),
^U01) = (201)+A^(lll)+/i(.102),
-^ (020) - ( 120)+X.1(030)+A3'(021),

Q/'Jum

^(011) = (llli+X^(021J+X^(012),
^l002) = (102)+X^(012)+A^(003);

^(210) + (Ä''+Ä'/M^(120) + (A,('+Xf/Mi^(lll) + Ä^'A/'^(U30) + (Ä'/A'/'+X''Äf)^
^(201) + (A''+A''M^illl) + (A.('+Af )3^(lU2)+A"A''':5^(021) + (AX'+^-7>'2'')i^(0^2

Die letzten drei Gleichungen geben die Integrale:

(300) + (Af +A^'0(210) + (A.f +Af/')(201 )+A'/Af (120) + ( AX'+Af/A','^Ki ll^+^s'^^f (102) = W^,
(210) + ( A.f +Af )( 1 20~) + (Af,'+A,f )( 1 11 1 + A^'A'/'{030) + (A^'A.f +A3"A^'0(021)+A^'Af (012) = W^,
(,201 ) + ( A^'+A^")l 1 1 1 ) + (A^'+Af )(102) +A^'A^"(O21j+(A'/A,7'+A^'A^'0(O12)+A^'Af (003) = W^,

100 Vicior Sersawij.

welche vvej,'cii der gegebenen Gleiclning der Bediugung:

unterworfen ;siud.

Anderseits folgt aus den beiden ersten Gleicliungen des Systems:

Wir setzen also:

(^300W(A^'+Äf/M(21()) + (A,^'+Äf )(201 )+Ä^'/'/'a20) + i/.^'Af +A.^'Ä^'')( 1 1 1 )+>///,,7'(102)- *,(,/- X^.f,,x.,-//./V)=0,,
(^210) + (A,^'+Af)(l20) + (Xl/+Af)i.lir) + Ä^'Ä^'\0;30) + (A^af+A^^af)(^^^

und zerlegen diese Gleichungen in ihre wesentlichen Integrale nach dem Systeme (11), welches wir durch die
Gleichungen :

charakterisireu. Indem mau jede der drei vorigen Gleichungen partiell nach .c,, .r.^, .r, ditferentürt, liiulet man;

8<1> ^«^

I>,/(300)+A;/'D//(210)+Äfi)„(201) + Ä.^— ^ + a!,^, - 0,

i)y;(2io)+A^"i)„(i20)+xfD/,(,iii)- ^; =0,

8(1),

2)„(2oi)+xf z>„( 11 r)+Ä,7'z^/,(io2) - H = 0;

8<|)„ , . 8<1>2 _

A/(210)+A'"i)//(l-'0)+A.'/'A,(in-) + A.^— ^ + 1'^—] = 0,

' OM'' OMA,

2 ' .(

8<l>„

D„(120)+A^"X>„(030)+Afi>//(021)- —] =0,

8«I>,

-^•i

Z)M 1 11 )+A™Z>//(021)+Xfi>„(012) _ ^ = 0;

0«;^

~J% .V^*":^-

A/l2ül)+X^"A,ail)+Ä^"A/a02)+A^ g^ + ^^ 8^ = '^''
Z>„(lir)+A^"/>//(021)+AfZ>/,(012)- ^? =0,

i)//(102)+A^"/J„(012) + Äi"Z>//(002) _ ?!i!.3 = 0;

8«'.'

Aus diesen Gleichungen ergeben sich die Bedingungen :

802_8<I>.5 .,8<l), -,2'1'j _ ö^ j'^ , 3'l>., _ 8«1),
8^ ~ 8^ ■ ^'^ 8^ "^ '''^ 8^ ^ ^ 8<" ' '^ 8^ "*" ' "^w'^ ~ 8/r.( '

welciie durch die Suppositionen;

,,8f7 ,,8C/ , 8[7 , 8C7
<1>, = - X^ 5-, - A.^ , <1>2 = r— , , *:, =

befriedigt werden. Dadurch wird übrigens auch

wie weiter oben gefordert wurde.

Die InfefjratioH der partiellen Difcrenfialgleichungen. 101

Aus den obigen neun Differentialgleichungen entstehen denmacli folgende seelis:

Du{20\)-hl!/'D„{ 1 1 l) + l'J'D,A 102) =

-X';.^:-^;;-, -Ä

Z>„( 120)+Ä{,"i>„(030) + Ä'/'Z>„(ü21 ) = ;^-^

Z;„a 1 1 ) +Xf/'Z>,/(021) +Xf Z)//(0 12) = ^^^j^,

D„(\02) + li/'Di,(012) + A'/'Da(00S)= -g^-

Die Integration dieses Systems ist ohneweiters möglich, wenn man noch die Gleichungen:

hinzunimmt. Ist eine Function der Argumente w!^, id^, gegeben

.^(;w'^,w!^) = ^(x^ — ^x^,x^—^x^),
so ist:

setzen wir also:

u={A','-A!,)^^,+m'-^)^£,,

so wird die rechte Seite der ersten Gleichung im vorigen System:

während sich der Reihe nach für die übrigen Gleichungen die folgenden Ausdrücke ergeben:

-"""■^'^M^^''^^' -^"^^3<3;7:; + "'(8<rM' ^"[R?' ''"ä;^:;' ""^R?'

Also sind die lutegrale des obigen Systems gegeben durch die Gleichungen:

(300)+X-(210)+Xf(20!) = Ca',)^-^-^+2KI',^-^^+Ca',)^^^,

3*3 3*3-

323. 325

(201j + A^"ailj + Ä-^lU2)= - ^'^'3!^^- ^^^.+f-,(.0^'i

(120)+Xf (03U)+X^'\Ü21) = ^g^,,^, +fM'><'),

ail) + A-(021) + X.;"(O12,) = g^; +/;(«)>

(102)+X^'\012)+X,^'\003) = ^g^ +/6i<,0-

Zwischen den Functionen /' werden durch die Forderung, dass sich aus den gegenwärtigen Integralen die
früheren zusammensetzen lassen sollen, drei Bedingungsgleichungen eingeführt, deren Erfüllung anderseits

102 Victor Sersawy.

bewirkt, dass bei der näclistcn Zerlegung- abermals ein eindeutiges System entstebt. Man findet diese
Redingungsgleiciuingcn unter beiden Voraussetzungen; da aber das Resultat liinsiclitlicli der i)eiden Integral-
systeme symmetrisch sein niuss, können wir die Integralgleichungen sofort in der Form aufschreiben:

etc.
Der weitere Rechnungsgang ist nun schon durchsichtig, ich begnüge mich also, das Resultat anzugeben.
Wie vorauszusehen war, ist:

z — <!'( .tj — Ä.^.<-, , .f., — Ä.^.c, ) + X( x.^ — l!/ ./■, , Xg — ^'x^) + ^(x^ — 'k'^'x^ , x^~'k!J'x^),

wobei <t>, X, W ganz willkürlich sind.
Die Gleichung:

(300) + 2(210)-2(201)-.o(120)-in(lll)— 5(102) -6(030)— 9(021) + 10(012)+'3( 003) = 0.

besitzt die Wurzelsysteme:

\ — 1, 3, -2

X3 = -l, 2, -3.

und es ist:

<t,+4-t3)(?.+3?,+2g(i,-2e2-3g =

= e] + 2C?^-,-2i-j?3-5t,4l-15e,?,l3-5«i?|-6e^-7^^?3 + 7C,C|+6<:i.

Es fallen also für die Complexiouen : (111), (021), (012) — und dies sind alle, welche nicht zur Bildung der
Gleichungen (12) beizuziehen sind — die Werthe | \ verschieden von den []-Werthen aus. Legen wir nun die
aus dem Producte fliessenden Coeffieienten der Rechnung zu Grunde, so erhalten wir augenscheinlich

(000) =: <I>(.r2— a:-,,.r3 + .c, ] + \(x.^—'^x^,x^ — 2x^)+'*V{x^ + 2,/;,,*3 + 3.t:j).

und es entstehen durch Einführung dieses Werthes in die gegebene Gleichung die Bedingungen:

= 0, 10, ,^,, „+ 11.— FT-.— 17T5 = 0

iiyi

Hicbei sind

{hrl^'^tui 8^(8«..^)^ ~ ' (■6w'.[fbw'^ 8<.(8«;^')

^^ {^w["fdw!," ^ ' 8«'^".(8<')^ ~ '

w'^ — x^ — x^ , «'" = x^ — 3.*;, , «'.'/' = x^ + 2x^ ,
w^ — x^+x^, iv!J := x.^ — 2x^, w!J' = Xg + 3x^

zu verstehen. Die allgemeine Lösung der gegebenen Gleichung ist also :

s = a>,(.r2-.r/) + «l'2(r3 + ,rJ + tI>3(j',+T2 + 2r3) + X,(.r3-2.r,) + X2(.r3-2j',) + X3(13.r,-ll.r2 + 10^-3)

+yf,(.r, + 2,r,)+»lf,(.r3 + 3./-,)+»P3(12,r, - ar^ + lO^g).
Es sei noch das Beispiel:

(200)- {(020) +2(011) +(002)} - ?^) - q

gegeben. Wir finden

^2 = 1, — 1; A3 1= 1, 1,
und setzen insbesondere

/g — i, Aj — 1,

Ä^ = l, Ä^'=-l,

Die Integration der partiellen Differentialgleichungen. 103

denu es wird dann:

was mit der gegebenen Gleichung- übereinstimmt.

Die Integralgleichungen des ersten Systems sind dann:

(200)-(110)-(101,-2 U.. Km±Ml = /; ,,,^^

Jrx,

(]io)-(020)-(oin-2|^i:^(no) =^,

(101)-(011)-(002)-2 1^(101) = h,

wobei wir die zwischen den Constanten herrschenden Relationen vorläufig ignoriren, da sich diejenigen, deren
wir benöthigen, im Laufe der Rechnung von selbst eigeben. Wir beschränken uns übrigens darauf, durch
Zerlegung der zweiten dieser Gleichungen in wesentliche Integrale den Weith von (Oll) zu bestimmen, da
sich wegen der Einfachheit des Exempels hieraus der Werth von (0U(») bereits erschliessen lässt. Da nun y
sowohl als auch h als Functionen der Integrale

anzusehen ist, so folgt, indem man die zweite Gleichung nach .r.j partiell diiferentiirt und bemerkt, dass wegen
der Constanten X die Operationen des lutegrireus und Differertiirens beliebig angeordnet werden können:

fl„(ou)-2[:^(ni) = ^,

Differentiirt man anderseits die dritte Gleichung nach x^, so folgt:

•r^ 3/*

wir setzen also

und erhalten damit

Da nun

3ß , 8S>

C IV n W M/o

z)„(oii)-2r^(iii)=-^,

.' X, ^ owLcw'

I.J v.«/^''"':!

so wird

D,(011) = (111)+ 1(0211+ (Ol 2)}
Z>//(011) = (111)- 1(021 ) + (012)S,

2(111) =z),(Oii)+z)„(;on)

und die obige Gleichung verwandelt sich in die folgende:

(011)/ r , jz>//(0i]) (011)) gäß

WoiD-i^j-frf^. !^

( X, ) .1 ^ t

ciw'^Zw'^ '

Differentiirt man nun noch einmal mit dem Zeichen D,, und berücksichtigt, dass dadurch in der rechten Seite
wieder ein Integrale des ersten Systems entsteht, was wir kurz durch / andeuten wollen, so erhält man :

jz>?.(oii)- M^ + Mj _ r ,,x, l«Hi - ^

= 1.

Es folgt nun, wie man leicht findet, aus der obigen Gleichung die andere:

i)//(01 D (011 )( ^ f (011) _

'''■^1 .^3 — -'t'

1 0 4 Vi rto r Se > ■ n a ir y .

woriu i, wieder ein Integrale des ersten Systems bedeutet, die Addition der beiden letzten Gleichungen gibt:

Z)5/(011)- ('■^z>K0ii)=^

^ .r,
mul hieraus folgt

r/UOll) - V'V

Da nun die Anwendung der Operation /)// auf ein Integrale des ersten Systems wieder ein Integrale des-
selben Systems hervorbringt, können wir:

/3=.--iz)Vl>(<'.4^

substituiren, und damit folgt endlich

(Uli ) = x ^, + r— ,, +'I'+.r .r— ^ + r-77, -y»

woriu ¥ ein Integral des zweiten Systems bedeutet und

»j" = r.^ +.r,, «'.'j' = ■'■3+-''|

zu verstehen sind. Wie ersichtlich, ist z von derselben Form; in der Tliat ist

|8L> 81>( ,, (811 811,

3 = Q(,r,-,r,,x,-.r, )+.,■, — + _^. +II(,,-, +,,■,,. ,,+.r, l-,r, -^^ + ^|.

Druckfehler:

Seite 9, Gl. (10) lies: ),2 ?f _ x ?^ + ^ = 0.
8/- 8.S- 8/

„ 10, Gl. 12) „ : // F = (y::) - ^ M: + etc.
\.8.iv 85^ 8r

„ 11, Zeile 3 v. o. lies: ri stiitt — .

„ 35: in beiden Gl. (f)) ist dij uuraittelliar vor j zu .setzen.
„ 3G, Zeile 10 v. o. lies: [p^i - 1, /] + 'ky[i>—i, ''—']=.

/8V\
4 V. u. lies im 2. Gliede: If^^U kZ _^;..

n 47, „ 9 V. o. fclilt der Bruchstrich unter e.
„ 54, „ '' n n fehlt in der 2. Gl. (^)— p,(i)'.

105

ARITHMETISCHE THEOREME.

VON

LEOPOLD GEGENBALER.

VORGELEGT IN DER SITZUNG AM Ü4. APRIL 1884.

In den folgendeu Zeilen werde ich eine Reilie von neuen aritlimetischen Sätzen mittlieileu. Ich betrachte
zunächst die Summe:

■■'■-=ifp^] ''^'=1:0 '■(•'■'- z [p^]'w

X=p + i

(ß>7^0).

Es sei :

=A

^) . L^+ß-/]

3) f(^)=y /■(..)

alsdann ist :

Nun ist aber, wenn:
ist, auch",
und daher hat man:

Z[p^]«''= Z --GiF^)«^'-

£^p-\-l z=jp-\-ij y^t

<

y(ßx—y)

ßxi/ ^

X=/(, y^j4 X=:;^ v^-l

Z 'G7^)^'-)= Z '(^i-O«')

VI /^ + 1!/

y=B-hl, 1=1

' (7^)a*-)— i^^'(i')+^^(«).

Denkschriften der matheni.-naturw. Cl. XLIX. Bd. Abli.iudlunu'-u von Niditmit^liedcrn.

106 Leupuld Ge(jeiib(( iicr.

Bei seüebenem // erhält die zahleutbcoretische Function £ ("^. '^) für alle j-, welche grösser als [— r — 1
sind, den Werth 0, und daher ist:

f-(^)«^>=2:n[-;"])-

Es ist also :

Ist:

5) cc<ßn—i/,
so wird 5 = 0, ist aber:

6) j3M-7^a<ß(H+l)-7,

Mau hat daher in diesem Falle die specielle Relation:

Für ^j = 0 verwandeln sich die Gleichungen 4) und 7) in die folgenden:

Z[p^v]«'''= Z niT?])-«^«-

1=1 x=£+l

V-

"> . zrp^]^'"'= z^([^

Setzt man:

so ist:

10) zi''-j'w=zrp:^]«"-''Zffi^]^^^'

X=l X~l .1-1

WO Ä-

eine

positive ganze

Zahl

sein soll.

Aus den Relationen:

A" L S J

r r r 1
— =: — +£
*■ L s -

folgt:

11)

(O^v;^, ,.,.<;)),

Arithmetische Theoreme^ 107

also:

so dass n^, ,. , der Rest ist, welcher bei der Division von \- — 1 durch jj bleibt.

Ist speciell p = 2, so verwandelt sich die Formel 11) in die schon von Gauss mitgetheilte Relation:

r2r 1
wo ■n'i^r.s die Werthe 0 oder 1 hat, je nachdem -;- gerade oder ungerade ist.

Man hat daher auch die Gleichungen :

14) ^VV) =Y^[2r^]f{x)

1=1 x=i

[2ä -1
- -; 7
p.f /J

ungerade ist.

Nach den früheren Entwicklungen ist nun:

wo:

r ha.
A

B =

ist. .Genügt nun a. der Bedingung 6), so hat man:

l |3« + ß-7 j
~ [ 13A-W-V J

1 - '

und daher ist:

Ist B =^ 1, so ist auch:

und daher:

ßkn — 7 ßkn — 'j

ka + y
kn-^ — ^ <Ä;(« + 1)

[^] = fc» + p.

wo f eine nicht negative ganze Zahl ist, welche nicht grösser als Ä— 1 sein kann.
Aus der Relation 6) folgt ferner :

A — k-a{p>0).

Nun ergibt sich aus der Relation:

k — a^-, ^ < A- — cr + 1

— ßn+ß—y

sofort die Beziehung:

kcc + y{k — '7 + z)

ß{h'<^ + ^)

<H+i, (•7 = i.2,...,5-n.

108 Jjcopold G e ijrii li d u c r.

Es ist aber auch:

denn wäre:

— ötP -<n

SO hätte man:

0 < (ßn - 7 - a) Ä: - ((7 - t) {ßn - y),

was nach den geniacbteu Voraussetzungen unmöglich ist. Man hat daher die Gleichung:

rka + yik — rj-i-T) -1

' i3(,/.-— ff + r) J^" (T = l,2,...,ff-1).

Es ist also schliesslich:

15) V [Ar,] /-(.r) = «,„,,„ -A'*:,,,- V F(\^i^^Jj +(i,.^i)F{») + F(kn + p,)-~F{kn),

wo p, ^ 0 ist, wenn:

k«< ßkn — 7

ist, sonst aber die kleinste Wurzel der Congruenz:

.^[^-;^^](mod./c)

vorstellt.

Nimmt man speciell:

f{x)z=l,a = n,y=0,ß = h
SO erhält mau die Formel:

16) V[.,| = Vf^]_.V[l].(,,._,)„-V[?^]

Z_j Z_i l -r J Z-iLJ" J Zj

welche Gleiclniuf^' man unter Berücksichtigung der bekannten Relation:

17) y pl = m log m+(2C-l) '«?.+£' s/m

..=1
wo C die Euler'sche Constanteuud t' eine Grösse ist, welche bei wachsendem m endlich bleibt, auch in fol-
gender Form schreiben kann:

;r=i — t

18) y [Ä7-,]=«{A log /.■+/.- ij-A« y -+.'^„+."(i'^\)

1=1
Es ist also:

(0^£"<1).

19) Y^'^^ .=.;-.j

lim„=oo^^^^ = ÄlogA+A — 1— A; V —

n /_i X

a:=l

Man hat daher den Satz :

Das arithmetische Mittel dergrössten ganzen Zahlen, welche in den A- fachen Verhält-
nissen der Reste zu den jeweiligen Divisoren enthalten sind, die bei der Division einer
ganzen Zahl n durch alle nicht grösseren ganzen Zahlen auftreten, nähert sich mit wach-

..=4-1

sendem n dem Ausdrucke A-log A-<-A— 1— A V — .

Arithmetische Tlieoreme. 109

Den Fall /.• = 2 der zuletzt abgeleiteten speciellen Formeln, aus welchem bekanutlicb folgt, dass von den
Verhältnissen derEeste zu den Divisoren, welche bei der Division hinlänglich grosser Zahlen // durch alle nicht

grösseren ganzen Zahlen auftreten, eine grössere Anzahl in dem Intervalle 0 , als in dem Intervalle —

" 2

... 1 liegt, hat schon Dirichlet mitgetheilt; für ä;=:3, 4, 6 wurden die obigen Relationen von Herrn Borger
abgeleitet.

Berücksichtigt man, dass jedesmal, wenn für einen bestimmten Wertbe von x ^= x.,

20) f^»v<^-*-'

k = "' ^ k
ist, die Gleichung:

[kr..,] = V

besteht, so kann man die Formel 15) auch in folgender Weise schreiben:

v=/t-l .=« — 1

=1
wo :

/■v

= Z%v)

ist, wenn die Sunimation bezüglich x, über alle jene Wertlie von x erstreckt wird, für welche die Relation
20) besteht.

Erhält die Function /"(a^) den speciellen Werth 1 , so bezeichnet /; die Anzahl der Reste, welche in dem

X ,, " v+1 ,,

Intervalle -/-■■■ — j — hegen.

Gibt man in der Gleichung 9) der Function f(x) die speciellen Werthe:

22) f(.r) = t,x,x^,x'"-(x-iy',sm^^-^ cos^?:^-^!^, cosx5,sin.r 3,

so erhält F(;r) der Reihe nach folgende Werthe:

Fir) = r, D{r), D\r), r'", \/2 sin^ ^,-1= sin ^,

23) . (2r-i-l)5 (2r+l)^

, ^ cotg -

2^.3 '2 '^2 2 . ä

2 sin - sm —

wo Z)(r) die rte Trigoualzahl ist, und daher hat man die Formeln:

24) Ziß^] ^ Z i^]

X=:i X=l

x=l Jr=l

x=l x=i

(=1

110 Leopold Gegenhaue)\

29)

/o ix 1 '-/S-tJ

v-1 r « -1 (/.r — l);r 1 V ■ /'r r^ + V-'^lN

«

^«) ^l[p^,] ""^ = - [?^) - ^'f »'" ^ |[^1 - r!

smg-

^1' ^Z [ä^J »'- ^^ = [p-^] -^ I - ^'f ™^ ^ ![t?J - f

SIU^ x=l

Setzt mau in der Gleichung 30) ^ = ;r, -- und in der Gleichung 31) 3 := — , so erhält man die speciel-
len Formeln:

-= [—1

x=n LP-tJ ra+T^ 1

j;=l x=l

x=J

Aus diesen Formeln kann man sofort eine Reihe von Sätzen über die Divisoren der ganzen Zahlen ableiten.
Es ist nämlich:

x=m,y= \-

Z[p^]''' »■"-"= Z -Gtä^)''*'-"-

~[r]
= Z-(7)Z«'^''>'

wo die Summation bezüglich d',. über alle Divisoren von r zu erstrecken ist, welche von der Form ßx—'j und
nicht grösser als ßin—'/ sind.
Setzt man nun:

d'r

80 hat man:

''> p^O=V[p^,]A,(P.-v).

Nimmt man speciell:

f\(,r) = .r, « = «, i3 = 2, 7 = 1,

Arithmetische Thivreme. 111

so erliält man die Relation:

wo Am(j) die Summe der mten Potenzen der ungeraden Divisoren von x bezeichnet.

Diese specielle Relation hat unlängst Herr Stieltjes in einer in den Schriften der Pariser Akademie
enthaltenen Notiz mitgetheilt („Sur quelques theoremes arithmetiques." Note de M. Stieltjes [Extrait d'une
lettre adressee ä M. llerraite] C. R. Tome XCVII, Nr. 17, 22 octobre 1883).

Nach den eben gemachten Bemerkungen ergeben sich aus den obigen Formeln folgende arithmetische
Sätze:

Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche von der Form ßx—-^ sind, ist
gleich der Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

,3,t— (;/— 1)7 ßn—{ii—2)y ßn~{n—3)'/ ßu

ß ' 2ß ' 3ß ''-'ßji:

enthalten sind.

Die Anzahl der ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis tt ist gleich der Summe der grössten
ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe :

// + 1 « + 2 «+3 2«

enthalten sind.

Die Summe der ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n ist gleich der Summe der Quadrate
der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

M+1 « + 2 n + 'ii 2

II

2 ' 4 ' (5 "'■•■' 2«
enthalten sind.

Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis ji, welche von der Form 4r+l sind
übertrifft die Anzahl der übrigen ungeraden Divisoren um die Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen,
welche in den Gliedern der Reihe:

M + 1 n+2 «+3 2«

~2~' ~^' ~6~'''"'2^
enthalten sind.

Die Anzahl aller Darstellungen einer beliebigen positiven ungeraden Zahl n oder einer einfach geraden
Zahl 2« durch dicForm x'^-\-i/ ist gleich dem vierfachen Überschusse der Anzahl der ungeraden grössten ganzen
Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

«+1 « + 2 n + 'd 2ii

~2~' ~^' ~6~'"'2;7

enthalten sind, über die Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe ;

n ii + l H + 2 2«— 2

enthalten sind.

Ist n eine Primzahl von der Form 4/ -i-l, so kommen unter den grössten ganzen Zahlen, welche in den
Gliedern der Reihe:

n+1 /i + 2 /I + 3 2ii

~2~' ~^' ~6~'""' 2^7

enthalten sind, zwei ungerade Zahl mehr vor, als unter den grössten ganzen Zahlen, welche in den Glie-
dern der Reihe:

112 Leopold Gcijcnha aer.

n w+1 n + 2 2n—2

2"' 4 ' (j ''"' 2n-2

enthalten sind; ist aber n eine Primzalil von der Form 4/-— 1, so ist die Anzahl der ungeraden grössten ganzen
Zahlen in beiden Zahlenreihen gleich gross.

Die Anzald derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis«, welche von der Form 8/-±l sind,
übertriä't die Anzahl der übrigen nngeraden Divisoren um eben so viel, als die Anzahl derjenigen grössten
ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

II -hl n + 2 H + 3 2«

~l>~'^r~'~"6~''"' 2^

enthalten sind und die Form 4/ + 1 besitzen, grösser ist als die Anzahl der übrigen ungeraden grössten ganzen
Zahlen.

Die Anzald aller den Bedingungen //^O, 2x>3i/ genügenden Darstellungen einer positiven ungeraden
Zahl n durcli die Form x'^—2iß ist gleich dem Überscliusse der Differenz aus der Anzahl derjenigen ungeraden
grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

li + l n + 2 «+3 2n

~^~~'~^'~6~"''"'' 2^

enthalten sind und die Form Ar+\ besitzen, und der Anzahl der übrigen ungeraden grössten ganzen Zahlen,

über die Differenz aus der Anzahl derjenigen ungeraden grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der

Reihe :

n ?j + l H + 2_ 2)1 — 2

enthalten und von der Form 4r+\ sind, und der Anzahl der übrigen ungeraden grössten ganzen Zahlen.

Die Summe der «iten Potenzen der Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n übertrifft die Summe der
»Men Potenzen der um die Einheit verminderten Divisoren um die Summe der »«ten Potenzen der grössten
ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

11 n II n

r'2"'3"'"";7

enthalten sind.

Die doppelte Summe der Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis ii übertrifft ihre Anzahl um die Summe
der Quadrate der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

H H n n

r'2"'3"''"''7

enthalten sind.

Die Summe derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von h+\ bis 2«, welche grösser als n sind, ist nach

2,1
dem Modul 2 der Summe derjenigen ganzen Zahlen x congruent, für welche die in dem Bruche — enthaltene

grösste ganze Zahl ungerade ist.

Berücksichtigt man, dass :

ist, wo T gleich 1 oder 0 ist, je nachdem m ein Quadrat ist oder nicht, so sieht man, dass die Anzahl der
Darstellungen einer positiven ungeraden oder einfachgeraden Zahl n als Summe zweier Quadrate durch
folgende Differenz ausgedrückt wird :

3v— ']-v[v»-i-'j

Ärithnictiüche Theoreme. 113

Man hat daher auch die Relation:

.1=1 x=l x=0 x=0

Schreibt mau in dieser Gleichung für >/. der Reihe nach:

n, n — 1, n—2,...,2
und addirt die so entstehenden Gleichungen, so erhält man die Formel:

\/n]

\/u-x^]

■-m

x= 1 x=0

welche schon Liouville ohne Beweis mitgeth eilt hat.

Verbindet man diese Gleichung mit 32) , so erhält man die Relation :

^■=[\/»J '= \"+x-\

38) 2V[v/«-.-''J=«-2(-l)L'^J

i=Ü 1 = 1

Die auf der linken Seite dieser Gleichung stehende Summe lässt sich noch auf eine andere Form bringen.
Um zu derselben zu gelangen, betrachte ich die Summe:

39) |i'[ä±v|E^jfw=|[^±>^ywH-|;[e±v^lfw,

■v=i x—l x=^4-l

Da aus der Relation :

«-y

die Beziehung:

folgt, so ist:

yx" <

x=n, y=A

x=p-\-i s,= l •'

X=J>+I,../=I '

= ' jj ^'(^'^HfcI)!)/-(^)-^F(p)+£fX«) (ß = [!LtVp2^j)

y=B+I,.c=l
y=4

,/=JJ+l
und daher hat man die Gleichung

x=i.

|^F([^'-'»-w')-^fa,)+£f(,.)

■£=1 x=l j=.ß4-l '

Deukschriften der niutheai.-ualiirw. Cl. XLIX.Bd. Aljliaiidliiin;uu von Niclitmi1t,'liedi.iii.

114 Leopold Gegenbauer.

Setzt man in dieser Gleich unj::

t\x) = 1, ^ = 1. 2 r= iit. 7 = 1, 0 = -2. j = :?, i> = 0. m^ii*.

so erhält man die Relation:

41

v[l±^^] = y

in welcher Gleichunff die von Heim Cesaro mitgetheilte Formel:

42)

V ri+\ «

■=[^]

V ji+v^j ^ ^j^,_j_j-.j

als specieUer Fall enthalten ist.

Setzt man aber in der Gleichung 40) :

f{x) = 1. S = 0. ^— 1.; z= 4,7 = 2.^ = 0. oc^ -hl

so ergibt sich die Formel :

43

y[v/^i:4:?]= V [^,^]-^[v^^347^]«

aus welcher wieder die specielle Relation:

sich ergibt.

Unter Benützung der eben abgeleiteten Formeln lässt sich die Gleichung 38) auch in folgender Gestalt
schreiben:

Vo)

y [U^^^]+ V [i±\^] = „_V(_i l-J

Setzt man in der Gleichung 7):

46) j.

so hat man:

47)

und daher:

L pA + ^-7 J

wo ? nur die Werthe 0. 1 haben kann.

Ist J^ 1= /.— 1. so folgt aus der Relation:

die Beziehung:

>.— 1 < —. — ^ < >.

/— 1 < ,. < A + l.

Arithmetisrhe Theoreme. 115

Wäre nnn:

so mttsste:

m=-'^

sein , was nach 47 ) unmöglich ist . daher ist :
Man hat demnach die Gleichung:

r=X

■1")

Gibt man in dieser Gleichung der Fanetion f(x'\ der Reibe nach die speeiellen Werthe 22). so erhält
man die Formeln:

x=l x=l r=«

541 \ ^ cos !^ ; = \ cos ^^ i i ^ > sin ( — -^ = sin —

x=l r=l J=l

.(rO + VX, 1,

" )[ Ix J ■*■ 2 (

=i sin ~ .' , + ^- A sm ^

55) 2 Vr , 1 cos x^ = 2 V r.^ 1 cos x c- -i- ^ '

^m- sm-

r=i . x=iL , ■/. COS -

2/-I-1U

56) 2 Vr^J^l sin X - = 2 V [^^1 sin x ^- ^V cos ^- e±:^\ + \-[

•>

sin-,=, ' sm-

57) 2V,_i).r^_i_] = oV r_iyr^iL_l+ V(_i;)['t"] 1^,

— ' Ißx-'/J _ Lp-r-'/J —

J-1 ■

p*

116 Leojiohl Gl' geil hau er.

3x

x=i x=i x=i ^ '

. /- . (2X+1)-T

3r— I

r=w .1—1 Sr— 1\ .r=A J— I ■"— ■ J-=ik

+

^ .- (2X + l);r

Setzt man in den Gleicbiingen 52) und 53):

a ^ », |3 ^= 2, 7 =: 1, m := 2,
so erbält man die von Herrn Stieltjes a. a. 0. mitgetheilten speciellen Relationen:

i' \z^] ■"•*^^ =f (.^]"° ^- - ^^f'^'" ■ (t [^1)^'. V^ '^' ■

Von den in diesen Formeln enthaltenen arithmetischen Theoremen mögen die folgenden besonders
erwähnt werden :

Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche von der Form ßx— ■/ und
grösser als ßl — ■/ sind, ist um '/} kleiner, als die Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern
der Reihe:

ßu — {n—])'/ /3h — («—2)7 ßw— (« — o)_7 ßn — (n — X)'^

ß ' ~ 2p ' 3ß '■■'' Iß

enthalten sind.

Die Anzahl der ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche grösser als 2X, — 1 sind,
ist um a] kleiner, als die Summe det grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

H-t-l «-+-2 n-{-3 «+Xj

enthalten sind.

Die Summe der Quadrate der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe:

w -H 1 H-t-2 n-^3 n-\-l^

~2~' "~4~' ~W~' '" '^\

enthalten sind, übertrifift die Summe derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche
grösser als 2\ — 1 sind, um A'^.

Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis h, welche von der Form 4;-h1 und
grösser als 2),, — 1 sind, tibertrifft die Anzahl der übrigen ungeraden, oberhalb der angegebenen Grenze liegen-
den Divisoren um ebenso viel, als die Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern
der Reihe:

H + 1 11+2 n + 3 M 4- A,

^-' -^' -6-'--''"2Är

1 / . 1 V"
enthalteu sind^ grosser ist, als der Ausdruck /j

Arithmetische Theoreme. 117

Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche von der Form 8r±l und
grösser als 2A, — 1 sind, übertrifft die Anzahl der übrigen ungeraden, oberhalb der angegebenen Grenze
liegenden Divisoren um ebensoviel, als die Anzahl derjenigen grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern

der Eeihe:

« + 1 n + 2 «4-3 « + A,

~2~ ' ~4" ' ~6~ ' ■ ■ ■ ' ~2Ä7

enthalten sind, und die Form 4r+l besitzen, die Summe aus der Anzahl der übrigen ungeraden grössten

1— f— iy>

ganzen Zahlen und dem Ausdrucke j'i-'Xj ^- — - — übertrifft.

Ist:

62) [«] = (i3«.-y)«,

und setzt man in der Gleichung 7):
so wird:

wo ^j , wie man sofort sieht, der Relation :

genügt. Aus der Beziehung:

(3,-l)(ß«.+ß-7) < ßn,^\(ßn,+[i-y)

< «2 — -5, +1

folgt:

ß('»,-5,)-^(«, ,3-7) ^ « + 70'.-^!+^) ^„ . 1 . il-^)(ßr>^+ß~l)
,3(/^,-5,+5) = i5(«,-^,+a) ^''"^ ^ ßK-^.+a)

und daher ist:

L js(»,-5,+5) i ' ^ (p>0).

Wäre p > 0, so hätte man die Relation :

was unmöglich ist, da die rechte Seite negativ, die linke aber positiv oder Null ist.
Man hat also die Gleichung :

Es besteht daher die Relation :

(^=1,2, 3,..., 5,

H = (i3«-7HI-

Gibt mau in dieser Gleichung der Function f(x) wieder der Reihe nach die si)eciellen Werthe 22) , so
erhält man die Formeln:

X=n X^ttf T=7i*

x^i x=l x^l

118 Leopohl (leg eil bau er.

i=l 1=1 x=l

G7) y r_^i ^™ _ y r « 1 (.- 1)-« = v'r " i ,.». _ y V « i(.,_ij.» + 3"j^T-.v«."

^ Z_ill3,r— 7J Z_i LiSx— 7J ^ ^ Z_iL/5x-— 7J Z-ilßa;— 7]- -^ Z_.L fix J ^ '

a:=l

i=l x^i x=I

a.'=J^ ,^ ^. x=?;, -^ _ N - x^7U

r.r.N Vr « 1 (2.r— l);r Vr « 1 2.r— l);r 1 vn . {n ra + yx-,) n, . ».n

^ Z_jll3.r— 7J 4 AjLßa;— 7J 4 y/2 ^ (2 L ßx J) >y2 2

. (2», + 1)5

™) ^Z[p^J«»-^=^Z [p:^]°--^-^Si"^l[^>il

«ij sm

sm — ^=, sin —

«, cos

5
2"
(2/?, + 1) 5

. ' ' ■ r* / sin — , sin —

sm — .1=1 . Sin —

')

^2) ^Z(-i)1ß^]=^Z (-^^1^-:^]-^ Z^-^^^"^^^ +(-1)".-«.

x^i x=l j:=1

.- . (2«, + l);r

», z!<-.)--(-.^|[p^]=Zi(-»--(-)-i[p^l-v^Z"^![^]Ml+

(2m^ + 1>

v/

w„ V J cos

9

Von den speciellen Fällen dieser Formeln mögen die folgenden von Herrn Cesaro mitgetli eilten Glei-
cliungen erwäbnt werden :

'^) z[j]=z'[.7]-z¥]-" ("=»■.»'=)

x=t

.(■=2 .r=m-t-l

Die obigen Formeln entlialten eine Reihe von arithmetischen Theoremen, von denen die folgenden beson-
ders hervorgehoben werden mögen :

Die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche von der Form ß.r—y und
grösser als /3w, — 7 sind, übertrifft um «, «j, die Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern
der Reihe:

|3» — (m— 1)7 ß«— (m— 2)7 ßw — (« — 3)7 ßu—(n—n.,)y

ß • 2ß ' 3ß '■••' ^^

enthalten sind, wenn it z= (^ßn^ — 7);/^ ist.

Arithmetische TJieoreme. 119

Ist u = n^ «2 ) so ist die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n, welche grösser
als «j sind, um n kleiner, als die Anzahl derjenigen Divisoren, welche nicht grösser als «, sind.

Ist n = «, 11^, so übertrifft die Summe der »Kten Potenzen derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen v(m
1 bis n, welche grösser als /(, sind, die Summe der wten Potenzen der eben genannten, um die Einheit ver-
minderten Divisoren um eben so viel, als die Summe der ;/iten Potenzen der grössten ganzen Zahlen, welche

in den Gliedern der Eeihe:

//, n n n

enthalten sind, das Product niiy"'~^ übertrifft.

Ist n^zlt^H^, so übertrifft die doppelte Summe derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis it,
welche grösser als y/, sind, ihre Anzahl um eben so viel, als die Summe der Quadrate der grössten ganzen
Zahlen, welche in den Gliedern der Keihe:

n n n u

Y' 2"' 3~'''^
enthalten sind, grösser als das Product n n^ ist.

Ist H — M, H^, so ist die Summe derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «, welche grösser

als«, sind, um ^^-^^ kleiner, als die Summe derjenigen Trigonalzahlen, deren Ordnungszahlen durch

die grössten ganzen Zahlen angegeben werden, welche in den Gliedern der Eeihe :

II n It, II

\' 2"' "d ''"'n.^

enthalten sind, während die Summe der dritten Potenzen der angegebeneu Divisoren von der Summe der Qua-
drate der erwähnten Trigonalzahlen um ii — ' — ^-j übertroffen wird.

4

Ist » = (-J/;, — 1) V^, so ist die Anzahl derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis «,
welche grösser als 2/«, — 1 sind, um //, ii.^ kleiner, als die Summe der grössten ganzen Zahlen, welche in den
Gliedern der Reihe:

n + \ M + 2 ii + 'i >^ + 'i-i

~"2~' ~^~' ~Ö~ ' • ■ ■ ' 2«,
enthalten sind.

Ist M = (2/«, — l)«j,, so ist die Summe derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis ii.
welche grösser als 2«, — 1 sind, um i/'\ n^ kleiner, als die Summe der Quadrate der grössten ganzen Zahlen,
welche in den Gliedern der Reihe:

«4-1 11 + 2 « + 3 ii+ii^

enthalten sind.

Ist II = (2m, — 1) w^, so übertrifft die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bi>

S H,

welche von der Form 4/+1 und grösser als 2«, — 1 sind, die Anzahl der übrigen oberhalb der angegebenen
Grenze liegenden ungeraden Divisoren um eben so viel, als die Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen,
welche in den Gliedern der Keihe:

« + 1 11+2 ii + o ii + ii^

~2~' ~^~' ~~6~ '■^■' ~2ii^

enthalten sind, das Product ii.^ übertrifft.

Ist M = (2«,— 1)«2, so übertrift't die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von 1 bis n,
welche von der Form Srrtl und grösser als (2«, — 1) sind, die Anzahl der übrigen oberhalb der angegebenen
Grenze liegenden ungeraden Divisoren um eben so viel, als die Anzahl derjenigen grössten ganzen Zahlen,
welche in den Gliedern der Reihe:

120 Leopold G e(jenbaucr. Arilhntetiavhc T/iconiuc.

)i + l H + 2 ii-h'd n + ti.,

2 ' 4 ' 6 '■■■' 2«.,

2

entlialtcii, und von der Form 4/ +1 sind, die Summe aus der Auzulil der übiigcn UDj;eradcn grössten ganzen

1— (— 1)""
Zahlen und dem Producte n^ «"'"' — übertriiit.

Auf die in dieser MitÜieilnug angegebenen Formeln gedenke ich übrigens demnächst in einer Arbeit Über
asymptotische Gesetze der Zahlentlieoric zurückzukommen.

Es mag bei dieser Gelegenheit noch gezeigt werden, wie leicht sich mit Hilfe der zahlentheoretischen
Function s(x) jener allgemeine Satz ableiten lässt, welchen Herr Stern in seiner interessanten Arbeit; „Über
einige Eigenschaften der Function E(x)" mitgetheiit hat. (Journal für die reine und angewandte Mathematik
von Borchardt, 59. Band.)

Der erwähnte Satz, in welchem bekannte Theoreme von Eisenstein und Sylvester als specielle Fälle
enthalten sind, lautet:

Es ist:

77) y p!^i+ v" pyy'«|_^'-'ü^-'^)(7-/')

L am J

qm J iL_j L pii J mn

wenn:

und , - — - positive ganze Zahlen sind.

ke < m

lf< n

Die auf der linken Seite der Gleichung 77) stehende Summe hat den Werth:

Z—i \ij(p)i/ Z_i V xpii I

Nun ist ;

ijiii III ijiii

Ä-tj(j) — c) _ fc(g'— 0 _ kjeg—pf)
pn n pn

und daher, wie auch die Differenz qe—pf beschaffen sein mag:

rAy('/-f)-| ^ k(jp-e)
L qm J m

^hq(^-e)^^liq-f}

rKq\j)-(;)i ^,

Da nun jedesmal, wenn x<l ist, £(x) = 0 wird, so kann man den Ausdruck 78) auch in folgender
Form schreiben:

X = ''Slz/1 , = ^^f-<

j i^ny, ^ , i'^i^

/ I ( \ijqii/ \xpii

x=i, 11=1

und diese Summe ist, weil für jedes Werthepaar ,r, ij einer der beiden Brüche , — — grösser, der andere

aber kleiner als 1 ist, gleich der Anzahl der Werthepaare, d. i. gleich —^ -— -.

Ulli

'=-^oi^^a=.^=-

121

ÜBER DEN

CIRCULATIONS-APPAMT IN DER NASENSCHLEIMHAUT.

Prof. Dr. E. ZICKERK ANDL.

(^Jlit 5 Reifet.,.)

(VOKf!EI.EC.T IN DER SITZUNG AM S. MAI 1S84.)

JJie Circulixtion.sverliältnisse der Nasenscbleimliant tmd ihrer in die .Simi.se fortgesetzten Anhänge sind noch
nicht genügend gekannt, und zwar fehlt es nicht blos an Angaben über feinere Verliältuisse, z. B. über die
Weise, in welcher der Kreislauf zwisclien den venösen und arteriellen Gefässen zum Abschlüsse kommt, son-
dern selbst gröbere Verhältnisse, wie : die Verbindungen zwisclien dem .Schwellkörper der Nasenschleimhaut
und den peripheren Venen sind bisher nicht genügend dargelegt worden. Das Ausführlichste, was vorliegt,
verdanken wir W. Kohlrausch, ' bei dessen Angaben mau eigentlich stehen blieb; denn auch Voltolini's^
Untersuchungen haben — anatomisch genommen — den Gegenstand kaum gefördert.

Die vorliegende .Schrift soll nun diese Lücke in unserer Literatur ausfüllen, und es werden der Reihe nach
folgende Punkte zur Besprechung kommen :

A. Die Methode der Untersuchung.

B. Die Arterien der Nasenschleimhaut.

C. Die aus den venösen Netzen der Nasenschleimhaut heraustretenden Venen.

D. Das Schwellgewebe und die Venennetze der Nasenschleimhaut.

E. Die kleineren Arterien, die Capillaren der Nasenschleimhaut und deren Verbindungen mit dem Schwell-

gewebe und den Venennetzen.

F. Die Gefässe der pneumatischen Anhänge.

1 Archiv f. Anat. u. Plij'siol. ; lieransg. von J. Müller. Berliu 1853.

ä Monatsschr. f. Obreuheilk. Berliu 1877, Nr. 4, und: Die Rhiuoskopie ii. Pharyngoskopie. Breslau 1879.

Denkschriften tler matheni.-nalurw. Cl. XLIX. Bd. Ahhani-lluaj^eu von NitiitnütgUederu.

122 K. ZHvlrykainll.

Ä. Methode der Untersuchung.

Für die D.arstellnng der gTÖbeven Gefässverliiiltuissc iii der Nascnschleiniliaut habe ich, um des Erfolges
sicher zu sein, die Gefiisse kurz vor ihrem Eintritt in die Nasenhöhle aufgesucht und eingespritzt. Von einer
Injection der grossen zu- und abi'ührenden Gefässe — Carotis communis, Jugularis — bin ich schon aus dem
Grunde abgestanden, weil dieser Vorgang, abgesehen von dem zweifelhaften Erfolge, nicht so pralle Füllungen
der feinen Gefässe ergibt.

Nach der angegebenen Weise hingegen Hess die Injection, selbst wenn vorher der Kopf, dessen Nasen-
sehleimhaut injicirt werden sollte, pathologisch anatomischer Zwecke halber bereits eröifnet war, nichts zu
wünschen übrig. An Objecteu letzterer Art durchtrennte ich den vom Stamme gelösten Kopf in sagittaler
Richtung, comprimirte die Durchschnittsflächen an der knorpeligen Nase und am Gaumen mittelst Sperr-
pincetten, unterband, bei verletzter Scheidewand, die Nasopalatina und erötfuete, wenn z. B. eine Injection der
aus der Flügelgaumengrube in die Nasenschleimhaut eindringenden Gefässe geplant war, diese Spalte, so weit
als eben nothweudig schien, um bequem operiren zu können. Handelte es sich um eine arterielle Einspritzung,
dann wurde der Hauptstamm der Maxillaris interna bis nahe an das Foramen spheno-palatiuum verfolgt, und
in die Arteria spheno-palatina die Canüle eingebunden.

Noch wichtiger als für die arterielle Injection erwies sich die directe Einspritzung der Nasenschleimhaut-
gefässe für die Darstellung der venösen Gefässe. Sie ist eigentlich die einzige Methode, die ein Gelingen ver.
spricht, da eine Injection der grösseren venösen Halsgefässe niemals eine zufriedenstellende Füllung der inneren
Nasenvenen herbeiführt.

Zur Darlegung der gröberen venösen Gefassverhältnisse injicirte ich zumeist die Vena nasalis externa und
posterior. Ich suchte mir die Vena nasalis externa am Abgange von der Vena facialis antica, und in der Flügel-
gaumengrube die Vena, spheno-palatina auf. Die Auffindung der vorderen Vene bereitet niemals Schwierig-
keiten, wohl aber häufig die der hinteren, zumal wenn sie blutleer und collabirt ist. Von Klappen habe ich an
ihnen nichts bemerkt; weder stellte sich der Injection ein Widerstand entgegen, noch zeigten die Venen jenes
charakteristisch-knotige Aussehen, welches nach der Einspritzung von mit Klappen versehenen Venen niemals
ausbleibt. Auf dieselbe Weise habe ich die Venen der Nasenschleimhaut auch für Corrosioneu gefüllt und bin
mit den erhaltenen Resultaten zufrieden gewesen.

Die directe Einspritzung der Venen habe ich für die Darstellung der feineren, präeapillaren venösen
Gefässe nicht geübt. Für eine solche benützte ich das weit einfachere Verfahren der Injection mittelst Einstich.
Der Stachel einer grösseren Pravaz'schen Spritze wurde in das Schwellgcwebe, respective Venenuetz der
Nasenschleimhaut eingestochen und die Masse in den Stichcanal hineingetrieben. Es füllten sieh auf diese
Weise die Venennetze bis in ihre feinsten Zweige, zuweilen auch stellenweise die Capillarcn, diese aber stets
unvollkommen, weil das Injectionsmateriale leicht durch die reichlich sich darbietenden weiten periferen Venen
abfloss.

Nicht unerwähnt soll bleiben, dass die Injection der venösen Nasengefässe durch Einstich stets auch zu
einer Füllung der den Thränennasengang umgebenden Venennetze und durch diese zur, wenn auch nur unvoll-
kommenen Injection der Orbital- und Facialvenen führt. Es dürfte dies auch die einfachste Methode sein, um
diese Netze isolirt zu injiciren, da ich mich an mikroskopischen Querschnitten solcher injicirter Thränennasen-
gänge davon überzeugt habe, dass nur die Netze und nicht dieCapillaren vollkommen gefüllt waren. Die Masse
fliesst eben zu leicht gegen die Orbita und gegen das Gesicht ab.

Bei mikroskopischen Doppclinjcctioncu ging ich folgendermassen zu Werke: ich injicirte zuerst die Venen-
netze durch Einstich und schickte dieser Einspritzung eine arterielle von Seiten der Sphenopalatina oder der
Nasalis anterior nach. Dieser Vorgang bei der Injection verdient empfohlen zu werden, weil sich durch denselben

über den Circulations-Apimrat in ih-r NasenscJdeimJiauf. 123

wirklicli scliöne Doppelinjectionen erreichen lassen. Aus dem Seli\\ ellnetz, in welches man eingestochen, fliesst
wegen der in grosser Menge sich darbietenden Abflüsse, wie gerade bemerkt wurde, das Injectionsmateriale
nur in geringer Menge in dieCapillaren über, diese bleiben sammt den Arterien grösstentheiis leer, und die der
venösen Injection nachfolgende arterielle Einspritzung mit einer anders gefärbten Masse grenzt an vielen
Stellen ganz prachtvoll die venösen Blutbahnen gegen die Capillaren und Arterien ab. Wie ich in der Abliand-
lung lese, die W. Tomsa* über die „Anatomie und Physiologie der menschlichen Haut" verfasst hat, ist dieser
Forscher ähnlich vorgegangen und rühmt es, dass bei dieser Reihenfolge der Injection sich die Füllung des
Venensystems eben nur auf diesen Bezirk beschränkt.

Was das Injectionsmateriale anlangt, so benützte ich für makroskopische Zwecke feinere Wachs- und
die Hojer'sche Schellackmasse. Mit denselben Massen fertigte ich auch Corrosionspräparate an. Für die
mikroskopischen Einspritzungen kamen in Anwendung das lösliche Berliuerblau, die feinere Sorte der Hojer'-
scheu Schellaekmasse und die von Kollmann angegebene kaltflüssige Carminmasse, die den Vorzug einer
sehr einfachen Bereitungsweise besitzt.

Tingirt wurden die mikroskopischen Präparate theils mit Carmin, thcils mit Hämatoxylin; letzteres
namentlich in den Fällen, in welchen es sich um die Darlegung organischer Muskelzüge handelte.

B. Die Arterien der Nasenschleimhaut.

Tiif. 1, Fig. 1, 2 und Tat'. II, Fig. G.

Der Nasenschleimliaut wird das Ernälirungsmateriale durch mehrere Arterien zugeleitet, von welchen die
Arteria nasalis anterior der Maxillaris externa, dann die Arteria spheno-palatina der Maxillaris interna und
schliesslich die beiden Arteriae ethmoidales der Carotis cerebralis die bedeutendsten sind. Von diesen drei
Gelassen ist die Spheno-palatina am stärksten und besitzt ein sehr ausgebreitetes Ramificationsgebiet; ihre
Verzweigung erstreckt sich nämlich von den Choanen bis in das Vestibulum nasale hinein, während die anderen
Gefässe, die direct in die Äste der Kasalis posterior übergehen und mehr die Rolle coUateraler Bahnen
spielen, sich auf die äussere Nase und die oberste Region der Nasenschleimliaut beschränken. Die Spheno-
palatina begnügt sich aber nicht mit der Nasenschleimhaut allein, sondern greift auch noch auf die nachbar-
lichen pneumatischen Räume (Sinus frontalis, maxillaris, sphenoidalis, ethmoidales) über, denen sie ansehnliche
Zweige zusendet.

Die genauere Betrachtung der einzelnen Arterien ergibt nachstehende Details :

1. Arteria sphono-palatiiia s. nasalis posterior coiumuuis.

Taf. I, Fig. lA.

Die Arteria spheno-palatina geht aus dem in der Flügelgaumengrube gelegenen Endstücke der Maxillaris
interna hervor, begibt sich zu dem Foramen spheno-palatiuum, und theilt sich schon vor oder erst in demselben
in zwei Zweige, von welchen der eine (Taf. I, Fig. 1 B) für die laterale, der andere (Taf. I, Fig. 1 C) für die
mediale Wand derNasenhöhle bestimmt ist; ersterer heisst Arteria nasalis posterior schlechtweg, letzterer Arteria
naso-palatina. Auf dem Wege zur Nasenhöhle durchbohrt die Arteria spheno-palatina — gegebenen Falles
ilire beiden Hauptstämme — ein das Foranien spheno-palatinum verstopfendes Zellgewebe, von welchem nicht
selten ein Theil in ein die Lücke zweithcilendes Bändchen umgewandelt erscheint. Üher dem Bändchen liegt
dann die Arteria naso-palatina, uuteriialb desselben die Nasalis posterior. Bandartige Apparate um einzelne
Zweige der Maxillaris interna gehören überhaupt zur Norm, nur ist ihre Ausbildung mannigfachem Wechsel
unterworfen.

Die am Tuber maxillare verlaufenden Gefässe (Art. infraorbitali.s, dentalis snperior) werden gewöhnlich
von mehreren (2—4) Bändern überbrückt, welche am Rande der unteren Augenhöhlenspalte oder in deren

1 Archiv f. Dermatol. u. Syiibilis. Prag 1873.

124 A'. Zurkci-I.iiinll.

uiu'lister Uingebiiui;' begiuncu uud am Tuber maxillare, in der Fa«cia buccinaturia uud am l'rocessii.s {ttery-
g'oideus endigeu. Die Arteria splieuo-palatina (respective Arteria maxillaris interna) ist g-ar nicht selten
sogar von einem fibrösen Kolire umschlossen, welches mit mehreren zackigen Fortsätzen an das Oberkiefer-
uud Keilbein geknüpft ist. Von den Bändern sind einzelne oft 2—3 Ctm. lang, 3 — 4 Mm. breit und melir-
schichtig. ^

Die Ramificationsbezirke der beiden oben augeführten Nasenarterien sind, wie wir bald sehen werden,
nicht strenge von einander geschieden, denn die Nasopalatina sendet auch Zweige zur lateralen Wand.

Der Hauptstamm der Nasalis posterior läuft an der Seitenwand zwischen den hinteren Enden der unteren
und mittleren Muschel abwärts und spaltet sich, nachdem er vorher eineu Ast für den unteren Nasengang abge-
geben (Taf. I, Fig. 1 («), au der unteren Muschel in drei sagittal gelagerte Zweige, von welciien der stärkste
ungefähr in der Mitte zwischen dem oberen und unteren Muschelraude vorwärts zieht, die knorpelige Nase
erreiclit und in der Wandung der letzteren mit Zweigen der Maxillaris externa anastomosirt.

Von den beiden übrigen Zweigen wählt der stärkere den freien Muschelrand zum Verlaufe, gibt eineu
vorderen Ast für den unteren Nasengang ab (Taf. I, Fig. l b) und erreicht gleich dem mittleren Stamme die
knorpelige Nase; der schwächere zieht am Insertionsraude der Muschel vorwärts, verlässt diesen aber bald und
begibt sich auf die Wand des mittleren Nasenganges (siehe die Abbildung). Auf der Muschel befinden sich
die Gefässe streckenweise in tief gegrabenen Rinnen untergebracht; im übrigen formiren sie im oberen und
mittleren Nasengange, ferner auf der unteren Muschel ein grobmaschiges Arterieunetz.

In das Verzweigungsgebiet der Arteiia nasalis posterior fällt aucli die mittlere Nasenmuschel. Das starke
Gefäss (Taf. I, Fig. 1 c, c, c) derselben, welches knapp hinter der mittleren Muschel abzweigt, verlauft theils
am Muschelrande, theils gedeckt von diesem vorwärts, und seine Aste bilden auf der medialen Muschelfläche
ein Geflecht.

Es verzweigt sich also die Arteria nasalis posterior in der Pars respiratoria und auch nocli im unteren
Bezirke der Riechspalte (mittlere Muschel).

Die obere Muschel, uud wenn eine vierte vorlianden ist, aucli diese, liegen der Verästelung der Nasalis
posterior zu fern und erhalten daher ihr Blut aus der Arteria nasopalatina, die an der Basis des Keilbein
körpers und gerade in der Projection der oberen Muschel in die Nasenhöhle eintritt. Diese schwächste unter
den Muschelarterien (Taf. I, Fig. 1 (/, d) bildet auch ein Netz uud seudet eine Reihe von Zweigen gegen das
Siebbeiulabyrinth ab.

Von den zwei Arteriae ethmoidales, welche die Ophthalmica der Nasenschleimhaut zuschickt, ist die
anterior die stärkere. Zwischen beiden Ethmoidales obwaltet im Übrigen ein gewisses compensatorisches
Verhältniss; denn man beobachtet, dass, je schwächer die vordere, desto stärker die liintere Siebbein-
arteric ausgebildet ist. Die Etlimoidalis anterior (Taf. I, Fig. 1 e, (j und Fig. 2 a, h) zieht in Gesellscliaft des
gleichnamigen Nerven, oft eine Strecke weit in einer Siebbeinzelle freiliegend, medialwärts, seudet neben
dem Hauptstamme melirere Zweige durch Öffnungen der Lamina cribrosa in die Nasenhöhle und verzweigt
sich an der lateralen Wand, am Septum und in der äusseren Nase; sie inosculirt direct in einige Zweige der
Nasalis posterior und der Nasopalatina. Die Ethmoidalis posterior (Taf. I, Fig. 1 /. und Fig. 2 c uud (/)
anastomosirt auf der Siebplatte mit der Etlimoidalis anterior und inosculirt an der medialen wie lateralen Wand
in das Arteriennetz der Nasalis posterior uud der Nasopalatina.

Gar nicht selten illt die eine Ethmoidalis schwach entwickelt, dafür aber entweder, wie bereits ange
führt, die andere stäri^er, oder es hat siidi compensirend ein Nebenzweig zu einem verhältuissmässig ansehn-
lichen Ast emporgeschwungen. Durch die Verbindungen der Arteria ethmoidalis mit den Asten der Nasalis
posterior stehen die Meningealartcrien mit den Arterien der Nasenschlcimhaut in directem C'onuex.

' Ein älmliehes Band zielit nuniittclb.'ir unterhalb des Foriinien ovale vom hinteren Uande der äusseren Platte de.s Proc.
pterygoideiis in scliiäger Klelitung nach lihitcn zum Raudo des Tympanieum. Auf dem Bäudelieu ruht der dritte Ast des Tri-
geminus.

Ühcr den Circulatioiiti-Äpjniraf in der Nasenschleiinliaiif. 125

Von minder wichtigen Arterien der Nasenscbleimluiut seien erwähnt:

a) Der Nasenast der Arteria pahxtina descendens (Palatina major, Luschka), der kurz vor dem Austritte
der Gaumenarterie aus dem Canal die zarte, sieliförmig durclilöclierte mediale Wand desselben perforirt und
sicli hinten am Nasenboden verzweigt. Die Palatina descendens gibt aber auch, entsprechend dem mittleren
Nasengauge, einen Ast ab, der mit dem Hauptstamme der Nasalis posterior anastomosirt, zuweilen 1 Mm. dick
ist und mit Endzweigen gleichfalls die Schleimhaut am Nasenboden erreicht.

hj Die Arteria pharyngea suprema, welche sich in der Choanengegend ramificirt.

2. Najsenäste der Maxillaris externa.

Die «äussere Nase besitzt zwei Hautblätter: ein äusseres der Gesichtshaut zugehöriges, und ein inneres,
welches theilweise das Vestibulum nasale auskleidet. Im ersteren liegen die starken Äste der Arteria nasalis
extenni, im letzteren die Endzweige der Nasalis posterior. Zwischen beiden Gefässsystemen existirt durch
Zweige (2 — o), welche am Rande der knöchernen Nasenötfuuug von der Nasalis externa abzweigen und direet
in die vorderen Enden der Nasenschleimhautgefässe (untere Muschel) übergehen, ein Verkehr. Diese Anasto-
mosen können eine Dicke von '/^ Mm. erreichen.

3. Arterien der Nasenscheidewand.

Die Nasenscheidewand bezieht ihr Blut aus der Arteria naso-palatina (Taf. I, Fig. 1 C, Fig. 2 A), den
beiden Arteriae ethmoidales (Taf. I, Fig. 2 a, h, c, d), der Arteria septi narium (Taf. I, Fig. 2 B) und den
Gatimeuarterien, aber auch an dieser Wand der Nasenhöhle, sowie an der lateralen, geben die Zweige der
Arteria spheno-palatina den Ausschlag. Die Nasopalatina tritt knapp über der mittleren Muschel in die Nasen-
höhle ein, und theilt sich au der Nasenscheidewand in einen oberen und unteren Zweig. Der obere, schwä-
chere liegt auf der Lamina perpendicularis, der untere, stärkere auf dem Pflugscharbein. Letzterer spaltet sich
wieder in zwei Zweige, von welchen der eine durch das Foraracn incisivum gegen das Gaumengewölbe herab
tritt. Die Nebenäste dieser Arterien lösen sich in ein Netz auf, welches oben mit den Scheidewandzweigen der
Arteriae ethmoidales, vorne mit der Arteria septi narimu und ganz hinten mit den schwachen Ausläufern der
Arteria palatina anastomosirt.

i. Verbindnngen der Nasenschleinihaut-Arterien mit der Art. angularis und der Oplithalniica.

Taf. 11, Fig. 6.

Neben den Anastomosen, welche die Nasalis posterior mit Asten der Maxillaris externa und der Augen-
pulsader, nämlich mit der Nasalis externa und den beiden Arteriae ethmoidales eingeht, existirt entlang des
Thräneunasenganges eine zweite äimliche coUaterale Bahn. Die Arterien des Thränennasenganges bilden
nämlich ein weitmaschiges Geflecht (Taf.H, Fig. 6 a, a) und dieses Geflecht inosculirt:

a) Oben am Thränensacke durch einen vorderen Ast (r) in die Angularis.

b) Durch zwei nach hinten ziehende Zweige (b, b) in die Ophthalmica und endlich durch eine Arterie, die
sich um den hinteren Rand des knöchernen Thränenganges herumschlägt, in einen Abkömmling der Arteria
iufraorbitalis. —

Die aufgezählten Arterien bilden in der Nasenschleimhaut (tiefste Schichte) ein Netz, aus welchem erst
die eigentlichen Parenchymgefässe der Schleimhaut hervorgehen. Diese der Schleimhautoberfläche zustrebenden
Äste sind spiralig gewunden, insbesondere in jenenPartieu, wo die Schleimhaut inFolge der Einschaltung eines
Schwellgewebes die Fähigkeit besitzt, au- und abzuschwellen. Ähnlich sind auch in anderen Organen, deren
Volumen ansehnlich wechselt, wie in der Zunge, deuScliwellkörpern der Geschlechts werkzeuge, in den Gesichts-
weichtheilen, am Herzen etc. die Arterien korkzieherartig gewunden, mit dem Unterschiede aber, dass in
diesen alle Arterien, in der Nase aber nur die feineren Zweige aufgedreht sind; denu die grösseren liegen
hier gestreckt und fixirt auf den Knochen oder in Furchen der letzteren.

126 E. Zuckerl,- an dl.

Resumc!!.

a) In d;is Verzwcigung'Sg'cbiet der Arteria nasalis posterior fällt die Rcj^'io respiratoria und uoch eine
untere Partie von der Rieehspalte.

b) In da.s der Arteria naso-palatina die Scheidewand und der obere Antlieil der Riechspalte.

c) Collaterale Bahnen sind reichlich vorhanden; zu diesen zählen: 1. Die Arteriae ethnioidales, 2. die
Arteria nasalis externa, 3. Arteria septi nariuiu, 4. die Arteria palatina und 5. die Arterien des Thränenuasen-
ganges.

In Folge dieses Reichthumes an collateralen Bahnen wird es innerhalb des arteriellen Schenkels der
Nasenschleimhaut nicht leicht zu einer Circulationsstörung kommen.

C. Die Venen der Nasenschleimhaut.

Aus dem dichten Venennetze, beziehungsweise aus dem Schwellgewebe der Nasenschleimhaut, treten
Venenstämme hervor, die, das Verhalten der Arterien nachahmend und sie begleitend, nach verschiedenen
Richtungen abziehen. Man kann i'üul' Gruppen solcher Venen unterscheiden, von welchen

a) die eine, Plexus nasalis externus, vorwärts gegen die äussere Naseuöffnuug;

b) die zweite, Venae ethnioidales anteriores et posteriores, aufwärts gegen die Schädel- und Augenhöhle;

c) eine dritte rückwärts gegen das Gaumensegel und den Pharynx;

fl) eine vierte rück- und aufwärts durch das Foramen splieno-palatinum in die Flügelgaumengrube
hinein; und

e) eine fünfte durch das Siebbein in die Schädelhöhe zieht, um hier in die Venen der Pia mater zu
inosculiren.

1. Die vordere tiefe Naseuveue.

T;if. I, Fig. a, 4, 5 und Taf. II, Fig. 5.

Die vordere tiefe Nasenvene recrutirt sich aus den dichten Venengeflechten der Nasensclileimhaut und
der Haut des Vestibulum nasale. Die venösen Geflechte der Nasenschlcimhaut setzen sich nämlich auch in
das Vestibulum der Nase fort (Plexus nasalis externus) und sind hier grösstentheils von den Knorpeln der äus-
seren Nase gedeckt. Über den Flügeln läs.st sich das Geflecht leicht darstellen, denn der Knorpel ist mit den
Venen blos durch lockeres Gewebe verbunden; nicht so leicht gelingt dies aber am Nasenflügel selbst, weil
eine innige Coalition zwischen letzterem und dem Geflechte besteht. Nach Ablösung des Knorpels erscheint
die laterale Seite — demnach der gröbere Antheil — des Venennetzes, während der feinere dem Vestibulum
nasale zugekehrt ist. Jene Partie der gröberen äusseren Venenschichte, welche vom Nasenflügelknorpel gedeckt
wird, ist zarter und engmaschiger als der übrige Antheil.

Die aus diesem Netze ' abziehenden Venenstämme begeben sich zum Rande der Apertura pyriformis
Taf. I, Fig. 3, 4 und .^) a', «', a'), anastomosiren hier mit anderen aus der Nasensehleimhaut heraustretenden
Zweigen (6, b, b), die sich um den Rand der knöchernen Nasenöffnung lierumwinden und ferner mit Venen,
die dem vorderen unteren Bezirke der Nasenscheidewand (t-, c, c) angehören. Durcli den Conflux so zahlreicher
Venen am Rande der äusseren Nasenöflnung kommt es auch hier zur Bildung eines grobstämmigen, dichten
Geflechtes (Taf. I, Fig. 3 und 4 /;, b, b), dessen unterer Abschnitt stärker ist, weil hier die Venenstämme der
Nasenscheidewand zum Geflechte hinzutreten. Diesen dichteren unteren Antheil des den Übergang zwischen
den inneren und äusseren Nasenvenen vermittelnden Geflechtes hat zuerst N. Rüdinger ^ beschrieben.

Aus dem Geflechte gehen schliesslich 3—5 Venen (Taf. I, Fig. 3 und 4 d, d, d) hervor, welche in die
vordere tiefe Nasenvene (Taf. I, Fig. 3 und 4 und Taf. II, Fig. 5 e, e, e) einmünden.

1 Auf Taf. I, Fig. 5 vergrössert abgebildet.

- Chirurg. Auat. d. Mcnsclion. Stuttgart 1874, Abtli. III, Heft 1.

über den Ci rculations- Apparat in der Nasen schleimha/d. 127

Von den aufgezählten Venen abgesehen, münden in das Raudgeflecht der äusseren Nasenöffuung noch
einige stärkere, oberflächliche Aste, die unter dem Depressor nasi und auf dem Nasenflügelknorpel liegen und
mit 3—5 Zweigen in dem dichten Venennetze der Nasenhaut wurzeln. In diese Haut-Muskelvenen der Nase
inosculireu eine Menge von kleineren Ästen aus dem vorher beschriebenen dichten, subcartilaginöseu Venen-
geflechte.

Aus dieser Beschreibung ist zu ersehen, dass die äussere Nase einen grossen Reichthum an Venen besitzt.
Die Venen liegen in drei Lagen übereinander geschichtet, und zwar die eine in der Haut, die zweite sub-
cartilaginös in der Auskleidung des Vestibulum nasale und zwischen beiden eine dritte, perichondrale im Peri-
chondrium der Nasenknorpeln.

Ein anderer Abfluss aus den venösen Gefässen der Nasenschleimhaut ist durch einige der grösseren
Knoehenvenen des Oberkiefers und des Nasenbeines gegeben. Man bemerkt bei jeder Injectiou des Schwell-
gewebes der Nasenschleimhaut, dass sich neben zahlreichen kleineren Knochenvenen auch einige dickere
(Taf. n, Fig. 5 c, c) und durch diese rasch die Gesichtsvenen füllen. Bei näherer Untersuchung zeigt sich eine
den Oberkiefer durchsetzende Vene am stärksten, da ihr Querdurchmesser im eingespritzten Zustande 1 Mm.
beträgt; sie hängt innen mit einem dickeren venösen Zweig der Nasenschleimhaut zusammen, liegt mit einem
ungefähr 1 Ctm. langen Stücke im Kiefer und mündet gewöhnlich wenige Millimeter unterhalb des lufraorbital-
randes in die Gesichtsvene. Diese Vene ist ein wahres Eniissarium der Nasenschleimhaut. '

2. Die vorderen oberen venösen AbzngseaniUe der Nasensclileiniliant.

Zu ilen aus dem venösen Geflechte der Nasenschleimhaut sich entwickelnden und gegen die Schädelhöhle
gerichteten Venen gehören vor Allem die Venae comitantes der Arteriae ethmoidales, welche dadurch, dass
ilir intracranielles Stück mit den Venen der Dura raater und dem oberen Sichelljlutleiter auastomosirt, eine
wichtige Verbindung zwischen den Gefässbezirken der Nasenschleimhaut und der harten Hirnhaut herstellen.^
Eine zweite ähnliche, welche einen Nebenzweig der Arteria ethmoidalis anterior begleitet, dringt durch die
Siebplatte in die Schädelhöhle ein, und geht entweder in das Venengeflecht des Tractus olfactorius oder direct
in eine stärkere Vene am Orbitallappen über. Wegen dieser Inosculation darf sie mehr Digniiät als die Verbin-
dung der Vena ethmoidniis anterior mit den Netzen der Meninx fibrosa für sich in Anspruch nehmen. Um die
in Rede stehende Anastomose darzustellen, ist es nicht nothwendig, eine complete Injection der Nasenschleim-
haut auszuführen; es gentigt, an einem sagittal durchtrennten Kopfe, dessen Gehirnhemisphären beim Sägen
gar nicht, oder doch nicht zu stark verletzt wurden, eine Einstichsinjection in der Gegend jener Wulstung
zu machen, die in der Anatomie Agger nasi genannt wird. Man sieht, wenn dies gelungen, an der Nasen-
schleimhaut ein Gefäss verlaufen, welches einen aufsteigenden Verlauf wählt, die Siebplatte passirt und in
der vorderen Schädelgrube angelangt, entweder in das Venennetz des Tractus olfactorius üitergeht, oder direct
mit einer stärkeren Vene des Orbitallappcns in Communication tritt. In einem Falle sah ich sogar den Haupt-
stamm dieser Vene in den oberen Sichelblutleiter einmünden.

Auf Taf. II, Fig. 2 ist eine solche Venenverbindung abgebildet. Man sieht, wie eine die Siebplatte
pcrforirende Vene fünf Zweige ausschickt, um mit den meningealen Venen des Orbitallappens einen Verkehr
herzustellen.

Der Blutstrom in der eben beschriebenen Vene wird unter normalen Circulatiousverhältnissen wohl cere-
bralwärts gerichtet sein. Zu dieser Annahme veranlasst mich einmal die Analogie mit der Stromrichtung in

1 Häufig sind im Oberkiefer, wie auch iu der Abbildung zu sehen, ihrer zwei vorhanden.

2 The Cyclopaedia of Anatoniy aud Physiology by R. B. Todd. Vol. III. „Tlie veins of the nose, so far as they are
knowu, are associated with its arteries. Their communication with the veins within the skull has been alieady meutioned.
'I'he anastomosis is ehiefly effected by means of the branches of the ethmoidal and spheno-palatine veins, which eommuni-
cate with branches opening into the longitudinal and coronary sinuses. (J.Paget.) — Sappey (Band III seiner Anatomie)
sah als Varietät eine iider die andere der Venae ethmoidales in den oberen Sichelblutleitcr münden.

128 E. ZHch-n-L-ainn.

flen Ethmoidalveiien, zu deren System ja streng genommen, unsere Vene gehört, und dann die Stelle, an der
die Vene die Nasenschleimhant verlässt. Die Vene liegt nämlich den meningealen Venen viel näher als den
grösseren, die Nasenhöhle verlassenden venösen Abzugscanälen. Noch wahrscheinlicher wird die angegebene
Stromrichtuiig des Blutes in der genannten Vene, wenn man den Einflnss erwägt, den die in Folge ihres Baues
am CoUabireu verhinderten Sinuse, auf die Circulation innerhalb des Schädels ausüben. So wie der Druck in
den grösseren Halsvenen fällt, äussern die Sinuse auf die Meningealvenen, resp. Geliirnvenen eine saugende
Wirkung, und diese wird sich gewiss auch auf die Venen des Orbitallappens fortsetzen.

Die eben geschilderte Verbindung zwischen den Venen der Nasenschleimhaut und der Pia mater scheint
l)isher gar nicht oder nur wenig beachtet worden zu sein. Mehr Beachtung fand dagegen ein Emissarium des
Foramen coecum, welches den grossen Siclielblutleiter mit den Nasenvenen in Verbindung setzen soll. Für
diese Communication sind die meisten der anatomischen Schriftsteller unter Anderen H. B e a u n i s und
A. Bouchard,' J. Hyrtl,^ W. Krause'' und C. Langer* eingetreten. Auch Luschka-'' fasste mit
einiger Moditication das Foramen coecum als Venencanal auf, welcher sich im weiteren Verlaufe theilt, um
in die hinteren Ccllulae frontales des Siebbeines einzumünden. In einem Falle sah Luschka den Canal
am Nasenrücken münden. Nach F. W. Theile" steht der obere Sichelblutleiter durch das blinde Loch nur
bei Kindern mit den Venen der Nase im Zusammenhange, eine Anschauung, der sich auch J. Henle"
anschloss. Wenn die Auffassung T h e i 1 e's richtig wäre, dann müsste es während der Entwicklungsperiode
des Körpers zu einer Obliteration der das Foraraen coecum passirenden und vom Sinus falciformis zu den
Nasenvenen ziehenden Vene kommen.

Noch negativer alsTbeile fasst Sappey*^ die Verbindung auf, indem er sie überhaupt bestreitet,
wobei ich bemerken uiuss, dass er nur vom Erwachsenen spricht; Sappey sagt bei Beschreibung des oberen
Sichelblutleiters: „Son somniet corresponde ä l'extremite superieure de la crcte coronale; il se termine
graduellement en cul-de-sac. C'est ä tort que quelques anatomistes le prolongent jusqu'au trou borgne,* oü il
se continuerait avec les veines nasales."

Um diese, wie aus den Angaben hervorgeht, noch immer strittige Angelegenheit endgiltig auszutragen,
ist eine genaue Untersuchung des vorderen Endes des Processus falciformis nothwendig. Eine solche lehrt
vor Allem, dass das Foramen coecum, abweichend von den übrigen Emissarien, keine den Canal ausfül-
lende Vene enthält, sondern vielmehr einen konischen Fortsatz der Sichel beherbergt, welcher sich mit
Leichtigkeit aus dem C'anale herausziehen lässt, und der in Bezug auf seine Länge sehr variirt. Ich fand ihn
nicht selten 1 — 1'/^ Ctm. lang und mit seinem periferen, in einen sehr dünnen Faden auslaufenden Antbeil frei
endigend. Beim Neugcbornen ist diese Fortsetzung wohl kürzer, aber bedeutend voluminöser; sie bildet hier
einen kurzen, dicken und breiten bindegewebigen Pfropfen, der zwischen dem Siebbeine und dem Frontale
lagert und für den flie vordere Seite der Crista galli eine Vertiefung- trägt, i" Die Umwandlung dieses Pfropfes
in den konischen Fortsatz der Sichel scheint sehr rasch zu erfolgen, denn ich fand ihn, ähnlich wie am Manne,
auch schon in der Leiche eines nur zwei Jahre alt gewordenen Kindes. Dass dieser Conus im Erwachsenen
wie im Neugeborenen Gefässe enthält, sieht man deutlich am Querschnitte; die Beziehungen der letzteren
treten aber erst nach einer Injection zu Tage, und für eine solche wählt man am besten den oberen Sichelblut-

I Anatomie descriptive. 1S80.
'^ Descriptive Anatomie.
3 Handbuch der Anatomie.
■1 Lehrbuch der Anatomie.
* Anatomie des Menschen. Tübingen 18G7.

•5 Siehe Th. .Somering, Vom Baue des menschlichen Körpers; umgearbeitet von F. W. Theile. Bd. III. Leipsig 1847.
' Gefässlehre.

** Trait6 d' Anatomie descriptive. Paris 1870.
' Trou borgne = Foranien coecum.

1" Icli habe diesen Fortsatz, dessen Bedeutung iiocli nicht hinlänglich gekannt ist, in den Medic. .Jahrb. Wien 1878,
beschrieben und aligobildet.

Über (Ich Circiilutioiis-Ajipanit in der Nasenschkinihaut. 129

leiter. lujifirt man diesen Blutbehälter, so zeigt sich vor Allem, das« derselbe im vordersten Bereiche mit der
Abnahme aller seiner Durchmesser, auch den Charakter eines Sinus ablegt inid dafür den einer gewöhnlichen
Vene annimmt. Von vorne verfolgt, acquirirt der Blutbehälter der Sichel den Cliarakter eines Sinus erst mit
der Einmündung einer verhältuissmässig stärkeren Vene des Orbitallai)i)ens, die oit schon knapp über der
Crista galli einmündet, und von der vorher erzählt wurde, dass dieselbe mit der aus der Naseuschleimhaut in
die Schädelhöhle ziehenden Vene communicire.

Ist nun die Einspritzung des vorderen Sichelendes gelungen, dann füllen sich im Momente aj die Venen des
Stirnbeines, hj theilwcise die Venen der Auskleidung des Sinus frontalis, c) die Venen im Pfropfe des Foramen
coecum, dj die Venen der Weichtheile und Knochen der äusseren Nase, falls die Sichel eines Kindes (am
besten eines neugeborenen) injicirt wurde, und ej die Nasenschleimhaut; erstere durch eine grosse Menge von
feinen, in den Sicliell)lut]eiter einmündenden Knochenveuen; die Nasenschleimhaut einerseits durch die Verbin-
dung des Sichelblutleiters mit den Ethmoidalvcuen und andererseits durch den Zusammenhang der bereits
mehrfach citirten Vene des Orbitallappens mit den Venen der Nasenschleimhaut.

In dem beim Neugeborenen zwischen Stirn- und Siebbein eingeschobenen Bindegewebspfropf bilden die
mit dem Sinus falciformis verbundenen 4 — 6 verhältuissmässig starken Venenzweige ein wahres venöses
Geflecht, welches perifer mit den periostalen Venen der Nasenbeine und indirect mit den Venen
der letzteren und mit denen der Gesichts weichtheile anastomosirt. Durch dieses Verhalten
erklärt sich leicht die Erscheinung, dass bei den Injectiouen am kindlichen Schädel die Gesichtsweichtheile
oft schon intensiv gefärbt sind, während die Nasenschleimhaut noch blass ist. Mündet in dieses Geflecht
eine stärkere Knochenvene eines Nasenbeines, dann wird es wie in dem Luschka'schen Falle möglich
sein, das Foramen coecum bis an die Gesichtsfläche zu sondiren. Einer solchen Avohl blos ausnahmsweise
vorhandenen N'erbiuduug ist gewiss vom chirurgischen Standpunkte eine gewisse Bedeutung nicht abzu-
sprechen.

Wird der Sinus falciformis major der Erwachsenen eingespritzt, dann erfolgt die Injection des Nasen-
daches nicht mehr in der für das Kind angegebenen Weise. Der Conus des Foramen coecum ist durch die
Ausbildung des Stirn- und Sielibeincs, ferner durch die Verengerung des primären, sehr weiten Foramen
coecum vom Perioste des Nasenbeines abgeschnürt, die Venen des Conus haben sich verringert, und der
Nachweis einer Verbindung derselben mit den periostalen Venen des Nasenbeines gelingt nicht mehr,
wenigstens war ich in keinem Falle im Staude, eine solche nachzuweisen.

Einer Verbindung der im Conus eingeschlossenen Venen mit jenen der Stirnhöhlenschleimhaut durch
Spalten der hinteren Sinuswand kommt keine besondere Bedeutung zu.

Es ergibt sich somit, dass Theile's Angabe wohl die richtige ist, dass aber auch Sappey Recht behält,
denn eine directe Verbindung zwischen den Nasenschleimhaut-Venen und dem oberen Sichelblutleiter
via Foramen coecum besitzt nicht einmal der Neugeborene. Es bleiben also an directen Communicationen
zwischen den Nasenschleimhautvenen, Sinus falciformis und Gehirnvenen nur übrig: aJ die die Siebplatte
durchsetzende starke Vene, und bj die Verbindung der Veuae ethmoidales mit dem Sinus falciformis major.
Zuweilen sind diese Verbindungen sehr bedeutend und zwar in dem Falle, wenn eine Vena ethmoidalis dircct in
den oberen Sichelblutleiter müudet, oder einen starken Nebenzweig einer meningealen Vene des Orbital-
lappens zuschickt.

Nach dem geschilderten Verhalten der Venen im Foramen coecum ist es klar, dass, wenn Blutungen aus
der Nasenschleimhaut (ob es sich um Erwachsene oder Kinder handelt, ist gleichgiltig), eine fühlbare
Erleichterung nach sich rufen, diese nur auf eine Entleerung der die Siebplatte passirendeu Venen und uicht
auf die Venen des Propfes bezogen werden darf, denn bei Erwachsenen fehlt die beschriebene Verbindung und
im Neugeborenen verbinden sich die Venen des Pfropfes nur auf Umwegen und nur durch zarte Astchen mit
den Schleimhautgefässeu der Nase.

Denkäcbriltun der matlieuj.-nalurw. Gl. XLlX.Bd. Abhaudluugeu von Niclitmit^lioduru.

i3U E. Zuck vr La ndl.

S. Die riifkwärts abzioheiidcii Yeiicii der Nuseiisclileimliaut.

Tat". I 1111(1 Tat'. H, Fig. I.

