OF SCIENCES DET KONGELIGE DANSKE VIDENSKABERNES SELSKABS SKRIFTER. SJETTE RÆKKE. NATURVIDENSKABELIG 06 MATHEMATISK AFDELING, FEMTE BIND. MED 11 TAVLER OG 1 KORT. tt KOBENHAVN. BIANCO LUNOS KGL. HOF-BOGTRYKKERI (F. DREYER). 1889—1891. Be ry ae — ae u se ws 4 er 7 > ive AA AE gc ( pein ef NE, Fortegnelse over Selskabets Medlemmer. (. Lütken, Chr. Spolia atlantica. Steno, Delphinus og Prodelphinus. INDHOLD. Maj 1891 Bidrag til Kundskab om de tre pelagiske Tandhval- Slægter Med 1 Tavle og 1 Kort. Résumé en francais ...... 2. Valentiner, H. De endelige Transformations-Gruppers Theori. Résumé en francais ....... 3. Hansen, H. J. Cirolanide et familie nonnulle propinquæ Musei Hauniensis. Kundskaben om nogle Familier af isopode Krebsdyr. Med 10 Kobbertavler. Resume en francais = Lorenz, L. Analytiske Undersøgelser over Primtalmængderne . . . . .. . ............. Et Bidrag til Side KUNST RE 11174 ' FA LEG (ih FORTEGNELSE OVER DET KONGELIGE DANSKE VIDENSKABERNES. SELSKABS. MEDLEMMER. MAJ 1891. Protektor: Hans Majestæt Kongen. —o Præsident: H. P. J. Jul. Thomsen. Formand for den hist.-filos. Klasse: J. L. Ussing. Formand for den naturv.-math. Klasse: © /. Lütken. Sekretær: H. G. Zeuthen. Redaktør: Vilh. L. P. Thomsen. Kasserer: Fr. V. A. Meinert. Kass>-\ =:missionen. J. L. Ussing. J. F. Johnstrup. P. E. Holm. T. N. Thiele. Revisorer. P. ©. Jul. Petersen. H. F. A. Topsoe. Ordbogs-Kommissionen. Vith. L. P. Thomsen. L. F. A. Wimmer. Kommissionen for Udgivelsen af et dansk Diplomatarium og Regesta diplomatica. P. E. Holm. H. F. Rørdam. Joh. ©. H. R. Steenstrup. ———— ie Indenlandske Medlemmer. Steenstrup, Johannes Japetus Smith, Dr. med. & phil., Etatsraad, fh. Professor i Zoologi ved Københavns Universitet, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af den preussiske Orden pour le merite, Storkors af Nordstjernen, Kommandør af den spanske Isabella den Katholskes Orden og af den italienske Kroneorden. = Wegener, Caspar Frederik, Dr. phil., Gehejmekonferensraad, fh. Gehejmearkivar, Kgl. Historiograf og Ordenshistoriograf, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Stor- kors af den greske Frelserorden, af den russiske St. Annaorden og af Nordstjernen, Kommander af St. Olafsordenen. Ussing, Johan Louis Dr. phil., LL. D., Professor i klassisk Filologi og Arkæologi ved Københavns Universitet, Kommandør af Danebrog og Danebrogsmand, Kommandør af St. Olafsordenen, Officer af den græske Frelserorden, Formand i Selskabets historisk-filosofiske Klasse. Hannover, Adolph, Dr. med., Etatsraad, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. Andre, Carl Christopher Georg, Dr. phil., Gehejmekonferensraad, fh. Direktør for Grad- maalingen, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors af den preussiske Kroneorden og af den sicilianske Frants den Førstes Orden. Miller, Carl Ludvig, Lie. theol., Dr. phil., Etatsraad, Direktør for den kongelige Mont- samling og Antiksamlingen samt Inspektør ved Thorvaldsens Museum, Kommandør af Danebrog og Danebrogsmand, Kommandør af St. Olafsordenen, Ridder af Nord- stjernen og af St. Annaordenen og Ridder af den østerrigske Jernkroneorden. Thomsen, Hans Peter Jürgen Julius, Dr. med. & phil., Professor i Kemi ved Københavns Universitet og den polytekniske Læreanstalt, Direktør for den polytekniske Lære- anstalt, Kommandør af Danebrog og Danebrogsmand, Selskabets Præsident. Rink, Hinrich Johannes, Dr. phil., Justitsraad, fh. Direktør for den Kgl. Grønlandske Handel, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af Nordstjernen og af St. Olafsordenen. VIII Johnstrup, Johannes Frederik, Professor i Mineralogi ved Københavns Universitet og den polytekniske Læreanstalt, Kommandør af Danebrog og Danebrogsmand. Lange, Johan Martin Christian, Dr. phil., Professor, Lærer i Botanik ved den Kgl. Vete- rinær- og Landbohøjskole, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af den italienske Kroneorden. Lorenz, Ludvig Valentin, Dr. phil., Etatsraad, fh.. Lærer i Fysik og Naturkere ved Offi- cerskolen, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. Mehren, August Michael Ferdinand van, Dr.phil., Professor i semitisk-orientalsk Fi- lologi ved Kobenhavns Universitet, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Kom- mandor af den russiske St. Stanislausorden, og Ridder af Nordstjernen. Holm, Peter Edvard, Dr. phil., Professor i Historie ved Københavns Universitet, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af St. Olafsordenen. Liitken, Christian Frederik, Dr.phil., Professor i Zoologi ved Københavns Universitet, Ridder af Danebrog, Formand i Selskabets naturvidenskabelig-mathematiske Klasse. Rørdam, Holger Frederik, Dr. phil., Sognepræst i Lyngby, Ridder af Danebrog. Zeuthen, Hieronymus Georg, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Københavns Univer- sitet og den polytekniske Læreanstalt, Ridder af Danebrog og af Nordstjernen, Sel- skabets Sekretær. Jørgensen, Sofus Mads, Dr.phil., Professor i Kemi ved Københavns Universitet og den polytekniske Læreanstalt, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. Christiansen, Christian, Professor i Fysik ved Københavns Universitet og den polytek- niske Læreanstalt, Ridder af Danebrog. Fausbøll, Michael Viggo, Dr. phil., Professor i indisk-orientalsk Filologi ved Københavns Universitet, Ridder af Danebrog. Thorkelsson, Jon, Dr. phil., Rektor ved Reykjaviks lærde Skole, Ridder af Danebrog. Krabbe, Harald, Dr. med., Lærer i Anatomi og Fysiologi ved den Kgl. Veterinær- og Land- bohøjskole, Ridder af Danebrog. Thomsen, Vilhelm Ludvig Peter, Dr. phil., Professor i sammenlignende Sprogvidenskab ved Københavns Universitet, Ridder af Danebrog, Selskabets Redaktør. Wimmer, Ludvig Frands Adalbert, Dr. phil., Professor i de nordiske Sprog ved Kø- benhavns Universitet, Ridder af Danebrog. i IX Lange, Julius Henrik, Dr. phil., Professor i Kunsthistorie ved Københavns Universitet og Docent ved Kunstakademiet, Ridder af Danebrog og af Nordstjernen. Topsøe, Haldor Frederik Axel, Dr. phil., Fabriksinspektor, Lærer i Kemi ved Officerskolen i København, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. Warming, Johannes Eugenius Bülow, Dr. phil., Professor i Botanik ved Københavns Universitet, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af den brasilianske Roseorden. Petersen, Peter Christian Julius, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Københavns Universitet, Ridder af Danebrog. Thiele, Thorvald Nikolai, Dr. phil., Professor i Astronomi ved Københavns Universitet. Meinert, Frederik Vilhelm August, Dr. phil., {ste Inspektor ved Universitetets zoolo- giske Museum, Selskabets Kasserer. Goos, August Herman Ferdinand Carl, Dr. jur., Professor i Lovkyndighed ved Koben- havns Universitet, extraord. Assessor i Højesteret, Overinspektor for Fængsels- væsenet, Kommandør af Danebrog og Danebrogsmand, Kommandør af den russiske St. Anna Orden, Nordstjernen og den italienske Kroneorden. Rostrup, Frederik Georg Emil, Docent i Plantepathologi ved den Kgl. Veterinær- og Landbohojskole, Ridder af Danebrog og af Vasaordenen. Steenstrup, Johannes Christopher Hagemann Reinhardt, Dr. jur., Professor Rostgar- dianus i nordisk Historie og Antikviteter ved Københavns Universitet, Ridder af Danebrog. Gertz, Martin Clarentius, Dr. phil., Professor i Klassisk Filologi ved Kobenhavns Univer- sitet, Ridder af Danebrog. Nellemann, Johannes Magnus Valdemar, Dr. jur., Justitsminister og Minister for Island, extraord. Assessor i Højesteret, Direktør ved det Classenske Fideikommis, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors af Nordstjernen og den belgiske Leo- poldsorden. Jørgensen, Adolf Ditlev, Rigsarkivar, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. Heiberg, Johan Ludvig, Dr. phil., Bestyrer af Borgerdydskolen i København. Finsen, Vühjalmur Ludvig, Dr. jur., fh. Assessor i Højesteret, Kommandør af Danebrog og Danebrogsmand. Hoffding, Harald, Dr. phil,, Professor i Filosofi: ved Københavns Universitet. Kroman, Kristian Frederik Vilhelm, Dr. phil., Professor i Filosofi ved Københavns Universitet. Miller, Peter Erasmus, Dr. phil., Kammerherre, Hofjægermester, Overforster for anden Inspektion, Overinspektor for Sorø Akademis Skove, Ridder af Danebrog og Dane- brogsmand, Kommandor af St. Olafsordenen, Ridder af St. Annaordenen. Bohr, Christian Harald Lauritz Peter Emil, Dr. med., Professor i Fysiologi ved Koben- havns Universitet. Gram, Jørgen Pedersen, Dr. phil., Direktør ved Forsikringsselskabet «Skjold» i København. , ul ] > 8 J Paulsen, Adam Frederik Wivet, Bestyrer af det danske meteorologiske Institut, Ridder af Danebrog. Valentiner, Herman, Dr. phil., Lærer i Mathematik ved Officerskolen. Erslev, Kristian Sofus August, Dr. phil., Professor i Historie ved Københavns Universitet. Fridericia, Julius Albert, Dr. phil, Underbibliothekar ved Universitets - Bibliotheket i København. Sundby, Thor, Dr. phil., Professor i romanske Sprog ved Københavns Universitet. Verner, Karl Adolf, Dr.phil., Professor i slavisk Sprog og Litteratur ved Københavns Universitet. '. Christensen, Odin Tidemand, Dr. phil., Lærer i Kemi ved den kel. Veterinær- og Landbohøjskole. Hansen, Emil Christian, Dr.phil., Forstander for Carlsberg-Laboratoriets fysiologiske Afdeling, Ridder af Danebrog. i Kjeldahl, Johannes, Cand. polyt., Forstander for Carlsberg-Laboratoriets kemiske Afdeling. Boas, Johan Erik Vesti, Dr. phil., Docent i Zoologi ved den kgl. Veterinær- og Landbo- højskole. Chievitz, Johan Henrik, Professor i Anatomi ved Københavns Universitet. Petersen, Otto Georg, Dr. phil., Docent i Botanik ved Københavns Universitet. Prytz, Peter Kristian, konst. Lærer i Fysik ved den polytekniske Læreanstalt. Salomonsen, Carl Julius, Dr. med., Docent i Pathologi ved Københavns Universitet, Ridder af Danebrog og af Nordstjernen. Sorensen, William, Dr. phil. XI Udenlandske Medlemmer. Weber, Wilhelm, Dr. med. & phil., Gehejmeraad, Professor i Fysik ved Universitetet i Gottingen. Airy, Sir George Biddell, LL.D., D.C. L., Kongl. Astronom ved Observatoriet i Green- wich, Medlem af Royal Society i London. Gottsche, ©. M., Dr. med. & phil., Læge i Altona. Bunsen, Robert Wilhelm, Dr. phil., Gehejmeraad, Professor i Kemi ved Universitetet i Heidelberg, Ridder af Danebrog. Owen, Richard, D.C.L., LL. D., Superintendent over British Museum, Medlem af Royal Society i London. Daubrce, A., Professor i Geologi ved Muséum d'Histoire naturelle, Medlem af det franske Institut i Paris. Styfje, Carl Gustaf, Dr. phil., fh. Bibliothekar ved Universitetsbibliotheket i Upsala. Hooker, Sir Joseph Dalton, M.D., D.C.L., LL. D., Direktor for den Kongelige Botaniske Have i Kew, Vicepræsident for Royal Society i London, Sunningdale, Berkshire. Rossi, Giambattista de, Commendatore, Direktør for de arkæologiske Samlinger i Rom. Rawlinson, Sir Henry Creswicke, D.C.L., LL. D., Generalmajor, bestandig Direktor for det Asiatiske Selskab, Medlem af Royal Society i London. Böhtlingk, Otto, Dr. phil., Gehejmeraad, Medlem af det Kejserl. Videnskabernes Akademi i St. Petersborg, i Leipzig. Bugge, Elseus Sophus, Dr. phil,, LL.D., Professor i sammenlignende indoeuropæisk Sprog- forskning og Oldnorsk ved Universitetet i Kristiania. ven, Sven, Dr. med. & phil., Professor, Medlem af Videnskabernes Akademi i Stockholm Loven, Sven, Dr. med. & phil., Professor, Medlem af Videnskal Akad Stockholm, Kommandor af Danebrog. Be De Candolle, Alphonse, fh. Professor ved Akademiet i Genève. Lubbock, Sir John, Baronet, D.C.L., LL.D., Vice-Kansler for Universitetet i London og Vice-Præsident i Royal Society i London. Agardh, Jacob Georg, Dr. med. & phil., fh. Professor i Botanik ved Universitetet i Lund. Huggins, William, D.C.L., LL. D., fysisk Astronom, Medlem af Royal Society i London. Cayley, Arthur, D.C.L., LL.D., Professor i Mathematik ved Universitetet i Cambridge, Medlem af Royal Society i London. Haan, David Bierens de, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Leiden. Unger, Cart. Richard, Dr. phil., Professor i de germanske og romanske Sprog ved Uni- versitetet i Kristiania. Hermite, Charles, Professor i Mathematik ved École polytechnique og Faculté des Sciences, Medlem af det franske Institut i Paris. Salmon, Rev. George, D.D., D.C.L., LL.D., Regius Professor i Theologi ved Universitetet i Dublin, Medlem af Royal Society i London. Cremona, Luigi, Dr. phil., Senator, Professor i Mathematik ved Universitetet og Direktør for Ingeniørskolen i Rom. Helmholtz, Hermann Ludwig Ferdinand, Dr. phil., Professor i Fysik ved Universitetet i Berlin. Hurley, Thomas Hf, LL.D., Professor ved den Kgl. Bjergværksskole i London, Præsident for Royal Astronomical Society. Ludwig, Carl Friedrich Wilhelm, Dr. med., Gehejme-Hofraad, Professor i Fysiologi ved Universitetet i Leipzig. Delisle, Leopold-Victor, Medlem af det franske Institut, Direkter for Bibliothèque Nationale i Paris, Kommandør af Danebrog. Struve, Otto Wilhelm, Gehejmeraad, Direktor for Observatoriet i Pulkova. Allman, George James, M.D., LL.D., fh. Professor i Naturhistorie ved Universitetet i Edinburgh, Medlem af Royal Society i London. Thomson, Sir William, LL.D., D.C.L., Professor i Fysik ved Universitetet i Glasgow, Medlem af Royal Society i London. Tait, P. Guthrie, Dr. phil., Professor i Fysik ved Universitetet i Edinburgh. Malmström, Carl Gustaf, Dr. phil, fh. kgl. svensk Rigsarkivar, Stockholm. Pasteur, A.-M.-Louis, LL.D., Medlem af det franske Institut, Professor honorarius ved Faculte des Sciences, Paris, Storkors af Danebrog. Des Cloizeaux, Alfred-Lowis-Olivier-Legrand, Medlem af det franske Institut, Professor i Mineralogi ved Muséum d'Histoire naturelle i Paris. Kokscharow, Nikolai Twanowitsch v., Gehejmeraad, Generalmajor, Direktør for det kej- serlige Bjergværksinstitut i St. Petersborg. Blomstrand, Christian Vilhelm, Dr.phil., Professor i Kemi og Mineralogi ved Univer- sitetet i Lund, Ridder af Danebrog. Cleve, Per Theodor, Dr. phii., Professor i Kemi ved Universitetet i Upsala, Ridder af Danebrog. Key, Ernst Axel Henrik, Dr. phil. & med., Professor i Anatomi ved det Karolinske mediko- kirurgiske Insitut i Stockholm. Berthelot, Pierre-Eugene-Marcellin, Medlem af det franske Institut, Professor i Kemi ved Collège de France i Paris. Gylden, J. A. Hugo, Dr. phil., Professor, Direktor for Videnskabernes Akademis Observa- torium i Stockholm. Möller, Axel, Dr. phil., Professor i Astronomi ved Universitetet og Direktor for Observa- toriet i Lund. Lacaze-Duthiers, F.-J.-Henri de, Medlem af det franske Institut, Professor ved Faculté des Sciences, Direktør for den zoologiske Station i Roscoff. Retzius, M. Gustav, Professor i Histologi ved det Karolinske mediko-kirurgiske Institut i Stockholm. Boissier, M.-L.-Gaston, Medlem af det franske Akademi, Professor i latinsk Poesi ved Gollege de France, Paris. Paris, Gaston-Bruno-Paulin, Medlem af det franske Institut, Professor i middelalderligt fransk Sprog og Litteratur ved Collège de France, Paris. Curtius, Ernst, Dr. phil., Gehejmeregeringsraad, Professor i Filologi ved Universitetet og . Direktor for Antikvariet i Berlin. Conze, Alexander Christian Leopold, Dr. phil., Professor, fh. Direktor for det Kgl. Museum i Berlin. Stubbs, William, D.D., LL.D., Biskop i Chester. _ IN Freeman, Edward Augustus, D.C.L., LL. D., Regius Professor i nyere Historie ved Universitetet i Oxford. Maurer, Konrad v., Dr. phil., Professor i nordisk Retshistorie ved Universitetet i München. Areschoug, Frederik Vilhelm Christian, Dr. phil, Professor i Botanik ved Universitetet og Direktor for den botaniske Have i Lund. Nordenskiöld, Adolf Erik, Professor, Friherre, Intendant ved Riksmuseet i Stockholm. Torell, Otto Martin, Dr. phil., Professor, Chef for Sveriges geologiska Undersökning, Stockholm. Weierstrass, Karl, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Berlin. Kronecker, Leopold, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Berlin. Kölliker, Albert von, Dr.phil., Professor i Anatomi ved Universitetet i Würzburg. Leydig, Franz von, Dr. med., Gehejmemedicinalraad, fh. Professor i Anatomi, Würzburg. Fritzner, Johan, Dr. phil., fh. Provst, Kristiania. Odhner, Clas Teodor, Dr. phil., kgl. svensk Rigsarkivar, Stockholm. Storm, Gustav, Dr. phil., Professor i Historie ved Universitetet i Kristiania. Heinzel, Richard, Dr. phil. Professor i germansk Filologi ved Universitetet i Wien. Kunik, Ernst, Gehejmeraad, Medlem af det Kejserlige Videnskabernes Akademi i St. Petersborg. Meyer, Marie-Paul-Hyacinthe, Medlem af det franske Institut, Direktør for Ecole des chartes, Professor i sydeuropæiske Sprog og Litteraturer ved Collège de France, Paris. Schmidt, Johannes, Dr. phil., Professor i sammenlignende Sprogvidenskab ved Univer- sitetet i Berlin. ‚Sievers, Eduard, Dr. phil., Professor i germansk Filologi ved Universitetet i Halle. Jhering, Rudolf von, Dr. jur., Gehejmeraad, Professor i Romerret ved Universitetet i Göttingen. Wundt, Wilhelm, Dr. phil., Professor i Filosofi ved Universitetet i Leipzig. Zeller, Eduard, Dr. phil., Gehejmeraad, Professor+i Filosofi ved Universitetet i Berlin. Holmgren, Alarik Frithjof, Dr. med., Professor i Fysiologi ved Universitetet i Upsala, Kommandør af Danebrog. me Leffler, Gösta Mittag-, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Højskolen i Stockholm, Kommandør af Danebrog. Lie, M. Sophus, Dr. phil., Professor i Geometri ved Universitetet i Leipzig (Normand). Lilljeborg, Vilhelm, Dr. phil., Prof. em. i Zoologi ved Universitetet i Upsala. Nathorst, Alfred Gabriel, Dr. phil., Professor, Intendant ved Riksmuseets botanisk-palæ- ontologiske Afdeling i Stockholm. Nilson, Lars Frederik, Professor ved Landbruksakademien i Stockholm. Schitbeler, F. C., Dr. phil., Professor i Botanik ved Universitetet i Kristiania. Cope, Edward D., Professor ved Universitetet i Philadelphia. Marsh, Othniel Charles, Professor ved Universitetet i New Haven. Gegenbaur, Carl, Dr. phil., Professor i Zoologi ved Universitetet i Heidelberg. Leuckart, Rudolf, Dr. phil., Professor i Zoologi ved Universitetet i Leipzig. Mendeleef, Dimitrij J., Dr., Professor i Kemi ved Universitetet i St. Petersborg. Darboux, Gaston, Medlem af det franske Institut, Professor i Mathematik ved Faculté des sciences i Paris. Lindstrøm, Gustav, Dr. phil, Professor, Intendant ved Rigsmuseets palæozoologiske Afdeling i Stockholm. Sars, Georg Ossian, Dr. phil., Professor i Zoologi ved Universitetet i Kristiania. Agassiz, Alexander, Dr. phil.. Professor, Curator ved the Museum of comparative Zoülogy, Harvard College, Cambridge, Mass. Dana, James Dwight, Dr. phil., Professor i Mineralogi og Geologi ved Yale College, New Haven, Conn. Kopp, Hermann Franz Moritz, Dr. phil., Gehejmeraad, Professor i Kemi ved Universi- tetet i Heidelberg. Mueller, Ferdinand Baron von, Dr. phil., Government Botanist i Melbourne. Tieghem, Philippe van, Medlem af det franske Institut, Professor i Botanik ved Muséum d'Histoire naturelle i Paris. Ascoli, Graziadio Isaia, Senator, Professor i sammenlignende Sprogvidenskab ved Aka- demiet i Milano. Bücheler, Franz, Dr. phil., Professor i klassisk Filologi ved Universitetet i Bonn. d Ancona, Alessandro, Professor i romanske Sprog ved Universitetet i Pisa. XVI Aufrecht, Theodor, Dr. phil., fh. Professor i indisk Sprog og Litteratur, Heidelberg. Benndorf, Otto, Dr. phil., Gehejmeraad, Professor i Arkæologi ved Universitetet i Wien. Breal, Michel-Jules- Alfred, Medlem af det franske Institut, Professor i sammenlignende Sprogvidenskab ved Collége de France, Paris. Brefeld, Oscar, Dr. phil., fh. Professor i Botanik, Direktør for det botaniske Institut i Minster, Westfalen. cS Gardiner, Samuel Rawson, LL. D., Dr. phil., fh. Professor i Historie, Bromley i Kent ved London. Weber, Albrecht, Dr. phil., Professor i indisk Sprog og Litteratur ved Universitetet i Berlin. Whitney, William Dwight, Professor i Sanskrit og sammenlignende Sprogvidenskab ved Yale College, New Haven, Conn. Spolia Atlantica. Bidrag til Kundskab om de tre pelagiske Tandhval-Slægter Steno, Delphinus og Prodelphinus af Chr. Fr. Lütken. Med 1 Tavle og 1 Kort. Avec un résumé en français. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. V. 1. Kjøbenhavn. Bianco Lunos Kel. Hof-Bogtrykkeri (F. Dreyer). 1889. EN RER p. ae SHS tte u Ek À | ss “= Er Ba: 4 | = dak itt Sc r , : un BR ree x * zu : e in *y ka i i =o: 410 = = = — Lis : hs JER nn a, Pons ar | or [as a EAN ME a rc i u i i ” SR TO A Au . or 7 | LE , say ps FAO NR nt > a L “tt à ‘it ant ar i ne dan add Le | F SHEEN COL va © i Teg ‘frente ie Æ Ex ER i KE: is aby. i i - er ur ART | age [4 Me i NS à sa iy a An | TA i - 10 gan Li ET nr” EDEL TE FR LC 546 J pte tha Bunt Ne a I ei BE = = = x NÅ med AR ate ey af Etter Udgivelsen af mine «kritiske Studier over nogle Tandhvaler» skrider jeg til den dér bebudede Redegjørelse for det Materiale af Skeletter og Kranier af pelagiske Delfiner, som har ophobet sig i vort «Cetaceum» ved de samme Indsamlinger og Rejser, ved de samme gjennem en Række af Aar fortsatte Bestræbelser. af Skibsførerne Hygom, Andréa, Corneliussen, Iversen 0. a., hvem vi skylde den allerstørste Del af det Materiale til Oplysning om Livet i det aabne Hav, de «Spolza Atlantica», der med eller uden denne Titel ere blevne offentliggjorte i d. K. D. Vid. Selskabs Skrifter. Dette Materiale af pela- giske Delfiner — derunder indbefattet enkelte Stykker, som fandtes i vore Samlinger alle- rede fra en noget ældre Tid — er såa betydeligt, at det strax ved min Tiltrædelse af Bestyrelsen af Museets Hvirveldyr-Afdeling stillede sig som en af de Opgaver, jeg maatte søge at løse, at bringe et videnskabeligt Resultat — saadan som det nu kunde blive — ud af det. Jeg antog jo nok, at afdøde Prof. Reinhardt havde gjort Forarbejder til dets Behandling, hvilket ogsaa til en vis Grad- har bekræftet sig, men jeg saa tillige snart, at det kun var den første Begyndelse dertil, som han havde faaet gjort. Oprindelig er dette Materiale fremkommet derved, at vore Skibsførere harpunerede Delfiner under Overrejsen for af deres fortræffelige Kjød at skaffe sig og deres Mandskab en Afvexling i Skibskostens Ensformighed, og saa bragte os Hovedskallerne eller stundom Skeletterne med Spørgsmaal om vi brød os om dem og havde Brug for dem, — et Spørgsmaal, som i Tidens Løb besvaredes med stedse indstendigere Opfordringer til, ikke at lade noget af denne Art gaa tabt, alt som det klarere viste sig, at der ogsaa paa dette Punkt maatte kunne gjøres en lille videnskabelig Høst. Næsten enhver Rejse bragte os nu et eller flere Delfinskeletter, meget ofte led- sagede af Angivelser om Dyrenes Farve og Tegning, af Udmaalinger, Papirmodeller af deres Ryg- og Halefinne eller disse selv, næsten altid ogsaa af Angivelse af Fangestedets Længde og Brede. For at forstaa, at slige Indsamlinger kunne have Betydning udover den, der ligger nærmest, nemlig at de udfylde Huller i Museets Rammer, vil det være nødvendigt at klare sig, hvordan Cetologiens Stilling og Standpunkt for Tiden er. — Da - . Cetologien tog sit store Opsving efter det stærke Stød fremad, som fremfor alle Eschricht havde givet den, vendte Interessen sig først og stærkest mod Bardehvalerne, til hvilken Underorden jo ganske i Almindelighed Ordenens større Former, Havets Kæmpedyr, høre, og det var først efterhaanden at Tandhvalerne, — i det hele jo de mindre, men talrigere — fik Lod og Del i det opblomstrende cetologiske Liv, og da først og fremmest saadanne mere abnorme Former som Næbhvaler, Kaskelotter, Ganges- og Amazon-Delfiner 0. s. v., mindst og sidst de typiske Springer- og Delfinformer. Som allevegne maatte Zoologernes Bestræbelser ogsaa paa Cetologiens Omraade først og fremmest rettes paa at klare Grunden ved at skaffe Lys i Systemet, ved at drage Grænserne mellem Arter, Slægter og Grupper, bestemme Formernes Udbredning o. desl.; og at det her er Osteologien, Ben- bygningen, man især har at holde sig til, vil ikke undre nogen, der har en Forestilling om den Ensformighed, der raader over disse nøgne, fiskedannede Dyrs Ydre. Men der møder os her den Vanskelighed, at Benbygningen dels er underkastet en ikke ringe indi- viduel Variation, hvis Grænser kun kunne bestemmes ad Erfaringens Vej, rent empirisk, ved Undersøgelse og Sammenligning af et større Materiale, dels er undergivet en langsomt fremskridende Udvikling, fra Dyret er ungt til det er gammelt, ved at stedse flere bruskede, hindede, bindevævsagtige eller ligamentøse Dele drages ind i Forbeningsprocessen. For- skjellen mellem et ældre og et yngre Dyrs osteologiske Karakterer er ofte. indenfor samme Art, paafaldende stor og kan saa meget lettere give og har givet Anledning til Antagelse af rent nominelle Slægter og Arter, der maa stryges. altsom den rette Sammenhæng opklares, som Skelettets fuldstændige Forbening hos Hvaldyret først indtræder forholdsvis sent og i det hele foregaar ualmindelig langsomt. Dertil kommer vel endnu, at man her af forskjellige letforstaaelige Grunde lettere end ved andre Pattedyr faar med Subjekter at gjøre, som endnu langtfra have afsluttet deres Udvikling, uden at man paa Forhaand kan vide, paa hvilket Aldersstandpunkt de befinde sig, da dette ikke røber sig meget i deres Ydre, forudsat da, at de ere ud over den rene Barnealder. i Sagen staar da saaledes, at man nu for Hvaldyrene i Almindelighed er kommen til Klarhed over Slægterne, medens der endnu med Hensyn til Arterne hersker den største Usikkerhed, paa sine Steder endog Forvirring. For Bardehvalernes Vedkommende er der maaske en vis Udsigt til Ro og Klarhed over disse Forhold, hvis det viser sig at holde Stik, at de Former. der tilhøre de koldere Havbælter, ere mere indskrænkede i deres Udbredning, saaledes som f. Ex. de nordlige og sydlige Balæna-Arter %, Graahvalen (Rhachzanectes) i det nordlige stille Hav og Slægten Neobalena i den sydlige Del af samme. Forsaavidt disse Slægter optræde baade Nord og Syd for Ækvator, antages de at være differentierede i 3) Jeg har i Tillæget til min Afhandling om Hyallusene berørt de Tvivl. der synes at begynde at gjøre sig gjældende med Hensyn til Artsforskjelligheden indenfor Sydhvals- og Nordkapertypen indenfor Balæna-Slægten (K. D.V. S. Skr. 6 R. IV, 4. 1887). i udprægede Arter, hver med sit geografiske Omraade, hvorimod de Arter, der mere høre bjemme ide varmere Have, i Regelen ere saa kosmopolitiske i deres Optræden, at de uden For- skjel træffes baade i det atlantiske og det indopacifiske Verdenshav, tildels med saa vide Grænser for deres Udbredning mod Nord og Syd, at der ikke mangler meget i, at de med fuldeste Ret betragtes som allesteds nærværende. I Modsætning til «Nordhvalens», de andre «Sletbages» og «Graahvalens» skarpt begrænsede hydrografiske Omraade, er man nu ikke utilbojelig til at tro, at der Verden over ikke findes andre Arter af Finhvaler og Pukkelhvaler end de selvsamme 5, som ere kjendte fra vore nordiske Have, og vist er det i alt Fald, at disse 5 Typer komme igjen næsten allevegne. De have ganske vist faaet mange forskjellige systematiske Artsnavne, alt efter som de iagttoges i det nordlige eller sydlige Atlanterhav, i den ene eller anden Del af det stille Hav, men Grunden dertil laa meget ofte i en forudfattet Mening om, at de maatte være forskjellige; man. kunde jo i sin Tid knap tro, at den bergenske og den grønlandske «Vaagehval» vare den samme, langt mindre, at den samme Årt kunde fanges ved Nyzelands, Patagoniens eller Kaliforniens Kyst. Som man vil se, simplificeres det cetologiske Studium overordentligt, hvis man kan slaa sig til Ro ved dette Resultat, der tidligere er bleven afvist som aldeles urimeligt, og det er for de cetologiske Samlinger af en særdeles praktisk Betydning. Sandsynligheden for dets Rigtighed synes mig at styrkes ved at se hen til de analoge Erfaringer, som vi gjøre med Hensyn til andre pelagiske Dyretyper. Det har alt længe været tydeligt, at de pela- giske Fiske, der fortrinsvis eller udelukkende have hjemme i de varmere Have — Baandmakreler, Sugefiske, Hajer, Makrelgjedder, Klumpfiske, Sværdfiske, Thunfiske, Boniter, Albacorer, Havbrasener, Dolfiner o. s. v. — forekomme i uforandret Skikkelse i begge Verdenshave, med andre Ord: ere kosmopolitiske. og jeg tror ved mine egne Under- sogelser!) at have slaaet dette Resultat, der ganske stred mod, hvad man tidligere antog, fast for adskillige af de ovennævnte Typers Vedkommende. Det selv samme viser sig jo at være Tilfældet med saa smaa pelagiske Dyreformer som Salper og Vingesnegle, i alt Fald med de fleste af disse — bortset ogsaa her fra de arktiske og antarktiske Former — og saa meget mindre kan det da undre os, om det samme er Tilfældet med Havets Kæmpedyr. Fuldstændig fastslaaet for disses Vedkommende kan denne Lov nu vistnok ikke siges at være tværtimod, den bestrides jo nu atter for Pukkelhvalernes?), — men den synes paa den anden Side mere og mere at stadfæstes for Tandhvalernes. Den forholdsvis indskrænkede Udbredning, der karakteriserer Narhvalen, Hvidfisken og maaske Døglingen, staar i en skarp Modsætning til Kaskelottens, Dværgkaskelottens, visse Næb- hvalers, maaske ogsaa Grindehvalernes kosmopolitiske Udbredning, men forstaas lettere 1) Spolia Atlantica. Bidrag til Kundskab om Formforandringer hos Fiske 0. s. v. (K. D. Vid. S. Skr. 5 R. XII, 6. 1880). 2) Berørt i det ovennævnte Tillæg til min Afhandling om Hyallusene. gjennem hine Analogier og ved Modsætningen mellem arktiske og tropiske Typer. For de mindre Tandhvalers, Delfinernes, store Hærskare hersker der endnu altfor stor Usikkerhed med Hensyn til Arternes Antal og indbyrdes Begrænsning, til at man kan opstille Resultater, udformede som almindelige Sætninger. Altfor meget har man ogsaa her, gaaende ud fra, at Delfiner fangne i forskjellige Have maatte være artsforskjellige i samme Forhold, som f. Ex. vore littorale Fiske og lavere Havdyr ere det, opstillet Arter paa let henkastede Skitser eller paa enkelte Kranier,,der, naar de senere ere blevne sam- menstillede med andre i naturlige Rækker, viste sig at danne saa uafbrudte Kjæder, at man maatte anerkjende Arternes Uholdbarhed. Der er allerede ved Fischers!) og Flowers?) Studier kastet meget Lys over disse Forhold; jeg haaber, at der skal komme lidt mere ved den Beretning om Museets Skeletter og Kranier af Slægterne Steno, Delphinus og Prodelphinus, som jeg her forelægger. — Man vil skjønne, at hvilke Resul- tater end de mindre Tandhvaler, Delfinerne, i denne Henseende ville give os, have disse, foruden deres umiddelbare Betydning, ogsaa den, at virke tilbage paa Opfattelsen af Forholdene hos de store Hvaler. Ingen skaffer sig let et Studiemateriale af en større Række Kranier og Skeletter af samme Art af Bardehvaler, Kaskelotter eller andre Kæmpe- hvaler; derimod er det ikke saa vanskeligt at skaffe sig et saadant af Delfiner, og de Erfaringer, man her høster, ville kaste deres Strejflys ogsaa paa Storhvalerne. Visselig havde allerede Eschricht og andre gjort dette for Marsvins og andre Smaahvalers Ved- kommende, men Undersøgelsen vinder aabenbart i Interesse, naar den kan udvides til flere Former og større geografiske Omraader. : Reinhardt var som sagt endnu ikke naaet ud over Forarbejderne og synes heller ikke at have ilet med dem. Han stod vel desuden endnu paa et cetologisk Stand- punkt, som nu fraviges mere og mere, det, hvis yderste Retning J. E. Gray repræsenterede, det, hvorfra man troede at kunne skjelne meget fint paa dette Omraade. Erfaringen har mere og mere vist, at dette ikke er muligt, og Tendensen gaar derfor mere og mere mod en Reduktion af Arterne og derved tillige mod en Simplifikalion af Systemet. Selvfølgelig maa man ikke af denne Tendens lade sig forlede til at tage Undersøgelsen mere let. Tværtimod følte jeg Trang til, forinden jeg gav mig i Færd med de ovennævnte pelagiske Slægter, at anstille nogle Prøvestudier eller forberedende Undersøgelser af andre Delfin- slægter, hvor jeg mere kunde støtte mig til andres Erfaringer og for Cetologien alt ind- vundne Resultater. I det Haab. at de ikke alene skulde have nogen Betydning for mig selv som vejledende mine Fjed i et mere ubekjendt Land, men at de ogsaa skulde have nogen 7) T. Fischer: Cétacés du sud-ouest de la France (Actes de la Societé Linnéenne de Bordeaux, Vol. XXXV, 1881). *) W.H. Flower: On the- characters and divisions of the family Delphinidæ. (Proceedings of the Zoological Society of London. 1883). Værd i og for sig og for andre Cetologer, har jeg, som alt berørt, offentliggjort disse indledende Studier under Titelen «Kritiske Studier over nogle Tandhvaler af Slægterne Tursiops, Orca og Lagenorhynchus» i d. K. D. Videnskabernes Selskabs Skrifter 6te Række 4de Bind, og det er først efter denne Forberedelse, at jeg har vovet mig til at tage det aabne Havs Delfiner, til hvis Studium der hos os er en hidtil enestaaende Lejlighed, under Behandling. Men der er endelig den særlige Grund til at foretage en Bearbejdelse af det i vort «Cetaceum» opsamlede nye Materiale af Kranier og Skeletter, med tilhørende Ud- maalinger, Farveskitser, Finnemodeller 0. s. v., af pelagiske Delfiner — som skyldes den Iver, hvormed de Skibsforere, hvis Navne allerede figurere saa hyppigt i de udgivne «Spolia Atlantica», forfulgte de dem tilgængelige Havpattedyr, som de iagttoge paa deres Rejser over Atlanterhavet, ikke mindre end de lavere Dyr, — at de pelagiske Delfiner af naturlige Grunde ere mindre hyppige i de cetologiske Samlinger end de mere littorale. Den Usikker- hed, for ikke at sige Forvirring, som i Henseende til Arternes Værdi og Begrænsning har behersket Cetologien, og som vistnok paa mange andre Punkter er i Færd med at tabe sig, trænger derfor netop paa dette Omraade til at spredes og afløses af den noget større Sikkerhed og Paalidelighed, som en slig Undersøgelse muligvis maatte kunne yde. Den Bemærkning maa dog endnu tilføjes, at jeg ingenlunde vil hævde, at de Delfinformer — Steno, Delphinus og Prodelphinus — som i det følgende afhandles, ere de eneste, der for- tjene Navn af pelagiske Atlanterhavs-Delfiner. Muligt er det, at større Delfin-Former med lignende Levemaade ikke ere komne med, ikke fordi de manglede i de samme Havstrog eller ikke observeredes, men blot fordi deres Størrelse gjorde det vanskeligt eller umuligt at finge dem paa den angivne Maade ’). 1) Exempelvis skal jeg her anføre to Dagbogs-Optegnelser af Reinhardt. Andre kunne findes i for- skjellige Naturforskeres Rejsebeskrivelser. «11/5 50. 4794' N. Br. 9930" V.L. To store Delfiner, som lignede Grindehvaler. 72/5 50. 46° 23° N. Br. 11915" V.L. Ved Middagstid krydsede en Delfinflok paa henved 100 Stykker Skibets Kurs i sydøstlig Retning; det var en stumphovedet Art, 15—20 Fod lang. Rygfinnen temmelig høj, men kort; de viste ikke andet end den øverste Del af Legemet over Vandet ; den syntes at være sort. Deres «Spout» kunde tydelig høres i en Afstand af 2 til 3 Kabellængder». I tvende Dagbogsoptegnelser af Kapt. V. Hygom paa Rejser til og fra Brasilien, paa hvilke 4 Ruter over Atlanterhavet der i alt observeredes Delfiner fra Skibet mindst 30 Gange og harpuneredes Delfiner 7 Gange, findes «rundhovedede Delfiner», hvorved det maaske ligger nærmest at tænke paa Grindehvaler, anførte 5 Gange: d. 1/4 1863 (N. f. St. Paul). En Flok rundhovedede Delfiner af forskjellig Størrelse lob jante i Nær- heden af Skibet. d. 73/8 saaes sort- og graaspættede Delfiner samt en Del rundhovedede med store og hvide Pletter — midtvejs mellem Bermudas-Oerne og Madeira. d. 73/8. Rundhovedede Delfiner (Grindehvaler?). (Midtvejs mellem Azorerne og Indlobet til Kanalen). d.2!/ıı. En Del rundhovedede Delfiner (midtvejs mellem Azorerne og Cap Finisterre). d. 3/12. Et Par rundhovedede Delfiner (c. 20/29 N. Br. og 26° V.L.). Der synes aldrig at være gjort Forsøg paa at harpunere disse Delfiner, jeg antager paa Grund af deres Størrelse og Vægt, paa hvilke de almindelige Haand-Harpuner ikke ere beregnede. Af Slægten Steno foreligger der et helt Skelet og 5 Hovedskaller, som, saavidt jeg skjønner, tilhøre en og samme Art; for saa vidt der vides nøget om disse Stykkers Op- rindelse, ere de fra Atlanterhavet. Ios denne Form, som jeg derfor betragter som den typiske Steno rostratus, findes der 20—24 Tænder i hver Række; disses største Højde over Kjæveranden er 15—17 Mm. (sjældnere kun 14 Mm.), deres Tværmaal ved Grunden 7—8 Mm., og 3 af de større = lender i Underkjæven optage tilsammen, deres Mellemrum indbefattede, fra 30--34 Mm. Underkjævens Forening (Symfyse) svarer til 12—13 Tender. Selve Hjærnekassens Længde fra Nakkeledknudernes Bagrand til en Linie mellem «ineisure anteorbitales» er i Almindelighed mindre end eller lig med dens Brede over Tindingbenenes Kindbuegrene, og Snudens Brede bagtil, over sidste Par Twnder, indeholdes 6—6!/2 Gang i hele Hovedskallens Længde. I Regelen ere Tænderne uslidte; paa en enkelt Hovedskal, der hører til det nedenfor beskrevne Skelet, ere de dog noget slidte, især paa Forfladerne, fornemlig de af dem, der sidde noget bagtil i Kjæven. Længden af disse [lovedskaller varierer fra 505 til 535 Mm.!). De to af dem, hvis Kjon er kjendt, vare Hunner, lige- som det af Professor Peters beskrevne Exemplar, som senere vil komme paa Tale. Foruden disse 6 Hovedskaller af den typiske S. rostratus er der i Samlingen 2 Hovedskaller (Nr. 2 og 5), der muligvis kunde tilhøre en anden — men dog meget nær- staaende — Art; de ere lidt spinklere, Snuden (Næbet) noget smallere og mere sammen- trykt; Tændernes Antal lidt større, 24—26 i hver Række, selve Tænderne noget mindre, højst 13!/2—14 Mm. høje, deres Tværmaal ved Grunden 6 Mm., og 3 af dem optage til- sammen 28—29 Mm.; Underkjævens Symfyse er snarest lidt længere, svarer til 14—15 Tænder. Hjærnekassens Længde er lig med dens Brede, og Snudens Brede ved dens Grund indeholdes fra 6!/ til næsten 8 Gange i Totallængden. Det ene af disse Kranier 1) Udmaaling af S Hovedskaller: Hovedskallens Hjærnekassens | Hjærnekassens | Une gjaye= Nr. an en Bred | Symfysens ængde. Længde. | rede. | Længde. SM 540 Mm. 213 Mm. 213 Mm. 155 Mm. 6 | 535 — 224 —- 225 — 158 — il | 530 — 220 — 226 — 150 — 10 | 530 — 217 — 231 — | 153 — 9 | 520 — 209 — 210 — 163 — 5 | 512 — 198 — . 198 — 160 — 3 510 — 218 — 218 — | 145 — 4 505 — 217 — 221 — | 135 — er ganske sikkert fra det stille Hav; Prof. Reinhardt fik det paa «Galathea-Expeditionen» i Honolulu. Det andets Oprindelse kjendes ikke. Deres Længde er henholdsvis 512 og 540 Mm.; Kjon ubekjendt. Afvigelserne fra det normale ere hverken store eller skarpt afgrænsede; at de tilhøre en anden Art (S. compressus Gr., S. Reinwardtit Schl.) end de først omtalte, vil jeg derfor paa ingen Maade paastaa; maaske er det kun individuelle eller Kjonsforskjelligheder. Jeg kommer senere tilbage til dette Sporgsmaal. Det kan dog her straks bemærkes, at Originalen til Schlegels «S. Reimwardti» var fra det indiske Origes Kyster. “Det eneste mig foreliggende Steno-Skelet har en Totallængde af c. 2400 Mm., hvoraf Hovedskallens udgjor 530 Mm. Hvirvlernes Antal er 65 = 7 + 13 + 15 + 30. I øvrigt ligner det de ægte Delfiners overmaade meget. Af Halshvirvlerne ere de to første i den Grad sammenvoxne, at man vilde kunne opfatte dem som én Hvirvel med to Buer og med et Rudiment af en Tværtap bagved og over den til Atlas hørende korte og tykke Tværtap. Tredje Hvirvel har paa hver Side en lodret, flad, trianguler Udvæxt, gjennem- brudt af et stort Hul: de forenede Para- og Diapofyser. Paa de tre folgende Hvirvler ind- træder denne Forening derimod ikke: Udsnittet mellem den øvre og nedre Tværtap bliver stedse større, altsom den sidstnævnte rykker længere ned, hvorhos denne tillige bøjes stedse stærkere fortil; paa den syvende Hvirvel findes der som sædvanlig en temmelig lang Diapofyse, men ingen Parapofyse. — Der er paa hver Side 13 Ribben, de forreste meget stærke, de bageste — med jævne Overgange — meget spinkle. Kun de 6 første Par have dobbelt Ledforbindelse med Rygraden. Den første Torntap findes paa den anden Brysthvirvel; den og de nærmest følgende ere rettede stærkt bagover; de tiltage baade i Højde og Brede, men begynde fra de sidste Brysthvirvler at krumme sig forover og antage paa de sidste Lændehvirvler en såa godt som lodret Holdning. Paa de første Halehvirvler er Torntappen igjen lidt foroverbøjet, men den gaar paa de øvrige atter over til at være rettet skraat bagud. De højeste Torntappe findes paa 5te—Sde Lændehvirvel og have (med Buerne) en Længde, der overskrider 4 samlede Hvirvellegemers. Helt uden Spor til Øvrebuer ere kun de sidste 10 i Halefinnen indesluttede Hvirvler. Af Nedrebuer er der 20 tydeligt udviklede, og de ere i det hele store og brede, saa at de i et betydeligt Stykke af Rygradens Haledel ere lige saa høje som eller endnu højere end Øvrebuerne med deres Torntappe, paa de samme Hvirvler; de to forreste ere ikke forenede i Midt- linien, men allerede den tredje har en lav nedre Torntap, der paa de følgende tiltager baade i Længde og Brede. Bagved den 20de Nedrebue er der paa den i Halefinnen optagne Del af Rygraden endnu nogle adskilte Smaaknuder paa Nedrebuernes Plads, i det mindste 5, altsaa 23 Nedrebuer i alt. Tværtappene ere gjennemgaaende brede; de længste findes paa anden Lændehvirvel og have næsten samme Længde som tre samlede Legemer af Hvirvler; de sidste Spor til Tværtappe findes paa 14de Halehvirvel. Metapofyserne ere Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 1. 2 10 meget tydelige fra sjette Brysthvirvel af og omfalte paa de øvrige Brysthvirvler og paa de forreste Lændehvirvler den foranliggende Hvirvel skarpt og stærkt, ligesom med en dyb Gaffel; altsom de rykke højere op, blive de derimod svagere, men helt slippe de ikke Taget førend paa den 10de Halehvirvel; endnu paa den 17de ere de overmaade tydelige. De perforerende lodrette Karkanaler optræde først paa den 6te eller 7de Halehvirvel; paa nogle af de sidste Halehvirvler foran dem, der omsluttes af Halefinnen, ere de kun lidet tyde- lige. — Brystbens-Haandtaget har et lille Hul paa den ene Side af Midtlinien og paa hver Side en stærk Udvæxt eller Tap. Skulder- bladet synes mig mest at udmærke sig ved den Maade, hvorpaa dets Plade og Udvæxt (acromion) ligesom sende Forlængelser mod hinanden. Forlemmernes Længde fra Skulderled til Spidse indeholdes 51/2 Gang -i Totallængden. Der er som sædvanlig 5 4: II (den længste): 8; II: 6; IV: 3; V: 3; men det sidste Led i hver Finger er kun en lille Knort. Det bør her bemærkes, at Dyret Haandrodsben og 5 Fingre med følgende Ledtal i begge Hænder: I: aabenbart er gammelt og fuldt udvoxet. — Den «Guillochering», som udmærker Tænderne af denne Slægt, men som ifølge Flower skal kunne blive utydelig hos gamle Individer, er her tydelig nok, hvor Tænderne ikke ere slidte, hvad de rigtignok, som ovenfor bemærket, for en stor Del ere, især paa Forfladen. Der er overhovedet intet af de 10 Kranier eller Kjæver af Steno, som foreligge, hvor denne ejendommelige Beskaffenhed af Tandoverfladen mangler. Hr. Kapt. A. F. Andréa, som fangede eller harpunerede dette Dyr i Atlanterhavet d. 4de Marts 1864 paa 1914' S.Br. og 17° 20' V. L. fra Grwch., har tillige meddelt Museet en koloreret Skitse — efter hvilken den her med- følgende lithograferede Afbildning til Dels er udført — samt de Maal, som her anføres (i danske Fod og Tommer): Lengden af hele Dyret.......... 8134 Højden lige foran Rygfinnen. . . . . . . 212" Fra Snuden til Rygfinnen . . . . . . . . Sala Inn Symon will Gir EEE ee 114% Fra samme til Blæsegattet . . . . . . a Sica Era samme til Luffeıne.......... Ran Der medfulgte tillige Papirsmodeller ku af begge Lulfer og af Halefinnen; hvilke ere benyttede ved Udførelsen af Afbildningen ; derimod ikke, synes det, nogen Model af Rygfinnen. I dette Punkt har jeg derfor maattet benytte andre Kilder. Farvefordelingen vil fremgaa af Afbildningen. Afdøde Prof. Reinhardt, som antog denne Delfin-Art for ny og opstillede den i Museet under Navn af « Glyphi- delphis ornata», har ikke efterladt sig, saa vidt jeg veed, nogen anden Optegnelse om den end følgende Linier, tilføjede med Blyant paa Andreas Skitse: «Maa sammenlignes med Pernettys Delfin, der har Bugen stenket med Smaapletter ligesom denne, men rigtignok synes at have havt en Fold, som dannede Grænsen mellem Snuden (Næbet) og det øvrige Hoved, jvfr. Pernetty, Voyage aux Iles Malouines, 2 vols. 8vo. Paris 1770». At denne «Fold» skulde have manglet paa Andreas Steno, er der dog ikke tilstrækkelig Grund til at antage, fordi den ikke er tydeligt angivet paa Kaptainens Skitse. Det er overmaade usandsynligt, at den skulde mangle hos nogen Steno. Ogsaa i denne Henseende har jeg derfor ændret Afbildningen. Den findes rigtignok heller ikke paa van Bredas Afbildning!), men er tydelig nok paa Peters's (jvfr. nedenfor). At den af Pernetty (I. c. pl. II fig. 2) afbildede, paa Bugen sortplettede Delfin, som viste sig for ham i Nærheden af de kapo- verdiske Øer, var den samme Form, forekommer ogsaa mig meget sandsynligt”). v.Bredas Afbildning af hans Delphinus bredanensis (Less.)*) — som er anerkjendt at være Steno rostratus Desm. — viser os rigtignok en smækker, langstrakt Delfinform, hvis stærke Næb fortsætter sig uden Grænse eller Antydning af en Fold over i Pandedelen; Rygfinnen er stor og Bugens lyse Farve gaar temmelig jævnt over i Sidernes og Ryggens mørke. Men er Afbildningen først udført efter Udstopningen, turde jeg dog hverken lægge Vægt paa dens Farvefordeling eller paa den Form, Hoved og Næb have faaet — derlil har jeg til- strækkelig Erfaring fra andre lignende Lejligheder. Den ombord paa det tydske Krigsskib «Gazelle» paa 32? 2927 S. Br. og 2° 1‘ V.L. harpunerede, 1850 Mm. lange, af afd. Prof. Peters?) beskrevne «Steno perspicillatus», en Hun, viste dog efter Prof. Studers Optegnelser heller ikke noget Spor til den ejendomme- lige Tegning, det Udstyr med Stjærnepletter i den mørke Del og med mørke Smaapletter i den. lyse, som udmærker Andréas Steno. Idet jeg forøvrigt henviser til Prof. Peters's ud- førlige Redegjørelse, fremhæver jeg kun, at den beskrives som sort med gulhvide Sider og Nieuwe Verhandel. v. h. k. Nederlandsche Institut te Amsterdam, tweede Deel, 1829. Aanteekening omtrent eene nieuwe soort van Dolfijn»: pl. I. Dens Farve "beskrives saaledes: «Ryggen sortagtig, Bugen perlegraa, lidt gulagtig, smaaplettet (moucheté) med sort og graat». Hvorfor baade Schlegel og Flower lade van Breda benævne den «D. planiceps», er det ikke lykkedes mig at udfinde. S. lader I. B. Fischer (Synopsis Mammalium, 1829) være Ophavsmand til på Navnet «D. bredanensis». Mittheilung über die von S.M.S. Gazelle gesammelten Saugethiere. Monats-Berichte d. kön. preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin f. 1876 (1877) S. 360 pl. II og Ill. hvid Bug, og al Grænsen mellem begge Farver falder efter Afbildningen helt anderledes end paa Andreas Delfin; Øjet var indfattet af en brun Linie, der tillige fulgte den Fure, som adskiller Pande og Næb; Rygfinnen var forholdsvis stor, og Luffen ikke indskaaren ved Roden som paa vor og v. Bredas Figur. Tændernes «Guillochering» omtales ikke. 23—24 . m à 5 . Deres Antal var 5 5;, deres Højde 14Y> Mm. og deres Tværmaal 6 Mm.; 3 optoge til- sammen 28 Mm.; Hvirvlerne 66 — 7 +12 + 15 +32; kun de 5 første Par Ribben havde Ribbens-«Hoveder» ; der var 25 Nedrebuer, af hvilke de 3 første ikke våre forenede i Midtlinien. Antallet af Led i Mellemhaand og Fingre var, naar de bruskede Endestykker ikke medregnes, 3, 8, 6, 3, 2. — Der er dog i denne Delfins Osteologi, saavidt den er oplyst, intet, der giver tilstrækkelig Grund til at anse den for artsforskjellig fra Steno rostratus eller fra den her beskrevne. I Henseende til Tændernes Lidenhed, skjønt just ikke i Henseende til deres Antal, vilde «S. perspicillatus» dog komme nærmest til den som S. compressus eller S. Reinwardtü fremhævede Varietet eller Form. — De senere Tiders > Delfinstudier — særligt P. Fischers -— have lært os ikke at lægge for megen Vægt paa Forskjelligheder i Tegning, forsaavidt disse ikke støttes af osteologiske Karakterer. Det maa i al Fald overlades til Fremtiden nærmere at belyse eller muligvis udjævne de ud- hævede Forskjelligheder i Farvefordeling og Tegning hos Stenonerne. Den af Fr. Cuvier publicerede Figur af et ved Brest fanget Exemplar (Histoire naturelle des Cétacés (1836) pl. X fig. 2) kaster kun for saa vidt lidt Lys over Sagen, som den viser nogle smaa, isolerede Pletter i den lyse Bug, — altsaa dog maaske en Begyndelse til den plettede Tegning, der udmærkede baade Pernettys og Andreas Delfiner. i Med Hensyn til Steno-Slægtens Synonymi skal jeg i øvrigt henvise til Prof. Flowers Afhandling «On the characters and division of the family Delphinidæ» (Proceed. Zool. Soc. London 1883. S. 482 fle.).. Ogsaa han skjelner, for det ham foreliggende Materiales Vedkommende, mellem to Former af Hovedskaller i denne Slægt, hvilke han dog ikke betragter som repræsenterende to Arter men kun «to vel udprægede Varieteter». Den mere r bredsnudede, i Museerne hyppigere Form med de færre Tænder (20—23) er den typiske S. rostratus, den mere smalsnudede med de flere (23—24) Tænder") svarer til Steno com- pressus Gray?) eller Delph. Reinwardtii Schl.*); men der er, siger Flower, en saa successiv Gradation mellem Yderformerne, at det er umuligt at drage nogen Grænse, og dertermetter Analogien med Delphinus og Tursiops, nogen Sandsynlighed for, at det kan være en Kjønsforskjel. — De ældre Angivelser gaa ud paa, at S. rostratus skulde fore- 7) At Flower ikke her angiver Talforholdene påa en med min Erfaring aldeles stemmende Maade, men lidt for lavt, vil være indlysende af det foregaaende; men det er aabenbart den samme For- skjel, som han har for Øje. ' *) Voyage of h. m. s. Erebus and Terror, p.43, tab. 27. 3) Abhandlungen aus dem Gebiete der Zoologie und vergl. Anat. p. 27 pl. Ul f. 23. 13 komme baade i Atlanterhavet (v. Bredas Exemplar var fra Hollands Kyst, F. Cuviers fra Brest), i det indiske og røde Hav og i Stille-Havet'). Der synes altsaa ikke at kunne fastholdes nogen Forskjel mellem en mere bredsnudet Form fra Atlanterhavet og en mere smalsnudet fra det indiske og stille Hav. Hvad enten «Steno rostratus» opfattes som et snævrere eller videre Begreb, synes den at maatte opstilles som en af de kosmopolitiske Arter, der ere udbredte over de varmere Bælter af begge de store Verdenshave og af og til forvilde sig, kan man vel sige, op i de middelvarme Have. IL. Delphinus L. (s.str.). Fra dens nærmeste Slægtninge — Steno, Prodelphinus og Tursiops — skjelnes denne Slægt skarpt ved Hovedskallens Ganefurer; Reinhardt føjer dertil i en af sine haandskrevne Optegnelser «og ved, at Mellemkjævebenene ere indbyrdes sammenvoxne». Jeg tilføjer denne Bemærkning, da jeg ikke har set dette Forhold ellers optaget blandt Slægtsmærkerne, hvad det dog uden Tvivl bør, da det synes at være aldeles konstant hos alle ikke aldeles unge Individer. Der er ikke fuld Vished for, at man kjender mere end en Art af denne Slægt, den vidt udbredte klassiske D. delphis L., som, mærke- ligt nok, først er bleven godt afbildet af Reinhardt?) og nogle Aar efter, ikke mindre godt, af Flower?). Vi skylde desuden P.Fischer (l.c.) flere Afbildninger, der oplyse den Variation i Farvetegningen, som kan findes hos denne Art, selv hos Individer, der ere fangne i de samme Have — i dette Tilfælde i den «spanske Sø», ved Arcachon. — Lafont havde gjort 5 Arter af dem (D. fusus, sowerbianus, balteatus, variegatus og moscha- tus); Fischer reducerede dem alle til 2 Varieteter: den med graa og den med gule Sider! Da der blandt 15 Stykker, hvis Kjøn var kjendt, kun vår 3 Hanner, kunde det ikke tilfulde oplyses, hvorledes denne Variation forholdt sig til Alder og Kjøn; men man sér dog, at den gulsidede Afart forelaa i 2 lige store voxne Individer, Han og Hun, 1) P. Fischer opfører — efter Lesson — ogsaa en «Steno (?) santonicus» (Cétacés du sud-ouest de la France, Actes de la Soc. Linn. de Bordeaux, Vol. XXV, 1881). Det behøver ikke at udvikles nærmere, at hvad det saa er, er det ikke en «Steno» i den Betydning, hvori dette Slægtsbegreb her er taget. Videnskabelige Meddelelser fra den naturhistoriske Forening for 1866, tab, V 3) Transactions of the Zoological Society, Vol. XI, 1880, pl. I, fig. 1. 14 og man maa vel derfor nærmest antage, at denne Variation i Farven er uafhængig af Alder og Kjon. Efter de Erfaringer, som man har havt Lejlighed til at gjøre paa det nævnte Sted, skulde Hunnerne vere meget talrigere end Hannerne eller maaske nærme sig Kysten mere og derved være mere udsatte for at fanges. Det er stadigt i Vintermaanederne (September til Marts), at de fanges ved denne Del af Frankrigs Kyst. I Henseende til Størrelsen synes der ikke at være nogen Forskjel paa Kjonnene. Voxne «Springere» havde en Længde af 2100 å 2150 Mm. — ifølge en Meddelelse af v. Beneden naa de endog en Længde af 2350 Mm. — men de ere allerede forplantningsdygtige ved 1700 Mm. De største Hoved- skaller havde en Længde af 479— 485 Mm. (Hanner) og 460 Mm. (Hunner). Ved at sammen- ligne Hovedskallen af én Han og én Hun af samme Størrelse mente P.Fischer at finde, at Hannens Næb er længere, afsmalner mere regelmæssigt fortil og er mindre bredt paa Midten; at Hjærnekassen er lidt højere, ligesaa dets Kamme; Tindinggruben mere ægdannet, og Mellemkjævebenenes Yderrande omtrent parallele med Overkjævebenenes. «Hos Hunnen har Næbet en mere triangulær Form; «Trianglen» er bredere, Snudespidsen mindre tynd, Tindinghulen stor og rundagtig»"). Tændernes Antal er meget variabelt, ofte for- skjelligt i de to Sider af samme Kjæve; snart er der flest i Overkjæven, snart i Under- kjæven. Variationen falder mellem 39 og 53 i Overkjæven, mellem 42 og 51 i Under- kjæven?). Hvirvlernes Antal er som Regel 74 (sjældnere 73 eller 75); de to første ere sammenvoxne, de andre frie. Ribbenenes Antal kan være 14 eller 15 paa hver Side; det var i 2 Tilfælde af ni 14 paa den ene Side og 15 paa den anden, en Gang 16 paa begge Sider. Bækkenbenenes Størrelse var hos yngre Hunner "ss, hos ældre 1/29—'!/22 af Totallængden. Fingerleddenes Antal varierede — hvis Skeletterne have været fuld- stændige — som følger: I: 2—3; If: 8—9; Ill: 5—7; IV: 2—4; V: 1—2. Forlemmernes Længde er !/ af Totallængden (hos Fosteret Y/s); Halefinnens Brede 4/5 (hos Fosteret ‘/e) af samme. Med Hensyn til de undersøgte Individers særlige Farvetegning 0. s. v. maa jeg henvise til P. Fischers udførlige Meddelelse. Af hans Optegnelser om de enkelte Skeletter anfører jeg nedenfor, hvad der synes mig oplysende til Sammenligning med vore og kan samles i tabellarisk Form, i Forbindelse med hvad der kan af Talforhold aflæses paa det af P. Gervais i «Ostéographie des Cétacés» afbildede Skelet). 7) Det maa bemærkes, at dette kun synes at være Resultatet af Sammenligningen mellem ct enkelt Par og ikke skal betragtes som en paa et større Materiale bygget Abstraktion. *) Det synes imidlertid at fremgaa af Specialbeskrivelserne, at de smaa forreste Tænder ikke altid ere komne med. *) Forkortelserne i Overskrifterne ville forhaabentlig være forstaaelige ved Sammenligning med de følgende Tabeller. SER ES ERR TRES i TE | | ee ea | = = = | A 2a\325) F | S jas sa EE | Se 553 = | 3 1/88 SE 8 | | | EAR Ewa = | & ies 2s De | | Im Pore | | (Mm. | | 2,150 | 0,445 | 74 14 | 59 18,8,5,3,1 | Q (2,120 05 | 75 14 | UL) Leal 75 en | | | | | | I) | å 2110 | 0,485 | 74) 14/15) 1/0 58 | 65 | |2,8,6,2,1 | 1 | | Q [2,110 | Ouco | ‘m4 14 | 1/1 | 58 | 65 2,8,6,2,1 Q 12,100 | Osco | 74 | 14/15 12, G6) 638 (02 378) 6050 nn | | | | | É ® |1,560 | 0,365 | 7a| 16 | 3/8) 5 | | 32 | 52 | 58 | 65 140 |2,9,7,4,2| 4 en | | 6 | | | | | | | | | É [1,810 | 0,440 | = 15 |92) 5 01 51 | 53'| 57 es 75 BEG | eee Efter Afbildn. N | | | (Re | ze | | ; f 28-41de i «Osteographie». J tl 15 | | | 21 | 31 | 21 | 55 | 57 EE 3, 10,7,3,2 \ rein Flower har undersøgt en Række Skeletter af den ved Tasmaniens Kyst, om- kring Ny-Holland og Ny-Zeeland forekommende Delfin-Form, som er bleven beskreven under Navnene D. novezelandie Gr., D. Forsteri Gr., D. fulvofasciatus Hombr. & Jacqu. (hvortil vel endnu vil vere at foje D.tasmaniensis Gery.). Han var ikke istand til at skjelne dem fra den ved Europas Kyster forekommende Form, og han antager, at D. Bairdü Dall fra den nordlige Del af det stille Hav heller ikke er andet. Til 2. delphis fører P. Gervais som Race: Delphinus mediterraneus Loche. Derimod holder Flower ude fra den typiske D. delphis 3 Former, der rigtignok kun ere kjendte hver af et enkelt Kranium; 1) D. major, opstillet paa en 523 Mm. lang Hovedskal med = Tender; 2) D. janira, mindre, med bredere Hoved, kortere Neb og 44 Tender, formentlig identisk med D. pomeegra Owen fra Madras; og 3) D. longirostris Gery. (non Gray) fra Malabarkysten; Snudedelen er her 55 — 5d mere end dobbelt saa lang som Hjærnekassen, men Tændernes Antal (=) er ikke storre end det kan være hos D. delphis”). Af Delphiner (i denne mere indskrænkede Betydning) har der foreligget mig i Sam- lingen 13 Kranier, uden de tilhørende øvrige Skeletdele; flere af dem ere dog mere eller !) Jeg maa forstaa Sagen saaledes, at Tallene paa disse to Stykker ere ens, for saa vidt andet ikke udtrykkelig ev bemærket. *) I «List of the speeimens of Cetacea in the Zoological Department of the British Museum» (1885) henføres dettes Delphini til 5 Arter: 1) D. delphis (hvortil henføres D. fulvofasciatus, Forsteri og novezelandie), 2) D.janira, 3) D.pomeegra (næppe forskjellig fra D. janira og formodentlig kun en lille Form af D. delphis), 4) D. capensis (mere langsnudet end nogen anden Delphinus i Sam- lingen med Undtagelse af den folgende) og 5) D. major (maaske identisk med D. capensis: «afviger kun fra D. delphis ved sin betydeligere Størrelse»). Med andre Ord: alle disse Formers Artsforskjel- lighed fra D. delphis er og bliver usikker, for ikke at sige: højst tvivlsom ! 16 mindre defekte; kun 4 af dem bære Lokalitets'- Angivelse: «Atlanterhavet, ved Afrikas Kyst» (Nr. 10), «Spanske Sø» (Nr. 11), «Hollandske Kyst» (Nr. 12) og «Azorerne» (Nr. 16). Desuden har jeg for mig 11 Skeletter af hvilke dog de to ere defekte, idet de enten mangle Brystbenet og tildels Ribbenene eller Lemmerne; de 3 bære kun den almindelige Angivelse «Atlanterhavet» (Nr. 2, 3 og 6); ét (Nr. 1) er i Novbr. 1865 fanget eller strandet ved Glatved Strand; for syvs Vedkommende er det opgivet, hvor de ere harpunerede i Atlanterhavet, nemlig: Nr. 4 paa 36° NB. og 140° VL., Nr. 21 paa 45°14 NB. og 16°4 VL., - 5 — 42°18 — - 12° —, - 22 — 44°25 — - 25°30 — , Sa Bek gO eh idee - 23 Ud for Kanalen. - 8 — 39° — - 12° — (To af Kapt. Andrea paa 34° SB. og 7°3 VL., og 35738 SB. og 10° OL. harpunerede Exemplarer kom desværre til Museet i Liverpool; jfr. nedenfor). Kun for 3 af disse Ske- letter er Dyrets Kjon angivet: Nr. I er af en Han, Nr. 3 og 5 af Hunner. Da der med Nr. 21 fulgte et Foster med samme Lokalitetsangivelse, er det rimeligvis dette Dyrs Foster, Nr. 21 altsaa ogsaa en Hun. Maal haves af Nr.3 og 5, af Nr.5 ogsaa en Skitse af Farve- tegningen, som her er gjengivet i Træsnit; en fuldstændig Afbildning af Nr. I er, som anført, publiceret i «Vidensk. Meddel. fra den naturh. Koren.» for 1866. Det kan bemærkes, at denne Afbildning er af et forholdsvis ungt Dyr. Jeg skal meddele de Maal, der ere opgivne, i Fod og Tommer: Nr. 3: Nr. 5: Totallængden omtrent.............. 5' Rotallæng denen oon codon Dob OD SEE: 6‘ Tykkelsen umiddelbart bagved Lufferne . . . 3/14 Fra Snudespidsen til Rygfinnens Begyndelse . . 2/8” = = — wei 6 5 PH - — - Luffens Udspring . . . . . One Fra Rygfinnen til Halefinnen ......... Px fe - — = (Gio os0000000500 i? - Nesefuren - Rygfinnen.......... 2 - — - Blæsegattet. . . . . . . . . 102% = — = MEN co oso BAHR 0000 11422 - Kjonsaabningen til Gattet. . . . . . . . . .. Woe Rygfinnens Længde ved dens Grund . . . .. » 10” - Gattet til Indsnittet i Halefinnen . . . . . . lO 4 Snudens Længde til Nesefuren ........ » He - Navlen til Kjonsaabningen . . . . . . . . . . 1‘ 144 Fra Næsehulens Midte til Qjet. . . . .. . .. » 8% - Rygfinnen til Indsnittet i Halefinnen . . . . 274” brak GattetzulaHalerinneners ee IS Kroppens Omfang foran Rygfinnen. . . . . . .. 2’ 114° Mellem Gattet og Kjonsaabningen . . . . . .. my, 0 — — — Halefinnens Udspring. 1‘ 4” Farvefordelingen hos dette Exemplar (Nr. 5) — i hvilket Reinhardt, ligesom i det under Nr. 5 opførte, mente at gjenkjende Delphinus Walkeri Gr. eller en meget nerstaaende Form — har jeg saa godt som muligt, efter den noget raa Skitse indtegnet i en Konturfigur af D. delphis. Det vil ses, at Ryggen var ensartet sort eller mørk, Bugen hvid, Siderne 6 graaagtige, Halefinnen og de nærmeste Dele af Halen ovenpaa atter ensartet mørke ligesom Ryggen. Men mellem disse to mørkere Partier laa der to Skraabælter, det forreste lysere graaligt med en mørk Plet i, det andet lysere med mørkere Skygninger. Omkring Øjet var der en hvid Plet; dog gik der fra dets Forrand en mørk, skarpt begrænset Stribe hen til Snuden og fra denne igjen en mørk Linie til Brystfinnens Udspring. Imod Reinhardts Opfattelse af disse Individer som «D. Walker: Gr.» har jeg for saa vidt intet at indvende, som denne efter min Mening ikke er andet end D. delphis. Derimod maa jeg erklære mig mere uenig med ham, for saa vidt han havde opstillet et af de andre Skeletter (Nr. 7) i Museet som en egen Art under Navn af «D. Hygomiv. Jeg nærer ingen Tvivl om, at samtlige 11 Skeletter og 13 Hovedskaller kun tilhøre en eneste Art, den gamle «22. delphis». Men jeg har trot det rigtigst lige over for disse Tvivl at meddele mine Maalinger og Tællinger af disse Stykker (S. 19 og 22-23) i en mere detailleret, tabellarisk Form end i andre lignende Tilfælde. Prof. Flower har i sin citerede Afhandling om Delphinidernes Slægter og Arter ikke tåget noget Hensyn til en lille Artikel af J. E. Gray i «Proc. Zool. Soc. 1865», «Descrip- tion of three species of Dolphins in the free Museum of Liverpool». Gray meddeler deri, at Hr.Moore, Bestyrer af Museet i Liverpool, havde sendt ham til Undersøgelse tre Delfin- skeletter, som vare forærede det nævnte Museum af en Kaptain Walker, Fører af Skibet «Trenton», som påa en Rejse fra Ostindien til Liverpool havde ikke alene «samlet» dem (9: fanget Delfinerne) og bevaret «Knoglerne, Halerne og Brystfinnerne», men ogsaa udført Tegninger af Dyrene, alt som de bleve fangne. Disse Tegninger, ledsagede af Papmodeller af Rygfinnerne, havde Hr. Moore sendt til Dr. Gray tilligemed Skeletterne, og formindskede Kopier af dem ere optagne S. 736-38 i sidstnævntes Meddelelse. Men alt dette forholder sig noget anderledes: det er i Virkeligheden vor Kaptain A.F. Andréa, som har harpuneret, udmaalt og skeletteret disse Delfiner, udført Modellerne af Finnerne, skitseret Dyrenes Farve- tegning og foræret det hele til ovennævnte Kaptain Walker, som tog ham og hans Mand- skab ombord i sit Skib «Trenton», då dette traf Andréas Skib brændende i Lasten — en Kulladning — midt paa Atlanterhavet. Gray gjorde de tre ham foreliggende Skeletter, af hvilke de to tilhørte Slægten Delphinus (s. str.), det tredje Clymene (eller Prodelphinus, som vi nu kalde den), til tre nye Arter, idet han rigtignok udtaler, at de to ægte Delfiner havde Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathem. Afd. V. i. 3 = næsten aldeles ensartede Kranier, men vare meget(?) forskjellige i Farvetegningen. Det er aabenbart denne Forskjel, som har bevæget ham til i dem at se to forskjellige Arter, og han udbreder sig over, hvor ubesindigt man handler i at henføre Kranier fra alle Verdens Have til «Delphinus delphis», al den Stund disse to, i Kraniet saa ens og i Tegning saa forskjellige, Delfiner vare fangne i faa Graders Afstand fra hinanden: nemlig paa 34° SB. og 7°3'VL., og paa 35738" SB. og 10° OL. Forskjellen i Farven indskrænker sig dog til, saavidt jeg kan forstaa, at den ene («/). Moorü») var sort paa hele Ryggen, Oversiden af Hovedet, Rygfinnen og Halefinnen, med en sort Brillefigur fra Øje til Øje langs Næsefuren, graa paa Overnæbet, langs Siderne af Krop og Hale og paa Lufferne, hvid paa Bugen til Mundspalten ; hvorimod den anden («/). Walkeri)», ligeledes en Hun, havde et mere mørkegraat Parti ind- skudt mellem det sorte og graa paa Siderne af Bagkrop og Hale. Der udhæves tillige nogle ubetydelige Forskjelligheder i Formen af Skulderbladet og i Formen af Ganen, men der kan, efter hvad der nu vides om Variationen indenfor Arten Delphinus delphis, ikke være Tvivl om, at begge Exemplarer høre til denne Art. Jeg kan derfor indskrænke mig til at henvise til, hvad der ellers anføres om dem af Maal o.s.v. i Grays Meddelelse, og be- høver ikke at dvæle videre ved dem her. Det vil fremgaa af de S. 19 meddelte Maal af 24 Delfin-Hoveder, at der er nogen Variation i Hovedskallens Proportioner; Hjærnekassens Længde, maalt fra Nakkeled- knudernes Bagrand til en Linie mellem incisure@ anteorbitaies, er saaledes i Almindelighed noget mindre end dens Brede mellem de mest fremspringende Dele af Kindbue-Udvæxterne ; men Forskjellen er højst 10—13 Mm., og ikke sjælden er der ingen; eller — i 4 Tilfælde (Nr. 10 og 17, 22 og 23) — er Længden endog større (2—12 Mm.) end Breden, saa at Hjærne- kassen faar en mere langstrakt Form, der dog ikke er meget iøjnefaldende. Jo større Dyret er, desto længere er i Regelen forholdsvis Hovedskallens Snudedel. Plovbenet er i Almindelighed synligt som en ganske fin Bensplint paa Hovedets Underside i en Strækning, der omtrent svarer til den, som indtages af en halv Snes (6—13) Tænder, gjennemsnitlig omtrent fra den 16de til den 27de bagfra; i enkelte Tilfælde synes det at være helt skjult. Variationen i Snudedelens Brede er ikke meget kjendelig, derimod nok, at den af Mellem- kjævebenene dannede Ryg snart kan vere mere høj og hvælvet, snart mere plan. De individuelle Forskjelligheder i Henseende til Ganekjølens Form ere lige såa store som de, man ser paa Afbildningerne i «Ostéogr. d. Cétacés», pl. XXXIX af 2. delphis, «tasmaniensis» og «fulvofasciatus». Snart ere Næsebenene adskilte ved et større Mellemrum fra Nakke- kammen, snart ere de, saa at sige, knyttede umiddelbart op til denne ved forbenet Binde- væv. Afstanden fra znezsuræ anteorbitales til den bageste Tand er næsten altid mere end Snudedelens (Næbets) halve Brede ved dens Grund, mellem hine «inesure». Tendernes Antal er det ikke altid let at angive med fuldstændig Skarphed, fordi de forreste i Over- munden (c. 6) og i Undermunden (c. 4) paa hver Side ere meget smaa, skjulte i Gummerne, og Kjøn. fra Nakkeledkn. til Snudespids. skallens Længde Nr. Hele Hoved- Hovedskallens 1 | ene] Frem STED ID = BS | ac | | 2 39 = D = SUR DRS | 5. le a =) Os | à | sæ = = | == | SN || = | Z| ao Bs) ES | = = | FEST ESKE: en =: = = ale SERIES LES EDR | n o lee © © SEN ROM & | = I S aS Se eee = 24 = LE on|/ ono] ss oo als a | Saeco) a eS) ac | Er S| a oo) SS 0/850) Bs =) 2 | a a B/S Se) Mt) So 2 en ASIE 2 Beas) as | =| o |< | | | | Mm Mm Mm Mm. | | Mm. | | | | f Atlanterhavet NG || Wee EBBE NE ER Ek) CVS GENE À 44°25/NB.25°30/VL. 183 | 1:25) 173 |1:2,6| 284 |1:1.6|1:1,6| 92 |1:31) 54 | Atlanterhavet. 180 |} 1:25] 170 |1:2,7| 290 |1:16|1:1,2) 89 |1:35| 53 Ne en. 175 | 1:26) 172 |1: 2,6) 284 |1:1,6)1:1,7) 90 |1:3,1) 52 | Azorerne. 45°14° NB. 1694" VL. œ ot it N S + = wm — NO ron Do =I o ii er 29 = fn (er) We} = — (JU) (SA = ig 1,6| 88 11:31 | 54 | Atlanterhavet. | 47 | f Atlanterhavet, \ 39° NB. 12° VL. f Atlanterhavet, \ 42° NB. 32° VL. 175 | 1:95 170 |1:36 273 |1:1,6|1:1,| 85 |1:3>| ren [1 rs — bo [= FT = & — wo rae bo ot a nl en Q + = NR (de) © m N 5 SR a 59 Spanske So. Atlanterhavet udfor 163 | 1:96] 170 |1:2,5 258 1:17 11:15 86 |1:29) 49 a ae wee 170 | 1:25) 167 11:25] 256 |1:1,6 1:15 86 |1:3 | 45 | Atlanterhavet. ff 2) a] leo} Sy) =] | GO Eon) mon Ei Wate) | 2 1721221 170 |1:22| 246 | 1: 1,7)1: 15) 82 11:3 44 | Glatved Strand. 3 46 | f Atlanterhavet, | \ 42° 18’NB. 12° VL. 168 | 1:2,3| 170 1:93 234 \1:1,2|1:1,.| 8% BT 82357] M 44 Udfor Kanalen. 160 |1:234| 159 |1:24| 283 |1:1,7|1:14| 81 |1:29| 45 Hollandske Kyst. 20 og derfor ofte gaa tabl ved en mindre forsigtig Behandling; det opgives derfor ofte for lavt. Exempler paa, hvad jeg efter nøje Prøvelse anser for fuldstændige Tandformler, der ikke kunne mangle meget i Nøjagtighed, ere: er ee. Ai Bea Ber Be FN au ee ee Eee Eee nn ABE 1343’ 46245? 5-4’ 49=48 46-246’ 47— 49’ 49-47 EN 49-50? 5452 1) ' . . å a 45 . 55 Variationen er altsaa ikke ubetydelig, fra 2 til 2; w D 43 54 Twnder i Undermunden end i Overmunden; men det modsatte Tilfælde kan ogsaa forefalde, i Almindelighed er der lidt færre lp I Ex. = naar Mellemkjæven viser sig tandlos. Tændernes Hojde over Kjæverne varierer fra 8 til 10 Mm., og der gaar hos de større 5—51/, hos de mindre 6—7Y2 paa en dansk Tomme; endelig kan anføres, at Overkjævens Tandrækker gaa saa meget længere tilbage end Underkjævens, at der sidder fra 1—6 Overtænder bagved den sidste Undertand. Intet af vore Skeletter er af ret gamle Dyr; Hvirvelenderne (Epifyserne) ere i al Fald frie, selv paa de største af dem. Ilvirvlernes samlede Antal kan variere fra 74 lil 76, af hvilke den sidste i Almindelighed dog kun repræsenteres af en yderst lille Benknort. Brysthvirvlernes og Ribbensparrenes Antal er 14 eller as då Regelen er det sidste eller endog de to sidste Par — dette er f. Fx. Tilfældet paa et af de Skeletter, hvor der var 15 i alt — lose og mere eller mindre rudimentære?). Lændehvirvlernes Antal, bestemt paa den sædvanlige Maade, varierer efter Tabellen (S. 22-23) fra 17—21, Halehvirvlernes fra 33 til 35; dog ere disse Tal jo ikke at stole paa, da det allerforreste lille Par Nedrebuer kan mangle — det vil sige, være overset ved Præparationen eller ikke være forbenet — uden at savnes. Nedrebuernes (Hæmapofysernes) Antal varierer tilsyneladende fra 17—22—27; men de lavere af disse Talangivelser hidrøre fra, at de sidste — i Halefinnen — ere gaaede tabt ved Præparationen. Det første Par af de større Karkanaler, som gjennembore Parapofyserne ved deres Grund i en Del af Haleregionen, findes omtrent paa den 53de (52—55de) Hvirvel, den sidste Tværtap omtrent paa den 56de (55—58de), den sidste Øvrebue omtrent paa den 62de (61—64de Hvirvel. 1 flere Tilfælde er det iagttaget, ligesom hos andre Tand- hvaler, at denne lodrette Karkanal, der første Gang optræder f. Ex. paa den 53de Hvirvel, er meget tydelig paa den ene Side, men paa den anden endnu er meget fin eller. mangler aldeles, og at to lige udviklede foramina perforantia først optræde paa den følgende Hvirvel. Regelen er, at de 5 første Par Ribben have baade Hals og Hoved, altsaa dobbelt Ledforbindelse med Rygraden; paa 3 Skeletter var dette dog kun Tilfældet med de A første, paa et fjerde, det næstmindste af dem alle, endog kun med de 3 første! påa det 1) P. Fischer fandt følgende Tal: 39— 39 42—42 4744 41-48 48—48 48—49 48—48 49—48 50—48 53—53 i 43—42 46-945’ 48—=50’ 4345 A045’ at at 48e 48 5080 MATE As 495 *) Efter P. Fischer kan dette endog være Tilfældet med 3 Par og det hele Tal af Ribbenspar stige til 16. Al mindste og yngste i hele Rækken derimod med 5, som sædvanligt. Et Skelet optræder endog med 6 slige fuldt udviklede Ribben! Om der er flere eller færre Par med dobbelt Ledforbindelse retter sig altsaa ikke egentlig efter Størrelsen. Første Par Ribben er altid bredt, men som man vil se af Tabellen (S. 22-23), i meget forskjellig Grad, uafhængigt af Dyrets Størrelse. Paafaldende bredt, udviklet nedadtil paa en egen Maade, er det netop påa et af vore mindste Skeletter (Nr. 5). Der er i det Hele, med Hensyn til Skelettets hele Karakter som spinklere eller svagere nogen, som det synes aldeles individuel, For- skjellighed, der næppe kan føres tilbage til Alders- eller Kjønsforskjel alene; et af de større foreliggende Skeletter (Nr. 2) udmærker sig: dog netop ved kraftigere Bygning og massivere Former. De længste Hvirveltorne (Torntappe) ere saa lange som 4'/2—5'/2 Hvirvler af samme Rygradsregion, de længste Tværtappe som 3!/2—4 Hvirvler. Der mangler altid Metapofyser i en vis Del af Rygraden, men denne Del kan, som det vil ses af Tabellen, have en meget forskjellig Udstrækning, der heller ikke lader sig bringe i noget bestemt Forhold til Dyrets Størrelse; aldeles stole paa Tallene kan man dog heller ikke i denne Henseende, da Metapofyserne, naar de ere bruskede, let blive ukjendelige eller gaa helt tabt paa det præparerede Skelet, og det er derfor især paa yngre Skeletter ikke let at af- gjøre i mange Tilfælde , om man skal frakjende en Hvirvel Metapofyser eller ikke. Bryst- ” hvirvlernes Metapofyser — de største af den hele Række — vise derhos stor individuel Forskjel i Udvikling og Retning: mere forefter (vandret) eller mere skraat op efter. Undertiden have Tværtappene af de (5) forreste Halehvirvler ud imod Enden en Antydning til en lille, mere eller mindre tydelig, fortil rettet Udvæxt; det Skelet, paa hvilket dette er Tilfældet (Nr. 6), hører dog snarere til de mindre end til de større. Undertiden ere de to første i Midtlinien ikke sammenvoxne Nedrebuer sammenvoxne med hinanden indbyrdes, og i et enkelt Tilfælde udstrakte denne abnorme Sammenvoxning — som ogsaa findes hos andre Delfinformer — sig til alle de 4 første Par, saaledes, at de paa denne Maade fremkomne to lodrette Benplader ikke vare sammenvoxne i Midtlinien forneden. Første Halshvirvels Torntap kan være kortere eller længere, ofte mere eller mindre spaltet i Spidsen; anden Hvirvels Tværtap var forholdsvis bedst udviklet paa nogle af de større Skeletter. I et enkelt Tilfælde var den tredje Hvirvels Bue dragen med ind i de to førstes Sammen- voxning; ifølge Gervais kan dette endog undertiden være Tilfældet med fjerde. Andre individuelle Uregelmæssigheder ere, at 7de Halshvirvel er sammenvoxen eller nøje forbunden med første Brysthvirvel, eller at der optræder skjæve Foreninger af Halshvirvlers Halvbuer, saaledes f. Ex. at venstre dte og højre 6te voxe sammen, udelukkende deres respektive Halvdele fra den for dem naturlige Forening. Bækkenbenene ere — vistnok paa Grund af deres Lidenhed — kun tilstede paa et af Skeletterne (Nr. 5); deres Længde dér er kun 2/5 af Brystben-Haandtagets Brede. Maalinger, Tællinger o.s. vi N. N. N. pofyse p. Hv. pofyse p. Hv. Ingen Metapofyser paa Ribben med Hals og | Sidste tydelige Para- Sidste tydelige Neura- | Hvirvlerne N. Lændehvirvler. Forste Karkanal i Parapof. p. Hv. Nedrebuer. Hovedskallens Længde. Halehvivler. Skelettets hele Længde. Forholdet mellem begge. Par Ribben. Deraf rudimentære. Hvirvler ialt. | Skeletter af Delphinus delphis L. =) | | | = | | a | 3 © | | E N 5 FE 5 = | 3 ei : = = = = 4 = = 2 © 2 E = 2 ze ces = = = = Ss as = 22 = 3 = = = DE= oo ES el wo > de = = An mæ 4 = D | < FE | E | | Mm Mm Mm. | Mm Mm. | Mm | 2 103 23 282 1:6,9 130 162 | 32 - 8 7, 3, i Hul i Brystbenet (manubrium). | | 2, 7?, ?, 3,2 | | | | | | dic | 10587 77722 265 | 1:74 125% 015100 | & 9, 7, 2 | Hul i Brystbenet (manubrium). | | | | He | | | | | | | | | 7 63 | in oa lei) este |) CES | nn | ' | | | 65 | 16 | 247 | 1:75 102 | 160 58 2, 9, se a 2 | Manubrium næsten uden Ud- | | | | 2, 9, 6, 2,2 | væxter. | ER aM | | | | 3,2 | 88 17 +) 274 1:67 | 121 | 163 42 | PE GER? | Manubrium spaltet. | | | 8, 42 | | | | ER | es Gy eh 12 93 20 240 | 1:72 120 | 140 | 20 | 37 %3, 1 | | | | TEGO | | | | 1:7 2 an Hul i Manubrium. | 16 93 | 20 | 260 | 1:7,0 118 | 152 24 | 397,17 | Hul i Manubrium | | | | | | 1 92 22 br À — (Mangler Lemmerne). 2 | | | 8 90 30 250 | 1:7,0 114 | 148 34 3, 3, 7, De Hul i Manubrium sterni. | | | 3, 9, 7, 8, L | Bækkenben 62 Mm. | | | | | | i | 2, 9, 6, 4,1 PA : 17 8 | 18 238 | 1:6, 110 | 134 | 24 39781 Udvæxterne paa Manubrium | | | | bh) Up. Bh sterni lidet udviklede, bru- | | | | | | skede. | | 4 I | N | 6 — 20 | 220 1:71 | 111 | 123 | 12 3, 8, 6, 3, 1 (Mangler Brystben). | | al ol 0 Skulderbladets Udvext (acro- mion) er i Almindelighed forholdsvis bred og bøjet op efter under en spids Vinkel med spina scapula, men kan undtagelsesvis vere paa- faldende smal og langstrakt. Ravne- nebsudvexten er ikke sjælden noget udvidet, næsten hamat. mod Enden. Brystbenets Haandtag er ofte gjennemboret af et lille Hul, i et enkelt Tilfælde spaltet fortil; dets Brede er meget forskjellig: i Regelen har det to stærke, skraat bagud rettede Udvexter, men disse kunne ogsaa næsten helt mangle, eller rettere være helt bruskede, og manu- brium sierni synes da smallere end det ellers vilde være. (Jeg meddeler her Skitser af et Par Skulderblade og Brystbens-Haandtag for at oplyse disse individuelle Variationer.) Luffernes Længde er ligeledes, saa vidt man kan dømme derom af de tørre Ske- letter, meget variabel i Forhold til Skelettets samlede Længde; den samme Variation findes i Forholdet mellem Haand og Arm. Man skulde næsten formode, at der maatte kunne skjelnes mellem en langluffet og en kortinffet Race, naar man ser Forholdet mellem Forlemmets (Luffens) og hele Legemets Længde variere fra 1:6.7 til 1:7.5: men en Grænse kan ikke drages. (Jeg vedføjer Skitser af to af de Til- fælde, hvor Forskjellen paa Haan- dens Længde i Forhold til Armen er størst). Foruden de 5 typiske Haand- 29= Vit rodsknogler kan der i enkelte Tilfælde — som hos andre Tandhvaler — optræde en sjette, som da hos ældre Dyr kan voxe sammen med de tilstødende paa hver Side. Fingerleddenes Antal kan sættes til I: 2—3; Il: 8—9: IM: (6—)7; IV: 3 (—4); V: 1—2; men det maa herved erindres, at det sidste Led i hver Finger kun er en lille Knort, der kan være mere udviklet hos et Individ end hos et-andet og desuden have det Uheld at forsvinde under Præparationen. Det nægtes ikke, at disse Varia- tioner, såa at sige i alle mulige Forhold, ere forholdsvis store — langt større end jeg paa Forhaand ventede dem; men intet Steds finder jeg Holdepunkter for en Arts- adskillelse. Jeg maa derfor ganske slutte mig til de af P.Fischer og Flower repræsen- terede Anskuelser og erklære mig ude af Stand til at skjelne Arter mellem de foreliggende Delfiner i indskrænket Betydning. Mest hælder jeg til den Antagelse, at der overhovedet kun kjendes 1 Art af Slægten Delphinus s. str. Til Oplysning om Variationen i Hoved- skallens Fysionomi hidsættes Afbildninger af to exempelvis valgte Stykker; Tallene referere sig ligesom ved Figurerne S. 24 til de Nummere, hvorunder de ere opførte S. 19. IT. Af Slægten Prodelphinus Gerv., der tidligere benævnedes Ciymene eller Clymenia Gray — hvilke Navne imidlertid maatte opgives, da de for længe siden have faaet fast Anvendelse i andre Klasser af Dyreriget — har der været opstillet en stor Mængde Arter. som opregnes af Prof. H. W. Flower i hans Afhandling om Delfinslægterne i «Proc. Zool. Soc. 1883» S. 512; deres Tal kan endnu forøges med den i det foregaaende berørte C. punctata Gr. (Proc. Zool. Soc. 1865 p. 738) samt med A. W. Malms €. Burmeisteri!. 1) Hyaldjur i Sveriges Museer år 1869. (Kgl. Sy. Akad. Handl. IX, 2, 1571). Flower har desværre ikke kjendt eller benyttet dette vigtige Arbejde, da han udarbejdede sin ovennævnte Afhand- , Vidensk. Selsk. Skr,, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 1. i 26 Det er i Regelen mindre Delfiner, der kun afvige fra Delphinus (Eudelphinus Gery.) ved at mangle Ganefurerne, og ved at Mellemkjævebenene ikke ere sammenvoxne. Slægtens Grænser ere maaske endnu lidt usikre, forsaavidt som Slægten Sotalia — efter hvad Flower oplyser i «List of the specimes of Cetacea in the zoological department in the British Museum» (1885) — ikke altid har den Adskillelse eller Divergens af Ganevinge- benene, som skulde karakterisere den; ved Tændernes betydeligere Størrelse og Hvirvlernes ringere Antal vil denne Slægt dog altid kunne holdes. ude fra Prodelphinus. Vanskeligere er det maaske at drage Grænsen mellem Prodelphinus og Lagenorhynchus, til hvilken sidste Former med forholdsvis kort Snude og talrige Hvirvler synes at maatte kunne danne en ganske jævn Overgang. Lagenorhynchus clancula har saaledes ifølge Malm (I. e.) 71 Hvirvler, altsaa færre end de fleste Prodelphiner, af hvilke der paa den anden Side i det mindste er én Art, som kan have 81. Værre er det, at der synes at være en Delfinform uden Rygfinne?), som i øvrigt har alle Prodelfinernes Karakterer. Jeg har imidlertid ingen Grund til at antage, at noget af de Skeletter, som have foreligget mig, har tilhørt en ryg- finneløs Delfin; om adskillige af dem foreligger der Oplysninger om det modsatte. Efter det nys omtalte Katalog af H.W. Flower ejede «British Museum» i 1885 32 Kranier af denne Slægt, men kun et eneste Skelet af et ungt Dyr. I andre Museer har Flower imidlertid kunnet hente Oplysning om 3 Skeletter, hos hvilke Hvirveltallet kun varierede fra 73—76 (eller 78?, som der siges i P. Z. S. 1883, S. 512). Jeg har forsaa- vidt været heldigere stillet, som vort Museum ejer ikke mindre end 19 Skeletter (af hvilke nogle dog ikke ere aldeles fuldstændige) og desuden 10 Hovedskaller af denne Slægt. Med nogle faa Undtagelser, der ville blive nævnte i det følgende, ere disse Delfiner harpunerede i Atlanterhavet, især i dettes varmeste Strøg. Om 8 af dem foreligger der Oplysninger om . Kjønnet, og ligeledes for 8 af dem ledsagede Kaptejn Andréa Indsendelsen af Skelettet med Oplysninger om Farvefordelingen hos det frisk fangede Dyr samt med nøjagtige Ud- maalinger, der ville blive gjengivne i det følgende. Da de mange i Literaturen opstillede Arter for den allerstørste Del ere baserede paa Kranier, maatte det synes muligt ved Hjælp af vort Museums Skeletter at karakterisere Arterne bedre og fuldstendigere end hidtil er sket -—— takket være den Ihærdighed, hvormed Andréa, Hygom, Corne- liussen og Hits have harpuneret disse Smaaspringere paa deres Rejser, præpareret deres Skeletter, udmaalt dem 0.s.v. — og derved at give dette Afsnit af Cetologien den fastere ling. Jeg henleder saa meget hellere her Opmærksomheden paa det, som jeg selv ikke har havt megen Anledning til at citere det, dels fordi Forfatteren indtager et andet Standpunkt i Henseende til Artsspørgsmaalet hos Delfinerne, dels fordi jeg her i det væsentlige vil holde mig til hvad der her fra Museet kan oplyses. 2) Jfr. om denne Delfinform — Delphinapterus leucorhamphus Peron, som den vel bør hedde — om hvis Skelet intet var Flower bekjendt, de af Malm 1. c. p. 66 meddelte Oplysninger om Hvirveltallet (84), der er større end det kjendes hos nogen Prodelphinus. ' Grundvold, som det hidtil har savnet. Men selv om man kan paa det foreliggende Materiale af Skeletter skjelne mellem flere Arter, er Vanskeligheden ikke dermed overvunden: det gjælder da om, fornemmelig efter Kranierne, at henføre de saaledes udredte Arter til de opstillede. Det følgende vil vise, hvor vidt jeg i denne Henseende er naat et lille Skridt fremad. Men jeg vil ikke undlade at udtale, at dette tredje Afsnit af mit Arbejde tør jeg selv ikke betegne som andet end en ordnet Materialsamling; dets Substrat vil blive tilbage i Museet og kunne benyttes af tilkommende Monografer. Flower har i sin Afhandling af 1883”samlet de beskrevne Arter under 4 Typer:; i sin «List» af 1885 opfører han dog British Museums Prodelphin-Kranier under 7 Arter: 1) P. obseurus Gr. (under hvilken med Tvivl Zlectra thicolea Gr.); 2) P. euphrosyne Gr. (= euphrosynoides, styr, dorides Gr. og tethyos Gery.); 3) P. doris (= D. elymene Gr.); 4) attenuatus Gr. (= capensis Gr.: men at drage Grænsen mellem denne og foregaaende betegnes saa at sige som en Umulighed); 5) P. alope; 6) P. microps og 7) P. longirostris (= stenorhynchus Gr.); men det siges udtrykkelig, at de to sidste rimeligvis ere en og samme Art. Der antydes derved altsaa en Reduktion fra 7 til 5 Arter eller Typer. Jeg har ment foreløbig at maatte skjelne mellem I1 Arter; jeg var egentlig ikke forberedt paa dette Resultat, da jeg paa et Materiale af 11 Skeletter af ægte Delphini havde været ude af Stand til at skjelne mellem flere Arter, og der ikke paa Forhaand var Grund til at yente en mindre individuel Variation eller en mindre hyppig Optreden af de enkelte Arter i Slægten Prodelphinus. Maaske vilde ogsaa et større Materiale have bragt mig til at slaa noget af det sammen, som jeg her har adskilt. Fejler jeg ikke, er Prodelphinus dog, naar alt kommer til alt, en artrig Slægt med ringe Variation i det ydre; og der maa vistnok indsamles et endnu meget større Materiale af Skeletter, Tegninger, Maal o.s.v., førend der kan være lagt en sikker Grundvold for Artsopfattelsen. Nærværende Afsnit er, som alt antydet, kun et Skridt i denne Retning, et Forarbejde. De Forhold, hvori de foreliggende Skeletter og Kranier vise Variationer, disse være nu individuelle, afhængige af Alder og Kjøn eller af specifisk Natur, vil det være rigtigt her at omtale under ét; at det til Dels bliver en Gjentagelse af, hvad der om de tidligere omtalte Slægter er bemærket, vil ikke kunne undgaas. Størrelsen vexler fra 2,210 M. til 1,265 M. fra Overkjævens Spidse til Indsnittet i Halefinnen; Kraniernes Længde fra det samme Punkt til Nakkeledknuderne (inclusive) fra 0,457 M. til 0, 350; men dette Minimum er af et ikke udvoxet Dyr. Det vil vise sig, at Hovedet tilnærmelsesvis opnaar sin fulde Størrelse forholdsvis tidligt, saa at Forholdet mellem Hovedets og hele Legemets Længde kan variere ikke saa lidt — til Dels dog maaske fordi Hvirvellegemernes Mellembruske ved deres Indtørring fremkalde en stærkere Forkortning af Rygraden jo yngre Dyret er. Hvirveltallet vexler i det mindste fra 70 til 81. At det skulde være aldeles 4* 28 konstant indenfor Arten, kunde selvfølgelig ikke ventes, ja man skulde snarest tro, at det var temmelig ligegyldigt, om der udvikledes flere eller færre rudimentære Hyiryler i den af Halefinnen støttede sidste Del af Rygraden. Hos Slægten Delphinus (s. str.) finde vi jo ogsaa en Variation af 4 Hvirvler indenfor samme Art. I Slægten Prodelphinus har jeg indenfor samme Art kunnet paavise en Variation af 74—75, af 76—79 eller af 79—S1: paa den anden Side have alle 4 Skeletter af A. doris (den eneste Art. af hvilken der foreligger en større Række) 70. Saa vidt min Erfaring gaar, er Hwirveltallet altsaa i denne Slægt for- holdsvis dog ret konstant og afgiver et af de bedste Midler, som haves, til at afstikke Grænser mellem Arter, der i øvrigt staa hinanden nær. — Jo talrigere Hvirvlerne ere. desto længere tilbage rykker i det hele det Sted, hvor de første tydelige lodrette. perforerende Karkanaler optræde i Haleregionen, og forsaavidt kan det benyttes som Artskaraktér, om dette finder Sted paa den 48—49de, 50—51de. 51—52de eller 53de, 54—55de. 55—56de, 57—58de eller 55—59de Hvirvel: men der er dog herved at erindre, at dels er dette For- hold ikke aldeles konstant, men underkastet nogen individuel Variation, der i det mindste hos P. eihyos viser sig at være ret betydelig (se det nærmere under denne Art): dels retter det sig jo saa temmelig efter det samlede Hvirveltal, er saa af sige en Funktion af dette: og endelig er det ikke sjældent, at de omtalte Kanaler vise sig en eller endog to Hvirvler tidligere paa den ene Side end paa den anden, eller at de allerede paa en eller flere umiddelbart forudgaaende Hvirvler ere tydelige, om end meget mindre end paa de følgende. Paa lignende Maade flytter den sidste tydelige Tyzrtap (Parapofyse) eller øvre Torntap (Neurapofvse) sig tilbage. naar Hvirvlernes Antal forøges, hvorved dog er at bemærke, at deres Utydelighed paa de sidste Hvirvler. paa hvilke de overhovedet kunne optræde, kan hidrøre fra Individets Ungdom. Man vil dog finde, at der i denne Henseende ofte er en paa- faldende Overensstemmelse mellem de til samme Art henførte Skeletter, f. Ex. mellem de 4 af P. doris, de to af P. euphrosyne 0.5.v. Hemapofysernes Antal er vistnok ogsaa under- kastet nogen Variation af samme Grund. men om der paa Tabellerne er opført flere eller færre af dem, er aabenbart nok saa meget afhængigt af Præparationen. Undertiden ser man de første to eller tre Par sammenvoxne med hinanden efter Længden. men dette er øjensynlig noget rent individuelt. Om flere eller færre Lendehvirvler ere uden Metapofyser, derpaa ligger der vistnok ogsaa kun liden Magt: et ældre vel præpareret Skelet vil vise færre. et yngre og tilmed maaske mindre omhyggeligt behandlet tilsyneladende flere slige Hvirvler. Der kan være stor Forskjel paa Hvirvelapofvsernes Styrke, relative Brede, Form, til Dels ogsaa paa deres Retning: men hvor tilbøjelig man end paa Forhaand kan være til at lægge en hel Del Betydning i det forskjellige Fysionomi. som Skelettet derved faar. opdager man dog snart, at forsaavidt der ikke deri er noget individuelt, eller det muligvis paavirkes af Kjønsforskjellen, er det et Forhold, paa hvilket Alderen øver stor Indflydelse. Det samme gjælder om Ribbenenes Styrke. for hvilken Breden af første Par giver et D bekvemt Udtryk. Variationen i Ribbenenes Antal er sjældent stor, og den er maaske endda mindre end den synes, da Rækken gjerne ender med et eller to rudimentære, «svævende» Ribben paa hver Side, og disse ofte ere gaaede tabt under Præparationen. Antallet af de forreste Ribbenspar, som have dobbelt Forbindelse med Brysthvirvlerne, baade ved capita og tubereula costarum, varierer indenfor Slægten fra 3 til 6; at det indenfor Arten kan variere fra 4 til 5, ses bedst deraf, at man kan træffe det ene af disse Tal paa- højre, det andet paa venstre Side af samme Delfin; men det kan ogsaa indenfor Arten variere fra 5 til 6, ja Erfaringen viser hos P. doris samme Variation, fra 4 til 6, som vi fandt hos D. delphis. 3 har jeg kun fundet i et eneste Tilfælde, hos det gamle Skelet af P. tethyos; men det er aabenbart noget individuelt, thi hos et yngre Skelet af samme Art finder jeg 5. og der foreligger i Literaturen en Angivelse af 4. Forholdet mellem Længden af Brystbenet og Breden mellem Apofyserne af dets Manubrium har vistnok ikke stor Betydning; Længden vil til Dels bero paa, om det fjerde Stykke er forbenet. og dette igjen paa Alderen. Om Hullet i Manubrium sterni er lukket eller ikke, synes ligeledes at være uden Betydning. Skulderbladet er hos yngre og mindre Delfiner mere kort, hos ældre og større mere langstrakt, hvilket vistnok er afhængigt af Dyrets Alder og hele Udvikling eller mere direkte, af om mere eller mindre af dets øvre Randbrusk, der forlænger sig skraat bagud og opefter, er ved Forbening optaget i selve Scapula. Acromion er altid kort og bredt, om end i forskjellig Grad, Ravne- næbsudvæxten smallere eller bredere: men disse Forhold synes mig i den Grad at afhænge af Alderen, at jeg slet ikke tør anvende dem til Arternes Adskillelse. Bækken- benene mangle paa omtrent Halvdelen af de foreliggende Skeletter: hvor de findes, synes der at være stor Forskjel paa dem efter Kjønnet, idet Hunnernes ere korte og fine, Han- nernes forholdsvis store og kraftige. i Forlemmernes relative Længde er vistnok for den allervæsentligste Del afhængig af Dyrets Alder, idet Haanden under Væxten voxer stærkere end Armen, såa at Haanden og derigjennem det hele Lem bliver forholdsvis længere hos større og ældre Dyr. Paa det mindste af de foreliggende Skeletter (P. Holbölli), som aabenbart er af et meget ungt Dyr, er Haanden endog betydelig kortere end Armen! I øvrigt er det vel muligt, at Haandens tilsyneladende Korthed hos yngre Individer for en Del skyldes en stærkere Indtørring, og jeg kan derfor kun undtagelsesvis fremhæve en eller anden Form som særdeles lang- haandet. Haanden er i øvrigt hos alle Arter bygget efter den samme Typus, den samme som hos D. delphis. I Henseende til Fingerleddenes Antal er Variationen kun ringe, ringere maaske i Virkeligheden end den synes, fordi det sidste Led eller de to sidste Led kun dannes af en lille Benknude, der let kan bortskæres eller hos yngre Dyr endnu ikke er udviklet. Den fælles Formel vil nærmest være denne: I: 2 eller 3; I: 9. sjældnere HOE Wile @& GUGr Ws INS Be Wa 30 Af de Forskjelligheder, som Hovedskallen, uafhængigt af Alderen, kan opvise, ere de vigligste, om Snudedelen er kortere og bredere eller længere og smallere, og om den af Mellemkjævebenene dannede Snuderyg er mere flad eller mere hvælvet. Det først- nævnte Forhold bar aabenbart nogen Værd som Artskarakter, men det er ikke desto mindre yderst misligt at lade sig lede af det alene, og desuden paavirkes det kjendelig af Kjons- forskjellen. Med nogen Øvelse lærer mån i Almindelighed at kjende Hunnerne paa den lidt bredere Snude og fladere Snuderyg, Hannerne spaa den højryggede og til Dels lidt smallere Snudeform; dermed skal dog ikke være sagt, at man altid ad denne Vej vil komme til et rigtigt Skjon. Tændernes Antal varierer aabenbart baade fra Art til Art og fra Individ til Individ; vigtigere er det, om de ere lidt grovere eller lidt finere, stillede mere eller mindre tæt — 5, 6, 7 eller 8 paa en dansk Tomme. De for de enkelte Stykker angivne Tal skulle ofte forhøjes noget — f. Ex. med 4 — fordi de forreste Tænder især i Overmunden, der ikke ere brudte frem af Gummerne, ikke ere talte med. S. 32 og 33 vil man finde fremstillet i Tabelform de vigtigste af de Forskjellig- heder, som lade sig udtrykke paa denne Maade, hos de antagne 11 Arter. De to af disse (P. Petersü Rhdt. og P. Holbölli Eschr.) antages at være hidtil ubeskrevne. Forinden jeg gaar over til at omtale de enkelte Arter, vil jeg dog her ind- skyde nogle Optegnelser, som R einhardt nedskrev påa sin Rejse til Brasilien i 1850. «ff Juni 1850 paa 47° N. Br. og 9°30° V. L. (omtrent midtvejs mellem Irland og Cap Finisterre). Om Eftermiddagen Kl. 4Y2 en hel Flok smaa 5-—6 Fod lange Delfiner; for- svandt sydpaa; ensfarvet sorte paa Rygsiden, hvide nedenunder, forholdsvis høj Rygfinne. 16 Juni 1850, paa 36945" N. Br., 19° 46° V. L. (i Linie med Gibraltarstrædet). Kl. 6 Eftm. med herlig blaa Himmel og NNO. Vind viste sig en lille Flok spidssnudede Delfiner, som i lang Tid legede foran Bougen af Skibet, saa at Farven tydelig kunde ses. Spidsen af Snuden saas (gjennem Vandet) graalig og at blive mørkere bagtil, og her smeltede denne Hovedets mørke Farve sammen med et stort Skjold af sortegraa Farve, som naaede hen imod Hale- finnen, men dog endte i en Spids noget foran denne. Dette mørke Skjold naaede dog kun lidt ned paa Siderne, som for største Delen vare hvide ligesom Bugen. Lidt bagved Rygfinnen (som var sortegraa ligesom Ryggen) bøjede det sorte Skjold lidt længere ned paa Siden end i sin øvrige Udstrækning, i en stump Spids, og foran denne fandtes (i al Fald hos nogle Individer) en smal sort Stribe, der løb fortil i den hvidfarvede Del af Kroppen; men om denne smalle Stribe udsprang umiddelbart fra det mørke Skjold, kunde jeg ikke komme til Vished om. Paa hver Side af Rygskjoldet udsprang ved dets bagre Spids en bred lysegraa Stribe, som først i et Stykke nøje fulgte og indfattede Skjoldets Konturer, men i sin forreste Halvdel bøjede af fra dem ned i den hvide Farve. Halefinnen var ovenpaa sortegraa, Brystfinnerne hvide. Øjnene syntes mig at sidde i den hvide Del 31 af Hovedet. Disse Delfiner sprang usædvanlig lidt op af Vandet; af og til aandede de, men det var mig umuligt at blive var, om de ved denne Lejlighed sprøjtede Vand eller ikke. Deres Hurtighed var overordentlig; Skibet lob 7/2 Mil, men Delfinerne tumlede sig og krydsede uophørlig frem og tilbage foran Bougen og skød derpaa afsted med en Fart, mod hvilken Skibets såa at sige var for intet at regne». — Disse Iagttagelser gjælde rime- ligvis Delfiner af denne eller den foregaaende Slægt og synes mig derfor her at kunne fortjene en Plads, i al Fald som en Erindring om lagttagerens Opmærksomhed for Fæno- mener af denne Art. Prodelphinus doris (Gr.)*). Spidssnudede Delfiner med grovere Tender — højst 40 — og 70 Hvirvler. Der foreligger 4 Skeletter af en Delfin med 70 Hvirvler samt en middellang, temmelig smal og spids Snude, alle fra Atlanterhavet; et femte (Nr. 2), der kun teller 68 Hvirvler, men rimeligvis er noget defekt, ligeledes fra Atlanterhavet, og 3 Hovedskaller, de to uden Lokalitet, det tredje angivet at være fra St. Helena, høre ligeledes herhen. Det ene af disse Skeletter (Nr. 10 paa Tabellen S. 34—35) er af en ved Portoricos Kyst fanget Delfin, det andet (Nr. 14) af en, der er fanget ikke langt derfra (19°43‘N. Br. og 67°50'V.L.); to andre ere tagne saa at sige midt i Atlanterhavet paa 10° N. Br. og 39° V.L. (Nr. 31) og paa 58° N. Br. og 35° V. L. (Nr. 4); det femte (Nr. 2) Nord for de kapoverdiske Øer paa 13° 3°N. Br. og 24° V.L. Af 3 af disse Stykker foreliggger der Udmaalinger og Oplysninger om Farven, for de to’s Vedkommende ogsaa om Kjonnet, saa lydende (Maalene i danske Fod og Tommer): Nr. 14 Nr. 4 | Nr. 10. | (Hun) | (Han) Hele Længden fra Næbet til Halen . . . . .. 5! 5” | Era Snudespidsen til Indsnittet i | 64 » Næbets Længde til «Nesen».......... pe A0 | HEIGINNON.s 5 0.00 € 8 0 0.0.0.0 DANS ong Mra aNgesemm ill (GiGi > as 6 a6 0 boc 6 8 0 yf 71% | Fra samme til Begynd. af Rygf. | 2’ 5% | gu 9% Fra «Næsen» til Blæsegattet (Næseborene). . 0! 7” | Fra samme til Lemmerne. . . . . | 1 Be | iy no Bra «Nesen» til Lemmerme .......... (an fa comme ME oo 000 00.0 | pI apa Fra «Næsen» til Rygfinnen .......... 24274 | Fra samme til Blæsegattet | 1 D 20 ire Gattete tiltale rese soc ce a ob ET i Ove Fra Kjonsaabningen til Gattet . . | ZN RES Fra Kjonsaabningen til Halen......... Cali | Fra Navlen til Kjonsaabningen.. | 1° 1” | gu ga GMS RE “so boo re: 1 33" Fra Gattet til Indsn. i Halefinnen | 14 2“ | 9 ga Tykkelsen bagved Lemmerne ......... 2 95“ | Fra Rygfinnen til samme . . .. 220082 | Tykkelsen foran Rygfinnen. ..........3 1“ | Kroppens Omfang foran Rygfinnen IE Tykkelsen mellem Rygfinnen og Halen ... 1’ Si“ | Kroppens Omf. foran Halekjolene | ie A | 1) «Zoology of Erebus & Terror» og «Synopsis of the species of Whales and Dolphins in the collection of the British Museum» pl. 20. Diagnosen indeholder følgende Punkter: «Hovedskallens Snudedel 1'/2 Gang saa lang som Hjærnekassen og 21/2 Gang saa lang som dens Brede mellem Jndsnittene ; 5 Tænder paa en Tomme». 32 Tabellarisk Oversigt over visse Ho ve LEONE Antal af = Forhold mell. 5 — x Snude gd. 7 | Artsbestemmelsen. Hvorfra. Hvirvler. NEC Tænder. Tænder p = = og Brede ved > ml = = 5 Brede ve | en Tom = = Grunden. | = = | i Az = | | i | | | 32—40 i Zeyh (ET ois Ren Atlanterhavet NT) Gi || 70 E22 | 3238 5% St. Helena | | = i Portorico. | | | | 2. P. obscurus (Gr.) - .- - Atlanterhavet Lo on | 70 1:22 I 51/24 = Ze ; i > | = 33—34 i : & Se 2232| ES BEER eter sit IR Af) 2 er Øen Amsterdam 1 il | (I 125 5128 | 9 | | ’ s ae < | e 3 | 46—49 | = 4. P. longirostris (Schi.) . . . Australien 1 Zu 12 | 1236 | 51-58 | ‘ Sa | ; | 5, | 2332 ae 5. P. euphrosynoides (Gr.) . . Atlanterhavet 1 " 73 | 122,4 | aan 6 | | 59—40 = 6. P. euphrosyne (Gr) . . .. Atlanterhavet [92 n | 74 1-256 ==. 6 7. P. clymene (Gr.) ....-. Atlanterhavet | AL EL) 74 We | = 6 | ‘| 3333 S 12 de (ER) 050000: Atlanterhavet og | 2 20 HO. || ley 33-41 | 5 det indiske Hav | | | ; rs | ; | | 50—: 9. P. Holbülli (Eschr) .... Gronland 1 m 75 fe | De 8 | 49—51 | | ; | | x 39—42 10: Pr tethyos (Gerv.) «=... - Middelhavet (GRO RENESTE R=) M2 5002 6 3943 5 | | i : | | \ 35—40 11. P. attenuatus (Gr) .... Atlanterhavet | 2 3? 79—81 | 1:2.7 A 2,9 | 3823 5 | | (Prodelphinus doris) Nr. 2. TGMMIEINEHO coo 008635 oS boob ees 571% Fra Rygfinnens Agterkant til Halens Kløft . . 2° Fra Næbets Spids til Spækpukkelen...... » 354 HaleAnnenSS en deres ER SEES RER » The Fra denne sidste til Blæsegattet ........ » 6” SHINES WRI Soo obs Go gs OG aS oD eS 122 KraeBukkelen@tillNakkenn ER 2 il? | Fra Lufferne til Siden af Halen . - . . . . . $ RUES Fra Nakken til Rygfinnens Forkant . . . . .. il? | Luffens WENGE Sob de ono ote oot SS » 74“ Ryelinnensåkræne de oo46en ce oous bo 65 » $i | — RUES ago goog Se a SOMMES LIS. -o 5516 ee nina NNE » 814 | (Maalene af Nr. 10 og 2 ere tagne efter Hr. Andréas eget Skjøn; de andre derimod efter et af Prof. Reinhardt konstrueret og Kaptejnen medgivet Schema). 'bben med Første Sidste Sidste | dobbelt Karkanal Parapofyse | Neuraopofyse Almindelige deskriptive Bemærkninger. ledfojning. iHv.N | p.Hv.N | p.Hv.N. .— " 4—6 48—49° 53 58—59 Temmelig lang, smal Snude, med mere eller mindre hoj Snuderyg | | (hos Hannerne). Grovere Tænder. Lemmernes Længde omtrent | 1/7 af Skelettets. | 2 x 3 a a 5 | 9 52—53 | 57-59 | Kortsnudet med grovere Tænder; korte Luffer, hvis Længde inde- | | holdes næsten 7'/2 Gang i Totallængden. 5 50—51 53 | 57—58 Lancetdannet Snude; Tænderne stillede tyndt; Lufferne for- holdsvis lange (over !/s af Totallengden). | | 5 48—49 | 55 61 Særdeles lang og tynd Snude, med fine Tender; de smaa Luffers Længde indeholdes noget over 7 Gange i Totallængden. 5 51—52 56 61 Noget kortere Snude end hos P. euphrosyne; Tænderne finere; Lufferne c. en ottende Del af Skelettets Længde. a A » | = a N ne m 5 5 51—53 | 54—56 61—62 | Temmelig lang og smal Snude, med finere Tænder; Luffernes Længde er omtrent 1}: af Skelettets. 5 52 56 61 | Bredsnudet, fintandet, kortlulfet; Luffernes Længde en ottende Del af hele Skelettets. 4—6 52— 55 55—57 60—64 Meget lang, smal Snude; grovere Tænder; korte Lufler, hvis Længde | indeholdes henved 7 til 7'/2 Gang i Totallængden. 4 57 59 | 63 | Forholdsvis kort, lanceolat Snude; fine Tænder; Luffernes Længde | en ottende Del af hele Skelettets. | 3—4 55--59 59—61 63—66 | Langstrakt, noget lanceolat Snude; grove Tender; Luffernes Længde | en syvende Del af hele Skelettets hos yngre. . || | 5—6 57—58 61—62 67—68 | Meget lang og smal Snude; grovere Tender; korte Lufler, hvis | | Længde indeholdes noget over 7 Gange i Totallængden. Kaptain Andréas Skitse af (10) viser en mørkere Ryg og en hvidlig Bug med ikke meget tydelig vandret Grænse; henimod denne Grænse er der i begge Farvers Om- raade mørkere Pletter, dels mindre, dels større stjærnedannede; Ryglinnen og Lufferne fremstilles som smaaplettede. Skitsen af (14) [S. 34] viser en mørk gronliggraa Ryg med en lydelig Grænse mod det lysere graa paa Siderne af Bugen, der paa selve den egentlige Bug gaar over i hvidt. Fra Luffen til Næbet antydes en skarpt begrænset fin Stribe, neden- under hvilken der ses mørkere Streger eller Pletter i Grundfarven. Nr. 2 beskrives som «blegere med hvid Bug». Næbet af Nr. 4 beskrives som kort, kun 3—4 Tommer langt, Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathem, Afd. V. 1. 5 Skitser af Farvefordelingen indtegnede i Konturen af en ideal Prodelphinus og derfor uden Betydning med Hensyn til Omrids, Finner 0. s. v. men skarpt afsat fra den hvælvede, opsvulmede Del af Hovedet. Hr. Andréas Skitse (den øverste af de her afbildede) og Beskrivelse vise vel den sædvanlige Modsætning mellem Ryggens mørke og Bugens hvide Farve, men der er meget mørkt isprængt den lyse Farve paa Siderne af Bugen, saaledes at denne gaar jævnt over i et Parti, hvor Farvetegninger helst maa beskrives som sort med lyse Pletter, indtil disse forsvinde paa den egentlige Ryg. Maalinger og Tællinger af 4 Skeletter og 3 Kranier af Prodelphinus doris. Stykkernes Nummere . - - 4å 10 (9?) | 31 é (2) 149 20 8? 946? | 96 (2?) | i Hele Skelettets Længde fra Spidsen af Over- kjæven til Indsnittet i Halefinnen . . - . 1770 1656 1612 1525 — — — Hele Hoyedskallens Længde fra Spidsen af Overkjæven til Nakkeledknuderne ..... 377 385 383 386 402 395 394 Dens største Brede over Kind-Tindingbuerne . 179 172 165 166 183 164 180 Hjærnekassens Længde fra Nakkeledknuderne incl.) til Orbitalindsnittene -.-...... 168 166 158 164 175 169 168 Snudedelens Længde fra disse til Overkjævens SPIS EEN ES Ea ee a erate 217 224 225 225 233 232 235 Sammes Brede mellem Orbitalindsnittene ved densiGrondi Et Nee IE 95 86 88 81" | 88 93 90 Afstanden mellem disse Indsnit og den sidste Oxerkjævetand "2 2. --2......:% 41 36 42 36 31 42 35 Stykkernes Nummere . . . 4S | 1019?) | 31 d (?) [42 | 20 4 (?) | 24 dl?) Hovedskallens Længde forholder sig til hele S'KCLELTELS AS OMR ee es den ee eee 1:4,7 1:4,3 1: 4,2 1:40 Dens største Brede forholder sig til dens Lange Om 3656080 A0H 0800080 lem | lees 1253 1; 2,3 1; 2,2 le Qe Hjernekassens Længde forholder sig til hele | Hovedskallens som ...-...: ..... 1 :2,2 1:23 1:24 122,4 151253 112,3 Snudens Længde forholder sig til hele Hoved- SAMMONS SOM 66505056000 50000 Een Lai ot ay sg 1:1,7 Hjærnekassens Længde forholder sig til Snu- Gans ILEANA some ee IE eile len | Ale ln JEUrS gi Snudens Brede ved Grunden forholder sig til | | densekenadersom CN RC L:2,6 1:2,6 WEA | ales ibe Bey 183275 33—40 | 32—35 | 30—36 | 38—38 Termdemes Amlals ooo 6608000005500 39 33 3636 | 3838 34-34 | 35237 | 37237 Hivimvlennesgsamledemltale en 70 DO EE 20 70 Ribbenenes Antal (de rudimentære i Parenthes) | 14 (2/2) | 14 (th) | 14 (1) 14 Ribbenpar med dobbelt Ledfojning til Rygraden » | 2b G | 5 LOI à NON a0 8 OT ECS EME 16 16 18 17 Halehvinvien eme de nue a || eB | dl | 32 Nedrebuer (Hamapofyser) tilstede ........ 24 | zB | 21, | 24 Forste lodrette Karkanaler findes i Hvirvlen Nr. 49 49 48 | 48 nen las 53 53 53 Den sidste tydelige Torntap (Neurapofyse) paa Nr. 59 | 58 58 | 59 Antal af Hvirvler uden Metapofyser (deres Nr.) | 8 (31-38) | 9 (29-37) (11 (31-41), 9 (31-39) Mm. | Mm. | Mm. | Mm. Første Ribbens Brede........ A RE 21 20 20 | 16 Brystbenets Længde og Brede .......... 154—91 | 149—79 | 132—66 | 131—74 Bækkenbenenes Lengde.............. 63 — | = | 48 Skulderbladenes Længde og Højde ....... | 163—115 | 166—104 | 143—110 | 131—102 Lemmernes Længde fra Skulderleddet . . . . . 264 262 250 244 Lemmernes Lgd. forh. sig til hele Skelettets som 1eGe | Least | 1: 6,5 1:6,3 Mm. | Mm. Mm. | Mm. = AUMENSEBENTIEN PM. VER ER. ee WHE WE UID POs | 102 Haan lens en le re: TD fe ASS | 150 Forskjellen mellem dem... 56 | 60 | 50 | 18 | | | Hinserleddenes NM ennen ro aan er He i \12.9.7.3.212.9.6.3.2]2.8.6.3.2]3.8.6.3.2 | 36 Jeg henviser til omstaaende Tabel, forsaavidt som de foreliggende Skeletters og Kraniers Overensstemmelser og Uoverens- stemmelser kunne aflæses af denne. De osteologiske Forskjelligheder ere overhovedet ikke store: paa alle 4 Skeletter ere baade Skulderbladet og cleromion korte og høje, om end i forskjellig Grad, som det vil oplyses af nedenstaaende Afbildninger, og Manubrium slerni er perforeret hos dem alle. Første Torntap (de to første Halshvirvlers) er kort og bred; et af Skeletterne har syvende Hals- hvirvels Torntap og to af dem sammes øvre Tværtappe udviklede i en ualmindelig Grad. Den højeste Torntap i Hvirvelrækken er såa -hoj som 4%/4—5/2 Hvirvler ere lange, den længste Tværtap som 31/2 Hvirvel af den samme Kropregion. Antallet af Ribben med dob- belt Ledfojning kan variere betydeligt, fra 4—6; paa det ene Skelet er det endog forskjelligt paa højre og venstre Side. Tænderne have en Længde af 7—8 Mm., et Tværmaal ved Grunden af c.3 Mm., og der gaar 5 paa en dansk Tomme. Paa det Kranium, der er angivet at være af en Hun (14), ere Mellemkjævebenene meget fladere end hos det, der er opgivet at være af en Han (4), og som har en mere højrygget Snudekjøl. Anvendes dette Kriterium paa de andre Kranier, findes disses Kjøn at være som paa Tabellen anført med Tilføjelse af et Spørgsmaalstegn. Efter at ovenstaaende Afsnit var udarbejdet, er jeg bleven bekjendt med en Artikel af Hr. F. True, Bestyrer af Pattedyrsamlingen ved ,,Un. St. National Museum" i Washington, om en plettet Delfin, som han anser for at være Prodelphinus doris, hvad den vistnok ogsaa er. Naturforskerne ombord i Undersøgelsesdamperen ,,Albatross" berettede ved deres Hjemkomst fra den mexikanske Golf i Foraaret 1884, at de dér havde set en stor Flok Delfiner af et meget ejendommeligt Udseende, idet deres Ryg var bedækket med hvide Pletter. Det lykkedes kort ‘Tid efter ved Hjælp af Fiskere fra Florida at erhverve en 85 Tommer lang Han til Nationalmuseet, samtidig med at det berettedes, at plettede Delfiner, vistnok af samme Art, vare sete ud for Kap Hatteras. Afbildningen (pl. I og II) viser en lignende smaaplettet Tegning som den, det her S. 34 øverst afbildede Individ har havt. Fra denne Side vil der altsaa intet være i Vejen for at identificere dem, og dette bestyrkes derved, at Hvirvlernes Antal er 69, Ribbenenes 14 og Tæn- dernes os hvilket altsammen falder indenfor den ved foranstaaende Meddelelser for Arten afstukne Ramme. Ogsaa Hovedskalsformen synes mig at vise fuld Overensstemmelse med de fore- liggende Kranier, som jeg har henfort til samme Art. Jeg henviser i øvrigt til Hr. Trues egen Afhandling. Hr. True identificerer P. doris med en af Cope i ,,Proc. Ac. Nat. Sc. Philadelphia“ for 1866 paa et Kranium uden Lokalitet opstillet D. plagiodon, hvilket Kranium ogsaa er afbildet i Hr. Trues Afhandling, pl. IV og VI. Han undersøger ogsaa, hvorvidt den maatte kunne iden- tiflceres med nogen af de plettede Delfiner, af hvilke der foreligger Beskrivelse i Literaturen, der- iblandt ogsaa den „Delphinus Pernettyi“ Desmar., som jeg i denne Afhandling har havt Anledning til at omtale under Slægten Steno. Naar den plettede Tegning opfattes som konstant for P. doris, maa dog dertil bemærkes, at den ikke er bleven bemærket hos to af de tre Individer, om hvis Farve og Tegning Kaptajn Andréa har meddelt Oplysninger. Hr. True bemærker ogsaa, at Naturforskerne paa „Albatross“ havde meddelt ham, at de yngre Dyr i de ud for Kap Hatteras iagttagne Stimer vare uden Pletter paa Ryggen. Prodelphinus euphrosyne (Gr.). Temmelig lang- og smalsnudede Delfiner med c. 40 finere Tænder og 74 Hvirvler. Paa en Rejse til Østasien i 1869 harpunerede Kaptajn Andréa med 10 Minuters Mellemrum to Delfiner ud af en Flok, som fulgte Skibet en halv Time, påa 3° 40° S. Br. 1) On a spotted Dolphin apparently identical with the Prodelphinus doris of Gray. Annual Report of the Smithsonian Institution for 1884, pt. II (1885) p. 317—24, pl. I—VI. 2) «Zool. of Erebus & Terror» samt «Synopsis» pl. 22. Clymenia Burmeisteri Malm 1. c. t. VI fig. 54. vo og 1875" V.L. (mellem Ascension og St. Paul). Begges Skeletter hjemfortes til Museet og ere nu opstillede i dets Cetaceum. Det ene er af en Han og det andet af en Hun, og der er altsaa her givet en sjælden Lejlighed til at sammenligne to Dyr af forskjelligt Kjon, men om hvilke det paa Forhaand tor anses for givet, at de tilhøre samme Art. En led- sagende Skitse viser en smækker Delfin med Rygfinne, hvis ensartet sorte Ryg er adskilt fra den hvide Bug ved en temmelig skarp Grænselinie, tæt nedenfor hvilken der fra Armen til Snudespidsen løber en skarp, sort Linie. Ligeledes medfulgte de her anførte Maal- angivelser af begge Exemplarer. Nr. 13 (Han) ! Nr. 7 (Hun) Fra; Snuden*till Halen- M2 jer Fe ae kg 5216 ErauSnuden tilsRyg innen ee REYES SEM ii ST FraÿRysfinnen tl Halen a ER eee eee tone 3 » SÆT KrarSnuden*tl Ojet 2). FS EEE LEA KÆRE ly ble Fra Snuden til Blæsegattet - == 222 2. = 15,35 1! -e Fra Snuden til Lemmerne -.............. (CT If 54 Fra Gattet til Halen ....... FE Sidhe QS eS are pH i 1745; Fra Kjensaabningen til Gatlet - - . . - . . -. . . CT (ze 2 KrarsammertllNavlener ge es ge 1’ > Ps Tykkelsen foran Rygfinnen - - . . . - - . . . . . . .- 31034 Dad Tykkelsen ligeover Gattet . . . - . - . . _. EE Be 1° 10“ Det vil ses af vedfejede Tabel (S. 40), at de osteologiske Forskjeiligheder, som over- hovedet kunne udtrykkes i Tal, mellem disse to Skeletter ere forholdsvis ubetydelige; begge have de samme Tal af Hvirvler (74), samme Antal af Ribben (15), ogsaa af de rudimentære & Q (1 paa hver Side) og af dem med dobbelt 13 i Ledføjning (5): og der er saa god Over- ensstemmelse i Beliggenheden af de første perforerénde Karkanaler i Haleregionen, af de sidste Neurapofvser og Parapofyser, ik fl IE ait i ‚4 Ø som ventes kan hos to Individer af samme MH r- fl 4 4 FÅ Art. Hannens Skelet (13). der er af et større Dyr, er i alle Dele meget kraftigere an, udviklet. Brystbenet bredere og længere, = Bækkenbenene meget større og kraftigere, Su Lufferne længere. og denne Forlængelse er især bleven Hænderne til Del: Skulder- bladet er forholdsvis mere langstrakt — det dækker her over 8 Ribben, hos Hunnen - kun over 7: Acromion er især hos Hannen særdeles kort og høj, og om Ravnenæbs- 39 Udvæxten gjælder det samme. At der paa anden Halshvirvel findes en ret anselig ovre Tværtap hos Hunnen, og at dennes første Torntap er lang og tynd, Hannens derimod kort og tyk, fortjener at anmærkes, men er vistnok kun individuelle Ejendommeligheder. Den spinklere Bygning af Hunnens Skelet udtaler sig ogsaa deri, at Højden af de længste Torn- tappe hos den er lig Længden af 5Y4 Hvirvel i samme Region af Rygraden, hos Hannen derimod kun af 4/2, og at den længste Tværtap hos Hannen er lig 3Y> Hvirvel, hos Hunnen derimod lig 4. Hvad disse Processer ikke have faaet i Tilgift hos Hannen i Længde (Højde), have de derimod faaet i Brede og Styrke. Hovedskallens Længde er hos Hannen omtrent en Femtedel, hos Hunnen ”/s af hele Skelettets; under Væxten strækker Kroppens Skelet sig aabenbart forholdsvis mere i Længden, men Hvirvelforlængelserne voxe — fra et vist Punkt — kun i Førlighed. En væsentlig Forskjel, som rimeligvis til Dels er af sexuel Natur, da den gjentager sig hos andre Arter, er der i Hovedskallens Fysionomi: Hunnens Hjærnekasse er bredere end Hannens; og medens dennes Mellemkjæve er stærkt hvælvet og danner en afrundet Næseryg, er den særdeles flad hos Hunnen. Tænderne, der i det hele ere fine — sex paa en dansk Tomme — have hos Hannen og Hunnen henholdsvis en Længde af 94/2 og 61/2 Mm. og et Tværmaal af 3 og 21/4 Mm., ere saaledes øjensynlig kraftigere hos Hannen, ogsaa bortset fra dennes over- legne Legemsstørrelse. P. euphrosynoides (Gr.)!). Delfiner med noget kortere Snude, 33 —40 fine Tænder, korte Luffer og 73 Hvirvler. Den Delfin, hvis Skelets Maal og Tal ere opforte under Nr. (9), er fanget paa 4718" N.Br. og 31220” V.L. i Atlanterhavet (NV. for St. Paul). Det vil ses, at den i Hvirveltal o. s. v. kommer nær til P. euphrosyne, men er paafaldende korthaandet, idet Lem- mernes Længde ikke er en ottende Del af Totallengden. Den høje Snuderyg tyder paa et Handyr. Tænderne have en Længde af 9 Mm., et Tværmaal af 24/2 Mm., og der gaar 6 paa en dansk Tomme, som hos P. euphrosyne. Brysthyirviernes Tværtappe ud- mærke sig ved deres Brede (forfra-bagtil). Giveren (Hr. Cor- neliussen) har om denne Delfin (Nr. 9) oplyst, at «den er morkeblaa med en skarp Rand under Øjnene og langs Kroppen», og at den frembød følgende Maal: 2 1) «Erebus & Terror» samt «Synopsis» pl. 31. Mofallæne dense a FCO SONT EC Fra Næbet til Forkanten af Rygfinnen Rygfinnens Længde var Halefinnens Brede var Fra dens Agterkant til Halens Kloft. . . . mr Oe || Den havde -flere Brudstykker af Blæksprutter i Maven. E91 MDN ere æn ede en. a are » 8)” oa ce el! MRS WMD 6 es 32 0 bn bo ce 5 2 do no 8s 34% . . » 103” | Fra Næbet til Spækpukkelen .......... 33” 2 2 Fra Næbet til Blæsegattet (Næseborene) . . . . » 114” ao oY Maal og Tellinger af forskjellige Skeletter og Kranier af Prodelfiner. Artsbestemmelsen . . . Stykkernes Nummer og Kjen . . - Hele Skelettets Længde fra Spidsen af Over- kjeven til Indsnittet i Halefinnen ..... Hele Hovedskallens Længde fra samme Sted til Nakkeledkuudernensr rn annem Dens største Brede over Kind-Tindingbuerne. . Hjærnekassens Længde fra Nakkeledknuderne til Oxbitaleindspiiteneeg ee Snudedelens Længde fra disse til Spidsen af DAME EN 26 0630308606 So or ole Sammes Brede ved dens Grund, mellem Orbital- indsnittene = ce Ce ee ace Afstanden mellem disse Indsnit og den sidste Overkjavetande. 