Uuter den rückwärts abziehenden Venen der Nasenscbleimhaut hat man zwei Systeme, ein oberfiiichliches
und ein tiefliegendes zu unterscheiden, die aber unter einander durch vielfache Anastomosen geflechtartig ver-
knüpft sind. Die Venen des oberflächlichen Systems (Taf. II, Fig. 1 «, h, r) treten aus den hinteren Muscheleuden
hervor, schicken sich Verbiuduugsäste zu und begeben sich schliesslich zu den grossen Venen des Schlund-
kopfes fbj, des Gaumensegels faj, und die der obersten fcj zu den Venen in der äusseren Schleimhautbeklei-
dung des Keilbeinkörpers. Die Hauptstämme der rückwärts aus den Muscheleuden hervortretenden Venen
verlaufen gewöhnlich für sich und werden oft dadurch, dass, wie auch in der Abbildung, die Vene der mitt-
leren Muschel um den Tubenwulst herumzieht, auseinandergehalten. Diese Venen sind so stark und liegen
so oberflächlich, dass sie im gefüllten Zustande, gleich den Venen am Zungengruude, ohne Präparation
sichtbar sind.

Das zweite System der rückwärtigen Abzugsröhren begibt sich durch das Foramen spheno-palatinum in
die Flügelgaumengrube und wird erst sichtbar, wenn man die Nasenschleimhaut von der lateralen Wand
ablöst. Sie erscheinen dann als comitirende Äste der Arteria nasalis posterior (siehe Taf. I, Fig. 1) und
gewöhnlich wird jeder stärkere Arterienast von zwei Venen begleitet, die unter einander wieder durch quere
Sprossen anastomosiren. Diese Venen gehen da aus der Nasenschleimhaut hervor, wo die Arterie in dieselbe
eintritt, also schon vor dem hinteren Muschelende.

An jenen Stellen, wo die Arterienzweige in Knochcnfurcheu gebettet sind, wandelt sich die Vene in ein
die Pulsader eiuschliossendes Gefleclit um, auf dessen Function ich später zurückkommen werde. Am Foramen
sphenopalatinum grup])iren sich die Venen ähnlich, wie wir dies für die Arterien angegeben haben: Die Venen
der oberen Muschel confluiren mit denen der Nasenscheidewand, ziehen getrennt von jenen der Arteria nasalis
posterior in die Fossa pterygo-palatiua hinein, vereinigen sich, und inosculiren in den Plexus pterygoideus.
Feinere venöse Zweige der Nasenschleimhaut begeben sich auch in denCaualis pterygo-palatinus und ergiessen
ihren Inhalt in die Gaumenvenen.

Trotzdem diese Venen entweder durcii directe Füllung oder durch Einstich in das Schwellgewebe der
Nasenschleimhaut sich leicht darstellen lassen, so sind sie bisiier doch nicht ganz richtig aufgclässt worden.
Man hat die Strömung in den Nasenvenen zu einseitig betrachtet und der rückwärtigen, tiefliegenden Bahn
mit Vernachlässigung aller anderen ein zu grosses Gewicht beigelegt. So hält z. B. Sappey' die hinteren
Venen für stärker als die vorderen, und die gegen das Gaumensegel verlaufenden starken Aste werden mit
Stillschweigen übergangen. Letztere hat meines Wissen blos F. Arnold in seinen Icones anatomicae theil-
weise abgebildet und bezeichnet.

Die Venen an der Nasenscheidewand gruiiiiiren sich ähnlich wie die an der lateralen Wand und mau
kann auch hier oberflächliche und tiefliegende Venen unterscheiden. Erstere (Taf. I, Fig. 2 c, p) ziehen gegen
das Gaumensegel ab, letztere, Venae nasopalatinae (siehe die Abbildung), begleiten, in Doppelreihen angeordnet,
die gröberen Arterienzweige. Das venöse Netz der Schleimhaut pflegt überdies durcli aufsteigende Zweige
Beziehungen zu den Venae ethmoidales und auastomosirt vorne mit den Lippenvenen und dein Geflechte an
der Umrandung der äusseren Nasenöifnung.

4. Verlbiuduug der Nasensclileimliautveneii mit deu («esichts- und Oi-l)italveiieu, eiitlaug des

Thräiieniiasenganges (Plexus lacryinalisj.

Taf. II, Fig. 3, 4 u. 5.

Wenn das Schwellgewebe der Nasensclileinihaut gefüllt ist, am besten durch Einstich, so dringt die
Masse mit Leichtigkeit in das dichte, den Thränennasengang umspinnende Venengeflecht ein, und aus diesem

1 Anatomie, Bd. III.

über den (MrcidatioHs-yipparat in der NasenscJdr'imJiauf. 1 3 I

m die Vena facialis anterior, ophthalraica und infraovbitalis. Am Gange selbst verlaufen die einzelnen Röhren
des Netzes entweder longitudinal oder etwas schräg, und gehen mit ihren unteren Enden (heissen wir
sie Venae lacrymales inferiores) in die sagittal gerichteten Venen des unteren Nasenganges, entsprechend
dem Muschelansatze, über (Taf. II, Fig. 4 c, c, c), während ihre oberen Theile am Übergange des Ductus in den
Thräneusack sich, nachdem sie noch vorher einige Zweige aus dem Saccus lacrymalis aufgenommen (siehe
die Abbildung) in zwei Reihen gruppiren, von welchen die vordere einen starken Veneuast (Fig. 3 und 4 a und
Fig. 5 (/) darstellend, sich um den Infraorbitalrand herumschlägt und in die Vena facialis antica einmündet,
während sich die hintere (Fig. 3 und 4 h) mit den vorderen Orbitalvenen verbindet; erstere will ich Vena
lacrymo-facialis, letztere lacrymo-orbitalis nennen. In die Vena lacrymo-facialis mündet ein stärkerer Zweig
(Fig. 5 /'), der aus den vorderen Siebbeinzellen stammt, und das Thränenbein durchbohrt.

An, für mikroskopische Untersuchung hergerichteten Querschnitten des injicirten Thränennasenganges
überzeugt man sich davon, dass in das grobe oberflächliche Netz das feine Schleimhautnetz des Ganges
einmündet. Über die Schichte, in der das von Vielen als Schwellnetz angesprochene Geflecht lagert, äussert
sicli .1. Henle' in nachstehender Weise: ,In dem unteren Theile des Thränencanales nimmt die eigentliche
Schleimhaut, die conglobirte Schichte, an Mächtigkeit zu, und die fibröse wandelt sich in ein entschieden
cavernöses Gewebe um, welches eine Fortsetzung des cavernösen Gewebes der Schleimhaut der unteren
Muschel ist. Ihre Mächtigkeit beträgt im blutleeren Zustande 0-5 — 1-5 Mm.; davon zeigt nur eine dünne, der
Knochenwand nächste Schichte die dem Periost eigenthündiche Zusammensetzung. Im Übrigen bilden den
Hauptbestandtheil der Membran Netze venöser Gelasse mit longitudinal verlängerten Maschen." Dieses
Geflecht hat nach Henle die Aufgabe, die Absperrung des Thränenganges gegen die Nasenhöhle zu besorgen,
damit aus der Nase nicht Luft und Flüssigkeiten gegen den Thräneusack aufsteigen, da, wie Henle mit Recht
licrvorhebt, keine der im Thränengange vorkommenden Klappen, im mechanischen Sinne des Wortes, diesen
Namen verdient. Wir haben uns vorzustellen, dass im Ruhezustände das Schwellgewebe gefüllt und hiedurch
die Lichtung des Rohres vernichtet ist. Reim Dui'chtritte von Thränen wird das Schwellgewebe gedrückt
und nun entleert es sich entsprechend dem Grade der Compression gegen die Nasen-, Gesichts- und Orbital-
venen.

Bei Störungen könnte es sich ereignen, dass eine grössere Menge venösen Blutes der Nasenschleimhaut
gezwungen wird, durch das Geflecht des Thränennasenganges gegen die Gesichtsweichtheile abzufliessen.

Fasse ich am Schlüsse dieses Abschnittes alles über die venösen Abzugsröhren Gesagte zusammen, so
zeigt sich, das für den Abfluss des Blutes aus der Nasenschleimhaut eine Reihe von grossen Emissarien
zu Gebote stehen, und aus diesem Grunde wird es innerhalb dieser Röhrenleitung nicht leicht zu Stauungen
kommen.

Auch die Bemerkung soll hier angefügt werden, dass das Venennetz, aus welchem die in dem letzten
Capitel beschriebenen Venenstämme hervorgehen, morphologisch genommen, nur zum Theile dem arteriellen
Netze entspricht, denn Ersteres ist viel dichter und bald sind die Arterienzweigchen von starken, bald von
sehr zarten Venen begleitet, oder es decken sich die beiden Gefässnetze überhaupt nicht. Das Vorwiegen des
Veneunetzes zeigt sich am schönsten, wenn man die gröberen Venen und Arterien im mittleren Nasengange
oder am Boden der Nasenhöhle miteinander vergleicht.

An den grösseren Arterien bilden die begleitenden Venen stellenweise Geflechte, welche durch ihre
Fortsetzung bis in die Adventitia der Arterien die Gegenwart von Vasa vasorum bekunden. Es münden also
wie nicht anders vorauszusehen, die Abzugsröhrcheu aus den Capillaren der Gefässhaut in die commitirenden
Venen.

1 Einareweidelehre.

132 E. ZucLcrLun,ll.

T). Das Schwellgewebe und die Venennetze der Nasenschleimhaut.

'J'af. ]1I und IV.

Ich kanu dieses C<ai)itel iiiclit besser als mit den wenigen Zeilen einleiten, die W. Kolilrauscb, ' der
Entdecker des Scliwellgewebes in der Nasenscbleinibaut, der Beschreibung desselben widmete. Diese
Beschreibung lautet: „Das Venennetz, sich in den reichsten Anastomosen tiberall verbindend, liegt zwischen
Periosteum und Schleimhaut, ist stellenweise, im ausgedehnten Zustande, l'/^— 2'" dick. Die Veuenschlingen
stehen in ihrer Hauptrichtnng senkrecht gegen den Knochen gerichtet und zeigen im injicirten Zustande eine
Dicke von '/,. — Vs""j weiter heisst es: „die Gefässanordnung ist insofern von wissenschaftlichem Interesse,
als sieh daraus die Anschwellung der Schleimhaut der Nasengänge erklärt, welche bei chronischem Sclinupfen
so häufig ist. Gewiss hat Mancher schon die Erfahrung gemacht, dass bei solchen chronischen catarrhalischen
Zuständen Nachts gewöhnlich das Nasenloch der Seite, auf welcher man liegt, verstopft ist und dies bald
wechselt, wenn man sich auf die andere Seite legt. Es erklärt sich aus der Senkung des Blutes nach der
tiefsten Stelle. Die immense Production von Flüssigkeit bei einem recht fliessenden Schnui>fen bei der doch
kleinen secernirenden Oberfläche habe ich mir erst erklären können, seit ich dies cavernöse Gewebe mit den
dazwischen gelagerten grossen Drüsen kenne. Auch zur Erklärung der profusen Nasenblutungen möchte
diese Gefässanordnung nicht unwichtig sein."

Voltolini's ^ Angaben über das Schwellnetz werde ich später besprechen, daher ich nur noch K. See-
berg-' anzuführen habe, der die senkrecht gegen die Muschel gestellten Venenschlingen* des Schwellnetzes
der unteren Muschel nicht wieder darzustellen vermochte und ihre Darstellung durcli Kohl rausch auf eine
durch den Injectionsdruck veranlasste allzustarke Ausdehnung der Gefässe zurückführt. Iliemit ist aber nichts
gesagt, denn der Injectionsdruck wird nicht im Stande sein, sagittal verlaufenden Venen eine frontale
Ilichtung zu geben; wenn daher Seeberg die Schlingen nicht finden konnte, so wird hieran wohl die mangel-
hafte Technik Scludd gewesen sein.

Ich gehe nun zu den Resultaten meiner eigenen Untersuchungen über:

Der Schwellkörper der Nasenschleinihaut liegt nicht in einer eigenen Schichte, sondern durchsetzt die
Mucosa von ihrer periostalen Seite an bis empor an die subepitlicliale Schichte. So wird auch der Aussprncli
von Kohlrausch: dass das Veneunetz „zwischen Periosteum und Schleimhaut" lagere, zu deuten sein. Den
besten Beweis für die Richtigkeit dieser Localisation des Schwellkörpers liefern die Drüsen, die man allent-
halben im Zwischengewebe des Schwellnetzes findet, und die sich stellenweise bis ganz nahe an die periostale
Schichte in die Tiefe erstrecken.

Man kann im Allgemeinen die Behauptung aufstellen, dass die Nasenschleinihaut an jenen Stellen, wo
sie, wie in der Regio re.spiratoria, mit einer grösseren Quantität Luft in Berührung kommt, dicker wird und
ans diesem Grunde ist auch ein eigentlicher Sehwellkörper blos an der unteren Nasenmuschel, dann am
Rande der mittleren und ferner an dem hinteren Ende der mittleren und oberen Muschel entwickelt, in den
zarteren oberen Theilen der Nasenschleimhaut kann hingegen nur von einem dichten Venennetze, nicht
aber von einem Schwellgewebe die Rede sein. Dies sieht man am deutlichsten bei pathologischen
Schwellungen und an gelungenen lujectionspräparaten der Nasenschleimhaut. Jene Stellen, welche einen
Schwellkörper besitzen, schwellen diesfalls oft bis zum völligen Verschluss der unteren Nasengäuge an,
während die eigentliche Ricchschleimhaut es zu keiner solchen enormen Verdickung bringt und sich auch
nicht so elastisch anfühlt, ;ds der injicirte Schwellkörper der Nasenschleimhaut. Am dicksten ist der eines
Schwellkörpers entbehrende Antheil der Nasenschleimhaut vorne, entsprechend dem mittleren Nasengange,

' L. c.
2 L. c.

ä Disqiiisitio microscop. de text. raembr. pituit. nasi. üorpnt 1856.
* Abgebildet von Kohliaii.scli, 1. c. auf Tat'. V, Fig. 1.

über den ('hridafions-Aj)pamt in der Nasenschleivihinit. 133

in dem Vestibulum nasale, zarter am Nasenboden und an den lateralen mit Nebenbuchten versebeuen
Flächen der Muscheln. In den Buchten der lateralen Muschelfläclien ist sie oft so dünn, wie die Auskleidung
einer pneumatischen Kammer. Hauptsubstrat der Schleimhaut bildet hier eine grösstentheils bindegewebige,
stellenweise conglobirtes Gewebe enthaltende, oberflächlich mit Flimmerepithel bekleidete Membran, deren
Venensystem stark reducirt erscheint und in welcher Drüsen nur mehr in spärlicher Anzahl angetroffen
werden.

Ähnlich dem Vestibulum nasale verhält sich die Nasenscheidewand, da, morjjhologisch genommen,
nirgends in derselben das Venennetz zu einem Schwellkörper aufgelöst ist. Wenn daher Hoj er* sagt:
„crassissima tunica in media septi parte et super conchis apparet, ([uoniam ibi plurimis vasis abundat", so
muss ich für die bezeichnete Stelle der Nasenscheidewand wohl geltend machen, dass sie ihre Dicke nicht
so sehr Gefässeu als vielmehr der besonders i'eichlichen Einlagerung von Drüsen zu verdanken hat. ,

übergehend zu dem Schwellnetze werde ich das der unteren Nasenmuschel beschreiben, weil es hier am
schönsten ausgebildet ist.

Das erste, was bei Betraclitung dieses Schwellkörpers auffällt, ist, dass dieses Geflecht, ähnlich wie dies
C. Langer^ für das Schwellgewebc des Corpus cavernosum penis beschrieben hat, gegen die Peripherie hin,
d. h. gegen die freie Fläche, au Stärke abninnnt, daher es des Vergleiches halber angezeigt ist, auf den
Typus des Schwellgewebes in den Geschlechtsorganen näher einzugehen. Das centrale gröbere Veuenconvolut
des Penis ist nach Langer oberflächlich von einem feinen Venengeflechte eingeschlossen, dessen einzelne
Röhrcheu so zart sind, dass man sie nur mit der Loupe unterscheiden kann. An diesem feinen Netze,
welches Langer „Rindennetz" nennt, unterscheidet er wieder eine gröl)ere innere und eine feinere
äussere capillare Gefässpartic, die nebst präcapillaren und unmittelbaren Übergängen den Kreislauf im Gliede
zum Abschlüsse bringt.

Der Schwellkörper der Harnröhre besitzt auch zwei verschiedene Antheile, einen äusseren, den eigent-
lichen Schwellkörper, der aus dicht beisammenliegendeu und anastomosirendeu Venen besteht und einen
inneren, der gleichmässig die Harnröhre umgibt, ans kleineu parallelen Längsgefässen besteht, auf welche
gegen die Schleimhaut noch feinere Venen und die Capillaren der Urethralschleimhaut folgen.

Li der Nasenschleimhaut besteht nun das Scnwellnetz auch aus zwei Schichten, aus einer gröbere Venen-
stämme enthaltenden, dem eigentlichen Schwellgewebe, auf welchem als zweite sich eine feinere Rinden-
schichte lagert. Nur unterscheidet sich der Aufbau dieser Schichten dadurch von jenem des Corpus cavernosum
penis, dass in der Nasenschleimliaut die beiden Schichten sich nicht so jäh als im Schwellköriier des Gliedes
gegeneinander absetzen. Mehr Ähnlichkeit, schon wegen der Gegenwart einer Schleimhaut, besteht zwischen
dem Schwellkörper der unteren Nasenmuschel und dem der Harnröhre.

Der tiefer gelegene Antheil des Schwellkörpers der Nase (Taf. HI, Fig. 1 bis 11) besteht aus weiten,
stellenweise gebuchteten und vielfach untereinander anastomosirendeu Venen (Fig. 5), die trotz ihrer zahl-
reichen Verbindungen doch noch eine bestimmte Verlaufsrichtung erkennen lassen: sie verlaufen nämlich, wie
(lies schon Kohlrausch richtig angegeben hat, mehr quer zwischen der Schleinihautoberfläche und der
knöchernen Muschel. Bei der Herstellung mikroskopischer Präparate der Schwellkörper ist es schwer, die
Richtung der gröberen Gefässe zu treffen, daher man selten die Venen des Schwellnetzes der Länge nach
durchschneidet. Zumeist werden sie quer oder schräge getroffen und mau erhält rundliche, polygonale und
zackige Lumina (Taf. III, Fig. 3, 5 und lOj.'' Hieraus folgerte J. He nie, dass der Schwellkörper der Nase aus
vorzugsweise sagittal verlaufenden Venenstämmen aufgebaut sei, eine Annahme, der ich, wie schon bemerkt,
nicht beizustimmen vermag. Leicht erhält man Aufschluss über die Richtung der Venen an Corrosionspräparaten
des Schwellkörpers. Man braucht, nachdem ein solches Präparat augefertigt ist, nur eine Bruchfläche (Taf. III,

1 De tuuica mucosae nariiim stnictura. Beiolini 1857.

'^ Üfjer cl. Getasssystem d. luäniil. Sclnvellorgane. SiUnngsb. d. kais. Akad. d. Wissensch. Bd. XLVI.

^ Siehe aucti Henle, Eingeweidelelire. Fig. (jss.

134 E. Zuckerkandl.

Flg. 1 nnd 2\ desselben zn betrachten, und man Avini über die Direetion der \'enen keinen Angeubliek mehr
in Zweilei sein. Anch an mikroskopischen Schninen gelingt es zuweilen, ähnliche Bilder darzustellen, wie
dies die Figur 4 der IIL Tafel lehrt. Es stammt das Präparat vom Kande der unteren Isasenmnschel nnd der
Sfhnin wurde sehr schräge, bdnahe parallel mit der Muschelfläche, durch das Gewebe geführt. Auf diese
Weise erhielt ich die feineren Venennetze der oberflächlichen Schichte (n\, und ihren l*bergang in das gröbere
"Setz, dessen Köhren der Länge nach getroffen wurden.

Weniger schräg durch die Nasenschleimhaut geführte Schnitte sind auch instructiv , weil sie die vielen
Verbindungen, welche zwischen den einzelnen Eöhren des .Schwellkörpers bestehen, darlegen. Einen solchen
Durchschnitt habe ich auf Taf. ÜT, Fig. ö abbilden lassen, und er illustrirt so recht anschaulich Eber th 's'
Schilderung eines Schwellnetzes, welches nach diesem Forseher durch zahlreiche und rasch folgende Anasto-
mosen ungleich weiter (refässe. deren G^ta>swände hiednrch zu dünnen Balken und Pläitcben rareficirt
werden, zn Stande kommen soll.

Durch die frontale Richtung der einzelnen Schwellkörperröhrchen wird bei ihrer Füllung rasch eine
Verengerung der Pars respiratoria nasi eintreten. Dass eine gewisse Normalfnllung des Sehwellgewebes ror-
handen sein muss. um dem ^Nasengange jene Form und Weite zu geben, welche für die Eespiration am
geeignetsten ist, bedarf keines näheren Beweises, und von dieser Turgescenz an kann einerseits die Schwellnng
so weit zunehmen, dass der untere Xasengang vollständig verlegt wird, und andererseits wieder so abnehmen.
dass weder die Besichtigung noch die Betastung der Schleimhaut einen Schwellkörper verrathen wurde.

Ich gehe nun zu den Verbindungen des Schwellkörpers mit den aus der Nasenhöhle heraustretenden
Venen über nnd halte mich bezüglich dieser vornehmlich an die tiefliegenden Abzugsröhren, da ja die Verhält-
nisse der oberflächlichen höchst einfach sind.

Löst man eine Xasenschleimhaut, deren Venensystem injicirt ist, von der knöchernen Wandimg ab und
betrachtet sie von ihrer periostalen Seite (Taf. DI, Fig. 8) aus, so erseheint da. wo wir nicht von einem
.Schwellkörper sprechen, ein grobstämmiges, engmaschiges, kubisches Venennetz (a) (Unterer, mittlerer
Sasengang, \ estibidtun nasale •: da. wo ein .Schwellkörper entwickelt ist, sieht man bis auf einzelne Stellen,
und zwar solchen, die die grösseren Abflussröhren abgeben, die basale Seite des Schwellkörpers mosaik-
artig ange^«rdnet (6\ An wenigen Stellen hingegen gibt das Schwellnetz die beschriebene Ordnung auf und
formt sieh in ein gewöhnliches Geflecht um. dessen Fortsetzung eine sagittale Richtung acquirirt (Vi.
Diese sagittal verlaufenden Venensänlen begleiten die grösseren Arterienstämme und bilden da, wo diese
in Furchen der Muschel gebettet lagern , förmliche Geflechte um die Pulsadern. Diese Venengeflechte haben
neben ihrer Hauptaufgabe, das Blut aus der Nasenschleimhaut herauszuschaffen, noch eine zweite Auf-
gabe zu erfüllen, auf die ich etwas genauer eingehen möchte. Die in die Furchen gebetteten Arterien-
stücke als Röhren, deren Volumen bald enger, bald weiter wird, können nämlich diese Dickenveränderung
nur ausführen, weim zwischen ihnen tmd der Knochenwandung ein Gewebe eingeschaltet ist, welches sich
bei der Diastole des Arterienrohres zusammendrücken lässt. und bei der Verengerung des arteriellen Gefasses
seine frühere Gleiehgewichtsfignr wieder erlangt. Hierzu ist kein Gewebe so geeignet, als gerade ein Venen-
geflecht. Daher finden wir auch diese Einrichtung ziemlich verbreitet. Für die Knochenarterien ist sie durch
0. Langer* bekannt worden. Langer beschreibt, wie im Canalis nntritius tibiae neben der Arterie eine
grössere, eine kleinere Vene und überdies ein zartes arterielles und venöses Geflecht enthalten ist und fugt
dem anhangsweise folgende Reflexionen bei: .ßemerkenswerth scheint mir noch ein zartes Venengeflecht zu
sein, welches ich nach einer ganz gelungenen Veneninjeetion atif der Wand einiger noch grösserer arterieller
Stämmchen auflagernd angetroffen habe. Es bildete enge, rundliche Maschen. Es dürfte nicht ungerechtfertigt
sein, diesen Geflechten noch eine weitere Bestimmung zuzumuthen. Der ganze Gefasscomplex ist in feste,
uimacLgiebige Wände eingeschlossen: ein Verschieben der, wenn auch noch so nachgiebigen Marksubstanz, ist

1 Strieker's Hasdbaeh der Gewebelekre.

s Cbea- das Gefisssystem der BöhreiiknoeheD. Denksehr. der kais. Akad. d. Wissensch. in Wien, Bd. XXX O. Wien 18*5.

über deii Circulatlons- Apparat in der NasenseJtleimhaut. 135

daher nur möglich auf Grnnd des wechselnden Inhaltes der Venen. Da nun auch die schon ins Mark einge-
tretenen Arterien, selbst die mittleren Calibers. noch mit allen Hänten ausgestattet sind, sich daher selbst bis
znm vollen Anschlasse der Wände contrahiren können, somit ihr Volum in verhältnissmässig grossen Differenzen
verändern, so dürfte wohl den benachbarten Venen, deren Stämmchen so zahlreiche Emissäre besitzen, aber
auch den die Arterie umspinnenden Plexus die Aufgabe zufallen, diese rasch wechselnden Diffierenzen ebenso
rasch wieder zu begleichen." •

.\hnlich sind aUe Venengeflechte der Knochencanäle, unter welchen der des carotiscben Canals am
bedeutendsten ist, aufzufassen: ja eine in einem grosseren Knochencanäle eingetragene Arterie, deren Wandung
mit der Knochenwand verwachsen gedacht wird, ist physiologisch ein Umiing. Auch die Einschaltung dei
Carotis cerebralis in den .Sinns cavernosus habe ich auf dieselbe Weise zu erklären gesucht.- Da nämlich
zwischen der oberen Mündung de^ CanaUs caroticus und der Gehimbasis kein Subarachnoidalraum vorhanden
ist, der die Arterie so aufiiehmen würde wie dies rückwärts in Bezug auf die Arteria vertebralis der Fall ist. so
muss die Arterie von einem anderen Medium umschlossen werden, welches sieh dem wechselnden ^ olumen
der Arterie accommodirt, und hiezu ist ein grosser Sinus am geeignetsten, namentlich dann, wenn die Arterie in
den Blutstrom selbst eingeschaltet ist. Im systolischen Zustande der Carotis cerebralis füllt sich der Sinus, im
diastolischen entleert er sich und auf diese Weife fördert die Bewegung der Arterie die Cireulation im -Sinus.
Auch die in Faseien-Dissepimenten die Arterie umschlie^-senden Venengeflechte, z. B. das Geflecht um die
Pudenda communis im Ligamentum triangnlare urethrae dürften ausser ihrer Hauptfunction auch noch in dem
eben besprochenen Sinne wirksam sein.

Auf den bisher beschriebenen lacunären AntheU de* Schwellkörpers lagert dch oberflächlich das Rinden-
netz, und man beobachtet schon mit fteiem Auge am Querschnitte der Muschel, dass die Lacunen gegen die
>[useheloberfläche enger werden. Aber erst am Injectionspräparate wird dieses Verhalten ganz klar: mikro-
skopische Schnitte ^ i Tat". III. Fig. a) zeigen das recht deutlich, und noch schärter die Bruchflächen von Corro-
sionspräparaten iTaf. III, Fig. 1 und 2 an) des SchweUkörpers wegen der Plastik, mit der an solchen das
SchweUgewebe vortritt. Das weniger dicke Rindennetz hält mit seiner oberflächlichen Schichte eine sagittale
Verlaufsrichtung ein . es besteht stellenweise aus mehreren dicht an einander geschobenen Schichten, und in
denselben tallt die ungleiche Breite der unter einer zusammenhängenden Venen nicht mehr s<? stark auf. als dies
in der tieferen Schichte der Fall gewesen ist, wodurch es dem Charakter eines gewöhnlichen Venengeflechtes
näher steht, als dem eines Schwellkörpers. Es reicht bis an die conglobirte Schichte iTaf. III. Fig. 3 ao' der
Schleimhaut und nimmt aus derselben die venösen Capillaren auf.

Directe Übergänge präcapUlarer Arterien in das Rindennetz oder in die tietliegenden Lacunen
habe ich trotz vielfacher Injectionen nicht angetroffen, und dies setzt einen grossen Unterschied zwischen
dem Schwellkörper der Nasenschleimhaut und dem de* Gliedes, in welchem nach Langers Unter-
suchungen directe Übergänge reichlich vorkommen. Aber auch die Betrachtung des Balkengewebes im
Schwellkörper der Nasenschleimhant i Taf. HI. Fig. 6) zeigt einen Bau. der sich ron dem des Balkengewebes
im Gliede wesentlich unterscheidet. Im Schwellkörper des Gliedes repräsentiren die Balken die ungemein
rareficirten zu einem Strick- und Blärterwerke autgelösten Getasswandungen. und die Venenrämne selbst sind
zu unregelmässig geformten und verhältnissmässig sehr weiten Lacunen umgewandelt. Die Musculatur
der Balken — in letzter Reihe eigentlich die der venösen Getasse — ist sehr unregelmässig angeordnet und
von einer Vertheilung, wie wir eine solche nm Venen antreffen, ist nicht mehr die Rede. Im Schwellkörper der
Nasenschleimhaut hingegen ist es mit der Auflösung der Venen in ein lacunäres System noch nicht so weit
gediehen, daher auch die Muskellage bei weitem regelmässiger angeordnet erscheint. An guten Präparaten
sieht man recht schön, wie die weiten Röhren des Schwellnetzes riuirs um die Getassliehtuni: herum an der

1 Einen ähnlichen Venenapparat vennnthe ieh im CanaUs venebralis um die Wirbelsehlagader.

- Monatsschr. t Ohrenheilkunde. Sr. 4. Berlin 1S76.

3 Am schönsten an der unteren Xasenmuschel zu erkennen.

136 E. Zackcfkauiti.

äusseren Seite des endothelialen Eohres eine dicke Miiscularis führen. In einzelnen Fällen, in welchen stellen-
weise die Wände der Lacunen stark coutrahirt waren und zapfenartig- gegen den Hohlraum vorsprangen, sah
ich Querschnitte der Muskelbalken, ähnlich wie sie J. Henle in seiner Eiugeweidelehre (Fig. 305) für die
Harnröhre abbilden liess. Am schönsten zeigte sich die Muscularis der Lacunen, wenn die einzelnen Bohren
des Schwellnetzes ihrer Länge nach getroffen wurden.

An der äusseren Peripherie der Muscularis löst sich das Bindegewebe der Gefässe in einen Filz auf, der
auf diese Weise das Zwischengewebe des Wchwellkörpers darstellt, und welcher je nachdem er blos aus
Bindegewebe besteht oder auch eingeschobene Drüsenfortsätze enthält, eine verschiedene Dicke aufweist. In
diesem auch reichlich elastische Fasern enthaltenden Zwischengewebe verlaufen auch die einzelnen zur Ober-
fläche der Schleimhaut hinziehenden arteriellen Zweige. Wenn man für die Nasenschleimhaut an dem Ter-
minus Balkengewebe festhalten will, so dürfte man darunter eigentlich nur das zwischen den Muskelhüuten
der Venen eingeschaltete Bindegewebe verstehen. Wollte man aber wie im Gliede unter Balken das Zwischeu-
gewebe zweier Venenluinina begreifen, so müsste man zu den Bindegewebsbalken auch noch die demselben
zugekehrten Stücke der Gefässwände zählen. Richtiger aber ist es nach meiner Meinung, das ganze binde-
gewebige Substrat, welches auch die Drüsen enthält, als der Schleimhaut angehörig zu betrachten und in
Bezug aufsein Verhalten zu den venösen Gefässen zu sagen: es werde von einem mit allen Schichten eines
Blutgefässes ausgestatteten Schwelluetze canalisirt.

Ich muss noch beifügen, dass ich mich bestrebt habe, zu erfahren, ob auch in den bindegewebigen Balken
Muskelzüge sich voi'finden. Diese Untersuchung hat wohl ein negatives Resultat ergeben, indem an vielen
Stellen keine Spur von Muskeln in den IJalken zu sehen war, aber bei oberflächlicher Betrachtung könnte man
leicht verführt werden, an solche Muskelzügc zu denken; denn es finden sich in vielen Schnitten zwischen den
einander zugekehrten Wänden zweier oder mehrerer Venen Muskelsträuge untergebracht. Eine genaue und oft-
malige Untersuchung des Gegenstandes lehrt aber, dass man es, bezüglich der genannten Muskelstreifen, nicht
mit Bestandtheilen der Balken selbst, sondern mit Stücken von abzweigenden oder nachbarlichen Venen-
stämmen zu thun hat. Es passirt in einem Gewirre von \'enen, wie es in einem Schwellkörper vorliegt, sehr
leicht, dass man eine Vene quer triift, eine nachbarliche, sagen wir schräg durchtrennt, und dass der Schnitt
eine quere Anastomose zwischen beiden gerade im Muskelstratum durchsetzt. Jetzt erhalten wir im mikro-
skopischen Bilde zwei weite Venenlumiua und ein dun Zvvischenbalken stellenweise deckendes Muskelband,
welches mau, wie bemerkt, bei oberflächlichem Studium leicht als einen dem letzteren angehörigen Bestand-
theil betrachten könnte.

Vergleicht man die geringe Masse der Schleimhaut an der unteren Muschel mit dein grossen Reichthum
au Venenmusculatur, von dem ich eben gesprochen, so drängt sich gewiss Jedem bald der Gedanke auf, dass
die Nasenschleimhaut in bestimmten Bezirken ein sehr musculöses Organ sei, und dies ist, wie wir später sehen
werden, physiologisch nicht unwichtig.

Im Neugebornen ist das Scliwellnetz der Nasenschleimhaut (Taf. III, Fig. 9) einfacher, als im Erwach-
senen; es bildet ein schönes Venennetz, dessen einzelne Schenkel aber noch keine lacunenartigen Buclitungen
führen. Diese scheinen erst später, wie ich vermuthe, erst in der Zeit, in der das Schwellnetz mehr in Function
tritt, die volle Ausbildung zu erreichen.

Vergleiche ich nach Allem was vorhergegangen, den Schwellkörper der Nasenschleimhaut mit dem
Corpus cavernosum penis, welcher den Typus des cavernösen Gewebes enthält, so zeigt sich, dass, morpho-
logisch genommen, eine vollständige Übereinstimmung beider nicht herrscht. In Bezug auf die Dicke und die
Dichtigkeit der venösen Netze herrscht Analogie, aber das Schwellgewebe der Nase entfernt sich von dem
Typus dadurch, dass erstens in demselben keine directen Gefässübergänge existiren, zweitens der Charakter
von Venen durch die regelmässige Anordnung der Musculatur noch ganz deutlich ausgesprochen ist, und
dass drittens das Schwellgewebe in eine Schleimhaut eingelagert ist; denn ich wiederhole, dass man stellen-
weise sehen kann, wie die Drüsen von der conglobirten Schichte bis nahe an die periostale Schichte der
Schleimhaut reichen.

über den Clrculatlons- Apparat in der Nasenschleimhaut. 137

Zufolge dieser Eigeuscliaften, und dazu kommt uocli die, dass er das Capillarsystem einer Schleimhaut
in sich aufnimmt, gleicht der Schwellkörper der Nasenschleimhaut viel mehr dem der Harnröhre als dem des
Gliedes. Berücksichtigt man das Verhalten der Musculatur in beiden Schwellkörpern (der Nase und des
Gliedes), so wird mau zur Annahme veranlasst: es nehme morphologisch der Schwellkörper der Nase eine Art
Mittelstellung zwischen einem venösen Geflechte und ehiem wahren Schwellkörper ein; dass das Gewebe, von
dem eben die Rede ist, physiologisch einem Schwellgewebe entspricht, unterliegt nach den Erscheinungen,
die es im Leben darbietet und die gleich noch näher besprochen werden sollen, keinem Zweifel.

Die Füllung und Entleerung des Schwellkörpers dürften, ähnlich wie dies für die Gesehlechtswerkzeuge
der Fall ist, vom Nervensysteme, und für die Nase zunächst vom Ganglion sphenopalatinum abhängen. Das
selbe wird einerseits bei Füllung des Schwellkörpers vasodilatatorisch wirken, die Arterienwände und desglei-
chen die reichliche Musculatur des Venengeflechtes erschlaifen machen und andererseits wieder eine verengernde
Thätigkeit ausüben; denn man bemerkt, dass bei Entleerung des Schwellkörpers die Schleimhaut nicht als
schlaffer Sack die Muschel umgibt, sondern fest contrahirt der letzteren enge anliegt, welche Erscheinung nur
auf Muskelzusammenziehung zurückgeflihrt werden kann.

Dieser Einfluss der Nerven auf den Schwcllkörper der Nase ist im Übrigen durch Studien erwiesen, und
ich hebe blos das Factum hervor, dass der Schwellkörper sich einerseits auf Reflexe hin füllt und dass anderer-
seits Reflexe, welche „in weit entfernten Bezirken sich abspielen", vom Schwellkörper der Nase ihren
Ursprung nehmen, wie dies namentlich durch W. Hack' eingehend besprochen wurde. Hack schreibt:

„Tagtäglich kann die folgende Beobachtung gemacht werden. Sehr viele Menschen leiden, ohne gerade
besonders zu Schnupfen prädisponirt zu sein, oft an einer flüchtigen, vorübergehenden verminderten Durch-
gäugigkeit der Nasenhöhle. Ausserordentlich rasch kann sich dieser Zustand entwickeln, ausserordentlich rasch
wieder verschwinden. Versucht man die Natur dieser Obstruction durch eine Untersuchung der Nasenhöhle
festzustellen, so scheitert dieses Bestreben manchmal aus einer eigenthümlichen Ursache. Bei ängstlichen
Individuen genügt die Furcht vor dem Einführen von Instrumenten, um die Erscheinungen mit einem Schlage
zum Verschwinden zu bringen: die Nasenathmung ist dann wieder völlig frei und die rhinoskopisehe Unter-
suchung zeigt, dass sich dem Respiratiousstrom nirgend ein Hiuderniss in den Weg stellt.

So bedeutend kann der Einfluss rein nervöser Momente auf die in Rede stehende Erscheinung werden. In
solchen Fällen muss wiederholt untersucht werden, bis es glückt, die psychische Alteration auszuschalten und
das gleiche Resultat zu gewinnen, welches bei weniger ängstlichen Individuen bei der ersten Speculirung der
Nasenhöhle constatirt werden kann. Es zeigt sich, dass das Lumen der Nasenhöhle durch eine auffallend
starke Vorwulstung der Schleimhautpartie, welche das vordere Ende der unteren Muschel überzieht,
verlegt ist. Die besprochene Schwellung pflegt bei Gesunden meist nur auf relativ ziemlich energische Reize
einzutreten. Beim Aufenthalt in durch Staub, durch das Schwaden einer Lampe u. s. w. verunreinigten Luft
kann sich dieser Zustand lierausbilden, um gleich wieder zu verschwinden, sobald die Gelegenlieitsursache
entfernt ist. Es besteht hier also ursprünglich ein rein physiologischer Verschlussmechanismus, welcher im
Stande ist, die Nasenhöhle gegen schädliche Einflüsse bis zu einem gewissen Grade zu verwahren."

Vor W. Hack hat aber schon R. Voltolini ■' auf dieses Verhalten der Nasenmuschel die Aufmerksamkeit
der Ärzte gelenkt. Er schreibt: „Dies eigeiithümliche Schwellgewebe erklärt uns manche auffallenden
Erscheinungen, die uns bei der Untersuchung und in Krankheiten der Nase begegnen, und die ohne die
Kcnntniss jenes Gewebes uns völlig räthselhaft wären. Wir sehen nämlich zuweilen bei der Untersuchung der
Nase diese verlegt durch die untere Muschel, der Kranke bekommt keine Luft durch die Nase — wir unter-
suchen denselben Patienten nach einigen Stunden wieder und sehen, dass die Verlegung der Nase völlig auf-
gehört hat und die Nase frei ist."

1 Über oiue operativ.' Rudicallichandlini.s: von MisTaine etc. Wiesbaden 1S84.

2 Kälte, stark beweg-te Liil't, iibenuässig erwärmte I>ut't.

3 Die Rlijno&kopie mul l'liaryiindslcupie. lireslaii IS79.

Denkürhrifli'ii iIpi- maihpm.-iiiitm«'. Cl. XLIX. Bd. Alrli^inillims;.-n vnii NkhtmilKli.-il.'i-n.

138 /;. Zuckerhandl.

Trotzdem hat Voltolini iin Bezug auf die Ereetion des Nasenscliwcllköi-pei-.s den Einfluss des Nerven-
systems nicht berücksichtigt und eine von meiner Tliecirie über die Füllung und Entleerung des Schwellkörpers
ganz abweichende Lehre aufgestellt, auf die ich bei der Wichtigkeit des Gegenstandes näher eingehen muss.
Voltolini sagt: „Das Schwellgewebe gleicht dem der Pars ca\ernosa penis et urethrae und sie können sich
im Allgemeinen eine Vorstellimg davon machen, wenn Sie sich denken, dass die derbe nur 4"™ dicke Schleim-
haut über dem Periost der Muschel in ein Balkennetz und in Höhlen sich zerklüftet, gleich einem Badesclnvannn,
und dieser Blutreichthum erklärt unter Anderem die copiösen Masseusecrete, welche beim fiiesseudeu Schnupfen
ausgesondert werden."

„Dieser grosse Blutreichthum kann aber nur vorhanden sein, wenn das Schwellgewebe, so zu sagen, sich
immer in Erection befindet; denn an der Pars cavernosa penis beobachten wir den Blutreichthum nur in der
Erection. Wenn daher der Schwellkörper der Nase ganz so gebaut wäre wie der der Pars cavernosa penis, so
würde für die Nase wohl der Übelstand entstehen, dass sie bald trocken, bald feucht wäre. Es ist eine
bekannte physiologische Anschauung, dass die Nasenmuscheln dazu da sind, um die Fläche der Schleimhaut
zu vergrössern; sie sind auch ferner dazu da, um dem Schwellkörper eine Stütze zu bieten."

Dies Alles ist gewiss richtig und auch einleuchtend, es erklärt aber immer noch nicht, wodurch das caver-
uöse Gewebe sich dauernd in einer Art Erection erhält; die Theorie, welche nun Voltolini aufstellt, um die
Erection derNasenschleimhaut zu erklären, geht von den zahlreichen feinen Öffnungen aus, welche die Nasen-
muscheln besitzen, und durch welche Gefässe verlaufen.

Voltolini bemerkt: „Der Knochen gehört, so zu sageu, mit zu dem cavernöseu Gewebe, er ist der iiarte
Schwamm, welcher in den weichen hineingeschoben ist und ist nicht bloss eine feste Stütze dieses Gewebes;
er macht es, dass der grösste Tiieil der Gefässe innerhalb des Knochens mit ihren Wänden befestigt sind.
Würden die Gefässe bloss auf der Fläche des Knochens verlaufen, ohne ihn so zahlreich zu durchbohren, so
könnten sie zwar auch die cavernösen Eäume mit Blut erfüllen; wodurch würde aber dann das ganze Gewebe
so zu sagen in Erection erhalten, damit das Blut in die Cavernen gelangen kann, wie beim Penis, wo das
cavernöse Maschenwerk von der Tunica albuginca ausgeht, welche die Erection bewirkt? Die Verhältnisse
der Gefässe in der knöchernen Muschel sind ähnlich wie die der Veuae diploicae am Schädel, die auch stets
offen, beständig eine freie Commnnication zwischen Gehirn und Aussenfläche des Schädels ermöglichen."

Nach dieser Beschreibung muss ich annehmen, dass Voltolini den Gegenstand niclit von der richtigen
Seite auffasste. Es soll das cavernöse Gewebe der Nase, damit es seiner Aufgabe gerecht werde, beständig
in einer Art von Erection erhalten werden, und Voltolini glaubt, dass diese Erection durch die vielen Gefässe,
welche die Lücken der Muschel passiren und an diesen tixirt sind, persistirend bleibe. Ich kann dem weder
aus anatomischen noch physiologischen Gründen beipflichten; aus anatomischen nicht, weil ich nicht finde,
dass die Venen des Schwellkörpers der unteren Muschel Lücken der letzteren passiren, und an der laferalcn
Seite der Muschel weiterziehen'; aus physiologischen nicht, weil die offen gehaltenen Venen gerade jene
Erscheinung verhindern, welche Voltolini ihnen zuschreibt; es kann nämlich gar keinem Zweifel unterliegen,
dass Blut viel leichter abfliessen wird, wenn die Gefässe so fixirt sind, wie dies Voltolini beschreil)t, daher
von einer Förderung der Erection im Schwellgewebe der Nase durch Jixirte, offen gehaltene Venen nicht die
Rede sein kann. Voltolini nahm zu wenig Rücksicht auf die Arterien, und das ist ein Felder, denn die
Arterien allein und nicht die Venen füllen den Schwellkörpcr; von den Arterien ist aber, wie gesagt, bei
Voltolini nicht die Rede. Sehen wir der Analogie halber nach, wie in anderen Organen eine Erection ein-
geleitet wird. Für den Penis ist erwiesen, dass bei der Erection unter dem Einflüsse des Lendenmarkes sich
die Arterien dilatiren, die Balkenmuskeln erschlaffen, und dass an dem mit Blut vollgepumpten SchwcUgewebe
Einiichtungen existiren, die den Abfluss des Blutes einigermassen erschweren. Anders verhält es sich an der
Muschel, trotzdem die einleitenden Momente dieselben sein werden, aber es ist immerhin möglich, dass hier die

1 Im Knocheu liegen nur seine eigenen Gelasse ; die Arterion nnd die Veuengeflechte hingegen wie bereits ausgeführt,
atellenweise in Knochenrinnen.

über den Cireiihitiüiis-Aiiparat in der Naaenschleimhaut. 139

Blufzufulir nicht vermeint zu werden braucht, und dass für eiu weiteres Anschwellen schon eine Erschhiffung
der X'eneumuskeln hinreicht. Es verhält sich anders, weil sich, wie bereits bemerkt wurde, aus dem Schwell-
körper der Nase das Blut leicht herausdrücken lässt. Es gehört das Gewebe, wie Henle' in einer brieflichen
Mittheilung an Voltolini ganz richtig bemerkt, zu den compressiblen Schwellgeweben.

Man könnte vielleicht die in der Naseuschleimhaut obwaltenden Cireulationsverhältnisse mit den in einem
Rohre vergleichen, welches in seiner Mitte einen Ballon eingeschaltet enthält. Die durchströmende Flüssigkeit
wird den Balhm füllen und er bleibt gefüllt, in so lange das Abflussrohr nicht weiter wird als das, welches die
Flüssigkeit zuleitet. Übertragen auf den Schwellkörper der Muschel, ist die Arterie das zuführende, die Vene
das der Arterie gleiehweite, abführende Rohr, und dem Ballon entspricht der unter dem Einflüsse des Nerven-
systemes stehende muskulöse, also regulationsfähige Schwellkörper, welcher eine bedeutende Dilatation
seiner Räume zulässt und so lange gefüllt bleiben wird, als sich seine Muskeln nicht zusammenzielien.
Da Voltolini auf die Arterien keine Rücksicht genommen und den noch dazu oifenen Venen eine ihrer
Function ganz widersprechende Aufgabe zuschreibt, nämlich die, die Erection des Schwellgewebes der Nase
zu erhalten, so werde ich nicht zu weit gehen, wenn ich die Theorie Voltdiiui's als unhaltbar bezeichne.

Im Leben ist die Nasenschleimhaut hochroth, der Scbwellkörper gefüllt, in der Leiche leer, und zusammen-
gezogen oder nur massig gefüllt. Stark geschwellt ist der Schwellkörper in der Leiche nur dann, wenn vorher
die Muskeln in Folge eines chronischen Catarrhs gelähmt waren.

Bei der normalen Füllung des Schwellkörpers sind seine Maschenräume nicht ad maximum ausgedehnt,
denn er ist im Stande auf Reiz noch stärker anzuschwellen. Die Erection des Schwellkörpers der Nase ist aber
der des Coriius cavernosum penis nicht vergleichbar, weil das erigirte Glied bei Druck noch steifer wird im
Gegensatze zu dem Schwellkörper der Nase, der unter dieselben Umstände versetzt, sich entleert, aber sofort
sich wieder füllt, sobald der Druck nachlässt.

Schon der Umstand, dass die Nasenschleimhaut nur in der Pars respiratoria einen Schwellkörper besitzt,
lässt vermuthen, dass derselbe zur Athmung in Beziehung stehe. Es hatten nun schon R. B. Todd und
W. Bowman- die Bemerkung gemacht, dass die Geflechte sich in einer Region befinden, die mehr als eine
andere erkältenden Einflüssen ausgesetzt sei, und dass sie daher dazu bestimmt scheinen, die Wärme dieser Theile
und die Temperatur der in die Lungen einströmenden Luft zu erhöhen. Andererseits wurde wieder darauf
aufmerksam gemacht, dass den reichlichen Venengeflechten der Nasenhöhle auch die Aufgabe zufiele, die
Nasenschleimhaut beständig feucht zu erhalten (Voltolini). Für letztere TJieorie spricht Manches; wir bemerken
z. B., dass während die gesunde Nasenscldeinihaut durch die Athmung nicht vertrocknet, die Mundschleimhaut
alsbald vertrocknet wenn man gezwungen wird, durch die Mundhöhle zu respiriren. Daraus aber,;:^dass
bei der Athmung durch die Mundhöhle auch die Rachen- und Kehlkopfschleimhaut mit vertrocknet^
müssen wir schliessen, dass bei normaler Respiration die Nasenschleimhaut an die Athmungsluft Feuchtigkeit
abgibt. Gestützt auf Experimente, die Traube über den Einfluss zu kalter und erhitzter Luft auf die Lunge
anstellte, und die negativ ausfielen, habe ich früher der Erwärmung der Respirationsluft kein Gewicht bei-
gemessen, bin aber in jüngster Zeit von dieser Anschauung zurückgekommen, und dies namentlich durch die

1 „In ISezug auf das Schwellgewebe spricht Herr l'iof. Henle i'nacli einer brieflichen Mittheilung) die Ansicht aus: Sollte
das IJlut im Xaseueingauge nicht vielmehr wie au uiauchcu anderen Stellen als Heizmaterial dienen, hier zur Erwärmung der
InspirationsluftV Er meint aus denisellien Grunde den (iet'ässreichthum dos Paukent'elles erklären zu küunen, das ja zu seiner
Ernährung einer so ansehnlichen Blutzufuhr nicht zu bedürfen scheint. In Bezug auf die Eüllung des cavernösen Gewebes
spricht sich Henle dahin aus, dass, um die Gefässe, die nicht mit besonders contraetilen Wänden versehen sind, offen zu
erhalten — wie er glaubt — keiner anderen Hilfe bedarf, als des vom Herzen ausgehenden Blutdruckes. Er würde das caver-
nöse Gewebe der Muscheln zu der Art von Schwellgewebe nehmen, die er compressiljle genannt hat, deren Normalzustand
die Schwellung ist, und zu deren Entleerung besondere Anlässe, wie äusserer Druck oder die vermehrte Contraction der
Gefässe erforderlich sind. — Wenn auch die Füllung des cavernösen Gewebes, d. h. der Gefässe, welche jenes constituiren,
durch den vom Herzen ausgehenden uud durch die Arterien verstärkten Blutdruck besorgt werden kann, und diese offen
erhalten werden, so muss doch — sollte ich glauben — die Füllung beschleuuigt werden durch den eigentlichen Verlauf der
Gefässe im Knochen, wo deren Wände so befestigt sind, dass sie stets offen bleiben." (Voltolini, Die Khinoskopie etc.)

3 The physiological Anatomy and Piiysiologie, Vol. U. London 1S59.

8*

110 E. ZtivLvrl.dinll.

Mittheiliing- des Prof. Störk, iiacli wolclier freute, die gezwungen sind, diueli die MuudköLle zu atlimen, an
Kelilkoptivatanli erkranken.

Um zu zeigen, wie verschieden geformt die Venengefleclite der Nasensehleinihaut sind, habe icli auf
Taf. V, Fig. 1, die Venen der Nasen.sclileimhaut des 8ciiafes abbilden lasseu. Die Scldeimliaut selbst ist an der
unteren Muschel dünn und an Stelle des Scliwellkörpers findet man in ihr einen Plexus, der aus rcihenförniig
angeordneten Venensäulen («) besteht, zwischen welchen in regelmässigen Abständen die Arterien (h) ein-
geschaltet sind. Der Ausfall eines Schwellkörpers und der Ersatz desselben durch ein analoges dünnschichtiges
Geflecht dürfte für die Function der Nasenschleimhaut als Erwännungs- und Durchfeuchtungsapparat hinreiclien,
zumal, wenn man bedenkt, dass bei diesem Thier die Schleinihautoberfläche wegen der Länge des Gesichts-
scbädels und der unteren Nasenmuschel bedeutend grösser ist, als beim Menschen.

E. Die Capillarsysteme der Nasenschleimhaut und deren Verbindungen.

Till'. III, Fig. 10, 11 uud Taf. IV, Fig. 1—7.

Bevor ich auf diese Capillaren eingehe, werde ich die Oberfläche der Nasenscbleindiaut beschreiben, denn
dieselbe nimmt auf die Formation der Gefässe Einfluss. An Angaben über das Relief der Nasenscldeimliaut-
oberfläche ist unsere Literatur weder reich noch ausführlich.

Am ausführlichsten hat sich über dasselbe noch Hyrtl ' ausgesprochen, nach welchem die Nasenschleim-
haut mit feinen Wärzchen (Tastpapillen), Flocken und niedrigen Fiiltchen besetzt ist. E. Sceberg^ huldigt
einer ähnlichen Anschauung, indem er sagt: „Membrana pituitaria circa concham inferiorem propter vasa
multa, quae in illa decurrunt, rubida, spongiosa, l'/j — 2 lineas crassa, in superficie conchae convexa ad nasi
aperturam versus levitcr granulata, in p.irtibns pusticis iinpressionibus subrotundis praedita apparet. Ad
conchas versus promineutiae extant verrucosae vel rubiformes."

Ich selbst habe bezüglich der Schleimhautol)erfläche mein Augenmerk hauptsächlich auf jene Thcile
gelenkt, welche mit einem Schwellkörper versehen sind und stimme im Allgemeinen den Angaben der beiden
citirten Autoren bei, kann es aber nicht unterlassen zu bemerken, dass so einfach auch die Entscheidung, ob
die Schleimhautoberfläclie glatt oder mit Erhabenheiten versehen ist, zu sein scheint, man in praxi nicht so
bald zu einem positiven Ausspruche gelangen wird, und dies aus folgendem Grunde: Die Nasenschleimhaut ist
häufig Erkrankungen unterworfen, die verändernd auf dieselbe einwirken und wenn wir nun bei der
Sectiou, wie dies häufig zutrifft, eine mit Falten und Wärzchen besetzte Nasenschleimhaut vorfinden, so ist
damit noch nicht bewiesen, dass dies zur Norm gehöre; die Erhabenheiten können ebenso gut pathologischen
Ursprunges sein und sind es auch gewiss in allen jenen Fällen, wo dieselben eine gewisse Grösse überschritten
haben. Hierauf weist schon die eine Thatsache hin, ilass man in einem Falle die Schleimhaut mit hohen
Leisten und grösseren Wärzchen besetzt antrifft, während man in einem andern IMühe hat, solche zu
entdecken. Ich habe, um ein sicheres Urtheil fällen zu können, die Nasenschleimhäute von jugendlichen
Personen und Neugeborenen untersucht, und bin durch diese Untersuchung zu dem Resultate gelangt, dass an
der unteren Nasenmuschel die Oberfläche der Schleimhaut neben den Drüsenmündungen eine Reihe von leisten-
artigen Erhebungen, kleine Wärzchen (Taf. III, Fig. 10/ uud 11«, i) und eine Anzahl von Grübchen besitzt.
Zwischen je zwei Leisten, welche eine sehr verschiedene Breite besitzen können, findet sich eine Rinne, die
zuweilen in schräger Richtung und dabei recht tief in die Schleimhaut fortgesetzt ist, eine Auskleidung von
Flimmerepithel besitzt, und am Querschnitte ganz einer Crypte gleicht. Diese Rinnen dürfen auch als solche
aufgefasst werden, denn sie verstreichen durchaus nicht, selbst wenn man durch Injection die Schleindiautober-
fläche ad inaximum dehnt. Die erwähnten Leisten und Rinnen sind namentlich an den hinteren Muschelenden
gut entwickelt. Stellenweise wieder ist die Schleimhaut nahezu glatt.

' Descriptive Anatomie.
2 L. c.

über den Circulutions-Appurut in der Nasensclililiiz/nud. 141

Papilleu, im wabieu Sinuc des Wortes, gibt es auf der Naseiisclileimliixut nicht, ausser mau wollte kurze
Leisten oder kleine Wärzclieu als solche ansprechen; stärker entwickelte Leisten aber jjebeu im Durchschnitte
das Bild einer rapille, worauf man Rücksicht zu nehmen bat.

Ähnliches zeigt auch der Eaud und das biutere Ende der mittleren Muschel; desgleichen ist auch stellen-
weise die Schleimbaut au der Nasenseiteuwand uuebeu, während die mediale Seite der beiden Siebbeiu-
muscheln und der grösste Theil der Naseusclieidewand beinahe glatt erscheinen.

Auf einige der gefalteten Stellen in der Nasenschleimhaut, uameutlieh aber aiiif eine der Scheidewand
werde ich in einer eigenen Abhandlung zurückkommen.

Wenn die Nasenschleimhaut längere Zeit an chronischem Catarrh gelitten, dann hypertrofiren die Leisten,
Wärzchen und die anderen Erhabenheiteu der Nasenschleimhaut (untere Muschel), bis schliesslich dieselbe
ein warzig- zottiges Aussehen augeuomnien hat. Am schönsten kann man diese Veränderung an der unteren
Nasenmuschel studireu. Solche pathologische Fälle sind schon oft für normale ausgegeben worden und auch
die von J. Heule auf p. 826 der Eingeweidelehre gegebene Abbildung gehört in diese Categorie und sollte
daher aus einem Handbuche der normalen Anatomie ausgemerzt werden.

Ich gehe nun nach dieser Abschweifung zur Besprechung der Arterien, der Schleimhautcapillaren und
ihres Zusammenbanges mit dem Schwellkörper über.

Die Arterien sind im Vergleiche mit der grossen Meuge von Veneu minder zahlreich und enger als diese.
Ihre einzelneu Zweige geben, bevor sie noch recht zur Schleimhaut in Beziehung getreten sind, periostale Aste
ab, die in letzterem Gewebe in ein feines, gestrecktes, aber weitmaschiges Capillarnetz sich auflösen, dessen
Röhrcheu entweder in die tiefste Scliichte der Venengeflechte oder iu die abziehenden Venenstämme einmünden.
An den dünneren Stellen der Nasenscli leimhaut, z. B. an der Scheidewand, in welcher die dicken Drüsenkörper,
die ganze Dicke der Nasenschleimliaut durchsetzend, ziemlich regelmässig bis an die periostale Schichte
grenzen, mUuden stellenweise die periostalen Capillaren inVeneuzweige, die aus der Drüse heraus- und gegen
die tiefen Abzugscanäle hinziehen.

Man kann auch zuweilen Capillaren sehen, die an der basalen Drüsenseite hervortreten und, weiter wer-
dend, sich einer Vene zuwenden, nachdem sich vorher mit ihrer erweiterten Strecke eiue periostale Capillare
verbunden hat.

Nach Abgabe des periostalen Capillarnetzes ziehen die Arterien, wie bereits hervorgehoben wurde, kork-
zieherartig aufgewunden, in den Zwischenbalken des Schwellkörpers gegen die Schleimhautoberfläche empor,
und geben da, wo sie auf Drüsen stossen, au letztere Zweigchen ab (Taf. III, Fig. 10). Auf diese Weise
kommt es zu einem zweiten Capillarsystem, zii dem der Drüsen, auf welches in der oberflächlichen, con-
globirten Schichte der Schleimhaut ein drittes Capillarnetz folgt. (Taf. III, Fig. 10a.) Die durch eine
eigene Kapsel von dem umgebenden Gewebe geschiedenen Drüsen werden von den Capillaren korbartig um-
flochten. Um die einzelnen Schläuche bilden die Capillaren ein Röhrennetz, wie ich ein solches auf Taf. IV,
Fig. 6, theilweise abbilden Hess. Die in der Coutinuität der Capillaren gezeichneten und geränderten
Kreise sind Querschnitte von der Länge nach auf den Drüsenschläucbeu verlaufenden Getassröhrcheu. Die
aus deu Drüseucapillaren hervorgehenden Venen ergiessen sich je nach der Schichte, in der sie lagern, in
weitere oder engere Venen. Die der Sehleimhautoberfläche näher liegenden Drüsencapillaren münden mit
ihren Abzugsröhrchen in das Rindennetz des Schwellkörpers, während die Vencheu, welche aus den in der
Tiefe der Schleimhaut, oft nahe dem Perioste, steckenden Drüsenkörperu heraustreten, ihr Blut in die nächst
gelegeneu weiten Lacuneu des Schwellgewebes ergiessen. (Siehe Taf. III, Fig. 10 die tiefere Schichte zwischen
b u. b.) Da, wo Drüseukörper bis in die conglobirte Schichte emporreichen, und wie wir gleich hören werden
auch im Bereiche der Mündungen der Drüsenausführungsgäuge, verbinden sich die zwei Capillarsysteme unter
einander.

Bemerkenswerth scheint mir in Bezug auf das Gefösssystem der Drüsen noch zu sein, dass die
Ausführungsgänge — namentlich die der grösseren Drüsen — von einem äusserst dichten Capillar-
netz umsponnen sind. Die aus dem Geflechte hervorgehenden Röhrchen münden (Taf. IV, Fig. 1 a, a) in

142 E. Zack e rhu, nIL

iitiilici;ciulc Veiieu, d;irübcr in das Kiudeunetz und da, wo der Gan^' iu den Bereich der oberflächlichen Capil
laren tritt, auch in dieses. Die Geflechte, wie die grösseren Gänge im Vestibuluni nasale konnte ich gerade
noch als dunkle Streifen mit nnbewattnetem Auge beobachten. Dieses Geflecht ist dem sogenannten compres-
siblen Schwellgewebe, speciell dem des Thränennasenganges vergleichbar und dürfte den Zweck haben, im
Kuhezustande der Drüse die Lichtung des Ganges zu verschliessen.

Aber es gibt die Betrachtung dieses Geflechtes noch zu einer anderen Tiieorie Veranlassung, welche der
gleicht, die vorher über die Venengeflechte in Knochencanälen aufgestellt wurde. Hiezu ist es aber nothweudig,
die Lage eines solchen Drüsenganges in der Schleimhaut näher zu l)etrachten, und davon auszugehen, dass die
Wänc^e des Ganges gleich denen der meisten übrigen röhrenförmigen Organe aneinander schliessen, wenn nicht
gerade ein Körper ihre Lichtung passirt. Stellen wir uns einen solchen Drüsenausführungsgang im Ruhezustand,
also ohne Liciituug vor: wie soll P^lüssigkeil durchtretenV Wäre der Gang an die AVand des liohres, in dem er
steckt, festgevvachsen, so müsste er stets offen bleiben, ausgenommen es wäre erlaubt, dem Stroma der Schleim-
haut die Fähigkeit zu coUabiren zuzuschreiben. Nun ist aber der Gang im Ruhezustände ohne Lichtung, und
das durchti-etende Secrct müsste daher, falls auch das Stroma zusammengesunken ist, dieses auf die Seite
schieben. Es ist unwahrsciieinlich, dass solche Gewebsverschiebungen (in den dichten Antheilen der Schleim-
haut) vorkommen. Viel wahrscheinlicher ist hingegen, dass, um dem auszuweichen, zwischen dem Gange und
dem Canale, iu dem er steckt, ein compressibles Gewebe in Form eines Venenplexus eingeschaltet ist. Dieser
füllt sich, wenn die Secretion aufhört, entleert sich, wenn Secrct den Gang durchströmt, und das eigentliche
Stroma verbleibt dabei in Ruhe.

Ich habe bereits beiuerkt, dass die Arterien der Nasenschleindiaut in deu oberflächlichen, conglobirlen
Schichten iu ein drittes Gapillarsystem übergehen. Die Capillareu dieser Ortliclikeit erheben sich, namentlich
da, wo die Schleimhaut Erhabenheiten in Form von Leisten und Wülsten trägt, zu langgestreckten, dicht grup-
pirten Schlingen, die aber auch an den beinahe glatten Stellen nicht fehlen; nur sind sie hier selbstverständlich
niedrig, wie flach gedrückt. Da die Leisten der Nasenschlcimhaut stets breiter alsHautpa])illen, oft aber sogar
sehr breit sind (siehe Taf. III, Fig. 11 aa), so finden wir in denselben stets eine Gruppe von Schlingen ein-
getragen, welche untereinander selbst ganz nahe an ihren Umbieguugsstellen in Verbindung treten.

Die der Schlinge das Blut zuführende Arterie ist vcrhältnissmässig sehr eng, während der dem Venensystem
zugekehrte, absteigende Schenkel der Schlinge sich erweitert und sehr al)rupt in den im Vergleich zu den
Schlingen sehr weiten oberflächlichen Theil des Rindennetzes, beziehungsweise in stärkere Venen einmündet.
Die Arterien sind von den Venen leicht zu unterscheiden; erstere sind sehr eng, letztere recht weit.

Auf Taf. III, Fig. 11 und Taf. IV, Fig. 2, 3, 4 und 5 habe ich solche Schlingen abbilden lassen. Taf. III,
Fig. 11, stellt einen Längsschnitt von dem hinteren Ende der unteren Muschel vor. Man sieht bei a. a. a. eine
sehr breite Leiste, der sich seitlich je eine andere (b) anschliesst. Im Innern der Leiste findet sich ein dichtes,
aus zahlreichen, untereinander anastomosircnden Schlingen gebildetes Geflecht, das schliesslich in das Kinden-
netz einmündet. Fig. 2 der IV. Tafel zeigt zwei Schlingen der unteren Muschel mit arteriellem Ursprünge und
deren Übergang in die Vene; Fig. 3 derselben Tafel Hess ich anfertigen, um die Verbindung der Schlingen zu
zeigen.

In Fig. 4 und 5 sieht man recht niedrige Schlingen, die plötzlich in weite Venenstämme übergehen. Es
iiaben Todd und Bowman ' in der injicirtcn Schleiudiaut der Rieehsphäre eines Embryo an den Capillarcn
niedrige Schlingen mit partiellen Erweiterungen gefunden und dem beigefügt, dass sie nicht im Stande waren,
Ähnliches vom Erwachsenen darzustellen. Ich weiss wohl nicht, ob die Homologie ausserZweifcl steht, möciite
aber glauben, dass die von mir auf Taf. IV, Fig. 4 und 5 abgebildeten Schlingen den von Todd uiul Bow-
man gefundenen entsprechen.

Um die Drüsenöffnungen an der Oberfläche der Schleimhaut bilden die Capillaren Gefässringe, welche
den die Mündungen der Haarbälge umgebenden (Taf. IV, Fig. 7) ziemlich gleichen , nur sind letztere grösser.

1 L. c.

über den Circulations-Afpayat in der Nasen schieint kauf. 143

Der Ubergaug der Nasenschleiniliaut in die Haut des Yestibiduui nasale und in die Schleindiaut des Gau-
mens erfolgt, wie das im Allgemeinen scliou R. Seeberg-* richtig angab, allmiilig: nur für die Seitenwand
lind die Choanen mücbte ich eine Ausnahme verlangen, wo die Nasenschleimhaut durch den Sulcus nasal! s
posterior ziemlich scharf abgegrenzt ist.

Etwas anders verhält es sich mit den Gefasseu; denn man bemerkt, dass im Vestibulum nasale die Gefässe,
wo die Schleimhaut beginnt, plötzlich bedeutend weiter werden, während die im Hautantheile des \'estibHlum
bei aller ihrer Dichtigkeit durch Zartheit sich auszeichnen. Bei dieser Gelegenheit sei bemerkt, dass die ein-
zelnen Schichten der äusseren Nase ausserordentlich reich an Gefässen sind, und ferner, dass die durch
die Nasenknorpel getrennten Gefässbezirke in den Zwischenräumen der Knorpel, und dann an den Räudern
derselben (durch die Gefässe des Periostes), mit einander anastomosiren.

Um die Wandungen der Haarbälge bilden die Capillaren zarte, weite Gefässkränze (Taf. IV, Fig. 7).

Nach allem, was beschrieben wurde, gestaltet sich demnach in den mit einem Schwellkörper versehenen
Antheilen der Nasenschleinihaut die Circulatiou in nachstehender Weise :

Die Arterie löst sich im Perioste, in den Drüsen und in der conglobirtcn Schichte in drei capillare Netze
auf, und zwischen diesen und den abführenden Venen ist ein Schwellkörper, resp. ein dichter Veneuplexus
eingeschaltet. Durch die Einschaltung eines Schwellkörpers, also einer sehr ausgebreiteten Blutbahn zwischen
Capillaren und Venenabflüssen, welche den Blutdruck in der Schleimhaut steigert, die Stromgeschwindigkeit
des Blutes hingegen verlangsamt, wird ein Stauungsapparat geschaffen, welcher der Secretion und Wärnie-
aussfrahlung sehr zu Statten kömmt.

Die Capillaren der eonglobirten Schichte und ein Theil der Drüscncapillarcn sammeln sich in Venen, die
in das Rindennetz münden; die Venen der tiefer gelegenen Drüsenanthcile und die des Periostes gehen in die
lacunären Partien des Schwellkörpers über, und die des Periostes zum Theil in die cavernösen Räume, zum
Tlieil in die aus denselben gegen die periferen Venen abziehenden weiten Nasenvenen. Ein den Gefäss-
schlingen der eonglobirten Schichte durch die Arterie zugeführter Blutstropfen passirt, bevor er die Nasenhöhle
verlässt, die Schlingen, dann das Rindennetz, hierauf das tiefe Netz des Schwellkörpers und schliesslich eine
der abziehenden A'cnen. Ein Blutstropfen der Drüsencai>illaren wird durch das Bindennetz den eben beschrie-
benen Weg nehmen, oder kann, wenn er in den tieferen Theilen sich befindet, dii-ect durch die Lacuneu einer
abziehenden \c\\e /.usteuern. Ein Blutstropfen in den Capillaren des Periostes kann direct in eine Vene über-
gehen.

Ich will nun zum Schlüsse den Circulationsap])arat der Nasenschleimhaut mit dem der Haut vergleichen,
und beziehe mich in Bezug auf die Gefässe der Haut auf die bereits citirte Abhandlung von W. Tomsa.

Zwischen diesen beiden Organen herrscht manche Analogie: a) In der Nasenschleimhaut, wie in der
Cutis gibt es einen secretorischen Blutstrom, der sich aus den Capillaren der Drüsensubstanz und denen der
Papillarschichte, beziehungsweise dort aus denen der eonglobirten Schichte zusammensetzt. Sowie in der Haut,
sehen wir auch in der Nasenschleimhaut eine enge Arterie zu einer Schlinge werden, aus der das Blut durch
weite Abtiussröhren abgeleitet wird. Tomsa sagt: „dass die absteigenden Schenkel der Capillaren sich nicht
überall gleich an der Basis der Wärzchen mit den benachbarten zu Vonenwuizeln" vereinigen, sondern häutig
eine Art mehr oder minder deutlichen Schvvellnetzes bilden, welches stellenweise, z. B. in der Holdhand zwei
Schichten besitzt, eine oberflächliche, deren Längsaxe mit den Reihen der Hautpapillen parallel läuft und eine
tiefe, polygonale Maschen bildende, aus der die \'enenstämme hervorgehen. Die Bezeichnung „Schwellnetz"
für das Venennetz begründet Tomsa damit, dass er auf die Differenz in der Lichtung der Zufluss- und Abfluss-
röhren des Papillarblutstromes aufmerksam macht, der darauf hinweist, dass das Netz nur dann „allseitig von
strömendem Blute gefüllt sein wird, wenn eine aussergewöhnliche Erweiterung der Arterien stattgefunden".
Ähnliches gilt für die Nasenschleimhaut; auch hier ist der arterielle Schenkel eng, der venöse verhältnissmässig

' L. c. „Mombrana pitiiitaria nasi noqne in anteriore parte piopo narcs externos neque in posteriore ad fauocs ver.SHS
certo limite tenuiiiatur, scd co putiiis loco, quo nares aperiiuitur, cutis faciei sensim in illos transit."

144 E. Znckerhandl.

ausseroidentHch weit, und die absteigenden Selienkel der Gefössselilingen gehen nicht sofort in die Veneil-
wurzeln über, sondern in ein Schwellgewebe, an dem sich auch zwei Abscbnitte, nämlich ein engerer und ein
sehr weiter unterscheiden lassen; der Unterschied liegt nur darin, dass unser Kindennetz weiter und dicliter
ist, als das Schwelluetz Tomsa's.

6) Der Blutstrom durchfliesst, wie Tomsa angibt, ein HautstUck in senkrechter oder diagonaler Richtung
und sondert sich in drei übereinander geschichtete Blutbahnen, die schliesslich wieder in gemeinsame Venen-
stänime einmünden. Zu diesen drei Babuen zählen : 1. der „Fettstrom", 2. die Schweissdrüsenbhitbahn und
3. der Papillarstrom.

Auch in der Nasenschleimhaut baben wir drei übereinander gescbichtete Blutbahnen, und zwar:

1. Eine dem Papillarstrome der Haut analoge oberflächlicbe Capillarschicbte.

2. Eine den Hautdrüsen correspondirende Schleimdrüsenblutbahn, und

3. einen periostalen Strom für den ausfallenden „Fettstrom" der Haut. Ein Unterschied ist nur darin
gelegen, dass die Capillarsysteme der Cutis scliärfer von einander geschieden sind, als die der Nasenscidcim-
iiaut. In der Nasenscbleimbaut sind, bis auf das periostale Netz, welcbes isolirt ist, die Capillarsysteme
einander dadurch, dass die Drüsenmassen stellenweise beinabe die ganze Dicke der Schleimhaut durchsetzen,
sehr genähert, und die Verbindung erfolgt vorwiegend durch das Rindennetz des Schwellkörpers.

Die Frage, ob das Blut immer gleichzeitig durch alle drei Bahnen der Haut fliesst, oder ob nicht unter
gewissen Umständen, die eine oder die andere der Bahnen ausgeschaltet werde, glaubt Tomsa dahin beant-
worten zu dürfen, dass letzteres, wenn auch nicht geradezu sichergestellt, so doch sehr wahrscheinlich ist.
Ob Ähnliches an der Nasenschleimhaut vorkommen könne, will ich nicht discutiren, möchte aber darauf
aufmerksam machen, dass, wenn man sich das Schwellgewebe auf das Ausserste contrahirt denkt, dies
den Kreislauf in der periostalen Schiebte durchaus nicht aufhebt.

Eine weitere Analogie wird dadurch hergestellt, dass es auch in der Nasenschleimhaut keinen derivatori-
sehen Kreislauf gibt.

Von den Schweissdrüsen erzählt Tomsa, dass ihr Blutstrom am Knäuel nicht abschliesst, sondern
mit den Blutgefässen des Ausführungsganges in Zusammenbang steht. Aus den Blutgefässen des Knäuels
sondern sich nämlich mehrere Gefässe ab, die lauggestreckt, stellenweise durch kurze Queranastomosen
verbunden, den Drüsengang nach aufwärts begleiten, um in die Blutbahn der Pars paitillaris einzumünden.
Ähnlich sind die Ausführungsgänge der Drüsen in der Nasenschleimhaut von Venen umgeben, deren Function
anzudeuten ich mir vorher erlaubte.

F. Die Gefässe in den Sclileimhäuten der pneumatischen Räume.

Die pneumatischen Anhänge verhalten sich in Bezug auf ihr Gefässsystem ganz ähnlich der Nasen-
schleimbaut, und es kann dies nicht auffallen, wenn man berücksichtigt, dass die Auskleidung der pneumatischen
Räume aus Ausstülpungen der Nasenschleimhaut sich entwickelt. Das arterielle Hauptgefäss der Nasenhöhle
wird also auch die Gebilde der pneumatischen Räume ernähren, und die Venen derselben werden zu den Abzugs-
canälen der Nasenschleimhaut zurückkehren. Es muss nur berücksichtigt werden, dass entwicklungsgeschiebtlich
die pneumatischen Räume des Siebbeines anderer Abkunft als die des Stirn-, Keil- und Oberkieferbeines sind;
daher gewahrt man, dass das Gefässsystem des Siebbeinlabyrinthes trotz seiner vielfachen Beziehungen zur
Nasenschleimbaut, zum Sinus frontalis und zum Tbränenapparate in den Ethmoidalgefässen eine verhältniss-
mässig weite collateralcBnbn findet. Die drei übrigen geräumigen pneumatischen Räume besitzen gleichfalls col-
laterale Gefässbahnen, wenn auch nicht so bedeutende, als das Siebbein, und beispielsweise hebe ich hervor,
dass die Auskleidung der Kieferhöhle neben der Hauptarterie, welche im mittleren Nasengange (Taf. I, Fig. 1
bei h) aus einem Aste der Nasalis posterior abzweigt und, im Sinus supramaxillaris angelangt, sich vorerst in
der Schleimhautbekleidung der medialen Siuuswand ausbreitet, eine Reihe von allerdings zarten collateraleu

Über den Circidutions-Apiiarut in der 2\u^eH!ichleh)ihaut. 1 45

Asteu aus der Arteiia infraorbitalis an der Decke und aus den hinteren oberen Alveolararterien an der äussereu
hinteren Kief'erwand bezieht. Die Stirnbeiniiöhle entliält neben den arteriellen Zweigen aus der Nasenschleim-
haut auch noch solche ausdenZweigeu der Ophthalmica und die Auskleidung der Keilbeinhöhle steht, abgesehen
von ihrer Verbindung mit den Arterien der Nasenschleimhaut auch mit den Arterien der die cerebrale Seite
des Keilbeinkörpers überziehenden Dura in Zusammenhang. Die Siebbeiuzellen erhalten ihren Blutstrom
durch die Gefässe der beiden 8iebbeinmuscheln, durch die Arteria ethmoidalis und gewiss auch noch durch
zarte Zweige des den Thränensack umgebenden Arteriennetzes. Die Communicationsröhrchen zwischen den
Hauptgefässen der Sinusschleimliaut und den collateralen Bahnen passiren zum guten Theile die knöcherne
Wand des entsprechenden pneumatischen Raumes. Noch schärfer tritt diese Beziehung zwischen den Knochen-
wänden der Räume und ihren Auskleidungen hervor, wenn mau das venöse System untersucht, von welchem
gleich die Rede sein wird.

Die in die Auskleidung eindringenden und der Schleimhautoberfiäche zusteuernden Arterien geben für die
periostale Schichte der Auskleidung eine Reihe von Zweigen ab, die in dieser Schichte ein zartes, gestreck
verlaufendes und weitmoschiges Capillarnetz formiren. In diesem Gefässnetze sieht man stellenweise kork-
zieherartig gewundene und zusammengerollte Ausläufer, welche dadurch, dass beim Ablösen der Auskleidung
von der Kuochenwand die in diese eintretenden Röhrchen ab- oder herausgerissen werden, diese eigenthümliche
Form erlangen. Mit den Periostgefässen der Sinusauskleidung hängen da, wo die Zahnnerven au der inneren
Wand der Kieferhöhle freiliegen und dem Perioste sich anschmiegen, auch die Gefässe derselben zusammen;
für jene feineren Zahnnerven hingegen, die in der periostalen Schichte selbst verlaufen, besitzt die Sinusaus-
kleidung ein eigenes Capillarnetz. Die der Oberfläche (Schleimhautschichte) der Sinusbekleidung zusteuernden
Arterien lösen sich, nachdem sie vorher schon für die spärlichen Drüsenschläuche der Membran ein Capillarnetz
gebildet, in der oberflächlichen Schichte in ein zweites, flächenartig ausgebreitetes Capillarnetz auf (Taf. V,
Fig. 7), welches minder dicht als das in der Nasenschleimhaut, und flachgedrückter als jenes in der dünneren,
wahren Riechschleimhaut, den Charakter von Gefässschleifen nicht recht aufkommen lässt.

Die venösen Antheile der Capillaren gehen in gröbere Gefässe über und diese in ein dichtes, tiefliegendes
Geflecht von dicken Abzugscauälen (die auf Taf. V, Fig. 7 lichter gehaltenen Gefässe), die den Comnuinications-
öffuungen der Sinuse zusteuern und ihr Blut in die diesen Ostien zunächst gelegenen Nasenvenen crgiessen.
Von der Stärke dieser Venen kann man sich eine Vorstellung machen, wenn man die dritte Figur der fünften
Tafel besichtiiit, in welcher die stärksten Venen der Auskleidung des Sinus frontalis abgebildet sind. Die
Röhren des tiefliegenden Netzes verlaufen da, wo sie der Mündung der Höhlen schon nahe sind, in Reihen
nebeneinander (Taf. V, Fig. 4 und 6 Z* und Fig. 5). An den Ostien der Sinuse, wo die sich verdünnende
Nasenschleimhaut ihren Übergang in die Auskleidung der pneumatischen Räume vollführt, gewahrt man
auch an den Venen eine Art von Übergang, indem die nebeneinander liegenden und gestreckt verlaufenden
Veueuröhren sich in einen Venenplexus (Taf. \ , Fig. 4 und G a) auflösen, der dem in der Nasenschleimhaut
enthaltenen ähnlich ist. Die Dichtigkeit des Venengeflechtes in der Nähe der Ostien ersieht man schon daraus,
dass es, wie allenthalben auch an anderen Stellen der Auskleidung, nicht schwer fällt,dasselbe durch Einstich
zu füllen.

So verhält es sich nicht bloss in den grossen Sinusen, denn auch die Auskleidung der Siebbeinzellen führt
ein dichtes und verhältnissmässig aus weiten' Einzelvenen zusammengesetztes Geflecht. Wenn auch, wie schon
Eingangs hervorgehoben wurde, der Hauptstrom des venösen Blutes gegen die Nasenhöhle gerichtet ist, so
sind nichtsdestoweniger auch die üljrigen recht zahlreichen Abzugsröhrclien aus der Blutbahn der Sinuse benicr-
kenswerth. Vor Allem erinnere ich an die Knochenvencheu, die in das Veuennetz der perinstalen Schichte der
Sinusauskleidung iuosculiren und die, wie Injectionsexperimente lehren, durch Vermittlung des Gefässsystems
der Knochen mit den Gefässen des äusseren Periostes (an der Kieferwandung und der vorderen Platte des
Sinus frontalis) , beziehungsweise mit denen der Dura mater (wie an der cerebralen Seite des Keilbeinkörpers
und an der hinteren Platte der Stirnbeinhölile) in Verbindung stehen. Die Venen der Siebbeinzellen zeigen ein
ähnliches Verhalten und besitzen collateralc Bahnen, die sich vorne mit den Venen der Stirnbeiniiöiilen und

Denkschiifteo dür malhera.-nalurw.Cl. XLIX.Bd. Abhandlungen vonNichtmitgliedcru. t

146 E. Znvkei-laiKlI.

durcli Zweige, wclclie das 'l'livüneubeiu perforireu, mit den Geflechten des Tliränenapparates, respective mit
der Vena angularis, verbinden.

Für die Sinus supramaxillares wäre nocli der wichtigen Verl)induug der Gefässe der Auskleidung mit den
Zalnigefässen zu gedenken.

Verglichen mit der Nasensehleimhaut, ergibt sich, dass die, zwei ausgebreitete Capillarnetze enthaltende
Auskleidung eines pneumatischen Raumes verhältnissmässig, wenn man nändicli ilire Zartlicit in Betracht
zieht, nahezu ebenso gefässreich ist als die Nasenschleimhaut, wobei wir von jenen Stellen der Nase absehen
müssen, in welchen sich das Veneuconvolut zu einem Schwcllkörper entwitd^elt hat. Allgemein genommen,
l)ildet das Venennetz keine so engen kubisclien Spalten und dann auch keine so starken Köliren, als in der
Nasenschleimhaut. Ausgenommen dürften bloss jene Stellen werden, wo die Scldeimhaut au den lateralen
Muschelflächen (untere und ndttlere Muschel) jene Buchten auskleidet, welche ich auf pag. 13 erwähnt habe.

Diese, also wohl abs(dut, aber nicht relativ schwächere Entwicklung des Geflisssystems in der Sinus-
schleimliaut dürfte von der verhältnissmüssig geringen Menge an Drüsen, welche eine entsprechende Reduction
von Capillaren veranlasste, mitbeeiuflusst werden.

Das Gefässsysteni der pneumatischen Räume ist aber dicht genug, um durch seine Secretion die Schleim-
haut vor Vertrocknung zu bewahren und wird vielleicht ähnlich den Apparaten in den Nasenhöhlen für die
Erwärmung der sie durchstreichenden Luft, die bei jeder Inspiration ausgepumpt und wieder durch frische
ersetzt wird, besorgt sein.

Gesammtresume.

1. Die Arteria spheno-palatina ist unter den Nasenarterien das Hauptgefäss der Nasenschleimhaut. In das
Verzweigungsgebiet ihres lateralen Zweiges (Arteria nasalis posterior) fällt die ganze Respiiationssphäre der
Nasenhöhle und noch eine untere Partie der Riechspalte; in das ihres medialen Astes (Arteria nasopalatina)
die Nasenscheidewaud und der obere Autheil der Riechspalte. Collaterale Hahnen, welche in das Arteriennetz
der Schleimhaut iuosculiren, sind reichlich vorhanden; zu diesen zählen neben unbedeutenden Zweigehen:
(i) die Arteriae ethmoidales, hj die Arteria nasalis externa, c) die Arteria septi narium und d) ein Arterienzug,
der am Thränennasengange hinzieht und die Nasenschleimhaut-Arterieu mit den Gesichts- und Orbitalarterien
in Verbindung setzt.

In Folge dieses Reichthumes an collateralen Bahnen wird es innerhalb des arteriellen Schenkels der
Nasenschleimhaut nicht leicht zu einer Circulationsstörung kommen.

Die aufgezählten Arterien bilden in der basalen Schichte der Nasenschleimhaiit ein weitmaschiges Geflecht,
aus welchem erst die Parenchymgefässe der Schleimhaut hervorgehen. Diese verlaufen, wie allenthalben auch
die Arterien in anderen Organen, deren Volumen ansehnlich wechselt, korkzieherartig gewunden.

2. Aus dem dichten Veneunetze, beziehungsweise aus dem Schwellgewebe der Nasenschleimhaut treten
Venenstämme hervor, die, das Verhalten der Arterien nachahmend und diese begleitend, nach verschiedenen
Richtungen abziehen. Man kann fünf Gruppen solcher Venen unterscheiden, von welchen die eine, Plexus nasalis
externus, vorwärts gegen die äussere Nasenöffnuug, die zweite und dritte (Venae ethmoidales) aufwärts gegen
die Schädel- und Augenhöhle, eine vierte rückwärts gegen das Gaumensegel und endlich eine fünfte rück- und
aufwärts in die Flügelgaumengrube zieht.

."5. Die vordere tiefe Nasenvenc erhält ihre Zuzüge aus dem Venengeflechte der Nasenschleimhaut und
der llautbekleidung des Vestibulum nasale. Die stänkeren Röhren der Geflechte bilden nämlich durch gegen-
seitigen Conflux an der Umrandung der Apertura pyriformis ein dichtes grobstämmiges Geflecl)t, in vvelches
auch noch einige gröbere Zweige der knorpeligen Nasenscheidewaud einmünden, und aus diesem gehen 3 bis
5 Venen hervor, welche als Wurzeln der ^'cna nasalis anterior profunda aufzufassen sind.

über den Circulaüom- Apparat in der Nasenschlehnhaut. 1 t7

Die äussere Nase besitzt überhaupt einen grossen Reichthum an Venen. Diese liegen in drei Lagen über-
einander geschichtet, u. zw. die eine in der Haut, die zweite in der Auslileidung des Vestibulum nasale, ilie
dritte zwischen beiden im Perichoudrium der Naseukuorpel.

Auch einzelne Knochenvenen des Oberkiefers leiten Blut aus der Nasenhöhle heraus.

4. Die gegen die .Schädelhöhle gerichteten Venen (Veuae ethnioidales) derNasenschleiinhaut anastomosiren
in der Schädelhöhle mit dem Venennetze der harten Hirnhaut und mit dem oberen fiichelblutleiter. Wichtiger
als diese Verbindung ist eine andere, welche von einer, einen grösseren Nebenzweig der Arteria ethmoidalis
anterior begleitenden und durch die Siebplatte in die vordere Schädelgrube eindringenden Vene gebildet wird,
und die entweder in das Venennetz des Tractus olfactorius oder direct in eine grössere Vene am Orbitallappeu
inosculirt.

Der Blutstrom in dieser Vene wird unter gewöhnlichen Verhältnissen wohl cerebralwärts gerichtet sein.
Dies erschliesse ich:

1. Aus der Analogie mit der Stromrichtung in den Ethmoidalvenen, zu deren System ja strenge genommen
unsere Vene gehört, und

2. aus der Stelle, an welcher die Vene die Nasenschleimhaut verlässt. Die Vene liegt nämlich den menin-
gealen Venen viel näher, als den übrigen Abzugsvenen der Nasenhöhle, und es darfauch nicht übersehen werden,
dass die weiten Sinnse der Schädelhöhle, sobald der Blutdruck in den grossen Halsvenen sinkt, auf die Gehirn-
venen saugend einwirken, und diese Wirkung sich gewiss auch auf die Venen des Orbitallappens fort-
setzen wird.

Die eben geschilderte Vene scheint bisher wenig beachtet worden zu sein. Mehr Beachtung fand dagegen
eine, das Foramen coeeum passirende augebliche Communication zwischen den Nasenvenen und dem Sinus
fiilciformis major. Bis auf Theile, der sie nur für Kinder gelten lässt, und Sappey, der sie überhaupt bestreitet,
sind die meisten Anatomen für die Verbindung eingetreten. Meine eigenen Untersuchungen lehren: Das
Foramen coeeum enthält einen konischen, der Länge nach variirenden, zuweilen selbst l'/^ Ctm. langen Fort-
satz der Sichel, der sich mit Leichtigkeit aus dem Canale herausziehen lässt. Beim Neugebornen ist dieser
Fortsatz bedeutend voluminöser und schliesst in sich ein Venengeflecht, welches oben mit dem Sinus falci-
formis und unten mit den Periostvenen der Nasenbeine in Verbindung steht. Im Erwachsenen ist dieses
Geflecht minder dicht und iiat sich von den Venen des Nasenperiostes abgeschnürt. Wenn daher Blutent-
ziehungen aus der Nasenschlcimiiaut (selbst beim Kinde) eine fühlbare Erleichterung nach sich rufen, so darf
diese nicht auf die Venen des Foramen coeeum, sondern nur auf die Entleerung der die Siebplatte durch-
setzenden Vene bjzogenwerden.

6. Die rückwärts aus der Nasenschleimhaut abziehenden Venen gruppiren sich in zwei Lagen , in eine ober-
flächliche, welche in die Gaumen- und Pharyuxvenen, und in eine tiefliegende, welche als Venae comitantes
der Arterien, mit diesen durch das Forameu spheno-palatinum in die Flügelgaumengrube hineinziehen.

6. Ähnlich, wie die Arterien des Thränenapparates , stellen die stärkeren Venen des Plexus lacrynialis
eine indireete Verbindung zwischen Nasen-, Gesichts- und Augenhöhlenvenen her.

7. Es zeigt sich somit nach Allem, dass für den Abfluss des Blutes aus der Nasenhöhle eine grosse
Reihe von Emissarien zu Gebote steht, daher es auch innerhalb der venösen Nasengeflechte nicht leicht zu
Stauungen kommen wird.

8. Da, wo die Nase einen Scliwellkörper besitzt (untere Muschel, Rand der uuttleren, hintere Enden aller
drei Muscheln), liegt derselbe in der Schleimhaut selbst. Der Schwellkörper scheidet sich, ähnlich wie das
Corpus cavernosum penis, in eine oljerflächliclie engmaschige Schichte, Rindennetz, und eine tiefe, weite
Lacunen enthaltende Schichte, deren einzelne Röhren eine frontale Richtung einhalten, während das Ifindcii-
uelz einen sagittalen Verlauf nimmt.

t-="-

148 -£'• Zucker kandt.

An der periostalen Seite der NaMensclileiniliaut wandeln «eh einzelne Theile des Scliwcllkörpers in
sagittal gericlitefe Venengefleclite um, welche die stärkeren Arterienstämnie begleiten, und da, wo letztere in
Furcbeu lagern, förinliclie Geflechte um die Pulsadern bilden.

9. Das Balkengewebe im Schwellkörper der Nasenschleimhaut unterscheidet sieh von dem des Gliedes
wesentlich. Im Schwellkörper der Nasenschleimhaut ist es nämlich mit der Auflösung der Venen in ein lacunäres
System nicht so weit gediehen als im Gliede, und man sieht rings um die Lichtungen der Venen eine Muskel-
schichte herumgelegt. Die Nascnschlcinihaut ist demnach von einem mit allen Schichten eines Blutgefässes
ausgestatteten, stark muskulösen Schwellnetz canalisirt, und in die breiten, reichliches elastisches Gewebe ein-
schlicssenden Balken zwischen den Venen erstrecken sich verschieden tief Drüsen hinein.

10. Da der Schwellkörper der Nasenscbleimhaut aus der eonglobirten Schichte und den Drüsen die
Capillaren aufnimmt, so nähert er sich einigermassen dem der Harnröhre; dadurch a))er, dnss seine Musculatur
so regelmässig angeordnet ist, entfernt er sich wieder von dem typischen Schwellgewebe der Geschlechts-
werkzeuge. Er stellt nnn'phologisch eine Art Übergang zwischen einem einfachen venösen Plexus und einem
wahren Schwellkörper dar.

11. Die Füllung und Entleerung des Schwellkörpers in der Nasenscbleimhaut steht unter dem Einflüsse
des Nervensystems.

12. Die Arterien der Nasenschleimbaut sind im Vergleiche zur grossen Menge und zum Querdurchmesser
der Venen enge und nur in geringer Anzahl vorhanden. Sie bilden in der Schleimbaut drei Netze: ein
periostales, eines für die Drüsen und ein drittes ol)erflächliches in der eonglobirten Schichte der Schleimhaut,
welches in Form eines in seinen einzelnen Theilen communicirenden Sehlingensystems aufgebaut ist.

13. Die sich ans den Drüsencapillaren sammelnden Veneben (die oberflächlichen) münden tbeils in das
Eindennelz, tbeils (die tiefer gelegenen) in die weiten Räume des Scbwellnetzes. An jenen Stellen, wo die
Drüsen bis in die conglobirte Schichte sich erstrecken, hängen die Capillarsysteme beider zusammen.

14. Die Drüsengänge besitzen ein dichtes Capillargeflecht, aus welchem Verbindungen gegen die
umliegenden Venen und oberflächlich gegen die Capillaren der eonglobirten Schiebte abgeben. Diese Geflechte
dürften, namentlich an den grösseren Gängen einerseits die Function des compressiblen Gewebes über-
nehmen, also im Ruhezustände der Drüse die Lichtung des Ganges verschliessen, und andererseits wieder gleich
den in den Knochencanälen die Arterien umspinnenden Venengeflechten fungiren. Der Gang liegt in einem
Canale des Bindegewebsfilzes der Schleimhaut. Wäre der Gang an die Wand des Rohres, in dem er steckt,
festgewachsen, so müsste er stets offen l)leiben, ausgenommen, man dürfte dem Stroma der Schleimhaut die
Fähigkeit, zu coUabiren, zuschreiben. Nun ist aber der Gang im Ruhezustände ohne Lichtung und dns durch-
tretende Secret müsste daher, falls auch das Stroma zusammengesunken ist, dieses auf die Seite schieben.
Es ist unwahrscheiniieh, dass solche Gewebsverschiebungen vorkommen; viel wahrscheinlicher ist, dass
gerade, um dem auszuweichen, zwischen Gang und Canal, in dem er steckt, ein Gefsissplexus eingeschaltet
ist; dieser füllt sich, wenn die Secretion aufhört, entleert sich, wenn das Secret den Gang durchströmt,
und das eigentliche Stroma verbleibt dabei in Ruhe.

15. Am Übergänge der Nasenhaut in die Schleimhaut bemerkt man, dass die Gefässe, namentlich die
Capillaren, plötzlich weiter werden.

16. Die Circulation in der Nasensehleimhaut stellt sich nach Allem in folgender Weise her: Die Arterien
lösen sich im Periost, um die Drüsen und in der eonglobirten Schichte in drei eapillare Netze auf, und
zwischen den Capillaren und Venen ist ein Schwellkörper, respective ein dichter Venenplexus eingeschaltet.
Die Capillaren der eonglobirten Schichte und der obere Theil der Drüsencapillaren ergiessen ihr Blut in das
Riudeniietz, das periostale Netz und die tieferen Schichten der Drüsencapillaren in die lacunäre Partie des
Schwellkörpers, beziehungsweise in die grossen Abzngsvenen, welche sich zu den verschiedenen bereits
aufgezählten periferen Venen hinbegeben.

über den Circidaüons- Apparat in der Nasenschleimhaut. 149

17. Eine derivative Blutbahn, directe Übergänge von Arterien in den Schwellkörper gibt es nicht; zum
mindesten ist es mir nicht gelungen, solche nachzuweisen.

18. Die pneumatischen Eäume beziehen, neben zahlreichen kleinen collateralen Bahnen, ihren Ernäh-
rungsstrom gleich der Nasenschleimhaut durch die Arteria spheno-palatina.

19. Die collateralen Bahnen passiren zum guten Theile die Knoehenwand der lufthilltigeu Räume. Die
Arterien der Sinusauskleidung geben, ähnlich wie die der Nasenschleimhaut, drei Capillarsystemc ab, ein
periostales, ein oberflächliches und eines für die Drüsen, welch' letzteres wegen der Reduction der Drüsen
ärmer ist, als das der Nasenschleimhaut.

20. Die Capillaren gehen in gröbere Gefässe und diese in ein dichtes, aus breiten Venen zusammen-
gesetztes Geflecht über, welches den Offnungen der Sinuse zusteuert und hier den venösen Blutstrom gegen die
Nasenhöhle abführt.

21. Die periostalen Venchen anastomosiren durch die Knoehenwand mit den Venen des äusseren Periostes,
respective mit jenen der harten Hirnhaut (Keilbeinkörper, zum Theil auch Stirnbeinhöhle).

150 -£'. Zuckerkandl.

erkiArung der abbiedungen.

TAFEL I.

Fig. 1. Laterale Wand einer rechtsseitigen Nascnliöhle mit ihrem Arterieunetze.
Ä. Arteria iiasalis posterior.

B. Ast derselben für die untere Muschel, an deren hinterem Pol er in drei Zweige zerfällt, die am oberen und
unteren Muschelrande, ferner in der Mitte der Muschel vorwärts ziehen und streckenweise, wie auch ans der
Zeichnung ersichtlich, in Knochenfurchen verlaufen.

C. Arteria nasopalatina mit der Arteria für die obere, resp. auch vierte Muschel.
e und g. Äste der Arteria ethmoidalis anterior.

/. Verbindung der Nasalis posterior mit der Arteria ethmoidalis posterior.
a und h. Äste der Arteria nasalis posterior für den unteren Naseugang.

D. Äste der Nasalis po.sterior im Vestibulnm nasale ; in diese inoscnliron einige Zweige der Arteria maxillaris
externa.

Neben den beiden Hauptstämmen der Arteria spheno-palatina sind die entsprechenden Venen abgebildet.

„ 2. Rechte Seite der Nasenscheidewand.

A, A. Die beiden von ihren Venen begleiteten Arterien der Scheidewand.

B. Arteria septi narium.

a und h. Scheidewandäste der Arteria ethmoidalis anterior.

c und (/. Scheidewandäste der Arteria ethmoidalis posterior.

t. Anastomose einer Vena naso-palatina mit den Gaumenvenen.
„ 3. Stück einer rechtsseitigen Gesiohtshälfte mit Darstellung der Venengeflcchte an der Apertura pyriformis und an der

knorpeligen Nase.

a. Eine Partie des venö.sen Geflechtes der knorpeligen Nase zwischen der C.irtilago triangul.iris und dem Nasen-
flügel.

o'. Venen der äusseren Nase, deren geflechtartige Fortsetzungen nicht weiter ausgeführt sind.

h. Geflecht am Rande der Nasenöfifuuug, welches eine Reihe von Zweigen aus der Nasenschleimhaut bezieht, und
in welches das Geflecht der äusseren Nase einmündet.

A. Septum nasale.

c. Venen aus dem vorderen unteren Antheile der Nasenscheidewand.

d. Abzugscanäle des Randgeflechtes, welche in die tiefe äussere Naseuvene e einmünden.
„ 4 und 5. Dasselbe, nur im vergrösserten Massstabe dargestellt.

TAFEL IL

Fig. 1. Laterale Wand einer rechten Nasenhöhle mit den rückwärtigen oberflächlichen Abzugsrühren.
«. die der unteren,
6. „ „ mittleren,

c. „ „ oberen Nasenmuschel.

d. Sagittal hinziehende weite Venenstämme des unteren Nasenganges.

„ 2. Sagittaler Durchschnitt durch den Schädel eines nur wenige Wochen alt gewordenen Kindes. Vorne ist die Schleim-
haut (rt, o) vom Knochen gelöst und rückwärts geschlagen und man bemerkt, wie aus derselben eine Vene heraus-
tritt, die an der basalen Seite des Stirnlappens rückwärts zieht und mehrere Zweige absendet, welche, was au.s der
Abbildung nicht ersichtlich, mit den in den Gehirnfurchen gelagerten Venen sich verbinden.

„ 3. Oberkiefergerüst der rechten Seite; der Thränennaseugang ist freigelegt, und das denselben umhüllende dichte
Venengeflecht ist dargestellt; die grosse den Gang passirende Vene mündet entsprecliend dem unteren Na.scugangc
in einen dicken venösen Stamm und geht oben au der Mündung des Thräneusackcs vormittelst eines Zweiges (»i in
die Vena facialis anterior über; das hintere Geflecht {h) inosculirt in die Orbitalvenen.

über den Circulutions-Appayat in. der Nasenschlihnlianf. 151

Fig. 4. Diissclbe Geflocht veigrössert dargestellt.
a. Ast für die Vena facialis anterior;
h, h. für ilie Orbitalveuen.
c, c, c. Verbindungen mit den Naseuvenen.
„ 5. Rechtsseitiges Kiefergerüst mit Darstellung einiger in die Vena facialis anterior einmündender Venen.
.1. Vena facialis antica.
B. Vena ophthalmiea.
e, e, e. Tiefe äussere Nasenvene.
a. Verbindung mit den Venen der Nasenscheidewand.
h. Ein Ast des Randgeflechtes der Apertura pyriformis.

c, c. Venen, die den Oberkiefer durchsetzen und innen mit den Schleimhautgefässen anastoraosiren.

d. Eine Vene des Thriinenuasenganges, die auf dem Gange abwärts zieht und direct in eine starke innere Nasen-
vene übergeht.

/; Eine aus den vorderen Siebbeinzellen stammende, das Thränenbein perforirende Vene.

„ G. Das Oberkiefergerüst der rechten Seite des Thräueunasenganges ist freigelegt, und gleich dem Thränensacke im
oberen Theile gespalten.
u, a. Arterien an der Wandung des Thränenganges.
h, h, h. Verbindungen mit der Ophthalmica, resp. der lufraurbitalis.
c. Anastomose mit der Arteria angularis.

TAFEL III.

Fig. 1. Ein Stück vom Schwellkörper der unteren Nasenmuschel (Corrosionspräparati. Man sieht bei « die tiefere Schichte des
Rindennetzes. In der Ebene zwischen den beiden h wurde das Präparat auseinandergelegt, um die weiten tief liegen-
den, frontal gelagerten Röhren des cavernösen Gewebes ansichtig zu machen.

„ 2. Ähnlich zubereitetes Präparat vom Schwellgewebe der mittleren Nasenmuschel.

a, a. Rindenschichte.

h. Tief liegende Schichte.
„ 3. Querschnitt durch die Sehleiudiaut der unteren Nasenmuschel.

c. Epithel.

a. Rindennetz.

h. Tiefliegende Lacunen. Hartnack Obj. 4, Oc. 2.

„ 4. Schrägschnitt durch das Schwellgewebe der unteren Nasenmuschel. Hartn. Obj. 2, Oc. 2. Man sieht recht deuüicli,
wie die buchtigen Lacunen von der Schleimhautoberfläciic gegen die knöcherne Muschel verlaufen; bei a siud Theile
vom Rindennetze getroffen.

„ 5. Weniger schräg geführter Schnitt durch das Schwellgewebe der unteren Nasenmuschel, um die reichlichen Verbin-
duugen zwischen den Lacunen zu zeigen. Hartn. Obj. 4, Oc. 2.
a. Eine mehr oberflächliche Schichte der Schleimhaut. Gegenüber, wo die weitenLumina lagern, eine tiefere Schichte
der Schleimhaut.

„ 6. Scliwellgewebe der unteren Nasenmuschel; die Venenmündungen sind schattirt, die weissen Stränge zwischen den-
selben entsprechen den Balken.

„ 7. Durchschnitt des Schwellkörpers nahe der Muschel. Das Schwellgewebe war fest contrahirt, daher man um die
Lumina deutliche Gefässwandungeu wahrnimmt.

„ 8. Periostale Fläche der unteren Nasenmuschel.
a, a. Venennetze.

h, b, h. Mosaikartige Anordnung der Schwellkörper an der periostalen Schichte.

c, c. Venensäiüen, welche in Furchen der Muschel gelagert, die tief liegenden Arterienzweige einhüllen.
„ 9. Frontalschnitt durch die Schleimhaut der unteren Muschel eines Neugebornen. Hartn. Obj. 4, Oc. 2. Der Schnitt is'
nicht ganz senkrecht zur Muschel geführt, daher die oberflächliche Schichte der Gefässe fehlt. Das Präparat Hess ich
zeichnen, um darzulegen, dass beim Neugebornen die langen Röhren des Netzes noch nicht so buchtig sind, wie im
Erwachsenen, und dass der Schwellkörper noch mehr einem gewöhnlichen Venengeflechte gleicht.
„ 10. Querschnitt durch den Schwellkörper (hinteres Ende) der unteren Nasenmuschel. Hartn. Obj. 4, Oc. 2. Die Gefässe
der Drüsen siud mit Obj. 7 eingezeichnet worden.
((. Theil des Rindennetzes.

h. Lacunärer Theil des Schwellkörpers. Man sieht die in natura spiralig gewundenen Arterien gegen die Schleim-
hautoberfläche emporziehen und in den conglobirten Schichten («, a) derselben sicli in ihre Capillaren auflösen.
Da wo die gabelig gespaltene Arterie verläuft, sieht man die Theile einer tief in die Schleimhaut verseukteu
Drüse, welche von der Arterie eiu Zweigchen erhält und au diu Schwellkörper ein Astchen wieder abgibt.

152 7v'. Z HC her La ndl. Über den. Circii/((/ious-Aji/i<n'iif in der Nuneusc/dcini/i<iul.

Fig. tl. Liinf^ssilmitt duich du» liintcrc Ende der unteren NiiHcmniisclicl; ■■iiteiiello lujeotion. Ilai-tn. Obj. 4, Üc. a.

a und h. Leisten der Scldeinihaut. lu deiistdbeu sielit ni;iu Gnijjpeu von Gefiissachliugeu, die in der Tiefe in das
llindcnnctz des Schwelikörpers übergehen.

TAFEL IV.

Fig. 1. Ein Stück Drüsenkörper sammt Aust'ührungsgang aus der .Selileimhaut des Vi^stibiduin nasule, um das dichte üefieclit
zuzeiten, welches den Gang umspinnt. Die Aste n, « begeben sich zu den umliegenden Venen, b ist ein Stück vom
Geflechte eines einmündenden Nebonganges.

„ 2. Zwei Schlingen aus der Schleimhaut der unteren Nasenmuschel, llartn. Obj. 7, Oc. 2. Arterie roth. Vene blau.

„ 3. Eine Reihe von Schlingen aus derselben Loealität. Vergrosserung dieselbe. Die blau gelUrbten Thcilo des Geflechtes
sind venöse Zweige.

„ 4. Querschnitt der SchU'imhaut an der unteren Nasenmuschel eines 10 Jahri^ alten Kindes. Hartn. Obj. 7, Oc. 2.
Man sieht die kurzen und wie flachgedrückten Schlingen in verhältuissmässig weite Venen einmünden.

„ 5. Ähnliches Präparat der Ricchschleimhaut (mediale Seite der oberen Nascnmuschel). Hartn. Obj. 7, Oc. 2. Die kurzen
Schlingen münden gleichfalls in eine sehr weite Vene.

„ 6. Einige Drüsenacini aus der Schleimliaut der unteren Nasenniuschel. Ilartn. Obj. 7, Oc. 2. Die eingesäumten Kreise
im Capillarnetze eutsprechen Querschnitten von den Schläuchen parallel ziehenden Capillarcn. Das blau gefärbte
Gefäss entspricht einer Vene.

„ 7. Capillarnetz um die Mündungen der Haarbälge im Vestibulum nasale.

TAFEL V.

Fig. 1. Venengeflechte aus der Nasenschleimhaut des Schafes. Die Geflechte sind in Form von einzelnen Säulen («j ange-
ordnet, zwischen welchen die Arterienzweige (6) dahinziehen. Die Arterien werden von einem zarteren Geflecht
umwickelt, welches je zwei Venensäulen unter einander verbindet.

„ 2. Die Capillaren der Scldeimhautobcrflächc des Schafes. Unter denselben sieht man deutlich die Venensäulen.

„ 3. Venen in der Schleimhautbekleiduug des Sinus frontalis.

„ 4. Übergang der Venen der Nasenschleimhaut in jene der Auskleidung der Kieferhöhle. Hartn. Obj. 2, Oc, 2.
(1. Übergangsstelle.
I). Venen der Kieferhöhle.

„ 5. Die Venen der Kieferhöhle im weiteren Verlaufe. Hartn. Obj. 2, Oc. 2.

„ 6. Übergang der Naseuschleimhaut iu die Auskleidung der Keilbeinhöhle. Hartn. Obj. 2, Oc. 2.
(I. Übergangsstelle.
Ij. Venen der Keilbeiuschleiuihaut selbst.

„ 7. Capillaren und grössere Venen derKieferhöhlenschleimhaut, von der Oberfläche besehen. Hartn. Obj. 4, Oc.2. Zwischen
denselben schimmern die gröberen Venen durch.

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Zuckcrkaiull : l'ber (Ich ('ir( iiliiliniis-AppaiMl in (l.Xa.si'iisrhleiinhaut.

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(iellithvDr JHeilzmanr. " Kk.Hof.u.Staatsdruckerei.

Denkschriften d.k. Aka(l.d.\\\inath.naturvv.f lasseXLIX.Bd.Il.Abth.

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Denkschriften d.k.AkHd.d.\\'. mathnaturw. (Masse XLlX.Bd.n.Abtli.

Zlickerkaildl : Vhev den ripculations-Appai-iil in d X.i.scnsi hlcimti;!

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M Schuster del.Iith.vDr JHeilsrr.ar.r..

Kk.Hof-u.Staatsdruckerei.

Denkschrillcii d.k.Akful.d.W, mnth.iialiirw. (lasse XLIX. Bd. Il.Abth.

Zuckcrkaildl : Tber (lei\ (in iilatiniis-Apparal im d..\'ii.sen.s(iilriniliai!l

Tat: IV.

T--x^.5.

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.r.ustsr del.Iith.ArDr J.Kei-.irtianr.. K.k.Hof.u.Staa1sdruckerei.

Denkschriften d.k.Akad.d.W.mnth.iiaUirw.ClHsseXLlX.Bd.fl.Abth.

Zlickerkaildl: L'ber den Circulations-Appariil in d Xasensrlilcimliatil

Fig.l.

Taf.V.

Fi^.2.

Fig. 4.

Fl ^.7.

¥.Schusterdell:th.-v:Dr J^Heitzraann. . ■ Kk Hof-u Staats druckerei.

Denkschriften d.k.Akad.d.W.inath.naturu-.ClasseXLlX. Bd. n.Abth.

ASTia)NOMISCHE BEITRAGE

ZUR

r.

V 8 S Y R I S C II E N C H R O N () I. O G I E.

Dr. Ein AKD Freiherrx to> HAERDTL.

VOKOEI.EOT IN DER SITZUNG AM 15. MAI 1881.

L'ie vorliegende Arbeit zerfällt dem Wesen nach in zwei Theile. Der erste Theil enthält eine Reihe asti-ono-
mi^ciier Angaben, deren Keuntui.'^.s dem Historiker niciit nnerwiiuscht sein wird, weil sie snwolil l)ei jeder
einzelnen as.syrisclieu Zeitangabe in Betracht kumnien, als auch in ihrer Gesammtheit vielleicht die Aufstellung
eines assyrischen Kalenders ermöglichen. Im zweiten Theil ist eine Zusammenstellung sämmtlicher centralen
Finsternisse gegeben, welche von der Mitte des 10. Jahrhunderts bis zum Jahre 574 vor Chr. Geburt in Niiiivc
sichtbar waren, zu welcher Untersuchung mich der Umstand veranlasste, dass mehrerer dieser Finsternisse
auch in historischen Quellen Erwähnung geschieht. Bevor ich aber in die einzelnen Theile näher eingehe,
will ich einige Bemerkungen über die assyrische Zeitrechnung vorausschicken.

Der assyrischen Zeitrechnung lag das Mondjahr zu Grunde, das sie von Zeit zu Zeit durch Schaltung mit
dem Sonnenjahr ausgeglichen haben. Da die Assyrer ferner — nach Angabe einiger Historiker — das Jahr mit
dem Monat Nisan, und zwar mit dem ersten Xeumond vor dem Frühjahrsanfang begannen, bedarf es zur Fest-
setzung des Jahresanfangs vor Allem der astronomischen Angabe, auf welchen julianischeu Tag das Frühlings-
Äquinoctium tritft. Neben dieser Angabe findet sich im Folgenden die Zusammenstellung sämmtlicher Neu-
monde, welche vom Jahre — 95(j bis — 604 stattgefunden iiaben.

Da für den Zweck, für welchen ich die Frühlings-Tag- und Nachtgleicbe gerechnet habe, eine Genauigkeit
von etwa zwei Stunden hinreiclit, habe ich durch blosse Addition der Argumente der zwei ersten Schram'schen
Tafeln aus den „Hilfstafeln für Chronologie von Robert Schräm" die Zeit des Eintrittes der Sonne in das
Zeichen des Widders erhalten.

Der Berechnung der Neumonde sind dieselben Tafeln zu Grunde gelegen, welche auch mit einer
genügenden Genauigkeit — von ungefähr einer halben Stunde — den Eintritt der Phase in Greenwicber Zeit
angeben.

Die Resultate sind durch doppelte Rechnung geprüft.

Diakschriften der in itliom.-n.ilnnv. ('I. XLIX. B 1. Abhaudlungon voa Nichljnitgli.'iloru.

154

Eduard r. llaerdtl.

Frühlings-Tag- uiul Nji('litf,'loiclie der Jaliio —950 bis —604.

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Astronomische Beiträge zur assyrischen Chronologie.

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Astroiioniische Beitröffe zur assyrischen Chronologie.

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Astronomische Beiträge zur assyrischen Chronologie.

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In dem Zeiträume vom Jalire — -956 bis zum Jalire — ^574 fanden 912 Sonnenfinsternisse statt, von denen
585 central, ;527 partiell waren, ^^ln den centralen Finsternissen entfixllen 249 auf totale, 23 auf ringförmig-
totale, 31 o auf ringförmige. — Da die partiellen Finsternisse für eine geografische Breite, wie sie Ninive
besitzt, keine mcrkliclie Liehtabschwäclmng hervorbringen, babe icli nicht weiter untersucht, ob diese für
diesen Ort auch sichtbar waren.

Um die Entscheidung darüber treffen zu können, welche von den centralen Finsternissen in jenem Ort
sichtbar waren, musste für alle diese Finsternisse die Curve der Centralität gerechnet werden, die durch die
Coordinaten jener drei Punkte auf der Oberfläche der Erde genähert bestimmt ist, in denen die Finsterniss bei
Sonnenaufgang, zu Mittag und bei Sonnenuntergang central gesehen wird.

Nachdem ich diese drei Punkte auf Karten eingetragen und einen Kreisbogen durch dieselben gelegt
hatte um den beiläufigen Curvenzug zu übersehen, war die Frage, ob eine Finsterniss für Ninive sichtbar
oder unsichtbar ist, nach dem Verlaufe der Curve sofort zu beantworten. — Von den 585 centralen Sonnen-
Finsternissen waren in Ninive bloss 124 sichtbar, deren Elemente ich hier folgen lasse.

Was die Rechnung der Finsternisse betrifft, so bediente ich mich zur Aufstellung der Elemente der
Tafeln Oppolzers „Syzygien Tafeln für den Mond" Publication der astronomischen Gesellschaft Nr. XVF. —

180

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184 EdiKtiul >\ IfaviiltJ.

Da zur Eruiitllmig' der lliiiiiitumständc ciucr .Süunünliiistci'iii.s.s i'iir einen (Jit die üstiielie l^üni^e \(m
Gieenwich und die geograpliisclie Breite dieses Ortes bekannt sein muss, habe ich aus dem „Index üeogra-
pliicus im YcrUig von William Blackwood" diese Coordinaten entnommen, die ich liier folgen lasse:

Ninive (Mosul): A = 44° 0' östl. ^ == +36° 10'

Die Gleichungen zur Bestimmung der Zeit der grössteu Phase, die Hansen in der Theorie der .Sonnen-
finsternisse ableitet:

m sinil/^ 7 — r, cos^ + t sini/ sin(G + /p)

m cosJf = {t^ — l — p) -j —ri coÄ7,- + t sinA: cos(A'+^J

m' smM ^ — xtsiny cos(6r + <J
m' coslf 1= n — xCsin/i:sin(ir+/J

t — L— 15 — cos(iV/+Jlf)
' m ^

sind in Bezug auf die Unbekannte t transcendeut. Um nun den genauen Werth von / zu ermitteln, ist man hei
der Benützung des Niiherungsverfahrens genöthigt, die gesamrate Rechnung so lange zu wiederholen, bis der
Anfangs- und Schlusswcrth übereinstimmen, was, wenn keine Näherung bekannt ist, meist eine dreimalige
Wiederholung erfordert. Ich habe aber Hansen 's Verfahren nicht eingeschlagen, sondern eine von Prof.
(»lipolzer vorgeschlagene Methode benützt, die nur die Wiederholung eines ganz kleinen Theiles der
Rechnung erfordert und eine fast völlige Strenge erreichen lässt.

Da der Werth von m, unter der Voraussetzung, dass eine merkliche Verfinsterung der Sonnenscheibe
eintritt, klein ist, und auch cosiV, da M bei 90° oder 27U° liegt, nahe 0 wird, so wird das Product m cos .1/ für
eine centrale Finsterniss sehr klein. Berücksichtigt man ferner, dass der Fehler, den man durch die Vernach-
lässigung des Productes begeht, die Genauigkeit, welche l)ei der Zeitangabc der grössten Phase historischer
Finsternisse niUhig ist, nicht mehr beeinträchtigen kann, so kann mau:

(/„ — Ä— /j.)-^ — /•; COS /.■ + (; sin A' cos(A'+/(,) = ü

setzen.

Setzt mau ferner:

15, . ,

1 sinA; = a

n

15 , r

H

endlich :

K+L - K,

aus welchen Ausdrücken sich, da alle Grössen linker Hand bei Beginn der Rechnung bekannt sind, a, L, K' als
bestimmte numerische Werthe ergeben, so geht der erste Ausdruck über in:

tf,—L—a cos(K+Q = 0

Führt man ferner eine Grösse t so ein, dass sie der Relation genügt:

so ergibt sich:

r = f,-L

X — a cos (A'' + r) =1 0.

welche Gleichung sich aucli so schreiben lässt:

« cosiT'

'^"="^ TT--

— h'fsnuv

SlUT

Astronomische Beiträge zur assyrischen ( 'hroiiologie

185

Im Ausdrucke rechts ist nur der Quotient: -. — unbekannt. Berechnet man sieh nun eine kleine Tafel, die

sin-

mit dem Argument r den logar. de;-- Quotienten: -r^ — ^ v gibt, und welche sieh, da: f^ — L nicht grösser als

sin

30° werden kann, nur bis zum Argument - ^ 30° zu erstrecken braucht, so erhält man:

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V

T

V

T

V

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1-7070

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11°

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21°

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+ 5

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2°

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12°

I-7613

22°

I - 768S

+ 1

+ 6

+ 10

1-7583

13°

I-7619

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I-7Ö9S

+ 2

+6

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1-7031

25°

1-7720

+ 2

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6°

1-7589

10°

I-763S

20°

1-7731

+ 3

+ 7

+ 12

7°

1-7592

17°

I-7Ö45

27°

1-7743

+ 3

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+12

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1-7595

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I-7Ö53

28°

1-7755

+ 4

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9°

1-7599

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1-7061

29°

1-7768

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+ 13

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I -71)03

20°

I-7O70

30°

1-7781

Mit Hilfe dieser Tafel lässt sich aber der Werth von r sehr leicht ermitteln. Macht man nämlich für v die
Annahme v' ^ 1-7631, welche dem Mittelargument der Tafel entspricht, und berechnet mit diesem Werthe
nach obiger Formel tgr, so wird man für r einen Werth r' finden. Geht man nun mit diesem so gewonnenen
Werth t' als Argument in die Tafel ein, so finde sich für v der Werth v". Stimmt dieser Werth mit dem erst
angenommenen von v überein, ist also: v' =: v", so braucht mau die Rechnung nicht weiter fortzusetzen, man
hat schon den Schlusswerth von r ermittelt.

Ist dieses aber nicht der Fall, so wird man mit dem erhaltenen v" nochmals den obigen Ausdi'uck durch-
rcohuen, und das Verfahren so lauge fortsetzen, bis der letzt gefundene Werth von v mit demjenigen Werth
übereinstimmt, den die Tafel für den letzten Werth von t ergibt. Im ungünstigsten Fall ist die dreimalige
Berechnung des obigen Ausdruckes nöthig.

Hat man aber mehreremale die Formel benützt, so wird man bei dem geringen Differenzengang der
Tafelwerthe, gleich eine solche Wahl für den Anfimgswerth treffen können, dass nur eine Wiederholung der
Rechnung nöthig wird, die obeiidreiu in den meisten Fällen durch ein Abändern der letzten Decimalstelle
ersetzbar sein wird. Über das Vorzeichen von r kann kein Zweifel sein, es ist + oder — , je nachdem der
Zähler: a cosK' das + oder — Vorzeichen hat.

Ist T ermittelt, so ergibt sich aus der Gleichung:

T+L

■t^

der Werth von /,.

Löst man in dem Ausdruck: t = /|, + iri— , cos(]lf+il/') die cos-Fuuction auf und substituirt für wsiniT/

m

seinen Werth, so erhält mau:

t -L

15

-, sin M [j—n cos(/+t siny sin(G+/„i| .

Strenge genommen, sollte vi und M, die ich nach Hanscn's Formen:

m' sin M — — zc sin 7 cos ((? + /„)
?»'cosiW' =: « — zt'siuÄ- sin (A'+/J

Oealvschrifteu der mathem.-uaturw. Cl. XLIX. Bd. Abhaudlungea von Niclitniitgliedern.

186

Ell

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I r. Ilarrdtl.

bestimmte, nicht mit dem Wertli 1^ soiidcni mit dem Wertb t berechnet werden. Da aber das Correctionsglied :

^-cos(il/+ilf') sehr klein ist — cos(M+il/') ist fast gleich 0, da sich die Winkel Mund M nahe zu 90°

oder 270° ergänzen — so kommt der Einfluss, den die Nichtberücksichtigung dieses Correctionsbetragcs auf
die Ililfsgrössen /;/' und M' ausübt, nicht in Betracht.

Die Grösse w, welche auch zur Berechnung der grösstcu Phase nöthig ist, erhält mau endlich nach:

7 — vj cos q + t sin (7 sin G

cos M '

wo das Zeichen stets so zu wählen ist, dass m positiv wird.

Ich stelle nun die Formeln so zusammen, wie sie der Reihe nach zur Anwendung kommen:

15

15 .

« = 1, sin/,-

n

L — l + ij.-\-h,

•// cos k

K = K-

a cos K'
*" v + am\K'

t, = r + L

m' sin M ^ — /l sin (j cos ( G + 1^^
m'cosM = »— xfsin/i- sin(7v + /^)

15

m

^„H — ^sinjV {'/ — -o cos(/ + i sin(/ sin(G + ^„)
7 — >/ cos// + f sin// sin( G-hf)

cosJlf'

Die in der folgenden Tafel angeführten Angaben der Zeit und Grösse der gr. Phase der in Ninive sicht-
baren Sonnenfinsternisse sind ebenfalls durch doppelte Rechnung geprüft.

Die Buchstaben f, r, rt bedeuten: total, ringförmig, ringförmig total. Das Sternchen bei dem Numero der
Finsterniss weist darauf hin, dass die grösste Pliase, weil bereits .unter dem Horizont, nicht mehr sichtbar
war, wol aber der Anfang oder beziehungsweise das Ende der Finsterniss.

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— 947 Mai 21

— 946 November 3

— 93S Jiiui II

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— 925 März 20

— 880 Ajiril 30

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877 März I

— 922 Jänner 17

— 910 Juni I

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— S71 Aj)nl 21

— S70 Ajn'il . 1 1

^909 November ... 14

Aafi'0)io)ni:>cJie Beiträge zur as'^ifriticlieji Cliroiiulugie.

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-849 Februar 19

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-840 December 8

-841 Septembei' .... 14

-837 Jäuiier 7

-831 März 2

-830 August 14

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-Sio Mai 12

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-770 September ... 15

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-709 Mai 4

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-757 September . . . . lö

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-689 Juli 17

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-668 Mai 26

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-607 Februar 13

-606 Juli 29

-602 Mai 17

-59Ö Juli 8

-595 Juni 27

-593 Mai 8

-580 December 13

-584 Mai 28

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21 30
18 30

0 57
21 42

1 lO

7 4
21 43

35

14

I

59

7-8

5-Ö

1-9
III

8-9

II '3

4-7
0-6
2-5
40

9^4
I '9
07

8-8

3'3

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9 9

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6-3

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1 1 o

7-7

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9-7

II-4

7-2

8-5
O-o
7-8
91
5-5

T
II

8-

8'
8'

lu denselben Zeitraum, iür den ich oben die Sonncutinsteniisse uiitersueht habe, lallen 3ü4 in Ninive
sichtbare Mondesfinsternisse, von denen 175 total, 189 partiell sind. Zur Rechnung; dieser Finsternisse bediente
ich mich der „Tafeln zur IJercchiiuns' der Mondesfinsternisse von Oiuxilzcr XVII. Band der Denkschriften
der Akademie der Wissenschaften in Wien". Auch hier ist die Zeit der grössten Thase in wahrer Greeuvvicher
Zeit angesetzt und bei der Angabe der Jahre die astroiiomisclie Zähhveise verstanden.

188

Eduard v. llmrdtl.
Moudesfliisteniisse vom Jahr — 95(> bis —575.

Nr.

Juliaiiischer Kaleiuler

Jiilianisclier Tag

(iiösse der
i?i-. Phase

Halbi! Dauer
der Taitial.

Halbe Dauer
der Total.

3*
4
5
6

7
8

9
lo

1 1

12*

13*
14
15
i6*

17
iS

19

20

22=^

23

24

25

26

27
28
29
30*

31
32

33*
34
35
36*

37
3S
39*
40

41
42
43
44
45
46

47

48

49
50

51
52
53
54
55
56
57
58
59
üo

— 957 November. 20
— 956 November. 9

—955 Mai 5

— 954 April 24

— 952 März 4

— 952 August . . .27
— 949 December.2i

— 948 Juni 16

— 94S Deceraber.io
—947 Juni 5

—945 April 15

- 944 April 4

— 941 Juli 28

—940 Juli 17

—938 Mai 27

— 938 November. 20.

16'

10,

5

28

-937 Mai

-937 November.

-933 März

-933 August .

-931 Juli 8

-930 Juni 27

-930 December .21
-927 Üctober . . .20

-926 April 15

-926 Oetober ... 9
-925 Se])tember 28
-923 Februar . . 12
-922 Februar ... i
-922 Juli 28

-921 December. 12

-920 Juni 6

-920 December . i

Mai 20,

November. 20

91t) März 26

91Ö September 18

915 März 15

915 September 7
914 August . . .28

-919
-919

-913 Juli 19,

-912 Jänner .... 12

-909 Oetober . . .31

-908 Oetober ... 19

-907 April 15

-905 Februar ... 23

-905 August ... 1 9

-904 Februar ... 12

-902 December . 12

-900 Mai 26,

898 April 6

898 September 29
894 Jänner. . . .22

894 Juli 19

893 Jänner. .12

893 Juli 8

89 1 Mai 17

886 August ... 19
8S4 Jänner .... 3
883 Juni 17

16''
8

10

9
12

13

S

29"
12
4
32
40
42
24

15
10
.^6

9 42

I 20

15 49

7
6

17

8

5
4
7

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27
I

47
43
52
57

6 37

14 50
10 57

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9 lo

5 51

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3 48

3 37

15 4

10 12

12 40

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15 23

14
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4

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16

15
29

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24
16

4

>3 55

6 10

14 43

13 49

9 37

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7 57
II 14

10 39

9 12

28
28
lö
41
45
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39
45

37'
372
372
372
373
373
374
374
375
375

376
376
377
377
37S
378
3 78
379
3S0
380

381
381
3S1

iS2
382
383
383
383
384
384

385
385
385
3S5
385
386
386
386
387
387

387
387
389
389
389
390
390
390
391
392

393
393
394
394
394
395
395
397
398

S37.6S7
192.342
369. oSö
723-439
403-403
579.529
790. 55S
968.344
145 .090
322.442

001 .404
356.060

506.659
921.310
Ü00.269
777.709
954.366
132.238
343-203
5'9-33i

199.276
553.622
730.456
704.277
941.382
118.244

472

975

'■9-

158
'5'

506.628

008.425
185.528
303 078
539.641

717-594
574-062
750.198
928.517
104. 67S
459 n^

784. 5S0
961.257
349-613
703.570
881.401
560 . 464

739-331
914. 40S
948.444
479-335

159-383
335-543
546.603
724. i8ö
901. 178
078.237

757-323
677.273
179.152
710. 198

- 67°

+ 18°

+ 57

-M5

+ 149

— 13

+ 22

— 10

+ 35

-l-io

— 10

— 14

— 21

+23

+ 56

-23

+ 14S

-1-22

+ -21

21

+ 35

— 7

+ 158

— 2

— 57

— 21

-+- 68

—23

+ S3

— 19

— 75

-1-18

+ 48

-16

+ 94

-M5

-f-107

-Hio

+ 61

— 13

+ 81

— 24

— 44

—24

-+- 16

+23

+ 80

+ 8

-t- 42

— 7

+ 92

-1- 3

-f- 60

— I

+ 123

-I-16

-(-120

-1-20

- 46

— 21

-t- 27

H-22

— IG

— 21

-hI52

-I-2I

— 51

— 19

— 34

-+-18

-I-15S

-+- I

+ 49

- 5

— 6

+ 6

— 64

- 9

+ 59

— 13

— 29

— 23

4- 87

+23

— 41

-l-ll

- 27

-H 7

-+- 36

— 7

-(- 13

+ 13

-+- 61

— 16

-H 12

-4-i6

-+- 20

-(-22

+ 59

-19

+ 42

3

— 15

— I

— 37

-t-22

+ 113

— 23

-H16

-^-23

+ 95

—24

-1- 64

-17

-H 82

— 16

+ 125

-t-24

-H109

—23

1'4
6-0

9-5

3'2

6-7
3'i
5'9
i'3
3-9
5-7

2-3
6-5
7-0

2-0

5-5

5-9

15

3-7

2-4

6-1

9'4
3 '9
3 '4
8-2

5-2
0-7

5 '4
2 6

3-5

i'4

3-4

10- I

21 - I

13-7
144

11-9

13-6

i6-8

1-8

1-7

>5'4
13-0

i5'5

31

14-4

14O

134
16-0

8-5

13-0

II-5
151

15-9
143
II -4

7-6
15-4

I '4
17-5

oi'39'"
47
50
58
48
42
47

52

44
14

40
48
49
39
13
47

52

43
40

47

58
50
44
43
50
40

28

4Ö
41

43

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0 59

1 47
I 52

1 43
1 45
I 39
I 43
I 49
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0 43

1 4O
I 42
I 46

0 57
' 45
■ 45

1 43
I 47
I 28

I 42

I 37
I 46
I 47
1 45
I 37
I 24
I 4O

0 39

1 49

"41"
49

43
23
40

51
30

42
44

40

51

28

14
41

49
30
26
47
37

38
17
27

41
5t

28

3i

28

43

38

22
38

33
34
2O

41

3Ö
40

ii

38
45

Astronomische Betträge zur assyrischen Chronologie.

189

Nr.

Juli.-inischer Kalemlcn-

Jiiliaiiisclier Tajr

Grösse der
i;-r. riiasc

Halbe Dauer

iln- Parrial.

Halbe Dauer

der Tdfal.

üi — S83 Deeember . 12, 7''i3"

62* — SS2 Juni 0, 15 13

63* —879 April ü, 3 3

04 — 879 September 2g, 9 20

65 — S76 Juli 2g, II 27

66 — 875 Jänner. .. .22, 12 50

67 — 875 Juli 18, 12 20

68* —873 Mai 28, 15 4

69 — 873 November. 22, 6 52

70 — 872 Mai 17, 751

71 — 872 November. 10, 5 57

72 —871 Oetober . . .30, 9 o

73* — Süg März 17, i 19

74* — 8ü8 März 5, 2 4

75* — S6S August... 29, 14 34

76 —867 Februar ... 22, 8 38

77 — 806 Jänner... 13, 12 20

78 — 805 Jänner .... 3, 4 o

79 —805 Juni 28, II 33

80 — 8Ö5 Deeember. 23. 15 37

81 — 802 Oetober .. .21, 5 54

82 — Süi April 17, 10 0

83 —860 April 5, 12 50

84 — Süo September 29, 9 48

85 — S5S Februar ... 1 3, o 50
80 — S50 Jänner ... .23, 13 20
87 — S55 Deeember. 2, 14 53

88* — S54 Mai 28, 15 2g

89 — S54 November. 21, 14 o

go — S53 Mai 18, 7 51

91 — 851 März 27, 8

92 — 85 1 September 20, 9

93 — 850 März 16, 9

94 — 847 Jänner ... 13, 12

95 —84b Juni 28, 5

96 , —844 Mai 8, 7

97 — S44 Oetober .. .31, 14

98 — 843 Oetober .. .21, 2 54

99 — 840 Februar ... 24, 14 5g
100 — 83g Februar ... 13, 5 47

loi —838 Juli 29. 4 18

102 — 837 Juni 19, 5 40

103* — S35 Jl!" 28, 15 3

104* — 835 November. 21, i 51

105* j— 833 April 7, 15 4

106* j — 832 März 26, lö 34

107 — 832 September 20, u 58

loS — 831 September 9, 13 38

109 — S30 Februar... 4, 5 28

110 — 828 Jänner. ... 14, 8 14

111 —828 Juli 8, 13 8

112* — 82Ü Mai 19, 1438

113 — 825 November, i, 11 41

114 — 824 Oetober. .. 21,

115 — 822 August... 31,
iiö — 821 Februar.. 24,

117 — 821 August... 20,

1 18 — 820 Februar. .14.

119 — 820 August .. . 8,

120 —819 Juni 29.

21

7

24

33

43
29
28

2Ö

12
4
4

6 19

1398

8SS.301

1399

064.634

1400

099.127

1400

275-389

I40I

309-477

I40I

486.535

I40I

603.514

1402

342.628

1402

520.286

1402

697.327

1402

874.248

1403

228.375

1403

731-055

1404

085.086

1404

202.607

1404

439 ■ 3Ö0

1404

704.514

1405

I 19. 167

1405

295-481

I40S

473-1)51

1406

506.246

I40Ü

684.421

1407

038.539

1407

215.408

1407

717-289

1408

420.560

1409

105.020

140g

2S2.638

140g

459-583

140g

t>37-327

I4I0

310.348

I4I0

493-380

I4I0

070.392

I4II

704-523

1412

235-238

I4I2

915-3J2

141 3

091 .603

1413

446 .121

1414

302.624

1414

657.241

141S

188.179

1415

513-236

1416

222.627

1410

399-077

141O

goi.628

1417

255. ogo

1417

433-290

1417

787.568

1417

935.228

141S

644.343

141S

S20.547

1419

500.610

1420

031.487

1420

386.143

1421

065.383

1421

242.586

1421

419-378

1421

597-263

1421

773-480

1422

098.543

72°
48

134
40

8
13

5
46
77
62

- 91

- 45

-lOO

-14g

- 39

- 50

- 5
-120

- 7

- 54

- 91

- 28

- 14

- 33

- 76
■ 22

- 43

- 50

- 30

- 02

- 55

- 43

- 39

- 8

- 94

- 68

■ 37
-136

- 45

- 93

-116

- 95

- 46
152

- 46

- 68

- 76

- 24

- 98

- 57

- 17

- 40

- 5
-129

- 42

- 31

- 44

- 85

- 7

- 15

+22"

— 21

— 3

— 21
-1-22

—23

— 19
+ 18

— 17

+ 15
-hii

-+- 5
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— 13

+ 13
-1-23
+24

— 24
+24

+ 8

— 7

— 3

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H-IO
-+-22
-+-21

— 19
+ 18

— 17

+ I

— 4
+ 5
+ 23
—24

— 14

-13
-16

-19
-18

- 4

- 9
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-12
- 8
-12

-13
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1 44

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I 49

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46

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23

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7
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40

28

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20
51
41

17

43

37
27

47
25
41

48

4S

36

48

43

45

190

Eduard r. Uacidtl.

Nr.

Jiiliauisclier Kniender

Julianischer Tiiff

Grösse der
irr. Phase

Halbe Dauer
<ler Partial.

Halbe Dauer
der Total.

121
122

123
124
125*

I2Ü*

127

128

129

130*

131
132

133
134
135
136

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138
139
140

141
142

143

144

145*
146

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148

149
150*

151
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180

-S19 Deeeiuber . 24

-818 .Juni 19

-818 December . 13
-S17 December . 2
-S15 üetober. . . 12
-814 October. . . i

-813 März 27

-811 Februar. . . 4

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-810 Jäuu(U' ... .24

-S09 .Juli 9

-80S November. 22

-807 ]\Ia,i. 19

-S06 Mai 8,

-806 Nov<'mlier. i

-804 Marx 17,

-S02 Februar. . . 24,
-Soo Jänner. ... 4,

-Soo Juni 29

-800 December . 2 5

-799 Juni 19,

-797 Aiiril . . .
-797 October.
-796 April . . .
-795 Ai)ril . . .
-795 October.
-793 Februar.

Juli ....

Juni ....

-792
-790
-790 December

Mai

November
Mai

März

März ...
uui

December

Mai

-778 April • . . .
-778 October. .

-789
-789
-78S
-780

-785
-781
-781
-779

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. 10.

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23
18

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24
9

28

-777 October. . . 12
-774 Februar. . . 15
-774 August ... 10

-773 -liili. 31

-772 Juni 20

-772 December . 14
-771 December. 3,
-770 November, 23
-708 October. . . 2
-767 März 28

-707 September 21

-760 iMärz 18

-766 .September 10,
-704 Jäuner. . . .26,

-764 Juli 2

-763 Jänner. ... 14
-702 Jänner. ... 3
-701 November 14
-700 November. 2
-759 April 28

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1422

453 254

1422

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1422

984-429

1423

604. 105

1424

018.639

1424

195-330

1424

875-230

1425

051.309

1425

229. 68:

1425

760.544

I420

262.316

1426

440.270

1426

794.360

1426

971.510

1427

473 285

1428

I 82.009

1428

861.608

1429

038 5Ö5

1429

215.586

1429

393.226

1430

072. 180

1430

249.471

1430

426.274

1430

7S0.643

1430

958.224

I43I

460.573

I43I

991 . iSi

1432

671.199

1432

847-674

1433

025.545

1433

202.224

1433

379.625

1434

05 8. 608

1434

413-265

1435

978.529

143Ö

155.128

143Ö

657.448

1437

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1437

189.344

1437

543-558

1438

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1438

576.509

1438

931.192

1439

256.493

1439

433-030

1439

7S7.593

1440

142.248

1440

821 349

1440

998.599

1441

175-319

1441

353-278

1441

529.444

1442

032 247

1442

209.201

1442

386.244

1442

740.479

1443

420.206

1443

774 6'J8

1443

951.263

-1- 79°

-f-24

-1- 89

-23

-1- 89

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+ 142

+ 5

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+ 97

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3t

51

48

38
49

48

50

50

26
44

47

Astronomisshe Beiträge zur assyrischen Chronologie.

191

Nr.

Juliaiiisclier Kalender

Julianischer Tag

Grösse der
srr. Phase

Halbe Dauer
der Partial.

Halbe Dauer
der Total.

iSi
182

184

■85
1S6*

187
18S
189*
190*

191

192

193
194

195*

196

197*

19S*

199

200

201

202*

203

204*

205

206

207

208

209

210*

211
212

213
214
215
21Ö
217
218
219
220

221^

222*

223

224

225

22Ü
227
228
229
230

232

235
23Ö

237
23S
239
240'

-757 März 9, 5''57™

-757 September i, 7 52

-756 Februar. .26, ib o

-755 August . . .10, 12 35

-754 December.25, 9 13

-752 Juui 9, 3 33

-752 December . 3, 14 47

-750 April 19, 551

-750 October, . . 13, 16 15

-749 October... 2, 15 26

-748 März 28, 14 36

-74Ü Februar. .5, 13 35

-746 August ... I, 12 40

-745 Jänuer. . .25, 13 44

-745 Juli 22, 3 22

-743 November. 24, 13 47

-742 Mai 20. 3 I

-742 November. 14, i 16

-741 Mai 9, 13 36

-741 November. 3, 5 31

-739 März 19, 13 52

-739 September 11, 15 50

-73S September i, 4 31

-735 Jänuer 4, 17 41

-735 J"li •• f^ 44

-735 December.25, 7 47

-734 Juui 20, 9 52

-732 April 29, 13 21

-731 April 19, s 59

-730 October. .2, 2 56

-727 August ... I, 10 54

-72Ö Jänuer. .25, 4 o

-724 Mai 30, 9 42

-724 November. 24, 9 43

-723 November. 13, 13 38

-720 JIävz 19, 7 o

-720 September 11, 12 53

-719 März 8, 919

-719 September i, 54

-717 Jänner. ... 16, 2 10

-717 Juli

-716 Jänuer. .
-716 December
-714 November

-713 April

-713 October . .
-712 April . . . .
-712 October . .
-710 Februar.
-710 August . ,

.12,

■ 5.
•25,
• 4,
•30,
■24,
•19,

I 2

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23
32
21
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26

7 53

II iS

19
45

*

-709 Februar. .. 16, 5 11

-70S Februar. . . 5, 12 14

-707 December. 10, 7 13

-705 Mai 31, 4 5

-703 April 10, 510

-703 October ... 3, 8 33

-702 März 30, 14 14

-701 September 12, 13 28

-699 Jänner. ... 26, 10 31

-698 Jänuer. ... 16, i 9

1444
1444
1444

1445
1446
1446
1446
1447
1447
1447

1447
144S
144S
1448
1449

1450
1450

«450
1450
1450

145 1
1451
1451
1452
1452
1452
1453
1453
1454
1454

'455
1455
145Ü
1456

1457
1458

'458
1458
1458

1459

631.24S
807.328
985.667
510.524
018.384
550.148
727.616
229 .244
40Ö.677
760.643

93S.608
617. 56Ö
794.528
971.572
149.140
605.574
182.126
300.053

53Ö.567
714.230

216. 57S
392.664
747-188

Ö03.737
7S1.304
958.324

135-4"
814.550
169.249
700. 122

734-454
911. 107
767.404

945-405
299 508
15Ü.292

332-537
510. 388
687.21 1
189.090

1459

3Ü6.64I

1459

543.689

1459

898.348

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577 -34»^

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754-508

1460

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788.180

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1462

142.216

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496.510

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176.301

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707.170

1464

387-215

1404

5Ö3-35"

1464

741-593

1465

272.561

1405

774-438

1406

129.048

- 91°

- 62

- 60

- 9

- 42

-127

- 42

- 92

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- 51

- 39

- 24

- 10

- 26

-130

- 27

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-161

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- 97

- 28

- 59

-112

- 85

- 49

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- 32

- 20

- 90

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-120

- 35

- 34
■ 24

- 75

- 13

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49

192

Ed iKird V. Ilarrd 1 1.

Nr.

T

X

5

Grösse der
gr. Phase

Halbem Daner
der I'artial.

Halbe Dauer
der 'l'otal.

Jiili.-inisclier KiileiiiUn-

.hili.-inisclier Tag

241*

— 097 Jänner. ... 5,

17I' 0'"

1400

4S3. 708

- 75°

+24°

3*9

ih 3m

242

— 69Ö Mai 21,

4 3

1460

9S5.169

■4-119

— 18

3-0

0 56

_

243*

— Ö96 Novombor. 14,

16 16

1467

162. 67S

- 64

+ 16

7-7

I 24

244

— 695 November. 3,

>5 .;2

14(17

516.647

— 53

+ 12

21 - 1

I 52

o''5i"'

245

—694 April 30,

13 iS

14O7

694.554

— 19

— 12

9'i

I 30

246

— 692 März 9,

II 31

1468

373.480

+ 7

-H 8

7-8

I 25

247

— 692 Seiitember 2,

12 56

146S

550-539

— 14

— II

9-1

I 30

—

248

— 691 Februar. . .26,

12 43

146S

727 530

— 1 1

+ 12

19-8

I 51

50

249*

— 691 Augnst . . .23,

2 20

1468

905.097

+ 145

-IS

20 -2

I 51

50

250

— 690 Angnst ... 12,

9 9

1469

259.381

+ 43

— 18

2-8

0 54

251

— 689 Deeember.27,

15 56

1469

761 .664

— 59

+24

II • I

• 36

252

— 688 Deceraber .16,

2 31

1470

I lü. 105

+•142

+23

i8-4

I 50

48

253

— 687 Jnni :o,

II 15

1470

292.469

-h II

— 22

15-3

I 46

37

254

— 687 Deceraber . 5,

5 47

1470

470,241

+ 93

+ 22

2-2

0 48

255

— 685 April 21,

12 37

1470

972 526

— 9

— 9

6-4

I 18

—

256

— 6S4 October ... 3,

6 9

1471

503.256

+ 88

+ I

22-4

I 52

52

257

— 6S1 Angnst ... 3,

5 7

1472

537-213

+ 103

— 20

9-2

I 31

258

— 680 Jäuner. . . .27,

9 45

1472

714.406

+ 34

+21

19-3

I 5°

49

259

— bSo .Tnh 22,

5 27

1472

8gi .227

+ 98

— 2";

i8-7

I 50

48

200*

— 679 .Täiiner. . . . lO,

I 36

1473

069.067

+ 156

+ 23

4-2

I 5

261

— 679 .Tnli II,

8 34

1473

245-357

+ 51

— 24

2-7

0 53

_

262

— O78 Juni I,

II 25

1473

570.476

+ 9

— 20

13

0 38

—

263

— 677 Mai •'2,

4 36

1473

925.192

+ 111

— iS

17-9

I 50

47

264

— 676 November. 3,

4 12

1474

456-175

-M17

-I-I2

6-4

I 18

265

— 673 September 3,

10 15

1475

4qo.427

-h 20

I I

21' I

I 52

51

266

— 672 Febrn.-ir. . . 27,

4 22

1475

667.182

+ 114

+ 11

5'3

I 12

267*

— Ö70 Jänner. ... 7,

0 32

1476

347 022

+ 172

+ 23

io'9

I 36

—

2ÜS

— 670 Juli 2,

6 14

1476

523.260

+ 80

— 24

1 1 • I

I 36

—

269

—670 December.27,

10 47

1470

701 .449

+ 18

+ 24

i8-2

I SO

47

270

— 669 Deceraber. lö,

13 44

1477

055-572

— 26

+ 23

2-3

0 49

271

— 668 Jniii 10,

1 1 21

1477

232.473

+ 10

— 22

1-3

0 38

_

272*

—667 October. . .25,

I 36

1477

734 067

-(-156

+ 9

6-5

I 18

—

273

— 666 April 21,

4 16

1477

912 178

+ 116

— 9

21 ■ I

I 52

51

274

— 666 October. . . 14,

>4 53

1478

0SS.620

— 43

+ 5

22-5

I 52

52

275

— 665 April 10,

6 I

1478

260

251

+ 90

— 5

6-2

I 17

276

— 665 October ... 4,

t> 43

1478

443

280

+ 79

+ I

7-9

I 25

—

277

— Ö63 Februar. .17,

3 4

1478

945

12S

+ 134

+ 15

9-5

I 31

—

278

— 663 August ... 13,

12 9

1479

122

506

- 2

— 18

7-Ö

I 24

—

279

— 6Ü2 August ... 2,

12 lü

1479

476

5"

— 4

— 20

20-3

I 51

50

280

— 661 .Jänner. ... 27,

10 1 1

1479

654

424

+ 27

+ 21

4-3

I 6

281

— 660 Dcceniber . 6,

8 iS

1480

333.34^)

+ 55

+ 22

7'4

I 23

_

282

— 659 Juni I,

12 I

1480

501 .500

0

— 20

16 2

I 47

42

283

— 659 November. 25,

7 47

1480

687.324

+ "3

+ 19

21-4

I 53

51

284*

— 658 Mai 22,

3 50

1480

S65.160

+ 122

— 18

12-6

I 41

17

285

— 658 November. 14,

12 45

148 1

041-531

— 1 1

+ 16

6 6

I 19

28Ü

— 656 September 24,

5 57

14S1

721.248

+ 91

— 3

7-7

I 24

—

287

— 655 März 20,

3 30

1481

898. 146

+ 127

+ 4

22-0

I 52

52

288

— 655 September 13.

iS 22

14S2

075.765

— 95

— 7

21-8

i 52

52

289

— 654 März 9,

12 17

14S2

252.512

— 4

+ 8

6-4

I 18

290

—652 Jänner. ... 18,

9 0

14S2

932-375

+ 45

+22

IO-7

I 35

—

291

— 652 Juli 12,

13 19

1483

108.555

— 20

— 24

9-5

I 31

292*

— 649 Mai 13,

3 3

14S4

143-127

+ 134

— lö

31

0 57

—

293

— 649 November. 5,

10 II

1484

319.424

+ 27

+ 13

0-7

I 19

—

294

—648 Mai I,

II 2

1484

497.460

+ 14

— 12

19-4

I 50

49

29s

—647 April 20,

12 39

1484

851.527

— 10

— 9

7-8

I 25

296*

— 647 October. . . 14,

15 30

14S5

028.046

— 53

+ 5

79

I 25

—

297

—645 Februar. . .28,

1 1 10

14S5

530-465

H- 13

+ 12

88

I 29

—

298

—644 Februar. , . iS,

2 40

14S5

885. HI

■4-140

-I-15

20-6

I 52

51

299

— 642 December . 17,

16 1 1

i486

918.674

- 63

+23

7-2

I 22

300

—641 Deceraber. 6,

1

15 50

14S7

272

.6öo

- 58

+22

21-3

I 52

5«

Astronomische Beiträge zur assyrischen Chronologie.

193

Nr.

T

X

ö

Grösse der
gr. Phase

Halbe Dauer
der Partial.

Halbe Dauer
der Total.

Julianischer Kalender

Julianischer Tag

301

— 640 Juni I ,

io''58"'

14S7

450-457

+ 15°

—20°

14-2

ii'44'"

0I132"'

3<-2

—638 April II,

8 8

14S8

129-339

+ 58

— 5

3-3

0 58

303

— 63S Oetober ... 5,

14 37

1488

306.60g

— 39

4- 2

7'4

I 23

304

— 637 März .... .31,

10 42

14S8

483 . 44Ö

+ 19

— I

20 -6

I 52

51

305*

—637 September 25,

2 31

1488

661 . 105

+ 142

— 2

22-2

I 52

52

306

— 636 September 13,

7 34

1489

015-315

+ 67

— 7

5-6

I 14

307*

— 63.1. Jänner. . . .28,

17 27

1489

517-727

— 82

4-21

I0'2

I 34

—

308

— 633 Jänner. ... 18,

3 12

1489

S72.133

+ 132

4-22

iS-S

I 50

49

309

—633 Juli 13,

9 24

1490

048.392

+ 39

—24

20-0

I 51

5°

310

— 632 Jänner. ... 7,

5 33

1490

220. 231

+ 97

+23

2-7

0 53

311

—631 Mai 23,

10 8

1490

728.422

-+- 28

— 18

f4

0 39

_

3J2

— 030 November. 5,

8 33

1491

259-35t'

■+- 52

+ 13

22-2

I 52

52

313*

— 627 September 4,

2 4S

1492

293.117

+ 138

— II

5-3

I 12

314

— 626 Februar. . .28,

II 0

1492

470. 45S

+ 15

4-12

21-5

I 52

51

315*

— 626 August ... 24,

2 31

1492

647-105

4-142

— 15

21 -2

I 52

51

3i<'

— 625 Februar. . . iS,

2 5ü

1492

825. 122

+ 136

-f-i5

5"5

' 13

317

—625 August . . .13,

6 17

1493

CGI . 262

-1- 80

— 18

6-9

I 20

31S*

— 623 Juni 23,

2 48

1493

681. 117

+ 138

—23

13-2

I 42

24

319

— 622 December . 6,

5 46

1494

212.240

-f- 94

4-22

6-0

I 19

320*

— 620 April 21,

14 50

1494

714.618

— 42

— 9

1-6

0 42

—

321

—619 Oetober. . . 5,

10 48

1495

246.450

+ 18

4- 2

22-0

I 52

52

322

— 61S März 31,

3 45

«495

423.156

-)-I24

— I

8-9

1 30

323*

—618 September 24,

15 19

1495

600. Ü38

- 50

— 3

6-1

I 16

324*

— 616 Februar. . . 9,

I 48

1496

103.075

+153

4-17

9-6

I 32

325*

—616 August ... 3,

4 0

1496

279.167

+ 120

— 20

6-7

I 19

326

— 615 Jänner. . . .28,

II 10

149Ö

457. 4Ö5

+ 13

4-21

ig-i

I 50

49

327

— 614 Jänner. ... 17,

13 19

1496

Sil. 555

— 20

4-22

2-9

° 55

328

—614 Juli 13,

9 55

1496

988.413

+ 31

—24

5-6

I 14

329

— 613 November. 27,

3 32

1497

490.147

+127

4-20

6-9

1 20

330*

— öl 2 November. 15,

17 27

1497

844-727

— 82

4-16

22-2

I 52

52

33^

— 611 November. 5,

9 9

1498

199.381

-H 43

-I-13

8-4

I 28

_

332

— 609 März 22,

3 4

1498

701 . 128

-I-134

-1- 3

6-7

I 19

—

333

—609 September 15,

10 21

1498

878.431

+ 25

— 6

4-3

I 6

—

334

— 608 September 3,

9 56

1499

232.414

+ 31

— II

20 -2

I 51

50

335

— 607 Februar. . 28,

II 5

1499

410.462

4- 14

4-12

6-3

I 17

336

— 607 August ... 23,

'3 54

1499

586.579

— 28

-15

8-0

I 26

—

337

—605 Jänner. ... 8,

7 55

1500

0S9.330

-+- 61

4-23

6-9

I 20

338

— 605 Juli 4,

10 16

1500

266.428

-t- 26

—24

11-5

I 37

339

— Ö05 December. 28,

8 I

1500

443-334

-r 60

4-24

21-5

I 52

51

340

— Ö04 December. 16.

14 14

1500

797-593

— 33

4-23

6-8

I 20

341

—602 Oetober. . .27,

8 0

1501

477-333

4- Uo

4-ic

6-8

I 20

_

342

— 600 April 10,

II 20

1502

008.472

4- 10

- 5

10-5

I 34

—

343

— 598 Februar. .19,

10 0

1502

688. 417

4- 30

4-14

8-9

I 30

—

344

—598 August ... 14,

II 3Ö

1502

864.483

4- 6

— 17

5-6

I 14

—

345

— 595 December . 7,

12 9

1504

075.506

— 2

4-22

6-9

I 20

—

340

—594 Juni 3,

6 46

1504

253. 2S2

4- 78

— 21

13-8

I 44

29

347

—594 November. 27,

2 18

1504

430.096

4-145

4-20

22-3

I 52

52

348

— 593 Mai 23,

7 55

1504

607.330

4- 61

—19

13-6

I 43

28

349

—591 April I,

10 51

1505

286.452

4- 17

— 2

5-8

I 15

—

350

— 590 März 22,

3 14

1505

041-135

4-131

4- 2

22 -o

I 52

52

351

— 587 Jänner. ... 18,

15 3Ö

1506

674.650

— 54

4-21

6-5

I 18

352

— 586 Jänner. ... 7,

15 59

1507

028.666

— 60

4-22

21-7

I 52

52

353

—586 Juli 4,

8 21

1507

206.348

+ 55

—24

i8-6

I 50

48

354*

—584 November. 6,

16 47

1508

062.699

- 72

+ 15

6-7

I 19

355

-583 Mai 2,

7 48

1508

239-325

+ 63

— 13

i6-i

I 47

41

35Ö

—583 Oetober ... 27,

3 33

1508

417.148

4-127

4-11

21-3

1 52

51

357

—582 Oetober ... 16,

7 ö

1508

771-296

+ 73

-H 7

6-8

I 20

358

—579 Februar. . .19,

2 50

1509

628.118

4-138

+ 13

20-5

I 51

50

359

—579 August ... 14,

8 47

1509

804. 36Ö

4- 48

— 17

21-7

I 52

52

360

—578 Februar. . , 8,

4 32

1509

982.189

4-II2

4-17

4-2

I 5

361

—576 Juni 13,

13 13

1510

838.551

— 18

— 22

12-0

I 39

—

302

—576 December . 7,

II 8

1511

015.464

-H 13

4-22

22-2

I 52

52

363*

— 575 Juni 2.

14 17

1511

192.595

— 34

—21

I5'4

I 46

38

364

— 575 November. 27,

2 44

1511

370.114

+ 139

4-20

8-1

I 26

Denlischriften der mathem.-naturw.Cl. AbhaudluDgen von Nichtmitgliedern. XLIX. Bd.

194 Eduard V. Ha er dti.

Ich glaube, dass dem Historiker die Ziisammenstellnug' Stämmtlicher in Niiiive sichtbarer Sonnen und
Mondcstinsternisse sein- erwünscht sein werden.

Wie die Abhandlung „The astronomy and astrology of the Babylonians" Vol. III aus den „Transactions
of Society of Biblical Archeology-' beweist, besitzen wir eine grosse Zahl AuCzeiehunngen von Finsternissen.
Diese zu identificiren ist dem Astronomen unmöglich, weil niihere Zeitangaben, die einzigen Anhalts-
punkte für ihn, l)ci ihrer Erwähnung fehlen. Dem Historiker stehen aber noch andere Mittel zur Verfügung.
Ich erwähne zum Beispiel die Ähnlichkeit der llandscln-ift, die Hinks in einer Abhandlung, auf die ich weiter
unten zurückkommen werde, für die Zeit des Stattfindens der dort beliandelten Moudesfinsteruisse als sehr
gewichtigen Grund anführt. Da aus dem obigen Verzeichniss zu ersehen ist, dass im Durchschnitt nur wenige
Sonnenfinsternisse innerhalb Decennieu siclitbar sind — Finsternisse, welche die Grösse von 5 ' nicht erreichen,
können als nicht sichtbar für das unbewaffnete Auge betrachtet werden — dürfte es dem Historiker, wenn ihm
(las Verzeichniss sämmtlichcr Finsternisse vorliegt, möglich sein aus der näherungsweisen Zeitangabe, die er
sich vielleiclit ans Nebenumständen versehaften kann, einige von den in der oben erwähnten Abhandlung
angezeigten Finsternissen zu identificiren.

So viel mir bekannt, wurden von sämratlichen in meinem Verzeichniss angeführten Sonnenfinsternissen
nur zwei mit Finsternissen, deren in assyriselien Quellen Erwähnung geschieht, als identisch erkannt.

Erstere fällt auf das Datum —762 Juni 14. Die grösste Phase fand statt um 23'' 4'" und die Grösse
betrug 11-2 Zoll. Auf diese von Oppolzer in seiner Abhandlung „Sonnenfinsternisse des Schu-king" Berlin
1880 besprochenen Finsterniss werde ich weiter unten noch zurückkommen. Die näheren Umstände der zweiten
Sonnenfinsterniss wurden von Beruhard Schwarz in der Abhandlung „Astronomisclie Untersuchungen über
eine von Archilochus und eine in einer assyriselien Inschrift erwähnte Sonnenfinsterniss" Wien 1883 mitgetheilt.
Die assyrische Inschrift, welche zur Aufsuchung dieser Finsterniss veranlasste, setze ich nach Oppert's
Übersetzung hier an :

„Im Monat Tamuz fand eine Finsterniss des Herrn des Tages, des Gott des Lichtes statt. Die unter-
gehende'Sonne Hess davon ab zu leuchten, und wie diese Hess auch ich dnvon ab, während

Tage den Krieg gegen Elam zu beginnen".

Schwarz kommt zu dem Resultat, dass die Finsterniss, auf die sich diese Inschrift bezieht, nur die
Finsterniss^des Jahres — 660 Juni 27. gewesen sein könne. Auf seine nähere Begründung gehe ich nicht ein
und erwähne nur, dass sich in meinem Verzeichniss der Sonnenfinsternisse keine andere vorfindet, welche die
gestellten Bedingungen auch erfüllt.

Von den obenmitgetheilten assyrischen Mondesfiusternisseu wurden vier bereits früher ausführlich bearbeitet.
Die Finsterniss Nr. 216: —720 März 19, Nr. 218: —719 März 8, Nr. 219: —719 Sept. 1,^

Nr. 320*: —620 April 21,
und zwar von Zech in der Preisschrift „Astronomische Untersuchungen über die Mondesfinsternisse des
Amagest" Leipzig 1851 und Oppolzer im Anhang I zu den „Syzygieu Tafeln" Leipzig 1881.

Zum Scbluss will ich zwei Fragen erörtern, von denen die erste sich auf Sonnenfinsternisse, die zweile
auf Moudesfinsternisse beziehen, deren in alten Quellen Erwähnung geschieht.

Da die erste Frage in einem Schreiben des Herrn Dr. Krall mir vorliegt, will ich dessen lulialt hier
wiedergeben, damit das Wesentliche der Frage klar wird.

„Noch nicht entschieden ist die Frage, ob die in den assyrischen Annalen erwähnte Sonnenfinsterniss:
— Im Monat Sivan erlitt die Sonne eine Verfinsterung —

in das Jahr 762 oder in das Jahr 808 vor Christi gehört.

Mit dieser Frage steht eine andere in Verbindung. Der assyrische König Azumazirhabal erwähnt in

seinen Annalen: „Beim Beginn meiner Herrschaft, in meinem ersten Jahre (geschah es) dass die Sonne,

die Herrscherin der Welt, ihren günstigen Schatten auf mich warf, und ich voller Majestät auf den Thron

mich setzte."

Azurnazirhabal's Regierungsantritt kann wegen der Unsicherheit, in welches Jahr die erst erwähnte

Finsterniss fällt, zweifach angesetzt werden. Geht man vom Jahr —762 aus, so fällt sein erstes

Astronomische Beiträge zur assyrischen Chronologie.

1)5

Regierungsjalir in das Jahr 1883 vor Christi. Geht man dagegen vom Jahr — 808 aus, so fiele es in das
Jahr — 929. Da die Bemerkung „Bei Beginn meiner Herrschaft" auf die Zeit hinweist, die von dem Tag
der Thronbesteigung bis auf dem 1. Nisan des ersten Jahres des Königs verstrichen war, liäme im ersten
Fall das Jahr — 884, im zweiten Fall das Jahr — 930 in Betracht.

Berücksichtigt man ferner, dass in der Zählung der Eponjanen immerhin einzelne kleine Irrthümer
vorliegen können, so erweitern sich die Fragen dahin:

War innerhalb der Jahre —885 bis — 882 und — 933 bis —928 in Ninive eine Sonnenfinsterniss
sichtbar."
Ans der oben angeführten Tafel entnehme ich folgende vier Sonnenfinsternisse:

Nr.

D :i t u lu

Zeit

Grösse

Nr.

D a t u m

Zeit

Grösse

lO

49

— 9JI Jäuuer 26

— 808 Juni 12

3H5'"
23 6

ii'S

8-0

24
65

— 8S4 Juli 12

— 762 Juni 14

2''34'"
23 4

9-8

II -2

• Da für die Jahre —808 und — 762 der Jahresanfang beziehungsweise auf den 16. und 18. März fällt, der
Sivan aber der dritte Monat ist, genügen beide Finsternisse (Nr. 49 und 65) der Bedingung, die durch den
Wortlaut der ersten Stelle des Textes gestellt ist.

Was ferner die Frage betrifft, ob die Finsterniss Nr. 49 oder 65 diejenige ist, deren in der erstmit-
getheilten Stelle Erwähnung geschieht, so fällt die Möglichkeit der präcisen Beantwortung dieser Frage aus
der Bedingung, dass der ersten Finsterniss eine zweite in einer Zwischenzeit von beiläufig 122 Jahren
entsprechen soll, ebenfalls weg, da diese Bedingung in beiden Combinationen erfüllt wird. Eine Entscheidung
vom astronomischen Staudpunkt ist also nicht möglich.

In dem zweiten Beispiel will ich von der oben gegebenen Zusammenstellung der in Ninive sichtbaren
Mondesfinsternisse Gebrauch machen. Einer an die Akademie der Wissenschaften in Berlin gerichteten Mit-
theilung des Herrn Edw. Hinks entnehme ich folgende englische Übersetzung einer assyrischen Inschrift:
„In the month Nisan, of the fourteenth day, the moon was eclipsed"

„In the month Tisri, the moon was eclipsed... The moouemerged from the shadow, whilethe sun was rising".
„In the month Sabat the moon was eclipsed."

Ich füge hier noch ein, dass Herr Hinks für die Zeit des Stattfindens dieser Finsternisse nur den Zeitraum
von — 750 bis — 650 berücksichtigt, und ich daraus zu entnehmen glaube, dass weitere Grenzen zu ziehen, aus
historischen Gründen nicht zulässig ist.

Bevor ich aber auf die Besprechung der in Betracht kommenden Finsternisse übergehe, will ich noch
Einiges über den assyrischen Kalender vorausschicken, das ich ebenfalls der Mittheilung des Herrn Dr. Jakob
Krall verdanke.