2 in ro ee Hovedskallens Længde forholder sig til hele SKAGGS ADM 5/3 810 à 0 0 000 0 60 0% 0 0 Dens starste Brede forholder sig til dens Mængde SOMs e oogebuenveooñsavo Hjærnekassens Længde forholder sig til hele HovedSkKAllENSESOM ER EEE EEE CE Snudens Længde forholder sig til hele Hoved- SAIS DM s o0000bo00es20sae Hjærnekassens Længde forholder sig til Snu- dens som Snudens Brede forholder sig til dens Længde som Tændernes Antal Hyirylernesssamleder Tale 2. PEN Ribbenenes Antal (de rudimentære i Parenthes) Ribbenpar med dobbelt Ledfojning til Rygraden Lændehvirvler ORNE Srorotero don toto tbe le short Nedrebuer (Hæmapofyser) tilstede . . . . . . .. Første lodrette Karkanaler findes i Hvirvlen N. De sidste tydelige Tyertappe (Parapof.) paa Hy. N. Den sidste tydelige Torntap (Neurapof.) paa Hy. N. Antal af Hvirvler uden Metapofyser (deres Nr.) Pr euphro-| 1 P. cly- | P. obscu- | P. euphrosyne Gr. | synoides | | | P. Petersii Gr: mene Gr. | rus Gr. | | = —| 13:8) lg Kosten mens Sam omer Mm Mm Mm. Mm Mm Mm. Mm 1946 1705 1860 1760 1775 1600 397 383 382 386 355 372 375 177 180 174 181 183 169 180 160 154 164 164 166 169 | 12 | | 245 934 | 920 228 | 193 209 200 93 Syn Sp | es 83 43 47 45 | 40 33 34 I | | 77 = F 1:40 | 1:45 | 1:40 | 1:46 | 1:50 | 1:45 | 1:22 | 1:21 122 | aaa | sam. | lm 1:24 | 1:25 | 1:23 | 1:24 | 1:22 | 1:22 | | 1:1,6 | sie | Mei i wesley he Steaks 1:1,8 a ai os la 2 al Bera 4,2 > 1:26 | 1:26 1:24 1:24 | 1:22 | 1:25 40—40 | 39-39 | 33-34 | 36-38 | 34-32 | 32-32 22-43 | 39-39 | 59-40 | 40—40 | 33-34 | 28—98 74 74 73 73 20 | a 15 (4) | 15 Gh) 14 14 14 Gb) | 13 (1) Py HD 5 DITS za || sn 19 21 Br 35 A LER 31 3 | = 33 28 | 25 24 over 19 23 | 21 51—52 | 52—53 | 51—52 52 48 | 50 (51) Sn NET 56 | 56 Pl 61. | 62 Om NC 57 | 57—58 11 (32-42) | 13 (32-49) |13 (30-42) | 16 (26-41) 10 (29-38) 14 (27-40) P y hr: | | | P. euphrosyne Gr. "OP! | P. cly- | P. obseu- | P. Pe- SARQUES | mene Gr.| rus Gr. | tersii. PRE ERA FIN ar. | 16 | TO | O89 | 1] | its | See | | | Mm. | Mm. | Mm. Mm. | Mm. | Mm. Hoxsterhibbens- Brede ens eels el) ee 20 | 18. 19 | Id) 25 | 19 Brystbenets Længde og Brede .......... 197—104 | 147—90 | 170—88 | 147—91 | 158 100 | 138—81 Bækkenbenenes Længde. . . ........... Si 64 — — @ | = Skulderbladenes Længde og Højde ....... 185—119 | 163—108 | 188—113 | 176—106 | 193—126 | 154—111 Lemmernes Længde (fra Skulderleddet) . . . . . 277 | 1230 | 228 c. 220 | 240 | 275 Lemmernes Længde forholder sig til Ske- | | inh | | Etter SSO ee ER ee 1:7,0 | Le 18 0 | 11280 Lea |) ebs Mm Mm Mm | Mm | Mm | Mm Mmiens Eee 10 | - 99 ON MO | 1s 121 HaandenstBangde zn. u... MN 180 8 |) WO Nes | ie | 167 Forskjellen mellem dem. ............. 70 | 44 30 | 25 | BD | 46 BE EN. nr 2.9.7.4.212.9.6.3.2 2.8.6.4.2 —+) |1.8.6.3.2| 2.10.6.3.1 üneerledtenes@ Nihil coonbaccoocoooa en 2.9.7.3.22.9.7.3.211.8.6.32) — |1.8.6.2.2)2.10.7.8. P. clymene (Gray). Mere bredsnudede Delfiner med 36—40 finere Tender, korte Luffer og 74 Hvirvler. Om det Skelet, som Reinhardt har henfort til Clymenia normalis Gr. == Delphinus clymene Gray, vides kun, at det er fra Atlanterhavet. Det er en bredsnudet, fintandet, meget kortluffet Form med 74 Hvirvler, der ikke synes mig at kunne identificeres med nogen af de andre foreliggende Prodelfiner. Jeg indskrænker Li mig i øvrigt til at henvise til foranstaaende tabellariske Oversigt. An Aula N) N N i's il NN NY Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd, V. 1. 42 P. obscurus (Gray). Mere kortsnudede Delfiner med c. 33 grovere Tænder, korte Luffer og 70 Hvirvler. 1 . Et fuldt udviklet Skelet af et mandligt Dyr (Nr. 11) med kun 70 Hvirvler, en forholdsvis kortsnudet og grovtandet Form, taget paa 38740" N. Br. og 49° V.L., kan, saavidt jeg skjønner, lige godt henføres til P. obscurus Gr. (l. c. pl. 16) og til P. thicolea Gr. (l. c. pl. 36), hvilke man jo ogsaa nu er tilbøjelig til at anse for samme Art — og navnlig turde vel den først nævnte af disse Afbildninger være af et yngre, sidstnævnte af et ældre Dyr. Det foreliggende Skelet er af et veludviklet, ingenlunde ungt Dyr med Acromion særdeles bred, Muskelindtrykkene paa Skulder- bladet særdeles udprægede, Halehvirvlernes Neurapofyser og Hæma- pofyser paafaldende korte og brede, første Ribben ualmindelig bredt. Desto mærkeligere er det, at det er saa kortluffet, at Lemmernes Længde indeholdes omtrent halvottende Gang i hele Skelettets. Tænderne ere grove og stærkt afstumpede, men sidde saa tæt, at der gaar 11 paa to danske Tommer. Skitse,af Farvefordelingen, indtegnet ligesom Figurerne S.34 i en ideal Prodelfin-Kontur. Kaptajn Andréa har meddelt følgende Maal paa dette Dyr: Fra Snudespidsen til Indsnittet i Halefinnen . 6° 1“ Fra Navlen til Kjensaabningen ...-..... 1098 Fra samme til Rygfinnens Begyndelse. . - . - 2 7“ | Fra Gattet til Indsnittet i Halefinnen -.... 158% Fra samme til Lemmernes Udspring ..... i’ 3“ | Fra Ryefinnen til Indsnittet i Halefinnen . . . 2 71“ Braysammegal69jeb.2 er Seen » 10“ | Kroppens Omfang foran Rygfinnen ...... Bebe Fra samme til Blæsegattet .-.-..-..... » 10“ | Samme foran RAST SS 565555555 - 212% Fra Gattet til Kjensaabningen . . . . . . . .. „ 61% | En Fod fra Halen var Kroppen 14” bred og 31% tyk. _ Skitsen viser en skarpere Modsætning mellem det halvlyse og det hvide og i den mørkere Ryg et sortere Skjold foran Rygfinnen og en sort Saddel bagved denne. Med Hensyn til Maal og Tællinger henvises til foranstaaende Tabel. SENER Prodelphinus Petersii Rhdt. (in sched.). Delfiner med lancetdannet Snude, lange Luffer, c. 30 tyndt stillede Tænder og 71 Hvirvler. Inder dette Navn har afdøde Prof. Reinhardt i vort Cetaceum opstillet Skelettet af en Delfin, som Hr. Styrmand Hits havde dræbt ved Øen Amsterdam i det indiske Hav. Dets Hvirveltal (71) er ikke meget forskjelligt fra flere andre Formers med 70, 72, 73 eller 74 0.s.v.; men skjønt det er af et ungt Dyr, har det længere Luffer end noget af dem; deres Længde indeholdes ikke 6 Gange i hele Skelettets Længde. Hjærnekassens regelmæssigt firkantede Form — Længde og Brede 5 ligestore — er maaske kun en Følge af Individets Ungdom. Der- imod synes Snudedelens lanceolate Form at være ret karakteristisk. Tændernes Antal er lavere (2) end hos nogen anden mig bekjendt Art. De have en Længde af 9 Mm., et Tværmaal af 3 Mm. og saa stor en Afstand, at der kun gaar 5 paa en dansk Tomme. Den flade Mellemkjæve tyder paa, at det er et Hundyr. At den sidste Halshvirvel bærer et 17 Mm. langt rudimentert Ribben paa hver Side, kan vel næppe betragtes som andet end en individuel Ejen- dommelighed. Hvad der ogsaa giver dette Skelet et eget Prag, er Halehvirvlernes udspærrede Metapofyser og deres korte skraat bagudrettede Neurapofyser. Skulde noget af de afbildede Delfinkranier minde om denne Form, vilde det være P. styr Gr. (l. c. pl. 21); men der er ikke den Overensstemmelse f. Ex. i Tænderne, at en Henførelse tør voves. Et defekt Kranium fra ældre Tid (Nr. 27), opgivet at være fra Kap, har en meget bredere Hjærnekasse, endnu fladere Mellemkjæveben og talrigere finere [37-36 > : \43—42 Trods disse Afvigelser hælder jeg snarest til den Antagelse, at det muligvis kunde være af og smækrere Tænder ), 10 Mm. lange, 2'/ Mm. i Tværmaal, 6 paa en dansk Tomme. en ældre Hun af samme Art, men holder det dog udenfor dennes Karakteristik. Maal og Tællinger ere meddelte S. 40 og 41. Prodelphinus alope (Gr.) og P. attenuatus (Gr.). Lang- og smalsnudede Delfiner med forholdsvis korte Luffer og c. 40 grovere Tænder, P. alope med 74—75, P. attenuatus med 79—81 Hvirvler. Til disse to Arter (l. c. pl. 32 og 28) henfører jeg en Række Kranier (5) og Ske- letter (4), som jeg ikke kan holde ude fra hinanden ved Hovedskallerne alene; det er 6" Former med længere og tyndere Snude end P. doris og med grovere Tænder ligesom hos denne Art; men medens de to af disse Skeletter have 74 og 75 Hvirvler, have de to andre 79 og 81. Jeg mener derfor at burde holde dem ude fra hinanden som tilhørende to for- skjellige Arter, men erkjender, at det er noget vilkaarligt, naar jeg fæster Navnet P. alope til den med de færre, P. attenuatus til den med de talrigere Hvirvler. De to Exemplarer af P. alope m. ere opgivne at være af Hunner; den ene (Nr. 6) er tagen i Atlanterhavet paa 479 N. Br. og 11° V.L.; jeg vilde paa Grund af Bækkenbenenes Udvikling og Snudens Form betvivlet, at Kjønsangivelsen er rigtig, men da dens Foster foreligger, maa denne Tvivl forstumme, med mindre Fosteret skulde være af et andet samtidig fanget og i øvrigt ikke opbevaret Dyr. Den anden (Nr. 15) er taget langt derfra, i det indiske Hav, SSO. for Mascarenhas Øerne, paa 28720' S. Br. og 60° ©.L.: dens Bækkenben ere vel korte (47 Mm.), men ret kraftige. Den ledsagende Skilse viser en skarp Grænselinie mellem Ryggens sorte og Bugens graa Farve, hvilken Grænse midt paa Kroppen bøjer sig nedad, saaledes at Buen begynder mellem Lemmerne og Øjet og ender et Stykke bagved Rygfinnen. P. alope m. P. atte- Hovedskaller hørende ia den ene nuatus m. eller den anden af disse Arter. Stykkernes Nummere ...| 6 1592) 82) 3 231822 21 ray ef, 1) Mm. Mm. | Mm. | Mm. Mm. Mm. Mm. Mm. Mm. ”Hele Skelettets Længde fra Spidsen af Over- kjæven til Indsnittet i Halefinnen ..... 1890 1620 1750 1720 = — = — — Hele Hovedskallens Længde fra Spidsen af Over- h kjeven til Nakkeledknuderne ........ 415 410 | 400 | 400 | 388 | 416 392 |, 387 410 Dens største Brede over Kind-Tindingbuerne .| 167 | 164 | 170 168 161 160 162 162 172 Hjærnekas. Led. fra Nakkeledkn. til Orbitalindsn. | 170 162 | 165 160 161 160} 115 | 170 167 Snudedelens Led. fra disse til Overkj. Spidse .| 255 | 250 | 245 243 | 240 | 233 244 227 | 951 Sammes Brede mellem Orbitalindsnittene ved i den SAGEUN RES EC 88 81: 90 84 87 sl 84 91 88 Afstanden mellem disse Indsnit og sidste Oyer- KIRyeranda Ne ee Ra NS ee EN 45 46 38 " 43 37 45 35 42 Hovedskallens Længde forholder sig til hele Skeletteistsomiger rer 1:46 /1:4,0|1:44 | 1:43) — = = = = Dens største Brede forh. sig til dens Led. som | 1:2,5 1:25 11:33 1:24 1:24 | 1:92,6 | 1:24 1:24 1:24 Hjærnekassens Led. til hele Hovedskallens som | 1:24 |1:2,5 1:24 1:25 1:24 1-26 1:25 1:23 )1:25 Snudens Længde til hele Hovedskallens som . | 1:1,6 |) 1:1,6) 1:16 1:1,7 1:16 1:1,8 1:1 1:17 1:1,6 Hjærnekassens Længde til Snudens som . . . .[1:1,5/1:1,5 1:15 1:15 1:15 1:15 1:1 1:1,3 1:15 Snudens Brede ved Grunden til dens Led. som | 1:2,9 | 1:29! 1:2:7 1:2.9)1:2.s | 1:2,8 | 1 :2,9 |1:2.5 1:2,9 1 m = T 39—37 33—35 35—36/39—40 39—40,37— 37 34—34 40—41 35—36 40—41 38—38/38—38/41—43 38—38 — 33—34 Zr Tændernes Antal Stykkernes Nummere : . . 6 | IR | 5% 3 | | | | | | Hivinvlenness samle ears es 74 75 79 | 81 Ribbenenes Antal (de rudimentære i Parenthes) 14 (1) 14 15 (Y) 15 (3/1) Ribbenpar med dobbelt Ledforbindelse med FAVSUAMAIOME oocacgncsecesndoad 4 6 5 | 6 NT NERE Rs anne aloe eg 19 | 19 21 | 21 Hal ehivitavl Clases ER ER Eee 34 35 36 38 Nedrebuer (Hæmapofyser) tilstede ........ 27 26 28 24 Første lodrette Karkanaler findes i Hvirvel Nr. 52 54—5 58 57—58 De sidste tydelige Tværtappe paa Hvirvel Nr. . 55 — 96 57 62 61 Den sidste tydelige Torntap paa Hvirvel Nr... 60 64 67 67—68 Antal af Hyirvler uden Metapofyser (deres Nr) } 8 (31—38) | 26 (23—48) | 12 (33—44) 16 (29—44) Mm. 3 Mm. Mm. Mm. BornsterRibbens Beede ... FE -- =. 2 - =~ ES 23 16 17 Brystbenets Længde og Brede ........-.- 165—100 | 125—76 160—82 157—83 Bækkenbenenes Lengde.............. 79 47 48 Skulderbladenes Længde og Højde : . . ... 207—122 134—100 155—109 | — Lemmernes Længde fra Skulderleddet . . . . . 280 | 216 240 240 Lemmernes Længde forholder sig til hele Ske- | | Etter Ses one naar SAR RUE eed 1:6,8 2th 18% TET et Mm Mm | Mm | Mm. Annens Denede soc 8608056005608 120 93 | 98 98 Haandenselianedegee ee ee 176 143 160 138 Forskjellen mellem dem ............. 56 50 62 40 ee 2.9.6.3.2 3.9.6.3.2]3.9 7B, Ol SEE Fingerleddenes ER A leer ee 13.10.7.3.211 8.6.3.2 2.9 Gasol ee! Om Nr. (8) (2. attenuatus m.) er oplyst, at den var en Hun; de smaa Bækkenben bekræfte Angivelsens Rigtighed. Set fra Siden var den meget mork foroven og askegraa forneden. Den er taget i Atlanterhavet paa 2° 44 N.Br. og 29°2‘V.L., altsaa ikke langt fra St. Paul. Nr. (3) er tagen paa 9° N. Br. og mellem 33 og 34° V.L., saa at sige midt i Atlanterhavet. Der er opgivet følgende Maal for to af d isse Stykker: 46 Nr. 8 Hun) Nr. 15 (Hun Fra Snudespidsen til Haleindsnittet . . . . - . . . . . 5‘ 7}“ SH Fra Snudespidsen til Rygfinnen . . . . . . . . . . .. DE 1a 272 Fra Snudespidsen til Lemmerne . . . . . . . . . . .. LRO 17742 Fra Snudespidsen til Ojet-..-.--.......... » 113” 1‘ Fra Snudespidsen til Blæsegattet (Næseborene). . . - ae Lien Fra Gattet til Kjonsaabningen ............-. Da} CE 1% Fra Gattet til Indsnittet i Halefinnen ..-..... 15568 12858 Fra Navlen til Kjensaabningen ..-..........- Sall ES Fra Rygfinnen til Indsnittet i Halefinnen....... Ze 2 BR Omfang foran Ryefinnen -----.--5--.---: 2 il 2’ 103” Omfang foran Halefinnen - .............. 32 Omfaneal57TommerätraUHalenpes sr ee ES Gabets Længde ........ We » 9" Snudespidsens Lengde .. ..-....-.....-. + 41“ P. alope. P. attenuatus. Tænderne have paa disse Kranier en Længde af 7—8 Mm. og et Tværmaal af c. 24/2 Mm.: der gaar 5 paa en dansk Tomme. Hvis det paa Tabellen under Nr.6 opførte Skelet er af en Han, som jeg dog er mest tilbojelig til at tro, vil man ogsaa her ret vel kunne skjelne mellem Hannerne med lidt smallere og mere hojrvggede Snuder og Hunner med lidt bredere og fladere Snude. Det nævnte Skelet, det største af dem alle, er det, som har det længste Skulderblad og de mest udviklede Muskelindtryk paa samme, og Acromion er her med sin Spids sammenvoxet med Skulderbladets Plade, såa at Indsnittet mellem begge er forvandlet til et Hul; det har ogsaa de længste Luffer, hvis Udvikling jo i det hele synes at staa i et kjendeligt Afhængighedsfor- hold til Individets Alder. Det samme Skelet frembyder den 4 Lændehvirvlers Anomali, at Neuropofyser ere sammenvoxne to og to til Plader af betydelig Brede. Andre Afvigelser, som i Almindelighed let lade sig paavise, naar man Stykke for Stykke vil sammenligne to hvilkesomhelst Delfinskeletter af samme Art, anser jeg ikke for at have mere end individuel Betydning. P. longirostris (Schl.) Lang- og tyndsnudede Delfiner med c. 40 fine Tænder, korte Luffer og 72 Hvirvler. Museets Skelet af denne Art, opgivet at vere fra Au- stralien, er i sin Tid af afd- Eschricht kjøbt hos en ham- borgsk Naturaliehandler. Ingen anden mig bekjendt Prodelphin har saa lang og tynd en Snude eller en forholdsvis saa lille Hjærnekasse. Jeg erkjender Overensstemmelsen mellem den mig foreliggende Art og { 5 J 5 88 i Schlegels Fremstilling af 2. longirostris (Abhandl. aus d. Geb. d. Zoologie etc. t.1, II, IV fig. 1) samt med Grays D. microps (Zool. Ereb. & Terr. & Synopsis, pl. 25). Denne sidste Figur er rimeligvis udført efter Hovedskallen af en Han, og til det samme Kjøn henfører jeg påa Grund af den høje Næseryg det foreliggende Skelet. Da der hidtil intet har været 48 bekjendt om denne Arts Skelet, ville de nedenstaaende Øplysninger om Museets Exemplar ikke være uden Værd. For Fulstendigheds Skyld medtager jeg de sædvanlige Angivelser om Hovedskallen. Skelettets Totallængde er . . . . . . . . . . 1505 Mm.; Forholdet mellem Hovedskallens og hele Ske- Hovedskallens Længde . .: . . . . . : . . . . HS — ; lettetstlrænedeterss oms IB: Dens: sterstenBreden. Sa ee 155 — ; Mellem Hovedskallens Længde og Brede . . . . 1: Hjærnekassens Lengde............ 150 — ; Mellem Hjærnekassens og Hovedskallens Længde 1:2; Snudedelens Længde ............. 275 — ; Mellem Squdens og Hovedskallens Længde Le Dens Bredesyed Grunden -- 2.4... - 77 — ; Mellem Hjærnekassens og Snudens Længde . . 1: Afstanden fra Indsnittene fil den sidste Mellem Snudens Brede ved Grunden og dens Oyverkjayefandie-s- we 35 — ; Lengde: Ma II EEE 1: 3,6 Tændernes Antal er — bortset fra det forreste tilsyneladende tandlase Afsnit af Overkjæven — —— de enkelte Tænder have et Tværmaal af 2 Mm.. en Længde af højst S Mm., og der gaar 7 af dem 'paa en dansk Tomme. Ploybenet er synligt i en Stræk- ning, der er lig med Snudens Brede ved Basis. Det samlede Hvirveltal er 72, hvoraf 14 bere Ribben; de 5 forste Par af disse staa i dobbelt Ledforbindelse med Rygraden. Der er 17 Lænde- og 34 Halehvirvler og iagttages 25 Nedrebuer. De første tydelige foramina perforantia iagttages paa den 48de og. 49de Hvirvel, den sidste tydelige Tværtap paa den 55de, den sidste Torntap paa den Gide Hvirvel. Omtrent 11 Hvirvler (fra den 31te til den 41de) ere uden Metapofyser. Den højeste Torntap er saa lang som 4*/2 Hvirvel, den længste Tyertap som 31/2 Hvirvel ‘af det samme Rygradsparti. Brystbenet er 155 Mm. langt og halvt saa bredt (77 Mm.) mellem Spidserne af apophyses manubrii. Skulderbladet er 153 Mm. bredt og 98 Mm. højt, det forste Ribben 22 Mm. bredt. Lemmernes Lengde er 252 Mm. og indeholdes 7,2 Gang i hele Skelettets Totallengde; Armens Længde er 123 Mm., Haandens 155 Mm. I begge Lemmer telles 2.9.7, 3.2 Led. — Da der vel næppe kan vere Tvivl om, at P. roseiventris (Hombr. & Jacqu.) (Gervais «Ostéographie d. Cétacés» pl. XXXVIII fig. 6) er den samme Art, kan der altsaa ad denne Vej oplyses noget om denne Delfins Udseende i levende Live. Prodelphinus Holbolli (Eschr.. Delfiner med kort, lancetdannet Snude, c. 50 fine Tender, -korte Luffer og 75 Hvirvler. Den lille grønlandske Delfin, hvis Skelet Eschricht præsenterede for det skan- dinaviske Naturforskermødes Zoologiske Sektion i 1847!) under det Artsnavn, der skulde ') Forhandlinger ved de skandinaviske Naturforskeres femte Mode, S. 611 (1849). Artsnaynet er dog ikke nævnt i Beretningen om Mødet. Det er omtalt i S.Nilssons Skand. Fauna, Daggdjuren S. 596. minde om dets Indsender, er fremdeles den eneste af sin Art i vort Cetaceum. Den er hverken senere indsendt fra Grønland eller faldet for vore Skibsføreres Harpuner i de sydligere Bælter af Atlanterhavet. I Henseende til Kraniets Form hører den til de mere kort- og bredsnudede Former og udmærker sig særlig ved sin 16 lanceolate Snudeform, flade Mellemkjæveben og smaa og fine, tæt 50—53 49-51? Tværmaal 2!/> Mm., og de sidde saa tæt, at der gaar ikke mindre stillede Tænder; deres Antal er deres Længde 7/2 Mm., end 8 af dem paa en dansk Tomme. Der er kun 74 Hvirvler, men der mangler øjensynlig 1, men næppe heller flere, saa at man kan sætte Tallet til 75. Det er i øvrigt et Skelet af et meget ungt Dyr — hvis Korthaandethed jeg væsentlig skriver paa dets Ungdoms Regning; Haanden er her 15 Mm. kortere end Armen! At de første perforerende Karkanaler først optræde paa den 57de Hvirvel, er ellers kun Tilfældet hos Former med et større Hvirveltal; det maa derfor bemærkes, at en saadan allerede er antydet — d.v.s. tilstede i en finere Skikkelse — paa den ene Side paa den 55de Hvirvel. Skulde denne Form identificeres efter Kraniet med nogen af de af Gray afbildede Arter, maatte det snarere være med P. styx (l. e. pl. 21) end med P. euphrosyne, til hvilken den — under megen Tvivl — blev henfort af S. Nilsson, hvilket atter har havt til Folge, at denne Delfinart paa forskjellige Steder er bleven opført som grønlandsk !).- Skelettets Totallengde ............ 1265 Mm.; Hovedskallens Lgd. forh. sig til Skelettets som Hovedskallens Længde . . . . . . . . . . .. 350 — ; Forholdet mellem dens Led. og Brede er som Hjærnekassens Brede over Kindbuerne. . . 155 — ; Hjærnekassens Længde til Hovedskallens er som Dens Længde til Orbitalindsnittene .... 158 — ; Snudens Længde til Hovedskallens er som Snudens Længde fra disse . . . . . . . .. 195 — ; Hjærnekassens Længde til Snudens er som Dens Brede mellem disse . . . . . . . . .. 83 — ; Snudens Brede til dens Længde er som . . .. Afstanden fra dem til sidste Tand . . . . . 33 =) 5 Hvirvlernes samlede Tal er ............. NOMME arte Ribbens: Brederener. nent en 12 Mm. IRMMNOMNOMES à o & 0 9 9 0 0 0 0 0 à ao à 00 0 do 14; Brysthenets Længde og Brede. . . . . 108 og 73 — Deraf have dobbelt Ledfojning . . . . . . . . . .. 4: Skulderbladets Længde og Hojde . . . 116 og 86 — PenTeNviTV lens En TE Tee 20; Lemmernes Længde ..-....-..--.. 157 — ALGO? a 000 6.0 0.08 8 SEES ERE SU PANNE SE NC EE 90 — HeMapONN Sels te LEE EEE DI: BaamaENS ooo o bo» ge 0 5 cba o doo OOO 15 — Første lodrette Karkanal i. . . . . . . . 57de Hvirvel; Sidste tydelige Tværtappe paa......59de — ; m... 5 7502080 N 7 Fingerleddene: — — = Torntap pad .-..... 638de — j; TIGE TE Hvirvler uden Metapofyser . . . . . . . d. 36te—4Sde; 1) F. Ex. af R. Brown: Notes on the history and geographical relations of the Cetacea frequenting Davis Strait and Baffins Bay ete. Proc. Zool. Soc. 1868 p.549. Arctie Manual and Instructions, edit. by P. Rupert Jones (1875) p. 85. 1 Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V, 1. 50 Prodelphinus tethyos (Gerv.). Delfiner med langstrakt, lancetdannet Snude, c. 40 grovere Tænder og 78—79 Ilvirvler. P. Gervais beskrev") i 1853 under Navn af P. tethyos kortelig en Hovedskal af en Delfin uden Ganefurer, 430 Mm. lang, 210 Mm. bred over Tindingerne, 100 Mm. over Snudens Grund og med = Hérault i Middelhavet; Kraniet er afbildet fra Undersiden paa den Afhandlingen ledsagende Tavle og senere atter i «Ostéographie d. Cétacés», pl: XXXVIII fig. 2. Der finder -man tillige (fig. 1) Afbildninger af Hovedskallen af en meget lignende, men noget mere langsnudet Tænder. Denne Delfin var strandet ved Kysten af Deptm. Delfin af anselig Størrelse, aabenbart et gammelt Dyr, under Navn af D. marginatus Duvern. & Pucheran?). Denne Art er baseret paa to ved Dieppe i 1854 strandede Delfiner, om hvis Form og Proportioner nogle Oplysninger kunne findes i P. Fischers «Cétacés du sud- ouest de la France»®). Der omtales i denne Afhandling ogsaa en D. algeriensis Loche, beskreven i «Revue et Magasin de Zoologie» f. 1860 og opstillet paa en stor Hun-Delfin (2470 Mm. lang), med 2 Tænder, der menes at staa nær ved D. tethyos, men hvis Hovedskal desværre ikke kjendes. Saa vidt skjønnes er der megen Sandsynlighed for, at disse 3 nominelle Arter ere et og det samme, og andre Prodelphinus- Arter kjendes ikke fra Middelhavet eller overhovedet fra Europas Kyster. Af Delfiner af denne Type har Museet to Skeletter og 1 Kranium: 1) et stort Skelet (Nr. 1), det største af den hele Slægt, af et gammelt KAN \ \\ Dyr af kraftig Bygning, hvis Hoved- skals Fysionomi i høj Grad ligner den af Gervais afbildede P. margi- natus; uheldigvis mangle Lemmerne, og jeg har ingen Oplysning fundet ') Remarque sur les Mammifères marins qui fréquentent les côtes de la France et plus particulièrement sur une nouvelle espèce de Dauphin propre à la Méditerrannée (Soc. d'agrie. de l'Hérault 1853). *) Revue et Magasin de Zoologie 1854 p. 547. 3) Actes de la Société Linnéenne de Bordeaux. Vol. XXV. 1881 p. 150. Hovedskallen St En ETC EEE TO Dennes Brede over Kindbuerne Hjærnekassens Længde til Orbitalindsnittene Snudens Længde fra samme Dens Brede mellem samme Afstanden fra disse til den sidste Overkjævetand . . Hovedskallens Lgd. forholder sig til hele Skelettets som Forholdet mell. Hovedskallens Lgd. og største Brede Forh. mell. Hjærnekassens og hele Hovedskallens Lgd. Forholdet mellem Hovedskallens og Snudens Længde Forholdet mellem Hjærnekassens og Snudens Længde Forholdet mellem Snudens Længde og største Brede Tændernes Antal Hvirvlernes Antal er Ribbenenes Antal er Ribben med dobbelt Ledføjning Lændehvirvler Halehvirvler Hæmapofyser (Nedrebuer) tilstede Første lodrette Karkanaler findes i Hvirvel Nr. Sidste tydelige Parapofyser paa Hy. Nr. : . . . . . .. Sidste tydelige Neurapofyse paa Hy. Nr. . . . . . .. Hvirvler uden Metapofyser (deres Nummere) Forste Ribbens Brede Brystbenets Længde og Brede over Manubrium . . . Bækkenbenenes Længde Skulderbladets Lengde og Lemmernes Lengde Forholdet mell. Lemmernes og hele Skelettets Lengde Anmans DENE 0.0 0000 glo à So Odea ao pb DR Haandens Længde . . . . . .. bo 80 oO 6 oO 1800 HorskjelenpmelemalemerEEEEE EP ER Eingerleddenes iagttagne Antal............. «D. margi- natus» | Expl. fra fra Dieppe: Nr. 1. Nr. 18. Iviza. & | Nr. 309 Mm | Mm Mm. Mm. 2090 | 2210 = 1625 460 | 457 456 405 230 | 214 209 185 = | 192 186 174 280 | 274 276 235 15 | 118 105 98 = | = 43 42 I — 124,5 | 1:48 — J:4,0 1 :2,0 IE 1:2, 1822 — 1:24 1:25 | 11228 ale ie wy Ihe eye | il gil = 1:1,4 Tail abe te 1224 1.2233 163276 TER 47—47 39-39 4149 | 4041 43—45 4042 43—43 38—38 76 79 = 78 15 15 ('h) = 130 5 3 = 4 22 | 22 — 20 32 | 35 = 38 | 22 = 30 59-60 | 58—59 = 55—56 63 | 61 = 59 68 | 66 = | 63 15 (29-43) | 13 (41—43) Je | 12 (81249) | Mm. | Mm | | = | = — | 18 2 225125 Su Ce = = = 62 = | — == 156—98 = | ls = 234 = _ — 1:7.0 7 | | Mm. ri = = = 112 Aj = == 133 er = = 21 2.92.7.3.127) — = )3.8.6:8.0 12.8.6.3.2 mc 52 om dels Hjemsted, men jeg antager, at det er hjemført fra Atlanterhavet af en af yore Skibskaptejner; 2) et Kranium (Nr. 18) af samme Størrelse, med nogle Formforskjelligheder fra det foregaaende; desværre vides heller ikke, hvorfra det er. Det er betydelig mere smal- snudet end (1), idet det indsnævres betydelig omtrent fra det Punkt, hvor Tandrækken begynder. Den smallere, mere højryggede Snude antyder formentlig, at (18) er af en Han, den bredere. og fladere Snude, at (1) er af en Hun. 3) Et Skelet af en ved Iviza i Middelhavet harpuneret yngre Delfin (Nr. 30), der af "Giveren, nuværende Havneassistent Corneliussen, er oplyst at være af en Hun. Efter Kraniet nærer jeg ingen Tvivl om dens Identitet med P. tethyos; i Fysionomi stemmer den vel nok med Kranierne (1) og (18), men den er mere kortsnudet, uden Tvivl fordi den er af et yngre Dyr. — Jeg har i omstaaende Tabel sammenstillet de sædvanlige Maal, Proportioner og Tællinger af Hvirvler for disse 3 Stykker og tillige i en egen Kolonne optaget de ligeartede Data, som ere meddelte af P. Fischer om Typexemplaret af «D. marginatus». Det vil ses, at der i visse Forhold er stor Uoverensstemmelse, men at der er en Gradation i disse Forhold, som taler mod at tillægge dem større Betydning. At Hvirveltallet varierer fra 76—79, vil intet sige; mærkeligere er det, at der kan være 3, 4 eller 5 Hvirvler med dobbelt Ledføjning, og at det er det yngste Exemplar, som har flest! Der er ogsaa et betydeligt Spring fra (30) til Skelettet fra Dieppe i Henseende til, hvilke Hvirvler der vise de første Karkanaler, de sidste Parapofyser eller Neurapofyser; men Skelettet (1) udjævner disse For- skjelligheder. Det kan endnu bemærkes. at paa dette gamle Skelet maa de «tre første Hvirvler siges at være sammen- voxne, da den tredje baade med sit «Le- geme» og med den øverste Del af sin Bue er sammenvoxen med anden. Tænderne have hos (1) en Højde af 11 Mm., et Tvær- maal af 2/2 Mm., og der gaar fem af dem paa en dansk Tomme; hos (18) ere de noget kortere og svagere. Det vil sés, at paa det yngre Skelet er Hovedskallen netop en Fjerdedel, Luffernes Længde en Syvendedel af Totallængden. Paa Skelettet fra Dieppe var Hovedskallens Længde derimod ?/ af samme: en ganske naturlig Aldersforskjel. I begge Haandrodspartier af Skelettet fra Iviza iagttoges der 2 Smaaknogler ud over det sædvan- lige Antal. Om denne Delfin er det end ydermere oplyst, at den havde en blaagraa Ryg, hvis Farve i Afskygninger gik over i Bugens hvidblaa, samt at der løb en mørkere Stribe «fra Øjet til Halegabet» og en Stribe fra Mundvigene til Lufferne. 53 Kort I oplyser, hvor i Allanterhavet de i denne Afhandling omtalte pelagiske Delfiner af Slægterne Steno, Prodelphinus og Delphinus ere fangne, forsaavidt som Angivelser derom foreligge. Er dette end kun et ubetydeligt Bidrag til Kundskab om Delfin-Arternes Udbredning, vil det dog kunne tjene til at orientere i, i hvilke Havbælter de i Afhandlingen nævnte Tandhvaler er trufne. S Steno rostratus. D Delphinus delphis. P 1. . Prodelphinus doris. P 2. Pr. cuphrosyne. P 3. Pr. euphrosymoides. P 4. Pr. obscurus. PS5 Dr..alope: P 6. Pr. attenuatus. P 7. Pr. tethyos. Kort II oplyser, hvor i Atlanterhavet der af de nedennævnte Rejsende og Søfarende er set eller fanget Delfiner paa de nedenfor nævnte 8 Rejser. Hensigten dermed er kun at give et Billede af de os fore- liggende Erfaringer om Delliners Forekomst i dette Bælte af Atlanterhavet. Til deres Bedømmelse vil det være nødvendigt at tage Hensyn til de af Sejlskibene fulgte Ruter. Tallene (1—8) vise hen til de nedenfor anførte Ruter, oplyse altsaa intet med Hensyn til de enkelte Slægters eller Arters Udbredning. 1. Andrea (1866) til og fra Havanna. 2. Warming fra Brasilien. 3. Andrea (1863—64) til og fra Mauritius. 4. Andrea (1865—66) til og fra Rio Janeiro. 5. Hygom (1863) til-Maruim (Brasilien). 6. Hygom (1863—64) til og fra Maruim. 7. Andrea (1867) til Havanna. o Reinhardt til Brasilien. Der er ikke lagt an paa at indføre de opgivne Lokaliteter med absolut Nøjagtighed, da der kun til- sigtedes et Overblik. At Findestederne samle sig saa stærkt i visse Strøg, er vistnok til Dels en Følge af, at Ruterne dér krydses; men man tager dog vistnok heller ikke fejl i at uddrage af dem det Resultat, at Delfiner ere særdeles hyppige i den Del af Atlanterhavet, der ligger Vest for Frankrig og den iberiske Halvø, Med Hensyn til den stentrykte Tavle bemærkes, at den giver dels en Fremstilling af Skelettet af Steno rostratus, udført paa. Grundlag af en fotografisk Afbildning, dels en approximativ Fremstilling af denne Delfins Ydre, paa Grundlag af Kaptejn Andreas Skitse af Farvefordelingen og af hvad der af andre Kilder kunde oplyses om dens Fysionomi; men den kan ikke i Enkelthederne gjøre Krav paa absolut Paa- lidelighed. De i Texten (S. 25, 36, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 49 og 50) indtrykte Afbildninger af Hovedskaller ere alle udførte efter Fotografier og kunne derfor gjøre Krav paa Nøjagtighed i Omridsene; deres Hensigt er især at tjene som oplysende Bilag til Henførelsen til bestemte Arter, men tillige at lette Bestemmelsen af Delfin- kranier i andre Samlinger. Tallene henvise til de Numre, som Originalerne bære i Museet og paa Tabellerne. Med Hensyn til de fire Skitser af Farvefordelingen hos Delfiner S. 17, 34 og 42 bemærkes, at Kon- turen, hvori denne er indtegnet, er en ideal Delfinkontur, til Grund for hvilken ligger D. delphis, og at de derfor kun have Betydning som oplysende Farvetegning og Farvefordeling. Rettelse. SORT MORIN ING 6) ease IN, 8 Contributions å la connaissance des trois genres pélagiques d’Odontocetes: Steno, Delphinus et Prodelphinus. Par Chr. Fr. Lütken. La collection de Cétacés du musée zoologique de l'université de Copenhague s'est, dans le cours des temps, augmentée d'un nombre assez considérable de squelettes et de cranes de dauphins pélagiques, principalement des régions chaudes de l’Atlantique. Ils ont, pour la plupart, été rapportés par les capitaines de navire auxquels le musée doit sa richesse en d'autres animaux pélagiques, et qui, dans leurs voyages aux Antilles, au Brésil, à Maurice, à Java, au district de l'Amour, etc., ont profité de toutes les occasions pour harponner ces dauphins. Dans beaucoup de cas, ils ont en outre pris des mesures des animaux frais, noté des observations sur leur couleur et leur aspect, découpé des modèles de leurs nageoires, etc., et presque toujours marqué la latitude et la longitude du lieu où ils ont été péchés. Tandis que les dauphins pélagiques sont en général relativement faiblement représentés, même dans les grandes collections cétologiques, les espèces plus petites, du moins, le sönt aussi richement dans notre musée que les Odontocètes des mers du Nord. Il semble done qu'il y a tout lieu de faire un essai pour apporter, à l’aide de ces matériaux, plus de clarté dans une branche de la cétologie qui, sous ce rapport, laisse encore beaucoup à désirer. Les squelettes et les cränes dont il s’agit appartiennent aux 3 genres ci-dessus mentionnés de Delphinides pélagiques. Je me propose, dans ce qui suit, de montrer, aussi brièvement que possible, quels sont les principaux points pour lesquels l'étude de ces matériaux me paraît avoir donné des résultats positifs. Dans l'introduction du mémoire danois, j'ai exposé avec plus de détail l'état actuel de la cétologie, surtout au point de vue des questions qui se rapportent plus ou moins directement aux matières dont il s’agit ici. 1 Le musée possède un squelette entier et 5 têtes osseuses d'une espèce du genre Steno que j'ai identifiée avec le S. rostratus; deux autres (dont une du Pacifique) appar- tiennent peut-être à une forme très voisine à museau un peu plus étroit et à dents un peu plus fines, mais je suis plus porté à ne pas les regarder comme constituant une autre espèce, et je crois que nous ne connaissons en somme qu'une seule espèce de ce genre, laquelle viendra ainsi également à comprendre le S. perspicillatus de M. le profes- seur Peters. J'ai donné — ce qu'on n'avait pas encore — un dessin du squelette de ce robuste dauphin, et je me suis servi d'une esquisse faite par le donateur, M. A. F. Andréa, en mettant en outre à profit ce que j'ai trouvé dans la littérature sur le genre dont il s'agit, pour faire exécuter une reproduction de la physionomie de ce dauphin, qui, il est vrai, n'est pas authentique dans tous les points, mais ne s’écarte probablement pas beaucoup de la vérité et contribuera en tout cas à en faire mieux connaître les caractères extérieurs. Ce dessin rappelle beaucoup le dauphin que M. Pernetty (Voyage aux iles Malouines) a rencontré dans le voisinage des îles du Cap Vert. — Les mesures de 8 cranes qu'on trouvera p. 8 donnent: 1) la longueur totale de la tête osseuse; 2) la longueur du crane proprement dit; 3) sa largeur; 4) la longueur de la symphyse de la mächoire infé- rieure. Le sternum, les omoplates et les membres du squelette ci-dessus mentionné sont représentés p.10. Le nombre des vertèbres est de 65 = 7+ 13 + 15 + 30; les six premières côtes s'unissent à la colonne vertébrale par une double articulation; les pre- miers canaux vasculaires perforants se trouvent sur la 6° ou la 7° vertèbre caudale; le nombre des phalanges est de 4.8.6.3.3. Le guillochis des dents est distinct sur toutes les 8 tètes; elles sont au nombre de 20—24 sur les 5 cränes types, et leur hauteur au-dessus des gencives est de 15—17 (plus rarement 14) millim.; leur diamètre à la base est de 7—8 millim., et 3 des plus grosses dents à la mächoire inférieure occupent ensemble, y compris leurs intervalles, un espace de 30—34 millim. Les mesures prises sur le dauphin frais, p. 10, donnent: 1) Ja longueur totale de l'animal; 2) sa hauteur devant la nageoire dorsale; 3) la distance de l'extrémité du museau à la nageoire dor- sale; 4) la distance de l'extrémité du museau à l'œil; 5) la distance de l'extrémité du museau à l’event; 6) la distance de l'extrémité du museau aux membres. . JOE Le genre Delphinus (Eudelphinus Gerv.) se distingue non seulement par les sillons palatins de la tele osseuse, mais en même temps — comme l'indique une note laissée par M. Reinhardt — par la soudure des intermaxillaires, fait qui jusqu'ici ne semble pas avoir été observé par d'autres. Le musée en possède 11 squelettes et 13 cranes, dans lesquels -— malgré leurs différences individuelles assez grandes, qui sont de la même nature que celles qu'on rencontre chez d'autres Odontocètes, et que j'ai exposées en détail dans le texte danois — je ne puis reconnaitre que les représentants d'une seule espèce, le D. delphis classique, qui, chose singulière, a, pour la première fois, été exactement représenté par M. Reinhardt, et peu de temps après par M. Flower. Je suis d’ailleurs porté à croire qu'on ne connait de ce genre que cette espèce unique, sans que, cependant, je veuille ni puisse endosser quelque responsabilité relativement aux formes ou aux variétés un peu plus divergentes que je n'ai pas examinées. Je profite de l’occasion pour rappeler que le 2. Walkeri et le D. Moorü de M. J. E. Gray, OT [er qui ne sont autre chose que le 2. delphis, sont basés sur des squelettes et des dessins qui, de même que tant d'autres de nos squelettes de dauphins, sont dus non au capitaine Walker, mais au capitaine A. F. Andréa. J'ai indiqué, p. 17, d'après un dessin du même capitaine, la coloration d'un des dauphins dont nous possédons le squelette. Les têtes osseuses, les omoplates, les prosterna et les membres représentés p. 24 et 25, serviront à illustrer dans quelles limites varient ces différentes parties. Les variations dans le nombre des dents sont indiquées p.20. On trouvera, p.19 et 22, des tableaux indiquant d'autres différences dans les nombres et les proportions des diverses parties du squelette. La première colonne du tableau de la p.19 indique le numéro et le sexe de chaque individu; la deuxième, la longueur totale de la tete osseuse des condyles occipitaux à l'extrémité du museau; la troisième, la largeur de la tête osseuse entre les arcades zygomatiques; la qua- trieme, le rapport entre la longueur totale et la largeur: de la tête osseuse; la cinquième, la longueur du crane proprement dit jusqu'à une ligne entre les entailles antéorbitaires; la sixième, le rapport entre la longueur du crâne proprement dit et la longueur totale de la tête osseuse; la septième, la longueur du museau depuis les entailles antéorbitaires; la huitième, le rapport entre la longueur totale de la tête osseuse et celle du museau; le neuvième, le rapport entre la lon- gueur du crâne proprement dit et celle du museau; la dixième, la largeur du museau à sa base entre les entailles antéorbitaires; la onzième, le rapport entre la longueur du museau et sa plus grande largeur; la douzième, la distance entre lune des entailles ci-dessus mentionnées et la dernière dent de la mâchoire supérieure. Toutes les mesures sont données en millimètres. La première colonne du tableau de la p.22 indique le numéro et ie sexe de chaque individu; la deuxième, la longueur totale du squelette, en mètres; la troisième, la longueur de la tete osseuse; la quatrième, le rapport entre ces deux longueurs; la cinquième, le nombre des vertèbres; la sixième, le nombre des paires de côtes; la septième, le nombre de ces paires qui sont rudimentaires; la huitième, le nombre des paires de côtes antérieures qui ont un col et une tête, et par suite une double articulation avec les vertèbres dorsales; la neuvième, les vertèbres lombaires; la dixième, les vertèbres caudales; la onzième, le nombre des hémapophyses; la dou- zieme, la vertèbre où se trouvent les premiers canaux vasculaires qui traversent les parapophyses; la treizième, la vertèbre qui porte les dernières parapophyses distinctes; la quatorzième, la ver- tebre où se trouvent les dernières neurapophyses distinctes; la quinzième, les vertèbres qui n'ont pas de métapophyses; la seizième, leur nombre; les deux suivantes, la largeur du prosternum et celle de la première côte, en millimètres; la dix-neuvième, la longueur des membres; la vingtième, le rapport entre cette longueur et celle de tout le squelette; la vingt-et-unieme, la longueur du bras; la vingt-deuxième, celle de la main; la vingt-troisième, la difference entre eux; l’avant- dernière, le nombre des phalanges; la dernière, les squelettes dont le prosternum est percé ou fendu, ou n'a que des apophyses presque pas ou peu développées, ou dont le prosternum ou les membres manquent. III. Le genre Prodelphinus est le type par excellence des dauphins pélagiques !). Aussi n'y en a-t-il que très peu d'exemplaires qui aient été pris ou qui aient échoué sur les côtes de l’Europe, d'où il suit que les squelettes de ces dauphins sont fort rares dans les musées de l'Europe, et qu'un grand nombre d'espèces douteuses ont été établies sur des têtes osseuses rapportées par des navigateurs, matériaux qui malheureusement sont tout à fait insuffisants pour établir la diagnose exacte d'une espèce. C'est pourquoi Vincertitnde sur la délimitation et le nombre des espèces est plus grande dans ce genre que dans tout autre, et, en réalité, on n’est guère arrivé plus loin qu'à pouvoir juger que le genre Prodelphinus doit renfermer plusieurs espèces, mais sans savoir au juste les- quelles ni combien. A cela vient s'ajouter que les limites de ce genre par rapport aux genres Sotalia, Lagenorhynchus et Delphinapterus (leucorhamphus) sont un peu vagues, depuis qu'il a été constaté que les os ptérygoidiens ne sont pas toujours séparés chez le genre Sotalia, et que le nombre des vertèbres peut étre tout aussi grand chez certains dauphins du genre Prodelphinus que chez certains Lagenorhynques. Comme notre musée, outre 10 cranes, ne possède pas moins de 19 squelettes appartenant au genre Prodelphinus, j'ai eu incontestablement à ma disposition de bien meilleurs matériaux que mes prédéces- seurs, et je ne nie pas que je n’aie entrepris ce travail dans l'espoir que je réussirais à dégager l'histoire de ce genre des incertitudes qui l'obscurcissent. Si j'ai, en grande partie, été déçu dans mon attente, et si j'ai dü me borner à donner une série de maté- riaux bien ordonnés plutôt qu'une revision du genre, la raison en est, dune part, que mes matériaux, bien qu'assez considérables, se sont cependant montrés plus pauvres et plus insuffisants que ceux dont je disposais pour le genre Delphinus, quand il a fallu les répartir entre les différents types ou espèces, et, de l’autre, que c'était une affaire délicate de rapporter nos squelettes à des espèces seulement établies sur des cränes. Pour faciliter aux zoologues le contrôle de mes déterminations, et aider les directeurs d'autres musées à rapporter leurs exemplaires à mes espèces, j'ai accompagné la description de tous les types dont je dispose de dessins de cranes exécutés d'après des photographies, et par suite complètement authentiques, qui donneront une idée bien nette de cette partie de leur physionomie. Un point très important pour la diagnose des espèces du genre Prodelphinus est le nombre total des vertèbres, dont les autres nombres sont pour ainsi dire des fonctions; il peut bien varier un peu chez la même espèce dans ce genre comme dans les autres, mais, par exemple, chez les 2 espèces que j'ai rapportées au P. alope el au P. attenuatus, il est de 74—75 chez le premier, de 79—81 chez le second, bien que j'aie été hors d'état de séparer ces deux types l'un de l’autre par le seul examen des cranes. Il est possible que des matériaux plus nombreux 27 eussent fait voir que quelqu'une des 11 espèces que jai distinguées devait disparaitre. 1) Il existe certainement d'autres formes de dauphins pélagiques que les 3 genres traités ici, et les navigateurs mentionnent surtout souvent de grands dauphins à tète ronde, sans doute des Globi- céphales. Leur grandeur ne permet pas de les capturer de la même manière que les dauphins pélagiques plus petits. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 1. S 58 De ces 11 espèces, une est probablement nouvelle, mais elle avait déjà été désignée comme telle par feu M. le professeur Reinhardt; c'est le P. Petersü, harponné près de Vile Amsterdam. Une autre, le 2. Holbelli, seulement connue de nom jusqu'ici, n’est représentée que par un tout jeune squelette provenant du Greenland, où il n'a vraisemblable ment été qu'un hôte accidentel. J'ai cherché à délimiter approximativement ces 11 espèces en donnant dans le tableau, p. 32—33, un apercu de celles de leurs différences ostéolo- giques qui pouvaient s'exprimer sous cette forme. Après avoir fait connaitre la provenance des différentes pièces du musée, et combien il possède de squelettes et de cränes de chaque espèce, ce tableau indique: 1) le nombre des ver- tebres; 2) le rapport entre la longueur du museau et sa largeur à la base; 3) le nombre des dents; 4) combien il y en a sur la longueur d'un pouce danois (26 millim.); 5) le nombre des côtes antérieures qui sont doublement articulées avec la colonne vertébrale; 6—8) sur quelles vertèbres se trouvent le premier canal vasculaire perforant, la dernière parapophyse et la dernière neurapophyse. J'ai en outre donné dans le texte danois, p. 27—30, un! aperçu des variations ostéologiques qui, en général, peuvent se produire dans le genre Prodelphinus, pour pouvoir abréger par là le compte rendu des différentes espèces. Pour deux de ces espèces, la distribution des couleurs a été représentée, d'après des esquisses communi- quées par M. Andrea, dans une figure idéale de Prodelphinus, qui ainsi n’apprend rien autre sur l'animal. Outre les dessins de cranes, on trouvera en plusieurs endroits des dessins d’omoplates et de membres qui éclairciront les variations de ces parties. lei, comme pour les crånes, les nombres qui les accompagnent correspondent aux numéros des pièces dans les tableaux. Les tableaux p. 34—35, 40—41, 44—45 et 51 donnent les mesures, les propor- tions, etc. suivantes dans l'ordre indiqué ici (de même p. 49, mais avec un changement dans l’ordre de la série). 1. Longueur de tout le squelette depuis l'extrémité de la mâchoire supérieure jusquà l’entaille de la nageoire caudale. 2. Longueur de la tête osseuse depuis l'extrémité de la mâchoire supérieure jusqu'aux condyles occipitaux. 3.- Sa plus grande largeur entre les arcades temporo-zygomatiques. 4. Longueur du crane depuis les condyles occipitaux (inelus.) jusqu'aux entailles orbitaires. 5. Longueur du museau depuis ces dernières jusqu'à l'extrémité de la mâchoire supérieure. 6. Largeur du museau à sa base entre les entailles orbitaires. 7. Distance entre ces entailles et la dernière dent de la mâchoire supérieure. 3. Rapport entre la longueur de la tête osseuse et celle de tout le squelette. 9. Rapport entre sa plus grande largeur et sa longueur. 10. Rapport entre la longueur du crâne proprement dit et celle de toute la tête osseuse. 11. Rapport entre la longueur du museau et celle de toute la tête osseuse. 12. Rapport entre la longueur du crane proprement dit et celle du museau. 3. Rapport entre la largeur du museau à sa base et sa longueur. 14. Nombre des dents. 18. 21. 9 0 09,09 Ca m © Nir © © eo 5 59 Nombre total des vertebres. Nombre des côtes (le nombre des côtes rudimentaires est ajouté entre parenthèses). Nombre des paires de côtes qui sont doublement articulées avec la colonne vertébrale. Nombre des vertèbres lombaires. Nombre des vertèbres caudales. Nombre des hémapophyses observées. Numéro de la vertèbre traversée par les premiers canaux vasculaires perforants verticaux. Numéro de la vertèbre qui porte les dernières parapophyses distinctes. Numéro de la vertèbre qui porte la dernière neurapophyse distincte. Nombre et numéros des vertèbres qui n'ont pas de métapophyses. Largeur de la première côte, en millimètres. Longueur et largeur du sternum. Longueur des os pelviques. Longueur et hauteur des omoplates. Longueur des membres depuis l’articulation de l'épaule. Rapport entre la longueur des membres et celle de tout le squelette. Longueur du bras. Longueur de la main. Différence entre eux. Nombre des phalanges. Jai de plus, dans de courtes descriptions ou diagnoses, cherché à rassembler les traits les plus caractéristiques des différentes espèces; malheureusement, ces diagnoses, qui ne disent rien de la forme extérieure des espèces, de leur coloration, etc. laissent encore beaucoup à désirer sous le rapport de la précision et de l'amplitude, et ne sont par suite à considérer que comme des résumés provisoires. ils © 4. P. doris (Gr.) m. Museau pointu, assez long et étroit (avec une élévation plus ou moins accentuée de sa partie médiane supérieure, du moins chez les mâles) et 70 vertèbres; dents assez grosses (40 au plus); longueur des membres, environ {/7 de celle de tout le squelette. (Cette espèce semble étre identique avec celle décrite sous le même nom par M.F. True). P. euphrosyne (Gr.) m. Museau assez long et étroit, avec des dents plus fines (43 au plus), et 74 vertèbres; longueur des membres, environ 1/7 de celle de tout le squelette (Clymene Burmeisteri de Malm). P. euphrosynoides (Gr.) m. Museau un peu plus court, dents fines, au nombre de 33—40, et 73 vertèbres; longueur des membres, environ ‘/s de celle de tout le squelette. P. clymene (Gr.) m. Museau plus large, dents assez fines, au nombre de 36—40, et 74 vertèbres; longueur des membres, environ "/s de celle de tout le squelette. P. obscurus (Gr.) m. Museau court, dents plus grosses, au nombre de 33 environ, et 70 vertèbres; membres courts, dont la longueur est contenue presque 71/2 fois dans la longueur totale. gt 60 6. BP. Petersii (Khdt).. Museau lancéolé, dents assez espacées, au nombre de 30 environ, et 71 vertèbres: membres longs, dont la longueur dépasse Vs de la longueur totale. 7. P. alope (Gr) m. Museau très long et effilé, dents plus grosses, au nombre de 40 environ, et 74—75 vertèbres; membres assez courts, dont la longueur est contenue 7—72 fois dans la longueur totale. 8. P. attenuatus (Gr.) m. Comme le 2. alope, mais avec 79 -81 vertèbres. 9. P. longirostris (Schl.). Museau très long et effilé, dents fines, au nombre de 10 environ. et 72 vertèbres; membres courts, dont la longueur est contenue plus de 7 fois dans la longueur totale (P. voseiventris Hombr. & Jacq.). 10, P. Holbelli (Eschr). Museau. court et lancéolé, dents fines, au nombre de 50 environ, et 75 vertèbres; membres courts, dont la longueur est Us de celle de tout le sqnelette. 11. P.tethyos (Gery.). Museau lancéolé, dents plus grosses, au nombre de 40 environ, et 78—79 vertèbres; chez les jeunes individus, la longueur des membres est 7 de celle de tout le squelette (— D. marginatus). La carte I fait voir, en tant qu'on possède des indications à ce sujet, où ont été pris, dans l'Atlantique, les dauphins pélagiques des genres Steno, Delphinus et Prodelphinus mentionnés dans ce mémoire. Bien que ce ne soit qu'une contribution modeste à la connaissance de la distribution des dauphins, cette carte pourra cependant servir à s'orienter dans les parages où ont été rencontrés les Odontocètes cités dans le mémoire. HS S. Steno rostratus. Pr. obscurus. D. Delphinus delphis. | Pr. alope. P1. Prodelphinus doris. Pr. attenuatus. mal SE tne! NSO P2. Pr. euphrosyne. Pr. tethyos. P3. Pr. euphrosynoides. La carte II fait voir dans quelle partie de l'Atlantique les voyageurs et navigateurs nommés plus bas ont vu ou pris des dauphins, pendant les 8 voyages ci-dessous mentionnés. Le but en est de donner une image des faits recueillis concernant la présence des dauphins dans cette zone de l'Atlantique. Pour en profiter, il sera nécessaire d'avoir égard aux routes suivies par les navires à voiles. Les chiffres (1—8) se réfèrent aux routes indiquées ci-après, et n’ap- prennent par conséquent rien relativement à la distribution des différents genres ou espèces. 1. Andrea (1866), voyage à la Havane, aller et retour. 2. Warming, retour du Brésil. 3. Andréa (1863—64), voyage à Maurice, aller et retour. 4. Andréa (1865—66), voyage à Rio Janeiro, aller et retour. 5. Hygom (1863), voyage à Maruim (Brésil). 61 a Hygom (1863—-64), voyage à Maruim, aller et retour. 7. Andréa (1867), voyage a la Havane. 8. Reinhardt, voyage au Brésil. On ne s'est pas attaché à marquer la position des localités avec une exactitude absolue, puisqu'il ne s’agit que d'un aperçu. Si les lieux où l'on trouve les dauphins sont si concentrés dans certaines régions, cela vient sans doute en partie de ce que les routes s’y croisent; mais on ne se trompe certainement pas en inferant de la que les dauphins sont très fréquents dans la zone de l'Atlantique située à l’ouest de la France et de la presqu'ile ibérique. _La planche lithographiée donne une reproduction du squelette du Steno rostratus, exé- cutée d’après une photographie, et une représentation approximative de l'extérieur de ce dauphin, d'après une esquisse de la distribution des couleurs par le capitaine Andréa, et d’après ce que d’autres sources ont pu apprendre sur sa physionomie; mais elle ne peut prétendre dans les détails à une exactitude absolue. Les dessins de têtes osseuses insérés dans le texte (p. 25, 36, 38, 39, 41, 42, 48, 46, 49 et 50) sont tous exécutés d'après des photographies et peuvent être regardés comme exacts dans leurs contours; ils ont surtout pour but de motiver la détermination des espèces à laquelle l'auteur s'est arrêté, mais en même temps de faciliter la détermination des cranes de dauphins dans d’autres collections. Les nombres qui les accompagnent correspondent aux numéros que les originaux portent au musée et dans les tableaux. Pour ce qui regarde les quatre esquisses de la distribution des couleurs chez des dau- phins, p. 17, 34 et 42, il est a observer que le contour qui les limite est un contour de dauphin idéal, auquel le D. delphis a servi de base, et qu’elles ont seulement pour but de fournir des éclaircissements sur la distribution des couleurs. EN eu : y vs = ih seo | | Fe a Bl. eh. “tn B 1 i - ry 72 ha ike Fe. # Er Bere 11 2 XD BE F not M ot TØ Sa a . Sr ar ir 34 aby: Er | SANGER: 3 5 ls AL. SR 7 > Ve oe 4: == "8 we ner “sf | > oe BB. “ ake at rl ete mee qu es ay ie: ER € SEN Han to (US) SNJDAJSOL OU) A19U1/72(7 SJOQDY LAUD) FUSYIMT TA PIE LU 24YDI] Q LAS ASS PATH i Ww Fee.) oa ' då a i , à à AR ah i à > 2 : . à Vi ’ ? i a ] > i À me v “ AN i "| i Pee Noy i ; i x i j 3 > N E ö ee i i a ' 4 FES mm got relient ee Ausg 9 = | SS, = à > Ep 1 | 7 À _ oo) 7 | a 5 | = Fe | SEE | = | | == | | | Le ge se os 09 = IC 09 02 OF Au Gi ve = = = n T | | | OL + SIU JIG. S124041d} UD} UST TN POU pa 9 AS ASTAS PINOT. 4 DT he ha re AT ame TA « De endelige Transformations -frruppers Af H. Valentiner. Avec un resume en frangais. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. V. 2. Kjebenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri (F. Dreyer). 1889. Theori. Indholdsfortegnelse. INTENSE ss 0 0 0.0 08 s ano 0 ores 55H ER. BE CE LE HL ED HEHE HE ER HR S. 5-67. EN mundelizegBemauknın ze rsgss Multi plükatonerg 5 50050000 o00020d0beo900o00e - 10-72. li, anstonmationernes@S amme DS æ UD LD ee SE noes CC ENE SPRE NES ES - 27-89. III. De endelige Grupper hvorved en ret Linie transformeres til sig selv. - . . . . . . . . . .. - 38-100. IV. De endelige Transformationsgrupper, hvorved et Plan transformeres til sig selv (de endelige TRAMSOMTATOMESR OOF M OO WARING) ooo o cb Sst EE - 68-130. TESTING SS tls RE le ne Le D UE TONER EN) DER AN RER der al - 143-205 Indledning. NE Afhandling er fremkaldt ved den af Videnskabernes Selskab 1884 stillede og 1886 gjentagne Prisopgave, og indleveret som Besvarelse af denne 1887. Denne Besvarelse var imidlertid paa Grund af en i sidste Afsnit indløbet Fejl ufuldstændig, og det blev nødvendigt at omarbejde hele dette Afsnit. Ved nøjere Gjennemsyn fandt jeg imidlertid, at heller ikke de første Afsnit tilfredsstillede mig, såa at, uagtet Videnskabernes Selskab havde tilstedet mig Optagelsen af disse i sine Skrifter, disse nu ogsaa bleve fuldstændigt omarbejdede, og det hele Arbejde saaledes fremtræder i en ny Skikkelse. Imidlertid har jeg søgt at bevare saa meget som muligt af det oprindelige Arbejde. Det havde været min Hensigt at fremstille alle endelige Transformations - Grupper for Planet og for Rummet. Det er imidlertid ikke lykkedes mig at naa videre end til en, som jeg haaber, fuldstændig Fremstilling af alle de endelige Transformations-Grupper for Planet. De samme Principper, som her ere anvendte for at fremstille alle de Grupper, der ere endelige for Planet, maatte ogsaa kunne anvendes for Rummet. Imidlertid er Theorien, trods sin Simpelhed i Princippet, saa vanskelig at anvende selv for Planets Vedkommende, at jeg antager, det næsten vil være uoverkommeligt at anvende den paa Rummet, hvor der for øvrigt vilde komme nye Vanskeligheder til, der endnu ikke optræde ved Bestemmelsen af Grupperne for den rette Linie eller Planet. Foruden at bestemme de endelige Grupper for Linien og Planet, har jeg givet en Fremstilling af den almindelige Form en Transformation maa have, naar den hører til en endelig eller diskontinuert Gruppe og transformerer en n-dobbelt-x2 Punktmængde til sig selv. De endelige Gruppers Theori er for den rette Linies Vedkommende for lang Tid siden givet af Klein, men, saa vidt jeg ved, aldrig før fremstillet, uden at være støttet paa rumgeometriske Betragtninger. I denne Afhandling fremstilles den i Fuldstændighed alene støttet paa algebraiske Betragtninger. Hører der til en Gruppe en Transformation À, og er D en vilkaarlig Transformation i Gruppen, og dannes alle Transformationerne JADT!, idet for & efterhaanden sættes alle de til Gruppen hørende Transformationer, kalder jeg alle de saaledes fremkomne Transformationer for den til A hørende Samling. Er A en Transformation, der ved at gjentages n Gange bliver identisk, kalder jeg den af nte Orden, og alle de Transformationer der høre til samme Samling som À blive da af samme Orden. For den rette Linie gjælder følgende: Enhver Transformation lader 2 Punkter af den rette Linie uforandrede, disse kaldes Transformationens Dobbeltpunkter. Er der ingen Transformation af hojere end te Orden, - : à i N der har samme Doppeltpunkter som A, vil den Samling, der hører til A, indeholde — n Transformationer, naar x > 2? og Gruppen i det hele indeholder N Transformationer. Eftersom der saa gives eller ikke gives en anden Transformation i Gruppen, som ombytter A’s iy ae SVG alle de Samlinger, der tilhøre À og dens Potenser (n—1) N —1) AN udejore == eller - — —— retraites. zn n For at finde alle de endelige Grupper, hvis Transformationer transformere en ret Linie til sig selv, behøver man da kun at finde de positive hele Tal, som tilfredsstille Ligningen Nae py eae N, n In, eller ee ot lon ga N Dee De ee der fremkomme ved den Betragtning, at Gruppen foruden de Samlinger, der hore til den, endnu indeholder én Transformation: den identiske. Det bemærkes dog, at ikke alle Tal, der tilfredsstille denne Ligning, give virkeligt existerende Grupper. Man ser, at Antallet af Transformationer i Grupper enten maa vere det mindste felles delelige Tal for Ordenen af de i Gruppen indgaaende Transformationer eller dette Tal multipliceret med 2 Hvad Planen angaar, kunne her lignende Betragtninger anstilles som for den rette Linie, kun blive Forholdene her langt mere komplicerede, navnlig paa Grund af, at der kan optræde perspektiviske Transformationer. Medens nemlig i Almindelighed enhver lineær Transformation, der transformerer Planen til sig selv, lader 3 Punkter af Planet (Transformationens Dobbeltpunkter) blive uforandrede, existerer der Transformationer, der lade alle Punkter af en ret Linie uforandrede. Det er saadanne Transformationer, som kaldes perspektiviske. B 7 | 69 De nye Vanskeligheder opstaa nu ved, at medens i Almindelighed Potenser af Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter atter ere forskjellige, kan den samme perspektiviske Transformation være en Potens af flere Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter. Det vises nu forst, at alle Transformatiener, der fremkomme i en endelig Gruppe, kunne bringes paa en saadan Form, at, hvis | pe = ax + by ce A = + py = a0 + boy ez Br = 0,0 + bsy—+ 632 er en saadan Transformation, Transformationsdeterminanten |e Da Cy DD) =) Gy On Gy | = il, | as bs es og at i denne Determinant ethvert Element (@,) er konjugeret med sin Underdeterminant (A,), saa at altsaa a, — A,. Ved en cyklisk Gruppe forstaas en Gruppe, hvis Transformationer alle enten lade Dobbeltpunkterne for en bestemt Transformation uforandrede eller ombytter disse indbyrdes. Det vises da, at hvis en endelig Gruppe for en Plan ikke skal vere cyklisk eller saaledes beskaffen, at alle Transformationer i Gruppen transformere samme rette Linie til sig selv, kan Gruppen ikke indeholde perspektiviske Transformationer af højere end 2den Orden. (Enhver Transformation af 2den Orden er altid perspektivisk.) Dernæst undersøges, hvor vidt Gruppen kan indeholde en perspektivisk Trans- formation, som er en Potens af flere Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter. Det viser sig da, at der muligvis existerer en Gruppe paa 72 Trans- formationer, indeholdende Transformationer af 2den, 3die og 4de Orden, hvor Transformationerne af Ade Orden 6 og 6 have en fælles 2den Potens. Denne Gruppe vises siden virkeligt at existere. Idet vi derpaa definere en Samling hørende til en Transformation A paa samme Maade som før, viser det sig, at de Samlinger som høre til alle de Transformationer, som have fælles Dobbeltpunkter med A, indeholde n—1 N, n—1 N, Cats n 2n an Transformationer, naar der er x Transformationer, der have fælles Dobbeltpunkter, og naar N ikke 2 Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter have en fælles Potens, idet N er Antallet af Transformationer i Gruppen. De tre Antal faaes, eftersom der ikke gives nogen Transformation i Gruppen, der ombytter Dobbeltpunkterne for A, eller der gives en Trans- formation, der ombytter 2 af dem, eller endelig en Transformation, der kredsforskyder Dobbeltpunkterne. 70 8 Dette sidste finder kun Sted, naar Ordenen af A indeholder Faktorerne 2, 3 eller Primtal af Formen 3p + 1. Er Ordenen af A 3, kan der være baade en Transformation i Gruppen, der kreds- forskyder A's Dobbeltpunkter, og en anden, der kun ombytter to af dem; forudsat at ingen Transformation af en anden Orden end 3 har samme Dobbeltpunkter som A. Antallet af Transformationer i de Samlinger, der tilhøre A og dens Potenser, ‘ N blive i dette Tilfælde 7: Vi have da til Bestemmelse af de mulige tu Grupper : NS 4 Na L y AD +in+i=n eller | a RI nil Be N ne n Ta DT Ven IE hvor ligesom for alle de Tal, der tilfredsstille denne Ligning, ikke svare til virkeligt existerende endelige Grupper; men hvor et meget stort Antal Værdier, der tilfredsstille denne Ligning, maa forkastes. Antallet af Transformationer i de virkeligt existerende Grupper ses at maatte blive enten det mindste fælles delelige Tal for Ordenen af de i Gruppen indgaaende Transformationer, eller dette Tal multipliceret med 2, 3 eller 6 Til Hjælp ved Dannelsen af Grupperne faar man, at enhver Transformation af 2den Orden, som hører til en endelig Gruppe, hvis Transformationer ere bragte paa samme Form som À (S. 69), maa have Elementerne svarende til &,, bs, c; (Diagonalelementerne) reelle. Kaldes a, + 6, +c, = s Diagonalsummen for A og indeholder Gruppen en anden Transformation B, hvis Diagonalsum er d, og kaldes Diagonalsummen for B2A s,, faar man Relationen : on Sp—Sp43 == Asprı —ASr2. Det kan endelig vises, at de endelige Grupper, som ikke ere cykliske, eller hvis Transformationer alle transformere samme rette Linie til sig selv, eller endelig indeholde Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter, men en felles Potens, ere 1) Grupper, hvis Transformationer alle transformere samme Keglesnit til sig selv. Disse kunne betragtes som Transformationer af Grupperne for den rette Linie, og jeg benævner disse med samme Navne som de tilsvarende Grupper for den rette Linie. 2) En Gruppe indeholdende 36 Transformationer af 2den, 3die og 4de Orden. Denne er Undergruppe i den S. 69 nævnte Gruppe paa 72 Trans- formationer 3) En Gruppe paa 360 Transformationer indeholdende Trans- formationer af 2den, 3die, 4de og 5te Orden. I denne vil Ikosaedergruppen danne en Undergruppe. 4) En Gruppe paa 168 Transformationer af 2den, 3die, 4de og de Orden. Endelig skal jeg omtale, at mine Undersogelser i forste Afsnit ogsaa kunne anvendes paa diskontinuerte Grupper, og at de netop oprindeligt have gaaet ud paa at omsætte Poincarés geometriske Betragtninger til rent algebraiske. Mine Beviser for Gruppernes Endelighed ere af temmelig forskjellig Beskaffenhed, idet de ere forfattede til hojst forskjellige Tider, og jeg ikke har villet omarbejde mine oprindelige Beviser, saa at de bleve ensartede med de senere tilføjede, der væsentlig ere af samme Art som W. Dyck's for lignende Sætninger; medens det, (saaledes for den 3die Gruppe) vilde være meget vanskeligt at føre Beviset, saaledes som mine ældre Beviser ere førte, ved Multiplikation af selve Transformationsdeterminanterne. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskab. og mathem. Afd. V. 2, 10 72 | 10 I. Almindelige Bemærkninger. Multiplikatorer. ' 1) Naar der her er Tale om Transformationer, menes hermed kun lineære Trans- formationer. 2 En saadan Transformation af en n-dobbelt-æ Mangfoldighed er bestemt ved Ligningerne : BE air EE (050) cri py—= ax + boy ere, MS RE ee eo een | (1) UV = One © Ebony Lopez ... ho, hvor æ:y:2...v ere det givne Punkts Koordinater, #:7:2... v’ det transformerede Punkts Koordinater, og hvor vi tilmed kunne sørge for, at Transformationsdeterminanten Ba DEE. | po Wa5 C | DIN MST RAR = i Ani, ba+1, Cn+1 --- la | hvad der kan ske uden -at formindske Transformationens Almindelighed, og hvor endda i samme Transformation alle Storrelserne a,, 6,, €, ... 0.s.v. kun ere bestemte paa nær en fælles Faktor, der er en vilkaarlig (rn + {jte Rod af Enheden. Der gives nu altid Punkter, der transformeres til sig selv. Saadanne Punkter kaldes Dobbeltpunkter for Transformationen. For et saadant Punkt maa vi da have a yf CA D. 7 y == = 202 FF a 3 eller vi kunne for et saadant Punkt sætte der, SH, YS 252. = 0: Skal dette finde Sted. bestemmes 4» ved 11 13 idet man mellem de (x + I) Transformationsligninger (1) eliminerer @, y, 2 ... vo. Har man bestemt y ved (2), bestemmes selve Koordinaterne til det til » svarende Dobbeltpunkt ved x af Ligningerne (1). 2) Af (2) faar man (n +- 1) Værdier af y. Ere alle disse Verdier af a for- skjellige, faar man ogsaa netop (x +1) Dobbeltpunkter, hvoraf ikke 2 kunne falde sammen. S Skulde der nemlig vere flere end (rn + 1) Dobbeltpunkter, maatte I af x vilkaarlige Ligninger mellem de (x + 1) Ligninger (1) være en Folge af de andre, for i det mindste en Verdi af ». Men dette kræver, at alle Underdeterminanterne af „te Orden i (2) skulle være 0. (2) maatte da have lige Rodder, hvad der strider mod det givne. Paa den anden Side ses det, at der ikke til 2 Værdier af y kunde svare det samme Dobbeltpunkt. Thi vare disse Værdier x og vw”, maatte man have «ifølge (1), naar ©, y, 2... ere dette Dobbeltpunkts Koordinater, (a; —pæ + by... lv = 0, (a, —p'}x + by ... bev 0 | I og ved Subtraktion (a—p)z = 0, «=—0, - og paa samme Maade y —0, 2 =O ... v =O, hvad der er en Umulighed, da Ligningerne (1) ikke bestemme selve Storrelserne 2, y, 2... v, men kun deres Forhold. 3) Kaldes alle de Punkter, hvis Koordinater tilfredsstille Ligningen Ken 45 WO) son Vo = (, (3) et Plan, idet X, Y ... V ere givne Størrelser, er et Plan i Almindelighed bestemt ved at skulle gaa gjennem n Punkter. Det ses, at et Plan altid ved (1) igjen transformeres til et Plan. Betegnes Underdeterminanterne i D til a,, b,, ¢, ... 4,, B,, C, ... 0.8.v., saa faar man af (1) BD = A, + Avy’. a0 Anzıd), L 1 = = SIE Eh = ? 12 Boy 410, a 1 - , —v = L.«+L,y LnzıV.. L Kaldes X: Y:Z: ... 0.s.v. Plankoordinaterne til (3), bliver (3) ved (1) transformeret til et nyt Plan, hvis Plankoordinater ere bestemte ved É 10” _] =~ à DS WER — ANA TEE UE ETAT BY = HØ: USD. GE Be LU, GEM RORO lo rc aaa an (5) py V’ => Anpı À + Bari Ya 00 Tps V. Altsaa blive Plankoordinaterne Lransformerede ved en Transformation, hvis Koeffieienter ere Underdeterminanterne i 2 til "dens Elementer. : Ved et Dobbeltplan forstaa vi et Plan, der transformeres til sig selv. For et saadant Plan kunne vi (analogt med hvad vi gjorde for) sætte X’= A, Y’= Y ... o.s.v. Vi se da, at naar dette skal finde Sted, bestemmes y’ ved Ligningen AU | A, u, B,, CARTES | | non : | 4, By, Ca sao lig | MER ee. | = 0, (6) | | | Ayzı 5 Bree Ge 010.0 Lx: 74 og at denne Ligning, da D=1, er den reciproke til (3), d.v.s. har de reciproke Rødder. Ligesom for ses det da, at Transformationen har (x + 1) Dobbelt- planer, hvoraf ikke 2 kunne falde sammen, naar Rødderne i (2) alle ere forskjellige. Det ses tillige, at, naar man kjender Koordinaterne til et Dobbeltpunkt for Trans- formationen (1), faas Plankoordinaterne til et Dobbeltplan, naar man ombytter Elementerne 2 i 2 : I a,, 0, ... med deres Underdeterminanter i D og for y sætter —. L Til hvert Dobbeltpunkt i Transformationen svarer saaledes et Dobbeltplan. J, 4) Vi skulle nu vise, at, naar man lader et Dobbeltpunkt og et Dobbeltplan svare til hinanden paa den i det foregaaende beskrevne Maade, vil ethvert Dobbeltplan gaa gjennem alle de øvrige Dobbeltpunkter, idet vi antage alle Rødderne i (2) forskjellige. Kalde vi nemlig Dobbeltpunkternes Koordinater Gig Ying Gy cos Wis on Yon 29 #00 Dy 5 Un+15 Yn+y En+1 +++ Ont; de tilsvarende Værdier af y Pro [Ba ooo Anal og de tilsvarende Plankoordinater for Dobbeltplanerne 13 75 = X;, DORE A NEA EN Anrı, Yarı, Zntı ce Vin, saa har man, at Dobbeltpunktet %, %x . .. vx og det tilsvarende Dobbeltplan ere bestemte ved pate = a, by +e, Lu par = 4% boy Ho ... lot 8.0 Bolo oo 0 Go 8 6 6 OSD at foi 6 do 8 (7) PVE == Ong Be + Ond ye + On ta ek ~~~ Ings VK 08 5 l G 7 [7 m == AO A ee, & Ah NE NEO OL ENT A (8) i Vi == Angi Ar + Brg Yi GER ... Enrı Ve. Pr Nu ses det for det første, at man ikke kan have, at der mellem Koordinaterne til r vil- kaarlige Dobbeltpunkter ig Yan Su ooo ON y Way Way 2) 305 W 5 Pon Wea Gp Soc Ops bestaar Ligninger af Formen art, + Goh, ... Gt, = 0, AY Tog --. Orr = 0, gratin Gi vo abat (9) CAC ACTION Al DIE Multiplicerer man nemlig den øverste Ligning (9) med a,, den næste med d,, den næste faar man med €, 0.s.v., den sidste med /, og adderer, Oy fy Ta + Gy fof, -.- Grprtr = 0. Eliminerer man nu mellem denne Ligning og den øverste (9) 2, faar man Oy (21 = Pr) TT + delle — fr) Le +: Cri (Pr er) — 0. 14 Paa lignende Maade faar man ali — Uri + 2 (22 Pr) Yo +: Gr-s (rt — fr) Yrs — 0, ai lui —pr2, + Ge (My — fr) 22 ++: Ari (ri — fr) a = 0, ee Seer eee ot Law © De SB Be a aes oe (10) a, (by — er) ¥, + Ge les — pr) Uy --- Gri (pri — fer) Ur-1 = 0, hvor Ligningerne (10) ere af samme Form som (9), mén kun indeholde Koordinaterne til (-— 1) Dobbeltpunkter. Ligningerne (10) kunne da alle behandles paa samme Maade som (9) og ved at vedblive paa denne Maade vilde.man tilsidst komme til, at alle Størrelserne Bin By naa rfi maatte være 0, hvad der er urimeligt. Heraf ses da, at Determinanten Tan dag En Vi | Lo ? Ya > Zo Do FE ess ees ERP M SR EGE. = 4 | &n+i, Yntt, Ent1 --- Unqi ikke kan være 0, da der saa maatte bestaa Ligninger af Formen WT Goo .-- Anti Inti — 0, di Yi + dy Yo ce. Anti Wii = 0 ? Un+10%ı =F Ontivy .-- Anti Uni = 0, og at heller ikke Underdeterminanterne til Elementerne i en Række af 4 kunne være 0, da der saa maatte bestaa lignende Ligninger mellem Koordinaterne til » Dobbeltpunkter. Det er da umiddelbart indlysende, at et Plan er fuldstændig bestemt ved at skulle gaa gjennem n af Dobbeltpunkterne, at et saadant Plan er et Dobbeltplan, da det trans- formerede Plan gaar gjennem de samme x Dobbeltpunkter, og at et saadant Plan ikke kan gaa gjennem det (z+ 1)te Dobbeltpunkt, da dette vilde kræve 4 = 0. Det ses da, at man saaledes faar (z+ 1) forskjellige Dobbeltplaner, eller alle Dobbeltplaner. Heraf frem- gaar, at ethvert Dobbeltplan gaar gjennem x Dobbeltpunkter. At det Dobbeltplan, som ikke gaar gjennem Punktet 241, Yn+ı --- Unti, er det, som svarer til w»+1, lader sig ogsaa direkte paavise. Dette Plans Ligning er nemlig | y M 2 000 ® |i Yin 21 = Uh Ne =, (11) | | Un, Yn, Zn +--+ Un Benævnes Underdeterminanterne til Elementerne i (11) med tilsvarende store Bogstaver, ere Plankoordinaterne for Planet (11) X:Y: ... V; og om disse kan det vises, at de tilfredsstille de samme Ligninger, hvorved Plankoordinaterne til det omtalte Dobbeltplan ere bestemte. Man har nemlig = Yar 22 2 | x= |: > |I9 anal. | Yny En Un | 1 TER CE lo 585 fn ae Brn occ May Kay, Kata --- ore UnYn, Pre «++ Unvn a, @,- boy, ... lv), Gy%, Os ya Ug 0, -.. Anrıkı 4 On tt. Ings, Gay +t Oo Yo 2-4 Uy Uo, Only late Angulo I Onriyo -.. Unaivs | Ay An + bø Yn +++ Un Bag Ag &n + bs Yn ++ Us Un... Anti Un SF bn+1 Yn tee brat Un On) Day Gy I, | Alig 185 5 C, L, Go. 9 Mag Og lo ho Yay Én vi ERE er cn TR | Tax Yo, 22 de |: An+-15 Dar, Cn+1 .-- U | Xn 5 Yn > Én +++ Un hvor Rigtigheden af det sidste ses ved atter at udfore Multiplikationen; men da den forste af disse Determinanter er 1, ses det umiddelbart, at man har J Un+1 5 eA BY BEY IB Paa samme Maade ses det, at man har I ae By Ges ey Un+t Ae V =) Ap RAL On ul n+1 Sammenligner man nu disse Ligninger med (8), idet man for & sætter n+ 1, ses det, at disse Ligninger falde sammen, naar man for X setter X,4, for Y Yarı 0.s.v. Herved er da bevist, at det omtalte Plan svarer til 4241. Vi se altsaa, at ethvert Dobbeltplan gaar gjennem alle Dobbeltpunkterne med Undtagelse af dets tilsvarende Dobbeltpunkt. Paa samme Maade kan naturligvis vises, at ethvert. Dobbeltpunkt ligger paa alle Dobbeltplanerne med Undtagelse af dets tilsvarende Dobbeltplan. 5) Lad os stadigt antage, at alle Rødderne i (2) ere forskjellige for Transformationen (1), og at Dobbeltplanernes Ligninger ere I GB SEW sae Veo SO, ea ALG coo Vat = 0, Pızı = Antı® + Vay 0100 Vip ae OF saa maa man altid kunne skrive Transformationsligningerne under Formen ERE st al, ’ EE Fr EP, > Dee ME (12) D Ur hvor a, 8, 7 ... 2 ere Konstanter, og hvor Pi; Pi ... Pry: betyde Former, der faas af Pi, Py ..- Pays Vedifor ©, y, 2... at sette 2, y), 2’... Om Konstanterne a, @, 7. 2 kunne vi anlage, at deres Produkt er 1. Disse Konstanter kaldes Transformationens Multiplikatorer. Det er klart, at man altid kan skrive Transformationen (1) under Formen (12). Thi for det første bestemmer (12) en lineær Transformation af samme Form som (1), da vi ved at lose Ligningerne m. H. t. p, 4, ıY, m,2... pv faa disse udtrykte ved lineære Funktioner af @, y, z ... v med konstante Koefficienter. Dernæst ses det, at hvis vi i Bl — MEAN ee) for ga, wy’... uv sætte Udtrykkene i (1), faa vi 17 79 PMU}, hvor P er en lineær Funktion af &, y, 2 ... v. Lad os antage PE GG ED oo. UB, saa kunne vi sætte, hvis X, ikke er 0, (og ellers kan en anden af Koefficienterne i P benyttes paa samme Maade), : i a P= es 12 aR or 1 hvor Q er en Størrelse, der ikke indeholder z. Man har da r a pe =xP, 48, 1 og, da Q skal vere 0 for alle de Verdier af 2, y, 2 ... v, der gjøre P, til 0 og dens Koefficienter ikke kunne være proportionale med P,’s Koefficienter, da den mangler Leddet indeholdende +, maa alle dens Koefficienter vere 0. Vi have saaledes fundet | pole, LR pP. = kB, LL Inn Sri Kena sta = ÿ i 2) À Es hvor k,, ky ... kn ere Konstanter. Satte vi her y, = ÆT - , faa vi Ligningerne Ve, ; ky 00.0 En paa Formen (12). Det ses da, at Multiplikatorerne kun ere bestemte paa en Faktor ner, der er en vilkaarlig (n -+ 1jte Rod af Enheden. 6) Da Multiplikatorerne ere af stor Betydning for de endelige og diskontinuerte Gruppers Theori, skulle vi se at finde disse Størrelser, naar Transformationen er givet ved Ligningerne (1). (12) skal være ekvivalent med (1). Vi maa derfor komme tilbage til Ligningerne (1), naar vi lose Ligningerue (12) m. H. t. y, 4", pig, pie 0. s. N. Men herved faar man Udtryk af Formen bi = Oh my = @ BREMER (13) mV = Ontı, hvor Q,, Q, ... Qn+1 ere lineære Funktioner af æ, y, 2... Skulle altsaa (13) og (1) være identiske, maa 4, og » kun være forskjellige ved en konstant Faktor, eller vi have p= kp, (14) Å Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. 11 i 3 OT PT RR ER 80 18 hvor Æ er en Konstant. Nu kunne vi sætte P, = P, ... = P, — 0, da er det Punkt, som er bestemt herved, et Dobbeltpunkt, hvis tilsvarende Dobbeltplan er 2,:, —0. Vi kunne nu for dette Punkt sætte , , = 2, f=y..-0=v- Den hertil svarende Verdi af » er en af Redderne i (2), medens Værdien af », er 2. Vi have da, at ki er en Rod i Ligningen (2). Hvad der gjælder om 4, gjælder selvfølgelig ogsaa om alle de andre Multiplikatorer. Det gjelder da kun om at bestemme Værdien af & Det Led, der ikke indeholder y i (2), er imidlertid + I, medens Koefficienten til »”*1 er 1, vi have derfor i alle Tilfælde SESE Ale ie og da ap 7 oe i frs 1. saa at & er en (n+ ijte Rod af Enheden. Multiplikatorerne ere imidlertid kun bestemte paa en Faktor nær. der er en (n+ Ijte Rod af Enheden. Vi kunne derfor vælge Multipli- katorerne saaledes, at Z = 1. Er en Transformation givet ved Ligningerne BEZ hid Seil) ss py = az +by ..- lev, Sas sie, oe eee: (15) po = Anis + Bazıy --- 410, hvor Transformationsdeterminanten er 1, saa ere Transformationens Multiplikatorer Rodder i Ligningen forudsat, at Rødderne i denne Ligning alle ere forskjellige. - 7) Naar en Transformation ved at ophøjes til mte Potens bliver identisk, siges den at være af mte Orden. forudsat, at den ikke bliver identisk ved at ophøjes til en lavere Potens. Kan Transformationen skrives under Formen (12), er Belingelsen for, at den er af mte Orden, at vi have a = ip Yes + FES og at ikke lignende Ligninger finde Sted, naar vi for m sætte p, p n +1, hvad den altid maa vere, naar alle Multiplikatorerne ere forskjellige, kræver dette at Lau = 2 Det ses ogsaa, at hvis p er tilstrækkelig høj og alle Storrelserne 23, a7 ... for- skjellige, vil af (26) folge, at (a, 5.) = (A,B), 0-8. v. 11) Lad os nu antage, at B og C ere to vilkaarlige Transformationer henhørende til Gruppen. Lad os antage, at C har Ligningerne pu = a,2 4 Pyy..-2,0 5 py = 4,2+ Boy... Av L D — Ant + Pn+1 9 = abo An+10, Naar et Punkt transformeres ved Transformationen 4”B, forstaas herved, at det først transfor- meres ved B, derpaa ved 4”. 29 91 saa kunne vi danne Transformationen CA”B. Det første Element i Transformations- determinanten til CA"B er da CLOG, a= EOS cos Aline Efter det foregaaende skal denne Størrelse være konjugeret med sin Underdeterminant i Transformationsdeterminanten for C4”B; men denne Underdeterminant er det første Element i Transformationsdeterminanten for den omvendte Transformation DB! AT" C1, Dette Element er 5 GBI Ay ae OR B Aly cae Ld, Ann, og man har altsaa Poe TE PEO Gn oe LOR Ge CAIN CO EC wen og ligesom for, da A er en Transformation af (n +- 1)te eller højere Orden, aa, = A, A, Pit — B, 4, eue ah i (28) A Ana >= RA ad nu C være identisk med D, saa giver (28) ar : b@, = 13, À, 6,6, = GA 3 1 | (29) L Gnas = L Any. Disse Ligninger og de analoge, som faas ved at udtrykke, at de øvrige Elementer i Dia- gonalrekken i Transformationsdeterminanten for CA”B skulle vere konjugerede med deres Underdeterminanter, udtrykke, at Produktet af 2 Elementer i Transformationsdeter- minanten for B, der ligge symmetrisk m. H. t. Diagonalrekken, ere konjugerede med Produktet af deres Underdeterminanter. Lade vi C vere den omvendte Transformation af B, have vi @; Aly = @, Aly 2 Go À Oy Als (30) An+i Ål ni — Ann Ani. Disse Ligninger og de dermed analoge, som faas paa lignende Maade, udtrykke: At Produktet af et Element og dets Underdeterminant i Transformations- determinanten for B, en vilkaarlig Transformation i Gruppen, er reel. 92 30 Thi dette finder Sted, naar en Størrelse er sin egen konjugerede Størrelse (og ikke er ce). {2) Haves en Transformationsgruppe, hvis enkelte Transformationer betegnes ALB Glee a D Savi I faas en hermed ligedannet Gruppe, idet vi danne alle Transformationerne BAUR, LE mt TS A CE 22.0. Vo 5 idet / er en vilkaarlig Transformation, og #1 betegner den omvendte Transformation af Z. De 2 Grupper vi saaledes faa, svare til hinanden saaledes, at der til hver Trans- formation i den ene svarer en Transformation i den anden, og saaledes, at der til en Transformation, sammensat af 2 Transformationer i den ene Gruppe svarer en Trans- formation sammensat af de 2 tilsvarende i den anden Gruppe. Det er let at se, at de til hinanden svarende Transformationer i de 2 Grupper have samme Multiplikatorer (hvad der lettest ses, naar Transformationsligningerne ere henførte til Dobbeltplanerne), idet man faar FAF" ved at anvende Transformationen #7! paa begge Sider af Transformations- ligningerne for A. Man kan derfor betragte det andet System som en Transformation af det forste, idet det anførte viser, at vi ved at gaa over til dette kun indføre et nyt Koordinantsystem. Dobbeltpunkter og Dobbeltplaner i det nye System ere Transformationer af de til- svarende Størrelser i det oprindelige System ved Transformationen À. Thi lad os antage, at et Dobbelpunkt P for Transformationen A ved F transformeres til P’, saa vil P" ved F1 transformeres til P, ved A lades P uforandret og ved F transformeres P til P’. Altsaa er P’ et Dobbeltpunkt for MA AT". Vi kalde det, at danne en ligedannet Gruppe med en given ved at underkaste alle den sidste Gruppes Transformationer Operationen #— F", at transformere den ved F. 13) Vi ville nu undersøge, hvornaar en Transformation A bliver uforandret ved at transformeres ved en Transformation /. Skal A blive uforandret ved Transformation ved F, maa den have de samme Dobbeltpunkter efter Transformationen som for Transfor- malionen. Vi se altsaa, at den bliver uforandret, hvis F har de samme Dobbeltpunkter som 4. Hvis F ikke har de samme Dobbeltpunkter som A, maa den ombytte de Dobbelt- punkter indbyrdes, den ikke har fælles med A. Ombytter den kun saadanne Dobbelt- punkter, der svare til samme Multiplikator, vil A ogsaa blive uforandret. I andet Tilfælde maa /? kredsforskyde saadanne Dobbeltpunkter, hvis Multiplikatorer kun ere forskjellige ved en Faktor, der er en (x + I)te Rod af Enheden. 31 ; 93 Lad os antage, at F forvandler Dobbeltpunkterne (P til 7, 5 JP, til ZE soe Men til A, AM, saa maa man have, naar der til P svarer en Multiplikator mm, og a er en (n + I)te Rod af Enheden , at der til P, svarer ma — PR — ma? — P, — mas = I == ma, Skal nu FA FT! være identisk med Ff, saa maa man, da Multiplikatorerne kun ere be- stemte paa en Faktor ner, der er en vilkaarlig (n + {jte Rod af Enheden, og da i PAF—! P, faar Multiplikatoren m, have, at alle Multiplikatorerne for FA Ft blive identiske med dem for.A ved Multiplikation med @ Man maa da have WE" = Un , saa at re i, men da r+1 Ay, soll == + App, (34) idet tillige Fortegnene i begge Ligningerne (33) og (34) svare til hinanden. 35 97 Skulde en af Størrelserne a,, @)..-Gn41, %, Være 0, maa der findes Transfor- mationer, for hvilke det tilsvarende Element «a, ikke er 0, og vi kunne da bestemme ap saaledes at det er konjugeret med sin Underdeterminant med positivt eller negativt Fortegn saa at Ligningerne (33) og (34) i alle Tilfælde bestaa samtidigt, og Fortegnene ere de samme for alle til hinanden svarende Elementer. Vi danne nu Transformationen C-!4”B. Det Element, der svarer til a, i C-!ArB’s Transformationsdeterminant er ; a"B,a, + B"B, a, ... A" Bn+i ani. Da det skal vere konjugeret med sin Underdeterminant med positivt eller negativt Fortegn, maa man altsaa have a™B, a, + B™B, 4, ... ArBarıanı, — — (ar, A, + B™bp Ap... + A" Pry ARE): Ligesom for faas heraf By 4, — sea 4; Se Pa A, By a, = BnziQng1 = + Anos Anti. Ligningerne (35) vise, hvis ingen af Storrelserne @,, a, ...4n4, ere 0, at man for enhver Transformation i Gruppen maa have 2,, 2,... An+ı konjugerede med sine Underdeter- minanter med positivt eller negativt Fortegn. Skulde en af Storrelserne, a,, vere 0, kan man ligesom for erstatte den med en tilsvarende Størrelse «,, der hører til en af de øvrige Transformationer i Gruppen og ikke er 0. Ved at betragte de Ligninger, som faas ved at danne Elementerne svarende til Ay, Ay... na, i C+A”B, ses paa lignende Maade, at man maa have, at ethvert Element i Transformationsdeterminanten for C er konjugeret med sin Underdeterminant med positivt eller negativt Fortegn. I (35) gjælder + eller — eftersom man har a, — + 4,. Man skal i alle Lig- ningerne (35) bruge det samme Fortegn. Det ses da, at alle de tilsvarende Elementer i 2den Sojle af Transformationsdeter- minanten ere konjugerede med deres Underdeterminanter med samme Fortegn som skal bruges i forste Sojle, eller alle med modsat Fortegn af hvad der bruges i forste Sojle, eftersom i (35) + eller — Tegnet er det gjeldende. Hvad der her er sagt om anden Sojle, gjelder naturligvis almindeligt. Da 2,4, — B, 4, (se 28), ses 2, og a, begge at maatte være konjugerede med deres Underdeterminanter med samme Fortegn, eller man har almindeligt, at 2 Elementer i en Transformationsdeterminant, som ligge symmetrisk m.H.t. Dianogalrækken, ere begge konjugerede med deres Underdeterminant med samme Fortegn. 13° 98 36 16) Idet vi stadigt anlage, al intet Element er 0 i alle Transformationsdeterminan- lerne, og at derfor et Element og dets Underdeterminant altid samtidigt ere 0, kunne vi fremsæ.te de Resultater, hvortil vi ere komne, påa en meget simplere Maade. Sætte vi nemlig f = zu + e,yYy-+ &,22...&00, (36) hvor &,, €, ...e, er + 1, eftersom Koefficienterne til æ, y, ... i den første af Transfor- mationsligningerne for en vilkaarlig Transformation B (se 10) i Gruppen er konjugeret med sin Underdeterminant med positivt eller negativt Fortegn, saa skulle vi vise at f bliver uforandret, naar vi for @, y... sætte wa’, wy’... 0.5.v., idet samtidigt æ, y... 0.8. v. erstattes ved de konjugerede Værdier wa’, wy’... 0.s.v. Man skal altsaa have f= pelea Le yy pe, 2e nv]. (37) Dette kræver, at 0022 61 Oo Gy sho ni Don Only ooo Grant == ER ' Cy Cy + Cy Cy Cy ... En€ntiCnti == Ey (38) I, ba + €, l, l, 5.0 0° Dp li rn = En; og at a,b, + €,4,b, + 8,0363... En@nzıbntı = 0 HONG To Oh Oy Gn os ey = 0 D Nm eee 2 (39) (De Dj Ga En Due ee nen 0 Ligningerne (38) angive nemlig, at Koefficienterne til ez, YY - .. i (37) ere lig med de tilsvarende i (36), og Ligningerne (39), at Koefficienterne til wy, wz... i (37) ere 0. Men da A, 5 A 0.0 Ayzı = En An+1 es 9 — B, = ENDE B = by Sato Bari = € En0nt1 to | (0) S tw wo | m - I; Ly; = Sal, Mh = GySally 000 Liyi == Et ses herved, at baade (38) og (39) ere rigtige. Omvendt ses det, at hvis Storrelserne px’, py’... nö indsatte for @, y, 2... 0.S.N\. i (36), medens wa’, py. .. indswttes for x, y - .., lade disse identisk uforandret, maa Koefficienterne for Transformationen, 6, opfylde de i 15) fremsatte Betingelser. 37 99 Thi da Ligningerne (38) og (39) gjælde, har man f. Ex. a, Ga ak En Wn Gig <= Bp GaGa soo Elan I] a,b, Le, @ be + 8,030, . entrent = 0 NE : er: (40) a, lg + E1 Ge == SENE … En Anqilays = 0. Betragles i (40) @,, e,@, €.@5 ... EnQn41 som Ubekjendte, faas heraf Ay A, An+s =D? 1% = D... non = hvor 7) er Transformationsdeterminanten. Er nu Transformationen, som forudsat i 1), bragt paa en saadan Form, at D = 1, har man altsaa Oy = Aes Sol = A, 2: Endn+i = Anti, g paa samme Maade ses alle de andre Koefficienter at være konjugerede med deres Underdeterminanter i D med passende Fortegn, og at disse Fortegn bestemmes som for, naar man f. Ex. kjender de Fortegn, som bruges ved Koefficienterne i den første Transfor- mationsligning. lovrigt ses, at selve den Betingelse, at wa’, wy’... 0.s.v. indsat for Z,y... 0.8.V., pe’, py... 0.8.v. indsat for z, y... o.s.v., skal lade f uforandret, medfører |D| — 1. Man har nemlig | — — — 5 — — —| LCA U GCG Cr CO te RECU GTR coa@al CC oo een ma Ir = = ae = =e se bien + 60545 oat EnOn+1On4+1 5 bb, + E05 b, 04 En0n+10n+1 , 588 bil, + ey byl, ae - EnOngtlnzs || à ace htop CITE ag: th soto ioe Gace OO, DO or PET ore. a a - 0.0.00 ©. 0 1 a VAS EA = He ER | la a, + SAS oc 0 een 1,6, + ¢,l,6, 500 Gambie ll + 2, ll... enlnzılazı) len en leer ses en D) D Vi ville nu anvende de i det foregaaende udviklede Principper, der forøvrigt passe ligesaa godt paa diskontinuerte Grupper, til at finde de endelige Grupper af 1 og 2 Variable. Af disse ere de endelige Grupper af 1 Variabel kjendte fra Kleins Undersogelser. Han kommer som bekjendt til at konstruere alle endelige Grupper ad geometrisk Vej, nemlig ved at vise deres Sammenhæng med de regulære Polyedre. Tilsyneladende er Kleins Raisonnementer simplere end de her fremsatte; men deres Simplicitet kommer egentlig kun deraf, at man i Forvejen kjender de regulære Polyedre nøje. Vare disse ubekjendte vilde vistnok Konstruktionen af Grupperne ved geometriske Raisonnementer være vanskelig nok. Her skal Gruppernes Antal og Beskaffenhed udledes ad rent algebraisk Vej. 100 38 IN. De endelige Transformationsgrupper, hvorved en ret Linie transformeres til sig selv. 17) Vi ville antage, at 2 Transformationer i Gruppen ere A og B (dens Grund- transformationer), og at Gruppen kan tænkes fremkommet ved Sammensætning af disse"). Idet A og B skulle transformere en ret Linie til sig selv, kunne vi tænke os dem bragt paa Formen SEER fur = a,x+ by es! [pe = ax ley = a0 + by ly = By. Vi kunne da for det første se, at vi ikke i A kunne have a, — 0, uden at ogsaa bb, a @. Thi i dette Tilfælde er a, og 6, A's Multiplikatorer. Da disse skulle vere Rødder af Enheden, naar Gruppen skal vere endelig, og A's Determinant skal vere I, har man a, = b,. Man har da Pe ee an og sætte vi C= BABTA-! har man ii { ua = æ + a,6, (a? — 1) bey = y. Man har nemlig a = ß, da a og Ø ere B's Multiplikatorer, og aß altsaa lig 1. Skal nu C hore til en endelig Gruppe, maa man have 6, (ca? —1) = 0. Man kan ikke have g?—1 — 0; thi da maatte 2 være lig a, og B vere en identisk Transformation. Vi maa altsaa have 6, = 0. a, og 6, ere da 0 paa samme Tid, og vi kunne da ifølge foregaaende Afsnit altid forudsætte a, — 63, a, — 1b, | a | n On DE = || | Ga 15 ') Vi skulle senere se, at vi ikke behøve flere end 2 Grundtransformationer. 39 i 101 Da A's Multiplikatorer a og a ere Rødder i Ligningen ee (a + by)z +1 — 0, maa man desuden have a+b, = a+td, hvor «a er en Rod af Enheden. Hvis Multiplikatorerne ere ulige (2x + 1)te Rødder af Enheden, er Transformationen af (2n + 1)te Orden; ere de lige 2xte Rødder af Enheden, er Transformationen af nte Orden. Ligningen D = 1 kan skrives ; Pe] le (41) Vi skulle nu forst vise, at hvis Gruppen skal vere endelig, maa man altid have by = — ay. (42) Af (41) ses, |a, | > 1 hvis 6, = an (med mindre Gruppen kun bestaar af Trans- formationen af samme Form som B). Lad os danne Transformationen AB AB, saa er dennes Transformationsdeterminant | Le ! TE | dia, bia I | ba, , —bıa | | = = | &a, bea | | aa, ad | | a,b,--biasu?, —a,b,a? + bya, | ab, —a,b,a?, a,b, — a,b,a? hvis Elementer ere Koefficienter for Ligningerne for ABA-1B1. Antages nu 6, = me, a? = e®, faar man, at Summen af det første og det sidste Element i denne Deter- minant er 2|a, ?— 2p? cos», og da ifolge (41) [a@ |? — 9? = 1, 2 a |? — 2/02 (COs vls> 2), med mindre v — 0, eller y = 0. Men 2a, |? — 2p? cosy = a, ta, naar a, er en af Multiplikatorerne for ABA+*B. Denne sidste Ligning er da kun mulig, hvis v — 0, eller y = 0. I første Tilfælde er Multiplikatorerne for B+ 1, B en identisk Transformation. Man maa da have, idet, efter det foregaaende, o — 0 heller ikke kan bruges, da A og B saa have samme Dobbeltpunkter, at 6, = a, er en Umulighed og altsaa un 1 102 40 Vi have da Sætningen: Skulle Transformationerne Rake { pe = ax + byy | py’ = at + boy og B [ pe = ax op FE , luy = By. hore Lil en endelig Gruppe, maa man have ln = = Wy a, = by, | Det ses, at naar vii f= eat yy sætte ga for +, wy’ for y, bliver f uforandret. Naar A ombytter B's Dobbeltpunkter, maa A? vere identisk, idet 4? har B's Dob- beltpunkter til Dobbeltpunkter, og desuden de samme 2 Dobbeltpunkter som A, forskjel- lige fra B's Dobbeltpunkter, og en Transformation, der transformerer en ret Linie til sig selv, ikke kan have flere end 2 Dobbeltpunkter uden at være identisk. Skal A ombytte B's Dobbeltpunkter « = 0 og y = 0, maa den have Formen “4 = Ages { La = by \ ey = a, Omvendt ses det let, at enhver Transformation af samme Form som den her nævnte, A, er af anden Orden, idet 6, — — ay. 18) Efter at have bestemt Formen for de enkelte Transformationer hørende til en Gruppe, ville vi søge at lose det Problem: Hvilke mulige endelige Grupper existerer der, hvis Transformationer transformere en ret Linie til sig selv. Lad os først antage, at Gruppen indeholder en Transformation A af højere end 2den Orden, saa kunne vi transformere A ved alle Transformationer i Gruppen, d. v. s. danne alle de ligedannede Transformationer C = BA B=1, idet B er en vilkaarlig Trans- formation i Gruppen. Indeholder Gruppen N Transformationer (den identiske Transfor- mation medregnet), ville vi have N Transformationer C, som dog ikke alle ville være forskjellige. Vi kalde alle de forskjellige Transformationer, som ere dannede af samme Trans- formation A ved at transformere den ved alle Transformationer i Gruppen, en Samling hørende til A. 41 ; 103 Vi ville nu bestemme, hvor mange Transformationer der hore til den Samling, hvortil A hører. Vi antage, at À er af nte Orden n > 2. Vi se nu for det første, at vi faa samme Samling ved at gaa ud fra en vilkaarlig Transformation horende til Samlingen. Thi hører C til Samlingen dannet ved A som Udgangspunkt, vil den ogsaa høre til Samlingen dannet fra D som Udgangspunkt, naar D og A høre til samme Samling. Man har nemlig da BAB = © B,ABo = D I ) hvor B og B, ere 2 Transformationer hørende til Gruppen. Men heraf faas À = BACB = BENDER, , C= BB-DB,B-, hvorved Sætningen bevises, idet AB! atter er en Transformation hørende til Gruppen. Ligeledes ses, al der gives lige mange Transformationer i Gruppen, som lade enhver Transformation i Samlingen uforandret. Thi ere atter A og C Transformationer i samme Samling, saa at man har C= BAB, og lades A uforandret ved Transformationen ved D, altsaa DAD = A, saa har man A = B"'CB, og altsaa DB 1CBD = B'CB BDBOCBDB' = C, saa at C lades uforandret ved BOB. Da nu tillige 2 Transformationer BD B-— og BD, B~ ikke kunne vere identiske, hvis D og D, ikke ere det, svarer til hver Trans- formation, der transformerer A til sig selv, een Transformation, der transformerer C til sig selv. Dannes nu den Samling, hvortil A horer, vil det vere let af se, hvor mange Transformationer den indeholder. { Vi antage A af nte Grad n > 2, da kan A kun lades uforandret ved Transformation af saadanne Transformationer, der have samme Dobbeltpunkter som den. Vi kunne tillige antage om A, at kun dens Potenser have samme Dobbeltpunkter som den. Thi havde 2 Transformationer A og B samme Dobbeltpunkter og vare 2 Mul- tiplikatorer henholdsvis for A og B a og 2, hvor a og # ere Rødder af Enheden, saa Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. 14 104 42 vilde en Multiplikator for ArB? vere aff”, idet vi antage, al a og Ø svare til samme Dobbeltpunkt. fi Vare nu A og B af Ordenerne n og n,, M mindste fælles delelige Tal for n og , Saa ses det, at p og g kunne bestemmes saaledes, at A? B? er af Mte Orden. Thi er ny n = pi Pa Ps---- > hvor p,, Ps, Ps --- ere Primtal, vil Ar... vere af Ordenen p?, og der vil altsaa vere en Potens af A, som er af Ordenen p?, en af Ordenen på --- 0.S.v., medens omvendt Produktet af 2 Transformationer med samme Dobbeltpunkter men af Ordenen p%, på ere af Ordenen p?, på. Endvidere ses det, at åf 2 Transførmationer af samme Ørden m med de samme Dobbeltpunkter, den ene altid er en Potens af den anden, da en hvilkensomhelst primisk nie Rod af Enheden altid er en Potens af en anden primisk nte Rod af Enheden, og endelig ses det ved lignende Betragtninger, at naar 2 Transformationer have samme Dobbelt- punkter og Ordenen af den ene n er et Multiplum af Ordenen m af den anden, vil den sidste være en Potens af den første. Men da fremgaar det, at naar p og g ere bestemte som ovenfor omtalt, baade A og B ere Potenser af C = ArBz. Vi kunne altsaa altid, blandt de Transformationer, der have samme Dobbeltpunkter, vælge en saaledes, at alle de andre ere Potenser af denne, og vi kunne nu netop antage A saaledes valgt. Da der nu findes » saadanne Potenser af A, vil der altsaa i Gruppen findes n Transformationer, der transformere A til sig selv. Altsaa ville vi ved at trans- formene A ved alle Transformationer i Gruppen faa A n Gange gjentaget, og lige saa ofte ville vi da faa enhver anden Transformation i Samlingen, hvortil A hører, gjentaget. | Kaldes Antallet af Transformationer i Samlingen S, have vi da nS = N, eller > 2 S — = Alle Transformationer i Samlingen have de samme Multiplikatorer. Vi kunne da ikke faa to Transformationer i Samlinger, der have de samme Dobbeltpunkter, uden at den ene er den omvendte Transformation af den anden, idet ved Transformationer, der alle transformere den rette Linie til sig selv, kun saadanne Transformationer baade kunne have samme Dobbeltpunkter og de samme Multiplikatorer, men naturligvis saaledes at den til samme Dobbeltpunkt svarende Multiplikator er forskjellig i de 2 Transformationer. Skal Samlingen da baade indeholde en Transformation og dens omvendte Trans- formation, maa Gruppen indeholde Transformationer af 2den Orden, idet kun en Transfor- mation af 2den Orden indbyrdes kan ombytte to Punkter. Er der da ikke nogen Transfor- mation, der ombytter Dobbeltpunkterne for A, maa alle Transformationerne i den Samling, hvortil À hører have forskjellige Dobbeltpunkter. Den Samling, man faar ved for A at sætte en Potens af A, maa da ogsaa indeholde S Transformationer, som alle ere forskjel- 43 105 lige fra dem der forekomme i Samlingen, hvortil A hører, idet den kommer til at bestaa af Potenser af alle Transformationer i Samlingen, hvortil A hører. Disse Samlinger inde- n—1 ,, m = N Transformationer. holde da alle tilsammen Vi ville for Fremtiden kalde de Samlinger, som tilhøre Transformationer med samme Dobbeltpunkter, for Samlinger der tilhore disse Dobbeltpunkter, eller for Samlinger der tilhøre en enkelt Transformation med disse Dobbeïtpunkter. Er der én Transformation af 2den Orden, som ombytter A's Dobbeltpunkter, vil den Samling, man faar ved for À at sætte At, falde sammen med den Samling, hvortil À hører. Er derimoe A? ikke den omvendte Transformation af A, vil den Samling, hvortil A? høre, indeholde S Transformationer forskjellige fra dem, der forekomme i samme Samling som A, medens A? og 47? høre til samme Samling, uden at være identiske med hinanden. Dette finder dog kun Sted hvis ikke n lige, og p — = I dette Tilfælde bliver A? af anden Orden og falder sammen med sin omvendte Transformation. Samlingen S hvortil A? hører, kommer da i dette Tilfælde til at indeholde = Transformationer. Hvad enten » er lige eller ulige komme de Samlinger, der tilhøre À (eller dens =i - Dobbeltpunkter) i Alt til at indeholde a N Transformationer!). Tilbage staar da kun at afgjore, hvor mange Transformationer en Samling inde- holder, der tilhorer en Transformation af 2den Orden A, naar A ikke er en Potens af nogen anden Transformation horende til Gruppen. Er der nu ikke nogen Transformation i Gruppen, der ombytter A’s Dobbelt- 4 weer ; x N É punkter, faas ligesom for, at den Samling, hvortil À hører, indeholder = Transformationer. Er der en Transformation B i Gruppen, der ombytter A's Dobbeltpunkter, kunne vi tenke os A transformeret, saa at A har Formen 1e f pe = ix ley ——iy. B maa da have Formen Be ie ur idet |b) — 1. Skulde en Gruppe indeholde en Transformation til, C, som ligeledes transformerede A til sig selv, maatte den have Formen PRIS É N : 5 : .… n—2 Samlinger hver paa = Transformationer, eller for m lige —— 7 € NE 3 No 1) Nemlig enten for n ulige SE 7 N Samlinger paa n° 1 paa In Transformationer. i 27 106 44 = ux = cy Col Én | py — —_ CF Men da havde man dk næ —= — ber IE = 4" | py — bey Da BC har samme Dobbeltpunkter som A, og efter Forudsætningen ingen anden Transformation maatte have samme Dobbeltpunkter som A, man maa altsaa have be — + i. Vi kunne gjerne sætte + 7, da vi faa samme Transformation B, ved at ombylte 6 med — 6. Dette giver = b — ic. Men i dette Tilfælde er C = AB, og vi have AB = BA, da Bee 41 Vi se da, at der er 4 Transformationer i Gruppen, der transformere 4 til sig selv, den identiske Transformation 4, B og AB. Den Samling, hvortil A hører, indeholder saaledes — Transformationer. 4 19) Det er herefter let at bestemme, hvilke mulige endelige Transformationsgrupper der gives. Man maa nemlig have, naar Gruppen indeholder Transformationerne AB af Ordenen Tin Dp oss hvis Dobbeltpunkter ikke ombyttes ved nogen Transformation i Gruppen, og Transformationerne BRODER af Ordenen gs dls 38 85 hvis Dobbeltpunkter ombyttes af Transformationer i Gruppen, idet vi an- tage, at de her omtalte Transformationer ikke hore tilhinandens Samlinger, og tillige at der ikke gives Transformationer med de samme Dobbelt- punkter som 4,, 4,... B,, B,... af højere end de her anførte Ordener: rl ao HO Fo SEERE un B= 1 =) AT SAN (43) ny No 2m, Im ; idet Gruppen foruden Samlingerne hørende til 4,, A, ... B,, B, endnu indeholder den identiske Transformation. 45 107 CON om | 1 =oj ny 2 Da Gruppen. Da Er, kan der, hvis der forekommer en Transformation i Gruppen, hvis Dobbeltpunkter ikke ombyttes, desuden kun i det højeste forekomme een Transforma- tion D,, med tilhørende Samlinger, saaledes beskaffen, at dens Dobbeltpunkter ombyttes ved en anden Transformation i Gruppen. Man har altsaa, naar der existerer en Trans- formation A,, enten at der ikke hører nogen Transformation D, til Gruppen. I dette Tilfælde har man nm,—1\ , , N( = Jt1=N, (44) Ny IN = Pc Da Gruppen kun indeholder x, Transformationer, bestaar den alene af A, og dens Potenser. Eller ogsaa indeholder den endnu en Transformation B,, med tilhørende Sam- linger. 1 dette Tilfælde har man ox = ae BEN) | à FH In: 3 = = ren Se ei | = = = 9 N 2m,n, n, +2m,—m,n, Nævneren skal her vere positiv, saa at man har n, + 2m,— m,n, >0 (m, — 1) (rn, — 2) < 2, idet m, og m, mindst ere 2. Denne Ligning kan da kun tilfredsstilles, hvis enten 1 = 2, Oe = À; eller n, = 2, m, vilkaarlig. I det første Tilfælde maa N vere 12. Gruppen indeholder 12 Transformationer. Den maa bestaa af en Transformation af 3die Orden med dertil hørende Samlinger, indeholdende i Alt 8 Transformationer, samt en Transformation af 2den Orden, med den dertil hørende Samling, bestaaende af 3 Trans- formationer. Det vil vise sig, at der existerer en saadan Gruppe, den saakaldte Tetraedergruppe. I andet Tilfelde er N = 2m. Gruppen indeholder een Transformation A, af en vilkaarlig høj Orden m,, samt de til A, hørende Samlinger, indeholdende i Alt m,—1 Transformationer, samt en Samling 108 46 af m, Transformationer af 2den Orden. Da de til A, hørende Samlinger kun bestaa af 1 m,—1 Transformationer, bestaa de udelukkende af A, og dens Potenser. Denne Gruppe, den cykliske, existerer ogsaa, naar m, er ulige"). Forekommer der ikke nogen Transformation i Gruppen, hvis Dobbeltpunkter ikke ombyttes ved en anden Transformation i Gruppen, faar Ligningen (43) Formen 7 A N m,—1 ,m,—1, m,— I ( 1 em EE +1=N. (46) 2 mM, mø ms AE Sq: Ligningen kan imidlertid heller ikke indeholde færre Led; thi Gruppen maa inde- holde flere end m, Transformationer, da den maa indeholde A, og dens Potenser, og Den kan ikke indeholde flere Led, da Im Så 1 desuden en Transformation, der ombytter 4,'s Dobbeltpunkter. Manglede nu baade m, og m;, fik man 2m ae aa m, +1 x og havde man N /m,—1 +) ee ye 2 m; Ms 3 ; fik man + 2m,ms N men m, tm, som ogsaa er umulig, da vi kunne antage m, > m, og altsaa NZm.. (43) maa altsaa nu have Formen (46). I det mindste een af Storrelserne »n,, m,, m, maa 5 > : LEGER m,—1 være 2; thi ellers vilde den mindste Værdi af =— vere 5, 08 2m; < T N (me i m,—1 frå m,—1 ) =i 2 mM, Mo Mm; : hvad der er umuligt. Vi kunne da sette m, = 2, og faa da > (3 be! Mal) AR em 2 \2 NC eller 4m,m; Im, Im; — mm, Man maa da have 2m, + 2m, - ms m; >(0, eller (m, — 2) (m; — 2) < 4. *) Det er klart, at hvis m, lige, maa der ogsaa vere en Potens af A,, der ombytter B,’s Dobbelt- punkter, naar B, ombytter 4,'s Dobbeltpunkter. 47 109 Vi kunne da have følgende Tilfælde: m, = 2, m, vilkaarlig, fig == By My à), Ry = 3, Wey = À Ms = 3, M3 — D: I første Tilfælde maa Gruppen bestaa af N = 2m, Transforma- tioner. Den skal indeholde 2 Transformationer A og & af 2den Orden med forskjellige tilhørende Samlinger, der hver indeholde D = z Transformationer, og desuden en Trans- formation C af m,-die Orden med tilhørende Samlinger indeholdende Ze IN == Hg —= Il Transformationer. Altsaa maa de C tilhørende Samlinger kun bestaa af Potenserne aut (Cr Det ses, at m, maa vere et lige Tal, da en skal vere hel. Der existerer en saadan Gruppe, den cykliske Gruppe. Er dernæst m, = 3, m, 3, faar man N = 12; men Gruppen er umulig. Den skulde bestaa af en Transformation af 2den Orden med tilhørende Samling paa 3 Transformationer, og 2 Samlinger paa 4 Trans- formationer hver, hørende til 2 Transformationer B og C af 3die Orden. En af Transformationerne, A, maatte ombytte Dobbeltpunkterne for B; men da har man AIBA == BI, ABIES Simin saa at AB er af 2den Orden, da den er sin egen omvendte Transformation, og paa samme Maade er da ogsaa AB af 2den Orden. De 3 Transformationer af 2den Orden i Gruppen ere da A, AB, AB. De ombytte alle 3 B's Dobbeltpunkter. Men paa samme Maade ses, at alle 3 Transformationer ombytte C’s Dobbeltpunkter og altsaa kunne skrives À, AC, AC™, hvad der er umuligt, da dette vilde fordre, at C var identisk med en Potens af B. Vi have dernest væg = 35 Me = À N bliver 24, Gruppen kommer til at bestaa af een Transformation af 2den, een af 3die og een af 4de Orden med tilhørende Samlinger, paa henholdsvis 6, 8, 9 Transforma- tioner. Gruppen existerer, den saakaldte Oktaedergruppe eller Kubusgruppe. Endelig har man fi = By Ma == Bo Dette giver N = 60. Gruppen kommer til at bestaa af een Transformation af 2den Orden, een af 3die Orden og een af 5te Orden med tilhørende Samlinger paa hen- holdsvis 15, 20 og 24 Transformationer. 110 48 Gruppen existerer, den saakaldte Ikosaedergruppe eller Dodekaedergruppe. 90) Da Bestemmelsen af de mulige Grupper er af saa stor Vigtighed, skal den foretages paa en ny Maade, idet vi udelukkende støtte os paa den Form, det i det fore- gaaende er vist at Transformationerne maatte have, og antage, at Grupperne mindst inde- holde 2 Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter. Vi have vist, at i enhver Transformation yee | pe = a;z+ by Lay = aon + boy hørende til en endelig Gruppe kunne vi antage Eee 06, og a, ——b.. Vi antage desuden, at der til Gruppen hører en Transformation peta {fev = ax | LY = BY, hvis Dobbeltpunkter ere z — 0, y — 0. Har da A Dobbeltpunkterne (#,. 7,), (72, y), saa er Dobbeltforholdet mellem A’s og B's Dobbeltpunkter Aie Ti Lo GT Wi Ys’ g om dette kunne vi vise, at det er reelt. J © US A's Multiplikatorer bestemmes ved Ligningen g?—(a;, +07), 1 — 0, (47) og er w, en af Rødderne i denne Ligning, har man da — bestemt ved 1 fat, = Ge + by, eller en Yı kLı 4 Men af Ligningen (47) følger, da y skal være en Rod af Enheden, nr ee 2 saa at vw, — a, er lig med sin egen konjugerede Størrelse med modsat Fortegn eller er rent imaginer. = Vi have da f= rt Usa, idet y, er den anden Rod i (47) og »,s—a, ligeledes er rent imaginær. Men (48) viser 3 da, at f er reel. Da A og B kan være 2 vilkaarlige Transformationer i Gruppen, faar man: 49 111 I en endelig Transformationsgruppe, der transformerer en ret Linie til sig selv, er Dobbeltforholdet mellem Dobbeltpunkterne for to vilkaar- lige Transformationer henhørende til Gruppen altid reelt. 21) Som Følge af 20) kunne vi paavise, at enhver endelig Gruppe Transformationer, der transformerer en ret Linie til sig selv, -altid indeholder en Transformation af 2den Orden. [ Vi kunne nemlig altid antage, at Gruppen indeholder 2 Transformationer A og B, hvis Dobbeltpunkter ere reelle, og vi antage, at de have forskjellige Dobbeltpunkter og ikke selv ere af 2den Orden, da der i sidste Tilfælde ikke behøvedes noget Bevis. B antages at have Formen Bis {pe = MR Auf = ay, medens A har Formen TEN > ye {ua = aut by se | py = a2 + bey, har Ca = Up) Go = —On» Transformeres disse Transformationer ved på => MR py = 9, bliver 5 uforandret, medens A bliver til , ( BE == Ce +i di ei = Cr + boy, og bestemmes nu mo — Hl]; vil man have ge = i|b, |, saa at Dobbeltpunkterne for A efter 20) ere reelle. Danne vi nu AB? A og antage, at denne er af nte Orden, saa er (A B2A)2 af 2den Orden, hvis er lige. Hvis n derimod er ulige, saa er n—1 n—1 (A B?A) ? AB. BA(AB?A) 2 en identisk Transformation. De 2 Dele, der ere adskilte ved Multiplikationstegnet, ere saaledes beskafne, at den ene faas af den anden ved at ombytte A med B. Da Dobbelt- punkterne i A og B ere reelle, saa faas de omvendte Transformationer af A og B ved i Stedet for Koefficienterne i Transformationsligningerne at sætte de konjugerede Størrelser. Dette ses let ved at henføre Transformationerne til Dobbeltpunkterne, og altsaa for A sætte Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. x 15 112 50 play —ya,) = aay, — ya) N ln play, — ya.) = d(2y,—Y2»), idet (2, Y,) (to, Ye) er Dobbeltpunkternes Koordinater, a’, a’ Transformationens Multipli- katorer. Man har da, al n—1 C = (A B?A) ? AB: og n—1 C, = (4-"B24— 1 2 AB have konjugerede Multiplikatorer og. konjugerede Dobbeltpunkter (d. v. s. Koordinaterne til deres Dobbeltpunkter have konjugerede Værdier). à Men kaldes n—1 BA(AB2A) 21 = Go 5 saa har man Ci = Cran, og da CC, = 1 (d.v.s. er identisk), har man C= C;. C og C,’s Dobbeltpunkter ere da fælles, og da © bliver uforandret ved at dens Multiplikatorer og Koordinaterne til dens Dobbeltpunkter ombyttes med deres konjugerede Størrelser, maa disse sidste enten vere reelle eller’ konjugerede imaginære Størrelser. Have Dobbeltpunkterne reelle Koordinater, skal Transformationen blive uforandret ved at dens Multiplikatorer ombyttes med deres konjugerede Størrelser, d.v.s. Transformationen og dens omvendte Transformation skulle være identiske, den maa være af 2den Orden eller identisk. Skulde den være identisk, maatte man have, at À B?A og AB havde samme Dobbeltpunkter. Men da havde man, at BA = BRA ABA havde samme Dobbeltpunkter som AD, og da IBA = 18, AIS NES havde BA og AB samme Multiplikatorer og ere altsaa identiske eller omvendte Trans- formationer. I første Tilfælde vilde man have BA= AB eller B=ABAT, hvad der medfører, at baade A og B ere af 2den Orden, stridende mod vore Forudsæt- ninger. 51 i 113 I sidste Tilfælde vilde À B?A være en identisk Transformation, og altsaa kunde €, der da blev identisk med AD, ikke være det. Vare Koordinaterne til C’s Dobbeltpunkter konjugeret imaginære Størrelser, havde man, naar disses Koordinater kaldtes +, =1, da Dobbeltforholdet mellem Dobbeltpunkterne 1 for 2 vilkaarlige Transformationer skal vere reelt!), SR, on = — Il, ar U . : Gi aks . > 51 & Q Nr Q rolcer . , ye da for at —-:= skal vere reel, enten == — =, idet begge Størrelser ere reelle, hvad Yu Fa 41 Wh der strider mod Forudsætningen, eller Eg = er! idet begge Størrelser ere rent ima- 1% 71 ginære. Vi skulle nu vise, at der ogsaa i dette Tilfælde maa forekomme Transformationer af 2den Orden i Gruppen. Vi antage da, at Gruppen indeholder en Transformation {ua = a;z+b,y ley = — biz + ay {ue = ax ley = ey, og at A og B's Dobbeltpunkter ere harmonisk konjugerede. A’s Dobbeltpunkter ere bestemte ved A= B 65 Y oe by = REO hvor # er Rod i Ligningen j ae 2 A (BP = lé Cale — 0, og man maa da have, da A's og B's Dobbeltpunkter skulle være harmonisk konjugerede, y — 4 en u — a eller f 2 Fe 24, = LB, saa at a, er reel. Vi kunne da ogsaa antage, at 6, er reel (smlgn. S. 49). Transformationen A kan da skrives, idet a og db ere reelle Størrelser, 4 y a {ua = ax + by ay? == bar ay: Vi kunne tillige antage a og 6 forskjellige fra 0, det første fordi A ellers var À = givet at være af 2den Orden. Bi er Dobbeltforholdet mellem B og C's Dobbeltpunkter. 114 On Ro Vi kunne nu antage, at A er den af alle de Transformationer, hvis Dobbeltpunkter ere harmonisk konjugerede med B's Dobbeltpunkter, hvor den første og sidste Koefficient har den numerisk mindste Værdi. Lad os da danne Transformationen ARE ZBAUR 2? Denne faar Transformationsdeterminanten | ab! | a a b | | GD 26 ol Pee oo | ia | | ad — umb2a— amab? — ab?, 2a2b+ aa2h— a3 | —2a26— amarb + a3, a — "b2a— "ab? — ab? |? og dennes Dobbeltpunkter ere ogsaa harmonisk forbundne med B's Dobbeltpunkter, da forsté og sidste Element ere reelle. | ; Man skal da have | a? ea | a ab? — am ab? — ab? | >> | a | eller | a? — b? (g2m + gem at 1) > 1 3 men er a forskjellig fra z, kan man altid vælge m saaledes at en 2 < gem am 1. (50) Det ses, at — I + 40? sin? mu da maa vere en positiv Størrelse, da 4b? sin? mu er positiv, og — I + 46? sin? mu > + 1, sin mu|> 0, Ligningen (50) kan da skrives 26? sin? mu > 1, idet vi altid kunne velge m, saa at og da b< 1 ie 3 sin? mu > À sin mu | > VA. (51) 116 54 Ligning (49) giver |sinmu| >#; (52) men det er tydeligt, at kan (52) ikke finde Sted for alle Værdier af m, kan (51) end mindre gjore det. Er B nu en Transformation af nte Orden, saa kunne vi, hvad enten n er lige eller i T ; aye ulige anlage u = —, hvor n og p ere indbyrdes. primiske. ; n z s . ; : SEERE: 3 aE Den numerisk mindste Verdi, sin mn kan have, foruden 0, er da sin —, og man n maa da have vw — ENGEL sin — > n n< 6. Vi se saaledes, at hvis en endelig Gruppe indeholder en Transformation af Formen bi 5 B; og desuden Transformationer af 2den Grad, hvis {ste Koefficient ikke er 0, kan Gruppen i det højeste indeholde Transformationer af 5te Orden. Idet vi stadigt antage Gruppen bragt paa en saadan Form, at én af dens Trans- 3 3 3 I formationer har Formen 3, antage vi nu, at alle dens Transformationer af 2den Orden af 2 5 ”) Formen A have den 1ste Koefficient i {ste Transformationsligning lig 0. Gruppen indeholder da 2 Transformationer, som kan gives Formerne ae | la = = og BZ f pt — ax 7 | per = ap Gruppen kan da ikke indeholde nogen Transformation af Formen ps [pe = aye + by \ py =—b, a+ ay, hvor a, og 6, begge ere forskjellige fra 0. A's og B's Dobbeltpunkter ere nemlig harmonisk konjugerede; og det ses let, at dette er den nødvendige og tilstrækkelige Betingelse for at 2 givne Transformationer A og B, A af 2den Orden, B af en vilkaarlig Orden kunne transformeres til de Former, A og B her have. C’s Dobbeltpunkter maa da ogsaa være harmonisk konjugerede. med A's Dobbeltpunkter; thi ellers kunde man transformere Gruppen, saa at C fik en lignende Form, som nu B har, og A vilde da ikke længer have sin første Koefficient lig 0. Ere nu C’s Multiplikatorer y’ og W, er Betingelsen for at C's og A's Dobbeltpunkter ere konjugerede ; = u — a KEE i? 1 [B= By idet A’s Dobbeltpunkter ere ZW: Y 55 117 Da man har + FR ara faas br be fle, TIC i hvad der vilde kræve, at D, var rent imaginær. Men var 6, rent imaginær og dannede man (od IR: fue = aa,@- ab;y BC= i ee Eh buy ——ab;x+aa,y, da var her ikke ab, rent imaginær, og altsaa BC's Dobbeltpunkter ikke harmonisk kon- jugerede med A’s, hvorved ses, at Gruppen umuligt kan indeholde en Transformation af Formen €. Gruppen kunde da kun indeholde en Transformation og dens Potenser af Formen B, og desuden kun Transformationer af Formen 2; , ie fua = by buy = — be Lad os nu antage, at Transformationsgruppen indeholder en Transformation af OL)! t=) i: A = 7 =o Formen N { na — by = 3 Se \ BY =—b,2, saa er : Di ut ——bb,x a AR 1 | RME EN bb BY = On 5 altsaa en Transformation med samme Dobbeltpunkter som B, og kan altsaa, naar B er passende valgt (smlgn. S. 42), sættes lig en Potens af B. Vi have da AA, = Be Al, == Al Be, eller Vi kunne da danne hele Gruppen ved Hjælp af A og B, og se, at den kun kommer til at bestaa af B og dens Potenser sanit n Transformationer af 2den Orden"), som faas ved at multiplicere A med Potenser af B, idet B antages at vere af nte Orden. 23) Vi ville nu danne en Oversigt over de mulige endelige Transformationsgrupper. A) Gruppen kan bestaa af Potenser af én Transformation af nte Orden. Gruppen indeholder N=n Transformationer. B) Gruppen indeholder Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter. Den kan da indeholde (22): 1) At de ere af 2den Orden bevises senere se 24). 118 56 Enten én Transformation af en vilkaarlig høj nte Orden, og Transformationer af 2den Orden der ombytte den Iste Transformations Dobbeltpunkter. Gruppen indeholder (19) : de ae Transformationer. Den indeholder, hvis x ulige, en Samling Transformationer af 2den Orden, hvis - an ; Er 2 ne n lige, 2 saadanne Samlinger, i de 2 Tilfælde paa henholdsvis n og > Trans- formationer. Gruppen indeholder flere Transformationer af højere end 2den Orden med for- skjellige Dobbeltpunkter. = Den indeholder da ifølge (22) ikke Transformationer af højere end Ste Orden. Den kan indeholde ifølge (19%: : a) N = 12 Transformationer, bestaaende af en Transformation af 3die Orden med dertil-herende Samlinger paa i Alt S Transformationer, og en Trans- formation af 2den Orden med dertil herende Samling paa 3 Transformationer. Dette er den saakaldte Tetraedergruppe. by N = 24 Transformationer af i det højeste 4de Orden. De bestaa af en Transformation af 4de Orden med tilhørende Samlinger paa i Alt 9 Trans- formationer, en Transformation af 3die Orden med tilhørende Samlinger paa i Alt S Transformationer og en Transformation af 2den Orden med til- herende Samling paa i Alt 6 Transformationer Dette er den saakaldte Oktaedergruppe eller Kubusgruppe. c) N = 60 Transformationer i det højeste af 5te Orden. De bestaa af en Transformation af 5te Orden med tilhorende Samlinger paa i Alt 24 Trans- formationer, en Transformation af 3die Orden med tilhørende Samlinger paa 20 Transformationer og en Transformation af 2den Orden med tilhørende Samling paa 15 Transformationer. Gruppen er den saakaldte Ikosaedergruppe eller Dodekaedergruppe. 24) Vi skulle nu til virkeligt at vise Dannelsen af disse Grupper. Vi begynde med den cykliske Gruppe. hvis Dannelse egentlig allerede er vist (se 22). Den skal indeholde en Transformation B n= fev == ee lag = ay af en vilkaarlig hej Orden ». og en Transformation PR 2 bey =—be af 2den Orden der ombytter B's Dobbeltpunkter. Man har da 57 119 ABrA = Bm ABm = B-mA, hvoraf ses, at A B” er af 2den Orden, da den er sin egen omvendte Transformation. © sic) Det ses let, at Gruppen kun indeholder Transformationer af Formerne A og AB, thi da AB’ A = BB", kan man reducere et Produkt af Transformationer AB TA PAREIL PAPERS ved stadigt at erstatte AB”ı A ved B-™ 0.s.v., til kun at indeholde i det højeste 3 Fak- torer og altsaa til at faa Formen Br? AB, og ved her for BPA at sætte AB? til A BE ie 2. Herved er da Gruppens Endelighed bevist, og tillige ses ifølge 22), at naar B er pas- sende valgt faar man den fuldstændige Gruppe og ikke en Undergruppe. Det ses ogsaa, at den indeholder (2 —1) Potenser af B, og n Transformationer af 2den Orden, der alle ombytte 2’s Dobbeltpunkter. Gjorde nemlig en af dem ikke dette, vilde Gruppen mindst indeholde 2 Transformationer af nte Orden med forskjellige Dobbelt- punkter. Transformeres A ved en vilkaarlig Transformation af Gruppen, som kan skrives Br As, faas | JR AS „Al. AIR == JRAUER = A Br. Er n nu et ulige Tal, ses da Samlingen, hvortil A hører, at indeholde alle x Transformationer af 2den Orden, som høre til Gruppen. Er n derimod lige, saa er BD” = ee) og Samlingen, hvortil A horer, kommer kun til at indeholde > Transforma- tioner. Der er altsaa i dette Tilfælde 2 Samlinger Transformationer af 2den Orden. 25) Vi skulle nu betragte Tetraedergruppen. Gruppen skal i dette Tilfælde indeholde en Transformation af 3die Orden og en af 2den Orden, der ikke ombytter Dobbeltpunkterne for Transformationen af 3die Orden. Vi kalde disse Transformationer {pe — tax + iby A = i 2 3 buy = 70x— iax og f ua = ax He) B = A — GE —e , bey = ay 2 hvor A er af 2den, B af 3die Orden, og hvor vi antage Gruppen transformeret, saa at . baade A og B have reelle Dobbeltpunkter, saa at a og b ere reelle. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. 16 120 58 Til Gruppen hører da ogsaa ’ Sana yes {pe = iaaw + taby | py’ = taba —iaax og on 2 2 He — , ’ 1 NE f ua! = iaax +iaby \uy = iaby—iuax, hvor man ogsaa gjerne kunde skrive URSS PRE GE 1 SER Ba { pe = —taar— iaby \ py ——iabz + iaay. BA og B?A ses da at have de samme Multiplikatorer, og da a ikke er 0, maa baade AB og A?B være af 3die Orden. Man maa da have, at den reelle Del af vau er hvad vi sætte, da alle Koefficienter i Transforma- ? IT IT 5 ; cos (eller cos >, det er ligegyldigt, ) ” tionen, uden at forandre denne, kunne erstattes ved de samme Størrelser med negativt = ; = ib 33, Fortegn). Vi have altsaa, idet « == = = a3 peeve OPT man) 1 V3 Da a? +62 = 1, er b = |/ >, og altsaa maa Transformationerne À og B have 5) Formen ,… —1+iV3 pt == 9 A B= LE (54) i —1—£Vd [BY Fa Y 08 iV3 iV6 | — a ar —ÿ A = a = (55) i iV6 REN LY 3 S 3 UE Ved Sammensætning af A med Potenser af B faar man Transformationer af Formen op iar vs 4 LATE D j' = H _ C : 3 (56) 3e: ip iaiv6, TER Det skal nu vises, at man ved atter at sammensætte 2 Transformationer af Formen C føres tilbage til Transformationer af Formen Z eller €. I Stedet for selve Transformationerne skrives her stadigt kun deres Determinanter. Vi have da (Ber = . a o oi = AN | za?y 3 à aV6 ia1V3 ia! V6 5 : = | | 3 3 3 3 | | iaV6 zoPy3 iatıY6 daprıyY3 | Es 3 CPR a7 sa — gptPı 9 490 V2 (art — ami) | I Lise ne Er = 2 | V2 (tu — gi?) — gPtPı — Ida | 3 3 | Det gjælder da kun om at vise, at Elementerne a5 EN (LED DE) Fe 3 3 Da) Gao V2 (etn — g9-P1) V2artıı(| — of? 1-0) 9 ) 3 3 by atter have samme Former som de tilsvarende Elementer i Transformationsdeterminanterne g (56). Men som det ses, kommer dette kun an paa, hvilke Former 1+ 2a P-Pı=Qı ad = — = - 3 for (54) © 92 9 (1 — u Pr y V2(1 a ) D) kunne antage. Vi kunne lade g—p—p,—q, vere 0, 1 eller — 1. 1) Er p 9, ga — 0) faas a — — 1] iy == (0 Kaldes de 2 Transformationer, vi have multipliceret, C og D, faas da CID) = Jin, Er gap pı da — =: 1, faas —1+V3i ) 1 2 == > 5 T ER 80 3 ie = — VG = 9 — 1 == V3 2 | a a. allen vaB=EiYV: 3 7 2 ae 2(3-F7V3) — iVE 3 6 ee saa at CD bliver af Formen (56). Det er saaledes vist, at Gruppen er endelig. Da Transformationerne henhørende til Gruppen er indbefattet i Formerne B% og C, hvor p og g kan gives Værdierne 0, — I, ses Gruppen at indeholde 11 Transforma- lioner foruden den identiske Transformation, og den er saaledes ifølge det foregaaende fuldstændig, d.v.s. er ikke Undergruppe i nøgen anden Gruppe, der indeholder Transfor- mationer af i det højeste 3die Orden. Tager man ikke Hensyn til at Transformationsdeter- minanten skal være 1, og sætter man x for y’ kan Gruppen dannes ved felgende simple Transformationer — x +2 I A Ja ze 77 Re B = x = (FE 26) Oktaedergruppen eller Kubusgruppen. Gruppen skal indeholde Transformationer af 2den, 3die og åde Orden. Vi antage, at der til Gruppen hører 2 Transformationer PRE {ex = iaz +iby ~ Ley = ibe—iay, som er af 2den Orden, og 7 — I2;iy2 B= | En 27 Mora VE ENB, 5 ley = av, 2 som er af ide Orden, og ligesom for at a og & ere reelle. Vi faa da eae { 22 = taax + iaby Lay = iabz—iaay, Roue fuz =—az— by ley = br —ay, Ba fev = igaz + iaby | ey = iabz— iaay, hvor den sidste Transformation kan skrives px’ — — iaar —iaby py = —iabr + iaay. BA og B®A have da samme Multiplikatorer, medens 5? A har forskjellige Mul- tiplikatorer fra disse, og da ingen af disse Transformationer kunne være af 2den Orden, maa de være af 3die eller 4de Orden. Da nu —a er numerisk større end den reelle Del af zaa, maa B?A vere af ide Orden, BA og B®A af 3die Orden. Vi have da Transformationerne J og B kunne da skrives > iV2 1 2 2 [us ey = LE a + — A= ee mer (57) We iV2 py BEREDTE ER, og F | V2 + iV2 pa rom x B= u (58) ru BY. en Vi se da, at der i Gruppen maa forekomme alle mulige Transformationer af Formen EN Ve) | pu 5 æ + 7 C= løg te (59) , atiV2 aiV2 “LY 9 a 2 LE hvor p + q = 0 (mod 2), eller hvor p + g er et lige Tal. Gruppens Endelighed vises nu ligesom ved Tetraedergruppen, ved at vise at Pro- duktet af 2 Transformationer af Formen (59) atter blive enten af samme Form, af Formen (58) eller endelig af Formen er a \ By Pe ae idet det let ses, at Sammensætning af Transformationer af Formen (59) med Transforma- (60) tioner af de nævnte Former atter vil føre tilbage til de nævnte Former. ”Idet vi atter kun opskrive Determinanterne, have vi aiy2 atV¥2 | | œuV?2 atiV2 2 2 | 2 2 CDN nl auy2 —ariV2 | | atiV2 —arıiy2 2 2 2 2 — aptPpı — ga 4 — GPTL gi? | 2 2 | SK PAR Te DT LE Le Gan | 2 9 | 2 2 Sætte vi her =—— gptpı (1 + a1=T1=P=Pi) 9 > — gptqı (1 — (Li) D] I 124 62 skulle vi altsaa undersøge, hvilke Værdier disse Størrelser kunne antage, idet vi dog maa erindre, at p+p, og g+q, paa én Gang ere lige eller ulige, da deres Sum skal være et lige Tal, medens 9—9, —p—p, altid er et lige Tal, som altsaa kan have Værdierne , 0, +2, +4. Vi have da N Pa Pre — 95 a — — git, D = (D CD har Formen (58). 2) i as! ie Eee — gPtPı ({ 5) — ger 21/9 FRE 2 2 A —oP=91(1==1) Or ætn+1|/9 2 2 Transformationen CD har Formen (59). 3) Imre als a=0, b = — ru, Transformationen CD har Formen (60). Gruppens Endelighed er saaledes bevist. Det er let at se, hvor mange Transformationer Gruppen indeholder foruden den identiske Transformation. Thi C giver, naar p = 1 eller 3, g = 1, 3, 5, 7 otte Trans- formationer af 3die Orden, naar p — 2, g = 0, 2, 4, 6 fire Transformationer af 4de Orden, endelig naar p = 0, g = 0, 2, 4, 6 fire Transformationer af den Orden. Endelig ses det, at der er fire Transformationer af 2den Orden af Formen (60) og at Potenserne af B giver 3 Transformationer, 2 af 4de, 1 af 2den Orden. Man faar da i det Hele med den identiske Transformation 24 Transformationer. Det ses heraf, at den fundne Gruppe ikke er Undergruppe i nogen anden endelig Gruppe for den rette Linie. Tillige ses, at de fundne Tal stemme med, hvad der er fundet S. 56. Kaldes © for z, og tager man ikke Hensyn til at Transformationsdeterminanten skal være I, kan Gruppen dannes ved Sammensætning af Transformationerne , oh = Dae 08 P z—+1 a = 2 æ— I 27) Vi komme nu til den sidste endelige Gruppe for den rette Linie. — 63 125 Denne, Ikosaedergruppen, skal efter det foregaaende (se S. 56) indeholde 60. Trans- I oO 1 Le) formationer, 24 af bte Orden, 20 af 3die Orden og 15 af 2den Orden. Gruppen indeholder altsaa en Transformation af 2den Orden og en Transformation af 5te Orden. Disse kalde vi {7 — 7 1 UE fue = tax +iby buy = iby —iax © ge (ney — QB ee ay IL GV B= ‘ah an hvor a = Sr dat 2 > 7) = 4, é 4 idet a og à ere reelle Tal. Vi faa da Bar f pe = taax + taby | uy! = tabs —iaay, Br fer = ia?ax + ta?by \ py = 1a?by—iatay, hvor vi skulle have : iala— a) = 2 cos u » ia(a? — a?) = 2 cos v, hvor u og v ere dte Dele eller 3die Dele af hele Omdrejningen. Vi kunne da have cos x og cosv lig med Vore > vi vælge her a negativ, da vi kunne vælge den positiv eller negativ efter Behag. Vi faa cos u 2 COS v DS il Vi maa da enten have 1 cos u = 5 VE 1 BUS Er, å eller ei V5 Li COSU = FE 4 1 COS D == 5: Vi faa da enten : 1 9 —V50—10V5 ia—a) Vi0+2y5 10 , — &V50+10V5 10 126 64 eller | — | 50+10V5 a = - = - la) 10 + V50— 10V5 2 Or Transformationen À er da y _ _ —iV50-1075. „—iV 50 10V5 SENER 10 : 10 ° A= Se pe TER (61) ‚ _ =1V50710V5 |, @V50+10V5 VISSE TE se: 10 Det skal siden vises, at Gruppen indeholder Transformationer af begge Former, idet dog øverste og nederste Fortegn svare til hinanden. Vi se, at Gruppen indeholder Transformationer af Formen , —iV50+10V5 iV50—10V5 LT PE — — dy 10 10 C= PEN rr (62) | ur — = V 501015 =, iV50+10V5-, LY 10 da? 10 dy, og det vil vise sig, at den indeholder Transformationer af Formen D WB iV50+ 50+10V5 , fé 10 = 10 | D = ja Feet (63) a iV50+ 50+10/3—, , Fy 50—10V5—, GE 10 ze 10 = Endelig vil man faa Transformationer af Formen Fe TE) | ED (64) ley ==. Multiplicerer man 2 Transformationer af Formen (62), faar man, idet atter kun deres Determinanter nedskrives, og Transformationerne kaldes C og F —iV50+10V5 „ —:V50 1075 „| | =:V50+ 1075 —iV50— 1075 | 10 2 10 zn 10 =; 10 IT = | RE — [xl =————. PRET [—iV50—10V5—, :V5041005, | iV50—10V5—, :V504+ 10/5 =, 10 2 10 I 10 : 10 Tee oe 5 =| 10 ze 10 > au), 7 (271 — 971) 3 —. = >3+V5-,, .5-V5 — an ba | 10 N en a) _—_— 65 Vi sætte LVS STE | DP Co À Lo 1 i SO, UY dlp de VÆ b = ord KOT mie atu? | 5 | 5 og ville nu undersøge, hvilke Verdier a og db kunne antage for g—q,—p—p, =0, +1, dies Pie Bi mit a= gtr b= 0, Transformationen bliver en Potens af B. Pen IN ae | 34/5 Ne = ATOS TE — — P] =| ee = H ae Pes Or AUN g nr | [oe an i V50+ 105 Le = a | A — FE gptPpı 7 - = 10 4 VE a = FE ptm Fi al 50 + 10/5 10 ; FE Te . Yan LOVE b N REN, ar aD b Vs == POSE? > 5) D t 10 = .V50—10V5 1 10 (74 pai +2 ; Transformationen er af Formen (62). 3) Vi sætte g—q, —p—p, = +2. Vi faa da a eaten Sa —V5—1 _AV0 = 275 10 = , PE J 10 4 acte =, V50— 1005 10 V5 b = — apta SH a=] 5 aptrı Hi, ] arti 2 4 4 >= 10 Denne Transformation er af Formen (63). Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2, - V5 É +V5 iV10 cd ÉV50 1005 rat, 127 (65) 128 66 Multiplieere vi 2 Transformalioner af Formen (63) med hinanden, faa vi med de samme Betegnelser >: 5 SEE V5 5) — V5 fr — 4 = Al = DEPi= 1441 er Gi fo mg iz (66) b => — ol a [I — „ptpı = Yi |. | ” hvor vi nu atter kunne bruge det lige udviklede, idet vi sætte PtP1= el il, 2. a Endelig skal her undersøges Resultatet af en Multiplikation af en Transformation af Formen (62) og en Transformation af Formen (63). Med de samme Betegnelser som for faar man a — + gi PE == a tPi—I¥71 | Rae SE 2 = (67) b = + grt 2 ai IL 2 ad arr | | hvor vi alter kunne benytte, hvad der er sagt om (65) og finde da, at vi for g—q,—p—p, — () faa Transformationer af Formen (64), for 9—9, —p—p, — —— 1 faa Transformationer af Formen (63) og endelig for g—q,—p,—p, = + 2 faa Transformationer af Formen (62). Her er en Transformation af Formen (62) multipliceret med en Transformation af Formen (63); men Multiplikation i den omvendte Orden havde givet ganske lignende Re- sultat. : Endelig ses det, at vi ikke ved at multiplicere de fundne Transformationer med en Transformation af Formen (64) vilde have faaet nye Transformationsformer frem. Gruppens Endelighed er saaledes bevist. mW Gruppen indeholder Transformationer af Formerne æ = OP & pale © | py = dry, V5 :V50 — 10V5 am Von mund eu a C= iV50—10/5 — 1504 10/5 — py — 10 ole (0 wy _ 1V50— 10/5 a :V50+ 10/5. EE (OM SEE DRO ee DM if TRE STE A iv: 50 10/5 = iV 50 — 10V5 — f ny 10 fi 10 Ey, = ory pole ® | py =— are, = hvor p og q uafhængigt af hinanden kunne tillægges alle Værdier fra 0 til 4. 67 129 Det ses heraf, at der i Alt forekommer 60 Transformationer i den fundne Gruppe, saa at denne altsaa er fuldstændig og ikke Undergruppe i nogen anden Gruppe, der trans- formerer en ret Linie til sig selv. Man faar de Transformationer af 2den Orden, som høre til Gruppen, ved i © og D at sætte p — 0 i Forbindelse med Transformationerne Æ. Der er altsaa 15 saadanne Transformationer. Man har iV50+10V5 , iV50 105 | = (GE el, 10. 10 naar for øverste Forlegn paa venstre Side p = + 2, for nederste Fortegn p = — |. Der findes altsaa 20 Transformationer af 3die Orden, af hvilke de 10 ere Potenser af de andre 10. Der findes da endnu i Gruppen 25 Transformationer, af hvilke den ene er den identiske. De andre maa da være af bte Orden. Af saadanne findes der da 24, der ere Potenser af 6 Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter. Det her fundne ses al slemme med S. 56. 130 É 68 IV. De endelige Transformationsgrupper, hvorved et Plan transformeres til sig selv (de endelige Transformationsgrupper for 2 Variable). 28) I de almindelige Bemærkninger, som ere gjorte om endelige Transformations- grupper, er der ikke taget Hensyn til saadanne Grupper, der indeholde lutter Transforma- lioner, som have 2 eller flere Multiplikatorer lige store. Ved Transformationen af den rette Linie til sig selv forekomme ikke saadanne Transformationer, der have flere Multipli- katorer lige store; men her kunne saadanne Transformationer optræde. Vi kalde saadanne Transformationer perspektiviske. Enhver Transformation, der transformerer en ret Linie til sig selv, har altid 3 Dobbeltpunkter og 3 Dobbeltlinier. Er det en perspektivisk Transformation, maa dog enhver Linie, der gaar gjennem dens ene Dobbeltpunkt, være en Dobbeltlinie, og ethvert Punkt paa den Linie, der forbinder de 2 andre Dobbeltpunkter, selv være et Dobbeltpunkt. Vi ville kalde det omtalte Dobbeltpunkt og den omtalte Dobbeltlinie Perspektivcentret og Perspektivaxen. Haves 2 saadanne perspektiviske Transformationer, ville de begge lade den Linie, der forbinder deres Perspektiveentrer og Skjæringspunktet mellem deres Perspektivaxer uforandret. Lægges Koordinatsystemet saaledes, at den Linie, der forbinder Perspektivcentrene for 2 perspektiviske Transformationer A og B horende.til en Gruppe, er æ = 0, og al Skjeringspunkterne mellem Perspeklivaxerne er y = 0, 2 = 0, samt saaledes at A har sit Centrum i & = 0, y = 0, kunne disse Transformationer skrives (ee = GB mil = OH Al == Syg = ay B= 2 ny = boy tese | pe’ = are, pe = day css, hvor D har endnu en Multiplikator lig a,. Dannes nu Transformationen AB, er denne / , [LT = CAPE AB = ¥ py = aboy race pez = G2b32 + a2cy2. 69 ; 131 Skal AD alter være perspektivisk, maa man have, enten at | cb, u, at, | be « CEE har lige Rødder, eller at een af Rødderne er lig med ga,. I sidste Tilfælde har man, da Multiplikatorerne for B ere 41, ¢,, 22, for AB aa,, aa,, aa, Og + Øg = aa, abs + ac, = aa, +u*aÿ, og heraf Ca (a — a?) af (a — a*), og da øm ikke kan være en 3dic Rod af Enheden, idet A da var identisk, ¢; =@2, 0, = a,. Dette vilde medføre, at c.b, — 0, da Determinanten for AD skal vere 1, og a,b,c, = 1. Da ve ey By Cue le: == z We = bey es ere Transformationer, som transformere en ret Linie til sig selv, maa de ved deres Sam- mensetning danne en endelig Gruppe for den rette Linie. Men da maa c,6, = 0, som medfører, al en af Storrelserne c, eller 6, er 0, ogsaa medføre, at den anden er 0 (seS. 38). Men A og B have da 3 Dobbeltpunkter felles. Skulde derimed | ab, —y, ac NÉE have lige Rodder, maa man have, da ab, acs | ue a2b, ac, | al (ab, + ac)? = Aa,u, eller man maa have 3 : lab, + de, | = 2, men dette er kun muligt, da Modulus af en Sum i det højeste er lig Summen af Adden- dernes Modulus, naar |ab,| = 1, ja’, | = 1, idet vi atter tage Hensyn til at A’ og B’ skulde vere Transformationer hørende til en endelig Gruppe for « = 0. Men da haves |d, | = 1, |e; | — I, hvorved vi atter føres til at 6, = ce, = 0, saa at A og B begge maa have de samme 3 Dobbeltpunkter. 132 70 Skal altsaa ikke alle Transformationer i Gruppen have de samme 3 Dobbeltpunkter, maa den indeholde Transformationer, der ikke ere perspektiviske, og vi se da, al vi paa Grupper, hvis Transformalioner transformere et Plan til sig selv, kunne anvende de Sæt- ninger, som i Afsnit I og II ere udviklede om Transformalionernes Form. 29) Vi skulle dernæst til at undersøge, hvorvidt der kan være endelige Grupper, hvori Transformationerne kunne have Elementer i Transformationsdeterminanten, der ere 0, uden at den tilsvarende Underdeterminant er 0, idet vi have transformeret én af Grup- pens Transformalioner til Formen [4 pi = ad A = ie = Py pe = ff En saadan Transformation maa have Formen pe = aye+ by +¢,2 B=) phy = bay + eye | pe = bsy + €32 ,, hvor 6, og c, ikke begge ere 0, eller BE = az B =) py = 2-4 boy + Coz | pe = 0530 + buy 632, hvor a, og a, ikke begge ere 0. Vi skulle vise, at der ikke gives saadanne Grupper, og behøve kun at vise, al Gruppen ikke kan indeholde Transformationer af Formen B, idet B transformerer rette Linier ved en Transformation af Formen 4’, d. v. s. Liniekoordinaterne transformeres ved en Transformation af denne Form. Vi kunne desuden antage, at À ikke er perspektivisk, idet Gruppen maa indeholde ikke perspektiviske Transformationer, hvis ikke alle dens Transformationer ere af Formen A. A er da mindst af 3die Orden. A og B have et fælles Dobbeltpunkt, y = 2 = 0, svarende til Multiplikatorerne « og a,. medens de til disse Multiplikatorer svarende Dob- beltlinier Z og L, ikke ere fælles for A og B. 3 Danne vi nu Transformationen A='"B4AB-!, se vi, at denne Transformation ikke kan være identisk; thi den flytter den Linie, der ved B forandres til Z. Ikke heller kan den have Dobbeltlinien Z,. Det første Element i 4-!3AB-!s Transformationsdeter- minant er 1, og denne faar altsaa Formen pe = 2 +p,y + 9412 CENT 72952 | Le = Pal + 932; hvor p, og q, ikke begge ere 0. Vi kunne desuden antage, at C ikke er perspektivisk; thi da én af dens Multipli- katorer er én, maatte de 2 andre da vere — 1, og man maatte da have py = q3 =— |, Go = Og = Os Ch ED I NE DU TRE mE = Fe LE = psy + qu ved Sammensætning maatte danne en endelig Gruppe, der transformerede = — 0 til sig selv. Man havde da Pi Ur C=) O— il 0 ROUE I Pp, (42 —1) q, (a7 —1) "DAC TAN = © 1 0 [0 0 1 eller = 24 (4 1)y + q (a7 —1)z CAG Ag — | ey = y en Transformation, hvoraf ingen Potens bliver identisk. C kan altsaa ikke være en perspektivisk Transformation, og danne vi ACA", faa vi en ny Transformation, som har et Dobbeltpunkt fælles med C, uden at have den Dobbeltlinie, som ikke gaar gjennem dette Dobbeltpunkt, fælles med A. Lægge vi nu vort Koordinatsystem saaledes, at C’s Dobbeltpunkter ere «= y — 0, @2=z—0, y—=z—( og saa at y= 2 —0 svarer til Multiplikatoren 1, faa vi, at de to Transformationer C og ACA = D have Formen & f= at ARE y = b,y + 0,2 7 bay + 032, pu = & & | C=) py — a sg D= / Da Pale Be = GE som have de samme Multiplikatorer. Skulle C og D høre til en endelig Gruppe maa a | py = ay ee f ey = boy + ce = Luz = bay + cz ved Sammensætning danne en endelig Transformationsgruppe, der transformerer en ret Linie til sig selv. D' kan ikke vere en Potens af C’. Da D’ og C’ nemlig have samme Multiplika- torer, maatte den vere identisk med eller den omvendte Transformation af C’, og da ville DC eller DC være en Transformation af Formen 13- 12 hvor p og g ikke begge ere 0; men en saadan Transformation kan ikke forekomme i en endelig Gruppe. Er J’ nu ikke en Potens af C’ maa der til Gruppen, dannet ved D’ og C’, høre en Transformation af 2den Orden hvis Multiplikatorer er 7 og —7, der vil da til den op- rindelige Gruppe hore en Transformation, hvis Multiplikatorer ere 1, 7, — og hvis anden Potens er k= py = —= | | Qe = —< Her ere muligvis p og q — 0. I saa Tilfælde danner man 1 b, Ci tal A, A, | | I 2A, DAS EDED- = | 0—b, —e, De |=) | ones (== I | O=e,—e, |: JO © Ser hvor A, og A, ere Underdeterminanterne til Leddene 0, 0 i første Sojle af D og ikke begge kunne være 0. Men da kan ZÆDED=" ikke høre til en endelig Gruppe. Ere derimod p og g ikke begge 0, kan man danne ga = 2 + pl —a)y + qi — a)2 HCHC™ = 4 py =y | pz =e, en Transformation, som heller ikke kan forekomme i en endelig Gruppe. Som Resultat af alle disse Undersøgelser faas altsaa: Naar en Transformation skal høre til en endelig Transformations - gruppe for Planen, og denne Gruppe indeholder en Transformation af Formen RENTE | ey = By 2 (68) BE Ve | maa altid samtidig et Element i Transformationsdeterminanten for en vil- kaarlig Transformation i Gruppen og dette Elements Underdeterminant vere Nul. 73 ; i 135 30) Vi ville nu nærmere undersøge Formen af Transformationerne i saadanne Grupper, som vi her undersøge, idet vi antage, at Gruppen ikke indeholder lutter Trans- formationer, der have 3 Dobbeltpunkter fælles. Vi antage stadigt, at Gruppen indeholder en Transformation, der ikke er perspek- tivisk, med Dobbeltpunkter i Begyndelsespunkterne af Koordinatsystemet. Idet vi stadigt 29), skrive Transformationsdeterminanterne for selve Transformationerne , vil, ifølge 14) og i enhver Transformation im by @ B= | a, by 65 (69) | | | | henhørende til Gruppen, ethvert Element være konjugeret med sin Underdeterminant med positivt eller negativt Fortegn. Dens Multiplikatorer ere bestemte ved Ligningen pi—(a, +6, He) + (4, + B, + Cu —1 = 0. (70) a, +0, Le, kaldes Transformationens Diagonalsum, og det ses af (70), at en Transfor- mations Multiplikatorer ere bestemte ved dens Diagonalsum, naar den hører til en endelig Gruppe, thi a,+b,+¢,— A +B,+C,, saa at 2 Transformationer, der have samme Diagonalsum ogsaa have samme Multiplikatorer. Transformationens Dobbeltpunkter ere bestemte ved (a, —p)æ + b,y+c,2 = 0 a,u + (b,—p)y + Coe = 0 idet » er en Rod i (70). SE ope 0 Man har da Koordinaterne 2, y, 2 til Dobbeltpunkterne bestemt ved æ y 2 een æ u y 2 > A De Les po B, + plas pi C, + plas au) a = y z uw 34, + 2b, yw? By—la, + cs)pt +3 fe Cy + pb, De 3 Ligninger skulle ved Indsættelse af y’s Verdier blive identiske, men opstilles her for det folgendes Skyld, idet vi i det folgende ville se, hvor mange Betingelser a,, b,, €, 0.s.v. ere underkastede. 31) Vi ville nu forst vise, at i en Transformation henhorende til en endelig Gruppe ethvert Element er konjugeret med sin Underdeterminant, stadigt under de samme Forud- sætninger som i 30). ? i Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. 18 Vi have allerede omtalt, at ethvert Element maa være konjugeret med sin Under- determinant med positivt eller negativt Fortegn. Ifølge 14) maa nu alle Elementer i en dække enten være konjugerede med deres Underdeterminanter med samme Fortegn, som de tilsvarende Elementer i en anden Række, eller alle være konjugerede med deres Under- determinanter med modsat Fortegn af, hvad der gjælder for en anden Række. Elementerne i Diagonalrækken ere altid konjugerede med deres Underdeterminanter med positivt Fortegn. Endelig ere 2 Elementer, der ligge symmetrisk m. H. t. Diagonal- rækken, konjugerede med deres Underdeterminanter med samme Forlegn. Er nu a, b, c BIER RE Gm Bs Gr, || en Transformation i Gruppen, og findes der Elementer, som ere konjugerede med deres Underdeterminanter med negativt Fortegn, saa maa der findes Rækker, hvor der forekommer 2 saadanne Elementer. Vi kunne antage, at den øverste Række er en saadan, saa faa vi (CrP Os GP = te og altsaa idet vi forudsætte, al 6, og c, ikke ere 01). Lad nu en anden Transformation hørende til Gruppen være | næ = ur AL ml en ase = i (nd = 72 N rel saa kunne vi danne Transformationen Fake, bre GE, GaN Als, GR, m A—m R—1 — gm Im am Im Im In EVA — ea, [se res BB EBBESEN EBBE m „m „m m (7 _m _m 173, 7705, 7C3 | ee ØE Det forste Element her er | 12 m gm | 2 m_m|n > : i en NE Id, |? a Tey |". Sætte vi nu a = cost +isinié B = cosu+isinu | 7 = cose+isine, saa er den reelle Del af denne Storrelse a = |a, |? — cosm (t—u) | 6, |? — cos m (t—r)|e, |? 1) Omvendt ere b, og €, ikke begge 0, hvis | a, |? > 1. ee EN 75 137 hvor ¢, u, v staa i et rationalt Forhold til 27. Vi skulle nu vise, at vi i ethvert Tilfælde 2 kunne vælge m saaledes, at a >| a, Vi sætte t= +97, væ 27, (lg, n n n hvor &,, ky, k, ere hele Tal. Sættes endvidere k,—k, =k, k, —k; = 1, er i mk A ml a = |a, |? — cos —27.|0d, |? — cos—2z.|e, |”. n n Vi forudsætte, at A ikke er perspektivisk. Da kunne hverken k,— k, eller k, — hy vere 0, ligesom k og 7 ikke kunne være lige store. Man kan nu have: mk ml 5 1) k = — I, cos — 27 = cos—2z, og kan da altid bestemme m saaledes, at n n ml À te Ei, le cos — 27 bliver negativ, i hvilket Tilfælde a > | a, |?. D k l : i 5 ; 2) — og — ere uforkortelige Broker og & ikke lig — L. n n 27 faar sin numerisk Se i mk Vi antage |b, |? >|e, |? og bestemme m saaledes, at cos = storste negative Værdi, i hvilket Tilfælde vi altid have “ae mk, = ml 5, cos — 27 =< cos — 27 n < n ? syed mk : . TE à ; da denne største Verdi for —-2z er — I for n-lige, — cos— for n-ulige, medens den nm n à 2 RR ml IT største Verdi, cos — 27 da kan have, er cos —, saa at a>|a, N n SUN k l wk l É , 3) Man kan endelig have, at — og — kunne forkortes til — og —, hvori det gjerne n n ny, No kan antages, at n, og n, ere indbyrdes primiske Tal, hvis den ene af disse Størrelser ikke er et Multiplum af den anden, idet hvis n, og n, ikke vare det, et Multiplum m,k ml 6 et i: ig —— og —— kunde forkortes til Broker, hvis Nævnere vare saadanne Tal. Vi kunne da Pa Te mk 3x mk bestemme m saaledes, at — 27x fik en Værdi mellem OS 5 — 197 vil da kunne n 2 ny 1 skaffes en lignende Verdi, naar m erstattes ved m, = y.n, + m, hvor y er et helt Tal, wa og vi bestemme y ved at (yn, + m)l, = |, (mod n,), l, 3 € TE IT 2 ; saaledes, at 27 ligeledes faar en Værdi mellem 5 08 5; det ses, at denne sidste Kon- No 2 op gruens altid er mulig, da /,n, og ny ere primiske. a : ; i mk, - Gaar n, op in,, kan man paa samme Maade som i 2) sorge for, at cos —* er i 3 ml, 2 Ry negativ og numerisk større end cos —.. No 18* Er n, et Multiplum af x, og er m, = m,n,, m, indbyrdes primisk med n,, kan man ogsaa ved at erstatte k, og /, ved m,k, og m,l, reducere Tilfældet til 2). Kun hvis dette ikke er Tilfældet, kan der opstaa Vanskeligheder. Det ses let, at vi kun behøve at ue = : mk undersøge det Tilfælde, hvor n, —n?. Vi kunne da altid bestemme m saaledes, at 297 37 n og: Co 1 bliver en Vinkel mellem og idet vi erstatte m ved m + 2yn,, skulle vi nu CE (m+2n,y)l, ,.. é = : bestemme y saaledes, at — RTE bliver en Vinkel, ligeledes beliggende mellem > U l 2 Fi men dette ses let at være opnaaeligt. Er nemlig —2z en saadan Vinkel, kan man 2 ne altid tillægge 7, mindst n, forskjellige Verdier, og altsaa bestemme y saaledes, at og 2 (m+ 2n,y)l, = 1, mod (n?), da denne Kongruens, for at være mulig, kun kræver ml, = 1, mod (n,). Det er saaledes vist, at man, naar b, og c, ikke begge ere 0, altid kan bestemme m saaledes, at a> | a, |?, hvor a, |? igjen er større end den reelle Del af a,. Gruppen kan da ikke være endelig; thi i saa Tilfælde maatte der vere en Trans- formation i Gruppen, for hvilken den reelle Del af a, havde sin største Verdi. Ere 6, og c, begge Nul, ville a, og a, ogsaa vere Nul, da A, og A, ere Nul; men i saa Tilfælde ses det, at alle Elementerne for D ville vere konjugerede med deres Underdeterminanter, da A= [ey = By pa f py = bry + yz le? = 72, W724 ae bay + 032, maa here til en endelig Transformationsgruppe for en ret Linie. Vi have da i alle Tilfælde vist: Naar en Transformationsgruppe, hvor Transformationerne trans- formere et Plan til sig selv, er endelig, maa den kunne transformeres saaledes, at i enhver Transformationsdeterminant horende til Gruppen, ethvert Element er konjugeret med sin Underdeterminant. ........ (72) 32) Vi ville nu gaa nøjere ind paa, hvilke af de Betingelser; Transformationsdeter- minantens Elementer ere underkastede paa Grund af (72), der ere uafhængige og hvilke der er en Folge af de andre. Lad os antage, at Gruppen (eller en Undergruppe) er bestemt ved at skulle indeholde | pe = ax z= | py — By pe = 72, a, 6 B == as b, Co b CE (7 159 De første Betingelser, vi fik, vare, at @,, d,, cs skulle vere konjugerede med deres Underdeterminanter. Disse Betingelser ere øjensynligt uafhængige af hinanden. Derimod ere en Del af de øvrige Betingelser en Følge heraf, eller vi ville endogsaa vise, at have vi valgt &;, d,, €;, og ere disse konjugerede med deres Underdeterminanter, er herved givet, om Betingelserne (72) ere mulige eller ej. Til Bestemmelse af Dobbeltpunkterne havde vi Ligningerne ET wu ah | ye pace Als + pic, BR + 2 cy po 30,—(a, =F by)p2+ p2 BA y 2 7 1 1 3 A Tan 7 1 [ (ta Ep p By + pha, 720, + pha, > 2 A re Us stat hi E silke a N p tA, + pb, Li Be (a, + 64) pe PTE C Emde hvor » er én af Multiplikatorerne. Nu have vi pe — (a, + 0, team + (a, +b, tel = 0, og allsaa 3 3 pe—(a,+ by)p2 LC, = = (A, + By)? + pics, g, idet vi forudsætte, at » er en Rod af Enheden, ere altsaa Storrelserne paa begge Sider af Lighedstegnet sin egen konjugerede Størrelse, og ere altsaa reelle. Man ser altsaa, at alle de treleddede Storrelser i Nævnerne ere reelle. Multipliceres nu i de 2 første Ligninger første og sidste Forhold med hinanden, faas (#24; + pic,)(u 20, + u2a,) = Reel. (73) Man har desuden a | 4a 3 | | Gy Ca og da a,¢, — A,C,, haves altsaa ogsaa AOR rac (74) © IS ; de andre analoge Ligninger. Udfores nu Multiplikationen i (73) faas pw 'AsC, + page, + 0 Ci + 4,4, = Reel, og da efter (74) 2774, C, + wazec,, er Reel, haves altsaa ogsaa c,C, + a,;4, = Reel. (7: Men nu er “ ce, Cia; A, = Reel (positiv), da c,a; — C, 43, og altsaa er enten c,C, og a3 À; reelle, eller c,C, og a,4, konju- gerede imaginære Størrelser. 140 a | Finder det første Sted, er altsaa e, C, reel, er dette i og for sig tilstrækkeligt til, al Transformationen kan bringes paa den i (72) omtalte Form for Transformationer, hørende til en endelig Gruppe, hvis |a,||d,| \e,| alle tre ere mindre end 1, og a,, b,, €, ere kon- jugerede med deres Underdeterminanter, og idet vi forudsætte, at ethvert Element i Deter- minanten og dets Underdeterminant ere Nul paa samme Tid. Thi er ce, C, reel, maa man ogsaa have 6, B, reel, da la F +0, B, Fe, Ci = I. Paa samme Maade ses, at Produktet af ethvert Element og dets Underdeterminant ere reelle Størrelser. Tillige maa disse Produkter alle blive positive. Thi 2, B, og ¢,C, kunne ikke begge være negative, da |«@, | saa var større end 1. Lad os da antage 6, B, negativ, ¢,C, posiliv, da er a, A, ogsaa positiv; thi ce, C,a, 4, er en positiv Størrelse. Transformeres nu Gruppen, saa at Transformationen À bliver uforandret og |e, | = | C,], bliver ogsaa | a; | = | A, |. Men da ere alle Elementerne i Diagonalrækken €, 6,4, konjugerede med deres Underdeterminanter, og ligesom vi før, paa Grundlag af denne Egenskab, ved a, b,e, fik asc, = A,C,, faa vi nu 6,0, = B,C,, b,c,B,C, positiv; er altsaa D, B, negativ, maa c,C, ogsaa være det, og da db, D,a, A, er positiv, maa a, A, ogsaa være negativ; men dette er umuligt, da a, A, 4- | by P+eC = 1, hvoraf vilde følge |6,|> 1. Altsaa er Produktet af ethvert Element og dets Underdeterminant positiv. Transformeres nu, saa at Bela Aal) faas Mh, & = G og heraf Ay, Oy dag og da alle Elementer i Diagonalrækken e,d,a, ere konjugerede med deres Underdeter- minanter og heraf Are is Be Cy, Og = By. Var ¢, ©, ikke reel, kunde Transformationen ikke hore til en endelig Gruppe. Det kan vises, at i saa Tilfælde kan Gruppen transformeres, sad at baade Transformationerne A og B faa reelle Dobbeltpunkter. Skal baade A og B have reelle Dobbeltpunkter og hore til en endelig Gruppe, kan det vises, at Dobbeltpunkterne for A og B ligge paa samme Keglesnit. Vi skulle nu vise, hvorledes man kan beregne ¢,C,, naar a,, 65, €, ere givne. ag 141 Da a, = A, 0.5.v., har man ba, = abs — cz €, @, = a,¢,—b, eb, = bye, —a, og da D — 1, bicoas + €;4,0; = 1—|a, |? — |, |? — [es |? + 2a,b,o,. Ved Multiplikation af de 3 første Ligninger faas b,c.a, . 74,0; = aybyre} — ados + japbs|Llape?| + |bse?|—a, bye; [|a,|*+|be|?+ es]. - Man faar da Vit le,|*1b2|4 Hos PAA (ads a, bee) —2 ([a,|2+[bo[24 Je5 Paroles toc 2 hvor Størrelsen under Rodtegnet er reel. Vi betegne Rodstorrelsen med A. Man har A eC, = €,a5b3 —¢, bya, = C4963 — ay byez + | by |? = =e SEUSS Altsaa er e, C, reel, hvis Rodstorrelsen er det, og Transformationen kan altsaa bringes paa Formen (72), hvis # er en reel Størrelse”). 33) Vi ville nu, paa lignende Maade, som det er gjort for de endelige Transfor- mationsgrupper for den rette Linie, undersøge de mulige endelige Transformationsgrupper for Planen. Vi ville først undersøge Sammensætningen af to Transformationer, der have de samme Dobbeltpunkter. Lad os amlage, at en saadan Transformation er | na = at A=? py = By | & == 1: LZ = 1: Lad os anlage, at À er af Ordenen a 2 TB ose + hvor p,, Ps... ere Primtal, «,, a,... hele Tal, saa vil 4P3°P3°... vere af Ordenen p% Pr Pe 1» 72 Pi 1) For at Lieningen a’ —(a,+b,+e,)e? +(a, +b, +6,)p — 1 = 0 skal have Rødder, hvis Modulus er 1, kræves visse Ulighedsbetingelser mellem "a,, Ds, €,. "Saaledes er det nødvendigt, men ikke tilstrækkeligt, at [a, +65, + c| << 3. En af Rødderne i Ligningen har altid Modulus 1. Have ikke alle Rødderne Modulus 1, ere de to af dem da, 4 a, den 3die a2. hvor zii ii, (ie ¢ 142 80 = og det ses let, at A kan erstattes ved forskjellige Transformationer af Ordenerne pa, p%?... med A's Dobbeltpunkter som Dobbeltpunkter, medens omvendt disse Transformationer kunne betragtes som Potenser af A. Der er derfor kun Grund til at betragte Sammensetningen af 2 Transformationer A og B med samme Dobbeltpunkter, hvoraf denne ene er af Ordenen p“, den anden af Ordenen p?, hvor vi antage a > 6, og tilmed kunne antage, at B ikke er en Potens, af A, Vi ville navnlig se, hvor mange forskjellige Transformationer yi kunne faa ved Sammensætning af A og B. Lad os da se, hvor naar vi kunne have Ar Br = A™ Bt. Man maa da have Am: — Brin Er nu [Fes = Gt B=) py = By Fe = 712, © kræver dette. at DE FI Gi x 3 5 É —1 1/3 Fr = Br" sa hvor a = = V 5 x Ta! = Ta . a ps eller Ti —TR à —q a= ann din m—m y — Pa mas Bi . Q7—12 mM—T™ y —q Ta = a „ann, Er nu p ikke 3, ses det. at vi kunne anlage g — 0. Multiplikatorerne a, 7, 7 (eller nogle af dem), maa da være p“de primiske Rødder af Enheden, og a,. f,, 7;; p'de SMS m — m = 5 primiske Rødder af Enheden. + maa da vere lig p‘~’, og vi kunne sætte NÆR % 3 1 - “ —b ze SU At se 0) 5pla—) Pr B'. BE Pr re (C0) UU ae EE ( 7 hvor a’, #, 7’ ere (n—n,)te Rødder af Enheden og n—n, b>c, og B ikke ved at multipliceres med en Potens af A kan reduceres til en Transformation af lavere Orden, vil man have den samme Gruppe dannet ved at multi- plicere Potenser af A og B, som ved at multiplicere Potenser af A, B og C, saa at C ikke er nødvendig til Dannelse af Gruppen. Vi se saaledes, at, naar alle Transformationer i en Gruppe have samme Dobbelt- punkter, behove vi kun at kjende 2 af dens Transformationer for at kunne danne Gruppen, i Fald ikke alle Transformationer i Gruppen ere Potenser af samme Transformation. Kaldes de omtalte Transformationer A og B, og er Transformationen af højeste Orden hørende til Gruppen af Ordenen pfıp@: ..., hvor p,, py 0.s.v. ere Primtal, skal B være af Ordenen p3:p®: ..., den højeste Orden af en Transformation i Gruppen, der ikke ved Multiplikation med en Potens af A kan reduceres til lavere Orden. Gruppen vil da indeholde p@:t?ı 992422 , ,. Transformationer, den identiske Transformation mediberegnet. 34) Vi ville dernæst undersøge, hvorledes en Gruppe er beskaffen, der indeholder perspektiviske Transformationer, specielt saadanne Grupper, der indeholde perspektiviske Transformationer af højere end anden Orden. Vi ville begynde med at undersøge saadanne Grupper, der indeholde en perspektivisk Transformation af 6te eller hojere Orden. Lad os antage, at denne Transformation er na = aæ A= | py = aby lie z= az, og at Transformationerne i Gruppen ikke alle transformere A's Perspektivcentrum og Perspektivaxe til sig selv (i hvilket Tilfælde alle Transformationerne i Gruppen transformere en ret Linie til sig selv, et Tilfælde, som vi ikke nøjere skulle komme ind paa), saa maa der existere endnu en perspektivisk Transformation B i Gruppen, hvor B er af samme Orden som A. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd, V. 2. 19 144 À 89 A's Perspektivcentrum er z — 0, z = 0, dens Axe y = 0. Vi kunne nu antage Koordinatsystemet saaledes valgt, at B's Perspektivcentrum ligger paa æ— 0, og dens Axe skjærer A’s Axe i y=0, 2—0, saa vil B's Ligninger være | pr = ax B=? py = byy + Coz | pe = bsy + C32. A og B transformere da begge Linien z — 0 til sig selv. Gruppen dannet-ved Sammen- sætning af A og B maa da indeholde lutter Transformationer, der transformere z — 0 til sig selv. Tillige ses det, at Linien z — 0 ved Transformationerne A og B transformeres til sig selv ved Transformationer, der ere af 6te eller højere Orden for denne Linies Ved- kommende. Gruppen dannet ved A og B maa da for denne Linies Vedkommende vere cyklisk. De Punkter af z = 0, som A og B lade uforandrede, maa da falde sammen; men disse ere dels Perspektivcentrene dels de Punkter, hvori Axerne skjære z — 0. Perspektivcentret for den ene af disse Transformationer maa da falde paa den andens Axe. Enhver Transformation C i den oprindelig omtalte Gruppe, der altsaa ikke lader A's Per- spektivcentrum og Axe uforandret, maa transformere Centret til at falde paa Axen og Axen til at gaa gjennem Centret. B har Ligningen så pt = aL Bo hy sey | pe = az. Gruppen maa da ogsaa, hvis À og B ere af nte Orden, indeholde alle Transformationer af me Orden, der have Dobbeltpunkter i Begyndelsespunkterne for Koordinatsystemet. Der hører da ogsaa til Gruppen en Transformation pe — ax D=) py = ay Lz — az med Perspektivaxe i 2 — 0, Perspektivcentrum i y — 0, z = 0. En hvilkensomhelst Transformation C hørende til Gruppen, som ikke har Dobbelt- punkter i Begyndelsespunkterne, maa da enten have et Dobbeltpunkt i et af dem og om- bytte de andre, eller kredsforskyde dem alle 3. Lader nemlig C (y = 0, z — 0) uforandret, maa den lade Transformationen D uforandret, og maa altsaa lade z= 0 uforandet, og da den skal bringe Centrerne for A og B hen paa den andens Axe, maa C ombytte Punkterne (c = 0, y = 0) og (x =0, z—0). Lader € ikke noget af Punkterne (y—0, z=0), (:—0, z=0), (x = 0, y— 0) uforandret, 83 145 maa den transformere (y — 0, 2 — 0) til et af Punkterne (y = 0, z = 0) eller (2 — 0, z — 0), da den skal transformere (y = 0, z = 0), Centret for D, til et Punkt af æ — 0, D's Axe, og da der ellers vilde være to Transformationer af 6te eller højere Orden, der transformerede z — 0 til sig selv, uden at have sammenfaldende Dobbeltpunkter paa æ = 0, hvad der ikke kan forekomme i en endelig Gruppe. Men transformerer C (y = 0, z = 0) til (y = 0, æ = 0), uden at lade y — 0, uforandret, i hvilket Tilfælde C maatte lade A uforandret og ogsaa Punktet (æ — 0, z — 0), ses det paa lignende Maade, at den maa transformere (y— 0, 2 —0) til (ec =0, z —0) og endelig («= 0, z = 0) til y= 0, 2-0). Da nu C ikke har noget af sine Dobbeltpunkter fælles med A, maa C? vere identisk, altsaa C af 3die Orden og ikke perspektivisk. Vi se da, at naar Gruppen indeholder perspektiviske Transformationer af 6te eller højere Orden, kan den enten bestaa af Transformationer, der alle transformere samme rette Linie til sig selv ved en cyklisk Gruppe, eller af Transformationer, der alle have de samme 3 Dobbeltpunkter, i Forbindelse med Transformationer, der enten have et Dobbeltpunkt af de omtalte 3 og ombytte de to andre eller ere af 3die Orden og kreds- forskyde de 3 Dobbeltpunkter. Saadanne Grupper som de her nævnte kalde vi cykliske Grupper for Planer. Det er klart nok, at saadanne Grupper existere og. at Transformationerne i dem have Ligninger af Formerne I Il I EL — as (ne — Gs Ba == ny | ey = By ny = be by = 92 (76) på — 72 pee. = CY ne = PB, | hvor vi gjerne kunne tænke os Gruppen saaledes transformeret, at alle de indgaaende Størrelser a, 6, e 0.s.v. ere Rødder af Enheden. I Stedet for II kan naturligvis optræde de analoge Former, som ombytte z og y, eller æ og 2. 35) Vi komme nu til at betragte de andre Grupper, som indeholde perspektiviske Transformationer. Vi begynde da med dem, der indeholde perspektiviske Transformationer af bte Orden. En saadan har Formen. pe = aw A = {guy = ay LE = a2, hvor g er en 5te primisk Rod af Enheden. Lad os nu antage, at Gruppen indeholder en Transformation C, som ikke lader A uforandret, saa kan den transformere A til 19* 146 84 | Dre Ta B=) py = b,y+c,z | pz = b3y+czz, idet vi antage Koordinatsystemet saaledes valgt, at z — 0 gaar gjennem begge Perspekliv- centrerne for A og B, medens Axerne skjære hinanden i y = 0, 2 — 0. A og B maa da begge transformere x — 0 til sig selv, og Transformationsgruppen for Transformationer dannede ved Sammensætning af A og B maa da for denne Linie være cyklisk eller ikosa- edrisk. I sidste Tilfælde vil den indeholde en Transformation, som ombytter de Dobbelt- punkter A har liggende paa z — 0, saa at Gruppen ogsaa indeholder en Transformation UT — GET ay pz = GFA 7 & | IS SS | ay pE = az. = | D = | aes prt = as Den Transformation, der ombytter A’s Dobbeltpunkter maa have Formen | pe = a: 1B ==) QU = 852 | pz = bsy hvor ¢,b, = —a@?. Man har da a jae ue EE? =. Ly = = 27) | pz = —æz og | Li =z DE = | Bil si LE og endelig = pe = GES EV DA = py = —ay pz = —uz, som er en perspektivisk Transformation af 10de Orden. Efter det foregaaende maa da enten alle Transformationer i Gruppen transformere samme Linie til sig selv, eller ogsaa maa Gruppen være cyklisk. Da dette sidste ikke kan være Tilfældet, hvis z — 0 ikke transformeres til sig selv ved en cyklisk Gruppe, dannet ved Sammensætning af A og B, maa den altsaa i dette Tilfælde bestaa af lutter 85 147 Transformationer, der transformere æ = 0 til sig selv ved en ikosaedrisk Transfor- mationsgruppe. Aldeles lignende Bemærkninger kunne gjøres, hvis A og B ere perspektiviske Transformationer af 3die Orden og transformere « — 0 til sig selv ved en Ikosaeder- gruppe eller en Oktaedergruppe. 36) Vi gaa derpaa over til at betragte Grupper, som indeholde perspektiviske Transformationer af 4de Orden. Vi antage ligesom før, at Gruppen indeholder en Trans- formation C, der ikke transformerer Centret for en perspektivisk Transformation hørende til Gruppen til sig selv, og at den altsaa maa indeholde 2 perspektiviske Transformationer af 4de Orden A og B, som vi kunne tænke os bragte paa Formen > — 0D AE, mf TI | MI = Ue og | me == 69 B=? py = by + eyez | pe’ = bsy+ 032. Hvis A ved Transformation ved de øvrige Transformationer i Gruppen kun transformeres til andre perspektiviske Transformationer, saaledes at Forbindelseslinierne mellem A's Centrum og de øvrige Transformationers Centrum kan transformeres til sig selv ved cykliske Grupper. faas kun Grupper af samme Art som de i 34) omtalte. Vi antage da her, at A og B transformere x — 0 til sig selv, idet de give Op- rindelse til en Gruppe, der for denne Linies Vedkommende er oktaedrisk. Gruppen maa da ligesom for ogsaa indeholde en Transformation, der ombytter A’s Dobbeltpunkter, og maa da ogsaa indeholde Transformationerne Ba — wa 7 = — 2 C=) py = ty og D =?) py = iy pe = —2 Lae? = 12. Det ses da, at naar 2 Perspektivaxer for 2 Transformationer af 4de Orden skjære hinanden, vil deres Skjaringspunkt vere Centrum for en perspeklivisk Transformation, hvis Axe er den Linie, der forbinder de to forste Transformationers Centra. Altsaa vil Axen for enhver perspektivisk Transformation af 4de Orden transformeres til sig selv ved en Transformation af 4de Orden, der har et Dobbeltpunkt i Axens Skjæringspunkt med Axen for en anden Transformation af samme Art, et andet Dobbelpunkt i sin Skjæring med Forbindelseslinien mellem de 2 Transformationers Centra. 148 86 Lad os nu antage, at P og p, Q og gq ere henholdsvis Centra for og Axer for de 2 Transformationer A og B, og at Gruppen indeholder en Transformation 7, der transformerer P og p henholdsvis til Q og g, og at T ikke har noget Dobbeltpunkt fælles med A eller B. Linien PQ vil da, hvis Gruppen er endelig, kunne antages at transfor- meres til sig selv ved en Oktaedergruppe. En saadan indeholder som bekjendt, se p. 56, 3 Transformationer af {de Orden med forskjellige Dobbeltpunkter. Vi antage, at p og q Skjære POW IE 02, QO asadmen P, Q, P,, Q, de 4 Dobbeltpunkter for saadanne Transformationer af Linien. Der maa altsaa vere endnu et Par saadanne Dobbeltpunkter S og S,. Vi kalde Skjæringspunktet mellem p og g R. Da der nu er Transformationer i Gruppen for den rette Linie, der ombytte saa vel Punkterne PP, indbyrdes som Punktparrene PP, med QQ, eller SS,, maa der gives Transformationer, fremkomne ved Sammensætning af A og B, der ere perspektiviske og have deres Axer gaaende gjennem À og Punkterne P, Q, S, P,, Q,, S, medens deres Gentrageres 2, 00,51, BROS: Da nu PQ selv er Axe for en perspektivisk Transformation, maa 7 og dens Potenser altid transformere PQ og enhver Perspektivaxe for en Transformation af 4de Orden hørende til Gruppen til Linier, der gaa gjennem et af de 6 Punkter P, Q, S, P,, Q,, S,, da der ellers paa PQ vilde findes flere end 6 Dobbeltpunkter for Transformationer af 4de Orden, som transformerede PQ til sig selv. Vi kunne tillige antage, at i det mindste en Potens af 7 transformerer PQ til en Linie, der ikke gaar gjennem R, idet, hvis dette skulde være Tilfældet, ellers en af Perspektivaxerne gjennem ZX vilde transfor- meres til en Linie, der hverken gik gjennem A eller faldt sammen med PQ, og kunde anvendes paa samme Maade i Beviset, som vi her anvende PQ. Under den gjorte Forudsætning vil da den Linie, hvortil PQ transformeres, skjære hver af de 6 Perspektivaxer gjennem ZX i et Dobbeltpunkt for en Transformation af 4de Orden, der transformerer hver af dem til sig selv. Ligesom ethvert Skjæringspunkt for 2 Perspektivaxer for Transformationer af 4de Orden er Centrum for en ny perspektivisk Transformation af 4de Orden, saaledes er enhver Forbindelseslinie for 2 Centra for saadanne Transformationer en ny Perspektivaxe for en saadan Transformation. Nu have vi set, at der existerede i det mindste 4 Axer, af hvilke ikke 3 gik gjennem samme Punkt, idet PQ blev transformeret til en Linie, der hverken gik gjennem R eller faldt sammen med PQ, og der gjennem R gik 6 saadanne Axer. Saadanne 4 Axer kunne vi nu tænke os omprojicerede til 2 vilkaarlige Par parallele Linier, der staa vinkelrette paa hinanden, og hvis Skjæringspunkter ere AB CD"). 1) Læseren bedes selv tegne en Figur. 87 149 Da er den uendelig fjerne Linie ogsaa en Perspektivaxe, ligesom Linierne AC og BD, der skjære hinanden i #, og Linier gjennem Z parallele henholdsvis med AD og AB. Lad os antage, at disse sidste Liniers Skjæringspunkter med Linierne AB, BC, CD, DA ere a, b, c, d, da vil der være følgende nye Axer ab, ad, Ab, Bd, som ville skjære DC i 4 Punkter forskjellige fra D, ec, C, saa at der i det mindste paa denne Linie vilde falde 7 Skjæringspunkter med andre Perspektivaxer, hvad der er umuligt, da disse Punkter ere Centrer for perspektiviske Transformationer af Ade Orden, og CD skulde transformeres lil sig selv ved en endelig Transformationsgruppe, saa at der i det højeste kunde være 6 saadanne Centra paa CD. Hvis altsaa en endelig Gruppe indeholder perspektiviske Transformationer af 4de Orden, maa den enten være cyklisk, eller alle dens Transformationer måa transformere samme rette Linie. til sig selv. 37) Vi komme nu til endelige Grupper, der indeholde perspektiviske Transforma- tioner af 3die Orden. Kaldes en saadan Transformation A, antages det tillige, at Gruppen indeholder en Transformation C, der ikke har et Dobbeltpunkt i A's Centrum, og trans- formerer A til en Transformation B, saaledes at alle Transformationer i den Gruppe, der kan dannes ved Sammensætning af A og B, transformere den Linie, der forbinder deres Centra, til sig selv ved en Tetraedertransformation. Vi antage Koordinatsystemet lagt ligesom i de forrige Tilfælde og antage da | mi = OG | pe = ax A = py — OY B=? py = boytegz Me = az | pe = bsy + 632, hvor @ er en primitiv 9de Rod af Enheden. AB er en Transformation, der enten transformerer æ — 0 til sig selv ved en Transformation af 2den Orden eller af 3die Orden. Vi kunne antage det sidste, da ellers dens Multiplikatorer vilde vere a2, ia, —ia og (AB)? vere en perspektivisk Transforma- tion af 6te Orden, hvad der vilde fore tilbage til for omtalte Grupper. A? B maa da transformere æ = 0 til sig selv ved en Transformation af 2den Orden (vere af 2den Orden for denne Linies Vedkommende), hvis Multipli- katorer ere (da de kun ere bestemte paa ner en Faktor, som er en vil- kaarlig 3die Rod af Enheden), 1, 7, —, dens anden Potens en perspektivisk Transformation af anden Orden med Centrum i Skjeringspunktet for A's og B’s Axer, Axe i Forbindelseslinien mellem deres Centra. Vi ville nu undersøge, hvilke Undergrupper der kan forekomme i den Gruppe, vi undersoge, dannet ved Sammensetning af en perspektivisk Transformation af 2den Orden 150 88 og en perspektivisk Transformation af 3die Orden hørende til Gruppen, idet vi antage, at ikke den enes Centrum ligger paa den andens Axe. Idet vi atter tænke os Koordinatsystemet lagt som forhen, have saadanne to Trans- formationer Ligningerne | La = ar | pe — —x =}! py = ay D=? py = boy + oz | Le — az pe == by + 32. Transformeres z — 0, den Linie der forbinder deres Centra, til sig selv ved en Ikosaeder eller Oktaedergruppe, vil der være Transformationer, der ombytte saavel C’s som D's paa æ — 0 liggende Dobbeltpunkter, altsaa transformere C til nz = ax py = ay på == art i og transformere D paa lignende Maade. Gruppen maa da indeholde Transformalionerne | pt — 0:2 | ud = x GE u, Der pg] == =; på = 02 | på = —z, og C,D, vil da vere en perspektivisk Transformation af 6te Orden, saa at vi kunne for- bigaa videre Omtale af saadanne Grupper. Var Gruppen dannet ved C og D tetraedrisk for z — 0's Vedkommende, er CD af 3die Orden for z = 0's Vedkommende, og da en af Multiplikatorerne for (CD)? er —1, og denne skal være identisk for x = 0's Vedkommende, maa den have Multiplikatorerne — 1, 7, 7 og være perspektivisk af 4de Orden. Gruppen maa da hore til de far omtalte. Undergruppen kan da være cyklisk for «0. den indeholder da Transformationerne ua = 4€ py = ay EN) pe = 08 DE = GE & FA HY = ay uz = ac. Deraf ses, at skal Gruppen vere endelig og ikke høre til de allerede omtalte Grupper, maa Axerne for 2 perspektiviske Transformationer af 3die og 2den Orden, der ikke gaa gjennem hinandens Centrum, skjære hinanden i et Punkt, der er Centrum for en perspektivisk Transformation af 3die Orden, hvis Axe er Forbindelseslinien mellem deres Centra. — SS ET dr 89 151 Lad os nu antage, at P, p, Q, qg ere Centrer og Axer henholdsvis for A og B, hvoraf A ved C transformeres til 3, saa er Skjæringspunktet À mellem p og g Centrum for en perspektivisk Transformation F af 2den Orden, hvis Axe er PQ. Transformere vi nu F ved C, vil PQ transformeres til en Linie, der gaar gjennem Q, medens /? trans- formeres til et Punkt af g. Transformerede nu C PQ til at gaa gjennem R, maatte R falde i gs Skjæringspunkt Q, med PQ; men dette er umuligt, da det i Forvejen er forud- sat, at PQ transformeres til sig selv ved en Tetraedergruppe, og en af de Transformationer af 3die Orden, der transformere PQ til sig selv, har Dobbeltpunkt i Q,, saa at delte ikke ogsaa kan være Dobbeltpunkt for en Transformation af 2den Orden, der transformerer PQ til sig selv. PQ maa da transformeres til en anden Linie QT, medens À transformeres til et Punkt U af g. Er 7 Skjeringspunktet mellem QT og p, maa 7 vere Centrum for en perspektivisk Transformation af 3die Orden med Axe i PU, da QT og p ere Axer for en perspektivisk Transformation af 2den Orden og en af 3die Orden, hvis Centrer ikke ligger paa hinandens Axer. Der existerer da, som før vist, en Undergruppe af Transfor- mationer med fælles Dobbeltpunkt i P, der alle transformere p til sig selv, og denne Undergruppe maa for p være cyklisk, da P er Skjeringspunktet mellem Axerne, PQ og PU, for en perspektivisk Transformation af 2den Orden og en af 3die Orden, hvis Centrer À og T findes paa p. R maa da, ved de Transformationer der transformere g til sig selv, i det højeste kunne transformeres til 2 Punkter af denne, eller der maa gjennem hvert Perspektivcen- trum for en Transformation af 3die Orden beliggende paa PQ, gaa højest 2 Linier, der ere Transformationer af denne Linie. Det ses da, at der netop maa gaa. dette Antal Linier gjennem Q og de omtalte Punkter, d. v. s. der maa gjennem hvert Perspektivcentrum for en Transformation af 3die Orden, hvortil Q kan transformeres, gaa 3 Linier, der ere Trans- formationer af PQ. PQ indeholder 4 Centrer for perspektiviske Transformationer af 3die Orden. Igjennem hver af disse maa der gaa 2 Linier Z, der ere Transformationer af PQ, og disse ere de eneste existerende Transformationer af PQ; thi ellers vilde der være saa- danne Linier Z, der gik gjennem 4 Perspektivcentrer for Transformationer af 3die Orden, beliggende paa Axer for saadanne Transformationer gaaende gjennem R. Da ethvert Z "ved Transformationer i Gruppen kan bringes hen til mindst tre Stillinger, kom disse Axer til hver åt indeholde flere end 2 Centrer, som er umuligt. Gruppen kommer da til at indeholde en Samling paa, 9.6 Transformationer af åde Orden, og denne vil udgjøre Ne naar hele Gruppen indeholder N Transformationer. N er da 216. Nu udgjor de Transformationer med tilhørende Samlinger, som transformere PQ til sig selv, ~N+ 1, ses det, at 5? og en Potens af en Transformation med samme Dobbeltpunkter som A ere identiske. I dette Tilfælde behøver A med tilhørende Samlinger ikke at indeholde det fundne Antal Transforma- lioner, hvad der heller ikke gjælder om B med tilhørende Samlinger, idet vi da ere komne ind paa Betragtningen af Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter, der have samme Potens, hvad vi senere nøjere skulle behandle. Er Transformationen A af 2den Orden og ikke nogen Potens af en anden Trans- formation i Gruppen, kan de foregaaende Regler ikke direkte anvendes. Men da vil den enten ikke kunne transformeres til sig selv ved nogen anden Transformation i Gruppen, i hvilket Tilfælde den med tilhørende Samling udgjør — Transformationer, eller ogsaa vil DD) den transformeres til sig selv ved en Transformation i Gruppen, der har et Dobbeltpunkt 9 161 do) i dens Centrum, 2 i dens Axe. Kaldes denne 6, kan ikke B (eller nøgen Potens af den) være af ulige Orden; thi, var B” af ulige Orden vilde AB være af lige Orden og en Potens heraf være identisk med Ar Ligesom for (pag. 159) se vi da, at B maa være af 2den Orden. Tillige ses det, (paa samme Maade som ved Transformationen af 3die Orden), at, hvis A ikke skal være en Transformation, hvis Centrum falder sammen med Dobbelt- punktet i en anden Transformation, der ikke er af 2den Orden, maa A alene transformeres til sig selv ved À, B og AB, saa at A med Samling udgjor + Vransformationer, Da een Potens af en Transformation af lige Orden altid er en Transformation af 2den Orden, ses det, at hvis Gruppen indeholder en Transformation A af lige Orden, 2n, og en Transformation D, der kredsforskyder A's Dobbeltpunkter, maa den ogsaa inde- holde perspektiviske Transformationer af 2den Orden med Centrum i et vilkaarligt af A's Dobbeltpunkter. Der maa da vere 4n—1 Transformationer, der have samme Dobbelt- 3 MER: i : : IN a punkter som 4A. A med tilhørende Samling vil komme til at indeholde —— Transforma- 2 N tioner, og da de i Samlingen forekommende Transformationer ville have fon forskjellige Sat T zn Dobbeltpunkter, idet 3 af de Transformationer, hvortil A transformeres, have samme Dobbeltpunkterne som A, vil A og de Transformationer, der have samme Dobbeltpunkter / som .! med tilhørende Samlinger udgjore FEDE Transformationer. 42) Vi gaa nu over til at betragte Undergrupper, hvor Transformationer med for- skjellige Dobbeltpunkter have samme Potens, idet vi stadigt kun tage Hensyn til saadanne Grupper, hvori ikke alle Transformationer transformere samme Linie til sig selv eller ikke ere cykliske. Vi kunne nu først antage, at alle disse Transformationer, der have samme Polens, som allid maa være en Transformation af 2den Orden, transformere en ret Linie a — 0 til sig selv ved en ikke-cyklisk Gruppe. 2 Transformationer i Gruppen (se (38)) ville da være | pL a == 2 | 7 PE A= \ py = ay og B ==) py = boy tee | BE = a | pe = buy + 632. Vi kunne ikke have nogen ånden Transformation, der har sit Dobbeltpunkt i et af de Dobbeltpunkter paa a — 0, der tilhører en af de Transformationer, der transformere a — 0 til sig selv, f. Ex. i et af A's Dobbeltpunkter, end Potenser af A; thi da vilde een af Dobbeltlinierne for A enten transformeres til sig selv ved en Gruppe af Transformationer, der havde et fælles Dobbeltpunkt i A’s Dobbeltpunkt « = 0, 2 = 0, uden at Dobbelt- punkterne i alle Transformationerne vare sammenfaldende med A's Dobbeltpunkter, og saaledes, at den til z = 0, z = 0 svarende Multiplikator af A var forskjellig fra + 1, 24* 162 100 (idet der til ethvert Dobbeltpunkt i @ — 0 i det mindste svarer en Multiplikator forskjellig fra +- 1), hvad der er umuligt under den gjorte Forudsætning (se Begyndelsen af (42), eller ogsaa vilde der være en Transformation, med samme Dobbeltpunkter som A, der uden at være en Potens af A transformerede z = 0 til sig selv. Da der ikke kan komme nye Transformationer til for « = 0, da Gruppen for dennes Vedkommende er fuldstændig, og da den til y = 0, z = 0 svarende Multiplikator maa være + J, ses dette at være umuligt. Kaldes nu, ligesom før, Antallet af Transformationer i hele Gruppen N, saa er enhver Transformation A, der transformerer # — 0 ved en Transformation af nte Orden, af 2nte Orden. En saadan transformeres da til sig selv ved 2 Transformationer og ud- gjør med tilhørende Samling = Transformationer. Der kan ikke existere en Transfor- mation i Gruppen, der ombytter alle dens 3 Dobbeltpunkter, da der saa vilde komme en ny Transformation med samme Dobbeltpunkter som A. Den nte Potens af A er af 2den Orden. Det ses nu, at alle Potenser af A, med Undtagelse af den zte, med tilhørende Samlinger, ville udgjore ; (Ba=-2) 22 DE ller TR -N, x (2n—2) N : e eftersom der er Transformationer, der ombytte A's Dobbeltpunkter, eller der ikke er saa- danne, medens den „te Potens af A, der er af 2den Orden, transformeres til sig selv ved alle Transformationer, der transformere æ — 0 til sig selv. 2 ; i SER EN ERE ; Er dette Antal 29, udgjør altsaa A” med tilhørende Samling == Transformationer. (4 > Tages nu Summen af Antallet af alle de Transformationer, hvorved v = 0 transformeres lil sig selv, faas 5) 7 te (2 St) ig, — _ 9 9 9 n Nn, 2q 2q 5 D il mm i ; : idet NZ —— antyder Antallet af Transformationer, hvis Dobbeltpunkter ikke ombyttes ved n : : Re N en ; : nogen Transformation i Gruppen, WS ed Antallet af de Transformationer, hvis Dobbelt- 3 2n, punkter ombyttes, og Ligningen faas ifølge de bekjendte Sætninger om Transformations- grupperne for den rette Linie. Er Gruppen cyklisk for æ = 0’s Vedkommende, kan den tænkes opstaaet ved Sammensætning af 2 Transformationer ny — SEG | pa = x A= pÿ = ay Of 3 =X py = =e | ua = SL Ge | ne =), for underste Fortegns Vedkommende muligvis i Forbindelse med perspektiviske Transfor- 101 ; 163 mationer af 2den Orden, der have deres Centrer henholdsvis i « = 0, y = 0 og w = 0, z == 0. Vi ville først undersøge de Tilfælde, hvor vi for A bruge øverste Fortegn. Lad os først antage, at A transformerer « — 0 ved en Transformation af ulige Orden. Vi kunne da bruge akkurat de samme Betragtninger som i forrige Tilfælde. A maa altid vere af lige Orden og i dette Tilfælde af Zgde Orden, hvor q er et ulige Tal. Sammensætningen af A og B giver da 49— 1 Transformationer, A og dens Potenser 2q— 1 Transformationer, medens der bliver 29 Transformationer af Ade Orden ved at danne Produkterne A” 6. I Forbindelse med de tilhørende Samlinger ville disse Transfor- mn N Transformationer. mationer tilsammen udgjere — 4 Transformerer A x = 0 til sig selv ved en Transformation af lige Orden, maa A, idet vi kun her tage Hensyn til øverste Fortegn, være af Ordenen 49, hvor g er et helt Tal. Den cykliske Gruppe, hvorved- z — 0 transformeres til sig selv, kommer til at inde- holde 3 forskjellige Samlinger. Kalde vi nemlig den Transformation, hvorved A transfor- merer @ = 0 til sig selv, A’, den tilsvarende hvorved B transformerer z = 0 til sig selv B' 0. s. v., vil Gruppen for « = 0 indeholde A’ og dens Potenser, Samlingen bestaaende af B’ multipliceret med lige Potenser af A’ og Samlingen bestaaende af A’ multipliceret med y lige Potenser, altsaa indeholdende henholdsvis Transformationerne A’?” 5’ og A’?"t! BY, hvor m er et vilkaarligt Tal. Disse udgjore den fuldstændige Gruppe, hvorved & = 0 transformeres til sig selv. De tilsvarende Transformationer for Planet 4?” B og Amt! B ere af 4de Orden, hver med 2 Dobbeltpunkter paa 2 — 0, og skulde en Transformation i % Gruppen transformere saadanne 2 Transformationer til hinanden, maatte den ogsaa trans- formere æ — () til sig selv. Men da existerede der for æ — 0 en Transformation, for- uden de nævnte, hvad der ikke kan være Tilfældet, under Forudsætning af, at 4” er Trans- formationen af højest Orden, hvorved # = 0 transformeres til sig selv. De Transformationer, hvorved A transformeres til sig selv, med tilhørende Samlinger ville da i dette Tilfælde udgjøre I N Transformationer. Vi antage nu, at der skal bruges underste Fortegn; men at der ikke findes Trans- formationer af 2den Orden med Centrum i « — 0, y = 0 eller x = 0, 2 = 0. A maa da vere af Ordenen 8g, hvor g er et helt Tal. Den kan nemlig ikke vere af Ordenen 2q, naar g er ulige, idet da ingen Potens af den vilde vere en Transformation af 2den Orden med Centrum i y = 0, 2 — 0. Den kan heller ikke vere af Ordenen 49, naar g er ulige. 4? vilde nemlig da vere af 4de Orden, og da Koefficienten til z i første Ligning for A? vilde vere — I, maatte den have Multiplikatorerne — 1, à, à og forte altsaa til de Grupper, hvis Undersogelse vi her forbigaa. Bruge vi de samme Betegnelser som for, vil der vere i Gruppen for « — 0 tre Samlinger, A’ med Potenser, Transformationerne A?”5’, A?”+1B’. De tilsvarende Trans- 164 102 formationer af Planet ere her henholdsvis af Ordenen 4 og 2, og det ses, at de paa « — 0 liggende Dobbeltpunkter for den ene ikke kan transformeres hen til Dobbeltpunkterne for den anden, enten af samme Grund som før, eller fordi Gruppen vilde komme til at inde- holde perspektiviske Transformationer af 4de Orden. Derimod er der her intet i Veien for, at det 3die Dobbeltpunkt for en Transfor- mation 4?” B muligvis ved en Transformation i Gruppen kunde transformeres hen til Per- spektivcentret for en Transformation Æt! B, saa at altsaa A2"+! B og (A?” B)* horte til samme Samling. Vi se imidlertid, at A med Potenser og tilhørende Samlinger samt ; ar 5 15227 ES ERE € A2" B med tilhørende Samlinger maa udgjore ER — N Transformationer. a Skal Gruppen indeholde Transformationer af 2den Orden med Centrum i « = 0, y = 0 og « = 0, z = 0, kunne vi altid tænke os de Transformationer, der have samme Dobbeltpunkter som A, fremkomne ved Sammensætning af 2 Transformationer | BE = & | pe = —x , A = uy = ay og A, = ny =y BE Far hvor À er af lige Orden 2g. Der findes da 4g Transformationer, der have samme Dobbelt- punkter som A. g maa vere et ulige Tal. da der ellers vilde forekomme perspektiviske Transformationer af Ade Orden. Idet vi ligesom før antage, at Gruppen indeholder en Transformation | pa = I B = « py = —_z | på — y se vi, at den vil indeholde A med tilhorende Samlinger samt Transformationer af 4de Orden med tilhørende Samlinger af Formen 4*B: endelig vil den endnu indeholde Transfor- mationer af 2den Orden af Formen A” A, B, men ligesom for er det muligt, at disse høre til de allerede før omtalte Samlinger. Er nu g>3, vil A og Transformationerne 4 B a N Transformationer. Er g = 3, kan det være, at Gruppen indeholder en Transtormanet der kredsforskyder A's Dobbeltpunkter, og A aN None: medens Transformationerne 4”B med tilhørende Samlinger ville udgjore — N Transformationer, saa at disse Sam- É i MAÉ = linger tilsammen udgjore = N. 12 med tilhørende Samlinger udgjøre med tilhørende Samlinger vil da udgjøre n — 1 N Idet ifølge 40) en Transformation, 7, med tilhørende Samlinger udgjor ; n—1 ,, n— | 1 N F N T elie ig — Int eller am eller endelig mulig 9 identisk med en Potens af en anden ‘Transformation , der har forskjellige Dobbeltpunkter fra T, er det nu let at bestemme alle de Grupper, der kunne forekomme, som indeholde Transformationer, naar ingen Potens af 7 er 103 : 165 Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter; men hvoraf en Potens er samme Trans- formation. Thi i alle de omtalte Tilfælde, hvor A var af Formen ? | 2 a == x À = py — 00) Ne = RE og der ikke forekom nogen perspektivisk Transformation med Centrum i « = 0, y = 0, saa vi, at Transformationerne A og B og Produkter af disse med tilhørende Samlinger maatte udgjore PL iy p Transformationer, hvor p mindst var 8. Er nu p større end 8 kan Gruppen ikke inde- holde nøgen Samling, foruden de nævnte, da saa Antallet af Transformationer i de for- skjellige Samlinger tilsammen var større end N, hvad der er umuligt. Vi maa da have Dr ENS p idet Gruppen endnu foruden de omtalte Samlinger indeholder den identiske Transformation. Vi have da N = m, og da dette netop er det Antal Transformationer, man faar ved at sammensætte A og B, bestaar Gruppen kun af disse Transformationer og Produkter af dem. Var p = 8, kunde Gruppen muligvis endnu indeholde en Samling af Transforma- tioner af 3die Orden, hvori enhver Transformations Dobbeltpunkter baade kunde kreds- forskydes ved en anden Transformation i Gruppen, og hvor ogsaa to Dobbeltpunkter kunne ombyttes ved en Transformation, der lod det tredie uforandret. Gruppen vil komme til at bestaa af Transformationer af Ade Orden og deres Potenser, og af Transformationer af 3die Orden. Man skulde have Lv wen MN N = 72. Gruppen er, saaledes som det senere skal vises, endelig. Den vil til Undergruppe have en Gruppe paa 36 Transformationer, som senere nøjere skal undersøges, og om hvilken det skal vises, at den er Undergruppe. Gruppen skal indeholde 8 Transformationer af 3die Orden, der danne en cyklisk Undergruppe. Vi komme nu til de Tilfælde, hvor Gruppen skulde indeholde Transformationer 166 104 med forskjellige Dobbeltpunkter, men hvoraf en Potens var samme perspektiviske Trans- formation. og som indeholdt en Transformation | {2 Tr — —i A=? py = ay | nz = —42. Hvis n ikke er 3, og A havde fælles Dobbeltpunkter med-4n Transformationer, saa vi, at det Antal Transformationer, der transformerede z = 0 til sig selv, med tilhørende Samlinger udgjer mindst 6n—1 N, Sn hvor z mindst var 2. Det ses da, at Gruppen, foruden de omtalte Samlinger, maa inde- holde een Samling til af Transformationer af 2den Orden, idet en saadan Samling paa TE N Transformationer er den eneste mulige Samling, den endnu kan indeholde. Man har da | Preis, di + 2 ———_N+a—Ni1=WN Sn IS ale N = 7. hvoraf ses, at Gruppen alene indeholder Transformationer, der transformere samme rette Linie til sig selv. Vi have da det ene Tilfælde tilbage, » — 3, og behøve kun at behandle det under den Forudsætning, at ud = —ı = hi use A=? py = ay Lee aes 2 le RUE; og at Gruppen indeholder en Transformation, der kredsforskyder A's Dobbeltpunkter. Vi saa da, at A og de Transformationer af 4de Orden, der transformere z = 0 til sig selv med tilhørende Samlinger udgjøre 29 N 12 i Transformationer. Tillige ses, at de Transformationer, man faar ved at sammensætte A, B (se S. 164) og en Transformation af 3die Orden ©, der kredsforskyder A's Dobbelt- punkter, udgjere 71 Transformationer. Det ses umiddelbart, at Gruppen ikke endnu kan indeholde 2 Transformationer med tilhørende Samlinger, for hvilke andre Transformationer i Gruppen kan ombytte to Dobbeltpunkter, idet disse da, da Antallet af Transformationer i dem begge tilsammen ikke 7? kan udgjere flere end = N Transfcrmationer, begge maatte vere af den Orden eller den 1= ene af 3die Orden, og det ogsaa ses, at dette er umuligt, da man skulde have | | | | a DB ver 1 == AY, som er en umulig Ligning eller a — 72, som ogsaa er umulig. Man maa da have 29 2 i Na trae N+! NAL = N 72 3 co 2 hvor dog et eller flere af Leddene kunne mangle. Det er saaledes tydeligt, idet vi antage nm, >7, (den mindste Verdi, forskjellig fra 3, n, kan have), at, hvis Leddene med n og n, begge skulle existere, maa man have n — 2, og altsaa 29 1 n,—1 NN ı N--1 = N Dan N 12: = <=, n, + 24 som ses at vere umulig, da Gruppen kom til at indeholde ferre end 72 Transformationer. Vi maa altsaa enten udelade Leddet indeholdende x eller det, som indeholder »,. Vi have. da i første Tilfælde 29 n—1 q Så PE pin PEN 7 N+ In Na Var! N, 12n N = —_— 36 — 7 idet g maa sættes lig Denne Formel kan muligvis bruges, naar n = 35, som vilde give N — 72.35. Gruppen skulde da indeholde 36.34 Transformationer af 35te Orden og Potenser af disse. Der maatte altsåa være 36 forskjellige Sæt Dobbeltpunkter, hvortil hørte Transformationer af 35te Orden. Gruppen skulde kun indeholde — 3.35 Transformationer af 2den Orden, 24 og disse hørte alle til samme Samling. Men da ses Gruppen at være umulig. Thi der vilde være 35 Transformationer af 2den Orden, som ombyttede Dobbeltpunkterne for enhver Transformation af 35te Orden, og som altsaa havde sit Centrum P paa en Dobbeltlinie D for en Transformation af 3bte Orden. Ethvert Centrum for en Transformation af 2den Orden er imidlertid Dobbeltpunkt for en Transformation af 6te Orden, og en Linie D gaaende gjennem P kunde altsaa transformeres hen til 6 Linier, alle gaaende gjennem P. Da hver af disse Linier skulde indeholde 35 Centra for Transformationer af 2den Orden, er herved Gruppens Umulighed bevist. Idet det er umuligt at gjennemgaa alle Tilfælde udførligt, skal kun bemærkes, at lignende Maader vilde kunne bruges for at vise Umuligheden af lavere Værdier af n. Manglede Leddet indeholdende n kunde man sætte 30 ES I jen D va à IN, 72 In, Ing ra i) Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd, V. 2. 168 106 Man kunde her ikke sætte begge Storrelserne n, og n, større end 7. Vi kunne da sætte n, = 7 og faa da NEA 504 Ny 168—11n,’ hvor det eneste mulige Tal skulde vere n, = 12, der vilde give N — 168, som dog ses heller ikke at kunne bruges, da 72 ikke gaar op heri, hvad der maa være Tilfældet, da 29 m FN skal være et helt Tal. : Endelig kan man forsøge at sætte 29 n,—1 @ =~ is ze ks de IN 122: 3n ES Nr 72n, a 19n, —8qn, 2? som let ses ikke at kunne bruges. Det fremgaar heraf, at hvis en Gruppe indeholder en Transformation À, og baade indeholder andre Transformationer, der kredsforskyde Dobbeltpunkterne i À, og saadanne, der ombytte to af A’s Dobbeltpunkter, medens de lade det tredie uforandret, medens A ér en Transformation af Formen v= —à% DE > sy A= BY == GY) a= SRE DER] på = —aN, er Gruppen cyklisk. 43) Vi ville nu endelig gaa over til at bestemme alle de Grupper, som, uden at vere cykliske, eller uden at alle Transformationerne i Gruppen transformere samme rette Linie til sig selv, ikke indeholde Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter, hvoraf en Potens er samme perspektiviske Transformation af 2den Orden. I en saadan Gruppe maa der ikke forekomme perspektiviske Transformationer af højere end 2den Orden. Vi have allerede set, at hvis en saadan Gruppe indeholder en Transformation A af nte Orden, eller n Transformationer, der have de samme Dobbeltpunkter, ville disse med tilhørende Samlinger udgjore n— | n—1 n— I or ae: n 2n 3n Transformationer, eftersom der ikke gives nogen anden Transformation i Gruppen, der ombytter Dobbeltpunkterne for en Transformation i Samlingen, eller der gives en Trans- formation, der ombytter to Dobbeltpunkter, men lader det tredie uforandret, eller der gives en Transformation, der kredsforskyder alle 3 Dobbeltpunkter. 107 169 Da n—-1 er primisk med #, og Antallet af Transformationer i en Samling skal være et helt Tal, maa altsåa — være et helt Tal, i de to sidst omtalte Tilfælde ses tillige N me à av —— eller 2n 3n N maa saaledes vere et Tal, der indeholder det mindste fælles delelige Tal for 9 at maalte være hele, dersom N er et Multiplum henholdsvis af 2 eller 3. Ordenen af de Transformationer, Gruppen indeholder, som Faktor. Betegnes ved 2 — N Summen af Antallet af alle de Samlinger Transformationer, Gruppen indeholder, i hvilke ikke to Dobbeltpunkter for en Transformation i Samlingen ombyttes ved nogen anden Transformation hørende til Gruppen, o. s. v., ses det, at det samlede Antal Transformationer i Gruppen er bestemt ved n—1 an! + Ja 4 +) + PNR (79) an, Ny n( >: idet g er Antallet af Samlinger i Gruppen bestaaende af Transformationer af 3die Orden, hvis to Dobbeltpunkter baade ombyttes ved en Transformation i Gruppen, og hvis Dobbelt- punkter alle tre kredsforskydes ved en anden Transformation i Gruppen. Ligningen (79) kan ogsaa skrives 1 m n,—1 Mai Q >) as SE -+. { NEAR; LE? n Dips IN, 9 (50) Da i højre Side af denne Ligning Nævneren i det højeste er mindste fælles dele- lige Tal for Ordenen af de Transformationer, der indgaa i Gruppen, eller dette Tal multi- pliceret med 2, 3 eller 6, idet man tænker sig alle Brokerne paa højre Side gjorte eens- benævnte, og efter udført Regning forkortede saa meget som muligt, har man følgende Sætning: Antallet af Transformationer i en endelig Gruppe er det mindste fælles delelige Tal for Ordenen af de i Gruppen indgaaende Transforma- tioner, eller dette Tal multipliceret med 2, 3 eller 6. Det ses tillige, at Faktorerne 2, 3 eller 6 til det mindste fælles delelige Tal kun kan fore- komme, forsaavidt Gruppen indeholder Transformationer, for hvilke kun 2 Dobbeltpunkter ombyttes ved en Transformation i Gruppen, eller Trans- formationer for hvilke alle 3 Dobbeltpunkter kredsforskydes ved en anden Transformation i Gruppen eller Transformationer af begge disse Arter. (81) Horer der til Gruppen kun Transformationer, hvori intet Dobbeltpunkt ombyttes ved en anden Transformation eller hojest 2 Dobbeltpunkter ombyttes, faa vi de samme Tal frem for Antallet af Transformationer i Gruppen og Antallet af Transformationer i Sam- lingerne, som vi allerede have faaet ved de endelige Grupper for den rette Linie. Vi ville derfor kun anstille Undersogelser, for saa vidt Gruppen indeholder Transformationer, i hvilke alle tre Dobbeltpunkter kredsforskydes ved en anden Transformation i Gruppen. 22% 170 108 Her følger nogle Antydninger af, hvorledes man ofte kan afgjore Gruppernes Mulighed, idet i det følgende Gruppernes Umulighed, hvor de enkelte Tal tilfredsstille (80), kun vil blive nævnt, eller i det højeste Beviset kun antydet. Et vigtigt Middel haves i Sætning (81). Hvis Gruppen ikke er cyklisk, maa den i det mindste indeholde to Transformationer af nte Orden A og B med forskjellige Dobbelt- punkter, hvis den indeholder en saadan, idet i modsat Tilfælde alle Transformationer i Gruppen skulde lade A's Dobbeltpunkter uforandrede eller ombytte dem, saa at Gruppen mod Forudsætningen var cyklisk. Har nu A og B forskjellige Dobbeltpunkter, ville 3, ABA, 22342... AUR ARE vere lutter forskjellige Transformationer, og to af dem kunne kun have samme Dobbelt- punkter, hvis A eller en af dens Potenser ombytter to eller alle tre Dobbeltpunkter for B. Gruppen vil da i de nævnte Tilfælde mindst komme til at indeholde, (da den for- n n > +1 eller „+1 Transforma- D) tioner af nte Orden med forskjellige Dobbeltpunkter hørende til samme Samling, og Sam- uden de nævnte Transformationer indeholder A), n+ 1, lingen maa da mindst indeholde (n—1)(n+ 1), in 1)(5 +1) eller in—1)(F +1) Transformationer, og da Antallet af Transformationer i Samlingen skal være ENN eller amd Bye \ Be ag n — n Qn maa N i de tre Tilfælde vere lig eller større end n(n + 1), n(n + 2) eller n(n + 3). Det ses tillige, at de sidste Tilfælde kun kunne indtræde, naar » er delelig med 2 eller 3. 44) Det ses, at en Gruppe i det højeste kan indeholde en Samling af Transfor- mationer, hvis Dobbeltpunkter ikke ombyttes af nogen Transformation i Gruppen. Ere disse Transformationer af 2den Orden, kan Gruppen endnu indeholde en Sam- ling Transformationer, for hvilke to Dobbeltpunkter ombyttes ved en anden Transformation i Gruppen"). Er denne anden Samling ogsaa af 2den Orden, d.v.s. ere dens Transformationer af 2den Orden, kunde Gruppen muligvis endnu indeholde enten 2 Samlinger Transformationer, af 3die Orden, hvis Dobbeltpunkter baade kredsforskydes og ombyttes to og to ved andre Transformationer i Gruppen, eller een Samling Transformationer i Gruppen, hvis Dobbelt- punkter kan kredsforskydes ved en anden Transformation i Gruppen. Man har da ') Her og i det Følgende er Gjennemgangen af en Del Muligheder forbigaaet, der dog alle ses, ved lignende Fremgangsmaader som de brugte, ikke at hore til virkelige Grupper. 109 à re! N 2N Ace nl N N = 36. Gruppen ses imidlertid let at være umulig. Thi den skal indeholde 18 Transformationer AL af 2den Orden, der ikke ved nogen anden Transformation i Gruppen transformeres til sig selv. Men ere nu to af disse Transformationer A og B, kan man ikke have, at AB er af 2den Orden; thi da var AB = BA, BAB = A imod Forudsætningen. AD maa da være en Transformation af 3die Orden og have et af sine Dobbeltpunkter paa A's Axe. Men da maa A og B ved Sammensætning danne en cyklisk Gruppe, hvis Transformationer transformere Forbindelseslinien mellem deres Centrer til sig selv, og da denne ikke inde- holder Transformationer af hojere end 3die Orden, kan endnu kun een Transformation af 2den Orden have sin Axe gaaende gjennem Skjæringspunktet for A og B's Axer. Der vil da i det mindste være 8 Transformationer af 3die Orden, der have Dobbeltpunkter paa forskjellige Steder af A’s Axe; men Gruppen skal kun indeholde 4 Transformationer af 3die Orden med forskjellige Dobbeltpunkter, saa at dette er umuligt. Vi ville derpaa undersoge, hvor vidt Gruppen kan indeholde en Transformation 4 af nte Orden, hvis Dobbeltpunkter ikke ombyttes ved nogen Transformation i Gruppen, og een eller flere Samlinger, indeholdende Transformationer, hvis Dobbeltpunkter kredsfor- skydes ved en anden Transformation i Gruppen. Man skal have 1 =. mil daher Aa = | N n In, 9 Inn, 97 hvor g er Antallet af Samlinger af Transformationer af 3die Orden, hvis Dobbeltpunkter baade kredsforskydes og ombyttes to og to. Vi sætte forst n = 2, n, = 3. Vi have da, idet g — 2, | 1 4 1 Na INGELS: Gruppen skal indeholde 8 Transformationer af 3die Orden, 9 af 2den Orden. Hvis Gruppen existerer, maa den være cyklisk. Lad os dernæst antage n, >3. n, maa da i det mindste være 7. Man har da 1 1 ns I 1 no + 6 N 2 In, Or idet g > 1 vilde gjøre Ligningen ubrugelig. Det ses imidlertid, at den fremkomne Ligning ogsaa er ubrugelig. 172 110 Er n > 2 maa enten Leddet indeholdende x, eller 9 bortfalde. Er g = 0, ny > 3, maa n være 3; Gruppen ses at være umulig, ifølge Slutningen af 43. Er n, = 3, q = 0 faa vi 1 9 — 2n | f alt =. = = — woraf altsaa n 4, da ellers N ligeledes blev mindre, end den efter 43) kan vere. | Man maa tillige have 24 > (n, — 6) (np —4) > 12. Man kan da sætte n, lig med Er n, = 7, faar man 1 14— n, No ETS hvor 3 maa gaa op i n,, hvoraf ses, at Ligningen er umulig. Paa samme Maade ses det, at n, — 13, n, — 19 ere ubrugelige. ny = 12 giver 1 I= Ba NS Wee ? “man maa have n, = 8. Gruppen kan imidlertid ikke existere ifølge samme Ræsonnement som i 46). NM. — 21 giver 1 24 — (n, — 6) 17 N ORO ne man maatte have n, = 7, N — 12.21, som er umulig paa Grund af Slutningen af 43). Setter man i (83) g, = 4, n = 2, faar man 1 18n, + 12n, — In,n, N 36n,N, k Satte man her 2, — 3, den mindste Værdi den kan have, fik man 1 6—n, NAN EE Da 9 skal gaa op i Nævneren, maa », være et Multiplum af 9, og Ligningen er ubrugelig. Satte man n, = 2, fik man 1 ns + 6 N 187, ? som umiddelbart ses at være ubrugelig, da Nævneren skal være et Multiplum af 4, n, lige, og altsaa mindst lig 12. (Anvend ligesom for Slutningen af 43)). n, — 3 Vilde give 1 12 —n, NÆ GT hvor n, da maa være 3 eller 7, som begge ses at være ubrugelige. Vi kunne da ikke have 7, = 3. Man kan sætte Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2, 23 176 114 UC ON) N 367 Ny ? og dan, og », skulle være større end 3, behøver man i det højeste at sætte n, — 7. Dette er da den eneste Værdi vi behove at undersoge. Man har da | 126 — 37n, NETTE som ses ikke at være tilfredsstillet for nogen Værdi af ni. Vi se saaledes, at der ikke existerer Grupper, for hvilke en Samling henhorer til en Transformation af 2den Orden. Vi kunne da lade n og n, mindst være 3. Vi sætte nu » = 3. Man har da ifølge (83) TAN SÅ] gr N 6 On, | > 5 a 2 9 No 9 Vi sætte da, hvis 9, = 3, CE PE) N 6, Ny ; Det ses strax, at n, — 3 er umulig. Setter man n, = 4, ny — 7 faas derimod en virkelig existerende Gruppe, for hvilken N = 168. (84) Denne skal senere behandles. Sættes na — 3, kan man sætte n, — 8, 6 eller 4, da n, maa vere et lige Tal. Det ses let, at intet af disse Tal kan bruges. n, = 8 vilde give N — 144; men ses let at vere ubrugelig, da Gruppen skulde indeholde 9 Transformationer af 8de Orden, hvis Dobbeltpunkter ombyttes ved en anden Transformation i Gruppen, og ogsaa kun 9 Trans- formationer af 2den Orden (smlgn. S. 167). Kr g, = 4, n = 3 faas af (83) 1 In, + 6n,— 5, Ny N 18n,n, : en Ligning, som er umulig, da n, og n, begge ere lig eller større end 3, saa at Telleren paa højre Side er 0 eller negativ. Ere endelig » og n, begge større end 3, saa er n—1 Op a 8 Gruppen kan ikke endnu indeholde andre Samlinger end Samlinger af 3die Orden, hvis Transformationer have Dobbeltpunkter, der kredsforskydes ved en anden Transformation i Gruppen. 115 177 Man kan sætte g — |, eller g = 2 og faar 1 n—1 n, — I q 1 { q J(n+n,)—2qnn à 1 1 es zen 1 1 i f N Qn In, 9 om" On, 9 18nn, 199) Lad os sætte g == 2, saa faar man oe ty, 9(n-+-n,)—4nn, N 18nn, É Disse Tal, x og n,, kunne ikke begge være større end 4. Vi kunne da sætte n — 4. Man har da 4 1 36 —7n, NT T2n, Er her n, = 4 faar man N = 36, som er umulig, da N skal være et Multi- plum af 8. Er n, = 5, faar man derimod N = 360, en virkeligt existerende Gruppe, som senere skal behandles scsccsccecacasvea000000006 (86) Er g = I har man 1 9(n+-n,)— 2nn, N 18nn, Her maa man have det største af Tallene mindst lig 9, da N ellers efter 43) kommer til at indeholde for faa Transformationer. Man har da, hvis n — 9, 1 D = ©; NT 18n, ? hvor x, skal vere lige. Er n, <8 ses Gruppen at indeholde for faa Transformationer efter 43), og er n, = 8 faas N = 144, der (ligesom S. 167) ses at være umulig. Er n = 8 faar man 1 12 —in,. N in her ses n, — 10 at være det eneste brugelige Tal. Dette vilde give N — 720. Hvis Gruppen existerede, maatte den indeholde to Transformationer af 10de Orden A og B, saa at A? ombytter to Dobbeltpunkter for B5 og omvendt, da der existerer 36 Transformationer som A med forskjellige Sæt Dobbeltpunkter. A og B vilde da trans- formere samme Keglesnit til sig selv, og ses let ikke at kunne tilhore en endelig Gruppe. Er n = 7 faar man { 63 —5n, N 126n, ? hvor n, skal vere lige. Man maa da sætte n, = 12, N = 18.7.4. Umuligheden af Gruppen kan vises ligesom i foregaaende Tilfælde. Lavere Værdier af n, kan ikke bruges som Folge af 43). 1 = 3 Er n = 6 faar man 1 18—n, i wy or 178 116 Man kan her sætte n, = 17 og faar da N = 36.17. Umuligheden af Gruppen bevises ligesom i forrige Tilfælde. Paa lignende Maade ses, at man heller ikke kan have x, — 16, medens Umulig- heden af lavere Værdier for n, følger af 43. For n = 5 faas > 1 15 —n, INR Mie RE hvor z, skal være lige. Paa lignende Maade som i de forrige Tilfælde vises, at n, = 44 er ubrugelig, og lavere Værdier kunne ikke bruges ifølge 43). n = 4 vilde give i by 36+ 7, N 18nn, som umiddelbart ses at vere ubrugelig. 47) Vi komme nu endelig til den sidste Mulighed, at Gruppen kan indeholde een Samling af Transformationer, for hvilke to Dobbeltpunkter ombyttes, i Forbindelse med flere for hvilke der er cyklisk Ombytning af Dobbeltpunkterne. Vi have da 1 B= el =i gg es N ; In an, In, IE (en) idet vi antage, at Gruppen indeholder IN Transformationer af 3die Orden med cyklisk Om- bytning af Dobbeltpunkterne. Vi sætte først n — 2, og faa da 1 sn -1I m 1 g 3n,N, + 12(n, +n,)—Agn,n, Na In, 9 36n,n, 7 = hvor man enten kan have g = 1 eller g — 2. Vi sætte først g = 1. Man har da Ly ese 144 — (n, —12)(n, — 12) NERE 36n,n, 3 hvor man maa have 144 —(n, — 12) (ng — 12) < 36, (n, — 12) (nz, — 12) > 108, da ellers Gruppen ifølge 43) kommer til at indeholde for faa Transformationer. Ligeledes maa man have (n, — 12) (nz — 12) < 144. En af Storrelserne, n, eller n,, maa altid være mindre end 24, og vi se, at ingen af dem kan være mindre end 12. Man kan da sætte { 13 n, = 19 | 21. 117 179 For n, = 13 faar man 1 156—n, N 36.13.79 Man ser umiddelbart, at n, > 120, og da ifølge 43) N>n,(n,-+1), kan man i det højeste forkorte Broken paa højre Side med 3. Vi have da 156>n, > 153, og se da, at vi ikke kunne bruge noget af de mellem 156 og 153 liggende Tal, da de indeholde Primfaktorer af Formen 3p + 2. | Vi sætte dan, — 19 og faa 1 228 — In, i Ben, Man skal her have 228 >7n,, 33 >n,, og da Tælleren sikkert skal være mindre end 36, 7n, >192, n, >27. Man behøver da kun at undersøge n, = 28 og 31, som begge vise sig at være ubrugelige. Vi sætte dernæst n, = 21. Man faar da 1 28 —n, NT 4.2 .ng Da 9 skal gaa op i N, maa 3 gaa op in,, og da n, maa være større end 24, ses det, at ingen Værdi af n, kan bruges. Vi sætte dernæst g = 2 i (88) og have da 1 12(n, +n.) —5n, no NAN 367, No De mindste Værdier n, og n, kunne have ere 3 og 7, og det ses, at naar de begge ere 7, er Telleren paa højre Side negativ, hvad der da ogsaa maa finde Sted for højere Værdier af n, og ny. Vi behøve da kun at prøve n, — 3, som giver I 1 I D 1 12 —n, N IDB ody” som ses ikke at give nogen brugelig Verdi for ng. Vi sætte dernæst i (87) n = 3 og faa da te) 1 3n, + dne — Qn, Ny Cc d N Ba We hvor n, eller n, maa vere lige, altsaa mindst lig 12. g maa da vere 1. Vi faa 1 9 — (n, — 3) (1, — 3) N In, Ny i som ses at være ubrugelig i alle Tilfælde. Er n>3 maa i (87) enten g være 0, eller et af Leddene indeholdende n, eller 2 180 118 mangle, idet disse Størrelser antages" forskjellige fra 3. Lad os antage g — 0, saa ere n, og n, mindst 7, og man maa da have | n — I N 20 altsaa n N 12 In, In, 12n,n, som ses kun at give en mulig Verdi for N, naar n, = n, = 7, i hvilket Tilfælde N = 84. Gruppen vil kun indeholde 7 Transformationer af 2den Orden og Umuligheden bevises som flere Steder for (smlgn. S. 167). Er n>3, g>0, kan der i (87) kun forekomme et af Leddene indeholdende n, eller »,, og vi sætte NE 1 O=l ml 3nn,+9n, +6n — 2qnn, = 1 — 9 N 2n In, 9 18nn, 2 (89) 9 hvor vi kun behøve at give g Værdierne 2 eller 3. 119 181 1 In, +6n—nn, 54 —(n — 9) (n, — 6) N 18n%, 18nn, i En af Størrelserne n og n, maa være lige, og man maa have 36 Z(n—9)(n, —6) < 54, den første Ulighed ifølge 43). n, er mindst 7, og man skulde da prøve for », Værdierne mellem 7 og 59, nemlig T, 12, 13, 19, 21, 28, 31, 37, 39, 43, 49, 52, 57. Vi sætte da først n, — 7, som giver a N 718.7.n? hvor n skal være lige, og da man skal have NE n(n +1), 126 > (n + 1) (63—n), n? —62n +63 > 0, ses, at n kun kan vere 62. Gruppen ses at være umulig ligesom S. 167 o. fl. St. n, = 12 giver 1 18—n N 36n ~ Vi behøve her kun at prøve n — 17 eller n — 16. Umuligheden vises som i forrige Tilfælde. n, — 13 giver a an 54 — (n—! N 18.13.n n skal være lige, man faar ingen brugelige Værdier. n, — 19 giver 1 54 —13(7—9) N 18nn, i hvor n ligeledes skal vere lige. Man faar ingen brugelige Værdier af n. n, == 21 giver 1 18 — (n—9)5 N 6nn, ? hvor n ogsaa skal være lige, i det højeste lig 12. For n = 12 faas N — 24.21. Umuligheden af Gruppen bevises atter som S. 167. n, = 28 giver 1 27 — (n—9) 11 N 18.28 .n Det ses, at ingen Værdi af n kan bruges. 182 120 ubrugelig... Paa samme Maade ses alle de følgende Værdier at være ubrugelige. Den eneste Værdi, der muligvis kan bruges er n, = 57, n = 10, som giver N = 57.60. Gruppen er imidlertid umulig. Den skulde indeholde 20 forskjellige Sæt Dobbelt- punkter, hvortil hørte Transformationer af 57de Orden, og 19de Potens A af enhver saadan Transformation af 57de Orden vilde da vere af 3die Orden og ombytte Dobbeltpunkterne for enhver anden Transformation D af 57de Orden, der ikke horte til de samme Dobbelt- punkter. Men da vilde Ab” være af 3die Orden og Gruppen indeholde mindst 19.56 saadanne Transformationer; medens den efter Tallene kun skulde indeholde 19.40 Trans- formationer af 3die Orden, der ikke havde samme Dobbeltpunkter som Transformationer af 57de Orden og 20 Transformationer, der havde saadanne Dobbeltpunkter. Vi sætte dernæst i (89) g = 3 og faa da I Dane, 6 — (n— 3) (nm, —=2) IN 6nn, bnn, >) som ses at være umulig, hvis baade n og n, ere større end 3. Sættes n, = 3 har man 1 9—n Ny > hvor n skal være et lige Tal, og da maa være 6 eller 8. I første Tilfælde var N — 36, Gruppen skulde kun indeholde tre forskjellige Sæt Dobbeltpunkter, hvortil hørte Transformationer af 6te Orden, hvad der er umuligt. I andet Tilfælde skulde Gruppen indeholde 144 Transformationer. Der skulde være kun 9 Sæt Dobbeltpunkter, hvortil hørte Transformationer af 8de Orden, hvad der ogsaa ses at være umuligt. 48) Vi ville nu gaa over til virkeligt at bestemme alle de existerende Grupper, idet her dog stadigt kun tages Hensyn til saadanne Grupper, i hvilke ikke alle Transfor- mationerne transformere samme rette Linie til sig selv. Vi kunne antage en saadan Transformation bragt paa Formen ee = OP A=) py = By, hvor «By = 1, ME = FA 2 selv, hvis en af Multiplikatorerne er 1, og i 5 saa vil den transformere et Keglesnit til s saa Tilfælde vil der vere uendelig mange Keglesnit, som blive transformerede til sig selv. 121 183 Skal nemlig Keglesnittet aa? + by? + c2? + dyz + exz + fay = 0 transformeres til sig selv, maa man have | aa? = pa, bp? po, ey = pe, da — pd, ep = pe, Fr = pf, hvor i det mindste to af Storrelserne a, 6, c, d, e, f, maa vere forskjellige fra 0. Men hertil kræves enten, at A er perspektivisk, eller at en af Multiplikatorerne er 1. Vi antage nu, a = 1!) og at A ikke er perspektivisk. Man kan da lade a og d vere vilkaarlige Storrelser, medens de ovrige ere 0. Keglesnittet faar Ligningen ax: | dyz — 0), og ses at være et Keglesnit, der gaar gjennem de to Dobbeltpunkter Q og Q, og rører de to Dobbeltlinier g og g, i disse Punkter. For at den ene Multiplikator skal være 1, ses det at være nødvendigt og til- strekkeligt, at Diagonalsummen er reel, og for at de andre Multiplikatorer skulle være Rødder af Enheden, at den ligger mellem Grænserne 3 og —1, idet det antages, at Transformationsdeterminantens Elementer ere konjugerede med deres Underdeterminanter. Man ser nemlig, naar Diagonalsummen s er reel, at Multiplikatorerne ere bestemte ved Ligningen pu — sp? +su— 1 = 0 (2—1) (4? —(s—1)2 +1) = 0, hvoraf Rigtigheden af det fremsatte ses?). eller 49) Er en Transformation af 2den Orden, kan det vises, at Elementerne i dens Diagonalrække maa være reelle Tal, og tillige, at dette er den tilstrækkelige Betingelse for, at den er af 2den Orden i Forbindelse med, at Diagonalsummen er —1 og de øvrige Be- tingelser, Transformationerne maa opfylde for at høre til en endelig Gruppe. Skal nemlig A være af 2den Orden, maa man have A= A. Idet vi her kun opskrive Determinanterne, har man da G Wa @ Gn, Cn Gn | nh Vs Si 1 Wy Cay da je = = = —1+iV3 | Me dr Cr = GE Ba by Oa |p 1 > =—5-55 | 3 bg cs | a Ca bg rl or 1) eller a, hvor a = u. res —1+4V3 2) Man kunde her for s sætte sa”, hvor a = 9 Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. 94 184 122 og altsaa a, = aa, eller aa, = aa,, og, da a, kun er bestemt paa en Faktor a? ner, kunne vi sætte lern som viser, at a, er reel. Paa samme Maade faas b, = b,, c; = e, reel at vere nød- vendige Betingelser. x Vi have nu Gi Bel og ifølge S. 141, som Folge af, at a,, b,, c, ere reelle, a 6, — a,b, — C3 = (a, + 1)(b, +1), da —e, = a,+6,+1. Paa samme Maade faas ca; — (C3 + Na, +1) eb; = (bs + 1)(cs +1), og altsaa bes as . €,a,b, = (a, + 1)? (6, + 1)? (ce; + 1)?, medens b,ca; +¢,4,6, = 2a, +1)(b, + 1) (ec, +1). (Se S. 141) Man maa da have R= 0, og selvfølgelig e, C, =a,A, 0.s.y., altsaa |c, | —|a, |, og da Produktet c,a, er reelt positivt, hvorved Sætningen bevises. 50) Vi skulle nu udvikle en Sætning om Afhængigheden mellem forskjellige Dia- gonalsummer i Gruppen, der vil være af Vigtighed for det følgende. Lad os antage, at Gruppen indeholder to Transformationer, À og B, Fife = ne ; A= py = By, ho ef; = 1 DE = FE og pe = a,2+6,y4+-¢,2 B=} pf = age bry toyz, pe = az +b;y 6,2 og at vi danne Diagonalsummerne for B, AB, A?B ..., saa ere disse da b + cz =s aPa, + Pb, If, = sP, —— dl 123 185 hvor s,, s, ... maa være mulige Diagonalsummer for Gruppen, d.v.s. kunne tilhøre saa- danne Transformationer, der kunne forekomme i Gruppen. En af dem, s, kan gives en Værdi, som vi vide maa forekomme blandt Diagonal- summerne til Gruppens Transformationer. Elimineres a,, b,, c; mellem de fire første Ligninger, faas | 1 les I (8) Fp Be =H a® B? 72 8 a® 8% T° ss | Betegnes nu Diagonalsummen for A ved d, kan denne Ligning efter Division med (a— fR)(8— 7)(7— a), som ikke kan vere 0, naar A ikke er perspektivisk, skrives s—s, — 5,d—s,d, og paa samme Maade faar man for 4 paa hinanden folgende Diagonalsummer sp — spt3 — ptid— spt2d, (90) en Ligning, der er af den største Vigtighed for Bedømmelsen af de mulige Grupper. | Er B af 2den Orden, er s = — 1, og ifølge foregaaende Paragraf, s? — sn?) naar A er af nte Orden. 51) Vi ville nu gjennemgaa de forskjellige existerende endelige Grupper, idet vi inddele dem efter Ordenen af Transformationerne af hojest Orden indgaaende i Grupperne og sige, at en Gruppe er af samme Orden som Transformationen af højest Orden ind- gaaende i den. Vi begynde da med Grupperne af 3die Orden. Grupperne skulle indeholde Transformationer af 2den og 3die Orden, og vi kunne antage, at en Gruppe indeholder Transformationerne pa = & es — ıV: Al =X ni) = GH, inor @ = mete iS LE = GA 08 pe = a,a+b,y+¢,2 B = py = 6,0 + boy + C2, pe — 6,0 4+0,y+ 632 hvor vi antage, at B er af 2den Orden og alle Storrelserne a,, 6,, €, ... reelle, idet det er let at se, at vi altid kunne bringe een Transformation af 2den Orden, horende til Gruppen paa en saadan Form. Vi maa da have 186 124 | | a,+ br + cs a, + ab, + acy = 0 a, tab, +ac, = 0, idet venstre Side af de to sidste Ligninger skal være konjugerede Størrelser, og ikke kunne være lig —a? og — @, da der saa vilde forekomme Transformationer af 2den Orden, der ombyttede A's Dobbeltpunkter (smlgn. S. 107). Heraf faas saa at man faar en as 2 3 , 2 2 1 på = FB EF) = ae Alle Transformationer i Gruppen ville lade Keglesnittet a? + 2yz = 0 uforandret, da A og B gjøre dette. Gruppens Endelighed bevises let herved. Vi se nemlig, at en lineær Transformation, der transformerer et Keglesnil til sig selv, altid vil transformere et Punkt P til et Punkt P,, saaledes at det anharmoniske Forhold mellem QQ, PP, bliver lig med en af Multiplikatorerne !). Vi se da, at vi kunne betragte de Grupper, i hvilke alle Transformationer trans- formere samme Keglesnit til sig selv, som en ikke lineær Transformation af de Grupper, der lade en ret Linie uforandret. Invertere vi nemlig om et vilkaarligt Punkt som Inversionscentrum, vil den rette Linie gaa over til en Cirkel, og da de anharmoniske Forhold mellem Punkterne af den rette Linie blive lig med de anharmoniske Forhold mellem de tilsvarende Punkter af Cirklen, vil der til enhver lineær Transformation af den rette Linie svare en lineær Trans- formation af Cirklen, og til en endelig Gruppe lineære Transformationer af den rette Linie svare en endelig Gruppe lineære Transformationer af Cirklen. Men den Gruppe, som er endelig for Cirklen, er ogsåa endelig for hele Planet. Thi en hvilkensomhelst ret Linie vil ved alle Transformationer i Gruppen kun kunne transformeres til et endeligt Antal andre Linier, da dens Skjæringspunkter med Cirklen kun kunne transformeres til et endeligt Antal andre Punkter af Cirklen. Men da et vilkaarligt Punkt af Planet kan opfattes som Skjæringspunkt mellem to rette Linier, måa ogsaa et vilkaarligt Punkt af Planet kun kunne transformeres til et endeligt Antal andre Punkter. 1) idet her bruges samme Betegnelser som S. 183. 125 187 Ved lineær Transformation kan man imidlertid faa en Cirkel transformeret til et vilkaarligt Keglesnit. Det ses saaledes, at man kun behøver at kjende alle endelige lineære Transformationsgrupper for den rette Linie, for at bestemme alle endelige Grupper for Planet, naar alle Transformationer i en såadan Gruppe skulle transformere samme Kegle- snit til sig selv. Den fundne Gruppe ses nu at svare til Tetraedergruppen for den rette Linie, og dens Endelighed kan bevises påa samme Maade. Vi kalde den Tetraedergruppen for Planet. 52) Vi komme dernæst til Grupperne af 4de Orden. De skulle indeholde Trans- formationer af 2den, 3die og 4de Orden. De mulige Diagonalsummer ere — 22, 0, a?. Vi kunne altid, ligesom i forrige Tilfælde, antage, at Gruppen indeholder to Trans- formationer A og B, hvoraf A er af 4de Orden med Dobbeltpunkter i Koordinatsystemets Begyndelsespunkter, B af 2den Orden med lutter reelle Koefficienter. Vi have da ea og enten a) a, +2b,—ie, = 0, g altsaa © se a; —ib, ie, = 0, og ifølge (90), da d = 1 (= 1 —2+i), a,—b,—e, = 1, eller b) a, +ib, —ic, = a? a] = bs = C3 —— 0 5 P — i a, — ib, +ic; = a? hvor a) og b) hver svare til sin Gruppe. Den forste til en Gruppe paa 24 Transforma- tioner, der er en Transformation af Oktaedergruppen; den anden til den S.172 (82) svarende Gruppe paa 36 Transformationer. 53) Vi behandle nu forst a), idet vi bruge lignende Betegnelser som i 51). Man faar = 1 a, = 0, b, = ¢; = — 5, b, GAME Le C3 = 95 saa at man faar v2 V2 på = Ui à © SE kr B=y py Gt ee) a Re lee i, PGM Te Da A og B lade Keglesnittet 2? + 2yz = 0 uforandret, ville alle Transformationer i Gruppen gjøre det. Gruppen er en Transformation af Oktaedergruppen for den rette Linie. Vi ville kalde den Oktaedergruppen for Planet. 54) Vi gaa nu over til at betragte den Gruppe vi faa ved at antage, at Multiplika- tionen af B med Potenser af A giver Rækken af Diagonalsummer b). Man faar da, idet vi sætte p — 1, SN N Lee a, = —;, i = 7 ne 2+ ‘i He % = Ve saa at altsaa 11/3 +v3 4 Vi" PR ee Bit a JS LV dir Vs B=) 2) =) SER — VEX: s 13 VS CPS EE pe = 5 + Vs + 7 2 Vi skulle nu vise Gruppens Endelighed. Man har, idet vi betegne, at en Transformation er identisk, ved at sælte den lig 1, A=1 (AB = 1 (ABE BP = il Den anden og tredie Ligning kunne skrives BABA = AB AB © gg BA?B = ABA Lad os nu antage, at vi have BABAB, saa er denne Transformation, hvis p og g begge ere 1 eller 3, identisk med A°B A? eller ABA, hvis p = q = 2, er den identisk med 4°. Hvis alene p eller g er 2, ses det, at BA?BA?B kan reduceres til kun at indeholde to Faktorer 5. Hvis endelig p — 1, g — 3, faar man BABASB = BABA.A’B= ABABA?B = ABABA?, 127 189 som ogsaa kun indeholder to Faktorer B, og paa samme Maade reduceres BA?B AB. Et Produkt af Transformationer, hvori der forekommer tre Faktorer B, kan da altid redu- ceres til kun at indeholde to Faktorer 5. Herved ses Gruppens Endelighed at være bevist, idet den kun kan indeholde Transformationer sammensatte af A og B, der i det højeste indeholde to Faktorer B. Den almindeligste Transformation i Gruppen er da ABA'BA'. Skal den virkeligt ikke kunne reduceres til at indeholde færre Faktorer, maa g ikke være 2, eller p = q eller g = Det er da let at se, hvilke Former Transformationerne kunne antage. Vi kunne nemlig danne alle Transformationerne ved enten at multiplicere B eller ABADB paa begge Sider med Potenser af A. Men ABAB er, idet vi kun opskrive Determinanten, 1 Paar, Saal 22) 7 /3=28 EE), un, eva van ae Ze Det er heraf let at udlede, hvor mange Transformationer Gruppen indeholder. Det ses, at den indeholder ialt 36 Transformationer, hvoraf 18 ere af 4de Orden, 9 af 2den Orden og 8 af 3die Orden. Det ses tillige, at dette er den eneste existerende Gruppe ABAB= | | | | = indeholdende 36 Transformationer. 55) Vi skulle nu se om den S. 172 (82) omtalte Gruppe existerer. Existerede den, maatte den i 54) fundne Gruppe være Undergruppe i den. Gruppen maatte nemlig indeholde en Transformation | EN ee V2 + iy2 AND = SECO) 3 H | pe = G2, og (90) viser, at Gruppen maatte indeholde som Undergruppe en Gruppe af den i 54) omtalte Art, idet Sammensætningen af A’? og en Transformation af 2den Orden B hørende til Gruppen maatte give Oprindelsen til en saadan Gruppe, hvor D altsaa har samme Koefficienter som i 54). Da Gruppen ikke skal indeholde flere end 72 Transformationer, maatte den, hvis den existerede, bestaa af den omtalte Undergruppe og dennes Transformationer multiplicerede 190 128 med 4. Men da maatte A'B være lig en Transformation CA" hørende til Gruppen, idet C er en Transformation i den omtalte Undergruppe, eller A’B A’ maatte høre til Under- gruppen, hvad den ses ikke at gjøre. Skulde der være andre Grupper, der ikke indeholdt Transformationer af højere end 4de Orden, viser (90), at Gruppen i 54) maatte være Undergruppe i dem. Vi skulle nu se om Gruppen, dannet i 54), kan være Undergruppe i en anden Gruppe, der da maatte være den S. 165 omtalte. Gruppen skulde da endnu indeholde en Transformation C, af 4de Orden, der ombyttede A's Dobbeltpunkter, og hvis anden Potens var identisk med A?. Man havde da BE == & =. = De på = qy. Den nye Gruppe maa mindst indeholde 72 Transformationer, idet naar 7,, 7, ... ere de forskjellige Transformationer i Gruppen 54) CT,, CT, ... alle ere indbyrdes for- skjellige og forskjellige fra 7,, 7, ..., da C ellers hørte til Gruppen. Man maa altsaa have, hvis den nye Gruppe ikke skal indeholde flere end 72 Transformationer, CT, = 7,C, eller at CT, C+ atter hører til 54). Vi maa altsaa have, at CBC" atter hører til Gruppen, og omvendt ses, at hvis dette er Tilfældet vil Gruppen 54) være Undergruppe i den nye Gruppe, idet man, da CA = 22°C, i et Produkt AGT Be altid kan bringe Faktorerne C hen paa den første Plads. Man faar nu 1 |= Fam Bere, 8 CBC _ 2-8 — I —V3 3 | "Ne ERR 3 + V3 VÆR u V nd zen Ti 3 2 A | VE — V2 VIL V2 Sætter man her g = u > v „p= 2 = : , ses denne at falde sammen med ABAB, og under Forudsætning af, at man vælger disse Værdier for p og g, er da Gruppens Endelighed bevist. 129 191 Man kunde naturligvis for en af Storrelserne p eller g have valgt en vilkaarlig 1 3 7 5 8 anden primitiv 8de Rod af Enheden. 56) Vi ville nu gaa over til at behandle Grupperne af 5te Orden. Grupperne af dte Orden kunne enten indeholde a) Transformationer af 2den, 3die og 5te Orden eller ) b) Transformationer af 2den, 3die, 4de og 5te Orden. Vi behandle først det første Tilfælde, idet vi antage, at Gruppen indeholder to Transformationer, A af 5te Orden, B af 2den Orden, a =: a EDEN NASE V5—1, ‚Vi0+3V5 le = PY P= 7 ee 4 B pe = Pz, | pe = ana + by cı2 py = be br y + c,2 pe = Hat Coy + 2, B= hvor alle Koefficienterne antages reelle. De mulige Diagonalsummer ere 1 K no ee For at afgjøre, hvilke af disse der kan bruges, kan man anvende (90), idet man 8J > SES; ; V5 +1 i ) sætter d >», 8 = —1 og bemærker, at ingen af Storrelserne s, kan vere — a@?. Vi have da VE is 2 = 2 (Sy — 85), Sate PR 1—V5 hvor vi endda kunne sætte s, =s,. Man har da enten s, — s; = 0, s, =s, = CI VB +e ; : ; eller s; = s, = 0,5 = 83 — ae Det er ligegyldigt, hvilke Verdier vi gaa ud fra. Vi ville da gaa ud fra de sidste, som give V5 V5 + 5 2 V5— 1 ON Far ta by VE) FEE) mu Wu, N VE altsaa ; Reine mM pæl — ln, 5 5 V10 V5 + 5 5 — V5 B= ? — Ad 5 m ZT x Vie BYE V5R5 pe — v + y = 5 10 10 192 130 Alle Transformationer i Gruppen transformere Keglesnittet a? + 2yz = 0 til sig selv, og herved bevises da let Gruppens Endelighed, idet den er en Transformation af Ikosaedergruppen for den rette Linie. Vi ville kalde Gruppen Ikosaedergruppen for Planet. 57) Vi gaa nu over til at betragte Tilfældet b). Vi antage, at Gruppen indeholder to Transformaligner A og B ganske af samme Form som i 56). De mulige Diagonalsummer ere her — 4, 0, a, afd, ard,, hvor « = EME og d au d, si, Uden at gjennemgaa de enkelte Tilfælde, skal jeg her opstille Resultaterne af de mulige Tilfælde af Rækker af Diagonalsummer, idet i (90) d — À HE Man har ' Beeren i = 0 d, | @d ar x in = ad | a | od, 3, = aN W æ | od, i = 0 d, ard 72 og, da det er nødvendigt at have alle mulige saadanne Rækker af Diagonalsummer, og der i Gruppen forekommer Transformationer, som, multiplicerede med Potenser af À, ikke give nogen Transformation af 2den Orden, endnu 5 — | | da | 8, = |a@d,| 1 | 0 |s = | ad | 0 | il |, ro za = 15 | 83 = | ad | OQ oe 4) ae | Sa ech | hp | Det viser sig, at enhver Gruppe, dannet ved alle mulige Produkter af A og B, vil indeholde Transformationer, der, multiplicerede med Potenser af A, give alle de her fore- kommende Rekker. Det er da ligegyldigt, fra hvilken Række vi gaa ud (forudsat, at vi ikke komme til en Undergruppe, i Stedet for den fuldstændige Gruppe, hvad der ses at vere Tilfældet, naar vi gaa ud fra de første Rækker af reelle Diagonalsummer, der fore til Ikosaeder- gruppen), og vi ville da gaa ud fra den tredie Række, idet vi sætte p — 1. Vi ville desuden betegne det, at en Transformation har en given Diagonalsum ved at sætte den lig Diagonalsummen, saa at altsaa ( i i | L { i 131 193 CÆSES betyder, at C har Diagonalsummen s, ligesom 6 = C betyder, at Transformationerne B og C have samme Diagonalsum. Man har da B= —1 AB" ad AP IB == & AB=a@a AB = ad. Man kan da vise, at man i alle Tilfælde kan finde Diagonalsummerne, og altsaa bestemme en Transformations Orden, idet man benytter de fundne Rækker af Diagonal- summer, og at en Transformation af en Transformation i Gruppen ved en anden Trans- formation ikke forandrer den forstes Diagonalsum. Man har saaledes BAIE == ay A2 BA? B= —a, (A? B=a) og da A? 6A? B er af 2den Orden, maa den, multipliceret med A? og 472, give konju- gerede Diagonalsummer, naar den selv er bragt paa en saadan Form, at dens Diagonalsum er —1, man har da, idet man benytter (90) BAB — d, ABAB= ua ABAP ES =a ABAB=1 A!BA?B = ad,. >) Paa samme Maade faas, idet man stadigt maa bestemme 3 af Værdierne i Rækken for at finde de andre ved (90), | Q BAB ABAB = ad, A2 BAB = ABAB = a A? BAB = ad, AS IB AIS == Wh og BASB — d, BAB=d ABA®B = ad, ABA!B — d A2BASB = 1 A? BAB = ad, ABAB = —a ABA:B =a AIBASB =a A‘BA‘B = ad,. 194 Herved er der bestemt alle Diagonalsummerne der indeholde indtil 4 Led. Vi ville bestemme Diagonalsummerne for nogle Man har idet altsaa Endvidere thi Men herved ABABA*®B == JRA AIRS = = aA = (AB)? = 3a, 13 9 = for Produkter af Faktorer A og B, Produkter, der indeholde 6 Faktorer. a. A4BA‘B A? ad, BABAB = ZA BABA ASBABASB = ABA®BA®B = a A3B A? = —a; ASB APB = aBA?BA?. bestemmes da Man har da Rekken A2BABA*B = 0 ASE Alsi ae Paa Exempler paa de to sidste Rækker Diagonalsummer give BABA*B og BABA? BAIL samme Maade faas BABA®B = ad ABABA3B = ad ABABA3B = 0 ABABASB = —a A:BABA®B — 0. BABABE N ABABA:B — d, A’BABA:B = 0 ABABAB = 0 A*BABA‘B = d,. multiplicerede med Potenser af A. Det er da vist, at der i Gruppen forekommer alle mulige Rekker af Diagonalsummer. Vi ville nu vise, at ingen Transformation i Gruppen kan indeholde et uendeligt Antal Faktorer og r ere lige store, thi Transformationen vil da kunne omskrives til at indeholde en eller i 1 to Faktorer B mindre, da man har for k — / ; ABABAB. For det første kunne vi antage, at ikke to paa hinanden følgende Exponenter g 4 B A:B AB = ABA: B 45% AES = og fork =4 2 133 195 JD AB AT == APA ae idet Tegnet <= bruges for at betegne, at to Transformationer ere identiske. Dernæst kunne vi, uden at forøge B'ernes Antal, antage, at Exponenten 3 ikke forekommer for en Faktor A staaende mellem to Ber. Thi vi have BASB = A’BA?BA?2. Lad os nu antage, at der forekommer i Transformationen BAG BAS BRAG BEER saa er dette Produkt lig BAR? BABA BD. Ere nu baade & og J forskjellige fra 1, ville baade £-+ 2 og (+ 2 vere forskjel- lige fra 3, og vi have saaledes bortskaffet en Faktor 43, uden at forøge B’ernes Antal. Er k = 1, saa maa i den foregaaende Faktor, A’, à være forskjellig fra 1, og ved atter at bruge samme Relation faas SABAE BIAS BRAD 0 3 oc hvor A3 nu er bortskaffet, hvis / er forskjellig fra 1, er / = 1 maa i den efterfølgende Faktor, A”, m vere forskjellig fra 1, og idet vi bruge den samme Reduktion AVIS A232 hvor vi nu have bortskaffet en Faktor A® uden at forage B’ernes Antal. Vi kunne da antage, at i en Transformation ... APBA’BA’BA’B ingen af Storrelserne g, 7, ser 3, og atikke to paa hinanden folgende Exponenter ere lige store. Skulde nu Transformationen kunne indeholde et vilkaarligt stort Antal Faktorer, uden at reduceres, ses det, at den maa indeholde alle tre Potenser A, A?, A*, idet den ellers kom til at være 500 ADAM AB AUS oo og Faktoren AB AB, da (A'BA'B)" er identisk, naar m i det højeste er 5, kun kan forekomme to Gange, uden at Produktet kan reduceres. Skal altsaa Produktet være inreduktibelt, maa der forekomme Faktorer, naar der er et tilstrækkeligt stort Antal saadanne, hvor tre paa hinanden følgende Potenser af A have forskjellige Exponenter. Der maa da forekomme enten i) BA:BA2BAB 2) BA:BABA2B 3) BABA?BA‘B 4) BABA‘BA2B 5) BA2BABA:B lor) 5) BA2BA:BAB. 196 154 Erstattes BA? B ved A?B AIBA? ses 2) og 5) umiddelbart at kunne reduceres, idet den kan bringes til at indeholde en Faktor B mindre. Skal i 1) en Faktor BA’ gaa forud, maa / være 1; thi havde man BA?BA'BA?BAB og erstattede det andet BA?B med 4554°B4°, fik man SE BAABAzB AS BAS Ber. som er reduktibel. i Vi maa altsaa have Rækkefølgen EBA B AS BALI BAD amen som kan omskrives til . BABA?’BASBA®B... Nu ses imidlertid, at den foregaaende Faktor for de anførte ikke kan være 5A, ikke heller BA" ; thi da kunde man skrive ... BABABA?BA®°BA:B = BABA" BABABA''B, som er reduktibel; men den kan heller ikke være A?; thi da havde man ooo LAIR Al Tes APIS ALB 153 AI IS3 5 6 og ved at erstatte det første BA?B ved A°BA®BA*, BASB ved A? BA? BA? fik man A®BA®BA*BA*BA? BAB, som kan reduceres. Der kan altsaa foran ... BABA:BA?BAB ikke gaa nogen Faktor 6, uden at den kan reduceres til at indeholde færre Faktorer B. Hvis vi derpaa se paa 3) BABA?BA‘*B, se vi ganske paa samme Maade, at efter 5A*B kan kun følge AG, og al enhver yder- ligere Tilføjelse af en Faktor A*S vil bevirke, at Antallet af Faktorer kan reduceres. Betragte vi derpaa 500 BRA DPAS BAS BEER saa kan her ikke foran den første Faktor komme BA? ; thi da havde man BA?BABA:BA’B = A? BA? BA*BA* BAB, som er reduktibel. Men der kan heller ikke komme BA; thi da har man BA BABA BA B— BA* BABA? BAP BA? = BA BABA BABA, som ligeledes er reduktibel. Der kan da ikke gaa nogen Faktor B forud for det omtalte Produkt, uden at vi kunne reducere Produktet til at indeholde færre Faktorer. Paa samme Maade vises, at der ikke kan gaa nogen Faktor B efter BA? BA*BAB uden at Produktet er reduktibelt. 135 197 Men herved ses då, åt Gruppen er endelig, siden enhver af de Faktorer, der nødvendigvis maa forekomme i Produktet, hvis det ikke skal bestaa af en Gjentagelse af de samme Faktorer, ville bevirke dets Reduktion til færre Faktorer, hvis de forekomme mere end en Gang Vi skulle nu udvikle nogle Relationer, der tjene til at reducere Antallet af Fak- torer i et Produkt af Transformationer i Gruppen til det mindst mulige, for derpaa at give et Skema over de Transformationer, der høre til Gruppen, dannede paa den simpleste Maade. Ifølge det foregaaende har man BABA? = u. Man har da BABA? BABA? — — a, BABA? BABA? = ABATBA2BA*B = A BABA? BAB BABA BAB = ABABA? BABA, eller ved Gjentagelse af Operationen C= BABA BAB = ABABA BABA’, (91) hvor & er et vilkaarligt Tal. og altsaa C maa da transformere A” til A~* og altsaa vere en Transformation af Formen TOC: of == GE aD pe = ay, hvor aa — 1. Af (91) udledes ved at sætte k = 3, BABA BAB = ABABAÆBABA | BA BABA B= ABA BABA BA (92) = ABA*B A4? BA‘ BA. | Heraf faas endvidere BABA BAB = A2BABA!BA?DB A: (93) 4 BA‘ BA? BAB = A*BA?BASBAB A? (94) Vi faa da følgende Skema over Transformationerne, idet & og / ere Tal, der kunne tillægges Verdierne 1 til 5, og idet der for hver Klasse Transformationer af en hvis Sammensætning anføres dels Totalantallet, dels Antallet af Transformationer af hver Orden, og de Verdier af & og ¢ for hvilke disse faas. 198 136 Transformationens Antal af Transformationer Sammensætning. 3 Tr: 2den Orden. 3die Orden. | åde Orden. 5te Orden. | Sum | | | 1 AF | | 4 | 4 2 AÆBA | 5,k4L1— 0) 10;k+1 = {À | 10,141 = {| 254 | o | 3 A'BABA! | 5,k+l =2 | 20,41 = SA | | | 4 | | f1 | yo 4 ABA? BA’ | 5,k-+1 = 2 10,k4+1 = À} 10,k+0= 48 | CU | | | 0 | 5 At BABA | | 5,k+i=3 |920,k41 — 1} | 4 6| ABABA?BA' | 10,40 = 4, | 10,447 = 40 | 5,841 —1 T- A'BABABAB | 5 | | 8 | #BABABA:BA | [10,617 = Il 0-2 = 8215 er | | 1 V4 \3 | | | | | 2 | | 9| ABABABA! | Se oe ME u = 10 | #BABA:BABA 5,k41= 2 | | 10,60 = {10,650 — 4 | | | il AÆBABABA | 10,40 = {3} 10,440 {°| 5,641 = | | | i | | 12 | AXBA BABA BA (5 441 — 1 | | 10,641 = 4} | 10.441 = {3 | | | | | = 3) ABABABA | 5,h+1 = 2 | 10,k41 = REM | 10,41 = {? | | | | | | 14 | ABA2BA:BABA: | (10,647 = 1, | 10,641 = | ra | _| | | - 15] ABABABA 5,241 0 | 10,844 = {2 | ore re | | | | 16| A BAB ABA 5,641 = 2 | 10,k+1 = {| 10,0 | | | | 45 | 80 | 90 144 | | | | Gruppen indeholder, som den skal, 360 Transformationer, og det ses, at Ikosaeder- gruppen indgaar som Undergruppe i den. (Se Rækken af Diagonalsummer S. 194.) > 3) Ved k-+ I = 0 er underforstaaet mod 5, og lignende Underforstaaelser er gjort ved alle de følgende Kongruenser. 