Wie schon oben bemerkt, war für die assyrische Zeitrechnung der Mond massgebend, und es ist auch
erwiesen, dass sie durch Schaltung das Zurückbleiben des Mondjahres gegen das Sonnenjahr ausgegliclien
haben. In welcher Weise diese Schaltung aber vor sich ging, darüber fehlen bestimmte Angaben.

Ferner ist noch zu erwähnen, dass der Anfang des assyrischen Jahres wahrscheinlich auf den ersten
Neumond vor dem Frühlingsäquinoctium fiel, der Beginn der einzelnen Monate wohl durch das erste Sichtbar-
werden der Mondsichel bedingt war.

Da der Nisan der Name des ersten, Tisri des 7. und Sabat des 11. Monats ist, also alle innerhalb eines
Jahres fallen, ferner in der Tafel über die Jahre keine Angaben gemacht sind, schien es mir eine llaupt-
bedingung zu sein, dass diese Finsternisse innerhalb eines Zeitraumes fallen, der mit Zuhilfenahme von Schalt-
monaten — ohne diese ist die Möglichkeit überhaupt ausgeschlossen — die Grenzen eines assyrischen Jahres
nicht übersclireitet. Da die Anwendung eines Schaltmonates aber ein Zufrüheiutreten des Jahresanfangs
voraussetzt, ja überhaupt nur in diesem Fall das Einschalten eines Monates erlaubt sein kann, so ist die
Annahme, dass der Jahresanfang vor dem, dem Frühlingsäquinoctium vorangehenden Neumond eintrat, erlaubt,
und es hat keine Bedenken die Bedingung fallen zu lassen, die die erste Textstelle festsetzt, dass nämlich die

7*

196

Eduard r. Tlnerdtl. Astrotwnmche. Bdfräf/e siir (.assyrischen Chronologie.

erste Fiusterniss am 21. Tay' nach dein Neumoiul stattfand, welcher der FrUhlings-Tag- und Nachtgleicbe
vorangeht.

Berücksichtigt man ferner, dass gesagt wird, die zweite Finsterniss habe an einem Morgen des Monates
Tisri stattgefunden, so können zwei Zusammenstellungen von Finsternissen in Betracht kommen, nämlich
Nr. 192, 193, 194 und Nr. 246, 247, 248, die ich hier nochmals ansetze:

Nr.

D a t u lu

Ulir

Dauer

Nr.

1) a t u m

Uhr

Dauer

192
193
194

— 746 Februar 5

— 746 August I

— 745 Jäunor 25

,31.35.,,

12 40

13 44

3>.,2...
3 20
3 40

246
247
248

— 692 März 9

— 692 September . . 2
— 691 Februar 2O

111,3,,.,
12 56
12 43

2I.501.1
3 0
3 42

Da die Zwischenzeit der Finsternisse von Nr. 193 und 194, ferner von Nr. 247 und 248 ungefähr
180 Tage beträgt, könnte diesen beiden Combiuationen nur durch die Annahme genügt werden, dass nach dem
siebenten Monat zwei Schaltmonate eingefügt worden waren.

Abgesehen daN on, dass eine solche Schaltung nach dem, was ich über die assyrische Zeitrechnung ^ei
den Historikern erwähnt fand, unzulässig ist, fällt die Möglichkeit einer solchen Annahme auch deshalb weg,
da der Zweck, das Sonnenjahr mit dem Mondjahr in Einklang zu bringen, durch eine solche Schaltung im Jahr
— 746 und — 692 nicht erreicht worden wäre.

Die drei Finsternisse können also in einem Jahre nicht stattgefunden haben.

In derselben Mittheilung, deren ich die Übersetzungen der Quellenstellen entnommen habe, vertritt Hinks
die Ansicht, dass diese Finsternisse identisch seien mit den Mondfinsternissen:

—701 März 20

— 701 Sept. 13
—699 Jan. 27

Der zweiten und dritten Finsterniss entsprechen Nr. 238 und 239 meines Verzeichnisses. Die Fiusterniss
vom Jahre — 701 März 19 war aber ihrem ganzen Verlauf nach in Ninive nicht sichtbar, findet sich daher in
der Zusammenstellung nicht vor. Die näheren Daten dieser Finsterniss lauten:

Juliauisclier Tag

Grösse

Halbe Dauer
der Partial.

-701 März ig, i6'>2i

1465 095.081

-U5

+4

o''s6"

Unter Beibehaltung der Finsternisse Nr. 238 und Nr. 239 käme für die erste Finsterniss: Nr. 237 die
Mondfinsterniss des Jahres — 702 März 30 in Betracht.

Da der erste Neumond vor der Frühlings-Tag- und Nachtgleiche des Jahres — 702 auf den 15. März fällt,
so fällt die Finsterniss der Zeitangabe der Inschrift nahe entsprechend, in die Mitte des Monates Nisan.

Stellt man die drei Finsternisse zusammen, so ergibt sich nun die Combination:

—702 März 30, 14M4'"
—701 Sept. 12, 13 28
—699 Jan. 26, 10 31.

Aus dem Verzeichniss der Mondfinsternisse kann man ersehen, dass innerhalb des Zeitraumes von — 750
bis — 650 mehrere Combiuationen allen den gestellten Bedingungen genügen und ebenfalls keinen längeren
Zeitraum als zwei oder drei Jahre in Anspruch nehmen.

Der Zeitpunkt, wann obige Finsternisse stattfanden, lässt sich also nicht fixireu, wenn mau hier davon
absieht, dass vielleicht eine oder die andere Combination aus historischen Gründen grössere Wahrscheinlichkeit
für sich hat.

-^^oo^o->^-

197

SÜDJAPANISCHE ANNELIDEN.

BEARBEITET VON

1)« EMIL V. MARENZELLEB.

IL

AMPHARETEA, TEßEBELLACEA , SABELLACEA, SERPULACEA.

VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 3. .lULI 1884-.

m Folgenden vyird der Rest des im I. Theile ' erwähnten Materiales beschrieben. Ausserdem wurden ein-

I

schlägige Arten einer umfangreichen Sammlung entnommen, welche von Dr. Ludwig Döderlein in Japan
gemacht und mir iu entgegenkommender Weise im Vorjahre zur Bearbeitung überlassen wurde. Die gänz-
liche Duichführung der Untersuchung dieser dritten japanischen Anneliden-Sammlung dürfte noch einige Zeit
in Anspruch nehmen. Dann erst will ich die in Aussicht gestellten allgemeinen Betrachtungen über diesen
Theil der Fauna Japan's geben.

Von den 25 hier angeführten Arten sind 16 neu. Die neun anderen Arten waren bereits von anderen

Punkten bekannt, so Amaye (turicula Mgrn., PotamUla Torelli Mgrn. aus den europäischen Meeren, Amphi-

'frite vigintipes, Ehbg. Gr., Leprea Ehrenhenji Gr., Pista fasciata Ehbg. Gr. aus dem Rothen Meere, Hijpsi-

comus phaeotaenia Schmarda von Ceylon, Amphideis angustifoVia Gr., Loimia Montagui Gr., Nicolea (jracili-

hranchis Gr. von den Philippinen.

Fam. AMPHARETEA Mgrn.

AMPHICTEIS (Gr. p. p.) Char. emend. Mgrn.

Eine Ampharetea aus der Sammlung Dr. Döderlcin's hat alle charakteristischen Eigenschaften vorste-
hender Gattung, allein die Fühlfäden sind nicht glatt, sondern gefiedert. Dies sah auch Haswell ' an der
von ihm beschriebenen Amphicteis foliosa, und Wiren* hat gleichfalls von seiner Amphideis Veya angegeben,

1 Diese Deukschrifteii, XLI. Bd. 1879, p. 109 ff.

2 Ou some new Australiiui tubicoloiis Aauelids. Proc. of tlic Linneau Suc. of Ncw-Smith- Wales. Vol. VII. 1883, p. C.'iG.

3 Chaetopoder fran sibii-iska isliatVet och Beringsbaf insamlado iiuder Vega-Exped. 1878—79 dir Vega-Exped. Vcteii-
skaplige Jaktagclser, Bd. 11, Stockholm 1883. p. 415.

198 Emil V. Marenzeller.

dass die Fühlfäden mit kurzen Cilien besetzt seien. Es ist somit zur Gattungsdiagnose Malmgren's hinzu-
zusetzen : Fühlfäden auch gefiedert.

Amphicteis angustifolia.

Taf. II, Fig. 5.

1878. Sahellide^ aiii/iislifo!ki (inibe E. Aiimihitn Simperhiia. M6ui. de l'Acad. imp. de scieiices de .St. retersboiirg, VII. ser.
Tom. XXV, Nr. S, p. 20G, Taf. XII, Fig. 1.

Wenn man Gruhe's Beschreibung seiner Sabellides angiisiifolia aufmerksam durchgeht und die Abbil-
dung ansieht, wird man leicht inne, dass man es mit &yx\tx Ämp]iideis-.k\i, freilich ohne Nackenpaleen und
mit gefiederten Fühlfäden, zu thun hat. Um diese Art unterzubringen, veränderte Grube die Gattung /Sa6e/-
//(te, mit deren bisher bekannten Arten sie nicht die geringste Verwandtschaft besitzt.

Die Gesammtheit der Merkmale aber, welche Grube für seine S. amjustifoUn anführt, finde ich an jener
Amphideis, welche mir zur Erweiterung dieser Gattung Veranlassung gab, und ich kann deshalb nur anneh-
men, dass in dem Exemplare Grübe's die kurzen, zarten Nackenpaleen abgestossen waren oder dass sie
übersehen wurden.

Zwei Exemplare lagen mir vor. Das eine weniger gut conservirte, schlaffe Exemplar war '27'"'" lang und
^mm breit. Hievon entfallen H""" auf die 15 Segmente mit Borstenwülsten, welche auf das letzte Haarborsten
tragende Segment folgen. Das Aftersegment fehlte. Das zweite stark contrahirte Exemplar war .33""" lang,
3.5mm ijj.eit;. Der gleiche Leibesabschnitt wie oben, aber mit Aftersegment, war 14""" lang. Die Analcirren
sind nicht viel länger als das vorhergehende Segment. Es sind somit, einschliesslich das Aftersegment, 36
Segmente vorhanden, wenn man die Segmente so auffasst, wie Malmgren. Nach Grube wären es 34, da
er die drei ersten Segmente in eines zusammenzieht. Die 7 — 9 Paleen sind an der Basis O-OS"*"" breit, ragen
Q.ggmm ^Qj. yjjj^ laufen in eine nicht sehr lange, feine, etwas nach der Seite gebogene Spitze aus. Die breite ^
sten Haarborsten sind an der grössteu Ausbauchung der Schneide 0-07""' breit (Fig. 5). Daneben nur halb so
breite, aber mit ebenso breitem Schafte. Der Saum der Haarborsten ist nicht schmal, wie Grube angibt, und
fein aber scharf gerieft. Die 4 — 5 zähuigen Hakenborsten (Fig. 5^) zeigen in Obensicht die Zähne einzeln
hintereinander folgend.

Gefunden von Dr. Döderlein bei Kagoshima in e. 10 — 20 Faden Tiefe und bei Ivachigama (Tokio-Bai)
in 10—20 Faden Tiefe in sandigem Boden.

AtiuKje auficula.

Tat'. II, Fig. 6.
186,5. Malragreu J. Nordislia Hat's- Amiulat. Öt'vcrs. af li.ougl. Vctensliap. Akad. Förh. p. ,371, Taf. XXV, Fig. 72.

Der Unterschied zwischen einer japanischen Amage, die mir in einem Exemplare vorlag, und der
Beschreibung und Abbildung der europäischen Amage auricula — einen unmittelbaren Vergleich konnte ich
leider nicht machen — beschränkt sich auf abweichende Verhältnisse der ersten Segmente und eine andere
Form des vor dem ersten Zahne liegenden Randes der Hakenborsten. Die Amage auricula stellt sich als eine
unter den anderen Amphareteen ziemlich isolirte Form dar. Wenn eine solche scharf ausgeprägte Form in
einem Meere auftritt, wo bereits das Vorhandensein europäischer Arten nachgewiesen wurde, und ich an ihr
die wesentlichen Merkmale alle erhalten sehe, kann ich mich nicht zur Aufstellung einer eigenen Art auf Grund
von Diiferenzen entschliessen, die sich durch, theils in der Beschaffenheit der Objecte, theils in der Wieder-
gabe des Beobachteten liegende, Zufälligkeiten erklären lassen.

Das Exemplar war 12""" lang, 4""" breit. Die grösste Breite trat in der Höhe des 7. Segmentes auf Der
Vorderrand des Kopflappens ist leicht ausgerandet, der vor den kleinen Erhebungen auf seiner oberen Fläche
liegende Theil kürzer als aus der Abbildung Malmgren's zu ersehen; dadurch erscheint auch der hinter
jenem gelegene Theil im Verhältniss länger. Am Rücken ist das erste Segment sehr kurz, nur 0-07'"" lang,
ventrahviirts verlängert es sich nocli um O-ir,"'"! zu einem dicken Lappen, der den Mund wie eine Unterlippe

Sadjapanhche Anneliden. 199

bedeckt. Der Lsippeu wird nach hinten von dem übrigen Theile des Segmentes durcli eine Fnrche abgesetzt.
Die Grenzen der folgenden Segmente sind am EUcken niclit deutlich. Ventral ist das zweite 0-()9""", das
dritte wie das vierte 0-05'"'", das fünfte 0-09"""; das sechste doppelt so lang als das vorhergehende. Die
hinteren Kiemen, welche etwas länger sind als die vorderen, reichen zurückgelegt bis zum 8. Borstenbündel.
Unter den Haarborsten kann man sehr lange, mit breiterem dünnem und glattem Saume und wenig vorragende
und nur halb so breite unterscheiden. Die Stärke des Schaftes ist bei beiden gleich. Die Breite des ersteren
(Fig. 6) beträgt 'an der Stelle, wo der Saum auftritt, ü-015""". An den Hakenborsten (Fig. ÜÄ) sehe ich in
Obensicht fünf Reihen von Zähnchen. In den zwei erstenReihen steht nur je ein Zähnchen, in der drittenReihe
zwei, in der vierten zwei oder auch daneben nocli ein drittes kleines und ganz vorn finden sich drei kleinste
Zähncheu.

Die acht letzten Segmente ohne Haarborstenbündel waren 4'"'" lang.

Gefunden von Dr. Dödcrlein bei Eiiü-sima in lUO Faden Tiefe.

Fam. TEREBELLACEA ' Mgrn.

Aniphitrite vkjiiitipes.

Taf. I, Fig. I.

1869. Ti'rclieHa fif/infipcs Ehbg. Gr.; Grube Ed., Beschreibung neuer oil. wenig lirivannter, von Hcnn Elirenberg gesa.ni
melter Anneliden des Rothen Meeres. Monatsbcr. d. !■;. pieiiss. Aliad. d. Wiss. Jahrg. 18G9, p. 509. l'.erlin 1870.

Körper der stark contrahirtenThiere 30'"'" lang, wovon 10'"'" auf den mit Haarborstenbündeln versehenen
Vorderleib entfallen, hinter den Kiemen massig angeschwollen, an der breitesten Stelle 4""" breit, nach
hinten sich sehr langsam verschniälernd. 70—74 Segmente. Farbe gegenwärtig granröthlich.

Der Kopflappen bildet seitlich einen derben, relativ hohen, stumptkonischen Fortsatz, der die Basis der
Fühlfäden bedeckt.

Die Fühlfäden farblos, einzelne leicht bräunlich angehaucht, breit, tiefrinnig, sehr laug. Die längsten
sind länger als die Hälfte des Körpers.

An den Seiten des 2. und 3. Segmentes kurze, wuLstartigc Flankenlappen.

Die drei PaarKienieu dichotomisch \ erzweigt. Die erste Kieme am buschigsten, die dritte in einem Falle
auf nur wenige Endfäden reducirt. Der Stamm kurz. Er nimmt im Verlaufe eine horizontale Lage an, gibt
zumeist von seinem oberen Umfange ein paar stärkere Äste ab und ist besonders an seinem Ende reichlicher
ästig. Die Aste häufig nur einmal gegabelt oder zweimal, selten dreimal. Die Gabelung ist nicht regelmässig,
indem oft ein Ast 2. oder 3. Ordnung uugegabelt bleibt, oder indem au einem der Endfäden in geringer Ent-
fernung des Endes eine neue Gabelung stattfindet. Der Habitus erinnert an den der Amphitrite (jroenlundica
Mgrn. Die Aste 2. und 3. Ordnung sehr kurz, die Endfäden in einem Exemplare bis 2'"'" laug, in einem
zweiten etwa halb so lang,

13 Bauchschilder. Deutlich abgegrenzt ist erst das zweite, welches dem dritten Segmeute cntsi>riclit.
Die ersten drei oder vier sind unbedeutend breiter als die folgenden, aber kürzer. Die übrigen zeichnen sich
durch eine nahezu gleiche Breite aus, so dass selbst das letzte um ein Weniges schmäler ist, als die vorher-
gehenden. Die Bauchschilder sind, die ersten ausgenommen, durchschnittlich 2^/^ — 3 mal so breit als lang.
Ihre Form ist quadratisch.

Nach aussen und unten von der 2. Kieme ist eine lange Papille bemerkbar, eine etwas kürzere steht
nach unten von dem ersten Borstenhöcker. Kleine und schmale finden sich nach unten und aussen des 2., 3.,
4., 5. Borstenhöckers, zwischen diesen und den Borstenwülsten. Es sind somit im Ganzen sechs Papillen
vorhanden.

22 Borstenhöcker mit Säge-Haarborsten (Fig. 1).

1 Vergl. die Systematik der Terebellen (üiihf. Amjjhitn'faa Mgru.) betreffend: Marcnzeller E.V., Zur Kenntuiss der
adriatischen Anneliden. III. Beitrag. LXXXIX. Bd d. Sitzungsb. d. k. Akad. d. Wiss. in Wien. Jahrg. 1884, p. 151— -211.

200 Emil V. Marenzeller.

Die Borsteuwülste sind vorn etw;i l',.^mal so iiocli als die Bauelischilder breit und neluncn ))is zum
k't/.tcn llaarborstenbUndel an Höbe langsam ab. Nacb diesem, also vom 2G. Segmente ab, werden sie nicbt
so autfallend und i)lntzlich niedriger als bei anderen Amphitrite- Arten, erbeben sich aucli nicht um in Flöss-
chen überzugehen. Sie folgen dicht aufeinander. Erst etwa vom 4.5. Segmente an könnte man von kurzen Flöss-
chcu sprechen. Cliitinöse Stützborsten. Die Hakenborsten (Fig. lÄ) vom 11. Segmente an in doppelter Stel-
lung, halb gegenständig, in allen Borstenwülsten und Flösschen, die allerletzten ausgenommen. Die Spitze
des grossen Zahnes ist stumpf.

Die TereheUa vigintipes Ehbg. Gr. kenne ich aus, allerdings nicht sehr gut conservirten, Exemplaren
von Tor am Itothen Meere. Ich fand an ihr die Char.nktere der Gattung Amphitiite Mgrn., weiters dieselbe
eigentbündiche Anordnung der Hakenborsten wie in der japanischen Form. Es ist also die Angabe Grube's,
die Hakenborsten stünden in den Segmenten ohne Haarborstenbündel einreihig, richtig zu stellen und dieser
Gegensatz in der Beschreibung Grube's mit meiner vorstehenden fällt. Dagegen sehe auch ich an den Exem-
plaren aus dem Rothen Meere nur 20 Borstenbündel, während an den drei japanischen Thieren 22 auftraten.
Weitere beraerkenswerthe Unterschiede fielen mir jedoch nicht auf, und deshalb nahm ich die Identität mit
der AmpJiitrite vighitipes Ehbg. Gr. an. Es ist übrigens bei Amphitrite-ArtQn ein Schwanken um ein oder
zwei Haarborstenbündel nichts Ungewöhnliches. So gibt Quatrefages ' bei seiner TereheUa modesta aus der
üai von Jervis, einer Ampliitrife, die vielleiclit hieher gehört, 21, 22 Haarborstenbündel an. Grube'' fand bei
einer Nachuntersuchung der Originalexemplare 22, dann 24 und in einem dritten Exemplare auf einer Seite
20, auf der anderen 23. Verwandt mit A. okjiiitipes ist A. nibra Risso aus dem Mittelmeere wegen der glei-
chen Gruppirung der Hakeuborsten, allein durch den abweichenden Bau der Kiemen und Hakenborsten, sowie
die Zahl der Öffnungen der Segmentalorgane (14) leicht zu unterscheiden. Sie hat gewöhnlich 23 Haarborsten-
bündel, selten 22 oder 24.

Gefunden an der Oslküste der Insel Eno-sima (Dr. Koerbl); an Eno-sima während der Ebbe, im Hafen
von Kagoshima (20 — 30 Faden). (Dr. Döderlein.)

Amphitrite ramosissima n. sp.

T;if. I, Fig. 2.

Körper 170™'" lang, wovon 46""" auf den mit Haarborsteubündeln versehenen Theil entfallen, vorn hoch,
hinter den Kiemen etwas angeschwollen, im 7. Segmente 15""", im 20. 8""" breit, sodann langsam nach hinten
sich verschmälernd. 1 10 Segmente. Farbe gegenwärtig grauröthlich.

Der Kopf läppen bildet seitlich 2'""' lange und 3""" hohe, abgerundete Läppchen.

Die Fühltaden nur zum Theil erhalten, farblos, tiefrinnig. Die längsten (40""") reichen zurückgelegt bis
in das 12. Segment.

Das 2. und 3. Segment tragen seitlich einen niederen, vorspringenden Lappen.

Drei Paar dichotomisch verzweigte, sehr buschige Kiemen. Die erste ist die am reichsten verzweigte, die
zweite und dritte sind untereinander nahezu gleich gross. Der Stamm ist stark, aber sehr kurz. Es entstehen
gleich ober der Basis nach hinten und innen seitliche Aste, die sich nicht wie bei anderen Arten sofort mehr
nnnder regelmässig dichotomisch verzweigen, sondern meist wieder Aste zweiter Ordnung ansetzen und diese
erst theilen sich in typischer Weise (bis 4 mal). Dadurch entsteht ein auffallender Reichthnm an Asten und
Zweigen und die Kieme geht stark in die Breite. Die Zweige sind bis zur nächsten Gabelung sehr kurz, so
dass es nicht selten den Anschein hat, als stünden die Fäden an einem Zweigende gehäuft. Die Höhe der
Kiemen beträgt 5 — 6™"', die Länge der Endfäden nur 2""". Die Verästelung der Kiemen ähnelt sehr der von
Anipliitrite Graiß Mgrn., nur ist sie noch reicher und die Endgabeln sind viel kürzer. An einem kleinen
unvollständigen Exemplare, das bei 22""" Länge 44 Segmente hatte, war der Stamm der Kieme bald ober

1 Hist. nat. d. Annel6s, Tom. II, 1865, p. 365.
-- Bemerkimgen über Auuelidou des l'miser Museuiiis. Areh. f. N;iturg. 36. Jahrg. 1870, p. 325.

Südjapanische Anneliden. 201

der Basis mit Ästen besetzt. Diese nieht oft (höclisteus 3 mal) und nicht gleiclimässig dichotomiscli verzweigt.
Zweige bis zur näclisten Gabelung länger als hei dem grossen Exemplare, Endgabeln ungleich, im Verhält-
nisse kurz.

13 Bauchschilder. Das erste, deutlicher abgegrenzte, im 3. Segmente liegende ist quadratisch, schmäler
als- die folgenden. An diesen sind die äusseren Enden zugespitzt, nicht abgestutzt wie bei anderen Ämpkitrite-
Arten. An dem 9. Bauchschilde nimmt die Breite ab. Im 12. beträgt sie etwas mehr als die Hälfte des
7. Bauehschildes.

Nach aussen und unter der 2. Kieme, sowie nach aussen und unter den acht ersten Borstenhöckern, zwi-
schen diesen und dem dorsalen Ende der Borstenwülste eine kleine Papille; somit neun derartige Papillen im
Ganzen.

17 Borstenhöcker mit Säge-Haarborsten. (Fig. 2.)

Die ersten Borsteuwülste sind so hoch (7-5'"'") als die Bauchschilder. Der dem letzten Haarborstenbündcl
entsprechende Borstenwulst (20. Segment) ist 5""" hoch. Von hier an nehmen die Borstenwülste nur allmälig
an Höhe ab (3""" hoch im 24. Segmente) und gehen in Flösschen über, welche anfangs in grösseren Zwischen-
räumen, gegen das Ende zu immer gedrängter folgen. Am 80. Segmente war das Flösschen l-25'"'° hoch.
Chitinöse Stützborsten. Die Hakenborsten (Fig. 2Ä) vom 11. — 20. Segmeute in doppelter Stellung, halb gegen-
ständig.

Gesammelt von Dr. A. v. Roretz; das kleine, unvollständige Exemplar wurde an Eno-sima in einer
Tiefe von 129 Faden Tiefe von Dr. Döderlein gefunden.

Lepren Ehrenbergi.

Taf. I, Fig. 3.

1869. Terehi-Jh( Ehreiihcri/i Grube E., Beselireibiingen ueuer od. weuig bekannter, von Herrn Ehvenberg gesammelter Anne
liden des rothen Meeres. Monats, d. k. preuss. Akad. d. Wiss. Jahrg. 1869, p. öU. Berlin 1870.

Körper 20 und 27""° lang mit 87 und 118 Segmenten. Das grössere Exemplar vorn 3-5""° breit, hoch-
rückig. Im letzten Drittel verjüngt sich der Leib autfallend bis auf einen Durchmesser von 1""". Das kleinere
Individuum war vorn 1-5""" breit, von gleichem Habitus.

Die Fühlfäden weiss, verhältnissmässig lang, ziemlich fest haftend.

Zahlreiche Augenpunkte.

Keine Lappen an den ersten Segmenten.

An beiden Exemplaren ist die dritte Kieme die grösste. An dem grösseren ist rechts die erste Kieme
grösser wie links, die zweite kleiner wie die erste, die dritte sowie die erste. Links sind die 1. und 2. Kieme
gleich gross, die 3. ist die grösste, namentlich lang und auch länger als die dritte rechts. Das dritte Paar
steht viel höher den Rücken hinauf als die zwei anderen. Der Bau der Kiemen (Fig. 3) ähnlich dem der
Leprea lapidaria L. An dem Stamme sitzen theils direct Fäden, theils mit Fäden verschiedener Länge besetzte
Zweige. Die Kieme hat die Tendenz sich in die Höhe zu entwickeln, die Seitenzweige aber bleiben zurück;
die Gestalt wird also eine mehr pyrauiidenförinige.

13 Bauchschilder, das 1. dem 2. Segmente entsprechend angenommen. Die ersten sind sehr kurz, dann
nimmt die Lauge immer mehr zu. Im 4. — 7. Bauchschilde beträgt die Breite das Vierfache der Länge. Auch
(las letzte Bauchschild ist noch etwas breiter als laug. An den Schildern kann man iu Folge des Auftretens
zweier seichter Furchen ein breiteres Mittelfeld und zwei schmälere Seitenfelder unterscheiden.

Unter der zweiten Kieme eine ansehnliche Papille; weitere, zweifelsohne vorhandene, waren wegen der
sogleich zu erwähnenden Hypodermis-Bildungen nicht sicher zu stellen.

Die Bündel von Haarborsten gehen vom 4. Segmente nicht bis an das Ende des Leibes. An dem grös-
seren Exemplare fehlten sie den 40 letzten Segmenten in einer Ausdehnung von 7""", an dem kleineren den
letzten 26 Segmenten in einer Ausdehnung von 3'"'". Vom 2. bis zum 13. Segmente weissliche, polsterartige
Hypodermis-Bildungen, welche sich veutralwärts ausdehnen und hinter dem oberen Ende des Borstenwulstes

Denkschrifteu der mathem.-uaturw. Gl. XLlX.Bd. Abhandluugeu von Nichtmitgliedern. ftH

2(i2 Emil V. Marenzeller.

noch etwas nach abwärts reichen. Ihre Hauptmasse liegt stets hinter der Geraden, welche mau vom Borsten-
bündel zum Borstenwulst ziehen würde. Sie werden nach hinten unbedeutender in dem Masse, als die dorso-
ventrale Ausdehnung- der Borstenwülste zuzunehmen beginnt, was wieder mit der Breitenabnahme der Bauch -
.Schilder im Zusammenhange steht. Hinter dem letzten Bauchsehilde sind noch zwei Segmente mit derartigen,
aber bereits sehr reducirten, seitlichen Polstern versehen.

Die Haarborsten (Fig. 3 Ä) zeigen die für Leprea charakteristische Form. Sie sind sehr zart, zarter als
bei Leprea lapidaria L. Es besteht auch hier ein Gegensatz zwischen den Borsten der vorderen und hinteren
Segmente, er tritt jedoch nicht so scharf hervor wie bei jener Art, da der Schaft der vorderen Haarborsten
nur ganz unmerklich gesäumt ist, und beruht hauptsächlich in der Grösse des zerschlitzten Endanhauges der
hinteren Borsten, den ich jedoch nie gleich von seinem Ursprünge an spiralig eingerollt sah. Die Segmente
zu bestimmen, wo der Wechsel stattfindet, war ich nicht im Stande, da die Objecte hiezu nicht geeignet
waren. In den Borstenbündelu der vorderen Segmente ist der Anhang der längereu Borsten mehr gerade, der
der kürzeren mehr gekniet.

Die Hakeuborsten (Fig. 3 B) vom 11. Segmente an in doppelter Stellung an allen folgenden, die letzten
25 Segmente (des grösseren Exemplares) ausgenommen.

In den beiden hier berücksichtigten Exemplaren waren die Hakeuborsten leicht halbgegenständig, in
einem später untersuchten, aus der Sammlung des Dr. Döderlein, aber ganz gegenständig, zweireihig
angeordnet. An den Hakenborsten der ersten Borstenwttlste sind die vor den Zähnchen z-weiter Oninung
liegenilen kleinsten Zähnchen zahlreicher als au den folgendeu und auch in der Seitenlage besser bemerkbar.
An den Hakenborsten etwa des 17. Segmentes unterscheidet man in Obensicht vor dem grossen Zahne nur
schwer drei Zähnchen neben einander, von denen der die Mitte einnehmende der längste und deutlichste ist,
während die seitlichen mehr herabgerückt sind, und vor diesen zwei Reihen zahlreicher kleinster. In Seiten-
sicht zeigen sich vor dem grossen Zahn ein kleineres Zähuchen und vor diesem noch etwa zwei kleinere dicht
ilh einander liegende. Ebenso ist auf der Fläche der Hakenborste selbst in der Nähe des Ursprunges des
grossen Zahnes ein kleines Zähnchen zu sehen. Die Hakenborsten <ier hintersten Borstenwülste sind um mehr
als ein Drittel kleiner, dicker, die Zähnchen sind derber und folgen, wie man der Seitenansicht entnehmen
kann, nicht so gedrängt raifeinander als bei den Hakeuborsten der vorderen Borstenwülste. Auch der grosse
Zahn ist massiver und die Hakenborste ist breiter in der Dimension von dem Grunde des Einschnittes unter
dem grossen Zahne zum Innenrande.

Die Terebella Ehrenberyi Grube 's aus dem Rothen Meere muss der Gattung Leprea untergestellt werden,
ebenso T. pterochaeta Schmarda vom Cap der guten Hoffnung, T. meyalonema Schmarda von Jamaika,
T. Huheirrata Gr. von St. Paul und Amphitrite Orotaiae Langerh. von den canarischen Inseln. Ich vereinige
die japanische Leprea mit der aus dem Rothen Meere unter einem Namen, weil bei dieser wie bei jener die
Borstenbündel nicht bis an das Ende des Körpers gehen, die Haarborstenbündel als schwach angegeben
werden und die Verhältnisse der Grösse der Kiemen, sowie der Länge des Körper.s zur Segmentzahl stimmen.
Leprea lapidaria L. hat Haarborstenbündel bis zum Aftersegment und derbere Haar- und Haken-Borsten. Die
ersteren differiren auch etwas in der Gestalt und der grösseren Stärke und geringeren Zahl der Zähnchen vor
dem grossen Zahne.

Gefunden von Dr. Koerbl an der Ostküste der Insel Eno-sima; ebenda bei Ebbe und in einer Tiefe von
100 Faden von Dr. Döderlein.

Fista fasciata.

Taf. I, Fig. 4

I8G9. Terehella fPhyzelia) fasciata Ehbg. Gr.; Grube E.. Beschioibuiigen neuer od. wenig bekannter, von Herrn Elirciiborg
gesammelter Anneliden des Rothen Meeres. Mouatsli. '1. k. preuss. Akad. d. Wiss. Jahrg. 1869, p. .il3. Berlin 187(i.

Ein vollständiges Exemplar von .58""" Länge und c. 3""" Breite hatte 131 Segmente, ein zweites, fast
ganz erlialtenes 118 Segmente bei 80'"'" Länge und 5""" Breite. Der Körper vorn gleieiibreit, nach hinten

StidjajKtnische Anneliden. 203

allniälig verschuiälert. Die Farbe ht lilas;s giaugelblich ; an den vordersten Segmenten .Spuren eines braunen
Pigmentes.

Der Kopflappen wenig entwickelt. Die Fühlercirren, so weit vorbanden, kurz.

Das Bnccalsegment erbebt sich seitlicb zu einem 2""'° hoben und 1-5""" langen Lappen, der den
Koptlappen überragt. Bei dem grösseren Exemplare betrugen die entsprechenden Masse 2-5°"" und 2""".
Der dadurch gebildete Kragen klalft in der Mittellinie des Kückens 2""" (2-5"""), des Bauches c. 1"""
(1-5""").

Die Flankenlappen des 2. Segmentes sehr kurz, sich bis auf die Bauchseite erstreckend und hier deut-
lich \ orspringend ; der des '6. Segmentes kaum ein Drittel so lang als die des ersten. Am Vorderrande des
4. Segmentes ein etwas unter dem Haarhorstenbiindel beginnender, in der Ausdehnung von vorn nach hinten
kurzer Kamm und beiläuüg halb so hohe, ähnliche, aber noch unbedeutendere Vorsprünge finden sich am 5.
und 6. Segmente. Sie beginnen hier etwas ober und vor dem unteren Ende des Borstenwulstes und erstrecken
sich bis gegen die Bauchschilder. Bei Pisia cristata 0. F. Müll, unserer Meere ist wohl noch am 4., nicht
aber am 5. und 6. Segmente die Andeutung eines Läppchens zu sehend Die Länge des \. Segmentes in der
Mitte der Bauchfläche ist so gross wie die des zweiten, hingegen ist das dritte nur halb so lang als dieses. Alle
drei sind so lang wie die drei folgenden Segmente zusammengenommen.

Von den vier Kiemen war bei zwei Exemplaren die erste links am meisten entwickelt. Deren Länge
betrug an S'""". Die Aste sind zahlreich, gehäuft. Eine spiralige Anordnung wie bei P. cristata 0. F. Müll.
ist nicht deutÜcii. Die Enden der Äste trachten eine Ebene zu erreichen: Die Gestalt der Kieme ist demnach
quastenförmig. Die Äste sind häufig (bis Smal) dichotomisch verzweigt, die Z^veige bis zur neuen Theilung
kurz, die Endgabeln sogar sehr kurz. Bei P. cridata 0. F. Müll, sind die Äste nicht so oft gegabelt (höch-
stens 5 mal), daher kürzer, aber die Zweige der Äste und die Endgabeln sind länger {4 — 5 mal länger als bei
P. fasciata).

L5 Bauciischilder, am zweiten Segmente beginnend. Die Schilder sind erst vom 7. Segmeute an seitlich
gut abgegrenzt, jedoch nie in dem Masse als bei P. cristata; auch sind sie breiter, weniger regelmässig qua-
dratisch. Am Rücken des 6. und 7. Segmentes etwas ober und hinter dem Borsteuhöcker eine deutliche
Papille.

17 HaarborstenbUudel. Die Haarborsten (Fig. 4) schlanker als bei P. cristata 0. F. Müll. Die Borsten-
wUlste an dem grösseren Exemplare anfangs 2""" hoch, im 20. Segmente nicht ganz 1 • 5""°. Die ersten Flöss-
chen kaum 1'""° hoch.

Die Hakenborsten vom IL — 20. Segmente in doppelter Stellung, abwechselnd, einreihig. Hinterer
Muskelfortsatz an den Hakenborsten der 16 ersten Borstenwülste (Fig. 4 A, 4: B), doch allmälig an Grösse
abnehmend. Das Hinterende des Aussenrandes abgerundet, das Spatium zwischen dem grossen Zahne und
dein gegenüber liegenden kleinen Fortsatze, dem Träger des Schutzpolsters gering, während bei P. cristata
0. F. Jlüll. das Hinterende des Aussenrandes in einen kurzen, gekrümmten oder knopfartigen Fortsatz aus-
geht und der Hinterrand mehr gerade verläuft; ferner ist der erwähnte Zwischenraum viel weiter, weil der
Zahn nicht so stark gekrümmt ist. Im Profile lässt sich hei P. fasdata Ehbg., Gr. vor dem grossen Zahne
noch eine Anzahl kleinerer erkennen, wie denn in der That bei Ansicht von oben vor dem grossen Zahne
zunächst meist vier grössere in einer regelmässigen Reihe stehende und dann noch je nach der Stellung der
Hakenborsten zwei oder mehr Reihen weniger regelmässig angeordneter Zähnchen zu erblicken sind. Die
Hakenborsten der Flösschen (^Fig. 4 C) zeigen gleichfalls eine von denen der P. cristata 0. F. Müll, etwas
abweichende Gestalt.

Chitinöse Stützborsten.

Gefunden von Dr. Koerbl an der Ostküste der Insel Eno-sima; bei Kochigame (Tokio-Bai) in einerTiefe
von 10—20 Faden von Dr. Döderlein.

Der Hauptcharakter dieser Art der Gattung Pista liegt in dem grossen Lappen zu Seiten des 1. Segmen-
tes, der den Kopf läppen überragt. Dadurch unterscheidet sie sich leicht von Pista cristata 0. F. Müll. Als

204 Emil V. Marenzeller.

weitere Arten dieser Grattung wurden von Grube Pista thnja ' (aus dem Museum Grodoftro y, uubeliannten
Th-spruugs) und Pista typha ^ von den Piiilippinen aufgestellt. Die kurze Beschreibung der ersteren ist Ver-
gleichen wenig dienlich, an der zweiten erwähnt Grube nichts von den Flankenlappeu des 1. Segmentes
und die Angaben über eine besondere Breite der Lajjpen am 2. und 3. Segmeute, sowie über den Bau der
Kiemen passen nicht auf die japanische Form. Ich erkenne aber in einer von Grube vergessenen Terebella,
in der Terebella fasciata Ehbg., Gr. aus dem Rothen Meere eine vierte Art der Gattung Pista und halte sie für
dieselbe wie die mir aus Japan vorliegende. Nur sind einige Eichtigstellungen in der Diagnose Grube's
nöthig. Grube sah die Flankenlappen, die ich für das 1., 2., 3., 4. Segment angebe, er verlegt sie jedoch
auf das 2., 3., 4., 5. Er führt ferner an, dass das erste Borstenbüudel am 5., der erste Borstenwulst am
6. Segmente auftrete, efne Behauptung, die sofort klar macht, dass auch die Lage der Lappen unrichtig
angegeben isl. Es gibt wohl Terebellen, bei welchen das erste Haarborstenbündel am 2. oder 3. Segmente
auftritt, bei allen übrigen bisher bekannten aber ist es das 4. Segment. Man rauss also annehmen, dass
Grube das 1. Segment für das 2. Segment angesehen lu s. f. Widerspruchsvoll, wenn auch thatsächlich
richtig, sind die Angaben über die Stellung der Kiemen am 2. und 3. Segmente und den Beginn der Flöss -
chen mit dem 21. Segmente; denn im Zusammenhange mit den früheren Bemerkungen müssten die Kiemen
am 1. und 2. Segmente stehen und die Flösschen am 22. beginnen. Für meine Auffassung der Terebella
/((sciata Ehbg. Gr. als Glied der Gattung Pista waren die Schilderung der Kiemen und besonders die
Erwähnung der zwei Papillen am 6. und 7. Segmente (bei Grube 7 und 8) ausschlaggebend, die ich bei
Pista cristata 0. F. Müll, und der japanischen Pista aufgefunden. Papillen an diesen Stellen kannte man bis-
her nur bei Nicolea Mgrn. s. str. Das Vorhandensein des grossen Flankenlappens am 1. Segmeute im Vereine
mit den kleineren an den folgenden, sowie der Bau der Kiemen, veranlassten mich sodann die Pista aus dem
Rothen Meere für dieselbe zu halten, wie die von mir genau untersuchte von Japan.

Pista ■macnlata n. sp.

Taf. I, Fig. 5.

Ein fast vollständiges Exemplar hatte bei einer Länge von 55""™ 200 Segmente. Die Breite betrug vorn
3™", nach rückwärts verjüngte sich der Körper allmälig.

Ein zweites intactes Individuum war 33°"" lang, vorn etwas über 2™'" breit und besass 110 Segmente.
Die Länge des Körpers von der Spitze des Flankenlappens des 1. Segmentes bis zum ersten Flösschen betrug
an dem grossen Individuum 12""", an dem kleinen 10""'.

Die Fühlfäden grösstentheils abgefallen, soweit vorhanden, kurz. Sie sind mit graubraunen, meist qua-
dratischen Fleckchen geziert, die zu beiden Seiten der seichten Rinne ziemlich regelmässig angeordnet sind.

Am 1. Segmente ein nur massig entwickelter Flankenlappen. Das 2. Segment ohne Flankenlappen am
Bauche in grösserer oder geringerer Ausdehnung deutlich erkennbar, je nachdem es von den Bauchschildern
verdeckt wird, der Vorderrand etwas vorspringend.

Drei sehr reichästige, dendritische Kiemen (Fig. 5), deren Grösse gemäss der Folge abnimmt. Der unge-
theilte Stamm dick, hoch. Die Verzweigung bis 8 mal dichotomisch, an den sehr kurzen Asten erster bis vier-
ter Ordnung regelmässig, dann unvollständig. Habitus gedrungen, straussförmig. Eudgabeln ziemlich lang,
ungleich.

Bauchschilder gewöjmlicher Art bis zum 18. oder 20. Segmente. Entsprechend dem 2., 3. und 4. Seg-
mente bilden sie eine seitlich wohl abgegrenzte, nach vorn stumpf konische Masse, die nnregelmässig durch
Läugsfurchen in Feldchen getheilt ist und auch mehr minder deutliche Querfurchen zeigt. Ich linde diese
Platte an dem grösseren Pjxemplare mehr vortretend und sich weiter über das 2. Segment erstreckend als an

1 Einiges aus einer kritischen Übersicht der bisher beschriebenen Terebellen etc. 49. Jahresber. d. schles. Gesellsch. f.
vaterl. Cultur, im Jahre 1872; pag. 50. Breslau 1872.

2 Aunulata Semperiana, p. 232.

Südjapanische Anneliden. 205

dem kleineren. Die folgenden Bauchschilder sind durch deutliche Querfurchen getrennt und nehmen die
ganze Breite zwischen den Borstenwülsten ein. Ihre seitlichen Grenzen sind aber, namentlich vorn, nicht
scharf ausgeprägt. Das Gewebe, welches die Bauchschilder bildet, erstreckt sich in Form schmaler und
kurzer rechteckiger Plättchen, welche die Mitte der Bauchfläche einnehmen, noch weit nach hinten. Es um-
rahmt ferner die Borstenwülste, besonders an ihrem Vorderrande, und häuft sich in der Gegend der Borsten-
höcker, diese vollständig umschliesseiid und den Zwischenraum zwischen den aufeinander folgenden Borsten-
höckern ausfüllend, an. Am Rücken entsteht dadurch ein nach innen von den Bündeln der Haarborsten
herablaufendes Band mit geradem Rande. Die Breite der Bauehschilder betrug am 10. Segmente noch die
des entsprechenden Borstenwulstes. Von hier nahm sie fortwährend ab ; am 18. betrug sie etwa die Hälfte.
Die sechs letzten sind länger als die vorhergehenden, beiläufig so lang als breit, mit etwas concaven Seiten.

Papillen nicht auffindbar.

17 Haarborstenbündel. Die Haarborsten (Fig. 5 A) nicht sehr laug, kräftig, ziemlich breit gesäumt.

Die Bor.stenwUlste hoch, dicht aufeinanderfolgend, nicht besonders vorspringend.

Hakenborsten vom 11.— 20. Segmente in doppelter Stellung, leicht halb gegenständig oder nahezu abwech-
selnd einreihig. Auffallend ist das Hintereude des Aussenraudes an den mit langem hinterem Muskelfortsatze
versehenen Hakenborsten (Fig. bB) der ersten Borstenwülste, das durch einen tiefen Einschnitt von dem
Träger des Schutzpolsters unter dem grossen Zahne getrennt ist^ an dem kleineren Exemplare war dieses
Verhältniss weniger ausgebildet. In Obensicht bemerkt man vor dem grossen Zahne vier Zähne in einer Reihe
(Hakenborsten der ersten Borstenwülste ) oder fünf, wobei aber die äussersten jedenfalls tiefer an die Seiten
herabgerückt sind. Da es jedoch selten gelingt die Hakeuborsten vollkommen senkrecht auf ihreu Innenrand
zu stellen , bemerkt man gewöhnlich nur vier von diesen Zähnchen und mit ihnen abwechselnd eine Reihe
von drei kleinereu und vor diesen noch einige ganz kleine Zähnchen. In Seitenlage vor dem grossen Zahne
einen ziemlich starken und ganz vorn einen kleinen. An den Hakenborsten weiter nach hinten gelegener
Segmente werden die auf den grossen Zahn folgenden Zähnchen allmälig kleiner und in den hintersten Flöss-
chen sieht mau an den dickeu Hakenborsten (^Fig. bD) von oben vor dem grossen Zahne drei und mehr Bogen
zahlreiciier kleinster Zähnchen. Die Flösschen des jüngeren Exemplares deutlich vorspringend. Zarte chiti-
nöse Stützborsten.

Verwandt mit P. maculata ist Pida cretacea Gr. aus der Adria, gleichfalls mit drei Paar Kiemen.

Gefunden von Dr. Koerbl an der Ostküste der Insel Eno-sima.

Loimia MontaguL

Taf. II, Fig. 1.

1878. Tirebvlla Muniagui Grube E. Annulata Semperiana. M6m. de rAeiid. imp. d. sciences de St. Pfetershourg. VII. sfer.,
Tom. XX.IV, Nr. 8, p. 2-24, Taf. XII, Fig. 3.

Zwei unvollständige Exemplare, denen das hintere Leibeseude iu grösserer Ausdehnung fehlte, lageu
vor. Beide waren ohne Ftthlfäden, nur das eine hatte Kiemen. Das eine Individuum 103"" lang mit 42 Seg-
menten, wovon 65"™ auf den mit Haarborstenbündeln ausgerüsteten Theil des Leibes kommen, das zweite,
mehr contrahirte 80°"° lang mit 31 Segmenten, wovon 54™™ auf den gleichen Leibesabschnitt entfallen. Die
Breite betrug bei dem ersten im 5. Segmente 10'"", im 9. 8-5'"", im 26. nicht ganz 7"", im 42. 5'""; bei
dem 2. im 7. Segmente 13""', im 12. Segmente U"™, im 30. 6°"". Der Vordertheil iu dem einen Exemplare
gar nicht, in dem anderen nur massig augeschwollen, die Bauchfläche hier vorgewölbt. Vom 21. Segmente
an nimmt der Leib eine fast cylindrische Gestalt an, indem nur die Bauchfläche abgeplattet ist. Die Höhe des
Körpers ist in den letzt vorhandenen Segmenten um Weniges grösser als die Breite. Die Färbung ist grau-
lich, an den 16 letzten Segmenten des längeren Thieres sind Reste bräunlichen Pigmentes bemerkbar.

Der Kopf läppen bildet seitlich keine vorspringenden Läppchen, der den Mund überragende Antheil
derselben ist sehr kurz.

Die Fühlfäden sind nicht erhalten.

206 Emil v. Marenzeller.

Am 1. .Segmeute .seitlich ein 3-5""" liolicr, 2""" langer abgerundeter Vorsprung, hinter diesem ein 3'"'"
langer Lappen, dessen Basis 2""" beträgt, mit rechteckigem Contoiir. Er entspricht dem 3. Segmente, dessen
Vorderrand auch dorsal vorspringt. Die 1. Kieme ist 17'"'" lang, der Stamm an der Basis über l-ö""'" breit.
Sic hat das Ansehen eines arnizweigigen, schlanken, wenig in die Breite gehenden Strauches. In ansehn-
liclien Zwischenräumen folgen 6 — 9""" lange Seitenäste, welche in einiger Entfernung von ihrem Ursprünge
abermals Aste abgeben. Der erste Seitenast des Hauptstammes steht 2'"'" über der Basis. Untersucht mau
einen dieser Aste zweiter Ordnung ( Fig. 1) unter dem Mikroskope, so sieht man vom Stamme theils einzelne
Fäden, häufig übereinander, theils kurze Zweige entstehen, welche solche einfache Fäden in regelloser oder
auch kamniförniiger Anordnung tragen und in Endgabeln ausgehen. Die Fäden sind sehr kurz, höchstens
O-ö'"" lang, daher haben die Aste der Kiemen bei Betrachtung mit freiem Auge ein filziges Ansehen. Die

2. Kieme theilt sich unmittelbar ober der Basis in einen äusseren und inneren Ast, welch' letzterer sofort in
zwei starke Äste zerfällt, so dass man auch sagen könnte, der Stamm der Kieme theile sich in drei Hauptäste.
Der innerste Haujjtast wird 11'""' lang, und zeigt den Habitus der ersten Kieme, die zwei anderen entwickeln
sich mehr in die Breite, indem sie von zahlreichen, doch höchstens 6'""" langen Astchen besetzt werden. Die

3. Kieme kleiner als die 2., aber mit dem gleichen Plane der Verästelung. Der innerste Hauptast ist auch hier
der längste (8"""). Die Entfernung der 3. Kieme von der zweiten ist mindestens dreimal so gross, als die der
zweiten von der ersten.

Über die Seitenfläciic des Rückens zieht von der 1. Kieme bis zum 8. Haarborstenbündel (11. Segment)
ein bis 3'""' breiter, nach hinten sich zuspitzender, leicht erhabener Streif, der durch Textur und weissliche
Färbung auffällt. Die Mitte des Rückens ist in einer Breite von 3'""" frei. Das Gewebe, welches diesen Streif
zusammensetzt, erstreckt sich zwischen die Borstenhöcker und Borstenwülste auch auf die Bauchfläche gegen
die Bauchsehilder zu. In einer Höhe mit den Borstenhöckern des 6., 7., 8. Segmentes, doch etwas hinter der-
selben eine stumpfe Papille.

Das 2., 3. und 4. Segment verwachsen auf der Bauchfläche zu einem einzigen bis 4""' langen Segmente,
oder es ist eine seichte Furche an der vorderen Grenze des 4. Segmentes bemerkbar.

11 Bauchschilder. Hiebei nehme ich das erste an dem aus der Verwachsung des 2., 3. und 4. Segmentes
entstandenen langen Abschnitte, das letzte am 14. Segmente an; diese beiden sind jedoch nicht so scharf
abgegrenzt. Am schärfsten umschrieben ist das zweite bis achte. Die Gestalt ist trapezförmig mit breiterem
Vorderrande. Die ersteren sind 4^5mal so breit als lang, dann nimmt die Länge etwas zu, die Breite ab.
Das achte ist nahezu 2mal so lang, als das zweite, aber nur 2mal so breit als lang. Die folgenden werden noch
kleiner.

17 Haarborstenbttndel. Die Borstenhöcker sind an dem einen Individuum etwas länger als breit, an dem
anderen waren sie mehr eingezogen. Die Haarborsten sind wenig gebogen. Es kommen stärkere (bis 0-018"""),
breitgesäumte und schwächere (0-0075""") mit sehr schmalem oder undeutlichem Saume vor.

Die 16 Borstenwülste, welche nacli dem 17. Borstenhöcker von Flösschen abgelöst werden, sind durch
schnittlich 4""" breit und 2V2inal schmäler als die vorderen Bauchschilder.

Die Ilakenborsten vom 11. — 20. Segmente in doppelter Stellung, ganz rückenständig, zweireihig. Sie
sind özähnig oder 6zähnig mit einem sehr kleinen, oder manchmal undeutlichen, vordersten Zähnchen. Ich fand
aber auch in den ersten Borstenwülsten ausnahmsweise Hakenborsten mit nur fünf groben Kammzähnen und
einem vor ihnen stehenden sehr kleinen. Bei Obensicht zeigte es sich, dass die Zähne alle einfach aufeinander
folgen; es bilden sich keine Querreihen, selbst an dem vordersten Theile nicht. Der Träger des Schutzpolsters
ist meist nur angedeutet. Die Hakenborsten der Borstenwülsfe sind etwas länger (0-078'""') als die der Flöss-
chen. Abgebildet ist (Fig 1^4) eine Hakenborste des letzten Borstenwulstes mit undeutlichem 7. Zahne. Der
Übergang der Borstenwülste in Flösschen am 21. Segment ist ein sehr plötzlicher. Schon der Aussenrand des
1. Flösschens ist nur l-5""° breit. Sie ragen nicht so weit vor als sie hoch sind, seheinen jedoch nach hinten
länger zu werden. In ihnen liegen die 0-063""" langen Hakenborsten. Abgebildet ist (Fig. 1 B) eine aus dem
Flösschen des 42. Segmentes mit gut ausgebildeten vorderen Zähnchen. Chitinöse Stützborsten.

Südjapanische Anneliden. 207

Gesammelt von Dr. A. v. Roretz.

Die Beschreibung- der Lo/wi« Monfayui ist leider wie die der übrigen Luimia-Avteu Grube 's so unbe-
stimmt und hebt die zur Unterscheidung dieser Arten untereinander, und von eventuell noch in der Folge aufzu-
findenden, bedeutungsvollen Merkmale so wenig hervor, dass eine Identificirung wohl nur mit voller Sicherheit
zu machen sein wird, wenn die Originale verglichen werden können oder doch Exemplare von demselben
Fundorte vorliegen. Mir scheint es sehr wahrscheinlich, dass die vorstehend beschriebene Form und die Loimia
Moiifagui Gr. zusammenfallen. Die Grössenverhältnisse und die nur von dieser Art bekannt gewordene hohe
Zahl der Zähne der Hakeuborsten weisen darauf hin.

Nicolea gracilibranchis,

Taf. II, Fig. 2.

1878. Tereliella gracilihnimltis C4rube E. Annulata Sempenana. M6m. de l'Acad. imp. de science.s de St. Petersbouv^. VII. s6r.,
Tom. XXV, Nr. 8, p. -i.JO, Taf. XII, Fig. 0.

Das mir vorliegende, in zwei Theile getrennte Individuum ist kleiner wie das von Grube beschriebene
von den Pliilippinen. Die Länge des Körpers beträgt ohne Fühlfäden 20™'". Die Zahl der Segmente war 46
Die grösste Breite des Leibes erreichte 4'°", hinter dem letzten Borstenbüudel ist er kaum 2""" breit. Zur
Ergänzung der zur Sicherstellung der Art ausreichenden Beschreibung Grube's gebe ich eine Abbildung der
er.sten rechten Kieme (Fig. 2) und der Hakenbor.sten (Fig. 2^). Diese vom 11. — 20. Segmente in doppelter
Stellung, halb gegenständig. In der Seitenlage bemerkt man vor dem grossen Zahne zwei, höchst selten drei
Zähnchen.

Die Hakenborsten, aber auch die Kiemen weisen die Art zu Nicolea. So viel sich an dem einzigen con-
trahirten Exemplnre constatiren lässt, ist das erste Segment ventral nicht so lang als bei der von mir jüngst
beschriebenen Nirolea reiiusftila Mont., welcher N. cjranlihrdncliis Gr. nahe steht, und die seitlichen Spitzchen
des Vorderrandes fallen weniger auf. Auch der dorsale, papillenartige Vorsprung der Flösschen ist kaum zu
bemerken. Papillen liegen auch hier hinter der zweiten Kieme und unmittelbar hinter den Borsteuhöckern des
6. und 7. Segmentes.

Gefunden von Dr. Döderlein bei Eno-sima, während der Ebbe.

Poli/itima congruens n. sp.

Taf. II. Fig. i.

Es ist nur ein 26""" langes Bruchstück mit 60 Segmenten vorhanden. Der Körper \orn etwas aufgebläht
hoch, hinter dem Kopf läppen c. 2""", im 12. Segmente 4""™ breit.

Die Fühlfäden meist fehlend.

Zahlreiche Augenpunkte.

Das 2. und 3. Segment tragen kurze Flankenlappen. Der des ersten liegt stark ventral unter dem dfes
dritten. Auch der Vorderrand des 4. Segmentes springt etwas vor.

Drei Paar Kiemen. Die Kiemen gestielt, gemäss der Aufeinanderfolge an Grösse abnehmend. Die längste
Kieme ist 2""' lang. Au der Seite des Stammes sitzen übereinander zwei Aste, welche nicht das Ende der
Krone des Kieuienbaumes erreichen und mit ihren Nebenzweigeu nicht so in die Breite gehen, wie die am
Ende des Stammes entspringenden drei Aste. Die Art der Verzweigung dieser Aste ist zuerst bandförmig.
Jeder dieser Zweige theilt sich in einiger Entfernung vom Ursprünge dichotomisch. Die Zweige zweiter Ord-
nung gabeln sich bald abermals. Die so entstandenen Zweige dritter Ordnung sind kurz, unter sich iast gleich
lang und gehen an ihrem Ende in zwei sehr kurze Zinken aus. Die ganze 2. Kieme ( Fig. 2 ) gibt eine Vorstel-
lung der Verzweigung eines der drei dem Stamme der ersten Kieme aufsitzenden Aste.

16 Bauchschilder, die ganze Fläche zwischen den Borstenwülsteu einnehmend. Das 1. am 2. Segmente
ist etwas schmäler als das des dritten. Dieses sowie die sieben folgenden sind durch Querfurchen in eine sehr

208 Emil V. Mnrenzeller.

kurze vordere und eine längere hintere Zone getheilt; ausserdem zerfallen sie durch Längsfurchen in kleine
Feldchen. Das 12. Bauchschild ist 3"™ breit. Die folgenden sind eben so breit, nur das 16. ist etwas schmäler.
Auch die Breite der vorhergehenden, mit Ausnahme des ersten, ist nur um Weniges geringer. Das 12. bis
15. Bauchschild ist am längsten.

17 Hanxborstenbündel. Die Haarborsten (Fig. 3 J) sehr lang, schlank, schmal geflügelt. Länge des
Körpers vom 1.— 17. Segmente 10""".

Die Borstenwulste nehmen von vorn nach hinten an Höhe zu und bleiben dann ziemlich gleich hoch. Der
höchste ist der zwölfte (2""").

Die Hakenborsten (Fig. 35) vom 11.— 20. Segmente in doppelter Stellung, halb gegenständig. In Oben-
sicht vor dem grossen Zahne zwei parallele Zähnchen, zwischen deren Wurzeln ein drittes dritter Grösse und
seitlich von diesem je ein ganz kleines. In Seitensicbt vor dem grossen Zahne ein Zähnchen zweiter Ordnung
und diesem dicht anliegend ein kleinstes drittes. Das Hinterende des Aussenrandes ist leicht abgerundet. Die
Hakenborsten der Fiössclien mit starken chitinösen Stützborsten.

Gefunden von Dr. Koerbl an der Ostküste der Insel Eno-sima.

Diese Art nähert sich sehr der Folymnia nesülensis delle Chiaje der europäischen Meere.

Thelepiis ■jtt/ponicus n. sp.

Tat". II, Fig. 4.

Körper des einzigen aber vollständigen Exemplares 115'""' lang, vorn auffallend verbreitert. Die Breite
beträgt im 2. Segmeute 3""", im fünften 4- 5""", im zwölften 7-5'"'". Dann nimmt sie allmälig ab, erreicht im
31. Segmente 6- 5""', im 3G. aber nur 3'""'. Diese starke Verschmälerung des Körpers an dieser Stelle ist wohl
zum Theile eine Contractionserscheinung, da das hinterste Drittel des Leibes breiter als dort ist und die Breite
im 100. Segmente noch 4""" ausmacht. 122 Segmeute, von welchen die vor dem Aftersegmente sehr kurz
sind. Färbung gelblich-grau; ein Stück der Bauciifläclie hinter den weisslichen Bauchscbildern dunkler bräun-
lich. Über die Farbe im Leben uotirte Dr. Koerbl: Körper dunkel Heisclifarben, seitlich weisse Stellen. Fühl-
fäden braun.

Die Fühlfäden stark, bis 16""" lang, jetzt grauviolett gefärbt, an der Basis heller. Die Ränder der liefen
Rinne sind glatt. Am Rücken der Fäden bemerkt man unter der Loupe einander gegenüberstehende Anhäu-
fungen des braunen Pigmentes, welche durch einfache oder doppelte feine Querbinden mit einander in Verbin-
dung treten. Die Stellen zwischen diesen Querbinden sind bell, pignientlos.

Der Kopflappen nicht ganz 2'"'" lang; sein vorderer Rand bildet einen sehr flachen Bogen. Zahlreiche
mehrere Reihen bildende Augenpunkte.

Das Buccalsegment auf der Bauchseite länger als das 2. und 3. Segment zusammengenommen. Es springt
gegen die Mundöfi'uuug etwas vor.

Drei Paar Kiemen. Die Kiemen des ersten Paares sind durch einen Zwischenraum von kaum 1-5'""' getrennt,
die des folgenden annähernd durch den gleichen, die des dritten sind um 0-7""" von einander entfernt. Die etwas
gelockten Kiemenfäden sind zahlreich, in den ersten Kiemen bilden sie vier Reihen, aber relativ schmal und
kurz. Sie sind fast viermal schmäler als die Ftihltäden und die längsten massen nur 2""". Sie entspringen
nicht unmittelbar aus der Oberfläche des Rückens, sondern sitzen einer deutlichen Erhebung auf, deren Breite
an der 1. Kieme nicht ganz 2'"" beträgt. Die 1. Kieme ragt weit nach aussen und unten über eine Linie, die
man sich in Verlängerung des 1. Borstenhöckers nach vorn gezogen denkt, die zweite reicht bis zum Borsten-
höcker, die dritte geht sogar etwas hinter den 2. Borstenhöcker.

Die Bauchschilder seitlich nicht deutlich abgegrenzt. Man kann solche höchstens an der durch ihre weiss-
liche Farbe abstechenden Bauchfläche des 2. — 18. Segmentes annehmen. Zu bemerken sind weissliche, schwam-
mige Erhebungen, welche die Borstenhöcker nach innen, vorn und aussen uingebeu. Sie sind an den vorderen
Segmenten am Itesten entwickelt, nehmen in dem hinteren Theile des erweiterten Vorderleibes an Ausdehnung

Südjapanische Anneliden. 209

immer mehr ab und verschwiiKieii völlig-, wenn die Verengerung des Leibes und die Bildung von Flösschen
eingetreten. Man kann eine uaeh innen der Borstenhöcker liegende kleine Partie und eine grössere, breitere,
von dieser abgesetzte unterscheiden, welche vor dem Borstenhöcker beginnt, sich an dessen äusserer Seite
hinzieht und noch vor das dorsale Ende des entsprechenden Borstenwulstes erstreckt.

Die Haarborstenbündel beginnen am ?>. Segmente und finden sich an allen, die letzten 11 Segmente
ausgenommen. Es sollten somit 109 Borsteuhöcker mit Bündeln von Haarborsten jederseits vorhanden sein,
allein es sind deren nur 106, weil drei Segmente vor den zwei letzten mit Borstenbnndeln versehenen derselben
ledig sind. Die Borstenhöcker sind von vorn nach hinten comprimirt, schief von oben nach abwärts und ein-
wärts abgeschnitten, daher in ihrem dorsalen Antheile breiter als in ihrem ventralen, der nur wenig aus der
Seitenfläche des Körpers heraustritt. An der vorderen Körperhälfte sind sie grösser, d. h. ihr mit Borsten ver-
sehener Ausseurand ist höher, als in der mit dem verengten Theile des Körpers folgenden Strecke, doch weniger
vorspringend ; nach hinten werden sie immer kleiner, papillenförmig. Es sind längere und kürzere Haarborsten
vorhanden. Die ersteren sind fast gerade, die letzteren etwas geschwungen, beide mit schmalen Säumen.

Die BorsteuwUlste an gewöhnlicher Stelle beginnend. Der erste ist nur 1"™ hoch, die Höhe des 8. Borsten-
wulstes (12. Segment) ist 3""". Diese Dimension erhält sich eine Strecke und nimmt sodann wieder ab. Der
25. Borstenwulst ist 2"°' hoch, der 32. (36. Segment) 1™". An dieser Stelle ist auch das Hervortreten der
Borstenwulste , der Übergang in Flösschen bemerkbar. Diese sind dick und zweimal höher als lang.

Die Hakenborsten (Fig. 4) zeigen in Obensicht vor dem grossen Zahne zwei parallele Zähnchen und zwi-
schen den Wurzeln derselben ein einziges drittes sehr kleines. In der Seitenlage werden gewöhnlich nur zwei
Zähnchen sichtbar, selten erkennt man auch das vorderste, kleinste Zähnchen. Ganz vereinzelt trifft mau auch
Hakenborsten, bei denen ganz vorn statt einem sehr kleinen Zähnchen zwei oder vier auftreten.

Gefunden an der Ostküste der Insel Eno-sima von Dr. Koerbl und vor dem Hafen von Mazuru in einer
Tiefe von c. 50 Faden von Dr. D ö d e r 1 e i n.

Es ist sehr möglich, dass diese Art in unserer Literatur bereits unter einem anderen Namen vorkommt.
Aus dem indischen und Stillen Ocean stammen 8 oder 9 Arten, die zu Thelepiis mit drei Kiemen zu stellen
wären, während aus den europäischen Meeren nur zwei Arten bekannt sind. Leider steht mir kein exotisches
Material zur Verfügung, um zu entscheiden, ob denn diese „Arten" in der That so wenig äussere Eigenthüm-
lichkeiten besitzen, als aus den betreffenden, die Hakenborsten nicht berücksichtigenden Beschreibungen
erhellt.

Polycirrus nervosus n. sp.

Taf. II, Fig. 7.

Körper 32""" lang, vorn nicht besonders aufgebläht, 2-5"™ breit mit 100 Segmenten. Der Kopflappen
mächtig entwickelt, so lang als das erste unpaare Bauchschild. Seine Breite eben so gross als seine Länge. Der
Vorderrand abgerundet, gefaltet. Das unpaare Bauchschild, von umgekehi-t T-föriniger Gestalt, ist fast so
lang als die vier folgenden Bauchsciiilder zusammengenommen. 1 1 paarige Bauchschilder. Das erste sehr kurz,
die folgenden sieben zwei- oder dreimal breiter als lang, das neunte ein wenig breiter als lang, aber länger wie
die vorhergehenden, das zehnte und eilfte rudimentär. Die ersten sieben sind einander in der Mittellinie sehr
genähert. Die Länge der neun ersten paarigen Bauchschilder zusammengenommen beträgt 3""". Vom 2. Seg-
mente angefangen finden sich an 32 Segmenten Bündel von Haarborsten, sodann folgen zwei Segmente ohne
und hierauf wieder zwei mit Haarbürsten. Die Haarborsten sind die der Gattung. Ihre Breite beträgt, bevor sie
sich zuzuspitzen beginnen, 0-0032, 0-0048—0-008"'"'. Die Hakenborsten (Fig. 7) beginnen am 13. Haar-
borsten tragenden Segmente und sind sogleich mit Stützborsten versehen. Ihre Form ist nicht wie z. B. bei
Pohjcirnis aurantiacus Gr. in den ersten Borstenwülsten eine andere als in den weiter nach hinten gelegenen.
Sie sind überall nahezu gleich. In Obensicht bemerkt man einen grösseren Zahn und vor diesem einen klei-
neren, der von zwei kleinsten in die Mitte genommen wird. In Seitensicht treten diese kleinsten Zähnchen nicht
iramci- hervor und es sind nur zwei Zähne sichtbar. Auf der Unterseite der drei ersten Borstenhöcker sehe ich

Denkschriften der mathem.-naturw. Gl. XLI.'C.Bd. Abhaudlungoa von NichtmitgUedern. 1)5

210 Emil V. Marenzeller.

je eine deutliche perforiite Papille. Ähnliche Öffnungen, doch nicht besonders hervortretend, scheinen auch noch
auf den fünf folgenden Borstenhöckeru aufzutreten.

Ein Exemplar gefunden von Dr. Koerbl an der 0><tkUste der Insel Eno-sinia.

Farn. SABELLACEA (Mgrn.) ' Lunge rhans Char. eniend.

Sabella aulacoitota n. sp.

Taf. II, Fig, 8.

Körper des einzigen Exemplares 70""" lang, fast 6'"™ breit mit 145 Segmenten, bis auf die dunkleren,
grauen Bauchschikbn- hell, ungefärbt. Die Hauchfurche setzt sich deutlich auf den RUcken fort.

Der Halskragen klafft dorsal in einer Breite von 2"". Er ist seitlieh nicht eingescbnitten, ventral gespalten.
Die so gebildeten Spitzen sind kurz, kaum umgeschlagen.

Thorax 6'"™ lang, fast eben so breit, mit acht Borstenhöckern. Bauchschilder des Thorax, das erste aus-
genommen, welches rechts und links etwas vorragt^ von gleichen Dimensionen wie die anstossendeu des
Abdomens, auf einer langen Strecke 2-5™"' breit.

Die Kiemen 20""" lang mit 20 Fäden jederseits. Das Basalblatt sehr kurz. Die Schäfte farblos oder mit
einigen braunen Punkten und Strichelchen, die Strahlen besonders an der Basis hellbraun und nur an wenigen
kurzen Stellen weiss. Keine Augen. Das strahlenlose Ende des Schaftes 1-5'""' lang. Die Strahlen 3 mal so
lang als die Schäfte breit sind,

In dem 1. Borsteuhöcker nur Haarborsten von der Form HA. In den Borstenhöckern des Thorax treten
noch einige breite, ungesäumte von der Form SB hinzu. Die Haarborsten im Abdomen besitzen in etwas
wechselnder Breite die Form 8 C. In den Borstenwülsten des Thorax zwei Arten von Borsten. (Fig 8Z)).

Gefunden bei Nagasaki von Dr. A. v. Roretz.

Potamilla Torelll.

Taf. III, Fig. 1.

1865. Malmgren, Nordiska Hafs Anmil. Öfvers. af k. Vet. Akad. Förb. , p. 402; 1867. Anmilat. polych. Ebenda, p. 222,

Taf. XIV, Fig. 76.
1870. Sabella hruchiichoiia Claparöde Ed., Annel. ch6top. du golfe de Napfes. Mem. de la soc. de pliy». et d'liist. nat. de

Genöve. Tom. XX, part. II, p. 503, pl. XXIV, fig. 5.
1880. Sahella (Polamllhi) Torelli Mgrn.; Langerhans P., Die Wurmfauna von Madeira. Zeitsclir. f. wiss. Zoot. Bd. XXXIV,

p. 112, Taf. V, Fig. 26.

Zwei vollkommen gut erhaltene Potamillen zeigten im Ganzen eine so grosse Übereinstimmung mit der
Beschreibung und Abbildung der P. Torelli durch Malmgren und mit Originalen aus der Adria,* dass mir
die Aufstellung einer eigenen Art nicht gerechtfertigt erscheint. Die Thiere massen 10 und 18"™ in der Länge,
2—272""'" ^^ ^^^' ßi'pi^e und hatten 58 — 74 Segmente. Der Körper war bis auf dunkler (^graulich-bräunlich)
gefärbte Bauchschilder und braune Pünktchen unter den Borstenhöckern des Thorax ungefärbt. Die kurzen,

1 Aucli tiin.sichtlich der Sabellen war es erst Mafmgren, der zeigte, dass die eingehende Untersuchung und Berücic-
sichtigung der Borsten der Weg sei, auf welchem allein man zu einer gründlichen Kenntniss der in diese Familie gehörigen
Formen gelangen kann. Da ihm aber nur Einzelne folgten, so können die meisten der nach seiner Arbeit erschienenen
Beschreibungen von Sabellen eben so wenig Anspruch auf weitgeliendere Beachtung erheben, wie dies von so vielen älteren
gilt. Man wird vielleicht den inhaltslosen Namen durch Nachuntersuchung der Originale in der Folge die Existenzberechtigung
zu schaffen im Stande sein, gegenwärtig jedoch hat m:in bei Bearbeitung von Sabellen nur wenig zu vergleichen, und es
bleibt nichts iibrig, als die Zahl der „Arten" zu vermehren.

2 Ich fand /'. Torelli Mgrn. an verschiedenen Punkten der Adria (Triest, Lussin, Lesina). Sie hatten acht oder auch nur
sechs Thoraxsegmente wie die 5'. braclii/clioiia C'laparfede's von Neapel, in welcher ich nnr eine grössere P. TurelU Mgrn
erkenne. Sie theilt die durchsichtige, hornige Röhre und das Vorkommen in selbstgefertigten Gängen des Gesteines mit P.
reiiiforniis 0. Fr. Müll. {S. saxk-ola Gr.) nnd mag bei flüchtiger Untersuchnng manchmal mit ihr verwechselt werden.

Südjapanische Anneliden. 211

aus je 11 Fäden bestehenden Kiemen waren braun gebändert. Augenpunkte am ersten Segmente Hessen sich
nicht mit Sicherheit erkennen. Dagegen fanden sich solche am Aftersegmente. Der Thorax bestand aus acht
Segmenten.

Alles dies entspricht den mir vorliegenden Exemplaren aus der Adria. Kleine Unterschiede finden sich
erst bei einem aufmerksamen Vergleiche der Borsten, ohne dass aber deren Grundcharakter wesentlich alte-
rirt würde. Die Borsten sind insgesammt weniger kräftig als die der europäischen Individuen. Die Paleen sind
etwas gestreckter und schmäler, die Hakenborsten etwas kleiner, die Haarborsten des Abdomen minder breit-
randig. (Fig. 1Ä,1B, 16', 1Z>).

Gefunden bei Eno-sima. (Dr. Koerbl, Dr. Döderlein).

Potamilla m/yviops n. sp.

Taf. III, Fig. 2.

Körper bei 205°"" Länge vorn e'""" breit mit 298 Segmenten. Kücken des Thorax bis auf eine helle Mittel-
linie bräunlich überlaufen, besonders vorn; auch die Seitenfläche zwischen den Borstenwülsten bräunlich. Der
übrige Körper hellgelbröthlich, rückwärts mehr grünlich.

Der Halskragen ungefärbt, dorsal wenig auseinander weichend, hier sehr kurz; seitlich und ventral, wo
er meist umgeschlagen ist, länger. Der Thorax mit 13 Borstenhöckern 11""" lang. (Ein zweites nur in einem
Bruchstücke vorhandenes, ebenso grosses Individuum besass einen Thorax von 9''"" Länge mit nur acht Borsten-
höckern.) Die Bauchschilder am Thorax etwas über 3™" breit, allmälig mit dem Körper an Breite abneh-
mend.

Die Kiemen c. 20°"" lang. Basalblatt 2-5 — 3'"°'. Jederseits 40—44 Fäden in zwei Eeihen. Die äusseren
Fäden an der Basis wie das Basalblatt bräunlich überlaufen, sonst weisslich mit etwa 4 — 6 bräunlich-röth-
lichen Binden. An jedem Schafte c. 21 sehr deutliche Augen, bald ober der Basis beginnend, im letzten Drittel
aufhörend. Die Augen vorspringend, einreihiir, ausnahmsweise auch einige gegenständig. Die Strahlen über
4mal so lang als die Schäfte breit sind, bis an deren Enden gehend.

In dem 1. Borstenhöcker Haarborsten von der Form der Fig. 2 A, 2 B. Die Haarborsten des Thorax
waren meist abgebrochen. Ich sah nur die Form A und an 40 Paleen (Fig. 2 C). In den Borstenhöckern des
Abdomen Haarborsten von der Form 2 D oder gleiche nur etwas längere und daneben einige von der Form
2 E. lu den Borstenwülsten des Thorax die zwei Borstenformen 2i^Hud 2 G.

Die hingen Röhren sind gelblich, durchscheinend, mit feinem Sande bedeckt.

Gesammelt von Dr. A. v. Roretz.

HYPSICOMÜS.

1870. Grube E., Bemeik. über Annel. d. Pariser Museums. Arch. f. Naturg. 36. Jahrg. p. 348.

Grube vereinigt in dieser Gattung Sabellen, „die alle darin übereinstimmen, dass das Basalblatt der
Kiemen ungewöhnlich hoch, der Halskragen ganz niedrig wie ein Ringwulst ist und die Borsten des ersten
Bündels in einer breiten, schräg emporlaufenden Querreihe stehen". Als hieher gehörige Arten führt er an:
S. sUcJioplithalmos Gr. (Adria), aWmUis Gr. (Rothes Meer), die von mir in der Literatur nicht aufgefundene
brevicollaris Gr. und simplex Qfg. (Port du roi Georges). Den obigen Merkmalen ist aber noch ein weiteres
sehr wichtiges, die Gattung erst rechtfertigendes hinzuzufügen , nämlich das Vorhandensein von Paleen auch
an den postthoracalen Segmenten. Im Übrigen nähert sich Hypsicomios am meisten Potamilla. Man müsste den
obigen Arten noch anreihen: .S'. ^//aeo^amm Schmarda (Ceylon), S. fusco-taeniata Gr. (Ceylon), S. scoparia
Gr. (Uca). Ich führe alle diese Arten, welche ich mit Ausnahme von H. stichophtalmos und phaeotaenia nicht
kenne, an, ohne damit anch für ihre Selbstständigkeit einzutreten.

bb*

212 Emil V. Marenzeller.

Hypsicomus phaeotaenia.

Taf. III, Fig. 3.
I86I. SiiMhi phncotiienia Sehraaida L. K., Neue wirbellose Thiere. II. Hälfte. Leipzig, p. :i5, Taf. XXII, Fig. 88.

Es ist nur ein Bruchstück von 5""" Länge (ohne Kiemen) und 2-2""" Breite vorhanden mit 28 .'Segmenten.
Rücken und Bauch des Thorax violett, vorn dunkler, die BorstenwüLstc ungefärbt. Bauchschilder des Abdomens
in ihrem medianen Antheile graubräunlich; durch die farblose Bauchfurche getheilt, welche sich am Kücken
in einer hellen Mittellinie verliert.

Der Hnlskragen violett, sehr kurz, nirgends eingeschnitten, am Bauche etwas weiter nach vorn gehend
als am Rücken mit einem kleinen medianen wei.ssen Flecke hinter dem Bande.

Thorax 2'""' lang, 2 •2""" breit mit acht Borstenhöckern. Die Borstenwülste beiläufig so breit als die Bauch-
schilder.

Kiemen mit dem Basalblatte 6"'" laug, dieses l"""' lang und 0-7"'™ breit. Im Ganzen 15 Kiemenfäden.
Da das Epithel grösstentheils abgehoben war, lassen sich die Färbung sowie Zahl und Stellung der Augen
niciit mit voller Genauigkeit angeben. Die Basis der Kiemen ist in einer Ausdehnung von 2™"' violett mit
einigen duukelvioletten Flecken, der übrige Theil hell mit mehreren violetten Binden. Die Augen treten
ober der Mitte der Schäfte auf, anfangs paarig, dann einzeln. Es scheinen 11 oder 12 Paare und 5 — 8 ein-
zelne Augen vorzukommen. Die Schäfte mit zwei Knorpelzellchen im optischen Querschnitte, die Strahlen bis
O-S'"" lang.

Im ersten leicht -S' formig von unten und hinten nach vorn und innen aufsteigenden Borstenhöcker c. 30
nur wenig vorragende Borsten von zweierlei Gestalt in zwei Reihen. Dem Leibe zunächst die Form 3^1 (Taf.III)
imd ihnen aufliegend derbere Borsten (Fig. 3 5), die an die Pickelborsten der Borstenwülste erinnern. In
dem 2.-8. Borstenhöcker 3 — 4 lanzenförmige Haarborsten (Fig 3 C) und stumpfe Paleen (Fig. 3 Z>). Am 4.
Segmente waren an 2ü Paleen vorhanden, an den anderen viel weniger. In den Borstenhöckern des Abdomens
2 sehr feine Haarborsten (Fig. 3 E) und 2 spitzentragende Paleen (Fig. 3 F). In den Borstenwülsten des
Thorax kurzstielige Hakenborsten (Fig. 3 G) und Pickelborsten (Fig. 3 H). In den Borstenwülsten des Abdo-
mens nur Hakenborsteu von derselben Gestalt wie im Thorax.

Gefunden von Dr. Döderlein bei Naze auf Oshima (Liu-Kiu Insel) auf Korallen.

Schmarda erwähnt die Augen nicht. Im Übrigen ergeben sich, wie ich glaube, genügende Anhalts-
punkte, um die japanische Form auf die ceylonische zu beziehen. Wahrscheinlich ist auch die Sabella fusco-
taeniata Gr., wie der Autor selbst vermuthet, nur eine blosse Varietät der S. phaeotaenia Schm. Auch das,
was Grube über die S. scoparia angibt, reicht nicht hin, um sie von Hypsicomus phaeotaenia nach obiger
Beschreibung zu trennen. Sabella pyrrhogaster Gr. von den Philippinen lässt gleichfalls an Hypsicomm und
gelbst an unsere Art denken, aber es soll nur e i n e Art Borsten in den Borstenwülsten des Thorax vorkommen.

Laonome Japonica n. sp.

Taf. III, Fig. 4.

Körper des einzigen Exemplares 133"" lang, vorn 15'"" breit, mit 181 Segmenten. Farbe des Leibes
dunkelviolettbraun, die Baucliscliilder ein wenig heller, unter der Loupe gesprenkelt. Am hellsten ist vom 2.
Drittel des Leibes au eine kleine Stelle auf der Bauchfläche der Segmente nach aussen der Bauchschilder,
wodurch zwei helle Längslinieu entstehen. Die Borstenhöcker und die Borsten wülste ungefärbt. Ober den
Borstenhöckern, zumal des Abdomens, ist in einer kleinen, helleren Erhebung eine punktförmige Anhäufung
bräunlichen Pigmentes bemerkbar. Die Bauchfurche biegt zwischen dem 8. und 9. Segmente auf den Rücken
um und geht hier in eine kaum vertiefte Bogenlinie über, welche sich, die Concavität nach aussen, gegen
den dorsalen Spalt des Halskragens hinzieht und durch ilue helle Färbung von dem dunklen Ton des Rückens
auffallend absticht.

Südjapanische Anneliden. 21 ö

Der Kaud des in der Mitte des Rückens uod Bauelies unterbrocheneu Halskrageus i.st gefaltet, so dass es
den Eindruck macbt, er sei auch seitlich eingeschnitten, was jedoch nicht der Fall ist.

Der Thorax mit 8 Borstenhöckern ist etwas breiter als lang. Die Segmente sind hier am längsten, die
Bauchplatten aber werden weiter nach rückwärts breiter. Im 6. Segmente ist das Segment 9mal, die Bauch-
platte Umal breiter als lang-, im letzten Drittel des Leibes war ein Segment 18mal breiter als lang, die Bauch-
platte llmal. Die vordersten Borstenwülste sind so breit, die des Abdomens nur ein Drittel so breit als die
Bauchplatten.