137 199 58) Vi have endnu kun tilbage at betragte en Gruppe af 7de Orden (se S. 176), som skal indeholde Transformationer af 7de Orden, 4de Orden, 3die Orden, 2den Orden. Vi kunne da antage, at Gruppen indeholder to Transformationer, 23 = ax FAR lee = GG nå = OB, hvor « er en vilkaarlig 7de imaginær Rod af Enheden, og en Transformation D af 2den Orden, med reelle Koefficienter, og at d=a+a?ta! = a+ a? + a dtd—=—1, dd — 2, Q saa ville vi ved at multiplicere & med Potenser af A faa følgende mulige Rækker af Diagonalsummer ifølge (90) | | | | | | | Sal @ 0 | i | Det vil vise sig, at der vil forekomme i Gruppen Transformationer af 2den Orden, der ved Multiplikation med Potenser af A ville give alle tre Rækker af Diagonalsummer. Vi gaa da ud fra den anden Række, og antage altsaa, at B ved Multiplikation med A giver denne Række Diagonalsummer. Man har da a, +b, +e, = — I a,a+b,a?+e,a1 = 0 aa-b,a?+c,a = 0 | ce a | ee | td _, ET = (a—1)(a— 1) (a + a+ 1) (95) | ae ee | la a a | Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. 26 200 138 GAM GA ! | a a a>+a*+1 n Ja = 7 Sr: — — u a (a2—1)(2—1)(a+ a +1) a a” a a a? a: (95) a a a a? — 1 Ca — - - — — = — ?. eler (a — 1)\(a—1) (a+ a+ 1) GO Ge ae | a a”. u Man kan her lægge Mærke til. hvad der finder Anvendelse i det folgende, at a,, bø, €, kredsforskydes, naar for a sættes a? (eller a?). Vi ville nu vise, at pr GE 4-72 — 1. (96) Man har nemlig la—1)(a—1)(at+a+1) = Q2—a—a)(a+a+l1) = ata—a2—@ og altsaa (a+ a)? +- (a? + a? 4+ 1)? +1 (a+ a—a?—a?)? G2 gee gs RER ERP ER ge = lees a? a+ 24a! La! 19-203 EF Da 2a di+ai+3a — 30? +6 p?+ 9? + r? = — — = |. — Gi — at + a? + g? — 20 —2a + 4 idet Tælleren og Nævneren reduceres ved Ligningen as La ta? ta tatati—0. Da man desuden har Dyre == = ils faas PI Dr +rq — 0. (97) Endvidere har man pone es LCS Gap GQ ape = = (a + a — a” — a?) —(at+a(lteta rt Pate x pq = az men) A ret, (a+ a— a? —.a?)? (a+a--a>—a’*)* Vi faa da, ved at kredsforskyde a, a?, a’, [PE ED — ER gq? ae G = Fie (98) r? i 7 — pq. FO ee ee 139 201 Men man faar da, idet vi bruge de sædvanlige Betegnelser for Koefficienterne i 5, be = pi =® =F GE EUR ions Per Pie og det ses da, at vi kunne sætte 6, = 7, ¢, = q, €, = p, saa at DEN 15} == || @ qd P| q (Do Det ses, at G bliver ændret paa samme Maade, hvad enten man kredsforskyder Sojler eller Rækker. Det skal nu vises, at den Gruppe, vi faa ved at danne alle Multipla af Potenser af A og B, er endelig. Det skal vises, at Gruppen kun indeholder B, og de Transformationer B’ og B”, som faas ved at kredsforskyde p, g, 7 i B, samt Transformationer af Formen 4” B A”, og lignende Sammensætninger hvor G ombyttes med B’ og BY”, samt endelig alle Trans- formationer af 3die Orden af Formen | pu = dy C=! py = az lee ames og | ua = az De! py = Px | 2 — GE). Vi ville nu begynde med at danne Transformationerne 43 GA? B. Vi faa a? p ør arg 12 A BASB = ur afg afp | = PU Cid GP | jap? Far? +a upr+a’grtapg apqtapr+agqr CDP SECC aR ENG CPO ae PUR ARG CP PG ae ENG) a= fOr |apq + apr + aqr agr + pg +apr ag? + ap? + ar? Betegnes Elementerne i denne Determinant med markerede Bogstaver, har man 74 == asp? se ger? + aq” a a pa? p + og ar) OPP 00) = ap —-ar — «aq, da 43 5 har Diagonalsummen 1. Indsettes nu Værdierne for p, g, 7, faas = G 202 140 og, da de andre Diagonalled faas paa samme Maade ved Ombytning af 4 med 4° og a’, ere disse 7 0g p. Vi have dernæst aS pr + a”gr + apq = aplaÿr + ap + a? q) + ap FE ap, da Koefficienten til ap er Diagonalsummen for A® B. Paa samme Maade faas a? pr + as gr + a? pg = a$p(aÿr + a$p + a°q) : + a5p ap, aSpq + apr + agr = aÿr(aÿr + a$p + a°q) | 6» (257 = GE apg + apr + aqr = a°r(aÿr + a$p + ag) Far ar, argtarpgt at pr = a$q{aÿr + a$p + af g) + aq = aq © JS arg + atpq + adpr = a qlaÿr + afp + aq) +a®g = aq, saa at Transformationen bliver gap ar GC = AR =| Ppp ey ar aq p g altsaa | GI Pe Bl =A CAS — pra | | te q P | Altsaa indeholder Gruppen den Transformation, som faas ved at kredsforskyde pP; 7, 7 i B, og denne Operation kan naturligvis gjentages. Det er herved indlysende, at vi faa den samme Gruppe, hvilken af Rækkerne i Skemaet S. 198 vi benytte til Dannelsen af B. Da 45 B 45 B hører til de S. 201 nævnte Transformationer, hører B 43 B og de tilsvarende B’ A® B’, BY A5 BY ogsaa dertil, og ligeledes BAB, B’AB’, BYA? BY, da de sidste tre Transformationer ere de omvendte af de tre første. LE : 141 203 Men det kan nu vises, at BA?B ogsaa hører til de omtalte Transformationer, naar p er vilkaarlig. Det er klart, at den gjør det for p — 3, men den vil ogsaa gjøre det for enhver anden Værdi f. Ex. p = 6. Thi kredsforskydes Søjlerne i det bageste B, Rækkerne i det første, 1 Gang, vil der komme til at staa B’A®B’, som hører til de omtalte Transformationer; men denne Kredsforskydning vil kun have til Følge, at Rækkerne og Søjlerne i den resulterende Transformation B 46 B kredsforskydes, ved atter at kreds- forskyde Rækkerne og Søjlerne i 5’4° 5’ en Gang i modsat Retning, vil man da have B Af B; men en Kredsforskydning af Rækker og Søjler i en af de omtalte Transformationer vil atter give en Transformation af samme Form. Men ganske paa samme Maade ses det, at en Transformation af Formen BA? 5’ atter hører til de omtalte Transformationer; thi man kan forskyde Søjlerne i 5’, saa at B' gaar over til at blive 5; dette vil kun foranledige en Kredsforskydning af Søjlerne i BA?B', som altsaa ses at høre til de omtalte Transformationer. Det ses da, at mere sammensatte Produkter af A, B, B', BY ogsaa vil fore til- bage til de nævnte Transformationsformer, undtagen hvis der skulde forekomme Sammen- sætninger af B. B’. Lad os da se, hvad dette giver. Man har lQ@PQ| Igmr| ‚010 BB = rap, \Pr« von] oma man 100 saa at disse Sammensætninger føre til Transformationerne > pe — y på = & py =z eller py = & J à CNE pz =z i uz =Y, og almindeligere ved at sammensætte disse med Potenser af A fa D = | ay = az, D' = ee aS a? x == ay pe == GZ 2 pe = aly. pe = aa Det ses, at Sammensætninger af Transformationer af Formerne D med de allerede forhen nævnte, atter hore til Transformationer af de samme Former, idet man ved at multiplicere med 227 kun faar Sojler eller Rækker kredsforskudte. Gruppens Endelighed er hermed bevist. Da alle Transformationerne ere indesluttede i folgende Former AP, AP BA AmB Ar, A” BAT DA" TD An, hvor p, m, n kunne tillægges alle Verdier fra 0 til 6, faas, idet den identiske Transfor- mation medregnes, Antallet af Transformationer horende til Gruppen at vere 7+3.49 +14 = 168, saaledes som det skulde være. 204 142 Disse Transformationer kunne klassificeres paa følgende Maade. 48 ere af 7de Orden, nemlig 4” for alle Værdier af p A” BA" for m+n = 2 min = A™ BA" for m+n = 3 or (mod 7). =~ m+n = A” B"A* for m+n = 1 m + mn = 6 12 ere af ide Orden, nemlig A" BA” for m+n = 3 | | (mod 7) m+n = 4 A” B'Ar for men = m + n = wo OC To AM BUA for mn m+n | 56 ere af 3die Orden, nemlig DAR É | for alle Værdier af ». D'ar A™ BIA for m m — 1 mn = 6 AmB Ar for m+n = 2 vs | mod 7). | min = > Am BY A” for m+n = 3 mtn= 4 Endelig ere 21 af 2den Orden Am BA | = Ar BA" > for mn = 0 (mod 7). Am BY Ar | Transformationerne af 7de Orden høre til 8 forskjellige Set Dobbeltpunkter, Transformationerne af 3die Orden til 28 Sæt Dobbeltpunkter, Transformationerne af 4de Orden til 21 forskjellige Sæt Dobbeltpunkter, medens Transformationerne af 2den Orden alle ere Potenser af Transformationerne af 4de Orden. 143 205 Théorie des groupes de transformations finis. Par M. H. Valentiner. I. Remarques generales. Multiplieateurs. Les transformations dont traite ce mémoire sont des transformations linéaires. Une transformation linéaire de m variables est déterminée par les équations: på = Guam sb On SE Gaz coo bo | (LY = dm DØ + OB noo 0 no — Anat + brary + np ... In+id, | dont le déterminant peut toujours être supposé égal à l'unité. Les quantités a,, 6, ... ne sont alors déterminées qu'à un facteur pres, qui peut être une racine d'ordre (x + 1) de l'unité. Il y a toujours des points que la transformation laisse comme ils sont. Ces points sont appelés des points doubles, et l’on a pour chacun d'eux: = TL, Y=Y ... 0 = 0. | | SH 0 Les bye a0 0 ea se od | An+1 ; bn+1 > Ca+i --- lip | i | 2) Cette équation donne n+ 1 valeurs pour uw. Si toutes ces valeurs sont inégales, on trouve » + 1 points doubles distincts. 3) Si l’ensemble des points dont les coordonnées satisfont à l’equation: 2X +yY+...voVv=0 (3) forme un plan, À, Y ... V étant des constantes, les équations (1) transformeront le plan en un autre plan. SiX,Y...V sont les coordonnées du plan, elles seront transformées par les équations : ; UXO == Al OX Se IBS ooo Lh, VY, | nt = AleX HEIM che JB VA (5) py Ve — Angi A + Bazi REN Tin 4 V | dont les coefficients sont les sous-déterminants des équations (1). 206 144 Les plans sur lesquels la transformation n'exerce aucune action sont appelés des plans doubles. Si toutes les racines de l'équation (2) sont inégales, il y aura n + 1 plans doubles. Connaissant les coordonnées d'un point double, celles d’un plan double s’ob- : I : ny tiendront en remplaçant a,, 6, ... par A,, B, ... et w par —. On voit done qua 72 » chaque point double répond un plan double. 4) Chaque plan double renferme tous les points doubles qui ne répondent pas au plan, et réciproquement tous les plans doubles qui ne répondent pas à un point double passent par ce point. 5) Si (2) na pas de racines égales, les équations (1) pourront se mettre sous la forme: i [Del Gr | RUN; (12) Pa Pr = À Pis, où a, 2... À sont des constantes et P,, Py... P,44 les premiers membres des équations des plans doubles. On appelle a, f ... 2 les multiplieateurs de la transformation, et peut toujours supposer a. ... À — 1. Ces multiplicateurs ne sont déterminés qua un facteur près, qui peut être une racine d'ordre (n + 1) de l'unité. 6) Déterminons les multiplicateurs dune transformation donnée sous la forme (1). En résolvant les équations (12) par rapport à y,4', 21% ... pv, on doit arriver aux équations (1) et l’on voit que y et y, ne peuvent différer que par un facteur constant, ce qui permet de poser 2, — ky, k étant une constante. Le point double qui répond à 2,41 = 0 est déterminé par P, = P, ... P, = 0. En posant 77 = 2, ÿ = y, ...v = v, on voit que À est la valeur de y, qui à néon à ce point double, et que la valeur correspondante de # est une racine de (2). On a donc À = ku, y étant une racine de (2). Le dernier terme de (2) est +1, ce qui donne a.fB... 2.ktt = 1, d'où kr! = I. Les multiplicateurs n'étant déterminés quà un facteur près, qui est une racine d'ordre (x + 1) de l'unité, on peut poser k = Les multiplicateurs de (1) sont donc les racines de (2), si cette équation n'a pas de racines égales. 7) Si une transformation devient identique en étant élevée à une puissance m, on dit quelle est d'ordre m, au cas qu'elle ne devienne pas identique lorsqu'on l'élève à une puissance moindre que m. Si (2) n'a pas de racines égales, la transformation est d'ordre m lorsque m et n + I sont premiers entre eux, et les multiplicateurs, des racines primitives d'ordre m de l'unité. Sim et n-- I ne sont pas premiers entre eux, nous nous bornerons à examiner le cas où m = p?, p étant un nombre premier, tandis que » + | renferme le facteur p*. Dans ce cas, les multiplicateurs, lorsque la transformation est de l’ordre p?, doivent étre de la forme ya, 72 ... 72, y étant une racine d'ordre p?# de l'unité et a, 8, 7 -.. À des racines d'ordre p? de l'unité. 145 207 8) Si (2) a des racines egales, en cherchant les conditions necessaires et suffisantes pour qu'une puissance de la transformation (1) soit la transformation identique, on arrive au résultat suivant: Les racines de (2) doivent être des racines de l'unité, et si l'une d'elles est du degré p de multiplicité, les plans doubles qui répondent à cette racine doivent former une suite infinie du degré p — I de multiplicité. On appelle toujours les racines de (2) les multiplicateurs de la transformation. Tout plan double qui répond à un multiplicateur renfermera toujours tous les points doubles qui ne répondent pas à ce multiplicateur, et réciproquement tout point double qui répond à un multiplicateur sera situé dans tout plan double qui ne répond pas à ce multiplicateur. II. Combinaisons des transformations. 10) Nous chercherons à déterminer la forme des transformations appartenant à des groupes qui ne renferment que des transformations dont les multiplicateurs ont le module 1, et qui peuvent étre mises sous la forme (12). Nous supposons que le groupe contient les transformations A et B, que les multiplicateurs de À sont tous différents, et qu'on a pris pour plans fondamentaux du système des coordonnées les plans doubles de À. Les transformations A et D sont alors représentées par les équations: pe = ax Mey — OB = On ae Un A= py = BY et B= pv = Av BO = Grant bay) nav: Les multiplicateurs de PB sont déterminés par l’equation: = Oy ooo Uy Oy bl, = 0, Anti Opps ... In — [2 qui peut aussi s’ecrire sous la forme: TE ED 3 5 0 ney (an Op) = (ip Cal) EN) 21 | D? AB. Doujotl 0, j SP ; soon | A Bis: Se (a, 6,) étant égal à | * RB; et A,, B, ... étant les sous-déterminants de a,, by do 09 Comme y} — 1 (al — le module de y), et que l’équation (24) doit être satisfaite a, 1 : = | - si l’on y remplace y par —, puisque x = —, et 4, by ... lux: par leurs valeurs con- LL LL juguées, on doit avoir: a, +b... Ing = Aye By... Liys \ 25) HEDE Fad (25 (4,65) + (4,63). . - = (4,B,)+(4,c;). J Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. 27 208 146 Ces équations doivent aussi être satisfaites par les coefficients de A”, et on a alors: a”a, — Pb: == lps = aA, — BBS 25 "af ØRE || (26) Sa"Ba,b,) = Za”ß"(A,B.). j Tous les multiplicateurs de A étant différents, le degré p de A doit être plus grand que n+ 1, et les équations (26) devant être satisfaites par toutes les valeurs de m, on aura: a — A, | x » — B (27) Lvs FE Ları- | 11) Si B et C sont des transformations arbitraires du groupe, on obtient en appliquant les équations (27) au premier coefficient de CA” B, a,, 8, ... À, étant les coefficients de C et m arbitraire: VÆ a, = A,4, | Pi as —— B,A, (28) Anti = 4, Auzı - | De lå on déduit, en identifiant C avec B ou avec la transformation inverse de B: ee A A b, I = B.A, Se eS | FEE CAR (29) et GA: = 4,4, (30) 13 1 ST | DAGES AT MESTER 2th ete ee ab > or. nus mot] at a eh at a Fe Les équations (29) et autres analogues qu'on obtient en égalant les autres éléments du terme principal du déterminant de CA” B aux conjugués de leurs sous-determinants, expriment que le produit de deux éléments du déterminant d'une transformation qui sont symétriques par rapport au terme principal, est le conjugué du produit de leurs sous- déterminants. Les équations (30) et leurs analogues expriment que le produit de chaque élément par son sous-déterminant est une quantité réelle. 12) Soit A, B, ©... les transformations dun groupe et F une transformation arbitraire; le groupe et ses transformations seront transformés par F si lon opère toutes les transformations: x > ee = PARTEI ONCE Dame 54" Une transformation FAF-! a les mêmes multiplicateurs que A, et ses points doubles sont les points en lesquels F transforme les points doubles de A. 13) Pour qu'une transformation À ne soit pas transformée par F, il faut que F ait les mêmes points doubles que À ou produise un déplacement cireulaire des points doubles de À. Dans le dernier cas, les points doubles de À doivent se composer de groupes de r + 1 points P,, P, ... P,44, dont les multiplicateurs respectifs sont m, ma, ma’, Où a’*' = 1, et F doit transformer P, en P,, P, en P, ... Pez, en P;. 14) Si un ou plusieurs éléments des déterminants d'une transformation sont nuls pour toutes les transformations du groupe, la discussion dun groupe contenant des trans- formations de » variables peut toujours être ramenée à celle de groupes qui en contiennent 147 209 un moins grand nombre. C'est pores on supposera toujours dans ce qui suit que cela n’a pas lieu. Il résulte de (28) qu'on peut toujours supposer qu'un élément et son sous-déterminant sont nuls en même temps. 15) Nous transformerons maintenant un groupe (contenant les transformations ci-dessus mentionnées A et B) par une transformation: fe = Nu Bel = ag Bo = GOs où p, q ... 4 sont des constantes arbitraires différentes de zéro. La transformation A reste par suite telle qu'elle est, tandis que 2 devient: mx Bine „22 | Phe Ly = d B ee ae q r t ED > ı 1022 qglv EJ Spa RAA Aer ee Dro RG 5 tan “tba 19 ny = aE rest © Ben q i p A É ; ER A, est alors remplacé par ne On peut done déterminer p, g, r ... de manière que G | q | | Em | p | (= a, | = |— A | a | — EA ha: 21 Meg 2 eS Ron NT et, par suite, que tous les éléments dans la première colonne du déterminant transformé aient le même module que leurs sous-déterminants. Comme il est indifférent, dans les recherches qui suivent, qu'on considere le groupe primitif ou le groupe transformé, nous supposerons toujours que: [al = |A,!, la] = |42| --- lange) = | Antal. Il résulte alors de (30) que: By == Alyy Øg = ob Abs Go = sb Ale ccs Cyan == ab Abn (33) et de (25) que: mr dy = Ay, @ = Ay, Gs — Az... Gaps = Anti (34) les signes se correspondant dans (33) et (34). La dérivation des équations (33) et (34) exige qu'aucune des quantités &,, @ ... Antı ne soit nulle; mais si l'une d'elles, a, est nulle, il doit y avoir une transformation pour laquelle l'élément correspondant à a, ne Vest pas, et cet élément peut alors être employé de la même manière que «,. C étant une transformation arbitraire du groupe, nous pouvons maintenant former C"ArB. L'élément qui, dans le déterminant de C+A”B, répond à a, est alors: ao" Ba, + B™ Baa, ... ArBarıanyı et son sous-déterminant : ann, + Br BoA. 600 RB nv Ana 5 De lå on tire suivant (34): Ban — =, De — AE 2 Banc = Sehen, (35) Bi 210 148 où l’on prend le signe supérieur ou inférieur suivant que a, — —A,. Les équations (35) et celles qu'on obtient en considérant les éléments qui correspondent à a,, a, ... a,+: dans C-1A”B, montrent que chaque élément du déterminant de C est le conjugué de son sous-déterminant avec le signe + ou —. On voit aussi que tous les éléments du déterminant de C, dans une colonne, sont les conjugués de leurs sous-déterminants, tous avec le même signe que dans la première colonne, ou avec un signe contraire. Il résulte en outre de (29) que deux éléments symétriques par rapport au terme principal sont les conjugués de leurs sous-déterminants avec le même signe. 16) Si l’on pose: f= 2x + 6,97 + e922... ET et remplace x, y, 2... v par pa’, puy, ge’ ... uv, ces quantités étant déterminées par (1) et les coefficients de (1) remplissant les conditions du 2 15, on voit que f ne varie pas lorsque sy = — I, suivant que a, — AE Réciproquement, si une transformation A est telle que ua, py... uv substitués dans 7 à #, y ... v, ne font pas varier f, les coefficients de A rempliront les conditions du 2 15, le déterminant de À étant 1. II. Groupes finis des transformations de la ligne droite. 17) Supposons qu'un groupe fini renferme les deux transformations: a — fed = 424 by __ fur = ar lay = 2+ byy ley = je a, et b, devront être nuls en même temps, car si a, seul l'était, BAB+*A ne pourrait appartenir å un groupe fini. Nous avons, d’apres le 2 15, a, —b,, a4, ——b,; mais on ne peut avoir a, — b;, car ABA*6 serait alors une transformation qui ne peut pas figurer dans un groupe fini. 15) Nous allons maintenant déterminer les groupes finis possibles, notamment leur ordre et le nombre de transformations qu'ils contiennent. Supposons qu'un groupe renferme une transformation À et transformons À par toutes les transformations du groupe, ce qui revient à former toutes les transformations C = BAB, B étant une transformation arbitraire du groupe. Nous obtiendrons ainsi N transformations C (y compris la transformation identique), qui cependant ne seront pas toutes différentes. Toutes les transformations différentes qui ont été formées en transformant À par toutes les transformations d'un groupe, constituent ce que nous appellerons la serie de A. C'est sur le nombre des transformations d'une pareille série que portera notre recherche. S'il y a dans le groupe un certain nombre p de transformations qui ne font pas varier À, il y en aura tout autant qui ne feront pas varier toute autre transformation de la série de A. Toutes les transformations qui ont les mêmes points doubles que À sont des puissances dune seule et même transformation, et, sans restreindre la généralité des considérations qui suivent, nous pouvons supposer que cette transformation est À. Si À est d'ordre n, n étant plus grand que 2, À et ses puissances sont les seules trans- 149 ; 211 formations qui ne fassent pas varier d. En désignant par S le nombre des transformations \ pe u june > 4 mn D . = de la serie de A, on aura done nS = N dou S = —. Toutes les transformations d'une rh méme serie ont les mêmes multiplicateurs, et par suite deux transformations d'une même série ne peuvent avoir de points doubles communs, à moins que l’une d’elles ne soit la transformation inverse de l’autre. Si une transformation À et son inverse appartiennent à la même série, il doit y avoir dans le groupe une transformation qui permute les points doubles de 4. Chaque aw: aay : 3 ; série de A? renferme done aussi — transformations, à moins que A et À! n'appar- i tiennent à la même sene et que A? ne soit du deuxième ordre, et, dans ce cas, la série 7 de 4? se compose de „_ „ transformations. Appelons les series apparlenant a toutes les trans- formations qui ont as memes points doubles, les series de ces points doubles, ou celles d’une des transformations qui ont ces points doubles; les series de A comprendront alors (n — 1). N (n —1) N ou > n zn transformations, suivant que le groupe ne contient pas ou con- tient. une transformation qui permute les points doubles de À. Il reste à trouver combien de transformations renferme une transformation du deuxième ordre avec sa série, lorsque A n'est pas une puissance d'une autre transformation. S'il n’y a aucune transformation qui permute les points doubles de A, À et sa ER : N i serie contiennent —- transformations. Y a-t-il une transformation B qui permute les points doubles de A, A et BAB sont identiques. B doit aussi être du deuxième ordre, car de: A= BAB il suit que: I == AIBA, Il est maintenant facile de voir que si une transformation C, autre que B, permute les points doubles de A, elle doit étre identique à AD, car autrement CB serait une transformation ayant les mémes points doubles que A, sans cependant lui étre identique. , Il y a donc dans le groupe 4 transformations qui ne font pas varier A, à savoir la transformation identique, A, B et AB. A, avec sa s 19) Comme le groupe, outre les séries qu'il contient, renferme encore la trans- formation identique, nous aurons la proposition suivante: — Si un groupe se compose des transformations: An. Al ooo WO WORMS By Lo coo Gi Bi, Bo =o. de ordre my, m, avec leurs séries respectives, et qu ‘il ny ait aucune asien d'un ordre plus élevé que %,, m, ... m,, m, ... avec les mêmes points doubles que A,, 4, ... B,, By on aura: ‘n,—1 No — 1 m,—1 m.,— 1 - NE > re EN ny Ns 2m, 2m; 212 150 où N désigne le nombre des transformations du groupe, étant donné qu'il n'y a aucune transformation qui permute les points doubles de A,, A, ..., landis qu'il y en a une qui permute ceux de B,, B, ... . : : : fir == il Comme n, est au moins égal à 2, —— > Il ne peut done y avoir au plus dans le groupe qu'une transformation avec ses séries dont les points doubles ne soient pas permutés par quelque transformation du groupe. S'il y à une pareille transformation dans le groupe, on voit qu'il ne peut au plus renfermer qu'une transformation avec ses séries dont les points doubles soient permutés par quelque transformation du groupe. Si le groupe ne comprend qu'une transformation dont les points doubles ne sont pas permulés et les séries qui appartiennent à cette transformation, on doit avoir: IN = 5%. groupe ne contient qu'une transformation et ses puissances. Si le groupe renferme les transformations A, et B,, on aura: æ / A (a EN ny 2m, 2m,n, N 7 1 n, 4 2m,—m,n, Le dénominateur devant être positif, il en résulte que: n, +2m, — min, > 0 et (m,—1)(n,—2) < 2, ce qui exige ou que 2, —2 et m, soit arbitraire, ou que 2, —3 et m, — 2. Ces deux cas correspondent à des groupes finis, mais le premier seulement lorsque m est impair. Dans le premier cas, on a N = 2m et un groupe cyclique, dans le second N= 12 et un groupe tétraédrique. Si le groupe ne renferme que des transformations dont les points doubles sont permutés par une autre transformation, le groupe ne peut au plus renfermer que 3 trans- formations avec leurs séries respectives. On a alors: ATA, = = (= 1 Ze SMEDE JE een = 1 2 SE Aucun des termes ne peut manquer, puisque le groupe comprendrait alors un nombre de transformations moins grand que l'ordre le plus élevé de celles dont il se compose. Une au moins des quantités m doit être égale à 2, car autrement on aurait: LNG | D] t 2\ m Ms ms Nous poserons done m, — 2, ce qui donne: 3 4m, Ma N 2m, + 2m; — mgm, On doit alors avoir: Im, — 2) (m, — 2) < 4. 151 213 Nous aurons ainsi le cas suivants: m, == 2, m, arbitraire, Boy == 3, Wg = à — 4 — 4 Ry =, Mg = 4 fs = 3; Ma = Do De ces cas, le deuxieme est impossible, car le groupe devrait contenir deux transformations B et C du 3° ordre avec des points doubles différents. On peut maintenant faire voir que toute transformation A du 2° ordre qui permute les points doubles de B doit aussi permuter ceux de A. Mais le groupe, contrairement à l'hypothèse, devrait alors renfermer au moins 5 transformations du 2° ordre A, BA, B?A, CA et C?4. Aux autres cas, par contre, correspondent des groupes réels, au premier pourtant, seulement lorsque m, est pair. Le groupe est alors cyclique. A m, =3, m; = 4, correspond le groupe octaédrique, pour lequel N = 24. A m, =3 et m, = 5, correspond le groupe icosaédrique, pour lequel N= 60. 20) Nous déterminerons encore algébriquement dans les paragraphes suivants les groupes possibles. Lorsque deux transformations appartiennent & un groupe fini, le rapport anharmo- nique entre leurs points doubles est réel. 21) En supposant toujours que le groupe contient les deux transformations : hae SEE = SBD Ba Ser = 48 (py = anu + boy Leg = fn ; nous pouvons, d'après le 2 20, supposer que le groupe est transformé de manière que A et B aient des points doubles réels. a, et 6, sont alors des quantités purement imaginaires. Nous formerons maintenant AB? 4, qui est supposé être de l’ordre n. Sin est n pair, (42? A)2 sera une transformation du 2° ordre. Sin n'est pas pair, on peut former: n—1 nA (AB2A) 2 AB. BA(AB?A)? , qui est une transformation identique. Ses deux parties, que sépare le signe de la multi- plication, sont telles que l’une se déduit de l’autre en permutant A et B. On voit done que: nA n—1 C = (AB?4)7 AB et C, = (ABA) A+B sont des transformations identiques. Mais comme A et 6 ont des points doubles réels, C et C, ont des multiplicateurs communs et des points doubles dont les coordonnées sont des quantités conjuguées ou des quantites réelles. Si les coordonnées des points doubles de C sont réelles, C ne variera pas lorsque ses multiplicateurs seront permutés avee leurs quantités conjuguées, ce qui seulement est possible si C est du 2° ordre. Si les coordonnées des points doubles sont des quantités conjuguées complexes, les points doubles de C et de C, doivent être harmoniques. Le groupe renferme alors deux transformations dont les points doubles sont harmoniques, et nous pouvons supposer que A et B sont deux pareilles transformations, A et 2 appartenant aux formes ci-dessus mentionnées. a, et b, doivent être des quantités réelles lorsque les points doubles de A 214 152 et de DB sont harmoniques. Nous pouvons alors transformer le groupe de manière que a, et b, deviennent aussi réels. On voit donc que les points doubles de: AB"ADB-"A sont les conjugués harmoniques de ceux de B, et si le premier coefficient de À n'est pas nul, on peut toujours déterminer m de manière que le premier coefficient. de AB"AB-"A soit numériquement moindre que le coefficient correspondant de A sans cependant être nul. Le groupe ne peut être fini à moins de contenir des transformations du 2° ordre. 5 22) Un groupe fini devant toujours renfermer une transformation du 2° ordre, nous pouvons supposer que À est une transformation de cet ordre et se présente sous la forme: Bon fua rare iby lay! = iba—iay’ où a et b sont réels. On peut aussi supposer que le premier coefficient, dans toutes les transformations du 2° ordre du groupe, est nul ou quil ne Vest pas. Examinons d’abord le dernier cas en choisissant A de maniere que a > 0, et que sa valeur numérique soit la plus petite qu'il puisse avoir dans une transformation du 2° ordre appartenant au groupe. Nous formerons maintenant AB" ABA, qui est aussi une transformation du 2° ordre (A transformée par AB”). Le premier coefficient de cette transformation est: ia (— a? = b2 (gm + gm) + 6?) et on doit alors avoir: al < la(—a® — D? (am + 42") ae b2)| É à moins que: — a? — b? (gm + gm — 1) = 0. On a a? + 6? = 1 et, en posant a = cosu--isinu, on aura ou: — 1 + 46? sin? mu = 0 (49) ou : | —1+ 4b? sin?mu| > 1, (50) équations qui doivent étre satisfaites par toutes les valeurs de m. Comme |6|< 1 et que m peut toujours étre choisi de manière que |smmu| > 0, on tire de (50): |sinmu| > V4, ou de (49): |sinmu| > 1. Si B est une transformation d'ordre x, sin— sera la plus petite valeur numérique n de sinmu. On doit done toujours avoir: sin = > ar m << 0: n 2? Un groupe fini, si |a| > 0, peut done au plus renfermer des transformations du 5° ordre. Si toutes les transformations du 2° ordre appartenant au groupe sont de la forme: _ fee = ay = \ py Go les points doubles de À et de B seront harmoniques, et Von voit facilement que le groupe A Qt 153 | sera un groupe cyclique qui ne renferme pas d’autres transformations que celles de la forme 5? et BYA. 23) Apercu des groupes possibles. A) Toutes les transformations sont des puissances de la même transformation. B) Le groupe renferme des transformations avec des points doubles différents. 1) Groupes cycliques. Ils se composent des puissances d’une transformation À d'ordre n et de x transformations du 2° ordre qui permutent les points doubles de A. 2) Groupes qui renferment plusieurs transformations d’un ordre plus élevé que le 2°, avec des points doubles différents. a) Groupes tétraédriques, qui se composent d'une transformation du 3° ordre avec des séries de 8 transformations, et d'une transformation du 2° ordre avec une serie de 3 transformations. N — 12. b) Groupes octaédriques, qui renferment une transformation du 4° ordre avec des séries de 9 transformations, une du 3° ordre avec des séries de 8 trans- formations, et une du 2° ordre avec une série de 6 transformations. N= 24. c) Groupes icosaédriques, qui comprennent une transformation du 5° ordre avec des séries de 24 transformations, une du 3° ordre avec des séries de 20 trans- formations, et une du 2° ordre avec une série de 15 transformations. N = 60. 24) Formation des groupes cycliques. 25) Groupe tétraédrique. Il contient une transformation du 2° ordre: ees {pe = tar +iby \ay = iba — iay et une transformation : fer — Gar =) 63 = = a= == : (wy = ay 2 BA aussi bien que B? A doit être du 3° ordre, puisque A ne permute pas les points doubles de 6. On a par suite: a — V2 D = WR: Au groupe appartiennent toutes les transformations de la forme: [uv 1a V3 ei VG fe - piel 3 3 | „als, eS BY = 3 = 3 Is On voit que le groupe est fini puisque le produit des transformations des formes que nous considérons ici présente une de ces formes. 26) Groupe octaédrique. Il est déterminé par les deux transformations: Fe few = va® + iby A = 5 i i ae \uy = tb2—iay fue = ax | v2 +iV2 B = AA ou @ = —— lay = ay, 2 i É V2 BA et B°A doivent être du 3° ordre et B?A du 4. On trouve a = 6 = —. Le groupe renferme, outre B, toutes les transformations de la forme: Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. 28 216 154 a ariV2 div? pea = Ou 1 — oe C= u. — ; aTiV2 div? Ly S 9 ti AS y ; où p + g est un nombre pair et: D fur = «y Np = —are. Le groupe est fini. car les produits des transformations des formes dont il s'agit ici donnent des transformations qui ont les mémes formes. 27) Groupe icosaédrique. Nous supposons toujours que le groupe renferme les deux transformations: ö | px = iar +iby puy = iba —iay el: 2 za pt NAT Ve 2010 +9} 5 B= i PR = IE == Je FE % Tas: BY ay; À t Nous pouvons avoir ici BA du 5° ordre et 5?A du 3° ou l'inverse. On aura alors, en prenant @ négalif, ou: —V50— 10V5 V50 + 10/5 S 10 et 6 = 0 ou: fo. Sat ao BS UE OG see lS OS I es 10 En prenant les premières valeurs de a et de 5, nous pouvons montrer que le groupe, outre DZ et ses puissances, renferme toutes les transformations de la forme: a — —iV50+ 1075, iV50 10", SES FE 10 10 a RL IOVS hel EE =" BLY 10 a Y i 10 Zi Y; y — —iV50—10V5 ,,, 504 10V5 „ en 10 en 10 ee re Led =, LY Ea STERNE Yy 10 ay BLE E ie før — ay ley = —@x. On voit, comme dans les deux cas precedents, que le groupe est fini, la multi- plication de deux transformations des formes ci-dessus donnant une transformalion qui a une de ces formes. Be VE à 155 217 IV. Groupes finis des transformations du plan (ou Groupes finis des transformations de 2 variables). 28) Les transformations du plan ont en général 3 points doubles et 3 lignes doubles. Il peut cependant arriver que deux des multiplicateurs sont égaux. Dans ce cas, les transformations sont dites perspectives. Toutes les lignes qui passent par un de leurs points doubles sont des lignes doubles, et tous les points de la ligne double qui ne passe pas par ce point double sont des points doubles. Le point et la ligne en question sont appelés le centre perspectif et l'axe perspectif de la transformation. Le produit de- deux transformations perspectives donne une transformation qui à un point double à l'intersection des axes perspectifs, et une ligne double dans la ligne qui joint les centres perspectifs. Nous montrerons d'abord qu'il n'existe pas de groupes qui se composent exclu- sivement de transformations perspectives, à moins que toutes les transformations du groupe n'aient trois points doubles communs. Etant donné deux transformations perspectives A et 5 où la ligne des centres est æ— 0 et l'intersection des axes 2—0, y— 0, et où le centre perspectif de 4 est © —=0, y — 0, elles seront représentées par les équations: fer = Ge jee = (40 A == py = ay a B= X mor = bat) se Gye ee où B a encore un multiplicateur égal à a,. Mais AB ne peut pas alors étre une trans- formation perspective, à moins que A et B n'aient trois points doubles communs. Par conséquent, si toutes les transformations du groupe n'ont pas trois points doubles com- muns, le groupe doit renfermer des transformations qui ne sont pas perspectives, et nous pouvons lui appliquer les propositions développées dans les chapitres I et I. 29) Cherchons maintenant si un groupe fini peut renfermer des transformations de la forme: pe = ae eu — ae by CRE A= py = By B=’ ay = bay Cy2 pe = 72 | pee’ — bsy + 6,2 ou: £ lies = am pæl = ae Al = Lan = PY Oh BB SX — Gye FE On Ae GE | jez = FE | be = G30 bsy C32 ou, en d'autres termes, si un élément dun déterminant d'une transformation peut être nul sans que le sous-déterminant correspondant le soit. Il nous suffira de considérer le premier cas, D transformant les coordonnées d'une ligne droite à l’aide d’une transformation de la forme PB". On trouve qu'un groupe fini ne peut contenir des transformations de la forme A et B, car il devrait alors aussi renfermer une transformation de la forme: pe = æt qy+ rz ey = y pe — Se 218 156 30) Nous supposerons toujours dans ce qui suit que le groupe renferme une transformation qui n'est pas perspective, et dont les points doubles coincident avec les points fondamentaux du systeme des coordonnées. De meme nous nous bornerons, dans ce qui suit, a designer les transformalions par leurs déterminants. Nous savons, d'après les 22 14 et 29, que, dans chaque transformation: a, by c B= 4 by oy (69) Ba We GE chaque element est le conjugué de son sous-determinant avec le signe + ou —. Les multiplicateurs sont déterminés par Véquation: på — (a, + by + esp? + (A, + B, + Cs)p—1 = 0 (70) et comme: : = = = a,+6,+ C3 = lån ie Byte C;, cette équation montre que les multiplicateurs de B sont déterminés par a, + 6, +e,, qu'on appelle la somme principale de la transformation. Les points doubles de celle-ci sont déterminés par les équations: > y Zz fez A; = pre, A pot Bs; + pres um Cs— (a, + bs) pi + pi z y Zz =| | EE eae JA ae pe =; zu 1 (71) Pa (03 7-63) LE pE D; = 220, 20; 243 Zz boll y z pr: Ay + vb, 3 By,— (a, espe tps 230, = pbs où w est une racine de (70). Ces 3 groupes d'équations deviennent identiques en y rem- plaçant » par sa valeur, mais nous les emploierons tous les trois dans ce qui suit. 31) Nous montrerons maintenant que, dans un groupe fini, les éléments de chaque transformation sont les conjugués de leurs sous-déterminants. Suivant le 2 14, tous les éléments d'une ligne doivent être les conjugués de leurs sous-déterminants avec le même signe que les éléments correspondants dune autre ligne, ou ils doivent avoir tous un signe contraire. Les éléments du terme principal sont tous les conjugués de leurs sous-determinants avec le signe +, et deux éléments symétriques par rapport au terme principal sont les conjugués de leurs sous-déterminants avec le méme signe. Sil y a maintenant dans B (B ayant le même signification que dans 30)) un element qui est le conjugué de son sous-determinant avec le signe —, il doit y avoir des lignes où se trouvent deux éléments semblables. Nous pouvons supposer que la ligne supérieure en est une, et on a alors: |a,|?—|6,|? —[e,|> = 1 et par consequent: la, Se pe = ax - Soit A =?) puy = By une transformation du groupe et formons 4" BA" B+, |; = Hz le premier élément en sera |a,|* — a” 3”|b,|? — a” 7"le,|?. 157 219 Si nous posons maintenant: “a = cost —-zsint 8 = cosu— isinu 7 = cose + isinv la partie réelle du premier élément sera: a = |a,|*—cosm (é—u) |b,|? —cosin (t—v) |e, 7 On peut toujours choisir m de facon que @ soit plus grand que |a,|? et, par conséquent, que la partie reelle de &,, d'où il suit que le groupe ne peut étre fini. 32) Recherche des conditions que doivent remplir les éléments de B. Ces conditions, à savoir que a,, 6,, ¢; doivent être les conjugués de leurs sous- déterminants, sont indépendantes les unes des autres. Mais nous montrerons que, en donnant a,, b,, cz, on détermine déjà par la si les autres éléments peuvent être ou non les conjugués de leurs sous-determinants. L'équation (70) donne: ur — la, + 6) pg: pbs = a2 — (A, + By) p23 pies et comme les quantités de chaque côté du signe — sont conjuguées, elles sont toutes deux réelles. Les dénominateurs a trois termes des équations (71) sont donc réels. Si, dans les deux premieres lignes de (71), on multiplie Tun par l’autre le premier et le dernier rapport, il vient: (vo: A, + p2e,)\(uC, +uia;) — une quantité réelle. (73) On a en outre: Kae a] 1 dl, © a, €, b =| , ee sig es La Ca et comme a,c, = A,C;, on aura aussi: A;C, = 930; (74) et les équations analogues. De (73) on déduit alors: c, C, + a; A; = une quanlité réelle. Mais il résulte de (74) que: c, C, 2, A; — une quantité réelle positive, et, les éléments du terme principal étant les conjugués de leurs sous-déterminants, il s'ensuit par conséquent que ¢,C, et a, A, sont des quantités réelles ou imaginaires con- juguées. Si ¢,C, est réel, cette condition, jointe aux précédentes et à celle que (2,1, |b,|, le;l sont tous plus petits que I, est suffisante pour qu'on puisse donner à la transformation la forme mentionnée au 2 31. Il est en effet facile den conclure que le produit de chaque élément par son sous-déterminant est une quantité réelle. Si quelques- uns de ces produits étaient négatifs, les trois quantités |a,|, |b,l, |c.| ne pourraient pas toutes être plus petites que 1. On peut du reste calculer facilement e, C, et trouve: ee leer à GC où R= V1 + Nja,|? + Ala,d,c, + a,65¢,) (Sel + Z|a,?6, 220 158 33) Passant maintenant à la composition des transformations qui ont les mêmes points doubles, nous pourrons nous borner à considérer le cas de deux transformations A et B de l’ordre p“: et p“, p étant un nombre premier, et arrivons alors au résultat suivant: si les transformations avec les mêmes points doubles ne sont pas toutes des puis- sances d'une seule et même transformation, on peut, lorsque a, < a,, supposer B choisie de facon qu'elle ne soit pas égale à une puissance de A, ou à une puissance de A 'multi- pliée par une transformation d'un ordre inférieur à p“:; le produit des puissances de A et de & donnera alors p“:*“= transformations, parmi lesquelles se trouveront toutes les transformations de l’ordre p* avec les points doubles donnés. En général, on voit done que si des transformations ayant les mêmes points doubles ne sont pas toutes des puis- sances de la même transformation, elles peuvent être formées en multipliant deux trans- formations et leurs puissances. 34) En supposant toujours que ies groupes ne se composent pas uniquement de transformations avec des points doubles communs, nous examinerons à présent ceux qui renferment des transformations perspectives d'un ordre plus élevé que le 2°. Supposons d'abord que le groupe renferme des transformations perspectives du 6° ordre ou au-dessus. Sil en contient deux avec des centres différents, ces transformations et le groupe formé par leur combinaison laisseront la ligne des centres comme elle est. Le groupe étant du 6° ordre ou au-dessus par rapport à cette ligne, il devra être cyclique relativement à la même ligne, et l'axe de l’une des transformations passera par le centre de l’autre. Il est alors facile de voir, en supposant que les points doubles de l'une des transformations du groupe coïncident avec les points fondamentaux du système des coor- données, que le groupe ne peut avoir que des transformations de la forme: L li. I. ne — ae pu = ax LE = py | (Lf == jp) py = bz gf 0E (76) Le — r2 pe = ey pe = ra ou les transformations qu'on obtient en permulant z, y, z. Nous appelons ces groupes des groupes cycliques du plan. 35) Si le groupe renferme des transformations perspectives du 5° ordre, il doit être cyclique ou aussi contenir 2 transformations 5 et C de la même espèce, avec des centres différents et d'une nature telle que le groupe formé par B et C ne transforme pas la ligne des centres et soit icosaédrique par rapport à cette ligne. A et B peuvent s’écrire sous la forme: [ee — ad pe = u A=Vpy =a’y ede B=? py = b,r+c7y ee = az Luz = ba + c,3y et le groupe renfermera alors une transformation qui permute les points doubles de A et, par consequent, aussi: EL UT er = “aA 1 = py — ay et AD = 2 py = ay I = 7 Vos = m 159 921 La transformation qui permute les points doubles de À doit avoir la forme: na = Gu = We — O52 DOW? @,0, = — dA gi? = BE KORN E!°AD est donc une transformation perspective du 10° ordre. Suivant le 2 34, toutes les transformations du groupe doivent laisser la même ligne droite comme elle est. 36) Supposons maintenant que le groupe renferme des transformations perspec- tives du 4e ordre. Comme auparavant, on voit que le groupe doit être ou cyclique, ou renfermer deux transformations perspectives du 4°ordre, et telles que le groupe formé par leur combinaison transforme la ligne des centres par un groupe octaédrique. Les trans- formations A et 5 ayant la même forme que dans 35), le groupe doit renfermer une transformation : pe = — 2 py = ry BE = ÜR et on en conclut que, dans un groupe fini, l'intersection des axes de deux transformations perspectives du 4° ordre et la ligne qui en joint les centres, seront toujours respectivement le centre et l’axe d'une nouvelle transformation perspective du 4° ordre. Le groupe octaédrique de la ligne droite ne contient que 3 transformations du 4° ordre avec des points doubles différents. On voit donc que l'axe dune transformation perspective du 4° ordre appartenant à une groupe fini, ne peut au plus être coupé qu'en 6 points différents par les axes des autres transformations analogues du groupe. Mais on peut montrer que si les transformations du groupe ne laissent pas toutes la ligne droite sans changement (ou si le groupe nest pas cyclique), chacun des axes ci-dessus mentionnés sera coupé au moins en 7 points par les autres axes. Par conséquent, toutes les transformations du groupe doivent laisser une ligne droite comme elle est. 31) Nous arrivons maintenant aux groupes qui renferment des transformations perspectives du 3° ordre. Prenons un groupe contenant deux de ces transformations mises sous la forme: jus — as N A= ay et B= py = byt 2 på = Ge pe = day + 02 où a est une racine 9° de Vunité, et considérons le cas où la ligne des centres, æ = 0. nest pas transformée par un groupe tétraédrique, AB doit alors aussi être une trans- formation perspective du 3° ordre, car autrement AB serait du 2° ordre pour æ — 0 el (4 B)° une transformation perspective du 6° ordre. A?B sera done du 2° ordre par rap- port à æ = 0 et (42B)? une transformation perspective du 2° ordre avec æ — 0 pour axe. L'intersection des axes de deux transformations perspectives du 3° ordre et la ligne qui en joint les centres, sont done respectivement le centre et l’axe d'une autre transformation perspective du 3° ordre, en tant que le centre de l’une des deux premières transformations ne se trouve pas sur l'axe de l’autre. On peut aussi montrer que l'intersection des axes de deux transformations perspectives respectivement du 2° et du 3° ordre, dont le centre de l’une west pas situé sur l'axe de 222 160 l'autre, doit être le centre d'une transformation perspective du 3° ordre dont l’axe est la ligne des centres des deux premières, et que cette ligne n'est pas transformée par les transformations d'un groupe cyclique. Mais on peut montrer qu'il ny a que des groupes dont les transformations ne transforment pas une ligne droite. Car autrement, par tous les centres des transformations perspectives du 3° ordre, situés sur 2 — 0, et par les points en lesquels ces centres peuvent être transformés, devraient passer deux lignes qui sont des transformations de æ — 0. Si le groupe renfermait N transformations, le nombre de celles qui ne trans- forment pas æ = 0 serait, avec les transformations de leurs séries, représenté par EN, et si le groupe était possible, on aurait M — 216, et le nombre des autres transformations du groupe devrait être LA ce qui, on le voit, est impossible. 38) Cherchons maintenant si des groupes dont les transformations ne transforment pas toutes la même ligne droite, et qui ne sont pas cycliques, peuvent renfermer deux transformations À et B avec des points doubles différents, et telles qu'elles aient une puissance commune, qui alors devra être une transformation perspective du 2° ordre. A et B peuvent se mettre sous la forme: pe = az [ee = Gr \ 2 =} FY = 8) B= spy = bey rez le SE lee = Days Comme consequence de ce que nous savons des groupes de la ligne droite, et vu que les groupes ne doivent pas renfermer des transformations perspectives dun ordre plus élevé que le deuxième, a et a, doivent lun et l’autre être égaux à +1. Au cas que les transformations dun groupe non cyclique ne transforment pas z — 0, il faut que a et a, correspondent à + 1, soit parce que, sans cela, le groupe devrait renfermer des transformations perspectives dun ordre plus élevé que le deuxième, soit parce que, si un groupe octaédrique ne fait pas varier 2 — 0, le nombre des transformations qui ne font pas 487" 2 or on voit que N doit être égal à 48, et que toutes les transformations du groupe doivent ne pas transformer z — 0. 39) En partant toujours de l'hypothèse que Je groupe nest pas cyclique, et que ses transformations ne laissent pas toutes la même droite comme elle est, nous allons chercher dans quelles circonstances une transformation A, avec les multiplicateurs a, P, 7, peut être transformée par une autre transformation 6 du groupe en une transformation ayant les mêmes points doubles que A. Il peut se présenter les cas suivants: 1) Les points doubles de 4 ne sont pas deplaces par la transformation dont il s'agit A et B doivent avoir des points doubles communs. Elles peuvent être l'une et l'autre des puissances de la même transformation, ou des puissances de la même trans- formation multipliée par une transformation perspective du 2° ordre ayant les mêmes points doubles que À et B. 2) B peut permuter deux des points doubles de 4. Les multiplicateurs de À varier z— 0 serait, avec les transformations de leurs séries, réprésenté au moins par doivent être — 1, a, + a. 161 223 3) B peut déplacer circulairement les points doubles de 4.6% doit alors avoir pour points doubles ceux de A, et par suite être une transformation identique. D est du 3° ordre. Supposons qu'on ail: pe — at A = på = a) 22: = Fe en déplaçant eirculairement les points doubles de À, il vient: ee = 08 An 59 løg = GB. On voit facilement qu'il nous suffira de discuter le cas où A et A’ appartiennent au même groupe fini, et où A est de l’ordre p?, p étant un nombre premier; A’ doit alors être une puissance de A ou une puissance de A multipliée par une transformation du 2° ordre. Laissant de côté le cas de p — 2, nous devrons avoir: a= Øm 4 fo Ed en: Br ou f= 9 Tom VC et, comme @.ß.y = 1, = gr mm En faisant p == 3, nous voyons que cette dernière équation ne peut étre satis- faite que si a1, car elle est impossible pour a—= 2 et, par conséquent, pour de plus grandes valeurs de a. Si p n'est pas égal à 3, on aura 1 = a”, ce qui fait voir que p doit être un nombre premier de la forme 39 + 1. Une transformation dont les points doubles sont déplacés circulairement par une autre transformation d'un groupe fini doit étre d'un ordre n, n pouvant renfermer les facteurs 2, 3 et des facteurs premiers de la forme 39+1. Si A est de l'ordre 2n, et qu'aucune transformation d'un ordre plus élevé n'ait les mêmes points doubles que À, il y aura en tout 4n transformations avec les points doubles de À. 40) Voyons maintenant combien de transformations renferment divers sous-groupes avec leurs séries. Soit toujours N le nombre des transformations d’un groupe. S'il n'est rien dit de contraire, on suppose toujours qu'une transformation À est d'un ordre aussi élevé ou plus élevé que toute autre transformation ayant les mêmes points doubles que A. Sup- posons d’abord que le groupe ne renferme pas de transformations avec des points doubles différents et une puissance commune, et que l’ordre n de A soit impair. De même que n— 1 N et Qn x dans le 2 18, on trouve que A, avec ses séries, renferme respectivement = n—1 3n doubles de A, ou qu'il y en a une qui en permute deux, ou enfin qu'il y en a une qui les déplace circulairement. N transformations, suivant qu'il n’y a pas de transformation qui permute les points Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. 29 294 162 les points doubles peuvent à la fois être déplacés circulairement et > permutés deux å deux. Dans ce cas, A avec ses séries renferme = transformations, et doit avoir les multiplicateurs 1, a, a, si deux de ses points doubles sont permutés. SI > 41) Supposons maintenant A d'ordre pair. S'il y a des transformations ayant les mêmes points doubles que A et qui ne sont pas des puissances de A, elles doivent étre une puissance de A multipliée par une transformation du 2° ordre, car autrement le groupe renfermerait des transformations perspectives dun ordre plus élevé que le 2. Nous pouvons, dans ce cas, supposer que toutes les transformations avec les mêmes points doubles que À sont formées par le produit des puissances de: pr = az re A= jpy — fy par AA = Spy —=7y ae rz pz = —z et que A est de l'ordre 2x, où n est impair, puisque autrement le groupe renfermerait des transformations perspectives d'un ordre plus élevé que le 2°. Si A est une transformation d'ordre pair dont les points doubles sont permutés par une transformation &, examinons le cas où A est de la forme: = — =0 ay EEE | R SES | J — —az. La transformation qui permute les points doubles de A peut alors avoir la forme: FE — 2 B = {py = az 3 CET Nous prendrons pour & le signe supérieur, car sinon AB serait une transforma- tion ayant les mêmes propriétés que B et son premier multiplicateur + I. On voit alors (ce que je n'ai pas fait observer dans le texte danois), qu'une transformation de la forme A dont les points doubles sont permutés par une autre transformation du groupe, ne peut se trouver que dans des groupes qui ont des transformations avec des points doubles différents, mais avec une puissance commune, B° ayant les mêmes points doubles que A. On peut du reste procéder comme dans le 240, en prenant pour l'ordre de A le nombre des transformations qui ont les mêmes points doubles que 4. 42) Nous passerons maintenant à l'examen du nombre des transformations dans des séries appartenant à des sous-groupes dont les transformations ont une puissance commune, et dont aucune ne transforme une ligne droite z — 0. Deux transformations d'un pareil sous-groupe seront de la forme: fee — x pe = 7 A=Jpy — ay et B=! yy = b,y+ cz pe = —az pz = b3y 632. 163 DS ID Qt Si le sous-groupe, en ce qui concerne 2 = 0, nest pas cyclique, il faut prendre le signe supérieur, et le nombre des transformations qui ne transforment pas æ — 0 sera, 2q— 1 N, q étant au moins égal à 12. = avec leurs series, de Si le sous-groupe est cyclique, A de l’ordre 2g et qu'on prenne le signe supérieur, A Sel N. ce nombre sera de 7 4q Si le sous-groupe est cyclique et si l’on prend le signe inférieur de A, mais qu'il n'existe aucune transformation du 2° ordre qui ait les mêmes points doubles que A sans être une puissance de A, À doit être de l’ordre 8g, car si x, étant l’ordre de A, n'était divisible que par 2 ou par 4, ou aucune puissance de A ne serait du 2° ordre avec « = 0 pour axe perspectif, ou une puissance de À serait une transformation perspective du 4° ordre. 4?*#1B et (4?”B)° peuvent appartenir à la même série. Le nombre des trans- PURE 16g Les mêmes considérations s’appliquent au cas dune transformation du 2° ordre qui a les mêmes points doubles que À sans être une puissance de A; 4 doit alors étre de l’ordre 29, q étant impair, et il y a en tout åg transformations avec les mêmes points doubles que A. Le nombre des transformations qui, avec leurs séries, ne transforment formations qui ne transforment pas æ = 0 est, avec leur séries, d’au moins pas « = 0 est au moins égal à N. Ce chiffre cesse d'être exact si g = 3, et une og autre transformation déplace circulairement les points doubles de 4. Dans ce cas, À, 7e 29 77 å AB et leurs séries forment = N transformations. Nous voyons ainsi que, dans tous les cas où l’on prend pour À le signe supérieur, le nombre des transformations qui ne transforment pas # — 0 sera, avec leurs séries, de gi D N, p étant au moins égal à 8. Si p > 8, le groupe ne peut renfermer que les trans- formations ci-dessus avec leurs series, et aucune d'elles ne transforme la droite « = 0. 2 Si p — 8, le groupe peut encore renfermer une transformation du 3° ordre dont les points doubles sont à la fois déplacés circulairement et permutés deux à deux. On a alors: =NtIN+I<=N et N—=72 et le groupe existe réellement. Il renfermera comme sous-groupe un groupe pour lequel N = 30: Lorsqu'on prend pour A le signe inférieur, nous avons vu que le nombre des transformations qui, avec leurs séries, ne transforment pas æ = 0 est au moins de 6q—1 8q celles que nous exposerons plus loin montrent que, dans les deux cas, il n'y a que des groupes dont aucune transformation ne transforme la méme droite, ou des groupes cycliques. (KO) so | N si g est autre que 3, et de N si g = 3. Des considérations analogues a —ı wo 295 226 164 13) Voyons maintenant d'une maniere generale quels sont les groupes qui ne renferment pas de transformations ayant des points doubles différents, mais une puissance |, ; ; : commune. Appelant NY le nombre des transformations dont les points doubles ne n - É : A d ne il sont permules par aucune autre transformation du groupe, NE le nombre des trans- ’ zn ae! É : : Ny—1 à formations dont deux points doubles sont permutés, V2 SAGE le nombre des transforma- 2 ; SÅN fe; = 2 rg tions dont les points doubles sont deplaces circulairement, et enfin n le nombre des. transformations dont les points doubles sont a la fois permutés et déplacés circulairement, on aura: nl, on, nl, g : 3 a n TE on, Te In, SE 2 Be um) ou: 1 1 ai Se Sa | (80) N AR In, 3119 9 équation qui donne la proposition suivante: Le nombre des transformations d'un groupe fini est égal au plus petit multiple commun des ordres des transformations du groupe, ou à ce nombre multiplié par 2,3 ou 6. On voit en même temps que ces facteurs ne peuvent intervenir que si le groupe renferme des transformations dont deux points doubles seulement sont permutés par une autre transformation du groupe, ou des transformations dont les points doubles sont déplacés eirculaire- ment, ou enfin des transformations de ces deux espèces à la fois. (51) Nous pouvons nous borner à examiner les groupes qui renferment des trans- formations dont les points doubles sont déplacés circulairement, ceux où cela n'a pas lieu devant renfermer le même nombre de transformations de divers ordres que les groupes de la ligne droite. La proposition ci-dessus fournit une très bon moyen pour juger de la possibilité des groupes. Si le groupe nest pas cyclique, il doit au moins renfermer deux transformations A et B du même ordre z avec des points doubles différents. Cette dernière condition étant remplie, 13 ABRs oe AE ii seront en général des transformations toutes différentes, et deux ou trois d’entre elles seulement pourront avoir les mémes points doubles, si A ou une puissance de A permule ou deplace circulairement les points doubles de 5. En pareil cas, ces transformations auront deux par deux ou trois par trois des points doubles communs. La groupe renfermera alors au moins n+1, Far il. ett transformations avec des points doubles différents appartenant à la même série, c’est-à-dire, outre celles ci- dessus mentionnées, À, qui, avec ses séries, se compose au moins de (n—1) (n—1), (x (SH), in—1) (5 +1) (2 3 transformations. 165 297 Le nombre de transformations dans la meme serie devant étre de La N, —— N. N, N doit étre egal a ou plus grand que: à G SÅ n(n + 1), n(n+ 2), n(n-+3). 44) Groupes renfermant des transformations dont les points doubles ne sont pas permutes par une autre transformation du groupe. Le seul cas possible est celui où le groupe, outre les transformations ci-dessus, renferme des transformations du 3° ordre dont les points doubles sont déplacés circulaire ment. On doit alors avoir: 1 ae n—1 q N nm IE, equalion qui est satisfaite par: n—4 et g@—2, ow n— 8 et g— I. On verra qu'il existe réellement un groupe, pour lequel N — 36, qui renferme des transformations du 4° ordre dont les points doubles ne sont pas permutés, et en outre deux séries de transformations du 3° ordre dont les points doubles sont à la fois permutés et déplacés circulairement. 45) Groupes ne renfermant que des transformations dont les points doubles sont déplacés circulairement par d’autres transformations du groupe. On trouve que ces groupes ne sont possibles qu'à condition d'être cycliques. 46) Groupes renfermant trois séries différentes de transformations dont les points doubles sont permutés par d’autres transformations, et en outre des transformations dont les points doubles sont déplacés circulairement. Il n'existe aucun groupe fini de cette espèce. 11) Groupes renfermant deux transformations avec leurs séries dont deux points doubles sont permutés par d’autres transformations du groupe. On a l'équation: m—1 n,—1 n1,—1 q Ål N 2n In, In, 9° (SB) laquelle est satisfaite par » — 3, n, =4, n, —7 et g—0, qui appartiennent à un groupe existant réellement et pour lequel N — 168. (84) L’equation est également satisfaite, le terme en n, manquant, par n = 4, By = 5 Ch g= 2s NW = 300 (86) 47 bis) Enfin le groupe pourrait renfermer une transformation avec ses séries dont les points doubles sont permutés, et des transformations dont les points doubles sont dé- placés circulairement. Il n’existe pas de pareils groupes. Nous donnerons quelques exemples comme preuves de Vimpossibilité des groupes, lorsque les nombres des transformations dans les séries appartenant au groupe satisfont à l'équation (80), sans cependant que le groupe existe. L'équation : ge pr ne EEG. N In’ In, 9 est satisfaite par n = 8, nn = 10, g = 1, N — 720. Le groupe devrait renfermer 36 transformations du 10° ordre avec des points doubles différents. On voit alors qu'il 228 166 devrait exister deux pareilles transformations A et B, telles que A? et 5°, qui sont du 2° ordre, permulassent les points doubles de 6 et de A. Ni A ni B ne transformeront alors la même section conique, et le groupe ne peut être fini, car, comme il est facile de voir, les groupes dont aucune des transformations ne transforme la même section conique, sont des transformations des groupes de la ligne droite. La même équation est satisfaite par n = 3, n,—8, g=2, N= 141. Le groupe doit renfermer seulement 9 transformations du 8? ordre avec des points doubles différents, et par conséquent seulement 9 transformations du 2° ordre. Mais une transformation A du 8° ordre aura alors ses points doubles permutés par B4, B étant ‘oalement une transformation du 8° ordre, et, dans ce cas, A"B* sera aussi une trans- formation du 2° ordre, de sorte qu'il y aura 8 transformations de cet ordre dont les cen- tres seront situés sur une des lignes doubles D de A. Mais comme B a un point double P situé sur D, D pourra étre transformé en 4 lignes différentes passant par P, et le groupe, contrairement à l'hypothèse, devrait alors renfermer plus de 9 transformations du 2° ordre. On peut assez souvent employer le raisonnement suivant. La seule transformation qui puisse avoir des points doubles coïncidant avec des points doubles d’autres trans- formations qui n'ont aucun point double commun, est une transformation du 2° ordre. L’axe de cette transformation du 2° ordre passe alors par les points doubles communs ci-dessus mentionnés. Si maintenant l’on désigne par P et @ deux points doubles de deux transformations qui n’en ont aucun de commun, et qu'il puisse être prouvé que trois transformations A, B, C du 2° ordre permutent P et Q, AB et AC doivent être deux transformations du 2° ordre dont les axes coincident. Mais deux pareilles transformations ne peuvent appartenir à un groupe fini. On prouvera de la même manière l'impossibilité d’un groupe pour lequel N = 36, qui renferme trois séries de transformations du 2° ordre, deux séries de transformations du 3° ordre, et où les ordres des transformations appartenant aux différentes séries salis- font à l'équation: 1,798 | n—l n—1 n,—1 q N Qn 20: 2ne 9 wo OÙ n=—n, =n, = 48) Pour qu'une transformation ne transforme pas une section conique, il faut que la somme principale !) soit nulle. On voit que l'équation: ME = & A=}!uy = ay De = a ne transforme pas la section conique: ax? + byz = 0, et qu'une pareille section conique est tangente aux lignes doubles y = 0, x — 0, et passe par les points doubles (x — 0, y= 0), (e =0, z= 0). 1) C'est-à-dire la somme des éléments du terme principal. 167 229 s Il est facile de voir que la condition ci-dessus, qui ici s’est montrée suffisante, est également nécessaire. Il faut cependant se rappeler que la somme principale n'est déterminée qu'à un facteur près, qui est une racine cubique arbitraire de l'unité, de sorte que les transformations dont la somme principale est une quantité réelle multipliée par une racine cubique de l'unité, ne transforment pas non plus une section conique; mais la transformation est alors identique à une transformation avec un terme principal réel. 49) Dans toute transformation du 2° ordre, les éléments du terme principal doivent étre réels. Réciproquement, cette condition, avec les suivantes, à savoir que chaque élé- ment est le- conjugué de son sous-déterminant, et que la somme principale doit être égale à — 1, est suffisante pour que la transformation soit du 2° ordre. 50) Si un groupe renferme les transformations: Ne == u Oy On Gq | A=!uy = By Gb 6 = | Gy Oy @| ne = pE ds bs Cs | et qu'on désigne respectivement par d et s, les sommes principales de A et de 4B, on aura: aba, + BPb, + Pc, = Sp. En supposant que À n'est pas une transformation perspective, et en éliminant a,, b,, €, entre les 4 équations qui donnent les valeurs de 9, Sp4i, Spyz, Sp+3, il vient: Sp — Sp+3 — À Spti — d Spy. (90) Si B est du 2° ordre, on doit, suivant le 249, avoir sp = Sy». 51) Formons maintenant les groupes qui existent réellement et commencons par ceux du 3° ordre, en rappelant quun groupe est du méme ordre que Vordre le plus élevé de ses transformations. Nous laisserons de côté les groupes cycliques et ceux dont aucune des transformations ne transforme la méme ligne droite. Nous supposons que le groupe du 3° ordre renferme deux transformations, dont une, A, du 3° ordre et l’autre, DD, du 2° ordre, et que tous les coefficients de 5 sont réels. On a alors: 125 = & | di di ©; | À = py = ay B == | Oy bø Co | pe = az | ©; Cy 6s | —1+iV3 ES ae woe On doit done avoir: , a, + Oe ap eg = = 1 @, + Gibby + ce = 0 en Lab, Lace = O et par suite: f a, = by =e; = —3 b Gs Ca a) Aucune des transformations du groupe ne transforme la section conique: a? + 2yz = 0. 930 165 Une ligne droite pouvant par inversion et projection étre transformée en une section conique arbitraire, on voit qu'à chaque transformation linéaire qui ne transforme pas une ligne droite, correspond une transformation qui ne transforme pas une section conique. A chaque groupe fini de la ligne droite correspond un groupe du plan, dont les trans- formations ne transforment pas une section conique et ne peuvent qu'en transformer chaque point en un nombre fini de points. Mais le groupe doit alors aussi être fini pour le plan. Le groupe que nous venons de déterminer correspond au groupe letraedrique, et s'appelle le groupe tétraédrique du plan. 52) Passons maintenant aux groupes du 4° ordre. En supposant que le groupe renferme deux transformations A et B de la même forme que dans le Z 51, avec la seule différence que A est du 4° ordre, nous aurons pour 5, AB, 4°B, AB une colonne de sommes principales qui sera ou: aj) a,+6, Le; = —1 b) a, +b, +e, = —1 a,+ib,—ic, = 0 a, +ib,—ie, = a? a,—6b,—c, = 1 QUE a,—b,—e, = 0 a,—ib,+ie, = 0 a,—ib,+ic, = a. à —1+iV3 où à = 9 53) Dans le cas de a), on a: 1 1 1 neh D = = 27 b er Ve, SE o Ni A ni B ne transforment z? + 2yz=0. Le groupe formé par A et B est une transformation du groupe octaédrique, et s’appelle le groupe octaédrique du plan. 54) Dans le cas de b), on a: 1 —1+V3 —1—V3 CE OL? Bean Re ue ae /3+V3 [3 V3 Æ DEA EE Ne ee En désignant par C = 1 que C est une transformation identique, on aura: At = 1, (AB) = 1, (4?B)? = 1, B? = 1 (a). Supposons qu'on a formé la transformation: BA?BAB, ce produit peut, dans tous les cas, être réduit à renfermer un facteur 2 plus petit. Si p ou g est égal à 2, on peut poser: : BA2B = A? BA? et l’on a: B A?B A1B = A°B A1%2B. Si p et g sont l’un et l'autre égaux à 1 ou à 3, la seconde équation (a) donnera: BArBArB = A*?7B A. 3 I CHEN et q = | > on aura: BA?BAIB = AIBAIBA4B = A1B AI2B A2. 169 231 On voit par lå que tout produit de transformations qui renferme plus de deux facteurs B peut étre réduit å renfermer au plus deux facteurs. Toutes les transformations du groupe sont comprises dans les formes A”, A?6 A’, 4?(ABAB)A?, ou ABAB a la forme: i liebt: vær fe a ya nes il 2) By 8 2 ; 8 2 = LED —1—V3 VASE 13e Cie 2) I) | 8 2 ? 4 ? il 8 | V3 4 a BEN ve = ses | 8 2 JE g ? 4 Ce groupe est celui qui est mentionné au 2 44; il renferme 36 transformations. 55) L’equation (90) montre que le groupe du paragraphe précédent doit être un sous-groupe du groupe du 8° ordre mentionné au 2 44, en tant que ce dernier existe, et il est facile de voir par là qu'il n’est pas fini. Par contre, le groupe du 254 est un sous-groupe du groupe dont il est question 2 42, car en ajoutant aux transformations ci-dessus mentionnées du pipupe du 2 54 une no nation C de la forme: pe = € C =}py = pz ou pq = A le? SE RE af on aura alors CA = AC et, si lon pose p = v2 ss Uz a Gg = 712 , il viendra CBC- — ABAB. z à On peut toujours, dans un produit A?C2B ... faire passer C à la première place, et on voit alors que, si le groupe du 2 54 renferme les transformations 7,, 7, ..., celui dont il s’agit ici renfermera les transformations 7,, T, ...CT7,, CT, ..., en tout 72 transformations. 56) Nous arrivons maintenant aux groupes du 5° ordre. Ils peuvent renfermer : a) des transformations du 2°, du 3° et du 5° ordre, ou b) des transformations du 2°, du 3°, du 4° et du 5° ordre. Dans le premier cas, en supposant toujours que les groupes renferment deux transformations A et B, A du 5° et B du 2° ordre, on peut avoir, suivant (90), s étant HET „1+V5 égal à —I et d&— 3, ou 5 =e Så Sy Er SSO At 1+15 ou: = & el, Son | un On obtiendra le même groupe, soit qu'on prenne la premiere ou la seconde colonne des sommes principales. En prenant la seconde, on trouve: LOGS MORE OP Re _5—V5 ARR Le EURE RE TEE | ay? io Vidensk. Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 2. 30 232 170 De ce que ni À ni B ne transforment z? + 2yz — 0, il résulte que le groupe est fini; c'est le groupe icosaédrique du plan. 57) Dans le cas de b), l’equation (90) montre qu'on peut avoir les colonnes sui- vantes de sommes principales : 8, = 0 d, a d ae By = d 0 a ad, | Be led 0 | æ | ad. | — 0 d, | ad a el: Le FEDE Re SE — 1 @ | dle = | da | A 0 5, = | ad 0 1 IS, = aed 0 1 Sy = || Ha, ea 0 où p= 1002, a= Se d= el x = ee” Peu importe quelles sont les colonnes d'où l’on part, supposé qu'on n'arrive pas à un sous-groupe, ce qui est le cas avec les deux premières. Nous partons done de la 3° en posant p— 1. Il est maintenant facile de montrer qu'on peut trouver toutes les sommes principales possibles des transformations du groupe, en appliquant la proposition que la transformée dune transformation ne fait pas varier la somme principale. C = s signifie ici que la transformation C a s pour somme principale. Etant donné: | B =f AB = ad A*B=—«@ AB = a AB = ad. On a BAB = d,, 4BA’B = —a et, suivant le 249, A*BA?B = ad,, puisque A®’BA?B est du deuxième ordre. L'équation (90) donne alors: TA Tay — (al AB AUB == 7 AB AB = —a@ AB ATEN APT AIP 18) == Gail, Dans le texte danois, p. 193 et 194, on trouvera des tableaux de tous les produits de 4 1 facteurs et de quelques-uns de 6 facteurs. 171 233 Nous montrerons maintenant que le groupe est fini. Si l’on a un produit: AB A1B AB. AS... on peut d’abord supposer que deux exposants qui se suivent, g et r, ne sont pas égaux, puisque le nombre des facteurs du produit pourrait alors étre réduit, A” étant au plus du 5° ordre. De plus, à cause de la relation: A®BA’BA? = BASB qui est une conséquence de (4?5)’ = 1, on peut faire disparaitre tout facteur A3 placé entre deux facteurs B, pour que les exposants g et 7 puissent l’un et l’autre étre con- sidérés comme différents de 3. Nous pouvons à présent montrer qu'aucun produit ne peut renfermer plus d'un certain nombre de facteurs sans être réductible. En effet, si un produit renfermait une infinité de facteurs sans pouvoir être réduit, les facteurs A, 4?, A’ devraient s’y trouver, car s'il ne contenait que deux de ces fac- teurs, il serait réductible, puisqu'on a (AB A276)" = 1, si m est au plus égal à 5. Si le produit n’est pas réductible, il doit donc renfermer un des facteurs suivants: 1) BA*BA? BAB 2) BA*BABA*B 3) BABA? BA‘B 4) BABA*BA*B 5) BA?BABA'B 6) BA?BA*BA B. En remplacant GA?6 par A$B AB 4%, on voit de suite que 2) et 5) peuvent étre réduits à renfermer un facteur B de moins. Si dans 1) on fait précéder BA" d’un facteur BA’, I doit être égal à 1, car on voit immédiatement que / ne peut être égal à 4, et sil était égal a 2, on aurait: 5a APP PAIE PANIER PP APIB FASE BFAG BEA BE: qui est réductible. Il faut donc que / = J, si quelque facteur GA’ précède BA“, et on aura alors la transformation : 5 oo BAUIBASIBAPCIBAIB 5 5 © produit qui, à son tour, peut être précédé d'un facteur BA*, où k = es mais, dans les deux cas, la transformation est réductible. On a en effet ou: ... BA*BABA*BA* BAB...= BA BABA? BAP BAtB...=...BA*BA*BA*2 BABA'B... ou bien: ... BA*BABA*BA? BAB... =... A23BA? BABA! BA? BAB... Dans les deux cas, on voit que les transformations sont réductibles. Par conséquent, 1) ne peut être précédé de facteurs renfermant B autres que BA, sans que la transformation soit réductible. On voit de même que 3) ne peut être suivi de facteurs renfermant B autres que AD, comme aussi qu'aucun facteur renfermant B ne peut être ajouté avant ou après 4) ou 6) sans que la transformation soit réductible. Mais il suit de là que le groupe est fini. On trouvera p. 197 du texte danois un certain nombre de relations qui servent à réduire des produits de transformations à leur forme la plus simple, et p. 198 une schéma 23 172 de toutes les transformations d'un groupe sous la forme la plus simple. On voil par ce schéma que ce groupe renferme 360 transformations. 58) Il nous reste à considérer un groupe du 7° ordre. Nous supposons comme d'habitude que le groupe renferme deux transformations A et B, A du 7° et B du 2° ordre, avec des coefficients réels. On a alors: pt = ax AS py = ax . pe = ax où 4 est une racine imaginaire arbitraire du 7° ordre de l'unité. Posons: a, = a se a? + a? on aura par suite: aa —1 og dd = 2 En multipliant B par des puissances de A, on obtient, suivant (90), les colonnes possibles de sommes principales qui suivent: Me esti er a : SR a BORA | | s3 | 0 | da d | Sy @ D | @ i 8, | 1 | d | 0 | 8, | @ | On ae | On verra qu'il y a dans le groupe des transformations qui, multipliées par des puissances de A, donnent toutes trois colonnes de sommes principales. Si l’on suppose que B, par sa multiplication par des puissances de À, donne des transformations dont les sommes principales forment la deuxième colonne, on aura: —(a+a) a, = = = a eA: (a—1) (a—1) (a +a) 2 api DRE II q (95) (a—1) (a—1)(a+a-+1) — | C3 = FEHR (a —1)(a—1) (a+a+1) D, 9, r seront déplacés cireulairement si, à la place de a, on met 4? où at. p, q, 7 ont entre eux les relations suivantes: Pap gp sh = I es) pg + gr Arp = 0 | (97) Die sand | qq = rp (98) POS == [00] | 173 DI os Or A Vaide de ces relations, on trouve : | 2 PAG] KØGE Ga AB A3B A? est de la forme: | | 179 Pp | qu'on obtient de B par un déplacement circulaire de p, g, 7. Le groupe doit alors aussi renfermer la transformation 6”, qui s’obtient par un nouveau déplacement circulaire de p, 7, 7. BB’ est de la forme: pe = y DY = inf =z pe = & et le groupe renferme donc aussi la transformation: mø = & I) = py — R le? =) On pourrait maintenant montrer que le groupe peut renfermer des transformations de chacune des formes : AP A™B A”. AM BIA AT BAT DA, DA, où les valeurs de p, m, n, peuvent varier de 0 à 6, car en multipliant l'une par l’autre deux de ces transformations, on obtient encore une transformation d'une de ces formes. On trouvera p. 204 du texte danois un schéma des transformations que renferme le groupe; il y en à 168. Pict ey Cirolanidæ | et familiæ nonnullæ propinquæ Musei Hauniensis. Et Bidrag til Kundskaben om nogle Familier af isopode Krebsdyr ved H. J. Hansen. Med 10 Kobbertavler. Avec un resume en francais. a Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. Kjøbenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri (F. Dreyer). 1890. ami CeO om wl HENTET ie à enn ars neh ve i = - Sören Ra are We BET EEE De Hu-kaths I. Indledning. I Aaret 1885 gjennemgik jeg Universitetets Zoologiske Museums 3die Afdelings og Studie- samlingens Materiale af de Isopod-Familier, der ikke, saaledes som Ægider-Cymothoider og Land-Isopoder, vare blevne monografisk bearbejdede herhjemme i de senere Aar. Særlig i Studiesamlingens Materiale fandt jeg en Mængde Glas med Cérolanidæ og beslæg- tede Former, men det lykkedes mig kun at bestemme en lille Del deraf, og jeg maatte derfor anse en Mængde Arter for at være hidtil ubeskrevne. Ved en foreløbig Under- søgelse af Materialet stødte jeg paa flere meget interessante og for en større Del ubekjendte Uddannelsesformer af Svømmeben, ligesom jeg ogsaa fandt, at Munddelene, sete rent habituelt udvendig fra med en skarp Lupe, frembøde ypperlige Slægtsmærker og flere ikke tilstrækkelig kjendte Forhold. Jeg laante saa baade Studiesamlingens og 3die Afdelings Samling af disse Dyr hjem til monografisk Bearbejdelse. Jeg vil her aflægge Hr. Prof., Dr. Chr. Lutken og Hr. Inspektor, Dr. F. Meinert min bedste Tak for Laanet af og den frie Disposition over dette saa rige og interessante Materiale, samt for Exemplarer af de beslægtede Ægider og Cymothoider, de have overladt mig til Dissektion. Af Arter, der ikke fandtes i denne Samling, har jeg kun haft og medtaget 2, nemlig Cir. concharum Stimps., som 3die Afdeling paa min Foranledning tilbyttede sig fra Hr. A. M. Norman, og Conilera cylindracea (Mont.), af hvilken vigtige Form jeg har kjøbt nogle Stykker af den zoologiske Station i Neapel. Desuden har jeg fra sidstnævnte Sted kjøbt nogle Stykker af Cir. borealis Lilljeb. og Cir. neglecta n.sp.; endelig har Hr. Dr. F. Hilgendorf ved Univ. zoologiske Museum i Berlin velvilligst overladt mig til Under- søgelse af Munddelene 2 Exemplarer af den mærkelige 7achæa crassipes Sch. & Mein., og herfor bringer jeg ham en varm Tak!). 1) Efter Afhandlingens Udarbejdelse har Hr. Fabrikant Budde-Lund overladt mig en Del Hav-Iso- poder, der sammen med Land-Isopoder vare sendte ham fra Museet i Moskou til Bearbejdelse. Dette Materiale indeholdt kun 5 herhen hørende Arter, af hvilke 1, der er ny, ikke er medtagen her, medens der lige før Trykningen er taget Hensyn til de andre 4 Arter. Materialet har paa et enkelt Punkt haft adskillig Betydning, da det viser, at de 2 fra gammel Tid opstillede, meget om- skrevne og af mig selv for 12/2 Aar siden med nogen Tvivl antagne Arter Czrol. Cranchii Leach og Cir. Swainsonü (Leach) falde sammen til 1 Art. 31" 240 i Under Studiet viste det sig efterhaanden, at Materialet var i de fleste Henseender langt rigere, end jeg fra først af havde antaget eller kunde haabe. 1) Først saaledes med Hensyn til Arternes Antal. Der er til Slutningen af 1887 beskrevet ialt fra hele Verden c. 43 Arter!) af de Familier. der her omhandles nærmere; mit Materiale indeholder 34 Arter, et relativt særdeles stort Antal, men heraf har jeg maattet anse 24 Arter for hidtil ubeskrevne og har altsaa kun haft 10 af de tidligere kjendte Arter. En større Del af de nye Arter, nemlig ialt 12, hidrøre med Sikkerhed eller stør Sandsynlighed fra Vestindien, særlig fra St. Thomas, fra hvilken Lokalitet man hidtil ikke kjendte noget Dyr af disse Slægter. 2) Dernæst med Hensyn til Typer for Slægter. Med Undtagelse af de 2 mærke- lige, henholdsvis ved engelske og amerikanske Dybhavsundersøgelser erhvervede Former Anuropus Bedd. og Bathynomus A. Milne Edw., samt Slægten Corilana Kosm. (alle 3 Slægter opstillede hver paa 1 Exemplar) har jeg havt Repræsentanter for alle hidtil kjendte og desuden Typer for 2 nye og mærkelige Slægter. Herved er jeg bleven sat i Stand til at studere en Række Typer af Munddele og derved at paavise disses højst forskjellige Ud- dannelse samt deres systematiske Værdi, og Resultaterne heraf ere, forekommer det mig, noget af det Vigtigste i denne Afhandling. 3) Endelig har de nævnte 34 Arter, der i Habitus ere temmelig ensformige, vist sig at frembyde en saadan Mængde af Arts- og Kjønsmærker og saa forskjellig Bygning af Munddele, Kropben, Hale og Haleben, Antenner 0.s.v., at jeg ikke kjender nogen anden Afdeling indenfor Arthropoderne, der med et saa lille Antal af Arter kan fremvise en saadan Rigdom af Forskjelligheder, Kombinationer af Karakterer og mærkelige Uddannelser af enkelte Organer efter biologiske Forhold. Jeg maa dog henlede Opmærksomheden paa en enkelt mindre heldig Egenskab ved Materialet. Ved Afhandlingens Udarbejdelse havde jeg af ikke mindre end 12 Arter kun set { Exemplar af hver Art, af 5 Arter kun 2 Exemplarer, af 6 Arter 3 Exemplarer, altsaa blev der kun 11 Arter, af hvilke jeg havde haft 4, flere eller mange Exemplarer; efter Undersøgelsen af Materialet fra Moskou ændredes disse Tal saaledes, at jeg af 11 Arter har haft 1 Exemplar, af 4 Arter 2 Exemplarer, af 7 Arter 3 Exemplarer, af de øvrige 12 Arter flere til mange Exemplarer. Kun af 10 Arter har jeg haft Hunner for- synede med Æggeplader. Af adskillige Arter har jeg sikkert ikke haft voxne Exemplarer. Dette ringe Individ-Antal af saa mange Arter har selvfølgelig afsat adskillige, som jeg dog haaber sædvanlig mindre væsentlige Mangler i mit Arbejde. Jeg har saaledes af og til D ) Ved denne Sammentælling har jeg ikke medregnet de af Hesse beskrevne, vistnok ganske ukjende- lige Arter og heller ikke et Par Arter. der af et Par andre Forfattere ere navngivne men ikke be skrevne. Da jez ikke har kunnet forskafle mig Lockingtons senere næynte Arbejde, har jeg ikke kunnet have nogen Mening om der skulde skjule sig en herhen hørende Form under en af de af ham opstillede Æga-Arter. 5 241 ikke kunnet angive Maalet paa Arten efter udvoxne Stykker, jeg har ikke kunnet angive de sikkerlig tilstedeværende Kjonsforskjelle i Antennulernes Bygning hos nogle Arter af Eurydice, heller ikke det fuldstændige Antal af Led i Antennulernes og Antennernes Svøber hos flere Arter, jeg har ved mange Arter ikke kunnet fremstille Kjønsgriflen paa 2det Par Haleben hos den voxne Han m. m. Heldigvis ere disse Mangler i de fleste Tilfælde efter mit Skjøn ikke af væsentligere Betydning, i hvert Tilfælde har jeg overalt været i Stand til sikkert at adskille Arterne og fremstille en Række sikkre og let opfattelige Karakterer for hver, saa at jeg er temmelig vis paa, at man ikke blot vil kunne kjende de her frem- stillede Arter sikkert fra hverandre, men at man ogsaa i næsten alle Tilfælde, ved at tage tilstrækkeligt Hensyn ikke alene til Diagnosens men ogsaa til de øvrige talrige, i Beskri- velser og Afbildninger viste Mærker, vil kunne kjende mine Årter fra dem, der hidtil kun kjendes efter daarlige Fremstillinger eller som endnu ikke ere beskrevne. — At dette Resultat i det mindste kan naas, forekommer det mig, at den fortræffelige G. O. Sars har vist i sine Arbejder .over Mysider og Euphausider. — Det kan ogsaa fremhæves, at Undersøgelsen af de Arter, af hvilke jeg besad flere Exemplarer i forskjellige Aldere og af forskjelligt Kjøn, viste en udmærket Fasthed indenfor Arten af de Karakterer, som jeg har lagt Vægt paa til at gjøre Arten kjendelig. Det kjøbenhavnske Museums Materiale er jo rigtignok meget stort, men at 24 af Arterne ere nye, og at Tallet af de hidtil kjendte Arter herved bliver forøget med c. 60 p- C., er et yderst paafaldende Forhold, som til en vis Grad har sin Grund i, at disse Dyr aldrig ere blevne monografisk bearbejdede. Alle Publikationer over de her behandlede Dyr ere af en temmelig lejlighedsvis Karakter, oftest en Beskrivelse af Udbyttet fra en enkelt Expedition, hvilket tilstrækkelig vil fremgaa af det følgende. Mit Materiale og Literaturens Beskaffenhed peger hen paa, at enten maa en Mængde Arter være sjeldne med en temmelig indskrænket geografisk Udbredelse, eller ogsaa, og dette er maaske det sandsynligste, har man endnu ikke ret forstaaet at ind- samle dem. Slægten Darybrotes (1 Art), nogle Arter af Eurydice, 1 Cirolana og 1 Corallana ere tagne udelukkende pelagisk. Af de andre Arter er der adskillige, som ifølge deres Bygning ligesaa godt kunne leve et væsentlig pelagisk Liv som de ovennævnte Arter, men om adskillige af disse har jeg kun Opgivelser som: Brasilien, Vestindien, Yeddo- Bugten ete.. af hvilket man intet kan skjønne med Sikkerhed. Æurydice pulchra findes (se senere) ved Strandbredden og træffes desuden ogsaa svømmende i de øverste Vandlag, maaske endog langt fra Kysten (ligesom de fleste andre pelagiske Dyr synes den især at træffes i de øvre -Vandlag om Natten), og det er ikke usandsynligt, at adskillige af de andre her omhandlede Arter føre et lignende Liv. En Del Arter (særlig af Familien Ciro- 242 6 lanidæ) ere derimod sikkert Bunddyr, og de fleste træffes vist oftest paa faa Favne, medens andre træffes paa 25—300 Favne. Ved at udføre min Bearbejdelse af «Dijmphnas» Krebsdyr erhvervede jeg mig en ny morfologisk Opfattelse af Malakostrakernes Kjæber. Jeg har nu forsøgt her at anvende de ved det nævnte Arbejde vundne Erfaringer og Resultater, hvilke have hjulpet mig til at finde og finde ud af ikke faa tidligere oversete eller mistydede Bygningsforhold. (Et Par mindre Ændringer i Tydningen af en Del af Kindbakkerne og Idet Kjæbepars 3die Led ville senere blive omtalte.) Munddelene viste sig at afgive udmærkede Familiekarak- terer og til Dels ogsaa Slægtskarakterer, hvorfor jeg har lagt særlig Vægt paa at studere dem saa indgaaende som muligt. Da Ægideæ og Cymothoide efter min Opfattelse ere nær beslægtede med de her specielt behandlede Familier, fandt jeg det rigtigst ogsaa at studere Mundbygningen hos deres vigtigste Typer, for at kunne drage Paralleler, udføre Sammen- ligninger og skaffe Familiekarakterer. Da Fremstillingen af Mundbygningen udgjør en saa betydelig Del af mit Arbejde, har jeg skilt den ud fra den mere systematiske, artsbeskri- vende Del og ladet den danne et Afsnit for sig selv. — Et komparativt Studium af Byg- ningen af Svælget og Formaven (der hos de blodsugende Former vistnok fungerer som Pumpe) har jeg maattet opgive, da mit Materiale af flere Grunde ikke egnede sig dertil. Som ovenfor angivet er mit Arbejde kun baseret såa at sige paa et enkelt Museums Materiale, og der findes selvfølgelig i de udenlandske Museer en Række hidtil ubeskrevne og mig ukjendte Arter; ja af de hidtil beskrevne Arter kjender jeg jo knap en Fjerdedel af Selvsyn. En Monografi kan min Afhandling derfor ikke kaldes, men da den dog har et vist monografisk Tilsnit, har jeg ment, at det var rigtigst at samle en saavidt mulig fuldstændig Fortegnelse over Literaturen, at give en udførlig Citering af samme og An- førelse af alle hidtil beskrevne, mig ukjendte Arter. I sidstnævnte Henseende bliver Re- sultatet noget tarveligt, thi en Mængde Arter ere saa maadelig fremstillede, at jeg ikke har kunnet danne mig et klart Begreb om deres Affinitet til mine Arter, ja jeg er ikke engang altid vis paa, at min Henforelse til Slægt er rigtig. — Da Ægider og Cymo- thoider for nylig ere behandlede monografisk af Schiedte og Meinert i et stort og pragtfuldt Arbejde, har jeg for disse 2 Familiers Vedkommende kunnet indskrænke mig til (Studiet af Mundbygningen fraregnet) at fremsætte nogle faa Bemærkninger. Jeg har fundet det heldigst i et Kapitel for sig at gjøre Rede for « Cymothoa- Gruppens» (alle de her omtalte Dyr) Karakterer overfor andre [sopoder, for dens Inddeling i Familier og for de fundne Karakterer og deres Værdi. En Drøftelse af sidstnævnte Spørgsmaal træffes vel temmelig sjelden hos systematiske Forfattere, men den forekommer mig at kunne være meget vejledende, og den skaffer tillige en Art resumerende Oversigt, som Læseren ellers møjsommelig maa udlede af den detaillerede Fremstilling. At denne Fremgangsmaade er noget vidtløftig og medfører en Del Gjentagelser, kan ikke nægtes, 7 243 men dens Fordele forekommer mig meget betydelige, naar man henter Karakterer fra en Mængde Bygningsforhold. Dernæst maa det være mig tilladt at fremkomme med nogle Bemærkninger om Planen for Afbildningerne og om den ved deres Udfærdigelse benyttede Fremgangsmaade. Ved Habitusfigurer af Arterne, sete ovenfra, har jeg oftest udeladt Kropbenene. Dette har for det første sin Grund i, at det er overordentlig vanskeligt og tidsslugende at fremstille Dyrene med Benene strakte ud paa en nogenlunde naturlig Maade, dels fordi det er vanskeligt at rette de korte, ofte stive Ben ud og holde dem fast, medens man tegner dem, dels fordi jeg, naar et Stykke af Benene skulde vises paa en nogenlunde tydelig Maade, maatte have gjort Omridset af Dyret betydeligt større, hvilket ogsaa vil fremgaa af de 3 Figurer (Tab.I, Fig.1, Tab.IV, Fig.5 og Tab. VIII, Fig. 1), der vise Kroppen med alle Benene. For det andet er Værdien af en Fremstilling af alle Krop- benene paa Dyr af denne og flere lignende Grupper (Sphæromer, Oniscer) oftest heller -ikke synderlig stor, og den bliver her endnu mindre end sædvanlig, da jeg efter et neden- for udviklet Princip har fremstillet særskilt 3 Ben af næsten hver Art. Ved at tegne alle Habitusfigurer fra Ryggen med Kropben vilde jeg have opnaaet nogenlunde at give en Forestilling om de forskjellige Bens Længde i Forhold til Kroppen og i Forhold til hver- andre indbyrdes, samt om de temmelig smaa Forskjelligheder i Benenes Længde fra Art til Art, altsammen under Forudsætning af, at jeg havde formaaet at strække alle Benene paa samme Dyr og tillige paa alle de andre Dyr ligemeget, thi ellers blev Billedet forkert. Det vigtigste, jeg vilde have opnaaet, var at give Begreb om 6te Benpars Længde i Forhold til 7de Benpar, men dette kan nogenlunde udtrykkes i Ord og er i hvert Tilfælde for- mentlig for ringe en Grund til at bevirke, at c. 30 Tegninger skulde have været udførte i betydelig større Maalestok, særlig naar Arbejdet er saa vanskeligt at udføre. At Teg- ningerne, naar Benene vare paasatte, bleve smukkere og gjorde et mere levende Indtryk, forekommer mig her at være af ganske underordnet Betydning. Tegningerne af alle de 4 Set Mundlemmer af et Dyr ere altid udførte med samme Forstørrelse, thi herved opnaaes at vise deres relative Størrelse, der er meget vexlende fra Familie til Familie. À Af de fleste Arter har jeg afbildet 2det (naar det ikke var helt, det meget lignende iste), 5te og 7de Kropben fra Dyrets venstre Side, alle 3 Ben sete nedenfra og gjen- givne med samme Forstorrelsesgrad. Ved at bruge samme Forstorrelse vandt jeg det samme, som kort ovenfor er nævnt ved Omtalen af Munddelene; ved altid at bruge Ben af de samme Par fra venstre Side hos de forskjellige Arter og altid nedenfra, af andet Par fremadrettet, af de 2 andre Par tilbagerettede, har jeg opnaaet at lette Sammenligningen mellem de enkelte Arters Lemmebygning saa meget som muligt. — Noget lignende har 244 8 jeg forsøgt ved at skygge alle Figurer fra venstre Side og ved at tegne alle Profilfigurer af Arterne med Dyrenes højre Side opad, saa at Rygsiden vender mod Lyset. — For Valget af de 3 Benpar, der skulde afbildes, ligge følgende Betragtninger til Grund. det Benpar kan betragtes som en god Repræsentant for de 5 forreste Par, der sædvanlig ligne hverandre overmaade meget, og i Tilfælde af væsentligere Forskjelle -viser 2det Par en Mellemform mellem {ste og 3die Par. Naar Dyret har Benene indrettede til Brug ved Svømning, er 7de Par det, der er mest omdannet til dette Formaal; 5te Par danner en Mellemform mellem Ade Par, der atter viser lidt over mod de forreste Par, og 6te Par, der i sin Udvikling altid nærmer sig noget hen imod 7de Par, saa at det snart ligner dette, snart dte Par mest. En Afbildning af 6te, ja endog af Ade Par kunde af og til have været ganske nyttig, men jeg har ment at burde begrændse mig; der er formentlig Afbildninger nok endda. Det kan maaske forekomme En og Anden, at jeg gjør altfor meget Væsen af denne ved Afbildningerne fulgte Plan, men dels er det mig om at gjøre for min egen Skyld at lægge den klart frem, dels troer jeg, at man næppe tilstrækkelig stærkt kan henlede Andres Opmærksomhed paa de store Fordele, der vindes ved en saavidt mulig konsekvent Gjennemførelse af en ordentlig Plan, ved at tegne tilsvarende Figurer i samme Stilling og med Lyset fra samme Side (helst og naturligst fra venstre), ved Brug af samme Forstorrelsesgrad i en Række Tilfælde o. s.v. Hvis de karcinologiske Forfattere havde søgt at gjennemføre en saadan Plan i deres Arbejder, havde disse oftest været langt bedre og i det mindste altid langt lettere at benytte, end de ere. — Fremgangsmaaden ved Udfærdigelsen af de fleste Tegninger er temmelig omstæn- delig, men den bør omtales lidt nærmere, da den næppe ellers er benyttet, og den fore- kommer mig at føre til gode Resultater. Som Exempel kan min Behandling af Krop- benene tjene. Efter forsigtig at have pillet dem ud af deres Leddehuler i «Epimererne», lægger jeg dem oftest: i Vand for at blødgjøre Ledføjningerne og med en lille Pensel eller, om nødvendig, med en svag Ætskaliopløsning at rense dem og rette Svømmehaarene ud, hvis saadanne findes. Derpaa lægges de, naar de have Svømmehaar, i stærkt fortyndet Glycerin, endelig nogen Tid efter i ren Glycerin. (Mellemstadiet i det vandholdige Glycerin er nødvendigt, for at Svømmehaarene ikke skulle krølle eller slaa store Bugter.) Derpaa lægges Dækglas over, en Tegning udføres såa godt som muligt ved Hjælp af Prisme, og denne Konturtegning rettes og kompletteres ved Hjælp af gjennemfaldende Lys under det sammensatte Mikroskop. Derpaa udtages Benene af Glycerinen og skylles saa meget af, at den vedhængende Glycerin fjernes, medens Benenes Indre stadig maa være stærkt glycerinholdigt, for at de ikke skulle tørres ud og skrumpe ind; derpaa lægges de påa en Glasplade under stærk Forstørrelse paa et Præparermikroskop, og Tegningerne skygges saa efter disse Præparater, sete med paafaldende Lys fra 9 245 venstre Side. Denne Fremgangsmaade er baade benyttet ved Benene, ved Munddelene af de større Former, ved sidste Haleled med dets Uropoder o. s. v., og tillige i en noget simplificeret Form ved Fremstillingen af alle Habitusfigurer af større Arter samt af Hovedets Underside hos disse. Jeg nøjedes nemlig her med at imbibere Dyrene i hel Tilstand med Glycerin, derpaa at rense dem udvendig for denne Vædske og saa tegne dem. — Naar jeg, som jeg mener, har af en Mængde Legemsdele kunnet give Afbildninger, der ere bedre tegnede og især bedre skyggede end de, der findes i Literaturen paa lignende Om- raader, saa beroer dette for en meget væsentlig Del paa Hensigtsmæssigheden af den nys beskrevne Præparerings-Methode. Jeg vil bringe Carlsberg-Fondets Bestyrelse en varm Tak for at have tildelt mig en Understøttelse til dette Arbejde og derved hjulpet til at stille mig saaledes, at jeg i henved et Par Aar har kunnet disponere over den særdeles betydelige Tid, det har krævet at udføre de c. 400 Afbildninger. Endelig vil jeg bringe Hr. Dr. phil. R. S. Bergh min Tak for den Undersøgelse, han efter min Anmodning med største Imødekommenhed har foretaget af Tarmindholdet hos flere af de her behandlede Dyreformer.. os © Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. ll. Historisk Oversigt.” H.Strøm (1762), Slabber (1778) og Montagu (1803) ere de første Iagttagere af Dyr af Cirolanernes Familie og have hver beskrevet I Art, men Montagu, der hen- førte sit Dyr’til Slægten Oniscus, er den første, der benyttede den binære Nomenklatur i en. bestemtere Form. Dernæst opstillede Leach (1815 og 1818) ikke mindre end 4 Slægter, nemlig Cirolana, Nelocira, Conilera og Eurydice, hver paa 1 Art; af disse Slægter ere de 3 vel funderede, men den fjerde, Nelocira, er i Folge Afbildningen af N. Swawnsonit Leach og i Følge Miers’ Undersøgelse af Leachs Originalexemplar samt mine egne Undersøgelser sikkerlig kun en Cirolana-Art, der er identisk med ©. Cranchii Leach (se senere). Leachs Fremstilling er forøvrigt yderlig kort og ufuldstændig, men han har rigtig stillet sine Slægter nærved Æga og Cymothoa. — I 1834 blev en ny rigtignok yderst tvivlsom Art fra Brasilien beskreven af Perty. En væsentligere Forøgelse af Kundskaben faas først ved H. Milne-Edwards: Histoire natur. d. Crustacés, T. III, 1840. Forfatteren beskriver her 3 nye Arter af Slægten Cirolana, dog er den ene Art desværre ikke karakteriseret fuldt tilstrækkeligt, og en anden Art er sandsynligvis en Corallana. Han kjender ikke af Selvsyn Dyr af de øvrige af Leach opstillede Slægter, men udskriver nogenlunde fuldstændig sine Forgjængere. Endelig giver han en for sin Tid ret god, af et Par Afbildninger ledsaget Fremstilling (paa noget over 1 Side) af Slægten Cirolana’s ydre Bygning; Mundbygningen omtales der- imod meget lidt. Han stiller de 4 kjendte Slægter sammen med Slægterne ga, Rocinela, Pterelas og Alttropus i én Tribus: Cymothoadiens errans. Det tør maaske bemærkes, at Slægten Conilera, som han ikke havde set, efter Leach er anbragt forkert i hans Slægts- tabel, fordi han troede, at dens 3 forreste Benpar vare Krogben, hvilket de ikke ere. — Han beskriver ialt kun 7 Arter og nævner Perty's Art med stor Tvivl. !) I denne Oversigt tages væsentlig kun Hensyn til de her mere monografisk behandlede Slægter. Ægide- og Cymothoide-Literaturen omtales kun, naar den indeholder vigtigere Meddelelser om Mundbygningen eller om Dyrenes systematiske Stilling. 11 247 I 1849 gav H. Milne-Edwards i sin Bearbejdelse af Krebsdyrene i den illu- strerede (Crochard’s) Udgave af Règne Animal atter et nyt og vigtigt Bidrag til Kund- skaben om disse Dyr, idet han paa Pl. 67 giver en Afbildning af Cir. hirtipes og 9 analy- tiske Kontur-Figurer af dens Antenner, Munddele:og Ben. Desuden findes paa Pl. 65, 66 og 67 mange Figurer af Munddelene hos 5 Former af Cymothoernes og hos 2 af Ægi- dernes Familier, foruden en Mængde Figurer af Antenner samt af Krop- og Haleben hos de samme Dyr. Skjøndt maaske ikke en eneste eller i hvert Tilfælde yderst faa af disse talrige Figurer ere udtømmende eller fuldt nøjagtige i Enkelthederne, forekommer det mig dog, at den udmærkede Forfatter herved har fremmet Kjendskaben til disse Dyrs Bygning og særlig til deres Mundbygning meget betydelig. Han har ved Behandlingen af Cymo- thoerne gjentagne Gange afbildet Hunnens mærkelige Kjæbefødder, men har i den til- hørende, lidt magre Text ikke givet nogen Forklaring af dette Lemmepar og heller ikke paavist Forskjellene mellem Han og Hun i det nævnte Organs Bygning. I 1852 udkom Lilljeborg: Norges Crustaceer, i hvilken den interessante, ogsaa i danske Farvande forekommende Art Cir. borealis Lilljeb. for første Gang er be- skreven noget nærmere. (Den er allerede omtalt af H. Strøm.) J. Dana opstiller 1852 i sin «On the Classification of the Crustacea Choristopoda» en tildels ny Systematik for Isopoderne, men den forekommer mig i mange Henseender uheldig. Han opstiller, hvad der her nærmest har Interesse, en Sub- tribus: Cymothoidea, hvortil han regner 3 Familier, Cymothoide, Ægidæ, og Sphæromidæ. Familien Ægidæ deles atter i 2 Underfamilier: Æginæ og Cirolanine; til Æginæ henregnes ga med Underslegterne Æga, Conilera og Rocinela, dernæst Acherusia og Pterelas; til Cirolaninæ Slægterne Cirolana, Corallana n. gen. og Alitropus. Slægten Alitropus er nær- mest en Rocinela, Conilera nærmest en Cirolana, og en Række andre Indvendinger kunne gjøres baade imod Begrundelsen og Opstillingen af denne Systematik. I Kjæmpeværket Report Grust. Un. St. Explor. Exped. (1853 og Atlas 1855) har J. Dana udforligere fremstillet den ovennævnte nye, udmærkede, men af Forfatteren selv maadelig begrundede Slægt Corallana paa Basis af en ny Art. Dernæst opstiller han 3 nye Arter af Slægten Cirolana fra forskjellige tropiske og subtropiske Have, hvorved Kundskaben om Slægtens geografiske Udbredelse blev betydelig forøget. Dernæst beskriver han under Navnet Æga multidigita Dana et meget interessant Dyr, der staar nær ved, men i Folge Afbildningerne maa vere artsforskjellig fra min nye Form Aleirona insularis n. gen., n. sp., endelig: beskriver han under Navnene Æga efferata Dana og ga novi- zealandiæ Dana 2 Arter, af hvilke den første maaske staar nær ved min Lanocira Kroyeri n.gen., n.sp., medens den anden forekommer mig ganske ubestemmelig. Forfatteren har saaledes haft et interessant og temmelig rigt Materiale, men hans Bearbejdelse er noget overfladisk. Beskrivelserne ere ikke synderlig gode, Afbildningerne hjælpe vel noget, men 327 248 12 man kan dog ikke altid gjenkjende Arterne sikkert. Om Mundbygning og lignende finere Bygningsforhold indeholder dette Afsnit af Værket intet af Interesse. Stimpson beskrev (1853) 2 smukke, udprægede Cirolana-Arter (C. concharum og C. polita) fra Nord-Amerikas Vestkyst, men henførte dem uheldigvis til Slegten Æga, i hvilken Slægt de saa forbleve i godt 20 Aar. Bleeker beskriver (1857) et Dyr, Æga macronema Blkr.: det er i Folge den ikke gode Fremstilling næppe en Æga, men muligvis en Alcirona; Miers anser det for en Corallana. I 1866 publicerede J.C. Schiødte sin Afhandling: Krebsdyrenes Suge- mund, I. Heri behandles Mundbygningen hos en Række Typer af Isopoder, blandt andet ogsaa af Cirolana (og Eurydice), Æga og Cymothoa (3 Slægter). Da den giver en langt fyldigere og bedre Fremstilling af de nævnte 3 Typers Mundbygning end noget tidligere eller senere publiceret Arbejde, maa den omtales noget udførligere. Foruden den specieilere Behandling af Isopodernes Mundbygning indeholder Ar- bejdet en Række langt videre gaaende Betragtninger og Theorier over Bygningen af Insek- ternes og Krebsdyrenes Hudskelet og særlig over deres Mundbygning; af disse Betragt- ninger forekomme nogle mig fortræffelige, medens jeg ikke kan slutte mig til andre, hvilket jeg ogsaa tidligere har udtalt i min Bearbejdelse af «Dijmphna»-Togtets Krebsdyr. Jeg maa atter berøre det her, fordi jeg i min senere Behandling af Munddelene hos de her fremstillede Former hylder en anden Betragtningsmaade af deres Sammensætning i mor- fologisk Henseende. For Kjæbeføddernes og Kjæbernes Vedkommende har jeg .i mit nys nævnte Arbejde og særlig i Resumeet dertil udførlig fremstillet min Opfattelse af disse Organers Bygning hos forskjellige Krebsdyr og blandt disse ogsaa et Par Isopoder: angaaende Kindbakkerne mener jeg, at hver kun er dannet af 1 Led, Palpen fraregnet, medens Schiødte (l. c. p. 174) mener, at hver Kindbakke bestaar af Hængsel. Skaft og Flige. Man kan vel ofte træffe bevægelige Fligdannelser paa Kindbakkens Corpus, men de ere efter min Mening æquivalente med de Fligdannelser, der udgaa som (ofte tilleddede) Sideforlængelser fra et Par af Leddene i Kjæber eller Kjæbefødder. Her, ved Behandlingen af en lille Isopod-Gruppe. kan jeg ikke gaa nærmere ind paa de Bygningsforhold, som træffes hos andre Crustaceer og hos Insekterne, og som nødvendigvis maa medtages i en fyldigere Behandling af disse og de andre af Schiadte omtalte. omfattende. morfologiske Spørgsmaal; jeg agter i et andet paabegyndt, væsentlig morfologisk Arbejde at underkaste disse Forhold en nærmere Drøftelse. Schiødte underkaster Cirolanernes. Ægernes og Cymothoernes Mundbygning en ny Undersøgelse, beskriver og afbilder de enkelte Munddeles Form og Bygning, samt ziver en ved flere Afbildninger oplyst, helt ny og i det hele fortræffelig Fremstilling af deres indbyrdes Lejring, deres Forhold til «Tungen», deres Funktion og Samvirken. Han paa- 249 ka va viser, at Cirolanerne have en «Os sectorium», hvilket maaske kan oversætles ved «en Rovdyrmunc », idet de, som han oplyser ved Fortællinger, leve af at æde Fiske. Dernæst vises, at Munden hos ger og Cymothoer er en, hos de 2 Typer noget forskjellig, Suge- mund; thi nogle Munddele ere indrettede til at frembringe et Hul i Fiskenes Hud, medens de andre slutte fast sammen til Dannelsen af et Sugeror. (Om Cymothoernes Levevis henvises dog til Behandlingen af Mundbygningen i denne Afhandling.) Han har saaledes fremstillet en rigelig Mengde, for største Delen nye Forhold i disse Dyrs Mundbygning, der her for forste Gang bley behandlet med det Formaal at opklare Mund-Elementernes Lejring og indbyrdes Samvirken, og siden Schiedtes nu 24 Aar gamle Afhandling har ingen indladt sig synderlig paa de nævnte Typers Mundbygning, hvilket vil fremgaa af det følgende. Den saa forskjellige Mundbygning hos Cirolaner paa den ene og Æger-Cymothoer paa den anden Side har givet Anledning til, at Schiodte, saavidt jeg forstaar hans Ud- talelser, da hans Afhandling ikke indeholder nogen samlet systematisk Oversigt over alle Isopodernes Familier, anser Cirolanerne som de højeste Isopoder og vil have dem fjernede langt fra Æger-Cymothoer, med hvilke de af andre Forfattere ere forenede paa Grund af Ligheder, der efter hans Mening «hore hjemme indenfor de biologiske Tillempningers Kreds, men savne al typisk Charakteerr. Denne Mening kan jeg ikke slutte mig til, og foruden at henvise til min senere Behandling af Dyrenes Systematik skal jeg her anfore, at Schiodte ikke kjendte den her for første Gang nærmere fremstillede Mundbygning af Corallana, Alcirona, (Tachea) og Barybrotes, hos hvilke Former Mundbygningen viser helt nye Modi- fikationer, af hvilke nogle kun treffes hos disse Typer, medens adskillige vise over mod Cirolanerne, andre over mod #ger og Cymothoer. Naar Schiedte saaledes ikke har kjendt disse Former, der danne Bindeleddene mellem de af ham undersøgte Typer, kan man godt forstaa, at han ikke har villet følge Forfatterne i at henføre Cirolanerne til Cymothoiderne. Da Schiodte skrev sit Arbejde, ejede Museets 3die Afdeling yderst lidt og tilmed daarlig bevaret Materiale af de 2 forstnevnte Typer og kun 1 Exemplar af Barybrotes; han har sikkert ikke havt nogen Anelse om, at her fandtes merkelige Typer, og Literaturen kunde ikke give noget Vink, da man paa det Omraade kun besad Dana’s ovenfor omtalte, defekte Fremstilling. Som ovenfor bemærket har jeg haft andre morfologiske Udgangspunkter end Schiodte, har studeret Mundbygningen af flere mærkelige, for ham ukjendte Former og har endelig haft et stort Materiale af Slegter og Arter og godt Forraad af flere Arter til Dissektion. Dette har tilsammen, som rimeligt er, fort til, at jeg har fundet nye Bygnings- forhold i Munddelene og noget ændrede samt nye Karakterer for Familier og Slægter, hvilket atter har medfort, at jeg har anset det for rigtigst at give et helt nyt Set Figurer af Mundbygningen, baade af de dengang ukjendte Former og tillige af Cirolaner, Æger og 250 14 Cymothoer, for at illustrere min Fremstilling og Opfattelse, der, fraregnet Morfologien og Systematiken, paa de fleste Punkter stemmer særdeles meget eller helt overens med Schiødtes Fremstilling, hvilket er naturligt, da denne Naturforsker undersøgte udmærket og med stor Omsigt!). Det forekommer mig endnu nødvendigt her at berøre enkelte. Forskjelle mellem Schiodtes og mine Resultater, da de ikke resultere af den ovennævnte forskjellige morfo- logiske og systematiske Opfattelse. De smaa Forskjelle, “Schiodte har fundet mellem Cirolana borealis og Eurydice pulchra i Kindbakkernes og Kjæbernes Bygning, har jeg ogsaa fundet, men Undersøgelsen af en Række Cirolana-Arter viste, at de ikke have generisk Verdi. Schiodte mente, at Spidsen af Kindbakken hos Æger og Cymothoer var bevægelig ved Hjælp af Muskler liggende i selve Kindbakkens Corpus; dette har jeg ved Anvendelse af den størst mulige Omhu ikke kunnet finde, og min Mening er, at det er hele Kind- bakkens Vippen, der bevirker, at Spidserne af de 2 Kindbakker fores mod og til Dels forbi hinanden, naar Dyret bider. Kindbakken gaar paa Grund af sin ejendommelige Ind- ledning og sin Forbindelse med Paragnatherne tæt bag sit ombøjede Endeparti meget let i Stykker paa det Sted, hvor Schiødte mener at have fundet en Leddeforbindelse; den er paa det nævnte Sted gjentagne Gange gaaet i Stykker for mig, men naar jeg, ofte med stort Besvær, fik den helt ud, kunde jeg ikke finde noget Led. Dernæst har jeg i Byg- ningen af 2det Par Kjæber hos Cymothoa ikke kunnet finde saa stor Kjønsforskjel, som Schiødte angiver, men derimod er Forskjellen i Kjæbeføddernes Bygning hos Han.og Hun langt større end efter hans Fremstilling, thi han har ifølge Fig. 3 g paa Tab. XI ikke undersøgt en Han, men et Dyr, der var stærkt begyndt med at udvikle sig til en Hun. I Kjæbeføddernes Omdannelse hos Hunnerne hos flere Former, i Kjæbefodspalpernes Funktion hos Ager og Cymothoer m. m. har jeg her fremstillet flere af Schiodte ikke observerede Forhold. i I 1866 publicerede M. Hesse en Afhandling over adskillige af ham ved Frankrigs Kyst iagttagne Cirolanider. Afhandlingen indeholder dels biologiske Iagttagelser, dels Beskrivelser af Slægter og Arter. De biologiske lagttagelser, af hvilke nogle ere udskrevne i det systematiske Afsnit af denne Afhandling, referere sig især til Slabberina agata v. Ben., der imidlertid efter Hesses egen Beskrivelse næppe kan være Hur. pulchra Leach, men maa være enten Dur. truncata Norm. eller Eur. elegantula m. Han beskriver dernæst en 1) Det har, blandt andet for maaske at kunne forebygge mulige Misforstaaelser, forekommet mig hel- digst at udtale mig nærmere om Differentserne, samt disses Grunde, mellem den Fremstilling, der findes i denne Afhandling, og den, der findes i det nævnte, paa nye og gode Iagttagelser særdeles indholdsrige Arbejde af min gamle Lærer, hvis Paavirkning har været af den mest indgribende Betydning for min Udvikling til Zoolog, af hvem jeg i det hele taget har lært saa meget og som jeg ogsaa i andre Henseender skylder grumme meget. 15 251 ny Slægt, Æucolomban med 2 nye Arter og 6 Arter af Slægten Cirolana, af hvilke de 5 skulle være ny og den sjette er bestemt som «Ci. Cranchii?», men ifølge Forf. egen Beskrivelse af Benene kan den ikke være denne Art, men er sandsynligvis C. borealis Lilljb. De 7 nye Arter (5 Cirolana, 2 Eucolomban) er det mig aldeles umuligt at danne mig en bestemt Mening om, og jeg troer hverken, at de lade sig gjenkjende efter Be- skrivelserne, eller at de fleste af dem ere gode Arter. Jeg har derfor tilladt mig aldeles ikke at tage Hensyn til dem i det systematiske Afsnit. Fra 1866 til 1889 (incl.) er der udkommet en meget betydelig Række Arbejder, der give Bidrag til Kundskaben om de her omhandlede Familier. Da de fleste af disse Bidrag ere meget smaa og ville blive tilstrækkelig omtalte i det systematiske Afsnit, vil jeg her kun tage Hensyn til et mindre Udvalg af Afhandlinger, som enten ved Stoffet eller ved Behandliugen frembyde mere Interesse. I 1868 udkom Sp. Bate & Westwood: Brit. Sess.-eyed Crustacea, Vol. 11, i hvilket Forfatterne beskrive den engelske Faunas 4 Arter (2 Cirolana, 1 Conilera, 1 Eurydice). Beskrivelserne ere ret udførlige og ere ledsagede af mange Afbildninger, af hvilke de fleste ere temmelig tarvelige. Munddelene afbildes af Conilera og Eurydice, men ikke synderlig godt; Afbildningerne af den tidligere miskjendte Conilera have mest Interesse. Om Eurydice gives en interessant biologisk Iagttagelse. Endelig gives en meget tarvelig Fremstilling af Munden af en Æga. Den vigtigste af de nyere Afhandlinger er Schiødte & Meinert: De Ciro- lanis Ægas simulantibus, 1879. Her opstilles de 2 nye, yderst interessante Slægter, Barybrotes (paa 2 Arter, der efter mit Skjon kun er 1 Art) og Tachea (1 Art); dernæst beskrives 6 Arter (af hvilke 4 nye) af den hidtil særdeles lidt kjendte Slægt Corallana. Alle Dyrene samt Dele af dem afbildes smukt paa 3 Tavler. Det er saaledes det største og tillige som Helhed det bedste af de fremkomne Bidrag til Kundskaben om de mellem Cirolaner og Æger staaende Dyr. En væsentligere Mangel er det dog, at Mundbygningen er studeret temmelig lidt, og de Angivelser, man finder deri baade om Mundene som Helhed og om deres enkelte Dele, ere for faa og for ufuldstændige. Det har vel ogsaa været en væsentligere Hindring for dette Studium, at næsten det hele, i sig selv ikke store, tilfældig med Æger-Cymothoer modtagne Materiale tilhørte fremmede Museer og altsaa skulde skaanes i høj Grad og tilbagesendes. Forfatterne have rigtig erkjendt, åt de behandlede Dyr ikke vare Ægider, men Henforelsen til Cirolanerne.er mindre heldig; det er aabenbart ikke gaaet op for dem, at de havde 3 Sæt af Former for sig,. der hver for sig havde en -lige saa høj Værdi som Familietyper som f. Ex. Cirolana og Æga. Nogle Rettelser af Angivelser i Arbejdets Text findes i denne Afhandlings formbeskrivende Afsnit. — An- gaaende de samme Forfatteres store Monografi af Æger-Cymothoer (1879—84) hen- vises til mine Bemærkninger i de følgende Afsnit. 252 16 A. Milne-Edwards giver i Comptes rendus, Januar 1879, en foreløbig Meddelelse om en ny, kjæmpemæssig Isopod, Bathynomus giganteus, lagen af Al. Agassiz paa 955 Fy. i det caraibiske Hav. Foruden ved sin enorme Størrelse (230”” lang, 100mm bred) udmærker Dyret sig ifølge Forf. særlig ved, at dens 5 Par Pleopoder baade, som hos Cirolaner-Cymothoer, fungere som Aandedretsorganer og hver Pleopod tillige som et Laag for en stærkt forgrenet Gjælle, der udgaar ved hver Pleopods Basis. Denne supple- mentære Udvikling af Gjæller er et meget interessant Forhold, der, som Milne-Edwards vistnok med Rette udtaler, er en Følge af, at det sædvanlige Aandedrætsapparat ikke slaar til for et Dyr af denne kjæmpemæssige Størrelse. Forf. meddeler ogsaa, at Øjnene, af hvilke hvert skal bestaa af c..4000 Facetter, kun sidde paa Hovedets Underside. 