Die Kiemen SB'"'" lang; hievon entfallen 5'"" auf das Basalblatt. Die Kiemenfäden sind bald durchaus
licht (die Schäfte bräunlich, die Strahlen schmutzig grau-gelblich) oder in ihrer vorderen Hälfte, selten im
Verlaufe, dunkelviolettbraun gefärbt; gebändert erscheinen die Kiemen demnach nicht. 144 Kiemenfäden
jeder.seits, einen äusseren und inneren Kreis bildend. Der geschlossene äussere Kreis besteht aus Fäden mit
stärkerem Schafte, der eng anliegende zum Theil, jedoch nie so weit, dass er von aussen sichtbar wird, ein-
geschobene innere Kreise aus solchen mit schwächeren Schäften. Die Mundtentakel 17""" lang, also beiläufig
ein Drittel so laug als die Kiemen.

Die Haarborsten des 1. Borstenhöckers jenen des Thorax ähnlich nur schwächer, die lange, schmale
Form (Fig. 4 A) vorwiegend. Die Haarborsteu der sieben anderen Borstenhöcker (Fig. 4A, 4B) theils weit vor-
ragend, schlank, wenig gekrümmt, theils kurz, breit und gebogen. Hakenborsten (Fig. 4 C) nur einerlei Art.
Die Riefelung am Kamme sehr fein. Die Haar- und Hakenborsten des Abdomens nicht wesentlich verschieden
von jenen des Thorax.

Gefunden bei Nagasaki von Dr. A. v. Roretz.

SaheUa indica Sav. hat ebenfalls Kiemen, deren Fäden in 2 Kreisen stehen und ähnliche Dimensionen.
Savigny, ' Quatrefages, ^ Grube,' machen über sie folgende Angaben. Länge lli), 80, 135™'"; Breite
]3, 10, 12™'°; Segmentzahl 227, 200, 196; Zahl der Kiemenfäden 84, 60, 66; Länge der Kiemen: Länger
als die Hälfte des Körpers (Savigny, Grube), fast so laug, als dieselbe (Quatrefages). Da unsere Samm-
lung keine Sabella besitzt, auf welche diese makroskopischen Merkmale passen, an der ich sodann die Borsten
hätte untersuchen können, beruht die Unterscheidung der Laotiome japonica von S. indica Sav. vorläufig auf
einer geringeren Zahl der Segmente, kürzeren Kiemen und zahlreicheren Kiemenfäden. Besser passen die
Beschreibungen der S. indica auf eine Laonome von der Insel Cebu, die ich als Sabella spectahilis Gr.* bezeichnen
muss, wiewohl Grube bei dieser Art nichts von der Anordnung der Kiemenfäden in zwei Reihen erwähnt.
Die volle Übereinstimmung meiner Exemplare mit der Abbildung Grube 's und seinen übrigen Angaben, die
Identität des Fundortes gestatten die Annahme, dass Grube die Doppelstellung der Kiemenfäden tibersehen.
Ein Exemplar meiner .S. spectabilis Gr. war 77""" lang mit 158 Segmenten. Die Kiemen erreichten 45""" und
hatten 55 Fäden. Ein zweites stark coutrahirtes, noch in der Rölire eingeschlossenes Tbier war 100™°' lang.
Die Kiemen massen 65™™ und hatten 73 Fäden. Laonome spedabilis Gr. ist specifisch verschieden vonLaono7)ie
japonica mihi. Ausser den die Dimensionen des Körpers, Segmentzahl und Kiemen betreffenden Differenzen
ergeben sich noch solche hinsichtlich der Borsten. Die Haarborsten der ersten Art haben eine stärker vor-
springende Schneide und die Hakenborsten (Taf. III, Fig. 5) sind grösser, von abweichender Form, mit gro-
ben Riefelungen am Kamme.

Myocicola plafycJiaefa n. sp.

Taf. III, Fig. 6.

Der cylindrische Körper 28™™ lang, etwas über 4™™ breit mit 82 Segmenten, von welchen die letzten
sehr kurz sind. Das Ende des Körpers nicht auffallend stumpf. Farbe gegenwärtig hell, gelblich rötlilich, die

1 Syst. d. Aunel., p. 77.

2 Hi.st. uat. d. Annel. II, p. 432.

3 Bemerk, über Annel. d. Paris. Mus. Arcli. f. Naturg. 36. Jahrg. 1870, p. 340.
* Annulata Semperlana, 1. e. p. 253.

214 Emil V. Marenzeller.

allerersten Segmente etwas dunkler, grauviolett überlaufen. Auch an den vordersten Segmenten eine leichte
Ringelung bemerkbar. Der konische ventrale Vorsprung des ersten Segmentes ist kürzer als bei M. hifundi-
hulum und nicht so spitz zulaufend. Die seichte Bauchfurche biegt zwischen 8. und 9. Borstenbündel auf den
Rücken um, wo sie tiefer werdend vollkommen deutlich bis nach vorn verläuft.

Die Kiemen 9°"" lang, aus je 16 Fäden bestehend. Sie waren umgestülpt, die die Strahlen verbindende
Membran war meist eingerissen oder abgehoben, so dass sich über das Verhältniss der freien Spitze der
Strahlen zu dem durch die Verbindungshaut besetzten Theil nicht völlige Gewissheit erlangen lässt. Es scheint,
dass die Länge der Strahlen die der Verbindungshaut um ein Sechstel übertrifft. Mit Bestimmtheit sehe ich
jedoch, dass sieh noch ein ansehnlicher häutiger Saum bis an das Ende der Strahlen hinaufzieht, dass dieses
also nicht wie bei M. infundibulum nackt ist. Augen sind keine vorhanden. Die Kiemen sind an der Basis hell
in der vorderen Hälfte dunkler, leicht grauviolett. Von den kurzen, lappenförmigen, abgerundeten Tentakeln
war nur der linke erhalten.

Der Thorax besteht aus neun Segmenten, wovon acht Haarborstenbundel tragen. Die Grenze nach hinten
ist durch die Bauchfurche angegeben und seine Länge betrug 5' 5'"'". Ich betrachte das erste borstentragende
Segment als das zweite; denn es ist durch eine deutliche Furche von einem vorhergehenden getrennt. Im
2. Segmente sehe ich nur feinste Haarborsten (Fig. 6^) von lanzenförmiger Gestalt mit relativ breitem Saume,
von der Art, wie sie auch in der europäischen Myxicola infundibulum vorkommen. Diese Haarborsten gehen
bis zum anteanalen Segmente. Im dritten bis zum 9. Segmente findet man unter und etwas hinter dem 2.-8.
Borstenhündel breite, derbe, an der Spitze etwas gekrümmte Borsten (Fig. 6 2^), welche man den langge
stielten Hakenborsten anderer Myxicola-Arten ' gleichstellen muss. An dem plumpen Ende ist keine Zähnelung
zu bemerken. Im 3. Segmente sind 15, im 9. aber 10 derartige Hakenborsten vorhanden. Vom 10. Segment
(9. BorstenbUndel) an verschwinden sie und werden von den eigentlichen Hakenborsten (Fig. 6 C) in bekannter
Anordnung abgelöst.

Gefunden von Dr. Koerbl an der Ostküste von Eno-sima in einem Exemplare.

Fam. SERPULACEA Mgrn.

Vor vierzig Jahren klagte Philippi, als er nach den Deckelbildungen seine Gattungen aufstellte und Arten
unterschied, dass wenige Thiere so vernachlässigt seien wie die Serpein. So reformatorisch seine Directive
auch war, hätte die Klage über Vernachlässigung bei den inzwischen gewachsenen Ansprüchen heute gleiche
Berechtigung wie damals, wenn nicht durch eine vor ganz kurzer Zeit erschienene Arbeit in viel versprechen-
der Weise gezeigt worden wäre, was zu thun sei, um eine rationelle Sytematik der Serpein zu begründen.
Langerhans war es, der in dem eben ausgegebenen II. Hefte des 40. Bandes der Zeitschr. f. wiss. Zoologie
in seinem IV. Beitrage zur Wurmfauna Madeira's, Betrachtungen über die Gruppirung der Serpein anstellte,
welche es nur bedauern lassen, dass diesem feinsinnigen und gründlichen Anneliden-Forscher nicht ein umfas-
senderes Material zur Verfügung stand, mit dessen Hilfe er gewisse Lücken auszufüllen im Stande gewesen wäre,
die geschlossen sein müssen, um völlig befriedigende Folgerungen zu ermöglichen. Meine nachstehenden
Beschreibungen von 7 Serpein folgen dem von Langerhans gegebenen Beispiele. Ich fasse hier die Ergeb-
nisse kurz zusammen. Wenn man die einfach kammförmigen Hakenborsten der Gattungen Serptda (Fig. 1^),^
Hydroides {^ Ä) Eupomatus (SB) , welche im Profil wie die der Amphareteen aussahen, untereinander ver-

1 Sie fehlen auch nicht der M. mfimdihidmn, wie Claparide meinte, und haben bei dieser Art beiläufig die Gestalt
jener, welche dieser Autor von seiner Le/j/ochoiie aesthetica abbildet (Ann61. chetop. du gölte de Naples. M6m. de la soc. d.
phys. et d'hist. nat. de Geneve. Toni. XX, part. U, 1870, pl. XIV, fig. 1 B). nur bemerkt' icli — ähnlich wie an den gestielten
Hakenborsten der Chotie- und Eiwhone-Arten — auf der Kuppe des Hakens ein Zähuchen. Es niuss somit die (iattuug Lepto-
clioiie Clap. , die sich von Mi/ric(il(( durch das Vorliaudeuseiu von Uncini am Thorax unterscheiden sollte, als die jüngere
gestrichen werden.

- Die hier citirten Figuren befinden sich alle auf Taf. IV.

Südjapanische Anneliden. 215

gleicht, wird man auch an denselben wie an den Borsten des ersten Segmentes (Bajonettborsten) (Fig. 1, 3)
und den ventralen Abdominalborsten (Spateln) (Fig. 1 C, 2 B, 3 C) den gemeinschaftlichen Charakter heraus-
finden; die Deckel dieser 3 Gattungen {Eupomatus könnte übrigens mit Hijdroides vereiniget werden) aber
zeigen untereinander auffallende Modificationen. Bei Pomatoceros und Pomatodegus sehen wir bei verschiedenem
Bau des Deckels ventrale Abdominalborsten (DUtenborsten) (Fig. 4 J5, 5 C) und Hakenborsten (Fig. 4c A, b D)
übereinstimmen und beide von denen der drei oben erwähnten Gattungen sehr abweichen. Die Hakenborsten
besitzen unter den Kammziihnen einen hohlmeisselartigen Fortsatz (^Meisselzahu). Während jedoch die Borsten
des 1. Segmentes hei Pomatoceros gar nicht ausgezeichnet sind, ha,t Pomatontegus eine eigencForm (Fig.5). Und
an Pomatocerus und Pomatostegus muss man den ventralen Abdominalborsten und den Hakenborsteu zu Folge
Plneostegus anschliessen, dessen erstes Segment gänzlich borstenlos ist. Nach den Hakenborsten müsste man mit
diesen drei Gattungen Vermilia und Omphalopoma (Fig. 6Z>) in Verbindung bringen, die anderen Borstenarten
entfernen sie aber wieder sehr. Endlich mache ich noch als dritten Typus auf die Hakenborsten von Apomatus
(Fig. 7 D). aufmerksam. Auch Protula ' besitzt dieselben. Wegen dieser Hakenborsten und auch weil diese
Gattung, wie ich an P. Bndolphi Risse selie, mit „Salmacinenborsten" ^ versehen ist, steht sie besser in der
Apom.atus-(jva\}])e. Ich habe mich hier mit 10 Serpuliden-Gattungen beschäftigt und innerhalb dieser zehn
Gattungen sehen wir nur drei Typen von Hakenborsten auftreten. Diese Thatsache stützt sieh nicht allein auf
die sieben japanischen Serpein sondern auch auf diejüugste Arbeit von L an ge r li a n s, auf die brauchbaren Abbil-
dungen früherer Autoreu und endlich auf die eigene Untersuchung einschlägiger, europäischer Arten. Sie gibt
dem von Langerhans gelieferten Nachweise, dass unsere auf die Deckelbildung gegründeten Serpuliden-
Gattungen unnatürliche sind, eine weitere Stütze. Das Fehleu oder die Beschaffenheit des Deckels ist ein secun-
därer Charakter. Was käme für eine bunte Gesellschaft zusammen, wenn man z. B. in die Gattung Protula. weil
ihr als Kriterium die Deckellosigkeit zugeschrieben wird, alle Deckelloseu somit auch die nur zufällig Deckel-
losen, normal aber gedeckelteu Serpelu einreihen würde. Claparede that diesen Missgriff. Sein Psygmo-
bniiichiig muUicosfatus ist, man vergleiche nur die Abbildungen der Borsten, eine Vermilia, wahrscheinlich
seine V. infundibuhim Phil. ^^ V. multivarica Mörch. und sein Psggmobranchus coerus, dessen ungebührliche
Stellung auch Langerhans hervorhob, eine Serpida-Art Es wäre kein Wunder, wenn mit dem Wanken
der Gattungen auch ein Theil der auf derselben Basis aufgebauten Arten seine Stabilität einbüssen würde.
Die Prüfung der sich als typisch erweisenden Merkmale an einer grösseren Reihe von Individuen einer Gattung
wird den Massstab für die Grenzen der Variabilität der secundären Merkmale abgeben und hie und da ein
Zusammenziehen der Arten uöthig machen.

Serpula granulosa n. sp.
Taf. IV, Fig. 1.

Vier Exemplare lagen mir vor. Der Körper des kleinsten mass 22°"" bei 140 Segmenten; der Thorax
war 5""" lang, der Deckel sammt Stiel 6'°'". Der Rand des Deckels hatte 40 Zähne. Das grösste Individuum
war 58""" lang mit c. 150 Segmenten, der Thorax 7""\ der Deckel sammt Stiel 10""". Der Rand des Deckels
hatte 46 Zähne. Bei den beiden anderen Thieren war der Körper nur in einer Länge von 33"""" erhalten und

' Die Gattung l'rotula Risso hat vor der auf einen sehr unwesentlichen Cluirakter begründeten Gattung Vsijijmobmit-
chm Philippi die Priorität. Dass die Anordnung der Kiemenfäden höchstens ein Speciesmerkmal bilden darf, stellt sich
deutlich bei Cijuio^nni Bl. heraus, welche Gattung Grube mit Recht beseitigte.

2 Langerhans nennt so thoracale ILuirborsten, die, zuerst von Clapaiöde bei Salmacina entdeckt, aus einem
gesäumten und einem ungesäumten, dünnen, aber in Hinsicht auf die Länge breiten Theile bestehen. Der gesäumte Theil
ist meist vorgebaucht und mehr minder gestrichelt, der ungesäumte wie mit stumpfen Zähnchen besetzt. Ich halte diese
Zähuelung für nur scheinbar und für den Effect einer sehr feinen und regelmässigen Faltung des Randes. Es wechseln dunkle
und helle Stellen ab, allein Intervalle, wie sie bei einer wirklichen Zähneluug auftreten niüssten, sehe ich nicht. An den Sal-
macinenborsten von Protuht ist der gesäumte Theil nur wenig vorgebaucht und gestrichelt und die Faltung im Rande des
ungesäumten Theiles sehwach ausgeprägt.

216 Emil V. Marenzeller.

zählte 94 — 140 Segmente. Der Thorax war 6 — 7""" l;ing, der Deckel siimmt Stiel 9'"'". Der Rand des Deckels
hatte 50 — 51 Zähne. Bei den Angaben über die Körperlänge sind die Kiemen nicht mitgemessen. Die letzten
Segmente sind sehr kurz.

Die Kiemen mit gegen 35 Fäden.

Der Deckel stand dreimal reclits, einmal links an Stelle des ersten Kiemenfadens. An correspondireuder
Stelle der anderen Seite war stets das Rudiment eines Deckels vorhanden. Der trichterförmige Deckel ist nicht
besonders vertieft, die Zähnelung ähnlich jeuer der IS. vermiculaiix L. aus dem atlantischen Ocean. Die Wärz-
chen auf der einen Fläche des Deckels sind relativ zahlreich, in einem Exemplare dicht aufeinander folgend,
in anderen wieder etwas spärlicher.

Sieben Thoraxsegmente. In dem ersten Borstenbüudel die zwei Borsten- Arten der Gattung: Bajonnett-
borsten (Fig. 1) und einfach spitz zulaufende. Diese 0-04'"'" breit, kaum merklich gesäumt, gestrichelt. Die
bis ein und einlialbmal breiteren Haarborsten der folgenden Thoraxsegmente haben einen breiten, kräftig
gerieften Saum. Die Hakeuborsten des Thorax (Fig. 1 A) 4-^5 zähnig. Die des Abdomens (Fig. 1 H) höchstens
6 zähnig. Die ventralen Abdominalborsten (Spateln) sind in Fig. 1 C abgebildet.

Nur ein Exemplar befand sich in einer der Länge nach einem Steine aufgewachsenen dickwandigen Röhre,
welche dorsal mit einem niederen medianen Kamme, der über die Mündung leicht zahnartig vorspringt, ver-
sehen ist; an den Seiten keine Längsleisten.

Gefunden an der Ostküste der Insel Eno-sima (Dr. Koerbl) und im Hafen von Kagoshima im einer Tiefe
von 10-30 Faden (Dr. Döderlein).

Eine echte Serpula ist bereits aus dem nordjapanischen Meere bekannt. Es ist die S. princeps Grube. '
Leider besteht die ganze Charakteristik nur aus den folgenden Worten: „Verhältnissmässig ansehnlich gross.
Der Leib 41"™. Der Deckel mit seinem dicken Stiel 14"" lang. Der Deckel ist tiefer als sonst ausgehöhlt,
und merklich trichterförmig, mit über 100 Randzacken, jederseits etwa 50 Kiemenfäden, welche noch zwei
dunkel rosenrothc ziemlich breite Binden zeigen." Zu einem Vergleiche mit der von mir beschriebenen Serpula
könnte auch die Serpula aus dem Rotheu Meere, welche Grube Serpula Geroaisi Qfg-? nennt, herangezogen
werden, wenn dieselbe einmal genauer untersucht sein wird. Sie ist jedenfalls verschieden von der Ä Gervaisii
Qfg. aus dem Mittelmeere, die übrigens auf sehr schwachen Füssen steht.

Mydroides rnultispinosa n. sp.

Taf. IV, Fig. 2.

Körper des einzigen unvollständigen Exemplares 9""° lang (ohne Kiemen), vorn 1 • 5"" breit mit 27 Seg-
menten. Thorax 3°"° lang. Links und rechts je ein etwas über 4"" langer Deckel.

Die Kiemen 4"" lang mit 13 und 15 Fäden.

Der rechte Deckel mit 27 stumpfen Zähnen des Trichters und 12 Stäben auf dessen innerer Fläche, der
linke mit 25 Zähnen und 10 Stäben. Die Seiten der langen schmalen Stäbe bis fast an das Ende mit nicht
ganz gegenständigen Stacheln besetzt. Solcher Stacheln sind meist acht vorhanden. Sie nehmen von der Basis
gegen das Ende des Stabes an Länge zu, aber an Stärke ab. Ausserdem vier starke, gekrümmte Stacheln auf
der Fläche der Stäbe, in deren Mittellinie; der stärkere unmittelbar an der Basis der Stäbe, der letzte in der
Höhe des 6. Seitenstachels.

Sieben Thoraxsegmente. Von den zwei Borsten Arten der Gattung im ersten Bündel waren nur die schmalen
0-006"" breiten, schwach gesäumten vorhanden. Sie waren fein gestrichelt, ihr Rand war ausgezackt. Die
Haarborsten der anderen Segmente zweierlei Art: Breite, deutlich gestrichelte (Fig. 2), und schmale wie im
ersten Bündel. Die Hakenborsten (Fig. 2 Ä) des Thorax mit sieben Zähnen, die des Abdomens etwas kleiner,
auch nur mit sechs Zähnen. Die Spateln des Abdomens mit etwas gekrümmten Zähnchen. (Fig. 2Ä).

1 Naturh. Ber. d. schles. Ges. f. vateil. Cultiu', 1877, p. 62.

Sädjcqxiiiiscke Anneliden. ■} ] 7

Die !< iihiiiiy gebogene Kölirc vorn 1-5""" breit, tVei, dünn, zwar ohne Läng.sleisten, aber iu) Querschnitte
doch nicht volliiommen rund, .sondern leicht peutagonal.

Gefunden von Dr. Döderlein an Enü-sim;i während der Ebbe.

Eupomatus exaltatus n. sp.

Taf. IV, Fig. 3.

Körper des einzigen Exeniplares 16"™ laug (ohne Kiemen), vorn nicht ganz 2""" breit mit 64 Segmenten.
Thorax 4 • 5""" lang. Zwei Deekel.

Die Kiemen 5"" lang mit 15 Fcäden.

Der vollkommen ausgebildete rechte Deckel sammt Stiel 6™" lang. Sein Trichter mit 27 zugespitzten
nicht ganz gleichen Zähnchen. Er ist nicht vollkommen kreisförmig, sondern im dorsalen Rande etwas abge-
flacht und hier sind auch die Zähnchen kleiner. Die Stäbe entspringen nicht direct von der inneren Fläche des
Trichters. Sie stehen auf einer kurzen, beiläufig centralen, nach oben sich verbreiternden Säule. Es sind acht
unter sich gleiche und ein sehr grosser vorhanden. Die kleineren sind zweimal länger und kräftiger als die
grössten Zähne des Trichters und dem Ende zu hakenförmig gebogen. Der eine grosse ist fast zweimal so
stark als die kleinen, anfangs seitlich zusammengedrückt, dann wieder verdickt, erhebt sich über dieselben
und ist plötzlich fast in einem rechten Winkel geknickt, mit seinem Haken über das Centrum des durch die 9
Stäbe gebildeten Kreises hinaus reichend. Er steht in der Verlängerung des Stieles und richtet seinen Haken
ventralwärts. Der Durchmesser des von den Stäben gebildeten Kreises ist etwas grösser als die Hälfte des
Trichterdurchmessers. Die Consistenz des Trichters ist eine massige, die Stäbe sind steif, leicht gelblich
durchscheinend. Der linke kürzere und kleinere Deckel ist ganz weich. Die Verhältnisse sind dieselben wie
am rechten, nur hat der Trichterrand weniger Zähne.

Die ausserordentliche Entwicklung eines Stabes auf dem Trichter sehen wir auch bei Eupomatus hetero-
cerus Gr., Eupomatus albieeps Ehrbg. Gr. \mi Serpula fHijdroidesJ minax Gr. Die letzte Art, welche man
wohl, wenn man die Gattungen Hydroides und Eupomatus annimmt, besser zu letzterer stellen soll, hat ausser-
dem mit unserer Art das Merkmal gemeinsam, dass der Kranz von Stäben einer centralen Säule aufsitzt. Die
Form der Zähne des Trichters und des grossen Stabes ist aber verschieden.

Sieben Thoraxsegmente mit Borsten. Im ersten Borstenbündel Bajonnettborsten (Fig. 3"! und schmale
0*007""" breite, fast nicht gesäumte Borsten mit etwas welligem Rande. In den folgenden Borstenbündeln eben
solche feine, nur deutlicher gesäumte und breitere Haarborsten (Fig. 3 Ä). Der Saum dieser ist wenig merklich
gestrichelt. Die Hakenborsten des Thorax (Fig SB) mit sieben, selten acht Zähnen, die des Abdomens meistens
mit sechs Zähnen. Bei E. minax Gr. sollen die Hakenborsten vierzähnig sein. Die Spateln (Fig. 3 C) des
Abdomens feinzähnig.

Die Röhre 2-5"'"» im Durchmesser, hinten hakenförmig gebogen, rund, ohne Längsleisten, mit queren
Ansatzstreifen, vorn nicht angewachsen.

Gefunden von Dr. Koerbl an der OstkUste der Insel Eno-sima.

Pomatocefos helicoides u. sp.

Tnf. IV, Fig. 4.

Körper des einzigen Exemplares 45™"' lang (ohne Kiemen) vorn 5-5'"™ breit mit c. 180 Segmenten
Thorax 10°"° lang. Ein Deckel links.

Die Kiemen im Spireu von 7 Umgängen, 10""" lang. Das Basalblatt bläulich überlaufen.

Der 7"" lange, in einer Ausdehnung von 4-5'"'° mit einem jederseits 1 -5'"™ breiten Saume versehene Stiel
setzt sich etwas unter dem dorsalen Rande des Deckels an. Der Deckel stellt eine eiförmige , ventral breitere,
an ihrer Oberfläche kalkig belegte, etwas concave, dorso-ventral leicht gebogene Platte dar. Der sagittale
Durchmesser beträgt 7'""", der frontale an der breitesten Stelle 6'""'. Entsprechend der lusertionsstelle des

DeukbLhriltuu der m;ithem.-naturw. CI. XLIX.Bd. Abllaudliingeu vua Niclilinit;'liederD. CC

218 Eiiiil i\ Murenzeller.

Stieles etwa 1""" nach iuuen von dein oberen Rande des Deckels, findet sicii an dessen oberen Fläche eine
ans bieitcrer Basis aulsteigende keg-eltonuige Erhebung, die sich in einer Höhe von etwas mehr als 1™"
gabelt. Die Äste oder Fortsätze dieser Erhebung sind Jedoch sämmtlieh abgebrochen und man kann nur aus
dem Vorhandensein von Üifnungen auf dieselbeu schliessen. Es sind zwei in einem recliten Winkel zueinander
stehende, nacli rechts und links gerichtete Hauptäste von etwa 0-5""" Dicke vorhanden, welche an ihrer
dorsalen Seite nahe ihrem Ursprünge wieder einen kleinen Seitenast abgegeben haben müssen und ein schmäch-
tio-erer wohl median und ventral gerichteter Fortsatz, der an der vorderen Seite der gemeinsamen Erliebung
noch vor der Gabelung entsteht.

Eine ähnliche Deckel bildung zeigen 6'. {Poiimtoccro.s) craci(jera Gr. aus dem Rothen Meere, mit welcher
Cumospira friconris Baird. von Djedda identisch sein dürfte, und Pomatoceros bucephalus Mörch von den
Philippinen. Die erste Art hat auch spiralige Kiemen, über die Beschaffenheit der Kiemen bei der zweitge-
nauuten ist nichts bekannt. An dem japanischen Pomatoceros sind die Lage und Anordnung der Protuberauzea
und namentlich deren im Verhältniss zur grossen Deckelfläche geringe Ausbildung autifallend.

Das CoUare sehr lang, 3""", seitlich eingeschnitten. Am ersten Segmente keine Borsten ' bemerkbar. Die
Haarborsten der sechs folgenden Segmente von der Stärke der abgebildeten (Fig. 4) oder etwas schmäler;
ausserdem sehr ähnliche, kürzer gesäumte und mehr gerade verlaufende. Die Hakenborsten des Thorax mit
meist 20 Kammzähnen uud einem Meisselzahne,^ die des Abdomens gleichgeformt aber kleiner und mit nur
10 — 12 Zähnen (Fig. 4^). Ventral am Abdomen drei Düteuborsten (Claparede) Fig. AB.

Die Rühre 10™'" im Durehmesser, ziemlich drehrund^ von vielen Anwachsstreifen runzlig, aussen rosen-
roth überlaufen, innen hellbräunlich.

Gesammelt von Dr. A. v. Roretz.

Pontafostegus latiscapus u. sp,

T:d. IV, Fig. 5.

Mehrere Exemplare darunter jedoch nur ein vollständiges liegen vor. Der Ki3rper desselben 21'"'" laug,
(ohne Kiemen) vorn 2'"" breit mit 67 Segmenten. Thorax 4'"" lang.

Die Kiemen 5'"'" lang mit 25 Fäden.

Der Deckel stets links, mit 3, 4 und 7 Scheiben übereinander. Der schon an der Basis breite, dorso-
ventral comprimirte Stiel verbreitert sich im Verlaufe und setzt sich unmittelbar unter dem dorsalen Rande
der ersten Scheibe fest. Eine zarte, jederseits vor dem Deckel in einen lanzettlicheu Zacken auslaufenden
Membran säumt ihn ein. Die Spindel, welche die einzelnen Scheiben verbindet, ist sehr breit, der vorstehende
Rand der an Grösse successive abnehmenden Scheiben daher sehr schmal. Sie steht nicht central, sondern
etwas mehr dorsal; die Scheiben springen ventral mehr vor als dorsal. An dem vollständigen Exemplar mass
der Deckel sammt Stiel 6-5'"'" und hatte 4 Scheiben. In einem anderen Falle war er 8-5""" lang, wovon
2 • 5'"'" auf den eigentlichen Deckel entfielen. Dieser bestand aus 6 Scheiben. Die unterste Scheibe hatte einen
sagittalen Durchmesser von etwas über 2'"'". Der Durchmesser der Spindel, welche die nächste Scheibe trug,
war 1 ■ 5""".

Das Collare vorn gerade verlaufend, seitlich nicht eingeschnitten.

1 Sie miissen, jedenfalls hinsichtlich Grösse irad Quantität sehr reducirt, entweder zufällig veiloren gegangen sein oder
sie obsolescirten. Auch bei toDKitoceros ti iqiielcr L. sind sie spärlich und zart oder mügeu manchmal dem ausgewachsenen
Thiere ganz fehlen; an der Larve sind sie aber vorhanden. (Siehe R. v. Diasche, Beiträge zur Entwicklung der Polychaeten.
I. Heft, Wien ls84, Taf. III, Fig. 3:!.

2 Wenn man die Hakenborsten von PomcdoceroK , Poiiiatosteijiis , Placostegus in der Seitenlage, die Zähne nach hinten
gerichtet, untersucht, so erscheint vor dem 1. Kammzalme eine derbe, stumpfe, nicht zahnartige Hervorragung. Die Obensicht
ergibt, dass diese dann wie ausgeschnittene Hervorragung ein hohlmeitselartigcr Fortsatz ist, dessen Convexität dem 1. Kamm-
zahne zugekehrt ist. Ich nenne diesen Fortsatz „Meisselzahn". Bei Oiiii)liahii<oiiiu und Ventiilia ist er charakteristischer Weise
nicht, oder nur so wenig ausgehöhlt, dass man ihn für massiv halten könnte.

Süi/japaiiische Anneliden. 219

Thorax mit sieben borstentragenJen Segmenten. Am ersten Segment nur Haarborsten. Ausser sehr eigen-
thümlichen Borsten (Fig. 5) um die Hälfte schmälere, schwach gesäumte am Ende leicht gebogene Borsten
gewöhnlicher Form. Die Haarborsten der sechs folgenden Segmeute gleichfalls zweierlei Art: Breite, mir in
kurzer Ausdehnung gesäumte geschwungene (Fig. 6 Ä) und schmale mehr gerade. (Fig. bB). Der Saum auch
der breiten Haarborsten ist sehr schwach gestrichelt, der Rand daher nur bei starker Vergrösserung gesägt
erscheinend. Die Hakenborsten des Thorax mit 12 Kammzähneu und einem Meisselzahn, die des Abdomens
kleiner, aber auch noch mit 10 — 12 Zähnen (Fig. 5 C). Ventral am Abdomen drei Dütenborsten (Fig. 5 Z>).
Diese Borsten verändern sich an den allerletzten Segmenten. Das verbreiterte Ende wird immer schmäler.
Zuletzt sind nur feine, am Ende etwas geknickte Borsten vorhanden und dieses Ende ist feingesägt.

Die entweder völlig aufgewachsene oder zum Theil freie Eöhre ist im Durchschnitt leicht dreieckig, die
Seiten dieses Dreieckes sind aber etwas vorgewölbt. Den drei Kanten der Röhre entlang ziehen in Lappen
oder Dornen zerschlitzte hohe aber dünne Längsleisten. Die bedeutendste liegt, wenn die Röhre aufgewachsen
ist, der Fläche, mit welcher sie festsitzt, gegenüber. Über die Seitenflächen ziehen je zwei viel weniger bedeu
tende Längsleisten. Sie sind manchmal nur angedeutet, öfter erhaben und mit feinen Dörnchen oder kleinen
spitzen Lamellen besetzt. Es kann auch auf einer Seite nur eine Längsleiste auftreten. Die Farbe der Röhren
ist rosenroth.

Gefunden von Dr. Döderlein bei Eno sima in einer Tiefe von c. 100 Faden und bei Naze auf Oshima.

Omphalopoma Langerhansii n. sp.

T:if. IV, Fig. Ü.

Ich stelle die anbei beschriebene Form zu OmphalojJomaMörch auf Grund der durch die Untersuchungen
von Langerhans ' uns gewordenen Kenntniss dieser Gattung. Langerbans vereinigt unter diesem Namen
Serpein, die sich durch die Form des Deckels und die Bewaffnung des ersten Segmentes von Veniiilia unter-
scheiden, mit welcher sie sonst die grösste Verwandtsciiaft zeigen. Die japanische Art nähert sich sehr einer
der von Langerhans beschriebenen zwei Arten, nämlich der 0. cristata, die in Bezug auf Deckel und Borsten
des I. Segmentes stark von der anderen Art abweicht und es ist möglich, dass sich, wenn einmal eine grössere
Zahl hierher gehöriger Formen genau bekannt sein wird, eine Spaltung dieser Gattung als nothwendig heraus-
stellen wird.

Das einzige Exemplar 16""" lang (ohne Kiemen) vorn 2"'"' breit mit 70 Segmenten. Thorax 3""" laug.

Die Kiemen 8'""' lang mit 27 Fäden.

Ein Deckel rechts, sammt Stiel 8""" lang. Der an der Basis sehr schmale, oben c. 1"'" breite, 5-5"'"
lange Stiel ist oben etwas breiter als der Theil des Deckels, mit dem er in Verbindung tritt. Der eigentliche
Deckel ist vollkommen farblos. Er besteht aus einer umgekehrt kegelförmigen weiciien Ampulle, die eine etwas
geneigte consistente weissliche Platte von 2™"' Durchmesser trägt. Die Platte ist schwach concav und bis auf
einige periphere concentrische Anwachsringe glatt, compact, mit einem ganz unbedeutenden nicht ganz cen-
tralen Buckel versehen.

Das Collare ist seitlich eingeschnitten, sein Vorderrand wellig.' Der Thorax mit 7 Segmenten. Das erste
nur mit Haarborsten. Diese zweierlei Art. Solche, welche an Breite alle anderen Borsten des Thorax über-
treffen, mit einem l heilweise sehr stark vorgewölbten Saume, der schaif gestrichelt ist, während der Rest der
Borsten wie gestichelt aussieht (Fig. 6) und 2i'2mal schmälere, schmal gesäumte gertenförmige (Fig. 6). An
den folgenden Segmenten schwach gebogene Borsten mit breitem, deutlich gestricheltem Saume (Fig. 6A)
einige gertenförmige Borsten wie im ersten Segmente und vom 3. Segmente an etwa 10 Salmacinenborsten
(Fig. 6 B.) Die Hakenborsten des Thorax mit meist sieben aber auch sechs oder acht Kammzähnen und einem
derben Meisselzahne. Die des Abdomens (Fig 6 D) sind kleiner, haben aber trotzdem acht Kammzähne und

' Die Will iiil'.imiii von Mild eh-ii. tV. Zcitschr. f. wiss. Zool. Bd. XL, p. -281. issl;

cc*

220 Emil V. Marenzeller.

ditfcrireu aiidi dadurcU, dass der die Zähne tragende Rand von dem übrigen Tlieil der ilakenborsten mehr
abgesetzt ist. Die ventralen Borsten des Abdomens (Fig. 6 C) sind an ihrem Ende etwas geschwungen und
die Schneide ist hier gezälmt. Sie nehmen nach liinten an Länge zu und ragen in auffallender Weise immer
weiter aus dem Körper hervor. Anfangs sind ihrer nur drei in einem Borstenhöcker. Dann werden sie viel zahl-
reicher, besonders an den letzten Segmenten, und es geht auch eine Veränderung in der Form vor sich, indem
sie mehr gerade werden. Das Ende ist jedoch stets, wie man sich bei Anwendung starker Vergrösserungen
überzeugen kann, gesägt. Die Borstenwillste des Abdomens laufen ventral in einen besonders an den hinteren
Segmenten ganz ansehnlichen, cirrusartigen Fortsatz aus.

Die kreideweisse Röhre dünnwandig, rund, vorn 2'"™ im Durchmesser. Die Mündung leicht trichterförmig,
2-5'"'" hinter ihr ein massig erhabener Ring. Dorsal eine mit regelmässigen feinen Dörncheu besetzte Längs-
leiste bis hinten; 7'"'" vor der Mündung endet jederseits seitlich eine ebenso starke ndt gleich grossen nur
weniger spitzen Dörnchen besetzte Längsleiste. Ventral zieht von der Mündung bis zur Stelle, wo die Seiten-
leisten auftreten, eine seichte Raphe. Hier theilt sie sich in zwei, bald weiter auseinander weichende, bald nur
in einer Entfernung von kaum 1""" verlaufende Längsleisten, die bis nach hinten gehen.

Gefunden von Dr. Döderlcin bei Eno-sima in einer 'Hefe von 200 Faden.

Apomatiis Enosimae u. sp.

T.if. IV, Fig. 7.

Körper des einzigen, nicht vollständigen Exemplars 15""" lang (ohne Kiemen) vorn ]-ry>"" breit mit li)
Segmenten. Thorax 7""" lang.

Die Kiemen 7""" laug mit 20 Fäden, unter welchen die ventralen sehr kurz sind.

Der kugelige Deckel wird von dem zweiten Kienienfaden rechts getragen.

Das Collare lang, seitlich eingeschnitten, die Läppchen abgerundet.

Der Thorax mit sieben Segmenten. Das erste Segment nur mit Haarborsten. Diese theils schmal (Fig. 7)
theils breiter und von der Form in Fig. 7 B, doch nicht so breit gesäumt wie diese- In den folgenden Seg-
menten schmale (Fig. 7 Ä), breit gesäumte mit fast glattem Saume (Fig. 7 B) und Salmacinenborsten (Fig. 7 C).
Über die Zahl der letzteren in einem Bündel kann ich keine bestimmten Angaben machen, da die Borsten
stark gelitten haben. Ich glaube aber, dass sie nur sehr spärlich sind. Die Hakenborsten (Fig. 7 D) beginnen
am zweiten Segmente und zeigen über 20 Zähnchen. Die des Abdomens um wenig kleiner, aber von derselben
Gestalt. Im Abdomen zwei scharf geknickte, gezähnte ventrale Borsten. Die Borsten der letzten Segmente
konnten, da diese fehlten, nicht untersucht werden.

Die kreideweisse, drehrunde Röhre kaum 2""" im Durchmesser.

Gefunden von Dr. D öder! ein bei Eno-sima in einer Tiefe von c. 100 Faden.

Süd Japan ische An neliden .

221

Verzeicliniss der in Betracht gezogenen Gattungen und Arten.

(Die SyiKiuyuu; sind iluichseliosseu gedruckt.)

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ÄDiUjji' (dincitla Mgru. 198.
Amp hilf eis Mg-rn. 197.

„ angustifolia Gr. 19S.

„ foliosa Ha.sw. 197.

„ Veija Wir. 197.

Amphiffite Grayi Mgrn. 200.

groenlandica Mgrn. 199.
modesta Qfg. 200.
Orotavae Langerh. 202.
7-amosissima n. sp. 200.
rubra Eis so. 200.
vigintipes Ehbg. 199.
Apomatus Enosimae n. .sp. 220.
Cymospira Bl. 215.

„ tricornis Baird. 218.

Eiqjomatus albiceps Ebbg. Gr. 217.
„ exaltatus n. sp. 217.

„ lieterncerus Gr. 217.

„ minax Gr. 217.

Hyd roides minax Gr. 217.

„ multispinosus n. sp. 21 G.

Hijpsicomus Gr. 211.

alticollis Gr. 211.
brevicollaris Gr. 211.
fusco-taeniata Gr. 211.
phaeotaenia Schmarda. 212.
scoparia Gr. 212.
simplex Qfg. 211.
„ »tichopilühahnos Gr. 211.

Laonome japonica n. sp. 212.
„ spectabilis Gr. 213.
Leprea Ehrenhergi Gr. 201.
„ lajndaria L. 201.
„ megalonema Schmarda. 202.
„ Orotavae Langerh. 202.
„ pferochaeta Schmarda. 202.
„ subcirrata Gr. 202.
Lepfochone Clap. 214.

„ aesfhetica Clap. 214.

Loimia Motitagui G r. 205.
Myxicola aeathetim Clap. 214.
„ infimdibujum Ren. 214.

n jjlafychaeta n. sp. 213.

Nicolea gracdibranchis Gr. 207.

„ venustula Mont. 207.
Omphalopoma cristata Langerh. 219.
„ LangerJiansii u. sp. 219.

Pista cretacea Gr. 205.
„ cristata 0. F. Müll. 203.
„ fasciafa Ehbg. Gr. 202.
„ macnlata n. sp. 204,
„ thuja Gr. 204.
„ typha Gr. 204.
Piacostegus Phil. 215.
Polycirrus aurantiacus Gr. 209.
„ nervosus n. sp. 209.
Polymnia congrums n. sp. 207.

„ nesidensis Delle Chiaje. 208.
Pomafoceros bucephalus Mörch. 218.
„ cruagera Gr. 218.

„ helicoides n. sp. 217.

„ triqueter L. 218.

Pomatostegus latiscapus u. sp. 218.
Potamilla myriops n. sp. 211.

„ r enif ormis O.Y.^WW. 210.
„ Torelli Mgrn. 210.

Protula Bis so. 215.^

„ Eudolphi Risso. 215.
Psygmobranchus Phil. 215.

,, coecus Clap. 215.

„ multicostatus Clap. 215.

„ protensus Lmk. 215.

Sabeila alticollis Gr. 211.
„ aulaconota n. sp. 210.
„ brachy chona Clap. 210.
„ brevicollaris Gr. 211.
„ fuscotaeniata Gr. 211.
„ indica Sav. 213.

222

Emil V. Marenz eller.

Sahe/Ia pJi aeoiacii ia Schmavda. 212.

„ pijrrhoya!<fer Gr. 212.

„ saxicola Gr. 210.

„ scoparia Gr. 211.

„ Simplex Gfg. 211.

„ spectahilis Gr. 213.

„ stichophthalmos Gr. 211.
Sahellides angiistifolia Gr. 198.
Serpula Gervaisü Qfg'. 216.

„ (jrunulosa n. sp. 215.

„ princeps Gr. 2 IG.
Terebella Ehrenhenji Gr. 201.

Terehelld famata Ehbg. Gr. 2()7.

„ gracilibranchis Gr. 207.

„ megalonema Sclimarda. 202.

„ mmhAln Qfg. 200.

„ Moiitayui Gr. 205.

„ pterochaeia Sclimarda. 202.

„ subcirrnta Gr. 202.

„ viginfipes Gr. 199.

Tlielepus japoniciis n. sp. 208.
Vennilia Pliil. 215.

„ iiif utnli bullt m Pliil. 215.

„ miiltioarica M ö r c. h . 2 1 .5.

Siidj apanische Aniieliihn. 223

EIIKTARUNO DER ABBILDUNGEN.

TAFEL I.

Fig. 1. Aiii/ihi/rili- n';/inH/ies Ehlij;;. Gr. H;i;ii'borsteu. 330/1.

„ 1 A. ., „ Hakenborsten. 560/1.

„ -2. „ niiiiusis^iiiiK n. sp. H.-iarborsten. 330/1.

„ 2 A. „ „ Hakenborste. 330/1.

, 3. Lep-ea Ehreiihci-iji Gr. Zweite Kieme. 30/1.

n ü A. „ „ Haarbovsten ; flie grösseren aus (1er hinteren Körperlüilt'te. 670/1.

„ ^ B. „ „ Hakeuborste. 330/1.

„ i. Pixhi faiiciata Elibg. Gr. Haarborste. 240/1.

„ 4^. „ „ Hakeuborste des 2. Borstenwnlstes. 330/1.

„ 4jB. „ „ „ „ 7. p von (iben. 330/1.

„ 4 C. „ „ „ „1. Flösschens. 330/1.

,, 5. Fista maculata n. sp. Kieme. 25/1.

,, 5 ^. „ „ Haarborste. 240/1.

,, 5 5. „ „ Hakeuborste des 2. Borstenwnlstes. 240/1.

» S C. „ „ „ „6. „ 240/1.

„ 5 1>. „ „ „ der Flössclien. 240/1.

TAFEL IL

Fig. 1. Lohnia Montag tii Gr. Ein Kieuienast zweiter Ordunng. 24/1.

„ 1 vi. ,, „ H.ikenborste des 16. liorstenwulstos. 330,1.

,, 1 B. „ „ „ „ 42. Segmentes. S.'^O/i.

„ 2. Nicolca {/riicilibniHchis Gr. Erste Kieme. 24/1.

„ 2 A. „ „ Hakenborste des 4. Borstenwidstes. 560/1.

„ 3. Poli/iiiiiia cungruens n. sp. Zweite Kieme. 20/1.

„ 3 A. „ ,, Haarborste. 330/1.

„'AB. „ „ Hakenborste. 560/1.

„ 4. Tlielepits japonicus n. sp. Hal^enborste. 560/1.

„ 5. Amphicteis angustifolia Gr. Haarborste. 240/1.

„ 5^4. „ ,, Hakenborsten. 560/1.

„ 6. Alllage aurkii/a Mgrn. Haarborste des 13. Segmentes. 630/1.

^ 6 A. „ „ Hakenborste des 3. Borstenwulstes. 630/1.

., 7. Pohjcirrus neroosiis n. sp Hakeuborste. 670/1.

„ 8.4. Sabdla auhiconota n. sp. Haarborste des 1. Borsteubüudels. 240/1.

„ 8-ß- , r, „ „ 5. „ 240/1.

n 8 C. „ „ „ „ 32. „ 240/1.

n 8 D. „ „ Haken- und Pickelborsten des Thorax. 240/1.

TAFEL m.

Fig. 1 A. I'atamiUa TorelK Mgrn. Haarborste des 7. Borstenbündels. 240/1.

n 1 -ß- ;, „ Paleen von der Fläche und im Profil. 240/1.

!i 1 C- B „ Hiikenborste. 240/1.

n ' i*- T\ n Pickelborsten. 560/1.

224 Emil ('. Marenzelle r. Sihljapanische Anneliden.

Fig. 2 A, i li. l'(il(iiiiil/ii iiii/riiijis II. np. II:i:ii'liorstcii ilcs 1. l'.orstciibiiiiiliOs. 240/1.

„ 2 C. „ l'iilcc.ti „8. „ 240/1.

„ 2Z>. „ Haarboisto „II. „ 240/1.

„ 2K „ „ „ 60. „ 240/1.

„ "i F. „ llakonborsto des Thorax. 240/1.

„ 2 G. „ Pkkelboiste. 240/1.

„ SA. Hypsicomiis pltaeofaeiiia S climaida. Borsteu des I.Bündels. 240/1.

„ 3B. „ „ „ „ 1. „ 240/1.

„SC. „ „ Haarborste des 2. Bündels. 240/1.

„SD. „ „ Paleen des Thorax. 240/1.

„ S E. , „ H.-iarborste des 12. Borsteabündels. 240/1.

„ SF. „ „ Palee „ 12. „ 240/1.

„ 3 G. „ „ Hakeuborste des Thorax. ;i30/l.

„ SH. „ „ Pickelborsten. 330/1.

„ 4 A. Laonome japonica n. sp. Haarborste des Thorax. 240/1.

„ iB. „ , ., „ „ 240/1.

„ i C. „ „ Hakeuborsten des Thorax. 240/1.

„ 5. Laonome speckihiUs Gr. Hakenborste des Thorax. 240/1.

n 6^. Myxicola platychaeta n. sp. Haarborste. 560/1.

„ & B. „ „ Borsten des 3.— 9. Segmentes. 560/1.

„ 6 C. „ „ Hakenborsten. 670/1.

TAFEL rv.

Fig. 1. Serpula ymnulusa n. sp. Bajouuettborste des I. Bündels. 90/1.

„ 1 A. „ „ Hakenborsten des Thorax. 560/1.

„ l B. „ „ Hakenborste des Abdomens. 560/1.

„ l C. „ „ Spateln. 560/1.

„ 2. Hydrokles multispmosa n. sp. Haarborste des 3. Segmentes. 560/1.

„ 2 A. „ „ Hakenborste des Thorax. 560/1.

„ 2B. „ „ Spatel. 560/1.

,, 3. Eupomatus exaUatus n. sp. Bajonnettborste des 1. Bündels. 240/1.

„ S A. „ „ Haarborsten des Thorax. 330/1.

„ SB. „ ,, Hakenborste „ „ 560/1.

„ 3 C. „ „ Spatel. 560/1.

„ 4. Poimifoceros hdicokks n. sp. Haarborste des 2. Segmentes. 240/1.

„ 4^. „ „ „ ,, Abdomens. 670/1.

„ 4 B. ,, „ Dütenborste des Abdomens. 560/1.

,, 5. l'omatoshyus hitismpu^ n. sp. Haarborste des 1. Bündels. 500/1.

., b A. „ „ Breite Haarborste des 7. Segmentes. 330/1.

„ öB. , ., Schmale „ „ "!■ „ 560/1.

„ 5 C. „ „ Dütenborste des Abdomens. 560/1.

„ 5D. „ „ Hakeuborste ,, „ 560/1.

, 6. Omphalopoma Langerhansii n. sp. Haarborsten des 1. Segmentes. 240/1.
„6.4. „ „ Haarborste des 2. — 7. Segmentes. 240/1.

„ 6 5. „ „ „ „ 3. — 7. „ (Salmacinenborste). 330/1.

., 6 C „ „ Abdominalborste. 560/1.

„ 6 7). „ „ Hakenborste des Abdomens. 630/1.

„ TA. Apomatus Enosimae n. sp. Haarborste des Thorax. 560/1.
„ 1 B. „ „ „ ,, „ 560/1.

7 C „ „ „ „ „ (Salmacinenborste). 560/1.

„TD. „ „ Hakenborste des Thorax. 630/1.

„IE. „ „ Abdominalborste. 560/1.

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225

ÜBER

DETERMINANTEN HÖHEREN RANGES.

TON

LEOPOLD GEGENBAUER.

VOKGIOI.EGT IN DEli SITZUNG AM 10. JULI 18S1.

Die symmetrische Determinante zweiten Ranges:

in welcher;

^t, X I fl, X := 0, 1, 2, . . , «1 ;j.j . . . Ilr — 1) ;

C — ff-

ist, wenn die IndicösJ) und /.-^ nnch dem Modul n-^ genommen und die Zalilen i, /. ans den Cougruenzen:
-— — ^,, ^mod «,)

- X. — Xj — /..,«j — Kj^nyHo " •■■ — y-x i«^M.) . ..»)^_2

— ^ =>cx (med ,ly)

bestimmt werden, liis.st sieli, wie von Herrn ^I. Not her und mir gezeigt wurde, unter Adjunetion von Kinheits-
wurzeln als ein Product von Immogeuen linearen Functionen der Elemente darstellen. Die schon von Bcssel
bemerkte Determinante:

|"c-x| •i,x=l,2,...,n-l),

in welcher sämmtliclic Indiees nach dem Modul « zu nehmen sind, und die von Herrn A. Puchta in seiner
Arbeit: „Ein Determinantensatz und seine Umkelirung" (Denkschriften der kais. Akademie der Wissenschaften,
niathem.-natnrw. Classe, XXXVIII. Bd., II. Abth., p. 215 ff.) betrachtete Deteiminante der Ordnung 2" sind
bekanntlich specielle Fälk^ der ehen angefülnten allgemeinen Determinante.

Es Ijisst sich nun, wie in den folgenden Zeilen gezeigt werden soll, ein dem erwähnten Satze analoges
Theorem für Determinanten höheren Ranges aufstellen.

Die Elemente der Determinante Q)+2)ten Ranges und (n^ n^ «,.)ter Ordnung:

I '-(,,/.,,. .., /;,, t, x| (ii.L,- ..,//., i, x = 0, 1, •2,...,iiin., »r— 1)

Denkschriften der mathem.-nalurw. Cl. XLIX.Bd, Al)h;mdlun|jen von Nichlmitjjliedern. (Jd

22(3 Leopold Gegenbauer.

mögeu durch die Gleichungen:

'^/jj/o,. .., ij; t, X — "/],/.2i- • •j'i'iii— xiij-j— "a.-- -'i' — ",■ O'i, ''-j,- • M '■/', i, !( = 0, 1, 2,. . .,«1»»., n, — 1 ; O^ji, x\ < ni)

bestimmt sein, wo die Indices (, /. mit den Indices jjj^y'oj ■• •;^»-) j^u J'o; •••;'*;■ '^"^'^^ "^^^^ Congrueuzen 1) ver-
bunden sind und

'l, '21 • • •iVlj'l— "l.j^— "l'.- --Jr — Xr — */i, (.,,. . ., '>,ii— Xj.jj— «2 ,>— X,- (j >,Xj,i2^X^, . . ., jr^Xr)

, _ ßl, ßl, ßl^

''ii,i.,,...,ij,,jl — X^,j.j—X2,...,jr—Xr —"^1, ^X, •■•"\^ ^/j, (3,. ..,!>, Ji — Xi,jo—X2,. ..,./,.— Xr O'l ^"llja ^"2'

sein soll.

Setzt man nun :

jj = «j_lj2=«.,— 1,. . .,jV=«,.— I

"^^ '(!,«.,..., V; Xi,Xo,..., X,.,; [i,,(i2,...,(/,- /_^"ii,ii,---,>p,Ji—'^i>Ji—'''Z,---,Jr—x,.fi f"2 f^r

SO erhält man :

-x,(a](i,+|S,) — XjCaoH^+ßa) —x,-(arlJ.r+ß,-)

K

'i! Hf • ■}^p\

Kl, X3,. ..,)(,•; (/.i, Ha,..., (^,. Pj Pg • • • P,.

ii=»i— i,iä=»2— I . ■ • • !,/'•="' — 1

— V /,. . . . . . r, Ol— Xl)(ai(-tl + j5i) 5(J2—X2)(a2 (^2+1^2) . rU'—^-r)i<^--l'-r+ßr)

.h=0,i3=0,...,ir=0

,/i=;(i— X,— i,J2="2— x^— i,...,.yV=») — X, — 1

— V /, JlKt'l+iSl) J2(«2, "-2+132) o>(a,.(i,.+^,.).

~ /_, 'l.'2)---;'/',^l!.?2.--;J'.- "l "2 ■'(■

Jj^ — Xj, Jj^ — X,,, . . . ,jr^ — X,.

Berücksichtigt mau, dass die ludices /) nach dem Modul n^ zu nehmen sind, tJO erhält mau:

-Xi(«i(ii+|3i) — x._,(a2t^2+P2) — x,.(a,.n,-+/3,.) _

Oj ij^,i.2,.. ,i.p;Xj, X.^,. . .,Xr; l).i,lJ..2,. ..,i).,- fi P.2 ■ • ■ l\. —

Jl=»l — 1, j.,=«2— I , . . . , >=/6 1

— V /,: . ... . öJifaiM-i+|5|) J2(a2f-2+/52) J>-(oe,.(i.,.+,3,.),

./i=o,io=o,...,>=o
wo:

"l\,H,---,'l',.)uH,---,J'- >.i X., \^ ^h \ ^T "'l,''i.-'j',Jl,)2,-,Jr

0'i<''i--xi,,y2<»2— X2,...,_;\__,<«x,_,-xx,_|..y\,^''i,-x>.,,./x,+i<''i,+i-xx,+i,.--

A,-i<'\-i— '<x,-i'ix,^'V— ''x.:'A,-)-i<">.,,+i-'<x.,+i'---,ix.,-i<%_i— '<x,-i,
ist.

über Deferminanfni höheren Raiirjei^.
Aus der Gleichimg 3) folgt die Relation ;

227

4)

./i=o,./-.=o,...,jV=o

(»1, i,,..., V,t', X = 0, l,2,...,«iH2. ..Hr—\).

WO dielndices t', x sich aus den Congruenzen 1) ergeben, wenn in denselben ;\ durch ;j.j ersetzt wird und das
durch den Index i' angegebene Indexsysteni das System der festen Indices sein soll.

Nun habe ich folgenden Satz bewiesen: („Über Determinanten höheren Ranges". Üenkschriften der kais.
Akademie der Wissenschaften, mathem.naturw. Classe, XLIII. B.d, 11. Abth., p. 17 ff.).

Sind in einer Determinante «ter Ordnung und wten Ranges

die einzelnen Elemente Producte von r Grössen (r< m) in der Weise, dass:

_ (1) (2) (»•)

ist, wo die Zahlen

deren Anzahl gleich m — 1 ist, verschiedene Zahlen aus der Reihe 2, 3, ..., m und so beschaffen sind, dass

Px, a ^ P(i, a

für X ^ IX ist, so zerfällt die erwähnte Determinante in ein Product von r Determinanten derselljen Ordnung,
deren Rangzahleu durch die Anzahlen der Indices der verschiedenen Grössen e(') angegeben werden, so dass

also:

Xj, A2,..., A»

e?x X >

''II ''P]m'-1>2!--m'-Pij I,

ist.

5)

"''-1 > ^Pt-m» ^Pr,2!---I ^PnCr

(Xj, X2,..., Xm = 1, 2,..., >l).

Die Gleichung 4) verwandelt sich daher in die folgende:

'1 . '2v; Vi ''l; '<2>---) "»•; (^1, H2)---
il= «X — 1 , i2= "2— 1; • > • , ir= »r— 1

/ , H,>2,---,>p,JiJi>-- -Jr ri

il=0,j2 = 0,...,ir=0

Xi(a, /ij+|Si) X2(a2 ;i2-l-|2„) y.r(arlJr-hßr)

j,(aj/J.j+|3i) J4'^.2lJ-i+?'2) ^jrictrßr-i-ßr)

•■P,

(fj, i.i,...,ip, t', x = 0, 1, 2,.. ., «j H,. ..nr—l).

Für die auf der linken Seite dieser Gleichung stehende Determinante ergibt sich aber aus der Gleichung
2) auch folgender Werth :

il=«l— l;i2="2— 1;-;>="' 1

V/, iiCai/'l+i^i) i2(«2M2H-i52) >(a'7''-+i5r)

^ (■], (2,..., V,ii — Xijjg— !t2)-,i'— XrPi P2 ■■■P»-

ii=o, .;2=0i--->>=0

(»1, »2,. . .,ip, l', X = 0, 1, 2,. . ., »Ji «2- • -"r— 1).

dd*

'l! '2>- ■■! Vi "l; *2>---t "»-i f^l; t*«; ■ • ■> C-r

•228

Leopold Gegci^ha ucr.

Nach dem von mir a. a. 0. niitgetlieilten Multiplicationsthenieme der Detenninauteii liölieren Ranges
ist aber die anf der rechten Seite der letzten Relation stehende Determinante (2; + 2)ten Hanges das Froduct
einer Determinante zweiten und einer Determinante (jj + 2)teu Ranges, so dass man hat:

6)

ll, '■i!---! 'P'l *l>''2f-! ''^'■'l ßl> f-i! ■ ■ ■ ! 1^ r

jliaißi+ßl) .hj«-2fh + ß2) jr{arßr-i-ßr)

C;

(l'l, 12,- ..,!>, l, l', X = 0, I, 2,. . ., «1 «2. ■ .",—!).

Aus den Gleichungen 5) und 6) folgt:

7)

(j, l2,. ■ .,tp,

Vb.-

1— 1 ,./j=»'2— 1> • • • ,jr=>h 1

Jl=0,j..=0,...,jr=0

jr{(X,!X,+ßr)

('l; h,-- ■, 'P, '. ''. X = 0, 1, 2,. . ., »1 »2- -nr—l).

Die Gleichung 1) zeigt zunäclist, dass die Determinante (p + 2)ten Ranges:

' ih, H.---,ip, i, x = 0,1,2,..., », »ä nr—l) ,

in welcher die Elemente den früher angegebenen Bedingungen geniigen, unter Adjuuction der /■ Grössen
p, , p,, . . ., p,, sich auf eine Determinante derselben Ordnung vom Range p + \ reduciren lässt, deren Elemente
lineare homogene Functionen der Elemente der ursprünglichen Determinante sind.
Man sieht ferner sofort, dass die Determinante (j;+l)teu Ranges:

S^i JMlIH+ßl) j-'i'^-il'-i + ß-i) Jr{a-rf-r-{-ßr)

/ 'i,i-i,---,'pJlJ2,---J'- Pl ^2

■K

{>i,h,-- •;'>) ''>" =0, 1,2,..., »inj. ■.■>h—\)

von den Grössen pj , p.,, . . • , p,. unabhängig ist.
Ist speciell:

so verwandelt sich die Relation 7) in

8)

h) Hr ■ ■> 'P! '>

j^=nl—\,J2=tlo—l,...,Jr=nr—l

H,'2,---, 'p,JvJ2>-'->J<-Pl ^2 Pr

{il,ii,..-,ip, t, i', x = 0, 1,2,. ..,»in2.. .«r— 1).

Von den speciellen Fällen dieser Formel mögen die folgenden zwei Relationen besonders hervorgehoben
werden.
Es sei:

«X = l^ h = % «X = l;

Ühtr Deterniinanien höheren Banges.
iilsdauu ist p) eine primitive «) te Einheitswurzel und mau hat daher die Relation:

229

9)

'l> '•>>•■•} 'j>>Jl "l; Ja '^2> ■•■ t Jr !<<■

j'i=ni—l,j'-i=i>>—l,---,j'r=>i,— l
i'i=0,j',=0,...,j„-=0

dl, 12, ...,!;, l, l', X = 0, 1, 2, ... , «1 «2 . . . «,— 1 ) ■

Man hat also den Satz:

Die Determinante ('jj + 2)ten Ranges und («j «.> w,-)ter Ordnung:

'l> '2>- ■ •! 'Pl'- ! '•

(('i , i'ä, . . . , (>, t, X = 0, 1 , 2, . . . , «1 »2 "'— ' )

in welcher;

C;

'l> '2j- • •> 'P' '> "

'l; '3i- ■y'Pr.H — "l > J2 — "S)' ■ -jj» "r

ist, wenn die Indices t, y. durch die Congruenzen 1) bestimmt und die Grössen j\ und x-^ nach dem Modul ii-,

genommen werden, lä^st sich unter Adjunction der Gattung der («^ «., «,.) ten Einheitswurzeln auf eine

Determii.ante vom Range ^> + l und der Ordnung n^H.^ w,,. redueiren, deren Elemente lineare homogene

Functionen der Elemente der ur.sprünglichen Determinante sind.

Beachtet mau, dass eine Determinante ersten Ranges von « Elementen das Pioduct dieser Elemente ist,
so erhält man aus der Gleichung Ü) lür^^O sofort den im Anfange erwähnten Satz über symmetrische

Determinanten zweiten Ranges.
Ist ferner:

also ;

so verwandelt sich die Relation 8) in:

10)

'l! 'if-r'Prh — *1>J2 — ''2)-- -tJr — X,-

»u '2, ■■■,h, Ji,h, ■■■>J'- ^1 ^2 ■ ■ ■ ^r

j't=Oj'i=Q,...,j'r=0

{iv >2>- • ■, 'P, 'l '') X = 0, 1, 2,. . ., »1 »2- • nr—l).

wo die Marke an den Elementen der Determinante auf der linken Seite der Gleichung anzeigt, dass das
betreffende Element mit dem Vorzeichen (—1)' zu versehen ist, wenn t der Grössen jj,/.^,...,^,. kleiner als
die entsprechenden Zahlen x sind.

Man hat also das Theorem:

Die Determinante (p+2)ten Ranges:

c'.-

in welcher

'd '2i- ••! *P>

'li »2) •••!*/'>

(('l, 8",,...,/^, t, X = 0, l,2,...,»ino «r— 1),

^ ^ "h , '2> • • ■ 1 ip,Ji—*i, k—*2> • • 1 >- *'■

230 Leopohl Gegen/jduer. Über Determinanten höheren Eanges.

ist, wenn die Indices^^ und X)^ nach dem Modul «^ genommen , die Zahlen (, x aus den Congnienzen 1)
bestimmt werden, und die Grösse t angibt, wie viele der Indices Ji,]^,- ■ •>//■ kleiner als die zugehörigen
Zahlen x sind, lässt sich unter Adjunction der Wurzeln der Gleichungen:

p"> + 1 = 0

als eine Determinante vom Range ^) + l und der Ordnung n^>i2.-- . «,. darstellen, deren Elemente lineare,
homogene Functionen der Grössen

sind.

Den speciellen Fall ^j = 0, r = 1 dieses Satzes hat unlängst Herr Scott mitgetheilt.

Die Relationen 9) und 10) zeigen, dass die auf der linken Seite der Gleichung 9) stehende Determinante,
wenn eine der Zahlen n^ gerade ist, sich in ein Product von zwei Determinanten zerlegen lässt. Für quadra-
tische Determinanten hat auf diesen Umstand zuerst Herr Glaisher aufmerksam gemacht.

231

ZUR KENNTNISS

DER

liimLCMTUISCiElf CEPHÜlöPODES-FiUM M lISEiü ELOBl

AN DER WESTKÜSTE AFRIKA' S.

VON

D« LADISLAUS SZAJNOCHA,

PRIVATDOCENTEN AN DER K. K. UNIVERSITÄT IN KRAKAt'.

VORGELEGT rN DER SITZUNG AM 17. JULI 1884.

Die in der Bai von Corifeo imter 1° uördl. Br. an der Westküste Afrika's liegende Inselgruppe Elobi wurde
in geologisclier Beziehung zum ersten Male im Jahre 1874 von Dr. Lenz während seiner, im Auftrage der
Deutschen Afrikanischen Gesellschaft unternommenen Expedition nach Gabun und Okanda-Land untersucht.
Diese Inselgruppe besteht nach den Beobachtungen von Dr. Lenz ' aus horizontal geschichteten Lagen eines
ausserordentlich feinkörnigen, thonigeu oder mergeligen Sandsteines von liellgraiier Farbe und ausgespro-
chener Spaltbarkeit, der sich auch auf der benachbarten Küste von Gabun gleich stark entwickelt, in einem
sehr bedeutenden Gebiete an der Mündung der Flüsse Muni und Munda vorfindet. Ausser zahlreichen Ab-
drücken der, specifisch nicht näher bestimmbaren Meeresalgen, enthalten die Sandsteinlagen mehr oder
weniger gut erhaltene Cephalopodeu nebst undeutlichen Spuren kleiner Zweischaler.

Die flachgeschichteteu Sandsteinlagen werden auf den kaum 8 bis 10 Meter über das Meeresniveau her-
vorragenden Elobi-Inseln von einer Humusdecke überlagert, während auf der nahen Küste von Gabun diesen
Sandstein eine 2 Meter starke Schichte eines dichten sandigen Kalksteines mit einer grossen Anzahl organi-
scher Überreste bedeckt. Kleine Gasteropoden, Bivalven, Korallen und Foraminiferen bilden die dichte Masse
des Kalksteines, unter welcher an vielen Stellen Gänge eines dunkelbraunen, sandigen Eisensteines hervor-
treten. Auf dieser 2 IMeter starken Kalksteinscliichte liegt unmittelbar das Diluvium in Gestalt von braunen,
eisenhaltigen Thonen mit Concretionen eines caveruösen Eisensteines, welche au das Auftreten des ostindi-
schen Laterit lebhaft erinnern.

1 Ankunft in der Corisco-Bai und Excursion nach Gabun. Geologischo Notizen von der Westküste von Afrika. Verband-
limgeu der k. k. geol. Reiclisanstalt. Wien 1874. — Geologische Mittheiluug aus West-AtVika. Idem 1878. — Geologisclie
Karte von West-Afrika. Petermann's Mittheilungen. Gotha 1882.

2o2 Ladislaus Szajnocha.

Dr. Lenz sammelte in dem erwäliiiteu grauen Sandsteiucomplexe eine bedeutende Anzahl von Ceplialo-
poden, von denen zwar der grössere, schlecht erhaltene Theil eine specifische Bestimmung nicht zulässt, der
kleinere aber mit einigen Exemplaren von ansehnlicher Grösse eine sichere Grundlage zur Altersbestimmung
jener Schichten ergibt. Alle diese Exemplare gehören ausnahmslos zur einzigen Gattung, ScJdönbachia, die
nach der Classification von Neumayr' sowahl durch die eigeuthümliche Verzweigung der Lobenlinie wie auch
durch den stark ausgebildeten Rückenkiel und das starke Hervortreten der, nach vorne coucaveu Lateralrippen
ausgezeichnet ist.

Die Lenz 'sehe Sammlung lieferte folgende vier Arten, von denen drei sich als neu^ obzwar zum Fornien-
kreise der längst bekannten Sclil. inflata Sow. gehörig erwiesen:

ScJdönbachia itißata Sow.
„ Lenzi n. f.

Schlönhachin. inflatiformis n. f.
„ Elohiensis n. f.

1. Schlöiibachia inflata Sow.

Taf. I, Fig. 1 und T;if. II, Fig. 1, 2. 3.

Syn. Aiiinionites inflafm. 1818. Sowerby. Mineral Conchology of G reat Britain. Bil. II, S. 170, Tat'. 178.
„ rostratm. 1818. Iilem. S. 163, Taf. 173.

„ tetrammatus. 1829. Idem. Bd. VI, S. 166, Taf. 587.

„ inflatus. 1822. Brogniart et Cuvier. Description göologique des envirous de Paris. S. 83 u. 95, Taf VI,

Fig. 1.
,, inflatus. 1825. Haan. Monographiae Aramouiteorum et Goniatiteorum. S. 120.

„ affinis. 1825. Idem. S. 120.

. rustratiis. 1825. Idem, S. 117.

,. inflatus. 1840. Orbigny. PaI6'intologie fiang.aise. Terrains cr6tae6s. S. 304, Taf 90.

„ varicosus inflatm. 1849. Quenstedt. Petrefactenkunde Deutsclilands. Cephalopoden. S. 209, Taf 17, Fig. 2.

„ inflatus. 1850. Orbigny. Prodiome de Paleontologie. Bd. II, S. 124 u. 148.

„ inflatus. 1852. Buvignier. Statistiq'ie göologique du Departement de la Meuse. Atlas. S. 46, Taf 31, Fig. 8

und 9.
„ inflatus. 1853. Pictet et Roux. Description des grJs verts des environs de Göneve. S. 102, Taf IX, Fig. 6;

Taf X, Fig. 1 u. 2-
„ rosiratus. 1854. Morris. Catalogue of British fossils. S. 298.

., inflatus. 1860. Pictet et Campiche. Description des fossiles de St. Croix. S. 178 u, 308, Taf. XXI, Fig. 5;

Taf XXII, Fig. 3 u. 4.
„ inflatus. 1861. Hauer. Über die Petref icten der Kreideformation des Bakouyer-Waldes. S. 6.'i6.

.. inflatus. 1865. Stoliczka. Paleontologia indica. Fossil Cephalopoda of Soutliern India. S. 4s, Taf 27— -29;

Taf. 30, Fig. 1—3.

Die meisten Exemplare der Lenz'schen Sammlung gehören zu dieser gut bekannten Gattung, deren zahl-
reiche Varietäten in den Arbeiten von Pictet und Stoliczka so ausgezeichnet beschrieben wurden. Ein zu
den grössten Stücken dieser Species, die überhaupt aus den Kreideschichten Europas und Ostindiens bekannt
sind, gehörendes Exemplar erreicht einen Durchmesser von 26°™, und wird durch ausserordentlich starke
Seitenrippen besonders ausgezeichnet, welche ganz ohne Knoten sehr regelmässig, circa 15'"'" von einander
entfernt, von dem Mittelpunkte der Schale gegen den Rand verlaufen und dabei den breiten, scharfen Rücken-
kiel fast berühren. Auf den äusseren Enden dieser Rippen sieht man eine merkliche Verdickung in der Form
von breiten, flachen Knöpfen, die jedoch auf dem grössten Exemplare weit weniger scharf hervortreten, als
auf anderen Stücken von geringerem Durchmesser. Die Windungen umfassen sich beinahe bis zur Hälfte und
wachsen vom Mittelpunkte der Schale gegen den Aussenrand schnell an, indem dabei ein Nabel mit verhält-
nissmässig steilen W^änden und mit weniger deutlichen Rippen der Innenwindungen gebildet wird.

Auf diesem grössten Exemplare tritt die Zweitheilung der Kippen gar nicht hervor, dagegen erscheint sie
deutlich auf einem anderen Exemplare von bedeutend kleinerem, kaum 6°'" erreichendem Durchmesser, wo

1 Die Aiiimouiten der Kreide und die Systematik der Amraonitiden. Zeitschrift der Deutscheu Geologischen Gesellschaft.
Berlin 187').

Zur Kenntniss der mitfelcrefdciHchcn Cephdlopodeji-Faiiita der Jit.selii FAohi. '233

sich nicbrere Rippen, nngefälir in der halben Höhe der Winduni;- in zwei gleicli starke, secundärc Rippen
gabeln oder zwischen zwei regelmässig verlaufende Rippen sich eine kurze, aber scharf gezeichnete Sccuudär-
rippe von dem Aussenrande her einschaltet. Dieses Exemplar nähert sich im Allgemeinen der von Stoliczka
in seiner trefflichen Monographie der südindischen Cephalopoden , (Paleontologia indica, Taf. 28, Fig. 10
aus Moravior im Trichinoply-Distrikt abgebildeten Varietät der ScM. infiuta , und alle wichtigeren Merkmale, wie
die Grösse, die Zeichnung, der Verlauf der Rippen, die flache Nabelöifnung und der ganze Habitus stimmen
auf beiden Exemplaren vortretflich überein. Sogar die Spuren der Sclialensculptur, die hauptsächlich in feinen
auf Rippenenden verlaufendcMi Spirallinien besteht, lassen sich eben so gut auf dem indischen, wie auch auf
dem afrikanischen Exemplare beobachten. Stoliczka bezeichnet diese Form als die Varietät H der ScM.
infiata im Gegensatze zu breiteren Formen der Varietät I mit stärkeren Rippen und eine ähnliche Trennung
ist auch unter den Exemplaren von den Elobi-Iuseln leicht durchführbar, indem das erste, oberwähnte Exem-
plar der Normalform mit Knoten und mächtigen Rippen entspricht, während die Varietät \\ durch kleinere,
viel schmächtigere Exemplare vertreten wird.

Am deutlichsten tritt die Gabelung und das Einschieben von Secundärrippen auf einem dritten, stark
verdrückten Exemplare hervor, wo gegen den Schalenrand zu die Rippen immer mehr und mehr ver-
flachen und ausserordentlich feine, paralelle Linien die zierliche Oberflächensculptur vervollständigen.

Ausser diesen P^xemplaren, die durch den allgemeinen Habitus sich weit mehr den südindisclien Formen
als den aus Frankreich, England und Norddeutschland bekannten Typen der ScJd. iiiflatu nähern, befindet
sich in der von Dr. Lenz mitgebrachten Sammlung noch ein Bruchstück derselben Art, das in der Great-Fish
Ray an der Küste Benguelas südlich von Mosamedes im Jahre 1875 von Dr. Peschuel-Lösche gefunden
wurde. Dieses Bruchstück, welches hier seiner stratigraphischen Bedeutung wegen Erwähnung finden soll,
ist in dem feinkörnigen, eisenhaltigen Sandsteine so gut erhalten, dass die Schalendicke und der Verlauf des
Rückenkiels weit besser als bei den flachen Abdrücken von den Elobi-Inseln untersucht werden können. Auf
jenem Stücke sieht man keine Gabelung der Rippen; im Gegentheil, dieselben verlaufen regelmässig, fast para-
lell zu einander in gleichen Abständen bis an den Schalenrand und bilden nur an ihrer Externseite scharfe
Anschwellungen, welche an die Anfänge der Externknoten bei den westeuropäischen Formen erinnern. Man
könnte nun liuifen, wenigstens auf diesem Exemplare die deutliche Lobenlinie zu finden, leider aber vernich-
tete die, das Innere der Schale ausfüllende Gesteinsraasse die Kammerwände beinahe vollständig, und sogar
das Anätzen mit Salzsäure ergab keine Resultate.

Schi, infiata ist in Europa aus den mittelcretacischen Schichten Grosbritanniens, der Insel Wight, Süd-
und Central -Frankreichs, der westlichen Schweiz, der westphälischen und norddeutschen Kreide längst
bekannt, wie auch weiter im Osten aus den Nana- imd Penzeskut-Schichten des Bakouyerwaldes. Im südli-
lichen Ostindien tritt diese Species als ein charakteristisches Leitfossil in der Ootator-Group auf und nach den
älteren Angaben von Buch wurde sie auch in Südamerika gefunden. Coquand ' erwähnt ihr Vorkommen in
Djebel-Loha und Djebel Taskroun in der Provinz Constantine. Die älteren deutschen Geologen, wie Schlütter,
Strombeck und Geiuitz stellten die Schichten mit Schi, inßata in den oberen Theil des Gault, die engli-
schen, wieSowerby, Sharpe und Fitton und die französischen, wie Orbigny, Rietet und Reynes
hingegen zählten dieselben bald zum Gault bald zum Cenoman, bis die neuesten Arbeiten von Hubert und
Barrois zum wahren Vortheil der Sache die, Schi, infiata enthaltenden Schichten in entschiedenster Weise
als eine besondere Zone des Unter-Cenomans abgesondert haben.

Während mau früher dieser Art kein besonderes Gewicht beizulegen pflegte, ist sie jetzt mit Inocerami»
sulrafus und Tiiirilites Bergeri ein ausgezeichnetes Leitfossil des Beginnes der cenomanen Transgression
geworden, ebenso gut in Europa wie in Ostindien und mit grosser Wahrscheinlichkeit darf man das Auffinden
dieser Species noch an mehreren Punkten der ehemaligen untercenomanen Küste erwarten.

1 Coquand H. Geologie et Paläontologie de la region du sud de l.i i)rovince de Constantine. Möinoires de la societe
d'einulation de Provence. Vol. II. Marseille. 1S6-2.

Dankschrifteu der malUem.-nalurw.C;!. XLIX.BJ. Abhaudlungea von Nichtmitgliederu. 66

234 Ladialatis SzuJ nurhn.

2. Hchlöiibachia Len»i u. f.

Taf. II, Fig. 4.

Die äusserst feine und zierliche Ausbildung der sanft gebogenen Seitenrippen, welche sowolil auf dcnrj
Aussen-, wie auch auf dem Innenrande der Windungen kleinwinzige, längliclie, kuolenartige Ansclnvelliingen
bilden, wälirentl in der Mitte der Umgänge dieselben vollständig verschwinden, verleiht dieser Species, die
in der Lenz 'sehen Sammlung durch ein einziges, stark verdrücktes Exemi)lar vertreten ist, ein besonderes
charakteristisches Gepräge. Die volle Anzahl der Rippen lässt sich zwar nicht mit Gewissheit feststellen, doch
dürften ihrer mindestens 30 vorhanden sein und leichte .Spuren paraleller Spirallinien sind hier in der Nähe
der Ansciiwellungen am Externrücken leicht zu bemerken. Die Windungen umfassen sich bis über ^\ ihrer
Höhe und indem die Interuwände der AVindungen sich kaum merklich über den lunentheil der Embryonal-
Umgäuge erheben, entsteht eine ganz kleine und flache Nabelöifnung.

Obwohl der Habitus der Schale durch die starke Verdrückung dieses Stückes wesentlich verändert ist,
kann man diese Species als eine der flachsten Formen der Gattung Schlönbachia betrachten und zwar in der
Mutationsrichtung der, den Typus der ganzen Gruppe der Cristafi darstellenden Seid, costitla. Der Kückenkiel
in der Höhe von 2'"" verläuft regelmässig auf der Externseite und dürfte über den Schalenrand hinausgeragt
haben, ohne von den Externknoten, die im äusseren Habitus des Gehäuses gänzlich verschwinden, verdeckt
gewesen zu sein.

Diese kleine und zierliche Form scheint mit keiner bisher bekannten Schlönhitcltia-kxi identisch zu
sein, und wenn auch die zahlreichen Varietäten der SrhI. 'mßata vidlinhaltlich gewürdigt werden müssen,
erscheint die Trennung dieser Form von der letzteren jedenfalls angezeigt.

Bisher nur in einem einzigen Exemplare von den Elobi-Iuselu bekannt.

3. Schlönbachia iitflatiformi.s n. f.

Tat". III, Fig. 1, -2.

Zwei ganz ausgewachsene Exemplare, das eine vom Durchmesser von 11"", das andere vom Durclnucsser
von 15"" lassen sich weder in den Formenkreis der Schi, inflata, noch in den der verwandten Art Sclil. Cd/idiil/idiiii
einreihen, indem die regelmässig verlaufenden Kijipen nicht eine Spur \-on irgend welclien Verdickungen
oder Knoten aufweisen.

Ausserordentlich regelmässig treten die langen und verhältnissmässig scharfen Kippen in einer anderen
Weise als bei Schi, iiijhita iiervor, indem sie ihre grösste Höhe mehr weniger in der Hälfte des Windungs-
durchmessers erreichen, dagegen sowohl auf dem Aussen- wie auch auf dem Innenrande allmählig verschwin-
den unil mit dem übrigen Theil der Schale uniiierklich verschwimmen. Eine Gabelung derselben ist nicht zu
sehen und nur in den seltensten Fällen schiebt sich von dem Externrande her eine grössere Secuudärripj)e ein,
um sehr bald, meistens schon in der halben Windungshöhe zu verschwinden. So viel dies bei dem schlechten
pjrhaltnngszustande dieser Exemplare berechnet werden kann, düiite die Anzahl der Kippen in den engen
Greir/.en zwisclien 40 und 50 schwanken, wobei ungefähr dieselbe Anzahl auch auf den Embryonalwindungen
auftritt, auf welch' letzteren sich die Zwischenräume bedeutend verkleinern und die Kippen immer enger
zusammenrücken. Der Kückenkiel erreicht die Höhe von 4""", und auf seinem Kande erscheinen wieder die
feinen, paralellen Spirallinien, die, wie es scheint, ein gemeinsames Merkmal der Sciialcnsculptur aller Schlön-
bachien von den Elobi-Inseln abgeben.

I^ie Windungen umfassen sich ungefähr in '/r, ihrer Höhe, wodurcli auch die Nabelöftnung viel breiter
erscheint, während die sanft gerundeten Innenseiten derselben die Hrdie von 2 bis 3""" niemals überschreiten.
Was die Anzahl und den regelmässigen Verlauf der Kippen anbelangt, nähert sich diese neue Form einiger-
massen der Schi. Bouchanlinn i/Orb. und der Schi. Caiidolliatin Pictet, welche vonPictet in seiner Beschreibung
der cretacisehen Ablagerungen in der Gegend von Genf und St. Croix und späterhin von Stoliczka (Paleonto-
locjia iiidica, Taf. 30, Fig. 4) meisterhaft beschrieben und abgebildet wurden. Das vollständige Fehlen jeglicher

Zur K('Hiihih>< der inifti'lo'cfachche)! Ceplidlojtoilen-Fauna der Inseln Klohi. 235

Knoten und Rippenanschwellungcn bildet, wie oben erwähnt, ein charakteristisches Merkmal, durch welches
diese Form von zahlreichen Varietäten der Schi, inflata unterschieden werden kann , indem die letztere in der
Regel theils auf der Extern-, tlieils auf der Internseite der Windungen kleinere oder grössere Knoten aufweist.

Der allgemeine Bau dei' Rippen und der Schale erinnert ein wenig an Lytoceras rectisidcatum aus dem
oberen Neoeom, wenn auch das Auftreten des Rückenkiels diese beiden Gattungen auf den ersten Blick vi n
einander trennt. Ausser zwei oder drei gut erhalteneu Exemplaren dieser .Species betiuden sich i)i der Lenz'-
schen Sammlung noch zahlreiche Bruchstücke, welche höchst wahrscheiulieb der Schi, inßutiformis oder den
Zwiscbenformeu zwischen Schi, inßatifonnis und inflata zugezählt werden dürften; ihr schlechter Erhaltungs-
zustand macht jedoch die zweifellose specifische Bestimmung unmöglich.

Schi, /iiflatifornn'.';, welche eine von dem Grundtypus der Schi, inflata in einer der Schi. Candolliana und
Bouchardiana entgegensetzten Richtung abgeleitete Mutation darstellt, scheint in den Ablagerungen der El<il)i-
Inselu diese beiden nahe verwandten Arten gänzlich zu vertreten.

Die Lobenlinie war auch auf diesen Exemplaren nicht zu finden.

4. Schlönbachia ElohienMs u. f.
Taf. IV, Fig. 1.

Diese prachtvolle, nur in einem einzigen Exemplare von IS"" Durchmesser vertretene Species, unter-
scheidet sich durch die ausserordentlich feine und verzierte Schalenseulptur vollständig von allen anderen,
bisher bekannten Sc/ilünhachia-Arten. Paralelle, feine Spirallinien, die wir schon in ihren Embrydualstadieu
auf den Externknoten mancher Stücke der Schi. In/lufd, wie auch der Schi, inflatifonnif; gesehen haben, errei-
chen hier ihre grösste Ausbildung und bedecken die Flanken der Windungen vom Nabelrand bis zum Rückeu-
kiel vollständig. Auf der letzten grössten Windung sieht man 14 solcher Linien und vom Innern gegen den
Schalenrand zu treten dieselben innner schärfer hervor, indem sie dort, wo die gewöhnlichen, thichen Lateral-
rippeii von ilinen gekreuzt werden, sciir scharfe, längliche und verhältnissmässig hohe Knötchen erzeugen,
wodurch die ganze Schale ein zierliches, gestreiftes Äussere erlangt. Zum grössten Theile verlaufen diese
Spirallinien paralell zu einander, und nur an seltenen Stellen, vorwiegend auf den Lateralrippen, bilden sie
kleine, sanft ausgeschweifte, wellige Buchten. Durch diese Spiralstreifung verlieren die Lateralrippen stark
an Bedeutung und treten in den Umrissen der Schale keineswegs mit der ö'chärfe auf, wie es bei Schi, iiijlala
oder inflatiformh der Fall ist. So viel dies auf diesem einzigen Exemplare, dessen eine Seite übrigens stark
beschädigt ist, berechnet werden konnte, wird die vollständige Anzahl der Rippen auf der letzten Windung
auf 25 bis 30 anzunehmen sein und die einzelneu Intervalle überschreiten niemals die iireite vim 8 — ]()""",
während auf den älteren Windungen die Rippen viel mehr zusammengedrängt erscheinen und die Streifung an
Bedeutung verliert.

Die Innenwand einer jeden Windung erhebt sich unmerklich über die vorhergehenden Umgänge und die,
wenn auch ziemlich breite Nabelötfnung verschwimmt mit dem Inneren der Schale. Man sieht bei dieser Species
an den Rippen weder Knoten noch irgend welche Anschwellungen, nicht einmal an der Externseite, wo der
Rückenkiel von den Rippen berührt wird und dieselben mit dem Rückenrand allmählig verschwimmen, wie
das besonders deutlich au einigen weniger beschädigten Stellen des Exemplares gegen die Mündung der
Schale zu beobachtet werden kann.

Der Rückenkiel ist 4 — 5"'" hoch und seine feine Leiste tritt scharf aus dem allgemeinen Umrisse der
Schale hervor.

Der allgemeine Habitus dieser äusserst flachen, au die Schi. Lenzt sich anlehnenden Species und vor
Allem die regelmässige Streifung der ganzen Schalenoberfläche, lässt eine Verwechslung der Schi. El<ihien>ils
mit irgend einer anderen Art aus der CVj''ste/«-Gruppe wohl kaum zu. Sie stellt uns den, in der, durch gewisse
Varietäten der Schi, inflata und üandolliana augedeuteten Richtung am weitesten ausgebildeten Typus dar,
dessen Beginn das leise Auftreten der feinen Streifung auf dem Externrande bei diesen beiden Arten kenn-
zeichnet. Das allmählige Verschwinden der Rijjpeu, wie auch die bedeutende Klaeiiheit der ganzen Si liale

ee*

236 Lad i slaus Szajnocha.

uäliert andererseits die Srhl. Elobienaia der Sc/il. Leazi, dereu geringe Grösse jedoeh das beste Unterschei-
dungsmerkmal abgibt.

Von einer Lobenlinie ist bei diesem einzigen, sehr stark, weini auch glücklicherweise ohne Schaden fiir
die Oberflächensculptur verdrückten Exemplare nicht eine Spur zu entdecken.

Die oben beschriebene Cephalopodeu-Fauna von den Elobi-Inseln wird nun keineswegs als besonders
reich zu bezeichnen sein. Sie enthält, wie wir das sahen, nur vier Arten einer und derselben Gattung, von
denen drei sich als neu erwiesen, während nur eine zur sicheren Altersbestimmung der betreftenden Ablage-
rungen vei'wendet werden kounte. Diese eine Art Schi, inflata ist dennoch ein , für das unterste Cenoman so
charakteristisches Leitfossil, dass von einer Altersverwechslung nicht die Rede sein kann und wir die Cepha-
lopoden führenden Sandsteine der Elobi-Inseln mit vollster Sicherheit der Zone der Schi, inflaia oder der
untersten Abtheilung des Cenomans zuzählen dürfen.

Bei der Aufzählung der europäischen und indischen Fundorte der Schi, inflata wurde schon einmal
erwähnt, dass dieselbe mit allen ihren Varietäten ebenso gut in ganz Nord- und Südfrankreich, im Jura-
gebirge der westlichen Schweiz, wie auch in der westphälischen, norddeutschen und südenglischen Kreidepro-
vinz vorzukommen pflegt. Ewald, Strombeck, Schlütter und Geinitz betrachteten die, Schi, inflata füh-
renden Flammenmergel durchwegs als dem Gault angehörig, im Gegensatze zu den meisten französischen und
schweizerischen Geologen, die wie Reynes, Renevier, Rietet, Orbigny und Coquand die glaukoniti-
schen Mergel, Sande und Sandsteine mit Schi, inflata , Inoceramus sukatus und Titrrilites Berger i als sowojd
Gault wie auch Cenomantypen enthaltende Couches de passage bezeichneten.

Erst Hebert' war es vorbehalten gewesen, durch äusserst genaue Untersuchungen einzelner franzö-
sischer Kreidebecken, vor Allem der Becken von Paris und Uchaux, wie auch der Provence und der Tour-
raine, mit vollster Eviden''- zu zeigen, dass die echte Gault-Fauna mit der Cenoman-Fauna fast gar keine
nähere Verwandtschaft besitze, und dass das cenomane Meer viel grössere Flächen bedeckte, als die unter-
eretacischen Fluthen des Neocom und des Gault. Zu demselben Resultate gelangte Barrois ^ in seinen
Studien über die Kreide Grossbritanniens und der Insel Wight, wie auch Peron,^ Tribolet* und Carez'' in
ihren neuesten Arbeiten über die schweizerischen und südfranzösischeu Kreidebildungeu und die Frage der
Zugehörigkeit der Zone mit Schi, inflata zum untersten Cenoman oder der Craie glauconieuse der französischen
Geologen kann wohl heute als definitiv gelöst betrachtet werden.

Für die nordeuropäische wie auch für die hercynische Kreideprovinz von Böhmen und Sachsen und aus
dem Sudetengebirge, fehlen bisher solche vergleichende Studien; es unterliegt jedoch keinem Zweifel, dass
auch hier ähnliche Resultate erreicht werden dürften.

Im Bereiche der karpathisch-alpinen Kreide kennt man die Schi, inflata nur aus den Nana- und Penzes-
kutsehichten des Bakonyerwaldes, die ebenfalls dem Gault zugezählt werden; dieses isolirte Vorkommen ist

1 MatSriaux pour servir ä la description du terrain cr6tac6 sup6rieur en France. — Description du bassin d' Uchaux.
Annales des sciences göologiques. Vol. VI. Paris 1875.

- Reclierclie.s sur le terraiu er6tac6 supöriour de l'Angleterre et de l'Irlande. LiUe 1876.
Sur le (iault et sur les couches entre lesquelles il est coinpris daus le bassiu de Paris. Annales de la soci6t6 g6olo-
gique du Nord. 187.').

Oudulations de la craie dans le Sud de l'Augleterre. Annales de la soci6t6 göologique du Nord. 1875.
Etüde sur le Cönonianien et le Turonien du bassin de Paris. Annales de la sociÄte g6ologique du Nord. 1875.
Description göologique de la craie de l'lle de Wight. Annales des sciences göologiques. Paris 1875.
•' Nouvelles observations au sujet de la Classification du terrain cretac6 supörieur du midi. Bulletin de la soci6t6 g6o-
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Szajnoclia.ZurKenntnirs dejrmittelcretacischenCephalopoden-Fauaader Inseln Elobi

Taf i.

K..S.l,ü,..i u-A.], a Nai (;,.r. „ Ml,, KkHof-i. Ulaätsdrnckerei.

Deiiksrliriflc-n d.k. Akad.d.W.math.naturw.ClasspXLlX. Bd. n.Ablh.

Szainoclia: ZurKennlnifs der mittekrelacischeuCpphalopoden- Fauna der Inseln Elobi

Tai: II.

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Denksrhriftt'u d.k. Akutl.d. \V. innth.naüirvv.riasso XI.IX .Hd. li.Alilh.

Szajnocha:ZurKcnnlnirs der miUelcrelacischenrpplKilopodeii- Fauna der Inseln Klobi

Taf. II

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ifwr Kenvtniss der mittelcretacischen Cejjhalojwden-Faioia ehr Inseln Klohr. 237

jedoch noch zu wenig untersucht worden, um mit anderen, gleichaltrigen Vorkommnissen der übrigen Kreide-
provinzen verglichen werden zu können.

Wenn wir nun, nach dem bisher Gesagten, die Cephalopoden Fauna der Elobi-Inseln mit anderen Punk-
ten des Auftretens der Zone mit Seid, inßata vergleichen wollen, so ergeben sieh vor Allem zwei Äquivalente,
zuerst in den ostindischen Schichten der Ootator-Group aus Moravian und dann in der französischen Kalkfacies
aus dem Departement Tonne und Aube im Becken von Paris. Als Vergleichsmoment dient an allen diesen
Punkten das Auftreten zahlreicher Varietäten der ScJd. inflafa nebst anderen verwandten Arten, wie Schi. Can-
dolliaiia oder Sc/il. HucjanJiana und angesichts der verhältuissmässigen Armiith der Elobi Fauna darf die, viel-
leicht allzuwenig genaue Fixiruug des Horizontes nicht überraschen. Das vollständige Fehlen von Gastero-
poden oder Inoceramen, die in vielen Arten und Gattungen die Schi, inßata, hauptsächlich in den südfranzö-
sischen Becken in der Regel begleiten, ist für das Cenoman der Elobi-Inseln ein charakteristisches, negatives
Merkmal, dessen Analogon bisher aus Europa nicht bekannt ist. Viel entferntere Ähnlichkeit erkennen wir in
den Kreideschichten der Perte du Rhone, Saxonet oder des Zuges der Morgenberghornkette ^ südlich von Bern,
wo in allen diesen Gegenden einzelne Arten der Schlöiibachia-Gattaug in der Gesammtfauna die meistens über-
wiegende Majorität bilden. Noch weit weniger Analogie zur Fauna der Elobi-Inseln bieten uns die Vorkomm-
nisse der Zone mit Schi, inflafa aus Algier oder Süd-England.

Wie arm die CephalopodenFauna der Elobi-Inseln auch sein mag, beweist dieselbe doch mit genügender
Sicherheit, dass die weitgehende cenomane Transgression der mitteleuropäischen Kreide gegen Süden längs
der jetzigen Ufer des atlantischen Oceans bis an die Westküste Afrikas hin reichte, wo die mergeligen Saud-
steine mit Schi, inflafa von den Elobi-Inseln bis nach Mosamedes und Benguela einen schmalen Randstreifen
auf den westlichen Abhängen der hohen, krystaliinischen Gebirgszüge, Sierra da Cristal und Sierra Complida
darstellen.

Früher oder später werden höchst wahrscheinlich auch weiter gegen Norden zu an der Liberia- oder sene-
gambischen Küste Ablagerungen der Zone mit Schi, inflafa gefunden werden, die das Auftreten des Cenomans
in England und Südfrankreich mit den Vorkommnissen in Gabun und Benguela verbinden würden.

M. <le Tiiljolet. Geologie der Morgeuberghornkette und der angieiizendeu FlyseL iiiul ((ypuregiun um 'riiuuersee
Zeitsftlirift der deiitstlieii gecdugisdieu Gesellsehaft. Kerliu 1875.

(iaidt VDiu liiiiuiiissclialheig iiud oberhalb der AarbrUcke bei HeimwehHiih.

±$S L. ^ : . Ztrr K^vtiümisi^ d. m4adcrtämeis(iiai Cqtkthfmdtm -Fmmm «f. Jmxif» E^o^f.

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TAFEL in.

TAFEL IV.

Fu 'Ttf&adMfi jaribiaMBS. SU)L ru.li. Hjiäil.

2S9

DIE

CENTRALEN SONNENFINSTERNISSE

BKS

XX. JAHRHlMtEKTS.

D«- EDUABJ) ÜHLZB

TOB.<^£ I.E<^T IS I>EK. «ITZITX« AK !•. IlXCElIBSX. satS.

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Saralnm 19iX» — ^>X> «uttiBAendeB teatalat ^«anettSmter^se fs^- *" '^ Cenlnfilät ds ' . "!«,

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earre der CefltxafitÄi:. ;.:-Tie väi die Daaer der Yia^bamsi aai itec Cn^e der T4iäi&ä «der VSa^maä^kes. vqa
gTöester ^lefaüskeif »iad. jenem .CanoK- enfinHUBen wmden. bdos ieh dies fKrvmhebe. line i^ es rächt,
um mirfc etwa der YeiaatwocdiciikeiC Ifvr die räebäse Angabe der seimmtpn KlCTmaBie irad Sifi^^n»^ xa
eaiaä^Si: £et$e tr^ mätk vietaelff bb v^aKfc-ra Kiüse. inieat irfc öoer der za^mmBÖgtbsn Beefaier war.
die mi: der Bereeiuiaiiar der im CanuHi v^>rkA^inaidai Grössen beaami wiErdea. Wäite^Ki ibec issc Caaua
historis ehe Zweeke wtfoist und in ei^er Loöe dosi ^' --- ~iker en aneaf^äifides Haadlmeh sent ^>IL

ist die Torfieaea-ie Arbös aar jfo den Asirsaamea :z-^j z. Die eeatzaien FhiMbmifese. inidestniiere die

totaka. bieten larerese ym^, dass voa Sme der Tetsetiedenea Se^iaimg^ Expe&iaaea beiiB& s^Liaasr
6e4badüaa§ der bei öms soleben FinsKniis» außteteadaL Eiscbdmaag^ ae^ervsta wetdiai. Aaek sbc es
eine stanfiefae Ai>«i.i ^oa AstrooomaL. denen das VSMxsSsä^ daer groge^ Simai^mBStanBB ÜJlgfiriikeis Ueiis^
ihre ::>peciaRieobaehcnig^ bedntend ki — - -a vad & dedhafl» kdae ÜOie «haiia. selbä &t eat-
le^emstea Erdpaakte axhasa/Aen. am ihr : £ege Weise enöehea 2a käanea, v^raasgesetix. daas ikaea

fc Bvthi^a Geldannel ik- Tertagsoä; stehioi. S«II eine derarc^ £xpe<£E»a ihcea Aa%>ii^ afepreeiea^ so
ist es nochweadi^ da,S!> maa sieb ieeflizi^% &k dieselbe Tvcbenöu^ aJat» Bodtweidäg. daa§ maa daic EiBcreun
einer eensalea S<ma«afisscem£>$. 50wie Ort and I>ams' äier gröHC^ ^^»rhtbmfciat mägfriffc &A wits«e.
Diesem Zwecke s»H aaa die TwÄägen-:- i — -^ eatspr^''''-"! "^■=t aber £eseibe te^i^Sek mt Äaamitrmiem
bestimmt, so kt>nB£e töo Kaitea. ia doie - ^«a der : äs «imsesraiea werden. aÄseaebiai werdia.

240 Eduard Mahler.

da CS für jeden Astionomen, der die hier publicirtcn Tafeln benutzen wird, leicht sein wird, .sieh ein ßild über
den Verlauf der Centralitätscurve zu schaffen.

Wichtiger als dies schien mir von den Beschlüssen der im October I880 zu Rom getagten allgemeinen
Conferenz der europäischen Gradmessung und den Modificationen, die dieselben zu Washington von Seite der
vcrsciiiedcnen Regierungen erfuhren und von den Letzteren in dieser Form aucli im Principe angenommen wur-
den, hier Gebrauch zu machen. Es betrifft dies die Einführung des Meridians zu Greenwich als Ausgangs-
meridian bei Zählung der geographischen Längen (die von 0° bis 180° östlich und von 0° bis 180° westlich
gezählt und dadurch gekennzeichnet werden, dass die östlich gezählten Längen positiv, die westlich gezählten
Längen dagegen negativ genommen werden) und die Einführung einer am ganzen Erdballe einheitlichen Zeit,
der sogenannten Weltzeit. Dieselbe ist definirt als die von Mitternacht beginnende mittlere Greenwicher Zeit
und wird aus der bisher gebrauchten astronomischen Greenwicher Zeit erhalten, indem man zur Letzteren 12''
addirt. Die Einführung dieses Begriffes erforderte aber eine entsprechende Änderung des Datums. Denn
während bei der bisher in der Astronomie gebrauchten Greenwicher Zeit der Datumwechsel mit dem Eintritte
des Greenwicher Mittags stattfand, wird nach der Weltzeit der Datumwechsel mit Eintritt der Greenwicher
Mitternacht erfolgen. Nennt man dieses Datum „Weltdatum", so ist klar, dass das Weltdatum gegen das
sonst übliche astronomische Datum einen halben Tag voraus hat. Es hat aber die Einführung des Weltdatums
für uns in Europa den Vortheil, dass es sich mit dem bürgerlichen Datum so ziemlich deckt, was mir nament-
lich für die vorliegende Arbeit einigermassen wichtig schien.

Auch mtiss hervorgehoben werden, dass ich in Tafel III nur jene centralen Finsternisse aufgenommen
habe, die einen reellen Mittagspunkt haben, da Finsternisse, die statt eines Mittagspunktes einen Mitter-
naciitspunkt haben, oder solche, deren Mittagspunkt imaginär ist, von nur sehr geringer Bedeutung sind. Es
sind dies die Finsternisse mit den Nummern: 7429, 7438, 7481, 7491, 7499, 7524, 7532, 7562, 7564, 7572,
7602, 7604, 7611, die auch im Oppolzer'schen Canon als solche angeführt sind, und ausser diesen die
Nummern: 7448, 7455, 7456, 7498, 7588, die im Canon zwar einen reellen Mittagspunkt haben, da dort nur
auf die Centralcurve Rücksicht genommen wurde; berechnet man aber die Grenzcurven, so findet man,
dass bei den angeführten Nummern eine der Grenzcurven schon über den betreffenden Pol hinübergreift und
sonach einen Mitternaclitspunkt statt eines Mittagspunktes hat.

Die gebrauchten Grössen haben die von Oppolzer in seinen „Syzygien-Tafeln für den Mond"
(Publication der astronomisclien Gesellschal't XVI) eingeführte Bedeutung.

Was die Bearbeitung der Tafeln selbst betrifft, so sind — wie bereits oben erwähnt wurde — die in
Tafel I mitgetheilten Elemente, sowie die in Tafel II gegebenen Hilfsgrösseu G, K, — |ji, sin*/, sin/,-, li dem
Oppolzer'schen Canon entnommen worden und auf Grund dieser Grössen wurden die Constanten/»', q', r, *■,
'l + 'i'i, 7 — "ij/sino, u'; berechnet. Mit Hilfe dieser Daten unternahm ich die Berechnung der Tafel III, die
derart angelegt wurde, dass zu passend gewählten Stundeuwinkeln (^„=z Stundenwinkel bei Sonnenaufgang,

^„ + 20°, /„-t-40°, t„+<oi)° ^,— Stundenwinkel bei Sonnenuntergang) die zugehörigen Grenzpunkte der

Centralität berechnet wurden. Die Formeln, nach denen gerechnet wurde, finden sich auf Seite 53 der
genannten Syzygien-Tafeln und sind:

aüinA ■= sm(jsm{G + f) rt q'cost
acos^ = p'

sm(y,-^) = ^-^

'Kr=.t — ,u. -f >'siny, -|-«cos(/v'+ ^)cosy,
wobei in einem gegebenen Falle entweder nur die oberen oder nur die unteren Zeichen zu benützen sind. Bei
totalen Verfinsterungen gibt die Anwendung der oberen Zeichen die nördliche, die der unteren die südliche
Grenzcurve; bei ringförmigen Finsternissen findet das Umgekehrte statt.

Die Dauer der Totalität (t' positiv) oder Ringförmigkeit (r' negativ) ist in Einheiten der Zeitminute
angegeben worden, und zwar nach den (siehe ebenfalls auf Seite 53 der Syzygien) Formeln:

Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahrhunderts.

241

u = Ui — (1 — c)/,sinosinw, +qcoii^c(lSf^

I k'u

~ nk — cos y , sin k sin {K + f) )

wobei zu berücksichtigen ist, dass

log(l-c) = 9-9985, logfc' = 2-6612, logÄ: = 0-5820
ist.

Der Zeichenunterscbied bei der Dauer der Totalität und bei der der Ringförmigkeit kommt bei ring-
förmig-totalen Finsternissen besonders zu statten, insofern an jenen Stellen, wo die Finsterniss total ist, die
Dauer t' das + Vorzeichen hat, während au Stelleu, wo die Finsterniss ringförmig ist, das — Vorzeichen
erscheint. Die ringförmig-totalen Finsternisse unterscheiden sich hier in noch einer Beziehung von den übrigen
centralen Finsternissen. Um nämlich die einzelnen Grenzcurveu zu erhalten, sind die Zahlen, welche den
Paukten der nördlichen Grenzcurve angehören, in stark markirte Häuschen gesetzt.

Tafel I.

CO

W e 1 t z c i t

■S o
.. g

L'

z

2

P

(^

Xogp

log iL

logj

n'a

log^

S ^

S50

Gregorianischor ; JiilianisclRn-
Kalender Tag

H ^

7406

1900, V. 28. i4''49'"9

2415 i68-6i8o

66° 784

-o''^b

23°448

i7S°563

173° 149

0-7116

9-7415

8-7379

0-5442

7 • 6640

f.

17407

1900, XI. 22. 7 17-0

24i5 34*>-3035

239-558

— 3'49

447

357-605

359'355

0-7355

9-7113

8-7147

0-5682

7-6754

y.

>4o8

1901, V. 18. 5 38'o

2415523-2347

5" -5 75

—0-97

446

184-217

'83-035

0-6930

9-7615

8-7509

0-5336

7 - 0648

1.

'7409

1901, XI. II. 7 34-9

2415 700-3159

228-233

—4-01

44O

4-924

4-889

0-7447

9-0097

8-7061

0-5742

7-0744

i\

74U

1903, III. 29. I 20 4

2416 203-0000

7-192

+ 1-32

445

170-773

i73-'46

0-7227

9-7278

8-7273

0-555S

7-6700

r.

7414

1903, IX. 21. 4 304

2416379-1878

177-012

— 1-64

445

349-641

347-680

0- 7009

9-7527

8 • 7493

0-5404

7-6683

>.

7415

1904, III. 17. 5 38-8

2416557-2353

356-215

-f-2-l6

445

178-621

179-741

0-7413

9-7047

S- 7092 [0-5 700

7-6710

r.

7410

1904, IX. 9. 20 42-7

2416 733"S630

106-707

—0-71

445

358-009

558-040

0-6900

9-7044

S-7603

0-5332

7-6670

t.

7417

1905, III. 0. 5 19-8

24IÜ 91 I -222 1

344-987

+2-90

445

185-997

1S5-1S1

0-7431

9-7021

8-7074

0-5722

7-6732

r.

74 iS

I90S,VIII, 30. 1} 13-4

2417 088-5510

150-471

4-0-17

445

0-558

8-482

0-6995

9-7543

8-7503

0-5380

7-6658

t.

7422

1907, I. 14. 5 57-1

2417590-2480

292-934

-1-2-20

446

169-865

168-493

0-6934

9-7589

S-7565

0-5416

7-6771

t.

7423

1907, VII. 10. 15 lO- 7

2417 767-0366

107-197

+ I--25

445

353-422

353-705

0-7448

9-7020

S-7050

0 • 5600

7-0627

r.

74^4

190S, I. 3. 21 44' 2

2417944-9057

282-140

-t-i-og

44Ö

177-711

'78-525

0-0903

9- 7621

8-7599

0-5399

7-O773

f.

7425

190S, VI. 28. lö 31-9

2418 121-0888

96-528

+0-74

447

1-442

3S9'864

0-7379

9-7107

8-7121

0-5010

7-0027

r.

7420

1908. XII. 23. 11 49-5

2418299-4927

271-284

—0-22

447

185-619

1S7-946

0-7072

9-7440

8-7423

0-5502

7-0772

r.-t.

7427

1909. VI. 17. 23 28-8

2418475-9783

86-082

-I-0-I5

447

9-928

7-485

0-7168

9-7357

8-7325

0-5470

7-6629

t.

74-0

1910, V. g. 5 33-4

2418801-2315

47-71'

—0-92

448

348-825

348 • 248

0-6903

9-7039

8-759210-5327

7-0657

t.

7431

191 1, IV'. 28. 22 25-7

2419 i55'9345

37-50'

—0-63

449

357-320

358-805

0-0957

9-7580

8-75370-5305

7 -0068

t.

17432

1911, X. 22. 4 9-1

2419 332' '730

207-643

-3-81

449

176-503

'74-347

0-7285

9-7200

8-72080-5612

7-6722

r.

7433

1912, IV. 17. 11 39-8

2419 510-4800

27-084

— 0- 10

449

5-816

8-242

0-7170

9-7345

8-73230-5505

7-6681

r.~l.

7434

1912, X. 10. 13 40-7

2419 686-5699

196-880

-3-23

449

184-693

182-453

0-7052

9-7471

8-74420-5449

7-0708

t.

7438

1914, II. 25. 0 I -b

2420 189-001 1

33S'557

+3-35

449

350-052

348-726

0-7396

9-70608-7101 0-5705

7-6742

;-.

I7430

I9I4,VIII. 21. 12 20-9

2420 360-5187

147-586

-1-0-78

449 171-257

'73 "494

0-7049

9-7483:8-7441 0-5410

7-6650

t.

7440

1915, II. 14. 4 31-4

2420543-1885

324'4i3

-H3-59

448357-757

355-334

0-7196

9-73008-72940-5572

7-6753

/-.

7441

I9I5,V1I'. 'o- 22 52-0

2420 720-9528

137-201

4-1-31

447

179-847

182-035

0-7284

9-72208-7211 0-5554

7-6041

r.

7442

1910, II. 3. 16 t>-2

2420 897-6710

313-520

+ 3'47

447

5 "704

3 '942

0-6970

9-7550 8-7523 0-5433

7-0701

1.

7443

1916, VII. 30. 2 15-2

2421 075-0939

126-566

-t-i'Sö

447

188-017

18S-713

0-7436

9-70328-70630-5656

7-0034

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7448

1917, Xir. 14. 9 17-7

2421 577-3873

261-835

-1-38

440

349 '744

352-179

0-7140

9-73658-73540-5544

7-07O8

/-.

7449

1918, VI. 8. 22 3-2

2421 753-9189

77-270

—0-32

445

174-743

172-358

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9-743118-73920-5431

7-0633

t.

7450

1918, XII. 3. 15 19-2

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0-7363

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7-6703

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7451

1919, V. 29. 13 12-3

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7 - 6640

f.

7452

1919, XI. 22. 15 19-7 2422 285-6387

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-3-52

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4-557

0-7446

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7-6754

1:

7455

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H-o-49

443 170-297

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0-724!

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1:

745Ö

1921, X. I. .12 26- 1

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-2-56

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347-234

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t.

7457

1922, III. 28. "13 3-8

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7-073

-1-1-3'

443 178-196

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0-7419

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r.

745S

1922, IX. 21. 4 38-4

2423 319- '933

177-410

- 1 - 64

442 357"470

357-579

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t.

7459

1923, 111.17. 12 51-0 2423 496-5354

355'9"J

4-2-18

442'i85-646

184-726

0-7427

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7-6720

r.

7460

1923, IX. 10. 20 53-2 2423673-8703

167-107

^0-72

442 5-898

7-901

0- 7005

9-753o'8-7493 0-5394

7-0670

t.

7464

1925, I. 24. 14 45-62424 175-6150

304- 128

-f-3-06

443J169-S06

168-521

0-6928

9-7597|S-7S73o-54io

7-0767

t.

74Ü5

1925, VII. 20. 21 40-3

2424352-9030

117-610

-M-54

443

352-506

352-680

0-7449

9-7016

8-7055

0-5662

7-6630

r.

DenkschrifteQ dermathem.-Qaliirw. ül. XLLN.. Bd. AbliauJluagan vonNicUlmitgliudcrn.

ff

242

Ediinffl Mahl

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Weltzeit

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Kalender

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7501
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17547
7548
7549
7550

1926, T. 14. 6''35'"4
1920, VII. 9. 23 0-3

1927, I. 3. 20 29-0
1927, VI. 29. 0 32'o
1929, V. 9. 0 S'2

1929, XI. I. 12 o'6

1930, IV. 28. 19 9'6
1930, X. 21. 21 47"2
1932, III. 7. 7 44-5
i932,VIII. 31. ig 5,5-3

19331 11.24.
I933,V1II.2I.

1934, II, 14.
I934,VIII. 10.

1935, XII. 25.

193O. VI. 19.

1936, XII. 13.

1937, VI. 8.

1937, XII. 2.

1938, V. 29.

12 44'2

5 49' I

o 43"9

8 40-2

17 49-6

5 i5'2
23 25-6
20 34-4
23 II "5

14 O' I

1939, IV. 19. 16 35-2
1039, X. 12. 20 30-3

1940, IV. 7. 20 18 '7

1940, X. I. 12 41 'S

1941, III. 27. 20 I4"4

1941, IX. 21.

1943, II. 4.
1043, VIII. I.

1944, 1.25.
1944, VII. 20.

38-8
30-5

6-0

24'6

5 43"4

1945, I. 14. 5 7-0

1945- VII. 9. 13 3Ö-2

1947, V. 20. 13 44-1

1947, XI. 12. 20 I 'S

I94S, V. 9. 2 30-0

194S, XI. I. 6 2-7

1950, IX. 12. 3 29-

1951, III. 7. 20 51-6

1951, IX. I. 12 50-0

1952, II. 25. 9 i6'7

1952, VIII. 20.
1954. I- 5-
1954, VI. 30.

1954, XII. 25.

1955, VI. 20.

1955, XII. 14.
1950, VI. 8.
1958, IV. 19
195S, X.
IV.

2424530-2746

2424 700-9(127

2424884-8538

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2425 741-2557

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242Ü 271 -9078

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!4-0 2435 102-3153
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24-0

1959,

2. 20 51-8
8. 3 29-7

1959, X. 2.
igbu II. 15.
1961, VIII. 1 1.
1962, II. 5.
1962, Vit. 31,

3i'5
1 1 -o

35-9
II - 1

24-5

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2437 701-0077
2437877-5170

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282-487

96-523

48-120

21S-585

37-758

207-770

34''-54i

58 167

335 '474
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24-047
37-026

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87-728
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77-608
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198-609

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128-044
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58-699

129-593

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158-275
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147-524
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315-716
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Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahrhunderts

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9-7081
9-7662
9-7026
9- 7600
9 - 7046

9-7653
g- 7090
9-7496
9-7044
9-76i6

9-7194
9-7395
9-7459

9-9474
9-9452
9-9401
9-9398
9-9402

9-9406

9-9413
9-9500

9-9523
9-9533

9-9554
9-9571
9-9587
9-9739
9-9752

9-9756
9-9765
9-9760

9-9751
9-9748

9-9733
9-9715
9-9697

9-9549
9-95

9-9515
9-9506
9-9478
9-9406
9 - 9400

9-9397
9399
9-9402
9-94Ö9
9 9495

9-949S
9-9521
9-9534
9-9553
9-9715

9-9733
9-9738
9-9751
9-976S
9-9763

9-9751
9-9738
9-9721

9-9460
9-9441
9-9401
9-9399
9-9398

9-9402
9-9406
9-9517
9-9539
9-9550

9-9572
9-9589
9-9604
9-9728
9-9744

9-9748
9-9760

9-9753
9-9743
9-9739

7-6513
7-0569
7 -6062
7-6095
7-Ö63O

7-6691
7-6589
7-6449
7-6272
7-6401

7-6240

7-6377
7-6233

7-6504
7-6613

7-6580
7-6649
7-6669

7-6535
7-6626

9-9722

9-9727
9-9710
9-9566
9-9535 7-6407

9-9531
9-9491
9 ■ 9464
9 - 9403
9 - 9403

9-9397
9-9398
9-9398
9-9484
99510

9-9515
9-9537
9-9551
9-9571
9-9702

9-9675
9-9728

9-9743
9-9764

9-9757

9-9743
9-9747
9-9732

7-6461
7-6566
7-6387
7-6250

7-Ö294

7-6453
7-6509
7-6664
7-6677

7 -600
7 ■ 6696
7-6635
7-6511
7-6329

7 ■ 6449
7-6274
7 -6400
7-6241
7-6424

7-6559
7-6505
7-6610
7-6694
7-6671

7-6534
7-6027
7 6462

0-961 6
I -0061
1-1150
I.<i243
1-1364

I ,/092I

1-1327

o„S557

0-7577
o„742i

0-581S
o„5i76

0-3073
o„Soi4
0-8114

o»8755
0-8756
0,(8529
0-8664
o«7935

0-7665
o«7229
0-6138
i„i253
0-7787

o„8o5i
0-8736

0-9434
I - 1107
i„ii9i

1-1448

I„IOOI

1-1523

o„9567
0-8721

o„8S42

0-7489
o„7442
0-5983
0,(6832

0-7286

0-7997
0-8254
0,18859
0,(8529

0-8486
o„8i9i
0-7411

1-3956
1-3731
1-3719
1-3807
I -4001

1-3603
I -4210
1-4207
1-4158
1-4592

1-4054
1-4712
1-4140
I -4610
1-3960

1-4532
I -4069

1-3949
1-4586
I -4009

1-4490
I -42Ö8
1-4250
I -4146
1-4384

1-4340
I -4042

1-3831
1 -3753
1-3801

1-3997
1-3567

1-4159
1-4188
I -4069

1-4526
1-3992
1-4658
1-4111
1-4656

I - 40 1 1
1-4567
1-4123
1-4913
1-3973

1-4429

1-4235
I -4208

9,!5ii9
9«9944
9-9774
9 "4443
9-3224

9-6556
9„744i
9''9773
9-8434
9 «465 5

8,(7774
9-5865
9-9072
9-5054
9,(5041

9(,6i92
9-5S43
9-9589
9"9943
9-3661

9-3139
9,(6868
9-7640
9,(6880
9-5931

9-4283
9,(4886
9,(9852
9-9983
9.-4941

9-4270
9-6281
9,(6870
9,(9816
9-8872

9"4778
8-1761
9-5770
9,(8668
9-5920

9-5384
9"5473
9-5451
9-9691
9-3965

9,(4464
9((6774
9-7052

9,(5180
O(,oo36
9-9758
9.(4281
9-3716

9-6412
9„7io2
9,(9681
9-8343
9.-3854

8,(9643
9-6461

9..9213
9-5580
9.-5330

9-5762
9-5763

9-9503
9„976i

9-3375

9„2620

9,(6772
9-7583

9,(7061
9-62IÖ

9-4420

9-4954
9-9940
99981
9-4844

9-4711
9-Ö106
9„6465
9,(9721
9-8781

9-3988
8,(2455

9-t>377
9,(8810

9-6345

9-5634
9-5003
9-5401
9-9600
9-3692

9-4094
9-6671
9-6977

2i7°88
209-26
179-64
358-16
172-05

350-48
164-17
30S-94
122-38
298-48

112-65

287-04

102-15

47-88

216-64

34-86
203-90

332-44
142-04

319-45

129-29
306-83
117-42
65-59
237-77

55-57

227-59

218-39

187-38

5-94

179-69

358-35
171-90

318-95
132- II

309-09
122-89
298-22
112-88
60-19

229-64

47-54
217-07
345-86
^32-78

141-75
319-88
129-50

83°24

83-58
90- 1 1

90-57
92-41

92-84
94-45
95-96

95-15
94-62

93-70
92-77

91-95
86-73
86-97

87-08
87-75
92-54
93-08

93-'7

93-28
93-27
92-93
86-03
84-86

84-57
S3-71
83-28
87-78
88-19

90-10
90-51
92-46
96-68
96-23

95-99
95-23
94-57
93-73
86-97

86-70
86-73
86-95
91-43
92-49

93-08
93-16
93-30

320-25

91-42

8-37

108-24

239-46

27S - 12
210-99
10-47
244-Ü5
304-75

6-29

314-14
108-47

23-32
97-72

21
229

So

90

289-35

280-10

49-94

253-1O1
21 I -20
124-S4I
109-01
349-78

28S-

193-02'

323-46

250-82

349-01!

130-15;
152-351
108- II
250-26
136-09

183-85

254-751
194-83

358-17,
281-00

331-07
276-26]
107-80

161-49;

280-84!

149-14;
84-85
15-54

Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahrhunderts.
Tafel III.

247

Nördliche

Südliche

Nr.

Gattung und
Datum der

Stuudcuwiiikol

Dauer der
Finsternis.s

Z 0

n c

Finsteruiss

auf der f 'urve
der Centrealität

9

, X

<e

X

Minuten

— 97°29

+ i8''23

— iiO°79

+ '7°79

— ii6°7i

+ 0-6

— 77-29

+ 26-44

— 98-04

+25-79

— 98-49

+ 1-1

— 57-29

+34'oi

- 83-42

+33-28

- 83-24

+ 1-6

— 37-29

+39-94

— 69-74

+39-04

- 69-56

+ 2-1

f

— 17-29

+43-86

— 56-54

+42-92

— 56-42

+ 2-3

7406

+ 2-71

+45-71

— 43-27

+44-78

— 43-25

+ 2-4

1900, Mai 28

-+- 22-71

+45-51

— 29-57

+44-62

— 29-81

+ 2-2

-+- 42-71

+43-31

— 16-08

+42-46

— 10-25

+ 1-9

-+- 62-71

+39-01

— J-I3

+38-20

— 1-30

+ 1-5

+ 82-71

+32-74

+ 14-98

+32-13

+ 14-83

+ 1-0

+ 100-74

+ 25-77

+ 31-64

+ 25-34

+ 31-57

+ 0-6

— 92-22

~ 4-76

+ 2-76

- 7-39

+ 2-49

— 4-7

— 72-22

— 12-54

+ 20-82

— 14-98

+ 20-41

— 5-1

— 52-22

— 20- 10

+ 35-36

—22-36

+ 34-90

- 5-7

— 32-22

— 26-42

+ 47-62

-28-49

+ 47-25

— 6-2

)■

— 12-22

—30-81

+ 58-97

—32-80

+ 58-75

- 6-S

7407

1900, Nov. 22

-(- 7-78

-33-08

+ 70-34

—35-02

+ 70-31

- 6-4

+ 27-78

-33-17

+ 82 -26

-35-15

+ 82-41

- 6-3

+ 47-78

-31-05

+ 95-12

—33-16

+ 95-43

- 5-8

-t- 67-7S

— 2Ö-So

+ 109-52

—29-09

+ 109 90

— 5-3

-H 87-78

— 2O-O3

+ 126-35

—23-17

+ 126-69

— 4-5

-1- 97-01

— 17-27

+ 135-22

— 19-92

+ 135-50

- 4-7

— 79-59

— 26-43

+ 40-10

—28-26

+ 39-82

+ 3-0

— 59-59

— 18-76

+ 58-41

—20-78

+ 58-25

+ 3-9

— 39-59

— 11 -20

+ 73-40

— 13-37

+ 73-38

+ 5-1

t

— 19-59

— 4-91

+ 85-80

- 7-18

+ 85-89.

+ 6-2

740S

-1- 0-41

— 0-79

+ 96-90

— 3-03

+ 97-02

+ 6-7

1901, Mai iS

-(- 20-41

+ 0-78

+ 107-99

— 1-41

-+ 108-11

+ 6-4

-+- 40-41

— 0-34

+ 120- 17

— 2-45

+ 120-21

+ 5-4

-+- 60-41

- 3-63

+ 134-43

— 5-62

+ 134-60

+ 4-3

+ 85-49

— 11-78

+ 156-71

—13-57

+ 150-99

+ 3-0

- 76-65

+ 38-77

+ I2-7S

+ 34-97

+ 13-66

- 6-9

- 56-65

+ 31-72

+ 31-32

+28-10

+ 31-83

- 7-8

- 36-Ö5

+ 24-19

+ 46-26

+ 20-81

+ 46-40

— 9-0

/-

— 16-65

+ 17-45

+ 58-04

+ 14-27

+ 57-92

— 10-3

7409

1901. Nov. II

-+- 3-35

+ 11-86

+ 67-85

+ 9-50

+ 67-76

— ji-o

+ 23-35

+ 10-08

+ 77-94

+ 7-06

+ 77-59

— 10-5

-+- 43-35

+ 10-39

+ 89-32

+ 7-24

+ 88-88

— 9-3

-+- 63-35

+ 13-40

+ 103-44

+ 10-02

+ 102-83

— 8-0

H- 84-50

+ 19-14

+ 122-43

+ 15-44

+ 121-57

- 6-9

- 92-38

+40-98

+ 79-60

-H39-I5

+ 80-36

— 1-9

- 72-38

+43-37

+ 97-82

+41-73

+ 98-49

— 1-8

- 52-38

+48 -43

+ 1 12-91

+46 - 94

+ 113-48

— i-S

- 32-38

+55-29

+ 126-44

+53-77

-1-120-89

— 1-7

)'

— 12-38

+ 62-41

+ 140-40

+O0-S0

+ 140-46

— 1-7

7413

+ 7-62

+08-30

+ 156-04

+66-70

+ 156-0(1

— 1-8

1903. Mlirz 29

-+- 27-62

+72-51

+ 173-38

+ 70-83

+ 173-13

- 1-8

+ 47-62

+ 75-01

— 168-15

+ 73-34

— 168-63

— 1-8

+ 67-62

+76-24

— 149-00

+74-56

— 149-63

— 1-9

-t- 87-62

+ 76-47

— 129-41

+74-71

-130-13

— 1-9

+ 100-57

+ 7Ö-08

— 116-55

+74-23

— 117-30

— 1-9

— 88-70

-45-60

+ 31-53

-45-77

+ 31-47

+ 1-5

— 68-76

— 46 - 70

+ 49-88

-48-83

+ 49-02

+ 1-9

t

— 48-76

—50-97

+ 65-28

—53-55

+ 64-39

+ 2-2

7414

1903 Sept. 21

— 28-76

—57-73

+ 79-26

—00-68

+ 78-52

+ 2-3

— 8-76

-65-13

+ 93-91

—68-64

+ 93-52

+ 2-2

+ 11-24

— 72 ■ 20

+ 110-46

-75-22

+ 110-59

+ 1-9

248

Eduard Mahler.

Gattimg und

Nördliche

Südliche

Dauer der
Fiustcrniss

Nr.

Datum der
Finstei-uiss

Stimdenwinkcl

Z 0

n 0

auf der Curve
der Centralitiit

V

\

0

\

Minuten

+ 3i''24

— 76°8i

+ 128=82

— 79°44

+ i29°34

+ 1-7

+ 51 '24

— 79'53

+ 148-16

—81-72

+ 148-89

+ 1-6

+ 71-24

-80-77

+ 167-89

-82-76

+ 168-60

+ ■■5

+ 81-73

— Si-29

+ 178-42

-83-12

+ 179-1S

+ 1-5

— 90-27

- 8-77

+ 35-91

-11-42

+ 36-07

-5-4

— 70-27

— 8-34

+ 54-15

— lo-So

+ 54-33

— O'o

— so■2^

- 5-82

+ 69-02

-~ 8-15

+ 09-27

-6-8

~ 30'27

— 1-42

+ 80-95

- 3-67

+ 81-28

-7-7

;•

— 10-27

+ 4-34

+ 90-88

+ 2-14

+ 91-23

-8-2

7415

1904, M;ii-z 17

+ 9 '73

+ 10-73

+ 100-25

+ 8-52

+ 100-56

-8-2

+ 29-73

+ 16-S1

+ 110-69

+ •4-54

+ 110-89

—7-5

-1- 49"73

H-2I-80

+ 123-45

+ 19-42

+ 123-49

-6-6

+ 09-73

+25-18

+ 139-09

+22-69

+ 138-98

—5-9

+ 89-29

+2Ö-69

+ 157-26

+24-04

+ 157-08

-5-4

— 90-72

+ 8-62

+ 162-86

+ 6-92

+ 162-73

+ 2-9

— 70-72

+ 9-58

-178-67

+ 7-56

— 178-82

+4-2

— 50 "72

+ S-33

— 163-09

+ 5-97

— 163-31

+5-7

— 30-72

+ 5'07

— 149-99

+ 2-42

— 150-29

+ 7-2

t

-- 10-72

— 0-01

-138-65

— 2-82

— 139-02

+8-2

741U

1904, Sqit. 9

+ 9 • 28

-1- 29-28

— Ö-26

—12-80

— 127-90
— 11 6 - 49

- 9-08
— 15-47

— 128-30

— 116-69

+8-1
+ 6-9

-h 49 '28

— ls-64

— 102-98

21 -oS

-103-01

+5-3

+ 09-28

—23-29

— 86-81

25-22

- 86-73

+4-0

+ S7'37

—25-91

— 09-81

-27-57

— 69-67

+2-9

— 97'54

— 50-22

+ 31-79

—53-62

+ 30-75

-5-6

" 77 '54

-51-55

+ 50-94

—54-99

+ 49-93

—6-2

- 57-54

— 51 '24

+ 6S-85

-54-69

+ 67-O9

-6-9

— 37 '54

-49"32

+ 84-43

—52-82

+ 83 -97

-7-2

r

— >7'54

-45-76

+ 98-63

-49-35

+ 98-64

—7-5

7417

+ 2-40

— 40-O4

+ 1 1 1 - 09

—44-31

+ 111-59

—9-1

1905, Mutz 6

-h 22-40

—34-37

+ 122-32

-38-07

+ 1 23 - 2 1

—9-1

+ 42-40

-27-79

-l-i 33 -59

-31-47

+ 134-68

-8-4

H- 02-40

— 21-93

-hl 40-00

-25-52

+ 147-73

-7-2

-h 82-4Ö

— 17-69

+ 162-S3

21-21

+ 163-89

—61

-h 91-04

-16-43

+ 171 -87

-19-96

+ 172-91

-5-7

— lOI 'Ol

+ 50-83

— 9'J'35

+ 49-49

— 96-02

+ 1-9

— Si -Ol

+ 53-33

- 77-17

+ 51-88

- 76-78

+2-3

— 01-01

+ 54-18

— 59-30

+ 52-62

- 58-94

+2-7

— 41 -Ol

-i-54-7i

— 42-80

-^51- 74

- 42-37

+3-2

f

— 21 -Ol

+ 51-02

— 27-14

+49-31

- 27-09

+ 3-6

7418

i-oi

+46-94

— 12-99

+45-03

— 13-17

+ 3-9

1905. Aiig-. 30

-1- 18-99

-f 41-30

— 0 • 0 1

+ 39-32

— 0-41

+4-0

+ 38-99

+34-61

+ 12-50

+32-71

+ 11-99

+3-7

+ 58-99

+ 27-82

+ 25-93

+26-09

+ 25-42

+3-0

+ 78-99

+22-07

+ 4' -76

+20-56

+ 41-35

+2-3

+ 93-06

+ 19-14

+ 54-90

+ 17-83

+ 54-57

+ 1-9

— 01-07

-1 51-51

+ 41 -78

+49-80

+ 42-33

+ 1-4

- 41-07

+ 43-91

+ 59-97

+ 42-09

+ 60-37

+ 1-9

l

- 21-07

+ 39-80

+ 74-87

+37-89

+ 75-IO

+2-4

7422

-- 1-07

+ 39-65

+ 88-05

+37-69

+ 88-10

-h2-6

1907, Januar 14

-h iS-33

+ 43-53

+ 101-51

+41-56

+ 101-35

+2-3

-H 38-33

+ 50-94

+ 117-26

+48-96

+ Il6-qo

+ 1-8

-!- 53 '20

+ 58-01

+ 131-31

+56-10

■f-l30-74

-1-1-4

Die centralen, Sonnenfinsternisse des XX. Jalirhtmderts.

249

Nördliche

Südliehe

Gattung und
Datum iltM-

Dauer der

Nr.

Stunden wiukel

Zone

Finsterniss

Finstcvniss

auf der Curve

?

X

V

X

der Centialität

Minuten

— 73''62

-33°iS

— ioo°09

-3Ö»2g

— IOI°OI

—5-1

— S3"62

—25 26

- 82-34

— 2S-01

— 82-87

—5-7

— 33-62

— 19-36

- 68-44

— 2i-8r

— 68-71

-6-4

r

— 13-62

— 16-27

— 57-23

—18-56

— 57-34

—7-0

7423

1907, Juli 10

+ 6-38

-16-36

— 47-10

— iS-64

— 47 -oS

— 7- 1

-t- 26-38

— ig-62

— 36-34

—22-04

— 36-17

—6-6

-1- 46-38

— 25-60

— 23-29

—28-40

— 22-86

-5-8

-t- 66-38

-33-66

- 6-57

—36-73

— 5-76

—5-2

+ 71-79

—35-95

— 1-35

-39-13

— 0-43

—5-1

- 85-39

+ ii-3i

+ 154-43

+ 10-36

-+-154-51

+ 1-0

— 65-39

-H 3-II

+ 172-63

+ 1-95

+172-65

+2-3

— 45-39

- 3-8S

— 172-47

— 5-15

—172-51

+3-2

— 25-39

— 8-67

— 159-87

— 10-03

—159-90

+4-0

7424

t

- 5-39

— 10-89

-148-43

— i2-2g

—148-44

+4-5

igo8, Januar j

-4- 14-Ö1

— 10-43

— 137-21

— 11-84

—137-19

-t-4-3

+ 34-61

— 7-30

— 125-34

— 8-66

—125-35

-+-3-7

+ 54-61

— 1-70

— iu-85

— 2-93

-111-83

+2-8

+ 74-ÖI

+ 5-82

— 92-38

-h 4-75

— 95-61

+2-0

-+- 85-77

+ 10-45

— 84-96

+ 9-51

- 85-05

+ 1-0

— 91-97

+ 5-45

— 130-0S

+ 3-71

— i2g-g7

—3-1

— 7>-97

+ 14-01

— 112-18

+ 12-49

— ni-97

—rz

— 5'-97

+ 21-67

— 97-72

+20-36

— 97-50

-3-5

— 31-97

+27-45

- 85-34

+2O-29

— 85-17

— 3-0

)•

— ii-g7

+30-93

- 73-83

+29-84

— 73-75

-3-7

7425

igo8, Juni 28

+ 8-03

+32-05

— 62-46

+30-98

— 62-47

—3-7

+ 28-03

+30-78

— 50-77

+29-65

— 50-8S

-3-7

-t- 48-03

+27-15

- 38-27

+25-90

- 38-46

-3-5

+ 68-03

+21-24

— 24-18

+ 19-80

- 24-38

—n

+ 88-03

+ 13-49

— 7-95

+ 11-82

— 7-45

—3-2

-t- 94-30

+ 10-83

— 1-24

+ 9-09

- 1-35

—3-1

— 100-37

— 22-47

— 73-25

—22-89

— 73-33

— 0-6

- 80-37

-31 -68

— 55-12

—31-89

- 55-iS

—0-3

— 60-37

— 40-37

-40-24

- 39-87

— 40-26

— 39-87

o-o

+0-2

—40-84

- 25-83

—40-94

- 25-80

r—t

- 20-37

— 51 -21

— 11-92

-51-37

— 11-95

+0-4

7426

1908, Dec. 23

^ 0-37

—53-49

+ 2-28

— 53-04

+ 2-27

+0-4

H- 19-63

-53-79

+ i6-8i

-53-92

+ 16-Si

-1-0-3

+ 39-63
+ 59-63

—52-14

-+- 31-57

-52-22

+ 31-59

+0-2
0-0

-48-42

+ 46-07

-48 -43

+ 46-07

+ 79-63

-42-36

+ 02-51

-42-52

+ 62-55

— 0-2

-+-105-48

—31-59

+ 85-S2

—32-04

+ 85-92

-°-5

— 1 20 - 5 I

+50-09

+ 82-03

+50-00

+ 82-07

+0-1

— 100-51

+02-45

+ 99-32

+61-84

-+- 99 -58

-t-o-3

— 80-51

-+-76-35

+ 113-17

+74-98

+ 113-81

+0-S

— Ü0-51

+84-83

+ 12S-8S

+83-40

-f-i2g-5o

-t-o-S

— 40-51

+87-30

-1-147-56

+80-39

+ 147-85

+0-5

— 20-51

+ 88- 10

+ 107-03

+S7-42

+ 167- lO

-ho-s

t

- 0-51

+ 88-42

-173-28

+87-84

— 173-27

+0-S

7427

-H 19-49

+88-49

— 153-54

-+-87-97

— 153-61

+0-S

190g, Juni 17

+ 39-49

+ 88-37

— 133-79

+87-80

— 133-96

-HO -5

+ 59-49

+88-01

— 114-12

+87-30

— 114-40

+0-S

-t- 79-49

-+-87-04

— 94-70

+86-15

— 95-"

-+-0-5

-h 99-49

+83-82

— 70-24

+82-69

— 76-70

-[-0-4

+ 119-49

+ 74-14

— 59-89

+72-27

— 60-62

+0-3

+ 138-53

+60-74

— 43-23

+60-66

— 43-24

+0-1

Denkschriften der mathem.-natuiw.t:!. XLXl. Bd. Ahhsiiidlungen vonNichlinilgliedein.

gg

250

Eduard Makler.

Nördliche

Südliche

Nr.

(iattuug und
Datum der

Stuudcuwiukel

-

Dauer der
Finsteruiss

Zone

Fiusterniss

auf der Curve
der Centralität

'?

X

?

X

Minuten

— 79°29

—36-21

+ I48°44

-37°55

+ I49°43

+ 2-3

— 59-29

-29-58

+ 167-13

—31-19

+ 167- II

+3-1

— 39-29

—20-37

— 177-31

— 22-22

— 177-20

+3-9

— 19-29

— 9-67

— 165-02

— 11-66

-164-72

+4-9

t

+ 0-71

+ 0-64

— 154-72

- 1-36

-154-35

+5-4

743'

191 1, April 28

+ 20-71

+ 8-76

— 144-38

+ ü-86

— 144-06

+5-3

+ 40-71

+ 13-8-S

— 132-52

+ 12- II

-132-30

+4-5

+ 60-71

+ 15-65

— 118-42

+ 14-00

-118-27

+3-6

-H 80-71

+14-17

— loi -76

+ 12-76

— loi -64

+2-8

+ 92-77

+ 11-69

— 90-30

+ 10-36

— 90-17

+2-3

— 79-3I

+45-78

+ uo-40

+44-04

+ Ö0-67

—rz

— 59-31

+40-54

+ 79-35

+38-87

+ 79-49

-3-4

— 393«

+32-49

+ 95-53

+30-92

+ 95-49

—3-6

— 19-31

+22-14

+ 108-24

+20-68

+ 108-04

—3-7

>•

-t- 0-Ö9

+ 1 1 -06

+ 1 18-09

+ 9-74

+ 117-S2

-3-9

7432

191 1, Ott. 22

+ 20-69

+ 1-41

+ 127-22

+ 0-15

+ 126-94

-3-8

+ 40-69

— 5-34

+ 137-81

— 0-63

+ 137-56

—3-7

+ 60-69

- 8-63

+ 151-04

— 10-04

+ 150-81

—3-5

+ 80-69

— 8-40

+ 167-43

- 9-98

+ 167-19

—3-4

H- 9>-44

- 6-79

+ 177-66

- 8-52

+ 177-40

—d,-3,

— 90-90

+ 5-13

— 61-19

+ 4-69

— 59-09

—0-7

— 70-90

+ 10-67

— 43-25

+ 10-49

— 43-23

—0-4

— 50-90

— 30-90

+ 19-60

— 29-30

+ 19-57

— 29-29

— o- 1

+0-2

+30-78

— 18-23

+30-08

— 18-20

/■— /

— 10-90

+41-72

- 7-48

+4i-t)0

— 7-45

+ 0-2

7433

igi2, April 17

-t- 9-10
4- 29-10

+ 50-40

+ 5-05

+ 50-34

+ 5-06

+0-I
— 0- I

+56-22

+ 19-S5

-H56- 17

+ 19-82

H- 49' 'o

+ 59-51

+ 3'J-3i

+59-37

+ 36-30

—0-3

-+- 69-10

+60-64

+ 54'o2

+60 42

+ 54-02

—0-4

-+- 89-10

+ 59-80

+ 72-62

+59-49

+ 72-54

—0-6

+ 106-45

+57-45

+ 89-54

+56-98

+ 89-43

— 0-7

- 89-5Ö

+ 3-97

— 92-48

+ 3-66

— 92-54

+0-S

— 69-56

— 0- II

— 74-40

— 0-57

— 74-91

+ 1-0

— 49-56

— 7-69

- 59-82

— 8-46

— 00 -Ol

+ 1-6

— 29-56

— 18-03

— 48-45

— 18-96

- 48-71

+ 2-0

*

— 9-5Ö

— 29-28

— 38-28

— 30-26

- 38-50

+ 2-2

7434

+ 10-44

-39-25

— 26-93

—40-15

— 27-07

+ 1-9

1912, Oct. 10

-+- 30-44

—46-61

— 13-26

-47-35

— >3-27

+ 1-6

+ 50-44

—51-13

+ 2-60

-51-73

+ 2-66

+ 1-2

+ 70-44

—53-17

+ 20-12

—53-64

+ 20-21

+0-9

+ 90-44

—52-93

+ 38-96

-53-28

+ 39-02

+0-6

+ 08-59

— 52-20

+ 47-00

—52-49

+ 47 -on

+0-5

— 130- I 1

+72-43

— 121-30

+70-91

— 120-89

+ 1-2

— HO- II

+76-59

— 101-68

+ 75-15

— loi - 17

+ 1-4

— 90- II

+ 78-62

— 82-27

+77 -24

- 81-77

+ 1-6

— 70-11

+79-37

— 62-97

+ 78-00

— 62-53

+ 1-7

— 50- II

+ 79-10

— 43-82

+77-64

— 43-46

+ 1-8

t

— 30- II

+ 7770

— 24-95

+76-08

— 24-75

+1-9

7439

— IQ- I I

+ 74-65

- 6-74

+72-70

— 6-79

+2-0

19 14, August 21

H- 9-89

+68-76

+ 10-04

+66-45

+ 9-62

+2-2

+ 29-89

+58-87

+ 24-25

+56-40

+ 23-48

+2-4

-+- 49-89

+46-12

+ 36-18

+43-95

+ 35-34

+2-3

+ 69-89

+34-24

+ 48-89

+32-53

+ 4823

+ 1-9

+ 89-89

+26-00

+ 65-25

+24-72

+ 64-80

+ 1-4

+ 95-51

+24-52

+ 7067

+ 23-33

+ 70-27

+ 1-2

Die ceiifmleii Sonnmfiiisfernme des XX. Jahrhundert fi

Nördliche |

Südliche

Dauer der

Gattung mid

Fiusterniss

Nr.

Datum der
Fmstevni?s

Stundeuwiiikel

Z 0

n e

auf der Curve

X

der Centralität

y

/,

?

Minuten

— 99°86

— 35°34

+ 42°54

-36°54

+ 42°42

— 2-2

- 79-86

-38-89

+ 61-41

— 39-91

+ 61-29

— 2-2

- 59-86

—39-76

+ 78-31

—40-63

+ 78-24

—2-1

- 39-86

—37-99

+ 93-41

—38-82

+ 93-41

— 2-2

r

— 19-86

-33-52

+ io6-6o

-34-23

+ 106-68

— 1-9

7440

1915, Febr. 14

+ 0- 14

—26-20

+ 117-83

—26-88

+ 117-98

— 1-9

+ 20-14

— 16-43

+ 127-77

-17-16

+ 127-94

— 2 0

+ 4°- 14

— 5-60

+ 138-20

— 6-43

+ 13S-39

—2-0

+ 60 • I 4

+ 4-35

+ 151-32

+ 3-36

+ i5i'49

— 2- I

-1- 80-14

+11-83 ;

+ 168-24

+ 10 69

+ 168-37

2-1

-h 86-86

+ 13-64

+ 174-77

+ 12-45

+ 174-88

— 2 2

— 96-92

+23-84

+ 129-03

+ 22-86

+ 129-64

— 1-8

— 76-92

+27-96

+ 148-14

+27-17

+ 148-17

— 1-7

— 56-92

+29-18

+ 164-15

+28-55

+ 164- 16

— 1-6

— 36-92

-)-27-53

+ 178-00

+27-03

+ 177-98

— 1-5

r

— 16-92

+22-99

— 170-18

+ 22-53

— 170-24

— 1-4

74+1

1915, August 10

H- 3-08

+ 15-60

— 160-04

+ i5-'5

— 160-13

— 1-4

+ 23-08

+ 5-93

— 150-46

+ 5-44

— 150-56

— 1-5

-t- 43-08

- 4-57

-139-41

- 5-21

-139-52

— 1-6

+ 63-08

— 14-04

— 125-08

-14-86

— 125-15

— 1-7

+ 83-60

— 21 -29

— 106-44

—22-27

— 100-44

-1-8

— 87-81

+ 7-47

— 122-22

+ 6-97

-121-79

+0-9

— 67-81

+ 3-37

— 103-82

+ 2-60

— 103-67

+ 1-1

- 47-81

+ 2-90

— 89-04

+ 1-98

— 88-90

+2-1

t

— 27-81

+ 6-17

— 76-90

+ 5-07

- 76-70

+ 2-7

7442

- 7-81

+ 12-96

— 66-29

+ .I-8I

— 66-11

+2-9

1916, Febr. 3

+ 12-19

+ 22-57

- 55-58

+21-43

— 55-46

+2-5

+ 32-19

+33-33

— 42-67

+32-32

— 42-68

+ 1-9

+ 52-19

+43-09

— 26-41

+42-30

— 26-50

+ 1-6

H- 69-64

+49-64

— 9-80

+49-05

— 9-93

+0-9

— 79-5'

—26-83

+ 90-01

—30-39

+ 87-14

-5-1

— 59-5'

— 22-26

+ 107-48

—25-53

+ 106-47

—5-9

— 39-5'

—22-18

+ 120-92

—25-37

+ 120-09

—6-8

y

— 19-5'

—26-57

+ 131-7Ö

—29-93

+ 131-09

—7-2

7443

1910, Juli 30

+ 0-49

—35-04

+ 142-13

—38-86

+ 141-75

-7-0

-H 20-49

—46-31

+ 154-73

—50-74

+ 154-97

—6-1

+ 40-49

—57-63

+ 171-39

—62-49

+ 172-49

—5-4

+ 48-02

— öl -29

+ 178-61

— 66-IÖ

+ 179-99

— 5-2

— loi -öS

+ 2Ö- 16

+ 129-72

+ 25-56

+ 129-84

+0-S

— 81 -68

+ 34-73

+ 147-95

+33-98

+ 148-15

+ 1-3

— 61-68

+42-0!

+ 163-66

+41-03

+ 163-93

+ 1-8

— 41-68

+47-30

+ 178-1S

+46-26

+ 178-42

+2-2

/

— 21-68

+ 50-43

— 167-65

+49-36

— 167-51

+2-4

7449

— 1-68

+ 51-53

— 153-51

+ 50-46

-153-50

+2-5

1918. Jiiui S

+ 18-32

+ 50-67

-139-39

+49-59

— 139-51

+2-5

+ 38-32

+47-82

— 125-25

+46-77

-125-48

+2-2

+ 58-32

+42-82

— 110-87

+41-83

— 11113

+ 1-8

+ 78-32

+ 35-77

— 95-46

+34-91

— 95 -öS

+ 1-4

+ 101-54

+ 25-90

— 74-57

+ 25-28

— 74-70

+0-8

— 94-37

— 9-31

— 119-05

-12-15

-119-38

—4-9

— 74-37

-17-56

— 100-97

— 20- 19

— 101-43

—5-4

— 54-37

— 24-96

— 86-26

-27-38

— 86-73

— 6-0

r

— 34-37

— 30-60

— 73-55

-32-83

— 73-93

-6-5

7450

1918, Dec. 3

— 14-37

— 34-05

- 61-72

-36-16

— Ö1-93

—6-8

-6-0

+ 5-63

— 35-26

— 50-06

—37-34

— 50-03

-(- 25-63

—34-21

- 38-15

—36-34

— 37-93

—6-7

+ 45-63

—30-90

— 25-60

—33-19

— 25-21

— 6 1

or^Q

Efliiard Makler.

( iMttuii;:;' uiiil

NöriUiclie

SüiUii-lie

Dauer der

Finsteniiss

Ni-.

D.itimi iler
l'iüsterniss

SMinflenwiiikfl

Z 0

n e

mit' der Curvc

der Centralität

V

).

?

'/,

Minuten

-+- 65°63

-25''43

— ii''69

-27°9i

— Il°23

— 5-7

+ 85-63

— lS-12

+ 4-66

—20-85

+ 5-08

— S-2

+ 96-27

-13-78

+ 14-79

— 16-64

+ 15-12

— 4-g

-^ Si-99

--I8-70

- 75-27

— 20- 10

— 75'44

+ 3-1

— 61-99

—10-59

— 57-09

— 12-54

— 57-20

+ 3-9

— 41-99

— 3-27

— 42-27

- 5-27

— 42-26

+ 4-8

— 21-99

+ 2-19

— 30-43

+ 0-2I

— 29-81

+ 5-7

/

— 1-99

+ S-23,

— 18-60

+ 3-24

- 18-59

+ 6-1

7451

10 19, Mai 20

-t- iS-oi

+ 5-58

— 7-51

+ 3-60

— 7-47

+ 5-9

+ 38 'Ol

+ 3-21

+ 4-55

+ 1-26

+ 4-25

+ 5-1

-4- 58-01

— 1-66

+ 18-52

— 3-60

+ 18-41

+ 4-2

+ 78-01

— 8-69

+ 35-44

— 10-49

+ 35-62

+ 3-4

+ 85-10

- 1 1 • 38

^ 42-27

- 13-25

+ 42-49

+ 3-1

— 77-17

+ 33-56

— 103-14

+ 29-67

— 102-32

- 7-2

— 57-17

+25-67

- 84 -83

+ 22-02

- S4-3Ö

— 8-2

— 37-17

+ 18-08

— 70-33

+ 14-71

— 70- 21

— 9-5

r

— 17-17

+ 12-08

- 58-91

+ 8-85

— 58-99

-10-8

7452

M

+ 2-83

+ 8-39

— 49-05

+ 5-32

— 49-22

-11-5

1919, Nov. 22

+ 22-83

+ 7-53

— 39-11

+ 4-46

— 39-35

— 10-9

+ 42-83

+ 9-55

— 27-6S

+ 6-31

— 24-08

- 9-6

-(- 62-83

+ 14-23

— 14-44

+ 10-72

— 13-99

— 8-2

+ 82-S2

+21 02

+ 3-64

+ 17-20

+ 3-79

— 7-2

— 89-63

— 6-29

- 75-87

— 8-88

- 75-63

— 5-2

- 69-63

— 4-33

— 57-67

— 6-78

— 57-41

- 5-8

— 49-63

— 0-42

— 43-02

— 2-74

— 42-69

— 6-4

— 29-63

+ 5-06

— 31-34

+ 2-82

— 30-95

— 7-4

)■

— 9-63

+ 11-36

— 21-48

+ 9-19

— 21-13

— 8-0

7457

1922, März 28

-H 10-37

+ 17-59

— 11-87

+ 15-42

— 1 1 - 60

- 7-8

-H 30-37

+22-92

— 0-97

+20-69

— 0-85

- 7-2

H- 50-37

+26-74

+ 12-14

+24-44

+ 12 -oS

- 6-4

+ 70-37

+ 28-79

+ 27-86

+ 26-37

+ 2S-38

- 5-9

+ 91-46

+ 2S-96

+ 47-40

+ 26-24

+ 47-16

~ 5-2

— 90-10

+ 6-32

+ 43-30

+ 4-67

+ 43-13

+ 2-8

— 70-10

+ 5-66

+ 61-73

+ 3-83

+ 61-54

+ 3-7

— 50-10

+ 2-87

+ 77-16

+ 0-83

+ 76-91

+ 4-7

— 30-10

- 1-85

+ 90-01

— 4-05

+ S9-68

+ 5-8

7458

/

— lo-io

— 7-92

+ 101 - 16

— 10-22

+ 100-S3

+ 6-4

1922, Sept. 21

-h 9-90

— 14-50

+ 111-96

-16-79

+ 111-71

+ 6-2

-H 29-90

— 20-66

+ 123-84

—22-84

+ 123-74

+ 5-4

+ 49-90

-25-59

+ 137-79

— 27-60

+ 137-84

+ 4-4

-h 69-90

— 29-20

+ 154-21

— 31 "OO

+ 154-36

+ 2-8

-+- 89-40

—30-19

+ 172-54

-31-84

+ 172-71

+ 2-S

-91-96

-49-04

- 75-67

—52-27

— 76-57

-5-5

~

— 71-96

—48-80

- 56-57

—52-03

— 57-40

-6-2

— 51-9Ü

-46-91

— 39-31

— 50-20

— 39-92

—7-0

-31-96

-43-39

— 24-09

-46-77

— 24-33

— 8-0

7459

r

-11-96

-38-33

— 10-99

—41-79

— 10-79

-8-9

1923, März 17

+ 8-04

—32-17

+ 0-27

—35-65

+ 0-87

-9-7

+28-04

-25-69

+ lo-So

-29-15

+ 11-65

-9-1

+48-04

—20-23

+ 22-33

—23-61

+ 23 -28

—8-1

+68-04

-15-74

+ 36-23

—19-04

+ 37-17

—6-8

+90-44

— 13-62

+ 56-20

—16-88

+ 57-09

-5-6

Die retifra/ev Sonneußnaternisse den XX. Jahrhmchrfs.

253

Nördliclio ■

Südl

che

Nr.

Gattung und
l»atiini (Um-

Sfuudenwinkrl

Dauer der

Finsterniss

Zone

Finstemiss

auf der ('nr\ e
der Centralität

•>.

,

y

/.

'i

/.

Minuten

-95°ö6

+4S°7o

+ i54°o9

+47 "65

+ i54°33

+ 1-6

-7S-0Ö

+ 50-55

+ 173-06

+48-54

+ 173-52

+2-0

-55-06

+49-11

— 169- 11

+47-77

— 168-8S

+2-5

-35-66

+46-94

— 153-03

+45-34

— 152-89

+3-0

t

-15-66

+42-85

-138-33

+41-24

-138-63

+3-6

7460

1923, Sept. 10

-i- 4 -04

+37-38

-125-71

+35 -68

— 125-94

-^z-&

+ 24-34

+30-9«

— 113-82

+29-25

— 114- iS

+3-8

+44'34

+ 24-37

— lOI -64

+22-80

— 102-03

-+z-i

+04-34

+ 1S-76

- 87-63

+ 17-37

— 87-90

+ 2-5

+S4-34

+ 14-94

— 70-63

+ •3-79

— 70-91

+ 1-8

4-91-23

+ 14-13

— 63-97

+ 13-0S

— 64 • 2 1

+ 1-6

-67-04

+49-46

— 95 09

+47-88

— 94-54

+ 2- 1

—47-04

+43-39

- 76-85

+41-54

- 76-38

+2-6

f

— 27-04

+40-80

— 61-79

+38-85

— 61-47

+3-2

7464

- 7-04

+ 42- 12

— 48-44

+40-06

— 48-28

+Z'3

1925, Januar 24

+ 12-96

+47-10

- 34-S3

+44-98

— 34-93

+3-1

+32-90

+55-00

— 19-02

+52-87

— 19-39

+2-6

+ 50-31

+ 62-92

- 2-67

+ 60-91

— 3-25

+ 2-1

-73-24

—35-96

+ 162-15

—39-49

+ 160-96

-5-2

—53-24

— 29-iS

+ 179-89

—32-24

+ 179-13

-5-8

-33-24

—24 -89

— 160- 15

—27-66

— 166-60

—6-4

7465

>'

— 13-24

-23-6S

— »54-73

—26-34

— 154-96

-6-9

1925, Jnli 20

+ 0-7Ö

— 25-74

— 144- 16

-28-43

-144-17

-6-9

+ 26- 70

-30-76

-132-53

—33-70

— 132-27

-6-3

+ 46-76

-38-02

-iiS-11

-41-37

— 117-41

-5-7

+65 -87

-45-S5

— 100-S6

—49-54

— 99-67

-5-2

— S7-2S

+ 7-40

+ 20 -So

+ 6-47

+ 20-94

+ 1-6

—67 -28

+ 0-11

+ 39-10

— 1 -Ol

+ 39-12

+2-3

-47 -28

- S-51

+ 54-13

- 6-77

+ 54-13

+3-2

t

— 27-2S

— 8-85

+ 66-92

— 10- 19

+ 66-92

+4-0

7466

- 7-2S

— 9-63

+ 78-42

-11-04

+ 78-45

+4-4

192O, Januar 14

+ 12-72

- 7-84

+ S9-54

- 9-24

+ 89-60

+4-3

+32-72

- 3-57

+ 101 -22

— 4-94

+ 101 -29

+3-6

+52-72

+ 2-80

+ 114-61

+ 1-54

+ 114-63

+2-8

+72-72

+ 10-47

+ 130-S7

+ 9-42

+ 130-83

+2-0

+ 84-20

+ 15-01

+ 141-7S

+ 14-08

+ 141-71

+ 1-6

—91-68

+ 4-91

+ 132-06

+ 3-28

+ 132-10

—2-9

-71-6S

+ 12-82

+ 150-02

+ 11-31

+ 150- 16

-3-4

— 51-68

+ 19-35

+ 1Ö4-66

+ 17-95

+ 1O4-S2

-y^

-31-68

+ 23-81

+ 177-14

+ 22-51

+ 177-25

-4-3

7467

r

-11-68

+25-94

— 171-52

+ 24-07

— 171-48

-4-6

1926, Juli 9

+ 8-32

+ 25-66

— 160-59

+ 24-41

— 160-64

—4" 7

+28-32

+ 23-02

— 149-46

+21-70

— 149-60

-4-4

+48-32

+ 18-06

— 137-39

+ 16-66

— 137-56

—3-9

+68-32

+ 11-15

-123-24

+ 9-63

-123-38

-3-4

+90-55

+ 2-16

— 103-53

+ 0-53

— 103-57

-3-0

— 102-31

—27-29

+ 15U-25

—0-8

— 20-75

+ i5^'-37

- 82-31

—35-37

+ 174-64

-35 -68

+ 174-55

-0-5

— 62-31

—42-77

— 169-63

—42-93

— 1O9-67

—0-3

— 42-31

— 22-31

-4S-19

— 155-07

—48-22

— 155-07

0-0
+0-1

—51-43

— 140-80

—51-46

— 140-So

746S

r — t

— 2-31

— 52-06

— 126-55

-52-73

-126-55

+0-1

1927, Januar 3

+ 17-69
+ 37-69

— 52-01

— 1 12 -27

—52-05

— 112-2U

+0-1
0-0

—49 ■ 40

— 97-91»

—49-41

— 97-96

+ 57-69

-44-05

— 83-40

—44-76

- 83 -43

— 0-2

+ 77-69

-37-7S

— 68-07

—38-06

— 67-99

—0-4

+ 97-69

—29-40

— 50-53

— 29-S9

— 50-42

-0-5

+ 102-58

-27-3S

— 45-73

-27-68

— 45-67

—0-7

254

Eduard Mahl

er.

Nördliche

Südliche

Ditncr der

Giittuug und

-

Finsterniss

Nr.

Datum der
Finsterniss

Stiindenwinliel

Zone

auf der fUirve

X

der Centralitiit

?

\

?

Minuten

— ii6°52

-|-46°62

- i5°83

+46°25

- i5°7o

+0-3

- 96-52

+ 56-87

+ 2-21

+ 56-16

+ 2-51

+0-6

— 70-52

+06-03

+ 18-17

+05-08

+ 18-58

+0-8

— 56-52

+ 72-37

+ 34-26

+ 71-37

+ 34-66

+0-9

— 36-52

+ 76-0Ö

+ 51-27

+ 75-13

+ 51-54

+ 1-0

t

— 16-52

+ 77-94

+ 68-96

+ 77-09

+ 69-09

+ 1-0

7469

1927, Juni 29

-t- 3-48

+ 78-Ö2

+ 87-01

+ 77-81

+ S6-99

+ 1-0

+ 23-48

+ 78-30

+ 105-12

+ 77-47

+ 104-97

+ 1-0

+ 43-48

+ 76-87

+ 123-05

+ 76-04

+ 122-79

+ 1-0

+ 63-48

+ 73-93

+ 140-54

+ 73-02

+ 140- 18

+0-9

+ 83-48

+08-63

+ 157-41

+67-74

+ 157-03

+0-8

+ 103-48

+60-34

+ 174-15

+59-'^7

+ 173-88

+0-5

4-121-56

+51-16

— 169-22

+ 50-79

— 169-34

+0-3

— 76 -üS

—36-19

+ 34 -ü-

—37-56

+ 34-51

+2-3

— 56-65

-28-34

+ 53-23

—29-97

+ 53-16

+3-0

- 36-65

— 18-38

+ 68-46

— 20-24

+ 68-50

+4-0

— 16-65

- 7-84

+ 80-50

— 9-82

+ 80-76

+5-0

7474

f

+ 3-35

+ 1-36

+ 90-86

— 0-60

+ 91-18

+5-5

1929, Mai 9

+ 23-35

+ 7-86

+ 101-46

+ 6-01

+ 101-74

+5-2

+ 43-35

+ 11-14

+ 113-50

+ 9-42

+ 113-76

+4-4

+ 63-35

+ 11-09

+ 127-85

+ 9-52

+ 128-01

+3-5

+ 83-35

+ 7-69

+ 144-86

+ 6-28

+ 145-00

+2-6

-*- 91-46

+ 5-39

+ 152-67

+ 4-04

+ 152S3

+2-3

- 75-98

+ 44-54

- 54-88

+42-70

- 54-58

—3-2

- 55-98

+37-85

— 36-07

+36-10

— 35-91

—3-5

- 35-98

+2S-52

— 20-40

+26-93

— 20-45

-3-6

- 15-98

+ 17-68

- 8-33

+ 16-25

- 8-53

-3-8

7475

r

+ 4-02

+ 7-34

+ 1-32

+ 6-03

+ 1-08

—4-0

1929, Nov. I

-+- 24-02

— 0-67

+ 10-82

— 1-94

+ 10-57

—4-0

4- 44-02

— 5-41

+ 21 -9O

- 6-72

+ 21-74

-3-8

-\- 64-02

- 6-63

+ 35-71

— 8-09

+ 35-49

-3-6

+ 84-02

— 4-28

+ 52-Ö5

- 5-97

+ 52-38

—3-4

+ 90-91

— 2-67

+ 59-3=

— 4-43

+ 59-03

3 ' 3

— 90-87

+ 4-47

— 173-50

+ 3-25

— 173-23

—0-7

- 70-87

+ 10-43

— 155-37

+ IO- lO

— 155-32

—0-5

— 50-87

- 30-87

+ 2O'O0

-141-45

+ 19-98

— 14' -43

—0- 1
+0-2

+ 31-05

— 130-23

+31-00

— 130-22

)•— /

— 10-87

+41-14

— 119-27

+ 41 -oO

— 119-25

+0-2

747<J

1930, Ajiril 28

H- 9-13

+48 -75

— 100-77

+48-73

— 100-77

+0-1

+ 29-13

+ 53 -ü5

— 92-30

+ 53-00

— 92-37

— 0- 1

-t- 49-13

+50-14

— 76-41

+ 50-01

— 70-44

—0-3

+ 69-13

+56-47

— 59-31

+ 56-20

— 59-35

—0-4

+ 89-13

+ 54-72

- 41-18

+ 54-37

— 41-28

— 0-6

-4-107-71

+ 51-00

— 23-2S

+ 50-50

— 23-39

—0-7

— 89-17

+ 4-57

+ 145-89

+ 4-25

+ 145-84

+0-5

— 69-17

— 0-86

+ 164-06

— 1-41

+ 163-94

+ 1-0

— 49-17

— 9-50

+ 178-46

— 10- 29

+ 178-20

+ 1-6

— 29-17

— 20-21

— 170-13

—21-17

— 170-39

+2-1

7477

i

— 9 17

— 31 -00

— 159-69

— 32 -Ol

— 159-92

+2-2

1930, Oct. 21

+ 10-83

—39-93

— 148-07

— 40-S4

— 148-19

+2 -0

+ 30-83

—46-15

— 134-39

—46-93

-134-40

+ 1-7

+ SO-83

— 49-64

-118-79

—50-28

— iiS-72

+ 1-3

+ 70-83

—50-72

— lOI -60

—51-24

—

loi -5s

+ I-0

+ 90-83

-49-51

— 83-2:

-49-91

—

S3-13

+0-7

+ 101 -97

—47 -So

— 72-32

—48-12

72-26

+0-5

Die centralen Sonnenßnsternisse des XX. Jahrhunderts.

255

Nord iche

Südliche

Dauer der

Nr.

Gattung uuil
Datum der
Finsterniss

Stunilenwinkel

Finsteruiss
auf der Curve
der Ceutralität

Z 0

n e

?

X

?