1 H. Filhol «La Vie au fond des Mers» findes p. 147 en stor Afbildning af Dyret, set fra Bugsiden (en Afbildning af Dyret fra Rygsiden findes hos Agassiz, Fig. 252 (se senere), men den har i denne Sammenhæng mindre Betydning). Mundens og Benenes Bygning er vel ikke gjengivet synderlig fint, men døg tilstrækkelig godt til, at man øjeblikkelig og ” sikkert kan se, at man har et Dyr af Cirolanernes Familie for sig, ja hvis det ikke besad de mærkelige Gjæller, vilde jeg uden Betænkning optage det i selve Slægten Cirolana som en af de Arter, hvis Ben kun ere Gangben. Paa Grund af Gjælleapparatet bør den nu opstilles som en Slægt indenfor Cirolanernes Familie. Milne-Edwards skriver rigtignok, at Bygningen af Hoved, Antenner og Øjne viser Karakterer, som fjerner Bathynomus fra alle kjendte Grupper af Cirolaner-Cymothoer, men efter den ganske brugelige Afbildning hos Filhol kan jeg ikke se nogen Forskjel mellem Hoved og Antenner hos den og mange Cirolaner. Øjnene ere omtalte ovenfor som liggende kun paa Hovedets Underside, men et Blik paa mine Tavler vil vise, at det er meget almindeligt hos Cirolanerne, at Øjnene gaa stærkt ind paa Hovedets Underside, og at de hos Dathynomus kun findes her, ikke tillige som hos andre Cirolaner paa Oversiden, og at de have et saa stort Antal Facetter (hvis Angivelsen er rigtig), kan højst bruges som et Slægtsmærke. Forf. mener, at den i Bygningen af Munddelene mere nærmer sig til Cirolanerne end til de andre Repræsen- tanter for Cirolan-Cymothoagruppen; jeg vil sige, at den citerede Tegning viser en typisk Cirolana-Mund. Dernæst mener han, at Benene vise Ligheder med Cirolana og med Slægten Æga; efter Tegningen ligne de 3 forreste Benpar, der ere de afgjørende, slet ikke Ægas men derimod meget godt Benene hos mange Arter af Slægten Cirolana. Naar Hr. A. Milne-Edwards til Slutning mener, at Bathynomus efter de af ham angivne Bygningsforhold bør danne, en ny Gruppe indenfor Cymothoerne med Navnet « Cymothoa- diens branchiferes», saa er jeg selvfølgelig uenig med ham; thi flere af de af ham paa en noget vag Maade angivne Karakterer modsiges paa det bestemteste af Filhols (og Agassiz) Afbildning, som jeg fæster adskillig mere Lid til, og der bliver kun 2 Karakterer tilbage, af hvilke den ene, Øjnenes exklusive Beliggenhed paa Undersiden og mægtige Facette-Antal I - 253 forekommer mig at være af temmelig ringe Vigtighed, medens den anden interessantere, Tilstedeværelsen af Gjæller, vistnok, som Forf. ogsaa anfører, er en Folge af Dyrets Størrelse, men saa er den som sekundær biologisk Karakter ogsaa uskikket til at benyttes som et Mærke for en Tribus af højere Rang. R. Kossmann giver 1880 i «Zoologische Ergebnisse einer Reise in die Küstengebiete d. Roth. Meeres» dels Beskrivelser af 1 ny Slægt og 2 nye Arter, dels en Række Betragtninger over Isopodernes Systematik. Den nye Slægt kaldes Corilana og er opstillet paa 1 Exemplar. Det væsentligste, jeg kan faa ud af Forf. Beskrivelse og Afbildninger, er, at 7de Led og Kloen paa iste Par Kropben danner en kjæmpemæssig, krum «Klo»; Fremstillingen af Mundbygningen er ikke blot meget fragmentarisk, hvad Forf. selv gjør Undskyldning for, men den Munddel, der særlig beskrives og afbildes, nemlig Kindbakken, er absolut uforstaaelig for mig og sikkerlig ganske forkert. Jeg antager, at Slægten maa henføres til min Familie Alcironide, men dette er muligvis ganske urigtigt, thi naar Forfatteren har præpareret saa maadelig, at han ved Beskrivelsen af Kjæbefoden (p. 116) selv omtaler, at han maaske har sammenblandet noget af en Kjæbe med Kjæbe- foden (!) og han leverer Figurer som Fig. 3, 4 og 5 paa Taf. IX, saa skal man ikke faa synderlig Oplysning af ham. Et Fremskridt.ber dog omtales, nemlig at han rigtig, i Mod- sætning til Schiødte, har erkjendt, at den paa Indersiden af Cirolanas Mandibel forekom- mende, savdannede Flig er homolog med «pars molaris» hos andre Isopoder. Forf. fremsætter ogsaa, til Dels refererende sig til Schiødte, en Række Betragt- ninger over «Archisopodernes» Systematik, og sammenfatter disse Overvejelser i et Schema, efter hvilket disse Dyr kunne sondres i 3 Rækker og hver Række i 2 eller flere Familier. Inddelingen forekommer mig paa flere Steder meget unaturlig, og Forf. viser ved sine distinktive Mærker, at han ikke kjender Bygningen af flere Familier (f. Ex. Asellzdæ, Sphæ- romidæ, Munnopsidæ). Han stiller Cirolanide, Cymothoide, Bopyride, Cryptoniscidæ og Serolidæ sammen i én Række, men stiller saa Sphæromidæ sammen med /dotheide og Mun- nopsidæ i én Række, hvilket sidste forekommer mig ganske fortvivlet; og hvorfor Serolidæ skal stilles i førstnævnte Række, naar Sphæromerne skulle skilles ud, indser jeg ikke. I 1881 og 1882 udkom Gerstaeckers Bearbejdelse af disse Dyr i «Bronn’s KlassenundOrdn.d.Thier-Reichs». For Munddelenes Vedkommende er det væsent- lige en Gjengivelse af Schiødtes Fremstilling, dog har han fundet (p. 27) og afbildet (Taf. VIL, Fig. 17 a) første Leds Flig (Inderfligen) paa første Kjæbepar hos ga. Pag. 188 —99 opstilles en systematisk Oversigt over Isopodernes Familier; her kan jeg af Hensyn til Pladsen ikke diskutere denne nærmere, men skal kun fremhæve, at han stiller 2 Fa- milier, Ægidæ og Cymothoide, imellem Sphæromidæ og Bopyridæ, at han p. 202 deler Ægidæ i 2 Underfamilier: Cirolanina og Ægina, og at han p. 224—26 deler den forst- nævnte Underfamilie i følgende 6 Slægter: Conilera, Eurydice, Cirolana, Tachæa, Corallana, Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 33 254 18 Barybrotes, og endelig stilles Bathynomus bagefter Cirolanina, som formodentlig dan- nende en Overgang til Æya. — Min Mening om dette Arrangement vil tilstrækkelig frem- gaa af Fremstillingen i denne Afhandling; men det bør fremhæves, at Gérstaeker ifølge Literaturens Angivelser næppe her kunde gjøre noget bedre end det, han har præsteret. Mindre, men meget interessante Bidrag til: Kundskaben om Slægten Cirolana skyldes Oscar Harger; særlig bør hans Bearbejdelse af Blake-Expeditionens Udbytte nævnes (1883). Han beskriver der kun 2 Arter (den ene ny); men det gjøres meget udførlig og godt, og desuden giver han Afbildninger baade af disse og af de 2 andre ved Nordamerikas Østkyst tagne Arter. Afbildningerne ere talrige, fylde 2 Tavler, ere ganske godt udførte i teknisk Henseende, og tillige, hvad der særlig bør fremhæves, valgte efter en Plan. Han har saaledes paa en lignende Maade som i dette Arbejde tegnet flere Ben af hver Art, og samme Benpar af de forskjellige Arter i samme Stilling; ligeledes tegner han efter en lignende Plan flere andre Dele af sine Dyr. Han har ogsaa fremdraget en Mængde Bygningsforhold og benyttet deres Forskjelle som gode Artskarakterer. Det er første Gang, at Dyr af den righoldige Slægt Cirolana ere gjorte til Gjenstand for en råtionel, komparativ Behandling. — (Jeg kan vel anføre, at jeg selv havde lagt min fuld- stændige, her fulgte Plan for Afbildningerne og udført en saa stor Mængde, at jeg kunde forelægge et Udvalg ved Naturforskermødet i Christiania 1886, uden at kjende Hargers gode Afhandling, som jeg lejlighedsvis fik at se bagefter hos Hr. Prof. G. O. Sars. Jeg anfører dette for at vise, at jeg selv har fundet paa Planen for Tegningerne; iøvrigt afviger jo ogsaa min Plan noget fra Hargers, og Munddelene har han ikke behandlet). I 1886 publicerede F. Beddard (Challenger-Exp. Report, Zool. Vol. XVII) Be- skrivelse og Afbildninger af en højst mærkelig Form, Anuropus branchiatus, tagen i det stille Hav paa 1070 Fy. Det eneste fundne Exemplar er 70™ langt og udmærker sig ved folgende Bygningsforhold: Uropoderne have faaet samme Bygning og Udseende som Pleopoderne, staa i Respirationens Tjeneste, ligge under det store 6te Haleled og ere (naar Dyret ses ovenfra) dækkede deraf. Øjne mangle. Hver Antennule bestaar kun af 2 Led, af hvilke det yderste er forholdsvis temmelig langt, tykt og lidt krummet. Kjæbe- fodspalpen er paafaldende kort og bestaar kun af 1 Led, der dog efter mit Skjøn sand- synligvis er dannet af flere sammensmeltede Led. Paa første Benpar kunne 7de Led og Kloen tilsammen slaas ind mod 6te Led, saa at der dannes en Gribehaand af samme Form som hos Glyptonotus Entomon (L.); andet Par Ben vare defekte, hvorimod de følgende 5 Par ifølge Afbildningen egentlig kun afvige fra Gangben hos Cirolana ved, at 6te Led er paafaldende spinkelt. — Beddards Tegning af Hovedets Underside og hans Beskrivelse af Munddelene ere særdeles tarvelige, saa at jeg ikke kan danne mig et sikkert Skjøn om Dyrets systematiske Stilling; Munddelene minde, sete in situ, adskillig om Cirolanernes. 19 255 Af de ovennævnte Karakterer er Bygningen af første Benpars Haand den, der mest stiller sig imod Dyrets Henforelse til min Familie Cirolanide; Bygningen af Uropoderne er vel yderst mærkelig og afvigende, men Beddard paralleliserer den selv, hvad vistnok er rigtigt, med de supplementære Gjæller hos Bathynomus, idet han udtaler, at ligesom Bathynomus har faaet sine Gjeller, fordi de 5 Par sædvanlige Pleopoder ikke vare til- strekkelige til det kjæmpemæssige Dyrs Aandedræt, saaledes har den forholdsvis store Anuropus heller ikke havt Iltningsflade nok i sine 5 Par Pleopoder, men Savnet er her afhjulpet ved, at den faar ét Par til, nemlig Uropoderne, der saa blive ændrede i Be- skaffenhed, Stilling og Form. Antennulernes Bygning og Mangelen af Øjne forekomme mig mindre væsentlige i systematisk Henseende. — Som en Art Resume kan jeg kun udtale, at Anuropus enten og sandsynligvis maa høre til min Familie Cirolanide eller at den, hvis Mundbygningen skulde vise sig at afgive ukjendte og afvigende Forhold af Betydning, maa opstilles som Repræsentant for en ny Familie. Det store og smukke Arbejde af Giard og Bonnier «Contributions å l’étude des Bopyriens, 1887», indeholder vel ikke noget om de her behandlede Dyre- former, men Forfatterne have deri paavist paa levende æggebærende Hunner af Cepon elegans, at Kjæbefødderne, der ere omdannede paa en lignende Maade, men i langt højere Grad end hos de i dette Arbejde fremstillede Former, og tillige første Par Æggeplader ere i stadig Bevægelse og derved frembringe en Vandstrøm igjennem Rugeposen, og, saavidt jeg har forstaaet Texten, i Retningen bagfra fremefter. Denne Iagttagelse er for mig af stor Betydning, da den i højeste Grad bestyrker den Anskuelse, jeg har fremsat og allerede før det citerede Arbejdes Fremkomst havde næret om Betydningen af den Omdannelse, jeg har paavist hos de fleste her behandlede Typer i Hunnernes Kjæbefødder. Libri citati.!) Commentationes a me non visæ, auctoritate aliorum citatæ, asterisco notatæ sunt. Agassiz, A.: Three Cruises of the U. S. Coast and Geodetic Survey Steamer «Blake», Vol. IL. (Bull. of the Museum of Compar. Zoölogy at Harward College, in Cambridge, Vol.XV, 1888). !) Skjendt jeg har gjort mig megen Umage for at faa denne Liste saa fuldstændig som mulig, saa antager jeg alligevel, at jeg ikke har faaet alt med. Et kort Gjennemsyn af denne lange Liste og af det systematiske Afsnit vil forhaabentlig vise Vanskelighederne og undskylde mulige Forbi- gaaelser. 33% 256 20 Bate, C. Sp. & Westwood, J. ©.: A History of the British Sessile-eyed Crustacea, Vol. II, 1868. Beddard, Fr. E.: Preliminary Notice of the Isopoda colleeted during the Voyage of H. M. S. «Challenger». — Part Ill. (Proceed. of the Zoolog. Society of London, Febr. 1886, p.97). [n°1]. — Report on the Isopoda collected by H. M.S. «Challenger» during the years 1873—76. — Second Part. (Report on the scient. Results of the explor. Voy. of H. M. S. «Chal- lenger», Zoology, Vol. XVII, I, 1886). [n° 2]. i Beneden, P. J. van: Recherches sur les Crustacés du littoral de Belgique. (Mémoires de l’Academ. Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, Tome XXXII, 1861). | Bianco, Salvat. Lo: Notizie biologiche riguardanti specialmente il periodo di maturitå sessuale degli animali del golfo di Napoli. (Mittheilungen aus der Zoolog. Station zu Neapel, Band VIII, 1888, p. 385). Bleeker, P.: Recherches sur les Crustacés de l'Inde archipelagique. (Act. Societ. scient. Indo-Neerland. II, Batavia, 1857). Boas, J.E.V.: Studien über die Verwandtschaftsbeziehungen der Malakostraken. (Morphol. Jahrbuch, B. VIII, 1882, p. 485). Bonnier, J.: Catalogue des Crustacés Malacostracés recuillis dans la baie de Concarneau. (Bull. Scientifique du Département du Nord, 2™° Ser., X™° Année, 1887). Bos, J. Ritzema: Bijdrage tot de kennis van de Crustacea Hedriophthalmata van Neder- land en zijne kusten. Akademisch Proefschrift. Groeningen, 1874. Bovallius, C.: New or imperfectly known Isopoda. (Bihang till K. Svenska Vetensk.- Akadem. Handlingar, B. 11, Nr. 17, 1886). Carus, J.V.: Prodromus Faunae Mediterraneae. Vol. I, 1885. "Ghevreux, Ed.: Crustacés Amphipodes et Isopodes des environs du Croisic. (Assoc. pour l’avancem. des Sciences, 12° Session. Rouen. 1883, p. 317). Cunningham, R.0.: Notes on the Reptiles, Amphibia, Fishes, Mollusca and Crustacea obtained during the Voyage of H. M.S. «Nassau» in the years 1866—69. (Transact. of the Linnean Society, Vol. XXVII, 1871, p. 465). Cuvier, G., se under Ed wards, H. Milne-. [n°2]. “Gzerniavsky, V.: Materialia ad zoographiam Ponticam comparatam. («Transact. of the first meeting of Russian Naturalists in St. Petersburg, 1868, 4% (written in Russian)». — Citeret efter E. v. Martens, Crustacea i: The Zoological Record f. 1870 (1871)). Dana, J.D.: On the Classification of the Crustacea Choristopoda or Tetradecapoda. (The American Journal of Science and Arts, Second Ser., Vol. XIV, Novemb. 1852, p. 297). [n° 1]. 21 257 Dana, J. D.: United States Exploring Expedition during the years 1838, 1839, 1840, 1841, 1842 under the Command of Charles Wilkes, Vol. XIII, Crustacea, Part Il, 1852, et Atlas, 1855. [n°2]. Day, F.: Exhibition of, and remarks upon, a specimen of a Dog-fish (Acanthias vulgaris) internally devoured by parasites (Proceed. Zoological Society of London f. 1884, p. 44). Delage, Yv.: Catalogue des Crustacés Edriophthalmes et Podophthalmes qui habitent les plages de Roscoff. (Archives de Zoologie expérimentale et generale, T. IX, 1881, p.152). Desmarest, A. G.: Considérations générales sur la Classe des Crustacés et description des especes de ces animaux, qui vivent dans la mer, sur les cötes, ou dans les eaux douces de la France. Paris. 1825. Dollfus, A.: Sur quelques Crustacés Isopodes du littoral des Açores. (Bulletin de la Société Zoologique de France, T. XII, 1888, p.5). [n°1]. — Isopoda i Hoek: Crustacea Neerlandica. Nieuwe lijst van tot de Fauna van Nederland behoorende Schaaldieren. (Tijdschrift der Nederlandsche Dierkundige Vereeniging (2), II, 1889). Særtryk er citeret. [n°2]. Edwards, Alph. Milne-: Sur un Isopode gigantesque des grandes profondeurs de la mer. (Comptes rendus de l’Acad. des Sciences, Tome 88, 1879, p. 21—23). — Samme Artikel i Oversættelse i: Annals and Magazine of Natur. History, Ser. V, Vol. III, 1879, p. 241—43. i Edwards, H. Milne-: Histoire naturelle des Crustacés, Tome III et Planches. Paris. 1840. [n°1]. — Le Règne animal distribué d’après son organisation, par George Cuvier. Les Cru- stacés, avec un Atlas. Paris «1849». (Crochard Edit). [n°2]. Filhol, H.: La Vie au fond des Mers. Paris. 1885. [n°]. *— «Mission de l'Isle Campbell. Rec. Venus, III, 2. (Crustaceen in Kap. VIL, pag. 349— 510) 1886.» [n°2]. Gerstaecker, A.: H. G. Bronn’s Klassen und Ordnungen des Thier-Reichs. Fünfter Band. II Abtheilung. Gliederfüssler: Arthropoda, 1—10 Lief., 1882—83. Giard, A. et Bonnier, J.: Contributions a l’etude des Bopyriens. 4. Lille. 1887. “Gosse, Ph. H.: A Manual of Marine Zoology for the British Isles, Part I, 1855. "Grube, A. Ed.: Die Insel Lussin und Ihre Meeresfauna. Breslau. 1864. Hallez, P.: Un fait de cantonnement de quelques animaux preposes au service de la salubrité des plages. (Revue Biologique, 1° Ann., 1888, p. 39). Harger, O.: Isopoda i: Verrill, A. E., Smith, S.J. and Harger, O.: Catalogue of the marine invertebraled animals of the Southern Coast of New England and adjacent waters. (Report. Unit. States Commiss. of Fish and Fisheries, Part I, 1874, p. 537). [n° 1]. DD = @ iw) bo Harger, O.: Isopoda i: Smith, S. J. and Harger, O.: Report on the dredgings in the region of St. George’s Banks in 1872. (Transact. of the Connecticut Academy of Arts and Sciences, Vol. III, 1874, p.1). [n°2]. — Notes on New England Isopoda. (Proceed. of the Unit. States National Museum, Vol. Il, 1879, p.157). [n° 3]. — Report on the marine Isopoda of New England and adjacent waters. (Report of the Unit. States Commissioner of Fish and Fisheries, Part VI f. 1878, p.297). [n° 4]. — Reports on the results of dredging, under the supervision of Al. Agassiz, on the east- coast of the Unit. States, dur. the Summer of 1880, by the U.S. Coast Survey Steamer «Blake». (Bulletin of the Museum of Comparative Zoology, Vol. XI, n°4, 1883, p. 91). [n° 5]. “Haswell, W. A.: On some new Australian marine Isopoda. Part IL (Proceed. Linnean Society New South Wales, Vol. VI, 1882, p. 181). — Catalogue of the Australian Stalk- and Sessile-eyed Crustacea. (The Austral. Mus. Sidney). 1882. Heller, Cam.: Vorläufiger Bericht über die während der Weltumseglung der k. k. Fre- gatte Novara gesammelten Crustaceen. (Verhandl. der k. k. zoologisch-botanischen Gesellschaft in Wien, Jahrg. 1861, B. XI, p. 495). [n°41]. — Carcinologische Beiträge zur Fauna des adriatischen Meeres. .(Verhandl. der k. k. z00- logisch-botanischen Gesellschaft in Wien, Jahrg. 1866, B. XVI, p. 723). [n° 2]. — Reise der oesterreichischen Fregatte Novara, um die Erde in den Jahren 1857, 1858, 1859. Zoologischer Theil, Zweiter Band, Crustaceen. Wien, 1868. [n°3]. Herklots, J. A.: Specimen zoographicum inaugurale continens Additamenta ad Faunam Carcinologicam Africæ occidentalis. Lugduni-Batavorum. 1851. 4. [n°1]. — Deux nouveaux genres de Crustacés vivant en parasites sur des poissons — Epichthys et Ichthyoxenus. (Archives Néerlandaises des Sciences exactes et naturelles, T.V, 1870, p.120). (Særtryk er citeret). [n°2]. Hesse, M.: Observations biologiques sur quelques Crustacés des côtes de Bretagne. (Annales d. Sciences Natur., 5"? Ser., Zoologie, T. V, 1866, p. 241). Hoek, P. P. C.: Die Crustaceen, gesammelt während den Fahrten des «Willem Barents» in den Jahren 1878 und 1879. (Niederl. Archiv f. Zoologie, Supplemenb. I, 1882). — Crustacea Neerlandica, se Dollfus, A. Koehler, R.: Contribution à l'étude de la Faune littorale des Iles Anglo-Normandes. (Annales d. Sciences Natur., 6% Ser., T. XX, 1885, Art. 4). Kossmann, R.: Zoologische Ergebnisse einer im Auftrage der kön. Acad. d. Wissensch. zu Berlin ausgeführten Reise in die Küstengebiete des Rothen Meeres. Zweite Hälfte, Erste Lief. Leipzig. 1880. 4. 23 259 Krauss, F.: Die südafrikanischen Crustaceen. Eine Zusammenstellung aller bekannten Malacostraca. Stuttgart 1843. 4. Leach, W. E.: A tabular View of the external Characters of Four Classes of Animals, which Linné arranged under Insecta etc. (Transact. of the Linnean Society of London, Vol. XI, 1815, p.306). [u°1]. — Cymothoadées. (Dictionnaire des Sciences Naturelles, T. XII, 1818, p.338). [n°2]. Leidy, J.: Cirolana feasting on the Edible Crab. (Proceed. of the Acad. of Nat. Sciences of Philadelphia, 1888, p. 80). [n°1]. — Habit of Cirolana concharum. (Proceed. of the Acad. of Nat. Sciences of Philadelphia, 1888, p.124). [n°2]. Lenz, H.: Die wirbellosen Thiere der Travemünder Bucht. Theil I. (Jahresbericht der Commission zur wissensch. Untersuchung d. deutschen Meere für d. Jahre 1874, 1875, 1876. Berlin 1878. — Anhang I). Lilljeborg, W.: Norges Crustacéer. (Öfvers. af Kgl. Vetenskaps-Akademiens Förhand- lingar. Attonde Ärgängen. 1851, p. 19 (1852). *Lockington, W. N.: Description of seventeen new species of Crustacea. (Proceed. of the Californian Academy of Sciences, Vol. VII, p.41, 1877). ‘Lockwood, S.: A new host for Cirolana concharum Harger. (New Jersey St. Microsco- pical Soc., meeting March 19, 1883). — Samme Artikel i: Science, Vol. Il, 1883, p. 664. — — — i: Journ. Royal Microscop. Soc., Ser. If, Vol. IV, 1884, p. 51. Lütken, Chr. F.: Nogle Bemærkninger om de nordiske #ga-Arter samt om -Æga- Slegtens rette Begrendsning. (Videnskab. Meddelelser fra den naturhist. Forening i i Kjøbenhavn for Aaret 1858, p.65 (1859)). [n°1]. — Om visse Cymothoagtige Krebsdyrs Ophold i Mundhulen hos forskjellige Fiske. (Viden- skab. Meddelelser fra den naturhist. Forening i Kjøbenhavn for Aaret 1858, p.172 (1859)). [n°2]. — Tillæg til «nogle Bemærkninger om de nordiske Æga-Arter samt om Ega-Slegtens rette Begrendsning». — Om Æga tridens Leach og Æga rotundicauda Lilljeborg samt om Slægterne Acherusia og Ægacylla. (Videnskab. Meddelelser fra den naturh. Forening i Kjøbenhavn for Aaret 1860, p. 175 (1861)). [n° 3]. Martens, E.v.: Ueber einige ostasiatische Süsswasserthiere.. (Archiv für Naturgeschichte, Jahrg. XXXIV, 1868, B. I, p. 1). Meinert, Fr.: Crustacea Isopoda, Amphipoda et Decapoda Danie: Fortegnelse over Dan- marks isopode, amphipode og decapode Krebsdyr. (Naturhist. Tidsskr., 3. R., B. XI, 1877, p. 56). [n°1]. 260 24 Meinert, Fr.: Crustacea Isopoda.... Første Tillæg. (Naturhist. Tidsskr., 3. R., B. XII, 1880, p.465). [n°2]. (Schiodte & Meinert, se Schiodte). Metzger, A.: Crustaceen aus den Ordnungen Edriophthalmata und Podophthalmata. (Jahresbericht der Commission zur wissenschaftlichen Untersuchung der deutschen Meere für die Jahre 1872, 1873, I und III Jahrg., 1875, p. 279). Miers, E. J.: Descriptions of some new Species of Crustatea, chiefly from New Zealand. (Annals and Magaz. Natur. History, Fourth Ser., Vol. XVII, 1876, p.218). [n°1]. *— Catalogue of the stalk- and sessile-eyed Crustacea of New Zealand. London 1876. 8*°. [n°2]. — On Species of Crustacea living within the Venus’s Flower-basket (Æuplectella) and in . Meyerina claviformis. (The Journal of the Linnean Society, Zoology, Vol. XIII, 1878, p- 506, PI. XXIV). [n° 3]. — On a Collection of Crustacea from the Malaysian Region, Part IV. (Annals and Magaz. of Natur. History, Fifth Ser., Vol. V, 1880, p.457). [n°4]. — Crustacea i: Account of the Zoological Collections made during the Survey of H. M. S. «Alert» in the Straits of Magellan and on the Coast of Patagonia. Communicated by A. Günther. (Proceed. Zoological Society of London for the year 1881. — Cru- stacea p.61). [n°5]. — On a Collection of Crustacea made by Baron Hermann Maltzan of Goree Island, i Senegambia. (Annals and Magaz. Natur. History, Fifth Ser., Vol. VIII, 1881, p. 204). [ne 6]. er — Crustacea i: Report on the Zoological Collections made in the Indo-pacific Ocean during the Voyage of H. M. S. «Alert» 1881—82. Part I. The Collections from Melanesia. London 1884. 8’. — Crustacea p.178. [n°7]. Montagu, G.: Description of several Marine Animals found on the South Coast of Devonshire. (Transact. of the Linnean Society of London, Vol. VII, 1803, p. 61). Norman, A. M.: On two Isopods, belonging to the Genera Cirolana and Anilocra, new to the British Islands. (Annals and Magaz. Natur. History, Fourth Ser., Vol. If, 1868, p- 421). [n°1]. — Shetland Final Dredging Report. — Part II. On the Crustacea, Tunicata, Polyzoa, Echinodermata, Actinozoa, Hydrozoa and Porifera. (Report on the thirty-eighth Meeting of the British Association for the Advancement of Seience, 1868. London (1869), p- 247). [n°2]. — Crustacea i: Exploration of the Faroe Channel, during the Summer of 1880, in H. M.’s hired Ship «Knight Errant». (Proceed. of the Royal Society of Edinburgh, Vol. XI, 1882, p.638). [n°3]. 25 261 Perty, M.: Delectus animalium artieulatorum, quæ in itinere per Brasiliam annis 1817— 1820 collegerunt J. B. de Spix et C.F. Ph. de Martius. Monachii 1830—1834. Fol. Pfeffer, G.: Die Krebse von Süd-Georgien nach der Ausbeute d. Deutschen Station 1882—83. I. (Jahrbuch der Hamburgischen wissensch. Anstalten, IV Jahre., 1887, p.43 — samt i: Naturhist. Museum zu Hamburg. Bericht f. d. Jahr 1886, p.43). [n°1]. — Die niedere Thierwelt des antarktischen Ufergebietes. («Aus dem Werke über die Ergebnisse der deutschen Polar-Expeditionen», Allgemeiner Theil, Band II, 17, 1890). [n° 2]. Risso, A.: Histoire naturelle des principales productions de l'Europe Méridionale et particulièrement de celles des environs de Nice et des Alpes maritimes. T. V. Paris 1826. Rosenstedt, B.: Beiträge zur Kenntnis der Organisation von Asellus aquaticus und verwandten Isopoden. (Biolog. Centralblatt, B. VIII, Nr. 15, 1888, p. 452). Sars, G.O.: Beretning om en i Sommeren 1865 foretagen zoologisk Reise ved Kysterne af Christianias og Christianssands Stifter. (Nyt Magazin for Naturvidenskaberne, 15de B., 1868, p. 84). [n°1]. — Bidrag til Kundskab om Dyrelivet paa vore Havbanker. (Forhandl. i Vidensk. Selskabet i Christiania f. 1872, p.73 (1873)). [n°2]. — Oversigt af Norges Crustaceer med foreløbige Bemærkninger over de nye eller mindre bekjendte Arter. I. (Forhandl. i Vidensk. Selskabet i Christiania f. 1882, Nr. 18, p. 1 (1883)). [n°3]. — Den norske Nordhavs-Expedition 1876—1878. XV. Zoologi. Crustacea, I. Chri- stiania 1886. 4. [n° 4]. Schiodte, J. C.: Krebsdyrenes Sugemund (1). (Naturhist. Tidsskr., 3 R., B.IV, p. 169, 1866). [n°1]. Schiodte, J.C. & Meinert, Fr.: De Cirolanis Ægas simulantibus. Commentatio brevis. (Naturhist. Tidsskr., 3 R., B. XII, p. 279, 1879). [n° 2]. — — Symbolæ ad Monographiam Cymothoarum, Crustaceorum Isopodum familie. (Natur- hist. Tidsskr., 3 R., B. XIL p.321, 1879; B. XIU, p. 1—166, 1881 og p.281—378, 1883; B. XIV, p. 221—352, 1883 og p. 355 —454, 1884 (udk. 1885)).. [n°3]. *Slabber, M.: Natuurkundige Verlustigingen behelzende microscopise waarnemingen van in- en uitlandsche water- en land-dieren. Haarlem 1778. 4. — Physikalische Belustigungen oder Mikroskopische Wahrnehmungen von drey und vierzig in- und ausländischen Wasser- und Landthierchen. Aus dem Holländisch. übersetzt. Nürnberg 1781. 4. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 34 262 26 Stalio, L.: Catalogo metodico e descrittivo dei Crostacei dell’ Adriatico. (Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, Ser. V, Tomo Ill, 1876—1877, p.355, p. 499, p.629, p. 773, p. 977, p. 1111, p. 1345). Stimpson, W.: Synopsis of the Marine Invertebrata of Grand Manan. (Smithsonian Contributions to Knowledge, Vol. VI, Art.5, 1854). Stossich, M.: Prospetto della Fauna del mare Adriatico. Parte Ill. (Bollettino della Societä Adriatica di Scienze naturali in Trieste, Vol. VI, 1880, p. 178). Strom, H.: Physisk og Oeconomisk Beskrivelse over Fogderiet Sondmor beliggende i Bergens Stift i Norge. Oplyst med Landkort og Kobberstykker. Forste Part. Trykt i Sorge 1762. 4. Studer, Th.: Verzeichniss der während der Reise S. M. S. Gazelle an der Westküste von Afrika, Ascension und dem Cap der guten Hofinung gesammelten Crustaceen. (Abhandl. d. königl. Akademie der Wissensch. zu Berlin. Aus dem Jahre 1882. Physik. Abhandl. II. (1883). [n°1]. — Isopoden, gesammelt während der Reise S. M. S. Gazelle um die Erde 1874—76. (Anhang zu den Abhandl. d. königl. Akademie der Wissensch. zu Berlin. Aus dem Jahre 1883. Physikal. Abhandl. I. Berlin 1884). [n° 2]. Thompson, Will.: Additions to the Fauna of Ireland. (Annals and Magaz. of Natur. History, Vol.XX, 1847, p. 169 og 237). Thomson, G.M. and Chilton, Ch.: Critical List of the Crustacea Malacostraca of New Zealand. (Transact. of the New Zealand Institute, 1885, Vol. XVIII, p. 141 (1886). Valle, A.: Cirolana hirtipes, M. Edw. nella Thalassochelys corticata, Rondel. (Bollettina della Societa Adriatica di Scienze naturali in Trieste, Vol. IV, 1879, p. 191). Weber, Max: Die Isopoden gesammelt währ. der Fahrten des «Willem Barents» in das nördliche Eismeer in den Jahren 1880 u. 1881. Amsterdam 1884. (Af: «Bijdragen tot de Dierkunde»). | Westwood, J. 0. and Sp.Bate, se Bate. White, A.: List of the specimens of Crustacea in the Collection of the British Museum. London 1847. [n°1]. — List of the specimens of British Animals in the Collection of the British Museum. Part IV. Crustacea. London 1850. [n°2]. Ill. Systenatik og Karakterer. Alle Forfattere, undtagen J. C.Schiødte, have været enige i at sætte Cirolaner og Gorallaner nærmest ved Æger og Gymothoer, ja de have endog sædvanlig forenet alle disse Former i én stor Gruppe. Jeg maa af Grunde, som ville fremgaa af det følgende, i Hovedtrækkene gjøre ligesaa. Saavidt jeg skjønner, afgiver Halens og Haleføddernes yderst forskjellige Bygning indenfor Isopoderne de fleste og vigtigste Karakterer til at dele Ordenen i Grupper. I Bygningen af disse Organer findes der nu store Overensstemmelser mellem Cirolaner, Corallaner, 0. s.v., Æger og Cymothoer; dog maa man tage særligt Hensyn til Cymothoerne, der, som paavist især af Schiødte & Meinert, ere noget anderledes byggede som frit- svømmende unge, vel udviklede, men ikke kjønsmodne Dyr end som voxne, fasthagede, af Snyltelivet noget omdannede Former. Naar man derfor vil sammenligne Cymothoerne med andre Isopoder og udfinde deres Slægtskab, maa man helst se paa den med 6 Benpar og Svømmehale udstyrede Unge: Pullus stad. Il“ Sch. & Mein., der ofte træffes i Hunnens -Æggepose, eller paa det med 7 Benpar forsynede, omkringsvømmende, lidt større Individ, hos hvilke Halens Bygning ikke har undergaaet de Reduktioner, som efterhaanden vise sig gjennem Hudskifter under Individets stadige Fasthagning paa et oftest dækket Sted. De to vigtigste Forskjelle ere: Hos Ungen er Indersiden af de 5 Par Pleopoders Skaft forsynede med flere vel udviklede Kroge, der sammenhægte de 2 ligeoverfor hinanden liggende Pleopoder; disse Kroge mangle hos de voxne eller ere saa reducerede, at de ere ganske ubrugelige til Sammenhægtning. Dernæst have Uropoder og alle Pleopoder, und- tagen Ste Pars Indergren, hos alle Unger i 2det Stadium og i det mindste Uropoderne ogsaa i 3die Stadium randstillede Svommehaar, der mangle hos de voxne, i hvert Tilfælde hos de voxne Hunner. — Hos en enkelt Slægt, Urozeuktes M. Edw., ere hos de voxne de 5 forreste Haleled indbyrdes sammenvoxne, medens de samme Led hos Ungen (ifølge Schiodtes Tegning) ere indbyrdes frie. Tager man nu kun Hensyn til de unge, ikke til de voxne Gymothoer, -kan man paa Halens Bygning opstille følgende Karakterer for Cirolaner-Cymothoer: Alle Halens 6 Ringe ere indbyrdes frie (de forreste undertiden dækkede paa Ryg- siden), og sidste Haleled er stort; hver Pleopod bestaar af en bred BYE. 24 264 28 Stamme, som i det mindste paa de 4 forreste Par!) har Hefte-Kroge paa den indre Rand, og 2 store, i Størrelse ikke indbyrdes meget forskjel- lige, sædvanlig bladagtige, oftest tæt randhaarede (kun bte Pars Indergren mangler altid Randhaar) Grene, og de forskjellige Par ligne altid hverandre betydelig, oftest særdeles meget i Form; Uropoderne bestaa af et Skaft og 2 bevægelige, bladdannede, uleddede Grgne, der tilsammen med Halens sidste Led danner en oftest med Randhaar vel bésat Svammevifte. Denne Kombination af Karakterer træffes indenfor Isopoderne ellers kun hos den i flere Henseender fra alle andre Isopoder afvigende Slægt Anceus. Det eneste Sted, hvor man ellers træffer en lignende Uddannelse af Uropoderne, er hos nogle Arter af Slægten Serolis, men her vise Pleopoderne, som bekjendt, en fra alle andre Isopoders afvigende Byg- ning. De eneste Former, hvis 6 Haleringe ere indbyrdes frie og hvis 6te Halering og Pleo- poder vise en noget lignende Bygning som hos Cirolaner og Cymothoer, ere Slægten Lim- noria og nogle Slægter af Familien Anthuridæ, men den første Slægt afviger i Halens Byg- ning ved den mærkelige Form af Uropodernes Grene og deres Tilledning, og den sidstnævnte Gruppe afviger ved sine mærkelig stillede og formede Uropoder med 2-leddet Indergren?). En anden for Gruppen fælles Karakter er følgende: De æggebærende Hunner (jeg har undersøgt saadanne af alle Typer undtagen af Barybrotes og Alcironidæ, der i saa Henseende sikkerlig ikke afvige) have 5 Par Æggeblade (af hvilke undertiden I til 3 Par ere partieltrandhaarede) paa de 5 første Par Kropben (og desuden langt mindre, supplementære, æggepladeagtige Dannelser paa de 2 sidste Par Kropben) samt store, mere eller mindre randhaarede Blade, udgaaende fralnderkant og Bagkant af Kjæbeføddernes første Led, fra Yderkanten af deres Epipodit og fra Yderkanten af deres andet Led; disse mægtige Blade fra Kjæbe- fødderne dækkes helt eller næsten helt af de forreste Æggeblade, der strække sig hen til Mundaabningen eller endog frem over denne som et Dække, og disse Kjæbefodsblade tjene sikkerlig til at male Vand ud af Æggeposen, for at der bagtil i samme kan sive frisk Vand ind til Æg og Unger. Dette Forhold i Kjæbeføddernes Bygning er vel tidligere til Dels set hos Cymo- thoa, men er aldrig blevet rigtig fremstillet eller forstaaet. (Det synes mig at danne en smuk Analogi til den Vifte, der findes paa Grundleddet af andet Par Kjæber hos Cuma- 1) Hos de voxne Dyr af alle 6 Familier mangle Krogene paa ste Par Pleopoder, men findes paa dette Lemmepar hos Ceratothoa Banksü, pull. stad. IIdi. Anceide og især Anthwridæ anser jeg for beslægtede med Cirolaner-Cymothoer. Spheromide ere ligeledes beslægtede med Cymothoerne, noget fjernere staa Serolidæ. Et Stykke fra de mere omdannede Cymothoer maa Bopyride stilles. — Tanaidæ regner jeg ikke til Isopoderne, men mener, at de bør danne en selvstændig Orden, thi de afvige i flere vigtige Karakterer fra alle andre Isopoder, og man kan ikke godt henføre dem hverken til Amfipoder eller til Mysider. te 29 _ 265 ceernes Hunner og som af G.O.Sars er tydet som et Apparat til at røre om mellem Æg og Unger for at holde dem friske.) Baade dette Forhold og Antallet af Æggeblade fore- kommer mig at afgive gode Karakterer for Cirolana-Cymothoa-Gruppen. Jeg har kun truffet en lignende Bygning af Kjæbefødderne og samme Antal af Æggeblade hos nogle Bopyrider. Efter at alle disse Iagttagelser vare gjorte, læste jeg Giard's og Bon- nier's smukke (i den historiske Oversigt omtalte) Iagttagelser over Cepon. Disse For- fattere have baade set Kjæbeføddernes Omdannelse og tillige gjort lagttagelser paa levende Dyr, hvorved de have paavist, at Kjæbefødderne og {ste Par Æggeblade ere i stadig Be- vægelse og ved fælles Samvirken vedligeholde en stadig Vandstrøm bagfra forefter gjennem Æggeposen. At iste Par Æggeplader hos Cirolaner-Cymothoer spiller en lignende Rolle som hos Bopyrerne er ikke usandsynligt, men jeg kan intet sikkert afgjøre derom, og det kan næppe afgjøres uden ved at iagttage levende Dyr; dog bør det anføres, at jeg hos Cirolana har truffet 1ste og 2det Par Æggeplader randhaarede fortil, 5te Par rand- haaret bagtil, hos Corallana derimod kun de frie Bagrande af 5te Par Æggeplader vel - udstyrede med temmelig lange og ret stive Haar med meget korte Sidegrene. Hos Arcturus og Idotheu har jeg fundet en mindre, kun bagudrettet, pladeagtig, randhaaret Forlængelse fra Kjæbeføddernes Rodled, men ingen fra Epipoditen og fra andet Led, og hele Dannelsen er forholdsvis meget lille og ændrer kun lidt Kjæbefodens Habitus. Om Åsellus aguaticus angiver Rosenstedt (op. cit. p. 462), at der hos Hunnen udvikles paa Roddelen af Kjæbefødderne 2 Knuder, der tilsidst faae et Antal lange, stærkt fjerhaarede Børster, og disse Tilhengsler rage ind i Rugeposen. Det turde ifølge Forfatteren være en Indretning «um die Einfuhr des Wassers in den Brutraum zu regulieren». Hos andre Isopoder har jeg ikke truffet nogen saadan Dannelse, og jeg kan for næsten alle Formers Vedkommende bestemt angive, at den ikke træffes, thi af vigtigere Former er der kun 2, nemlig Serolis og Praniza, af hvilke jeg ikke har undersøgt æggebærende Hunner. Endnu kan nævnes folgende, for Cirolana- Cymothoa-Gruppen almindelig gjældende Forhold, der rigtignok ikke afgive exklusive Karakterer, idet de fleste gjenfindes hos Sphæromidæ, nogle ogsaa hos andre Grupper. I) Forreste Kropring er aldrig sammenvoxen med Hovedet; alle Kropringe ere indbyrdes frie, ingen paafaldende afsmalnet (som hos Anceus). 2) Antennerne (2det Par) reduceres hos Cymothoerne, saa at Grændsen mellem Skaft og Svøbe sædvanlig udviskes, og hele Antennen ofte kun indeholder 6—8 Led; hos de andre Familier er Skaftet godt sondret, aldrig (som f. Ex. hos Janira eller Munnopsis) med 6 Led, uden Squama (der findes dog muligvis Spor deraf hos nogle Æga-Arter) og sædvanlig med 5 (undertiden kun 4) Led; Svøben er mangeleddet. 3) Kindbakkerne, der ere yderst forskjellige, have den fælles negative Karakter, at «pars molaris» aldrig er uddannet til et Tygge- eller Knuseredskab, den mangler 266 30 sædvanlig eller er meget reduceret, og hvor den findes mere udviklet (Czrolanidæ), er den omdannet til et tilleddet, knivbladdannet, i den ene Rand tornvæbnet Redskab. Palpen er altid vel udviklet, 3-leddet. 4) Kjæbeføddernes Rodled er lille, andet Leds Flig temmelig kort eller mang- lende. Epipoditen er kort i Retning af Dyrets Længdeaxe og fastvoxen til Hovedets Underside. 5) Kropbenene. Rodleddet paa første Benpar er sammensmeltet med Krop- ringen, påa de andre 6 Par danner det en vel udviklet, ved Søm eller svag Led- føjning afsat «Epimer», hvis Yderside slutter sig til Kroppens Sideflade. Syvende Led har en vel udviklet (hos Cymothoerne en særlig lang, men oftest yderlig utydelig afsat) Klo, medens den som en anselig «Biklo» hos mange Isopoder forekommende Torn bag Kloen her er meget lille og oftest mangler. — Benene ere altid middellange eller temmelig korte (et Ben er næppe nogensinde længere end Halvdelen af Dyrets Legeme), de 3 forreste Par ere altid noget, ofte betydelig kortere end de 4 bageste Par, og af disse er enten 6le eller (sjeldnere) 7de det længste. 6) Med Undtagelse af Forekomsten af en Kjønsgriffel paa andet Par Pleopoder hos Hannen finder man i Pleopodernes Bygning ingen Forskjel mellem Han og Hun. Kjønsgriflen er altid smal, uden indre Hulhed (sædvanlig temmelig lige, sjelden meget krum eller betydelig udvidet nær Spidsen), og den naar omtrent. til eller noget udenfor Spidsen af Pleopodens Indergren. Efter saaledes at have anført de væsentligere Bygningstræk, der ere fælles for Gruppen, vil jeg gaa over til at omtale de Forhold, der kunne benyttes som Karakterer for Familier, Slægter og Arter, disse Karakterers Værdi, samt min Inddeling af Gruppen. Gruppen. falder naturlig i 6 Familier: Cirolanide (Slægter: Cirolana, Eurydice, Conilera, Bathynomus, (? Anuropus)), Corallanidæ (Slægt: Corallana), Alcironidæ (Slægter: Aleirona, Lanocira, Tachæa (?? Corilana)), Barybrotide (Slægt: Barybrotes), Ægidæ (Slægter: Æga, Rocinela, Syscenus), Cymothoidæ (Slægtsgrupperne Anilocride, Saophridæ og Cymo- thoide opstillede som Familier af Schiødte & Meinert). — Naar jeg udtrykker mig med Tvivl om Henforelsen af Anuropus og Corilana, saa er det, fordi disse Slægter og særlig deres Munddele ere saa ufuldstændig (og for Corilana’s Vedkommende saa slet) fremstillede henholdsvis af F. Beddard og R. Kossmann, at jeg ikke kan danne mig nogen be- stemtere Forestilling om deres Bygning. Denne Inddeling er især grundet paa Mundbygningen, som indenfor hver af de enkelte Familier er temmelig ensartet, men hos de af mig undersøgte Former af de første 5 Familier yderst ejendommelig for hver Familie for sig, uden nogen Overgang mellem nogen af Familierne. Forskjellene ere endog i det ydre saa store, at man, ved 31 267 blot med en nogenlunde stærk Lupe at bese Undersiden af Ho edet paa et for vedhængende Spiritus befriet Exemplar, øjeblikkelig kanbestemme Familien (naar man da ikke har faaet fat paa en Hun med de store Æggeplader, der for største Delen dække Munddelene), og dette er et Tilfælde, som er meget sjeldent indenfor Arthro- poderne, thi hvor fortræffelige systematiske Karakterer Munddelene end ofte afgive, saa plejer man dog ikke at kunne bestemme nærstaaende Familier alene efter deres ydre Habitus uden nogensomhelst Dissektion. — Den 6te Familie, Cymothoidæ, er ogsaa nogen- lunde karakteriseret ved sin Mundbygning, men Forskjellen mellem Mundens Habitus hos visse Slægter af Cymothoer, f. Ex. Zivoneca, Nerocila, og hos Ægide-Slægten Rocinela er dog for lille til, at den kan kaldes let at benytte. Familien Cymothoide er imidlertid meget godt skilt fra de ovrige 5 Familier ved flere vigtige Forhold. Ved Mundbygningen og særlig ved Kjæbefodens Bygning er den let at skjelne i alle Aldere fra alle de andre Dyr, undtagen fra Slægten Rocinela. Halvvoxne og voxne Cymothoider skjelnes, som bekjendt, let fra <Æga-Rocinela ved den totale Mangel af Svømmehaar paa 6te Haleled og næsten altid ogsaa paa Uropoderne, ved de mægtige, stærkt krogede Kløer paa 4—6 (oftest tillige paa 7de) Benpar, paa de næsten altid stærkt reducerede Antenner uden tydelig Modsætning mellem Skaft og Svøbe m.m., men jeg troer, at selv en hvilkensomhelst omkringsvømmende Cymothoa-Larve (Pull. stad. 1" vel III‘) kan kjendes fra en Rocinela-Unge ved den stærkere Udvikling af 4de—6te Benpars «Klo» (se Figurerne i- Schiødte & Meinerts Monogr.) og baade ved sin Klovæbning og sin Mundbygning fra alle andre her omtalte Former. Denne «Klo» er som sædvanlig dannet af 7de Led og selve Kloen, der oftest ikke ere meget forskjellige i Længde, men saa inderlig forenede, at man selv hos Unger i andet Stadium (Tab.X, Fig. 4 u) og i tredie Stadium (Tab. X, Fig. 5) næppe eller ikke er i Stand til at paavise en Grændse, thi der findes hverken Biklo eller Smaabørster, og den adskil- lende Tværlinie kan være og er vel oftest ganske forsvunden. Denne «Klo»-Dannelse er hos Cymothoa-Unger i andet Stadium som Regel længere og mere krum paa de 3 forreste end paa de 3 bageste Par, men selv paa de sidste er den noget krum og saa paafaldende lang og karakteristisk bygget, at man næppe kan begaa Fejlbestemmelser, naar man tager Hensyn til «Kløerne» paa alle Benene"). 1) Cymothoerne udmærke sig ogsaa ved det af Bullar og P. Mayer efterviste Kjønsskifte, der ikke er paavist hos nogen Repræsentant af de andre Familier, og heller ikke, saavidt jeg kan skjønne, findes hos nogen anden Form undtagen maaske hos Alcirona (og Tachæa), hvor det fore- kommer mig muligt, ikke sandsynligt. Det staar for mig som en rimelig Antagelse, at dette Kjøns- skifte er en Indretning, der hænger nøje sammen med de udviklede Dyrs Mangel paa Evne til at flytte sig fra Sted til Sted; der opnaaes derved, at hvert Dyr kan gjøre Nytte til Artens Forplantelse baade som Han og Hun og derved bøde paa det forholdsvis ringe Antal Unger, Dyret har i sin Rugepose. Hos de ligeledes som voxne fastsiddende Bopyrider opnaaes stor Frugtbarhed ved de 268 32 Næst efter Munddelene ere Kropbenene de i systematisk Henseende vigtigste Organer. I deres Bygning har jeg imidlertid kun fundet et eneste Forhold, som kan afgive Karakterer for Familierne, og det er 7de Leds og Kloens Ud- vikling (særlig paa de 3 forreste Benpar, hos Cymothoidæ paa alle Benparrene), nemlig den relative Længde af disse 2 Dele, deres Længde tilsammen i Forhold til 6te Led og om de tilsammen danne Klamrekroge eller ej. Bygningen hos de forskjellige Fa- milier og Slægter findes omtalt i det formbeskrivende Afsnif; for Cymothoernes Vedkom- mende er den af praktiske Grunde allerede omtalt paa forrige Side. Af de særdeles talrige Karakterer , som afgives af næsten alle Dele i Hudskelettet, kunne kun ganske faa bruges som Mærker for Familier, ja de ere næsten alle af temmelig underordnet Betydning i saa Henseende, da de vel kunne afgive skildrende, men ikke exklusive Karakterer. Adskillige afgive derimod gode Slægtsmærker, de fleste kun Årts- mærker og nogle endog kun sekundære Kjønsmærker. Jeg vil kortelig omtale Karaktererne og deres Værdi og foretrækker at begynde med dem, hvis Forekomst kun ere Kjøns- mærker. 1. Appendix masculina. Alle udvoxne Hanner have, som bekjendt, et griffelagtigt Vedhæng, udgaaende fra Indersiden af Zdet Par Halebens Indergren og oftest tæt ved dennes Grund. . Denne Griffel anlægges meget tidlig, den begynder som en kun ved en Længdelinie afsat Inderkant langs et Slykke af den bladdannede Pleopod-Grens Inderrand, og ved et paafølgende Hudskifte bliver den en fri, tilleddet Dannelse. Hos Cirolana borealis Lilljeb. har jeg kunnet paavise den (Tab. I, Fig.1u) som fri Griffel hos en ung Han, der ikke havde naaet Halvdelen af en voxen Hans Legemslengde: hos Coral- lana tricornis n.sp. har jeg fundet den paa et Exemplar, der knap maalte %/5 af den voxne Hans Længde; hos en pelagisk fisket, kun 6™ lang Cymothoide-Unge, der endnu besad rigelig Besætning af Svømmehaar paa Uropoder og sidste Haleled, har jeg ligeledes fundet den som et frit Vedhæng (Tab. X, Fig.5a). Hos saadanne Unger har Griffelen imidlertid aldrig sin fulde Længde og endelige Form, hvilket den vistnok først opnaar, naar Dyret er voxent og parringsdygtigt. Hos voxne Hanner af flere Slægter (Cirolana, Eurydice) er Griffelens Form forskjellig fra Art til Art, hvilket vil fremgaa af mine Figurer, men dens Brugbarhed som Artskarakter indskrænkes jo meget ved, at den først opnaar sin definitive Form hos voxne Dyr, og at den kun findes hos det ene Kjøn. — Hos Slægten Eurydice er denne Griffel kortere og bredere. og indleddet længere nede paa Indergrenens Inderrand end hos nogen anden her omtalt Form; denne Forskjel afgiver saåledes en utallige Æg, en enkelt Hun kan have i Rugeposen, og Hannerne blive kun diminutive, paa Hun- nerne levende Smaavæsner). 33 269 smuk lille Slægtskarakter. — Dette Organ, hvis Forekomst kun er et Kjønsmærke, kan saaledes, som hos mange andre Krebsdyr, afgive Arts- og Slægtsmærker. 2. Sekundære Kjønskarakterer. Kun indenfor 3 af her nærmere behand- lede Slægter har jeg truffet sekundære Kjønsforskjelle af Betydning; hos de andre Former synes den eneste Forskjel at være, at Hannen af og til er lidt slankere end Hunnen. De 3 Slægter ere Eurydice, Corallana og Alcirona, og med Hensyn til den sidste Slægt véd jeg endda saa lidt Besked, at jeg her foretrækker at nøjes med at henvise til min Artsbeskrivelse af A. Krebsii. Hos Corallana har jeg oftere fundet mindre Afvigelser i Halens Behaaring, hos C. oculata lidt Differens i Labrums Stilling og Mandiblernes Frem- staaen (se senere), men de interessanteste Forhald har jeg truffet hos C. guadricornis og især hos C. tricornis. Hos sidstnævnte Art er Hovedets Overflade hos den voxne Hun (Tab. VI, Fig. 4) kun svagt fordybet mellem Øjnene, medens den hos den voxne Han (Tab. VI, Fig.41) er meget dybt udhulet paa samme Sted og desuden udstyret med 3 anselige Horn, af hvilke det forreste sidder uparret fortil, de andre lateralt ved Øjnenes bageste Inderhjørne. Desuden er særlig Iste Kropring langt tykkere og stærkere hvælvet hos & (Tab. VI, Fig. a) end hos ® og desuden paa Oversiden fortil udstyret med 2 mindre, lidt fra hinanden siddende Forhejninger. (Paa et stort Materiale har jeg kunnet følge hele denne Dannelses gradvise Udvikling fra Dyrene ere halvvoxne til de blive fuldvoxne. Hos ganske smaa Hanner og mindre Hunner er Hovedets Overflade mellem Øjnene endogsaa plan.) C. quadricornis, af hvilken jeg ikke har haft fuldvoxne Stykker, synes at vise lignende Forhold. Tilstedeværelsen af saadanne Horn paa Hovedets Overside og paa første Kropring hos Hannen kjendes, saa vidt jeg véd, ellers ikke hos nogen Crustacé, ja Hornene svare baade i Form og Stilling særdeles godt til dem, man træffer hos Hannerne af adskillige Skarabæer. Indenfor Slægten Hurydice træffes betydelige Kjønsforskjelle i flere Legemsdele. Jeg kjender imidlertid af nogle Arter ikke voxne Exemplarer af begge Kjøn, og desuden synes der ogsaa, saavidt mit Materiale kan vise, at være betydelig Forskjel imellem de enkelte Arter, idet Kjønsforskjellen hos én Art er langt større end hos en anden. Jeg vil derfor her indskrænke mig til at omtale Kjønsforskjellene hos den Art, hvor jeg har fundet dem stærkest udviklede, nemlig hos Zur. elegantula. Hos denne Art er hos Hannen Kroppen betydelig smallere og i Forhold til Halen kortere end hos Hunnen, Halen er langt kraftigere og sidste Haleled større, men, mærkeligt nok, ere Uropodernes Svømmehaar kortere hos Hannen end hos Hunnen. Øjnene ere større og lidt anderledes formede; første Par Antenner er langt større, deres Skaft og især deres Svøbe ere anderledes formede, og Svøben har et ganske anderledes mægtigt Udstyr med Sandsebørster hos Hannen end hos Hunnen. — Ikke voxne Hanner ligne som sædvanlig Hunnerne meget. Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 35 270 34 3. Gode Artskarakterer kunne hentes fra: Øjnenes Form og Farve og til Dels, skjøndt ofte i ringere Grad, fra deres Størrelse og Granulering, Antennulernes Skaft og til Dels fra deres Svøbe (den sidste maa dog ofte benyttes med Varsomhed), Antennernes Skaft og særlig den relative Længde af dets Led (samt Svøbens Længde, naar denne benyttes med stor Forsigtighed), Pandepladens Form, Clypeus og undertiden Labrum, Epimererne, særlig Formen af deres ydre Baghjørner og deres Stribning, Kropbenenes yderst forskjellige Bygning, de 5 forreste Haleleds Side- hjørner, sidste Haleleds og Uropodernes Form samt Udstyr med Torne og Svømmehaar. Meget ofte afgive ogsaa Kropleddenes Udstyr med Striber, af og til ogsaa Halens Skulptur eller Udstyr med Haar paa Rygsiden, Formen af de forreste Pleopoder og endelig Formen af Appendix masculina gode Artsmærker. Et Mærke, der nok kan være godt, men dog maa benyttes med Varsomhed, er Legemets Længde i Forhold til dets Brede, thi her spiller Dyrets Kontraktionsgrad (hvad jeg oftere har bemærket) en stor Rolle. Kontraktionsgraden og Dyrets mere eller mindre bøjede eller af Blod mere eller mindre oppustede Tilstand har ligeledes en stor Ind- flydelse paa det Billede, man faar af Epimerernes Form (se særlig Tab. VIII, Fig. 1a og 1 0), thi de fleste åf disse kunne enten blive næsten halvt dækkede eller helt frie; jeg vil endog lægge særlig Eftertryk paa dette Forhold, da Epimerernes Form altid beskrives, men et Par af deres bedste Mærker, nemlig deres Baghjørner og deres Stribning, ikke altid paa- agtes. Et andet af samme Grund temmelig upaalideligt Mærke er Antallet af de ovenfra synlige korte Haleled, og naar Forfattere bruge det som et vigtigt Mærke, at de kunne se alle 5 eller kun de 4 af disse korte Led, saa er det absolut forkasteligt, thi det vexler ofte noget indenfor Individer af samme Art. Antallet af Led i Antennulernes og An- tennernes Svober er ofte yderst vanskeligt at tælle, ved højere Tal ikke konstant, og desuden er Ledantallet i det mindste ikke altid (vel næsten aldrig) saa stort hos halvvoxne som hos udvoxne Exemplarer; hvor langt Antennesvøberne naa tilbage paa Dyrets Krop er brugeligt, naar man ikke regner for subtilt, men tager Hensyn til Antennens egen mindre Variation og til Kroppens Kontraktion. Farven af Spiritusexemplarer er selvfølgelig oftest af ringe Værd, det vigtigste her bliver, i hvilken Grad de ofte tilstedeværende, sorte, sædvanlig ganske holdbare Stjernepletter ere fremtrædende. Formen af de 5 forreste Haleleds Sidehjørner afgive særdeles ofte gode Arts- mærker, men jeg har kun benyttet dem i mindre Grad, da de ere vanskelige at beskrive godt, de forreste tilmed ofte vanskelige at se, og jeg desuden havde gode Mærker i Overflod. I Profil-Figurerne af de hele Dyr ere disse Hjørner altid tegnede med Omhu, saa de kunne benyttes til en vis Grad, men disse Figurer kunne ikke vise alle. herhen hørende Forhold, særlig ikke Indbøjningerne paa Halens Underside; hvis dette skulde have været udtømmende behandlet, havde en Række nye Tegninger været nødvendige. 35 | 971 Det kan ogsaa her bemærkes, at mine Afbildninger vise adskillige andre gode Artskarakterer (saaledes Kropsegmenternes Stribning ved Epimererne), der oftest ikke ere medtagne i Texten, da denne saa vilde svulme yderligere i ikke ringe Grad. 4. Som Mærker for Slægter ere kun faa Forhold benyttede, særlig Differenser i 2det Par Antenner, Munddele og Halefodder. Af disse skulle her kun Halefodderne om- tales lidt nærmere. Hos Conilera ere første Pars Stamme (Tab. V, Fig. 1 b) bleven betydelig forlænget og udstyret med et større Antal (8—9) Heftekroge, begge Grene ere blevne fast chitiniserede og Indergrenen desuden forlænget og forsynet med en retlinet Inderrand; ved hele denne Omdannelse er dette Par Haleben blevet indrettet til at danne et stort Laag, der fuldstændig dækker over de 4 næste Par, og Laagets 2 Halvdele holdes ved det forøgede Antal Heftekroge (af hvilke man ellers kun træffer c. 4) udmærket fast sammen i Midtlinien. Laaget forekommer mig at være baade. fortræffeligt og simpelt af Konstruktion, og jeg kjender ikke nogen anden Isopod, der er forsynet med et Laag af en saadan Bygning, thi Laaget hos Munnopside, Munna, Janira o.s.v. er bygget påa en ganske anden Maade og forskjelligt hos de 2 Kjøn, for ikke at tale om det vel kjendte Laag hos Idotheide. — Hos Eurydice er Pleopodernes Stamme (Tab. V og VI, flere Figurer) forholdsvis betydelig længere end hos nogen af de andre her behandlede Slægter (undt. Conilera). Dernæst er Uropodernes Stamme kun forlænget meget lidt indad og bagud, og dens Indergren faar derved en meget kort Tilledning, hvilket ere Bygningstræk, der kun findes hos denne Slægt og, om just ikke altid i saa høj Grad, hos Cymothoerne og deres Unger. (Om Cymothoa-Ungernes pelagiske Levevis se senere; at de voxne Cymothoer, skjandt ikke svømmende, have til en vis Grad beholdt nogle af de Bygnings- træk, man finder i deres Ungers Uropoder, kan ikke gjores gjældende mod Rigtigheden af de folgende Udtalelser.) Det er ganske mærkeligt, at hos de Former af Cirolana m. fl. der sikkerlig kun svømme lidt, forlænger Uropodernes Stamme sig ud i en lang, bagud og indad rettet Proces, med en temmelig lang Tilledning for Indergrenen, medens de Former, der ere tagne pelagisk (Cirolana elongata (Tab. Ill, Fig. 41), Barybrotes (Tab. IX, Fig. 3 s)) og i mindre Grad nogle faa andre, som Corallana, der vist svømme adskilligt, i saa Henseende danne en vis Tilnærmelse til Bygningen hos Æurydice og Cymothoa- Ungerne. Man kan altsaa slutte, at til en vis Grad er Længden af den nævnte Proces af Uropodernes Stamme (og af Indergrenens Tilledning) omvendt proportional med Halens Udvikling som Svommeredskab, thi Haleviften maa absolut være det vigtigste Redskab til hurtig Svømning hos de pelagisk levende Former. Det er vel forøvrigt Tilledningens Længde og den dermed sandsynligvis sammen- hængende Grad af Frihed i Bevægelse, der spiller den væsentlige Rolle, men en nærmere Undersøgelse af dette er meget vanskelig at foretage paa disse Dyr, af 35" 272 ve hvilke de fleste gode Svommere ere smaa og temmelig tyndt chitiniserede. Ligeledes kan man sige, at til en vis Grad er Halens Lengde i Forhold til det ovrige Legeme og dens kraftige Udvikling ligefrem proportional med dens Udvikling til Svommeredskab. Dette vil blive indlysende ved en Sammenligning af mine Figurer ind- byrdes og et Blik paa Schiodtes Figurer af Cymothoa-Ungerne. — Til nærmere Belysning af den her fremsatte Betragtning kan det vel anføres, at hos Sphæromidæ, der enten slet ikke eller kun i ringe Grad kunne bruge deres Halevifte til Svomning, er (undtagen hos Limnoria) Uropodernes Stamme fastvoxen med Indergrenen og nogle Hale- led indby rdes fast sammenvoxne; dette forekommer mig at passe udmærket med mine ovennævnte Slutninger. Kropbenene ere, nest efter Munddelene, sikkert de Organer, der have faaet den forskjelligste og interessanteste Uddannelse. Naar jeg kun bruger et enkelt Forhold som Karakter for Familier og ligeledes ikke benytter adskillige Bygningstrek ved Opstil- ling af Slegter, saa kan denne Fremgangsmaade synes saa vilkaarlig, at den vist bor begrundes lidt nermere. Hos en Del Arter af Slegten Cirolana, hos Barybrotes, alle Arter af Hurydice samt af Corallana væsentlig kun C. Warmingiü ere Benene udstyrede med lange Svommehaar og de bageste desuden omdannede i Formen til Svømning. Disse Svommehaar ere sædvanlig tydelig rekkestillede, oftest tet indenfor en støttende Kant, hos Æurydice oftest ordnede i korte Tværrækker ved Leddenes Rande; hos Æurydice og Corallana ere de simple paa alle Benene, medens de for en overvejende Del ere fjerdannede paa de bageste Par og især paa det bageste Par Ben hos Cirolana og Barybrotes. Hos alle Arter er det særlig de 4 bageste Benpar, og af disse igjen 6te og især 7de Par, der ere indrettede til Svømning, og dette viser sig ogsaa i, at et eller flere af deres Led blive udvidede, forlængede, udfladede, hvorved de baade selv kunne gjøre Nytte som Aarer og tillige frembyde gunstige Forhold til Anbringelsen af Svømme- haarene. Da 7de Benpar altid er det, der er mest omdannet til Svømning, egner det sig bedst til her kortelig at fremhæve de væsentligste Principer for Omdannelsen. Hos Barybrotes (Tab. IX, Fig. 3 q) og nogle af Cirolana-Arterne (f. Ex. Tab. I, Fig.1s og Fig. 2 e) er paa det nævnté Benpar 2det Led («Epimeren» regnet for iste Led) stort, forlænget, udfladet, med 3 skarpe Kanter, langs hvilke de lange, fine, fjergrenede. Svømmehaar sidde i en tæt Række, derimod ere Benets følgende Led langt mindre eller slet ikke udvidede, med færre eller næsten ingen Svømmehaar. Hos 2 andre Cirolana-Arter er 2det Led hverken forlænget eller udfladet, derimod ere 3die, 4de og 5te Led noget udvidede (Tab. Il, Fig.3e og Fig.4e), nogle ogsaa forlængede, samt ret vel udstyrede med Svømmehaar, særlig omkring bageste Yderbjørne. Hos Zurydice (f. Ex. Tab. VI, Fig.38) træffes atter 37 | 273 noget afvigende Forhold, der dog i Principet nærme sig Forholdene hos de 2 sidst- nævnte Cirolaner; det samme er til en vis Grad Tilfælde med Cor. Warmingü (Tab. VII, Fig. 7 e). Ved disse orienterende Bemærkninger er Stoffet rigtignok langt fra udtømt, og åde—6te Benpar kunde ogsaa fortjene Omtale, men jeg antager, at det her sagte er til- strækkeligt som Vejledning til Studiet af mine Afbildninger, som vise en lang Række her ikke omtalte Forhold. Jeg skal endnu kun gjøre opmærksom paa den mægtige, yderst mærkelige Forlængelse af 3die og 4de Leds Yderparti paa de 3 forreste Benpar hos nogle Arter, særlig hos Cir. elongata (Tab. III, Fig. 48); disse 2 Led ere rigtignok altid noget fortykkede og udvidede paa Ydersiden, men Udvidelsens Grad er hos den nævnte Art saa paafaldende abnorm og afvigende fra alt, hvad jeg ellers har truffet hos Isopoder, at den fortjener særlig Opmærksomhed. De øvrige Arter af Cirolana og de andre her behandlede Slægter have ikke noget Led paa noget Benpar kjendelig udvidet til Svømning, og længere Haar ere kun tilstede i temmelig begrændset Antal eller mangle næsten ganske. Benenes Form og deres Udstyr er derfor langt fra ens hos de paagjældende Arter; her skal dog kun henvises til de mærkelige, spateldannede, oftest med en Børste udstyrede Torne paa de 4 bageste Benpar af Cir. orientalis (Tab. IV, Fig. 4 d, Fig. 4e og Fig. 4 f) og til de interessante, smukt grenede Børster paa nogle Led af de 4 bageste Benpar hos Arterne af Slægten Corallana (Tab. VII, Fig. 5 c). Ved Benyttelse af Benenes Udstyrelse til Svømning, deres Tornvæbning m. m. kunde jeg paa mit Materiale godt have skilt Slægten Cirolana i 2, 4 eller 5 Slægter, men har ikke villet foretage en saadan Deling, da der, hvad Literaturens rigtignok oftest daarlige Afbildninger til Dels udvise, vistnok existerer Arter, der mere eller mindre ville udslette Grændserne mellem de Slægter, der for Tiden kunde opstilles. Slægterne vilde ogsaa væsentligst blive funderede paa Karakterer, hvis Uddannelsesgrad varierer stærkt hos de enkelte Arter, og den Art af Karakterer ere yderst farlige. Ungerne af Cymothoidæ ere flere Gange tagne pelagisk, og de føre vist alle et pelagisk Liv. Prof. Schiødte har for en Aarrække siden fortalt mig, at Dr. P. E. Müller havde ved Neapel fanget og iagttaget et Dyr, der fosforescerede stærkt og samtidig svømmede udmærket hurtig, hvilke 2 Forhold fremkaldte Forestillingen om «et Lyn», og dette Dyr viste sig at være Ungen af en Cymothoa. (Exemplaret er 9,4™™ langt, dets 7de Benpar er vel udviklet, fuldt saa langt som 6te Par, Appendix mascu- lina naar næsten til Indergrenens Enderand; 6te Haleleds Bagrand, Inderranden af Uro- podernes Ydergren, begge Rande af deres Indergren og den bageste Del af Inderranden af Uropodernes kun svagt udtrukne Skaft ere besatte med temmelig korte, tætstillede, fjergrenede Svømmehaar, derimod ere Pleopodernes Rande ganske nøgne.) Denne 274 38 lagttagelse, den eneste jeg kjender om Cymothoa-Ungernes Svømmen, forekommer mig meget interessant og passer desuden udmærket med mine ovenfor fremsatte Udtalelser. Cymothoa-Ungerne svømme sikkert alene ved Hjælp af Haleviften, thi Pleopoderne miste tidlig deres Randhaar (og ere næppe, selv hos Ungen i det Stadium, kraftige nok til at frembringe en hurtig Svømmen), og Benene mangle ganske Svømme- haar. Arter af Slægten Eurydice ere (se senere) baade kjendte som ypperlige Svømmere og tillige som i det mindste for en Del pelagisk levende Dyr; de svømme vistnok ogsaa væsentlig, naar det skal gaa hurtig, ved Hjælp af Haleviften, men desuden have Pleopoderne meget lange Randhaar, og særlig de bageste Ben ere ret godt indrettede til Svømning (se Tab. V og VI)‘. Hos Barybrotes (Tab. IX) og den pelagiske Cir. elongata (Tab. III) er Haleviften ikke (se ovenfor) saa fuldkommen indrettet til pelagisk Liv, men saa ere til Gjengjæld Kropbenene udmærket indrettede til Svømning. og der er Sandsynlighed for, at de bruge disse meget til en roligere Fremroning (smlgn. Mysi- dernes Færd), og Halen eller maaske Hale og Ben sammen, naar de ville hurtig afsted. Man har saaledes meget forskjellig Udvikling af Svømmeredskaber hos Former, der væsentlig eller udelukkende ere tagne svømmende i det aabne Hav. Paa den anden Side bør det ogsaa fremhæves, at Former, som have Kropbenene i høj Grad omdannede og ypperlig indrettede til Svømning, sjeldent eller aldrig ere tagne pelagisk, og som et smukt Exempel herpaa kan nævnes Cirolana borealis, der svømmer meget godt (se senere), men hvis Hale er kortere, og hvis Halevifte næppe er fuldt saa godt indrettet til Svømning som de pelagiske Formers. (Sammenlign hermed Munnepsiderne, der ere Bunddyr, men hvis 3 bageste Benpar, særlig hos Slægten Eurycope, ere ypperlige Aarer.) 1) Boas skriver (op. cit. p. 547) om Isopoderne: «wenn auch die Schwanzfusze {maa betyde Pleo- poderne], jedenfalls bei vielen (ich selbst beobachtete es bei Idothea, Eurydice und Sphæroma), im Stande sind als Schwimmwerkzeuge zu wirken, so ist das Schwimmvermögen jedoch beschränkt und die Thiere werden meistens schnell mude». De 3 nævnte Slægter kunne imidlertid ikke sammenstilles uden videre i saa Henseende; de 2 bageste Par Pleopoder ere hos Spheroma ubrugelige til Svømning, og Dyret svømmer ikke godt; Eurydice er derimod (se senere) en aldeles fortrinlig Svemmer, og jez troer at turde benægte, at man, naar den farer rask afsted, kan se, hvilke Organer der bruges. Forøvrigt kan jeg ikke indse, at Pleopoderne ifølge deres Form og Indledning skulde kunne frembringe en hurtig Svømning. 39 275 IV. Mundens Bygning. I. Familien Cirolanide. Hos de af mig undersøgte Slægter: Cirolana, Conilera og Eurydice er Mundens Bygning saa ensartet, at den kan behandles under ét, og det eneste Forhold, der har generisk Verdi, blive fremhævet tilsidst i den latinske Oversigt. Da Bygningen af de enkelte Dele viser smaa Differenser hos de enkelte Arter, ere Munddelene afbildede mere eller mindre fuldstændig af 5 Arter, fuldstendigst af Cir. borealis Lilljeb. (Tab. I, Fig. 1b — In), der er valgt til Type, dernæst af Zur. elegantula m. (Tab. V, Fig.2 c—2 1), endelig af Cir. elongata M.-Edw. (Tab. III, Fig. 4b—4f), Cir. minuta m. (Tab. IV, Fig. 1—1 c) og Cir. japonica m. (Tab. IV, Fig.2b—2f). Jeg nøjes her paa de fleste Steder med at henvise til Figurerne af Cir. borealis. a. Hannen og den ikke æggebærende Hun. Munddelene, der indtage den største Del af Hovedets Underside (Tab. I, Fig. 1 b), danne tilsammen et næsten halvkugleagtig hvælvet, meget betydelig udstaaende Parti. 1. Clypeus og Labrum (Fig. Ib, b og c og en Mengde Afbildninger paa Tab. I—VI af de enkelte Arters Hoved, set nedenfra) ere altid af en ret anselig Størrelse, umiddelbart synlige nedenfra, og de ligge altid i Planer, der ikke afvige i høj Grad fra det vandrette Plan. — Labrum er altid temmelig stor, mere bred end lang, pladedannet, fast chitiniseret, uden Haar, og dens lidt udrandede Bagrand dækker lidt af Mandiblernes forreste Parti. Clypeus er altid bredest bagtil og der kun lidt bredere end Labrum, dens bageste Sidehjørner omfatte Labrums forreste Sidehjørner og støde op til Kindbakkens forreste Leddeknude; den er omtrent trekantet og støder fortil op til Lamina frontalis (a) eller dennes Æquivalent i Beliggenhed, men forøvrigt er den yderst forskjellig i Habitus, thi oftest er dens frie Overflade plan, og ofte er enten dens forreste Del eller hele dens øverste Parti (set nedenfra) trukken ud i et udad og fremad rettet Horn, der saa dækker over Roddelens Forbindelse med Pandepladen. 2. Kindbakkerne (Fig.1b, d, Fig.1c—1f) afvige betydelig fra alle andre Isopoders, og det bør, i Modsætning til flere af de følgende Familier, strax fremhæves, at 40 DD 1 © deres lige Lil Apex brede, yderste Halvdel væsentlig kun dækkes af den let bevægelige Kjæbefodspalpe, og altsaa let kan bringes til Syne uden Vold. Hver Kindbakke er, set nedenfra og især, naar den er udtagen af sin Leddehule, af en anselig Brede igjennem hele Længden, bredest noget bag Midten (Fig. 1 ce). Naar den ses in situ, er dens yderste Trediedel bøjet lige ind mod Midtlinien, hvor højre Mandibels skarpe, haarde og tynde Skjærerand er dækket af venstres; Skjæreranden er lang, og dens Retning divergerer ikke meget eller slet ikke fra Dyrets Midtlinie, dens Baghjørne gaar ud i en anselig, trekantet, spids Tap, og dens foran liggende Del gaar ud i 2, undertiden stærkt (Tab. III, Fig. 4 c), undertiden svagt (Tab. I, Fig. 1 c) udviklede, altid skarpe Tænder eller Flige. Højre Kindbakkes Skjærerand ligner væsentlig venstres, kun ere alle 3 Tænder vel udviklede (Tab. I, Fig. 1f). Kindbakkernes bageste Halvdel er, set in situ, omtrent parallel med Dyrets Længdeaxe, ja bagtil endog tilsyneladende næsten bøjet indad mod Yderranden, hvilket hidrører fra, at det bageste Yderhjørne (Fig. 1 c, e) er dækket af Hovedets Skelet, og Kindbakken viser af denne og lignende mindre Grunde et noget andet Omrids, naar den er udtagen, end naar den sidder indfæstet (Fig. 1 b). Pars molaris (Fig.1c,c, Fig.1f, c og Fig. 1e) er afsat fra Corpus mandibulæ ved et tydeligt Led med temmelig svag Bevægelse; den har Form af et temmelig langt og smalt (Fig. 1 c) eller kort og bredt, aflang trekantet (Tab. V, Fig. 2 e) Knivsblad, hvis Ryg, der vender bagud, er fortykket og fast chitiniseret, medens det fremad vendte Parti, Knivsbladets Eg, er tyndere og svagere chitiniseret og tæt indenfor Forranden i næsten hele dennes Længde udstyret med en Række af talrige, temmelig smaa, lancetdannede Smaablade. Denne mærkelige «Tyggeknude» er, nåar Hovedet ses nedenfra, rettet skraat tilbage og opad i den bageste Del af Svælget (Fig. In, a“). Midt imellem «Pars scissoria» og, «Pars molaris» findes paa den mod Hovedet vendte Side af Kindbakken den vel udviklede «Lacinia mobilis» (Fig.1c,b og Fig. 1 f,b; Fig. 1 d)'). Den er for største Delen blødhudet og betydelig udhvælvet, dens fremad vendte, forreste Væg er en fast chitiniseret Chitinplade (Fig. 1 d, a), der rager stærkt frem, og som ved Randen er udstyret med en Del korte og stærke Torne. Tæt bag denne Plade findes et lille, chiliniseret Parti med nogle faa Torne (Fig.1d, b), og disse svare maaske til «Setæ» hos andre Isopoder. !) Efter fornyede komparative Studier har jeg ændret min i «Dijmphna»-Togtet udtalte Opfattelse af denne Dannelse. Jeg troer nu, at det forreste, faste, fortykkede Parti (tidligere opfattet af mig som «Lacinia mobilis») plus det bagved liggende, blødhudede Parti med sine «Setæ» bør tilsammen opfattes som «Lacinia», en Flig, der dels er blødhudet og bærer Børster, dels fortil fast, at det er dens Forvæg, der ofte forlænger sig ud i en tyk Tap, der maaske kan kaldes «Cuspis laciniæ». Denne og den paa følgende Side omtalte Ændring ville forøvrigt blive udforligere omtalte og oplyste ved Figurer i et større morfologisk Arbejde, der er vidt fremskredet i Ud- førelse. 41 | DER Kindbakkens Form i Forhold til dens Bevægelse maa skildres lidt nærmere. Dens ebageste Leddeknude er det bageste og yderste, af Hovedets Chitin skjulte, fremspringende "Hjørne (Fig. 1 c, e og Fig. 1 f, e). Længst fortil og ud mod Siden ses 2 fremspringende Knuder (Fig. lc, d og d‘), af hvilke jeg efter gjentagne Forsøg maa opfatte den underste, dybest liggende, som den egentlige Leddetap, den anden som en supplementær Dannelse. Kindbakken drejes altsaa om en Axe mellem forreste og bageste Leddetap; den stærke Musculus adductor sidder et Stykke bagtil paa Kindbakkens Inderrand (Fig. 1 c,f), og den svage M. abductor paa den modsatte Kant. Et Blik paa Fig. 1 b og Fig. 1 c vil nu for- haabentlig tydelig vise de fleste af de følgende Forhold. Resultatet af en Abduktion vil, paa Grund af Kindbakkens Form og Stilling være, at Labrum løftes, at Kindbakkens Skjære- rand løftes betydeligt op og drejes noget udad, og at dette især vil være Tilfældet med dens bageste, højt beliggende, i en lang Tap udlobende Skjærerand. Da M. adductor ligger et godt Stykke indenfor Forbindelseslinien mellem Kindbakkens Leddehoveder, vil den alene af den Grund kunne virke med stor Kraft. Enderesultatet er, at Kindbakkerne kunne gabe vidt ud fra hinanden, at den bageste Tand paa deres Skjærerand kan blive løftet højt op over de andre Munddele, og at en Adduktion kan foretages med stor Kraft. — Endnu bør det omtales, at Kindbakkerne ikke ere forbundne med Paragnatherne («Labium», Hypopharynx), hvis Fliges Yderkant kun dækker en lille Part af dens Overside "paa det Sted, hvor den bøjer ind mod Midtlinien (hvilket til Dels kan ses paa Fig. In). Kindbakkepalpen udspringer noget foran (Tab. I, Fig. 1 c, p) eller noget bag Midten (Tab. IV, Fig. 2 c) af Kindbakkens Yderrand; 2det Led er meget længere end et af de 2 andre; de 2 yderste og særlig det sidste Led ere vel udstyrede med Haar og Børster. 3. Første Par Kjæber (Fig. 1g) er næsten af Længde med Kindbakkerne og meget kraftigt. Første Led (1) har en ret mærkelig, trefliget Form, dets.d*lig (1!) er middel- lang, kraftig og ender med en Udvidelse, der paa Indersiden gaar ud i 3, altid med en svag Ledføjning afsatte, noget procesagtige, mod Enden haarklædte, spidse Torne. Andet Led (2) er vel udviklet, men som sædvanlig kort; tredie Led (3) udvider sig fra Roden stærkt mod Spidsen, dets yderste Del er drejet noget indefter og er i Enden lidt skraat afskaaren, den derved fremkomne indad vendte Rand er lang eller endog paafaldende lang og lidt indbugtet, altid besat med en Mængde lange og kraftige, lidt bevægelige Torne. 4. Andet Par Kjæber (Fig. ih) er anseligt, men altid adskilligt kortere end første. Første Led (1) er kort og bredt; andet Led (2) ligeledes kort og bredt, dets Flig (1?) middellang og bred, og dennes frie Del kort, rettet noget indad, med en skraat afskaaren, lang, med Børster besat Enderand. Tredie Leds Flige (l?)!) ere fremadrettede, !) Ogsaa her maa jeg efter fornyede Studier foretage en lille Ændring af min i «Dijmphna»-Togtet Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 36 278 42 middellange eller temmelig korte, paa Inderranden mere eller mindre udstyrede med lange Børster. / K i 5. Kjæbefødderne (Fig. 1 b, g og Fig. I i) ere noget længere end Kindbakkerne, altid tydelig 7-leddede. Første Led (Fig. fi, I og Fig.1k,1) er ganske lille, med en Epipodit (ep), der er mere bred end lang og omtrent af Størrelse med det middelstore, tilnærmelsesvis kvadratiske andet Led. Dette sidste (2) gaar,paa den mod Hovedet vendte Side ud i en først indad mod de andre Munddele (Fig. 1 k), derpaa fremad rettet, temmelig kort og bred Flig (l?), som hos Cirolana og Conilera er udstyret med 1—3 Heftekroge (u), der mangle hos Æurydice (Tab. V, Fig. 2 k). Ledfojningen mellem 3die og 4de Led tilsteder en meget betydelig Bevægelse i et tilnærmelsesvis vandret Plan; de 4 sidste Led have Form af en meget fladtrykt, i Randene haarklædt, frit over Munddelene liggende Palpe, der er temmelig bred eller endog meget bred ved Midten eller lidt bag samme, smallere mod Enderne (Tab. IV, Fig. 1 c). 6. Paragnatherne (Fig. In, f) ere temmelig lange, paafaldende smalle, fra Roden udefter stærkt divergerende; deres Yderkant dækker fortil lidt af Kind- bakkens Inderkant, deres lille, spidse Ende er bøjet indad mod Midtlinien. Svælget er langt, smalt (Fig. In, g); dets Sider begrændses af blød, muskelfyldt Hud. #. Hunnen med Æggeplader. Denne afviger kun fra den unge Hun i Bygningen af Kjæbefodderne (Tab. I, Fig. 11 og Fig. 1 m samt Tab. V, Fig. 21). Første Led (1) bærer her en anselig, tyndhudet Plade (a), der hos C. borealis, hvor jeg har truffet den noget mere udviklet end hos Eurydice, forlænger sig fremad i en smallere Trekant langs andet Leds Inderrand og bagtil danner en bred Flig; Randen er besat med yderst korte, fine Haar. Epipoditen er bleven helt omdannet til en ret lang og meget bred, partielt tyndhudet Plade (ep) og dens Yderrand besat med lange, fjergrenede Haar. Kjæbefodens andet Led (2) har paa sin Yderrand en stor, udadrettet Plade (b), der sender en bred, afrundet Flig fremefter til Forranden af 3die Led; denne Plades Bagrand er fast forbunden med Epipoditens, og dens Yderrand og Forrand besatte med lange, fjergrenede Haar. (Hos Zurydice har jeg fundet Randhaarene paa alle Plader særdeles korte og tynde.) Disse Plader ere alle bevægelige fremsatte Opfattelse. De 2 frie, fremadrettede Flige, som jeg dengang antog tilhørte 2, muligvis dog ved en sekundær Deling af 1 Led opstaaede Flige, erkjender jeg nu tilhører et enkelt Led (det 3die), idet det lille Chitinstykke, som jeg dengang antog for 4de Led (op. cit., Tab. XX, Fig. 1a og Fig. 3f) har vist sig at ligge tæt under blød Hud, og kan derfor ikke tydes som Chitindelen af et Led. Forøvrigt vise Bygningen og Udviklingen af det 3die Led hos flere andre Malakostrak- ordener ogsaa, at de 2 Flige, som jeg antog for at høre til 2 Led, virkelig høre til et tofliget Led. 43 i 279 ved en indviklet Muskulatur i deres basale Del. Endelig er Indersiden af andet og tredie Led dunhaaret. Forreste Par Æggeplader naa med deres Yderrande og deres ydre Forhjørner noget ud over Kjæbefodspladerne. Forranden og forreste Del af Yder- og Inderrand bære Fjer- haar. Om Funktionen af Kjæbeføddernes Plader se ovenfor Side 264—65. Cirolaniderne ere yderst graadige Rovdyr (se det formbeskrivende Afsnit) og kunne æde sig ind i, ja skelettere Fiske, som de vistnok ofte anfalde som levende. Den stærke Udhvælvning af Munddelene in toto og Beliggenheden af Kindbakkernes lange Skjærerand paa Hvælvingens højeste Punkt bevirker, at Dyrene kunne ligefrem æde sig ind i et stort Legeme. Munddelenes og særlig Kindbakkernes ovenfor udviklede anselige Bevæge- lighed og Bygning sætte dem i Stand til at bide et ret anseligt Stykke Kjød af. Takkerne paa Kindbakkernes Skjærerand og særlig de to bageste, lange, dolkformede Tænder jages ved Begyndelsen af Bidningsprocessen ind i Kjødet, holde udmærket fast og spile desuden Vævene, saa de lettere klippes over af de skarpe, tæt forbi hinanden glidende Skjærerande. Jeg forstaar ikke ret, hvilken Rolle den mærkeligt formede og rettede Pars molaris spiller, men jeg antager folgende. Naar Kindbakkerne ere abducerede, vil Pars molaris været løftet op fra Svælget og vil vel sammen med Lacinia mobilis og første Kjæbe- pars stærke Torne gribe fast i Enden af det, der skal bides over; naar Kindbakkerne saa adduceres, vil den vel derved kunne føre den afbidte Kjødstump ind i Munden og op i Svælget. Første Par Kjæber, der ere kraftige og med mange stærke Torne paa Fligene, hjælpe sikkerlig med til at holde fast paa Kjødet, maaske ogsaa til at føre det op i Svælgel. — Andet Kjæbepars Funktion er vist ikke stor, men jeg kjender den ikke; Kjæbe- føddernes Roddele lukke Munden bagtil, men dette Par Mundlemmers øvrige Funktioner ere mig ubekjendte. Set nedenfra kjendes en Cirolanide let fra alle følgende Familier ved, at Kind- bakkerne bøje temmelig pludselig og stærkt indad med deres forreste, brede Ender, der for storste Delen ere frie, og venstre KindbakkesSkjære- rand hører op som en noget skraa eller næsten lige, takket Længdelinie nær Dyrets Midtlinie bag en anselig Overlæbe og ddskilligt bagved en Linie, trukken paa tværs mellem Kindbakkernes, ved Overlæbens Side- rande tydelig fremtrædende Forhjørner. Fra alle Former, undtagen Alcironide, skilles de desuden let ved, at Kjæbefods- palperne ere særdeles bevægelige, stærkt fladtrykte, temmelig brede til meget brede og stærkt haarklædte i Randene. 36” IL Familien Corallanidæ. Da der er nogen Forskjel mellem de enkelte Arters Mundbygning, vil jeg omtale de 2 i saa Henseende mest forskjellige Arter hver for sig (de andre ligge mellem disse Ydergrændser) og begynde med den mindst omdannede Form, C. tricornis m., af hvilken jeg rigtignok ikke har givet en fuldstændig Habitusfigur af Munddelene, men denne Mangel kan i det væsentlige udfyldes ved Habitusfiguren af den anden Art, C. antillensis m. a. Cor. tricornis m. a. Hannen samt Hunnen uden Æggeblade. Munddelene indtage en stor Del af Hovedets Underside. Sete fra Siden (Tab. VI, Fig. 4 a) staa de adskilligt frem, og deres Yderrand fjerner sig fremefter noget fra en med Legemets Længdeaxe parallel Linie, indtil den lidt bag Antennernes Rod ved Mandiblernes Forende pludselig bøjer dybt ind efter. Nedenfra sete danne Munddelene derfor aldeles ingen jævn Hvælving. 1. Clypeus og Labrum (Tab. VI, Fig. 4 b, b og c) ere hos denne Art synlige lodret nedenfra; de ere brede og saa korte, at de tilsammen tagne ere omtrent 3 Gange saa korte som brede. Clypeus (b) har Form af en yderst stumpvinklet Trekant, hvis fremad vendte, stumpe Vinkel imidlertid er dybt indkærvet til at modtage den anselige, aflange Lamina frontalis (a). Labrum (c) er omtrent af Brede med Clypeus, lidt afrundet mod Enderne. 2. Kindbakkerne ere særdeles mærkelige. Hver Kindbakkes bageste Halvdel (Tab. VI, Fig.4c) danner en noget aflang Firkant, der ses paa Hovedets Underside som en lavt liggende, bred Plade (Tab. VI, Fig. 4a), hvis bageste Yderhjørne ligger lidt nær- mere ved Dyrets Midtlinie end forreste Yderhjørne. Ved Palpens Indledning afsmalnes Kindbakken pludselig til den halve Brede, men bliver saa hurtig højt udhvælvet, gaar noget fremad og derpaa næsten lige ind mod Midtlinien, stadig højt hvælvet holdende samme Brede og efterhaanden løftende sig stærkt op over de andre Munddele, saa at dens distale Halvdel staar meget stærkt frem. Venstre Kindbakke gaar ved Midtlinien (Tab. VI, Fig. 4 b) ud i 3 meget stærke Spidser, af hvilke de 2 forreste (Fig. 4 c og Ad) ere forholdsvis temmelig smaa og næppe naa Dyrets Midtlinie, og den forreste af dem er desuden vanskelig at se nedenfra; den bageste Spids er derimod en meget lang, lidt krum, trekantet Dolk, der naar langt ud over Midtlinien, og hvis Spids bøjer lidt bagom højre Kindbakkes Corpus. Disse 3 Spidsers Kanter ere skarpe og danne Kindbakkens Skjære- rand, der, naar Munden ses nedenfra, paa Grund af denne Bygning gjør Indtryk af at ligge særdeles skraat. Højre Kindbakkes apicale Del er ganske overdækket af venstres, og den 45 : 281 viser et andet Habitus paa Grund af, at den bageste Spids har taget Overmagten i den Grad, at man udvendig fra ikke ser andre, men naar den udtagne Kindbakke ses indenfra (Tab. VI, Fig. 4 f) finder man en enkelt Spids (a!) siddende langt tilbage. Tager man venstre Kindbakke ud og betragter den fra den mod Hovedet vendte Side (Fig. 4 e), ser man en dyb Rende (i) strække sig fra de korte Spidser (at og a?) langt tilbage paa Undersiden, og højre Kindbakkes apicale Del er lagt ind i denne Rende, naar Kindbak- kerne ere adducerede. Denne Rende mangler paa højre Kindbakke. Lacinia mobilis og Pars molaris mangle ganske paa begge Kindbakker. Kindbakkernes Leddetappe (Fig.4 c, d og e) ligge omtrent som hos Cirolana, Kindbakkernes Bevægelse maa vere vel udviklet ligesom hos sidstnævnte Slægt. De ere .ikke forbundne med Paragnatherne. Palpen er slank; første Led er forlænget og er noget længere end andet Led; baade dette og især det korte tredie Led ere vel udstyrede med Haar (Fig. 4 c). 3. Første Par Kjæber (Tab. VI, Fig.4g) ere af Længde med Kindbakkerne og særdeles kraftigt. Første Led (1) er kort og plumpt; dets Flig (l!) er middellang, kraftig og ender med et bredere, skjævt, noget fortykket Endeparti uden Børster eller Torne. Andet Led (2) er anseligt, noget bugtet og saa skraat stillet, at dets forreste, udvendig fra afsmalnede Endeparti ligger adskilligt nærmere ind mod Dyrets Midtlinie end dets Baghjørne, hvorved der fremkommer et Indsnit paa Kjæbens Yderrand mellem andet Led og det allerede næsten ved Grunden paafaldende brede og paa Ydersiden bagtil stærkt fremragende tredie Led. Dette sidste (3) er bredt og rettet fremad med sin proximale Halvdel, medens dets distale Halvdel afsmalnes jævnt og bøjer først noget udad, derpaa atter fremad, og ender med en enkelt, kjæmpemæssig, lidt krummet, fremad og indad rettet Torn, der ved Grunden er næsten lige såa tyk som tredie Leds Spids. 4. Andet Par Kjæber (Tab. VI, Fig.4h) ere smaa, svage og stærkt reducerede i enhver Henseende. De to Rodled ere spinkle; Kjæbens yderste Halvdel er en svag, aflang Plade, omtrent 3 Gange saa lang som bred, Enden er skraat afskaaren paa Ydersiden med svage Fligdannelser med nogle faa, kortere Haar i Spidsen. Flig- dannelserne har jeg ikke kunnet tyde med Sikkerhed; jeg har afbildet dem af C. antillensis med stærkere Forstørrelse (Tab. VII, Fig. 4g og Fig. 4 h). 5. Kjæbefødderne (Tab. VI, Fig. 4 i) ere lidt længere end Kindbakkerne, paa- faldende smalle i hele Længden, men ret solide. Rodpartiet ligner meget det, man træffer hos Cirolana; det smalle andet Led er lidt længere, og har paa Undersiden (Fig. 4 j) en rudimentær, tilleddet Flig (1?) uden Heftekroge. Den smalle «Palpe» er ikke udfladet, dens bredeste Sted er ved Roden af Kjæbefodens dte Led, der er lige og betydeligt forlænget, længere end 3die og 4de Led tilsammen. Sjette Led gaar fortil ud i en 282 46 lille Flig, og udenfor denne træffer man det ganske lille syvende Led. Hele Palpens Be- haaring er sparsom, stærkest ved Spidsen. 6. Paragnatherne (Tab. Vil, Fig. 1 c og Fig.4 ec, h) ere fremefter stærkt divergerende og minde noget om Cirolana’s, men ere meget bredere og noget ander- ledes formede. Deres forreste Yderparti gaar ind under første Par Kjæbers distale Parti (Fig. 4 c) og noget op paa Indersiden af Kindbakkerne, hvor de fremtræde udvendig som en blød Liste (ht) omkring det Sted, hvor disse bøje stærkt ind mod Midtlinien. — I Rummet mellem og under Paragnatherne finder man den bløde, muskelfyldte Hud (Fig. 1 c, m), der paa hver Side begrændser det smalle, stribeformede Sxælg (pl: forlil er denne Hud forbunden med Underranden af den, der beklæder Clypeus' og Labrums Inderflade (1), og paa det Sted, hvor denne støder op til Svælget (Fig. 1 d), udgaar en uparret, smal, trekantet Klap (q),. der (som ogsaa afbildet hos Cirolana), strækker sig bagud lige under den Hud, der paa Siderne begrændser Svælget. I højeste Grad ejendommelig for Familien er den anselige, næsten haarløse Hulhed, der er smallest og dybest fortil, og som fortil er begrændset af Kindbakkerne, bagtil først af Kjæbefodderne, længere fremme og paa Siderne af første Kjæbepar, forrest og dybest inde af de tydelige Paragnather. £. Hunnen med Æggeplader. ; Denne afviger, ligesom hos Cirolana, væsenilig kun ved Bygningen af Kjæbe- fødderne (Tab. VI, Fig. 4k). Deres Pladedannelser er her blevne noget større end hos Cirolana. Dette gjelder serlig om iste Leds Plade; Epipoditens Plade har faaet en stor, fremad og lidt udad rettet Flig med dunhaaret Rand; andet Leds Plade strækker sig frem- efter ud under Roden af Kjæbefodens fjerde Led, og dens fjergrenede Randhaar ere usæd- vanlig lange. Kjæbefodens 2det—5te Led ere dunhaarede paa Inderranden. Andet Kjæbepar har faaet nogle faa Haar langs Yderranden. Første Par Æggeplader, hvis Rande ere haarløse, naa næppe udenfor Kjæbe- føddernes Plader. b. Corallana antillensis m. Munden hos denne Art (Tab. VIL Fig. 4 c) afviger væsentlig ved, at den i de fleste ‘ Ejendommeligheder for Slægtens Mundbygning er naaet en Del videre end C. éricornis. 1. Clypeus og Labrum ere her endnu langt kortere end hos C. tricornis, aldeles ikke synlige lodret nedenfra, da de mægtige Kindbakker hvælve sig frem og ud over dem; de ere kun synlige -omtrent forfra og udgjøre en meget bred og yderst kort Dannelse, der staar næsten lodret mellem Lamina frontalis (a) og Kindbakkernes Forrand. | 47 283 2. Kindbakkerne (Fig. VII, Fig.4c, Fig. 4 d og Fig. 4e) ere betydeligt mæg- tigere end hos C. tricornis, staa med deres distale Parti mere ud fra Hovedets Underside og nåa meget længere frem, lige til Roden af Antennerne. Deres distale, indadbøjede Parti er længere og mere krummet end hos C. tricornis; ser man venstre Kindbakke in situ, saa skjønnes det, at den bageste Spids af dens Forende har udviklet sig langt stærkere paa de andre Spidsers Bekostning, der synes forsvundne, og den har udviklet sig saaledes, at den viser sig som en direkte, ikke ved Afsmalning afsat Forlængelse af Corpus mandi- bulæ, saa at man næppe kunde tyde dens morfologiske Værd, hvis man ikke havde den forrige Art til Sammenligning. Tager man venstre Kindbakke ud og betragter den indenfra (Tab. VII, Fig. 4e), har man paa dens apicale Del den samme Fure (i) til højre Kindbakkes Indlægning som hos forrige Art, og ved Grunden af denne Fure findes en lille Tand, sikkerlig svarende til den forreste Tand hos C. tricornis. (Om denne lille Spids ogsaa findes paa højre Kindbakke er ikke undersøgt.) Den egentlige Leddetap (Fig. 4 e, d) ligger helt inde paa Mandiblens Underside , den lille supplementære Leddeknude (d‘) ligger paa Underkanten af Forranden. 3. Første Par Kjæber (Fig.4c, e) som hos C. tricornis; dog er tredie Leds Roddel kortere og dets distale Del endnu stærkere krummet med en endnu længere Torn end hos forrige Art. 4. Andet Par Kjæber (Fig. 4f) som hos forrige Art; dog ere de i Fig. 4g og Fig. 4h gjengivne Fligdannelser noget mere udviklede. 5. Kjebefodderne (Fig. 4 i) ere forholdsvis smallere end hos C. tricornis, særlig andet og femte Led ere længere, smallere og tykkere. Andet og tredie Leds Over- flade ere udstyrede med nogle afrundede Knuder; femte Led med 2 Knuder ved Roden og 4 i en Række stillede Knuder nær Inderranden, hvilke 6 Knuder ere kort kegledannede, spidse; fjerde Led har ogsaa nogle faa lignende Knuder. Hverken Literaturen!) eller Etiketterne paa mine Arter af denne Slægt give sikker Oplysning om Dyrenes Levemaade. Jeg maa derfor forsøge ad andre Veje at komme til et nogenlunde sandsynligt Resultat. Hos flere store Exemplarer (særlig hos det største Stykke af C. antillensis) har jeg fundet den af Munddelene omsluttede Forgaard for Svælget opfyldt af en mørkebrun Masse, der meget lignede coaguleret Blod, og som sandsynligvis er kastet op af Dyret, 1) Æga macronema Bleek. er af Miers (se senere) tydet som en Corallana, og hvis denne Tyd- ning er rigtig, saa har Bleekers Bemærkning: «Habite errante la peau de diverses especes de poissons de la mer de Batavia» stor Interesse og stadfæster mine af andre Forhold dragne Slut- ninger. Disse vare nedskrevne førend jeg blev opmærksom paa denne Tydning af den Bleekerske Art. 284 48 da det blev lagt i Spiritus. (Sammenlign Lyngbyes senere meddelte. lagttagelse om Cir. borealis.) Paa en Række Exemplarer af flere Arter er en større Del af Bugsiden betydelig oppustet paa en lignende Maade som hos ga, men dog hverken i saa stor Udstrækning eller i saa høj Grad som hos sidstnævnte Slægt. Hr. Dr. R. Bergh fandt Maveindholdet af C. antillensis betydelig fordojel. men mente dog, at det bestod af tvær- stribede Muskler. Kindbakkerne ere ifølge deres Tilledning meget bevægelige, og det maa de ogsaa være for at kunne benyttes, da venstre Kindbakke i Hvile dækker over en saa stor Part af højre Kindbakke, at der kræves en betydelig Abduktion af venstre Kindbakke for, at begges Spidser kunne blive frie af hinanden. Da begge mangle Knuseparti, ere de ganske ubrugelige til Tygning. Endepartiet danner en lang, skarpkantet, haard, lidt krum Dolk, det rager stærkt op over de øvrige Munddele, og hos Cor. tricornis træffes desuden paa venstre Kindbakke 2, paa højre 1 skarp Tand, saa at Kindbakkerne kunne bruges paa en noget lignende Maade som hos Cirolana til Udklipning af Kjôdstumper; hos C. antillensis og flere andre Arter ere de nævnte Tænder rudimentære eller mangle, og Kindbakkerne egne sig saa udmærket til i en Fart og med stor Kraft at bide et Hul paa et større Dyr, saa at Blodet flyder stærkt, og de maa, skjøndt det forekommer mig vanskeligt at forstaa, vel ogsaa ifølge Indholdet af Tarmen kunne udrive eller afflændse Kjødstumper. Ende- partiet af 3die Led paa første Kjæbepar forekommer mig at være udmærket skikket til kraftig at understøtte Kindbakkens Virksomhed (den ovenfor beskrevne, mærkelige, meget" bevægelige Indledning og Form af dette Leds Rodparti passer ogsaa godt hermed). Andet Par Kjæber spiller vistnok en ganske underordnet Rolle. En af Kjæbeføddernes væsentligere Funktioner er vistnok den at hjælpe med til at danne Begrændsningen for den store, skaaldannede Hulhed, der fører ind til Svælget. Svælget er paafaldende langt, og dette peger ogsaa hen paa, at Dyrene ikke ere rene Bloddrikkere, men sandsynligvis i saa Hen- seende danne en Mellemform mellem Cirolana og Æga. Jeg antager derfor, at Corallanerne anfalde Fiske eller lavere, større Dyr uden Kalkskal, bide Hul i en Fart, æde noget af Kjødet, drikke det udflydende Blod og forlade derpaa deres Offer; at de forskjellige Arter have en noget forskjellig Levevis og maaske endog til en vis Grad holde sig til Dyr af forskjellige Klasser er sandsynligt paa Grund af Forskjellene i Mundbygningen. Corallanernes Bygning af Ben og Hale tyder ogsaa paa, at de bevæge sig livligt; Uddannelsen af deres Ben viser, at disse ikke bruges til Fasthagning for længere Tid, men dog vistnok kunne anvendes til Fastklamren paa kortere Tid. Set nedenfra kjendes en Corallana let fra alle øvrige Familier ved, at Kindbakkerne bøje stærkt indad med deres forreste, meget anselige Parti, der er bredt, næsten ubedækket, tykt, stærkt udstaaende, og venstre Kindbakke ender med en meget 49 285 skraa, 3-fliget Skjærerand eller med en enkelt mægtig Dolk. Formen af de vel udviklede, smalle, ikke udfladede, frit liggende Kjæbefodspalper er ogsaa ejendommelig for denne Familie. IM. Familien Alcironidæ. De 3 Slægter afvige saa meget fra hverandre, at de bedst behandles hver for sig. Jeg vil begynde med Fremstillingen af den bedst studerede Form. Det kan strax anføres, at jeg ikke har haft en eneste Hun med Æggeblade af nogen Art. a. Aleirona. 1. Alcirona Krebsii m. Munddelene danne tilsammen en noget udstaaende Hvælving (Tab. VII, Fig. 1b), der dog hverken er saa stor eller saa regelmæssig som hos Cirolanide. 1. Clypeus (Fig. 1b, b) er overordentlig stor, omtrent af Form som en tvær- liggende, bred Halvmaane, hvis forreste, ydre Midtpunkt støder op til den pentagonale Lamina frontalis (a), og hvis Sidepartier strække sig langs For- og Yderranden af Kindbakkerne langt hen mod disses Baghjørner. Labrum (c) er en ganske lille, tvær- liggende, vandret Plade, beliggende ved Halvmaanens indre Midtpunkt. 2. Kindbakkerne (Tab. VIII, Fig. 1 b, d, Fig. 1 c, Fig. 1 d, Fig. 1 e, Fig. 1 f) have en fra de 2 foregaaende Familiers særdeles afvigende Form og Retning, og stemme derimod i flere væsentlige Forhold med de to følgende Familiers. Set in situ ligner hver Kindbakke en temmelig smal Trekant, hvis korte Grundlinie vender til Siden og bagud og ligger langt fra Hovedets Midtlinie, medens Spidsen (Toppunktet) gaar ind under Overlæbens Sidehjørne; Trekanten skraaner altsaa fra Grundlinien fremad og stærkt indad. Udtaget (Fig. 1 c) har den vel en noget anden Form; den afsmalnes noget i Brede fra Basis til henimod Midten, hvor den afsmalnes stærkt og bøjer lidt fremad for saa atter ved den forreste Leddetap at bøje adskillig indad, ligesom den ogsaa stadig afsmalnes noget. Dens yderste Baghjørne (e) er noget udtrukket og dækket af Hovedets Skelet. — Den første Afvigelse fra Cirolana og Corallana og Overensstemmelse med Barybrotes og Æga ligger nu i, at Kindbakken lige fra Basis skraaner betydelig indefter, hvoraf følger, at dens forreste Leddetap kommer til at ligge meget nærmere ved Hovedets Midt- linie end dens bageste Leddetap; Vinklen mellem Kindbakkens distale Parti udenfor for- reste Leddetap og dens Corpus er meget stump, og af begge disse Forhold følger, at den Adduktion og Abduktion, Kindbakkens Apex kan udføre, bliver temmelig lille. Den anden Afvigelse fra de 2 forrige Familier er, at et Stykke af Kindbakkens apicale Del, kun ikke Vidensk. Selsk, Skr,, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 37 286 | 50 selve Apex, er, ligesom hos de 2 næste Familier, dækket af Labrum og Para- gnatherne, saa at man ser Kindbakkernes Apex stikke frem nede i et Hul, begrændset af Labrum og Paragnatherne. Venstre Kindbakkes apicale Parti er, set indenfra (Fig. 1 d), tykt til tæt indenfor Spidsen, hvor det udhules til en Grube for hejre Mandibels Apex; det ender med en temmelig kort, meget skraa, skarp, svagt 3-fliget Skjererand, hvis bageste Flig er langt stærkere udviklet end de andre, omtrent ligesidet trekantet. Højre Mandibels Apex (Fig. le og Fig. 1) har en lidt anden Form, dens Skjererand er ved et dybt Indsnit delt i 2 Flige, af hvilke den forreste er kortere og bredere, den bageste lengere og spids, halvt afsat ved en Fure. : Lacinia mobilis og Pars molaris mangle ganske paa begge Kindbakker. - Palpen er vel udviklet, bygget omtrent som hos Cirolana. 3. Første Par Kjæber (Fig. 1g) er af Længde med Kindbakkerne og kraftig udviklet. De 2 Rodled ligne meget betydelig dem, man træffer hos Cirolana, og det samme er Tilfældet med Iste Leds Flig, der dog afviger ved, at dens udadtil mærkelig udfligede Spidse mangle Torne. Tredie Led er kraftigt, bredest ved Midten og afsmalnes derfra sterkt bagtil og noget fremefter; dets Forende vender lidt indad, er skraat afskaaren og vebnet med 2 tykke, krumme Torne og et Par Smaaberster. Den forreste af disse Torne naar hen til den lille Mundaabnings Bagende. 4. Andet Par Kjæber (Fig. 1h) er paafaldende korte, men dog ret brede Plader, med afrundet, bred Forende uden Flige. Det er forøvrigt saa reduceret og om- dannet, at jeg ikke ter indlade mig paa en Tydning af dets Elementer. 5. Kjæbefødderne (Fig. 1 i) ligne væsentlig de samme Mundlemmer hos en Eurydice; den væseniligste Afvigelse er, at deres proximale, af 3 Led og Epipodit be- staaende Afsnit har brede Partier af bled Hud imellem Chitinstykkerne. Andet Led mangler Flig og Heftekroge. Den 4-leddede, ret brede Palpe er meget bevægelig og har berstebesatte Rande. 6. Paragnatherne (Fig. 1b,h) ere særdeles mægtige, ret tykke, nedenfra for en stor Del synlige Plader, der naa meget nær og maaske som oftest helt sammen i Midtlinien i Størstedelen af deres Længde og strække sig saa langt fremefter, at de med et ret bredt Endeparti dække over Kindbakkernes subapicale Dele og naa frem til Labrums Bagrand; deres forreste Inderhjerne er skraat afskaaret, saa at de her ikke naa sammen i Midtlinien, men efterlade et Hul, der fortil begrændses af den emarginerede Overlæbes Midte, og i dette Hul ser man Spidsen af Kindbakkerne stikke frem (samlgn. ga og Cymothoa). De ere i det mindste i en stor Del af deres Længde ikke forbundne med og vistnok helt frie af Kindbakkerne. SL 287 De 6 af de 7 Exemplarer af denne Art ere tagne i Gjællehulen af forskjellige Fiske, kun om den eneste fundne Han findes ingen Oplys- ninger. Alle 6 Hunner og særlig de 2 største Exemplarer vare opsvul- mede og udspilede som en blodfyldt Æga, og Indholdet af Tarmen af det bedst bevarede Stykke er ifølge Dr. Berghs Undersøgelse vistnok Blodkoaguluw. Mundbygningen forekommer mig at stemme vel overens med Opholdsstedet for Hun- nerne og med Indholdet af disses Tarm. Kindbakkerne ere ikke i Stand til at dreje deres Spidser synderlig langt ud af Munden, derimod ere de baade ifølge deres Bevægelse og Formen af deres apicale Parti med den meget korte Skjærerand udmærket skikkede til at bide et mindre Hul; deres Spidser virke ogsaa i et temmelig smalt Rør, der vistnok godt kan tjene som Sugerør og hvis Munding, som ovenfor omtalt, begrændses af Labrums Midte og Paragnathernes forreste Inderkanter. Første Kjæbepars 2 stærke Torne paa det kraftige 3die Led hjælpe sandsynligvis til at gribe fat i det, der skal behandles af Kindbakkerne. Andet Par Kjæber spiller vist en ganske underordnet Rolle, og Kjæbeføddernes Funktion er vist ogsaa temmelig lille, men hvori den egentlig bestaar, kan jeg ikke angive. 2. Aleirona insularis m. Denne Art (Tab. VIII, Fig.2b—2f) stemmer i alt væsentligt overens med A. Krebsii; de væsentligste Afvigelser ere, at Overleben (Fig.2b,c) er noget længere, Kind- bakken kortere med bredere Roddel og venstre Kindbakke (Fig. 2 c) har (saavidt jeg efter Undersøgelsen af den ene Side af et enkelt lille Exemplar kan skjønne) en ganske lille Lacinia mobilis lidt bag Spidsen. (Højre Kindbakke er ikke undersøgt.) b. Lanocira Krøyeri m. Munddelene in situ staa temmelig lidt frem, og fra Bagranden af Labrum skraane de bagud betydelig nedad. 1. Clypeus (Tab. VIII, Fig.3b,b) er temmelig lille, ikke dobbelt saa stor som Labrum, svagt halvmaanedannet og dens bageste Sidehjørner naa næppe saa langt tilbage som Labrums Bagrand. Labrum (Fig.3b,c) er forholdsvis lidt større end hos foregaaende Slægt, omtrent en halv Gang saa smal som Clypeus, over dobbelt saa bred som lang, bagtil udrandet. 2. Kindbakkerne (Fig.3c) have en lignende Retning som hos forrige Slægt, men Formen og Bygningen er dog noget forskjellig. Det maa strax bemærkes, at jeg (af Mangel paa Materiale) kun har undersøgt venstre Mandibel. Det bageste Parti er som sædvanlig bredt, men den med bageste Leddeknude udstyrede Del er trukken stærkt bagud. Kindbakken afsmalnes saa meget stærkt indtil Midten, men udvides derpaa atter noget frem- 37* bo 0.0} [0 2) 52 efter indtil det Sted, hvor forreste Leddeknude findes. Det apicale Parti er omtrent som hos Alcirona, men tæt bagved dette har jeg fundet 2 Fligdannelser, som ligge tet bag hinanden, have tornfligede Spidser og vist maa svare til Lacinia mobilis (b) og Pars molaris (c). (Jeg tør forresten ikke garantere den fuldstændige Rigtighed af denne Fremstilling, da jeg kun har undérsøgt 1 Mandibel af et enkelt, meget lille og ikke godt konserveret Exemplar.) 3. Første Par Kjæber (Fig.3d) afviger ligeledes adskilligt fra den forrige Slægts. Første Led og dets Flig ere noget bredere og anderledes formet. Tredie Led opnaar temmelig hurtig sin anselige Brede og afsmalnes saa jævnt ud mod Enden, der er væbnet med en enkelt, meget lang og krum Krog; dernæst er dets bageste Halvdel rettet adskillig indad, men ved Midten bøjer det, saa der fremkommer en stump, indadgaaende Vinkel paa Ydersiden, og dets yderste Halvdel er rettet næsten lige fremad. 4. Andet Par Kjæber (Fig. 3 e) er meget mærkeligt og ret vel udviklet. Hver Kjæbes Hovedmasse udgjør en anselig, omtrent skjæv firkantet Plade, der for største Delen maa svare til 2det Leds Flig og ved dens bageste Yderhjørne findes de 2 korte, men brede Rodled. Pladens Inderrand er ret, forreste Inderhjørne bærer nogle faa Haar, og fra det udgaar en lang, meget smal Flig, hvis Spidse atter bærer en Dannelse, der har Udseende af en bred og lang Borste; denne Flig maa være tredie Leds. 5. Kjæbefødderne (Fig. 3f) ere væsentlig byggede som hos Alecirona. 6. Paragnatherne. Om disse kan jeg ikke meddele Oplysninger af Betydning. Skjendt ovenstaaende Fremstilling er noget ufuldstændig og paa enkelte Punkter noget usikker, saa ere de fremdragne Forskjelle i flere af Munddelene saa store, at de fuldt ville retfærdiggjøre min Udskillelse af Dyret fra A/cirona. — Om Artens Levemaade véd jeg intet. c. Tachæa crassipes Sch. & Mein. Af denne Slægt har jeg kun uddissekeret Munddelene hos den ene Art, 7. crassipes, men en udvendig Undersøgelse med stærk Lupe af den anden Art, 7: incerta, har ikke vist mig Forskjelle, der kunde tyde paa væsentligere Differentser. i de skjulte Dele hos disse 2 hinanden nærstaaende Årter. Munddelene staa meget lidt frem paa Hovedets Underside (Tab. VIII, Fig.4a og Tab. IX, Fig. 1); Overlæben er det højeste Punkt, men ligger dog saa lavt, at den næppe kan ses, naar Dyret betragtes lodret fra Siden. 1. Clypeus (Fig. 1, b) har omtrent en lignende Form og Størrelse som hos Lanocira, men jeg har ikke kunnet finde nogen skarp Grændse mellem den og Labrum, der, saavidt jeg kan skjønne, udgjør den mindre, tværliggende Plade paa Bagranden af 53 | 289 Clypeus. Clypeus sænker sig fortil dybt ned til Pandepladens Rod, saa at det faar en stærkt fremadvendt Overflade. 2. Kindbakkerne (Fig. 1, d og Fig. I a) stemme meget overens med Aleirona’s, dog findes enkelte væsentligere Forskjelle. Deres bageste Halvdel er langt smallere end hos Aleirona, og den største Brede ligger lidt bag Midten af Kindbakken, saa at denne herfra afsmalnes noget bagtil. Dernæst er Partiet mellem bageste og forreste Leddeknude noget længere og Partiet mellem forreste Leddeknude og Spidsen adskilligt kortere end hos Alcirona. _Det yderste Parti gaar jævnt ud i en aflang trekantet, indad og lidt bagud rettet Spids, og paa Kindbakkens Underside (naar Kindbakken ses udvendig fra) findes tæt bag denne Spids en anden, vistnok tilleddet, kegledannet, spids Tap, der vel maa be- tragtes som en svagt udviklet Lacinia mobilis. Højre og venstre (afbildede) Kindbakke ere omtrent ens. Kindbakkernes apicale Parti dækkes væsentlig af Labrum-Clypeus og i mindre Grad af Paragnatherne. — Palpen er i det væsentlige bygget som hos Aleirona. 3. Første Par Kjæber (Fig. 1b) ligner betydelig Alcirona’s. Rodleddet er kraftigt; dets Flig er paafaldende lang og naar langt frem foran Midten af 3die Led; Fligens Spids: er svagt fortykket, med en enkelt Borste. 2det Led har jeg ikke kunnet sondre sikkert fra 1ste. 3die Led er næsten lige, bredest noget bag Midten og afsmalnet mod Spidsen, der bærer en meget kraftig og anselig, svagt krummet Torn. 4. Andet Par Kjæber (Fig. ic) er forholdsvis mindre og mere reduceret end hos nogen anden her behandlet Isopod. Hver Kjæbe danner en lille, aflang, 2-leddet Plade med afrundet, glat Forende, og det frie Endeparti er næppe mere end en Fjerdedel af hele Kjæbens Længde. 5. Kjæbefødderne (Fig. 1d) ere mere reducerede end hos Alcirona. De naa dog næsten frem til Mundaabningen (Fig. 1). Det proximale Afsnit bestaar kun af 2 Led, idet 3die Led er sammensmeltet med 2det Led, der til Dels af den Grund indtager over Halvdelen af hele Kjæbefodens Længde. Fligdannelser mangle. Palpen er som sædvanlig 4-leddet, aflang, pladedannet, men forholdsvis temmelig kort og næppe synderlig bevægelig mod Kjæbefodens proximale Del i Retningen udad og indad; dens Børsteudstyr er meget ringe, indskrænket til noget faa Børster paa Yderranden af de 3 sidste Led. 6. Paragnatherne (Fig. 1, h og Fig. le) ere tykke, meget brede, adskilte ved et temmelig kort, fortil. temmelig smalt, bagtil yderst smalt Mellemrum; deres Forende er bredt afrundet med en lille Tap paa forreste Inderhjørne; noget bagved denne Tap ses en lille Udposning, som jeg tyder som et første Spor til den hos Æga mere udviklede Inderflig. Paragnatherne naa fremefter helt hen til Labrum, saa at Mundaabningen her begrændses som hos Aleirona. 990 . 54 Slægten afviger saaledes fra begge de 2 forrige Slægter især ved Bygningen af Kindbakkernes apicale Parti og ved Kjæbefødderne; fra Alcirona afviger den desuden især ved Clypeus’ ringe Størrelse og ved kun at besidde 1 Torn paa Spidsen af første Kjæbe- pars 3die Led; fra Lanocira afviger den ogsaa ved det stærkt reducerede 2det Par Kjæber. De af mig undersøgte Dyr ere sikkerlig ikke voxne; de ere tagne paa Koral- klipper. Om Levemaaden vides intet, men det forekommer mig ifølge Mundbygningen sandsynligt, at de leve af at udsuge andre Dyr, dog gaa de, ifølge Mandiblernes Bygning, næppe paa Fiske. Familien Alcironidæ skjelnes uden Dissektion let fra alle de andre Familier ved en Kombination af de to Karakterer: Kindbakkerne skraane betydelig indad fra Roden til Spidsen, og deres smalle apicale eller subapicale Parti er dækket af Labrum og Paragnatherne; Kjæbefødderne ligge frit og have en nogenlunde bred, pladedannet, 4-leddet, tornles, i Randen mere eller mindre haaret Palpe. Karakteren hentet fra Kindbakkerne har Familien til en vis Grad fælles med Barybrotide og Ægidæ, Karakteren fra Kjæbefødderne til en vis Grad med Corallanidæ og især med Cirolanide. IV. Familien Barybrotidæ. Af denne Familie kjendes kun 1 Art, Barybrotes agilis Sch. & Mein., hvis Mund- bygning altsaa beskrives. Det kan ogsaa strax anføres, at jeg ikke har set nogen med Æggeplader udstyret Hun. : Naar Hovedet ses fra Siden (Tab. IX, Fig.3b) falder det strax i Øjnene, at Mund- delene in toto springe frem fra Hovedets Underside som en -anselig, skraat fremad og udad rettet, afstumpet Kegle, og alene dette er tilstrekkeligt til at adskille denne Familie fra de andre her behandlede Isopoder. Sete nedenfra indtage Munddelene et smallere Parti af Hovedets Underside (Fig. 3 c). 1. Clypeus og Labrum (Fig. 3d) danne tilsammen en anselig, næsten ligesidet Trekant, der fra sin Rod rettes udad og fremad, saa at man, naar Hovedet betragtes lodret nedenfra, kun ser den afrundede Top af Trekanten (Fig_3 c, b), thi dens frie Over- flade vender væsentlig ud mod Hovedets Forende mellem Mandibularpalperne; vil man se Clypeus, maa Hovedet betragtes fra Siden (Fig. 3b, c) eller forfra. Labrum (Fig. 3 d, b) er.en temmelig lille, tværliggende Plade paa Enden af Clypeus; fra Labrums Sider strækker et forholdsvis ret anseligt, blødhudet Parti (Fig. 3 d og Fig.3e,c) sig et godt Stykke til- bage langs Sideranden af Clypeus. Labrum har en dobbelt, fast chitiniseret Væg, (Fig. 3e), og dens Indervæg er mindre end dens Ydervæg. — Clypeus begrændses ved 55 291 Roden af en noget indbuet Rand, der med en vel udviklet Leddehud er forbunden med det bageste Afsnit af den store Lamina frontalis (Fig. 3 c, a). (Paa Indersiden af Clypeus ud mod dens Spidse findes noget indenfor dens Siderande en uregelmæssig Række yderst fine Haardannelser, som synes at være Sandseredskaber (Fig. 3 e).) 2. Kindbakkerne ere fra Roden til Spidsen rettede skraat fremad og betydeligt indad; betragtes Hovedet nedenfra (Fig. 3 c, d) ser man knap deres proximale Halvdel og deres alleryderste Spidse, det meget store mellemliggende Parti er ganske skjult af Kjæbefødderne. Udtaget har venstre Kindbakke (Fig.3f) Form af en lang og smal, fremefter nogenlunde jævnt afsmalnende Trekant, hvis bageste Inderhjørne er stumpvinklet, hvis Inderrand er næsten ret fra Roden til nær ved Spidsen, medens Yderranden er temmelig svagt, men bredt indbuet ved Palpens Tilledning. Et Afsnit ved Kindbakkens bageste Yderhjorne (e) er som sædvanlig overdækket af Hovedets Chitin (sammenlign Fig.3f med d paa Fig. 3 cc). Den forreste Halvdel af Kindbakken hæver sig noget opad fra Hovedets Underside (d paa Fig.3b). Det lille, yderste Parti er bøjet betydeligt indad og ender med en kort, i Forhold til Hovedets Længdeaxe svagt skraa Skjærerand, der fortil løber ud i en lidt større og trekantet, bagtil i en ganske lille Tand. Paa Kind- bakkens Inderrand findes en ret anselig, langstrakt, ikke synderlig bred og temmelig svagt chitiniseret Plade (b), der begynder ved Roden af Kindbakkens yderste Trediedel og frem- efter naar til Skjærerandens Baghjorne; denne Plades Inderrand har fremefter nogle korte Børster, bagtil gaar den ud i en lille Flig; den maa anses for homolog med Lacinia mobilis hos Crolana. Pars molaris mangler ganske. Højre Kindbakke ligner venstre meget, kun er der som sædvanlig lidt Forskjel i Skjærepartiet, særlig synes dets forreste Tap at være lidt længere og lidt mere krummet. — Kindbakkerne ere ikke forbundne med Paragnatherne. Palpen er meget fint udformet; Rodleddet er lidt længere end 2det Led, 3die Led er smalt og noget forlænget; begge de 2 yderste Led have en rigelig Børstebesætning langs Yderranden. 3.. Første Par Kjæber (Fig. 3 g) afviger betydeligt fra de foregaaende Slægters, men ligner, meget Kjæberne hos en Æga. Første Led er middellangt, noget knæ- bøjet ved Midten, dets temmelig spinkle Flig naar knap til Midten af 3die Led og ender med en lang, kraftig, næsten lige Torn. Andet Led er kun en lille Knude. Tredie Led er langt og paafaldende smalt, set nedenfra næsten lige, set fra Siden noget bugtet for at kunne føje sig efter de foran liggende Munddele; dets yderste Halvdel er noget bredere end Roddelen; paa den skraa Enderand sidde et Par ikke lange, meget stærke, krumme Kroge og nær disse og noget tilbage langs Inderranden nogle kraftige, krumme Børster. 4. Andet Par Kjæber (Fig. 3 h) afviger overordentlig meget fra Ægernes, men ligner derimod meget det samme Par hos Lanocira. Rod- leddet (sammenlign Lanocira og Corallana) har jeg ikke kunnet finde fuldstændig ud af; 292 56 andet Leds Flig er noget kortere end hos Lanocira, 3die Leds Flig er lidt kortere og bredere og ender med et Par smaa Haar; Inderranden af 3die og 2det Leds Flige danner en lang, ret Linie. Hele Kjæben er meget tynd, pladedannet. 5. Kjzbefodderne (Fig.3b,g, Fig.3 c,g, Fig. 3i, Fig.3k og Fig. 31) afvige aldeles fra de forrige Familiers; de ere omdannede til at omslutte den yderste Halvdel af alle de foregaaende Munddele paa en lignende Maade som, men dog langt fuldstændigere end hos Æga, og de ere derfor byggede efter et noget lignende Princip som hos denne Slægt. De ere saa lange, at deres forreste, kantstillede, først noget udad og derpaa stærkt indad bøjede Afsnit næsten naa sammen ved Midtlinien foran den frie Forside af Clypeus. — Første Led er ganske kort (Fig. 3 i), Epipodiet (ep) en ret anselig, oval Plade; 2det Led er temmelig langt uden Inderflig og Heftekroge og 3die Led er kort, begge disse Leds mod Midtlinien vendte Parti er tykt, saa at de to Kjæbefødder her, i knap Halvdelen af deres Længde, kunne slutte tæt op til hinanden med en lodret stillet, ret høj Flade, og paa Grund af denne Tykkelse ved Midten have Kjæbefodderne tilsammentagne en temmelig kjeldannet Form. 4de og Ste Led ere sammensmeltede, saa at Sømmen mellem dem endog er forsvunden; det derved fremkomne Led er særdeles langt, saa at dets Forende naar lidt frem foran Labrum, udefter bliver det bredere og krummes desuden til at danne et noget uregelmæssigt Halvrør, saa at dets Yderparti bliver kantstillet og med de yderste 7/5 af Længden om- slutter Kindbakkerne paa Siden og gaar fortil frem om Clypeus' Siderand; be- tragter man Kjæbefødderne in situ nedenfra (Fig. 3 c), saa vise de to fjerde Led sig at naa sammen i Midtlinien i de bageste ”/3 af deres Længde, ja bøje endog paa en Strekning i Midtlinien nedad mod de underliggende Munddele med Inderranden; i den sidste Trediedel af deres Længde. vige de fra hinanden og give Plads til Mundaabningen, der fortil be- grændses af Labrum, og i hvilken man ser Spidserne af Kindbakkerne og af første Par Kjæber. Ud mod Spidsen sidder lidt indenfor Inderranden en mindre Længderække af korte, tykke Kroge; forreste Yderhjørne er (Fig. 31) udstyret med nogle faa, lange Børster. — Kjæbefodens 2 sidste Led ere korte og brede og bøjede ind over den fremad vendte Side af Clypeus-Labrum, og naar Munddelene ses in situ nedenfra, ses disse Leds opad vendte (Fig. 3 c), med nogle faa; men stærke, udåd rettede Kroge (Fig. 3 k og Fig. 31) udstyrede Inderrand foran Labrum. 6. Paragnatherne (Fig. 3 m, h) og den Del af Hovedets Skelet, der bærer dem, springe fremefter stærkt ud fra Hovedets Underside op mellem Kindbakkerne. Heraf følger, at de noget muskelfyldte Plader, der bagtil udspringe fra Hovedets Skelet under Paragnathernes Rod og paa Siderne støde op til Mandiblernes Inderrand (sammenlign Tab.I, Fig.1n af Cirolana), fremefter gaa over i Huden, der beklæder Indersiden af Labrum og af noget af Clypeus og imellem sig have den Længdespalte, der udgjør selve 57 293 Indgangen til Syælget, hos denne Form blive 2 temmelig smalle Baand, der, naar Hovedet ses nedenfra, ligge saa højt over dettes Flade, at de fæste sig til Indersiden af Clypeus ved Roden af dettes yderste Trediedel. Med andre Ord: naar Hovedet med Munddelene ses fra Siden og den nødvendige Preparation tænkes foretaget, vilde man finde den Hud, der beklæder Hovedets Underside mellem Kindbakkernes indre Ledderande, Skelettet ved Paragnathernes Rod og Clypeus-Labrum, rykket saa langt ud mellem Munddelene, at den fortil laa langt nærmere ved Mundkeglens Spids end ved dens Rod. — Paragnatherne (h) selv ere 2 frie, temmelig lange og tynde, ikke synderlig brede, udefter tilspidsede Plader, der først i deres yderste Trediedel vige en Del fra hinanden med Inderrandene og som sædvanlig gaa fremad mellem Mandiblerne og første Kjæbepar. Den eneste kjendte Barybrotes-Art er kun tagen pelagisk; Bygningen af dens Halevifte og dens 2 bageste Par Ben tyder ogsaa paa, at den maa være en udmærket Svømmer. Paa de 3 forreste Par Ben danne 7de Led og Kloen tilsammen vel udviklede Kroge omtrent som hos Æga. Man véd intet om Dyrenes øvrige Levevis, og jeg kan derfor kun fremsætte nogle Betragtninger paa Basis af de nævnte Bygningsforhold af Mund og Kropben. Hos intet af mine 5 Exemplarer var Bugsiden opsvulmet; en Under- søgelse af Tarmens Indhold hos 1 Exemplar gav intet Resultat. Hele Mundens og da særlig Kindbakkernes og i endnu højere Grad første Kjæbe- pars og Kjæbeføddernes Bygning minde meget om de samme Organer hos ga. Kind- bakkerne kunne paa Grund af deres Retning, Tilledning og Korthe@en af den ind- krummede, apicale Del ikke fjerne deres Spidser ret langt fra hinanden, derimod ere de udmærket indrettede til hurtigt og sikkert at bide et mindre Hul paa et andet Dyr. Kjæbe- fødderne omslutte som beskrevet de øvrige Munddele længere fremefter og tillige fuld- komnere end hos Æga, thi de lukke endog Mundrøret bagfra lige til Spidsen af første Kjæbepar, medens hos Æga en Del af denne Strækning lukkes af andet Kjæbepar, og dernæst slutte de her langt mere ind over Clypeus-Labrum end hos Æga. Den Tornvæbning, der her træffes ud mod Spidsen paa den øverste Rand af de 3 sidste Led, gjenfindes hos Æga, og Funktionen heraf er vist den samme som den, der senere bliver paavist hos Æga og især i en simplere og mere klar Form hos Roecinela. Ved Sammenligning med Æga er der ingen Tvivl om, at man her har en Sugemund for sig, men denne Sugemund er trukken ud i en længere, fremad rettet Kegle. Hele Bygningen synes ikke som hos Æga beregnet paa at suge paa samme Sted i et længere . Tidsrum, men mere paa at anfalde et andet Dyr, klamre sig godt fast med de 3 forreste Par Kropben, hurtig bide Hul og suge noget af Byttets Blodvædske i sig, for saa atter at forlade det. Hvilke Dyr Barybrotes anfalder, véd jeg ikke, dog formoder jeg, at det ikke er Fiske. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 38 294 58 Familien kjendes let fra alle andre Familier paa den skraat fremad rettede Mundkegle og paa de særdeles lange Kjæbefødder med det stærkt for- længede 4de (4de og bte) Led. (Den stemmer i mange Henseender meget overens med -Æga, men afviger i flere Karakterer, af hvilke den mest iøjnespringende vel er den aldeles forskjellige Bygning og Funktion af 2det Kjæbepar, der derimod stemmer med den forrige Families.) V. Familien Ægidæ. Da Mundbygningen indenfor denne Familie ikke er fuldt saa ensformig som de fleste Forfattere synes at have antaget, maa jeg gjennemgaa dens Typer for at opnaa en ordentlig Oversigt over Mundens Former og deres mulige Anvendelse i Systematiken, samt endelig for at faa de virkelige Differenser mellem Mundbygningen hos Ægider og Cymo- thoider dragne frem. a. Æga psora (L.). a. Hannen samt Hunnen uden Æggeplader. Hovedets Underside (Tab. IX, Fig. 4) er bred og flad; paa denne Flade ses Kjæbe- fødderne bagtil som en lavere, fremefter som en højere Kjøl, indtil man paa Midten af Hovedets Underside ser Spidserne af alle de andre Munddele omsluttede af de i betydelig Grad kantstillede Kjæbefodspalper ragende frem som en lodret, kort og stump Kegle (Fig. 4 a). 1. Clypeus og Labrum (Fig.4b) danne tilsammen en næsten lodret eller svagt tilbagerettet, ret anselig og bred, henimod Midten noget afsmalnet, i Enden bredt afrundet Plade, af hvilken Clypeus (b) udgjor den større Grunddel, medens Labrums fast chitiniserede Del (c) er en mindre, oval, tværliggende Plade; om Spidsen og paa Siderne af Labrums Plade samt tilbage langs Clypeus’ Siderande findes et forholdsvis bredt, pude- agtigt, blødhudet, fint og korthaaret Parti (d). 2. Kindbakkerne (Fig. 4, d samt Fig. 4 c og Fig.4 d) have, naar man ser bort fra det i høj Grad skjævt knæbøjede apicale Parti, Form af en aflang Trekant; deres bageste ?