\

Minuten

— i44°ii

-l-8i°oö

+ i09°34

+79°25

+ i09<'7S

+ 1

0

— 124- 1 1

+84-15

+ 129-13

+82-68

+ 129-63

+ 1

I

— 1 04 ■ 1 1

+85-40

+ 148-91

+84-19

+ 149-40

+ 1

2

— 84-11

+85-94

+ 108-72

+84-77

+ 169- 18

+ 1

2

— 04-11

+85-95

— 171-49

+S4-75

— 171-07

+ 1

3

t

— 44-11

+ 85 -48

— 151-75

+84- II

— 151-42

+ 1

3

7482

— 24-11

+84-24

— 132-10

+82-55

— 131-97

+ 1

4

1932, August 31

— 4-11

+81-26

— 113-07

+78-95

— 113-10

+ 1

S

-(- 15-89

+ 73-84

— 95-71

+70-88

— 90-30

+ 1

6

+ 35-89

+60- lg

— 82-20

+57-48

— 83-12

+ 1

9

•+ 55-89

+45-51

— 70-92

+43-49

— 71-74

+ 1

S

-(- 75-89

+34-65

— 57-49

+33-20

- 58-07

+ 1

4

-+- 94- öS

+29-21

— 40-92

+28-16

— 41-31

+ 1-0

— 97 -89

—39-05

— 79-19

—40-05

— 79-29

8

- 77-89

—41-17

— 00.20

— 42-01

— 60 -28

— I

8

- 57-89

—40-67

— 43-11

—41-39

— 43-15

— I

7

- 37-89

-37-53

— 27-94

-38-14

— 27-92

— I

6

r

- 17-89

—31-54

— 14-95

—32-09

— 14-88

— I

4

74S3

1933, l't-'b'-- 24

-\- 2- I I

— 22 78

— 4-17

—23-29

— 4-06

— I

4

+ 22-11

-12-07

+ 5-41

— 12-O1

+ 5-55

— I

4

+ 42- I 1

— 1-23

+ 15-9S

— 1-90

+ 10-12

— 1

6

+ 02- I I

+ 7-74

+ 29-55

+ 6-94

+ 30-20

— I

7

-t- 82-11

+ 13-74

+ 40-82

+ 12-78

+ 40-94

— I

8

+ 87-57

+ 14-S1

+ 52-22

+ 13-80

+ 52-32

— 1-8

- 97-25

+ 30-86

+ 24-28

+ 29-74

+ 24-33

— 2- 1

— 77-25

+ 33-73

+ 42-99

+33 -So

+ 43-04

— 2- 1

— 57-25

+33-80

+ 59-43

+33-00

+ 59-44

— 2- 1

— 37-25

+31-07

+ 73-70

+30-3»

+ 73-66

— 2-0

7484

/"

— 17-25

+ 25-43

+ 85-87

+24-79

+ 85-67

— 2-0

1933, August 21

+ 2-75

+ 16-99

+ 95-85

+ 16-40

+ 95-72

— 1"9

-1- 22-75

+ 6-67

+ 105-18

+ 5-97

+ 105-01

— 20

-1- 42-75

— 3-96

+ 115-94

— 4-79

+ 115-79

— 2-0

+ 62-75

— 12-98

+ 150-99

— 13-95

+ 129-87

— 2- I

-4- 85-39

— 19-84

+ 172- lö

— 20-97

+ 150-33

— 2- I

— 89-11

+ 4-12

+ 107-59

+ 3-47

+ 107-74

+ 1-1

— 69- I I

+ 1-24

+ 125-70

+ 0-55

+ 125-92

+ 1-4

— 49'"

+ 2-19

+ 140-58

+ I -42

+ 140-73

+ 1-7

t

— 29- I I

+ 0-88

+ 152-70

+ 6-08

+ 152-80

+ 2-0

7485

— 9-11

+ 15-03

+ 163-15

+ 14-19

+ 163-31

+ 2-0

1934, Febr. 14

+ 10-89

+25-59

+ 173-80

+24-75

+ 173-91

+ I-S

+ 30-89

+36-54

— 173-21

+35-7Ö

— 173-20

+1-5

+ 50-89

+45-78

— 156-94

+45-07

-157-02

+ 1-1

+ 72-33

+ 52-03

— 136-57

+52-04

— 136-70

+0-9

- 84-35

--17-85

— 10-49

— 21 -02

— 11-57

-so

— Ö4-35

— 14-44

+ 7-09

— 17-24

+ 6-25

—5-5

— 44-35

-15-28

+ 20-67

— 17-91

+ 19-96

—6-1

748Ü

r

— 24-35

— 20-29

+ 31-38

— 23 -00

+ 30-75

— o-S

1934, August 10

— 4-35

-29-09

+ 41-05

— 32-00

+ 40-58

-0-4

+ 15-65

—40-25

+ 52-28

—43-02

+ 52-19

-5-9

-t- 35-Ö5

—51-28

+ 67-17

—54-97

+ 67-68

—5-4

+ 57-S3

— 00-63

+ 87-71

—04-35

+ SS -80

—5

-0

256

Eduard Mahl er.

Nördliche

Siidliohe

Nr.

G.-LttllUf? lUlll

D.itiim (Ici-

Sttiiulenwiiikel

Dauer dcr
Finsternis.s

Z 0

n e

Fiustoriiiss

auf der Curve

V

X

¥

\

der Centralität

Minuten

— io(.''S9

+34"'So

+ i5°6i

+33°64

+ i5°8o

+ i-i

— 80-89

+43-17

+ 33-99

+42-09

-t- 34-30

+ 1-5

— Ü6-S9

+49-97

+ 50-31

+48-79

+ 50-06

+ 2-0

— 4<)-89

+ 54-52

+ 65-7S

+ 53-30

+ 06-08

+ 2-3

— 26-89

+ 5<J-95

+ 81-38

+55-70

+ 81 -42

+ 2-6

7492

1936, Jmii 19

— 6-89
+ 13-11

+ 57-42
+56-12

+ 90-07
+ 1 10-92

+ 50-21
+54-82

+ 9Ö- 10
+ 110-70

+ 2-7
+ 2-7

+ 33-11

+52-77

+ 125-40

+51-44

+ 125-09

+ 2-6

+ 53-11

+47-21

+139-66

+45-92

+ 139-27

+ 2-2

+ 73-11

+39-46

+ 154-39

+38-28

+ 154-02

+ 1-8

+ 93-11

+30-35

+ 171 :oS

+ 29-38

+ 170-S3

+ 1-3

+ I02-OI

+ 20-25

+ 179-56

+25-42

+ 179-38

+ i-i

— 9Ü-57

— 14-09

+ 1 18-30

— 17-09

+ 1 1 7 • 94

— 5-1

— l^'Sl

^22-50

+ 136-51

—25-26

+ 135-90

— 5-7

— 5" -57

—29-42

+ 151-41

—31-95

+ 150-90

— 6-2

— 3Ö-57

—34-19

+ 104-57

—36-51

+ 164-21

— 6-8

r

— 16-57

-36-62

+ 176-85

-38-83

+ 176-70

— 7-1

7493

1936, Dee. 13

+ 3-43

—36-72

— 171-24

-38-93

— 171 • 16

— 7-2

+ 23-43

-34-52

-159-42

—36-79

— 159-10

— 7-0

+ 43-43

— 30-00

— 147-23

—32-42

-140-70

— 6-0

+ 63-43

— 23-26

-133-84

—25-93

— 133-29

— ü-o

+ 83-43

— 14-95

-117-86

-17-84

-117-41

— 5-4

+ 94-92

- 9-89

— 107-00

— 12-91

— 1 06 • 66

— 5-1

- S5-07

— IO-68

+ 109-55

— 13-Ö6

+ 109-37

+ y3

— 65-07

— 2-37

— 172-34

— 4-51

— 172-39

+ 4-3

— 45'07

+ 4-53

-157-50

+ 2-27

-157-45

+ 5-6

— 25-07

+ 9-15

— 144-90

+ 6-85

— 144-84

+ 6-7

7494

/

— 5"o7

+ 11-12

-133-44

+ 8-74

-133-44

+ 7-3

1937, Juni 8

+ 14-93

+ 10-32

— 122-22

+ 7-99

— 122-20

+ 7-1

+ 34'93

+ 0-81

— I 10- 13

+ 4-50

1 10-40

+ 0-1

+ 54-93

+ 0-79

— 96-77

— 1-42

— 96-77

+ 4-9

+ 74-93

— 7-06

— 80-38

— 9-13

— 80-25

+ 3-8

+ 84-77

-11-28

— 71-02

— 13-26

- 70-83

+ Vi

— 78-28

+28-24

+ 13S-9I

+24-28

+ 139-72

— 7-3

— 58-28

+ 19-90

+ 157-03

+ 16-22

+ 157-47

- 8-4

- 38-28

+ 12 -ÜO

+ 171-19

+ 9-29

+ 171-32

— 9-9

r

— 18-28

+ 7-64

— 177-58

+ 4-50

— 177-59

— 11-3

7495

1937, Doo. 2

+ 1-72

+ 5-42

-167-74

+ 2-36

-167-80

-11-8

+ 21-72

+ 0-20

-157-82

+ 3-07

-157-94

— 1 1 - 1

+ 41-72

+ 9-89

— 1 46 - 40

+ 0-58

— 146-63

- 9-8

+ 61-72

+ 10- 16

— 132-09

+ 12-53

-132-57

- 8-4

+ 80-77

+23-69

— 114-77

+ 19-75

-II5-5S

— 7-3

— 31-32

—61-41

— 51-52

l

/

+ n

/

— 11-32

—52-43

- 34-88

-59-76

— 35-37

+ 4-0

7496

1938, ^lai 29

+ 8-68

—49-31

— 20-56

— 55-60

— 20- 17

+ 4-3

+ 28 -08

-51-54

- 5-77

-58-36

— 4-50

+ 3-9

+ 45-31

-57-67

+ 8-74

-67-87

+ 9-71

+ n

— 89-53

-2-58

+ 174-29

— 5-17

+ 174-58

— 5-1

— •^'9-53

+ 0-82

— 107-61

— i-6i

— 107-26

- 5-6

— 49-53

+ 5-98

-153-10

+ 3-68

— 152-76

- 6-4

— 29-53

+ 12-23

— 141-02

+ 10-03

— 141-19

— 7-1

7500

r

— 9-53

+ 18-69

— 131-03

+ 16-54

— 131-27

— 7-5

1940, April 7

+ 10-47
+ 30-47

+ 24-42
+ 28-77

— 121-57
— 110-19

+ 22-30
+ 26-62

— 121-35

— 110- 14

— 7-4

— 6-8

+ 50-47

+31-40

— 96-79

+ 29-16

— 96-93

— 6-2

+ 70-47

+32-17

— 81-11

+ 29.80

- 81-37

— 5-3

+ 93-94

+30-61

— 59-52

+ 28-08

- 59-81

— 5-1

Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahrhunderts.

257

Nördliche

Südliche

Dauer dir 1

Nr.

Gattung »Uli
Datum tler

Stuudonwinkel

Finsterniss
auf der Curve

Z 0

n c

Fiiistcniiss

¥

).

V

),

der Centralitüt

^rinuten

— Sg'Sü

+ 3°J3

- 7S°58

+ i°8o

- 7S°7ö

-1-2-6

—69-86

+ 1-17

— 60- i8

— 0-55

— 60-40

+3-4

—49-86

— 2-93

— 44-S9

- 4-87

- 45-20

+4-4

—29-86

- 8-55

- 32-19

— 10-64

— 32-54

+ 5-4

/

— 9-86

— 14-94

— 21-00

— 17-11

- 21-32

+5-9

7501

1940, Oct. I

-I-10-I4

— 21 - 16

- 9-89

— 23-26

— lo-io

+5-7

+30-14

-25-93

+ 2-43

—27-94

+ 2-37

+5-1

+ 50-14

— 30- 10

+ 16-62

-31-98

+ 16-70

+4-2

+ 70-14

—32-02

+ 33-0:

—33-71

+ 33-19

-i-3-3

+ 92-07

-31-98

+ 53-50

—33-51

+ 53-75

+2-0

—87-06

— 40-26

+ 178-06

-49-24

+ '77-29

—5-4

— 67-06

—44-54

— 1Ö2-99

—47-42

— 103-62

-5-8

—47-06

-41-15

-146-24

—43-95

— 146-60

-6-3

— 27-0*)

— 36-21

— 131-95

-38-93

— 132-00

-6-9

r

— 7-00

—30-13

— 120-03

—32-79

— 119-76

—7-5

7502

1941, Miiiz 27

+ 12-94

— 23-66

— 109-67

— 26-27

— 109-19

-7-7

+32-94

— 17-82

— 99-35

—20-42

- 98-75

-7-3

+52-94

-13-45

- 87-35

-16-13

— 86-69

— ö-O

+72-94

— 11 -18

- 72-38

— 13-99

— 71-67

-5-8

+ 89-41

-11-05

— 57-27

-14-05

- 56-50

—5-4

— 90-89

+46-04

+ 42-2Ö

+45-20

+ 41-44

+ 1-4

—70-89

+45-57

+ 61-35

+44-59

+ 01-55

+ 1-8

—50-89

+ 43-39

+ 78 -Ü4

+42-25

+ 78-79

+2-3

—30-89

+39-56

-h 03-98

+38-26

+ 04-02

+2-9

t

— 10-89

+34-24

-1-107-32

+32-82

+ 107-21

+3-4

7503

1941, 8(_pt. 21

+ 9-11

+27-92

I-119-09

-1-26-45

+ 118-85

+3-7

-i-29- 1 1

+21-46

+ 130-39

-|-2o-o6

-hi3o-io

+3-4

+ 49-11

1-15-89

-[-142-70

+ 14-62

+ 142-49

+2-7

(-1^9-11

-K 1 1 ■ 98

+ 157-55

+ 10-92

+ '57-33

+2-0

+90- 15

-(-10-25

+ 176-63

+ 9 40

-1-176-46

+ '■4

-71-84

+48-26

+ 128-88

+46-40

+ 129-50

-M-6

—51-84

+43-74

+ 147-17

+41-69

+ 147-76

+2-2

t

-31-84

-1-42-78

+ 162-37

+40-60

+ 162-81

+2-0

7507

— 11-84

+45-50

+ 175-92

+43-17

-1-176-17

-1-2-8

1943, Febr. 4

+ 8-16

-l-5'-5i

— 170-24

+49-04

— 170-20

+2-6

+ 28-10

+ 59-74

-154-19

+ 57-24

-154-58

+ 2-1

+48-17

-I-08-21

— 135-22

+65-81

— 135-90

-1-1-6

-72-87

-39-98

+ 03-05

-44-22

+ 01-44

—5-2

-52-87

—34-65

+ 80-74

-38-27

+ 79-06

-5-8

—32-87

—32-09

+ 94 -84

—35-40

+ 94-15

—6-4

7508

/'

-12-87

-32-98

-l-io6-6i

—30-26

-H 106- 23

-6-7

1943, August I

+ 7-13
+27-13

-37-00
-43-62

+ 118-01
+ 131-05

-40-47

—47 53

+ 117-99
+ 131-55

-6-5
—ü-o

+47-13

-5'-S7

+147-28

— 56-02

+ 148-48

-S-5

+58-35

— 56-00

+ 157-88

— 60 - 69

+ 159-47

-5-2

-S8-79

+ 3-95

— 1 12- 12

+ 3-04

— I 1 2 ■ 04

+ 1-6

— 68-79

— 2-18

— 93-85

- 3-28

- 93-80

+2-3

—48-79

- 6-38

— 78-6Ö

— 7 '60

- 78-64

+3-1

-28-79

- 8-22

— "5-74

- 9-55

— 65-70

+3-9

t

— 8- 79

— 7-57

— 54-25

- 8-99

- 54-17

+4-4

7509

1944, Januar 25

+ 11 -21

- 4-S'

— 43-20

— 5-94

— 43-I'J

+4-4

+31-21

+ 0-72

- 32-13

— 0-64

— 31-65

+3-7

+51-21

+ 7-58

- 18 37

+ 6-34

— 18-30

+2-8

+71-21

+ 1507

— 2-07

+ 14-02

— 2-12

+20

+83-22

+ 19-39

+ 9-34

+ 18-48

+ 9-26

+ 1-0

Dciikbchriftcn der matbem.-ualmw. Cl. XLlX.Bd. AWi.iiuUuni;eu vou Nichlmilflio Jcni .

hh

258

Eduard Mahler.

1

1

Nördliche 1

Südliche 1

t

Gattung und
Datum der

1

Dauer der

1

Nr.

Stundenwinlicl

Z 0 u e

Finstcruiss

Fiusterniss

auf der Curve
der Centralität

).

V

V

"a

Minuten

- 9i°24

+ 4°i8

-1- 33°25

+ 2°6s

+ 33°24

—2-9

— 71-24

+ 11-09

+ 51-27

+ 9-78

+ 51-33

—3-0

— 51-24

+ 16-28

+ 66 02

+ 15-18

+ 66-08

-3-2

— 31-24

+ 19-30

-t- 78-49

-I-I8-33

+ 78-54

—Zi

r

— 11-24

+ 19-98

+ 89-60

+ 19-06

+ 89-58

-3-4

75'°

1944, Juli 20

+ 8-76

+ 18-29

+ 100-08

-H17-35

+ 100-00

— 3'4

H- 28-76

+ 14-28

+ 110-73

-I-I3-29

+ 1 10-63

—Vi

+ 48-76

+ 8-28

+ 122-60

+ 7-II

+ 122-55

—3-2

-+- 68-76

4- 0-87

+ 137-22

— 0-46

+ 137-16

—3-0

H- 87-38

— 6-30

-+-154-07

- 7-84

+ 154-10

-29

— 103-65

-30-95

+ 26-78

— 31 -62

+ 26-04

—0-9

- 83-05

-38-67

-1- 45-23

—39-10

+ 45-12

—0-7

- 63-65

-44-81

+ 61-43

—45-06

+ 61-30

-05

— 43-05

—48-92

+ 70-4S

—49-07

+ 76-44

—0-3

r—t

— 23-65

- 3-65

—51-07

+ 90-99

-51-14

+ 90-99

— 0- 1
— 0- 1

—51-28

+ 105 -22

-51-32

+ 105-22

75"

1945, J<in«^l' 14

+ 16-35

-48-85

+ 1 19-08

—49-64

+ 119-17

— 0- 1

+ 36-35

—45-92

+ 132-91

— 46 04

+ 132-95

— 0-2

+ 56-35

—40-23

+ 146-85

—40 43

+ 146-90

—0-4

+ 70-35

— 32-80

+ IÜI -92

— 33 20

+ 102-04

—0-6

+ 90-35

—24-55

+ 179-56

— 25- 16

+ 179-70

—0-8

-t- 99-72

— 23-19

— 17712

— 2r8i

— 176-99

—0-9

— 113-44

+44-61

— 115-92

-1-44- 15

-115-77

+0-4

— 93-44

-1-53-50

— 97-50

+52-71

— 97-22

+0-8

— 73 "44

+60 82

— 80-97

-1-S9-95

— 80 62

+ 1-0

- 53-44

+65-87

— 64-75

-1-64-93

— 64-44

+ 1-2

— 33-44

+68-87

— 48 -30

+67-96

— 48-08

+ 1-4

t

— i3'44

+ 70-22

- 31-57

-^69-33

— 31 "40

+ 1-4

1 751-

+ ü-56

+70-17

— 14-77

+69-27

- 14-83

+ 1-4

1945, Jnli 9

+ 26-56

+68-73

+ I 85

+67-79

+ 1-66

+ 1-4

-y- 46-56

+05-61

+ 18-10

+64-66

+ 17-79

+ 1-3

H- 66-56

+60-41

+ 33-92

4-59-49

+ 33-50

+ 1-1

-)- 80-56

-1-S2'98

+ 49-89

+52-23

+ 49-59

+0-9

+ 106-56

+44-02

-1- 67-49

+43-49

+ 67-31

+0-5

+ 111-23

+41-89

+ 72-04

+41-44

+ 71-89

+0-5

— 74-54

—35 • 90

— 77-84

-37-36

— 78-06

+ 2-4

— 54-54

— 27- 12

— 59"4i

— 28-82

— 59'5i

+3-1

— 34-54

— 16-89

— 44-46

— 1S-81

— 44-39

+4-2

— 14-54

— 7-05

— 32-65

— 9-03

— 32-34

+5-1

t

-1- 5-46

+ 0-71

— 22-08

— 1-22

— 21-82

+5-6

7517

1947, Mai 20

+ 25-46

+ 5-46

— I 1 -25

+ 3-61

— 11-03

+5-2

H- 45 40

+ 6-88

+ 1-04

+ 5-17

+ 1-22

+4-4

+ 65-40

+ 4-94

-1- 15-57

+ 3-36

+ 15-74

+3-4

+ 85-46

— 0-32

-1- 33-08

— 1-74

+ 33-28

+2-5

+ 89-17

— 1-6-

+ 36-73

- 3-03

+ 30-94

+2-4

- 73-93

+42-22

-173-06

+40-32

— 173-10

-2-3

— 53-93

-1-34-23

— 154-59

+ 32-45

— 154-63

—3-5

— 33-93

+24 12

— 139-72

+22-55

-139-68

—3-7

r

— 13-93

-I-I3-54

-128-30

hi2-i4

— 128- 19

-3-9

7518

+ 6-07

-1- 4-47

— 118-67

+ 3-20

— 118-54

—4-0

1947, Nov. 12

+ 26-07

— 1-72

— 108-76

— 2-99

— 108-67

— 3-9

+ 46-07

— 4-44

— 97-IÖ

- 5-8i

— 97-11

-3-8

+ 66-07

- 3-74

— 83-04

- 5-25

— 83-01

-3-6

+ 89-76

+ 1-66

— 62-08

— 0- 16

— 62-07

-3-4

Die centralen Sonneiifinstemisse des XX. Jahihioiderts.

259

Nördl

K'hc

Südliche

Dauer di'r

( i'lf f llll 'J' 1111(1

Nr.

l>;itiuu der
Fiusteniiss

.Stiiudciiwiukel

Z 0 u e

Finsterniss
auf der Curve

der Ceutraliti'it

'j

),

?

).

- 9o°76

+ 2°2I

+ 77°o8

Miiiuteu
-0-8

+ 2''ö8

+ 76°99

— 70-70

+ 10-37

+ 94-91

+ 10- 10

+ 94-99

-0-5

— 50-70

— 30-70

+ 20-34

+ 108-89

+20-28

+ 108-91

— 0- 1

+ 0-I

+30-88

+ 120-33

+30-83

+ 120-35

r—t

— 10-70

+39-97

+ 131-50

+39-88

+ 131-52

+ 0-2

75' 9

1948, Mai 9

H- 0-24

+46-49

+ 143-93

+46-45

+ 143-94

+ 0-1

+ 29-24

+50-39

+ 157-94

+ 50-39

+ 157-94

o-o

-i- 49-24

+51-97

+ 173-29

+51-89

+ 173-28

— 0-2

-+- 09-24

+51-37

— 170-22

+ 51-18

— 170-26

— 0-4

+ 89-24

+48-50

-152-58

+ 48-17

— 152-66

—0-6

+ 107-10

+43-83

— 135-53

+43-34

-135-62

—0-8

— 89 -03

+ 3-96

+ 22-05

+ 3-üo

+ 21-99

+0-5

— 69-03

- 2-72

+ 40-17

— 3-26

+ 40-06

+1-0

— 49-03

— 12- 16

+ 54-52

—12-94

+ 54-33

+ 1-6

— 29-03

— 22-90

+ 66-o6

—23-82

+ 65-81

+2-0

t

— 9-03

-32-89

+ 76-86

-33-84

+ 76-65

+ 2-2

7520

-4- 10-97

—40-63

+ 88-79

—41-50

+ 88-68

+2-1

1948, Nov. I

-H 30-97

-45-68

+ 102-50

—46-43

+ 102-50

+ 1-7

+ 50-97

—48-12

+ 117-84

-48-76

+117-91

+ 1-4

+ 70-97

— 48-20

+ 134-58

—48 -74

+ 13466

+ I-0

H- 90-97

-45-93

+ 152-65

-46-33

+ 152-72

+0-6

+ 103-89

—43-11

+ 164-88

-43-42

+ 165-22

+0-5

— 94-90

—42-24

+ 161 • 10

—43-07

+ 161-00

-1-5

— 74-90

—42-91

-179-85

-43-58

— 179-92

— 1-4

— 54-90

-40-98

— 162-65

—41-52

— 162-68

— I -2

— 34-90

— 36-32

— 147-57

-36-77

-147-54

— I - 1

7525

r

— 14-90

— 27-77

— 135-'3

—29-13

— 134-91

—0-9

1951, Marx 7

+ 5-10

— 18-71

— 124-70

— 19-04

— 124-62

— 0-8

+ 25-10

— 7-55

— 115-27

— 7-90

— 115 19

—0-9

- 45-10

+ 2-62

— 104-32

+ 2-17

— 1 04 ■ 2 1

— I - 1

+ 65-10

+ 10-15

— 90-17

+ 9-55

— 90-07

— 1-3

+ 88-03

+ 14-83

— 68-98

+ 14-01

— 68-89

— 1-5

— 96-28

+37-15

— 8I-I2

+35 -84

— 81-01

— 2-5

- 76-28

+38 üS

— 62-22

+37-54

— 62- 14

—2-5

— 56-28

+37-54

— 45-43

+30-52

— 45-40

— 2-5

- 36-28

+33-63

- 30-83

+32-69

- 30-89

—2-5

y

— 16-28

+26-89

— 18-65

+26-02

— 18-79

— 2-6

7526

+ 3-72

+ 1 7 40

- S-72

+ 10-52

- 8-93

-2-6

1951, Sept. 1

+ 23-72

+ 0-47

+ 0-41

+ 5-50

+ o-iS

-2-5

+ 43-72

— 3-96

+ 11-08

— 4-97

+ 10-87

-2-S

+ 63-72

— 12-13

+ 25 -oS

— 13-28

+ 24-92

— 2-5

+ 83-72

— 17-25

+ 42-75

-18-55

+ 42-64

-2-5

+ 87-17

— 17-86

+ 46-15

— 19-12

+ 46 -oö

—2-5

— 89-89

+ 1-04

— 21-53

+ 0-24

— 21-37

+1-3

— 69-89

— 0-29

— 3-35

— 1-30

— 3-14

+2-0

— 49-89

+ 2-19

+ 11-50

+ 0-98

+ 11-76

+2-6

— 29-89

+ 8-40

+ 23-52

+ 6-98

+ 23-85

+3-3

t

— 9-89

+ 17-82

+ 33-85

+ 16-27

+ 34-16

+3-5

7527

1952, Febr. 25

+ 10- II

+28-98

+ 44-53

+27-44

+ 44-73

+3-1

+ 30-11

+39-60

+ 57-70

+38-27

+ 57-72

+2-5

+ 50-11

+47-94

+ 73 '95

+46-84

+ 73-83

+ 1-9

+ 70 II

+53-44

+ 92-61

+ 52-54

+ 92-44

+ 1-5

+ 76-Sl

+

54-68

+ 99-22

+53-85

+ 99-0

5

+ 2-0

hh *

2G()

Eduard Mahler.

C4attung und

Nörcilicho

Südliche

Dauer der

Finsterniss

Nr.

Datum der

Finsteniiss

Stundonwinkel

Z 0

n e

auf der Curve

der Ceutralitiit

u

X

V

\

Minuten

- 87°48

- 9°96

-iio°76

-12°95

-iii°68

- 5-1

- 67-48

— 7-75

— 93-05

— 10-46

— 93-80

- 5-6

— 47-4S

— 9-64

— 79-29

— 12-20

— 79-99

— 6-2

r

- 27-48

-■5-51

— 68-58

— i8-ii

- 69-25

- 6-5

7528

— 7-48

-24-83

— 59-33

— 27-62

— 59-89

- 6-4

1952, August 20

+ 12-52

-36-12

— 48-99

— 39-21

— 49-10

- 5-8

-f- 32-52

—46-92

— 35-31

— 50-21

— 35-07

— 5-3

+ 52-52

— 55-24

— iS-ii

-58-55

— 17-41

— 5-3

+ 07-03

— 59-45

— 4-11

— 62-Ö9

- 3-18

— 5-1

— 112-97

+43-18

— 99-50

+42-04

— 99-27

+ 1-2

— 92-97

+51-71

— 80-98

+50-39

- So-55

+ 1-7

— 72-97

+ 57-91

— 63-97

+56-51

— 63-52

+ 2-0

— 52-97

+61-74

— 47-50

+60-33

— 4712

+ 2-3

— 32-97

+63-56

— 31 19

+62-13

— 30-94

+ 2-5

/

— 12-97

+63-66

— 15-06

+62-18

— 15-01

+ 2-7

7533

1954, Juni ;o

+ 7-03

+62-00

+ 0-66

+60-48

+ 0-50

+ 2-7

+ 27-03

+58-40

+ 15-75

+56-80

+ 15-38

+ 2-7

+ 47-03

+52-45

+ 30-11

+50-81

+ 29-58

+ 2-5

-1- 67-03

+44-14

+ 44-28

+42-58

+ 43-74

+ 2-1

-H 87-03

+34-35

+ 59 -84

+33-05

+ 59-43

+ i-o

+ 102-26

+27-07

+ 78-91

+2Ö-03

+ 7S-27

+ 1-2

— 99-17

-18-77

— 5-09

— 21 -92

- 5-46

- 5-3

— 79-17

— 27-01

+ 13-iS

—29-88

-h 12-05

- 5-8

— 59-17

— 33-24

+ 28-57

-35-85

+ 28 -oO

— 6-4

— 39-17

-37-07

+ 42-25

— 39-49

+ 41-91

— 6-9

r

— 19-17

-38-48

+ 54 -gü

—40-81

+ 54-85

- 7-3

7534

-t- 0-83

— 37-55

+ 67-04

-39-87

+ 67-19

— 7-5

1954, Dec. 25

-H 20-83

—34-22

+ 78-70

— 36-62

+ 79-10

— 7-3

4- 40 83

—28-46

+ 90-42

-31-03

+ 9 1 - 00

— 6-9

+ 60-83

— 20-57

+ 103-27

— 23-37

+ 103-89

- 6-3

+ 80-83

— 11-45

+118-85

— 14-45

+ 119-36

— 5-t>

+ 93-19

— 5-84

+ 130-45

— 8-q5

+ 130-84

— 5-3

— SS 44

— 2-52

+ 54-74

— 4-52

+ 54 62

+ y3

— 68-44

+ 5-67

+ 72-85

+ 3-50

+ 72-85

+ 44

— 48-44

+ 11-90

+ 87-87

+ 9-63

+ 87-92

+ 5-6

— 28-44

+ 15-56

+100-77

+13-23

+ 100-84

+ 6-7

7535

/

- 8-44

+ 16-48

+ 112-59

+ 14-10

+ 112-54

+ 7-3

•955; -Tiini 20

+ 11-56

+ 14-61

+123-94

+12-23

+ 123 -So

+ 7-2

+ 31-5'^

+ 10-04

+ 135-62

+ 7-Ö5

+ i35-4<->

+ b-4

+ 5'-5<'

+ 3 -06

H- 148-74

+ 0-74

+ 148-Ü3

+ 5-1

-H 71-56

- 5-56

-+164-55

— 7-72

+ 164-58

+ 4- i

--(- 84-50

— 11-41

-+-176-72

-13-49

+ 17Ü-56

+ 3-4

— 80 52

+23-20

+ 18-75

+ 19-20

+ 19-56

— 7-4

— 60-52

+ 14-78

+ 36-81

-t- I I - 1 4

+ 37-25

— 8-5

— 40-52

+ 8-20

+ 50-89

+ 4-87

+ 51-07

— lo-o

r

— 20-52

+ 4-30

+ 62-15

-1- i-.S

+ 62-23

— 11-4

753Ö

— 0-52

+ 3-50

+ 72-01

+ 0-41

+ 72-06

— 12-0

i<)55, Dec. 14

+ 19-48

+ 5-81

+ 81-86

+ 2-04

+ Si-87

— 11-3

H- 39-4S

+ 11-05

+ 93-14

+ 7-66

+ 93-02

— 9-9

+ 59-48

+ 18-67

+107-42

+ 14-94

+ 106-99

— 8-5

+ 78-56

+27-07

+ 124-79

+23-06

+ 124-00

— 7-4

— 53-06

-53-13

+178-76

— 57-^5

+ 177-31

+ n

— 33-06

-44-30

—163-57

-48-52

— 164-33

+ 4-'

7537

t

— 13-06

—39-35

— I4q-l8

-43-38

— 149-46

+ 48

1056, Jiiiii S

H- 6-94

-3889

— 136-17

—42-90

— 136-04

+ 4-9

+ 26-94

—42-92

— 122-35

—47-14

— 121-75

+ 4-3

+ 46 94

— 51 -06

— 105-67

-55-75

— 104-42

+ 3-5

+ 52-12

—53-70

— 100-70

-58-55

— 99-27

+ 3-3

Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahrhunderts.

261

Nr.

Gattuug iiud
Datum der
Finsterniss

Stmideuwinkel

Nördliche

Südliche

Daner der

Finsterniss

auf der Curve

Z 0

u c

■).

der Centralität

?

X

?

Minuten

— 90°20

+ 2°32

+ 65°97

- o°26

+ 66°32

—4-9

— 70-20

+ 7-08

+ 83-9S

+ 4-6:

+ 84-42

— 5-4

— 50-20

+ 13-25

+ 98-30

+ 10-95

+ 98-79

—6-1

—30-20

+ 19-93

+ 109-83

+ 17-74

+ 110-34

-6-7

>•

— I0-20

+ 26-17

+ 120-28

+24-05

+ 123-64

— 7-1

7S4I

195S, April 19

4-9-80

+ 31-16

+ 130-96

+29-07

+ 131-12

— 7-0

+ 29-80

+ 34-47

+ 142-85

+32-36

+ 142-82

-6-5

+49 ■ 80

+ 35-94

+ 156-45

+33-74

+ 156-23

— 6-0

+09-80

+ 35-52

+ 171-99

+33-19

+ i7'-64

—5-5

+89-80

+ 33-25

— 170-24

+30-70

— 170-62

-5-0

+ 9Ü-57

+ 32-06

— 163-04

+29-45

— 164-01

— 4-'l

— 90-09

+ 0-00

+ 157-45

— 1-41

+ 157-27

+ 2 4

—70-09

— 3-53

+ 175-81

— 5-19

+ 175-55

+ 3-2

—50-09

— 8-83

— 169-01

-10-68

— 169-34

+4-1

—30-09

-15-19

— 150-36

-17-19

— 156-73

+ 5-0

/

— 10-09

— 21 -67

— 144-97

-23-74

-145-27

+5-4

7542

+ 9-91

-27-38

— 133-44

— 29-3S

— 133-62

+5-3

i958,October 12

+29-91

—31-06

-120-75

—33-21

— 120-76

+4-7

+49-91

— 34-19

— 106-36

— 35-93

— 106-22

+3-9

+69-91

-34-88

— 90-00

-36-48

- 89-85

+3-2

+89-91

— 33-71

— 71-71

—35-16

— 71-52

+2-5

+94-99

-33-12

— 60-71

-34-53

— 66-02

+2-.r

—83-49

—42 03

+ 72-49

-44-79

+ 71-85

—5-1

-63-49

—38 -So

+ 91-24

—41-44

+ 90-78

—5-5

—43-49

— 33-9Ö

+ 107-30

-36-50

+ 107-14

— b-i

—23-49

—27-90

+ 120-63

-30-32

+ 120-69

—6-8

7543

r

— 3-49

— 2J-35

+ 131-53

-23-69

+ 131-81

-7-3

1959, April S

+ 16-51

— 15-39

+ 141-38

— 1 7 • 60

+ 141-76

-7-4

+30-51

- 10-71

+ 151-S1

— 13-01

+ 152-27

—6-8

+ 56-51

- 8-10

+ 1Ö4-3S

— 10-51

+ 1Ö4-SS

—6-1

+76-51

- 7-Si

-179-87

-10-39

— 179-30

— 5-4

+88-77

- 8-79

-1Ö8-37

— "■53

— 167-74

— 5-1

— 86-91

+42-77

— 72-34

+42-13

— 72-22

+ 1-1

— 66-91

+ 40-78

— 53-35

+39-98

— 53-22

+ 1-5

—46-91

+37-12

— 36-52

+36- 13

— 36-43

+2-0

— 26-91

+31-91

— 22-04

+ 30-79

— 22-05

+2-7

7544

f.

— 6-91

+ 25-67

— 9-71

+ 24-45

- 9-S3

+3-2

1859, October 2

+ 13-09

+ 19-21

+ 1-31

+ 17-99

+ I - 12

+3-3

+33-09

+ 13-50

+ 12-49

+ 12-37

+ 12-28

+2-9

+ 53-09

+ 9-40

+ 25-31

+ 8-42

+ 25-12

+2-3

+73-09

+ 7-41

+ 40-84

+ 6-62

+ 40-70

+ 1-5

+89-57

+ 7-51

+ 5Ö-I3

+ 0-88

+ 5()-oo

+ I-I

— 70-25

+47 '99

- 6-17

+45-85

- 5-36

+ I-S

— 56-25

+45 07

+ 12-13

+42-75

+ 12-87

+2-3

— 36-25

+45 '71

+ 27-46

+43-19

+ 28-08

+2-8

f

— 16-25

+49-82

4- 41-24

+47-06

+ 41-Ö5

+2-9

7547

iQüi, Febr. 15

+ 3-75

+ 56-79

+ 55-52

+53-80

+ 55-51

+2-7

+23-75

+65-13

+ 71-Sn

+62-05

+ 71-49

+ 2--?

+43-75

+72-00

+ 90-88

+69-71

+ 90-10

+ 1-8

+47-25

+ 73-66

+ 94-39

+ 70-S3

+ 93 57

+ 1-8

— 72-28

—45-91

— 49-70

—51-49

- 5085

-6-8

—52-28

— 42-08

— 22-50

—46-95

— 24-00

— ö-i

>■

—32-28

—41-69

— O-io

-46-34

- 7-25

—6-2

7548

— 12-28

—44-82

+ 6-34

-49 -00

+ 5-72

—6-4

19Ö1, Aug. II

+ 7-72

—50-95

+ 19-19

-5Ü-53

+ 19-28

—6-1

+ 27-72

-58-95

+ 34-46

-05-72

+ 35-70

—5-7

+ 45-33

-66-03

+ 50-58

-73-71

+ 53-05

-5-3

262

Kdiianl Mahl er.

Nr.

O.-ittüiiff uu<l
D.itmii der
Fiiisti'riiifis

Stnudoinviukel

Nördliche

SüdlicbL-

Zone

Dauer der

Fiusteruiss
auf der Curv(
der Cciitralität

7549

1962, Febr. 5

— S9°So

— 69-80

— 49 'So

— 29-80

— 9-80
10-20
30-20
50-20
70-20

s.roo

H-

+

i-iS

H-ii5°66

3'66

+ 133-98

6-37

+ 149-28

7-i6

+ 162-2S

4-69

+ 173-69

0-46

— 175-48

S-S5

— 164-04

12-53

— 150-63

19-49

— 134-24

23-47

— 122 -ob

+ 0°27

— 4-71

— 7-57

— 8-04

— 6-10

— 1-89

-t- 4-18
-+-II-32
+ 18-48
+22-57

+ iiS°75
+ 134-04

-1-149-34
+ 1O2-33
+ 173-21
-■75-36
--163-94
— 150-60

— 134-30

— 122-15

Minuten

-l-I

5

+ 2

2

+ 3

I

-1-3

9

-1-4

3

-h4

-3

-H3

ö

+2

7

+2

o

+ 1

5

7550

1962, Juli 31

90-79
70-79
50-79

30-79
10-79
9-21
29-21
49-21
69-21
84-91

-I- 3-13
+ 8-93
+ 12-75
+ 14-32

-f-13-52
+ 10-41
+ 5-22

— 1-52

— 8 89

— 14-41

— 68-22

— 51 • 12

— 36-8Ö

— 24-53

— 13-36

— 2-49
+ 9-06
+ 22-55
+ 39-11
+ 54-61

- 1-6S
7-65

- 1 1 - 64

-13-31

-12-58

- 9-47

- 4-21

- 265
-10-15
-15-77

— 68 -03

— 50-91

— 3Ö-6Ö

— 24-38

— 13-24

— 2-41

-H 9-15
+ 22-69

-+- 39-33
-^ 54-91

-2-8
-2-9
-3-0

-3 *2

—3'
—3
-3'
—3

— 2'

— 2'

7551

1963, Jauuar 25

-104-03

- 84-03

- 64-03

- 44-03

- 24-03

- 4-03

- 15-97

- 35-97

- 55-97

- 75-97

- 97-09

—34-95
—41-70
-40-27

— 49-10

— 50-05

—49-15

— 4Ü-37
— 41-63

-35-15

—27-52
-19-47

Ol

54

82

95

66

26

50

84

36

16

22

09

8

58

4

57

18

02

32

99

52

02

-35-66

-41-77
-46-61

-49-32
-50-20
-49-27
-46-48
-41-81

-35-44
-27-99

-20- 18

101 "69
82-97
66-3Ö
5089
36-lS
22-09
8-56
4-62
18-10
33-11
52-19

I -o

— 0-8

— 0-6
-0-5

— 0-3
—0-3

— 0-3
—0-4

— o-S
— 0-8

— I -o

7552

1963, Juli 20

— 1 1 o • 40

— 90-40

— 70-40

— So -40

— 30 40

— 10-40
9-60

29-60
+ 49-60
+ 69-60
+ 89-60
+ 103-99

+

+43-28
+ 50-88
+56-72
+ 00-56
+62-60
+62-99
+ (11-79
+ 5S-88
-1-54-03
+47-22
+39-08
+33-13

+ 142-01
+ 161 -21
+ 178-11

— 165-66

— 149-64
-133-76

— n8- 15
— 102-98

— 88-22

— 73-79

— 56-79

— 43-79

+42-73
+50-11

+55-S5
+59-63
+61 -62
+ 61-99
+60-76

+57-83
+53-00

+46 ■2q
+ 38-35

+32 -Öl

-i- 142-76
+ 161-48

+178-37
-165-39

— 14947
—133-72

— 11S-2Ö

— 103-22

— 88-55

— 74-13

- 57-43

— 44-02

+0

6

+0

-9

+ 1

2

+ 1

5

+ 1

7

+ 1

8

+ 1

8

+ 1

8

+ 1

0

+ 1

3

4-0

9

+0

6

7557

1965, Mai 30

+

72-95
52-95
32-95
12-95
7-05
27-05
47-05
67-05
85-97

35

74

26

29

16

29

7

54

1

41

I

50

I

04

2

79

9

30

+

170

70

—

170

96

—

156

23

—

144

37

—

133

71

—

122

71

—

HO

21

—

95

30

—

78

12

37

13

28

05

18

23

9

52

3

34

0

33

0

68

4

39

lO

76

-I- 170-46
—171-11
—15619

— 144-20

—133-51

-122-52
— 110-04
— 96-01

- 77-85

+ 2-2
+ 3-2
+ 4-3
+ 5-2
+ 5-6
+ 5-2
+4-3

-i-2-4

Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahrhunderts.

263

Nördliche

Süiiliche

Nr.

Gattung imd
Datum der

.Stundenwiukel

Dauer der
Finsterniss

Zone

Fiusterniss

auf der Curve
der Centralität

V

\

V

),

Minuten

- 73°3i

+39=02

+ 65°i5

+37°ii

+ os°49

—i'3

— 53-31

+ 30-10

+ 83-63

+28-36

+ 83 -76

-3-5

— 33-31

+ 19-83

■ + 98-37

f 18-32

+ 98-31

—3-7

r

— 13-31

+ IO- 10

+ 109-78

+ 8-77

+ 109-63

—3-9

7558

1965. Nov. 23

+ 6 -09

+ 2-56

+ 119-63

+ 1-34

+ 119-4Ö

—4-0

1- 26-69

— 1-82

+ 129-89

— 3-04

+ 129-63

—3-9

-(- 46-69

— 2 -81

+ 141-64

— 4-II

+ 141 -48

—3-7

-f- 66-69

— 0-26

-ri55-92

— 1-80

+ '55-72

—3-5

-(- 88-09

+ 6-12

+ 175-11

+ 4-28

+ 174-78

— 3-3

— 90-63

+ 2-OI

1

— 3025

+ 1-48

— 30-16

— 0-8

— 70-63

+ 10-47

— 12-32

+ 10-14

— 12-25

—0-5

— 50-63

+ 20-46

+ 1-74

+ 20-33

+ 1-78

— 03

7559

r—t
1966, Mai 20

- 30-63

— 10-63

+ 9-37

+ 30-21

-^ 13-43

+30-21

+ 13-43

0-0

+0- 1

0-0

+ 38-19

+ 24-77

1 +38-15

+ 24-78 1

+ 43-59

+ 37-07

+43-59

+ 37-07

+ 29-37

+ 46-52

+ 50-60

+ 46-49

+ 50-60

—0- 1

- 49-37

+ 47-12

+ 65-36

+46 • 99

+ 65-34

—0-3

+ 69-37

+ 45-40

+ 81-23

+ 45-17

+ 81-19

—0-5

+ 89-37

+ 41-25

+ 98-46

+40-87

+ 98-38

—0-7

+ 105- 1 1

+ 36-20

+ 113-3S

+ 35-66

+ 113-32

-0-8

- 89-33

+ 2-28

— 10401

+ 1-98

— i 04 ■ 00

+0-5

— 69-33

— 5-46

- 85-92

— 6-04

— 86-03

+0-9

— 49-33

— 15-37

— 71-60

— 16- 12

- 7I-78

+ '-5

— 29-33

—25-70

- 59-83

— 26'ÖI

— 60-07

+ 2-0

t

— 9-33

—34-65

- 48-59

-35-57

- 48- 78

+ 2-2

7560

i960, Nov. 12

+ 10-67

— 41 • lÖ

— 36-37

^42-01

— 36-46

+ 2-0

+ 30-67

—45-03

— 22-67

—45 -So

— 22-67

-1 1-8

+ 50-67

—46-45

— 7-60

-47-08

— 7-54

+ 1-4

+ 70-67

—45-49

+ 8-71

— 46-04

+ 8-8i

+ 1-1

-f- 90 67

— 42- 10

+ 26-42

—42-50

+ 26-50

+0-7

+ I04'5i

—38-22

+ 39-73

-38-52

+ 39-77

+0-5

— 91-03

-44-88

+ 43-64

-45-46

+ 43-56

— 1 • I

— 71-03

—4401

+ 62-75

-44-49

+ 62-80

— 10

— 51-03

-40-57

+ 79-94

-40-92

+ 79-94

-0-8

— 31-03

—34-30

+ 94-76

—34-54

+ 94-79

—0-6

75Ö5

r

— I I '03

-25-24

+ 106-82

-25-35

+ 106-84

-0-3

1969, März iS

+ S-97

— 14-26

+ 1 16-62

-14-35

+ 1 1 6 • 09

-0-2

+ 28-97

— 3-34

+ 126-15

- 3-4S

+ 126-20

■0-3

+ 48-97

+ 5-54

+ 137-73

+ 5-28

+ 137-79

— 0-6

+ 68-97

+ 11-23

+ 152-55

+ 10-85

+ 152-60

— 0-9

-)- 89-76

+ 13-62

+ 171-52

+ 13-01

+ 171-59

— 1-1

— 93-90

+42-43

+ 173-34

+40-94

+ 173-51

-2-9

— 73-90

+42-61

—167-63

+41-26

— 167-49

— 2-9

— 53-90

+40-17

— 150-59

+38-93

— 150-54

— 3-0

y

— 33-90

+34-96

— 135-84

+33-79

— '35-92

— 3-0

7566

— 13-90

+26-87

— 123-80

+25-74

— 124-00

—3-1

1969, Sept. II

+ ö- 10

+ 16-45

— 114-30

+ 15-34

-114-58

— 3-2

-4- 26-10

+ 5-33

— 105- 1 1

+ 4-i8

— 105-40

-3-2

+ 46-10

— 4-43

— 94-27

- S-6S

— 94-5'

— 3-0

+ 66-10

— 11-37

— 80-05

— 12-68

— 80-25

— 3'o

+ 88-75

— 15-20

— 59-61

— 16-69

— 59-78

—2-9

264

Eduard Maliler.

Nördliche

.Süd iclu'.

Nr. I'a

Mii.i;- immI
tum (lor

T>;iUL'i- (1(1-

Stunilonwiuiii'l

Z 0

n c

Fin.stei-niss
auf dci- Curvc.
dfi- Ceiiti-iilitüt

Fi.

storniss

X

?

?

k

Miiiutcu

- 90°i9

- i°63

-.48=83

- 2-58

-148=64

+ 1-6

— 70-19

— 1-47

130-60

— 2-04

— 130-37

+ 2-2

- 50-19

-h 2-48

- 115-75

+ i-oS

-115-44

+3-0

f

— 30-19

+ 10-05

-103-83

+ 8-56

-103-49

+3-6

7567 ,g7,

— lo' 19

+ 20-43

— 93-62

+ 18-71

— 93-24

+3-9

3, Miirz 7

+ 9-Si

-I-31-S1

- 82-84

+30-09

— 82-60

+3-5

+ 29-81

+ 41-83

— 69-53

+40-33

— 69-50

+2-8

-1- 49 -Si

+ 49-22

— 53 34

+47-96

- 53-47

+ 2-3

-+- 69-81

+ 53-76

— 34-99

+52-69

- 35-18

+ 1-8

+ 82-58

+ 55-37

— 23-47

+54-39

-- 23-67

+ 1-6

- 89-3'

- 3-18

+ 147-15

— 6-05

+ 146-37

— 5-2

— 69-31

— 2-27

+ 164-99

— 4-90

+ 164-31

—5-7

— 49-31

— 2-42

+ 179-70

— 4-86

+ 179-07

-6-3

r

— 29-31

— 12-71

— 170-49

— 14-66

— 171 -02

—6-8

75öS

, Aug. 31

- 9-31

— 22-40

— 161 -41

-25-12

— 162 04

— 70

1970

+ lo'ög

— 35-00

-151-74

-37-93

— 152-09

—6-5

-+- 30-69

—43-94

-138-6U

—46-98

— 138-00

— 6-0

~l- 50-69

--51 80

-122-37

-54-84

— 121-88

-5-5

+ 75-61

— 57-06

- 98-78

— 00-62

— 97-99

— 5-'

— 120-21

+ 52-08

+143-48

+50-66

+ 143-85

+ 1-4

— 100-21

+60-35

+ 102 -28

+58-77

+ 162-82

+ 1-7

— 80'2I

+65-86

+ 179-98

+04-26

— 179-45

+2-1

— 60 2 I

+ 09-01

-162-55

+67-42

— 102 -06

+ 2-3

40 - 2 I

+ 70-34

-145-12

+08-76

— 144-79

+ 2-4

'''' ,07

t

— 20-2I

+ 70-21

— 127-88

+ 08-58

— 127-75

+2-6

z, Juli 10

— 0-21

+ 68-57

— 111 -05

+00-82

— 1 11-19

+ 2-7

+ 19-79

+64-94

— 95-04

+63-14

— 95-44

+2-8

-+- 39 79

+59-03

80-15

+ 57-00

— 80-81

+ 2-7

-+- 59-79

+50-26

— 06-29

+48-30

— 67-01

+2-4

H- 79-79

+ 39-74

- SI-89

+38-03

— 52-50

+ 2 -0

+ 102-37

+ 28-60

— 32-08

+27-35

— 32-44

+ 1-4

— loi • 14

— 23-67

-127-97

— 20-91

— 128-38

-5-5

— 81-14

—31-36

— 109-59

-34-30

-110- 14

— 6-0

- 61-14

— 36-60

- 93-82

-39-35

— 94-31

-6-5

— 41-14

-39-45

— 79-64

-41-96

— 79-94

— 7-1

r

— 21-14

-39-80

— 06-50

—42-23

— 66-62

— 7-5

' 7574

— I - 14

— 37-73

— 54-40

—40-18

— 54-17

— 7-7

■973

Jauu:ir 4

+ 18-86

-33- iS

— 42-99

—35-73

— 42-49

-7-6

+ 38-86

— 26-14

— 31-75

—28-85

— 31-09

— 7-2

+ 58 -86

— 17- 16

— 19-39

— 20-o8

— 18-70

-6-5

+ 78-86

— 7-50

— 4-03

— io-6o

- 3-50

-5-8

+ 91-31

— 1 -90

+ 7-62

— 5-09

+ 8-03

-5-5

— 91-96

+ 5-62

— Oo-oo

+ 3-58

— 60-05

+3-4

— 71-9Ü

+ 13-39

— 4 1 - So

+ 11-22

— 41-76

+4-4

— 51-96

+ 18-80

- 32-17

+ 16-53

— 26-39

+5-5

— 3' -96

+ 21-50

— 13-06

+ 19-18

— 13-04

+6-5

7575

197.

f

- 11-96

+ 21-43

— 0-88

+ 19-05

— 0-98

+7-2

, Juui jo

+ 8 • 04

+ 1S-61

+ 10-63

+ 1 6 - 1 6

+ 10-42

+7-2

-h 28-04

+ 13-08

+ 22"l6

+ 10-61

+ 21-88

+6-6

H- 48-04

+ 5-20

+ 34-79

+ 2-79

+ 34-5S

+5-4

-h 68-04

— 4-04

+ 49-97

- 6-27

+ 49-90

+4-2

4- 84-53

— 11-63

+ "5-15

— 13-06

+ 65-21

+3-4

Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahrhunderts.

265

Nördliclie |

Südliche

Dauer der

Gattung lind

Finsterni^s

Nr.

Datum der
Fiusterniss

Stundenwinkel

Z 0

n e

auf der Cui-ve
der Centralität

?

}.

0

K

Minuten

— S2°85

-m8°i7

— I02°02

+ I4°22

— IOI°25

— 7-4

- 62-85

+ 10-07

— 84 02

+ 0-48

- 83-59

- 8-5

- 42-85

+ 4-38

— 69-96

+ 1-12

— 69-72

— 10-0

)■

- 22-85

+ 1-S2

— 58-66

— I-2S

- 58-48

— 11-3

757U

'973, Dcc- 24

- 2-85

+ 1-86

— 48-78

— 1-20

— 48 -öo

— 11-9

+ 17-15

+ 6-32

— 39-09

+ 3-12

— 38-96

— II-3

+ 37-15

+ 13-05

— 27-95

+ 9-61

— 27-99

— 9-9

+ 57-'5

+21-84

— 13-71

+ 18-08

— 14-09

- 8-4

+ 76-36

+ 30-S2

+ 3-84

+26-78

+ 3-06

— 7-4

— 64-42

— 43-6Ü

-t- 59-32

—46-93

-H 58-3«

-4- 3-2

— 44-42

—35-40

-1- 77-17

-38-62

+ 76-49

+ 4-2

/

— 24-42

-30-74

-H 91-55

—33-96

+ 91-15

+ 5-0

7577

— 4-42

—30-23

+ 104-00

-33-49

+ 103-86

-1- 5-4

1974, Juni 20

+ 15-58

-33-94

+ 11Ö-43

-37-28

+ 116-60

+ 5-0

+ 35-58

-41-28

+ 130-82

-44-89

+ 131-41

+ 4-1

+ 55-37

-51-35

+ 148-60

-54-93

+ 149-61

+ 3-2

- 91-80

+ 8 -24

— 40-88

+ 5-03

— 40-45

— 4-7

- 71 80

+ 14-18

— 22-96

+ 11-72

— 22-42

- 51

— 51-80

+ 2I-08

- 8-63

+18-77

— 10-2I

- 57

— 3 1 - So

+27-88

+ 3-26

+25-69

+ 3-76

- 6-3

)*

— 11-80

+33-62

+ 14-29

-1-3I-53

-i- 14-63

- 6-5

75S1

+ 8-20

-1-37-73

+ 25-68

-H3S"69

+ 25-81

- 6-5

1976, April 29

+ 2S-20

+40-03

+ 38-12

-t-37-96

+ 38-01

— 6-2

+ 48-20

+40-44

+ 51-86

+38-29

+ 51-57

- 5-8

+ 68 -20

+38-97

+ 66-70

+36-Ö8

+ 66-24

- 5-3

+ 88 20

+ 35-66

+ 84-42

-i-33-'ö

-1- 83-94

- 4-6

-+- 99-18

-1-33-09

-1- 94-93

-1-30-43

+ 94-49

— 4-7

— 90-80

- 36.

-+- 31-23

— 4-97

+ 31-04

+ 2-2

— 70-86

- 8-5.

-1- 49"55

— 10" 10

+ 49-27

+ 2-9

— 50-86

-1478

+ 64-65

— 16-58

+ 64-30

+ 3-8

— 30-86

— 21-53

+ 77-40

-23-47

+ 77-02

+ 4-6

f

— 10-86

-27-78

+ 89-14

— 29-74

+ 88-84

+ S-o

75S2

+ 9-14

—32-72

+ IOI - 14

—34-63

+ I01-01

+ 4'9

197Ö, Oct. 23

1- 29-14

-35-96

+ 1 14- 18

^38-26

+114-25

+ 4-7

h 49-14

— 37-36

+ 128-66

—39-03

+128-84

+ 3-8

i- 69- 14

-36-87

-t-144-75

-38-43

-1-144-99

H- 3-3

+ 89-14

—34-53

+ 102-72

-35-9Ü

+162-94

+ 2-4

+ 97-69

— 32-97

+ 171-06

— 34-34

+171-27

+ 2-2

— 81-48

—36-66

- 32-52

-39-18

— 33-02

— 4-7

— 61-48

— 32-01

- 13-98

— j4-4>

- 14-31

- S-o

— 41-48

-25-98

+ 1-47

-28-25

+ 1-37

- 5-6

'

— 2 1 - 48

— 19-29

+ 13-80

— 21-41

-H '3-9S

- 6-3

75S3

- 1-48

— 12-90

+ 24-11

— 14-94

+ 22-52

— 6-8

1977, April 18

+ 18-52

— 7-80

+ 33-78

- 9-79

+ 34-07

— 6-8

+ 38-52

- 4-6s

+ 44-46

— 6-69

+ 44-77

- 6-3

+ 58-52

- 3-7S

-4- 5U-33

— 5-96

+ 57-80

- 5-6

-h 88-44

— 6-88

+ 82-38

— 9-39

+ 83-53

— 4-8

— 83-90

+ 38-99

-M70-53

-1-38-55

+ 170-60

+ 0-8

— 63 90

-I-35-51

— 170-63

-1-34-90

— 170-54

+ 1-2

— 43-90

+30-45

-■54-32

+ 29-65

-158-39

+ 1-8

- 23-90

+ 24-23

— 1 40 - 6 7

(-23-30

— 1 40 • 70

+ 2-4

t

— 3-90

1-17-65

-129- 12

h 16-65

-129-23

+ 2-8

7584

1^ i6- 10

+ 11-71

— 118-46

+ 10-70

— 118-61

+ 2-g

1977, Oct. 12

-h 36-10

-h 7-25

— 107- 16

+ 6-36

— 107-30

+ 2-4

+ 56-10

f 4-86

— 93 -go

+ 4-09

— 94-02

+ 1-8

-H 76-10

+ 4-77

- 77-81

+ 4->8

- 77-89

+ i-i

+ 89-24

+ 5-97

— 65-43

-H 553

- 65-51

+ 0-8

Denkschr

iften der malhem.-u

alunvClI. Aiihandlu

ngen von Nichlmitgl

edei-D. XLIX.Bd.

1

266

Eduard Mahler.

Gattuug und
D.-itura der
Fiiisterui.-s

Nürdliehe

Südliche

Dauer der

Nr.

Stunrtenwiiikol

Z 0

n e

Finsterniss
auf der f'urve
der Centialität

?

X

?

X

Minuten

— 8o°4i

+48=90

— I40°44

+46°47

-i39°48

+ 2-0

— 60-41

+47-63

— 122-13

+44-93

-121-17

+ 2-5

f

— 40-41

+49-91

— 106-67

+46-93

— 105-83

+ 2-9

75S7

— 20-41

+55-51

— 92-61

+52-11

— 91-99

+ 3-0

1979, Febr. 26

— 0-41

+i'3-35

- 77-84

+59-62

— 77-67

+ 2-7

+ I9"S9

+ 71-53

— 60-79

+67-68

— 61-21

+ 2-3

+ 47-65

+ 79-46

- 33-51

+ 76- 10

— 34-49

+ 2-0

- 90-28

— 0-80

- 15 -.1

- 1-69

— '5-04

+ i-o

— 70-28

— 4-17

+ 3-24

- 5-26

+ 3-32

+ 2-2

— 50-28

- 5-37

+ 18-60

— 6-58

+ 18-69

+ 3-'

— 30-28

— 4-22

+ 31-56

— 5-60

+ 31-67

+ 3-9

7589

t

— 10-28

— 0-89

+ 42-S7

- 2-34

+ 43-02

+ 4-4

1980, Febr. lO

+ 9-72

+ 4-33

+ 53-59

+ 2-88

+ 53-74

+ 4-3

+ 29-72

-(-10-81

+ 65 08

+ 9-41

+ 65-17

+ 3-6

+ 49-72

-I-17-60

+ 78-65

+ IÖ-3S

+ 79-66

+ 2-S

+ 69-72

+ 23-73

+ 95-13

+ 22-68

+ 95-06

+ 2-0

+ 83-60

-1-27-16

+ 108-33

+26-25

+ 108-25

+ 1-6

— 90-27

+ 1-67

— 168-93

+ 0-27

— 169-0Ö

— 2-7

- 70-27

-1- 6-16

— 150-80

+ 4-97

— 150-88

— 2-8

— 50-27

+ 8-52

— ■35-98

+ 7-50

— 136-02

— 3-0

— 30-27

+ 8-59

— 126-04

+ 6-45

— 123-84

- 3-1

7590

r

— 10-27

+ 6-33

-I13-I3

+ 5-48

— 113-20

- 3-2

19S0, Aug. 10

+ 9-73

+ 1-94

— 103-20

+ I -06

-103-39

- 3-2

+ 29-73

— 4-11

- 92-87

- 5-11

— 92-95

— 3-1

+ 49-73

— 11-08

- 80-33

— 12 -21

- 80-35

— 2-9

■+- Ö9-73

-17-89

— 64-50

— 19- 20

— 64-49

— 2-8

+ 83-40

—21-99

— 51-66

—23-41

— 51-53

— 2-7

— 103-14

-38-45

+ 131-97

—39-20

+ 131-81

— I - 1

- 83-14

—43-64

+ 150-77

-44-19

+ 150-63

— I - 1

— 63-14

— 47-OI

+ 167-71

—47-39

+ 167-61

- 0-8

— 43-14

-48-52

— 176-63

—48-80

— 176-67

— 0-6

/•

- 23-14

— 4S-21

— 161-95

—48-44

-161-95

— 0-5

7591

1981, Febr. 4

— 3-14

—46-13

— 148-18

-45-55

— 148-22

— 0-4

4- 1O-86

-42-15

—135-23

—42-32

-135-20

— 0-4

+ 36-86

-36-42

— 122 -04

-36-66

— 122-62

— 0-5

+ 56-86

—29-42

— 109-54

— 29-77

— 109-44

— 0-7

-+- 76-86

— 22-05

— 94-37

— 22-60

— 94-23

— I - 1

+ 94-84

-l6-I2

— 7792

-16-85

- 77-75

— I - 1

— 107-14

+42-25

+ 39-58

+41-67

+ 39-72

+ o-S

— 8714

+48-51

+ 58-34

+47-76

+ 58-57

+ i-i

- 67-14

+53-00

+ 75-43

+52-11

+ 75-68

+ i-s

— 47-14

+55-59

+ 91-60

+54-63

-f 91-81

+ 1-8

t

— 27-14

+56-45

+ 107- lö

+55-44

+ 107-28

+ 1-8

7592

— 7-14

+55-59

+ I22-20

+54-54

+ I22-I8

+ 2-2

1981, Juli 31

+ 12-86

+53-00

+ 136-61

+51-91

+ 136-46

+ 2-2

-h 32-86

+48-54

+ 150-46

+47-45

+ 150- iS

+ 2-1

+ 52-86

-1-42-28

-1-164- 16

+41-24

+163-84

+ 1-8

+ 72-86

+34-77

+ 178-83

+33 -89

+178-56

+ 1-4

+ 92-86

+27-12

— 164-01

+26-47

— 164- 19

+ 0-9

+ 98-70

+25-03

-158-36

+ 24-47

-158-50

+ 0-8

Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahrhumlerfs

26?

Nordliche

Siidliclie

Dauer der

( r*itf IUI o' tivul

Nr.

\.T(1 LL llUw, 11 Uli

Datum der
Fiusteruiss

Stuurleuwiiikel

Z 0 u e

Finsterui.ss
auf der Curvc

der Ccutralität

?

>,

?

),

Miuuteu

- 7i°87

-35°65

+ 65°39

-37°22

+ 65°2S

+ 2-4

- 51-87

— 2Ö-08

+ 82-31

-27-87

+ 82-37

+ 3-2

/

- 31-87

— 16-77

+ 95-55

— 18-70

+ 95-81

+ 4-3

7597

— n-87

— 9-42

+ 106-31

-.1-38

+ 106-71

+ 5-2

1983, Juui 1 1

+ S-I3

— 5-04

+ 116-43

— 6-95

+ 116-88

+ 5-5

+ 28- 13

— 4-00

+ 127-47

- 5-85

+ 126-93

+ 4-9

+ 48-13

- 6-38 -

+ 140-64

- s-io

+ 141-12

+ 4-0

+ 68-13

- I 2 ■ 00

+ 157-14

— 1 3 ■ 64

+ 157-50

+ 3-0

+ 8I-9S

- -17-49

+ 170-72

— 19-03

+ 171-27

+ 2-4

— 73-95

+35-28

- 58-69

+33-44

- S8-3^>

— 3-2

- 53-95

+25-89

— 40-35

+24-23

— 40-23

— 3-4

- 3395

-h 1 6 ■ 00

- 25-88

+ 14-59

- 25-S9

- 3-ü

r

- 13-95

+ 7-4t)

— 14-49

+ 6-22

— 14-60

- 3-8

7598

-t- 0-05

+ 1-57

— 4-45

+ 0-41

- 4-57

- 3-9

198.

;, uec. 4

-H 20'OS

— I - 1 1

+ 5-92

— 2-29

+ 5-80

- 3-8

+ 46-05

- 035

+ 17-82

- 1-65

+ 17-70

- y^

+ 66-05

+ 3-62

+ 32 -28

+ 2 • I I

+ 32-09

— 3-4

+ 85-99

+ 6-70

+ 49-57

+ 8-89

+ 49-93

— 32

— 9055

1

+ 0-74

— 135-49

— 0-9

+ 1-66

-135-60

— 70-55

+ 10-54

— 117-6S

H- lo- iS

— 117-61

— 07

- 50-55

+20-27

-103-50

+ 20- 10

-103-40

— 0-4

— 30-55

+29-09

— 91-50

+29-00

— 91-55

— 0-1

7599

19S4, Mai 30

— 1055

+ 9-45

+35-84

— 80-oS

+35-84

— So -08

0 -o
0-0

+40-11

— 07-99

+ 40-11

— 07-99

+ 29-45

+41-93

— H-92

+41-88

— 54-91

— 0-1

+ 49-45

+41-37

— 40-82

+41-24

— 40-84

— 0-3

H- 69-45

+38-42

— 25-53

+38-16

- 25-58

— 0-3

+ 89-45

+32-97

— S-58

+32-54

— 8-65

— 0-8

+ 102-19

+ 28-24

+ 3-53

+27-66

+ 3-45

— 1-2

— 90-17

— 0-29

+ 12S-01

— o-6i

4-127-97

+ 0-5

— 70-17

— 8-S2

+ 146-08

- 9-38

+ 145-97

+ 1-0

— 50-17

-18-77

+ 160-47

— 19-54

+ 160-29

+ 1-5

— 30-17

—28-21

+ 172-62

-29-25

+ 172-37

+ 2-0

t

— 10-17

— 36-11

— 175-73

—37-01

— 175-89

+ 2-2

7600

+ 983

—41-30

— 163-26

— 42-20

— 163-32

+ 2-1

198^

1-, Nov. 22

H- 29-83

—44-10

— 149-63

-44-86

— 149-60

+ 1-8

4- 49-83

—44-45

— 134-80

—45-13

-134-79

+ 1-5

+ tJ9-83

—42-43

— 118-96

—43-01

-118-87

+ I-I

+ S9-83

—37-94

— loi -64

-3S-3S

— 101-55

+ 0-7

+ 10401

—33-20

— 88-10

-33-52

— 88-07

+ 0-5

— 80-50

-47-18

— 71-53

— o-S

—40-77

— 71-47

— 66 50

—44-41

— 52-34

— 44-70

- 52-38

— 0-0

— 40-50

-39-37

— 35-29

—39-45

— 35-30

— 0-3

r—t

— 20-50

— 0-50

—31-48

— 20-93

-31-48

— 20-93

0-0
+ 0-3

— 21-05

— 9-54

— 21 - 10

— 9-51

7005

19S7, März 29

+ 13-50

— 9-84

— 0-04

— 9-97

— 0-01

+ 0-4

-+- 33-50
+ 53-50

+ 0-03

+ 9-92

— 0-03

+ 9-92

+ 0-2
— 02

+ 7-07

+ 22-22

+ 7-00

+ 22-23

+ 74-50

+ 10-76

+ 39-99

+ 10-51

+ 37-71

— 0-5

+ 90-03

+ 11-17

+ 53-57

+ 10-72

+ 53-03

— 0-8

— 90-17

+41* -59

+ 67-2S

+44-89

+ 07-02

— i'i

— 70-17

+45-35

+ 80-50

+43-76

+ 86 -oS

— 3-4

7606

r

— 50-17

+41-49

+ 103-65

+39-96

+ 103-04

- 3-5

198

7, Sept. 23

— 30- 17

+34-S1

+ 118-27

+33-35

+ 118-15

— 3-7

— 10-17

+25-36

+ 129-91

+ 23-96

+ I2q-64

— 3-9

+ 9-83

+ 14-23

+ 139-20

+ 12-87

+ 138-80

— 3-9

268

Eduard Mahler.

Nor

lliehc

Süillielie

({.'ittiino" mifl

Dauer der

Nr.

> ^ II' L l' 1 1 Ai C^ IlliVl

Datum der

Stnuileuwiiikel

Zone

l'-iusteniiss

Fiiisteriiiss

auf der f'urve
der Centralität

0

X

?

X

Minuten

+ 29°S3

-+- 3°39

+ i4S°3o

+ 2°04

+ i47°95

- 3-8

+ 49-83

— 5-05

+ 159-63

— 6-49

— 159-33

- 3-6

- 69-83

— 10-29

+ 174-29

-11-85

+ 174-04

— 3-4

+ 89 -gü

— 12-03

— 167-34

— 13-74

— 1Ö7-59

- 3-3

— 90-07

— 3-96

+ 85-S3

- 5-05

+ 86-03

+ i-S

— 70-07

— 2-32

+ 104-0S

— 3-60

+ 104-33

+ 2-4

— 50-07

■+- 3-09

+ IIS-8S

+ 1-55

+ 119-23

+ 3-2

— 30-07

+ 11-8Ü

+ '3o-(J7

+ 10-11

+ 131-11

+ 3-9

7Ö07

t

— 1007

+ 22-91

+ 140-S7

+ 21 -03

+ 141-31

+ 4-1

19S8, März 18

+ 9-93

+34-07

+ 151-S2

+32-25

+ 152-09

+ 3-8

+ 29-93

+43-25

+ 165-27

+41-63

+ 165-31

+ 3-1

+ 49-93

+49-60

— 178-68

+48-21

-178-80

+ 2-b

+ 69-93

+ 53-21

— 100-Ö5

+ 52-02

— 160 -84

+ 21

H- 88-75

+ 54-44

-142-38

+ 53-39

— 142-59

+ 1-8

— 90-08

+ 2-48

+ 44-65

— 0-30

+ 43-97

- 5-3

— 70-08

+ 2-04

+ 62 -bi

— 0-60

+ 61-97

- 5-8

— 50-08

— 2-21

+ 7U-71

— 4-72

+ 76-04

- 6-4

— 30-08

— I0-02

+ 87-47

-12-55

+ 86-74

- 7-1

7608

r

— 10 -08

— 20-56

H- 96-30

—23-26

+ 95-62

— 7-6

tgSS, Sept. II

H- 9-92

—31-95

+ 105-79

-34-78

+ 105-36

— 7-7

4- 29-92

— 41-90

+ Ii8-i6

— 44-77

+ 128-13

— 7.3

-h 49-92

— 49-10

+ 133-77

— 51-96

+ 154-12

— 60

+ 69-92

— 53-49

+ 151-83

-56-32

+ 152-43

- 5-8

+ 83-27

-55-04

+ 164-84

-57-88

+ 165-52

— 5-3

— 12900

+ÖI - 19

H- 23-31

+ 59-21

+ 23-82

+ 1-5

— 109-60

+ 69-17

+ 42-30

+ 67-10

+ 43-04

+ i-s

— 89-60

+ 73-91

+ 60-69

+ 71-96

+ 61-45

+ 2-0

— 69-60

+ 76-40

+ 79-11

+74-57

+ 79-76

+ 2-2

— 49-60

+ 77-40

+ 97-60

+75-61

+ 98-07

+ 2-3

/

— 29-60

+ 77-30

+ 115-99

+ 75-43

+ 116-26

+ 2-4

7612

— 9-60

+ 76-03

+ 134-08

+ 74-00

+ 134-06

+ 2-5

1990, .luli 22

+ 10-40

+ 73-12

+ 151-48

+ 70-83

+ 151-11

+ 2-6

H- 30-40

+67-78

+ IÜ7 -60

+65-17

+ 166-S4

+ 2-7

+ 50-40

+ 59-02

-178-13

+56-36

— 179-15

+ 2-6

+ 70-40

+47-02

— 164-79

+45-27

— 165-74

+ 2-3

+ 90-40

+36-47

— 149-50

+34-63

— 150-17

+ i-s

-1- 102-39

+ 31-08

-138-50

+ 29-55

-139-00

-h 1-5

— 102-78

-28 -43

f 109-48

■-31-71

+ 109-06

- S-6

— 82-78

-35-30

+ 128-05

-38-26

+ 127-50

— 6-1

- 62-78

—39-56

+ 144-25

—42-28

+ 143-79

— 6-6

- 42-78

—41-29

+ 158-90

-43-86

+ 158-63

- 7-0

)■

- 22-78

—40-57

+ 172-27

—43-07

+ 172-2S

- 7-6

7*'>3

1991, Januar 15

2-78

-37-34

-175-55

-39-88

-175-25

- 7-9

+ 17-22

—31-52

— 164-47

-34-18

— 163-90

- 7-8

H- 37-22

-23-24

— 153-77

—26-07

— 153-02

— 7-4

+ 57-22

— 13-36

— 141-80

— 16-37

— 141-07

- 6-7

-t- 77-22

— 3-5*

— i26-5t)

— 6-69

— 126-00

— 5-9

-H 89-90

+ 188

— 114-69

— 1-33

-114-27

- 5-0

- 95-20

+ 13-68

— 174-76

+ 11-65

-174-76

+ 3-4

— 75-20

+20-79

— 156-43

+ 18-63

— 156-33

+ 4-3

— 55-20

+25-27

— 140-69

+23-04

— 140-5S

+ 5-3

f

— 35-20

+27-02

— 126-75

+24-69

— 126- 72

+ 6-3

71)14

— 15-20

+26-01

— 114-10

+ 23-59

— 114-23

+ 7-0

1991, Juli II

+ 4 -So

+ 22 23

— 102-37

+ 19-74

— 102-Ü7

+ 7-2

-H 24-80

+ 15-76

— 91 -Ol

+ 13-23

— 91-39

+ b-6

+ 44-80

+ 7-21

— 7S-S2

+ 4-73

— 79-14

+ 5-6

-1- 64-80

- 2-65

- 64-25

- 4-96

— 64-41

+ 4-3

+ 84-74

— II 56

— 4b -20 1

^14-02

— 46-20

+ 3-4

Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahrhunderts.

269

Gattiiug uud
Datum der
Fiusteniiss

Nördliche

Südliche

Dauer der

Nr.

.Stmuleiiwiiikel

Z 0

11 e

riunteruiss
auf der Curve

),

der Centralität

?

x

0

Minuten

— 85°2i

+ i3°32

+ 136°42

+ 9°43

+ i37°i6

- 7-3

— 65 '2 1

+ 5-86

+ 154-40

+ 2-33

+ 154-84

- 8-4

— 45-21

-H 1-32

+ 168-52

— 1-88

+ 168-83

- 9-8

7615

V

— 25-21

-1- 0- 1 1

+ 179-91

— 2-97

— 179-80

— 1 1 - 1

1992, Januar 4

— 5-21

-t- 2-24

— 170-27

— 0-84

— 169-97

— 11-7

+ 14' 79

+ 7-Ö3

— 160-71

+ 4-38

— 160-46

— 1 1 • I

+ 34 '79

+15-77

— 149-72

+ 12-25

— 149-67

— 9-7

-)- 54-79

-t-25-44

-135-48

+21 Ö3

-135-81

- 8-3

+ 74-52

-+-35-01

— 117-36

+30-70

— 118- 16

— 7-3

— 72-32

— 34-43

- 50-58

--36-gg

— 57-34

+ 31

— 52-32

—26-86

- 38-69

—29-48

— 39 27

+ 4-0

— 32-32

— 22-89

— 24-32

-25-58

— 24-73

+ 5-0

7616

t

— 12-32

—22-97

— 1215

—25-72

— 12-40

+ 5-5

1992, JuDi 30

4- 7-ÖS

—27-07

— 0-49

— 2g-g3

— 0-54

+ 5-3

-f- 27 -öS

-35 25

+ 12 59

—37-67

+ 12-79

+ 4-4

H- 47 -öS

— 44-70

+ 28-73

—47-67

+ 29-33

+ 3-5

+ 57-90

-50-12

+ 38-52

— 52-9Ö

+ 39-27

+ 3-'

— 94-40

+ 15 14

— 140' 76

+ 12-40

-145-21

— 4-5

— 74-4<i

+ 22-09

— 128-S3

+ 19-57

— 128- 19

— 4-9

— 54-40

+ 29-41

— II4-34

+27-08

— 113-70

— 15-4

— 34-4Ö

+36-01

— loi -89

+33-81

-101-35

- 5-8

r

— 14-40

+41-07

— 89-99

+38-99

— 89 -60

— 0-0

7620

-+ 5 ■ 54

+44-33

— 77-74

+42-28

— 77-65

— 6-0

1994, Mai 10

+ 25-54

+45-69

— 64-73

+43 63

— 64-89

- 5-S

+ 45-54

+45-19

— 50-81

+43 ■ 06

— 51-20

- 5-5

+ 05-54

+42-83

- 35-70

+40-52

— 36-31

— 5-1

+ 85-54

+38-58

— 19-13

+36-05

— 19-74

- 4-8

+ 101 -64

+ iZ 91

— 4-04

+311S

- 4-58

— 4-5

— 92-19

- 7-47

— 96-96

— 8-88

— 96-37

+ 2-0

— 72-19

— 13-55

— 78-66

— 15-28

— 79-01

+ 2-7

■

— 52-19

-20-54

— 63-51

— 22-56

— 64 00

+ 3-5

— 32-19

-27-35

— 50-57

-29-53

— 51-02

+ 4-3

t

— 12-19

-33 08

- 38-39

—35-31

- 38-72

+ 4-6

7621

+ 7-8i

-37-12

— 25-92

—39-35

— 20-04

+ 4-6

1994, Nov. 3

+ 27-81

—39-32

— 12-60

-41-47

— 12-50

+ 4-2

-1- 47-81

—39-61

+ 1-85

-41-65

+ 2-12

+ 3-6

+ 67-81

—37-99

+ 17-00

—39-94

+ iS-oo

+ 3-0

H- 87-81

—34-50

+ 35-18

—36-30

+ 35-50

+ 2-3

+ 99-81

—31-55

+ 46-75

-33-23

+ 47-00

+ 2-0

— 80-99

—30-32

— 136-94

—32-64

-137-33

— 4-4

— öo-gg

— 24-44

— 118-05

— 26-59

— 118-85

- 4-8

— 40-99

— 17-59

— 103-79

-19-58

-103-74

— 5-4

— 20 -gg

— 10-79

— 92-00

-12-58

— 91-88

— 6-0

7622

)•

— 0-99

— 5-02

— 82-06

— 6-74

— 81-88

— 6-4

1995, April 29

-h 19-01

— i-oS

— 72-37

- 2-8i

— 72-17

- 6-3

- 5-8

+ 39-01

+ 0-59

— 61-51

— 1-18

— 61-31

+ 59-01

— 0-17

- 48-37

— 2-05

- 48-15

- 5-2

+ 79-01

— 3-20

— 32-07

- 5-3Ö

— 31-70

- 4-6

+ 88-33

- 5-36

— 23-21

- 7-65

- 22-83

- - 4-4

— 81-92

+34-80

+ 50-85

+34-55

+ 50-89

+ 0-4

— 61-92

+ 29-93

+ 69-52

+29-48

+ 69 56

+ o-g

— 41-92

+23-73

+ 85-29

+23-10

+ 85-31

+ 1-4

— 21-92

+ 16-94

+ 98-25

+ 16-19

+ 98-22

+ 2-0

t

— 1-92

+ io-6o

+ 109-31

+ 9-79

+ 109-22

+ 2-4

7023

+ iS-oS

+ 5-Ö4

+ 119-87

+ 4-84

+ 119-76

+ 2-3

199S, Oct. 24

H- 38-oS

+ 2-68

+ 131 38

+ 1-99

+ 131-29

+ i-g

-h 58 08

+ 2-02

+ 144-95

H- 1-47

H-I44-88

+ 1-3

+ 78-08

+ 3-71

+ 161 -40

+ 3-35

+ 101-35

+ 0-7

+ 88-88

+ 5-59

+ 171-68

+ 5-33

+ 1 7 1 • 64

+ 0-4

270

Eduard Mahler.

Auf G-rund dieser Daten dürfte es kaum mehr schwierig sein, sich ein Bild über den Verlauf der cen-
tralen Verfinsterung der liier ])ublicirten Finsternisse zu schalten. Dessenungeachtet wird es wohl jedem der
Leser willkommen sein, dies in den folgenden Blättern besprochen /,u finden. Ich bemerke nur nochmals, dass
sich die hier folgenden Angaben nur auf die Centralität der Verfinsterungen beziehen.

Die centralen Sonnenfinsternisse des XX. Jahrhunderts. 271

t. lOüO, Mai 28. Geht vom grosseu Ocean (Revilla Gigedo-lus.) über Amerika (.Mexico, G. v. Mexico, Vereinigte Staaten [Was-
hington]), dem athtntischen Ocean nach Europa (Portugal, Spanien) dem mittelländiachen Meere und dem
nördlichen Afrika.

)'. 1900, November 32. Geht vom atlantischen Ocean über Südafrika, dem indischen Ocean nach Australien.

t. 1901, Mai 18. Die Finsterniss ist sichtbar im indischen Ocean, auf den Sunda-Inseln (Sumatra, Borneo, Celebes) und in
Neu-Guinea.

r. 1901, November 11. Die Finsterniss wird im mittelländischen Meere , nördlichen Afrika (Ägypten), rothen Meere, Arabien,
indischen Ocean, Ceylon, Siara, Aunam, süd-chinosischen Meere und auf deu Phillippinen sichtbar sein.

r. 1903, März 29. Wird in Asien (Turkcstan, Mongolei, Ostsibirien) und dem nördlichen Eismeere sichtbar sein.

/. 1903, September 21. Fällt ganz ins Meer [indischen Oceau und nördliches Eismeer].

»•. 1904, März 17. Wird sichtbar sein in Afrika, indischen Ocean, Asien (malaische Ilalbiusel, Slam, Aunam) und im grossen
Ocean. Auch diese Finsterniss fällt zum grössten Theilc ius Meer.

t, 1904, September 9. Geht durch deu grossen Ocean bis an die Westküste Südamerikas.

r. 1905, März G. Wird im indischen uud grossen Ocean, Australien (Süd- Australieu, Queensland) und Neu-Caledouieu
sichtbar sein.

t. 1905, .Viignst 30. Wird in Nordamerika (Canada, Labrador), auf dem atlantischen Ocean, in Europa (nördlicher Theil von
Spanien) mittelländischem Meere, nördlichem Afrika (Algier, Tripolis, Ägypten) und südlichem Arabien
sichtbar sein.

t. 1907, Januar 14. Wird iu Uussland (Astrachan), ganz Centralasien sichtbar sein.

r. 1907, Juli 10. Geht vom grossen Ocean über den mittleren Theil von Südamerika und wird auch im atlantischen Ocean
sichtbar sein.

f. 1908, Januar 3. Fällt in den grossen Ocean.

r. 1908, Juni 28. Geht vom grossen Ocean über Amerika (Mexico, G. v. Mexico, Florida), dem atlautischen Ocean nach Afrik;u

r — t, 1908, December 23. Wird in Südamerika als r. sichtbar sein, fällt aber sonst ins Meer.

t, 1909, Juni 17. Wird in Sibirien, dem nördlichen Eismeer und auf Grönland sichtbar sein.

/. 1911, April 28. Geht von Australien (Victoria) über den grossen Ocean bis an die Küste Mittelamerikas und wird auch auf
deu Norfolt-Ins. in der Dauer von mehr denn 3 Zeitminuten und auf mehreren anderen Inseln Polynesiens
sichtbar sein.

r. 1911, October 22. Wird auf einem grossen Theile Asiens (Wüste Kisil Kum, Wüste Gobi, Tibet, China), auf den Inseln
Hainan, Palawan und Neu-Guinea, sowie auf andern Inseln des grossen Oceans sichtbar sein.

r t, 1912, April 17. Geht vom nördlichen Theile Südamerikas, woselbst sie als r. sichtbar sein wird, über den atlautischen
Ocean nach Europa uud von da nach Asien. In Europa wird diese Finsterniss im südlichen Theile Portugals
sowie im nordwestlichen Spanien als t., dagegen in Frankreich, Belgien, Holland, Deutschland, auf der
Ostsee und ganzen nördlichen Russland als r. sichtbar sein.

t. 1912, October 10. Wird im atlantisclien Ocean, Südamerika (in der Dauer von mehr denn 2 Zeitmmuten) und auf dem grossen
Ocean sichtbar sein.

t. li>14, .Vugust 21. Wird im nördlichen Eismeere, auf Skandinavien, im Bottn. Meerbusen, auf der Ostsee (Alands-Ins., Ins.Daga.
Ins. Osel), dem B. v. Riga, in Russland [von Riga südwärts bis zum asow. Meer], auf dem schwarzen Meere
und Asien (Klein-Asien und Persien) sichtbar sein.

r. 1915, Februar 14. Wird im indischen Ocean, Australien (West-Australien, Tasmau-Lanil) auf Inseln der ITarafura See, auf
Neu-Guinea und im stillen Uccan (Carolinen Ins.) sichtbar sein.

272 Eduard Mo/i/cr.

r. 1"J15, August 10. Füllt iu den grosscu Oceau.

t. 1!)1(5, Februar 3. Wird im grossen Ocean (Galapagos-Ius.), Siidamerilia (Columbien, Vouczucla mit Dauor von o Zuitmiiiutün)
und im atlantischen Ocean (westindischen Inseln) sichtbar sein.

r. 191(!, Juli 30. Ueht vom indischen Ocean iilier Australien, der Insel Tasmania nach dem siidlicheu Eismeere.

r. 15)17, December 14. Fällt in das südliche Eismeer.

t, 1918, Juni S. Wird im grossen Ocean, südlichem Theil Nordamerikas (Vereinigte Staaten, Halbinsel Florida) uuil dem west-
lichen Tlieil des atlaii titschen Occans sichtbar sein.

r, 1918, Dccember 3. Geht vom grossen Ucean über Südamerik i (Argentinien), dem atlantischen Ocean zur Westküste
Südafrikas.

t. 1919, Mai 29. Wird iu Südamerika (Peru, I5rasilien mit Dauer von 1 Zeituunuteu), atlantischen Ocean und Afrika sichtbar sein.

r. 1919, Xovembcr 22. Wird in den Vereinigten Staaten, G. v. Mexico, den Antillen, auf Venezuela, dem atlantischen Ocean
imil nördlichen Afrika sichtbar sein.

r. 1922, März 28. Wird in Südamerika (Peru, Brasilien), im atlantischen Ocean, iu Nord-Afrika, im rothen Meere und Arabien
sichtbar sein.

t. 1922, September 21. Geht von der Ostkü-ste Afrikas über den indischen Ocean (Malediven) nach Australien (durchschneidet
diesen Welttlieil in der Richtung von Nordwest |Grey-FlussJ nach Ost [Clarence]) und wird auch im grossen
Ocean sichtbar sein. In Australien wird die Verfinsterung eine mittlere Dauer von 1 Minuten haben, indem
sie beim Eintritt in den Continent eine Dauer vim etwa (v2 Zeitminuten und beim Austritt aus demselben
noch eine Dauer von 2S Zeitminuten haben wird.

r. 1923, März 17. Wird in Südamerika (Patagouieu), im atlantischen Ocean, Südafrika und indischen Ocean (Madagaskar)
sichtbar sein.

t. 1923, September 10. Geht über den grossen Ocean nach Amerika (NiederCalifornien [Dauer := 3-8 Minuten], Mexico,
Yucatan) und dem atlantischen Ocean. In Amerika wird die Verfinsterung eine mittlere Dauer von 3 Zeit-
minuten haben.

t. 1925, Januar 24. Wird in Nordamerika (Vereinigte Staaten [New- York mit Dauer von über 2-6 Minuten]) und im atlantischen
Ocean sichtbar sein.

r. 1925, Juli 20. Füllt in den grossen Ocean.

*. 1926, Januar 11. Wird in Centralafrika, dem indischen Ocean, den Sund.aiuseln (Sumatra, 15orueo) und auf den Philippinen
(Mandanao) sichtbar sein.

}•. 192(5, Juli 9. Füllt in den grossen Ocean.

r — f. 1927, Jauunr 3. Fallt zum grössten Theilc in den grossen Ocean uml wird in Südamerika als r. sichtbar sein.

t, 1927, Juni 29. Diese Fiusterniss wird iu Kugland, auf der Halbinsel Skandinavien (welche in ihrer ganzen Längenrichtung
von Süden nach Norden hin durchschnitten wird), auf dem nördlichen Eismeere und im nordösthcheu Theile
von Sibirien sichtbar sein. Ihre mittlere Dauer beträgt iu Europa etwas mehr als 0-5 Zeitminuten.

t, 1929, Mai 9. Fallt grösstentheils ins Meer (indischer Oceau) und wird .•luf Sumatra, der Halbinsel Mala und den Phili]i)iinen
sichtbar sein. Die Verfinsterung erreicht auf Sumatra und Mala eine Dauer von mehr als 5 Minuten.

1'. 1929, November 1. Wird im atlantischen Ocean, in Nord- und Centralafrika, sowie im indischen Ocean sichtbar sein.

r—t. 1930, A|iril 28. Wird im grossen Ocean, Nordamerika (Vereinigte Staaten [als <.], Labrador) und atlantischen Ocean
sichtbar sein.

t. 1930, October 21. Fällt in den grossen Ocean uud wird auch an der Westküste Patagoniens sichtbar sein.

t. 1932, August 31. Wird im nördlichen Eismeere, Nordamerika (Canada, Vereinigte Staaten [Boston]) und im atlantischen
Ocean sichtbar sein.

Die coitralcii Soinuiifiiisfeniisse des AA. J(i/n'/na/(/i-ii>: 273

r. 1933, Februar '24. Geht vom grossen Ocean über SiUljuuerika (Chile, Patagouieu), ilem atlantischen Ocean, nach Central-
afrika liis in den iiidisehen Ocean.

r. 1933, August 21. Wii'<l in Tripolis, ini levantischen Meere, iu Asien (Palästina, Syrien, Persieu. Afghanistan, llimlcistan,
Slam, Borneo, Ins. Tinnir) und in Australien (Nord-Australieu, Queensland) siclitliar sein.

t. 1934, Februar 14. Wird auf Borneo und Celebes sichtbar sein; die Finsterniss fällt aber zum grössten 'l'lieil ins Jli'cr
(grosser Ocean).

r. 1934, August 10. Die Verfinsterung wird im atlantischen Ocean. iu Südafrika und im südlichen Eismeere sichtbar sein.

t. 193G, Juni 19. Wird im südlichen Europa (Griechenland [Dauer = 1 Minute], ägeisches Meer, Dardanellen, Maimara-Meer,
Bosporus [ConatantinopelJ, schwarzes Meer, Kussland [Astrachan]), in Asien (vom schwarzen Meere bis an
die Ostküste Asiens, sowie auf Jn. Jeso) und im grossen Oceau sichtbar sein.

r. 193ß, Deceinber 13. Geht über ganz Australien und auf dem grossen Ocean.

t. 1937, Juni 8. Fällt zum grössteu Tlicile in den grossen Ocean und endet im nördlichen Süd;imerika (Peru) mit Dauer von
3-5 Zeitminuten.

■»'. 1937, December 2. Geht über deu grossen Ocean.

t. 1938, Mai 29. Die Finsterniss wird im südlichen Theil des atlantischen Oceans und im südlichen Eismeer siclitbar sein.

r. 1939, April 19. Wird in Nordamerika (Alaska) und im nördlichen Eismeere siclitb:ir sein.

!■. 1940, April 7. Wird in einem grossen Theile des grossen Oceans, iu Nordamerika (^Nieder-Califoruirn. Mexico, Wneiuigte
Staaten) und im atlantischen Ocean sichtbar sein.

t. 1940, October 1. Die Verfinsterung geht über Südamerika (Columbia, Brasilien, njit einer mittleren Dauer von 5 Minuten),
atlantischen Ocean, Südspitze Afrikas und indischen Ocean.

*•. 1941, März 27. Fällt zum grossen Theile iu den g-rossen Ocean und wird iu Anerika (Peru, Bolivien und P.r.asilien)
sichtbar sein.

/. 1941, September 21. Durchschneidet ganz Asien iu der Kichtuug vom Kankasus bis zum ostchin. Meer und geht noch übe
einen grossen Theil des grossen Oceans. fiie Finsterniss hat in C'liina eine Dauer von mehr denn '■> Minuten

t. 1943, Februar 4. (ieht von Asien (Mandschurei, Sibirien, Insel Jeso) über den grossen Ocean nach Nordamerika (Alaska).

*•. 1943, August 1. Fällt ganz ins Meer.

t. 1944, .[aiiuar 2.1. Wird im grossen Ocean. Südamerika (Peru, Brasilien [Dauer fast 1 Miiniteu|), atlantischen Ocean und in
Nordafrika sichtbar sein.

r. 1944, Juli 20. (ieht von Afrika über den indischen Ocean nach Asien (Dekhan, Mb. v. Bengalen, Hinteriiidien, Ins. Palawan)

r — t. 1945, Janu.ir 14. Fällt zum grössten Theile ins Meer und wird nur au der Sndspitze Afrikas, im Nordwesten der Ins(!
Tasmania und einigen kleinereu Inseln des grossen Oceans sichtbar sein.

t. 1945, Juli 9. \Vird iu Nordamerika (Vereinigte Staaten, Brit. Amerika), Grönland, nördl. Eismeer, Europa. (^Sk.iudinavien
[Dauer mehr denn 1 Minutel, Kussland) und Asien (Kirgisen-Steppe) sichtbar sein.

f. 1947, Mai 20. Wird in Süilamerika (Argentinien, Paragu.ay, Brasilien), ;itl;intischen Oceau und Afrika siclitbar sein.

r — t. 1948, Mai 9. Geht vom indischen Oee;iu über Iliuterindien, Chin;i, Koi-ea nach dem giosscn Ocean. Iu Seh;(ng-Iiai si)\vie
anf Korea erscheint die Finsterniss als t.

t. 1948, November 1. Wird in Central-Afrika und in<lisclien Ocean sichtbar sein.

r. 1951, März 7. Geld von Neu-Seeland über den grossen Oceau nach Ccntral-Auierika und den atlantischen Ocean.

r. 1951, Sei>tember 1. Wird iu Nordamerika, atlantisclien Oceau, Afrika und Madagaskar sichtbar sein.

t. 1952, Keliruar 25. Geht vom atlantischen Oceau iiber ganz Afrika in der Iticlilinig von West na<-li Nordost |li;it in Nubieu
eine Dauer von .'!-.'i .Minuten), Arabien, Peisicn, Wüste Kar:t Knni, Wüste Kisii Kuui und endet in .Sibirii'ii.
DeutiSL-tiiiftüu der inatlioiii.-iiatarw. eil. .\LIX. lid. .MiliaudliingL'u vou Nii;Iilniitgliud(;ru. ivk

274 EdiKird Mxhlrr.

r. 1952, Allitt'list 20. Die Zone .«-clit vom grossen Occau über Siiil;imerik;i nneli dem Mtbuitiseheii (»(•e;in.

/. 1!)54, Juni 30. Wird iu Nordamerika [Vereinigte Staaten, Canada, Labrador], Grönland, auf Ins. Islai d |Dauer 2-'> Jiinuten],
Skandinavien [Dauer 2-7 Minuten], in der Ostsee, Deutscldand (Königsberg i. Pr. mit Dauer von mehr denn
•2-0 Minuten], Kussland, Asien |vom kaspischen Meer über Turkestan, Afghanistan bis naeli Hindostan]
sichtbar sein.

r, 1954, Deceuiber 25. Die Zone wird im indisclu'u Ocean und Südspitze Afrikas sichtbar sein.

f. 1955, Juni 20. Wird im indischen Ocean [Ins. Ceylon (Dauer über 4 Minuten), Angdamanen (Dauer nahezu i'> Miiiutiui). Ilintor-
indien, Ins. Lucon (Dauer über 7 Minuten)] sichtbar sein.

r. 1955, December 14. Gelit von Afrika über den indischen Oeean [Hinterindien].

*. 1956, Juni 8. Füllt iu das südliche Eismeer.

1'. 1958, Ai)ril 19. Geht vom indischen Ocean über Hinterindien in den grossen Ocean.

t. 1958, October 12. Wird im grossen Ocean sichtbar sein und endet in Südamerika [Argentinien] mit Dauer von über 2 Minut.

r. 1959, April 8. <ieht vom indischen Ocean über Australien nach dem grossen Ocean.

f. 1959, October 2. Wirl im atlantischen Ocean, Afrilca [von den canarischen Inseln bis zur Halbinsel Somäl] siclitbar S'in.

f. 1961, Februar 15. Wird in Europa (Frankreich, Italien, Österreich (Pola mit Dauer von 2-.'i Minuten), dem uördüchen Theile
der Balkan-Halbinsel und Russland] und Asien [Sibirien( sichtbar sein.

r. 1961, August 11. Fällt in das südliche Eismeer.

t. 1962, Februar 5. Wird im grossen Ocean [Insel CeJebes, Neu-Guinea mit Dauer von 3 Minuten] sichtbar sein.

r. 1962, Juli 31. Geht von Südamerika über den atlantischen Ocean nach Afrika und Insel Madagaskar.

r. 1963, Janu.ar 25. Wird in Südamerika und Südafrika sichtbar sein, wird aber zum gnissten Theile ins ^Meer l.illeu

t, 1963, Juli 20. Wird auf dem grossen Ocean und Südamerika sichtbar sein.

t, 1965, Mai 30. Fällt in den gi-ossen Ocean.

r. 1965, November 23. Wird in Asien [Vorder- und Hinter-Indien, Borneo, OelebosJ i:nd auf Neu-Guinea siclitbar sein,

r—t. 1966, Mai 20. Geht vom atlantischen Ocean über Nordwest-Afrika nach Europa [Grieehenl;md, woselbst sie total ist(,
von da über Kleinasien nach Centralasien.

/. 1966, November 12. cJeht vom grossen Ocean ülier Südamerika [Bolivien, Argentinien und Brasilien mit Dauer von 2 Minu-
ten] nach dem atlantischen Ocean.

r. 1969, März IS. Fällt in den indischen Ocean und geht über die Südseeinseln in den grossen Ocean.

r. 1969, September 11. Fällt zum grossen Theile in den grossen Ocean und wird .luch in Süd.iuierika [Brasilien( sichtbar sein.

/.. 1970, März 7. Wird im grossen Ocean, Amei-ika [Mexico mit Dauer von mehr denn ö-i") Minuten, Florida., Ne\i-Brauuschweig,
Neu-Fundland] und im atlantischen Ocean sichtbar sein.

r. 1970, August 31. Fällt in den grossen Ocean,

/. 1972, Juli 10. Geht von Nordosten Asiens [Insel Sachalin, Halbinsel Kamtschatka] in das nördliche Eismeer, nach Nord-
amerika [Labrador und Neu-Fundland] und dem atlantisclien Ocean.

r. 1973, Januar 4. Geht vom grossen Ocean über Südspitze Amerikas iu den atlantischen Oce.an. Die Fin.steiniss fällt zum
grössten l'heile ins Meer.

f. 1973, Juni 30. Wird in Südamerika, atlantischen Ocean und Afrika sichtbar sein.

r. 1973, December 24. Geht vom grossen Ocean über Südamerika und dem atlantischen Ocean nach Afrik.a.

/. 1974, Juni 20. Wird im indischen Ocean und auf der Siidwestspitze Australiens sichtbar sein.

r. 1;i;6, April 29. Wird im atlantischen Ocean, Afrika., Enmiia |Grii'cheul.au(l|, l^leiu.isien und ('eiitr,ila.'iieu sichtbar sein.

Dia ceii/ivlci/ Soiiiieiißiis/ci-i/lsse des XX. Jiilii'liioiili ris. 275

/. I!)7(>, Oftober 23. Gülit von Afrika über indischcu Ocean uiich Aiistnilit'u nuil y idssou Oeuan.

r. 15)77, April 18. Wird im atlautisclion Oceau, Afrika uiul iuilisclieij Ocean siclitbar sein.

t, lt»77, Octobor 12. Wird im grossen Occau und Südamerika [Venezuela] sichtbar sein.

t. 1970, Febi-iiar 2«. Geht vom grossen Ocean über Nordamerika [Vereinigte Staaten und Ijrit. Amerika] zum nordiielieu
Eismeer.

t. 1980, Februar 16. Wird im atlantischen Ocean, Afrika, indischen Ocean, Vorder- und Hinter-Indien sichtbar sein.

r. 1980, August 10. Wird zum grossten Theile im grossen Ocean, ausserdem noch in Südamerika sichtbar sein.

r. 1981, Februar i. Fällt in den grossen Oceau [Insel Tasmania].

U 1981, Juli 31. Wird in Asien [vom schwarzen Meere bis zur Insel Sachalin[ und im grossen Ocean sichtbar sein.

t. 1983, Jnui 11. Wird im indischen Oeean [Insel Java mit Dauer von über ö Minuten, Neu-Guineaj sichtbar sein.

r. 1983, ücccniber 4. Wird im atlantischen Ocean und Afrika siclitbar sein.

r—t. 198^1, Mai 30. Geht vom grossen Ocean über Amerika [Mexico, Vereinigte Staaten| und atlantischen Ocean nach Afrika.

t, 1984, November 22. Fällt in den grossen Ocean.

r—t. 1987, März 29. Geht von der Südspitze Amerikas über den atlantischen Ocean nach Afrika.

r. 1987, September 23. Wird in Asien und grossen Ocean sichtbar sein.

t. 1988, März 18. Wird im indischen Ocean [Sumatra, Borneo mit Dauer von über 2 Minuten und riiili|ipiueu] und grossen
Ocean sichtbar sein.

»'. 1988, Septeuiber 11. Fällt ganz ins Meer [indischen Ocean und südliches EisracerJ.

t. 1990, Juli 22. AVird im nör<llicheu Europa [Finnland, Halbinsel Kola], nördliclien Eismeer und atlantischen Ocean
sichtbar sein.

r. 1991, Januar 15. Wird im grossen Ocean [Insel Tasmania, Neu-Seeland] sichtbar sein.

t. 1991, Juli 11. Wird im grossen Ocean [Insel Hawaii] und Amerika [Mexico, Mittelamerika und Brasilien] sichtbar .^ein.

r. 1992, Januar 4. Fällt ganz ins Meer [grossen Oeean].

t. 1992, Juni 30. Fällt in den atlantischen Ocean.

r. 1994, Mai 10. Geht vom grossen Oeean über Amerika [Califoruien, Vereinigte Staaten] zum atlantischen Occau.

t . 1994, November 3. Wird im grossen Ocean, Südamerika und atlantischen Oceau sichtbar sein.

r. 1995, April 29. (4eht vom grossen Ocean über Brasilien in den atlantischen Ocean.

t. 1995, October 24. Wird in Asien (Vorder- uud Hinter-Iudienj und auf dem grossen Oceau sichtbar sein.

*. 1997, März 9. Wird im nordöstlichen Asien und im nördlichen Eismeer sichtbar sein.

t, 1998, Februar 26. Geht vom grossen Ocean über Panama in ilen atlantischen Ocean.

r. 1998, August 22. Wird auf den Südseeinseln [Sumatra, Borneo] und anderen Inseln des grossen Oceans sichtbar sein.

f. 1999, Februar 16. Geht über den indischen Ocean nach Australien und grossen Ocean.

t, 1999, August 11. Wird im atlantischen Oce.iu, Europa [südliche Spitze Grossbritanniens, Frankreich, Deutsches Reich, üster»
reifh (nächst Wien mit Dauer von 2-6 Minuten), Ungarn, Rumänien], Asien [Klein-Asien, Persien, Vorder-
indien] sichtbar sein.

kk*

27(i Kdnard Malihr. Dir ciiih-iilcH SniNnii/iiis/rniissc (lr>; XX. .hihrlniinlciix.

Lud iiiiii iiiiii;o iioc'li lolj;ciHle nach den 5 Eidtlicilcn gconlnelc .sUti.stisclic Zusammeustellnug- folg-on.

Asien

Afrika

Eiirop:!

Amerika

A usti'iilien

1901
1901
'903
1904
1905
1907

1909
1911
1912
1914
1922
1926
1927
1929
1933
1934
1936
1941
1943
1944

1945
I94S
1952
1954
I9S5
1955
1958
1961
1962
1965
1966
1969

1972
1976
1980
1981
1983
1987
1988

1995
1997
1998
1999

V. 18.
XI. II.

III. 29.

III. 17.

VIII. 30.

I. 14.

VI. 17.

X. 22.

IV. I7.

VIII. 21.

III. 28.

I. 14.

VI. 29.
V. 9-

VIII. 21.

II. 14.

VI. 19.

IX. 21.

II. A.
VlI. 20.
VII. 9.

V. 9.

II. 25.

VI. 30.

AI. 20.

XII. 14.

IV. 19.

II. 15.

II. s-

XI. 23.

V. 20.

III. 18.

VIT. 10.

IV. 29.

II. 16.

VII. 31-
VI. II.
IX. 23.

III. 18.
X. 24.

III. g.
VIII. 22.
VIII. II.

total

ringt'.

ringt'.

ringt'.

total

total

total

rin.^f.

liiigt'.

total

ringt'.

total

total

total

ringt'.

total

total

total

total

ringt'.

total

r— t.

total

total

total

ringt'.

ringt'.

total

total

ringt'.

ringt'.

ringt'.

total.

ringf.

total

total

total

ringf.

total

total

total

ringt'.

total

1900
1900
1901
1904

1905
1908
1919
1919
1922

1923
1926
1929
1933
1933
1934
1940

I944
I ')44
1945
1947
1948
I951
1952
'954
1955
1959
1962
1063
i960
1973
1973
1976
1976
1977
1980
1983
1984
1987

V. 28.

XI. 22.
XI. II.

m. 17.

VIII. 30.

VI. 28.

V. 29.
XL 22.
III. 28.

III. 17.
I. 14.

XI. I.

II. 24.

VIII. 21.

VIII. 10.
X. I.

T. 25.

VII. 20.
I. 14.

V. 20.

XI. I.
IX. I.

II. 25.

XII. 25.
XII. 14.

X. 2.

VII. 31.

I. 25.

V. 20.

VI. 30.
XII. 24.

IV. 29.
X. 23.
IV. 18.

II. lü.

XII. 4.
V. 30.

III. 29.

total

ringt'.

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total

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ringf.

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r-t.

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rinicf.

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ringf

ringf.

vingf.

total

ringf

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total

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total

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ringf

ringf

900 V. 28.
905 VIII. 30.
907 I. 14.
912 IV.
914 VIII.
927 VI.

VI.
VII.

VI.

II.

V.

IV.

VII.

930

945
')54

qOl

96Ö
976
990

1999 VIII.

"7-
21.
29.
19.
9-
io-
'5-
20.
29.
22.
II.

total

total

total

r— t.

total

total

total

total

total

total

total

ringf

totarl

total

Von (licscMi durch Kuropa
gehenden t'entralitäls-
Zoncu werden nur 2 durch
Osterreich gehen. Es sind
(lies: t., 19Ö1, II. 15. und
t., 1999, VIII. II., von
denen die letztere in der
Nähe von Wien (Daner
der Totalität =2-(J Minu-
ten) sichtbar sein wird.

1900

1905
1907
igo8
190S
1912
1912
1910
1918
1918
1919
1919
1922
1923
1923
1925
1927

1930
1932
1933
1937
1939
1940
1940
1941
1943
1944
1945
1947
195'
'95'
1952
'954
1958
1962
1903
1963
1966
1969
1970
1972
1973
1973
'973
1977
1979
1980
1984
1991
'994
1994

1995
1998

V.

28.

VIII.

10.

VII.

lO.

VI.

28.

XII.

2?.

IV.

'7-

X.

IG.

II.

3'

VI.

8.

XII.

3-

V.

29.

XI.

22.

III.

28.

III.

'7-

IX.

lO.

I.

24-

1.

3-

IV.

28.

VIII.

3'.

II.

24.

VI

8.

IV.

19.

IV.

7-

X.

III.

27.

II.

4-

1.

25-

\II.

0.

V.

20.

III.

7-

IX.

VIII.

20.

VI.

?o.

X.

12.

vn.

?i.

I.

25-

VII.

20.

XI.

12.

IX.

II.

III.

7-

VI.

10.

1.

4-

VI.

30.

XII.

24.

X.

12.

II.

26.

VIII.

10.

V.

30.

VII.

11.

V.

10.

XI.

3.

IV.

29.

11.

20.

total

total

ringf.

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ringf.

ringf.

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total

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total

ringf

total

ringf.

total

total

ringf.

ringf

total

ringf.

total

ringf

total

1900
1901

1905
1911
191 1
1915
191Ü
1922
'933
1936
1945
'959
1902

'9*^5
1974
1976
1981
1983
1991
1999

XI. 22.

V. 18.

III. 6.

IV. 28.

X. 22.

II. 14.

VII. 30.

IX. 21.

VIII. 21.

XII. 13.

I. 14.

1 V. 8.

II. 5-

XI. 23.

VI. 20.

X. 23.

II. 4.

VI. II.

I. .5.

II. 16.

ringf

total

ringf.

total

riugf

ringf.

ringf

total

ringf.

ringf

ringf

ringf.

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total

total

ringf.

total

ringf

ringf

ZUR

277

!H

m

'''immkmmi\nimmmimm.u\

VON

D" B. IGEL,

DOCKNT AN llUK K. K. TECHNISCHEN UOCUSCIIULE [N WIEN.

Vom.KI.lilJT IN DEli tiiTZUNü AM ]!. LJlCUlOMÜläK IWl.

riilgende AliliMndliinj;- kt die Fortsetzunj;- meiner Arbeit' „Über ein Priiieip zur Erzeugung von Covarianteir'.
Daselbst iiabe ich für ein System dreier binärer eubischer Formen zwei Systeme simultaner Covarianten
aufgestellt, von denen das eine neun von der zweiten Ordnung und vom vierten Grade, das andere neun von
der sechsten Ordnung und vom achten Grade enthält. Von dem Ersteren zeigte ich schon dort, dass sie sich
aus bereits bekannten Formen zusammensetzen. Was das Letztere betrifft, so führte mich der Umstand, dass
einerseits sechs derselben nur die Coefficienten je zweier Grundformen enthalten, dieselben also nur simultane
Covarianten eines Systems von zwei cubisclien Formen sind, und dass andererseits zwei cubische Formen keine
Covarianten von dieser Ordnung und diesem Grade besitzen, darauf, dass die Covarianten desselben ebenfalls
zerlegbar sein müssen. Wie aber die Zerlegung durchzuführen ist und ob auch die übrigen drei, welche
simultane Covarianten eines Systems dreier eubischer Formen sind, sich auf niedere Covarianten zurückführen
lassen, konnte ich dort nicht ermitteln. Ebenso habe ich dort für dasselbe System von Formen vieruudachtzig
Invarianten vom zwölften Grade aufgestellt und auch von diesen konnte ich nur drei auf niedere Invarianten
zurückführen. Erst in der letzten Zeit ist es mir durch eine andere Auffassung der dort zu Grunde gelegten
Formen gelungen, eine Lösung eines Theiles der erwähnten Fragen zu erlangen.

Betreffs der Covarianten gibt die Lösung die vollständige Durchführung der Zerlegung der sechs Covarian-
ten, welche, wie schon erwähnt, einem System von nur zwei Grundformen angehören. Von den übrigen drei,
welche simultane Covarianten eines Systems von drei Grundformen sind, konnte ich bis jetzt keine Gewissheit
erlangen, ob dieselben in niedere Covarianten zerlegbar sind oder nicht. Die Art der erwähnten Lösung scheint
darauf zu führen, dass dieselben fundamentale Covarianten sind. In Bezug der erwähnten vierundachtzig
Invarianten gibt die Lösung von sechs derselben ihre Zurnckführnng auf niedere Invarianten und von den
übrigen die Zerlegung gewisser Summen je dreier derselben. Diese letzteren Beziehungen sind keineswegs als

1 Denkscliiit'teu der matheiu.-uatunv. Cl. XLVI. Ud.

27S

y;. hjvi.

crscböpi't zu lictrachtcii, aber icli glaube, da.s.s die Mctliode, welclie zu ilincii getiiliil lial, liinicic-lit, um ilie nocli
etwa vorhandenen Bezieliungcn zu ermitteln. Damit habe icii in Kürze das Ziel folgender Arbeit gezeichnet.
Schon an dieser Stelle will ich darauf aufmerksam machen, dass in Folge der in dieser Arbeit erlangten
Resultate sich die geometrische Interpretation in §. lU der citirten Arbeit als unrichtig erweist. Ich werde
darauf, wie sie in Wirklichkeit zu lauten hat, an anderer Stelle zurlickkommen.

ä. 1.

Sind :

II. . . it{n — 1) _., ,

/, (''i '2 ) = "u -""i + J "1 ''T '''z + 12 "^ ■''' ' '^'^ + • • • + ".- ■'■2

,, . II , n{n — 1") , „

Ik^vh) = V''l+ Y '•../■;'-'.rj+ -Y72— ^'i'^'i '•'''i+ ' • • + '-""4'

n binäre Formen der «ten Ordnung und bildet man die Combinante:

</"-</-, >?"-'/, d"~^f\

1)

M =

d'-'f, d''->f, d"-'f.

dx'l~' dx^"'' dx^' ' ' dx'^-^

dx'l-' dx'l-^dx^' ' ' dxl~^

so lässt sich M, wenn n ungerade ist, linear durch die /' ausdrücken, so dass es etwa folgende Form hat:
2) J»/ = «, /, + «,/, + . . . + «,/„

Für ein gerades 11 ist diese Darslcllung nicht möglich.

Beweis.
Die Form M lässt sich auch auf folgende Weise darstellen :

3)

M =

■''h

-.rr

■'^I

;

,4-=.n

• ••(-J)"-';

"0

"1

"2 • ■

• • ««

l'o

^

h,. .

• • K

'n

''l

Cj . .

■ ■ (-■„

'0

{,

tj . .

• ■ '„

Um die Identität von 1) und o) zu beweisen, mache ich von einer sehr bekannten Transformation
Gebrauch.

Die Combinante M und ilir Aiisdiuclc j; liouimt in eiuer Arbeit von Stuvui in Crelle's Journal, Bd. LXXXVI vor.

Zii)' Theorie eines simidtanen Systems dreier binärer cubisi-her Formen.

Es ist Dämlich:

xl,—xl-^x^ . . . (—l)"x'l 1 Ü 0 . . .

279

i„ /; b„

X, X.,

xl () 0

0 f/y :r, + rt, .Tg a^x^ + a^x^ . . .«„-i.r, + ffl„.r,

0 b^|X^ + b^x^ b^x^ + b^x^ . . ./;„_iJ'| + />„./'„

Dividirt mau auf beiden Seiten durch x'^, so folgt die Identität von 1) und 3).
Die Quadrate des Rechteckes:

«„ rt, »2 • • • "■„

bo by b^. . . i„

wi'lfhc die Coefficieuten von 71/ sind, l)e/.eiclinen wir der Kürze wegen diircli die folgenden Buchstaben:

•^o; ^D ^2- • -^„j

SO dass:

i„ l>^ /',- ■ • /'„-.

/, /, . . '„-I

. Ä.

/v, /;,. , . /;,

Wenn wir nun setzen ;

A

A

2- •

■A.

"i

«2- .

■ ",/

\, - A, \=-

h- ■

A

A,. . .Ä„

yl,

A,.

• •^,

".

<h ■ ■ ■ "..

"i

II,.

. . II

l,^

'■i

c,. . . c„

, K =

—

b^

d,.

. . b
. .d

'i

h- ■ ■ '..

•

■ ■

. . .

so besteht die Identität:

4)

l^M+\f\-i

- \ft

+ ..

.+

\L

= 0.

Um dies einzusehen, entwickeln wir:

— /,/", — Äjj/jj — Ä3/, . . — X„/„

nach Potenzen der .t. Der Coefficicnt von x" hat, wie mau leicht sieht, die Form:

"^{A.Al— A[Ay) + A,,A,^

und eine kleine llberleguug zeigt, dass:

A = A[

A-. = A

280

B. Ljrl.

ist, so dass der Coefficieut vou x

>'l«^i,

ist. Was die übrigen Coefficienten von M betrifft, so sieht man sehr leicbt, dass das Aggregat der Producte
der Adjungirteu irgend eines J, in die eutsprecliendcn Coefficienten der Formen immer verschwindet, wenn
der Index dieser Coefficienten mit demjenigen des Ä nicht iibereinstininit. Es bleibt daher in jedem Coeffi-
cienten nnr ein A zurück, welches mit der Summe der Producte seiner Adjnngirton in die Coi'lticienten der
Formen nniltiplicirt ist und denselben Index, wie diese, hat.
Es ist also z. B. der Coefficient vou

^Yl \ , ^,1 •> ,2

A^A„ A^A„

Somit ist der erste Theil des Satzes bewiesen.

Der Grund, warum bei geradem n eine solche Darstellung nicht möglich ist, liegt darin, dass der Coeffi-
cient vou .r'i' in diesem Falle ausser A,^ A„ ein Product A^ A„ enthält, welches nicht verschwindet.

Für den spcciellen Fall von drei binären cubischen Formen habe ich den obigen Satz in der schon oft
citirten Arbeit bewiesen. Ist nändich:

5)

M-

c.^, .r.^.rj , .i\^x,\, x\

"n

"l

K

/',

'■()

^'l

die (!ombiuante der drei cubischen Formen, so dass die Coefficienten derselben

A.. =

A,=

"n

"l

"i

"o

"i

"-.

l'n

h,

h.

. .1,=

K

^

'':,

<\<

'\

'\

'\,

r.

'■,-!

"m

"•l

"i

"i

<i.

"'!

l\,

1'.

h

: 'h^

/'.

k.

/':.

'o

'2

'■?.

'■i

'\

'•i

sind, So besteht die Identität
wo :

/„iV + >,,/,+/,/, + /.,/:, =U,

"i

"■i

»3

A

A

A

X„ = 9

i\

b.

^';,

, /, = —

3h,

3h,

3 h,

(■

''2

'3

O 6',

3^2

3 c.,

yl,

A

A^

A

A,

A

K =

Söj

3«j

«3

, /_, = —

3«,

3a,

"3

3c,

3 c,

''3

3/;,

3 h,

l'3

Eine leichte Überlegung führt darauf, dass die drei Verhältnisse :

1, : \ , k, : \, , A3 : X„

Invarianten sein müssen, was mau durch eine leichte Rechnung in folgender Weise bestätigt.
Entwickelt lautet die Dctorminante für A, :

Zur Theorie eines nimidtanen Systems dreier binarer cnhischer Formen.

281

-3«,

1
(

— 3

-hOO,

h,\

i

^.^,

r*

^^2

£•2 r,

(

'■() '3

C, Cj

— 3 «3 ( ?>„ q - 6, c„) (b^ ,3 — ^3 r^) - 3 «3 ( 5„ f, - h^ c„] (b^ c^ — b^ c^)
— 2a.^(l)^c^— b^i\f.

Wegen der Identität :

{bg f, — b^ Co ) (b^ fg — b^ c^) + [bg Cj — b^ -;, ) (b^ f, ~b^c^)
= ßi(^2-h^c^){b^c^—b^c^)

geht das letzte Glied über in:

3 «3

b^b.

)

K

^3

-3

*.

^2

/ )

c, c,

(

S^s

«^iCj

Ausdruck tür Ä,

in

), = 3 j

^0^3

-3

i,i.

[ a,

^2*3

+ a^

''3^

+ "3

h,h.

(

'n <^3

C, r.

)(

«2^3

^■3 f.

i■^ c^

fl, «2 «3

= 3

b^ b^ &3

■Pp

c

1

C,

c

3I

WO P, die einfachste Invariante von /j, und /3 ist.

Für \ und ^3 findet man ebenso:

X, zz: ö

«,

«2

«3

/>,

/.,

''3

Cl

f«

''3

Pg , ^3 — 3

i, b^ b^

Dividirt man 6) durch A^, so erhält man :
7) 3M=PJ\+P,f, + Pj,.

Diese Identität findet sich, wie ich erst kürzlich erinnert wurde, bei Olebsch. '

Bildet man aus den drei cubischen Formen folgende Formen

X.

X

•^■|//2— •'■2^1

<Pl*'[ + 'f2''l-''2 + ?3 4

■^xA + '^i'\-'\ + i'34

^H — „ ,, _ ,, ,, "" — /.l '1 "•" /.2''l '2 "•" /.S'*^!»

1 Theorie der binären algebraischen Formen, p. 449.

DeiiksclirifleQ der mathem.-naturw. Cl. XLIX.Bd. Abhandluugeu voaNichtraitgliedern,

282 B- Ji/'l-

so ist, wie ich 1. c. uacligewicscu liahe,

y|(.'/i.'/2> Val^i.'/zl ?:)t//i.'/2)
■^iCjilk) "^i^lIx'J-i^ -h^l/ith^
XlO/i.ya') 7.2 (//ly«) X:i(//i//2>

eine sinniltane Covariaiitc der drei eubisclien Formen. Icli will nun zeigen, dass dieselbe identisch verschwin-
det. Es ist niimlich :

9)

10)

11)

' V3t.'/i.V = <30)23//;+<31)2.-i.'/i.'Ai + <-^2),,.j//^

l ^1 ( //i y^ > = U'-' )ai Ui + (20).,, y, //, + ( 30 ).„ //.^

\ Myi'A^ = <20)3,y;+ |(30).„ + (21),,; y, //, + (31).,, //•

( 'Psi^ii/ä' = (30)„//|+(31)3,//,^2+(32)3,//|

y.i l,//i //ü > = lK-*i,2yi+i,2U),2y((/^ + (30),jy^
7.2(i/,y2) = (20),2y;+ {(30),g+ (21),2!//, //2+ C^>l),,y;^
( /.3<i/iy2' = i30),2//;+(31),2//,//2 + (;!2),2//|,

folglich ist der Coefficient von //',' in ;: folgende Determinante:

{bi f„ - ((-(, c^ ) (b^ C(, - 6„ c^ ) (63 r„ - b^ fg )
Cci «0 — Cfl «1 ) ( c« w,, - '"o «8 ) ( ^-'3 "u — '0 "3 >

lOl^'u— "o^'l' («2^0-«0^«) (,«3''0-"0^3'

Mi'ltiplicirt man die erste Reihe dieser Determinante mit a^, die zweite und dritte resp. mit /;„ und r„ und
addirt die letzteren zur ersten, so erhält man als Elemente derselben folgende Determinanten:

^'o '>o '0

"1 ''1 ''l

«„ l'o <'o

"0 f'o '0

"2 ^^2 '2
«0 ^0 <•(!

•

«0 ''(1 '0

"3 ''3 '3

"„ ''0 ^()

welche sämmtlich Null sind. Der nächste Coefficient in - ist

l/'l '0 -^ ''U '•1'' 1^2 '0 - /'„ '2 ) ( h t'l - l>l '3 )

{r^ a„ — ('0 "i ' • ('2 «0 - '■« "2 ' ' < '-3 «1 - ''1 "3 '

(/'i"o-^,"i' (/'2"i -'^"2' <^)"u-^'o"3)
( r, ff,, - '•„ ff 1 1 .' ( '"2 "1 — ''i "2 ' ' ( '3 "0 — '0 "i 1
[<(^b^, — <l„b^) [a^b^-a^b^) ( "3 /'„ — «„ /'s )

Transformirt man diese Determinanten durch das eben angegebene Verfahren, so verschwindet in der
ersten Determinante das erste und zweite Element der ersten Zeile und das dritte Element derselben wird :

"0 '^o ''o

"3 h '3

ff, b^ r.

.SO dass die ganze Determinante in die folgende übergeht:

"3 ''3 '3
ff, /-, <■,

((l^b^,-(l„b^) U/2/'u-"u''2>

Zur Theorie eines sinuiJlinieii Si/sfems dreier fiim'irer ei'hlselier Foniteii.
Die /weite Determinante irelit ebenso in:

283

('2 h^ 1;^

t"i^-«o^' ('•;! ''0 -- '0 ''3 )

über. Da aber bekauntlicli ;

ff., h (*

('•,"„-

c„<i,) (<:,a„-

t'o "2 )

"^ "i.

0 0 0
// // ('

( "1 ''a -

"„/>,) ui^''^-

«„(>,)

z 2 '2
"1 ^ '-i

('•| "., -

'o"|) ('sfo-

>-'» "3 '

0 n u
«3 ^3 '3

i"l'>o-

aJ>^) («3/^0-

"o^

= f'u

«1 ^ ^1

SO folgt unmittelbar, dass aueli der zweite Coefficient von r. identiscli verschwindet. In gleicherweise könnte
mau zeigen, dass alle Coefficienten verschwinden; ich will aber einen originellen Beweis für das Verschwin
den der Covariante t: geben, der nur die Kenntnis«, dass der erste Coefficient von r. verschwindet, voraus-
setzt. Um diesen Beweis führen zu können, niiiss ich einige Bemerkungen vorausschicken.

Bildet man die drei Jakobi'schen Determinanten der drei Formen und von ihnen wiederum die
Jak obi 'sehen Determinanten, so ist bekanntlich:

J(J„J,3) = M./-,

J{J,g J23I = M.f^

J ( o/j 3 «-'23 ' ~~ ■ tz '

wo M die oben angegebene Combiuante der drei Formen ist. Betrachtet mau die Jakobi'sclien Determi-
nanten als Grundformen und bildet von den drei Jakobi'schen Covarianten derselben wiederum die Jakobi'-
sclien Covarianten, so bestehen die Identitäten:

12)

J(J(J, 2 ^23» > ■^< -'is-^zs 0 = K ■ J>^' • -^23 .

WO die Xi etwaige bestimmte Zahlen bedeuten, auf die es hin nicht weiter ankommt. Diese Bemerkung, an
sich einleuchtend, lässt sich leicht verificiren.
Es ist nämlich :

J(J(J,2J,3), J(/,2.A3>) =

dx.

dxo

1 "*2

r/(J//'2) rf(i¥/2
tJx,

= J/^/., +

dj

t\

'^ f

dM

f '^'

h

dx,_

^■Ulx,

dx„

M

dM

Entwickelt man f^ und f^ nach dem bekannten Euler'schen Satze, so findet man die Richtigkeit der
Behauptung. Für drei binäre Formen dritter Ordnung, z. B.:

11*

284

/>'. I(jeJ

13)

JU{J^,.J,.,), J{J,^J,:,)) —

n

(/V.,

f/x'{ r/j-, (/Xj (/.?■■■

,/'^/„ ,/^y„

2 1 2 1

fte'f

f?.r, f/xj f/j'.^

• -Jn-

Wir cihalteii daher die Identität:

14)

,/»,/,, ,/^/„

d^J,.

il.i-'^ il.i\ il.v^ dx\

d\l.

d''J,.

<l.r: d,r, d.i\ (/./"j

if'.L

(/.(■• (/.(■, (/.(

I I .,.-2

'21 2t

<l.rl

'i'f\ <r^U 'i\l\

d,\

(l.r^ d.r^

d4

d%

'^%

d%

d,]

■ (/.r, dx.^

d.ci

<l%

'^%

'''f.

dx:

dx^ dx^

dxi

h, h.

Nuu ist, wie leicht zu sehen ;

1 (FJ,

15)

2 r/r'' ^ — "^Xi (■'^,'i*'2' ^A-'i

1 rfVi,

2 f/.f j (Ix^
1 (/V„

Xi (■'■.■'■•/'+ ^3 «-Vj

2x3(.'-,x;) — /-.jx;,

V 2 (/.rj;
folglich erhalten wir, wenn wir diese Ausdrücke in die Determinante links einsetzen, folgende Identität:

16)

^i-P^K ^i+Pz^i^i '^h-P^'-^]

^?i-Pi4 ?i+Px^v^z ^z-Pv^'\

= 4

Xi y.t Za

X,X2-i^.

Xi^'sXs

'l'.^^'^.

+ 2

■W-W-P2

.q+4

■^.A-Ia

?i ?2 ?:)

V\'Yi-P\

?,^'.Va

xr/.2X:,

1

X,/2/'3

/,/;,n

•^^2-^a

_2

■W^^P^

,q+2

■l^iVa^

yi?2^3

(

'fi'fzPi

?i ?a-Pi

.'■,.'•2 +

-^3/2x3

-n-^2-^3

-~Pt?2?3

-^3X2X3

A-l'2'/'3

■Pl?2?3

"■2/

-jt; a

2.V, , .ij.i,,

Co

^
'■..

Entwickeln wir die Determinanten, welche die P enthalten nach diesen und fassen alle Glieder, die mit
demselben P multiplicirt sind, zusammen, so erhalten wir folgenden Ausdruck:

Zur Theorie eines simidhinen Systems dreier binärer athischer Formen.

285

17)

-2''.j

■^ -h

xl + 2

^, -h

./•, .<-2 +

'l'2-^.-.

?I<P2

?l ?3

?2 ?:t

-U',)

^1?2

,r; + 2

fx'ii

.'•,.r,+

^2 V:;

(

Xi 7.2

Va 7.3

72 7:!

-2P, j

•/.l /a

,r- + ^

v.i y.i

.r,.C2 +

7.2 7:i

(

■^ -h

■\ ■^,

^2'i'3

— _9 l p

-dc( I iX'n 1 tX' I

Vi ?2

•^3

+ /;

.>■l,—2■x^x^,.^■

7i 7.2

7.3

+p,

.-1

7i 7.2

•;, -^2

7.3

•^3

\

Achtet man darauf^ dass man die Jakobi'sclic Covariaute irgend zweier Formen <l>, «l»^ 'm\q\\ auf fol-
gende Weise bilden kann, indem man die Formen folgendermassen schreibt:

1 \<P^\>

,r'<\

" J.' . ,Cq ~T~ ■

(P<\\

n { (lx'^ ' d£^ dx^ ' ^ dx'^

1 ) ^"■'
n ( dxl

<l>., = ~{^^4+2

d''^l\ d^<l>, .,]

^'*^+ dxl -'U

dx^ dx^

und dieselben wie quadratische Formen ansieht, so findet man:

18)

J(J,^J^.,) =

'''J,2 ''^Jn '/^/i2

dx\ dx, dx^ dxl
d'J,, d^J,, d'J,,

dx~^ dx^ dx^ dx'^

n. s. w.

Drückt man in dieser Determinante die zweiten DifFerentialquotienten durch die ■/,, ^f und P aus und
zieht die erste Zeile, naclidem man dieselbe resp. mit P., und P^ multii)licirt hat, von der zweiten nnd dritten
Zeile ab, so erhält man, von einem etM'aigen Zahlenfactor abgesehen.

19)

'^y.'^n'^ii)

Zi 72 73

Ebenso findet man für:

20)

21)

t/(t/(j t/jg) — 4

x^

7-1 72 7.3

?l ft ?3

Die Identität 14) lautet also jetzt

2) -"''l "^"j ' ■* i

''2 ) "■*'l '*'2 1 '''l

?1 ?2 f-6

^1 4-2 i'i

V^'''-^.2 Ü^ ^Ü^

'/.(■■[ (/.r, (/.r^ r/x|

1

= 4}::±/,'{',?3-jl^./'.+n/2 + ^3A3l-^^
1

4:^:

7y!^^■f■-TTM•^ = l^.^p.

286 B. lud.

Aus dieser Formel folgt, dass

entweder aiieli ein vollständiges Quadrat von M ist oder aber identiscii verselivvindet. Dass Erstercs nicht der
Fall sein kann, zeigt der Umstand, dass der erste Coölticient in n ideutiseli verschwindet, es niuss letzteres
der Fall sein. Q. e. d.

Wenn man betrachtet, dass die drei Jak obi 'sehen Determinanten sich auf folgende Weise darstellen
lassen :

iJ\-i — U ('''i ^^ -A^ Xs 0^1 ■'■2) '^1 ■'■2 + Xs (^t ^2) ^i
22) j J3, = 4/, (.t, xg) x\ + 1^2 (j;j x^ X, X, + % (x, x^) xj

' J-ii — fi (■'■i •'^2) *'i + 'fz (-'»i ■'■2) *'l *2 + ?3 (*"i ^2) 4
so bemerkt man sofort, dass ;: die zweite Überschiebung von:.

J,„ über J(J,.,J^„)
oder i.i "

J,3 über ■hJ^^Jis)
oder

Jg.; iil)cr JiJiiJn),

wenn man dieselben als quadratische Formen betrachtet. Wir können daher das obige Resnltat folgender-
massen aussprechen:

Satz.

Bildet man von einem System dreier cubischer Formen die ersten l berschiebungen, von dieser wie-
derum die ersten Überschiebungen, stellt erstere in der Form 22) und letztere in der Form 10) 20) dar
und betrachtet beide Systeme als quadratische' Formen, so ist die zweite Überschiebung je einer der
ersteren über je eine der letzteren identisch Null.

§. 4.

Es sollen nun noch zwei Formeln abgeleitet werden, welche in Verbindung mit den bisherigen Resultaten
uns in den Stand setzen werden, die in der Einleitung erwähnten Covarianten auf niedere Formen zurückzu-
führen. Diese Formeln betreifen die zweiten Überschiebungen irgend einer Form oder deren Quadrat über die
Jakobi'sche Covariante zweier Formen. Was die erste Formel angeht , so werden wir sie, um Weitläufig-
keiten zu vermeiden, aus der symbolischen Gestalt der Formen ableiten, wobei wir auf etwaige Zahlenfac-
torcn keine Rücksicht nehmen werden.

Setzen wir:

/■, (x, x^) =r av /; {x^ ,Cj) = h":

und bilden die zweite Polare von J,^, so erhalten wir:

A\J) = («-])(«-2)(a6)«r'a;ir ' +2{,i-lY{ab)ar'a„b:rH„
+ in - 1 ■) («. — 2 ) ( a h) rt'r ' h'l--' l}, .

Setzt man y, = g^, ij^ — — (J^ und multiplicirt mit der entsprechenden Potenz von _r/,., so erhält man:

23) (Jy )2 = («_1 )(„_2) \{ah){a<jya'rHr'g'r^ + {a/i){bgYa/r'b'r-'!/'r']

+ 2{n—\f{ab){ag){bg)aT^b'r^<jT''

= {n-l){n—2'){ab)arHr''gr^ \{ag)Hl + (bg^a},]

+ 2{n—l)^(ab'](ag)(bg)a'r''bT^g"~'-.

Es besteht aber bekanntlich die Identität:

(agfbl + {bgfäi - {abfgl + 2{ga){gb)a,b,,

Zur Theorie eines simultanen Sijsfems dreier binärer cubischer Formen.

287

folglich ist:

24)

+ 2[H—l)\ab){ag){b(j)a'r''b'--^(j'r'

— (n—V) {n—2') fi . in bf aT^ Vr""

+ 2 {('«— 1 )(,i—2) + {n—rf\ (ab){a<j){h(j)aT"b'r'' (fr"^ .

f'lir n =: 3 seht diese Formel iu folgende über:

25)

{JgY -2[a bY . ffi + 12 (ab) [ag) {bg) a,. b^g, .

Diese Formel besagt, dass die zweite Überschiebung dieser Form gl über die Jakobi'sche Covariante
zweier Formen di, bl sich als Summe darstellt, deren erster Summand aus der einfachsten Invariante der
Formen al, hi midtiplicirt iu gl besteht und deren zweiter Summand die Combiuante M der drei Formen dl bl
und gl ist. Fällt gl mit «'J oder mit bl zusammen, so isl :

26)

{Jaf = 2{aby.al
{JbY=2[aby.bl.

Die zweite Überschiebung des Quadrates von gl über die Jakobi'sche Covariante von a'l, bl ermitteln
wir auf folgende Weise. Es ist:

27)

(Ja^Y = —h,,'^ +2(^]\ -9_!?!lL f9a '^'■> +^?JI1L !hL
^^' dx'l \ '' dxl \dx^l ) " dx^dx^V•' dx^dx^ dx^ dx^

d^J

a~ j 1^ irg
dx'i \ ' dx'i

^"9 +2/ ^'^a'

~-'\dx-\ dxl i

I

d-^g

dU dh/

^2 dx^ dx^ dx^ dx^ dx\ dx;\ )

" \ dx] \dx^ J ~ dx^ dx^ dx^ dx^ dx^ \dXf ) )

' J 1 dg

d^g dg dg d^J .'dg \^

2g:.(JnY+ 2 f -" ("9] 2 "^ ^ li!LlS!L^'£d_ -dgy.
' dx^ '\dx^ I dx, dx^ dx, dx.^ dxl ^'^■'^i ' ' '

Den Ausdruck in der Klammer wollen wir nun umformen. Er lässt sich folgendermassen schreiben:

,,/V dg
\dx\ dx^

rfV dg
dx^ dx^ dx

d''J d''J

, ) dx^

=

dx\ dx^ dx^

dg dg
dx, d-X^

dx^

j d''J dg d^'J dg ^ dg

dxl ^^^i '^^i
dg_ dg_
dx, dx.

dg_
dx^

Benutzt man die Identitäten:

dx, {^n — 1) ((/.rf"' dx, dx^ ■*

dx.

d'^g

(h— 1) \dx, dx^' *

■c,+

d\J

dxl ""'!

so geht der letzte Ausdruck in den folgenden über:

288

B. Igel.

fFJ d^(/

(Ix

il\J

'1/

dx^ (Ix^ dx^ dx^

r/2,7 d'^IJ

dx\ rfx, dx^ ' '

d^Jf dhj

r/.r, dx,^ dx'^
d^g

'ilL
d.i:,

dx.

d\J d-'(j
f/.<;^ dx^ dx^

d\J d^y

dXf dx^ dx\

d\J (P_g

dx\ dxl

d^J d^g

/.f, dx^ f/j', dx^

d^j /f/^

(/2,(/

dx.,

dx^

(Ihj d^g

2 J ! » 7 ■' I "i ~ ~ "^o

rfxf '.</./•, r/.r, ""' f/.f ^ "^^ J " r/.r, f/.r, Ir/j-'^ ''' "^ dx^ dx, ''^ ) \dx^ dx^ '' f/^

(£J^d^^ dhj

Dieser Ausdruck lässt sich wie folgt scLreiben :

l^J, d'^a <' ., d^J, d^g ."

c/x, dx^ ^ )

d^J i d^g

c/a;] \dx^ dx^J ' ' dx^ vlx^ dx,) * dx^ dx, \dx^ dx,) ' '

rf"./ ü;^(/ d''g

' dx, de, \dx, dx. ^ '

cfo, c/a;^ dx'\ dx^

d-^^J d\j d^g , d^J d'g d,^g

_ _^ _ _ 'p*

f/j;J (fx^ f/a;| ' dx^, dx\ dx\ ^

2,

9

c/a;^ dx\ \ dx\ ' ^ dx^ dx, ' * ^ dx\ ^ f

, d^J d^q id^q , ^ t^^« d'c/

-1 ± ) i x^ _f- 2 - .c x H

c^a?^ <^Xj WaJj' ' </.(•, dx, ' ^ o(^j

dxfA

d^J d'^g ^d^g , d-'g

d\,

' dx^ dx, f/x, dx, > dx] ' ' dxl' '^ '^^i '■^■"'t ' * '

Die erste und dritte Reihe zusammen geben :

-J.H(g),

wo H(g') die Hesse 'sehe Determinante von g bedeutet, alle übrigen Glieder zusammengefasst liefern den
Ausdruck:

'/PJd^g ,^ r/^/ d^g ^ d\Jd^g^

I c/.r^ rfa;^ dx^ d.c, dx^ dx, dx'f^ dx] (
= 9-iJ(jY-

Wir erhalten daher folgende Formel für die zweite Überschiebung von Jüber das Quadrat einer Form g.

28) {Jg-'f =zag. (Jg)-' + h .1 . llig) .

Wenn wir jetzt für:

(Jil)''

seinen Ausdruck aus 25) einsetzen, so kommt endlich:

29) (Jg^f - a P^ .g^ + hg. M + c J. IK g),
wo a, h, c bestimmte Zahlen sind.

Zur Theorie eines siinidtanen Systems dreier binärer aihischer Formen. 289

Bevor wir zu unserem eigentlieheu Gegeusfaiide übergehen, wollen wir noch einen Rückblick auf die Art
wie die Covarianten, deren Keduciruiig wir anstreben, entstanden sind, werfen. Aus einer Form A'i in § ?>,
welche von zwei Reiiien von Variabein abhängt, und einer Grundform f, haben wir y/ eliminirt, es entstand
eine Form -^ von der sechsten Ordnung in ./■. Von dieser haben wir 1. c. bewiesen, dass sie die Invarianten-
eigenschaft besitzt und aus ihr, da sie als Resultante zweier Formen von der dritten, resp. zweiten Ordnung
sich in niedere Formen zerlegen lässt, die in Frage stehenden Covarianten hergestellt. Es ist nämlich:

•^ = i?(X,/-,) = -2DÄ, + A,,

wo D die Discriminante von A', ist und A«, J, die simultanen Invarianten von A', und /', sind. Wie sich D
und J„ in bereits bekannte Covarianten zerlegen, habe ich 1. c. gezeigt. Um auch die Covarianten, die ans
^4, entstehen, ans niederen Covarianten abzuleiten, gehe ich von einer anderen Auffassung von -l aus. Ich
lasse nämlich in den A', die zwei Reihen von Variabelu zusammenfallen, in Folge dessen sie nach 22) die
Jakobi'schen Covarianten darstellen. Fasst man diese als quadratische Formen der explicite auftretenden
Variabein anf, und eliminirt aus einer derselben und irgend einer Grundform die expliciten Variabein, so ist
diese Resultante nach einem bekannten Principe eine Covariante. Nach dieser Auffassung wird es mit Hilfe
unserer früheren Betrachtung leicht sein, die Covarianten auf niedere Formen zurückzuführen, wenn wir nur
auf die Entstehung von J, Rücksieht nehmen. Nun entsteht J, dadurch, dass man die lineare Covariante,
welche die zweite Überschiebung der Form dritter Ordnung über die Form zweiter Ordnung ist, aufs Quadrat
erhebt und dieses Quadrat noch zweimal über die Form zweiter Ordnung- schiebt. In unserem Falle, wo die
Form zweiter Ordnung die Jakobi'sche Covariante in der GestaU 22) ist, kommt es also darauf an, in der
zweiten Überschiebung der Jakobi'schen Form über eine Grundform die zweiten Ditferentialquotienten der
Jakobi'schen Covariante als constant zu betrachten, und diese zweite Überschiebung, welche also wie eine
lineare Covariante zu betrachten ist. nachdem man sie aufs Quadrat erhoben hat, wiederum zweimal Über die
Jakobi'sche Covariante zu schieben. Bevor wir dieses durchführen, wollen wir sehen, wie sich die Sache
verhält, wenn wir die zweite Überschiebung von / über eine der Grundformen als cubische Covariante
betrachten, weil sich in den Resultaten eine merkwürdige Ähnlichkeit zeigt.
Es ist nach dem Früheren :

(J/;)« = aP,f, + ßiW.

Eriiebt man diesen Ausdruck aufs Quadrat und berücksichtigt die oben angeführte Formel für M, so
erhalt mau:

-^PJ.iPtf^+PJ. + P.m-
Schiebt mau jetzt wiederum J über diesen Ausdruck zweimal, so erhält man :

30) cc' p, iJfiY + 2 « 13 { p,. p, ( J, /; /; )^ + i', p, , t\ ff + P3 P'^ iJJ^ /■<■>' \

+ 2P,P,{J,f\f,f + '>P,P,(J,f,f,y\.

Ist fi eine der zwei Formen, aus denen die Jakobi'sche Covari:inte gebildet ist, so verschwindet in
diesem Falle ,1/ und bleibt:
31) a'P?/:'+ ß' Pf. J.if (/,).-

Donksrhlifton clor m;\lli.Mii.-na(uivv. CI. XLIX. B.l. Miliaiullimg.Mi vom Nichlraitglifaern. lU .

290 B. Igel:

Um mm auch deu Fall, wo die zweite Überschiebung der Jakobi'sclien Covariaiite über eine der Grund-
formen als lineare Covariante betraelitet wird, zu erledig-en , iiihre icii folgende Bezeichnungen ein. Ich
bezeichne mit a die Jakobi'sche Covariante als Form zweiter Ordnung betrachtet, so dass:

a ^ al

ist, ferner die lineare Covariante mit /;, so dass:

Das Quadrat derselben ist nun:

ji'- = {naYa,_..(n'ci'Y<i'r — !■>■ = !^l-

Bilde ich die zweite f bcrschiebung von /j. über J, also:

so ist nun die Aufgabe, die Symbole von ,a und a durch die Symbole der Grmnlformen ausziuliiicUen. Nun

entsteht (/jl ,7)^75 aus:

;4= (aci)^a,,.(a'y-Ya!,,

wenn man //, = ./.,, //j — — •/, setzt und mit J; multiplicirt, folglich erhalle ich :

(ij.JY.n = iaccfiaJ) {a'<x)\a'J ).,}].

32) ~ (," «) (.'«' «') • (a a) (« -J) ("' «' ) (<'' J ) • ^i

^ I. (« «) (,/'«) i (« ccY(a'Jy+ ia'a)\aJ)' - (au'Y[c,.J r^j •/? •

\\\\ nun auch die Symbole von ./ herauszuschatfen, gehe ich von der Idenlität aus:

,75 J? = ia h) al bl + 2 (ab) a, a„ . b, b„ + {,i b) al . bl .

Setzt man //, =: n'.^, //, = — «', , so erhält man:

33) („' .P)'' J^ = (r/ b) (b a'fa^, + {a b ) (a a' i' //f ,
setzt man ferner:

so erhält mau:

34) (nJfJl—{fib){ba)h,:',,

und setzt man endlich :

so erhält man schliesslich :

3;-,) (a.ry^J'i — [ab] (ba.)^al+ 2{ab) {aa) (bcc).n,b,.

+ (ab){a«Ybl.
Dies in 32) eingesetzt ergibt:
36) L(nbY.\(aA)h,,]^+—(aa'Y(ac<.){a'cc).{ab) {aafbl

+ ^((ibfliaccfa^Y

(rt a'Yia «) ( «' «') . (a b) {h aYa^,. — (a fi'y(a a ] (a' a) . (a b) (a a)((i' a) ii, b,

— (abY -Y'i 'X.)'- a,Y — \an'Y-{aoL\ (a' <x) .(ab)(ifa){ba) a, b,
— ^(ad'Yiii a) { a' a] . {« b) (b ol )'^/f .

Zur Theorie eineti >iiimdtanen Systema dreier binärer cubisdier Foniien.
Benützt mau die Identität:

201

1

(ayMb^)aX = - |(a«)''62 + (ft«)"«« — («öj^^aj

so bekommt man:

37)

(ixJfJl = iah)\[{accYa,Y+-iao^>)^(ao:)(a'od.(abY-ocl

— (afl')'(aa)(a'a) \{ab){bafai + -^ {ab){aa.fbl\.

Drückt man endlich die Symbole der a durch die Symbole der J aii.s nnd transformirt in der mehrfach
erwähnten Weise, so erhält man schliesslich:

38) (i^yJl = /■ . F' ■ f? + *■ . J. (JITf . F.

Aus dieser Formel ersieht man also, wie die 1. c. gefundenen Covarianten, sofern bei ihrer Bilduns;' nur
zwei der Grundformen in Betracht kommen, sich durch die Formen selbst, ihren Jak ob i'schen Covarianten
und den einfachsten Invarianten ausdrücken. Kommen bei der Bildung der Covarianten alle drei Grundformen
in Verwendung-, so kann man dieselben auf die angegebene Weise nicht zerlegen, und ich vermuthe, dass sie
überhaupt fundamentale Covarianten sind. Ich will nur noch aufmerksam machen auf die Ähnlichkeit der
Formeln 31) und 38) und bemerken, dass ich bei denselben auf die bestimmten Zahlen keine lUicksicht
genommen habe.

§.6.

Zwischen den drei Formen:

hz = 2 Ix, (ri^r,^)xl + •/., (^., •'--;».'■, X., + ■/.;,(;'; iv;.;).qi

muss, da:

ist, die Identität :
bestehen, wo:

ist, Es ist demnach:

'ft{-''i\) ?A'^i\) fs^J^'^'i^

y.i^''i-''2'l y.2{-''i-''i^ 7.3(.^'l'52')

X.Ij., + >,,/„ + /j/,^ = 0

= ()

\ = ?

•t':.7.:i

oder :

y.z?2
7.3 ?:i

^'1 r \,T

• ■'a:! ^ -'S!

/..

/„

-^i-^^.w.

X,

-ii.^)=^-^AiM

o'J)

Ersetzt man ij durch x, so gehen:

?2V.-l

?i 7.2

'f-iV.:;

?y/.:i

•I27.2

?-ii'2

hV.:i

?::h

'23' -'S!) -'1:! ^^ "^23» ^:il' "^12

mm*

292

B. Igel.

über, die Kelalioiicu in ."J'.t) al.so in:
40)

Daraus folgt, (la,ss die drei Untcrdctcrniiiuinten in folg:endcr Form diir.sfcllbar sein niiis.sci

wo iV eine lineare Function ist.

Die wirkliche Ausrccbnuug ergibt folgende Ausdrücke für die Unterdetermiuanle von ?::

41) [f^%)=f.

«0^0 ^'o

% 'Ai '-0

«1 ^ ^1

.r^ +

«, b^ c,

a^b^c^

(1., h..i-.^

a^ b^ f,

(*2 t/g t'2

"i ^1 t'i

«0^0 '-0

«0^1 <-ü

</,/-,<■,

a-, +

"i ''i 'm

"2 ^'2 '-2

"■Ac:i

«0^0 '-'o

ff, 6,6',

ff 2 ^2 C2

X, +

«2 ^2 '2

«.jZ-jC-j

«.jijCj

«0*0^0

ö, 6, e,

«2 ^2 ("2

,r, +

«2 ^2 '2

«36,(3

«•:)^.it:!

(fiV.-i) -ü

('P, 7.2 ) = /.

(?2W=/3

?2X3')=/2

CP^Xll'^^/l

yf\^h)

('J^r/.;i) =/2

(•]', xa) = /;

Ein flüchtiger Blick auf diese Ausdrücke zeigt, dass dieselben die zweiten Differeutialquotienten von
M sind. —

«2 ^2 ''2

«2^'2<'2

a,^b.^c^

«o^oS

«■o''üS

ff, 6, 6',

X-, +

«2^«-2

«s^s*-:!

1/3 63 C3

«Q »O ^0

"O^^M

ff, 6, r,

*■, +

"2 '^2 ''2

«:!^.!'':i

«363^3

a^b^c^

"»/V'o

ff., 6, c,

.<:, +

ff2 62''2

«3 Z*3 ('3

«363^3

Zur Tltriirii' chh's shnaUaiwn Sysfr/iis fJrricr hiitiinr t-itliisrlier Fonneii.

293

Mulliplieirt man in r die ci'.stc Kolouue mit ,»■*, die zweite und dritte resp. mit ■t\.i\ und x^ nud addirt die
letzteren zur ersten, so bekommt mau die bekannte Relation :

f\J,,+f,J,,+f,J^, = 0.

An Stelle dieser Relation kann mau aber drei andere viel durchsichtigere setzen, denn aus der Entwick-
lung von K folgt unmittelbar:

42)

('■

w/.-/,A +■/.,/;, = 0

§•7.

Jlit Ililt'e der vorigen Auseinandersetzungen können wir folgende Covariaute leicht in niedere Formen

zerlegen :

Es ist nämlicli :

43)

N =

N =

^J,,H,Y, {J,,lf,Y, {J,,H,)
{J^^ H.^Y, { Jj, i/3 f, (^23 ij,

a,H,f-F,II„ yX,H^f-F^H„ (X,H,f-l\H,
{X.,H^)'—P^H„ {X^H^f — P^H^, {X,H^Y — P^H^
i,X,H,f-P,H„ (X,H,y-P,H„ {X,U,f-P,H,

{X,H,)\ {X,H,y, iX,H,Y
iX,H,Y, {X,H,Y, {X,H,Y
iX,H,y, {X,H,Y, {X,H,Y

H, (X,B,Y {.X,H^)
H^ (X^H^f (X^H^)
H, iX,H,f {X\H,)

-P,

{X^H^y H, {X,H,Y
iX,H,Y H, [X,H,Y
{X,H,Y H, {X,H,Y

[X^H^Y (X^H,Y H^
{X.,H^Y (X^H^Y H^
,X,H,Y (X,H,Y H,

Die erste Determinante verschwindet identisch, da sie in zwei Factoren zerlegbar ist, von denen einer
die Form r, ist, folglicli bleibt, indem man zugleich die übrig bleibenden Determinanten nach den //, ent-
wickelt:

44)

N - — H,

H,

\

H.,

]'.

(X,H,Y(X\H,)'

{X,H,)'{X\H,f

{X,H,Y(X^Ky
{X,H,Y(X,H,Y

(X,HJ\X,H,Y
(^X^H^YiXtH^Y

+ P

+ l\

+ l';

[X,JI.,\\X.,lL,f

a,H,Y{x,ii,)^

iX^H^)\XJI^?
(X^H,Y{X,H,Y

{X,H,Y{X,H^Y
iX^H^YiX^H.,)'

+ I\

(X^H,)^{X,H,\'
{X,H,y{X^HsY

iX^H^Y{X^H,Y
{X,H,Y(.X^H^Y

{X^H^Y(X,H,)'
iX.,H,)^{Ä\H^Y

294

li. If/rl.

Nun ist •/,. B.

45)

•li ^2 - 4- '^2 i;, + •^, B„, f,B^--{nB,+ f, B,

h ^;

■h ^'i + '^3 <^'ü) ?i ^z — -Tfi ^i + ?:t ^0

('i'lfi^ <'l'l?:!^ <,4'2?3)

B..

-iB, B,

— r ^2

(.'„ ;r Co C,

7^,-4-2^,

0'

^2— 4"^'l ^0

iblglich findet man, wenn man an die Ausdrücke, die wir oben tiir die zweigliedrigen Deterniinanten des
ersten Rechteckes gegeben haben, denkt;

46)

{X,H,Y (X,H,Y
{X\H,f (XJI,f

i//,

B,B„

+

<PM

,irl

B^B,

z ^ 1 *- 0

injcrlegt man ferner, dass der Ausdruck in der Klammer die zweite Überschiebung der Form .1/ über die
.lakobi'schc Determinante der zwei Hesse'.scheu Covarianten H^ und IL ist, so erhält man scldicsslicii,

wenn wir dieselbe mit L^ bezeichnen:

47)

{X,H,Y {XJ-I,Y

= -L,.f,

zerlegt man auf diese Weise alle zweigliedrigen Determinanten in 44), so gelangt man schliesslich zu folgen-
dem licsullat:

48 1

+ H,\l\t\ + l',f,^l>,f,\.L,
- \lI^L^+li,L., + H.,L.,\.M.

§.8.
Bildet man aus je drei quadratischen Covarianten des folgenden Systems:

(x,7/,)^ ^xji,Y, (Xji.Y
{X,H,Y, iXJ-I,Y, a\H,Y
iX.,H,Y, {X,H,Y, (X,H,Y

die Combinantcn, so ergeben sich deren vierundachtzig. Es sollen jetzt die Beziehungen zwisciicn denselben
anfgesuchl werden. Zu diesem Behiife fülirc ich der besseren Übersicht wegen für die Condjinanten kurze
Bezeichnungen ein, von deren Ivichtigkeit man sich sofort überzeugt. Icli sciireibe z. B. die Combinante,
welche aus den drei in der ersten Horizontalrcihe stehenden Formen gebildet ist, folgeudermassen:

(^,//,)^ (y,H,Y, [v.lAf

i>,= (y,//,)^ ('^,H,Y, ^,H^f

{r.JI,Y, (f,H,)\ (>3//,y

Es bestehen nun, wie 1. c. gezeigt habe, die folgenden Beziehungen:

Zur Thcdi'ic viiics siniiiltiuii'ii Si/sfniis dreirr hhiäfcr citlHsrlicr Funiicii. 295

(y,iy.)^ (y,i/,)^ (^3//.)^

Z).z= (?,ff^)^ i'f^H^f, df^H^? =U[f.J.,).ll\n,iLu}
{<p,H,Y, (f,H,f, {<p,H,f

49)

< D,=

Th

(i>,H,Y, {■p.H.Y, (^,H,y

(■P,H,Y (■^,H,)\ {^,H,f

{^,H,f, {^,H,y, {i,,H,Y

(•/.,//,■)^ (x,H,Y, (x,H,Y

(y_JI,Y, {y,,H,Y, (■/.JT.Y

(y,H,Y (X.H,Y, (X,//,)^

= K(t\f.,):H\,i,ii._ji\

— ^if\f'i^-l'\lf,Il,II.}

wo Ii{f;fk) ilie Resultante der Formen /, und//, und B\jr^i[.ii} die Coinbinante der drei Hesse'.sclicn Deter-
minanten bedeutet.

Die Formeln 49) besagen, dass die Combinanten aus je drei in einer Reihe stehenden Formen des
Systems sieb in Producte aus den Resultaten je zweier der drei Grundformen in die Combinante der drei H esse-
schen Determinanten zerlegen. Bildet man die Combinanten aus je drei in einer Kolonne befindlichen Formen
des Systems, entwickelt dieselben nacii den Coefficienten von //, , //^, //,. und transformirt sie mit Hülfe der
ans der Identität:

folgenden Identitäten, so überzeugt man sieb leicht von der Richtigkeit folgender Beziehungen:

50)

/>;=

c^,//,)^ [f,H,Y ifJi,y

rp,H,Y i-hH.Y (^,11,^'
^■/.^lI^)' iV.Jl^y C/a^A'^

A.>

hAh

Ki>xK

hJ'Jh

'd'i '■:{

h„h^h.^

"1"/':!

hji.h;

KK''.

+ A,

■{

a««i«:i

a^a^a.^

%'Vh

']'

K^xh

h,h,h.

—

KKh

1

'•(. ''1 '■(

(•, c^ c„

C(| Cg C^j

)J

ii:u[)'

K=

(<p,H,Y, (9.H,Y, ('HH,y

(:^,H,)\ [■WH.Y, (■i',H,Y

r/,IT,)\ iy,H,Y, iy,H,y

B.

I'J'J'.

KKK

hj\b-^

'd ' r :i

:-'!

KKh

h,hj,.

Ki'A

i,j,j>.

+ />'. ,

/;„/*,&.,

h^k^h.,

'■„ '■, '•■,

))

ill,ll!,)

296

li. hl vi.

D'.-

{f,H,f, (f,H,f, {<p,H,r
(^,H,Y, (^,H,)\ {■^,H,Y
(X,//:)^ {y,,H,Y, (y_,H,)'

'■(, ''2 «:i

Ki'A

h^,b,b..

\-'l

<^\, <-i <\

a^a.^a.,

c, c-2 C.j

'm ''i '-i

KKh

c„ c, r-.,

+ c„

c„ Cj r.j

6', C^ C.,

—

«o"2":i
Cg Cj C.j

i.

(//,H()-.

Diese Formeln lehren, dass die Combinanten, welche ans je drei in derselben Colonne stehenden Formen
des Systems gebildet sind, gleich dem rrodnete aus der zweiten Ibersehicbnug der Hesse'schen Covarianto
von J/ über die bezüglichen Hesse'schen Covarianten der Grundformen in die resp. zweiten Überschiebungen
der Hesse'schea Formen über sich selbst sind. Es ist aber, von einem Zahlenfactor abgesehen;

M^]\t\ + l',f,-yP,f,,

die zweite Überschiebung von M über sich selbst also:

{MM'Y - P] IT, + Pin^ -!- I'IH, + 27', J\ //„ + 2P, /'., //,, + 2 P^ P, H^,,

wenn man mit //,, die zweite Überschiebung zweier der Grundformen bezeichnet, folglich ist :

l); = i 11^ U[ )■' I ]'\[^H, H[f + Fl ( //, H^ + PI {11^ IQ + 2 P, P, ( //, //„ )'
+ 2 /', P., ( //, 7/,.,)^ + 2 /', P,,(H, H.,,Y\

D'.

+ 2 P, P, (H, H,,f + 2 P, P, (H, H,,f\

{ If, ll',f \l']( H, H,f + PI {H^H^Y + PliH, Hl/ + 2 F, /', (//, H,^ )'
+ 2 P, P,{H,H,,Y + 2 P, PJH. H.,,Y\ .

Ans den Relationen 4i)) und 50), welche Combinanten betreffen, die entweder aus drei Formen in einer
Zeile oder aus drei Formen in einer Colonne gebildet sind, lassen sich nun auch Relationen zwischen den
übrigen Combinanten herleiten. Versteht man nämlich unter:

folgende Operation :

so erhält man:

A^(Z>p

^•(«'^'^''..-S/.

,1A,

B,

:a) ^''■(Ty^ —

A'-(Z)f) =

if,II,Y, (?,H,Y, {f,H,Y

(^,7/,)^ (^,H,Y, (^,H,Y

u,^,)^ (/../^f, {x,j-i/

{f,PI,f, (f,H,f, (f,II,f

i'^,H,Y, (•^,7/,)^ ihn,)'

(x,i/,)^ (xzif/, (x,iQ'

+

(f,H,Y, {f^H.Y, (<r,H,Y

{i>,H/, i^,H,Y, {Mai,f

(X,H,Y, (/.,7/,)^ (X,H,f

if,H,Y, i.?,H,Y, ('r,H,f

(^,H,Y, (■WH,^^ (hH:,)'

{X,H,Y, (.X.H,Y, (x,H,f

(u,77,)^ (^,H,Y, (f,H,Y

('^,H,Y, ihir.Y

(^,H,f, ^f,H,Y, {f,H,Y
i^,H,Y, ii'^H.Y, (hH.f

(x.^4)^ (X2^,)^ (/:>^4)^

n. s. w., d. b. die Summe dreier Combinanten, von denen jede aus zwei Formen in einer Colonne und einer
dritten mit ihnen weder in einer Zeile noch in einer Cob)nne stehenden Form gebildet sind, lässt sich durch
niedere Invarianten ausdrücken. Setzen wir ferner:

Zur Theorie eines simultanen Systems dreier binärer cuhisclier Formen.

297

so ist:

52)

-(^=§/.-S;-.-;^'^-

(^f,H,)\ {^,H,f,

(?3^a)^

{f,H,y, ('f,H,y, if,H,Y

r=

i^,H,Y, {^,H,y,

ii'.s.f

+

{■^,H,f, i-i^.H.y, {:^,H,Y

+

(x,^i)S (itH,y,

(.X,S,Y

(X,H,)S iy_,H,f, (x,H,f

{f,H,Y, Cf,H,Y,

(?sH,f

(o,Ä,)^ («,^3)^ (<p^H,Y

+

{^,H,Y, i^,H,y,

(•^3-0,^^

+

v^H.y, (^,H,y, (^,H,y

+

(liH^y, (XtH,Y,

iXsH,)'

IX, ^2^ iV.,H,)\ (x,H^'

(;.,7/3)^ {f,H,f, {f,H,y

(■^,H,y, {f,H,f, {^,H,y

(■/.,i/,)^ (x,H,y, {y^,H,y

?^H,y, {f,H,y, {<f,H,y

(^,H,y, {^,H,y,

i:!^.H,y
(inH,y

d. h. die Summe von sechs Combiuauteu, vou denen keine die Coefficienten von zwei Formen in einer Zeile
oder einer Colonne vorkommt, lässt sich durch niedere Invarianten ausdrücken.

Berücksichtigt mau, dass die Relationen 49) bestehen, was auch A, B, C sein mögen, und bildet die
Form :

(W

, ^, r/Z> <W dB

A' {D) =:-—(■„ + -- (• + -—
^ da,, " da, ' da.

'^-^ch^^

so erhält mau :

53) A- {D, ) -

(•i,if,)^ {:^,H,f, {-^.H.y

if,H,f, (f,H,y, {f,H,?

{f,H,f, {f,II,y, {'f,H,^'

|?.^)^ (?.^r, (.?'.H,y

,.,H,y, {f,H,y, {f,H,y

{:^,H,y, {^,H,y, (^,H,f

r.,lf,)^ {o,H,y, {o,H^y

l•^,H,)^ i-^.H.f, (:i,H,y

lo,Ä)^ {f,H,Y, iv,H^'

= A^B(f,f,,).B]„,H,H,\'

d. h. die Summe von drei Combinanten, deren jede aus zwei Formen in einer Reihe und einer dritten, welche
mit diesen weder in einer Reihe noch in einer Colonne steht, gebildet ist, ist durch niedere Invarianten aus-
drückbar.

Was die Combinanten betrifft, die aus je drei Formen gebildet sind, von denen zwei in einer Reihe und
zwei in einer Colonne stehen, so konnte ich bei denselben ähnliche einfache Relationen nicht auffinden, und
ich muss mich daher beschränken, den Typus folgender Relationen anzugeben, die man mit Hilfe eines
bekannten Determinantensatzes leicht verificireu kann. Es ist :

{f,H,y,{f,H,y,(:f,H,y

{f,H^Mf,H,y,(f,H,?

i^,H,y,(:WH,y,{hH,Y-

{o^H,y,('.,H,f,('f,H,y

{^^H,f,i'i.,H,f,(f,H,y

+

i<p,H,y,if,H,)Mo,H,)
('^^H,y,{f,H,f,('f,H,)

{o,H,y,(o,H,y,(oji,y

io,H,f,{o,H,y,(f,H,)'
(X^H,y,{jr,H,f,{y_,H,)^

(o^H^Mjp,H,y,(o,H^-

(:^,H,y,(:^ji,y,{-p,H,Y

(X,H,Y,(x,H,y,Cl,H,Y

(■^,H,y,(^,U,)\ch,H,Y

{H, H[Y {P\{H^ H[f + F\(H^ H^ f + Pl(^H^ H.,)^ + 2P, P,( //, H,,Y
+ 2P, P,iH, H,,y + 2P, P3(,77, H,,yi .

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Denkschriften der nialhem.-ni.fimv, Cl. XLIX Bd. Abhandlungoii von XkhtraitgUddeni.

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AUS DER EAISERLICH-KÖNIGLICHEN HOF- UND STAATSDRUOKEBEl.

1885.

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