/3 ses at ligge frit som temmelig flade Plader paa Hovedets Underside og ere fra Roden fremefter rettede meget stærkt indefter Midtlinien; deres sidste Trediedel er, med Undtagelse af den alleryderste Spids, dækket af Paragnatherne, Labrum og især af Kjæbefodderne. Medens de bageste °/a af hver Kindbakke ere omtrent parallele med og ikke hæver sig ret meget op over Hovedets Underflade, saa bøjer den sidste Fjerdedel stærkt indad og, naar Hovedet ses nedenfra, stærkt opad, saaledes at Kindbakkens Apex 59 295 kommer til at ligge ved Hovedets Midtlinie ved Spidsen af Labrum, altsaa i et, nedenfra set, langt højere Plan end Størstedelen af Kindbakken; den apicale Fjerdedel kommer altsaa til at danne en meget udpræget, men dog stump Vinkel med dens større Roddel, baade naar Kindbakken ses nedenfra (Fig.4c) og naar den i udtaget Tilstand ses fra Inderkanten, hvilket Forhold er afbildet hos den noget lignende Werocila (Tab. X, Fig. 3c). — Kindbakkens forreste Leddeknude (Fig.4 c, d) findes paa Yderranden netop der, hvor den sidste Fjerdedel bøjer indefler. — Det indbojede Endeparti er aldeles ikke forbundet med Basaldelen ved Ledfojning eller tyndere Hud, tværtimod strækker den tykke Chitin sig gjennem Kindbakkens hele Længde. Omtrent Halvdelen af det indbojede Parti afsmalnes jævnt og betydelig mod Spidsen, der er trukken ud i en meget haardt chitiniseret, paa højre Mandibel smal og ret skarp Spids (Fig. 4d), paa venstre Mandibel lidt hagedannet, udenfra set temmelig smal, afrundet Spids. Midt mellem denne Spids og Knæbojningen ligger paa den ind mod Hovedet vendte Side et lille, temmelig blodhudet Parti uden Borster, maaske Resten af Lacinia mobilis (Fig.4d). — Paa Grund af Kindbakkens Retning, dens overordentlig lange Tilledning og Kortheden af det frie, indad bøjede Endeparti bliver den Bue, Kindbakkens Spids kan beskrive, temmelig lille, men samtidig bliver Biddet paa Grund af de beskrevne Forhold meget sikkert og kraftigt. — I Inderhjornet, hvor Kindbakkens forreste Del bøjer indad, er den fast forbunden med Paragnathernes ydre Baghjorne, saa at en stor Del af Paragnathen ofte folger med, naar Kindbakken fjernes fra sit Leje. Palpen, der er indleddet temmelig ner ved Kindbakkens ydre Baghjorne, er temmelig sver; forste Led er paafaldende kort, andet meget langt med nogle faa Borster i Spidsen, tredie Led er atter kort med rigelig Borstevebning paa Yderranden. 3. Første Par Kjæber (Fig.4e og Fig.4f) ligner meget det samme Par hos Barybrotes. Hver Kjæbe er fuldt saa lang som Kindbakken og meget smækker. Iste Led er paafaldende langt, dets Flig er meget spinkel og ender med en lille Fortykkelse uden Haar eller Torne lidt bag Midten af 3die Led. det Led er en lille Trekant. 3die Led er slankt men ret kraftigt, bredest i det proximale Afsnit, dernæst, set fra Siden, noget bugtet med opbojet Endeparti for at kunne passe tet til de andre Munddele og med Spidsen naa op i Mundkeglen bag Paragnatherne (Fig. 4); den smalle, skraa Enderand er udstyret med talrige, stærke, næsten lidt S-formig buede Kroge (Fig.4f), af hvilke de forreste ere langt større end de bageste. 4. Andet Par Kjæber (Fig. 4, f og Fig. 48) er forholdsvis langt større end hos nogen af de foregaaende Slægter, og det hidrører fra, at dets distale Parti er, blandt andet, udviklet til at hjælpe til med at lukke Sugerøret bagtil. Første Led er lille ; 2det Led er temmelig kort og bredt, dets Flig, hvis Yderrand er sammenvoxen med 3die Led 38* 296 60 (sammenlign Cirolana) er en meget lang og bred, udefter noget kantstillet Plade. Det yderste Parti af Munddelen dannes af en ret anselig, afrundet Plade med nogle noget bagud rettede Kroge langs Inderranden, og denne Plade anser jeg for at være homolog med 3die Leds Flig (I?) hos Cirolana; indenfor Pladen findes en noget kortere, smal Flig med Torne i Spidsen, dens Inderrand er en direkte Fortsættelse af 2det Leds Fligs lange, paa en lang Strækning retlinede Inderrand, og jeg er tilbøjelig til at antage denne lille Flig for en Endeproces af 2det Leds store Flig (Fig. 4 g, 1°). 5. Kjæbefødderne (Fig.4, g og Fig.4h) ere meget interessante. {ste Led er kort, med en anselig, næsten trekantet Epipodit (g'). 2det Led er stærkt forlænget, saa at det udgjør Halvdelen af hele Kjæbefoden; det er tyndt ved Yderranden, for- tykkes stærkt indefter, saa at dets retlinede Inderrand har Form af en ret bred, lodret stillet Flade, der slutter tæt sammen med den anden Kjæbefods Inderflade ligesom hos Barybrotes; paa Grund af denne Form danner det Led af de to Kjæbefodder tilsammen en Længdekjøl paa Hovedets Underside. Leddet løber fortil paa Undersiden (set nedenfra) frem i en temmelig lille, i Spidsen afrundet, kroglos, ikke tilleddet Flig (Fig. 4 h, 1”), der ses at stikke lidt frem foran Enden af 3die Led indenfor det noget udad bøjede åde Led. 3die Led er meget kort. De 4 yderste Led af hver Kjæbefod legge sig i en Bue udenom detdistale, til en kort Kegle samlede Parti af alle de øvrige Munddele; de blive fremefter drejede mere og mere paa Kant for at kunne omslutte denne Kegle. Alle 4 Led ere tydelig adskilte og lidt bevægelige indbyrdes; de 2 bageste ere de længste og bredeste, det yderste er lille; Enderanden af sidste Led og den opad vendte Inderrand af næstsidste og tredie sidste samt Spidsen af første Led ere udstyrede med en Række væsentlig udad vendte Kroge. ; Mellem Kjebefodspalperne kan man se alle de andre Munddeles Spidser (Fig. 4); forrest Labrum (c), tet bagved denne Mandiblernes Apex (d), derpaa Paragnathernes Yder- flig (h), derpaa første Par Kjæber, derpaa 2det Par Kjæbers i en stor Yderflig og en lille Inderflig delte Endeparti (f), endelig Fligene fra Kjebefoddernes andet Led. 6. Paragnatherne (Fig. 4i) ere korte, brede, tykke og skilte ad igjennem hele deres Længde, men dette falder ikke i Øjnene, da deres Inderrande berøre hinanden fra Roden af og et langt Stykke udefter. Hver Paragnath gjør Indtryk af at bestaa af 2 trinde, spidse Flige, en kortere, fremad rettet Inderflig og en noget længere, omtrent fra Midten betydelig indad bøjet Yderflig, men begge Flige ere sammenvoxne i Inderfligens hele Længde. Mellem Inderfligenes Ender og Yderfligenes Inderrande findes et temmelig lille, aflangt Mellemrum. Yderfligenes bageste Yderhjorner ere, som ovenfor nævnt, sammen- voxne med Kindbakkerne; Fligene ligge ovenover og lidt bagved Kindbakkernes apicale Parti, og Yderfligene vise sig i Mundaabningen (Fig. 4, h). 61 : 297 ß. Hunnen med Æggeplader. Jeg har ikke set nogen Hun med Æggeplåder af Æga psora (L.), derimod af Æ. ventrosa M. Sars og E. spongiophila Semper. Forreste Par Æggeplader ere her saa store, at de dække over Mundaabningen og over alle Munddele undtagen Clypeus og en Del af Labrum samt omtrent Halvdelen af Kindbakkernes Palper. Som Følge deraf kan Dyret i denne Tilstand ikke tage Føde til sig, og man har da heller aldrig truffet en æggebærende Æga paa en Fisk. Jeg har af Mangel paa Materiale ikke foretaget en Dissektion, men har slaaet første Æggeplade noget til Side, og det viste sig da, at Kjæbefodens Vifte var særdeles stor, men naaede ikke til Yderranden af Ægge- pladen, og hele Indtrykket, jeg fik, stemmede overens med den Fremstilling, jeg har givet lidt senere af en æggebærende Hun af den anden Ægide-Slægt Æocinela, hvorfor jeg her nøjes med at henvise til denne Form. Aiga psora (L.) og adskillige andre Arter træffes som ‘bekjendt ikke saa sjeldent paa Huden af Fiske, og man finder oftest deres Tarmkanal mere eller mindre stærkt op- svulmet af Fiskeblod. Det er ogsaa sandsynligt, at alle Arter undtagen den mærkelige Liga spongiophila Semper ernære sig paa denne Vis. Den beskrevne Mundbygning er ogsaa udmærket skikket til at skaffe Dyrene den nævnte Næring. Kindbakkernes haarde, fine Spidser ere ypperlig egnede til at binde an selv med en dygtig skjællet og fast Fiskehud, til halvt stikkende og borende, halvt gnavende at frembringe et mindre Hul; deres Bevægelse er lille, men kraftig og sikker, hvilket er af største Vigtighed ved en saadan Funktion. Første Kjæbepars tornvæbnede Spids bidrager utvivlsomt til at kradse Hullet op og udvide det. Derimod antager jeg, at 2det Par Kjæber og Kjæbefødderne have en dobbelt Funktion, af hvilke den ene er at hjælpe til ved Sugerørets Dannelse. Den anden Funktion er vanskeligere at klare, og for at kunne dokumentere den maa jeg henvise til min følgende Fremstilling af Æocinela Danmoniensis. Man ser hos den sidst- nævnte Form en stærk Muskel i Kjæbefodens det Led, og denne Muskel maa bevirke en Udaddrejning, en Abduktion fra Mundkeglen af den korte, med udad rettede Krogtorne forsynede Palpe. Det samme maa sikkert finde Sted her; Palpen har jo udad rettede Kroge langs den frie Overrand, og man kan kun tænke sig den Anvendelse af disse, at de bruges til at kradse med fra Dyrets Midte udefter ved en Abduktion af Palpen. Naar Palperne i adduceret Stilling anbringes fast paa Fiskehuden og derpaa abduceres, ville Krogene gribe fat og stramme Huden, saa at den bliver lettere at bear- bejde for Kindbakkerne; man kan ogsaa tænke sig, at Tornene bruges til at kradse Overhud og Skjæl til Side for at rense Pladsen, hvor der skal bides. En lignende Funk- tion udøves vistnok af andet Kjæbepars Torne. Denne Abduktion af Kjæbefødder og 298 62 2det Kjæbepar forekommer mig endog næsten nødvendig for at skaffe nogenlunde fri Virksomhed for Kindbakkernes og første Kjæbepars Spidser, baade for at disse kunne naa ind til Fiskehuden og dernæst gnave i den. Følgende i Kjøbenhavns Zool. Museum opbevarede Arter: ga psora (L.), ZÆ,. tri- dens Leach, Æ. erenulata Lütken, ZE. Stroemii Lütken, <2, magnifica Dana, 2. monoph- thalma Johnst., Æ. arctica Lütken, 42. ventrosa M. Sars og E. spongiophila Semper stemme, sete udenfra med stærk Lupe, væsentlig overens med. <Æga psora. De andre af Schiodte & Meinert, Stimpson og Fl. beskrevne Æger kjender jeg ikke af Selysyn. E. oph- thalmica (M.-Edw.) afviger ifølge Opstillerens Fremstilling noget, særlig ved, at de 2 sidste Kjæbefodsled synes at være sammensmeltede, men om dette er rigtigt, kan jeg selvfølgelig ikke afgjøre; i hvert Fald staar Arten efter Milne-Edwards’ Figurer nærmere ved de typiske Æger end ved Rocinela. Higa spongiophila Semper, der ifølge Miers (op. cit. n°3, p. 510) er tagen i Euplectella Aspergillum baade som omtrent 7 Lin. lang og som voxen paa 1914 Lin. Længde, afviger ikke i Munddelenes ydre Habitus fra de andre Æger. Hvad et Dyr med en saadan Mundbygning lever af indeni den nævnte Kiselsvamp, maa Fremtiden klare. b. Rocinela Danmoniensis Leach. a. Hannen samt Hunnen uden Æggeplader. Munddelene af denne Form danne i flere Henseender en Overgang mellem ga og den til Cymothoerne hørende Slægt Nerocila. En Sammenligning mellem de respektive : Figurer (Fig. 4 paa Tab. IX, Fig. 1 og 3 paa Tab. X} vil vise dette. Hovedet er mindre bredt og dets .Underside ikke saa plan som hos Æga (Tab. X, Fig. 1). 1. Clypeus (Fig.1, b og Fig. la, a) er omtrent dobbelt saa bred som lang og rettet lodret nedad som hos Æga; Labrum (Fig. 1, c og Fig. la, b) er derimod rettet bagud og danner en næsten spids Vinkel med Clypeus, dens fast chitiniserede Del er næsten 3 Gange saa bred som lang, dens paa Siderne smallere, ved Over- eller Bag- randen bredere, blødhudede Del er ved Midten dybt indbugtet, yderst fint haaret. Naar Munddelene betragtes in situ nedenfra, ser man umiddelbart bag Labrum et Stykke af andet Par Kjæber, ja disse gaa endog med Forenden en Smule ind under Labrum, der altsaa desuden ganske dækker Spidserne af Kindbakker, Paragnather og første Par Kjæber. 2. Kindbakkerne (Fig. Ib, Fig. 16, Fig. 1 d, Fig. 1 e og Fig. 1 f) afvige en Del fra Ega’s. Deres Rod ligger ikke saa langt ud til Siden, hvorfor de fremefter skraane noget mindre stærkt indefter (Fig.1, d). Dernæst er den største Brede omtrent ved Begyndelsen 63 299 af den bageste Fjerdedel, og herfra afsmalnes de i Modsætning til Æga betydeligt mod Bagranden. Kun omtrent den forreste Trediedel er dækket af de andre Munddele. Den forreste Fjerdedel eller det indad og opad bøjede Parti er her bøjet langt mindre indad end hos Æga, ja kun den yderste Del deraf kan siges at være bøjet noget indad; paa venstre Kindbakke (Fig. 1 c og Fig.1d) gaar den apicale Del ud i en ret lang, lidt buet, afrundet, skarpkantet, med den ene Rand lidt hageagtig indbøjet Forlængelse, paa højre Kindbakke (Fig. 1e) er den samme Del langt kortere, trekantet, spids. Tæt bag denne Apex findes paa begge Kindbakkers Inderrand en lille, kegledannet, med skjælagtige Børster udstyret Tap (Fig. 1c,b og Fig.1e, b), der sammen med den bagved liggende, men blødhudede Inderrand maa regnes for Resten af Lacinia mobilis; ved Basis af det opad bøjede Parti udgaar fra Inderranden en ret anselig, fladtrykt, afrundet, bagud og noget indad rettet, temmelig svagt chitiniseret Flig (Fig. 1d,c og Fig. 1e,c), der vel nær- mest maa betragtes som den reducerede Pars molaris. Palpen (Fig.1b) er indleddet adskilligt længere fra Kindbakkens Rod end hos Æya, og den er slankere og har en noget anden Form. ste og 3die Led ere længere, 2det Led kortere end hos Æga og ikke meget længere end Iste Led; dernæst er Børste- væbningen paa 3die og 2det Led (Fig. 1 b og Fig. 1 f) bleven noget reduceret og omdannet. 3. Første Par Kjæber (Fig. 1g) afviger fra samme Par hos ga ved, at {ste Led er kortere og dets Flig synes at være forsvunden, samt ved at 3die Led er slan- kere, lige bredt i hele Længden og ender med en enkelt stærk Krog og nogle Børster. 4. Andet Par Kjæber (Fig. I h) er adskilligt smallere og endnu noget længere end hos Æga psora; den ydre Flig har ved Spidsen kun rudimentær Torn- væbning. 5. Kjæbefødderne (Fig: 1, g, Fig. 1 i og Fig. 1 k) afvige meget fra Æga's; den mest iøjnespringende Forskjel er, at man udenfra uden Dissektion kun er i Stand til at skjelne 3 Led i hver Kjæbefod. iste Led er yderst kort, opdages først ved en Præparation, og dets Epipodit er meget reduceret. 2det Led er endnu meget længere end hos Æga og over dobbelt saa langt som Resten af Kjæbefoden, men det er da ogsaa opstaaet ved en Sammensmeltning af 2det og 3die Led, og bærer fortil paa Indersiden en Flig i Form af en lille, smal Proces. 2det Led ligger i Midtlinien sammen med sin Kontrapart ganske som hos Æga; Palpen divergerer noget fra Midtlinien og bliver ogsaa stillet noget paa Kant. Palpen bestaar, set udenfra, kun af 2 Led, af hvilke det første er ret anseligt, noget længere end bredt og dannet ved en Sammensmeltning af Kjæbefodens 4de og bte Led; sidste Led er, set udenfra, meget kort, ret bredt og langs Forranden væbnet med 4 stærke Torne; ses dette Led indenfra, opdager man, at dets bageste Halvdel er skjult under det forrige Led, at det er dannet ved en fast Sammenvoxning af 2 Led 300 64 (Fig. 1k), altsaa 6te og Tde Led, og at hver af disse 2 Elementer bærer 2 af Krogene. Naar Munddelene ses i Sammenhæng, er dette tornvæbnede Endeparti oftest til Dels puttet ind under Labrum. — I Kjæbefodens 2det Led findes en mægtig Musculus abductor (Fig. 1 i, r) og en svagere M. adductor (s) for «3die» Led; i «3die» Led findes en mægtig M. abductor (t) og en svag M. adductor (u) for det «åde» Led eller Endeleddet. Dette Muskeludstyr viser tydelig nok, at en væsentlig Funktion for Kjæbefods- palpen maa være at kunne føres med Kraft wd til Siden og derved bruge sine udad rettede Endekroge; Funktionens Betydning er ovenfor omtalt ved Liga psora. 6. ‘Paragnatherne ere i det væsentlige byggede som hos ga. (Munddelene hos Ungerne af Æocinela Danmoniensis synes, efter Undersøgelse af Pullus stadii I” Sch. & Mein., ikke at afvige synderlig fra den voxne Hans.) = Æ£. Hunnen med Æggeplader. Ligesom hos Æga er første Par Æggeplader saa store, at det skjuler Mund- aabningen og alle Munddelene undtagen den forreste og midterste Del af Labrum, Clypeus og Størstedelen af Kindbakkernes Palper. Ved Hr. Prof. Lütkens store Velvillie har jeg kunnet uddissekere Munddelene paa den ene Side af en Hun med Unger af denne Art, og denne Undersøgelse har vist, at der findes paafaldende, til Dels store, hidtil ukjendte Forskjelle imellem Hannen og den yngre Hun paa den ene Side og den wggeberende Hun paa den anden Side i Bygningen af de 3.bageste Par Munddele. Første Par Kjæber (Fig.11) har 3die Led adskilligt slankere i sin yderste Halvdel end hos Hannen, og dets Yderrand er paa en Strekning fra Midten til lidt fra Roden udstyret med en Del kortere, meget fine Haar. Andet Par Kjæber (Fig. im) er fra Midten til lidt for Spidsen betydelig bredere end hos Hannen, og det gjor Indtryk af at vere udfladet paa Ydersiden; den frie Inderrand er fint dunhaaret, Yderranden er fra Midten til et Stykke fra Spidsen udstyret med c. 8 lange, fjergrenede, i en Række stillede Haar. Kjebefodderne (Fig.1n) ere omdannede efter et lignende Princip som hos Hunnerne af Cirolana og Corallana, men rigtignok i en langt hojere Grad, saa at Om- dannelsen har strakt sig til alle deres Dele. Ser man forst paa Kjebefoden alene uden at tage Hensyn til de tilkomne Plader, saa er den bleven noget kortere i For- hold til de andre Munddele end hos Hannen, dernæst har den tabt noget af sin karakteristiske Form; «Palpen», der ikke er forkortet, er rettet fremad samt paa Inder- randen og i Enden udstyret med Dunhaar og nogle lengere, fjergrenede Borster, hvor- imod Endeleddenes Tornvzbning er forsvunden; det Led er en Del forkortet 65 301 og dunhaaret langs Inderranden. Pladedannelser ere de 3 samme som hos Cirolana og Corallana, men særlig de 2 af dem have her opnaaet en ganske anderledes mægtig Stor-- relse. Pladen (a) fra Indersiden af {ste Led sender en Flig fremefter til Midten af 2det Leds Inderrand og forlænger sig dernæst saa stærkt bagud, at Afstanden fra Bagranden til den nævnte Fligs Forende er lidt længere end selve Kjæbefoden. Paa Tegningen vises en Stribe langs Inderranden slaaet tilbage ud over Pladen, og den er dunhaaret baade i Kanten og paa Inderfladen. . Pladen fra 2det Leds Yderrand (b) naar fremefter næsten til 3die Leds Forende, og Yderranden baade af denne og af Epipoditens langt mindre Plade er udstyret med en tæt Række fjergrenede Haar. — "Disse Pladers Yderrand naar dog ikke fuldt ud til Randen af {ste Par Æggeplader. Rocinela Danmoniensis er (Sch. & Mein. op. cit. n°2, p. 389 og Meinert op. cit. n°1, p. 90) ofte tagen frit i Bundskrabe, ifølge Lütken (op. cit. n°3, p. 175) én Gang paa en Torsk; Hunnen med Æggeplader er sandsynligvis tagen med Skrabe. Ifølge de beskrevne Munddele og Tarmens ofte stærkt oppustede Tilstand lever den vist som de fleste Æga- Årter af at suge Fiskeblod, men at Arten saa ofte tages frit, tyder paa, at den ofte skifter Opholdssted. Munddelene afvige ikke mere fra Æga's, end at de under denne "Slægt fremsatte Bemærkninger maa være tilstrækkelige for Forstaaeisen af deres Virksomhed. Mundbygningen hos de i Kjøbenhavns Museum opbevarede øvrige Rocinela-Arter: R. Dumerilü (Luc.), À. insularis Sch. & Mein., R. maculata S. & M., R. australis S. & M. og R. signata S. & M. afviger, set udenfra, meget lidt og væsentlig kun i Labrums Stor- relse fra AR. Danmoniensis. Jeg har uddissekeret Munddelene hos en af de tilsyneladende mest afvigende Arter, R. signata. Labrum (Tab.X, Fig.2) er ganske smal og dækker kun lidet af de andre Munddele; Kindbakkens apicale Parti (Fig.2a) er lidt anderledes formet, saa at kun den yderste Spids er bojet lidt indad, m. m.; jeg fandt ingen Flig udgaaende fra Kjæbefodens andet Led, men kan ikke benægte dens Tilstedeværelse paa Grund af Exemplarets mindre gode Opbevaringstilstand; i alle andre Henseender stemme Munddelene af denne Art forøvrigt overens med dem hos À. Danmoniensis. De andre Arter nærme sig i Habitus snart til À. Danmonäensis, snart til A. signata. Ganske det samme finder Sted med Alitropus foveolatus Sch. & Mein. (Al. typus M.-Edw. kjender jeg ikke), der i Mundbygningen slet ikke synes at afvige fra en typisk Zocinela. Ifølge Hargers rigtignok paa dette Punkt lidt tarvelige Fremstilling (op. cit. n°5) af Syscenus infelix Harg. slutter dette Dyr sig ogsaa ner til Æocinela, men Formen af Kindbakkerne og særlig deres apicale Parti er dog noget afvigende, hvis Hargers Fremstilling her er fuldt rigtig. Om de fleste nævnte Formers Levevis véd man intet eller meget lidt; nogle ere tagne med Bundskrabe. R. signata er, ifølge Schiødte & Meinert (op. cit. n°2, p. 401), ofte Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 39 302 66 tagen i Gjællehulen af Fiske, men 1 æggebærende Hun er tagen frit, og begge disse Angivelser forekomme mig at have stor Interesse. — Jeg er temmelig vis paa, at alle Arter ere Blodsugere. Rocinela-Typen (Rocinela, Alitropus, Syscenus) er saaledes nydelig skilt fra Æga ved de stærkt omdannede Kjæbefødder, der sete udvendig fra med Lupe hos Æga inde- holder 6 eller idetmindste (Æ. ophthalmica?) 5 tydelige Led med Torne paa flere Leds Overrand (det ombøjede, ikke fremtrædende Rodled er fraregnet), medens man kun opdager 3 Led hos Rocinelerne, og Torne findes her kun paa Enderanden af sidste Led. Hvor langt de paapegede Forskjelle i de andre Munddele, særlig i Kind- bakkerne, kunne holde, tør jeg af Mangel paa Materiale ikke have nøgen Mening om. I Habitus skjelner man let en Ægide fra alle de foregaaende Familier (og til en vis Grad ogsaa fra den følgende Familie)” ved denne Kombination af Mærker: Clypeus er omtrent lodret, Labrum omtrent lodret eller rettet bagud; Kindbakkernes proximale Afsnit skraaner fra Roden frem efter betydelig indad, deres distale Del er helt eller næsten helt dækket af de andre Munddele; Kjæbeføddernes andet Led er længere end Palpen og de to til hinanden svarende Led slutte sammen i Midtlinien, Palpen er noget kantstillet, omslut- tende Mundkeglens Sider og tornvæbnet i det mindste i Spidsen. Førend en nærmere Sammenligning mellem Ægernes og Cymothoernes hinanden nærstaaende Munddele kan anstilles, maa de sidstnævnte beskrives. VI. Familien Cymothoide. Denne Familie indeholder de 3 af Schiadte & Meinert opstillede Familier: Anilo- eride, Saophride og Cymothoide, af hvilke den første og den sidste atter af de nævnte Forfattere ere spaltede i en stor Mengde Slegter. Paa Grund af, at Slegterne ere saa talrige og en Del af dem heller ikke findes i vort Zool. Museum, har jeg ikke her kunnet indlade mig paa en Undersøgelse af saa mange Former, at der kan drages mere specielle systematiske Resultater deraf: Jeg har dog efterset Munddelene udenfra paa en stor Mengde Former og har saa udpillet 2 Hovedtyper, af hvilke den ene, der blandt andet er ypperlig repræsenteret af en Mengde Merocila-Arter, baade i Habitus og i den finere Bygning nærmer sig meget og indenfor Familien mest til Rocinela, medens den anden, der blandt andre er repræsenteret af Cymothoa, Glossobius, Ceratothoa, frembyder hos de voxne det ejendommelige Habitus af en Cymothoide-Mund i sin mest udprægede og fra de andre Typer mest afvigende Skikkelse. Som Repræsentant for sidstnævnte Type har jeg behandlet Mundbygningen af Ceratothoa Banksii (Leach). 67 ; 303 a. Nerocila bivittata (Risso). Af denne Art har jeg undersøgt ét Stykke paa c. 25™™ Længde, altsaa af en anselig Størrelse, men det havde endnu Karakteren af at være en Han, idet Kjæbe- foddernes Omdannelse (se under Ceratothoa) ikke var paabegyndt. (Pullus stad. I/” har jeg ogsaa dissekeret.) De Forandringer, en Cymothoides Munddele kunne undergaa under Dyrets Vext og Skiften, oplyses ved neste Slegt, og Forandringerne, med Und- tagelse af Kjebefoddernes Omdannelse, ere ikke og kunne her heller ikke vere ner saa store og tydelige som hos Ceratothoa (se senere). Det vil dernæst her paa de fleste Steder vere tilstrækkeligt at skildre Differen- serne mellem denne Form og Kocinela, da de stemme overens i de fleste væsentligere Forhold. x Betragter man Hovedet med Munddelene nedenfra af den nævnte Han (Tab. X, Fig. 3) og ser bort fra den stærkt fremspringende Pande, Antennerne og lign., saa ere Differenserne imellem denne og Rocinela (Fig. 1) ikke synderlig store. 1. Clypeus og Labrum (Fig. 3,b og Fig.3a) danne en næsten lodret, bred, anselig, temmelig tynd Plade. Labrum (Fig. 3 a,b) er aflang rektangulær, tværliggende og noget større end den fast chitiniserede Del af Clypeus; udenfor det faste Skelet findes paa hver Side en bred Bræmme af blødere Hud, og langs Enderanden af Labrum findes en lang, smallere, i Midten og noget ud til Siden flere Gange noget indbugtet, som Helhed næsten ret Hudbræmme. 9 2. Kindbakkerne (Fig. 3, d, Fig. 3b og Fig.3 c) afvige adskilligt fra Ægernes. Deres distale Trediedel er ganske dækket af de andre Munddele. Den yderste Fjerdedel er drejet vinkelformig og stærkt indad og opad (set fra neden); Resten, det paa Hovedet indleddede Parti, er bredest ved Midten, hvor Palpen udgaar, og den bag Palperoden liggende Del aftager betydelig i Brede bagtil og skraaner i sit Forløb bagud noget mindre ud til Siden end hos Rocinela; hele den ubedækkede Del af Kindbakken afviger derfor adskilligt j Habitus fra denne Slægt. Den sidste Fjerdedel af Kindbakken bøjer pludselig indad (Fig. 3 b) og opad (Fig. 3c) i Vinkler, der nærme sig betydelig til at være rette, og man finder lige saa lidt som hos Æga Spor af Ledføjning paa dette Sted, der forøvrigt let gaar i Stykker paa Grund af Kindbakkens solide Forbindelse med Hovedets Skelet og med Paragnathernes Yderhjørne netop ved denne Ombojning. Det indad bøjede, temmelig korte Parti bliver bredere mod Spidsen, hvor det sammentrykkes stærkt paa skraa og afskjæres noget skraat, saa at Forhjornet, der tilmed er trukket ud i en haard og spids Tand, kommer til at ligge oppe under Kanten af Labrum, medens den skråa Inderrand retter sig lidt bagud og stærkt nedad i Mundhulen ; denne Inderrand danner en ganske 39% RA 304 68 tynd, fortil ret fast, bagtil temmelig svagt chitiniseret Rand. Ethvert tydeligt Spor af Lacinia mobilis og Pars molaris er forsvundet. Palpen er hos det voxne Dyr meget forskjellig fra Rocinela’s: Rodleddet, der er det længste, er stærkt opsvulmet, de 2 andre Led ere temmelig spinkle, sidste længst & forsynet med kortere Børster i. Yderrandens sidste Halvdel. Den udspringer kun lidt nærmere ved Kindbakkens Bagende end ved dens forreste Yderhjørne. 3. Første Par Kjæber (Fig. 3 d) er væsentlig som hos Rocinela; dog er 3die Led udefter tyndere og krummet noget iadad og dets Spids udstyret med 3 smaa Kroge. , 4. Andet Par Kjæber (Fig.3e) er væsentlig som hos Rocnela, dog lidt korlere og bredere. Inderfligen i Spidsen er yderst lille og ender med en enkelt Krog; Yderfligen har nogle faa Kroge i Enderanden. Dette Set Munddele gaar som hos Roeinela frem over Spidserne af de foran liggende Munddele og ind under Labrums Bagrand. 5. Kjebefodderne (Fig. 3, g samt Fig.3f og Fig.3 g) ere ogsaa i det vesent- lige byggede og rettede som hos Rocinela, men dog lidt afvigende i Habitus, noget mere reducerede, og deres 2 sidste Led divergere noget mere. Ferste Led har jeg ikke kunnet paavise, dets Epipodit er lille og daarlig afgrendset. Andet Led er meget stort, noget plumpere men dog lidt kortere end hos Rocinela; det mangler Flig. Det neste Led (svarende til 4de og Ste Led) er lidt længere og udefter smallere end hos Rocinela; det sidste, der ikke kan sondres i 2 Led, er rettet stærkt indefter, aflangt trekantet, indleddet som hos ÆRocinela, i Spidsen og langs Inderranden (Fig. 3 g) udstyret med nogle stærke, opad og udad krummede Torne. Muskulaturen i Leddene som hos Rocinela. 6. Paragnatherne afvige ikke i vesentligere Forhold fra ga-Rocinela’s. Som det fremgaar af ovenstaaende ligger den vesentligste Forskjel i Mund- bygningen mellem Roeinela og Nerocila i Bygningen af Kindbakken, baade i Formen af den basale og især i dens apicale Parti samt i Palpens Omdannelse. En nærmere Dref- telse opsættes imidlertid til Slutningen af dette lille Afsnit. Hos Pull. stad. [J ere Munddelene og særlig Kindbakkernes distale Afsnit byggede som hos det samme Stadium af Ceraiothoa (se p. 308); andet Kjebepar er dog adskilligt smallere. ; b. Ceratothoa Banksii (Leach). Af denne Form har jeg studeret: Pullus siadi IT, den voxne Han (omtr. 18™= lang), den knap udviklede, store Hun (c. 39") og den voxne med Æggeplader udstyrede Hun (c. 467 lang). Jeg har derved kunnet paavise, at Ungen i første Svemme- stadium (stad. IF Sch. & Mein) har Munddele, der meget ligne den voxne 69 | 305 Nerocilas, ja endog ere noget mindre reducerede end dennes og i for- skjellige Forhold vise mere over mod Rocinela; at disse Munddele i Dyrets Han-Stadium allerede ere betydelig omdannede og have faaet et tem- Melig opsvulmet Udseende, saa de staa lavere end Nerocilas, at disse Om- dannelser fortsættes jævnt men smaat, eftersom Dyret udvikles til at blive en næppe voxen Hun, og at den voxne Huns Kjæbefødder endelig ere endnu mere omdannede end hos Rocinela. Af forskjellige praktiske Hensyn vil jeg begynde med Skildringen af den ældre, men ikke æggebærende Hun, der giver Cymothoa-Munden i sin mest karakteristiske Skik- kelse og som man tilmed ofte træffer paa. a. Den ældre, men ikke æggebærende Hun. Munddelene indtage, sete nedenfra (Fig. 4), den største Del af Hovedets ret udhvælvede Underside, og de danne ogsaa selv tilsammen et betydeligt udhvælvet Parti. 1. Clypeus og Labrum (Tab. X, Fig. 4, b—c) udgjøre tilsammen en overmaade mægtig, iojnespringende Dannelse, der springer højt op fra Hovedets Underside og, set nedenfra, har Form af henimod Halvdelen af en Cirkelflade eller maaske snarere Kugleflade, idet Forrand og Siderande tilsammen danne en jævn Bue af Form som en Halvcirkel, medens Bagranden er svagt fremadbuet og i Midten lidt udrandet. Forside og Overside ere næsten jævnt afrundede. Den hele Dannelse er saa bred, at den med Sidehjørnerne 2! naar ud til Kindbakkepalpernes Tilhæftning og indtager omtr. 7/5 af Hovedets Tværmaal: Længden i Midtlinien er omtr. */5 af Breden, Labrum indtager en ret anselig Part af den hele Dannelse, men dens Grændser kunne kun erkjendes ved at afskjere Clypeus- Labrum tilsammen og rense deres indre Hulhed (Fig. 4a). Grendsen mellem Clypeus og Hovedets Skelet har jeg ikke fundet. 2. Kindbakkerne (Fig. 4, d og Fig. 4 b) ere væsentlig byggede som hos Nerocila; dog er deres distale, indad bøjede Parti lidt længere og smallere, og det ender fortil med en lille, haard og skarp Krog; Midtpartiet af den bagved liggende Inderrand er betydelig indbuet, og danner, særlig op mod Endekrogen, en ret fast chitiniseret Kant, medens den A bageste Del atter er trukken noget ud i en afrundet Flig (Fig. 4 c), hvis Kant er temmelig svagt chitiniseret. Der er kun ringe Forskjel mellem venstre (Fig. 4 c) og højre (Fig. 4 d) Kindbakkes apicale Kroge og Enderande. Palpens 2 første Led ere stærkt opsvulmede, 2det Led noget længere end Iste, aldeles uden Børster paa Yderrandens Forhjørne; 3die Led er temmelig kort, ikke meget tykt, nøgent eller med en enkelt, rudimentær Borste. Palpen udspringer længere fra Kindbakkens Bagende end fra dens forreste Yderhjørne. 306 70 3. Første Par Kjæber (Fig. 4e) er bygget omtrent som hos Merocila, men er dog lidt plumpere. Der findes en lille Rest af Iste Leds Flig (l!) i Bindehuden; 3die Leds yderste Parti er ikke indadbøjet, og det ender med 4 kraftige, i Spidsen indadbøjede Kroge (Fig. 4 f). 4. Andet Par Kjæber (Fig. 4, f samt Fig.4 g og Fig. 4 h) er væsentlig bygget som hos Nerocila, dog ere de yderste */s betydelig bredere og blive endda bredere mod det tykke, noget afrundede Endeparti, der som sædvanlig ‘har en smal Inderflig og en bred Yderflig; begge Fliges Endeparli (Fig. 4 h) er noget pudeagtigt opsvulmet og udstyret med talrige smaa, men stærke Kroge. Hver Kjæbes Inderrand er fri i omtrent */3 af Kjæbens Længde, og da det fri Afsnit er lige og den indre Del af Kjæben tyk, saa kunne Inderrandene af de 2 Kjæber slutte tæt sammen i Midtlinien paa en lang Strækning. Endelig ere Kjæberne lidt kortere end hos Nerocila, saa at man (Fig. 4) foran deres brede, udvendig fra frit synlige Endeparti faar et Mellemrum mellem dette og Labrum. I dette i Midten bredere, paa Siderne smalle Rum ses udefter Paragnatherne (Fig. 4, h} og i Midten et Hul, i hvilket man ser den øverste og yderste Spids af Man- diblerne (d) og bag disse Spidserne af iste Kjæbepar. 5. Kjæbefødderne (Fig. 4, g og Fig. 4i) ere betydelig omdannede , idet de danne en Mellemform mellem Hannens (Fig. 40) og den æggebærende Huns (Fig. 4 k). Roddelen er stærkt opsvulmet og meget bred, over dobbelt saa bred som hos Hannen. Andet Led, der hos Hannen er bygget omtrent som hos Nerocila, har her faaet sit Yder- parti udfladet til en stor Plade, hvis Yderrand er lidt indbuet, medens Baghjørnet og særlig Forbjernet ere noget tapdannet forlængede; Breden bagtil er lige saa stor som Leddets Længde. Tredie Led er forholdsvis lidt mindre end hos den tegnede Nerocila; det sidste, aflange, temmelig lille Led har en skraa, budt Enderand med et Par smaa Kroge. De 2 sidste Led ligge i Hvile skraat udad langs Forranden af det Leds Yderplade, men selv om de strekkes mere fremad kunne de ikke naa Labrums Bagrand. (Det er dette Stadium, Prof. Schiedte i «Krebsdyrenes Sugemund» har beskrevet som tilhørende en Han.) 4 6. Paragnatherne (Fig. 4, h) ligne betydelig Ægas, dog er deres «Yderflig» her bleven bredere og mere afstumpel, og den træder for en Del udvendig frem paa en Strekning mellem Labrum og det Par Kjæbers Forende. £. Den med udviklede Æggeplader udstyrede Hun. I Modsætning til Rocinela har jeg her ikke fundet nogen Forskjel imellem den ikke udviklede og den æggebærende- Hun i Bygningen af første og andet Par Kjæber, men kun som sædvanlig i Bygningen af Kjæbefødderne. 71 307 Kjæbefoddernes (Fig. 4 k) andet Led er omtrent af samme Længde som hos den ikke fuldt udviklede Hun, men saa er til Gjengjæld det tredie Led blevet paafaldende kortere og svagere og er rettet fremad. Første Leds Plade (a) er vel meget stor, men den er nøgen og dens bagud rettede Part betydelig kortere end hos Rocinela. Andet Leds Plade (b) er derimod bleven endnu betydelig større end hos sidstnævnte Slægt, naar frem- efter et godt Stykke frem foran Kjæbefodens Forende og er tilmed omtrent lige saa bred som lang; dens hele Forrand og Yderrand er ret tæt besat med kortere Fjerbørster (og disse Fjerbørster ere de eneste, der findes paa hele Dyret). Første Par Æggeplader naa ikke nær saa langt frem som hos Æga-Rocinela, de dække ikke Mundaabningen og heller ikke Spidserne af andet Kjæbepar og af Kjæbefodspalperne; de naa ved Midtlinien fremefter omtrent til den Tværfure, der findes paa Kjæbefodens næstyderste Led, og de efterlade baade fortil og ud- efter en Bræmme af 2det Leds Plade fri, saa at denne Bræmme med Fjerhaarene ses, naar Munddelene af et vel bevaret Individ betragtes nedenfra. 7. Exemplarer i Han-Stadiet. Hannen (Fig. 41) er let kjendelig paa sine slankere Kjæbefødder, men afviger forøvrigt fra den ældre Hun ved mindre Proportionsforskjelle i næsten alle Munddele. Jeg maa dog gjøre opmærksom paa, at jeg ikke véd, naar Dyret hører op at fungere som Han, men her har det kun været mig om at gjøre at tage en typisk Han og sammenligne den med en langt større, men ikke æggebærende Hun-Form. i 1. Clypeus-Labrum (Fig. 41) ere tilsammen lige såa brede, men i Midtlinien adskilligt kortere end hos Hunnen, saa at de faa Udseende af en mindre Del af en større Kugle. 2. Kindbakkerne afvige væsentligst ved Bygningen af Palpen (Fig. 4m), idet dens 2det Led endnu har nogle faa korte Børster paa Yderrandens Forhjørne og dens -3die Led er noget længere og slankere. 3. Første Par Kjæber omtrent som hos Hunnen. 4. Andet Par Kjæber (Fig.41,f og Fig.4n) er noget smallere end hos Hunnen, idet det fra Midten til Spidsen beholder samme Brede. | 5. Kjebefodderne (Fig. 41, g og Fig. 40) ligne meget det beskrevne Stadium hos Nerocila. Jeg har dog her kunnet eftervise et ret vel udviklet første Led, derimod har jeg istedetfor en enkelt større Epipodit fundet 2 Plader, som jeg ikke ret kan tyde. Andet Led har en anselig Længde og tiltager adskilligt i Brede fra Midten mod Spidsen. De to sidste Led ere plumpere end hos Werocila og sidste Led bærer en enkelt apical- stillet eller 2 kraftige Kroge. 308 +] bo Oo. Pullus stadii secundi. Munddelene af en saadan, af Rugeposen udtagen Unge nærme sig i flere Hen- seender stærkt til Merocila-Hannens, ja vise, ligesom hos Pull. stad. If af sidstnævnte Slægt, i visse Henseender endog mere over mod Kocinela. 1. Labrum-Clypeus (Fig.4p) er næppe tykkere ved Midten end hos Nerocila, og man kan her paa den udpræparerede Munddel skjelne tydelig mellem den faste Hud i Labrum og i Clypeus og den blødere Randhud. Labrum er ikke stort over halv såa bred og halv saa lang som Clypeus, udrandet ved Midten. 2. Kindbakkernes (Fig. 4 q) indbojede Endeparti er kortere og bredere end hos de større Dyr, bygget omtrent som hos Nerocila, dog er den forreste, haarde Spids noget længere end hos denne Slægt og meget længere end hos de større Ceratothoer. Palpen er (som allerede eftervist af Schiødte & Meinert) meget afvigende fra Han- nens, de 3 Led ere omtrent lige lange, de 2 første kun lidt tykkere end 3die og ikke kjendelig oppustede; 2det Leds Yderrand har ud mod Spidsen c. 5 meget lange Børster, 3die Leds Yderrand ud mod Spidsen en Række Børster, af hvilke de bageste som hos en Cirolan ere kortere, de yderste meget lange. 3. Første Par Kjæber (Fig. 4r) omtrent som hos det voxne Dyr, dog er 3die Led udefter bøjet svagt indad og ender med 3 længere Krogtorne. 4. Andet Par Kjæber (Fig.4s) er i de yderste %/5 langt smallere end hos Hannen og aftager endog noget i Brede fra Midten til Spidsen, og Spidsens 2 Flige ere ikke væbnede som hos Han og Hun af denne Art, men som hos Nerocila; Kjæbeparret ligner ogsaa meget denne Slægts, kun er det endnu smallere mod Spidsen. 5. Kjæbefødderne (Fig. 4t) afvige fra Hannens ved, at 2det Led er forholdsvis kortere, 3die Led længere, 4de Led med 2 stærke Kroge ved Spidsen. Jeg antager, at Munddelene hos alle Cymothoider gjennemgaa en noget lignende Udvikling efter Dyrets Alder som den, jeg har paavist hos Ceratothoa, men at denne Udvikling er stærkest hos de Former, der som voxne have en typisk «Gymothoa»-Mund med opsvulmet Labrum-Clypeus m. m., medens den er temmelig ringe hos de Former, der, som Nerocila og Livoneca, nærme sig som voxne mere til Æga-Slægten Rocinela i deres Mundbygning; man kan ogsaa udtrykke dette saaledes, at jo mere en voxen Hun af en Cymothoide ligner en RocinelaiMundbygningen (udvendig skjonnes dette lettest af Labrums Form og af Kindbakkernes Palper), desto mindre har den undergaaet Foran- dringer efter Dyrets Alder, -— og omvendt. 73 | 309 Et Gjennemsyn af det kjøbenhavnske Museums Materiale har givet det Resultat, at Nerocila (flere Arter) og «Livoneca (sens. Sch. & Mein.) ligne hinanden overmaade meget i Mundbygning, ja at visse Zivoneca-Arter endog i Habitus nærme sig fuldt saa meget til Rocinela som den her fremstillede Nerocila. Ceratothoa, Cymothoa, Glossobius og fl. ligne hverandre overmaade meget og synes som voxne at repræsentere Cymothoa- Munden i sin mest omdannede Form. Anilocra og fl. danne en Overgang mellem de to nævnte Typer. Skjøndt jeg kun har anatomeret 3 Slægter af Cymothoer (Zivoneca foruden de 2 ovenfor omtalte), troer jeg efter Besigtelse med Lupe at turde hævde, at de allerfleste (alle af mig besete) Slægter ikke frembyde væsentlige Afvigelser fra denne Fremstilling. Mund- bygningen bliver altsaa temmelig ensartet indenfor denne paa Arter saa rige Familie, thi selv de 2 her fremstillede Typer afvige jo ikke fra hinanden i vigtigere Bygnings- forhold, og Differenserne ere endda langt mindre hos de tidligere Aldersstadier af Dyrene. Hvad Cymothoerne leve af, er vanskeligere at afgjøre. Mange findes kun paa Tungen af Fiske, andre ere trufne baade paa Tungen og i Gjællehulen, andre kun i Gjællehulen, nogle udvendig paa Huden eller paa Finnerne (Brystfinner, Rygfinner eller Halefinne) [se herom under de forskjellige Arter i Schiødte & Meinerts Monografi]. Om Ichthyoxenus Jellinghausu Herkl. meddeler Herklots (op. cit. n°2, p. 15): «Les tegumens extérieurs du poisson sont percés d'une ouverture transversale, au dessous ou immediate- ment en arrière des nageoires ventrales. Relativement à l'individu cette ouverture est considérable, mais par rapport au parasite elle est insignifiante, vu qu'elle atteint tout au plus un quart de la largeur de la femelle. Elle conduit dans une cavité en forme de poche, qui monte obliquement en se dirigeant vers l'extrémité antérieure du poisson, et qui est formée simplement par écartement des parties internes, car on n’observe aucune déchirure des membranes.» Giard og Bonnier (op. cit. p. 213) mene nu, at Gruben er dannet ved en Indkrængning af Dyrets ydre Hud, og dens Dannelse paralleliseres af de to Forfattere med Zntoniscus, der danner sig en lignende, men langt dybere Indposning ind i en Krabbe. I op. cit. n°2 har Lütken dels givet en Sammenstilling efter Literaturen, dels fremsat flere egne Iagttagelser om adskillige Cymothoers Ophold paa Tungen eller i Mundhulen af Fiske, og det gjores her gjældende, at man aldrig paa Tungen eller paa Mundhulens Loft finder noget Saar eller Hul, der kan hidrøre fra Bid eller Gnavning af Cymothoen, såa denne næppe lever af Fiskens Blod. — En Undersøgelse (foretagen af Hr. Dr. Bergh) af Tarmens Indhold hos en saadan Tungebeboer gav paa Grund af Konserva- tions-Tilstanden ikke noget sikkert Resultat. Jeg kan ikke give noget Bidrag til Løsningen af Spørgsmaalet, men fremsætter som Formodninger, at de fleste vistnok ikke ere Blodsugere, men snarere leve Vidensk. Selsk. Skr., 6, Række, naturvidensk, og mathem. Afd. V. 3. 40 310 74 af Dyrets Overhud. Nogle af de Former, der, som Nerocila og Livoneca, nærme sig til Ægide-Slægten Rocinela, leve maaske af Fiskeblod; der er jo ogsaa en Mulighed for, at de unge Stadier af Cymothoa, Ceratothoa og fl., hvis Munddele ligne Nerocila’s, som Unger tage anden Næring end som voxne. Naar man ogsaa tager Hensyn til Ungerne af Cymothoerne, ere de Forskjelle, der findes i Mundbygningen mellem en Ægide (Rocinela) og en Cymothoide kun faa og smaa: hos Cymothoiderne rettes Kindbakkens bageste Halvdel lidt mindre skraat udad end hos /Egiderne, dens indad bøjede apicale Del har en noget anden Form og mangler ethvert Spor afLacinia mobilis, der altid (Syscenus?) findes hos Ægiderne, endelig udspringer Kindbakkepalpen forholdsvis længere fremefter; Kjæbeføddernes Endeled er aflangt og længere end bredt hos Cymothoiderne, bredt, kort og ligesom afskaaret hos Ægiderne. Hos æggebærende Hunner af Ægider dækkes Mundaabningen og Kjæbe- føddernes Plader af første Par Æggeplader, hos Cymothoernes Hunner er derimod Mundaabningen og Spidserne af de bag denne liggende Munddele fri, og ligeledes ses (paa vel bevarede Stykker) en Bræmme af Pladen fra Kjæbeføddernes andet Led udenfor Randen af første Par Æggeplader. Med Undtagelse af den sidste Karakter, der jo kun gjælder det ene Kjøn i en bestemt (hos de fleste Æger oven i Kjøbet ikke iagttagen) Tilstand ere de andre Karakterer smaa og, som det forekommer mig, af ringe Værd. Imidlertid afvige de fleste Cymothoer som voxne adskilligt mere fra Ægerne, og særlig er deres ofte tykke Labrum- Clypeus og hos alle Former den opsvulmede Tilstand af første eller af de 2 første Led af Kindbakkepalpen tilstrækkelig til ved første Øjekast at kjende en Cymothoide baade fra Ægerne og fra alle andre her omtalte Isopoder. Forøvrigt ere Cymothoiderne vel skilte fra Ægiderne ved Karakterer fra andre Organer; herom henvises til mine Bemærkninger i et tidligere og et senere Afsnit af denne Afhandling. Conspectus systematicus. (Differentiæ inter feminam ovigeram et virgines et mares non commemoratæ sunt.) I. Cirolanide. Partes oris universe fornicem amplum, alte prominenten, formantes. Clypeus amplus, latus, brevior, triangulus, subhorizontalis. Labrum amplum, duplo vel triplo latius quam longius, subreetangulum, subhorizontale. 75 311 Mandibulæ per totam longitudinem latæ; pars dimidia posterior in situ visa postice paulum introrsum vergens; pars distalis introrsum directa, lata, sat longa, ex parte majore detecta; acies longa fere ad lineam symmetricam capitis sita, plus minusve trifida, apice posteriore quam apicibus ceteris semper majore; lacinia mobilis ampla, spinis compluribus instructa; pars molaris mobilis, elongato-triangula, compressa, processulis triangulis, complanatis in margine anteriore tenui instructa. Con- dylus articularius anterior ad angulum posteriorem clypei et longe ante apicem anteriorem aciei productus. Maxille primi paris robuste; lacinia articuli primi apice inflato spinis 3 crassis ex parte pubescentibus instructo; lacinia articuli tertii ad apicem versus lata vel latissima, margine apicali longo, obliquo, spinis multis robustis instructo. Maxille secundi paris bene evolutæ, magnitudine mediocri; lacinia articuli secundi parte libera lata, brevi, setis multis ornata; laciniæ articulorum tertii et quarti multo longiores quam latiores, margine interiore ex parte setis longioribus instructo. Maxillipedes bene evoluti; articulus secundus sat brevis, palpo multo brevior, lacinia ornatus; palpus 4-articulatus, mobilissimus, valde complanatus, latitudine mediocri vel magna, marginibus setis multis non uncis instructis. Paragnatha longa, sat angusta, libera, a basi ad apicem versus sensim valde divaricata, parte apicali tamen paulum inflexa. a. Cirolana et Conilera. Maxillipedum lacinia articuli secundi uncis instructa. b. Eurydice. Maxillipedum lacinia articuli secundi uncis nullis. II. Corallanide. Partes oris universe aream latam occupantes, imprimis ad apicem mandibularum versus valde prominentes. Clypeus latus, perbrevis, subtriangulus, interdum supinus visus mandibulis obtectus. Labrum latum, perbreve, subhorizontale vel verticale, sæpius supinum visum mandibulis obtectum. 40* 312 76 Mandibulæ perrobustæ; pars dimidia posterior lata, ad basin versus sensim nonnihil introrsum vergens; pars distalis ab articulatione palpi parte basali subito sat angustior, ante valde incurvata, detecta; pars incurvata longa, alte supra partes ceteras oris elevata, in processum longum vel longissimum, oblonge trian- gulum, acutum producta et interdum ante hunc processum processu singulo vel proces- sibus duobus minoribus ornata; lacinia mobilis et pars molaris evanidæ. Con- dylus articularius anterior ad latus labri situs, non ante märginem anteriorem mandibu- larum porrectus. Maxillæ primi paris robustæ ; lacinia articuli primi apice inflato, inermi; articulus tertius propter articulationem valde mobilis, robustus, a medio ad apicem versus valde angustatus et nonnihil extrorsum curvatus, apice spina singula perlonga et per- robusta et introrsum curvata instructo. Maxille secundi paris breviores, angustæ, debiles, apice laciniis liberis duabus fere rudimentariis, setis paucis ornatis, instructo. Maxillipedes angusti, liberi, interdum in latere inferiore nodis ex parte acutis ornati; articulus secundus mediocris, palpo multo brevior, lacinia perparva ornatus; palpus 4-articulatus, valde mobilis, angustus, setis compluribus in mar- ginibus instructus, articulo antepenultimo elongato, plus duplo longiore quam latiore. Paragnatha longa, sat lata, a basi ad apicem versus valde divaricata, parte apicali in latere interiore valde angustata, inflexa. III. Alcironidæ. Generibus tribus hujus familiæ inter se nonnihil discrepantibus characteres sequentes communes sunt. Partes oris universæ aream satis latam occupantes, satis vel paulum prominentes. Labrum minus vel parvum, transversum, subhorizontale. Mandibulæ in situ vise elongato-trigonæ, a basi ad marginem late- ralem labri manifesto introrsum direct» et in anteriore saltem parte valde angustate; pars subapicalis angusta, sub clypeo-labro et paragnathis occulta; acies brevis, valde obliqua, processum triangulum formans et interdum etiam processu altero anteriore ornata; lacinia mobilis parva vel evanida; pars molaris sæpissime (vel semper?) evanida. Maxillæ primi paris sat robustæ; lacinia articuli primi apice inermi; lacinia articuli tertii circiter a media ad apicem versus plus minusve angustata, apice spinis singulis vel binis semper validis, curvatis ornato. 77 313 Maxille secundi paris debiles, nudæ vel setis perparvis instructe, interdum fere rudimentariæ, forma sat variabili. Maxillipedes mediocres; articulus secundus lacinia evanida; palpus 4-articulatus plus minusve mobilis, aliquantum complanatus, latitudine mediocri, marginibus setis nonnullis vel multis non uncis instructis. Paragnatha lata, sat crassa, per longitudinem majorem paulum vel vix inter se distantia, in anteriore modo parte interstitio manifesto separata. a. Alcirona. Partes oris universæ sat prominentes. Clypeus permagnus, longus et perlatus, semi-lunaris, angulo laterali postice ultra mediam mandibulam fere ad articulationem palpi mandibularis attingente. Labrum a clypeo bene definitum. Mandibulæ in situ vise a basi ad apicem angustate; acies bifida (vel in mandibula sinistra subtrifida); lacinia mobilis perparva vel nulla. Maxillæ primi paris lacinia articuli tertii ad apicem versus paulum incurvata, spinis binis armata. Maxillæ secundi paris minutæ, laciniis non distinctis, seta singula ornatæ. Maxillipedum articulus secundus latior quam longior, non cum articulo tertio coalitus; palpus valde mobilis articulis ceteris palpi cunctis longior, marginibus setis sat multis ornatis. b. Lanocira. Partes oris universæ paulum prominentes. Clypeus sat parvus, labro paulo latior, a basi ad marginem posteriorem versus altitudine valde crescens. Labrum a clypeo bene definitum.: Mandibulæ parte basali in latere exteriore valde dilatata; acies bifida; lacinia mobilis mediocris, margine serrato-dentato (? pars molaris laciniam mediocrem, tenuem, ad marginem posteriorem laciniæ mobilis sitam, formans). Maxillæ primi paris lacinia articuli secundi prope mediam geniculata, parte proximali valde introrsum vergente, parte distali ante directa, apice spina una per- longa ornato. Maxille secundi paris multo majores quam in Alcirona; lacinia articuli secundi sat magna, laminam obliquam in apice interiore paulum hirsutam formans; lacinia articuli tertii sat longa, angusta, seta perlonga instructa. 314 78 Maxillipedum articulus secundus longior quam latior, non cum articulo tertio concretus; palpus aliquantum mobilis artieulis ceteris cunctis vix longior, marginibus selis compluribus instructis. ec. Tachæa. Partes oris universæ perpaulum prominentes. k Clypeus minor, a basi ad marginem posteriorem versus altitudine valde crescens. Labrum haud a clypeo definitum. Mandibulæ sat angust&; pars proximalis a basi ad mediam versus paulum lati- tudine crescens; acies in processum singulum trigopum, acutum producta; lacinia mobilis spinam singulam formans; pars molaris evanida. Maxille primi paris lacinia articuli tertii subrecta, a media ad apicem versus valde angustata, Spina singula robusta apicali instructa. Maxillæ secundi paris perparvæ, fere rudimentariæ, nude, laciniis evanidis. Maxillipedum articulus secundus elongatus eum articulo tertio con- cretus; palpus paulum mobilis articulis ceteris multo brevior, setis paucis instructus. IV. Barybrotidæ. Partes oris universæ aream angustiorem occupantes, conum obliquum, ali- quantum ante directum, obtusatum formantes. Clypeus magnus, trigonus, a basi deorsum et ante directus. Labrum parvum; pars dura perparva; ad latera partis duræ stria mollior in- venta est. Mandibulæ angustæ, a basi ad apicem versus angustatæ et nonnihil introrsum direct»; pars dimidia distalis, parte apicaliexcepta, obtecta; acies brevis, ante in processum parvum producta; pone partem brevissimam et incurvatam mandibule lamina longior et angustior, setis nonnullis brevibus ornata in margine interiore mandibule inventa est. Maxille primi paris angustæ; lacinia articuli secundi debilior, spina longa apicali ornata; lacinia articuli tertii ubique angusta, apice et parte apicali marginis interioris spinis 2 robustis, curvatis et setis curvatis ornato. Maxille secundi paris debiles, parvæ; lacinia articuli secundi brevior, nuda, cum lacinia articuli tertii confluens; lacinia articuli tertii longior, angustior, apice setis perpaucis instructo. 9 as 315 Maxillipedes per longitudinem maximam in linea symmetrica capitis concurrentes, postice carinam humilem formantes, ante conum e partibus'oris ceteris formatum amplectentes et inlateribus et ante in superficie clypei; articulus secundus sat elongatus, lacinia nulla instructus; articuli quartus et quintus inter se coaliti, articulum unum perlongum, per longitudinem ad apicem versus subconvolutum, ad apicem versus prope marginem interiorem uncis instructum, formantes; articuli sextus et seplimus brevissimi, ante clypeum siti, subverticales, supini visi margine superiore uncis excurvatis nonnullis instructo. Paragnatha longiora, angustiora, tenuiora, ante in obliquum acuminata ibique ob eam causam nonnihil divaricata. V. Agide. Partes oris universe aream mediocrem occupantes, in latere inferiore sub- plano capitis postice paulum prominentes, ante in conum breviorem, obtusum producte. Clypeus sat magnus, latus, subverticalis. Labrum mediocre vel minus, ex parte membranaceum, subverticale vel horizontale. Mandibule parte subapicali vel apicali tertia obtecta, parte reliqua a basi vel a loco nonnihil ante basin ad angulum lateralem clypei versus aliquantum angu- stata et introrsum directa; pars quarta apicalis valde deorsum et plus minusve introrsum flexa, apice anteriore in processum angustum producto; lacinia mobilis per- parva; pars molaris aut evanida aut laminam parvam formans. Maxille primi paris angustæ; lacinia articuli primi inermis; lacinia articuli tertii angusta, supina visa subrecta, apice spinis ornato. Maxille secundi paris magne, elongate, per longitudinem majorem latitudine satis magna; pars apicalis laciniis binis, utraque uncis ornata, interiore parva, exteriore sat magna, lata, instructa. Maxillipedes per longitudinem majorem concurrentes et carinam for- mantes, palpo conum e partibus apicalibus partium oris ceterarum for- matum plus minusve amplectente; articulus secundus valde elongatus, articulis ceteris cunctis vix brevior, lacinia inermi ornatus; palpus in apice et interdum etiam in margine interiore uncis excurvatis ornatus. Paragnatha breviora, crassa, ante interstitio angustiore separata, parte exteriore angustiore nonnihil introrsum flexa, subtereti, subacuta. 316 80 a. Æga. Mandibulæ a basi angustatæ et valde introrsum vergentes; pars distalis valde introrsum flexa; lacinia mobilis laminam perparvam formans; pars molaris evanida. Maxillæ primi paris lacinia articuli primi manifesta. Maxillipedes 7-articulati; articulus secundus articulis 5 ceteris exte- rioribus cunctis paulo longior: palpus ex articulis quattuor (? vel interdum tribus) formatus, parte apicali ante superficiem clypei nonnihil incurvata, articulo nullo elongato, margine interiore per dimidiam longitudinem distalem et apice uncis instructis. | b. Rocinela (Alitropus). Mandibulæ a loco nonnihil a basi remoto angustate et aliquantum introrsum directæ ; pars distalis paulum vel vix incurvata; Jacinia mobilis processum parvum, squa- mosum formans; pars molaris laminam minorem formans. Maxillæ primi paris lacinia articuli primi evanida. Maxillipedes 4-articulati; articulus basalis perparvus; articulus secundus cum articulo tertio coalitus, articulis ceteris multo longior; palpus biarticulatus, articulis quarto et quinto inter se coalitis in margine interiore nudis, articulis sexto et septimo inter se coalitis, in margine anteriore sed non in mar- gine interiore uncis instructis, neque ante superficiem clypei incurvatis. -VI. Cymothoide. Genera nonnulla (Nerocila, Livoneca) hujus familie maximæ generi Ro- cinelæ supra commemorate structura oris valde affinia, sed imprimis forma partis distalis mandibularum, articulo basali saltem palpi mandibularis valde incrassato, palpo maxillipedum semper biarticulato cum articulo ultimo subacuto longiore quam latiore, diversa. Pullus stadii secundi generum aliorum (Cymothoæ, Ceratothoæ, Glossobü) structura oris generi Nerocile valde similis; specimina adulta generum horam a pullo stadii secundi structura oris characteribus compluribus minoribus, ex parte tamen sat conspicuis differunt. 81 Maxillipedum palpus liber, marginibus arti- eulorum duorum ulti- morum plus minusve setosis, nunquam uneis instructis. Maxillæ primi paris lacinia articuli tertii sal- tem ad medium versus sat lata. Maxillipedum palpus conum a partibus dista- libus partium oris cete- rarum formatum am- plectens, margine intero- superiore et apice nun- quam setosis, apice et interdum margine in- tero-superiore saltem in maribus et in virgini- bus uncis excurvatis in- structo. Maxille primi paris lacinia articuli tertii ubique angusta. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. Tabula analytica familiarum. Mandibularum pars di- midia distalis robusta, de- tecta, vel margine anteriore solum obtecto, valde con- spicua. Mandibul& a basi ad medium versus ante et paulum extrorsum directe. Mandibularum pars di- midia distalis angusta, ex parte majore vel omnino a labro et paragnathis ob- tecta. Mandibule a basi ad apicem versus sensim introrsum directe. Partes distales partium oris conum aliquantum ante directuin formantes. Maxille secundi paris par- ve, debiles, uncis nullis instructe. +. Maxillipedes articulo quarto et articulo quinto coalitis, articulum perlongum for- mantibus. Partes distales partium oris conum brevem subver- ticalem formantes. Maxillæ secundi paris magnæ, elongatæ, per longi- tudinem majorem latitudine sat magna, laciniis binis apicalibus, uncis instructis, ornate. Maxillipedes articulo quarto et articulo quinto interdum coalitis, nunquam artieu- lum longum formantibus. | | | | | Mandibulæ acie sat lata, plus minusve trifida, ad lineam symmetricam pone labrum amplum sita; lacinia mobilis et pars molaris singularis bene evolutæ. Maxillæ primi paris lacinia artic. primi spinis 3 armata, lacinia art. tertii spinis multis instructa. Maxillæ secundi paris mediocres, la- einiis 3 liberis copiose setosis. Maxillipedum palpus latior, copiose setosus. Mandibulæ parte distali alte promi- nente in processum longum, lineam symmetricam longe superantem, pro- ducta; lacinia mobilis et pars molaris evanidæ. Maxillæ primi paris lacinia artic. primi inermi, lacinia artic. tertii spina una perlonga instructa. Maxillæ secundi paris parve, debiles, laciniis liberis fere rudimentariis, setis paucis instructa. Maxillipedum palpus angustatus, setis paucioribus instructus (articulo antepen- ultimo aliquantum elongato). Maxillæ primi paris lacinia artieuli primi inermi, laeinia articuli tertii spinis 2 vel spina una instructa. Maxille secundi paris debiles, inter- dum perparvæ, lacinia una vel nulla in- structæ, setis perpaueis vel nullis. Maxillipedum palpus latior, articulo nullo elongato. Mandibulæ lacinia mobili sæpissime (? semper) manifesta ; palpus articulo nullo inflato. Maxillipedes sæpius 7-articulati, inter- dum 4-articulati, articulo ultimo in hoc casu breviore, obtuso. Mandibulæ lacinia mobili nulla; pal- pus in adultis articulo basali inflato vel articulis binis basalibus inflatis. Maxillipedes semper 4-articulati, arti- culo ultimo longiore et angustiore, sub- acuto. 41 et 9 Rd 317 Coralla- nide. Alciro- ride. Barybro- tide. Egide. Cymo- thoidæ. 318 82 V, Systematisk Fremstilling af Familier, Slægter og Arter. Fam. I. Cirolanidæ. Partes oris vid. p. 275—79.et p. 310—11. Pedes omnes gressorii, sepius etiam natatorii; articulus septimus mediocris, prope apicem seta vel setis instructus; unguis bene definitus, articulo septimo nonnihil vel multo brevior, paulum curvatus yel subrectus, non cum artieulo septimo uncum verum formans. Conspectus generum. 1. Antennulæ ex articulis compluribus vel numerosis composite. Oculi conspicui. Uropoda duriora, cum segmento ultimo caudæ flabellum formantia. 2. Oculi et in latere superiore et sæpissime etiam in latere inferiore capitis siti. Branchiæ nullæ ad basin pleopodorum evolutæ. 3. Pedunculus antennarum 5-articulatus. Maxillipedum lacinia articuli secundi uneis ornata. Scapus uropodorum angulo postero-interiore semper sat vel valde producto. 4. Pleopoda primi et secundi parium longitudine subsimilia, ramo inte- riore saltem submembranaceo; scapus pleopodorum secundi paris ali- quantowlatiorgquamWlonzioe EE ee 1. Cirolana Leach. 4. Pleopoda primi paris ubique dura, operculum magnum formantia, scapo et ramo interiore elongatis; pleopoda secundi paris structura solita, scapo vix latiore quam longiore, ramis submembranaceis. 2. Conilera Leach. 3. Pedunculus antennarum 4-artieulatus. Maxillipedum lacinia articuli secundi uncis nullis. Scapus uropodorum angulo interiore perpaulum producto. (Scapus pleopodorum secundi paris paulo vel vix latior quam longior.) 3. Eurydice Leach. 2. Oculi solum in latere inferiore capitis evoluti. Branchiæ ad basin pleopodorum benezevolutn.e: FE Re tere 4. Bathynomus A. Milne-Edw. (1. Antennulæ ex articulis binis composite. Oculi nulli. Uropoda ramis submembrana- ceis, respiratoriis, sub cauda occulta . . . . . . . . . . . . . . 5. Anuropus Bedd.) 83 | 319 1. Cirolana Leach (1818). Oculi mediocres vel parvi, in latere superiore et sæpissime etiam in latere inferiore capitis evoluti. Pedunculus antennarum 5-articulatus; (flagellum brevius vel longius, rarissime medium corpus superans). Maxillipedum lacinia articuli secundi uncis instructa. (Cauda trunco sepissime multo brevior.) Pleopoda primi et secundi parium inter se sat similia, ramo interiore submem- branaceo; scapus pleopodorum secundi paris aliquanto latior quam longior. Scapus uropodorum angulo interiore sat vel valde producto. Differentia sexualis fere nulla. Conspectus specierum. !) (2) Segmentum quintum caudæ angulis lateralibus liberis, non a segmento quarto | obtectis. (Species duæ aliquantum aberrantes). FR 3) Segmentum quintum caudæ angulis lateralibus occultis, a segmento quarto obtectis. () Corpus breve. Caput lateribus angulatis. Lamina frontalis ante bullam magnam, apicem capitis superantem, a processu frontali discretam, formans. Segmentum ultimum caudæ dorso alte tricarinato. Uropoda ramo interiore multo longiore quam exteriore .. 14. C. spheromiformis n. sp. 2 () Corpus elongato-ovatum. Caput lateribus rotundatis. Caput ante in processum porrectum, truncatum, cum lamina frontali concretum, productum. Segmentum ultimum caude foveis duabus impressis ornatum. Uropoda ramo interiore multorbrevioresqu amter terror soos 550065 15. C. orientalis Dana. (4) Lamina frontalis et clypeus inermia. non cornuta; clypei margo anterior cum | lamina frontali perspicue conjunctus. 3: | (13) Aut lamina frontalis postice aut clypeus ante in cornu, imprimis a latere visum manifestum, producta. ; (5) Lamina frontalis elongata, angusta, quadruplo vel sextuplo longior quam latior. Pedes parium duorum posteriorum setis permultis natatoriis (sepius ex parte majore plumosis) instructi. | (10) Lamina frontalis lata, brevis, pentagona (vel fere hexagona), vix dimidio longior = quam latior. Pedes parium duorum posteriorum setis perpaucis vel nullis instructi. 1) Paa Grund af det store Antal af Arter har jeg her benyttet en anden Form af analytisk Tabel end den, der ellers anvendes i dette Arbejde. 417 320 84 (6) Ramus interior uropodorum margine exteriore non emarginato. Epimera sexti paris epimeris septimi paris manifesto majora, vix angustiora. Pedes septimi paris articulo secundo plus duplo longiore et aliquanto latiore quam articulo tertio, valde dilatato, setis plumosis permultis in series 5. dispositis instructo. (9) Ramus interior uropodorum margine exteriore prope apicem aliquantum emargi- nato. Epimera sexti paris epimeris septimi paris aliquanto angustiora. Pedes septimi paris articulo secundo quam articulo tertio paulo longiore et nonnihil angustiore setis paucioribus non plumosis instructo. | (7) Epimera omnia trunei furca perspicua arcuata ornata. 6. 1 (*) Epimera furca marginali solita; anteriora furca arcuata nulla, posteriora furca | arcuata fere evanida ornata . . . .. er a 1. C. borealis Lilljb. | (8) Uropoda ramo exteriore aliquanto breviore quam ramo interiore. hy | () Uropoda ramis inter se æquilongis ........... 2. C. hirtipes H. M.-Edw. (*) Oculi fere inconspicue granulati. Clypeus ad medium glaber. | ; 3. C. neglecta n. sp. a | () Oculi imprimis in latere inferiore aliquantum granulati. Clypeus ad medium area biimpressa et pulchre sculpta ornatus. 4. C. gracilis n. sp. (*) Segmentum ultimum caudæ apice acuto. Ramus exterior uropodorum setis api- calibus nonnullis perlongis instructus. Pedes trium parium anteriorum articulo quarto in latere exteriore in processum perlongum, medium articulum FOTN MMMTEOMOM, [OUND à at 2000009 208500 5. C. eximia n. sp. > (*) Segmentum ultimum caude apice emarginato. Ramus exterior uropodorum setis brevioribus solum instructus. Pedes trium parium anteriorum articulo quarto in processum minus longum, apicem articuli quinti attingentem, pro- ea Eten" 6. C. concharum (Stimps.) (11) Segmentum ultimum caudæ dorso subæqualiter convexo. “| () Segmentum ultimum caudæ dorso ad mediam longitudinem profunde sulcato; sulcus carinis duabus elevatis circumdatus . . . . . . . .. 7. C. sulcata n. sp. (12) Segmentum ultimum caudæ margine posteriore spinis paucioribus, gracilioribus ornato. Rami uropodorum apicibus acutis vel subbifidis. 11. 4 () Segmentum ultimum caude margine posteriore spinis multis (c. 26), robustis, dense sitis, ornato. Rami uropodorum apicibus rotundatis. 8. C. californica n. sp. 85 | 391 (*) Frons in processum deflexum, a fronte visum longum, sat angustum, inter pedunculos antennularum situm, cum lamina frontali conjunctum, producta. 12. Pedes secundi et tertii parium articulo quarto sat gracili. 9. C. parva n. sp. (*) Frons superne ante angulum brevem formans, non in processum producta. Pedes secundi et tertii parium articulo quarto sat incrassato. 10. ©. Cranchü Leach. (14) Pedes omnes fere nudi, spinis solum instructi; articulus secundus pedum sep- timi paris non dilatatus. Pedum trium parium anteriorum articuli tertius et quartus angulo exteriore paulum producto. 13. X (*) Pedes omnes setis longis natatoriis instructi; artieulus secundus pedum septimi paris valde dilatatus. Pedum trium parium anteriorum articuli tertius et quartus in latere exteriore in processus perlongos producti. 11. C. elongata M.-Edw. (*) Lamina frontalis brevior, ad apicem anteriorem versus angustata. Articulus ultimus pedunculi antennarum articulis ceteris pedunculi cunctis multo brevior. Segmentum ultimum caude perlate rotundatum ..... 12. C. minuta n. sp. 14.) (*) Lamina frontalis perlonga, a mediaad apicem anteriorem versus dilatata. Articulus ultimus pedunculi antennarum articulis ceteris cunctis pedunculi vix brevior. Segmentum ultimum caude angustius rotundatum. a re, Eee ne nn, 13. C. japonica n. sp. Sectio prima. Lamina frontalis inermis, elongata, angusta, quadruplo vel sextuplo longior quam latior. - Clypeus inermis, non cornutus, ante perspicue cum lamina frontali, inermi conjunctus. Antennulæ breviores et crassiores, pedunculo manifesto 3-articulato. Pedes omnes et imprimis parium duorum posteriorum setis multis longis nata- toriis instructi. 1. Cirolana borealis Lilljeb. (Tab. I, Fig. 1—1 v.) Cirolana borealis Lilljeborg, Norg. Crust., Il. c. p. 23 [1852]. 2? — hirtipes Heller, Carcin. Beitr., 1. c., p. 742. — spinipes Sp. Bate & Westwood, Brit. Sess. Crust. Vol. II, p. 299. — — : Harger, Rep. Results of Dredg., op. cit. n°5, p. 91, Pl.I, Fig. 2—2 d, Pl. I Fig. 1—1 c. 322 86 Mas adultus et femina ovigera. Diagn. Oculi nigri, a latere visi paulo longiores quam latiores, ocellis sat numerosis, perpaulum convexis. Epimera anteriora equa, solum furca marginali ornata, posteriora furca arcuata fere evanida. Pedes quinti paris articulo secundo fere duplo longiore quam latiore; pedes septimi paris articulo secundo valde dilatato, */s longiore quam latiore. Segmentum ultimum caudeæ postice sat late rotundatum, apice ipso subacuto, ibique spinis c. 8 armatum. Uropoda ramis angustis, lanceolatis; ramus interior ramum exteriorem et segmentum ultimum caude nonnihil superans. — Long. ce. 277m (33”=, Lilljeborg). Descr. Corpus vix triplo longius quam latius, elongato-ovatum, aliquantum convexum. Frons prona (fig. 1) in processum breviorem, trigonum, mediocrem producta. Oculi minores, nigri, a latere visi paulo longiores quam latiores, margine superiore recto; ocelli sat numerosi, perpaulum convexi. Lamina frontalis elongata, angusta, quadruplo vel quintuplo longior quam latior, ad apicem versus paulum dilatata, deinde brevius acuminata, apice acuto non cum processu frontis conjuncto; margines laterales laminæ elevati. Clypeus ad medium equatus, labro vix brevior, inermis. Antennule pedunculo antennarum nonnihil breviores; pedunculus manifesto 3-arti- culatus, crassior, flagello nonnihil longior; flagellum crassum, ad apicem versus angu- statum, ex articulis c. 15 brevibus difficile numeratis compositum. ; Antenne mediocres, vix marginem posteriorem segmenti quarti trunci attingentes; pedunculus brevior, articulus tertius articulo quarto nonnihil longior et articulo quinto paulo brevior; flagellum c. 30-articulatum. Mandibule acie longa; acies mand. sinistre dentibus duobus anterioribus fere evanidis. Maxillipedes longiores et graciliores; articulus quintus (antepenultimus) vix latior quam longior, articulo sexto nonnihil major. Segmenta trunci convexiora, longitudine sat inequalia; segmentum primum capite paulo brevius et segmento quinto (corpore paulum curvato) non longius; segmentum sep- timum segmento sexto aliquanto brevius. Epimera mediocria, parium 3 anteriorum equata, modo linea impressa ad margi- nem exteriorem ornata, parium 3 posteriorum preterea furca brevi ad medium marginem interiorem instructa. Epimera sexti paris et imprimis septimi paris angulo posteriore paulum producto, acuto. Pedes parium trium anteriorum (fig. I q) robusti; articulus secundus paulum incras- satus; articulus tertius æque latus ac longus: articulus quartus in margine interiore spinis 87 323 multis instructus, processu exteriore apicem articuli quinti attingente; articulus sextus longior; articuli 2—6 setis sat numerosis, simplicibus instructi. | Pedes parium quattuor posteriorum longitudine mediocri, mirabile constructi. — Pedes quinti paris (fig. 1 r) pedibus septimi paris vix breviores; articulus secundus nonnihil incrassatus et dilatatus, fere duplo longior quam latior, setis plumosis (ciliis) in series 3 minus dense dispositis instructus; articulus tertius a basi ad apicem versus sensim valde dila- tatus, eque latus ac longus, spinis et setis multis instructus; articulus quartus aliquantum dilatatus, superficie spinis multis brevibus, in series dispositis, margine interiore spinis multis brevibus et longis et setis longis instructo; articulus quintus articulo quarto aliquanto angustior, spinis et setis paucioribus instructus; articulus sextus articulo quinto plus dimidio longior, gracilis. — Pedes quarti paris pedibus quinti paris breviores, vix tamen angustiores, structura subsimiles. — Pedes septimi paris (fig. 1 s) structura peculiari; articulus secundus sat elongatus, valde dilatatus et complanatus, %/4 longior quam latior, setis plumosis in series 3 dense dispositis ornatus; articuli 3—5 angustiores quam in pedibus quinti paris, structura tamen sat similes; articulus sextus articulo quinto vix tertia parte longior. — Pedes sexti paris pedibus septimi paris nonnihil longiores; structura articulorum medium tenet inter structuram articulorum pedum quinti et septimi parium. Segmenta 4 anteriora caude equaliter arcuata. Segmentum quintum angulis lateralibus a segmento quarto tectum. Pleopoda parium duorum anteriorum ramo exteriore prope basin angusto, ad medium versus valde dilatato. Segmentum ultimum caude nonnihil latius quam longius, perpaulum convexum, prope basin in transyersum leviter impressum; margo posterior sat late rotundatus, apice ipso subacuto, spinis c. 8 et ciliis mediocribus instructus. Uropoda ramis angustis, lanceolatis, nonnihil elongatis; ramus interior fere triplo longior quam latior, ramum exteriorem et caudam nonnihil superans, apice subacuto, margine exteriore non emarginato spinis nonnullis et ciliis mediocribus instructo, margine interiore ciliis longis et spinis nonnullis (c. 3) instructo; ramus exterior margine exteriore spinis (c. 4) et ciliis brevioribus instructo, margine interiore setoso et spina una ornato. Scapus angulo interiore breviore, longe ante medium ramum interiorem desinente. Color in speciminibus haud dudum in spiritu vini positis rubescens, parte dimidia posteriore segmenti cujusque punctis minutis numerosis nigris ornata. Appendix masculina (fig. 1 t, a) ramo interiore perpaulo longior, prona carina alta per longitudinem ornata, paulum pone apicem acutum in latere exteriore in processum magnum, irregularem producta. (Appendix in mare juniore brevior, simplex, processu nullo (fig. 1 u)). 324 88 Forekomst. Af denne Art har jeg set et stort Antal Exemplarer, dels fra Norges Vestkyst, nemlig fra Throndhjemsfjord og Magerø (Krøyer), Manger (M. Sars) og V.N.YV. f. Bergen, 90—150 Fy. (Sv. Lovén), dels fra Kattegat, hvor den er tagen gjentagne Gange paa 13—29 Fv. paa Slik eller Slik blandet med Grus eller Sand (Dr. phil. Joh. Petersen), endelig fra Neapel, c. 25 Fv., idet jeg har kjøbt 3 Exemplarer af denne Art sammenlagte med 3 Exemplarer af C. neglecta n. sp., alle under Navnet «0. hirtipes M.-Edw.» fra den Zoologiske Station i den nævnte By. (I Materialet fra Moskou fandtes 8 smukke Exemplarer, tagne ved Neapel af A. Bogdonoff.) De Angivelser, jeg mener at kunne samle af Literaturen og med stor Sandsyn- lighed eller fuld Sikkerhed henføre til denne Art, ere følgende: 64° 48° N. B., 6° 32' 6. L., 155 Fv., Sandler (G.O.Sars, op. cit. n°4, p.29); 61° 52:30“ N.B., 1° 42:6" 6.L., 130 Fy., fint Slik, 4 Ex. (Hoek, op. cit. p.27); fra Norges Kyster: Bergen og Christians- sund (Lilljeborg, op. cit. p.23); Havbanke ud for Christianssund, 100 Fv., stenet og sandig Bund, og Stavanger, 50—60 Fy. (G. O0. Sars, op. cit. n°2, p.82 og 91); fra Eng- lands Kyster: Shetlands-Oerne (Norman, op.cit. n°2, p. 288), dernæst Moray Frith, Yorkshire, Brighton, Belfast Bay, Dublin Bay (Sp. Bate & Westwood, op. cit. p. 301); fra Bretagnes Kyst: Concarneau, le Croisic, paa c. 40 Fy. (Bonnier, op. cit. p. 135); fra Nordamerikas Ostkyst: 32°43°25°N.B., 77° 20‘ 30‘ V.L., 233 Fv., 4 Ex., og 32° 7’N.B., 78° 37°30" V.L., 229 Fv., 1 Ex. (Harger, op. cit. n°5; p. 91): Der findes endvidere i Literaturen en Række Angivelser, som muligvis eller med nogen Sandsynlighed kunne henføres til denne Art, men Angivelsernes Beskaffenhed gjør Henforelsen tvivlsom. Denne Art har, skjondt den vist er den mest udbredte og hyppigste Form af Slægten ved den sterste Del af Europas Kyster, faaet en i høj Grad uheldig Behandling af Forfatterne og en fortvivlet Synonymi. Svenske, norske, danske og hol- landske Forfattere (saaledes Lilljeborg, Sars, Schiodte, Meinert, Hoek, Max Weber) have nemlig antaget det ældste Navn: C. borealis Lilljb.; Englænderne Sp. Bate & Westwood og Norman, Amerikaneren Harger og Franskmanden Chevreux (op. eit., p. 519) have givet den Navnet GC spinipes B. & W.; endelig have Franskmanden Bon- nier og Englænderne White (op. cit. n°2, p.79) og W. Thompson (op. cit. p. 246), Ita- lienerne Stalio (op. cit. p. 1375) og Stossich (op. cit. p. 224) samt Tydskerne Heller og Carus givet den Navnet C. hirtipes M.-Edw., der imidlertid tilhører en Art, som med Sikkerhed kun er tagen ved Cap. Under Navnet C. hirtipes M.-Edw. har jeg ogsaa mod- taget denne Art og .C. neglecta m. sammenblandede, og Hellers ovenfor citerede lange Beskrivelse passer endda (med Hensyn til 6te Haleleds Tornyebning og Uropodernes Længde) hverken med C. borealis Lilljb. eller C. neglecta m., saa der er en større Mu- lighed for; at den af ham beskrevne Form (som sandsynligvis er identisk med den af Stossich og Stalio anforte) fra det Adriatiske Hay er en hidtil ukjendt Art, der ber 89 | | 395 have et nyt Navn. Stalios Beskrivelse (l. c.) af Haleviften passer heller ikke godt paa nogen mig bekjendt Art fra Middelhavet. Den af Carus (op. cit. p. 438) givne Diagnose er ikke god, og han henfører med et Spørgsmaalstegn Nelocira Swainsonii Leach til den som Synonym, hvilket (se senere) er aldeles fejlagtigt. Resultatet heraf er da ogsaa, at Lokaliteterne for «C. hirtipes Edw.» og Lokaliteten «Sicilien» for Nelocira Swainsonit [= Cir. Cranchü] anføres for denne Art. «Æurydice Swainsonii?» Grube (op. cit. p. 76) henføres af Bonnier (op. cit. p. 135) til hans C. hirtipes. Den af Valle (op. cit. p. 191) anforte C. hirtipes er snarere C. neglecta, paa Grund af sin ringe Størrelse. Det fremgaar af ovenstaaende Liste, at denne Art, der, saavidt vides, aldrig er tagen pelagisk, men dog maa kunne svømme særdeles godt, er tagen paa meget forskjellig Dybde. Om dens Færd kan folgende meddeles. f Strom skriver (op. cit. p. 164) i Aaret 1762: «Fiske-Bjorn eller Krakku er et Soe- Insect, som plager Fiskene, idet den kryber ind ad Gadboret og æder om sig, ja kan, naar den faaer Tid dertil, fortære den hele Fisk.» Det er Schiodte, der (op. cit. n°1, p. 180) først har henledt Opmærksomheden paa denne gamle Udtalelse, som ifølge den senere Beskrivelse, Dyrets Levevis” og Lokaliteten ikke kan gjælde andre Isopoder end denne: Art. Sammesteds meddeler Schiødte en i flere Henseender interessant mundtlig Meddelelse af Krøyer, der udfor Throndhjem «havde truffet en stor Torsk vrimlende fuld af Cirolana borealis. Krebsen havde ædt saa store Huler i Kjødet, at der ikke var stort Mere tilbage af Fisken, end Skind og Been. I Hastværket med den rigelige Fangst vilde Prof. Krøyer hjælpe sig ved at holde nogle i den lukkede Haand, men de bede saa glubsk om sig, og gnavede saa følelig, at han strax maatte slippe dem.» Det sidste Punktum giver en udmærket Illustration til min paa Side 277 (og 279) givne Fremstilling af Kindbakkernes Bygning og Bevægelse. Meinert (op. cit. n°1, p. 90) meddeler af et efterladt Manuskript af Lyngbye: «Gilleleie. I større Antal. I Vintermaanederne i Aarene 1834 og 35.» Og dernæst: «In cavitate ventrali Rajæ Batis, magni voluminis, et in retibus mortuæ et in ejusdem appendicibus masculis multas, et in ipso stomacho, quem perfora- verat, unam reperi, omnesque vivas — Voracissima est et bona natatrix, quin supra aquam altos dandi saltus compos. — Spiritui immersa vitæ tenax, et ex ore, quæ nuper devo- raverat, ut tentacula Actiniæ, emisit.» Will. Thompson skriver I. c.: «The first individuals which came under my notice were found in the midst of a mass of ova in a boiled cod-fish sent me from Port- patrick ..... In September 1841, several found adhering to a skate (Raja batis) taken in Belfast bay, were brought to me by Mr. Hyndman. I have also procured it on the gills and once alive in the stomach of a holibut (Hippoglossus) from the lastnamed locality.» Dr. P. Mayer i Neapel har skriftlig meddelt mig, al denne Art (og C. neglecta) levede sammen med Conilera cylindracea (Mont.) paa omtr. 25 Fy. Dybde, og at begge skeletterede Fiske. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 42 2. Cirolana hirtipes M.-Edw. (Tab. I, Fig. 2—2 g.) Cirolana hirtipes H. Milne-Edwards, Hist. Nat. d. Crust. T. III, p. 236, Pl. 31, Fig. 25 [1840]. — — — Regne Animal, Ed. ill., Crust., Pl. 67, Fig. 6—6 i. Species a cel. Heller et ab auctoribus ceteris descripta vel commemorata non ad hanc speciem pertinet. Mas verosimiliter adultus. Diagn. Oculi nigri, ut in specie precedente formati. Epimera omnia fureis binis (furca arcuata profunda et furca marginali) instructa. Pedes quinti paris articulo secundo paulo plus quam dimidio longiore quam latiore; pedes septimi paris articulo secundo pervalde dilatato, c. */s longiore quam latiore. Segmentum ultimum caude postice angustius rotundatum ibique spinis sat numerosis (c. 16) armatum. Uropoda ramis sat angustis, lanceolatis, caudam aliquantum superantibus, inter se equilongis. Long. 20mm., " Descr. Speciei præcedenti valde similis, bene tamen distincta. à Corpus haud triplo longius quam latius, aliquantum convexum. Frons, oculi, lamina frontalis a ©. boreali perpaulum discrepant; laminæ frontalis pars media per longitudinem alte convexa. Clypeus ad medium æquatus, labro nonnihil brevior, inermis. Antennulæ fere ut in C. boreali, tamen paulo breviores, non ultra apicem articuli quarti antennarum pedunculi attingentes. Antenne fere ut in C. boreali; articulus tertius pedunculi- articulo quarto paulo longior et articulo quinto nonnihil brevior; flagellum paulo brevius, e. 24-articulatum. Mandibule et maxillipedes ut in specie precedenti. Segmenta trunci sat convexa; segmentum primum segmento quinto aliquanto — longius, capite non brevius; segmenta cetera longitudine minus inæqualia. Epimera trunci omnia furca arcuata sat profunda ornata; epimera parium 5 poste- riorum a C. boreali imprimis latitudine nonnihil majore differunt. Pedes parium trium anteriorum nonnihil breviores et robustiores quam in C. boreal, structura tamen valde similes. Articulus secundus brevior et magis ad apicem versus incrassatus; articulus sextus brevior et spine robustiores quam in specie præcedenti. Pedes quattuor parium posteriorum item breviores et robustiores quam in C. boreali. — Pedes quinti paris (fig. 2 d) spinis robustioribus et ex parte brevioribus quam in C. 60- reali instructi; articulus secundus brevior et crassior, paulo plus quam dimidio longior quam latior, setis marginis posterioris solum plumosis, setis ceteris simplicibus; articulus x quartus brevior, margine interiore inciso; articulus sextus articulo quinto vix dimidio 91 . ; 327 longior. — Pedes septimi paris (fig. 2e) a C. boréal imprimis differunt: articulo sexto breviore; articulo secundo breviore et magis dilatato, c. ”/3 longiore quam latiore, margine interiore ex parte majore nudo et modo in parte apicali setis multis perlongis plumosis instructo. — Pedes sexti paris pedibus ceteris nonnihil longiores; articulus secundus margine anteriore ubique setoso et in parte apicali setis longis ornato. Segmenta anteriora caudæ et pleopoda fere ut in C. boreali. Segmentum ultimum caude imprimis differt characteribus in diagnosi comme- moratis. i Uropoda imprimis differunt ramis inter se æquilongis, utroque caudam superante, ramo interiore paulo breviore et latiore, scapo angulo interiore plus producto, perpaulum ante medium ramum interiorem desinente. Color in specimine vivo dilute rosaceus. Appendix masculina simplex, styliformis, paulum curvata, ad apicem versus valde complanata, apice acuminato, acuto, ramum interiorem perpaulum superante. Forekomst. Tafel Bay ved Gap, 1 Ex. (Strandgaard). Da Milne-Edwards ligeledes angiver det Gode Haabs Forbjerg som Finde- sted for Typen for sin 1 Tomme lange Art, og da hans Fremstilling passer ret godt med denne Form, har jeg ikke taget i Betænkning at optage det af ham givne Navn. Den eller de Arter, som ere tagne i de europæiske Have og have faaet Navnet C. hirtipes M.-Edw., ere (se ovenfor under C. borealis) ikke identiske med den syd- afrikanske Form. Cunningham skriver (op. cit. p. 500): «Cirolana hirtipes (?) Edw. An imperfect specimen of a Cirolana, which, I think, is referable to the above species, was taken on a fish at the Tyssen Islands, Falkland Sound.» Denne Bestemmelse er sandsynligvis ikke rigtig. Miers giver (op. cit. n°6, p.370—71) en Sammenligning mellem Cir. hirtipes og Cir. Swainsonü (Leach) fra Goree Island, Senegambien, men den giver ikke noget af Interesse med Hensyn til C. hirtipes. Q 3. Cirolana neglecta n. sp. (Tab. I, Fig. 3—3 a; Tab. Il, Fig. 1—1 b.) Mas adultus et femina non ovigera. Diagn. Oculi brunnescentes, a latere visi paulo latiores quam longiores, ocellis minus numerosis, perpaulum convexis. Epimera omnia furca arcuata, profunda et furca marginali ornata. Pedes quinti et septimi parium articulo secundo longitudine et .latitudine C. boreali subsimili, setis natatoriis tamen fere ut. in C. hirtipede ornato. Segmentum ultimum caude postice marginibus valde in obliquum truncatis, spinis c. 10 42* 328 i 92 ornatis, apice acuto. Uropoda ramis brevioribus et latioribus, acutis; ramus interior ramo exteriore aliquanto longior et caudam perpaulum superans. Long. specim. maximi femin. 14,9", long. maris 12,9". Descr. C. boreali et ipse affinis, structura oculorum, epimerorum, uropodorum primo visu diversa. Corpus circiter duplo et tribus quartis partibus longius quam latius. Frons ut in C. boreali. Oculi paulo majores, brunnescentes, a latere visi paulo latiores quam longiores, margine superiore valde curvato; ocelli minus numerosi, perpaulum convexi. Lamina frontalis et clypeus paulo breviores quam in C. boreali. Antennulæ, antenne, mandibulæ, maxillipedes fere ut in C. hirtipede; flagellum antennarum €. 22-articulatum. Segmenta trunci sat convexa, longitudine sat inæqualia; segmentum primum capite vix brevius et segmento quinto nonnihil longius; segmentum seplimum sat breve. Stria laterali a medio epimero nulla. Epimera omnia furca arcuata profunda et furca marginali ornata, magnitudine a €. boreali paulum discrepantia; epimera ultimi paris angulo posteriore aliquantum producto, acuminato, acutissimo. Pedes parium trium anteriorum a C. boreali imprimis differunt arliculo sexto paulo breviore, spinis minus numerosis, ex parte longioribus. Pedes parium quattuor posteriorum articulo secundo longitudine et latitudine €. boreali subsimili, selis natatoriis paulo minus numerosis tamen -fere ut in C. /urtipede sitis ornato, arliculis ceteris fere ut in C. hirtipede, spinis tamen gracilioribus, ex parte longioribus, paulo minus numerosis. Segmenta anteriora caudæ et pleopoda fere ut in C. boreak. Segmentum ultimum caude a C. boreali imprimis differt characteribus in diagnosi commemoratis. Uropoda ramis brevioribus et latioribus, acutis, fere ut in C. boreak spinosis et eilialis; ramus interior duplo longior quam latior, caudam perpaulum superans et ramo exteriore aliquanto longior, margine exteriore non emarginato; scapus angulo interiore aliquantum producto, medium ramum interiorem attingente. Color in speciminibus diu in spiritu vini asservatis rufescente-flavus. Appendix masculina ramum interiorem perpaulum superans, styliformis, nonnihil curvata, per totam longitudinem latitudine fere æquali, ad apicem versus complanata, apice rotundato. 93 329 Forekomst. Neapels Golf, 3 Exemplarer sammen med 3 Exemplarer af C. borealis under Navnet «C. hørtipes» fra den zoologiske Station; desuden et Exemplar (den største 9) vistnok fra Nizza (samlet af Max Schultze og modtaget fra Museet i Bonn). (I Ma- terialet fra Moskou fandtes 12 Exemplarer, tagne ved Neapel af A. Bogdanoff.) Det er sandsynligvis, ifølge den opgivne Størrelse (4—15""), denne Art, om hvilken Valle (op. cit. p. 191) meddeler, at den er tagen i Thalassochelys corticata Rond., og hvorom han skriver: «Tra le papille dell’ esofago, che come é noto ad ognuno, rag- giungono nelle testuggini marine dimensioni straordinarie, stava innicchiata un” enorme quantità di crostacei parassiti. Pare che codesti parassiti avessero scelto gia da lungo tempo questa testuggine per loro pasto, dappoichè buona parte dei muscoli della testa erano stati rosi molto profondamente.» Nogle Stykker vare ogsaa tagne i en Centrina Salviani Riss. 4. Cirolana gracilis n. sp. (Tab. II, Fig. 2—2 g.) Mas adultus. Diagn. Oculi brunnescentes, a latere visi fere wque lati ac longi, ocellis pau- cioribus, superioribus sat convexis, inferioribus aliquantum convexis. Clypeus ad medium area biimpressa et pulchre sculpta ornatus. Epimera omnia furca arcuata, manifesta et furca marginali ornata. Pedes quinti paris pedibus septimi paris nonnihil longiores, graciliores, articulo secundo circiter duplo longiore quam latiore. Pedes septimi paris graciliores, articulo secundo valde elongato et complanato circiter duplo et dimidio longiore quam latiore. Segmentum ultimum caudæ postice marginibus valde in obliquum truncatis, spinis c. 8 ornatis, apice acuto. Uropoda ramis valde inæqualibus; ramus interior haud duplo longior quam latior, caudam nonnihil superans, ramo exteriore parvo et angusto multo longior. — Long. specim. sing. om, Descr. Corpus plus triplo longius quam latius, aliquantum convexum. Frons prona in processum, paulo latiorem et breviorem quam in C. boreali, producta. Oculi majores, brunnescentes, a latere visi fere æque lati ac longi, margine superiore breviore, recto; ocelli pauciores et majores, in latere superiore satis convexi, in latere inferiore aliquantum convexi. Lamina frontalis angustissima, ad apicem versus angustata, marginibus lateralibus ante evanidis, postice manifestis. Clypeus labro vix brevior, margine et ante et in lateribus et postice et costa media elevatis, areas duas impressas, reticulatas cingentibus. 330 94 Antennule paulo crassiores quam in C. boreali, paulum ultra apicem articuli quarti antennarum pedunculi prominentes. Antennæ marginem posteriorem segmenli quarti trunci atlingentes; pedunculus articulo tertio vix longiore quam quarto et paulo breviore quam quinto; flagellum ce. 26- articulatum. Mandibule et maxillipedes fere ut in C. boreali. Segmenta trunci longitudine minus inæqualia; segmentum primum capite vix brevius et segmento quinto paulo longius; segmentum septimum longius. Epimera paulo angustiora quam in C. neglecta, ceteroquin ut in illa specie formata et furcata. i ; Pedes parium trium anteriorum fere ut in C. boreali formati, tamen nonuihil graciliores, setis paucioribus et spinis paucioribus et ex pärte longioribus instructi. Pedes quattuor parium posteriorum graciliores quam in C. boreali et ab eis sat diversi. — Pedes quinti paris elongati, pedibus septimi paris nonnihil longiores et pedibus sexti paris perpaulo breviores; articulus secundus ut in C. boreali formatus, setis in series tres dispositis simplicibus; articuli ceteri aliquanto graciliores quam in C. boreali, selis el spinis minus numerosis ornati; articulus quartus sat dilatatus, articulus quintus perpaulum dilatatus, uterque in latere superiore spinis paucis ornatus. — Pedes quarti paris sat breves. — Pedes septimi paris sat aberrantes; articulus secundus complanatus et valde elongatus, circiter duplo et dimidio longior quam latior, margine exteriore setis densis plumosis, margine medio setis paucis simplicibus, margine interiore nudo, margine apicali setis compluribus perlongis , plumosis instructo; articuli ceteri simplices, vix dilatati, breviores, setis perpaucis instructi. — Pedes sexti paris a pedibus quinti paris paulum diversi. Segmenta quinque anteriora caudæ et pleopoda structura solita. Segmentum ultimum caude plus dimidio latius quam longius, ad medium prope basin magis in transversum impressum, postice marginibus valde in obliquum truncatis, spinis c. 8 et ciliis longis ornatis, apice acuto. Uropoda sat-brevia; ramus interior haud duplo longior quam latior, caudam non- nihil superans , ramo exteriore parvo et angusto multo longior, margine posteriore quam margine anteriore multo breviore, apice vix acuto; ramus uterque spinis parvis paucioribus et ciliis ex parte longis et longioribus quam in speciebus precedentibus instructus; scapus angulo interiore valde producto, longe ultra medium ramum interiorem prominente. Color in specimine vetere flavo-brunnescens. Appendix masculina longa, fere semicirculariter curvata, ultra apicem rami interioris prominens, ubique latitudine et crassitudine fere equali, apice rotundato. 95 ; 331 Forekomst. Det eneste kjendte Exemplar er uden Lokalitet, men da det skyldes Hr. Apotheker Riise, kan man med stor Sandsynlighed antage, at det er taget ved St.Thomas i Vestindien. 5, Cirolana eximia n. sp. (Tab. II, Fig. 3—3 g.) Mas adultus et femina non ovigera. Diagn. Corpus semi-cylindraceum. Oculi minores, nigri. Epimera omnia furca arcuata ornata, epimera septimi paris inter omnia maxima, epimeris sexti paris multo latiora et via breviora. Pedes parium trium anteriorum articulo quarto in latere exteriore in processum medium articulum sextum attingentem producto. Pedes septimi paris articulo secundo nec elongato nec dilatato, setis paucis instructo, articulo quarto magno, ad apicem versus valde dilatato et in angulo exteriore setis nonnullis plumosis instructo, articulo quinto ad apicem versus valde dilatato, æque lato ac longo, articulo sexto perbrevi. Segmentum ultimum caude apice paulum producto, acuto. Uropoda ramo interiore apice truncato et margine exteriore ad apicem profunde inciso- emarginato, ramo exteriore valde angustato ramum interiorem et caudam multo superante, setis nonnullis apicalibus longissimis ornato. — Long. maris c. 23mm, long. femine 19,57. Descr. Corpus circiter triplo et tribus quartis partibus longius quam latius, semi-cylindraceum, ubique latitudine fere «quali, alte convexum. Frons prona visa ante emarginata, a fronte visa processu brevi, ad basin latissima, incurvata instructa. å Oculi minores, nigri, fere æque lati ac longi, a margine acuto, elevato capitis in partes duas divisi; ocelli sat numerosi, perpaulum convexi. Lamina frontalis sextuplo fere longior quam latior, ad apicem versus nonnihil dilatata, apice subacuto, a latere visa parte subapicali sat incurva. —…… Clypeus labro perpaulo brevior, marginibus elevatis, in transversum paulum furcatus. Antennulæ fere ut in C. boreali constructæ, pedunculo tamen breviore et paulo breviore quam flagello e. 13-articulato. Antenne circiter medium segmentum secundum trunci altingentes; peduneulus fere ut in C. boreali, articulo tertio tamen fere breviore quam articulo quarto; flagellum ce. 28-articulatum. Mandibulæ acie nonnihil breviore quam in C. boreali. Maxillipedes articulo quinto aliquanto majore quam in C. boreali, articulis duobus ultimis minoribus. 332 96 Segmenta trunci alte convexa, longitudine nonnihil inæqualia; segmentum primum capite et segmento quinto nonnihil longius; segmentum septimum sat longum segmento sexto nonnihil brevius. ; Epimera postice per paria latitudine crescentia, omnia preter furcam marginalem furca arcuata ornata; epimera septimi paris epimeris sexti paris vix breviora et postice multo latiora, in obliquum valde producta. Pedes parium trium anteriorum sat breves et robuSti: articulus tertius nonnihil elongatus, zque latus ac longus, processu exteriore longitudine insolita; articulus quartus processu exteriore perlongo medium articulum sextum attingente; articulus sextus brevior et crassior; spine et setz fere ut in C. boreali. Pedes quattuor posteriorum parium articulo secundo neque elongato neque dilatato vel complanato, setis paucioribus simplieibus imprimis in margine exteriore et in margine apicali ornato. — Pedes quinti paris breves pedibus septimi paris paulo breviores; artieulus tertius fere ut in C. boreali, articulus quartus sat dilatatus, articulus sextus articulo quinto quarta parte longior, apice longe setoso. — Pedes septimi paris structura valde peculiari: articulus tertius elongatus articulo secundo paulo brevior, ad apicem versus nonnihil dilatatus, angulo exteriore setis nonnullis longis simplicibus ornato: articulus quartus nonnihil elongatus et ad apicem versus valde dilatatus, angulo exteriore setis compluribus longis ex parte majore plumosis instructo; articulus quintus quoque ad apicem versus valde dilatatus, zque latus ac longus, margine apicali setis et spinis mediocribus instructo; articulus sextus perbrevis, articulo quinto brevior. — Pedes sexti paris pedibus septimi paris nonnihil longiores et eis structura sat similes. Segmenta quattuor anteriora et imprimis duo anteriora caude prona visa magis arcuata quam in speciebus precedentibus, «epimeris» structura aberrante. Pleopoda anteriora nonnihil breviora et latiora quam in C. boreali, ramis forma nonnihil aberrante. Segmentum ultimum caudz aliquantum latius quam longius, perpaulum convexum, ad basin vix impressum; margo posterior ciliis brevioribus, spinis nullis ornatus, minus late rotundatus, parte media apicali tamen sat producta, acuta. Uropoda (fig. 3 g) structura mirabili. Ramus interior segmento ultimo caudæ perpaulo brevior, duplo longier quam latior; margo posterior subrecte truncatus, spinis nonnullis instructus; margo exterior per longitudinem majorem rectus, parte apicali profunde incisa; margo anterior perlongus. Ramus exterior valde angustatus et elongatus, ramum interiorem longe superans; margines exterior et interior non spinosi, ciliis mediocribus plumosis instructi, apex subtruncatus setis nonnullis perlongis, ex parte longioribus quam ramo, non plumosis ornatus. Scapus angulo interiore perlongo, */s marginis inte- rioris ramo interioris explente. 97 333 Color in speciminibus diu in spiritu vini-asservatis albidus, dorso ubique punctis minutis, nigris, crebrius sparsis, ornato. Appendix masculina ramum interiorem nonnihil superans, nonnihil curvata, in latere inferiore setis permultis perminutis ornata, a basi ad apicem versus sensim valde com- planata, a basi et per duas tertias partes longitudinis sensim sat dilatata, deinde ad apicem versus angustata, apice producto, acuto. Forekomst. De to kjendte Exemplarer ere mærkede: Brasilia, Prof. Selenka. 6. Cirolana concharum (Stimps.). (Tab. II, Fig. 4--4 f.) Æga concharum Stimpson, Mar. Invert. Grand Manan, l.c. p. 42 [18541]. Cirolana concharum Harger, Mar. Isop. New Engl., op. cit. n° 4, p. 378, Pl. IX, Fig. 58, Pl. X, Fig. 59—63. = — Harger, Rep. of Dredg. by „Blake“, op. cit. n°5, PI.I, Fig. 4, PIII, Fig. 4—4 c. Femina non ovigera. Diagn. Corpus vix semi-cylindraceum. Oculi minores, nigri. Epimera omnia preter furcam marginalem equata,; epimera septimi paris epimeris sexti paris nonmihil breviora et latiora. Pedes septimi paris sat longi, articulo secundo nec elongato nec dilatato, articulis tertio, quarto, quinto elongatis, sat dilatatis, in angulo exteriore setis non plumosis ex parte longissimis instructis. Segmentum ultimum caude apice truncato- emarginato. Uropodorum ramus interior margine exteriore ad apicem profunde emarginato, caudam perpaulum superans, ramus exterior ramum interiorem perpaulum superans, valde angustatus, in apice spina una robusta, non setis elongatis instructus. — Long. 22" (interdum 32", Harger). Descr. Corpus plus triplo (interdum triplo et dimidio) longius quam latius, aliquantum convexum, vix semi-cylindraceum. Frons fere ut in C. boreali, processu tamen nonnihil breviore. Oculi minores, nigri, subtrigoni, angulis rotundatis, equati, ocellis sat numerosis. Lamina frontalis fere ut in ©. eximia. Clypeus fere ut in C. eximia formatus, parte media tamen convexa. Antennule pedunculum antennarum paulum superantes; flagellum sat crassum, pedunculo paulo longius, c. 15-articulatum. Antenne breves, marginem posteriorem segmenti primi trunci non attingentes; pedunculus brevis, articulis tribus ullimis inter se equilongis, articulis quattuor prioribus Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 43 334 98 incrassatis, articulis tertio et quarto in parte exteriore marginis posterioris setis multis perlongis ornatis; flagellum e. 17-articulatum. Mandibulæ et maxillipedes fere ut in C. eximia constructa. Segmenta trunci sat convexa, longitudine sat inæqualia; segmentum primum capite nonnihil brevius et segmento quinto paulo longius vel non longius; segmentum septimum segmento sexto aliquanto brevius. Epimera sat lata, postice per paria latitudine nonnihil erescentia, omnia præter furcam marginalem æquata; epimera septimi paris epimeris sexti paris nonnihil breviora et latiora, postice in obliquum valde producta. s Pedes trium parium anteriorum fere ut in C. boreali constructi, nonnihil tamen graciliores. Pedes quattuor parium posteriorum structura medium quasi tenent inter C. borealem et C. eximiam, articulo seeundo nec elongato nec dilatato vel complanato, setis paucioribus simplicibus imprimis in margine exteriore et in margine apicali instructo. — Pedes quinti paris sat longi, pedibus septimi paris nonnihil breviores: articulus secundus brevis; arti- culus tertius perdilatatus longior quam latior; articuli quartus et quintus fere ut in C. boreali constructi et spinosi, tamen nonnihil angustiores: articuli tertius et quartus et quintus setis multis longis non plumosis instrueti; articulus sextus valde elongatus, articulis duobus prioribus junctis vix brevior. — Pedes septimi paris elongati; articuli tertius et quartus et quintus nonnihil elongati et ad apicem versus sat dilatati, angulo posteriore setis multis ex parte longis, non plumosis instructi: articuli quartus, quintus, sextus inter se longitudine æquales. — Pedes sexti paris pedibus septimi paris nonnihil longiores, pedibus quinti paris structura sat similes. - = 5 Segmenta anteriora caudæ et pleopoda fere ut in C. boreali. 5 Segmentum ultimum caudæ nonnihil latius quam longius, paulum convexum, ad marginem lateralem versus impressione longitudinali ornatum, a medio ad apicem versus sensim sat angustatum, apice latius truncato-emarginato, spinis 4 a medio sat remotis ornato. Uropoda structura insigni. Ramus interior caudam perpaulum superans, margine posteriore brevi, obliquo, spinis nonnullis ornato, margine anteriore perlongo, margine exteriore nonnihil areuato ad apicem sat profunde emarginato-inciso. Ramus exterior ramum interiorem perpaulum superans, valde angustatus, apice acuto spina singula robusta et setis nullis longis instructo, marginibus lateralibus non spinosis eiliis mediocribus ornatis. Scapus angulo interiore valde producto, duplo longiore quam margine posteriore rami interioris. Color in speciminibus diu in spiritu vini asservatis brunnescente-flayus, punctis nigris crebrius conspersus. 99 : 335 Forekomst. Harger skriver (op. cit. n°4, p. 381): «This species was described by Stimpson from Charleston, S. C. Most of the specimens in the collection are from Vineyard Sound!, where it occurs sometimes in great abundance, and is common especially during the winter. It is found swimming about in shallow water, and may be taken by a scoop-net, and it is found also in lobster pots. It was dredged in 45 fathoms off Block Islands! near the eastern end of Long Island Sound, in 1874, but has not yet been found north of Cape Cod.» Derpaa, giver Harger en speciellere Liste, hvortil hen- vises. — De to af mig undersøgte Exemplarer ere tilbyttede fra A. M. Norman, der vist har faaet Arten fra Nordamerika. Sammesteds skriver Harger: »Length of large specimens 3277, breadth 107, but usually smaller; 22™™ long, 7™™ broad. The ground color in life is yellowish, with reddish brown on the anterior margin of the head and on the posterior margins of the segments, especially in the dorsal region, where the segments are also-marked with black dots. In the life the body is somewhat translucent in the thinner parts.» — Harger har ogsaa i op. cit. n°4 sammenstillet Artens rigtige Synonymi indtil 1878. Leidy meddeler (op. cit. n°1), at han, gaaende ved Strandbredden ved Beach Haven, New Jersey, fandt «here and there a dead crab, Callinectes hastatus, lying on the sand, near the last high tide mark. The crabs observed happened to be all females and they appeared to have died recently, as some were quite fresh and showed no signs of decom- position. Others, broken open by removing the carapace, were found to have the body cavity swarming with a living isopod, the Cirolana concharum, which had preyed upon the organs and were variously colored by the food with which they were gorged. From a single crab there were taken 108 of the Cirolana ranging from 15 to 22 mm. in length by 5 to 7 mm. in breadth.» — Den samme Forfatter anfører i op. cit. n°?, at han senere ogsaa har fundet den samme Cirolana i døde Stykker af Platyonichus ocellatus. Lockwood (op. cit. n°1, her refereret efter Science, Il,.1883, p. 664) meddeler et interessant Fund af denne Art. I en voxen Hun af Krabben Callinectes hastatus Ordway, funden ved New Jersey, fandtes 23 3/4 Tomme lange Exemplarer af Cir. concharum (bestemte af Harger) i Dyrets venstre Side. «The ovaries and the tissues on.the left side were completely honeycombed.» «With these predaceous wolves, literally consuming its (Krabbens) inwards, it surely would soon succumb.» Resten af Lockwoods Antagelser forbigaas, da de dels ere usikkre, dels utvivlsomt fejlagtige. Denne Art er kun kjendt fra den af Harger omtalte Kyststrekning. Naar G. O. Sars (op. cit. n°3, p. 61) skriver, at den af ham «først paa Storeggen observerede og nylig af Dr. Hoek fra den hollandske Nordpolexpedition beskrevne Form (nemlig C. microph- thalma Hoek) ..... stemmer fuldstændig overeens med den amerikanske Form», nemlig C. concharum, saa er dette urigtigt. Sars har ogsaa senere. (op. cit. n° 4, p.29) optaget 437 336 | 100 Navnet C. concharum Stimps. for den paagjældende arktiske Art og er heri bleven fulgt af Max Weber (op. cit. p. 7), men i 1886 fik jeg ved Hr. Prof. Colletts Velvillie Lejlighed til at sammenligne et Exemplar. af den nordamerikanske Form med Stykkerne fra den norske Nordhavsexpedition, og overbeviste baade mig selv og Prof. Sars om, at det er 2 vel adskilte Arter (hvilket ogsaa kan skjonnes ved en Sammenligning mellem de af Harger og Hoek givne Figurer), af hvilken den ved Storeggen, i Havet Ost for Vardø og i Barents- Søen tagne Art bør bære. Navnet C. microphthalma Hoek. Denne vil senere blive nævnet mellem de Arter, som ikke ere beskrevne her. | De nu beskrevne 6 Arter, der ligne hverandre særdeles meget i Habitus og i en Række Bygningsforhold, give, forekommer det mig, en lang Række interessante og paa- faldende Forskjelligheder i Bygningen af deres Svømmeredskaber, nemlig Benene og sidste Haleled med Uropåderne, hvis Grene og Skaft vise saa store og mærkelige Forskjelle i Form m. m. De 2 af Harger (op. cit. n°5) godt fremstillede Arter C. polita (Stimps.) og C. impressa Harg. vise andre interessante Kombinationer i de samme Organers Bygning, og naar man engang faar gode Fremstillinger af C. microphthalma Hoek, ©. Kossü Miers, C. Schiodtei Miers, C. tenwistylis Miers og muligvis andre ubekjendte, til denne Gruppe horende Arter, vil man faa nye Bygningstrek og Kombinationer af Karakterer i de oven- nævnte Svommeredskaber. Særlig med disse Forhold for Øje antager jeg, at de oven- staaende lange Beskrivelser skulle vise sig ikke at vere for lange. Sectio secunda. Lamina frontalis inermis, lata, brevis, pentagona (rarius fere hexagona), vix dimidio longior quam latior. Clypeus inermis, non cornutus, ante perspicue cum lamina frontali conjunctus. Antennulæ pedunculo obscure triarticulato (primo visu biarticulato), flagello semper satis gracili. Pedes omnes setis perpaucis vel nullis instructi. 7. Cirolana sulcata n. sp. (Tab. II, Fig. 5—5 e.) x: Mas adultus et specimen junius. Diagn. Antennulæ pedunculo antennarum breviores. Antenne marginem poste- riorem segmenti secundi trunci non attingentes. Epimera mediocria, omnia preter furcam marginalem furca arcuata profunda, epimera parium quattuor posteriorum preterea furca 101 | 337 debiliore ornata. Pedes robustiores, simplices. Segmentum ultimum caudæ subtrigonum, apice rotundato, in medio dorso per longitudinem sulco magno carinis duabus crassis, ante conjunctis, circumdato, ornatum. Uropoda ramis latioribus, in apice bifidis, ramo interiore caudam et ramum exteriorem nonnihil superante. — Long. maris c. 8,577, Deser. Corpus eireiter duplo et #/4 partibus longius quam latius, sat convexum. Frons prona ante æque rotundata, a fronte visa processu brevissimo instructa. Oculi minores, nigri, paulo latiores quam longiores, fere æquati, ante a margine laterali acuto capitis in partes duas divisi. Lamina frontalis vix dimidio longior quam latior, pentagona, ante non cum apice frontis conjuncta, nonnihil convexa, marginibus lateralibus elevatis. Clypeus labro paulo brevior, marginibus lateralibus aliquantum incrassato-elevatis, area media convexa, in media iterum paulum impressa. Antennulæ breves, pedunculo antennarum paulo breviores; peduneulus 3-articu- latus, articulis binis basalibus tamen ægre inter se distinctis. Flagellum pedunculo paulo brevius, sat gracile, 7-articulatum. Antenne breviores, marginem posteriorem segmenti secundi trunci non attin- gentes; pedunculus articulo tertio brevi fere duplo breviore quam articulo quarto, articulo quarto fere longiore quam articulo quinto; flagellum c. 18-articulatum. Mandibulæ acie angustiore. i Maxillipedes fere ut in C. eximia. Segmenta trunci sat convexa; segmentum primum capite paulo longius et seg- mento quinto multo longius; segmenta 6 posteriora longitudine minus diversa; segmenta 4 posteriora stria transversali a margine posteriore sat remota instructa. Epimera mediocria, fere ut in C. parva formata, omnia præter furcam marginalem furca arcuata profundissima ornata, segmenta 4 posteriora præterea furca alia leviter impressa; epimera septimi paris epimeris sexti paris paulo breviora et vix latiora, medio- eriter producta. Pedes trium parium anteriorum sat robusti; articulus quartus processu exteriore apicem -articuli quinti attingente; articulus sextus brevior et crassior. Pedes quattuor parium posteriorum breviores et crassiores, setis perpaucis ornati. Pedes septimi paris pedibus quinti paris nonnihil longiores et pedibus sexti paris paulo breviores. Segmenta anteriora caudæ structura solita; segmenta tertium, quartum, quintum imprimis ad marginem posteriorem versus nodulis compluribus minutis ornata. Pleopoda primi paris ramo exteriore lato et sat duro. 338 i 102 Segmenlum ultimum caudæ aliquanto latius quam longius, subtrigonum, apice rotundato spinis 6 armato, in medio dorso per longitudinem sulco magno et profundo carinis duabus crassis, ante conjunetis, eircumdato ornatum, in areis lateralibus nonnihil excavatum; superficies imprimis ad basin versus et in dorso carinarum nodulis minutis sat multis ornata. Uropoda ramis latioribus, spinis sat ‚numerosis et ciliis mediocribus plumosis ornatis; apex rami utriusque bifidus ibique setis nonnullis löngioribus- instructus; ramus interior caudam et ramum exteriorem nonnihil superans, vix duplo longior quam latior, margine intero-posteriore nonnihil excurvato; ramus exterior sat latus; scapus angulo postero-interiore circiter medium ramum interiorem attingente. (Color in specimine vetere brunneus.) Appendix masculina nonnihil ultra apicem rami interioris prominens, paulum cur- vata, ubique latitudine æquali, styliformis. Forekomst. Af denne let kjendelige Art har jeg set 3 Exemplarer, tagne i Simons Bay ved Cap (Hansen & Thalbitzer, 1863). De 2 Exemplarer ere mindre vel konserverede Hanner, det tredie Exemplar er betydelig mindre end de andre og befinder sig nærved Hudskifte, de 3 sidste Kropsegmenter ere nemlig betydelig hojere og bredere end de foranliggende. Hos denne og de fleste nærmest folgende Arter ses det meget smukt, hvorledes Antennulernes oprindeligt meget tydelig 3-leddede Skaft ved svag Udvikling af Ledfojningen mellem de 2 Grundled nærmer sig til at blive 2-leddet, thi disse Arter danne netop i saa Henseende en Mellemform mellem de foregaaende Arter og Cir. minuta samt de til Corallanidæ og Alcironidæ hørende Former, hvor Antennulskaftet kun er 2-leddet. 8. Cirolana californica n. sp. (Tab. III, Fig. 2—2 f.) Femina ovigera. Diagn. Antennulæ pedunculo antennarum perpaulo longiores. Antenne longe, ultra marginem posteriorem segmenti quinti trunci producte. Epimera postice sensim latitudine sat crescentia, furca marginali et furca arcuata profundissima instructa. Pedes graciliores, simplices. Segmentum ultimum caudæ late trigonum, dorso nonnihil convexo, margine posteriore spinis c. 26 robustis, dense sitis, et setis paucis brevioribus ornato. Uropoda ramis sat latis; ramus uterque spinis multis ornatus, apice rotundato ; ramus interior caudam et ramum exteriorem nonnihil superans. — Long. femine 9,7". 103 | 339 Descr. Corpus circiter duplo et dimidio longius quam latius, nonnihil convexum. Frons et oculi fere ut in C. sulcata. ‘Lamina frontalis dimidio longior quam latior, pentagona, paulum convexa, mar- ginibus lateralibus angustis, paulum elevatis. Clypeus labro paulo brevior, parte media æquata. Antennulæ longiores, paulo ultra apicem peduneuli antennarum prominentes, gra- ciles; peduneulus 3-articulatus, articulo basali brevi, articulo tertio nonnihil elongato, gracili; flagellum pedunculo longitudine æquale, c. 14-articulatum. Antenne longe, ultra marginem posteriorem segmenti quinti trunci prominentes; pedunculus articulo tertio multo breviore quam articulo quarto, articulo quinto paulo longiore et aliquanto graciliore quam articulo quarto; flagellum c. 38-articulatum. Mandibule et maxillipedes ut in specie precedente. Segmenta trunci longitudine fere ut in C. sulcata; segmentum septimum segmento sexto vix brevius; segmenta 4 posteriora stria transversali nulla. Epimera postice sensim latitudine crescentia, furca marginali et furca arcuata profundissima ornata; epimera septimi paris postice aliquantum producta. Pedes trium parium anteriorum graciliores. Pedes secundi et tertii parium pedibus primi paris nonnihil graciliores; articulus quartus processu exteriore circiter medium articulum quintum attingente: articulus sextus longior, sat gracilis. Pedes parium quattuor posteriorum manifesto graciliores quam in specie prece- dente, postice per paria longitudine crescentes, setis nullis ornati. Segmenta anteriora caude et pleopoda structura solita. Segmentum ultimum caude aliquanto latius quam longius, subtrigonum, apice rotundato; dorsum sat convexum, furca media fere obsoleta; margo posterior spinis c. 26 robustis et ad apicem segmenti versus robustioribus armatus, setis paucis brevioribus inter spinas instructus. Uropoda ramis sat latis; ramus interior ”/3 longior quam latior, caudam et ramum exteriorem nonnihil superans, margine postero-interiore sat excurvato, spinis c. 10 robustis ornato, angulo posteriore late rotundato; ramus exterior apice rotundato, margine utroque spinis densius armato; cilia natatoria in ramo utroque partim breviora, partim longiora, ubique spisse disposita. Scapus angulo interiore nonnihil ultra medium ramum interi- orem producto. Color in specimine diu in spiritu vinu asservato pallidus; in dorso trunci puncta multa picea inventa sunt. Forekomst. San Diego, Californien, 1 Ex. (Prof. Esmark). 340 104 9. Cirolana parva n. sp. (Tab. II, Fig. 6—6b et Tab. III, Fig. 1—1 d.) Mas adultus et femina ovigera. Diagn. Frons in processum a fronte visum longum, sat angustum, inter pedun- culos antennularum situm, circumflecum, producta. Antennulæ pedunculo antennarum paulo longiores. Antenne longe, circiter marginem posteriorem segmenti quinti trunci attingentes. Epimera postice latitudine paulum crescentia, furca marginali et furca arcuata profunda ornata. Pedes graciliores, simplices. Segmentum ultimum caude latum, subtrigonum, apice latius rotundato, spinis c. 8 minoribus armato. Uropoda breviora; ramus interior latus, caudam paulum superans et ramum exteriorem aliquantum superans, apice bifido; ramus exterior angustior, apice bifido. — Long. maris maximi 7,2"™, long. femine ovigere 5,77", long. femine alius ovigere 8,3", long. femine maxime non ovigeræ 7,777. Descr. Corpus eireiter duplo et ?/3 longius quam latius, elongato-ovatum, sat convexum. Frons prona ante late rotundata, processu medio paulum manifesto, a fronte visus processu longo, a basi ad apicem versus sensim angustato, inter antennulas sito, circum- flexo, æquato, cum lamina frontali conjuncto instructa. Oculi fere ut in C. sulcata. Lamina frontalis sat magna, fere hexagona, angulo anteriore truncato, cum pro- cessu frontis conjuncto; ceterum fere ut in C. californica. Clypeus brevis, labro multo brevior, ceteroquin structura solita. Antennulæ longiores, pedunculo antennarum paulo longiores; pedunculus obscure triarticulatus, flagello multo longior; flagellum gracile, c. 11-articulatum. Antenne longe, circiter marginem posteriorem segmenti quinli trunci. attin- gentes; pedunculus articulo quarto multo longiore quam articulo tertio et paulo breviore quam articulo quinto; flagellum 27—31-articulatum. Mandibule et maxillipedes fere ut in C. eximia. Segmenta trunci fere ut in C. californica. Epimera mediocria, postice paulum latitudine crescentia, furca arcuata et furca marginali ornata. Pedes omnes fere ut in C. californica; pedes sexti et septimi parium inter se fere æquilongi. ; Segmenta anteriora caudæ et pleopoda structura solita. 105 341 Segmentum ultimum caudæ aliquanto låtius quam longius, subtrigonum, paulum et æqualiter convexum, apice latius rotundato, spinis c. 8 minoribus et setis brevioribus instructo. ' Uropoda ramis brevioribus; ramus interior caudam paulum superans et ramum exteriorem nonnihil superans, latus, circiter °/s longior quam latior, margine postero- interiore valde excurvato, spinis nonnullis et setis mediocribus ornato, apice bifido; ramus exterior minus latus, mediocriter spinosus, apice bifido. Scapus angulo interiore, nonnihil ultra medium ramum interiorem attingente. Color in speciminibus diu in spiritu vini asservatis pallide-brunnescens, punctis nigris densius sparsis mixtus. Appendix masculina aliquantum ultra apicem rami interioris attingens, ad apicem versus complanata, parte apicali acuminata, nonnihil incurvata, apice ipso acuto. Forekomst. Jeg har set ialt 12 Exemplarer, som jeg har maattet henføre til denne Art. Deres Lokaliteter ere folgende: St. Thomas, Vestindien, 5 Ex. (Krebs, 1867); St. Croix, Vestindien, 2 Ex. (Ørsted); Vestindien, 1 Ex. (Krøyer); uden Lokalitet, men sandsynligvis Vestindien, 1 Ex; 25° N. B., 34 V.L., 2 Ex. (Hygom); Samoa-Øerne, 1 Ex. (Mus. Godeffroy). Jeg har, paa Grund af Lokaliteten, næret stor Betænkelighed ved at henføre det ene Stykke, der skal stamme fra Samoa-Øerne, til denne Art, men da jeg ingen Forskjelle kunde opdage, har jeg alligevel foretaget Henførelsen. Det nævnte Stykke laa i Glas sammen med den senere beskrevne Alcirona insularis n. sp., men om Lokalitetsangivelsen er rigtig faar staa hen. — Det er meget interessant, at denne Art, der ifølge sin Bygning maa staa adskilligt tilbage i Svømmedygtighed for en Mængde andre Arter, er tagen pelagisk 1 Gang, thi saa kan man ogsaa med en vis Sandsynlighed slutte, at adskillige af de andre smaa Arter ogsaa af og til maa kunne forekomme pelagisk. 10. Cirolana Cranchii Leach. (Tab. III, Fig. 3—3 i.) Cirolana Cranchi Leach, Diet. d. Se. Nat, Vol. XII, p. 347 [1813]. Nelocira Swainsonii Leach, — — = oe — — Desmarest, Consid. Crust., p. 302, Pl. 48, Fig. 2. Cirolana Cranchii — — p. 303. — — H. Milne-Edwards, Hist. Nat. d. Crust., T. III, p. 236. Eurydice Swainsonü — = — — p. 238. Cirolana Cranchü Sp. Bate & Westwood, Brit. Sess.-eyed Crust., Vol. II, p. 296. — Swainsont Miers, Crust. fr. Goree-Island, op. cit. n° 6, p. 369. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 44 342 106 Mas adultus et femina non ovigera et specimina juniora. Diagn. Frons processu brevi cum lamina frontali non conjuncto. Antennule peduneulo antennarum perpaulo longiores. Antenne longæ, circiter marginem poste- riorem segmenti quinti trunci attingentes. Epimera postice per paria latitudine sat erescentia, furcis binis solitis instructa. Pedes robustiores, simplices. Segmentum ultimum caude nonnihil latius quam longius, subtrigonum, apice breviter rotundato, margine posteriore spinis 10—12 et ciliis multis instructo, dorso in speciminibus junioribus mani- festo convexo, in speciminibus adultis ex parte majore plano. Uropoda mediocria; ramus interior caudam sat superans et ramum exteriorem paulum superans, utroque margine sat exeurvato, apice integro, acuto; ramus exterior apice acuto. — Long. 157%. Descr. Corpus imprimis in adultis brevius et latius, duplo et dimidio vel fere triplo longius quam latius, oblongo- vel elongato-ovatum, in speciminibus junioribus fere semi-cylindraceum, triplo vel triple et tertia parte longius quam latius. Frons prona late rotundata, a fronte visa processu breviore, ad basin lato, acuto, incurvato, non cum lamina frontali conjuncto, instructa. Oculi minores, nigri, paulo latiores quam longiores, subæquati, a margine laterali capitis prominente in partes duas divisi. Lamina frontalis dimidio longior quam latior, pentagona, paulum convexa, mar- ginibus lateralibus paulum elevatis. Clypeus labro paulo brevior, marginibus lateralibus aliquantum incrassato-elevatis, ‘area media paulum conyexa, æquata. Antennule mediocres, paulum ultra apicem pedunculi antennarum producte; pedunculus obscure triarticulatus (primo visu biarticulatus, articulis binis basalibus ægre: inter se distinctis), vix longior quam flagellum; flagellum minus gracile, €. 15-arti- eulatum. Antenne longæ, fere usque ad vel interdum ultra marginem posteriorem segmenti quinti trunci producte; pedunculus articulo quarto multo longiore quam articulo tertio, vix breviore quam articulo quinto; flagellum €. 36—41-artieulatum. Mandibulæ et maxillipedes fere ul in Cir. eximia. Segmenta trunci structura solita; segmentum primum longum, capite aliquanto longius, segmenta 6 posteriora longitudine inter se subæqualia. Epimera postice per paria sensim latitudine sat crescentia, fere ut in Cir. califor- nica formata et furcata. Pedes robustiores; pedes secundi et tertii parium articulo quarto in latere exteriore apicem articuli quinti non attingente, articulo sexto longitudine et crassitudine mediocri: pedes septimi paris pedibus sexti paris paulo longiores. 107 343 (Segmentum primum et ex parte segmentum secundum interdum superne occulta, interdum segmenta omnia detecta.) Pleopoda structura solita. Segmentum ultimum caudæ in diagnosi commemoratum. Uropoda mediocria; ramus interior paulo plus duplo longior quam latior; scapus angulo interiore manifesto ultra medium ramum interiorem altingente; characteres ceteri in diagnosi commemorati. Color flavo-brunnescens vel rufo-brunneus, cum punetis et maculis irregularibus minutis, nigris, densius vel rarius sparsis, mixtus. Appendix masculina ramum interiorem nonnihil superans, gracilis, parte apicali attenuata, gracillima, paulum curvata, apice ipso acuto. Forekomst. Villafranca, 1 Ex. [den afbildede Han] (G. Winther, ??/11 78); Nizza, 1 Ex. [det afbildede lille Ex.] (Mørch, 1869). Desuden fandtes i Materialet fra Museet i Moskou 9 Ex. (tagne af A. Bogdanoff ved Villafranca). Under Forudsætning af, at Synonymi-Listen er rigtig (se nedenfor), har denne Art en meget anselig Udbredelse. Leach har opstillet «Cir. Cranchü» paa Exemplarer fra Fal- mouth; Sp.Bate & Westwood have desuden havt I Ex., taget paa 6 Favne Vand ved Plymouth og have modtaget Arten fra Cumbræ. Bonnier har ved Frankrigs Kyst skrabet Arten paa 80 Fv., og efter egne lagttagelser (op. cit. p. 135) og efter Delage (op. cit. p. 156), Chevreux (op. cit. p.519) og Koehler (op. cit. p.25 og 61) opgiver han følgende Lokaliteter: de anglo-normanniske Øer, Roscoff, Goncarneau, le Croisic. Leach har (l.c.) opstillet «Nelocira Swainsonü» paa 1 Ex. fra Sicilien, og Miers nævner den (l. c.) fra Goree-Island, Senegambien. Arten nævnes dernæst af White (op. cit. n° 1, p. 106 og n° 2, p. 79) samt af Gosse (op. cit. p.230). Den af G.O. Sars (op. cit. n°2, p. 83 og 91) nævnte Cr. Cranchii er ikke denne Art, men Cir. microphthalma Hoek (se senere). Risso opstiller (op cit. p.122) en Art, som han kalder Cirolana ferruginosa; Beskrivelsen kan godt passe paa denne Art, men er forøvrigt af den Beskaffenhed, at man ikke kan drage nogensomhelst sikker Slutning af den; jeg antager derimod, ifølge mit Materiale, at Arten maa være ret almindelig ved Nizza og Villafranca, der netop er den Lokalitet, Risso undersøgte, saa han med adskillig Sandsynlighed maa have stødt paa den, hvorfor en Henforelse af hans tvivlsomme Art til Cir. Cranchit Leach har ikke ringe Sandsynlighed for at være rigtig. Risso skriver om den: «Long. 0,020. Sej. Sur la leiche. App. Aoüt, septembre». En Del af Rissos Text er udskreven af Carus, op. cit. p. 438. Ved et Tilfælde vare de 2 Exemplarer, jeg besad, da denne Afhandling blev udarbejdet, meget forskjellige i Størrelse, det ene dernæst bredt, det andet særdeles lang- 44 344 108 strakt, og der fandtes desuden smaa Forskjelle i 6te Haleleds Form og i Uropodernes Form og Haarklædning. Jeg-antog da med lidt Tvivl, at jeg havde at gjøre med 2 distinkte Arter, og at disse Arter vare identiske med de af Leach opstillede Cir. Cranchii og Nelocira Swainsonti, samt at det lille, slanke Exemplar var den førstnævnte Art. Jeg bestyrkedes yderligere i denne Mening ved at læse Bemærkningerne af Miers, l.c. p.370 og 371; denne Forfatter havde ogsaa undersøgt Leach’s Originalexemplarer. Et nøjere Studium af det senere modtagne Materiale fra Moskou viste mig imidlertid, at Forskjellene mellem mine 2 Stykker kun vare Alders- og Sammentrækningsdifferenser. Hos unge Exemplarer er Legemet i det Hele slankere og sidste Haleled lidt mere hvælvet og lidt bredere afrundet end hos voxne Stykker; dernæst har man her et slaaende Exempel paa, at den Omstændighed, at et Haleled mere eller mindre er skjult under sidste Kropled ofte ikke har den ringeste Betydning, ligesom man ogsaa ser, at den Grad, i hvilken Kroppens Led kunne være skudte kikkertagtig sammen, kan variere meget og derved give nogle Exemplarer af samme Art Udseende af at være kortere og bredere med de 6 bageste Kropled forholdsvis kortere, medens andre Exemplarer derimod. ere længere og smallere med længere Kropled. Disse Forskjelle samt de nævnte Differenser i Halens og Uro- podernes Form oplyses ret skarpt af mine paa Tab. IV meddelte Figurer. Med Hensyn til Artens øvrige Synonymi henvises til Listen og Bemærkningerne i det citerede Arbejde af Miers. Senere har den samme Forfatter (op. cit. n? 7, p. 303) atter kort omtalt denne Art. Sectio tertia. Lamina frontalis postice in cornu magnum, valde deorsum directum producta. Clypeus inermis. Species duæ adhuc pertinentes inter se valde dissimiles. (Medens den ene af Arterne, C. elongata M.-Edw., er meget ejendommelig i flere Henseender, nærmer den sig dog adskilligt til Dyrene i første Afdeling, som C. borealis og C. eximia; den anden Art nærmer sig derimod betydelig til den til anden Afdeling hørende C. parva. Jeg har imidlertid paa Grund af den ypperlige Karakter i Lamina frontalis foretrukket at stille dem sammen i én Gruppe.) 109 345 11. (irolana elongata H. Milne-Edw. (Tab. Ill, Fig. 4—4 1.) " Cirolana elongata H. Milne-Edwards, Hist. Nat. d. Crust., Tome III, p. 236 (1840) (Verosimiliter). i Mas adultus et femina ovigera. Diagn. Corpus semi-cylindraceum. Frons prona profunde emarginata. Anten- nulæ pedunculo antennarum aliquanto breviores; pedunculus 3-articulatus. Antenne eirciter medium truncum attingentes. Epimera angulo posteriore rotundato. Pedes trium parium anteriorum articulo tertio processu exteriore perlongo, angustiore ornato, articulo quarto processu exteriore longissimo ultra medium articulum sextum attingente instructo. Pedes septimi paris articulo secundo aliquantum dilatato, setis natatoriis numerosissimis instructo. Segmentum ultimum caude wropoda superans, dorso valde convexo, margine posteriore rotundato, non spinoso. Uropoda ramo interiore multo lon- giore quam ramo exteriore, margine postero-interiore pervalde exeurvato. — Long. maris 19,5™™-; long. fem. oyig. 20mm. Descr. Corpus circiter triplo et dimidio longius quam latius, semi-cylindraceum, ubique alte convexum. Caput supra in medio sat convexum, ad latera versus prope oculos et ante impresso-excavatum. Frons prona visa profunde emarginata, margine anteriore incrassato-elevato; a fronte visa processu minuto, fere occulto instructa. Oculi minores, nigri, fere æque lati oc longi; ocelli sat numerosi, aliquantum convexi. Lamina frontalis circiter triplo longior quam latior; pars anterior valde angustata, .per longitudinem sulcata; pars posterior ad basin versus sensim valde dilatata, parte basali in cornu perlongum, deorsum et nonnihil ante directum, producta; cornu ad apicem versus angustatum, postice et in lateribus convexum, ante subplanum, marginibus lateralibus acutis, apice acuto, nonnihil ante flexo. Clypeus labro multo brevior, ante emarginatus, peralte convexus. Antennule breves, pedunculo antennarum aliquanto breviores; pedunculus flagello paulo brevior, 3-articulatus, articulis inter se subeque longis; flagellum per totam fere longitudinem crassitudine equali, circiter 13-articulatum. Antenne circiter medium truncum attingentes; pedunculus brevior, articulo quarto nonnihil breviore quam articulo tertio, duplo breviore et duplo latiore quam articulo quinto; flagellum 31—34-articulatum. Labrum foveis duabus lateralibus, transversis, profundis, sat longis ornatum. 346 110 Mandibulæ acie angustiore; acies mandibulæ sinistræ trifida (fig. 4 c). Maxillipedes articulo quinto aliquanto majore quam articulo sexto. Segmenta trunci longitudine paulum inæqualia; segmentum primum capile paulo longius et segmento quinto nonnihil longius; segmentum quodque per longitudinem convexum. | Epimera mediocria, postice per paria latitudine sat crescentia, furcis solitis ornata, angulo posteriore rolundato. j Pedes trium parium posteriorum €. eximie structura valde similes, nonnihil tamen graciliores; articulus tertius processu exteriore perlongo, ad medium valde angu- stato, ad apicem versus iterum nonnihil dilatato; articulus quartus processu exteriore ultra medium articulum sextum attingente, in margine exleriore spinis multis. longis armato. Pedes quattuor parium posteriorum sat graciles, structura peculiari. — Pedes quinti paris pedibus septimi paris paulo breviores, fere ut in C. eximia constructi, articulis tribus mediis imprimis tamen aliquanto gracilioribus, setis sat multis ex parte minore plumosis ornati. — Pedes septimi paris fere ut in C. neglecta formati, artieulis tribus mediis tamen nonnihil gracilioribus et ex parte longioribus; articulus secundus circiter 3/4 longior quam latior, aliquantum complanatus, margine exteriore setis plumosis ex parte longis, spissis instructo, superficie setis minus longis in series duas dispositis ornata, parte dimidia distali marginis anterioris et margine apicali setis longis plumosis instructis ; articulus tertius margine interiore setis plumosis longis dense sitis ornato, margine exteriore setis plumosis nonnullis longis; articulus quartus margine utroque setis longis instructo. — Pedes sexti paris pedibus septimi paris nonnihil longiores, pedibus quinti paris structura subsimiles. Segmenta 5 anteriora caudex alte convexa, omnia detecta. Pleopoda breviora, structura solita. Segmentum ultimum caudex alte convexum, prope basin in transversum profundius et prope margines laterales levius impressum, paulo latius quam longius, postice late rotundatum, margine posteriore non spinoso, ciliis plumosis mediocribus instructo. Uropoda cauda breviora; ramus interior a basi ad apicem versus sensim dilatatus, margine postero-interiore pervalde excurvato, ciliis plumosis longis et spinis 2 ornato, angulo apicali angulum obtusum (plus quam 100°) formante; ramus exterior ramo interiore multo brevior, ubique latitudine fere equali, apice subrotundato. Scapus angulo interiore breviore, paulo plus quam tertiam partem basalem rami interioris occupante. Color in speciminibus diu in spiritu vini asservatis brunnescens vel flavo-rubescens, pedibus dilutioribus, ubique (et in corpore et in antennis pedibusque) punctis nigris numerosis, in dorso corporis sepius densissimis, ornatus. 111 347 Appendix masculina apicem posteriorem rami interioris non attingens, ubique latitudine fere æquali, ad apicem versus sat complanata, parte distali paulum excurvata, apice ipso rotundato. Forekomst. Bengalske Bugt, ?%/12 45, 4 smaa Ex. (Galathea-Exped., Rein- hardt); 2° 0° N. B., 106° 30: 6. L., 4 Ex. (Andréa, 1869); 7° 0! N. B., 106° 40' 0. I. 1 Ex. (Andrea, 1869); 0° 14 N. B., 107° 6* 0.L., 1 Ex. (Andrea, 1869); 0° 40: S. B., 107° 10:6. L., 3 Ex. (Andréa, 1869); 4° 40° N. B., 107° 30: 0. L., 1 Ex. (Andrea, 1869); 9° 20! N. B., 107° 30" 0. L., 1 Ex. (Andréa, 1869); 9° N. B., 109° 0. L., 7 Ex., 1/5 68 (Andrea, 1869); 9° 40: N. B., 109° 20'0.L., 5 Ex. (Andrea, 1869); 6° 20'S. B., 112° ©.L., 2 Ex. (Andrea, 1870); 24° N. B., 119° 20! 0. L., 1 Ex. (Andrea, 1869); Yeddo- Bugt, 2 Ex., 19/546 (Galathea-Exped., Reinhardt). H. Milne-Edwards opgiver l'embouchure du Gange» som Lokalitet for ©. elongata, og skjondt hans Beskrivelse er alt andet end udtømmende, har jeg ment, at den og Lokaliteten passede saa godt paa denne særdeles ejendommelige Art, at der er stor Sandsynlighed for Rigtigheden af min Henforelse. | Denne Art, der i Bygningen af Ben og Svommehale frembyder flere interessante Forhold, er, som ovenstaaende Liste udviser, kun (muligvis med Undtagelse af Lokaliteten Yeddo-Bugten) tagen pelagisk og det et betydeligt Antal Gange. 12. Cirolana minuta n. sp. © (Tab. UI, Fig. 5—5 d; Tab. IV, Fig. 1—1 f.) Mas adultus et femina non ovigera. Diagn. Corpus oblongo-ovatum. Frons in processum, a fronte visum longiorem, sat angustum, nonnihil cirewmflecum, cum lamina frontali conjunctum, producta. Lamina frontalis fere oblongo-hexagona, parte basali cornu instructa. Antennulæ pedunculo antennarum nonmihil longiores; pedunculus biarticulatus. Antenne circiter medium trun- cum attingentes. Epimera mediocria, fwreis solitis instructa. Pedes graciliores, simplices. Segmentum ultimum caudæ uropoda perpaulum superans, lingulatum, paulum et equaliter convexum, margine posteriore late rotundato, spinis c. 8 ornato. Uropoda brevia, lata; ramus interior ramo exteriore multo longior, margine postero-interiore valde excurvato, apice bifido angulum subrecto formante. — Long. maris 4,3"™, long. femine 4,8". Descr. Corpus oblongo-ovatum, circiter duplo et tertia parte longius quam latius, nonnihil convexum. Frons fere ut in C. parva formata. 348 112 Oculi mediocres, majores quam in speciebus ceteris, brunnescentes, fere latiores quam longiores, ocellis sat numerosis, nonnihil convexis. Lamina frontalis eireiter duplo et dimidio longior quam latior, oblongo-pentagona vel fere hexagona, apice anteriore truncato, parte basali cornu mediocri, acuminato instructa. Clypeus parvus, labro multo brevior. Antennulæ nonnihil elongate, pedunculum antennarum nonnihil superantes; pedun- culus flagello paulo longior, biarticulatus; flagellum gracilius, 7-articulatum. Antenne marginem posteriorem segmenti quarti trunci non attingentes; pedun- culus gracilior, articulo quarto fere duplo longiore quam articulo tertio, paulo bteviore quam articulo quinto; flagellum 17- vel 18-articulatum. Mandibule acie ex parte a labro tecta, prino visu sat angusta. Maxillipedes breves, articulo quinto maximo, latiore quam longiore, aliquanto majore quam articulis ambobus ultimis (fig. 1 c). Segmenta trunci fere ut in C. parva. Epimera mediocria, magnitudine paulum inter se discrepantia, furcis binis solitis instructa; epimera posteriora postice paulum producta, apice acuto. Pedes graciliores, articulo secundo nonnihil elongato; pedes primi paris pedibus secundi paris manifesto crassiores; pedes secundi et tertii parium articulo quarto in latere exteriore haud ad medium articulum quintum producto; pedes quinti et septimi parium æquilongi, pedibus secundi paris nonnihil longiores et pedibus sexti paris paulo breviores. Segmenta anteriora caudæ et pleopoda fere ut ineC. parva. Segmentum ultimum caude nonnihil latius quam longius; cetera in diagnosi commemorata. Uropoda brevia, lata. Ramus interior plus quam dimidio longior quam latior; margo postero-interior valde excuryatus, ciliis mediocribus plumosis et spinis nonnullis instructus; apex angulum subrectum formans, bifidus, setis nonnullis longis, simplicibus instructus; margo exterior aliquantum excurvatus. Ramus exterior brevis, apice bifido, setis longis, simplicibus instructo. Scapus angulo postero-interiore paulum ultra medium ramum interiorem attingente. Color in speciminibus diu in spiritu vini asservatis pallide brunnescens. Appendix masculina ramum interiorem longe superans, recta, angusta, sat com- pressa, apice acuminato, acuto. Forekomst. 3 Exemplarer fandtes uden Lokalitet i Glas med 1 Ex. af C. parva, hvoraf det med en stor Sandsynlighed kan sluttes, at de hidrøre fra Vestindien og rimeligvis fra St. Thomas. 113 349 Sectio quarta. Lamina frontalis valde elongata, parte media angustata, ante frontem paulum porrecta. Clypeus a basi in cornu trigonum, liberum productus. Pedunculus antennarum articulo quinto elongato non breviore quam articulis 4 ceteris cunctis. Pedes parium quattuor posteriorum elongati, graciles. Cauda elongata, trunco paulo brevior. „> Pleopoda parium anteriorum setis ex parte longissimis ornata. (Hi characteres omnes preter characterem primum etiam in genere Hurydice inventi sunt.) 13. Cirolana japonica n. sp. (Tab. IV, Fig. 2—2 1.) Mas adultus. Diagn. Corpus circiter duplo et dimidio longius quam latius, ad basin caude constrictum. Lamina frontalis a media ad apicem versus aliquantum dilatata, apice paulum ante apicem frontis recte truncato. Antennule flagello c. 6-articulato. Antenne medium corpus attingentes. Epimera omnia subeque lata, angulo posteriore producto, acuto. Segmentum ultimum caude lingulatum, perpaulo latius quam longius, uropoda nonnihil superans, postice minus late rotundatum, margine posteriore serrato, non spinoso, breviter setoso, dorso per totam longitudinem sat.convexo. Uropoda brevia, latissima; ramus uterque apice acuto, margine exteriore ex parte serrato; ramus interior dimidio longior quam latior, ramum exteriorem multo superans. — Long. maris 3,67. Descr. Corpus in specimine singulo circiter duplo et dimidio longius quam latius, oblongo-ovatum, ad basin caude tamen constrictum, minus convexum; truncus cauda perpaulo longior. Frons ante in processum parvum, triangulum -producta. Oculi minores, nigri, a latere visi latiores quam longiores, ocellis paucioribus aliquantum convexis. i Lamina frontalis perlonga, parte media valde constricta, ad basin versus dilatata et ex parte a clypeo obtecta, ad apicem versus altitudine crescens et aliquantum dilatata, apice ipso ante processum frontalem paulum prominente, reete truneato. Clypeus brevissimus, a basi in cornu breve, late trigonum, deorsum et porro directum, productus. aS ot Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 350 : 114 Antennulæ medium articulum quintum peduneuli antennarum non attingentes ; peduneulus triarticulatus, articulo secundo longiore quam articulis ceteris; flagellum pedunculo paulo brevius, ce. 6-articulatus, articulis ex parte multo longioribus quam in speciebus ceteris. Antenne circiter marginem posteriorem segmenti sexti trunci attingentes; pedun- A culus articulo quinto fere longiore quam articulis 4 ceteris cunctis; flagellum ec. 11-arti- culatum, articulis ex parte majore elongatis, sat crassis. i Mandibula sinistra acie manifesto trifida. Maxillipedes mediocres, articulo quinto sat magno, multo majore quam artieulo sexto. Segmenta trunei longitudine paulum inæqualia: segmentum primum capite multo brevius et segmento quinto perpaulo longius; segmenta 4 posteriora longitudine sub- æqualia, quodque stria transversa nonnihil ante medium instructum. Epimera omnia medioeria, subæque lata, furcis binis solitis instructa, postice pro- dueta, angulo posteriore acuto. Pedes parium trium anteriorum graciles; articulus quartus in latere exteriore apicem articuli quinti attingens; articulus sextus elongatus, crassior. Pedes parium quattuor posteriorum nonnihil elongati, graciles vel fere gracillimi, setis perpaucis instructi; pedes septimi paris pedibus quinti paris paulo longiores et nonnihil graciliores, pedibus sexti paris nonnihil breviores. Segmenta 5 anteriora caudæ sat longa; segmentum primum detectum, segmentis tribus sequentibus aliquanto angustius; segmentum secundum parte laterali in processum oblongum, acutum, prominentem producta; segmenta tertium et quartum ad marginem exteriorem versus nonnihil depressa, marginibus lateralibus subtruncatis. Pleopoda angustiora; rami parium anteriorum setis plumosis ex parte majore longissimis præditi. Segmentum ultimum in diagnosi commemoratum. Uropoda brevia, latissima. Ramus interior circiter dimidio longior quam latior, non spinosus, apice acuto, margine postero-interiore aliquantum excurvato et leviter serrato, margine exteriore nonnihil excurvato, ex parte serrato, ciliis natatoriis paucioribus, ex parte brevibus instructus. Ramus exterior ramo interiore multo brevior, apice acuto, margine exteriore ex parte serrato. Scapus processu interiore circiter medium ramum interiorem attingente. Color brunneus, maculis multis parvis, nigris ornatus. Appendix masculina perlonga, ramum interiorem multo superans, recta, a basi ad apicem acutum versus sensim angustata. HI) 901 Forekomst. Yeddo-Bugten, I Ex. (Galathea-Exped. !°/s 46, Reinhardt). Der er betydelig Sandsynlighed for, at Arten er tagen pelagisk, da den er tagen samme Dag og maaske sammen med 2 Ex. af Cir. elongata (se ovenfor Side 347), og der findes i Museet ogsaa saadanne pelagiske Dyr som Squilla-Larver tagne i Antal paa samme Dag. Sectio quinta. Pars anterior laminæ frontalis libera, producta, ante frontem porrecta. Glypeus perbrevis, in cornu latum, brevius productus. Antennulæ pedunculo triarculato. Pedes omnes setis perpaucis instructi. Segmentum quintum caudæ angulis lateralibus non a segmento quarto tectis. Species duas a speciebus supra descriptis valde diversas et inter se aliquantum diversas in hac sectione colloco. 14. (irolana sphæromiformis n. sp. (Tab. IV, Fig. 3—3 g.) Femina non ovigera, ?adulta. Diagn. Corpus breve, duplo longius quam latius. Caput et in lateribus et ante angulatum. Lamina frontalis ante bullam magnam, apicem capitis paulo superantem, formans. Epimera majora, per paria postice plus producta et altius carinata, angulo posteriore subacuto. Segmenta 5 anteriora caudæ perbrevia. Segmentum ultimum caude uropoda vix superans, subtrigonum, apice subtruncato, dorso alte tricarinato et inter carinas excavato. Uropoda brevia, lata; ramus uterque margine exteriore valde excurvato ibique fere angulato, parte distali ürregulariter inciso-serrata, margine postero-interiore valde excurvato; ramus interior ramo exteriore multo longior. — Long. 4,25". Descr. Corpus subovatum, duplo longius quam latius, sat convexum. Caput in lateribus angulum prominulum formans, ante in processum frontalem angustiorem sat longum productum, margine inter angulum lateralem et basin processus frontalis subrecto, in superficie capitis carinam manifestam formante. Oculi minuti, solum in latere superiore capitis in processu angulato inventi, ex ocellis paucis, sat convexis formati. Lamina frontalis parte basali valde angustata, ex parte sub cornu clypei obtecta, ad apicem versus valde dilatata, alte prominens, parte apicali inflata, ante late rotundata, ultra processum frontalem nonnihil prominente et cum hoc processu conjuncta. 45" 352 116 Clypeus perbrevis, a basi in cornu brevius, aculum productus. Antennulæ pedunculo antennarum aliquanto breviores; pedunculus flagello duplo longior, 3-articulatus, articulo basali brevi; flagellum c. 4-articulatum, articulo basali elongato, articulis 3 ultimis perminutis. Åntennæ paulo ultra marginem posteriorem segmenti secundi trunci prominentes; pedunculus crassior, articulo quarto multo longiore quam articulo tertio et nonnihil breviore quam articulo quinto; flagellum c. 12-articulatum. ; Mandibulæ acie latiore. Maxillipedes fere ut in C. japonica. Segmenta trunci longitudine minus inæqualia; segmentum primum capite nonnihil brevius et segmento quinto nonnihil longius; segmenta "sextum et septimum longitudine subequalia, stria transversa prope marginem anteriorem ornata. Epimera majora, postice producta, in obliquum carinata (carina furca imprimis in epimeris posterioribus latissima et profundissima, excavationem formante, definita), postice per paria latiora, plus producta, altius carinata, angulo posteriore subacuto; epimera septimi paris segmenta quattuor anteriora caudæ longitudine explentia. Pedes trium parium anteriorum sat robusti, articulo secundo elongato, quarto brevissimo angulo exteriore ultra apicem articuli quinti prominente; pedes secundi et tertii parium articulo sexto multo latiore quam in speciebus ceteris, longo, duplo longiore quam latiore. Pedes parium quattuor posteriorum breves, sat robusti: pedes sexti et septimi parium inter se subæque longi, pedibus quinti paris paulo longiores. Segmenta quinque anteriora caudæ detecta, brevissima, alte convexa, segmentum quintum angulis lateralibus non a segmento quarto tectis. Pleopoda parium anteriorum setis longis instructa. Segmentum ultimum caudæ aliquanto latius quam longius, subtrigonum , apice brevius, subrecte truncato, non spinoso, alte convexum, dorso alte tricarinato et inter carinas profunde et æqualiter excavato; carine due laterales postice paulum divergentes, paulum arcuatæ. Uropoda brevia, lata, caudam non superantia. Ramus interior plus duplo longior quam latior; margo exterior valde excurvatus, paulum ante medium subangulatus, parte distali irregulariter serrata, non spinosa; margo postero-interior iterum valde excurvatus, fere angulatus, setis nonnullis brevissimis instructus; apex angulum valde obtusum ‘formans, setis nonnullis longioribus instructus. Ramus exterior ramo interiore multo brevior, huic forma similis. Scapus angulo interiore minus producto, non ad medium ramum interiorem prominente. i Color flavo-brunnescens, nonnihil grisescens. 117 | 359 Forekomst. St. Thomas, Vestindien, 1 Ex. (Krebs). Denne interessante Art, der ifolge Bygningen af Mund og Uropoder er en god Cirolana, afviger i Habitus stærkt fra alle andre kjendte Arter og ligner meget visse Sphæromer. 15. Cirolana orientalis Dana. (Tab. IV, Fig. 4—4 h.) Cirolana orientalis Dana, Un. St. Expl. Exped., Crust., p. 773, Pl. 51, Fig. 7 a—d (1852). Femina subadulta (lam. ovig. in evolut.). Diagn. Corpus elongato-ovatum. Caput ante in processum magnum, por- rectum, ad apicem versus dilatatum, cum lamina frontali concretum, ante truncatum, productum. Antennule pedunculo antennarum fere duplo longiores; pedunculus brevior, 3-articulatus. Segmentum ultimum caude ad basin versus foveis duabus majoribus ornatum, subtriangulum, apice angustius rotundato, bispinoso. Uropoda structura singu- lari; ramus interior caudam paulum superans, in margine exteriore emarginatus, ramo exteriore aliquanto brevior; ramus exterior magnus, elongatus, margine exteriore nudo. — Long. 10,57. Descr. Corpus plus quam duplo et dimidio longius quam latius, elongato- _ ovatum, aliquantum convexum. Frons in processum longum, porrectum, ad apicem versus nonnihil dilatatum, prope apicem truncatum, in transversum impressum, cum lamina frontali coalitum, producta. 3 Oculi minores, nigri, latiores quam longiores, margine anteriore profunde incurvo. Lamina frontalis non discreta, partem inferiorem processus frontalis formans, nonnihil longior quam ad apicem latior. Clypeus brevissimus, in cornu brevius, subrotundatum, productus. å Antennulæ elongatæ, pedunculo antennarum fere duplo longiores; pedunculus 3-articulatus, articulis inter se subæque longis; flagellum pedunculo duplo longius, 15- articulatum, gracile, nudum. Antennæ circiter marginem posteriorem segmenti tertii trunci attingentes; pedun- culus articulo quarto nonnihil longiore quam articulo tertio et aliquanto breviore quam articulo quinto; flagellum 21-articulatum. Segmenta trunci longitudine nonnihil inæqualia; segmentum primum capite ali- quanto brevius et segmento quinto fere brevius; segmentum septimum segmento sexto nonnihil brevius. 354 118 Epimera mediocria, postice per paria latitudine sat crescentia, furcis binis solilis instructa; segmenta primi et secundi parium angulo posteriore non producto; epimera parium trium posteriorum postice aliquantum producta, apice acuto. Pedes parium trium anteriorum fere ut in C. Cranchü formati. Pedes parium quattuor posteriorum robustiores; pedes sexti et seplimi parium equilongi, pedibus quinti paris nonnihil longiores. Spinæ ex parte majore ad apicem versus complanatæ, sepius in latere seta perparva instructa; apice acuto vel rotundato (fig. 4 f). Segmenta quinque anteriora caudæ longitudine solita; segmentum quintum angulis lateralibus liberis, non a segmento quarto tectis. Pleopoda primi paris pleopodis secundi paris aliquanto angustiora, angusta, ramis breviter setosis, ramo exteriore a basi ad apicem angustius rotundatum versus angustato. Segmentum ultimum caudæ circiter quarta parte latius quam longius, subtrian- gulum, in dorso sat convexo, foveis duabus majoribus, rotundis, ad basin versus sitis ornatum, margine posteriore breviter setoso, apice angustius rotundato, spinis 2 ornato. Uropoda latiora, structura singulari. Ramus interior vix duplo longior quam latior, caudam perpaulum superans; margo exterior paulum excurvatus, prope apicem mani- festo emarginatus ibique nudus; margo postero-interior ad basin excurvatus, ciliis medio- eribus et spinis compluribus instructus; apex subrotundatus, angulum parvum formans. Ramus exterior ramo interiore aliquantum superans, plus quam triplo longior quam latior; margo exterior nudus; apex truncatus et margo interior ad apicem versus ciliis multis et spinis c. 4 instructis. Scapus angulo interiore breviore, medium ramum interiorem non atlingente. Color in specimine diu in spiritu vini asservato albescens. Forekomst. Nangkovry, en af Nicobar-Oerne, I Ex. (Galathea-Exped., Reinhardt). 5 Dette Exemplar har kun Æggeplader paa 3die, Ade og bte Kropring, men jeg antager, at de forreste endnu ikke ere udviklede. Arten stemmer i Formen af sidste Halering og Benene ikke ganske med Danas Fremstilling, men da den forøvrigt er saa ejéndommelig, den nævnte Forfatters Frem- stillinger som Regel ikke synderlig nøjagtige i mange Enkeltheder, og Lokaliteten tilmed ikke lægger Vanskeligheder i Vejen, har jeg antaget min Art for at være identisk med den af Dana fremstillede. Hans Exemplar var fra Sooloo-Havet. 119 1. w 4. Arter, som med betydelig Sikkerhed eller med Vished kunne henføres til denne Slægt. Cirolana mierophthalma Hoek, op. cit. p. 28, Taf. II, Fig. 13—17. Denne Art hører til min Sectio I®®, er meget karakteristisk og er opstillet paa et 23mm. langt Exemplar, taget paa 73° 13' 5“ N. B., 30° 42° 6. L., 166 Fv. G.O.Sars har taget den paa Storeggen paa 50 Fv., fint Sand og Grus, og kaldte den først (op. cit. n°2, p.83 og 91) C. Cranchü, senere bemærker han (op. cit. n°3, p.61), at den ikke er identisk med C. Cranchii Leach, men med C. concharum (Stimps.), og anfører at have taget nok et Exemplar ved H vitingso og eti Havet Ost for Vardø. I op.cit. n°4, p.29 fremsætter han en lignende Bemærkning og oplyser, at det sidstnævnte Exemplar er taget paa 148 Fy. Max Weber følger (op. cit. p. 7) Sars's Nomenklatur, men hans Meddelelse indeholder intet nyt. — Som jeg allerede ved Fremstillingen af C. concharum (Stimps.) har udtalt, er Sars's Identi- ficering af C. microphthalma og C. concharum urigtig (jeg har undersøgt og sammenlignet de af Sars undersøgte Exemplarer af begge Arter), og Arten bør derfor bære det Navn, der er bleven tildelt den af Hoek. Cirolana polita (Stimps.). Denne Art hører ligeledes til Sectio I™*. Den beskrives først under Navnet -Æga polita af Stimpson (op. cit. p. 41), nævnes under samme Navn af Lütken (op. cit. n?1, p.77) og Verrill (op. cit. n°1, p. 16); dernæst henføres den af Harger til Slægten Conilera (op. cit. n°2, p.3 og 22), og nævnes af Verrill (op. cit. n°2, p. 411); endelig henføres den af Harger til Slægten Cirolana (op. cit. n°3, p.161), beskrives af ham (op. cit. n°4, p.381), og tilsidst giver den samme Forfatter i op. cit. n°5, Pl.I, Fig. I—1c, Pl. II, Fig. 2—2b en Række gode Figurer, efter hvilke den med Lethed maa kunne gjenkjendes. — Den er tagen ved Nord-Amerikas Østkyst i Bay of Fundy, Cape Cod Bay, Salem, og flere Steder mellem 40° 36‘ N. B. og 42° 11: N. B. paa 7—190 Fv. (Se herom nærmere Harger, op. cit. n°4) Cirolana impressa Harger, op. cit. n°5, p.93, PL, Fig. 3—3 d, Pl. IT, Fig. 3—3 c. Denne ligeledes til Sectio I”? hørende, vel beskrevne og afbildede Art er tagen paa 4 Stationer ved omtr. 40° N. B., 69?/s—701/3 V. L. paa 100—321 Fv. (Se nærmere Harger |. c.) Cirolana armata Dana, op. cit. n°2, p.771, PI. 51, Fig. ba—e. Et 4 Lin. langt Exemplar er taget ved Rio de Janeiro. Ifølge Dana’s ufuldstændige Frem- stilling kan jeg ikke danne mig nogen bestemtere Mening om den; den maa afvige betydelig fra alle her fremstillede Arter. Cirolana Rossi (White 1847, M.S.) Miers, op. cit. n°1, p. 228. Denne Art, der hører til min Sectio I? og skal kunne blive omtr. 1 Tomme lang, angives fra 356 —ı 10. New Zealand og Auckland Islands. Den omtales og afbildes senere af Miers, op. cit. n°2, p.109, Pl.3, Fig.3 og nævnes af ham i op. cit. n°7, p. 303. Senere nævnes den af Thomson og Chilton, op.eit. p. 154 og i Pfeffers Liste op. cit. n°2, p. 97. 6 Cirolana arabica Kossmann, op. cit. p.114, Taf. VIII, Fig. 7—12. Et 8™™ langt Exemplar af denne til Sectio 11@ hørende Art blev taget i det røde Hay. Den omtales af Miers, op. cit. n°7, p. 303. Cirolana latistylis Dana, op.cit. n°2, p.772, Pl.51, Fig.6a—e. Et Exemplar, 3 Lin. langt, blev taget i Balabac Strædet Nord for Borneo. Om dens Affinitet tor jeg ikke have nogen Mening. Den nævnes af Miers, op. cit. n°7, p. 303 og 304. Cirolana tenuistylis Miers, op. cit. n°7, p. 303, Pl. XXXIII, Fig. B og b. Et Exem- plar fra Wales Channell, 2 Ex. uden Lokalitet; det største Exemplar er 15™™ langt. Arten hører sikkert til min Sectio [™*. Cirolana Schiedtei Miers, op. cit. n°7, p.302, Pl. XXXIII, Fig. A og a. 2 Ex. fra «Arafura-Sea», flere fra Torres-Strædet. Det største Ex. er 317”, Arten er meget interessant, men Fremstillingen desværre defekt. Ifølge Afbildningen - har den Svommeben. Ifølge Texten har Pandepladen en noget lignende Form som i min Sectio Il@, men afviger dog ved, at Sidehjornerne bære en stærk Tand. Cirolana levis Studer, op. cit. n°2, p.21, Taf. II, Fig. 8, a—b. Arten blev tagen østlig for Queensland paa 90 Fv., er 10wm- lang og staar ifølge Førf. nærmest ved C. Rossii Miers, hovedsagelig afvigende ved Formen af Antennerne. Cirolana lata Haswell, op. cit. n°1, p. 192, PL IV, Fig. 1 og op.cit. n°2, p.286. Jeg kan ikke danne mig nogen klarere Forestilling om denne ved New South Wales («off Broughton Islands, near Port Stephens») paa c. 25 Fy. tagne, °/s Tomme lange Art, da jeg ikke kjender Haswells 1ste Publikation med Afbildningen, og da Diagnosen i op. cit. n°? ikke nævner Pandeplade og Clypeus, ligesom Skil- dringen af Antenner og Kroplemmer er meget ufuldstændig. — Miers har op. cit. n°7, p. 304 beskrevet kort en Form, som han kalder Cir. lata Hasw., var. integra, efter nogle smaa Exemplarer, tagne paa 3—4 Fy. ved Albany Island; efter Beskrivelsen af Panden og Pandepladen synes den at være beslægtet med min C. parva; om den er identisk med eller artsforskjellig fra C. lata Haswell kan jeg selvfølgelig ikke afgjøre. Cirolana Cookü Filhol, op. cit. n° 2, p. 455. Da jeg ikke har kunnet opdrive Filhols citerede Arbejde, har jeg anført Citatet efter Aarsberetningen (for 1886) i Wiegmanns Årchiv og har selvfølgelig ingen Mening om Årten. Lei : | | 357 2. Tvivlsom Art. Aga Harsfordi Lockington, op. cit., er ifølge Miers, op. cit. n°5, p. 78 sandsynligvis en Cirolana; Arten er fra «Sta Rosa Isl.» (Bertkaus Berichte. Lockingtons Arbejde har jeg ikke set, saa jeg kan kun referere Miers’ Udtalelse om Dyrets systematiske Stilling. x 3. Ubeskreven Art. Cirolana magellanica Pfeffer M.S., op. cit. n°1, p.58 opgives uden Beskrivelse fra Magel- haens-Strædet. Den anføres atter af Pfeffer op.cit. n°2, p. 97 i hans Navneliste over antarktiske Dyr. 4. Arter, som sikkert ikke hore til denne Slægt. Cirolana truncata Norman, op.cit. n°1, p. 421, Pl. XXII, Fig. 12—15 (ogsaa omtalt to Gange senere af samme Forfatter) er en Zurydice; se nærmere under denne Slægt. :, Cirolana longicornis Studer, op. cit. n°1, p.28, Taf. II, Fig. 15—15c, er en Hurydice og omtales under denne Slægt. ga mullidigita Dana, op. cit. n°2, Vol. Il, p.768, Pl. 51, Fig. 3a—f, opstillet efter et -3 Lin. langt Exemplar fra Balabac-Strædet Nord for Borneo, er senere af Miers, op. cit. n°3, p. 511 paany beskreven og henfort til Cirolana. Dana’s Art er sandsynligvis et Dyr, der staar nær ved min Alcirona insularis n.sp.; Miers har havt flere Exemplarer af en Art, som naaede næsten 1 Tommes Længde og som lever i Meyerina claviformis Gray fra Zebu, Philippinerne, men jeg anser det for meget tvivlsomt, at Dana’s og Miers’ Dyr skulle tilhøre samme Art. Miers’ Art er meget tvivlsom (se senere), men den er i hvert Tilfælde ikke en Cirolana. Cirolana rosacea Risso (op. cit. p. 122), der tidligere af Artens Opstiller er beskreven under Navnet Cymothoa rosacea, er af Schiodte & Meinert (op. cit. n° 3, pars I, p. 354) sikkerlig fuldstændig rigtig henfort til Slægten” Æga. 5. Arter, som ere ufuldstændig fremstillede, men som næppe tilhøre denne Slægt. Cirolana sculpta H. Milne-Edwards, op. cit. n°1, p.237, er, som jeg senere har søgt at vise, sandsynligvis en Corallana. Opstillerens Exemplar var fra Malabar- Kysten, men Krauss og Herklots have senere» henført en ved Tafelbai (Cap) tagen Form til samme Art (se senere under Corallana). Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 46 358 122 Cirolana rugieauda Heller, op.cit. n°1, p.497 og op. cit. n°3, p.142, Taf. XII, Fig. 13. Arten ér tagen ved St. Paul og er 12™™ lang. Ifølge Fremstillingen har sidste Haleled en dorsal Midtknude og er beklædt med en fin Filt; «Die drei Vorderfüsse haben ein stark gekrümmtes, schwarzliches Klauenglied». Efter dette kan Arten næppe vere en Cirolana, men er muligvis en Corallana, snarere maaske en Alei- ronide (se under denne Familie). ; (Nelocira Desmarestii Perty, op. cit. p-211, Pl. 40, Fig. 12. “Denne Form, 34/2 Lin. lang, er tagen «prope Sebastianopolin». Antennuler og Antenner ere omtrent lige lange og knap halvt saa lange som Legemet. Forf. har dernæst ikke fundet Uropoder. Dyret er næppe nogen_Cirolanide; om den hører til nogen her be- handlet Familie er endda tvivlsomt.) 2. Conilera Leach (1818). Oculi minores, in latere utroque capitis evoluti. Pedunculus antennarum 5-articulatus. Maxillipedes lacinia articuli secundi uncis instructa. Pleopoda primi paris structura singulari (Tab. V, fig.1b); scapus elongatus, nonnihil longior quam latior, durus, latere interiore uncis c. 9 ornato; ramus interior sat elongatus, angustus, durus, margine interiore recto, incrassato, fere nudo, margine exteriore setis mediocribus ornato; ramus exterior ramo interiore brevior, ovatus, durus, furca longitudinali instructus, margine posteriore setis mediocribus ornato; pleopoda -ita formata operculum magnum, pleopoda cetera tegens, formant. Scapus pleopodorum secundi paris vix latior quam longior; rami structura solita. Scapus uropodorum angulo postero-interiore sat producto. Differentia sexualis fere nulla. Man kjender med Sikkerhed kun 1 Art af denne Slegt, der vesentlig kun afviger fra Cirolana ved Bygningen af forste Par Pleopoder. 1. Conilera cylindracea. (Mont.). (Tab. IV, Fig. 5—5 c; Tab. V, Fig. 1—1 d.) || Oniscus cylindraceus Montagu, Deser. several Mar. Animals, 1. c. p. 71, Tab. VI, Fig. 8 [1803]. Conilera Montagui Leach, Diction. d. Scienc. Natur., T. XII, p. 348. — — Desmarest, Consid. Crust., p. 304. — — H. Milne-Edwards, Hist. Nat. d. Crust., Tome III, p. 242. — cylindracea Sp. Bate & Westwood, Brit. Sess.-eyed Crust., Vol. II, p. 304. 123 x 359 Mas adultus et femina ovigera. Diagn. Corpus cylindraceum, vix qwintuplo longius quam latius. Lamina fron- talis fere triplo longior quam latior, parte anteriore sat dilatata, subrotunda. Antennule pedunculo antennarum breviores; pedunculus 3-articulatus. Antenne marginem poste- riorem segmenti primi trumei vix attingentes. Epimera omnia angusta, subeque lata. Pedes parium 4 posteriorum per paria postice longiores et graciliores. Segmentum ultimum _caudæ longius quam latius, triangulum, margine posteriore serrato, apice brevi, truncato. Uropoda caudam paulum superantia; ramus interior margine exteriore late emarginato, irregulariter dentato et serrato; ramus exterior ramo interiore multo brevior, margine exteriore bidendato, margine interiore serrato. — Long. maris adulti 20,5"; long. femine ovigere 19,377: Descr. Corpus valde elongatum et angustatum, cylindraceum, vix quintuplo longius quam latius, peralte convexum. Frons prona in processum breviorem, trigonum, minorem producta. Oculi parvi, nigri, latiores quam longiores, subequati, ocellis paucioribus. Lamina frontalis fere triplo longior quam latior, fere ut in Cir. boreali constructa, parte dimidia anteriore aliquantum magis dilatata. Clypeus fere ut in Cir. boreal. Antennulæ pedunculo antennarum nonnihil breviores; pedunculus 3-articulatus, crassior, flagello nonnihil longior; flagellum crassum, c. 12-articulatum. Antenne breves, marginem posteriorem segmenti primi trunci vix attingentes; pedunculus brevior, articulis tribus ultimis inter se subequilongis; flagellum 14—15- articulatum. Mandibule et maxillipedes fere ut in Cir. eaimia. Segmenta trunci longitudine sat inæqualia; segmentum primum capite et segmento quinto paulo longius. Epimera omnia angusta, subeque lata, furcis binis solitis instructa; epimera ultimi paris postice nonnihil producta. Pedes trium parium anteriorum robusti, setis sat numerosis et spinis brevibus instructi, postice per paria breviores et aliquantum debiliores; pedes secundi paris articulo tertio aliquantum: dilatato, articulo quarto in latere exteriore ad apicem articuli quinti nonnihil elongati producto, articulo sexto sat brevi. Pedes quattuor parium posteriorum graciliores, postice per paria graciliores et longitudine aliquantum crescentes, setis simplicibus compluribus instructi, articulo quinto plus elongato quam in genere Cirolane; pedes septimi paris graciles, articulis secundo et tertio sat brevibus, articulis tribus sequentibus elongatis. Segmenta quinque anteriora caudæ alte convexa. Pleopoda in descriptione generis commemorata. Segmentum ultimum caudæ elongatum, perpaulo longius quam lalius, nonnihil convexum, subtriangulum, margine posteriore serrato, dentibus ad apicem versus majoribus, eiliis plumosis, non spinis ornato, apice brevi, truncalo, serrato. Uropodorum rami ciliis sat longis, plumosis, non spinis in marginibus ornati. Ramus interior caudam nonnihil superans, plus duplo et dimidio fongior quam latior; margo interior paulum excurvatus; apex longe productus, bifidus; margo exterior vix dimidia parte posteriore aliquantum incurva et irregulariter serrato-dentata, parte media densius et subtilius serrata. Ramus exterior ramo interiore multo brevior; margo interior ser- ratus; apex productus, bifidus; margo exterior irregulariter impressus, bidentatus, ex parte subtiliter serratus. Scapus angulo interiore sat elongato, medium ramum interiorem paulum superante. Color in speciminibus diu in spiritu vini asservatis flavidus, in dorso interdum rosaceus. Forekomst. Jeg har undersøgt 6 Exemplarer, tagne i Neapels Golf, hvor Arten, ifølge skriftlig Meddelelse fra Dr. P. Mayer, lever paa omtrent 25 Fv. Dybde. Arten er ifølge Literaturen forøvrigt kjendt fra Englands vestlige og sydlige Kyster og fra Frankrigs Nordkyst. Bate & Westwood samle (l.c. p. 306) en Række Angivelser om dens Forekomst ved England (f. Ex. ved Frith of Clyde og Ply- mouth) og omtale dens Forekomst ved Guernsey. Den blev paa én Lokalitet tagen paa 6 Fv. Vand; ‘ved Guernsey blev der taget «a dozen specimens feeding together within the orbit of the eye of a whiting, the eye-ball of the fish being nearly detached from the surrounding parts. The fish did not seem to be out of condition.» — Fr. Day giver (op. cit. p. 44) et interessant Bidrag til denne Arts Optreden. Et af ham undersøgt, ved Mevagissey fisket Exemplar af Acanthias vulgaris paa 27 Tommers Længde var ind- vendig fuldstændig opædt, saa at det kun bestod af Huden og Skelettet. Omtrent 20 Exemplarer af Conilera’en blevne tagne ud af det, og Day skriver: «the spiracles, vent and an orifice behind each pectoral fin appeared as if the had been enlarged or made by these parasites, which had devoured the whole of the soft parts of the fish». Days Korrespondent havde fanget Acanthias’en i et Mulle-Net udsat omtr. 1/2 (engelsk) Mil fra Land; han havde taget c. 100 Acanthias paa én Gang, men næsten hver Fisk var bleven spist paa en lignende Maade. Og senere: «These lice in the summer months are found from 15 to 20 miles from land, generally on soft and sandy bottom.» — «When the lice are abundant, they drive away the Congers and other fish. Often a shoal of Bream will come and eat them up. As these parasites devour fish in a few hours 125 361 S. Lo Bianco giver (op. cit. p. 408) ogsaa nogle Meddelelser om dette Dyr. Han skriver: «Moltissimi 2 con embrioni in diversi stadii III [det vil sige i Marts Maaned]. — Quest’ Isopodo voracissimo vive in compagnia della Cirolana hirtipes M.-Edw. dai 20 sino a quasi 100 metri di profundita. Assaltano insieme i pesci impigliati nelle reti, ed io stesso ho potuto vedere uno Scyllium stellare L. della lunghezza di 50 cm. ed un Werlu- cius vulgaris Flem. lungo 35 cm., oltre molte altre piccole specie, ridotte solamente in pelle ed ossa, in modo che il più abile preparatore non avrebbe potuto fare.» Bonnier har (op. cit. p.136) sammenstillet et Par andre franske Forfatteres. og sine egne Iagttagelser om denne Arts Forekomst ved Frankrigs Kyster; han angiver, at den er tagen ved de Anglo-Normanniske Øer, Roscoff, Concarneau, le Croisic og tilføjer: «Ce petit crustacé est. un des animaux qu'on rencontre le plus fréquemment dans les lieux où l’on drague l’Amphiowus; je ne Vai jamais trouvé que dans ces parages bien délimités et qui présentent une faune très spéciale.» Imidlertid have 2 af de af Bonnier citerede Forfattere, nemlig Y. Delage (op. cit. p.156) og Koehler (op. cit. p.25) fremsat nogle Bemærkninger om, at de ved de 2 først nævnte Lokaliteter tagne Exemplarer ikke passede ganske med Sp. Bate & Westwoods Fremstilling og afvege «par les antennes, par les appendices natatoires du sixième anneau abdominal et par les ponctuations rouges, dont les auteurs anglais spécifient l'absence». Muligvis have altsaa de to Forfattere under- sogt Dyr af en anden affin Art, thi Koehler tilfojer, at han «possède des Conilera de Naples dont les caractères s'accordent absolument avec la description des auteurs anglais». Med Sikkerhed kjender man kun den nys beskrevne Art af denne Slægt, men forskjellige andre Isopoder ere med Urette henforte til den. Saaledes findes Cirolana concharum (Stimps.) og Cir. polita (Stimps.) af Harger og Verrill i tidligere Publika- tioner (se ovenfor) henforte til Slægten Conilera. — Af E. v. Martens: Ueber einige ostasiatische Süsswasserthiere (l. c. p. 58, Taf. I, Fig. 3 (3 a—c)) opstilles en «Æga (Conilera) interruptay Mart. Denne Form er ifølge Afbildningen en god Ægide, og naar v. Martens henfører den .til Conilera som Underslægt, saa har dette sandsynligvis sin Grund i, at H. Milne-Edwards i Hist. nat. d. Crust. T. III, p.242 stiller Conilera mellem -Æga-og Rocinela, kun støttende sig til Leach’s fejlagtige og defekte Fremstilling. Den første ganske gode Fremstilling af Con. cylindracea (Mont.) skyldes Bate & Westwood (1868), som ogsaa angive Dyrets systematiske Stilling rigtig. 362 | 126 3. Eurydice Leach (1815). Oculi mediocres vel majores, in lateribus superiore et inferiore capitis evoluti. Pedunculus antennarum 4-articulatus. (Flagellum longum, semper ultra medium corpus prominens.) Maxillipedes lacinia articuli secundi uncis nullis instructa. Pleopoda primi et secundi parium structura subæqualia; scapus paulo vel vix latior quam longior; ramus uterque submembranaceus (margine posteriore setis longissimis, plumosis instructo). Scapus uropodorum angulo postero-interiore perpaulum producto. Differentia sexualis interdum magna, interdum parva. Conspectus specierum. 1. Segmentum ultimum caude postice manifesto truncatum. 2. Clypeus supinus visus aream totam inter palpos mandibularum explens, in cornu longum productus. Uropoda segmentum ultimum caude paulum supe- rantia. 3. Pedunculus antennarum articulo ultimo dimidio longiore quam articulo penultimo. Epimera parium duorum anteriorum angulo posteriore subrecto, parium ceterorum paulum producto, acuminato, acuto. Segmentum ultimum caudæ margine posteriore subrecto, dimidiam latitudinem segmenti explente: margo posterior angulis lateralibus in processum spiniformem, parvum, acutum productis, spinis affixis nullis instructus. 1. Eur. elegantula n. sp. Pedunculus antennarum articulo ultimo plus duplo longiore quam articulo ws penultimo. Epimera omnia angulo posteriore in processum acuminatum, acutum producto. Segmentum ultimum caudæ margine posteriore ex parte majore sat profunde emarginato, paulo plus quam tertiam partem latitudinis segmenti explente; margo posterior angulis rotundatis, spinis binis affixis majoribus (spina interiore multo majore quam exteriore) instructus. d 3. E. spinigera n. sp. 2. Clypeus supinus visus partem minorem aree inter palpos mandibularum explens, in cornu brevius productus. Segmentum ultimum caude uropoda superans. 3. Antennule pedunculo antennarum multo breviores. Segmentum ultimum caudæ uropoda multum superans; margo posterior profunde et ægqualiter SELratus;, NON SDINOSUSS - a ge 2. E. inermis n. Sp. 127 363 3. Antennulæ saltem maris pedunculo antennarum paulo longiores. Seg- mentum ultimum uropoda paulum superans; margo posterior subtilissime serratus, angulis lateralibus in processum triangulum, acutum productis, SDS ans MOMS. RE EE EE .... 4. Æ. orientalis n. sp. I. Segmentum ultimum caudæ postice late rotundatum (prope apicem spinis 4 armatum). 5. E. pulchra Leach. Species 5 mihi cognitæ generis hujus structura inter se valde similes. Præter characteres in diagnosi commemoratos characteres sequentes speciebus descriptis com- munes sunt. x Corpus elongatum, sat convexum; cauda semper sat longa, robusta, interdum etiam trunco paulo longior. Lamina frontalis in partem basalem et partem apicalem divisa. Pars basalis ex parte a clypeo obtecta, sat longa, latitudine mediocri; pars apicalis ante in cornu por- rectum, liberum, acutum, longum, inter partes basales antennularum situm, producta. Clypeus brevis, a basi in cornu prominens et porro directum productus. Antennule pedunculo 3-articulato, articulo primo porro directo, crasso, in latere exteriore cupuliformi, articulo secundo crasso, cum articulo primo angulum rectum formante. Antenne articulo ultimo pedunculi elongato, multo longiore quam articulo penultimo. i Mandibula sinistra acie sat profunde trifida. Maxillipedes palpo fere elongato-ovato, articulis penultimo et antepenultimo magni- tudine subæqualibus. Segmenta trunci longitudine aliquantum inæqualia; segmentum primum breve, capite multo brevius et segmento quinto nonnihil vel multo brevius. Epimera parva vel mediocria; furca arcuata nunquam bene definita impressionem formans, in epimeris anterioribus evanida; angulus posterior nunquam rotundatus, sæpius productus. Pedes parium trium anteriorum non elongati, graciliores, setis sat numerosis, simplieibus instructi; articuli tertius et quartus minus incrassati; articulus sextus interdum longitudine et crassitudine mediocri, interdum aliquantum elongatus et incrassatus. Pedes quarti paris longitudine mediocri. Pedes parium trium posteriorum elongati, graciliores vel graciles; pedes septimi paris pedibus quinti paris nonnihil vel aliquanto longiores, pedibus sexti paris nonnihil breviores; articulus secundus postice per paria pedum gracilior; articuli quattuor sequentes 364 128 postice per paria plus complanati, setis longis, simplicibus, in series breves, transversas digestis imprimis in latere exteriore articulorum ornati. Segmentum quintum caudæ angulis lateralibus liberis, non a segmento quarto tectis. Uropoda tenuia; ramus interior ramo exteriore multo longior, subtrigonus, margine interiore fere nudo, margine posteriore recto vel paulum curvato, ciliis longis, plumosis et interdum prope angulum exteriorem spinis nonnullis, parvis instructo, margine exteriore eiliis paucioribus instructo; ramus exterior ramo interiore nonnihil angustior, subtrigonus, margine exteriore ad basin versus excurvato, angulo exteriore manifesto, sæpius aculo, eiliis fere ut in ramo interiore digestis. Color brunneus vel grisescens, punctis et maculis valde ramosis, nigris, imprimis in dorso corporis erebre conspersis, ornatus. Appendix masculina ad medium ramum interiorem versus affixa, nonnihil curvata, complanata, sat lata, ramum superans. 1. Eurydice elegantula n. sp. (Tab. V, Fig. 2—2t.) Mas adultus et femina ovigera. Diagn. Corpus maris plus triplo longius quam latius, cauda longiore quam trunco, corpus femine duplo et dimidio longius quam latius, cauda aliquanto breriore quam trunco. Clypeus supinus visus aream totam inter palpos mandibularum occupans, in cornu longum productus. Antennule articulo primo flagelli eirciter triplo et dimidio longiore quam articulis ceteris cunctis. Antenne articulo ultimo peduneuli dimidio longiore quam articulo penultimo. Epimera parium duorum anteriorum angulo posteriore acuto, vix in processum producto, parium posteriorum angulo posteriore in processum perparvum producto. Segmentum ultimum caude margine posteriore dimidiam latitudinem segmenti explente, subrecto, angulis lateralibus non spinosis, in processum triangulum, brevem, spiniformem productis. Uropoda caudam paulum superantia. — Long. maris adulti 6,47, long. femine ovigere 77. Deser.!j Corpus maris elongatum, angustatum, plus triplo longius quam latius: truncus brevior et paulo latior quam cauda. Corpus femine fere elongato-ovatum, duplo et dimidio longius quam latius; truncus ovatus, aliquanto longior et circiter */4 latior quam cauda. i 1) Characteres in diagnosi speciei et in deseriptione generis commemorati ex parte majore non in hac deseriptione repetiti sunt. 129 | 365 Frons ante in processum brevem producta, in utroque latere processus nonnihil emarginata. Oculi nigri, latiores quam longiores, in mare aliquanto majores quam in femina: ocelli in utroque sexu numero æquantes, nonnihil convexi. Antennulæ circiter medium articulum ultimum pedunculi antennarum attingentes, articulo basali ultra articulum secundum non prominente, in mare et in femina valde dissimiles. — Mas: Pedunculus valde incrassatus, articulo secundo valde abbreviato, articulo tertio item abbreviato, in latere posteriore ob receptionem flagelli valde excavato; flagellum articulo basali perlongo, multo longiore quam pedunculo, per longitudinem majorem dilatato, compresso, ad apicem versus attenuato, setis sensilibus permultis et perlongis, barbam longam formanlibus, in latere posteriore instructo, arliculis quattuor ultimis brevissimis. — Femina: Peduneulus minus incrassatus, articulo secundo longiore, articulo tertio longiore quam latiore, in latere posteriore non excavato: flagellum articulo basali paulo breviore et minus incrassato quam pedunculo, setis paucioribus sat brevibus instructo, articulis tribus ultimis brevissimis. Antenne in mare ultra marginem posteriorem segmenti quinti caude attingentes, in femina circiter marginem posteriorem trunci attingentes; flagellum in mare e. 42-arti- culatum, in femina c. 30-articulatum. Segmenta quartum, quintum, sextum, interdum etiam septimum trunei stria trans- versa, e striis brevibus et punctis formata, instructa. Pedes parium trium anteriorum articulo sexto aliquantum elongato et incrassato. Pedes parium trium posteriorum elongati, graciles; pedes septimi paris non in latere inferiore spinosi, articulis quarto—sexto aliquantum elongatis, articulo quarto ?/3 longiore quam latiore. Cauda in mare multo longior, robustior, latior quam in femina. Segmentum ultimum caude fovea vel impressione transversa breviore ad basin versus instructum, in mare aliquanto majus quam in femina, ciliis in margine posteriore tamen in femina aliquanto longioribus quam in mare. Uropoda ramis in mare multo majoribus quam in femina, ciliis marginalibus tamen in femina multo longioribus quam in mare; ramus interior angulo exteriore acuto, angulum sat acutum formante. Color in speciminibus diu in spiritu vini asservatis brunnescens vel dilute grise- scens, punetis et maculis ramosis nigris imprimis in dorso corporis crebre vel creberrime conspersis ornatus. Appendix masculina ramum interiorem sat superans, ad apicem versus non dilatata, apice subrotundato, margine exteriore brevissime setoso. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 47 366 150 Forekomst. 39° 7' N. B., 13° 32: V. L., 3 Ex. af en Beroë (Moberg); 59° N. B., 17° 50! V. L., 14 Ex. (Lundbeck, ?%4 89); 98°— 59° N. B., 13°—15° V. L.,.1 Ex. (Rink); 28°—60 N. B., [?| 59—1£ V. L., c. 45 Ex. (Krøyer); 36° N. B., 18° V. L., 6 Ex. (Hygom): «Atlanterhavet», 40—50 Ex. (Hedemann). ] | Jeg har saaledes haft et meget anseligt Materiale, og alt er taget pelagisk, skjondt det hidrører fra 6 forskjellige Kilder. De 5 nærmere angivne Lokaliteter ligge i Havet vest for det nordligste Skotland. i Som det fremgaar af Beskrivelse og Afbildninger udmærker denne Art sig ved at besidde meget stor Kjønsforskjel i Legemets Form, i Kroppens Længde i Forhold til Halen, i Øjnenes Størrelse, i Antennulernes Form og Udstyr med Sandsebørster og i sidste Hale- leds og Uropodernes Størrelse og Randhaarenes Længde. Arten staar temmelig nær ved Zur. truncata (Norm.), men Afbiläningerne af denne Art (Ann. et Mag. Nat. Hist. 4 ser., Vol. II, Pl. XXIII, Fig. 12—15) vise flere ret væsentlige Forskjelle, saaledes er første Led i Antennulernes Svøbe forholdsvis langt kortere og spinklere, Pandeprocessen er betydelig længere, sidste Haleleds Bagrand maaler kun Y3 af Leddets Brede og har 2 stærke Spidser paa hver Side, den inderste størst, endelig ere Uropoderne kortere end Haleleddet. Under Forudsætning af, at Normans Afbildninger ere nogenlunde korrekte, kunne vore Arter ikke være identiske, hvilket var at vente, da de ere tagne i samme Farvand, og Slægten synes at være temmelig fattig paa Arter. Normans Art kan heller ikke være identisk med nogen af de 2 andre Arter, der kan være Tale om, nemlig E. inermis og E. spinigera. Den er meget nærstaaende til Eur. Grimaldi Dollfus (se senere), men denne For- fatters Beskrivelse af Antennulerne passer ikke, og Lokaliteternes Fjernhed gjør ogsaa Identiteten mindre sandsynlig. 2. Eurydice inermis n. sp. (Tab. V, Fig. 3—3 f.) Femina ovigera et specimina juniora. Diagn. Corpus circiter triplo longius quam latius; cauda trunco nonnihil (in femina) vel vix brevior. Clypeus partem minorem areæ inter palpos mandibularum occupans, in cornu breviusculum productus. Antennule articulo primo flagelli circiter duplo longiore quam articulis ceteris cunctis. Epimera primi paris angulo Posteriore non producto, parium ceterorum angulo posteriore in processum perparvum producto. Segmentum ultimum caude margine posteriore vix quartam partem latitudinis segmenti explente, recto, profunde et equaliter serrato, dentibus c. 9, spinis nullis. Uropoda cauda aliquanto breviora. — Long. femine adulte 5,27". 131 5 367 Descr. Speciei præcedenti affinis et similis. Corpus nonnihil longius quam in femina speciei præcedentis; truneus minus dila- tatus; cauda robustior. Frons ut in specie præcedente. Oculi paulo majores quam in Æ. elegantula, forma subæquali. Antennulæ nonnihil graciliores et paulo breviores quam in femina Z. elegantule; flagellum sat gracile, setis sensilibus paucioribus sat longis instructum, articulo basali eireiter duplo longiore quam articulis 3 ultimis cunctis. Antenne circiter marginem posteriorem trunci attingentes; pedunculus fere ut in E. elegantula formatus; flagellum ex articulis c. 17 vel 18 elongatis formatum, apice seta perlonga instructo. Segmenta 6 posteriora trunci stria transversa interdum in segmentis anterioribus interrupta, e striis brevibus et punctis impressis formata. Pedes parium trium anteriorum articulo sexto breviore, paulum incrassato. Pedes parium trium posteriorum minus elongati, sat graciles; pedes septimi paris non in latere inferiore spinosi, articulis quarto—sexto paulum elongatis, articulo quinto paulo longiore quam quarto et perpaulo breviore quam sexto, articulo quarto paulo longiore quam ad apicem latiore. Segmentum ultimum caudæ prope basin impressione transversa longa instructum ; reliqua in diagnosi commemorata. = Uropoda sat parva; ramus interior angulo exteriore acuto, angulum paulum acutum formante. Color fere ut in specie præcedente. Forekomst. 3 Exemplarer (1 æggeb. Hun og 2 yngre Ex.) bleve fundne i et Glas, indeholdende Hyperiner, Calanider og andre pelagiske Dyr, og mærket: Cap Lizard. Man maa altsaa antage, at Dyrene ere tagne pelagisk. 2 . 3. Eurydice spinigera n. sp. (Tab. V, Fig. 4—4c; Tab: VI, Fig. 1—1 c.) Mas adultus. Diagn. Corpus paulo plus quam triplo longius quam latius; cauda truncum longi- tudine subequans. Clypeus aream totam inter palpos mandibularum oceupans, in cornu longum productus. Antennule articulo primo flagelli circiter duplo et dimidio longiore quam articulis 3 ceteris cunctis. Antenne articulo ultimo pedunculi plus duplo longiore quam articulo penultimo. Epimera omnia angulo posteriore in processum conicum, acutum i AT" 368 132 producto. Segmentum ultimum caudæ margine posteriore paulum ultra tertiam partem latitudinis segmenti explente, in medio late emarginato, angulis in obliquum truncatis, spinis binis (interiore multo longiore quam exteriore), robustis, affiris ornatis. Uropoda caudam paulum superantia. — Long. maris adulti 9m. Descr. E. elegantule sat similis. Corpus minus angustatum quam in mare E, elegantulæ; truncus sat multo latior et non brevior quam cauda. Frons ante perpaulum emarginatus, processu medio evanido. Oculi ut in mare EZ, elegantule, Antennule paulo crassiores quam in femina Æ. eleyantule; pedunculus artieulo primo angusliore, ante articulum secundum manifesto prominente, articulo tertio paulo latiore quam longiore: flagellum setis sensilibus sat numerosis, brevioribus instructum. Antenne truncum paulum superantes; flagellum c. 20—24-artieulatum. articulis exterioribus ex parte majore longis, seta apicali nulla. Segmenta anteriora trunci stria transversa brevi, media, profunda ornata: segmenta 4 posteriora saltem stria transversa longa instructa. Epimera structura in diagnosi commemorata a speciebus omnibus mihi eognilis valde diversa; epimera sexti paris processu conico inter omnes longissimo; epimera sep- timi paris processu inter omnes brevissimo. Pedes parium trium anteriorum fere ut in E. elegantula, setis tamen pluribus instructi. Pedes parium trium posteriorum perpaulo breviores et latiores quam in Æ. elegan- tula; setis tamen pluribus instructi. Pedes septimi paris articulis tertio—sexto in latere inferiore ad marginem interiorem versus spinis multis brevioribus instructi, ad marginem exteriorem versus setis multis ornati: articulus quintus perpaulo brevior quam sextus, multo longior quam quartus: articulus quartus paulo longior quam latior. Segmentum ultimum caude ad basin versus impressione media breviore et pro- funda et utrinque excavatione laterali profunda et sat magna instructum; impressio media in fundo bicarinata; reliqua in diagnosi commemorata. Uropoda majora, fere ut in mare Æ. elegantule formata, margine exteriore rami interioris tamen paulum incurvo. Color brunneus, maculis irregularibus et ramosis nigris minus crebre con- Appendix masculina ramum interiorem minus superans, ad apicem versus valde dilatata, apice late rotundato, integro. [153 369 Forekomst. 47 Exemplarer (alle 4) i et Glas uden Lokalitelsangivelse, men ifølge Etiketten givne af Hr. Apotheker, Etatsraad A. H. Riise og som Følge deraf sand- synligvis fra Vestindien. 4. Eurydice orientalis n. sp. (Tab. VI, Fig. 2—2h.) Mas adultus. Diagn. Corpus ubique latitudine subæquali, triplo et dimidio longius quam latius. Clypeus partem minorem areæ inter palpos mandibularum occupans, in cornu brevius, acuminatum productus. Antennule articulo primo flagelli plus duplo et dimidio breviore quam articulis 5 ceteris cunctis. Antenne articulo ultimo peduneuli c. dimidio longiore quam articulo penultimo. Epimera 4 parium anteriorum angulo posteriore non producto, epimera posteriora angulo perpaulum producto. Segmentum ultimum caude margine posteriore circiter */; latitudinis segmenti explente, subtilissime serrato, angulis in processus triangulos, acutos productis. — Long. maris adulti 4,97m. Deser. Speciebus ceteris gracilior et characteribus compluribus ab illis diversa. Corpus plus elongatum quam in speciebus ceteris; cauda perrobusta, trunco paulo longior et perpaulo angustior. Frons ante perpaulum emarginata, processu medio perminuto. Oculi magni, aliquanto majores quam in speciebus ceteris, nigri, latiores quam longiores: ocelli sat magni, aliquantum convexi. Antennule structura singulari (fig. 2 c). Peduneulus articulis duobus basalibus per- valde inflatis, aliquanto crassioribus quam in mare Z. elegantulæ, articulo tertio breviore, in latere postero-inferiore valde excavato. Flagellum valde elofigatum, pedunculum anten- narum,paulum superans: articulus basalis pedunculo antennularum paulo brevior, minus incrassatus, selis sensilibus multis brevioribus instructus; articuli ceteri graciles, ad apicem versus sensim graciliores; articulus quartus longus; articulus sextus brevissimus, seta apicali longissima, flagello toto vix breviore (fig. 2), et setis nonnullis brevioribus instructus. Antenne valde elongate, ultra marginem posteriorem segmenti quinti caudæ promi- nentes; pedunculus paulo gracilior quam in speciebus ceteris; flagellum c. 26-articulatum, seta apicali longissima ornatum, articulis exterioribus elongatis. Segmenta quartum, quintum, sextum trunci stria transversali interdum ex parte evanida ornata. Pedes trium parium anteriorum articulo sexto paulo breviore quam in É. ele- gantula. 370 134 Pedes trium parium posteriorum paulo graciliores et minus setosi quam in Æ. elegantula. Pedes septimi paris in latere inferiore non spinosi; arliculus quintus perpaulo longior quam sextus, nonnihil longior quam quartus; arliculus quarlus cireiter duplo longior quam latior. Segmentum ultimum caudæ ad basin versus impressione media brevi profunda instructum ; margo posterior setis 9 brevissimis instructus. Uropoda ramis latis; ramus interior angulo exteriore ‘rotundato. Color ut in E. elegantula. Appendix masculina ramum interiorem paulum superans, lata, a media ad apicem versus paulum dilatata, apice ex parte majore rolundato, angulo ad ramum vergente in processum angustum producto. Forekomst. 2 Exemplarer, begge Hanner, ere tagne i Java-Soen, 3° 25° S. B., 106? 50' 6. L., 8 Fv. (Andrea, 1869). 5. Eurydice pulchra Leach (1315). Tab. VI, Fig. 3—3 i.) Agaat-Pissebet, Oniscus, Slabber, Natuurk. Verlust. p. 149, Pl. XVII, Fig. 1—2 [1778]. = (Oniscus Achatus) Slabber, Physik. Belust. p: 85, Tab. XVIL Fig. 1—2. Eurydice pulchra Leach, A tabul. view of the extern. Charact., l.c. p. 370. — — Leach, Diction. d. Scienc. Natur. p. 347. — — Desmarest, Consid. Crust. p. 302. — — H. Milne-Edw., Hist. Nat. à. Crust., T. III, p. 238. Slabberina agata Van Beneden, Recherches sur ]. Crust., Le. p. 39, Pl. XV, Fig. 1—10. — agilis G. O. Sars, Beretning om en i Sommeren 1865 foret. zool. Reise, 1. €. p. 117. Eurydice pulchra Sp. Bate & Westwood, Brit. Sess.-eyed Crust., Vol. II, p. 310. — Ritzema Bos, Bijdr. tot de kennis van de Crust. Hedr., p. 34 og 56—57, Pl. I, Fig. 1—11. = — — Metzger, Crust. aus d. Ordn. Edriopht. und Podophth., I. c. p. 285 og 301. — — Lenz, Die wirbellos. Thiere d. Travemünder Bucht, |. c. p. 15, Taf. II, Fig. 10—17. Slabberina gracilis Borallius, New or imperfectly known Isop., Le. p. 12, Pl. II, Fig. 20—26. Mas adultus et femina magna (non ovigera). Diagn. Corpus elongato-ovatum, duplo et duabus tertiis partibus vel triplo et quarta parte longius quam latius. Clypeus aream totam inter palpos mandibularum occupans, in cornu longum productus. Antennule articulo primo flagelli circiter dimidio longiore quam articulis 4 ceteris eunctis. Antenne articulo ultimo pedunculi ‘duplo longiore quam articulo penultimo. Epimera parium trium anteriorum angulo posteriore 135 > 371 non producto, parium duorum posteriorum saltem angulo posteriore in processum bre- viorem producto. Segmentum ultimum caudæ postice late rotundatum, parte media mar- ginis posterioris subtilissime serrata, spinis 4 brevibus et setis c. 12 minus longis instructa. Uropoda cauda paulo breviora. — Long. maris adulti 4,2"; long. feminæ magne non ovigeræ 77, Descr. Species insignis, facile dignota. Corpus plus ovatum quam in speciebus ceteris, alte convexum, in mare et in femina habitu subsimili; truncus feminæ sat vel aliquanto longior quam cauda, maris fere brevior. Frons ante non emarginata, processu medio perparvo. Oculi fere ut in Æ. elegantula. Antennulæ nonnihil ultra apicem articuli penultimi pedunculi antennarum promi- nentes, in mare et in femina paulum dissimiles; pedunculus minus incrassatus quam in femina Æ. elegantule, articulo primo paulum ante articulum secundum prominente, articulo tertio in utroque sexu paulo longiore quam latiore; flagellum articulo primo in mare nonnihil longiore et latiore quam in femina, setis brevioribus, in mare sat numerosis, in femina paucioribus instructo. Antenne maris fere marginem posteriorem segmenti quinti caude attingentes, feminæ marginem posteriorem trunci haud attingentes; pedunculus articulo penultimo in latere anteriore ad apicem versus spinis compluribus longis, gracilibus instructo ; flagellum in mare ?articulatum'), in femina c. 15—19-articulatum, in utroque sexu seta apicali breviore ornatum. E Segmenta quattuor anteriora stria brevi media, profunda instructa; segmenta sex . posteriora striis sublateralibus brevibus instructa; segmentum nullum stria transversa longa ornatum. Pedes trium parium anteriorum nonnihil crassiores quam in Æ. elegantula, articulo secundo nonnihil breviore et aliquanto crassiore quam in hac specie. Pedes trium parium posteriorum manifesto breviores et latiores quam in speciebus ceteris; pedes septimi paris articulis quarto et quinto et in latere deorsum vergente et prope marginem interiorem et prope marginem exteriorem spinis nonnullis armatis, articulis quarto, quinto, sexto paulum elongatis, articulo quinto vix breviore quam articulo sexto et paulo longiore quam articulo quarto, articulo quarto perpaulo longiore quam latiore. ') Blandt de talrige (53) Exemplarer, jeg har set og undersøgt, fandtes, mærkelig nok, kun én eneste voxen, temmelig lille Han. Ved et Uheld gik denne Han tabt, for jeg ved Udfærdigelsen af Texten fik talt og nedskrevet Antallet af Led i dens Antenne-Svobe. © 372 136 Segmentum ultimum caudæ impressione media brevi, profunda et utrinque excava- tione laterali minore, sat profunda ornatum. Uropoda mediocria, in mare et in femina subsimilia; ramus interior angulo exteriore rotundato, spinoso. Color in speeiminibus in spiritu vini asservatis flavescens, maculis ramosis sæpius ex parte confluentibus in dorso crebre conspersis. Appendix masculina ramum interiorem longe superfans, perpaulum eurvala, ad apicem versus sat dilatata, apice in latere ad ramum vergente profunde incisa, ut pro- cessus angustus, paulum curyatus, acutus formetur. Forekomst. Alle de af mig undersogte, meget talrige Exemplarer ere tagne ved Danmarks Kyster, baade ved Kysterne af Kattegat og Østersøen samt i Øresund. Om de tidligere Fund henvises til Meinert, op.cit. n°1, p. 90 og n°2, p.472. Det kan herefter særlig fremhæves, at den er tagen paa 16 Fv. og paa 1//2—2 Fod, frit svømmende mellem Tangbuske, påa Såndbund. — Senere er den tagen i Antal pelagisk om Natten ved Hellebæk, 17 yngre Ex. af begge Kjøn (Dr. H. Jungersen og Dr. Joh. Petersen) såmt pelagisk om Natten ved Anholt, 14 Ex., alle 2 (Dr. Joh. Petersen. Lenz angiver den fra Lolland (I Ex. paa 6 Fv.) og fra Travemünde: Moebius!) fra den ydre Del af Kieler- Bugt. Arten kjendes forøvrigt fra det sydlige og vestlige Norges (Sars, op. cit. n°3, p.61 og Bovallius, 1. c.), samt fra Englands, Hollands, Belgiens og Nord- Frankrigs Kyster, og da man har en Del biologiske Oplysninger om den, skal jeg her levere nogle Uddrag. Den første lagttager, Slabber, har holdt den levende i Fangenskab, og meddeler, at den bevægede sig meget hurtigt som Gyriner «auf der Oberflåche des Wassers» (den tydske Oversættelse p. 87). ‚Van Beneden skriver (l. e.): «Nous l'avons trouvé dans le port d'Ostende et assez abondamment le long de la plage, dans les flaques d'eau pendant la marée basse. Ce joli crustacé nage avec une célérité incroyable. Placé dans un aquarium où un bocal, il s’elance dun bout du vase à l'autre comme une fleche, s'élève à la surface, plonge ensuite jusqu'au fond et se livre aux mêmes évolutions que certains insectes d'eau douce.» Sp. Bate & Westwood give op. cit. p. 312 Meddelelser om dens Forekomst paa det egentlige Englands (ikke Skotlands) østlige, vestlige og sydlige Kyster, meddele lignende Iagttagelser om dens Findesteder og Svømning som Van Beneden og fortælle dernæst 1) K. Moebius: Nachtrag zu d. im Jahre 1873 ersch. Verzeichniss der wirbellosen Thiere der Ostsee (Vierter Bericht d. Commission zur wiss. Untersuchung d. deutschen Meere in Kiel f. die Jahre 1877 bis 1881, p. 61). — Bogen er glemt i min tidligere Literatur-Liste; Æwrydice nævnes p. 69. 137 373 folgende af en Korrespondent meddelte, interessante lagttagelser: «If you are a moment still in the water while bathing, dozens will fasten upon you and nip most unpleasantly. I have had to jump into the water again after coming out from bathing and splash violently to get rid of the hosts that had stuck to me while elinging to the side of the boat preparatory to getting in. They continue to bite after you are out of the water. - I once put a wretched Ayperia . . . . into a small bottle with two Eurydices; the blood- thirsty little brutes attacked him at once like tigers, and soon sucked the shell clean.» Ritzema Bos giver op. cit. p. 64 en Del biologiske Meddelelser, væsentlig stem- mende med mine øvrige Udskrifter af Forfattere, og Bates interessante Meddelelse bekræftes. «Als men gaat baden, dan hechten zij zich graag op de huid vast, en bijten vrij gevoelig.» — Metzger skriver p.301: «Ein alles Lebende und Todte angreifender, äusserst lebhaft schwimmender Räuber, während der Ebbezeit auf dem von Wasser verlassenen Strande der ostfriesischen Inseln unter angespülten Seesternen, Quallen und todten Fischen zurück- bleibend, oder in Fluthrillen und selbst in der Brandung nach Beute eifrig umherjagend.» — Dollfus giver (op. cit. n°2, p. 4) en Sammenstilling af Lokaliteter for dens Forekomst ved Hollands Kyster, men føjer ikke nye biologiske lagttagelser til. — Hallez har fundet den i uhyre Masser véd Portel (ikke langt fra Boulogne) og skriver: «Il est impossible de ramasser une poignée de sable et de la jeter dans l’eau sans en voir sortir de nom- breux individus». Han kalder den «l'agent principal de la salubrité de la plage», fordi den fortærer alle døde Dyr ved Strandbredden. Sars har (op. cit. n°1, p. 118 og-op. cit. n°3, p.61) kun truffet den i det Indre af Throndhjemsfjorden og ved Listerland. Bovallius 2 Exemplarer ere fra Christia- niafjorden og angives at være tagne paa c. 100 Fv. Dybde, men de ere sandsynligvis komne i Skraberen under Ophalingen. Norman angiver den (op.cit. n° 2, p. 288) fra St. Magnus Bay (Shetlands-Oerne). Bonnier (op. cit. p. 437) giver ogsaa et ret inter- essant Bidrag til dens Biologi. «Ce joli petit Isopode est très fréquent sur les plages de sable, surtout au moment où la mer remonte. Il est très vorace, et on le voit souvent recouvrir par milliers les débris organiques qui se trouvent sur la grève. Aussi ne doit on jamais en laisser, même un seul individu, dans des vases où se trouvent des pêches pélagiques ou des embryons. On le rencontre aussi nageant à la surface, très loin des côtes, et quand la drague le ramène c'est qu'elle le capture ainsi en remontant du fond.» Her er jeg nu desværre ikke vis paa, om Bonnier muligvis ikke har sammenblandet denne Art med Æ. elegantula eller endnu snarere med den ved Cap Lizard pelagisk fiskede Æ. inermis. Angaaende denne Arts fortvivlede Synonymi skal jeg indskrænke mig til et Par Bemærkninger. I min, ovenstaaende Liste har jeg samlet de vigtigere Publikationer, og Resten af den forøvrigt lange Synonymi kan efterslaas hos Bonnier Le. Bovallius Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd, V. 3. ‘ 48 374 138 har afgjort opstillet sin nye Art S/abb. gracilis paa 2 ikke udvoxne Exemplarer, ja efter hans Afbildning Fig. 21 paa Pl. Il og hans Udtalelser paa Side 16 tør jeg endog paastaa, at 7de Benpar hos det afbildede Dyr endnu ikke havde opnaaet fuld Størrelse og Udvikling. Jeg tør ogsaa nok paastaa, at Bate & Westwoods - Angivelse (l.c. p. 308): «The eyes under a strong less are not faceted» er ganske urigtig, thi Øjnene ere altid facetterede, selv om de enkelte Oceller ikke have nogen tydelig særlig Hvælving; Leach skriver da ogsaa op. cit. n°1: «Otuli . . . . non granulati» og i op. cit. n°2: «yeux lisses». Denne Bate & Westwoods Angivelse og Antenne-Svøbernes større Længde efter Leach's Diagnose bruges nu af Bovallius til at adskille Slægterne Eurydice Leach og Slabberina Van Ben. fra hinanden, idet den sidste Slægt skal have «oculi reticulati». At bruge saadanne Slægtsmærker er selvfølgelig forkasteligt, thi An- tenne-Svøbernes Længde varierer efter Kjøn, og Bovallius' Udsagn, at Øjnene ere «reticu- lati» , giver ingensomhelst Oplysning, men hvad der var mere værd at vide, var, hvorvidt hver Ocelle var hvælvet. Der er ingen Tyivl om, at Slægten Slabberina er uholdbar, men et andet Spørgsmaal er, hvorvidt Bovallius' Art Sl. gracilis er identisk med E. pulchra, thi hans Beskrivelse og Afbildninger af Antennulerne, Øjnenes Størrelse og Halens Bag- rand m. m. passe ikke godt med de af mig undersøgte Stykker!), men jeg antager indtil videre, at det væsentligste af Differentserne skriver sig fra, at hans Fremstilling ikke er ganske korrekt. Hesse giver (op. cit.) en længere Række til Dels interessante Oplysninger om en Eurydice-Art, der efter hans Beskrivelse maaske ikke er E. pulchra, men jeg har .alligevel fundet det passende her at udskrive et lille Stykke, da det supplerer det Ovenstaaende. Efter at have meddelt, at de svømme såa højt som mulig under Vandfladen skriver han: «Leur manière de progresser a quelque rapport avec celle des Gyrileilniens, si ce n’est quelle est incomparablement plus prompte. Lorsqu'ils s’élancent d'un point à un autre, ils vont en zigzag, de droite à gauche [comme pour visiter l'espace qu'ils par- courent]; mais ces déviations de la ligne droite sont très-courtes, et sont franchies avec une extrême vivacité. C'est ordinairement du fond et du centre de la flaque, dans laquelle ils se tiennent, qu'ils sortent pour venir sur les bords; lorsqu'ils les ont atteints, ils 1) Antennulernes Svobe er efter Fig. 22 paa Pl. II hos Bovallius for slank og Endeleddet for langt, dernæst er efter samme Figur 2det og især 3die Led i Antennernes Skaft for lange og for smalle; ifølge Fig. 20 ere Øjnene for lange fremefter, men dette modsiges forøvrigt af Fig. 21; ifølge Fig. 20 er 6te Haleled for bredt, med Haar paa for lang en Strekning af Bagranden; endelig er ifølge Fig. 21 de forreste Epimerer for smalle og alle Epimererne uden Stribning. — Midtpartiet af Fig. 22 med den store Afstand mellem Roden af Antennuler og Antenner er forøvrigt afgjort højst unaturligt, ligefrem umuligt, og Erkjendelsen heraf taler imod at lægge synderlig Vægt paa Af- vigelser som dem, der lige ere blevne fremhævede. 139 375 s'enfoncent légèrement dans le sable, et, à la manière des Courtilières, Grillotalpa, y tracent de petits sillons, dont on aperçoit facilement les saillies à la surface.» Et Par formentlige Urigtigheder i dette Citat har jeg sat i Klammer. to 1. Arter, som med Sikkerhed kunne henføres til denne Slægt. Eurydice truncata (Norman), beskreven under Navnet Cirolana truncata i op. cit. n°1, p.421, PL XXIII, Fig. 12—15 og op. cit. n°2, p. 288. Arten, hvis Affinitet er omtalt ovenfor, blev skrabet i St. Magnus Bay, Shetland, paa 40—60 Fv., Mudderbund. Senere er den (Norman, op. cit. n°3, p. 659 og 683) tagen ved 59° 12' N. B., 5° 57: 0. L., 53 Fv., og rigtig henfort til Burydice. Eurydice Grimaldi Dollfus, op. cit. n°1, p. 6. Denne Art er kun ufuldstændig fremstillet, opstillet paa Hanner af 7—8"% Længde: Sjette Haleled er bygget som hos Eur. elegantula, men: «antennæ primi paris flagello uni-articulato». Arten er tagen: «Au large de Ponta Delgada, ile San Miquel, 8 juillet 1887, 9 heures 30 soir, surface. — Nombreux exemplaires.» Paa Grund af denne sydlige Lokalitet, Dyrenes noget større Længde, den mærkelige Beskrivelse af Antennulerne og den forøvrigt defekte Fremstilling vil jeg indtil videre antage den for en fra Hur. elegantula forskjellig Form; i hvert Fald forekommer der mig ikke at være Anledning til at antage Dollfus's Artsnavn efter en meget tvivlsom Identificering. Eurydice longicornis (Studer). Arten, der er henført til Slægten Cirolana, beskrives af Studer i op. cit. n°1, p.28, Taf. Il, Fig. 15—15c. Den opgives at have en Længde af 7% og at være tagen foran Tafel Bay paa 50 Fv. Dybde; ifølge Afbildningen er den en typisk Hurydice. 2. Art, hvis Henforelse er tvivlsom. Eurydice (?) pontica Gzerniavsky, op. cit. p.81, Pl. 6, Fig. 4—6 (citeret efter v. Martens; Arbejdet har jeg ikke set), beskrevet under Navnet Helleria. 3. Ubeskreven Art. Eurydice polydendrica Norman & Stebbing (M.S.). — Norman op. cit. n? 3, p. 665 og 684, funden ved 59° 37' N. B., 7° 19: V. L., paa 530 Fv. 48" O2 I (er) 140 ı. Bathynomus A. Milne-Edw. (1879). Denne Slægts Affinitet er afhandlet ovenfor paa Side 252—53. Man kjender kun 1 Art, B. giganteus A. Milne-Edw., opstillet paa 1 Exemplar, 230mm- Jangt, taget paa 955 Fy. i det caraibiske Hav. Forøvrigt henvises til A. Milne-Edwards, op. cit. n°1, p. 21 samt til Afbild- ningerne i Filhol op. cit. p. 147 og Agassiz op. cit. Fig. 252 (paa et Blad indskudt mellem Side 48 og 49). - (5. Anuropus Beddard (1886). Hvorvidt denne Slægt hører til Cirolanide eller bør opstilles som en særegen Familie kan jeg efter Beddards Fremstilling ikke afgjøre. Slægtens Ejendommeligheder ere nærmere omtalte ovenfor paa Side 254—55. Man kjender kun 1 Art, An. branchiatus Beddard, opstillet paa 1 Exemplar, 70™™ langt, taget i det Stille Hav ved 2° 33' 8. B., 144° 4 0. L. paa 1070 Fy. Forøvrigt hen- vises til Beddard ep.cit. n°1, p. 112 og op. cit. n°2, p. 152, Pl. VII, Fig. 1—5.) Fam. IL Corallanidæ. Partes oris vid. p. 230—285 et p. 311—312. Pedes parium trium anteriorum mediocres; articulus septimus brevior, prope apicem setis instructus; unguis bene definitus, articulo septimo paulo brevior, nonnihil curvatus. Pedes parium quattuor posteriorum præcipue gressorii, paulum vel nonnihil natatorii; articulus septimus brevior, paulo vel nonnihil longior quam unguis nonnihil curvatus. Genus solum mihi cognitum ad hanc familiam referendum est. Corallana Dana (1852). Corpus elongato-ovatum, ad apicem posteriorem versus sæpius plus minusve hir- sutum et foveis et nodulis et carinis instructum; truncus cauda longior. Oculi mediocres vel permagni. 141 377 Antennulæ pedunculo antennarum nunquam longiores; peduneulus biartieulatus (articulis duobus basalibus coalitis), articulo basali semper aliquanto crassiore quam articulo secundo, interdum producto. Åntennæ medium truncum nunquam attingentes; pedunculus 5-articulatus, articulo tertio aliquanto vel duplo breviore quam articulo quarto; flagellum multiarticulatum. Epimera omnia furcis binis solitis bene evolutis instructa; epimera parium duorum anteriorum postice rotundata; epimera ultimi paris postice sat producta, angulo acuto, epimeris segmenti sexti minora. Pedes trium parium anteriorum mediocres vel robustiores, setis paucis et spinis nonnullis, in latere interiore brevibus, instructi; articulus quartus in latere exteriore circiter ad apicem articuli quinti prominens. 5 Pedes quattuor parium posteriorum mediocres vel sat robusti, nonnihil compressi; articulus tertius angulo exteriore plus minusve producto, articuli quartus—sextus sensim longiores et graciliores. Pedes omnes setis plumosis nullis, tamen setis trifidis (test. Sch. & Mein.) vel multifidis, mirabile constructis ornati; he sete imprimis in margine apicali interiore et exteriore articuli quinti bene evolute, etiam tamen nonnulle subsimiles in margine articulorum et tertii et quarti et interdum sexti (test. Sch. & Mein.) invente sunt. Pedes sexti et septimi parium longitudine subequales, pedibus quinti paris manifesto longiores. Segmentum quintum caude in lateribus ab angulis lateralibus segmenti quarti tectum. Pleopoda parium anteriorum fere ut in Cirolanis sectionis I”? formati; rami ciliis densis, brevioribus vel brevibus instructi. Segmentum ultimum caude parte laterali basali subquadrata, prominente, sæpius utrinque prope medium incisum. Species 7 mihi cognite et omnes nove ad insulas Indie occidentalis et in mari Atlantico capte sunt. I ovenstaaende Slegtsbeskrivelse har jeg taget saa meget Hensyn som muligt til de af Schiodte & Meinert beskrevne 6 Arter, af hvilke jeg ikke har set noget Exem- plar. (Et Par af andre Forfattere beskrevne Arter har jeg ikke her kunnet tage Hensyn til paa Grund af Beskrivelsernes Korthed.) Imidlertid er de to nævnte Forfatteres Frem- stilling ofte noget ufuldstendig, og da tilmed nogle af deres Slægtskarakterer ikke fore- komme mig sandsynlige, maa jeg fremsætte et Par Bemærkninger. Naar der (op. cit. n°2, p. 286) siges «Lamina frontalis aut detecta aut evanida (in feminis pluribus)», saa troer-jeg ikke, at Lamina frontalis nogensinde er «evanida», og 378 : 142 det forekommer mig ogsaa, at Tegningerne vise det modsatte. Naar den hos Corallana nodosa 92 skal være «evanida», hos samme Arts & «transversa, perbrevis . ...-, hos «Virgo» atter «evanida», saa troer jeg ikke ret paa, at den er «evanida» og antager ogsaa, at Hannen og Hunnen høre til forskjellige Arter, hvilket Afbildningerne (Tab. V, Fiz.7 og 8) i høj Grad tyde paa. Naar der om Antennulæ staar «scapus articulo tertio evanido», saa troer jeg ikke, at den Tydning er rigtig; hos flere Cirolana-Arter ser man, ‘at Scapus nærmer sig til at blive og hos Cir. minuta virkelig bliver toleddet ved, at de 2 Rodled af det oprindeligt 3-leddede Skaft smelte sammen, og baade Form og Størrelse af Rodleddet hos Corallana tyde paa, at det paa samme Maade er dannet af 2 Led. Den forøvrigt af Forf. angivne Kjensforskjel i Skaftet passer ikke paa mine Arter. Flere af de øvrige Karakterer forekomme mig ikke aldeles tiltræffende. Ifølge Afbildningerne kunne Øjnene egentlig aldrig kaldes «minuti»; om de forreste Haleringe ere mere eller mindre skjulte, er i det mindste ikke her nogen Slægtskarakter, ofte ikke en Kjønskarakter, oftere ikke engang en Årtskarakter. Conspectus specierum. 1. Oculi mediocres vel magni, in medio vertice aliquantum inter se distantes. 2. Mandibula sinistra in situ visa parte apicali profunda trifida. Clypeus et labrum, infra visa, perspicua. (Articulus basalis antennularum pronus visus sat angustus. Caput superne in mare cornibus tribus ornatum. Segmentum ultimum caudæ nodis nullis basalibus ad medium instructum.) 1. Cor. tricornis n. Sp. to Mandibula sinistra in situ visa parte apicali obscurius trifida vel conum singulum formante. Labrum subverticale infra visum ex parte vel sepissime totum a mandibulis obtectum (clypeus sæpissime ex parte vel totus ‘simul obtectus). 3. Antennularum articulus basalis pedunculi pronus visus sat angustus, infra visus non supra articulos basales antennarum prominens. Segmentum ultimum caudæ nodis nullis basalibus ad medium instructum. (Caput superne in mare cornibus 4 ornatum.)....-.-..--.-- 2. C. quadricornis n. sp. 3. Antennularum articulus basalis pedunculi pronus visus valde dilatatus, infra visus ita prominens, ut articuli basales antennarum in rima transversa sat profunda inter antennulas et mandibulas positi sint. Segmentum ultimum caudæ nodis duobus basalibus magnis prope medium sitis ornatum. 143 379 4. Segmenta quartum et quintum caudæ in medio dorso paulum impressa, carinis et nodis nullis ornata. Segmentum ultimum caudæ apice bispinoso. (Species parva.) ........ secs db Ch SDS M ED 4. Segmenta quartum et quintum caude in medio dorso profunde per longitudinem excavata, carinis et nodis compluribus instructa. Seg- J mentum ultimum caude apice 4-spinoso. (Species magna.) 4. C. antillensis n. sp. 1. Oculi permagni, in medio vertice inter se contigui. i 2. Segmentum ultimum caudæ brevius, postice late rotundatum et incisura media profundasgsatalataginsteugtums. So el: fissicauda n. sp. 2. Segmentum ultimum caude longius, postice anguste rotundatum, non incisum. 3. Segmenta quartum et quintum caude in medio dorso profunde per longi- tudinem excavata, carinis ornata. Segmentum ultimum caude in medio latere incisum, in dorso areis duabus dense setosis et _nodis duobus magnis basalibus ad medium versus sitis ornatum. . . 6. C. oculata n. sp. 3. Segmenta quartum et quintum caudæ in medio dorso perpaulum impressa, carinis nullis ornata. Segmentum ultimum caudæ in latere integrum, in dorso ubique setis brevissimis remotius sparsis ornatum. 7. C. Warmingü n. sp. Sectio prima. Oculi mediocres vel magni, in medio vertice aliquantum inter se distantes. 1. Corallana tricornis n. sp. (Tab. VI, Fig. A—4p; Tab. VII, Fig. 1—1 d.) Mas adultus et femina ovigera. Diagn. Clypeus et labrum, supina visa, perspicua. Artieulus basalis antennu- larım pronus visus sat angustus, supinus visus sat latus, non supra articulos basales antennarum prominens. Mandibula sinistra in situ visa parte apicali profunde trifida. Segmenta tertium, quartum, quintum caudæ per medium longitudinem paulum impressa. Segmentum sextum caude breve, in medio latere incisum; apex 4-spinosus; dorsum ad basin versus ad latera versus nonnihil excavatum, areis duabus dense et brevissime setosis, nodis majoribus nullis ornatum. Uropoda ramo interiore lato. Mas: Caput superne late et profunde excavatum, cornu frontali magno et cornibus duobus sub-occipitalibus magnis instructum. Segmentum primum trunci per- convexum, ante nodulis duobus nonnihil distantibus ornatum. — Long. 8,3". 380 144 Femina: Caput superne paulum (in feminis junioribus haud) excavatum, cor- nibus nullis ornatum. Segmentum primum trunci structura solita. — Long. 7mm-, Descr. Corpus duplo et dimidio vel fere triplo longius quam latius, sat con- vexum; truncus cauda multo longior. Caput in mare in medio superne longe et late et profunde excavatum, ante in cornu magnum, altum, sursum et nonnihil ante directum, paulum curvatum, postice con- cavum productum, ad marginem posteriorem versus cornibus duobus magnis, erectis, pone angulum interiorem oculorum sitis, ornatum. In femina cornu nullum et excavalio levis adsunt. i Frons ante paulum bisinuata, in processum minorem, trigonum producta; in mare hie processus pronus visus a cornu frontali tectus est. Oculi nigri, sat magni, in medio vertice sat distantes, a latere visi fere æque lati ac longi; ocelli sat magni, aliquantum convexi. Lamina frontalis triplo longior quam latior, ad mediam paulum constricta, ante angulum subrectum formans, a latere visa nonnihil curvata, marginibus lateralibus nonnihil incrassatis et elevatis. Ciypeus et labrum, supina visa, perspicua. Antennule circiter medium articulum ultimum pedunculi antennarum attingentes ; articulus basalis articulo secundo duplo fere longior, sat crassus, pronus visus sat an- gustus, supinus visus sat latus, pedunculo antennarum non altior; articulus secundus non duplo longior quam latior; flagellum pedunculo paulo vel vix brevius, 9—11-arti- culatum. Antenne structura solita; pedunculi articulus quartus plus duplo longior quam articulus tertius et articulo quinto perpaulo brevior; flagellum c. 20—24-articulatum. Mandibulæ parte dimidia distali minus alte elevata quam in speciebus sequentibus, structura nonnihil discrepante (vid. p. 280—81 (et 283)). Maxillipedes subtus inermes. Segmenta anteriora trunci in mare alte convexa; segmentum primum percon- vexum, ante tuberculis duobus nonnihil distantibus ornatum; segmenta anteriora in femina structura solita, levius convexa. Segmenta solum duo posteriora stria post- marginali sat manifesta ornata; in femina segmentum ultimum imprimis prope marginem posteriorem nonnihil setosum. Epimera structura solita, posteriora in femina setis nonnullis brevioribus in- structa. Pedes parium trium anteriorum sat robusti, ungue sat crasso. 145 | 381 Pedes parium quattuor posteriorum breviores, setis perpaucis instructi; articulo secundo lato, articulis mediis angulo exteriore minus dilatato; pedes quinti paris pedibus sequentibus nonnihil breviores. , Segmenta 5 anteriora caudæ breviora, duo anteriora minus arcuata, omnia præter segmentum primum prope marginem posteriorem nodulis et impressionibus multis (in segmento quinto paucioribus) instructa. Segmenta tertium, quartum, quintum excavatione media, ante evanida, postice paulum profunda, sat lata ornata, in medio excavatione tamen perpaulum carinata. Segmenta in femina ovigera setis brevioribus instructa, in mare (et verosimiliter in speciminibus junioribus) subnuda. Segmentum ultimum caudæ breve, tertia parte latius quam longius, utrinque in medio latere incisum; apex anguste rotundatus, spinis 4 armatus; dorsum nonnihil con- vexum, prope basin ad latera versus latius impressum, in medio paulum impressum et in fundo hujus impressionis per longitudinem carinatum, areis duabus longitudinalibus bre- vissime setosis ad apicem versus ornatum, in femina præterea setis nonnullis ubique remotius sparsis. Pars dimidia posterior marginis ciliis plumosis sat longis instructa. Uropoda breviora, caudam nonnihil superantia, ciliis bene evolutis instructa; ramus interior ramum exteriorem paulum superans, latus, margine postero-interiore valde excurvato, spinis compluribus instructo, apice acuto, nonnihil producto; ramus exterior sat angustus, apice bifido. Scapus angulo interiore non ad medium ramum interiorem producto. Color flavescens vel brunneus, in dorso punctis et maculis minutis nigris plus minusve infuscatus. Appendix masculina longa, angusta, ad basin rami affixa, ramum perpaulum superans, ad mediam angustata, apice acüto. Forekomst. St.Thomas og «Vestindien», 7 Ex. (Krebs); St. Croix, 1 Ex. (Ørsted); «Vestindien?» henved 200, for største Delen ikke voxne Ex. (Grønsund); «Vestindien», 20 Ex. (Hohlenberg, givne afs P. E. Müller); Reialejo (Mellem-Amerika), 1 Ex. (Ørsted). Materialet af denne udmærkede Art er saaledes stort, men for største Delen ikke synderlig godt konserveret, og de fleste Exemplarer ere ikke voxne. Allerede paa halvvoxne, omtrent 5,4™™ lange Hanner begynde de 3 Horn at vise sig som ganske smaa Forhøjninger, og tiltage saa jævnt i Størrelse efterhaanden som Dyret voxer. Saadanne halvvoxne Hanner have allerede en fri og tilsyneladende vel ud- viklet Appendix masculina, men den naar ikke fuldt ud til'Spidsen af Pleopodens Indergren, og den synes at bevare denne Længde indtil Dyrets sidste Hudskifte, efter hvilket den naar lidt udenfor Indergrenens Ende. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 49 382 146 2. Corallana quadrieornis n. sp. (Tab. VII, Fig. 2.) Mas hand adultus et femina non ovigera, Diagn. Speciei precedenti valde affinis, characteribus sequentibus imprimis differt. Clypeus, infra visus, perangustus et ex parte obtectus; labrum a mandibulis obtectum. Mandibularum pars distalis dimidia sat alte eminens, obscurius trifida. Seg- mentum ultimum ad latera versus paulo magis impressum quam in specie precedente. Mas: Caput ut in specie precedente excaratum, cornibus duobus frontalibus minoribus, minus distantibus et cornibus duobus majoribus, suboccipitalibus, magis distan- tibus ornatum. — Long. 6,377. i Femina: Caput ut in specie precedente. — Long. 6,87". Descr. Hee species Cor. tricorni simillima; characteres omnes graviores in diagnosi commemorati sunt. Præterea differt cauda minus hirsuta, parte apicali segmenti ultimi minus convexa, spinis tamen 4 apicalibus ornata. (Flagellum antennarum in mare 16-articulatum, in femina c. 20-articulatum.) Forekomst. St Thomas, 2 Ex. mellem C. tricornis (Krebs): 1 Exemplar uden Lokalitet, men sandsynligvis ogsaa fra Vestindien. Appendiz masculina hos Hannen naar ikke Spidsen af Pleopodens Indergren. og jeg slutter heraf med stor Sandsynlighed, at Exemplaret ikke er udvoxet. 3. (Corallana subtilis n. sp. (Tab. VII, Fig. 3—3 e.) Specimen juvenile (verosim. femineum) in mutatione entis captum. Diagn. Femine Cor. quadricornis subsimilis, tamen imprimis differt characteri- bus sequentibus. Oculi leviter granulati. Antennularum articulus basalis pedunculi pronus visus valde dilatatus, supinus visus ita prominens, ut articuli basales antennarum in rima sat profunda inter antennulas et mandibulas positi sint. Segmentum ultimum caude dorso prope basin nodis duobus magnis, paulum distantibus ornata, impressionibus sub- lateralibus profundis, apice spinis 2 instructo. — Long. 4,777. Descr. Specimen singulum juvenile in mutatione cutis captum et ob eam causam a speciebus ceteris habitu sat diversum vidi. Characteres præcipui in diagnosi exhibiti sunt; preterea characteres sequentes commemorare possum. Frons ante in processum trigonum sat magnum producta. 147 383 Lamina frontalis paulo longior quam latior, ad apicem versus nonnihil angustata, apice rolundato, superficie excavata. Clypeus perangustus, ex parte detectus, labrum obtectum. Antennule articulo secundo peduneuli gracili, flagello c. 7-articulato. N. ultimum caudæ nonnihil longius quam in speciebus præcedentibus, quarta parte latius quam longius, superne nudum. Uropoda fere latiora quam in speciebus præcedentibus: rami setis nonnihil lon- gioribus et spinis paucioribus ornati; scapus angulo interiore breviore, circiter tertiam partem rami interioris occupans. , Color fusco-piceus; segmentum ultimum caudæ et uropoda brunnea, maculis ramosis nigris ornata. Forekomst. St.Thomas, { Ex. (Krebs, ?*s 1858). Fig.3 og især Fig.3a vise særdeles klart, hvorledes en saadan Isopod ser ud, naar Huden er skiftet paa de 3 sidste Kropled og Halen, som saa have udvidet sig, medens de 4 forreste Kropled og Hovedet endnu ikke have gjennemgaaet det Hudskifte, ved hvilke de faa en til de andre Led svarende Brede og Tykkelse. 4. Corallana antillensis (Lütken, M.S.) n. sp. (Tab. VII, Fig. 4—4 i.) Mas adultus et specimen junius. (Femina ignota.) Diagn. Clypeus et labrum, infra visa, obtecta. Mandibularum pars distalis peralte eminens. Antennularum articulus basalis, pronus visus, perlatus, supinus visus angustior, nonnihil supra basin antennarum eminens. Segmenta tertium et quartum et quin- tum et ex parte secundum caudæ per mediam longitudinem ante nonnihil, postice late et profunde excavata, carina alta, interrupta, in media excavatione sita ornata, preterea impressionibus et nodulis et carinis instructa. Segmentum ultimum caude longius, in medio latere incisum, apice subacuto, 4-spinoso, dorso areis duabus dense et brevissime setosis et ad basin versus nodis duobus sat approximatis, acutis et nodis duobus lateralibus, latioribus, furcatis ornato. Uropoda ramo interiore angustiore, duplo- longiore quam latiore. — Long. 1677. Descr. Species insignis et maxima hujus generis. Corpus circiter triplo et tertia parte Jongius quam latius; truncus multo longior quam cauda. Frons profundius bisinuata, processum majorem inter antennulas formans. Oculi magni, nigri, plus quam dimidiam partem superficiei capitis explentes; ocelli majores, aliquantum convexi. 49* 384 : 148 Lamina frontalis duplo longior quam ad basin latior, a basi ad apicem versus sensim angustata, apice rotundato, per totam longitudinem profunde excavata, a latere visa recta. Clypeus et labrum, supina visa, a mandibulis occulta. Antennule circiter apicem articuli penultimi pedunculi antennal attingentes ; peduneuli articulus basalis, pronus visus, laminam latam, non duplo longiorem quam latiorem, formans, supinus visus sat angustus et nonnihil supra basin antennarum eminens; articulus secundus gracilis, plus duplo longior quam latior: flagellum articulo basali pedun- culi vix longius, gracile, c. 9-articulatum. Antenne structura fere ut in C. tricorni; flagellum c. 27-articulatum. Mandibulæ permagne, perrobuste, parte distali allius eminente quam in speciebus ceteris, conum singulum formante. Maxillipedes subtus nodulis compluribus ex parte acutis ornati. Segmenta trunci minus convexa; stria postmarginalis solum in lateribus segmen- torum trium posteriorum sat manifesta. Epimera structura solita. Pedes quam in C. tricorni paulo longiores et graciliores, selis nonnullis instructi. Segmenta quattuor anteriora caude aliquantum arcuala; segmenta 2—5 excavatione ante evanida, postice profunda et lata ornata; carina alta, in segmentis quarto et quinto interrupta, in media excavatione inventa est, et in segmento quinto postice in processum breviorem, crassum producta. Aree ad latera excavationis imprimis in segmentis quarto et quinto cariniformes. Segmenta 2—4 ad margines posteriores impressionibus et nodulis numerosis ornata; segmentum quintum ad latera versus irregulariter- sculptum. Segmenium ultimum caudæ vix quinta parte latius quam longius, in medio dorso ante sulcatum et in fundo sulci iterum breviter carinatum. Characteres ceteri præcipui in diagnosi commemorati sunt. Uropoda caudam nonnihil superantia, ciliis longioribus densis instructa; ramus interior angustior, duplo longior quam latior, margine interiore nonnihil excurvato, spinis nonnullis instructo, apice producto, acuto; ramus exterior sat angustus, ramo interiore perpaulo brevior. Scapus angulo interiore breviore, apicem partis tertiæ rami interiores non attingente. Color fere ut in C. tricorni. Appendix masculina ramum interiorem non superans, parte distali paulo angustiore quam in Cor. tricorni. Forekomst. St.Thomas, 1 meget stort Ex. (Krebs, 1857); «Vestindien», 1 mindre Ex. (Krebs, 1866); Vestindien, 1 lille Ex. (Ørsted). 149 385 Sectio secunda. Oculi permagni, in medio vertice inter se contigui. 5. Corallana fissicauda n. sp. (Tab. VII, Fig. 5—5 d.) Femina (sine laminis ovigeris). Diagn. Clypeus, supinus visus, ex parte perspicuus, labrum obtectum. Anten- nularum artieulus basalis nonnihil incrassatus, pronus et supinus visus angustus. Seg- anteriora cuudæ fere ut in Cor. antillensi. Segmentum ultimum caudæ breve, postice late rotundatum et incisura media profunda, sat lata, instructum, margine laterali - - menta 5 non inciso, dorso ad basin nodis et nodulis ornato, areis spisse setosis nullis. Uropoda caudam longe superantia, structura fere solita. — Long. 117. Descr. Corpus fere triplo longius quam latius; truncus cauda aliquanto longior. Frons margine subrecto, processu medio inflexo, fere evanido. Oculi nigri, permagni, superficiem totam capitis præter aream minorem mediam ad marginem posteriorem occupantes; ocelli permagni, semiglobosi, ut in C. Warmingu formati. Lamina frontalis fere triplo longior quam latior, a basi ad mediam angustata, per longitudinem majorem excavata, parte apicali subplana, ante rotundata. Lamina a latere visa excurvata et prope apicem incurya. Clypeus supinus visus ex parte perspicuus; labrum obtectum. Antennulæ circiter apicem articuli penultimi pedunculi antennarum attingentes; pedunculus articulo primo nonnihil incrassato, prono et supino viso tamen angusto, articulo secundo aliquanto breviore quam primo, graciliore; flagellum pedunculo aliquanto brevior, c. 8-articulatum. Antenne structura solita. Mandibule magne, robuste, pars distalis mandibulæ sinistre sat alte eminens, ut in speciebus sequentibus conum singulum formans. Maxillipedes fere ut in C. antillensi. Segmenta trunci fere ut in C. antillensi; stria postmarginalis- solum in segmento septimo bene definito, in segmentis sexto et quinto et quarto paulum distincta, imprimis e punctis formata. Epimera et pedes fere ut in C. antillensi. Segmenta 5 anteriora caude paulo levius sculpta quam in C. antillensi. 386 150 Segmentum ullimum caudæ abbreviatum, circiter */5 latius quam longius, postice late rotundatum, non spinosum, ibique incisura profunda et sat lata ornatum, margine laterali integro; dorsum sat convexum, areis nullis spisse setosis instructum, setis bre- vissimis remotius sparsis ad margines laterales versus ornatum, excavalione basali media in fundo breviore carinata, nodis acutis sat approximatis nonnihil minoribus, nodis latera- libus aliquanto minoribus quam in specie præcedente et non furcatis instructum. Uropoda caudam valde superantia, ut in C. antillensi ‘eiliata; rami inter se æqui- longi; ramus interior sat latus, margine postero-interiore aliquantum excurvato spinis non- nullis instructo, apice paulum producto, acuto. Scapus angulo interiore paulum ultra tertiam partem rami interioris occupans. Color flavo-brunneus. Forekomst. Vestindien, 1 Ex. (Krebs, 1866). 6. Corallana oculata n. sp. (Tab. VII, Fig. 6—6 b.) Mas adultus et femina ovigera. Diagn. Cor. fissicaude valde similis, segmento ultimo caudæ fere ut in C. an- Diagn. C » seg tillensi formato, longiore, apice subacuto, margine laterali in medio non inciso, dorso areis duabus spisse setosis instructo, imprimis ab ea specie diversa. — Long. maris 9,7", long. femine 11,57. Deser. Corpus eireiter triplo longius quam latius; segmenta 4 posteriora trunci imprimis ad marginem posteriorem versus et segmenta 2—5 caudæ in mare fere nuda, in femina scabra, setis brevissimis, rigidis instructa; truncus in mare paulo longior et in femina nonnihil longior quam cauda. Frons ut in specie præcedente. Oculi fere ut in specie præcedente, in mare nonnihil majores et plus convexi quam in femina; ocelli permagni in mare valde convexi, in femina paulo minus convexi. Lamina frontalis ut in Cor. fissicauda. Clypeus perangustus, supinus visus perspicuus; labrum ex parte a mandibulis tectum. Antennulæ et antennæ ut in Cor. fissicauda. Mandibulæ in mare plus prominentes quam in femina. Maxillipedes subtus nodulis compluribus ex parte acutis armati. Segmenta duo vel tria anteriora trunei stria postmarginali paulum distincta; seg- menta posteriora stria in mare bene distincta, in femina a setis plus minusve abscondita. 151 387 Epimera et pedes fere ut in Cor. antillensz. Segmenta 5 anteriora fere ut in C. antillensi sculpta. Segmentum ultimum caudæ fere ut in C. antillensi, excavatione media basali bre- viore, nodis lateralibus magnis angustioribus, apice 5-spinoso imprimis ab ea specie discrepans. ; Uropoda caudam nonnihil superantia; ramus interior ramum exteriorem paulum superans, fere duplo longior quam lalior, margine postero-interiore sat excurvato, sat spi- noso, longe ciliato, apice paulum producto, acuto. Scapus angulo interiore partem tertiam basalem rami interioris nonnihil superante. Color flavo-brunnescens. Appendix masculina fere ut in C. tricorni. Forekomst. Vestindien, 2 Ex. (Krebs, 1866). 7. Corallana Warmingii n. sp. (Tab. VII, Fig. 7—7 f.) Mas (? vix) adultus. Diagn. Clypeus, supinus visus, ex parte perspicuus, labrum obtectum. Anten- nularum articulus basalis nonnihil incrassatus, pronus visus angustus, supinus visus non- nihil latior. Segmenta omnia trunci sulco transverso nonnihil a margine posteriore remoto ornata. Segmenta 2—5 anteriora caudæ excavatione media et carinis evanidis, prope marginem posteriorem nodulis multis instructa. Segmentum ultimum caudæ longius, margine laterali integro, dorso ubique setis brevissimis remote sitis et nodulis 8 in seriem transversam, basalem dispositis ornato. Uropoda caudam perpaulum superantia, latitudine mediocri. — Long. 117". Deser. Species pulchra, bene distineta, structura pedum sat aberrans. Corpus eireiter triplo longius quam latius, alte convexum; truncus perpaulo lon- gior quam cauda. Frons, oculi, elypeus et labrum, antennulæ, antennæ, maxillipedes fere ut in Cor. Jissicauda. Segmenta trunci structura in diagnosi commemorata a speciebus ceteris diversa. Pedes parium trium anteriorum fere ut in C. fissicauda, articulis setis compluribus instructis, ungue graciliore, minus curvato. Pedes parium quattuor posteriorum magis inter se dissimiles quam in speciebus ceteris. Pedes quinti paris breviores et crassiores, setis longioribus sat multis imprimis in articulo quarto et in angulo exteriore producto artieuli tertii instructi; pedes sexti et 388 152 septimi parium sat elongati, graciliores, articulo tertio in latere exteriore postice valde producto, articulis quarto et quinto postice minus productis, articulis tertio et quarto setis multis longis in angulo exteriore instructis, præterea setis nonnullis longis in latere exteriore articuli secundi et in angulo interiore articuli quarti et in angulo exteriore arti- euli sexti ornati. A Segmenta anteriora caude longa, 4 anteriora valde arcuala. Cetera in diagnosi exhibita. É i Segmentum ultimum caudæ paulo latius quam longius, sat convexum; margo late- ralis integer; pars apicalis angustius rotundata, margine processulis 5 minutis, non spinis ” ornato: dorsum ubique setis brevissimis remote sitis ornatum, excavatione media (cum carina) brevi et nodulis 8 in seriem transversam, basalem, nonnihil flexuosam, dispositis instruetum: ciliæ marginales dense site, breviores. Uropoda caudam perpaulum superantia, eiliis mediocribus instructa; ramus interior duplo longior quam latior, margine postero-interiore aliquantum excurvato, ad apicem remotius flexuoso-serrato, spinis nullis instructo, apice paulum producto, acuto; ramus exterior ramo interiore paulo brevior, structura solita. Scapus angulo interiore paulum ultra partem tertiam basalem rami interioris prominente. Color flavescens, maculis minutis nigris remotius sparsis. Appendix masculina in specimine singulo ramum interiorem non superans, nonnihil latior quam in C. Zricorni, parte media haud angustata, apice acuminato, acuto. Forekomst. 17° 47'S. B., 35° 16‘ V. L., 1 Ex. (Warming, 1866). Denne serdeles smukke og interessante, pelagisk fiskede Form har jeg opkaldt efter Botanikeren, Hr. Prof., Dr. E. Warming, der paa sin Rejse mellem Europa og Brasilien har fisket en Mengde pelagiske Krebsdyr. 1. Arter, som med betydelig Sikkerhed kunne henføres til denne Slægt (eller i det mindste til denne Familie). 1. Corallana acuticauda Miers, op. cit. n°5, p.78, Pl. VII, Fig.B. En enkelt Hun blev tagen blandt Coraller paa 35 Fy. ved Hotspur Bank, 17° 32‘ S. B., 35° 45° V.L. Ifølge Fremstillingen ligner den i Antennulernes Bygning nærmest C. an- tillensis, i Halens Bygning nærmere C. tricornis. 2. Corallana basalis (Heller). Arten er beskreven af Heller i op. cit. n°1, p. 497 og i op. cit. n? 3, p. 143, Taf. XII, Fig. 14—14a under Navnet Æga basalis; af een DEN 153 4. 389 Schiødte & Meinert bleve Hellers Original-Exemplarer gjorte til Gjenstand for en ny Fremstilling, op. cit. n°2, p. 287—288, Tab. IV, Fig. $—15. Arten er tagen ved Nicobar-Øerne. (Det største Exemplar var 9,5"”- Janet) Arten udmærker sig særlig ved en stærkt udpræget Kjonsforskjel i Form og Størrelse af Antennu- lernes Rodled. 3 Corallana collaris Schiodte & Mein. op. cit. n°2, p.289, Tab. V, Fig. 1—2. Største Exempl. 11™™ langt. Tagen ved Ubay paa Philippinerne. Corallana brevipes Sch. & Mein. op. cit. n°2, p. 291, Tab. V, Fig. 3—4. 7™™ lang. Tagen ved Ubay paa Philippinerne. Corallana hirticauda Dana, op. cit. n°%, p.774, Pl. 51, Fig.8a—e. Ifølge Dana omtr. 5 Lin. lang og tagen i Hulheder i dede Koraller fra Koralrevene ved Ton- _ gatabu. Arten er senere fremstillet af Sch. & Mein., op. cit. n°2, p.292, Tab. V, Fig. 5— 6 efter et 6,57" langt Exemplar fra Ubay paa Philippinerne. Corallana nodosa Sch. & Mein., op. cit. n°2, p.293, 294, 295, Tab. V, Fig. 7—10. Forff. have fremstillet «Femina ovigera», «Mas adultus» og «Virgo» efter 3 Exem- plarer, men efter Text og Afbildninger afvige de nævnte 3 Stykker saa meget fra hverandre i Formen .af Antennuler, Pandepladens Tilstedeværelse eller Mangel (?), Kropringenes Skulptur og Uropodernes Ydergren, at jeg, efter mit Kjendskab til Slægten, maa antage, at de 3 Dyr høre til 2 eller maaske 3 vel adskilte Arter. Exemplarerne stammede fra Philippinerne (Samar Palabar, Ubay), og et Par af dem vare 12mm. lange. Corallana hirsuta Sch. & Mein., op. cit. n°2, p.297 og 298, Tab. V, Fig. 11—12. Største Exemplar 9,5™™ lang. Tagen ved Ubay paa Philippinerne. Corallana macronema (?Bleeker) Miers, op. cit. n°4, p. 469. Bleeker opstillede, op. cit. p. 23, Tab. I, Fig. {—1c, en Form, som han kaldte ga macronema Bleek., den er sikkert ingen Æga, men enten en Corallana eller Aleirona; den angives til 17mm. Længde og «habite errante la peau de diverses espèces de poissons de la mer de Batavia». Miers har nu ment at kunne kjende den Bleekerske Form og beskriver under det angivne Navn et Dyr, der ifolge Beskrivelsen rigtig henføres til Slægten Corallana, og som kan blive 9 Lin. langt. Om hans Artsbestemmelse imidlertid er rigtig, faar staa hen. 2. Art, der med nogen Tvivl henføres til denne Familie. Cirolana sculpta H. Milne-Edwards, op. cit. n°1, p. 237. Denne Form er for ufuldstændig beskreven til, at jeg tor udtale mig med synderlig Sikkerhed. Skulpturen paa de bageste Kropringe og paa Halen stemmer ifølge Fremstillingen imidlertid i høj Grad med den, jeg ovenfor har fremstillet hos adskillige vestindiske Corallana- Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 50 390 i 154 Arter, og jeg kjender ikke nogen saadan kraftig Skulptur hos noget andet Dyr af denne Afdeling af Isopoder. Forfatterens Exemplar var omtr. 9 Lin. (c. 20") og stammede fra Malabar-Kysten. — Senere skriver Krauss op. cit. p.66 om et Dyr, han henfører til denne Art: «Eine durch die äusserst niedliche Zeichnung des Abdomens ausgezeichnete Art, welche ich in der Tafelbai gefunden habe. Gelblichgrün mit schwarzen Flecken und Punkten. Länge 6 Linien.» Jeg nærer imidlertid megen Tvivl om, at Krauss’s Bestemmelse ‘er rigtig. Herklots (op. eit. n°1, p.27) optager Arten efter Krauss. 3. Art, der muligvis kan tilhere denne Familie. Cirolana rugicauda Heller, se ovenfor p.358, nævner jeg ogsaa her, da der forekommer mig at være en Mulighed for, at den kan være en Corallana. Fam. III. Aleironid. Partes oris vid. p. 285—290 et p. 312—313. Pedes trium parium anteriorum articulo septimo una cum ungue uncum nonnihil vel aliquantum curvatum formante; unguis bene evolutus, articulo septimo sæpius brevior. Pedes parium quattuor posteriorum unguibus semper bene evolutis, semper bre- vioribus quam articulo septimo. Præterea characteres sequentes indicare possum. Antennule pedunculo biarticulato. Antenne mediocres vel longæ, pedunculo 5-articulato (sæpius elongato). Pedes nunquam natatorii. Cauda segmento quinto in lateribus ab angulis lateralibus segmenti quarti tecto. Conspectus generum. ') 1. Clypeus permagnus, semilunaris, margine interiore plus quam dimidium latus exterius mandibularum occupante............ Doooosencoo I, Alana M gem, 1. Clypeus sat parvus, margine interiore modo partem subapicalem mandibularum occupante. 1) Om den tvivlsomme Slægt Corilana Kossm. henvises til Bemærkningerne ved Slutningen af denne Familie. 155 391 2. Pedes parium trium anteriorum articulo quinto structura solita, non dilatato, articulo septimo non elongato. Pedes sexti et septimi parium articulo sexto aliquanto graciliore quam articulis tertio et quarto .... 2. Lanocira n. gen. 2. Pedes parium trium anteriorum articulo quinto in latere interiore in laciniam producto, perlato, articulo septimo sat elongato. Pedes sexti et septimi parium articulo sexto non angustiore quam articulis tertio et quarto. 3. Tachæa Sch. & Mein. I. Alcirona n. gen. Antennarum pedunculus elongatus. Partes oris vid. p. 313. Pedes parium trium anteriorum articulo quinto in latere interiore non producto. Pedes parium quattuor posteriorum simplices, articulo sexto non dilatato, quam articulis prioribus graciliore. (Pars posterior corporis plus minusve setigera. Pleopoda et uropoda fere ut in genere Cirolanæ.) (Paa Grund af, at jeg kun har et nogenlunde fyldigt Kjendskab til { Art af de til denne og de 2 folgende Slægter hørende Arter, og der vistnok findes adskillige mig ube- kjendte, hidtil i Literaturen stedmoderlig behandlede Former af denne interessante Familie, har jeg maattet indskrænke min Karakteristik af Slægterne meget betydelig.) Conspectus Specierum. I. Cauda et uropoda superne setis multis mediocribus vel longis vestita. Antennularum , pedunculus articulis 4 basalibus peduneuli antennarum nonnihil brevior. Uropoda ramo interiore fere duplo longiore quam latiore, apice rotundato. Ale. Krebsii n. sp. 1. Setæ in dorso caudæ breviores et pauciores, uropoda superne fere nuda. Antennu- larum pedunculus articulis 4 basalibus peduneuli antennarum fere longior. Uropoda ramo interiore vix dimidio longiore quam latiore, apice bifido . . Ale. insularis n. sp. 1. Aleirona Krebsii (Lütken, M.S.) n. sp. (Tab. VI, Fig. 1—1 q.) Mas verosimiliter adultus et femina magna non ovigera. Diagn. Segmentum ultimum trunci saltem et caude et uropoda superne setis multis mediocribus vel longis ornata. Antennularwn pedunculus articulis 4 basalibus 50" 392 156 cunclis peduneuli antennarum nonnihil brevior. Pedes trium parium anteriorum structure subsimili, articulo septimo edentulo. Segmentum ultimum caudæ apice anguste rotundato- subtruncato, spinis 6 ornato. Uropoda caudam nonnihil superantia; ramus interior ramo exteriore aliquanto longior, fere duplo longior quam latior, postice rotundatus. Mas: Corpus vie duplo et tertia parte longius quam latius; segmenta tria posteriora trunci margine posteriore setoso. (Venter non inflatus.) — Long. 9,97. Femina: Corpus plus triplo longius quam latius; segmenta quintum et sextum trunci sepius nuda. (Venter valde inflatus.) — Long. 187%. Descr. Corpus maris brevius, vix duplo et tertia parte longius quam latius, speciei generis Cirolane habitu sat simile; segmentum quodque trunci (primo excepto) parte anteriore latiore ab annulo priore tecta, quam ob causam segmentum primum segmento quinto nonnihil longius evadit; segmenta tria posteriora trunci imprimis postice et in ipso margine posteriore longius et densius hirsuta; sete in dorso caudæ et uropodorum longe. — Corpus feminæ et imprimis feminæ majoris elongatum, plus triplo longius quam latius, specimini sanguine inflato generis Ægæ habitu sat simile; segmentum quodque trunci parte anteriore angusta vel angustissima a segmento priore tecta, quam ob causam segmentum primum segmento quinto plus minusve brevius evadit; segmenta quintum et sextum sæpius nuda; sete in dorso caudæ et uropodorum breviores. Truncus plus duplo vel (in femina) fere triplo longior quam cauda. % Frons ante in processum late trigonum, breviorem, inter basin antennularum inflexum, producta. Oculi minores, nigri vel fusci, sæpius non bene circumscripti; ocelli sat numerosi, paulum convexi. Lamina frontalis minor, pentagona. Clypeus area magna, trigona, ad margines laterales paulum impressa, ornata. Antennule pedunculo antennarum non longiores et interdum nonnihil breviores; pedunculus articulis quattuor basalibus cunctis pedunculi antennarum brevior, articulo primo nonnihil incrassato et paulo breviore quam articulo secundo sat gracili; flagellum {4—17-articulatum. Antenne in mare fere ad marginem posteriorem trunci, in femina magna paulum ultra medium truncum prominentes; pedunculus elongatus, articulo quarto fere duplo longiore quam articulo tertio, aliquanto breviore quam quinto; flagellum gracile, 28—-34- articulatum. Epimera in mare fere ut in Cirolana parva formata, quattuor posteriora nonnihil hirsuta; in femina minus hirsuta, subsimiliter constructa, habitu tamen mari valde dissimilia, parte inferiore aliquantum extrorsum a ventre inflato versata, parte basali et 157 . 393 superiore sub margine laterali segmenti ipsius occulta, parte anteriore non ut in mare à pari anteriore obtecta. Pedes parium trium anteriorum structura inter se subsimiles; articuli tertius et quartus nonnihil incrassati; articuli quintus et sextus non incrassati, graciles; articulus septimus gracilior, edentulus. Pedes quattuor parium posteriorum nonnihil compressi, sat graciles, nonnihil elon- gati; pedes quinti paris pedibus sexti paris paulo breviores, pedibus septimi paris paulo longiores. Segmentum ultimum caude paulum convexum, circiter tertia parte latius quam longius, subtrigonum, apice anguste rotundato, fere truncato, spinis 6 ornato. Uropoda caudam nonnihil superantia; ramus interior ramo exteriore aliquanto longior, fere oblongo-ovatus, postice æqualiter rotundatus, ibique spinis compluribus (c. 12 — 13) ornatus; ramus exterior angustior, apice subtruncato, margine exteriore spinis com- pluribus instructo. Scapus angulo interiore nonnihil ultra tertiam partem rami interioris occupante. Color in speciminibus junioribus grisescens vel dilute fuscescente-brunneus, in speciminibus subadultis fuscus vel nigro-fuscus. Appendix masculina ad basin rami affixa, ramum paulum superans, recta, minus angusta, apice obtuso. ~ Forekomst. Jeg har set 7 Exemplarer, alle fra Vestindien. Blandt disse fandtes kun 1 Han, etiketteret St. Thomas (Krebs, 1857), og baade ifolge Dyrets flade Bug og Etiketten sandsynligvis tagen frit; de øvrige 6 vare Hunner af højst for- skjellig Størrelse, alle med stærkt oppustet Bug og alle ifølge Etiketterne tagne paa Fiske. Det største, 18™™ lange (paa Tavlen afbildede) Exemplar har Paaskriften: «Nederst og forrest i Gjællehulen af Pseudoscarus coeruleus (BI.)»; 2 mindre Exemplarer ere etiketterede: «Nederst og forrest i Gjellehulen af Pseudoscarus superbus Poey»; et fjerde Exemplar er mærket: «Af Pseudoscarus psittacus (L.); (Riise)», et femte: «I Gjællehulen af en vestindisk Scarus», endelig det sjette: «Af Gjællehulen af Priacanthus macrophthalmus C. V.; (Kroyer)». 2. Aleirona insularis n. sp. (Tab. VIII, Fig. 2—2 n.) Specimina tria masculina juvenilia. Diagn. Corpus nonnihil plus duplo longius quam latius. Segmenta duo poste- riora trunci et segmenta caudæ setis brevioribus et paucioribus instructa, interdum omnia 394 158 preter segmenta posteriora caude nuda. Antennularum pedunculus articulis 4 basalibus cunctis pedunculi antennarum fere longior. Pedes trium parium anteriorum structura valde dissimiles; pedes primi paris articulis 4 ultimis brevibus, latis, articulo septimo robuste pectinato; pedes parium duorum ceterorum postice per paria articulis 4 ultimis longioribus et aliquanto angustioribus, articulo septimo minus pectinato. Segmentum ulti- mum caude postice angustius vel (in specimine minore) latius rotundatum, 6-spinosum. Uropoda caudam nonnihil superantia; ramus interior ramo exteriore aliquanto longior, viæ dimidio longior quam latior, apice bifido. — Long. 3,7—5,1". Descr. Cirolane parvæ. habitu sat similis. Corpus brevius, nonnihil plus duplo longius quam latius, nonnihil convexum; truncus cauda duplo et dimidio longior. Frons ut in specie precedente. Oculi nigri, paulo latiores quam in A. Krebsü, structura sat similes. Lamina frontalis pentagona, paulo major quam in specie precedente. Antennule pedunculo antennarum aliquanto longiores; pedunculus articulis quattuor basalibus antennarum pedunculi cunctis longior, fere ut in specie precedente formatus (flagellum in specimine minore, delineato 6-artieulatum , articulo primo perlongo, in spe- cimine majore §-articulatum, articulo primo vix longiore quam secundo. Antenne circiter marginem posteriorem segmenti tertii vel quarti trunci attingentes ; peduneulus nonnihil elongatus, articulo quarto circiter duplo longiore quam articulo tertio, nonnihil breviore quam quinto; flagellum 10—17-articulatum. Segmenta trunci longitudine inter se minus dissimilia, duo posteriora vel nuda vel ad marginem posteriorem versus setis brevioribus compluribus ornata; segmentum primum capite aliquanto longius. Epimera fere ut in Cirolana parva formata, furcis binis solitis ornata. Pedes parium trium anteriorum mirabile constructi, inter se valde dissimiles; pedes primi paris articulis quarto et quinto latis, perbrevibus, articulo sexto brevi, lato, paulo longiore quam latiore, articulo septimo paulo breviore quam arliculo sexto, in margine interiore in processibus tribus longis producto, ungue longo; pedes secundi paris articulis quarto, quinto, sexto paulo longioribus et manifesto angustioribus quam in pedibus primi paris, articulo septimo multo minore quam in pari priore, processulis tribus aliquanto minoribus ornato, ungue longo; pedes tertii paris articulis quattuor ultimis item paulo longioribus et aliquanto gracilioribus quam in pedibus secundi paris, arti- culo septimo processulo primo minore et processulo secundo obsoleto ornato, ungue breviore. 1 OU 9 395 Pedes quattuor parinm posteriorum fere ut in Cirolana parva formati et spinosi; pedes quinti paris pedibus sexti paris perpaulo breviores et pedibus septimi paris perpaulo longiores. Cauda breyis, in specimine minore segmenta quintum et sextum superne setis brevioribus nonnullis ornata, in speciminibus majoribus segmenta omnia detecta, setis brevioribus, in segmento sexto sat numerosis, instructa. Segmentum ultimum caudæ nonnihil convexum, ad latera versus paulum excavato- impressum, fere duplo latius quam longius, apice rotundato ut in specie præcedente spinoso. Uropoda superne nuda vel setis nonnullis perminutis ornata, brevia, lata; ramus interior ramum exteriorem valde superans et segmentum sextum caudæ nonnihil superans, non dimidio longior quam latior, margine exteriore nonnihil excurvato, ad apicem versus spinoso, margine interiore valde excurvato, ad apicem versus spinis c. 4 armato, apice late emärgi- nato, bifido; ramus exterior latior, apice bifido. Scapus fere ut in specie precedente. Color in specimine diu in spiritu vini asservato albidus, in dorso punctis permultis minutis nigris sparsus. Forekomst. Samoa-Qerne, 1 Ex. (kjobt af Mus. Godeffroy). (I Glas sammen med Cirolana parva, se ovenfor Side 341.) (Dernæst fandtes i Materialet fra Museet i Moskou 2 lidt større Exemplarer, ligeledes fra Samoa, og, som Etiketterne tydede paa, vistnok ligeledes hidrorende fra Mus. Godeff.) Da jeg udferdigede Tegninger og Beskrivelse af denne Art, besad jeg kun det mindste, 3,7"%: lange Exemplar. Ved den senere Undersøgelse af de 2 lidt større Ex. fra Moskou blev jeg i Stand til at komplettere Beskrivelsen, thi det viste sig, at disse Stykker havde flere Led i Antennesvoben (det ene ogsaa i Antennulsvoben), at Telson i sit Omrids stod midt mellem den Form, mine Figurer vise af denne Arts lille Ex. og af forrige Art, samt at der fandtes flere Børster paa Telsons Overside og tillige paa de øvrige frie Hale-. led samt adskillige Børster paa de 2 bageste Kropled. Efter mit Kjendskab til forrige Arts Variation nærer jeg imidlertid ikke den ringeste Tvivl om, at alle 3 Exempl. tilhøre samme Art. 2. Lanocira n. gen. Antennarum pedunculus mediocris, non elongatus. Partes oris vid. p. 313. Pedes parium trium anteriorum articulo quinto simplici, non in latere interiore producto. 396 160 Pedes parium quattuor posteriorum simplices, articulo sexto non dilatato graciliore quam articulis prioribus. (Pars posterior corporis nuda. Pleopoda et uropoda fere ut in genere Czrolanæ.) Species singula a me visa est. 1. Lanocira Kroyeri n. sp. (Tab. VIII, Fig. 3—3 1.) Femina non ovigera, verosimiliter juvenilis. Diagn. Corpus breve, circiter duplo longius quam latius. Oculi magni, dimi- diam superficiem capitis occupantes. Antennule pedunculo antennarum paulo longiores, pedunculo breviore. Antennarum pedunculus longitudine mediocri, articulo quarto mani- festo longiore quam articulo quinto. Segmentum ultimum caude breve, postice rotundatum, 4-spinosum. Uropoda caudam paulum superantia, lata; ramus uterque apice rotundato ; ramus interior ramum exteriorem longe superans, circiter tertia parte longior quam latior. — Long. 4,177. Descr. Corpus breve, perpaulum vel vix plus duplo longius quam latius, ali- quantum convexum; truncus cauda circiter duplo longior. Frons ante obscure bisinuata, in processum medium brevem producta. Oculi nigri, magni, dimidiam superficiem capitis occupantes; ocelli sat numerosi, nonnihil convexi. Lamina frontalis minor, pentagona, postice valde angustata. Antennule mediocres, pedunculo antennarum paulo longiores; pedunculus flagello brevior, articulo primo nonnihil longiore quam articulo secundo; flagellum c. 8-articulatum. Antenne breyes, circiter marginem posteriorem segmenti secundi trunci attin- gentes; pedunculus articulo quarto duplo longiore quam articulo tertio, nonnihil longiore quam articulo quinto; flagellum pedunculo paulo longius, c. 10-articulatum. Segmenta trunci longitudine sat inæqualia; segmentum primum capite perpaulo brevius, segmento quinto aliquanto longius. Epimera trunci fere ut in genere precedente formata, furcis binis solitis tamen ex parte in specimine paulum conspicuis. Pedes trium parium anteriorum inter se subsimiles, articulo quarto nonnihil dila- tato, articulo sexto latitudine media, nonnihil longiore quam articulo septimo, ungue longo vix breviore quam articulo septimo. 161 397 Pedes parium quattuor posteriorum simplices, mediocres, ut in Cirolanis sectionis secundæ constructi; pedes quinti paris pedibus sexti paris nonnihil breviores et pedibus septimi paris paulo breviores. Cauda brevis (segmentis duobus anterioribus in specimine obtectis). Segmentum ultimum caudæ paulum convexum, ad latera versus ante profunde excavato-impressum, breve, tamen non duplo latius quam longius, postice rotundatum, apice 4-spinoso, margine posteriore solum per partem minorem ciliato. Uropoda segmentum ultimum caude paulum superantia, lata; ramus uterque postice rotundatus, ciliis mediocribus vel longis instructus; ramus interior ramum exteriorem longe superans, circiter tertia parte longior quam latior, margine exteriore paulum excur- vato, margine interiore valde excurvato, ad apicem versus spinis nonnullis instructo. Scapus fere ut in Alcirona Krebsü. Color in specimine vetere dilute brunnescens, punctis nonnullis nigris rarius sparsis ornatus. Forekomst. Rio de Janeiro, 1 Ex. (Kroyer, 1/40). 3. Tachæa Sch. et Mein. (1879). Antennarum pedunculus sat elongatus. Partes oris vid. p. 314. Pedes parium trium anteriorum articulo quarto brevi, lato, articulo quinto perlato, in latere interiore in laciniam producto, articulo sexto valde dilatato, articulo septimo elongato, aliquanto longiore quam ungue mediocri. Pedes parium quattuor posteriorum articulo sexto valde dilatato, longiore quam articulo quinto vel articulo quarto, articulo septimo nonnihil elongato, aliquanto longiore quam ungue mediocri; pedes sexti et septimi parium articulo sexto non angustiore quam articulo tertio vel quarto. (Pars posterior corporis nuda. Pleopoda parium anteriorum ramo interiore nonnihil breviore et aliquanto angu- stiore quam ramo exteriore magno, margine fere nudo, ramo exteriore ramum interiorem omnino tegente, margine bene ciliato. Uropoda ramo interiore oblongo trigono, scapo poslice in processum longum, angustum producto.) Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd. V. 3. 51 398 162 Conspectus specierum. 1. Antennularum pedunculus ad apicem artieuli tertii pedunculi antennarum productus, articulo primo perdilatalo. articulum secundum longitudine æquante. Pedes parium trium anteriorum articulo sexto in latere interiore valde dilatato. 1. T° crassipes Sch. & Mein. 1. Antennularum pedunculus non ad apicem articuli tertii ‘pedunculi antennarum pro- ductus, articulo primo minus dilatato, articulum secundum longitudine superante. Pedes parium trium anteriorum articulo sexto in latere interiore minus dilatato. 2. T. incerta n. sp. 1. Tachæa erassipes Sch. & Mein. (Tab. VII, Fig. 4—4a; Tab. IX, Fig. 1—1 i.) Tachæa crassipes Schiødte & Meinert, De Cirolan. Ægas simul., Le. p. 285, Tab. IV, Fig. 2—7 [1879]. Specimina juniora verosim. feminea. Diagn. Corpus viz duplo et dimidio longius quam latius; truncus perpaulo vel viz longior quam cauda. Antennularum pedunculus apicem articuli tertii pedunculi antennarum attingens, articulo primo perdilatato perpaulo longiore quam latiore, superne in transversum profunde excavato, articulum secundum longitudine equante. Segmentum ultimum trunci margine posteriore valde ante arcuato. Pedes parium trium ante- riorum articulo sexto in latere interiore valde dilatato. Segmentum ultimum caude magnum, breviter lingulatum, postice subtruncatum, spinis 6 instructum. Uropoda caudam paulum superantia, ramo interiore ramum exteriorem nonnihil superante. — Long. 57. Descr. Corpus vix duplo et dimidio longius quam latius, minus convexum; truncus cauda perpaulo vel vix longior et paulo latior. Frons ante paulum bisinuata, processu medio brevi. Oculi parvi, nigri: ocelli parvi, paulum convexi. Lamina frontalis sat parva, multo longior quam latior, ante libera. rotundata. Antennule paulum ultra apicem articuli quarti pedunculi antennarum prominentes; pedunculus in diagnosi commemoratus; flagellum pedunculo nonnihil brevius, ubique erassitudine fere zquali, c. 7-articulatum, articulis 2 ultimis brevissimis. Antenne circiter marginem posteriorem segmenti quarti trunci attingentes, crassæ; pedunculus flagello paulo longior, elongatus, articulo quarto non duplo longiore quam 163 399 articulo tertio, perpaulo vel vix breviore quam articulo quinto; flagellum e. 13-artieulatum, ad basin sat crassum, ad apicem versus sensim tenuius. Segmenta trunci longitudine aliquantum inæqualia, a segmento secundo postice sensim breviora; segmentum primum capite paulo brevius et segmento quinto circiter duplo longius; segmentum septimum imprimis ad medium versus ante arcuatum. Epimera breviora, lata, postice per paria latiora, furcis binis solitis instructa. Pedes trium parium anteriorum breves, robusti, supra preterea commemorati. Articulus sextus in latere interiore valde dilatatus. Pedes parium quattuor posteriorum postice per paria longitudine crescentes, in diagnosi generis descripti. Segmenta quattuor anteriora caudæ postice latitudine valde crescentia; segmentum primum et partes laterales segmenti secundi a segmento ultimo trunci tecta. Pleopoda in diagnosi generis commemorata. Segmentum ultimum caude magnum, nonnihil convexum, nonnihil latius quam longius, lingulatum, postice subtruncatum, margine posteriore ciliis brevioribus et ad medium versus spinis 6 armato. Uropoda caudam paulum superantia; ramus uterque setis nonnullis apicalibus longioribus et ciliis marginalibus brevioribus et spinis nonnullis instructus; ramus interior ‘amum exteriorem nonnihil superans, oblonge triangulus, duplo longior quam latior; scapus angulo interiore in processum longum, per longitudinem majorem angustum, fere 2/3 marginis interioris rami interioris occupantem, producto. Color brunnescens, dorso corporis el antennulis et antennis maculis numerosis nigris valde ramosis, dense sitis ornatis. Forekomst. Jeg har undersogt 3 af Schiodte & Meinerts 8 Exemplarer, der ere tagne paa Koralklipper ved Singapore af E.v. Martens; de øvrige 5 Original-Exem- plarer opbevares i Berlins Museum. Naar Schiodte & Meinert I. c. p. 285 angive, at de have beskrevet Hannen og at (p. 286) deres 8 Exemplarer vare Hanner, saa maa denne Angivelse vist kun vere en Slutning, baseret paa, at Antennulernes første Led er stærkt udvidet ligesom hos Former, de indenfor Slegten Corallana have angivet at vere Hanner af Arter, hvis Hunner ikke havde nogen saadan Udvidelse af Antennulernes Grundled. Paa de af mig undersøgte Stykker har jeg imidlertid ikke kunnet finde nogen fri Appendix masculina, og jeg antager derfor, at Dyrene ere ikke voxne Hunner, thi hvis de skulde vere Hanner maatte de vere særdeles unge, saa at App. masculina endnu ikke kunde eftervises, og deres hele Bygning forekommer mig ikke at tyde paa, at de ere saa unge. ol’ 400 164 2. Tachwa incerta n. sp. (Tab. IX, Fig. 2—2b.) Specimen singulum aliquantum mutilatum, veros. femineum. Diagn. Speciei precedenti valde affinis, imprimis differt characteribus sequenti- ;; : Sh an à i bus. Truncus cauda aliquanto (haud dimidio) longior. Antennularum pedunculus cir- citer ad medium articulum tertium peduneuli antennarum ‘prominens, articulo primo nonnihil minus dilatato quam in specie pracedente, manifesto longiore quam latiore, articulum secundum longitudine superante. Segmentum ultimum trunci margine posteriore minus ante arcuato. Pedes parium trium anteriorum articulo sexto nonnihil longiore et in latere interiore minus dilatato quam in specie precedente. Uropoda ramo interiore non duplo longiore quam latiore, ramum exteriorem paulum superante. — Long. 7™™. Forekomst. Jeg har kun set 1 meget gammelt, defekt Exemplar uden Lokalitet. Det beskrevne Exemplar er lyst brunligt uden sorte Pletter, men om dette hidrører fra dets slette Konservations-Tilstand tor jeg ikke have nogen Mening. om. Baade Antennuler, Antenner og mange af Benene vare defekte, men jeg tror, at min Fremstilling alligevel vil vere tilstrækkelig til at kunne gjenkjende denne Form. 1. Arter, som med større eller mindre Sandsynlighed kunne henføres til denne Familie. 1. ga multidigita Dana, op. cit. n°2, Vol. If, p.768, Pl. 51, Fig. 3a—f. Denne Form, der er opstillet paa et 3 Lin. langt Exemplar fra Balabac-Strædet, Nord for Borneo, afviger ifølge Danas Fremstilling væsentligst fra min Alcirona insularis ved de bageste Kropringes og ved Halens stærkere Behaaring samt ved Formen af sidste Haleled. Senere har Miers, op. cit. n°3, p.511—12, PI. XXIV, Fig. 6— 11, fremstillet et Dyr, som han mener skal vere identisk med Dana’s Art, men som han fore- trækker at kalde Cirolana multidigitata. Han henfører den af White i op. cit. n°1, p.107 navngivne men ikke beskrevne «ga hirta n. sp.» fra Swan River (Ny Holland) som synonym. Den af Miers beskrevne Art bliver omtr. I Tomme lang og toges i Meyerina claviformis Gray fra Zebu (Philippinerne). Jeg tvivler imidlertid om, at Dana’s og Miers’s Arter ere identiske, men Miers’s Fremstilling er desværre endnu maadeligere end Dana’s. Et interessant Forhold er, at Dyret lever baade som temmelig ung og som voxen (eggeber. Hun) i og laver 165 wo 401 Gange i den nævnte Svamps Indre ved at gjennembryde Vevene; hvad der ogsaa har Interesse er, at Hovedet fortil i Midtlinien gaar ud i en noget fremad og opad bøjet Tap, og at denne Tap skal vere adskilligt lengere og mere opadbojet hos Hannen end hos Hunnen. — Miers angiver atter i op. cit. n° 7, p. 301 at have faaet et Exemplar, taget ved Albany Island og lidt afvigende i Uropodernes Form. Efter denne Angivelse antager jeg, at dette Exemplar maa tilhore en anden Art. liga eferata Dana, op. cit. n°2, p.766, Pl. 51, Fig. Ia—e. Et 3 Lin. langt Ex- emplar blev taget ved Rio de Janeiro «from a Serranus?». Ifølge Bygningen af de 3 forreste Ben er det ikke nogen Æga, men maa hore til en af de her behandlede Grupper, og jeg antager, at den er beslægtet med Lanocira. 2. Tvivlsomme Arter. Cirolana rugicauda Heller, der særlig er omtalt ovenfor paa Side 358, tilhører maaske denne Familie, men Henforelsen er dog meget usikker, væsentlig baseret paa sidste Haleleds Beklædning og især paa Beskrivelsen af de forreste Bens «Kløer». “liga novi-zealandiæ Dana, op. cit. n°2, p.767, Pl. 51, Fig.2 a—c. Et 3 Lin. langt Exemplar blev tagen ved New Zealand og «came up on bait while fishing». Det er sikkerlig ingen Ægide, og den hører maaske til denne Familie, men Dana's Fremstilling er dog alt for mangelfuld til at drage nogenlunde sikre Slutninger af. ); a. acies, D. lacinia mobilis, €. pars molaris, d. condylus articularius anterior, d!. condylus auxiliaris, e. condylus artieularius posterior, f. tendo museuli adductoris mandibulæ. 1d. Lacinia mobilis mandibulæ sinistræ, prona (72); @. pars cornea major, D. pars cornea minor, c. cutis mollis. 1e. Pars distalis «partis molaris», supina (22). 1f. Mandibula dextra maris, a latere superiore exhibita (2); b. lacinia mobilis, c. pars molaris, d. con- dylus articularius anterior, e. condylus articularius posterior. 1g. Maxilla sinistra primi paris in mare, supina (©); 1. articulus primus, 2!. lacinia articul. primi, 2] 2. articulus secundus, 3. articulus tertius. D 1h. Maxilla sinistra secundi paris in mare, supina (+2); 7. articulus primus, 2. articulus secundus, 1 1?. lacinia artic. secundi, 3. articulus tertius, /?. lacinia artic. tertii in ramos duos divisa. li. Maxillipes sinister in mare, supinus (hs 1. articulus primus, ep. epipodium, /?. lacinia artic. secundi, %. unci laciniæ artic. secundi, p. «palpus». 1k. Pars basalis maxillipedis sinistri, a latere interiore exhibita (++); 1. articulus primus, 72. lacinia artic. secundi, 3. articulus tertius. tl. Maxillipes sinister feminæ ovigeræ, supinus (?); 1. articulus primus, @. lamina vibrans artic. primis ep. epipodium cum lamina vibrante, 2. articulus secundus, 0. lamina vibrans artic. secundi, 12. lacinia artic. secundi. — Sete articulorum trium ultimorum palpi omissæ. I m. Articuli tres basales maxillipedis sinistri in femina ovigera, ciliis omissis, proni (7); significatio literarum ut in figura precedente. in. Pars media capitis, supina, mandibula dextra, maxillis, maxillipedibus omissis (c. 2); a. mandibula sinistra, paulum extrorsum flexa, a‘. lacinia mobilis mandibulæ, a“. pars molaris mandibule, b. acetabulum maxillæ primi paris, €. acetabulum maxillæ secundi paris, d. acetabulum maxil- lipedis, f. paragnatha («hypopharynx»), g. apertura pharyngis. 10. Pars distalis antennulæ in mare, a latere infero-posteriore exhibita (*). Setæ sensiles omnes delineatæ sunt. DEREN ER) s 27: 32 1p. Antennula speciminis valde juvenilis (Em) 409 Pes sinister secundi paris in mare, supinus, articulo primo (= epimero) omisso (8) Pes sinister quinti paris in mare, supinus, articulo primo omisso (§). Pes sinister septimi paris in mare, supinus, articulo primo omisso ($) 8). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (3); uw. unci, @ appendix masculina. «J. : . . Pleopodum sinistrum seeundi paris in mare: valde juvenili (long. 11mm.), supinum (3) - . we Pars posterior caudw in mare, prona (2). Cirolana hirtipes H. Milne-Edw., mas verosimiliter adultus (2) Mas, a latere dextro exhibitus. Pc "or ti 4 13 Pars anterior capitis, supina (ok Pes sinister secundi paris in mare, supinus ($). Pes sinister quinti paris, supinus (8). Pes sinister septimi paris, supinus ($). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare verosimiliter adulto, supinum (8) Pars posterior caudæ in mare, ramis ciliorum omissis, prona (2). Cirolana neglecta un. sp., femina subadulta, non ovigera, a latere dextro exhibita, punctis omnibus omissis (paulv plus quam i). Pars posterior caudæ in femina, prona (+2). Tab. II. Cirolana neglecta n.sp., pes sinister secundi paris in femina, supinus (2) Pes sinister quinti paris, supinus (9). Pes sinister septimi paris, supinus (?). Cirolana gracilis n. sp., mas adultus, punctura ex parte majore omissa (2). Mas, a latere dextro exhibitus. Pars anterior capitis in mare, supina (+). Pes sinister secundi paris in mare, supinus (vix +), Pes sinister quinti paris, supinus (vix 2). Pes sinister septimi paris, supinus (vix N. Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (=). Pars posterior caude in mare, prona (2). Vr ola: xcimia n. sp., femina non ovigera, punctura delineata (pau s quam 2). Cirolana eximia n f non ovige unctura delineata (paulo plu 2 Femina, a latere dextro exhibita. Pars anterior capitis in femina, supina (>). Pes sinister primi paris in femina, supinus (=). AT Re in : 15 Pes sinister quinti paris, supinus (+2). Pes sinister septimi paris, supinus (2). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (3). Uropodum sinistrum in femina, pronum (7). Cirolana concharum (Stimps.), femina non ovigera, punctura minuta omissa (paulo plus quam 2). Femina, a latere dextro exhibita. Antenna sinistra in femina, supina (2). Pes sinister secundi paris in femina, supinus ($). Pes sinister quinti paris, supinus ($). Pes sinister septimi paris, supinus ($). Pars posterior caude in femina, prona (2). 410 Fig 5. = Aas as 2 174 Cirolana sulcata n. sp., mas adultus, punctura ex parte majore omissa (3). Pars anterior capitis in mare, supina (=). Pes sinister secundi paris in mare, supinus (=). 2, dec à . . nine = . 15 Pes sinister quinti paris, supinus (EI). Pes sinister seplimi paris, supinus (2). Pars posterior caudæ in mare, prona (+). . . gs . . 14 Cirolana parva n. sp. pars anterior capitis in mare, supina (+>). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (=). Pars posterior caudæ in mare, prona (4°). Sie Tab. IH. Cirolana parva n.sp., mas adultus, punetura omissa (4). Mas, a latere dextro exhibitus. . Pes sinister secundi paris in mare, supinus (=). Pes sinister quinti paris, supinus (=). Pes sinister septimi paris, supinus (7). Cirolana californica n. sp., femina ovigera, punctura ex parte majore omissa (vix 4). Femina, a latere dextro exhibita. Pars anterior capitis in femina, supina (3). Pes sinister secundi paris in femina, supinus (=). Pes sinister quinti paris, supinus (=). Pes sinister septimi paris, supinus (=). Pars posterior caude in femina, prona (+). Cirolana Cranchit Leach, mas adultus, punctura minuta omissa (e. 3). Mas, a latere dextro exhibitus. Pars anterior capitis in mare, supinus (7). Pes sinister secundi paris in mare adulto, supinus (=). Pes sinister quinti paris, supinus (+2). Pes sinister septimi paris, supinus (3). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare, supinum (2). Pars posterior caude in mare adulto, prona (>). Spine imprimis in ramo exteriore uropodorum a ciliis densissime sitis obtectæ. Specimen femineum juvenile, punctura omissa (3). Pars posterior caude in specimine femineo juvenili (4°). Cirolana elongata H. Milne-Edw., mas adultus, punctura delineata (2). Mas, a latere dextro exhibitus. Pars anterior capitis cum angulis anterioribus magnis segmenti primi in mare, supina (+). Sete plumose prope oculum sinistrum et in antenna sinisira omissæ. a. cornu lamin frontalis. Pars distalis mandibulæ sinistræ in mare, prona (=); p. pars basalis palpi: Maxilla sinistra primi paris, supina (2). Maxilla sinistra secundi paris, supina (=). Maxillipes sinister, supinus (4); 12. lacinia articuli secundi. Pes sinister secundi paris in mare, supinus (2). Fig. 38. 4. 4a. 4b. 4C. 411 Pes sinister quinti paris, supinus (+3). Pes sinister septimi paris, supinus (+). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum ($). Uropodum sinistrum in mare, pronum ($). Cirolana minuta n. sp., mas adultus, punctura omissa (7). Mas, a latere dextro exhibitus. f Pars anterior capitis in mare, supina (=); a. cornu laminæ frontalis. Pleopodum sinistrum seeundi paris in mare adulto, supinum (=). Pars posterior caude in mare, prona (vix +). Tab. IV. Cirolana minuta n. sp., mandibula sinistra in femina, supina (>). Maxilla sinistra primi paris, supina (+). Maxilla sinistra secundi paris, supina >). Maxillipes sinister, supinus (+). Pes sinister secundi paris in femina, supinus (7). Pes sinister quinti paris, supinus (=). Pes sinister septimi paris, supinus (2). Cirolana japonica n. sp., mas adultus, punctura omissa (3). Mas, a latere dextro exhibitus. Pars anterior capitis in mare adulto, oculis omissis, supina =); a. lamina frontalis, 6. clypeus, c. labrum. Mandibula sinistra in mare, supina (2 5 Maxilla sinistra primi paris, parte basali omissa, supina (2). Maxilla sinistra secundi paris, supina (=). Maxillipes sinister, parte basali omissa, supinus (=). Pes sinister secundi paris in mare adulto, supinus (2). Pes sinister quinti paris, supinus (+>). Pes sinister septimi paris, supinus (2). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (=). Pars posterior caude in mare, prona (=). Cirolana spheromiformis n. sp., femina non ovigera, haud adulta, punctura omissa (e. >). Femina, a latere dextro exhibita. Pars anterior capitis in femina, supina (=). Pes sinister secundi paris in femina, supinus (=). Pes sinister quinti paris, supinus (72). Pes sinister septimi paris, supinus (=). Pleopodum sinistrum secundi paris in femina, supinum (72). . . : 35 Pars posterior caudæ in femina, prona (7). Cirolana orientalis Dana, femina subadulta (lam. ovig. in evol.), punctura ex parte majore omissa (7). \ Femina, a latere dextro exhibita. Pars anterior capitis in femina, supina (72). se . . . > . . 10 Pes sinister secundi paris in femina, supinus (+). Fig. RR > or on oy O1 oo» nw © © Lape tine us par = 176 Pes sinister quinti paris, supinus (=). Pes sinister septimi paris, supinus (2). Pars interior articuli quarti in pede sinistro quinti paris, supina (4). Pleopodum sinistrum primi paris in femina, supinum (2). Pars posterior caudæ, in femina, prona (2). Conilera cylindracea (Mont.), femina fere adulta sine laminis ovigeris, punctura delineata (3) Pes sinister secundi paris in femina fere adulta, supinus (7). Pes sinister quinti paris, supinus ($). Pes sinister septimi paris, supinus (2). Tab. V. Conilera cylindracea (Mont.), femina fere adulta, a latere dextro exhibita (8). Pars anterior capitis in femina, supina (=). Pleopodum sinistrum primi paris in mare adulto, supinum (?). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (?). Pars posterior caude in femina fere adulta, prona (7). Eurydice elegantula n. sp., femina ovigera, punctura omissa (+2). Mas adultus (+). Mas adultus, a latere dextro exhibitus. Pars anterior capitis in mare adulto, supina (vix 24); a. cornu laminæ frontalis, b. clypeus. Mandibula sinistra e femina magna sine laminis ovigeris, supina (=). Pars molaris mandibule (2), Pars distalis mandibulæ dextræ, prona (); b. lacinia mobilis, e. pars molaris. Maxilla primi paris in femina magna sine laminis ovigeris, supina (2). Maxilla sinistra secundi paris, supina (+). Maxillipes sinister in femina magna sine laminis ovigeris, supinus (2). Pars media maxillipedis sinistri, prona (5); 2. artieulus secundus, 22. lacinia artic. secundi, 3. articulus tertius. Maxillipes sinister in femina laminis ovigeris ornata, supinus (2); a. lamina vibrans artic. primi, ep. epipodium cum lamina vibrante, b. lamina vibrans artic. secundi. 2m. Antennula sinistra in femina, supina et ex parte minore a latere posteriore exhibita (+). Antennula sinistra in mare adulto, supina et ex parte minore a latere posteriore exhibita (2). Pes sinister secundi paris in mare adulto, supinus (12), = Era = ee (MG Pes sinister quinti paris, supinus (=). aa a 2: = 16 Pes sinister septimi paris, supinus Gale Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (2). Pars posterior caudæ in mare adulto, prona (12). Pars posterior caudæ in femina ovigera, prona (2). . . . . & . =) = 12 Eurydice inermis n. sp., specimen junius, a latere dextro exhibitum (=). Pars anterior capitis in femina ovigera, supina (2). Pes sinister secundi paris in femina ovigera, supinus (27). Pes sinister quinti paris, supinus (SE Pes sinister septimi paris, supinus (2 3 LC Fig. 3 e. — 3f. Fig. 4. — 4a. — 4b. — Ac. — 4e. 413 Pars posterior caudæ in specimine juniore, prona (22). Margo posterior segmenti ultimi caudæ (2°). Eurydice spinigera n.sp., pes sinister secundi paris in mare adulto, supinus (7). Pes sinister quinti paris, supinus (7). Pes sinister septimi paris, supinus (=). Pars posterior caudæ in mare adulto, prona (12). Tab. VI. Eurydice spinigera n. sp., mas adultus, a latere dextro exhibitus (12). Pars anterior capitis in mare adulto, supina (2). Antennula sinistra in mare adulto, supina et ex parte minore a latere posteriore exhibita (2). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (=). Eurydice orientalis n. sp., mas adultus (+). Mas adultus, a latere dextro exhibitus. Pars anterior capitis in mare adulto, supina (22). Antennula sinistra in mare adulto, supina et ex parte minore a latere posteriore exhibita (=). Pars major sete apicalis longissimæ omissa. Pes sinister secundi paris in mare adulto, supinus (=). Pes sinister quinti paris, supinus (+). Pes sinister septimi paris, supinus (2). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (>) Pars posterior caudæ in mare adulto, prona (+). Burydice pulchra Leach, femina major sine laminis ovigeris (e. $). Femina major, a latere dextro exhibita. Pars anterior capitis in femina majore sine laminis ovigeris, supina (=). Antennula sinistra in femina majore sine laminis ovigeris, supina et ex parte minore a latere posteriore exhibita (22). Antennula sinistra in mare adulto, supina et ex parte minore a latere posteriore exhibita (=). Pes sinister secundi paris in femina majore sine laminis ovigeris, supinus (= i Pes sinister quinti paris, supinus (="). Pes sinister septimi paris, supinus (=). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (=). Pars posterior caudæ in femina majore sine laminis ovigeris, prona Corallana tricornis n sp., femina ovigera, punctura omnino omissa ( Mas adultus, a latere dextro exhibitus (e. ++). 2 Pars anterior capitis in femina ovigera, supina (3); a. lamina frontalis, D. clypeus, €. labrum, d. mandibula. Mandibula sinistra in mare, supina (3); d. condylus artieularius anterior, e. condylus artieularius posterior. AN *- Pars distalis mandibulæ sinistræ, supina et ex parte a latere anteriore exhibita, prona (=). Pars distalis mandibule sinistræ, prona (2); a'. apex primus aciei, a?. apex secundus aciei, à. im- pressio longa et profunda ad recipiendum apicem magnum mandibule dextræ. Vidensk, Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 53 Fig. 1. 1a. 1b. fle: id. 2 ig. 3. 3a. 178 Mandibula dextra, parte basali omissa, prona (2); a’. apex primus aciei. Maxilla sinistra primi paris in mare, supina (=): 1. articulus primus, À. lacinia artic. primi, 2. articulus secundus, 3. articulus tertius. Maxilla sinistra secundi paris in mare, supina =). Maxillipes sinister in mare, supinus (=). Pars media maxillipedis sinistri in mare, prona (ec. 22); 2. articulus secundus, 17. lacinia artic. secundi, 3. articulus tertius. Maxillipes sinister in femina ovigera, supinus (4): 1. articulus primus, a. lamina vibrans artic. primi, ep. epipodium cum lamina yibrante, 2. articulus secundus, b. lamina vibrans artic. secundi. Caput maris adulti, pronum (=). . Antennula sinistra in femina subadulta, supina et ex parte minore a latere posteriore exhibita (2). Pars basalis flagelli in antenna dextra maris, prona (2). Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (2 : Pars posterior caudæ in mare adulto, prona (=). Tab. VI. ‘ Corallana tricornis n. sp., pes sinister secundi paris in mare, supinus (12), Pes sinister quinti paris, supinus (+). Pes sinister septimi paris, supinus (=). Partes interiores oris, supine (= ; k. paragnatha, l. cutis interior labri, ante flexa, m. cutis aper- turam pharyngis cingens, p. apertura pharyngis. Partes interiores oris in figura precedente exhibite, paragnathis omissis, supine (2); 1. eutis in- terior labri, m. cutis aperturam pharyngis eingens, p. apertura pharyngis, g. processus supra aperturam in pharynge situs. Corallana quadricornis n. sp., caput in mare haud adulto, pronum (=). Corallana subtilis n. sp., specimen juvenile in mutatione cutis captum, punctura omissa (+). Specimen juvenile in mutatione cutis captum, a latere dextro exhibitum. Caput speciminis juyenilis, setis antennularum et antennarum omissis, pronum (72). Pars posterior caudæ in specimine juvenili, prona (5. Corallana antillensis n. sp., mas adultus, a latere dextro exhibitus (ec. 1). Caput maris adulti, setis antennularum omissis, pronum IS). Cauda maris adulti, prona (vix $). Caput maris adulti, setis antennularum omissis, supinum =: a. lamina frontalis, d. mandibula, e. maxilla primi paris, g. maxillipes, g!. epipodium maxillipedis, A. paragnathum, A!. pars antero-exterior paragnathi, partem mediam, postero-interiorem mandibulæ tegens. Mandibula sinistra maris adulti, palpo omisso, supina (vix = E Mandibula sinistra, parte basali omissa, prona (vix =); d. condylus articularius anterior, d!. con- dylus auxiliaris, 7. impressio longa et profunda ad recipiendum apicem mandibulæ dextræ- Maxilla sinistra secundi paris, supina (vix =), Pars distalis maxillæ sinistræ secundi paris, supina (=). Pars distalis maxillæ sinistræ secundi paris, prona (=). Maxillipes sinister in mare adulto, supinus (vix =). — th bien Fig. la. Corallana fissicauda n. sp., femina sine laminis ovigeris, punctura omissa (4). Femina in figura precedente exhibita, a latere dextro visa. Pes sinister septimi paris in femina, supinus (7). Apex articuli ul in pede sinistro septimi paris, setas mirabiliter ramosas gerens, pronus (28). Pars posterior caude in femina, prona (=). — Ramus interior uropodi sinistri spinis marginalibus nullis instructus. Corallana oculata n. sp., mas adultus, a latere dextro exhibitus (2). Caput maris adulti, setis antennularum omissis, pronum (+2). Cauda maris adulti, prona (vix 3). Corallana Warmingii n. sp., mas (? vix) adultus (vix 4). Mas, a latere dextro exhibitus. Caput maris (? vix) adulti, pronum (=). Pes sinister secundi paris in mare, supinus (c. 2). Pes sinister quinti paris, supinus (c. 10), Pes sinister septimi paris, supinus (c. 10), Pars posterior caudæ in mare, prona (3). Tab. VII. Alcirona Krebsii n. gen., n. sp., femina maxima, laminis ovigeris nullis instructa, punetura omissa (5). Femina in figura præcedente exhibita, a latere dextro visa. Caput feminæ maxime, laminis ovigeris nullis instructe, supinum (2); a. lamina frontalis, b. clypeus, c. labrum, d. mandibula, e. maxilla primi paris, f. maxilla secundi paris, g. maxil- lipes, À. paragnatha. Mandibula sinistra feminæ maximæ, supina (2); d. condylus articularius anterior, e. condylus ar- ticularius posterior. Pars distalis mandibulæ sinistræ in femina parva, prona (2). Pars distalis mandibulæ dextræ in femina parva, supina (=). Pars distalis mandibulæ dextræ in figura præcedente exhibita, prona (>). Maxilla sinistra primi paris in femina maxima, supina (22). Maxilla sinistra secundi paris in femina maxima, supina (2). Maxillipes sinister in femina maxima, supinus (22). 19 Pes sinister secundi paris in femina maxima, supinus (—). Pes sinister quinti paris in femina maxima, supinus (+2). im. Pes sinister septimi paris in femina maxima, supinus (+). 5 2a. 2b. 2c. 2d. Mas adultus (+2). 4 Mas adultus, a latere dextro exhibitus, setis omissis. Pleopodum sinistrum secundi paris in mare adulto, supinum (7). Pars posterior caudæ in mare adulto, prona (2). Alcirona insularis n. sp., mas junior, punctura omissa (+2). Mas junior, a latere dextro exhibitus. Caput maris junioris, supinum (22); c. labrum. Mandibula sinistra maris junioris, supina (7). Maxilla sinistra primi paris in mare juniore, supina (7. et 180 ig. 2e. Maxilla sinistra secundi paris in mare juniore, supina (=). 2f. Maxillipes sinister in mare juniore, supinus (=). g. Pars distalis pedis sinistri primi paris in mare juniore, supina (22). 2h. Pes sinister secundi paris, supinus (22). 2i. Pars distalis pedis sinistri tertii paris, supina (=). 2k. Pes sinister quinti paris, supinus (2). 1. Pes sinister septimi paris, supinus (=). 2m. Pleopodum sinistrum secundi paris in mare juniore, supinum (>). 2n. Pars posterior caudæ in mare juniore, prona (2). ig. 3. Lanocira Kroyeri n. gen., n. sp., femina junior, punctura omissa 1. 3a. Femina junior, a latere dextro exhibita. 3b. Pars anterior capitis in femina juniore, supina (=); a. lamina frontalis, D. clypeus, c. labrum. 3c. Mandibula sinistra in femina juniore, supina (=); a. acies, D.(?) lacinia mobilis, c.(? pars molaris, d. condylus articularius anterior. 3d. Maxilla sinistra primi paris, supina (=); 1. artieulus primus, J’. lacinia artic. primi, 2. articulus secundus, 3. articulus tertius. 3e. Maxilla sinistra secundi paris, supina =): 1. arliculus primus, 2. articulus primus, 12. lacinia | artic. tertii. 3f. Maxillipes sinister, supinus (2). 3g. Pes sinister secundi paris in femina juniore, supinus (=). 3h. Pes sinister quinti paris, supinus (=). 3i. Pes sinister septimi paris, supinus (2). 3k Pleopodum sinistrum secundi paris in femina juniore, supinum (=). 31. Pars posterior caudæ in femina juniore, prona ). g. 4 Tachea crassipes Sch. & Mein., specimen junius verosim. femineum, punctura omissa (4). 4a. Specimen junius, a latere dextro exhibitum. Tab. IX. 1. Tachæa crassipes Sch. & Mein., caput speciminis junioris in tabuia precedente exhibiti, maxilli- pedibus nonnihil inter se remotis, supinum (>); a. lamina frontalis, 6. clypeus, d. mandibula, e. maxilla primi paris, 7, mavilla secundi paris, g. maxillipes. À. paragnatha. 1a. Mandibula sinistra in specimine juniore, supina =); b.(2) lacinia mobilis, d. condylus artieularius anterior. (EX ib. Maxilla sinistra primi paris, supina (==). ic. Maxilla sinistra secundi paris, supina (=). id. Maxillipes sinister, supinus (2). 1e. Paragnatha, supina (©). if. Pes sinister secundi paris speciminis in tabula precedente exhibiti, supinus (2°). ig. Pes sinister quinti paris, supinus (=). ih. Pes sinister septimi paris, supinus (=). 1i. Pars posterior caude speciminis in tabula precedente exhibiti, prona a. ie.2. Tachæa incerta n.sp., pars anterior capitis cum pedunculis antennularum et antennarum in speci- Fi = se = à ~— SiS mine juniore femineo, supina (vix +). 181 ALT .2a. Pes sinister tertii paris in specimine juniore, supinus a. 2b. Pars posterior caudæ in specimine juniore, prona (2). g. 3. Barybrotes agilis Sch. & Mein., femina maxima sine laminis ovigeris, punctura minuta omissa (vix 2). 3a. Femina maxima, a latere dextro exhibita. 3b. Caput feminæ maximæ, a latere dextro exhibitum ($); b. clypeus, d. mandibula, d’. palpus mandi- bule, e. maxilla prim: paris, g. maxillipes. 3c. Caput femine maximæ (non ovigeræ), supinum (3); a. lamina frontalis, b. elypeus, d. mandibula, e. apex maxillæ primi paris in apertura oris pone apicem mandibule, g. maxillipes, g!. epipo- dum maxillipedis. 3d. Clypeus et labrum, a latere anteriore visa (4); a. elypeus, b. labrum, c. cutis mollis in latere clypei et labri. 3e. Pars distalis elypei et labrum, a latere posteriore exhibita (4); significatio litterarum ut in figura precedente. 3f. .Mandibula sinistra in femina maxima, supina (4); b. lacinia mobilis, e. pars angulata posterior, in fig. 3 c sub integumentis capitis occulta. 3g. Maxilla sinistra primi paris in femina maxima, supina (4); 1. articulus primus, l!. lacinia artic. primi, 2. articulus secundus, 3. articulus tertius. 3h. Maxilla sinistra secundi paris in femina maxima, supina a. 3i. Maxillipes sinister in femina maxima, supinus 5; 1. articulus primus, Z—5. articulus artieulis quarto et quinto coalitis formatus, ep. epipodium. 3k. Pars distalis maxillipedis sinistri, supina et ex parte minore a Jatere exteriore exhibita (3); 6. articulus sextus. 31. Pars distalis maxillipedis sinistri, a latere exteriore et ex parte minore a latere superiore exhi- bita 5: 5. articulus quintus, 6. articulus sextus. 3m. Partes interiores oris, supinæ (7; h. paragnatha, m. cutis aperturam pharyngis cingens et cum cute interiore subapicali elypei conjuncta, p. apertura pharyngis. 3n. Antennula sinistra femine maximæ, supina et ex parte a latere posteriore exhibita (2). Sete sen- siles ex parte omissæ. 30. Pes sinister secundi paris in femina maxima, supinus ( 3p. Pes sinister quinti paris in femina maxima, supinus (§). 3q. Pes sinister septimi paris in femina maxima, supinus (8). 31. Pleopodum dextrum secundi paris in mare (?) adulto (#). 3s. Pars posterior caud in femina maxima,-prona (5); spina in latere interiore rami exterioris uropo- dorum prope apicem sita excisa. .4. Æga psora (L.), caput in femina majore non ovigera, supinum (2); c. labrum, d. mandibula, [77] f. maxilla secundi paris, g. maxillipes, g!. epipodium maxillipedis, %. paragnatha, p. antennula, q. antenna, q?. (??) squama antennæ. 4a. Caput in femina majore, a latere anteriore exhibitum (- ; D. elypeus. Signifieatio litterarum ceterarum ut in figura precedente. 4b. Clypeus et labrum in femina, a latere interiore exhibita FE a. cutis dura capitis, 0. clypeus, c. labrum, d. cutis submembranacea. 4c. Mandibula sinistra in femina majore, supina (2); d. condylus articularius anterior, e. condylus articularius posterior. 1 4d. Mandibula dextra, prona (=): N DEG QUE © . N © 4 : 10 4e. Maxilla sinistra primi paris in femina majore, supina (Eb a a Ce 5 a du à 5 - Den Fi . 56 4f. Pars apicalis laciniæ articuli tertii in maxilla sinistra primi paris, supina (Ga): 418 182 Fig. Fig. Fig. 4g. Maxilla sinistra secundi paris in femina majore, supina (>); 17. lacinia artic. seeundi, 2. lacinia artieuli tertii. . . ae . Q . . . 10 9 Can . . 4h. Maxillipes sinister in femina majore, supinus 7; 1. lacinia artic. seeundi. J R à 3 ane Å 10 Ai. Paragnatha et pars sternalis minor capitis, supina (+). Tab. X. 1. Rocinela Danmoniensis Leach, caput maris adulti, supinum (2)! «a. lamina frontalis, D. clypeus, c. labrum, d. mandibula, f. maxilla secundi paris, g. maxillipes, 9. antennula. — (Pars apicalis maxillipedum sæpius sub labro occulta est.) 1a. Clypeus et labrum speeiminis in figura precedente exhibiti, a latere anteriore visa (=); a. cly- peus, 6. labrum. k 1b. Mandibula sinistra in mare adulto, supina (2) ic. Pars apicalis mandibulæ sinistræ, supina (e. 25), a. acies, b. lacinia mobilis. 1d. Pars distalis mandibulæ sinistræ, prona (72); D. lacinia mobilis, c. pars molaris. 1e. Pars distalis mandibulæ dextræ in mare adulto, supina (=); b. lacinia mobilis, ¢. pars molaris. 1f. Sete in articulo secundo palpi mandibularis, supine (5). 1g. Maxilla sinistra primi paris in mare adulto, supina a. 1h. Maxilla sinistra secundi paris in mare adulto, supina (2). 1i. Maxillipes sinister in mare adulto, supinus (3); ep. epipodium, 7. musculus abductor partis distalis maxillipedis, s. muse. adductor partis distalis maxillipedis, (2. lacinia artic. secundi, ¢ muse. abductor partis ultimæ (articulis sexto et septimo inter se coalitis formate) maxillipedis, w. muse. adductor partis ultimæ maxillipedis. 1k. Pars apicalis maxillipedis sinistri, prona (Alp 5. articulus quintus, 6. articulus sextus, 7. articulus septimus cum artic. sexto coalitus. 11. Maxilla sinistra primi paris in femina ovigera, supina (2). 1m. Maxilla sinistra secundi paris in femina ovigera, supina (2). In. Maxillipes sinister in femina ovigera, supinus (2); 1. articulus primus, a. Jamina vibrans artic. primi, ep. epipodium cum lamina vibrante, db. lamina vibrans artic. secundi. .2. Rocinela signata Sch. & Mein., elypeus et labrum in mare adulto, a latere anteriore exhibita (2). 2a. Pars distalis mandibulæ sinistræ in mare adulto, supina (+). .3. Nerocila bivittata (Risso), caput maris, supinum’ (2); D. elypeus, d. mandibula, f. maxilla secundi paris, g. maxillipes. 3a. Clypeus et labrum in femina ovigera, a latere anteriore exhibita (=): a. elypeus, b. labrum. 3b. Mandibula sinistra in mare, supina (2). 3c. Mandibula sinistra, a latere interiore exhibita. 3d. Maxilla sinistra primi paris in mare, supina (33). 3e. Maxilla sinistra secundi paris in mare, supina EJ 3f. Maxillipes sinister in mare, supinus (22). 3g. Pars apicalis maxillipedis sinistri in mare, supinus (3). 4 evolutione; fig. 4 k pars oris in femina ovigera; fig. 41—40 partes oris in mare adulto: fig. 4 p —4t partes oris in pullo stadii II&; fig. 4 u—4 v pes et pleopodum in pullo stadii Idi) 4. Ceratothoa Banksü (Leach), caput feminæ magnæ non ovigeræ, maxillipedibus in evolutione, supi- num ($); b—e. clypeus-labrum, d. mandibula (ante in apertura oris prominens), f. maxilla secundi paris, g. maxillipes, %. paragnatha. AN. Fig 5. 5a. 419 Clypeus-labrum in femina non ovigera, a latere anteriore exhibita ($); a. elypeus, b. labrum. Mandibula sinistra in femina non ovigera, supina (})- Pars apicalis mandibulæ sinistræ in femina non ovigera, supina (=). Pars apicalis mandibulæ dextræ in femina non ovigera, supina (3°). Maxilla sinistra primi paris in femina non ovigera, supina (?); {!. lacinia artic. primi. Pars apicalis laciniæ articuli tertii in maxilla sinistra primi paris, supina (22). Maxilla sinistra secundi paris in femina non ovigera, supina (?). Pars distalis maxillæ sinistræ secundi paris, supina (2): Maxillipes sinister in femina magna non ovigera, supinus (2) Maxillipes sinister in femina ovigera, supinus (=); 1. artieulus primus, a. lamina vibrans artic, " primi, 2. articulus secundus, b. lamina vibrans artic. secundi. Caput in mare adulto, supinum (2); f. maxilla secundi paris, g. maxillipes. Mandibula sinistra in mare adulto, supina (=). Maxilla sinistra secundi paris in mare adulto, supina (22), Maxillipes sinister in mare adulto, supinus (22). Clypeus et labrum in pullo stadii Hdi, a latere anteriore exhibita (**). Mandibula sinistra in pullo stadii IIdi, supina (2). Maxilla sinistra primi paris in pullo stadii II&, supina (2). Maxilla sinistra secundi paris in pullo stadii Iti, supina (2°). Maxillipes sinister in pullo stadii Ild, supinus (24). Exopodium non bene definitum. Pes sinister quinti paris in pullo stadii Id, supinus (2). Pleopodum sinistrum secundi paris in pullo stadii MY, supinum (=). Cymothoa sp., pes sinister quinti paris in pullo natante minuto stadii Iti, supinus (22). Pleopodum sinistrum secundi paris in pullo natante minuto stadii IIL, supinum (e. =). 420 184 Cirolanidæ. Contribution å la connaissance de quelques familles de Crustacés Isopodes, Par H. J. Hansen. Les descriptions détaillées des genres et des especes étant donnees en latin, il ne sera pas question ici de cette partie de la derniére moitié de mon mémoire, car les remarques relatives a la biologie, å la synonymie, etc. ne se pretent pas bien a étre résumées, et elles ne seront sans doute pas non plus difficiles å lire. L'exposé fait en danois de la structure de la bouche chez les 6 familles que j'ai établies peut bien être considéré comme la partie la plus importante de mon mémoire, dont il remplit 35 pages (p. 275— 310); jy décris en détail la forme des différents organes buccaux, leurs mouvements et leur coopération, et dépeins ensuite la manière de vivre des animaux de chaque famille, en tant qu'elle est connue, en la mettant en connexion avec la structure de la bouche. Mais ceux des caractères tirés de la structure de la bouche qui se prétaient le mieux à un emploi systématique, ayant été plus tard réunis et présentés en latin dans un Con- spectus systematicus (p. 310—316), et en outre dans une petite Tabula analytica familiarum (p.317), ces deux apercus systématiques peuvent jusqu'à un certain point remplacer un résumé, et aussi ne mentionnerons-nous ici que quelques-uns de ces caractères. Je me bornerai dans ce résumé à exposer les principales particularités de la première partie de mon mémoire, le plus souvent cependant sans entrer dans de grands développements, de sorte qu'il ne pourra nullement tenir lieu d'une étude du texte danois, mais en récapitulera plutôt les différentes parties en y renvoyant le lecteur. Dans Pintroduction (p. 239—245), je rends compte de l'étendue et de la nature ‚de mes matériaux; j'ai examiné 34 espèces, dont 24 sont regardées comme nouvelles; on en connaissait auparavant environ 43 des 4 premières familles. Je donne ensuite le plan de mon mémoire et enfin celui des figures en indiquant comment il a été procédé pour leur exécution. C'est ainsi, par exemple, que j'ai toujours, autant que possible, représenté > les 2°, 5° et 7° paires de pattes thoraciques des différentes espèces (choix dont 185 . 421 j'indique les raisons), que j'ai toujours employé le même grossissement pour les pattes du même animal, toujours pris les pattes du côté gauche et toujours — représenté les pattes vues d’en bas et les mêmes pattes des différentes espèces à peu près dans la même position; le mème principe a été suivi pour la représentation des membres buccaux. L’exécution des figures a souvent été assez compliquée; les con- tours des pattes, par exemple, ont été dessinés d'après des préparations dans la glycérine, à la lumière transmise, mais pour que les ombres fussent bien rendues, on a débarrassé les pattes de la glycérine qui y adhérait, après quoi on les a dessinées à la lumière directe sous un microscope de dissection. Dans Papergu historique (p. 246—255), sont indiquées toutes les anciennes publica- tions et, pour la période de 1866—1889, seulement les plus importantes. L'ouvrage de M. J.G.Schiodte, KrebsdyrenesSugemund, est examiné en detail, je relève surtout ses belles recherches anatomico-physiologiques, mais ne puis admettre sa systématique ni une partie de ses considérations morphologiques; en ce qui concerne la morphologie des mä- choires et des pattes-mächoires, je suis (sauf une petite correction dans le 3° article de la 2° paire de mächoires) l'interprétation que j'ai exposée, p. 509—510, dans mon résumé des résultats que l'expédition de la «Dijmphna» a eus pour la zoologie et la botanique. — Le Bathynomus A. Milne-Edw. est l'objet d’une discussion détaillée (p. 252); d'après la figure de M.Filhol, les organes buccaux et les pattes thoraciques ont, chez ce genre, absolument la méme structure que chez un Cirolana à pattes sans poils natatoires; c'est pourquoi je le rapporte à la famille des Crolanidæ et ne puis me ranger à l'opinion de M. A.Milne-Edwards, qui en fait le type d'un nouveau groupe, les «Cymothoadiens branchiferes». Je fais observer (p.253) qu'il est impossible de se former une idée claire du genre Corilana, établi per M. Kossmann, et je montre plus loin (p. 254—255) qu'il est douteux que le genre Anuropus Bedd. appartienne à la division des Isopodes dont il est question ici, car les organes buccaux sont représentés d'une manière beaucoup trop incomplète, et notamment la 1” paire de pattes thoraciques et. les uropodes diffèrent beaucoup des mêmes organes chez tous les autres animaux appartenant aux Cirolanide—Cymothoide. — Enfin je mentionne les Contributions à l'étude des Bopyriens, 1887, de MM. Giard et Bonnier, parce que ces auteurs y ont montré, sur des femelles vivantes ovifères du Cepon elegans, que les pattes-mächoires sont transformées de la même manière, mais à un bien plus haut degré que chez les formes examinées dans ce travail, et, en même temps, que la première paire de lames incubatrices est constamment en mouvement et produit par là un courant d'eau dans la cavité incubatrice. Déjà avant la publication de l'ouvrage des deux auteurs français, j'avais trouvé, chez les femelles ovifères du groupe Cirolana— Cymo- thoa, les grandes formations de lamelles sur les pattes-mächoires et supposé qu'elles devaient servir à faire passer de l'eau fraiche dans la cavité incubatrice, hypothèse que confirment les observations de MM. Giard et Bonnier sur le Cepon elegans. Je dois du reste rectifier ici une erreur que j'ai commise p.255 et 265. J'avais en effet compris du texte du MM. Giard et Bonnier que le courant d'eau était dirigé d’arriere en avant, par conséquent que l'eau sortait de la cavité incubatrice sous l'impulsion des pattes-mächoires et de la 1" paire de lames incubatrices; mais en regardant plus tard la position que le Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 3. 54 422 188 Grapsicepon Edwardsii Giard & Bonn. et les espèces du genre Gyge occupent sous la carapace d'un Crustacé Decapode, et en la comparant avec l'exposé des deux auteurs dont il s'agit, je reconnus que mon interprétation était inexacte et que le courant est dirigé d'avant en arrière, ou, en d'autres termes, que l’eau est poussée dans la cavité incubatrice. Je n'ai pas observé la direction du courant d'eau chez les Cirolanide— Cymothoide , mais puis citer ce qui suit. Le Cymothoa eremita (Brünniche), qu'on rencontre souvent dans la cavité buccale du Stromateus paru (Bloch), et qui se tient sur la langue de te poisson, tourne toujours, semble-t-il, d'après les observations de MM. Brünniche et Lütken (voir Lütken, op. cit. n° 2), la tete en avant vers le museau du poisson, et il en est de même du Glossobius linearis (Dana) d'après un exemplaire du musée; comme l'eau cireule d'avant en arrière dans la bouche du poisson, il'est fort vraisemblable qu'elle circule dans le même sens dans la cavité incubatrice du Cymothoa. Si cette conclusion est exacte, il y a tout lieu de supposer que le courant d’eau est aussi dirigé d'avant en arrière chez les Cirolanide et les autres familles. Dans le chapitre intitulé systématique et caractères (p. 263—274), je donne d'abord un aperçu des caractères qui sont communs aux Cirolanide—Cymothoide dans le squelette tégumentaire. Je montre ensuite que c'est la structure très différente de l'abdomen et des pattes abdominales chez les Isopodes qui fournit la plupart des meilleurs caractères pour la division de cet ordre en groupes. Lorsqu'il est question de ces animaux, il faut cependant ne pas oublier que, dans la famille des Cymothoide, le «Pullus stadii II» (Sch. & Mein.) a l'abdomen construit comme chez les Ægidæ, par exemple, tandis que, chez les exemplaires plus grands de la même famille, les pattes abdominales sont dépour- vues de cils et les crochets du bord interne du pédoncule des pléopodes ne peuvent servir ou font défaut. Les caractères les plus importants du groupe Cirolana— Cymothoa sont les suivants: 1) l'abdomen se compose de 6 segments non soudés entre eux, et dont le dernier est grand: chaque pléopode comprend un large pédoncule dont le bord interne, au moins chez les 4 paires antérieures, est muni de crochets, et 2 grandes rames foliacées, en général forte- ment ciliées et dont les dimensions ne diffèrent pas beaucoup: les uropodes sont formés dun pédoncule et de deux rames mobiles, lamelli- formes et inarticulées qui, avec le dernier segment de l'abdomen, con- stituent un éventail natatoire ordinairement bien garni de cils. 2) Les > premiers segments thoraciques portent des lames incubatrices bien développées. 3) Chez la femelle ovifere, le 1% article de la patte-mä- choire, son épipodite et la face externe de son 2° article sont munis de grandes ou très grandes lamelles plus ou moins ciliées. 4) Le segment thoracique antérieur est libre. 5) Le pédoncule des antennes ne se compose que de 5 ou 4 articles (il n'est pas nettement distinct du flagellum chez les Cymothoidæ). 6) La «pars molaris» des mandibules ne sert jamais à la mastication, et elle est souvent très réduite ou manque; les palpes sont bien développées. 7) Le 1° article des pattes thoraciques, dans les 6 segments thora- 187 423 ciques postérieurs, est développé comme un épimére délimité par une suture ou une articulation peu mobile. 8) Sauf la présence de lap- pendix masculina, il n'y a entre le male et la femelle, aucune différence dans la structure des pléopodes; cet appendice est étroit, sans cavité intérieure et sétend jusqu'à l'extrémité de la rame interne ou un peu en dehors. Vient ensuite (p. 266—268) la division du groupe Cirolana—Cymothoa en 6 familles. Cette division est surtout basée sur la structure de la bouche, qui chez chaque famille isolément est assez uniforme, mais très particulière chez chacune des 5 premières familles, et les différences extérieures sont même si grandes qu'il suffit de regarder avec une assez forte loupe la face inférieure de la tête dun individu pour déterminer aussitôt la famille à laquelle il appartient (si toutefois on n'est pas tombé sur une femelle à grandes lames incuba- trices qui recouvrent en très grande partie les organes buccaux). La 6° famille, celle des Cymothoidæ, se rapproche beaucoup par la structure de la bouche du genre Rocinela de la famille des Ægidæ, mais s’en distingue par les griffes des 4°, 6° (et 7°) paires de pattes thoraciques. Ces «griffes» sont formées chacune du 7° article et de la griffe elle- méme, et ces deux éléments semblent souvent n'en former qu'un. J'ai du reste constaté que le développement du 7° article et de Ja griffe, surtout des pattes des paires antérieures chez toutes les familles, est en relation avec la structure de la bouche et, conjointement avec celle-ci, fournit pour les familles les meilleurs caractères tirés du squelette tégu- mentaire. Le changement de sexe ne se produit certainement que chez les Cymothoide. Dans les pages suivantes (p.268-—274), je rends compte des autres nombreuses différences qu'on peut trouver dans les diverses parties du squelette tégumentaire; j'en examine la nature et cherche si elles peuvent servir à distinguer les sexes ou fournir des caractères spécifiques ou même génériques. Relativement à l'appendix masculina (p. 268), je fais remarquer qu'il apparaît de très bonne heure avant que les animaux soient à demi développés et même plus tôt (Cymothoide), mais qu'il n’est complètement deve- loppé que lorsque l'animal est adulte, et que sa forme fournit souvent un bon caractère spécifique, quelquefois même, conjointement avec son origine, des caractères génériques (Hurydice). Les différences sexuelles secondaires ne sont bien caractérisées que chez des espèces des genres Hurydice, Corallana et Alcirona; chez le Corallana tri- cornis et le Cor. quadricornis et surtout chez l’Zurydice elegantula, on trouve dans diffé- rentes parties du corps des différences sexuelles, qui sont mentionnées p. 269 et exposées plus loin en latin dans le chapitre qui traite de la description des genres et des espèces. — Jindique, p.270, les particularités de structure qui fournissent des caractères spéci- fiques, et fais observer que certains caractères dont les auteurs se servent souvent doivent être employés avec beaucoup de circonspection. C’est ainsi que le degré de contraction de l'animal joue un très grand rôle dans la détermination des rapports entre la longueur et la largeur du corps, entre la longueur relative des segments et dans la forme apparente des épiméres; les auteurs la décrivent en général, mais la partie antérieure des épimères est d'ordinaire plus ou moins cachée, et leur meilleur caractère, qui nest pas influencé par la contraction, à savoir la forme de leurs angles postérieurs libres, n'est pas rendu 54" 424 188 avec une exactitude suffisante. Le nombre des articles dans le flagellum des antennules et des antennes dépend de l'âge de l'animal et quelquefois du sexe, et, en ce qui con- cerne le flagellum des antennes, il n'est pas non plus constant chez les animaux adultes, de sorte qu'il faut être circonspect dans l'emploi de ces caractères. Si tous les segments de l'abdomen sont visibles, ou si le I* et une partie du 2° sont recouverts par le 7€ segment thoracique, cela dépend souvent aussi de la contraction de l'animal (voir les figures du Cirolana Cranchii, PL IN, Fig. 3 et Fig. 3h); par contre, la forme des bords latéraux du 1% et du 4° segment abdominal donne souvent de-bons caractères, qui cepen- dant sont très rarement mentionnés dans le texte. Comme caractères génériques je n'ai pu me servir que d'un petit nombre de points, en particulier des différences dans le pédoncule des antennes (Æurydice), dans les organes buccaux (Aleironide) et dans les pattes abdominales (l'opercule formé des pléo- podes de la 1” paire chez le Conilera). Chez le genre Eurydice et les Pulli des Cymo- thoidæ, la tige des uropodes ne se prolonge que très peu en dedans et en arrière, et plusieurs espèces du genre ÆEurydice comme aussi de jeunes individus de la famille des Cymothoidæ n'ont été pèchés qu'en haute mer; chez les autres genres mentionnés ici, la tige des uropodes présente un prolongement lamelliforme toujours bien visible, d'ordinaire très notable, dirigé en dedans et en arrière avec une longue articulation pour la rame interne; les espèces seulement pélagiques, comme le Barybrotes agilis et le Cirolana elon- gata, forment jusqu'à un certain point une transition des espèces précédentes aux jeunes individus des genres Eurydice et Cymothoa, en ce sens que, chez eux et surtout chez le Barybrotes, ce prolongement est plus court que chez les espèces qui n'ont pas été pechees souvent en haute mer. On peut maintenant conclure que la longueur du dit prolongement de la tige des uropodes (et de l'articulation de la rame interne) est en raison inverse du développement de l'abdomen en organe natatoire, car l'éventail abdominal, chez les formes pélagiques, doit absolument (voir plus loin) être l'organe le mieux approprié à une natation rapide. On peut également dire que le développement de l'abdomen et sa longueur relativement au reste du corps sont propor- tionnels à son développement en organe natatoire {voir mes figures et celles que Schiedte a données des jeunes Cymothoide). Apres les organes buccaux. les pattes thoraciques sont certainement les organes. qui présentent la structure la plus variée et la plus intéressante. Les différences dans la structure des griffes ont été en peu de mots mentionnées plus haut; quant aux autres, je n'ai pas cru quelles pussent être employées comme caractères de familles, ni même quant à la plupart d'entre elles — au moins pour le moment — comme caractères géné- riques. J'appellerai ici l'attention sur les singulières transformations que les pattes des 4 paires postérieures, en particulier, et, parmi elles, surtout celles de la 7° paire, ont à subir pour devenir propres à la natation. Dans le seul genre Ciroiana, on trouve que notamment les pattes de la 7° paire présentent un développement très variables tantôt leur 2° article (épimère — 1* article) est allongé, aplati et muni de poils souvent ramifiés le long des 3 bords (comme chez le Cir. borealis), tantôt ce 2° article n'est ni allongé ni aplati, tandis que c'est le cas du 3%; du 4° et du 5° article (Cir. concharum et Cir. eximia). Chez les espèces du genre Eurydice et chez le Corallana Warmingü, on rencontre un 189 495 developpement un peu different et une autre disposition (qui varie chez ces deux genres) des poils natatoires toujours non ramifiés, mais ces caractères rappellent en partie la structure du Cir. concharum. Chez beaucoup d'espèces du genre Cirolana et la plupart des autres genres, les pattes ne subissent pas de telles transformations et sont dépourvues de poils natatoires. Les pattes des paires antérieures peuvent aussi présenter des parti- cularités interessantes; je me réfère ici principalement au Cirolana elongata (Pl. III, Fig. 4 g). ‘ A cause de cette grande variété dans le développement des organes natatoires, et vu la circonstance que plusieurs espéces sans poils natatoires ressemblent å beaucoup d’autres égards à des espèces munies de ces poils, je n'ai pas voulu pour le moment me servir de caractères tirés de là pour la division du genre Cirolana, d'autant plus que je eraignais qu'il n'y eût des animaux qui formassent des transitions sous ce rapport. Les jeunes individus de la famille des Cymothoidæ ont souvent été péchés en haute mer, et ils sont sans doute tous pélagiques. Je communique, p.273, de seconde main, une observation faite sur un jeune Cymothoa, long de 9,4 mm., qui nageait avec une rapidité étonnante, et était en même temps très phosphorescent. L'examen de cet animal a montré que ses pléopodes étaient entièrement nus, et que le bord interne de la rame externe des uropodes, les deux bords de leur rame interne et la partie postérieure du bord interne faiblement tiré en arrière, étaient seuls garnis de poils natatoires assez courts, serrés et ramifiés. Les pattes d'un tel jeune individu étant, comme on sait, dépourvues de poils natatoires, on peut conclure de cette observation qu'il nageait seule- ment à l’aide de son éventail abdominal, et cela s'accorde bien avec ce qui a été dit plus haut, à savoir que l'éventail abdominal est l'organe natatoire par excellence; quant aux espèces qui, comme le Cirolana elongata et le Barybrotes agilis, ont en même temps de bonnes pattes natatoires, elles employent celles-ci pour nager plus lentement, et l’ab- domen ou ce dernier conjointement avec les pattes lorsqu'elles veulent aller très vite. Il y a aussi des formes, telles que le Cirolana borealis, dont les pattes sont très bien trans- formées en vue de la natation, mais dont l'abdomen ne l'est pas au même degré; cette espèce nage du reste parfaitement, mais elle n'a jamais été péchée en haute mer. Du chapitre qui traite de la structure de la bouche (p. 275—310), je ne mention- nerai ici qu'un très petit nombre de points. Le premier est la remarquable transformation de la patte-mächoire chez toutes les femelles munies d'une cavité incubatrice. Le 1% article de la patte-machoire, l’epipodite et le 2° article sont munis chacun d'une grande lamelle qui, certainement, a la même fonction que les formations analogues chez le Cepon elegans (voir plus haut p.421); je ne saurais dire si la 1" paire de lames incuba- trices sert à faire entrer de l’eau dans la cavité incubatrice. Les plus petites parmi les lamelles ci-dessus mentionnées sont celles des Cirolanide, les plus grandes, celles des Ægidæ et des Cymothoide. Chez ces derniers, la 1" paire de lames incubatrices ne s'étend pas tout à fait jusqu'au bord de la lamelle du 2° article de la patte-machoire; chez les Ægidæ, par contre, elle recouvre complètement les pattes-mächoires, bien plus l'ouverture même de la bouche (et tous les organes buccaux, à l'exception de la partie moyenne antérieure de la lèvre supérieure, du clypeus et de la plus grande partie 426 190 des palpes des mandibules), de sorte que les femelles oviféres ne peuvent se nourrir elles-mêmes. Chez la femelle ovifere du Æocinela, l'armature de crochets à l'extrémité distale des pattes-mächoires a disparu, la 2° paire de mächoires est un peu aplatie, avec des poils sur le bord externe, la 1” paire de machoires va en s’amineissant et est en partie garnie de duvet le long du bord externe; telles sont les différences entre le mäle et la femelle non ovifere, d’une part, et la femelle ovifere, de l’autre. Un autre point qui doit être mentionné, c'est que chez la famille des Cymothoide et specialement chez les formes (p. ex. le Ceratothoa) dont la structure de la bouche s'écarte le plus de celle du Zocinela, tous les organes buccaux, à mesure que l'animal croît, subissent un changement de forme bien marqué, de sorte qu'il y a une différence tres notable entre la structure de la bouche chez le Pullus stadii Il et chez la grande femelle sans lames incubatrices; les différences sont surtout apparentes dans le labrum- clypeus, le tranchant et les palpes des mandibules et les pattes-mächoires. Les figures de la Pl. X montrent clairement ces différences. Enfin je mentionnerai brièvement deux petites rectifications des vues exposées sur la morphologie des organes buccaux dans le compte-rendu des résultats obtenus dans l'expédition de la «Dijmphna». La première est relative au «lacinia mobilis» des mandibules. Je crois en effet maintenant que la partie antérieure ferme et épaissie (que j'avais aupara- vant prise pour la lacinia mobilis) et la partie à peau molle et avec des soies qui est située derrière doivent étre interprétées comme formant ensemble la lacinia, c'est-à-dire un lobe en partie à peau molle et muni de soies, en partie ferme en avant, et que c’est sa face antérieure, souvent terminée en un prolongement court et épais, qui peut étre appelée «cuspis lacinie». La seconde rectification a pour objet les 2 lobes terminaux qui, chez la plupart des Isopodes comme aussi chez les Cirolanidæ, se trouvent sur la 2° paire de mächoires. Ces deux lobes libres et dirigés en avant, que je regardais comme appar- tenant au 2° article et comme provenant peut-être de la division secondaire d'un article, je reconnais maintenant qu'ils appartiennent à un seul article (le 3° de la mächoire), car jai constaté que le fragment de chitine que je prenais alors pour le 4° article (op. cit. PI. XX, Fig. la et 3f) est recouvert d'une peau molle, et ne peut par suite être interprété comme la paroi chitineuse d'un article. N ÆD. Vid. Selsk. Skr., 6 Række, mn. ALT. Vi 3. Hansen, Crolanide. Tab. I. I. Grolana borealis Liles. 2. Ctr. hirtipes H.M-Edm. 3. Gr. neglecta n. sp. DIRT Barsen det, Zövendal: sc. . 4.7 Hansen det. ED. Vid. Selsk. Skr., 6 Rekke, m.n. Aft. Ve 3. Hansen: Grolanide. Tab. II. 2. Grolana neglecta nsp. 2. Gr. ‚graceilis nr sp. 3. Cor. extmta nr sp. 4. Cir. concharune | Stimps.) 5. Cir. sulcata rsp. . 6. Gr. parva n. sp. Zövendal sc. Des VÆ We Tu ALD. Vid. Selsk. Skr., 6 Række, mr. Afd. Vr 3. Hansen, Crolanide. hl I ER WW) MU Sy i \, 4 U-Fdw. chit Leach. 4. Gr. elongata 3. Gr. Gan 2: Gr. californica Te. Sp. 7. Grolana parva n-sp. 5. Gir. minuta xn. sp. Fer re HT. Hansen del. KD. Vid. Selsk, Skr., 6 Rekke, mn. Ad. V 3. Hansen, Ctrolantdæ, 2. Grolana minuta xn sp. © HS Hansen del, 2. (ir. Japonica xn sp. 3. Gr. spheromiformis n.sp. 5. Contlera cylindracea (Mont) 4- Gr. ortentalis Dana. Lévendal se. SIGE AD. Tid. Selsk Shr., 6 Rekke, nn Afd. V3. Hansen, Ctrolanide. 1. Contlera cy lindracea (Mont. ) 2. Zury dice elegantula » sp. 3. Zur. inermis n sp. I; ne. 22 TROIS CP 4 hur. spinigera » sp TET, SE, ÆD: Vid. Selsk. Skr., 6 Række. mn. Aft Vi 3. Hansen, Grolanide. Tab. VI. 1. Eurydice spinigera np. 2. Hur. orientalis n sp. 3. Hur. pulehra Leach. I Hansen der, 4: Corallana tricornis n.sp. Zövendal se. 6 Række, m. n. Afd. Ve 3. Hansen, Crolanıde: ZA D- Vid. Selsk. Skr., 72 SP. tullensis 4. Cor. an btilis n- Jp. or. su BERG 2. Cor. quadricornis n.sp. 7. Corallana tricornis n.sp. Zövendal se 6. Cor. oculata xn. sp. 7. Cor. Warming ti 5. Cor. fisstcauda xn. sp. TJ. Hansen del. a4 é Sus Dé i ef se > Dur ae: Zz = i ai. AD. Vid. Selsk: Skr., 6 Række, mn. 44. Vi 3. Hansen. Grolanide: : Tab. VII. Er | N un 1) MIND WX USS h WAN WY oN me IN, 2. Aleirona ÂArebsit Re. gen,n. Sp. 2. Ale. insularts 7 Sp. 3. Lanoctra Ar by ert 7. gen, Re. Sp. 4. Jachea crassqpes Sch «Hein. HT, Hansen del. Zövendal se. wt MON Vartan, BY i : ne SAL TERE Lab. IX. AD. Vid. Selsk. Shr. 6 Rekke, mn. Afd. Vi 3. Hansen, Grolanide. EG | Hi Lif f IN 2. Tach. incerta n.sp. 3. Barybrotes agtlis Sch « Mein PT. 08: 2. Tachea crassipes Sch.« Mein. 4.diga psora (1) Æ T. Hansen del, ERDE dg HD. Vid. Selsk: Skr., Ö6Rekke, m7: Afd. Vi 3. Hansen, Grolanide: I. Rocinela Danmoniensts Leach. 2. Roc. signata Sch.« Mein. 3. Neroetla bivittata (Risso). 4. Ceratothoa Bankstt (Leach). 5. Cymothoa sp. À Zévendal se Analytiske Undersøgelser over Primtalmængderne. Af L. Lorenz. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. V. 4. S10 885030 OS Kjøbenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri (F. Dreyer). 1891. BYER ee ae a ee mL dant ‘am i i ee a” Dun ironie LATE D A mi rn. ke AT Ta er onal ANNE N A TE NUE 3 en I sin berømte Afhandling «über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse») har Riemann taget som Udgangspunkt den Euler ske Ligning”) In”. Hi—p') = 1, (1) hvor Summen 2' omfatter alle hele Tal n, og Produktet // alle Primtal p. Fra dette Udgangspunkt fører Analysen ikke til den direkte Bestemmelse af Funk- tionen @(z), Mængden af Primtal op til & (« inkl.), men nærmest til en anden Funktion J (2), for hvilken Dr. J. P. Gram?) har indført Betegnelsen «Antallet af dividerede Primtalpotenser», og som er defineret ved Ligningen F(x) = A(z) + 46(22) + 19(73) +... . (2) Det er denne Funktion, som Riemann har sogt at bestemme under analytisk Form. At man fra denne atter kan komme tilbage til Funktionen #(2) er ogsaa paavist af Riemann, men det maa dog bemærkes, at enhver analytisk Fremstilling af #(x) sandsynligvis altid, i Modsetning til den taltheoretiske exakte Bestemmelse, maa gaa ud fra den øvre uendelige Grense for Talrekken og herfra til en approximeret Bestemmelse for de meget store Verdier af æ, hvorved man da udelukker sig fra Bestemmelsen af #(x) for de smaa Tals Vedkommende og saaledes fra Bestemmelsen af @(x) ved Hjælp af #(2). Denne sidste Funktion kan imidlertid ogsaa, ligesaa vel som selve Primtalmengden, fremstilles ved Tavler, dannede med Optellingen af Primtal som Grundlag, og det kan derfor ogsaa praktisk vere tilstrækkeligt at bestemme #(2). ; Skjondt Riemann’s Bevis for den af ham udviklede analytiske Formel for #(z) ikke kan godkjendes, er der dog resulteret det blivende Udbytte af hans Arbejde, at det fundne Udtryk for den aperiodiske Del af &(2), nemlig Integrallogarithmen (2), i det mindste inden for de Grænser, hvortil vi kjende Primtalmengden, har vist sig praktisk fuldkommen tilfredsstillende og alle andre tidligere ad empirisk Vej fremstillede Formler langt overlegen. 3) Monatsbericht d. K. Acad. d. W. zu Berlin, 3. Nov. 1859, S. 671. 2) Euler: Introductio in Analysin Infinitorum T. 1. p. 237. 1748. 3) Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, II. 6. S. 185. 430 4 Dette sidste har navnlig været paavist af Glaisher!) for hver 50000 indtil 9 Millioner og for 10 og 100 Millioner efter de af Meissel beregnede Primtalmængder ?). Afvigelserne ere fremstillede grafisk, og for den Riemann'ske Formels Vedkommende viser Diagrammet en ligelig Fordeling af positive og negative Afvigelser. For de højere Tals Vedkommende synes disse Afvigelser at udvikle sig til efterhaanden mere og mere regelmæssige, lange Perioder. Det maa herefter blive den naturlige Gang i den analytiske Undersøgelse over Primtalmængderne at vælge det samme Udgangspunkt som Riemann, nemlig den Euler'ske Ligning (1), fordi dette umiddelbart fører til Funktionen (x), hvis aperiodiske Del praktisk har vist sig at være af en simpel Form, at søge denne aperiodiske Del analytisk bestemt saa nøjagtig som muligt, og endelig at søge den periodiske Del af 4(x) saaledes bestemt ved Rekkeudvikling, at de Led, som ere af højeste Orden med Hensyn til 2, fremtræde i første Række, for saaledes om muligt analytisk at paavise de ovenfor omtalte lange Perioder, som fremtræde ved de meget store Tal. Det er denne Gang i Undersøgelsen, jeg her har fulgt. Vi ville begynde med en Udvikling af Formen (27+ 37+ 47 +. = af2)2”+ a 37+... dau +... , (3) hvor » er en vilkaarlig Størrelse, s et helt Tal og ai en Koefficient, som vil angive Antallet af de forskjellige Maader, paa hvilke æ kan dannes ved Multiplikation af s hele Tal, heri ikke medregnet Tallet 1. Sættes endvidere AS(@) = a2) + aS) + ....ae), (4) med hvilket sidste Led Rækken slutter, vil man have A(x) — AS(a— 1) = aa). (5) Ved at tage Logarithmen af den identiske Ligning (1) og benytte Rækkeudviklingen for log (1+ y) efter stigende Potenser af y, uden Hensyn til Rækkens Konvergens, erholdes ligeledes identiske Udviklinger®), som for » — 0 fore til den bekjendte Ligning Alla) A(z) Ae(z) A dq =A ST (6) 1) James Glaisher: Factor Table for the sixth Million. London 1883. 2) Senere har Meissel i Mathm. Ann. Bd. 25, p. 251 beregnet Primtalmængden indtil 1000 Millioner. Hans Resultat (50 847478) er kun 23 Enheder højere end det af Gram efter Riemann’s Formel beregnede. 3) Jvf. Prof. Jul. Petersens Bemærkninger til Grams Afhandling. Vid. Selsk. Overs. 1884, S. 14. 5 431 Denne Række er endelig, da i Rækken (3) alle de første Koeffieienter 4° forsvinde indtil ER I Stedet for Stør- relserne AS (7) ville vi dernæst indføre andre Størrelser Bs(a), som falde bekvemmere for den følgende Beregning, og som fremkomme ved en lille Forandring af Udviklingen (3), idet vi sætte (HE 3" + AL. = BD A +) I... + ..…, (7) B(x) = Fo + Pa + Pe +... KO. (8) Koefficienten #%@) bliver da her ligeledes et Udtryk for Antallet af de forskjellige Maader, hvorpaa æ kan dannes ved Multiplikation af s hele Tal, men hertil bliver nu åt medregne Tallet 1 og paa en saadan Maade, at hvert Tilfælde, hvori 1 indgaar som Faktor, regnes halvt. as(25), og altsaa A'(z) ifølge. (4) forsvinder for a << 2° eller s > og Man vil da have B(x) B? (2) Bi(a) log a oa) == — @ a, i 45 +...+ as, SET Hg (10) idet Koefficienterne a ere bestemte ved ae 2 p(p + 1) PP + {).. (= i) Å 2 VE a oe ae a Ele all 1 1 5 Oy = FG gy gm ar ee m (12) : log + { Det bemærkes, at Tallet s, kan vælges vilkaarligt højere end FED og kan sættes lig 2, hvortil vilde svare a, == %, a, = log2. Men udskilles en enkelt Del af Funktionerne a) og Bx), er det selvfølgelig kun tilladt at sætte s, = «©, naar den tilsvarende Række for denne Værdi af s, bliver konvergent. Som Grundlag for mine Undersøgelser har jeg først valgt den Poisson’ske Sum- mationsformel, hvorefter man har exakt 2 ar N D}, av mé ; SÅ 9 i 27+ 3" +...” = et LIDO Nee), Wy = il By oon Sc (13 t Med en passende Bestemmelse af Integralernes Grænser vil man ogsaa kunne udtrykke denne Rekke ophojet i Potensen s ved det s-dobbelte Integral p à = e . =I Ar. p A) Sr ¢ 2 (da, a, 1+2 8005 2zm,a,)\da,a;(142 cos 27m,r,). | dasa’ (142 Foos2rmea), hvor m,, My, ...ms i alle Summerne gjennemlobe Talrækken 1, 2, ...2. Heri indføres de nye Variable Uy = Tito... ds, Uy = Log eee Ds) Wa Bl, Us = Ay. Da den lavere Grænse for alle de Variable z er 1, bliver dette ogsaa den lavere Grænse Us—4 for de nye Variable. Den øvre Grænse for u. = bliver w,_1, for us—4 tilsvarende u,_» si og saaledes videre indtil w,, hvis øvre Grænse vi ville betegne ved u. Endvidere er dus—4 du… du dr, — du;, da te RE .., dz, = — Us Us_4 Us Paa denne Maade kan man allsaa gjengive Udviklingen (7) ved et s-dobbelt Integral, og det vil ses, at man nu ogsaa kan afbryde Udviklingen med Aa” som sidste Led ved at sælte Grænsen u=r+1. Sættes dernæst r = 0, vil man erholde u u u du, du u / à Ug aoe Bia) = \du, ue (142 20084, 2%)... (142 Seosu +) (14-2 Boos), (14) Uy Us Us Us 1 1 hvor for Kortheds Skyld er sat 2rzm, = p,, am, = po, ... 27M; = jus. Ligesom i det enkelte Integral (13) alle Elementer forsvinde, naar x, ikke er et helt Tal, saaledes ville ogsaa i dette s-dobbelte Integral alle Elementer forsvinde undtagen i de Tilfælde, at samtlige Broker ere hele Tal. Idet Multiplikationen af de i Integralet indgaaende indklamrede Faktorer udføres, kunne vi ordne Produktet efter Antallet af de indgaaende Summationstegn, og det lader sig da vise, at alle de Integraler, som indeholde det samme Antal Summationstegn , blive ligestore. Lad nemlig 7, g og h betegne hvilke som helst Funktioner, vil man kunne bevise Setningen Up—1 Yp Uy 4 Uy N SR =) | Up ) enr En (=) | Up nur, (15) Up Up Up+i Up+t Up \ Up Up+1 \ Up+i 1 1 4 1 5 = ; CPE hvor f og g have byttet Plads. Det første Udtryk gaar ved at indsætte SE i Stedet for 5 Mp Up+1 Over til Up Up duty , (Up—1 \ dupzi Uy 9 (pri) hh | — |. ez Up ] eae Nos ar où 433 Indferes endvidere Betegnelsen Q \ « du .[u5-1 u J(u, Upzı) — | PU UD É Ju“ u Up vil ovenstaaende Integral kunne udtrvkkes ved U, 4 Ur du 2 RR, )D(up, Up+1) i alu) dla ) P prilO\p, Upti) = gGUp)O (Up, Up du, et : US ENT RD pi Mp du. du p+4 g (Up+1) D (Up > Upzı) — 2 g (up) J (up, Up) i Up+i Up“ Le 1 ve hvor man i det første Integral kan sætte w, for 541. De to Integraler kunne dernæst sammenfattes til det enkelte pt “pt pi du du du a u NER Ne P | Pt ms ptt — 9 (Up) (blu, Up) — blu, Up) ) ; g (Up) ji ( ) h ) - N Ske 7 Up+i Up +1 Up Un —1 : u ; Up— a 2 og sættes heri først ren Stedet for % og dernæst = leet i Stedet for %+4, bliver n P - - - - P - - . . Udtrykket identisk med højre Side af Ligning (15), hvorved denne Lignings Rigtighed er bevist. Gaa vi nu tilbage til det omhandlede Produkt og udtage af den hele Sum af Integraler et enkelt, som indeholder E05 foo men derimod ikke 2 cos py—4 +, ville vi kunne sætte 3 ; Up (Uy Ups U, due GSE Soltis oa rene Dre he Ne Up+t LE Up Berk Paa denne Maade kunne alle Summerne 2 flyttes fra højre til venstre med tilsvarende Forandring af Indices, hvorved alle de Integraler, hvori Antallet af Summationstegn er det samme, blive identiske. De Integraler, som indeholde et Antal af p Summationstegn, erholde saaledes Formen u Ca el, Oty tio du u duty u dup+2 dus du, \—22 3 cosp, —...\ 25 cos pp — ME : Us Us Up+t Up+1 Up+2 Us 1 ä vu 1 i Betegnes dette Udtryk ved X, og udføres de sidste Integrationer, vil man for p 1 i hvoraf ganske ligesom ovenfor den aperiodiske Del findes bestemt ved (logit) eee Us (log up) pit tog up 1 dog _ Afs—p+1] 1° log u, — 1 [s—p 41] pil] Paa denne Maade ses nu let, at den aperiodiske Del af (16) lader sig udtrykke ved log u,)=t Xe 1 (au, Lou FE] = N ; (21) hvorved hele den aperiodiske Del af (18) lader sig bestemme under de symbolske Former 13 > u OLV VE is : vo! 5 Ba) = fan, (I + Arosa) [s—1] = ee (1 + Ay) [s—1] 5 (22) Saalenge vi befinde os inden for saadanne Grænser for 2, hvortil Optællingen eller den exakte Beregning af Primtalmengden hidtil er naaet, hvilke Grenser ere hen- holdsvis ved log x = 16 og log a = 21, vil det ikke vere noverkommeligt at bestemme den aperiodiske Del af (2) ved Indsættelsen af dette Udtryk for Bj) i Ligningen (10), idet log & log 2" under en væsentlig simplere Form, saalenge man vil medtage alle de i 4, indgaaende Konstanter C,, men indskrænker man sig til kun at medtage den første af disse, Cy, vil Rækken (10) blive konvergent for ss, = =, og Summationen kan da let udføres. Man vil nemlig for s, = « og C, = 0, C, = 0, ... have man vælger s, lig det største hele Tal i Resultatet vil neppe kunne fremstilles Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 4. 56 436 10 = Ee log u = d sy H(z) = — log 2 FAE (si ul dve(1 +6, =) is] logu [1 e—” 96 d e-% 922C2 @ e—2v — — loo? v 0 4 0 9 € hvorefter Summationen, udført ved Lagranges Række, giver LÆ logu /1 es | } ff Re da) = — log 2? + \dve = > ) — — log 2 + Liu) — Liu 1420). (23) 0 \ : 1—2C, eae 2 Heri er Ge 0,73245... , og det ses saaledes, at det fundne Udtryk for større FSU Verdier af 2 ikke er væsentlig forskjelligt fra Integrallogarithmen af x, ligesom det heller ingen væsentlig Forskjel havde gjort, om man ogsaa havde sat C, — 0. I dette Tilfælde vilde Resultatet erholde den simple Form log wu = d dx) = — log 2 + ze. —logu Praktisk ere disse Resultater saaledes i god Overensstemmelse med det Riemann’ske. Den periodiske Del af X, viser sig for p pou). Sættes for Kortheds Skyld 2 Vpiprou = a, küutp = 4), fi pou = av, q LA PER OUEN en TE = OG, 5 erholdes saaledes vi vy! > ew v N 4 v SEM xX, = 23 — El i] LE — sinav + À dv’ ( — I + —_— \sinav |. a Vo?—1 Vo? + 1 Vo vo! Heri er La DE sing, Sing, u — sing, u sing 2 (\desinav— dv'sinav) = 232 Fir le Ee" GÆNGS eu! Hate som er 0, da de to Udtryk blive identiske ved Ombytning af Indices. Vi have altsaa alene tilbage Ory vy! h , 5 IN v à v - a BA d= sin av + \ dv’ —— sin av |, 2 a Vo? — 1 Vo" HE 1 3 Là ro vo hvor det dobbelte Fortegn bestemmes af Minimalpunktets Beliggenhed paa den Maade, som ovenfor er angivet. Først betragtes Integralet med den komplexe Variable 2 = v+ wi. Udstrekkes Integrationen over en sluttet Kreds, bliver dette Integral Nul, hvorfor vi, naar Integrationen udføres henad en Rektangel, hvis Vinkelspidser ligge i Punkterne 1, v,, vy + æt, I +2, erholde Wi FE Seo estate all ml Vu? — - Vo + wi V(1 + wi)? — 1 1 0 0 De to sidste Integraler kunne udvikles efter aftagende Potenser af a i semikonvergente Rækker, hvoraf vi dog, for at begrænse Regningen, saavel her som i det folgende kun medtage de Led, som i det endelige Resultat, Udtrykket for X,, ikke forsvinde for wo. Saaledes erholdes: ett wie dvv a _dw (v, + wi) 56" 438 12 0 dv 2 ave aie to en i | 2) = a (2 3 = er (4 , Vo? a Vog— 1 hvoraf folger Lo dvv osa 11/27 7 nen — Ones stone HV sin (a +). Ve — 1 Ge i Her er v, antaget større end 1. I Tilfælde af, at man netop har v, = 1, bliver selv- følgelig Integralet lig 0. Den tilsvarende Ligning erholdes ved Forandring af v, til v,. Hvis nu Minimalpunktet ligger indenfor Integralets Grænser, såa har man 2 DEE kel 7 , Ps Oe a yee f in aVvz — I [ty U— Wy avy, aVv? — 1 = pou—p, avr’, vi 1 vy Bil duv . dvv . dv Sad) == EN in Go, Er Vo? — I v? — | vo : ON 1 Ifølge den ovenfor fundne Ligning er altsaa i dette Tilfælde vy — v Vy COS av v,cosav Wie T \ dv sin av x 9 2 — + iV snfa+—), re Sept av, av, a 4 To medens dette Integral for vy = I gaar over til v,cosav, 1 væ: f T sin} @ == av, ale a + 4 5) ales à 1 V2 sin le av, 2 a ' À Hvis Minimalpunktet ligger nedenfor Integralets lavere Grense, har man vw og for v, = I til 2 ae , 2 er f1U < fa, Rn, en, vi v vo COSav v, COS av dv sin av - OSSE a —, py = Zion OD, % og hvis Minimalpunktet ligger ovenfor Integralets ovre Grense, erholdes PRIE , Pr SS Po WPT == Oy Voel =, vi v 0 Vo COS av Vv, COS av dv = —-— _}sin av = 0 N, J Vv? — 1 av, av, Vo Fojer man hertil, at man i alle Tilfælde har [4 Vy dvv vy CoS av,’ v’cosav,’ a OS S v —sinav = — D DA ER Vo? + I av, av, vo! saa ses det, at X; vil kunne udtrykkes ved 4 97 4 9 ku 27 TE 1 huy /27 T Ge S En lan a S, V si NL we ! a 4 F DE EEG BONG ee a 4u| v,cosav, v,cosav, , Vy’ COSav,’ v,’ COS av,’ r ar [ Sr 2 = ) Vo vi Vo vi idet S,, S, og S, betegne tre Dobbeltsummer med Hensyn til m, og m,, saaledes at i S, og S, Produktet m, m, gjennemlober hele Talrækken fra I til ©, medens enhver af Faktorerne m, og m, i S, kun gjennemløber Rækken af Tal som ere mindre end Vm, mou, i S, Rækken, som netop svarer til m, — Vm, m,u og m, = Vm, m,u. I Dobbelt- summen S, gjennemlober m, og mm, alle hele Tal fra 1 til æ med Undtagelse af de Verdier, som svare til m, =Vm,m,u og m, =Vm, My U. Denne sidste Dobbeltsum deler sig ved Indsættelsen af de givne Verdier for A, Vo) Vi Uy, Vy i de to Summer os ( fe COS (4, + 1) "nem COS (nu — 2) + 8, 2 ( a ED oo, IL a EE Geo — ru), fılka Hi — Heu ere som ved Ombytning af Indices ses at vere ligestore. Ved heri at sætte y, — 27m,, Ho = 2am,, u = 2+ 4, reduceres de to Summer tilsammen til : (— 1)": 1 pr ) 3 72m, = Moose, i I denne Dobbeltsum blive ifølge Betingelsen for Summationen de Led at udtage, som svare til m, (e+ 1) — m, = 0, under -hvilken Betingelse Summationen med Hensyn til m, let lader sig udføre. Saaledes reduceres ovenstaaende Dobbeltsum til 1 M=00 (— 1)" l = a 9 a m 12 (x + 4)’ 440 14 saa at altsaa hele denne Dobbeltsum, naar de Led, som forsvinde for #—o, ikke med- tages, bortfalder. Resultatet kan saaledes under samme Forudsætning udtrykkes ved sin (4 Ber BR le A zu FT 3 z V2 (m, mo u)‘ 2 X, ; hvor den dobbelte Summation skal udføres paa den Maade, som ovenfor er angivet for de to ved S, og S, betegnede Summationer. Det viser sig af det her fundne Resultat, at naar de Led bortkastes, som for- svinde for u = 2%, saa faa i det Integral, hvorved X}; oprindelig var bestemt, kun de Elementer Betydning, som ligge i Nærheden af Minimalpunktet, og er først dette givet, kan Beregningen lettere udføres paa anden Maade. Er x, i Minimalpunktet betegnet med L 9 . a v,, Vil man have v, = vær, og Betingelsen for, at dette Punkt ligger indenfor Inte- 2 gralets Grænser, vil være 1 (24) zVs (m, My... msu) ?° 442 16 Ved denne s-dobbelte Summation varierer Produktet m, m,...m, fra 1 til æ t 2 I men enhver af de enkelte Faktorer maa ifølge Betingelserne y, < v ikke overskride Grænsen 1 (Mm, My... .msu)° , og er netop denne Grænse naaet, hvilket svarer til Minimalpunktets Be- liggenhed i en af de Variable ws Grænser, saa maa Resultatet regnes halvt. Sættes m,m,...ms; — m, kan den s- dobbelte Summation forandres til en enkelt med Hensyn til m fra m—1 til m=, naar Udtrykket multipliceres med en Faktor rm); som angiver Antallet af de forskjellige Maader, hvorpaa m kan dannes af s Faktorer, heri medregnet Tallet 1, og under den Betingelse, at ingen af Faktorerne overskrider i Grænsen n — (mu)‘. De Tilfælde, hvor netop denne Grænse er naaet, regnes halvt. Herved faar Ligningen (24) Formen 1 u m sin(2ms(mu)' + (s —1) À A En = Zi ( Fa i) n = (mu)‘ . (25) Øg (mu) ” Den her indførte, ovenfor definerede, Størrelse 75(m) vil kunne bestemmes som Koefficienten til m” i Udviklingen (LH 27 + 387+... (n —1) + 5 nm) = 14+ 702°4...™m"+... (26) Naar man nu indsætter den saaledes fundne Verdi af X; for B°(a) i Rækken (10) for at erholde den hertil svarende periodiske Del af (2), saa vil man ved at udføre Reg- ningen numerisk for en given stor Verdi af x og vilkaarligt valgte Verdier af m finde, at Leddene med voxende s efter først at have gjennemlobet en ganske uregelmæssig Vexlen af Fortegn efterhaanden samle sig i større og større Grupper med ensartede Fortegn, og at det bliver Summationen af disse Grupper, hvoraf Resultatet i det vesentlige kommer til at afhenge. Betingelsen for Dannelsen af en saadan Gruppe !ader sig let paavise. Der settes i 25 (mu): + = = fh, og det efterfølgende Led bestemmes ved Udviklingen Ga, CRG, 1 Oss RE aged | ONE à d?0 ; à i Hvis nu — og de følgende Differentialkoefficienter ere meget smaa Størrelser, og ds? to} to} ? > hvis = er et ulige helt, positivt eller negativt, Tal, saa vil der i Rækken (10), hvor ds ? O ? ? ? Leddene have vexlende Fortegn, omkring det til s svarende Led danne sig en af de om- talte Grupper. 17 443 Her er 1 dd; log mu | log mu)? —— = 2(mu) (1 = ES = = (mu) > ds ( \ S A» ( ) so) ’ log mu eller, naar man sætter —-—— — y, Ss u d 24. 3 ED ya, 20 4 ds s? log mu” Man skal altsaa have, naar p er et positivt eller negativt Tal eller 0, db, De be e(1—-y) + + = 1—2p. Da y skal vere positiv, ville negative Verdier af p ikke vere mulige, og man vil finde y = 0,83774..., e& = 2.31114... for p y =-1,19011..., e& = 3,28746... for p — 1 y = 1,40051..., € = 4,05727... for p = 2 = IME...» CS ARB... trp = 3. | 9 Det vil dernæst ses, at i det mindste for de lavere Værdier af p ville Ea og de folgende Differentialkoefficienter blive meget smaa, naar log mu er et meget stort Tal. Indenfor praktiske Grænser (log z < 21) og for de lavere Værdier af m er denne Betingelse vel kun i ringe Grad sket Fyldest, men man vil dog altid, naar x kommer op i Millionernes Række, med Lethed kunne paavise de til de lavere Værdier af p svarende Gruppedannelser. ) | 1 I disse Grupper vil altsaa indgaa sin tés = sinz (los mu re 7) å eller naar vi give denne periodiske Funktion Formen sin zfs; = sin 27 (se + bu) å (26) À være bestemt ved hæse (27) Qari Den til den saaledes betragtede Gruppe svarende Del af (a) vil altsaa, fremstillet ved en Kurve, hvor log w eller, hvad der her er det samme, log 2 tages som Abscisse, vise en konstant Afstand 42 imellem to paa hinanden folgende Skjæringspunkter med Abseisseaxen. Til de ovenfor angivne Værdier af y svarer henholdsvis NOR 0001548 150, Opts 2,0, 519JIERE Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. V. 4. 57 44 18 Man vil imidlertid have bemærket, at det netop er de store Verdier af s, nemlig dem, som ligge i Nærheden af log mu, som Dannelsen af disse store Perioder i #(z) skyldes, men denne Omstendighed gjør det nødvendigt atter at komme tilbage til den Beregning, som forte os til Ligningen (25). Det vil da erindres, at vi havde udstrakt Variationen af de Variable y, til begge Sider i det uendelige, hvad der kan forsvares, saasnart yp blot overskrider visse snævre Grænser. Men naar selve Antallet s af Variable og Integraler 1 bliver saa stort, at w° ikke længere kan betragtes som et stort Tal, hvilket netop her er Tilfældet, saa tor Variationen af y, ikke udstrækkes saa vidt. Folgen heraf maa da blive, at ds nærmer sig, især for de laveste Værdier af p, stærkt til sin laveste Grænse, som er 1 Is(mu)° plus en af s uafhængig Konstant. Gaa vi til selve denne Grænse, ville vi have p 8°O 1 dd; ds 2e/(1 —y) = 1— 2p, og de heraf beregnede Verdier af y ville vere y = 0,76803..., e& = 2.15553... for p = 0, y = 1,15718..., @ = 3,18097... for p = I y = 1,37809..., & 3,96731... for p = 2, CS STE se) 405232 sen ES) | | Perioden 4 vil nu være at bestemme af A — yes, (28) og til de beregnede Værdier af y vil svare henholdsvis À = 0,35631... , 0,36378... , 0,34736..., 0,33045... . De sande Værdier af 4 ville altsaa ligge imellem disse og de ovenfor beregnede og for de laveste Værdier af p, hvortil de største Grupper svare, vistnok nærmest de sidste Tal. Iøvrigt ere Perioderne for de lavere Verdier af p saa lidt. forskjellige, at de paa lange Strækninger ville forene sig til en enkelt Periode, som ikke bliver meget for- skjellig fra 0,35. Af Udtrykket (25) kan endvidere sluttes, at Koefficienterne til de periodiske trigono- metriske Funktioner eller Amplituderne for de største Værdier af s og altsaa ogsaa af 4 meget nær ere af samme Storrelsesorden som z?, og af lavere Orden ved aftagende s og À, altsaa for de kortere Perioder. En nærmere Bestemmelse af Amplitude og Fase for de forskellige Perioder turde imidlertid møde meget betydelige Vanskeligheder. 19 445 Det Resultat, som ovenstaaende Regning har fort mig til, kan i det væsentlige naaes ved en anden Fremgangsmaade, som jeg her skal meddele, da det forekommer mig, at der ved denne kastes et nyt Lys over Sporgsmaalet. Der sættes (RC ESS er nn oa, hvor 7) bliver Antallet af Tilfælde, hvori 2 kan opløses i s Faktorer, heri medregnet 1, samt G(7) = 1 +7 + ...7 ©. (30) Man kan beregne 7‘() af 777") ved at summere alle de Tilfælde, som svare til (29) den ny tilkommende Faktor, og erholder saaledes LOD) idet Summen udstrækkes til alle Divisorer tegnelse # for det største hele Tal i den Ir) = 2 (2 si hvorved altsaa erholdes Te Ira) ) dia. Tillige er, med den Legendre’ske Be- efterfolgende Brok, ) P= Os ® væ — 1 q PE VET æ &æ — | ‘ a, (ei zg -) a (31) q=1 N og heraf atter a TSO _ & i G:(a) = 2 EZ. (32) q=1 9 Disse Udtryk kunne bringes under analytisk Form ved Ligningerne i . cos Ir iX 2 — | m—=g COS 27 —- F [= Id) = 3 2. (33) q q m=1 q . 4 nm 1 m=q sin IT CT? E— + 2 (34) q " 2 m=1 2qsinz™ TF, Ogsaa naar a, er endelig, men meget stor, medens m, hører til de lavere Tal i Talrækken, vil Gruppedannelsen finde Sted, og Summen af en Gruppes Led maa meget nær blive den samme som ovenfor er fundet. Men efterhaanden som m, i Størrelse nærmer sig til a,%, ville Gruppens Led aftage i Antal og Udtrykket for deres Sum tabe i 2: 447 Nojagtighed, hvorefter Gruppedannelsen fuldstendig ophorer. Men naar derefter m, voxer yderligere udover Grænsen ai, saa kan omvendt ethvert Led med den Variable gi be= tragtes som fremkommet ved Summationen af en Gruppe Led med m, som Variabel, i hvilken Gruppe hvert Led netop faar samme Form, som ovenfor er angivet. Om Rigtig- heden heraf vil man ved en til den ovenfor udførte tilsvarende Regning let kunne overbevise sig. Hvis man altsaa kan se bort fra de Led, hvor m, (ligesom ogsaa g,) er i Nærheden af a,3, saa kan den angivne Omdannelse af Summationen med g, som Variabel til en Summation med m, som Variabel betragtes som almindelig gjældende for alle g,. Med denne Indskrænkning med Hensyn til den neutrale Zone, hvor ingen Gruppe- dannelse finder Sted paa nogen af Siderne, vil man altsaa kunne sætte a, COS (27 g 2 (m,a,): 4 =) a a : ° SE cos 2a — > =, (38) VÆ Ty ya (m, 43)" hvor Grænserng i de to Summer kunne udledes af Relationerne imellem de to Variable qi 08 Mi. Dernæst sættes heri a, = TER og en Summation tænkes udført paa begge Sider 2 med Hensyn til g,, som antages at gjennemlobe en Række paa hinanden folgende Tal. Der sættes nu paa højre Side go = qo + Y2 08 vi mal — m 7 29 (42° L ky)? hvor k, er en ægte Brok, m, et helt Tal. Man vil da paa lignende Maade som for kunne danne Udviklingen 3 My 1 (Yo ky)? 1 m,a,\% 1 2 (SY = 3(m,m, a) — m, (Yo + Gis )) se = ï £ (m m,a,)® do Heri er my (y, + q2/) et helt Tal, og der vil altsaa danne sig en Gruppe omkring det til 2 . . +: a : : 2 L gy’ svarende Led, naar m,? er tilstrækkelig lille i Sammenligning med (m,n,a,)°, altsaa m, lille imod (m,a,)5. Idet Gruppens Led summeres paa samme Maade som før, erholdes ) al | 2 1 € a, Go a, 608 (27 .3(m,m,a,)3 + 2 2 03 dr = MAI ——— — 91 92 9192 V3 (mime a) z 22 hvilken Ligning, paa samme Maade som Ligningen (38), ogsaa kan udstrækkes til at gjælde for meget høje Værdier af m,, medens den derimod ophører at være gyldig, naar m, (og 9,) er i Nærheden af (m,a,)3. Man vil saaledes paa denne Maade uden Vanskelighed komme til den under samme Indskrenkninger gjældende almindelige Formel DD 448 2 1 | cos (2z(p + 1)(m,...mgmmpa,)?T! + p z) ae I dy ss > 2 ee ea = ar 9192 --- Ir 9192 --- I p +1 > 1 (m, m, … Map)? +? Forbindelsen imellem de to Sæt af Variable kan tilnærmelsesvis udtrykkes ved 1 a; (m, a): (m, m, a,)® — = 7, rr - = Mo, FEET ER gi 2° 93" a a; hvor a, = —, a, = 2, qe VE) Heraf udledes de approximerede Ligninger 1 Ta = MoJo =... — MpGp — mim, ee My An) in. (46) Vil man gjøre en Anvendelse heraf paa de i (37) forekommende Summationer, har man kun at sætte p = s— 1 og a, = ma, men det maa herved bemærkes, at man paa denne Maade kun ufuldstændig gjengiver det hele Udtryk for 77, dels paa Grund af Unojagtigheden i de Zoner, hvor Gruppedannelserne here op samtidig paa begge Sider, dels ogsaa paa Grund af Grensebestemmelserne for de Variable. Hvad det imidlertid her kommer an paa, er at udtage af Udviklingen for 7‘@) netop de Led, hvoraf Dannelsen af de lange Perioder i Primtalrekken afhenger, og i denne Henseende kommer det fornemmelig an paa Bestemmelsen af de lavere Grænser for de nye Variable m,, m3, ... . A Det fremgaar af Ligningen (40), naar heri sættes p = s—1 og a4 = mx, at man tilnærmelsesvis har ME W192 --- 9-1 — 1 2 (mm, ...ms_ı@)° og ifølge (36) er den øvre Grænse for dette Produkt z. Alle de Variable m,, ... ms_ı have altsaa | som lavere Grænse, saalenge m ogsaa er lille og navnlig ikke overskrider 1 Grænsen Æ>!. Vi kunne altsaa af Udtrykket (37) for 7*@) udtage en Række af Led, som kunne omdannes til den s- dobbelte Sum 1 I cos (27 -S(mm, ...™ms—1 2) + (s— 1)=) s—l Te 2 (mme mr) SUR mim +s = Vs hvor alle de Variable m,m,... ms—4 gjennemlobe Talrekken fra 1 indtil visse Grænser, som vi holde ubestemte. (39) 23 449 Ville vi dernæst finde den tilsvarende Række for G‘(«), kunne vi først sætte wz Gl) = 2 PO) + Ga, —1), t=2 og idet saavel x, som = betragtes som meget hoje Tal, kan, naar her for 77 indsættes Udviklingen (42), Summationen med Hensyn til 2’ forandres til Integration, og denne kan, under Hensyn til at alle de Værdier, som den Variable a’ gjennemlober, ere store Tal, let udføres approximativt. Den saaledes udtagne, af x afhængige, Del af G*(«) bliver & 1 RD sin(2z.s(mm, ...M 12): + (s — 1)4) Tan ed... = = — 2 aVs ar (mm, ...ms_42) ?S (43) Dette Udtryk er i Formen, paa Faktoren 4 nær, ganske det samme, som det vi i Ligning (24) havde fundet for X;. I begge Tilfælde er den lavere Grænse 1 for alle s Variable, men hermed ophører ogsaa Ligheden, ligesom ogsaa de to Udviklinger repræ- sentere to forskjellige, om end nær beslægtede, periodiske Funktioner. Da man, tilsvarende Rækken (9), har CRE me Asa) = G’(a) — © > l vil man ogsaa let kunne danne en med (10) analog Udvikling for (x) af Formen @!(& G? (x (a log a) = —b, +), Eg by or. bu = =, at & 1 5 Indsættes heri det ved (43) givne Udtryk for G'(z), vil man altsaa erholde den tilsvarende periodiske Del af #(z). Som det let ses, bliver den videre Diskussion heraf i Hovedsagen den samme som tidligere, og Resultatet bliver ligeledes Konstateringen af de store Perioder med log x som Variabel og Perioden À, saaledes som denne er bestemt ved Ligningen (27). Men med Hensyn til den nærmere Bestemmelse af de periodiske Funktioners Amplituder og Faser møder der os ogsaa her de samme Vanskeligheder, skjendt under en anden Form. Det er allerede i Indledningen omtalt, at de virkelig fundne Primtalmængders periodiske Afvigelser fra de efter Riemann’s Formel beregnede Værdier efterhaanden for de højere Tals Vedkommende synes at udvikle sig til mere og mere regelmæssige Perioder. Det træffer sig saa heldig, at Dr. Gram allerede i sin, i Indledningen citerede, Afhandling har taget dette Spørgsmaal, sel fra det empiriske Standpunkt, under Behandling og herom udtalt sig paa følgende Maade (S. 250): 450 94 «Glaisher har for at anskueliggjøre, hvorledes Afvigelserne variere, fremstillet dem grafisk i et Diagram, der er vedføjet den nævnte Afhandling. Der er noget i dette, som kunde tyde paa en Periode afhængig af In, saaledes at Periodetallet, naar log,,n toges til Argument, omtrent kunde blive 0-17 (for In altsaa 0-39).» Ved mundilig Meddelelse har Dr. Gram sat mig i Stand til at supplere denne Angivelse. Gives den periodiske Funktion Formen é log z 7 in Im Se GE en fandtes Konstanterne af Gram ved en raa geometrisk Udjevning af Diagrammet bestemte ved À = 0,39, Gs Uz. Rigtignok førte denne Formel til betydelige Afvigelser fra Diagrammet for den 9de Million, men disse bleve ikke medtagne. fordi Gram formodede, at de for en Del maatte stamme fra Fejl i de af Dase beregnede Primtalstavler, idet Resultatet af Optællingerne vanskelig syntes at kunne forliges med Meissels Beregning af Primtalmengden op til 10 Millioner. Derimod udviste Formlen en stor Overensstemmelse med Diagrammet fra 3 indtil 8 Millioner. Sluttelig kom imidlertid Dr. Gram, saaledes som det ses af hans Afhandling sammesteds, efter at have beregnet Afvigelserne fra Riemanns Formel for Rækken af Primtal, svarende til log z med Intervallet 0,1, opad indtil logz — 15 (x = 3 269 017), til det Resultat: «at den i Glaisher’s Diagram tilsyneladende regelmæssige Fordeling af de store Maxima og Minima vistnok skyldes en Tilfeldighed». Saalenge Forseget paa at bestemme Perioderne maatte vere saa famlende, som det efter de forholdsvis faa Data, hvoraf endog en Del maatte formodes at vere urigtige, nødvendigvis maatte blive, kunde det ogsaa vere korrekt at tage det Parti, at opgive det. Men heldigvis har Gram alligevel meddelt Resultaterne af sine Udjevningsforseg, thi det viser sig nu i Theoriens Belysning, at baade hans Formodning om, at log x maatte tages som Argument, og at Periodetallet var 0,39, har i Hovedsagen været rigtig, ligesom ogsaa en yderligere Diskussion af det Erfaringsmateriale, hvortil yi endnu ere indskrænkede, bliver ganske unødvendig. Selve den Omstzndighed, at de regelmæssige lange Perioder udviskes, naar z kommer under en vis lavere Grænse, bliver en Stadfæstelse af Theorien. Med det vundne theoretiske Grundlag vil der herefter være en stærk Opfordring til at gaa videre i den exakte Bestemmelse af Primtalmængderne. Navnlig vilde det være i høj Grad af Interesse at faa kontrolleret Dases Beregning af Primtalmængden indtil 9 Millioner ved Meissel's eller en lignende Methode, og derefter at faa bestemt en Række Punkter imellem 10 og 100 Millioner, f. Ex. for hver 10 Millioner. Der vilde da være til- vejebragt et fortrinligt Materiale til Støtte for fortsatte theoretiske Undersøgelser. im |